ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Эта книга представляет собой запись курса лекций, прочитанного в Курантовском институте математических исследований Нью-Йоркского университета в 1973—1974 гг. Моя основная цель состояла в том, чтобы продемонстрировать применение различных топологических методов при доказательстве существования решений нелинейных задач. Из-за недостатка времени и моего медленного темпа я успел охватить в этих лекциях гораздо меньше материала, чем собирался. В частности, многие важные вопросы не были даже затронуты, и я хотел бы воспользоваться представившейся возможностью и остановиться здесь на некоторых из них, равно как и на ряде недавних исследований, а также дополнить список литературы. Хотя в последние годы активность в этой области очень возросла, я включил в дополнительный список сравнительно небольшое число работ; в нескольких из них можно найти дальнейшие многочисленные ссылки на литературу. Работы [59—65] —это статьи, книги или труды симпозиумов, которые относятся к разряду литературы общего характера и примыкают к разделу „литература, упоминаемая во введении".

Вот некоторые из тем, которые я рассчитывал рассмотреть или же изложить более подробно.

Вариационные методы в нелинейных задачах. При доказательстве теорем существования решений (часто бесконечного числа решений) нелинейных .задач вариационного типа, т. е. таких задач, в которых решение является стационарной точкой некоторого функционала, исключительно полезно введенное Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом понятие категории и связанное с ним понятие рода. Ясное изложение теории категорий в банаховых пространствах и се приложений можно найти в [1], [3] и [61], а теории рода —в [3], [59] и в докладах П. Рабиновича в [60]. Рабинович, в частности, весьма эффективно применил понятие рода в нелинейных задачах; в его работе [66] наряду с другими результатами содержится интересное обобщение классической теоремы М. А. Красносельского о бифуркации ([3], гл. 6, § 2, теор. 2.2). Важным продвижением было распространение теории Морса на случай бесконечномерных пространств; см. [1].

Обобщения классических теорем о неподвижной точке и теории степени. В последние годы были получены различные обобщения теории степени Лерэ — Шаудера. Первоначально понятие степени было определено для отображений (скажем) банахова пространства, имеющих вид I — К, где К — компактное отображение; см. монографию [64], где имеется также обширная библиография. Были предприняты попытки ослабить требование компактности отображения К. В частности, было введено понятие (А, ^-ограниченности, позволяющее в некотором смысле измерить отклонение от компактности, и теория степени была распространена на (/г, а)- ограниченные отображения; см., например, [67 — 69]1). Мы не привели никаких приложений теории степени к упорядоченным банаховым пространствам, где эта теория весьма полезна, особенно для эллиптических и параболических уравнений второго порядка, для которых можно воспользоваться принципом максимума; в дополнение к [63] см. недавние работы [70 — 72]. Не привели мы и хорошо известные теоремы Какутани и Тихонова о неподвижных точках.

Приложения теории особенностей и теории устойчивости гладких отображений, деформации (развертки) особенностей, теории катастроф Тома и т. д. к задачам бифуркации. В § 3.1 мы имели дело с простейшим нетривиальным случаем этих теорий — леммой Морса и лишь намекнули на красивые современные результаты Р. Тома, Дж. Мэзера и В. И. Арнольда. Я думаю, что эти теории будут играть чрезвычайно важную роль в дальнейшем развитии теории бифуркаций. В этом направлении сделано несколько предварительных шагов, см., например, [73]; впрочем, приложения к обыкновенным дифференциальным уравнениям продвинуты гораздо дальше, см., например, [74] и превосходные лекции [75]. Изложение некоторых относящихся сюда вопросов см. в [76] и [77], где можно найти и много дальнейших ссылок на литературу; см. также обзорную статью [78].

Теория бифуркаций. Глава 3 этой книги посвящена задачам бифуркаций, причем имелись в виду главным образом приложения к нелинейным эллиптическим краевым задачам. Поэтому мы почти не представили результаты обширных исследований по периодическим решениям систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Важное направление, совершенно не похожее на то, чем мы занимаемся в данной книге, — это бифуркации периодических интегральных кривых на инвариантном торе, рассматриваемые, например, в работе Д. Рюэля и Ф. Тэйкенса; очень ясное изложение

J) А также [121].

вопроса дано в [79]. Другой фундаментальный результат — теорема Хопфа о бифуркации, которая описывает, как семейство периодических решений ответвляется от семейства равновесных решений. В последние годы этот результат был распространен на бесконечномерный случай и усилен; см., например, [80], где также даны дальнейшие ссылки на литературу. Недавно Дж. К. Александер и Дж. А. Йорк [81] доказали важное обобщение теоремы Хопфа о бифуркации, являющееся глобальным в том смысле, что периодические орбиты существуют не только в окрестности точки бифуркации. Эти авторы используют один инвариант стабильной гомотопии; несколько более простое доказательство дал Дж. Э. Изэ в [26].

Дальнейшее использование алгебраической топологии. До недавнего времени основным топологическим аппаратом, которым пользовались аналитики, была теория степени в случае конечного или бесконечного числа измерений. Теперь мы начали применять и другие топологические методы, и я твердо верю, что более сложная топологическая техника будет играть все большую и большую роль в будущих исследованиях. Например, в § 3.3 —3.5, рассматривая задачу бифуркации вида

Ж Л)=0,

где f — фредгольмов оператор по переменному х, лежащему в банаховом пространстве, а X — вещественный параметр, мы для получения нетривиальных решений воспользовались теорией степени. Если Л представляет собой пару вещественных параметров (или один комплексный), то для установления соответствующего результата приходится привлекать элементы теории гомотопий (§ 3.5). Ясно, что для решения проблемы в случае большего числа параметров нужны дальнейшие топологические соображения. Некоторые результаты для случая нескольких параметров получил Изэ в [26] (см. также [73]). В настоящее время Александер и Йорк начали систематическое изучение случая Z^Rn, связанное с рассмотрением группы Щ-j (GL(q)), см. [82 — 84]. Я думаю, что это многообещающее направление.

Конструктивные методы. В этой книге не представлено никаких конструктивных методов. Применение топологических методов дает нам теоремы существования, но не способы вычисления решений, которые появляются в этих теоремах, как, скажем, неподвижные точки некоторого непрерывного отображения замкнутого шара BgzR^ в себя. Я хотел бы привлечь внимание . к двум интересным работам [85, 86], в которых идет речь о конструктивных методах, основанных на теореме Сарда и на некоторых соображениях трансверсальности.

Что касается более аналитической техники, то глава 5 представляет собой весьма краткое введение в метод монотонных операторов и близкие методы, и мы отсылаем читателя к чрезвычайно содержательным источникам [46] и [64]. Я хотел бы отметить в связи с этим очень элегантную работу X. Брезиса и Ф. Э. Браудера [87], хотя в ней и идет речь о совсем других вещах.

Теорема о неявной функции. Нет нужды подчеркивать фундаментальную роль, которую играет эта теорема. Глава 6 посвящена различным формам теоремы Нэша-—Мозера о неявной функции. Эта глава иаписана Э. Цендером и основана на работе [88]. Часть приведенных там рассуждений, в частности относящихся к задачам, где дело идет о голоморфных функциях в некоторой комплексной окрестности вещественного пространства, восходит к основополагающим работам А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда (см. список литературы в [88] *). Полезная форма теоремы Нэша — Мозера о неявной функции, в терминах пространств Фреше, была дана Р. Хэмилтоном [89]. Л. Хёрмандер [90] также получил вариант теоремы о неявной функции и применил его в одной задаче геодезии. Результаты работы [58] получили развитие в [91]).

Представленные здесь темы отражают мой собственный вкус и ограниченность моих знаний — последнее в особенности касается обширной русской литературы в этой области, за что я приношу свои извинения.

Я надеюсь, что эта книга будет содействовать дальнейшему приобщению аналитиков к топологическим методам.

В заключение хочу выразить горячую благодарность переводчице этой книги. Хотя я и не читаю по-русски, но уверен, что перевод выполнен превосходно).

Нью-Йорк, октябрь 1976 Луис Ниренберг

9 Имеются в виду работы [113], [1141, [119], [120]. — Прим, персе

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этом курсе мы будем заниматься разными топологическими и аналитическими методами, используемыми при исследовании нелинейных задач. В качестве иллюстрации мы дадим примеры их применения к ряду нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений — в основном к довольно простым нелинейным эллиптическим уравнениям.

Мы начинаем с понятия степени отображения — сперва в конечномерном случае, затем в банаховом. Излагается теория степени отображения Лерэ — Шаудера, вместе с некоторыми ее обобщениями. Эта теория применяется при изучении вопроса о существовании глобальных решений нелинейных задач, а также при исследовании локальных задач о возмущении решений. Что касается последнего вопроса, то мы уделяем значительное место задачам бифуркации, т. е. задачам, в которых от некоторого данного решения могут ответвляться другие решения.

Далее затрагивается ряд тем, связанных с вариационным исчислением, в частности теория монотонных операторов и теоремы о минимаксе. Наконец, мы представим глубокое обобщение теоремы о неявной функции, данное Нэшем и Мозером.

Несколько слов о подготовке читателя. Он должен знать стандартную теорию линейных операторов. Предполагается также знакомство с основными понятиями теории дифференцируемых многообразий и дифференциальных форм. Знания топологии не требуется почти никакого. Некоторые хорошо известные результаты гомотопической теории мы приводим по ходу дела без доказательства.

Основным пособием по этому курсу служит книга Дж. Шварца [1]. Укажем некоторые работы по теории степени, ее приложениям и теории бифуркаций. Общие основы теории степени изложены в книгах Милнора [2], Красносельского [3] и Вайнберга [4]. Ряд приложений теории можно найти в сборнике [5] под редакцией Сарантонелло. Относительно последних достижений и обобщений, полученных в теории степени и теории неподвижных точек, см. работу

Гранаса [6]. По теории бифуркации см. сборник [7] под редакцией Келлера и Энтмана, весь номер журнала [8] и работы Сэттингера [9], Стэкголда [10], Вайнберга и Треногина [11], Вайнберга и Айзенгендлера [12]. Много других интересных нелинейных задач рассмотрено в книгах Бергеров [13] и Лионса [14]. Литература к отдельным главам указана в списке литературы в конце книги.

В создание и запись этого курса бульшой вклад внесли целый ряд людей. Заключительная часть курса была проведена в виде семинара, и доклады некоторых его участников включены в настоящую книгу. Я хочу в особенности поблагодарить Дж. Изэ за § 4.4 и 4.5 и за его участие в записи лекций и Э. Цендера— за обстоятельное изложение обобщенных теорем о неявной функции, составивших содержание гл. 5 (которая им и написана). Я хочу также выразить признательность Ральфу Артино, записавшему лекции, и Джону Таванцису, выловившему массу ошибок. Наконец, я благодарен Конни Энгл, весело и превосходно напечатавшей рукопись.

Глава 1

Топологический подход.Конечномерный случай

ОДНО ПРОСТОЕ ЗАМЕЧАНИЕ

Нашей целью в этом курсе все время будет, говоря несколько вольно, решение нелинейных уравнений вида

F(x) = 0.(1.1.1)

Начнем с одного совсем простого результата, который показывает, как при решении нелинейных задач используется топология и, в частности, теория гомотопий.

Пусть F — непрерывное *) отображение замкнутого единичного шара В a Rn в R\ и пусть*

F^^O на дВ.

Обозначим через ф: dB->R^\{0) сужение F на дВ. Топологический результат, о котором идет речь, дает нам условие на ф, гарантирующее, что для любого 9 продолжения F отображения ф на В уравнение (1.1.1) всегда имеет решение.

Теорема. Предположим, что ф отображает dB=Sn~{ в R\{0), и рассмотрим отображение

Y I <p I

Уравнение F (x) — 0 имеет хотя бы одно решение для всякого продолжения F отображения ф внутрь В тогда и только тогда, когда отображение ф: Sn-1 ->S^-1 гомотопически нетривиально, т. е. не может быть деформировано в постоянное отображение.

Доказательство этого простого результата предоставляется читателю в качестве упражнения.

При его применении следует различать три случая. Если п < к, то, как легко видеть, всякое отображение ф: Sn-X ->Sk”x гомотопически тривиально и наша теорема бесполезна. Что касается случая п > к, то теория гомотопий пока еще не достигла того уровня, когда про произвольно заданное ото-

бражение ф можно сказать, является ли оно гомотопически нетривиальным или нет. Впрочем, известно много примеров, когда это можно сделать, и некоторые из них будут использованы нами ниже. При п = к гомотопический класс отображения ф определяется его „степенью”: ф гомотопически тривиально тогда и только тогда, когда эта степень равна нулю. Топологическая степень отображения и будет первым предметом, который мы подробно рассмотрим. Интуитивно, степень отображения в некоторой точке пространства образов — это число, показывающее, сколько раз (в алгебраическом смысле) накрыта эта точка.

ТЕОРЕМА САРДА

Для того чтобы дать определение степени отображения, мы воспользуемся одним частным случаем теоремы Сарда.

Рассмотрим отображение F: X->Y, где X и Y — открытые (паракомпактные) С°°-Многообразия размерности п и к соответственно и F е С1 П Сп~кл"\

Определение, (а) Точка х^^ X — регулярная точка dF отображения F, если в локальных координатах якобиан (х0) имеет максимальный ранг (т. е. min (п, &)).

Если точка х0 не является регулярной, она называется критической точкой.

Точка yo^Y называется критическим значением отображения F, если ее прообраз F”1 (у0) содержит критическую точку; в противном случае у0 называется регулярным значением.

Теорема Сарда. Если отображение F обладает указанными выше свойствами, то множество его критических значений имеет меру нуль в Y.

Замечания. 1. При С’-отображении из Rfe в Rfe множество нулевой лебеговой меры отображается во множество нулевой меры, откуда видно, что выделение в Y множеств нулевой меры осмысленно. Далее, если к > п, то ^-мерная мера всего образа F ^ равна нулю для F е С1 и, значит, в этом случае теорема Сарда тривиальна.

Доказательство теоремы Сарда в приведенной выше общей формулировке не просто, и мы нс будем его здесь приводить (см. [15]).

Для того чтобы дать определение степени отображения, нам нужна теорема Сарда лишь для случая, когда F г С1 и п = к\ в этих предположениях мы ее и докажем.

Доказательство. [F еС1, п = й] Достаточно рассматривать F на некотором замкнутом кубе Со в Rn со стороной L Разобьем этот куб на Мп равных частей, поделив каждое ребро на N равных частей. Тогда для любой пары точек х0, х, лежащих в одном из подкубиков,

F (х) = F (х0) + ^7 (х0) (х - х0) + о ( ^), поскольку первые производные отображения F равномерно непрерывны в Со. Если х0 является критической точкой, то det (х0)) = 0 и поэтому образ кубика С содержится в цилиндре, основание которого лежит в (п — 1)-мерной плоскости и имеет площадь ^с ^l/N^^ а высота ^оЦ/М\ где с—-некоторая положительная константа. Поскольку число кубиков, содержащих критические точки, не больше, чем Nf\ то при отображении F их образы все лежат в некотором множестве, объем которого не превосходит Nno (1/Л^п). Устремляя N к оо, получаем требуемый результат.

В качестве иллюстрации к применению теоремы Сарда приведем один довольно любопытный результат.

Лемма. Пусть Q — открытое ограниченное подмножество в R2, и пусть f: Q->R2, f^C (Q)f)C(Q), f = (fi, f2)- Предположим. что якобиан det ч2- = чт2- -V2нигде r’дх дхх дх2 дхх дх2

не меняет знака, скажем всюду ^0. Пусть, далее, точка xogQ такова, что det -~- (х0) > 0. Тогда функция fx принимает значение pQ = f! (х0) в некоторой точке на границе.

Доказательство. Допустим, что fx =А р0 на 5Q. Применяя теорему Сарда к h (здесь п = 2, k = 1), мы видим, что множество регулярных значений функции плотно. Поэтому существуют сколько угодно близкие к р0 числа рх < р^, Р2<Ро, являющиеся регулярными значениями функции fb такие, что fx не принимает на 5Q значений из отрезка [рь р2\.

Рассмотрим множество

й = {хей|р1 < Л (х) < р2};

й^ 0, поскольку х0 е й, и дй = {х | ft (х) = р^ U (х If,(х) — р2у Из того, что grad fj5^0 в каждой точке границы дй, следует, что дй состоит из конечного числа простых замкнутых С'-кривых

У/. По теореме Грина

55 det ^- dx; dx, = 5 $ dh ^ d^ =

= 5 A db. = ^ 5 МА=о,

так как функция fx постоянна на каждой из кривых Yz- Следовательно, det~~^O на й в противоречие с тем фактом, что х0 е Q. Ч. Т. Д.

Замечание. Функция fv не обязана принимать на 5Q всякое значение, которое она принимает в Q; например, fx можно взять произвольной, a f2 —0. Однако если в дополнение к сделанным выше предположениям потребовать, чтобы отображение f удовлетворяло условию f = grad zz, где и — некоторая функция, то функция fx действительно принимает на 5Q все значения, которые она принимает внутри Q.

ТЕОРИЯ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯВ КОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Рассмотрим ориентированные С°°-многообразия X, У размерности п (все многообразия предполагаются паракомпакт- ными).

Прежде чем давать определение степени отображения, напомним некоторые понятия из дифференциальной геометрии. Оператор внешнего дифференцирования d переводит /-формы в (/ + 1)-формы; в частности, если со — гладкая (п— 1)-форма на У,

®= Z(—ly-1^^)^1 А •Мун Му!+Ч ... Муа

в локальных координатах (у1, ..., уп\ то

=Е ^ ^‘л • • • л d«n-

Для удобства введем обозначение dyx /\ ... Kdyn = \dy\. Всякое С'-отображение <p: X —»У индуцирует отображение форм в обратную сторону. В частности, гладкая п-форма

Ц = f (у) ldyl

на У переходит при этом в форму

Н°Ф = / (ф(х))/Ф(х)[^1,

где /ф — якобиан отображения ф (в локальных координатах). В силу этого свойства инвариантности, интеграл от n-формы ц по ориентированному многообразию У имеет инвариантный смысл. Теорема Грина принимает вид: если и есть (п — 1)- форма на У с компактным носителем, то

dco = 0.

у

Напомним еще (факт из анализа), как влияет на интеграл взаимно однозначная гладкая замена переменных у = <$^ с невырожденным якобианом:

^0)Ш=^(ф(х))|/Ф@-

r^r”

Таким образом, для /г-формы |n = f(y)|^yj на Y мы имеем

Н = sgn /ф $ р. о ф.YX

Здесь X и Y — ориентированные многообразия, якобиан 7ф нигде не обращается в нуль, а отображение ф взаимно однозначно.

Мы сначала определим степень для отображений класса С1, а затем —для непрерывных отображений. Рассмотрим ориентированные (паракомпактные) С°°-многообразия Л^ и У размерности п и открытое подмножество X многообразия Хо с компактным замыканием X = X U дХ. Пусть ф — непрерывное отображение X в Y класса С1 в X, и пусть уое У\ф(дХ)— регулярное значение отображения ф. Дадим сперва определение степени отображения ф в точке #0- Поскольку #0 — регулярное значение этого отображения, то, как следует из теоремы о неявной функции, множество

Ф~' Оо) = {х е X |ф(х) = z/0}

состоит из изолированных точек в X и потому, будучи компактным, является конечным:

Ф-!Оо)=={х1хА).

Определение. Если у0 — регулярное значение отображения ф, то

к

d(y0) = S sgn J^xj).

Излагаемый далее подход к теории степени отображения представляет собой данную П. Лаксом модификацию подхода Э. Хайнца (см. книгу Шварца [1]).

Будем называть координатную окрестность Q точки у0 е У „хорошей" в том случае, если существуют такие координаты (т. е. отображение g: Q-*R"), в которых g(Q) является кубом в R".

Определение. Пусть р, = f (у) | dy | есть С°°-л-форма с носителем в некоторой хорошей лежащей в У \ (ф (дХ)} координатной окрестности Q точки уй, причем ^р=1. Определим Y

степень отображения ф в точке у0 так:

deg (ф, X, у^ = ^ цоф.

X

Дифференциальные формы, удовлетворяющие приведенным выше условиям, будем называть допустимыми для точки у^ и отображения ф.

Корректность определения степени deg (ф, X, yQ) вытекает из следующей леммы.

Лемма. Пусть ^^Ну^ \^у\ есть п-форма на Yкласса С°°, р = 0 и носитель р содержится в некоторой хорошей окре- у

стности Q. Тогда существует такая (п— 1)-форма (о, что supptocQ и р = ^со.

Действительно, если формы v и р допустимы для у^ и ф, то разность V —р удовлетворяет условиям леммы 1.3.3 и, следовательно, v — p = d(o, a suppcocQ. Но тогда по гео- реме Грина

V о ф — ^ р о ф = ^ (v — р) о ф = ^(0 о ф = ^ (о) о ф) = 0.

XXхXX

Доказательство. Достаточно провести доказательство в предположении, что supp р содержится в некотором кубе С в R" Итак, нам надо показать, что для формы ц = f (у) \dy\ с \ц = 0 функцию / можно представить в виде Цу) —

у ^1fa д^у ^1fa д^(у), где носители функций g} содержатся в С при

у ^1fa д^

у ^1fa д^

всех /. Проведем доказательство индукцией по размерности п.

и

При о = 1 функция gx (у) = j f^ds удовлетворяет условию

fdy = dgv Предположим теперь, что лемма верна в п-мерном случае; мы хотим доказать ее справедливость для (о + ^-мерного случая. Положим уп+1 = 1, ^У, O = (y'i •••, У^ Ч и

Поскольку j m(у)\dy \ = 0, то по предположению индукции m (у) = 2_, guj-. где supp g, с С.

Пусть т(/) является С°°-функцией, носитель которой лежит на соответствующем ребре куба С, и

j т (/) dt = 1.

Рассмотрим разность Цу, t) — т; (t) m (у). Интеграл по / от этой разности равен нулю, и поэтому функция

gly, Й = $ (Н^, s) —T(s)m(y))ds

удовлетворяет равенству

а носитель g лежит в С. Следовательно,

I to, у" * -) - ^frr to, у-* ‘) + Е -^- т у), ч. т. д.

СВОЙСТВА СТЕПЕНИ

Предложение. Для близких точек ух и у0

deg (ф, X, у^ = deg (ф, X, ух\

Доказательство. Если точка ух достаточно близка к уй, то всякая форма ц, допустимая для у0, будет допустимой для ух. Ч. Т. Д.

Отсюда следует, что степень постоянна на каждой связной компоненте С множества К \ {ф (дХ)} и мы будем иногда обозначать ее через deg (ф, X, С).

Предложение. Если у0 — регулярное значение отображения ф, то

d (z/0) = deg (ф, X, y0Y

Тем самым мы видим, что для всех точек у0^ф(Х) (ко* торые, очевидно, являются регулярными значениями)

deg (ф, X, уй) = 0.

Доказательство. Пусть ф~|(уо) = {Лъ •••> ^}- Тогда суще- ствуют такие попарно не пересекающиеся окрестности Nt точек хь что отображение ф на каждой из них взаимно одно- k

значно. Далее, N = Q ф (Nx^ представляет собой окрестность

точки у0. Пусть ц —допустимая форма с носителем в N. Тогда к

deg (ф,X, у0) = jр. ° ф = У$ ц ° Ф=

X/-1N,

= У sgn /ф (х^ J И = У sgn 7ф (х^ = d (у0). Ч. Т. Д. /г/

Изпредложений1.4.1и1.4.2следует, что степень

deg (ф, X, у0)—целое число, равное d (у), для всякого регулярного значения у, лежащего в той же связной компоненте С множества У\{ф(5Х)}, что и у0.

Предложение. (Гомотопическая инвариантность.) Рассмотрим однопараметрическое семейство отображений ф/ (х): X X X [0, 1]—^У, непрерывных на XX [0,1] и принадлежащих классу С1 для каждого /^[0, 1]. Предположим, что при каждом / выполнено условие y^^^tkdX\ Тогда степень deg(^/, X, Уо) не зависит от /.

Доказательство. Множество У={ф^ (х) | х г дХ, / е [0, 1 ]} замкнуто и не содержит у0. Выберем некоторую допустимую форму ц, носитель которой лежит в не пересекающейся с Y малой окрестности точки у^. Тогда

deg (ф/, X, у0) = ^ И 0 Фь

X

а это, очевидно, непрерывная функция от L Поскольку deg (ф/, X, у^ — целое число, оно должно быть постоянным при всех 1. Ч. Т. Д.

Таким же образом устанавливается гомотопическая инвариантность более сильного вида:

. Предложение. Пусть Х^ Y — ориентированные многообразия размерности п. Рассмотрим Х^ X [0, 1] как подмножество в Хо X R1 с индуцированной топологией. Пусть А —относительно открытое подмножество в Х0Х [0, 1] с компактным замыканием. Положим

At=^xEX^ ^гА\\

(dA)t = {x = X^{x,t)^dA}.

Пусть, далее, у (i) — непрерывное отображение отрезка [0, 1] в Y и ф — непрерывное отображение из А в Rn, принадлежащее классу Сх во всяком At и такое, что

"у^фф^дА^, f) для каждого t из [0, 1].

Тогда степень deg^( • , /), At, у^ постоянна при всех t из [О, 1].

Предложение. Пусть X;, z = l, 2, ..., —- последовательность попарно не пересекающихся открытых множеств, лежа

щих во внутренности X, и пусть у^ ^ ф| X \ U ^t )• Тогда \ i = l /

степень deg(ф, Х^ z/0) равна нулю для всех I, кроме конечного числа, и

deg (ф, X, у^ = £ deg (ф, Хи у^.i

Доказательство. Поскольку множество TlX\U^I \/ — 1 /

замкнуто, существует окрестность N точки уй) не пересекаю-

щаяся с ним. Пусть у — какое-нибудь регулярное значение в N. Тогда

deg (ф, X, z/0) = deg (ф, X, у),deg (ф, Хь Уо) = deg (ф, Хь у).

Так как точка у имеет конечное число прообразов, то ср”1^) содержится лишь в конечном числе множеств Xt. Наше утверждение непосредственно вытекает теперь из предложения 1.4.2. Ч. Т. Д.

В качестве частного случая получаем

Предложение. (Вырезание.) Если К —замкнутое множество, содержащееся в X, и у^ф^ № U Ф (дЛ), то

deg (ф, X, у0) = deg (ф, X \ К, уй\

Доказательство. Положим ^ = X \ К и воспользуемся предыдущим предложением. Ч. Т. Д.

Предложение. Пусть X, Y — многообразия размерности п, а X', К' — многообразия размерности т, и пусть отображения

ф: X->Y,q/: X'->Y'

таковы, что определены их степени в точках у^ е У, у'.^ Y'. Тогда

deg (ф X ф', X X X', (у0, у'^ = deg (ф, X, у0) • deg (ф', X', у'^-

Доказательство. Пусть ц, у' — допустимые формы для отображений ф и ф' в точках у0 и у' соответственно. Тогда р X р' будет (и + т)-формой, допустимой для отображения фХф' в точке (у0, у'), и

(р X р')0 Ф X ф' = $ р ° Ф • $ р' ° ф'. XXX'XX'

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА И ЗАМЕЧАНИЯ

Если отображение ф взаимно однозначно и сохраняет (соотв. меняет) ориентацию многообразия X, то deg(ф, X, у^=\ (соотв. — 1) для любой точки z/0 G ф (А"), у^ & ф(дХ\ Это непосредственно вытекает из определения степени отображения ф. В частности, если X и Y лежат в R", а ф = Id (соотв. — Id), то для yQ е ф (X) П {У \ ф (дА)}

deg (ф, X, yQ) = 1 (соотв. (— 1)").

Предположим, что дХ#= 0, а многообразие У некомпактно и связно. Тогда степень deg (qp, X, у) определена для всякой точки у из У. Мы утверждаем, что эта степень равна нулю. Действительно, в силу компактности ф(Х), найдется точка z/0 е У, не лежащая в ф(Х). Но для нее deg (qp, X, у^ = 0 и наше утверждение следует из того, что deg (qp, X, у) не зависит от у.

Непрерывные отображения. Важным результатом теории степени является тот факт, что понятие степени можно распространить на случай отображений qp, которые всего лишь непрерывны. Это делается при помощи аппроксимации отображения ср посредством (Д-отображений ф„, равномерно сходящихся к ср на X. Используя свойство гомотопической инвариантности 1.4.3, можно показать, что для достаточно больших п и для z/оЙф^) степень deg^rt, X, у^ не зависит от п и ее значение по определению берется в качестве deg (ф, X, у^. В случае когда У лежит в Rrt, нужные аппроксимации построить легко (скажем, применяя сглаживающие операторы). В общем случае это сделать труднее. Опираясь на теорему Уитни о вложении, можно, например, предположить, что У вложено как регулярное подмногообразие в некоторое пространство R^. Тогда при помощи сглаживающих операторов можно аппроксимировать ф гладкими отображениями ^ в R^. Проектируя эти отображения на У, мы и получим фп.

Мы не будем здесь вдаваться в подробности, а просто предположим, что наша теория степени справедлива для непрерывных отображений. Для таких отображений сохраняют силу все утверждения этого и предыдущих параграфов, формулировка которых имеет для них смысл. Для доказательства надо аппроксимировать непрерывные отображения гладкими.

Предположим, что У = Rrt и ф —некоторое заданное непрерывное отображение границы дХ в Rrt \ у0. Тогда степень deg (ф, X, у^ определена для любого непрерывного продолжения ф отображения ф на BCB X и не зависит от выбора продолжения. В самом деле, пусть ф! — какое-нибудь другое продолжение. Рассмотрим отображение ф/ = /ф] + (1 — О ф, 0 ^ ^/^1. В силу предложения 1.4.3, степень deg (ф/, X, у0) не зависит от 1. Поэтому имеет смысл говорить о

deg (ф, X, у0\

Справедливо следующее важное свойство: степень deg(ф, X, у0) зависит только от гомотопического класса отображения ф: дХ -> Rrt \ у0.

Действительно, если ф^, 0^/^ 1, — гомотопическая деформация отображения ф = ф0, то с помощью теоремы Титце

г

о продолжении мы продолжаем ф^ до отображения ф из X X X [0, 1] в Rrt и применяем предложение 1.4.3 к ф/ = ф |х х {/}.

Обобщим теперь формулу из определения 1.3.2, при помощи которой была определена степень.

Теорема. Пусть ф: X->Y, ф^С(Х), Q — связная компонента в У\(ф(дХ)} и р — гладкая п-форма в Y с компактным носителем, лежащим в й, и ^ р ч^ 0. Тогда у

И°Ф

deg (Ф, X, Q) =.

У

Пример. Пусть X — компактная гладкая ориентированная поверхность без края в R3, Y=S^ и ф—-гауссово (сферическое) отображение, которое переводит точку х ^ X в единичную нормаль к поверхности X в точке х. В качестве формы р возьмем элемент площади сферы S2. Тогда р ° ф = К (*) dA, где А — элемент площади поверхности X. Здесь К — гауссова кривизна. По теореме 1.5.5

Р°Ф

deg(ф, X, S2)=^= ^ \к^йА.

S2

Таким образом, мы получили формулу Гаусса — Бонне: инте- ^ грал от гауссовой кривизны по компактной гладкой поверхности без края равен 4лт, где т —целое число.

Доказательство теоремы. Пусть фа (z/) — такое разбиение единицы на Y, что для всякого а носитель supp фа содержится в хорошей окрестности Йа. Положим ра = фар и вы- выберем z/a^supppa. Согласно определению 1.3.2, имеем

Ра°Ф deg (ф, X, Q) = deg (ф, X, у^ = —^,

коль скоро ца #= 0. Это значит, что

deg (ф, X, Й) • ^ ра =$ Ра ° Ф-

Последняя формула справедлива во всех случаях, так как, в силу леммы 1.3.3, ^ ра о ф = 0, если ^ра = 0. Просуммировав х%

по всем а, получим нужный результат:

deg (ф, X, й) ц = р о ф. Ч. Т. Д.у х

Теорема Лерэ о произведении. (Композиция отображений.) Пусть многообразие X такое же, как и раньше, a Y и Z — ориентированные многообразия размерности п. Пусть ф: X->Y, ф: ¥-> Z — непрерывные отображения. Если Qz — связные компоненты множества У\(ф(дА)} с компактным замыканием в Y, то для z 0 ф ° ф (5^)

deg (гр о ф> X, z) = £ deg (ф, X, Q<) • deg (гр, Qb z),

причем сумма в правой части конечна.

Доказательство. Можно считать, что ф, ф ^ С1 и что 2 является регулярным значением для композиции ф = ф и для отображения ф. Тогда

deg (ф о ф, X, z) = Е sgn /ф о Ф (х) =хеХ

фОф(%) = 2

=£ Sgn /ф (ф (х)) • sgn 4 (х) =

хеХ

ф0ф(х) = 2

= X sgn/^y) £ Sgn7(p(x) = y^YxgX

Ф(!/)”2rWW

= S sgn J^ (z/). deg (ф, X, у). yeY

Если точка у лежит в компоненте множества У\ф(д^), замыкание которой не компактно, то эта компонента содержит точки, не принадлежащие ф(А\ и, значит, deg^, X, у) = 0. Таким образом, мы можем ограничиться только компонентами Qz. Поэтому

deg (гр о ф, X, z) = У deg (ф, X, Q^ £ sgn J^ (у) =iyeQ.

ф(1/)=г

= 2 deg (ф, X, Qz) • deg (гр, Q,, z). Ч. T. Д.

Приводимые ниже важные следствия теоремы Лерэ мы не будем использовать в этом курсе. Их доказательства можно найти в книге Шварца [1], стр. 75 — 78.

Следствие 1. Теорема Жордана — Брауэра. Пусть F — компактное множество в Rrt, такое, что Rn \F состоит из некоторого конечного числа к компонент, и пусть <р — гомеоморфизм множества F в Rrt, для которого q>(F) = G. Тогда Rn\G состоит из к компонент.

Следствие 2. Теорема об инвариантности области. При непрерывном взаимно однозначном отображении в Rn открытого множества из Rrt образ этого множества сам является открытым.

Пусть F — непрерывное отображение в Rn замкнутого единичного шара из R", удовлетворяющее условию F: дВ-> -> Rn \ {0}, так что определена степень deg kF, В, 0). Рассмотрим нормализованное отображение ф: дВ = Sn""x -> Sn”\ заданное формулой

F (х) | L

Степень отображения ф определена для каждой точки из S^"1 и всюду имеет одно и то же значение. Поэтому можно обозначить эту степень через deg (гр, S"-1, S"”1). Мы утверждаем, что

deg (F, В, O) = degGl), S""1, S""1).

В самом деле, можно считать, что F принадлежит классу С1 (В). Далее, deg (В, В, 0) зависит только от F |вв, а на дВ мы можем продеформировать В в ф при помощи деформации

Следовательно, можно считать, что В=ф на дВ. Поскольку deg (В, В, 0) не зависит от выбора продолжения отображения ф внутрь В, мы можем продолжить В внутрь В следующим образом:

G (0) = 0; G (х) = | х |2 ф (-4т) при х Ф 0.

Пусть теперь точка y^Sn-x — регулярное значение отображения ф. Тогда для малых е > 0 точка у^ = е2у будет регулярным значением отображения F. Если ф”1 (у) = {хь ..., х^}, то G-1 (ьу} = (ех^ ..., ех^}. Мы видим, таким образом, что

sgn Ц kxj) = sgn JQ {&х}\ / = 1, ..., k, откуда и следует наше утверждение.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯК НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Будем обозначать через В замкнутый единичный шар в R”.

Пусть отображение ф: B->Rn таково, что для х^дВ вектор ф(х) нигде не направлен в сторону, противоположную вектору х, т. е.

Ф (х) + Хх ^ 0 для всех X ^ 0, х ^ дВ.

Тогда уравнение ф(х) = 0 имеет решение внутри В.

Доказательство. В силу нашего предположения, ф(х)#=0 на дВ и, значит, определена степень deg (ф, В, 0). Произведем следующую деформацию отображения ф на дВ;

Ф/(х) = /ф (х) + (1 — /)х, 0</ < 1.

По предположению Ф/(х)т^0 при х^дВ и, значит,

deg (ф, В, 0) = deg (фь В, 0) = deg (Id, В, 0) = 1. Ч.Т.Д.

Замечание. То же заключение верно, если на дВ вектор ф (х) нигде не направлен в ту же сторону, что и вектор х, т. е. если

Ф (х) #= Хх для всех X ^ 0,

— чадо просто применить предыдущие рассуждения к — ф (х).

Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть F: В~>Цп, F е С° (В) и F (дВ} cz В. Тогда F имеет неподвижную точку.

Доказательство. Рассмотрим отображение ф(х)=х —В(х) на дВ. Предположим, что ф (х) #= 0 при х е дВ - в противном случае всё уже доказано. Тогда вектор ф(х) нигде не будет направлен в сторону, противоположную х е дВ. Действительно, если

х — F (х) + Хх = 0 для некоторого X ^ 0, то

р^ = ^+Х)х.

Но случай X > 0 невозможен, так как ЦВхЦ^!. Если же Х = 0, то F^=x на дВ, возможность чего мы исключили. Итак, в силу предыдущего результата, уравнение F^ — x = 0 имеет решение внутри В. Ч. Т. Д.

Замечание. Теорема Брауэра о неподвижной точке справедлива в следующей более общей формулировке: всякое непрерывное отображение замкнутого ограниченного выпуклого

множества из R" в себя имеет неподвижную точку. Доказать это предоставляется читателю в качестве упражнения.

Предположим, что <р(х) —такое непрерывное отображение <р: R"->Rn, что ’

~* + °°(L6J)

при |х|->оо. Тогда ср — отображение на Rrt, т.е. для всякой точки у е Rn уравнение

^^ = У имеет решение.

Доказательство. Мы можем считать, что у = 0, потому . что в противном случае можно заменить ф(а) на отображение Ф(а) — У, которое тоже удовлетворяет условию (1.6.1). Для некоторого R > 0 имеем

(ф(х), х)>0, если | а: | =/?.

Предположим, что ф(х)=#0 при |х| = /? —в противном случае всё уже доказано. Тогда из неравенства (ф(х), а:)^0 вытекает, что вектор ф(х) нигде не направлен в сторону, противоположную х при | х | = R, т. е. что

Ф(х) + Ла=#0 для Х^О, |х| = /?.

Наш результат следует поэтому из утверждения 1.6.1.

Лемма Кнастера — Куратовского — Мазуркевича [16]. Эта лемма использовалась в одном из первых доказательств теоремы Брауэра о неподвижной точке. Она понадобится нам ниже.

Лемма. Пусть X — произвольное множество в Rrt. Поставим в соответствие каждой точке х е X замкнутое множество F (х) в R" так, чтобы выполнялись условия*.

для одной из точек х0 е X множество F (х0) компактно;

для всякого конечного подмножества {хн ..., х^} в X к

выпуклая оболочка точек хь ..., хк содержится в U F (Xl).

i = l Тогда

П F(х)=#0. х е X

Мы приведем доказательство, принадлежащее X. Брезису.

Доказательство. Поскольку множества G (х) = F (х0) П F (х) все компактны, то для доказательства того, что Q G^ хеХ

непусто, достаточно показать, что семейство {^Whsx обла-

дает свойством конечного пересечения. Предположим, что это неверно. Тогда найдется такое конечное множество хь ..., ^, что

к

П ^м=0.

Если U, = F ^ — дополнение к F ^xt\ то

к

0 ut=ve. t-0

Пусть ф, — разбиение единицы в Rrt, согласованное с покрытием Ui, т. е. такое, что

к

ЕфДх) = 1, SUpp ф; С Ut. 1-0 к

Рассмотрим отображение ф (х) = Е ф,- (x)xz. Для любой точки х 1=0

точка ф(х) принадлежит выпуклой оболочке точек хь ..., хк. Поэтому ф отображает выпуклую оболочку К точек х^ ..., хк в себя. По теореме Брауэра о неподвижной точке (в ее обобщенной формулировке) у ф(х) имеется в К неподвижная точка х,

к

X = Е Ф/ ^ xt.

i-0

Перенумеровав, если надо, индексы, мы можем считать, что для некоторого s (быть может, равного к^

f #= 0 при t^s,v [ = о при г > s,

так что х содержится в выпуклой оболочке точек xY, ..., xs Но тогда, в силу наших предположений, хе J F Ui) и, i < s

значит, хер^ для некоторого K.S. Отсюда следует, что х ^ Ui и, значит, фг (х)=0. Мы пришли к противоречию. Ч. Т. Д.

ТЕОРЕМА БОРСУКА

Теорема Борсука. Пусть X — ограниченное открытое множество в Rra, симметричное относительно начала координат и такое, что 0 е X. Пусть, далее, ф: dX-*Rn\ {0) — непрерывное нечетное отображение ^т. е. такое, что ф (— х) = — ф (х)). Тогда степень deg (ф, X, 0) нечетна.

Заметим, что, в силу наших предположений, степень deg (ф, X, 0) определена и не зависит от выбора продолжения отображения ф внутрь X.

Доказательство теоремы Борсука опирается на следующее

Предложение. Пусть X —открытое ограниченное подмножество пространства Rrt, симметричное относительно 0 и такое, чтоО^Х, а -ф: дХ-> Rrt\ {0} — непрерывное нечетное отображение. Тогда степень deg (ф, X, 0) четна.

Доказательство теоремы Борсука. Для достаточно малых е>0 имеем Вг = {х | |х |^ е} fl дХ = 0. Пусть <р — продолжение отображения ф, совпадающее с тождественным отображением на В^. Тогда, согласно предложению 1.4.4, deg (ф, X, 0) = deg (ср, X, 0) = deg (ср, Х\Ве) 0) +

+ deg (ср, int В6, 0),

В силу предложения 1.7.1, степень deg (ф, Х\В8, 0) четна; в то же время

deg(ф, intB8, 0) = deg (Id, intB8, 0) = l.

Поэтому степень deg (ф, X, 0) нечетна. Ч.Т.Д.

Представляется естественным попытаться доказать предложение 1.7.1 следующим образом. Рассмотрим такую проблему.

Проблема 1. Верно ли, что в условиях предложения 1.7.1 для любого е > 0 существует нечетное (^-отображение Фе: X->Rrt, непрерывное на X и удовлетворяющее условию I ф8 ““ 'ФI < е на дХ, для которого начало координат в Rrt является регулярным значением?

Если ответ положительный, то deg (ф, X, 0) = deg (ф8, X, 0) для достаточно малых е. В силу нечетности ф8, из равенства Фе W = 0 следует равенство Фе(—х) = 0 и поэтому прообраз Ф~’(0) состоит из четного числа точек, а следовательно, степень deg (ф8, X, 0) четна.

Проблема 1 приводит к другой проблеме:

Проблема 2. Пусть X то же, что в предложении 1.7.1, Ф — непрерывное нечетное отображение множества X в Rn, для которого ф (дХ) cz Rn\ {0}. Можно ли равномерно аппроксимировать ф нечетными отображениями класса С1 в X (непрерывными в X), для которых 0 является регулярным значением?

Доказательство предложения 1.7.1. Поскольку мы не знаем решения проблемы 1, мы дадим иное доказательство

предложения 1.7.1, следуя книге Шварца. Чтобы доказать это предложение, достаточно показать, что отображение ф можно продолжить до нечетного отображения множества ^Л{^п = 0} в Rrt \ {0}. Если это будет сделано, то тогда мы будем иметь

deg (*ф, X, 0) = deg (гр, Х^ 0) + deg (ф, Х-, 0),

где Х^ = X П \хп ^ 0). Из того, что ф нечетно, а Х+ и X- взаимно симметричны относительно начала координат, будет следовать, ввиду сказанного в п. 1.5.1, что deg (ф, ЛД, 0) = =±deg(i|), Х-, 0). Тем самым предложение 1.7.1 будет доказано.

Для проверки того, что ф может быть продолжено нужным образом, нам понадобится

Лемма. Если С—замкнутый куб в Rn, К —компактное подмножество в С и ф: 7<->Rw\{o}, m > п, то ф можно продолжить до непрерывного отображения ф: C->Rw\{0}.

Доказательство, (а) Продолжим сначала отображение ф до отображения всего пространства Rrt в Rm, имеющего компактный носитель. Пусть отображение фр Rn->Rm класса С” —- некоторая аппроксимация отображения ф, т. е. || ф — ф! ||<в для некоторого е > 0. Покажем прежде всего, что ф! можно выбрать так, чтобы фр R"->Rw\{0}. В самом деле, так как m > п, то образ ф! (Rn) имеет меру нуль в Rm. Мы можем поэтому выбрать точку у^ произвольно близкую к 0 и не принадлежащую образу фр т. е. такую, что фДх) —z/0=#0 при всех х. Отображение ф1 (х) — у0 также является аппроксимацией класса С” отображения ф. Поэтому мы обозначим построенное отображение опят^ через ф1 и будем считать, что ф! W #= 0 для всех х. /

Положим теперь с = mini ф (х) | > 0 и возьмем е < с/2.

х е К

Зададим вещественнозначную и определенную для всех / ^0 функцию ц(0 формулой

— при ^<т,п (0 =с

1 при t<^

и положим

Тогда 4f (х) = ф] (х) там, где | -ф! (х) | ^ с/2, и | Ф (х) | = с/2 там, где |(х) | < с/2.

Для х е К

I Ф W — tiW I > с — I ф] (х) |,I Ф W — tiW I > с — I ф] (х) |,с

I Ф W — tiW I > с — I ф] (х) |,

I Ф W — tiW I > с — I ф] (х) |,

2

так что | хр] (х) | ^ с/2 и, значит, x|?i (х) = Т (х). Поэтому

| Ф (х) — ф (х) | < е на К.

Наконец, по теореме Титце о продолжении существует такое непрерывное отображение б: C->R'n, | б |^е, что

бС^Ф-ф на К.

Тогда отображение ф = Т- б(х) и будет искомым продолжением отображения ф. В самом деле, если ,г е /(, то ф (%) — = ф(х) и

|ф|^|Чг| — |6(x)|>-j — 8>0 для всех х в С. Ч. Т. Д.

Нужное нам для доказательства предложения 1.7.1 продолжение отображения ф дается следующей леммой.

Лемма. Пусть D — ограниченное открытое подмножество в Rk, 0 ^ D и D симметрично относительно начала координат. Пусть, далее, m>k и отображение ф: d£>->Rm\{0} нечетно. Тогда ф можно продолжить до нечетного отображения всего D в Кт \ {0}.

Мы применим эту лемму в случае подмножества D = X П П{хп = 0) в R""1.

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по к. Если к = 1 и в > 0 достаточно мало, то D содержится в дополнении к отрезку [— е, е]. Используя предыдущую лемму, можно продолжить ф до отображения ф отрезка [е, У], где У сколь угодно велико, в Rm \ {0}. Тем самым мы получаем продолжение ф на „правую половину11 подмножества О, т. е. на D f) {х |х> е}. Для х^£>П{х|х^ — е} положим

ф (х) = — ф (— х).

Предположим теперь, что лемма верна для к — 1. Рассмотрим множество Do — О П {х | х6 = 0}. На дО0 задано отображение ф: dD0-> Rm \ {0}, и, значит, по предположению индукции мы можем продолжить ф до отображения ф0: О0-*^_т \ {о}. Положим Z)± = 2) Л {Хб ^ 0). Зададим на дО+ отображение фн положив Ф1 = ф на dD П {х* ^ 0} и Ф1 = Фо на Ао Воспользовавшись леммой 1.7.2, продолжим теперь Ф1 с границы дО+ на некоторый содержащий ее куб—как отображение в R" \ {QJ.

В частности, при этом мы получим продолжение на D^.. Продолжим его на D- нечетным образом. Ч. Т. Д.

Тем самым завершено и доказательство предложения 1.7.1. Ч. Т. Д.

Приложения теоремы Борсука. Во всех последующих приложениях X — ограниченное открытое подмножество в Rn, симметричное относительно начала координат и такое, что ОеХ.

Для всякого нечетного отображения ф: дХ-> R^ cz Rn, к < п, существует точка х е дХ, такая, что ф (х) = 0.

Доказательство. Предположим, что ф (х) Ф 0 при х е дХ. По теореме Борсука степень deg (ф, X, 0) нечетна. Пусть qp — продолжение отображения ф на X, являющееся отображением в R\ Степень deg (qp, X, 0) нечетна. Однако если точка yo^Rn близка к началу координат и не принадлежит R\ то для нее deg (qp, X, уо) = deg (qp, X, 0), тогда как deg (qp, X, у^ = 0 — противоречие.

Для всякого непрерывного отображения ф: dX->Rfecz cz Rn, k < п, существует точка х^дХ, такая, что

ф(х) = ф(—х).

Доказательство. Применим результат (1) к отображению Ф(х) —ф(—х). Ч. Т. Д.

Пусть X cz R" такое же, как выше. Предположим, что граница дХ покрыта п замкнутыми множествами Аъ Л2, ... ..., Ап. Тогда одно из них содержит пару точек-антиподов хи — X.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда п

Q Л/ пусто. Для х s дХ пусть i=*l

^z (*) — расстояние от х до Л/.

Тогда

И > о.

Рассмотрим отображение

' w Xd^xV d(x))

границы дХ в Rra-1 с Rn. Согласно предыдущему результату, найдется такая точка х0 е дХ, что f (х0) — f(— х0\ Эта точка х0 принадлежит некоторому множеству Аь i^n. Предполо-

32 Гл 1. Топологический подход Конечномерный сличай

жим, что х0 принадлежит Л, с Кп. Тогда d/(xo) = O, но раз / Uo) = / (~ я0), то df(—хо) = О, значит, х0 и — х0 принадлежат Аь Предположим теперь, что х0^Аь / = 1, ..., n—L Тогда dt (х0) > 0 при f = 1, ..., п — 1 и, значит, dt (— х0) > 0; поэтому х0 и — х0 принадлежат Ап.

Задача о сэндвиче. Пусть Дь Д2, Д3 — три измеримые множества конечного объема в R3. Существует плоскость, одновременно делящая их объемы пополам.

(Три множества — это хлеб, ветчина и сыр.)

Доказательство. Пусть х^ S2 — произвольный единичный вектор в R3. Если мы будем двигать плоскость, перпендикулярную к х, в направлении х, начиная с — оо • х, то найдутся первое положение этой плоскости, при котором объем Д3 делится пополам, и последнее такое положение. Пусть Р(х") — перпендикулярная к х плоскость, лежащая посредине между ними, Р Vx^ = Vy\y * х = c^Y Легко проверить, что функция с(х) непрерывна на S2. Положим

*ot (х) = мера {z/ е At | у • х > с (х)}, z = 1, 2.

Из определения Р(х) следует, что

V/ (х) + V/ (— х) = объем At, i = 1, 2.

Отображение хь-эф^х), v2W) является непрерывным отображением S2 в R2. Согласно предложению (2), существует такая точка x0eS5, для которой Vj (х0) = vz (— х0), / = 1, 2. Плоскость Р(х0) и будет искомой плоскостью. Ч. Т. Д.

Это доказательство очевидным образом дает тот же самый результат и для случая п множеств в Rn.

ОТОБРАЖЕНИЯ

В СЛУЧАЕ РАЗЛИЧНЫХ РАЗМЕРНОСТЕЙ

В § 1.1 мы рассматривали непрерывное отображение замкнутого единичного шара В из Rn в R& такое, что F*. dB->Rk \ {0}, вместе с гомотопическим классом его нормализации $ на дВ, где q>=FJ\F\ отображает Sn-1 в S^""1. До сих пор наше внимание было сосредоточено на случае к = п. Мы показали, что если степень отображения ср, равная deg txF, В, 0), отлична от нуля, то ср гомотопически нетривиально. Обратное утверждение (теорема Хопфа) тоже справедливо *), но мы не будем его здесь доказывать.

ХУ См. Ху Сы-цзян [118]. — Прим, перев.

Рассмотрим теперь вкратце случай п> к. Хотя в настоящее время известно уже многое о гомотопических классах отображений сферы Sn-X в сферу S^”1, полная их классификация еще не получена. В частности, если нам дано некоторое отображение такого вида, мы не знаем, как определить, будет оно гомотопически тривиальным или нет. Положение дел здесь иное, чем в случае к = п, в котором мы можем по интегральной формуле из теоремы 1.5.5 посчитать степень отображения на машине (если, конечно, ошибка вычислений будет меньше, чем 1/2).

Перечислим несколько фактов, относящихся к случаю п > k, которые мы будем использовать в дальнейшем. Их доказательства можно найти в любой книге по теории гомотопий.

При п > 1 всякое непрерывное отображение Sn в S1 гомотопически тривиально, т. е. лп(51) = О при п>1. Первым нетривиальным случаем является случай отображения Хопфа сферы S3 в сферу S, которое мы сейчас и опишем.

Отображение Хопфа. Сфера S3 является границей единичного шара в пространстве R4, которое мы будем рассматривать как комплексную плоскость С2 с комплексными координатами (г, wY S3 = (I г |2 + | w |2 = 1}. Сферу S2 мы можем рассматривать как риманову сферу или как комплексную проективную прямую СР1, т. е. как точки в С2 \ {0} с отношением эквивалентности (г, t<y) ~ (тг, w), где т — отличное от нуля комплексное число. Отображение Хопфа ф: S3-^S2 определяется так: ф (г, w) — класс эквивалентности точки (г, до). Как отображение на единичную сферу в R3 это отображение аналитически записывается так:

ф (г, до) = (2Ке^г, 2 Im wz, | zY — | w |2).(1.8.1)

Отображение Хопфа гомотопически нетривиально и порождает гомотопическую группу л3 (S2) отображений сферы S3 в сферу S2. Мы будем пользоваться следующим фактом, относящимся к лп+1 (Sn) — гомотопической группе отображений сферы Sn+1 в сферу Sn:

Для /г^З группа лп+1 (Srt) является циклической группой порядка 2; ее образующую можно получить, применив к ото- (1.8.2) бражению Хопфа п — 2 раз операцию надстройки.

Операция надстройки 2 представляет собой геометрическую конструкцию, с помощью которой из отображения З^-1-^^1 получается отображение Sn->Sk. Эта конструкция определяется так:

Надстройка. Будем представлять себе S""1 как экватор на сфере Srt, a S^”1 как экватор на сфере Sk. С помощью конструкции надстройки всякое отображение ф сферы Sn""x в сферу S^”1 продолжается до отображения ф} сферы Sn в сферу Sk следующим простым способом. Отображение ф! переводит северный (южный) полюс на Sn в северный (южный) полюс на Sk. Пусть у — одна из половин окружности большого круга на S", соединяющей полюсы, она пересекает экватор в некоторой точке х. Обозначим через у' ту половину окружности большого круга, соединяющей полюсы на Sk, которая проходит через ф(х). Определим ф} на у как отображение, линейно переводящее у в у' (имеется в виду линейность относительно длины дуги). Этим определяется непрерывное продолжение отображения ф до отображения ф! сферы 8п в сферу Sk.

Замечание. Ясно, что если (риф — гомотопически эквивалентные отображения S"”1 в S^”1, то их надстройки ф! и ф! также гомотопически эквивалентны. Однако надстройка может приводить к вырождению, т. е. <Pi и ф! могут оказаться эквивалентными даже в случае, когда ф и ф не эквивалентны. Поэтому весьма важным является следующий факт: после конечного числа последовательных надстроек (достаточно п — К) мы попадем в область так называемых „стабильных размерностей"; после этого вырождений больше не происходит, т. е. при j^m надстройка 2/+1ф гомотопически нетривиальна тогда и только тогда, когда гомотопически нетривиальна надстройка ^ф.

Определение. Если все надстройки отображения ф нетривиальны, то говорят, что ф стабильно гомотопически нетривиально.

Выпишем аналитическое выражение для надстройки отображения ф: S^^^S^”1. Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть F — непрерывное отображение замкнутого единичного шара Вп из Rrt в R^, такое, что F: дВп -> R* \ {0}, и пусть ф = У7/!Л| на дВп. Определим надстройку FX='SF как отображение замкнутого единичного шара Вп+1 из Rn+1 в Rfc+I, положив

ГХМ=ЦР (х),/) е Rft+1. (1.8.3)

Здесь х е В„, —1</<1, Вп+1 = {(х, /)| | х |2 + t~^ 1}. Легко видеть, что отображение ф1=/?1/|Г1| на дВпл.х гомотопно

надстройке отображения ф, определенной выше. Далее, /-я надстройка отображения F представляет собой отображение Ff. В^,-^1.

F^x, i) = (F(x), fleRW,(1.8.4)

где х s ВП) t^ Bt.

Заметим, что для отображений ф: Sn~1-> Sn""x степень не меняется после надстройки. Это сразу следует из формулы (1.8.3), результатов п. 1.5.7 и предложения 1.4.6 —достаточно рассмотреть продолжение F отображения ф на Вп.

В дальнейшем нам понадобится один более общий результат.

Предложение. Пусть й— открытое ограниченное множество в Rrt. Будем рассматривать Rrt как прямую сумму Rni ® R% пх + п2 = п, так что х е Rn единственным образом разлагается в сумму х = хх + х2, хх е Rrtl, х2 Rrt2. Пусть F: й -> Rn — отображение вида

F (х) = х + ф (х),

где ф: Q->Rrtl. Предположим, что у^Кп\ y^F^dQ). Тогда deg ^F, Й, у) = deg (F |Q? йь у),

где й) = Rrtl П Q.

Доказательство. Можно считать, что f е С1 в й и что у = 0. Пусть fj(Xj\ /=1, 2, —такие Со°-функции на Ry с носителями вблизи начала координат, что /Дх;)) ДхД = 1.

R 1 Согласно нашему определению степени,

deg kF, й, у) = (Л X /г) ° F dx.

r"

Поскольку det dF/dx = det (/ 4* ф^), где справа стоит определитель размера «i X «1, то

deg^, ^у^^ fiUi+ ф(^1+^2))Х

X /2 (^2) I det С + Фх. (Х1 + ^2)) IP^JP^J-

Мы можем теперь, не меняя значения степени, заменить /2(^2) какой-либо последовательностью функций, сходящихся к дельта-функции. В результате получаем

deg kF, а, у)= $ fi (^ + ф (х,)) | det (/ + <рЛ1 (xj) 11 dxJ =

= deg(Fiai, йь у). Ч. Т. Д.

Глава 2

Топологическая степеньв банаховом пространстве

ТЕОРЕМА ШАУДЕРАО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

Мы хотим теперь распространить наши результаты на случай бесконечномерных пространств, в частности на случай банаховых пространств. Однако тут нам придется соблюдать некоторую осторожность. Например, теорема Брауэра о неподвижной точке утверждает, что всякое непрерывное отображение, переводящее замкнутое ограниченное выпуклое множество /(с:!^ в К, имеет неподвижную точку. В случае бесконечного числа измерений это уже неверно.

Пример. Пусть Х = Ц (пространство последовательностей комплексных чисел х = (хь .. >) с ^ | xj2 < + °0), В ~ замкну- тый единичный шар в /2 и отображение f: В-> В задается формулой f(x) = (V 1 — ||х||2, xh ...). Это отображение непрерывно, но не имеет неподвижных точек. В самом деле, если бы точка х = (хь х2, ...) была неподвижной точкой отображения f, то мы имели бы || х || = 1, так как || / (х) || = 1 для всех || х ||< 1. С другой стороны, из равенства х = (V1 — II х ||2, хь ...) следовало бы, что Xi=0, х2 = хь х3 = х2 и т. д., т. е. что х = (0, 0, ...), а это противоречит тому, что ||х||=1.

Таким образом, мы видим, что в бесконечномерном пространстве недостаточно гребовать от f одной непрерывности. Мы будем требовать еще и компактности.

Определение. Непрерывное отображение f, заданное на банаховом пространстве X и отображающее его в себя, называется компактным, если для любого ограниченного замкнутого подмножества Q множество /(Q) компактно.

Теорема. Пусть Q — произвольное замкнутое ограниченное подмножество в X. Отображение f: Q->X компактно тогда и только тогда, когда оно является равномерным пределом конечномерных отображений (т. е. отображений, образы которых лежат в конечномерных подпространствах).

Доказательство. Предположим, что отображение f компактно. Тогда /(Q) является компактным подмножеством в X.

Поэтому при любом 8 > 0 можно покрыть f (Q) открытыми шарами В\, ..., В^еъ центры которых хь ..., Х/(8) лежат в f(Q). Пусть функции фДх) образуют разбиение единицы на f(Q), согласованное с покрытием {Sj}/^, т. е.

/(8)

^i to ^ О, X ф/ (х) = 1 при х е f (Q) и ф/ = О вне Вь х=1

Положим

/(8)fe^ = Е tz (f W) »!•

Ясно, что fe(x) принадлежит выпуклой оболочке точек х;. Далее,

/(8)II

II / W - к ^ II = £ ^ (f W) to - f W1 •

||>-1II

Если -ф^ У (х)) > 0, то f (х) eBt и || xt — f (х) || < е, значит, II f — fe II < е равномерно по х.

Доказательство обратного утверждения представляет собой простое упражнение. Ч. Т. Д.

Теперь мы можем доказать аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке — теорему Шаудера о неподвижной точке.

Теорема. Пусть й— замкнутое выпуклое ограниченное подмножество банахова пространства X и f: й->й — компактное отображение. Тогда f имеет неподвижную точку.

Доказательство. Пусть, как и выше, fg(x) есть е-аппрокси- мация отображения f, и пусть N8 — линейное пространство, натянутое на Xi, ..., Х/<е). Поскольку й выпукло, а /в(й) содержится в выпуклой оболочке образа f (й), то fg(x): Й-» -* й П М8. Значит, fe отображает лежащее в М8 замкнутое ограниченное множество N8 П й в себя. Но тогда по теореме Брауэра о неподвижной точке отображение f8 имеет неподвижную точку хе (т. е. /е(хв) = хв). Пусть теперь е—>0. В силу компактности последовательность f8(xg) содержит сходящуюся подпоследовательность, которую мы обозначим снова через fg (хе). Итак xg = fg (х8) -> х0. Но

IIх8 — f (xg) II = II f g (x8) — f (xg) II < e, следовательно, f8(xe)-> f (x0), откуда f(x0) = x0. Ч. T. Д.

ОДНО ПРИЛОЖЕНИЕ

Имеется много интересных приложений теоремы Шаудера о неподвижной точке. Мы представим здесь одно из найденных в последнее время, относящееся к проблеме инвариантных

подпространств линейных операторов в банаховом пространстве X.

До сих пор неизвестно, имеется ли у произвольного непрерывного линейного отображения А: X -> X нетривиальное инвариантное подпространство (т. е. такое подпространство У ^ X, что А (У) cz У). Несколько лет тому назад было доказано, что если для некоторого полинома Р отображение Р{А) компактно, то А обладает нетривиальным инвариантным подпространством. Недавно В. И. Ломоносов получил более общий и очень просто доказываемый результат *).

Теорема. Если X — банахово пространство, К¥=0 — компактное линейное отображение Х->Х и А: Х->Х —непрерывное линейное отображение, коммутирующее с К, то у А имеется нетривиальное инвариантное подпространство.

Заметим, что если у К есть ненулевое собственное значение X, то ядро N = ker (Д — XI) будет конечномерным и инвариантным относительно любого оператора А, коммутирующего с К. Действительно, если x^N, то {К —XI) Ах = = А(К — Х1)х = 0 и, значит, Ax^N. Докажем сейчас следующее обобщение теоремы Ломоносова, которое мы узнали от Феликса Браудера:

2.2.1. Теорема. Пусть X — банахово пространство над вещественным или комплексным полем, Д=#0— компактный линейный оператор на X и В — непрерывный линейный оператор на X, коммутирующий с К. Предположим, что В не кратен единичному оператору (в случае когда X — вещественное банахово пространство, предположим еще, что В не удовлетворяет никакому соотношению вида В2 + сВ + р! = 0, где р^О и с — вещественные константы). Тогда существует нетривиальное подпространство У, которое инвариантно относительно любого оператора из comm (В) = {множество ограниченных линейных отображений А: Х->Х, для которых АВ=ВА}.

Доказательство. Пусть теорема не верна. Предположим, что ||Д||=1. Выберем такой вектор х0, что ||Дх0||> 1. Пусть Bi (х0) — замкнутый единичный шар с центром х0. Тогда О ^ КВХ (х0). Для всякого у =# О

D = {г = Тц | Т е comm {В))

является замкнутым инвариантным подпространством относительно всех Т е comm {В). Отсюда следует, что D = X, ибо мы предположили, что инвариантных подпространств нет.

См. [108]. — Прим, персе.

Поэтому можно найти в comm (В) такой линейный оператор Аи, что

ПустьПустьW^-xoiK 1.W^-xoiK 1.NAg = ^. II 4г-х0 IKI};NAg = ^. II 4г-х0 IKI};

Пусть

Пусть

W^-xoiK 1.

W^-xoiK 1.

NAg = ^. II 4г-х0 IKI};

NAg = ^. II 4г-х0 IKI};

N Ag — открытое множество, содержащее у. Поскольку множество С = КВХ (х0) компактно, его можно покрыть конечным числом открытых множеств

^Ау^ • • • > N Ау\ У1, • • • ) уг ^ С.

с покрытием {^л^=1-с покрытием {^л^=1-Для х е Вх (х0) положимДля х е Вх (х0) положимПусть (Ру (х)}у=1 — разбиение единицы на С, согласованное

с покрытием {^л^=1-

с покрытием {^л^=1-

Для х е Вх (х0) положим

Для х е Вх (х0) положим

ф W = 2 Р/ (^ W) Ад КХ.7 = 11

Если Ру (/С(х)) > 0, то К (х) е N Ад^ и потому || AyjK (х) — х0|| < 1. Это значит, что ф(х) является выпуклой комбинацией элементов из Вх (х0) и, следовательно, принадлежит Вх (х0). Таким образом, ф: Вх (х0)-> Вх (х0); далее отображение ср компактно. По теореме Шаудера о неподвижной точке у ср имеется в Вх (х0) неподвижная точка £ =# 0. Положим

К^х^^ТОАд^х.

Ясно, что Ко — линейное отображение, для которого % является собственным вектором с собственным значением 1. Рассмотрим ядро М = ker (Ко — ^); М=А0, так как йеМ. Далее, М конечномерно и инвариантно относительно В, потому что В коммутирует с Ко- (Мы уже получили доказательство теоремы Ломоносова — при В = Л.)

Итак, В: М->М. В случае комплексного поля у В есть в М собственный вектор и У= 0 с собственным значением £, Ви = ^и. Подпространство

Мх = ker(B —£/)

не совпадает со всем X, поскольку оператор В не пропорционален единичному оператору, и тем не менее оно инвариантно относительно comm (В) —мы пришли к противоречию. В случае вещественного поля, если у В нет в М собственного вектора, то М должно содержать двумерное подпространство, на котором оператор В2 + сВ + pl обращается

в нуль при подходящем выборе констант с и р^О. ПоложивЛ^ = ker (В2 + сВ + р/),

мы можем завершить доказательство так же, как и выше. Ч.т.д.

СТЕПЕНЬ ЛЕРЭ—ШАУДЕРА

Пусть X — банахово пространство, й—ограниченное открытое подмножество в X, qp: й —> X—отображение вида qp — I—K, где К — компактное отображение, и yQ ^ qp (дй). Мы хотим определить deg(qp, й, у0\ Заметим прежде всего, что для всякого замкнутого ограниченного множества S множество qp (S) = (/ — К) (S) замкнуто в X. В самом деле, если xneS и qp^J-^y, то хп — К ^х^ -> у. Поскольку /( — компактное отображение, можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (обозначим ее снова через хп\ для которой ^(xj-^z. Тогда хп-> z -V у = х и, в силу непрерывности, х — К(х) = у.

Отсюда следует, что qp (дй) — замкнутое множество, так что если у^ ^ qp (дй), то у^ находится на положительном расстоянии д от дй. Пусть теперь е < д/2, и пусть Кв есть е-аппроксимация отображения К, образ которой лежит в конечномерном пространстве N6 = N, содержащем точку у0. Тогда qp8 (х) — х — К6 (х) ^ у0 на дй. Рассмотрим отображение

^8 ^пй"* ^е Г1 й —> М8;

для него степень deg(qpe, М8ПЙ, у0) определена.

Определение. Полагаем deg(qp, й, у^ = deg(qp8, М8Л й, у^.

Мы утверждаем, что эта степень не зависит от выбора К8 и, значит, корректно определена. Чтобы доказать это, воспользуемся предложением 1.8.1. Заметим прежде всего, что степень deg (ф8, N6 Л й, у^ не изменится, если повысить dim Ne; другими словами, если M = N8@W, где пространство W конечномерно, то (обозначая надстройку снова через ф8) имеем

deg (ф8, М П Й, у^ = deg (ф8, N Л Й, yQ\

Это непосредственно следует из предложения 1.8.1.

Предположим, далее, что К^ — другая аппроксимация отображения К, для которой К^. й -> Л^ Пусть N — конечномерное пространство, содержащее Ne и Nw Применив снова предложение 1.8.1, получим, что

deg (фе, М8 Л Й, у0) = deg (фе, N Л Й, у0\

deg (ф^, Мп Л Q, f/o) = deg (qp^, N Л Й, y0).

Положив теперь Ф^ =/фе + (1 —-/) Фтр мы видим, что, в силу гомотопической инвариантности,

deg (фе, N Л й, у0) = deg (<p„, N Л Q, z/0).

Заметим еще, что если ф = / — К^Й->Х и г/0^ф(й), то deg (ф, й, у0) = 0. Действительно, ф (й) является замкнутым множеством и, следовательно, находится на положительном расстоянии от у0. Поэтому мы можем воспользоваться конечномерной аппроксимацией ф8 отображения ф, такой, что фе: NenQ->Ne, 1/о^Фе(^еПЙ). Но тогда deg (фе, Ne Л й, Уо) = О.

Почти все результаты гл. 1, касающиеся степени отображений в конечномерных пространствах, можно теперь распространить на случай наших отображений вида ф = 1 — К. Для этого надо просто применить эти результаты к конечномерным аппроксимациям ф8. В частности, справедливы результаты п. 1.4.1, 1.4.3-—5, 1.5.6 и § 1.7. Нужно лишь требовать дополнительно, чтобы отображение ф было определено на ой, ф: дй-> X\{z/0} и чтобы К = I — Ф было компактным отображением границы дй в X. Таким образом,

deg(ф, й, у0) зависит лишь от гомотопического класса отображения ф: дй-> ХХ^у^, относительно деформаций вида

^^ = 1-К1^\ 0</<1,

где Kt — компактное отображение множества дй X [0, 1] в X.

Кроме того, для отображений вида ф = I —- К остается справедливой теорема об инвариантности области из § 1.5, равно как и теорема Борсука из § 1.7. Мы будем считать эти обобщения доказанными.

НЕКОТОРЫЕ КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Мы дадим много приложений теории Лерэ —Шаудера степени отображения. Заметим прежде всего, что типичными примерами компактных операторов служат интегральные операторы с хорошими ядрами, действующие в пространствах функций. В качестве иллюстрации рассмотрим интегральный оператор К, действующий в пространстве X = С [0, lj или Я = Л2(0, 1):

1

Ku<s^ = \k(s, t^u^dt,о

где ядро К (s, /) — непрерывная функция на замкнутом квадрате [О, 1]Х[0, 1]. Оператор К является компактным линейным отображением пространства X в себя. Это остается верным и в случае, когда ядро К (s, /) измеримо и как функция от s непрерывно, причем эта непрерывность равностепенна по t, а модуль | К ($, О I ограничен некоторой константой. Вот нелинейный пример:

1

Ku(s^ = ^Kts, t)f (/, u^dt,(2.4.1)

о

где ядро К (s, О непрерывно в замкнутом квадрате, а / — непрерывное ограниченное отображение [0, 1] X R -*R, I f V, и) |^Af. Если X = С [0, 1], то К будет компактным отображением на любом шаре

|| и || = шах | и (О1С N.

Доказательства указанных фактов предоставляются читателю в качестве упражнения. Для иллюстрации теоремы Шау- дера о неподвижной точке приведем

Предложение. Интегральный оператор (2.4.1) имеет неподвижную точку, т. е. у уравнения

Ku (s) = и (s) есть решение.

Доказательство. Для всякой функции иеС$, 1]

| Ku (s) | ^ шах | К (s, О | • М = СР

s, t

Следовательно, К является компактным отображением шара || и ||^ Сх в себя и потому имеет неподвижную точку. Ч. Т. Д.

Занимаясь приложениями теории степени Лерэ — Шаудера, мы будем часто использовать классическую теорию Рисса — Шаудера линейных компактных операторов (изложение этой теории можно найти во многих руководствах по функциональному анализу). В частности, если К — линейное компактное отображение банахова пространства X в банахово пространство У, то I — К является фредгольмовым оператором, т. е. его ядро

ker (/ — /С) = {-V | Кх = х} конечномерно, а образ

R (/ — 7<) замкнут в К и имеет конечную коразмерность.

Кроме того, индекс оператора I — К равен нулю:

ind (/ — К) dim ker (/ — К) — codim R (/ — К) = 0.

В последующих лекциях мы будем использовать некоторые стандартные свойства фредгольмовых операторов{).

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯВ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Теория степени сыграла фундаментальную роль в изучении краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений. Мы приведем сейчас несколько простых примеров. Но сначала— несколько основных фактов, касающихся линейных эллиптических операторов.

Мы будем рассматривать вещественнозначные функции и\х), заданные в ограниченной области О в Rn с С°°-глад- кой границей, хотя все рассмотрения можно провести для векторных пучков на многообразии. Введем обозначения

= дь d = (dtд„), да=да' дХ

Здесь а = (аь ..., ап) — мультииндекс, а/ — неотрицательные целые числа. Через да будем обозначать дифференциальный оператор порядка

£«/ = I а I-

Любой линейный дифференциальный оператор в частных производных с вещественными С°°-коэффициентами аа(х) в G представляется в виде

Р = I

I а Кт

Рассмотрим связанный с этим оператором полином Р:

I а К m

где £ = &, UgR".

Определение. (Эллиптичность.) Оператор Р называется эллиптическилц если главная однородная часть полинома Р не обращается в нуль при £ #= 0, т. е. если

Pm(^6)= X аа(х)^а^о для xeG, ;eR"\{0}. | а |=т

J) См. например, [17] [или [103]. — ПеревД.

Самым известным примером является оператор Лапласа

п

Р2а) = £^ = |^2./=1 11

В связи с эллиптическими операторами изучаются

Краевые задачи:

Pu^f в G, B}u = gj на dG, / = 1,. .., к, (2.5.1) где / и ^ - заданные функции в G и на dG соответственно и Bj — некоторые дифференциальные операторы в частных производных, определенные в граничных точках. Мы будем предполагать, что порядок каждого из операторов В/ меньше, чем ш.

Граничные операторы В = {В/} должны выбираться так, чтобы задача (2.5.1) была в некотором смысле хорошо поставлена. В наилучшем случае это означает, что ее решение существует и единственно. Однако этого может и не быть; термин „хорошая постановка задачи" понимается в более широком смысле. Ограничимся случаем функций и, удовлетворяющих однородным граничным условиям Ви = 0. Мы будем говорить, что для действующего на таких функциях оператора Р краевая задача хорошо поставлена, если

ядро kerP состоит из функций класса С°° и dimkerP = = V < оо;

для подходящей пары функциональных пространств X, У оператор Р: Х->У непрерывен и его образ замкнут в Уи имеет конечную коразмерность v*, так что Р — фредгольмов оператор.

Индекс оператора Р равен

indP = v ~ v*.

Вот примеры хорошо поставленных задач:

= f в G, и = 0 на dG\

ku = f в G, -^- = 0 на dG; (-^—нормальная производная);

= f в G, а^ ~ + Ь ^и = 0 на dG, а(х)>$.

Для каждой из этих задач индекс равен нулю.

Значительная часть теории линейных эллиптических краевых задач состоит в описании краевых условий вида Ви = 0, для которых задача оказывается хорошо поставленной, а также в изучении того, какие функциональные пространства могут выступать в качестве пространств X и У в условии Ь).

Плохо ли это или хорошо, но факт есть факт — первые приходящие в голову пространства X = Ck^"rn ^G\ Y ==Ck (G) не годятся. (Здесь й ^ 0 — целое число, а через^ Ск (G) обозначается пространство функций, обладающих в G непрерывными производными до /г-го порядка включительно.) Для любого целого неотрицательного к оператор

А: Ск^->С\ и = 0 на дО,непрерывен, но его образ не замкнут в Ск. В действитель-ности для f ^С° решение задачи ^u = f, и = 0 на dG, во-обще говоря, не будет класса С2.

Пространства Гёльдера. Подходящими функциональными пространствами оказываются пространства Гёлъдера, Сн-^, где k^ 0 — целое число, а 0 < ц < 1; это пространства функций и из Ск (G), для которых конечна норма

, ,। । I V|даи (л:) — даи (у) | /п с л\

«й+ц= «к + У sup р —^—, (2.5.2)

где

I м |6 = X max | даи (х) |.

I аКк Q

Имеет место следующий факт: для всякого целого к^О и всякого 0 < ц < 1 отображение

A: Co+2+tl(G)-^Cfc+^(G)

является изоморфизмом на. Здесь нижний индекс 0 означает, что рассматриваются функции, обращающиеся в нуль на границе.

Для эллиптических операторов Р общего вида были охарактеризованы соответствующие им „хорошие” граничные операторы В. Это так называемые условия коэрцитивности, или условия дополнительности, или условия Шапиро—Лопатинского (см., например, [18] или § 19 в [19]!).

В предположении (которое мы всегда делаем), что порядки всех операторов В; меньше, чем т, для таких краевых задач справедливы следующие

Основные результаты. Пусть к^О—целое число и 0<р<1. Тогда

Отображение

Р: ^ЕСнш(ОУ1Ви = 0 на dG}-> Ck+>1 (G) является фредгольмовым, и его индекс i не зависит от к.

9 См также [104] —Прим, перев.

Если и — должным образом понимаемое обобщенное решение задачи

Ри = f g Ск^ (G), Ви = О на dG,

то на самом деле ие Ск+т+и,ф\ Таким образом, все функ- ции из ker Р принадлежат С”.

Для всякой функции и из Ck+m+^, удовлетворяющей хорошему граничному условию Ви = 0, имеет место неравенство

I Ьг + т + ц, ^ С I Ри ^ц 4" С I и Io,(2.5.3)

где константа С зависит от операторов и от к, ц, но не зависит от и.

Отсюда следует, что если кег Р = 0, то существует не зависящая от и константа С', такая, что справедливо более сильное неравенство:

l^k+m+n^C I ^w k+ц-(2.5.3)

UpUpПространства Соболева. Другим классом пространств, которые пригодны для эллиптических уравнений, являются пространства HktP, где к ^ 0 — целое число и 1^р<оо, с нормой

Up

Up

IIII\и\\ь

I

I

I

I

Пространство Нь, р определяется как пополнение по этой норме пространства С°° (G).

Рассмотрим оператор Р как оператор, действующий на функции из Hk+m, р, удовлетворяющие условию Ви = 0 (т. е. u^Hk+m, рии является пределом в Hk+mtP функций класса 0го в G, таких, что Ви = 0 на dG\ В этом случае мы имеем следующие результаты.

Основные результаты для случая пространств Нк1Р.

Отображение

Р: {us Hk+m, р\Ви = 0 на dG\->Hk,p фредгольмово и его индекс равен i (как и выше).

Если и — должным образом понимаемое обобщенное решение задачи

Pu—f^Hk,p, Ви = 0 на dG,(2.5.4)

то и ^ Hfe+m, 0.

Решение задачи (2.5.4) удовлетворяет оценке

II и II,+т,р < С || Ри ||6, р + С || и ||оа,(2.5.5)

с константой С, не зависящей от и. Далее, если кегР = О, то

II и ||Ар<;C'\\Pu\\fe.pII и ||Ар<;C'\\Pu\\fe.p(2.5.5')(2.5.5')

II и ||Ар<;C'\\Pu\\fe.p

II и ||Ар<;C'\\Pu\\fe.p

(2.5.5')

(2.5.5')

для некоторой константы О', не зависящей от и.

Используя теорему Арцела — Асколи, можно доказать, что для всякого М > 0 справедливы такие утверждения:

При к + р > k' + р/ ограниченное множество |«к+м,^А1 компактно в С^/+^\

При к > к' ограниченное множество IWk.p^M компактно в Нк',р.

Отсюда и из приведенных выше основных результатов вытекает, что если

f = indjP = O и kerP —О, так что существует Р~\ то отображения

Р~}: Нк1Р^Нк1Р

компактны.

Очень полезно, конечно, понять взаимоотношения между пространствами С^+^ и Нт>р. Некоторые из них описываются следующей теоремой.

Теорема вложения Соболева. Рассмотрим функции и ее Нт.Р^, где G — ограниченная область в Rn с гладкой границей, т — целое положительное число и 1^р<оо.

то д^ г Lq(G) и иг Hbq, т. е. отображение вложения Нт»р ^H^q непрерывно. Далее, если q' <q, то отображение вложения Hmt р <—► Hjt q' компактно.

Если целое число j, 0<J<m, таково, что

0< р = т-"~/ < 1,

то иг С^^ (G).

Доказательства можно найти в § 8—11 книги [19] ’).

Нелинейное эллиптическое уравнение. Мы представим здесь одно простое применение теории степени к изучению

^ См. также [ 117]. —- Прим, персе.

эллиптической краевой задачи со слабой нелинейностью. Пусть Р — эллиптический оператор порядка m с „хорошими" граничными условиями Ви = 0 на dG. Нам надо решить задачу

Pu = g(x, и, д&и\ Ви=0 на dG. (2.5.7)

Здесь g — некоторая функция класса С°° по х е G и по переменной и и ее производным до порядка m — 1 включительно, возрастающая по этим переменным медленнее линейной функции, т. е. для некоторых констант у < 1 и Л1

I g (х, и, д»й) | ^ М (1 + У, |№ff.(2.5.8)

Мы рассмотрим только простейший случай, когда

i = ind Р = 0, ker Р = О,

так что существует Р”1. Положим g (лу и, д6и) = G [и] *) и перепишем наше уравнение в виде

и-Р-,С[и] = 0.(2.5.70

Теорема. При сделанных выше предположениях задача (2.5.7) имеет решение в C^GY

При доказательстве существования решения уравнения (2.5.7х) мы воспользуемся теорией степени отображения применительно к банахову пространству X = Vй е Cm~' (G)\Ви = 0 на dGY Для начала нам нужна

Априорная оценка решения. Зафиксируем р > п и предположим, что существует решение и, принадлежащее Нт>р. Тогда, согласно неравенствам (2.5.5х) и (2.5.8), мы имеем при к = О

llulkp^CIIGMllo.^C'Mr^l + £ |№^W/₽. LG X |J

Из того, что у< 1, легко следует существование такой константы Сь что решение и удовлетворяет неравенству

\\u\\m,p^Cv

Применяя утверждение (ii) теоремы вложения Соболева и замечая, что р > п, получаем искомую априорную оценку

1«1иг-1<С2,(2.5.9)

где С2 — некоторая константа.

9 К сожалению, буква G уже занята, но мы не стали менять обозначения автора. — Прим. ред.

Доказательство теоремы. Рассмотрим в пространстве X, определенном выше, шар й:

I Im—1 ^^ ^2 "4*

На й зададим отображение

Ф (u) = и — P-1G [и].

Ввиду априорной оценки (2.5.9), у уравнения ф(и) = 0 нет решений на дй. Далее,_существует такая константа С3, что I G [и] (х) I ^ С3 при и ей; таким образом, зафиксировав, как и раньше, р > п, мы получим оценку

II G М Но, р < С4.

Поэтому, в силу (2.5.5'), |Р-,СМ|„.,<С5(2.5.10)

и, согласно теореме вложения Соболева,

l^'GMlm-i+u^Ce при у=Х-р

Отсюда вытекает, что P-1G [•] — компактное отображение шара й в X, и легко проверить, что это отображение непрерывно. Следовательно, определена степень deg (ф, й, 0). Из наших оценок вытекает, что степень отображения Ф/(и) = = u — tP~xGVA, 0</^1,

deg (ф^, й, 0) не зависит от t

и потому равна своему значению при t = 0, а именно единице. Таким образом, уравнение (2.5.7') имеет в й решение.

Для завершения доказательства заметим, что из неравенства (2.5.10) вытекает, что решение и лежит в Нт,р. Из того же, что и ей, легко следует, что G [и] лежит в Нх,р. Применив наши основные результаты для пространства Нк, р, мы найдем, что и^Нт+у1Р, а поскольку р > п, то ueC (G). Продолжая дальше в том же духе, получим, что и является С°° (С)-решением уравнения (2.5.7). Ч. Т. Д.

Упражнение. Докажите существование решения, воспользовавшись для этого теоремой Шаудера о неподвижной точке вместо теории степени.

СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Мы знаем, что для компактного линейного отображения Т банахова пространства X в себя отображение I — Т будет фредгольмовым с нулевым индексом и что сопряженное к нему отображение Т*: Х*->„Х* тоже компактно, причем

dim ker (/ ~ 71*) = dim ker (/ — 71)

Далее, при заданном у существование решения уравнения

Ц-Т)х = у

равносильно тому, что х* (у) = 0 для всех х* е ker (/ — 71*). В настоящем параграфе мы приведем несколько простых обобщений этих фактов на случай нелинейных операторов.

Сначала исследуем, какое влияние оказывает на линейный оператор компактное возмущение, которое достаточно мало на бесконечности.

Теорема. Пусть X и ¥ — вещественные банаховы пространства и А: X ->¥ — ограниченное линейное отображение, такое. что

(i) R {А) замкнуто}

(п) А\ = ker А обладает замкнутым дополнительным подпространством Х2.

Пусть, далее. К: X ->¥ — нелинейное компактное отображение, такое, что

(iiO^W^RH),

(iv) /С (л;) = о (|| х ||) при ||х||—> оо.

Тогда

R(^ + ^ = RH).

Доказательство. Запишем наше пространство в виде прямой суммы X = Хх®Х2. Тогда А: Х2-> R (Л) — изоморфизм с ограниченным обратным Л-1 —по теореме о замкнутом графике. Будем писать х = хх + х2. где хх е ker А, х2 е Х2. Мы докажем больше, чем требуется, а именно что для любой точки у из R (Л) и для любой точки %) е Xj существует решение х2 уравнения

Ах2 + К <хх + х2) = у

Положим Ах2 = z g R (Л), так что x2 = A~xz. Последнее уравнение примет тогда вид

4-/<(п 4-Л-'г) =(2.6.1)

Существование решения z = z^ уравнения (2.6.1) мы установим с помощью теории степени, применив ее к отображению Z + Г, действующему в R (Л),

Т^ = КС\ +Л"‘г).

Зафиксируем ^ и у. В шаре ||2||^Т? = R^xb у), где/? достаточно велико, определена степень deg(Z + T, ||г||^/?, у), потому что у нашего уравнения нет решения, для которого || 21| = 7?; это следует из условия (iv). Отсюда вытекает, в силу гомотопической инвариантности, что при 0^/^1

deg(/ + Z, ||2||</?, у) = deg(Z + ^, ||2||</?, у) = 1

и, значит, уравнение z*VT^ = y имеет решение. Ч. Т. Д.

Следствие. (Качуровский [20].) Пусть Т —-такое нелинейное компактное отображение Х—>Х, что

Т ^х) = TQQx — К (^х),

где Т^ — линейный оператор Х->Х, а К (х) = о (|| х||) при || х || -> оо. Тогда

Отображение Т^ компактно.

Если R (7<) cz R (Z — Т^, то уравнение

имеет решение тогда и только тогда, когда у е R (Z — Т^.

Доказательство, (i) Если бы отображение Т^ не было компактно, то нашлась бы такая последовательность единичных векторов Xj, что || Т^ Х[ — Т^ (xf) || ^ д > 0 для всех Z ^ /. Отсюда вытекало бы, что при достаточно больших 7?

|| Т <Rx^ - Т ^Rx^ || > 67? - о (7?) ^ 1,

в противоречие с компактностью Т.

Запишем уравнение (/ — Т) (х) = у в виде (Z —- Too) х + + К<х) = у и воспользуемся теоремой 2.6.1, положив в ней А = 1-Тоо. Ч. Т. Д.

Условие К (X) cz R (Л) предыдущей теоремы довольно ограничительно и иногда трудно проверяемо. Приведем сейчас вариант теоремы, в котором это ограничение снято. Однако взамен мы наложим условия, которые позволят нам воспользоваться теорией степени. Надо отметить, что эти условия нельзя считать наилучшими или наиболее естественными. Можно придумать много других условий.

Мы сформулируем весьма общий результат, но докажем здесь лишь один частный случай, используя для этого теорию степени. Справедливость утверждения для общего случая можно установить, следуя доказательству теоремы 4.1.4.

Пусть X, К— банаховы пространства и А; Х-> У — непрерывное линейное отображение, которое является фредгольмовым с индексом /^0, т. с.

ядро кегЛ = Х1 имеет размерность d < оо;

образ R(X) = K1 замкнут в У и имеет коразмерность d*=d-L

Запишем разложения в прямые суммы

Х = Хх^Хъ y=yi®y2 = Qy©(/-Q)y,

где Q — оператор проектирования в У на подпространство У!

2.6.2. Теорема. Пусть К*. X ->У — нелинейное компактное отображение, для которого существуют такие положительные константы /?0 и е, что

||Q^(x)|| = o(||x||) при ||х|| —>оо;

(/ — Q) К (х, + х2) ф 0 для х^Хь х2гХ2, если llxjl^^, ||х2||<е||х1||;

(iv) отображение (I — Q)K(xO сферы IIArt || =/?0 в И2\ {0} гомотопически стабильно нетривиально, т. е. все надстройки над этим отображением нетривиальны (в случае d* = d это означает, что в начале координат степень нашего отображения не равна нулю).

Тогда

Для всякого yQ^Yx уравнение

АхА-Ккх)=Уо(2.6.2)

имеет решение.

То же самое верно для всякого yo^Y, если при этом К удовлетворяет еще условию (в котором х = хх + х2)

(ш3) || (/ — Q) К(х) ||-> оо при || х || -> оо, если || х2|| < е|| хх ||.

Доказательство для случая d* = d. Заметим прежде всего, что (Ь) следует из (а) и что в обоих случаях достаточно рассмотреть у^ = 0. В самом деле, как легко видеть, отображение Кокх) = К {х) — у0 удовлетворяет условиям (п^), (iii2), (iv) с некоторыми другими константами Ro, е и потому уравнение Ах + Kokx) = 0 имеет решение. Так что нам надо лишь доказать утверждение (а) для у0 = 0.

Применив операторы Q и I — Q к уравнению Ах + Ккх) = 0, мы видим, что оно эквивалентно системе

Ах2 + QK Ui 4- х2) = 0,к1~О)Ккхл+х2)=0.

Введя обозначение z = Ах2 е R (Л), мы получим, как и раньше, систему

z + QK(xy + A-xz) = 0,(I-Q^Cxy + A-'z^O.

Поскольку Хх и Ц — Q)Y = У2 имеют одинаковую размерность d, существует линейный изоморфизм В: X;->Y2. Поэтому, положив Вхх = у2> мы можем переписать нашу систему в виде

z + QK(B"’i/2 + Л-1г) = 0,(/-9)^(5-^ + Л"‘г) = 0.

Левые части этих уравнений можно рассматривать как результат применения к точке у = z-V у2гУ оператора вида /+С, где С — компактный оператор, действующего в пространстве У. А именно

С (2 + у^ = К (в 1у2 + Л ^z^ — у2.

Мы утверждаем, что в некотором достаточно большом шаре || у ||^ R степень этого оператора определена. Действительно, предположим, что уравнения (2.6.3) имеют решение у, для которого || у || = 7?, при сколь угодно большом R. Тогда, как видно из первого уравнения (2.6.3) и из свойства (iiii),

1|2||<0(||у2|Г+1|2||)

и, следовательно, 1|2|| = 0([|у2||).

Ясно, что если 7? достаточно велико, то второе из уравнений (2.6.3) выполняться не может, ввиду (ш2).

Предыдущие рассуждения показывают также, что для деформации

( zA-tQK^y^A-'z),

Ft (У) = S/11 \ 01,

( (7 — Q)/<(В~ у2 +/Л~ z),

мы имеем Ft^^O при больших ||у|| = 7? и 0 ^/^ 1. Поэтому степень

deg (Л, || у\\ ^R, 0)

не зависит от L Отображение FQ — это просто отображение 2 + Уг 2 + (7 — Q) К (в-'у^.

Это отображение представляет собой произведение отображений (фактически это надстройка), и его степень равна сте-

пени конечномерного отображения (/ — Q) К (в""1^) вначале координат. Поскольку В — изоморфизм, эта степень равна + deg ((/ —- Q) К (X]), Нх^К^о, 0), и в силу условия (iv) она отлична от нуля. Следовательно, система (2.6.3) имеет решение, а значит, его имеет и уравнение (2.6.2). Ч. Т. Д.

Замечание. Если в пространстве (/ — Q) У = У2 имеется какое-нибудь скалярное произведение ( , ), то условие (iv) автоматически выполняется, коль скоро К удовлетворяет условию

<(/ — Q) К (xj, В^) 0 при || хх || = RQ.

Степень отображения (/— Q)R(xt) равна тогда ±1.

Упражнение. Докажите это.

Упражнение. Используя теорему 2.6.2, сформулировать и доказать теорему существования для эллиптической краевой задачи вида (2.5.7) в случае, когда indP = 0, но kerP^O.

2.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В этом параграфе мы приведем несколько вариантов классической теоремы о неявной функции. Наше изложение основано на материале книг Дьёдонне [21] и Ленга [22].

Пусть X и Y — банаховы пространства и f: X -> Y — непрерывное отображение, определенное на некотором открытом подмножестве в X. Будем обозначать через В (X, У) множество ограниченных линейных отображений X->Y.

Определение. Отображение f дифференцируемо {по Фреше) в точке х0 е X, если существует такое ограниченное линейное отображение А е В {X, У), что

II f (*о + и) — f (Хо) — Au II = о (г)

для (|и||<г при г->0.

Перечислим несколько свойств производной Фреше А.

Если производная А существует, то она единственна; се обозначают через fx(x0Y Df(x0) или f'UcQY

Если х0 |—> fх (х0) есть непрерывное линейное отображение из X в В^Х, YY то говорят, что f принадлежит классу С1. По индукции определяются отображения класса Ср, р = \, 2, ...; а именно, запись f^Cp означает, что П(Ор-^{хй) лежит в

В(Х, BU, .В(Х, У) ...)).

р

Композиция Ср-отображений есть Ср-отображение.

Если X и У — комплексные банаховы пространства, [/ — открытое множество вХи отображение f: U->Y дифференцируемо в каждой точке из U (при этом предполагается, что fx^ линейно над полем комплексных чисел), то говорят, что отображение f голоморфно на U. Можно показать, что если отображение f непрерывно, то f будет голоморфно тогда и только тогда, когда для любого непрерывного линейного функционала / на К и любого конечномерного подпространства S в X функция у* of голоморфна на S.

Если X и Y — вещественные банаховы пространства, то отображение f вещественно-аналитично в U, если оно является сужением на U голоморфного отображения некоторой окрестности множества U в комплексификации пространства X на комплексификацию пространства Y.

Лемма. Если отображение f; X->Y принадлежит классу Сх и компактно в некоторой окрестности точки х0, то Df (xj) есть компактное линейное отображение X —> Y.

Доказательство. Если бы отображение Df (х0) было не компактно, то существовала бы такая последовательность (xz), II II < 1, и такое число е > О, что

|| Axi — Axj || > 8 > 0 для всех I и /.

Выберем достаточно малое д > 0 так, чтобы

II / (х0 + dxz) — f (х0) — bAxt II < ed/4.

Тогда

у > II f Uo + 6xZ) — f Uo + ^Л ~ ^i + 6Axi II

|| bAxt - Mxj || -1| f (x0 + dxz) - H^o + dxz) || >

de —1| f (x0 + dxz) — f (x0 + dxz) ||,

или

|| f (x0 + 6xz) — f (x0 + dxz) || > ed/2,

но это противоречит компактности f. Ч. T. Д.

Мы часто будем пользоваться интегральной теоремой о среднем значении; если f g С1 на выпуклом открытом множестве U, то для любых двух точек х, х' е U

1

f (х') - f (X) = $ ^ f (tx' + (1 - t) X) dt = о

1

= \fx Wx' + (1 — 0 *) dt (х' — х).

о

г Мы докажем теорему о неявной функции при помощи принципа сжимающих отображений, который утверждает, что если имеется полное метрическое пространство (X, d) и если непрерывное отображение f: Х->Х является строго сжимающим {строгим сжатием), т. е.

d(fW> Ну))5^^^, у), О<0< 1 для всех х, у из X, то f имеет единственную неподвижную точку.

Теорема о неявной функции1). Пусть X, ¥ и Z —банаховы пространства и f — непрерывное отображение открытого множества Ua XXY в Z. Предположим, что f имеет производную Фреше fx{x, у) по х, которая непрерывна в U. Пусть (х0, уо)^Й и f (х0) уо) = 0. Если А = fx (х0> Уо) — изоморфизм пространства X на Z, то

существует шар {у ||| у — у0 II < Л = Вг (Уо) ^ единственное непрерывное отображение и: ВДу^-^ X, такие, что

и (у0) = Хй и ^и (у), у) Я 0;

(И) в случае когда f принадлежит классу С\ и^ тоже принадлежит классу С1 и

ии ку) = — Цх («(у), у)]-1 ° fti ku ky), у);

в случае когда f принадлежит классу Ср, р> 1, и {у) тоже принадлежит Ср.

Доказательство. Мы можем считать, что хо = О, уо = О. Уравнение f {х, у) = 0 можно записать в виде Ах = Ах—f {х, у) = = R{x, у), или

x = x — A-xtkx, y) = A-1Rkx, y) = gkx, у)-

Мы покажем, что при некоторых подходящих г, 6 > 0 для каждой фиксированной точки у ^ Вг (0) отображение g{x, у); Вд(0)->Вб(0) является строгим сжатием. Поэтому для каждой нашей фиксированной точки у найдется единственная точка х = и{у) в шаре Вб(0), для которой g{u{y), у) = = и{у), или

tkukyY у) = 0-

Выберем такое е > 0, что е|| А-11|< V2- (Отметим, что ограниченность оператора А-1 следует из теоремы о замкнутом графике.) Покажем сначала, что || R kxi, у) — R кх2, у) ||^ ^еЦх]—х2Ц для точек Xt, принадлежащих некоторому шару

В В формулировке Крэндалла и Рабиновича [23] (см. стр. 339).

В6 (0), и у е 6Г (0). Имеем

R to, y^—R to, у) = ^i — Лх2 — U to, у) — f to, у)) =

= А (х, — х2) —= А (х, — х2) —1x^1 +(1 — 0*2, y)dt to™ *2) =1x^1 +(1 — 0*2, y)dt to™ *2) =1= 5 ^* (°’ 0) — ^х^Х1 + (1 — 0 *2, у)] dt to — х2\1= 5 ^* (°’ 0) — ^х^Х1 + (1 — 0 *2, у)] dt to — х2\

= А (х, — х2) —

= А (х, — х2) —

1x^1 +(1 — 0*2, y)dt to™ *2) =

1x^1 +(1 — 0*2, y)dt to™ *2) =

1

= 5 ^* (°’ 0) — ^х^Х1 + (1 — 0 *2, у)] dt to — х2\

1

= 5 ^* (°’ 0) — ^х^Х1 + (1 — 0 *2, у)] dt to — х2\

Поскольку производная fx непрерывна, можно выбрать такие г, б > О, что

IIfx(O, 0)-fxto у)1Кв

коль скоро || х |К б, || у || < г. Тогда

IIR to, у) — Rto, у) IKе||xj — х21|

И

II S’to, y) — g(x2, У) II ОII А""1 IIIIX) — xJKylto — х |J.(2.7.1)

Это показывает, что g^x, у) является строго сжимающим по х^Вб^ отображением для каждого фиксированного у^ВДОУ

Покажем теперь, что g (х, у) является отображением Вб(0)->Вб(0), если точка у заключена в подходящем шаре. В силу непрерывности g(x, у) в точке (0, 0), при достаточно малом г > 0

ИЖ у) IK 4 6

и выполняются неравенства (2.7.1). При этом

Uto y)IKU(o, y)ll + 4ll*IK6.

Значит, согласно принципу сжимающих отображений, для всякой точки у е Вг (0) существует единственная точка х, которую мы обозначим через м(у), такая, что

Цх|К6 И f (и(у), у) = о.

Непрерывность и(у}. Пусть ух, у2^ВД0\ Тогда

Ци(У1) —«(Уг) 11 = 11 ^(«(У1), У1) —^(«(Уг), Уз) IK

<U(«(yi), У1) — ^(«(Уг), У1)П + и(и(у2), У1) — ^(«(Уз), Уг)1К

<4'1“— «(У2)Н + Н(«(У2), У1) —^(«(Уг), Уг)!!,

ИЛИ

IIИ (У1) — И (У2) IK 2II g (и (у2), у^ — g (и (у^, у2) ||.

Ввиду непрерывности g по переменной у, правая часть этого неравенства стремится к нулю при ух->у2* Отсюда вытекает непрерывность и(,у\ Тем самым доказано утверждение (i).

Чтобы доказать (ii), рассмотрим такие у + бу, что IIУ + бу IX г, и положим би = и {у + бу) — и (у). Так как и (у) непрерывно в шаре ||у||^г, то би->0 при бу->0. Далее, в силу дифференцируемости f,

|| f (и {у + ду), у + ду) — f (м (у), у) — fx (и (у), у) дм —

-fy(H(y), у)ду||<8(||ду|| + ||дм||)

для любого заданного е > О, коль скоро норма ||ду|| достаточно мала, т. е.

|| L (и(у), у) дм 4- fy ки (у), у) ду ||< е (IIду II + II дм II). (2.7.2) Поскольку fx(M(y), у) —> f х (О, 0), а [/х (0, О)]-1 ограничено, ТО [fx(H(y), у)]-1 существует и ограничено при достаточно малых || у ||. Из (2.7.2) следует поэтому, что

II би + [fx («(У), У)Г* fy (и (у), У) буII < Се (|| ду || +|| дм ||), где С — некоторая константа. Положим, х) = \^х(щ^у\ у)]-1 • •!Ди^у\ У) бу. Тогда

II би + и IX Се (||бу || + II 6м + ^ || +1| и ||).

Выбрав е>0 настолько малое, что Се > х[ъ мы найдем, что для подходящих констант Сн С2 > О

II би + X) ||< гСх (|| бу II 4- II У II )< еС21| бу ||.

Это показывает, что отображение и имеет в точке у производную Фреше:

Ну (у) = - [fx (н (у), у)]-1 fy (н (у), У).(2.7.3)

Ясно, что если f принадлежит С1, то правая часть последнего равенства непрерывна по у и, значит, и^^С1. Далее, если feC2, то правая часть равенства (2.7.3) принадлежит С1, а потому и е С2. По индукции получаем, что и е Ср. коль скоро f е Ср. Ч. Т. Д.

Следствие. Если f есть Ср-отображение, р^1, некоторой окрестности точки х0 е X в У, причем fx (х0) — изоморфизм на У, то найдется такой шар {у I Ily — уо IX г) == Вг (у0), где У^ = ! (-to), в котором существует единственное Ср-решение

х = и (у) уравнения f (и (у)) = у0, удовлетворяющее условию х^и (у0).

Доказательство. Положим в предыдущей теореме F (х, у)= -f^-y и Z = Y. Ч.Т. Д.

Имеется полезное глобальное обобщение этого результата, принадлежащее Адамару:

Теорема (типа теоремы о монодромии). Пусть f является С1 -отображением банахова пространства X в банахово пространство Y. Предположим, что для всякой точки х ^ X существует fx^xy"x и нормы всех этих обратных отображений ограничены некоторой константой. Тогда f — гомеоморфизм X на Y.

Это —теорема 1.22 из книги Шварца [1]. Мы опустим ее доказательство.

Замечание. Если X, Y и Z — комплексные банаховы пространства и / — голоморфное отображение XX Y->Z, то решение уравнения f (и (у), у) = 0 тоже голоморфно. Действительно, это решение получается при помощи принципа сжимающих отображений, как предел последовательности итераций, каждая из которых голоморфна. Поэтому и предел голоморфен. То же самое верно для вещественно-аналитических функций в случае, когда X, Y и Z — вещественные банаховы пространства. Для доказательства надо перейти к их комплексификациям.

Часто используется следующая форма теоремы о неявной функции.

Теорема. Пусть f (х, у) — такое Ср-отображение, р^1, некоторой окрестности точки (0, 0) пространства XXY в банахово пространство Z, что

/ (0, 0) = 0;

RUO, 0) = Z;

kerfx(O, 0) = X, обладает замкнутым дополнительным подпространством Хч в X, т. е. X является прямой суммой Х = Хх®Х2.

Тогда для любых х1 е Хь Ito |К2д, и у е У, ||у ||^г, где 6, г > 0 достаточно малы, существует единственное Ср-решение x2 = uto, у) уравнения

f to + х2, y) = f(xt+uto, у), у) = 0, удовлетворяющее условию и^, 0) = 0.

Доказательство. Положим K^^iX^, т. е. y — fo, у), и применим теорему о неявной функции к отображению G (х2, у^

= f (xi + х2, У\ которое переводит некоторую окрестность начала координат пространства Х2 X Y в пространство Z. Ч. Т. Д.

Конструкция Ляпунова — Шмидта. Имея дело с теорией бифуркаций, мы будем часто прибегать к следующей конструкции.

Пусть X, Л, Y — банаховы пространства (Л — это пространство „параметров"). Пусть f(x, X) есть Ср-отображение, р^1, некоторой окрестности точки (х0, Хо) из XXX в У, поичем f (х0, Хо) = 0. Мы хотим изучить множество решений уравнения

f (х, К) = 0

вблизи точки (х0, Хо). В предположении, что оператор fx (х0, Хо) фредгольмов, эта задача при помощи конструкции Ляпунова — Шмидта сводится к задаче решения некоторого конечного числа уравнений. Итак, мы принимаем следующие

Предположения, (a) ker fx (х0, Хо) = Хх имеет конечную размерность;

(b) Rfx (х0, Хо) = У, — замкнутое подпространство в У конечной коразмерности.

Мы можем считать, что (х0, Хо) = (0, 0). Разложим У в прямую сумму: У = У1ФУ2, где <ИшУ2<оо, и пусть Q — соответствующий этому разложению оператор проектирования на Ур Разложим также X в прямую сумму: X = Х]®Х2. Применив к уравнению f (х, X) = 0 операторы Q и / — Q. мы получим эквивалентную систему уравнений:

Q(f(x, Х) = 0,

V-QWx, А))=0.

Применив, далее, теорему 2.7.3 к отображению

Q/(x1+x2, X): ^Х№ХЛ)->УЬ

мы видим, что в окрестности нуля существует единственное решение x2 = u(xv, X) уравнения

Qf (х, + u (Х], X), X) = 0.

Следовательно, x1 + n(xi, X) является решением уравнения f (х, Х) = 0 тогда и только тогда, когда

a-QH (Ч + «(Ч, X), X) = 0.(2.7.4)

Поскольку область значений оператора I —Q конечномерна, уравнение (2.7.4), которое называется уравнением бифуркации, представляет собой систему из конечного числа

„обычных" уравнений. Если при этом пространство параметров Л тоже конечномерно, то локальное изучение уравнения f (я, Л) = О сводится к изучению конечного числа уравнений с конечным числом неизвестных.

2.8. СТЕПЕНЬ ЛЕРЭ-ШАУДЕРАИЗОЛИРОВАННОГО РЕШЕНИЯ.

ИНДЕКС

Пусть X — банахово пространство, Q с X — ограниченное открытое множество, ф: Q -► X, ф ^ 0 на 5Q, ф е С1 (й) и отображение К = 7—ф компактно. Предположим, что хоей- изолированное решение уравнения ф (х0) = 0 и что отображение А = фх (х0) = 1 — Кх (х0) обратимо. Пусть, далее, Ве(х0) — шар радиуса е > 0 с центром в х0, выбранный так, что в Ве (х0) нет других решений уравнения ф(х) = 0. Существование такого шара гарантируется теоремой о неявной функции. Согласно лемме 2.7.1, оператор Т = Кх^х^ компактен. Можно вычислить степень deg(ф, Ве(х0), 0). При 0<е<е0 эта степень не зависит от е; она называется индексом отображения ф в точке х0.

Рассмотрим множество (А) вещественных собственных значений оператора Т, которые превосходят 1. (Ясно, что 1 не является собственным значением, так как по предположению оператор I — Т обратим.) Для каждого такого собственного значения А обозначим через пх его кратность:

пх = dim ( U ker (AZ — Т)р>).Хр-1/

То, что пх конечно, — это факт теории линейных компактных операторов Лерэ — Шаудера.

8.1. Теорема (Лерэ — Шаудера). При сделанных выше предположениях

deg (ф, Ве (х0) 0) = (-1)0, р = £ пх.

Теорема основывается на соответствующем результате для конечномерного случая (см. замечание 1 ниже)

Замечания. 1. Если А — вещественная невырожденная матрица в R" и Т = I — А, то

sgn det А = (-1 )в,р = £ пх (Г),

где сумма берется по всем вещественным собственным значениям матрицы Г, которые превосходят единицу.

Этот факт в свою очередь опирается на следующий факт:

Если Хо является вещественным собственным значением матрицы Т: Rn->Rn кратности т, то для малых е>0

sgn det ((X + е) / - Г) = (- l)w sgn det ((Хо - е) 7 - Л-

Утверждение замечания 2 несложно доказать, используя то, что

det (Х7-Л = П(Х-Х/)^,

где X/ — все собственные значения матрицы Т (включая и комплексные), а /Пу — соответствующие кратности.

Замечание 1 следует из замечания 2: надо рассмотреть sgn det (V —Л ПРИ больших значениях X, а потом положить Х->1.

Доказательство теоремы. Можно считать, что хо = О. Деформация (1//)К^х), 0</^1, переводит К в Г, и легко видеть, что deg (/ — /<, Ве, O) = deg(7 — Г, Ве, 0). Разложим наше пространство в прямую сумму X = XV®X2) где ^—подпространство, натянутое на все обобщенные собственные векторы отображения Т (т. е. Хх = U ker (X/ — ТУ, X > 1), а Х2— подпространство, инвариантное относительно Т. Тогда, в силу свойства произведения степеней, deg(7-Г, Ве, 0) =

= deg ((/ - Л 1Х1, 58 (] Хь 0) • deg ((7 - Л 1Хг, Ве П Х2, 0).

Далее, на Se П ^2 отображение I — T можно продеформиро- вать в тождественное отображение при помощи деформации 1 — IT3 0^/^1, поскольку при O^/^l, х2^Х2 равенство (7 —/Г)х2 = 0 влечет за собой х2 = 0. Таким образом, в силу замечания 1,

deg^-T, В6, O) = deg(/-T)lZl. 5еП^, 0) = (-1)6.

Упражнение. Пусть Q и ф те же, что и выше, и пусть G — связное открытое множество в X \ ф (5Q), состоящее только из регулярных значений отображения ф, т. е. для произвольной точки yeG отображение фх(х) обратимо в любой точке х из Ф-1(у). Докажите, что /г (у) —число точек в прообразе ф"1 (у) — постоянно на G.

Глава 3

Теория бифуркаций

Пусть / — отображение некоторой окрестности точки л0 пространства X в банахово пространство У, и пусть f (х0) = 0. Мы хотим изучить множество решений уравнения

/« = 0.

При такой степени общности в постановке вопроса нельзя надеяться на то, что удастся сказать многое. Даже в конечномерном случае эта задача черезвычайно сложна; классическая алгебраическая геометрия занимается частным случаем, когда f является полиномом.

Часто рассматривают уравнение

f^ Ь) = 0, в котором / дополнительно зависит от одного или нескольких параметров X. Бывает, что при данном X решения х(А,) образуют „хорошее” семейство, но с изменением параметра при некоторых критических значениях Л это семейство может исчезнуть или разбиться на несколько ветвей (отсюда и название „бифуркация” ]). Известным примером такого рода служит задача теории упругости о лежащем на столе прямом стержне, который сжимается силами, приложенными к его концам. Если силы малы, то стержень сохраняет свою прямолинейную форму —- единственным (локально) решением уравнений упругости является тривиальное решение. Но когда силы возрастают, они достигают некоторого (первого) критического значения, после чего стержень может выгнуться.

В этой главе при помощи развитых выше методов мы будем изучать локальные решения при целом ряде дополнительных предположений. (В § 3.4 мы приведем также один глобальный результат.) Обычно мы будем предполагать, что f (х) принадлежит классу Ср, р^1, и что рассматриваются банаховы пространства над полем вещественных чисел (в случае пространств над полем комплексных чисел мы не станем

!) В переводе па русский — разветвление. — Прим. ред.

предполагать, что f голоморфно). Кроме того, мы обычно предполагаем, что отображение f фредгольмово, т. е. что кег/х(х0) имеет конечную размерность

V(3-0Л)

R U (хо) = У1 есть замкнутое подпространство в У конечной коразмерности.

В случае, когда образ незамкнут, известно очень мало.

ЛЕММА МОРСА

Обратимся сначала к простейшему случаю У)=У. Теорема 2.7.3. о неявной функции говорит нам, что в некоторой окрестности точки х0 множество f”1 (0) образует d-мерное подмногообразие класса Ср, проходящее через х0.

Если У1 =/= У, то, несколько вольно, мы будем называть нашу задачу задачей бифуркации. Следующим по простоте является случай, когда

codim У, = 1,

. е. когда У। = Vy ^ У | У* (у) = 0}, где у* — некоторый непрерывный линейный функционал у* ^ 0, у* е У*. Можно считать, что х0 = 0. Как мы видели в п. 2.7.4., локальное изучение уравнения f (х) = 0 сводится тогда к изучению единственного уравнения бифуркации:

у*Цхх + и(х^ = 0, х^Х„(3.1.1)

Здесь X разложено в сумму X = Хх фХ2 и и: Хх-> Х2 — некоторая функция класса Ср. Уравнение бифуркации представляет собой, таким образом, одно уравнение относительно d неизвестных.

Однако даже для одного уравнения множество решений может быть очень сложным. Рассмотрим одно уравнение:

F (х) = 0,

где F есть С^-функция, р^2, определенная в некоторой окрестности начала координат пространства R^, причем F (0) = = 0. Если Fx^#=0, то, как мы видели, множество решений уравнения F^ = 0 вблизи начала является Ср-гиперповерх- ностью (т. е. поверхностью размерности d — 1).

Следующий характерный случай:

F (0) = 0, Fx (0) = 0 и матрица вторых производных Ехх(0) невырожденна, (3.1.2)

. е. начало координат — невырожденная стационарная точка функции F. Именно к этой ситуации относится

Лемма Морса. Если функция Fv^Cp, р^2, удовлетворяет условию (3.1.2), то существует локальная Ср~2-замена координат у(х), определенная в некоторой окрестности начала координат, удовлетворяющая условиям у (0) = 0, ух (0) = / и такая, что

F^^i(Fxx^y^, у^ вблизи начала.

В этом случае множество решений уравнения F (х) = 0 анализируется очень просто. В частности, имеет место

Следствие. В условиях леммы, если d = 2, а квадратичная форма (Fxx (0) у, у) индефинитна, то вблизи начала координат множество решений уравнения F (х) — 0 состоит из двух Ср~2-кривых, которые пересекаются только в начале координат (при р > 2 трансверсально).

В общем случае, при d > 2, если матрица Fxx(0) индефинитна, то множество решений уравнения F(x)=0 имеет вид искривленного конуса:

В следующем параграфе мы будем применять лемму Морса при изучении задачи бифуркации; идея ее применения к задачам такого рода принадлежит Дейстермату. В самом деле, ясно, что, коль скоро мы сможем найти подходящую замену переменных, приводящую некоторое нелинейное уравнение или систему из конечного числа уравнений F (х) = 0 в пространстве Rd к нормальным формам, решения которых легко исследуются, мы сможем описать и структуру решений исходной системы. Поэтому, в частности, в теории бифуркаций должна быть очень полезна теория устойчивости отображений Тома — Мэзера.

Докажем теперь обобщенную лемму Морса, которая взята нами вместе с доказательством из работы Л. Хёрмандера [24] (лемма 3.2.3).

.1 Л. Обобщенная лемма Морса. Пусть Р(х,у),хг^, у е R\ - вещественная Ср-функция, р^2, в некоторой

Л. Ниренберг

окрестности точки (0, 0) с Fx (О, 0) — О и невырожденной матрицей Q = Fxx (О, 0). Тогда в надлежащей окрестности начала координат существует Ср-функция х^ с х(О) = О, удовлетворяющая уравнению

Fx^, у)^О,(3.1.3)

и существует такая Ср~2-функция £(х, у), принимающая значения в Rd, вида

£ = х — х (у) + О (I х — х (у) |2), что

Р^у^РЩруН^куАЛХ (3.1.4)

sds Q (у) = Fxx lx=x (#)•

Следствие. Если ^(О, 0) = О, а матрица Q(O) индефинитна, то для каждой точки у, близкой к началу координат, множество решений уравнения F (х, у) = О представляет собой (d — \умерную поверхность класса Ср-2 всюду, кроме, возможно, точек х = х(у), для которых F кх^у\ у^ = О\ в этих точках поверхность может иметь коническую особенность.

Доказательство. Существование решения х (z/) уравнения (3.1.3) гарантируется теоремой о неявной функции. Заменив переменную х на х — х^у\ мы можем считать, что Fx(0, у)^0 для у, близких к началу координат.

Будем искать £ в виде

£ = R (х, у) х,

где R — подлежащая определению матрица размера d X ^, удовлетворяющая условию R (0, у) = /. Должно выполняться уравнение (3.1.4), т. е.

Х^РЖуШ, x) = F(x, y) — F(0, у),где R* — матрица, сопряженная к R. Записав равенство1

F (х, y^-F^, у^Арфс, y^dt О

и проинтегрировав по частям, получим

1

F (х, у) — F (0, у) = j (1 — Й (Fxx (tx, у) х, х) dx =

О

= 4 (S (х, у) х, х),

где

1

в (х, у) = 2 (1 — /) Fxx {tx, у) dt.

О

(Отметим, что матрица В симметрична.) Итак, нам надо найти такую матрицу R, для которой

ВЖМ = 1Цх, у>>(3.1.5)

и R (0, у) = I.

Мы установим существование решения уравнения (3.1.5), воспользовавшись теоремой о неявной функции. В точке х = О имеем В (0, у) = Q (у), и R = I удовлетворяет здесь уравнению (3.1.5). Производная Фреше отображения R*Q(y)R в этой точке является линейным отображением

R^RW + QW)R.

Это отображение представляет собой отображение на пространство симметричных матриц. Действительно, если S — произвольная симметричная матрица, то 7? = yQ~J^ удовлетворяет соотношению R*Q + QR = S. Отсюда по теореме 2.7.3 о неявной функции следует, что уравнение (3.1.5) имеет в окрестности точки (0, 0) решение класса Ср“2. Ч. Т. Д.

Замечание. Из приведенного доказательства ясно, что предположения регулярности, в частности регулярности относительно у, можно ослабить. Ясно также, что если функция F принадлежит классу С°° или аналитична, то х(у) и ^(х, у) будут такими же.

ПРИМЕНЕНИЯ ЛЕММЫ МОРСА

Рассмотрим обсуждавшийся выше случай, когда отображение f удовлетворяет условиям (3.0.1) с хо = О, a codim У\ = 1, т. е. когда существует такой функционал y*^Y*, у*#=0, что ^=Ь^У|/й/) = о}.

Теорема. Предположим, что отображение f, как и выше, принадлежит классу Ср, где р^2, а его сужение на Хх удовлетворяет условию

симметричная дХй-матрица У*1ХхХх^ невырожденна и индефинитна.(3.2.1)

Тогда в некоторой окрестности начала координат множество решений уравнения f (х) = 0 образует искривленный конус размерности d — \ с вершиной в начале. В частности, при

d = 2 это множество состоит из двух Ср ^-кривых, пересекаю- щихся только в начале координат (трансверсально, если р>2\

Ясно, что если матрица y*fXlX1(O) дефинитна, то локально единственным решением уравнения f (%) = О будет х = 0.

Доказательство. Как мы уже отмечали, уравнение f(x) = O эквивалентно уравнению бифуркации (3.1.1):

F (Xi) г у*1 (Х) + х2 (xj) = 0.

Мы получим всё что нужно, применив к F ^ лемму Морса. Нам надо только проверить, что выполняются условия этой леммы, а именно что

FXl(0) = 0,

00 ^хЯ-УХхЯ-

Чтобы в этом убедиться, вспомним, что хЛх^ получалось как решение уравнения

Qt а^ + х2 М) = 0, х2 (0) = 0.

Дифференцируя его, находим

9/х(0)(ч + х2Х1 (0)^ = 0.

Поскольку fx (0) Xi = 0, a Q есть проекция на R (fх (0)), то мы видим, что

Ь(0)х2х,(0)*1 =0-

А поскольку fx (0) — изоморфизм на Х2 и х^ (0) xv е Х2, отсюда вытекает, что x2je (0) хх — 0, т. е. что

x2xi(0) = 0.(3.2.2)

Следовательно, ввиду того что z/7X1(0) = 0,

fVi№ = 8-U,<0). ч.т.д.

'. Замечание. В случае когда в теореме 3.2.1 d = 2, а р^З, из леммы Морса и равенства (3.2.2) вытекает, что в начале координат касательные к нашим двум кривым лежат в плоскости Xi и потому направления и этих касательных удовлетворяют уравнению (у*fXvXvW ^^ v) = 0.

Применим теперь теорему 3.2.1 к ситуации, которая часто встречается в теории бифуркаций. Рассмотрим отображение f(x, К)^СР, р^Х) которое переводит некоторую окрестность

точки (0, Ло) пространства X X R в банахово пространство У и для которого

НО, М = 0.(3.2.3)

Определение. Точка (О, Ло) называется точкой бифуркации отображения /, если каждая ее окрестность в XXR содержит некоторое решение (х, Л), х=И=0, уравнения

f (х, Л) = 0.

Во многих задачах f удовлетворяет условию

f (0, Л) = 0.(3.2.3')

Из теоремы о неявной функции следует, что в этом случае если fx(0, Ло) есть изоморфизм X на У, то (0, Ло) не является точкой бифуркации.

Теорема. Пусть f (х, Л) есть Ср-отображение, р^2, некоторой окрестности точки (0, Ло) из X X R в Y, и пусть f (0, Ло) = 0. Предположим, что

k(0, Л0) = 0;

ker fx (0, Ло) представляет собой одномерное подпространство, порожденное вектором х0;

Rfx(O, Л0)^У1 имеет коразмерность 1;

0v) fu(0, Ло)^Уi и fxx$> ^о)хо^ Yi-

Тогда (0, Ло) является точкой бифуркации отображения f. При этом множество решений уравнения f (х, Л) = 0 вблизи начала координат состоит из двух Ср~2-кривых Fi и Г2, пересекающихся только в точке (0, Ло). Далее, если р > 2, то

кривая Г! касается оси Л в точке (0, Ло) и потому может быть параметризована с помощью Л:

(х(Л), Л), |Л — Л0|<е;

кривая Г2 может быть параметризована с помощью переменной s, | s | ^ е:

(sx0 + x2(s), Л (s)), где х2 (0) = х^ (0) = 0, Л (0) = Ло.

Замечание. В случае когда f удовлетворяет условию (3.2.3х), кривая ?! совпадает с осью Л. Этот результат был получен рядом авторов с использованием теоремы о неявной функции. См., например, теорему 1 в работе Крэндалла и Рабиновича [23].

Доказательство. Можно считать, что Л0 = 0. Положим X = XXR и Н*> M = tU\ Тогда fJ0MxWWY Из условий (i) и (ii) следует, что ядро ker f, (0) порождается векторами (х0> 0) и (0, 1) и потому двумерно. Пусть у*^0 —

линейный функционал, аннулирующий подпространство Кр Мы утверждаем, что / (х) удовлетворяет условиям теоремы 3.2.1. Нам надо проверить только выполнение условия (3.2.1). Рассматриваемая 2 X 2-матрица имеет, в очевидных обозначениях, вид

X* °Л

6/М». о)/

Из условия (iv) вытекает, что нижний диагональный член равен нулю, а внедиагональные члены отличны от нуля. Значит, detQ<0 и поэтому матрица Q является невырожденной и индефинитной.

Применив теорему 3.2.1, мы убеждаемся в существовании наших двух кривых Гь Г2. Предположим теперь, что р^З. Тогда эти кривые принадлежат классу Ср"~2 и пересекаются в точке (0, 0) трансверсально. Для завершения доказательства теоремы нам остается только показать, что одна из этих кривых касается в начале координат оси X. Но это следует из замечания 3.2. Г и того, что р7и(0, 0) = 0. Ч. Т. Д.

Вот одно очень простое приложение наших результатов к нелинейной эллиптической краевой задаче.

Пусть G — ограниченная область в R" с гладкой границей. Рассмотрим следующую краевую задачу для вещественной функции и:

f (и, X) = Ам — Xg (и) —0 в G,нормальная производная — = ам на 6G;

здесь а —некоторая константа и g(0) = 0. Предположим, что gz(0)^0. Линеаризованная на м = 0 задача имеет вид

fu(O, A,) rz = Au — A,grz (0)/г = 0 в G,

= ам на 6G.дп

Пусть Хо — какое-то собственное значение этой задачи, причем соответствующее нуль-пространство порождается некоторой функцией ф (т. е. одномерно). Линеаризованная задача самосопряжена, и поэтому образ R/u(0, X) —это множество элементов ф, ортогональных в L2 функции ф. Поскольку (W0, Мф, ф) = — (^(0)ф, ф) И ^(0)^=0, то

f «х (0, Хо)ф Ф Ур

В силу предыдущей теоремы, мы можем сделать такой вывод:

Точка (О, Хо) является точкой бифуркации. Фактически существует однопараметрическое семейство нетривиальных решений (scp + wXs), X(s)), |s|^e.

Тот же самый результат остается справедлив, если заменить указанные выше краевые условия на условия Дирихле и = 0 на dG.

В качестве приложения обобщенной леммы Морса 3.1.1 можно вывести следующую теорему.

Теорема. Пусть f(x, X) есть Ср-отображение, р^2, некоторой окрестности точки (0, 0) пространства X X R в У. Предположим, что

НО, 0) = 0;

ker/x(0, 0) = Ai имеет размерность d> 1;

Rfx(O, 0) = У1 имеет коразмерность 1;

Ы0, 0)5 7,;

kx(0, О)хо^У1 для некоторого х^^Хх.

Тогда точка (0, 0) является точкой бифуркации отображен ния f. Рассмотрим, далее, разложения Хх=^ах^®Х\ и Х = {ах^®Хх®Х2 = РхХ®РхХ©Р2Х, где А, Р'ь Р^-соответствующие проекции. Тогда для каждого {малого') элемента Хх е Х\ множество решений уравнения f {х, К) в окрестности начала координат, удовлетворяющих условию

Р,хх = х,р

состоит из двух Ср~2-кривых. При р^й для каждого фикси* рованного хх эти две кривые либо трансверсально пересекаются, либо выглядят как две ветви гиперболы.

Упражнение. Докажите эту теорему.

ТЕОРЕМА КРАСНОСЕЛЬСКОГО

В гл. 4 своей книги [3] Красносельский дает общее достаточное условие для того, чтобы данная точка была точкой бифуркации; рассмотрения ведутся в рамках компактных операторов. Хотя ниже мы приведем более общий результат, представим сначала результат Красносельского.

Пусть X — банахово пространство и f{x, ^ — отображение с областью определения D с: X X R и множеством значений X. имеющее вид

Нх, ^ = X — (ро + ^Гх4-g (х, Х\

Предположим, что

р0 =/= 0 и (0, р0) г D;

Т — линейное компактное отображение Х->Х;

g(xs Л) — нелинейное компактное отображение из D в X;

g (О, Л,) = 0 и g (х, Л) = о (|| х ||) равномерно по X, | X | < е.

Мы хотим выяснить, когда точка (0, 0) является точкой бифуркации уравнения f (х, X) = 0.

Сразу видно, что необходимым условием является необратимость оператора I — ц07\ Действительно, если I — Цо? имеет ограниченный обратный, то по теореме о неявной функции решение х(Л) локально единственно и этим решением является х(Л)^0. (Это рассуждение не совсем корректно, потому что мы не предполагали никакой регулярности g. Однако легко проверить, что (0, А,) будет при малых 1 X | единственным малым решением уравнения / (х, Л) = 0, — для этого надо записать уравнение в виде х = (/ — ЦоЛ"-1 V^Tx — g (х, ^)] и оценить правую часть.) Таким образом, точка (0, 0) не будет точкой бифуркации.

Итак, для того чтобы точка (0, 0) была точкой бифуркации, необходимо, чтобы цу1 было собственным значением отображения Т.

Теорема (Красносельский). Предположим, что выполнены приведенные выше условия (1) —(4) и что 1/ц0 является собственным значением нечетной кратности отображения Т. Тогда (0, 0) есть точка бифуркации отображения f(x, Л).

Напомним, что кратность собственного значения цу1 —это

dim U ker (цу1/ — ту.

Доказательство. Предположим, что (0, 0) не является точкой бифуркации. Тогда для всякого достаточно малого е > 0 и всякого фиксированного и тоже достаточно малого X степень deg(f (х, X), ||х|Ке, 0) определена и не зависит от X. По теореме 2.8.1 при Aq > 0

deg (Цх, %,), INKe, 0) = (-1)8(М,

где р (Л) — сумма кратностей собственных значений отображения Т, превосходящих 1/(цо + ^)> а при Х2 < 0

deg(f(x, Х2), || х || <8, 0) = (-1)е(Ч

Разность Р(^2)"Р('М равна кратности собственного значения цу1. Поскольку эта кратность нечетна,

deg(f(x, Х2), ||х|Ке, 0) = — deg У (х, ^), ||х||<е, 0), а это противоречит тому факту, что deg(f(x, А), ||х||^е, 0) не зависит от X. Ч. Т. Д.

Примеры. 1. Если ц~^ имеет четную кратность, то заключение теоремы может не выполняться. Пусть X = R2, х —

( хх\

= I I. Рассмотрим уравнения

\ /

с ро=1- Здесь T = L Умножив уравнения на х2 и ^ соответственно и вычтя одно из другого, мы найдем, что х^ + xj=O, т. е. что Xt = х2 = О служит единственным решением. Значит, (0, 0) не является точкой бифуркации. В этом случае ker(/ — 7) = RJ и кратность собственного значения р0=1 равна 2.

Вот аналогичный пример в R2, в котором кег (/ — 7) = R1, кег (Z - 7)2 = R2:

х2 — AXj + х^ = 0,

—- Хх2 — х^ = 0.

/0 1\

Здесь / — 7 = I ^ у I. Как и раньше, находим, что всякое решение (хь х2) удовлетворяет условию х| + х^ + х^ = 0 и потому тривиально.

В ситуации, когда отображение g гладко и кратность т=1, теорема 3.3.1 является частным случаем теоремы 3.2.2. В этой ситуации в дополнение к тривиальной линии решений (0, X) имеется еще одна гладкая кривая решений, трансверсально пересекающая первую. Если т>1, то это может быть и не так. Рассмотрим пример в пространстве X = R3. Пусть 7 =/, Но = 1 и g не зависит от Л:

где и — отображение сферы S2 в R3, такое, что v(y) ± у для всякого у, и обращающееся в нуль только в одной точке — в северном полюсе. Если х^О — решение уравнения

— Лх + g (х) = 0,

то из условия g^ ± х видно, что Л = 0 и х = (0, 0, х3), х3 > 0. Таким образом, имеется нетривиальный отрезок решений вида (0, 0, х3), х3 > 0, Л = 0.

3.4. ТЕОРЕМА РАБИНОВИЧА

Рабинович [25] доказал следующую глобальную теорему, обобщающую теорему Красносельского.

Теорема. Пусть X —банахово пространство и Цх, р)— непрерывное отображение некоторой области G d X X R в X вида

f (х, ц) = (7 — цТ) х — g (х, ц),

удовлетворяющее условиям

Т — компактное линейное отображение из X в X;

g — нелинейное компактное отображение из G в X, такое, что g{x, р) = о(||х||) равномерно на всяком ограниченном интервале изменения р;

(0, ^)eG, где ро #= 0 и р™1 является собственным значением нечетной кратности отображения Т.

Обозначим через S замыкание множества нетривиальных решений {х, р) уравнения f {х, р) = О в G (т. е. решений с х^=0\ и пусть С — связная компонента множества S, содержащая (0, ро).

Тогда либо

компонента С не компактна в G {в случае G = XXR это означает, что она неограничена), либо

С содержит конечное число точек вида (0, рД где 1/р/ — собственное значение отображения Т; при этом число таких точек, соответствующих собственным значениям нечетной кратности {считая и точку (0, р0)), четно.

Доказательство, которое мы приведем, принадлежит Дж. Изэ. В нем используется следующая

Лемма (Изэ). Рассмотрим отображение f{x, р), удовлетворяющее условиям теоремы. Если р = ро + ^, где Х^О, и величина |Х| достаточно мала, то р-1 не является собственным значением отображения Т. Поэтому индекс I- отображения I — рГ в точке О

U — deg(/ —рГ, ||х||<г, 0), X < 0,

для достаточно малых г = г (X) определен и не зависит от г и от к То же можно сказать об индексе

Ц = deg(/ — рГ, |)х||^г, 0), Л > 0.

Зафиксируем малое г > 0 и рассмотрим в некоторой окрестности начала координат отображение X X R —> X X R, задаваемое равенством Нг(х, Х^ = (у, т), где

U — (Но + X) Т) х — g (х, ц0 + А) = у,

Цх||2 — г = х.

Для достаточно малых Ло, г > О

deg (Яг, ||х||2 + Х2<г2 + Х2, (О, 0)) = /-—/+.

Доказательство. Пусть Ло > О настолько мало, что в интервале [цо~^о, Но + ^о] одно только число ро является обратным к собственному значению отображения Т. (Напомним, что ненулевые собственные значения компактного отображения изолированы.) Как и в предыдущем параграфе, обратное отображение \1 — (р,0 =ЬЯо)Л-1 существует и ограничено, и если норма ||х I) достаточно мала, то единственным решением х уравнения

V" (но±МЛ*~ ёЦс, |1о±Ло)=О(3-4.1)

служит X = 0.

Мы утверждаем, что при малых значениях г уравнение НДхэ Л)=(0, 0) нс имеет решений, удовлетворяющих условию ||х||2 + Л2 = г* + Л2. В самом деле, если (х, Л) — такое решение, то Л = ± Ло, а при малых г единственным решением уравнения (3.4.1) является х = 0.

Рассмотрим деформацию (0^/^1)

Н^х, X> = W, V),

у1 = U — (Но + А) Т) х — tg (х, Цо + X),

V = Ц|| х ||2 - г2)+ (1-/)(Х^-Х2).

Как и выше, степень deg (Я^ (х, X), || х ||2 + | X |2 ^ г2 + X2, (0, 0)) корректно определена (т. е. на границе нет решений). Следовательно, эта степень не зависит от t. При / = 0

Я? (х, X) = (/ - (ц0 + Л) Г, ^ - X2).

Если Я?(х, Х) = (0, 0), то X = ± Хд и х = 0. Поэтому единственными решениями будут (0, Хо), (0, — Хо). Далее, производная Фреше отображения H°r(x, X) в точке (0, X) равна

DH, (0, X) (х, X') = ((/ - (но + X) Г) х, - 2ХХ').

Это — произведение отображений, и потому степень в точке Л = Ло равна — Z+, а в точке X = —Ло равна 1-. Следовательно, полная степень равна —/+. Ч. Т. Д.

Доказательство теоремы Рабиновича. Предположим, что компонента С компактна в G. Вспомним, что единственной возможной точкой сгущения собственных значений компактного отображения является нуль и потому на всяком конечном интервале в R имеется лишь конечное число чисел, обратных к собственным значениям. Следовательно, С содержит не более конечного числа точек вида (0, ру), / = 0, ..., к, где р"1 — собственное значение отображения Т. Пусть Q—такое открытое множество в XXR, содержащее С, на границе dQ которого нет нетривиальных решений (х, р), х #= О, уравнения f (х, р) = О и которое не содержит никаких других точек вида (0, р), где р-1 — собственное значение оператора Т._

Пусть г > 0. Рассмотрим отображение 1Дх, р): Q->XXR> задаваемое формулой

1Дх, ц) = (/(х, ц), II X II2 —г2).

Для него определена степень deg (fr(x, ц), й, (0, 0)), потому что на границе 5Q нет ненулевых решений уравнения f(x, р) = 0, а для нулевого решения 0 = ||х||<г. Далее, эта степень не зависит от г. Если значение г велико, то у уравнения 1Дх, р) = 0 нет решений в Q и потому его степень равна нулю. С другой стороны, для малых г, если (х, р) удовлетворяет уравнению fr(x, р) = 0, то ||х|| = г и, следовательно, как и раньше, значение р близко к одному из ру, / = 0, 1, ..., к. (Действительно, если это не так, то отображение (/—рГ)-1 ограничено и единственным решением уравнения f (х, р) = 0 является х = 0, что противоречит условию ||х|| = г > 0.) Но тогда равна нулю сумма локальных степеней отображения fr в окрестностях точек ру. По лемме 3.4.2 имеем

к

o-Z(z- (/)-м/)).

/-0

Поскольку /+ (/) — (—-1)т/ i- (/), где т; —кратность ц7, то отличны от нуля лишь члены этой суммы, соответствующие нечетнократным jx/? а если сумма нечетных слагаемых равна нулю, их самих должно быть четное число. Ч. Т. Д.

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КРАСНОСЕЛЬСКОГО

Как было многими отмечено, при помощи конструкции Ляпунова — Шмидта теорему Красносельского можно значительно обобщить. В частности можно высвободиться из рамок компактности; при этом вместо теории степени отображения Лерэ —Шаудера используется теория степени отображения в конечномерном случае.

Материал этого параграфа взят нами из работы Изэ [26]. К ней примыкает также работа Дэнсера [27].

Пусть X — банахово пространство с нормой || || над полем А вещественных или комплексных чисел, и пусть Хо — линейное подпространство в X, полное относительно некоторой нормы || ||о, такой, что || ||0>|| ||. Тогда вложение Х^с^Х является непрерывным. (Типичный пример: X — пространство функций Нт, р, а Хо — некоторое подпространство более регулярных функций.)

Мы хотим исследовать вблизи начала координат уравнение

(A — ^x — G^x, А) = 0.(3.5.1)

Здесь А —- непрерывный линейный оператор, переводящий Хо в X, a G(x, ^ — функция класса С1 *), определенная в некоторой окрестности начала координат пространства Хо X А и принимающая значения в X. Предположим, что выполнены условия

||G(x, Х)|| = 0(11x11^ + 1 А, Г), где р —-некоторое число (мы уточним его ниже, см. формулу (3.5.7'));

А представляет собой фредгольмов оператор нулевого индекса, т. е.

dimkerA = q < оо,

R(A) замкнуто и имеет конечную коразмерность q*

нуль является собственным значением оператора А конечной кратности, т. е.

dim 0 кег А1 = т < оо.

9 Напомним, что в случае Л = С это не означает, что функция G голоморфна.

Здесь область определения оператора А1

D (А') = {х е Хо I Ahx (= Хо, /5 = 1,...,/—1}.

Теорема (Изэ). Предположим, что выполнены условия (1) —(3). Тогда в каждом из указанных ниже случаев начало координат (0, 0) является точкой бифуркации, т. е. у уравнения

(Д —Л)х —G(x, Х) = 0

вблизи точки (0, 0) имеются нетривиальные решения (х, к) х + 0.

Эти случаи таковы:

m нечетно-,

Л — поле комплексных чисел, и ^ = dimkerA = /;

ш четно, и функция G удовлетворяет некоторым специальным (но естественным) условиям').

Доказательство носит несколько технический характер; оно займет весь остаток параграфа.

Сведение к конечномерному случаю. Как и в конструкции Ляпунова — Шмидта, первый шаг будет состоять в сведении первоначальной задачи к конечномерной. Однако конечномерным пространством, которое мы теперь рассмотрим, будет не пространство Хх = ker А, а пространство

U ker Д'. /-1

Пусть п — первое число, для которого

Г = U ker А',

/=1

так что ker АА11 = ker Ап для А > 0. Запишем разложение

X0 = X1©Jf3, J3 замкнуто.(3.5.2)

Лемма. Пространство X допускает разложение в прямую сумму

Х = Х1®АХ^(3.5.3)

Доказательство. Пусть A'1=kerA. Имеем

Хх=Хх^Х2, так что Xo = Xi®X2®X3,(3.5.4)

причем dim Xj =5/, dim^2 = m — У- Далее, образ КД порождается подпространствами АХ2 и АХ3. Мы утверждаем, что на самом деле он является их прямой суммой:

RA = AX2®AX3.(3.5.5)

Чтобы это установить, достаточно убедиться, что АХ2 П Л^3=0. Предположим, что х2 г Х2, х3еХ3 и Ах2 = Ах3. Тогда х2 — х3 е Xv. Но из нашего разложения (3.5.4) следует, что х2 = 0, х3 = 0. Тем самым разложение (3.5.5) установлено.

Отображение А: Х2->АХ2 взаимно однозначно, и поэтому dim АХ2 = m — q. Поскольку коразмерность образа ИЛ в X равна q, из формулы (3.5.5) следует, что коразмерность подпространства АХ3 в X равна tn. Но Xх имеет размерность пг. Итак, для доказательства формулы (3.5.3) остается лишь показать, что

Х1ПЛ^3 = {0).

Предположим, что Ах3 е X1 для некоторой точки х3 е Х3. Из нашего определения подпространства X1 вытекает, что Л"+1х3 = 0, а из того, как мы выбрали п, следует тогда, что Л"х3 = 0, т. е. что ХзеХзЛХ1. Таким образом, х3 = 0. Ч. т. д.

Лемма дает нам возможность расщепить отображение А на два:

А: Хх->Х\ А: Х3->АХ3,

причем второе из них взаимно однозначно. В силу теоремы о замкнутом графике это отображение А: Х3-*АХ3 имеет ограниченное обратное. Теперь мы можем уже свести нашу задачу к конечномерной. Пишем х = х’ + х3, х'еХ1, х3еХ3. Пусть Q — проекция в пространстве X на ЛХ3, ассоциированная с расщеплением (3.5.3). Поскольку (Л —^х'еХ1, уравнение (3.5.1) эквивалентно системе

Q (Л - %) х3 = QG (х* + х3, Л),

(/ - Q) (Л - X) х* = (/ - Q) G (х1 + х3, X) + X (I - Q) х3.

В силу того факта, что отображение А: Х3->АХ3 имеет ограниченное обратное, первое из этих уравнений имеет вблизи начала координат единственное решение x3 = x3(x1, А), х3(0, 0) = 0 —по теореме о неявной функции. Тем самым задача исследования уравнения (3.5.1) сведена к конечномерной задаче исследования уравнения

(Л-М^=(^--9)С(х1 + х3(х1, X), X) + ^(Z-Q)x3 = G(x1, X).

(3.5.6) Легко проверить, что

б(х\ Ю^О^хЧРо + ^П-(3.5.7)

Значение р. Уточним теперь значение р в формулировке теоремы 3.5.1. На подпространстве Xх — обобщенном нуль- пространстве оператора Л—этот оператор нильпотентен: Лп=0,

Поэтому, выбрав в Jl1 подходящий базис, мы можем привести Л |Х1 к канонической жордановой форме, скажем с q = = dimkerX жордановыми клетками размера къ ..., kq соответственно. Положим

k = max kt и возьмем

р = 2&+ 1.(3.5.Г)

Замечание. Это значение р является оптимальным. Рассмотрим следующий конечномерный пример в пространстве Rm. Пусть матрица А состоит из одной жордановой клетки:

т. с.

х2 — ^хх = 0,х3 — Хх2 = 0,

Хт ^Хт-Х — 0,

-Xxm = \xt f + l^r.

Таким образом, р = 2/г. Выразив х2, ..., хт через хх, найдем, что х2 = Хх1, х3 = Х2хх, ..., хт = Xm~xxx, и последнее уравнение дает

|2 + k|2m.

Это уравнение имеет единственное решение хх = 0, X = 0.

Доказательство теоремы 3.5.1. Мы свели нашу задачу к конечномерной задаче (3.5.6) с функцией G, удовлетворяющей условию (3.5.7). С этого момента мы будем работать только с конечномерными пространствами. Поэтому мы можем предположить, что Х = Х‘ имеет размерность m и что Д является нильпотентным оператором в X, ап — наименьшее целое число, для которого Л“ = 0.

Выбрав в X подходящие координаты, мы можем привести А к нормальной жордановой форме, скажем с q клетками размера kx,..., kq соответственно. Занумеруем выбранные координаты специальным образом:

здесь х — следующий вектор-столбец, который мы для удобства запишем здесь в виде вектора-строки:

X — (Хх, ..., Х2, . .., Xq, .. .) =

= (хр Хр . . ., Х[1 , х2, х2, ..., х?2 , ..., xq, Xql ..., хч Таким образом, ядро кегД порождается векторами, у которых все координаты, кроме, быть может, координат хь х2, • • • >^> равны нулю. Уравнение (3.5.1) состоит из q блоков; /-й блок имеет вид

Xх, — Хх, = g* (х, X),

х^ — Ах) = g^ (х, А),

;(3.5.1/)

х^'1 - Цг2 = g^r' (д, А).

-Цг’ = ^х, А)

В силу равенства (3.5.7') и условия (1), каждая из функций gj удовлетворяет соотношению

g^x, )^ = ОЦхН\?Лт^,(3.5.7")

где k = max kj.

В рассматриваемом сейчас конечномерном случае мы можем доказать теорему 3.5.1 в более сильном варианте, в котором в большей степени используется специфический вид жордановой формы. Именно, покажем, что заключение теоремы остается в силе, если вместо условия (3.5.7") выполнено условие

g‘(x, Х) = О(1х12 + ^16+г+1),(3.5.8)

i— 1, ..., kf, /= 1, ..., q.

Чтобы доказать это, продолжим нашу редукцию, сведя задачу в пространстве ХХЛ к задаче в пространстве XiXA, где Xi = ker А. В силу теоремы о неявной функции суще- ствует решение редуцированной системы из ^ (kj — 1) уравнений, состоящей из первых к, — 1 уравнений каждого блока, / = 1, ..., q, дающее выражение координат xj, i = 1^_р

i = l, ..., q, через xt, ..., х,. Из рассмотрения этих уравнений ясно, что для / = 1, ..., q

xj-X^ + Oaxf + IAM,^ — V^ + Oaxf + IAIW),

хкг' = ХкгЧ} + о( | х |2 +1 Л |fe+V).

Таким образом, для / = 1q последнее уравнение в /-м блоке принимает вид

= gj (хь ..., xq, Я),(3.5.9)

где функции gj удовлетворяют соотношениям

(3.5.8')(3.5.8')£/ = о(£|х;12 + |Я|6+*/+1).

(3.5.8')

(3.5.8')

Мы свели нашу систему к системе (3.5.9) из q уравнений относительно неизвестных хь .xq> X. Теорема 3.5.1 вытекает теперь из приводимой ниже теоремы, в которой мы используем обозначение (^ , .. ^xq = х< Ч. Т. Д.

Теорема. Пусть X— пространство R^7 или С7, Л — пространство R или С и кь kq — неотрицательные целые числа, причем k = max kj > 0. Пусть, далее, gj (х, Л), / = = 1, ..., q,— такие Сх-функции, определенные в некоторой окрестности начала координат пространства А X Л и принимающие значения в Л, для которых выполнены соотношения (3.5.8х). Рассмотрим при г > 0 систему

X^Xj — g, (х Л,) = 0,

I 12 A l =(3.5.10)

| х |2 — г = О,

Если значение г > 0 достаточно мало, то эта система имеет вблизи нуля решение в каждом из следующих случаев;

tn = 22 h; нечетно-, 1

Л = С и q = 1;

m = 22 к/ четно и при некотором /, скажем при j = q, выполнены условия; kq> 0, a gq имеет вид

Едкх,Ц = ХНДх,Х\(3.5.11)

где ^еС1 и hq = О (| х |2 = | % ]fe+ 6»).

Замечание.. Утверждение для случая (с) следует из утверждения для случая (а). Действительно, заменив в (с) уравнение Xk4xq-gqf = Q на Kkq-xXq-hq = Qt a kq на k'q = kq-\, мы придем к:ак раз к случаю (а). Возвращаясь к нашей большой системе (3.5.1 у), / = 1, ..., q, мы видим, что если S"^ ~ функция вида

гк^.вС1, /г‘« = О (| ^ р +1Л Iе"1"*.),

то редуцированная система (3.5.10) удовлетворяет условиям (3.5.11). Это и есть те условия на класс функций G, которые мы упомянули в пункте (с) теоремы 3.5.1.

Оставшуюся часть параграфа займет доказательство теоремы 3.5.3.

Доказательство в случае A = R. Пусть F (х, ^ = (у, т) — отображение некоторой окрестности начала координат пространства R^7 X R в R^7 X R, заданное следующим образом:

(3.5.12)(3.5.12)У) = ^i ~ §7 К Ч / = 1, . • •, q, т — | х |2 — г2.

(3.5.12)

(3.5.12)

Мы утверждаем, что для некоторой достаточно большой константы Л4 и для всех достаточно малых г > 0 определена степень

deg (F, | х |2 + | X |2 < г2 + MW, 0),

т. е. что у уравнения F (х, X) = 0 нет решений на границе. Действительно, предположим, что (х, ^) является таким решением. Тогда Л, = ±7Иг1^. Далее,

^^^-О^/Г-НХГ1), / = 1, q.

Возводя в квадрат и суммируя, мы найдем

Г2 = о^^х~2ч wazwY

или, поскольку Л = ±Мг№,

1 < ^Сг2 £ (Mr'/*)"26/] + СМ^гуи.

Мы можем выбрать настолько большое (не зависящее от г) М, что первый член в правой части будет меньше У2. Зафиксировав это М, мы можем затем подобрать г настолько малое, что второй член тоже меньше '/2- В результате мы приходим к противоречию.

Рассмотрим теперь деформацию (0^^^ I)

(^iXj — tg^x, X), Kj^q,

L (1 x I2 - г2) -и 1 - 0 (MW — [ X |2).

Как и выше, нигде на границе мы не получим значения нуль. Поэтому степень не зависит от /. При t = 0 наше отображение имеет вид

F^x, К) = (кк'хь ^iXq, М2гук — К2\

Прообразами нуля являются точки (о, ± Мг1,к\ Матрица Якоби отображения F (х, X) имеет вид

^ О

так что

S ьл-хdet JF (х, X) = - 2Х'-‘= - 2Хт+.

Итак, точки (о, ±Л1г№) являются регулярными точками нашего отображения и якобиан в этих точках равен —2 (±Z0)m+1. Значит, если пг нечетно, то наша степень равна —2 и мы имеем нетривиальное решение. (Отметим, что при четном пг степень равна нулю.) Ч. Т. Д.

Доказательство в случае Л=С. В комплексном случае мы будем рассматривать систему

^i = g, = О (I | xt |2 + | Л \bi+fe+v\ j = l, .... q,

| х |2 — г2 = О

как систему 2q + 1 вещественных уравнений относительно 2^ + 2 вещественных неизвестных. Как и выше, мы убеждаемся, что эта система не имеет решений на границе области

S = (|x|2 + |A|2<r2 + MW}

р. £2д+1 ^ Ц2^р. £2д+1 ^ Ц2^при подходящем большом М и всех достаточно малых г > 0. Следовательно, отображение F (х, ^ = ^у, т) некоторой окрестности начала координат пространства С7 X С в C’XR, задаваемое формулами (3.5.12), отображает 3D в (С7 X R) \ {0}. Будем рассматривать его как отображение

р. £2д+1 ^ Ц2^

р. £2д+1 ^ Ц2^

*\{0}.

Мы не можем здесь воспользоваться теорией степени отображения, а нам надо показать, что гомотопический класс этого отображения в R27+1\{0} нетривиален.

Как и раньше, мы можем продеформировать наше отображение на dD в отображение

(х, Т^ОЛхь ..., Xkqxq, M^-XX’f).(3.5.13)

Рядом деформаций, описание которых мы на минуту отложим, переведем это отображение на dD в отображение

(х, Л) (Ль х2, ..., xqi | хх |2 -1 X |2), пг = £ kv (3.5.14) Воспользуемся теперь результатами, установленными в § 1.8. Если пг = 1 и <7=1, то это отображение есть не что иное, как взятое со знаком минус отображение Хопфа ф(г, X) (см. (1.8.1)), отображающее S3 в S2. Последнее же гомотопически нетривиально. При пг > 0, q > 1 наше отображение является 2 (</— 1)-кратной надстройкой над (—/п)-кратным отображением Хопфа

1 \ {0};

оно нетривиально тогда и только тогда, когда значение пг нечетно. В случае q = 1 надстройка не делается и потому ото-

бражение нетривиально всегда, независимо от четности т. Этим исчерпан случай (Ь). (Для этого случая, т. е. для <7=1, в работе Изэ содержится более сильный результат.)

Чтобы завершить доказательство, мы должны показать, что на dD отображение (3.5.13) можно продеформировать в отображение (3.5.14) по пространству отображений C’XR в (C^XR) \ {0}- Построим допустимую деформацию отображения (3.5.13) на dD в отображение

(х, Х^ ^хХ) ..., xV2xq_2, ^-^чх.-х, xq, M2r2lk -1 X |2).

(3.5.15)

Повторяя такие деформации, мы получим отображение

(х, Х)<-> (Xmxb х2х„, Л42г2/6 — | X |2).

Наконец, произведя деформацию

(х, X), ^ ^Хх, х2, ..., х„, /1X! |2 4- (1 - /) MW -1 X |2),0</< 1,

при t = 1 получим желаемое отображение (3.5.14). Отметим, что если для некоторого / в некоторой точке (х, X) на dD мы имеем (х, Х)(=0, то х2 = ... = xq = 0 и либо X, либо х, равно нулю. Если X = 0, то | х1 |2 = г2 + M2ryk и, значит, последняя компонента у (х, Х\ не может обращаться в нуль, Аналогично, если Х]=0, то | X |2 = г2 +/И2г2/* и снова последняя компонента отлична от нуля.

Деформация отображения (3.5.13) в (3.5.15) осуществляется в два этапа. Сначала мы строим деформацию, при которой меняются только (7—1)-я и q-я компоненты:

(х, X), <->

(. . ., (1 - 0 X^Xq-x - tXq, tXV^Xq-x + (1 - о Xk<IXq, • )

(0^/^1). При /=1 это дает отображение

(х,Х)^(...,-х„ X%-^xq-x, •).

Если мы теперь произведем деформацию

(^> ^/) ^^

^(...JxV^x.-x-^-iV,, (l-OxVi+^-Hx,, •) (0^/^1), при которой опять меняются только (^—1)-я и q-я компоненты, то при ^=1 получим желаемое отображение (3.5.15). Ч. Т. Д.

Упражнение. Докажите, что указанные деформации допустимы.

Ясно, что в некоторых отдельных случаях приведенное доказательство может пройти и при более слабых условиях, чем условия (1) и (3.5.8). Кроме того, теорема остается справедливой и при значительном видоизменении этих условий.

Упражнение. Докажите теорему 3.5.1, предполагая, что вместо условия (1) выполнено условие

(Г)IIG(x, Л)1| = 0(||x||“+ |ХГ6),

где

а > 1 и Ь> —.а — 1

При таких же а и b докажите более сильный вариант для конечномерного случая, в котором условие (3.5.8) заменено условием

g^x, ^ = O(\x\a+\K\b+t), Z= 1, .... &„; /=1, q.

Наконец, докажите теорему 3.5.3 с условием (3.5.8х), замененным на условие

5/= о((5 |xz|2J + |Z|6+ftJ.

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

Решение х0 нелинейного уравнения f (х) = 0 можно рассматривать как стационарное решение уравнения

— = х = f (х),

в которое входит время I. При этом представляет интерес вопрос о том, является ли наше решение устойчивым или нет. А именно, если мы слегка возмутим значение х0, заменив его на Xo + 6xo, то интересно знать, будет ли решение х (t) задачи Коши х = f (х), х (0) = х0 + бх0 (в предположении, что она является корректно поставленной) близко к х0 при всех / и будет ли оно стремиться к х0 при /—>оо. Некоторые сведения об этом можно получить, рассматривая линеаризованную задачу

бх = fx (х0) бх.

Если спектр оператора fx(xQ) лежит слева от мнимой оси, то решение бх экспоненциально убывает при /~>оо. В этом случае говорят, что решение х0 уравнения f(x) = O (линейно) устойчиво. Если у спектра есть точки в правой полуплоскости,

то решение называется (линейно) неустойчивым. В данном параграфе мы будем заниматься (линейнсй) устойчивостью и неустойчивостью решений некоторых задач бифуркации.

Некоторые примеры бифуркации. 1. Пусть G — ограниченная область в R" с гладкой границей. Рассмотрим в Q задачу Дирихле для функции и(х)

(А — ц) и = и2 в G, и = 0 на 6G.

Собственные значения оператора А суть ... ^ ц2^ Hi < Цо < О, где ц0— простое собственное значение, которому соответствует положительная собственная функция и0- Согласно результату, который мы получили в качестве приложения теоремы 3.2.2, точка (0, ц0) является точкой бифуркации этой задачи. Фактически множество решений (и, ц), близких к (0, ц0), состоит из тривиальной прямой (0, ц) и аналитической кривой

(ц(з), ц (s)) = (su0 + м2 ($), h(s))>(«(0), ц(0)) = (0, ц0),

где «2 е Х2 — пространству функций из С” (G), /^-ортогональных к и0.

Мы хотим исследовать поведение решения (h(s), h(s)) вблизи точки s = 0. Если мы положим ц — ц0 = Л (s) и продифференцируем уравнение

Аи = (А — цо) и = Хи + и2

по s, то с учетом равенства й = м0 + й2, найдем, что

Ай2 (0) = 0.

Значит, й2(0) = 0, и й(О) = ыо (как мы Уже знаем из теоремы 3.2.2). Продифференцировав еще раз, получим, что й(0) = й2(0) и при s —0

Ай^ = 2%й + 2м2 = 2%«о + 2и§.

Возьмем скалярное произведение членов этого равенства на «0 (в пространстве А2). Считая, что («о, По)=1, и принимая во внимание, что оператор А самосопряжен, а Ид 1 R (Л), находим

2Х (0) + 2 j и® dx = (Ли2, и0) = 0. о

Отсюда следует, что X (0) < 0. Ситуация представлена на рис. 1,

2. Пусть в такой же, как и раньше, области G рассматривается задача Дирихле

(А —- р,) и = и3 в G, и = 0 на dG.

Здесь опять имеется аналитическое семейство решений:

(«(s), n(s)) = (s«o + «2(s), p(s)), ц = ц0 + Л(х).

Проделав такие же выкладки, как и выше, получаем

X(O) = Z(O)=O,Л(0) = —2 ^u^dx.

а

Эта ситуация представлена на рис. 2.

Мы хотим выяснить, будут ли эти ветви решений (линейно) устойчивы. Для этого мы рассмотрим вообще вопрос

об устойчивости тех ветвей кривых решения, существование которых было установлено в теореме 3.2.2 (при р^З)1). В этой теореме мы получили две Ср-2-кривые решения: (х (s) = sx0 + х2 (s), X (s)) и (х = <р (а), Л = а), причем ф (0) = = ф (0) = 0. Здесь нуль является собственным значением оператора fx (0, 0), и нас интересуют спектры операторов /x(-v(s), Ш) и ШфМ, о\ Предположим, что, за исключением собственного значения, лежащего вблизи нуля, весь остальной спектр этих операторов лежит в левой полуплоскости.

Определение (Крэндалл — Рабинович). Пусть То и К — ограниченные линейные отображения X -> У, где X, У — банаховы пространства. Число р.о называется К-простым собственным значением отображения Тй1 если 1) ker (Го — р0К>

’) Наше изложение основано на работе Крэнцалла и Рабиновича [28]. См. также статью Сэттингера [29]. Последний исследовал устойчивость целого ряда задач в своей книге [9].

является одномерным подпространством, порожденным, скажем, вектором х0; 2) R(70 — р.0К) замкнуто и имеет коразмерность 1; 3)

Замечание. Если X = Y, К = 1 и То компактно, то утверждение, что р,0 есть /-простое собственное значение отображения То, эквивалентно утверждению, что у,0 есть его простое собственное значение.

Лемма (Крэндалл — Рабинович). Пусть ц0 является {(-простым собственным значением отображения Т^. Тогда существует такое 6 > 0, что для всякого Т с ЦУ — ТоЦ < д существует единственное р(Т), являющееся {(-простым собственным значением отображения Т (в частности, ц(70) = р,0), причем ker (7 — р (7) К) порождается вектором х (7) = х0 + х2 (7), где х0 — вектор, порождающий ker (70 — цоЮ, х2 (7) е Х2, X = (spanx0)®X2l). Функции ц(7), х(7) единственны и аналитичны по 7.

Доказательство. Можно считать, что цо = О. Мы хотим установить существование решения уравнения

(7-ц(7)Д)х(7) = 0,

где х(7) = х0 + х2(7). Рассмотрим отображение

(7, r.x^^tT-rKHxo-Vx,)

(здесь г е R). По теореме о неявной функции у него имеется нуль для всякого 7, достаточно близкого к 70. Действительно, производная Фреше этого отображения по г и х2 в точке (70, 0, 0) равна

(6г, dx2) t—6гКх0 + Т0бх2.

Поскольку 0 является К-простым собственным значением отображения 70, эта производная будет взаимно однозначным отображением на всё Y. Согласно теореме о неявной функции, для 7, близких к 70, существует единственное аналитическое решение г (7), х2(7) уравнения (7 — г К) (х0 + х^ = 0, удовлетворяющее условию г(7о) = О, х2(7о) = О.

Теперь мы должны проверить утверждение леммы о единственности. Для малых д и г отображение 7 — гК, является фредгольмовым индекса нуль, и поскольку размерность нуль- пространства полунепрерывна сверху, то

dim ker (7 — г К) ^ 1.

*) Здесь span х0 — (одномерное) подпространство, порожденное вектором хд. — Прим. ред.

Мы знаем,, что (Г — г (Г) 7<) (х0 + ^2 (Л) = 0. Предположим, что при некоторых Т и г отображение Т — гК аннулирует некоторый вектор рх0 + х2 #= 0, х2 е Х2. Тогда

Т0*2 гР^О — (То — Т) (рх0 + х2) + гКх2.

Определяемое левой частью линейное отображение пространства X2®R является изоморфизмом этого пространства на У. Таким образом,

Ipr H-||x2||<C(||T-T0||(|p| + l|x2||)+lr|||x||2),

где С — некоторая константа. Из этого неравенства следует, что если 6, г достаточно малы, то Р #= 0, ибо в противном случае мы имели бы х2 = 0. Поэтому можно считать, что 0 = 1. Но тогда из того же неравенства следует, что норма ||х211 мала. Значит, вектор х0 + х2 близок к х0. В силу единственности малого решения г (7), х2(Т), гарантируемой теоремой о неявной функции, мы заключаем, что г = гУ\ х2 = х2У\

Наконец, тот факт, что К (х0 + х2 (Г)) ^ R (Т — ц (Т) К), мы предоставляем доказать читателю в качестве упражнения. ч. т. д.

Возвращаясь к нашим кривым решений, полученным в теореме 3.2.2, мы будем предполагать, что X — линейное подпространство в У и что соответствующее отображение вложения I непрерывно. Применим нашу лемму к случаю, когда То = fx (0, 0), a K = i. Тогда 0 является /-простым собственным значением оператора L(0, 0). Согласно лемме, существуют единственные функции ц(з) и со (з) = х0 + х2 (з) класса Ср~2, такие, что

L (х (з), Я (з)) со (з) = ц (з) со (з).

Аналогичным образом, вдоль второй ветви (ср (а), а)

L (ф (ст), ст) и (ст) = у (ст) и (ст),

где функции и (а) — х0 + х2 (ст) и у (ст) принадлежат классу Ср~2.

Теорема (Крэндалл — Рабинович). При сделанных выше предположениях у' (0)^0, а зЯ(з)у/(0) и р(з) имеют противоположные знаки и обращаются в нуль одновременно. Кроме того, если ц (з) ^ 0 при з ^ 0, то sX (з) у' (0)/р. (з) -> — 1 при з^-О.

Прежде чем доказывать эту теорему, применим ее к нашим примерам. В обоих случаях ст = Я, ср(ст) = О, fж (0, Я) и0 = = (А — (р0 + Я)) и0 = — Хщ. Таким образом, здесь у = — X и поэтому решение (0, Я) устойчиво при Я > 0 и неустойчиво

при X < 0. Заметим также, что V (0) < 0. В примере 1 при малых s мы имеем s > 0, i (s) < 0, V (0) < 0. Потому, согласно теореме, p(s)<0, что означает устойчивость.

При s<0 имеем i(s)<0, у'(0)<0 и, значит, p(s)>0, что означает неустойчивость. Мы получаем ситуацию, изо

браженную на рис. 3. Аналогичным образом, в случае примера 2 мы получаем ситуацию, представленную на рис. 4.

Доказательство. На ветви (X = a, х=ф(о)) с ф (0) = ф' (0)=0 имеем fxu(o) = у (о) я (о). Продифференцировав по а и положив о = 0, найдем, что /^(0, 0) и (0) + fx (0, 0)я'(0) =

= у'(0)«(0). Пусть у* ^= 0 — непрерывный линейный функционал на У, обращающийся в нуль на R/^ (0, 0). Применив этот функционал у* к выписанному выше равенству, получим

У, Lx (0, 0) Хо) = V (0) (у*, х0>.(3.6.1)

Выражение в левой части не равно нулю, так как /^(0, 0)х0 не принадлежит Rfx (0, 0). Поэтому у' (0) =# 0 и (у*, х0) ^ 0.

На другой ветви fx(x{s), X(s))®(s) = p(s) ©($). Продифференцировав равенство f (х (s), X (s)) = 0, найдем, что

f, (x (s), X (s)) x (s) + fx (x (s), X (s)) X (s) = 0.

Кроме того, x (s) = sx0 + x2 (s), x (0) = x0. Вычитание одного равенства из другого дает

fx (* (s), X (s)) (x (s) — to (s)) + к (x (s), X (s)) X (s) + ц (s) co (s) = 0.

Разложим fx (x (s), X (s)) и fx(x(s), Ms)) в ряды Тэйлора в окрестности точки s = 0 и подставим эти разложения в выписанное выше равенство:

fx (0, 0) (х (s) - со (s)) + О (1) (x (s) - co (s)) +

+ kx (0, 0) x (0) sX (s) 4- kx (0, 0) sX (s)2 + о (s) X (s) +

+ n(s)x0+n(s)O(l)=0.(3.6.2)

Вспомним, ЧТО X (s) — to (s) = x0 + x2 (s) — (x0 + x2 (s)) = x2 (s) — — ^2(s)s-^2- Далее, оператор fx (0, 0) имеет в X2 ограниченный обратный, и поэтому

||x(s)-to(s)IKC(|si(s)l + |p(s)l).(3.6.3)

Применим теперь функционал у* к (3.6.2). Воспользовавшись оценкой (3.6.3), получим

sX (s) <у\ кх (0, 0) х0) + ц (s) <у\ х0) = О (1) (| sX (s) +1 ц (s) |) и, значит, в силу (3.6.1),

(si (s) у' (0) + И (s)) ку*, х0) = О (1) (| sX (s) | +1 ц (s) |).

Отсюда легко следует утверждение теоремы. Ч. Т. Д.

Другое приложение. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

f (и, X) = й — h {и2 + й2) и + (1 — X) ы = 0

на интервале (0, л) с граничными условиями Дирихле и(0) = = и (л) = 0. Здесь h. (г) — вещественная С2-функция, определенная при г^0, с й(0) = 0.

Пусть X — пространство С2-функций на [0, л], удовлетворяющих тем же граничным условиям, и У = С [0, л]. Ясно, что ker fu (0, 0) порождается вектором «0 = sin t, a fuX (0, 0) 6u == = —би. Поэтому, /ых(0, 0)и0 не принадлежит R/„(0, 0). Следовательно, имеется бифуркационная кривая (u(s), X(s)). Легко видеть, что это кривая

и(s) = ssint, X^=h <s2)

Другой ветвью решений будет тривиальная ветвь (О, А), на которой у (А) = — А. Применяя нашу теорему, заключаем, что ц (s) и sA' (s) имеют при s ^ О одинаковый знак, т. е. что р(з) имеет при з ^ 0 тот же знак, что и /г(з2).

ЧИСЛО ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙНЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ

В данном параграфе мы излагаем результаты работ Амбро- сетти и Проди [30] и Бергера и Подолака [31]. В этих работах изучается эллиптическая краевая задача

Atz + f (и (х)) = у (х) в G, и—0 на dG, (3.7.1) где G — ограниченная область в R" с гладкой границей, а / — заданная выпуклая функция R -> R, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям. Наша цель состоит в том, чтобы установить, для каких функций у(х\ заданных в G, уравнение имеет решения и каково число этих решений.

Сначала мы докажем несколько общих функциональноаналитических результатов, заимствованных нами из работы [30] (с незначительными видоизменениями).

Определение. Множество М в вещественном банаховом пространстве X называется Ск-многообразием коразмерности 1, если для всякой точки иЙе М найдутся такая ее открытая окрестность U и такая вещественная С*-функция Г, заданная на U, что 1) Г'(но)¥=О и 2) МП11 = {и G U |Г(и) = 0}.

Предложение. Пусть М —замкнутое связное Ск-много- образие, 6^1, коразмерности 1 в банаховом пространстве X. Тогда множество Х\М имеет самое большее две компоненты.

Доказательство. Допустим, что Аь А2, А3 —такие открытые множества в X \ М (а значит, и в X, так как М з

замкнуто), что |jAi = X\M, АгПА/ = 0 при i j. Поло- 1 = 1

жим В{ = дАь Тогда Д ф 0, ибо если бы это было не так, то Ai было бы открыто и замкнуто, что означало бы, что Ai = X. Кроме того, Bt с= М.

У всякой точки и0^ М существует такая окрестность [7, что (7 f] (X \ Af) состоит ровно из двух компонент. Поэтому только два из множеств At могут иметь непустое пересечение с U. Значит, U П М может содержаться не более чем в двух из множеств В^.

Далее, если и0 е Bi и одна из двух компонент пересечения [/^(ХХА!) содержится в Аь то всякая граничная точка

пересечения U ПМ является граничной точкой множества Л; (т. с. принадлежит Д). Следовательно, граница Д открыта и замкнута в М и, значит, M = Bt. Но каждая точка и^^М принадлежит не более чем двум Вь Ч. Т. Д.

Пусть X и Y ■— вещественные банаховы пространства и ф — некоторое С^-отображение, 6^1, открытого множества Q из X в Y.

Определение. Точка хоей называется сингулярной точкой отображения ф, если ф'(х0) нс является изоморфизмом X на Y. Множество W сингулярных точек отображения ф называется сингулярным множеством} ф (IF) называется множеством сингулярных значений отображения ф.

Теорема. Пусть ф: Q-> Y — отображение класса С\ ^^2, и xoeQ. Предположим, что

фД^о) имеет одномерное ядро XV) порождаемое некоторым вектором и;

образ Ki отображения ^ ^х^ — замкнутое линейное подпространство в Y, аннулируемое линейным функционалом

линейный функционал F^ = у* (ф"(х0) (у, х)) на X не равен нулю тождественно.

Тогда в некоторой окрестности точки х0 сингулярное множество IF отображения ф является Ск-Х-многообразием коразмерности 1. Если, кроме того, мы потребуем, чтобы

(3') у* (ф" (х0) (у, у)) #= 0, то для некоторой окрестности U точки х0 множество ф(^ f)[7) будет (^^-многообразием коразмерности 1 в Y.

Точку х0, удовлетворяющую условиям (1), (2), (3'), будем называть ординарной сингулярной точкой отображения ф.

Доказательство. Можно считать, что х0 = 0. Заметим прежде всего, что для точек х, близких к 0, линейный оператор ф'(х) является фредгольмовым оператором с индексом нуль. Поскольку размерность Шшкегф' (х) полунепрерывна сверху, отсюда следует, что ядро кегф'(х) либо нулевое, либо одномерное. Кроме того, из теории операторов Фредгольма известно, что если ядро кег ф' (х) ненулевое, то оно порождается вектором, близким к у.

Запомнив все это, рассмотрим следующую задачу. Запишем разложения X = Хх ®Х2, Y = 7j фУ2; здесь подпространство У2 порождается некоторым вектором у2^ 0, и мы можем считать, что у*у2 = Х* Для х, близких к 0 в X, w, близких к 0 в Х2, и /, близких к 0 в R, разрешим уравнение

ф' W (у + ^) + ty^ = о

относительно w, /, выразив их как функции от х. (Немедленно проверяется, что здесь выполнены условия теоремы о неявной функции и поэтому существует единственное решение w^x\

Вблизи 0 критическое множество W представляет собой просто множество тех точек х, где / (х) = 0. Если мы продифференцируем наше уравнение по х в точке х = 0 и затем применим функционал у*, то с учетом того, что У* (ф'(0) я) = 0, у*у^ = 1, получим

/(ф"(0)(О, х)) + ^(0)х^0.

Поэтому, в силу условия (3), линейный функционал tx (0) не равен тождественно нулю и, следовательно, вблизи начала координат W является С^-многообразием коразмерности 1. Первое утверждение теоремы доказано.

Чтобы доказать второе утверждение, рассмотрим следующее отображение, определенное в некоторой окрестности U начала координат:

Ф (х) = ф (х) + у* (ф' (х) (у + W (х)) у2.

В силу нашего определения функции w(x\ имеем ф(х)=ф(х) на W П U. Дифференцируя, получаем

Ф' (0) х = ф' (0) х + у (ф" (0) (о, х)) у2.

Легко видеть, что, в силу условия (3'), ф'(0) является изо- морфизмом X на Y. Таким образом, по теореме о неявной функции, ф есть Ck~ ^диффеоморфизм некоторой окрестности начала координат пространства X на соответствующую окрестность точки ф (0) пространства Y. Следовательно, вблизи точки ф (0) множество ф (IF) = ф (IF) представляет собой ^“^многообразие коразмерности 1. Ч. Т. Д.

Следствие. Пусть й — открытое множество в X, ф: й—> —>Y — отображение класса C\ fe^2, и х0 г й — ординарная сингулярная точка отображения ф, для которой, скажем, у* (ф" (0) (у , у)) > 0. Если вектор y^^Y трансверсалей к множеству ф (IF) в точке у0 е ф (х0), где IF — сингулярное множество отображения ф, то существуют такая окрестность U точки х0 и такое 8ER, что

Му е (уо, уо + ey2L уравнение ф (х) = у имеет ровно два решения в U;

МУг(Уо> Уо-^У^Л» уравнение ф(х)=у не имеет решений в U.

Доказательство. Согласно нашей теореме, у х0 есть такая окрестность U, что Ф (IF П t7) является Ск"^многообразием

коразмерности 1. Положим # = #о + л#2, гДе Л — малое вещественное число. Можно считать (в обозначениях теоремы), что у*у2 = \, ^о = О, у0 = ф (х0) = 0.

Используя знакомую уже по п. 2.7.4 конструкцию Ляпунова — Шмидта, мы можем провести редукцию нашего уравнения. А именно, запишем х = х^ + х^ где хх = аи г ХХ) х2^Х2, и разрешим уравнение

TU1 + ^)=ЛУ2

относительно х2, что даст нам функцию x2(xi), а потом рассмотрим уравнение бифуркации

F (я) = У*Ф <та + х2 (av)) = т]и разрешим его относительно а. Как и в доказательстветеоремы 3.2.1 (см. формулу (3.2.2)),

^2Х,(О) = О,

и поэтому F (0) = F' (0) = 0, F"(0) = z/*(<p"(0) (а, а)) > 0. Сле- довательно, уравнение F (а) = ц при малых | л I > 0 имеет два решения при ц > 0 и ни одного при п < 0. Ч. Т. Д.

Приведем глобальный вариант этих результатов.

Теорема. Рассмотрим Ск-отображение, k^S, ф: Х->У, удовлетворяющее условиям*.

ф — собственное отображение, т. е. прообраз всякого компактного множества компактен;

сингулярное множество W отображения ф непусто, замкнуто, связно и состоит только из ординарных сингулярных точек;

прообраз каждой точки у^ф(Ц7) состоит из одной точки.

Тогда M = y(W) является замкнутым связным Ск-х-мно- гообразием коразмерности 1, а У \ М содержит ровно две связные компоненты Ао, А2, обладающие следующими свойствами:

для у е Ао прообраз Ф-1(г/) пуст;

для у е А2 прообраз Ф-1(#) состоит из двух точек.

Доказательство. Поскольку ф — собственное отображение, a U7 замкнуто и связно, то Л4 = ф(Ц7) замкнуто и связно. Далее, ввиду свойства (В) и теоремы 3.7.2, М представляет собой Ck~^многообразие коразмерности 1, а из свойства (С) вытекает, что ф есть гомеоморфизм W на М. В силу предложения 3.7.1, ¥\М состоит не более чем из двух компонент.

4 Л, Ниренберг

Все точки из Y \ Л1 являются регулярными значениями отображения ф, а поскольку ф — собственное отображение, отсюда следует, что всякая точка у е Y \ М имеет конечное число N^ прообразов. Далее, как легко видеть, функция N(у) локально постоянна, и, значит, для каждой компоненты множества Y \ М мы имеем свое N.

Чтобы найти это N, заметим, что для всякой окрестности U точки х0 е W существует такая окрестность V точки уо = ф(хо), что ср-1 (V) cz U. Действительно, в противном случае нашлась бы последовательность точек х„, отграниченная от х0, такая, что ф(х„)-*Уо- Поскольку ф — собственное отображение, некоторая ее подпоследовательность сходилась бы к точке и ^= хо, для которой Ф (и) = Уо — в противоречие с условием (С).

Поскольку х0 является ординарной сингулярной точкой, мы можем, воспользовавшись следствием 3.7.3, найти число локальных решений уравнения ф(х) = у для у, лежащих на отрезке прямой, трансверсальной к многообразию М в точке у0. Число этих решений равно нулю или двум в зависимости от того, по какую сторону от М лежит точка у. Ч. Т. Д.

Обратимся теперь к задаче (3.7.1). Предположим, что функция f удовлетворяет условиям:

f принадлежит классу С3 и является возрастающей функцией;

(и) г (0^0 и Г(0)>0;

lim f' (0 = /i, 0 < Ц < Л,;

t-> — ОО

lim V (0 = ^2, ^i < ^2 < Л2, /~> + ОО

где Л] и Л2 суть соответственно первое и второе собственные значения задачи Au — Ли = 0 в G, и\да = 0. В работах [30] и [31] предполагается, что f"^>0 и f (0) = 0, однако в доказательстве используется только условие (11).

Мы будем рассматривать у е Y = Сц (G) (относительно обозначения СИ(О) см. § 2.5), 0<ц<1, и искать решения и в пространстве

X = {ueC2+,x(G)|u = 0 на dG}.

Теорема. В пространстве Y существует такое замкнутое связное С1-многообразие М коразмерности 1, что Y \ М состоит ровно из двух связных компонент Ло, Л2, причем 1) если g г А0) то уравнение (3.7.1) не имеет решений; 2) если g е Л2, то оно имеет ровно два решения; 3) если g г М, то оно имеет ровно одно решение.

Амбросетти и Проди доказали эту теорему, показав, что отображение

qp (z/) = Ам + f («) пространства X в Y удовлетворяет условиям (А) — (С) теоремы 3.7.4.

В работе [31] Бергер и Подолак дали несколько иное доказательство. Они показали сверх того, что М допускает декартово представление. Следуя их изложению, с некоторыми изменениями в деталях, мы тоже установим этот более сильный результат.

Пусть н0(х) — собственная функция оператора А, соответствующая первому собственному значению ХР Будем считать, что ее Л2-норма равна единице, (м0, м0) = 1. Как хорошо известно, ио^#=О в G, и мы будем считать, что и0^>0. Известно также, что (А —Х1)Х = У1 состоит из тех функций в У, которые £2-ортогональны к и0. Для вещественных s и g^Ki докажем сначала существование решения и е Х2 = = {и е X | у ± м0} следующей задачи:

Ау + Pf (suQ + у) = g в G, у = 0 на dG. (3.7.2)

Здесь Р обозначает £2-ортогональную проекцию пространства Y на подпространство У^

Лемма. В Х^ существует единственное решение у(х) = = у (х, s, g) уравнения (3.7.2), принадлежащее классу С2 по переменным s и g. При фиксированном s соответствие у <-+ g является диффеоморфизмом Х2 на Yv.

Доказательство. Чтобы установить существование и единственность решения уравнения (3.7.2), воспользуемся теорией степени.

Сначала мы выведем априорную оценку решения у и докажем его единственность. Это делается при помощи неравенств

\m\<C + k\ul M^-f^y^l^u-u'V

Здесь С — некоторая константа. Предположим, что у является решением. Умножив уравнение (3.7.2) на у и проинтегрировав по частям, найдем, что (ниже у;- = dvjdxj)

2 || У/ |р = (у, f (sw0 + v)) — (у, g) <

'<||y||(C + /2|S| + /2||y||),

где С — некоторая другая константа, зависящая еще от g. Поскольку (у, w0) = О,

Уу/1Р^му112.

Отсюда получаем априорную оценку

llvIK^^tC-HsI/,).(3.7.3)

Прежде чем переходить к другим оценкам, докажем единственность. Пусть у' — решение для правой части, равной g'; положим w = v — x/. Тем же самым путем находим, что

А2II w II2С (да, f (SMO + у) — f (su0 + у')) + (да, g' — g) < <МИ12 + Н g' — 5II ИII

и, значит,

II да II = II у — o' IK х2-77" g — g'(3.7.3')

откуда и следует единственность.

Функция f растет не быстрее, чем линейно. Поэтому, имея оценку для || v ||, мы получаем из уравнения (3.7.2) также априорную оценку для

II Av II-

Применение результатов п. 2.5.3 дает нам априорную оценку для

Е |||.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой вложения Соболева, приведенной в том же пункте, и вывести (зависящую от размерности п) оценку для 1Ы1^ при некотором ^>2 или для | и |б, 0<d< 1, т. е. оценить у в некоторой гёльдеровой норме. Но отсюда следует, скажем в первом случае, что || f (v) П^ не превосходит некоторой константы. На основании результатов 2.5.3 мы заключаем, что ||v||£r не превосходит некоторой константы при r>q и т. д. Повторяя эти рассуждения некоторое конечное число раз и выводя каждый раз улучшенную оценку для V, мы получим в конце концов, что

IV 12+ц <^(1+151),(3.7.3")

где С, — некоторая константа, зависящая, конечно, от g.

Рассмотрим теперь уравнение (3.7.2) в шаре |у|2+и^ ^ С] (1 + I s |) + 1 в Х2. Мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

I (у) = у + ^у = у + Д"*Р/ (sm0 + и) - A“’g = 0.

Заметим, что если g ± и0, то А ^1 и0. Действительно, если и — решение задачи

\u = g в О, и = 0 на дО,

то, беря скалярное произведение с и0 и пользуясь теоремой Грина, мы найдем, что

0 = (g, «о) = ^и, w0) = (w, Aw0) = — ^i (и, и0\

Таким образом, оператор Т (о) отображает наш шар из пространства Х2 в Х2 и, в силу результатов п. 2.5.3, оператор К компактен. Поскольку у уравнения Ти=0 нет решений на границе, определена степень deg (Г, наш шар, 0) = degT. Приведенный выше вывод априорных оценок проходит и в случае, когда функции f и g заменены на tf и tg, 0 ^ t ^ 1, и, используя деформацию, мы можем получить, что

deg Г = deg / = 1.

Тем самым существование и единственность решения уравнения (3.7.2) доказаны.

Доказательство регулярности решения в смысле его зависимости от s и g — это просто скучноватое упражнение на применение результатов п. 2.5.3, и мы предоставляем его читателю.

Тот факт, что при фиксированном s соответствие v*->g есть диффеоморфизм, следует из оценки (3.7.3'). Ч. Т. Д.

Возвращаясь к уравнению

Ф (и) = Aw + f (w) = у, и = 0 на дО, запишем

и = suq + w2, и2 -L w0, и

У = tUQ + g, gl. UQi

(s и t — вещественные числа). Применив к уравнению операторы Р и I — Р, мы можем переписать его в виде пары уравнений

Aw2 + Pf (suq + w2) = g,

— sAq + <f (suQ + y2), w0) = t.

которая, согласно лемме 3.7.6, эквивалентна такой паре:

«2 = v(s, g\

F^ = F (s, g) = — s^ + ^ <su0 + v (s, g)), w0) = L

При фиксированном s, отображение v(s, g) есть диффеоморфизм, переводящий g в и2» Это доказывает первую часть еле* дующей леммы;

^ЛЛ. Лемма, Предположим, что и = su^ -\- и2 ^ X и у = tu^ -\- g, gA_uQ. Тогда и является сингулярной точкой отображения ср в том и только том случае, если

f s ($, g) = — А + $ f' (s«o + V (s, g)) (u0 + Os (s, g)) «0 dx = 0.

(3.7.4)

Кроме того, в этом случае и является ординарной сингулярной точкой.

Доказательство. Из (3.7.4.) ясно, что ядро ker qpz (и) одномерно — порождается некоторой функцией z(x\ Хорошо известно, что образ Кф7^) замкнут вУи состоит из тех функций из У, которые Л2-ортогональны к г. Чтобы проверить, что и является ординарной сингулярной точкой, нам надо убедиться в том, что выполняется условие (3') теоремы 3.7.2. Для этого достаточно показать, что отлична от нуля величина

у* (ф" (и) (г, г)) = j f" (и (xj) 2? (х) dx.

Докажем, что г^#=0 в G. Тогда можно считать, что, скажем, 2 (х) > 0, откуда следует, что наша величина положительна *). Функция 2 служит решением задачи

A2 + fz (и)2 = 0 в G, 2 = 0 на dG. (3.7.5)

Иными словами, р, = 1 является собственным значением задачи Аг + р,р (х) 2 = 0 в G, 2 = 0 на dG,

где p(x) = f'(и(х)). Как хорошо известно, если р(х)>0, то собственные значения такой задачи удовлетворяют неравенствам 0 < щ < р2^ ..., причем первое собственное значение р,! простое и соответствующая ему собственная функция нс обращается в нуль в G. Далее, г-е собственное значение рг является убывающим функционалом от коэффициента р (х).

Мы утверждаем, что, в силу условия Г(и)<^2, первое собственное значение pj задачи (3.7.5) равно 1. В самом деле, р = 1 является вторым собственным значением задачи kw + + рЛ2яу = 0, в G, w = 0 на dG. Отсюда, согласно предыдущему замечанию, следует, что второе собственное значение задачи A2+p,/v (и) = 0, 2 = 0 на dG превосходит единицу. Таким образом, ядро ker (А + f' (и)) представляет собой одномерное подпространство, порождаемое некоторой положительной функцией 2. Ч.Т.Д.

0 Напомним, что функция / выпукла. — Прим. ред.

Покажем теперь, что для каждой функции geY^ существует ровно одно значение s = s0 (g) = s0, для которого выполняется соотношение (3.7.4.), и что это s0(g) является единственной точкой минимума функции F(s). Из теоремы 3.7.2. тогда будет следовать, что s0(g) является ^-функцией от g. Таким образом, множество М имеет следующее декартово представление: М состоит из точек

У = 8 — So (g) Mo + (f (s0 (g) «о + v (s0 lg\ g^, u^ g^Yx.

Далее, для

У = g + tu^ полагая

^0 (g) = — So (g) Л| 4- (f (s0 (g) uo + У (s0 (g), g)), Mo), имеем

при t<tQ^ уравнение ^(^ = y не имеет решений;

при />/o(g) уравнение ^^ = у имеет ровно два решения;

при / = /0(g) уравнение ф(^) = # имеет ровно одно решение.

Множество W сингулярных точек тоже имеет декартово представление: W состоит из точек

g\ g^Yv

Тем самым, в частности, завершено доказательство теоремы 3.7.5.

Существование и единственность точки минимума s0(g) функции F(s, g) легко вытекают из следующих утверждений:

Во всякой точке s, в которой Fs(s, g) = 0> мы имеем FSs(s, g)>0.

Если функция g фиксирована, то F (s, g)-> + 00 ири s -> ± 00.

Доказательство утверждения (а). Зафиксируем g и положим с (s, g) = и (s) и su0 + и (s, g) = и (s). Тогда

Au ^^Pf (^ (s)) = g,

F (s) = — sA,! + (f (w (s)), u0\

Дифференцируя первое уравнение no s и учитывая, что uss = yss, находим, что

^us + Pf4u^us = 0,Ms+msa-Wi=o^ ( )

Если мы возьмем скалярное произведение первого уравнения с uss, а второго — с us и затем произведем вычитание, то при

104

Гл 3. Теория бифуркаций

помощи теоремы Грина получим

СХ- ^)-(ГХ. Х) = °.

ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ Ws = Wo + У$>

УХ «„)--(/Х«,).

Далее,

X - УХ. “«) + их.. X - ух. “У + их. -,) -

Предположим теперь, что fs = 0 в некоторой точке s, т. е. что

— Ь, + (f(u(s))us, wo) = O.

Комбинируя последнее равенство с соотношениями (3.7.6), на- ходим, что для этого значения s

Aws + f (и (s)) us = 0.

Так же, как при доказательстве леммы 3.7.7, можно показать, что us = uQ-\- vs не обращается в нуль в G. Поскольку vs±w0, a £z0 > 0 в G, vs^0 в некоторой точке из G и, значит, и$ > 0 в G. Следовательно, для нашего значения s

^s= V{и ^ и"dx > °* Ч* Т* Д* G

Доказательство утверждения (b). До сих пор мы нс использовали предположения о том, что U <?ц. Сейчас мы им воспользуемся. Покажем, что lim F (s, g) = + оо. В случае 5>-оо

s->4-oo рассуждения аналогичны. Ввиду утверждения (а), нам достаточно доказать, что F^, g)--» + oo для некоторой последовательности s& —> — оо.

Вспомним оценку (3.7.3") для и (s, g\.

Ivb+^C^l+lsl).

Мы видим, что при s-> —оо отношение v (s, g)/s остается равномерно ограниченным в С2+|1(О). Поэтому можно выбрать такую последовательность sfe-> — oo, для которой

v (sA—

- —- равномерно сходится к ^eC(G), w ± и0. sk

Разобьем G на три множества G+, G- и Go в соответствии с тем, каково значение функции иАх) + ^ W положительно, отрицательно или равно нулю. Из условий (iii) и (iv) на функ-

105105По тео-По тео-3.7. Число глобальных решений нелинейной задачи

105

105

По тео-

По тео-

цию f следует, что lim f(s)/s = Zi, Пт f(s)/s = Z2.

S> —ООs^4-oo

реме Лебега о сходимости

lim —^-^ = — Xi + Z, ( («о + w)uadx + Z2 («о 4- w^uQdx. кG+О_

Поскольку W 1 w0,

5 (“о + ш)“э^ + \(u04-w)u0dx= («2^=1 (377) G+e_G

и поэтому

F(sb, g)с

lim = — ^-i + Z2 4-Gi — Z2) \ (u0 4-w) u0(Zx^

< - Zi 4- к + z, - Z2 = Z1 — Xj < 0. 4. T. Д.

iУпражнение. В предположении, что выполнены условия

теоремы 3.7.5 и f (0) = 0, рассмотрите уравнение Au 4- f (и) = 0. Покажите, что оно имеет ровно одно ненулевое решение тогда и только тогда, когда /' (0) =/= X,.

Глава 4

Другие топологические методы

В § 1.8 мы рассматривали нелинейные отображения из R1 в R* при к < п. Сейчас мы хотим распространить некоторые из полученных в этом параграфе результатов на случай банаховых пространств. Согласно теореме 1.1.1, если 6 — замкнутый единичный шар в Rrt, а ф — отображение dS->R^\{0}, к^п, то уравнение F(x) = 0 разрешимо для всякого непрерывного продолжения F отображения ф внутрь В тогда и только тогда, когда отображение ф: dB->Sk-\ задаваемое формулой(х)

гомотопически нетривиально.

Определение. Всякое отображение ф: дВ -> R^\ {0}, обладающее тем свойством, что уравнение F (х) = 0 разрешимо для любого непрерывного продолжения F отображения ф внутрь В, называется существенным.

Важен частный случай, когда

Rn = Rn,©R% х = х,+х2,

ф W = ф fo + Х2) = ХХ + Ф (х2),

где Ф отображает единичный шар пространства Rn2 в некоторое подпространство Rns пространства R"2 и

R"-^R"«CR\

Отметим, что из ф (5В) ф 0 следует, что Ф (х2) #= 0 при II *211 = 1- Таким образом, гомотопический класс отображения ф: В"-1 R* \ {0} совпадает с гомотопическим классом п^й надстройки над отображением Ф: В”2-1 -»Rn’\{0}.

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ СТЕПЕНИЛЕРЭ-ШАУДЕРА

Пусть X — вещественное банахово пространство, В = Вр — замкнутый шар || х || ^ р и Т — непрерывное отображение Вр -» X, которое имеет вид I — К, где К — компактное отображение

Мы будем предполагать, что Т отображает В в некоторое замкнутое подпространство Y пространства X, имеющее конечную коразмерность I, причем Т (дВ) ^ 0. Тогда, как мы видели раньше, существует такое в > 0, что ||Г(х)||^8 при х г дВ, Положим

Т. = Т\№ T.xdB->Y\W

Определение. Мы будем называть отображение То существенным (для К), если для любого его допустимого продолжения Т внутрь Вр уравнение Г (х) = 0 разрешимо; Т допустимо, если оно есть отображение в К и если отображение К = I — Т компактно.

Заметим здесь, что степень Лерэ — Шаудера deg(T0, В, 0) определена и равна нулю. Действительно, deg(T0, S, 0) = = deg(T, В, х), если х^У и норма ||х|| мала, а поскольку х не принадлежит образу отображения Т, то

deg (Г, В, х) = 0.

Определение. Всякая деформация вида Tt = I — Kt, где Kt •— компактное отображение дВ^ X [0, 1] -> X и Tt (х) еУ \ {0}, называется допустимой деформацией.

Замечание. Рассмотрим отображение Т^=1—К*. dB->Y \ {0}. Является То существенным отображением или нет, зависит только от его гомотопического класса, определяемого допустимыми деформациями. В самом деле, предположим, что отображение То не существенно и что Tt — I — Kt, К^ = К, представляет собой допустимую деформацию. Тогда отображение Ti тоже не существенно. Действительно, отображение Тх, задаваемое формулой

У (2х — к (2х)) при || х IK ’/2, т —

i^Hwt-^^ii-'Cttt)) п₽и

является допустимым непрерывным продолжением отображения Тх внутрь шара ||xj|^l, таким, что уравнение Т1(х) = 0 не имеет решения.

Укажем необходимое и достаточное условие для того, чтобы отображение 2% было существенным. Прежде всего имеет место

Предложение. Пусть X = X^W, dimU7 = d и V — линейное подпространство в 17 размерности d*. Пусть, далее,

FQ — определенное на дВ^ отображение следующего вида: при хе X, х = х0 + w,

FQ(x) = xti-V<b(w),

где Ф отображает шар (w ^ W ||| w ||^ р} в V, причем Ф(®)^=0 при ||ш|| = р. Тогда Fo является существенным отображением (для У = Ло®У) в том и только том случае, если нетривиальны все надстройки над отображением ф: Sd~' ->Sd*-1, задаваемым формулой ф> (т) = Ф (рт)/|| Ф (рт) || (|| т || = 1) (т. е. если ф стабильно гомотопически нетривиально).

Чтобы получить характеризацию существенных отображений, покажем теперь, что произвольное отображение То можно продеформировать в отображение Fo вида, указанного в этом предложении (при помощи допустимой деформации). Представим X в виде прямой суммы:

Х = ¥ф2, где dim Z = v,

всякий вектор хе X единственным образом разлагается в сумму x = y + z, уе¥, zeZ. Можно считать, что То есть отображение вида

То to = То (у + z) = у + z — К (у + г), где К компактно.

Тогда Т0(х) = у — Kt (х), где Kt компактно и Kt(x)e¥. Для удобства будем считать, что р = 1.

Мы знаем, что || Т0(х) ||^е > 0 при ||х|| = 1. Существует такое конечномерное отображение Ко,

Ko(x)eV с¥, dimV<oo, что

И, (х)-^2М11<8/2.

Используя деформацию

НДх) = у - (1 - /) Kt (х) - tKo(x), 0 </ ^ 1, продеформируем у — К\(Р в Тх (х) = у — Ко to- При || х || = 1

II н, to II-II у - Kt to+1 (Kt to - Ko to) ii >

> II To to II -1II Kt (x) - Ko to II > e/2 > 0,

и, значит, Ht(x) является допустимой деформацией.

Разложим ¥ в прямую сумму:

Y = V®X0, у = у + х»,

где Хо — некоторое замкнутое линейное подпространство в Y. Тогда

Тх И = У — Кг to = v + х» — Кг ^ =

= Х0 — Кз И = ХО — Лз (и + х0 + z),

где K3L^eV и отображение Кз компактно.

Деформация

Gf (х) = х0 — Кз (v + ^о + z) допустима. В самом деле, если бы Qt (х) = 0 для некоторых у, z, /, х0, таких, что ||х|| = 1, то мы имели бы Хо = О, откуда следовало бы, что ^з(y + z) = 0, т. е. К3(х) = 0. Но поскольку Тх^^ 0, то 7<з(х) #= 0 — мы пришли к противоречию.

Запишем

X = Y®Z = X0®V ®Z = XQ®W, где W = V®Z.

Мы продеформировали То в отображение вида

GoW = ^o + OM(4.М)

где Ф — непрерывное отображение шара ||w||^l в замкнутое линейное подпространство V пространства W, причем Ф(ш)=#0 при || w || = 1. Если dim W = d, a dim V = d*, то d — d* = i = = dimZ.

Таким образом, из приведенного выше предложения вытекает следующая

Теорема. Пусть То то же, что и выше. Существует допустимая деформация отображения То в отображение Go вида (4.1.1). Для ||ау|| = р положим x — wjp и

гь(т)= Ф^т)

1|Ф(рт)|Г

Отображение Т^ существенно тогда и только тогда, когда отображение ф: S^^^S^*-1 стабильно гомотопически нетривиально.

Доказательство предложения. Достаточность, (а) Предположим, что пространство X конечномерно, AnnX=j-V-d. Наши предположения означают, что отображение Fo, которое является /-кратной надстройкой над отображением Ф, как отображение в У \ {0} гомотопически нетривиально (здесь у = ХфУ). Значит, согласно теореме 1.1.1, Fq — существенное отображение.

(Ь) Следующий шаг состоит в стандартном сведении к конечномерному случаю. Пусть Т = 1 — К — допустимое продол-

жение отображения Fo внутрь В, Т: B->Y. Используя разложение Y = ХофУ, запишем

Г(х) = Г0(х) + Г(х), То^еХ», Г^еУ,

а в соответствии с разложением X = ^ф W запишем х=х0 + к'. Тогда

х0 — То (х) = К (х) + Т' (х) — w.

Это — компактное отображение шара В в Хо. Поэтому для всякого е > 0 мы можем с точностью до е аппроксимировать х0 —Т’о(х) отображением KoeU) шара В в некоторое конечномерное подпространство Х\ пространства Хо. При этом оператор

компактен и удовлетворяет оценке

|| к (X) - ке (X) II = II х0 - То (х) - Ко, (х) II < 8.

Нам достаточно доказать, что существует точка хе пересечения BfKX]©^), такая, что хг = К6 (хе). Устремляя затем е к нулю по какой-нибудь последовательности и выбирая из нее подпоследовательность, для которой К (хе) сходятся к некоторой точке х0 из В, мы получим

Пт (хе — х0) = Пт <К6 (хе) — К (хе)) + Пт <К (xg) — х0) = 0.

Тогда по непрерывности

х0 = Пт к (хе) = К (х0).8->0

Чтобы доказать существование точки х8) удовлетворяющей уравнению

ТеМ^хе-к6^ = 0, х8 е В П № фW)^B\

нам надо только показать, что отображение Тг\ dBf —> (X! ф фУ)\{0} гомотопически-нетривиально. На границе дВ' можно продеформировать Тг в Т, пользуясь деформацией

Г/ = (1-/)Г8 + /Г 0</<1,

а тогда остается лишь воспользоваться результатом пункта (а), относящимся к конечномерному случаю.

Доказательство необходимости мы опустим. Его можно найти в работе [32] *). Ч. Т. Д.

J) Эта работа тесно связана с несколькими другими: А. С. Шварц [33], К. Гемба [34] К. Элуорти и А Тромба [35].

Замечание (П. Рабинович). Пусть X — банахово пространство, У—замкнутое подпространство в X конечной коразмерности и отображение Т = 1 — К, где К компактно, отображает единичный шар В из X в Y. Предположим, что Т\ дВ-> ->У\{0). Тогда, как мы видели, степень deg (Г, В, 0) определена и равна 0. Предположим теперь, что Т нечетно. Тогда, согласно теореме Борсука, степень deg (Г, В, 0) нечетна. Значит, для нечетных отображений предположение Т (дВ) #= 0 не может выполняться.

Фактически, если Т = 1 — К отображает В в У, где У — замкнутое подпространство в X, Y ^ X, то уравнение 1^ = 0 имеет решение, для которого ||х|| = г, при любом г^1.

Приведем пример применения теоремы 4.1.2 к краевой задаче для эллиптического уравнения (см. [32]). В работе [36] Дж. Кронин провел те же рассуждения в более абстрактной постановке, и мы начнем сейчас с его результата.

Пусть X и У — вещественные банаховы пространства. Рассмотрим отображение

Д-G: X->Y,

где G компактно, а Д — непрерывное фредгольмово отображение индекса /^0. Это значит, что dim ker Д = d < оо, a codim КД = d* = d-—L Введем обозначения Xj — кегД, у1 = КД. Мы можем разложить X и У в прямые суммы

^ = ^1©^, х = Х!+х2,у = Ух®У2, dimK2 = d*.

Пусть Р — соответствующая проекция пространства У на Ур По теореме о замкнутом графике отображение Д: X2->YV имеет ограниченное обратное. Обозначим его норму через С.

Теорема. Предположим, что для некоторой положительной константы М

(О || PG (х) || ^ М для всех х\

существует такая константа N>0,hto(J—P) G(xj + х2)^0, если || х21|^ СМ и ||x1||^^;

отображение (/ — Р) G; Хх -> У2 \ {0} на сфере || хх Ц = ^ стабильно гомотопически нетривиально.

Тогда уравнение Д (х) — G (х) = 0 имеет решение.

Замечания. 1. Условия (ii) и (iii) автоматически выполняются, если выполнено условие

При ||X] ||=1 и HxJI^CM существует предел ф(Х]) = = 1 im (/ — Р) G V^i + х2), причем сходимость равномерна по Г ->оо

х2. Этот предел не зависит от х2, и отображение V 'единичная сфера в Хх ^2 \ {^}

стабильно гомотопически нетривиально.

Пусть d=d*. Тогда тот факт, что отображение (/—Р): Х^ ~>У2\{0} стабильно гомотопически нетривиально, означает, что

deg((l-P)G(x,), Iki || = W, 0)#=0,

а условие (iv) — что deg (qp, || хх || — N, 0)#=0.

Доказательство. Уравнение Ах — Gx = 0 эквивалентно системе

Ах2 — PG (х) = О, (/ - Р) G (х, + х2) = О, или х2~Л-1РС(х) = 0, (Z — Р) G (X! + х2) = 0.

Предположим, что подпространство Хх порождается век- d торамиwd) так что можно записать xx=^aiwr

Пусть У, — подпространство в У, на котором обращаются в нуль непрерывные линейные функционалы 1Х) ..., Ц* (определенные на У). Тогда нашу систему можно переписать в виде

х2 — A-XPG (X ctjWj + х2) = 0,^а, G (Е aiwi + *2) ) = 0, а = 1, ..., d*.

Из первого уравнения и из условия (i) видно, что решение удовлетворяет неравенству |[ х21| ^ CAf. Поэтому в силу условия (ii), оно удовлетворяет неравенствам

||х2И<СМ, 1ЫКЛГ.(4.1.2)

Введем другое представление пространства X. Запишем xt + х2 в виде пары [х2, а], где a = (atad), и определим норму пары [х2, а] формулой

IIк, а] 11= НЕ«/«’/ + •«■’11-

Таким образом, мы можем считать, что A' = X2XR‘<- Рассмотрим отображение ^XR^^XR4 , определяемое выражениями

•^2 — Л-1 PG (2 atws + х,\^ t

0а> G (Е aiwj + ^г) X и = 1, .. •, d*.

Чтобы доказать нашу теорему, воспользуемся теоремой 4.1.2 применительно к шару

WYx^aAW^CM-VN-Vl.(4.1.4)

Под действием деформации (0^/^1)

х2 — tA~xPG (X aj^i + х2\

{t^ G (X <W + tx^ ), а = 1, ..., d*,

отображение (4.1.3) переходит в отображение

х2

(WA, а= 1, ..., d\

и ввиду условия (ш) применима теорема 4.1.2. Ч. Т. Д.

Теорема 4.1.4 родственна теореме 2.6.2

Упражнение. Докажите теорему 2.6.2 для случая d* < d.

В работе [37] М. Бергер и Э. Подолак отмечают, что в некоторых случаях условие (iii) можно ослабить: достаточно потребовать, чтобы лишь некоторое число надстроек над (/ — P)G Оф было нетривиально. Мы приведем здесь вариант их результата.

Теорема. Рассмотрим такие же, как в теореме 4.1.4, отображения А и G, удовлетворяющие условиям (i) и (ii). Тогда утверждение этой теоремы останется справедливым, если условие (iii) заменить приводимыми ниже условиями (iiz) и (iiiz):

(iiz) Существует такое разложение пространства Х2 в прямую сумму замкнутых подпространств

Х2 = ХЖ', dim^ = m,

что если рассмотреть разложение

YV = AX2©AX2

и соответствующие этому разложению проекции Р', Р", I-Р' -Р" в У:

У = АХ2 ф АХ2 ф У2 = Р'У ф Р"У ©^-Р7- Р") У, то отображение A~XP"G будет удовлетворять условию Липшица по х" с постоянной Липшица С < 1.

(iiiz) m-кратная надстройка над сужением отображенияу-Р)О; ^^У2\{0}

на сферу || %i || = N гомотопически нетривиальна. Здесь Р = = P'-VP".

Замечание. Условие (iiz) может показаться искусственным, но на самом деле оно выполняется для эллиптических операторов Л с дискретным и уходящим на бесконечность спектром. В этом случае обычно для любого в > 0 можно найти разложение с Х2, порождаемым некоторым конечным числом собственных векторов оператора Л, такое, что е|| Лх? Ц^||х^||. Если при этом P"G удовлетворяет некоторому условию Липшица, то условие (iiz) реализуется.

Доказательство. Запишем х = х1 + х^ + х", Нам надо доказать существование решения уравнения

Лх; 4- Лх" = G (xv + < + х").(4.1.5)

Применим к нему оператор проектирования РП\

Ax” = P”G (х),

x" = X-'P"G(x1+x' + x").

Поскольку правая часть удовлетворяет условию Липшица по х" с константой С< 1, наше уравнение имеет единственную неподвижную точку х” (xt + х2), которая, как можно проверить, непрерывно зависит от xt Ц-х'. Подстановка в уравнение (4.1.5) приводит к конечномерной системе

Лх2 = Р G (х{ + х2 + х2 (х, + *2)),

(/ - Р) G (xt + х; + х" (х1 + xz2)) = 0.

Рассуждения, использованные нами при доказательстве теоремы 4.1.4, можно теперь провести применительно к конечномерному пространству Xi®^- Сначала мы получаем для решения Xj + x' априорные оценки, аналогичные оценкам (4.1.2). На самом деле, поскольку х1 + х2 + х" (xt + х2) есть решение первоначальной задачи, из (4.1.2) следует, что для некоторой константы М'

К++ .,;)|<см, |4<м',

Окончание доказательства проводится так же, как и в случае теоремы 4.1.4, с той лишь разницей, что рассмотрения ведутся в шаре [|[xz, <2][j ^ АГ + N + 1, а не в шаре (4 1.4). Ч. Т. Д.

ПРИЛОЖЕНИЯ

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМС ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Мы обобщим здесь следующий результат Лэндесмэна и Лейзера [38].

Пусть й — ограниченная область в R” с гладкой границей дй и L — заданный в й формально самосопряженный эллиптический оператор второго порядка с вещественными коэффициентами класса С” в й. Будем предполагать, что все функции вещественны. Рассмотрим задачу Дирихле

Lu = f — g(u) в й, и = 0 на дй,

где / — заданная гладкая функция, a g — непрерывная функция, обладающая пределами при «—>±оо;

lim §(н) = §(± оо), «-> ±оо

причем

g(— оо) < g(u) < g(oo\(4.2.1)

Предположим, что ядро ker L одномерно и порождается функцией w. Будем обозначать через ( , ) скалярное произведение в смысле L^ Для того чтобы функция и являлась решением, необходимо, чтобы

Lw = 0. условиеLw = 0. условие(f — g, w) = (Lu, w) = О,

Lw = 0. условие

Lw = 0. условие

поскольку оператор L формально самосопряжен и С учетом (4.2.1) мы получаем такое необходимое разрешимости поставленной выше задачи Дирихле:

(4.2.2)(4.2.2)(f, ^)<g(°°) ^ w dx + g (— оо) ^ wdx, w>0w<0

(4.2.2)

(4.2.2)

(f,^)>g(°o)wdx-\-g(— °о) wdx.

w <0w > 0

Лэндесмэн и Лейзер доказали, что это условие также и достаточно для разрешимости.

Отметим, что если оператор L имеет обратный, то для установления существования решения можно применить теорему Шаудера о неподвижной точке к уравнению

ц = ь~Ч1 — §Ш

Мы представим сейчас одно обобщение результата Лэндесмэна — Лейзера (см. [32], стр. 133).

Используя теорию степени отображения Лерэ — Шаудера и основную теорему предыдущего параграфа, можно получить диалогичный результат для произвольных эллиптических операторов L — с ядрами любой размерности и не обязательно самосопряженных.

Пусть L — линейный эллиптический дифференциальный оператор в частных производных порядка m с коэффициентами из С°°(Й), действующий (для удобства) на скалярные функции, удовлетворяющие „хорошим66 краевым условиям, как в § 2.5,

Ви = 0 на дй, заданным в терминах дифференциальных операторов порядка < т. Рассмотрим задачу

Lu = g^x, и, ..., Dtn-Xu) в й, Ви = 0 на дй. (4.2.3)

Условие Ви = 0 гарантирует нам, что для оператора L, действующего на функции, удовлетворяющие этому условию, справедливы утверждения:

кегЛ есть конечномерное подпространство, порожденное функциями wb ..., wd.

RL имеет конечную коразмерность d*. Существуют такие функции w^ ..., w^* из С°°(й), что RLl.LWp / = 1, ..., d*.

Мы будем предполагать, что

d*<d.

Относительно g предположим следующее (введя обозначение т] = (ы, ..., Вт-хи)У

Существует такая константа М > 0, что

|g(x, rOI^M для всех х из й и всех ц;

g принадлежит классу С°° для хей и всех ц.

При хеЙ и | т] | = 1 существует равномерный по х и по ц предел

h (х, ц) = lim g (х, гц).

Г -> оо

Кроме того, мы сделаем одно предположение технического порядка:

Единственным решением w задачи

Lw = 0 в й, Bw = 0 на дй, которое обращается в нуль в й на множестве положительной меры, является w = 0.

Наконец, зададим отображение ф: Sd 1 —> Rd*, ф=(фр ..., Ф^*) формулой / / dхх

фр (а) = фр (аь ad) = ^/г ^, Da £ ^-Wj (x)J , w^J =

= (/z(x, w, .Dm-Xw\ ^3),

P=l, d*, d

где w=^ajW}.

Теорема. Если отображение ф: S^'1->Rd*\ {0} и стабильно гомотопически нетривиально, то задача

Lu = g в Q, Ви = 0 на 5Q имеет решение.

Замечания. 1. В случае d = d* наше условие означает, что степень отображения ф в начале координат не равна нулю; при d = d* = 1 и g= gkx, и^ это означает просто, что если положить

А±(л:)= lim g^x, и\и-> ±ОО

ТО

Ai = ^ h^w'dx-V ^ h^w'dxw > 0w < 0

и

Л2 — ^ h+w' dx-V ^ h~w'dxw < 0w > 0

имеют противоположные знаки. Это последнее условие совпадает с условием (4.2.2) для того частного случая, который рассматривался в начале параграфа.

Если оператор L с граничными условиями Ви = 0 является самосопряженным, то d—d*. В этом случае можно положить w'a = wa, а = 1, ..., d. Предположим, что справедливо следующее условие: для всякой функции w ^ 0 из ker L

h^wdx — h-wdx>0.

w >0ty < 0

Тогда степень отображения ф обязательно равна 1 и наша задача разрешима.

Набросок доказательства. Положим g^x, и, ..., Dm-Xu^ = = (?[п]. В обозначениях § 2.5, пусть для некоторого фиксированного б, 0<б< 1,

Х=-{меСт+в(Й)|В«=0 на dQ}, У=Св{Й}.

Отображение G: X->Y является компактным. Положим X] = = kerL, Х2~ кег/А Покажем, что применима теорема 4.1.4 с А = L. Из условия (а) следует условие (i). Используя техническое условие (с), можно доказать (несколько повозившись), что существует предел

Пт (^з, G [г У djWj + Vo])

и что хотя бы при одном Р==1, ..., d* он не равен нулю. Поэтому из основного условия теоремы вытекает условие (iv). Дальнейшие подробности см. в работе [32]. Ч. Т. Д.

Приведем теперь результат Рабиновича [39], имеющий отношение к замечанию 4.1.3.

Теорема. Рассмотрим нелинейную эллиптическую задачу

), где оператор L такой же, как в теореме 4.2.2, и d* < d. Предположим, что функция G\u\ -— g^x, и, .... Dm~xu) нечетна по и, т. е. G [— и\ = — G [и], и что g принадлежит классу С~ при .г е Q и при любых значениях остальных аргументов. Тогда для всякого г > 0 существует С°°-решение и, которое принадлежит Ст+Ь и для которого II w||m_1+6:=r ^здесь 0 < d < 1).

Доказательство. Положим

X = {u е Cm+6(Q) | Ви = О на дй}, у.-=С6(Й)-

Имеем разложения

= Х1©Х2, Х(=кегВ, ХгА.иХх,

= У,еУ2 = РУ©(/-Р)У, K = R£, Y^YuYv

d

Запишем u = u,+u2, щ = У, a}Wj е Хх, и^еХ2. Тогда задача

.2.3) обычным образом сводится к системе

и2 — L~lPG [u2 + У а^^ = О,(/-PM^ + I^wJ^O.

Как и раньше, можем считать, что имеем дело с отображением Х2 X Rd х2 х R^*, d* < d.

Если теперь мы рассмотрим пространство функций {н2 е ст~1+б | Ви = 0 на 5Q} и применим теорему Борсука, то и получим, что в пространстве Ст”1+6 (Q) существует искомое решение. Затем можно доказать его регулярность так же, как это делалось в § 2.5. Ч. Т. Д.

Замечание. В этой теореме оператор G не обязан быть дифференциальным оператором. Можно, например, взять

G [w] =+ X (^w)3 j ^х,

и мы получаем, что е_сли f е RL, то существует нетривиальная функция ы е C°°(Q) с Ви — 0 на 5Q, для которой Lu = 0 и

3. КОБОРДИЗМ ОСНАЩЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ)

Мы определили deg (qp, X, у^ для отображений ф: Х->¥ между ориентированными многообразиями одной и той же размерности и воспользовались этим для решения уравнений вида ф(л')=0 в случае Y — R^. В § 1.8 мы пришли к рассмотрению — для случая, когда X есть замкнутый шар В в Rd, d > к,— гомотопического класса отображения ф|дв-> -^XlO}. В двух предыдущих параграфах данной главы эти результаты были распространены на случай бесконечномерных пространств при помощи надстройки и стабильных гомотопий.

Однако, если X отличается от шара, методы, которыми мы пользовались, уже неприменимы. Чтобы иметь возможность рассматривать общее многообразие X, Понтрягин ввел) понятие кобордизма оснащенных многообразий, которое должно служить заменой понятия степени. Изящное изложение всего этого можно найти в § 7 книги Милнора [2], мы же ограничимся здесь лишь кратким описанием идеи.

Пусть Хо и ¥k — два ориентированных многообразия размерности п vi к соответственно, п^к, и пусть X — открытое подмножество в Ло, замыкание X которого в Хо компактно. Если ф: X —> ¥ — гладкое отображение и у ^ ф (дХ) — его регулярное значение (т. е. матрица дф(х)/дх имеет ранг к в каждой точке х^ф^Цу^, то, как следует из теоремы о неявной функции, М = ф-1 (#) —компактное подмногообразие без края в X размерности п—к. Напомним, что при п = к прообраз Ф“’(#) состоит из конечного числа точек и

deg^a.y^ £ (-1)^4—).

х^Ф 1 (Z/)

Здесь подсчитывается алгебраически, сколько раз точка у покрыта при отображении ср. Грубо говоря, мы хотим теперь найти способ правильного подсчета числа связных компонент прообраза Ф~](у) Для случая пф к.

Определение. Пусть X — ориентированное n-мерное многообразие и Nx, N2 — два его ориентированных компактных подмногообразия размерности (п — k) без края. Говорят, что ^ кобордантно N^ внутри X, если для малых е > 0

(Wi X [0, е)) и (W2X(l-e, 1])

может быть продолжено до компактного многообразия М в X X [0, 1], для которого

<ЗМ = X {0}) U №Х{1}),М П (№Х{0}) U №Х{1})) = дЛ1.

Ориентация края многообразия М при этом согласована с ориентацией Nv и М2. Такое многообразие М называется кобордизмом между ^1 и N^

Непосредственно проверяется, что кобордантность является отношением эквивалентности для ориентированных подмногообразий в X размерности п — к без края.

Пусть теперь X —-риманово многообразие (т. е. на каждом касательном пространстве Тх (X) к X в точке х задано (положительно определенное) скалярное произведение (ц, и)х, и, v е Тх (X), и (ц, ц)х гладко по х\

Определение. Оснащением подмногообразия N а X размерности п— к называется сопоставление каждой точке х этого подмногообразия к линейно независимых векторов

(х), v '(х), ..., Vs (х)

из Тх №, которые нормальны к N. Пара (^, v) называется оснащенным (по Понтрягину) многообразием.

Определение. Пусть (^, vj, (N2, v2) — два оснащенных многообразия. Скажем, что (Nt, vj оснащение кобордантно (W2, v2), если между Ni и N2 существует такой кобордизм М с X X [0, 1] с оснащением и, что

и1 (х, /) = v' (х) при (х, f) е Ni X [0, е), и1 (х, /) = v‘ (х) при (х, t) е N2 X (1 ~ е, 1 ].

Снова легко проверить, что этим задается отношение эквивалентности.

Рассмотрим гладкое отображение ф: Х->-¥, возьмем точку у е Y \ ср (дХ), являющуюся его регулярным значе-

нием, и положим N ^ф-1 (у). Пусть у1, у , ..., vk — положительно ориентированный базис для TtJ(YY Если

Ф*: T^X^WY^

— естественное отображение, индуцированное отображением ф, а хеф"1^), то ранг матрицы дф(х)/дх равен к, и ограничение ф* на подпространство TX(JST)\ ортогональное в Тх (X) подпространству Тх (W), является взаимно однозначным отображением на всё Ty(xYy Обратное отображение дает оснащение подмногообразия N, которое называется понтрягинским оснащением, ассоциированным с отображением ф.

Лемма. Класс оснащенной кобордантности подмногообразия N = Ф”](у) не зависит от выбора базиса (и1, ..., у*) касательного пространства Ty(Y\

Доказательство. Любой другой положительно ориентированный базис ^и\ ... , ик> пространства Ту^ можно связать с базисом (у1, .. . , у^) непрерывным семейством базисов (у*. .... у^), ^[0,1]:

(уо, - уо) = (у'- . у*).

(yL , у1) = (м1, , ику

просто потому, что множество вещественных к. X ^-матриц с положительным определителем связно. Полагая М = //Х[0, 1], мы видим, что (М, и\ где и^х, /) = (у* (х), ... , у^(х)), — оснащенный кобордизм между N и N. Ч. Т. Д.

Предложение. Пусть ф, ф: X —> Y — гладкие отображения, где X uY — два римановых многообразия, причем X, как и раньше, компактно. Пусть у ^Y является регулярным значением обоих отображений, у ^ ф (дХ) и у ^ ф (дХ). Если расстояние d (ф, ф) = sup d (ф (х), ф (х)) достаточно мало, то ф-1 (z/)

и Ф”1^) кобордантны вместе со своими оснащениями.

Доказательство. Для построения кобордизма свяжем сначала ф и ф деформацией ф^: X->Y, определенной движением по кратчайшей геодезической в У от ф(х) до ф(х). Выбирая, если надо, соответствующим образом параметризацию, можно считать, что Ф/ нс зависит от t в интервалах [0, е) и (1 — в, 1]. Рассмотрим отображение Ф: X X [0, 1] -* Y, для которого Ф (х, t) = ф, (х).

Если у — регулярное значение для Ф, то Ф”1^) вместе со своим оснащением дает желаемый оснащенный кобордизм между ф"1^) и ф*-1 (у). Однако если у — не регулярное значение, Ф"1 (у) может не быть гладким многообразием. Чтобы обойти это затруднение, мы воспользуемся следующей теоремой (см. гл. 4 в книге Абрахама и Роббина [15]).

Теорема трансверсальности. Пусть ф: Z -> Y — гладкое отображение и у - такая точка из У, что вне некоторого относительно компактного открытого подмножества UcZ прообраз Ф-1(у) состоит из регулярных точек. Тогда можно слегка продеформировать ф в отображение ф, для которого у будет регулярным значением, причем на дополнении к U отображение ф совпадает с ф.

Возвращаясь к доказательству нашего предложения, мы можем слегка возмутить Ф так, чтобы у стало регулярным значением возмущенного отображения Ф и чтобы при этом Ф не менялось в X X (0, е) и в ХХ(1-е, 1). Тогда Ф-|(у) является кобордизмом между Ф-1 (у) и ф”1^), причем его оснащение определяет оснащенный кобордизм между ф""1^) и ^ЧуУ Ч. Т. Д.

Лемма. Допустим, что ф: X -*Y — гладкое отображение и yo^Y \ ф(дХ). Тогда существует окрестность U точки у0, такая, что для любых двух регулярных значений ух и у^ из U их прообразы Ф-1(У1) и ^“Чу^ оснащение кобордантны.

Следствие. Если У\ и у^ — регулярные значения для ф, лежащие в одной и той же компоненте С дополнения к ф(д^), то их прообразы ^™ЧУ\^ и ^”Чу^ оснащение кобордантны.

Доказательство этого следствия представляет собой простое упражнение.

Доказательство леммы. Для малой окрестности U точки у0 возьмем С°°-диффеоморфизм g пространства У, который тождествен вне U, отображает U на себя и переводит у^ в ух. Рассмотрим отображения ф и ф — £°ф. Так как у2 —- регулярное значение для ф, то ух —- регулярное значение для ф; далее, ф и Ф близки, если диаметр U достаточно мал. Согласно предложению 4.3.1, ф-1 (yj оснащенно кобордантно ф-1 (yj = ф”1 ^у2\

Обобщение на случай непрерывных отображений

Пусть ф-—непрерывное отображение из X в Y и С —некоторая компонента множества У\ф(дХ). Аппроксимируя Ф в С°-топологии С°°-отображением ф, мы можем сопоста-

вить ф и С вполне определенный класс оснащенных кобордизмов в X.

Следующая теорема связывает классы оснащенных кобор- дизмов с гомотопическими классами; ее доказательство можно найти в гл. 7 книги Милнора [2].

Теорема (Понтрягин). Если X есть п-мерное компактное многообразие без края и Y = S\ то имеется взаимно однозначное соответствие между классами (Nn~\ v) оснащенных кобордизмов в X и гомотопическими классами отображений X->Sk.

Теория оснащенных кобордизмов была обобщена на случай бесконечномерных пространств.

Вот некоторые статьи, имеющие отношение к материалу предыдущих двух параграфов: Смэйл [40], Куинн [41], Элу- орти и Тромба [35], Гемба [34].

В следующих двух параграфах мы изложим связанную с рассматриваемыми вопросами теорию Гембы и Гранаса.

4. ТЕОРИЯ СТАБИЛЬНЫХ КОГОМОТОПИЙ

(Лекция Дж. Изэ)

Напомним некоторые факты.

Пусть Q — ограниченное открытое подмножество в Rn и F: Q -> Rn — непрерывное отображение, такое, что F (dQ) ^ 0. Тогда корректно определена степень deg F = deg (F, Q, 0) и она зависит только от гомотопического класса ограничения F на 5Q. Далее, если deg F #= 0, то каждое непрерывное продолжение ограничения F |dQ на Q имеет нуль.

Пусть теперь X — замкнутое ограниченное подмножество в Rd и F: Х-^* \ {0} — непрерывное отображение.

Определение. Отображение F называется несущественным, если оно для любого замкнутого ограниченного подмножества У в Rd, содержащего X, продолжается до отображения F: У-> Rd* \ {0}.

Примеры 1. Пусть X = Sd-1. Отображение F несущественно тогда и только тогда, когда гомотопический класс отображения F/IFI в л^-^З^*"1) тривиален.

Пусть X — компактное многообразие без края и F: X-> ->Sd*"x. Как следствие теоремы Понтрягина — Хопфа получаем, что F несущественно тогда и только тогда, когда тривиален класс оснащенных кобордизмов отображения F,

т. е. — в случае гладкого F — когда ^F~x (р), F*TSd ~’) для всякого регулярного значения р отображения F есть край оснащенного многообразия М в X X [0, 1].

4. 4. 1. Предложение. Если отображения Fo, F^ ^(cRd)-> Rd* \ {0} гомотопны и Fo несущественно, то и Ft несущественно.

Доказательство. Пусть У —замкнутое ограниченное подмножество в Rd, такое, что X с У, и Fo: У -* Rd* \ {0} — некоторое продолжение отображения Fo. Пусть, далее, задана гомотопия F(t, xY XX[0, 1] —* Rd \ {0}, такая, что F(0, х) = = F0<xY F(l, x)=F^xY Положим Z = (IX[0, Ши(УХ{0}) и определим отображение F: Z-+ Rd* \ {0} так:

F (х, f) = F (х, 0 для х е X

F {у, 0) = Рй (у) для у е У.

Так как Z замкнуто, мы можем по теореме Титце продолжить F до отображения G: У X [0, 1] -* Rd*. Положим А = = ^у еУ |G(y, /) = 0 для некоторого /}. Тогда А()Х = 0, причем множества А и X замкнуты в У. Поэтому найдется непрерывная разделяющая их функция Л: У-> [0, 1], для которой Л(Л) = 0, Л(Х) = 1. Положим G^y, t) — G(y, 'K^tY Ясно, что С(УХ[0, 1]) с Rd* \ {0}, так как если G(y, /) = 0, то угА и %(у) = 0. Но G(y, 0) = F(y, 0)j= FqG/^O-Кроме того, для t = 1 и у е X имеем G^y, ^kyY — О^У. 0 = ^(L У) = = Ft (у), так что G(•, 1) служит продолжением для Е^ Ч. Т .Д.

Следствие. Отображение F; X->-Rd \ {0} несущественно тогда и только тогда, когда F гомотопно в Rd \ {0} отображению1) G: X->pt

Доказательство. Пусть F несущественно. Так как множество X ограничено, оно содержится в некотором большом шаре В с центром в 0 и F допускает продолжение F: В Rd’\ {0}. Определим F: X X [0, 1] -> Rd‘ \ {0} формулой F^x, t)=F^\—t)x). Мы видим, что F гомотопно отображению G: X -> F (0).

Обратное утверждение вытекает из предложения 4.4.1. Ч. Т. Д.

') Ниже символ pt обозначает одноточечное пространство (от английского point — точка). — Прим. ред.

В этом и следующем параграфах мы рассмотрим следующие вопросы:

Когомотопические группы — гомотопические классы отображений X-*Sn.

Обобщение на случай банаховых пространств. Пусть X — замкнутое ограниченное подмножество банахова пространства Е. Нашим объектом будут компактные векторные поля со значениями в подпространствах конечной коразмерности: X —► Е°°~п \ {0}. Здесь Е°°~п — это замкнутое подпространство коразмерности п и I — f компактно. Мы изучим стабильные когомотопии.

Приложение к доказательству существования глобальных решений уравнения (I — ХТ)х = g(х, Л) — перенесение на комплексный случай теоремы Рабиновича из § 3.4.

Когомотопические группы

(См. Спеньер [42].)

Пусть ‘X — компактное топологическое пространство, размерность которого не превосходит 2m— 2, и А— замкнутое множество в X. (Топологическая размерность п пространства X определяется как нижняя граница целых чисел к, таких, что любое открытое покрытие X имеет вписанное покрытие, у которого пересечение любых к + 2 множеств пусто.)

Определение. Через пт(Х, Л) обозначается множество гомотопических классов непрерывных отображений f: (X, Л) -* -»(Sm, pt).

Теорема. пт(Х, А) —абелева группа.

ИДЕЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА X — КОМПЛЕКС. Пусть f, g: (X, A)-+(Sm, pt). Аппроксимируем f и g сим- плициальными отображениями. Рассмотрим композицию отображений (d — диагональное отображение)

(X, Л) -^ (X, Л) X (X, Л) ^ (Sm, pt) X (Sm, Pt).

Она является симплициальным отображением комплекса размерности не больше 2т— 2 в 2/п-мерный комплекс. Следовательно, (f X g)0 d (X) лежит в (2т — 2)-остове произведения Sm X Sm, и к^ожно продеформировать это отображение дальше bS”VS™ (две копии сферы Sm, соединенные в одной точке pt).

pt

\Пример-. любая замкнутая кривая на торе Т может быть продеформирована в объединение двух образующих группы

Пусть со: Sm V S -* (S , pt) — отображение, для которого pt

и(х, pt) = со (pt, х) = х. Воспользовавшись указанной деформацией, положим по определению1) [Л + [g] — [®(f X g)°d]. Ясно, что эта операция коммутативна. Лишняя размерность нужна для того, чтобы доказать, что построенное „сложение" не зависит от выбора представителей гомотопических классов; действительно, X X [0, 1] имеет размерность не больше 2/п — 1 и есть место для деформации. Ч. Т. Д.

Замечания. 1. Нулевым элементом служит гомотопический класс отображения (X, Д)-^-(р1, pt).

Обратным к элементу [Л служит класс композиции (X, Д) -^*- (Sm, pt) —* (Sm, pt), где I — обращающее ориентацию отображение степени — 1.

Отображение f: У->X индуцирует гомоморфизм /*: nm (X)-> л"1 (У), ГИ = ^оЛ, где Y-^X-^S"*.

Наконец, введем пограничный оператор 6: лт(Л)-> ->лт+,(Х, Д). Пусть f: A->Sm, ДсХ, и £++1-верхняя полусфера Sm+1, ограниченная S'" — экватором сферы S'”+I. Так как полусфера Е”+1 стягиваема, мы можем продолжить f до отображения f: X->E*+1. Пусть /г — деформация экватора S'" в южный полюс р сферы S'"+I, и пусть Е™+1 растягивается при этом на S^’xlp}. По определению 6[Л = = 1М]: (X, Д)^(5т+', р\

Эта теория когомотопий удовлетворяет аксиомам Эйлен- берга — Стинрода для когомологических теорий.

Стабильная теория когомотопий

Пусть Е — вещественное банахово пространство. Введем в Е ориентацию при помощи последовательности подпространств Еп, dim Еп=п, и последовательности дополнительных к ним замкнутых подпространств Е°°-п, Е = Еп®Е°°~п, удовлетворяющих следующим условиям: Еп с Еп+1, Еп+Х = Д^фК, £”"" = £”*""* ©R. Положим

Р”-" = {хе£”-"|х = х1+г, ххеЕ°°-п-\ reR, г < О}.

Определение. Категория Лерэ — Шаудера для пространства Е, обозначаемая через LS(£), определяется так:

объекты — замкнутые ограниченные подмножества X в Е; морфизмы —■ отображения вида I — Т, где Т — компактно;

■) Ниже [/] обозначает гомотопический класс отображения f.—Прим. перев.

гомотопии — отображения вида (х, /) *-* х — F^x, О, где F: XX [0, !]->£ компактно.

Определение. Пусть X, A^LS(E), Ас=.Х. Обозначим через л,°°~п(,Х, Л) множество гомотопических классов морфизмов f = I— F нашей категории, для которых

I — F: <

I А^Р'"п.

Положим л”-п(Х) = л00-"^, 0).

Определение. Отображение f: Х->Е”~"\{0) назовем несущественным, если оно для любого объекта У категории LS(£), У zd X продолжается до морфизма f: У -> Е°°~п \ {0} этой категории.

Замечание. Как и раньше, можно показать (воспользовавшись вместо теоремы Титце теоремой Дугунджи), что если f компактно гомотопно g и g несущественно, то и / несущественно.

Теорема (Гемба, Гранас). л”-"^, Л) —-абелева группа.

Идея доказательства, (а) Конечномерная аппроксимация. Пусть f = I — F отображает X в £”~"\{0), а Л в р”~п Из компактности F вытекает, что f(^) и f(A) замкнуты в Г0"". Возьмем е < min (d(f(X), Еп\ d(HA\ En©R+)\ где d обозначает расстояние. Приблизим F с точностью до е отображением G, переводящим X в некоторое конечномерное подпространство L (будем считать, что En+i cz L и dimL = = n + m-Y 1). Тогда g — I — G отображает X в е-окрестность пространства Еоа~п. Пусть Рй проектирует Е на Е°°~п параллельно^ Еп. Положим f = Ptig (х)=х — {1 — Ро) х — P0G (х) = = х — F(x); при этом F^x) лежит в L, так как P0G = G — — (I — Ро) G, а образ отображения (/ — Ро) G лежит в пространстве Еп, которое содержится в L. Отображение f можно продеформировать в f гомотопией Ро((1 — /) / (х) + tg (х)), благодаря нашему выбору е. Рассмотрим отображение

(Xf\L, Л f| Р) —- ((£”-" n L) \ {0}, Р00-" п L).

Его образ лежит в ^Etn-vi \ {0}, Pw+1), так как dimEoo~nn L= = /л+ L Ввиду стягиваемости р^^ последняя пара гомотопически эквивалентна (Sm, pt).

Итак, мы получили элемент множества лт (X А X А А Ц, которое является группой, если dim L =« + «+ 1 ^2m — 2, т. е. если т^ п + 3.

Можно показать, что f и g гомотопны в LS (Е) в том и только том случае, когда гомотопны f L и gL (при доказательстве обратной части утверждения используется теорема о продолжении гомотопии).

Отображения с конечномерным образом. Пусть L — некоторое (п + tn + 1)-мерное подпространство, содержащее Еп+1. Определим л”-"^, Л) как множество гомотопических классов отображения f: X -* Е°о-'*\{0}, Л->Р°°_", f — 1 — F, для которых F (X) с: L, с гомотопиями вида х — Н (х, /), Н (х, /) е L. Пусть т — отображение индуцированное введен- ' ным выше ограничением на X A L: f н-> fL. Тогда т является взаимно однозначным отображением на.

Доказательство того, что т есть отображение на. Отображение ft^t) = Х] — FL(xx), xxeL, представляет элемент из л^йГАТ, ЛАТ). Записывая произвольный элемент х из Е как Х!+х2, положим f (х) = х2 + X] — Fi^Xi). Тогда f есть подходящее продолжение для fL, если выбрать дополнительное подпространство к L в Е так, чтобы оно содержалось в EQO~n (что возможно, так как Еп+1 cz L\

Доказательство того, что т взаимно однозначно. Пусть отображения fL и gL, построенные для fag, гомотопны при гомотопии hL^x, t). Положим Z = (X X 0) U (^ A L X [0, 1]) U UUX1)- Это множество замкнуто в X X [0, 1]. Построим отображение Н из Z в L (тем самым компактное), определив H(x,t) на X X {0} как х — f(x), на X A L X [0, 1] как х — ~TL(x, /) и на XX {1} как x — g(x\ Продолжим Н до Н: Х.Х[0, Ip-* L (теорема Дугунджи)_и положим h (х, /) = — Р0(х — Н (х, /)) = х — (/ — Р^ х—Р0Н (х, /),_где Ро — проекция Е на Е^~п. (Если h(x, 0 = 0, то х — Н(х, f)sEnc:L, так что х лежит в L и h(x, t'l^htU. 0-)

Таким образом, мы можем перенести в л“-п(Х, Л) групповую структуру из лт (X П L, Л f| L).

Предельный переход. Для всякого конечномерного подпространства М, содержащего L, имеется гомоморфизм Майера — Вьеториса

А: л^ХАТ, ЛП^)-^л'11тМ-|-'г(^АЛ1, ЛАМ), который индуцирует с помощью т гомоморфизм А: л”-" (X, Л)->- -^л^-"^, Л), правильно ведущий себя по отношению к ин-

Аудированным отображениям и кограничным гомоморфизмам. Значит, мы получаем индуктивное семейство абелевых групп. Его предел

limn*111"^'’’^^ А Л L) = ^°~п (X, Л)

L->oo

называется стабильной когомотопической группой пары {X, Л). Предел отображений т дает изоморфизм между S°°~n(X, Л) и л”-"(Х, Л), сохраняющий все функториальные свойства стабильной группы Ч. Т. Д.

Отметим, что, согласно следствию предложения 4.4.1, нулевой элемент группы л00"""^) представлен множеством несущественных отображений.

Теорема, л00-" определяет обобщенный когомологический функтор для LS(B'). Отображение f = I — F: {X, Л)-> -> (У, В) индуцирует отображение f*: л00-" (У, В) -> л°°-п (X, Л) по правилу /*[§■] = [gof]')• При этом

(Id)* = Id;

V = gy = g*-r.

существует такое отображение д: л00-"(Л)-*л00-"+1(Х, Л), что если [ совпадает с f0 на Л, то f*d = 6/*;

последовательность

-—^^-"{Х, Л)^л”-"(Х)^лм-"(Л)-^* л00-""1-1 (X, Л) точна {отображения, отличные от 6, индуцированы включениями)',

если fug гомотопны, то f* = g*;

{сильное вырезание) если Х = Ли5( то л06-п(Х, А)^ s л00-" {В, Л Л В);

л°°~" (pt) = 0.

Детальное изложение можно найти в следующих работах: Гемба [43], Гранас [6], Гемба и Гранас [44].

Примеры 1. X = S — единичная сфера в Е. Здесь последовательность Майера — Вьеториса не нужна, достаточно использовать надстройку л00-" {S) = [надстройка отображений S л L - Sn+m-> Sm] = л"1 (Sn+m) = л„,т (Sm) = л„.') Следовательно, л°°"*0(5) = 2, n°°-1(S) = Z2 (образующей служит надстройка отображения Хопфа ц: CXC-*R3, т| (X, z) = = {Хг, | z |2 -1X I2)), л—2 (S) = Z2, л—3 (S) = Z24, ... .

X = B — замкнутый шар радиуса R. Здесь л00-" {В) = 0 для всех п, так как всякое отображение f{x) — x — F {х) из

*) См. подстрочное примечание на стр. 126. — Прим, перев.

5 Л. Ниренберг

В в Е°° " \ (0) (в предположении, что центр шара В находится в нуле) продолжается на всё Е по формуле f (х) = = x_l±Lf (J^j при ||х||>Я.

Связь с теорией степени Лерз — Шаудера

Двойственность Александера — Понтрягина между л00-"^) и S„ (Е \ X), стабильной гомотопической группой Е \ X, показывает, что л°°—0 (А) = ф Z с числом слагаемых, равным числу ограниченных компонент в Е\Х. Таким образом, если f — отображение из X в Е\ {0}, то [f] = У, mtab где а, представлено отображением х — х,, а точки xt произвольно выбраны по одной в каждой из ограниченных компонент Е\Х. Если X = dQ, где Q —открытое ограниченное подмножество в Е, то мы определяем степень deg(f, й, 0) как У пгь где суммирование производится по всем ограниченным компонентам Q.

Упражнение. Показать, что эта степень имеет обычные свойства степени Лерэ — Шаудера.

Относительно других направлений теории см. работы, указанные в конце § 4.3. См. также обзорную статью Иллса [45].

III. ПРИЛОЖЕНИЕ Н ДОКАЗАТЕЛЬСТВУСУЩЕСТВОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

(.Лекция Дж. Изэ)

Мы обобщим здесь результат Рабиновича о глобальных решениях на случай комплексных банаховых пространств. (Материал этого параграфа взят из [26].)

Напомним результат о бифуркации из § 3.5. Пусть Е — комплексное банахово пространство, 7 — компактное линейное отображение из Е в Е, g (х, Л) — компактное отображение некоторой области DczEXC в Е, причем g(0, Л) = 0 и II g (х, X || = о (|| х ||) при || х || -> 0 в D. Рассмотрим уравнение х — ХТх — g(x, Л) = 0. Точка (0, Ло) называется точкой бифуркации, если Ло является характеристическим значением для Т (т. е. Ло"1 является собственным значением для Т) нечетной кратности. Отметим, что бифуркации происходят только на характеристических значениях отображения Т.

Обозначим через IT замыкание в D множества нетривиальных решений (х, Л), х ^ 0. Пусть Ло — характеристическое значение отображения Т, при котором происходит бифурка-

ция, и С — связная компонента множества W, содержащая (О, Хо). Таким образом, если (О, X) принадлежит С, то X является характеристическим значением для Т.

Теорема. Одно из двух; либо I) С не компактно в D (и, значит, неограничено, если D = ЕХС\ либо 2) С компактно в D, содержит конечное число точек вида (О, XJ, Z = О, 1, ..., р, где К{ — характеристическое значение отобра- р

женин Т кратности mb и сумма У mt четна.

Отсюда следует, что число характеристических значений нечетной кратности четно.

Лемма. Пусть Хо — характеристическое значение отображения Т кратности пг. Определим для г > 0 отображение Hr: D->EXC формулой

Нг (х, X) = ((/ - XT) х - g (х, X), || х ||2 - г2) и положим

8 = ^х, Л)|||х||2 + |Л-Л0|2 = г2 + р2}.

Существуют такие две положительные константы г и р, что стабильный гомотопический класс Hr(x, X) относительно S определен и равен 2(тт]) (где 2 — надстройка, т\ —отображение Хопфа).

Доказательство. Так как Ло изолировано, мы можем выбрать р > 0 так, чтобы для некоторой константы М > 0 и для всех 0 имело место неравенство ||(7 — (Ло + ре^Т)""1^^ В силу условия малости, наложенного на отображение g, можно выбрать г столь малое, что (/ — ХТ)х — g(x, X) Ф О для Л = Яд + ре16 при всех 0 и при 0<||х||^г. Таким образом, на сфере 3 мы можем продеформировать Нг в ((7— ХТ)х, II х ||2 —г2). Пусть f: [О, 1] —> С — путь, для которого f (0) = О, /(!) = ! и /(/)Л0 представляет собой путь от 0 до Ло, обходящий все другие характеристические значения отображения Т. Так как эти значения изолированы, они не попадают также в некоторую 6-окрестность этого пути. Можно считать, что р < d/max J / (01- Тогда для подходящего а имеем

Е = кег (7 - ХйТ^ © R (7 - X0T)tt, пг = dim кег (7 - X0Tf,

и для х = X] + х2, хе кег(7 — Л0Т)а

НДх, Л) =

= ((7 - ЛТ) X! + (7 - ЛПх2, || х|]2 - г2 = р2 -1Л - Ло |2) на S. Продеформируем это отображение на 3 в ((7 — ЛТ) xt + х2, р2 — | Л — Ло |2) гомотопией ((7 — XT) Xi + (7 — Л/ © Т) х2, р2 —

— | Л — Ло I2) (Если бы отображение обращалось в нуль, то мы имели бы Л = Ло + ре'9 и потому X] = О, а тогда, в силу выбора р, Af (О принадлежит 6-окрестности пути, так что х2 = 0 или Л/ (/) = Ло, откуда следует, что х2 лежит в кег(/— AqT), и, значит, х2 = 0. Но тогда ||х|| не может равняться г.) Таким образом, \НГ (х, Л)] = [надстройка над ((/ — ЛТ)хь р2 — | Л — Ло I2) на сфере || Xi ||2 +1Л — Ло I2 = г2 + р2]. Мы можем продеформировать это отображение, используя жорданову форму для I — ^Т, в ((Ло —Л)хь р2 — |Л— ЛоI2), и дальнейшая деформация, как на стр. 85, ведет к S(m, ч). Ч. Т. Д.

Доказательство теоремы. Предположим, что С — компактное подмножество в D. Как и в вещественном случае, пусть Q —- открытое ограниченное подмножество в D, такое, что С содержится в Q, Q не содержит других точек (О, Л) из S, кроме точек (О, Л,), z = О, ..., р, о которых идет речь в формулировке теоремы, и уравнение (/—-Л^х — g^x, Л) = 0 не имеет решений на дй, помимо х = 0.

Положим Е°°-°=ЕХС, Е”°~^=Е, Ё”~х — ЕХк^С\ Тогда Нг{х, Л) при всех г>0 представляет один и тот же элемент в л00-1 (дй), причем Вг(х, Л) лежит вне (O)X(IniC).

Заметим, что мы сможем использовать стабильную кого- мотопическую теорию § 4.4, если отождествим R2" и С".

Глобальный класс. Для большого r=R имеем [|хЦ2— — R2 < 0 на Q, и поэтому HR (х, Л) определяет некоторый элемент в л°°-1 (Q, дй), так что в точной последовательности

л”-1 (Й, дй) -> л”"1 (й) -> л”"1 (дй)

мы получаем

IHR (х, Л)] ^ \HR (х, Л)] ^> \HR (х, Л)] = \НГ (х, Л)].

Отсюда [Яг (х, Л) |да] = 0, т. е. Нг (х, Л) |аа несущественно для всех г > 0.

Выберем столь малое г, что любое решение уравнения Нг(х, Л) = 0 в й должно лежать в шаре В/ = [(х, Л)|||х||2 + + |Л —Л. |2^г2 + р2}, / = 0, ..., р. Тогда применима лемма 4.5.2.

Замена л”-1 (<ЭЙ) группой, более удобной для подсчетов. Так как Нг(х, Л) несущественно на dQ, найдется такой шар В, содержащий Й, что Hr |за продолжается на В. Пусть И г Vх, К) равно такому продолжению на В \ й и равно Нг (х, Л)

на Q. Ясно, что Нг несущественно на дВ = 5. По построе' нию НДх, А) отображает B\UBZ в E°°~v \{0).

/=0

Локальные классы. Если 8( = дВь то НДх, А) | р

/ ОО \ Р

представляет некоторый элемент из л°°“11 U 5/) = ф л°°~1 (S/)= \/=-0//-0

р

— фХ2, как было отмечено в § 4.4, и множества Sj попарно

р

не пересекаются. По лемме этот элемент равен ф pw/q] = /-о

р

— ®т^, (См. [2].)

/-о

Ситуация теперь описывается диаграммой

где Г и к* индуцированы включениями.

Г — изоморфизм. По аксиоме вырезания, примененной р

к U Вь мы имеем /-о

л”-" (в \ и 5/, U S/) S л00-" (в, и В.А.к /=о/=о Vк /-о V

Далее, в точной последовательности

/ P \/— р V

лоо-п-1 и В/ -> л°°-" ( В, и В, ) -> л00"" (В) к/-о /к /=о/

крайние группы нулевые, а значит, и группа л00-" (6, U В» I к /-о V нулевая. Поэтому мы получаем, что в последовательности

Л00-1 (В\ U Bh U )->Л00-1 (в\ U В/)—>-

к /-о/=о Vк /-0 V

I*/р \/ рр \

—> л“-> ( и S/ ) -► Л00-0 ( В \ и В., и 8, )

М-0 Vкj-Q1 i-о V

группы на обоих концах нулевые; значит, I* — изоморфизм и

р /— р \ фа/ порождает л”-1 \рвр.

к* — отображение на. Возьмем произвольный элемент х0 в В и представим Е в виде У2фСх0, так что любой элемент х из Е может быть записан как у2фг, zsC. Тогда отображение (у2(Х —X/)z, ll-tlP —г2), суженное на Sb представляет а/ и несущественно на Sz, I =/= 1 (это отображение является ненулевым на В^. Кроме того, оно представляет также образующую а в л00-1 (S), так как это в точности надстройка над отображением Хопфа. Значит, к*^а^ = а

для всех /. Так как к* — гомоморфизм, то к*для всех /. Так как к* — гомоморфизм, то к*Значит,Значит,а (см. [2]). Но к*а (см. [2]). Но к*= [ЯЛМ>.= [ЯЛМ>.

для всех /. Так как к* — гомоморфизм, то к*

для всех /. Так как к* — гомоморфизм, то к*

Значит,

Значит,

а (см. [2]). Но к*

а (см. [2]). Но к*

= [ЯЛМ>.

= [ЯЛМ>.

сумма У, ни четна. Ч. Т. Д. /-о

Обобщение на случай уравнения (7 — Т^х— g(x, X)=0. Здесь Т (X) — компактное отображение из В X К в В, К = R или С и Т (X) аналитично по X.

Мы можем получить в точности те же результаты, как и в случае Т (X) = XT, но с другим понятием кратности. Именно, если ker (7 — Т (Хо)) #= 0, то, полагая Л = 7 — Т (Хо), С (X) = Т (X) — Т (Хо), мы можем переписать данное уравнение в виде

Ах - С (X) х - g (х,Х) = 0. (4.5.1)

Здесь А — фредгольмов оператор индекса 0. Представим В в виде В = кегЛфХ2. Тогда Л |х, имеет обратный оператор К: Н(Л)->Х2. Запишем произвольный элемент х из Е, как х = х, + х2, х2 е Х2, и обозначим через Q проекцию на К (Л). Применим Q к (4.5.1):

Ах2 — QC (X) х2 — QC (X) хх — Qg (х, X) = 0.

Применим теперь ТС:

х2 - KQG (X) х2 - KQC (X) х, - KQg (х, X) = 0.

Так как С (Хо) =?= 0, для X, близких к Хд, имеем

х2 - (7 - KQC (X))-1(KQC (X) х, + KQg (х, X)) = 0.

В еилу принципа сжимающих отображений, мы можем разрешить это уравнение относительно х2, выразив его через хг и X.

Другое уравнение

(/-Q)C(X)(x1+x2) + (/-Q)5(x, Я) = 0 эквивалентно уравнению

(Z - Q) С (Я) (/ + (/- KQC (Я))” 1KQC (Я)) X! +

+ (/ - Q) (/ + С (Я) (/ - KQC (Я)) ”1KQ) g (х, Л) = О или

(Z —Q)C(Я)(Z —^С(Я))-'xi+

+ (Z — Q) (Z — с (X) /(Q)~ ’g (X! + x2(xn Я))=0.

Допустим, ЧТО найдется Я, такое, что Z —г(я) обратимо. Тогда множество точек Я, для которых I — Т(Я)^= 0, дискретно. Поэтому, если через В (Я) обозначить матрицу’, соответствующую оператору (Z — Q) С (Я) (Z — KQC (Я)) ~ 1 |ker л, то ее элементы аналитичны по Я, В (Яо) = 0 и det В (Я) = (Я — Яд)"1 а (Я) с а(Яо)#=О, (Для g = 0 обратимость В (Я) означает, что Яо изолировано в спектре Z —Т’(Я).) Если теперь положить по определению алгебраическую кратность Яо равной пг, то теоремы о глобальных решениях остаются справедливыми и в вещественном, и в комплексном случаях.

Глава 5

Монотонные операторыи теорема о минимаксе

В этой главе мы дадим весьма краткое введение в теорию монотонных операторов и приведем некоторые близкие результаты.

Прекрасным источником по этим вопросам является книга X. Брезиса [46].

МОНОТОННЫЕ ОПЕРАТОРЫВ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Определение. Отображение f: Х->Х банахова пространства в себя называется ^н^растягивлющим, если

Определение. Пусть Н — гильбертово пространство. Отображение А: Н-> Н называется монотонным, если

(Ах — Ау, х — у) > О, Vx, у^Н.

Замечание. Отображение А монотонно тогда и только тогда, когда отображение Z + АЛ является растягивающим При всех А > 0. В самом деле, || (х + ХАх) — (у + ХАу^ ||> ||х — уН, потому что (х + АЛх — у — ХАу, х — у) ^ || х — у ||2. Обратное утверждение проверяется так же просто.

Сначала мы сформулируем и докажем обобщение принципа сжимающих отображений на случай нерастягивающих отображений в гильбертовом пространстве.

Теорема. Пусть Н— гильбертово пространство, а В — ограниченное замкнутое выпуклое множество в Н, и пусть отображение f: В->В нерастягивающе. Тогда оно имеет в В хотя бы одну неподвижную точку, и множество его неподвижных точек выпукло.

Отметим, что эта теорема не верна для случая общего банахова пространства. В самом деле, пусть X — пространство ограниченных последовательностей вещественных чисел х = = (аь а2, ...\ таких, что laj ->0 при z^-oo, и пусть ||х|| =

= max|aj. Тогда X будет банаховым пространством. Зададим отображение f единичного шара В в X, положив f (х) = = (1, аь а2,...). Если у=ЦЬь Ь2,...) е В, то

ШхМШ = № ах-Ьь...Н = \\х--у\\,

так что f: В-> В — нерастягивающее отображение. Если теперь (^ь ^2, ...) —неподвижная точка в В, то (аь а2, tz3,...) = = (1, аь а21 ...), откуда следует, что ^ = 1 при всех /, и, значит, (tzb а2, ...) ^ X, потому что | а^ 1т40.

Теорема верна во всяком равномерно выпуклом банаховом пространстве (см. книгу Брезиса). Вопрос о том, верна ли она для всякого рефлексивного банахова пространства, остается открытым.

Доказательство теоремы основывается на следующем приеме, полезном во многих рассуждениях, связанных с монотонными операторами.

Лемма (Минти). Пусть Q — выпуклое множество в Н и отображение A; Q->H монотонно и непрерывно на конечномерных подпространствах. Для фиксированных тй и zeH следующие утверждения эквивалентны;

(Аи — г, х? — и^^О при всех у е Q;

(Ли — 2, и — й) ^ 0 при всех у е Q.

Замечание. Отметим, что если и — внутренняя точка £2, то условие (i) означает, что Au = z.

Доказательство. Из монотонности А вытекает, что (Au — z, х) — и^ — (Av — z, с — и) ^ 0.

Поэтому (i) =^> (ii). Далее, для произвольной точки w е Q и для 0^/^1 положим с = tu + (1 — t^w, так что с — и = = (1 — Г)(хю — и\ Предположим, что (Ac — z, с — и) = = (1 — /)(Лу — 2, w — и^О, и устремим /->1. Воспользовавшись непрерывностью отображения А на прямолинейном отрезке, получим, что (Аи — 2, хй) — «) ^ 0. Ч. Т. Д.

Доказательство теоремы. Мы можем считать, что 0s 8. Рассмотрим отображение А/(я), где 0<А< 1. В силу принципа сжимающих отображений, уравнение

Mf)(x) = x

имеет единственное решение хх в В. Положим А = I — f: В-*Н. Ясно, что А — монотонное отображение; таковы же и отображения AK=I—Xf, 0 < Л < 1, причем Akxk = 0. Пусть А-* 1 по некоторой последовательности, Выберем из последова-

тельности хк такую слабо сходящуюся подпоследовательность (снова обозначим ее через хх), что хх-^иеВ. Для всякой точки иеВ

(А», о —Хх^ (Аххк, t> — xj = 0.

Поэтому (Ло, о — и)^0. Воспользовавшись предыдущей леммой с 2 = 0, находим, что

(Лм, о — ы) ^ 0 для всех о е В.

Значит,

(« — f (ы), о — и) > 0 для всех оеВ.

Полагая о = f (и), имеем

{и— f(«), /(н) — «)>0=>n = f (и).

Итак, и — неподвижная точка отображения f.

Мы только что доказали, что для иеВ

Лы=0^(Ло, о — н)^0 при всех о е В.

Отсюда следует, что множество решений уравнения Лы = 0 выпукло. Ч. Т. Д.

Упражнения. 1. Докажите непосредственно утверждение теоремы о выпуклости.

Предположим, что f (х) — гладкая вещественная функция, заданная на некотором открытом подмножестве вещественного гильбертова пространства. Поскольку производная /ж(х) является непрерывным линейным функционалом, в Н существует такой элемент z(x), что fх (х) у = (у, z (х)). Покажите, что отображение z(x) монотонно тогда и только тогда, когда f является выпуклым функционалом.

Ниже мы собираемся изучать решения уравнения Лх = 0 в гильбертовом пространстве для случая, когда Л— монотонный оператор. Из последнего упражнения ясно, что если Л представляет собой градиент выпуклого функционала, то эта задача имеет тесное отношение к вариационной задаче минимизации выпуклых функционалов. В этой связи напомним следующий хорошо известный результат.

■5.1.3. Теорема., Пусть X — рефлексивное банахово пространство, К — замкнутое выпуклое подмножество в X и f — вещественный выпуклый функционал на К, полунепрерывный снизу и ограниченный снизу на К. Предположим, что f(x^-*oo .при ||хЦ-*со. Тогда f достигает на К своего минимума.

(Функционал / полунепрерывен снизу в точке х0, если lim f (xf) ^ f (х0) при Xi->x0 или, эквивалентно, если для дюбрй константы с множество (д|/(х)>с) открыто.)

Доказательство этой теоремы опирается на два результата. Первый из них показывает, что можно извлечь из компактности.

Предложение (Эберлейн, Шмульян). Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда всякое замкнутое ограниченное выпуклое множество К компактно в слабой топологии.

Предложение (Мазур). Если хп-^х0 (слабо), то существует такая последовательность выпуклых комбинаций точек х$,

п/ пX

Уч = X «п!*!( 2 «п/ = 1. «д/ > 0 ),

/ = 1\/=1/

ЧТО Уп~^х^ ^сильно).

Доказательство обоих этих предложений можно найти почти во всяком руководстве по функциональному анализу.

Доказательство теоремы 5.1.3. Положим d = inf f(x\ хеК

Пусть точки xt е К образуют минимизирующую последовательность, т. е. f (Xi)->d, Kx^^d при всех I. Нормы ЦхЛ ограничены, и поэтому из xt можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность (которую мы снова обозначим через Xi)-. xt-*-x, хе К. Нам надо доказать, что f (х) = d. Очевидно, что f(x)>d. Далее, f(xi)<;dA-8 для любого в>0, если I достаточно велико.

Пусть yt — такая последовательность выпуклых комбинаций точек хи что yt-*x. Поскольку функционал f выпукл, то f (yi) ^ d + е для достаточно больших I. Из полунепрерывности / снизу следует, что f(xXd + e. Так как е>0 произвольно, то f(x)^d. Но тогда f(x) = d. Ч. Т. Д.

Упражнение. Пусть х0 —точка минимума гладкого выпуклого функционала f на замкнутом ограниченном выпуклом подмножестве С гильбертова пространства. Покажите, что (А(х0), у — х0)>0 для всех у из С, где Ax = fx(x).

Установим аналогичный результат для произвольного монотонного оператора А(х).

Теорема. Предположим, что В —замкнутый единичный шар в вещественном гильбертовом пространстве Н и А: В-+Н — монотонный оператор, непрерывный на конечномерных подпространствах. Тогда

в В существует хотя бы одна точка х0, удовлетворяющая неравенству

(Лх0, у — х0) ^ 0 для всех у из В, (5.1.1) и множество таких точек выпукло.

00 Если, кроме того, ни для какой точки х^дВ вектор Ах не направлен в сторону, противоположную х, т. е. если

х + ХАх^О для всех Л^О, ||х|| = 1,

то Ахо = О.

Доказательство, (а) Заметим прежде всего, что утверждение 00 легко следует из утверждения (i). Действительно, если х0 — внутренняя точка шара В, то, конечно, Д(хо) = О, а если х0 е дВ и А (х0) =# 0, то вектор А (х^ направлен в сторону, противоположную х0.

Покажем теперь, что утверждение (i) достаточно доказать для конечномерного случая. Предположим, что мы уже знаем, что для этого случая результат справедлив. Для всякой точки у еВ рассмотрим замкнутое выпуклое множество

S (у) = {х е S |(Ау, у — х)>0}.

Мы^ утверждаем, что система множеств S(y), уеВ, обладает свойством конечного пересечения. В самом деле, пусть Уь •••, Уке5 и Е — какое-нибудь конечномерное подпространство, содержащее эти точки. В силу того, что наш результат справедлив в конечномерном случае, существует такая точка х е Е П В, что

(Ах, у — х) ^ 0 для всех у е Е f) В.

Поскольку оператор А монотонен, то

(Ау, У —х)^ (Ах, у— х)^ 0 для всех у е Е П В

и, значит, наше утверждение относительно свойства конечного пересечения справедливо. Но множества S (у) компактны в слабой топологии, откуда следует, что они имеют ненулевое пересечение, т. е. существует такая точка х0 е В, что

(Ау, у — х^^О для всех уеВ.

В силу леммы 5.1.2,

(Ахй, у — х0) ^ 0 для всех уеВ.

Выпуклость множества всех решений неравенства (5.1.1) следует из того, что это множество является также множеством решений х0 неравенства (Ау, у — х0) ^ 0 для всех у е= В.

Наконец, докажем, утверждение (i) для случая конечномерного пространства Е. Если (i) не верно, то ни для какой точки х е дВ вектор Ах не направлен в сторону, противоположную х. Но тогда, согласно результату п. 1.6.1, уравнение Ах ■ 0 имеет решение внутри В. Ч. Т. Д.

Замечание. Доказательство теоремы, а значит, и сама теорема остаются в силе, если предположение о том, что оператор А монотонен, заменить таким более слабым предположением:

Пусть, х, у е В. Если (Дх, х — у)< О, то (Ду, у — х) > 0.

(5.1.2)

Пока не известно никаких приложений этого более общего результата. В случае H = R и A: R —>R условие (5.1.2) означает просто, что если Д(хо)=О для некоторой точки Хо, то Д(х)^0 при х^х0 и Д(х)^0 при х^х0.

Следствие 1. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство и оператор А: Н —> Н удовлетворяет следующим условиям-.

он монотонен-,

он непрерывен на конечномерных подпространствах;

^ ^- -* оо при ||х||->оо.

Тогда А отображает Н на себя.

Доказательство. Поскольку для всякого уеН оператор Ах — у тоже монотонен и удовлетворяет условию (ill), достаточно убедиться в разрешимости уравнения Дх = 0. В этом мы убеждаемся, применив утверждение (11) теоремы 5.1.4 к достаточно большому шару с центром в начале координат, ч. т. д.

Вот более сильный вариант этого следствия:

Следствие 2. Предположим, что оператор А: Н—> Н

монотонен;

непрерывен на конечномерных подпространствах и удовлетворяет условию

(Hi)' || Лх||—* оо равномерно при ||х||->оо.

Тогда А отображает Н на себя.

Доказательство. При е>0 оператор Ае=А4-е/ монотонен и

(Аех, х) и .. . (Лх, х) ~> е ц у ц । (Д (^’ *)|х|—е||х||+ цхц ^е||х||+|х|.

Поскольку отношение (Д (0), х)/|| х || ограничено, правая часть этого соотношения стремится к оо при ||х||—>оо. В силу предыдущего следствия, Де отображает Н на себя. Пусть хв — решение уравнения Авх = уеН.

Мы утверждаем, что норма ||х8|| равномерно ограничена при всех в > 0. В самом деле,

так что е||х8||^|| Л (0) || +|| у И — К, где К не зависит от в. Поскольку Лхе + ехв= у, то ||Лх8||^||вх8|Ц- Цу||^const, где константа не зависит от в. В силу условия (iii'), отсюда следует, что ||х8||^ const, где константа снова не зависит от в.

Пусть теперь 8—>0 по некоторой последовательности. Тогда из последовательности х8 можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность (которую мы снова обозначим через х8), предел которой обозначим через х. Так как Лх8 + ех8 = у, то Лхе -> у. В силу монотонности Л,

(Лх8 — Ло, х8 — о) ^ 0 при всех v е Н.

Полагая в->0, находим, что

(у — Ло, х — и) > 0 при всех о.

Ввиду леммы 5.1.2, отсюда вытекает, что

(у — Лх, х — о) ^ 0 при всех о.

Поскольку вектор о может иметь любое направление, отсюда, как и выше, вытекает, что у — Лх = 0. Ч. Т. Д.

Несколько нерешенных проблем. 1. Пусть непрерывное отображение Г: Н—>Н является растягивающим, т. е. ЦТх — Ту Ц^Ц х — у||. Предположим, что Т(0) = 0 и Т отображает некоторую окрестность нуля на некоторую окрестность нуля. Будет ли тогда Т отображать И на себя?

(Р. Ботт.) Пусть В — замкнутый единичный шар в гильбертовом пространстве Н и отображение Л: В->Н таково, что для некоторого положительного 0 < 1

(Лх, х) ^ — 01| Лх || при || х || = 1.

Предположим, что вместо условия монотонности мы имеем неравенство

(Лх — Лу, х — у) ^ — 01| Лх — Лу || || х — у || при всех х, у еН и что Л непрерывно на конечномерных подпространствах. Разрешимо ли на В уравнение Лх = 0?

ТЕОРЕМА О МИНИМАКСЕ

Теорема 5.1.4. равно как и ее обобщение, приведенное в следующем за ней замечании, представляют собой весьма специальные случаи одного общего результата, относящегося

к разряду теорем о минимаксе. Мы изложим здесь этот результат, взятый из работы [47].

.Напомним сначала теорему фон Неймана.

Теорема фон Неймана о минимаксе (в форме, приданной ей М. Шиффмэном). Пусть X = W\ Y = W\ EclX, F<zi Y — выпуклые компактные множества и К: EX F->R — функция, удовлетворяющая следующим условиям*.

^(x, у) при каждом фиксированном у — непрерывная выпуклая функция от х;

К (х, у) при каждом фиксированном х — непрерывная вогнутая функция от у.

Тогда существует такая точка (х0, у^^ЕХ F, что значе* ние K(xq, уъ) является минимумом по х^Е и максимумом по у ^F, т. е.

К(х0, у)<К(х0, у^<К(х, Уо\

Замечания. 1. Утверждение этой теоремы эквивалентно равенству

max (min К (х, у)) = min (max К (х, у)). ухх у

Выпуклость и вогнутость можно заменить на квазивыпуклость и квазивогнутость соответственно.

Определение. Вещественная функция ф(х), заданная на выпуклом множестве, называется квазивыпуклой, если для всякой константы с множество (х|ф(х)<с) выпукло, и квази- вогнутой, если квазивыпукла функция — ф (х).

Справедливость замечания 1 проверяется без труда. Предположим, что

max min К (х, у) = min max К (х, у), ухX у

и пусть х0, уо — такие точки из Е и F соответственно, что шах К (х0, y)=min max К (х, y)=a=max min К (х, y)=min К (х, уй\ их уv хх

Тогда

К(х0, у)<а</((х, у0)

и, следовательно, о — К (х0, уо\

Упражнение. Докажите другую часть замечания 1.

Представим теперь результат гораздо более общего вида.

Теорема (обобщенная теорема Ки Фаня о минимаксе). Пусть F — хаусдорфово топологическое векторное пространство, G — векторное пространство, AczF, B^G- выпуклые

множества и К (и, v) — определенная на АХ В вещественная функция, удовлетворяющая условиям

для каждого с^В функция К(ц, v) квазивыпукла по и и полунепрерывна снизу на А;

для каждого и^А функция — К (и, и) квазивыпукла по и и полунепрерывна снизу на пересечении множества В со всяким конечномерным пространством*,

для некоторого ueB и некоторого

% > sup inf К (ы, и) = а

и е В и е А

множество {ие А\К(и, и) ^ %} компактно.

Тогда

а = sup inf К (u, v) = inf sup К (и, о) = р.X) ии V

Вопрос. Можно ли условие (I) заменить на такое условие: „для каждого о функция К (и, о) полунепрерывна снизу по и на конечномерных подпространствах"?

Мы опустим доказательство теоремы 5.2.2. Его можно найти в работе [47]. В этом доказательстве используется один результат, который тоже несколько обобщает теорему Ки Фаня:

Теорема. Пусть Е — хаусдорфово топологическое векторное пространство ’), С — выпуклое множество в E.uf (х, у) — определенная на СХС вещественная функция, удовлетворяющая условиям:

f(x, х)<0;

для каждого х Е С множество {у е С | f (х, у) > 0} выпукло*,

для каждого у е С функция f (х, у) полунепрерывна снизу по х на пересечениях С с конечномерными подпространствами*,

если х, у е С и х принадлежит замыканию такого множества G, что

f(z, (1 —/)х + ^)<о

для всех 0^/^1 и всех zeG, то f(x, у)^0;

существуют такое компактное подмножество L пространства Е и такая точка у0 из Lf\C, что f (х, z/0) > 0 для хеС, хф.Е.

!) В приложениях часто в качестве Е берут рефлексивное банахово пространство со слабой топологией. Всякое замкнутое (в топологии нормы) ограниченное выпуклое множество в Е компактно в слабой топологии^

Тогда найдется такой вектор x0^L^C, что

f Uo, У^^О для всех у ^С.

Доказательство этой теоремы будет дано ниже.

Замечание. Сам Ки Фань предполагал, что множество С компактно и функция f полунепрерывна снизу по х на всём С.

Следствие 1. Пусть Е и С такие же, как и выше, функция f, заданная на СХС, удовлетворяет условиям (1), (3), (5) и, кроме того,

для каждого х^С и каждого к^О множество (у g С | f (х, у) ^ к^ замкнуто и выпукло;

для х, у ^ С из Нх, у)< 0 следует, что f (у, х) ^ 0;

если f (х, У\^>Цх, у2)^0, то

f U, ty\ + (1 — t^ >f (х, у^) при 0</<1.

Тогда существует такое xQ^L[\C, что ЦхОэ у)^0 для всех у.

Доказательство. Нам надо проверить, что / удовлетворяет условиям теоремы 5.2.3. Из условия (а) следует условие (2) этой теоремы, так что нам остается лишь проверить выполнение условия (4). Предположим, что х, у и G такие же, как в условии (4), но что f (х, у) > 0. По условию (Ь) имеем

f ((1 — t^ х-\- ty, 2)^0 для всех 0^/^1 и всех zeG.

В силу условия (а), отсюда следует, что

f ((1 —/)х + ty, х)^0 для O^f^l. (5.1.3)

Функция f(y, у) полунепрерывна снизу для у=(1—/)х + /у, меняющегося в отрезке, соединяющем х и у. Отсюда видно, что f(u, y)>Q для малых положительных t. Вейлу условия (5.1.3), f(y, х)>0. Таким образом, f(u, у) > 0 (если / (^ х) = f (у, у), это вытекает из условия (а), а если f (у, х) =# =^Ц (^, У),~из условия (с)); мы пришли к противоречию. Ч. Т. Д.

В качестве приложения этого результата мы можем получить следующее обобщение теоремы 5.1.4 и ее усиления, отмеченного в замечании к ней.

Следствие 2. Пусть Е и С такие же, как и раньше, множество С компактно, и А — отображение из С в Е* (где Е* — пространство, сопряженное к Е), удовлетворяющее условиям*.

для х,у ^С из (Ах, х — у) ^ 0 следует, что (Ау, у — х) ^ 0;

А непрерывно на конечномерных линейных подпро^ странствах,

Тогда существует такое хйеС, что

(Лх0, х0 — у) ^ О для всех уеС,

Доказательство. Положим f (х, у) = (Лх, х — у). Функция / линейна по у, и легко проверяется справедливость всех условий из следствия 1. Ч. Т. Д.

Доказательство теоремы 5.2.3 основано на бесконечномерном варианте леммы Кнастера — Куратовского — Мазуркевича из п. 1.6.4. (Приводимый ниже вариант представляет собой незначительное обобщение варианта Ки Фаня.)

Лемма. Пусть Е — хаусдорфово топологическое векторное пространство и X — произвольное подмножество в Е. Поставим в соответствие каждому хеХ множество F(x) в Е так, чтобы удовлетворялись условия-.

для некоторого х0 е X замыкание F (х0) == L компактно;

выпуклая оболочка всякой конечной последовательности {хь ..., х„) элементов из X содержится в соответствующем объединении \3F<xtY

(ш) для всякого х^Х пересечение множества F(х) с любым конечномерным подпространством замкнуто;

(iv) для всякого выпуклого подмножества D в Е

Тогда

П F^=/=0.

хеХ

Замечание. Предположения (Hi) и (iv), конечно, выполняются, если множество F(х) замкнуто для всякого хеХ. Ки Фань рассматривал как раз такой случай.

Доказательство. Наше утверждение верно в случае конечного числа измерений — это в точности результат п. 1.6.4. Можно считать, что хо = О. Пусть (£,), G , —класс всех конечномерных подпространств в Е, упорядоченных по включению (i>/ означает, что EjC.Et\ Из нашего результата для конечномерного случая следует, что для всякого lei найдется такое щ е L Q Et, что

щер (х) для всех х е X П Et.

Положим Ф, == у f {«/}• Тогда и е F (z) для и е Ф, и z е X f] Еи а, значит, Ф,с fl F^.

Возьмем какое-нибудь Я е П Ф< (это множество непусто

I г!

в силу компактности L), и пусть значение Zo таково, что х е Eit. Для всякого х е X можно найти такое i > /о, что хеЕ^ В силу (iv) имеем

5с (= Ф, fl Et с5с (= Ф, fl Et сГ П Г(г)1Л^ = Г Qn f^W,.

5с (= Ф, fl Et с

5с (= Ф, fl Et с

LzeXflBi J LzsZOB/ J

Поэтому Зсгр^ и, следовательно, хе П Г(х). Ч. Т. Д.

х е X

Доказательство теоремы 5.2.3. Воспользуемся полученным сейчас результатом. Для каждого у е С положим

F(z/) = (xeC|f(x, z/)<0).

Заключение теоремы эквивалентно утверждению, что р| р {у)=£ 0. Условия (О, (Hi) и (iv) леммы 5.2.4 вытекают

у е С

из условий (5), (3) и (4) соответственно. Нам остается показать, что выполняется условие (ii). Предположим, что оно не выполняется. Тогда можно выбрать такие yi и такие az^0y 1 < х п, 2 «I = 1, ЧТО S »сУ1 ^ U ^ {Ус\ т- е- f (Z <ЧУь yi) > О

O

nп X

£ °чУь Z а1У1) > О, что противоречит условию (1). Ч. Т. Д.

ПЛОТНОСТЬ ТОЧЕН ОДНОЗНАЧНОСТИМОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ

{Лекция Н. Биценхофера)

До сих пор мы имели дело с однозначными монотонными операторами. Однако для некоторых задач удобно рассматривать многозначные отображения Т, при которых точки переходят во множества. Этот параграф представляет собой изложение работы Сарантонелло [48], в которой показывается, что многозначные монотонные отображения на самом деле в большинстве точек однозначны. Сюда относятся также работы Рокафеллара [49] и [50].

Мы будем иметь дело с многозначными монотонными отображениями сепарабельного банахова пространства ^в его сопряженное X*, т. е. с отображениями Т: Х->^(Х*), где $Р (X*) = 2х* — множество всех подмножеств в X*. Для хеХ, х* е X* мы будем обозначать х* (х) через (х*, х).

Тогда существует такое х^еС, что

(Лх0, х0 — у) ^ 0 для всех деС.

Доказательство. Положим / (х, у) = (Лх, х — у). Функция f линейна по у, и легко проверяется справедливость всех условий из следствия 1. Ч. Т. Д.

Доказательство теоремы 5.2.3 основано на бесконечномерном варианте леммы Кнастера — Куратовского — Мазуркевича из п. 1.6.4. (Приводимый ниже вариант представляет собой незначительное обобщение варианта Ки Фаня.)

.4. Лемма. Пусть Е — хаусдорфово топологическое векторное пространство и X — произвольное подмножество в Е. Поставим в соответствие каждому хеХ множество F(x) в Е так, чтобы удовлетворялись условия1.

для некоторого х0^Х замыкание F(x0)^L компактно;

выпуклая оболочка всякой конечной последовательности {Xiх„) элементов из X содержится в соответствующем объединении U^M;

1

для всякого хеХ пересечение множества F (х) с любым конечномерным подпространством замкнуто;

для всякого выпуклого подмножества D в Е

Тогда

Л F(x)^0.

х е X

Замечание. Предположения (iii) и (iv), конечно, выполняются, если множество F^ замкнуто для всякого хеХ. Ки Фань рассматривал как раз такой случай.

Доказательство. Наше утверждение верно в случае конечного числа измерений — это в точности результат п. 1.6.4. Можно считать, что хо = О. Пусть (Е^ е , — класс всех конечномерных подпространств в Е, упорядоченных по включению (/>/ означает, что EjCEiV Из нашего результата для конечномерного случая следует, что для всякого iel найдется такое щ е L П Еи что

щеР^ для всех xeXHEt.

Положим Ф, = у j {«/}• Тогда tz е F(z) для и е Ф, и г е X Л Еь а, значит, Ф, с (1f(2).

Возьмем какое-нибудь Я е П ®< (это множество непусто i е I

в силу компактности L), и пусть значение i0 таково, что хеЕц. Для всякого хе X можно найти такое Z > /о, что хеЕь В силу (iv) имеем

5еФ,Л£(с5еФ,Л£(сГ n Г(г)1П^ = Г П Wln^.

5еФ,Л£(с

5еФ,Л£(с

LzGXnSj J [zeXHE, J

Поэтому хер^ и, следовательно, хе П ^(Д Ч. Т. Д.

х е X

Доказательство теоремы 5.2.3. Воспользуемся полученным сейчас результатом. Для каждого у ^ С положим

F(y) = (xeC|f(x, z/)<0}.

Заключение теоремы эквивалентно утверждению, что Q Р(у')#= 0. Условия (0, (ш) и (iv) леммы 5.2.4 вытекают

У г С

из условий (5), (3) и (4) соответственно. Нам остается показать, что выполняется условие (ii). Предположим, что оно не выполняется. Тогда можно выбрать такие yt и такие а^О,

tп

1 < X п, 2 а, = 1, что X «1У1 ^ U f toi)> т. е.

для 1 < X я- По условию (2) тогдадля 1 < X я- По условию (2) тогдачто противоречит условию (1). Ч. Т. Д.что противоречит условию (1). Ч. Т. Д.п«МП, L «/У/п«МП, L «/У/>0,>0,

для 1 < X я- По условию (2) тогда

для 1 < X я- По условию (2) тогда

что противоречит условию (1). Ч. Т. Д.

что противоречит условию (1). Ч. Т. Д.

п

«МП, L «/У/

п

«МП, L «/У/

>0,

>0,

ПЛОТНОСТЬ ТОЧЕН ОДНОЗНАЧНОСТИМОНОТОННЫХ ОПЕРАТОРОВ

(Лекция Н. Биценхофера)

До сих пор мы имели дело с однозначными монотонными операторами. Однако для некоторых задач удобно рассматривать многозначные отображения Т, при которых точки переходят во множества. Этот параграф представляет собой изложение работы Сарантонелло [48], в которой показывается, что многозначные монотонные отображения на самом деле в большинстве .точек однозначны. Сюда относятся также работы Рокафеллара [49] и [50].

Мы будем иметь дело с многозначными монотонными отображениями сепарабельного банахова пространства ^в его сопряженное X*, т. е. с отображениями Т: Х->^(Х*), где sp (X*) = 2х* — множество всех подмножеств в X*. Для х е X, х* е X* мы будем обозначать х* (х) через (х*, х).

Определение. Множество М а X X X* монотонно, если для всех пар (хр х*), (х2, х*) из М справедливо неравенство (х; — х*, Xj — х2^0. Множество М—максимальное монотонное^ если оно не содержится собственным образом в другом монотонном множестве. Многозначное отображение Т: Х->^(Х*) монотонно, если монотонен его график, т. е. если для произвольных х, у г X и для произвольно выбранных Тх, Ту^Х* справедливо неравенство {Тх — Ту, х—г/)^0. Отображение Т называется максимально монотонным, если его график — максимальный монотонный. Заметим, что Т не предполагается заданным на всём пространстве X; область его определения обозначается через D(T).

Для доказательства нашего основного результата нам понадобятся следующие определение и лемма (см. [3]).

Определение. Пусть X — вещественное локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство. Монотонный оператор Т: Х->ф(Х*) назовем локально ограниченным в точке х е X, если у этой точки имеется такая окрестность U, что Т ([/) с: X* является равностепенно непрерывным множеством.

Заметим, что если X — банахово пространство, то равностепенно непрерывные множества — это в точности ограниченные множества.

Лемма. Пусть X — банахово пространство и Т:Х->^ (X*)— максимальный монотонный оператор с intD(7)=#0. Тогда

множество intD(r) выпукло*,

int D (Т) = ЩТ);

оператор Т локально ограничен в каждой точке из intD (Г).

Чрезвычайно простое доказательство утверждения (iii) можно найти в работе Фицпатрика, Хесса и Като [51]. Наш основной результат состоит в следующем.

Теорема. Пусть X — сепарабельное банахово пространство и оператор Т: X-^QC^ монотонен. Тогда у множества Z тех точек, в которых оператор Т не однозначен, нет внутренности. Если int D (Г) Ф 0, то Z является множеством типа Fa 1). Если X конечномерно, то Z имеет лебегову меру нуль.

Доказательство. Предположим, что int 0(7)#= 0, —иначе доказывать нечего. Очевидно, что теорема справедлива для

]) Так что Z представляет собой объединение счетного числа замкнутых множеств, у каждого из которых нет внутренности.

оператора Г, если она справедлива для всех его продолжений. Поскольку всякий монотонный оператор имеет максимальное продолжение, мы можем без ограничения общности считать, что оператор Г—максимальный монотонный. Согласно лемме 5.3.2, intD(T) есть открытое выпуклое множество, замыкание которого содержит О(Г), и оператор Т локально ограничен в каждой точке из intD(r). В частности, образ Тх кля х е int D (Г) представляет собой ограниченное множество функционалов в X*. Из максимальности Т следует, что это множество также замкнуто и выпукло. Действительно, предположим, что х*, х*^Гх, 0<а<1. Тогда для всякого у е intD(Г) и всякого у* гТу

(ах* + (1 — а)х* — у*, х — у) =

= («’ + (1 — а)х* — а/ — (1 — а)у*, х — у) ==

= а(х* —/, х — у) + (1 — а)(х‘ — у*, х —у)>0.

Значит, функционал ах* + (1—а)х* тоже должен принадлежать Тх.'

Нам надо показать, что множество

Z = (х е int D (Т) | Тх — не одноэлементное множество}

имеет пустую внутренность. Чтобы сделать это, рассмотрим вещественнозначную функцию k (х, u) = sup (х*, м), х е D (Г), х* гТх

иеХ.

Утверждение L Функция &(х, к) конечна при xeintD(T). Это следует из локальной ограниченности оператора Т. Утверждение 2. При всяком фиксированном значении иг X функция ^(х, и) полунепрерывна сверху по х на intD(T).

Докажем это. Мы должны показать, что если х г int D (Г), то

к (х, и^ ^ lim к {у, и\и->х

Пусть {х„}~=1 — какая-нибудь последовательность точек из intD (Г), сходящаяся к х. Выберем такую последова- тельность {х„}” ., х*пгТхп, для которой (х^, м)->Ит Цу, и\ у->х

Из локальной ограниченности оператора Т следует, что последовательность {хп}^! ограничена в Г, а в силу относительной компактности ограниченных множеств в X* в *-сла- бой топологии можем выбрать такую подпоследовательность \х*п^ что (^Хпр и^-Цх\ и) для некоторого элемента

х* е X*. Ввиду максимальности Т имеем х* е Тх. Таким образом,

А(х, «)><х\ и) = lim (х*п и} = lim (х^, ы)= Пт к (и, и\ 1->°°П-»ооу->Х

чем утверждение 2 и доказано.

Теперь нам нужны некоторые неравенства, основанные на поведении функции к (х, и) вдоль прямых, параллельных вектору иеХ. Если х е int D (Т), то прямая {х + tu^,^ пересекает множество intD(T) по открытому отрезку. Покажем, что ^(х + /ы, и) монотонно возрастает по t на этом отрезке.’

Пусть s, t, s </,—такие вещественные числа, что x-Vsu \x + tu принадлежат int D (Г). Тогда если х* е 7 (х + tu\ xsgTUt su), то в силу монотонности Т справедливо неравенство

(xz, и) — (х^ и) = y^V (х*— **> (х + М — (х + sa)) > 0.

В .частности, для любых xj е Т (х + tu), х* е Т (х + su) имеем ^х*р u^^(x*s, и) и, значит,

inf (х^и^ sup (х*. u\ = k(x + su, и), (5.3.1) x^TU+tu).^ЦхШ *И \)

откуда следует монотонность к.

Далее,

£ (х + tu, и) = sup (х*, и\ > inf /х* и\ = XfeTtx+tu)x*^T(.x+iu)X '

= - sup (х*р -u} = -k(,x + tu, -ы)>

^еГ kx-Vtu^

> sup (х*р u\ = k{x + SU, и), x*eTlx+su)

в силу (5.3.1). Следовательно,

О^Цх-Ни, ы) + Цх-Vtu, -u^k^x-Vtu, и) —k(x-\-su, и).

Полагая s f t, получаем

0<к(х + tu, и) 4- к(х + tu, — ы)<

< & (х + tu, и) — lim к (х + su, и).(5.3.2)

Рассмотрим теперь величину

к^х, u^-Vk^x, —и)= sup (х*, и)— inf <х‘, и), х*®Тхх*еТх

и пусть {«„} ел X — такая последовательность, что если х* е X* и (х*, ып) = 0, Vn, то х* —О (напомним, что пространство X сепарабельно). Легко видеть, что для х е int D (7) образ Тх не является одноэлементным тогда и только тогда, когда k (х, ип) + k (х, — ып) > 0 для некоторого п. Итак, если положить

Z„ = (х е int D (7) | к (х, и^ + к (х, — и^ > 0), то

z= и zn.п- 1

Из формулы (5.3.2) видно, что всякой точке множества Zn, которая лежит также и на прямой (х + tu^^^, можно поставить в соответствие некоторый скачок неубывающей функции к (х + tun, ип); следовательно, множество Zn пересекает всякую прямую, параллельную вектору ип, не более чем в счетном числе точек. Поэтому intZ„ = 0. В конечномерном случае на основании теоремы Фубини мы можем сразу заключить, что каждое множество Z„, а следовательно, и множество Z имеет лебегову меру нуль.

Нам еще надо показать, что intZ=0. Для этого применим стандартное рассуждение, связанное с бэровскими категориями. Пусть

Zn, m = {xe into (Г)|^(х, U„) + ^(X, -«„)>■!■}, meZ+.

Тогда Zn= U Zn.m, причем, в силу свойства, характеризую- m-1

щего полунепрерывность сверху, каждое множество Zn> т замкнуто. Если бы intZ = 0, то мы могли бы найти в Z замкнутый непустой шар В. Поскольку этот шар В = = и (впг„,т) является множеством второй категории1) п—1, m—1

а каждое из множеств В П Zn> т замкнуто, то какое-то из Z„e m, а значит, и какое-то из Zn имело бы непустую внутренность, вопреки уже доказанному.

Итак, intZ = 0, а из представления Z= U Z„, m мы П-1, т-1

видим, что Z является множеством типа F^. Ч. Т. Д.

Следствие. Пусть {Тп} — последовательность многозначных монотонных операторов, заданных на некотором открытом множестве АсХ. Тогда множество точек, в которых все Т^ одновременно однозначны, плотно в А.

2) То есть, в бурбакистской терминологии, нетощим. — Прим, ред.

Доказательство. Объединение счетного числа множеств типа Fa снова является множеством типа Fo. Поэтому здесь можно применить те же рассуждения с бэровскими категориями.

Приложение к субдифференциалам,

Пусть опять X — вещественное сепарабельное банахово пространство и X* — его сопряженное.

Определение. Собственной выпуклой функцией на X называется функция f: Jf —*■ R. U {°°}, не равная тождественно бесконечности.

Пусть f — собственная выпуклая функция на X и х е X. Элемент х*еХ* называется субградиентом функции f в точке х, если f(y)^f (х) + (х*, у — х) для всех у е X. Множество всех субградиентов х* функции / в точке х обозначается через df(x), а отображение df: Х-*Х*, действующее по правилу х>—>df(x), называется субдифференциалом функции /. Подчеркнем, что df есть многозначное отображение.

Например, если f — выпуклая функция на открытом выпуклом множестве U с R" и существует градиент Vf(x0), то, как известно,

f (х) — / (х0) > Vf (х0) (х — х0), Vx е U, т. е. Vf (х0) е df (х0).

Упражнение. Докажите, что df: Х->^(Х*) есть монотонный оператор.

В качестве первого примера рассмотрим случай, когда К cz X есть непустое замкнутое выпуклое множество. Опре- де. им индикаторную функцию множества К формулой

(О, хе К,л х ( оо, х ф К.

Очевидно, б^ является собственной выпуклой функцией на X. При х ф К неравенство

6д (</) > ^ (х) + (х*, у — х), Му е X, не выполняется ни для одного элемента х* s X*, а при х г К это неравенство сводится к неравенству' •

(х*, у-х)<0, Муе К.

Таким образом, х*едбк(х) тогда и только тогда, когда

у@К, и (х*, у — х)^0, МуеК^

Такой элемент х* е X* называется нормалью к множеству К в точке х.

Аналогичным образом можно рассмотреть обратное отображение и поставить в соответствии каждому элементу х* е К* фасад множества К, перпендикулярный к х*:

FK (х*) = {х е ^ | (х*, х) = sup (х*, у».

у ек

При этом х* является внешней нормалью к множеству К в точке х. Поскольку FK представляет собой (многозначный) оператор, обратный к дбк, он тоже монотонен — потому что у них один и тот же график. Поэтому, если пространство X* сепарабельно, из нашей теоремы вытекает такое

Следствие. Множество тех нормалей к замкнутому выпуклому множеству в банаховом пространстве с сепарабельным сопряженным, которые являются нормалями более чем для одной точки, имеет пустую внутренность (а в конечномерном случае имеет меру нуль).

Рассмотрим теперь функционал Минковского, или опорную функцию замкнутого выпуклого множества Кл

Рк (^ = inf {а > 0 | а-1х е /С}.

Применение нашей теоремы к субдифференциалу дрк приводит к следующему результату:

если у выпуклого подмножества сепарабельного банахова пространства непустая внутренность, то оно обладает единственным касательным функционалом в каждой точке некоторого плотного подмножества своей границы.

Это следует из того, что если fedp^x), то

Рк (у) — Рк to >f(y) — f to,

и, следовательно, f удовлетворяет условиям, необходимым для того, чтобы быть касательным функционалом в точке х (см. Данфорд и Шварц [103], ч. 1, гл. 5, § 9).

Выведем еще одно следствие. Пусть оператор Г: Л^фЛ"* монотонен, как и выше, и L — некоторое замкнутое линейное подпространство в X; обозначаем через IA его аннулятор в X*. Тогда Х*!^ s L*. Для произвольного xQ е X определим оператор Тl. L->-X*IL\ положив TlVxA-x^ равным классу смежности в Х*!^, содержащему 7’(х4-х0). Таким образом, оператор TL задан на аффинном многообразии Л + х0. Он монотонен, потому что монотонен оператор Т. Применяя нашу теорему, получаем

Следствие. Пусть Т: X -* X* — монотонный оператор и М — сепарабельное аффинное многообразие в X. Тогда

множество точек из М, в которых множество Тх не ортогонально к М, не имеет внутренности в М (и, если М конечномерно, есть множество меры нуль).

Ортогональность здесь означает, что разность любых двух точек из Тх аннулирует разность любых двух точек из М. Поскольку оператор Tl по существу однозначен, это означает, что любые два функционала из Тх лежат в одном и том же классе смежности в Х^М1- и, следовательно, их разность принадлежит Af1.

Глава б

Обобщенная теоремао неявной функции

(Лекции Э. Цендера)

В классической теореме о неявной функции речь идет о разрешимости уравнения

F(L и) = 0,где F — гладкое отображение некоторой окрестности точки(fo, «о) в пространстве X X Y в пространство Z; простран-ства X, Y и Z являются при этом банаховыми. Предполагая, чтоF (^,щ) = О

и что точка f близка к f0, мы хотим разрешить уравнение F(f,u) = 0 относительно и. Если отображение Ftt(f0, и^ = = D2F(f0,u0) имеет ограниченное обратное Ftt (f0, «о)-1: Z-> -Y, то существует единственное решение «(f), для которого ы (fo) = “о- Мы будем использовать для пространства ограниченных линейных отображений пространства Z в банахово пространство Y обозначение L (Z, У) ’).

После появления работы Нэша [52] большой интерес привлекла ситуация, когда отображение D2F (fo,«o)-1 неограни- чено. Например, пусть отображение F действует на функции f, и, заданные на некотором компактном многообразии, и пусть X = С1+№, Y = Cz+B, Z = Cz~“, где / ^ а (мы пользуемся обозначениями § 2.5). Отображение D2F~' может существовать, но приводить к потере производных, скажем, D2F~' е е (Cz-°, Cz+B~6) для некоторого б > 0. К этому случаю классическая теорема о неявной функции неприложима, и здесь обычный итерационный метод Пикара для решения уравнения F (f,«) = 0 не работает.

В своей важной работе [53] Мозер развил общий подход к подобным задачам. В этом подходе предполагается обратимость отображения D2F(f,u) для точек (f,«), „близких" к (fo,“о), а обычный итерационный метод Пикара заменяется другим, быстрее сходящимся методом (типа метода Ньютона), который применяется в сочетании с техникой сглаживающих

операторов). В гл. II книги Дж. Шварца [1] приведен один из вариантов такого результата. В близком подходе, связанном с более ранней работой Колмогорова и Арнольда о малых знаменателях в задачах механики, используются аналитические аппроксимации функций. Целый ряд приложений можно найти в красивой работе Мозера [54].

Существует много способов изложения обобщенной теоремы о неявной функции, которую обычно называют теоремой Нэша—Мозера о неявной функции, и выбор способа изложения зависит от того, какие приложения имеются в виду. Нередко возникают трудности при проверке того, что для данной конкретной задачи выполняются условия соответствующей теоремы. В этой главе мы представим несколько вариантов метода; в одних модельной ситуацией служит ситуация с аналитическими функциями, в других используются аналоги С°°-сглаживающих операторов. В последнем параграфе мы укажем одно приложение к задаче о сопряжении векторных полей на торе.

В наших рассмотрениях мы нс будем предполагать, что отображение D2F^f,u) имеет обратное, а наложим более слабое требование, что для него существует приближенное обратное K\^f,uY Отображение т) должно быть таким, чтобы для некоторых подходящих норм выполнялось неравенство

[ D2F (ft и) о т] у, и) — 1К const | F У, и) |.

Таким образом, требуется, чтобы т] было точным обратным только в точках (f, и\ удовлетворяющих уравнению F (f, и) = 0.

В этих лекциях мы изложим некоторые из результатов, анонсированных в [55]).

Сначала займемся случаем аналитических функций, но рассмотрим более абстрактную постановку вопроса.

С°°-СГЛАЖИВАНИЕ;

„АНАЛИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ»

Начнем с абстрактной подстановки задачи. Она довольно близка к той, которая использовалась в работах Грина и Якобовича [56], Якобовича [57] и Ниренберга [58].

Рассмотрим три однопараметрических семейства банаховых пространств Х0) Yo и Zo на замкнутом единичном интервале 0 ^ а ^ 1, такие, что для 0 ^ а' ^ а ^ 1

а нормы | • |а удовлетворяют неравенству

(6.1.2)

для всех f е Ха и 0 ^ о' ^ о. (Аналогичные условия выполнены для Уо и Z„.)

Вот пример таких пространств Хо.

Пусть Та — комплексная полоса:

Га = {xeC"||Imx/|< ст, /=1, ..., п\

Пусть, далее, m ^ 0 — целое число и А (о, Ст) — множество голоморфных функций и (х) на полосе Та, которые вещественны при вещественных аргументах (т. е. удовлетворяют условию ы(х)=м(х)) и периодичны по каждому из х} с периодом 1. Введем нормы

\u\o>cm = SUP ^“«Wl-тоta|<m

Иными словами, в полосе Та берется верхняя грань всех производных функции м до порядка tn включительно. Используя интегральную формулу Коши, можно вывести, что

| и |у cm^ const | о — а' |г-т| и | ct для 1<_гп и с' < ст.

Берем Ха = A (ст, С”1) при ст > 0 и Хо = Ст (Тп), где Тп — вещественный тор (соответствующий единичному периоду по каждому ИЗ Х}\

Другие примеры появятся позже.

Пусть F — отображение с областью определения в Хо X Уо и значениями в Zo, такое, что

F(fo. «о) = О,(6.1.3)

где (fo, и0) е Ху X У: (наименьшие пространства!). Чтобы задать область определения отображения F, введем в рассмотрение открытые шары Во с: Хо X Yo:

ВО = Ш, u)^XaXYa\\f-f0\a<N, \u-u0\o<R\

где N и R — некоторые фиксированные константы, N > О, О < R ^ 1. Предположим, что F определено для У, и)е В0 и F(B0)cZa для всех O^ct^I, причем отображение

F: Ba^Za(6.1.4)

непрерывно для каждого О^ст^ 1. Наша цель состоит в том, чтобы при заданной паре У, и) ^ Ва, ст > 0, разрешить уравнение F У, у) = О относительно у для у, достаточно близких к и в некотором большем пространстве Уа', ст' < ст, —в предположении, что норма [ F У, и) b достаточно мала. Рассмотрим

следующие три условия, в которых Af^l, у>0 и а^О — некоторые фиксированные константы.

Условия (Н1— НЗ)'). (Ш) Оценка Тэйлора. Для каждого в, 0 <ст^1, и каждого /еХаЛВа отображение F(,f, •): УаП Во~*Za', o'< ст, дифференцируемо по Фреше. Обозначим его производную в точке (/, и) е S„ через dF (f, и). Для (f, я), (f, у) е Ва величина

Q (f-, и, о^Г а, и) - F V, v) - dF V, у) (я - у)

удовлетворяет оценке

I Q У; и. о) к< ^Z^a । “ ~ U £ ДЛЯ всех °' < °-

(Н2) Равномерное условие Липшица по первому аргументу. Для каждого ст, 0 < ст^ 1, при любых (f, я), (g, я) еВ„

\РУ, u)-FU, u)\a^M\f-g\a.

(НЗ) Приближенное правое обратное отображение с пока* зателем потери у. Для каждого ст, 0 < ст ^ 1, и каждой точки (/, к) еВ, существует при всех ст'< ст такое линейное отображение т] (f, я) е L (Za, Уа'), что для всех z eZ,

И (Л “MZ)la'<-^ZV^"|z|"

И

\W4L K)°n(f, «)-D(z)la'<-^—^+vrl^(f. «)blzla-

На самом деле эти оценки понадобятся нам лишь для z = F^, и).

Теорема. Пусть отображение F удовлетворяет условиям (Н1) и (НЗ). Тогда существует такая константа С > О, зависящая от М, а и у, что если точка (f, и^ е Во при некотором a > 0 удовлетворяет условиям | и — uQ |a г ^ R и

\F(f,u)\a<tC{.R-r)^

для некоторого g^2(a + y), то существует точка я^еУа/2П (] Sa/2, для которой

F(f,Uf) = O,

|я/-я|о/2<С-1|Г(/, я)|аст-\

Доказательство. Мы воспользуемся итерационным методом Ньютона, но при этом будем применять приближенное правое обратное ц(1, и) из условия (НЗ) вместо точного об-

?) Н — от hypothesis. — Прим. ред.

ратного к dF(f, и), которого может и не существовать. Определим по индукции последовательность (ип\ /г^О, которая сходится в Уа/2 к некоторому решению уравнения F (f, и) = 0. Начнем с ы0 =м (гДе и — то самое, что фигурирует в формулировке теоремы) и положим при и = 0, 1, ...

ип+г=ип — ч^, un)F У, ип\(6.1.5)

Чтобы ниже выполнить шаг индукции, введем заранее последовательность малых чисел (е„), и ^ 0, следующим образом: е„+1 = abne^ 1 < х < 2,(6.1.6)

где а = M32e (a+v)+2> а 6 = 22 <a+v>. Если е0 достаточно мало, эта последовательность экспоненциально сходится к нулю. - „я (х-1)-1 «ntx-D-^ex-l)-2

Действительно, если положить оп = а овп,

то бп+1 = б„, так что б„ = 6?", и мы имеем

вп = а оОд ;

в доказательстве значение е0 будет выбрано достаточно малым. Мы воспользуемся еще следующей оценкой:

в2<а6"в2<е„+1<1.(6.1.7)

Для того чтобы помечать наши пространства, введем для сг > 0 последовательности (оп)„>о и (тп)п>1 формулами ап = = <т (1 + 2~")/2 и то+1 = (an+1 + о„)/2, n = 0, 1, ... . Заметим, что Сто = о, Чт °П. = о/2 и an+[ < тп+1 < ап.

Выберем q ^ 2 (о + у). Мы докажем теперь, что существует такая константа С > 0, что если

1Ш«)1ч<(Я-г)<^

для некоторого O^v^l, то при всяком п^О справедлива следующая тройка S (и) утверждений *) относительно последовательности (ип)„>0> индуктивно заданной формулой (6.1.5):

S (nl)(f, «„) е ВОп, | F (f, и^ |,я < v ^.R - г) а^,

8 (n2)(f, ип^ е Bs+1, | ы„+1 - ип ls+i < v (В — г) <r?-ve^,

S (пЗ) | ип+х — и |Тя+1 < (В - г) (1 - е„).

Параметр v введен по следующей причине: если | /*" (f, м)^^ ^ (В — г) Со4, то существует такое 0 < v ^ 1, что | F (f, и) |о = = v (/? — г) Со”; это равенство позволит нам оценить решение через IF(f, «) Lr- Из 5(и1) видно, что FQ, u^-уО в ZaJ2 при

п->оо. В силу S (м2) последовательность (^)п>0 является последовательностью Коши в пространстве Ка/2- Положив ^ = Итмл, в силу непрерывности F, имеем F^, и^ = 0. Утверждение S (м3) гарантирует нам, что мы остаемся в области определения отображения F и можем продолжить индукцию, а именно что

1- “°- и к+1 +1 “ - “о к„+1 <

<(^-г)(1-8,) + г</?.

Утверждения S (/г) доказываются по индукции. Утверждения S (0) следуют из условия малости | F (f, и) |ст, а именно из того, что | F (f, и) |„ ^ v (R — г) Сoq, если С ^ ej. Здесь используются те же оценки, что и ниже —на очередном шаге индукции. Предположим теперь, что утверждения справедливы для 1</<п, и докажем утверждения S(n+1). Мы знаем, что (f, и^, (f, ип+1) е В^п+1 с Вап+1. Используя определение (6.1.5) приближения и„+ь мы можем записать

F (f, «ге+1) = — VdF У, ип") о т) (/, «„) - 1) (F (f, и^ + Q У, ип+х,ип\ (6.1.8)

В силу условий (НЗ) и (Н1), мы получаем следующую оценку (в которой опущена зависимость от f):

/М।М3\ . р , у .2

"Ч К - а„+,)2 <a+v> ^ (т„+, - о„+ ,)2° ^п - т„+ .Н ^ Vn*

Подставляя сюда выражения для о„, т„ из определения этих последовательностей, мы находим, что

| F (ип+х) Iffn+1 < 0-2 ^>abV (/? - rVq 8*.

Поскольку R, v, a ^ 1 и ^ ^ 2 (a + у), это выражение можно оценить так: v(R — г) cqabn6sn ^ v (R — г) сг^е^,; здесь мы воспользовались неравенствами (6.1.7). Таким образом, утверждения S(«+l, 1) доказаны.

Введя обозначение un+2 — ип+1 syn+1, мы с учетом формулы (6.1.5) и условия (НЗ) получаем оценку

Используя утверждение S(n+1, 1) и формулу (6.1.6), нахо* дим, что

1 V"+1 к+2 ^ v ^ - г) ^аЬХ^ ^ - г) ^"Ч+г

Этим доказано утверждение S(n+ 1, 2). Тот факт, что эле* мент (f, un+2) лежит в Вт„+г легко следует из оценки

I «.-.2 — « 1т„+, <I “"+1 “ “ к+. + 1 V“+] 4+2 <

< W - г) (1 - + ==„«) < № - г) (1 - еп+|), справедливой, если е0 достаточно мало; здесь использовано утверждение S(n3).

Чтобы доказать оценку (И) нашей теоремы, заметим, что из утверждения S (п2) вытекает, что для всех n ^ 1

I «я - « L/2 < Д1 Уп ^ ^ V ^ ~ ^ °Ч~Ч „§0 8"*

Последнюю величину можно оценить величиной v (/? — г) qI-t^ выбрав во настолько малым, чтобы У, 8^ < 1. Поэтому |«/— и |а/2 < v (/? — г) o<’,-v. Наконец, возьмем С = е^. Если теперь | F (f, и) U < (В — г) Со4, то положим v = | F (f, u) |о X X С-1 (В — г)"’ а-4 и найдем, что \и^ — и |о/2 ^ С-11F (f, и) |а <$~ч. Ч. Т. Д.

Заметим, что приближенное правое обратное ц(а, и) для dF(f, и) является точным правым обратным для каждого решения уравнения ^(f, ы) = 0 в следующем смысле: если (f, ы) е Во, ст > 0, есть такое решение, то поскольку т] (f, и) е е L (Za, Ya') o' < ст, отображение dF (f, ы) ° т) (f, и): Z0-*Z0', ст'< ст, является непрерывным вложением Zaic*Zo.

Теперь мы коротко остановимся на вопросах единственности и зависимости от параметров и на возможных модификациях теоремы.

Единственность. Поскольку у нас нет левого обратного к dFQ, и\ единственности решения ожидать не приходится. Покажем, что локальная единственность гарантируется естественным требованием существования приближенного левого обратного: для каждых ст > 0 и (f, и) е Во существует такое линейное отображение ^(f, u)eZ(Z0, Уд') при всех o' < а, что для любых z е Za, и е Уо

lUf.uX^^^^^lzIo(6.1.9)

6 Л, Ниренберг

и

ia<f, «wry, «)- Dei,,<—^2to+,jr(Mljn^^

Пусть F удовлетворяет условию (Ш) и у dF имеется приближенное левое обратное. Пусть, далее, элементы (/, и), (f, о)еВс, о>0, таковы, что F(f, u)~F(f, у) = 0. Если \и — о^^Со9, где С и q те же, что и в теореме 6.1.1, то и=у в пространстве Ко/2-

В самом деле, положив и — v stye Yo, мы получаем, что dF(f, uHi®) = Q(h и, у) и потому

\dFV, ц)^--^?, (6.1.11)

для всех o'< s < а. С другой стороны, из (6.1.10) видно, что ^(f, u)°dF(f, u^w = w в пространстве Ya', о' < а. С учетом (6.1.9) и (6.1.11) отсюда получается оценка: для всех o' < s ^ а

М292 <а+У)9

Ityl , <■ ,—lty I2.(6.1.12)

I 1а,(a+V) 1 's'/

Из (6.1.12) затем по индукции выводится, что если | да |а^о^С, то справедлива оценка | да |а ^ а»^, о„ = a(l + 2~п)12. Следовательно, w = 0 в Yo^.

Зависимость от параметра. Будем считать, что в условии (НЗ) приближенное правое обратное ц непрерывно, т. е. что для всякой пары (</, о), 0 < о' < о, отображение т): Ва^ —>L(Z0, Yo-\ (f, «)^—>rj(f, и) непрерывно.

Следствие. Пусть отображение F таково же, как в теореме 6.1.1, и пусть, кроме того, отображение г) непрерывно. Если отображение

ф: D-*Ba, w н-> ф (да) =: (ф1 (да), ф2(да)), сг>0, заданное на открытом подмножестве D некоторого банахова пространства IT, непрерывно и для всех weD удовлетворяет двум оценкам; | ф2 (да) |a ^ г < R и | F ° ф (да) |a < С (R — г) о9, еде С и q те же, что в теореме 6.1.1, то существует такая непрерывная функция 9: D-> YauПВа12, что для всех weD

F^Aw), 0(ty)) = 0,

| 9 (ty) — ф2 (ty) |a/2 < С-1 F о ф (ty) |0 a-v.

Доказательство. Как при доказательстве теоремы 6.1.1, зададим функцию В формулой 6 (ty) = lim u/(w) в Ya^, здесь /->оо

«о(^) = Ф2(®)еУаПВа, а ы/+1 (aw) = «, (о>) — ц (ф, (ге>), «Дау))- • (^(фДда), Uj (ay))) е Ут П Bai+1- Покажем, что функция О является равномерным пределом непрерывных функций и потому сама непрерывна. Поскольку отображение т) непрерывно и ^(фДау), Uj-^w^ линейно, функции и;: D-* BOj->YaJ2 непрерывны. Далее, имеет место равномерная оценка

sup | м/+1 (оу) - ^ (оу) |а/+1 < (/? - г) o’-v е3.

Значит, функция 6 непрерывна. Оценка (ii) получается так же, как в теореме 6.1.1. Ч. Т. Д.

Модификации. В формулировке условий обобщенной теоремы о неявной функции типа теоремы 6.1.1 имеется, конечно, большой произвол. Условия диктуются характером задач, которые рассматриваются. В частности, наши условия, выбранные за свою простоту, пригодны для многих задач с малыми знаменателями, возникающих в небесной механике. Однако разнообразные, в широких пределах, модификации этих условий приводят к теоремам существования того же типа.

Упомянем здесь только один вариант. Условие непрерывности отображения (6.1.4) можно заменить условиями непрерывности отображений F". Bq-^ZqU F: Bc-*Za', 0^o' < ст. В условии (Н1) требование гладкости можно заменить следующим требованием: для каждых ст > 0 и (f, «) е Ва существует при всяком ст'< ст отображение ф(Л и) из Ya в Za’, удовлетворяющее следующим двум оценкам, заменяющим оценку в (Н1) и вторую из оценок в (НЗ): если для (f, и), (/, у) е Во положить

QV; и, u) = F(f, u) — F(L у) —ф(Л у)(« —у), то для всех а' < а

IQ(f; и, у)1в<<

«TS^T^f^^- о)^,|и—0|“+1“ —о|’+^ <6МЗ) и

1(ф(Л V)0 n (f. и) - 1) (г) ^ <

<^^ ('^") fr । г<Л 44 ^ |^<6-и3')

для всех z е Za; здесь рг > 0, 1 ^ t ^ 4 — некоторые фиксированные константы. При этих модифицированных условиях утверждения теоремы 6.1.1 остаются в силе, правда, возможно

с ббльшим q (но с тем же 7!). Доказательство вполне аналогично проведенному выше, надо просто заменить dFQ, и) на ф(/, и\ Однако скорость сходимости итераций, которая измеряется значением х>1 в формуле (6.1.6), оказывается медленнее: здесь 1 < х < 2, если только мы не имеем дело со случаем, когда 0Z = 1, l^t^4 (заметим, что в доказательстве теоремы 6.1.1 мы могли выбрать х = 2).

Теорема 6.1.1 по своей природе количественная, и мы будем использовать ее итеративным образом, распространяя утверждение о существовании решения на более широкие пространства, с тем чтобы в дальнейшем работать с пространствами дифференцируемых функций. Между пространствами Хо и Хо, о > 0, мы вставим целое семейство (Хо)1>о банаховых пространств, являющихся подпространствами в Хо, которые удовлетворяют при всех 0 < I' ^ I < оо и всех ст > О условию

Хо=>Х^Х^Хо = П Х^Х0оХь

1>0

Наши новые пространства естественным образом характеризуются тем, как они могут аппроксимироваться меньшими пространствами Ха, ст>0, причем эта характеристика по своей природе количественная.

6.1.2. Пространства Хо, 0 < Z < оо. Пусть 0 < / < оо и 0<ст^1. Назовем последовательность yi^j>Qc.X0 (ст, (^-последовательностью, если Ло = О, h(eX2-ia и sup^t \h( — hj-x l)2_/a < °0. Для такой последовательности положим

Wl = sup (2/z I hj - ht_x |2_/a). (6.1.14)

Заметим, что всякая (ст, /^последовательность (/?,), удовлетворяющая неравенствам | hj — hj_x |0^ 2-,z [(/i/)] для всех / ^ 1 и для некоторого Z > 0, является последовательностью Коши в пространстве Хо, причем / указывает на скорость сходимости. Обозначив предел этой последовательности через (г;

h = lim Н, e Хй,j->OO

мы можем записать h= У, (hj— h,-^ и вывести оценку

IA lo^CS'— I)*1 [(Ау)].IA lo^CS'— I)*1 [(Ау)].(6.1.16)(6.1.16)

IA lo^CS'— I)*1 [(Ау)].

IA lo^CS'— I)*1 [(Ау)].

(6.1.16)

(6.1.16)

Для всех 0 < I < оо и О < о ^ 1 определим теперь линейные подпространства Хо’’ ° с Хо следующим образом:

Х^’ z> = (А е Хд |Э(ст, ^-последовательность hj, такая, что hj-^h в Хо}.

Ясно, что Ха- с: Хд' h при всех o' > 0. Действительно, пусть heXg-. Выберем такое /o^Z, что 2-,0а^о', и зададим последовательность (АД положив h/ — Q при O^/^jo—1, hj = he X2-j0 при />/0. Ясно, что тогда h(->h в Хо и [(A/)] = 2/“z|A|2_/^

Обозначим через S (а, /; Л) класс эквивалентности (a, Z)-no- следовательностей (А/), для которых lim h} = h в Хо, и введем /->оо

в пространстве Хо°’ ° следующую норму:

II h ||(о, п - inf [(АД, heX^n. (6.1.16)

S (о, I; Л)

Отметим, что, как следует из оценки (6.1.15), IIA Ik», z)^ >(2z-l)|Ab.

Лемма 1. Пространство Xq°’ Z) с нормой |[- ||(0>z) является банаховым пространством.

Доказательство. Для краткости будем писать || A ||z вместо IIА ||(0, о- Пусть (A(rt))„ с. Xq0, ° — последовательность Коши. Выберем такую ее подпоследовательность (А(п))п, что

UW _ ^n+i)^2-<п+1).(6.1.17)

Достаточно показать, что существует элемент А е Хо"’ 1\ такой, что, каково бы ни было е > 0, || А<л) — А ||г < е при п> N (в). В силу неравенства (6.1.17), можно найти такую (а, /)-после- довательность (A/n))/>0eS(o, /; А(п)), что

[(А^ - А}"+1))] < 2""(6.1.18)

при всех п. Покажем, что при фиксированном / ^0 последовательность (д<га))га>о сХ2~/а является последовательностью Коши в Х2-/о. Для этого докажем, что при n = 0, 1, ...

I А(п) _ кы^ | _^ ^ 2-п6 (1 _ gpi, (6.1.19)

где 0 = 2-z. Оценка (6.1.19) следует из оценки

l/^-At/1-*-1^,, <2"" 2 6s, 6 = 2-z,s—1

которую мы докажем по индукции.

При / = 0 имеем /го" =0 для всех п^О. Чтобы сделать шаг индукции — перейти от / к /4-1, — заметим, что, в силу неравенства (6.1.18),

|- h^ - W - h^} |2-Da < 2-v+1) Ч-п. (6.1.20)

Откуда вытекает оценка

1 М+1 - М+°|2-(/+1)а<

< I ОК, - н',^ - №’ - kW |г_0+„, + + 1 п1,"' -h^0

<2<2-(/+!) z2~"-(/+!) z2~"//+1

<2

<2

-(/+!) z2~"

-(/+!) z2~"

+ 2-" 2 0s = 2-" 2 0s.

S“1s=-l

Обозначив предел последовательности Коши (№*Л с X , через hp h; е X2-ja, мы получаем из равенства Л*л’ — h( = = 2 (М$> — М$+1)) и неравенства (6.1.19) оценку s>n

(6.1.21)(6.1.21)| h^ - hj |2_/a < ^n"^(1 - Q)-1.

(6.1.21)

(6.1.21)

Покажем теперь, что (А/)/>0 есть (ст, /^последовательность. Из (6.1.18) видно, что [(А/п))3^.М при всех п^О для некоторого М > 0. Записав

hj — hf-i = (й/ — h^ + (М"' — M-i) + (M-i — ^/-i)» находим, что

2"|Л/-'Ч-Ч-/.<2"1*|-Л!",|2-/,+

+ 2'W’-*B.U + 2''|V,-hP, V,„

где правая часть не превосходит 2М при достаточно больших п, потому что h^ -> h] в Х2- jg. Следовательно,

[(А,)] = sup (2,z | hj — h(-x |2_ /(J) < 2M < oo, и (hj') является (ст, ^-последовательностью, принадлежащей S (ст, I; h) для некоторого единственного h е Х^* °.

Покажем, наконец, что Цл*"'— й|г ^ 2“"(1 — 0)-1. Воспользуемся тождеством

Ир - hfl, - (Л, -/=,.,)= s w - НГ” - to-2, - Лйп)) +

Учитывая оценку (6.1.20) и устремляя /п к со, получим

m

<2- Е »' + 2"(|-h,I,-+ W-t" -h.-A,-,.)<

< 2'" (1 - 6)"'.

В силу нашего определения нормы последняя оценка показы* вает, что ^hw — й||( ^ [(й/"1 — й/)] ^ 2-”(1 — О)-1. Таким обра* зом, последовательность Коши hw сходится к й в Хо”’ ^. Ч. Т. Д.

В дальнейшем нам понадобится еще следующая тривиальная, но типичная лемма.

Лемма 2. Пусть (hj)!>0 есть (ст, iy последовательность с Птй/ = й в Хо. Тогда она является последовательностью Коши в Х^‘ 1^ для всех V < I,

1|й„-й„_1||г<2-"(,-Г)[(й/)]

и Нт hn = h в Хо”’1

П->°о

Доказательство. Чтобы оценить П й„ — й„-! f|(a> Vy выберем последовательность (g/)/>0 G $ ^°» ^’ ^« — ^л-i) следующим образом: ^ = 0, 0</<га, и g} = hn — hn_x еX2-ia, j^n. Тогда

II й„ - й„-! ||(01 П < [(^/)] = sup (2"' | gj - g,-t |2-/„) == 2"г |й„ - hn_x |2_„а < 2-" ^ [(й/)].

Предположим, что Пт й„ — й* ||г = 0. Из неравенства IIй„— й*||г >(2Г — 1)| й„ — й*|0 следует, что й* = й. Ч. Т. Д.

Из определения пространств Хо’’ ^ сразу видно, что для всех 0 < f ^ I < оо и всех й е Хо°’11

Х^’ П 3 Х^’ hХ^’ П 3 Х^’ hII ^ 11(0, /') ^II ^ 11(0, /') ^2"(/"Г)11й||(а,/к2"(/"Г)11й||(а,/к(6.1.22)(6.1.22)

Х^’ П 3 Х^’ h

Х^’ П 3 Х^’ h

II ^ 11(0, /') ^

II ^ 11(0, /') ^

2"(/"Г)11й||(а,/к

2"(/"Г)11й||(а,/к

(6.1.22)

(6.1.22)

Очевидно, Х(оа,1) = Хо1 для всех 0 < ст', ст^1, причем соответствующие нормы эквивалентны. Поэтому введем обозначение Хо = Хо"’ ° для всех ст > 0 и зафиксируем раз и навсегда

какую-нибудь одну из норм, обозначив ее через || • ||z. Положим

№ П ^.(6.1.23)

!>0

Располагая всеми этими пространствами, введем теперь понятие аналитического сглаживания (С“-сглаживания).

Определение. Аналитическое сглаживание в шкале (^о)„>0 элементов пространств (Xo)z>o—это такое семейство (S#)<>0 Линейных операторов Sf^ L(X0, Х^ вместе с константами fe(/)>0, заданными для всех 0</<оо, для которого выполняются следующие три условия:

lim KSt-1)«|о = О, иеХ0, (6.1.24) t->OO

| St« I,-!<&(/) II u||z, иеХа,(6.1.25)

| (ST - St)и |^i ^Г11г^IIMP иеХ», t>/>1. (6.1.26) Из условия (6.1.24) следует, в частности, что Л'^Ао плотно в Xti. Условие (6.1.26) утверждает, что сходимость Stu-*u при t-*oo тем быстрее, чем меньше пространство Хо, к которому принадлежит и. Условия (6.1.25) и (6.1.26) представляют собой оценки в пространствах Хо, о > 0.

Теорема. Пусть, в нашей постановке задачи, отображение F удовлетворяет условиям (Ш — НЗ). Предположим, что существует аналитическое сглаживание (St)t>o в Хо элементов из (Х^)^, и пусть q^2 (u+у). Тогда существует такая открытая окрестность D элемента f0 в Х^ и такое отображение ф: D-^-YV4, что

F ^, -ф (/)) = 0 для всех f eD,

ф (D П -^о) с- yo"v для всех 1^4-

В частности, ф(Л П X”) с Y”. Кроме того, если f^DfjX^ l^q, то

(Hi) 11Ф(0 —«oik <^mZ (If — f0||z для всех m<l — y.

Здесь СmI > 0 —константа, зависящая от m и I. Для F>q положим В‘ = ВГ\Х^ (с индуцированной топологией), D” = ^D(]X™ и ф, = ф|£>г. Если отображение т) непрерывно, то отображения

ф,: Dl->Y^, l>qф,: Dl->Y^, l>q(6.1.27)(6.1.27)

ф,: Dl->Y^, l>q

ф,: Dl->Y^, l>q

(6.1.27)

(6.1.27)

непрерывны для m < 1 — у. В частности, непрерывно отобра- жение d°°-*Y”.

Замечание. Утверждение (1) и оценка (Ш) при l — q получаются и без предположения о существовании аналитического сглаживания,

Доказательство. В доказательстве используется одна идея Ю. Мозера, которая была развита X. Якобовичем (см. литературу к гл. 6). Вместо того чтобы работать непосредственно в пространствах Хо1, Уй1 и Zoz, мы при помощи С“-сглажива- ния переходим в более узкие пространства Ха. Наш метод, по природе количественный, представляет собой метод двойной аппроксимации: мы будем решать (точно!) бесконечное количество приближенных задач в более узких пространствах, многократно используя теорему 6.1.1. Поступая так, мы сохраним в процессе итераций „максимальную гладкость", пожертвовав для этого точностью. Начнем с невозмущенного решения (/о, «о) уравнения (6.1.3):

(6.1.28)

Это решение по предположению уже принадлежит XjXKi— произведению самых узких пространств. Выберем некоторое q "> 2 (а + у) и зададим окрестность D czXo элемента f0 так:

D-ffe^lllf-M^},(6.1.29)

где б, 0 < 6 < б0, достаточно мало и будет уточнено в ходе доказательства. Далее, при помощи сглаживаний зададим последовательность отображений (ф/)/>0,

Ф/: D~>XX) положив фо(О = fo и

Ф/(f) — fo = ^(f —/о) при />1.(6.1.30)

Здесь t^aY-i. /^1 и <т/ = 2~/а0 при /->0, а а0 —некоторое раз и навсегда фиксированное число, 0 < о0^ !• Заметим, что 2ап+1 = оп и ап |0 при п-*ео. Заметим также, что Ф/(/) — f = (S1{ — l)(f — /о) и потому, в силу (6.1.24),

lira | Ф, (f) — f Io = 0.

Повторно применяя теорему 6.1.1, построим по индукции последовательность отображений (Ф/)/>0,

ф/: D—>Yo[(\Bap

начиная с -^0^ = и0> так чтобы при подходящем выборе б0 для всех п>1 и f^D выполнялась следующая пара S(n) утверждений:

s(«d м), ^^=14, р^№ах ш=»,

s (»2) । -ф„ m - ^ m i, < c-^ । f (Ф„ (f), ^w_t (/)) । ,

где константа С > 1 та же, что в теореме 6.1,1. Введем для f гВ обозначения

Шаг 1. Проверим сначала, что если до достаточно мало, то fj е ХС(_х П ^о1_1 при всех /^1. Из условия (6.1.25) В определении семейства (St)z>0 вытекает, что при / = 1

I fi - fo U -1 S#1 У - f0) ^ < k (9) || f - f0 И,,

а из условия (6.1.26) —что при всех /^2

I h - fM la/_, = I (Stj - St,_,) а - f0) 1^! < k (?) of_2 || f - f0 II,;

следовательно, при всех /‘^ 1

If/ —fola/If/ —fola/< Ci Ilf -foil,,< Ci Ilf -foil,,

If/ —fola/

If/ —fola/

< Ci Ilf -foil,,

< Ci Ilf -foil,,

где С] = fe(^)(l + oo(l—2-‘,) *). Итак, для того чтобы удовлетворить первоначальному требованию I f/ — fo l„ <N, мы должны выбрать б0 ^СГ’ЛГ.

Шаг 2. Доказательство утверждения 5(1). Мы знаем, что ^(fo, «о) = О и (fb и^еВОб. Используя теперь в первый раз условие (Н2), мы можем получить оценку

IFУь и^ \а=\РУх, «о)- f (fo, «о) V<

< М | f, - f01,. < Mk ^ || f - f01|, < Co§R/2, которая верна при 60<C2 = Co^R/2^ k^-1 М-1. Для пары (f, «) = (fi, а^еВс,, о = о0 и r = R]2 справедливы условия теоремы 6.1.1, и мы получаем элемент их е К0[ П В01, такой, что Fyx, «1) = 0 и |И1 —«ol01<C_1o6’v|F(fi, «о)|0о.

Шаг 3. Предполагая теперь, что утверждения 5(f) справедливы при 1 ^ / ^ п, докажем справедливость утверждений S(n+ 1). В силу 5(п) имеем (f„+1, ип^гВОп и F(f„, и„) = 0.

Снова, используя (Н2), получаем оценку

IF (fn+b “п) Ьп = IF (,fn+t> Mn) F (fn, ип) ^

“ < МI f- f. I., - «| ($-„ ., - so (f - M I , .

Ввиду того что f — fo^Xo, мы можем с помощью (6.1.26) продолжать эту оценку:

^Mfe^^n\\f-f4q<C^nR12,

если 60 < Сз^С^^М-1^^)-^-". Чтобы доказать, что \ип — и0\а <RI%, воспользуемся утверждениями S (/2) при 1</<п. Имеем

пп

1“» —"оI,< X II., <С" 2 «Д H4to I.,-, <

п>0

и нам следует выбрать Ьа^.С4^,2, чтобы добиться выполнения неравенства \ип —Uq^^R/^. С учетом предыдущих оценок, мы можем применить теорему 6.1.1 к паре (f, и) = ^(fn+i, и^еВ^, где а = оп, r = R/2, и убедиться в существовании такого элемента un+1 е УОп+1 ПВо„+1, что F(fn+b ми+1) = 6 и I Mn+1 “Л^С an'i\ F Vn+b un) 1^- Тем самым индуктивное утверждение S(n+ 1) доказано.

Шаг 4- Следствия утверждений S(n), n^l. Из утверждения S(n2) получаются следующие оценки для последовательности (%)/>0 отображений %: D->Yajr\BOj с -ф0 (f) = «0:

I ti (f) - «о U < С-'о^ | Stl (f - f0) 1,-ь

I (f) -, (О Ц < c-'M^, I (S,, - s,,_,) (f - to I,,,.

Поэтому в силу неравенства (6.1.26), если feDn^o> F^q. и, значит, f — fo^Xo, то для всех />1

| ^ (f) - ^_, <h | < К (П а'"’ || f - f0 |р(6.1.31)

где КЦ^ = С~хМк^^1 а^1-^. Таким образом для каждого элемента feDfl^o последовательность (<o/(f))/>o, <»/(f) = = ’Ф/(Л-"“о> является (ст0, / — у)-последовательностью в Уо и sup (г^^11 ^ (f) - -Ф,-! (f) Q < К (Z) II f - fo Hr (6.1.32)

Заметим, что />^>у и потому (cD/(f))/>0 есть последовательность Коши в пространстве Уо; обозначим ее предел через -ф (f) — «о- По определению -ф (f) — н0 е Уо-'. Следовательно, ф (f) е Ко v. С другой стороны, мы знаем, что lim | ф, (f) — f |0 — О, и, используя тот факт, что отображение F: Хо X Y0^Z0 непрерывно, мы заключаем с учетом утверждения S(nl), что РУ, ФШ) = 0 для всех j е D. Но как мы только что видели, ф (D П Хо) с Ko-v при всех /><7. Тем самым доказаны утверждения (i) и (ii) теоремы 6.1.4. Далее, согласно лемме 2, последовательность (ф/(Л)/>0, feDf|A"o, является последовательностью Коши в пространствах Хо1 для всех m</ —у и, согласно оценке (6.1.31),

II % m - ^i (fo) IL < 2-e/ к (/) II f - f0 Ik (6.1.33)

при 8 = I—у—m>0, откуда легко следует искомая оценка (ш).

Шаг 5? Непрерывность. Пусть отображение ц непрерывно. Докажем, что непрерывно отображение ^f. Dl ->Y™, m < 1 — у. Поскольку St^ L ^Хо, Xt-^ то отображения фу: D/->Sa^_i А QA^-j непрерывны. Используя следствие теоремы 6.1.1, по

индукции заключаем, что непрерывны отображения фу: Dl-> ->Yv.[\B]->Y™. Здесь мы использовали тот факт, что вложение YociYq непрерывно. Согласно оценке (6.1.33), (фу(О)/>о (для f е D1^ является последовательностью Коши в У™, m < 1 — \, локально равномерно. Поэтому отображение ф, определенное формулой ф(/) = Нт фу (/), есть непрерывное /->оо

отображение из D1 в У™. Ч. Т. Д.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ СГЛАЖИВАНИЕВ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙИ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Чтобы иметь возможность применять теоремы 6.1.1 и 6.1.4 к отображениям F одних пространств функций на компактных аналитических многообразиях в другие, мы должны понять, в каких условиях эти теоремы применяются. Поскольку общий случай можно свести к случаю, когда многообразие является тором, мы ограничимся рассмотрением пространств функций на n-мерном торе Тп. Это просто пространства периодических функций на Rn с периодом 1 по каждому из аргументов. Начнем с некоторых обозначений и определений.

Положим Dj = д/dXj, Dk = D*1» D^2 о ... Dk", где k—^kx, ..., k^t

n

1^1= X kt- Для целых p>0 введем полунормы

II и |U = sup | Dku (x) |.(6.2.1)

X E 7IA1-P

В пространствах СР(Г) мы имеем нормы |«|cp = ^sup ||u||cn. Гёльдеровы пространства С1 (Г) cz Ср (Г), I = р + а, р ^ О целое число, зе(0, 1), состоят из функций и^Ср (Г), для которых | и |cz = | и |СР + II и ||cz < оо, где

|А|=р

Для всякого целого р > 1^ введем банахово пространство Ср, такое, что Ср с Ср-'’1 с: СрсС1 при всех Кр, где Ср-Х’1 — пространство функций, (р — 1)-е производные которых удовлетворяют условию Липшица. Пространство Ср определяется условием Зигмунда:

СР(Г) = {/eCp-1(7')|||f ||^р<оо},

где полунорма || f И^р задается при помощи симметричной разности:

I D*l Ы + D«f (,) - 2D*f (i <» + »>) "fb = -p n^2" <6'2'3>

l»l-.

Введем в Cp ^ норму I f l?₽ = 1 f Icp-i + Ilf feP- Отметим, что Cp-'’1 N= Cp ф С1 при всех / < p.

Для понимания ситуаций, в которых применяется теорема 6.1.1, важны следующие пространства (вещественно-) аналитических функций, заданных в комплексной окрестности тора Т. Для некоторого фиксированного г>0 определим при всех о > 0 комплексные полосы Та следующим образом:

Уд = {х е С" 11 Im х, | < го, !</<«}.(6.2.4)

Для всех lsR+ (т. е. />0) и а>0 банаховы пространства А (а, С1) определяются теперь как пространства вещественных голоморфных функций и на Та (вещественность и означает, что и (х) = и (х)) с периодом 1 по каждой из переменных, таких, что | ы |„ cz < оо, где нормы | и |0> cz определены так же.

как выше, с той лишь разницей, что верхняя грань берется по открытой окрестности Та тора Т.

Имеют место следующие хорошо известные оценки Коши: при 0 ^ I < m и о' < о

I и I/, cm < Cml (о - а')-'"1"01 и| 0, с1,(6.2.5)

где константы Ст[ зависят только от tn, I и г (г то же, что и в определении области Та\ Для целых т, I эти оценки просто получаются из формулы Коши

pfeu la _— С ( ;Н?)Д£

ии^’ (9-ЛП j •'• ) ,,Л + 1/>А+1 ’

1Л)дп (£1-^1).--(Sn-Zn)"

где dt = {£ е Р (2, р) 11 t,i — zJ = р} и к\ = ^кх\^ ... (£„!), а затем эти оценки непосредственно обобщаются на случай не целых т и I.

Очевидно, что однопараметрическое семейство пространств (М>0, гДе Хй = Ст^ и Хо = А^з, Ст\ а > 0, а ш>0- некоторое фиксированное число, обладает тем свойством, что Хо=> Ха' э Ха =Э Хх и |м0 Is^lul^^lu^ для всех 0 < о'< о и и е А (о, Ст\ Здесь для краткости мы положили | «|а = = I и |а ст. Возникает вопрос, что же это за пространства ХосХо, 1>0, которые характеризуются тем, как они аппроксимируются пространством вещественно-аналитических функций Х^ Можно было бы предположить, что годятся пространства Xo = Cl+m (Т\ / > 0. Однако если / целое, это оказывается неверным. Поэтому мы определим семейство С\Т\ 1>0, так: положим С1=С1, если /—не целое, а для целых I = р элементами нашего семейства будут служить введенные выше пространства Ср.

Предложение. Пусть т^О, и пусть семейство (Ха)а>0 определено следующим образом; Хо = Cm (Т), Хо = А (о, Ст), а > 0. Тогда

Х10 = Ct+m (Г),

причем соответствующие нормы эквивалентны. В шкале ^Х<^0>9 существует аналитическое сглаживание элементов из (C^tx) (и элементов из (Сг)1>0).

Доказательство этого предложения опирается на приводимые ниже леммы 1 и 2. Для удобства обозначений мы будем считать, что и = 1 (и — размерность тора Т).

Лемма 1. В шкале ^Х0\>й существует аналитическое сглаживание элементов из (С1')[>0 (и (Cl)[>oj, т. е. существует такое семейство непрерывных линейных операторов StG L(C°, Д(1, С0)) вместе с константами &(/), 0 < 7 < со, что для всех / > О и / > О

lim | (8, - 1) и |с, = 0, м е С° (7),(6.2.6)

f-»oo

| Stu l^-i <k^\u |?z, и е С1,(6.2.7)

. | (St - .$,) и |t_, < Г1 к (/)| и lei, иеС1, т>1.(6.2.8)

В условиях (6.2.7) и (6.2.8) пространства С1 можно заменить пространствами С1 с их нормами | и |с/. Оператор St — это оператор свертки; Stu = st*u, St (2) — ts (iz), где s (•) — целая вещественная голоморфная функция.

Доказательство. Возьмем какую-нубудь функцию seC” (R), которая обращается в нуль вне некоторого компактного множества и тождественно равна 1 в некоторой окрестности 0. Пусть s — ее преобразование Фурье. Ясно, что для любых п и N имеет место оценка | ZFs (х) | ^ Дл, w(l + I*IFW. Далее, поскольку функция s тождественно равна 1 вблизи 0, то

s (х) Р (х) dx = Р (О')(6.2.9)

для любого полинома Р. Функция s аналитически продолжается на всё С как целая вещественная голоморфная функция, которую мы будем обозначать той же буквой s. Из определения s сразу видно, что для любых п и N существует константа CnN > 0, такая, что для всех 2 еС

| Dns(2) |<CnN (1 4-1 z IF"ес।Ч (6.2.10)

где с > 0 — какая-нибудь граница носителя функции s, т. е. supp (§) с (х е R| | х | < с). Сдвигая путь интегрирования и используя интегральную формулу Коши, можно вывести из (6.2.9) и (6.2.10) равенство

^sa-i^P^d^PM (6.2.11)

справедливое для всех вещественных ц и для любого полинома Р. Для дальнейшего удобно ввести вещественнозначные функции <ро: R->R+, а^О, задаваемые формулой

%(п) = (М L 0Г S I ^(^ —^П) П|1а^ (6.2.12)

с обычным соглашением, что (—1)! = 01 = 1. Имеем фа е C°(R). Обозначим, далее, через фа, a^O функции из R+ в R+, задаваемые формулой Фо (р) = 2 sup <ра (т)), где верхняя грань берется по | т] | < р.

Определим теперь на С°(Г) семейство линейных операторов S/eL(C°, Л(1, С0)), / > 0, при помощи свертки: Stu = = st*u, где st (z) = ts ktz\ т. e.

Stu (z) = t^s(t(y — z)) и (у) dy.(6.2.13)

Произведя замену переменных ^ = tRe(y — z) = ty — t Rez, это равенство можно переписать так:

Stu (z) = ^ s (| — it Im z) и (Re z + yt) d^.(6.2.14)

Из (6.2.13) ясно, что Stu является целой вещественной голоморфной функцией на С. А из (6.2.14) следует, что Stu имеет период 1, потому что такой период имеет и. Используя (6.2.9), мы получаем, что

и (х) — Stu (х) = J 8< Й) [и (х) — и (х + £)] d^

для всех хе R, откуда вытекает, что lim ](S# — l)w|CP = 0 t-»oo

для и^Ср, потому что se^(R), а производные Dpu равномерно непрерывны на R. Наша цель состоит, однако, в том, чтобы доказать следующие оценки, в которых содержится больше информации о скорости упомянутой выше сходимости: каково бы ни было / > 0, если и s С\ то

(0.2.10)

| (Sx - Sf) u |T_,<r4; (!)!!</

для всех т ^ / > 0; если же и е Ср, р = \, 2, ..., то

| (S< - 1)и |с, <ГР (|фр_, (0) + 2Фр+1 (0)) || и ||ер,

427(6.2.16)

| (ST - Si) и |т-!<Гр (4%-! (1) + 2фр+1 (1)) || и ||^р

для всех т^/>0. Чтобы доказать эти оценки, мы воспользуемся формулой Тэйлора с остаточным членом в интеграль- цой форме. Пусть ueC^ 1 = р + а, где р —целое число,

а «е [О, 1). Тогда

р

„ (^ + n) = ^ -L ^Dnu (х) 4- Rtt (х, л),

п=0

RiA*. Т1) = Т^тттуг ^ $ ^ (1 — и)"’1 кРри (х + цт}) — Dpu (х)).

(6.2.17)

Применяя эту формулу к «(Rez + g//) в формуле (6.2.14), получаем при помощи равенства (6.2.11), что для всех zeC

Stu(г) = У 4г (г Im z)" Dnu (Re z) + Ru k2> 0, £0 n(6.2.18)

Rtt (z, 0 = s (| — it Im z) Rtt (Re z, I/O dg.

Заметим, что первый член в выражении для Stu не зависит от 1. Подставив в (6.2.18) оценку

|Dpu(х + Р1/0-Dpu(х)|<||ы||с/1 p^t 1“, окончательно приходим к следующей оценке остаточного члена R„(z, 0:

| Ru кг, | < Г1 Ф1 kt Im z) || и 1^(6.2.19)

при всех (z, 0 s С X R+ ине С1. Для z = х е R, как следует из (6.2.18), Stukx) = икх) + Rukx, 0- Воспользовавшись оценкой (6.2.19), находим, что | (Sf — 1)и |с„ ^/-/ф( (O)||u||cz. Тем самым доказана первая из оценок (6.2.15).

Чтобы доказать вторую, заметим, что, в силу (6.2.18), |(St-S()«(z)|<|^u(z,T)| + |^„(z, 01.(6-2.20)

Оценки (6.2.19) и (6.2.20) дают

|(ST — Sz)«(z)|^/-zi|)Z(l)||u||ct для всех г с т | Im z | < 1,т^/ > 0.

Таким образом, оценки (6.2.15) доказаны.

Теперь установим для и^Ср, р — 1, 2, ..., оценки (6.2.16). Поскольку Ср а Ср-Х, мы можем сначала получить оценки в Ср~'-норме, а из них уже вывести нужные оценки в Ср-норме при помощи одного простого приема.

Зададим семейство линейных операторов Mt g L^CP, Ср+1), / > 0, р = 0, 1, ..., положив Mtu = mt*u, где mtkx') = t при

х. Из опре-для и s С1,х. Из опре-для и s С1,ll^«llcz+i<? “II«||CGll^«llcz+i<? “II«||CG(6.2.21)(6.2.21)(6.2.22)(6.2.22)в силу ли-(6.2.22) дляв силу ли-(6.2.22) для—^Й 1 ^ х ^ (20 1 и mt (х)=0 для всех остальных деления Mt сразу получаются следующие оценки: I — р + а, где р^ 0 —целое, а а е (0, 1), имеем

х. Из опре-для и s С1,

х. Из опре-для и s С1,

ll^«llcz+i<? “II«||CG

ll^«llcz+i<? “II«||CG

(6.2.21)

(6.2.21)

(6.2.22)

(6.2.22)

в силу ли-

(6.2.22) для

в силу ли-

(6.2.22) для

I М^и ||ср+1 ^ 2/1| и Hg-p,|(1-М?)«|сР-1<(20"111«Ь.I М^и ||ср+1 ^ 2/1| и Hg-p,|(1-М?)«|сР-1<(20"111«Ь.||(l-AG)wllcz<ra||M||cz, а для иеСр еСр-х —

I М^и ||ср+1 ^ 2/1| и Hg-p,|(1-М?)«|сР-1<(20"111«Ь.

I М^и ||ср+1 ^ 2/1| и Hg-p,|(1-М?)«|сР-1<(20"111«Ь.

Далее, пусть иеСр. Положим щ==Л$и. Тогда, нейности оператора St, из неравенств (6,2.15) и и = (zz — м() + Щ вытекают оценки

| (S, - 1)»|с.<| (St - 1)(м- и^ 1С, +1 (S, - l)zz, |с,<

<Г(Р-П фр-, (0)|| и-щ ||ср_! + Г^0 фр+1 (0) || щ ||с„+1 <

и, аналогично,и, аналогично,^ " ( 2 Ф^*1 (°) + 2Фр+1 (0)) IIU ||g-p

и, аналогично,

и, аналогично,

| (ST - St) и |T-1 < I (St - St) ku - u^ ^ + | (ST - St) Ut |t-> <

<Г(р-,) ^ (I) || и - ut Hcp-z + F(p+,) ^p+, (1) || ut ||CP+1 < ^Гр (i фр-! (l) + 2%+1(l)) || zz^p.

Таким образом, искомые оценки (6.2.16) доказаны. Из (6.2.14) немедленно вытекает теперь, что | Stu |,-i ^ф0 (1)1 и |с, для всех и е С°(Т) и, следовательно, | Stu |,-i ^ф0(1)1 и |^z для ueC1. Тем самым установлена оценка (6.2.7). Ч. Т. Д.

Лемма 2. Для всякого а, 0 < о^ 1, существуют две функции yat bo: R+->R+, для которых справедливы следующие утверждения.

Пусть НеС^УУ Тогда существует такая последовательность (/z/)/>0, Ао = О, hj е А(2-1о, С°) при j^\, что Пт |Л/ — /г|с, = 0, причем, если heC1 (или he С1) для не- j->PO

которого вещест венного Z > 0, то ^h^>0 является (а, 1УпО' следовательностью,

и Пт/-^°9и Пт/-^°9II h II, < sup (2,z I h, - hf^ Vta < Va (01 h l7z | h) — h lcz-?~ 0 для всех 0<e^/,

и Пт

/-^°9

и Пт

/-^°9

Обратно, пусть (А/)/^о есть (а, (^-последовательность с ho = O, hfeA(2-io, С°) и sup (2/z \h, — Н,-х |2-/а)=М < оо. Тогда существует такая функция h^C1 (не обязательно принадлежащая С1), что \im \ fy — h\ci-e = 0 для всех 0 <e^Z и |А|^<М0М.

Доказательство, (i) Пусть дана функция h е С°(Т\ В соответствии с леммой 1 зададим последовательность (й/)/>0 следующим образом: h0 = 0, hj = St.(h), j^l, где Z/ = 2/o-1, StsL(C°, Л(1, С0)). Тогда lim | hj — h |c„ = 0, в силу (6.2.6). Если теперь h е С1, то 2z(/z1)2-ict^2z^(Z)| h |gz, в силу (6.2.7), и 2!l\hj — hj-x |2~/o^azA(Z) | h |^z при i"> 2, в силу (6.2.8). Задаём функцию у„ формулой yo(Z) = 2z£(Z).

Пусть sup (2,z| hj— hj-x |2-/CT) = M для некоторого Z > 0.

Используя оценки Коши (6.2.5), получаем

\hj — hj-x ^i-e^MCj-g.oO^1-8^-1* для всех 0<e^Z.

Следовательно, (А/)/>0 является последовательностью Коши в С . Чтобы установить оставшуюся часть нашего утверждения, достаточно рассмотреть последовательность (hj), удовлетворяющую условию

sup (2а/1 hj - hj-x |2-/а) = М < оо

для некоторого а, 0<а^1, и доказать, что ее предел h = ^(hj — hj-x) в С°, который, как мы уже знаем, существует, в действительности принадлежит С“. Мы не утверждаем, однако, что hj—»h в С°. Ясно, что

I h |о < М 2 2-а/ = М (2а - 1)“'.

Для N е Z4" рассмотрим х, у, такие, что

2“(yv+1) < | х - у | < 2“^(6.2.23)

Сначала займемся случаем 0<а< 1. Положим

НДх, у) ^-Н^^-^-Ц-хШ. 1>^

и запишем

Nh(x)-h(y)=^Hj(x,y)-V 52 Hj(x, у),i-vi>N+i

С помощью теоремы о среднем значении получаем

N

\h(x) —h^l^^hj —ht-x |cJx — I +

+ 2,»?+.1<6-2.24)

В силу наших предположений, имеем | h} — hj-x |с, ^ <.\hj —hj-xVtgC.^-0'1 М, поэтому с учетом оценки (6.2.5) | hj — hj-x lCi ^ а-^<|-а) Са,0М. Теперь из (6.2.24) выводим следующую оценку: | h(x)—h(y) ^/Иа""^^0""^—2-<1~а))-1Х XI х - у | + 2М 2-№0 “ (1 - 2-(|-а))-1. Используя (6.2.23), приходим, наконец, к неравенству

\h<x) — h^y)\^0^a)M\x — y\a, (6.2.25) где 6а(«) = (о"“Са,о + 2)(1 -2-(1-а))~*.

Обращаясь теперь к случаю а=1, для />1 положим Gj (х, у) = (А/ - hj-^ {х) + (Л/ - hj-x) (у) ~2(hj~ hj-x) (^). Справедлива оценка

\h (х) + h(y) - 2h(^±JL} |

N

(6.2.26)(6.2.26)<т2|/,,-Л,-,|с.|х-,р + 2 2

(6.2.26)

(6.2.26)

вытекающая из того фактаоценка | и (х) + и (tA — 9» (-^вытекающая из того фактаоценка | и (х) + и (tA — 9» (-^что для иеС2 имеет месточто для иеС2 имеет место!>N+\

вытекающая из того фактаоценка | и (х) + и (tA — 9» (-^

вытекающая из того фактаоценка | и (х) + и (tA — 9» (-^

что для иеС2 имеет место

что для иеС2 имеет место

- j-w I ^v-// —^—F^JI^T^Ic»^- у^- Послед

оконча-оконча-нюю же легко установить, дважды применив теорему о среднем значении. Поскольку а = 1, то| hj — hj_x |с. ^Л12-/ и, в силу оценок Коши, | hj — ht-x |с, ^ а""22!СмМ. Подставив эти оценки в (6.2.26) и учитывая неравенства (6.2.23), получим тельно

оконча-

оконча-

I" М + " ^ - 2А№) | < «. (О Л! (, - д), (6.2.27)

(6.2.26)(6.2.26)где д0(1)^(а2С2,о +4). Итак, мы доказали оценки (2.L.~W и (6.2.27) для всех целых N и наш результат следует теперь из того, что 60(а) и 6а(1) не зависят от N. Ч. Т. Д.

(6.2.26)

(6.2.26)

Доказательство предложения 6.2.1. Из лемм 1 и 2 следует справедливость предположения для случая /п = 0. Чтобы

оценить Ст-норму для некоторого фиксированного пг>0, заметим, что для и е Ct+m, как мы уже доказали,

| (ST - S,) «!,_,< t"w k(l + /п) || u ||?m+z.

Поэтому с помощью оценки (6.2.5) мы получаем

((S.-StH-, cm^Ks.-sauu-i,cm^

^ т^С^ о I (STS/) u |x-1 ^

< (у)" Cm. ok (I + m) Г1 II и ||?z+m < t"4 ^ IIU11^z+m

для всех т ^ 2t; здесь A (/) = 2mCm, ok (I + m\

Теперь мы имеем всё для доказательства нужного утверждения и в случае m > 0 (в оценках сглаживания (6.2.8) нужно ограничиваться значениями 2/ ^ т > /). Ч. Т. Д.

В аналитическом сглаживании новым моментом является то, что функции из С°(Т) аппроксимируются не только С”-функциями, но и вещественно-аналитическими функциями, заданными в комплексных полосах. Это позволяет оценить разности (ST — St)u в аналитических пространствах Л (а, Ст).

Для дальнейшего использования приведем в этом месте описание стандартного С”-сглаживания, а именно докажем следующую лемму.

Лемма 3. Для семейства (Cz)z>0 существует С”-сглаживание, т. е. существует семейство (S<)z>0 линейных отображений Sr С° (Л -> С” (Т) = П С1 вместе с константами Сх„, О^Л, ц < оо, удовлетворяющее следующим трем условиям:

Иш | (St - 1) и |с. = 0, и е С° (Г).(6.2.28)

t->OO

|S<«|cm^/m ^Ctm\u\ci для всех и^С1(Т) и всех 0^/^т.

(6.2.29)

| (St - 1) и |с/ <Г№-п Ctm| и 1pm для всех u^Cm (Т)

и всех O^l^m. (6.2.30)

Доказательство. Определим St так же, как в лемме 1, положив Syi = st * и е С” (Г), однако без выхода в комплексную область. Оценки (6.2.28) и (6.2.30) справедливы для целых / (заметим, что операция сглаживания S< коммутирует с дифференциальными операторами в частных производ-

ных Dk\ Оценка (6.2.29) для целых / и m вытекает непосредственно из определений.

Чтобы оценить гёлдеровские нормы, запишем и в виде м = (1 — Mt^u-V Mtu и воспользуемся оценками (6.2.21) и следующим тривиальным фактом: для 0 < X < ц ^ 1 существует такая константа С > 0, что для всякого е, 0 < е < 1, и для всякой функции ueC“ имеет место неравенство

11«11сх<е||и|1с11 + 8-“С|Н'с., где а = Л(ц — Л)-1. Ч. Т. Д.

Аналитические отображения

Располагая предложением 6.2.1, мы можем применить абстрактные обобщенные теоремы о неявной функции к так называемым аналитическим отображениям. В качестве простого примера рассмотрим непрерывное отображение

F\ (^(Т"1, Rm') X Cs (jn\ R"*2) -> С° (тп\ R"*),

которое определено в некоторой открытой окрестности решения (fо, и0) уравнения F (Jo, ыо) = О. Предположим, что функции /0, «у аналитичны и что отображение F аналитично, понимая под этим, что оно переводит аналитические функции в такие же функции и, кроме того, допускает продолжение на следующие семейства (XJ, (Уст), (ZJ, 0 ^ а ^ 1, удовлетворяющее нашим общим предположениям и условиям (Hl) — (НЗ) теоремы 6.1.1 с некоторыми константами N, R, М, а^О и у > 0:

где Г], г2, г3 —некоторые 6.1.2 и предложение 6.2.1 результату.где Г], г2, г3 —некоторые 6.1.2 и предложение 6.2.1 результату.Хо: Х0 = С*, Х0 = А(г1а, Сц), а>0, Yc: Yq — C^, Yo = A(r2o, С6), а>0, Za: Z0 = C°, Z0 = A^a, С°\ о>0,

где Г], г2, г3 —некоторые 6.1.2 и предложение 6.2.1 результату.

где Г], г2, г3 —некоторые 6.1.2 и предложение 6.2.1 результату.

положительные числа. Теорема немедленно приводят нас к такому

Теорема. Пусть F, f0, м0 аналитичны, как выше, и (7 = 2(а + у). Тогда существуют такая Сч+11-окрестность D функции f0 и такое отображение ф: D -> С’4^-*, что

(0 F(f, ф(П) = О, feD,

1^4) в частности1^4) в частностиимеют место оценкиимеют место оценки(ii) ф(/)Г|С'+,1)(=С,+в_у для всех ф(ОПС”)с:С”. Для /еДПС,+ц. l>q,

1^4) в частности

1^4) в частности

имеют место оценки

имеют место оценки

1^(0 ^о 1с m ^ Cm, z | f — f0 |-/+ц При всех

Если, кроме того, приближенное правое обратное отображе- ние л непрерывно, то, полагая Фл-ц — ф lDz+n, £)/+и г D Л С1^, мы можем утверждать, что для l^q отображение

IW D

непрерывно при всех пг < I4- 0 — у; в частности непрерывно отображение ф^: D^^C00,

Эта теорема охватывает ситуацию, когда отображение F: С1^ХС^6->С1~а, 1^а дифференцируемо в некоторой Сц X Св-окрестности аналитического решения (/0, и^ уравнения F(f0, ио) = О и у отображения D2F(f, и) имеется только приближенное правое обратное ^(f, и\ отображающее С1 в (4"^—^ для некоторого у > 0. В такой ситуации обычная теорема о неявной функции неприменима. Потеря у производных при решении нелинейной задачи равна показателю потери у при приближенном решении линейной задачи.

Мы получили этот оптимальный результат, наложив очень сильные условия анилитичности невозмущенного решения (f0, и^ и самого отображения F, что позволило нам воспользоваться аналитическим сглаживанием. С „дифференциальной" точки зрения наложение таких условий, конечно, является недостатком. Но оказывается, что, если F, fQ, uQ обладают лишь конечным, хотя и достаточно высоким, порядком гладкости, потеря производных будет больше. Мы покажем это дальше, работая с гораздо более грубым С°°-сглаживанием. Изучая зависимость потери гладкости от порядка гладкости заданных функций, мы увидим, однако, что с повышением порядка гладкости ситуация улучшается.

6.3. С°°-СГЛАЖИВАНИЕ

И ОТОБРАЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА

Пусть (Ха)а>0—однопараметрическое семейство вещественных банаховых пространств, 0^о<оо, с нормами | • |а, таких, что для всех 0 а' ^ а < оо выполняются условия

(6.3.1)(6.3.2)(6.3.1)(6.3.2)Хд — Хо” 3 Хо ^ Х^ — П ^о»

(6.3.1)

(6.3.2)

(6.3.1)

(6.3.2)

а> 0

| м |ст, <1«1а для всех иеХд, о' < а.

Определение. С”-сглаживание в (Хо) — это однопараметрическое семейство (S,); > 0 линейных отображений S^: Хо -* Хч

вместе к константами СХц, О^Х, ц < оо, для которых выпол- няются следующие три условия:

lim | (Sz — 1) м 1о = 0 для всех и е Хо, (6.3.3) t->oo

I Stu |ц ^ tlv,-M СХ№ | и 1х для всех и е Хх и 0 ^ X ^ р, (6.3.4) 1(5,—^Ix^r^’Cx^lul^ для всех ueXv и 0<Х<ц.

(6.3.5)

Из условия (6.3.3) следует, в частности, что Хм плотно в Хо. Условие (6.3.5) говорит, что Stu е Х^ аппроксимирует и в пространстве Хх тем лучше, чем уже подпространство Х^, р > X, которому принадлежит и. Условие (6.3.4) служит количественной мерой того, насколько Stu для и е Хх „раздувается" в более высоких нормах. Такие С°°-сглаживания существуют в пространствах функций Ст+0^М), 0^о<оо (где т ^ 0 — некоторое фиксированное число) над компактным С°°-многообразием (лемма 3 § 6.2), и тривиальным следствием этого факта является следующее хорошо известное утверждение о выпуклости, которое далее будет для нас основным рабочим инструментом.

Лемма. Предположим, что в семействе \Ха\>0 имеется С”-сглаживание. Тогда для всех 0 ^ X! ^ Х2, а е [0, 1] и и е Хк,

I И 1х Ло, Хи Х21 W 1х, Iй lx,»

X = (1 — а) Xj + яХ2, где

Ла, а,. а, ^а-»(1 - а)-*1-"’ СЦоС?а,.

Доказательство. Поскольку u = St« + (l — St)и при всех t > 0, то для и е Ха,

I и Ia < I Stu Ia +1 (I - St) и Ia < tx"x'CXvX | и lx, + Г^ Саа2 | и |v

Вычисление минимума правой части этого неравенства как функции от / сразу приводит к нужному результату. Ч. Т. Д.

Мы будем использовать лемму 6.3.2 для оценки тех норм функции и, которые лежат между двумя известными нормами.

Постановка задачи. В дальнейшем мы будем рассматривать три однопараметрических семейства банаховых пространств Хо, Y0,Z0, О^а < оо, в каждом из которых есть С°°-сглаживание; эти сглаживания мы будем обозначать одним и тем же символом (S()/>0. Далее рассматривается отобра-

жение F с областью определения в ХоХ^о и значениями в Zo, такое, что

^(fo, «о) = О(6.3.6)

для некоторой пары (f0, «о)еХоХГо- Мы предполагаем, что отображение F: Bo-+Zo непрерывно. Здесь и ниже используется обозначение

B^W, «)еХ,,ХУа11/-^1а<1, |м-«о1а<1), а>0.

Наша цель состоит в том, чтобы для данного /еХ0ПВ0 разрешить уравнение F (f, м) = О относительно и в предположении, что f достаточно близко к f0.

Условия (Н1 — Н4). (Н1) (.Гладкость.) Отображение F(L •): Y0-*Z0 дважды дифференцируемо, и его производные допускают такую равномерную оценку: для всех (/, и) е Во

I D.zF (f, и) Io, ID^F (f, и) |0 < Мо,(6.3.7)

где ЛТ0 ^ 1 — некоторая константа.

(Н2) (Липишцевость.) Отображение F равномерно по и, удовлетворяет условию Липшица в Хо, т. е. для всех (/, и), (g, и) е Во

\F(f, u)-F(g, u)\0<M0H-g\0.(6.3.8)

(НЗ) (Порядок.) Тройка (F, f0, “о) имеет порядок s, з > у ^ 1 (где з будет уточнено позже, а у появится в условии (Н4)).

Здесь мы использовали следующее

Определение. Говорят, что порядок тройки (F, f0, щ) равен s, l^s<oo, если удовлетворяются следующие три условия:

(О (fo, u0)eXsXYs;

F (Bo П (Xo X Го)) c Zo, l< a < s;

существуют такие константы A40, l^o^s, что если пара (f, и) е (Хо X Го) () Вх удовлетворяет оценкам И — foU 1и — «о 1о ^ ^> то для некоторого фиксированного 6, 1 ^ б ^ 2,

IF (f, и) I,, < Мо max {Х, К6\(6.3.9)

Если (F, f0, Uq) есть тройка порядка з для любого 1 ^ з ^ оо, то говорят, что порядок этой тройки равен оо; в этом случае, конечно, (fo, «о) е Х^ X У».

(Существование приближенного правого обратного с показателем потери у, 1 ^ у < з.) Для всякой пары (f, и) s В^ существует такое линейное отображение г) (f, «)(•)<= L (Z^, Yo), что для всех zg Zv

|ri(f, M)(z)|0<M0|2|y,(6.3.10)

(D.2F (f, и) о 4 (f, u) - 1) (2) |0 < Mo | F (f, u) |v 12 |v. (6.3.11)

Кроме того, для всех y<a<s, если (f, м)ЕВтП(А’аХЦ то т) (f, и) g L (,га, Уа_у), з если | f /о 1а, I ^ ^о 1о ^ К> то

IП У, ^ (Р (f, и)) |а_у < Ма max {К, К6},(6.3.12)

где 6 то же, что в (НЗ). Фактически оценки (6.3.10) и (6.3.11) понадобятся нам только для г = Р^, и).)

Мы будем говорить, что отображение г] непрерывно, если т]: B4f\(XaXYo')^- L(ZO, У0_у) непрерывно для всех у<а<$.

Замечание. Дифференциальные операторы на пространствах функций, заданных на компактных С°°-многообразиях, включаются в описанную выше схему с выполнением приведенных условий. Действительно, нужно просто выбрать Ха = t= cm+<T (М) (для некоторого фиксированного т^0)ит. д. При этом условие (6.3.9) будет обычно выполняться с б = 1 для всякого отображения F, в которое входят частные дифференцирования и подстановки функций. Например, Ф(х, Dnf (х), Dmu^x^ растет не быстрее, чем линейно относительно норм |Hs+n, 1«1$+т! в самом деле, если | /10, |«|0<1, то для всякого s найдется такая константа С, что | Ф(х, Dnf, Dmu) |$^ ^ С (1 +1 f |$+„ + | и |s+m). На первый взгляд это кажется удивительным, но это легко проверяется с помощью цепного правила и леммы 6.3.2. Аналогично в случае композиции функций из условия Im/I^M, 1^/^п, следует, что для каждого s>l найдется такая константа С > 0, зависящая /п \

только от М, что I f °«|s<Cl| f |s+ I fh X 1 Ui Is)- Отметим, X/ = 1/

что нам приходится подавлять нормы | • |ь — именно по этой причине в условие (НЗ) (iii) входят шары Bt.

Теорема. Пусть а, х, X, р, у, б, s— вещественные положительные числа, удовлетворяющие следующим неравен

ствам:

1<б<х<2, б < а, 1<у^р<Л<$,(6.3.13)

Л > max{2xyd(2 — х) *, х(уб + р&)}>(6.3.14)

s > max {ау (а — б)-1, X + ау (х — б)-1}.(6.3.15)

Пусть, далее, порядок тройки (F, fQ, ц0) равен s и эта тройка удовлетворяет условиям (Hl—Н4) с показателем потери у и с тем же б, что в условии (НЗ). Тогда существуют такая открытая окрестность DKc2Xx элемента fo,Dx = ^eXx\ If — fok<0) и такое отображение ф: DK->Yp, что

(о рал^=о, f^DK,

00 1Ф(/)-«о1Р<С-*|/-/о|х.

Кроме того, если отображение т) непрерывно, то непрерывно отображение ф: Dx->Yp.

Доказательство. В доказательстве опять используется итерационный метод, сходный с методом Ньютона: обратное отображение, которое может и не существовать, заменяется приближенным правым обратным, дважды модифицируемым при помощи С°°-сглаживания. Первое сглаживание является стандартным — оно проводится в пространстве Yo для того, чтобы компенсировать показатель потери у на каждом шаге итераций. При втором же сглаживании элементы из DxclXx аппроксимируются более гладкими (по аналогии с тем, как это нами делалось при С^сглаживании) для того, чтобы в процессе итераций сохранить максимальную гладкость в пространстве Хо- Это достигается ценой потери точности при приближенном решении линеаризованного уравнения. В другом контексте подобный прием предложен в работе Мозера [54].

Наш руководящий принцип будет таков: мы будем оценивать самые младшие нормы | • |0 довольно аккуратно, чтобы сдерживать их рост, а самые старшие нормы | • |s будем оценивать лишь грубо, позволяя им расти — при их оценке мы будем пользоваться только грубыми предположениями (6.3.9) и (6.3.12). За промежуточными нормами мы будем следить при помощи леммы 6.3.2 о выпуклости. Для получения сжимающих еператоров существенно предположение, что д < 2. Пусть

М> max {ЛаХ,ц, Ма, См),

О < а < 1

О < X, ц < s

О < о < s

где константы ЛаХ11 те же, что в лемме 6.3.2, Ма — те же, что в условиях (Hl — Н4), a CXll —те же, что в определении С°°-сглаживания. Положим

Dx = ^eXx\\f-Mx<^ (6.3.16) где значение е, 0 < е < е0, достаточно мало; оно будет уточнено ниже. Используя С°°-сглаживание, зададим последовательность (ф/)/>о линейных отображений ф/. Dx->XOO следующим образом: возьмем Фо(^ = ^> а ПРИ /^1 положим

ф/(/)-г0=\С-М> с6-317) где T/ = QX^, причем значение Q> 1 достаточно велико; оно будет выбрано ниже. Заметим, что ^->оо, так как х> 1,

Из равенства ф,(/) — f = (ST/ — l)(f — f0) с учетом оценки (6.3.5) следует, что Ит | ф, (f) — f) |ц = 0 для всех 0 < р, < К. /->оо

Построим теперь по индукции последовательность (Ф/)/>0 отображений г|>7: Dk->YTO. Начнем с i|>o(f) = «o> а для />0 положим

t/+i(f)-t/(f) =

= ^Ч (Ф/+1 ^» Ф/ <П) (F (Ф/+| (f), ф, (/))),(6.3.18)

где ^ = т“ = Qox . Отметим, что мы используем аппроксимации с разными скоростями сходимости, применяя операторы 8Т/ (в Хо) и 5^ (в У„). Покажем теперь по индукции, что если е0 достаточно мало, a f ^ Dk удовлетворяет оценке If — U < ve0 для некоторого v, 0 ^ v ^ 1, то при п ^ 1 справедливы следующие тройки утверждений S(n):

S (nl) (Ф„ (f), Ф„ (f)) е fiv П (X„ X У J и

S («2) | ф„ (/) - ф„_, (f) |0 < 4vM4Q- ^"^ х""1,

S («3) | фя tfi - ф„_, (/) |5 < VQ($-X> ^k

Введем сокращенные обозначения

(6.3.19)(6.3.19)f/ = T/(f) И Ui = ^h, j>0.

(6.3.19)

(6.3.19)

Шаг 1. Проверим, что fjeB^X.», если е0 достаточно мало. Вспоминая, что 1 ^ у < X < s, мы с помощью условия (6.3.4) на 8/ выводим непосредственно из определения.(6.3.17), что при j ^ 1

(6.3.20)(6.3.21)(6.3.20)(6.3.21)lf/-folv<Al|f-folv<Af|f-fo|x,

(6.3.20)

(6.3.21)

(6.3.20)

(6.3.21)

lf/-fol$<Al|f-fo|xQ<$-K)x

Поэтому

If/ —foliOf/ —folv< 1> если е0<Л1 '.

Шаг 2. Из этого условия малости вытекает справедливость утверждений 5(1) для достаточно малого 80. Предположим теперь, что утверждения S (п) справедливы для 1 ^ ^п^/, и докажем утверждения 5(/-|-1). Установим сначала 5(/+1,2). Мы уже знаем из оценок шага 1 и из утверждения S yl), что (f/+1, и^ е Вт Из определения (6.3.18)

с использованием свойств (6.3.4) и (6.3.10) выводится, что

|Ы/ + 1 — М/Io = I $«;+^ (b+P Uj)(^(^+P М/))|о^

< м | n (f/+ь «/) (F (f/+1, и^ |0< М21 F (f/+1, М/) |г (6.3.22)

Чтобы оценить эту у-норму, оценим 0-норму и s-норму, а потом воспользуемся леммой 6.3.2 о выпуклости. Мы можем записать F(fl+i,ul) — F(fl+i,ul) — F(fl,ul) + F(fl,ul). Отсюда с помощью условия (Н2) находим, что | F(fl+l, uh 1оС <M|f/+i —f/0 + l^(f/, «/)1о- В силу (6.3.17) и (6.3.5), - 0 (f — Ml +1(\ - I) (Г - АН < ^2М | f — fо kQXX • Применяя теперь утверждение S (/1),

приходим к оценке | F (f/+1, и,) |0 < 2М21 f — f0 k QKx' + + (v/2) Q“Xx ^ (2M2ve2 + v/2) Q-Xx . Таким образом, выбрав e0^(2M)-2, мы будем иметь

\F(<f1+1,u1H0<^Q-Xxl. (6.3.23)

Заметим далее, что

1И/ —«oU, I f/+i — fo I^2vQ(s-Mx/+1.(6.3.24)

Действительно, в силу утверждений S(«3), l^n^/,

I и, - »о L< £ I ип -|$< 2vQ($-X) х/+

П-1

если Q достаточно велико (здесь используется тот факт, что s > X.) Ввиду условия (6.3.9), из неравенств (6.3.24) следует (поскольку 2б<4, va^v и Q^Q6), что

\F<fHi, «ynsaMvQ6^)^1. (6.3.25) Так как мы предположили существование С°°-сглаживания в (Za), то, в силу леммы 6.3.2, из оценок (6.3.23) и (6.3.25) вытекает, что

I F(fl+{, u^^MlF^f^, uh I'-v/s| FyHX) uh 1Г<

< 4M2vQ"(x"xv6+Xvs~' <x6"i>) x/ < 4M2vQ"(X"xv6) x/ (6.3.26) (потому что xd > 1). Используя (6.3.26) и (6.3.22), мы получаем теперь оценку | и}+1 — и, |0<4A14vQ"<x-xv6)x. Тем самым утверждение S (/ + 1, 2) доказано.

Обратимся теперь к доказательству утверждения S (/ + 1,3). Здесь мы воспользуемся оценкой (6.3.12) из условия (Н4);

учитывая свойство (6.3.4) и неравенства (6.3.24), приходим к следующей оценке:

I “/+1 — «/ Is < MtKi IП (f/+i. «/) kF kfw» “/)) ls-Y <

< 4Л4^^х/+‘+5 <S"M X,+I. (6.3.27)

Поскольку ay + 6 (s — X) < (s — %) x в соответствии с (6.3.15), то правую часть в (6.3.27) можно далее оценить величиной vQ(s-X)x/+2 При условии, что Q достаточно велико (независимо от /). Тем самым утверждение 5(/ +1,3) доказано.

Чтобы установить справедливость утверждения S (/ + 1, 1), докажем прежде всего, что |u/+1 — u0|v < 1. Положим У/+1 = = «/+! — «/, />0. Из утверждений S(/+l,2) и S(/+l,3) при помощи леммы 6.3.2 выводим, что

|У/+1 iy<mi У/+1 i;-v/si У/+1 i:/s<4vW^,

где £ = X — х (уб + ух) > X — х (уб + рх) > 0; здесь мы использовали (6.3.14) и то, что у^р, х> 1 (см. (6.3.13)). Поэтому, если Q догтаточно велико, то мы имеем оценку /+1

I ++1 — «о lv < Ej У/+1 lv < 1-

Положим теперь Q (fl+i, и]+1, uh=F{fi+b и/+,) — F kfj+ь uh— — D2/7(f/+i, U/)(u/+i — И/). В силу условия (Hl) выполняется оценка I Q(f/+i, Н/+ь «/) l0^ М| u/+1—и/(j (мы воспользовались формулой Тэйлора). Запишем

F kf^. uh = - W (f,+b uh о т) (f/+b uh - 1) (F (f/+1, и^ +

+ W/+p «/)(1 ~Sti^w, u^FQw, u^-V

+ Q(f/+i, «/+i> Uj\

Отсюда видно, что

IF kf1+t, uh Io < D2F (f/+1, uh о ч (f/+i, uh - 1) kF kfi^h Io + +1 D/Vw ^ Ы(1 - s,,+1) П (U. “,)(F(tw- “,))!„+

Пользуясь неравенством (6.3.11,) мы можем оценить первый член справа величиной М| Fkfj+x, uh i2. Используя (6.3.5) и (6.3.7), оцениваем второй член величиной Mt7*~^ X Xh(h+b uhkFkttA-buihVY В силу (6.3.4) и (6.3.10), третий

член оценивается величиной M2|i](f/+i, Uj){F{fj+1, «/))|^ < Af4| FCfy+i, U/)l2. Это дает нам

+ Mt?^ I г) (f/+1, M/) (F (fl+u u^ fs_Y.

Правая часть в свою очередь оценивается, в силу (6.3.26), (6.3.12) и (6.3.24), величиной

32M%Q*2 (X-xv6) х/ 4- 4M2vQ~°(s-v) H,+1+e (S-X) x,+1

Которая, ввиду (6.3.14) и (6.3.15), не превосходят (v/2)Q~Xx/+1, если Q достаточно велико. Тем самым утверждение S (/+ 1, 1) доказано.

Шаг 3. Вследствие утверждений S (п), п ^ 1, последова* тельность («/)/> о является последовательностью Коши в Ур. Действительно, из утверждений S (/2), S(/3), /^1, вытекает, что для у/+1 = «/+1 — Uj, j>0, справедлива оценка

I V/+1 Ip < М10/4-1 lo“^ 10/4-1 Г < «vW^ (6.3.28)

где £ > X — и (уд + хр) > 0, согласно (6.3.14). Зададим отображение ф: Пх->Ур формулой ф(Л = lim фДП в Ур. Мы знаем, /->-00

что Игл Ф/(/) = /, а поскольку F^fj, «/)->0 при /-*оо, в силу j->OO

утверждения S (/1), то мы заключаем на основании непрерывности F, что F {}, ф (/)) = 0 для всех f е Dx. Далее, оценка (6.3.28) показывает, что при достаточно большом Q для всех f е Dx, для которых I / — fo k ^ ve0, выполняется неравенство

(6.3.29)(6.3.29)H(f)-«olp< £ l»/lp<v./>i

(6.3.29)

(6.3.29)

Поэтому если | / — /0 к < ео, то мы можем положить v = = 8^4/ — /0|х и получить для решения искомую оценку (11).

Если отображение ц непрерывно, то непрерывны функции Ф/: Dx->Yp. Поскольку предел ф(f) = lim ф,(f) в Ур равно-

мерен по f е Dx, то функция ф тоже непрерывна. Ч. Т. Д.

Отметим, что мы делаем различие между порядком тройки kF. to, «0) и степенью гладкости, представляемой числом X. Это позволяет нам исследовать зависимость самого X и показателя потери X — р от порядка s.

Следствие 1. Если 6=1, то для всех s^Sy имеет место следующее утверждение. Пусть Л (s) = 2у + 6ay2s-1, где а = 7/3. В Хх^ существуют такая окрестность Вх^ = У ^Хх^ I И~/о k(S)<C(s)} U такое отображение ^s: DK{s}-+Yy, что для всех feDx^

Ftf, ф$(/)) = О,

GO l^(f)-«ok<C(s)-1lf-fo|X(s).

Доказательство. Возьмем

6=1, u = 7/6, х= 1 + ays-1, a = 7/3, р = у и A = 2y + 6ay2s"!.

Эти числа удовлетворяют неравенствам (6.3.13) — (6.3.15), если s^8y. Поэтому наше утверждение следует из теоремы 6.3.3. Ч. Т. Д.

В случае 6=1 минимальный порядок 8у должен удовлетворять неравенствам Зу < Л (8у) < 4у. С ростом порядка s потеря производных при решении нелинейной задачи, равная Л — р, стремится к показателю потери у при приближенном решении линеаризованной задачи:

X(s) — у = у + О (s-1). (6.3.30)

Однако окрестность £>x(s) зависит от s и мы не можем заключить, что Х(оо) — у = у. Этим данный результат отличается от результата для аналитических отображений.

Следствие 2. Пусть 6=1 и тройка (F, f0, u0) имеет по* рядок о<>. Тогда для всякого достаточно малого е>0 существуют такая окрестность D cl Х^+в элемента )0, D = = {f ^ Х2?+е| I f — fo l2v+e < Се), и такое отображение -ф: D-^Y-t, что для feD

(0 f (f, *(0)^0,

^(^-«olv^Cr'lf-fol^,

tKDn^Jc^.

Доказательство. В доказательстве нуждается только утверждение (iii). Пусть зафиксировано е > 0. Мы покажем, что из того факта, что порядок тройки ^F, f0, и0) равен оо, вытекает существование такого т, 0<т<1, что для всякого ц > 2у+е справедливо следующее: если feD f] Ху, то ф(/)еУ\,, где v = r(p— 1), и |ф(Л —Uok^CJf —/0|£.

Пусть /(=£>0^, и пусть fj - f0 = SX/(f — f0) есть последовательность (6.3.17), фигурировавшая при построении ф(/), a tj = Qx, где Q> 1 фиксировано. Тогда, в силу свойства

(6.3.5), | f/+1 — fj |ц-1 <CXQ ^ | f - f01ц, где С, - некоторая константа, зависящая от р; следовательно, |f/ — foln-i^ ^ С21 f — fo 1ц Для некоторого С2, зависящего от р. Покажем, что существует такая зависящая от р константа С > С2, что при всех п ^ I

|«п-«о1ц-1<С|/-^1^Вх",.(6.3.31)

где р — некоторое число, р > уах(х — l)^1, а ип те же, что в (6.3.18), (6.3.19): ип^\ = ип St^x^f^X) un)(F(fn+x, ипУ).

Ясно, что при любом натуральном N существует такая константа С > С2, что неравенство (6.3.31) выполнено для всех n<.N. Для п > N, в силу (6.3.4) и (6.3.12), имеем

I ^/l+l^0 1ц—1 ^ 1^/2^0 1ц~1 “Ь

I и„ - и, I,-, + C.CQ"" ‘ | f - f01. Q1' <

Если p>uyx(x— l)-1, то можно выбрать настолько большое N, что (1 + C4Qavx"+1) Q6k" ^ QBx"+* при n > M. Тем самым оценка (6.3.31) справедлива при всех п^1.

Положим уп = ип—ип-1. В силу леммы 6.3.2, оценки (6.3 81) и утверждения S (и2), для всех v < р — 1 мы имеем при т — = т (р — 1) 1

i»„k<c,it>j;-’i«.C-i<

с, (С I f - f, W’ Q- u-4 --V”"”"' <

<ад-и<г1к,Л(6.3.32)

где | = — (A — xy) — т (X — xy + px), так что | > 0, если взять т <(Х —ху)(Х —ху + Рх)-1. Константы С5 и С6 зависят от р. На основании (6.3.32) мы заключаем, что уп есть последовательность Коши в У», v = t(p—1), и, значит, i|)(f)syv для f е D П Xw. Наше утверждение следует теперь из того, что т не зависит от р. Ч. Т.Д.

6.4. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА-АРНОЛЬДА-МОЗЕРА

Мы применим сейчас теоремы 6.1.1 и 6.1.4 к одной модельной задаче. Прежде чем приводить самый результат, напомним один результат противоположного характера, относящийся

iy37 Л. Ниренберг

к векторному полю на двумерном торе Т . Для любого гладкого векторного поля X на торе Г2, которое: 1) не имеет особенностей (т. е. X (х) Ф Q, х е Т2\ 2) не имеет периодических орбит, — существует гомеоморфизм тора, отображающий поток без параметризации, порожденный полем X, в линейный поток, т. с. существует такая функция h^C^ ^-), А > О, что поток ф5, порожденный полем АХ, топологически сопряжен посредством некоторого гомеоморфизма ф линейному потоку:

■ф-'оф^ф; (хь х2) -> (^ + s, x2 + ps), (6.4.1)

где р — так называемое число вращения поля X, являющееся топологическим инвариантом1). Доказательство сводится к применению теоремы Данжуа о гомеоморфизме окружности. Гомеоморфизм ф определен однозначно с точностью до линейного отображения, и имеет смысл вопрос, является ли он гладким. Можно показать, что существуют такие иррациональные числа р, что гомеоморфизм ф даже не абсолютно непрерывен, несмотря на гладкость потока ф5.

Обратимся теперь к обещанному результату, отличному от только что описанного. Рассмотрим задачу о возмущении векторного поля на торе Тп, п^2, заданного выражением

п

<6-4-2)6-16

где фй — периодические функции на R" с периодами 2л. Нас интересуют векторные поля, близкие к постоянному полю

п

„sR-(6.4.3)

Ставится вопрос о структурной устойчивости такого постоянного векторного поля относительно действия группы диффеоморфизмов тора Тп. Иными словами, мы ставим такой вопрос: для заданного векторного поля ф = ® + f, где f мало, существует ли диффеоморфизм g тора Тп9 x = g (£) = £ + и (£), где и — периодическая векторная функция на R" с периодами 2л, который переводит ф в постоянное векторное иоле со? Последнее означает, что

dg^T4°g^ = <»-(6.4.4)

Ясно, что в общем случае ответ отрицателен по следующей простой причине. Даже постоянное векторное поле 0, близкое к со, можно перевести в со, только когда р = со. Действительно, если это возможно сделать, то поток ^ = р/ можно перевести в поток, порождаемый полем со, преобразованием со/ + + const = р/ + v (РО; так как / > 0 произвольно, а функция и периодична, то ® = р.

Поэтому мы допустим дополнительно возможность изменения данного векторного поля ф на постоянный вектор X е R" и поставим видоизмененный и искусственный вопрос, существуют ли для данного поля Ф = ® + /, где f мало, такой постоянный вектор Л е R" и такой диффеоморфизм g е е Diff (Г"), что

^(^"'(e + f + ^og®»^ (6.4.5)

Переформулируем задачу в терминах функционалов.. Запишем g(^) = 5 +о(§). При заданном f мы ищем решение u = (o, X) уравнения F(f, м) = 0, где

F (f, ы) = f о (Id + о) + X - до;(6.4.6)

здесь д —следующий дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами:

п

5 = Х ™«^'<6'4-7)

Ясно, что F (0, 0) = 0. Далее, F непрерывно как отображение С° (Г", Rn) X (С (Г", R") X R") С° (Г, R") и дифференцируемо для всех />1 как отображение С1 X (Cz+1 X R")-*С1. Чтобы применить какую-либо теорему о неявной функции, мы должны рассмотреть D2F (f, и) при (f, w) = (0, 0). Имеем

D2F(0, О)й = Х-дб, (6.4.8)

где й = (б, X). Хорошо известная лемма о малых знаменателях гласит, что для определенных векторов со е R" у оператора (6.4.8) имеется правый обратный, который, однако, неограничен.

Лемма. Пусть со удовлетворяет следующей бесконечной системе неравенств:

|(ю, fejr’^Col^r (6.4.9) п

для всех целочисленных векторов к с | к | = ^ I kt | > 0, где Со — некоторая положительная константа, а т — некоторое число > п — 1. Предположим, что функция g е А (а, С°) имеет среднее значение [g] = 0. Тогда для каждого а' < а существует

единственная функция о е Л (ст', С°), такая, что [у] = О, удовлетворяющая уравнению

do = g.

При этом

I У | , ^—1 0 I

для всех o' <auv = r+ l>n. Здесь С обозначает константу, зависящую только от %, пи Сй.

Доказательство. Мы докажем это утверждение только для v = t + «. Оценка, приведенная в формулировке леммы, значительно тоньше и основана на том наблюдении, что на самом деле лишь немногие знаменатели малы. Решение легко найти с помощью разложения в ряд Фурье. Пусть g(x) = ™ У 8kel^fe’x\ тогда решением будет у(х)= У, Уье1^,х'1, где к ^ 0к Ф О

^ = тЪгг(6.4.10)

Чтобы оценить у, воспользуемся тем, что £@Д(ст, С°). Это дает для коэффициентов Фурье оценку | ^ |^e_|*la| gf |а — ее можно получить, сдвинув поверхность интегрирования в плоскости | Imxv |=±а. Поэтому при | Imх | ^ о' < а решение у можно оценить с учетом неравенств (6.4.9) так:

lyfxIK У

1 VWI^ I (е>, *) J е ^ к ^« О

<С0( ^ l^-^a-a'Alg]

< Со ( J IX г е-1x1 ''а-ад dxA I g I» <

^CAo-oT^\gV

Далее, функция у вещественно-аналитична. Действительно, £A = g_£ и, значит, в силу (6.4.10), 6fe = y_fc. Ч. Т. Д.

Поскольку спектр оператора д имеет 0 точкой сгущения, совсем неясно, будет ли оператор D2F(f, и) при (f, ы)^0 иметь (хотя бы неограниченный) правый обратный. Тут-то и вступает в игру приближенный правый обратный. Прежде всего сформулируем результат.

Теорема (Колмогоров, Арнольд, Мозер). Пусть cd удовлетворяет условиям (6.4.9.), и пусть q = 2 т 4-6, у==т4~2.

Тогда существуют такая открытая окрестность нуля D в Сч и такое отображение^: D-^C^'-^XR"» что

) F(f, t(f)) = O для всех f^D;

(Н)Ч’(^ л Cz)cCz + ,-vX R" для всех T^q; в частности, ф (D П С00) с С°° X R"

При этом отображения ^: Dz-*CmXRn непрерывны для всех l^q и m < / + 1 — у.

Доказательство. Покажем, что F укладывается в общую схему теоремы 6.1.1 и удовлетворяет условиям (Hl — НЗ) из этой теоремы с а = 1, у=т + 2. Тогда наше утверждение будет прямо следовать из теоремы 6.1.4 и предложения 6.2.1. Отображение F переводит аналитические функции в аналитические, но нам надо еще продолжить F на семейства (Ха), (Ya), (Za) пространств вещественных голоморфных функций, заданных в комплексных полосах. Определим эти семейства так:

Х„: Х0 = С°,Х0=А(2а, С°),

Yo: Ko^^XR", Ya = A(a, С)ХГ, Zo: Z0 = C\ Z0 = A(q, C°),

Мы знаем, что F (0, 0) = 0. Зададим открытые окрестности Ва элемента (0, 0) следующим образом:

Ba = {(f, «)а1аХМ1Д,<1, I«la<^<i}- (6.4.12)

Отметим, что мы пишем здесь | и |0 вместо | и |а, с-

Покажем, что F: B0->Za при ст>0 и что это отображение непрерывно. Прежде всего ясно, что ди е Zo, если и eYa. Далее докажем, что если f е Ха, а и е Ya, то f ° (Id + у) е Za. Это вопрос области определения. Мы утверждаем, что | Im(| + + п (|)) I < (3/2) ст, если | Im || < ст. Достаточно показать, что | Imy (|) | < ст/2 при | Im| | < ст. Для этого воспользуемся вещественностью и:

Im у (I) = j-(v (В) -^))=4т (у (Ю - о (I))-

Применяя теорему о среднем значении и учитывая оценку | du (|)| <1/2, вытекающую из (6.4.12), получаем

г1

|Imy(|)|= ) dpdy(I + ii(l-I))Im| <у|Im||. (6.4.13) о

Чтобы проверить выполнение условия (Н1), заметим, что отображение F0» °¥ Ba->Za^ о' < о, дифференцируемо и !)

D.Ffj, u)a = dfo^ + v}v + k-dv, (6.4.14)

где й = (и, А). Согласно оценке Коши (6.2.5),

I dfo (id 4- сО У la' ^ I f la'C1 I ^ la ^ (^°*Z) I f la I ^ la ^

<(a-a')’’|6|0.

7 jdjx(l — p)X07 jdjx(l — p)X0Чтобы оценить Q (f; u,v) — F (f, a) — F (f, v)—D2 (F) (f, y) (u—у), мы воспользуемся формулой Тэйлора для функций; мы получим, что для (f, u), (f, у) е Во

7 jdjx(l — p)X

0

7 jdjx(l — p)X

0

\Qkt.u, о^\а,= SUp

| Im^| < a'

X d^ Й+цу ®+(i -И) и ®) (« ®-о (^))21 < 11 f ^ с, I у - и |2<

<(а — о')-2!» —

Таким образом, условие (Ш) выполнено.

Справедливость условия (Н2) очевидна.

Чтобы построить для отображения D2F(f, и) приближенное правое обратное, докажем сначала следующее простое, но играющее решающую роль функциональное тождество для производной (6.4.14):

D2F^, и)й = — (1 + do)d(l + dy)-1 б + X+

+ dFQ, u)(l+dvy^-, (6.4.15) здесь d обозначает (обычное) дифференцирование функций по х. Дифференцирование функции F^f, и) дает

dF (f, и) = dfo (м + о) (1 + dy) — ddv, поскольку д — оператор с постоянными коэффициентами. Далее, для произвольной векторной функции 6 имеем

(ddy) 6 = d(l + dy) го = d ((1 + dy) 6) — (1 + do) дю.

Поэтому

dF У, «)•(! + dy)" 1 б = dfo ud + v> 6—dy + (14-dy) д (1 +dy)-1 6= = D2FU, u)d-X + (l +dy)d(l +dy)-’6,

откуда и следует формула (6.4.15).

Ниже dfo w хю обозначает функцию g i—> ((Jf«w) (£)) • (й> (£))=» ” f' (^ (6))e ^ (5)» W df^ff — производная отображения f. — Прим. ped.

Как мы увидим ниже, существование тождества не случайно— оно связано с тем, что мы имеем дело с задачей сопряжения. Это — важное алгебраическое свойство нашей задачи, которое делает ее разрешимой. Запишем

D2 F U, и)й = Ьи (й) + &и. и) (й),(6.4.16)

где £и(й) = — (1 + dv)d(l + dv)~ 'б + X и ^{и^й') = = dF(f,u)(l + dv)"1 б. По лемме 6.4.1 о малых знаменателях оператор Lu имеет неограниченный правый обратный х\и = Ьй 'eL(Z0, Ya ) с показателем потери у = т4-2, задаваемый соотношениями

riH(z)=(6, D,(6.4.17)

б = - (1 + dv^ ((1 + dv)~l {z -[(1 + ^)"Т'[(1+^ГУ}), X = [(l + do)~T‘[(l + dO)-1z]

при всех zeZa. Здесь через ц обозначен правый обратный к д в пространстве функций с нулевом средним, существование которого гарантируется упомянутой леммой. Постоянный вектор X использован для того, чтобы сбалансировать средние значения. Из (6.4.17) с помощью той же леммы и оценки (6.2.5) выводим, что

|1“<г>1<(0„0Т^ |z|-<6-4J8>

если (f, и)еВа, где М — некоторая константа, не зависящая от и. Отображение ш—*т)ц, B0->^Z0) У^, очевидно, непрерывно для всех а' < о.

Пока мы установили, что

D2F(f, u)oriu(z) — 2 = ^f< „)(ria(z)).(6.4.19)

Используя (6.4.18) и (6.2.5), правую часть можно оценить так:

I ^f. и. ^ ^ U < I ^ ^ Io' I(1 + dar' L । ^ ^ la' <

<M(a-aT(t + 3)|F(f, «)|a|z|0<

(ст — ff')-2(o + v> I (Л M) lai2 la.

Таким образом, оператор T)tf является приближенным правым обратным, удовлетворяющим условию (НЗ) для всех (/, и) е Во при некотором М > 0. Ч. Т. Д.

6.6. ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ

Приведем эвристические соображения, показывающие почему следует ожидать существования приближенного правого обратного в ряде задач сопряжения.

Рассмотрим бесконечномерное многообразие В. Поскольку у нас все локально, можно считать, что В — банахово пространство. Пусть на В задано дифференцируемое действие Ф: В X X О--В, У, g)^-^■ФУ, g) некоторой группы О, которая может быть и бесконечномерной. Выполняются тождества*)

Ф(^ id) = f, Фу, g^^g0) = Ф(Фy, g), g0\ (6.6.1)

Пример: В — пространство функций на многообразии М, G — некоторая подгруппа группы диффеоморфизмов этого многообразия, действие группы — это взятие композиции f ° g. Другим примером служит пространство векторных полей на многообразии М, где действие группы определяется преобразованием векторных полей под действием диффеоморфизмов многообразия М.

Ситуация, которую мы хотим изучить, состоит в следующем. Выделим в В некоторое подмножество N и поставим вопрос, существует ли в В открытая окрестность U множества N, которая покрыта орбитами группы G, проходящими через N. Другими словами, существует ли для всякого элемента /, достаточно близкого к N, такой элемент группы g е G, что Ф(/, ?) = « е N?

В случае если ответ положительный, будем говорить, что подмножество N устойчиво в В относительно действия группы G.

Чтобы сформулировать условия на групповое действие Ф, параметризуем некоторую открытую окрестность элемента ideG

с помощью карты:

ехр: V с Гfd(G) -* О,ехр (0) = id;

будем писать для простоты Ф (f, ехр (у)) = Ф (f, у). Отображение F определяется так:

F(/, ц)^ф(/, у) —п,(6.5.2)

где ы = (у, n)e VXN. Для заданного элемента f, достаточно близкого к N, мы ищем решение и уравнения F (f, и) = 0 в предположении, что выполнены следующие условия. Допустим, что мы можем для любого заданного f решить линеаризованное уравнение

D2F (f, и) й === 1>2Ф (f, у) у--й == f gS> гДе й = (^^)е^Х^У,

. (6.5.3)

если -f ^ N и у = 0. Другими словами, мы допускаем, что для всех mN существует правое обратное отображение

nn = D2F(n,(0, п))-1.(6.5.4)

Отметим, что мы не предполагаем существования правого обратного у отображения D2F(f, (у, п)) для f из целой окрестности подмножества N и у из целой окрестности точки 0. Это допущение можно выразить, сказав, что подмножество N инфинитезимально устойчиво в В относительно группы G.

В случае когда правое обратное т)„ в (6.5.4) ограничено, можно воспользоваться классической теоремой о неявной функции. Однако в случае, который нас интересует, правое обратное неограничено (скажем, из-за наличия малых знаменателей) и потому уравнение (6.5.3) не решается для /, не лежащих в N, и у=#0. Основное соображение состоит в том, что благодаря групповым тождествам (6.5.1) можно построить приближенное правое обратное т]„ к отображению D2F (f, и) для f из целой окрестности подмножества N и у из целой окрестности точки 0, если это правое обратное т]„ существует для mN. Именно, мы утверждаем, что существует такое линейное отображение т)„: В->-Т1йХ N, что для всех f е В (при подходящих нормах)

| ф2Р (Г, и) = 11. - 1) (/) к const | F (f, и) 11 / |.(6.5.5)

Чтобы построить т]„, введем функцию xv> определяемую формулой ехр (у) ° ехр (у0) = ехр (xv (у0)). В силу групповых тождеств (6.5.1), имеем Ф(/, Ху (То)) — Ф (Ф (f. т)> То)- Дифференцирование этого тождества по у0 в точке у0 —О дает

Р2Ф(Г, у)^Ху(0)у = Д2Ф(Ф(Л у), 0)у.

3 Л. Ниренберг

Введя линейный оператор £v, задаваемый равенством Л7(й) = = (d%Y (0) у, /г), й = (у, п\ запишем

D.F U, и) = Цй = DJ (Ф (Л у), (0, п)) й

и с помощью формулы Тэйлора получим

DJ <f, и) о Ц ^ = D^F (п, (0, п)) й + ^(f и) (ф (/, у) — Л) fl),

(6.5.6) где Sy и} — некоторый билинейный оператор.

Для м = (у, и) положим теперь т)а=£уот]П) где т]„ при heN является правым обратным к ВгР ^п, (0,га)), существующим по предположению. Мы получим тождество

W У, и) = п„ - 1) (f) = ^f, и) (F (f, и), Т)„ (/)). (6.5.7) Из него и из оценок типа | г)„ (/) | < const | f | получается искомая оценка (6.5.5).

Здесь представлен лишь руководящий принцип. Мы не уточняли топологий, различных норм и т. д. В теоремах 6.1.1, 6.1.4 и 6.3.3 (в которых существование правого обратного постулируется) даются точные условия, при которых справедливо следующее утверждение:

Если подмножество N инфинитезимально устойчиво в В относительно группы G, то оно устойчиво в В относительно G.

Приложение

Абстрактная форма нелинейнойтеоремы Коши—Ковалевской0

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим задачу Коши для функции и(/, х): d™u = f(t, х, и, д^и), ^н|(-0 = Фй(х); к = 0, ..., т— 1. (1) Здесь х е й cz R", / gR1, а функция и может быть векторнозначной: « = («'и");/ — некоторая нелинейная функ

ция (У-вектор), зависящая от t, х, и и всех производных от и порядка ^ т вида dxdtu, I а I + / ^ m, / < т. Если функция / аналитична по всем своим аргументам и функции фй тоже аналитичны, то теорема Коши — Ковалевской гарантирует существование единственного аналитического решения в окрестности любой начальной точки (х0, 0).

Несколько человек независимо друг от друга заметили, что в случае линейной системы уравнений не обязательно требовать аналитичность по t. Именно, если f — всего лишь непрерывная функция от t (значениями которой являются функции, аналитические по остальным переменным), то в окрестности точки (х0, 0) существует единственное решение «(/, х), представляющее собой непрерывно дифференцируемую функцию от t, значения которой суть аналитические функции от х. В общей абстрактной формулировке этот результат был получен в работе Т. Яманаки [100], а затем заново Л. В. Овсянниковым [97] (изложение вопроса и различные приложения можно найти в работе Ж- Ф. Трева [98]). Этот результат и его доказательство являются прямыми обобщениями соответствующих результата и доказательства Гельфанда и Шилова [94] для случая уравнений, коэффициенты которых не зависят от t. Ниже он приведен как теорема А.

В работе [99] (см. также [98]) Трев привел один нелинейный вариант абстрактной теоремы Коши — Ковалевской; этот вариант, однако, недостаточно силен, чтобы с его помощью можно ’было доказать существование (и единственность) решения (1) в случае, когда / является лишь непрерывно

9 L. Nirenberg, An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem, J. Diff. Geom., 6 (1972), 561—576.

зависящей от t аналитической функцией остальных аргументов. В настоящей работе мы дадим такой нелинейный вариант абстрактной теоремы, который может быть применен к этому частному случаю. После того как наша работа была завершена, мы узнали, что на самом деле задача для этого случая была решена М. Нагумо [96] в 1941 г.

Наш результат сформулирован в § 1 и доказан в § 2; для полноты картины в § 3 он применен к задаче (1). В доказательстве мы пользуемся итерационным методом Ньютона, следуя при этом идеям Ю. Мозера [95]. В § 4 приводится также теорема о неявной функции, представляющая собой по существу реализацию в абстрактном виде метода работы [95]. Хотя мы и не даем никаких приложений нашей абстрактной теоремы, кроме вывода, результата Нагумо, мы надеемся, что она найдет и другие применения.

На протяжении этой статьи мы будем иметь дело со следующей ситуацией: X, — однопараметрическое семейство банаховых пространств; параметр s изменяется на полуоткрытом единичном интервале 0^s<l (в § 4 O^s^l). Для простоты предполагается, что все Xs при s > 0 являются линейными подпространствами пространства Хо. Далее, предполагается, что

X,cXS' при s' <s(2)

и естественное вложение XS->XS- имеет норму ^1.

Через ||11$ обозначена норма в Xs. (Не требуется, чтобы

пространство Хо было объединением пространств Xs с s > 0.) Переменное t будет вещественным или комплексным, и мы будем рассматривать функции, дифференцируемые по / в окрестности начала координат, со значениями в одном (или в нескольких) из банаховых пространств Xs. Если / комплексно, то „дифференцируемость" означает голоморфность. При соответствующих предположениях мы собираемся изучить задачу Коши вида

duldt = F(u{t\ f), И <6,(3)

м(0) = 0.(4)

Отметим, что наши результаты легко переносятся на случай общего начального условия u(O) = uo, где и0 не обязательно равно нулю.

Сформулируем теперь (следуя [98]) абстрактную линейную теорему Коши — Ковалевской из работ [100], [98]. Пусть

Е(«, ^ = A^u-Vf^,где отображение А (0 непрерывно по t при | /1 < л (голо-морфно, если / комплексно) как отображение X* в Х$- для

всякой пары параметров s', s, такой, что 0^s'<s<l, и, кроме того, удовлетворяет условию

IIА (/) v ||s, < С || и |Ц(s — s') при s' < s, (5)

a f(t) — непрерывная (соответственно голоморфная* функция от /, |<|<Л, Для каждого из пространств Xs, 0<s<l. Здесь С — некоторая фиксированная константа.

Теорема А. Пусть A^t) и f(t) удовлетворяют приведенным выше условиям. Положим 6a=min(r], (Се)"). Тогда для всякого s из интервала 0^s< 1 существует (^-(.соответственно голоморфная) функция u^t), определенная в интервале |/|< < 6а(1 — s), со значениями в Xs, являющаяся решением задачи Коши

du/dt = A^t)u (/) + f (0, и (0) = 0. (2)'

При этом для всякого s из интервала 0^s< 1 существует не более одного Отрешения u^t), | /1 < л, со значениями в Xs.

При нашем рассмотрении нелинейного случая (тесрема 1.1) мы будем пользоваться слегка ослабленным вариантом теоремы А, а именно теоремой 1.2, доказываемой в § 1.

Автор благодарит Ж- Ф. Трева за постановку задачи.

и

|| F (v, f) — F (и, А ~ Аи (/) (и - «) ||$, ^ С || и - и ||*+6/(s - s') (1.5)

при II о Ils < /?. Это неравенство должно выполняться для всех s' < s, причем положительные константы 6 ^Л и С не зависят от t, и, v, s или s'. Наконец, F(0, /) при любом s < 1 является непрерывной функцией от / (голоморфной, когда t комплексно), М1<т|, со значениями в Xs, удовлетворяющей для некоторой фиксированной константы К оценке

1^(0, t)\s^KKY~s), 0<s<l.(1.6)

Теорема 1.1. Если справедливы перечисленные выше условия, то для некоторого положительного числа а существует единственная функция и (t), которая для любого положительного s < 1 является непрерывно дифференцируемой функцией от t, | < | < а(1 — s), со значениями в Xs, причем ||m(0IIs<^> и удовлетворяет условиям (3), (4).

В случае когда / — комплексное переменное, „непрерывная дифференцируемость “ означает „голоморфность".

Прежде чем доказывать теорему 1.1, мы рассмотрим сначала линейный случай. А именно, докажем следующую модификацию теоремы А, где

F(u, /) = А (Пи + /(/),(1.7)

предполагая, что А(1) и f(t) удовлетворяют условиям теоремы А.

Теорема 1.2. Пусть F имеет вид (1.7), и пусть выполняется оценка (5). Зафиксируем некоторое значение а^1/(8С) и предположим, что для всякого s < 1 функция f удовлетворяет условию

\/(т)йт < к (а (1 — s)/| /1 — 1) 1 при |/| < a(s— 1). (1.8) о IL

Тогда существует единственная функция u(t), которая для всякого положительного s < 1 при | /1 < а(1 — s) является непрерывно дифференцируемой функцией от / со значениями в Xs и служит решением задачи Коши

(duldt) (/) = А (/) и (/) + f (0, и (0) = 0.(1.9)

При этом u(i) удовлетворяет оценке

||м(/)||$^2^(а(1-5)/|П-1Г' для \t\<a(\—s). (1.10)

Замечание. Если || f (/) ||s ^ k[a (1 — s) при 0 ^ s < 11 то условие (1.8) выполняется.

Доказательство теоремы 1.2. Наше доказательство представляет собой модификацию известных доказательств теоремы А.

Пусть В — пространство функций «(/), которые для всякого неотрицательного s < 1 являются такими непрерывными функциями /, |/|<а(1—s), со значениями в Xs, что

M[u] = sup ||u(0lls(a(l — s)/|Z I— 1) < oo; (1.11) ItKa(l-s) 0<s<l

В является банаховым пространством с нормой М[и]. Мы найдем решение и (/) как неподвижную точку действующего в пространстве В отображения

t

Т (о) (/) = (Л (т) о (т) + / (т)) dt. о

Именно, мы покажем, что Т переводит В в В и является сжимающим отображением, а потому имеет в В единственную неподвижную точку и(х), которая, конечно, будет решением задачи (1.9).

Сначала убедимся в том, что отображение Т сжимающее. Покажем, что если t

w (t) = А (т) о (т) du, о то

ММ<|м[о].(1.12)

При |/|<a(l—s) имеем, скажем для / > О,

II ® (О II, < $ II Ло ||s(t) dt<C^ ^pzr dT <Оо

< СМ [о]<1113^

о

Здесь должно удовлетворяться неравенство т<а(1—s(t)). Выберем теперь s(t) так, чтобы знаменатель в подынтегральном выражении был максимальным, т. е. положим s(t) = -| (1 +s — т/a).

Тогда s (т) < 1 — т/a и s (т) — s = j (1 — s — т/а), а(1 — $(т))/т —1=уа(1—s + т/а)/т — 1 = у а(1 — s—т/а)/т.

Поэтому

tt

dT4 Г т dT

(s (т) — s) (а (1 — s (т))/т — 1) ~ а J (1 — s — т/а)2 оо

t

<j (а (1 - А = 4а< [„(1_',н, -=

(1 -s) [(1 — s)a —/](1 — s) (а (1 — s)//— 1)

(а(1 — s)// — 1) •(1Л4)

поскольку |/|<а(1 — s). Подставляя эту оценку в (1.13), мы находим, что

М [да] < 4аСМ [о]< 1М [у].

Далее, для того чтобы убедиться в том, что В отобра- Экается в себя, достаточно заметить, что для и = Ти

t

t-I

f (т) dx I ^ у М [у] + к < оо. о

Следовательно, Т имеет в В единственную неподвижную точку и; из предыдущего неравенства следует, что М[и}^2к, а это и есть оценка (1.10).

Наша неподвижная точка «(/) является решением задачи (1.9). Докажем его единственность. Предположим, что существует другое решение у(/), лежащее в Xs при |/|<a(l—s). Тогда w = u — о удовлетворяет уравнению

t

да (/) — $ Л (т) да (т) dx.о

Для доказательства того, что да = 0, мы не можем воспользоваться неравенством (1.12), потому что не знаем, конечна ли норма Л1 [у]. Чтобы показать, что да(/о) = О как элемент пространства Xs при некотором фиксированном /0, |/01<а(1~ з), выберем такое s0, что s < s0 < 1 и 1101 < a (s0 — s). Тогда

Л10[да]= sup M0|l$(^f^_ 1)<оо.

|И<Ж$о-$)Ml

Повторяя прежние рассуждения, находим, что

Alok]

Следовательно, A4o[w]=O и, значит, w^ — O. Теорема 1.2 доказана.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1.1

Воспользуемся методом Мозера из § 3 его работы [95]. Мы ищем решение уравнения

t

u(t)=^F(u(r), x)dx(2.1)

с конечной нормой Af[u], заданной формулой (1.11), но только теперь а будет достаточно мало. Мы получим решение как предел последовательности ик, заданной индуктивно равенствами

uo = O, ики=ик + о,(2.2)

где

II ик (0 ||s < R при 1t1 < ak (1 — s),(2.3)

а у является решением уравнения

у (!) = ^ AUfc w (т) у (т) dx + Ofe (I),(2.4)

о

в котором

t

Gk (0 = J F (uk (т), t) dx - uk (0.(2.5)

0

Здесь для всякого s < 1 и для | /1 < ак (1 — s) функции ик (t) и у(/) являются непрерывными функциями от t со значениями в Xs, для которых конечны Мк [ы6] и Mk[v], где

Мк [у] = sup|| у (0 II,(-^ТТГ^ - 1) < 00 • (2.6)

1<|<а&<1—s)'

0<s<l

Числа ак будут членами убывающей последовательности с lima6 = a. А именно, мы возьмем

а6+1 = аД1-(^+1)"2), * = 0,1,...,(2.7)

так что

о = ««П(1-№+1Г!):<2-8>

Q

Oq будет выбрано подходящим образом, и притом так, чтобы а0^ 1 и «о^ 1/8С.

Предположим, что для z^fe уже определены ut с Mt [иг] < < оо; положим Хк = Мк\ОД. В силу условия (1.4) и теоремы 1.2 существует функция и(/), удовлетворяющая уравнению (2.4), для которой

M6[v]<2X6.(2.9)

Поэтому

11 ° ^lls ^ «V^T-1 при 1 z1< afe*x ^ -s)- откуда следует, что при | /1 < afe+i (1 — s)

II «»+1 (0 IL < 2 -ут^тг +11 uk (0 ILaklak-¥\ 1

и, по индукции, к

llMfe+i(0lls^2 2^/(^//^/+i — 1) •(2.10)

о

Нам надо, чтобы

к

2Zx/(a//6Z/+1-l)”1</?/2.(2.11)

о

Тогда при 1t1 < «б+1 (1 — s) будет справедливо неравенство ||«6+i (0 IL < R/2 и, следовательно, функция F(«6+i(0> /) будет определена.

Наша цель теперь состоит в том, чтобы доказать, что Л/->0 при /-»оо. Оценим Х6+1. В силу (2.4) и (2.5),

t

Gk+i ^=\F (uk+i ^х\ т) dx — ufc+I (/) =

О t

— [F (u6+i (t), t) — F (ti6 (t), t) — AUfe (1) (т) у (t)] dx.

0

Таким образом, как видно из (1.5), для | /1 < а^+1 (1 —s)

II Ок+1 (О Ils < С J ^j^^ dx(2.1 Г)

о

при s (т) < 1 — | т |/aft. Заметив, что s < 1 — 11 |/«6+i < 1 — —■ | / |/«б < 1 — | т |/«б, мы можем положить

s(t) = |(1-|t|/«6 + s).(2.11")

_ м1и с помощью

Тогда аИ1 — s (т))/т1 — 2 № u я

неравенства (2.9) мы находим (предполагая, скажем, что />0)

= 23+26СХ1+6ай $ т1+6 (a6 (1 - s) - т)-(2+6) dT < 0

<25CxV6tX+S $ (afc(l - s) - t)"(2+6) dT. о

Далее,

$ fed - - .Г*—ГТ» [(“‘')“',+” -

_ (1>s (i -(i - «г1 fed -■

Подставляя это в предыдущую оценку, получаем неравен- ство

II Gft+1 (О II 2"С^6 аИ/_ S)" ^^S^Vp *

Следовательно, X^+i — MkA-\ t^fe+il ^

= ^CXV6 sup t<°fe+ilak= ^CXV6 sup t<°fe+ilak<25CU+6 sup<25CU+6 supkak+Jak Q<l+6_(1 -n1+6(ak+ilak - 0kak+Jak Q<l+6_(1 -n1+6(ak+ilak - 0

= ^CXV6 sup t<°fe+ilak

= ^CXV6 sup t<°fe+ilak

<25CU+6 sup

<25CU+6 sup

kak+Jak Q<l+6_(1 -n1+6

(ak+ilak - 0

kak+Jak Q<l+6_(1 -n1+6

(ak+ilak - 0

Легко показатьЛегко показать(l-ti6*)~6 и, значит,25CXVe(l-ti6*)~6 и, значит,25CXVeчто последняя верхняя грань равначто последняя верхняя грань равна(2.12)(2.12)

Легко показать

Легко показать

(l-ti6*)~6 и, значит,

25CXVe

(l-ti6*)~6 и, значит,

25CXVe

что последняя верхняя грань равна

что последняя верхняя грань равна

(2.12)

(2.12)

Теперь мы можем выбрать а0. Заметим прежде всего, что ввиду (1.6)

г *1

Ло = Mo F (0, т) d% ^

<Я sup [^(Му^-1)]<«<Л.

|И<а0 (I-s) *■ 15 ' I ‘ I' -I

Нам надо, чтобы

Xi<a0KU-V\r4.(2.13)

Предполагая, что это верно для Х6, находим из (2.12) и (2.7), что

^+1 < 25 С <МУ+Ь (k + I)"(4+2б) <

коль скоро а0^а', где а' не зависит от к.

Нам надо добиться выполнения неравенства (2.11). Из (2.7) и (2.13) следует, что

2 £ ^ («//«/+! - О"' <2 £ Ml - аж/ау' =

= 2 £ М/ + I)2 < 2а0/С £ U + I)"2 < оо

<2аоК£(/+1)"2</?/2,(2.14)

о

коль скоро Оо ^ а".

Если мы теперь выберем а0, такое, что а0<.а', а0^.а", то функции ик будут определены при всех к, причем

II«*(ОIL</?/2 при |/|<а*(1 — s).(2.15)

Далее в силу (2.9),

II «А+1 (О — ик (/) ||s с 2Хк ^ак (1 — s)/| /1 — I)-1 при 1t1 < ак (1 — s).

Таким образом, если |11 < а (1 — s) < ак (1 — s) и а = lim ак, то

||uk+v (0 - ик (0 Us < 2Хк (а (1 - s)/| /1 - I)"', или

М [u^+i^] ^^ 2Хд.

Поскольку £Хб<°о, отсюда следует, что функции ик сходятся к некоторой функции ы(/) в В. Из оценки (2.15) выте-

утверждаем,утверждаем,кает, что ||и(f)||5<R^ при |f|<a(l—$). Мы что и^ является решением уравнения (2.1).

утверждаем,

утверждаем,

В самом деле, при 1t1 < а (1 — s') < а (1 — s)

t

.5'.5'F(u(t),t)dx — и^ о

.5'

.5'

< ^ IIF (и (т), т) — F Vuk (т), т Hg, dx +

+ II и ^ - Uk (/) lls, + Xk (а (1 - s')// -!)-*<

< 7=7 | S [“u Us + Иu to - to Ш | +

+ II и (/) - Uk (0 l|s, + Xfc {a (1 - s')/| /|-l)-‘

в силу (1.5). Все члены в правой части стремятся к нулю при fe->oo, и, следовательно, u(f) является решением уравнения (2.1). Очевидно, что и(0 является также решением задачи (3), (4).

Чтобы завершить доказательство теоремы 1.1, мы должны доказать единственность решения. Предположим, что х)^ тоже является решением. Тогда разность w^ = x) (t) — и (0 удовлетворяет уравнению

t

w (0 = ^ [F (и (т), т) — F (и (т), т)] dx.

о

Для любого фиксированного s0 < 1 функции и и х) имеют конечную Л10-норму, где

МоМ= sup ||м(О1Ц«(«о —s)/IN —1).

|/|<a(s0-s)0<s<s0

Поэтому при |/|<a(s0 —s) мы имеем, в силу (1.5):

1|№(011<С(1+7?в)1|№(011<С(1+7?в)Г II °" (т) llS(T) rf-rJ S (т) — sГ II °" (т) llS(T) rf-rJ S (т) — s

1|№(011<С(1+7?в)

1|№(011<С(1+7?в)

Г II °" (т) llS(T) rf-r

J S (т) — s

Г II °" (т) llS(T) rf-r

J S (т) — s

при s(t)^s0 —| т|/а. Рассуждая как при доказательстве теоремы 1.2, получаем неравенство

|<»(0||,<4«С(1+1?,)7т^!1р7т.

так что МоМ <4аС (1 + J?6)M0 [ty]. Отсюда мы заключаем, что Afo[ty] = O, коль скоро 4аС(1+7?)<1, чего всегда

можно добиться, уменьшив, если надо, а. Таким образом, ll^(0lls = 0 при \ t\ < a^sQ~ s). Поскольку это верно для любого s0, то, значит, ш^О. Теорема 1.1 доказана.

Замечание. Из доказательства ясно, что теорема 1.1 останется справедливой, если условие (1.6) заменить на следующее более слабое условие:

Для некоторого вещественного положительного а' и для всех неотрицательных s < 1 при |t1 < а'(1 — s) функция Е(0, /) является непрерывной функцией от t со значениями в Xs, удовлетворяющей при некоторой константе к неравенству

t

^(О.т)^ <fe(a'(l-s)/UI-1)~‘.(1.6)'

Оs

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА КОШИ

В этом параграфе мы рассматриваем задачу (1), предполагая, что / является непрерывной по / функцией со значениями в пространстве голоморфных (Дивектор-) функций от остальных переменных вблизи начала координат. В случае когда f также аналитично по f, то же самое доказательство, проведенное для некоторой комплексной окрестности 1 / ] < т], даст классическую теорему Коши — Ковалевской, и мы не будем больше говорить об этом случае. Вычтя, если надо, надлежащую функцию, мы можем считать, что начальные данные —- функции фу —равны нулю.

Первым шагом при доказательстве локальной разрешимости и единственности является стандартной сведение задачи к эквивалентной задаче для системы первого порядка (см. [98]). Если ввести

щ = ди1дхь i—\, ..., п, unA.x=du/dt, то, как легко видеть, задача (1) о существовании и единственности решения

дТи = Ц1, х, и, ...), dht|/=9 = O, к = 0, ..., эквивалентна соответствующей задаче для системы относительно неизвестных (и, щ, ..., urt+i):

dt и — dt un-v\,

дТ-хи1 = дх1дТ""2иПА-1,

дТ^'ип+{ = f (/, x, u, ...),

с начальными условиями d^u — d^ut = 0 при t = 0, k<m—\, t= 1, ..., »+ 1. Здесь производные от и в аргументах функ-

ции / заменены на производные порядка не выше т — 1 от и, иХ) ..., ип^х- Порядок этой новой задачи равен т—-1. Повторяя нашу операцию, мы придем в конце концов к системе первого порядка. Итак, рассмотрим задачу (1) с т=1;

dtu = ^Q. х, и, Uxx> ..., иХпУ и(х, 0) = 0.(3.1)

Здесь f(t, х, и, р) как функция от / представляет собой непрерывную функцию со значениями в пространстве голоморфных функций от остальных переменных при \xj\<;R> |u|^£, |р 1^7?; p = (pi, ..., prt); каждое pz здесь TV-вектор.

Следующим (стандартным) шагом является сведение к системе, которая линейна относительно производных от неизвестных функций. Введем

р1 = дх.и, 7=1, ..., п.

Тогда существование и единственность решения задачи (3.1) эквивалентны существованию и единственности решения для такой системы относительно неизвестных (и, рь ..., р^ (обозначения понятны сами собой):

dtu = Ht» ХД> р\

dtPt = Ц V. Х> и« Р) + W Х> и> р) Ux, + U V. х> “> р) Рх,»

7=1, ..., п

с начальными условиями и (х, 0) = pt (х, 0) = 0.

Таким образом, достаточно рассмотреть квазилинейную систему вида

dtu ==^ai (/, х, и) uXf + b (/, х, и\ и (х, 0) = 0(3.2)

для TV-вектора и\ здесь каждое из а7 представляет собой N X Л7-матрицу, а b есть /V-вектор. Компоненты матриц а? и вектора b суть непрерывные функции от / при |/|<ть значениями которых являются голоморфные функции в некоторой окрестности множества EUix/K^xIIWK/?}. Здесь xf и компоненты и1 комплекснозначны. Мы предполагаем, что a1, b и их первые и цторые производные по X/ и и1 ограничены некоторой константой с.

Для 0^s< 1 пусть Xs обозначает пространство вектор- функций иАх\ голоморфных и ограниченных в области Ds = =Ш| X* | < s/?}. Положим

II ы IU = sup | и (х) |.(3.3)

Обычным образом оценивая производные голоморфных функций, получаем

px/u[s,</?-I||u||s/(s — s') при 0</<s.(3.4)

Обозначим оператор а1 (/, х, и) uXj + b (t, х, и) (мы используем общепринятое соглашение о суммировании по повторяющимся индексам) через F («(/),/), где u^ = u(,t, х\ Ясно, что F удовлетворяет условию (1.1). Кроме того, оператор F (0, /) = b (/, х, 0) ограничен и потому удовлетворяет, конечно, условию (1.6). Далее, с помощью теоремы о среднем значении мы находим, что если |и(х)|</? в области Ds, то во всякой области DS’ с s' < s

| F (у, /) — F (u, 0 — a1 (/, x, u) (vX/ — ux^ —

- 2 (^ t (Л x, m) uXj + bul (t, x, ы)} (y* - u) <

^C^y — u|2(| yxl + 1) (для некоторой фиксированной

константы CJ^

< С, II у - и |£, ((s - s')-’ + 1) (в силу (3.4)) <

<2^ ||y-«||^/(s-s')<

^2С] || у — u\fsps — s') (и подавно).

Мы видим, таким образом, что выполнено условие (1.5) с С = 2СЬ 6=1 и что

Лы(0 w = а!(/, х, u^w^-V^uA1* х, u)uXi"V buAt, х, и^хю1.

Далке, при || и ||s < R мы имеем для подходящей константы С2

|| А„ (t) w ||,, < С21| wx ||e, + C2R (|| их ||s, + 1) || w ||$, <

< C2R-11| ® ||,](s - s') + ^s - s') + C2R) || w ||,, < ^CUzylLAs-s'),

где С — некоторая другая константа.

Итак, для надлежащим образом подобранной константы С выполнены все условия теоремы 1.1, и из нее следуют локальные существование и единственность решения задачи (3.2), которое аналитично по ^.

ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Мы приведем сейчас один вариант теоремы о неявной функции, следуя рассуждениям § 3 работы [95], но в нашей абстрактной ситуации с банаховыми пространствами Xs.

Рассмотрим два однопараметрических семейства банаховых пространств Xs и У$, где параметр s пробегает замкнутый единичный интервал. Пусть при 0^$'<$^1

XoTdXs' =>XsoXi, Yq=)Ys- =>Ys=>Yv,

№<1Н№<1НII *L <11 *11.»II *L <11 *11.»и пусть нормы II ||s В Xs и | Is в ys удовлетворяют неравенствам

№<1Н

№<1Н

II *L <11 *11.»

II *L <11 *11.»

для x e Xs, у e У$ и 0 ^ s' < s < 1.

Пусть, далее, R — некоторое фиксированное положительное число и F^— отображение в пространство Уо, определенное для всякого элемента и, лежащего в каком-либо из пространств Xs и удовлетворяющего неравенству

II u II, < Я,(4.1)

которое при всех s' < s является непрерывным отображением этого шара из Xs в пространство У$'. Наша цель состоит в решении уравнения

F^u) = 0(4.2)

относительно и, принадлежащего некоторому Xs, в предположении, что норма | Л (0) h достаточно мала. Рассмотрим следующие условия, где р, q, С>0 и 0 <6^1 фиксированы:

Для всякого s из интервала O^s^l и для любых и, иеХ„ таких, что ||«||s, ||у||$<Р, существует линейный оператор Аи, отображающий Хо в Yo- при всех а' < a^s и удовлетворяющий неравенству

IF (у) - F («) - Аи (у - и) |„, < С || у - и Ц;+6 (а - а')"р. (4.3)

(4.4)(4.4)Для всякого s из интервала O^s^l, для любого ие Xs с нормой || и ||s < R и для каждого f из У„, а < s, существует решение ty уравнения

(4.4)

(4.4)

Auw = f,

которое принадлежит ХО' при всех а' <о и удовлетворяет оценке

IIа'1|а» < С | f |а (ст — </)-‘,.(4,5)

Г'

Теорема 4.1. Если выполнены приведенные выше условия (i) и (ii), то для любого неотрицательного s < 1 существует такое еа($), что при | F (0) h ^ е0 (s) у уравнения F(u) = 0 существует решение и, принадлежащее Xs.

Доказательство. Положим р = (1 — $) 2 &~2« Зададим убывающую последовательность s^ (fe = 0, 1, ...) равенствами So=l, s6-t — s6 = p/?~2, fe > 0,(4.6)

и индуктивно определим последовательность ике XSfe, k= = 0, 1, ..., начиная с Ио = О и полагая

uk+\ = uk-Vu,(4.7)

где о — лежащее в Х3- для всех s' < sk решение уравнения

A^v^-F^(4.8)

существование которого гарантируется условием (ii).

Для того чтобы убедиться, что последовательность ик определена корректно, надо проверить ряд вещей. Предположим, что и0> ..., ик уже определены и удовлетворяют неравенствам

Ws^R^(4.9)

Положим

T< = sz-lp(Z+l)-2,z = 0, 1, ....(4.10)

так что

TZ-1 — т, = ур(Г2 + (/+ 1)~2)^рг~2(4.11)

для некоторой константы р. Положим, далее, ^=|Е(«ЛТ_, i = o, .... /г+1.(4.12)

При а < хк имеем

1|о|1а<С^(^-п)"’.(4.13)

Из (4.3) и (4.7), (4.8) можно вывести, что при хк+х < о <хк

Xk+x=\F(Mft+i) lTj6+i < С|| у |£+6(а -Tft+1)"p < <С2+611+б(а-^+1ГР(т,- оу^- (4.14) (в силу (4.13)). Если положить теперь

^ = тй+1 + р + ^^ +6) hk — Ti+i)

(при таком выборе а знаменатель в (4.14) максимален), то из оценки (4.14) получается, что

Л№ < С14+6 (т6 - тй+1)-р-? (1+6),

где Ci — некоторая фиксированная константа, не зависящая от к. В результате, с учетом (4.11), мы находим, что для некоторой не зависящей от к константы С2

^+1<С2(й+ 1)2(р+9+’6)лГ6.(4.15)

Предположим теперь, что мы получили uh / = 0, ..., к, которые удовлетворяют оценке (4.9) и, кроме того, для некоторой константы е — оценке

^<е(/+ 1)"г, г=1 Н-г^ + ^ + ^/б, / = 0, к. (4.16)

Из (4.15) следует тогда, что

^+1 ^ ^ +б ^ ^ 1)1+б+2 (p+p+Wd ^ С381 + б(& + 2) ,

где константа С3 не зависит от к и 8. Таким образом, если оценка (4.16) справедлива для е = | ^(0) h, столь малого, что С^ < 1, то мы по индукции получаем оценку

^+1<8(^ + 2Гг.

Нам надо еще проверить, что оценка (4.9) справедлива для i = kA* 1- Для этого заметим, что, в силу (4.13) и (4.16),

IIм6+1 - ик ||,б+1 с СХк (т6 - s^,)"" = с [2 (k + 1)7р]? Н <

где С4 — некоторая константа, не зависящая от к и 8. Поскольку Uq = 0, отсюда вытекает, что для достаточно малого в

^+1оо

IIик+х |L < £ II щ - и^х ||s. с С4е Е <fe + I)"'-2 м’6< Р/2. 64-1i = lI1

Мы проверили, что если норма в = | У7 (0) h достаточно мала, то на каждом шаге ик <= XSfe корректно определены и удовлетворяют оценкам (4.9) и (4.17). Последовательность sk убывает, и ее предел равен s. Из (4.17) следует, что последовательность ик сходится в Xs к некоторому элементу, удовлетворяющему оценке ||w||s<P/2. Поскольку F является непрерывным отображением шара ||х||$</? из Xs в пространство Ys> для всех s'< s и поскольку ^(«J-^O в Xs, то У(и) = 0.

Замечание. Недавно Овсянников опубликовал статью, где рассмотрена другая абстрактная форма нелинейной задачи Коши [101].

ПРИМЕЧАНИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Совсем недавно Т. Нисица [91] получил новый результат, обобщающий как результат Л. Ниренберга, так и результат Л. В. Овсянникова [101]. По просьбе Л. Ниренберга и с любезного разрешения Т. Нисиды приведем его теорему (мы пользуемся обозначениями Ниренберга).

Теорема (Нисида). Утверждение теоремы 1.1 остается в силе, если условия (1.4), (1.5) заменить на следующее более слабое условие*.

(♦) Для всякой пары значений s, s', s' < s < 1, при всех ueXs, и е Xs, таких, что, || и Us < К, || и ||$ < R, и всех t, | /1 < Л, выполняется неравенство

II F {и, n-F (о, о II < _£lff_=_£k

Доказательство этой теоремы в основном следует доказательству теоремы 1.1. Отличие состоит в том, что для получения решения автор пользуется обычным итерационным методом, а не методом Ньютона. Именно, пусть (как в (2.2), (2.3))

“о = О> ик+1 = и1Лук> Н“л<0(|<^ при UKa^l-f),

где ак и гдегде ак и гдезаданы формулами (2.7): аА+1 = а (1 - (А + 2)~2), а = lira а. k->oo

где ак и где

где ак и где

t

°к ^=V (ик <т)’т)^ - «к ^- о

Введем обозначение Мк [и^] =» Хк, Хк < оо. Тогда

II “^+1 ^^М^ж-^

при | /1 ^ ак ,. (1 — s). В силу условия (2.11'))при | /1 ^ ак ,. (1 — s). В силу условия (2.11'))tII UjHl lls^^ J 0tII UjHl lls^^ J 0II ^ Us (т) s (т) — sII ^ Us (т) s (т) — sdu,du,(♦), при таких t имеем (ср. о5(0<1~|т|/ад+1.(♦), при таких t имеем (ср. о5(0<1~|т|/ад+1.

при | /1 ^ ак ,. (1 — s). В силу условия (2.11'))

при | /1 ^ ак ,. (1 — s). В силу условия (2.11'))

t

II UjHl lls^^ J 0

t

II UjHl lls^^ J 0

II ^ Us (т) s (т) — s

II ^ Us (т) s (т) — s

du,

du,

(♦), при таких t имеем (ср. о

5(0<1~|т|/ад+1.

(♦), при таких t имеем (ср. о

5(0<1~|т|/ад+1.

Полагая s (т) =(1 — тМ^+1 + s)/2 (ср. с (2.11*)), можно, как и в доказательстве теоремы 1.1, получить, что ukJbX удовлетворяет оценке

^^+1 ^^ 4СДд%£.

Из этой оценки следует, что при достаточно малом а0 kk+i = а^О^)

(ср. с (2.13)). Okoi ч шие доказательства приводится так же, как у Нире» берга.J р

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Литература, упоминаемая во введении

Дж. Шварц (J. Т. Schwartz), Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach, N. Y., 1969. [Готовится русский перевод в изд-ве «Мир».]

Дж. Милнор (J. Milnor), Topology from the differentiable viewpoint, University Press, Virginia, 1965. [Имеется русский перевод в книге: Дж. Милнор, А. Уоллес, Дифференциальная топология. Начальный курс, «Мир», 1972.]

М. А. Красносельский, Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, 1956.

М. М. Вайнберг, Вариационные методы исследования нелинейных операторов, Гостехиздат, 1956.

Э. Сарантонелло (ред.) (Е. Zarantonello), Contributions to nonlinear functional analysis, Academic Press, 1971.

А. Гранас (A. Granas), Topics in infinite dimensional topology, Sem. College de France, 1969—70.

Дж. Келлер, С. Энтман (ред.) (J. В. Keller, S. Antman), Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems, Benjamin, 1969.

Rocky Mountain Journal, 3 (1973), № 2, весь номер.

Д. Сэттингер (D. Н. Sattinger), Topics in stability and bifurcation theory, Springer Lecture Notes, № 309, 1973.

А. Стэкголд (I. Stakgold), Branching solutions of nonlinear equations, Siam Rev., B, 1971, 289—332.

M. M. Вайнберг, В. А. Треногин, Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие, УМН, 17 (1962), № 2, 1—60.

М. М. Вайнберг, П. Г. Айзенгендлер, Методы исследования в теории разветвления решений, «Итоги науки. Матем. анализ», ВИНИТИ, 1976.

М. Бергер, М. Бергер (М. Berger, М. Berger), Perspectives in nonlinearity, Benjamin Press, N. Y., 1968.

Ж. Л. Лионс (J. L. Lions), Quelques methodes de resolution des problem's aux limites nonlineaires, Gauthier-Villars, 1969. [Русский перевод: Некоторые методы нелинейных краевых задач, «Мир», 1972.]

Литература к гл. 1

П. Абрахам, Дж. Роббин (Р. Abraham, J. Robbin), Transversal mappings and flows, Benjamin Press, N. Y., 1967.

Б. Кнастер, К. Куратовский, С. Мазуркевич (В. Knaster, К. Kura* towski, S. Mazurkiewicz), Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-di- mensionale Simplexe, Fund. Math., 14 (1929), 132—137.

Литература к гл. 2

M. Шехтер (М. Schechter), Principles of functional analysis, Academic Press, N. Y., 1971.

С. Агмон (S. Agmon), Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand Math. Studies, № 2, 1965.

А. Фридман (A. Friedman), Partial differential equations, Holt, Rinehart Winston, N. Y., 1969.

P. И. Качуровский, К теории Фредгольма для нелинейных операторных уравнений, ДАН, 192 (1970), № 5, 968—972.

Ж. Дьёдонне (J. Dieudonne), Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969. [Русский перевод: Основы современного анализа «Мир», 1964.]

С. Ленг (S. Lang), Introduction to differentiable manifolds, Interscien- ce-Wiley, 1962. [Русский перевод: Введение в теорию дифференцируемых многообразий, «Мир», 1970.]

М. Крэндалл, П. Рабинович (М. G. Crandall, Р. Н. Rabinowitz), Bifurcation from simple eigenvalues, I. Fund. Anal., 8 (1971), 321—340.

Литература к гл. 3

Л. Хёрмандер (L. Hormander), Fourier integral operators. I, Acta Math., 127 (1971), 79—183. [Русский перевод: Интегральные операторы Фурье. I, Математика, 16 (1972), № L]

П. Рабинович (Р. Н. Rabinowitz), A global theorem for nonlinear eigenvalue problems and applications, Contrib. Nonlinear Fcl. Anal., Academic Press, 1971, 11—36.

Дж. Изэ (J. A. Ize), Bifurcation theory for Fredholm operators, Memoirs Amer. Math. Soc., № 174, 1976.

Э. Дэнсер (E. N. Dancer), Bifurcation theory in real Banach spaces, J. London Math. Soc., (3), 23 (1971), 699-734

M. Крэндалл, П. Рабинович (M. G. Crandall, P. H. Rabinowitz), Bifurcation, perturbation of simple eigenvalues and linearized stability, Arch. Rat. Meeh. Anal., 52 (1972), 161-180.

Г291 Д. Сзттингер (D. H. Sattinger), Stability of bifurcating solutions by

Leray — Schauder degree, Arch. Rat. Meeh. Anal, 43 (1971), 154—166.

А. Амбросетти, Г. Проди (A. Ambrosetti, G. Prodi), On the inversion of some differentiable mappings with singularities between Banach spaces, Annali di Mat., 93 (1972), 231-246 n x

M. Бергер, Э. Подолак (M. S. Berger, E. Podolak), On the solutions of a nonlinear Dirichlet problem, Indiana Math. J., 24 (1974—75), 837—846.

Литература к гл. 4

Л. Ниренберг (L. Nirenberg), An application bf generalized degree to a class of nonlinear problems, 3rd Colloq. Analyse Fonctionelle, Liege, Sept. 1970, Math. Vander, 1971, 57—74.

А. С. Шварц, К гомотопической топологии банаховых пространств, ДАН, 154 (1964), № 1, 61—63.

К. Гемба (К. G^ba), Fredholm o-proper maps of Banach spaces, Fund. Math., 64 (1969), 341—373.

К. Элуорти, А. Тромба (К. D. Elworthy, A. J. Trombi), Differentiable structures and Fredholm maps on Banach manifolds. Global Analysis, Proc. Symp. Pure Math., 15, Amer. Math. Soc., 1970, 45—94.

Дж. Кронин (J. Cronin), Equations with bounded nonlinearities, L Dif. Eqns., 14 (1973), 581—586.

M. Бергер, Э. Подолак (M. S. Berger, E. Podolak), On nonlinear Fredholm operator equations, Bull. Amer. Math. Soc., 80 (1974), 861—864.

Э. Лэндесмэн, Э. Лейзер (E. H.Landesman, A. C. Lazer), Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance, J. Math. Meeh., 19 (1970), 609—623.

П. Рабинович (Р. Н. Rabinowitz), A note on a nonlinear elliptic equations, Indiana Univ. Math. J., 22 (1972), 43—49.

С. Смэйл (S. Smale), An infinite dimensuional version of Sard’s theorem, Amer. J. Math., 87 (1965), 861—866.

Ф. Куинн (F. Quinn), Transversal approximation on Banach manifolds, Proc. Symp. Pure Math., 15, Amer. Math. Soc., 1970, 213—227.

Э. Спеньер (E. H. Spanier), Borsuk’s cohomotopy groups, Ann. Math., 50 (1949), 303—348.

К. Гемба (К. Geba), Algebraic topology methods in the theory of compact fields in Banach spaces, Fund. Math., 54 (1.964), 177—209.

К. Гемба, А. Гранас (К. G^ba, A. Granas), Infinite demensional cohomology theories, J. Math. Pure A ppi., 52 (1973), 145—270.

Дж. Илле (J. Eells), Fredholm structures, Symp. on nonlinear functional analysis, Amer. Math. Soc 18, 1970, 62—85. [Русский перевод: Фредгольмовы структуры, УМН, 26 (1971), № 6, 213—240.]

Литература к гл. 5

X. Брезис (Н. Brezis),Operateurs maximaux monotones et semi-grou- pes de contractions dans les espases de Hilbert, Notas de Mat., 50, American Elsevier, Amsterdam, North Holland, 1973.

X. Брезис, Л. Ниренберг, Г. Стампаккья (Н. Brezies, L. Nirenberg G. Stampicchia), Remark on К у Fan’s min-max theorem, Bull. Univ. Math. Hal., (4), 6 (1972), 293—300.

Э. Сарантонелло (E. Zarantonello), Dense single-valuedness of monotone operators, Israeli J. Math., 15 (1973), 158—166.

P. Рокафеллар (R. T. Rockafellar), Convex functions, monotone operators and variational inequalities, в сб. «Theory and applications of Monotone Operators» (ed. A. Ghizzetti), Ed. Oderise, 1969, 35—65.

P. Рокафеллар (R. T. Rockafellar), Local boundedness of nonlinear monotone operators, Michigan Math. L, 16 (1969), 397—407.

П. Фицпатрик, П. Хесс, T. Като (Р. М. Fitzpatrick, Р. Hess, T.Kato), Local boundedness of monotone-type operators, Proc. Japan Acad., 48 (1972), 275—277.

Литература к гл. 6

Дж. Нэш (J. Nash), The imbedding problem for Riemannian manifolds, Ann. Math., 63 (1956), 20—63. [Русский перевод: Проблема вложения для римановых многообразий, У МН, 26, (1971), № 4.]

Ю. Мозер (J. Moser), A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 47 (1961), 1824—1831. [Русский перевод: Новый метод построения решений нелинейных дифференциальных уравнений, Математика, 6 (1962), № 4.]

Ю. Мозер (J. Moser) A rapidly convergent iteration method and nonlinear partial differential equations. I, II, Ann. -Senoia Norm. Sup. Pisa, 20 (1966), 265—315, 499—535. [Русский перевод: Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения, У МН, 23 (1968), № 4.]

Э. Цендер (Е. -Zehnder), Am implicit function theorem for small divisor problems, Bull. Amer. Math. Soc., 80 (1974), 174—179.

P. Грин, X. Якобович (R. E. Greene, H. Jacobowitz), Analytic isometric embeddings, Ann Math., 93 (1971), 189—204.

X. Якобович (H. Jacobowitz), Implicit function theorems and isometric embedding, Ann. Math., 95 (1972), 191—225.

Л. Ниренбгрг (L. Nirenberg), An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem, J. Dif. Geom. 6 (1972), 561—576. [Русский перевод этой статьи включен в настоящую книгу в качестве прило- ^енця.]

Литература, добавленная авторомдля русского издания

П. Рабинович (Р. Н. Rabinowitz), Theorie du degre topologique et applications a des problemes aux limites nonlineaires, Lecture notes Analyse numerique functionelle, Univ. Paris VI, 1975.

С. I. M. E. conference: Eigenvalues of nonlinear problems, Edizioni Cremonese, Roma, 1974.

С. Фучик, Й. Нечас, Й. Соучек, В. Соучек (S. Fucik, J. Necas, J. Soucek, V. Soucek), Spectral analysis of nonlinear operators, Springer Lecture Notes, № 346, 1973.

Ж. Мавэн (J. Mawhin), Nonlinear perturbations of Fredholm mappings in normed spaces and applications to differential equations, Tra- balha de Mat, № 61, Univ, of Brasilia, 1974.

M. А. Красносельский, Положительные решения операторных уравнений. Главы нелинейного анализа, Физматгиз, М., 1962.

Ф. Э. Браудер (F. Е. Browder), Nonlinear operators and nonlinear equations of evolution on Banach spaces, Proc. Symp. Pure Math., Vol. 18 (2). Amer. Math. Soc., 1976.

Г. Йосс (G. looss), Bifurcation et stabilite, Math. Univ. Paris XI, Orsay, Publ. № 31, 1973.

П. Рабинович (P. H. Rabinowitz), A bifurcation theorem for potential operators (в печати).

P. Д. Нуссбаум (R. D. Nussbaum). Degree theory for local condensing maps, L Math. Anal. Appl., 37, (1972), 741—766. '

P. Д. Нуссбаум (R. D. Nussbaum), A Hopf global bifurcation theorem for retarded functional differencial equations (в печати).

Г. Хетцер (G. Hetzer), Some remarks on (p+-operators and on the coincidence de gree for a Fredholm equation with noncompact nonlinear perturbations, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 89 (1975), 553—564.

M. Г. Крэндалл, П. Рабинович (M. G. Crandall, P. H. Rabinowitz), Some continuation and • variational methods for positive solutions of nonlinear elliptic eigenvalue problems (в печати).

X. Аманн (H. Amann), Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems, NATO Advanced Study Inst., «Nonlinear operators in the calculus of variations», Brussels, 1975, готовится к изданию в Springer Lecture Notes.

X. Аманн (H. Amann), Periodic solutions of semi-linear parabolic equations, Nonlinear Analysis dedicated to Professor E. H. Rothe (в печати).—

Шуй-Не Чоу, Дж. К. Хэйл, Дж. Малле-Парэ (Shui-Nee Chow, J. К. Hale, J. Mallet-Paret), Applications of generic bifurcation. I, Arch. Rat. Meeh. Anal., 59 (1975), 159—188; II, там же (в печати).

Ф. Тэйкенс (F. Takens), (a) Introduction to global analysis, Comm. Math. Inst Rijks Univ. Utrecht, 1972—73; (b) Applications of global analysis. I, там же, 1973—74.

В. И. Арнольд, Лекции о бифуркациях и нереальных семействах, УМН, 27 (1972), № 5, 119—184.

Э. К. Зимэн (Е. С. Zeeman), The classification of elementary catastrophes of codimensions ^5, Lectures Math. Inst. Univ, of Warwick, 1974.

Г. Вассерманн (G. Wassermann), Stability of unfoldings, Springer Lecture Notes, № 393, 1974.

В. И. Арнольд, Критические точки гладких функций и их нормальные формы, УМН, 30 (1975), № 5, 3—65.

О. Э. Лэнфорд ((К Е. Lanford III), Bifurcation of periodic solutions into invariant tori: the work of Ruelle and Takens, “Nonlinear pro-

Hems in the physical sciencesand biology”, Springer Lecture Notes, № 322, 1973, 159—192.

M. Г. Крэндалл, П. Рабинович (M. G. Crandall, P. H. Rabinowitz), The Hopf bifurcation theorem (в печати).

Дж. К- Алехсандер, Дж. Э. Йорк (J. С. Alexander, J. A. Yorke), Global bifurcation of periodic orbits, Amer. J. Math, (в печати).

Дж. К. Александер, Дж. Э. Йорк (J. С. Alexander, J. A. Yorke), The implicit function theorem and the global methods of cohomology, /. Fund. Anal, 21 (1976), 330—339.

Дж. К. Александер, Дж. Э. Йорк (J. С. Alexander, J. A. Yorke), Parametrized functions, bifurcation and vector fields on spheres (в печати).

Дж. К. Александер (J. С. Alexander), Bifurcation of zeroes of parametrized functions, J. Fund. Anal, (в печати).

M. Хирш, С. Смэйл (М. Hirsch, S. Smale) (в печати).

Шуй-Не Чоу, Дж. Малле-Парэ, Дж. Э. Иорк (Shui-Nee Chow, J. Mallet- Paret, J. A. Yorke), Finding zeroes of map: homotopy methods that are constructive with probability one (в печати).

X. Брезис, Ф. Э. Браудер (Н. Brezis, F Е. Browder), A general principle on ordered sets in nonlinear functional analysis. Arch. Rat. Meeh. Anal, (в печати).

Э. Цендер (Е. Zehnder), Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. I, Comm. Pure Appl. Math., 28 (1975), №1, 91—140; II, там же, 29 (1976), № 1, 49—111.

P. С. Хэмилтон (R. S. Hamilton), On the Nash-Moser inverse function theorem (в печати).

Л. Хёрмандер (L. Hormander), The boundary problems of physical geodesy, Arch. Rat. Meeh. Anal., 62 (1976), 1—52.

T. Нисида (T. Nishida), A note on Nirenberg’s theorem as an abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem in a scale of Banach spaces, J. Diff. Geom. (в печати).

Дж. Литлвуд (J. Е. Littlewood), Математическая смесь, «Наука», М., 1973.

Литература к приложению

П. Дюшато, Ж. Ф. Трев (Р. Duchateau, J. F. Treves), An abstract Cauchy-Kowalevska theorem in scales of Gevrey classes, Symposia Math., v. 7, Academic Press, N. Y., 1971, 135—163.

И. M. Гельфанд, Г. E. Шилов, Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Гостехиздат, М., 1958.

Ю. Мозер (J. Moser), A rapidly convergent iteration method and nonlinear partial differential equations, cm. [54].

M. Нагумо (M. Nagumo), Uber das Anfangswertproblem partieller Differentialgleichungen, Japan J. Math., 18 (1941), 41—47.

Л. В. Овсянников, Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств, ДАН, 163 (1965), № 4, 819—822.

Ж. Ф. Трев (J. F. Treves), Ovsjannikov theorem and hyperdifferential operators, Notas Mat, 46, 1968, Mimeographed notes.

Ж. Ф. Трев (J. F. Treves), An abstract nonlinear Cauchy-Kovalev- ska theorem, Trans. Amer. Math. Soc., 150 (1970), 77—92.

T. Яманака (T. Yamanaka), Note on Kowalevskaja’s system of partial differential equations, Comment. Math. Univ. St. Paul., 9 (1960), 7—10.

Л. В. Овсянников, Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств, ДАНг 200 (1971), № 4, 789—792.

Литература, добавленная при переводе

А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 3-е изд., «Наука», 1972.

Н. Данфорд, Дж. Швар! (N. Dunford, J. Schwartz), Линейные операторы, т. 1, ИЛ, 1958.

С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг (S. Agmon, A. Douglls, L. Nirenberg), Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы, ИЛ, 1962.

М. М. Вайнберг, В. А. Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений, «Наука», 1969.

М. М. Вайнберг, Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, «Наука», 1972.

М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Геометрические методы нелинейного анализа, «Наука», 1975.

В. И. Ломоносов, Об инвариантных подпространствах семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным, Функц. анализ и его применения, 7 (1973), № 3, 55—56.

Дж. Илле (J. Eells), Основания глобального анализа, УМН, 24 (1969), № 3, 157—210.

[ПО] А. И. Шнирельман, Степень квазилинейчатого отображения и нелинейная задача Гильберта, Матем. сб., 89 (1972), № 3, 366—389.

А. В. Бабин, Конечномерность ядра и коядра квазилинейных эллиптических отображений, Матем. сб., 93 (1974), № 3, 422—430.

А. Н. Колмогоров, О динамических системах с интегральными инвариантами на торе, ДАН, 93 (1953), № 5, 163—166.

В. И. Арнольд, Малые знаменатели. I. Об отображении окружности на себя, ИАН, 25 (1961), № 1, 21—86.

В. И. Арнольд, Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике, У МН, 18 (1963), № 6, 81—192.

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, А. М. Самойленко, Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике, Киев, «Паукова думка», 1969.

Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов, Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере — Шаудера, У МН, (1977).

С. Л. Соболев, Некоторые .применения функционального анализа в математической физике, Изд-во ЛГУ, Л., 1958.

Ху Сы-цзян (Hu Sze-Tsen), Теория гомотопий, «Мир», 1964.

А. Н. Колмогоров, Общая теория динамических систем и классическая механика, Международный математический конгресс в Амстердаме, Физматгиз, М., 1961, 187—208.

В. И. Арнольд, Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, УМН, 18 (1963), № 5, 13—40.

Б. Н. Садовский, Предельно компактные уплотняющие операторы, УМН, 27 (1972), № 1, 81— 146.

М. Голубицкий, В. Гийемин (М. Golubitsky, V. Gulllemin), Устойчивые отображения и их особенности, «Мир», М., 1977.

Р. И. Качуровский, Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах, УМН, 23, (1968), № 2.

Л. С. Понтрягин, Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий, 2-е изд., «Наука», М., 1976.

Л. В. Канторович, Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, 3 (1948), № 6, 89-185.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

113,147113,147137,137,

113,

147

113,

147

137,

137,

Абрахам (Р. Abraham) 122, 221

Агмон (S. Agmon) 222, 226

Айзенгендлер П. Г. 10, 221

Александер (J. С. Alexander) 7,

225

Аманн (Н. Amann) 224

Амбросетти (A. Ambrosetti) 94, 99,

222

Арнольд В. И. 6, 8, 156, 224, 226

Артино (R. A. Artino) 2, 10

Бабин А. В. 226

Бергер (М. Berger) 10, 94, 99, 221, 222

Биценхофер (N. Bitzenhofer)

Боголюбов Н. Н. 226

Борисович Ю. Г. 226

Ботт (R. Bott) 142

Браудер (F. Е. Browder) 9, 38, 224, 225

Брезис (Н. Brezis) 9, 26, 136, 223, 225

Вайнберг М. М. 9, 10, 221, 226

Вассерманы (G. Wassermann) 224

Зайбрейко П. П. 226

Звягин В. Г. 226

Зимэн (Е. С. Zeeman) 224

Изэ (J. A. Ize) 7, 10, 74, 77, 86, 1ЧО 144 999

Илле (j. Ee’lls) 130, 223, 226

Йорк (J. A. Yorke) 7, 225

Йосс (G. looss) 224

Канторович Л. В. 226

Като (Т. Kato) 148, 223

Качуровский Р. И. 51, 222, 226

Келлер (J. В. Keller) 10, 221

Ки Фань (Ку Fan) 145

Кнастер (В. Knaster) 221

Колмогоров А. Н. 8, 156, 226

Красносельский М. А. 5, 9, 71,

224, 226

Кронин (J. Cronin) 111, 222

Крэндалл (М. G. Crandall) 56, 69,

222, 224, 225

Куинн (F. Quinn) 123, 223

Куратовский (К. Kuratowski) 221

127,226127,127,226127,

127,

226

127,

127,

226

127,

Гельфанд И. М. 203, 225

Гемба (К. G^ba) ПО, 123, 129, 222, 223

Гийемин (V. Guillemin) 226

Голубицкий (М. Golubitsky)

Гранас (A. Granas) 10, 123, 190994

Грин (R. Е. Greene) 156, 223

Данфорд (N. Dunford) 153, 226

Дуглис (A. Douglis) 226

Дьёдонне (J. Dieudonne) 54, 222

Дэнсер (Е. N. Dancer) 77, 222

Дюшато (Р. Duchateau) 225

Лакс (Р. D. Lax) 16

Лейзер (А. С. Lazer) 115, 222

Ленг (S. Leng) 54, 222

Лионс (J. L. Lions) 10, 221

Литлвуд (J. Е. Littlewood) 225

Ломоносов В. И. 38, 226

Лэндесмэн (Е. Н. Landesman) 115,

222

Лэнфорд (О. Е. Lanford III) 224

Люстерник Л. А. 5

Мавэн (J. Mawhin) 224

Мазуркевич (S. Mazurkiewicz) 221

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Малле-Парэ (J. Mallet-Paret) 224, 225

Милнор (J. Minor) 9, 119, 123, 221

Минти (Minty G. J.) 137

Митропольский Ю. А. 226

Мозер (J. Moser) 9, 155, 156, 169,

204, 209, 223, 225

Мэзер (J. Mather) 6

Нагумо (М. Nagumo) 204, 225

Нечас (J. Necas) 224

Ниренберг (L. Nirenberg) 8, 156,

222, 223, 226

Нисида (Т. Nishida) 8, 220, 225

Нуссбаум (R. D. Nussbaum) 224

Нэш (J. Nash) 9, 155, 223

Овсянников Л. В. 203, 220, 225

Подолак (Е. Podolak) 94, 99, 113, 222

Понтрягин Л. С. 119, 226

Проди (G. Prodi) 94, 99, 222

Рабинович (Р. Н. Rabinowitz) 5, 56, 69, 89, 111, 118, 130, 204, 222225

Роббин (J. Robbin) 122, 221

Рокафеллар (R. Т. Rockafellar) 147, 223

Рюэль (D. Ruelle) 6

Садовский Б. Н. 226

Самойленко А. М. 226

Сапронов Ю. И. 226

Сарантонелло (Е. Zarantonello) 9 147 221 223

Смэйл (S. Smale) 123, 223, 225

Соболев С. Л. 226

Соучек В. (V. Soucek) 224

Соучек Й. (J. Soucek) 224

Спеньер (Е. Н. Spanier) 125, 223

Стампаккья (G. Stampacchia) 223

Стэкголд (I. Stakgold) 10, 221

Сэттингер (D. Н. Sattinger) 10, 89, 221, 222

Таванцис (J. Tavanzis) 10

Том (R. Thom) 6

Трев (J. F. Treves) 203, 205, 225

Треногин В. А. 10, 221, 226

Тромба (A. J. Tromba) ПО, 123,

222

Тэйкенс (F. Takens) 6, 224

Фицпатрик (Р. М. Fitzpatrick)

148, 223

Фомин С. В. 226

Фридман (A. Friedman) 222

Фучик (S. Fucik) 224

Хайнц (Е. Heinz) 16

Хесс (Р. Hess) 148, 223

Хетцер (G. Hetzer) 224

Хёрмандер (L. Hormander) 8, 222,

225

Хирш (М. Hirsch) 225

Ху Сы-цзян (Hu Sze-Tsen) 226

Хэйл (J. К. Hale) 224

Хэмилтон (R. S. Hamilton) 8, 225

Цендер (Е. Zehnder) 8, 10, 155,

223, 225

Чернавский А. В. 119

Шварц А. С. НО, 222

Шварц Дж. (J. Т. Schwartz) 9,

24, 59, 153, 156, 221, 226

Шехтер (М. Schechter) 221

Шилов Г. Е. 203, 225

Шиффмэн (М. Shiftman) 143

Шнирельман Л. Г. 5, 226

Шуй-Не Чоу (Shui-Nee Chow) 224,

225

Элуорти (К. D. Elworthy) 110,123, 222

Энгл (С. Engle) 10

Энтман (S. Antman) 10, 221

Якобович (Н. Jacobowitz) 156, 169, 223

Яманка (Т. Yamanaka) 203, 225

аналитическое отображение 182

— сглаживание 168

бифуркация 63

вещественно-аналитическое отображение 55

вырезание 20

гёльдеровы пространства 45, 173

голоморфное отображение 55

дифференцируемость по Фреше 54

допустимая деформация 107

— дифференциальная форма 16

допустимое отображение 107

задача бифуркации 64

— о сэндвиче 32

индекс отображения 61

индикаторная функция 152

инфинитезимально устойчивое (относительно группы) подмножество 201

категория Лерэ —Шаудера 126 квазивогнутость 143 квазивыпуклость 143 кобордантность 120 кобордизм 120

когомотопические группы 125

кограничный оператор 126 компактное отображение 36 комплексная полоса 173 конструкция Ляпунова — Шмидта 60

критическая точка 12

критическое значение 12

лемма Изэ 74

Кнастера — Куратовского — Мазуркевича 26

Крэндалла — Рабиновича 90

— Морса 65

обобщенная 65

локально ограниченный оператор

148

максимальное монотонное множество 148

отображение 148

множество сингулярных значений 95

монотонное многозначное отображение 148

— множество 148

— отображение 136

надстройка 33, 34

нерастягивающее отображение 136

несущественное отображение 123, 127

неустойчивость (линейная) 88

нормализованное отображение 24 нормаль 153

оператор Лапласа 44

опорная функция 153

ординарная сингулярная точка 95

оснащение подмногообразия 120

оснащенная кобордантность 120

оснащенное многообразие (понт- рягинское) 120

отображение класса Ср 54

— Хопфа 33

показатель потери 158

полунепрерывный снизу функционал 138

понтрягинское оснащение 121

порядок тройки (F, fo, Uo) 185

производная Фреше 54 пространства Гёльдера 45, 173 — Соболева 46

Лерэ — Шаудера 61

— Ломоносова 38

— Мазура 139

— Нэша — Мозера 156

регулярная точка 12

регулярное значение 12

— о неявной функции 56, 155, 217

среднем значении интегральная 55

— об инвариантности области 24

сильное вырезание 129

сингулярная точка 95

сингулярное множество 95

собственная выпуклая функция

152

собственное значение К-простое 89

— отображение 97

стабильнаякогомотопическая

группа пары 129

стабильно гомотопически нетривиальное отображение 34 стабильных размерностей область

34

степень отображения 16, 40, 61

строго сжимающее отображение

56

строгое сжатие 56

субградиент 152

субдифференциал 152

существенное отображение 106,

107

— Понтрягина 123

— Рабиновича 74

— Сарда 12

— трансверсальности 122

— фон Неймана о минимаксе 143

— Хопфа 32

— Шаудера о неподвижной точке — Эберлейна — Шмульяна 139 топологическая размерность 125 точка бифуркации 69, 130

уравнение бифуркации 60

условие Зигмунда 173

условия дополнительности 45

— коэрцитивности 45

— Шапиро — Лопатинского 45

устойчивое (относительно группы) подмножество 200

устойчивость (линейная) 87

фасад 153

теорема Адамара типа теоремы о монодромии 59

— Борсука 27

— Брауэра о неподвижной точке 25х

— вложения Соболеву 47

— Жордана — Брауэра 24

— Изэ 78

— Ки Фаня о минимаксе обобщенная 143

— Колмогорова — Арнольда —

Мозера 196

— Коши — Ковалевской 203

— Красносельского 72

— Крэндалла — Рабиновича 91

— Лерэ о произведении 23

фредгольмово отображение 64

функционал Минковского 153

хорошая координатная окрестность 16

, хорошо поставленная задача 44

эллиптический оператор 43

Ch-многообразие коразмерности 1

94

С°°-сглаживание 183

К-простое собственное значение 89

(a, Z)-последовательность 164

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию 5

Предисловие 9

Глава 1. топологический подход, конечномерный случай ... 11

Одно простое замечание 11

Теорема Сарда• . • 12

Теория степени отображения в конечномерном случае..14

Свойства степени 18

Дальнейшие свойства и замечания 20

Некоторые приложения к нелинейным уравнениям....25

Теорема Борсука 27

Отображения в случае различных размерностей .....32

Глава 2. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ степень в банаховом пространстве . 36

Теорема Шаудера о неподвижной точке 36

Одно приложение 37

Степень Лерэ — Шаудера 40

Некоторые компактные операторы 41

Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных 43

Слабо нелинейные возмущения линейных операторов . . 50

Дифференциальное исчисление в банаховых пространствах 54

Степень Лерэ — Шаудера изолированного решения. Индекс 61

Глава 3. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ 63

Лемма Морса 64

Применение леммы Морса 67

Теорема Красносельского 71

Теорема Рабиновича 74

Обобщение теоремы Красносельского 77

Устойчивость решений 87

Число глобальных решений нелинейной задачи . . . . . 94

Глава 4. другие топологические методы 106

Обобщение теории степени отображения Лерэ — Шаудера 106

Приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными115

Кобордизм оснащенных многообразий119

Теория стабильных когомотопий (лекция Дж. Изэ) . . . . 123

III. Приложение к доказательству существования глобаль- яых решений (лекция Дж. Изэ) ............. 130

Глава 5. монотонные операторы и теорема о минимаксе . . 136

Монотонные операторы в гильбертовом пространстве . . 136

Теорема о минимаксе142

Плотность точек однозначности монотонных операторов (лекция Н. Биценхофера)147

Глава 6. ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ (лекции Э. Цендера^155

С°°-сглаживание; «аналитическийслучай»156

Аналитическое сглаживание в пространствах функций и аналитические отображения172

С°°-сглаживание и отображения конечногопорядка . . . 183

Теорема Колмогорова — Арнольда— Мозера193

Задачи сопряжения200

Приложение, абстрактная форма нелинейной теоремы коши— КОВАЛЕВСКОЙ203

Нелинейная абстрактная теорема Коши — Ковалевской . . 205

Доказательство теоремы 1.1209

Нелинейная задача Коши214

Теорема о неявной функции217

Список литературы221

Именной указатель227

Предметный указатель229

ИБ № 471

Л. Ниренберг

ЛЕКЦИИ ПО НЕЛИНЕЙНОМУФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Редактор В. Авербух Художник А. ШиповХудожественный редактор В. Шаповалов Технический редактор Н. ПанфиловаКорректор И. Максимова

Сдано в набор 7/IX 1976 г. Подписано к печати 27/IV 1977 г. Бумага № 1 бОХЭО^ю* —7,25 бум. л. 14,50 печ. л. Уч.-изд. л. 12,61. Изд. № 1/8816. Цена 96 к. Зак. 330.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»

Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитетеСовета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,198052, Ленинград, Л-52. Измайловский проспект, 29й

"+2Wn + l — ^п+2Г"+1

Courant Institute of Mathematical SciencesNew York UniversityTOPICSIN NONLINEAR FUNCTIONALANALYSISLOUIS NIRENBERG1973-74Notes by R. A. ArtlnoNew York 1974Courant Institute of Mathematical SciencesNew York UniversityTOPICSIN NONLINEAR FUNCTIONALANALYSISLOUIS NIRENBERG1973-74Notes by R. A. ArtlnoNew York 1974МАТЕМАТИКА

Courant Institute of Mathematical SciencesNew York University

TOPICSIN NONLINEAR FUNCTIONALANALYSIS

LOUIS NIRENBERG

1973-74Notes by R. A. Artlno

New York 1974

Courant Institute of Mathematical SciencesNew York University

TOPICSIN NONLINEAR FUNCTIONALANALYSIS

LOUIS NIRENBERG

1973-74Notes by R. A. Artlno

New York 1974

НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ

РЕДАКТОРЫ СЕРИИ: А.Н.КОЛМОГОРОВ. С П.НОВИКОВ

Л. НИРЕНБЕРГ

ЛЕКЦИИПОНЕЛИНЕЙНОМУФУНКЦИОНАЛЬНОМУ

АНАЛИЗУ

Перевод с английскогоН, Д. ВВЕДЕНСКОЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1977

УДК 519.55 + 513.83

Книга известного американского математика представляет собой обработанный курс лекций прочитанный автором в Нью- Йоркском университете. Она посвящена применению топологических методов к изучению нелинейных дифференциальных и интегральных уравнений. Излагаются теория Лерэ — Шаудера и теория Морса, которые используются при исследовании существования решения нелинейной задачи в целом и изучении точек бифуркации; рассматривается теория монотонных операторов.

Книга интересна как сложившимся математикам, знакомящимся с современным состоянием предмета, так и студентам и аспирантам, для которых она может служить учебным пособием.

Редакция литературы по математическим наукам

20203-018 |8 _77 © Courant Institute of Mathematical Sciences, 1974

041 (01)-77© Перевод на русский язык, «Мир», 1977