ПРЕДИСЛОВИЕ

К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Методы гильбертова пространства являются живым и плодотворным разделом математики. За несколько лет, прошедших после сдачи и печать первого издания, появилось несколько важных теорий, поэтому автор считал, что новое издание должно хотя бы частично учитывать это развитие.

Хотя изменения по сравнению с польским вариантом весьма целики, книга все же сохранила свой прежний характер и выходит под тем же названием. Многие главы были значительно дополнены или шшисапы заново. В книгу включены две большие, совершенно новые главы (III и XXII), а также дополнения.

Основные изменения следующие.

■ 1. В главу о вполне непрерывных операторах включен ряд новых параграфов; там же введено понятие отображений Гильберта—Шмидта. Эти отображения играют основную роль в общей теории разложений по собственным функциям. Введены ядерные отображения (Гротендик), которые начинают играть в последние годы все большую роль.

В главе VIII заново написаны параграфы, относящиеся к полной спектральной теореме; этот подход, по-видимому, облегчит читателю понимание трудного и в то же время столь важного понятия прямого интеграла.

Унитарные представления (некомпактных) групп Ли играют огромную роль в квантовой механике. За последние годы в этой области получены красивые результаты. В данном издании мы стремимся, хотя бы в скромной мере, ввести читателя в эту проблематику. Мы особо подчеркиваем новые важные результаты Нельсона и Стайн- спринга, которые, несомненно, найдут интересные применения.

Глава о методе ортогонального проектирования написана заново и перемещена. Нынешний — по-видимому, новый — подход базируется па теории форм Лежандра. Включен новый параграф, посвященный обобщению альтернирующего метода Шварца и метода выметания Пуанкаре, которым мы обязаны Браудеру.

После ставшей ныне классической работы Гельфанда—Костюченко появился ряд подходов к общей теории разложений по собственным. функциям. Глава XVI была написана заново; в качестве основы приняты работы автора за последние годы.

В теории дифференциальных операторов, представлений групп Ли и т. п. все большую роль играют пространства обобщенных функций; в связи с этим возникла потребность применения теории локально выпуклых пространств, не являющихся нормированными пространствами. Соответствующие теоремы, хорошо известные специалистам, рассеяны по специальной литературе, что вызывает серьезные затруднения при изучении. Глава III, которую можно опустить при первом чтении, должна хотя бы частично заполнить этот пробел. Общие теоремы иллюстрируются примерами из теории обобщенных функций (знание которой мы не предполагаем). Специалиста, быть может, заинтересует новое, очень простое доказательство теоремы о ядре, которым автор обязан Ст. Лоясевичу.

Одним из важнейших событий последних лет в области методов гильбертова пространства является общая теория дифференциальных операторов, начатая в 1955 г. Л. Хёрмандером. Представляется целесообразным, чтобы нынешнее издание отразило этот совершенно новый взгляд на столь важный раздел анализа.

Дополнение 2 ставит целью облегчить чтение тех частей книги, которые связаны с группами Ли и почти периодическими функциями. При отборе материала я пользовался советами проф. Хёрмандера, которому я приношу здесь сердечную благодарность.

Тот факт, что именно в Советском Союзе было принято решение о переводе „Методов", доставил мне большую радость, по и привел меня в смущение: я отдаю себе отчет в том, что данная работа не лишена недостатков, и знаю, как много в Советском Союзе людей, более компетентных, чем я. Я хочу выразить здесь благодарность математикам страны Советов за то стимулирующее влияние, которое оказали на меня их работы. Мне трудно перечислить здесь все имена, скажу только, что интерес к методам гильбертова пространства возник у меня благодаря прекрасным книгам проф. С. Г. Михлина.

В заключение я хочу исполнить приятную обязанность и поблагодарить переводчика В. Э. Лянце, который нешаблонно подошел к своей работе. Работа над переводом текста, написанного впопыхах, должна была оказаться для него достаточно трудоемким занятием, о чем свидетельствует обширная корреспонденция, возникшая в связи с переводом.

Я благодарен Издательству за проявленное им терпение в ожидании возникающих изменений и дополнений, а также за привлечение столь крупного специалиста, каким является Ю. М. Березанский. Я не сомневаюсь, что книга сильно выиграет в результате его комментариев. Наконец, я весьма обязан редактору Издательства Е. А. Горину, чей труд, далеко выходящий за рамки обычных обязанностей, существенно улучшил текст перевода.

Кристоф Морен

Варшава

ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы методы гильбертова пространства стали инструментом, которым пользуются многие математики, работающие в различных областях науки. Ежегодно появляются десятки работ по теории дифференциальных уравнений, по прямым методам вариационного исчисления, гармоническим полям, теории представлений групп и т. д., и которых аппарат гильбертова пространства применяется во все большем объеме.

Несмотря на это, в мировой литературе нет всеобъемлющего наложения гик называемой техники гильбертова пространства. В настоящей книге предпринята попытка восполнить этот пробел. Наша цель ■ сделать более доступной обширную специальную литературу и привить начинающим вкус к самостоятельным исследованиям.

Нам представляется, что благодаря работам последних лет некоторые разделы теории приобрели законченную форму и что теперь уже можно думать о попытке всестороннего обзора „методов гильбертова пространства".

В отличие от ряда монографий по теории гильбертова пространства центр тяжести настоящей монографии — не абстрактная теория, й применения к другим разделам анализа. Общая теория излагается в первых девяти главах с точки зрения „применений". Центральным пунктом теории является полная спектральная теорема (два ее доказательства даны в гл. IX), которая, как заметил Л. Гординг, является абстрактной основой теории разложения по собственным функциям классического анализа и которая, как нам кажется, должна явиться адекватным аппаратом квантовой механики. Оба приведенных здесь доказательства намного проще первоначального доказательства фон Неймана — они базируются на теореме Гельфанда—Наймарка. Для того чтобы не вынуждать читателя обращаться к другим источникам, в VIII главе дается краткое изложение теории Гельфанда. Следует иметь в виду, что лишь теорема Гельфанда — Наймарка показала, что аналогия между аппроксимацией эрмитова оператора линейной комбинацией проекционных операторов (спектральная теорема) и равномерной аппроксимацией непрерывной функции линейными комбинациями характеристических функций не является случайной — это эквивалентные факты.

Читатель, желающий поскорее ознакомиться с современным подходом к спектральной теории, может сразу после гл. I перейти к гл. VIII и IX.

Хотя такой подход обладает несомненными достоинствами, представляется желательным подойти к спектральной теореме сначала более традиционным способом, исходящим из спектральной теории эрмитовых матриц. Этот способ одновременно подготавливает читателя к точке зрения теории Гельфанда (см. изящное доказательство Эбер- лейна, базирующееся на теореме Рисса, гл. IV).

Теория дифференциальных уравнений и квантовая механика заставили математиков (фон Нейман, Фридрихе, Стоун) запяться симметрическими операторами и их самосопряженными расширениями (гл. V и VI).

В то же время теория интегральных уравнений (гл. VII) и теория почти периодических функций приводят к наиболее элементарной области, а именно к теории вполне непрерывных операторов. Поэтому гл. VII представляется наиболее легким местом книги; она написана в духе Э. Шмидта.

Как известно, так называемые „применения" являются наиболее трудной областью человеческого знания, ибо они требуют, с одной стороны, владения „теорией", а с другой — знакомства с материалом, к которому теория применяется. Поэтому значительная часть этой книги является трудной и требует чтения „с карандашом в руке". Это относится в первую очередь к гл. XIII, XVI и XVIII, охватывающим богатый материал по теории дифференциальных уравнений и гармонических полей.

В этой книге, вообще говоря, материал расположен не по принципу возрастания трудности; например, сравнительно легкие главы, касающиеся эргодической теории и почти периодических векторов, помещены в конце книги, так как эти вопросы находятся в стороне от массива дифференциальных уравнений (и вариационного исчисления), охватывающего гл. XI—XVIII.

В книге применяется обычный сегодня метод изложения „от общего к частным случаям", позволяющий унифицировать методы и сделать более выпуклыми внутренние связи теории, а также упростить доказательства. Однако здесь имеется отрицательная сторона по сравнению с генетическим изложением: молодой читатель, не знающий классических методов и проблематики, не сумеет оценить достижений создателей теории и не почувствует, что „конкретные проблемы во всем своем разнообразии составляют сердце и душу математики" (Вейль).

Этот недостаток должно, хотя бы частично, исправить заключение; в нем излагается краткий исторический очерк развития теории, современное состояние которой изложено в этой книге.

Настоящая монография формально не предполагает никаких знаний, кроме элементов дифференциального и интегрального исчисления

функций многих переменных, общей топологии и теории интеграла, включая теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, теоремы Рисса, Фубини, Радона — Никодима. (Используемые факты из этой области собраны в добавлении 1.) Фактически, однако, читателю, который никогда не встречался с задачей Дирихле или с функцией Грина, трудно будет оценить значимость результатов, достигнутых методами гильбертова пространства.

В нескольких доказательствах оставлены пробелы („множества меры нуль"), которые читатель, знакомый с теорией интеграла, легко восполнит. Эго сделано намеренно, для того чтобы сделать более выпуклой основную мысль и не отпугивать читателя длиной доказательства.

Несомненно, книга содержит еще много погрешностей, однако их было бы несравненно больше, если бы не доброжелательная критика моих друзей, которых я сердечно благодарю.

Наиболее интересными частями эта книга обязана Ларсу Гордингу, И поэтому она в первую очередь ему посвящена.

Кристоф Морен

Моим учителям

ЛАРСУ ГОРДИНГУи

КОС АКУ ИОСИДА

ГЛАВА 1

Метрические пространства, ■пространства Банаха,

унитарные пространстваи пространства Гильберта

В этой главе мы вводим понятия, связанные с абстрактным унитарным пространством, и иллюстрируем эти понятия важными для приложений примерами. Мы фиксируем внимание читателя на построении пространства Гильберта путем пополнения унитарного пространства. Такое построение применяют в последнее время весьма успешно в теории дифференциальных уравнений. Мы вводим также понятие метрического пространства и пространства Банаха и таким ибрааом указываем место гильбертовых пространств среди метри- Чегких просipinic'iB. Параграф 5 посвящен пространству С^Е, F) непрерывных отображений метрического пространства Е в метрическое пространство F.

Мы начнем с изложения аксиом унитарных пространств, поскольку такие пространства все чаще встречаются в приложениях.

Вводные понятия

Говорят, что множество ф0 элементов /, g, h, ... (называемых также векторами) является векторным пространством (употребляется также термин „линейное пространство") над полем комплексных чисел, если выполняются следующие аксиомы.

1°. Для элементов /, g, h££>0 определена операция сложения, не выводящая из множества ф0, причем

. H-g = K+f. (/ + £) + А = / + (£ + й).

2“. Существует нулевой вектор О^фо, такой, что / + 0 =/ для каждого /£ф0-

3°. Для любых / и g из ф0 уравнение

<P^r/ = g

однозначно разрешимо. Другими словами, множество ф0 является коммутативной (абелевой) группой относительно сложения. Вектор О является нулем (нейтральным элементом) группы.

4°. В множестве ф0 определено также умножение на комплексные числа, причем, если a, b^C1 (С1—поле комплексных чисел),

/. g£%o- то

«(Z + g^oZ + ag,

(a + bH = a/ + bf, 0/ = 0

(в левой части число нуль, в правой — нулевой вектор).

Векторное пространство ф0 называется унитарным пространством ’), если в нем определено скалярное произведение. Это означает следующее:

5°. Каждой паре элементов /, g £ §0 поставлено в соответствие комплексное число (/, g), называемое скалярным произведением этих элементов, так что

(/, g) — (g, f) (а обозначает число, комплексно сопряженное с а").

(а/. g) = a</. g).

(Z + g- A) = (Z, hWlg- h),

V- Z) > 0 при Z * °-

Очевидно, (/, /) = 0 при / = 0. Легко видеть, что

(Л ag) = a (f, g)

V. g+h) = (f, g) + (f, h).

Длиной вектора / будем называть число )

HZH = (Z. /Л

Докажем следующее фундаментальное неравенство:

К/. ^1 <11/11IIgII-

называемое неравенством Шварца.

В случае когда (/, g) = 0, неравенство тривиально; поэтому предположим, что (/, g) + 0. Имеем

0<(/ — ag, J — ag) = (J, f) — a(g, f) — a(f, g) + |«|2(g, g);

полагая а = (/, f)l(g, f), получаем*

o<lizil24izil2-iizil2+^^w

откуда и вытекает наше утверждение. Заметим, что равенство возможно лишь в случае, когда векторы / и g пропорциональны.

‘) Употребляется также термин „предгильбертово пространство". — Прим. ред.

Используя неравенство Шварца, получаем

||/ + g||2^(/ + ^. / + £) = (/■ /) + (/■ ^) + (^ /) + (^. ^Х

<Л/1Р+2||/||-|Ш1 + )Ы|2=(||/т

откуда

11/+^ 11 + 11/11 + 1Ш1-

Это неравенство называют неравенством треугольника.

Таким образом, длина || и || вектора и является неотрицательной функцией на §0, обладающей следующими свойствами:

1° ц || = 0 тогда и только тогда, когда « = 0;

2° u-V -и || <||z/|| + || -и ||;

3° ая|| = |а| || а ||.

Пусть $0 — произвольное векторное пространство, необязательно унитарное. Если на этом пространстве задана функция || • ||, обла

дающая свойствами 1°—3°, то эта функция называется нормой.

в векторное пространство §0, на котором задана норма, называется нормированным пространством. Как мы видим, унитарное про- стринство является нормированным. В дальнейшем вместо термина

длини мы будем употреблять термин норма.

Отметим далее, что норма разности двух векторов

d (и, V) = ||ц — v|l

обладает следующими свойствами (называемыми аксиомами расстояния или метрики):

a) d(u, + = 0 тогда и только тогда, когда и = ,и;

Р) d(u, v)^.d(u, -zeO + dCtw, о) (неравенство треугольника);

у) d(u, v) — d(v, и) (соотношение симметрии).

. Множество, в котором определена функция d^u, v), обладающая свойствами а) — у), называется метрическим пространством. Таким образом, всякое нормированное пространство является метрическим пространством. В частности, всякое унитарное пространство является метрическим пространством.

Эрмитовы формы на векторном пространстве

Билинейной формой на векторном пространстве ^ называется комплекснозначная функция h {и, -и) (и, v £ §), удовлетворяющая следующим условиям:

а) /г(«] + «2, -v) = h\uv о) + h (ы2, -и),

, b) h(u, ^4-+) — h(u, ‘Vl)-^-h (u, v2),

с) h^Xu, -и) = Хк(и, v), Х^С1, d) /г (и, X-v) = Xh(u, v).

Если, кроме того,

h^u, v) — h{v, и), то форма /г называется эрмитовой. Примером эрмитовой формы может служить скалярное произведение в унитарном пространстве.

Эрмитова форма h называется неотрицательной, если

/г ^и, у) 0 для всех и £ §.

Из аксиом а) — е) следует так называемая формула поляризации эрмитовой формы

4h(u, у) —А(м + У' ti + y)— А (и— ^ ч—у) + + th (и 4- Id, и + Id) — th (и — Id, и — iv), из которой немедленно вытекает следующая лемма.

Лемма 1. Пусть h— эрмитова форма на векторном пространстве § и пусть h (и, и) = 0 для всех и £ $; тогда h {и, у)=0 для всех и, v^^.

Заметим, что при доказательстве неравенства Шварца в § 1 мы пользовались только тем, что скалярное произведение является неотрицательной эрмитовой формой (условие положительности „(и, и) > 0, если и + 0“ не было использовано). Поэтому справедливо следующее предложение.

Лемма 2. Для неотрицательной эрмитовой формы выполняется неравенство Шварца

\h(u, d^ ^h^u, u)h(v, v).

Следствие 1. Если h— неотрицательная эрмитова форма на пространстве $ и N = {«£•£> : h(u, и) — 0}, то N совпадает с множеством всех тех векторов и£$, для которых h (и, v)—0 тождественно относительно v^^.

Следствие 2. Если h— неотрицательная форма, то функция

и-^ р (а) == [/г («, «)lVl

является полунормой, т. е. функция р удовлетворяет всем аксиомам нормы, за исключением, быть может, условия 1°.

Примеры унитарных пространств.

Вещественные пространства

Векторное пространство, в котором вместо умножения на комплексные числа определено умножение на вещественные числа, называется векторным пространством над полем вещественных чисел или, короче, вещественным векторным пространством. Веще-

ственное векторное пространство, в котором определено вещественное скалярное йроизведение, называется вещественным унита рным пространством. В вещественном унитарном пространстве (/, g) = = (g. D-

Приведем несколько важных примеров унитарных пространств. Читатель без труда отличит вещественные пространства от комплексных.

1°. Пространство Еп. Так мы обозначаем «-мерное евклидово (декартово, арифметическое) пространство. Элементами и^Еп являются упорядоченные системы и = (ихы„) из «вещественных чисел. Действия в этом пространстве определяются обычным способом. Сложению векторов соответствует сложение их координат, а умножению вектора на число — умножение его координат на это число:

(“«n) + (^^п)— («1 + ^1“л + ^л).

а(«я„)= (а«1аип\

Нулевым вектором является вектор, все координаты которого равны нулю: 0 = (00). Скалярное произведение определяется формулой

(И, V) = U<UX + . . . + UgUn = 2 «v^vv=l

2°. Пространство С". Так мы обозначаем «-мерное комплексное пространство. Определяется оно так же, как и пространство Еп, с той лишь разницей, что координаты «v являются комплексными числами, а скалярное произведение определяется формулой

п

опр. —

(и, V) = 2j «v^v

v=l

Briконечномерными аналогами пространств Еп и Сп являются так называемые гильбертовы пространства Р бесконечных последовательностей вещественных ила соответственно комплексных чисел.•

3° (4°). Пространство Р. Элементами этого пространства служат бесконечные последовательности «=(«v) вещественных (комплексных) чисел, удовлетворяющие условию 2|“v|2<oo. По опре-

V ” 1 делению,

" ■(«у) + (^)=(«у + ^).

а (и^ = (a«v)..

2 К. Морен

Нулевым вектором является последовательность, все члены которой равны нулю. Скалярное произведение в /2 задается формулой

(я. -и) = 2 uv-uv;

v= 1

последний ряд сходится в силу неравенства | «v^v | ^ V2 (I Mv |2+| vv|2) и условий 2К12<со, 2|^|2<°о.

5°. Пространство /2(§). Пусть ^— произвольное унитарное пространство. Рассмотрим множество /2(§) таких последовательностей и = (uv). и, £ ^, что || и ||2 = 2II “v H|=S (“v- ^<00, где (•, • )$— скалярное произведение в пространстве <у. Линейные операции над элементами множества /2($) определим обычным способом, а скалярное произведение — формулой

СОопр.

(и, У) = 2 (“v.

v= 1v

абсолютная сходимость этого ряда вытекает из неравенства Шварца в пространстве ^\

2 I (“V- ^ I < 2 4 ( II “v Ш + II ^ ИР = I ( II И III + II V ||р < оо.

VV

Неравенства Шварца и треугозьника для пространства /2(ф) принимают следующий вид:

|2(«». ".)J<(2ll».liy,4(2llMy'4.

(2II«. ± «.®'4 < (211«, liy'4 + (2II НУ'4.

6°. Пространство Ло(П„). Пусть □„— открытое множество в «-мерном евклидовом пространстве Еп (в частности, все пространство 5"). Обозначим через C(Q„) класс комплекснозначных функций, заданных на множестве йл и обладающих непрерывными производными до порядка к включительно.

Определение. Носителем / функции / называется замыкание множества

2= |х : /(х) + 0},

на котором эта функция не равна нулю: f~Z.

Через С* (й„) обозначим подкласс класса С* (Q„), состоящий из функций с компактными носителями, содержащимися в множестве Йл*).

Если множество йп ограничено, то класс Су (йл) называют классом функций, равных нулю в некоторой граничной полоске области йл. Класс Cq° (й„), состоящий из обладающих производными всех порядков функций с компактными носителями, содержащимися в йл, становится векторным пространством, если действия сложения и умножения па число определить следующим образом:

y-Vg^W0— fW -^gW, х = (ххх„)СЦ„kaf^xV— af<x\

Определим в C” (Q„) скалярное произведение, полагая

ОПр. Р

(/. g) = J /(x)g(x)dx;

здесь У .. . dx — символ «-мерного интеграла, распространенного

гл

па область Йл, dx — dxx ... dxn.

Так определенное унитарное пространство обозначим через Ао(й„). Это пространство имеет важное значение в математическом анализе и систематически используется на протяжении всей этой книги. В применениях методов гильбертовых пространств к обыкновенным дифференциальным уравнениям используется случай п=1, а в применениях к уравнениям в частных производных—случай «> 1.

7°. Пространство Lq* г (йп\ Так мы обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых векторных полей с компактными носителями, содержащимися в йл. Это пространство состоит из функций класса C5°’r(Q„), заданных на множестве йпсЕ'1 и принимающих «печения в «-мерном комплексном пространстве Cr: f(x)^C для всех x£Q„. Функции / класса Co’f(Q;i) предполагаются бесконечно дифференцируемыми и имеющими компактный носитель /сйл. При ИГОМ носителем нектор-функции /(•) = (/,(•), .... /,.(•)) назы- ие№И оПьетии'нш' носителей ее координат /, (• ), .... /г(-)> а ее беекопечнин лиффернщируемость означает бесконечную дифференцируемость этих координат. Сложение и умножение на числа определяются обычным способом:

(/ + g), (х) —' / (х) + g (х),(а/)(х)°= а/(х), х£йл.

Скалярное произведение определим следующим образом:

/гопр, р

kf. g^ ^^J^g^dx.

Пространство Lq 1 (□„) играет в теории систем уравнений с частными производными роль, аналогичную той, которую играет пространство Ло(йл) в теории одного уравнения (^о 1 (Qn) = Aq (Qn)!).

Предыдущий пример допускает следующее очевидное обобщение. Пусть £)—произвольное унитарное пространство. Рассмотрим функции /, заданные на некотором открытом множестве йпс.Еп и принимающие значения в пространстве $: /(л:)^§ при х£2„. Множество таких функций образует векторное пространство, если положить опр.

(/+£)(*) = /(*) + £(*).

опр.

W)W = а/(х\

Подчиним функции / дополнительному условию

JII/(^Ие^ <°°'>

Qn

|| • ||$— норма в пространстве §. Тогда, полагая

(/. g)— /(/(*). gW^dx

%

и отождествляя функции / и g, для которых (/ — g, / — g)=0, мы превратим множество рассматриваемых функций в унитарное про- транство. Такое пространство естественно обозначить через A2(Q„, ф) (см. Бурбаки [2]).

Определение гильбертова пространства

Пусть X — метрическое пространство. Располагая понятием расстояния (метрики), мы можем определить сходимость последовательности V.u^c.X к элементу и £ X.

Определение. Будем говорить, что последовательность (нл) элементов метрического пространства X сходится к элементу и, принадлежащему этому пространству, если

lim d(un, «) = 0;

п->со

в этом случае будем писать lim ип = и, п->-о

или, короче,

«„->«, п-*ео.

Элемент и будем называть пределом последовательности ^и^.

Из неравенства треугольника вытекает, что lim d<un, «„) = 0, п, т->оа

если «„—>«. Последовательность, удовлетворяющая последнему условию, т. е. такая, что для каждого е>0 найдется такое /V(е), что d(un, ит) < е, как только п > т > N (g), называется последовательностью Коши (применяется также термин фундаментальная последовательность). Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися. Как мы только что отметили, всякая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши. Возникает вопрос о том, будет ли всякая последовательность Коши сходиться к некоторому элементу (будет ли всякая такая последовательность иметь предел). Примеры показывают, что это, вообще говоря, не так.

Пример. X —множество рациональных чисел; расстояние определяем формулой d(u, f)°— \и—у| (абсолютное значение разности). Рассмотрим последовательные десятичные приближения какого- нибудь иррационального числа, например У 2. Эта последовательность — фундаментальная: ■

d(un. “л^Х-ПуГ-*0-

однако эта последовательность не имеет предела в X.

Другие примеры будут приведены в § 6.

Легко понять, что в применениях к анализу особенно важными являются метрические пространства, в которых всякая фундаментальная последовательность имеет предел (принадлежащий этому же пространству). Такие метрические пространства называются полными.

Определение. Полное нормированное пространство называется пространством Банаха (банаховым пространством).

Определение. Полное унитарное пространство называется пространством Гильберта (гильбертовым пространством).

Пространство Гильберта будем обычно обозначать заглавной готической буквой §. Из предыдущих определений вытекает, что пространство Гильберта является пространством Банаха.

Приведем примеры полных пространств.

1°. Пространство Д1 или числовая ось. Предложение, констатирующее, что Ех при обычном определении расстояния является полным пространством, называется теоремой Коши в теории последовательностей.

2°. Пространство Еп. Доказательство полноты этого пространства проводят в элементарных курсах анализа путем п-кратного применения теоремы Коши. Напомним, что расстояние в Е" определяется формулой

■d (и, у) = I 2 I “v — Ут I2 •

\V«1 ■/

3°. Пространство С". Доказательство полноты пространства С" — такое же, как доказательство полноты пространства Еп.

Эти примеры подсказывают, что верна следующая теорема.

Теорема. Декартово произведение конечного числа полных пространств является полным пространством.

Напомним, что декартовым произведением Xv X • • ■ X Хп пространств Д',, .. ., Хп называется множество последовательностей, составленных из п элементов:

(XiхД = х £ Хх X • • • X Хп = X, где Xi £ Xf, элемент хх называется г-й координатой точки х £ X. Расстояние в декартовом произведении пространств определим, например, как сумму расстояний между соответствующими координатами:

х = (х*х)(), х2 = (х2х^, d(x\ X2)°=2d(Xp X2).

(Можно также дать „пифагорейское" определение расстояния:

^(х1, х2)°= р^^р^- *-)]2;

ср. упражнения.)

Если пространства ХхХ„ полны, то их декартово произведение тоже полно. Доказательство, поскольку оно ничем не отличается от доказательства полноты пространства Еп—Ех X ■■• Х^1, предоставляем читателю.

[Указание: сходимость (фундаментальность) последовательности (х^сХ равносильна сходимости (фундаментальности) последовательностей (х^сХр /=1пД

Чтобы не утомлять читателя большим количеством хотя бы даже и очень полезных примеров, приведем так называемый „общий пример", который содержит в себе в качестве частных случаев многие примеры метрических пространств, важных для приложений. Этот пример рассматривается в следующем параграфе.

Пространство непрерывных отображений в(Е, F)

Пусть Е и F—метрические пространства. Отображение и пространства Е в пространство F, ц(Е)сР, называется непрерывным в точке х ^Е, если для всякого числа eL > 0 существует такое число е2 > О, что d(u(x\ и (х))<ех при d(x, х)<е21). Другими сло-

вами, отображение непрерывно в точке х, если близким к х значениям аргумента х соответствуют близкие к и (х) значения функции «(х). Отображение называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке.

Шаром радиуса г>0с центром в точке f^F называется множество о опр. ,о х

К(Ь Г) = \f^F:d(f, /)< г}

всех точек / метрического пространства F, которые находятся на расстоянии < г от точки / (открытый шар). Множество Р' в метрическом пространстве F называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре. Отображение и пространства Е в пространство F называется ограниченным, если образ

■и (Е) = {« (х): х £ Е\

всего пространства Е ограничен в пространстве Рх). Множество всех непрерывных и ограниченных отображений пространства Е в про- стрпштно /■' будем обозначать через Q(E, Р).

Мы превратим множество G(E, /•’) в метрическое пространство, определив расстояние между отображениями и, ч)£6(Е, F) по формуле

б(и, у)°У£- supd(«(x), -о (х)).х е е

Легко проверить, что функция б удовлетворяет аксиомам расстояния. Проверим, например, неравенство треугольника. Пусть и, V, чу £ G(E, ру Имеем

6 (и, у) = sup d (и (х), у(х)) С sup [d(a(x), w(x)) +

+ d(w(x), v (x))] ^ sup d (и (x), чу (x)) + sup d (чу (x), y(x)) = = b(u, чу)-ф- б (чу, v), что и требуется доказать.

Теорема. Если пространство F полно, то и пространство в(Е, F) является полным.

Доказательство аналогично доказательству непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций на отрезке [а, 6].

С другой стороны, теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций является частным

Если Е и F— линейные метрические пространства и и—линейное отображение E->F, то ограниченность вводится иначе: отображение и называется ограниченным, если оно преобразует каждое ограниченное множество в ограниченное множество. Иначе определяется также ограниченность множества в линейном метрическом пространстве (см. определение в гл. III). — Прим- перев-"

случаем теоремы о полноте пространства в^Е, F) (Е~[а, 6], F = Е^.

Мы обращаем внимание читателя на то, что сходимость отображений по метрике d(«, v) = sup d (и (х), у(х)) является равномерной сходимостью.

Доказательство. Пусть (и^С-С^Е, F)— фундаментальная последовательность, т. е. д(«„, ят)->0при n>m->oo. Мы должны доказать, что существует непрерывное ограниченное отображение и пространства Е в пространство F, являющееся пределом последовательности (и„), т. е. такое, что supd(a„(x), я(х)) —>0при п—>оо. По условию, d^un(x\ um(x))->0 при n>m-*oo равномерно относительно х^Е. В силу полноты пространства F отсюда вытекает, что для каждого х££ существует м(х) — ПшаДх). Это предель- „ ->оо

ное соотношение выполняется равномерно относительно х^Е. Действительно, если d(«„(x), а,„(х))<е при п > m > N (е) и х^Е, то, переходя к пределу при п—>оо, получаем, что d(a(x), цт(х))^е при m>N(e) и х^Е. Таким образом, из ограниченности «т(х) следует ограниченность а(х), и б (а, ит) = sup d (и (х), ат(х)) стремится к нулю при п —>ос. Остается только доказать еще непрерывность предельного преобразования а(х). Доказательство проведем „методом е/3“: применяя дважды неравенство треугольника, находим

d(u(x'), а(х")) <_d(u(x'), й„(х/)) +

+ ^(н„(х'), a„(x")) + d(a„(x"), а(х"))

(при достаточно большом п в силу равномерной сходимости ап(х) к и (х) первое и третье слагаемые < 8/3, второе слагаемое при данном п будет < е/З, если точка х" достаточно близка к точке х', ибо а„ — непрерывное отображение). Доказательство закончено.

Отметим два частных случая пространств типа 6(Е, F).

1°. Множество комплексных функций, ограниченных и непрерывных на подмножестве Йпс.Е". Это множество обычно обозначают через C(Q„), С(й„)°= (?(Q„, С1).

2°. Множество векторных полей, заданных на множестве t^cE" и имеющих г компонент: в(йп, Сг\ Элементами пространства (?(й„, Сг) являются системы г скалярных функций, принадлежащих С (й„):

(Ф1Фг). Фг6С^л)- < = 1г.

Другие примеры читатель найдет в конце главы в упражнения^

и задачах.

Пополнение унитарного пространства

Известно, что пространство рациональных чисел не является полным, однако оно плотно в полном пространстве вещественных чисел. Следуя Кантору, мы приходим к множеству вещественных чисел, пополняя множество рациональных чисел. Напомним вкратце, в чем состоит метод Кантора. Все фундаментальные последовательности разбиваем на классы так, что последовательности (я„) и (Уд) принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда их разность имеет предел, равный нулю, (м„)— (Уд) означает, что d(un, v^ =" |«я— ^„j —>0, п —>оо. Множество этих классов, состоящих из эквивалентных последовательностей, и есть полное пространству вещественных чисел. Можно сказать, что применительно к пространству вещественных чисел процесс пополнения (метрического) пространства рациональных чисел состоит в „присоединении пределов" фундаментальных последовательностей. Рациональные числа можно отождествить с классами, содержащими стационарные последовательности (т. е. последовательности, все члены которых равны данному рациональному числу).

Вместо множества рациональных чисел рассмотрим теперь произ- нолыюе метрическое пространство X. Рассмотрим совокупность всех фундаментальных последовательностей пространства X и разобьем эту совокупность на классы эквивалентности, относя последовательности («„) и (Уд) к одному классу тогда и только тогда, когда (Ци„, Уд)—>0,/г—>оо. Классы эквивалентных фундаментальных последовательностей называются идеальными элементами пространства X. (Они являются аналогами вещественных чисел.) Множество всех идеальных элементов образует некоторое полное метрическое пространство X, называемое пополнением (Хаусдорф) пространства X. Множество X' стационарных последовательностей (точнее, множество классов, состоящих из последовательностей, эквивалентных стационарным) изометрично пространству X и плотно в пространстве X. Отметим, что два метрических пространства называются изометрическими, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояние. Пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрии. Полное доказательство этой теоремы читатель найдет в любом учебнике теории функций действительного переменного или общей топологии. Здесь мы разъясним только, в каком смысле пополнение X является метрическим пространством. Пусть х1, х2, ... — идеальные элементы из X. Положим

d(x’, х2) °— lim d V, х2),

где (х^Е х1, (х2)Е х2. Это соотношение определяет функцию d однозначно, ибо предел справа не зависит от выбора последователь-

ностей (х^ и (х2) из классов х1 и х2. При этом функция d удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства. Проверим, например, что выполняется неравенство треугольника. Имеем ^(х1, x2) = limd(x^, x2)<lim[d(x’, x^-^d^, х2)] =

= Ипк/(х^, x2) + limd(x3, x2) = d(x', x3) + d(x3, x2).

В качестве следствия получаем теорему: всякое нормированное пространство можно пополнить до банахова пространства и притом единственным (с точностью до изометрии) способом1).

У нита рное пространство §0 можно пополнить до гиль- опр. —- бертова пространства = §0 и притом единственным (с точностью до изометрии) способом. При этом пространство ф0 плотно в пространстве $5 (точнее, изометричио пространству, плотному в §). Скалярное произведение идеальных элементов определяется формулой

(я, у) = Ит(«л, у п), где <и„)£и, <уп)^у.

Нетрудно проверить, что ф является унитарным пространством. Например,

(аи-\-Ьу, ту) = Ит(айл 4-6уп, туп) = а Пт (ип, туп)+

-|-Alim(y„, t0n) = a(u, ту) + ^(у, ту).

Нулем в £) является, очевидно, „старый" пуль 0 £ >§0 (точнее говоря, нулем является класс, содержащий последовательность, состоящую из „старых" нулей).

Проверим еще, что если у ^ 0, то (у, у) > 0. Действительно, (у, у)_Пт(у„, у„), где || у„—Ут ||-0, причем Пт || у„ ||2 =£ 0 (ибо у=#0). Поэтому (у, у) = Нт|| у„ ||2 > 0, что и требуется доказать.

Ввиду того что пополнение унитарного пространства является важным приемом, постоянно применяемым на практике, ниже мы приводим ряд часто встречающихся примеров пространств Гильберта; некоторые из них получаются пополнением унитарных пространств. Эти примеры имеют важное значение в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в вариационном исчислении, эргодической теории и т. д. Дальнейшие примеры и ряд применений будут рассмотрены в следующих главах.

Примеры

1°. Пространство /-Чйл) является пополнением пространства Д)(й„) из § 3 (множества бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями, содержащимися в Й„). В теории функций к этому же пространству приходят иным путем (ср. дополнение 1, § 2). Можно доказать, что Л2(йл) является множеством классов эквивалентных измеримых функций, интегрируемых с квадратом в Йя в смысле Лебега, причем эквивалентными считаются функции, равные всюду, за исключением множества меры нуль (т. е. равные почти всюду). Наше определение пространства /.2(йл) является особенно полезным в теории дифференциальных уравнений потому, что, как вытекает из определения, множество С” (Йл) бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю в „граничной полоске" области Йл, плотно в пространстве А2(йл). Наше определение делает очевидной полноту пространства /?(йл).

Замечание. Множество функций, интегрируемых с квадратом, не является гильбертовым пространством. Действительно, равную нулю норму || и ||2 = J | и (х) |2 dx имеет всякая функция и, равная йп

нулю почти всюду на Йл, и поэтому всякая такая функция должна рассматриваться как нулевой элемент. Но это противоречит единственности нулевого элемента. При построении пространства Л2(ЙЛ) путем пополнения пространства Ао(Йл) „отождествление равных почти всюду функций" происходит автоматически.

2°. Пространство /?’г(йл) является пополнением пространства Ло'г(йл) из § 3 (т. е. пополнением пространства бесконечно дифференцируемых векторных полей с компактными носителями, содержащимися в Й„). Пространство L?’г (Й„) используется в теории систем дифференциальных уравнений.

Оо

3°. Пространство Hb (□„) = Н п (обозначаемое также символами й^^Й^, ^^(Й^) изучали Никодим, С. Л. Соболев, а в последнее время также Дени и Лионс [1]. Это пространство называется пространством достаточно гладких функций, равных нулю вместе с производными до порядка к — 1 включительно на границе дй„ области Й„. Элементами этого пространства являются функции (точнее, классы функций), обладающие обобщенными производными (в смысле Соболева [1], Шварца [1]). Оно имеет фундаментальное значение в теории краевых и смешанных задач для уравнений с частными производными высшего порядка (ср. гл. XIII и XIV). Для построения пространства £(%(Й„) в множестве С“(Й„) определим скалярное произведение

(и, v)» — J" У] Daи (х) Day (х) dx.а„ I а । < с

гдегде

где

где

.... а„).1 а] =а, + .. . + а„..... а„).1 а] =а, + .. . + а„.a = (av

.... а„).

1 а] =а, + .. . + а„.

.... а„).

1 а] =а, + .. . + а„.

dxai ... дхап '1п

Пополнение так определенного унитарного пространства и называется пространством Никодима /.^(Q^).

4°. Пусть (A”, S, ц) —пространство с мерой (ср. дополнение 1, § 2). Множество всех комплекснозначных измеримых функций /, интегрируемых с квадратом модуля |/(-)|2 относительно меры р, обозначают через L2(X, р) или £2(р). Скалярное произведение задается формулой

(/• g) °—' f/Wg О) dx.

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ

Пусть фр .... фй— гильбертовы пространства. Их декартово произведение Ф1 X • • • X Ф* —’ ф определяем следующим образом: u = Uiик>Е^. Ut^i- ^=1А;

(ц. V) “^ 2 (и. У,).

Z = l

Проверить, что ф является гильбертовым пространством. ■

Записать неравенство Шварца и неравенство треугольника для декартова произведения ф, X • • • X ^к-

Декартово произведение нормированных пространств А^Х • • • ...ХХ„ = Х определяют как декартово произведение метрических пространств, причем в качестве нормы элемента х = (хтхп^Х принимают, например,

к

1И1 —SUM-

i=i

Проверить, что X — нормированное пространство.

Нормы || • || и || ■ ||' в линейном пространстве X называются эквивалентными (равносильными), если существуют такие числа а > О, b > 0, что для каждого х^Х выполняются неравенства

«IM'<IM<6||x||'.

Эквивалентные нормы определяют одну и ту же топологию в пространстве X (т. е. всякое подмножество X, замкнутое в смысле

одной из норм, будет также замкнутым в смысле второй нормы). Это вытекает из того, что || х„ — х || -> 0 тогда и только тогда, когда || хп — х||'-*0. Предлагаем читателю проверить эти факты.

Доказать, что в пространстве £" следующие нормы экви- балентны ’):

2° II х ||2 —' max | х; |,.

Z = l,п

пз° iM/^sixa.

Показать, что для того, чтобы пространство в(Е, F) непрерывных ограниченных отображений метрического пространства Е в метрическое пространство F было полным, необходимо и достаточно, чтобы пространство F было полным.

Доказать, что метрическое пространство 6<Е, F) становится нормированным векторным пространством, если ввести следующие Определения:

опр.опр.

(я + у) (х) = и (х) 4- v (х), (яя) (х) = аи (х),

II “ II °— sup II и (х) ||;

при этом F предполагается нормированным пространством.

Доказать полноту пространства /.

Провести подробное доказательство теоремы Хаусдорфа о пополнении метрического пространства.

Пусть X и Y—локально компактные пространства с мерами р(х) и v(y). Множество конечных сумм вида

Ф (х, у) = 2 Л (^) gi (У). h£C0 {X), gt ^C0(Y)2)

является унитарным пространством со скалярным произведением

(<р1. <р2) °— 2 J /| (*) /у W dp, (х) J g\ (у) g] (у) d'J (у).

i хY

Пополнение этого пространства обозначается через Е^Х, р)® ®7,2(У(у) или Т,2 (|i) ® Z. (v) и называется тензорным произведением пространств Z,2 (р) и Е1^.

Доказать, что■

Е(Х, p.)®E(Y, х) = Е(Ху Y, р ® v), где p®v—произведение мер р и v (ср. дополнение 1, § 2).

*) Можно показать, что в конечномерном линейном пространстве любые две нормы эквивалентны. — Прим. ред.

ГЛАВА II

Геометрия гильбертова пространства

В настоящей главе рассматривается геометрия линейных образований— подпространств и плоскостей — в гильбертовом пространстве, а также доказывается теорема об ортогональном разложении. Теореме Рисса — Фреше об общем виде линейного функционала предшествует понятие факторпространства ^/^р Введение понятий сопряженного пространства и рефлексивного пространства подчеркивает особое место гильбертова пространства среди нормированных пространств.

§ 1. Линейная зависимость векторов, я-мерное пространство

Пусть § — линейное пространство. Векторы игик из § называются линейно зависимыми, если существует равная нулю линейная комбинация этих векторов, не все коэффициенты которой равны нулю, к

aiMi + •-\-акик = 0,^|я(|>0-

z=i

В противном случае, т. е. если из равенства а1а1+ ... 4- акик = 0 вытекает, что ат = ... = ак = 0, векторы uv .... ик называются линейно независимыми. Если ихик — линейно зависимые векторы, «1«!+ . •• -V акик = 0 и at + 0, то вектор ut является линейной комбинацией остальных векторов, .

Если в пространстве § существует п таких линейно независимых векторов ихи„, что каждый вектор и £ ^ является линейной комбинацией векторов ихип, то говорят, что пространство ^ имеет размерность n:dim§ = re; при этом совокупность векторов иг, .... ип называют базисом пространства £>. Легко видеть, что для каждого вектора « £ ф его разложение по базисным векторам единственно. Действительно, если и = ^ а^ и и = ^>b^uv. то S(°v — b^Un — O. Отсюда в силу линейной независимости векторов uv ..., ип, al = bi, /=1, ..., я. Читатель проверит, что

любые два базиса состоят из одинакового числа векторов и, следовательно. dim § является характеристикой пространства, а не случайно выбранного базиса.

Примеры

1°. Еп является n-мерным действительным пространством.

2°. Сп является /г-мерным комплексным пространством.

В этих примерах в качестве базиса можно взять систему векторов ехеп, где

«[ = (1, 00),

е2 = (0, 10),

*„ = (0,01).

3°. Множество всех многочленов

п-1

М(Х) ~ 51 = 0.

степени .< п — 1 является линейным пространством; базис в этом пространстве образуют, например, одночлены 1, х, ..., х"-1. Поэтому его размерность равна п.

Бесконечномерное гильбертово пространство

Векторное пространство конечной размерности п обладает тем свойством, что в нем существует система, состоящая из п линейно независимых векторов (базис), а всякие п + 1 векторов линейно зависимы. Если же в линейном пространстве «^ для любого натурального числа к найдется к линейно независимых векторов, то мы говорим, что пространство <£ бесконечномерно. В этом случае также можно ввести понятие базиса. Множество Зс§ называется алгебраически свободным, если любой конечный набор различных векторов из 3 линейно независим. Множество 8с^ называется линейным, если оно замкнуто относительно линейных операций в §, т. е. из х,у£8 вытекает, что ах -^- by ^й для любых скаляров а и Ь. Если Зс£>. то линейной оболочкой множества 3 называется наименьшее линейное множество в £>, содержащее 3- Легко видеть, что для любого 3С'У линейная оболочка существует и совпадает с множеством всех векторов из §, представимых в виде конечных линейных комбинаций векторов из 3- Если множество З^^ алгебраически свободно и его линейная оболочка совпадает с §, то 3 называется алгебраическим базисом (или базисом Хамеля) пространства §. Ясно, что если 3 — алгебраический базис в §, то всякий вектор из $5 единственным образом представляется в виде конечной линейной комбинации векторов из 3- Стандартное рассуждение, опираю-

щееся на лемму Цорна (см., например, Люмис [1]), показывает, что в любом векторном пространстве существует алгебраический базис. Легко доказать, что любые два алгебраических базиса в векторном пространстве § имеют одинаковую мощность, которую можно назвать алгебраической размерностью пространства ф.

Очевидно, чго приведенные выше определения сохраняют смысл и в том случае, когда ■£> является унитарным или гильбертовым пространством. Однако в этом случае наличие в £) дополнительной структуры (скалярного произведения) позволяет дать другое, как правило, более полезное определение базиса и размерности.

Пусть § — унитарное пространство. Линейное множество ®с^ называется подпространством, если оно замкнуто в ^. Заметим, что подпространство унитарного (гильбертова) пространства само является унитарным (гильбертовым) пространством. Замкнутой линейной оболочкой [31 множества З^'У называется наименьшее подпространство в у, содержащее 3 (употребляются также термины „подпространство, натянутое на множество 3“ или „подпространство, порожденное множеством 3“)- Легко видеть, что замкнутая линейная оболочка множества Зс& совпадает с замыканием линейной оболочки 3> т- е- с замыканием совокупности всех конечных линейных комбинаций вида 2 °а“а. «а^С1, “а €3- В том случае, когда множество 3 состоит из конечного числа элементов их, ..., ип, его замкнутая линейная оболочка совпадает с его линейной оболочкой и обозначается [«jы„]. Множество 3 е'У называется полным,

если его замкнутая линейная оболочка совпадает со всем пространством '§:[31 = '§• Семейство векторов 3 = {“и. а€Л]’из § называется ортонормированным, если ЦииЦ — 1 и (иа, и^ — 0 при а#=р. Полное ортонормировапное семейство векторов 3 из § называется ортонормированным базисом в ф. Можно доказать, что в унитарном пространстве любые два ортопормированных базиса имеют одинаковую мощность, которую естественно было бы назвать размерностью унитарного пространства и обозначить dim ф. Здесь имеется некоторая трудность, состоящая в том, что не в любом унитарном пространстве существует ортонормированный базист). Можно, однако, показать, что если пространство £) гильбертово, то в нем обязательно существует ортонормированный базис (доказательство легко получить, используя лемму Цорна и теорему 2 § 3). Впрочем, имеется один важный частный случай, когда теорема о существовании ортонормированного базиса верна для унитарного (а не только для гильбертова) пространства. Напомним, что метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное подмножество. Оказывается, что в сенарабель-

*) См., например, Бурбаки [2], стр. 311—312. — Прим. ред.

ном унитарном пространстве всегда существует ортонормированный базис, состоящий не более чем из счетного числа векторов (это легко доказать, используя процесс ортогонализации; см. например, Шилов [1]). Такие (бесконечномерные) пространства называются счетно мерными. Очевидно, что пополнение сепарабельного унитарного пространства является сепарабельным гильбертовым пространством.

Заметим еще, что если гильбертово пространство ^ конечномерно в смысле определения предыдущего параграфа, то оно обладает конечным ортонормированным базисом.

Примеры

■ Г. Пространство Z.a(Q/i) является бесконечномерным сепарабельным (на основан предыдущего сепарабельным является и пространство I? (Q„) = Lq (Q„)). Действительно, всякую непрерывную функцию на компакте из Еп можно —шомерно аппроксимировать многочленами с рациональными ке., фициентами (теорема Вейер- штрасса, ср. дополнение I). Пусть ф—непрерывная функция с компактным носителем ф, а Ч£)П1Е, — такой многочлен, что

шах |ф(х) — w„e(x)| < е,

где S—шар рационального радиуса с центром в нуле, содер щий носитель ф. Обозначим через Xs характеристическую функцию множества S:

( 1 при х £ S,Xs(x) = | у ПрИ x^S;

тогда

1|ф(-) —Xs< 1 ^„V )il2 = f l4>(x) — y.s(x)wiie(x)l2dx =

= j |ф(х) — тул,е(х)|2с?х <^е2 • мера S Л й„.

Таким образом, непрерывные функции с компактными носителями в Qn можно аппроксимировать со сколь угодно большой точностью но норме Z-2(Q„) функциями вида Xs( ' ^л е(" )• Но множество таких функций является счетным, поэтому пространство Ао(^л) сепарабельно. Заметим, что когда область □„ ограничена, то многочлены w„, е принадлежат пространству А2(й„) и образуют множество, всюду плотное в этом пространстве.

2°. Аналогично предыдущему можно доказать сепарабельность бесконечномерных пространств L2,r(Q„) и Z^)(Q„).

3 К. Морен

3°. Единственным несепарабельным гильбертовым пространством, которое изучается в этой книге, является множество почти периодических функций (Бора). Одна из глав книги специально посвящена теории этих функций и их векторному обобщению. Здесь заметим только, что скалярное произведение в пространстве почти периодических функций определяется формулой

т

опр. 1 Л

(zz, v) = lim I u^v^dt.

Г->да 21

Понятие почти периодической функции является обобщением понятия периодической функции; в частности, показательные функции е1и (имеющие период 2л/Х) являются почти периодическими. Множество этих функций имеет мощность континуума и состоит из взаимно ортогональных элементов:

тт

ПтГ е^'е1^1 dt — Пт Г е“ dt —.

т-*™21 JTт->-о2* 2Т

..1 sin (X — ц) Т п, ,

= Пт -=т— = 0, если Х=£ц.

Основная теорема теории почти периодических функций состоит в том, что множество {еш} составляет ортоНормированный базис пространства почти периодических функций Бора. Следовательно, это пространство имеет размерность континуума.

Факт существования примеров несчетномерных гильбертовых пространств стимулировал изучение несепарабельных пространств рядом математиков, и прежде всего Реллихом [2].

В наших рассмотрениях, касающихся абстрактных гильбертовых пространств, мы, как правило, не предполагаем сепарабельности. Те случаи, в которых сепарабельность имеет существенное значение, мы будем особо оговаривать.

Полные множества

Согласно данному в § 2 определению, множество Деф называется полным, если его замкнутая линейная оболочка совпадает со всем пространством ф : [31 = *&• Ниже мы приводим одну простую, но важную теорему, содержащую характеристику полных множеств.

Теорема 1. Если подмножество Д унитарного пространства % является полным, то единственным вектором, ортогональным к множеству Д, является нулевой вектор.

При этом вектор h называется ортогональным к множеству Д, если (й, g) = 0 для всех ^СД; употребляется запись h I Д.

Доказательство. Если [31 = А), то в силу непрерывности скалярного произведения вектор h, ортогональный множеству 3- будет ортогонален всему пространству ^ и, в частности, самому себе: (й, й) = 0. Следовательно, й = 0.

Если ^— гильбертово пространство, то верна также обратная теорема. Это немедленно вытекает из следующей теоремы, принадлежащей Беппо Леви.

Пусть -Pj — подпространство (т. е. линейное замкнутое подмножество) гильбертова пространства ^. Тогда каждый элемент u^S) допускает (и притом единственное) представление вида

u = u1 + u2, и^^ u2l_^v

Доказательство этого утверждения мы изложим в следующем параграфе. Из него вытекает, что в случае, когда соотношение h I 3 влечет соотношение h = 0, имеем [3]=ф. Действительно, в этом случае на основании теоремы Б. Леви для каждого u^S) имеем н — и^О, где HiElBb т. е. ^ = [3].

Результаты, полученные в этом параграфе, подытожим в следующей теореме.

Теорема 2. Множество 3 в гильбертовом пространстве $ является полным тогда и только тогда, когда в пространстве нет векторов, отличных от нулевого, ортогональных к этому множеству.

Теорема Беппо Леви. Ортогональное разложениегильбертова пространства

Множество IF в векторном пространстве называется выпуклым, если вместе с каждой парой точек и, v^W оно содержит отрезок, соединяющий эти точки: z = (l—^u-^tua^W при O^^^l.

Выпуклые множества играют важную роль в математическом анализе. В последние годы широко развилась теория так называемых локально выпуклых топологических пространств, т. е. таких линейных топологических пространств, в которых всякое открытое множество содержит выпуклое открытое подмножество ).

Очевидно, нормированные пространства, а, следовательно, также унитарные пространства являются локально выпуклыми.

Упражнение. Проверить, что шар {и : || и — и || <; 1 ] является выпуклым множеством.

Значение выпуклых множеств частично объясняется их экстремальными свойствами. Одно из таких свойств устанавливает следующая теорема.

Теорема 1. Замкнутое выпуклое множество W в гильбертовом пространстве содержит (и притом только один) элемент с наименьшей нормой.

Доказательство. Пусть d = inf {||и|| : и£ IF} и пусть («„)— минимизирующая последовательность, т. е. un£W и ||zz„||—>d. В силу выпуклости множества IF, 1 (ип -j- ит) £ IF, откуда ||un+um||^> 2с?. Легко проверить, что для любых двух векторов /, ё Е % справедливо тождество (теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма)

11/-^1Г4Ч!/+уГ = 2(}/Г-НШ12).

Применяя это тождество, находим

0<||«„-«m|!2 = 2(||u„||2+ ||um||2)-||u„ + um||2->0, п>т->со, так так вычитаемое имеет нижний предел }> 4с?2, а уменьшаемое стремится к 4с?2. Поскольку IF — замкнутое множество, а пространство $ полно, то и„-> и ^W; при этом

||zz||= Пт||мл 1|= с?.

Предположим, что и'^W и ||и'||=с?. Тогда в силу выпуклости множества IF, (w--|- ы')/2 £ IF, так что ||и -}- и'Ц^> 2с?. Однако |'и4~И/|К;||и||-|--||и,||=2с?, и потому

Ци + м'1МН+1И1-

Это равенство, как легко видеть, возможно только в Т)м случае, когда и' — аи. Следовательно, а=1 и и'— и. Теорема доказана.

Теорема об ортогональной проекции (Беппо Леви). Пусть ^— (замкнутое) подпространство гильбертова пространства ^. Каждый вектор и^^ допускает единственное представление вида

u = uY-V ч^ где сдЕФр “2 I ^i-

Вектор uv является наилучшим приближением вектора и в подпространстве igx в том смысле, что на нем осуществляется минимум функции f(x) — \\u— х||, х£§г.

Доказательство получим исходя из предыдущей теоремы, взяв 5 качестве выпуклого подмножества U7 плоскость, проходящую через точку и и параллельную подпространству $t: W = \и — у : у £ §J.

Существует единственный элемент u^W с минимальной нормой.

Полагая их = и — и^, имеем (на основании определения W) Покажем, что и2 [ ^^ Пусть v=£ 0 — произвольный вектор из .Ур <а X— произвольное комплексное число. Поскольку и2— Xu^W, то ||и2— ^112 >|| “2II2; поэтому

II “2 II2 < (“2 — ^- “2 — ^ =

= 11 и2II2 — ^(“2- ^ — Х^, U2)+ |>-i2IIуIP- Полагая

1_ («2- У)

1М2 ’ получаем

_ | («2- V) I2 _ I (V. «2> I2 । I («2. V) I2 А

II V ||2 IMI2 l|v||='

Следовательно, (u2, v) = 0, а так как у— произвольный вектор из .^р то u2±§r

Докажем единственность разложения. Пусть иг 4- и2 = и' -j- и', где Ир u'^9r «2’ “г-L^r Тогда ut —и' = и2—и2, причем и, — я^б^р а м2—ы2 J-^г Следовательно, вектор их— и' ортогонален самому себе, что возможно только в том случае, когда он равен нулю. Таким образом, и'= иг и2=и2, и теорема доказана.

Предел последовательности векторов, ортогональных к подпространству §р ортогонален к этому подпространству. Поэтому векторы, ортогональные к §р образуют подпространство. Это подпространство называется ортогональным дополнением подпространства §! и обозначается символом ф-Г или, более подробно, символом 4>04>р Пространство £> оказывается натянутым на подпространства 4'1 и 'ЭД в том смысле, что каждый элемент из У представим (единственным способом) в виде суммы элемента из .<■> и элемента из ф^. Вообще, если §1 и ф2— подпространства гильбертова пространства ^ и каждый вектор из § однозначно представим в виде и = и14-и2, где «1 C’Pi, “2 €'Уг- т0 мы говорим, что у разлагается в прямую сумму подпространств ^j и ^2, и пишем ^ = §1Ф§2. Таким образом, если ^— подпространство ф, то

9 = 9,.®^.(4-1)

Пусть в соответствии с (4.1)

u = u1 + u2, u^i- u2^^L.■

Элемент их называется ортогональной проекцией вектора и на подпространство фр а преобразование Р, сопоставляющее каждому , -„ опр.

вектору и t Ф его ортогональную проекцию Ри = их, называется оператором ортогонального проектирования на подпространство фг

Теорема о возможности ортогонального проектирования служит основой одного из важнейших методов современного анализа, так называемого метода ортогональных проекций. Этот метод будет рассмотрен в нескольких последних главах.

Заметим еще, что если ф1— подпространство гильбертова пространства ^ и вектор и ортогонален к ф^, то и £ фг Действительно, в силу теоремы Б. Леви u = ux-VuY где и ^^v и^^; так как ы.ДФ,1-, то (и, и^ = 0, откуда, учитывая, что (ыр ы2) = 0, получаем (к2, ы2) = (ы— uv zz2) = O; следовательно, ы2 —0 и и = их^,^х. Таким образом, (ф!) L — фг

Для произвольной пары ортогональных элементов их .]_ ы2 верна теорема Пифагора

11«1 + «2|р = 1ЫР + ЫР-

Прямая сумма двух ортогональных подпространств Ф1±$2. т- е- множество Ф1ФФ2°— {«i + «2: ux^^v ы2£ф2) является подпространством. При этом не предполагается, что одно из подпространств фр ф2 является ортогональным дополнением другого.

Действительно, из того, что последовательность («„)== (Ui„ ® «2л) (ы1л£фр “злЕ'^г) фундаментальна, в силу теоремы Пифагора вытекает, что фундаментальны обе последовательности (а1л) и (ы2л). Так как подпространства ^j и ф2 замкнуты, то их = Иш иХп £ фр

zz2 = lim ы2л £ ф2. Но lim ыл = «! +ы2 ^ ф, ф ф2, и, следовательно, пп

Ф1ФФ2 замкнуто; утверждение доказано.

Пусть теперь ф,фл — взаимно ортогональные подпространства пространства ф: ф;_Дфй при I + к. Положим

$0 ~ (Ф1 Ф • • • Ф Фл)1- Очевидно,

Ф — Фо Ф '^ ф ' • • ф ^П* и если

и=^их, u^^i, 1 = 0, 1п, z=o

то

п 1ИР=51ЫР; ■(=1

последнее равенство является обобщением теоремы Пифагора. Учитывая, что ||ио||^-О, получаем неравенство Бесселя; если подпространства ^ф„ взаимно ортогональны, a ut является ортогональной проекцией вектора и па подпространство §z, / — 1п, то

п

2II «zIP <11 «II2-

В следующей теореме рассматривается аналогичная ситуация в случае бесконечного числа взаимно ортогональных подпространств.

Теорема 2. Пусть {■£>„} — семейство {вообще говоря, не- счетное) взаимно ортогональных подпространств гильбертова пространства ф и пусть [{Фа}]—замкнутая линейная оболочка множества элементов, принадлежащих подпространствам §а. Если иа — ортогональная проекция вектора и^^ на подпространство $$а, то иа = 0 для всех значений индекса а, за исключением, быть может, счетного множества (а„). Кроме п

того, последовательность zz„ — 2 «и, сходится, причем предел

Пт 2 «а. является ортогональной проекцией вектора и на 1 ‘

подпространство [{^а}]-

Доказательство. Пусть а,, ..., а„ — произвольное конечное п

множество индексов. На основании неравенства Бесселя 2 |[ “az ||2 <^ <^||и|р, а поэтому |j иа |р = 0, за исключением не более чем счетного множества индексов. Если (а„) — последовательность всех тех индексов, для которых иа + 0, то

2||«az||2<MP.(4.2)

попр.

Полагая = 2j на основании обобщенной теоремы Пифа- гора заключаем, что последовательность {ю^ фундаментальна: п

II f„ — |Р = 21| «az ||2-> о при т, п->со. Таким образом, у,,-* —^у ^ [{^)а }]■ Из определения у вытекает, что ортогональная проекция у на §>а равна иа. Поэтому проекция и — у на §а равна нулю для всех а: и — yj_^a' Отсюда и — 't’€[P?a]]J' и> таким

образом, у является ортогональной проекцией вектора и на подпространство [[фо]]: и = У + (« —У), У €[{£>„}]’К^а}]1’ чт0

и требовалось доказать.

Следствие 1. Пусть (еа) (а^Л)— ортоиормированное семейство векторов в § и пусть ^а— одномерное подпространство, натянутое на вектор еа: ^а = [сар Проекция иа вектора и на подпространство %а равна в этом случае (и, е^еа. (Действительно, так как иа = Хеа и и — «а + ы! = ^а+ “^. где ы! J_ фо, то, учитывая, что (еа, еа)=1, (и^, са) —0, находим (и, еа) = L) Таким образом, проекция вектора и на подпространство, натянутое на ортоиормированное семейство (еа), равна 2 (и> ^uj е^. При этом неравенство (4.2) принимает вид

S|(«. eajp< || «|р.(4.3)

Неравенство (4.3) также называют обычно неравенством Бесселя.

Следствие 2. Пусть ^.уа}| = ф. Тогда вместо неравенства (4.2) получаем равенство 2|| “az ||2 = || «||2. которое в случае одномерных подпространств Фа=[еа] принимает вид

2|("' Ч)|2 = |И12(4.4)

и называется равенством Парсеваля.

Одновременно мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. Для того чтобы ортонормированная система векторов (еа), т. е. такая система, для которой

( 0 при а + р, (^еэ) = 6аз = |1 при а==р, была полной (т. е. образовывала бы ортонормированный базис в §), необходимо и достаточно, чтобы для каждого и^*^ выполнялось равенство Парсеваля. (Достаточность следует из теоремы 2, § 3.)

Дефект подпространства.

Общий вид линейного функционала

Дефектом подпространства «^ гильбертова пространства ^ называется размерность dim §4 его ортогонального дополнения ^ =^0^г Подпространство, дефект которого равен 1, т. е.

ортогональное дополнение которого одномерно, называется гиперподпространством. Плоскость, параллельная гиперподпространству, называется гиперплоскостью.

Пусть гиперплоскость 5р, проходящая через точку и0, параллельна гиперподпространству §р т. е.

$ = (« + м0: «€$1Ь

Пусть е—такой единичный вектор, что [е] = «g»^: е | §р (е, е)=1. Для того чтобы х £ sp, необходимо и достаточно, чтобы

(х, е) = («0, е\(5.1)

Действительно, уравнение (5.1) эквивалентно тому, что (х— м0, е) = 0, т. е. х — ы0 £ [е]-^ = ^ откуда х^1^. Уравнение (5.1) является уравнением гиперплоскости, проходящей через точку и0 перпендикулярно к орту е. Таким образом, уравнение гиперплоскости в пространстве Гильберта выглядит так же, как уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве. В частности, уравнение гиперподпро- страпства, ортогонального к вектору е, имеет вид

(х, е) — 0,(5.2)

поскольку в этом случае ио = О.

Дадим теперь определение линейного отображения (оператора, преобразования).

Определение. Отображение А векторного пространства X в векторное пространство Хх называется линейным, если линейной комбинации аргументов оно ставит в соответствие линейную комбинацию образов:

А {ахих -|- а^и^ = ахАих -|- а^Аи^, их, и^Х, ах, а2£С1.

Как и в линейной алгебре, аргумент мы не заключаем в скобки: Ли °— А (и). Ясно, что ДО = 0.

Линейность преобразования в нормированном пространстве является весьма „сильным" свойством. В этом убеждает нас следующая теорема.

Теорема 1. Для линейного преобразования одного нормированного пространства в другое следующие условия равносильны-.

1°. Преобразование А отображает последовательности, сходящиеся к нулю, в ограниченные последовательности.

2°. Преоб разование А непрерывно в одной точке и {например, в точке и = 0).

3°. Преобразование А удовлетворяет условию Липшица-. || Аи || / С || и ||, где С > 0 — постоянная.

Преобразования, удовлетворяющие этому условию, называются ограниченными.

4°. Преобразование А равномерно непрерывно-. || Ля—Ля'||<е, если || и — и' || < б (е).

Доказательство. Докажем, что из 1° вытекает 2Э, из 2° вытекает 3° и, наконец, что из 3° вытекает 4°. Поскольку 4° влечет Г, то цепочка замыкается и доказательство эквивалентности на этом

заканчивается.

Предположим, что выполнено условие 1° и что существует такая последовательность v„->0, что || Лил || ^> е. Рассмотрим последовательность положительных чисел кп—> оо, такую, что A„v„—>0. Имеем || Aknvn || = кп ||Л„1ал || > кпг-> оо. Мы получили противоречие. Поэтому из условия 1° вытекает непрерывность отображения А в нуле, т. е. 2°.

Предположим теперь, что преобразование А непрерывно в точке я.

Пусть || Ао— Ля||<е при ||у — и || ^б(е). Используя линейность преобразования А, находим, что ||Лх||<е при ||х||^б(е). Так как

для любого вектора я £ ф имеем л Я .11|| u||. llu IIдля любого вектора я £ ф имеем л Я .11|| u||. llu II||~п-б(е)|| = б(е), то || Ля || =

для любого вектора я £ ф имеем л Я .11|| u||. llu II

для любого вектора я £ ф имеем л Я .11|| u||. llu II

II II “ II р

6(e) <е 6(e) 16(e) <е 6(e) 1|| Ля Н|| Ля НПолагая —С, получаем 6(e)J

6(e) <е 6(e) 1

6(e) <е 6(e) 1

|| Ля Н

|| Ля Н

С || я |]. Таким образом, мы доказали, что из 2° вытекает 3°,

Наконец, из 3° вытекает равномерная непрерывность, т. е. 4°, ибо || Ля — Аи* || = || Л (и — и') || < С || и — и' ||.

Таким образом, доказательство теоремы закончено.

Определение. Отображение векторного пространства в пространство С1 (или Д1) называется функционалом. Таким образом, значениями функционала являются комплексные (вещественные) числа. К линейным функционалам, очевидно, применима теорема 1.

Аналогично линейным формам в евклидовом пространстве линейные непрерывные функционалы определяют в гильбертовом пространстве гиперподпространства (и гиперплоскости).

Лемма. Множество S'? нулей линейного непрерывного функционала L, не равного тождественно нулю,

S'?—'(я: и^^, Lu = 0\

является гиперподпространством (дефект ЗУ? равен единице).

Эта лемма доказывается элементарно, и ее доказательство мы предоставляем читателю. Вместе с тем с ней связаны важные понятия, заимствованные из теории групп. К их изложению мы сейчас перейдем.

Пусть §>! — линейное множество векторного пространства ф. Разобьем все пространство ф на классы так, что элементы я} и я?

принадлежат к одному классу у тогда и только тогда, когда их разность принадлежит фр uv и2£у. если их— u2^%v Каждый такой класс у можно геометрически истолковать как плоскость, полученную из линейного множества §j параллельным сдвигом на вектор и £ у : у = \и -|- х : х £ ф^. Определим линейные операции над классами, а именно положим

«4 + а2у2 °~ tai“i + «2и2 + х : х € Ф[}>

где их и и2— какие-нибудь фиксированные элементы соответственно из у1 и у2; а^1 + я2у2 является плоскостью, полученной из линейного множества ф( сдвигом на вектор axtix-\- а2и2. Так определенное пространство называется факторпространством пространства ф по линейному множеству ф1 и обозначается символом ф/фр Отметим, что нулевым элементом пространства ^/^х является класс, совпадающий с фр

Предположим, что ф— нормированное пространство, a ф!— его (замкнутое) подпространство, и положим || у || = inf || и |[, где нижняя грань распространяется па все и £ у. Тогда факторпростран- ство также будет нормированным пространством: норма || у || (т. е. расстояние плоскости у от параллельной к ней плоскости фр проходящей через точку нуль) равна расстоянию плоскости у от точки нуль. Можно доказать, что факторпространство банахового пространства по (замкнутому) подпространству также является банаховым пространством. Пусть 9? — множество нулей линейного преобразования Л, отображающего линейное пространство X в линейное пространство Хх : 51 —' {х £ X : Ах = 0}. Ясно, что Ахх — Ах2 тогда и только тогда, когда элементы хх и х2 принадлежат к одному и тому же классу факторпространства Х^: хх, х2£у£Х/51. Мы видим, что на плоскостях, параллельных многообразию нулей преобразования А, это преобразование постоянно. Естественно определить преобразование А на пространстве Х/51 с помощью следующей формулы: Л у — Ах, где х £ у £ Xffl. Легко видеть, что так определенное преобразование отображает взаимно однозначно пространство Х(5Х на область значений АХ с Хх. Если теперь X и Хх — нормированные пространства, а отображение А непрерывно, то ^ замкнуто в X; следовательно, ||у||— inf IIх II является нормой в факторпро- странстве Х^\ легко видеть, что отображение Х^ в Хх, индуцированное отображением А, является непрерывным, линейным и взаимно однозначным.

Линейное топологическое ') преобразование, отображающее одно линейное нормированное пространство на (все) другое, называется изоморфизмом. Два пространства называются изоморфными, если существует их изоморфизм ).

Из изложенного выше вытекает естественность алгебраической схемы следующей важной теоремы, полного доказательства которой мы сейчас не приводим (оно изложено в гл. Ill, § 3).

Теорема 2. Пусть А— линейное непрерывное преобразование полного нормированного пространства X (в частности, гильбертова пространства') на полное нормированное пространство Хх. Пусть 41 — подпространство нулей преобразования А, ЭД — jx £ X : Ах = 0). В этих условиях пространство Хх и фактарпространство X/S изоморфны.

Из леммы на стр. 42 вытекает одна из основных теорем теории гильбертова пространства.

Теорема 3 (Рисе и Фреше). Всякий линейный непрерывный функционал L в гильбертовом пространстве является скалярным произведением. Более подробно1, каждому линейному непрерывному функционалу L соответствует такой вектор 1^$^, что Ь^и) = ^и, Г) для всех и^^.

Доказательство. Если £(и) = 0, то полагаем Z = 0 (в этом случае ЭД = £>). В противном случае обозначим через е единичный вектор, ортогональный подпространству нулей ЭД функционала L. Пространство •£> является прямой суммой ЭД©[е]. Следовательно, каждый вектор м ^ § имеет вид и — Ри -V (и, е) е, где Р — оператор ортогонального проектирования на подпространство ЭД. Имеем

■ L(u) = ЦРи) 4- (и, е)£(е) = (ы, L^e\

потому что L(Pu) — 0, так как Ри £ ЭД; £(е)4 0, ибо в ^41. Полагая l = L(e)e, получаем L(u) = (u, Г), что и требовалось доказать.

Обозначим через ^(Х, Хх) совокупность всех линейных непрерывных отображений нормированного пространства X в банахово пространство Хх. Множество S^X, Хх) становится также банахо-

’) То есть непрерывное в обе стороны. — Прим. ред.

вым пространством, если положить

(avAY + а2А2) (х) == а1Д1 (х) + а2А2 (х),

1МН = sup ||Лх||,

Цх||< i

где Др А2, А^.2ЧХ, Хг\ х^Х, tip а2^С^. В частности, банаховым пространством является множество «^(Х, С1) всех линейных непрерывных функционалов, заданных на нормированном пространстве X. Это пространство называют пространством, сопряженным с пространством X, и обозначают через X*. Теорему Рисса — Фреше можно сокращенно записать в виде следующего равенства: §* = §. Гильбертово пространство выделяется среди других банаховых пространств, в частности, тем, что оно изоморфно сопряженному с ним пространству.

Если произвольный элемент банахова пространства X обозначается через х, то произвольный элемент сопряженного пространства X* обозначается обычно через х*. Значение функционала х* в точке х обозначают через (х, х*) (или (х, х*')). Можно определить также второе сопряженное пространство X** °— (X*)* и т. д.

Теорема Хана — Банаха

Возникает вопрос о том, не „висят ли в пустоте" заключительные замечания предыдущего параграфа, т. е. не состоит ли сопряженное пространство X* из одного лишь тривиального функционала х*, равного тождественно нулю. Существование нетривиальных функционалов вытекает из глубокой теоремы Хана — Банаха, касающейся продолжения линейных функционалов.

Теорема 1 (Хана — Банаха). Если /— линейный ограниченный функционал, заданный на подпространстве Ж нормированного пространства X, то функционал f можно продолжить на все пространство X без увеличения нормы.

Доказательство проводится в три шага.

Г. Доказывается, что функционал / можно продолжить в вещественном нормированном пространстве на подпространство Л1-|-[х0], где х0— произвольный элемент пространства X.

2°. Доказывается, что утверждение п. 1° верно также в случае комплексного пространства.

3°. Доказательство завершается с помощью леммы Цорна.

К пункту 1°. Задача сводится к надлежащему определению числа с — ф(ха), ибо формула / (х+ ах у) °— /(х) + ас определит функционал / на всем подпространстве M-|-[x0]. Не ограничивая общности, можем предположить, что ||/||^=1. (Напомним, что

||/||м— sup |/(х)|.) Следовательно, число с должно быть I]хI] < 1, х£,М

выбрано так, чтобы | / (х)ф- ас | «С|| х + ах0|| для всех х £ М и а£Е\ Отсюда для произвольных xv х2£М получаем

— / (*1) — II Х1 + х0 || < с < — / (х2) + II х2 + х0||.

Поскольку

/ (хг) / (Х1) ~ / (Х2 — х1) ^ II Х2 — Х1 II ^ II Х2 + Хо II + II Х1 + х0 II'

то для любых xv х2 £ М

./ (xi) II xi + х0 II ^ — / (х2) + II х2 + х0 lb

и поэтому

с!= Stip(—/(xj —Цх^ХуЦХ inf (—/(х2) ф-||х2+х0||) = С2. х, С МX) f Л1

Отсюда видно, что в качестве числа с можно взять любое число, заключенное между числами Сг и С2.

К пункту Т. Распространение предложения 1° па случай комплексного нормированного пространства принадлежит Боненблюсту и Собчику, а также Сухомлинову. Заметим сначала, что комплексное нормированное пространство является одновременно вещественным, если ограничиться умножением только на вещественные числа. Кроме того, заметим, что вещественная часть g и мнимая часть h линейного непрерывного функционала / являются линейными непрерывными функционалами в этом вещественном пространстве. Поскольку

g (lx) + lh (lx) = / (lx) = If (x) = lg (x) — h (x),

to h(x) =— g(lx) и f(x) = g(x)— lg(lx). По предположению, ||/||=1 на Ж; поэтому |[g||^l. В соответствии с п. Г продолжим функционал g на вещественное подпространство М -ф- [х0] с сохранением нормы. Присоединяя еще элемент 1хй, получаем комплексное подпространство, натянутое на множество М U (х0). На этом пространстве положим f(x)°—g(x)— lg (lx). Как мы видели, при х^М это равенство выполняется. На множестве М -ф- [х0] вышеопределен- ный функционал линеен относительно умножения на вещественные числа. Проверим его линейность относительно умножения на комплексные числа:

/ («х) = g (lx) — lg(—x) = l [g (x) — lg (Zx)] = If (x).

Для данного элемента x выберем вещественное число а так, чтобы е'а/(х)^0. Тогда

I / (х) | = / (еих) = g (е1ах) < || е1ах || = || х ]|,

откуда ||/1X1; доказательство п. 2° закончено.

К пункту 3°. Из рассмотрений п. 2° вытекает, что область определения функционала / можно расширять, последовательно прибавляя одномерные подпространства. Семейство всех возможных продолжений функционала / до линейных непрерывных функционалов, имеющих ту же самую норму, частично упорядочено: считаем, что продолжение Д, заданное на подпространстве Л1], предшествует продолжению /2, заданному на подпространстве М2, если 7WjCZ/M2 и /Цх) = /2(х) при х^Жр Всякое линейно упорядоченное подмножество рассматриваемого семейства продолжений содержит верхнюю грань — продолжение на теоретико-множественную сумму областей определения. Следовательно, в силу леммы Цорна все семейство обладает максимальным элементом. Это максимальное продолжение будет продолжением на все пространство, ибо в противном случае, применяя построения, описанные в п. 1° и 2°, можно было бы получить дальнейшее продолжение. Теорема доказана.

Приведем несколько важных следствий теоремы Хана—Банаха.

Следствие 1. Если пространство X =£ {0}, то для каждого элемента х0 Е X существует функционал / Е X*. такой, что / (х0)=|| х0|| и 11/11=1.

Доказательство. Положим /(ах0) == а || х01|. Очевидно, это соотношение задает линейный функционал на [х0], причем ||/||=1, / (х0) = || х0||, так что остается применить теорему Хана—Банаха.

Следствие 2. Имеет место равенство || х || = sup | (х, х*)|, ||х*(| <1

X* Е X* !).

Доказательство вытекает непосредственно из следствия 1.

Следствие 3. Для каждого (замкнутого) подпространства М и элемента х0^ М существует такой функционал / Е X*, что || /1| = 1, / = 0 на Ж и f(x^ — d, где d обозначает расстояние от точки х0 до подпространства М. Множество З^^ является полным2) тогда и только тогда, когда, кроме нулевого функционала, ни один функционал не равен тождественно нулю на 3-

Это следствие является обобщением теоремы 2, § 3.

Доказательство. На подпространстве М -|-[х0] функционал / определим формулой /(ах0 — x) = ad, х^М. Очевидно, этот функ-

’) Символом (х, х*) обозначается результат применения функционала х* Е X* к элементу х^Х. —Прим. ред.

Определение полного множества в нормированном пространстве то же. что и в унитарном пространстве (см. § 2). —Прим. ред.

ционал является линейным и

м II ■= “Р ТП^ЙГ=Ж ПТ^л=

= d ( inf || x0 — х || V1 = dd-1 = 1.

Для окончания доказательства достаточно взять произвольное линейное продолжение функционала / на все пространство с сохранением нормы.

Читатель без труда докажет следующее предложение.

Следствие 4. Функционал /, заданный на алгебраически свободном (см. § 2) множестве ZcX, допускает линейное непрерывное продолжение на все пространство X с нормой, меньшей или равной с < оо, тогда и только тогда, когда

| IX/(•**) I О II 2 акхД

для произвольной конечной системы точек xk£Z и произвольных

С помощью следствия 2 легко доказать следующую теорему.

Теорема 2. Пусть X — нормированное пространство, а X** — его второе сопряженное, т. е. X** = (X*)*. Тогда отображение X в X**, сопоставляющее элементу х £ X элемент х^^Х”, определяемый соотношением х” (х*) = х* (х), является изометрическим изоморфизмом X в, вообще говоря, собственную часть пространства X**.

В случае когда образ X при этом отображении совпадает со всем пространством X**, пространство X называется рефлексивным; при этом иногда пишут X — X**.

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ

Используя теорему об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве, указать общий вид линейного функционала в конкретных гильбертовых пространствах

Еп и С",

Р) Р.

у) £ЧЙ„) и L^r(Qn),

Hk(Q„).

В литературе принят довольно неприятный термин: „антили- нейный функционал" (в случае пространства над полем комплексных

чисел)J). Функционал L называется антилинейным, если он аддитивен: L (%! -|- х^ = L (л:,) + L (х2) и L (ах) = aL (х) (а — число, сопряженное с числом а).

Доказать, что в гильбертовом пространстве всякий анти- линейный функционал имеет вид L(x)^.(l, х), где 1^^.

Символ Lp (Q„) обозначает банахово пространство, полученное в результате пополнения множества Cjf (Qn) по норме ||ф||р°— — / J | ф (х) |р dx VP, р>\. Оказывается, что пространством, сопряженным к Lp (Йп), является пространство 15 (йл), где 1//? + 1/^ = 1. При ф £ Lp (йл), ^^L4^^ имеем ф • ф £ L> (Q„) и

(ф, ф) = J ф(х)ф(х)<7х.

Аналогом неравенства Шварца является не равенство Гёльдера

Кф. Ч’> I II ф IL - 1Ж1?-

Неравенство треугольника в случае пространства Lp (йя) называется обычно неравенством Минковского

IIФ1 + Фг Пр -С II Ф1 lip + II Фг |1р-

Пространство IX (Qj. Говорят, что измеримая функция / в существенном ограничена сверху, если она равна почти всюду функции, ограниченной сверху. Существенной верхней гранью такой функции называется inf верхних граней эквивалентных ей ограниченных сверху функций. Существенную верхнюю грань функции |/(-)| обозначают через Ц/Hco2). Пространство существенно ограниченных на множестве йл функций (точнее, классов эквивалентных функций) с нормой |j • ^ является банаховым пространством, которое обозначают через Z”(Q„). Пространство £°°(йл) является сопряженным к пространству 15 (Цг).

Доказать, что-при р > 1 пространства Lp (Q„) являются рефлексивными.

Доказать полноту пространства ^(Х, Х^), где X и Хх—банаховы пространства, используя полноту пространства С(Е, Хх), где Е—единичный шар в пространстве X.

Доказать следующую теорему Лакса—Мильграма (ср. Лакс — Мильграм [1]), являющуюся естественным обобщением теоремы

Рисса — Фреше и играющую важную роль в теории эллиптических операторов (см. гл. XIV).

Предположения. В(х, у) — билинейный ’) (необязательно симметрический) функционал, заданный на гильбертовом пространстве ^ и такой, что:

1° |В(х, у) | ^ Ci || х || • || у || (т. е. функционал является ограниченным);

2Э существует такая постоянная с2 > 0, что с21| х ||2 <^.В(х, х) для всех х £ §.

Утверждение. Всякий линейный функционал I может быть представлен посредством билинейного функционала 8; точнее, существуют два и только два таких элемента xb у^, что

1(х) = В(х[, х) = В(х, уг).

Отображение S,: SJ = хь а также отображение S2: S2l = уг являются ограниченными преобразованиями пространства § в пространство §.

Указание. Доказательство аналогично доказательству теоремы Рисса — Фреше.

Обобщить теорему Лакса — Мильграма на случай, когда § является рефлексивным банаховым пространством.

ГЛАВА Ш

Локально выпуклые векторные пространства.

Общая теорема о графике. Теорема о ядрах

Введение

Настоящая глава выходит за рамки теории гильбертова пространства и при первом чтении может быть пропущена. В ней собраны некоторые понятия и теоремы теории линейных пространств, нужные во многих применениях современного анализа и используемые в отдельных параграфах настоящей монографии.

Автор решился написать эту главу потому, что нет ни одной книги, в которой излагались бы все нужные нам теоремы, хотя они применяются все чаще. Некоторые из доказательств новы: например, впервые публикуется изящное доказательство теоремы Шварца о ядрах (которым автор обязан С. Лоясевичу; остальными доказательствами, если они не являются классическими, я обязан В. Богдановичу, к советам которого, как специалиста в области, где я чувствую себя не слишком уверенно, мне приходилось неоднократно обращаться).

Большинство теорем и понятий, излагаемых в настоящей главе, берет свое начало от Банаха и его школы. Понятие линейного локально выпуклого пространства было открыто независимо Мазуром (в его диссертации, опубликованной на польском языке) и фон Нейманом. Локально выпуклые пространства, в которых топология задается счетной системой полунорм, изучались впервые Мазуром и Орличем.

Основное внимание уделяется общей теореме о замкнутом графике (§ 9). Эта теорема в последние годы приобрела репутацию самой важной теоремы общего функционального анализа, если этот последний рассматривать с точки зрения приложений. В последнем параграфе излагаются элементарные факты по теории отображений, допускающих замыкание и представляющих важный для приложений класс неограниченных операторов.

В упражнениях и дополнениях помещена теорема Хана — Банаха (и следствия из нее) для локально выпуклых пространств. Введено также понятие рефлексивности пространства, помещена справка по теории обобщенных функций (распределений), в частности доказательство „принципа склеивания" Шварца:).

*) Достаточно полное и краткое изложение теории линейных топологических пространств можно найти в книге Канторовича и Акилова [1], гл. XI. —Прим. ред.

Теорема Бэра

Банаховы пространства являются полными метрическими пространствами. Фундаментальным фактом теории полнык метрических пространств является теорема Бэра; для удобства формулировки этой теоремы введем следующие понятия.

Определение. Подмножество 5 метрического пространства X называется нигде не плотным, если каждый шар в X содержит шар, лежащий в дополнении X\S множества S.

Множество МсХ, допускающее представление в виде объединения А1 = (J <SZ счетного семейства нигде не плотных множеств, <■= 1

называется множеством первой категории в X.

Множеством второй категории (в X) называется множество, которое не является множеством первой категории.

Теорема Бэра. Полное метрическое пространство X является множеством второй категории (в себе\

Часто применяется следующая эквивалентная формулировка.

Если X = {J Mt, то по крайней мере одно из множеств Mt i = 1

плотно в некотором шаре (если множества Mt замкнуты, то хотя бы одно из них содержит некоторый шарУ).

Сначала докажем вспомогательное предложение.

Лемма. Пусть X— полное метрическое пространство, {/^i— убывающая последовательность непустых замкнутых и ограниченных множеств <z.X, диаметры которых d(F„) стремятся к нулю-.

F.tdF^td . . .; b(F^ = sup d(x, y)->0, n->oo.

Тогда пересечение Fn состоит из одной точки.

П=1

Доказательство леммы. Пусть xn£Fn. Тогда при т > п d(xm, х„) <d(Fn)->0, п—>оэ, и, в силу полноты пространства X, хп-> х ^ X, п—>со. Так как каждое из множеств Fn замкнуто, то x^Fn для всех значений п, т. е. х£ Q Fn. Других точек это пере- п = 1 сечение не содержит, ибо d(F„)->0, п—>оо.

■) Множество М метрического (топологического) пространства X называется плотным в множестве NczX, если N содержится в замыкании множества М. —Прим. ред.

Доказательство теоремы Бэра. Предположим, что теорема неверна. Пусть X = [J S„, где каждое из множеств S„ нигде не плотно. Пусть Ко — некоторый шар радиуса 1. Существует шар Кх радиуса меньше х[у такой, что КхаК0 и KX?\SX — 0, ибо множество St нигде не плотно. В шаре Кх содержится шар К^ радиуса меньше /3, для которого ^П^г—0- ибо множество S2 нигде не плотно. Рассуждая далее таким же образом, приходим к выводу, что существует убывающая последовательность шаров (/<„)”=1, диаметры которых стремятся к нулю, причем KnV\Sn = 0. На основании леммы заключаем, что пересечение Q Кп содержит некото- п = 1

рую точку х. Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств S„, что противоречит предположению о том, что 0 5п=^

Теорема Бэра с успехом применялась для доказательства различных теорем существования так называемым методом категории. Например, для того чтобы доказать существование функции, непрерывной на отрезке [а, 6] и не имеющей производной ни в одной точке, достаточно установить, что в (полном) пространстве С [a, &] функции, обладающие производной хотя бы в одной точке, образуют множество первой категории.

Теорема о замкнутом графике в линейныхметрических пространствах

Векторное пространство Е называется линейным топологическим пространством (л. т. п.), если в нем заданы топология и алгебраические операции (сложение векторов и умножение на числа), непрерывные в этой топологии1).

Особенно важными являются полные метрические л. т. пространства или, общее, — полные метризуемые л. т. пространства; так называют топологические пространства, в которых можно определить метрику так, чтобы она задавала топологию, совпадающую с исходной (т. е. чтобы класс множеств, открытых в смысле метрики, совпадал с исходным классом открытых множеств), причем дополнительно требуется, чтобы пространство было полным по этой метрике. Примеры полных метризуемых л. т. пространств, не являющихся пространствами Банаха, мы приведем в следующих параграфах. Одной из самых замечательных теорем о линейных отображениях в таких пространствах является теорема Банаха о замкнутом графике.

Определение. Пусть Е и F— топологические (не обязательно линейные) пространства и пусть Т — отображение Е в F с областью определения D(J\ Будем говорить, что график О(Т) — {(е, /) : £ £ £ D (Г), / = Т (е)} отоб ражения Т замкнут, если множество 0(7) замкнуто в топологическом пространстве EXF-

Напомним, что открытыми множествами в пространстве EX? называются множества вида U X V и всевозможные их объединения, где U (И) — открытое множество в пространстве E^F), и что для произвольных множеств М и N символ М X N обозначает множество всех пар вида (т, п), где т^М, n^N.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 (о замкнутом графике; Банах). Пусть Е и F — метризуемые линейные топологические пространства, причем F полно, а В— линейное множество второй категории в Е. Пусть Т — линейное отображение, определенное на D со значениями в F. Если график 0(Т) отображения Т замкнут, то отображение Т непрерывно и область его определения D совпадает со всем пространством Е.

Доказательство основано на теореме Бэра. Для произвольной окрестности нуля VczF имеем1)

Qn7-1(V) = |jT-1(/rV) = 7-1(F)=D (T~\V)=^x£D-.Tx£V^.

№ = 1П= 1

Так как В— множество второй категории в Е, то для некоторого т множество тТ~'(V) имеет непустую внутренность: intmT-1 (И) + 0. Так как отображение е—>т""хе является топологическим, то

т-1 (int тТ~х (И)) = int 7-1 <У)+ 0.(2.1)

В силу непрерывности сложения в пространстве F существует такая окрестность нуля Voc:F, что '

ИдэИ0 + И0 = И0-И0(2.2)

можно считать, что окрестность Vo является множеством, симметричным относительно нуля: —И0 = И0).

Вторично используя непрерывность сложения в пространстве F, а также линейность отображения Т, в силу соотношений (2.2) и (2.1) получаем

FFb 7”1 (Ио) - T^o^int FX) - int F^) Э 0.

Таким образом, для произвольной окрестности нуля VczF О ^ intT-1 (V). Следовательно, для произвольной окрестности нуля Ус/7 существует такая окрестность нуля Uc:E, что множество Г-1 (У) плотно в U (в качестве U можно взять, например, intT-1 (У)). Мы предположили, что пространства Е и F метризуемы. Хорошо известно (см., например, Бурбаки [2], стр. 55), что если линейное топологическое пространство метризуемо, то метрику в нем можно считать инвариантной относительно сдвигов, т. е. d^x, у) = d^x— у, 0). Пусть dE( ■ , •) и dF^-, •) — инвариантные метрики в Е и F соответственно; положим || и ||£ = dE (и, 0)для любого и^Е, а для любого v £ F || v ||£ = dF (и, 0). Функции || • ||£ и || • ||д не являются, вообще говоря, нормами, но удовлетворяют, очевидно, неравенству треугольника || и + и' ||£(£) < || и ||£(£) +1| и' ||£(£) и определяют топологию в Е (в F) в том смысле, что ип->и в Е (в F) тогда и только тогда, когда [| ип — ы||£—>0 (||и„— ы||£—>0). Используя эти обозначения, мы можем сформулировать утверждение предыдущего абзаца в виде следующего предложения.

Для каждого г > 0 существует такое s > 0, что для любого е > 0 и любого элемента е^Е, для которого || е ||£ < з, найдется такой элемент e^D, для которого || е ||£ < з, || е — е||д<е и |]Гв||£<г.

Пусть (/•„) — произвольная последовательность положительных

чисел, удовлетворяющая условию 2 гп < 2гР Для каждого п, п = л = 1

= 1, 2, .... через з„ обозначим какое-нибудь из чисел, соответствующих числу гп в смысле сказанного выше. Не ограничивая общности, можно предположить, что последовательность (з„) убывает и стремится к нулю: sn | 0. Пусть в0— произвольный элемент, удовлетворяющий условию || е01|£ < 3]. В соответствии с сформулированным предложением существует такой элемент в, £ D, что ||е1||£<з1, ||7’(е1)||£<г1 и ||в0 — ||£ < з2.

Вторично принимая во внимание упомянутое предложение, заключаем, что существует такой элемент e^D, что ||е2||£<з2, IIТ (е2) ||£ < г2 и || (в0 — Bj) — е21|£ < з3. Повторяя такое рассуждение соответствующее число раз, приходим к выводу, что для каждого п существует такой элемент en£D, что ||e„||£<s„, || Т (е„) ||£ < гп и II («о — е1 — • • • — en-i) — е„||£< з„+1. Полагая в^ ... + в„ = м„, имеем ип n^,co-* е0, un£D и, в силу линейности отображения Т,

Т (ип) = Т (bJ + ... + Т (в„). Так как 2 || Т (в„) ||£ < 2 г„ < 2гР rt* 1 /1= 1

а пространство F полно, то существует ПтТ(ып) = /0, причем ll/oll<2ri- Для каждого п имеем (и,,, Г(«ч))^ G(Г), а так как

по условию график G(T) оператора Т замкнут, то (е0, /0) = = Нт(и„, Т (ип)) £ О (Г), т. е. /0 = Г(е0). Следовательно, оператор Т определен в каждой точке е0 шара || е ||£ < гх, т. е. этот шар содержится в D. Так как по предположению множество D линейно, то отсюда следует, что оно совпадает со всем пространством Е. Как мы видели, для каждого г, > О существует такое st > 0, что ЦТ (г0) ||£ < 2гр если Це0Ц£<51. Это означает, что отображение Т непрерывно в нуле. Но линейное отображение, непрерывное в нуле, непрерывно во всем пространстве. Теорема доказана.

Другие теоремы Банаха и их связь с теоремой о графике

Пространства, о которых идет речь в настоящем параграфе, являются полными линейными метризуемыми пространствами. Из теоремы о графике почти немедленно вытекают две следующие фундаментальные теоремы Банаха. '

Теорема 1 (Банах). Пусть T:E->F— непрерывное линейное отэбражение полного метризуемого л. т. п. Е в мет- ризуемое л. т. п. F, область значений которого R(T)°—T(E) является множеством второй категории в пространстве F. Тогда '

Г. R^T) = F;

2°. для произвольной последовательности (J^cF, fn->0, существует такая последовательность (е^сгЕ, что е„->0 и Ten=fn.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы о замкнутом графике, мы можем считать, что пространства Е и F снабжены метрикой, инвариантной относительно сдвигов. В силу непрерывности и линейности отображения Т множество N = Т-1(0) = (х £ £ : Тх = 0} (называемое ядром отображения Т) является замкнутым подпространством в Е. Поэтому факторпространство Н °— E;N также является полным1) метризуемым л. т. п.; инвариантную метрику в Н можно определить соотношением

IIА Ня °— inf|H|£, h = e-^-N.

') Доказательство полноты факторпространства полного метризуемого линейного топологического пространства по замкнутому подпространству после введения инвариантной метрики не отличается по существу от доказательства аналогичного факта в случае банахова пространства, изложенного, например, в книге Люмиса [1], стр. 21. Заметим, что для общего (т. е. неметризуемого) л. т. п. аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно. — Прим. ред. .

Отображение Т индуцирует непрерывное отображение Т0:Н->Е, которое уже взаимно однозначно. Отображение То' определено на множестве второй категории R(T)c:F и имеет замкнутый график G^^jcfXH. Действительно, пусть frt£R(T\ /п-*/0, h,/— To'fn->h0. В силу непрерывности оператора То, Tohn Th0. Но Thn = fn -> /0, поэтому TQhQ = f^ т. е. ho = То ‘/о. (/о- go) 6 £G(Tq ), и замкнутость графика G^Tq ) доказана. Следовательно, в оответствии с теоремой предыдущего параграфа оператор То-1 задан на всем пространстве F и непрерывен. Это эквивалентно утверждениям 1° и 2Э доказываемой теоремы.

Теорема 2 (теорема Банаха об обратном операторе). Пусть Т — линейное, непрерывное и обратимое отображение пространства Е на пространство F (т. е. D (Т) = Е, R (Т) = Д), причем Е и F— полные метризуемые линейные топологические пространства. Тогда обратное отображение Т~' также непрерывно.

Доказательство. Очевидно, что всякое непрерывное отображение с замкнутой областью определения является замкнутым (т. е. имеет замкнутый график). В частности, замкнуто отображение Т. Кроме того, отображение, обратное замкнутому, является замкнутым. Следовательно, замкнуто также отображение Г-1, а так как 7'-1 задано на множестве R(T) = F второй категории, то оно непрерывно.

В качестве непосредственного следствия теоремы о замкнутом графике получаем следующее утверждение. '

Теорема 3 (X е л л и н г е р и Теплиц). Пусть А — one рато р в гильбертовом пространстве Е. Если оператор А задан на всем пространстве и симметричен^, то он является непрерывным оператором.

Доказательство. По условию симметрии

(Au, v) — (u, Av), и, v^E.(3.1)

Пусть иГ1—>и1) и Aun->vti. Для любого элемента v имеем

(у0, у) = 11т(Ди„, г»)==Нт(и„, Av) = (u0, Av) — (Au0, v), откуда Au0 = v0. Таким образом, оператор А замкнут, а следовательно, и непрерывен.

') Оператор А, определенный в гильбертовом пространстве Е, называется симметричным, если (Ли, v) = (и, Av) для любых и, v из области определения Л (см. гл. V).

Билинейные формы

В настоящем параграфе мы излагаем доказательство важной теоремы Мазура и Орлича о непрерывности билинейных форм, непрерывных по каждому аргументу в отдельности, заданных на полных метризуемых линейных топологических пространствах. Этой теоремой мы воспользуемся в § 10 при доказательстве теоремы о ядрах.

Докажем сначала одну простую теорему относительно билинейных форм на произвольных векторных топологических пространствах £ и F.

Теорема 1. Пусть

B;EXF3(e. П->В(е, /) £ С‘

— билинейная форма, заданная на линейных топологических пространствах Е и F. Непрерывность формы В эквивалентна ее ограниченности на некотором открытом множестве U X VaE X F.

Доказательство. Достаточно доказать, что из ограниченности вытекает непрерывность, ибо ограниченность вытекает из непрерывности в точке (0, 0)£EXF (ср. с теоремой 1 § 5 гл. II). Итак, по предположению,

|В(е, /)|<Л4 при e^UcE, /^VcF, (4.1) где U и V — некоторые открытые множества.

В силу билинейности формы В, не ограничивая общности, можно дополнительно предположить, что множества U и V являются уравновешенными *) окрестностями нуля. Положим

1ИЬ°— inf а, ||/Ни °— inf Р-

аи^еw^f

а>0р>0

Тогда e^U при ||еИи<1 11 / Е^ ПРИ ll/llr^f- Следовательно, если е^Е, f^F и [ИЬ^О, Ц/Ни¥=О, то

’w€v' 0<v<L

На основании (4.1)

HYT^/ ¥Т7|^)|<Ж'

откуда

|В(Й, /)|<М|ММ1/Ни.(4.2)

Заметим, что если хотя бы одна из величин || е Цу, || / Цу равна нулю,

') Множество U в л. т. п. называется уравновешенным, если из x^U и | X | < 1 вытекает, что Кх £ U. — Прим. ред.

то В(е. /) = 0. Действительно, если, например, ||е||у—-О, топе^и для любого натурального п, откуда 1В(е,/)^ = ^В (пе, /)|^-^-Л4 и, значит, В(е, /) —0. Следовательно, неравенство (4.2) верно для любых е£Е, f^F. Из соотношения (4.2) находим, что

|В0 + Ай, / + д/)-В(е, /)|<

< м (№ IIМ Ик + II а< • II / Ни + II A. lb • II А/110.

что доказывает непрерывность формы В.

Определение. Отображение (е, /) —>Т (е, f) называется раздельно непрерывным, если для любых фиксированных е0 и /0 непрерывны отображения

е -> T$q (е) ^' Т (щ /0), / -> Г» (П = Т (е0, /)-

Теорема 2 (Мазур и Ор лич). Пусть Е и F — метризуе- мые линейные топологические пространства, причем хотя бы одно из них полно. Если билинейная форма В

ЕХРЭ(е, П->В<е, f^d раздельно непрерывна, то она непрерывна.

Доказательство. Пусть, например, полно пространство Е. Пусть Un X Vn — произвольный базис окрестностей нуля в Е X В• Положим

S/^'^/?: \В(е, /)|С1 для всех f£V„\,(4.3)

т. е.

S„ = П V^E-. \В(е, /)|<1}.

Из непрерывности функции В (• , /) вытекает, что множества Sn замкнуты, ибо они являются пересечениями замкнутых множеств. Рассмотрим произвольный элемент е^Е; так как В(е, •) — линейный непрерывный функционал, то он ограничен (ср. с теоремой 1 § 5 гл. II) и поэтому существует такая окрестность VhciF, что

\В(е, /)|С1 при /СИ,.(4.4)

Из соотношений (4.3) и (4.4) вытекает, что £, = (jS„. Согласно п- 1

теореме Бэра, по крайней мере одно из множеств Sn, например Sn„, содержит открытый шар К. Поэтому в соответствии с (4.3)

|В(й, /)|<1 при (е, П^КХУп,,

откуда на основании теоремы 1 заключаем, что форма В непрерывна.

Замечание. Утверждение теоремы остается в силе, если комплексную плоскость С* заменить произвольным линейным топологическим пространством Д’ (см. упражнения и дополнения).

Отметим также, что билинейная форма В( • , •), заданная на локально выпуклых пространствах Е и F, непрерывна тогда и только тогда, когда существуют такие полунормы || • ||£, || • ||£ и число М > 0, что

|В(е, /)| СтИЦе ||£|| / ||£(4.5)

для всех е ^Е и / £ F.

Доказательство вытекает из того, что форма В, удовлетворяющая условию (4.5), ограничена па открытом множестве

(е€^№< nX{/€F:||/(|£< ЦсД ХЕ.

§ б. Локально выпуклые векторные пространства

Ввиду того что в этом и в следующих параграфах преобладают топологические понятия, напомним вкратце относящиеся к теме основные факты и определения (ср. дополнение 1).

Пусть Е — топологическое пространство с топологией т, определяемой системой множеств U; эти множества U называются открытыми множествами пространства Е. Запись U £т означает, что множество U является открытым в топологии т. Окрестностью множества SaE называется каждое множество пространства Е, содержащее некоторое открытое множество S^S. (Следовательно, в этой терминологии окрестности не обязаны быть открытыми множествами; открытое множество является окрестностью каждого своего элемента.)

Мы воспользуемся случаем привести полезную символику (введенную Куратовским) для сокращения записи высказываний. Запись !!(•••) означает: для каждого элемента х £ X имеет место соот

ношение (•••); 2 (• • •) означает: существует такой элемент х^Х, х<< X

для которого выполняется соотношение (••■).

Открытые множества пространства Е будем обозначать буквой U. Семейство (t7a) открытых подмножеств пространства Е называется базисом топологии т пространства Е, если

П П 2 (x£Uac:U).

U^T x(_U Ua^ {!/„}

Если при этом х не произвольная, а фиксированная точка, то {(7а} называется базисом окрестностей точки х. Если Е— метрическое пространство, то шары

К(х, г)= (у ^Е : d(x, у) < г},

где г — рациональные числа, образуют базис окрестностей точки х. Следовательно, в метрическом пространстве каждая точка имеет счетный базис окрестностей.

Базис окрестностей (t/a(x)} точки х характеризуется условиями:

х^иа^,

П S (^atoc^iton^W),

U^ W, и г V) иг (X}

П S (М«,(У)с(/иМ

Обратно, если каждой точке х^Е поставлено в соответствие семейство {(/и(х)}, удовлетворяющее условиям а), б), в), то в пространстве Е можно ввести топологию т так, чтобы открытыми множествами оказались всевозможные объединения множеств [/„ (х). Семейство {(7а(х)} составляет тогда базис так определенного топологического пространства Е (т). Это замечание позволяет определить топологию в векторном пространстве Е заданием семейства |[7а} множеств Ua, содержащих нулевой элемент и удовлетворяющих условиям а), Ь), с). Базис окрестностей (^7а (е)} элемента е^Е определяем соотношением

Uu (е) = е + Ua=^e4- х : x^UaV

В дальнейшем мы будем рассматривать только векторные пространства над полем комплексных чисел С1. Читатель без труда сформулирует соответствующие утверждения для вещественных пространств (пространств над полем С1).

Множество WaE называется абсолютно выпуклым, если для любых элементов ех, e^W и любых чисел ах, а^С1, удовлетворяющих условию | a, | —f— | а21 ^ 1, линейная комбинация й1е1-|-й2е2 принадлежит V. Заметим, что абсолютно выпуклое множество является выпуклым, а также уравновешенным (т. е. вместе с каждым элементом е содержит элемент ае, если |й| .< 1) и, следовательно, симметричным относительно нуля. Обратно, всякое выпуклое уравновешенное множество является абсолютно выпуклым.

Абсолютно выпуклой оболочкой IV множества VС.Е называется наименьшее абсолютно выпуклое множество, содержащее множество V. Легко видеть, что для любого множества V абсолютно выпуклая оболочка существует и состоит из всевозможных конечных линейных комбинаций 2 °А- где ek^V и Si йй1 1- Можно показать, что если (У |аГЛ — произвольное семейство абсолютно выпуклых подмножеств пространства Е, то абсолютно выпуклая оболочка их объединения ^JVa совпадает с множеством всех линей- а^А

ных комбинаций ^ ааеа, где ea£Va, 2l°a|^l> причем йа¥=0 ' а^Ла^А

лишь для конечного числа индексов. Эта абсолютно выпуклая оболочка иногда обозначается символом Г0Уа (не следует путать ее с абсолютно выпуклой оболочкой множества Va, обозначаемой ГУ0 и совпадающей в рассматриваемом случае с самим множеством Va в силу абсолютной выпуклости последнего).

Хотя многие проблемы анализа приводят к рассмотрениям в нормированных пространствах, все же класс банаховых пространств не охватывает некоторых фактов даже элементарного анализа.

Рассмотрим, например, понятие почти равномерной сходи- мости1) последовательности функций {фп(-)}”=р заданных на локально компактном, но не компактном пространстве. (Напомним, что пространство X называется локально компактным, если каждая точка х £ X обладает компактной окрестностью. Например, пространство EN локально компактно, но не компактно.) Последовательность {фя(-)}Х1 называется почти равномерно сходящейся на пространстве X, если опа сходится равномерно на каждом компактном множестве КсХ. Каждому компактному пэдмножеству Кс.Х мы можем поставить в соответствие полунорму рк в пространстве непрерывных функций С (X) (употребляется также термин „псевдонорма"):

С(Х)оф-> рк(ф) = sup|(p(x)|. (5.1)

Функция рк действительно является полунормой, т. е. она неотрицательна и удовлетворяет условиям 2° и 3° § 1 гл. I:

2° Pk^-V^CPk^W PkW- и> v^X,

3° Рк (аи) = Iа I Рк W- ° Е с-

но она не является нормой, так как равенство рк(ф) = 0 может иметь место также в случае, когда ср ф 0: существуют непрерывные функции, равные нулю на множестве К, но не равные нулю тождественно.

Метризуемые линейные пространства составляют весьма обширный класс линейных топологических пространств. Однако, с одной стороны, этот класс является недостаточно общим, ибо не охватывает пространств, встречающихся, например, в теории обобщенных функций, а с другой — этот класс является слишком широким, ибо допускает некоторые патологические явления: существуют линейные метрические пространства, на которых каждый линейный непрерывный функционал равен тождественно нулю. Эти соображения привели в 1935 г. С. Мазура и независимо от него Дж. фон Неймана к понятию векторного локально выпуклого пространства. Приведем здесь два экви-

валентных определения. Первое исходит из понятия полунормы, а второе — из понятия выпуклого множества.

Определение 1. Векторное топологическое пространство Ф над полем комплексных чисел С1 называется локально выпуклым

Л £ ЛЛ £ Лпространством, если существует семейство полунорм ^рл(.^ заданных на Ф и удовлетворяющих следующим условиям:

Л £ Л

Л £ Л

если рк (ф) = 0 для всех 7-Е А, то ф — 0;

множества вида

[ф Е Ф : р^(ф) < ер^(ф)<е],

где Xi, ..., Хх пробегает всевозможные конечные системы индексов из множества Л, а е > 0, образуют базис открытых окрестностей нуля.

Заметим, что каждая полунорма определяет некото рую абсолютно выпуклую окрестность нуля (индикатрису полунормы)'.

1/х = (фЕФ: Рх(ф)< Ц- Действительно, если

Ф1- ^Uv laH IPX1- то «Ф1 + РФ2^^х-<5-2)

Окрестности U>, являются поглош,аюш,ими множествами; это означает, что для каждого элемента ф£Ф существует такое натуральное число п, что

(5.3)(5.3)фЕ nUk.

(5.3)

(5.3)

Располагая понятиями выпуклых и поглощающих множеств, можно сформулировать второе определение.

Определение 2. Если в векторном пространстве Ф (над полем С1) выделен класс {^AJ^a абсолютно выпуклых [т. е. удовлетворяющих условию (5.2)] и поглощающих [т. е. удовлетворяющих условию (5.3)] множеств, причем

если 1А.ЕХ}. то рС^ЕХ!- Р > 0;(5.4)

(5.5)(5.6)(5.5)(5.6)если иа,и^№ то [7аП^6{^} и, наконец,

(5.5)

(5.6)

(5.5)

(5.6)

П^=1°ь

кед

то векторное пространство Ф становится локально выпуклым, если семейство {t/x} принять за базис окрестностей нуля. Окрестности произвольной точки фЕФ имеют вид ф + <7л, ХЕ Л.

Замечание. В этом определении требование абсолютной выпуклости множеств U,. можно заменить требованием их выпуклости, именно можно показать, что если система выпуклых поглощающих множеств {^7/.} удовлетворяет условиям (5.4) — (5.6), то существует система абсолютно выпуклых поглощающих множеств {fV^}, удовлетворяющая условиям (5.4) — (5.6) и задающая в пространстве Е ту же топологию, что и система {А.}-

Как мы видели, пространство, локально выпуклое в смысле определения 1, является также локально выпуклым в смысле определения 2. Для доказательства эквивалентности обоих определений заметим, что каждому абсолютно выпуклому множеству U\ можно следующим образом поставить в соответствие полунорму *):

р? (ф) — inf а, а > О, aU^ Эф-

Из абсолютной выпуклости множества Ux вытекает выпуклость функции р?:

А(Ф1 + Ф2)< Рл(Ф1) +А(%)'

а также ее абсолютная однородность

PKW = \а\р) (ф), а С С1.

Из условия (5.6) вытекает условие а), которое гарантирует, что множество Ф с так введенной топологией является отделимым (хаусдорфовым) топологическим пространством.

Полунормы будем иногда обозначать символом || • ||г Если для определения топологии достаточно воспользоваться счетной системой полунорм {рИ^р то локально выпуклое пространство оказывается метризуемым, а именно справедлива следующая важная теорема.

Теорема 1. Для того чтобы локально выпуклое пространство Ф было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы его топология задавалась счетным числом полунорм.

Доказательство. Докажем достаточность условия. Положим

6(ф) — 2i 21 + ||ф|| ’ d(cP1’ ф2) = 6(Ф1 — Фг)'

') Так называемый „функционал Минковского*, соответствующий выпуклому множеству Uk,—Прим. ред.

Легко видеть, что функция d(- , ■) удовлетворяет аксиомам расстояния в метрическом пространстве, и нужно лишь проверить, что так введенное расстояние согласовано с исходной топологией, т. е. что шары К (О, е) °—' {ср £ Ф : 6 (ср) < е} образуют базис окрестностей п

нуля в пространстве Ф. Пусть ^ = QQft^A- Qk > 0, где Uк = 6=1

= (х ^Ф : || х ||ft < 1}. Имеем U = (ср С Ф : || Ф_||й < Qk. к = 1я}.

Выберем число е > Отак, чтобы 2 6Qft(l+Q6) 1 > е при А = 1п. Если ф £ К(0, е), т. е. д(ф) < е, то, очевидно, 2”fe [] ф ||ft (1 + ||ср||й)-1 < <е< 2"6Qft(l+Q6)”1, откуда l|q>|]ft <* = 1, ... п. Следо

вательно, ф £ U, и мы доказали, что существует число е > 0, для которого /<(0, е)с[7.

Обратно, каждый шар К (0, е) содержит некоторое множество U. Действительно, если ф £ U, то

6 (ф) < ^ 6 = 16 (ф) < ^ 6 = 1^QkA- 2 2"*A = « + l^QkA- 2 2"*A = « + l. 1, 1<2- max Qfc+^nz1<&<п z. 1, 1<2- max Qfc+^nz1<&<п z< e,< e,

6 (ф) < ^ 6 = 1

6 (ф) < ^ 6 = 1

^QkA- 2 2"*

A = « + l

^QkA- 2 2"*

A = « + l

. 1, 1

<2- max Qfc+^nz1<&<п z

. 1, 1

<2- max Qfc+^nz1<&<п z

< e,

< e,

если 2 ” < e/2 и max Qk < e.

Необходимость условия вытекает непосредственно из замечания О том, что метрическое пространство обладает счетным базисом окрестностей нуля.

Замечание. Две системы полунорм (рД^л и (Лц) ?м назы* ваются эквивалентными, если они определяют одинаковые топологии, т. е. если для каждой полунормы рх существует такая полунорма р , что рх (ф) <; ^Рр/ф) Для всех ф 6 Ф, и, наоборот, для каждой полунормы р^ существует такая полунорма рр, что pv (ф) С dvppp (ф) для всех ф £ Ф. Имеет место следующее полезное предложение.

Теорема 2. В каждом локально выпуклом метризуемом пространстве существует неубывающая последовательность полунорм, эквивалентная исходной.

Доказательство. Пусть (Ре}”=1— исходная последовательность полунорм. Положим

Рп (ф)°— тах (Р1(ф)Р«(ф)}-

Тогда (р^^Д является неубывающей последовательностью полунорм, эквивалентной исходной.

5 К. Морен■■

Приведем полезную иллюстрацию этой теоремы. Пусть QxC.EN — ограниченная область. В множестве Cq'(Q.v) функций, бесконечно дифференцируемых и обладающих компактными носителями в области ttN, введем топологию Шварца с помощью следующих норм:

1<Р1т °— SUP I^Wl-

Так топологизированное множество Со° (йд-) обозначают символом 3 (ЙМУ Нетрудно заметить, что

iTtoK/l^^ml^ <5-7>

Од, 1 N

Обозначим теперь символом ||ф|| норму

11ф11»0^ f ^ 1°“фм1^’<5-8)

^ I а ] < ^

Фб^^).

Ввиду неравенства (5.7) заключаем, что имеет место следующее важное для применений предложение.

В пространстве ЕЬ (QN), где область Qw ограничена, неубывающая последовательность норм || • ||й эквивалентна последовательности норм | • U1).

Вернемся к общим векторным топологическим пространствам. Последовательность (ф„)сФ называется фундаментальной, если для каждой окрестности нуля U существует такое число N = N ((7), что фт — фп€^ ПРИ п>т> N.

Определение. Векторное топологическое пространство Ф называется счетно-полным, если всякая фундаментальная последовательность сходится в пространстве Ф.

Замечание. В векторных топологических пространствах вводится еще более жесткое понятие полноты. Например, требуют, чтобы каждая обобщенная фундаментальная последовательность (фа) £ , где А — произвольная направленная система индексов, имела предел. Однако в случае метризуемых пространств эти понятия полноты оказываются эквивалентными.

Следующее определение выделяет весьма важный класс линейных топологических пространств.

Определение. Векторное топологическое пространство называется пространством Фреше, или F-пространством, если оно локально выпукло, метризуемо и полно.

В теории векторных топологических пространств важную роль играет понятие ограниченного множества. В нормированном пространстве множество В называется ограниченным, если существует такое натуральное число п, что

||ф||<п для всех ср^В.

Другими словами ограниченные множества можно определить как множества, поглощаемые единичным шаром. Таким образом, в нормированном пространстве шары являются одновременно окрестностями и ограниченными множествами.

В пространствах, в которых топология определяется посредством более чем одной нормы, возникает другая ситуация: фиксированная окрестность нуля не поглощает, вообще говоря, все другие окрестности пуля.

Определение. Множество ВсФ называется ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью нуля (т. е. если для каждой окрестности пуля U существует такое число п = п ([/), что BcnU).

Следующая теорема дает характеристику ограниченных множеств.

Теорема 3. Для того чтобы множество В было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности (уДссВ и каждой последовательности чисел ^, 1п-*й, имело место соотношение #„ф„->0.

Несложное доказательство оставляем читателю1).

Возникает вопрос о том, в каких локально выпуклых пространствах существуют ограниченные окрестности нуля. Ответ содержится в следующем предложении.

Теорема 4. Для локально выпуклого пространства В следующие утверждения равносильны’.

1°. В В существует ограниченная окрестность нуля.

2°. Пространство В нормируемо, т. е. в нем можно ввести норму, порождающую в В топологию, совпадающую с исходной.

Замечание. Очевидно, что для нормируемости пространства необходимо, чтобы оно было локально выпуклым. Поэтому эта теорема содержит в себе необходимое и достаточное условие нормируемости векторного топологического пространства.

Доказательство. Очевидно, что из 2° следует 1°. Покажем обратное. Не ограничивая общности, можно "считать, что ограниченная окрестность нуля, о которой идет речь в теореме, является абсолютно выпуклой. Ей соответствует полунорма || • ||0. Докажем, что полунорма || • ||0 является фактически нормой, т. е. что || Ф ||0 > О, если ф ^ 0. Рассмотрим какую-либо полунорму ра, для которой ри(ф)>0. Множество i70 — (ф : || Ф Цо < 1), как ограниченное, поглощается множеством Un = ^р : ра(ф) < 1), т. е. nUaTiU0 для некоторого числа п. Рассмотрим число т, для которого тра(ф)>1. Тогда тф^ Ua и пшр^ [70. Отсюда |] птф||0 > 1 и || ф ||0 > (пт)""1 > 0, что и требовалось доказать.

Грубо говоря, ситуация в векторных топологических пространствах такова, что ограниченные множества „малы", а окрестности нуля „велики".

Примеры ограниченных множеств

1°. Каждое конечное множество (ф,фт) является ограниченным.

2° (3°). Все компактные множества (и все множества с компактным замыканием) ограничены.

Доказательство. Рассмотрим произвольную окрестность нуля U. Не ограничивая общности, мы можем считать, что окрестность U является уравновешенной, т. е. XUczU при |Х|<^1 (ибо в каждой окрестности нуля, как легко видеть, содержится некоторая уравновешенная окрестность нуля). Каждая точка ф^Ф поглощается окрестностью U, т. е. и(ф)^Эф для некоторого числа и(ф). Если множество К компактно, то покрытие (J п (ф) U можно заменить ко-

ФСК

N

печным покрытием ^^(ф^б/о^. Пусть УИ = тах (пСф^, ..., п(фд,)). z=i

Очевидно, MUпК, и, следовательно, ограниченность множества К доказана.

4°. Объединение конечного числа ограниченных множеств является ограниченным множеством.

5°. Каждая сходящаяся последовательность (ф,-)^] является ограниченным множеством.

Для доказательства проще всего воспользоваться теоремой 3 И непрерывностью умножения на скаляры,

Важный и весьма общий класс локально выпуклых пространств составляют так называемые борнологические пространства, изучавшиеся Макки.

Как нам известно, элементы базиса окрестностей поглощают ограниченные множества.

Определение. Локально выпуклое пространство, в котором каждое абсолютно выпуклое множество, поглощающее все ограниченные множества, является окрестностью нуля, называется борнологическим.

Очевидно, нормированные пространства являются борнологическими пространствами. Следующее предложение содержит характеристику борнологических пространств.

Теорема 5. Для того чтобы локально выпуклое пространство Ф было борнологическим, необходимо и достаточно, чтобы каждая полунорма, ограниченная на каждом ограниченном множестве, была непрерывной.

Доказательство. Сначала докажем необходимость условии. Пусть р — полунорма, ограниченная на каждом ограниченном множестве ВсФ. Пусть U — индикатриса полунормы р ; U°= (ср^Ф : р(.<р") < 1}. Если М = sup р(ф), то Вс(М + l)t7.

ф$В

Таким образом, множество U поглощает каждое ограниченное множество В. Следовательно, множество U является окрестностью нуля (см. определение борнологического пространства). Поэтому полунорма р непрерывна в точке нуль, а значит, и в каждой точке.

Докажем теперь достаточность условия. Пусть V — абсолютно выпуклое множество, поглощающее каждое ограниченное множество В: BcznV, п = п^В\ Пусть pv -г- полунорма, определяемая множеством V. Полунорма pv ограничена на множестве В, ибо каждый элемент множества В имеет вид ср = по, v £ V, а поэтому

pv№ = Pv^^npyW <п • 1 =п.

По условию полунорма pv является непрерывной. Следовательно, множество V как индикатриса непрерывной полунормы является окрестностью нуля, и теорема доказана.

Теорема 6. Локально выпуклые метризуемые пространства являются борнологическими пространствами.

Доказательство. Пусть U — абсолютно выпуклое множество, поглощающее все ограниченные множества. Предположим, что U не является окрестностью нуля. Тогда существует такая последовательность (ф„), что [7^ф„->0. Очевидно, можно найти такую числовую последовательность (fs), что 0 <^-> х) и ^фя->0. Мно-

жество (tn4>n\ как всякая сходящаяся последовательность, является ограниченным. Поэтому существует такое число р > 0, что U^pt^n при п — 1, 2, ... . Однако для достаточно больших п ptn > 1. В силу абсолютной выпуклости множества U имеем ф„ = (р/п)-1 (рУфп С U. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы.

Линейные отображения локально выпуклых пространств. Дальнейшие свойства борнологических пространств

и /-пространства

В этом и в следующих параграфах мы будем рассматривать лишь линейные отображения, заданные на всем векторном пространстве Ф и принимающие значения в векторном пространстве F. Такие отображения А мы будем более подробно обозначать символом А : Ф—>F.

Отображение А называется ограниченным, если оно отображает каждое ограниченное множество в ограниченное множество. Очевидно, каждое непрерывное отображение является ограниченным, однако обратное, вообще говоря, неверно. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. (Макки). Для того чтобы локально выпуклое пространство Ф было борнологическим, необходимо и достаточно, чтобы каждое линейное ограниченное отображение пространства Ф в любое локально выпуклое пространство F было непрерывным.

Доказательство. Докажем сначала необходимость условия. Пусть А : Ф->р—ограниченное отображение. Пусть Vo—произвольная абсолютно выпуклая окрестность нуля в пространстве F, и пусть U == Д-1^). Докажем, что множество U поглощает каждое ограниченное множество ВсФ. Множество А (В) ограничено в F, и поэтому nVQZDA(B) для некоторого числа п. Следовательно, Вс Д-1(Д(В))спА~1 (Vo) = nU, т. е. абсолютно выпуклое (как прообраз абсолютно выпуклого множества Vo) множество U поглощает каждое ограниченное множество борнологического пространства Ф. Таким образом, множество U является окрестностью нуля и, значит, отображение А непрерывно.

Прежде чем доказывать достаточность условия, сделаем следующее замечание. Каждое локально выпуклое пространство Ф можно превратить в борнологическое пространство Ф(В), усиливая (обогащая) исходную топологию присоединением к базису окрестностей нуля всех абсолютно выпуклых множеств, поглощающих каждое ограниченное (в исходной топологии) множество. Очевидно, Ф(В) — борнологическое пространство, имеющее те же ограниченные множества, что и пространство Ф,

Докажем теперь достаточность условия. Обозначим через Д вложение Ф->Ф(В), т. е. оператор, сопоставляющий вектору ф, рассматриваемому как элемент пространства Ф, этот же самый вектор ф, рассматриваемый как элемент пространства Ф(В). Отображение Д : Ф—>Ф(В), будучи ограниченным, по условию теоремы непрерывно. Следовательно, топология пространства Ф (В) слабее (беднее открытыми множествами) топологии пространства Ф. Но так как по построению топология в Ф(В) сильнее топологии Ф (ибо она получается из топологии пространства Ф расширением запаса открытых множеств), то обе топологии совпадают, т. е. Ф = Ф(В) как линейные топологические пространства. Таким образом, Ф является борнологическим пространством и теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает следующее важное для приложений утверждение.

Теорема 2. Пусть Ф — борнологическое, a F — локально выпуклое пространство. Для того чтобы отображение Д :Ф->В было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы Дфл->0, если ф„- > 0 ).

Доказательство. Необходимость условия очевидна, ибо непрерывное отображение произвольного топологического пространства преобразует сходящиеся последовательности в сходящиеся. Мы утверждаем, однако, что в борнологических пространствах для линейных отображений имеет место обратное утверждение. Нам достаточно доказать, что отображение Д, обладающее тем свойством, что Дфл—>0 при фл—>0, является ограниченным. Пусть [/сФ— ограниченное множество. Рассмотрим произвольную последовательность (/л)сД ([/), /„ = Дфл, фл £ U. Если tn -> 0, то, согласно теореме 3 § 5, имеем £лфя —> 0, а поэтому tnfn = Д^ЛФ„ —> 0. Так как (/„)— произвольная последовательность элементов множества Д ([/), то в соответствии с указанной теоремой это множество ограничено.

Пусть Ф и F — произвольные векторные топологические пространства. Обозначим через ^(Ф, F) множество линейных непрерывных отображений Ф-> F. В множестве ^(Ф, F) вводят топологию следующим образом. Пусть S — некоторое семейство ограниченных в пространстве Ф множеств Ва, такое, что Ф= (J Ва. Обозначим

символом S (Ф, F; S) векторное пространство ^(Ф, F), наделенное топологией равномерной сходимости на каждом множестве В £ S.

Можно доказать (см. Бурбаки [2]), что S (Ф, Г; S) является хаусдорфовым пространством. Если пространство F локально выпукло, то локально выпукло и пространство ^(Ф, F; S). Наиболее важными для приложений являются следующие три топологии.

1°. S — семейство конечных множеств (т. е. множеств, состоящих из конечного числа элементов). Соответствующая топология будет топологией сходимости в каждой точке. Например, если F =С\ т. е. S (Ф, F) — Ф, где Ф* — пространство, сопряженное с пространством Ф (Ф*—пространство линейных непрерывных функционалов, заданных на пространстве Ф), то топология S^> С1; S) является слабой топологией в пространстве Ф*.

2°. S — семейство компактных множеств; соответствующая топология называется топологией компактной (иначе, почта равномерной) сходимости.

3°. S — семейство всех ограниченных множеств пространства Ф. Соответствующая топология называется равномерной (ограниченной). Если F — Cv, то мы имеем дело с сильной топологией в пространстве Ф*.

Каждая из этих топологий сильнее предыдущей. Вообще ясно, что если S и S' — две системы ограниченных множеств в Ф, причем ScS', то топология, порождаемая в .^(Ф, F) системой S', сильнее топологии, порождаемой семейством S.•

Пусть S = |Ва)—какая-нибудь система ограниченных множеств в Ф /как всегда, предполагаем, что (J Ва = Ф\, F — локально выпуклое пространство, a {р^}—семейство полунорм, определяющее топологию в F. Тогда ясно, что топология в пространстве S (Ф, F; S) может быть задана семейством полунорм

РВа р (л) = sup р» Иф). ^ € s. а с S (Ф, F).

аФ € Ва к

В частности, если Ф и F — нормированные пространства, то соотношение

МН °— sup ||Лф||

11ф11<1

определяет норму в пространстве S (Ф, F) и одновременно топологию равномерной сходимости.

Определение. Множество Н с S (Ф, F) называется

равностепенно непрерывным1), если для каждой окрестности нуля У0 с F существует такая окрестность нуля Uo с Ф, что Л£70 с Уо для каждого отображения А £ Н;

точечно ограниченным, если для каждого элемента ф^Ф множество /7(ф) — {Лф: А^Н\ ограничено).

Возникает вопрос о том, для каких пространств понятия (а) и (б) совпадают. Это имеет место для так называемых ^-пространств (тоннельных пространств в терминологии Бурбаки).

Определение. Бочкой в локально выпуклом пространстве называется замкнутое абсолютно выпуклое поглощающее множество. Локально выпуклое пространство Ф называется t-пространством, если каждая бочка в Ф является окрестностью нуля).

Теорема 3 (Бурбаки). Если Ф является t-пространством, a F — локально выпуклое пространство, то каждое точечно ограниченное множество //^.^(Ф, F) является равностепенно непрерывным.

Доказательство. Рассмотрим произвольную абсолютно выпуклую замкнутую окрестность нуля VaF и положим U = Q А-1У.

а е я

Докажем, что множество U является бочкой. Для этого достаточно проверить, что множество U является поглощающим. Пусть Ф^Ф. Так как множество //(ф) ограничено, то существует такое число р, О < р < 1, что Н(рф) = pH(ф) с: У. Поэтому рф £ А~ХН(рф) с А-ХУ для каждого А^Н, т. е. рф^^. Итак, множество U является бочкой в ^-пространстве Ф, а поэтому окрестностью нуля. В силу самого определения множества U имеем включение AUczV для всех А £ Н, что и требовалось доказать.

Оказывается, что знаменитая теорема Банаха—Штейн- гауза (доказанная Банахом и Штейнгаузом в 1927 г. для нормированных пространств) может быть обобщена на случай ^-пространств.

Теорема 4 (Бурбаки). Пусть дано t-пространство Ф и локально выпуклое пространство F. Если последовательность (Д„)^ .с^Ф, F) сходится в каждой точке ф^Ф, то Дф ^‘ИшДяф является линейным непрерывным отображением Ф->Е.

Доказательство. Линейность отображения А очевидна, а поэтому достаточно доказать его непрерывность. Так как последовательность Н = (Д„)“=1 является точечно ограниченным множеством

(последовательность (Л„ф) сходится для каждого ф, а поэтому для каждого ф она ограничена), то в соответствии с теоремой 3 это множество равностепенно непрерывно. Следовательно, для каждой замкнутой окрестности нуля Vo с F существует такая окрестность нуля UQ с: Ф, что AnUg с Vo при п = 1, 2Переходя к пределу при п—>оо в соотношении Л„ф£У0 и принимая во внимание замкнутость множества Vg, получаем Лф £ VQ для каждой точки ф £ Ug, т. е. AUg с Vg, что и требовалось доказать.

Имеет место следующее интересное предложение.

Теорема 5. Локально выпуклое пространство второй категории является t-пространством.

Следствие. F-пространства (т. е. полные метризуемые локально выпуклые пространства) являются t-пространствами.

Оказывается, что каждое счетно-полное борнологическое пространство является t-пространством (Бурбаки). Значение /-пространств объясняется именно тем, что большинство встречающихся в приложениях борнологических пространств обладает свойством счетной полноты.

Построение локально выпуклых пространств1)

Существует ряд приемов, позволяющих, исходя из данного локально выпуклого пространства, строить другие локально выпуклые пространства. Перечислим такие приемы:

1° образование подпространства;

2° образование факторпространства;

3° образование топологического произведения;

4° образование прямой суммы;.

5° образование индуктивного предела;

6° образование проективного предела.

В случае нормированных пространств все эти приемы, за исключением 1° и 2°, выводят из класса нормированных и даже из класса метризуемых пространств, однако их результатом являются всегда локально выпуклые пространства. Как мы увидим на примерах, ряд пространств, используемых в современном анализе, получается применением операции 5°.

Ниже мы дадим краткое описание приемов 1° — 5°.

1°. В качестве базиса окрестностей нуля подпространства Oj локально выпуклого пространства Ф принимают систему множеств {Ф[П^к}. гДе {[7^)—базис окрестностей нуля в пространстве Ф.

*) Изложение в этом и следующем параграфах весьма конспективно. С)м. в связи с этим Бурбаки [2]. — Прим, ред,

2°. Пусть Ф] — замкнутое подпространство локально выпуклого пространства Ф. Рассмотрим (алгебраическое) факторпространство Ф/Ф! и обозначим через I; Ф-^Ф^ каноническое отображение, сопоставляющее каждому элементу Ф £ Ф содержащий его класс /ф °— ф4~Фр В качестве базиса окрестностей нуля в множестве Ф/Ф, выберем систему множеств {Zl/x}, где {t/x}— базис окрестностей нуля в пространстве Ф.

3°. Пусть {Фа(та)}а£А—семейство векторных пространств Фа с локально выпуклой топологией та, а£Л. Топологическое произведение Ф (т) = Д Фа (^а) определяется следующим образом: эле- а^А

ментами множества Ф(т) являются системы ф = (фа^^^, где Фа£Фа. Сложение элементов и умножение на число определяется посредством соответствующих операций над „координатами"

(ф«) + (Фа) - (Фа + Фа)’ а (Фа) “ Иа)’ а 6 С1-

Топология т в Ф(т)— это обычная топология Тихонова (ср. дополнение 1): в качестве базиса открытых множеств в пространстве Ф(т) принимаются произведения 11 Va, где Va £ та, причем Уа=Фа, за исключением конечного числа значений индекса а.

4°. Прямая сумма фФа(та) строится следующим образом: а

элементами ф прямой суммы ф Фа являются опять последовательности ф = (фа) ^ Фа£Фа, но теперь лишь для конечного числа значений индекса фа =# 0. Определение алгебраических действий такое же, как в п. 3°. Пусть U^— абсолютно выпуклая окрестность нуля в пространстве Фр(тр). Обозначим через U^ множество всех элементов ф = (фп) ^, для которых фа = 0 при а =£ р, а ф^ U^. Затем образуем абсолютно выпуклую оболочку Га^а1). т. е. множество всех конечных линейных комбинаций вида Sam,

Оц^С1, Slaa|^l- Множества Гаиа составляют, по определению, базис окрестностей нуля в пространстве фФа(та)-

5°. Обобщением тивного предела, наряду с локально пространство Ф и5°. Обобщением тивного предела, наряду с локально пространство Ф иа

5°. Обобщением тивного предела, наряду с локально пространство Ф и

5°. Обобщением тивного предела, наряду с локально пространство Ф и

понятия прямой суммы служит понятие индук- обозначаемого символом lim ind Фа(То). Пусть выпуклыми пространствами Фа дано векторное линейные отображения Ла: Фа—>Ф, причем

множество {Ла(Фа), а^Л} алгебраически порождает пространство Ф. Рассмотрим в пространстве Ф самую сильную локально выпуклую

*) См. § 5 настоящей главы. — Прим, ред.

топологию т, при которой все отображения Ла: Фа (та) -> Ф (т) остаются еще непрерывными: базис окрестностей нуля такой топологии в пространстве Ф образуют абсолютно выпуклые оболочки ГаЛа([7а), где множества Ua пробегают базис абсолютно выпуклых окрестностей нуля в пространстве Фа, а £ А

Если построенная таким образом топология удовлетворяет условию Хаусдорфа, то пространство Ф(т) называется индуктивным пределом пространства Фа(та), а топология т—индуктивным пределом топологий та.

Замечание. Обычно во встречающихся на практике случаях подпространства Фа являются линейными подмножествами пространства Ф, а отображения Ла: Фа->Ф являются вложениями Za: Фа->Ф, т. е. тождественными отображениями. Топология Т в Ф—индуктивный предел топологий та—индуцирует на множестве Фа топологию более слабую, чем та: базисом окрестностей нуля в топологии т являются такие абсолютно выпуклые поглощающие множества V, что пересечение V П Фа является окрестностью нуля в пространстве Фа.

Ввиду того что обычно в векторном пространстве Ф существует некоторая хаусдорфова топология т0 с: т, индуктивный предел оказывается пространством Хаусдорфа. (Прямая сумма @Фа(та) действи

тельно является частным случаем индуктивного предела: в качестве А^ следует взять отображение А^: (фа) ^д->(0Фр, •••)■)

В теории обобщенных функций особенно важную роль играет

следующий частный случай понятия индуктивного предела.

Точным1") индуктивным пределом называется индуктивный предел счетной последовательности выпуклых пространств Ф„(тл), п = 1, 2, ..., если

Г Фт сФл и тт с: тл при т < п\

2° топология, индуцированная топологией тл на пространстве Фт, совпадает с топологией тт: т„ П Фт = тт, т < п.

Если предположить дополнительно, что

3° множество Фт замкнуто в пространстве Ф„(тл) при т < п.

то имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 (Дьедонне — Шварц). Для того чтобы множество ВсФ(т) было ограничено, необходимо и достаточно, чтобы Ва^п для некоторого значения п и чтобы множество В было ограничено в топологии тп.

Замечание. В теории гильбертовых пространств вводится понятие ортогональной суммы Н=^ На, где На— гильбертово про- а£А

*) Или строгим. — Прим. ред.

странство со скалярным произведением (• , •) . Это понятие отличается от понятия прямой суммы локально выпуклых пространств, а именно множество Н отождествляется с подмножеством произведения JJ На, образованным теми последовательностями А =(Аа)аел, htt^Ha, для которых 2(^а, АаТ < со. Множество Н становится а^А

унитарным пространством, если ввести в нем скалярное произведение

(А, к) °— 2(^а, Аа) , А = (Аа), А = (Аа). а

Непосредственно из определения индуктивного предела вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть Ф(т) = lim Ind Фх (гх), и пусть F— локально выпуклое пространство. Для того чтобы линейное отображение Л: Ф—>F было непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы оператор А • Лх был непрерывным на пространстве Фх(Тх) при каждом Х^ X. (Если Фд с Ф и А\=1х, то условием непрерывности отображения А является непрерывность в смысле топологии Тх сужения этого отображения на подпространство Фх.)

Доказательство. Необходимость условия очевидна. Предположим, что для всех Х^Х отображение Л • Лд: Фх(тх)-*/7 является непрерывным и что V — произвольная абсолютно выпуклая окрестность нуля в пространстве F. Тогда для каждого X £ X множество Лх^Л-1^)) является окрестностью нуля в пространстве Фх(Тх). Так как Л-1 (У) является поглощающим абсолютно выпуклым множеством, то оно является окрестностью нуля в топологии т, что и требовалось доказать.

Предлагаем читателю доказать следующее интересное предложение.

Теорема 3. Если Фи(ти)сФ — метризуемые локально выпуклые пространства, то пространство Ф(т) = limiпdФa(тa) является борнологическим пространством.

Как нам известно (теорема 6 § 5), метризуемое локально выпуклое пространство является борнологическим. Поэтому теорему 3 можно рассматривать как частный случай следующей более общей теоремы.

Теорема 4. Индуктивный предел борнологических пространств является борнологическим пространством.

Примеры локально выпуклых пространств

В этом параграфе мы приведем некоторые примеры весьма часто встречающихся в анализе пространств. Другие интересные примеры читатель найдет в монографии И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [3]. Индуктивные пределы гильбертовых пространств играют важную роль в теории операторов в частных производных.

1°. Пространство J? (£2jV) определяется как индуктивный предел пространств Фп — З^Кп\ где (/<"„)— возрастающая последовательность предкомпактных') множеств, исчерпывающих множество O.N, KtcK2c: ... cz Qjy. Как нам известно, пространство РВ^К^ является /■■-пространством, а поэтому ,^(£2Л.) является борнологическим пространством. Можно доказать, что ,^(£2Л.) счетно-полное, а поэтому является /-пространством. Ограниченное множество Вс-З!^^) принадлежит некоторому пространству ЗЬ (/<"„), т. е. носители функций Ф^В содержатся в (фиксированном) компактном множестве Кп (в замыкании множества К^, причем для всех ф^В выполняются неравенства | (^аф)(х)| ^ С1а|, где постоянные С,а| зависят от множества В.

Последовательность (ф„) с: 36 (£2^ стремится к нулю при л->оо, если

ф„ с: К, где К dO.N— компактное множество,

В“ф„ -й-»^ 0 равномерно при х^К для |а| = 0, 1, 2

Пространство 36' (£2^), сопряженное с пространством ^(Q^), т. е. пространство 3 ХЭБ (£2^), С1) линейных непрерывных функционалов с топологией равномерной сходимости, называется пространством распределений Шварца, или пространством обобщенных функций.

Ввиду того что пространство <£^(£2^) является борнологическим, для того чтобы линейное отображение Т‘. 35 (Е!^ —>р, где F—локально выпуклое пространство, было непрерывным, в частности для того, чтобы Т ^ЗУ (Qjy), достаточно, чтобы Тф„—>0 при ф„—>0.

2°. Пространство & (£2^) является естественной областью применения дифференциальных операторов с постоянными (или бесконечно дифференцируемыми) коэффициентами.

Элементами пространства S(£2jV) служат функции, бесконечно дифференцируемые в области £2^ (с произвольными носителями); базис окрестностей нуля образуют множества

U (Кп\ т; е) °= Г ф £ С°° (£2^: sup | Ваф (х) | < е, | а |< mIх<Кп

*) Множество в метрическом пространстве называется предкомпакт- ным, если его пополнение (как метрического пространства) компактно. Если объемлющее пространство полно, то понятие предкомпактного множества совпадает с понятием относительно компактного множества (т. е. такого множества, замыкание которого компактно). — Прим. ред.

где Кп — возрастающая последовательность предкомпактных подмножеств множества йд,, исчерпывающих Qv. Топологическая структура пространства §(ПЛ.) проще, чем у пространства 3? (Цу): пространство §(Цу) является /■'-пространством, a 3)(Цу)— индуктивным пределом /^-пространств.

Ограниченные множества в пространстве t (Цу) имеют вид j Ф С § (qn): sup | /)“ф (х) | < Ст (К), | а К m I.

Сопряженное пространство Ь'^м^ состоит из обобщенных функций (распределений) с компактным носителем-, носителем Т обобщенной функции Т^ЗА^х) называется дополнение максимального открытого множества, на котором функция Т равна нулю. При этом обобщенная функция Т равна нулю на множестве со с £2^, если Г (ф) —' (ф, Т) = 0 для каждой функции ф £ 3? (со), продолженной нулем вне со. Очевидно, S' (Qw) с: ЗУ (Q^), ибо ЗЦЦу) с & (Цу).

Например, носитель дельта-функции Дирака д0: (ф, бо)==ф(О) состоит из одной точки нуль, ибо (ф, до) = О для каждой функции ф, носитель которой не содержит точки нуль.

В так называемой элементарной теории обобщенных функций в пространствах основных функций 3? и S топологию не вводят и определяют лишь понятие последовательностей, стремящихся к нулю, а также понятие непрерывности линейного функционала с помощью условия: „Т(фл)->0, если фл-»0“. Так как пространства основных функций являются борнологическими (относительно пространства § см. теорему 6 § 5), то эти определения вполне корректны и для определенных целей достаточны. Очевидно, однако, что при более глубоком исследовании строения пространств обобщенных функций нужна надлежащая топология. Ряд затруднений в теории обобщенных функций связан с тем, что эти топологии не метризуемы.

3°. Пространство У — пространство быстро убывающих функций. Для того чтобы можно было перенести па обобщенные функции теорию преобразования Фурье1), вводят множество ^ cC"'(EN) бесконечно дифференцируемых на пространстве EN функций ф, для которых выражения хт/)“ф (х) —'х™1 ... х™«Х X—д—<р (х)ограничены для всех а и tn, I а | = а, + ... + ал^> О,

дхх 1 ... дхпп

| m | = mx -|- ... + mn > 0.

Топология в пространстве 5* определяется посредством счетной системы полунорм р (ф) = sup (1 +1 х I1 ™') • | ^“ф (*) I • ’х^Е

■) И не только для этих целей. С другой стороны, преобразование Фурье Можно строить и на более широком классе пространств.—Прим, ред.

Следовательно, пространство У* — локально выпуклое метризуемое пространство; кроме того, ^ полно, т. е. является Г-пространством. Примерами элементов пространства 3* являются:

а) функции /^С^(£л), б) е-сХхХ\ с > 0.

Причина введения пространства & состоит в следующем. Преобразование Фурье

ф -> Ар (X) = ф (X) = ^ е~2я1 ис- х,ф (х) dx,eN

(а X) = х^ + ... xNXN

играет важную роль в теории дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, так как оно переводит дифференцирование в умножение на независимую переменную. Поэтому действию дифференциального оператора с постоянными коэффициентами после преобразования Фурье соответствует умножение на многочлен. Целесообразно ввести по возможности обширный класс К. удовлетворяющий следующим условиям:

КсС”(Е»),

если f^K и Р— произвольный многочлен, то Pf^K\

К с D (EN\

Именно таким классом является пространство <5".

Предлагаем читателю доказать следующее простое, но важное предложение.

Теорема 1. Если ф^^, то также ф^^.

. Пространство ^^(йдг)0— lim ind Нт (Кп\ Здесь Нт (fQ озна-

Кп

чает пополнение пространства Cq (Кп) по норме ||ф||т = = ( 2 JI ^“ф I2 j '^ • множества К„ предкомпактны и Kn/'Qjs,.

\|a|<m Кп/

Очевидно, 36 т (й^) => 2т (йдг), где

• 2Ь m^N^ ^ Нт ind 3 т (Кя), Кп ^/ й^-.

Элементы пространства (^„(й^))' называются обобщенными функциями порядка т. Очевидно,

36 _т ^N) = <36 т (Й„))' с 3)’ (Й^).

Пространства 36 т и 36-т играют важную роль в современной теории уравнений в частных производных и особенно в теории разложений по собственным функциям (ср. гл. XVII).

На этом мы заканчиваем краткий обзор теории локально выпуклых Пространств. К теории обобщенных функций мы вернемся еще в § 10.

§ 9. Общая теорема о замкнутом графике

Теорема Банаха о замкнутом графике играет исключительно важную роль в теории дифференциальных операторов. Введение в теорию дифференциальных уравнений обобщенных функций вызвало потребность в обобщении теоремы о графике на широкие классы локально выпуклых пространств. Прежде чем излагать эту теорему в общности, достаточной для приложений, мы докажем, что борнологические пространства являются индуктивными пределами нормированных пространств, что даст возможность перенести классическую теорему о графике на случай счетно-полных борнологических пространств.

Теорема 1. 1°. Каждое борнологическое пространство Ф является индуктивным пределом нормированных пространств Ф-,.

2°. Если пространство Ф является счетно-полным, то Фр являются банаховыми пространствами.

Доказательство. Обозначим через В совокупность всех ограниченных, замкнутых и абсолютно выпуклых множеств р борнологического пространства Ф, топология которого определена с помощью полунорм рк, X £ Л. Каждому множеству р £ В поставим в соответствие множество

ФЭ= 1|{^:Ф6Р} •(9.1)

/>о

Очевидно, Фр— линейное подмножество пространства Ф. При ф £ Фр положим

II Ф Пр — Inf [Р > ° : Р0 Э ф} •(9-2)

Докажем, что функция Ф —> Ц Ф ]|3 является нормой в Фр. Пусть || ф ||э = 0; в соответствии с равенством (9.2) существует такая последовательность (рл), 0 .^ рд —> 0, что фЕрдР- Следовательно, рх(ф)^р sup р. (ф). Так как в силу ограниченности множества р верхняя грань здесь конечна и рп—>0, то рх(ф) = 0 для всех % £ Л, т. е. ф = 0.

Итак, мы доказали следующее предложение:

Если Ф^Фр и || ф ||р = 0 для некоторого p^S, то ф = 0. (9.3)

Однородность и выпуклость функции || • ||3 вытекают из абсолютной выпуклости множества р. При а—6 однородность тривиальна, поэтому предположим, что | а | > 0. Имеем

II «Ф Пр = inf {р > 0 : рр Э аф} = inf { Р > 0 : -^ р Э Ф } = = | а | inf {р > 0 : рр Э Ф} = | а | ■ || ф ||?,

Ц. Морен

Т. е.

I! °ф Пр = I ° I • II ф Пу для всех «ЕС1. фЕФр- (9.4)

В силу замкнутости множества р для произвольных фг ф2 6 Фр Цф/Пз РЭФ/. ^=1.2, а поэтому

Ф1 + Фг Е И Ф1 Пр Р +1| Фг Н3 Р •

Из абсолютной выпуклости множества р вытекает, что

IIФ1 lip Р + II Фг Пр Р с (|| фг ||р +1| ф2 ||?) р, откуда

Ф1+ФгЕ(||ф1|1р + 1|фг|1з)Р-.

Следовательно,

IIФ1 + Фг ||3 = inf |Р > О : рр Э Ф1 + Фг) < IIФ1 Пр + II Фг ||3-

Это соотношение вместе с соотношениями (9.3) и (9.4) показывает, что функция || • ||р является нормой.

Предположим, что пространство Ф является счетно-полным, и пусть фл, фт £ Фр. Тогда

Фл— ФтЕ||ф„ — фДР-(9-5)

Предположим далее, что ||фл— фт||р->0, п, т—>оо. Тогда

Л (%— Фт)<||Фл- Ф,«||р8ир^(ф)->0. п, т-^оо (9.6)

для всех Х^Л. Так как пространство Ф является счетно-полным, то из соотношения (9.6) вытекает существование такого элемента ф0 £ Ф, что рх (фл — ф0) -> 0 при п-*со для всех X £ Л. Полагая R = = зир||фл||р, имеем ф„ С ^Р ПРИ «=1> 2Поскольку 7?р— замкнутое множество (напомним, что множество р замкнуто), то Ф0Е^Р с Фр. Остается доказать, что ||фл— Фо||р-*О, п->оо. В силу соотношения (9.5) для каждого е > 0 существует такое N, что фл—фт£ер ПРИ m- п > ^- Переходя здесь к пределу при т^-оо и учитывая замкнутость множества ер, получаем включение фл—ф0£ер при n^>N. Отсюда Иш||фл — ф0|| =0, что доказывает полноту п

пространства Фр.

До настоящего момента мы не пользовались тем, что Ф — борнологическое пространство. Заметим, что пространства Ф3, Р С В. исчерпывают пространство Ф. Обозначим через т0 исходную топологию борнологического пространства Ф, а через т — топологию индуктид-

ного предела топологий1) x? пространств Фр = Ф (Тр), Р^В. Требуется доказать, что т0 = т. Пусть U — абсолютно выпуклая окрестность нуля в пространстве Ф(т): U ^т. Пусть D—произвольное ограниченное множество в Ф(т0). Положим

р °= | <р £ Ф : Рк (ф)< sup р (х), Л £ Л1 .

Ввиду того что множество D ограничено (в топологии т0), множество р (в топологии т0) ограничено, абсолютно выпукло и замкнуто, так что р£5 и D с р. Так как множество U^ —ВпФр является окрестностью нуля в пространстве Фр, то существует такое число t > 0, что /0с£7р2), а поэтому tD clU^clU.

Таким образом, множество U является окрестностью нуля в пространстве Ф(т0), ибо оно поглощает каждое ограниченное множество в пространстве Ф(т0), которое по условию борнологично. Итак, мы доказали, что т с т0. Для того чтобы доказать включение т0 с т, рассмотрим произвольную абсолютно выпуклую окрестность нуля £70£т0. Для каждого множества 0 £ В существует такое число р > О, что рР с ий, а поэтому множество Uo [) Фр является окрестностью нуля в пространстве Фр, Р^В. Следовательно, множество Во является окрестностью нуля в топологии т, т. е. т0 с: т, что и требовалось доказать.

Применяя теорему 1, а также теорему о замкнутом графике для банаховых пространств (отметим, что в § 2 теорема о замкнутом графике была доказана для любых полных метризуемых л. т. п.), без труда докажем общую теорему о замкнутом графике.

Общая теорема о замкнутом графике. Пусть Ф — борнологическое счетно-полное пространство, a F — счетный индуктивный предел пространств Фреше Bn: B = limindB„.

п

Если линейное отображение А\Ф->Е замкнуто (т. е. имеет замкнутый график), то оно непрерывно-. А^^(Ф, F).

Доказательство. Как мы только что доказали, пространствоФ можно рассматривать как индуктивный предел банаховых пространств: Ф = Пт1пйФр, Фр — банаховы пространства. В силу тео

ремы 2 § 7 достаточно доказать, что сужение Др отображения А на пространство Фр непрерывно при р £ В. Ввиду того что преобра-

’) Здесь Тр— топология в Фр, порожденная нормой {[ * Ир-— Прим. ред.

зование А отображает индуктивный предел lim ind Ф3 в индуктивный предел lim ind F„ = F, имеем Д~1 (F) = Н Д-1 (Fn) => Ф3, p^S.

В силу теоремы Бэра (см. § 1) для некоторого А множество D^ = Д-1 (Fk) Л Фр должно быть второй категории в Фр. Так как вложение I: Фр X Fk ->Ф X F непрерывно, а график О(Д) = = {(ср, Дф):ф£Ф} замкнут в пространстве $XF множество /-1(О(Д)) является замкнутым в пространстве Фр X F^. Но

Z-1 (<?(Д)) = {(ф. ДФ):Ф€^?},

а поэтому преобразование Д отображает множество второй категории, содержащееся в пространстве Фр, в пространство Фреше Fk и имеет замкнутый график. Следовательно, это отображение непрерывно преобразует все пространство Фр в пространство F^. Пусть V—окрестность в F, и пусть И* с Fh—такая окрестность нуля, что V к с. V. Из непрерывности отображения А : Фр -> Fk вытекает, что существует такая окрестность нуля U^ а Фр, что A (U^)czVkc И, т. е. отображение А : Фр—>F непрерывно, что и требовалось доказать.

Из теоремы о графике непосредственно вытекает полезное следствие, которое позволяет делать заключение о непрерывности отображения Д:Ф—>F, если известно, что А, рассматриваемое как отображение в более широкое пространство FdF, является непрерывным, причем известно также, что F = F (т) индуцирует в пространстве F = F (т) топологию более слабую, чем т.

Следствие 1. Пусть Ф и F — пространства, для кото рык имеет место теорема о графике, и пусть F(x)z>F(x), причем топология, индуцированная топологией т в пространстве F, слабее топологии т, т. е. тП^сст. Если линейное отображение А : Ф—> F (т) непрерывно и А (Ф) cz F, то непрерывно также отображение Ф->^(т).

Доказательство. Достаточно проверить, что отображение Д:Ф—>F(t) является замкнутым. Пусть (фа)— произвольная обобщенная последовательность, такая, что фа —>0 и Дфа—>/ в F (ту Из непрерывности отображения А : Ф —>F вытекает, что Дфа—>0 в F. Следовательно, / = 0, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Пусть в линейном пространстве Ф заданы две топологии—т, и т2, и пусть для пары (Ф(xj, Ф(х2)), а также для пары (Ф(т2). Ф(т,)) имеет место теорема о графике (например, эти пространства являются метризуемыми и пол-

ными л. т. пространствами или З1^-пространствами, т. е. счетными индуктивными пределами пространств Фреше). Тогда если топологии т1 и т2 сравнимы или хотя бы согласованы, то они эквивалентны *).

Доказательство. Пусть, например, топологии Т] и т2 согласованы. Рассмотрим тождественное отображение

/^Ф^а-^Ф^).

Это отображение является, очевидно, линейным и замкнутым, а поэтому непрерывным, т. е. т2 с Тр Аналогично доказывается противоположное включение; таким образом, т1 = т2.

Тензорное произведение. Теорема о ядрах

Понятие тензорного произведения векторных пространств Е и F (в конечномерном случае) было введено Грассманом. Для произвольных векторных пространств соответствующие определения были даны Бурбаки. В этой общей форме понятие тензорного произведения приобрело фундаментальное значение для современной алгебры и анализа. Для того чтобы облегчить читателю понимание, мы приведем два эквивалентных определения.

Определение 1. Пусть (е^— базис Хамеля (см. § 2 гл. II) векторного пространства Е, а (/^ — базис Хамеля векторного пространства F. Тензорным произведением E®F пространств Е и F называется векторное пространство, базис которого образуют пары (et, f^). Каждой паре векторов х = ^1L,'el^E, у = 2ч766^ мы ставим в соответствие вектор х ® у ^Е® F, х® у = 2^V(ez,A). называемый тензорным произведением векторов х и у. Элементы (ez, /й) базиса обозначаются символами et ® fk.

Очевидно, если пространства Е, F имеют конечную размерность, то dim Е® F = dimЕ • dim F. Имеют место соотношения

X 0 (у, + у2) = X 0 у, + X ® у2, (xz + х2) 0 у = хг ® у 4- х2 0 у, (Хх) 0 у = X (х 0 у).

Бурбаки приводит также эквивалентное определение тензорного произведения, не использующее понятие базиса.

') Топологии Тр т2 называются сравнимыми, если одна из них сильнее другой; они называются согласованными, если для любой обобщенной последовательности (ха) из ха — -> х, ха — -> х' вытекает, что х = х1. Сравнимые топологии являются согласованными. — Прим. ред.

Определение 2. Обозначим символом fl IF векторное пространство, элементами которого являются формальные линейные комбинации вида

2 а^у(х, у), х^Е, у^Р

(причем только конечное число коэффициентов а^^С1 не равно нулю). Линейные операции определим обычным образом. Обозначим через N подпространство пространства EQF, натянутое на векторы вида

(х, У1 + у2) —(х, у,) —(х, у2), (х! + х2, у) —(х,. у) —(х2, у),(Хх, у) — Х(х, у), (х, Ху)— Х(х, у).

Тензорное произведение Е®Р определим как факторпро- странство

E®F = (EOF)/N.

Пусть ф обозначает сужение канонического отображения О ф : EOF—>ЕХ F на декартово произведение ЕХР- Элемент ф((х, у)) обозначается через х®у. При этом декартово произведение ЕХР вкладываем в пространство EOF, отождествляя пару (х, у^ЕХЕ с линейной комбинацией 1 • (х, у^ЕОЕ.

Значение тензорного произведения для анализа состоит, в частности, в том, что оно позволяет заменить билинейное отображение

b : Е X F —> W (UP — векторное пространство) линейным отображением

l-.E®F-W,

а именно имеет место следующее простое утверждение.

Теорема 1. Существует такое билинейное отображение Ф : EX Е ->Е ® F, что для произвольного векторного пространства W и произвольного билинейного отображения b;EXF->W найдется такое линейное отображение I: Е® F->W, что 6 = /°ф.

Описанная ситуация изображается следующей диаграммой:

EXР—+ Е®F

■ Доказательство вытекает непосредственно из определения тензорного произведения. Билинейное отображение b расширяется очевидным способом до линейного отображения b: Е\ IF—> UZ. а именно

b (2 «ху (*• У)) — 2 а^Ь ((х, у)).

Из этого определения видно, что отображение b равно нулю на подпространстве N: Ь(п) = 0, если п^Ы. Таким образом, отображение b индуцирует линейное отображение I множества классов EQFjN в пространство W. В качестве отображения ф можно, очевидно, взять сужение канонического отображения Ф на декартово произведение E^F.

Примеры тензорных произведений

1°. Пусть S(F;)— векторное пространство ступенчатых функций, заданных на множестве Kf, Z=l, 2. Тензорное произведение S (КО ® S (К2) изоморфно пространству „вырожденных" ступенчатых

, функций, заданных на декартовом произведении К^ X К2, т- е- Функ

'N

ций вида 2 оп W тл (У)* где °л С 5 (^i). тл 6 5 (К2\ п= I

Пусть Hv Н2— унитарные пространства со скалярными произведениями (•, • )z, Z=l, 2. Тензорное произведение Нг®Н2 можно снабдить структурой унитарного пространства, полагая

(ы1 ® U2, У] ® ®г) == («р ®1)1 ' («2’ ‘^2)2’

,«с "У^Нь ^=1. 2.

Определение. Если Н,— гильбертовы пространства, то Нг®Н2 обозначает пополнение только что рассмотренного унитарного пространства.

Пример. Пусть Ht = /,2(р,). Z = 1, 2. Тогда L2 (щ) ® L2 (ц,2) = с-? Е1 (Ц X ^ mXl^1 где Hi ® Нг — произведение мер Цр ц2 (ср. упражнение 10 гл. I).

После этого введения переходим к теореме о ядрах.

Начиная с Дирака, физики ввели в обиход представление линейных операторов, например дифференциальных операторов, в интегральной форме. Понятно, что такое представление дифференциальных операторов было „математическим абсурдом", ибо уже в простейшем случае б0-распределения Дирака не существует такой классической функции д, что

Ф(х) = /д(х, у)ф(уИу

Для всех ^^С»^Е^.

Однако в 1950 г. Лорану Шварцу удалось в некотором смысле обосновать предположение Дирака: на математическом съезде в Гарварде Шварц высказал следующее предложение.

Теорема о ядрах (первая формулировка). Каждое линейное непрерывное отображение А : 2Ь (Й^-^З!' (йм) можно представить в интегральной форме; точнее, существует такая обобщенная функция В, заданная на множестве й^ X Ци- В С 26' (QN X ЙдД что

.(ф, Лф) = (ф х ф, S)

для всех ф^31(Й^) и ф£3$(Йж).

Более удобно доказать эту теорему в эквивалентной форме.

Теорема о ядрах (вторая формулировка). Пусть В— раздельно непрерывная (т. е. непрерывная по каждому аргументу в отдельности) билинейная форма, заданная на пространстве 31 (Й^) X 31 (й^). Существует единственное ядро В £26' (Й^Х^м). такое, что

В(ф, ф) = (фХф, В)(10.1)

для всех фЕ^(^л')' ФЕ^^щ)’ где

(Ф ® ф) (х, у) = ф (х) ф (у),х Е ^х. У Е ^м-

Доказательство своей теоремы Шварц опубликовал только через несколько лет. При этом он опирался на глубокие результаты А. Гротендика относительно ядерных пространств. Первое элементарное доказательство было найдено Л. Эренпрайсом в 1956 г.1).

Излагаемое ниже доказательство еще проще и принадлежит С. Лоясевичу.

Предварительно докажем следующее предложение.

*) Часто бывает полезным следующее утверждение, по существу являющееся основной частью теоремы о ядре: всякая непрерывная билинейная форма В (ф, ф) переменных ф Е I? k^NY Ф Е £2 (~^) представима в виде

В (Ф, ф) = J J К (х, у) (П^ф) (у) (О^ф) (х) dx dyqmbn

dN

где D N, например, равно-^т а К E С ^^^-^ (Ю. M. Березанский [1]); утверждение допускает абстрактную формулировку.—Прим. реа.

Лемма 1. Пусть Р и Q — интервалы в пространствах EN и Ем (или, общее, — компактные множества). Каждой билинейной форме В(-, •), определенной и непрерывной на пространстве D(P)XLX(Q), можно (однозначно) поставить в соответствие такой линейный функционал В, заданный на пространстве l>(PXQy что

.В(/, g) = <J®g, В\

g^L4Qy J

Доказательство. Непрерывность формы В(-, •) эквивалентна (см. § 4) существованию такой постоянной М > 0, что

|S(/. £)|<М-|1/1ЫИ|.

11/11 = J 1/tol^,|| ^ Ц = J 1 ^(y) |fi?y. <10-)

PQ

Пусть S (K) — линейное пространство ступенчатых *) функций, заданных на множестве К- Как известно, множество S (Р) X S (Q) плотно в пространстве D (Р) X К (Q). Рассмотрим сужение формы В (• , •) на пространство S (Р) X 5 (Q). В соответствии с определением тензорного произведения векторных пространств, на пространстве S (Р) 0 S (Q) существует такой линейный функционал /, что

В(/. g)=K/®g) при /£S(Py g^S(Qy

Докажем, что функционал /(•) ограничен на S(P)®S(Q) (относительно нормы в пространстве D (Р X Q))-

Легко видеть, что каждую функцию h^S(P)®S(Q) можно ' представить в виде конечной суммы

А (X, у) = 2 aih°i (^ Ч (у).(10.4)

где о, (х) тt (у)— характеристическая функция множества Р^ — «PtXQdC-PXQ. причем Р^Р, QkczQ, и Rd, f] Ri^ = 0,

’) Напомним, что ступенчатой функцией на множестве К называется функция вида / W = 2 СЛ/ М’ где X/ — характеристическая функция изме

перев.перев.римого множества Кь (JK; = К и KiOKj = 0 при i X j, a с/£С*. Напом-

перев.

перев.

если t + V или к 4= к*. Заметим, что для таких функций | h(x, у)| = = 2| ^JC/OO^ty)- поэтому

|/(A)| = |2<zZ6B(az, т©| C2|a/J • М- ||az || • ||М =

^^J f^i^i^0^ та (У)^^У =

= 7И J J | к (х, у) | dx dy = М • || h ||.

Поскольку функции вида (10.4) плотны в пространстве Lx (Р X Q). функционал I можно продолжить с S (Р) X S (Q) до непрерывного линейного функционала / на всем пространстве L1 QP^Q). Функционал / и представляет собой искомое ядро В.

Доказательство теоремы о ядрах. Пусть Pc9.N, QcO.M— компактные множества. Как известно (см. § 5), в пространстве 26 (Р) бесконечно дифференцируемых функций с носителями, содержащимися в множестве Р, последовательность полунорм

||ф||Р = У |О₽Ф(х)рх(10.5)

р

определяет топологию, эквивалентную топологии Шварца.

Ввиду того что ,3 (Р) является пространством Фреше, из теоремы Мазура — Орлича вытекает, что каждый билинейный функционал, раздельно непрерывный па пространстве 2Ь (Р) X 36 (Q). просто непрерывен. Следовательно, существуют такие числа 7И, р и q, что

|5(Ф, Ф)|<Л1||ф||р||ф||9. фЕ^Ф). НШ (Ю.б)

Пусть теперь Ро — замкнутое множество, лежащее строго внутри Р, a Qo — замкнутое множество, лежащее строго внутри Q, и пусть а£С?(Ру a(x)=l при х£Р0, ^^C^(Q), р (у) = 1 при yEQ0. Положим /хру»\

50(ф, Ф)°— В ^a (х) J ф©^, р(у) J ф(т])б?Г|^,(10.7)

хр

причем J" ф © d£ обозначает р-ю первообразную функции q>: хр

Dx J ф©^ = ф(х).

Очевидно, форма Во является раздельно непрерывной по норме L1 [см. соотношения (10.5) — (10.7)], а поэтому (после расширения на все пространство L1) удовлетворяет условиям леммы. Таким образом, существует линейный функционал Во, непрерывный на простран-

стве Lx (Р X Q), а поэтому представляющий собой обобщенную функцию внутри множества Р X Q- Для которого

В0(ф. Ф) = (ф(-)ХФ(-). Воу

Полагая

В = (—ly^'+'^D^Bo

при Ф £ 35 (Ро\ ф £ 35 (Qo), имеем

(ф®ф. Во^ = (О^ф X D’^, Во} =

= B0(Dpq, О^ф) = В («ф, рф) = В(<р, ф).

Итак, для каждой пары замкнутых множеств Рй, Qo, PffcP, QocQ, теорема о ядрах доказана, ибо единственность ядра В очевидна. Однако из теоремы (Шварца) о „склеивании" (ср. упражнения) вытекает, что существует (единственная) обобщенная функция, заданная на всем множестве ЙЛ, X йм, которая на (каждом) подмножестве P.XQo совпадает с данной (только что построенной) обобщенной функцией. Остается лишь проверить, что так построенная обобщенная функция является ядром (формы В) на множестве Й^ХЙ^, т. е. что выполняется тождество (10.1):

(ф X ф, В) = В (ф, ф), ф £ 35 (Йд,), ф £ 35 (й^).

С этой целью рассмотрим такое конечное покрытие носителей функций ф и ф соответственно №’ U^ ЧТ0 PicttN- Qj^'M' и

такие функции az£35(Pz), PyC^(Qy). чт0 2az(x)=l ПРИ х6ф (ф — обозначение носителя функции ф) и 2Р/(У)=1 ПРИ У€Ф- Тогда

(ф X Ф) = (2 a/Ф X 2 РуФ. 5) =

= 2 («/ФХ РуФ- 5)= 2 5(а/Ф, руф) = В(ф, ф), I- j

ибо предпоследнее равенство для „частей" обобщенной функции па PtXQj уже доказано.

Отображения, допускающие замыкание.Индексы оператора

На практике часто встречаются операторы, которые заданы не на всем пространстве, а только на его плотном подмножестве. Например, дифференциальное выражение

a(x,D) = 2 aa(x)Da(11.1)

]a[<r

определено на множестве В (Л) дифференцируемых функций, содержащем множество С™ (йд-), так что множество D(A) плотно в пространстве В2 (йд,).

В последней главе мы рассмотрим общую теорию дифференциальных операторов, а теперь изложим лишь несколько простейших определений и понятий, относящихся к линейным преобразованиям в банаховых пространствах.

Пусть Hv, Н2 — банаховы пространства, и пусть

Hv => D (А) Э и -► Au С Н2(11.2)

— линейное отображение, заданное на подмножестве £>(Д), плотном в пространстве Hv

Определение. Будем говорить, что отображение А (11.2) допускает замыкание, если замыкание G(A') графика

О(Д)=((м, Au-): u£D(A^

является также графиком, т. е. не содержит пар вида (О, У), где у + 0. Отображение, графиком которого служит множество О(Д), замкнуто и называется замыканием отображения А; оно обозначается символом A; G(A) = G(A).

Лемма. Отображение А допускает замыкание тогда и только тогда, когда из соотношений ип->0, Aun^-v вытекает, что у = 0.

■ Доказательство очевидно.

Пример. Пусть Н, = Я2 = L2 (Цу). Оператор А, соответствующий дифференциальному выражению (11.1) и заданный на множестве 5) (Д) тех функций и из С” (Qy), для которых а (• , D) и = = Д« £ £2(йу), допускает замыкание. Действительно, пусть а„-> 0 и Aun—>D. Тогда для произвольной функции ф6Со°(Цу)

(у, <р) = 11т(Д«я, ф) = Пт(ал, Д+<р) = 0, где •

Д+ф "^ 2 (— 1)' ° ]Da («а W Ф (•*)). а

Так как множество С” (Qw) плотно в пространстве £2(Цу), то у = 0, что и требовалось доказать.

Пусть А — замкнутое отображение. Тогда многообразие £>(Д) с нормой || и ||д = Ц и ||j -j-1| Аи ||2 является банаховым пространством. Относительно этой нормы отображение А непрерывно:

||Л«||2<|И1Д.

Если Нх и Н2 — гильбертовы пространства, то на множестве D (Д) Определяют скалярное произведение

(ар ч^д (мр и?)1 4“ (Дар Аи^.

С этим скалярным произведением множество D (Д) является в силу замкнутости отображения А гильбертовым пространством. Введение Д-нормы позволяет получить ряд интересных теорем. Здесь мы ограничимся лишь теоремой, которая служит исходным пунктом теории Хёрмандера (см. гл. XXII).

Теорема 1. Пусть В^ 1 = 0, 1, 2— банаховы пространства, а Ак, к = 1, 2—отображения, заданные в пространстве Во и принимающие значения в пространстве Вк. Если отображение Д, замкнуто, а отображение Аг допускает замыкание и О(Д1)с/)(Д2), то существует такая постоянная С > 0, что для u^D^A^

II A2u Ц < С (|| и ||0 +1| Ахи И,) = С || и ||Д[.(11.3)

Оператор Д2, удовлетворяющий неравенству вида (11.3), называется Ах-ограниченным.

Доказательство. Докажем, что отображение А^; D (Л,) —> В^ (индуцированное отображением Д2), рассматриваемое как отображение банахова пространства D^A^ с нормой || • ||д, замкнуто. Отсюда в силу теоремы о замкнутом графике будет следовать неравенство (11.3). Итак, пусть ||мЛД| = Н иЛ0 + Ц Д^Л^О и A'2un-+v £В2. Тогда ип—>0, а так как оператор Д2 допускает замыкание, то о = 0. Таким образом, отображение Д2 замкнуто, ибо оно допускает замыкание и задано на всем пространстве. Теорема доказана.

Индексами дефекта отображения А, заданного в пространстве Вх и принимающего значения в пространстве S2, называются числа

а(Д)°— dim А-1 (0),

_J3 (ДГ==_Щт (BJAD (А)) = dim (B^RTAi). Индексом оператора Доказывается число

'(А) °=^ р (Д) - а (Д),

причем предполагается, что а(Д), р(Д)<оо. Если а(Д) = 0, то отображение А обратимо: существует обратное отображение А"1 : /ДД)-* 1)(А), такое, что Д-'Ди = и при и ^D(A} и АА-1у = о при o^R (Д).

Отображение А называется нормально разрешимым, если множество значений R(A) отображения А замкнуто.

Из теоремы о графике непосредственно вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Если отображение А замкнуто и дефектное число а(Д) = 0, то для того, чтобы оператор А был нормально разрешим, необходимо и достаточно, чтобы оператор А 1 был ограничен.

Доказательство. Докажем сначала необходимость условия. Поскольку множество /?(Д) замкнуто, а из замкнутости оператора А и условия а(Д) = 0 вытекает замкнутость оператора Д-11), то оператор Д-1 ограничен (на основании теоремы о графике).

Для того чтобы доказать достаточность условия, заметим, что из соотношения R(Д) 3 ул —> у и ограниченности оператора Д-1 вытекает, что последовательность (ип) = (Д ’ул) сходится в пространстве Вх к некоторому элементу и £ Вх. Но так как отображение Д замкнуто и Уп = Аип-у, то Аи — У, а следовательно, y^R(A), что и требовалось доказать.

Индекс операторов вида 1-\-К, где К — вполне непрерывный оператор, мы будем изучать в гл. VII.

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ

Доказать, что теорему Бэра можно высказать в следующих трех эквивалентных формах:

в полном метрическом пространстве X дополнение X — М множества первой категории Л1 плотно в пространстве X;

каждое открытое подмножество полного метрического пространства X является множеством второй категории в X;

пусть X—полное метрическое пространство, а Оп — открытое плотное в X множество, п=1, 2, ... . Тогда множество QQn

п плотно в пространстве X.

Доказать, что теорема Бэра имеет место для локально компактного пространства X. Приведем здесь одну из пяти эквивалентных формулировок, остальные читатель выскажет сам. Пусть X — локально компактное пространство, и пусть X = U Л4г.

Тогда по крайней мере одно из множеств ;Иг (7Иг— замыкание множества Мг) содержит открытое множество.

Доказать следующую теорему Банаха: пусть Е и F — векторные топологические пространства, причем Е— полное метрическое пространство; для того чтобы множество ^ линейных непрерывных отображеней A;E->F было равностепенно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента ебЕ множество ^(е) — [Де : A £^) было ограниченным в пространстве F.

Затруднения вызывает только доказательство достаточности. Дадим следующее указание. Пусть U — замкнутая симметричная окрестность нуля в пространстве F. Заметим, что множество JJ==Q Д-1 fi и\ является замкнутым и поглощающим. Следова- тельно, Е = U^l. Применяя теорему Бэра, заключаем, что множество М содержит некоторый шар, а поэтому множество М — /И содержит некоторую окрестность пуля VaE. Таким образом, для каждого отображения А ^,71

АСУ^аА^М — M^a^U — LuciU, что и требовалось доказать.

Множество Л линейных отображений А;Е —>Е метрического линейного пространства Е в векторное топологическое пространство F является равностепенно непрерывным в точке е0£Е, если из того, что ЕЗ е„-> е0, вытекает сходимость Аеп—> Ае0, равномерная Относительно A^ut.

Опираясь на упражнения 3 и 4, доказать следующее обобщение теоремы Мазура и Орлича.

Теорема (Бурбаки). Пусть Ех, Ег — полные метрические векторные пространства, a F — векторное топологическое пространство. Тогда

каждое раздельно непрерывное билинейное отображе- ние В: ЕхХ Е2-> F является непрерывным отображением-,

множество 58 билинейных раздельно непрерывных отображений B\ExXE2->F является равностепенно непрерывным, если для каждой точки (х, у)^ЕхХ Е2 множестве 58 ^х, у)°— {В(х, уу.В^®\ ограничено в пространстве F.

Очевидно, достаточно доказать б).

Непрерывные отображения. Пусть Е и F — векторные локально выпуклые пространства, топология которых определяется системами полунорм ^Р^ и (л^ соответственно, и пусть Т : Е-> F — линейное отображение. Имеет место следующее простое утверждение.

Теорема. Следующие три условия эквивалентны-.

1° отображение Т непрерывно-,

2° отображение Т непрерывно в нуле-,

З3 для каждой полунормы л пространства F существуют такие полунормы рхрп пространства Е и такая постоянная С, что

п(ТеХС(рХе)У . . .+рп(е))

для всех е £ Е.

Доказательство проведем по следующей схеме: 1° <==> 2° => 3° => 2°.

Так как эквивалентность Г ф==^ 2° очевидна, то докажем, что из условия 2° вытекает условие 3°. Пусть V = {/ £ F : л (/) < 1} — окрестность нуля в F, определяемая полунормой л. Из непрерывности отображения Т в нуле вытекает существование такого числа е > 0 и полунорм pv ..., рп, что

л(Т§-)<1, если p(g) = pv^-V ••• А-Рп^<ь (!)

(вспомните определение окрестности нуля в топологии, заданной полунормами ^Р^- Предположим сначала, что р(е)>0. Пусть О < 8j < е; положим С = еГ1. Тогда р^^ = гх<г, и потому в силу (1) л^Т^^^^<1, откуда л (Те) ^ еГгр (е) = Ср (е). Это неравенство выполняется и при р(е) = 0. Действительно, в этом случае р (ае) = 0 для всех а £ С1 и, значит, | а | л (Те) = л (Т (ае)) < 1; так как а произвольно, то л (Те) = 0 = Ср (е).

Докажем теперь, что из условия 3° вытекает условие 2°. Пусть окрестность нуля V в пространстве F задается посредством полунорм л,лА и числа е > 0:

^ = {/Е ^ : ли (/) < е. х=1А).

Пусть л( • ) = nj( •)+... +л6( • ), и пусть С и р рп — положительное число и полунормы, о которых речь идет в условии (3). Пусть

иа = Vе ЕЕ: рг(е)+ ... + Рп(е) = р(е)<а\.

Тогда в силу условия 3° для всех элементов в £Ua имеем л (Те)-^ Ср (е) ^ Са < е

при а < е/С. Таким образом, Т (U c\cV, что и требовалось до

казать.

Следствие 1. Если Е и F — нормированные пространства, то непрерывность линейного отображения T:E->F эквивалентна существованию такой постоянной С > 0, что

|| Те ||л ^ С || е ||£ для всех е^Е.

Следствие 2. Пусть Е — локально выпуклое пространство, a F — C}, так что отображение T:E->F является линейным функционалом. Необходимым и достаточным условием непрерывности функционала Т является существование такой постоянной С>0 и такой полунормы р = /»[+ ... + рп, что

(2)(2)|Те| = |<е, Т')\<Ср(е), е^Е.

(2)

(2)

Заметим, что изложенное в гл. 11 доказательство теоремы Хана — Банаха годится для произвольных локально выпуклых пространств именно благодаря неравенству (2).

Теорема (Хана — Банаха). Пусть Ео— линейное подмножество локально выпуклого пространства Е, и пусть I— линейный непрерывный функционал, заданный на подмножестве Ео; это означает., что существует такая (непрерывная) полунорма р, заданная на пространстве Е, что

Ще0) | ^ р (е0) для всех ео£ЕосЕ.

Тогда существует такой линейный функционал I, заданный на всем пространстве Е, который является продолжением функционала I, IzdI (т. е. Це0) — 1(е0) для всех е0£Е0) и для которого неравенство U(e)|^Cp(e) выполняется для всех е^Е.

Из следствия 2 вытекает, что функционал I непрерывен: Т^Е*. Из этой теоремы Хана—Банаха вытекают следствия, аналогичные тем, которые были получены в случае нормированных пространств.

Следствие 1. Для каждого ненулевого вектора е0^Е существует такой линейный непрерывный функционал е*, что (е0, е^ + О и даже (е0, e^—d, где d— наперед заданное число.

Доказательство. Пусть ^р^ — отделяющая система полунорм, определяющая топологию в пространстве Е. Существует такая полунорма j9C(Pa)' чт0 р(®^ + ^- На подпространстве До °—koi °~ = {ae0 £ Е: а £ С1} зададим линейный функционал /, полагая I (ае0) = ар (е0).

Имеем

I / (ае0) | = | а | р (е0) < р (ае^, и по теореме Хана — Банаха существует продолжение е*ю1, удовлетворяющее неравенству |(е, е*)|^р(е), что и требовалось доказать.

Читатель без труда докажет следующее предложение.

Следствие 2. Для того чтобы подмножество Z локально выпуклого пространства Е порождало все пространство Е (т. е. чтобы множество всех конечных линейных комбинаций вида 2 azz> где az£C\ z^Z и аг + 0 только для конечного числа элементов z, было плотным в пространстве Е), необходимо и достаточно, чтобы каждый линейный непрерывный функционал е*, равный нулю на множестве Z, был равен нулю тождественно-. е* = 0 £ Д*.

7 К. Морен.

Указание. Если функционал е равен нулю на множестве Z то, будучи линейным и непрерывным, он равен пулю на замкнутой линейной оболочке [Z] этого множества, откуда вытекает необходимость условия. Его достаточность можно доказать сведением к противоречию: если [Zj + Е, то существует элемент е0 ^ [Z], а поэтому существует функционал е*^Е*. для которого (как при доказательстве следствия 1)

(е0, е ) = р (е0) > 1 #= О и который равен нулю на множестве Z, а поэтому также на замкнутой линейной оболочке [Z] множества Z; действительно, пусть

I (z 4- ае0) °—' а, z£[Zj, а^С, причем

Р(«)|<Р(и) при «6[Z]@[e0].

Функционал е* £ Е* является продолжением функционала I, удовлетворяющим неравенству

|(e, е*)|<^(е), е^Е.

Рефлексивность линейного локально выпуклого пространства. Пусть Е (т) — линейное локально выпуклое пространство. Наделим сопряженное пространство Е* = J27 (Е, С1) сильной топологией, т. е. топологией т* равномерной сходимости на (всех) ограниченных множествах. Соответствующее топологическое пространство обозначим через Е* (т*). Исходное пространство Е (т) называется (в терминологии Бурбаки) полу рефлексивным, если1)

(Е*(т*))* = £.

Полурефлексивное пространство Е (т) называется рефлексивным, если сильная топология т** на пространстве (С* (т*))* совпадает с исходной топологией т. Оказывается, что для того, чтобы полурефлексивное пространство Е (т) было рефлексивным (в смысле Бурбаки), необходимо и достаточно, чтобы оно было /-пространством (бочечным пространством)). Имеет место следующее важное предложение.

Теорема (Бурбаки) Если пространство Е (т) является рефлексивным, то пространство Е*(х*) также является рефлексивным.

Обычно встречающиеся па практике пространства являются бочечными или являются пространствами, сопряженными к ^-пространствам. В этих случаях понятия полурефлексивности и рефлексивности имеют один и тот же смысл.

Регуляризация функции. До сих пор мы использовали бесконечно дифференцируемые функции с компактными носителями, <p g (f^), q> ^ 0, без доказательства их существования. Однако этот факт не является вполне тривиальным. Существование таких функций доказывается (Соболев, Фридрихе) посредством „сглаживания" при помощи надлежащим образом подобранных интегральных операторов. Пусть е > 0 и

/ ч 0ПР-Ре W =/ ч 0ПР-Ре W =Опри г ^ е,

/ ч 0ПР-

Ре W =

/ ч 0ПР-

Ре W =

k£-N ехр (—при г < е,

где г=Ух^4- ... -ф- х^ = || х || и постоянная к выбрана так, что

J ре(х)^х = 1,К(0. е) = \x£EN : ||х|| < е}.

К( 0, е)

Пусть теперь <p£C(EN') и предположим, что носитель функции <р содержится в компактном множестве К- Нетрудно видеть, что функция 1° (ф*Ре) W — J Ф (О Р£ (^ — О ^ = J Ф (О Р8 (х — О di enк

имеет носитель, не выходящий за е-окрестность множества К. Далее, 2° Da (<р*рЕ) = <p*D“Pe>

а поэтому <p*pg^C”(£yv).

Пусть 7сД*(т*), причем пространство Е(т) является полуреф- . лексинным. Множество 7, порождает пространство Е* тогда и только тогда, когда из условия

(3)(3)е^Е, (е, z) = 0 для всех z £7 вытекает, что

(3)

(3)

е = 0.

Доказательство вытекает непосредственно из следствия 2 теоремы Хана—Банаха: по условию полурефлексивности £(т) существует взаимно однозначное соответствие между элементами /^Е” и элементами е £ Е, определяемое соотношением

^е*. /'у = (е, е*) для всех е* £ Е\

Полагая здесь в* = z и принимая во внимание условие (3), на основании следствия 2 получаем требуемое.

Опираясь на рефлексивность пространства 3 (йд,), доказать, что множество С”(йд,), наделенное топологией пространства обоб- щепных функций 3' (йд,), плотно в пространстве 3' (йд.). Это означает, что каждую обобщенную функцию F £3' (Й^) можно сколь угодно точно аппроксимировать неограниченно дифференцируемыми функциями с компактными носителями (Шварц).

Теорема об аппроксимации с соответствующими изменениями имеет место для пар S (й^с^' (й^), с= и т. д.

Отмеченный факт служит основой для другого способа введения понятия обобщенной функции, а именно обобщенную функцию можно определить как предел (в соответствующей топологии) последовательности бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями (Микусинский).

Из теоремы об аппроксимации вытекает, что те операции над основными функциями, которые

отображают пространство 3 (или какое-нибудь другое пространство основных функций) в себя и

непрерывны в топологии пространства 3, продолжаются на пространство обобщенных функций.

Примеры

Дифференцирование или, общее, воздействие линейным дифференциальным оператором с неограниченно дифференцируемыми коэффициентами:

(Й„) 9 ф -> Лф = 2 аа (•) О“ф Е з (Йу), «„(■) Е Со°(Йл,).

2°. Умножение на неограниченно дифференцируемую функцию ф: ^(йд,)Эф->ффЕ^(йд,), где (фф) (х) = ф (х) ф (х).

При доказательстве теоремы о ядрах мы ссылались на так называемый „принцип склеивания", или принцип продолжения обобщенных функций. Сформулируем этот принцип и наметим доказательство.

Пусть {OJ —покрытие области QNaEN открытыми множествами Ob (JOz = fiN, обладающее тем свойством, что каждое компактное подмножество множества йд, пересекается только с конечным числом множеств, образующих покрытие {О,}. Пусть {Тг}, Т^З'^О^— произвольное семейство обобщенных функций, обладающих тем свойством, что Т^^ — — Т;-(ф) для каждой функции фЕС”(0^), где О1}°— O^Oj (можно сказать, что обобщенные функции Т t и Ту равны на мно-

жестве Ozy). Тогда существует единственная обобщенная функция Т с26' (йд,), которая совпадает с обобщенной функцией Tt на множестве Ot для всех значений h

T^ = Tt (ф) при ф £ С§° (О,).(*)

Доказательство. Пусть (az(-)]— разложение единицы, связанное с покрытием (Oz) множества йд,. Это означает, что функции «,(•) удовлетворяют следующим условиям:

1° az (х) ^ 0,

2° az€C^(Oz),

3° 2az(x)=l в каждой точке х^йд,.

Пусть ф£<®(йЛ,). Тогда ф (х) — 2 °z W ф (х), и для каждой точки х £ йд, только конечное число слагаемых не равно нулю (так как множество, состоящее из одной точки, компактно). Следовательно, если обобщенная функция Т существует, то она единственна, ибо

W = 2W=W#(4)

так как носитель а(фсО,.'

Функционал Т, заданный формулой (4), непрерывен, потому что если Ф^—>0 в смысле 26 (йд,), то а^—>0, й—>оо, в каждом из пространств 26 (О^, а поэтому Tz (а2ф6)->0 при &->оо. В силу определения сходимости в пространстве 26 (йд,) носители функций ф6 содержатся в некотором фиксированном компактном множе- сгне, а следовательно, только конечному числу функции az соответствуют отличные от нуля слагаемые в соотношении (4). Таким образом, Т(ф6)—>0 при k—>оо.

Пусть теперь ф£Оу; мы докажем, что имеет место соотношение (*). Имеем а/фсО;ПОу, Tz (а;ф) = Ту (а/ф), и поэтому

W у Ту (а,ф) = 5 Л (а;ф) = Т (ф),' iz

что и требовалось доказать.

Пусть f ^£6 = £6 <EN\ и пусть /(0 = J е-2л< Ui № / (х) dx. en

Доказать, что f^^T.

ГЛАВА IV

Эрмитовы операторы.

Спектральное разложение эрмитова оператора

В этой главе мы вводим понятие сопряженного оператора в банаховом пространстве. Кроме того, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между билинейными формами и эрмитовыми операторами, на котором базируется замечательное доказательство спектральной теоремы, принадлежащее Эберлейну. Мы излагаем также основы теории функций от эрмитова оператора (операционное исчисление) и приводим примеры из теории матриц и теории интегральных операторов.

§ 1. Сопряженные операторы

В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные преобразования (линейные операторы) и поэтому прилагательное линейный будем опускать. В связи с этим термин „непрерывный оператор" равнозначен термину „ограниченный оператор" (см. гл. II, § 5, теорема 1).

Нормой || А || ограниченного преобразования А называется нижняя грань чисел С, для которых

II Аи || < С || И||;(1.1)

таким образом,

||Д«|КМЫИ1-(1.2)

Из (1.1) после деления на || и || получаем

откуда вытекает второе определение нормы:

II А || °= sup ||Дх||.(1.3)

II х ||=1

В частности, когда А является линейным функционалом, равенство (1.3) определяет норму линейного непрерывного функционала.

Ограниченное преобразование А банахова пространства X в себя, А^^(Х. X), индуцирует в сопряженном пространстве X* определенное преобразование А*^^(Х*. X”), называемое сопряженным оператором {сопряженным преобразованием). Оператор А*,

сопряженный к оператору Л, определяется следующим образом. Для каждого у* £ X* соотношение

• - (Лх, у*) = (х, «*)(1.4)

((X, у*)-/(х), у* ^Х\ Х^х} определяет линейный ограниченный функционал й^Х*. Действительно, в соответствии с определением нормы

Цх, “*) | С II У* II ‘ 1Мх || ^ || у* || • || Л || • || х ||,(1.5)

откуда || и* || ^ || у* || • || Л ||; т. е. и* — ограниченный функционал.

Полагая Л*у* == и*, получаем некоторое преобразование Л* пространства X* в себя. Таким образом, преобразование Л* определяется соотношением

(Лх, у*) = (х, ЛУ).(1.6)

Легко видеть, что А* является линейным преобразованием:

(х. А* (а^ + а2у*)) = (Лх, а^ + а2у2) =

= а1(Лх, у*) + а2(Лх, у*) = а,(х, лу> + а2 (х, лу), т. е.

(“1^1 ~Ь “2^2) ~+ а2^*У2'■

Далее, Л* является ограниченным преобразованием, ибо из неравенства |(х, «*) | ^ || Л || • || у* || ■ || х I] вытекает, что Ц Л*у* || = l|«*IKIMII • Il/Ц- откуда

11^|1<М||.(1.7)

Поскольку преобразование Л** °— (Л*)* является расширением *) преобразования Л (в случае рефлексивного пространства имеем Л** = Л), то || Л || ^ || Л** Ц. Применяя неравенство (1.7) к преобра- эонанию Л*, получаем

II л цеп л»*|| сп л-ц.(1.8)

Из неравенств (1.7) и (1.8) находим

II Л* || = || Л ||.

Отметим, что в случае гильбертова прострастранства дело значительно упрощается, ибо все происходит в одном и том же пространстве .§) = ^)* = ф**, в частности преобразование Л* действует, как и преобразование Л, в пространстве §.■

Следует ожидать, что в гильбертовом пространстве особенно интересными будут преобразования, равные сопряженным: А — А‘, ') См. гл. И, § 6, теорема 2. —Прим, перев.

т. е. так называемые самосопряженные операторы. Потом мы увидим, как можно обобщить понятие самосопряженного оператора на случай неограниченных преобразований с областью определения, плотной в гильбертовом пространстве. Такое обобщение дает возможность определить неограниченный самосопряженный оператор также с помощью равенства А = А*. Самосопряженные ограниченные операторы будем называть эрмитовыми операторами. Эрмитовы операторы тесно связаны с билинейными эрмитовыми формами. Билинейной эрмитовой формой называется функция А (и, у) пары элементов и, v^S), линейная и непрерывная по первому аргументу и удовлетворяющая условию

A (у, м) = А (и, у)

(а поэтому антилинейная и непрерывная по второму аргументу)1). Эрмитов оператор А определяет билинейную эрмитову форму

опр.

А (и, у) = (Au, v) = (u, Av) = (Ду, и) = А (у, и).

Теорема 1. Для всякой эрмитовой формы А(и, у) существуют единственный эрмитов оператор А, такой, что

А (и, у) = (Аи, у).и, V

Доказательство. Пусть А (и, у)— билинейная эрмитова форма; тогда | А (и, у) | С М [[ и || • || у || и А (у, и) = А (и, у). При фиксированном у функция А (и, у) будет линейным непрерывным функционалом по и, а при фиксированном и — непрерывным анти- линейным функционалом по у.

В силу теоремы об общем виде линейного непрерывного функционала каждому элементу у £ £> соответствует такой элемент Av, что

А (и, v) = (u, Av).

Оператор А, определенный с помощью последнего равенства, является, как легко видеть, линейным и ограниченным. Кроме того,

(и, Av) —А (и, у) = Д(у, u) = (v, Аи) = ^Аи, у)

и, следовательно, А = А*, т. е. оператор А эрмитов.

Как нам известно, с каждым (замкнутым) подпространством ф|Сф связан оператор Р, ортогонального проектирования на это подпространство. Очевидно, множество значений этого оператора R (Р) = = Р1(Ф) = §1- Если ux£^v то P1u1 = uv откуда Р1РХ=Р2 = РЬ а это означает, что проекционный оператор идемпотентен, т. е.

') В силу теоремы I § 4 гл. Ш, такая форма непрерывна и по совокупности аргументов и, значит, удовлетворяет неравенству | А (и, v) | ^ М || и || • |j v Ц. Это используется при доказательстве теоремы 1. — Прим. ред.

равен своему квадрату. Как известно, этот оператор удовлетворяет соотношению

(и — Р,и, Руи) — 0.И, У

Отсюда вытекают следующие свойства оператора ортогонального проектирования:

1° (Рха, и) = (Рхи, Рха)^>0 (=0 только тогда, когда и^^У, 2° (Р^, у) = (м— м2, Р^ + ^г) — (и> ^i^)' и6о и — «г-к^г» и2 J_ P^i («2 — и — Р\и- fi — 45—Р^У Следовательно,

Pi = Pi.

Как мы видим, операторы ортогонального проектирования эрмитовы и идемпотептны; оказывается, что они характеризуются этими свойствами. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть ф — гильбертово пространство, а Р— линейный оператор, определенный на всем пространстве ^ отображающий его в себя и удовлетворяющий соотношениям

Р2 — Р;

(Ра, о) = (и, Р^ для всех и, v^^.

Тогда -У1 = Р(^) (образ Sy при отображении Р)—замкнутое линейное подпространство в ф, а Р— оператор ортогонального проектирования на §р

Непрерывность Р a priori не предполагается; впрочем, она следует уже из условия (Ь) и теоремы Хеллингера и Тёплица (теорема 3 § 3 гл. III), по мы докажем ее независимо от этой теоремы.

Доказательство. Очевидно, что ф]—линейное множество. Докажем, что ^j замкнуто в §. Пусть и„->и0, м„ЕФр Тогда существуют такие чо„ £ §, что и„=Рто„. Для любого v £ ф при л-»оо будет (рп, у)->(«0, у). С другой стороны, в силу (а) и (Ь)

(«„. у) = (Р®„, у) = (Рйчвп, -и) = (Р-шП, Р^ =

= (ип, Ру)—> (и^, Pv) = (Pu0, у).

Следовательно, (uti, v) = (Риц, у), а так как у произвольно, то и0 = Ри0£уух, т. е. ■§>, замкнуто. Так как для любых и, У^ф,

(и — Ри, Ру) = (Ри — Р^и, у) — (Ри — Ри, у) = 0,

то и — Рм е £>iL. т. е. и = Ри + (и — Ри), где Ри £ фр и — Ри £ %Т. Следовательно, Р есть оператор ортогонального проектирования на замкнутое подпространство фР Заметим еще, что в силу теоремы Пифагора (см. гл. 1) [[ Р« ||2 —|- ||м — Ри1|2= ||« ||2, откуда ||Ри |[ ^ ||«||, т. е. оператор Р непрерывен и )j Р 1. Ясно, что если Р + 0, то || Р || = 1, ибо Ри = и для и £ фР

§ 2. Примеры эрмитовых операторов

1°. Пусть Л— линейный оператор, заданный на сепарабельном гильбертовом пространстве ф. Каждый ортонормированный базис (и;) пространства § сопоставляет оператору Л матрицу (aZA) с элемеп- опр.

тами aZ6 = (Лм6, и^. Если Л— эрмитов оператор, Л = Л, то ай; = (Лм;, мй) = (Лмй, z/z) = az6, т. е. (aik)— эрмитова матрица: akl = aik. В случае вещественного пространства ф aki = а1к, т. е. матрица (aZJi) является симметрической.

2°. В пространстве С" эрмитовы операторы описываются посредством эрмитовых матриц в ортонормированном базисе. Действительно, рассмотрим в и-мерном гильбертовом пространстве ортонормированный базис ^elYl=v Для любого линейного оператора Л имеем

® = Лм=2(л«. ez) е, = 2 (^ 2 («• ек)ек, ezpz =

= 5(“. екуАек, е^е.,.

к, I

Полагая «, = (//, et\ <и1 = (,и1 е^ aik=(Aek, et\ находим

•"1= 2 aikuk, t = 1w.

k=\

3°. Пусть K(s, 0€^2(^лХ^л)- Интегральный оператор

№)($) = J K^s, t)u(f)dt

с ядром К линеен.

Сейчас мы не будем доказывать непрерывности этого оператора, так как в дальнейшем докажем его полную непрерывность. Найдем сопряженный оператор для оператора К. В случае конечномерного пространства сопряженный оператор описывается сопряженной матрицей. Поэтому можно ожидать, что сопряженному интегральному оператору К* будет соответствовать сопряженное ядро К* (s, t) — К (t, s).

Применяя теорему Фубини, находим

(KU, V) = J J* К (5, 0 U (t) dt -U(S)dS=i=

= J- K(s, f)u (t) и (s) ds dt =

QnxQn

К (t, s') -o(t) dt a (s) ds = (К*г>. и) = (a, K*V),К (t, s') -o(t) dt a (s) ds = (К*г>. и) = (a, K*V),

К (t, s') -o(t) dt a (s) ds = (К*г>. и) = (a, K*V),

К (t, s') -o(t) dt a (s) ds = (К*г>. и) = (a, K*V),

гАе'■

(JC-u) (s) °= J К kt. s) у (О dt.

так что оператору К* действительно соответствует ядро K*ks. t) = = K{t. s).

Следствие. Интегральный оператор с ядром К £ £ Л2 (Й„ X й„) эрмитов в том и только в том случае, когда ядро К обладает так называемой эрмитовой симметрией". ■

К <s, t^) = Kkt. s).

В вещественном пространстве А2 (й„) в аналогичной ситуации мы будем иметь дело с симметрическим ядром-.

K(s, t) = Kkt. s)..

Спектральная теорема (конечномерный случай)

Напомним некоторые факты из курса линейной алгебры, касающиеся теории эрмитовых операторов (эрмитовых матриц) в конечномерном пространстве.

Собственным значением линейного оператора А называется такое число Xt, что для некоторого вектора ut + 0

Aut = Xlul,(3.1)

при этом вектор ut называется собственным вектором оператора, принадлежащим собственному значению Х;. Все собственные векторы, принадлежащие фиксированному собственному значению Xt, образуют подпространство S^. называемое собственным подпространством, принадлежащим собственному значению Х^ Если оператор А эрмитов, то размерность собственного подпространства §х( называется кратностью собственного значения Xf, кратность собственного ннишшии мы будем обозначать через kf. kt = dim ^х^ Совокупность всех собственных значений оператора называется его спектром.

Предположим теперь, что оператор А эрмитов; тогда фх^!.^ при Х[ =#= Хк.

Легко видеть, что спектр (в данном случае — совокупность собственных значений) эрмитова оператора является вещественным. Действительно,

(Au;, и^ = кАиц ul) = Xikut, и^

и Kj как отношение двух вещественных чисел является вещественным числом.

Собственные подпространства 5^ взаимно ортогональны и их линейная оболочка совпадает со всем пространством ф:

Ф = Ф S?^ — ^х1 ф • ■ ■ ф %к •(3.2)

Занумеруем собственные значения в порядке их возрастания: Xz <

^2^2< кр и положим § (Xz)< кр и положим § (Xz)опр.опр.ние (3.2) можем переписать в видение (3.2) можем переписать в видеФ ^Xj- j=l 1Ф ^Xj- j=l 1Теперь разложе-Теперь разложе-

^2

^2

< кр и положим § (Xz)

< кр и положим § (Xz)

опр.

опр.

ние (3.2) можем переписать в виде

ние (3.2) можем переписать в виде

Ф ^Xj- j=l 1

Ф ^Xj- j=l 1

Теперь разложе-

Теперь разложе-

р

&=Ф[№ЮЖ--1)Ь(3.2')

i I

причем §(Х0)°= (0).

Подпространства ф (Xz) образуют возрастающую последовательность подпространств

'{0} = ф (Хо) с: ^ (кд <=...<=& (кр_д с £> (Хр) = ф.

Обозначая через Е(к^ оператор ортогонального проектирования на подпространство ф (к^, получаем „возрастающую" последовательность проекционных операторов.

0 < Е (к(Х Е (к2Х ... < Е (кр_УХ Е (кр") —/ д- (/ — тождественное преобразование).

Поскольку оператор Ext ортогонального проектирования на подпространство ^(Xz)0.y (Xz-i) равен разности Е^к^ — Е (Xz-1), то разложение (3.2) можно записать в терминах проекционных операторов в следующем виде:

рр

l-^Wd-E^Xb-^Ex..(3.2")

<=iz = i ‘

Поскольку Ех( является оператором проектирования на собственное подпространство ^х(. то АЕх.и — ktEx^ для всех и^^, т. е. AExt = к;ЕХ1. Применяя к обеим частям равенства (3.2") оператор А, получаем рр

Л = 2 к^Ех. — S ME (к^ Е (XZ-1)].(3.3)

Z = 11 i=l

Так как■

[ 0 при 1 + к>

Е\Ех=ЕхЕк = (

16 л z ( Ехь при 1 = кч

*) Если подпространство §| содержится в подпространстве ф2, то для соответствующих операторов ортогонального проектирования пишем Pv<.Pi, а в случае когда ^ с: %4 и £ц + £>2i Pi < Pi-

ДЛЯ степеней оператора А верна формула

As= ^к'Ех., As =' А ... А.

s

Следовательно, многочлен степени N от оператора А

Pn (Л) — «7+ М + • • • + aNAN* ai€c'> может быть представлен в виде рр

PN{A)=^PN^E}i = Ър^[Е^-Е^_^.(3.4)

Впоследствии мы увидим, что формула (3.4) имеет аналог в случае, когда А — эрмитов оператор в произвольном гильбертовом пространстве.

Формула (3.3) носит название спектрального представления (или спектрального разложения) эрмитова оператора (в п-мерном пространстве). Эту формулу можно переписать еще в следующем виде: р

(Au, v) = 2 Xz А,(Е(Х)м, у),(3.3')

где

^(Е^и, о) = (ЕС/и) и, у)— (Е Ск^) и, у).

Естественно ожидать, что в общем случае формула (3.3) будет иметь вид ь

(Au, у) = J Xd(E(K) и, у),а

где (Е(Х)и, у) = ц(Х; и, у) (для фиксированных и, у££>)— некоторая комплекснозначная мера.

| 4, Спектральная теорема в произвольном гильбертовомпространстве

В этом параграфе мы изложим весьма простое и естественное доказательство спектральной теоремы, предложенное Эберлейном [1]; это доказательство базируется на интересной лемме Меррея, касающейся нормы полинома pN (Л).

Лемма Меррея. Пусть А—эрмитов оператор, и пусть Р n^.a^ = ао* A-a\A~V ••• + aNAN\ тогда

II Луу (Л) IK sup К(О|.

К КП АН

где

Pn (О = «о + «/ + ••• -A-aNtN.

Доказательство. Предположим сначала, что Л—эрмитов оператор в конечномерном пространстве. Тогда

||^(Л)«||2 =||^(Л)«||2 =S Pn(М^х“S Pn(М^х“2 р2 р

||^(Л)«||2 =

||^(Л)«||2 =

S Pn(М^х“

S Pn(М^х“

2 р

2 р

откудаоткуда< , MP J AvM F 2 || Е, «IP = , sup J р„ (X,) р • II « ||=.

откуда

откуда

IIPzvHMK sup IPat^OI-Um]].

1C I < P

Легко видеть, что ] ?.z | ^ || Л ||. Действительно, если ui— собственный вектор, соответствующий собственному значению Zz, и ||mz|| = 1, то

IМ = I (Mi- «/) I = I G4"»- “/) I < II А II • II “z IP = II А !!•

поэтому

IIP^M)IK sup IpatC^K sup I pN (И)|.

\<Kt<,pНК11Д11

Рассмотрим теперь произвольный эрмитов оператор Л в бесконечномерном пространстве •£>. Пусть и — произвольный вектор из ф. Положим ^'= \и, АиЛ^]. Обозначим через Е' оператор ортогонального проектирования на подпространство У, а через А' — оператор, заданный на ^' с помощью соотношения Л'у^Д'Лу при у £ $5'. Очевидно, dim $ ^ п -|- 1 и А' — эрмитов оператор в пространстве ф'. Действительно, для произвольных ур у2Е$' имеем

(Л'ур -u2') = (,E'AE'yv у2) — (^р E'AE'v^ = (Ур Л'у2), поэтому

IIPN И') “ II < SUP II Pn WII' II “ II-

1М<1|Д'll

где

II.P/v(A,)“llII.P/v(A,)“llТак как || Л'|| ^ ЦД'Л |] ^ [| Л [|, то тем более

II.P/v(A,)“ll

II.P/v(A,)“ll

< sup I pN {К) I • || и ||.I^KIl^U

Лемма доказана, ибо, как легко видеть, pN (Л') и = pN (Л) и. В самом деле, Е'и — и, А'и~Е'Аи — Аи, {А,^а = А'Аи = — Е'А2и — Аи и аналогично ^А'У и = Аки при к = 0, 1N.

Замечание. Можно доказать более точную формулу

II Pn И) 11= SUP IPzvWL

X^Sp д

где Sp А — обозначение спектра оператора A, Sp A S [—Ц-4Ц, ||Л||] [см, гл. VII, (1.1)].

Приведем здесь две формулировки спектральной теоремы.

1°. Эрмитов оператор А определяет функцию Е, которая каждому борелевскому подмножеству Л1 вещественной оси ставит в соответствие оператор ортогонального проектирования Е(М'), обладающий следующими свойствами-.

Е (М П N) = Е (М) Е (N),

Функция Е—счетно-аддитивна, т. е. Е /(J Л1Д = S Е (Л1г) \ z /1

для любой последовательности (М^ попарно непересекающихся борелевских множеств1);

Е (Л) = 1, Л = Sp А — спектр А;

£(0) = О;

пусть Мх — полуинтервал (—оо, X], Е (.X) = Е (^Мх); тогда для любых «, т ^ §"

(Ли, у) = У Xd(E(X)u, у).

2°. Эрмитов оператор А определяет однопараметрическое семейство проекционных операторов Е(Х), —оо<Х<_оо, обладающее следующими свойствами;

а') Е(Х)^.Е(Х') при X < X' (т. е. Е (X) ^ с Е (X') %),

Ь') Е (X Ц-0) = Е (X),

с') для произвольных и, У^ф имеет место равенство

(Ли, ^^J Xd(E(X)u, v).-

л

Доказательство. Из теоремы Рисса об общем виде функ- нипнйлв в пространстве С (см. дополнение 1) вытекает следующее. Пусть /.(/>) является линейным непрерывным функционалом (прини- мвкнцнм комплексные значения), заданным на вещественных полиномах р(Х), Х^А, где Л с Ех—компактное множество; непрерывность понимается в смысле метрики пространства С (А). Тогда существует единственная регулярная комплекснозначная мера, заданная

*) Последовательность операторов (Л„) называется слабо сходящейся к оператору Л, если для любых и, о^$ (Лпи, о) -> (Ли, о) при л->оо. Если же для каждого и(^ имеем || (Лп — Л)и|| ->0 при п->оо, то последовательность (Лп) называется сильно сходящейся к оператору Л. Ниже доказывается, что равенство 2 ^АМд = £(UМд выполняется в слабом смысле. Однако можно доказать, что фактически здесь имеет место сильная сходимость.— Прим, перев.

на борелевских подмножествах из А, такая, что .

L^ = У

Л

Из леммы Меррея и замечания к ней вытекает, что

|(р(Л)«, -П) К II р|| ■ II «II • ||у||, где ||р|Г= sup ||р(Х)Ц.

X^Sp А

Фиксируя и, -и, видим, что Lu v (р) == (_р (А) и, у) является линейным функционалом, удовлетворяющим условиям теоремы Рисса, причем Л = Sp A 5 [— || А ||, || А || ]. Поэтому

(р(А^и, v) = f p(^)d[i(X; и, -и),

л'

и для всякого борелевского множества М с Л имеем

■|р.(Л1, «, у)КН“|| • IMI-

Зафиксируем теперь множество М и покажем, что р(Л1; и, у) является эрмитовой формой (переменных и и у).

1°. Аддитивность формы р(Л1; и, у) вытекает из того, что

У p^t^X; ах-\-и2, у) = (р(А)(«1 + «2). у) = л

= (р(А)«р у) + (р(Д)«2. у) = J РСМ^ЦХ; «р у) +

Л

+ у р(Х)йц(Х; «2. у)= У р (X) d [ц (X; «р у) + р(Х; «2, у)], лл

ибо регулярная представляющая мера единственна, и, значит, для любого М р(Л1; их4"и2> ®) = И(А1; «р у) + и(А1; яг> у)-

Аналогично доказывается однородность.

2°. Эрмитова симметричность вытекает из соотношений

J p(Z)rfp,(Z; и, v) = (p(A)a, v) = (p(A)v, “) = J pQ^dyXK; у, и) aa

и соображений единственности.

Непрерывность р(7И; • , •) вытекает из приведенного выше неравенства | р(Л4; и, у)|< || «|| || у ||. Итак, р(Л1; и, у) — эрмитова форма. Следовательно (в силу теоремы 1 § 1), каждому борелев- скому множеству 7И с Л соответствует эрмитов оператор £(тИ) — = Е*(Л1), такой, что

ц(Л4; я, у) = (Е(7И)й, у).

Полагая р (X) = 1, получаем

(и, v) — f lrf^(X; и, у) = р(Л; «, у) = (Е(Л) и, у), л

откуда Е(Л.) = 1. Полагая р(Х) = Х, находим

(Ли, у) = J Л, 4/ja (X; и, у).

л_

Операторную функцию множества Е (Л1) можно распространить на все борелевские подмножества вещественной оси, полагая Е(М) = — Е(М(\\). Пусть Л4к = (—оо, X] и Е(Х) = Е(Мх). Тогда для любых и, -и

(Е(Х)и, v) — (E (Mx) a, у) —^(ЛТ;.; и, у);

поэтому для любого полинома р(Х) (и вообще для любой функции, суммируемой по мере р(- ; ы, у))

У p(X)d(E(X)u, y) = J p(X)dy(X; и, у);

в частности,

(Аи, у) = у X dy (X; и, у) = у Xd (Е (X) и, у).

Произвольному вещественному полиному q(X) поставим в соот- опр. /*

ветствие (вспомогательную) меру v(Al) = I q(X)y(X; и, у). Для

м

Всякого вещественного полинома р (X) имеем

У p(X)dv(X)=J р (X) q (X) d (Е(Х) «, у) = (р (A) q (А) а, у) = Лл .

•*(^(Л) р (А) и, v) = (p(A) a, q(A)-u) = У р (X) d (Е(Х) и, q(A)v). л

Вто реярнстно предельным переходом можно распространить на про- ИВВольпые намсрнмые р(Х).

Обозначая через ^м характеристическую функцию множества М:

при Х£/И, ш>-)= 0 при К^М1 имеем

v(Af) = у q(X)iM(X)d(E(X)u, v) = (E(M)a, q(A)v) =

= (q(A)E(M)a, у)= у q(X)d(E(X)E(M)u, -и) л

8 К. Морей

для каждого борелевского множества Л1 с Л. Поскольку q(X)— произвольный полином, то

(Е(Л4ПЛ^)«. у) = J rf(£(K)«, у) =

л^П^

= J Хл1 ОЛ d (Е (1) и, у) = (Е (N) Е (/И) и, о)

для произвольного борелевского множества N с: Л и любых и, -и. Итак доказано, что

Е (М (\ N') = Е (М') Е (Ny

Полагая М = М, находим Е(М) Е(М) = Е(Му т. е. Е(М)— идемпотентный оператор. Так как Е(М) = Е(Му, то в силу теоремы 2 § 1 Е(М)— оператор ортогонального проектирования.

Итак, каждому борелевскому множеству М с Л мы поставили в соответствие оператор ортогонального проектирования Е (Му причем непересекающимся множествам соответствуют операторы проектирования на ортогональные подпространства; Е(М) является счетноаддитивной функцией ’):

=Е(М = г.

•\ Y<

Очевидно, построенная функция множества Е(М) (£(Х)) удовлетворяет всем требованиям спектральной теоремы. Такая функция Е(М^ называется спектральной мерой или спектральной функцией.

Легко проверить, что в случае, когда Е(М) является спектральной мерой, а /—произвольной измеримой и ограниченной функцией на (компактном) множестве Л, выражение ф^и, у) =' У /(X) d(E(X^ и, v) л

является билинейным функционалом переменных и, *0. Поскольку

|ф/(«- «)|< J* |/(X)|d||^X)«||2<sup |/(Х)| • |] « ||2,

существует такой ограниченный оператор В, что

(Ви, v)=J /(X)d(E(X)u, у) ■л

Слабая счетная аддитивность Е(М) следует из того, что (Е(М')и, v) ■= = р(М; и, о), а мера ц(-; и, v) счетно-аддитивна. — Прим. ред.

и(|S||<sup|/W|

Л

(более точно: в последнем соотношении имеет место знак равенства). Легко доказать следующую теорему.

Теорема 2. Пусть 25(A) — класс измеримых ограниченных функций на множестве Л. Если f, g £23 (Л), /ио1)

1° J (а/) (X) dE (X) = a J / (К) dE(X), лл

2° / (/ + g) О-) dE (X) = У / (X) dE (X) + У g^dE^. z\лл

3° J fWdEW^f f/(X)dE(X)V, . л\лУ

4° / у /(X) t/f <Х)А ( у g(X)dE(X) V у /(Х)^(Х) ^(Х). \лУ \лУ Л

Доказательство. Так как доказательство всех четырех равенств можно провести по одной схеме, докажем одно из них, например второе.

Пусть

A^'J/dE, B°=JgdE, С °—J (/4” g) dE;

ЛЛЛ,

тогда■

([И -4-S] «, г>) = (Аи, v) + (Bu, v) = J fd(Eu, ») + л

+ У gd (Ей, v)= У (/ + §•) d (Ей, у) = (Си, у) Л 'л

дли всех и, v^^, т. е. А 4- В = С, что и требовалось доказать.

Нескольку труднее проверить равенство 4°. Для его доказатель-стве положим опить A^J f dE, В°— J gdE. Рассмотрим функ-лл

*) Интеграл у /(X)d£(X) следует здесь понимать как обозначение лил

иейвого ограниченного оператора В, определяемого соотношением (Ви, и) = " J /(X) d (Е (Л) и, v). Можно, однако, показать, что этот интеграл суще- л

ствует как предел соответствующих интегральных сумм в смысле сильной и даже равномерной сходимости операторов. При этом говорят, что последовательность (Л„) сходится равномерно к оператору А, если [| Л„—А || ->0, л -> оо. — Прим, перев.

цию |л(Л4) °— (Е(М)Ви, v) измеримого множества М с А, где я и у — фиксированные векторы. Имеем

[х (Л1) = фа, Е (Ж) у) = Qy gdE^ а, Е (/И) о) =

= J g(^)d(E(k)a. E(M)v) — J g (X) d ф (Ж) E (К) и, y) = лл

= J gф)dф{M ПХ)«, y) = J g^d^EQ^u, y) лм

для каждого измеримого множества /И. Отсюда вытекает, что

<АВи, v) = фи, А*у) = (А*у, Вя) =

= J Jф)dфф)■u1 Ви) = у !ФффФ)Ви. = лл

= У / W ЙН W = У / (М g Ф) d ф ф) и, V).

лл

Следовательно,

AB = J/gdE, что и требовалось доказать.

Полагая А — у К dE ф\ на основании равенства 4° для каждого л

полинома р имеем p(A) = J p(X)dE(X). В связи с последним равен- л

ством естественным является обозначение / (А) —' у / (X) dE ф) при

/6»(А).

Таким образом, закопчено доказательство спектральной теоремы (в первой формулировке) вместе с исчислением (ограниченных) функций самосопряженного оператора. Вторая формулировка спектральной теоремы очевидным образом следует из первой.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать пункты 1° и 3° теоремы 2 § 4.

Доказать, что оператор / (А) эрмитов, если функция / вещественна.

Доказать, что у (А) — оператор ортогонального проектирования, если х — борелевская функция, принимающая лишь значения О и 1 (т. е. х — характеристическая функция некоторого борелев- ского подмножества вещественной оси).

ГЛ ABA V

Симметрические и самосопряженные операторы.Самосопряженные расширения симметрическихоператоров

Неограниченные операторы

До сих пор мы изучали преобразования всего гильбертова пространства в себя. Кроме того, преобразования, которые мы изучали, были ограниченными, т. е. существовала такая постоянная С, что

[Л«||^С1|а[| для всех «6 $.

Однако очень часто встречаются преобразования, заданные лишь на плотных подмножествах гильбертова пространства, причем, как правило, эти преобразования не являются ограниченными. Поясним это на нескольких примерах. п

Оператор Лапласа Аи = 2 д2и(х')!дх2 где х пробегает некото- рую область Q„ в пространстве Еп, применим не ко всем функциям с интегрируемым квадратом в области Йп, а только к дважды дифференцируемым. Из определения пространства L2^^ нам известно, что множество С^ бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями, принадлежащими Qn, плотно в L2^) (пространство L2(Q„) является пополнением множества С50 (Qn)). Тем самым оператор Ан и все другие дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами определены на плотных подмножествах Прог гране тип /?(НЯ). С аналогичной ситуацией мы встречаемся в случае систем дифференциальных операторов: такие системы будут операторами, заланпымп па плотных подмножествах [например, на под- шкпктие Cu"''(U,()| гильбертова пространства Z,2,r(Qn).

Такие линейные операторы, вообще говоря, не являются ограниченными. Покажем это на примере простейшего дифференциального оператора Аа °— du {x)!dx, заданного на функциях из С1 (0, 1). Рассмотрим последовательность ип (х) = sin плх. В гильбертовом пространстве £2(0, 1) [в котором множество С1 (0, 1) плотно) имеем

1

Ц«„||2= J |sin«nx ^dx= 1/2,о

Ш1=Ш1=так что | ип || = ]/1/2. Кроме того,

Ш1=

Ш1=

(ил) J (cos илх)2 dx == ил || я„ ||.

.0А’ ^

Поскольку при достаточно большом и число ил больше любого наперед заданного числа, оператор d[dx является неограниченным.

Замечание. Предложение „дифференциальный оператор является разрывным" имеет смысл только в том случае, когда указано, в каком пространстве он рассматривается. Существуют такие векторные, топологические пространства, в которых дифференциальные операторы являются непрерывными, что позволяет свободно с ними обращаться. Но сама структура таких пространств является достаточно сложной (Шварц [1], И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов [2, 3]), ср. гл. III.

Предыдущие примеры наводят на мысль рассмотреть неограниченные линейные преобразования, заданные на плотных подмножествах гильбертова пространства.

Оператор А*. Примеры сопряженных операторов

Область определения (линейного) оператора А будем обозначать через D (А), а область его значений — через R (A): R (А) —' AD (А); мы при этом будем предполагать, что D (А) = .£> (О (А) плотно в ф). ■ Как и в гл. II, сопряженный с А оператор А* определим с помощью , тождества

(Ли’^«еЯо (и> £)’ aV= g.(2.1)

Говоря точнее, О (А*) — множество всех тех векторов у, для которых существует такой вектор g, что (2.1) выполняется для всех a^D(Ay'). При заданном d^DCA*) вектор g определяется тождеством (2.1) однозначно. Действительно, если также (Ая, у) = (я, gx^ для всех u^D^A'), то (я, g— g,1) = 0, а так как многообразие D(A) плотно в §, то gx = g. По определению полагаем A*y = g".

Ввиду того что понятие оператора, сопряженного неограниченному оператору, обычно несколько затрудняет начинающего читателя, приведем здесь несколько примеров, играющих важную роль в приложениях.

') Это эквивалентно тому, что функционал / (и) = (Ам, о), заданный на D (А), продолжается до непрерывного линейного функционала на всем .р. — Прим. ред. ■

Примеры .

1°. Оператор слабого дифференцирования (С. Л. Соболев) в области Qn. Если функции ф и ф принадлежат классу С” (Q„), то, интегрируя по частям, находим

Г f —(^- ^ dx = (-1)’а 1 J а (х) dx. (2.2) Лг^1 Их п дх. дх п

Формула (2.2) приводит к следующему обобщению понятия производной. Как и ранее, введем обозначение D" =' О1 a }/дх^ ...дх“п. Будем считать, что оператор D" определен па множестве С” (Q„). Оператором слабого дифференцирования в области Qn (с показателем а порядка |а|) называется оператор

d“°= („^al^ay.d“°= („^al^ay.(2.3)(2.3)

d“°= („^al^ay.

d“°= („^al^ay.

(2.3)

(2.3)

другими словами, да— это оператор, определенный с помощью тождества

f Dau (x)v (х) dx =(—l)|a| f « (x)g(x)dx =

Бл“eco°(Qn) q„

= J « (x) day (x) dx, dav (x) °= g (x) ’).

2°. A*—оператор, сопряженный с оператором Лапласа, п

Рассмотрим оператор Лапласа А = У d^ldx^, заданный на множестве С” (Qn): D (А) = С” (Q„). Оператор А* имеет область определения более широкую, чем множество С”(Q„), D (А*)з£> (А):

J А« (х) у (х) dx = J и (х) А"» (х) dx.

Q«

Следует обратить внимание на то, что функция y^D(A*) не обязана быть равной 0 в некоторой „граничной полоске" области Q„, ибо равенство нулю интеграла по поверхности

Г I ди (х) —— , . ди (х) \ ,J (^’(^-“«лфгVх

(дй„ — поверхность, ограничивающая область Q„, д/дп— дифференцирование по внешней нормали) обеспечивается тем, что функция и (х) равна нулю (в некоторой граничной полоске).

Пусть область определения D (В) оператора В шире области определения D(A') оператора A, D(B)Z3D(A) и, кроме того, на множестве D (Л) оба оператора принимают одинаковые значения: Ви = Аи при u^D(A\ Тогда оператор В называется расширением оператора А, а оператор А — сужением оператора В. В таком случае мы пишем АсВ или ВэА.

Пример 2° показывает, что Д*оА, если О (Д) = С” (Qn). Можно привести очень много подобных примеров. В связи с этим введем класс линейных операторов, обладающих тем свойством, что они являются сужениями своих сопряженных.

Определение. Оператор А называется симметрическим, если А*оА, т. е. если сопряженный с ним оператор является его расширением.

Очевидно, что симметрический оператор может быть определен также следующим эквивалентным способом: оператор симметричен, если (Ам, у) = (м, А») для и, v£D(A).

Ограниченный и симметрический оператор является эрмитовым оператором. Однако не всякий симметрический оператор эрмитов.

Естественно ожидать, что особенно интересными свойствами должны обладать симметрические операторы, совпадающие с сопряженными с ними.

Оператор А, для которого А* = А, называется самосопряженным (или гипермаксимальным в соответствии с терминологией, введенной фон Нейманом; в настоящее время более употребительным является первый из указанных терминов).

Как мы видим на примере оператора Лапласа, не всякий симметрический оператор является самосопряженным. Возникает вопрос: имеет ли всякий симметрический оператор самосопряженные расширения?

Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным; наличие самосопряженного расширения — „редкий случай". Однако как в математике, так и в ее приложениях особо интересными являются именно такие „редкие случаи". В связи с этим иногда возникает ложное впечатление, что „редкие случаи" преобладают (классический пример: при первом знакомстве с дифференциальным исчислением возникает иллюзия, будто все непрерывные функции дифференцируемы. В действительности, однако, непрерывные функции, не имеющие нигде производной, образуют множество второй категории, т. е. этих функций „значительно больше", чем остальных функций).

Заметим, что аз включения АсВ вытекает включение А* с В*. Действительно, если w£D(B*), то существует такой элемент g^^, что (Ви, ^^(и, g) для всех u^D(B\ Если АсВ, то тем более (Au, v) = (u, g) для всех u^D(Ay так как Аи = Ви. Поэтому w£D(A*) и A*w = g = B*w, что и требовалось доказать. Отсюда получаем следующую лемму.

Лемма. Оператор А, обладающий симметрическими расширениями, сам является симметрическим оператором. Все симметрические расширения оператора А являются сужениями оператора А*.

Доказательство. Пусть BzdA и ВсВ*. Тогда В*сА*, так что АсВсВ*сА*.

Как мы увидим в дальнейшем, для неограниченных самосопряженных операторов также верна спектральная теорема. Следовательно, можно построить исчисление функций от самосопряженного оператора, аналогичное исчислению, построенному в предыдущей главе для ограниченных операторов. Теория функций от самосопряженного оператора в последние годы была применена к ряду важных проблем анализа (смешанные задачи для дифференциальных уравнений математической физики, теория гармонических полей и т. д.). Поэтому представляют интерес признаки, позволяющие выделять самосопряженные операторы среди симметрических. С некоторыми из этих признаков мы познакомимся в следующем параграфе.

Теоремы фон Неймана

Докажем следующие теоремы (фон Нейман).

Симметрический оператор А, заданный на всем пространстве D(A') — ^, является самосопряженным, Л = Л*’).

Симметрический оператор А, область значений которого совпадает со всем пространством R(A) = Sj, является самосопряженным, А — А*.

Симметрический oneратор А с областью значений, плотной в пространстве у, В\А^ = ^, обладает об ратным оператором А-1, причем Л-1 тоже симметричен.

А = А* тогда и только тогда, когда Л-1 = (Л-1)*.

Доказательство. Заметим, что теорема 2 вытекает из теорем 1, 3 и 4.

К пункту 1. Так как в силу симметричности Ас А*, то D^cD^y Но 0^ = ^, поэтому D(A*) = ^ и А = А*.

Прежде чем переходйть к доказательству теоремы 3, напомним, в каком случае можно говорить об обратном преобразовании. Об обратном операторе А-1 имеет смысл говорить лишь в том случае, когда преобразование А является взаимно однозначным, т. е.

') Фактически можно утверждать большее: симметрический оператор А, область определения которого совпадает со всем пространством, является эрмитовым, т. е. ограниченным самосопряженным оператором. См. гл. 1П, § 3, теорема й. — Прим. перев.

равенство Аи = А,и имеет место только тогда, когда м=г>. Но в силу линейности оператора А это имеет место только тогда, когда из равенства Аи = 0 вытекает, что и = 0 (оператор А равен нулю только в нуле). В этом случае полагаем Е>(Л-1)°— /?(Л) и А-хАи = = u£,D(A') [очевидно, тогда AA-Xy = v для всех v ^,D^A~X^=.

= /?(Л)].

К пункту 3. Для того чтобы доказать теорему 3, следует сначала показать, что из равенства Аи = 0 вытекает равенство я = 0. Предположим, что Аи = 0, тогда (и, А^ — ^Аи, г>) = 0 для всех -и £ D (Л). Таким образом, ti^R (Л). Но так как R (Л) = §, то и = 0.

Итак, существует оператор Л-1 с плотной областью определения £)(Л-1). В таком случае существует (однозначно определенный) оператор (Л-1) .

Предположим, что доказана следующая лемма (ее доказательство мы приводим ниже).

Лемма. Если существуют операторы Л-1, А и (л-1) , то существует также оператор (Л*)-1 и (Л-1) =(Л*)-1.

Вернемся к доказательству теоремы 3. Итак, существует оператор (Л*)-1 и (л-1)* = (Л*)-1. Поскольку ЛсЛ‘, имеем Л-1с(Л*)-1 = = (л-1)*, и оператор. Л-1 симметричен.

К пункту 4. А = А* тогда и только тогда, когда Л-| = (Л*)-1, или, в силу леммы, когда Л-1=(Л-1)..

Таким образом, теоремы фон Неймана доказаны.

Доказательство леммы. По предположению существует оператор Л-1 и D (Л) = D (Л-1) = ф [как мы знаем, эти предположения гарантируют существование операторов Л* и (л-1) ]. Если u^D(A), а -и £ D ((Л-1)*), то (и, ■и) = (Л-1 Au, v) = (Au, (Л-1)*!,); это означает, что

(Л-1)* у £ О (Л*) и Л* (Л-1)* у = v.(*)

Аналогично, если и £ D (Л-1), a v £ D (Л*), то (и, у)=(ЛЛ-1«, -и)= — (А~хи, Ли), т. е.

л*г> ^ ^((л-1)*) и (л-1/ Л*у = у. (**)

Из соотношений (*) и (**) вытекает, что оператор А* обладает обратным оператором (Л*)-1=(Л !) .

Симметрические и полуограниченные операторы.Расширения по Фридрихсу ’)

Как мы знаем, линейное преобразование называется ограниченным, если.

1Н<Я4

Отсюда вытекает, что для ограниченного оператора имеет место неравенство

|(S«. м)| <||5и|И| и|| <||В|| • ||и||2(А1 =Ц5|]).

Если оператор В симметричен (в этом случае число (Ви, zz) является вещественным для всех и £ ■§>), то существует такая пара чисел т и zW', что

т' || и ||2 <| (Ви, и) <| М' |! и ||2.

Нижнюю (верхнюю) грань чисел М' (т'), для которых имеет место предыдущее неравенство, обозначим через М (т) и будем называть верхней (нижней) гранью оператора В. Следовательно, имеем

tn (и, и)^.(Ви, и)^(М(и, и).

Может случиться, что, хотя симметрический оператор не является ограниченным, для него существует верхняя или нижняя грань. (Как мы увидим в дальнейшем, это имеет место в случае эллиптических операторов.) Тогда оператор называется ограниченным сверху или соответственно снизу. Операторы, ограниченные только с одной стороны, называются полуограниченными.

Из определения видно, что когда оператор А ограничен сверху, то оператор (— А) ограничен снизу (его нижней гранью будет число — М). Если нижняя грань оператора т > 0, т. е.

(Аи, и) ^ т || и ||2, то оператор А называется положительно определенным. Если же т = 0, т. е. (Аи, a)^®, то оператор называется положительным. Как мы покажем в дальнейшем, многие важные операторы положительно определены (см. гл. XII и XIV).

К. Фридрихе систематически изучал дифференциальные операторы. Ему принадлежит следующая важная для приложений теорема.

Теорема (Фридрихе, Стоун, В инти ер). Симметрический ограниченный снизу оператор А можно расширить до самосопряженного ограниченного снизу оператора А и при этом так, что;

1° оператор А имеет нижнюю грань, равную нижней грани one ратора А;

2Э R(A^ = ^ в том случае, когда нижняя грань Л больше нуля.

Заметим, что самосопряженное расширение полуограниченного оператора, вообще говоря, не является единственным. В дальнейшем мы познакомимся с примерами операторов, которые обладают только одним расширением, получаемым посредством процедуры замыкания.

Доказательство, которое мы здесь приведем, проще первоначального доказательства Фридрихса и принадлежит Фрейденталю [2]. При этом будет не только доказано существование, но и указан способ построения соответствующего расширения (несколько другие доказательства содержатся в монографиях Рисса и Надя [1] и Михлина [2]).

Заметим сразу же, что, не ограничивая общности, можно считать, что оператор А обладает нижней гранью, равной единице. Действительно, предположим, например, что (А'и, и)^>т(и, и). Тогда, полагая 4 = 4' — (/и—1)7, получим

(Au, и) = (А'и, и) — т(и, «)+1-(я, и) ^-1 • (и, и).

Расширение оператора А вызовет требуемое в 1° расширение оператора А'. Для исследования вопроса 2Э удобно от оператора А с т > 0 перейти к оператору А = -^- А' с нижней гранью, равной 1.

Доказательство. Пусть (Аи, и)^.(и, и). Введем в D (Л) новое скалярное произведение (я, v)A — (Аи,у). Нетрудно проверить, что все аксиомы унитарного пространства при этом выполняются, например

(и, v)a = (Au, v) = (u, Av) = (Av, и)=(у, и)А,

(и, u)a = (Au, u)^(u, u)>0 при и 4= 0.

Пополняя построенное унитарное пространство (по норме II“ Пл ^ Кя- и)АП получим гильбертово пространство, которое обозначим через §д.

Заметим, что ^)дс:-^; точнее говоря, %Д можно линейно и взаимно однозначно отобразить в пространство £>, ибо норма || • ||д сильнее нормы || • || в том смысле, что из сходимости по норме || • ||д вытекает сходимость по норме || • ][. Действительно, || и ||д ^ || я || при и ^D(A). Отсюда следует, что последовательностей, фундаментальных по норме || • ||д, существует „не больше", чем последовательностей, фундаментальных по норме || • ||. Поэтому пространство $д (множество классов эквивалентных последовательностей, фундаментальных по норме

|| • ||л) можно отождествить ’) с некоторым множеством последовательностей, фундаментальных по || • ||, т. е. с подмножеством пространства ф. Другими словами, мы отождествили пространство фл с некоторым линейным многообразием S'c.^. Пространство фл имеет другую топологию, чем многообразие Д?. По определению, формула (м, у)л = = ^Аи, у) имеет место при и, ‘U^D(A), однако в силу непрерывности скалярного произведения она сохранится также и при u^D(A'), f^A-

Положим у, =£)(Д)П'$д- Имеем, очевидно, включение D^A^cz. cz^czD (А*) (напомним, что А симметричен, т. е. АсА*у Сужение оператора А* на множество $! обозначим через А. Именно оператор А называется расширением one ратора А по Фридрихе^.

Нужно доказать, что А = А*. В силу теорем § 3 для этого достаточно проверить, что R(A) = So иАсА*.

Пусть у — произвольный элемент из у. Вследствие неравенств | (и, у) | <( || и || • || у ||<|| у || • || и ||л, имеющих место для всех u£_D (Д), выражение (и, у) является непрерывным функционалом на плотном подмножестве пространства $л. Следовательно, на основании теоремы Рисса — Фреше существует (и притом только один) такой элемент у*^^, что (м, у) — (м, у*)л — (Дм, у*) для всех u^D(A). Отсюда у*£ D (Д*) П §л и Д*у* = Ду* — v. Таким образом, мы доказали, что R^A^ = ^.

Докажем теперь, что оператор А симметричен и его нижняя грань равна единице. Если и, -и £ D (Д) = %А П D (Д*), то существуют такие последовательности (м„), (ул), что м„, у„££)(Д) и || м— “п||д^-0, || у—у„ ||л-> 0. Следовательно, выражение (м„, Ут)л = (Дм„, ут) = = (м„, ДУт) имеет предел при п, т->оо. Вычислим этот предел:

lim Пт (Дм„, Ут) = Пт (Дм„, у)= Пт (м„, Ду) = (м, Ду); П->СО т->СОИ->^ОЛ->СО

с другой стороны,

Пт Пт (Дмл, у,„)= Пт Нт (м„, Дут) =

— Пт (м, Дут)= lim (Дм, у;л) = (Дм, у).

Следовательно, (Дм, у) = (м, Ду) для всех м, у££)(Д), так что оператор А действительно симметричен. Аналогично доказывается

полуограниченность:.

(Аи, и) = lim (Au, и^ = lim (zz, Аи^ = л->ооп-^-о

= lim (zz, ип>А = (и, и)А >|| и ||2.

Таким образом, нижняя грань после расширения не уменьшилась и, следовательно, осталась по-прежнему равной единице.

Указание для читателя, интересующегося приложениями. Как мы уже упоминали, изложенная теорема имеет важные применения в теории краевых задач и задач па собственные значения для эллиптических уравнений. Рекомендуем читателю посмотреть гл. XII, в которой рассматриваются применения теоремы Фридрихса — Стоуна — Винтнера.

Спектральное представление полуограниченного оператора

Как мы отмечали, если А = А*—полуограниченный оператор с нижней гранью, равной т, то оператор А, °—' А — (т — 1)/ является полуограниченным оператором с нижней гранью, равной единице:

(А^, и)^(и, и).

Следовательно, оператор Аг обратим, т. е. существует оператор ЛГ1. В самом деле, если А1и = 0, то (и, и) < (А^, и) = 0, откуда и=0. Далее, оператор, обратный к самосопряженному, также является самосопряженным: ЛГ1 = (ЛГ1)*. Поскольку

И^и II 1 |MI> KAzz, »)!>№ то

Ur’IKi.

Итак, ЛГ1 не только самосопряженный, но и ограниченный оператор, причем £)(ЛГ1) = ₽(Л1) = §. Применяя к оператору ЛГ1 спектральную теорему, получаем

ЛГ1 = J pdF(p).•

О

Однако !)!!!

J ~^(H)J Ц^(Р> = J ldF(p)=I, 00о

и поэтому

о

') Определение неограниченной функции эрмитова оператора приводится в следующем параграфе.

Таким образом,

1ОО

л = л, + (т — 1)/ = J^ + m — l)df (ц)= J XdE(X),

От

где

E(X) = F([X-m + ll')

^потому что Х = -^4~т—откУДа Н = (^— m +1) '^-

Из доказанного вытекает такое следствие.

Следствие. Если А — полуограниченный самосопряженный оператор с нижней гранью т {верхней гранью М), то его спектральная функция Е{Х) равна нулю при X < т (Е (X) = / при Х^-М).

Функции самосопряженного оператора. Операторное исчисление Стоуна — фон Неймана

В предыдущей главе мы определили ограниченную функцию класса 23(A) от оператора, обладающего спектральным разложением А = J XdE{Xy.

А

Теперь мы покажем, что каждой спектральной функции Е {X), заданной на вещественной оси, можно поставить в соответствие

ОО

ОПр. С А Т^ А самосопряженный оператор Л = I ХЕ (dX) (смысл, в котором следует понимать этот интеграл, поясним позже) и определить функции F(А) от самосопряженного оператора А для широкого класса неограниченных, но измеримых функций F, а также развить соответствующее исчисление. Как мы увидим в гл. XVII и XVIII, это исчисление (так называемое операторное исчисление Стоуна — фон Неймана) приносит большую пользу в основных задачах математической физики—в задаче Коши и смешанных задачах с начальными и краевыми условиями.

Итак, пусть дана спектральная функция Е (X) (наряду с терминами „спектральная функция" или „спектральная мера" часто употребляется термин „разложение единицы"), т. е. однопараметрическое семейство операторов ортогонального проектирования, удовлетворяющее следующим условиям:

(X^Xl. Е (Х^ при Х]^^,

2Э Е (X -j- 0) = Е (X) (т. е. для каждого элемента о £ % Пт Е{р)ю=

= Е (X) у),

3° Е(—оо) = 0, Е(ро) = 1.

Каждому вектору и поставим в соответствие неотрицательную неубывающую функцию pu (X) —" (Е (X) и, и) = || Е (X) и ||2. В дальнейшем мы рассматриваем только измеримые функции, заданные и конечные почти всюду относительно всех мер ри, и £ £>. Класс таких функций обозначим через 33. Построение операторных функций класса $ основано па следующей лемме.

Лемма (Рисе и Л о р х). Пусть §р ф2, ..., фр ... — последовательность взаимно ортогональных подпространств, полная в пространстве $: [($z)] = S^. Обозначим через ut ортогональную проекцию вектора и на подпространство 5^. Если Ах, Л2, .... At, ...—такая последовательность операторов, что сужение оператора А( на подпространство ^t является на этом подпространстве эрмитовым оператором1') ^т. е. самосопряженным и ограниченным'), то существует такой самосопряженный оператор А, что его сужение на подпространство $^b 1 = 1, 2, ..., равно сужению оператора А^ т. е. при ю^^ имеем Аю = Ари, причем D (Л) = I и : 2 II Atut ||2 < оо?.

Iz = iJ

При u^,D(A) имеем

Аи=^ A(ut.

Оператор А определен однозначно.

Доказательство. Построенный выше оператор А линеен. Его область определения £)(Л) плотна в пространстве .§, ибо она содержит все элементы вида 2 “<• и/€ ^р образующие в прост- i=I

ранстве «у плотное линейное многообразие. Далее, оператор А симметричен, ибо для всех и, v^D(A)

{Au, ■v)=^AAlui, ю^^Ди^ А^-^ — ^и, Аю)t = Iz = 1

ккАрд ‘u') = kAiui, УЛ так как ю} | А^; при / + j). Пусть ю^П^А), тогда для произвольного u^D(A) имеем тождество (Аи, ю)=(и, А*ю), из которого вытекает

2 кАд^ ю^ = 2 к«1- кА^).

i = ii = 1

Если в качестве и взягь элемент подпространства фй, то ut = О при I + к и последнее равенство сведется к следующему:

1Акик, •uk) = (jik, (А^.

Поскольку оператор Ак самосопряжен в пространстве %к> то (Л*г>)6 = Akvk. Отсюда вытекает, что

2||л^||2=5|1(^)6|Р = ||л^112.

6=16=1

Следовательно, ю^В (Л) и

Лу = 2 Акюк = 2 (А*-и)к = Л*у.6=16=1

Итак, Л* с: Л. Однако оператор А симметричен, поэтому АсА*, т. е. А = А*.

Остается еще доказать единственность оператора А. Пусть В~В*— какой-либо оператор, равный оператору Л, на подпространстве <§z, Z= 1, 2К области определения D(B) оператора В обязательно принадлежат все те векторы и, для которых сходится ряд ^Ви^, причем сумма ряда равна Ви. Но But = Aiul, а схо- i=i димость ряда ортогональных векторов эквивалентна сходимости (числового) ряда квадратов норм этих векторов; таким образом, множество всех таких векторов и совпадает с множеством D (Л), причем Ви = Аи, т. е. ВоА. Отсюда А = А*оВ* = В и А = В. Лемма доказана.

Теперь мы можем перейти к построению функций F (Л) при F£®. Предположим сначала, что F (X) = F (X).

Как нам известно (см. гл. IV, упражнение 3), характеристическим функциям соответствуют проекционные операторы. Пусть ек^ — характеристическая функция множества всех тех значений X, для которых к—1 F^ < к, к = 0, ± 1, ±2Пусть F4(X) — = ек (X) F (X). Очевидно, функция Fk измерима и ограничена, а поэтому определена функция

^ <Л) = ^6 W °=^ J ^6 WdE w-

Далее-сосо

2 ekW= f \dE^=I.

Пусть фй = /?(е^(Д)), т. е. ^к— подпространство, на которое проектирует оператор ^(Д). Поскольку ек (к) et (X) = 0 при I + к, то •§>( J. Фй при / + к. Теперь уже ясно, как определить оператор Е'(Д): это оператор, о котором речь идет в лемме Рисса — Лорха, равный на подпространстве ^( оператору F^Ay Напомним, что

D(F(A>V=D(F(A>V=«: ^11-^И)^ИМ12 =«: ^11-^И)^ИМ12 =

D(F(A>V=

D(F(A>V=

«: ^11-^И)^ИМ12 =

«: ^11-^И)^ИМ12 =

= 2 ||/^ИМ2 = £ f |Eft(X)|2d(f(X)«, «)

Как известно (ср. дополнение I), сходимость ряда 2 fI^ — f2^ эквивалентна — на основании теорем Беппо Леви и Лебега — сходимости интеграла J F2^ d (Е (X) и, и); если последний интеграл

сходится, то

J F2 (X) d (Е (X) и. и) = || F (Д) и ||2.

Из сказанного вытекает, что область определения оператора ^(Д) состоит из всех тех и ^ ф, для которых интеграл J' | F(X) |2 d (Е(Х) и, и) схо-

дится:

D^F^^

В частности,

О(Д) =О(Д) =zz : J | X р d (Е (X) и, и)

О(Д) =

О(Д) =

Если и £ D (F (Д)), то, полагая ик = ek^A^ и, получаем

Е^А^и — 2 F^ut = 2 FkWu.к = — ook= — co

а затем CO0000

(F(A)u, v) = ^ [№№л) = J F(^d(E^u, -и\&= — OO — oo—co

Исчисление функций самосопряженного оператора содержится в следующей теореме.

Теорема. Определенные выше функции самосопряженного оператора удовлетворяют следующим соотношениям:

Если F, Fv Z^ES- то.

1° (F(A))* = F(A),

2° a F (А) = (а РИА) при a^C1,

3° (Fx +B2)(A)zdFx(A)-[-F2(A), причем равенство имеет место только тогда, когда D ((Ег-\- Р^А^сВ (Рг(А)) [или сй(Р2(Л))], например тогда, когда одна из функций Ft (в существенном) ограничена.

4° (FyF^^zDЕг(А) F^A)\ равенство имеет место тогда и только тогда, когда D (F2(A))tdD ((РхР2)(А)) [это имеет место, например, когда |В2(Х)|'^ Л4 < оо].

Доказательство. Предложение 1° вытекает немедленно из того, что

[Ва(Л)Г = /вЙХ)^(Х) = Вй(Л). .

Предложение 2° очевидно.

Перейдем к доказательству предложения 3°. При этом заметим, что сумма С операторов Л и S с областями определения соответственно D(A) и D^B) определяется следующим образом: £)(С) = О(Д)П^)(В), Си== Аи-\-Ви при u^D[C). В частности, областью определения оператора Рх (Л) -j- Р2 (Д) служит множество всех тех векторов и, для которых одновременно j^B, (Х)|2 X )/)d(E (X) и, и) < оо и J|B2(X)|2d(B(X)a, и) < оо. Если функции Рг и Р2 интегрируемы с квадратом относительно меры ри(Х) = = (В (X) и, и), то интегрируемой с квадратом является также их сумма и

f(Bl + в2) (X) d (Е (X) М, у) = 2 iFi(Х>d (Е “’ 0)1

— ОО/=1 —СО

так что фх + В2) (Л) = Fx (А) + Р2 (А). Отсюда Ft (Л)о (Вг + Р2) (Д)— — F^t^A), потому что Bz(X)=(Bi + B2)(X) + [—В3_ДХ)]) и, следовательно,

D(Fx(A)A-B2(A)) =D(Fx(A)A-B2(A)) =О((В1+В2)(Л))ПО(В1(Л)), О((/71+В2)(Л))ПО(/72(Л)).

D(Fx(A)A-B2(A)) =

D(Fx(A)A-B2(A)) =

Докажем предложение 4°. Напомним, что произведением операторов А, В с областями определения соответственно D (Д) и D (В) называется оператор С с областью определения D (С), состоящей ид

всех тех векторов u^D(B), для которых Ви £ D (Л), причем Си = = (ЛВ) и = Л (Ви) при и £ D (С). В частности,

D (F t(A) F2(A)) = UD (F t(A) F2(A)) = UУ | F, (X) V-d || Е(к)и ||2 < оо,

D (F t(A) F2(A)) = U

D (F t(A) F2(A)) = U

в то время какD((FXF2)(A)) =в то время какD((FXF2)(A)) =/ |В1(Х)|2й||Е(?0В2(Л)«||2< оо

в то время как

D((FXF2)(A)) =

в то время как

D((FXF2)(A)) =

и: J |B1(X)F2(X)|2d||B(Z)«||2

При и£ D (F2(A)) имеем

||В(7ЭД2И)<Н^2(Л)В(Х)М||2 = / |В2 (р)|2 d^ Ц Е (ц) Е (1) и ||2^

= J |В2(ц)|2£уВ(р)<, откуда

|| Ех (Л) F, (Л) и ||2 = у | Fx (X) |2 d || Е (X) F, (Л) и ||2 =

= f iFx(X)F2(X)^d^E(X)u^.

Это равенство нужно понимать в самом общем смысле, т. е. его левая и правая части могут быть даже (одновременно) бесконечными. Это означает, что элемент и из области определения оператора В2(Л) принадлежит множеству

D(FX(A) F2(A))^\D((FxF2)(A))

или не принадлежит множеству

D(Fx(A)F2(A))\1D((FxF2)(A)).

Другими словами,

D (Fx (Л) F2 (A)) = D (F2 (A))[\D( (FxF2) (Л)) ^ E.

Если и^Е, то для произвольного v имеем

(F1 (Л) F2 (Л) «, v) = J F1 (X) d (Е (X) Е2 (Л) и, ^ =

= JР^ШЕ^Е^и, v) = J F^dx J B2(p) d^E (p) u, »)= — co— co—co

■=p1(X)F2(X)d(E(X)«,ti)=((flf2)(^«,v),

так что

F1(A)F2(A)u=(F1F2HA)u,.

что и требовалось доказать.

опр. ра) Полагая А= Iопр. ра) Полагая А= IИз доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий.

опр. р

а) Полагая А= I

опр. р

а) Полагая А= I

XdE(X), имеем А" = J V dE (X). .

р) Если В — J XdE (X), где т 2> 0, то оператор В положителен, tn

(Ви, и^= JXd||5(X)M|]2>0.'

т

Полагая В'/г== J X’^dE^), имеем В^2В'!1 = Ви. Оператор В*^ на*т

зывается (положительным*. X^2 = + Vx) квадратным корнем оператора В и играет важную роль в приложениях.

у) Предположим, что |В(Х)|<^Л4 почти всюду относительно любой из мер р„(Х) = || В(Х) « ||2. Тогда

II В (Л) « и2 = f |B(X)|2d||B(XM|2< со

<М2 J d||E(X)«||2 = Al2||a||2,

откуда■

■||В(Л)||<м.■

Можно доказать больше: ||B(X)|| = ess sup|B(X)| (доказательство можно найти в монографии Рисса и Надя [ 1 ]).

б) [В(Л)]-1 = В-1 (Л), причем обе части равенства существуют одновременно (здесь В-1 не символ обратной к F функции, а

F-1(K)=1/F(k)). Несложное доказательство мы предоставляем читателю.

В частности, получаем важную формулу

R (Л, г) “(Л— ziyx = J -^-^^(Х), z^C1.

Однопараметрическое семейство операторов R(A, z) называется резольвентой оператора А. Это семейство операторов будет рассмотрено в гл. VIII. При Im z + О функция FCk) = Ck — z)~x ограничена на вещественной оси, и поэтому вне вещественной оси /?(Л, z')— ограниченный оператор.

§ 7. О спектре самосопряженного оператора

В этом параграфе будет сообщено несколько фактов, связанных со спектром оператора, спектральная функция которого известна. Другой подход к проблемам, связанным со спектром оператора, читатель найдет в гл. VIII, а унификацию и углубление — в гл. IX, в которой излагается полная спектральная теорема фон Неймана.

Пусть F(A)== J* F(k)dE(k) и, в частности,

Л^ J XdE(K).(7.1)

Определение. Спектром оператора А называется подмножество А вещественной оси, на котором спектральная функция EQ?) строго возрастает, т. е. строго возрастает однопараметрическое семейство подпространств % (X) == Е (X) ф, или, что то же самое, хотя бы для одного и £ ф строго возрастает числовая функция (Е (X) и, и).

Таким образом, спектральный интеграл j F(k)dE(k) берется

фактически только по спектру А оператора А. Мы говорим, что

число Хо [соответственно F(X0)] принадлежит точечному спектру оператора А [соответственно Л (Л)], если одноточечное множество (Хо) имеет положительную Zz-меру, т. е. Е ((Хо)) = Е (Хо) —- — В(Х0— 0)=# 0, или, другими словами, если в точке Хо функция Е (X) терпит разрыв. То подмножество спектра, которое остается После удаления точечного спектра, называется непрерывным спек-

тром оператора Л. Множество F (Л) — [£(Х): X £ Л} называется спектром оператора F(A).

. опр.

Из этого определения видно, что спектр оператора е1А =

== J elx dE (К) лежит в комплексной плоскости на окружности единичного радиуса с центром в точке нуль. Оператор тождественного преобразования имеет одноточечный спектр, состоящий из точки 1.

Из предыдущего определения вытекает, что самосопряженный оператор А в конечномерном пространстве •§>, dim^<oo, имеет только точечный спектр, совпадающий с множеством собственных значений оператора. Покажем теперь, что и в общем случае точечный спектр совпадает с множеством собственных значений оператора А.

Пусть Хо=#О, и пусть Хо принадлежит точечному спектру оператора А, т. е. £((Х0))>0, и область значений оператора £((Х0))

.^^EW)^(7.2)

является подпространством, отличным от нулевого. Очевидно, АЕ( (Хо)) = Е( (Хо) )A = J xM(k) X dE (X) =

= ^о J" Х(х0) W ^ X) ~ ^ ((Хо)),

где Хаг — характеристическая функция множества М. Ввиду того что Е((Х0))£((Х0)) = £((Х0)),

Аи = Хо« для всех и £ ^0 = Е ((Хо)) ф, (7.3) т. е. элементы подпространства ^^ являются собственными векторами оператора А, принадлежащими собственному значению Хо.

Пусть теперь для вектора и=£0 и числа Хо выполняется равенство (7.3), т. е.

О = |1И-Хо/)< = J |Х — Хор d || £(Х) и ||2.л

Интеграл в правой части равен нулю только в том случае, когда ||£((Х0))и II2 > 0 и || ^(Х)^ ||2 = 0 при X Хо.

Таким образом, мы показали, что множество собственных значений (очевидно, это множество может быть также пустым) оператора А совпадает с его точечным спектром, а пространство ф^,

определенное с помощью равенства (7.2),—совпадает с собственным подпространством, соответствующим собственному значению Хо.

Из свойств спектральной меры £\, а также доказанной только что теоремы получаем следствие.

Следствие. Собственные подпространства фх, и ^х^ соответствующие различным собственным значениям Х^Х^, взаимно ортогональны. Оператор Л не имеет непрерывного спектра (т. е. имеет только точечный спектр) тогда и только тогда, когда замкнутая линейная оболочка собственных подпространств этого оператора совпадает со всем пространством £.

Во многих вопросах, например в теории вполне непрерывных операторов, важную роль играет понятие точки предельного спектра.

Определение. Точку Хо [соответственно ^(Хд)] называют точкой предельного спектра one ратора ^"J KdE(X) [соответственно f (Л)], если каждой окрестности А точки Хо соответствует бесконечномерное подпространство §д== Е (A) А5 (m. е. dim фд = со).

Как мы увидим в гл. VII, эрмитовы операторы, спектр которых не содержит других точек предельного спектра, кроме точки нуль, являются вполне непрерывными.

§ 8. Примеры симметрических дифференциальных операторов

1°. Особенно важный для применений в математической физике класс операторов составляют так называемые формально самосопряженные дифференциальные операторы. Приведем здесь определение, позволяющее применять к ним аппарат гильбертова пространства.

Мы будем употреблять обозначения, уже введенные ранее: а = (ар .... а„) обозначает показатель дифференцирования, |а| = = а,+ ... +ал,

.па <>ПР-^|а1.

dx“i ... дхап1п

Линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка о имеет вид

[Аи)(х) = 2 аа(х) Dau[x), х^О^сЕ".

0<|а|Са

Определение. Оператор Л+ будем называть формально сопряженным [или сопряженным в смысле Лагранжа) с one-

§ 8. Примеры симметрических дифференциальных операторов 137 ратором А, если при и, о^С“(йл) имеет место тождество (Ли, t>) = — (и, А+г>), где (и, у) — J u(x)v(x) dx.

Qn

Интегрируя п раз по частям и учитывая, что интегралы по поверхности равны нулю, поскольку подинтегральные функции равны нулю „в граничной полоске", получаем

(Au,H) = J 2 #а СО £>“« (х) D (х) ti?X—

Од |а|<п

= Ju(x) ^ (— 1)|а| D“ [аДх)?? (х)] dx — (и, А*-^, йп |а|<а откуда

(Л^)(Х)= 5 (-l)|a|D“(M^®(x)) latter

[при этом мы предполагали достаточную гладкость коэффициентов: «аЕС'^М-

2°. Системой дифференциальных операторов называется выражение, аналогичное рассмотренному в примере 1°, с той разницей, что и, v обозначают теперь системы функций

«(х)~ («1СО«Дх)),'

а аа(х)—квадратные матрицы, элементами которых служат функции

а1а\х) С с|а| (йд аа (X) = (а=? (х) X, 6=1.

Обозначая через а^ матрицу, сопряженную с матрицей аа: (аа(х) и(х), y(x)) = («(x), a*(x)t>(x)y).

без труда находим вид оператора, формально сопряженного с оператором

'Лй(х)= У аа (х) Dau (х),

|a|<a* .■

Пусть

Т

опр. f 0ПР* Г •к

(и, t>)= J 2j ut (х) Vt (х) dx=J {и(х), v(x))dx.

’) (‘ • Д — обозначение скалярного произведения в пространстве Ст.

Если а, у^С”'г(й„), то

(Ла, t>)= J ^ (аа (х) Dau (х), ,u(x$)dx =

Q„ |а | < а

= J У (О“а(х), a„(x)y(x))dx = Q„ | а ]< а

= ^и(х), ^ (— 1)|а| О“[йа(х)у (x)])dx = (a, Л+у\ йп|а|<а

Отсюда для оператора Л+ получаем следующую формулу:

Л+у(х) = 5 (—l)lal О“(а*(х)у(х)),

I а| <аили, записывая это равенство для составляющих,(Л+у)Дх)= 2 (—1)'“'а^Чх^-и^х^.

lai <о\fe=l/

Из определения видно, что формально самосопряженный оператор, т. е. такой оператор Л, для которого Л = Л+, с областью определения D (Л) = Ср01 ’ т (йя), является симметрическим оператором.

ДОПОЛНЕНИЯ

Лакс и Мильграм [1] обобщили построение Фридрихса на случай некоторых несимметрических операторов, используя свою теорему об общем виде билинейного функционала (см. гл. И, упражнение 7).

Пусть оператор А с областью определения D (Л), плотной в пространстве §, удовлетворяет следующим условиям:

\(Аи, и)\"> рЧи. и),рг>0.

| (Ла, у) |< д21 (Ла, “) I7’ I (Аг,> ®) I7’ при a, v^D(A).

Тогда существует оператор А о А, также удовлетворяющий условиям а) и Ь) и обладающий ограниченным обратным Л-1, mic^r1.

Указание. Пополнить множество £>(Л) по новой норме I] а ||д —' | (Ла, а)| и продолжить на это пополнение билинейную форму В (и, v) = (Au, у). К продолженной форме применить теорему Лакса—Мильграма,■

ГЛАВА VI

Изометрические и унитарные операторы.

Расширение симметрического оператора досамосопряженного. Спектральная теоремадля самосопряженного оператора

Целью настоящей главы является изложение фундаментального результата фон Неймана, который дает решение вопроса о возможности расширить симметрический оператор до самосопряженного. Эту трудную задачу фон Нейман свел к более простой задаче нахождения условий, необходимых и достаточных для того, чтобы изометрический оператор можно было расширить до унитарного (при этом изометрическим называется линейный оператор, сохраняющий расстояние, а унитарным оператором называется такой изометрический оператор, область определения и область значений которого совпадают со всем пространством §). На последний вопрос легко дать ответ. Итак, нам нужно ближе познакомиться с изометрическими операторами.

Изометрические операторы

Отображение V_

& з О(У)Э «->V«6$2

называется изометрическим, если оно сохраняет скалярное произведение

(Vuv Иы2)2 = (М1, «2)p(Vuv Иы2)2 = (М1, «2)p(1.1)(1.1)

(Vuv Иы2)2 = (М1, «2)p

(Vuv Иы2)2 = (М1, «2)p

(1.1)

(1.1)

Если область определения D(y^ — ^v а область значений /?(У) = ф2, то отображение V называется унитарным.

Очевидно, унитарные операторы изометричны; обратное, вообще говоря, неверно.

Если область определения изометрического оператора V плотна в пространстве фР а область значений плотна в пространстве ф2, то оператор V можно расширить до унитарного оператора U „посредством замыкания", т. е. посредством перехода к пределу. Именно, оператор U определяем следующим образом.

Если и^ОСУ), то Uu°— Vu. Если же u^D(V), то, поскольку D (V) = фр существует такая последовательность («„), что ип -> и.

В этом случае полагаем

Uu°— lim Uu„ = lim Vun.

Л->ооn->co

Существование предела обеспечивается изометричностью оператора V. Читатель без труда проверит, что область значений так определенного оператора U совпадает со всем пространством ф2.

Заметим, что изометрический оператор линеен. Действительно, пусть и, f^Dtyy В этом случае (VXu, Vf)2 = (Xu, f)1 = k(u, Лх = = X(Vu, Vf^Q-Vu, У/)2.

Аналогично доказывается аддитивность.

Легко проверить, что изометрический оператор обладает обратным: пусть У« = 0, тогда О — (V и, Vu)2 = (u, и\, откуда « = 0.

Оператор, обратный к изометрическому, также изометричен. В самом деле, пусть и', у' £ D(V~') = /?(У). Существуют и, у £)(У), такие, что и'= Vu, v'= Vv. Имеем

ty~xu\ V~x,u'\ = (y~xVu, V~xVy)1 = (u, ■у)1 = (Уи, Vy)2 = (u', у')2, что и требовалось доказать. Отсюда в качестве следствия получаем: унитарный оператор линеен (и очевидно непрерывен); оператор, обратный к унитарному, тоже унитарен.

Важные примеры унитарных и изометрических операторов мы приведем в гл. VIII.

Очевидно, изометрический оператор имеет норму, равную единице,

НИН SUP ll^“ll = sup ||«|| = Lll«ll = lIlu|| = l

Напомним (см. гл. Ill, § 2), что преобразование T подмножества пространства $j в пространство £>2 называется замкнутым, если из того, что О(7')Э«я->« и Тип —>у £ £>2, вытекает, что и ^0(7) и Ти=г).

Всякое изометрическое преобразование можно замкнуть, т. е. расширить до замкнутого, посредством присоединения к области определения пределов последовательностей, принадлежащих D(T). В силу обратимости изометрического преобразования легко видеть, что если Т — замкнутый (изометрический) оператор, то область определения, а также область значений оператора Т являются замкнутыми линейными множествами, т. е. подпространствами. С настоящего момента мы будем предполагать, чго все рассматриваемые изометрические операторы замкнуты. В таком случае имеет смысл говорить об ортогональном дополнении области определения и области значений

Множества D(T)- и R(T)^- называются дефектными подпространствами оператора Т, а их размерности (тР т2) — индексами

дефекта ’):

mv °— dim (О (Т)-), m2 ~ dim (R У

Пример. Пусть '^j== £>2 = /2 У2— пространство последовательностей).

D(T)°= Р; T(xv х2, ...) = (О, 0. xv х^ ...).

Изометричность оператора Т очевидна: (Т (х^), Т ((yz))=2 xt^t = = ((xz), (у,)). Так как D (Т) = Р, то первый индекс дефекта тх — 0. Легко видеть, что второй индекс ;п2 — 2, ибо R(T}~ является множеством последовательностей вида (хР х2, 0, 0, . ..), базисом которого являются, например, векторы ех = (1, 0, . ..), е2 = (0, 1, 0, . . .).

Расширение изометрического оператора до унитарного

Начиная с этого места и до конца главы мы будем рассматривать только изометрические преобразования гильбертова пространства У в себя.

Пусть Т - замкнутое изометрическое преобразование, и пусть (тр т2)—его индексы дефекта. Пусть

dim (О (Г)1) = тх = р 4- «р dim (R (Т) l) = m2 = р + >4- Рассмотрим в дефектных подпространствах ортонормальные базисы (фи) и (^з) и определим изометрическое отображение W подпространства, натянутого на „первые р“ векторов базиса ^ра), на подпространство, натянутое па „первые р“ векторов базиса (<Рр), полагая U/qq -™ ф; (и линейно продолжая отображение UZ на все подпространство). При и — их^-и2, где uv^D(T\ а и2 6 [(Фг)^= J> положим Т'и - - Тих -{- 11/и2. Таким образом, мы расширили преобразование Т до изометрического преобразования Т' с областью определения /)( / ') - ЩТ) ф |(Ч4)1 и областью значений R (Г) = R (Г) © [(фг)Ь ПриоОризоиниис ТэТ очевидно имеет индексы дефекта, равные (др nJ. Отсюда заключаем, что нерпа следующая теорема.

Теорема 1. Изометрическое преобразование можно расширить до унитарного тогда и только тогда, когда индексы, дефекта этого преобразования равны, тх — т2. Если один из индексов дефекта равен нулю, то преобразование Т является максимальным, т. е. не имеет (изометрических'} расширений.

Как показал фон Нейман, симметрическому оператору-можно поставить в соответствие изометрическое преобразование так, что это

*) Иногда величины тх и т2 называют дефектными числами оператора Т, а его индексом дефекта—упорядоченную пару дефектных чисел (тх, mi). Ср. это определение с определением на стр. 93.— Прим, перев.

преобразование будет унитарным тогда и только тогда, когда исходный симметрический оператор является самосопряженным. Индексы дефекта соответствующего изометрического преобразования называются индексами дефекта исходного симметрического оператора. Следовательно, из теоремы 1 вытекает следующее предложение.

Теорема 2 (фон Нейман). Симметрический (замкнутый) оператор тогда и только тогда можно расширить до самосопряженного оператора, когда его индексы дефекта равны.

Преобразование симметрического оператора в изометрический достигается с помощью так называемого преобразования Кэли.

§ 3. Преобразование Кэли и доказательствотеоремы фон Неймана

Сначала изложим некоторые леммы.

Лемма 1. Линейное преобразование Т изометрично тогда и только тогда, когда

|| Ти || = || и || для всех u^D(T).(3.1)

Необходимость условия вытекает непосредственно из определения изометрического оператора. Доказательство достаточности является следствием тождества (которое читатель без» труда проверит сам) ll/+fH24l/-*ll2+dl/+W-*ll/-^ g\ (3.2)

I = у/ — 1.

Если положить J = Tu, g = Tv и применить формулу (3.1), то получим соотношение (1.1), стр. 139, так что преобразование Т— изометрично.

Лемма 2. Если А— симметрический оператор, то для каждого u^D(A)

||ЛМ±/М||2 = ||ЛМ||2 + ||И|р.(3.3)

Нетрудное доказательство предоставляем читателю.

Из формулы (3.3) видно, что оператор А + II обратим (так как он принимает значение нуль только в точке нуль). Поэтому существует оператор

Ca°^(A—U)(A^U)-v.

Оператор СА называется преобразеванием Кэли оператора А.

Из этого определения видно, что D (Сл) = R (А -|- П), и, таким образом, если

О(Сд)ЭУ = (Д + //)И,(3.4)

Преобразование Кэли и доказательство теоремы фон Неймана ИЗ то Сли = (Д— /7) и. Из формулы (3.3) вытекает, что || Сар Ц = Ц -и ][, так что преобразование Кэли симметрического оператора является изометрическим оператором.

Покажем, что оператор I — Сд обратим.

Если р — Аи-\- lu, Сдр = Аи— iu, то у (и— C^) = Z«, а также -^{р-\-САР') = Аи. Если теперь (/ — Сл)и = 0, то и = 0 = Аи = = у (и -\-САР\ а поэтому ^ = 0. Следовательно, имеем

Аи-^Г + С^Р^ЦГ-^СдХГ-СдГ1 и.(3.5)

Отсюда видно, что D(A) = R(I— Сл) и поэтому множество значений оператора / — Сд плотно в §.

Таким образом, оператор А однозначно восстанавливается по оператору СА.

Теорема 3. Каждое изометрическое преобразование Т, для которого многообразие R(j — 7) плотно в пространстве <§, является преобразованием Кэли некоторого симметрического оператора.

Доказательство. Последовательно докажем, что:

Г существует А °— I (7 + Т) (7— 7)"1 = Ст' {обратное преобразование Кэли)-,

2° оператор А —‘ Cf1 симметричен;

3° преобразование Кэли Сл оператора А = Ст1 совпадает с исходным оператором Т: Сс_1=Т.

К пункту 1°. Достаточно проверить, что из соотношения (/ — 7)и —0 вытекает и = 0. Пусть R{I — Т^З^ — ^— Т^р; покажем, что {и, h~} — Q. Имеем

(«, h^ttt, v')—(u, Tv) — {Tu, Tp^—{u, Тр') =^ (|/ — 7] и, Тр) = — (0, Тр") = 0.

Так кик R{l — 7) —ft. то действительно и = 0.

К пункту 2°. Положим А °— I {14- Т) (7— 7)-1. Пусть /, g^ £D{A)°=R{I— Ту причем / = (7— Т)и, g^U— Т)р. Имеем (Л/, £) = (Z(7 + 7)«, (/-Г)У) =

= Ц{и, р) — {Ти, Тр^-\-{Ти, и) — {и, 7^)] =

= I [(7и, и) — {и, 7и)] —

= ((/-7)И, z(/ + 7)y) = (/, Agy

что и требовалось доказать, '-

К пункту 3°. Если / —(/—Т)и, то Л/= /(/ + ?) и, а поэтому Af-\-lf = 1 \u-\-Tu-\-и— 7'«] = 2/и. Аналогично А/ — — lf = 2lTu. Но О(Сл) = /^(Л+ Z/)= [2iu: u^D(T)l. Следовательно, О (СЛ)=О (Г). Отсюда Сл(2/и) — (Л — Н^А-\-Пул (А-\-П) f= — Af — if — 2iTa, т. е. САи = Ти, откуда СА — Т. Теорема полностью доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что изометрическими расширениями Т' преобразования Сд являются преобразования Сл- симметрических расширений Л' симметрического оператора Л:Т' —Сд-, где А'эА и T'tdCa.

Таким образом, вопрос о симметрических расширениях симметрических операторов мы свели к задаче, решенной в предыдущем параграфе: симметрический оператор будет самосопряженным тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли унитарно.

Индексы дефекта оператора Сд называются индексами дефекта оператора А. Таким образом, мы полностью доказали теорему фон Неймана (теорема 2 § 2).

Поскольку для приложений важно знать, обладает ли данный симметрический оператор самосопряженными расширениями, т. е. равны ли индексы дефекта, желательно иметь другие характеристики дефектных пространств. Этой цели может служить следующая теорема, также принадлежащая фон Нейману.

Теорема 4. Дефектные пространства

§5 = too (СА), ^а = ЮК (Сд) совпадают с множествами решений уравнений

А*а = 1и, А*и = — 1и(3.6)

соответственно.

Доказательство. Соотношение и ^ §д означает [ср. (3.4)], что 0 = (Лу-(-iv, u) = (v, А*и — /и) для всех v^D^AY Так как L) (Л) = <§, то А*и — 1и = 0.

Аналогично доказывается вторая из формул (3.6).

Проверим еще, что §дПО(Л) = 0. Пусть и а ^д ПО (Л); поскольку Л с Л*. то из формулы (3.6) вытекает, что (Ли, h) = Z(h, и). Так как в силу симметрии оператора А число (Аи, и) вещественно, то (и, и) = 0.

Примеры дифференциальных операторов,обладающих самосопряженными расширениями.

Лемма Л. Морен

1°. Одной из важнейших систем уравнений теоретической физики ^вдяется система уравнений Дирака релятивистской теории электрона.

В стационарном поле эта система имеет вид 3г 31

ТТ”1^"'^? £„•<!,м+ <!>„(,)_^р L

где 2лй— постоянная Планка, т— масса покоя электрона, с— скорость света. Величины Ф6 (^ = О, 1, 2, 3) являются составляющими электромагнитного потенциала, а а6 и р(& = 1, 2, 3) являются так называемыми матрицами Дирака с четырьмя строками и четырьмя столбцами. Матрицы Дирака эрмитовы: (а*)* = а*, р* = р. Кроме того, а^о/ + aV — 26^ • I, а^р + ра* = 0, р2 = /.

Обозначая через Аи правую часть системы уравнений Дирака, перепишем эту систему в виде

.ди . .

h -чт- = lAu.

Проверим, что оператор А формально самосопряжен, т. е. что А*и = AU.

Как нам известно из предыдущей главы,

3Г 3

Д+«=^(-1)^(^Г« + 2 (_£а^*фА_фо + ^р’ й=1L*=i.

Ввиду того что матрицы ак и р эрмитовы, имеем

3А и— V laR—- идх3А и— V laR—- идх33£=1£=1тсг п лР и = Аи. е ртсг п лР и = Аи. е р

3

А и— V laR—- идх

3

А и— V laR—- идх

3

3

£=1

£=1

тсг п л

Р и = Аи. е р

тсг п л

Р и = Аи. е р

TflK KRK оператор А формально самосопряжен, то его сужение на КЛИСС Со’’4(W„) является симметричным преобразованием.

Лидии Морен |1| доказала, что это сужение имеет равные индексы дефекта и поэтому обладает самосопряженными рагширениямп.

’. ъ ие\1а, —аФь на класс дхкс/’. ъ ие\1а, —аФь на класс дхкс/Доказательство. Предположим, что Фй (х) £ Е2 (Й3) при Л = (), 1, 2, 3 и, кроме того, |Ф0(х)[ < М. Докажем прежде всего, з

’. ъ ие\

1а, —аФь на класс дхкс/

’. ъ ие\

1а, —аФь на класс дхкс/

Оп 0ПР- V

что сужение Во оператора В = V

Ь=1

С”’4 (Йз) обладает самосопряженными расширениями. Сужение Во является симметрическим оператором (доказательство такое же, как в случае оператора До). Поскольку D (СДо) — R^B-^ if), то u£D (СВа), если и = Bof ~\- If, где f^D^Bf). С другой стороны, вектор

10 к. Морен

®6^(cs0). если -u=Btig — lg, где g^D^Bo). Полагая f = ^g, в силу соотношения р«^ = — а^р получаем

з.

«=12 «*р (5+т ф^)+1^=

з

= —/ ^Р»* ^+-^ф1б5') + ^ = —Р®- 6=1'

Положим Qh =— рй; Q — эрмитов оператор и Q2 = /. Предыдущее равенство показывает, что Q переводит ВфвЛ в D(CBa), а значит, и D(CB11') в R^Cb,-). Но тогда он переводит одно в другое и ортогональные дополнения $0О (СВо) и ^0 R(Cb0\ Поэтому они имеют одинаковую размерность. Другими словами, существует самосопряженное расширение В, оператора Bq, B|=BioB0. Поскольку при выполнении условия |Ф0(х)|<Л1 оператор —уФ^/ эрмитов, то оператор А1=В1^-Ф0/-]-тср самосопряжен, так как нетрудно

доказать, что сумма самосопряженного и эрмитова операторов самосопряжена. Таким образом, оператор At является самосопряженным расширением оператора Ло, что и требовалось доказать.

2°. Значительно легче доказать следующую лемму.

Лемма. Линейный формально самосопряженный дифференциальный оператор с вещественными коэффициентами обладает самосопряженными расширениями.

Докажем более общее предложение. Для этого введем понятие вещественного преобразования. Преобразование Л, действующее в пространстве £2’Г(£2Л), будем называть вещественным, если выполняются следующие два условия:

1° если f=(Hx))WA)- то f = (J W^D (А);

2° Af = Af.

Докажем, что если А — вещественное преобразование и существует преобразование А*, то А* — также вещественное преобразование.

Если g^D(A*), то

W, i) = (Л/, g} = (AJ, g) = (7, Л*^) = (/, Л^).

отсюда

g£D(A*) и A*g = A*g.

А теперь докажем, что симметрическое вещественное преобразование U частности, формально самосопряженный диф-

ференциальный оператор с вещественными коэффициентами.) имеет одинаковые индексы дефекта.

Действительно, равенство A*f=+lf влечет за собой равенство /1*/—+V [СР- (3.6)]. Поэтому пространство ^д имеет своими элементами функции, сопряженные с функциями из §д, и обратно. Таким образом, пространства §д и фд имеют одинаковую размерность, что и требовалось доказать.

Спектральная теорема для общего самосопряженногооператора

Как мы видели в предыдущей главе, спектральная мера Е(К) определяет самосопряженный оператор

Л9^- JXdE(X),(6.1)

а также функции этого оператора

^(Л)0^ Jp(X)dE(X).

Вещественным функциям соответствуют самосопряженные операторы. Оказывается, что среди симметрических операторов только самосопряженные обладают спектральным разложением (5.1). Докажем теперь следующее предложение.

Спектральная теорема. Каждый самосопряженный оператор А (А = А*) определяет спектральную функцию Е(Х), посредством которой он выражается в виде спектрального интеграла (5.1).

В § 3 мы доказали, что преобразованием Кэли самосопряженного оператора А является унитарный оператор CA = U. С другой стороны, Ий операционного исчисления Стоуна — фон Неймана вытекает, Ял

что е1А у elx (IE (X) является унитарным оператором. Можно дока- fl

зать, что верно и обратное утверждение: всякий унитарный оператор обладает спектральным представлением вида

2л

U = J е1^ dP (р),о

где Р(р)— спектральная функция. Эту теорему можно доказать, исходя из спектрального разложения эрмитова оператора. Однако мы

предпочитаем изложить несколько позже изящное доказательство более общей теоремы, касающейся нормальных операторов (т. е. операторов, удовлетворяющих условию NN* = N*N), основанное на теории Гельфанда — Наймарка. Имея спектральное представление преобразования Кэли Сд самосопряженного оператора А, именно U = СД =

2л

= J е1* dF (р), и обратное преобразование о

А = Си1 = I (/ + Сл) (/ - Сд)”1 = Z (/ + elA^I - е-1Ау\

мы получим спектральное представление оператора А.

Описанная здесь идея принадлежит фон Нейману. Надлежит лишь доказать, что выполняемые преобразования законны.

Доказательство спектральной теоремы. 2лДоказательство спектральной теоремы. 2лПустьПустьU = СА = J e^dF^); тогдао2лА = I и + U) (/ - иг1 = р ]±^- dF (р).оНоU = СА = J e^dF^); тогдао2лА = I и + U) (/ - иг1 = р ]±^- dF (р).оНоZZ14-^иg-w^gim1 gipе~Щ/2 e‘Pl214-^иg-w^gim1 gipе~Щ/2 e‘Pl2ctg(p/2).ctg(p/2).

Доказательство спектральной теоремы. 2л

Доказательство спектральной теоремы. 2л

Пусть

Пусть

U = СА = J e^dF^); тогда

о

2л

А = I и + U) (/ - иг1 = р ]±^- dF (р).

о

Но

U = СА = J e^dF^); тогда

о

2л

А = I и + U) (/ - иг1 = р ]±^- dF (р).

о

Но

Z

Z

14-^иg-w^gim

1 gipе~Щ/2 e‘Pl2

14-^иg-w^gim

1 gipе~Щ/2 e‘Pl2

ctg(p/2).

ctg(p/2).

Заметим, что так как существует оператор (/ — Сд)-1 =(/ — t/)-1, то единица не является собственным значением унитарного оператора U. Следовательно, функция F (и) непрерывна в точке р = 2л. Из определения спектральной функции (включающего требование правосторонней непрерывности) нам известно, что функция Л(р) непрерывна в точке .0, так что точки 0 и 2л имеют спектральную меру нуль. Следовательно, существует функция

2л

— ctgy- = J (—ctg^d/:'(p) = Д.■

о'

Напомним, что для существования интеграла по спектральной мерс требуется, чтобы множество, на котором подинтегральная функция равна бесконечности, имело спектральную меру нуль. Полагая

(5-2)(5-2)Е (X) —’ F (— 2 arctg X),

(5-2)

(5-2)

мы получаем спектральное представление самосопряженного оператора А. Именно оператору Д — Д* (однозначно) соответствует такая

149149Упражнение

149

149

спектральная функция Е (X), — со < X < оо, что ' Л= J KdE(X\

УПРАЖНЕНИЕ

Инволюцией (сопряжением) в абстрактном гильбертовом пространстве $5 называется отображение J пространства ^ на себя, обладающее следующими свойствами: P = I, (Ju, Ji)-) —(и, ■y) = ('U, и). Оператор Л называется вещественным относительно инволюции J, если AJu=JAu для всех «ещл).

Доказать, что симметрическое преобразование, вещественное относительно некоторой инволюции, обладает самосопряженными расширениями.

ГЛАВА VII

■ Вполне непрерывные операторы.

Теория Рисса линейного уравнения с вполненепрерывным оператором. Примеры

Теория вполне непрерывных эрмитовых операторов составляет самый ранний и лучше других изученный раздел теории операторов в гильбертовом пространстве. Понятие полной непрерывности было введено Гильбертом, а затем изучалось его школой (Э. Шмидтом, Э. Фишером, Ф. Риссом, Г. Вейлем и др.) Благодаря этим исследованиям выяснилось, что основные классические свойства интегральных операторов (например, теоремы Фредгольма) связаны не с интегральной природой этих операторов, а с полной непрерывностью.

Вполне непрерывные операторы занимают промежуточное место между конечномерными операторами и общими линейными операторами (они являются равномерными пределами конечномерных операторов).

Теория таких операторов легко обозрима. Понятие вполне непрерывного оператора возникло при изучении интегральных операторов. Интегральные операторы и в настоящее время являются наиболее важными примерами вполне непрерывных операторов. В последние годы обнаружена тесная связь вполне непрерывных операторов с дифференциальными операторами произвольного порядка эллиптического типа.

Автор надеется, что настоящая глава написана в духе Э. Шмидта, благодаря которому связь между вполне непрерывными и конечномерными операторами стала более четкой.

§ 1. Конечномерные операторы. , Определение вполне непрерывного оператора

В этой главе мы будем рассматривать только линейные и непрерывные операторы. Для того чтобы не усложнять речи, употребляя термины „линейный оператор" (операция, преобразование), мы будем иметь в виду непрерывный, а следовательно, ограниченный оператор.

Линейное преобразование А гильбертова пространства ^ в себя называется конечномерным, если область значений R (А) преобразования А принадлежит конечномерному подпространству и, следовательно, сама является конечномерным пространством: dim R (А) = к < со. Размерность dim/?(Л) будем называть размерностью оператора А.

Найдем теперь общий вид линейного конечномерного оператора.

Теорема 1. Пусть ехек— базис области значений R(A) оператора Л. Тогда

1° существуют такие векторы e*v ..., е*. что k

Аи — ^ (и, e*^eL(1.1)

для всех и^^;

2° векторы е*, .... е*к образуют базис области значений R(A*) оператора А*, так что dim R (А) = dim R (Л*), причем имеет место тождество

к

A*v* = 2 (у*, е,)е*(1.2)

Доказательство. К пункту 1°. Так как векторы ехек образуют базис в пространстве R (Л), то

/ = 1

где фД«)— комплекснозначная функция от и. В силу линейности и непрерывности оператора А функция фг (и).является линейным непрерывным функционалом. Действительно, пусть ип->и\ тогда

ftк

Аип = 2 Ф/ («„) et Аи = 2 Ф/ («) eL.i=ii=i

Так как векторы ех, ..., ек линейно независимы, то ф, («п)->фг (и) при п —>оо и 1— 1, .... к.

Из теоремы Рисса — Фреше об общем виде линейного функционала вытекает, что существуют такие векторы е*е*у что 4>,(м) = ^, а*)фй («) = («, а*). Следовательно, к

А = е^ер

К пункту 2". Для произвольных //, у*Е'^ имеем к

(и, A*v*) = (Au, у*) = 2(“- е*)(ер у*); следовательно,

(AV. и) = ^(ер -о»)(и, е^ =

Русюда сразу получается формула (1.2),

Одновременно мы доказали, что [е*^*]э/?(А*), поэтому

dim/? (А*) ^ dim/? (А).(1.3)

Взяв за исходный оператор А* и принимая во внимание соотношение А** — А, получаем■

dim R (А) ^ dim R (А*).(1-4)

Неравенства (1.3) и (1.4) показывают, что dim R (А) = dim R (А*), что и требовалось доказать.

Обозначим через N (В) подпространство всех тех элементов, для которых непрерывный оператор В принимает значение пуль: N(B) = ^^^:Bu = 0V

Докажем, что имеют место следующие ортогональные разложения гильбертова пространства ф.

Лемма 1°. Если dim/?(A)<oo, то

R(A)®N(A*) = ^ = R(A*^N(A).(1.5)

2°. Если известно только, что оператор А непрерывен, то вместо равенства (1.5) можно написать следующие включения:

R{A)^{N{A^, RWN^y.(1.6)

причем многообразив R(A) плотно в ортогональном дополнении подпространства N (А*), т. в. имеет место формула

RTA')®N(A,S) = § = R(A^®N(A).

Доказательство. Докажем сначала пункт 2°. Пусть ю £ R (А), a w* ^N (А*). Тогда v = Au, A*w* = 0. Имеем (у, V) = (Аи, w*) = = (и, A’W) —О, поэтому у J N (А*) и R(A)c2N (А*)1.

Предположим, что множество R(A) неплотно в подпространстве (N (А*))L —' ф,. Тогда существует такой вектор «#=0, что и £ (Д^(А*))-^ и u_\_R (А). Поэтому 0 = (ц, А-о) = (А*и, у) для любого у £ §, так что А*и = О, u^N (А*), что противоречит соотношениям и Е(А^(А*))-*-, ифО, Таким образом, предложение 2° доказано.

Если dim R (А) < оо, то /?(А)— замкнутое подпространство: R(A) = R(A). Поэтому доказано также предложение 1°.

Замечание. В случае конечномерного гильбертова пространства, dim $ < оо, предыдущая теорема и лемма содержат три теоремы Фредгольма. К этому вопросу мы еще вернемся в § 3.

Близкими к конечномерным операторам являются операторы, равные равномерным пределам конечномерных операторов; такие рператоры называются вполне непрерывными операторами,

§ 2. Свойства вполне непрерывных операторов

Определение. Линейный оператор А называется вполне непрерывным, если его можно сколь угодно точно аппроксимировать конечномерными операторами, т. е. существует такая последовательность (А„), dim Z? (Д„) < оо, что

Ml М = °-

Из определения вполне непрерывного оператора вытекает следующее предложение.

Теорема 1.

1°. Всякий, конечномерный оператор вполне непрерывен.

2°. Если А и В — вполне непрерывные операторы, то их линейная комбинация аА-^ЬВ— тоже вполне непрерывный оператор.

3°. Если ^К^ — последовательность вполне непрерывных операторов, равномерно сходящаяся к оператору К". ИтЦ/Сд — ^[| = 0, то К — вполне непрерывный оператор.

4°. Если А — вполне непрерывный, а В — ограниченный оператор, то АВ и ВА — вполне непрерывные операторы.

Эту теорему можно сформулировать короче: вполне непрерывные операторы образуют двухсторонний замкнутый идеал в кольце ограниченных операторов1').

Доказательство. Докажем только предложения 3° и 4°. Предложение Г очевидно, а доказательство предложения 2° мы предоставим читателю.

К пункту 3°. Ввиду того что К = Пт Кп, для каждого е > оо П —>■ со

существует такое N (е.), что при n>N(e.) имеем || К — Кп || < е/2. Но Кп—вполне непрерывный оператор, и поэтому существует такой конечномерный оператор К„, dim Кп < оо, что || Кп — Кп || < е/2. Следовательно,

II К- К'п II = || К- Kn-VKn-K'n\\ < II К-^11 + 11 Кп-К'п II <е, что и требовалось доказать.

К пункту 4°. Полная непрерывность оператора АВ вытекает непосредственно из определения. Действительно, пусть || А — Ап || < <е(||В||)~1, причем dimA„<oo. Тогда

|| АД — А„В || — || (А — А„)В || + || А — А„ || • || ВЦ < е;

•) Можно доказать, что других двусторонних замкнутых идеалов в кольце ограниченных операторов на гильбертовом пространстве не существует. — Прим. ред.

кроме того, АпВ— конечномерный оператор, так как dim R (АпВ) <^ dim R (А„) < оо.

Опираясь на теорему 1 § 1, читатель докажет следующую лемму: оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда оператор А вполне непрерывен.

С помощью этой леммы нетрудно закончить доказательство предложения 4°.

Докажем теперь важную теорему, содержащую топологическую характеристику вполне непрерывных операторов.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием полной непрерывности оператора А является предкомпактность образа произвольного ограниченного множества1).

Примечание. В приложениях удобно пользоваться эквивалентной формулировкой: „предкомпактность образа единичного шара“.

Доказательство теоремы 2. Пусть А — вполне непрерывный оператор, и пусть К — единичный шар с центром в нуле: К=\и \ ||м|| <^ 1}; достаточно доказать, что, каково бы ни было е > О, для множества А (К) существует компактная е-сеть.

Пусть || А„— А || <8 и dim R (Ап) < оо. Множество Ап(К) является замкнутым и ограниченным в конечномерном метрическом пространстве R (А„) и поэтому компактным. Ввиду того что при и^_К имеем || Аи — Д„« || = |] (Д— Лл) «|| < е, множество А (К) можно сколь угодно точно аппроксимировать компактными множествами Дл (К), что и доказывает предкомпактность множества А (К).

Пусть теперь А (К) — предкомпактное множество, и пусть и^unm — Узлы конечной е-сети множества А (К). Рассмотрим опр.

линейную оболочку этой е-сети рг ....= %>„. где п =

= dim ^п <, N (е) < оо. Обозначим через Р„ оператор ортогонального проектирования на подпространство §„. Оператор А„ —’ РпА конечномерен. Ввиду того что среди векторов пространства ф„ * наилучшим приближением вектора Аи является вектор РпАи = Апи, при || и || ^ 1 имеем|| Аи — Апи || < е, и поэтому

||Д-Д„||= sup ||(Л — Ля)«ЦСе.

Hull < 1

Таким образом, доказательство теоремы 2 закончено.

Теорема 2 показывает, что следующее определение в случае гильбертова пространства эквивалентно определению, сформулированному в начале настоящего параграфа.

Определение (Ф. Рисе). Оператор А называется вполне непрерывным, если он отображает всякое ограниченное множество в предкомпактное.

Примеры вполне непрерывных операторов

Пусть А—интегральный оператор с непрерывным ядром. Точнее, пусть А(х, у)— функция, непрерывная на компактном подмножестве й„ X &„ декартова произведения Е" X В"*.

А(х, у)сС(й„ХЙ„).

Положим

(AuXx)0^' J Д(х,у )«(y)dy.(2.1)

Функция А (х, у) называется ядром интегрального оператора А. Формула (2.1) задает преобразование гильбертова пространства Z2(Qn).

Докажем, что образ шара (zz £ Z.2(Q„): || zz || ^ 1} предком- пактен. С этой целью воспользуемся теоремой Арцела, в соответствии с которой множество (скалярных) функций, равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных, предкомпактно относительно метрики max|zz(x)|; другими словами, из любой последовательности в таком множестве можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Заметим сразу же, что из равномерной сходимости па множестве конечной (лебеговой) меры вытекает сходимость в смысле пространства А2(йл).

Таким образом, достаточно будет показать, что:

1° множество (Ди), где ||zz||<^l, равномерно ограничено, 2° функции (Xzz)(x), ||zz||<l, равностепенно непрерывны, т. е.

| (Ан) (х') — ^Аи} (х") [ < е,

если || х' — х" [| < 6 (е), е > 0.

Доказательство. К пункту 1°. Имеем

|(Ди)(х)| = | J А(х, y)a(y)dyK .

^ шах | А (х, у) | Г | 1 • и (у) | dy ^ кх,^а„хап п

< шах |Д(х, У) | • I^„|V« • || «Ц^ Q .

,(х, у) $ 0(1 X О„( л/

При этом мы воспользовались неравенством Шварца; |йл| означает (конечную) меру множества Qm : | Q„ | — I dx.

К пункту 2°. ИмеемК пункту 2°. Имеемпп

К пункту 2°. Имеем

К пункту 2°. Имеем

п

п

| (Аи) (х') — (А«) (х") | = | J [А (х', у) — А(х", y)]«(y)dy|<

< У М (Xх, у) — А (ххх, у) | • | и (у)| dy <■

- йп

X max | А (хх, у) — А (х", у) | • | йл рА.

■^йп

Так как функция А(х, у) равномерно непрерывна, то теорема доказана.

Интегральный оператор с измеримым суммируемым с квадратом ядром: А ^ Л2 (Q„ X ^п).

Оценим сначала норму этого оператора, рассматриваемого как преобразование гильбертова пространства L?^,^ в себя:

А«(х) —’ У А(х, y)«(y)dy.йп

Если || а ||2 = У | «(у) |2 dy, то

йп

]Ам ||2 = J | A«(x)|2dx = J* У А(х, y)a(y)dy йпйп йп

при этом мы воспользовались неравенством Шварца. Таким образом,

У |(А(х, y)|2dxdyl ,2||а|].

т. е.

1МП2< У М(х> y)|2^dy. йп><еп

■ Полная непрерывность рассматриваемого интегрального оператора вытекает немедленно из предложения 3° теоремы 1 настоящего параграфа и предыдущего примера. Именно ядро А£Е2(ЙЛХ^Л) можно

аппроксимировать сколь угодно точно в смысле L2 (й„ X ^„) непрерывными ядрами ДУЕСО(Й„ХЙЛ).

Ниже мы покажем, что ядра со слабой особенностью, т. е. ядра, непрерывные вне линии х = у и обладающие оценкой вида

Р(х, у)] <Р(х, у)] <ааIIнл-а||х—у ||£"IIнл-а||х—у ||£"

Р(х, у)] <

Р(х, у)] <

а

а

IIнл-а

||х—у ||£"

IIнл-а

||х—у ||£"

где а и а — положительные постоянные, определяют также вполне непрерывные интегральные операторы. Интегральные операторы такого типа имеют фундаментальное значение в теории уравнений в частных производных эллиптического типа (ср. упражнения).

Теория Рисса линейных уравнений второго рода

У равнением второго рода называется уравнение вида

и — Аи = f,(3.1)

где / — заданный вектор. Уравнения этого типа, в случае когда А — интегральный оператор с непрерывным (или слабосипгулярным) ядром, изучались в начале нашего столетия И. Фредгольмом в связи с краевыми задачами для уравнения Лапласа (и называются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода). Исследования Фредгольма положили начало стремительному развитию теории операторов в гильбертовом пространстве (Т. Карлеман и школа Д. Гильберта в Гёттингене). Ф. Рисе и Ю. Шаудер доказали теоремы Фредгольма для уравнений в банаховом пространстве, а в последние годы М. Альтман [1] весьма остроумно перенес теорию Рисса — Шаудера па общие линейные локально выпуклые топологические пространства.

В этом параграфе мы изложим доказательство трех теорем Фредгольма для уравнения (3.1) в случае, когда А является линейным вполне непрерывным оператором. При этом мы воспользуемся замечательной идеей Э. Шмидта, которая позволяет свести задачу к случаю уравнений с конечномерными операторами, т. е., по существу, к случаю системы линейных алгебраических уравнений.

В конечномерном пространстве X всякий линейный оператор В является ограниченным и конечномерным. В частности, конечномерным является оператор / — В.

В § 1 настоящей главы было доказано, что для конечномерных операторов I — В справедливо следующее соотношение:

dim/?(/— В) = dim/? (/ — В*);(*)

переходя к ортогональным дополнениям и учитывая, что для оператора К в конечномерном пространстве [/? (/011 =N(К*) (/?(•)—. область значений, N(-)—многообразие нулей), с помошью соотношения (*) находим

dimN(/ — B) = dimA((/ — В*).(**)

Кроме того, имеют место следующие ортогональные разложения пространства X:

R(I-B)®N(I-B*)=X = R(I-B*)®NV-B).(***)

Формула (**) содержит так называемую вторую теорему Фредгольма'. пространство решений уравнения (/ — В)и = 0 и пространство решений сопряженного уравнения (/ — В*)и* = 0 имеют одинаковую размерность (другими словами, эти уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений). Формулы (***) показывают, что уравнение (I — B)u — f разрешимо [т. е. f^R(I— В)] тогда и только тогда, когда /.L^V — В*\ Аналогичное можно утверждать для сопряженного уравнения. Это так называемая третья теорема Фредгольма. Из формул (*) и (**) вытекает необходимое и достаточное условие для того, что область значений оператора I—В совпадала со всем пространством или, другими словами, чтобы уравнение (/ — B)u = f имело решение при произвольной правой части. Это условие состоит в том, чтобы N (Z— B)=0 = N(Z — В*), т. е. в том, чтобы однородное уравнение (Z— В)и = 0 имело только тривиальное решение и = 0. Последнее утверждение является так называемой первой теоремой Фредгольма.

Как показал Ф. Рисе, формулы (*), (**) имеют место для произвольного линейного вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве ф.

Теорема. Если Л— вполне непрерывный оператор^ то 1° выполняется соотношение

dimN(Z — Л) = dim^(Z — Л*) < оо(3.2)

2° имеют место следующие ортогональные разложения пространства ф:

/? (Z — Л) ф Af (Z —Л*) = ф =/? (Z-—Л*) ф ^(Z — Л).(3.3)

Доказательство состоит в сведении общего случая к конечномерному следующим способом. Зададим число е так, чтобы 0 < е < 1, и представим оператор Л в виде суммы А = As-\- Ае, где Л5 — конечномерный оператор, а || ЛЕ || < е. Этому представлению соответствует аналогичное представление сопряженного оператора Л*==Л5+ЛЕ, dim Л, < оо (так как dim Л5 — dim Л5) и ||ЛЕ||<е (так как |[ Ле || =)] Ле ||). Оператор Z— ЛЕ вполне обратим. Этим мы хотим сказать, что RU— ЛЕ) — ^ и N (Z — ЛЕ) — 0. Действительно, обратный оператор (Z— ЛЕ)-1 существует и имеет вид

(/-^r'=Z+S Al.(3.4)

Тик как || ЛЕ|| < е < 1, то ряд в правой части формулы (3.4), называемый обычно рядом Неймана, сходится. Справедливость формулы (3.4) легко проверить умножением левой и правой части па I — ЛЕ. Перепишем теперь уравнение (3.1) следующим образом:

(/ — A)u = (J— AE')u — Asu = f.(3.1х)

Введем новый неизвестный вектор uv

«!—"(/ — А^и, откуда и = {1 — ЛЕ)-1 av (3.5) и перепишем уравнение (3.1') в виде

их — АЛ1 — Л)”1 «1 = /•(3.6)

Однородное уравнение, сопряженное с (3.1'), имеет вид

(J-A^u^I-A^u-aV = O. (3.1")

Применяя к левой и правой части уравнения (3.1") оператор (/ — ЛЕ) , получаем

U — А5и =0.(3.7)

Уравнения (3.1") и (3.7) эквивалентны в том смысле, что имеют одно и то же пространство решений. Что касается уравнения (3.1х), то оно разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимо уравнение (3.6). Обозначая A$V — Л£)-1 через В, уравнения (3.6) и (3.7) можно переписать в более прозрачной форме

(1-8)^=/,(3.6')

У — В*)и* = 0,(3.7х)

ибо

в*=и (/ - ле)-т=к/ - лЕ)-т ^=(/ - л:)-1 л:.

Очевидно, оператор В является конечномерным: dim R (В) ^ dim R (Ла). Таким образом, мы свели изучаемую систему (3.1х), (3.1") к эквивалентной системе (3.6х), (3.7х) с конечномерным оператором В.

Остается лишь доказать формулы■

dimN(7 —B) = dimN(Z —В*),(3.2х)

R(I-B')®N(<I — B^ = ^ = R(l-B*')@Ny-B). (3.3х)

Для доказательства введем ортонормированиый базис е*е* Области значений оператора В*;

Ви^^ (и, е^ et = 2(3.8)

(ср. § 1 настоящей главы). Имеем

л

u^Bu + f^^^e^f.(3.9)

Z = 1

Подставляя (3.9) в (3.8), находим

пп / пх.л Г л'

2^ = 5(2^ + /' <к = 2 2д(ег, <) + (/■<) ек- tv -3 LR — 1 \ I 1/R — 1 I — 1

Приравнивая коэффициенты при ек, к=\п, для неизвестных т]й получаем систему п скалярных уравнений

и

= 2 nz(ez, <) + (/- 4). ^ = 1п.

Если ввести обозначения^,, e^ = blk, (J, ^) = фА, то предыдущую систему можно переписать в виде

п ^^ik—bi^Vii^^k-(3-10)

1 = 1

Таким образом, задача решения векторного уравнения (3.9) сведена нами к задаче решения скалярной системы (3.10). Аналогично задача решения однородных векторных уравнений сводится к задаче решения следующих скалярных систем:

Л

2(^-^)П/ = 0. к = \п(3.11)

Z = I

и .-

п

2 (б»z - м п; = 0, к = 1п. (3.12)

Уравнения (3.11) и (3.12) можно интерпретировать как уравнения с операторами / — В и I — В* в конечномерном арифметическом пространстве X-. оператор В определяется матрицей (bZ6), а оператор В* — матрицей (6Й,), сопряженной с матрицей оператора В. С другой стороны, в начале настоящего параграфа мы доказали, что dimN(/— B) = dim^(/— В*). Следовательно, формула (3.2') доказана.

Для того чтобы доказать формулы (3.3'), вычислим скалярное

произведение (/, и*), где и* = В*и* = 2 П*6?* т- е. (/ — B^tT — O.

<=1

Имеем

(/.2 пх] = 2 (/, <) п* = 2 фЯ

\у i=ii=i

Однако У ‘Р/Н/ является скалярным произведением в арифметическом пространстве X; следовательно, f 1_N(I—B*) = N(l— /Г) тогда и только тогда, когда вектор (ср,, ..., (р„) ортогонален к простран- п

ству решений скалярной системы ^^>16—Ь.^ г]* = О, А = 1, .... п, что, как нам известно, является необходимым и достаточным условием разрешимости системы (3.10), а поэтому также уравнения (3.6') с конечномерным оператором (/ — В) и = /. Отсюда следует первое равенство в (3.3'); второе устанавливается аналогично. Таким образом, формулы (3.3'), а следовательно, и эквивалентные им формулы (3.3) доказаны.

Замечание. Первая теорема Фредгольма, в соответствии с которой уравнение (/ — A)u = f разрешимо для произвольного / тогда и только тогда, когда NU— Д) = 0, является непосредственным следствием формул (3.3) и (3.2):

.i^-A^Ntf-A1),.

dim N(I — А*) = dim NU — А).

Действительно, соотношение /?(/—Д) = § означает, что N (/— Д*) = 0, т. е. dim^(/ — Д) = 0.

Спектр вполне непрерывного эрмитова оператора.Теорема Гильберта — Шмидта

Мы знаем, что спектр самосопряженного оператора А = А* является подмножеством вещественной оси и если А = J KdE Q?p то спектр оператора А является множеством точек роста функции £(Х). Число Хо называется точкой предельного спектра оператора А, если .^(л, Ь) —" [£(/>)— Е^\^ является бесконечномерным пространством для любого интервала (а, Ь), содержащего точку Хо.

Напомним, что

6

Au = J X dE (X) иа

при и^^^а, Ь) и в этом случае при а>0 ьь

||Л«||2 = fUMEW<>a2jdp(X)<==a4M2- (4.1) аа

11 К. Морен•

Прежде чем переходить к формулировке основной теоремы настоящего параграфа, отметим следующее простое утверждение.

Лемма (Фридрихс[1|). Пусть ^ и $2 — подпространства гильбертова пространства $; если dim$l = '>o, a dira§2<oo, то в подпространстве ^ существует вектор и^^О (и даже бесконечномерное подпространство с§,), ортогональный подпространству §2.

Доказательство. Пусть Pv — оператор ортогонального проектирования на подпространство фР

В качестве и0 можно взять любой отличный от нулевого вектор, принадлежащий подпространству §( QP^-

Приведем теперь теорему, содержащую спектральную характеристику вполне непрерывных операторов.

Т еорема. Эрмитов оператор А в бесконечномерном пространстве § является вполне непрерывным тогда и только тогда, когда его спектр является подмножеством вещественной оси, которое может содержать лишь единственную предельную точку Хо = О. При этом отличные от нуля собственные значения должны иметь конечную кратность.

Доказательство. Пусть А = А*— вполне непрерывный оператор. Предположим, что существует предельная точка спектра Хо=£ 0. Для определенности будем считать, что Хо > 0 (см. рис. 1).

11;i111

-е 0 *еа Ло b

Рис. 1.

Оператор А можно представить в виде суммы Л = Лв4-Ль где || Ае I] < е < Хо, а Д1—конечномерен: dim Р (Л^ = /г(е) < оо. Имеем

п (к)

Ля= Д (я, Лея, || Л£я [р < е21| я [р.(4.2)

Поскольку Хо > е > 0 — предельная точка спектра, то пространство ^>(а, Ь), где а >е и Х0£[я, Ь\, является бесконечномерным. На основании леммы Фридрихса существует вектор и0^^(а, Ь), ортогональный конечномерному пространству [е*г*(£)],пРичем яо + ®-

В силу формулы (4.1)

||Ля0|Р>а2||я0|р>82||я^

С другой стороны, по формуле (4.2) AuQ — Аеи0 [ибо (я0, е*) = 0, /=1«(е)], а поэтому || Ля0 |р — || Лея0 |р <; е21| я0 |р, и мы

пришли к противоречию.

Пусть теперь Хо = О— единственная точка предельного спектра оператора Л. Тогда для каждого е > 0 существует только конечное число собственных значений XiХ« (е). лежащих вне отрезка [—е, е], причем кратность \( собственного значения Xz, т. е. размерность подпространства [^(Х,)— E(Xt— 0)], как предполагалось, конечна при I — 1, ./г(е). Имеем

еп (е)

А = f XdE^+^hE^-Еi = l

е»•

Оператор Ле —' j X dE (X) имеет норму <^е, а размерность опера- -е

опр ” (Е>” (е>

тора Аг =" 5j XiEx не превосходит числа S vi < °0, Таким образом, i=i‘/=1

Л = Ае4-А;, где ||Л£у<^е, a dim R (Л{) < со. Читатель без труда закончит доказательство,

Спектральная теорема Реллиха

■ Интегральный оператор

Аи^= J Л(х, у)«(у) </уо

(где Q„—компактное множество, а Л(х, у)— непрерывное ядро), рассматриваемый как преобразование пространства непрерывных функций С (£1Я) в себя, является вполне непрерывным как относительно нормы ||«||2 —’ J" )a(x)pdx, так и относительно нормы ||«||C^Q ) = о

■■ max |«(*)|. Однако множество С (Q„) не является полным про- стрипстном относительно нормы пространства £2(йя); С(£2Я)— всего лишь унитарное пространство (см. гл. 1). Возникает вопрос о том, какие из теорем, изложенных в настоящей главе, остаются верными для вполне непрерывных операторов, рассматриваемых в (неполном) унитарном пространстве § *). Для того чтобы ответить на этот вопрос, пополним пространство § до гильбертова пространства § и расширим оператор А (посредством замыкания) до оператора А. Верно следующее предложение.

■ ’) Оператор А в унитарном пространстве § называется вполне непрерывным, если он преобразует (замкнутый) единичный шар в компактное множество в ф. (Заметим, что это определение отличается от приведенного в начале главы для случая полного £>.)

Лемма. Если Л — расширение вполне непрерывного оператора А, заданного на унитарном пространстве у, на пополнение £) пространства £>, то _

Г оператор Л вполне непрерывен,

2° fUA)c^.

Доказательство. К пункту 1°. Пусть К — единичный шар в (полном) пространстве ^ : К = {я С § : II “II ^ 1}; пусть е > 0 задано. Тогда для каждого и^К можно найти у £К — К П § так, чтобы ][ « —-п [| < е. Так как А — непрерывный оператор и AzdA, то || Лzz — Ду || = || А {и — у) || <^ || Л || || я — у || < е || Л ||. Эта оценка показывает, что множество А (К) можно аппроксимировать предком- пактным множеством А (К). Следовательно, А (К) само является предкомпактным, что и требовалось доказать.

К пункту 2°. По определению пополнения § множество D(A) = ^ плотно в пространстве §. Требуется доказать, что Ля0 £ ф для каждого я0££>. Пусть (я;)— последовательность элементов пространства ф, сходящаяся к я0:я;->я0. Последовательность (я;), как и всякая сходящаяся последовательность (в метрическом пространстве), ограничена: || я(-||<| М, I = 1, 2, ... . Следовательно, множество ^Аи^ предкомпактно; более того, в силу данного выше определения полной непрерывности оператора А оно содержит сходящуюся в ^ подпоследовательность ^Аик)у Очевидно,

Дя^^у^ф, по Aukl — Аик1-> Аи0 — у.

что и требовалось доказать..

Теперь мы докажем теорему, важную для приложений (например, к теории почти периодических функций).

Теорема 1 (Р е л л и х). Если А — вполне непрерывный эрмитов оператор в унитарном пространстве ф, то

Г существует не более чем счетное множество (Xz) ненулевых вещественных собственных значений, причем собственные подпространства конечномерны;

2° Дя = У ^£\я = У Xz(h, е^ ei, где Aei = Xiet и (е/, eh) = bik; /‘/

3° если 0 не является собственным значением оператора А, то ^ = @^к, где ^х— собственное подпространство, соответствующее собственному значению Xv

Доказательство. К пункту 1°. Расширим оператор А посредством замыкания на пространство §. Из теоремы, доказанной

в предыдущем параграфе, вытекает, что существует не более чем счетное множество собственных подпространств 6. , X, =£ 0, обладающих свойствами, указанными в п. 1°. Однако так как в силу предыдущей леммы R^A^a^, то Xlul=Aul=Aul при и^^х и ^х является также собственным подпространством "оператора А, что и требовалось

доказать.

К пункту 2°. Из предыдущего параграфа нам известно, что оператор А, будучи симметрическим и вполне непрерывным (читатель без труда проверит симметричность оператора Ато А = А*), обладает исключительно точечным спектром. Поэтому спектральный интеграл представляет собой ряд

Au = Au = J X dE (X) и — ^ XtE^.a -|- ОЕои;— ооХ^У=0

для доказательства п. 2° достаточно выбрать в каждом из собственных подпространств фх = £\ '& ортонормированный базис и считать Xt столько раз, какова размерность dim $9^.

К пункту 3°. Из спектральной теоремы (для оператора А = Д*)

нам известно, что

1= ^IdE^-^Ex, Е^Е^-Е^-Оу (5.1) — cof = l

где сумма распространяется на все собственные значения оператора А (О не является его собственным значением). Формула (5.1) является операторной записью утверждения п. 3°. Теорема доказана.

Многие численные методы решения уравнения второго рода

и — Au — f (5.2)

основаны па замене оператора А оператором А„, „мало отличающимся от А“, для которого уравнение (5.2) удается эффективно решить; например, в том случае, когда А — вполне непрерывный опоратор, в качестве А„ можно взять конечномерный оператор. Тогда, как было показано в § 3, уравнение ип — А„и„ = /„ сводится к конечной системе скалярных уравнений. В гл. XIII мы будем пользоваться следующей простой теоремой.

Теорема 2. Если уравнение второго рода и — Au = f, где А — вполне непрерывный оператор в гильбертовом, пространстве S5, разрешимо для каждого вектора / и если (Ап) — последовательность конечномерных операторов, сходящихся

к А : || А— Д„ |[ —> О, и—>оо, то при /„->/ и больших значениях п у равнение Ц—А^ un=fn однозначно разрешимо и ип->и.

Эта теорема является непосредственным следствием следующей теоремы, которой автор обязан М. Альтману.

Теорема 3. Если |1 (/ — Д)-1|| < оо, причем D^Q — Д)~') = ф, и если, кроме того, || А — Д„||->0, fn->f при п—>со, то для больших п существует ограниченный оператор Ц—Дя)-1, причем выполняется следующее неравенство1.

||(/ —л„)-* /„-(/-д)-1 /1| <

< II Л - / II ■ II (/ - Л)-1 II + Ли^Г^-ЛН Ш|'

Замечание. Полагая ип =(1 — Д„)-1/я(и„—единственное решение приближенного уравнения ип — Aun=fn\ мы приходим к утверждению теоремы 2.

Доказательство теоремы 3 основано на двукратном применении ряда Неймана

Ц-вух = ^в\ ||В||<1, 0^1-^ = %.

V=1

Имеем, очевидно, равенства

(/ — Д„) = (/ — Д) — (А„ — А) = (/~ А)[/— (/— А)-х (А„ - Л)]; выбрав N настолько большим, чтобы при п> N выполнялось неравенство || (/ — Д)-11| • || А„ — А || ^ т] < 1, получим

(/ - А,ух = [/ — (/ — Д)-1 (А„ - Д)]-1 (/ - Д)-1

и, следовательно,

(/ - Д„)"‘ - (/ - Др1 = {[/ - (/ - Д)-1 (А„ - Д)]-* -/}(/- Д)-1.

Отсюда для интересующего нас выражения (/-Дп)-1/я-(/-Д)-1/ =

= (' - др1 (/„ - /) + [(/ - А^ГХ -и- ЛГЧ /„ получаем требуемую оценку.

Слабая сходимость в гильбертовом пространстве.Теорема Рисса

Кроме обычной сходимости, в применениях гильбертова пространства важную роль играет так называемая слабая сходимость *).

’) Обычную сходимость, т. е. сходимость по норме, часто называют сильной сходимостью.

Определение. Последовательность («л) называется слабо фундаментальной, если для каждого элемента и £ § последовательность чисел ((«„, и)) фундаментальна; в этом случае будем писать u.lt—^ (последовательность (zz„) в банаховом пространстве § называется слабо фундаментальной, если для каждого функционала и*^^* фундаментальна; последовательность чисел ((м„, «*))). Говорят, что последовательность (и„) слабо сходится к элементу ий, u^—^Uo, если для каждого и^^^ц^ и')->(иС1, и) (аналогично в случае банахова пространства § говорят, что ип-^ ий, если (ип, zz*)->(zz0, и*^ для каждого «*££>*). Чуть позже мы увидим, что в случае гильбертова (или рефлексивного банахова) пространства всякая слабо фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу.

Множество, компактное в смысле слабой сходимости, называется слабо компактным.

Из неравенства Шварца вытекает, что сильная сходимость влечет за собой слабую. Примеры показывают, что слабая сходимость действительно слабее сильной.

Пример. Всякая ортонормированная последовательность ^е^” слабо сходится к пулю. Действительно, в силу неравенства Бесселя для каждого и ^ § имеем

S1(е„. «)|2СП «1Р, Л 6=1

откуда Пт (е„, и) = 0. Очевидно, последовательность (е„) не имеет предела в сильном смысле, ибо при l + k имеем [| е( — ек || — У 2.

В приложениях (вариационное исчисление, эргодическая теория) важную роль играет следующая теорема.

Теорема 1. В гильбертовом пространстве шар слабо компактен, т. е. из любой ограниченной последовательности элементов этого пространства можно выбрать слабо схо- дящуюсн подпоследовательность.

Доказательство. Пусть (м„) — ограниченная последовательность элементов гильбертова пространства. Применяя диагональный процесс Кантора, выберем такую подпоследовательность ^и^, чтобы для каждого фиксированного т скалярные произведения ^ и^ образовали сходящуюся последовательность. Легко видеть, что последовательность чисел (иП);, и} будет сходящейся для каждого и € Кит)Ь Наконец, очевидно, что сходимость будет иметь место для любого и£§к Действительно, если Р — оператор ортогонального проектирования на подпространство [(«,„)], то (unft, u^ = ^unfe, Риу ибо

чП)г € К^тЖ и последовательность чисел (мя^, и) сходится, так как для каждого Я 6 е [«ж

Замечание. Теорема 1 справедлива в произвольном рефлексивном банаховом пространстве.•

Оказывается, что всякая слабо сходящаяся последовательность ограничена. Этот факт является следствием более общей теоремы (являющейся в свою очередь частным случаем теоремы 3 § 6 гл. III),

Теорема 2 (Осгуд, Банах и Штейнгауз). Пусть (Т^— множество линейных непрерывных операторов в банаховом пространстве ®, а пусть || Tvf || С т = т (/) для всех f £®. Тогда множество (Т^ ограничено, т. е. существует постоянная М, не зависящая от v, такая, что || Tv || < М.

Доказательство. Выберем из (Г») некоторое счетное множество операторов (Тл)“. В силу линейности операторов Тп достаточно доказать, что они равномерно ограничены в некотором шаре. Предположим, что это не так. Пусть Ко — произвольный шар; существуют элемент и0^К0 и индекс п0, для которого || Tnito || > 1. В силу непрерывности оператора Т^ существует такой шар Кгс.К0 радиуса < 1, что ||ТЛ|)м|| > 1 для всех u^Kv Рассуждая аналогично предыдущему, приходим к выводу, что существуют индекс и, > п0 и такой шар К2 с Кх радиуса <'/г» чт0 в этом шаре || Тд || > 2.

Таким образом строим последовательность шаров К х то К г то .... центры которых образуют последовательность, сходящуюся к некоторому элементу та, принадлежащему всем шарам Кп, п = 1, 2, .... Но тогда, вопреки условию теоремы, имели бы место неравенства ||Т„^||>А + 1, £ = 1, 2

Взяв в качестве преобразований Тч линейные функционалы и*£®*, получаем следующее предложение.

Следствие 1. Слабо фундаментальная последовательность (Un^x ограничена.

Действительно, последовательность (|<mv, и*>|) ограничена для всякого и*^*, поэтому на основании теоремы 2 последовательность (], «я ||) ограничена.

Читатель без труда докажет несколько более общее утверждение.

Следствие 2. Если множество Zc® обладает тем свойством, что каждое бесконечное подмножество множества Z содержит слабо фундаментальную последовательность, то множество Z ограничено.

Следствие 3. Слабо фундаментальная последовательность элементов гильбертова пространства ^ слабо сходится к некоторому элементу пространства ^.■.■

Доказательство. Пусть hv—Ч в этом случае для каждого /£§ имеем (zzv, /)->/(/), где /(/)— антилинейный функционал. Так как последовательность («v) ограничена, то ограничен также функционал I. Поэтому существует такой (единственный) вектор и£§, что lim(«v, f) = l(f) = (u, /). Следовательно, «v—»-«, что и требовалось доказать.

Используя понятие слабой сходимости, можно следующим образом охарактеризовать вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве.

Теорема 3 (Рисе). Оператор А (в гильбертовом пространстве) вполне непрерывен тогда и только тогда, когда он преобразует всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

Доказательство. Пусть А— вполне непрерывный оператор, т. е. оператор, преобразующий шар в предкомпактное множество. Пусть и^-^и. На основании следствия 1 заключаем, что последовательность (||«v||) ограничена; поэтому множество ^Аи^ предкомпактно.

Для произвольного /£У имеем lim (Auv, f) = lim («v, A*f) — V ->• coV -> oo

= (u, A*f)=(Au, /), t. e. Au^^- Au. Докажем, что Auv -> Au = g. Предположим, что существует такое е > 0 и такая подпоследовательность, что ||Л«Я—g || > е. Так как множество (Л«я) предкомпактно, то существует подпоследовательность ДЯтл. сходящаяся к gY^ $. Тем более Aum^-^gY, а так как Aus^g, то g = gv чт0 противоречит неравенству || gY — ^ || ^ е, вытекающему из неравенств ||Л«„ —^|| >е.

Пусть теперь для каждой последовательности и^^и имеем Att^-vA», и пусть ||/п || < 1. Тогда, в соответствии с теоремой 1, существует подпоследовательность fnk^f. а поэтому Afnk-*Af, Т. е. множество (Л/Д предкомпактно. Следовательно, оператор А вполне непрерывен. Теорема полностью доказана.

Первоначальное определение, данное Гильбертом, касалось полной непрерывности полилинейных функций многих переменных. Именно функция F (и, vw) называется вполне непрерывной (voll- stetig), если для произвольных последовательностей и„ ^ и, vn^ —^ у, ..., чу„ ^ чу имеем F ^и„, ч)„, ..., чу„) -> F (и, V, ..., чу). В частности, билинейная форма F (и, v) = (Au, у) называется вполне непрерывной, если сходимость ип —^ и, ч>„^-ч> влечет сходимость (Аип, ч)п)-><Аи, у).

Из этого определения вытекает утверждение, важное для вариационного исчисления,."■

Теорема 4. Билинейная форма (Аи, у) вполне непрерывна тогда и только тогда, когда оператор А вполне непрерывен.

Доказательство. Если оператор А вполне непрерывен, то при ип—^и, 'Оп^,и имеем Аип->Аи, а поэтому (Аип, v„)->(Au, у). Действительно,

I №• у«) — ^Аи, у) | < || Аип — Аи || • Л +1 (Аи, vn — у) |,

где H4 = sup |!у„||. Пусть теперь, обратно, форма (Аи, у) вполне непрерывна. Фиксируя У, находим, что Аи„— Аи—*-0 при ип-^и. Полагая у„ = Аип — Аи и принимая во внимание полную непрерывность формы (Аи, у) получаем

0<-(Аи„, -и^—(Аи, у„)= ||Ди„ —Hzz||2,

так что Аип->Аи и теорема доказана.

Операторы Гильберта — Шмидта

Как нам известно, множество q%‘ вполне непрерывных операторов гильбертова пространства § является замыканием в смысле нормы пространства ^ (.§; §) множества q^ конечномерных операторов; при этом S (§; §)— пространство линейных непрерывных преобразований пространства в себя и норма в S (fy, ф) определена соотношением

II А ||= sup ||Л«||.

Н и И <1

Оказывается, что, замыкая множество ^ по норме, более сильной, чем || • ]], можно в классе вполне непрерывных операторов выделить некоторые интересные подклассы. В этом параграфе мы введем так называемую норму Гильберта — Шмидта или, в другой терминологии, абсолютную норму, которая приводит к важному понятию оператора Гильберта — Шмидта. Изложенное в §7—9 сохраняется без изменения для произвольных, в том числе несепарабельных гильбертовых пространств. Однако ради простоты мы будем заниматься счетномерными пространствами.

Пусть (е^, ^е^ — произвольные ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве 6. Докажем следующее простое утверждение.

Лемма 1. Если А — ограниченный линейный оператор в пространстве @, то

ИР — 2II Aet IP = 2IIЛХ1Г-М13,

m. e. |Л| не зависит от выбора базисц.

Доказательство. Дважды применяя равенство Парсеваля, получаем

лр=£цл.,,|р=22|(4е,, 6;)р=

Определение. Оператор Д^^(®; 6) называется оператором Гильберта—Шмидта, если |Д|<оо. Число |Л| называется нормой Гильберта—Шмидта {абсолютной нормой') оператора А.

Следующее предложение показывает, в частности, что функция Л —> | А| обладает всеми свойствами нормы.

Лемма 2. Если |Л|, \В\<_оо, рю

1» |Л + В|<|Л| + |В|;

2° ||Д||<М|;

3° для произвольного унитарного оператора U имеет место равенство [tMt/-1 | = [Л|, так что унитарно эквивалентные операторы имеют одинаковую норму Гильберта—Шмидта.

Доказательство.

К пункту 1°. Из неравенства Минковского для пространства PQS) (см. § 3 гл. I) получаем

|л+вр = 2||И+В)М2<2№ ||2+21|вм2 = М12+|в|2.

К пункту 2°. Пусть ех— произвольный единичный вектор и (#z) — ортонормальный базис, содержащий ех. Очевидно,

1ИМ2<2|ИМ2==И|2.

откуда

|| Л ||= sup || Л^Н <1Д|.-

11^11 = 1

К пункту Зп. Если (е,) — произвольный ортонормированный базис, a U —- унитарный оператор, то в силу определения унитарного оператора ^U-1e^—тоже ортонормированный базис. Следовательно,

I00

I и ALT11 = 21] и А и-1 et ||2 = 2 II A 1Г хех ||2 = | А ]2;

при этом мы воспользовались равенством || Ux || = || х || (х^®) и леммой 1.

Гильберт и Шмидт изучали прежде всего интегральные операторы в пространстве L2((0, 1)). Нижеследующая теорема показывает, что каждый оператор Гильберта — Шмидта унитарно эквивалентен неко-

торому интегральному оператору с ядром Гильберта — Шмидта в пространстве L2((0, 1)). т. е. оператору вида

L2((0, 1)) 3 и-> (Au) (х) = J а(х, y)u(y)dy,о

где ядро а(<, -)£L2((0, 1)Х(0, 1)), т. е.

1

J Jla(x, y)l2dxdy<oo.

' о о

Теорема. Пусть Q — компактное подмножество положительной меры в пространстве EN. Каждый оператор Гильберта— Шмидта в произвольном сепарабельном гильбертовом пространстве 6 унитарно эквивалентен интегральному оператору с ядром Гильберта—Шмидта в пространстве L2(Q) и, в частности, в пространстве Z.2((0, 1)).

Доказательство. Пусть U—унитарное отображение, сопоставляющее ортонормированному базису (е^ пространства 6 ортонорми- рованный базис (ez(-)) пространства L2(Q). Пусть aik °— (Aez, е^). Поскольку А— оператор Гильберта—Шмидта, то Slaz&|2<°°« I, к

Определим ядро &(•, •) оператора К формулой

6(*. У) - 2 8/А (х) е, (у).(7.1)

j>k

Ряд (7.1) сходится в среднем в пространстве Z.2(QX^)- ибо 2la/ii2<°°-так чт° £(•• об^^х^)-■

Докажем теперь, что интегральный оператор К с ядром &(•, •) унитарно эквивалентен оператору А. С этой целью надлежит доказать равенство билинейных форм

ИЛ- Л)е = (KU/V и^\» (В), /Р /2= 6.

Справедливость этого равенства достаточно проверить для элементов ортонормированного базиса (е^. Имеем

кКеД-Y еХ-))£3(д)= J к^х, у) е, (у) es (х) dx dy =

Q X Q

= У J5«ijej(x)e7^)e^y)e7Wdxdy==ar$ = ^e,),

Q Q i, j

что и требовалось доказать.

Отображения Гильберта — Шмидта

В настоящем параграфе мы введем естественное обобщение понятия оператора Гильберта — Шмидта на случай линейных отображений (различных) сепарабельных гильбертовых пространств 6 и § со скалярными произведениями (•, -)@ и (•, -)g. Это понятие играет важную роль в общей спектральной теории.

Пусть (ez) и (Д) — ортонормированные базисы в пространствах 6 и ^. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть h^^, I = 1, 2, ... —такие векторы, что

2||Мз<~;(8.1)

тогда соотношение

6Еф->5(Ф. е^ ht^(8.2)

определяет линейное непрерывное отображение 6->^.

Доказательство. Положим alk=(Jit, f^y. Из соотношения (8.1) и равенства Парсеваля находим

И2 = 2||Мз=51«/»12<«>-(8-3)

/Z, к

Положим

NN

^N,m= 2 (Ф. е^, $N,m= 5(Ф, е^.1 = т1 = т

Применяя равенство Парсеваля и неравенство Шварца, получаем

Hw,mIP= 2l(Km- /»)Р = 21 5(ф. ^Ж- /*)Р = кк 1 = т

*Х| 2(ф. eMtP=2l 2(Ф^т- е^и^^ W 1*тк i = m

N

< £ II <?N. ... IP ^ I "/» P " II <PW. m IP 2 I alk P = M P ||ф№ m IP- Итак,

Il 'Pzv, m llj ^ I ^ I ' II ^N, m ll@.

Отсюда следует теорема.•

Следствие. Отображение А; @->8- заданное соотношением

ф_>Лф= 5(ф, e^hi, | ДР = 2II Л/||г <оо.

является

1°) линейным;’

2°) непрерывным: || А || С | А |;

3°) таким, что для всех I Aet = ht, а поэтому

Лф = 2(ф. е^Аег(8.4)

Если Л:@->5 — непрерывное отображение, то (непрерывное) отображение Л*: $ -> (5 определяется с помощью тождества

(Ае, f\=(e, А*/^ е £6, J ^.

Линейное (непрерывное) отображение (8.2), о котором речь шла в теореме 1, называется отображением Гильберта — Шмидта.

Непосредственным следствием из теоремы 1 является следующая лемма.

Лемма 1. Линейное отображение А*, сопряженное с линейным отображением (8.2), (8.4), также является отображением Гильберта — Шмидта. Кроме того, для произвольных ортонормированных базисов (е^ и (f^ пространств 6 и 5 имеет место равенство "

МР = 211^ 111=211 Л7Л^ = |Л*|2. Ik

Для доказательства дважды применяем равенство Парсеваля

2 II Aet ||| = 2 | <Aeb f^ p = 21 (eb A^f^ P = 21| ^7» III- ii, кl, кк

Число | A | = | A* | будем называть нормой Гильберта — Шмидта. Подобно случаю § = 6,

MIKMI-

Суперпозиция непрерывного отображения и отображения Гильберта — Шмидта является отображением Гильберта — Шмидта. Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть ® и §—гильбертовы пространства, B:(S—>6, С:§->'§ — непрерывные отображения, а Л:@->^— отображение Гильберта — Шмидта. Тогда отображения 1° С о Л : 6-> §>, 2° ЛоВ:®->й, Зэ СоАоВ:@)->§ являются отображениями Гильберта — Шмидта.

Доказательство п. Г очевидно. Для доказательства п. 2° в силу леммы 1 достаточно проверить, что (ЛВ)* = В*Л* является отображением Гильберта — Шмидта. Однако это вытекает из леммы 1 и п. 1°.

Ядерные отображения. Ядерные пространства

Пусть ($, 5- ® — сепарабельные гильбертовы пространства с ор- тонормированными базисами (е;), (/ft), (g"e) соответственно.

Определение. Отображение А : ($-> J называется ядерным. если его можно записать в виде

6Эф~>2(ф. 11/)^;,

где т]; £ Й, 7 Еб— некоторые элементы, для которых

2 II М®'1М3<°°-

Очевидно, ядерпое отображение является отображением Гильберта — Шмидта (обратное неверно). Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть соотношения

Лф=20ф. Л)5Л = 2(ф. Л7.)й//==2(ф. е^Аег

Условие ядерности отображения А имеет вид

2 11 Aet Из < 00 или2II A*ft ||@ <оо.

iI

Очевидно, из этих условий вытекает (например) У, || Aet ||? < оо, так ■ iа

что А — отображение Гильберта — Шмидта. .

Между отображениями Гильберта — Шмидта и ядерными отображениями имеется важная связь, указанная следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть Л,:®-»^ и Л2:^->®—отображения Гильберта — Шмидта. Тогда суперпозиция Л^: ®->® является ядерным отображением.

Доказательство. Имеем

ф- ^(ф, c^i. H^=5(^iT. fkHk«(Л2Л1)ф^^(Л1ф, ffM^. A^AJk-кк

Поскольку

5 МТ/. IIII ч. || < 1V (II а*/. 11= 4- II м» о= кк

= ^ (I А\ |2 +1 Л2 р) < оо, отображение Л2Л1 является ядерным.

Непосредственно из определения выводится следующее утверждение.'...

Теорема. Суперпозиция непрерывного и ядерного отображения является ядерным отображением. Отображение, сопряженное ядерному, является ядерным.■

Докажем второе предложение. Пусть Д:®-»^— ядерное отображение. Так как Д непрерывно (оно является даже отображением Гильберта — Шмидта), то существует непрерывное отображение Д*: § -> 6. Разложим элемент Д*/ по базису (ez):

Имеем'

2II Aei Us II ei II® = 2 II Aet ]]g < oo,

ибо по условию отображение А является ядерным.

В дальнейшем А означает ядерное отображение.

Обозначим через ||| А ||| точную нижнюю грань множества чисел 21| Aet ||, при условии, что (ez) пробегает всевозможные ортонор- мированные базисы пространства ®. Число ||| А ||| будем называть ядерной нормой отображения А. Норма, абсолютная норма и ядер- ная норма отображения А находятся в следующем отношении:

ЦД||<|Д|<111Д|||.

В самом деле, положим 2 II Aet || = а. Тогда || Д^ ||/а <11 • а потому 2 ll^z IP f0^ 2 II Aei II /а ~ ^’ откУда 2 ИЛе/1Р<а2 = — (2 II Aet II у. так что I Д I2 < III Д III2.

Полагая

опр.

Ап — 2 (ф. 5/) Aet, находим

(Д — Д„)ф= 2 (ф. е^Ае^ .

/ =л + 1 следовательно,

НИ —2 ||дм—>о.

z=n+i

Таким образом, мы пришли к следующему важному утверждению.

Теорема. Всякое ядерное отображение можно аппроксимировать в смысле нормы ||| • ||| (т. е. в смысле ядерной нормы) конечномерными отображениями. Обратно, предел (в смысле ядерной нормы) последовательности конечномерных отображений является ядерным отображением.''

Результаты § 7—9 подытожим в следующей теореме.

Теорема. Пусть 6 и ft— сепарабельные гильбертовы пространства, а Sf— подмножество пространства ^(6; ft) непрерывных отоб ражений 6->ft, состоящее из всех конечномерных отображений. Замыкая множество по норме1.

1°) || • || \обычная равномерная норма в пространстве S (6, ft)],

2°) | -1 {абсолютная норма, т. е. норма Гильберта — Шмидта), 3°) ЦЫЦ {ядерная норма), получаем множество:

1°) e^*i {множество всех вполне непрерывных отображений),

2°) ST а {множество всех отображений Гильберта—Шмидта), 3°)^ {множество всех ядерных отображений).

На примере эрмитовых операторов (($->6) можно убедиться в том, что включения S{^, ft)os%"1os%"2zDe^'’3 являются строгими (в предположении, что пространства бесконечномерны).

Для эрмитовых операторов ®->® имеется следующая спектральная характеристика.

Теорема. Эрмитов оператор Л = А* обладает вещественным спектром и является

1° вполне непрерывным тогда и только тогда, когда его спектр не имеет предельных точек, отличных от нуля, а все точки спектра Xt ф 0 являются собственными значениями конечной кратности-,

2" оператором Гильберта — Шмидта, если кроме условий п. 1°, выполнено условие 2< I 12 < °°:

3° ядерным оператором, если, кроме условий п. Г, выполнено условие ^И^/Ксо-

Приведем теперь без доказательств ряд важных результатов Гротендик».

II лпльпейшем через (5 и ft будем обозначать произвольные ба- нехопы прострпнстпи, через (V*. ft*— сопряженные пространства линейных непрерывных функционалов, заданных соответственно на ($ и ft, с сильной топологией.

Определение. Пусть е* £ ®*. Jt £ ft. Линейное отображение Д : (S -> ft, заданное формулой

@Эф-> Дф°=5 <ф.

i

называется ядерным, если

Slhziln/, П <оо.

U К- Моред

Применяя тензорные обозначения (см. гл. III), ядерное отображение можем изобразить символом .

A = ^e>fv

Из определения непосредственно вытекает, что ядерное отображение непрерывно и что суперпозиция ядерного и непрерывного отображения является ядерпым отображением.

Последнее свойство обобщается следующим определением ядерного отображения произвольных локально выпуклых пространств й и g.

Определение. Линейное отображение А; Й-*^ называется ядерпым, если можно указать такие банаховы пространства Е и F, такое ядерное отображение K'E^F и такие непрерывные отображения В \ Ч-*Е, С : F ->5- что отображение А является суперпозицией А -— С • К • В.

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема. Отображение А локально выпуклого пространства 6 в банахово пространство F является ядерпым тогда и только тогда, когда

ф->Лф = 2(ф, e^f^ е*^, /t^,

и существует такая полунорма || • Ц^ на пространстве 6, что

SlkilLpll ЛИ <

при этом

Гротендик выделил важный класс локально выпуклых пространств (к которому принадлежат многие часто встречающиеся в анализе пространства), именно класс так называемых ядерных пространств.

Определение. Пространство 6 называется ядерпым, если каждое непрерывное отображение пространства (5 в банахово пространство § является ядерпым.

Очевидно, конечномерные пространства ядерны.

Имеет место следующая фундаментальная теорема.,

Теорема (Гротендик).

Г. Пространство является ядерпым тогда и только тогда, ^огда его пополнение ядерно,'

2Э. Каждое подпространство ядерного подпространства является ядерным.

3°. Банахово пространство является ядерным тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

43. Факторпространство 6/(5, ядерного пространства по замкнутому подпространству (^ является ядерным пространством.

5°. Индуктивный предел ® = limind(Sn счетной последова- п тельности ядерных пространств является ядерным пространством.

6°. Декартово произведение (множества произвольной мощности) ядерных пространств является ядерным пространством.

7°. Пространство 6. сопряженное с ядерным пространством Фреше, является ядерным.

8°. Проективный предел (произвольной мощности) ядерных пространств является ядерным пространством.

Примеры ядерных пространств, встречающихся в теории о б о б щ е н н ы х ф у н к ц и й:

S (Q„) — пространство всех бесконечно дифференцируемых функций в области Йл;

3 (Qn) — пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями;

& (Еп) — пространство быстро убывающих функций;

пространства обобщенных функций S' (йл), 3' (Йл), У (см. гл, III, § 7).

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ1)

Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве шар слабо компактен.

Доказать, что в рефлексивном банаховом пространстве оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда он всякую слабо сходящуюся последовательность преобразует в сильно сходящуюся.

Доказан,, что кажущееся более сильным условие полной непрерывности, применяемое в этой главе, а именно условие „оператор А вполне непрерывен, когда образ А (К) шара К=\и(^'; || и || С 1) предкомпактен*, эквивалентно классическому определению Ф. Рисса: оператор А называется вполне непрерывным, если образ А(и^ всякой ограниченной последовательности (ип) предкомпактен.

Множество Z банахова пространства X предкомпактно тогда и только тогда, когда

1° множество Z ограничено,

2° существует такая последовательность вполне непрерывных операторов (Лл) в пространстве X, сходящаяся в каждой точке к оператору / (т. е. || А„х — 1х || = || Апх— х||->0), что на множестве Z сходимость является равномерной.

Вывести отсюда:

критерий компактности Ариела в С [а, 6] (множество Z в С [а, 6] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Положить (Апх) (/) = х (t) в точках t=a4--—, fe = 0, 1, .... п, и линейной на смеж

ных интервалах);

критерий А. Н. Колмогорова компактности в Л2[а, 6] (множество Z в Л2[а, 6] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно в

ограничено и Пт | | х (£ —|—т)— х(/)|2^ = 0 равномерно по x^Z;

при этом функции из L2 следует продолжить нулем на внешность отрезка [а, 6]. Положить

Ahx=^ f х^^>t—h

критерий компактности в /2 [множество Z в I2 предкомпактно

тогда и только тогда, когда оно ограничено и 21 xn I2 сходятся

1

равномерно по х £ Z; положить Апх = ^хххп, 0, ...)].

Опираясь на результаты § 3 и на лемму § 5, доказать, что теоремы Фредгольма справедливы в любом унитарном пространстве. При этом вполне непрерывный оператор определяется, как в § 5.

Сформулировать и доказать теоремы Фредгольма для уравнения второго рода и — aAu = f с параметром о.

Пусть Atu{x) = J А^х, y)u<y)dy, А^С^Х^), Z=l,2.

Sn

Доказать, что А2Ахи(х') = (.А2* At") и(х'), где А2* Ах— интегральный оператор с ядром (Д2*^1)(х> У) = j* А2(х, t)Al(t, ^dt, называе

мым сверткой ядер А2 и ДР

Указание. Воспользоваться теоремой Фубини.

'ДОПОЛНЕНИЕ

Интегральные операторы со слабой особенностью

Пусть Q„ означает компактное подмножество вещественного евклидова пространства Еп. Будем говорить, что ядра ult(x, у)(х, у^й,^ имеют слабую особенность, если существуют такие постоянные at > 0, что

п

MiU. у)|<^Цг- где 0<at<n, |х — у|2 = 2К~У^- \х — у\‘v=i

Заметим сначала, что если ядра Jli, /=1, 2, имеют слабую особенность, то

| (Л * Л2) (х, у) I < а31 х - у 1"-“--“=,(*)

т. е. их свертка тоже имеет слабую особенность.

Для доказательства прежде всего заметим, что после перехода к «-мерным полярным координатам р, 6j0Я_! имеем

„ь

J|x — х| dx < С J p"-“-dp = C -^—- (0 < а < п), (**) 'о

где b — радиус шара с центром в точке х, содержащего множество Q„.

Имеем

(^♦^(х, у)| = | J ^(х, 0<^2(Z, У)^1<

<ахаг /|х — <|-а‘\t — y|~“2dt

Произведем сдвиг t-*t-\-x (значение интеграла От этого не ме- няетси!) и положим Zv°—psv, v—1п. где р=|х— у(. Имеем

I (uti * и^з) (х, у) | < аха2 J* I ^ I 1114“ х — УI ai dt =

'Qn

е1

= a1a2P”~a'-cl2 J I»| a‘ls—el “2^s«

2

й„ = [s: |s|^72b Теперь имеем

12

В силу неравенства (**), а также определения множеств Q„ и Qn, неравенство (*) доказано.

Применяя остроумный метод Бохнера, докажем теперь следующее утверждение.

Теорема. Интегральный оператор со слабой особенностью вполне непрерывен в пространстве 2.2(Й„).

Доказательство. Заметим, что достаточно доказать полную непрерывность оператора на (унитарном) пространстве непрерывных функций на множестве Q„. При расширении оператора на все пространство £2(Q„) полная непрерывность сохранится.

Будем аппроксимировать ядро непрерывными ядрами, которым, как мы знаем, соответствуют вполне непрерывные операторы. С этой целью введем функцию та(г) £ С”(0, оо) с „малым" носителем

( 1приг а/2,

та (r) I QПрИг

Имеем

ы£(*, У^^*, У)М|*~У |) +

+ <^U, у)[1 — та(| х — у |)] = Х(*. ^-VRo(x, у).

Заметим, что первое слагаемое, хотя оно является ядром с особенностью, имеет малый носитель, а второе—Ra(x, у)—непрерывно и, следовательно, определяет вполне непрерывный оператор.

Если нам удастся показать, что ||Да||->0, а->0, то теорема будет доказана, ибо предел вполне непрерывных операторов является вполне непрерывным оператором.

Имеем || Ааи ||2 = (Да«, Даи) = (даДаи, и); но АаАа является интегральным оператором с ядром о^0(х, у)= j Jla^t, х^-Ла^, y)dt.

еп

(♦♦*)(♦♦*)Заметим, что

(♦♦*)

(♦♦*)

о^а(^. у) = 0 при |х — у ] > 2а

о^а (.У, У) < m | х — У Г 2“

в силу формулы (*). Применяя неравенство 2| и^и (у)| ^| и (х) |24~ -ф | м (у) |2, получаем

21| Ла« ]|2 = 2 J аЛа (х, у) и (х) и (у) dx dy V/Qn

V^nV^nйпйпtin

V^n

V^n

йп

йп

L^

В силу формул (***) и (**) при п— 2а < О и (***) при п-— 2а ^ О существует такая положительная функция д (о), что Т)(о)—> О при о-»0 и

J |о^а(х, y)|rfy < Д2(о),

У \a4la^x, y)[dx < ^(о).

Таким образом, 2 || Аам ||2 С 2д2 (а) || и ||2, т. е.

ИЛИ <т1(а)-*0. а->0.

что и требовалось доказать.

УПРАЖНЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Сформулировать доказанные в этой главе теоремы для ядер со слабой особенностью и для ядер из £2(Q„X^n)-

Указать общий вид интегрального конечномерного оператора.

Пусть ^ — компактная группа с элементами х, уПусть ц (а:)—нормированная мера Хаара (ср. дополнение II). Доказать, что при выполнении условий Х^С(^) и x(t~^ = xV)- гДе ^-1—эле" мент, обратный элементу t, интегральный оператор с ядром Л^х, у) = X (.v'y), Аи(х)==' J x(x-1y)«(y)dy,(y) является вполне непрерывным эрмитовым оператором.

Доказать следующую теорему.

Теорема (Банах и Сакс). Если последовательность (м„)”

пространстве ф к элементупространстве ф к элементу^або сводится в гильбертовом

пространстве ф к элементу

пространстве ф к элементу

и : ип —> и, то существует такая подпоследовательность (ип^ последовательности (ы„), что средние арифметические

^^п\ + ••• +%)

сильно сходятся к элементу и.

Указание. Не ограничивая общности, можно предположить, что « = 0. Элемент ип^ выбрать так, чтобы он был „приближенно ортогональным" к ранее выбранным элементам:

M«j— Ир [(«яр «л,)^1' •••

.|(«Л|. и„м^\<.\/кl(aV нЛб + 1)] < Мк.

[ведь (и„, и,^ —>0, п->оо при Z= 1, 2, ...]. Поскольку нормы ограничены, ЦМдЦ^В, то

<^(^ + 2- 1+4-2 + ... + 2(^-1)-^) <-^±1-^0.

Используя теорему Банаха — Сакса, доказать, что выпуклое сильно замкнутое множество является также слабо замкнутым.

Пусть | А | < со. Число tr (А) = 2 (^ег, et) называют (матричным) следом оператора А; при этом (ег) — некоторый ортонор- мированный базис пространства 6. Пусть Ai = Aj, /=1, 2,—интегральные операторы Гильберта — Шмидта в пространстве £2((0, 1))

(+«) (х) = J Ui (х, у) и (у) dy.о

Доказать, что

1 1

x^dxj dx2.

Указание. Заметить, что в силу эрмитовости ядер at

1111

/ J | ах + а2 |2 dxx dx2 — 1J J | ax — а212 dxx dx2 ='

0 00 0

= 1 tr ((+ + А^ -1 tr ((Л - A2f) = tr (Д,Д?) = tr UW.

Пусть А— интегральный оператор Гильберта—Шмидта. Доказать, что ■

11

tr (Л") J ... п ... J а (х1я л-2) ... а <х„, х^хх .. . dxn, п^Ч. оо

Указание. Воспользоваться равенством А" = А А"-'; разбить операторы А, А"-1 на вещественную и мнимую части и применить результат упражнения 13 (ср. В. Б. Дидский [1]).

Применяя результаты упражнения 14 и теорему Фубини, доказать, что

1

tr (Д") =fan (t, t) dt,

о'

где

ап (.х, t) = (а * ... *й)(/Л).

п.

i 16. Пусть А: 6-*^, А ^^(б. ^), где б, $— сепарабельные пространства Гильберта. Доказать, что преобразование А можно представить в виде А = U • Н, где 0 ^ Н £ 3 (б, б) и U — частично изометрическое преобразование, т. е. преобразование, отображающее некоторое линейное многообразие б] с: б в O^g, а многообразие 6jL — изометрически на многообразие б2 с %.

Проверить, что в множестве операторов Гильберта — Шмидта пространства б можно следующим образом ввести скалярное произведение:

Ир Л) — 2 И^,. А^.

Именно это скалярное произведение индуцирует норму Гильберта — Шмидта |Др = (Д, А).

ГЛАВА VIII

Коммутативные банаховы алгебры1)Теорема Гельфанда—НаймаркаМаксимальные С*-алгебры. Применения

Первые два параграфа настоящей главы посвящены очерку гель- фандовской теории максимальных идеалов в коммутативных банаховых алгебрах. В § 3 изучаются коммутативные банаховы алгебры с инволюцией, имеющие важное значение для теории операторов в гильбертовом пространстве. В § 4 рассматриваются максимальные коммутативные алгебры нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. Результаты § 4 дают возможность в § 5 сформулировать основное в квантовой механике понятие полной системы коммутирующих наблюдаемых и доказать справедливость гипотезы Дирака относительно возможности вложения коммутативной системы эрмитовых операторов в полную систему коммутирующих •операторов.

§ 1. Алгебра ограниченных операторов в банаховомпространстве. Спектр оператора

Мы знаем (см. § 4 гл. I), что линейные ограниченные операторы в комплексном банаховом пространстве X сами образуют полное банахово пространство. Это пространство мы в дальнейшем будем обозначать через ® (М). Множество ® (X) является, однако, не только векторным пространством, но и вместе с тем алгеброй над полем комплексных чисел С1. Это означает, что определено умножение элементов пространства .^ (X), причем выполняются следующие условия:

1°. .^ (X) является векторным пространством над полем С1.

2°. Для любых А, В, С £ ^ (X) и любых X, р^С1 имеем

АВ^^(Х), (АВ) С = А (ВС), (ХА)В = Х(АВ),А (ХВ + рС) = А АВ + рЛС.

3°. Существует единица l^S^Xy. IA = AI = А.

') В русской математической литературе банаховы алгебры называют обычно нормированными кольцами.—Прим, перев.

Алгебра ^(X) является полным нормированным пространством, фичем норма || • || кроме обычных свойств обладает еще следующим:

4°. м^КИНМ Ж=ь

Абстрактное множество ^, удовлетворяющее аксиомам 1°—4°, называется банаховой алгеброй с единицей. Таким образом, ли- 1ейиые непрерывные операторы в банаховом пространстве образуют >анахову алгебру с единицей. В случае когда умножение коммута- ивпо, т. е. когда выполняется равенство

5°. АВ — В А для всех А, В, лгебра ^ называется коммутативной банаховой алгеброй с еди- 1ИЦСЙ.

Прежде чем переходить к изучению абстрактных банаховых 1лгебр, докажем несколько важных свойств спектра линейного опе- >атора в банаховом пространстве X.

Определение. Резольвентным множеством оператора р ^Ж (А-) называется множество р(7) всех комплексных чисел X, для юторых (7 — X/)-1 существует и является ограниченным оператором, шдаппым па всем пространстве Л-. Оператор R(k, Т) —' (7—X/)-1, де Х€Р(7) называется резольвентой оператора 7. Дополнение тожества р(7) (в С1) называется спектром оператора 7. Спектр шератора 7 мы будем обозначать через Sp (7). Таким образом, 5р (7) = С1 \р(7).

Докажем следующее важное предложение.

Теорема 1. Если пространство X содержит более одного актора (т. е. содержит векторы, не равные нулю), то

1°. Sp(7) — непустое множество;

2°. Sp (7)— ограниченное замкнутое множество, точнее, оно нежит (в замкнутом) круге с центром в точке нуль и радиусом, равным [| 7 ][.

3°. р(7)—открытое множество.

Док а а л тс ль ст в о. К пункту 1°. Предположим, что спектр эперптора Т пустое множество, т. е. что р(7) = С1. В таком случае Тля любых фиксированных х £ X и х* £ X* величина (/?(Х; Т) х, х*) = = {(Т — X/)-1 х, х*) является целой функцией переменной X. Действи- гельно, читатель без труда проверит, что для любого фиксирован- юго Хо

;х/ - 7) 5 (Хо — X)" (Хо/ - 7)-(я+1) = л = 0

= ЗИ- а0 - ь)"+1- п"(п+1) + (х0 - х)" (х0/ - 7)-п] =

п=0

= /-(X0-X)m + 1(Vт->оо.

при |Х— X0|<]|Xq/— Т^. Следовательно, для этих X

/?(Х; Т) = (Т -X/)-1 =S(-1)"(XO- X)" [Я(Х0, Т)]",

л=0

откуда вытекает, что ^R (X, Т) х, х*} — целая функция. С другой стороны, при |Х|>||71 имеем

Следовательно, |((X/—Т)-1||—>0, когда X—>оо, и на основании теоремы Лиувилля заключаем, что паша целая функция равна постоянной (зависящей от х и х*):

(jJ — M'^x, х*) = С(х, х*). Но так как (Т — X/)"1-> 0, [Х|->эо, то С (х, х*) = 0, т. е. (Т— Х/)-1 = 0 для всех X. Мы пришли к противоречию: ввиду того что ^=£{0}, / —(Т — М)(Т —Х/)-1^0. Это и требовалось доказать.

К пунктам 2° и 3°. Если |Х| > ЦТЦ и В = ^ Шт?1 то

л = 0

Следовательно, {X : |Х| > ЦГЦ} ср(Т). Доказательство пунктов 2° и 3° будет закончено, если мы покажем, что р(Т) — открытое множество. Мы докажем несколько больше.

Лемма. Если Л, Ло, Aq1 £ ^ (X) и [] Л — Ло'|—*0, то существует А~г ^ "9 (Х^ для всех А, для которых [|Л— Л о Q < Ц Ло"1Ц и || Л-!—Ло~ *]->().

Доказательство. При || В — /|| < 1 имеем■

(это неравенство получается из ряда Неймана). Пусть теперь И Л — Ло]| < ||Ло М'Г1- Тогда J ЛЛ0~г - /| = Ц(Л - Ло) Ло"1||_< 1 и поэтому (лЛо-1)-1 £ (X). Следовательно, Л^^ЛЛ^1) = =1(ЛЛо1)Ло]"1=Л~1е^’(Х). Если Л^Л0, то ЛЛ0-1-^Л ибо IIЛЛ^1— /|| <Ц Л^’Ц • Ц А—Ло||. Поэтому из неравенства (*)

Получаем [КЛАо1)-1—/Ц->0. Неравенством

I Л- - л."11=| л.-1 [(лл.-1)-1 - /] | < М. Клл,-')"1 - /[

доказательство леммы заканчивается.

Из доказанной леммы вытекает, что если Х0£р(Т) и точка X близка к точке Хо, то Х^р(7), т. е. что р(Т) — открытое множество (достаточно положить Д = X/— Т, Aq — XqI— Т), а это и требовалось доказать.

В следующих параграфах нам потребуется следующее довольно очевидное предложение.

Теорема 2. Если w — многочлен, то

Sp(w[A]) = w[Sp(A)].(1.1)

Доказательство. Пусть р—комплексное число, а X,, ..., Хй — корпи уравнения р — w [X] = 0. Имеем

.ц/ —ту(Д) = я(Х1/ —Л) ... (Х4/ —Д).(1.2)

Если р^5р(ту[Д]), то по крайней мере одно из чисел Xj принадлежит спектру А, ибо в противном случае все множители (1.2) обладали бы ограниченными обратными и, следовательно, оператор р/ — ту[Д] обладал бы ограниченным обратным, что противоречит условию р £ Sp (w [Д]). Таким образом, Sp (w [Д] )cw [Sp (Л)]. Пусть теперь Х1£5р(Д). Пусть р — w [XJ, и пусть Х2, ..., Xfe— остальные корни уравнения р — w[X] = 0. Из уравнения (1.2) вытекает, что

р = w [Xj ^ Sp (w [Д]), т. е. что ту [Sp (Д)]с.5р (w [Д]).

Действительно, предположим, что р^5р(ту[Д[). Тогда оператор С °— р/ — w[A] имеет ограниченный обратный С-1. Положим f —X]/ — Д, О — а(Х2/—Л) ... (Хй/ — А). Операторы С, F и G коммутируют и в силу соотношения (1.2) имеем С — FG. Поэтому FGC-' — I и оператор F имеет ограниченный обратный F-1 = GC~\ Однако это противоречит условию X^Sp^) и определению оператора F — XJ— А. Теорема доказана.

Мы закончим этот параграф выводом формулы для так называемого спектрального радиуса оператора А. Спектральным радиусом оператора А называется число ||Ajs0 —' SUP |ХР). Имеет РК С Sp (Л,

место следующее утверждение.

•) Функция || • ||s не является нормой на ^ (X), но она является полунормой. — Прим, перев.

Теорема 3. Если А £ ® (Л-), то

])Л';] = lim (M"II)V"-

Доказательство. Из п. 2° теоремы 1 и формулы (1.1) вытекает, что || Л" || > || Л" ||Sp = || Л ||"р и, следовательно, || Л" [11/л > || Л ||Sp-

Отсюда

lim inf || Л" И1/" >|| Л ||s(1.3)

Однако при 1X | > || Л ||

л = 0

Рассуждая так же, как в классической теории скалярных аналитических функций, заменяя только знак абсолютного значения знаком норм, легко убедиться, что ряд Лорана функции (Л — X/)-1 сходится при | X | > || Л ||s в смысле нормы операторов. Следовательно, в силу единственности разложения в ряд Лорана имеем

(Л-Х/)"1--!]^ при |Х|>||Л||5Р.

л = 0

Поэтому || X ”Л"||->0, п->оо, так что || Л" || < | X |я для больших п, откуда lim sup || Лл ||1/л< || X ||. Поскольку X обозначало произвольное П-^-оО

комплексное число, удовлетворяющее неравенству |^|>||Л||5, то

lim sup || Л” |Г <Ц Л ||(1.4)

Н-^СО*

Из неравенств (1.3) и (1.4) находим

lim sup || Л" ||1/п <|| Л || < lim inf || Л" Г, п-*соу П->^О

что и требовалось доказать.

§ 2. Теория максимальных идеалов Гельфанда

Переходим теперь к изучению абстрактной коммутативной банаховой алгебры с единицей. Такую алгебру мы будем обозначать через <Л. ее элементы — через х, у, z, .... а единицу — через е.

Как и в алгебре ® (X), введем понятие спектра Sp (х) и резольвентного множества р(х) элемента х^Л.

Определение. Спектром Sp(x) элемента х^Л называется множество всех тех комплексных чисел X, для которых в алгебре Л не существует обратного к элементу х— Хе. Элемент алгебры Л, обладающий обратным, называется регулярным элементом. Резольвентное множество р(х) элемента х^Л состоит из всех тех комплексных чисел X, для которых элемент х — Хе регулярен [т. е. (х — Хе)-1^Л].

По определению алгебра Л является банаховым пространством. Каждому элементу х £ Л можно поставить в соответствие ограниченный линейный оператор Ах £ ® (Л). полагая

опр.

Аху = ху.(2.1)

Теорема 1. Отображение х —>АХ есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры А в некоторую подалгебру ®Х(А) алгебры $ (Л). При этом

Sp (х) — Sp (ДЛ.), р(х) = р(Дл).(2.2)

Доказательство. В силу определения нормы оператора

II Аг 11= sup 1|^УЦ = sup || ху П С П X ||.

Цу|1 = 111У|1 = 1

При у = е имеем || Ахе || = |] хе || = || х ||. Следовательно, ||^|| = = || х || и, таким образом, отображение х —> Ах действительно является изометрией. Заметим, что каждый оператор А — Ах^ ®Х(А) обладает тем свойством, что A (yz) = (Ду) z. Обратно, если оператор А удовлетворяет условию A (yz) = (Ay) z для всех у, г^Л, то, полагая х — Ае, находим, что А = Ах^ ® (Л). Если оператор АСс®\(Л) обладает обратным А"1 £ ® (Л), то

Д [(/1-1у) г] =у.г, (Л-1У) z = А-г (yz), т. е. Д^^ДА).

Следопатслыю, элемент' х — Хе обладает обратным тогда и только тогда, когда оператор Ах— XI обладает обратным, принадлежащим 18Х(Л), так что формулы (2.2) тоже доказаны.

Следствие. Регулярные элементы алгебры Л об разуют открытое множество &с.Л. Функция х-1 непрерывна на множестве S.

Действительно, из леммы предыдущего параграфа вытекает, что множество Та® (А) операторов А, обладающих обратным А-х ^ ® (Л), открыто в алгебре ® (Л) и что функция Д-1 непрерывна на множестве Т. Подмножество 7°П ®\(Л) открыто в алгебре ®1(А), а поэтому его изометрический прообраз $ при изоморфизме

х—> Ах является открытым множеством в алгебре А и функция х-1 непрерывна па S, что и требовалось доказать.

Напомним, что (собственным) идеалом алгебры ^ называется подмножество t, удовлетворяющее следующим условиям:

Г. из х, у Ct, р, q^A вытекает рх + <7УСь

2°. t #= А.

Идеал называется максимальным, если он не является собственным подмножеством другого идеала.

Приведем здесь ряд теорем, открытых И. М. Гельфандом и касающихся максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры с единицей.

Теорема 2. 1°. Никакой идеал не содержит регулярных элементов. 2°. Замыкание идеала является идеалом. Зэ. Максимальный идеал замкнут. 4°. Каждый идеал содержится в некотором максимальном идеале. 5° Элемент х тогда и только тогда принадлежит некоторому максимальному идеалу, когда он необратим.

Доказательство. К пункту 1°. Если x^i и х-х ^А, то в силу определения идеала хх-1—e£t. Поэтому y = ey^t для каждого у^А, откуда А<=Л, что противоречит п. 2° определения идеала.

К пункту 2°. Из следствия на предыдущей странице и п. 1° вытекает, что дополнение S' множества § (регулярных элементов алгебры А^ замкнуто, что каждый идеал tcz£' и что tа^ + А. Поэтому 2° вытекает из непрерывности алгебраических операций.

Пункт Зэ вытекает немедленно из п. 2°.

К пункту 4°. Пусть (--идеал, а 3—семейство всех идеалов, содержащих в себе идеал t. Семейство 3 частично упорядочено посредством соотношения включения <=.

Объединение идеалов каждого линейного упорядоченного подсемейства является собственным идеалом, ибо оно не содержит единицы е. Это означает, что каждое линейно упорядоченное подсемейство обладает верхней гранью в множестве 3 и на основании леммы Цорна (ср. дополнение 1) семейство 3 обладает максимальным элементом.

К пункту 5°. Если элемент х необратим, то множество {ху:у£о#} является идеалом (содержащим элемент х), который на основании 4° содержится в некотором максимальном идеале ш. Обратно, если элемент х содержится в максимальном идеале in. то в силу п. 1° этот элемент необратим. Теорема доказана.

Алгеброй вычетов по модулю t (где t — идеал алгебры А-) называется множество классов эквивалентности по модулю t. При этом элементы х и у принадлежат одному и тому же классу (эквивалентны по модулю t), если х — у Ct- В этом случае пишут х = у (modi). Легко проверить, что множество вычетов по модулю i образует алгебру.

Эту алгебру обозначают символом c^/i. Алгебраические операции над классами определяются посредством операции над представителями этих классов; например, произведением двух классов является класс, который состоит из произведений представителей (элементов) сомножителей. Легко убедиться, что такое определение корректно. Норму в алгебре u£/t определим следующим образом: если x£u£/i, то положим

II я II = inf || х ||.(2.3)

х^х

Теорема 3. Если i— замкнутый идеал, то c^/t— полная алгебра.

Доказательство. Докажем только, что функция || • ||, заданная формулой (2.3), удовлетворяет условиям, предъявляемым (в банаховой алгебре) к норме, и что в этой норме пространство c^/t полно. Тот факт, что множество ЛЦ является алгеброй с единицей, вытекает непосредственно из определения.

Очевидно, нулевым вектором б алгебры Д/t является идеал t: 0 = t. Докажем, что || б || = 0. Действительно, || б [[ = inf || х || = 0, так как 0 £ t. Обратно, если || х || = 0, то существует такая последовательность хп £ х, что х„->0. Поскольку идеал t замкнут, то и класс х замкнут. Поэтому 0 = Нт хп £ х и x=i = 6. Проверим, что выполняется неравенство треугольника

II * 4"У II = infJ| X + у IKinf (|| х|| +1| у ||) =

Х^ХХ^Х

У^Уу€у

= inf||x|| + infj|y|| = |[A;|l+||y||. xQxу£у

Аналогично

ll^|| = |X|.||x|| и

II ху II — Inf || ху II < Inf || X || . II у II = Inf || X ||. Inf II у || = II х II • II у II. rfx*€хХ(;Х убУ.

УбУУбУ

Из только что доказанного, в частности, получаем || е || = |[ ее || ^ ^||е||2. Так как e^t, то е + б и ||ё||>1. С другой стороны, || е || = inf || х || <; || е || = 1. Таким образом, |] е || = 1.

х^ ё

Остается доказать полноту пространства A[V Рассмотрим последовательность Коши (x„)czu£/t. Заменяя в случае необходимости последовательность подпоследовательностью, можно предположить, что

||хл + 1— хп II < 2"”. Применяя метод математической индукции, строим такую последовательность (х„), что хп £ хп и || х„и — хп || <2“”. Так как пространство d полно, то фундаментальная последовательность ^х^ имеет предел х и [| хп — х || ^ || хп — х |]. Следовательно, класс х (содержащий элемент х) является пределом последовательности (х„). Если подпоследовательность последовательности Коши в метрическом пространстве имеет предел, то и вся последовательность имеет тот же предел. Поэтому исходная последовательность Коши имеет тот же предел х. Доказательство теоремы закончено.

Докажем теперь простое, но весьма важное утверждение.

Теорема 4 (частный случай теоремы Мазура). Если алгебра Л является полем (т. е. каждый элемент алгебры Л, отличный от нуля, обратим), то алгебра Л изоморфна полю комплексных чисел С1.

Доказательство. Мы знаем, что спектр Sp (х) элемента х банаховой алгебры Л является непустым множеством [ибо Sp (х) = Sp (Ах), a Sp (Дх) — непустое множество]. Поэтому существует число X £ Sp (х). По определению спектра элемент х— Хе необратим, а так как Л — поле, то х — Хе = 0. Имеем х = Хе, || х || = || Хе [| = |Х| ■ || е || = = |Х|, что и требовалось доказать.

Заметим, что всякая алгебра, содержащая нетривиальный идеал, не является полем (ср. теорема 2 п. 1°).

Теорема 5. Если i — замкнутый идеал, то алгебра вычетов Л/i тогда и только тогда изометрически изоморфна полю комплексных чисел, когда идеал t максимален.

Доказательство. Пусть i — немаксимальный идеал, ат — максимальный идеал, содержащий t. Тогда Л/т является идеалом в алгебре Л/t, причем Л/т + Л/t, так что Л/t не является полем. Обратно, пусть теперь пц — идеал в алгебре Л/т, и пусть mJ — прообраз идеала пц при отображении (каноническом гомоморфизме) Л-*Л/т. Множество mJ является идеалом в алгебре Л и mczmj. Отсюда mJ —m и, далее, т! = 0. Поэтому алгебра Л/т не содержит идеалов, отличных от нулевого, и поэтому является полем. Затем применяем теорему 4.

В дальнейшем для обозначения максимальных идеалов мы будем употреблять букву т. Множество всех максимальных идеалов алгебры Л будем обозначать через 3)1.

Пусть Л/т —С1 — изоморфизм факторалгебры Л/т на поле комплексных чисел С1. На алгебре Л определим функцию Рт следующим образом: Ет(х) = Х, где X-—комплексное число, соответ-

ствующее (при изоморфизме ^) классу х, к которому принадлежит элемент х. Определим на множестве 39? функцию х(ш) с помощью следующего равенства:■

опр.

х (ш) = Fm (х).

Функция х (ш) обладает рядом важных свойств, которые собраны в следующей теореме.

Теорема 6.

1°. (х, + х^ (ш) = хх (ш) + х2 (т);

2°. (Хх) (т) = Хх(т) для любого Х^С1;

3°. е(т) = 1;~

4°. (Х]Х2) (т) = xv (т) х2 (т);

5°. |х(т)К||х||;

другими словами, функция Fm (х) = х(т) является непрерывным линейным и мультипликативным функционалом-,

6°. х(т) = 0 тогда и только тогда, когда х ^ т;

7°. если пц =А т2, то существует такая функция х, что х (mi) + х (т2); это означает, что алгебра функций х отделяет точки множества 391;

8°. х (391) = Sp (х).

Доказательство. Свойства 1°—6° являются непосредственным Следствием того, что Fm (х)— гомоморфное (т. е. сохраняющее алгебраические операции) и непрерывное отображение алгебры ^ в поле С1. Действительно, это отображение мы получили, пользуясь изоморфизмом с^/ш —>С! и полагая Fm (х) — const = X на классе х, к которому принадлежит элемент х, x^x^d/m. В частности, FW(X)»() при х £ т.

К пунктам 7" и 8°, Если m2^x£mp то из п. 6° вытекает, что x(ni|) - 0 и х(ш2)7 0. Остается доказать п. 8°, в соответствии с которым функция х отображает множество максимальных идеалов па спектр элемента х. Если X £ Sp (х), то элемент х— Хе необратим. Согласно п. 5° теоремы 2, этот элемент принадлежит некоторому максимальному идеалу ш. На основании ранее доказанных свойств функции х отсюда следует, что

0 = (Хе — х) (ш) = (Хе — х) (m) = X — х (ш),■

т. е. X = х (ш) £ х (99?). С другой стороны, если Х = х(ш), то (Хе— х)~(ш) —0 и на основании п. 6° х— Хе^ш. Следовательно,

согласно п. 5° теоремы 2, элемент х — ке необратим, так что Z £ Sp (х), что и требовалось доказать.

Как мы видим, каждому максимальному идеалу можно поставить в соответствие непрерывный линейный и мультипликативный функционал Fm. Возникает вопрос, будет ли каждый такой функционал порождаться некоторым максимальным идеалом. Утвердительный ответ 'содержится в следующей теореме.

Теорема 7. Каждому (нетривиальному) непрерывному линейному и мультипликативному функционалу т, заданному на алгебре Л, соответствует такой максимальный идеал ш, что т(х) = Fm (х) для всех х^Л.

Доказательство. Пусть m— {х:т(х) = 0). Очевидно, т — замкнутый идеал. Но, как вытекает из леммы гл. II, § 5, фак- торалгебра Л/т изоморфна полю комплексных чисел (размерность алгебры Л/т равна дефекту множества ш, т. е. равна единице). Следовательно, на основании теоремы 5 заключаем, что идеал m максимален, поэтому

m(x) = Fm (x) = x(m), что и требовалось доказать.

Предыдущая теорема вскрывает значение максимальных идеалов: максимальные идеалы представляют непрерывные гомоморфизмы алгебры Л в поле комплексных чисел С1.

Как мы видели, существует гомоморфное отображение алгебры Л па алгебру Л функций х, заданных на множестве максимальных идеалов ЭЙ. Нетрудно ответить на вопрос о том, когда это отображение будет взаимно однозначным. Очевидно, это будет иметь место в том случае, когда пересечение всех максимальных идеалов, так называемый радикал алгебры Л, состоит только из нулевого элемента.

Определение. Алгебра Л называется полупростой, если она имеет нулевой радикал.

Таким образом, мы доказали, что полупростую алгебру Л можно взаимно однозначно с сохранением алгебраических операций отобразить на алгебру Л функций х, заданных на множестве Эй максимальных идеалов Л- Хотя мы пришли к весьма интересному изоморфизму полупростых алгебр Л и Л, результаты нельзя считать вполне удовлетворительными, ибо алгебра Л наделена определенной топологией, тогда как алгебра Л никакой топологией не наделена. Оказывается, в множестве ЭЙ можно ввести такую топологию (называемую гельфандовской), чтобы функции х стали непрерывными, множество Эй — компактом, а отображение Л—>Л — непрерывным гомоморфизмом (изоморфизмом в случае полупростых алгебр) в С (Эй).

Теорема 8 (Гельфанд). В множестве 361 максимальных идеалов алгебры Л можно ввести такую топологию, что в этой топологии 9)1 является компактным хаусдорфовым пространством. При этом отображение х—>х оказывается гомоморфизмом алгебры Л в алгебру Л скалярных функций, непрерывных на пространстве 2)1 (ДсС ('!)()). Этот гомоморфизм является изоморфным отображением тогда и только тогда, когда алгебра полупростая.

Доказательство. Введем в множестве 9)1 слабую топологию, определяемую функциями х, т. е. слабейшую топологию, при которой псе функции х(ш) непрерывны. Это тихоновская топология в множестве линейных мультипликативных функционалов (ср. дополнение 1), В которой окрестности определяются следующим образом. Пусть Л = [Fm : ш2Л}. Мы знаем, что множества 2)1 и А канонически соответствуют друг другу, а потому достаточно ввести топологию в множестве А. Фундаментальную систему окрестностей функционала Fm, определим следующими соотношениями:

(7(1П0, е, xvх„)°= [Fm : I Fm (xi) — Fm, (xt) | < e, Z=1n\.

Очевидно, в такой топологии функционалы Fm непрерывны. Кроме того, как мы сейчас докажем, в такой топологии множество А ком- итстпо.

.Заметим, что множество А можно топологически вложить в про- Ивпедение Q°—Ц Qx> где Qx ~ (^ £: I I II х II }• Действи-

А

телыю, в силу неравенства | Fm (х) ] ^ || х || имеем Fm(x)£Q, для всех in £ 9R. Так как множества Qx (замкнутые круги) компактны, то в силу теоремы Тихонова множество Q компактно и А оказы- МСТСЯ подмножеством компактного пространства. Достаточно проверить, что множество А замкнуто. Пусть G £ А; тогда окрестность </((#, у, х, у. х { у) пересекает множество А. Поэтому существует функционал Fvw f Л, для которого

|G(x)— Fm (х)| < е, |G(y)--Fm (у)| < е, |О(х + у)—Fm (х + у)|<е;

однако Fm (х + у) = Fm (х) + Fm (у), откуда

10(x + y)-[G(x) + G(y)]|<|G(x + y)-Fm (х + У)| +

+ |Fm(x)-G(x)| + |Fw (у) — G (у) | < Зе-

Поскольку такое неравенство имеет место для любого е > 0, то G (х+у) = G (x)+G (у). Аналогично доказывается равенство О(Хх) = = ХО(х); при этом целесообразно воспользоваться окрестностью U (О, е, х, Хх). Соотношение G (е) = 1 доказывается следующим образом: при Fm^U(O, е, е) имеем |G(e) — Fm(e)|<e, а так как

fm(e)=l и е произвольно, то О(е)=1. Используя окрестности вида U (О, е, х, у, ху), читатель докажет мультипликативность функции О. Таким образом, О является непрерывным линейным мультипликативным функционалом, заданным на алгебре Л, так что О £ А, А с: А, и теорема Гельфанда доказана.

Заметим, что для спектрального радиуса элемента х имеем следующие формулы:

|| х ||s = sup | х (m) | = sup | Fm (x) | = lim || xn ||v".(2.4)

v m(MmgiWn->co

Первое равенство вытекает из соотношения х(ЭЙ) = 5р(х) (см. теорему 6, п. 8°), а последнее — из соотношения || х ||Sp = || Ах ||Sp = = lim || у!” Ц1^ = lim || х” ||1/п (см. теорему 3 § 1). п->оол->оо

Из формулы (2.4) вытекает, что элемент х принадлежит радикалу алгебры А тогда и только тогда, когда lim ||х”||1,” =

= ||x||Sp = 0 [ибо тогда х(т) = 0].

Теорема Гельфанда утверждает, что всякая полупростая алгебра Л изоморфна подмножеству пространства непрерывных функций С (Эй). Поскольку || х ||s ^ || х ||, то на основании формулы (2.4) заключаем, что гельфандово представление не увеличивает норму [и, в частности, есть непрерывное отображение Л в С (Эй)].

Теорема 9. Пусть Л — банахова алгебра, х^Л и Л(х")— наименьшая замкнутая подалгебра алгебры Л, содержащая х. Если Л = Л^, то спектр элемента х гомеоморфен множеству Эй максимальных идеалов этой алгебры. -

Доказательство. Поскольку х— функция, непрерывная на множестве Эй и • х (Эй) = Sp (х), то функция х отображает множество Эй непрерывно на спектр элемента х. Так как множества Эй и Sp (х) бикомпактны, то для доказательства их гомеоморфности достаточно убедиться, что функция х отображает множество Эй на множество Sp (х) взаимно однозначно. Заметим, что всякий элемент алгебры ы£ (х) является пределом последовательности многочленов от элемента х. [Действительно, ы£(х) — банахова алгебра, содержащая элемент х, а, следовательно, также все многочлены от элемента х и их сильные пределы; но Л(х')— наименьшая алгебра, содержащая элемент х, поэтому указанным способом можно получить все ее элементы.] Пусть тР т2£ЭЙ и п^ + ш2; согласно теореме 6, п. 7°, существует функция у (т) £ С (Эй), для которой у (п^) + у (т2), а следовательно, х (iHj) + х (m2), ибо, как мы отмечали, функция у является равномерным пределом многочленов от функции х. Теорема доказана,.

§ 3. Коммутативные С*-алгебры.

Теорема Гельфанда — Наймарка

Алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве пляется (некоммутативной) банаховой алгеброй, и, кроме того, в ней уществует операция сопряжения * (т. е. операция взятия сопря- кенного оператора): А-£->А*. Мы знаем, что эта операция обладает ледующими свойствами:

1°. ^А*)* = А;

2°. (ХД)*=ХД*;

3°. (АВ)* = В* А*;■

4°. (Д + В)* = Д* + В*;.

5°. || ЛЛ»|| = || Л |р.

Определение. Банахову алгебру ^, в которой задана инво- 1юция, т. е. операция х->х\ удовлетворяющая условиям:

1°. (х*У = х;

2°. (ХхУ = Хх* для всех Х^С1;

3°. (ху)* = у*х*;■

4°. (х + у)* = х* + у*;

б". ||хх*|| = ||х||2,

Шыввюг С*-алгеб рой или банаховой алгеброй с инволюцией1-).

В настоящем параграфе мы будем изучать коммутативные ;*-МЛГебры с единицей. Примером такой алгебры является прост- ilHCTBO С (St) комплекснозначных непрерывных функций на неко- ором компактном множестве 9R. Инволюцией здесь является переход ( комплексно сопряженной функции: если / £ С (ЭЯ), то f* (m) °— / (m). Т.ДИИИ1№Й янляется функция, тождественно равная числу 1.

Те о ремп I (Гельфанд и Наймарк). Условия 1° — 5° )ают аксиоматическое описание алгебры С(ЭЯ); точнее, ком- чутатиннан (Аалгебри ,Д. изометрически изоморфна алгебре 7(W) комплексных непрерывных функций, заданных на биком- тктном множестве Ж максимальных идеалов алгебры Л, ।ричем указанный изоморфизм осуществляется канонически.

Изоморфизм ^ *-> С (ЭЯ) — не что иное, как гельфандовское |редставление, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Заметим, что в теореме Гельфанда (теорема 8 § 2) изоморфизм, вообще оворя, не был изометрией, было лишь доказано, что он не увели- швает норму.

') Понятие С'-алгебры было введено И. М. Гельфандом и М. А. Най- марком.

Доказательство теоремы Гельфанда — Наймарка разобьем на несколько шагов.

Лемма 1. Если Л— коммутативная С*-алгебра, то

а) II х21| = Цх |Р;

■ b) если е— единица алгебрЫ Л, то е* = е\

С) 1И1 = 1|х*Ц.

Доказательство. К пункту а)

|| X2 IP = II х2 ^ || = II х2 (х*)2 II = II (XX*) (XX*) II = II XX* IP = II х IP;

к пункту Ь) е* = е*е, откуда

е = (е*)* = (е*е)* = е*е** = е*е = е*; к пункту с)

II X IP = || XX* || = || (X*)* X* || = || X* (X*)* II = II х* IP.

Лемма 2. Если 3Jt— пространство максимальных идеалов коммутативной С*-алгебры Л, то при х £ Л, где х (m) — Рт (х), имеем следующее соотношение:

X* (т) = Pm (X*) = Fm (х) = X (т).

В частности, если элемент у эрмитов, т. е. у = у*. тс у (т) = у*(т)6 Д1. так что эрмитовым элементам соответствуют вещественные функции.

Доказательство. Достаточно убедиться, что функции, отве. чающие эрмитовым элементам, вещественны, ибо каждый элемент > можно представить в виде х = у( + Zy2, где у, = -^ (х Д- х*) у2—-^-(х— х*) — эрмитовы элементы, а поэтому

^* & + ^1У = у* — ^2 = У1 — ^2 = *•

Предположим, что функция у принимает комплексное значени а Д- lb, b + 0, где а и b—вещественные числа. Положим х = уД 4-Ide, где d£E4 Функция х принимает значение а 4* i\b 4~ <Г) откуда

а2 + № Д- 2М + d2 < || х |Р = || хх* || = || у2 + d^e || < || у ||2 + d2.

Если взять d так, чтобы 2bd > || у ||2, то получится противоречие Лемма доказана.

Перейдем теперь к доказательству теоремы Гель ф анда — Наймарка. Поскольку при р = 2ft, к = 1, 2, ..., имее

| х || = || х ||р, то на основании формулы (2.4) настоящей главы

IIх lisp = max IIх W II = 1Й1 = Iim II хП |Г/П = II х ||,

г. е. радикал алгебры сводится к одному лишь нулевому элементу, I канонический изоморфизм является изометрией. Остается только юказать, что Л = С (ЧЯ\ Как нам известно, функции х отделяют гочки множества т; поэтому вещественные функции алгебры J# со- лавляют вещественную алгебру, отделяющую точки пространства ЗЯ. Поясним это. Пусть иц =£ т2 и т2 ^ x^mv Элемент у = хх* эрми- гов, а поэтому функция у-—вещественная. Имеем

У W = | х (пц) J2 = 0, у (ш2) = | х (ш2) |2 > 0.

Па основании теоремы Стоуна — Вейерштрасса алгебра вещественных функций, принадлежащих с^, плотна в алгебре CR(SJt) всех вещественных непрерывных функций, заданных на пространстве ЗЯ. Поэтому алгебра с^ плотна в алгебре С (ЗЯ). Вследствие изометрии || х || = || х || множесто Л замкнуто в С (ЗЯ), а поэтому с^ = С(ЗЯ). Теорема доказана *).

Если Л (х) — наименьшая коммутативная С-алгебра, содержащая элемент х, то, рассуждая как при доказательстве теоремы 9 § 2, можно доказать, что функция х отображает топологически множество максимальных идеалов алгебры Л^х) на спектр элемента х;

х (ЗЯ) = Sp (х) —’ Л.

Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.

Следствие. Наименьшая коммутативная С*-алгебра Л (х), содержащая элемент х, изометрически изоморфна алгебре С (Л) функций, непрерывных на спектре [в алгебре Л{х)\ элемента х, При этом самому элементу х соответствует функция х' Q?> = \, иялиющичсн тождественным преобразованием множества Л»—Sp(A) на себя.

Вторим часть следствия вытекает из того, что в случае когда х_г обозначает отображение, обратное к отображению х : х (х_г (X)) = к, элементу У^Л(х') соответствует функция у', заданная формулой

?W°— У (^(Х)).

Действительно, функция X = х (ш) отображает пространство максимальных идеалов ЗЯ на спектр Л = 5р(х) элемента х. Имеем

х_1(Х) = ш и уЧ^)—' У(т) = У (*-ito)- Таким образом мы получили новый изоморфизм у <-> у' £ С (Л):

■^ (х) С (Л), Л = Sp (х),

причем х*-*х', где х* (X) = х (х_г (X)) = Х, что и требовалось доказать.

Хотя теорема Стоуна — Вейерштрасса носит элементарный характер. в университетские курсы она не входит. Поэтому приведем здесь краткое доказательство этой теоремы.

Теорема (Стоун, Вейерштрасс). Пусть Л — замкнутая в смысле равномерной сходимости подалгебра алгебры CR(X) всех вещественных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве Л, содержащая функцию е(Х)н^1; необходимое и достаточное условие того, чтобы алгебра Л совпадала со всей алгеброй СК(Д), состоит в том, чтобы алгебра Л отделяла точки пространства Л, т. е. чтобы для каждой пары точек ^ + Х2 пространства Л существовала такая функция ё^.Л, что g<k^ + g^.

Доказательство. Условие необходимо, ибо компактное хаусдорфово пространство Л является нормальным пространством; следовательно, для каждой пары его точек Xt + Х2 существует такая непрерывная функция <р, что <p(X1)=l, <р(Х2) = 0.

Для сокращения доказательства достаточности мы воспользуемся классической теоремой Вейерштрасса для отрезка вещественной оси (доказательство этой теоремы можно найти в любом университетском курсе математического анализа), согласно которой всякую непрерывную функцию можно приблизить многочленом. В частности, существует такая последовательность многочленов (,Р„). что

Па| — ря(«)1<4 ПРИ — п<а<п.

При Ч(Х)|<л имеем || g (X) | — Рп (g (X)) |< -^. Из этого неравенства вытекает, что если функция g принадлежит алгебре Я, то и I g I € ^, где | g | (X) —" | g (X) | для всех X £ Л. Введем следующие обозначения:

(/U ^)(Х) — max {/(X), £(Х)};

(/Г1 S') (X) == min {/(X), ^(Х)).

Поскольку

/Ug=^(/ + ^) + j|/-g'| .

и

f^g^^f-vg')—41/—^i-

то алгебра А замкнута не только относительно операции g'->|g'|, по также и относительно операций U и П •

Заметим далее, что для произвольной функции Л^С^(Л) и произвольной пары точек Хр Х2 £ Л существует такая функция / £ А, что

/=1, 2.

Действительно, пусть g^A и g(Xj) 4 g(Х2). Тогда можно найти два таких вещественных числа а, 0, что

а^(Х;) + 0 = /г(Хг)./ = 1, 2.

Пусть теперь Л£СЙ(Л), X, р^Л, а функция /(•; X, р)^Л такова, что

/(X; X; р) = Л(Х),/(р; X, р) = й(р).

Поскольку функции / (• ; X, р) и Л(-) непрерывны, то для каждого е > 0 найдется такая окрестность Ue(X) точки X, что

f(x; X, р)>Л(х)— е при x^Ue(L\

Пусть (t7e(Xz))f=1 — покрытие множества Л, и пусть

/(•; Ю —/(•; ^z юи ... и/(-; хр. р)..

Имеем f (х; р)>/г(х)—е для всех х £ Л. Ввиду того что /(р; X,. р) = h (р), / (р; р) = h (р). Поэтому существует такая окрестность Уе (р) точки р £ Л, что

/(р, х) < h (х) -|- е при х^Ие(р).

Пусть (Ум(ру))/е1 — покрытие множества Л; положим

/(•)-/(•; Pl) п. - - n/(-; р,).

Поскольку / (х; pz) > h (х) — е для всех х £ Л, то также

/ (х) > h (х) — е,х £ Л.(*)

Однако, с другой стороны, для произвольной точки х, принадлежащей, например, окрестности Ve(pz), имеем

/М</(^; Pz)<A(x) + e.(**)

Из неравенств (*) и (**) получаем

|/(х) —/г(х)| < е при х^Л.

Так как Л^СЙ(Л) и е>0 были взяты произвольно, то Сд(Л)Сс?£, и теорема доказана.

Этот параграф мы закончим дополнением к теореме Гельфанда — Наймарка, имеющим фундаментальное значение для спектральной теории (ср. гл. XVII).

Теорема 2. Если /->Т^ — изометрический изоморфизм алгебры С (ЭХ) на С*-алгеб ру линейных операторов в гильбертовом пространстве ф- то этот изоморфизм можно расширить (причем только одним способом) на алгебру В(ЧЯ) всех ограниченных функций Бэра на множестве ЭХ. Если S — ограниченный оператор, коммутирующий с Т^ для каждой функции /£С(9Х), то S коммутирует с Tg для каждого g^B(5Jt). Описанное выше расширение сохраняет инволюцию, однако, вообще говоря, уменьшает норму.

Доказательство. Для трилинейной функции F (f; и, v)°— = (Тfu, v), где / Е С (ЭХ), а и, о Е ^, имеет место неравенство

\Е(/; и. »)|<||Т/||.||Я||.||У|] = ||/||.||«||.||У||,(3.1)

откуда вытекает, что при фиксированных и и у функция F(f; и, ю) является ограниченным интегралом на С (ЭХ) и, следовательно, допускает единственное расширение на все пространство В (ЭХ) до трилинейного функционала (для которого мы сохраняем прежнее обозначение) с сохранением неравенства (3.1):

I^Cg; и. f)ICUII • 1И1 • М-

Пусть (Tgu, ■o) = F(g; и, v). Как мы видим, отображение g—>Tg имеет норму ^1. При /, h ^С (ЭХ) имеем

И T/g = T/Tg^TgT/, т. е.

2°) F(fh; и, v)=F(f; Thu, v) = F<J, и, T*h^.

Фиксируя h, мы видим, что тождества 2° сохраняются, когда / пробегает множество В (ЭХ), т. е. соотношения 1° имеют место, когда /ЕВ(ЭХ), a h ^С (ЭХ). Поскольку соотношения 1° симметричны относительно / и h, то формула 2° имеет место при /ЕС(ЗХ), h ^В (ЭХ). Снова расширяя функционал, мы видим, что формула 2°, а потому и формулы 1° сохраняются для всех /, h ^В (ЭХ). Таким образом расширенное отображение g->Tg является требуемым отображением алгебры В (ЭХ).

Пусть оператор S коммутирует с оператором Т^ для всех f£ С .(ЭХ/ тогда''

3°) (Т^и, ■v) = (ST/u, -и) = (Т,и, S*v).

Как и выше, доказывается, что тождество 3° сохраняется при расширении. Поэтому оператор S коммутирует с оператором Т для всех g^B(3R).

Нам известно, что Ту = Т^ (/(т) °— /(т)) при / £ С (3%), откуда

F(/; и, v) = (T*fU, v) = (TgvTu) = F(f\ v, и).

Поскольку тождество F (f; и, v) — F(f, -и, и) сохраняется при расширении, то

Tr = TI = Tg(3-2)

для всех g £ В (ЗЯ). Теорема доказана.

Обращаем внимание читателя на то, что построенный нами изоморфизм алгебры В (ЗЯ) и коммутативной С*-алгебры нормальных) операторов в пространстве Гильберта ф не увеличивает норму.

Подчеркнем, что благодаря неравенству (3.1) F (/; и, р) = (Т^и, у) допускает представление

(ТjU, v) — Jf(K)dp(k; и, -и) (/£С(ЗЯ); и, -и^^), у,

где р(-; и, v) — некоторая положительная 371-мера. Она носит название спектральной меры алгебры и определяется однозначно.

На этом мы вынуждены закончить общую теорию банаховых алгебр. Остальную часть главы мы посвящаем изучению некоторых важных для квантовой механики алгебр операторов в сепарабельном пространстве.

4. Максимальные коммутативные С*-алгебры операторовв гильбертовом пространстве

Как нам известно, линейные операторы в банаховом пространстве образуют (некоммутативную) банахову алгебру. В этом параграфе мы будем изучать коммутативные С*-алгебры операторов в се- параАслы1ом i ил -бертопом пространстве. Пусть ^ —■ максимальная коммутативная С'-алгебра с единицей (нормальных)) операторов в пространстве ф. Максимальность означает, что ^ не является собственной подалгеброй коммутативной С*-алгебры операторов в ф. Существование максимальных С*-алгебр доказывается так же (с помощью леммы Цорна), как и существование максимальных идеалов (ср. теорема 2 § 2).

Максимальные алгебры обладают следующим интересным свойством.

Теорема 1. Если ей— максимальная коммутативная С*-алгеб ра операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве, то существует циклический вектор v^^, т. е. такой вектор, что

\^.'0\ = 5$, где &v = [Ди : А £Й\.

Доказательство. Пусть (ег) — ортогональный базис пространства ^. Не ограничивая общности, можно предположить, что

2|М<оо.(4,1)

Построение циклического вектора и алгебры «Ж разобьем на пять этапов..

1°. Если бы первый вектор базиса был циклическим, т. е. если бы [t^ej = §! = ф, то конструкция была бы закончена. Предположим, что ^ =р 0.

Пусть Рх—оператор ортогонального проектирования на фь Следовательно, Рх = 1— Рх является оператором ортогонального проектирования на ф^. Докажем, что имеет место следующая лемма.

Лемма. Если Ж — максимальная алгебра, то Рх и Рх принадлежат <$.

Доказательство. Ввиду максимальности алгебры ^достаточно показать, что оператор Pi коммутирует с каждым оператором А^<%. Пусть и — произвольный элемент пространства ф; положим ы = м1-|-Ы2, где и^Фр и^ф^. Из определения множества фг вытекает, что существует такая последовательность Вп £ ^, что В„ех -> их. Но для каждого оператора Д^^ имеем ABnex£V$ex\. Следовательно, также Аих = lim ^АВпе^ £ b^ej. Отсюда Р1Ди1 = 0, поп -> со этому

Р\ Au = Рх А (ui + иг) = Pi Лиг = Диг,(4.2)

ибо Ди2 £ ф^, что вытекает из следующих выкладок (в которых В — произвольный оператор из ^): (Ди2, BeY) = (u2, А*Ве1') = 0 (потому что А*В^<% и А*Вех£^х). Так как множество ^Вех:В^^ плотно в фр то Ди2£ф1. С другой стороны, ДР^и = Ди2; сопоставляя это равенство с равенством (4,2), находим РхАи = АРхи для всех и £ ф. Следовательно, АРХ = РХА, откуда Pi£c% и Р\—1— — Pi С е%, что и требовалось доказать.

2°. Пусть (ер2)— первый элемент базиса (ег), не принадлежащий к пространству ^1 = [6%'е1]. Имеем

^ie32 = еРз — Рхе^.(4.3)

Положим ^2°= ех-\-Р'хе^, ^х °= еь Имеем [фр ■и2\ = \.§>х- PiC^td =D[eiepJ, так как Р^б^ и. значит, ^ — Р^Ч-Рр^ [^ ^pj- Однако

■Р^^= (^*i)2 ер2 = ^iep2’

РХУ2 = Р1е1 = е1’ РхРхЕ^- поэтому

ф2°— l^^l^,. У2]=>'§1 и ^2=>l«iе?Д- (4.4)

' Если ф2 = ф, ю Уз является циклическим вектором и построение на этом заканчивается.

3J. Предположим, что [^г>2] = Фг ^ ^- Повторим построения, i описанные в п. 1° и 2°; пусть Р2 и Р'— операторы ортогонального ■ проектирования на подпространства ф2 и §^ соответственно. Как и выше, доказывается, что Pi и Р2 принадлежат ^. Пусть ер3 — первый элемент базиса (е,), не принадлежащий пространству §2 = [^г»2].

. Положим у3 °—" г>2 Ч-Р^з,- Поскольку Р2г»3 = г>2, Р^ = Рр^, то вследствие Pi, Pi£;<% имеем

"£3 =Ч^Т3]^[ф2, epj^«3,1-(4-5)

4°. Продолжая такие построения, получаем возрастающую последовательность подпространств

^^^-иДс ... с^п = [^п]о: ...,

а также соответствующие им последовательности проекционных операторов

р // р /

р;> ... >р;>....

причем Рп, Р’п^с%., л=1, 2 Кроме того, ^орр ...

.ер !=>[«!е„]. Так как 1 < р2 < Р3 < • • • и РЯД^ПМ

■nJz=i

сходится, то сходится также последовательность (!>„), где у1=е1, ■yn = fn-i + Pnepn, и =2, 3 В самом деле, || Р'пв^ || < || е^п [|.

5°. Пусть ■п = Птятп. Мы утверждаем, что т является циклическим вектором алгебры <^, т. е. что \^-и\ = ^>. Достаточно показать.

что множество [^f ] плотно в §. Пусть h £ ^; поскольку (е;) — базис

А — 2 “z^zZ=1А — 2 “z^zZ=1пространства ф, то для произвольного е > 0 существует такое 6(e)

А — 2 “z^zZ=1

А — 2 “z^zZ=1

А (е) > 0, чтоА (е) > 0, что< е. НоРАг’ = РА;(^ + Рй+1е^+ ...)=

А (е) > 0, что

А (е) > 0, что

= Рк'Ок = 'ок. Так как Рк£<$, то 'VfcEt^L откуда

к to

• е6(е)1 Э 2 azezz = 1

что и требовалось доказать. Таким образом, построение циклического вектора закончено.'

Алгебры с циклическим вектором, в частности максимальные алгебры, обладают следующим свойством.

Теорема 2. Если коммутативная С*-алгебра ^ операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве ф обладает циклическим вектором е, т. е. [^е] = ф, то существует такая положительная мера р, определенная на компактном множестве А максимальных идеалов алгебры ^., и такое унитарное преобразование F пространства ^ на пространство L2(p), которое диагонализирует алгебру SL т. е. при и^§, Ей = (и (X)) £ L? (р) имеем (FAu)(E) = a(K)u(X) — = a(E)(Fuyk), где а^С^, т. е. FAF"1 и(Х) = а(Х) и(Х\

Другими словами, при изоморфизме F операторы алгебры^ переходят в непрерывные функции на множестве Л. Действие этих операторов в пространстве А2(р) является просто умножением.

Доказательство. Пусть Т — изоморфизм Гельфанда—Най- марка алгебры на алгебру С (Л),

^ЗА<т—->а£С(Ау,

тогда L (а) — (Ае, е) является положительным и непрерывным функционалом на множестве С (Л); действительно, если а > 0, то (Ае, е) = = | У А е |[2 ^ 0 *) (непрерывность функционала была показана в доказательстве теоремы 2 § 3). В силу теоремы Рисса (см. дополнение 1) на множестве Л существует такая неотрицательная мера р, что

(Ае, e) = L(a) = J* a(A,)dp(A.)л

для каждого Д£<Ж Пусть u = Ue, v*=Ve, где U, V £<%, тогда («, ■u) = (t/e, Ve) = (V*(/e, е) = L(y*u) = J и (X) к (X) dp. (X).

л

Следовательно, мы получили отображение F' множества [<^е] на множество всех функций, непрерывных на Л [это множество плотно в Л2(р)], причем отображение F' сохраняет скалярное произведение:

F 'и °—" (и (X)),где<7 <-—■» (ы (X)),и°—Ue.

Это отображение взаимно однозначно, ибо если v = Аге = А2е, то для каждого В^,% имеем 0 = B(Av— Д2)е = (Д1— А^Ве. Отсюда вытекает, что Л, = А2, так как [^еj — фи оператор Д1 — А2 непрерывен. Замыкая отображение F', получаем требуемое унитарное отображение F пространства ф на пространство Л2 (р). Поскольку

(Au, и) = (AUe, Ve) = J а (к) и (X) v (X) dp (X)д

тождественно относительно A, U, У ^<^, то для всех А £$ и всех и. v £ ф имеем

F (Ди) (X) = а (X) и (к) = а (X) (Fu) (X),

что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 вытекает

Следствие. Для максимальной коммутативной С-алгебри нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве имеет место утверждение теоремы 2.

§ 5. Полнота системы коммутирующих операторов

Вернемся на время к спектральному представлению эрмитова оператора в конечномерном пространстве: к

Д = 5 ^(Ех,-'

Если размерности всех собственных подпространств фх{ = Ех^ равны единице, то говорят, что спектр оператора А прост (однократен). Это определение не переносится на случай бесконечномерного пространства, ибо в этом случае может возникнуть непрерывный спектр и имеет смысл говорить лишь о собственных подпространствах, соответствующих некоторому отрезку (интервалу) непрерывного спектра. Заметим, что эрмитов оператор в конечномерном пространстве имеет простой спектр тогда, когда существует циклический вектор е0 для семейства проекционных операторов (Е (А)), где Е (А) —

(4 К. Морен

значение спектральной функции, соответствующее множеству А. Такое определение можно перенести на случай бесконечномерного пространства.

Дадим теперь другое определение простого спектра, которое обладает тем достоинством, что легко переносится на системы операторов и с этой точки зрения хорошо приспособлено к потребностям квантовой механики (ср. К. Морен [6]).

Определение. 1°. Будем говорить, что коммутативная С*-алгебра . операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве имеет простой спектр, если существует диагонализирующий эту алгебру изоморфизм на некоторое пространство L2(p).

2°. Будем говорить, что система S попарно коммутирующих нормальных операторов является полной системой, если минимальная коммутативная С*-алгебра, содержащая 5 [будем ее обозначать через m(S)], имеет простой спектр.

Оправдание п. Г этого определения будет дано в следующей главе в связи с рассмотрением вопроса о кратности спектра.

В своем классическом труде „The Principles of Quantum Mecha- nics“ ’) Дирак высказал предположение, что каждую систему S попарно коммутирующих эрмитовых операторов можно посредством присоединения эрмитовых операторов превратить в полную систему коммутирующих эрмитовых преобразований (Дирак не дал точного определения полноты системы операторов; наше определение соответствует интуитивной формулировке Дирака).

Нетрудно доказать гипотезу Дирака. Мы уже знаем, что каждая максимальная С*-алгебра нормальных операторов обладает простым спектром. Рассмотрим максимальную С*-алгебру 9X(S), содержащую нашу систему S (существование такой алгебры вытекает из леммы Цорна).

Обозначим через S' эрмитову часть алгебры ЭХ (S),

S'°= {(В4-В*):В£ЭХ(5)}.

Очевидно S'о В и элементы семейства S' попарно коммутируют. Но минимальной алгеброй, содержащей семейство S', является алгебра 9X(S), ибо всякий нормальный оператор N является линейной комбинацией эрмитовых операторов: N = -^ (М4-М*)-j-f ^-^- (N—^*)j. Таким образом, мы построили полную коммутативную систему эрмитовых операторов, содержащую исходную систему S, что и требовалось доказать.

’) Имеется русский перевод: П. Дирак, Основы квантовой механики, М., 1932. — Прим, перев.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать существование максимальных коммутативных С*-алгебр с единицей.

Алгебра А операторов в гильбертовом пространстве называется слабо замкнутой, если вместе со слабо сходящейся последовательностью (А„) элементов алгебры А к этой алгебре принадлежит также (слабый) предел последовательности (Д„). При этом последовательность (А„) называется слабо сходящейся, если для любых а, «^^ числовая последовательность ^Апи, у)) сходится. Последовательность операторов (В„) называется сильно сходящейся, если для каждого вектора и £ ф последовательность векторов (Bnzz) сходится по норме.

Доказать, что слабо замкнутая алгебра с инволюцией сильно замкнута, а сильно замкнутая алгебра равномерно замкнута, т. е. замкнута в смысле равномерной сходимости операторов.

ГЛАВА IX

Прямые интегралы гильбертова пространства1). Два доказательства спектральной теоремы.

Теорема фон Неймана о диагонализации С-алгебр

В этой главе мы рассмотрим алгебру линейных ограниченных операторов с точки зрения гельфандовой теории коммутативных банаховых алгебр, что даст нам возможность, во-первых, получить элегантное доказательство спектральной теоремы для функций нормального оператора, а отсюда как частные случаи спектральные разложения для эрмитова и унитарного оператора. Во-вторых, мы получим теорему фон Неймана об (одновременной) диагонализации С*-алгебр нормальных операторов, которая в частном случае дает так называемую полную спектральную теорему фон Неймана, глубоко вскрывающую строение спектра самосопряженного оператора и позволяющую определить кратность спектра также в случае непрерывного спектра.

О банаховых алгебрах и теории Гельфанда — Наймарка

Мы начнем изложение с повторения ряда важных понятий и фактов, фигурировавших в гл. VIII.

Множество <^ всех линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве § является алгеброй. Именно множество <$ является векторным пространством (над полем комплексных чисел С1), т. е. ХЛ + цВ ^с^, если Л, В^^, к, ц^С1. Кроме того, АВ£<%, (X Л) В— к (АВ), А (кВг + |тВ2) — XABV + цАВ2. Существует единица /:/Л = Л/ = Л. Более того, <% является банаховым пространством относительно операторной нормы. Наконец, |1 АВ || ^|| А || • [ В |[. Множество <^, удовлетворяющее перечисленным выше аксиомам, называется банаховой алгеброй или линейным нормированным кольцом. Таким образом, множество линейных непрерывных операторов в гильбертовом пространстве образует банахову алгебру. Кольцо операторов в гильбертовом пространстве обладает еще одним интересным свойством, а именно каждому оператору А^^ можно поставить в соответствие сопряженный с ним оператор А*. Операция перехода к сопряженному оператору, обозначаемая звездочкой, удовлетворяет следующим условиям:

1°. (Д*)* = Л (операция * является инволюцией),

2°. <ХА^=ЛА$.

з°. (д+в^* = д*+в*.

4°. (ДВ)* = В* А*.

5°. || Д*Д|| = || Д ||2.

Банахова алгебра, в которой выполняются условия 1°—5°, называется банаховой алгеброй с инволюцией (С*-алгеб рой).

Оказывается (см. Гельфанд и Наймарк [1]), что алгебра операторов в гильбертовом пространстве является самой общей С*-алгеброй; точнее говоря, всякая С*-алгебра изометрически изоморфна кольцу линейных непрерывных операторов в пространстве Гильберта.

Вторым особенно важным С*-кольцом является множество (комплекснозначных) функций, непрерывных на компактном пространстве Л. Обозначим это кольцо, как обычно, через С (Л). Нормой элемента а£С(Л) является || а II °— maxI а (2.) I. Инволюция опреде- хел

ляется соотношением а*(Х)°— а (к). Это кольцо коммутативно. С (Л) оказывается самым общим коммутативным С*-кольцом. Точнее, имеет место следующая теорема.

Теорема (Гельфанд и Н а й м а р к). Каждая коммутативная С*-алгеб ра 31 изометрически изоморфна алгебре С (К) всех непрерывных (комплекснозначных) функций на компактном множестве Л (Л — множество максимальных идеалов алгебры <%).

Имеет место следующее утверждение.

Дополнение. Изоморфизм алгебры С (Л) на коммутативное кольцо операторов в пространстве Гильберта можно расширить до представления (гомоморфизма) алгебры В (К) всех ограниченных функций Бэра на множестве Л.

Особенно важными примерами коммутативных банаховых алгебр с инволюцией являются следующие.

1°. Замыкание по норме (так называемое равномерное замыкание) множества всех многочленов (с комплексными коэффициентами) от эрмитова оператора А. Напомним читателю, что доказательство Эберлейна спектральной теоремы базируется на рассмотрении подобного кольца.

2°. Минимальная равномерно замкнутая алгебра, содержащая множество А, А', .. . попарно коммутирующих эрмитовых операторов.

3°. Равномерное замыкание всех многочленов от U и U~\ где U — унитарный оператор (можно доказать, что 3° — частный случай 2°).

В конце главы мы познакомимся еще с двумя коммутативными С*-алгебрами.

В случае 1° можно показать, что компактное множество Л, о котором идет речь в теореме Гельфанда — Наймарка, можно отождествить со спектром оператора А.

Доказательство спектральной теоремы,основанное на теореме Гельфанда — Наймарка

Пусть N— нормальный ограниченный оператор, NN* = W’N, и пусть m(N)— минимальная коммутативная С*-алгебра, содержащая N. Из следствия гл. VIII, § 3 вытекает, что множество Л максимальных идеалов алгебры m(N) гомеоморфно спектру оператора N. Следовательно, существует изометрический изоморфизм алгебры m(N) на алгебру С (Sp (К)) комплекснозначных непрерывных функций на спектре оператора ЛЕ В дальнейшем мы будем пользоваться обозначением A = Sp(A).

Характеристическим функциям ^м измеримых множеств /И с Л соответствуют, согласно теореме 2 § 3 гл. VIII, операторы; эти операторы проекционные, ибо Xai— вещественная функция и идемпотентный элемент

V ■' " V■— V

Луи Ьм*ЛЛГ

Кроме того, как нам известно, при изоморфизме Гельфанда—Наймарка m (/V) *-> С (Sp (/V)) оператору N соответствует функция N^ — X, преобразующая множество Л на себя тождественно.

Пусть / — непрерывная функция на множестве Л. Известно, что каждую функцию, непрерывную на компактном множестве, можно равномерно аппроксимировать кусочно-постоянными конечнозначными функциями. Точнее, для каждого е > 0 существует такое разбиение множества Л на непересекающиеся части Л,ЛП(е), что л(е) (JAZ = A, AznAy=0 при l^j 1=1 и

1/М— /(Ml < епри ^.

Z = 1п (е).

Следовательно,

е > maxе > maxл (е)л (е)II«(е)> /(M-2/(M£(az)II«(е)> /(M-2/(M£(az)

е > max

е > max

л (е)

л (е)

II«(е)

> /(M-2/(M£(az)

II«(е)

> /(M-2/(M£(az)

Из сказанного вытекает спектральное разложение функции / (ЛГ) от нормального оператора N.

Теорема 1. Каждому нормальному оператору N можно поставить в соответствие спектральную функцию Е, опреде-

ленную на спектре оператора N, причем для каждой функции /^C(Sp(7V)) имеем

fW= ^f(^dE{\),

,Sp(W)

где интеграл существует в смысле равномерной сходимости операторов. В частности,

N = ^ X dE (X).

Sp (АГ)

В остальной части этого параграфа мы будем заниматься изучением спектра эрмитовых и унитарных операторов. С этой целью докажем следующее полезное предложение.

Лемма. Если для (ограниченного') оператора А выполнены условия

1°. || Л« [| = [| Л*« !|, т. е. оператор Л нормален1),

2°. существует такое е>0, что || Л«|| > е ||«||,

то оператор Л вполне обратим, т. е. область значений R(A) оператора Л совпадает со всем пространством и оператор А обратим. Другими словами, существует оператор Л-1 и d(a~4=S-

Доказательство. Из предположения п. 2° вытекает, что оператор А обратим. Поэтому достаточно доказать, что область значений R(A) оператора А совпадает со всем пространством ф, R(A) = ф. С этой целью проверим, что R(A) — замкнутое множество и что область значений R(A) плотна в пространстве ф.

Пусть Аи№ = ‘Оп —>и, га—>оо; покажем, что d^R(A'). В силу предположения п. 2° имеем

е||м„ — «™КМ«„-Л«т||->0, т, п-^оо.

Поэтому последовательность (ил) сходится: ип—>и. Из непрерывности оператора А вытекает соотношение

-и = Пт Аип = Аи, откуда ■u^R(A').

Пусть е — вектор, ортогональный к R (Л): 0 = (е, Аи) = (А*е, и). Следовательно, 0= ||Л*е|| = ||Ле|| ^е ||в|| и е = 0. Согласно теореме Беппо Леви, множество А (§) плотно в пространстве §, что и требовалось доказать.

В качестве следствия получаем следующее утверждение.

9 Соотношение || Ли Ц = [[ Л*и Ц эквивалентно соотношению (Л*Ли, и) =• = (АА*и, и). — Прим, перев.

Теорема 2. Спектр эрмитова оператора является подмножеством вещественной оси.

Доказательство. Пусть Х^Х^С1. Докажем, что X^Sp(A). Действительно, для каждого вектора и+ 0 имеем неравенство

0<|Х —Х|- ||а]|2 = |((Д —XZ)«, а) — ((Д — ХГ)и, и) | =

= |((А —XZ)«, и) — (и, (А — Л/)и) I С 2|| (Д—М)ц II • II «||. откуда

|| (A-XZM|>-1|X-X|. Ца||.

Следовательно, при X + X нормальный оператор А—X/ обратим, что и требовалось доказать.

Как нам известно, в соответствии с теоремой 1 § 1 гл. VIII спектр оператора А лежит в круге радиуса ||А|| с центром в нуле. В частности, когда U — унитарный оператор, спектр U лежит в единичном круге.■

Теорема 3. Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Поэтому в соответствии с теоремой 1, полагая Sp(U)3X = e1^, Е' (ф) =' Д(Х), получаем спектральное разложение

2лU = J е^ dE' (ф).

о

Доказательство. Достаточно показать, что внутренность круга не принадлежит спектру. Пусть |Х|<1. Так как U-X = U, то U — XI = U(,I— XU*). Но ||XL/*|| = | X | < 1. Поэтому оператор / — XU* вполне обратим, (/ — XU*)-1 = ^ (XU*)\ Следовательно, v=0

оператор U — X/ также вполне обратим: (U — /X)-1 = (/— XL/*)-1 U*, что и требовалось доказать.

Прямые интегралы гильбертова пространства

Как нам известно, декартово произведение ^Х^Х ••• конечного (или счетного) семейства ^t) гильбертовых пространств становится гильбертовым пространством ^ = @^i. если скалярное произведение элементов и, ■и^^, где u=(uv иг, ...), -v = Qov и2, ...), определить следующим образом: ((и, о)) = 2(мр у<)> где («/. у<)— скалярное произведение элементов иь ч^ £ ^t. Пространство ф называется прямой суммой гильбертовых пространств ^ Исходные

пространства фр ф2, . .. можно рассматривать как подпространства пространства ф. [Точнее говоря, существует (унитарный) изоморфизм пространства ф; на подпространство ф/сф, которое мы определяем как множество всех последовательностей вида (0, ..., а^ 0, ...); отождествляя пространство ф, с пространством ф,. можно считать, что ф( является подпространством пространства ф.) Подпространства ф; и фЛ ортогональны друг другу при 1фк\ если u^^b v^^k, то ((и, и)) = 0 при I + к [и ((zz, и)) = (zz, и) при I = А]. Отсюда происходит обозначение пространства ф ортогональной суммы подпространств (ф;):

$ = ®Ф1-

Если самосопряженный оператор Л = А*, заданный в пространстве ф, обладает чисто точечным спектром, то, как нам известно, ф = ффг, где ф, являются собственными подпространствами опера-

Z

тора А : ut £ ф, тогда, когда Aut = Х^^ где Xt^Ex — собственное значение оператора А.

Спектральное разложение самосопряженного оператора, обладающего произвольным спектром, наводит на мысль обобщить понятие прямой суммы гильбертовых пространств до „непрерывной суммы", распространенной на измеримое множество Л с мерой р(Х). Мы ограничимся сепарабельными (счетномерными) пространствами. Пусть Л — локально компактное сепарабельное пространство с (положительной) мерой р, и пусть ЛЗХ->М(к) означает измеримую функцию, принимающую значения 1, 2оо. Пусть Н (X)— гильбертово пространство типа Р числовых последовательностей, имеющее размерность N (X). Символом

L^u, К),L^u, К),У Н^ dp (X) лУ Н^ dp (X) лили У ф Н (X) dp (X), или л

L^u, К),

L^u, К),

У Н^ dp (X) л

У Н^ dp (X) л

обозначим множество классов эквивалентности векторных полей ЛЭХ^н(Х) = (^ (Х)№

для которых

N

II «II2 — J |zzft(X)|2dp(X)<oo.

Л 6=1

Сложение векторных полей определим обычным образом: (zz + и)(Х) = zz (Х)-[-и(Х), Х^Л. Скалярное произведение определим формулой

(zz, и) = J \ zzft (X) uft (X) dp (X).

Л 6=1

Разность полей, принадлежащих одному и тому же классу эквивалентности, имеет норму, равную нулю. Пространство I? (ц, N) называется прямым интегралом пространств Н (X), Х^Л. Ясно, что роль пространств Н(X) могут играть, например, произвольные сепарабельные гильбертовы пространства. Несколько позже мы дадим другое определение прямого интеграла.

Примеры

1°. Л — множество натуральных чисел 1, 2а мера р сосредоточена на этих числах. Предположим, что мера ц({^)) одноточечного множества {/} равна единице. Тогда прямой интеграл сводится к прямой сумме

2°. Когда HQ^C1 (dimH(X)=l), то

Уе^(Х)^(Х) = А2(р). л

Полная спектральная теорема фон Неймана

Спектральная теорема для нормальных операторов, выраженная равенством А = J ХЕ (dK), сыграла важную роль во многих разделах математики. Правда, применение этой теоремы (в классической формулировке Гильберта) к задачам с непрерывным спектром, когда собственные функции не принадлежат пространству, в котором действует рассматриваемый оператор, наталкивалось на серьезные трудности. Однако оказалось, что спектральную теорему можно изложить в другой формулировке, которая позволяет сравнительно легко переходить от абстрактного случая к конкретным применениям. Этой новой формулировкой, известной под названием полной спектральной теоремы, мы обязаны фон Нейману, хотя она содержалась неявно в более ранних работах Хеллингера и Хана.

Полная спектральная теорема оказалась особенно полезной в теории представлений локально компактных (но не просто компактных) групп и в квантовой теории. Содержание этой теоремы состоит в том, что всякий самосопряженный оператор (или, общее, всякую систему перестановочных самосопряженных операторов) можно привести (одновременно) к диагональному виду с помощью унитарного преобразования.

Ввиду того что понятие диагонализации вызывает у начинающих известные затруднения, мы изложим „полную" спектральную теорему сначала для случая конечномерного пространства.

Пусть Н есть «-мерное гильбертово пространство и А = А* — самосопряженный оператор в Н. Пусть Л означает множество, состоящее из п элементов X £ Л, и пусть функция X —> А (X) отображает множество Л на спектр оператора А1.'

А(А)^^ (Л).

Пусть е(Х), Х£Л— ортонормированные собственные векторы оператора А, отвечающие собственным значениям А (X); их линейная оболочка совпадает с пространством Н. Имеем

Ле (X) = Л (X) е (X), (е(Х), e(X')) = du-, X, X'С Л.

Ортонормированный базис (е(Х))хел определяет унитарное отображение F пространства Н на пространство Н числовых функций, заданных на множестве Л:

H^ и—>Fu — u )£Н, где я (X) = (я, е (X)), Х^Л,

причем скалярное произведение в пространстве Н определяется формулой

(я, ?)Г/ = 5 «(М^(Х)= 2 («. е(Х))(и, е(Х) = (я, и)н.

Х^ЛХ(:Л

Отображение F называется преобразованием Фурье, индуцированным оператором А. Заметим, что отображение F приводит оператор А к диагональному виду

(ГЛГ-1я)(Х) = (^Ля)(Х) = (Ля, е(Х)) =

= (я, Л*е(Х)) = Л(Х)(я, е (X) ) = Л (X) я (X), Х^Л; (4.1) это означает, что оператор FAF~X является попросту оператором (в пространстве //) умножения на функцию Л(Х), значения которой принадлежат спектру оператора А. Элемент я называется преобразованием Фурье вектора я. При этом, обратно,

и = F^u = 2 (и> е(Х))е(Х)= 2 «(Х)е(Х).хсдхе л

Приведение к диагональному виду (4.1) осуществляется неоднозначно. Особенно простым является приведение к диагональному виду в том случае, когда множество Л расположено на числовой оси и совпадает со спектром оператора А. Тогда

(FAF"^ и (X) = Хя (X), X С Sp (Л).(4.2)

Приведение к диагональному виду (4.2) называется каноническим.

Таким образом, спектральной теореме (в «-мерном пространстве) мы придали следующий вид:

Для каждого самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве Н существует такое гильбертово пространство Н функций, заданных на некотором (компактном) пространстве Л, и такое унитарное отображение F'.H^-H, что

(FAF-1) и (X) = А(Х)и (X),.

где ЛЭХ-> Л(Х)С5р(Л), Л(Л) = 5р(Л).

Замечание. Происхождение термина „диагонализация" объясняется тем, что оператору и (• )—> А( •) и( -) в пространстве (конечных последовательностей) Н соответствует диагональная матрица

/Л^) . . .0 \

\ 0. . . А(Хп))

Вскоре мы увидим, что в общем случае сепарабельного гильбертова пространства для произвольного самосопряженного оператора имеет место аналогичная теорема. В предыдущей формулировке еле-* дует лишь заменить пространство последовательностей (из п элементов) прямым интегралом Н, описанным в § 3:

'Н = J H(X)dp,(X),

А

причем множеством Л окажется пространство максимальных идеалов нормированного кольца, порожденного оператором А.

Перейдем к изложению упомянутой теоремы фон Неймана. Мы наметим доказательство, найденное Годманном и Макки. (Этим до настоящего времени не опубликованным доказательством автор обязан Л. Гордингу.) Оно основано на теореме Гельфанда — Наймарка.

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, ^ — коммутативная С*-алгебра Банаха линейных ограниченных операторов в пространстве Н. Алгебра <$ является банаховым пространством в равномерной топологии (сходимость понимается как равномерная сходимость операторов, т. е. сходимость по норме). Как нам известно, существует, изометрический изоморфизм алгебры ^ на кольцо С (Л) непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве Л. При этом точки X соответствуют максимальным идеалам алгебры ^. (Для наших целей особенно важным является кольцо <%, порожденное эрмитовым оператором А. В этом случае множество Л

можно отождествить со спектром оператора Л.) Гельфандовский изоморфизм сопоставляет каждому оператору Л£<$ функцию а£С(Л), причем Л* <—>а*, где а* (к) = а (ку

Л || = || а || —‘ max | а (к) |; АВ <—> ab,хе л

где

(ab) (к) — а (к) b (к).

В силу сепарабельности существует такая последовательность нормированных векторов (ику ||йй[]= 1, что

Н = @№6],.(4.1)

где [<$нй] — замкнутая линейная оболочка множества

$ик = [Аик-.А^^]

(это будет доказано ниже, см. лемму 2). Итак, элементы и вида

я = Л^-|-Л2и2 (.Ак^<%)

образуют плотное множество в пространстве Н и для них

IIЯII2 = 2 М Л6«6)=5(Л6я6, АкикуI, кк

Поскольку при а > 0 а (X) = а'!* (к) а'к (к), то в силу гельфандовского изоморфизма функционал

Lk(aV— (Аик, ик)

является положительным. Продолжим Lfc(a) посредством этой же формулы на все пространство С (Л). На основании теоремы Рисса об общем виде линейного функционала в пространстве непрерывных функций заключаем, что существует такая неотрицательная мера р,й, что

Lk(d)= Ja(X)d«6W.(4-2)

Л причем

I (Я) I = I <Аик, II],) I < || л IIII ик IP = || а ||(IWI=1).

Положим теперь

Л<й)°~ 2^Г^(я)-(4-3)

й = 1 2

Так определенный функционал L( • ) является очевидно линейным, непрерывным и неотрицательным. Поэтому существует такая неотри-

цательная мера р, что

L (а) = J* а (Л) dp (%).л

Очевидно, что в случае, когда множество М имеет р-меру нуль, P(M) = /Хл1М^(Х) = 0 'Л

[в силу соотношений (4.3) и (4.2)], оно имеет также рй-меру нуль, рй(М) = 0.

Другими словами, меры р6 абсолютно непрерывны относительно меры р при Л=1, 2В соответствии с теоремой Радона — Никодима на множестве Л существует р-измеримые функции тй, такие, что

тй W —у dil (Л) •

[Это означает, что ре (Л!) = J т^ (X) dp(X) для каждого рй-измери-

м

мого множества Л1сЛ; т^—так называемая производная Радона — Никодима меры ре по мере р.]

Лемма 1. Отображение F:u = '2lАкик^(Х1^а^- V^а^- • • •) k

(гельфандовский изоморфизм) является унитарным отображением на некоторое подпространство прямого интеграла Н(р, N). В этом интеграле размерность N(X) = N = oo для всехХ^Х (поясним, что если для данного и сумма "^Akuk конечна, то строку (^(Х) аг(Х), х2(Х)а2(Х), ...) мы дополняем до бесконечной строки нулями).

Доказательство. Прежде всего убедимся, что рассматриваемое отображение не зависит от способа представления и в виде ^Akuk. Пусть векторы «р и2, ... удовлетворяют условию (4.1). Рассмотрим два представления вектора и^Н в виде и — ^Акик и u^^AhUh, где Аь, Аь£<$, А=1, 2В силу ортогональности членов этих рядов имеем А^ик — Аьик при к = 1,2, ... . Отсюда °=II № - ^ ч II1=(и; - л.у и; - -у «.■«»)=

= f | с, (К)-«,<1)1 ^11,(1.).

..Л. .

Так как мера цА неотрицательна, то a'hQ2).= aftQ^ почти всюду по мере ре. Благодаря этому построению элементу и^Н, допускающему представление ^Аьик = и, действительно однозначно соответствует последовательность комплекснозначных функций

(«1W, а2^, ...), а^ЬЧ^, к = 1,2

Пусть теперь u = ’2iAial, ,и—'^Вкик, где At, Bk^t%, I, Iк■

k=l, 2Имеем

(«■ ^^G4^, szA) = 2(s^Vz’ “z) =i,kI'

= 2 J ^)Wi(W) =l Л

= ((«14, a^, ...), (^Tp »2t2, ...)).'

Лемма доказана.

Из доказанной леммы следует, что преобразование F изомет- рично и поэтому допускает однозначное расширение до унитарного преобразования Н на, вообще говоря, часть пространства A2 (pi, N\ Если X таково, что во всех последовательностях (й^^т^Х), й2(Х)т2(Х), ...) лишь первые л(Х)<оо элементов отличны от нуля, то, очевидно, можно считать, что соответствующее пространство Н(X) имеет размерность л(Х). Эту процедуру проделаем для каждого к.

Осталось доказать соотношение (4.1).

Лемма 2. Существует такая ортонормированная последовательность векторов ^и^, что Н = ©[<%аг].

z

Доказательство. Пусть ^р, ^12, ...—базис пространства//, и пусть Рх — оператор ортогонального проектирования на [с^^н] ^. Можно предположить, что I^gnl^H, ибо в противном случае построение было бы завершено. Пусть ^22^= P'vgu- Докажем, что подпространства I<$gn] и [<%g221 взаимно ортогональны. В силу равномерной замкнутости алгебры &? достаточно доказать, что (Atgu, A2g22) = 0 для произвольных Av Л2£<^. Но (Л^р, A2g2^ = = АА^И’ ^22) = °' так как АА§и € 1^11]’ а ^22 -L [^11]- Имеем следующие включения:

^и € [^^ц].

8x2 = (/ - Р^ §А2 + Р^12 6 \^gXXWsA

Пусть, далее, Р^—оператор ортогонального проектирования на подпространство ( b$gnl ф [^g^D1- и пусть g^ == P2gu; теперь имеем следующее включение:

Sb V ^г) ёхг^^г^хз— С ^2) Sb + §зз £ z® t®^/]-

Продолжая этот процесс, мы докажем, что gik £ ф VSfguV где

gkk==”k_1gik. а "ь-х — оператор ортогонального проектирования

на подпространство I ф

V=i

Полагая

получаем требуемую последовательность.

Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема (обобщенная теорема фон Неймана). Для каждой коммутативной С*-алгеб ры Банаха ^ ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н существует прямой интеграл L2(p, п) над компактным пространством Л с мерой р и функцией размерности п(Х), диагонализирующий кольцо <%. Или же, более четко: существует унитарное отоб ражение F всего пространства Н на прямой интеграл £2(ц, и), такое, что ^FAF~V и (Z)) = (а (К) и (X)); таким образом, преобразование FAF'1 является умножением на функцию а (X).

Заметим, что, строго говоря, мы не доказали, что F отображает Н на все £2(ц, п). Этот пробел будет устранен в § 5, где будет дано другое доказательство теоремы фон Неймана.

Если кольцо ^ порождается одним-единственным эрмитовым оператором А = А*, то, взяв в качестве Л спектр оператора А, получаем как следствие следующее предложение.

Полная спектральная теорема фон Неймана. Для каждого самосопряженного оператора А в сепарабельном пространстве Н существует унитарное отображение F пространства Н на прямой интеграл

J ©//(X)rfp(Z), dim Н (X) = п (X),

такое, что F<p(A)F-1 и = J<p(X)a(X)dp,(X), где Л — спектр опе-

д

ратора А..

Замечание. Эту теорему мы доказали только для эрмитовых операторов. Однако нетрудно ее доказать и в том виде, в каком она только что была сформулирована. С этой целью достаточно ввести кольцо, порожденное (ограниченными, как нам известно) операторами (Л-Н/)-1, (Л — /Z)-1 (или же преобразованием Кэли А II опр.

"Л — и" ’^ ^д и 0ПеРат0Р0м Уд1, которые, как нам известно, унитарны; ср. пример 3°§ 1).

§ б. Банаховы алгебры без единицы.

. Второе доказательство полной спектральной теоремы.

Каждое локально компактное пространство Л можно превратить в компактное пространство, присоединяя один элемент Х^, так называемую бесконечно удаленную точку. Этот факт коротко формулируется следующим образом: существует одноточечная компактификация локально компактного множества Л.

Построение, принадлежащее П. С. Александрову, состоит в следующем: пусть Л^, == Л U (^со); в этом множестве вводим следующую топологию: открытыми множествами в Лет являются все открытые множества в Л и, кроме того, все множества вида ZU^cJ. где Z— такое открытое множество сЛ, что Л — Z компактно.

Пусть (Za) — открытое покрытие множества А^, и пусть Хю £ Zao; .опр.

в таком случае — Z=K является компактным подмножеством множества Л. Поскольку множества Л П Za— открыты и покрывают множество К, то существует конечное подсемейство, покрывающее Z. Присоединяя Z^, получаем конечное подмножество семейства (Za), покрывающее пространство Л^.

Функция /, непрерывная на множестве Л^ и такая, что / (Х^) = О, называется непрерывной функцией, исчезающей на бесконечности. Мы видим, что если S — локально компактное, но не компактное множество, то „непрерывная функция исчезает на бесконечности" тогда и только тогда, когда множество (s£S : ]/($)] ^е) компактно для всякого положительного е. Этот факт мы символически записываем формулой

lim / (s) = 0.

•5->со

Пространство непрерывных исчезающих на бесконечности функций обозначают символом Ает(Л).

15 К. Морен.

Банахову алгебру А без единицы можно вложить -в некоторую банахову алгебру с^' с единицей. В качестве А' можно взять множество пар вида [х, а], х^А» а^С1. Для того чтобы пару [х, а] можно было рассматривать как х + ае, достаточно принять следующее определение умножения:

[хр aj[x2. a2]^[x1x2 + a1x2 + a2x1, a^].

Очевидно, элемент [0,1] является единицей алгебры А', а отображение х —> [х, 0] — вложением алгебры А в алгебру А'. При этом алгебра А является максимальным идеалом в алгебре А'.

Топология в А' является обычной топологией в топологическом произведении:

|| [х, а] || = ||х|| + |а|.

Роль идеалов в случае алгебр без единицы принадлежит так называемым регулярным идеалам. Именно идеал \^А называется регулярным, если существует такой элемент и^А, что

их — x^i

для всех х^А. Другими словами: идеал i регулярен, если алгебра АЦ обладает единицей. Действительно, при гомоморфизме А -> Afv соотношение их — х £ i переходит в равенство UX—X = 0, т. е. UX = X, где х—.>Х, u->U. Элемент и называется единицей относительно идеала t. Нетрудно доказать что каждый регулярный идеал можно расширить до максимального регулярного идеала.

Доказательство. Пусть и — единица относительно идеала i. В таком случае и не содержится ни в одном идеале i'^t, ибо, если u^V, то ux^V. Но так как х— ux^icA', то каждый элемент х = (х— ax') + их £ f, т. е. V = А. Следовательно, к идеалам V можно применить рассуждение, которое привело к аналогичной теореме для алгебр с единицей (ср. гл. VIII, § 2, теорема 2, п. 4°).

Следующая теорема позволяет свести изучение регулярных идеалов в алгебре А к изучению идеалов в алгебре А' (с единицей).

Теорема 1. Если А — алгебра без единицы, а А' — алгебра, полученная из А присоединением единицы, то отобра- , опр.

жение t —>t = t ПА устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми идеалами f алгебры А', не содержа- ■ щимися в алгебре А, и всеми регулярными идеалами алгебры А.

Доказательство. Пусть f— идеал алгебры А' не принад. лежащий алгебре А. Пусть i = f П А. Очевидно, множество

является идеалом в алгебре Л. Покажем, что идеал i регулярен. Поскольку t' не содержится в Л. то существует в f элемент у =— е-\-и, и^Л- Действительно, каждый элемент z^V имеет вид z = ae-\-x, а^С1, х^Л. Так как (' не содержится в с^, то существует элемент z = ае-\- х £V для которого а^=0. Полагая и ——^ х, получаем м^с^, —s + zz^t'. Элемент и является единичным относительно идеала I, ибо

— X —j— их = (— е —|— и^ X £ I

для каждого х^А. Следовательно, идеал t регулярен.

Обратно, пусть t — регулярный идеал в df, и пусть и — единичный элемент относительно идеала t. Легко проверить, что множество i7 ~ {У €^7; МУ € С является идеалом в алгебре А', содержащим, идеал t. Однако V не содержится в А, ибо из соотношения и (и — е) = и2— u^i вытекает, что и— е£л', причем (и— е)^с^. Пусть теперь у^А; поскольку иу— y^t для всех у^с^, то y^t тогда и только тогда, когда у£1'; следовательно, г = 1/ = (Пс^> что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы вытекает, что каждый регулярный максимальный идеал в алгебре А можно получить как пересечение максимального идеала в алгебре ы£', отличного от алгебры Л, с алгеброй ^. Применяя настоящую теорему, можно обобщить теорему И. М. Гельфанда об изоморфизме на коммутативные банаховы алгебры без единицы. Радикалом алгебры Л (без единицы) называется пересечение всех регулярных максимальных идеалов. Алгебра, радикал которой состоит из одного лишь нулевого элемента, называется полупростой. Имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Каждая полупростая коммутативная банахова алгебра без единицы изоморфна алгебре ^(Д) непрерывных исчезающих на бесконечности функций, заданных на локально компактном пространстве Л — спектре алгебры А.

Доказательство. Пусть Л— банахова алгебра без единицы, а Л' — банахова алгебра, полученная из алгебры Л присоединением единицы. Обозначим через Л так называемый спектр алгебры Л, т. е. множество всех регулярных максимальных идеалов алгебры Л. Пусть Л' — спектр алгебры А'\ обозначим через Л' множество Л' — (с^). Как нам известно, множество Л' компактно. Поэтому множество Д', полученное из множества Д' удалением одной точки (максимального идеала Л, который здесь играет роль бесконечно удаленной точки Хю), является локально компактным. Из теоремы 1 вытекает, что существует взаимно однозначное соответствие между

элементами множеств Л и Л^. Пользуясь этим соответствием, топологию множества Ло можно перенести на множество Л. Таким образом Л — спектр алгебры Л становится локально компактным пространством. Если то х(лм) —О (ибо Л— максимальный идеал в Л'). Теорема доказана.

Аналогичным методом доказывается обобщение теоремы Гельфанда— Наймарка на коммутативные С*-алгебры без единицы.

Теорема 3. Пусть А— (коммутативная) С*-алгебра (без единицы) операторов в гильбертовом пространстве ^\ пусть Л — множество максимальных регулярных идеалов, локально компактное в топологии Гельфанда (компактное тогда и только тогда, когда алгебра А обладает единицей). Каждой функции /^^(Х) можно однозначно поставить в соответствие такой оператор Т^А. что Х(Т^) = /(Х) для каждого Х^Х. Отображение f-+Tf является изоморфизмом (так называемым изоморфизмом Гельфанда) С*-алгеб ры LCO(X) на алгебру А, сохраняющим соотношение "> (это означает, что Tj^O, если />0).

Если алгебра Л сепарабельна, что имеет место, например, тогда, когда пространство % сепарабельно, то множество Л тоже является сепарабельным пространством. Действительно, пусть (/t)T=i—множество, плотное в ^(Л). Напомним, что || /|| °—‘ sup | /(X) |; пусть

Az = ’{Х^Л : |/Z(X)| > 1}. Покажем, что множества Az образуют базис пространства Л. Пусть Х0£Л, и пусть Y— открытое множество, содержащее Хо. Пусть / ^L^ (Л), причем / (Хо) = 2 и / (X) = 0 при Х^Х— Y. Выбрав I так, чтобы выполнялось неравенство ||/ — Л||< 1, получаем ^0£AzcK, что и требовалось доказать.

Наиболее важным примером коммутативной банаховой алгебры без единицы является групповая алгебра (групповое кольцо) L1 (G) локально компактной коммутативной группы G. Умножение элементов х, у £ L1 (О) определяется следующим образом.

Пусть р— инвариантная мера на группе О, т. е. для каждого р-измеримого подмножества Z группы О имеет место тождество p(Z) = p(xZ). Тогда

(^У) (?) — J (S',) У (8Тгб) dp (§•,).о

Легко доказать, что алгебра D (О) обладает единицей тогда и только тогда, когда группа О дискретна.

Оказывается, что алгебра D (G) полупростая.

Теория групповой алгебры D (G) (коммутативной) локально компактной группы G составляет одну из самых замечательных глав

математики двадцатого столетия. Эта теория дала возможность перенести гармонический анализ из пространства Е" на произвольную локально компактную группу G и в настоящее время с ее помощью проще всего подойти к теореме двойственности Понтрягина.

Поскольку мы и так сильно отклонились от нашей основной темы „Методы гильбертова пространства", то вынуждены ограничиться этими краткими замечаниями. Мы делаем это с чистой совестью, так как в математической литературе имеются замечательные монографии, посвященные упомянутому кругу вопросов, например многократно нами цитированные книги Люмиса и Наймарка.

Спектральные меры. Подобно теории С*-алгебр с единицей, можно ввести понятие спектральной меры, заданной на спектре Л алгебры Л (без единицы). С этой целью напомним только, что спектральная мера р(-, и, у) определена однозначно и удовлетворяет соотношению

J /(X)dp(X; а, у) = (7^, у) (*) л

для всех f^L^K).

Тождество (*) обычным способом распространяется на все ограниченные и измеримые относительно меры р(-, и, у) функции. Спектральная мера обладает всеми свойствами, по существу, перечисленными в теореме 2 гл. VIII, § З1).

Среди положительных мер, заданных на спектре Л алгебры Л, важную роль играют так называемые основные меры.

Определение. Положительная мера р, заданная на множестве Л —" Sp (Л), называется основной, если, для того чтобы подмножество N имело локальную р-меру нуль2), необходимо и достаточно, чтобы множество N имело локально р(-, и, «)-меру нуль для каждого н £ $.

Как видно из определения, для того, чтобы положительная мера р была основной, необходимо и достаточно, чтобы она была эквивалентной некоторой основной мере.

*) Напомним основные свойства спектральных мер С*-алгебры:

р (•; Л1и1 + Х2и2, у) = Atp (•; Up у) + А2р (•; «2, у); р (•; «> у) = Р (• '• и> “)! р(-; », »)>0, т. е. (/, р( -; и, и))>0 при />0;

р(.; Т^. Tgtf) = /(•) ^(•) р (•; и, у), /, gCL^tXy

Эти соотношения имеют место всюду, за исключением множеств р-меры нуль, зависящих от элементов Up u2, У-

Это означает, что р (/< Q N) = 0 для каждого компактного множества Кс А.

Из теоремы Радона — Никодима немедленно вытекает следующее

предложение.

Теорема 4.то функцияТеорема 4.то функцияЕсли р— основная мера на множестве Л,Если р— основная мера на множестве Л,dp (X; и, у)dp (X)dp (X; и, у)dp (X)опр.опр.(и, у; X),(и, у; X),

Теорема 4.

то функция

Теорема 4.

то функция

Если р— основная мера на множестве Л,

Если р— основная мера на множестве Л,

dp (X; и, у)dp (X)

dp (X; и, у)dp (X)

опр.

опр.

(и, у; X),

(и, у; X),

определенная почти для всех X {относительно меры р), является ^.-интегрируемой.

Функция (и, у; X) — неотрицательная эрмитова форма на §. Это означает, что.

(a1rz1 + a2«2' ®1 Х) = а1(«1, у; Х) + а2(м2, у; X), {и, у; Х) = (у, и; X), (и, и; Х)^-0,

(Т^, Tg-u; Х) = / {X) g {X) (и. у; X) при /, g^ (Л).

Проверка этих равенств элементарна, однако нужно иметь в виду следующее обстоятельство. Множество тех X, для которых производная {и, у; X) = ~^^у' не существует, зависит, вообще говоря, от и и у, хотя и имеет нулевую меру р. Поэтому если и и у пробегают более чем счетное множество, то может случиться, что нет таких X, для которых определены все (и, у; X). Подобное обстоятельство достаточно характерно для методов гильбертова пространства. Мы его будем учитывать в построениях, к которым сейчас переходим.

Второе доказательство полной спектральной теоремы. Рассмотрим произвольный базис {и^^^ пространства Н и образуем рациональную оболочку Н' базиса (и^, т. е. множество линейных комбинаций элементов базиса с рациональными комплексными коэффициентами. Множество Н' является счетным и Н' = Н. Предположим временно, что основная мера р уже построена (ее построение будет выполнено несколько позже). Тогда мы располагаем функциями АЗХ—>{и, у; X), которые можно рассматривать как скалярные произведения на пространстве Н' при X^N, где Ng А — множество меры нуль, равное объединению счетной совокупности множеств меры нуль, для которых (и, у; X) могут не существовать (и, у £ И'). Пусть'

aj <х)= {«е^: И «Пл. °— («. «; М=о}_.

Образуем унитарное пространство )

Н' (л) = Н'/М {X)

СО скалярным произведением ■

(«(X), у(Х); X) °— (и, у; X),

где и, -и — произвольные представители классов и(Х), -и (X) Н'(X) [легко проверить, что скалярное произведение (и(Х), у(Х); X) опре- ' делено корректно, т. е. что оно зависит лишь от классов, а не от их представителей]. Гильбертово пространство, полученное пополнением унитарного пространства Н' (X), обозначим через Н (X). Пусть F (X) — каноническое отображение Н' -> Н' (X) (F (X): и -> и (X)). Посредством FQC) мы будем обозначать и расширения канонического отображения на все пространство Н. Пусть, далее, Nx — подмножество множества Л — N, состоящее из тех X, для которых //(X) = 0. Заметим, что р (ZVX) = 0. Действительно, пусть х^ — характеристическая функция множества Nx. Множество Nx является р-измеримым, ибо соотношение Х£Мх эквивалентно тому, что (и, и; Х) = 0 для всех и £ Н'; поэтому и xN p-измерима. Для всех и^Н' имеем

(Л^"- 7'xWi“) = (7'xWi“. «) = Jx^(X)dp(X, и, «) =

= / Хлг,(Х)(и, и\ X)dp(X) = 0,

откуда Тх^и = й. Отсюда заключаем, что Тх^ =0, так как множество Н' плотно в пространстве Н. Пусть у, (-) = р (-; и0, и0) (см. излагаемое ниже построение основной меры р). Имеем

° = (^.“о’ “°) = / ХМ ^ dw (Х> ~11 ^^

Поэтому множество Nx также имеет р-меру нуль. При X^N\3Nx возьмем произвольные сепарабельные гильбертовы пространства ?7(Х)¥=0. Таким образом мы построили поле Н гильбертовых пространств на спектре Л алгебры ut;

А^Х^Н(Х).

Построим базис ut поля Н следующим образом: при X £ Л — — (N U Nx) положим ul(X)°—’ F (X) их£Н (X), где (и^^Н^—введенный в начале доказательства базис пространства Н. Ввиду того что замыкание линейной оболочки векторов ut совпадает с пространством Н, замыкание линейной оболочки векторов ut(X) совпадает с пространством Н (X).

Поля и = (и(Х)), где a(X) = F(X)a, и^Н', интегрируемы с квадратом,

11«ПЬ= J(“М «м W) = J(и, и; x>dp(X)= ЛЛ

= J dp(X; и, и) —(и, а) = || и ||2. л"

Итак, изометрическое отображение

F':u->u, и^Н'

можно расширить единственным способом до унитарного преобразования

F;H-^H = J H(X)dp(X).л

Проверим еще, что отображение F приводит к диагональному виду все операторы Т f, f^L^A), а, следовательно, также алгебру А.

Пусть Т',— диагональный оператор: Tf = (/(X)/(X)), где/(Х)— единичный оператор в пространстве Н (Ху

Из унитарности отображения F вытекает, что для всех и, v^H имеем■

(FT^u, Fv^^^T^u, v) = J/(!)(«, у; 1)ф(1) = л■ '

= J /(Х)(й(Х), ^(Х); X)dp(X) = л

= J кф^Ш^ху 5 to; X) dp (X)=(?'/«, у)й, л

откуда

FTfti = Т/и = ТjFи, т. е. FTfF~l = Tf.

Таким образом, мы можем высказать полную спектральную теорему фон Неймана даже для С*-алгебр без единицы в следующей форме.

Полная спектральная теорема. Коммутативная, возможно, без единицы С*-алгеб ра (Т^ операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с точностью до сильного изоморфизма определяет прямой интеграл j Н (X)dp(X), при- л

чем естественный изоморфизм F: и->^и(Х)\ действующий из Н в прямой интеграл, диагонализирует алгебру (Т ^, т. е.

FT^F-^Tf^X/^I^,

где 1(Х)— единичный оператор в пространстве Н(Х). Изоморфизм F называется разложением пространства Н в прямой интеграл j*H(X)dp(X). Говоря о сильном изоморфизме, мы л

имеем в виду тот факт, что каждые две основные меры эквивалентны, а индуцированные ими скалярные произведения в соответствующих пространствах Н (X1) отличаются положительным множителем.

Мы видим, что даже для С*-алгебр с единицей эта формулировка несколько более точная, чем приведенная в § 4.

Нам остается лишь доказать существование основной меры.

Теорема. Пусть 3)1^ — максимальная коммутативная С*- алгебра, содержащая алгебру JL операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, и пусть и0— циклический вектор алгебрыЧЯ^. Тогда р(Х; и0, и0) — основная мера.

Доказательство. Требуется доказать, что мера р(-; у, у) абсолютно непрерывна относительно меры р(-; и0, й0)- Пусть сначала ю = Тий, где Т ^ЗЯЛ. Следовательно, для произвольной функции / > 0 имеем

J/W^P^!®) = (7'/У, у) = (Т/Т«0, Ти^1

Л= (ГТТ/«0, «0)<||П2(7>0, «о)-

ЧИР/7(^р(^ и0, и0\л

В этом частном случае теорема доказана.

В соответствии с теоремой Радона — Никодима достаточно проверить, что для каждого е>0 и функции g, О^^^С^Л), существует такое d = d(e, g), что для всякой непрерывной функции h, удовлетворяющей условиям 0 ^ h ^ g и J/i(X)dp(X; и0, и0)<6, выл

полняется неравенство J /i(X)dp(X; v, у) < е. л

Пусть у — произвольный элемент пространства И; поскольку йд — циклический вектор алгебры Ж^, то для каждой функции

/ £ С (Л), / ^ О, существует такой вектор d' = Ти0, что

^ Ч^ 4|| g-U-llvU^ Ч^ 4|| g-U-llvUи || -и' [|< || -и ||.и || -и' [|< || -и ||.

^ Ч^ 4|| g-U-llvU

^ Ч^ 4|| g-U-llvU

и || -и' [|< || -и ||.

и || -и' [|< || -и ||.

Следовательно, для каждой непрерывной функции А, 0 ^ А ^ g, имеем

J А (X) dp (X; у, у) — J А (X) dp (X; у', у')

ЛЛл

Л

Л

= |(Тйу, у) —(^у', ^КК^Су—у'), у) | +1 (7\у', [у — у'])|<

<2ЦТЙП-Цу —У7 IHI^I|<2||g|H|y-yz|H|®||<-|-(*).

Но, как мы только что доказали, существует такое 6, что из неравенства

J A(X)dp(X; и0, «0Х6 вытекает J A(X)dp(X; у', у')<-|-. (**) ЛЛ

Из соотношений (*) и (**) вытекает утверждение теоремы.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Н есть A-мерное унитарное пространство. Операторы в Н — матрицы. Сформулировать в этом простейшем случае теорему фон Неймана.

Доказать, что для заданного Х^Д1 существует убывающая последовательность многочленов Рп (Л), слабо сходящаяся к Е (X), т. е.

(*W у)|(Д(Х)«, у).

Доказать, что для любой существенно ограниченной борелев- ской функции / на спектре нормального оператора N имеем

fW= / /(X)d£(X).

Sp (W)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Понятие прямого интеграла было введено фон Нейманом примерно в 1938 г., однако его фундаментальная теорема была опубликована только в 1949 г. [4]. Прямые интегралы стали важнейшим инструментом в теории представления групп, о чем информирует интересная статья Наймарка и Фомина [2] (см. также работу Маутнера [1]).

В 1953—1954 гг. Л. Гординг заметил, что теорема фон Неймана представляет собой абстрактную основу разложений по собственным функциям интегральных операторов (с ядрами Карлемана), а также

обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Замечательная теорема Гординга излагается в гл. XVII. Нам кажется, что полная спектральная теорема фон Неймана является подходящим математическим инструментом квантовой механики (ср. гл. VIII, § 5).

Читатель, по-видимому, заметил, что мера р(Х), а также функция размерности п(Х), которую следовало бы назвать кратностью спектра, составляют полную систему унитарных инвариантов, т. е. если два эрмитовых (или даже самосопряженных) оператора Л и А' определяют соответственно меры р и р' и кратности п(Х), п' (X), причем меры р и р' эквивалентны (абсолютно непрерывны друг относительно друга), а функции п(Х) и п' (X) эквивалентны в том смысле, что не равны только на множестве меры нуль, то операторы А и А' унитарно эквивалентны: существует такой унитарный оператор (7, что А = UA'U-X.

ГЛАВА X

Однопараметрические полугруппы линейныхоператоров (теория Иосида). Теорема Стоуна.Теорема Гординга о представлениях групп Ли

Параграфы 1—3 настоящей главы посвящены теории Иосида, касающейся представления и дифференцируемости однопараметрических полугрупп линейных операторов в банаховом пространству. Полученные результаты дают возможность в § 4 получить элегантное доказательство знаменитой теоремы Стоуна относительно однопараметрических групп унитарных операторов. В § 6 излагается теорема Гординга о представлениях групп Ли.

Эвристические рассуждения. Основные понятия

В этой главе мы изложим так называемую теорию Иосида однопараметрических полугрупп линейных непрерывных операторов в (комплексном) банаховом пространстве X. Напомним некоторые обозначения. Пространство, сопряженное с пространством X, т. е. мно-' жество всех линейных непрерывных функционалов, образует банахово пространство X*. Элементы пространства X мы обозначаем через и, vэлементы пространства X*— через и*, -и*а значение функционала и* в точке и — символом (и, и*). В случае когда X является гильбертовым пространством ф, имеет место „равенство" §* = § и значение функционала и* в точке и является просто скалярным произведением: (и, и’*') = {и, и*) для всех и, и*^^. Для облегчения понимания дальнейшего можно иметь в виду полугруппу операторов в гильбертовом пространстве.

Напомним, что однопараметрическое семейство векторов и {t), a <_t <_b, в пространстве X {кривая в пространстве X) называется сильно {слабо) дифференцируемой в „момент11 t0, если конечноразностное отношение

и (<о + А) — и (<р)

h

сходится сильно (слабо) при А—>0.

Определение. Однопараметрическое семейство линейных и непрерывных преобразований {Tt), 0 ^ t < оо, банахова пространства X в себя называется полугруппой, если для любых $, ^[0, оо) имеют место соотношения

TtT, = Tt+8, TQ = I.

Если операторы Tt обратимы, то, полагая Т7Х°— Т_р получаем однопараметрическую группу операторов.

Если В — ограниченный оператор, [|В|| -< оо, то легко определить показательную функцию etB:

.‘«‘S^,^;<1.1)

v=0

ряд в правой части равенства сходится равномерно (т. е. в смысле нормы операторов), ибо

V=0

Аналогично тому как это делается в элементарном курсе дифференциального исчисления, можно доказать, что

etBesB __ еу+ s)Bfs, t^ [0, oo), e°'B = I.

Таким образом, семейство операторов Tt == etB, t £ [0, со), образует однопараметрическую полугруппу [а при ^£(—oo, 4-00) — группу] линейных преобразований пространства X в себя.

Более того, существует так называемая бесконечно малая образующая полугруппы etB;

Wm(ehB — 1Ли = Ви.(1.2)

Ви является, очевидно, сильной производной однопараметрического семейства векторов ю^°— etBи пространства X в момент ^ = 0.

Очевидно, имеет место равенство

\^1-(Гм-Т7)и = ВТ1и=ТДи.(1.3)

Л->0 "

^[0, оо), и^Х.

В случае неограниченного оператора В показательную функцию нельзя определить так, как это было сделано выше (вспомним трудности, с которыми мы встретились при определении функций от неограниченного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве).

К. Иосида показал, как можно получить формулы, подобные формулам (1.2) и (1.3), в случае общей однопараметрической полугруппы.

Теория Иосида

Будем предполагать, что элементы полугруппы (Т^ ограничены в совокупности единицей:

sup II Л IK 1(2.1)

0<5<оо

и что траектории полугруппы, т. е. кривые (Т^), ^ [0, оо), и £ X, сильно непрерывны в каждый „момент” t0,

UmTtu — Tt,u при /оЕ[О, оо), и £ X.2)

Оказывается, что даже при столь слабых предположениях существует инфинитезимальная (бесконечно малая) образующая ’) полугруппы (Ts), которую мы будем коротко называть образующей или производной полугруппы 1J^ в „момент” ^ = 0. Имеют место две фундаментальные теоремы Иосида.

Первая теорема (Ио сида). Множество D(A), на котором определен оператор А,

ОПр.1

Аи = слабый предел-г-(7^— /)и,(2.3)

л^о "

плотно в пространстве X. Оператор А является замкнутым линейным оператором, обладающим следующими свойствами: ■

Пш-^-^нй— Т^ и = ATtu = TtAu, u^D^AY (2.3') й^О "

Справедливо представление посредством показательной функции в следующем смысле: существует последовательность^!п) линейных ограниченных операторов, коммутирующих с каждым преобразованием Tv а также с оператором А, таких, что 1°. R(!n)cLD(A), А!Г1 = 1пА — пЦп—/) [А?(Д) обозначает область значений оператора И];

2°. К IK1- ^^и^и;

3°. Т(и = lim eiAI« равномерно относительно t на каждом

конечном отрезке {т. е. почти равномерно на [0, оо)].

Далее, верны соотношения

|| (Д — nh и || > п|| и||, п=\, 2 u^D(A) (2.4)

и

R(A — nI) = X,(2.5)

т. е. операторы А—п!, п—1, 2, ... вполне обратимы.

*) Инфинитезимальную образующую называют также бесконечно малым производящим оператором. — Прим, перев.

Если и„°— (А—п/)-1 а, п—1, 2, ..., то

Пт Л(—пи^ = Нт [—п^и + пип\ = Аи(2.6)

Л->оо/1->оо

при u^D(Ay

Имеет место и обратная теорема.

Вторая теорема (Иосида). Если для линейного оператора А с плотной областью определения D(A)cz.X и областью значений R(A)czX выполняются соотношения (2.4) — (2.5), то существует однопараметрическая полугруппа операторов Tt, для которой имеют место соотношения (2.1) — (2.3) (/и. е. такая, для которой оператор А является образующей').

Доказательство первой теоремы. Дифференцируемость. Слабый предел -^ [ТА—/]7'/и=слабый предел 1 [T/+A—TJ ы= "h 0"

= TH слабый предел -r-l^— /] и (заметим, что каждый ограничен- л + о "

ный линейный оператор В слабо непрерывен: если fn-^f, то Bf^—^Bf). Поэтому, согласно (2.3), T(D(A)c.D(A) и ATtu = Т(Аи при u^D^A), т. е. оператор А коммутирует с каждым из операторов Тг Кроме того, существует правосторонняя слабая производная

D+Ttu = ATtu = TtAu для каждого u^D^A).

Из сильной непрерывности полугруппы Tt вытекает, что для каждого у* £ X*

<Jtu, у*) —<«, у*) = J D+(JSU. v*}ds~

О

TsAu, -c^dt = ^J TsAuds, v*

о0

Поясним эти преобразования. Из равенства D+Tsu — TsAu и слабой непрерывности подгруппы Ts вытекает, что D+ <Tsu, у*) есть непрерывная функция параметра s, а поэтому правосторонняя производная является обычной производной. Следовательно, применяя формулу Ньютона — Лейбница, находим J D v{Tsu, D^ds^tJ^u, у*) — о

— (и, у*). Из сильной непрерывности полугруппы Tt вытекает существование интеграла I TsAuds как предела по норме соот-

ветствующих интегральных сумм. Равенство J (JsAu, <0 ds =

О

= ^ TsAuds, у*^ вытекает из непрерывности функционала у*. Итак, о

требуемое соотношение установлено. Из него благодаря произвольности у* следует

Ttu — и — J*TsAu ds при u£D (Л).(2.7)

о

Таким образом, мы доказали дифференцируемость и формулу (2.3').

Отсюда немедленно получается замкнутость оператора А: если ип£О<А), ип—> и, Аип-*^, то, согласно формуле (2.7),

t

Ttu — и = у 7\у ds,'

о

т. е. u£D(A) и Л« = у (напомним, что То —/), что и требовалось доказать.

Переходим к наиболее трудной части доказательства — доказательству представления посредством показательной функции.

Пусть ф(б)— комплекснозначная дифференцируемая функция, такая, что

Пт г’|Ф(»-Ц-Ф<»)_^.(,)|^ = 0.(2.8)

Определим оператор

00

С (ф) а - у ф (s) Tsu dsо

(поскольку мы имеем дело с сильно непрерывными функциями, то рассматриваемые интегралы существуют в сильном смысле). На основании определения полугруппы имеем TtTs = T(+3, откуда

-L \Th - /] С (Ф) и = -1 у ф($) ThT3u ds -

О

ОООООО

~tJ <P(s)Tsiids = -£- у ^^)Th+sttds — ^ у <pls)Tsuds;

00о

вводя в первом интеграле новую переменную / = s-f-A и разбивая второй £ = £ + J, получаем.

ОАО

соА

/ ±^кзШ Ttu at —1- / Ф (s) Tsu ds.

A0

В силу равенства То = / и формулы (2.8).получаем

lim 1- \Th - /] С (Ф) и = С (- и - Ф (0) и. (2.9)

Проверим, что выполняются п. Г и 2°; поскольку sup ||7\||<1.

О < 5 < СО

, ОПр. Л

то, полагая Jnu = I tie T5uds, имеем о

||/n«IK J |1 ^е-"6^ Н^5-^ / ne~ns ds — \ оо

при ||я|| = 1. Поэтому ||/„||^1 при п=1, 2 Изсоотноше-

ния (2.9) вследствие равенств пе-п0 = п,^— = nne~ns, полу

чаем А7пи = пЦп—/)«, так что 1° и 2° выполняются.

Поскольку оператор Л замкнут, его можно внести под знак интеграла, определяющего преобразование С (ф). Поскольку оператор Л коммутирует с каждым из операторов полугруппы Ts, имеем АС (ф) я = С (ф) Аи для каждого и £ D (Л) и, в частности,

АналогичноАналогичноА1п = 1аА.А1п = 1аА.(2.10)(2.10)

Аналогично

Аналогично

А1п = 1аА.

А1п = 1аА.

(2.10)

(2.10)

TtC^-)u = f Tt4>(s)Tsuds = f ф($)Г5Гtuds — С (ф)Тtu. (2.11) оо

Следовательно, операторы /„ коммутируют как с оператором А, TIK и со всеми операторами полугруппы при п=1, 2

Проверим теперь п. 3°. Так как А7„ = п(7п—/). то

|| ешп || = || е‘п1п"ш || = || е^пе-™ || < ell tn,n lie"'" < elne-tn = 1.

(2.12)

Ввиду того что оператор А1п коммутирует с каждым из преобразований Т(, при и £ D (Д) имеем

|| T,u-efAinu|| T,u-efAinue^-sfAi^^^e^-sfAi^^^

|| T,u-efAinu

|| T,u-efAinu

e^-sfAi^^^

e^-sfAi^^^

t

{ e^^nT^A-AI^uds

0

< J I! Ts II. II (A - Ai„) и \\ds^[ II (Д - Д/л) и II ds = t1| (/ - In) Au ||; о0

однако, как сейчас будет доказано, || (7 — /л)у||->0, п->со и D^A^ — X, а поэтому п. 3° тоже выполняется.

Изложим доказательство соотношений D(A) = X и 1п-и -> -и, п—>оо.

Для произвольного и 5 X положим uh — h-x J Tsu ds. Так как T0 = i, о

то uh-> и при h—>0 и поэтому множество («Й:«£Л'} плотно в пространстве X. Далее,

= WV= WV

= WV

= WV

= (ей)"1= (ей)"1е

= (ей)"1

= (ей)"1

= (ей)-1 j" (ThVs — T^uds^

о

Отсюда е-1 (Ге — /) Uh -> h-1 (Th — /) и. e -> 0. Поэтому uh £ D (Д) и Auh = h-v (Th— /)«. Так как многообразие D(A") содержит плотное в X множество ^uh : и £ X}, то D(A) = X. При u^D(A) имеем »(/„ — /)« = Ainu = InAu. Так как ||/л|К1, то ||(/„—/) и || < ^ п~х || Аи || -> 0, /г-хзо. Используя плотность многообразия О (Л) и равномерную ограниченность последовательности (/„), убеждаемся, что ||(/л — 7) « ||—>0, п—>со для всех и^Х. Выше доказано, что Цт^и — etA1i*u ||—>0 лишь при u^D^Ay Пусть и^Х, a Ug^D^A), || и — «е || < е/2. Тогда, учитывая, что || ^ || -^ 1, || efA,n || ^ 1 > имеем

|| Ttu - etAInu\\ < II Tt (и - «е) II + ||т,«е- eM/««8|| + ||e^^^ <8/2 + 11?^-etAlnu6Ц + е/2-> при п->оо. Таким образом, || Ttu — etAInu || —> 0 для каждого и £ X.

Докажем, что множество R(A— nF) плотно в X при п = 1, 2, .... Действительно, в противном случае существует такой вектор и*£Х*, тт^О, что ((А— пГ)и, у*) —О для всех u^D^A). Однако так как TtD (A)cD (А), то

<ATtu, -u*) = n^Tta, -и*'), т. е. в силу формулы (2.3')

А(Л«, ^ = n<Jtu, У*).

Интегрируя это дифференциальное уравнение при начальном условии (То«, у*) = (и, у*), получаем

<Ttu, у*) = («, у^е".(2.13)

Так как многообразие D(A) плотно в X, а ОФи* ^Х\ то существует такой вектор u^D(A), что (м, у*)^=0. В этом случае ^п, у*) ent —> со, t—> со, что противоречит соотношению (2.13), ибо

№■ ^|<|ИЫ|т;1ЫМ<1ИН№

Докажем теперь формулу (2.4), т. е. неравенство

|| (А—nF) и || ^ п || и || при u^D^A), я =1,2

Предположим, что это неравенство неверно, и пусть

||(А — п!)и0\\ = а <п при к0^£)(А), || к0|| = 1.

Кроме того, пусть (и0, у*) = 1, ||у*|| = 1. Тогда из уравнения

-д Tttt0 = TtAtt0 = nTttt04-Tt(A — nF)ttQ получаем

-^ = n/(tWg(t), где

/ (0 °=^ (Т,«о, у*), g (0 = ^А- п!) ии, у*).

Так как

/(О) = (То«о, у*) = («0, у*) = 1, то

/ (t) =/ e-nsg (s) ds + 1 .

Вследствие неравенства

|£(01<ШН1(Д-/г/)М-||УЧ1<а имеем

1/(01 >^[1-^(1-^)],

откуда | / (01 ^ еп< р —-^-(1 — e-n<)j , что противоречит неравенству l/WKIITjMlMolllklKi.

Докажем далее, что R(A— пГ) = Х. Пусть *и^Х; в силу плотности в пространстве многообразия R(A—nR существует такая последовательность иЛ£О(Д), что (Д— nRuh —>у, А-»оо. Однако

|| (Л — и/) («й — «р) || > п || «й — ир ||,

т. е. (кй)— последовательность Коши. Пусть иь—> и; имеем у = Um (Л — nRub-=- Um ^Аик— п!ик) = Аи— nlu, А->СОfc->OQ

ибо оператор А замкнут. Итак

(Д — nRu — V,

что и требовалось доказать.

Остается доказать формулу (2.6). Пусть ип — (единственное) решение уравнения (Д — nR ип = у; в соответствии с п. 1° 7л (Д — nR — = — nl, а потому 7лу = — пип. Следовательно,

Um Д(—пи^ = Um Д7„у = Um /лДу = Ду,

П->00П-^ооП->оа

что и требовалось доказать.

Таким образом, мы закончили доказательство первой теоремы Иосида.

Замечание. В случае группы Tt, /£(—оо, оо), повторяя предыдущие рассуждения с той лишь разницей, что t-> — оо, получаем

R^A-VnR = X, п=\, 2 (1.6')

§ 3. Теория Иосида (продолжение;доказательство второй теоремы Иосида)

Пусть А—линейный оператор с областью определения О(Д), плотной в пространстве X, удовлетворяющий условиям (2.4) — (2.6), Нам нужно доказать, что существует однопараметрическая полугруппа, образующей которой служит именно оператор А. Поскольку операторы А — nl вполне обратимы: /?(Д —nR — X и ||(Д—nRu\\"> ~> п || и ||, то уравнение (Д — n,Run = и имеет единственное решение «„.

Пусть J„— оператор, заданный равенством'

Jnu =— пкя = — я (Л— «/)"'«.(3.1)

Очевидно, имеем

||У„|| = л||(Л-п/)-1||<1,(3.2)

однако

AJnu = — пАип = — п (и + пия) = ti(Jn — /) и. (3.3)

Таким образом, AJn— ограниченный оператор, поэтому существует оператор etAj^ и

|| etAjntt || = || entJne-nUu || < ente"nt || и ||

—(п\ ОПр. tAl

и, следовательно, оператор Т\ = е п имеет норму

ЮТ^К(3.4)

Так как t

etB — I = ^ BeSB ds

О

для произвольного ограниченного оператора В» то

Т^и — « = J T^AJnu ds;(3.5)

О аналогично

. lim 1 [Т^л - 7^] и = T^AJ„u.(3.6)

Л^О "

Очевидно, JmJn = JaJm 1СМ- (ЗЛ)Ь откуда вытекает, что AJn коммутирует с AJm, а следовательно, и с etAJn. Поэтому, рассуждая как при доказательстве п. 3° первой теоремы, получаем

II [Г1« - 7-<,«] »II = II=

О

f [е(<- s> ^ Т^ [AJm — AJn] uds <

О t•

J || (AJn - AJ^ и || ds = 11| (ЛУл - AJ^ и || о

[цы воспользовались соотношениями (3.6) и (3.4)].

Покажем теперь, что из условий (2.4) и (2.5) вытекает соотношение (2.6). В самом деле, легко видеть, что Jnu— u — ^JnAu при u^D^Ay В силу (3.2) отсюда получаем ||/„«— и || ^ -^ || Аи || и Jnu—>u при п->оо и u^D(A\ Так как D(A) = X, то для каждого и £ X существует такой элемент ий £ D (Л), что ||« — «Е || < е. Имеем || JnU — « ||< || Л«в — «е || + II Un — I)(U~ U^ || < || J,^ — Ие|| + 2е, ибо || Jn— / |К КII + 11^ II 2. Следовательно, Jnu->u для всех и^Х. В частности, при u^D(A) имеем AJnu = JnAu-> Аи при п->со..

Итак, lim (— пАи^у = lim AJnu = Аи. Следовательно, при п -> соп -> ОО

u^D (Л) последовательность Т^и фундаментальна и существует такой вектор Ttu, что

Т,и = lim Т^и.

причем сходимость является равномерной по t в каждом конечном интервале. Ввиду того что ||г<л) |К1, п=1, 2, .... а многообразие D (Л) плотно в X, оператор Tt можно однозначно продолжить на все пространство X. Построенная таким образом полугруппа удовлетворяет условиям (2.1) и (2.2).

Переходя к пределу при п->оо в формуле (3.5), получаем t

Ttu — a~f TsAu ds при и £ D (Л).о

Вторая теорема Иосида доказана.

Однопараметрические группы унитарных операторов

В случае гильбертова пространства ^ особенно важную роль играют группы унитарных преобразований. Напомним, что унитарные преобразования являются автоморфизмами пространства §, именно отображают пространство % изометрически на себя. Если U — унитарное отображение, то U = U~\

Мы знаем, что операторы вида

е'^ = je^dEQ.'), где Н = J XdE(X), являются унитарными:

^еш1У= f^dE^ = J e-lw dE(X) = (elt»)-\

Очевидно, операторы

Ut = eUH,

где Н— самосопряженный оператор, образуют однопараметрическую группу: e4HeisH — ei (<+1)Я. бесконечно малой образующей этой группы является оператор 1Н.

М. Стоун открыл теорему фундаментального значения.

Теорема (Стоун). Каждая непрерывная однопараметрическая {полугруппа унитарных операторов Ut обладает инфинитезимальной образующей Л вида 1Н, где Н— самосопряженный оператор. Если Н= J ХбЕ{Х), то

U,= JeiadE(X).

Теорема Стоуна сразу же нашла весьма важные применения: через несколько месяцев после появления работы Стоуна [2] фон Нейман опубликовал первое доказательство так называемой квази- эргодической гипотезы-, доказательство фон Неймана мы приведем в § 3 гл. XX.

Теорема Стоуна играет важную роль в квантовой механике (переход от представления Шредингера к представлению Гейзенберга) и в теории уравнения теплопроводности. В последние годы Иосида нашел основанное на теореме Стоуна элегантное доказательство теоремы Ходжа из теории гармонических полей. Эти вопросы рассматриваются в дальнейших главах книги.

Изложим интересное доказательство теоремы Стоуна, принадлежащее К. Иосида.

Доказательство теоремы Стоуна. Полагая U_t= 1Г"\ = = Ut при 7^-0, получаем однопараметрическую сильно непрерывную группу (7/,), — оо < 7 < оо, унитарных операторов. Полагая в формуле (2.3) А — 1Н, получаем [так как || 77,11=1, то выполняется условие (2.1)]

^р у = IHUp = Ш^о при у £ D (77).

Следовательно, при и, -и ^D(Л)

{Ни, y=^{Utu, y)]<=J[^(a, U_ty\t=(={u, Ну,так что Н— симметрический оператор. Докажем, что Н = Н*. С этойцелью достаточно проверить, что дефектные пространства ^н» ^н

нульмерны, т. е. что R (НП) = R (Н— //) = §. Но как раз формула (2.5) при п=1 показывает, что ^ = R(A—1/) = = R ^у А — у /^ = R (И + if)- Пользуясь замечанием, сделанным в конце § 2, получаем также R(H— //) — §, Следовательно, оператор Н обладает спектральным представлением Н— J XdE(X).

Положим, как и в § 2, Jn — —п[Л— п/] = [^ — ~ Д] 1 тогда

AJn = iH\I—J 1Х\\ — ±/Х) dE(X).

exp I tlX (1—^"^) 1й£(Х)У =exp I tlX (1—^"^) 1й£(Х)У =Следовательно, имеем экспоненциальное представление

exp I tlX (1—^"^) 1й£(Х)У =

exp I tlX (1—^"^) 1й£(Х)У =

Ut,o= lim e^«y = lim п->оол->оо

= J° е1^ dE (X) у, ,—ОО

что и требовалось доказать *).

Дополняющие замечания

Теорема Стоуна была в последние годы обобщена на абелевые локально компактные группы (ср. например, Люмис [1]), причем показательную функцию еш заменяли непрерывными характерами группы G (определение характера см. ниже).

') Имеет место следующая теорема о предельном переходе к пределу под знаком операторного интеграла. Пусть /п(Х)->/(Х) при п->оо и

Имеются также обобщения на некоммутативные группы Ли. Иосида успешно применял свою теорию к параболическим уравнениям вида •

= Ахи (х, О, «(О, х) = ф(х), (5.1)

где Ах— некоторый эллиптический оператор, обладающий свойствами, позволяющими применять вторую теорему Иосида [2], [4], [5]1). Замыкание оператора Ах является инфинитезимальной образующей определенной полугруппы (7^). Решение задачи с начальным условием (5.1) получается в виде

и (х, /) = Т^ф (х), f> 0.

Здесь я хотел бы лишь упомянуть о чрезвычайно интересной тесной связи теории полугрупп операторов с (диффузионными) процессами Маркова и параболическими уравнениями.

Пусть Rn есть «-мерное риманово пространство (в частности, евклидово пространство £”). Однородным (во времени) процессом Маркова в пространстве R" называется однопараметрическое семейство „вероятностей перехода" P^t, х, Е), t>0 [Р(/, х, Е)— вероятность того, что частица, находящаяся в начальный момент в точке х, через время t окажется в (измеримом) множестве EcRn\, удовлетворяющее следующим условиям:

P^t-^-s, х, E) = JP(E х, dy)P(s, у, Е).r"

Процесс Маркова индуцирует в банаховом пространстве С (R") ограниченных и равномерно непрерывных на мужестве Rn функций однопараметрическую полугруппу операторов сдвига

(Tth^ ^’ Jf(y)P(t, х, dy).

r"

Для того чтобы бесконечно малый производящий оператор был дифференциальным (эллиптическим) оператором, нужно наложить дополнительные ограничения непрерывности. Если предположить, что

существуют трижды непрерывно дифференцируемая плотность р (t, х, у) меры P(t, х, Е) относительно объема dy в пространстве R" и предел

lim f d3(x, у)Р(^4-АЛ х, d^j f (Р (х, y)P(/-f-AA х, dy)l=0

[</(•,•) — расстояние в пространстве /?”], то существуют также пределы

а1ЧР х) = lim (A/HCy'-xV-xVHAi, х, dy'). Д^о

b1 (t, х) = lim (A/)-1 f (у^— x^P^t-^M, х, dy\ Д^о J R"

Здесь координаты берутся в некоторой локальной системе координат; (й^) образуют симметрическое положительно определенное тензорное поле. В силу однородности по времени коэффициенты al\t, х), Ы ^.t, х) можно взять не зависящими от переменной L

Производящий оператор полугруппы имеет вид

i,/-17-1

Теорема Гординга о представлениях группы Ли

Топологическое пространство, локально гомеоморфное «-мерному евклидову пространству Е", называется «-мерным топологическим многообразием G; 1^сть ф: О 5 g -> х £ Е" — гомеоморфное отображение окрестности VcG на окрестность QaEn; тогда функции xz = ф( (g), g^V, / = 1, .... «, где (Хр .... х„) = х = ф(^), называются локальными координатами, покрывающими окрестность V.

Будем говорить, что вещественная функция |: V Э g ~> I (g) С & является функцией локальных координат хххп класса Ск, если существует такая функция /^С(й)*), что в окрестности V справедливо тождество (по g")

l^^fix^g-)xn(g)').

Топологическое многообразие О называется многообразием класса Ch(k = 1, 2, ...), если каждой точке g^G можно поставить в соответствие множество вещественных функций Og, заданных в некото-

рых окрестностях точки g (различные функции определены, вообще говоря, в различных окрестностях точки g) и удовлетворяющих следующим условиям:

К классу Og принадлежат локальные координаты, покрывающие окрестность V (gl точки g.

Класс О , где gx— произвольная точка окрестности V (g), является множеством функций класса С локальных координат, покрывающих окрестность V (,g).

Если элементы класса Og являются аналитическими функциями локальных координат х,хп, то О называется аналитическим многообразием.

Определение. Группой Ли называется множество О, являющееся группой и одновременно аналитическим многообразием, причем групповая операция gxg^x— аналитическая функция, т. е. если через gl у = 1, ..., я) обозначить локальные координаты точки g группы О, то

(бл^г-1/=ф'(£г1gv ^ХSi) ^^^

где функции Ф' в окрестности каждой точки являются суммой сходящегося степенного ряда.

В 1900 г. Гильберт высказал предположение (знаменитая пятая проблема Гильберта), что всякая непрерывная и связная группа, являющаяся топологическим многообразием, представляет собой группу Ли. Эта проблема была решена положительно только в 1953 г. Глисоном, Монтгомери и Зиппином!) (см. Монтгомери, Зиппин [1]).

Представлением топологической группы О называется сильно непрерывный гомоморфизм группы О в группу линейных непрерывных отображений некоторого банахова пространства В. Обычно рассматривают гомоморфизм в группу унитарных преобразований некоторого гильбертова пространства.

Очевидно, однопараметрическая группа линейных преобразований, рассмотренная в настоящей главе, является представлением вещественной оси Е' как абелевой группы относительно сложения. Таким образом, теория однопараметрических групп является разделом теории представлений групп Ли. Из этой обширной, важной и постоянно развивающейся теории мы изложим только теорему Гординга.

Прежде чем переходить к формулировке, приведем несколько понятий и определений. Пусть е — единица, и пусть а—>Т (а)— представление группы G, Т (а) £ ,3? (В, В). Представление предполагается непрерывным в том смысле, что для каждого элемента и^В, Т (а) и—> • >Т(Ь)и, если а->Ь, причем Т (е) и — и. Пусть Л={а($)}—одно-

параметрическая подгруппа группы G:Aa.0. Как и в§ 1, определим оператор Тд:

Тди^=" Пт s~l(T (a(s))— 7) «

5->0

(если предел существует); в этом случае мы пишем u^D (Тд\ В связи с результатами теории Иосида можно ожидать, что множество DtT^ плотно в В. Возникает вопрос, является ли множество ® — ПЙ(ТД), А

где А пробегает все однопараметрические подгруппы, плотным в В. Положительный ответ содержится в следующей теореме.

Теорема 1 (Гординг). Пусть г — натуральное число или бесконечность, и пусть Вг — множество элементов пространства В вида

»(ф) = { V(g)T(g)udg. ф£С'(О), и^В. о

где dg— левоинвариантная мера на G [m. е. d (sg) — d (g) для произвольного s^G], а Со (О) — совокупность функций класса СТ на О, имеющих компактные носители. Тогда все множества Вг плотны в В, Br+1cD (ТА) и TABf+1cBr для каждой однопараметрической группы А.

Доказательство. Пусть (tv)” — последовательность таких неотрицательных функций, что: l^pv£C0”(G), 2°j*q>v(g)dg=l и 3° о

для всякой окрестности Q единицы

У Фа (g) dg — Q при k > К (Q) > 0.

O\Q

Имеем: и (фй) £ Вг и и (фд) -* и при k -* оо, ибо для всех и и г имеет место равенство

иШ — и = и^ — Т(^и = у Фк(^т (g~)udg —

а

— / ФкиПт ^udg = J Фь^\Т ^—T<e>j\ udg = ао

= У Фа (g) 171 (^) — Т (^J и dg.

Q

С другой стороны, при заданном и существует такое й, что ЩТ^)— — Г(е)]«||<е при ££й. Следовательно,

II “ (Фа) — «II < е / Фа (g) dg = е,

Q

и первая часть утверждения (Вг плотно в В) доказана.

Переходим теперь к доказательству второй части утверждения. В силу инвариантности меры dg при s =# О имеем

^a^ts^T^udg — J Ф^Ша ^g^udg; оа

отсюда

s"47(« ($) — /]«(ф) = / ^'Чф^-^х)^)— W^T^udg.

G

Поэтому при $->0 получаем'

ТАи (ф) = «(фл), где

опр. ф(в"’(5) g) — ф(§) гч>а^ = 11т~т€С0(О),

когда ф££?о+1(0), что и требовалось доказать.

Аналогичную теорему можно доказать для полугрупп с единицей и даже для произвольных дифференцируемых многообразий.

Замечание. Множество ®, о котором речь шла в теореме, называется пространством Гординга.

Читатель, интересующийся представлениями топологических групп, может перейти к гл. XXI, в частности к § 7 гл. XXI.

Унитарные представления групп Ли.Представления алгебр Ли.

Связи с квантовой механикой

Теперь мы приведем важное понятие алгебри Ли и представления (посредством неограниченных операторов) алгебры Ли, а также обертывающей алгебры. Эти понятия имеют важное значение в квантовой механике. Мы вынуждены ограничиться лишь кратким введением в эту большую и чрезвычайно интересную, но трудную область, находящуюся в состоянии непрерывного развития..

Касательная плоскость Г в единице е группы Ли G является не только n-мерным векторным пространством. С этим пространством естественным образом связана структура алгебры Ли. Именно каждому элементу АГ £ Г можно взаимно однозначно поставить в соответствие однопараметрическую подгруппу X (O = exptX, t^E1, для которой

X является касательным вектором в точке е. Вектору X можно, далее, поставить в соответствие дифференциальный оператор, который мы будем обозначать также через X. Оператор X определяем следующим образом:

<хп (£) °^' ПтГ1 [/(X (t) g^-f (g)], / е С” (О).

Очевидно, оператор X является правоинвариантным, т. е. (R^X) f = ^(XRy)f, /ЕС^О), где (Яу/)(£) = /(£У), У ^ О. Паре операторов X, Г на группе О можно поставить в соответствие их коммутатор \Х, У], заданный формулой

IX, ¥\/ = Х(УП-У(ХП, X. Ге Г, /6^(0).

Легко проверить, что оператор \Х, Г] также является дифференцированием, т. е.

IX. Г](/.ф) = ф[^, К]/ + /[^, Г]ф, /,Фес”(О)

и принадлежит Г.

Пусть Xv ..., Хп—база пространства Г. Ввиду того что VX^ X к\ £ Г, имеем

[^Ь ХД = 2 clfcXvV=1

Числа c{fe называются структурными константами алгебры Г (или группы О). Легко проверить, что коммутаторы удовлетворяют следующим соотношениям:

IX, У] —— [У, ХШХ, У],/] + [[У, Z], ^J + [[Z, -^],У]=0, (*)

Правоинвариантной обертывающей алгеброй группы О называется ассоциативная алгебра 8, порожденная операторами X £ Г. Таким образом, элементами § являются полиномы, составленные из операторов Х^Г. Умножение в 6 связано соотношениями

Х£Хк = ХкХ£+ ^cLXv

V=I

Более общим образом обертывающей алгеброй алгебры Г (группы G) называется ассоциативная алгебра с образующими Xv Х2,. .. ..., Хп, связанными только что приведенными соотношениями.

Всюду в дальнейшем 8 подразумевается правоинвариантной обертывающей алгеброй группы О.

Можно дать более общее определение, не требующее привлечения группы Ли О. Именно, алгеброй Ли Г называется векторное пространство (над некоторым телом) с операцией \Х, У], которая является билинейным отображением Г X Г-> Г, удовлетворяющим условиям (*).

Очевидно, всякая ассоциативная алгебра с операцией\Х, К] = XY — YX является алгеброй Ли.

Определение. Представлением л алгебры Ли Г называется гомоморфизм алгебры Г в множество (вообще говоря, неограниченных) операторов некоторого банахова пространства В, обладающее общим инвариантным линейным подмножеством D, плотным в пространстве В-.

ГЭ А->л(А)Е^(Я, 5),

л ([А", К]) и = (л (А) л (К)—л(К)л(А))«(7.1)

для всех u^D, причем л (А) Ос О, D = B.

Представление алгебры Ли группы О можно расширить до представления л обертывающей правоинвариантной алгебры £ группы Ли О. В обертывающей алгебре £ существует инволюция

такая, что А+ — —А для всех А^Г. Элементы L, для которых Д = Д+, называются симметрическими. Из теоремы Гординга непосредственно вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Каждое (сильно непрерывное) представление группы Ли О, G^ g->Т (g^S” (В, В), индуцирует представление алгебры Г группы G ^определенное на пространстве Гординга ® представления Т(-)), заданное формулой л(А) = = dT(X), А^Г, причем

ДТ(Х)(иШ= Т(Х^)и = - V\m t"4T(X(t))—I)u(^). (7.2) оо где

Т(^)и = J ф (g) Т (g) и dg = и (ф), Ф £ С” (О), и^В. G

Представление X->dT(X) называется дифференциалом представления Г(-)1). В частности, для элементов базиса (^)”=1 имеем

^([А/, А*])^ = 2с7ййТ(А¥)^, уЕ®.

Нетрудно показать, что в случае унитарного представления О Э g -* и (£) € ^ (Ф. ^) операторы Аь =' idU(Xь), I = /— 1, симметричны. Следовательно, унитарное представление группы Ли

индуцирует представление алгебры Ли Г симметрическими операторами [dT (X) кососимметричны] на подпространстве Гординга ®.

Докажем теперь следующее простое утверждение.

Теорема 2. Пусть М^Ш. Для произвольных ф, ф^Сд°(О) имеет место тождество

(dU (Л4) и (ф), и (ф)) = (и (ф), dU (УМ ь) и (ф)).

а, следовательно, для произвольных «, у^® имеем (dU (М) и, о)“= (и, dU^M^-uY

В частности, оператор dU (М) симметричен на подпространстве Гординга ®, если М = М+.

Доказательство. Используя определение М+, докажем сперва соотношение для М = X £ Г. В этом случае достаточно доказать, что

^dU^X^u, v) = (u, dU(X+)v) = — (u, dU(X)vY (*) Однако из теоремы Гординга вытекает

(dlf(X)u, -и) = lim (^-(17 (X (t))— /) и, ^ =

/U*(X(t)) — 1 \/ U(X(—0) — / \

= lim и, у = 11m \и, ——v , ■■у =

./^0 \1/Z>0 \1/

= lim (и, —= — («, dU (A) v),

s->0 \s )

что и требовалось доказать.

Пусть теперь

М= 2 Са аХа ... Ха ;

тогда в силу определения оператора М+

М+=2 ^...а^.-.Х^

Поэтому при и, V ©

(ДЩМ+)и, У) = ( 2 Са^.а^и^Х*,) ... dU{X^)u, у) =

Oj ... а

dU (Аа ) . .. dU (ХаЗ ^ = (и. dU -у),

и, таким образом, теорема доказана.

Возникает естественный вопрос: когда операторы dT (L), L^6 в существенном самосопряжены, т. е. когда их замыкания являются самосопряженными операторами?

Уравнение состояния квантовомеханической частицы естественно приводит к унитарному представлению некоторой группы Ли, именно группы Галилея в случае нерелятивистской теории и группы Лоренца и случае релятивистской частицы. (Некоторые математики считают, что релятивистская частица является унитарным представлением группы Лоренца.)

Структурные константы этой группы тесно связаны соотношениями перестановочности Гейзенберга. Дело в том, что некоторые симметрические элементы (L = L+) обертывающей алгебры § группы Лоренца допускают динамическое истолкование (например, момент, спин и т. д.). Дифференциал dU (L), L^b представляет эти симметрические элементы посредством симметрических операторов на подпространстве Гординга ® гильбертова пространства состояний >£>.

Эти операторы удовлетворяют „соотношениям Гейзенберга". Для того чтобы эти величины были наблюдаемыми, они должны быть в существенном самосопряженными. Тогда спектральная теория этих операторов будет допускать физическую интерпретацию: „вероятности перехода", „правила отбора" и т. д.

К сожалению, здесь мы сразу же сталкиваемся с серьезными трудностями: простые примеры показывают, что не всякий симметрический оператор L — L* £& обладает в существенном самосопряженным представителем (ср. упражнения и дополнения). В следующем параграфе мы познакомимся с важными теоремами, содержащими необходимые и достаточные условия для того, чтобы операторы dU (L), L = L*, были в существенном самосопряженными.

Квантовая механика поставила проблему, в известном смысле обратную: в каких случаях представление алгебры Г (односвязной группы Ли G) в существенном самосопряженными операторами порождается унитарным представлением ОЭё^^^ и когда это представление однозначно определено?

В дополнениях мы приведем (инфинитезимальный) критерий, который дает ответ на поставленный вопрос.

. § 8. Признаки самосопряженности (в существенном) представителей dU (L)

Результаты настоящего параграфа принадлежат Э. Нельсону и В. Стайнспрингу (ср. Нельсон—Стайнспринг [1]). Прежде чем переходить к доказательствам, мы приведем ряд простых признаков самосопряженности в существенном, а также введем понятие положительно определенной функции на группе О.

Определение. Симметрический оператор А называется в существенном самосопряженным, если его замыкание А является самосопряженным: (Л)* = Л.

17 К. Морен '

Лемма 1. Оператор Л является в существенном самосопряженным тогда и только тогда, когда Л = Л*.

Доказательство. Пусть оператор Л в существенном самосопряжен. Тогда Л = (Л)* = Л* = Л*. Наоборот, если Л = Л*, то (Д)* = Л**=Л (ср. упражнение 1).

Лемма 2. Если оператор Л симметричен, а оператор (Л 4- Г)-1 является ограниченным и имеет плотную область определения, то оператор Л в существенном самосопряжен.

Доказательство. По условию R (Л -)-/) = R (Л + /) = ф, поэтому оператор Л-|-/ самосопряжен (ср. гл. V, § 3). Следовательно, оператор Л = (Л4-/) — / самосопряжен.

Из спектральной теоремы вытекает следующее предложение.

Лемма 3. Если Ak=. A*k, А = 1, 2, причем разложения единицы операторов Лй коммутируют, то операторы Ах ± Л2 в существенном самосопряжены.

Лемма 4. Если оператор В в существенном самосопряжен и В>0, то R(I + B) = ^.

Доказательство. 1 4-В является самосопряженным положительно определенным оператором, а поэтому R Уz 4~ В) = ф.

Лемма 5. Пусть 3)— линейное множество, плотное в пространстве $, и пусть 7й'3)с:3) = 3)(7й), А= 1, 2. Предположим, кроме того, что ТхсТ2 и что оператор Т{1\ в существенном самосопряжен. Тогда TX = T*Y

Доказательство. Достаточно доказать, что график О(72) оператора 72 не содержит отличного от нуля элемента, ортогонального [в смысле скалярного произведения в пространстве О(72)] к графику 0(7^ оператора Тх. Предположим, что это не так: пусть {«, у} £ О(72), т. е. у=72«, и пусть {«, у} | GTь т. е. (у, «)+(7 у, у)=0 для всех у £ 5). В частности, при у = Т^х тождественно относительно х£3) имеем: 0 = (72х, я) + (7172х, и) —(х, у)4-(7172х, у) = = ((/ + ТХТ^ х/и). Однако в силу леммы 4 область значений оператора / 4- ТХТ2 плотна в пространстве ■§, потому что ТХТ2 ^ 0. Следовательно, v — 0, а потому (у, м) = 0 для всех у £ 3), так что « = 0.

Введем теперь понятие положительно определенной функции на (произвольной) группе О, играющее важную роль в теории представления групп (ср., например, Наймарк [2]).

Определение. Функция G^ g^- f ^^С называется положительно определенной, если для каждой конечной системы элементов gv .... g„ группы G и произвольных комплексных чисел Хр ..., Хп имеет место неравенство

I, Й=1

Всякое (слабо) непрерывное унитарное представление U (•) произвольной топологической группы G определяет непрерывную положительно определенную функцию

/ (g) °— (^ (g) v. у), у € Ф-(8.4)

Действительно,

2 / UkgiXWi = 2 (U(gb) LT' (gi) V, v) Х/Х» = z, Ai.h

После этих приготовлений переходим к выводу результатов Нельсона и Стайнспринга. Имеет место следующее интересное предложение.

Лемма 6. Пусть /^С^О)— положительно определенная функция на группе Ли G. Пусть К — элемент обертывающей алгебры £. Тогда (K+Kf)(e')'^Q.

Доказательство. Дифференциальный оператор К можно представить в виде

(Кф)(а) = Иш ^C^N^cpCg^N^o) ^ОТ.с^оу N-»oo k

Числа Ck (N) и элементы gk (N) можно выбрать так, что

(7<+ф)(о) = lira ^C^N^^g-1 (N)o)

N^Xo q

И

(^/<Ф)(о) = lim ^C^C^N^Cg^g-^N^GXN->co q;k41

Тогда в силу положительной определенности функции /

^КЛ (е) = Дт 2 Ck(N)QqW/(gh(N)g-4N)p^

Теперь мы можем высказать следующее утверждение.

Теорема 1 (Нельсон и Стайнспринг). Пусть g-* U (g) (сильно непрерывное) унитарное представление группы Ли О. Если L^b — гипоэллиптический оператор, то

dU^ = (dU (L) )*;

при этом оператор L£& называется гипоэллиптическим, если каждая функция и, интегрируемая с квадратом на группе О и обладающая тем свойством, что (/др, и) — 0 для всех ф£С£°(О), имеет производные всех порядков').

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, именно предположим, что

1°. L = KAK, К^.

Докажем, что в этом случае оператор A — dU(L) является в существенном самосопряженным.

Ввиду того что dU (•) является представлением обертывающей алгебры £,

А = dU (К+К) = dU (К+) dU (К).

Отсюда при и £ ®

(Au, u) = (dU^K^dU(K)u, u) = (dU(K)u, dU(K)u)>0

(см. теорему 2 § 7).

Покажем, что область значений оператора А-\-1 плотна в пространстве ^, откуда на основании леммы 2 можно будет заключить, что оператор А является в существенном самосопряженным. Предположим, что вектор у ортогонален к множеству К(А-\-Г). Тогда для всех ф £ С” (О) имеем

0 = ((Л+/)1/(ф)у, у) = J (L-)-I)<p(g)(U (g)'V, v)dg.

Следовательно, так как оператор L-\-I (гипо)эллиптичен, то

(L + /) (U (g) у, у) = 0, (//(•) у, у) £ С=° (О).(8.5)

Однако функция g->(U(g)v, у), как нам известно, положительно определена, поэтому в силу леммы 6

' L(U( • )у, у)(е) )>0.

') Эллиптический оператор является частным случаем гипоэллиптического; при этом эллиптичность определяется обычным образом, если ввести локальные координаты.

По при v + 0 имеем ([7(e) у, у) = || у ||2 > 0, что противоречит соотношению (8.5). Таким образом, у = 0.

Переходим теперь к рассмотрению (общего) случая 2°. Пусть L^S — произвольный (гипо)эллиптический оператор. Из п. 1° вытекает, что dU {Ь+L} =■ dU (Ь+) dU (L) является в существенном самосопряженным оператором. Теперь утверждение теоремы вытекает из леммы 5 [ибо dU(L+) с (</(/(/.))*].

С помощью теоремы 1 мы докажем основную теорему настоящего параграфа.

Теорема 2 (Нельсон — Стайнспринг). Пусть 0^ g-* -*U^— унитарное представление группы Ли О. Пусть L = L+£fe— эллиптический оператор. Если оператор Af£§ обладает тем свойством, что оператор dU^M^M^ коммутирует с оператором dU(Д, то dU(M+) = (dU(AI))*.

Доказательство. Пусть г — натуральное число, большее порядка дифференциального оператора АГ, и пусть А °— dU ^'\ В°— dU (М+М) = dU^M^dU (М). Положим С = А^-В. Ввиду того что оператор L эллиптичен, эллиптичен также и оператор С, а следовательно, эллиптичен оператор С1 -|- Af+Af, ибо порядок Ст выше порядка Af+AL Таким образом, А и С являются эллиптическими операторами.

Из теоремы 1 вытекает, что операторы А и С в существенном самосопряжены. Так как оператор А коммутирует с оператором В, то он коммутирует и с оператором С. Заметим, что замыкания А и С обладают перестановочными разложениями единицы. Действительно, ограниченные операторы (7 +А)""1 (7 +С)-1, Цу-Су^х ХЦ -V AYX равны на области значений оператора (/-[-А)(/-}-С). Но (14~ А) (I + С) представляет собой симметрический эллиптический оператор, а поэтому в силу теоремы 1 является в существенном самосопряженным. Кроме того, А-у С 4-АС ^-О и, следовательно (лемма 4), оператор / + А4-С4-АС имеет плотную область значений. Итак, перестановочность разложений единицы замыканий А и С доказана.

Теперь достаточно доказать, что оператор В — dU (Af+) dU (Af) является в существенном самосопряженным. Действительно, если мы это докажем, то, учитывая включение dU^M^c^dU (Af))* и применяя лемму 5, получаем утверждение теоремы. Положим В, = А— С. Из спектральной теоремы следует, что Вх является в существенном

самосопряженным. Теперь достаточно проверить, что —BtcB, так как симметрический и замкнутый оператор В» будучи замыканием самосопряженного оператора — Bv является самосопряженным.

Пусть у £ 5) (В^ = © (Д) П © (С). Из замкнутости оператора С вытекает, что существует такая последовательность (уя), что

®Э‘ип~*'и> С-Од-^С-и.(*)

Для произвольного элемента «£® выполняется неравенство Ц Аи || <; || Си ||; действительно, так как А = dU (Lr) dU ^Lr\ то

(Си, Си) = ([Д + Д1н, [Д + В1н)=|| Лн||2+ ||Ви||2 +

+ 2(В</С(Г)н, dU^uY

Здесь второе и третье слагаемые неотрицательны (ибо В^-0), а поэтому || Ди || ^ || Си ||. Полагая н = и„ — ит, имеем

|| Ди„--Дит||<||Сип —Сит||->0при т>п->оо.

Следовательно, последовательность (Ди„) сходится, а так как оператор А замкнут, то

Дуя->Ду.(**)

Из соотношений (*), (**) вытекает, что

Вия = Суя — Дип -> Си — Ду = — В^и,

а поэтому —Bvv = Bv, т. е. — ВхсВ, на чем доказательство заканчивается.■

Из доказанной теоремы вытекают важные следствия.

Следствие 1. (Обобщение теоремы Э. Сигала.) Пусть G — произвольная группа Ли. Если М — элемент центра алгебры S (т. е. М коммутирует с каждым элементом алгебры §), то dU (M*) = (dU (Af))*. В частности, если Л1 = Л4+, то dU (М)— в существенном самосопряженный оператор.

Доказательство очевидно, поскольку оператор М коммутирует с эллиптическим оператором, принадлежащим &.

Следствие 2. Пусть О — абелева или компактная группа (тем самым в & существуют центральные симметрические элементы). Тогда для каждого элемента Af^g имеет место утверждение следствия 1.

Следствие 3. Пусть G— полупростая группа Ли (это означает, что алгебра Г является полупростой). Из теории полупростых групп известно, что группа G содержит максимальную компактную подгруппу К (отличную от тривиальной подгруппы е).

Центральный элемент второго порядка алгебры & называется оператором Казимира и имеет вид Д1-|-Д2, где At является центральным эллиптическим элементом алгебры подгруппы К, а оператор Д14~А2 эллиптичен на группе О. Для каждого оператора Af^S, коммутирующего с оператором \х (а, следовательно, также с Дх —j—Д2), имеет место соотношение

dll(M+) = (dU(M))\

Дальнейшие применения мы приведем в дополнениях.

Пусть Ох—группа Ли, содержащая данную группу Ли О в качестве подгруппы, и пусть Ох 3 gx -> Тх (g^ — представление группы О,. Пусть Т(-) есть сужение представления ГД-) на группу О. Пространство Гординга ®t представления Тх(-) часто бывает полезным ввиду следующего факта.

Лемма (Нельсон — Стайнспринг). Пусть g-*T (g) — сильно непрерывное представление группы Ли О в банаховом пространстве 23 и пусть А— линейный оператор (в пространстве представления), обладающий следующими свойствами:

1° его область определения ®(Л) плотна и инвариантна относительно операторов Т (ф), ф£С”(О);

2° А(Т(ф)у) = Т(Аф)у при у5®(Л), где L^S.

Тогда A^dT ^L).

Доказательство. Пусть S) (Л) Э уя-> у ^ 23, а->оо. Для каждого ф£С5°(О) имеем

А (Г № ®„) = т W Vn-VT (£ф) у,

что доказывает наше утверждение.

Читатель заметит, что предположения леммы будут выполнены, если положить А = dTx (L), ® (Л) = ®Р Все три следствия переносятся па случай операторов А, заданных на пространстве Гординга ®! представления объемлющей группы ОР В частности, имеем следующее важное предложение.

Следствие 4. Если X— элемент алгебры Ли Г группы Gp а р— какой-либо вещественный многочлен, то оператор dU^p^lX)) в существенном самосопряжен.

Доказательство. В качестве О возьмем однопараметрическую группу, порожденную элементом X. Наше утверждение вытекает из следствия 2 и леммы. В частности, IX является в существенном самосопряженным оператором..

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что всякая положительно определенная функция / на группе О обладает следующими свойствами:

а) /(е)>0, b) Hg-^-flg). с) |/(g)|</(e).

Указание. Полагая в определении положительной определенности функции / gx = g, g2 = e, Х1 = 1, Х2 = Х, получаем неравенство

/(е)4-/(£)Х+/0Г1)*+/(е)1М2>0.

Соотношение а) получается при X = 0.

В случае соотношения с) рассмотреть две возможности: / (е) = 0 и /(е) > 0.

Доказать следующую теорему. Пусть g~>U(g)— сильно непрерывное представление группы Ли Q. Пусть оператор ££& обладает тем свойством, что (dU (L) ^’cS, где В—вполне непрерывный оператор. Тогда для каждой функции /£Ь\С) оператор U (/) является вполне непрерывным.

Указание. Заметим, что при ф£С”(С) имеет место равенство U (ф) = BU (Аф) (см. примечание на стр. 255). Для получения утверждения теоремы достаточно аппроксимировать оператор U (J) операторами вида U (ф).

ДОПОЛНЕНИЯ

Приведенный ниже пример показывает, что не всякий представитель dU (L) симметрического оператора А = А+£& является в существенном самосопряженным.

Пусть О — трехмерная группа (коммутационных соотношений Гейзенберга) вещественных матриц вида

/1 а Ь\0 1 с |\0 0 1/

В качестве пространства представления возьмем пространство А2 (В1). Рассматриваемая группа обладает (неприводимым) представлением, производящими операторами которого являются djdx, lx и I. Следовательно, обертывающая алгебра представляется всевозможными дифференциальными операторами с полиномиальными коэффициентами. Как известно, среди них имеются симметрические операторы с различными индексами дефекта.

Теперь мы приведем (без доказательств) ряд результатов Э. Нельсона, имеющих важное значение в квантовой теории и теории представлений групп.

Как известно, алгебра Ли ® определяет с точностью до изоморфизма односвязную группу Ли О, имеющую ® своей алгеброй Ли. Нижеприводимая теорема содержит условие, достаточное для того, чтобы заданная алгебра Ли кососимметрических операторов Г (оператор А называется кососимметрическим, если оператор 1А является симметрическим) индуцировала единственное унитарное представление группы Ли О.

Теорема (Нельсон). Пусть Г — алгебра Ли кососимметрических операторов в гильбертовом пространстве ^, обладающих общим инвариантным линейным многообразием 3), плотным в пространстве £>. Пусть Xv .... XN—базис алгебры Г и пусть

А —' *? + ...+X2n.

Предположим, что оператор А в существенном самосопряжен. Тогда на пространстве % существует единственное представление С3§-*и^ группы Ли G, для которой Г является алгеброй Ли, такое, что для каждого Х£Г имеет место равенство dU(X) = X.

Ниже приводится следствие, в котором мы освобождаемся от предположения о том, что существует плотное множество, инвариантное относительно алгебры Г.

Следствие 1. Пусть Г — вещественная алгебра Ли и пусть Г С АГ->П (АГ)— представление алгебры Г кососимметрическими операторами П(Л"). Это означает, что существует плотное линейное подмножество Qc^>, такое, что для любых X, У £ Г, 3}(П(Х)П(У))оС, отображение П линейно и

П([АГ, У])ы = ПС¥)П(У)ы — П(У)П(Х)и, u^Q.

Пусть, далее, Ху .... XN — базис алгебры Г и пусть сужение А оператора ГЦА^У^ . .. -|-П(Л'„)2 на множество Q является в существенном самосопряженным. Тогда существует единственное унитарное представление g-^U^ группы Ли О, имеющей Г своей алгеброй Ли, такое, что

dU(X) = T\\X)

для всех X £ Г.

Будем говорить, что самосопряженные операторы Л и S сильно коммутируют, если коммутируют их разложения единицы (или, что эквивалентно, коммутируют их преобразования Кэли СД и Св).

Если это имеет место, то оператор С = Л-|-/В называется нормальным. Следующее следствие содержит важный признак сильного коммутирования, а следовательно, нормальности оператора.

Следствие 2. Пусть Л и В — симметрические операторы в пространстве ф и пусть Q — линейное плотное подмножество в $, обладающее следующими свойствами; '

1° Q содержится в областях значений операторов

А, В, АВ, ВА, Л2, В2. .

2° АВи = ВАи для всех u^Q.

Если сужение оператора А^-^-В2 на множество Q является в существенном самосопряженным, то операторы А и В в существенном самосопряженные и их замыкания А и В сильно коммутируют.

Доказательство вытекает непосредственно из следствия 1: достаточно выбрать в качестве Г двумерную алгебру Ли Г, натянутую на X, У, и положить

П ^aX-VbY") °= ЦаА + ЬВ), а, b^EV

Предыдущие признаки содержали достаточные условия существования унитарного представления. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие.

Следствие 3. Пусть Xv ..., XN — базис вещественной алгебры Ла Г односвязной группы Ли О и пусть $)— линейное плотное многообразие в гильбертовом пространстве ф. Пусть Г5 2С->П(Л') — представление алгебры Г на множестве 3) кососимметрическими операторами. Тогда унитарное представление g-U^ группы G в пространстве Q, для которого ® является множеством бесконечно дифференцируемых векто- ров1) и для которого dU (X) = П (X), Л'^Г, существует тогда и только тогда, когда оператор

лоп£.П(^1)2+ ... + П(^

является в существенном самосопряженным и ^— (} ^{Ап).

л=1

Исходя из следствия 2 и теоремы Сигала, получаем следующее предложение, полезное в теории представления групп Ли.

Теорема 2 (К. М о р е н). Пусть О 3 g-* U (g)— унитарное представление группы Ли G и пусть Z—центр обертывающей алгебры & {центром алгебры S называется подмножество элементов S, коммутирующих с каждым элементом §). Тогда для любых симметрических элементов L, M^Z самосопряженные операторы dU(L) и dU (М) сильно коммутируют.

Очевидно, каждый оператор вида dU {L{ коммутирует с каждым оператором U(g), g^,G.

ГЛАВА XI

Основная теорема о слабых решенияхэллиптических систем. Функция Грина

В § 1 мы приводим определение слабого решения эллиптической системы, а также доказательство так называемой основной теоремы о слабых решениях. Применяя основную теорему, в § 2 мы доказываем теорему Браудера об итерациях резольвенты самосопряженного расширения эллиптического оператора. В § 3 изложено современное определение функции Грина как ядра резольвенты. Оказывается, что так определенная функция Грина обладает всеми свойствами классической функции Грина.

Основная теорема

Определение. Слабим решением системы Лц = ц, где т] — заданная функция из L2’r(Q„) (Q„— область «-мерного пространства, возможно, и неограниченная), мы будем называть функцию и, для которой

(и, Д+ф) = (т|, <р) для всех ф£Со'г(Ол), (1.1) где о — порядок дифференциального оператора А, а А+— оператор, формально сопряженный с оператором А. [В этом определении можно ограничиться функциями ф класса С”’т (й„).]

Классическое решение [принадлежащее классу Ca’r(Qn)] является слабым решением, так как если Аи = т\, то (Аи, ф) = (т], ф) и, производя соответствующее интегрирование по частям, получаем соотношение (1.1). Однако слабое решение может не быть дифференцируемым, и поэтому, вообще говоря, оно не является классическим решением.

Применение методов гильбертова пространства к теории дифференциальных уравнений часто приводит к получению слабых решений. В связи с этим возникает важный вопрос о том, при каких условиях слабое решение является классическим. Следует обратить внимание на то, что, поскольку слабое решение определено с помощью скалярного произведения в 13*r (Q„), т- е- с помощью интегрального тождества, его изменение на множестве меры нуль не нарушает его свойства „быть слабым решением". Другими словами, слабое решение определено лишь с точностью до множества меры нуль или, иначе

говоря, слабое решение — это класс интегрируемых функций, удовлетворяющих тождеству (1.1).

Поэтому поставленный выше вопрос следует понимать в том смысле, что требуется выяснить, когда слабое решение почти всюду совпадает с гладкой вектор-функцией, точнее с вектор-функцией из Ga,r(Un) (как обычно, С°’т (йД обозначает совокупность г-мерных векторных функций на Qn, для которых существуют и непрерывны все производные порядка^ о). В дальнейшем мы будем говорить, что данное слабое решение является решением класса К, если оно эквивалентно элементу из класса К.

После этих приготовлений можно высказать следующую теорему ').

Основная теорема (о слабых решениях эллиптических систем) (К. Морен [2]). Пусть

Аи°— 5 а“ (х) £)°ы = ц(1.2)

|а|<а71х '

— эллиптическая система г уравнений, с гладкими коэффициентами. Мы предполагаем, что элементы матрицы аа = (а“к (х)), /, k— 1г, принадлежат классу Са+|“'(йп) при | а | < а, а при |а| = о — классу стах(°+2’2а>(Цд п0 определению эллиптичности det (aik(x, ^^О при x£Q„ и вещественных £=£0; при этом alk[x, у = 2 «чц^ = ^хх V„nY Для каж- |а|=а

дой точки x£Q„ существует такая окрестность Ut(x) [на-пример, шар ^[х, е) с центром х и радиусом е] и две квад-ратные матрицы г(х, у) и s(x, у) порядка г, заданные намножестве Ue(xyX U^x), что если и — слабое решение системыAu = i\, где ^^1^’г (^п)<

то

почти всюду в ^(х, е/2) имеет место равенство

UW= У ы(х)г(х, y)dx4~ J t](x)s(x, y^dx,зс(х,юа? (Л в)

где

Тт

onp. Х1onp.

(«Нг =2j VvO<ru\2 W

v=Iv=l

*) Первые результаты относительно гладкости внутри области слабого решения эллиптического уравнения принадлежат С. Л. Соболеву, Катчио- нолн, Г. Вейлю. Общие утверждения относительно внутренней регулярности получены различными методами рядом математиков: Л. Шварцом, Фридрих- сом, Браудером и др. — Прим. ред.

если o>nj2, то u^Cl,r(Qn), / = [о—п/2];

если т^С1'' Фл) (достаточно даже, чтобы выполнялось условие Пльдера), то и^С0,г(ЙП) и является классическим решением уравнения Да = я;

матрица г регулярна, т. е. rik(C^fx^X^lx, 8)). а матрица s(x, у) имеет особенность вдоль диагонали х = у, точнее, ..„i.iai

Л|а| Ь Iг|с /у у\ о

где RP(U) означает класс квадратных матриц порядка г, элементы toik(x, у) которых непрерывны в UXU вне диагонали; при р > 0, или р = 0, или р <0 функции соответственно ®ik(x. у)||х— у||р, или tolk(x, у)/1п||х— у|], или ®lk(x, у) являются равномерно ограниченными.

Замечание. Прежде чем переходить к доказательству, обратим внимание на то, что утверждения Ь) и с) являются следствиями предложения а): интегралы в правых частях формулы в п. а) обладают свойствами, перечисленными в п. Ь) и с).

Читатель, знакомый с теорией эллиптических уравнений, заметит, что матрица s(x, у) обладает свойствами фундаментального решения системы Аи = 0 ^например, фундаментальным решением уравнения п

Лапласа 2 д2ы/дх; = 0 является функция С||х— уЦ2-", п>21.

Доказательство основано на следующем результате Я. Б. Лопа- тинского [1].

_dj«l+l^dx“ndy,‘ • • • ду^П_dj«l+l^dx“ndy,‘ • • • ду^ПЛемма. Для каждой точки х £ЙП существу ют окрестность ^(х, е) и квадратная матрица ш(х, у) порядка г (нормированное фундаментальное решение системы Д+ы = 0), обладающие следующими свойствами;

_dj«l+l^

dx“ndy,‘ • • • ду^П

_dj«l+l^

dx“ndy,‘ • • • ду^П

дхА • •дхА • •6 ^л+|а|+|Р|-а (вУС (X, 8))(|а| — <4-}-...

дхА • •

дхА • •

Доказательство основной теоремы. К пунктам а) и d). Из определения слабого решения вытекает тождество

J и^ Ax^Wdx= J 'и(г)'ф(г)йг, ф 6 Cg-г (^ (х°, е)).ЯС (х, е)ЯС (х, е)(1.5)J и^ Ax^Wdx= J 'и(г)'ф(г)йг, ф 6 Cg-г (^ (х°, е)).ЯС (х, е)ЯС (х, е)(1.5)Пустьгде причемИмеемПустьгде причемИмеемМ)- У Ре(1|у — хЦ)а(х, y)<p(y)dy,Ж(х, е/2)М)- У Ре(1|у — хЦ)а(х, y)<p(y)dy,Ж(х, е/2)Ф 6 С”' r ^ (X, е/2)), Ре 6 С°° (0. оо).Ф 6 С”' r ^ (X, е/2)), Ре 6 С°° (0. оо).Ре (О —Ре (О —0101приприприприеТ*еТ*

J и^ Ax^Wdx= J 'и(г)'ф(г)йг, ф 6 Cg-г (^ (х°, е)).

ЯС (х, е)ЯС (х, е)

(1.5)

J и^ Ax^Wdx= J 'и(г)'ф(г)йг, ф 6 Cg-г (^ (х°, е)).

ЯС (х, е)ЯС (х, е)

(1.5)

Пусть

где причем

Имеем

Пусть

где причем

Имеем

М)- У Ре(1|у — хЦ)а(х, y)<p(y)dy,

Ж(х, е/2)

М)- У Ре(1|у — хЦ)а(х, y)<p(y)dy,

Ж(х, е/2)

Ф 6 С”' r ^ (X, е/2)), Ре 6 С°° (0. оо).

Ф 6 С”' r ^ (X, е/2)), Ре 6 С°° (0. оо).

Ре (О —

Ре (О —

0

1

0

1

при

при

при

при

е

Т*

е

Т*

ф(х)= У [ре(|1 X — у||) — 1]ю(х, у)ф(у)й?у +

ЯС (х, е/2)

4- у ®(х, у)Ф(у)йу.

ЯС (х, е/2)

В силу (1.4)

Д^ф(х)= у A?([pg(||x —у||)—1]ю(х, у)|ф(у)с?у+е(х)ф(х).

ЯС (х, е/2)

(1.6)

На основании теоремы Фубини и тождеств (1.5) и (1.6)

У Т](х)ф(х)ЙХ =

ЯС (х, е)

J nW J Pe(lk —у||)ю(^. y^^dydx^ "ЭС (х, е)ас (х, е/2)

: У у Т|(х)ре( || X — у ||)® (х, y^dx ф(у)Ду = ас(х, е/2) 1-ЯС(х, е)-

= у ы (х) Л? ф (х) dx =

ас (х, е)

= У и (х) е (х) ф (х) dx— у и(х) у г(х, у)ф(у)^у dx.

ЯС (х, е)ЯС (х, е)Ж(х,в) *-ар(^е/2)

ЯС (х, е)

ЯС (х, е)

где

г(х, у) = — HJfpjHx —у||)—1]со(х, у)}.

Поскольку носитель функции ^ (х, е/2) имеем е(х)=1, тоПоскольку носитель функции ^ (х, е/2) имеем е(х)=1, тоф(х) лежит в e/f (х, е/2), а наф(х) лежит в e/f (х, е/2), а на

Поскольку носитель функции ^ (х, е/2) имеем е(х)=1, то

Поскольку носитель функции ^ (х, е/2) имеем е(х)=1, то

ф(х) лежит в e/f (х, е/2), а на

ф(х) лежит в e/f (х, е/2), а на

“(У)ф(У)^У = J“(У)ф(У)^У = JУ Tl(-l<:)Pg(l|-,‘: —У ||)ю(х, У)^х XУ Tl(-l<:)Pg(l|-,‘: —У ||)ю(х, У)^х X

“(У)ф(У)^У = J

“(У)ф(У)^У = J

У Tl(-l<:)Pg(l|-,‘: —У ||)ю(х, У)^х X

У Tl(-l<:)Pg(l|-,‘: —У ||)ю(х, У)^х X

X (х, е/2)X (х, е/2)ЯГ <х, е/2) L ЯГ (х, е) X ф(у) б?у + уЯГ <х, е/2) L ЯГ (х, е) X ф(у) б?у + уJ ы(х)г(х, у) dxl <р (у) dy.J ы(х)г(х, у) dxl <р (у) dy.

X (х, е/2)

X (х, е/2)

ЯГ <х, е/2) L ЯГ (х, е) X ф(у) б?у + у

ЯГ <х, е/2) L ЯГ (х, е) X ф(у) б?у + у

J ы(х)г(х, у) dxl <р (у) dy.

J ы(х)г(х, у) dxl <р (у) dy.

ПолагаяПолагаяЯГ(х, е/2) ЬЯГ (х, е)

Полагая

Полагая

Ре(||^ —У |1)®(х, у) = s (х, у),

получаем

и(у)= У T](x)s(X, y)dx+ У ы(х)г(х, y)dx

ЯГ (х, е)ЯГ (х, е)X (х, е)

ЯГ (х, е)

ЯГ (х, е)

почти всюду в ^(х, е/2), ибо множество Со' г(е%^ (х, е/2)) плотно в пространстве 13*г(.^ (х, е/2)).

Из свойств матрицы ш(х, у) немедленно вытекает, что матрицы г (х, у) и s (х, у) обладают свойствами, указанными в пункте d).

К пункту с). На основании классических свойств интегралов типа потенциала заключаем, что правые части формулы в а) принадлежат классу С0’f в каждом достаточно малом шаре, а потому и во всем множестве йя.

К пункту Ь). Поскольку г— регулярная функция, то достаточно доказать, что

^(у)°—УnW^(x, ^ах^с1,т. и

Другими словами, достаточно доказать, что

^(У) = 5 У ^ W svz У) ^6^ v=l и

Следовательно, теорема будет доказана, если мы покажем, что каждое слагаемое в последней сумме принадлежит классу С1. В связи с этим мы рассмотрим интеграл вида

Л(у) = у v(x)x(x, y)dx,

V

где у^А2(<7), О“т(х, y)€^n+la|-a- Пусть n + |a| —a<«/2 и пусть

А“ (У) = J у (х) D^x (х, у) dx,

и

Л® (у) — J у (х) [1 — р6( || х — у ||)] D^x^x, у) dx. и

Из неравенства Шварца получаем

I А“(у) — Аб(У)| = |/ fWpJH х —у ||)О“т(х, у) dy | < || у || А?,

и

где А? = const > 0 и А^—>0 при д-»0. Поскольку Лб£С°(^7), той°^С°((/), если |a|<a — «/2.

Остается еще доказать, что ha (у) = D“ h (у). Доказательство пс индукции проведем для случая |а| = 1; докажем, например, что

^(y^Jeto-lttx, ^dx.

и

Интегрируя правую часть по у, в пределах от а до b и меняя порядок интегрирования (применяется теорема Фубини), получаем ь

J ^ЧУгУЛ)^У1= Jy(x)[T(x; а. у2у„) —

— т(х; Ь, у2ул)]йх = Л(а, у2у„) — h(b, у2уя) для почти всех у2, ..., ул; поскольку, как это было показано выше, обе части равенства непрерывны, оно имеет место всюду. Меняя Ь, на основании классической теоремы интегрального исчисления получаем

$yW^xlx- ^Дх^ьЧу^-^НуУ и

Доказательство основной теоремы закончено.

Следствия основной теоремы о слабых решениях

Предположим, что оператор А формально самосопряжен, т. е. Л = Л+. Обозначим через Ао сужение оператора А на множество D (Ло) = С”*г (йл). Очевидно, ЛосЛо, где Ло построен относительно пространства А2’т (2Л). Пусть

Ло«(-, 0°-А(-. t).

18 К. Морев

где и( • , t)— некоторая функция из О(Лд)- Функция и(х, /) является слабым решением уравнения Ахи(х, t) = h(x, t).

Теорема 1. Если и(-, t) и h(-, t) обладают сильной [в смысле пространства l}'r(Qn)} непрерывной производной на отрезке [a, ft] и

и (у, 0=' J и(х, t)r(x, y)dx + J h(x, f)s(x, y)dx, U„Qn

то при о — ”/2 > 0

1°. и_<., t)^C1’\Qn) ^1 = 0-"!^,

2°. «(у, • )€С*- r(I«. 61).

Доказательство. Соотношение 1° является непосредственным следствием предложения, содержащегося в § 1.

К пункту 2°. Поскольку по предположению о—п/2 > О, то sib. rik^Rn-a^Un), где п— а < п/2, и, следовательно, slfe, rlk^ £ L? (U„y Отсюда вытекает, что при фиксированном х оба интеграла являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра V, фактически мы используем лишь слабую дифференцируемость функций и (• , t) и h (• , t). Теорема доказана.

Этой теоремой мы будем пользоваться в гл. XVIII.

В качестве второго следствия приведем важную теорему, принадлежащую Браудеру.

Теорема 2. Если Av — самосопряженное расширение оператора До (являющегося сужением формально самосопряженного эллиптического оператора порядка о с достаточно гладкими коэффициентами), то оператор

(Ах —ll)~m = {R(P, A)lm> т>п/2а

является ограниченным интегральным оператором типа Кар- лемана. Это означает, что существует такая матрица ОцАх- У)- чт0 Оzt (х• ') 6 ^ (й„) при х£й„, причем если •u^L1-г (£2„), то имеет место равенство

Г

[(^-z/)-m4W = 2 f0^’ У^ИУ)^-

»=i ЙП

Доказательство. Поскольку число I не принадлежит спектру оператора Др то (^—И)-1 — ограниченный оператор, а поэтому

И(А —^Гт11 < оо при т > 0.

Положим и°= (Л1 —//) ту; тогда (Лх — 1Г)ти = у," а так как ЛооЛь то и является слабым решением эллиптического уравнения (Л — /Z)m« = y порядка та>^ — ^-. Следовательно, для каждой точки х существует шар ^ (х, е) и такие две матрицы г (х^), s(x, у), что при х^а^(х, е) гГ

UiW = ^ J ы6(у)гйг(у, x)dy + 2 J fft (у) s*z (У. x^dy.

* = 1Я?(Х, 8)Й=1Ж(Х, 8)

Поскольку

п — та <п — га — у = у, те

ГцДх, •)■ 8цАх, 1 ^^^(х. в)).

Следовательно, на основании неравенства Шварца |«ztol<C[|l“ll + ll^lll = C[||(^-//)-my|| + ||y||]<

<c[i + ||(A-//)-m||].||yy. Поскольку

ы;М = [(л1-г/)-т4(х),

то для каждой точки х £ ^ (х, е) и каждого значения индекса I величина ut (х) является линейным функционалом от элемента у £ L?>r (й„). Следовательно, на основании теоремы Рисса — Фреше существует такое Ни х^^‘ г (йя), что uL (х) = (у, Ht- х); полагая °1кЬ. х)=Щ7^МуТ.

получаем г

UtW= ^^Ти^ОцДу. x^d^.й" 6-1

Поскольку х — произвольная точка, теорема доказана-

Подчеркнем, что 2„ в этой теореме может быть и неограниченной.

§ 8. Функция Грииа и ее свойства

Для упрощения записи в настоящем параграфе мы будем рассматривать только дифференциальные операторы, хотя доказательства излагаемых здесь теорем переносятся без всяких изменений на эллиптические системы.

Читатель, знакомый с классической теорией эллиптических уравнений, знает, какие серьезные трудности встречаются при доказательстве существования функции Грина уже в случае простейшей краевой задачи — задачи Дирихле. В настоящем параграфе мы приводим современную) формулировку определения функции Грина и рассматриваем ее различные свойства).

Пусть А = 2 aaWDa — формально самосопряженный эллип- |а|<а

тический оператор с коэффициентами, регулярными в области Йл. Предположим далее, что о > п/2 и что сужение Ло оператора А на С^йд) обладает самосопряженным расширением Д1 = Д1:эДо. Пусть ^4— 2 оа(л:)Оа, £>“ =—_^ , Легко видеть, что опера-

1а1<адх"' ...дх“"

тор А также формально самосопряжен, а оператор Av заданный соотношениями О(Л!)—{/:/£0^)}, AJ = AJ при /£D(AV), — опр.

где /(х) = /(х), является самосопряженным расширением оператора Ло (О (Ло) = Cg° (йя)).

В соответствии с теоремой 2, § 2, резольвента R(X, Л^ оператора Л] является интегральным оператором с ядром типа Карлемана 0(Х; х, у)

(Л1-Х/)"1/(х)= J 0(Х; х. y^W (3.1)

Определение. Ядро G(X; х, у) в формуле (3.1) называется функцией Грина оператора ЛР

Функции, принадлежащие области определения оператора Av удовлетворяют некоторым самосопряженным „краевым условиям", например в случае ограниченной области йл—обобщенным условиям Дирихле или Неймана. Если область й„ неограниченна или совпадает со всем пространством Еп, то эти условия касаются и поведения функций на бесконечности. В связи со свойствами функции Грина см. также гл. XIV. Покажем теперь, что функция G обладает свойствами, которыми должна обладать функция Грина в классической теории дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Функция Грина обладает следующими свойствами1.

1°. О(Х; х, у) = О(Х; у, х) (так называемая симметрия функции Гринаф,

2°. (Ах— Х)О(Х; х, у) = (Ау— Х)О(Х; х, у) —0 при х^у,

3°. Функция Грина удовлетворяет самосопряженным граничным условиям.

Последний пункт следует понимать следующим образом. Пусть х — фиксированная точка области Q„. Тогда для каждой бесконечно дифференцируемой функции ф, равной 0 в некоторой окрестности точки х и равной 1 в некоторой граничной полоске, имеет место соотношение

Ф( ■ )О(Х; х, •)^D(A1\

Доказательство. К пункту Г. Мы знаем, что оператор ((^j — X/)-1)* обладает ядром О(Х; у. х). Но Ai = А*, поэтому ((X-Х/)’1) =(АХ-М)-*, откуда и вытекает наше утверждение.

Рис. 2.

К пункту 2°. При <р^Со(й„). очевидно, имеем (Д,—Х7)ф = — (А— Х/)<р. Следовательно, в силу формулы (3.1)

ф(х) = (Д, — Х/)-1((Д — Х/)ф)(х) = J G(X; х, у)(Ду — Х)ф(у)^у.

Пусть теперь фх £ С® (йл) — функция, равная нулю в некоторой окрестности точки х; имеем

Г О(Х; X, у) (Ду — Х)фх(у)йу = 0 = (О, ф^)

278 Гл. XI. Основная теорема о слабых решениях эллиптических систем и по теореме о слабых решениях

(Лу — Х)О(Х; х, у) = @ при х + у,

что и требовалось доказать.

К пункту 3°. Пусть х £ 2„, ф £ С”(йп) и ф(у)=1 в некоторой окрестности точки х. Положим У = {у : ф (у) = 1}, R = (у : ф (у)=#0, фМ^Ц- Тогда найдется такая функция Ф1 ^ С” (£2„), что если ^ = {у: Ф1 (у) = 1), Я1== [у кр^у^О, ф^у)^!}, то x^int^cz cJY U R^cJ.

Таким образом, на заштрихованных кольцах R и Rx (см. рис. 2) имеем

Ф + 0иф =# 1 наR,

Ф| + 0иФ1 =# 1 наRv

, Достаточнодоказать,чтодля функцииф— 1—Ф имеет место

формула

ф( ■ )О(Х; х, •) £D(Aj — М) = D(B) = D(Л^,(3.2)

где В = Аг— X/, Д'= Л1— X/; формула (3.2) будет доказана, если нам удастся показать, что при f^D^B) справедливо тождество

р(Х;х,у)ф(у)В/(у)йуу-;[ В'[О(Х; х, y^^f^dy. (3.3) QnQn

В самом деле, соотношение (3.3) может быть переписано в следующем виде:(ф( ■ )О(Х; х, •), В/)——(В'О(Х; х, • )ф( •), /), и если оно выполняется для всех f^D(B), то по определению сопряженного оператора имеет место (3.2).

С этой целью заметим, что при f £Ст П D (В)

f О(Х; х, у)ф(у)В/(у)= У В'[О(Х; х, у)ф(у)]/(y)dy+/(x). (3.4)

Действительно, левую часть последнего тождества можно записать в виде

У ОсрВ [(1 — фО /] dy + J ОфВ [Ф1/] dy.

йпол■

Но так как

в;о [(X; х, у) ф (у)] [ 1 -Ф1 (у)] = (Л у—X) [(а(Х; х, у)ф (у)] (1 -Ф1(у)))¥=0

только при у £ R и, кроме того, ф] = О на R, а на J ф = 1, то имеем

J G^B [ф,/] dy = J GB [Ф7] dy = (ф,/) (х) = / (х), «лQn

а также

У ОфВ[(1 — ф^/ldy = J В' [Оф](1 — ^ f dy = У^'[Сф]/йу.

йпйпйп

Таким образом, формула (3.4) доказана.

Из теоремы о слабых решениях нам известно, что B~xh ^Ст (йл), если й^С^йд). Из определения функции Грина вытекает, что

B-ih (х) = (Л, — М)-1 h (х) = у О (X; х, у) h (у) dy,(3.5)

причем равенство имеет место для всех значений х, так как обе части равенства непрерывны. Положим теперь в формуле (3.4) / = S~I/z. Принимая во внимание равенство (3.5), а также равенство ф=1—ф, получаем формулу

— JG(X; х, у) ф (у) h (у) dy = уВу[О(Х;х,у)ф(у)]В-1Л(у)йу. (3.6)

Поскольку при фиксированном х обе части являются непрерывными функциями переменной й (ибо У | Оф|2 dy < ooj и множество С1 (йл) плотно в А2(йл), формула (3.6) верна для всех й££2(йл) и x£Jv Полагая f — B~ih^D(B'), получаем (3.2). Теорема доказана.

Замечание. Рассмотренные выше свойства функции Грина потребуются при доказательстве спектральной теоремы Кодаира (гл. XVII, § И).

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что элементы множества D (Л х) принадлежат классу Са,г(2л) при р > -^- + 1.

При каких предположениях слабое решение уравнения Apu(x, t) = h(x, t) обладает следующими свойствами:

и(.,0€С6,гт «(х, •^^С-’-Ч^. Ь)Р

Контрольный вопрос. Справедливы ли теоремы настоящей главы для обыкновенных дифференциальных уравнений? (Указание: рассмотрите функцию Грина.)

ГЛАВА XII

Метод самосопряженных расширений

Эта глава состоит из двух частей. В первой из них (§§ 1 и 2) излагается сравнительно простой способ доказательства теорем существования для эллиптических формально самосопряженных операторов в ограниченных областях, основанный на методе самосопряженных расширений. Здесь же рассмотрены и задачи на собственные значения. Во второй части (§ 3) мы реферируем важные результаты М. И. Вишика относительно классификации краевых задач.

Задача Дирихле

В этом параграфе, основываясь на теореме Фридрихса — Стоуна — Винтера и основной теореме о слабых решениях эллиптического уравнения, мы докажем весьма общую теорему существования решения краевой задачи (с самосопряженным граничным условием) для неоднородных уравнений Au = f.

Будем действовать по следующей схеме.

Пусть А = А+—формально'самосопряженный оператор1) эллиптического типа, такой, что его сужение Ао, D (До) = С” (йл) является отрицательно определенным оператором, т. е. —(Дф, ф) ^ ц (ф, ф) для всех ф £ Со° (й„), причем р, — положительная постоянная, не зависящая от ф. Рассмотрим теперь самосопряженное отрицательно определенное расширение (по Фридрихсу) оператора Ай : (Д) = А оА0. Мы знаем, что область значений оператора А совпадает со всем пространством [в нашем случае—с пространством Л2(йл)]; следовательно, уравнение

Au = f(1.1)

однозначно разрешимо. Относительно функций из множества D(A) говорят, что они удовлетворяют обобщенному условию Дирихле (ср. § 3).

Решение и-=А~ / уравнения (1.1) является элементом пространства Л2(й„); для того чтобы функция u = A-1f была классическим

решением, т. е. функцией класса С® (□„), где о — порядок оператора, достаточно, чтобы правая часть уравнения (1.1) принадлежала классу С1 (Q„), а коэффициенты оператора А были достаточно гладкими. Как нам известно, Д0=эД, откуда Аи = Дои = / и> следовательно, Д-1/ является слабым решением уравнения Au=f. Но в наших предположениях по основной теореме о слабых решениях слабое решение A~vf является классическим решением. Мы пока что не касаемся вопроса о граничных условиях.

Заметим в заключение, что в наших предположениях относительно оператора А (обобщенная) задача Дирихле однозначно разрешима при „произвольной" правой части /, а также для произвольных (ограниченных) областей. Относительно границы мы ничего не предполагали.

Проиллюстрируем теперь эту схему на примере оператора второго порядка. Пусть оператор А имеет следующий вид:

п

tXА / X 0ПР* V? Г / X dU , J .. ., .

£д«(х) =+

«z,6=1

где а<е(х) = а^(х) и

пп

l,k=\1 = 1

причем х — положительная постоянная, зависящая лишь от ограниченной области Q„, а с (х) ^ 0. Мы докажем, что сужение Ао оператора А на бесконечно дифференцируемые функции с компактными носителями, лежащими в Qzi (/) (До) =' С” (йп) ), отрицательно определено. Другими словами, мы докажем существование такой постоянной н > 0- чт0

— (Дф, ф)^р(ф, ф) для всех ф£С“(йп). (1.2)

Доказательство неравенства (1.2). Если ф£С5°(й„), то

пп— (Дф, ф) = — J йп— (Дф, ф) = — J йп14к = Х п14к = Х пaih-^^W^kxyVc^^^V dx —aih-^^W^kxyVc^^^V dx —dgj(x) <5<р(х)dx^ dxtdgj(x) <5<р(х)dx^ dxt

п

п

— (Дф, ф) = — J йп

— (Дф, ф) = — J йп

14к = Х п

14к = Х п

aih-^^W^kxyVc^^^V dx —

aih-^^W^kxyVc^^^V dx —

dgj(x) <5<р(х)dx^ dxt

dgj(x) <5<р(х)dx^ dxt

п

“Л Z = 1

[ср. (2.1)], где.

м’/ЖФ*.

что и требовалось доказать.

Исследуем еще область определения расширения по Фридрихсу А оператора Ао. Мы видели, что

Д(Л) = Д(Л*о)п<>ло.

где ^^— пополнение множества D (Ло) = С“(йл) по метрике ||ф||л ^ (—^оФ. Ф)- Однако, как нетрудно видеть, в наших предположениях относительно коэффициентов а1к и с оператора А нормы I • L и II • II. эквивалентны,

/<|ф!!>!!ф!12л0 = —(^оф. ф)>*1ф!г

Правая часть неравенства была доказана при выводе соотношения (1.2), левую мы получим, полагая /< = тах(|агб(х)|, |с(х)|), где максимум берется по всем x£Q„, I, k = \, . ... а.

Следовательно, элементы пространства ^д обладают всеми первыми производными в смысле Никодима — Соболева (ср. гл. XIII и XV). Мы будем говорить, что функции из фл равны нулю на границе dQ.n области □„ в смысле вариационного исчисления (или в смысле Фридрихса — Куранта). Из неравенства К (ф^2 2> ||ф||^ ^ и |ф11 следует, что пространство фл совпадает после перенормировки с пространством Ht (Sn), введенным в § 6 гл. I.

Задачи иа собственные значения

Схема, аналогичная изложенной в § 1, применяется для задачи на собственные значения (в последнее время привился термин „задача вибраций"). Пусть (А)* = AzdA0—самосопряженное расширение сужения Ао оператора А, о котором шла речь в § 1. Существует спектральное разложение А = J "kdEQA самосопряженного оператора А.

В гл. XVII мы ознакомимся с замечательным решением задачи разложения по собственным функциям эллиптических операторов, принадлежащим Л. Гордингу (см. также гл. XIII). В настоящей главе мы покажем, что сравнительно простые средства позволяют получить важный критерий точечности спектра самосопряженного оператора Н, а именно имеет место следующее предложение.

Теорема 1 (Ре л л их). Предположим, что Н = Н* и что (Ни, и)^(и, и). Тогда оператор Н~х вполне непрерывен в том и только в том случае, когда множество ^и:(Ни, и)^1| предкомпактно.

Доказательство. Мы знаем, что оператор Н имеет следующее спектральное разложение:

H = fkdE(V.

1.

Поэтому существует оператор Н-1 = J* X-1 dE (X), причем || Н~х || ^ 1.

1

Пусть теперь ||ф||-^1 и пусть и = Н~х^. Тогда

(Ни, и^^НН-1^, Н-1ф) = (ф, //_1ф)<||^-1|11IIФ II2-

Если множество {и: (Ни, и)^1| предкомпактно, то отсюда вытекает, что предкомпактно и множество (и = Н-х^ : |[ ф || ^ 1), а, следовательно, оператор Н~х вполне непрерывен.

Пусть теперь Н~х— вполне непрерывный (положительный) оператор. В таком случае Н^1 также является вполне непрерывным эрмитовым оператором (так как его спектр аналогичен спектру оператора Н-1). Пусть (Ни, и)<1, положим и = Н~'1гу. Имеем

\>(Ни, и) = (НН-1/,ф, /7-1/’ф) = (ф, ф) = || q> ||2, т. е.

{и : (Ни, и) <^ 1} = {и = Н-1/,ф : || ф || ^ 1).

В силу полной непрерывности оператора Н~"2 последнее множество предкомпактно, что и требовалось доказать.

Пусть Ли = ^ -^- ( alk -^т\ + си — эллиптический оператор, о котором шла речь в § 1, и пусть Л=зЛ0. Применяя теорему Рел- лиха, мы докажем следующее важное предложение.

Теорема 2. Спектр оператора Л чисто точечный с единственной предельной точкой на бесконечности. Точнее, оператор Л-1 вполне непрерывен.

Доказательство. В силу эквивалентности норм || • ||л и | • |г достаточно доказать предкомпактность множества {и^и^^!}; это множество даже более широкое, чем фигурирующее в теореме Реллиха (именно здесь не учитывается обращение функций в 0 на дйд).

) = 0 прилгу,) = 0 прилгу,Пусть я^С”(Йя). Поскольку ^ ^- ^б;4-^

) = 0 прилгу,

) = 0 прилгу,

i, t=i

по формуле Грина — Остроградского

/1О

йп-^п(У-е) 1Л = х

— / S^^^+

йп-^п(У.е) 1.к = Х

л

IZ^|Х—У Г ”/ х

+ J и (X) X dXl — ^ (*) dx, дК)((у,е)Z = 1

где v(x) = (v1(x), .vn(x)), |v(x)| — 1—поле единичных векторов, нормальных к поверхности шара К„(у, е). При е—>0 последний интеграл стремится к рпи (у), где рп — площадь я-мерной единичной сферы. Таким образом, мы получили классическую формулу теории потенциала

«М^^ JS^""?^ “ ^ЙХ при U№^- (*) Qn ^

Ввиду того что интегральные операторы с ядрами К^х, у) =Ввиду того что интегральные операторы с ядрами К^х, у) =дdxtдdxt|х-у|2-|х-у|2-ограничены, при я£С“(йя) получаем неравенствоограничены, при я£С“(йя) получаем неравенствоINKINK^ I« к-^ I« к-(2.1)(2.1)

Ввиду того что интегральные операторы с ядрами К^х, у) =

Ввиду того что интегральные операторы с ядрами К^х, у) =

дdxt

дdxt

|х-у|2-

|х-у|2-

ограничены, при я£С“(йя) получаем неравенство

ограничены, при я£С“(йя) получаем неравенство

INK

INK

^ I« к-

^ I« к-

(2.1)

(2.1)

которыми пользовались при доказательстве неравенства (1.2).

Переходя к пределу по норме |• |Р мы видим, что аналогичная (*) формула верна при я £ £) (Л), причем duldxt следует понимать как слабую производную.

На основании неравенства Шварца находим

оо<|йл|.||^||<|Йл|-|я|Р(**)

о

о

Ввиду того что ядра Kt(x, у)^ | х — у] определяют интегральные операторы со слабой особенностью, а такие операторы вполне непрерывны в пространстве А2(йл) (гл. VII), из формул (*) и (**) вытекает, что множество, ограниченное по норме | • |Р предкомпактно по норме || • ||, что и требовалось доказать.

Применяя снова теорему о слабых решениях, можно высказать следующее утверждение.

Следствие. Задача на собственные значения Аи—Хи, соответствующая краевым условиям Дирихле (и £ D (А)), обладает счетным множеством собственных значений, конечной кратности 0 > ^ > Х2 > ..., стремящихся к —со. Собственные функции регулярны и об разуют базис в пространстве L2(Qn)-

Замечание. В гл. XIII мы ознакомимся с аналогичной теоремой для общих эллиптических уравнений произвольного порядка.

О теории Вишика

Как известно из классической теории линейных уравнений эллиптического типа, пп

v=S^(«,.^)+S».<+<v=».

k»\I = 1

c<0, 1 a^.Aft>xi\Xa2.(3.1)

I, k = 1/ = 1

так называемая первая краевая однородная задача

[дй„, как всегда, означает границу ограниченной области й„, в которой ищется решение уравнения (3.1)] обладает следующими основными свойствами:

она однозначно разрешима при произвольной правой части А (мы не уточняем предположений, имея в виду лишь эвристическое введение в проблематику);

при малых изменениях функции А мало меняется решение задачи f.

М. И. Вишик [2] поставил и, применяя аппарат гильбертова пространства, решил следующую важную задачу: найти общий вид одно родных краевых условий, обладающих свойствами а) и б).

В этой же работе [2] М. И. Вишик поставил другую чрезвычайно интересную задачу: предположим, что нам дано краевое условие (обобщенная задача Римана') вида п

^k+^^L =0, s а^С05^- ^)'

Пi,k = l

где Rx и R^ — дифференциальные операторы, заданные на границе dQ„ области йл. Как узнать, обладает ли задача свойствами а) и б)? Эта проблема также была решена М. И. Вишиком в работе [2].

Основная идея состоит в следующем. Рассмотрим оператор Ао (соответствующий сужению оператора L на регулярные функции

с компактными в Qn носителями) в абстрактном сепарабельном гильбертовом пространстве ф [которому в случае дифференциального оператора соответствует пространство Л2(й„)[. Предположим, что оператор Ло замкнут и обладает ограниченным обратным оператором ■^о1: II -^о I < °0-

Пусть УИ0 — линейный оператор, обладающий такими же свой- г опр- л

ствами, что и оператор Lo = Ло, причем

(W. ^/.^(Л ад. /е^^о). gwy

опр. *

Полагая L = Л4о» первую проблему Вишика можно сформулировать следующим образом: найти все расширения А оператора Ло = Ьй, содержащиеся в операторе L и обладающие свойствами а) и б), т. е. найти все такие операторы Л, ЛосЛсЛ, что а) существует оператор А 1 и О(Л 1) = /?(Л) = ^, б) || А 1|| < оо.

Решение поставленной задачи содержится в следующей теореме.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы расширение AzoL0 обладало свойством а), является существование следующего разложения в прямую сумму области определения D(A?) оператора А

D(A) = D (Ло) + (Л'1 + С) V + U-\

где А — фиксированное расширение оператора Ц, LoczAczL, обладающее ограниченным об ратным, заданным на всем пространстве ^ : || Л-11| < оо, V— пространство решений уравнения Mv — Ъ, М =’ 1^, V — замкнутое подпространство пространства V, УсУ, U-— замкнутое подпространство пространства U решений уравнения Lu = 0, U^czU, С — такой ограниченный оператор, что D(C) — V и C(V)<^U.

В случае б) требуется дополнительно выполнение условия dim U1- = dim (У Q У) < оо.

Переходя к эллиптической реализации операторов, М. И. Вишик каждому расширению ставит в соответствие (однородное) краевое условие. Здесь следует заметить, что такое соответствие, естественно, не может быть взаимно однозначным, поскольку если многообразие D (Л) состоит из всех функций, удовлетворяющих краевому условию

то множество D(A) может быть также описано и краевым условием

(3-2')

где R— обратимый оператор. Условия (3.2') и (3.2) отличаются лишь формально. В действительности оба условия определяют один и тот же класс функций. В связи с этим М. И. Вишик каждому расширению А оператора Z.o, LcAcL ставит в соответствие краевое условие в так называемой канонической форме. При этом он указывает метод приведения каждого условия к канонической форме. С этой целью вводятся граничные операторы у, и у2, которые, грубо говоря, определяются следующим образом: оператор у! сопоставляет функции / £ D (Е) ее граничное значение

Т1/ = /1дцл- а .

здесь Р/|до —• где и — решение первой краевой задачи для л yv 1дйл

однородного уравнения Lu = 0 при неоднородном краевом условии а |ДЙ = / |dQ . (Более точно, операторы у; определяются с помощью предельного перехода в специально подобранном гильбертовом пространстве функций, заданных на множестве дй„.)

Краевое условие в каноническом виде выражается в виде некоторой линейной зависимости между функциями у^ и у2/. Например, расширению А, обладающему свойствами: а') уравнение Af = h имеет лишь одно решение, б') Л-1 — вполне непрерывный оператор, соответствует краевое условие (в канонической форме) вида У1/ = Су2/, где С — вполне непрерывный оператор.

Для того чтобы узнать, какими свойствами (с точки зрения вопросов разрешимости) обладает данное краевое условие

<L„=^i-=„ ‘ <3-3>

для уравнения (3.1), где R— определенный линейный оператор в пространстве функций, заданных на множестве дй„, приводим условие (3.3) к каноническому виду следующим образом: вычитаем от обеих частей равенства (3.3) функцию /"Vlas - а затем переписываем (3.3) в виде

#1 =W = (R-P)^/- (З.з')

В зависимости от типа оператора R—Р граничная задача обладает теми или другими свойствами. Например, если оператор R— Р имеет вполне непрерывный обратный (R—Р)~1> то краевая задача

обладает свойствами а') и б') или, в терминологии, введенной М. И. Вишиком, является вполне разрешимой.

На этом мы вынуждены закончить наш краткий обзор глубоких исследований М. И. Вишика, настоятельно рекомендуя читателю эту важную работу.

Исследования Вишика продолжал Бирман, который применил их к нахождению новых прямых методов решения краевых задач, обобщающих (вариационный) метод Трефтца.

Аналогичные результаты можно получить для эллиптических операторов любого порядка, для которых изучена первая краевая задача (см. гл. XIII).

Замечание. В последнее время в интересной диссертации Хёрмацдера (1955) были получены несколько другие теоремы, касающиеся общих граничных условий (Хёрмандер [1]; ср. гл. XXII).

ГЛАВА XIII

Краевые задачи и задачи на собственныезначения для общих эллиптических операторовпроизвольного порядка.

Сильно эллиптические системы.

Метод Галеркина

В этой главе мы будем заниматься краевыми задачами и задачами на собственные значения в ограниченных областях для операторов эллиптического типа произвольного порядка (а также для так называемых сильно эллиптических систем).

В § 1 мы вводим гильбертовы пространства, с помощью которых формулируется обобщенная задача Дирихле. В § 2 доказывается полуограниченность произвольного эллиптического оператора. В § 3 мы занимаемся интегралами Дирихле и с их помощью вводим новую унитарную норму, благодаря которой в § 4—6 удается свести задачу Дирихле и обобщенную задачу Неймана к уравнениям с вполне непрерывными операторами. В § 7 излагается доказательство сходимости метода Галеркина для общих эллиптических уравнений произвольного порядка. Глава заканчивается § 8, в котором при помощи так называемого преобразования Грина решены задачи на собственные значения.

В гл. XII излагался метод самосопряженных расширений для решения краевых задач с формально самосопряженным оператором. В последние годы удалось получить общие теоремы для произвольных операторов эллиптического типа методом, являющимся обобщением метода ортогональной проекции Зарембы — Вейля (ср. гл. XV). Этим методом мы обязаны главным образом трем математикам: М. И. Ви- шику, Браудеру и Гордингу. Самые общие результаты и наиболее законченный вид рассматриваемый метод получил в работе Л. Гор- динга [1], которую мы изложим в этой гиаве.

Формулировка общей задачи Дирихле

Пусть А — Zj а^ (х) D —эллиптический оператор с доста- I Р К 2m

точно гладкими коэффициентами (ср. гл. XI), рассматриваемый в ограниченной области й„.

Введем в множестве С” (йл) следующие скалярные произведения:

(/. g^j = f 2 ^^ ^g^ W dx’ V = 1 • 2т.

йт V?\ = j

19 К. Морен

Пополняя множество Со° (йя) по норме [• |j, | / |у- — (/> fSp по" лучим гильбертово пространство фу. Как мы знаем, ф0 = Л2 (й„). Нетрудно показать (см. ниже лемму 2), что после перенормировки пространство ^; совпадает с пространством Hj (2„), введенным в гл. 1. Для задачи Дирихле основное значение имеет пространство §т. Как мы увидим, функции из этого пространства обладают всеми производными Соболева порядка tn и их производные порядка m — 1 в определенном смысле равны нулю на границе дй„ области Й„. Первым класс этих функций изучал польский математик Никодим [1].

Функции, о которых идет речь (точнее говоря, это не функции, а классы эквивалентных функций), после „исправления" на множестве меры нуль становятся абсолютно непрерывными на каждой прямой, параллельной какой-нибудь оси координат, и почти всюду равны нулю на гладких частях границы дйп. В последние годы подобные классы функций изучал С. М. Никольский [1]. Задача Дирихле формулируется теперь следующим образом.

Найти решение и уравнения

Au = h (А— заданная функция)

такое, что (и — g) £ фт.

Это и означает, что и функция а и ее производные порядка ^т—1 должны па границе дй„ принимать такие же значения, как заданная в □„ функция g и ее производные порядка ^т—1.

Полуограниченность эллиптического оператора

Установим важную зависимость между нормами | • |у и [ • [й.

Лемма 1. Если /£С§°(Q„) и k^j, то существуют такие числа cki > 0, что

\f\h<cM\fV(2.1)

Доказательство. Неравенство (2.1) доказывается путем последовательного применения неравенства

Jl/(x)Pdx<|QJ2 /|^рх,(2.2)

где |Q„| обозначает диаметр области йя. Неравенство (2.2)—простейший случай неравенства Пуанкаре; оно вытекает непосредственно

из соотношения /(х)= j "Зх-^1^•••• хп)^Е если к немУ

применить неравенство Шварца и проинтегрировать затем по йд.

§ 2. Полуограниченность эллиптического оператора291

Из соотношения (2.1) немедленно вытекает следующее предложение.

Лемма 2. В пространстве §т нормы. | • |т и || • ||т — (т \ '/г

Л | I эквивалентны.

Доказательство. Очевидно, | / L < || / IL- Из (2.1) получаем || /1|^ = 2 I /I» (m + 1) с | /1^ , где в качестве с можно взять 6 = 0

максимальное из чисел сОт, с1П1, .. ., стт, что и требовалось доказать.

В дальнейшем окажутся полезными следующие равенства:

S (^lOFM)!2^.(2.3)

е" 131 = 7

где

(Ff) (£) — f еиЧ (х) dx. х^ = x^ + ... + хД„, En

\F^(K) называется преобразованием Фурье функции /(х)], а также равенство

lim sup —7 ■ ?-~1—. = 0.(2.4)

f-*co, /е С” (Qn) । / Im + ^ I / Iq

Равенство (2.3) вытекает немедленно из того, что D^f{x~) имеет своим преобразованием Фурье (—/)|Э 1 ^ (Ff) (£), и из изометричности преобразования Фурье (теорема Планшереля, см. конец § 11 гл. XVII). Так как при j <_т

131 = 7' \131 = т/

равномерно относительно ^, то из соотношения (2.3) вытекает соотношение (2.4)’).

') Действительно, если j < т, то для каждого е > 0 существует такое число te, что при t > te■

2 WK 2 (^)2+Л<е.

131 = 7' \lPl=m /

Из равенства (2.3) вытекает очень важная лемма.

Лемма 3. Если а (х)— ограниченная и интегрируемая в области Qn функция, то равенство

f а (х) Daf (х) D^f № dx = (Л/, fX,(2.5)

где а, рДт и | а|+ ] р| < 2m, a f, f' и Af^X- определяет вполне непрерывный линейный оператор А

(в пространстве $т).

Доказательство. Имеем

J а (х) Daf (х) D^f' Wdx < | a | • | Daf |0 | DV |0,

где | a | —' sup|a(x)|. Следовательно, в силу леммы 1 левая часть формулы (2.5) является непрерывной билинейной формой от / и f' в пространстве ^т. Поэтому А — линейный ограниченный оператор. Для определенности предположим, что |а| < т. Из соотношения (2.5) получаем

КАЛ /,)ml<C|/|m_1|/|m, где С — некоторая постоянная; полагая f'^Aj, находим !л/|2т<с|/|т|л/|т, т. е.

И/LCCI/k-p(2.6)

Пусть (Д)— последовательность таких элементов из С“(йп), что |Д|тД1. Из (2.1) вытекает, что последовательность (|Д|0) ограничена. Поэтому можно выбрать такую подпоследовательность (Д,), чтобы ее преобразование Фурье {F фХ® — J elx4v (x)dx было почти равномерно сходящимся (сходилось равномерно в каждом шаре). (Действительно, преобразование Фурье FfX функции f ^.С^ (йя)

22Умножая обе части этого неравенства на ~^ity*

2

2

интегрируя по £ и принимая во внимание соотношение (2.3), мы убедимся в том, что при j < т и t > t6

l/l^eO/^+tl/®.

Это доказывает справедливость соотношения (2.4),

является целой функцией переменных gp .... |л. Если |/|0^С, то

Следовательно, семейство функций (Д/©:/£С”(ЙЛ), |/|0^С} является равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.) Отсюда на основании формул (2.6) и (2.3) имеем

<ti J" iH2l“’V/v.a)-/’4'a>l2«+

161 < л

+ C2 J ^^'""’Уд.^-ДД.а)^^;

1Л>Я

первый интеграл в силу почти равномерной сходимости F/v стремится к нулю при min(p/, v')->оо. Далее, |^I2™”2 = | g|2т . |g|-2, а поэтому при |£|^-/?

С2

С2 J ц |2 (т-1) । р/^ ^ _ р/^ ф |2 ^ <_1 J Ц |2т | F/^ (у _

Ш>Я|Л>Л

- F^. (^ |2 Ш < (У | Д, - Д, |2т < АСУ -> О, R -> оо;

следовательно, последовательность (ЛД,) сходится и оператор Л вполне непрерывен, что и требовалось доказать.

Обобщенный интеграл Дирихле

Теперь мы уточним предположения, связанные с эллиптичностью оператора Л. Это позволит нам получить теорему о его полуограниченности.

Пусть т — фиксированное натуральное число. Предположим,, что для каждого х £йл задана вещественная однородная форма а(х, g) вещественных переменных ^, ..., §л степени 2m, причем:

1° коэффициенты формы а(х, £) достаточно гладки и равномерно непрерывны в йл;

2° inf а (х, g) имеет положительную нижнюю грань в области йя.

Каждой такой форме можно сопоставить форму Дирихле

2 М (х) Оа/ (х) D^f (х), |a| = |p|=/z{’

294 Гл. ХШ. Краевые задачи и задачи на собственные значения где коэффициенты йар (х) вещественны, симметричны, удовлетворяют условию 1° и, кроме того, обладают тем свойством, что

2а^хН^-а^х.^).

I а| =| р | = т

Для того чтобы показать, что такие формы существуют, запишем а^х, у в виде

й(х, ^) = 2Ч ...^^ • Ь2т-

где индексы £Р .... к2т независимо друг от друга пробегают все значения от 1 до п. а коэффициенты Ь^ ... ^ симметричны. Тогда выражение

S

h. amf0mf

zi •■■ * тЛim дх, ... дх,дх, ... дх,

'1 'т Л 'т является формой Дирихле.

Если m = 1 (Л — оператор второго порядка, например оператор Лапласа), то существует только одна форма Дирихле:

причем эта форма положительно определена.

При от > 1 может оказаться, что ни одна форма Дирихле не является положительно определенной.

Возьмем какую-нибудь форму Дирихле, принадлежащую форме й (х, g), и построим (обобщенный) интеграл Дирихле

(/. Па - J 2 ^ W ^ П^ПЛах. (3.1) йп 1 а | = | Р1 = т

При от=1, йар = баз и /' = / выражение (3.1) является обычным интегралом Дирихле.

Положим

(/. /%/-(/. fW-НЛ

где t — вещественное число. Имеет место следующее весьма важное утверждение.

Теорема 1. Если {f. Ла— какой-либо интеграл Дирихле, принадлежащий форме а(х, £), то

inf (/. Ла > — оо.

/5 е” (й«)i/lm<i

Замечание. Следующий пример показывает, что эта нижняя грань Может быть отрицательной, Пусть 1 ^ ^ (х) ^- е ^> 0 в области Qn

и пусть форма Л2 (х) (%2 Д-£2)2 имеет интеграл Дирихле

V. щ - J ₽«{ ^<4 + ^« +

+ 3Re-^WSW- -4-М 2 К

ох^ дх^ • дхг дх2 j

Подынтегральная функция является отрицательной, когда / £C°°(Q ) d2f d2fd2f

такова, что-^ = у~ = 0, -——=1. Зафиксируем теперь точку у = (уР у2)6Ц, и положим /(х) = (х, — у,)^ — у2)6(х), где Ь^С^Л^ и равна 1 в некотором круге ^ достаточно малого радиуса с центром в у. Ясно, что /£C”(Q„). Вместе с тем понятно, что (/, /)л для построенной / окажется отрицательным, если h (х) будет достаточно близка к характеристической функции круга ^, Итак, мы построили такую а(х, £) и функцию /^Cq (Qzi), что (/. Па < О-

План доказательства состоит в следующем.

Г. Доказывается, что (f. Лд^С^/^, когда а (х, |) = a (£), т. е. когда коэффициенты формы й(х, £) не зависят от х.

2°. Аналогичное неравенство в случае переменных коэффициентов доказывается для области Q„ П a/f. где ^ — достаточно малый шар.

3°. Общий случай получаем с помощью разложения единицы, соответствующего (конечному) покрытию области Q„ шарами и сводящего случай 3° к случаю 2°.

Доказательство. К пункту 1°. В силу (2.3)

(Л Ппг=у^ $№)Ш2 2 ^W,

'Еп1Р| = т

аналогично

(/. Ла = -^ JК^Л^Ра®^.

Поскольку форма а (£) степени 2/п положительно определена, то частное «Й)Г 2 (^)21 ограничено снизу некоторой положи- ll S l = m 1

тельной постоянной СУ; поэтому

V. Ла>С'л. Лт = С'\/\^.(3.2)

К пункту 2°. Пусть ^—шар с центром х и радиусом р.

Если / С Со° Ли П <4fY а (/, Пд"~ интеграл Дирихле, соответствующий

форме а (х, £), то, обозначая общий модуль непрерывности коэффициентов аа?(х) через

со(р)°= sup |йа?(х) — аор(у)|, х, у£йпПо^.

а, р, х, у имеем

|(/. /)л-(/. /)л|<

/ ^ («а? to — «а? to ) D®/ (X) D^f (х) dx

W^- Р

|®(Р) / ^d^W^ + l^^^^^^^^l/lm- йлП%*а, Р

где dm — число различных производных порядка т; отсюда на основании неравенства (3.2) получаем■

(/- Da>V. Da-\U. ПА~^ /^p^c-otp)^)!/^,

где 2с °— inf inf а (у, £). В силу предположения 2° с > 0, а в силу у(йл 1Е 1=1

предположения 1° lim о(р) = 0. Следовательно, существует такое е>0, р->0_

что при р < е (и для произвольного х£йл) имеет место неравенство to(p)c?m<c. Отсюда следует требуемое неравенство

(/. nA>c\f\m при /^^(ЙлЛ^Се)).(3.3)

N

К пункту 3°. Пусть Qn c|J q^; (е/2) и пусть ^"'i— шар ра

/ = 1

диуса е, концентрический с шаром е/Гг(Е/2). Если / £С^° (йл), то интеграл Дирихле (/, /)л можно записать в виде

N

u-f^S^Az to йар(х)О“/(х) D?/(x) dx,

Z = lQn ap

N

где hi £ C” (e/fz) и 2 A; (x) = 1. Оценим /-й член предыдущей суммы

А,= J aap(x)Da(Az/)(x)D9(/zz/)(x)c?x —/?z,

где выражение Rit полученное при соответствующем интегрировании по частям, является суммой интегралов произведений ограниченной функции и двух производных порядка ^ т, не являющихся

одновременно производными порядка т. Применяя обычные оценки и лемму 1 § 2, получаем

At > W, hj^ -аД/Uf U.p(3.4)

где at— некоторая положительная постоянная; так как htf £ €С“№„П/Сг(е)). то в силу (3.3) A-t> c\hj \\ —at\ f\m -\ f\m_v Повторяя рассуждение, которое привело нас к соотношению (3.4), получаем

<М.М\п = / 2 \D4htnwVdx>й„ |p| = m

>p2w 2 IoVw^x-^i/li/i^, йл I ₽I = m

где 6Z— положительная постоянная. Таким образом,

А^С^Х) 2 |О7М|2^-(^г + аг)1/1т1/|т-Г йл IPI=m

Суммируя эти неравенства от 1 до N, имеем

(/. ЛА>с\/\^т-а\/у/\гп_р

NN

где а = 2 (c^t + аД> так как 2 hi^^Y. Из доказанного сле- i=l<=i

дует, что

(/- nA?U. ЛА^НЛ /)0>c|/pm+#l/l2_al/lj/lm_r

Обозначим на время |/]2 —H/lm+^ 1/1о: тогда ^ЛЛд,^ >1/12(1-«|/Г2|/ШМ>1/12(1-^-,/Н/к-11/М^^ 1/1 > с’ЛЛт- в СИЛУ формулы (2.4) |/|т|/| ’->0, f->oo равномерно относительно /. Отсюда при больших t > О

>4(с1/Е.+'1/0-(3-5>

Таким образом, теорема доказана, и одновременно мы даже получили несколько более общий результат.

Теорема 2. Существует такая постоянная t0 > 0, что при t > t0 форма (/, f)A't является нормой в §т, эквивалентной норме (|/lm + ^l/lo)'/2. Эквивалентность является равномерной при больших значениях t.

Доказательство. Неравенство, обратное к (3.5), £,(1/1^1/12),(3.6)

где С, не зависит от t, получается следующим образом:

(/. /)л = /5«аЗ°а/М^/(^)^

где d,n, как и выше, означает число различных производных порядка т. Неравенство (3.5) называется неравенством Гординга.

§ 4. Задача Дирихле

После этих приготовлений приступим к доказательству существования решения задачи Дирихле.

Пусть А — формально самосопряженный оператор порядка 2m:

Л/(х) = (—l)m2 Da(att^x')D?f(xS). .

I а 1 = I р I < m

Тогда при /, /^С”^^ имеем

(/' fXt = UA-H)f. А = (/. И + 0/%(4.1)

Самый общий эллиптический оператор Q с той же главной частью- что и у оператора А, можно записать в виде Q = (Л4~/) + (R— t). где

R/W= 2 М^/Сс),(4.2)

Iv I < 2m"

причем коэффициенты rv являются комплекспозначными достаточно гладкими и ограниченными функциями (на коэффициенты мы налагаем такие ограничения, чтобы оператор Q удовлетворял условиям основной теоремы гл. XI).

Задача Дирихле формулируется следующим образом.

Пусть в области Q„ задана такая функция Ь, что || b ||т =

/ т \ у2

" 5 1^1»< со и функция h^C^^A (достаточно, чтобы

\4-0/

функция h удовлетворяла условию Гельдера, ср. К. Морен [2]) Найти решение и ^C2m(Qn) уравнения

Qu = h,(4.3)

такое, что (Ь — ид^^т On. е. решение и должно вместе с производными порядка < т— 1 принимать те же граничные значения, что и функция Ь)..

. Доказательство существования решения задачи Дирихле проведем сначала для формально самосопряженного оператора А 4*t, где t > t0 (см. теорему 2 § 3). В случае h = 0 излагаемый метод сводится к методу ортогональной проекции (ср. гл. XV).

Рассмотрим выражение

(6./)л., —(А. /)0./^(Q,,).(4.4)

Из леммы 1 § 2 и очевидных оценок вытекает, что \<ь,пА,-^т<ц/и‘

где / — постоянная (не зависящая от /); следовательно, выражение (4.4) является (анти)линейным функционалом от / в 5^П1 и на основании теоремы Рисса — Фреше существует такой вектор Ь' £ ^т, что

ф. Лда-^- Ло = Ф'. Лла Для всех /£<?№). (4.5) Однако ф', Ла, t = (b', (Л + 0/)о! 9ТО очевидно при b'£С^ (ЛпУ а при произвольном Ь' £ ^т получается с помощью предельного перехода по норме || • ||т (в силу того, что | • |о ^ com I 1 L- и в СИЛУ непрерывности скалярного произведения можно перейти к пределу в . обеих частях равенства).

Аналогично имеем (6, f)At t = (b, (Л4~0/)о- Поэтому окончательно

<b-b', (Л + ОА = (А. /о).

Отсюда в силу основной теоремы о слабых решениях вытекает, что и —b— Ь'^С1"1^^ и (Л4~0м = ^ (после исправления на множестве меры нуль). Однако в силу определения и имеем и — Ь = = Ь'£$т. Поэтому и является решением задачи Дирихле.

Обратим здесь еще внимание читателя на связь этого метода с методом самосопряженных расширений: А 4- tl — положительно определенный оператор и поэтому имеет самосопряженное положительно определенное расширение АД-tl с областью определения D (A-\-tI) = фт П О(Л0), где Ло является сужением оператора А, заданным на множестве С§° (йл). Следовательно, уравнение (Л 4-^)^ = / обладает единственным решением, равным вместе с производными порядка ^т—1 нулю на границе области йл при произвольном / £ L2 (Q„); при / £ С1 (йл) имеем у £ С2т (йл).

Пусть Ь' °— (Л 4-try \—h 4- (Л 4- f) Ь\ Тогда (Л 4-О (^— Ь') = = (Д4-0г> —(Д + г)6' = (Д4-06 — (—А4-И4~^) = А.

Следовательно, если функция b достаточно гладкая, то ее „ортогональная проекция" на пространство фт равна

(A-ytiy4(A-yt)b-hy

Как мы видим, в случае неоднородного краевого условия метод самосопряженных расширений требует, чтобы краевая функция b удовлетворяла более сильным предположениям.

Теперь мы переходим к общему случаю несамосопряженного оператора Q. Оператору R поставим в соответствие билинейную форму

(/- Hr = (Rf- f'\ = (/• R+A f. /' € C” (Q„).

После соответствующего интегрирования по частям форму (/, f')R можно записать в виде суммы таких выражений, как в лемме 3 § 2; таким образом, (/, /')R является билинейным непрерывным функционалом, который можно распространить на все пространство ^т X ^т- Из леммы 3 § 2 и теоремы 2 § 3 вытекает, что равенство

(/. Пя.-t = W- Па, t. Ь H Rf 6 ^

определяет в пространстве ^m вполне непрерывный оператор R. Заметим теперь, что если я— решение задачи, то, полагая

И Dq = (b. Па + (6. Hr. / € Со (Q^

после умножения обеих частей равенства Qu = h на / и интегрирования по частям получаем

(я, Hq = ^ Hq-P'. f)Q = (h. /)о.(4.6)

где b' —" b— я, так что и = Ь — Ь'. Обратно, если функция Ь' £ $т удовлетворяет уравнению (4.о), то функция я = о—b является решением задачи Дирихле, ибо (я, Q+/)0 = (A, /)0, / £Cq°(Q„), что и доказывает утверждение. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением соотношения (4.6). Представляя оператор Q в виде Q = (Л +f) + (R — f), имеем

(b'. nQ=O'. Нал-W* Ня.-,=УЬ'. Ллл-HRb'. Нал- (4.7)

Выражение (b, Ид—(h, По является (анти)линейным функционалом (переменной /) на пространстве фт, а поэтому существует такой вектор b £ ^т, что

(6, nQ~^, По^Ф, Пал-(4-8)

Принимая во внимание соотношения (4.7) и (4.8), равенство (4.6) можно переписать в виде

Ф. Пал^Ф^- ПалН^Ь'- Пал

для всех / ^С” (йл). Следовательно, Ь' является решением уравнения Фредгольма

(4-9)(4-9)~b=Ib* -V-Rb',

(4-9)

(4-9)

Me R— вполне непрерывный оператор в ф. Применяя теорию Рисса, можно получить следующую теорему.

Теорема (Гординг). Если задача Дирихле обладает не более чем одним решением (однородная задача Qv = 0, v^-^, обладает лишь тривиальным решением?), то решение существует при произвольной правой части h и произвольной краевой функции b (удовлетворяющих сформулированным выше предположениям). Другими словами, задача Дирихле разрешима при каждых hub, если однородная задача обладает лишь тривиальным решением.

Доказательство вытекает из того, что уравнение ? = b' + Rb' разрешимо (при произвольном Ь) тогда и только тогда, когда Ь' = 0 является единственным решением однородного уравнения b' + Rb' = 0, т. е. и = Ь — b' = b, Qu = Qb = h, что налагает условия на пары b, h.

Пара уравнений с сопряженными операторами

О паре уравнений

Qu = h,(5.1)

Q+o = g(5.2)

говорят, что она составляет пару Фредгольма, если для этой пары имеют место три теоремы Фредгольма.

Теперь нетрудно показать, что для эллиптического оператора Q, описанного в предыдущем параграфе, уравнения (5.1) и (5.2) составляют пару Фредгольма.■

Доказательство. Умножая скалярно [в А2(йл)] (5.1) и (5.2) на ££С“(ЙЛ), получаем пару уравнений

(и, k)Q = (h, k)Q, (v, k)Q+ = (g, k)0.(5.3)

Однако, так как■

(/. /V=(kv. А-V. hR. то

(/. /V, -t=(777, -t=(777)д, t=WM)A11 =

=7Ж(=(«7' fkt

Поэтому пару уравнений (5.3) можно переписать в виде

(и, k)A>t-KRu, h)Ai t — (Ch, k)A(, т. e. u = Ru = Ch, (5.4

(^ ^^^(R^, k)A>t = (Cg, к), t. e. v-V-R*v = Cg. (5.5)

где С — вполне непрерывный оператор, заданный в Л2(йл), принимающий значения в $т и определенный с помощью равенства '

(Л. £)°=(СЛ, ^А,(.

Очевидно, что уравнения (5.4) и (5.3) образуют пару Фредгольма.

Обобщенная задача Неймана

Как известно, классическая задача Неймана в теории потенциала состоит в том, чтобы найти в области йл гармоническую функцию и (решение уравнения Лапласа), которая на границе дйп имеет такую же нормальную производную б^, что и заданная в йл функция Ь, т. е. б, (и — 6) = 0 на дйп.

Л. Гордингу принадлежит остроумное обобщение постановки этой задачи. Ограничимся случаем оператора Л из § 4, коэффициенты пар(х) которого равны нулю при 0<|а|, |£|<т и «оо(х)^б>0. Предположим дополнительно, что

^ аа3 (х) Da/ (х) D^f (х) > e£ | Daf (х) |2 (е > 0).

|а|=|Р1 = т|а|=т

Пусть (как и в гл. XV) фт— пополнение множества ограниченных функций из С” (йл) относительно метрики

(/•Лл = / 5 a^f.^dx.

-а„ |а|=ИРИ=«'

Пусть b— такая функция, что Л#ЕС2(йл); обозначим через Ь' „проекцию" b на §т, заданную равенством

(АЬ. П = <Ь\ Па* fAv

Считая, что /ЕС”(йл), с помощью интегрирования по частям из предыдущего тождества получим

Ф-Ь’, АПй = о. /ЕС^).

Отсюда, как обычно, делаем заключение, что функция и°—b—Ь' принадлежит классу C2m (Q„) (после исправления на множестве меры нуль) и удовлетворяет уравнению Аи = 0. Следовательно, АЬ'= = — Аи-\-АЬ = АЬ существует и справедливо тождество

<АЬ'. П^Ь', Па. Мт-

Если в области йл функция b обладает непрерывными производными до порядка 2m включительно и если граница дй„ гладкая,

то предыдущее равенство, записанное в развернутом виде

(-l)m J ^ Da^a^D%4x^fWdx =

Я„ |а| = 1Р|<т

= /2 аа?(х) Dab'(x)Dr?f(x)dx,

'Q„ I а 1 = I ? I < т

означает, что некоторые нормальные производные 6Х-Ь' функции Ь' порядка v, т <^v < 2m равны нулю на множестве дйп.

Следовательно, dv(«— b)^=bvb' = 0 на dQn.

В случае оператора ■ Лапласа получаем классическое условие Неймана.

О методе Галеркина

Теорема Гординга —это теорема существования; оказывается, что, исходя из полной последовательности элементов §т, можно построить последовательность так называемых галеркинских приближений, сходящуюся к классическому решению. Эта теорема — так же как и теорема Гординга — имеет место для особо важного класса эллиптических систем, так называемых сильно эллиптических систем. Прежде чем переходить к более точной формулировке, сделаем несколько замечаний. Как известно, пространство ^т является сепарабельным и имеет счетный базис фр ф2, ..., где ф; представляют собой 2m раз дифференцируемые функции, причем С^у^ГДйД. Пусть Нк— подпространство, натянутое на первые k элементов базиса: фр .... фй, и пусть Ек — оператор ортогонального проектирования на подпространство Нк при скалярном произведении (•, -)л,г Для произвольного у £ %т имеем

(7-1)(7-1)Нл, , = 0.

(7-1)

(7-1)

Теорема 1 (Морен). Пусть выполняются условия теоремы Гординга {обеспечивающие единственность решения задачи Дирихле, см. § 6) и пусть b^D{Q\ т. е. Ь^Сгт{йД и Qb £1?{Йп). Рассмотрим последовательность приближений Галеркина (и^, определяемую следующим образом;

к

опр. .одр. * 1

304 Гл. XIII. Краевые задачи и задачи на собственные значения коэффициенты at определяются из системы так называемых уравнений Галеркина

2 a^k, ^Q = ^Qb — h, <pv)o- V=1(7-3)

которые однозначно разрешимы для больших значений к. Последовательность (hv) сходится по метрике || • Ц^ к элементу и, который является классическим решением задачи Дирихле. Таким образом,

lim I “ — «а 1л, /= Пт II « — «/Л = Ит 1“ — «а b = 0- Й->оо&->оок->ео

J — 0, 1т.

Доказательство. Как известно из § 6, решение задачи Дирихле имеет вид и — b— Ь', где Ь' — решение уравнения Фредгольма

b'-\-Rb' = b,

причем b определяется из тождества (4.8), которое при наших более сильных предположениях относительно краевой функции b можно записать в виде

Ф, Ла, t^(Qb. /)о - (А. /)о. / е ет ^„у(7.4)

Вместо того чтобы решать уравнение Фредгольма, решим А-мер- ное приближенное уравнение

Efcbk-^EkRbk — Ebb = 0, Ekbb — bb.(7.5)

Поскольку уравнение Фредгольма однозначно разрешимо и поскольку, кроме того (гл. VII), имеют место соотношения

lim |E~g — g |л t = 0, lim |EbR — R\At = Q, k->co£->co

то для больших значений k уравнение (7.5) однозначно разрешимо. Уравнение (7.5) эквивалентно к скалярным уравнениям

0 = (Ек ^bfe + Rb'k - 6), Ф.)д , = (»; + Rb'k - b, Фу)д> f (7.6) ибо Е*к = Ек и Ekq>^ = фv; однако

(bk + Rbk, ^А=(Ь'к,<pv)0.

Ввиду соотношения (7.4) уравнение (7.6) принимает вид (Qbk — Qb — к, Фv)o = O, v^l( ...,к.

или, полагая

а

Ь’к = 2

1 = 1 получаем

S а^г ^^(Qb-h, <pv)o, v=l,

Поскольку | bfc — ^| —>0, fe->oo, то, полагая uk — b—b'k, имеем

I я — «J = I — b’ — b + b' I — \b' — b'\ , откуда вытекает наше утверждение.

Уравнения Галеркина (7.3) имеют такой же вид, как уравнения Ритца, однако они не допускают столь изящной геометрической интерпретации; метод Галеркина не является вариационным методом.

Задача на собственные значения.Преобразование Грина

В гл. XII нам удалось решить задачу на собственные значения, так называемую проблему вибраций, для определенного класса формально самосопряженных операторов. Рассмотрения настоящей главы касаются общих эллиптических уравнений (произвольного порядка) в ограниченных областях.

Подобно тому как краевую задачу оказалось возможным свести к уравнениям с вполне непрерывными операторами в соответствующим образом подобранном гильбертовом пространстве—пространстве фт,— так и задачу на собственные значения оказывается возможным свести к соответствующей задаче для определенного вполне непрерывного оператора, называемого преобразованием Грина данной краевой задачи.

Здесь мы будем заниматься задачей на собственные значения только для краевых условий Дирихле; точнее, задача формулируется следующим образом.

Изучить существование и свойства решений из С?т (Q„) уравнения

(Q — M)u = Qu — Хи = 0,(8.1)

принадлежащих пространству $т.

В силу основной теоремы о слабых решениях уравнение (8.1) эквивалентно тождеству

^hq.^(8.2)

для всех f^^m.

20 К. Морен

Теорема 1 (Гординг). Для достаточно больших t тождество

(/. й)о = («,/. h)Q+i, /, h, Gtf^^№(8.3)

определяет вполне непрерывный оператор Gt, причем обратный оператор G71 является расширением дифференциального оператора Q-\-tI.

Определение. Оператор Ot называется преобразованием Грина задачи Дирихле.

Доказательство теоремы 1. Пусть t > t0, где /0— число, о котором речь идет в теореме 2 § 3. Тогда, как известно, уравнение (/, f^R = <RJ, f)AAP где /■ /'• ^/^.^т' определяет вполне непрерывный оператор ^(Q-|-/ = ^ + /4'^> гДе R— оператор порядка < 2/и). Имеем

I D ,2 W-.I ^h - SUP777)—J 'AA tI D ,2 W-.I ^h - SUP777)—J 'AA t^Csup^Csup1/'Рт1//т-11/'Рт1//т-1(i/i2m+d/®(ir i2m-Hi/Q(i/i2m+d/®(ir i2m-Hi/Q<Csup—l/-1"-1И IZI^ + MZI^<Csup—l/-1"-1И IZI^ + MZI^

I D ,2 W-.

I ^h - SUP777)—

J 'AA t

I D ,2 W-.

I ^h - SUP777)—

J 'AA t

^Csup

^Csup

1/'Рт1//т-1

1/'Рт1//т-1

(i/i2m+d/®(ir i2m-Hi/Q

(i/i2m+d/®(ir i2m-Hi/Q

<Csup—l/-1"-1

И IZI^ + MZI^

<Csup—l/-1"-1

И IZI^ + MZI^

где постоянная С ne зависит от t.

Следовательно, при t-*co |/?Jz->0. Из леммы 3 § 2 и теоремы 2 § 3 вытекает, что тождество.

(/, K)o = (BtJ, к)^, где /, к, BJ £^т,

определяет другой вполне непрерывный оператор Вг Как мы видим, уравнение (8.3) эквивалентно уравнению

(/, k")"0 = (,Gf/, k)Q+t = (G,f, h)A+t + (Gtf, k)R = (Otf-}-RtGtf, k^.

Ио для достаточно больших / |^/|/< С а поэтому существует ограниченный оператор (Z + /?,)-' (ряд Неймана). Следовательно, для достаточно больших t существует оператор

Gt = U^rRtrxBt,

который как произведение вполне непрерывного и ограниченного оператора вполне непрерывен. Докажем теперь, что оператор Gt обратим. Действительно, если GJ— 0, то (/, h^ = ^Gtf, hd — Q для всех k^Cf (Q„), а поэтому / = 0, т. е. существует оператор Of1.

Будем теперь рассматривать Q + ^/ как оператор, заданный в пространстве ^т. Пусть графиком оператора Q-\-tI является множество всех пар {/, (Q + //)/)- где /, (Q + ^)/E^m и / £ С2т (й„). Имеем (G( [Q + tl\ f, k)Q+l = ([Q + Щ f. /z)0 = (/, h^q (z, где h^ (Q„),

Откуда.

G(lQ + tI\/ = f.

Это означает, что график оператора Q-\-tI является подмножеством множества всех пар \ptf', /'j, где f'£§m, т. е. график оператора Q-\-tI является подмножеством графика оператора G71, так что

07х =>Q+ti.

что и требовалось доказать.

Теперь легко доказать следующую важную теорему.

Теорема 2 (Гординг). Для того чтобы функция и была собственной функцией задачи (Q — М)и = 0, иС§т, необходимо и достаточно, чтобы и была собственным вектором онера- тора Gt, соответствующим собственному значению (Х + ^)-1:

0<« = (Х + 0-1«-(8.4)

Доказательство. Предположим, что 0 + и£ $т и (Q— М)и = 0, т. е. что для всех /££>,„ имеет место равенство («. Ло-^0- Тогда

(«. Ло^-^-нхи, h=(k^-tKQtu, nQ*t

для всех / £ §т, так что (?»+f) + 0 и.

Qtu = <k^vtYX и.

Пусть теперь вектор и + 0 удовлетворяет уравнению (8.4). Тогда (Ь-НЖ Ло = (^ + 0(0/«. nQM = ^u, Полл

для всех /Е^т- Таким образом, Qu = 'ku, что и требовалось доказать.

Следствие. Ввиду того что вполне непрерывный оператор может иметь не более чем счетное множество собственных значений, единственной предельной точкой которого является нуль, мы видим, что рассматриваемая в этом параграфе проблема вибраций может иметь не более чем счетное множество собственных значений (каждое из которых имеет конечную кратность), не имеющих предельных точек ни в какой конечной части комплексной плоскости.

В частности, в том случае, когда оператор Q формально самосопряжен, преобразование Грина является вполне непрерывным эрмитовым оператором и в качестве следствия теоремы Реллиха — Гильберта — Шмидта можно получить следующее важное утверждение:

Теорема 3. Если Q = Q + , то задача на собственные значения, соответствующая краевому условию Дирихле, имеет.

вещественный чисто точечный спектр с единственной предельной точкой на бесконечности. Собственные функции принадлежат классу СЪп (□„) и об разуют базис пространства ^т, а, следовательно, также пространств ^, 0^/<т (см. упражнение 1).

Замечание. Все теоремы этого параграфа остаются верными для сильно эллиптических систем. Этим замечанием мы воспользуемся в гл. XX при доказательстве теоремы, утверждающей, что на компактном многообразии Римана существует лишь конечное число линейно независимых гармонических полей.

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ

Доказать, что если (и^— базис пространства £>z, то (и^)— также базис пространства фй при 0<^k<L Верна ли обратная теорема?

Пусть Ви — 2 (—1)'а'^“(^(^^“«(х)), где коэффи- | а К m

циенты Ьа— достаточно гладки и ограничены (вместе с производными) в области Йп. Доказать, что тождество (/, /)в — (Hf, /)0, где /, Hf£fym, определяет эрмитов оператор Н.

Определение. Система

Г

(Qu\(x)='2i 2 aaWDauk^

»=1 |а|<р

называется сильно эллиптической в области й„, если матрица

«™и. у —■ R« ( 3 «“(X)И, 6"=6? ... е;..\|о|=р/

равномерно положительно определена в й„ для каждого вещественного g + 0.

Доказать, что все результаты этого параграфа верны для сильно эллиптических систем.

Гординг доказал, что в том случае, когда порядок оператора Q выше размерности пространства, т. е. 2m > п, оператор Грина Qt является интегральным оператором

(GZ/)W = / ®/(х, у)/(у)<(у.

Его ядро ®Дх, у) называется функцией Грина краевой задачи. В случае формально самосопряженного оператора функция Грина эрмитова (почему?).

Если ортонормировать собственные функции (mv) задачи и занумеровать их так, чтобы соответствующие собственные значения (^ + ^)-1' v=l, 2, .. . образовали невозрастающую последовательность, то функцию Грина можно представить в виде равномерно сходящегося ряда

^Дх, у)= l^ + O'^vtoavCy)v=l

(ср. Гординг [II).

Слабые и сильные расширения эллиптических операторов. Для простоты будем рассматривать операторы с коэффициентами, принадлежащими классу С00; читатель перенесет приведенное ниже рассуждение на случай операторов с достаточно гладкими коэффициентами. Пусть

До^а(х,О)5 2 a(,x)Da,а^С” (й\,

и пусть До— сужение оператора А, заданное на множестве С^(йп).

Определение. Слабим расширением As оператора А называется оператор (Д^) .

Определение. Сильным расширением оператора А назы-, вается оператор A№ равный замыканию Д] оператора Др определяемого следующим образом:

D (Д.) = [м е L^ (Q„) n Со” (Q„) -.Au^L1 (Q„)},Axu = Au при ы^О(Д1).

Очевидно, имеет место включение Дяс?С

Доказать, что для эллиптических формально самосопряженных операторов (Д = Д+) Ам = Д4„

Указание. Воспользоваться следующей теоремой фон Неймана-. D (Ag) = D (Aq) Е (l') Ц-Е (—/), где Д(±/) — множество решений уравнения (Д^ гр П) v = 0, а Д- обозначает прямую сумму. Затем применить основную теорему о слабых решениях.

Доказать следующее более общее утверждение.

Теорема (Н а р а с и м х а н [1]). Пусть Q„ — ограниченная область, а А — равномерно эллиптический оператор-, в этом случае As= Ам.

Указание. Воспользовавшись неравенством Гординга, заметим, что равенство (Д + ^ = (Д + 0л1- ^С1, эквивалентно равенству Лд = Дд1' Далее, нам известно, что при достаточно больших t one-

ратор Д + ^ положительно определен. Пусть Л!— унитарное пространство со скалярным произведением (ир а^м = (ыр «2)0 + + ((Л + 0$“1> И + Ози2)о- Нужно показать, что множество Л1ПС°°(А„) плотно в пространстве М. Определим расширение Фридрихса (Д + Оо оператора (Л + ^)о, и пусть ?7 = О(Д + ^)0. Для рассматриваемого i! (Д + ^)0 ЛГ = А2 (£2„); это топологический изоморфизм N на А2(йп) (Л/ топологизировано посредством Му Оператор (Д + Од1 отображает С” (QJ П L? (QJ в плотную часть N. Из основной теоремы о слабых решениях тогда следует, что эта часть входит в С”^^. Поэтому множество Л/ПС”^) плотно в N. Завершается доказательство при помощи подхода, подобного упомянутому в упражнении 5.

Обобщить теорему Нарасимхана на сильно эллиптические системы с регулярными коэффициентами.

В заключение заметим, что оператор Д^ можно'определять еще и более жестким образом, считая его равным замыканию в £2(Q„) оператора Д2, где D (Д2) = С” (Q„ 1) дй„) и Д2и = Au (ясно, что так определенный Д^ является сужением ранее определенного). И в этом случае справедливы утверждения типа сформулированных в упражнениях 6 и 7, если только дйл достаточно гладкая.

ГЛАВА XIV

Неравенства Эрлинга. Полная непрерывностьоператора вложения. Лемма Соболева. Слабаяполунепрерывность функционалов вариационногоисчисления функций многих переменных

В настоящей главе изучаются функционалы вариационного исчисления функций многих переменных, связанные с эллиптическими уравнениями высшего порядка. Основным инструментом являются неравенства, найденные Г. Эрлингом (§ 2 и 3). Из неравенств Эрлинга мы получаем простое доказательство леммы Соболева, которая является главным звеном, связывающим функциональный анализ с теорией дифференциальных уравнений.

В § 4 мы приводим простое доказательство теорем типа Рел- лиха — Кондрашева о полной непрерывности. Эти теоремы дают возможность обобщить теорему Гординга о полной непрерывности преобразования Грина. В § 5 мы вводим изученные П. Д. Лаксом пространства ^_т, являющиеся пространствами, сопряженными к пространствам ^т. В § 6 излагаются так называемые фундаментальные неравенства, которые позволяют в § 7 получить решение одной краевой задачи иным способом, чем в гл. XIII. В § 8 мы доказываем обобщенную теорему Вейерштрасса о достижении нижней грани функцией, полунепрерывной снизу. В § 9 излагается теория форм Лежандра, представляющая собой абстрактную основу теории квадратичных функционалов вариационного исчисления.

Развитый аппарат позволяет в § 10 и 11 доказать слабую полунепрерывность важных функционалов вариационного исчисления, найти необходимые и достаточные условия для достижения этими функционалами абсолютного минимума и изучить дифференцируемость элемента, на котором достигается абсолютный минимум. В § 12 излагаются некоторые вопросы, связанные с так называемыми неравенствами коэрцитивности, а в § 13 — некоторые дополнительные сведения о резольвенте эллиптического оператора; § 12 тесно связан с § 7.

Введение

Рассмотрения предыдущей главы с точки зрения классического анализа обладают существенным недостатком. С одной стороны, были изложены методы решения краевых задач для обширного класса эллиптических уравнений (даже систем) в произвольных ограниченных областях. Мы доказали, это эти решения в случае гладкой

правой части уравнения являются классическими решениями, т. е. внутри области являются решениями в обычном смысле. В то же время краевые условия понимались в обобщенном смысле и с классической точки зрения, собственно говоря, неизвестно, какая задача решалась.

В последние годы было приложено много усилий для того, чтобы разобраться в возникшей ситуации, и в конце концов удалось добиться успеха. В настоящей главе описывается попытка отыскания разумных условий, при выполнении которых обобщенное решение задачи обладает требуемой степенью гладкости в замыкании области, а следовательно, удовлетворяет краевым условиям поточечно, т. е. в классическом смысле. -

В этой главе мы рассматриваем также достаточно общие интегро- дифферепциальпые краевые условия, охватывающие граничные условия, встречающиеся в теории плит.

Главным инструментом, позволяющим относительно просто получить общие и точные сведения, являются интересные неравенства для интегралов от сумм квадратов производных, полученные в частных случаях Фридрихсом [1], а » изложенном здесь общем виде принадлежащие Эрлингу [1], и вытекающие из них априорные оценки. Эти оценки мы называем фундаментальными неравенствами.

Неравенства Эрлинга дали нам возможность весьма просто доказать теорему о полной непрерывности оператора вложения, из которой в свою очередь непосредственно вытекает доказательство полной непрерывности преобразования Грина в различных пространствах.

Настоящую главу можно читать независимо от гл. XIII. Однако весьма поучительно сравнение результатов, полученных двумя методами.

Области Эрлинга

Большая часть рассмотрений настоящей главы будет касаться гильбертовых пространств функций, заданных в областях, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям. Эти условия, с одной стороны, настолько ограничительны, что позволяют высказать ряд интересных теорем относительно различных норм (так называемые неравенства Эрлинга и теоремы о вложении одного пространства в другое), а с другой — настолько общи, что охватывают многие случаи, встречающиеся на практике. Для упрощения формулировок такие области и многообразия мы будем называть областями Эрлинга.

Определение. Многообразием Эрлинга размерности / относительно ограниченной «-мерной области Q^cf" называется тео-

ретико-множественная сумма конечного числа листов Т, которые обладают следующими свойствами.

1°. Каждый лист в соответствующей системе ортогональных координат ур ..., у„ описывается уравнениями

Уу+i = Ю/+1(У1Yj).

(2.1)

Уп —юп(У1У у)-

где у — (ур .... уу) пробегает замкнутую область D, а все функции №к удовлетворяют условию Липшица

1212

К(у) —ю»(у)1 < с|у —у|;(2.2)

1 я здесь постоянная С не зависит от у, у.

2°. В плоскости у = const существует такой (га — /)-мерный шаровой сектор 2 с положительным радиусом и положительным сферическим углом, что каждая точка у £ 7 может быть вершиной сектора 2у, полученного из сектора 2 сдвигом и содержащегося в йи, за исключением, быть может, самой вершины.

аь

Рис. 3.

Если J = n — 1, то лист Т описывается уравнением уп = = соп(у1Уп-1)> а условие 2° требует, чтобы для каждой точки У = (У1 Уп-Р ®п)Ет отрезок У = (У! ул_,) = const,

(а>л > ул > а>л— А) принадлежал области йл, где А— положительное число, не зависящее от у.

На рис. 3, а окружность и касательная к ней малая окружность образуют одномерное многообразие Эрлинга относительно области й2, которая является внутренностью большой окружности; граница следующей области й2 (рис. 3, А) является многообразием Эрлинга относительно й2, в то же время граница третьей области (рис. 3, с) не является подобным многообразием.

Относительно области Йл предполагаем следующее:

Граница дйл области Q„ является (га—1)-мерным многообразием Эрлинга относительно Qn.

Множество дй„ является границей множества Q„ U <?2„.

Существует такой n-мерный шаровой сектор 2 с положительным радиусом и положительным сферическим углом, что каждая точка х£й„ является вершиной сектора Sx, содержащегося в множестве Q„ U и равного S.

Область Q„ является теоретико-множественной суммой конечного числа областей, из которых каждая в соответствующей системе прямоугольных координат задается неравенством вида

О < У/ < dt = const, / < п,0 < у„ < У (уР .... у„_х),

где У— непрерывная функция и inf К > 0.

Условия I и II обеспечивают существование почти всюду на границе дй„ внешней нормали; из этих условий также вытекает, что если функция /£С(Й„) и частная производная дДдхх существует и интегрируема в йл, то имеет место равенство

f -^dx = J f^ e‘(x) dx' Qn ‘

где et (x) — косинус угла между внешней нормалью к дйл в точке х и осью хг. В этом случае имеет также место формула Грина.

Условие Липшица влечет существование почти всюду (относительно dy = dyx ... dy^ на Т якобианов

попр. О(УаГ ■ ■УАу)

k) D(y,У/) •

Многообразие Sj обладает поверхностной мерой

Почти всюду относительно меры dS} многообразие обладает /-мерной касательной плоскостью. В частности,

dT = dSn_x<V\ + C2dy.(2.3)

.§ 3. Неравенства Эрлиига

Пусть Н — множество бесконечно дифференцируемых функций, заданных на йл и обладающих вместе с производными непрерывными расширениями на замыкание йл области Q„. Пусть

(и, f)* —’ J ^ D^uD^^dx, |и|2°—(и, и)к,и„ I Vl = *

k

II и ||2 °= 5 | и |-. (и, v) = («, ^о, и, v 6 Н.

Для больших значений ^ > О имеют место три соотношения;

ИА = О(^№)(г|«Г4Ч<)С3'1)

при O^k^rn;

| D^ и (х) |2 = О G't^("+21 v' ^ (^ « Г +1 « Q (3.2}

если показатель степени при t отрицателен, т. е. если т > п^ -|-1 v | равномерно относительно x£Q„, и

/ I 04 (х) I2dSj = О И’ ~^ (n-/+2|v|)]) (4 « Го +1« Гт) (З-З)

для отрицательного показателя степени при t.

Неравенства (3.1) — (3.3) будем называть первым, вторым и третьим не равенством Эрлинга. Прежде чем переходить к доказательству, укажем на некоторые интересные свойства этих неравенств. Обозначим символом Hb = Нk (Q„) пополнение множества Н по норме || • ||А. Функции множества Нк имеют все сильные производные, т. е. || • ||о — пределы соответствующих разностных отношений (ср. упражнение 1).

v О

Если («); является || • ||„-последовательностью Коши в Н, а и и а — предельные функции (элементы) последовательностей ^О'1 и^ и (и;), ТО при |v|^/n и ДЛЯ произвольной функции g"EC”(Qn)

(«, g) = (—l)lv|(a, D^g).

Таким образом, сильные производные являются слабыми производными или так называемыми производными в смысле Соболева. Общую теорию этих производных развил Лоран Шварц [1]. Неравенства Эрлинга по непрерывности переносятся на пространства нк.

Из первого неравенства Эрлинга вытекает не только, что нормы II • Па и |-|о + 1-|а эквивалентны, но и что || и ||2 = о(1) р| и |2 + +1«|,J при 1">к, где о(1)->0 при t->oo. Аналогичные следствия имеют место для интегралов по поверхности в третьем неравенстве Эрлинга.

Этими замечаниями мы воспользуемся в § 5 при доказательстве фундаментальных неравенств для эллиптических операторов,

Из второго неравенства Эрлинга вытекает непосредственно весьма важная лемма.'

Лемма (Соболев). Если и ^Н\пд+1+р, то и^Ср(Йп).

Доказательство. Из неравенства (3.2) вытекает, что II " Н[л'2]+1+р"сходимость последовательности Коши влечет равномерную сходимость самой последовательности, а также последовательности требуемых производных в замыкании йи области й„.'

Лемма Соболева приобретает все большее значение при исследовании дифференцируемости решений в йя: для того чтобы доказать, что решение и обладает требуемой степенью гладкости в замыкании йп области йя, достаточно доказать, что и^Нк, где k достаточно велико.

После этих замечаний переходим к доказательству неравенств Эрлинга.

Доказательство первого неравенства Эрлинга. Пусть Т —лист, принадлежащий множеству йя и описываемый уравнением У„ = о)(у), у = (У1Уп-0- гДе У пробегает замкнутую

область D = D. Вследствие предположения I можно считать, что область Т (h), заданная соотношениями у £ D, а — А < у„ < со, содержится в области йп при некотором А > 0. Значение функции и^Н на границе Эйп можно вычислить по формуле

о (у)

и(у, со(у)) = я(у, yn) + J ~^аУп ПРИ11

В силу неравенства |а-|-Ар<^2(|ар-|-|Ар) и неравенства Шварца имеем

о (У)

|«(У. ®(У))Р<2|«(у)Р + 2А J |^-|2^У„.

Интегрируя это неравенство по Т (h) и принимая во внимание (2.3), находим (ниже А может принимать произвольные достаточно малые значения)

(1 4-c2)-V= у । „ р д ^Т 2 y|«|2dy + 2A2 У|"^;|2^< ГГ (Л)Г (Л)”

<2 у|н|2с/у + 2АГ ТО<2 у|н|2с/у + 2АГ ТО/Ж1^-тто z=i ■/Ж1^-тто z=i ■

<2 у|н|2с/у + 2А

Г ТО

<2 у|н|2с/у + 2А

Г ТО

/Ж1^-

тто z=i ■

/Ж1^-

тто z=i ■

Здесь мы воспользовались соотношением

га (у)

Jlu(y, to(y))\2dy= J dy J | я (у, со (У)) P dy„ =

?‘WD a(y)-h

r=A J |я(у, co(y))P</y = Dr=A J |я(у, co(y))P</y = DC^ J |я(у, cd (у)) P DC^ J |я(у, cd (у)) P D

r=A J |я(у, co(y))P</y = D

r=A J |я(у, co(y))P</y = D

C^ J |я(у, cd (у)) P D

C^ J |я(у, cd (у)) P D

= C^ JI и (у) P dT. T

Складывая оценки для различных листов Г, получаем

(3.4)(3.4)^ \u\2dx<A\h 11 я р-|-/z | я [J. dB„

(3.4)

(3.4)

В дальнейшем Л будет обозначать положительную постоянную, не всегда одну и ту же, однако не зависящую от функции и и параметра h.

Обратим внимание на то, что в (3.4) интеграл по поверхности оценивается с помощью интегралов по объему. Существенными являются показатели степени параметра h в правой части. Это неравенство используется в § 4 при доказательстве полной непрерывности оператора вложения.

Применяя (3.4) к производным функции и и складывая результаты, получаем п

/(315)

эап i-i

Из формулы Грина, которую мы запишем в виде

я Р + J яАя dx = J и -^ dx,ипд^

после применения неравенства Шварца и соотношения 2ab=2{h~'!iа)Х X (й'^) ^ А-1»2 + kb7 получаем

<Mh ’Ио + ^Мг + А '/2 J \uVdxA-ti11 J 5j|"^|2rfx)> \аапдйп /=11)

где к > 0 произвольно. Оценивая интегралы по поверхности с помощью формул (3.4) и (3.5) и заменяя в (3.4) к на к'^А, а в (3.5) — на 4Лй‘/з, получаем

l«li ^[А-1 |«|2 + А|и|2].

Применяя это неравенство к производным порядка к—1 и складывая результаты, получаем

1«1»С^[А-1.|«|=_1Н-А|«|= + 1].<3-6)

Докажем по индукции, что имеет место неравенство

|z/|= Л [/z-^|«|= + Л^| «|=+/,]. А>1.(3.7)

Предположим, что это неравенство верно для jD^>0. Мы должны доказать, что оно имеет место также для р-|-1. Легко показать, что если это неравенство справедливо при р = 0, то оно справедливо также при р = 1. Но для р = 0 неравенство (3.7) тривиально.

Из индуктивной гипотезы (относительно к') вытекает

ML^Ia-^H + AI^

Подставляя это неравенство в (3.6), получаем

I и |2 < А [й'1 Л( (к"^ | и |0 + h | и |2) + А | и |2 + J, а следовательно, для достаточно малого kv имеем

|«|6^Л[А1 I « |а + А, | « |fc+J-

Теперь на основании индуктивного предположения

| « |^ < Л [А ” | и |2 + к' | и |;+J;

С Другой стороны, записывая доказанное для р = 1 неравенство (3.7) в виде

получаем

и < aav [h-k (i + ^) ।«i20+^’ ।«i:+p+j.

Взяв в самого начала й достаточно малым, получаем

Таким образом, мы доказали справедливость неравенства (3.7).

Положим в (3.7) к-\-р=т и h = t-I'm; тогда неравенство (3.1) в случае 0 < к < т выполняется. В случае к — 0 и к = т неравенство (3.1) очевидно. Таким образом, доказательство первого неравенства Эрлинга закончено.

Доказательство второго неравенства Эрлинга. Положим

ф^^'Дх + ф, Где />0, ||^||=1.

Из формулы Тейлора для функции ср, записанной в виде

ф($)=фЮ+л^($_о+...+(7--^м1($_,)«--+ имеем

/ W = Ф(0) = 2 Ф(,) V) (- if + ^ / (- т/'1 Ф<6> (т) dT,1 = 0t

/! dtl

Поскольку мы собираемся переходить к сферическим координатам, то будем брать столько членов разложения Тейлора, чтобы под знаком интеграла получить множитель т"-1^. Используя неравенство

(а0 + «1 4~ • • • + аку <(& + 1) («о 4- «1 + • • • 4- а‘к)

22У т 2 +• т 2 <р^)(т) dxоУ т 2 +• т 2 <р^)(т) dxои учитывая соотношение 02

2

2

У т 2 +• т 2 <р^)(т) dx

о

У т 2 +• т 2 <р^)(т) dx

о

J (—=

< J*T-("-I)+2(ft-1)</T. J T«-l|<pW(T)|2dT = оо

■Лк-п 1

■о

получаем'.

(6-1

^>(,W ^ +

+ ^2 2^-п S 1 Ф^ ^ I2 ^Т ’ 2й — п > 0. (3.8)

Принимая во внимание условие III § 2, введем «-мерный сферический сектор X(/t)czQn с центром в точке х и радиусом к. Вводя сферические координаты и интегрируя по переменному tt (3.8), получаем (&-1

^^ у|ф^)|2^ +

Z=0 S(A)

где 0„_! — единичная сфера, a/i"-^—мера сектора 2 (/г). Меняя порядок интегрирования, получаем

у tn-x у 4=^d0^dt

°Л h °

= У dr У ^27^ dt у т"-1 [ ф№ (т) I2 dan_x =

0 Т h

-^^S^-x^xn"Xdx /|(р№12^я-1^

<irw=^Sx№'Xdx i ^dQ^ir^^ У|ф^р^, о4„_JSW

Откуда

\f(x^<A^h21-" у|ф(Ор^ + ^^2 Jb^X. z=o хдах®

Поэтому тем более

\f(x)V<A'21h2l-n\f\r

а для производных

\Dvf(x)\2<A ^""Ш^ ,(3-9)

при А > Ао равномерно в Qn.

Применяя к правой части формулы (3.9) первое неравенство Эрлинга, полагая при этом в (3.9) А —С1/2т и u = f, получаем

\Dvu(x)\2<A S^2m " m Ч'И + 1<] =

итак, мы доказали второе неравенство Эрлинга..

Доказательство третьего неравенства Эрлинга проводится аналогично доказательству второго.

Пусть Tj есть /-мерный лист многообразия Sj, описываемый уравнениями

уу+1 = соу+1 (У1у у)Уп = 0)п(Ур . ... уу).

Выразим значение функции / в точке у = (у! Уу, о)у+1, ..., ип) £ Гу через ее значение ф(0°—/(у + ^) на лУче У + ^- ^>0, ^1= ... =^У = 0, Щ = 1, проходящем через (п—1)-мерный сектор Sy с вершиной у. Предположим, что А >у(п— /). Из (3.8) получаем

|/(у)12<(^+1) Si^^i'^+^sLn+if V i = 0о

(3.10)

Возьмем объемный интеграл от обеих частей неравенства (3.10) по переменному z — у + ^ по области Sy(A)X^у, где Sy(A) обозначает ту часть сектора Sy, которая лежит в шаре радиуса А с центром у. Переходя к соответствующим сферическим координатам и производя выкладки, аналогичные предыдущим, а также скла-

дывая оценки, полученные для различных листов Тр при достаточно малых значениях к получаем

'к

J|/|2dx<n2l/|zA2z-n+<.

Sy1 = 0

Применяя это неравенство к производным и полагая u=f, найдем ' к

^D^ufdx^^h^^u^.(3.11)

Syi=0

Применяя, как и раньше, первое неравенство Эрлинга и опять полагая Л = ^-1/2т, получаем (3.3), что и требовалось доказать.

§ 4. Предкомпактиость подмножеств пространства Z,2.Полная непрерывность оператора вложения Ц, к

Пространство Ht можно рассматривать как подмножество пространства Нк при к < I. Вложением (инъекцией) Iu к пространства Нг в пространство Нк называется линейный оператор It к'- Н1—>Нк, заданный при u^Ht соотношением

h,ku^ii^Hk-

Из первого неравенства Эрлинга немедленно вытекает, что 111к—непрерывный оператор. Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы доказать полную непрерывность вложения, т. е. доказать, что единичный шар в пространстве Ht является предкомпактным множеством в пространстве Нк. Доказательство проведем по индукции. Достаточно доказать полную непрерывность оператора /е.ц при к = 0 Нк = 1? (й„), и для того, чтобы доказать полную непрерывность вложения /ь 0, нам потребуется признак предкомпактности в пространстве £2(й„). Пусть Еп есть «-мерное пространство (аналогичный признак имеет место и в более общем случае, когда Еп — топологическая группа).

Для того чтобы множество ФсЕ^Е") было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы-.

1° множество Ф лежало в некотором шаре, т. е. чтобы существовало такое число М, что ||ф||<^Л1 для всех ф^Ф;

2° для каждого е > 0 существовало такое компактное множество К = К (е) с Е", что для произвольной функции ф£Ф выполняется неравенство ||ф— ф'Ц^е, где

/1Опр.ф^ф^, (ф!Ю(х) =/1Опр.ф^ф^, (ф!Ю(х) =Ф(х)оФ(х)оприприприприх С к, х^К;х С к, х^К;

/1Опр.

ф^ф^, (ф!Ю(х) =

/1Опр.

ф^ф^, (ф!Ю(х) =

Ф(х)о

Ф(х)о

при

при

при

при

х С к, х^К;

х С к, х^К;

3° для каждого е > О существовало такое б > О, что для каждого h£En, |й|<б,'

II Фл — Ф II < е- где Фл W °— ? (^ + А)-

Доказательство. Условия 1° — 3°, очевидно, необходимы. Действительно, пусть у1JpW есть (е/3)-сеть множества Ф; поскольку множество С” плотно в пространстве L?(En\ то, не ограничивая общности, можно предположить, что /V^C^°(£'”), v=l, .... р(г). В качестве числа М можно взять max {|| /v || -ф- е/З), в качестве множества К — компактное множество, содержащее носители функций /тjP^^ а в каЧестве числа 6(e) — такое число, что ||/д—уv|| <^е/З при |й|<б(е) (функции yv равномерно непрерывны). Прежде чем переходить к доказательству достаточности, покажем, что условия 1°—3° достаточны, для предкомпактности множества Ф в пополнении С°(Е„) множества финитных функций из С^Е^ относительно нормы

IIУ || = sup | у (х) |

(теорема Асколи)..

Благодаря условию 23 можно ограничиться тем случаем, когда функции множества Ф имеют носители в компактном множестве К. Условие 1° означает, что эти функции ограничены в совокупности, а условие 3° — что они равномерно непрерывны. Выберем число 6(e) в соответствии с условием 3°.

Рассмотрим покрытие множества К конечным числом шаров радиуса д = б(е) с центрами х1 (шары обозначаем К (х1, б)). Выберем теперь конечную последовательность функций f £Ф так, чтобы для произвольной функции У ^ Ф существовал такой показатель v, для которого

l/(V)-yv(V)|<e при всех х1.

Поскольку каждая точка х^К лежит в одном из шаров К(х‘, б), то в силу условия 3° имеем

|y(x)-yv(x)|<|y(x)-y(xO| + |y(xO-yV)l +

+ I/V(^) — Г (х)|<3е.

Очевидно, при х^К имеем | у (х) — yv(x) | = 0.

Случай пространства Z.2 сводится к предыдущему посредством регуляризации функций ф,==ф|А': пусть £" £ С” (/< (0, б)), g"(x)^-0, J g(x)dx = 1 и

En.'

т. е.

ф" (х) = J g (у) ф' (х — у) dy.

Еп

Заметим далее, что

УI (ф"—ф')(х)|2 dx = JЕп .ЕпУI (ф"—ф')(х)|2 dx = JЕп .Епт. е.т. е.|2е2,|2е2,( g(yW(x—У)—ф(х)Му 2dx<l|g||;

УI (ф"—ф')(х)|2 dx = J

Еп .Еп

УI (ф"—ф')(х)|2 dx = J

Еп .Еп

т. е.

т. е.

|2е2,

|2е2,

Еп

II ф" — ф' II < се,

где с не зависит от ф. Аналогично

Цф"М1К1к11Цф"М1К1к11лад.лад.У | ф' (х — у) Р dy 41

Цф"М1К1к11

Цф"М1К1к11

лад.

лад.

-Еп-

так что функции ф" ограничены в совокупности. Далее имеем

Ф* (* — У) — ф" ОО | = | ф" (х — А) — ф" (х) | =

= У g (У) 1ф' о — у — А) — ф7 О — у)] 6?У = lg h — £0 * ф' (х);

Еп

для достаточно малых h

|фдО) —ф"О)|<е.

Кроме того, функция ф" имеет носитель в некотором компактном множестве. Таким образом, семейство (ф") удовлетворяет всем условиям теоремы Асколи и существует е-сеть ф"ф"(е). Отсюда вытекает предкомпактность множества Ф, что и требовалось доказать.

Из этой теоремы получаем следующее достаточное условие пред- компактности множества ФсА2(й„), где Q„ cz 5” и множество Q„ компактно.

Продолжим функцию из L? (QJ нулем вне йд; обозначим такое продолжение функции ф£А2(йп) символом ф. Теперь можно применить предыдущую теорему. Множество Ф cz А2(йд) компактно, если

1° Пф||<^,

2Э ПФй— ?|1<е "Ри |А|<6(е).

Полученный нами признак предкомпактности применим к доказательству следующего утверждения.

Теорема (Ре л лих). Вложение Нх-*Нп является вполне непрерывным отображением.

Доказательство. Пусть Фт — единичный шар в Нх. и^Фр П u Hi -^ 1- Из первого неравенства Эрлинга вытекает, что множество

Oj с: HQ равномерно ограничено (лежит в некотором шаре). Требуется доказать, что выполняется условие 2°. Пусть Q„—подмножество множества Q„, состоящее из точек, находящихся на расстоянии меньше чем 6 от границы дйп.

Разобьем интеграл в неравенстве 2° на сумму двух интегралов: первый по области Q„, а второй по области Qn— Q^. Если к £ С1 (й„), то

1

к (х -|- А) — а (х) = J -^- ы (х + /й) dt,о

откуда

J* ] и (х —|— Л) — ы (х) |2 dx С

1

'f । AI2J Sl^"^ +^)|2 dxdt<h? <i?.

о

Для того чтобы оценить интеграл J |и(х-|-й) — «(x)|2dx, йл~Вл

достаточно оценить интеграл типа J \u(x)pdx; однако послед

ний интеграл в силу (3.4) для малых 6 есть 0(d). Таким образом, в случае к = 1 теорема доказана.

Переходим теперь к доказательству общего случая полной непрерывности вложения Н к-> Н к_х.

Пусть Ф6— (единичный) шар в Нк; из неравенств Эрлинга и уже рассмотренного случая к = 1 вытекает, что достаточно доказать сходимость подпоследовательности по норме | • |А1 т); однако | ы |д_1 является суммой интегралов квадратов D^^u, причем производные Dku являются выражениями вида V.dldx^Dk-xu\ из предыдущего (й=1) вытекает, что посредством (возможно, многократного) перехода к подпоследовательности можно найти такую подпоследова-

V

дельность, чтобы иг было || • ||й_1-сходящимся, что и требовалось доказать. .

l“lLi— J ^ XD^u^dx.

'Qn |ai=fe-l

Перейдем теперь к сопряженным пространствам

— пк

(подробное определение пространств Н_к см. в § 5).

Пусть J = Ik+1,k— вложение пространства Нк + Х в пространство Нк\ Juk+1 — uk+x£Hk. В таком случае в силу определения сопряженной операции имеем•

\ я + г R/ \ R + VR/

откуда

Ги^и^Н-^Н^.

Таким образом, оператор 1_к>_к_х вложения Н _к->Н_к_х сопряжен вполне непрерывному оператору 1к+х, к и поэтому сам вполне непрерывен. Мы получили следующее важное утверждение.

Теорема. Вложение Ht-+Hk при 1~> к является вполне непрерывным отображением, если йя—область Эрлинга (к—произвольное целое число').

Пространства Н_к

В последнее время в теории уравнений в частных производных (главным образом благодаря теории обобщенных функций Шварца) важную роль стали играть пространства, сопряженные с пространствами Нк, т. е. пространства линейных непрерывных функционалов на пространстве Нк (Q„). Ввиду того что в настоящей монографии мы не предполагаем, что читатель знаком с теорией распределений, мы изложим элементарный подход, которым мы обязаны П. Д. Лаксу (ср. Лакс [ 1 ]). Поясним сразу, что так как Л*(й„)—гильбертово пространство, то каждый функционал I (w) на нем записывается в виде Цчо) = (чю, г>)к, где у — некоторый элемент из Нк(Йп). Однако оказывается удобным записывать такой функционал в терминах, грубо говоря, скалярного произведения (• , • )0; это сейчас и будет сделано.

В дальнейшем Нк —" Нк (Qn), к ^> 0.

Для каждого и £ Нй выражение (w, и) ='(ту, и)й является линейным функционалом переменной ю, непрерывным относительно нормы || • ||0, короче: || ■ ||0-непрерывным, а поэтому также || • ^-непрерывным. Обозначим его норму символом

|| и ||_* =' sup J “^ -,А>0.(5.1)

1WII «’ll*

Эти линейные функционалы образуют полную систему: они равны нулю на некотором фиксированном элементе ^^Нк тогда и только

тогда, когда от = 0. Пространство Нк как гильбертово пространство является рефлексивным. Нам известно (ср. гл. II), что в таких пространствах полные множества плотны в сопряженном пространстве. Таким образом, функционалы / (•) вида /(от) = (от, и) плотны в Нк.

В свою очередь мы знаем, что в гильбертовом пространстве

где и* пробегает какое-либо плотное множество в пространстве Нк.

Обозначим через Н_к замыкание множества С” (£2„) по норме Ц• ||_й. Пространство Н_к изометрически изоморфно пространству Нк;

Н_к^Нк

и, следовательно, тоже является гильбертовым пространством. Следовательно, каждому элементу и пространства Н_к можно поставить в соответствие линейный функционал 1^Нк с помощью формулы

I (от) = (от, и),

где (от, a)= lim (от, и^, ип£_Нй, lim ^ ип— a||_ft = 0. Л->соП->оо

Отсюда вытекает следующее обобщенное неравенство Шварца:

|(от, «)| = |(от, н)К[М6-|И1-6-

Теорема (Лакс). Всякий линейный непрерывный функционал Ци) на пространстве Н_к можно представить в виде «скалярного произведения11

1(и) = (от, и) = (и, от), где чи^Нк. и^н-и

Мы предоставляем доказательство читателю. Заметим, что, как вытекает из формулы (5.1'), норма функционала /(-) = (., от) равна || 'СуЦд- Поскольку пространство Нк является полным, множество линейных функционалов указанного вида является замкнутым.

В дальнейшем мы будем заниматься областями Эрлинга.

Из предыдущих глав нам известно, что, для того чтобы в терминах гильбертова пространства сформулировать некоторую граничную задачу, следует выделить некоторое линейное пространство — пространство однородных краевых условий. В теории задачи Дирихле для эллиптического оператора порядка 2m (т^-1) допустимые функции должны равняться нулю на границе dQ„ вместе с производными до порядка т—1 включительно. В терминах гильбертова пространства

этот факт формулируется следующим образом: и £ Нт, где Нт=Нт (2„), как и в § 6 гл. I, является пополнением множества С” (Qn) по норме || • ||т.

В общем случае будем говорить, что функция а удовлетворяет однородным краевым условиям, если и^/В, где В—подпространство пространства Нт, содержащее подпространство Нт,

Такого рода общие граничные условия изучал Эрлинг [1].

В дальнейшем мы будем заниматься только граничными условиями первого рода, т. е. такими, что и £ Нт. Большинство приводимых ниже теорем переносится на общие однородные граничные условия. Отметим, что построение пространства Н_к переносится и на тот случай, когда роль Нк играет В и, в частности, Нт. Формула (5.1) сохраняется с w^B. В дальнейшем Н_т означает пространство функционалов, соответствующее Нт.

Проблемы вибраций

Предположим, что оператор

Аи (х) = а (х, D)u(x) = 2 av (х) £>v« (х) =

] v|<2m

= (-l)m 2 D^a^DW^A-

IH] = lvl = m

|HI<m, | v|<m

I Ц l + | v| <2m

является равномерно эллиптическим в области Q„, т. е. существует такая постоянная d, что для каждого х £ Q„

■г1 2 |6“Г>2 «RvWVV^ZI^r

|ц]-т|gl = |v|=m

при всех ^ 6 C1. ^ = 1n; ^ = ^ ... ^п, (111=^+...+^.

В силу неравенств Эрлинга для достаточно большого t0 ^- 0 форма в (к, и, у—‘ J ^а^^х) D^ut.x) D'v'u(x')dx -V-

Q„ lnl=lvl = m

Л —1

4-^0(tt, ^^^(tt, »)+У f Ky(u, ^dSj, j = i sy

где М (и, v) = J ^jt>liv(x) D*u(x)D'l'v(x)dx, I^Kim,

|v|<^m, |и| + |v| < 2m, Sy есть У-мерное многообразие Эрлинга относительно области £ln, К) (a, v) = ^lc^Dv'uD'1v, причем |и|, |v| <m—-^-(n — У), а коэффициенты Ь^, с^ ограничены, удовлетворяет условиям теоремы Лакса—Мильграма (ср. гл. II, упражнение 7), т. е. .

1° функция а(- , • , У;) линейна относительно первого и анти- линейна относительно второго аргумента; кроме того, существуют такие постоянные ср с2 > 0, что

2° |а(м, V, ^KcilHlmlHk.

3° (а (и, и, /0)|>с2||м|^,

для всех к, у £ Нт (Q„).

Таким образом, имеем следующую теорему.

Теорема. Отображение О(, t^t0, заданное формулой (и, ^ = (и, ^ = 0(0^, -и, f),и£Н_„, v£Hm

(или v^BdHm; и^В^Н,,^, является линейным непрерывным отображением, т. е. гомеоморфизмом пространства Н_т наНт (или О(:В*—>В). При а^Н2т имеет место неравенство

п-т Доказательство. Мы должны лишь доказать неравенство. В силу определения нормы || • || о имеем

Н-т

Цоу^Цо <i sup (GyV ф) = sup (а (и, ф; 01 = П-т ПФ11т<1ПФПт<1

= sup |((Д + 0«. ф)К1М« + ^||о(фЕС”(йл)),

11 <pllmci

что и требовалось доказать.

•) Читатель, знакомый с элементами теории распределений Шварца, легко заметит, что обратное отображение Gp \Нт-> Н_т является дифференциальным оператором а(х, D, /) =='2а^(х') D^u-^-tu, где

Проблемы вибраций (продолжение)

Следуя Эрлингу, мы изложим далее общую формулировку проблемы вибраций.

Определение. Собственной функцией их проблемы вибраций {а, В}, соответствующей собственному значению А, называется такой элемент u^BczH^, что для всех ф^В имеет место тождество

а(нг Ф- °) = Ч“г Ф>(7Л)

Опираясь на полную непрерывность оператора вложения, мы можем доказать некоторое обобщение теоремы Гординга — Эрлинга.

Теорема. Для достаточно большого t тождество

(и, v) = a(Gtu; у; /), и£Н_т, Gtu, v^B, (7.2) определяет оператор О(. Оператор Gt, называемый преобразованием Грина, рассматриваемый либо как отображение 1° Н_т-^-Нь, где —т <^ k < т, либо как отображение 2° О(: Н5-*Нр, где $> — т, р^.т, является вполне непрерывным оператором. Проблема вибраций и оператор Gt имеют одни и те же собственные векторы-, если X — собственное значение проблемы вибраций, то (А + 0""1 является собственным значением оператора Gt.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из следующих диаграмм:.

Н_т Хнт 2mife^Hfc, — m<k<m,'

Н$2^н_оХнтХнр, s>-m, р^т-,

при этом 1тр — оператор вложения пространства Нт в пространство Нр.

Пусть ик^В, и пусть G(uK = (^4™ Г)-1 и^, тогда на основании соотношения (7.2), определяющего оператор Ot, имеем

а(мг Ф; ^) = № + ^)(«х. Ф) Ф€В,(7.3)

откуда вытекает (7.1). Обратно, если а(ик, ф, 0) = Х(к, ф), то

а(их, ф; <) = (Х4-0(«х. ф) = a (Gt [А. +1] ик, ф; /),

откуда вытекает второе утверждение.

Если проблема {а, В) самосопряжена, т. е. если форма а (• , • ; 0 является эрмитовой на множестве В, то преобразование Грина является эрмитовым оператором; в этом случае, объединяя

предыдущую теорему со спектральной теоремой Реллиха, получаем важное следствие. •

Следствие. Если проблема вибраций самосопряжена, то ее собственные функции об разуют базис в пространстве В и, следовательно, являются полной системой в пространстве Но.

Перейдем к выводу фундаментальных неравенств. Ввиду сложности выкладок мы сможем дать лишь беглый набросок соответствующей теории. Прежде всего установим одну простую лемму.

Лемма. Если эрмитова матрица B = (bik) положительно определена, то тензорное (кронекеровское) произведение В® В является положительно определенной матрицей. Если матрица В(х) равномерно положительно определена, то то же имеет место и для матрицы В(х)® В (х)1).

Доказательство. Напомним, что порядок (квадратной) матрицы В® В равен г2, где г—порядок квадратной матрицы В; при этом ее элементы определяются следующим образом (два первых индекса указывают строку, а третий и четвертый — столбец):

Ьц, hr bikblr

После приведения матрицы В к диагональному виду (посредством унитарного преобразования, которое, как нам известно, не меняет спектра) получаем матрицу В ® В в диагональной форме. Элементы на диагонали имеют вид XZXZ, I, 1=1, ..., г, где Xv > 0 — собственные значения матрицы В. Если Xv(x)>d>0, то очевидно Xz (х) Xj (х) > d2 > 0, что и требовалось доказать.

Для того чтобы лемму можно было применить к выражению J 2 anv(^) D^u^ а^М D^U(X) dx,

(|р|, |v|, |х|, |X|=w. D^D^,"

потребуется выполнить соответствующее интегрирование по частям, так чтобы под знаком интеграла получить сумму выражений вида а^ (х) а-д (х) D^D^u (х) D^D^u (х).

Мы наложим на функции такие краевые условия („допустимые условия"), чтобы в полученных интегралах по поверхности

*) Кронекеровское произведение матриц Вх, Вг, рассматриваемых как отображения векторных пространств Хх —^Л), Х2—^^ является по определению матрицей тензорного произведения Вх ® В2 отображений Вх, В2, записанной в базисе ej®^, где е, и /^— базисы в пространствах Хх и Х2 соответственно.

не встречались выражения вида c^D^uD^u, где |р|—}—|<т| = 4т — 1. Можно проверить, что условием такого рода является, например, однородное условие Дирихле. Эта проверка довольно громоздкая, и мы ее опускаем.

Наметим доказательство фундаментального неравенства. Из сделанных замечаний леммы, а также первого и третьего нерав'енства Эрлинга вытекает, что

IIM2o+^iP>^«L+^«P+ ••••

где многоточие означает выражение, состоящее из интегралов по поверхности и объему, которые при t —>со малы по сравнению с d4u\Xm^P\u\^.

Применяя теперь опять первое неравенство Эрлинга, мы видим, что существуют такие постоянные с^ > О, с2 > 0, что .

IML<ciM« 1^11 <

т. е,

IIк Пгт ci I Io + с21 к 1о-

Может быть также доказано и более общее неравенство llMll2m+z<cil'M + c2l4(/>0)-

Эти неравенства мы называем фундаментальными неравенствами. Отметим, что приведенная выше схема их вывода приводит к цели в случае уравнений второго порядка и условий Дирихле; в случае более общих уравнений и граничных условий на этом пути можно получить лишь отдельные результаты. Вместе с тем в последнее время разработаны общие методы получения фундаментальных неравенств; см. в связи с этим § 12т).

Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство (равномерно) эллиптических операторов Lx — тА + (1 — т) F, где F = (— А)”1 -|- с, А — оператор Лапласа, а с—такая постоянная, что ||«||2m+z-^Ci || ^“ ||г Оператор А является равномерно эллиптическим оператором, а функции и удовлетворяют краевым условиям, о которых шла речь выше.

Легко заметить, что операторы La равномерно эллиптичны, т. е. имеет место неравенство 2^v(-^- т) ^ £V ^ б 21 ^ Р- гДе 6 > О

IH|=|v| = mц

не зависит от х и |; при этом l^^x. т) — коэффициенты при производных порядка 2т в операторе Lx. В качестве б можно взять

*) Фундаментальное неравенство впервые было получено С. Н. Бернштейном для уравнения Лапласа и условий Дирихле. Для сильно эллиптических уравнений второго порядка и условий Дирихле оно было получёно О. А. Ладыженской, С. Г. Михлиным, Каччополи, а для общих сильно эллиптических уравнений и условий Дирихле — О. В. Гусевой, Браудером, А. И. Кошелевым. Намеченная выше схема доказательства восходит к С. Н. Бернштейну и принадлежит О. А. Ладыженской.—Прим. ред.

min (d, /;), где d — положительная нижняя грань собственных значе- z

ний Хг(х) матриц (а^С)), а /; — собственные значения матрицы главной части оператора (— Д)т.

Таким образом, мы получаем следствие.

Следствие. Если а^х) является достаточно большим, то существуют такие постоянные ct> О и х, что для всех «£H2m+lRBx выполняется неравенство

II “ Ikm+Z ^ Cl II ^U Hl ^ У И-“ Ikm+Z’

где Вх— линейное множество функций, удовлетворяющих допустимым краевым условиям.

Это следствие позволяет нам доказать следующую важную теорему.

Теорема. Если коэффициент а0 является достаточно большим, то оператор Л осуществляет гомеоморфное отображение множества Н2т+1 Л Вх на пространство Нх для таких областей Qn, для которых оператор Е = (—А)т + с отображает множество H2m+lf\Bx в множество, плотное в пространстве tfz(t>0). Из леммы Соболева вытекает, что при I + 2т > -^ + q граничная задача имеет решение класса Сч (йл).

Прежде чем переходить к доказательству, заметим, что эта теорема является более сильной, чем теорема Гординга из предыдущей главы, ибо она дает нам сведения относительно дифференцируемости решения в замыкании Qn области Q„, а не только внутри этой области, и, следовательно, мы получаем решение граничной задачи в классическом, а не в обобщённом смысле. Эту дополнительную информацию мы получаем за счет ограничений, накладываемых на границу дйп области Qn (ср. упражнения), тогда как в методе Гординга мы обошлись без этих ограничений ’).

Доказательство. Заметим сначала, что в том случае, когда краевая задача

^(—^4-с^ и = Fu = f ^Нх, и^Н2т+1пВх,где / пробегает множество, плотное в Ht, разрешима, предыдущееуравнение разрешимо для каждой правой части, принадлежащей Нх,

и F является гомеоморфизмом множества H2m+i П S, на пространство Ht. Действительно, пусть /—произвольный элемент пространства Нь и пусть /л = F-iun, где ||/л —/||г —>0. Поскольку из фундаментального неравенства для оператора F вытекает ||ыл—wp||2m+z^ <ci\\fn — /Pllz^0 при п. р-^со, то un->u^H2mVl ПВИ Ввиду того что F является непрерывным отображением H2m.vX f) В{ —>Ht, то Fun->Fu, однако Fun = fn^-f, а поэтому Fu — f.

Докажем теперь что все операторы £т(0^т^1) являются отображениями на Hf, следовательно, в частности, мы покажем, что Lx = А является гомеоморфизмом. Мы это докажем при помощи метода продолжения. Рассмотрим уравнение £Т1и=[Д-|-т1(А—F)\u= — /^Нх. Оно эквивалентно уравнению [/ + txF-1 (А— F)\u—Ff в пространстве Н2тА,1(\В1. Применяя ряд Неймана, мы заключаем, что это уравнение однозначно разрешимо при

Т1<И/71<Л ^IL+z^ x||F-i|[ и '

Сделаем теперь второй шаг: опираясь опять, как и выше, на фундаментальное неравенство, докажем, что оператор £Т1+Т2 = — £Т14~т2(А — F) является обратимым при c2^cz/x. Продолжая этот процесс, после [x/cz] —}— 1 шагов приходим к оператору LX = A, что и требовалось доказать.

В заключение заметим, что в доказанной теореме линейное множество Вх было одним и тем же для всех операторов £т; этим существенно сужается класс возможных граничных условий. Мы не будем здесь останавливаться на других методах получения из фундаментальных неравенств теорем типа доказанной и позволяющих рассмотреть более общие граничные условия.

Полунепрерывные функции

В вариационном исчислении при доказательстве существования абсолютного минимума важную роль играет понятие полунепрерывной функции или функционала.

Определение. Скалярная функция /, заданная на метрическом пространстве X, называется полунепрерывной снизу (сверху) в точке х0^Х, если

im / (х) > / (х0) ’)С Йт / (х) < / (х0Н,

что эквивалентно условию: для каждого е > 0 существует такая

окрестность U (х0; е) точки х0, что / (х)f (Xq)— е(/(х)^

-4 / (х0) + е), если х £ U (х0; е).

Если функция f(x) полунепрерывна снизу (сверху) в каждой точке пространства X, то мы говорим, что она полунепрерывна снизу (сверху) на X.

Примеры ■

Непрерывная функция является одновременно полунепрерывной снизу (сверху).

Характеристическая функция %л замкнутого множества А полунепрерывна сверху. (Другие примеры приведены в § 10.)

Для вариационного исчисления фундаментальное значение имеет следующее обобщение классической теоремы Вейерштрасса.

Теорема. Функция f, полунепрерывная снизу (сверху) на компактном множестве КсХ, достигает своей нижней (верхней) грани на множестве К. (В частности, f на X ограничена снизу (сверху).)

Доказательство достаточно провести для функций, полунепрерывных снизу. Пусть m = mt f (х). Существует такая последователь- х(К

ность хп^К, что f(xn) т-)- Мп- Поскольку множество К является компактным, то можно указать подпоследовательность (х^, сходящуюся к точке х0£К; пусть хкп^и(хй\ \jn). Так как функция / полунепрерывна снизу в точке х0, то т -f- 1/n ^ / ^xk^ ^> f (х^) — 1 /л, откуда т 4- 2/л ^ / (х0) ^ т при п=1, 2, .... т. е. f(x0) = m, что и требовалось доказать.

Слабо полунепрерывные квадратичные формы.Формы Лежандра

В вариационном исчислении рассматриваются функции (функционалы) в соответствующих гильбертовых пространствах. Как известно, шар в бесконечномерном гильбертовом пространстве не является компактным, однако, как было доказано в § 6 гл. VI (теорема 1), шар в гильбертовом пространстве является слабо компактным. Этот факт вместе с доказанной в предыдущем параграфе теоремой указывает на целесообразность изучения полунепрерывных снизу в слабой топологии функций, т. е. так называемых функций слабо полунепрерывных снизу. Особенно простой и красивой является теория квадратических полунепрерывных форм, которой мы будем заниматься в настоящем параграфе. Наши рассмотрения возникли под влиянием работы Гестенеса [1]; в следующем параграфе будет показано, как их применить к квадратичным формам вариационного исчисления.

Будем предполагать, что квадратичная форма Q^^CTw, и) определена с помощью непрерывного оператора Т — Т*. Из спектральной теоремы вытекает следующее утверждение.

Лемма 1. Эрмитов оператор Т индуцирует ортогональное разложение гильбертова пространства ф = §+ф§_. На подпространстве ф+ имеем Q(«)2>0, а на подпространстве %- Q(«)^0. Оператор Т = Т+-\-Т_, где 0^^°= (Г+и, и), a Q_{u)°= <Т_и, и). Имеют место следующие соотношения:

т+^_ = т_ф+ = {0).

Доказательство. Пусть Т = J X dE (X). Для определенности а

предположим, что a^O<^Z>. Полагая

»о

T+ = J XdE(X), T_^f XdE(X), $+°= [£№ — 5(0)]^, 0a■

^- = [£(0) —5(a)]$, получаем наше утверждение.

Лемма 2. Положительный (отрицательный) эрмитов оператор определяет квадратичную форму, слабо полунепрерывную снизу (сверху).

Доказательство достаточно провести для положительного оператора Т^. Пусть Q+(u)°— (Т + и, и). Поскольку

(Т+и, и) - (Т+и0, и0) = 2(Т+[и~и0], ы0) +

+ (Т+[« — и0], [и — «0]) = 2(« — и0, 7+ы0)4-5+(я—«0),

ТО

Пт Q+(и) — Q+(и0) ^ 0, и-»и0

что и требовалось доказать.

Из этих лемм вытекает интересная теорема.

Теорема 1 (Ге с те не с). Для того чтобы квадратичная форма Q (и) = (Ти, и) была слабо полунепрерывной снизу, необходимо и достаточно, чтобы отрицательная часть Т_ оператора Т была вполне непрерывным оператором, т. е. чтобы форма Q_(u) = (T_u, и) была слабо непрерывной.

Доказательство. Достаточность только что была доказана, ибо сумма непрерывной функции и функции, полунепрерывной снизу, является функцией, полунепрерывной снизу. Из леммы 2 вытекает, что форма Q_ является слабо полунепрерывной сверху; на подпространстве ф_ форма Q+ равна пулю, так что Q(«_) = Q_(«_) при «_С'&-- Следовательно, если форма Q полунепрерывна снизу, то форма Q_ является полунепрерывной снизу на §_. Но это означает, что форма Q_ является слабо непрерывной на подпространстве ф_. На подпространстве $+ форма Q_ равна нулю и поэтому также слабо непрерывна. Докажем теперь слабую непрерывность формы Q_ навеем пространстве § = ф+®$_. Пусть и = «++и_, wv—и^-рЛ, где «+, «^6^+' “_> И16Ф_- Поскольку Q_(y) = 0 при у^^)+, то Q_ («v) = Q,^^—>Q_(U_) — Q_ (“). и4 —>u, так что форма Q_(w) является слабо непрерывной, что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к важному классу слабо непрерывных снизу квадратичных форм, так называемых форм Лежандра.

Определение. Квадратичная форма Q(w) = (Tk, и) называется формой Лежандра, если она является суммой положительно определенной формы и вполне непрерывной (т. е. слабо непрерывной) формы. Другими словами, Т —рЦ-К, где (Ри, и)^- р(и, и), р> О, а оператор К вполне непрерывен.

Поскольку вполне непрерывной оператор можно сколь угодно точно аппроксимировать конечномерными операторами, то имеет место следующее предложение.

Лемма 3. Форма Q(u') = (Tu, и) тогда и только тогда является формой Лежандра, когда оператор Т является суммой положительно определенного оператора Рх и конечномерного оператора Sn : Т = Рх-\-Sn, причем

(Рхи, и^^-р^и, и), рх > 0; dim.$„£> = п < оо, S*n = Sn.

Лемму 3 мы применим для доказательства еще одной важной теоремы Гестенеса.

Теорема 2 (Гесте нес). Для того чтобы форма (Та, и) была формой Лежандра, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое конечномерное подпространство ^п, что при h^^n имеет место неравенство (Th, h)^> рх(и, и), рх>0.

Доказательство. Пусть форма (Ти, и) является формой Лежандра, т. е. пусть T = Px-\-Sn. Положим %п°— 8п^. При h^^ имеем 0 = (5лы, ^^(и, Snh), откуда S„^={0}. Следовательно, при h^^ имеем (Th, h) = (Pxh, h).

Пусть теперь существует конечномерное подпространство ф„, ;| о котором речь идет в теореме, и пусть Ех обозначает оператор | ортогонального проектирования па фп; тогда / — Ех — оператор орто- ' тонального проектирования на ^. Положим

"р^Ц-Е^ТЦ-Е^-^-рА,

'Sn °^ ТЕХ + ЕД - ЕДЕХ - рхЕх,

Очевидно имеем Т = Px-JSn, Sn = S„.

Так как Т — непрерывный оператор, то оператор S„ является конечномерным. Нам нужно доказать, что оператор Рх является положительно определенным. Имеем

ФД. и) = {{1 — ЕХ\Т [I—Ех]и, и) -J- рх(Ехи, и) =

= Д{1-Ех]и, \1 — Ех\и)^рх(.Ехи, ЕА>

>р1(1К/-Е1)«|Р + ||£1«|Р) = р1|| «|р,

что и требовалось доказать.

Дадим теперь спектральную характеристику форм Лежандра, которой мы воспользуемся в следующем параграфе.

Теорема 3. Для того чтобы квадратичная форма была формой Лежандра, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое положительное число рх, что подмножество спектра оператора Т, расположенное слева от числа рх, ъ

было конечным, точнее, чтобы оператор Е(р), где Т = j\dE(X) и р < рх, проектировал на конечномерное пространство

Доказательство. Достаточность условия является очевидной: в качестве конечномерного подпространства в теореме 2 достаточно взять пространство Е(р')^.

Пусть теперь фи, и)— форма Лежандра, и пусть £)„ есть п-мер- ное пространство, а рх — положительное число, о которых шла речь в теореме 2. Докажем, что пространство ^р °— Е (р) ^ имеет размерность <^ п. Предположим, что dim фр > п; в таком случае в пространстве §р содержится единичный вектор у, ортогональный к подпространству ^п (в качестве вектора у можно взять произвольный орт из подпространства $р QE (р) ф„). Поскольку вектор у принад-

лежит подпространству ^„, имеет место неравенство (Ту, у)^- ^тДу, у) = Рр С другой стороны, так как у —£(р)у, то

р

(Tv, v) — (TE(p)v, v) = J Xd(E(X)v, v)<p(v, v) — p<_pv

Мы пришли к противоречию. Следовательно, dim фр <^ л, что н требовалось доказать.

Отметим два следствия, вытекающие из этой теоремы.

Следствие 1 (Ге с те не с). Положительная форма Лежандра является положительно определенной.

Доказательство. Как было только что доказано, существует такое число рх > 0, что слева от рх находится не более конечного числа точек спектра оператора Т; по условию собственные значения оператора 7' могут быть только положительными; обозначим наименьшее из них через р. Следовательно, для произвольного « £ ф имеем (Ти, и) ^р(и, и\ что и требовалось доказать.

Следствие 2. Пусть (Ти, и) — форма Лежандра, и пусть (и, у)0—такое скалярное произведение в пространстве .у, что неравенство (и, и)й^.(и, ы) имеет место для всех и^§. Пусть следующая „проблема вибраций":

(Tuv, ф) = Xv(«v- ф)о для всех Ф^^

обладает спектром (Х^”, имеющим единственную предельную точку на бесконечности, т. е. | Xv | -> оо, V—> оо. Тогда Xv —> +оо; точнее, существует такое число рх > 0, что только конечное число собственных чисел ХхХп меньше, чем рх.

Доказательство. В соответствии с теоремой 3 существует такое число рх > 0, что при X < рх существует не более конечного числа линейно независимых векторов и, для которых

(Ти, и^ — Х(и, и) < рх(и, и).

Но так как (и, и^-^Хи, и), то существует только конечное число таких линейно независимых векторов и, что при X < рх имеет место неравенство

(Ти, и)<.Х(и, и)0, что и требовалось доказать.

Квадратичные формы вариационного исчисления

Применим теперь абстрактные рассмотрения предыдущего параграфа к квадратичным формам вариационного исчисления кратных интегралов (ср. К. Морен [7]). Мы можем сразу высказать следующую важную теорему.

Теорема 1. Квадратичный функционал

Q^u^— а (и, и) =

— J ^ ay.v(x') D^u^x) D'iu(x')dx-V- ■

Q„ lul = lv|<m

+ 2 J 2 C“P D“u (^ ^ ^йх> c10-1) j-XSg la|, |pl

где

«.ЯЙЧ 2 ■,,«№<чЖ . glgl = |v| = mp.

]a|, |p| < zn—^-(n — У), a Sj есть j-мерное многообразие Эрлинга относительно области Q„ (Sn-1 = дйл), является формой Лежандра в пространстве Нт.

Доказательство. Выберем число 1й так, чтобы форма

Р<0(«) —‘ a(«, и, t^ — a(u, u)-yt0{u, и)0

была положительно определенной в пространстве Нт. Форма t0(Ku, и)т =' t0(u, w)0 является слабо непрерывной в пространстве Нт (как известно, оператор К вполне непрерывен), а форма Q допускает следующее разложение:

Q(«) = a(«, и; t^ — t^Ku, и)т..

Таким образом, функционал Q является суммой положительно определенной формы и формы слабо непрерывной и потому этот функционал слабо полунепрерывен снизу, что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 вытекают такие следствия.

Следствие 1. Функционал (10.1) достигает нижней границы в каждом шаре.

Следствие 2. Если а (и, и)>0, то существует такая постоянная р > 0. что

^11“ С < Q(“) для всех и£Нт.

Следствие 3. Проблема вибраций

а(ик, ф) = Х(их, ф), их, ф£ВсНт, имеет не более конечного числа отрицательных собственных значений.■

Следствие 3 является уточнением результата Эрлинга, в соответствии с которым | X J-> оо при i-^-oo.

Следствие 1 дает положительный ответ на вопрос о достижении минимума квадратичным функционалом вариационного исчисления в каждом шаре пространства Нт. Остается еще неясным вопрос об абсолютном минимуме, т. е. вопрос о достижении функционалом Q нижней грани в случае, когда рассматриваются все функции пространства Н,п. Следующая теорема содержит необходимые и достаточные условия для того, чтобы функционал Q достигал нижней грани >—оо. Эта теорема служит обоснованием того, что в прямых методах вариационного исчисления ограничиваются положительно определенными формами а (и, и).

Для более удобной формулировки теоремы представим функционал

.F(«)= а(«. «)-2(/, «), f£H_m, и^Нт

(( • , •) обозначает двойственность пространств Нт и 77_т, см. § 5), в виде скалярного произведения в пространстве Нт. Поскольку а (и, и) — эрмитова форма в пространстве Нт, то а (и, и) — (Аи, и)т для всех и^Нт. Аналогично (/, u^ = (h, и)т, где элемент Л однозначно определяется заданным элементом /: h^Gf (как известно, оператор О является топологическим изоморфизмом пространства Н_т па пространство Нт; ср. определение преобразования Грина, § 6).

Теорема 2. Г. Для того чтобы функционал'

1-4^ = а (и, и) — 2^. и) = (Аи, u)m — 2(h, и)т

при всяком f^H_m достигал абсолютного минимума > — оо, необходимо и достаточно, чтобы форма а (и, и) была положительной, т. е. чтобы а(и, и)> 0 при и + 0. Элемент uQ, на котором функционал F принимает абсолютный минимум, является решением уравнения Au0 — h, т. е. и0 = A~xh~ A~xGj.

2°. В случае когда форма а(и, и) принимает отрицательные значения, нижняя грань функционала равна — оо.

3°. В случае когда множество Н^ решений уравнения а {и, и) = 0 ((Au, u)m=Q) не сводится к нулевому вектору.

необходимым и достаточным условием для того, чтобы функционал F достигал абсолютного минимума > — оо, является условие h = Gf £Нт0Нт = (НотУ.

Конечная нижняя грань в случаях Г и 3° равна

inf Г(и) = —(/, «„) = — (», «0)т = —(й, A~xh)m. ^нт

Доказательство. Докажем, что в случае 23 нижняя грань равна —сю, так что этот случай является неинтересным. Пусть (Ао0, у0)т < 0 для некоторого у0 £ Нт. Тогда

Л(от0) = я2(Ау0, у0)т —2п(й, У0)т-> —ею, л->сю, что и требовалось доказать.

К пунктам 3° и 1°. Можно считать, что (Аи, ы)т^-0.

Пусть Н°т = [и : (Аи, ы)т = 0) ^ {0}, и пусть к^^Н^У. В этом случае существует такой вектор foE^m’ что (А- уо)т > ^, поэтому

lim/7(ny0) = — Нтл(®0, й)т =—сю,

п-^ооп^со

и, следовательно, условия Г и 3° необходимы.

Пусть а (и, и) = (Аи, и^т > 0 при и + 0. В соответствии со следствием 2 оператор Л положительно определен: (Аи, и^ (^ р(и, и)т, р > 0. Ввиду того что оператор А эрмитов, существует оператор А-1.

заданный на всем пространстве Нт. Пусть и0 — A к или, что то же, Аи0 = к. Для произвольного и£Нт имеем

F(u^ = (A\u — u0\, [а — «0])т — (Аа0, и0)т>

> — (k, u^m= — (J. и^, т. е.

inf F(u) — — (k,—A^h^.

ЖНт

Таким образом, условие Г достаточно.

Остается еще только доказать достаточность условия 3°. Пусть й E^mO^m- В предыдущем параграфе было доказано, что оператор А индуцирует разложение пространства Нт в ортогональную сумму: Нт — Н°т®Нт, причем на подпространстве Н^ оператор А положительно определен. Пусть А* — сужение оператора А на подпространство Нт- Так как к^Н^, а оператор А+ положительно определен, то с помощью только что проведенного рассуждения мы убеж-

даемся, что

— оо< inf F(«) = —(А, (Л^^А^-^МСО, и^нт■

где A+uQ — AuQ = h.•

Пусть теперь и — произвольный элемент подпространства Н°т. Имеем

Е^ = (Аи, u^-W. «)m = 0 —0 = 0, поэтому

inf F (и) = F (я0) > — oo,и^нт,

где uQ^Hm, причем Auo = h, что и требовалось доказать.

Как известно, функционал F часто рассматривают не на всем пространстве Нт, а только на подпространстве В однородных краевых условий. Мы увидим, что и в этом случае можно высказать теорему, аналогичную теореме 2. С этой целью разложим пространство Нт в ортогональную сумму

Hm = B®Bi ^ = HmQB^

и положим А = А] + А2, где 1гх ^В, й2 £ В\ Обозначим через F в сужение функционала F па подпространство В. Так как (A, u^m = khx, и)т при и £ В, то функционал F в имеет вид

FBW = <ABu, ^т — ^^, и)т, Ар и^В.

Таким образом, роль пространства Н,п перешла к подпространству В, а роль оператора А—к оператору Ав, заданному тождеством а (и, т>) = (Ляи, у)т при и, v^B. Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. Для того чтобы FgcF,

FB(uV— a(u,u) — 2(.f, и)0 = а(и, u) — 2(hx, и)т, и^В,достигал абсолютного минимума > — сю, необходимо и доста-точно, чтобы выполнялось неравенство а (и, и)>(и, и)т прии^В. Если подпространство В0 —' \и^В\ а (и, а) = 0} не сво-дится к нулевому вектору, то необходимое и достаточноеусловие состоит в том, чтобы (А, Ь°)т — 0 для всех №^Вй.В каждом из этих случаев inf /F (и) = F (иА — —■ (Ар а0)т =а^В

= — (h, и0')т = — (/, и^о, причем ABu0 = h (т. е. и0 — АвгН).

Дифференцируемость элемента и0 может быть изучена с помощью основной теоремы о слабых решениях или методами, развитыми в предыдущих параграфах настоящей главы,

§ 11. О функционалах, встречающихся в теории упругихпластин. Дифференцируемость элемента, на которомдостигается абсолютный минимум

Предыдущие рассуждения переносятся непосредственно на функционалы вида

Рг (я) —" а (и,и ) + 6 (я),

где линейный член 6 (я) имеет следующий вид:

п— 1

b (я) = 2 Г 2 bt{x)Dlu{x)dx-\- 5 f S ch (х) Dau (х) dx +

J ,n-j

%8) |a|<m2~

+ Г 2 й?р(х)£)₽я(л)ф(х) ='^1(я)4-62(«) + ^з(«); _“ |3|<т—и/2

здесь р,— конечная мера на й„: ||р1|<оо. Члены такого вида встречаются, например, в теории упругих пластин: я = 2, т = 2, |JS7. =

= 6Q2— край пластины; мера р, характеризует силы, сосредоточенные в точках (в точках опоры и т. п.). Из неравенства Эрлинга вытекает, что b (я) является линейным непрерывным функционалом в пространстве Нт, так что 6(я) = 2(й, я)га. Таким образом, функционал Рг (и), являющийся обобщением функционалов, встречающихся в теории упругих пластин (ср. Фридрихе [2]), можно представить в следующем виде:

F (и) = а (и, и)— 2(й, я)т.

Этот функционал, очевидно, является также слабо полунепрерывным снизу, ибо скалярное произведение (й, я)т слабо непрерывно, а поэтому для него верны теоремы 1, 2 и 3 § 10.

Докажем теперь, что элемент я0, на котором функционал Рг (и) достигает минимума, является решением некоторого уравнения эллип- п-1

тического типа на множестве Z = йл — |J Sj — ц, где р, — носитель меры р ).

Теорема. Пусть а (и, я) > 0 при ифО, и пусть Рг(и0") = = Inf F1(u')= inf {F(u)— 26 (я)). Тогда функция я0 удовлет- ^Нт^Нт

л-1

юряет на множестве Z = Qn— |J Sj— р, уравнению j=i ~

aW~ S (-l)'vV(^v(x)D^0(x))- 2 (-1),;|Д^х = 0. IbI, |v|<mUl<m

(Мы предполагаем, что коэффициенты а (х), b^x) таковы, что для оператора а имеет место основная теорема о слабых решениях, ср. § 1 гл. XI.)

Доказательство. На основании неравенств Эрлинга и теоремы Рисса — Фреше мы заключаем, что для всех и^Нт имеет место равенство А,(ы) =— 2(А;, и)т (Z=l, 2, 3), A = hx А2 + ^з-

Из теоремы 2 предыдущего параграфа вытекает, что элемент и0, на котором функционал Fx (и) достигает абсолютного минимума, удовлетворяет уравнению Аиа = h = hx + Аг + Аз. Пусть ф£С”(Д). Имеем

И«0- Ф)т — (ЙР Ф)т —<й2- Ф)т — (й3- Ф)т = 0. Но

(^2* ф)т = (Й3- ф)т = °-

ибо носитель функции ф лежит в множестве Z. Поэтому имеет место тождество

0 = (Ла0, ф)т — (Ар ф)т = а (ы0, ф) — 1 А (ф) =

<=(а0, а+ф)0—4 • 2/ 2 (— l/V^A, (X), фК

'2\|1|<т/0

т. е.

аий^= 2 (-l)1'^^),|Z|<m'

что и требовалось доказать. Аналогичную теорему мы можем получить для функционалов вида

F{u) = а (и, и)-\~Ь(и), где и обозначает векторное поле х —> и (х) £ ЕТ с г компонентами. Можно доказать не только то, что форма а (а, и) является полунепрерывной снизу на пространстве Нт, г, но и что она является формой Лежандра. Далее, можно получить теорему о достижении абсолютного минимума и дифференцируемости поля, на котором абсолютный минимум достигается. Это поле оказывается решением некоторой сильно эллиптической системы.

§ 12. Коэрцитивность интегро-дифференциальных форм

В гл. XIII, а также в предыдущих параграфах настоящей главы мы видели, насколько важные следствия вытекают из неравенств вида

с II “lit — соП“ По <Re(a(“. “)).(12.1)

где а (• , • ) — некоторая интегро-дифференциальная квадратичная форма, заданная на множестве Ст (Qn) П^, а В — линейное многообразие функций, удовлетворяющих определенным однородным граничным условиям.

Определение (Ароншайн). Интегро-дифференциальная квадратичная форма

а (и, и) °— f V ааР (х) ©“«О^и dx,(12.2)

JI ox &

Q„ I a |; IPI < m

называется коэрцитивной на множестве функций В, если существуют такие числа с, с0 > О, что для всех функций и^В выполняется неравенство (12.1).

Сейчас мы приведем результат С. Агмона, разрешающий проблему коэрцитивности.

Будем говорить, что ограниченная область QncEn принадлежит классу Ст, если для каждой точки x°^dQn существует окрестность UQ точки х° (в относительной топологии множества Qn), которую можно отобразить посредством гомеоморфизма класса Ст (это означает, что обратное отображение также принадлежит классу Ст) па полушар //й:|х|<^/?, хп^0, причем множество дйп П UQ отображается в гиперплоскость хп = 0.

Теорема 1 (А г мои). Предположим, что выполнены следующие условия-.

1° Qn — ограниченная область класса Ст;

2° коэффициенты «<$(•) принадлежат классу С (Qn) ^или, общее; коэффициенты при производных порядка т непрерывны, а остальные коэффициенты ограничены и измеримы в Ц,);

3° коэффициенты Ч операторов

ЬЧх, DV= 2 ba(x)Da,l a \<kj

определяющих однородные краевые условия

ЬЧх, О)иЦ=0./=1р,(12.3)

принадлежат классу Ст kj{Q.^,.

4° оператор'

I (х, D) = Re 2 «ар (х) D°D^

|а| = |р| = т

положительно эллиптичен в области Qn, т. е.

"Re 2«ар(х)^>0'

I а| = | Р| = т

для каждого вещественного вектора |; при этом ^ ^ Е,”1 ... |“«;

5° для каждой точки х°^дй„ и каждого вектора £ ¥= О, ортогонального к орту v(x°) {внутренней) нормали к границе дйп в точке х°, имеет место неравенство

ReJ 2°«lH.ro)[l + v(xO)^]a/(s)[| + ^

О |а| = |р( = т

где/{э)фО—произвольная функция, удовлетворяющая обыкновенному дифференциальному уравнению

W ^ + v(x°) Ds)f = О, принадлежащая множеству Ст ^Е^ П Нт ^Е*^ (Е\— положительная ось t > 0) и удовлетворяющая однородному краевому условию

b) ^х\ ^ + v(x°)-^-)/Uo=O;

здесь bj{x, D)— главная часть оператора bj{x, D), т. е. часть, содержащая лишь производные высшего порядка.

В предположениях 1°—5° форма (12.2) коэрцитивна на множестве функций, удовлетворяюших краевым условиям (12.3).

Замечание. Можно доказать, что (в предположении, что выполнены условия Г—3°) условие 4° необходимо для коэрцитивности. Условие 5° также является необходимым.

Условие 5° (как всякое необходимое и достаточное условие) является мало удобным для практического использования. В важном случае положительных форм его можно заменить легче проверяемым условием, а именно имеет место следующее утверждение:

Теорема 2 (Агмон). Пусть кроме условий Г— 3° предыдущей теоремы выполняются также следующие условия;

4° форма а (и, и) является формально положительной, т. е. имеет видк•

а (и, “) = J ^|aft(x, D)u\2dx,q„ »=i

где ak(x, D)— дифференциальные операторы порядка ^т с коэффициентами, непрерывными в области Qn. Пусть к

2 I »и<х, Х)|2 > О *=1

для каждой точки х ^Qn и каждого вещественного вектора X + 0. Пусть, как в условиях теоремы 1, x°£dQ„, v(x°)— орт внутренней нормали к поверхности дйп в точке х°, а £—касательный вектор. Пусть, далее, г(х°, j) обозначает число общих корней с положительными мнимыми частями (каждый корень считается столько раз, какова его кратность) многочленов ак^х\ ^+^v(x0)), • k = \, 2К, относительно переменной z..

Обозначим эти корни через ^(х0, £)т„(х°,у и положим

г <Х>, У

G(A £, z)°= П Vz — Tk(xQ, □], если r(x°, Q > 1

и

G(x°, £, z)=l, если г(х0, у = О.

Пусть, наконец, выполняется следующее предположение-.

5° для каждой точки х°^дО,п и каждого вещественного вектора £, касательного к поверхности д9,„ в точке х°, среди многочленов

Ь'^х\ VV^W), /=1р,

содержится г(х°, у многочленов линейно независимых по mod G(x°, £, s)1).

Тогда имеет место утверждение теоремы 1.

Из теоремы 1 вытекает следующее важное утверждение, обобщающее на общие граничные условия фундаментальные неравенства § 7 2).

*) Многочлены Рх (t)РТ (t) называются линейно независимыми по mod Q (t) [Q (t) — некоторый многочлен], если из того, что при некоторых постоянных С,ст многочлен CiPi(O + ••• + СгРг W Делится на Q (t), следует с, = ... = с2 = 0.

Фундаментальные неравенства для общих эллиптических уравнений и граничных условий и их различные усиления были получены рядом авторов (Л. Н. Слободецкий; Агмон, Дуглис, и Ниренберг [1], Шехтер [1], Браудер). Условия, при которых они имеют место, впервые сформулированы Я. Б. Лопатинским (в более частных случаях — 3. Я. Шапиро); условия имели другую форму и обеспечивали сведение краевой задачи к регулярному интегральному уравнению. — Прим. ред.

Теорема 3. Предположим, что выполняются следующие условия".

1°) М (х, £>) является линейным эллиптическим дифференциальным оператором порядка 2р^т, обладающим коэффициентами класса ст-2р (Qn), п > 2, т + 2;

2°) Ьа (•) £ Сm ~rJ (Q„), где Гу—порядок оператора bj^x, D), 7=1. 2р;

3°) для каждого орта £, касательного к поверхности dQ„ в точке х°, многочлены b'j(x°, £+zv(x0)), 7=1- ..., р. линейно независймы mod М* (х°, |, г), где

р

М+(х\ £, z)°= П [^ — т6(х°, У],k=i

причем Tj(xQ, у, /=1, .... р, — корни многочлена AT(x°, £ + + zv(x0)) с положительными мнимыми частями.

Тогда существует такая постоянная с, что неравенство ||«||т<С(||Ж(х, D) «|| + Ц «||0)

имеет место для каждой функции и^Ст^9.пр удовлетворяющей однородным краевым условиям

S ba(x') Dau\dQ =0,7=1р.

\a\<Tjи п

Для доказательства следует применить теорему 2 к формально положительной квадратической форме

а (и, и)°— J ^ | ОаЛ1 (х, D^u^dx.

Q„ |а| = т-2р

Замечание. В случае двумерного пространства условие эллиптичности надлежит заменить условием „правильной эллиптичности*, которое состоит в том, что многочлен М' (х°, ^+zv(x0)) имеет в точности р корней с положительной мнимой частью. Можно показать, что в случае п > 2 всякий эллиптический оператор правильно эллиптичен. Если граница дйп связна, а коэффициенты непрерывны и оператор эллиптичен, то из правильной эллиптичности в какой-нибудь одной точке х° £ dQ„ вытекает правильная эллиптичность во всех точках границы dQ„ области Q„. Используя результаты Агмона, Шех- тер доказал важную теорему, касающуюся дифференцируемости в области Qn (а не только внутри области) слабых решений краевых задач J).

') Доказательству гладкости вплоть до границы слабых и обобщенных (т. е. из Hb Z < 0) решений краевых задач для эллиптических уравнений посвящены работы ряда авторов (Ниренберг, Браудер, Шехтер, Петре, К). М. Березанский, С. Г. Крейн и Я. А. Ройтберг). — Прим. ред.

Теорема 4 (Шехтер [1]). Пусть

опр.

\U, у] = ^EjU, Fpo)

— билинейная форма, заданная на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям, о которых речь шла выше; при этом Ej, Fj — линейные операторы в частных производных порядка ^т^^т. Предположим, что квадратичная форма а (и, и) = [и, и] коэрцитивна на множестве функций, удовлетворяющих одно родным граничным условиям

Bj(x, П)и\дй^ = 0, у = 1s.

Пусть, далее, и£Нт(Йп), а / ^Н1 (О). Если функция и удовлетворяет у равнению

[и, у] = (/, у)0 для всех v^H"1^^,(12.4)

то u^H2m+4G)-

Применяя эту теорему и лемму Соболева, получаем следующее предложение.

Следствие. Если выполнены условия теоремы 4, то каждое решение уравнения (12.4) является (после исправления на множестве меры нуль) функцией класса Cd(Q^), где а = 2т + + / —[п/2]-1.

О резольвенте эллиптической краевой задачи

В гл. XI была доказана теорема Браудера, в соответствии с которой у'-я итерация резольвенты самосопряженного расширения эллиптического оператора порядка г является интегральным оператором типа Карлемана, если rj>np2. Теперь мы увидим, что в случае ограниченных областей можно доказать больше: оказывается, что та же итерация резольвенты (не обязательно самосопряженного) эллиптического оператора является интегральным оператором Гильберта—Шмидта. Это означает, что если R — резольвента задачи в пространстве L? (й„), то

(RJD(x) = J К(х, y)f(y)dy,(13.1)

где

J | К (х, у) |2 dx dy < оз, Jr > (nj^ + 1.

Qn x L2n■

Доказательство вытекает из теоремы Шехтера, а также из следующей теоремы.

Теорема 1 (К. Морен). Вложение Нт+к^О,^->Н к(й^ является отображением Гильберта — Шмидта при k^Outu^ >]п/2Ц-1..

Доказательство этой теоремы излагается в гл. XVII.

Мы предполагаем, что граница dQn области йл удовлетворяет условиям леммы Соболева, которые, как известно, являются менее стеснительными, чем соответствующие предположения в теоремах Лгмона и Шехтера.

Докажем теперь упомянутое ранее предложение.

Теорема 2 (К. Морен). Пусть краевая задача

а(х, D>u = f£Ht^, В^х. D^u\№ =0, /=1р. (13.2) п

определяет отображение А~х; Н^й^-^Н^^нУ, это означает, что выполняются неравенства

^ll"IL<<IH«ll/. с>0, f = o, 1,2 (13.3)

причем А— отображение, определяемое эллиптическим дифференциальным выражением а(х, D)°— 2 an(x)Da порядка г

I а|< г.

и однородными граничными условиями Bj (х, D")= 2 bk^Da, ■I а К my

о которых речь идет в теоремах Агмона и Шехтера. Говоря проще, неравенства (13.3) означают, что рассматриваемая эллиптическая краевая задача имеет единственное решение |в этом случае неравенства (13.3) выполняются в силу теоремы 3 § 12].

Пусть R— резольвента рассматриваемой краевой задачи в пространстве /-2(йл). Тогда R’ является интегральным оператором Гильберта — Шмидта при rj>ni‘2. Это означает, что существует такая функция K^R^X^, что соотношение (13.1) выполняется для всех c|>^Z.2(Q„).

Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 1 и неравенства (13.3). Действительно, обозначим символом 1р вложение Нр^,,)—>£2(£2„). Резольвенту R нашей задачи можно представить в виде

R = Ir = А'1 : Lz->l\

Поэтому R^ =Irj ° A"j \ где AJ1 обозначает отображение

Л]1 : L2 (Q„) = Но — * Нг > Н^ -А~> ... -А~> Hjr = Н]Г (Й„).

Отображение Aj1 = Л-1 о ... о А 1 как суперпозиция непрерывных

отображений является непрерывным отображением пространства L? (Q„) в пространство Hjr^^. Однако в силу теоремы 1 вложение 1г) является отображением Гильберта — Шмидта при rj^n^. Так как суперпозиция непрерывного отображения и отображения Гильберта — Шмидта [в нашем случае в пространстве L? (йл)] является отображением Гильберта—Шмидта, то теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ

Доказать, что элемент и^Нь обладает сильными производными порядка к. Заметим, что когда u^Hj = Hj(Qn) и область Qn подвергнута обратимому преобразованию класса С^ : xt = ®t (х), где «Ч € d (Q„), то и (х) °= и [св (х)] С Н, (Q„), где й„ = со (Q„).

Если u^L2^^ является слабым пределом последовательности {uv), где и^Н, и || zzv||у <^М, т. е. (и — ит, /)->0 при т->оо для каждого f^L2^^, то и входит в Н} и производные Dau являются слабыми пределами соответствующих производных функций zzv.

Указание. Применяя теорему Банаха — Сакса, мы заключаем, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность {£)аий}> |а|</. Так как производные функции и определены однозначно, то они являются слабыми пределами производных не только подпоследовательности, но и всей исходной последовательности.

Если функция и обладает {сильными) производными до порядка I включительно и производные D£u сильно дифференцируемы j раз, то функция и сильно дифференцируема i + j раз..

Доказательство. Пусть со£ Со” (/<)( К = [х^С" : | х | < 1}), <о>О, J®{x)dx=L Пусть U — подобласть области йп, состоя- Е

щая из всех точек, расстояние которых от границы дйл больше е, оператор усреднения J6 определяем следующей формулой:

J ы (х) = e-n J со «(У) dy.

Очевидно, оператор J6 коммутирует с оператором дифференцирования и J6u £ С”.

Далее имеем

lim II Je“ — “ IL= № = °-II Л« l|£! w < || « ||0-

е->0'

Перейдем теперь к доказательству нашей теоремы. Пусть при е0 > О область U^ находится на расстоянии > е0 от границы dQ„. Найдем такое е < е0/2, что

11М И",» т < к• Ml " II», от = ”■

где К > 0 не зависит от е. Теперь наше утверждение вытекает из результатов упражнения 2.

Пусть Q„ = {х £ S’" : | х | < 1}. Докажем, что множество значений оператора (—А)"1 —|— с, заданного на функциях, равных нулю на дй„ вместе с производными до порядка <^т—1, плотно в пространстве Hv

Пусть Р(х)— произвольный многочлен (в силу теоремы Вейер- штрасса множество многочленов плотно в пространстве Ht при любом //г). Применяя метод неопределенных коэффициентов, можно най^и решения уравнения Fa = [(— A)m -j- с] и = Р вида (х2 — 1) П (х), где П—также многочлен от переменных xv ..., хп, откуда и вытекает паше утверждение. Отсюда на основании упражнения 1, а также основной теоремы о слабых решениях заключаем, что задача Дирихле разрешима для односвязных областей с достаточно гладкой границей.

23 К, Морен

ГЛАВА XV

Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле)и его связь с методами Трефтца и Ритца

В этой главе мы дадим геометрическую формулировку знаменитого принципа Дирихле, а также его современное доказательство. В § 2 и 3 мы выясним геометрический смысл методов Трефтца и Ритца, что, с одной стороны, позволит нам достичь большой общности в формулировке теорем и, с другой стороны, сделает их доказательство почти тривиальным. В § 4 результаты предыдущих параграфов переносятся на достаточно широкий класс систем эллиптических уравнений произвольного порядка.

В § 6 приводится общая схема метода ортогональной проекции в теории краевых задач, основанная на теории форм Лежандра, развитой в предыдущей главе. Кроме того, изложен современный подход к альтернирующему методу Шварца и методу выметания, а также дано его обобщение в форме, предложенной Браудером.

Эвристические замечания

Из формулы Гринд п

= — J’/(x)A«(x)dx+ J ^/(x)vi(x)-^l-dx йп дйп Z = 1

вытекает, что „скалярное произведение" (/, ы)д равно нулю, если Ды = 0 и /|,0 =0. Этот факт допускает следующую геометрическую формулировку: гармонические функции в области Ял ортогональны функциям, равным нулю на границе ^Q„ области й„. Придадим более точный смысл этому высказыванию. Из того, что (и, н)д — 0, очевидно следует, что и = const. Таким образом, сейчас нужно рассматривать не функции в £2Л, а классы функций, причем

функции одного класса отличаются друг от друга на постоянные слагаемые. В этом смысле класс, содержащий некоторую гармоническую функцию, ортогонален в смысле (• , • )д классу, содержащему функцию, равную нулю на дйп. Поэтому гармоническая функция ортогональна функции, равной const на д9п.

Задача Дирихле: найти, решение уравнения Лапласа, принимающее на множестве д9-п одинаковые значения с функцией Ь, заданной в области 9п, сформулируем несколько иначе-, разложить заданную функцию b в сулгму u-\-f — b, где и—гармоническая функция, а / равна нулю на границе д9п. Вследствие ортогональности функций и и / задачу Дирихле можно поставить в следующей геометрической формулировке: заданную функцию b разложить на два ортогональных слагаемых, b = u~Vf, где (и, f) =G для всех f, равных нулю на границе д9п, и /|ец = 0 (конечно, при более точной формулировке нужно иметь в виду, что мы оперируем по существу с классами).

От этой последней формулировки уже один только шаг до принципа ортогональной проекции, называемого принципом Дирихле в классическом анализе. Решение задачи Дирихле мы получаем, беря ортогональную проекцию функции b на пространство Z функций, равных нулю на границе dQ„, и вычитая эту проекцию из функции Ь;

u — b — Hb — b — f.

Замечание. Предыдущее является, очевидно, геометрической формулировкой вариационного принципа Дирихле: функционал (6 — z, b — д)д ^> 0, где z пробегает множество Z функций, равных нулю на границе dQ„, достигает минимума на гармонической функции, ибо, как нам известно (ср. гл. II, теорема об ортогональной проекции), выражение ||6 — г||д, z£Z имеет минимум, когда элемент z равен ортогональной проекции элемента b на подпространство Z.

Если бы нам удалось построить такое (полное) гильбертово пространство % со скалярным произведением (• , • )д, что

% = U^Z

^U^Z^ — множество функций, гармонических в области Q„), то вместо проектирования на Z с последующим вычитанием из b можно было бы получить решение задачи Дирихле сразу, взяв ортогональную проекцию функции b на пространство гармонических функций U: « — РЬ.

Пространство ip и его ортогональное разложение Z®U

Для того чтобы избежать трудностей, связанных с тем, что форма Дирихле определяет не норму, а полунорму, равную нулю на функциях u = const, рассмотрим модифицированную форму Дирихле

(и.J^^-^- -tcu^dx, с(х)>у>0.

Йп

Эта форма определяет на пространстве Н, (Q„) новое эквивалентное скалярное произведение

с2||«|11<(“- “)ac<ciII“Hi-

В дальнейшем будем считать, что скалярное произведение в пространстве Нх (й„) равно ( • , • )дс; пространство Нх (Й„) с так введенным скалярным произведением можно принять за пространство ф, о котором шла речь в § 1.

Сформулируем теперь задачу Дирихле (для оператора —АН-с)

(— А + с)ы = 0,(2.1)

'(“'^Ц^'(2-2)

В терминах гильбертова пространства Нх со скалярным произведением ( • , • )дс краевое условие (2.2) должно, очевидно, означать, что разность и—Ь, где b £ Нх (й„)— наперед заданная функция, равна в определенном смысле нулю на границе dQ„ области Q„. Более точно введем следующее определение.

Определение. Обозначим через Z пополнение множества С^ (й^) по норме ]| ■ ||дС (или, что то же самое, по норме || • Ц,). Нетрудно доказать, что в случае гладкой границы непрерывные функции из подпространства Z равны нулю в классическом смысле на дй„. В связи с этим условие (2.2) заменим условием

u—b^Z.(2.2')

Докажем теперь основное утверждение.

Теорема. Пусть U = H\QZ = Z\ где Ну— гильбертово пространство со скалярным произведением (• , • )дс. Тогда элементы подпространства U удовлетворяют дифференциальному уравнению

(— А + с) и = 0.

Таким образом, пространство Ну=Нх(йп^ является ортогональной суммой HX = Z@U подпространства Z функций, равных нулю на границе дйп области Q„, и подпростран-

ства U решений уравнения (2.1). Таким образом, для получения решения задачи Дирихле (2.1), (2.2') надлежит взять ортогональную проекцию элемента b на подпространство U : и—РЬ, где Р — оператор ортогонального (в смысле (• , • )дс) проектирования на подпространство U.

Доказательство. Включение РЬ—b^Z является следствием ортогонального разложения H,=Z®U, и нам нужно лишь доказать, что произвольный элемент и £ Z^ является решением уравнения (2.1). Но для этого, как нам известно, достаточно доказать, что этот элемент является слабым решением уравнения (2.1).

Пусть u^Z^. Тогда, в частности,

(и, ф)дС = 0 для всех ф£С”(£2л). Отсюда

0 = (и, ^^(и, — АфД-сф), фЕСоЧйД что и требовалось доказать.

В заключение заметим, что небольшие усложнения, связанные с рассмотрением классов функций (см. § 1), позволяют получить аналогичные результаты и для оператора —А, а не —АД-с. Ом. также § 6.

О методе Трефтца и Ритца

в § 2 про-в § 2 про-странствастранстваРасполагая ортогональным разложением введенного

в § 2 про-

в § 2 про-

странства

странства

% = Z^U,

мы можем предложить два метода, позволяющие конструировать последовательности приближений решения задачи Дирихле, дополняющие друг друга.

1°. Поскольку пространство U сепарабельно, то существует последовательность ил, полная в U. Образуем возрастающую последова-

Т 0ПР'1 Л

тсльность подпространств Urt — [v,, ■и,2, .... ил], n—1, 2, ..., натянутых на первые п векторов базиса пространства U. Последовательности (Uп) поставим в соответствие последовательность проекционных операторов Рп. Очевидно, что последовательность проекций

иа = Р„Ь(3.1)

сходится по || • ||дс-норме к элементу РЬ = и. Как вытекает из самого построения последовательности (ыл), имеют место неравенства

II «я IIд^ < II “„+1 IIд» < II РЬ || дг = || и |1 дС < II Ь ||дС.(3.2)

Описанный процесс назовем методом Трефтца (см. упражнение 2).

2°. Второй метод, более близкий принципу Дирихле, мы получим, взяв в пространстве Z полную последовательность (Z^ и воз™ опр. растающую последовательность подпространств Z„ = [ztz^. Пусть П„ — соответствующая последовательность операторов ортогонального проектирования. Образуем последовательность

г„=Ь-ПпЬ,(3.3)

которая сходится по норме || • ||дс к элементу и — Ь — Ш>.

Теперь имеют место следующие неравенства:

II г«Пд= ^>II''«-ы Пд^^> II « Ид^. «=!> 2 (3.4)

Последовательность г„ будем называть последовательностью Ритца. Полученные результаты подытожим в следующей теореме.

Теорема. Последовательности приближений Трефтца и Ритца

опр- п , опр.

Чп = РпЬ. Гп = Ь—ПпЬ сходятся по норме || • ||дс к классическому решению задачи Дирихле (для у равнения — Ан -|- си = 0). Приближения Трефтца являются приближениями с недостатком, а приближения Ритца — с избытком в том смысле, что имеют место неравенства (3.2) и (3.4).

Совершенно аналогично с учетом замечания в конце § 2 строятся процессы Трефтца и Ритца для уравнения—Ан = 0. Формулировку соответствующих утверждений мы предоставляем читателю. Заметим, что в следующем параграфе будет рассматриваться именно случай оператора —А.

Классическое построение последовательностей

"Трефтца и Ритца

Докажем теперь, что наше построение (в случае гладкой границы дйД, проведенное для оператора — А, дает классический процесс Трефтца и Ритца.

Теорема, k-е приближение Трефтца иь = Pkb может, быть получено как линейная комбинация

uk —С^Ч)^,

V=1 где коэффициенты с^ вычисляются из так называемых алгебраических уравнений Трефтца к

-2 Muv> ^д^й, vz)A, /=1к.(4.1)

11 риближения Ритца можно получить в виде rk = b— S ^v^v

V—1 еде коэффициенты dv определяются из так называемых уравнений Ритца

k

^^(z^, zi\ = (b, z^ ,1=1к. (4.2)

v— 1

Доказательство проведем только для уравнений Трефтца; аналогичное доказательство для уравнений Ритца мы предоставляем читателю в качестве упражнения (см. упражнение 1).

Доказательство. Из определения последовательности Трефтца вытекает k

яй — 2 Cv^v — Pub — b + (P^b — ьу

V=1

Умножая обе части этого равенства на vz и учитывая, что в силу определения оператора Pk(Pkb— b, иг)д = 0 при 1 = 1, 2, .... к, приходим к уравнениям (4.1).

Замечание. В случае гладкой границы с помощью интегрирования по частям в выражениях для (vv, и/)д, (6, иу)д можно получить уравнения Трефтца в классической форме.

к

ц=1 дйд п

,эгп t=i

Для вычисления коэффициентов из уравнений Трефтца в этом случае достаточно знать функцию b лишь на границе ^йл области йл.

§ 5. Самосопряженные системы линейных эллиптическихуравнений

Анализ доказательств в § 1—3 показывает, что метод ортогональной проекции можно перенести на более общие классы эллиптических уравнений. Пусть дана следующая краевая задача: найти решение уравнения Au = Q порядка 2т в области £2Л, которое на границе дйп принимает вместе с производными до порядка т—1 те же значения, что и заданная функция b и ее

производные соответственно. Относительно оператора А нужно предположить, что

1° он формально самосопряжен, т. е. (Аи, <р) = (и, Дф), ф^С” (йл) (или А + = д);

2° соответствующий интеграл Дирихле удовлетворяет неравенству

(и, и)л=И 2 а“Р W Dau (х) D^u (х) + йл I lab 1Р1 = т

-|- (производные порядка < т) ^dx ^>

>0^ f 2 |^a« Wp^x, с(й„) > 0.

% |a|<m

(Когда Аи — 0 является уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала (я, и^д, то форма (и, и)д называется интегралом Дирихле оператора Д.) Кроме того, мы будем еще предполагать достаточную гладкость коэффициентов оператора А. Так как из 2° следует его эллиптичность, то при достаточной гладкости коэффициентов всякое слабое решение уравнения Аи — 0 будет входить в класс С2т(й„).

Предположение 2° касается одновременно оператора А и области □„. Обобщая определение Дени — Лионса, области Ял, для которых имеет место неравенство 2°, будем называть областями Соболева относительно оператора А.

Лемма,- Если имеет место неравенство пункта 2°, то элементы пространства ^А, являющегося пополнением множества С” (й„) по норме ||ф||д —(ф, ф)л, обладают обобщенными производными в смысле Соболева до порядка т включительно.

Доказательство. Из неравенства пункта 2° вытекает, что %AC.Hm(Q.^ (ср. гл. V, § 2 и гл. 1, § 5, пример 3°), но элементы пространства Нт^1^ обладают свойством, указанным в лемме, что и требовалось доказать.

Аналогично заключаем, что пространство Z, являющееся замыканием по норме || • ||д множества Cq0 (Qn), является подмножеством пространства Нт(йг1) функций, равных нулю вместе с производными порядка < т на границе дйп.

После этих замечаний видно, что имеют место все теоремы § 1—3, в формулировках надлежит лишь заменить оператор —Д-j-c оператором А. Полученные таким образом приближенные методы будем называть обобщенными методами Трефтца и Ритца.

Сформулируем теперь новую теорему, уточняющую высказывания теорем § 3 относительно сходимости последовательности Трефтца.

Теорема. Обобщенная последовательность Трефтца почти равномерно сходится вместе с производными до порядка 2т включительно к решению задачи Дирихле. Это означает, что в каждом компактном подможестве области йл последовательности (Da(up — «)) сходятся равномерно к нулю при |а|^2т.

Доказательство. Последовательность приближений Трефтца(ир) является последовательностью решений уравнения А (ир — ир, ?) = 0. ' о

Следовательно, на основании теоремы 1 § 2 гл. XI для каждого х £ йл ооо

существует такая окрестность V(х)сйп точки х, что для всех х £ V (х) имеем

“pW — “PiqW = J [Up(y)—Up+9(y)]r(y, x)dy.оVW

\Da<up-upA q) (х) | =\Da<up-upA q) (х) | =Дифференцируя обе части последнего равенства и применяя неравенство Шварца, получаем

\Da<up-upA q) (х) | =

\Da<up-upA q) (х) | =

J ^Up^ — Up^q^D^r^y, x)dy о

о

гдегде. о£(а, V (х)) — max оx^V W. о£(а, V (х)) — max оx^V W<4 (a, V(x))||«p —«р+?||,

где

где

. о

£(а, V (х)) — max о

x^V W

. о

£(а, V (х)) — max о

x^V W

|а| —aj-f- ... + a„<2m.

В силу теоремы Бореля — Лебега каждое компактное подмно- / i жество Дсйл можно покрыть конечным числом шаров К^х, е). i i.

Поэтому, полагая х„ = max £ (а, К (х, е)) дла каждого x^Z, KKs

имеем неравенство

| Daup (х) — Опирл., (х) | < хо || ир — up+q || -> 0, р -> оо.

что и требовалось доказать.

6. Метод ортогональных проекций для общихнеотрицательных эллиптических форм.Другие приближенные методы (метод Шварца и метод Пуанкаре)

Рассуждения предыдущих параграфов, несмотря на свою простоту, обладают одним серьезным дефектом: мы предполагали, что рассматриваемые интегро-дифференциальные формы строго положительны,

362 Гл. XV. Метод ортогональной проекции (принцип Дирихле) • а наиболее важная классическая форма (• , • )д является лишь неотрицательной. Этот недостаток можно устранить, используя введенное в гл. XIV понятие формы Лежандра.

Напомним, что квадратичная форма а (• , •), заданная на гильбертовом пространстве § со скалярным произведением (■ , •), называется формой Лежандра, если она представима в виде суммы положительно определенной и вполне непрерывной форм.

В этом случае а (и, v) = (Tи, у), где Т = Q-^-K, (Qu, и-) ^> р || и Ц2, р > б, а К—вполне непрерывный оператор. Неотрицательной форме Лежандра а соответствует разложение пространства % в прямую сумму

Ф=Фо~Ь'&+'(6Л)

Здесь dim §0 < оо, на подпространстве ф+ форма а положительно определена

а (и + , и+) ^ р' || и + |]2 для всех «+€$+■(6-2)

где р' > 0, а на подпространстве ф0 форма а тождественно равна пулю, точнее

a(uQ, v) = 0 при и0£^0 и v^.(6.3)1)

Целесообразно ввести в пространстве § новое скалярное произведение [ • , • ], связанное с заданной неотрицательной формой Лежандра а и эквивалентное исходному скалярному произведению

\и, и] = а(и, v)+(«0, ■u0) = a(u.v, vJ + ^q, ^о)-(6-4)

*) Возможность такого разложения пространства § вытекает из теоремы Г. Вейля о сохранении предельного спектра самосопряженного оператора при возмущении его вполне непрерывным самосопряженным оператором (см., например, Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1], стр. 395); напомним, что предельный спектр ограниченного самосопряженного оператора состоит, по определению, из точек его непрерывного спектра, предельных точек точечного спектра и собственных значений бесконечной кратности. Так как предполагается, что (Qu, и) >> р || и ||2, то оператор Q является самосопряженным, причем весь его спектр, а значит, и его предельный спектр, содержится в отрезке [р, || Q || ]. Так как К=Т — Q, то оператор К также самосопряжен; кроме того, он, по предположению, вполне непрерывен, и потому в силу упомянутой теоремы Вейля предельный спектр оператора Т = Q -|- К содержится в отрезке [/>, || Q || ]. Поэтому точка 0 либо не принадлежит спектру Т (и тогда оператор Т, будучи положительным, является и положительно определенным, т. е. $0 = {0}, £)+ = ф), либо является изолированным собственным значением конечной кратности. В этом последнем случае, полагая §о = Ker Т = (и: Ти = 0}, £>+ = ^, для любого и^5>+ имеем (Ти, и)^ ^ р' || ы ||2, где р' >0 — ближайшая к 0 точка спектра оператора Т. Таким образом, можно даже считать, что разложение, о котором идет речь в тексте, ортогонально, т. е. $)0 ± ф+. Впрочем, этот факт может быть легко выведен и из результатов гл. XIV. — Прим, ред.

где

« = «о + “+' ^ = ^0 + ®+; «о. ^об^о- «+• ^-б^т-

Из неравенства (6.2) вытекает, что скалярные произведения (., •) и I • , • ] эквивалентныт).

Пусть Bj — какое-либо линейное подмножество пространства ^+, BjC2$^ + . Ввиду того что [м + , У+] = а(« + , у+) па § + , замыкание Bj множества Bj можно получить, пополняя это же множество по скалярному произведению а (• , •). Обозначим [ • , • ]-ортогональную проекцию на подпространство By через Pj, Pj —’ Р ву, By = S^QBj. Имеет место следующее утверждение.

Лемма (Какутани — Браудера). Пусть (Pj)— произвольная последовательность операторов ортогонального проектирования в гильбертовом пространстве ^, и пусть л — допустимая последовательность индексов, л = (д1, п2, ...) (это означает, что для каждого /, такого, что 1^У<Л где J ^оо зафиксировано, существует такое Kj, что каждая система, состоящая из Kj последовательных индексов 1-<«й<^. содержит число j по крайней мере один раз). Пусть Rs = РпРп$х . • • Pn2Pnv- и пусть 3)t j означает область значений оператора Pj. Кроме того, положим ЗЛ°— П^у и через P = PW обозначим оператор ортогонального проектирования на подпространство ЗЛ. Тогда последовательность (R^ слабо сходится к оператору Р, т. е. для каждого и^^ последовательность (Rsu) слабо сходится к элементу Ри.

Доказательство. Ввиду того что ЗЛc23Лj, У=1, 2то Р)ЗЛ = ЗЛ и Р^сзЖ1 для каждого j. Так как на подпространстве ЗЛ оператор Rs равен оператору тождественного преобразования, то достаточно доказать, что последовательность (Rsu) слабо сходится к нулю, Rsu —"О, при «^ШЛ. Не ограничивая общности рассуждения, можно считать, что Ш1={0}. Положим us = Rsu. Так как

^5-1 «4 == Q^пз) ^S — Y ± И5 = Fп^и5_\,

то

II«.-1-«JI2 = II«.-1II2-II«JI2.

После сложения получаем

2— «Л2 <11 «II2.

*) То есть эквивалентны порожденные ими нормы. — Прим. ред.

а поэтому ||ms_i — «5||->0 при s-voo. Повторяя это рассуждение для каждого г, найдем, что

II «5-< г — «5II0 ПРИ s-^oo. (*)

Так как последовательность (я5) ограничена, именно || us || <( || и ||, то в силу слабой компактности шара в гильбертовом пространстве достаточно доказать, что если (tts^ — подпоследовательность, слабо сходящаяся к элементу у, то у — 0. Ввиду того что и^-^у при &->со, в силу соотношения (*) для произвольного j имеем uSfeA.r—^y при к —>оо, 0^r^.Kj. Аналогичным свойством обладает каждая подпоследовательность, полученная объединением этого конечного числа подпоследовательностей. Для каждого к выберем такое гк, 0 <.Гъ К i, что fis ,, =/. Следовательно, и.-, -^у при к->оо.

' к к к к

Но Usk+rk £ SUj. Так как всякое (сильно замкнутое) подпространство является слабо замкнутым, то у £ ЭЛу; в силу произвольности у имеем у £ П j^j = ®t = [0], т. е. у = 0. Лемма доказана.

Пример. При J=2 допустимой является так называемая альтернирующая последовательность, составленная попеременно из нулей и единиц. В дальнейшем мы увидим, что эта последовательность связана с обобщением альтернирующего процесса Шварца.

Теперь мы предположим, что «(•, •) является интегро-дифференциальной формой Лежандра в пространстве Нт^йп\ Такие формы мы будем называть {квадратичными) эллиптическими формами. В гл. XIII приведены важные примеры эллиптических форм. Для определенности будем изучать неотрицательные эллиптические формы вида

а{а, у)= J ^ aag(x)D“uDpydx4- J ...; (6.5) % |a|, |P|<m вап

С Эллиптической формой (6.5) связан эллиптический оператор порядка 2m:

Аи = 2 (-1)рОр(аар(х) Dau\ (6.6) |а|, 131 <т

В качестве By возьмем пространство функций, бесконечно дифференцируемых в области Q„ и обладающих компактными носителями, содержащимися в некотором множестве GyCzQ„. Мы предполагаем, что й„ и Оу являются областями Эрлинга или даже областями класса С”1.

Замечание. В качестве By можно брать другие подпространства функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям на границе дОу области Оу. Читатель заметит, что достаточно пред-

положить, что подпространство Bj является частью подпространства ВсД, где В — подпространство аналогичных краевых условий на границе дй„ области й„. В рассматриваемом здесь частном случае условия Дирихле порядка т имеют вид

ЛЦ = 0, |₽|<т; (6.7)

для получения «требуемого вложения функцию и, удовлетворяющую условию (6.7), продолжаем нулем на множество й„—Qj.

Как вытекает из наших предположений, пространство 8у является множеством функций, удовлетворяющих однородному условию Дирихле на границе dQj области Оу и равных нулю тождественно на множестве Q„—Оу. Полагая, в частности, Оу = йл, получаем Bj=B, где В — подпространство функций, удовлетворяющих однородному условию Дирихле на дй„. Теперь нетрудно получить основной результат настоящей главы.

Теорема 1. Векторы йу ^В], [ • , • ^-ортогональные к функциям, удовлетво рячнцим одно родному условию Дирихле на границе дй, подобласти GjCzQ,,, удовлетвори от в 0^ у равнению

Ahj = O. (6.8)

Следовательно, пространство Нт<£1„\ мочено представить в виде [•, • ^-ортогональной суммы ппос ппакете Bj и Ку при этом Mj — пространство решений в Gj уптвченя (6.8., а скалярное произведение [ • , • ] задается фо рмулой (6.4):

Н,„^ = Sy® /Иу.(6.9)

|а|<т. В частности, функция h—Pu=PMu является нием задачи Дирихле для области йл.|а|<т. В частности, функция h—Pu=PMu является нием задачи Дирихле для области йл.Функция hj —Pjtt является решением следующей задачи Дирихле для подобласти О^сЙ,, : Ah — О, и—h £ Sy, т. е. Da (u — h)\d0 = О, реше-

|а|<т. В частности, функция h—Pu=PMu является нием задачи Дирихле для области йл.

|а|<т. В частности, функция h—Pu=PMu является нием задачи Дирихле для области йл.

Доказательство. В силу теоремы о слабых решениях достаточно доказать, что

(йу, Дфу)0 = д(йу, фу) = О(6.10)

для всех фу £ С” (Gy). В силу нашего предположения

BjcHm,+' ^к0^8)' а ПОЭТОМУ Фу —°- Фу =Фу

откуда

О = [йу, ^Д — aVhj, фу) + (йу, 0) = а(йу, фу) для всех фу £ С” (й), что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 и леммы Какутани — Браудера вытекает следующее обобщение теоремы Браудера.

Теорема. Пусть а(-, •) — эллиптическая неотрицательная квадратичная форма на пространстве Hm(QK) = Н. Пусть Й,, —объединение областей Эрлинга Gy:Q„ = |jGy, и пусть В — множество функций, удовлетворяющих некоторым однородным краевым условиям, например условиям Дирихле на дйп, причем ВсН,., Пусть В^ означает подпространство функций, удовлетворяющих одно родным граничным условиям на множестве dGj (относительно элементов пространства Bj предполагаем, что их можно вложить в пространство BjdBdH^, т. е. продолжить на всю область й„). Пусть Pj означает оператор [•, -^-ортогонального проектирования на подпространство В^, так что Р3и является решением граничной задачи для области Gj. Положим Rs=Pn Pn -\ • • • РniPп\> где (ns)— заданная допустимая последовательность индексов л. Тогда-.

1° последовательность (Rsu) сходится слабо в пространстве Нт(Йп) к решению Ри краевой задачи для области Q„;

2° последовательность (Rsu) сходится сильно к элементу Ри в пространстве Нт_л(Йп)\

3° последовательность (Rsu) сходится (сильно1) в пространстве Cr(Q„) при п4-г > п/2;

4° последовательность (Rsu) сходится равномерно вместе с производными на каждом компактном подмножестве множества G — (JdQy!

j

5° если л—альтернирующая последовательность при J=2, то последовательность (Rsu) сходится сильно в пространстве Нт(Й11) к элементу Ри.

Доказательство. Утверждения 1° и 2° являются непосредственными следствиями теоремы 1 и леммы Какутани — Браудера, а также леммы Реллиха, в соответствии с которой вложение Нт(Йп)—> Нт_х(ЙД является вполне непрерывным отображением и поэтому преобразует слабо сходящуюся последовательность в последовательность, сходящуюся сильно. Утверждение 3° вытекает из усиления леммы Соболева, полученного Кондрашевым, в соответствии с которым вложение Нт+г(Йп) —уСДОД является не только непрерывным (Соболев), но и вполне непрерывным (Кондрашев) отображением. Утверждение 4° вытекает из теоремы § 5, согласно которой последовательность решений эллиптического уравнения Аи = 0, сходящаяся в 13(G), является почти равномерно сходящейся вместе с производными всех порядков; кроме того, следует воспользоваться тем, что

каждое компактное подмножество KcG— (J^Gy можно разложить j

па конечное число подмножеств Кр, из которых каждое содержится и одном из множеств Оу, а для всех s, начиная с некоторого, все элементы Rsu являются решениями уравнения Ah = 0.

Для доказательства утверждения 5° заметим, что R^h — ^A^i- Но P^P^Pi является эрмитовым оператором с нормой, не превышающей единицы. Отсюда вытекает, что последовательность (/?2$+1и) сходится сильно (Реллих — Нейман) к элементу г). С другой стороны, Rsa = P2R2s_vu, а поэтому последовательность (R^u) также (сильно) сходится к элементу то. Поэтому имеют место равенства Р2*и = чя, Pv-u)=:-u, откуда || то || < || у || ^ || то ||. Из равенства норм здесь вытекает равенство элементов у = то, Рх-и = Р2щ = чв.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Замечание. В случае когда А = А и граничное условие является условием Дирихле, метод, соответствующий п. 5°, сводится к так называемому альтернирующему методу Шварца, разработанному после вейерштрассовской критики принципа Дирихле. Если А = А и по-прежнему граничное условие является условием Дирихле, J=oo, л—произвольная допустимая последовательность, то мы получаем так называемый метод выметания (balayage) Пуанкаре в трактовке Куранта. .

Весьма поучительно рассмотреть метод Шварца в тривиальном одномерном случае п=1: гармонические функции являются линейными, последовательность ломаных (состоящих из двух отрезков), являющихся аппроксимациями Шварца, приближается к графику гармонической функции па всем интервале.

Упражнение. Построить график для метода Шварца в одномерном случае: Qj = \а, 6] U [с, d\, где а < с < b < d.

УПРАЖНЕНИЯ

Провести доказательство второй части теоремы § 3.

Какой вид имеют обобщенные уравнения Трефтца в случае гладкой границы?

Имеет ли место изложенная выше теория в случае, когда й„ является дифференцируемым многообразием с границей?

Какие из теорем настоящей главы верны для неограниченных областей?

Теорема Бохнера об аналитическом вложениикомпактного риманова пространствав евклидово пространство

В этой главе мы наметим модернизированный вариант доказательства теоремы Бохнера об аналитическом вложении компактных аналитических римановых многообразий в евклидово пространство*). Приведенное здесь доказательство короче оригинального доказательства Бохнера, ибо мы располагаем более сильными средствами; идея доказательства принадлежит Бохнеру.

Идея доказательства

Одной из основных проблем дифференциальной геометрии является задача топологического отображения риманова многообразия Rn в евклидово пространство, так чтобы функции, определяющие отображение

tv = tv(xxх^, v=l, 22п4~1,(1.1)

принадлежали классу С9 на многообразии Rn и чтобы матрица {dt^/dx^ имела ранг, равный п (так называемое отображение класса q). Величины ххх„ в (1.1) обозначают локальные координаты на R„.

Как доказал Уитни, отображение класса q всегда существует для произвольного многообразия класса q, 1^9^ 00 (не обязательно риманова). Однако проблема аналитического вложения до недавнего времени не была решена даже в случае риманова пространства). Одним из наиболее важных результатов в этом направлении является теорема С. Бохнера, содержащая положительное решение проблемы в случае компактного риманова многообразия. Идея Бохнера весьма проста и красива. Оператор Лапласа

Дф^^-'Л-А-/^g^detg^, (1.2)

дх‘ \' дх> /

где glk = glk (х) ■— фундаментальный тензор многообразия Rn, обладает (в силу компактности пространства R^ чисто точечным спектром. Коэффициенты уравнения Афу — Хуфу = О являются аналитическими, аналитическими являются также собственные функции фр ф2 .... и они образуют базис пространства Х2(/?п); таким образом, всякую функцию, принадлежащую пространству X2 (/?„), можно сколь угодно

’) Всюду в этой главе аналитичность функций и многообразий понимается в вещественном смысле. — Прим. ред.

точно аппроксимировать (в среднем) аналитическими функциями (конечными линейными комбинациями собственных функций фр ф2, ...).

Пусть Цх)— дифференцируемая функция; нетрудно доказать, что

для каждого е > 0 существует такая аналитическая функция фе (х), что

1t (х) — фе (х) | < е и1t (х) — фе (х) | < е и^-[^(х)-фе(х)]|<е(1.3)

1t (х) — фе (х) | < е и

1t (х) — фе (х) | < е и

Ох1

на всем многообразии Rn.

Аппроксимируя таким образом построенные Уитни функции (/V)in+I> Мы замечаем, что функции

при достаточно малом е > 0 дают требуемое отображение [матрица WMх'^ имеет ранг п в силу непрерывности определителя как функции его элементов и компактности многообразия /?„].

Здесь мы изложим доказательство теоремы Бохнера, значительно отличающееся от оригинального доказательства Бохнера. Однако при этом мы будем руководствоваться его основной идеей. Доказательство разобьем на две части: в § 2 мы изучим спектр оператора с опр.-

Д = Д -[- с (с < 0), а в § 3 изложим доказательство возможности равномерной аппроксимации дифференцируемой функции на пространстве Rn аналитическими функциями.

Спектр оператора Лс

опр.д /дф, \

Докажем, что оператор ^ = g-'h —— I g'^gи——) —f—сф, где дх1 \* дх )

с = с(х)<0, является отрицательно определенным.

Доказательство. Для наших рассмотрений подходит, очевидно, гильбертово пространство Z.2 (/?„), т. е. множество классов эквивалентности функций со скалярным произведением

(/. §■)— J f(,x)g(.x)dv.

Rn

где do — элемент объема: do = g'^ dx1 ... dxn в римановом пространстве (ср. гл. XIX). Имеем

(— Дсф, Ф) = — Г Г§-‘Л -A ig'kg -^Ю ф с | ф (х) р g-'Al dx =

L ox1 \ J дх^ /J

= $c|T2(x)plgV«rfx> -с(ф, ф).

J L дх1 ох}J

24 К. Морен

Аналогично доказывается симметрия оператора Ас: (Агф, ф) = (ф, Астр). Следовательно, на основании теоремы Фридрихса — Стоуна — Винт- нера существует самосопряженное расширение Ас оператора Xе, также отрицательно определенное. Применяя теорему Реллиха, так же как и в главе о самосопряженных расширениях, доказываем, что оператор (Ас)-1 является вполне непрерывным и, следовательно, его спектр является чисто точечным. (Другое доказательство аналогичной теоремы для эллиптических операторов произвольного порядка изложено в гл. XIII.)

Как мы знаем, £> (Ac)czD ([Ас]*); следовательно, собственный вектор фу оператора Ас (Афу = Луфу) является слабым решением уравнения эллиптического типа с регулярными коэффициентами (ср. гл. XI) Асфу(х) —х7Фу (х) = 0.(2.1)

Поэтому (после исправления на множестве меры нуль) он является функцией класса С2 (/?„), а так как коэффициенты уравнения (2.1) аналитичны, то на основании теоремы Хопфа [1] этот собственный вектор является даже аналитической функцией на многообразии Rn. Таким образом, мы доказали, что оператор Xе имеет чисто точечный спектр. Его собственные функции принадлежат пространству Z.2 (/?„), аналитичны и об разуют счетный базис в L?(Rn\ Итак, каждую функцию из L^R^ можно сколь угодно точно аппроксимировать в среднем конечными линейными комбинациями собственных функций ''оператора Xе, т. е. аналитическими функциями на многообразии Rn.

§ 3. Равномерная аппроксимация дифференцируемойфункции посредством аналитических функций

В этом параграфе мы докажем, что для произвольной дифференцируемой функции Цх) и произвольного е>0 можно найти такую аналитическую функцию фе (х), что для каждого х £ Rn

1t (х) — фе (х) ] < е и1t (х) — фе (х) ] < е иd И (х) —фг(х)]дх1d И (х) —фг(х)]дх1е.е.(3.1)(3.1)

1t (х) — фе (х) ] < е и

1t (х) — фе (х) ] < е и

d И (х) —фг(х)]

дх1

d И (х) —фг(х)]

дх1

е.

е.

(3.1)

(3.1)

е ОПр. / , сх—пг

Мы докажем, что искомой функцией является ф = (А } ф, где m>n/4-|-3, а ф— такая аналитическая функция, что при некотором т] > 0

IkAT^-Tlkn.(3.2)

Существование функции ф, удовлетворяющей (3.2), вытекает из сказанного в § 1: любую функцию из L2(Rn) [в частности, (А6/” ^] можно аппроксимировать аналитическими,

Заметим сначала, что фе = (Ас) тф— аналитическая функция: это вытекает из того, что фе является решением эллиптического уравнения с аналитическими коэффициентами

(АТ Фе (х) — ф (х) = О

и уже применявшейся теоремы Хопфа (напомним, что функция ф аналитична).

Полагая и = (Дсут f, для точек х, принадлежащих окрестно- fl

сти V (х), имеем

ии(3.3)(3.4)(3.3)(3.4)W= J r(x, y^u^dy-y J S(x; y)/(y)dy, оо

и

и

(3.3)

(3.4)

(3.3)

(3.4)

V (х)V (х)

~УГ = $"br<x; ^“^У^- J ^S(x; y)J(y)dy оо

V (х)V (х)

(ср. гл. XI). Следовательно, на основании неравенства Шварца

| ^ | < Cz И1 “ 11 +11 / II К cz [ II <ДТ"* II + 1 ] || /1|. (3.5)

Полагая f = (Kc)mt— ф, имеем.« = (АС) т f = t— (Ас) m ф = /—фЕ. Итак, из соотношений (3.5) и (3.2) получаем

dt (х) дфе (х)дх1 дх1dt (х) дфе (х)дх1 дх1-пСДП (АТт|1+1]<е-пСДП (АТт|1+1]<е

dt (х) дфе (х)дх1 дх1

dt (х) дфе (х)дх1 дх1

-пСДП (АТт|1+1]<е

-пСДП (АТт|1+1]<е

при т| > 0 достаточно малом. Аналогично доказывается первое нера- о

венство (3.1) при x£V(x).

В силу компактности пространства Rn можно выбрать конечное о

покрытие окрестностями V(х), встречающимися в формулах (3.3) и (3.4), и получить (3.1) уже для любого х £ Rn.

Доказательство теоремы Бохнера закончено.

Замечание. В 1958 г. немецкий математик Гапе Грауэрт доказал знаменитую гипотезу Уитни: всякое сепарабельное аналитическое многооб разие можно аналитически вложить в евклидово пространство. Грауэрт доказал эту замечательную теорему, применяя глубокие результаты теории пучков на многообразиях Штейна.

Общая теория разложений по собственным функциям. Спектральная теория общих ядер1)

Настоящая глава занимает в известном смысле центральное место в нашей монографии. Цель вводных замечаний — разъяснить основную идею теории, подсказанную более тридцати лет назад физиком Дираком. В § 1 доказывается основная теорема, в формулировке которой главную роль играет понятие отображения Гильберта — Шмидта (см. гл. VI, § 7). В качестве следствий мы получаем теоремы Ю. М. Березанского, позволяющие непосредственно получить спектральную теорию операторов типа Карлемаиа, В § 2 доказывается, что вложения Hm+k (Ду)-> Нк (Q^) при tn>NI‘2, к$>й, являются отображениями Гильберта — Шмидта. Это в соединении с результатами § 1 приводит к теореме о разложении по собственным функциям дифференциальных операторов произвольного порядка; в § 3 дано уточнение полученных результатов для гипоэллиптических операторов.

’) В связи с неполнотой ссылок в этой главе остановимся более подробно на истории вопроса. Построение разложений по собственным функциям в случае непрерывного спектра приводило к значительным трудностям, которые преодолевались во многих работах, в особенности посвященных спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов. Из работ в этой области, больше всего повлиявших на создание общей теории разложений, отметим следующие. М. Г. Крейном [2, 3, 4] был создан общий метод направляющих функционалов и доказана с его помощью теорема разложения по собственным функциям для обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов произвольного порядка, а также даны его приложения к интегральному представлению положительно определенных ядер. Другое доказательство теоремы о разложении принадлежит Кодаира [4]. Первой работой, посвященной спектральной теории самосопряженного эллиптического оператора в неограниченной области была работа Карлемаиа 1934 года. Теория разложений по собственным функциям оператора Шредингера в неограниченной области была построена А. Я. Певзнером [1], работа которого послужила отправной точкой ряда исследований в этой области. Для общих самосопряженных эллиптических операторов подобные результаты были получены Гордингом [3, 4] и Браудером [2]. В работе Маутиера [1] была четко высказана идея дифференцирования разложения единицы, а в работе Хёрмандера [1] были впервые построены разложения по собственным функциям неэллиптических (а именно — гипоэллиптических) операторов. С другой стороны, создание теории разложений по обобщенным собственным функциям стимулировали некоторые стоявшие задачи. К их числу относится задача доказательства наличия собственных функций у динамической системы (см. § 4) и задача С. Л. Соболева об исследовании собственных функций вида А<р = ХД<р, где А и В — дифференциальные операторы.

Эги результаты приведут к теории разложения по обобщенным собственным функциям динамических систем (§ 4). В § 5 излагается построение ядерпого пространства, позволяющее применить общую теорию к произвольной счетной системе коммутирующих нормальных операторов. В § 6 выясняется, что спектральная теория бесконечно малых производящих операторов произвольного унитарного представления группы Ли охватывается общей схемой, изложенной в предыдущих параграфах. Общая спектральная теория абстрактных ядер излагается в § 7. Такой подход позволяет получить, с одной стороны, теорию Березанского, обобщающую теоремы типа Бохнера, и с другой — спектральный анализ ядер на дискретной абелевой группе, что в частном случае положительно определенных ядер дает новое доказательство обобщения теоремы Герглотца и теорему Понтрягина. В § 8 и 9 излагается спектральная теория операторов типа Карле-

Исследуя последнюю задачу, Р. А. Александрин еще в 1949 г. впервые сформулировал частное понятие обобщенной собственной функции.

В 1955 г. появилась основополагающая в рассматриваемом направлении работа И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко [1], в которой было показано, что всякий самосопряженный оператор А, действующий в сепарабельном функциональном гильбертовом пространстве £>, имеет полную систему обобщенных собственных функций, являющихся функционалами над некоторым линейным топологическим пространством основных функций Ф. Авторы рассматривали конкретные виды Ф, однако из методики доказательства было видно, что оно проходит для любого счетно нормированного Ф, ядерного в смысле И. М. Гельфанда. В 1956 г. появилась работа Ю. М. Березанского [ I], в которой было показано, что в качестве Ф может быть взято не линейное топологическое, а некоторое гильбертово пространство. Тем самым обобщенные собственные функции становились функционалами конечного порядка, который зависел лишь от характера §. В 1956 г. Браудер на основании статьи И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко [1] подробно изучил разложение по обобщенным собственным функциям типа Аф = ЛВф. Гординг н реферате на статью Ю. М. Березанского [1] наметил другой подход к основному результату статьи; этот подход затем был развит в абстрактном виде К. Мореном для весьма общих случаев, он и излагается в этой книге. В 1957 г. Д. А. Райков показал, что ядерные в смысле Гротендика пространства являются ядсриыми и в смысле И. М. Гельфанда, этим самым было произведено обобщение теоремы И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко на абстрактные гильбертовы ^ с вложенным в него ядерным в обычном понимании Ф. Вместе с тем представлялось важным выбирать Ф как можно ближе к $ (в идеальном случае конечномерного пространства Ф = §, и каждый собственный вектор не обобщенный, а обычный). О том, что зазор между Ф и 6 мог быть нс очень большим, говорили результаты Ю. М. Березанского [1] о возможности выбора в качестве Ф гильбертовых пространств, однако они не давали ответ на вопрос в абстрактном и законченном виде. Здесь завершающую роль сыграла работа Г. И. Каца [1], в которой было подчеркнуто, что существенна не внутренняя структура Ф, а то, как гильбертово Ф вложено в ^ (вложение должно быть Гильберта — Шмидта). Другой подход к этим результатам был предложен Ю. М. Березанским [3] в плане развития его статьи [1]. В заключение отметим работу Фояша [1], в которой Ф предполагается не гильбертовым, а банаховым пространством.— Прим- ред.

мана и эллиптических операторов (Маутнер— Гординг) в классической формулировке. В § 11 мы приводим классическую формулировку теории Титчмарша — Кодаира для обыкновенных дифференциальных операторов и, в частности, теорию Планшереля, связанную с оператором Z djdx. Параграф 12 представляет собой реферат результатов Гординга относительно асимптотики спектральной функции произвольного самосопряженного расширения эллиптического оператора.

Введение

Как известно, спектральная теорема возникла как обобщение классических разложений по собственным функциям интегральных операторов (Гильберт). Однако конкретная реализация этой теории даже в случае обыкновенных дифференциальных операторов требовала весьма трудных и остроумных рассуждений (Вейль).

В гл. IX было изложено понятие прямого интеграла гильбертовых пространств и теорема Неймана об одновременной диагонализации системы коммутирующих самосопряженных (общее — нормальных) операторов, которая гораздо ближе классическому преобразованию Фурье, чем разложение А = j ХЕ (dX).

Теперь мы продолжим реализацию программы перехода от спектральной теоремы к теоремам о разложении по собственным функциям операторов классического анализа.

Как известно, в случае когда оператор А обладает точечным спектром [например, в случае когда оператор А или (Д-ф-Z)-1 вполне непрерывен], спектральной теореме можно придать следующий вид. Пусть

^Эф^^ФлИ^ФН^)-<Ф- ек(Х\).(0.1)

где ек^Х\ к = \, 2N0^)—линейно независимые (ортонормиро- ванные) собственные векторы оператора А, соответствующие собственному значению К кратности N (X):

Аек(Х) = Хек(Х), А = 1, 2N (К).

Формула обращения Фурье (т. е. формула обратного перехода от преобразования Фурье ф к элементу ф) имеет в данном случае вид

N А)

ф = f 2(ф. ей (X)) ей (X) dp (X),(0.2)

J 6 = 1

А

где Л—^спектр 5р(Д) оператора А (или, что то же, спектр коммутативного кольца, порожденного оператором А), а мера р сосредоточена на собственных значениях X£Sp(4):p({M)=l-

В случае когда имеется непрерывный спектр, нельзя ожидать полной аналогии с формулами (0.1) и (0.2), ибо в пространстве ф не существует элементов, соответствующих собственным векторам. Однако примеры классических разложений, например классический интеграл Фурье—Плапшереля, и соображения, высказанные Дираком, указывали на возможность обобщения соотношений (0.1), (0.2). lie будем здесь излагать истории исследований последних лет, о ней будет сказано в заключении. В настоящей главе мы воспользуемся подходом, принадлежащим автору н весьма просто приводящим к цели.

Оказывается, что обобщенные собственные элементы являются линейными непрерывными функционалами па некотором плотном подпространстве Фс§ с более сильной топологией, чем топология гильбертова пространства §. Например, топология в Ф такова, что вложение /:Ф->£) является оператором Гильберта—Шмидта или, общее, Ф = lim ind §„, где вложения 1п : фп —> § являются операторами п

Гильберта — Шмидта. Тогда ^(^^Ф' и формулы (0.1), (0.2) сохраняются в предположении, что ф^Ф, а скалярное произведение (• , •) заменено двойственностью ( • , • ) пространств Ф и Ф'.

В § 8 и 9 сохранен прежний „полуклассический" подход Горди нга, хотя в § 3 аналогичные результаты получены проще и в более общей форме. При этом мы руководствовались следующими соображениями.

1°. Целью этой книги является изложение в первую очередь методов, и лишь во вторую очередь нас интересуют результаты. Весьма поучительно проследить различные пути, ведущие к одному и тому же результату (ведь часто ландшафт, открывающийся нашему взору при подъеме на вершину, не менее красив, чем то, что видно с вершины).

2°. Подход Гординга (или Маутнера) не требует никаких других средств, кроме общей спектральной теоремы (или теоремы Хана — Хел- лингера) и теории интеграла.

Основная теорема и следствия из нее

Сначала мы напомним формулировку общей спектральной теоремы.

Для каждой коммутативной системы (^з^^д самосопряженных операторов Д^ в сепарабельном гильбертовом пространстве S) существует такой прямой интеграл % — j Н (X) dp (X) гильбертовых про- ~л„ „

страиств Н (К) и такое унитарное отображение F ; ^"^ и -> Fu = и££>, которое одновременно приводит все операторы А, к диагональному виду. При этом прямой интеграл ^ является семейством векторных полей, интегрируемых с квадратом по локально компактному пространству Л с мерой р:

ЛЭХ-^и^^Н^сГ-.(1.1)

Скалярное произведение в пространстве ф задается формулой

dim Н (X)

(2,2 ик № 5к W ^ (X).(1.2)

Ф у <==1

Л

Описанное выше унитарное отображение F:^->^, (Fu, РчТ)„ = = (и, у)ф называется (Д^-преобразованием Фурье. Оно приводит операторы А^ к диагональному виду в том смысле, что

(ГЛ^И^А^М-)-(1.3)

где Яр(.) — комплекспозначная функция.

Функция Л^-) отображает множество Л на спектр оператора А., 5р(Лр)^Д(Х):ХЕЛ].(1.4)

Теперь мы переходим к основной теореме.

Основная теорема (К. Морен). Пусть ^п — линейное подмножество гильбертова, пространства $, наделенное такой предгильбертовой структурой^, что вложение

1п'^п-*%(1.5)

является оператором Гильберта — Шмидта.

Предположим, кроме того, что

индуктивный предел Ф = Ит1пб^„ является множеством, п

плотным в пространстве $.(1.6)

Тогда преобразование Фурье (1.3) задается формулой

ФЭФ->ФИ^) = (Ф, ^М ^ = 1dim/Y(?.),(1.7)

где екЩ) — так называемые обобщенные собственные элементы, принадлежащие пространству Ф*. Формула (1.3) принимает теперь вид (в предположении, что Л^ФсФ)

03Ф, 6^ = ^, А^е^К)).(1.8)

Преобразование Fn(\), заданное формулой

Fn W: Фл 9 Ф -> Ф (X) = (F^ (л) ^Н^),(1.9)

является отображением Гильберта — Шмидта для у.-почти всех X £ Л.

Доказательство. Так как пространство Ф является индуктивным пределом пространств ^п, то из соотношений (1.9) вытекает, что отображение

(Х):ФЭф->ф№€^(^)

является непрерывным [ибо отображения Fn (X) непрерывны как отображения Гильберта — Шмидта]. Поэтому преобразование Ф^ф—> ->Ф6(Х) является линейным непрерывным функционалом, и, следовательно, существуют такие элементы ей(2.)£Ф*, что фй(Х) = — (ф, ек(К)\ ф£Ф. Таким образом, достаточно доказать соотношение (1.9).

Из предположения (1.5) вытекает, что

^лЭф->/лФ = 2(ф-й"€-§.

I«л

где h" £ $, причем

2II hl ||2 < оо.(1.Ю)

Так как преобразование F унитарно, то F • 1„ является преобразованием Гильберта— Шмидта

Ф„ 9 ф -> Ф = (F • к) Ф = 2 (ф. П/)ф hi 6 £- где й"£ ф, причем

2№б = 2||М1|<^.(Mi)

Докажем теперь, что преобразование (1.9) имеет вид

Fn (X) Ф - Ф (X) = 2 (Ф- Л?), hi (X),i

где

2II hi (X) ||^(k) < oo для почти всех Х^Л по мере р. (1.12)

Однако соотношение (1.12) вытекает непосредственно из неравенства (1.11) и теоремы Фубини

5II hi Hi=5 / II h" &м d^ ^ = / 2II 6(М d^ ii XXi

поэтому существует такое подмножество 7VncA меры нуль, что при X£Nn

2|| hi (K)||$(M<oo.

Полагая ф(Х) = 0 при ?-EU^zi' получаем наше утверждение.

Нам осталось заметить, что соотношение (1.8) следует из (1.3) и (1.7).

Замечание. Часто встречается случай, когда имеется лишь одно пространство ф2 и 0 = ^!- Тогда доказательство становится еще более простым. Ниже сформулированы следствия, относящиеся как раз к этому частному случаю. Эти интересные утверждения были найдены (другим способом) Ю. М. Березанским1).

Следствие 1 (Березанский). Пусть В — такой оператор в пространстве %, что

W)^(1.13)

и

В-1 является операто ром Гильберта — Шмидта. (1.14)

Положим Ф — ^ = 5) (В) и в пространстве ^ определим скалярное произведение формулой

(Ф. t)^ —' Фф« 5ф) + (ф, ф).

Тогда имеет место утверждение основной теоремы.

Доказательство вытекает немедленно из следующего замечания: вложение ^ Э Ф ~* Лф € £* является суперпозицией непрерывного отображения <§, Э ф ->Дф С § и отображения Гильберта — Шмидта В-1

ф Э В<р -> В-1 (Вф) = ф Е ф.

поэтому оно также является отображением Гильберта—Шмидта.

Совершенно аналогично доказывается несколько более общее предложение.

Следствие 2 (Березанский). Пусть в алгебре, порожденной системой (Л^)?гв, найдется такой оператор А, что для некоторого /^1 существует оператор К, обладающий следующими свойствами-.

W0 = £>;(1.15)

оператор {А-\-1)~1 К~х— ^К(А-\-1У) 1 является оператором Гильберта — Шмидта.(1.15')

Если положить В = К (А + i)1, то имеет место утверждение следствия 1.

Более того, можно показать (это мы предоставляем читателю), что в качестве оператора В можно взять К[а не К(.А-\-1У\, если только выполнены условия (1.15) и (1.15').

‘) Точнее, Г. И. Кацом [1] и Ю. М. Березанским [3].—Прим. ред.

Отметим, что сам К может не быть оператором Гильберта — Шмидта.

При tn>N]2 вложение Hm^N^->HQ^N^ является отображением Гильберта — Шмидта

Прежде чем переходить к следствиям, относящимся к операторам Классического анализа, докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть ЙЛ, обозначает область Эрлинга. Тогда вложение Нщ^к^р^-* Нк(йп\ т^-[^/2] + 1, ^Y®- является отоб ражением Гильберта — Шмидта. Поэтому вложение H‘imA-k^‘N)—>Нu^n) является ядерным отображением.

Доказательство. Согласно второму неравенству Эрлинга — Соболева, отображения Нт+к =H^^.^^^^ix^C1 являются линейными ограниченными в совокупности функционалами, заданными на пространстве Нт+к при условии, что |a|Y^>

sup у'- <g. а <А,(2.1)

- ^Нт^к

т. е.

Я“ф« = (ф- b^k. \Шт+к<с.х^.(2.1')

причем константа с не зависит от х.

Если (e^/Y — ортогональный базис пространства Нт{к, то в силу равенства Парсеваля и соотношения (2.1) имеем

•|йк = Ш' е^т+к\2 = ^\ОаеМ2 <с\(2.2)

Поэтому (на основании теоремы Лебега) ряд можно интегрировать почленно:

°°> J ^ h“||«-i»^= ^ ^^D^e^x)^ dx — Qn |а|<йlaKAQyy I

= S 5 fl^W^^ 2 /|O%r^ = ^kz||26. (2.3)

i = I|a|<6Qjv^=1 l«l<6Qzv1

Следовательно, вложение

Hm+k34>-* S (Ф. е^ке^Нк^

в силу соотношения (2.3) является отображением Гильберта — Шмидта, что и требовалось доказать,

о

Ввиду того что в случае пространства Hm+k ^n) неравенство (2.1) имеет место для произвольной ограниченной области QN, одновременно мы доказали следующую теорему.

Теорема (К. и Л. Морен). Для произвольной ограниченной области O.N вложение

00г

НmA-к (йдг) ~* Нд (йуу),^ ^-0, т ^- [-g*J + 1 •

является отображением Гильберта — Шмидта.

Г0

[Напоминаем, что пространство H^Qm) является пополнением множества С” (й/у) по норме

м? = 2 (о«ф. о“ф)0.1|al<ZJ

Теорема о разложении по собственным функциямдля операторов классического анализа

Теперь мы покажем, как из теорем § 1 получить основные теоремы, касающиеся разложений по собственным функциям интегральных, дифференциальных, а также интегро-дифференциальных операторов. Сначала мы изложим доказательство теоремы Маутнера (ср. Маутнер {1]) относительно собственных функций оператора Карлемана. Напомним определение интегрального оператора типа Карлемана. Пусть Й— локально компактное пространство с мерой а, конечной на компактных подмножествах множества й, L? (о) —" 1? (Й, а).

Интегральное преобразование

L? (о)Зи-> (Н«) (х) °— J Н (х, у) и (у) do (у) £ С1,

Q где

J | Н (х, у) |2 do (у) = С2 (х) < оо Q

почти всюду, называется оператором Карлемана.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1 (Маутнер). Пусть Л— самосопряженный оператор в пространстве L?(p), причем для некоторого I оператор (Л + г,)-г является оператором Карлемана. Тогда собственные элементы оператора Л являются линейными функционалами на пространстве Ф = $)(В), где оператор В задается формулой В = К (Л-ф-д)1,

® W Э Ф ~* (^Ф) (*) = А (я) • Ф (х) £ С1,(3.1)

причем к (х)> 1 и

J \H(x, y)}2-p^do(x)do(y)<oo;(3.2)

Н(х, у) означает ядро оператора (Л -(- z)~l.

Доказательство вытекает непосредственно из следствия 2 § 1. К~х является оператором умножения на функцию 1/&(х), а соотношение (3.2) означает, что оператор (Л -|- zyl КУ^ является оператором Гильберта — Шмидта.

Замечание. Теорема имеет место и тогда, когда Л является оператором Карлемапа. В этом случае надлежит применить следствие 1 § 1 к оператору В~К, где К описывается формулами (3.1) и (3.2), в которых Н^х, у) — ядро Л.

В спектральной теории дифференциальных операторов важную роль играет локально выпуклое пространство Нт (й), являющееся о индуктивным пределом пространств Н^^у.

оНш(й) = 1!т^Нш(Й"),п

где

йп / й.

Сопряженное пространство \Нт^у будем обозначать через Н_т(Й). Элементы H_m(Q) являются обобщенными функциями порядка т (ср. гл. XIV, § 5).

Прежде чем переходить к частным случаям, мы выскажем следствие, которое является реализацией основной теоремы § 1 в случае пространства £2(й) = /У0.

Теорема 2. Пусть (Лр)^д — коммутативная система самосопряженных операторов в пространстве 1} (Й). Полагая о

в основной теореме § 1 <§ = Л2(Й), S$n = Hm^n\ т. е. Ф = Hm(Q), мы видим, что в этом случае (А$)-преоб разование Фурье задается формулами■

Нт (й) Э ф -> ф* (X) = (ф, ek (X)), к = 1dim Н (X), где ekQA являются обобщенными функциями из пространства Н_т(йу m>Ny.

Теперь мы приведем обобщение предыдущей теоремы, которое другим способом было получено Гордингом.

Пусть В — положительная эрмитова форма порядка ^г, заданная на пространстве С”(й) X Со°(2). Это означает, что для каждого ком-

пактного множества /(ей существует такая постоянная С (К) > 0, что j |5(ф. 'I’KCWhllr • hllr при ф. 4'€С”(К).;

Пусть Н(В) означает пополнение множества С™ (й) по скалярному произведению В(-, •). Из этого определения следует, что пространство НГ(Й) можно рассматривать как подпространство пространства Н (В). Вложение Нг (й) -> Н (Д) является непрерывным, ибо о

непрерывно его сужение Hr (й) -> Н (В) и в то же время Hr(Q) — о

= limind/Yr(Q"), Й" /йс.Ем.

Рассмотрим вложение

/:НГ+,П(Й)->Я(В), m>Nj^.

Сужение о /„:Hr+m(^)->H(S)

отображения / можно представить в виде суперпозиции оо

к : Нт+т (Й") -> Нг (Й") -> Н (В)

непрерывного отображения и отображения Гильберта — Шмидта (т > 7V/2, г ^ 0). Так как выполняются предположения основной теоремы, то мы доказали следующее утверждение.

Теорема 3 (Горди иг). Пусть (Др) означает, коммутативную систему самосопряженных операторов в пространстве Н (В), где В(-, •)—скалярное произведение порядка г (г = 0, 1,...). Тогда (А$)-преоб разование Фурье задается формулой

W» (X) = ф6 (X) = (ф, ek (X)),А = 1dim Н (X),

где ekQ?)^.H_^nl+^Q., причем т = [Л7/2]-|- 1.

Примером скалярного произведения первого порядка является форма Дирихле

N_

/, х ОПР- Г dcp дф ,

(Ф- ^д — J dxt дх; dx-

Q / = 1

Общее,

В(ф, ф) = J ^ Ьа^ (х) О“ф (х) £)рф (х) dx, (3.3) Q |а|, 1Р1<г

где функции 6ар измеримы и локально ограничены. На каждом компактном подмножестве только конечное число этих функций не равно тождественно нулю.

В общих теоремах настоящего параграфа собственные элементы гЛ(Х) оказывались обобщенными функциями из пространства /7_,„(й).

Однако возможна ситуация, в которой обобщенные функции являются регулярными. Это имеет место тогда, когда среди операторов (Лр)ред имеется хотя бы один гипоэллиптический (дифференциальный) оператор Л, т. е. такой оператор Л, что все решения уравнения (Л + с)« = 0 (дифференцирование здесь понимается в смысле Соболева— Шварца) являются классическими решениями. Как нам известно, этим свойством обладают эллиптические уравнения. Достаточные условия гипоэллиптичности приведены в гл. XXII1).

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть среди операторов (Лр)^^, фигурирующих в теореме 2, имеется оператор Л, порожденный гипо- эллиптическим выражением '2iaa(x')Da, где аа (•) £ Нт (Й). Тогда собственные функции ек(Х\ о которых речь шла в теореме 2, являются регулярными функциями и (Аф-преобразевание Фурье имеет классический вид

ФЙ РО = (ф. ek (X)) = J ф (х) ё?(хП) dx.

ы

Прежде чем доказывать теорему, сделаем одно замечание. Согласно основной теореме из § 1, в теореме 2 требуется, чтобы А$Нт (й)с:Ят (й). Однако, как нетрудно видеть, для справедливости теоремы 2 достаточно требовать, чтобы А^Э ^cz.Hm (й), где Э5(Й)— пространство основных функций, введенное в гл. 111. Этим замечанием мы сейчас воспользуемся.

Доказательство. Из предположения относительно коэффициентов аа (•) вытекает, что оператор А отображает пространство ^(й) в пространство Hm(Q): 35 (й) 5 Ф-> Лф £ Нт (й). Поэтому можно применить теорему 2 и написать

Лф, (X) = (Лф, ек (X)) = (Л (X) ф, ек (X)), ф £ 35 (й).

Таким образом, тождественно относительно ф^5?(й) имеем О = < [Л — Л (Х)1Ф, еА) = <Ф, [Л+-Ла)]е,(Х)>, т. е.

(Л+-Л(Х))е,М = 0.

Однако выражение Л+—Л(Х)/ гипоэллиптично (Л+ — выражение, формально сопряженное с выражением Л), а поэтому функциие,(Х) регулярны.

') Ниже идет речь о регулярности (гладкости) собственных функций внутри области. Более тонким является вопрос о гладкости вплоть до границы. Теперь Ф с; И нужно выбирать не столь грубо как линейное топологическое пространство стр. 381, а как некоторое гильбертово пространство и пользоваться результатами о повышении гладкости, упомянутыми на стр. 349. —Прим. ред.

Спектральным синтезом данного элемента /^Ф и его преобразования Фурье / ^ ф мы будем называть элемент

dim Н ОД

Mf~$ 2 ЛМ^МФ(^)€Ф.(3.4)

Л6 = 1

Нетрудно проверить, что

(ф. Л1/> = (ф. /) = (ф. П^-(3-5)

Интересной иллюстрацией к теореме 4 является случай, рассмотренный Гельфандом и Костюченко [I]1)-

Предположим, что ^ = Н (В), т. е. что (•, -) = В(-, •) и что М является дифференциальным оператором. Это имеет место в случае скалярного произведения, заданного формулой (3.3). Предположим далее, что

В (Дф, /) = (ф, Lf\(3.6)

где L также является дифференциальным оператором. Следовательно, преобразование Фурье принимает вид

(ф. ek (X)) = $ft (X) = <М +ф, fk (X)),,

Иф (X) = <L^, fk (X)} = Д (X) < Л4+ф, /6 (Х)>(3.7)

тождественно относительно Ф^Ф.

Таким образом, обобщенные собственные функции fk (X) являются решениями дифференциального уравнения

(Л-Д(Х)Л4)Л(М = 0.(3.8)

Предположим, что оператор L — А (X) Л4 гипоэллиптичен (это имеет место, например, тогда, когда L—эллиптический оператор, а Л! —оператор низшего порядка; тогда L — АМ просто эллиптичен). Тогда /й(Х) — регулярные функции. Однако в силу соотношения (3.7) ek (X) = Mfk (X), а поэтому регулярны также функции ekQ\,y

Таким образом, мы доказали следующее важное предложение.

Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 2, и, кроме того, пусть среди операторов системы (Др) имеется такой оператор А, что оператор L — Д(Х)Л1 является гипо- эллиптическим оператором-, при этом М и L — операторы, заданные соответственно соотношениями (3.6) и (3.7). Тогда обобщенные собственные функции ekQ^ системы (Др) являются регулярными функциями, заданными в области £2, для почти всех Х£Л по мере р.

В случае когда В (ф, ф) = J' ффйх, оператор М является опера-

О

тором тождественного преобразования и спектральный синтез совпадает с исходным элементом

dim Н W

/ (х) =/И/(х) = у ^ J / (х) ек (X, х) dx ек (х, X) tip (X). (3.9) Л6 = 1 о

Формула (3.9) является поэтому далеко идущим обобщением формулы обращения Фурье.■

Разложения по собственным функциям динамических систем

Динамической системой на ЛЕмерном дифференцируемом многообразии й называется система обыкновенных дифференциальных уравнений

х^,Z=1N, x^N. (4.1)

Здесь мы приведем интересный результат Гельфанда — Костюченко [1] (см. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шллов [4]) относительно разложения по обобщенным собственным функциям системы (4.1).

Предположим, что правые части уравнений (4.1) удовлетворяют условиям однозначной разрешимости задачи Коши. Тогда динамическая система (4.1) определяет группу преобразований многообразия Й:

Й 5 х —> Ttx — xt £ й, где функция

Е^^х^Й

является решением системы (4.1), принимающим в момент Z = 0 значение х = (Х]х^.Из однозначной разрешимости задачи Коши

вытекает групповое свойство:

ТлТ,1==Т,аТ(1=Т<1+,3, То-/. T_t = T;x. (4.2)

Относительно системы (4.1) предположим дополнительно, что определяемая ею однопараметрическая группа Tt сохраняет меру о на многообразии й. Это означает, что на й существует такая положительная мера о, конечная для компактных подмножеств й, что всякое о-измеримое множество Хей любым преобразованием Tt преобразуется в о-измеримое множество

Zt = \Ttx*.x^Z\.

причем о(Х() = о(Х), t^E1 !).

') Известно, что консервативные системы Гамильтона обладают вышеуказанным свойством.

25 К. Морен.

Рассмотрим теперь гильбертово пространство Л2 (й) = Л2 (й, о). Группа (7\) индуцирует в пространстве L?(Q.) однопараметрическую группу унитарных операторов (U():

(Utf)(x) = f(Ttx\ f^L^iQ).(4.3)

В главе, посвященной эргодической теории, мы будем изучать потоки, т. е. динамические системы, сохраняющие меру, с другой точки зрения. Здесь же нас будут интересовать обобщенные собственные функции системы (4.1).

Согласно теореме Стоуна, существует (единственный) самосопряженный оператор А = А* в пространстве Л2(й), порождающий группу преобразований (4.3)

U, = еиА, где Мф — lim У*1-—5-.(4.4)

Оператор А является самосопряженным расширением оператора Ло, заданного на множестве ®(ДО) = С“(Й) и являющегося реализацией дифференциального выражения

У а,- (х)-х—‘v ’ dxii

в пространстве /2(й). Действительно,

(X) = Um Y Уд — V) = A-<f (7» |,-0=

Применим основную теорему настоящей главы к рассматриваемому случаю. Мы имеем дело с самосопряженным оператором А в сепарабельном гильбертовом пространстве Х2(й)=^>. Выберем в Л2(й) в качестве пространства Ф пространство //, (й), построенное аналогично пространству с тем же обозначением на стр. 316. Для Cf (й) имеем ДоСо°(й)с://1 (й), поэтому можно воспользоваться теоремой 1 (см. замечание, следующее после формулировки теоремы 3). Следовательно, существует спектральная мера и на оси Д1, носителем которой служит спектр Л оператора AzdAv Пусть ей(Х), &=1, ... .... dim/?(X)— обобщенные собственные функции оператора А, т. е.

фДМ = <ф. ей(Х)), (Дф, еА(Х)) = (Доф, ек (X)) = Хфй (X).

Согласно теореме Стоуна [см. (4.4)], имеем

W ек (X)) = е^ (ф, ек (X)), к = 1dim Н (X), (4.5) где dim/?(X) — кратность точки X спектра оператора А. Соотно-

Шение (4.5) может быть записано короче:

Ute(X) — eltK ek (20, k = 1dim H (20.

Как нам известно, элементы ек Q2) принадлежат пространству H_i (Q) = (th (Q)) . Таким образом, мы наметили доказательство следующей теоремы.•

Теорема (Гельфанд и Костюченко). Существует систе- ма(ек(Ъу> элементов пространства Н _! (Q) = (Н, (£2)) , являющихся обобщенными собственными функциями дифференциального оператора а(х, D)—'^iai(x)d/dxi, связанного.с динамической системой (4.1), сохраняющей меру.

Замечание. Спектр Л оператора А называется спектром динамической системы (Т0 или (£70.

§ 5. Теорема о разложении по собственнымфункциям (продолжение).

Построение ядерного пространства

Сейчас будет намечен несколько другой подход к теории разложений по обобщенным собственным функциям. Как нам известно из теории обобщенных функций, в множестве Cq° (£2) можно ввести такую локально выпуклую топологию, что операторы дифференцирования непрерывно отображают соответствующее пространство 26 (£2) в себя. Сейчас мы докажем, что для произвольной счетной системы коммутирующих нормальных операторов (Д0”=1 в сепарабельном гильбертовом пространстве ф можно построить плотное подмножество Ф, являющееся ядерным пространством (т. е. таким локально выпуклым топологическим пространством, что всякое его линейное и непрерывное отображение в какое угодно банахово пространство является ядерным отображением), обладающим тем свойством, что все операторы Aj непрерывно отображают пространство Ф в себя. Именно имеет место следующий вариант основной теоремы из § 1.

Теорема (К. Морен). Пусть для коммутативной системы операторов (Л0”=1 пересечение Do = Q$)(M;) плотно в про- j, р странстве ф. Тогда

1° существует такое ядерное пространство Фс$0, что операторы А/ отображают пространство Ф в себя и при этом непрерывно-,

2° преобразевание Фурье, индуцированное системой (Иу)^.

задается формулой

ФЭф-^Ф»(^) —<Ф- ^W)-

А = 1, .dim/Y(X), ей(Х)£Ф*.

Доказательство. Построим сначала ядерное пространство Ф. Пусть 0 4= t^ Е ®0. Образуем конечномерное (и поэтому ядерное) пространство

Ф”; .,« = !“=, X «Х©'<5-2)

’I ] а I <т)

где в обозначениях сохранена аналогия с теорией дифференциальных операторов:

« = («!»N>,«1=0,+ ... +а№ Аа=А“' ... Л^.

Пространство (5.2), будучи конечномерным, обладает единственной (с точностью до эквивалентности) локально выпуклой топологией, которую можно определить, например, следующим образом:

тогда а только тогда, когда тах|аа п| —>0, п—>оо. В случае надобности берем факторпространство по нулевому подпространству и пополняем его. В результате получаем конечномерное, а следовательно, ядерное пространство. Образуем далее индуктивный предел

Ф1 = lim ind Фь т> N.(5.3)

tn, N’

Согласно теореме Гротендика, пространство Ф;- является ядерным и A^j с Фу. Если множество Ф, плотно в пространстве §, то полагаем Ф = Фр и построение на этом заканчивается. В противоположном случае берем произвольный вектор ^^Ф,, у2Е®о и по нему строим пространство Ф2. Далее образуем прямую сумму Ф] © Ф2- В случае надобности повторяем это построение (однако не более чем счетное число раз, ибо пространство § сепарабельно). В результате нужное нам пространство Ф получаем в виде

ф = 4- ф. = + pirn ind ФЛ т_ ©.(5.4)

jj \т, N/

Линейная сумма 4-Ф,- снабжена обычной топологией индуктивного /

предела, а поэтому (на основании теоремы Гротендика) является ядерным пространством. Очевидно, пространство (5.4) обладает всеми требуемыми свойствами.

Перейдем теперь к доказательству п. 2°. Ввиду того что топология пространства Ф с § сильнее топологии пространства ф, вложение /:Ф—>ф является непрерывным, а так как, кроме того, простран-

ство Ф ядерно, а ■§ — банахово пространство, то вложение / является идерным отображением. Поэтому

/:ФЭф-*/ф = 2<Ф-Ф;.)Ау6^ hj^.

i

причем на пространстве Ф существует такая псевдонорма || • Ц^, что 2IIФ) Цр IIМ = 21| Ф} ||_р || h || < оо. (5-5) где hj = Fhj и

Нф'Н-р^ sup Кф-ф^Ь(5-6)

ПфП<1 следовательно,

ФЭф^Ф^^ •/)Ф = 2(ф. Ф,)А;. E'S>-(5.7)

Как и при доказательстве основной теоремы, убеждаемся, что отображение

F (М:Ф-^Ф(М = 2<Ф- ^ЙОТ (5.8) является непрерывным на пространстве Ф для р-почти всех X £ Л. Пронормируем элементы hj : || hj || = 1, у = 1, 2, ...; имеем

2||ф;-11_р=2||ф;ц_р||^1Г<оо.(5.9)

Из соотношения (5.9) вытекает, что

.fSlI^UIMW- Л /

а поэтому по теореме Фубини

для p-почти всех X £ Л. Из соотношения (5.6), неравенства Шварца и соотношения (5.10) находим

(S <ф. ф;> IIЪ w IL)1 < (S Н • II ф; 11JIм й)! <

Таким образом, мы доказали даже больше: отображение F Q^ обладает свойством (5.9), аналогичным свойству Гильберта — Шмидта

Приведем простой, но важный (в теории представления групп) пример.

Пример. Пусть О — дискретная абелева группа и пусть опр.

Aj = Lq. — операторы сдвига

(^ ф)(х) = f₽ О/’*) = Ф (х — gj>

Операторы Aj коммутируют и являются унитарными в пространстве 7,2(О) = Л2(О, о), где о — мера Хаара на группе О. В качестве элемента у, возьмем функцию d0(g), равную 1 при g = 0 и 0 при g + Q. Нетрудно видеть, что пространство Ф1 в данном случае будет совпадать с пространством С0(О) функций (непрерывных, ибо группа О дискретна) с компактными носителями с обычной (псевдо)тополо- гией: Ф^Фл—>0, если носители функций фл заключены в некотором фиксированном компактном множестве, а сами функции фл стремятся равномерно к нулю. Мы полагаем Ф = ФР ибо Ф1 = А2(О).

Разложения по собственным функциям дифференциальных операторов на группе Ли

Как нам известно из § 6 и 7 гл. X, если

G^g->m,g^^(.^ =-24'^ ®)

— унитарное представление группы Ли О, то на пространстве Гординга ® = |t/(V)y = J U (§-)ф(§-)у<75- = у(ф), фЕС” (О)}

это представление индуцирует правоинвариантное представление обертывающей алгебры S; при этом симметрическим элементам L = L+ £ § соответствуют симметрические операторы на пространстве ® с: ф:

dU (L) (у(ф)у) = U (Аф) у, 3) (dU (L)) = ®.

Симметрические элементы из центра Z алгебры § представляются существенно самосопряженными операторами, самосопряженные замыкания которых коммутируют в сильном смысле, а поэтому индуцируют преобразование Фурье. Пусть Lj^Z, J—i, 2, ...—такие элементы, а Aj = dU (Lj) = Aj, j = 1, 2, ...—их самосопряженные представители. В этом случае операторы Aj удовлетворяют условиям теоремы § 5: ®0 = Q 5) (Лу) z> ®, пространство Гординга ® плотно j- р

в пространстве ф. Следовательно, мы можем применить построение ядерного пространства Ф, о котором говорилось в предыдущем параграфе ’).

Однако для того, чтобы обобщить понятие пространства SVG), рассматриваемого в теории обобщенных функций, мы поступим

') Пространство основных функций на группе Ли в связи с близкими вопросами независимо строилось Г. И. Кацом [2].

несколько иначе, так чтобы в случае регулярного представления g' ->Lg получить именно пространство Шварца Я? (О).

Только первый шаг построения отличен от вышеописанной процедуры:

Ф} — {^(ф)^}, ,vj^-

В множестве Фу введем топологию, индуцированную топологией пространства 2(G)[Np где Nj = [ф £ ЗБ (О): U(q>)Vj = 0}.

Далее положим опр. Ф= lim ind Фу. j

Следующие шаги построения сохраняются без изменения. Таким Образом получается следующее утверждение.

Теорема 1 (К. Морен). Пусть g->U(g)— сильно непрерывное унитарное представление (ср. нижеследующее замечание) группы Ли G в сепарабельном гильбертовом пространстве %. Тогда существует такое ядерное пространство Ф с (S с ф, что преобразование Фурье, индуцированное коммутативной системой (Ду), где Aj = dU(Lj), Lj = L^^Z, задается формулами

Ф 9 Ф Фй (^) = (ф. eh^. ек(Х)^Ф\

А'.ек (X) = А. (X) ек (X), к = 1dim Н (X).

опр.

В случае (левого) регулярного представления U(g)f(x) = — Lgf(x) = / (g Тх) пространство Ф является пространством Шварца 35(G), а поэтому обобщенные собственные элементы ек(к) принадлежат пространству D'(G).

Замечание. Построение пространства Ф можно выполнить для произвольного сильно непрерывного представления g->T(g) в произвольном сепарабельном банаховом пространстве. Линейные непрерывные функционалы, заданные на пространстве Ф, т. е. элементы пространства Ф', будем называть Т-обобщенными функциями, а элементы тензорного произведения Ф' & Ф' назовем Т-ядрами.

Этими понятиями мы будем пользоваться при определении характеров группы Ли.

В случае левого представления группы Ли g—>Lg операторы dLg(Lj) = Aj являются самосопряженными расширениями левых дифференциальных операторов Lj на группе G. Применяя построение пространства Hm(G), где m Б> [^/2] 4-1, п — размерность группы О, получаем следующее уточнение теоремы 1.

Теорема 2. В случае регулярного представления N-мерной группы. Ли G обобщенные собственные элементы симметрических дифференциальных операторов Lj — Lj из центра Z обертывающей алгебры 8 являются обобщенными функциями порядка т<Д?7/2]+1, принадлежащими пространству H_,n(G'), ^га(О)ЭФ~*<Рй W = <T. ^W)- e^X^H-ml.G).

Спектральное представление (обобщенных) ядер

Известной является роль, которую в современном анализе и теории вероятностей играет теорема Бохнера о представлении положительно определенной функции р(-), заданной на оси Е1, в виде интеграла Фурье — Стильтьеса

р(х')=. / e^dy.^)(7.1)

(определение положительной определенности см. на стр. 259; мера р, определена с точностью до эквивалентности).

Аналогичный характер носит теорема Герглотца. Здесь мы изложим далеко идущие обобщения, охватывающие замечательные теоремы Березанского [2], Браудера [4] и других авторов ’). Для того чтобы читателю стала понятной связь нашей теоремы с теоремой Бохнера, мы перепишем формулу (7.1) в „ядерном" виде:

К(х, yV~ Р(х — у)= je^^d^E).(х, у^Е1 ХЕ1. (7.2)

Заметим, что ядра КХх. у) — епА*-^ являются собственными функциями оператора дифференцирования

А-= 4""ST: АхКх= А,К;=ХКх. К ЕЕ1. (7.3)

где оператор А определяется соотношениями (A, /) (х) = (Д/)(х), Т^ = /(х).

Понятие положительной определенности для ядра К Вводится

') Первыми в этой серии теорем являются работы М. Г. Крейна [2, 3] относительно представления положительно определенных ядер через собственные функции обыкновенного дифференциального оператора, полученные им при помощи метода направляющих функционалов. Основная идея этих работ — рассмотрение дифференциального оператора в пространстве, порожденном положительно определенным ядром — использовалась также последующими авторами. — Прим. ред.

следующим образом: п

2 K{xf, xz)^z^-0 для каждой конечной системы

Из положительной определенности ядра К вытекает положительная определенность билинейной формы

(ф. ф)=К(ф, ф)°— J К(х, y)q>(x)W)dxdy, ф, ф £ Со”(Ех\ (7.4) Е' X Е1

Приведем теперь одну из возможных формулировок нашей теоремы.

Теорема 1 (К. Морен). Предположим, что

1° Ф является ядерным пространством;

2° коммутативная система операторов (Aj) отображает пространство Ф в себя непрерывным образом;

3° К является положительной эрмитовой формой на пространстве Ф и .

(ф, ф) °— к (ф, Ф), ф. ф С Ф;

4Э операторы Aj—K симметричны, т. е. (Aj<p, ф) = (ф, Л уф) при ф, ф^Ф.

Пусть $— пополнение пространства Фо —Ф/W, где N = (ф £ Ф : (ф, ф) — 0} и пусть

5° операторы Aj индуцируют в пространстве $ коммутативную систему самосопряженных после замыкания операторов (которые мы в дальнейшем будем обозначать также через Aj);

6] на пространстве Ф определена билинейная форма В, индуцирующая (на Ф) коммутирующий с операторами Aj непрерывный оператор В:Ф->Ф.

Условие 61 можно заменить (неэквивалентным) условием

62 оператор В допускает расширение до оператора, непрерывного на пространстве ^.

В этих предположениях форма (ядро) В обладает спектральным представлением

В = J B\dp (X) ( точнее, В (ф, ф) = J Вх (ф, ф) dp (X) л\л

где pi — некоторая, вообще говоря, комплекснозначная мера. В частности,

К = У Kxdp(X),л

и мера р здесь уже не отрицательна.

При этом ядра Вх^Кх) являются одновременными собственными ядрами операторов Ар

BxBt. А^) = Вх(А]ф, ^ = А5О^Вх^, Ф).(7.5)

Короче это записывается следующим образом".

AjBk^Aj^Bx.

Элементарные ядра Кх тоже положительно определены для p-почти всех К^К.

Доказательство. Заметим сначала, что AjNczN. Действительно, при ф^^ имеем

(Д*ф, ф) = (ф, Луф) = О

тождественно относительно ф^Ф, а поэтому А*ф£М. Аналогично AjN с N. Следовательно, операторы Aj индуцируют линейные преобразования (мы их обозначаем также через А^ в факторпростран- стве Фо = Ф/W. Таким образом, операторы Ар о которых речь идет в п. 5°, правильно определены.

Из теоремы § 5 и п. 6Р 62 вытекает, что оператор В индуцирует ядро В,£Ф' ®Ф' или, иначе говоря, билинейную форму (непрерывную по каждому аргументу)

Ф X ф Э (ф. Ф} -> №> W. Ф (X) X = вх (ф- Ф)-

В силу общей спектральной теоремы имеем

В(Ф, ф) = (Вф, Ф)= J (Вф(Х), ф (X) X dp (X) =Л

= J Вк(ф, ф)ф(Х) = J (ф, Вхф)</р(Х).ЛЛ

Для ц-почти всех X £ Л

Вк (Луф, ф) = (<ВА^ (X), ф (X) х =

=((л^Вф) (X), ф (X) X = ^ (X) ((Вф) (X), ф (X) х =

= Лу(Х)Вх(ф, ф), что и требовалось доказать. Положительная определенность ядер Кк является непосредственным следствием определения прямого интеграла, ибо Кх(Ч>- Ф)~ (ф(Х), ф(Х\ является скалярным произведением в пространстве Н (X). Нетрудно также понять, что для ядра К мера р неотрицательна.

Перейдем теперь к рассмотрению частных случаев. Предположим, что ядерное пространство Ф является пространством Шварца 3—3 (йд,), гдейд,—область в /V-мерном евклидовом пространстве EN, или AZ-мерное дифференцируемое многообразие. Как известно из теоремы о ядрах, 3' ®3' = 3' (йд, X Йд,). Следовательно, элементы пространства Ф'^Ф' являются в этом случае обобщенными функциями па произведении йдг X йд,. Предположим далее, что по крайней мере один из операторов (Лу) является гипоэллиптическим (этот оператор мы в дальнейшем обозначаем через А^ или что обобщенные собственные функции оператора Aj являются функциями класса С” (йд,) (читатель без труда видоизменит приводимые ниже высказывания па случай оператора Aj с достаточно гладкими коэффициентами).

Соотношение (7.5) теперь принимает вид

(Лу<р, Вкф)= Лу(Х) (ф, Вхф) = (ВхЛуф, ф), т. е.

([Лу — Лу(Х)]ф, Вкф) = 0 для всех ф^С"(й¥).

Таким образом, обобщенная функция В^ф, будучи обобщенным собственным элементом гипоэллиптического оператора Лу, является элементом пространства &(йд,), где 6(йд,)— пространство функций класса С” (йд,) с равномерной сходимостью вместе с производными всех порядков на каждом компактном подмножестве. Поэтому

(ф, Вкф) = f

Вх, по определению, линейное непрерывное преобразование из пространства 3 в пространство 3', однако, как мы показали, Bx^£6(QN). Ввиду того что график отображения Вх".3-*Ь замкнут (действительно, если фv—->0 и B^v->w, то w=0, ибо отображение Вх‘.3->3' непрерывно), из общей теоремы о замкнутом графике вытекает, что отображение Вх : 3 (йд-)-> § (Йд,) является непрерывным. Поэтому отображение

является линейным непрерывным функционалом на пространстве 3, т. е. обобщенной функцией. Следовательно, для каждого х^йд, существует единственная обобщенная функция, заданная формулой

(ф, В (х, • ; Х)> = (Вхф) (х), ф £ 3 (йд,). Так как

(ф, Вк А уф) = Aj^ (ф, Вх^.

ТО■

Вк (Луф) (х) =Му (X) Вхф (х).

Поэтому

(Луф, В(х, • ; Х)) = Л,(Х) (ф, В(х; ■ ; X)).

Таким образом, В(х, •; X) опять оказывается обобщенной собственной функцией оператора Ар а поэтому Вх(х, •; Х)^Соо(£2лг) и

Л;уВх(х, у; Х) = Aj(X)B(x, у; X).

Следовательно, окончательно имеем

(ф, В(х, • ; X)) = J В(х, у; X)ф(у)dy.

Аналогично получаем

AjxB(y, х; Х) = Лу(Х)В(у, х, X).

Итак, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2 (К. Морен). Пусть O.N означает N-мерное дифференцируемое многообразие и пусть (Аф — система (произвольной мощности) коммутирующих самосопряженных операторов в пространстве S^ = L?(QN), содержащая по крайней мере один дифференциальный оператор А^, обладающий тем свойством, что обобщенные собственные функции этого оператора принадлежат классу С”. Взяв в теореме 1 в качестве Ф пространство 3t(QN) и предполагая, что ядро В удовлетворяет условиям теоремы 1, утверждение этой теоремы можно уточнить следующим образом-.

Вх (ф, ф) — (ф, ВЛф) = J В(х, у; X) ф (х) ф (у) в?х в?у,

BjV X 12 д’

где ядра В(* , • ; X) (так называемые элементарные ядра) являются собственными функциями оператора Aj, и, значит, принадлежат классу С”1.

В(х, - ; X), В (- , у, X) 6 С” (QN),АЬхВ(у, х; \) = Аь^В(х, у; Х) = Аь(Х)В(х, у; X).

Предлагаем читателю доказать следующее интересное дополнение к теореме 2.

Элементарные ядра можно разложить следующим образом по собственным функциям оператора Aj;.

dim fi(X)

В (х, у; X) = 2 ek (х; X) ek (у, X),k-i

где

Ablek(x, Х) = Aj (X) сд (х, X),ек( • , X)CCoo(Qyv), к = 1, dimP(X).

Наконец, заметим, что если Aj, — эллиптический оператор, то можно доказать, что ядра S(- , • ; X) входят в С-0 (QN X^N).

В качестве последнего примера на применение теоремы 1 приведем обобщенную теорему Герглотца.

На этот раз роль ядерного пространства Ф будет играть пространство С0(О) функций, непрерывных на дискретной абелевой группе О, обладающих компактными носителями (ср. § 5, пример). Для удобства формулировки теоремы напомним определение характера.

Определение. Характером коммутативной локально компактной группы О называется каждая непрерывная на группе О комплекснозначная функция %- удовлетворяющая следующим условиям:

X(S"iS"2) = X(g'i)x(S"2)' gv g^O.(7.6)

|Х(^)|=1-(7-7)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3 (К. Морен). Пусть B^gv s^ = b^g-^g^ = = b(g2— gj), 6£C(O)— ядро на дискретной абелевой группе О. Тогда ядро В обладает следующим спектральным разложением-.

Ь(^=Ц bxlgW(g).(7.8)

л

где Ьх — собственные функции операторов сдвига Aj = Lg^, а р— некоторая, вообще говоря, комплекснозначная мера. В частности, если В = К— положительно определенное ядро вида

К (gv gd = k(g2 — gi). то

k (g) = J kx (g) dp (X) = J Xx (g) dp' (X).(7.9)

ЛЛ

Здесь xK—характеры группы О, а неотрицательная мера р' получается из неотрицательной меры р нормировкой

арЧк?= kK^dp<k\ ^(g) = ^~,(7.Ю)

где е — единица (нуль) группы О.

Доказательство. В теореме 1 (которая применима также к унитарным операторам) положим Aj = Lgj •.W)(g)=(LgJf)(g) = = / (g— gj). Эти операторы унитарны на пространстве ^ — L2(Q, а),

где о—инвариантная мера. Так как О — абелева группа, то операторы Lgj коммутируют. В силу своего определения ядро В( • , •) коммутирует с операторами Lg.. Таким образом, выполняются условия теоремы 1. Следовательно, доказано соотношение (7.8), ибо 6^( • )€ ФсС0, будучи мерами па дискретной группе О, являются непрерывными (на О) функциями. Остается лишь доказать соотношение (7.9.). С этой целью докажем сначала возможность нормировки (7.10). Исключим тривиальный случай Х = 0. Как нам известно, й; 0. Докажем, что Хх(е)>0. Предположим, что кх (е) = 0 для р-почти всех X*, тогда мы имели бы

Ч^ = Lg_^x{e) = Lg-i (М &k(e) = 0

для p-почти всех X, а отсюда в силу (7.9) получается противоречие: к (• ) = 0.

Положим

опр. 1,

Хх^ ^^ Ax(g)-

Теперь нужно доказать соотношения (7.6) и (7.7). Из общей спектральной теоремы вытекает

Lg ^ = Lg ^ = LgO^ ХК (<0 = ^х (е) = Хх GT1).(7.11)

откуда

Хх(8г^ = L^y' {X) = Lg_y {X) Lg?1 (X) = Xx (£,) XxQ^

Наконец, так как Lg—унитарные операторы, то в силу (7.11) и спектральной теоремы

что и требовалось доказать.

Из теоремы 3 получаем в качестве непосредственных следствий знаменитые теоремы Герглотна и Понтрягина.

Следствие 1 (теорема Герглотца). Пусть к — положительно определенная функция на множестве целых чисел. Тогда существует такая {единственная) положительная мера р', что 2л

к(п)—^ exp {in X) dp' {X).(7.12)

о

Доказательство. Положительно определенная функция к определяет ядро К {т, п) = к{т— п), удовлетворяющее всем условиям теоремы 3. В случае группы целых чисел фактически имеем опр.

дело с единственным оператором сдвига ц: (/V)(n) = /(п — 1).

Принимая во внимание канонический вид унитарного оператора Lv согласно спектральной теореме, из соотношения (7.11) получаем соотношение (7.12), ибо е — 0, х?(л) = exp(t«/.) [exp(ZraZ)— собственные функции оператора сдвига].

Следствие 2 (теорема Понтрягина). Группа характеров G дискретной абелевой группы О компактна.

Доказательство. В группу характеров ^) вводится топология компактного множества Л.

Замечание. Теорему 1 можно применять к инвариантным на однородных пространствах ядрам. В этом случае возникают разложения по так называемым обобщенным сферическим функциям, а также получаются теоремы, обобщающие важные в квантовой теории поля теоремы Кэллена и Лемана. Эти теоремы можно найти, например, в заметках автора.

§ 8. Теорема о разложении по собственным функциям,связанным с ядром Карлемана

Сейчас мы приведем более элементарный (хотя не столь общий) подход к спектральной теории оператора Карлемана, которым мы обязаны Л. Гордингу [3, 4]. Изложение не будет опираться на результаты предыдущих параграфов этой главы. Пусть |Х, U, а) —пространство с мерой а, причем X —объединение счетной совокупности множеств конечной меры, принадлежащих U, где U — класс всех а-измеримых подмножеств пространства X. Пусть H — L2(ay

^J, g) = J f (х) g (х) da (х\.Н — сепарабельное пространство.

х

Частные случаи:

1° X— область в Еп, а — мера Лебега, Н—Г2(Х\

2" X — счетное множество (например, совокупности всех натуральных чисел) и а(х)—1 для всех х^Х.

Напомним, что оператор В называется оператором типа Карлемана (или интегральным оператором с ядром Карлемана), если существует функция b (х, у\ заданная на X X X, измеримая отпосительнс а®а и такая, что

b (х) —’ | J \&(у. х) р dot (у) V2 < со

I х)

и

5/ (х) = (ВЛ (х) °= J / (у) 6 (у. х) da (у)

х

почти ддя всех х при условии, что / ^D (В),

В случае 2" всякий ограниченный оператор задается ядром Кар- лемана, именно своей матрицей. Действительно, полагая

( 1 при z — х, hх (г) = I

I 0 в остальных случаях, получаем полную ортопормированную систему в пространстве Н, так что / — 2 /С^) ^х или fW — ^f- Ал) для всех /их. Следовательно, В/^ = ^В/, Нх^^/ШВку h,), причем

21 (В/г , AJ I2 = 21 (Ay- BX^ I2 = II B*hx II2 < «3 УУ

для всех х. Является очевидным, что b (у, х) = (В/гу, hx) — функция, измеримая на X X X.

В случае Г оператор / уже не является оператором типа Карле- мана (доказать!).

Пусть А = A*, D (Л) = Н и пусть

H3f-*Tf = F^H= ^Hxda(^

л

— унитарное преобразование, приводящее оператор А к диагональной форме. Каждая о-измеримая и о-почти всюду конечная комплекснозначная функция ф(^) определяет оператор В = ф(Д), D (В) = Н, следующим способом:

П^Ц/^Н1. J | ф (X) F (А.) |2 do (А,) < со, F^T/V

I Л)

(В/. g)=f<p w (F (X), О X) da W, G = Tg.

Эквивалентное определение: В = T~X^T, где ф мы рассматриваем как операцию умножения на ф(^).

Докажем, что Т является интегральным оператором, если соответствующая функция В = ^(А)—оператор типа Карле- мана. Предположим, что ф + 0 (это условие будет потом несколько ослаблено). Дадим более точную формулировку теоремы. Она по существу является другой формой теоремы 1 § 2.

Теорема 1. Существуют заданные на АкХ^ функции ek/k, х/ измеримые относительно а<^а и обладающие следующими свойствами1.

1° почти для всех к и К

Fk^^vTn.Q.^ f ек(к x)fXda(x) (8.1)

при условии, что

У |/(x)]6(x)da(x) < со, 6(х) = J|6(x, y)]2da(y) (8.2)

(совокупность таких / мы обозначаем £)0);

2° почти для всех х

/(x) = (T-*^)(x)= J ^Fft(X)eft(X, x)do(X), (8.3)

A 6 = 1

при условии, что F^H и

У IvWrSlFMfdcT^Xoo.(8.4)

А

Применяя векторные обозначения е(Х, х) = (е1(Х, х), е2(Х, х),...), формулы (8.1) и (8.3) можно переписать короче:

(8-5)(8-5)F(X) = J е(Х, х) / (x)da(x)х

(8-5)

(8-5)

и

/W= У (F^.e^X, x))da(X) =

A

= у у е(Х, x)f(x)da(x), е(Х, х) da(X). (8.6) A Lx.

Заметим, что D0 = H, т. е. что множество функций F, удовлетворяющих условию (8.4), плотно в Н. (Следовательно, Do = D (В-1); В""1 существует, ибо по предположению ф =# 0.) Ядро е (X, х) возникает следующим образом:

В(Х, х) — (ТЬ(-, х))(Х)£Н для почти всех х.

Функция В (к, х) не определена однозначно: она может быть изме- ‘ йена для каждого х на подмножестве. Л a-меры нуль. Мы докажем, что все ее компоненты Вк (X, х), заданные (как мы помним) на Лй X X, можно так модифицировать, чтобы они стали измеримыми относительно oga. После этой модификации имеем

е(к, х) = В(Х, х)—п— ■’ х <р(Х)е(к, х) = В(Х, х)—п— ■’ х <р(Х)почти для всех пар (X, х).почти для всех пар (X, х).

е(к, х) = В(Х, х)—п— ■’ х <р(Х)

е(к, х) = В(Х, х)—п— ■’ х <р(Х)

почти для всех пар (X, х).

почти для всех пар (X, х).

Замечание. Заметим, что функции ек(Х, •) следует рассматривать как собственные функции оператора А, принадлежащие собственному значению X. (Вообще говоря, они пеинтегрируемы в квадрате: X может быть точкой непрерывного спектра.) Пусть, например, К принадлежит точечному спектру оператора А. Выберем

^6 К. Морен

все компоненты F £ Н равными нулю, за исключением F h, и положим

0при X + ^0.

[а(Х0)]—1 при X — Хо.

Условие (8.4) в этом случае выполнено, а (8.6) принимает вид

/(х) = (Т~’/?)(х) = J(F(X), е(Х, x))do = e(X0, х). л

Поскольку F^D^JAT-^ и TAT~xF = X0F, то е (Хо, -)££)(Л)и Ле(^0, - ) = Хое(Хо. ■).

Когда Н — пространство последовательностей (пример 2°), можно взять <р(/.) = (Л 4~ I)-1 так, что теорема о разложении по собственным функциям верпа для любого самосопряженного оператора А. Его собственные функции ек(Х, ■) являются последовательностями комплексных чисел, для которых сумма квадратов абсолютных величин может быть бесконечной.

Прежде чем приступить к доказательству теоремы 1, докажем следующую лемму.

Лемма. Пусть (X, U, а) и (К, U, 0)—два пространства с мерой. Пусть Н и соответственно Нг — сепарабельные пространства функций, интегрируемых с квадратом на X и соответственно У. Пусть почти для всех х^Х определен линейный функционал Цх, g) на Н', причем Z(- , g)— функция, измери чая относительно а.

Тогда существует функция Цу, х), заданная на Уу^Х измеримая относительно 0®а и такая, что

Цх, g) = J g(y)l(y. x)dp(y)у

для всех g и почти всех х.

Доказательство. Пусть .■

/(х)°=||/(х, • || — sup —^ ^— < оо почти для всех х.

Поскольку Н' — сепарабельное пространство, то для получения верхней грани достаточно, чтобы g пробегало счетное плотное в Н' множество, а поэтому |/(х)|— измеримая функция. Так как X является объединением счетной совокупности множеств конечной меры, то существует такая положительная измеримая на X функция s, что J s^ tZa(x) < оо. Пусть х

( 5WPWl-2 ПРИ

I $(х) в остальных случаях.

Так определенная функция / является измеримой и почти всюду положительной. Пусть Н(— пространство функций, интегрируемых с квадратом относительно меры t (х') da(x). Поскольку отображение /—>t'^f является взаимно однозначным отображением Ht на Н (меры являются эквивалентными), то пространство Ht тоже сепарабельно.

Конечные суммы вида f^x, у) ='2igj(x)/ij(y), gj^H', h^H, образуют линейное многообразие, плотное в Н&Н^ т. е. в пространстве функций, интегрируемых с квадратом относительно меры p®az.

Пустьопр. f

4(f) = J Zj hi WUX- §й * to ^« to-

х j

Подинтегральная функция измерима, и имеет место неравенство

[22йу(х)/(х, ^)| = |/(х; ^M^g, |<

<Цх) J |/(у, х)Р<$(у) \

.у

Поэтому на основании неравенства Шварца и теоремы Фубини

У ^ hj (х) / (х; gj) t (х) da (х) х j< У I Z(x) р /(x)da(x) у XXУ ^ hj (х) / (х; gj) t (х) da (х) х j< У I Z(x) р /(x)da(x) у XXУ | / (у, х)р dp £(x)da(x) .уУ | / (у, х)р dp £(x)da(x) .у

У ^ hj (х) / (х; gj) t (х) da (х) х j

< У I Z(x) р /(x)da(x) у XX

У ^ hj (х) / (х; gj) t (х) da (х) х j

< У I Z(x) р /(x)da(x) у XX

У | / (у, х)р dp £(x)da(x) .у

У | / (у, х)р dp £(x)da(x) .у

У s (х) da (х) У | / (у, х) р dp (у) t (х) da (х). XУхХ

Поскольку оператор Л(/) линеен и Л(/) —Л(/'), когда / = /' почти всюду на КХЛ', то Л может быть расширен до линейного ограниченного функционала на H'^Ht. Последний будем обозначать тоже через А. Следовательно (на основании теоремы Рисса — Фреше), существует элемент l^H ® Ht, такой, что

Л (/) = У / (У. х) / (у, х) г/р (у) / (х) da (х)

УХХ

тождественно при / ^Н' ® Ht. В частности, полагая /(у, х) = = g4y)^to, g^H*. h£Ht, на основании теоремы Фубини имеем

Л (/) = У h (х) у g (у) / (у, х) dp (у) t (х) da (х). х

С другой стороны, согласно определению,

Л (/) = У h (х) / (х, g) t (х) da (х).х

Следовательно,■

Цх, g) = f g (У) Цу, х) d^ (у)(8.7)

Y

почти для всех х при фиксированном g. Это же равенство имеет место почти для всех х, когда g пробегает счетное всюду плотное в Н' множество. Но почти для всех х

У\Цу. x)]2d^(y) < оо.

Y

Поэтому вследствие непрерывности по g почти для всех х формула (8.7) имеет место для всех g^_H', что и требовалось доказать.

Переходим теперь к доказательству теоремы 1.

Рассмотрим подпространство Н^сН, элементами которого являются те векторные поля О^_Н, для которых все компоненты, кроме Gk, равны нулю. Отображение G—>Gk является унитарным отображением пространства Нк на пространство Н к = 1?(Дк, о), где Л6= [X : пО^^Ц. Пусть О^н\ и b(x) = У |Z>(x, y)prfo(y) < со.

Y

Положим

Цх, gV— J g^b^y, x^da^y^Bg^xy (8.8)

Цх, •) является линейным функционалом, о котором говорилось в лемме. Следовательно, существует функция Вк (X; х), измеримая на Л6 0 X относительно меры а ® о и такая, что

Цх, О)= J Gk(x)Bk(X, x)da(X), G£Hk (8.9)

почти для всех х. С другой стороны, выражение Цх, g), заданное формулой (8.8), является линейным функционалом на Н, а поэтому имеет вид

Цх, G) = J G(X)K4XTx)do(X),(8.10)

Л

где К(*, х^Н. Сравнивая (8.9) и (8.10), имеем

J Ок(Х)Вк(Х, x)do(X) = J Gk(X')Kk<X, x)do(X)

для всех О£Нк и почти всех х. Следовательно, почти для всех х функции Вк(Х, х) и Кк(Х, х) отличаются лишь на множестве о-меры нуль, так что, не меняя класса эквивалентности К (X, х), можно заменить Кк(Х, х) на BkQ., х).

Обозначая эту новую функцию ^ (X, х) через Вф, х). из (8.8) и (8.10) находим, что

Bg (х) = J О (X) В-ф, х) do (X)(8.11)

Л

почти для всех х при g £D (В). Рассмотрим теперь интеграл

J = $\/(x)\da(x)J (^ | G6 (Х)| • 15ft (X, x)|)da(X). XЛ

Подинтегральное выражение мажорируется функцией |G(X)| • |В(Х, х)|, поэтому, оценивая внутренний интеграл с помощью неравенства Шварца, получаем

-/^ j °l f b<x)\/(x)\da(x)<oo,

х

как только f^DQ [см. (8.4)]. В частности,'

J I / (^с) I da(x) J | О(Х)В(Х, х) | doф) ^ | G| J #(x)|/(x)|rfa(x)<oo. XЛX

Рассуждая аналогично, находим

f lf(x)jda(x)] J )b(y, x)^g(y)da(y)<\g^ J b (x) | / (x) da (x) < oo. XYX

Умножая обе части (8.11) на /(х) и интегрируя, на основании теоремы Фубини получаем

(8.12)(8.12)ф/, g)=f do ф) J Оф)Вф, x)/(x)da(x).

(8.12)

(8.12)

Л X

Так как J < оо, то

|G6(X)|.|B6(X, х)| • |/(х)|da(x)|G6(X)|.|B6(X, х)| • |/(х)|da(x)< ОО< ОО

|G6(X)|.|B6(X, х)| • |/(х)|da(x)

|G6(X)|.|B6(X, х)| • |/(х)|da(x)

< ОО

< ОО

почти для всех X; следовательно, в соответствии с теоремой Лебега

(8.13)(8.13)J Оф) В ф\ х) / (х) da (х) = ^ G6 (X) J Вк ф, х) / (х) da (х) х

(8.13)

(8.13)

почти для всех X. Полагая Вк (/, X) =' j Вк (X, х) f (х) da (х), х

можем левую часть (8.13) записать в следующей форме;

Оф)Вф. f).

так что (8.12) принимает окончательно вид

№ /) = / O(X)^F^) do(X) = J O(X)B(X~f)do(X), л.л

где g^D(B), f^DQ. Но оба интеграла мажорируются величиной I G IJ b (х) | / (х) | da (х). Следовательно, рассуждая обычным способом, получаем

4^)F(X) = B(X, /)(8.14)

почти всюду и

/|ф(М |2|f (X) |2da(X)<oo,

Л

а поэтому Ойс.В.

Разделив обе части соотношения (8.14) па <р (X), помня, что <р ^ О почти всюду, и полагая е(Х, х) = [<p (X)]-1 В(Х, х), получаем (8.5). Чтобы доказать (8.6), предположим, что F удовлетворяет условию (8.4), т. е.

J |<p(X)|“2|f(X)|2rfo(X)<oo. Л

Рассмотрим интеграл

(8.15)(8.15)h (х) = У F (X) е (X, х) do (X).

(8.15)

(8.15)

л

Этот интеграл оценивается следующим образом:

Х=У S|FJX)|.k%(^ x)\do(K)< J\F(X)\.\e(X, x)|da(X)< ЛЛ

У ]ф(Х)Г2 |f (X)|2rfa(X)y |В(Х, x)Pdo(X) Va =

.ЛЛ

= 6(х) у |<р(Х)Г2|В(Х)|2^о(Х) 1/1 < оо

,д

почти всюду. Умножая обе части (8.15) на g(x) (g^D^, интегрируя и рассуждая подобно тому, как при доказательстве (8.11) и (8.12), получаем

гдегде(A, g)=J F(X)e(X, g)do(X),

где

где

е (X, g) °— J е (X, х) g (х) da (х) = О (X) х

почти всюду. Поэтому

(Л, g) = (T F. g)

почти для всех g £ Do\ но так как многообразие Do плотно в Н, то h(x) = (Т~'р)(х).

п. в.

Таким образом, доказательство окончено. Предположение <р =£ О можно ослабить. Именно можно допустить, что ф = 0 на точечном спектре оператора В.

Пусть Q(K) = 0 при X + Хо и пусть о0 = о((Х0}) > 0. Тогда формула

п (Хо)

°0F к (Ло) ^к <Ло) — (/' S)

А= 1

показывает, что каждое Fk (X) является не равным нулю линейным непрерывным функционалом от элемента / и поэтому обязано иметь вид

f 6 (Ч) = / ёТоТх) / (х) da (х),(*)

х

где ей(Х, -^Н. Определяя функцию е(Х, •) формулой (*), когда X принадлежит точечному спектру, мы видим, что указанные в теореме свойства функции е (измеримость) сохраняются, и формула (8.5) остается в силе. Остается также верной формула (8.6). Только формулу (8.4) нужно заменить следующей:

]'|ф(Х)Г2|В(Х)|2^1(Х)<оо,(8.49

л

где а,— непрерывная часть меры о. Последнее замечание позволяет получить теорему о разложении, например, в том случае, когда сам оператор А является оператором типа Карлемана, т. е. ф(Х) = Х.

Линейные эллиптические операторы произвольного порядка

Применим результаты предыдущего параграфа к построению спектральной теории эллиптических операторов1)- Пусть йп— открытое подмножество в пространстве Еп и пусть г (х) > 0—достаточно гладкая функция в Qn. Пусть // — множество измеримых функций, суммируемых с квадратом с весом г (х). Вводя в Н скалярное произ-

’) Как уже упоминалось в сноске к стр. 372, результаты типа приведенных в § 8—9 для случая оператора Шредингера впервые получил А. Я. Певзнер [1], а для общих эллиптических операторов они были получены Гор- дингом [3, 4] и Браудером [2]. Как следствие общих фактов о разложении по обобщенным собственным функциям они были получены Ю. М. Березанским [1], им же был исследован вопрос о граничных значениях собственных функций, о поведении разложений при подходе к границе и т. д, -» Прим. ped. . ‘ '

ведениеопр. г

(/. g) = J fMg (х) г (х) dx,

получаем сепарабельное гильбертово пространство.

ПУСТЬ£/(х)°^ */а(х)£>7(х)

I а |</п

— формально самосопряженный эллиптический оператор порядка т, a Lo — сужение оператора L на множество C0°(Q„). Мы предполагаем, что оператор Lo обладает самосопряженным расширением А = A*tdL0. Пусть„„

H^j^Hxdo^(*)

л

— прямой интеграл, диагонализирующий оператор А. Мы докажем, что при к^п^т оператор ^А-у1Гук является оператором типа Карлемана, так что имеет место теорема о разложении по собственным функциям из предыдущего параграфа.

В этом случае о собственных функциях можно сказать больше.

Теорема. Если оператор Т : Н 9 /-*Т/ = F £ Н является унитарным оператором, диагонализирующим оператор А, то при /^С0(Й„)

Tf (Х)==у е (X, х) / (х) г (х) dx,У

и

T-1F(x)=' J F(k)e(k, x)do(k),л

если функция F имеет компактный носитель.

Все координаты ek (X, х) функции е(Х, х) можно выбрать так, чтобы функции еу ■ , •) были измеримы относительно о® а (а—мера Лебега на ЕУ, они являются собственными функциями в смысле теории дифференциальных уравнений

LekQ,, x^ = \eh(k, х).(9.1)

Читатель без труда проверит, что сформулированная теорема легко обобщается на эллиптические системы уравнений, когда / принимает значения в конечномерном унитарном пространстве.

Лемма. Пусть к > п^т и В —' (А + Ну*. Существует такое (карлемановское) ядро Ь^х, у), что

В/ (х) = J b (у, х) / (у) г (у) dy

для почти всех х и

. / X опр-»И =. / X опр-»И =р^. x^r^dyр^. x^r^dy

. / X опр-

»И =

. / X опр-

»И =

р^. x^r^dy

р^. x^r^dy

— непрерывная функция.

Доказательство мы получаем подобно тому, как в главе, содержащей теорему о слабых решениях (с помощью преобразования / -*г~ ЧУ

Изложим теперь доказательство теоремы. Полагая da(x') = r(x')dx, ф (х)== (Х + iyk, из соотношения (8.2) в силу непрерывности функции Ь(х) имеем

У |/(x)p(x)da(x) < оо при /^C0(Q„).

Нетрудно видеть [ср. (8.4)], что неравенство

У (X + /)2A|F(MWM<оо

имеет место в том случае, когда функция F(X) равна нулю вне конечного интервала. Следовательно, остается доказать только (9.1).

Пусть /£С™(йя); тогда

У ДГТ) [А/ (х)] г (х) dx = (Т (Lf) (X) = (ТАЛ Р) =

= (ТАТ~1Т/')(Х) = Х(ТЛ(У) = У У^Р, x)/(x)r(x)dx

почти всюду. Таким образом, для каждого счетного множества функций /СС™®„)

Je(X,x)(L — X/) / (х) г (х) dx = 0(9.2)

для почти всех X. Однако из свойств функции В (X, х) — (Jb (• , х)) (X) (ср. § 8) вытекает, что

м

У do (X) у \е (X, х) р г (х) dx < со

-м с

для каждого Л1 > 0 и компактного множества Ссйп. Отсюда

У | е (X, х) р г (х) dx < со

с.

для почти всех X и счетной возрастающей последовательности множеств CV->Q„, V—>оо. Таким образом, соотношения (9.2) и (9.3) имеют место одновременно для почти всех X и каждого счетного подмножества функций /£С™(Й„). Поэтому по непрерывности равенство (9.2) выполняется для всех / £С™ (С2„), если X не принадлежит некоторому множеству Z меры нуль.

Таким образом, все координаты ей(Х, х) являются слабыми решениями эллиптического уравнения (X—X/)g = 0. Следовательно,

е^К х) = ек(Х, х^С"1^)

для почти всех х при Х^/Г|Л6.

При X^ZPlAft полагаем е’к — 0. Но

е^(Х, х) = 11ш ^(г)Г1 J еА(Х, y)dy, X£ZnAft,Г'°KU, Г)

где | К (г) | — объем шара К (х, г) радиуса г с центром в точке х. Таким образом, функция е'к как предел измеримых функций измерима па множестве Л6 X ^п относительно меры о® а. Положив в самом начале рассуждения ек = е'к, мы закапчиваем доказательство.

О разложении по „собственным функциям" произвольных самосопряженных операторов в пространстве I? (й„) ^

В § 1—7 настоящей главы мы рассматривали теорию разложений по собственным функционалам в произвольном гильбертовом пространстве Н. В § 8—9 исследуется совершенно классический случай: пространство Л/= X2 (С2), оператор А является эллиптическим оператором или интегральным оператором типа Карлемаиа.

Теперь мы рассмотрим „полуабстрактный" случай: 7/ = Z,2(Q), но оператор А может быть дифференциальным оператором произвольного типа. Для понимания этого параграфа не является необходимым знание предыдущих. Здесь мы еще раз напомним ряд элементарных свойств обобщенных функций (распределений).

Определение. Говорят, что последовательность cp;^3?(Q6) стремится к нулю: срг—>0, если 1° носители функций <pz, Z= 1, 2, ... содержатся в некотором фиксированном [своем для каждой последовательности (ср;)] компактном множестве; 2" функции cpz вместе с производными Вр^ любого порядка сходятся равномерно к нулю.

Теперь мы можем дать определение обобщенной функции.

Определение. Обобщенной функцией Т (в смысле Л. Шварца) называется линейное непрерывное отображение пространства SB^Q.^ в комплексную плоскость С1, т. е. линейный непрерывный функционал над Sb (^Д Совокупность всех обобщенных функций, естественно, обозначается через SB' (йьу Приведем примеры обобщенных функций.

Мера ц, конечная на компактных подмножествах Qfe, поро- ■ ждает обобщенную функцию по формуле

(ф. |i)= j ф (х) dp (х),ф^5>(^),

так как это выражение определяет линейный непрерывный функционал на пространстве SB (С26). Меру р. отождествляют с порождаемой ею обобщенной функцией.

Измеримая локально интегрируемая (по Лебегу) функция Т порождает обобщенную функцию

'(ф. Г) —' J* ф (х) Т (х) dx\

эта функция отождествляется с Т.

„Дельта-функция Дирака" бг, обозначаемая обычно через • б(х' — х), является обобщенной функцией (говоря точнее — единичной ■ мерой), сосредоточенной в точке х. Она определяется с помощью тождества

(ф- ^)°~ фМ. ф€ ^Фй)-

Напомним определение производной от обобщенной функции. Пусть L — L(x,D)— дифференциальный оператор с неограниченно ^дифференцируемыми коэффициентами, a L+ — оператор, формально ] сопряженный с оператором L, и пусть T^.Sl^Q^); тогда значение LT ^SB' ^^ оператора L на обобщенной функции Т опреде- ' ляется с помощью тождества

^, LT>=<L^,T), фЕЗ?т

Из этого определения вытекает, что оператор слабого дифференцирования (Соболева) является частным случаем операции дифференцирования в смысле теории обобщенных функций. Мы обращаем внимание на то, что операция L (а значит, любое дифференцирование и умножение на функции класса С“) всегда выполнима на множестве SB' (й^ и что эта операция является непрерывной как операция, сопряженная с непрерывной операцией Lv в Э(йк).

Теперь мы можем перейти к основной теме настоящего параграфа. Пусть Д— самосопряженный оператор в пространстве Н — — L1^^, Л = Д‘, и пусть U — унитарное отображение, диагонализирующее оператор Л. Имеем ■

H^SUl2^. п),

UAU~X F^ — XFQ^. F (X) = (t/ф) (X) G C”(X)

(C”(X) при nQC)= co обозначает пространство /2).

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть Ft (X) == (U^F (X) = (ф, e^Fj), 1—1, 2, ... ..., nQA. где ^D(£k\ e^^D^F eQC^L<D^ Если A— дифференциальный оператор, то

Aet (X) = Fet (X),■

т. е. е(Х) является собственным элементом оператора А.

Доказательство. Пусть b — дифференциальный оператор, 6 = (—А)р4-1, где р > 2k. Как нам известно (см. теорему Браудера § 2 гл. XI), оператор b обладает фундаментальным решением В£А2(ПЙ). При этом имеет место тождество (ф, £) = (В6ф, g), g^L2^^, где

Вф (х) = jB(x — y)q> (у) dy.

В силу равенства Парсеваля (унитарность отображения U) для произвольного g^L?(ttk) имеем

(F. G) = (UV, (4) = (Ф, g) = (UBb<p, 0") =

= J flSxB(x-у)(6ф)(у) dy GO) do(X).

Л е„

Элемент G определяется по g так же, как F по ф. Ввиду того что G — произвольный элемент прямого интеграла L2(o, п), мы имеем

В(Х) = ((/ф)(Х)= JC(X, УИЬч-H^dy.

где

С(Х, yV-LWx-y).

Иными словами,

(С/ф)(Х) = Р(Х) = ^ф, С(Х, -)) = (ф, ЬС(Х, .)) = (ф, е(Х)>, где

»(Х)°=6С(Х, •), т. е. е1(Х) = ЬС1(Х, •), 1=1в(Х).

Предположим теперь, что оператор Л является дифференциальным оператором [достаточно предположить, что Л — непрерывный оператор на 2>(Qe)[. Поскольку (17А(р) (X) = Xf (X), то

(Лф, е (ХУ) = (ф, Ле (ХУ) = X (ф, е (X)) = (ф, Хе (Х)}

для всех ф£.25(ЙД т. е. Ае (X1) = Хе (X") и Ае[(Х') = Хе1(Х'), 1=1, .... п(Ху что и требовалось доказать.

Упражнение. Доказать, что если Йй = £\ то

/ 1"ПЛ7^йа(Х)^<со ПРИ 6>0'

откуда вытекает, что интеграл

[ |С(Х, у)|= rfy

J l_4_|y^+e

является конечным для почти всех X.

§11. Обыкновенные дифференциальные операторы.Спектральные матрицы. Преобразование Фурье в I?(теория Планшереля)

В случае обыкновенного дифференциального оператора L = = 2 аа(х)^1йха порядка т, спектральную теорему можно 0<а<т

высказать в значительно более точной форме, чем для эллиптического оператора в частных производных. Это связано с тем, что в случае обыкновенного дифференциального оператора собственные пространства являются конечномерными-, в наших обозначениях ^(Х^^т.. Общую теорию разложений по собственным функциям оператора второго порядка (т = 2) построил в 1910 г. Г. Вейль. В 1946 г. результаты Вейля уточнил в своей монографии Титчмарш. Кодаира в 1949—1950 гг. получил результаты Титчмарша (последний пользовался утомительным, хотя и элементарным, методом вычетов) весьма изящным методом при помощи спектральной теории и обобщил эти результаты на системы обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка с действительными коэффициентами (Кодаира [4]).

В этом параграфе мы излагаем замечательное доказательство спектральной теоремы Вейля — Титчмарша — Кодаира '), которое сообщил автору Л. Гординг. Это доказательство, как и результаты § 8 и 9, не опирается на общую теорию, развитую в § 1—7, а также в § 10. Применяемый метод дает возможность получить обобщение этой спектральной теоремы на операторы произвольного порядка (в том числе и нечетного) с комплексными коэффициентами2).

Наиболее простой и важный оператор D = ~-^— оператор импульса в квантовой механике — не охватывался спектральной теоремой в формулировке Вейля — Кодаира. Непосредственное применение спектральной теоремы к оператору у-^г дает наиболее важный факт теории Плапшереля: унитарность преобразования Фурье в Z.2 (С1).

В гл. XI (см. § 2, теорема 2) было доказано, что достаточно высокая степень (Л—liyp, p">nj‘hn резольвенты (Л—Пух самосопряженного расширения А эллиптического оператора L является интегральным оператором типа Карлемана. В случае обыкновенных дифференциальных операторов (n= 1) это имеет место уже при р=\. Пусть /гит таковы, что р = 1 >/г/2т; ядро G(X; х, у) резольвенты называется функцией Грина оператора А

(Л — //)-1 /(х) = J G(l- х, y)f(y)dy.

Qn

Отметим здесь несколько простых свойств функции Грина.

Имеет место следующее соотношение:

(Ах— /7) G (Z; х, у) = 0 при х + у.(11.1)

Доказательство вытекает непосредственно из определения функции Грина. Пусть /£С^(ЙЯ) и пусть носители функций / лежат в множестве □„—{у}; тогда

0 = / (у) = [(Л -7/)-’ (Л-7/)] /6) = Jo (Г, у, X) (Ах - /7) / (х) dx

*) М. Г. Крейном [2] в 1946 г. был развит метод направляющих функционалов и дано его применение к построению разложений по собственным функциям обыкновенного дифференциального оператора с комплексными коэффициентами, самосопряженного в гильбертовом пространстве, порожденном положительно определенным ядром К (х, у). Если К (х, у) = 6 (х— у), где 6(0 — 6-функция, то это пространство переходит в пространство Д2. а развитая М. Г. Крейном теория — в теорию § 11. Этот частный случай был опубликован М. Г. Крейном [4] в 1950 г. Таким образом, имеются все основания считать основную теорему этого параграфа принадлежащей М. Г. Крейну и Кодаира. — Прим. ред.

2) Заметим, что общая теория, конечно, весьма быстро приводит к результатам этого параграфа. — Прим. ред.

для всех /£С”(Й„—{у}). Поэтому в соответствии с основной теоремой о слабых решениях

^Lx—//) G (/, у, х) — О при х + у,

или (см. теорему 1 § 3 гл. XI)

(Lx— II)G(1; х, у) = 0 при х + у,

что и требовалось доказать.

Теперь мы перейдем к обыкновенным дифференциальным уравнениям (/г=1). Нетрудно проверить — это элементарный факт теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — что G (/; • , у) £ С™-2, а на прямой х = у функция

_ 1—~ имеет скачок, равный а-цх):

п-1am~i1

^G(l; х + 0, ^--^-GG; х-0, x) = -L- (11.2)

: 1дх 1 1ат (х)

вне диагонали х = у функциявне диагонали х = у функциядт'хдхт-хдт'хдхт-хGQ-, х, у)GQ-, х, у)Рассмотрим каноническую фундаментальнуюРассмотрим каноническую фундаментальнуюнепрерывна .систему решенийнепрерывна .систему решений(sjU> ' ))^=1 уравнения (Lx— //) s (I, х) = 0:(sjU> ' ))^=1 уравнения (Lx— //) s (I, х) = 0:

вне диагонали х = у функция

вне диагонали х = у функция

дт'хдхт-х

дт'хдхт-х

GQ-, х, у)

GQ-, х, у)

Рассмотрим каноническую фундаментальную

Рассмотрим каноническую фундаментальную

непрерывна .

систему решений

непрерывна .

систему решений

(sjU> ' ))^=1 уравнения (Lx— //) s (I, х) = 0:

(sjU> ' ))^=1 уравнения (Lx— //) s (I, х) = 0:

d*-1°—^^(Z, х) = 6*.гдеd*-1°—^^(Z, х) = 6*.гдех СЦ, j, к = 1, .. ., т.х СЦ, j, к = 1, .. ., т.

d*-1°

—^^(Z, х) = 6*.где

d*-1°

—^^(Z, х) = 6*.где

х СЦ, j, к = 1, .. ., т.

х СЦ, j, к = 1, .. ., т.

Как известно, при фиксированном значении х Sj (I, х) является аналитической функцией параметра /.

Используя свойства (11.1) и (11.2), находим функцию Грина в следующем виде:

G(/; х, у) =G(/; х, у) =приприприпри(11.3)(11.3)2 M+s (L x)s6(L у) Л* = 1‘1

G(/; х, у) =

G(/; х, у) =

при

при

при

при

(11.3)

(11.3)

^^""juSjG. x)sk(l, у)

где

— опр. —

8<1. у) = s(Z, у).

Из симметрии функции Грина сразу получаем тождество

М^ (Z) = УИ^ (Z) /, А = 1т.(11.4)

Имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Функции {M^k(l)— Af/»(Z)) аналитичны.

Доказательство. Из определения функции Грина вытекает

'f G(l; х. у) (Ly — II) J (у) dy = f (х)(11.5)

О,

для всех /^Cq° (Qi). Подставляя в это тождество значение 0(1; х, у) из формулы (11.3), находим

У М*к (О Sj (I. х) ,pk (I, у) (Ly — II) f (у) dy —

j, 61^1

— J\(Z. УШу ~Z/)/(y)dy +

+ ^Mjk(l)Sj(l, x) J S^Z- У)^ -W)/(y)dy^/W- j.hX>y

Но так как

/ skd. ^<Ly-U)f(y)dy = Q.

Й,

то имеет место равенство

У s. (I, x) ^M-k (I) - УИ+ (Z)) J 7Й (Z, y) (Ly - II) f (y) dy = / (X).

X>y

Ввиду того что

получим

^Ск(1. л^^-м;,^^--^/^). Г=1т,

где

ск<1. /) — JskV. У)(^у — ^)/(У)^У

х>У

— аналитические функции параметра L При заданных I и г можно так выбрать функции /р ..., /т, чтобы det(cft(Z, /s))^0 в некоторой окрестности точки I. Поэтому [уИ+(Z)— М- (/)]гЛ — аналитическая функция в окрестности произвольной точки I, что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь собственные функции (ep(Z, х')^, о которых говорилось в теореме § 9. Выразим эти собственные функции через аналитические функции нашей фундаментальной системы решений

СрЦ., • ) — 2 cpv(О Sv (Л • )•

V=1

Отсюда вытекает равенство Парсеваля в следующем виде, полученном впервые Вейлем:

g (фИ)/. g) = f ^Ф(^)5У(Х, f)sk(l, g)dpjk(X). (11.6) Л У, ft

где

skU- /) = J sJZ, xV^dx. dp^)0;^ ayj6(X)da(X),

причем

ajli W 2 cvj (M cvk W-v=l

Матрицы p(X) = (pyft (X)) называются спектральными матрицами; наша ближайшая цель состоит в том, чтобы выразить спектральные матрицы через матрицы М+ (Z) и М- (/), содержащиеся в формуле для функции Грина.

Докажем теперь важную лемму.

Лемма 2 (Кодаи р а). Выражения

N

Яу^(0 = у№(0-лад)]- f a-ir'dp^) (11.7) -N

являются аналитическими функциями переменной I, за исключением, быть может, вещественных значений I, удовлетворяющих условию |/|<V. Таким образом, особенности функций ^у»(0 °—4 l^^ + ^^W] в конечной I-плоскости определяются величинами py»(Z).

Доказательство. Из определения функции Грина, формулы (11.3) и равенства Парсеваля (11.6) вытекает

(И-пу1 у У=^<к-iyxSj(X, 7)7,(/, /)dVjk(Л) =

= J 2 Sjf(у) 7w dx d^ +

+ /2 My(l)Sj(l, x)sk(l, y)/(y)/(x)dx<Zy =

=241^ w+M^ w] si7) 7k у. л+

+ J Sy^^^-^(z)]syV. ^sk(l. yV^TT^dxdy —

— j 2 4 ^fc ^—M7 (z^ si ^x) s»(Z- ^ 7 ^ f^ f(x) dx d^- x>y

Разлагая функции syXJ), sk(X, Л в ряд по степеням разности (X—/), принимая во внимание аналитичность функций l[^tft(Z)_

N2 Mjk(n- J(X-iyxfdPjkN2 Mjk(n- J(X-iyxfdPjk$уи Л$к(1, у =$уи Л$к(1, у =- му (/)] и полагая Mjk (I) = 7 ^у (/)_р му (/)], получаем

N

2 Mjk(n- J(X-iyxfdPjk

N

2 Mjk(n- J(X-iyxfdPjk

$уи Л$к(1, у =

$уи Л$к(1, у =

j.n Lj.n L-NJ

j.n L

j.n L

= S / (X-iy'syi, fyk(l. fWjkW + j,k\X\>N

-}- аналитическая функция переменной L

Поскольку предыдущее равенство имеет место для всех / £ С? (Qj), то, рассуждая как при доказательстве леммы 1, приходим к нашему утверждению.

Из формулы (11.7) получаем (см. добавление 3) так называемую формулу Титчмарша—Кодаира

16+х

Vjk^ = -^hmjirnj+(Ц.8)

б

(ц и 6 — вещественные).

Полученные в этом параграфе результаты мы подытожим в следующей теореме.

Спектральная теорема Кодаира1). Пусть Л — самосопряженное расширение обыкновенного дифференциального опе-

*) Точнее, М. Г. Крейна — Кодаира. — Прим. ред.

ратора L — '^laa(x)da[dxa порядка т, рассматриваемого а

того,0(1; х, у) =того,0(1; х, у) =в области Qj G С1. Пусть 0(1, х, у)— функция Грина оператора Л, a (Sj(l, х)^-—фундаментальная система аналитических по I решений уравнения (L-—U)s(l, х) = 0. Пусть, кроме

того,

0(1; х, у) =

того,

0(1; х, у) =

2 M^k (l) Sj (l, x) sk (l, у) при x<y, j, H= I

m

2 M}k(l)sj(l, x)sk(l, у) при x>y. j. k=X

Тогда существует спектральная матрица

dp (X) = (dpjk (X) )7 = (cjk (X) do (X) ^,

где c (X) — (Cjk(X))™— положительная эрмитова матрица, a a(X)— положительная мера (сосредоточенная на спектре Л операто pa L). Матрица р(Х) связана с функцией Грина формулой

Хч 6

Pin (X) = Iim lim Г -1- [/И^ (ц + Ze) — AlJj (u — /е)] dp. (Н.9) d~>0 e->0

Функции ..

|№(/)+^76(Z))- J

-N

аналитичны, за исключением, быть может, вещественных значений I, для которых \l\^N.

Пусть Н’т(Ех,р) обозначает гильбертово пространство, полученное пополнением унитарного пространства векторных Нолей Со’’ ”' (Ц) с т компонентами и со скалярным произведением

(Г, H) = f 2 ^(Х)77^Х)Ф;ИХ), Г, несГ’т(^1').

В, J, к=1

Отображение Т (обобщенное преобразование Фурье)

^>Fk(X) = ^i^>T7)f(x)dx=lk(X, J),(11.10)

в,

к = 1, . . ., п

является унитарным отображением пространства X2(Qx) на пространство L?-m (Ех, р) (точнее говоря, это изометрическое

отображение, которое посредством, замыкания расширяется до унитарного отображения), приводящим оператор Л к диагональному виду.

Об ратное отоб ражение Т~г задается формулой

J ^зДХ, x)Ffe(l)dpjfe{X). (11.11) -ooj, 6=1

Имеет место обобщенная формула Парсеваля

(ФИ)/- g^^^^s^X, П^к(Х, g)dpjk(X). (11.12)

Проиллюстрируем эту теорему примером {теория Планшереля). Пусть

i dx 1

так что L является оператором импульса квантовой механики, действующим на функции, заданные на вещественной оси. Мы можем принять

s(l, x) = ellx-, тогда s(l, x) = e~Ux.

Нетрудно проверить, что функция Грина имеет вид: ■

при Im / > 0

I 0прих < у,

О (I; х, у) — \.

х I iel(-x~^1прих^>у,

так что А1+(/) = 0, АГ" (/) = Z, М=1(2;

при Im / < 0

( ie11^-^ при

О {I; х, у) = j ( 0при х у,

так что М+ {l) = — I, Л4~(/) = 0, М = — z/2. Поэтому-

б+Х

p(A) = -hm hm Ч7 7- ”7 (/11=97'6->0 е_>0 6L z ' 2 '2Л

Таким образом, мы получили основной факт теории Планшереля: Преобразование Фурье — Планшереля Т

/-->Р^= J e-n vf(x-)dx

является унитарным отображением пространства L2 (Ev) на пространство L2^EX, dX/2rt). Обратное отображение име вид

т~х1 Т

F>/(x) = -^J e^F(X)dX.

Если в качестве собственных функций взять функции s' (I, х) — = (2л)-'^ е‘/х, то получим унитарное отображение Т

/ (*)/' W °— тт= f e-iU f (х) dx

,У 2л J

Пространства L2(EX) на себя.

■ В качестве непосредственного следствия получаем 'следующую теорему.

Теорема. Преобразование U:

./(X) —/(у) —(2лГ("/2) J e-'«.y’/(x)dx,

Еп

.. Опр,

где \х, У)— 2j xvyv< является унитарным преобразованием v=l

пространства L2(En') на себя.'

Обратное преобразование U-1 имеет вид

fW —^fW = (W"’" / е» «.^J (у) dy.

Еп

Доказательство. Очевидно, для функций вида /(х) = lF=fAx0 •■• fn(xn) преобразования U и U-x сохраняют скалярное 'произведение [убеждаемся в этом, применяя п раз преобразование Фурье в ^(f1)]. Наше утверждение вытекает из того, что линейные комбинации функций вида /|(х1) ... /п(хп) образуют множество, плотное в пространстве Z.2(£n).

Асимптотика спектральной функции полуограниченного,самосопряженного расширения эллиптического оператора

' В этом параграфе мы приводим ряд существенных теорем Л. Гор- динга, обобщающих и объединяющих знаменитые результаты, касающиеся асимптотического поведения собственных функций и собственных значений эллиптического оператора произвольного порядка. Читателя, желающего ознакомиться с доказательствами этих теорем, мы отсылаем к оригинальной работе Гординга [5].

Проблема асимптотического поведения собственных значений являлась одной из основных и наиболее трудных проблем математической физики. Эта проблема была поставлена в 1910 г. выдающимся физиком Лоренцом в связи с теорией излучения черного тела. Нужно было показать, что асимптотическое поведение собственных значений не зависит от формы черного тела, а только от его объема, так что известные в то время формулы для параллелепипеда остаются верными и в общем случае. Эта проблема была уже в следующем году решена молодым в то время Г. Вейлем, посвятившим ей ряд работ (Вейль [4, 5, 6]). Эти же проблемы решались Курантом вариационным методом (ср. Гильберт — Курант, т. 1).

Значительно более трудными являются проблемы, связанные с упругими пластинами (уравнение А Ам—Ха = 0), ибо случай прямоугольной пластины не допускает таких простых вычислений, как случай прямоугольной мембраны. В работах Вейля и Куранта применялся метод аппроксимации произвольных областей областями, составленными из прямоугольников (параллелепипедов).

Аналогичного типа теоремы для собственных функций были получены только в 1934 г. в основополагающей работе Карлемана [1], который свел задачу к изучению асимптотики функции Грина. Ряд трудных задач этого же типа был решен А. Плейелем [1].

Следует отметить глубокие исследования по асимптотике спектральной функции Б. М. Левитана, Л. Гординга и Ф. Браудера.

Выше отмечались результаты, касающиеся случая чисто точечного спектра (ограниченная область); поэтому мы считаем исключительно сильными результаты Гординга, полученные им для произвольных полуограниченных эллиптических операторов произвольного порядка. Заменяя в сформулированных ниже теоремах комплекснозначные функции функциями со значениями в г-мерном унитарном пространстве, мы получаем теоремы для систем уравнений. Метод Гординга без изменений переносится с области йпсЕп на область в произвольном дифференцируемом многообразии.

ПуСТЬОпр. „„

А = а^х, D) = 2 aa(x)D (о > 0)

I а| <а

— эллиптический оператор с достаточно гладкими коэффициентами яа(х), заданными в открытой области О.паЕп. Предположим, что оператор А обладает самосопряженным расширением Др ограниченным снизу. Пусть т.— нижняя грань оператора Д,: (Д^, uV^m-^u, и) при u^D^A^. [Напомним, что самосопряженным расширением оператора А мы называем самосопряженное расширение сужения Аис:А оператора А с областью определения D (До) = С^ (йя); ср. гл. IV и V.] Отсюда вытекает, что многочлен

положительно определен. Пусть ^i — J XdE(X)— спектральное раз

ложение оператора Д^До- Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Для каждого Х^Е1 существует ядро е(Х\ х, у) типа Карлемана, обладающее тем свойством, что почти для всех у

(Е (X) и) (у) = J е(Х; х, y)u(x)dx, х£1?(Йп).

Ядро е является борелевской функцией на множестве ЕгХ^пХ Ц/, при фиксированном X функция е(Х; •, •) £ С° (Q„ Х^„) и обладает эрмитовой симметрией-. е(Х\ х, у) = е(Х; у, х). Кроме того, эта функция равна нулю при X < т. Полная вариация (по X) ядра е ограничена на компактных подмножествах области йп.

Две следующие теоремы Гординга касаются асимптотики ядра е(Х; х, у), которое мы будем называть спектральной функцией оператора Д] по аналогии с теорией интегральных уравнений. Пусть z£Qn— фиксированная точка области Q„; рассмотрим дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

az(D) = a(z, В^ = 2 аа(2) D,,

|а| = а

являющийся главной частью оператора Д в точке -z. Рассматривая этот оператор, точнее — его сужение, как преобразование C(f (Qra) —>-Z.2 (Qn), мы замечаем, что оно обладает самосопряженным расширением Az, заданным формулой

Az = F"va(z, -)F,

где F означает преобразование Фурье

Р/й) = (РП®°^ jViu's7(x)dx, /£С?(Е").

еп

F-1/(x) = (F-1/)(x) = (2л)-" f е1^ 4&W Еп

/ 6 С” (Е^,(X, О = х^ + ... + хпи

a a(z, •) обозначает оператор умножения на функцию a(z, 5). Областью определения оператора Az является множество

D(Az)=Ul3(EnV J IFu(l)a(z, У|2^<оо).

Ih"J '

Если А2= J X dE2(Z), то

(^Wzz)(y) = -^jr J Fu®euy.^d^= р2(Х; x — y)u(x)dx, »(гЛ)<Хйл

где■

е2(Х; х — у) = (2л)'п J e-^-y-^d^.(12.1)

а^ЛК'Ь '

Ввиду того что многочлен a (z, £) положительно определен, предыдущий интеграл существует и

^О)-"^ / ^ = X'WW_ /(12.2)

Если X + у, ТО

ez(X; х — у)= о(Х(л-1)/°);(12.3)

эта оценка равномерна, когда х — у стремится к нулю.

Следующая теорема Гординга объединяет ряд различных результатов, касающихся асимптотики собственных функций и собственных значений проблемы вибрации.

Теорема 2. Для больших значений X

е^Х; х, у^е,(Х; х — у) + о (Х"/т)(12.4)

равномерно на компактных подмножествах произведения

Если оператор А, имеет точечный спектр без конечных предельных точек и {(фА, ^*)}А“=1 является полной системой собственных функций, Д]фА = ХАфА, то, как известно,

е(Х\ х, у) — 2 ФаМФаСУ)-(12-5)

Уже этот частный случай охватывает ряд важных результатов Карлемана, Вейля, Браудера и совпадает с более ранними результатами Гординга.

Если коэффициенты оператора А постоянны, то можно получить лучшие результаты. Рассмотрим оператор Д2= Е-1# ( •) F, являю щийся самосопряженным замыканием оператора А (с постоянными коэффициентами) с областью определения С^ ^Еп\ Пусть

е2(Х; x — y) = (2nfn J e-^-y.l)^(12.6)

а (£)<Л

— спектральная функция оператора Д2. Пусть р — функция с ограниченным изменением. Положим

. /йр (X) °=^ (Г (А)Г1 / (Z - и)*"1 а - X^dp (р), А > 0.

Хо

Величина 1кр(Х) называется риссовской средней порядка А функции р в интервале [Zo> v].

Теорема Гординга, которую мы приводим ниже, является обобщением теоремы Б. М. Левитана для расширения оператора Лапласа, отвечающего краевым условиям Дирихле. Эта теорема, с одной стороны, показывает, что функция е2(Х; х — у) хорошо аппроксимирует функцию е (А; х — у) для больших значений X; с другой стороны, из нее вытекает, что разность е—е2 сильно осциллирует.

Теорема 3. Если коэффициенты оператора А постоянны и если X0<min(m, т^), где т^т^)— нижняя грань оператора А(А^, то

Ike(X; х, ^ = 1ье^Х\ х — ^-\-о^п-к^

при /г > 1 я А>1 равномерно на компактных подмножествах топологического произведения Q„X^n-

ГЛАВА XVIII

Метод Фурье

В этой главе мы дадим решение ряда смешанных задач с краевыми и начальными условиями для важнейших уравнений математической физики. Излагаемый здесь метод является обобщением метода собственных функций и охватывает как частные случаи метод обобщенных рядов Фурье и метод обобщенного интеграла Фурье.

В § 1 излагаются некоторые эвристические рассуждения и постановка задач. В § 2 смешанная задача формулируется в терминах гильбертова пространства, что приводит к так называемому операторному варианту задачи. Мы излагаем решение операторного варианта и доказываем его корректность. Для более частных начальных условий в § 3 доказывается регулярность решения операторного варианта.

Ввиду того что решение представляется посредством обобщенных интегралов Фурье, мы одновременно получаем обоснование метода собственных функций для произвольных спектров. В § 4 и 5 дается решение задачи для уравнений параболического типа и типа уравнений квантовой механики. В § 6 мы реферируем результаты, полученные Л. Морен для неоднородных задач.

Эвристические рассуждения

Многие уравнения математической физики имеют вид

c^ = Axu<x,tWf^.tY(1.1)

где Ах— эллиптический оператор порядка s, действующий на функции переменных хр ..., хп, с — постоянная, k = 1, 2f(x> 0 — заданная функция (характеризующая источники теплоты, токи и т. п.), t означает время.

Для таких уравнений часто ставят следующие краевые задачи.

1°. Задача с начальными условиями (или задача Коши), которая состоит в нахождении решения уравнения (1.1), удовлетворяющего в начальный момент времени, например при Z = 0, условиям

И—^х, 0) = фх(х), х = 0, 1 к—1.(Н)

2°. Сметанная задача с начальными и краевыми условиями, которая состоит в нахождении решения, удовлетворяющего не только начальным условиям Коши (Н), но и некоторому краевому условию (не зависящему от времени) на границе dQn области йп (например, и |ац = 0). Если область Qn не является конечной, например если эта область совпадает со всем пространством, то роль краевого условия будет играть требование определенного поведения решения на бесконечности.

(ОДо-(ОДо-АхтакАхтакКраевые условия могут быть записаны в виде соотношения

(О

До-

(О

До-

Ахтак

Ахтак

«(., ОбОМ,), где ^! является некоторым замкнутым расширением сужения

В задачах описанного типа в случаях, когда коэффициенты не зависят от t, физики обычно применяют метод Фурье, т. е. называемый метод собственных функций оператора Ах.

(1.2)(1.2)(Н)(О(Н)(ОДля того чтобы пояснить сущность этого метода, рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности с краевым условием Дирихле:

(1.2)

(1.2)

(Н)

(О

(Н)

(О

dt Л

и(х, 0) = ф(х),

я (х, С) |йй = 0 при 0 < ^ < Г.

Полагая и (х, t) = -и (х) h (0 и подставляя в уравнение теплопроводности, получаем

^iL = ^SL.,. const.

Таким образом, функция -и должна удовлетворять уравнению

\xv = X'U.(1-3)

Для того чтобы удовлетворить условию (Г), потребуем, чтобы v |dQ = 0.

Как мы знаем, уравнение (1.3) при краевом условии У |dQ =0 имеет нетривиальные решения только для счетного множества так называемых собственных значений К оператора \х. Пусть — Хг^_ ^— Х2 С ■ .. —(точечный) спектр оператора А^. Так как функция /г (^) должна удовлетворять дифференциальному уравнению dh^dt — “k^hy, то h^t) — с^е^1. Таким образом, мы получаем последовательность собственных „колебаний" (вибраций) системы: (и^) = = (vv (х) cveXv<), v= 1, 2, ... . Для того чтобы удовлетворить также начальному условию (Н), естественно попытаться найти решение

в виде ряда

U (X, О = S CvZ^v (*)•v= 1

При ^ = 0 имеем

и (х, 0) = 2 cv®v (*) = ф (я),

V=1

а так как собственные функции Vp v2, .. . попарно ортогональны то С¥==(ф, vv).

Таким образом, в соответствии с этими эвристическими рассуждениями следует ожидать, что решение нашей задачи имеет вид

ы(х, f) — 2 (ф, yv)eXv<vv (х),v=l

где

(ф, yv) = J ф (х) vv (х) dx.

Сразу же возникают следующие вопросы:

1° для какой начальной функции сумма написанного ряда будет функцией, дважды дифференцируемой по х и по t;

2° удовлетворяет ли эта сумма начальным и краевым условиям;

3° пригоден ли аналогичный метод в случае неограниченной области йп при появлении непрерывного спектра?

Последний вопрос является особенно интересным, так как при этом „собственные функции", соответствующие непрерывному спектру, неинтегрируемы с квадратом, а собственные функции, соответствующие точечному спектру, не образуют базиса пространства A2(Qn). Благодаря теореме Гординга о разложении по собственным функциям произвольного самосопряженного расширения эллиптического оператора удается получить положительный ответ на вопрос 3°.

Операторный вариант и его решение

После этих эвристических рассуждений мы переходим к изложению теории, позволяющей получить решение смешанной задачи для широкого класса дифференциальных уравнений в произвольных областях йп евклидова пространства. В этом параграфе мы решим смешанную задачу для систем типа волновых уравнений, т. е. систем

=t),(2.1)

где и — (я,ыг), а А— эллиптическая формально самосопряженная система с достаточно гладкими не зависящими от t коэффициен-

тами, рассмотренная в гл. XI и ХШ. Относительно оператора Ах = А мы предполагаем, что его сужение Ао (D (Ао) = Со*’г (й„)) обладает полуограниченным снизу самосопряженным расширением Ai = AiTdA0.

Таким образом, существует такая постоянная х>—сю, что

(А^, ®) >х(у, у),-o^D^A^,(2.2)

т. е.

A^J* XEldKy.

при этом

г

опр. г

(ту, у) — J (^) У/(х) </х.

Qn Z = 1

(Как нам известно, полуограниченные самосопряженные расширения существуют, например, тогда, когда оператор Ао полуограничен; как мы знаем, это имеет место, например, в случае оператора Лапласа и в более общем случае сильно эллиптического оператора.)

Краевое условие имеет вид

«(.«oeD^,(D

а начальное условие — вид

и (х, 0) = ф° (х),

^.(Х, 0) = <р1(х).(Н)

Для того чтобы можно было применить спектральную теорию, нужно сформулировать нашу задачу в терминах гильбертова пространства, которым в данном случае является пространство //■'(QJ.

д8и

Уравнение -^- =— Ахи вместе с краевым условием (Г) мы заменяем соотношением

=О-(2.3)

Условия Коши мы записываем в виде

«(•. 0) = ф<>еОИ1). -5(-. 0) = ф1ео(А*/1).(Н')

Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема. Операторный вариант смешанной задачи обладает в точности одним решением, и это решение зависит

непрерывно от начальных данных. Точнее: если ul(-, t)— решение задачи

d^u1 . ; d^u1..n . n

Т = -А'“' TKM = S V = \.1.» = «.1\

то имеет место неравенство

II и1 (• - 0 —“2(- • OlKHIliT0 —2ф° 11 + 11 ^ — гФ1 II}

при О <^Д <С Т, где С — положительная постоянная.

Это решение можно представить в виде обобщенных интегралов Фррье

и (х, Г) = F-1 cos ^Х'/2Дф°+ F-1X-1/2sin t^Fc^ =

— cosMf'/2 ф° + АТ>Ь sin М'^ф1, где

' (Гф)Л(Х) = 1.1, m [ ek(X, x)q>y-(x)dx,

F~1h(x)°— 1. i. m f^(X)eA(^' x)do(X),L^r^ 2i

m. e.

' oo N (X)

и (x, t) = 1. I. m f V cos X'11 t (^ф°Х^6 (X, x)do(X)+

co ^ (X)

+ f ^X-^sinX'+^’X^CX, x)rfo(X) .

z Л = 1

Фракции ek(X, x) являются собственными фрикциями в смысле теории дифференциальных рравнений оператора А, соответ- стврющими собственномр значению X (в слрчае оператора А в частных производных может слрчиться, что N(Х) = оо),

^(^. -^С5’Чйп\ Aek{X, х) = Хек(Х, х),

а о — положительная мера, заданная на полроси (и, оо) (ср. гл. XVII).

Доказательство не вызывает никаких затруднений, ибо при сделанных относительно ф° и ф1 предположениях допустимо (сильное) дифференцирование по t:

= — (Xi cos M^°+ a'i sin М^ф1) = — Ахи.

Непрерывную зависимость от начальных условий мы получим из следующих неравенств:

IIЫ1 (0-«2 (О II <

J cos ^^(Z)^0—^0) ||+ 11 J V^sin^dSW^1—2фТ) ИX

<C{|| 1Ф°-2Ф°|Ц-|11Ф1-2Ф111Ь

Последнее неравенство вытекает из того, что операторы cos М1/1, ЛГ'/г51пМ1/2 ограничены во всем замкнутом интервале [О, Т] (и >—оо).

Для того чтобы доказать единственность решения, ввиду линейности операторов d’^dP и Л! достаточно доказать, что однородная задача

-др=Ахи, й(0) = 0, -^ = 0(2.4)

имеет только нулевое решение. Как известно, если В — ограниченный оператор, то единственным решением уравнения d^v/dfi — Bv при нулевых граничных условиях является нуль (ибо правая часть удовлетворяет условию Липшица: || Sv || + || В |[ • || v ||). Случай неограниченного самосопряженного оператора можно свести к случаю огра- опр.

ничейного оператора, а именно пусть Рп — с(п)— с(—п\ где £ (л)— спектральная функция оператора Л,. Как мы знаем, Р„=Р^ и Рп коммутирует с Лр РпАх = АхРп [точнее, Р„О(Л])сО(Л1) и РпАхх = АхРвх при х^ О(Л,)]; кроме того, РпА1 — ограниченный оператор: РпАх = J XdB(X), ||РПЛ] || п. Подействуем на обе части соотношений (2.4) оператором Рп. Ввиду того что ограниченный оператор Рп коммутирует с d/dt, получим

Рп^ = -$r(PBu) = PAu = PnPnAia = (PaAxHP^ (2-5)

И

Р„«(0) = 0, Р„^-(0)=^-(0) = 0.(2.6)

Из соотношений (2.5) и (2.6) вытекает, что ип —’ Рпи и является решением задачи Коши

^ = кРпА^ип> ип^ = ^. -^(0) = 0,

с ограниченным оператором PnAv а поэтому, как отмечалось выше, й„(0 = 0. Но

О = lim ип (t) = lim Рпи (t) = и (t)П->соп->со

для каждого t, так что а(/)зО, что и требовалось доказать.

Дифференцируемость обобщенного решения

Решение операторного варианта будем называть обобщенным решением (задачи Коши).

Обобщенное решение как однопараметрическое семейство элементов пространства 1?’г(йп) является семейством классов функций (системы г функций), интегрируемых с квадратом в Q„; при этом к одному классу причисляются функции, отличающиеся на множестве меры нуль. Доказательство дифференцируемости обобщенного решения состоит в проверке того, что в классе, представляющем это решение, содержится дифференцируемая функция. Другими словами, для того чтобы доказать „дифференцируемость обобщенного решения" u(t), нужно доказать, что u(t) почти всюду совпадает с функцией и (х, t), которая является дифференцируемой по х и t. Если нам удастся найти такую функцию и(х, t), которая является дважды непрерывно дифференцируемой относительно I и s раз непрерывно дифференцируемой по х во всей области Qn:

и(х, - )С^2’Г([0. П), и(-, 1)£С5-Г(йп).

то и будет классическим решением рассматриваемой нами смешанной задачи, ибо

)"dF^'dP^’ t)=Axu = Axu(x, t).

причем равенство имеет место почти всюду в Qn X [О, У], а, следовательно, в силу непрерывности левой и правой части всюду В Й„Х[0, Л;

2°) краевое условие u(t)^D(A^ было условием для всего класса и, следовательно, для функции и(х, I);

3°) начальные условия

~{х, 0) = фЧх), к = 0, 1,

выполняются ^аналогично вытекает извыполняются ^аналогично вытекает изтождественно, если функции фи непрерывны в области Qn

выполняются ^аналогично вытекает из

выполняются ^аналогично вытекает из

А^адчи

=, если обе производные существуют, что dtv"дР

определения сильной и частной производной^.

После этих приготовлений уже нетрудно понять, как доказать дифференцируемость обобщенного решения. Как нам известно из главы о слабых решениях (гл. XI, упражнения), достаточно относительно начальных функции фи сделать такие предположения, которые обеспечивали бы принадлежность обобщенного решения и (/) области определения некоторой достаточно высокой итерации оператора Д1 : и £ D (Л™). Но

(— Л^ и ^ = (— A^f1 cos t (— А^11 Ф + (— АХТ' 1г sin / (— Л^ф •

Ввиду того что в наших предположениях (полуограниченность) cos^(—Л1)'/2 и sin£(—А^2 являются ограниченными операторами, ы (£) £ D (Л™), если только ф°^О(Л™), а ф1 £ D ^А™~'!1У

■ Итак, при т'^ n^s -|-2 для каждого х°£Й„ существует такая окрестность V^x0, V с Й„, что

"«(•*. ^n.Svw У г(х’ ^“^- W + У s(x, у)(АТи)(у, t)dy, (3.1) 'V (Х>)V и»)

где, как нам известно, интегралы в правой части являются непрерывными функциями в области V (х°) X [О, Т], дифференцируемыми s раз по х. В предположении, что u^D (лГ+1). эти интегралы дважды непрерывно дифференцируемы по t в интервале [О, Т]. В самом деле, имеем

(- А?) А^ и = 4^- А^ COS1 А^ ф° +

"V^l- А^Г'12 sin t (- Л^2 ф1 = - (- Л,)"^ sin t (- А^ ф° + + (—Л^соз/^ л/2 ф1.

Это позволяет написать для du/dt представление, аналогичное (3.1), откуда следует непрерывность du/dt. Подобным же образом убеждаемся, что и cPu/dt1 непрерывна.

Как показала Л. Морен [1], дополнительное предположение v^D^^ является излишним, ибо и £ D (Лр) с: D^A™ ^ а поэтому и<х, ^п.ГР'от У rl (*- У) “ (У- 0 dy + / s1^, у) (ЛГ-’и) (у. t)dy.

V1 WV' (х«)

(3-2)

причем правая часть принадлежит классу С (V* (л0) X [О, Г]), где г1, s1, V1, вообще говоря, не совпадают с г, s, V.

§8 К. Морен

Однако в силу доказанной единственностиОднако в силу доказанной единственностиности правой части имеем тождествоности правой части имеем тождестворешения и непрерыврешения и непрерыв

Однако в силу доказанной единственности

Однако в силу доказанной единственности

ности правой части имеем тождество

ности правой части имеем тождество

решения и непрерыв

решения и непрерыв

f)dy =дгекП v1f)dy =дгекП v1J г (х, у) и (у, t) dy + fs(x, у)(А^и)(у,

f)dy =

дгекП v1

f)dy =

дгекП v1

гЛг1гЛг1vHv‘

гЛг1

гЛг1

= J гЦх, у) и (у, ^)dy+ J s1 (х, у)(А™ 1м)(у, t}dy. (3.3)

кП vкП vvflv*

кП v

кП v

Правая часть равенства является достаточно гладкой (она s раз непрерывно дифференцируема по х и дважды непрерывно дифференцируема по f). Очевидно, для дальнейших рассуждений такого типа не хватает непрерывности, и соотношение, подобное (3.3), уже не получится.

Таким образом, мы пришли к основной теореме этой главы.

Основная теорема. Если функции ф°, ф1 непрерывны и если

^4d<aT\ ^^о<аГ'12\

где

то существует классическое решение смешанной задачи

-ар= — Ахи(х, t), u(.,t^D(A0.(Н)

^(х, 0) = фи(х), х = 0,1.(Г)

Это решение можно представить в виде обобщенных интегралов Фурье.

Если ограничиться рассмотрением решений, принадлежащих классу l}’r (□„), то полученное решение является единственным решением; оно зависит непрерывно от начальных условий.

Если

Ф°, ф^оИ

для всех натуральных значений q, то полученное решение будет неограниченно дифференцируемым в области fi„ X [О, Г].

Здесь следует подчеркнуть, что под термином „классическое решение" понимается достаточно гладкое по х и t решение и (х, t), удовлетворяющее граничным условиям до х в том смысле, что и(-, t^D^Aj). Если расширение Ах описывается посредством граничных условий, заключающихся в равенстве нулю на dQ„ некото-

рых дифференциальных выражений, то и и(-, О будет удовлетворять такого рода „классическим" условиям.

Замечание. Эта теорема остается в силе, если Q„ интерпретировать как достаточно гладкое открытое дифференцируемое многообразие с границей или без границы. В первом случае получим решение смешанной задачи, а во втором — решение задачи Коши. В этом последнем случае условие «(• , ^^D^A^ следует понимать как условие „на бесконечности".

Решение смешанных задач для параболическихсистем вида du/dt =— Ахи

То же самое рассуждение, что и в предыдущих параграфах настоящей главы, приводит к аналогичным теоремам существования решения и применимости обобщенного метода Фурье к смешанной задаче для параболической системы вида du/dt = — Ахи, где сужение До оператора Ах (ср. § 1—3) является эллиптической системой, полу- ограниченной снизу

(Доу, у)^х(у, у), х>—оо, у£С“’г(Й„).

К системам такого типа относится уравнение теплопроводности du/dt = А«, где и — скалярная функция, а также системы уравнений теплопроводности du/dt = А2и на римановых многообразиях, играющих важную роль в теории гармонических полей (ср. гл. XIX).

Этот тип уравнений является существенно более простым, чем ранее рассмотренный, ибо решение задачи

^L=-Ax<v, у(., О) = ф(.)Е^,Г№)

дается формулой

v ( • • О ~ J е~и dE^tp = е~м'ф, х>—оо.

Ввиду того что х> —оо, операторы e-fA1 и Д1е-М‘, q — 1, 2 ограничены при t > 0, так что у(- , t^D^A4^ для произвольной g-й итерации самосопряженного расширения Д, о Ао и при произвольной начальной функции ф £ [}'г (Йл). Поэтому мы можем высказать следующую важную теорему.

Теорема (Браудер). Если оператор Ах odAadaem docma- точно глadкuмu коэффициентами, то существует регулярное решение системы du/dt = — Ахи, ydoвлemвopяющee граничному условию и(-, t) £ D (Д^, zde А! — некоторое самосопряженное расширение оператора До, причем функция и(-, t)ydoeAemeopHem

следующему начальному условию: и^-, О~*ф. /->0, в смысле сильной сходимости в L2,r(&ny

Это решение единственно в классе I?,r(Q^, зависит непрерывно от начальной функции и представимо в виде обобщенного интеграла Фурье

г-1 — 1— Kt Г-1

u — F е F^%

где F— обобщенное преобразование Фурье, приводящее оператор Xj к диагональному виду (ср. гл. XVII).

При достаточной гладкости начальной функции ф, т. е. если Ф^О(Л^) с достаточно высоким т, найденное регулярное решение будет и классическим в смысле, описанном в предыдущем параграфе. Доказательство мы предоставляем читателю (ср. упражнение 3).

Смешанная задача и задача Коши для уравнений типау^- = Ажи (уравнения квантовой механики)

Наиболее важными для квантовой механики дифференциальными уравнениями являются уравнение Шредингера

диth Л </ х

-гг = -5—г У (х) и,

dt2т h v '

где 'v(x') — потенциал, т и h— постоянные, и система уравнений Дирака

= 2 (“• ^+4 ф‘+ -7-ф» W -

где

и(х, ^) = (и1(х, f), и^х, f), и3(х, t), иДх, t)), Фо

— скалярный потенциал, Фй — составляющие векторного потенциала, а” и р — матрицы Дирака.

Если в случае уравнения Шредингера вследствие вещественности коэффициентов (и даже полуограниченности оператора Лапласа) всегда существуют (их может быть много) самосопряженные расширения правой части, что, как мы знаем, очень существенно для всей теории, то в случае уравнений Дирака этими двумя критериями нельзя пользоваться: оператор в правой части не является ни вещественным (матрицы Дирака имеют комплексные элементы), ни полуограни- ченным.

Однако, как показала Л. Морен (ср. гл. VI), оператор в правой части системы Дирака является формально самосопряженным эллиптическим оператором, сужение Ао которого обладает (быть может, не одним) самосопряженным расширением Xj = Ai э Ло-

Таким образом, наша теория охватывает и этот частный случай. Решение задачи Коши для уравнения квантовой механики

^=Л1«,„(., о)=Фел2’г(й„)

(оператор Л, называется в квантовой теории гамильтонианом^ имеет вид ‘

и (• , t) = еИАчр = J eiKt dE QA гр.

s Следовательно, состояние и (• , 7) системы в момент t получается из начального состояния ф воздействием на ф однопараметрической группы унитарных операторов еиА< Решение и в этом случае зависит непрерывно от начальных условий и задается обобщенным интегралом Фурье (ср. § 2)

•и = F е г<р.

■ Для того чтобы получить классическое решение, нужно началь- tryio функцию подчинить следующим условиям:

ФЕО(ДГ), от=Щ+2.

Читатель без труда восстановит детали доказательства.

Смешанная задача для неоднородных уравнений

На практике часто встречаются неоднородные дифференциальные уравнения следующих типов:

= Axu(x,t)-VJ(.x,t),(6.1)

-^(Х, t) = AxU(X,П^ДХ,t).(6.2)

T^Gr- () = Ахи<х-t^-V f<x.o.(6.3)

где /(x, t) — заданный ток, заряд и т.п., а Ах— оператор, удовле

творяющий таким же предположениям, как в предыдущих параграфах.

Л. Морен в работе [1] показала, как можно распространить на этот случай теорию, изложенную выше. Ввиду того что это распространение требует тонких рассуждений, я ограничусь здесь лишь изложением результатов Л. Морен без доказательств, отсылая читателя, желающего изучить детали, к цитированной работе [1].

Получен следующий результат: если функции ф° и ф1 непрерывны и при ?n=[/z/2s]+2 имеют место соотношения ф°£D^A™\

ф’^О^Г 1/2), а / (• , ^^D^A1^ ,/г), причем функция A™ ',2f(-,t) интегрируема в смысле Бохнера в интервале /^[0, Г], а функции AV2/(-, t\ j = 0, ..., 2т— 2 сильно непрерывны по t, то уравнение (6.1) при условиях

u^DW (Г)—(х, 0) = ^-(х), х = 0, 1, (Н)

dt

обладает решением, которое можно представить при помощи обобщенных интегралов Фурье

и = Б-1 cost (— X)V1 /V+(— M"'h sin t (— X)V2 Лр1 +

+ J Р"Ч— ХГ,/2sin[(^ — т)(— ху,,г\рн- . о

Это решение единственно в пространстве L?^,^ и непрерывно зависит от заданных функций ф°, ф1 и /.

В случае уравнения (6.3) достаточные условия существования решения смешанной задачи имеют аналогичный вид, а именно ф £ D(Xi")> /(• , t^D^A^, причем функция Л;"'"'''2/(- , t) должна быть интегрируемой в смысле Бохнера, а функции A^f^1, f), где / = 02т— 2, должны быть сильно непрерывными по t.

Заключительные замечания

Обобщение теорем § 1—5 на дифференцируемые многообразия не встречает трудностей, ибо применение разложения единицы !) дает возможность формулировать проблемы в таком же виде, как и для областей □„ в n-мерном евклидовом пространстве. Основная трудность этой теории, именно исследование регулярности обобщенного решения, не увеличивается для дифференцируемых многообразий, достаточно ограничиться областью покрытий одной локальной системой координат (дифференцируемость — это локальное свойство).

Приведенная в этой главе теория представляет собой первое общее обоснование метода Фурье.

’) Если Мп — п-мерное дифференцируемое многообразие, то существует последовательность (Ка) таких предкомпактных множеств, что 1° Мп = U ;

а

2° каждое множество Ка можно покрыть одной локальной системой координат; 3° каждое компактное множество Кс.Мп пересекает только конечное число множеств семейства (Ка). Разложением единицы называется такая последовательность (фа), что Wa^c” ^од и S Фа (х)11 Фа>°-

ал

Для гиперболического уравнения второго порядка п

в случае отрицательно определенного оператора А, краевого условия типа Дирихле и Неймана в ограниченной области первое строгое обоснование метода Фурье было дано О. А. Ладыженской [1]. Метод Ладыженской применим исключительно к операторам, обладающим чисто точечным спектром, что имеет место (в основном) в случае ограниченных областей. Ее исследования требовали весьма трудных оценок для доказательства равномерной сходимости рядов Фурье ’).

Наша теория применима для произвольного спектра, что имеет существенное значение для задач математической физики (в неограниченных областях). В случае точечного спектра мера о(?Д концентрируется в точках спектра и интегралы сводятся к обобщенным рядам Фурье. Эта теория показывает еще раз, что в задачах, связанных с проблемами собственных функций, спектральная теория операторов в гильбертовом пространстве является наиболее подходящим, сильным и проще всего приводящим к цели аппаратом.

В частном случае задачи, рассмотренной О. А. Ладыженской, имеем две теории: во-первых, построенную О. А. Ладыженской, во-вторых, изложенную в этой главе. Ввиду того что О. А. Ладыженская пользовалась совершенно другими методами, прежде всего теорией С. Л. Соболева, предположения относительно начальных функций были получены О. А. Ладыженской в другом виде: в терминах пространств Шаудера — Соболева Wk (Q„ X [О, Г]). Возникла интересная задача сравнения результатов, полученных этими разными методами. Эта задача была решена Л. Морен следующим образом. Для некоторых размерностей п = 4Z + 2 и п = 4Z -|- 3, где I = 0, 1,2, ..., а, следовательно, также для важных с точки зрения физики размерностей /г — 2 и п — 3 условия, найденные Л. Морен, оказались менее ограничительными, чем условия О. А. Ладыженской.

Физики применяли метод функций самосопряженного оператора к уравнению Шредингера без теоретического обоснования. К. Иосида [3] первым систематически применял метод функций самосопряженного расширения симметрического оператора и таким образом получил первое доказательство существования в целом решения задачи

*) Следует иметь в виду, что методика § 2—6 при исследовании сходимости рядов и интегралов Фурье и изучении решения и (х, t) вплоть до границы области также по существу требует проведения топких оценок. Действительно, описание областей определения степеней оператора Ai требует привлечения фундаментальных неравенств гл., XIV. — Прим, ред.

Коши для волнового уравнения на римановом пространстве класса С00. К. Иосида мы обязаны также понятием операторного варианта. Вопрос о дифференцируемости обобщенного решения Иосида рассмотрел другим весьма остроумным способом, который требовал отдельного исследования в случае четной и нечетной размерности. Теорему о существовании для нечетных размерностей Иосида получил с помощью метода спуска по размерности. Теория Иосида требует свободного владения тензорным аппаратом в римановом пространстве.

Случай параболических уравнений был исследован в интересной работе Браудера [2] также с помощью спектральной теории. Однако метод Браудера неприменим к волновому уравнению. То, что метод Иосида приводит фактически к решению смешанной задачи с краевым условием u kQ = О, было замечено автором в 1953 г. Изложенная здесь общая теория построена в работах автора [5] и [7].

УПРАЖНЕНИЯ

Проверить, что уравнения Клейна — Гордона (квантовая механика), а также система волновых уравнений Максвелла принадлежат к типу уравнений, рассмотренных в § 2.

Проверить, что уравнения теории упругости принадлежат к уравнениям типа (Fu/df2 — Ахи4- f, рассмотренного в § 5.

Найти условия, которым должна удовлетворять начальная функция ф, для того чтобы обеспечить дифференцируемость обобщенного решения уравнения типа du .

-5Т = Аи,dt

где А — эллиптический оператор (см. основную теорему).

Рассмотреть вопрос упражнения 3 для уравнений квантовой механики.

ГЛАВА XIX

Теория гармонических полей

В § 1 мы излагаем основные понятия теории тензорных полей на римановых многообразиях, вводим операторы d, 6 и —k = db-\-bd и излагаем классическое определение гармонического поля. Параграф 2 посвящен четырем теоремам Кодаиры, в частности теореме об ортогональном разложении. В § 3 описывается связь теории уравнения теплопроводности на римановых многообразиях с методом ортогональных проекций в теории гармонических полей. В § 4 доказывается теорема Кодаиры — Гаффни. В случае компактных многообразий в качестве следствия из теорем де Рама и Кодаиры в § 5 мы получаем знаменитую теорему Ходжа о существовании гармонических полей с наперед заданными периодами, а также теорему об изоморфизме.

Созданная в 1936 г. Ходжем теория гармонических тензорных полей благодаря исследованиям Кодаиры (1944 —1949 гг.), применившего к ней методы гильбертова пространства, стала теорией исключительной красоты. Она является, с одной стороны, обобщением теории потенциала на тензорные поля на римановых многообразиях, а с другой — обобщением теории функций комплексного переменного на римановых поверхностях. В последние годы была открыта тесная связь между теорией гармонических полей, „распространением тепла" на римановых поверхностях и методом ортогональной проекции.

В этой главе мы предполагаем, что читатель знаком с тензорным исчислением, а также с элементами теории риманова пространства. В последнем параграфе излагается доказательство теоремы Ходжа — Кодаиры о существовании гармонических полей с наперед заданными периодами; в этом месте мы предполагаем, что читатель знаком с простейшими понятиями теории гомологий.

Определение гармонического поля1)

Ориентированное «-мерное риманово многообразие будем обозначать через Йл. Локальные координаты на многообразии Q„ будем обозначать через х — (х1х”). Величина gik = gik(x) является

полем метрического тензора многообразия й„. Другие тензорные

’) См. также де Рам [1], Лихнерович [1], Чжень Шэн-шэнь [1].— Прим. ред.

поля па многообразии Q„ валентности р будут обозначаться строчными последними буквами греческого алфавита, например ф или фр = фа1 •ор(х). Мы предполагаем, что эти поля кососимметричны {антисимметричны). Определитель метрического тензора мы обозначаем через g = det {gifc).

Оператор внешнего дифференцирования ставит в соответствие полю валентности р поле валентности р+1 по следующему закону:

m „=^(-i/-'

где, как обычно, ф - ^Фа а шКак мы

видим, он является оператором обобщенного ротора. Двойственным к нему является оператор обобщенной дивергенции 6, понижающий валентность на единицу:

0=1

Напомним, что фа1 ’ " °р = g-“ipi ... gaP^p р, причем подразумевается суммирование от 1 до п по индексам, встречающимся одновременно внизу и вверху; в данном случае производится суммирование по индексам pjРр.

Поле ф называется безвихревым {соленоидальным), если

</ф = 0 (дф = 0).

Определение. Поле ф класса C2(Q), где Q — открытое подмножество многообразия йя, называется гармоническим, если оно удовлетворяет системе уравнений в частных производных (Эллиптического типа)

О = — Дф = (aid + М) ф.

(Иногда принимают другое определение: тензорное поле ф называется гармоническим, если оно принадлежит классу С1 и является безвихревым и соленоидальным, т. е. йф = дф = О.)

Определение. Поле ф называется гомологичным {когомоло- гичным) нулю, если существует такое поле ф, что

Ф = ^ф (ф = дф).

Носителем поля называется теоретико-множественная сумма носителей его компонент (являющихся обычными скалярными функциями).

Введем теперь скалярное произведение полей класса С°° с компактными носителями так, чтобы получить унитарное пространство.

Как обычно, с помощью пополнения мы получаем гильбертово пространство, которое обозначим через фр

(фР. фр)а = (грР, /)р = J* 1 /РI Ф01... Ор (х) -ф°1''' “₽ (х) V^dx- й

фа1-ар£С”(й).

Исходным пунктом для дальнейших рассмотрений является ортогональная сумма пространств фр

р•

Суммирование распространяется фактически на »+1 слагаемых: р = 0п, ибо поля степени выше п равны пулю.

Напомним, что (ф, ф) — 2 (фР- Ф°)о- если ф, Ф £ $. т. е. ф = 2 фР> ррр

ф=2ф° • р

Можно доказать, что операторы d и б формально сопряжены, dT =6, т. е. что для полей ф, ф с компактными носителями имеет место тождество (йф, ф) = (ф, бф). Последнее соотношение эквивалентно системе тождеств

:(йфр-1, фр) = (фр-1, бфр), р=1, 2

По определению р-мерная цепь Ср является р-мерным алгебраическим комплексом Ср = 2 Nt^* где каждое £р является топологическим образом в области Й„ евклидова р-мерного симплекса Т9, yt — вещест- .венные коэффициенты, а суммирование производится по конечным наборам tp. Пусть («) = («', . .., ир)—система координат на симплексе ^’(ТР—выпуклое множество в евклидовом «-пространстве). Тогда точки р ® t9 описываю гея посредством соотношений р = р(и) и локальные координаты xz = xz(p(«)) точки являются непрерывными функциями переменной и. Система («) образует, следовательно, систему параметров на I9. Цепь Ср = 2y^P называется регулярной, если функции х1 (и) = х' (р («)) параметров ик обладают непрерывными производными до второго порядка включительно и

rangrang(ЦлИ|%ир)

rang

rang

д (и1, ..., мр) Р

в каждой точке всех симплексов t9. Под „поверхностным анте-

граломи па Ср поля фр мы будем понимать выражение

/ р опр-дСл”1V,p) du.

Полагая

д ахар 022-Л ). du ^du — du . . . dupy

д^и\...,и^ x7

нашу билинейную форму можно записать кратко

*ср

Общая формула Стокса па дифференцируемом многообразии Q„ (читатель заметит, что в определении поверхностного интеграла мы не пользовались римановой метрикой) записывается, согласно Кодаира, следующим образом:

(V-'. ср> = «\ дср>, .

где дСр— граница цепи Ср (здесь мы встречаемся с двойственностью операций d и д).

Приведем еще обобщенную формулу Грина

W- фНо-^, дфНо- J {ср, ф}% VgdOan;

дО

{ф, ф}6—некоторая билинейная форма переменных ф и ф;

_опр. 1/1,2

^1^=(1=ДГ58П I ,„„W'-"»;

dOQp+1... ап являются двойственными координатами поверхностного элемента dxai”,ap. Имеют место формулы dd<p = д6ф = 0, ддС = О. Цепь С, граница дС которой равна нулю, называется циклом. Цикл Z ограничивает (гомологичен нулю), если существует такая цепь С, что Z = дС.

Из теоремы Стокса вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если dZ —О, то (d<p, Z) = (ф, dZ)=O.

Это следствие является весьма далеко идущим обобщением теоремы о независимости интеграла полного дифференциала от пути интегрирования, ибо в случае скалярного поля (р = 0) имеем

(<2ф°)а‘ = ■ ^ -, т. е. йф = grad ф.дха‘

р-мерные циклы образуют (вещественное) векторное пространство ZP(Q„); циклы, гомологичные нулю, образуют подпространство Нр(Q„) пространства Zp(Qn\ Фактор-пространство

ВР(Й,У= ZP(Q„)/HP(Q„)

называется 9-мерной группой гомологий многообразия й„. Рассматривают также операцию взятия кограницы, двойственную к операции взятия границы (эта операция повышает размерность на единицу). Аналогично вводят понятия коциклов ZP(Q„) и коциклов, ко- гомологичных нулю, образующих пространство WP(Q„). Аналогично получаем р-мерное пространство когомологий многообразия Йл:

*SP (Q„) = *ZP (Й„)/*НР (йл).

В § 5 мы докажем теорему Ходжа, устанавливающую связь (изоморфизм) пространства Вр (Qn) с пространством гармонических полей.

Теорема Кодаиры

После этих приготовлений переходим к теории гармонических полей. Аппарат, которым мы располагаем, позволяет нам высказать следующее утверждение.

Теорема 1 (Кодаира). Если измеримое поле а конечной нормы, '|а||<оо, заданное в области QcQ„, удовлетворяет тождеству

(а, А0) = О для всех 0£С”(й),(2.1)

то Аа = 0, т. е. а — гармоническое поле.

Эту теорему можно сформулировать еще следующим образом: каждое непрерывное интегрируемое с квадратом слабо гармоническое поле является гармоническим полем.

Эта теорема является частным случаем „теоремы о слабых решениях эллиптических систем", ибо А — формально самосопряженная эллиптическая система.

Из теоремы 1 вытекает следующее предложение.

Теорема 2 (Кодаира). Если поле а, заданное в области Qcz2„, удовлетво ряет равенству

(a, d0)Q = (a, бу)й = О для всех 0, y£C^(Q),(2.2)

то поле а является гармоническим.

Доказательство. При ф £ С? (й) в силу (2.2) имеем (а, Аф)й = = — (а, ^бф)й — (а, бйф)й = 0 и, следовательно, в силу (2.1) Аа = 0.

Заметим, что из Аа = 0 следует da = 0 и 6а = 0. Действительно, используя (2.2), получаем (da, y)Q^(a, 6y)QsO; аналогично (da, 0)Q = (a, d0)„ = O, а поэтому <Za = 6a = 0, что и требовалось доказать.

Следуя Кодаире, введем теперь особенно важные подпространства пространства ^), именно ^ =' 6Zo+1, где Zo+1— множество р+1 регулярных полей с компактными носителями. Аналогично §2 ~ dlo . Положим

(2.з)

(Кодаира для того, чтобы подчеркнуть связь с топологией, полагает зр0= $рем и v=^e-$- так что ^=3pn*3p-)

Мы имеем следующее разложение пространства £>р в ортогональную сумму:

^р=Ф?е^ебр,(2.4)

ибо подпространства фр и §2 взаимно ортогональны [так как (da, 60) = — (dda, 0) = 0 при а, 0£С^(2„)].

Из определения (2.3) имеем.

вР±< ®Р±<(2-5)

Таким образом, полагая в теореме 2 Q = Qn, мы получаем следующее важное предложение.

Теорема 3 (Кодаира). Имеет место ортогональное разложение .£)р = .^ ф $> ® ®р, причем .^ = 6ZP+1, £>р = ^/о-1. а элементы пространства + гармоничны.

Замечание 1. Множество ($р можно определить как подпространство гармонических полей, ибо если поле а гармонично, то da = 6a = 0, так что (da, 0) = (a, 60) при 0£С”(2„) и в силу непрерывности скалярного произведения а | рь аналогично доказываем, что a | §2, откуда а^6р, что и требовалось доказать.

Замечание 2. Ввиду того что каждое связное открытое подмножество GcQn также является римановым многообразием, для каждого такого множества G имеет место теорема 3.

Замечание 3. Частный случай теоремы 3, когда Q„ является трехмерным евклидовым пространством £3, а р = 1, С. Л. Соболев применил к решению некоторых задач электродинамики (см. С. Л. Соболев [2]).

Читатель без труда докажет следующее предложение.

• Теорема 4 (Кодаира). Обозначим через м^>р подмножество пространства фр, элементы, которого принадлежатклассу Cv(v= 1, 2,...). Тогда множества 3v°— м$РПЗР> *8v~ Л>РП*3₽ удовлетворяют следующим соотношениям:

’З^фе^^о],

■*Зр = {феЖ^Ф = о},

зр=ер®М *3v==®p®v^.

м%1 = §i П C\ i = 1,2, v^=v^e^ v$=v$pe3v-

„ 3. Уравнение -^- = Ла и метод ортогональных проекций ’в теории гармонических полей

Третья теорема Кодаиры наводит на мысль применить метод ортогональных проекций в теории гармонических полей: для того чтобы получить гармоническое поле с требуемыми свойствами, например удовлетворяющее наперед заданным граничным условиям, или обладающее наперед заданными периодами (на данных компактных циклах), или обладающее данными особенностями и т. д., сначала строим (не обязательно гармоническое) поле а, обладающее требуемыми свойствами, например имеющее наперед заданные периоды, а затем берем его ортогональную проекцию на подпространство 6 гармонических полей; мы имеем основание ожидать, что построенное поле опр.

а@ = Pga, где Р®—оператор ортогонального проектирования на подпространство 6, обладает требуемыми свойствами.

Полученное нами поле ay является, несомненно, гармоническим, нужно только доказать, что отображение Р^ сохраняет заданные свойства, например периоды. В случае краевого условия не было этих трудностей (ср. гл. XV), и поэтому доказательство существования решений краевых задач было сравнительно простым.

В последние годы удалось преодолеть вышеупомянутую трудность исключительно остроумным способом, напоминающим доказательство эргодической теоремы фон Неймана и опирающимся на теорию однопараметрических полугрупп (ср. гл. X). Этим методом мы обязаны Мильграму и Розенблюму, Иосида [2] и Гаффни [1]. Излагаемая ниже теория является вариантом метода Иосида, несколько улучшенным Гаффни.

Идея доказательства состоит в следующем.

Г. Строим положительное самосопряженное расширение А' оператора Ао, (О (Ao) = С“ (S„))-

2°. С помощью оператора A'zd^q строим однопараметрическую полугруппу Tt = д , /^0.

3°. Как мы знаем из гл. X, поле а, °—' Tta удовлетворяет дифференциальному уравнению

da,Л/

'dt — — А

и начальному условию a+0 = a [в нашем случае это уравнение, введенное Мильграмом и Розенблюмом, является уравнением теплопроводности (диффузии) на римановом многообразии йл].

4°. Легко заметить, что Т^ является оператором ортогонального проектирования на собственное подпространство оператора А', соответствующее собственному значению X = 0, т. с. Т^ = Е (+ 0) — Е (0).

Действительно, е-<д' — J* е~л dE (X), а предел подинтегральной функ- о

ции таков:

0 при X > 0, lime-^ =

/->оо1 при Х = 0’).

5°. Для того чтобы доказать, что поле а@ = Р^а-Т^а имеет те же периоды, что и поле а = Тоа, достаточно доказать, что семейство полей ai = Tia, О-^/^оо, обладает периодами, не зависящими от времени t.

Затруднения вызывают только п. 1° и 5°: нужно так подобрать положительное самосопряженное расширение А' оператора А0, чтобы удалось доказать п. 5°. Следующий параграф посвящен рассмотрению п. 1° и 5°.

§ 4. Построение оператора А'^А0.Доказательство теорем Кадаиры и Гаффни

Пусть d0 и б0—сужения операторов d и б на неограниченно дифференцируемые поля с компактными носителями D (60)—D (d0) = = С” (S„), где С5° (йл), как обычно, означает совокупность полей класса С” (йл) с компактными носителями.

[) Процесс, применяемый в п. 4°, имеет следующую физическую интерпретацию: а( = Т/« является распределением температуры в момеит времени t при начальном распределении a. С неограиичениым возрастанием времени t распределение а< стремится к гармоническому распределению ае = а^ = Т^а.

Определим теперь оператор А' следующим образом:

А = do do + do др*(4.1)

Докажем следующую простую лемму.

Лемма 1. Имеют место тождества

dodo а = 0 при a£D\doy(4.2)

do6o*P = O при 0 £/)$*)•(4.3)

Доказательство. Докажем, например, формулу (4.2); формула (4.3) доказывается аналогично. Как мы знаем, при 0, “уЕ^-о°(^п) и av —> a £ D (do*) имеем

O = (doav, дор) — (av, dXp)-*(«, drXp) = (do*a, dop) = (dodoa, P), ₽P

t. e.

6odo*a = 0,

что и требовалось доказать.

Теорема 1 (Гаффни). Оператор \' = d*o d* + do*do самосопряжен.

Доказательство. Как известно, если оператор С замкнут и D(C) = ^, то оператор С*С является самосопряженным и положительным. Ввиду того что операторы d0 и до имеют плотные области опр. ** * опр. ** * определения и замкнуты, оба слагаемых А = do do и В = до до, из которых состоит оператор А, самосопряжены и непрерывны. Поэтому операторы (/4-Д)-1 и (/4-В)-1 ограничены (их норма < 1) и

(/ |_д)-1_/ = (/_(/ + д))(/ + Л)-1 = _Л(/ + Л)-1; (4.4)

аналогичные равенства можно получить для оператора В.

Доказательство самосопряженности оператора А4-В мы проведем, используя прием, который впервые в подобной ситуации применял фон Нейман.

Мы докажем сначала, что оператор

s^+H + S))"1

является эрмитовым, откуда на основании одной из теорем фон Неймана (ср. гл. VI) будет вытекать, что оператор Z —|—(Л -j-S) является самосопряженным, а поэтому также самосопряженным является оператор А ф-В = (/ + (Д 4-В))—/.

Покажем, что 3 = 3\ = (/4~ Д)-14~(/ + 5)-1—I- действительно, принимая во внимание, что

АВ = do (do do) do = О

(ср. лемму 1), имеем

XSj = А (I + Д)"1 + А ((/ + в)"1 — /) =

= / — (/ч-дг1 — ав (/ + S)-1 =1 — (7+ д)'1. Аналогично

= /-(/ + ву\

а поэтому

(/ +д+ 5)3^3^/-(/ + Д)-1 + /-(/ + В)"1 =

= (/ + д)-> + (/ + В)-1_/ + /_(/ + Л)-> +

+ /-(/ + 5Г1=/.

Ввиду того что оператор /4-Д + 8 обратим, имеем 3 = 3,= = (/4-Д)~’4~ (/4-В)~’— /. Однако операторы (7 4-^) ^ (^ + 8)-1 эрмитовы, а следовательно, оператор 3, = 3 также эрмитов, что и требовалось доказать.

Оператор А' обладает важным свойством, которое описывает следующая лемма.

Лемма 2. Если 0v->0 и А^у—>A'0V, то do0v—>do0 и do0v->^o0

Доказательство. Наше утверждение вытекает немедленно из равенства

(аК 0v)=№K 0v)+(d7do0v. 0vMkM+№v|r

и из того, что операторы do и do замкнуты.

Лемма 3. При ? > 0 и а^О(А') имеем

;=(4.5)

Доказательство. Ввиду того что.

^е-1 &’а =— А'е-/Д'а,

при а £ D {\') имеем

(Aze-^'a) = (е-^- А'а) = — А' (А^-'Д’ а) = А' (е-'^' а). CtLil IU.L

На основании леммы 2

^-,А'а) = б^-'А'а)^

==д;(бга + мк^=ьХ(^ что и требовалось доказать.

Пусть ф< °—бое~<Л а; если a£Z)(A'), то А'е~/Д'а—> А'а, t—> + 0, В поэтому опять на основании леммы 2

'ф/= бое~,Л а-> боа при £->-|-0-(4-6)

Расширим положительный симметрический оператор бобо* до положительного самосопряженного оператора Д = Д собобо . Из формул (4.5) и (4.6) вытекает, что поле ф/ = бое~<А а при а^£)(д), />0 удовлетворяет дифференциальному уравнению d^jdt = Лф, и начальному условию фо = боа, а следовательно, в силу единственности решения задачи Коши (ср. гл. XVII) имеем

ф/ — boe-^ a = е~<Лфо = е~мбоа.(4.7)

Из формулы (4.7) получаем важное следствие.

Следствие (Гаффни). Если поле а безвихревое ua^D (А'), то при Z^-О поля at = е~1^' а тоже являются безвихревыми.

(Заметим, что b^d, где оператор d задан на таких полях a £ $, что || da || < ос; поле а называется безвихревым, если da —0; для безвихревых полей имеем 0 —da —боа.) Ввиду того что a(££)(d) (ср. гл. XVII), поле е-*^ а является безвихревым: de~<A'а = бое~,А а = = 0, что и требовалось доказать.

Для безвихревых полей можно ввести понятие периода.

Определение. Если Z— компактный цикл, а ф— безвихревое ’юле, то число (ф, д') называется периодом поля на цикле Z.

Напомним, что в случае, когда поле имеет степень р,

(ф, Z> = 1 /ч\--. v()dxvi " vp..

z

Теперь мы можем доказать важную теорему.

Теорема 2 (Гаффни). Если а—безвихревое поле и а £ О(А'), то все поля.... .

а/ = е“/д'а,0^/<^оо,

являются безвихревыми и имеют один и тот же период.

Доказательство. Как доказал Кодаира, компактному циклу Z можно поставить в соответствие такое поле £ (с компактным носителем), что для всех безвихревых полей р (степени р) имеет место

тождество

<р, Z) = (p, О-(4.8)

По следствию, поля a.t = е-1М а безвихревые. Используя непрерывность скалярного произведения, получаем

£<,--А'а. Z) = ^(«-<»'«. Е> = (^<НА'«. Е) =

= —(А'е-^'а, У = —(А'е-^'а, Z) = 0; (4.9) действительно,

^<д'а = «е-'д'а + №-<д'а = №

откуда, применяя обобщенную теорему Стокса, получаем

(A'e-^'a, Z) = (d (de~<A’a), Z) = (e~<Aa, dZ) = 0

[при t > 0, a£D(Az) поля e-<A'a как решения параболического уравнения регулярны, поэтому оператор dQ можно заменить оператором d, а оператор do — оператором д].

Из (4.9) заключаем, что ( e-t^' a, Z) не зависит от t. Кроме того,

(e~<A'a, Z) = (e~<A'a, £)->(«, 9 = (а, Z), /-> + 0. (4.10)

В соответствии с теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

a( == е-<А'a^-033 = ^60, t-*oo.(4.11)

Формулы (4.8) — (4.11) составляют утверждение теоремы.

Теорема 2 является обобщением теоремы К о дайры: оператор Р® сохраняет периоды полей на компактных циклах.

Таким образом, для того чтобы доказать существование гармонических полей с заданными периодами, достаточно доказать существование полей с заданными периодами. Как мы увидим в следующем параграфе, эта проблема была решена де Рамом в случае компактных многообразий.

§ б. Гармонические поля на компактных многообразиях

В случае компактных многообразий из последней теоремы предыдущего параграфа вытекает знаменитая теорема Ходжа.

Теорема 1 (Ходж). На компактном многообразии существуют гармонические поля с наперед заданными периодами.

Прежде чем переходить к доказательству, заметим, что до настоящего времени мы не доказали существования нетривиальных гармонических полей. Теорема Ходжа, являющаяся центральным пунктом по-

строенной им теории, показывает не только то, что эта теория не является беспредметной (не висит в пустоте), но и то, что существует „много" гармонических полей: настолько много, что можно строить поля с заданными периодами.

Доказательство теоремы Ходжа вытекает из первой теоремы Кодаиры, а также из так называемой первой теоремы де Рама, утверждающей, что на компактных (не обязательно римановых') дефференцируемых многообразиях существуют безвихревые поля с заданными периодами.

Ввиду того что оператор \ = Ы-\- db образует сильно эллиптическую систему, на основании заключительного § 8 замечания гл. XIII можно высказать следующее утверждение.

Теорема 2 (Ходж). Если й„ — компактное многообразие, то существует конечное число линейно независимых гармонических полей

0<dImSp<oo, р = 0, 1п.

Эта теорема наводит на мысль о том, что гармонические поля тесно связаны с топологией многообразия. Действительно, имеет место следующая интересная теорема.

Теорема 3 (Ходж). Группы гомологий и когомологий (с вещественными коэффициентами) компактного многообразия изоморфны с соответствующими пространствами гармонических полей. Точнее1.

Ве(йП)г^. *Ве(^п)^е-

Доказательство. Из четвертой теоремы Кодаиры вытекает ^ = вр^^е. *^= *8?М^бр.(*)

В соответствии с известной теоремой де Рама имеют место изоморфизмы

^(ОлЖ^,*B4Q„)^^(**)

(эти изоморфизмы поясняют происхождение терминов: поле, когомо- логичное нулю, и поле, гомологичное нулю).

Объединяя соотношения (*) и (**), получаем утверждение теоремы.

Как вытекает из второй и третьей теорем Ходжа, число линейно независимых гармонических полей степени р равно р-му числу Бетти компактного многообразия.

Заключительные замечания'

Так как на каждом дифференцируемом многообразии можно ввести риманову метрику, то па дифференцируемых многообразиях можно определить гармонические поля и с их помощью построить теорию

гомологии. По мнению Г. Вейля, это самый простой подход к теории гомологии дифференцируемых многообразий. Я не знаю, является ли этот подход действительно наиболее простым, однако, как показали последние исследования Кодаиры, Д. Спенсера, Ходжа и других, с уверенностью можно утверждать, что именно с помощью гармонических полей удалось получить ряд внушительных результатов по теории вещественных и комплексных дифференцируемых многообразий; в частности, решен ряд весьма важных проблем по теории алгебраических многообразий.

Каждому антисимметрическому тензорному полю фр (х) = фа( .. Ор (х) можно поставить в соответствие (внешнюю) дифференциальную форму

опр.а.ап

фР^фР = 2jфа.... а0 dX 1 . . . dX Р

Формы, соответствующие гармоническим полям, называются гармоническими. Можно ввести скалярное произведение форм, дифференцирование и т. д., аналогично тому, как это было сделано для тензорных полей. Поэтому, вместо того чтобы говорить о гармонических полях, можно говорить о гармонических формах. Интеграл, под знаком которого находится гармоническая форма, называется гармоническим интегралом. Создатель теории гармонических полей В. Ходж озаглавил свою классическую монографию «The theory and applications of harmonic integrals» «Теория и применения гармонических интегралов», по-видимому, по той причине, что эта теория возникла как обобщение интегралов на римановых поверхностях на случай произвольных (компактных) римановых многообразий.

Некоторые приложения теории гармоническихполей к исследованию компактных римановых многообразий

В качестве применения теории гармонических полей мы рассмотрим замечательную теорему Бохнера, указывающую на глубокую связь между кривизной Риччи и числами Бетти. Бохнер заметил, что следующая элементарная теорема Э. Хопфа, относящаяся к теории эллиптических уравнений, имеет далеко идущие следствия в римановой геометрии.

Теорема (Хопф). Если на компактном римановом многообразии Qn функция ф£С2(2„) удовлетворяет неравенству

Zxp(x)=где(g1”) = (g{ft) \ а

дх16xRдх‘

hl — некоторые непрерывные коэффициенты, то ф = const на многообразни Rn.

Следовательно, в частности, верна следующая лемма.

Лемма (Бохнер). Если функция ф удовлетворяет неравенству Аф = ^ф, Zi ft О, где q>ik— вторые ковариантные производные, то ф = const и Аф —0.

Прежде чем переходить к формулировке теоремы Бохнера, напомним несколько основных понятий римановой геометрии.

Тензором Римана — Кристофеля называется выражение

j 1ILJЦ_1 s 1 I И .

jfel dxlXjh\ dxk l il f I Jk И sit

здесь употребляется обычное соглашение относительно записи суммы

। / ) «пр. 1 is / dgsjdgsk dgjk \

' \jk>2\ дхкдх^ дх5 /

С помощью свертывания относительно I, I получаем так назы

ваемый тензор Риччи Rjk = Rjks и кривизну R-" glhRjk.

Имеет место важное тождество Риччи для вторых ковариантных производных ковариантного поля £/

'£лм— &/,/,* —— ЪР1)М-(7-1)

Единичному вектору V соответствует важный инвариант — так называемая кривизна Риччи R^tf. (Можно доказать, хотя нам это не потребуется, что сумма кривизн Риччи относительно п ортогональных единичных векторов равна /?.)

Предположим, что поле glk принадлежит классу С2. Пусть ^ —

произвольное векторное поле на ып класса С2; положим ф = £ (^ = gi^). После простых вычислений находим

Аф = 2(^<г/ + ^Ъ

где ^' i °= ^yg^, a |‘v— ковариантная производная поля ^.

Но V’ Ч/, ) — ЕлХЕпЬ^а,х 6», к является положительно определенной формой переменных ‘Я|И, а поэтому, если поле £z удовлетворяет уравнению вида

g bi, VH — 1 ijy

и если имеет место неравенство T^^V ^>0, то

Аф-2(^7и/ + МЧУ)>0.

Следовательно, на основании леммы Бохнера имеем

^' ^и у + ЛД^ = 0 (параллельное поле).

Поэтому

^,у = 0, т. е. 7^ = 0.(7.2)

Если тензор Тц положительно определен, то

V = 0.(7.3)

Положим Т1ш} = Кц и воспользуемся полученным результатом. С этой целью из тождества Риччи найдем

Ъ, Ь,С — (Ъ, b — Ъ, i)c — 6», с, i = — ^>aR“blc-

. Умножая предыдущее равенство на gbc, получаем

g%, Ь, с - g" ^l. b - U iX - 1%, I = RatV-

Таким образом, если поле ^ удовлетворяет уравнению

то оно удовлетворяет также уравнению gXb,c=Rall°.(7-5)

Мы пришли к важному предложению.

Следствие. Если на компактном римановом многооб разни S„ существует векторное поле (£z), удовлетворяющее условию (7.4), и если R^V ^-0, то ^i,j — ^ “ автоматически R^V — O (кривизна Риччи равна нулю). В частности, если многообразие Rn имеет положительную кривизну Риччи, то на нем не существует векторных полей, удовлетворяющих условию (7.4) и не равных нулю тождественно.

Как нам известно, на гармонических векторных полях ^ операторы d и 6 аннулируются, так что

= ° и ^ = °-

Поэтому такие поля удовлетворяют условию (7.4); таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема (Бохнер). Если на компактном римановом многооб разии гармоническое поле ^ удовлетворяет условию Ри^>0. то ^,, = 0 и Ри№ = 0

В частности, если многообразие S„ обладает положительно определенной кривизной Риччи, то на 2„ не существует отличных от нуля гармонических полей, а поэтому в силу теоремы Ходжа, если й„ — ориентированное многообразие, то его первое число Бетти равно нулю.

Дальнейшие глубокие теоремы, касающиеся интегральных свойств компактных римановых многообразий, например теоремы о существовании одпопараметрических групп движения, связи кривизны Риччи с числами Бетти и др., читатель найдет в интересной и доступно написанной монографии К. Яно и С. Бохнера [1].

ГЛАВА XX

Эргодическая теория

Параграф 1 имеет своей целью выяснение происхождения эргодической теории: в нем излагается (квази)эргодическая гипотеза Больцмана — Эренфеста. В § 2 вводится понятие потока, метрической транзитивности и эргодичности потока, а также формулируется статистическая эргодическая теорема фон Неймана. Параграф 3 посвящен доказательству эргодической теоремы, опирающемуся на теорию однопараметрических групп унитарных преобразований. В § 4 излагается замечательное доказательство Ф. Рисса . эргодической теоремы, показывающее ее близкую связь с методом ортогональной проекции. В § 5 мы приводим эргодическую теорему Иосида — Какутани, охватывающую ряд других эргодических теорем. Глава заканчивается доказательством теоремы Крылова—Боголюбова о существовании инвариантных мер в компактных динамических системах (§ 6).

§ 1. О (квази)эргодической гипотезе в статистической механике

В этой главе мы рассмотрим ряд важных применений методов гильбертова пространства к эргодической теории (компактных) динамических систем. Для того чтобы читатель понял связь теорем § 3—5 с так называемой эргодической гипотезой Больцмана (вернее с квази- эргодической гипотезой Эренфеста), мы напомним некоторые понятия статистической механики, из которых возникла замечательная абстрактная теория, имеющая в настоящее время (на первый взгляд) мало общего с физикой и называемая эргодической теорией.

Состояние механической системы, состоящей из N материальных точек, определяется точкой в бМ-мерном фазовом пространстве ^ql, Pj). Движение описывается интегралами системы уравнений Гамильтона

(/. /=1^N).(Н)(/. /=1^N).(Н)dqlдИ (q. р) dpjOH^q, р1)

(/. /=1^N).(Н)

(/. /=1^N).(Н)

dt dpt’ dtdqi

являющимися кривыми (траекториями) в фазовом пространстве. В статистической механике рассматривают большое число таких систем, обладающих одинаковой функцией Гамильтона //(^, р). Множество

систем можно мыслить как множество точек в фазовом пространстве, и если их рассматривать как „фазовую жидкость", движение которой описывает изменение систем, то ее 6Л/-мерная скорость

\ dt * dt )

имеет в силу уравнений Гамильтона (Н) дивергенцию, равную нулю, divv = 0. Следовательно, „фазовая жидкость" является несжимаемой. Другими словами, можно сказать, что однопараметрическая группа канонических преобразований Tt, определяющих движение

Tt<q4t^ PkVo^ = ^q4to-V^- Рь^о+^> сохраняет меру (объем) в фазовом пространстве.

В частности, если множество состоит из замкнутых систем, то движение фазовых точек происходит, исключительно на гиперповерхности R:H(q, р) — Е — const. На этой поверхности постоянной полной энергии можно ввести инвариантную меру •

где do — элемент объема в фазовом пространстве.

Физики называют замкнутую систему (квази) эргодической, если траектория точки, представляющей эту систему, плотна в R. В статистической механике предполагают, что некоторые системы (например, газы) являются эргодическими (так называемая эргодическая гипотеза), для того чтобы можно было заменить среднее по времени (в бесконечно большом интервале времени) для одной системы пространственным средним по большому числу систем в один и тот же момент.

Таким образом, статистическая механика имеет дело с траекториями однопараметрической группы преобразований компактного метрического пространства R, сохраняющих меру подмножеств пространства R.

§ 2. Метрическая транзитивность и эргодичность потока.Эргодическая теорема фон Неймана

Динамической системой называют однопараметрическую непрерывную группу (Тt) преобразований метрического пространства R (в дальнейшем мы ограничиваемся случаем компактного пространства R) на себя:

TtR = R, —оо < t < оо, и

Т. Т ,=Т. Т. =Т;

очевидно, Tti = J (I — тождественное преобразование).

Динамическая система называетс>\по/по«ол^несжимасмой жидкости), если в пространстве R опредепетпг'йера ц, инвариантная относительно группы Tt; это означает, что для каждого ц-измеримого подмножества А пространства R равенство

P(7^) = hH)(2.1)

выполняется для всех t£Ex.

Пронормируем меру ц так, чтобы ц (/?)=! (ср. определение инвариантной меры на топологических группах, см. Дополнение II).

Как заметил Купмен, соотношение (2.1) можно сформулировать в терминах функциональных пространств. Если /, g^L? (R), то, полагая

Ф,П W°^f<Ttxy

будем иметь.

(Л ^)— J/Wg(xW = J UJ (х) Utg (х) du = (UJ, Utgy RR

ибо в обоих интегралах лебеговские аппроксимационные суммы являются одинаковыми (в силу инвариантности меры). Таким образом, группе (Jt) соответствует однопараметрическая группа унитарных преобразований пространства 1?ф.у Обычно параметр t истолковывают как „время".

Теперь мы можем сформулировать следующую важную теорему, доказательство которой будет приведено в следующем параграфе.

Статистическая эргодическая теорема (фон Нейман [3]). Для каждой функции. f^L^R) существует среднее по времени /* [в смысле средней сходимости в I^(R)}‘.

Г

1° lim (Г-3)*со1° lim (Г-3)*со= 0= 0T — S J Utfdt~f*s

1° lim (Г-3)*со

1° lim (Г-3)*со

= 0

= 0

или, записывая это по-другому,

г

1. m. (T — S)-1 f f (T,x) dt = f* (xy, cr-sv>»J

2° среднее f* инвариантно относительно группы. (Ttyutf = r,

3° среднее /* однозначно определяется тождеством (f, й) = = (J\ hy имеющим место для каждой инвариантной функции h-. Uth = h', иными словами, /*— проекция f на подпространство инвариантных функций.

Замечание. Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, заметим, что в п. 2° утверждается постоянство средней по времени /* вдоль траекторий Ttx : /* (Ttx) = /* (х); другими словами, /* является „первым интегралом" динамической системы.

Определение. Поток Tt называется эргодическим, если для каждой функции /££2(/?) ее среднее по времени является постоянным (почти всюду в /?).

Если в качестве / взять характеристическую функцию множества т

Л:/ = Хд> то J %A^Ttx)dt означает время (количество мгновений) s

пребывания точки Ttx в множестве Л за интервал времени (S, Т). Следовательно,

г

у5 У.а У (X) dt

s

означает среднее время пребывания точки Тех в множестве Л за этот же интервал времени (ST). В применении к характеристическим функциям п. Г теоремы фон Неймана означает, что существует среднее время пребывания в каждом измеримом множестве. Если поток эргодичен, то точка Ttx находится в множестве Л „в среднем одинаково долго". Употребляя физическую интерпретацию, мы можем сказать, что каждая частица (материальная точка), как правило, находится в множестве Л одинаково долго. Легко вычислить, как долго

в среднем каждая такая частица находится в множестве Л, ибо (|1№=1):

Г

Хд = const = J\'Adn = J RR= 1. i. m.Хд = const = J\'Adn = J RR= 1. i. m.i- m. -y 1 s f Хд(7»<Н dp.(x) =(T-S)->oo/I

Хд = const = J\'Adn = J RR

= 1. i. m.

Хд = const = J\'Adn = J RR

= 1. i. m.

уТТЗ" J | /хд(Лх)^Н(-*:)|^ = р(Л).S I RJ

Следовательно, в случае эргодического потока каждая частица находится в множестве Л в среднем так долго, как велика мера этого множества. Таким образом, мы получили первую связь со статистической теорией Больцмана (ср. § 1).

Для того чтобы понятие эргодичности сделать более доступным, введем более наглядное понятие (метрической) транзитивности.

Определение. Поток называется п^ранзитивным^ (не разложимым), если единственными множествашГТс А?) инвариантными относительно потока (т. е. такими, что TtA — Л для всех /), являются

множества нулевой или полной р-мерьи

либо р (Д) = 0, либо р (/? — Д) = 0.

Применяя „физическую" терминологию, можно сказать, что поток является транзитивным, если не существует таких „настоящих" частей Д множества R, в которых жидкость кружит, не попадая в остальные части пространства.

Заметим, что инвариантность множества Д означает в терминах функционального пространства инвариантность его характеристической функции .

Ц%а = Ха. т- е. Хл (^^) = Хл W

В обычных механических потоках линия тока, проходящая через точку х (т. е. множество {у: у — Ttx, ^Д1)), называется транзитивной линией, если она лежит всюду плотно в R. Легко доказать (см. Хопф [1], стр. 29), что если поток является транзитивным, то для почти всех точек x^R проходящие через них линии тока являются тразитивными (читатель заметит близость понятия транзитивности потока с понятием квазиэргодичности в смысле Эренфеста).

Оказывается, что транзитивность эквивалентна эргодичности. Таким образом, мы получили вторую связь со статистической механикой Больцмана.

Транзитивные потоки характеризует следующая лемма.

Лемма. Транзитивность потока эквивалентна тому, что единственными инвариантными функциями являются постоянные. В терминах дифференциальных уравнений это означает, что транзитивные динамические системы обладают только тривиальными (постоянными-) первыми интегралами.

Доказательство. Если функция / является инвариантной, / (Т^х)— /(xl. то множество До = {х : f(x)^>a\ является, очевидно, инвариантным для каждого а; аналогично множество Ва — (х : /(х) < < а\ тоже инвариантно; но ДаиДа = Я. Таким образом, для каждого а^Е1 мы имеем разложение AaUBa — R и в силу транзитивности потока одно из множеств Да или Во имеет меру нуль, т. е. почти всюду /(х)= const. Обращая это рассуждение, получаем то, что утверждалось.

Теорема (фон Нейман). Транзитивность эквивалентна эргодичности.

Доказательство. Предположим, что поток является транзитивным. Тогда инвариантные функции, в частности средние по времени, постоянны, а, следовательно, поток является эргодичным.

Докажем обратное утверждение. Пусть / — инвариантная функция / (Ttx) = / (х); тогда г " ’гт

y-L- / /(Т^-^Д- / f^dt^/W-yA— J df = /(x).

SS5

Переходя здесь к пределу, заключаем, что инвариантная функция равна своей средней по времени. Поэтому если поток эргодичен, т. е. средние по времени постоянны, то постоянными являются все инвариантные функции и в силу леммы поток является транзитивным.

§ 3. Доказательство эргодической теоремы

Так как поток представляет собой однопараметрическую группу унитарных преобразований, то напрашивается применение теоремы Стоуна. И действительно, первое доказательство статистической эргодической теоремы было получено на этом пути. Позже мы ознакомимся с другими доказательствами этой теоремы.

Доказательство. Пусть

.U t — JeiWdE(X)

— спектральное представление группы (U^.

Положим

М (S, Т, X) = уДу J eiiXdt, s

M(S, г)/°^уДу / ujdt.

S

Последний интеграл, очевидно, следует понимать как сильный интеграл (функция UJ сильно непрерывна) от функции параметра t со значениями в гильбертовом пространстве L2(R).

Имеем

Г СО

М (S, T)f = уДу J dt J ei,xdE(X)/ =

5 —oo

ГТоо

/ elMdt dE(XH = Jm(S. Т, ^dE^f.

S—co

Однако

Tf 1 ПРИ ^ = 0'

Af(S, T, X) = e(X) = ^

(r-s)->oo( о при X ^ 0.

Ввиду того что имеет место неравенство | /И (5, Т, л) — е (X) | ^2, на основании теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла находим

||[^И(5, Г) — ^0]/IP = f]M(S, Т, А)-е(Х)Р|№>.)/|Р->0,

(Т — 5) ->оо.

Итак, для каждого элемента f^L2(R) имеем М (S, Т) / -> Eof°= f.

Однако

^Г = W - UqEJ = IEJ = f.

[Здесь мы воспользовались непрерывностью функции U t\ напомним, что Еа — Е(0)— Е (—0).] Таким образом, доказаны п. 1° и 2° статистической эргодической теоремы. Пусть теперь h = U(h; имеем (Л h) = (U_t f, h) = (U_t Eof, h) = (Eof, Uth) = (f, Eq^ = U, h) для каждой инвариантной функции, ибо, как мы знаем, h*=EQh=h.

Таким образом, доказательство эргодической теоремы закончено.

„Непосредственное" доказательство эргодической теоремы

В предыдущих параграфах мы рассматривали потоки, т. е. однопараметрические группы преобразований (компактного) множества R на себя, сохраняющие меру. В последнее время изучают также циклические группы (Тл) таких отображений. По словам Хопфа, „моделью такого математического процесса может служить замешивание теста" — очевидно, после того, как тесто уже настолько вымешано, что его объем сохраняется. От такого „дискретного" случая нетрудно перейти к однопараметрической группе (см., например, Хопф [1]).

После ознакомления с предыдущими параграфами нас не удивит следующая абстрактная формулировка статистической эргодической теоремы.

Теорема. Если U — унитарное преобразование гильбертова пространства ^, то средние арифметические произвольного элемента /£%

<7-1

k = p

сходятся (сильно) при (q— р)->со к элементу f*£^. инвариантному относительно преобразования U, Uf* = f*.

Доказательство (по Ф. Рис су). Обозначим совокупность неподвижных точек оператора U через ф,; ^ —\fx: Ufx = /J.

В качестве второго подпространства ф2 мы возьмем множество всех элементов вида g — U g и их сильных пределов. Это означает, что f ^^ тогда и только тогда, когда для каждого е > 0 существуют такие элементы g и g', что

f = g — Ug-Vg',причем ||g'||<e.(*)

Докажем, что Г ф2 = ^©^1 и чт0 2° Мкр. q)f2-*0 при (У— Р^оо и ЛбФг- Очевидно, М(р, q^fv = fv если Л Е Фр Если / = /1 + /2. то Мкр. q)f = MkP. qMi4"Mkp. q) f^ ->М(р. q)f2-f2 = f*- ДрУгими словами, среднюю /* мы можем получить как ортогональную проекцию элемента / на подпространство инвариантных векторов /* = /1 = Р/, где Р— оператор ортогонального проектирования на подпространство инвариантных элементов фР Как мы видим, эргодическая теорема тесно связана с методом ортогональных проекций, который был рассмотрен в гл. XIII и XV. По этой причине Иосида метко назвал свой метод доказательства второй теоремы Ходжа, касающейся гармонических полей, „стохастическим" доказательством.

После этих замечаний переходим к доказательству п. 2°. Если /2 £ ф2, то в силу соотношения (*) имеем

., 9-1, 9-1

Мкр. qV^-^r^U^g — UgW-^r^l^g'^ к=рк = р

к = р а поэтому, так как || Ug, ]]|| g' || < е,

\\MkP. ?)/2|| <™'^ +Е

и при достаточно больших значениях q— р.

IIМкр. д)/2||<2е, т. е.

М(,Р. q)f2-^, kq — P^oo,■

что и требовалось доказать.

Доказательство ортогональности подпространств ф2 и ^г весьма просто, а именно мы докажем, что множество элементов к, ортогональных элементам вида g— Ug, совпадает с множеством элементов, инвариантных относительно оператора U* = U~\ а тем самым также относительно оператора U, так что это множество тождественно с подпространством фР Но так как множество элементов вида g—Ug плотно в подпространстве ф2, то на этом доказательство будет закон-

чепо. Очевидно, 0 = (h, g— Ug^ — ^h— U*h, gY т. e. U*h — h, что g

и требовалось доказать.

Замечание. Как видно из хода доказательства, мы пользовались только следующими свойствами унитарного оператора U;

а) оператор U линеен и D (U) = §;

Р) операторы U и U* имеют одинаковые инвариантные элементы;

V) II ^/11 <11/II (оператор U не увеличивает норму).

Легко убедиться, что условие р) является излишним. Действительно, предположим, что выполняются только условия а) и у), следовательно, имеем || U ||1, ||£7*||^1. Если f — Uf, то

II / II2 = (/- /) = (^/. /) = (/. ^/) <11/11II177II < II / II2.

а поэтому (/, U7) = ||/1| • || U7 || и || 17*/II = II / IU откуда DZ-t/vil^ii/ip-/, u7)-(U7, f)^u7^=o, т. е. U*f = f, что и требовалось доказать.

Следствие (теорема Ф. Рисса). Эргодическая теорема имеет место для линейных нерастягивающих отображений пространства ф в себя."

Эргодическая теорема Иосида — Какутани

Ввиду большой важности эргодических теорем мы приведем здесь доказательство „обычной эргодической теоремы" в банаховом пространстве, охватывающей теоремы предыдущих параграфов, а также ряд других эргодических теорем. Этой теоремой мы обязаны Иосида и Какутани [1], применившим ее к изучению процессов Маркова. Для того чтобы потом не отвлекаться, приведем сначала две простые леммы, касающиеся слабой сходимости.

Лемма 1. Линейный ограниченный оператор Т отображает слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся последовательности: если х„-^х, п->со, то Тхп-^Тх, п-^-оо.

Доказательство. Пусть х* — произвольный элемент сопряженного пространства X*; имеем

7хп— Тх, х*') = (Т (хп— *)• х7~{хп— х> Т*х*)->0, п->оо, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Каждое подпространство Хг банахова пространства X является слабо замкнутым.

Доказательство. Пусть (х„)”— последовательность элементов пространства Xv и пусть хп -*■ х. Предположим, что х ^ Х^.

30 К. Моред

Так как Хг— замкнутое множество, то расстояние точки х от множества Хх является положительным числом: d(x, X1) = d>0. На основании следствия из теоремы Хана — Банаха заключаем, что существует такой линейный функционал х*, что '

(х, x^ — d, ^хп, =п=1, 2

Таким образом, 0 = Нт(хл, х*^ = ^х, x*^ = d>0. Мы пришли к противоречию, и лемма доказана.

Сформулируем теперь теорему Иосида — Какутани.

Теорема (Иосида и Какутани). Пусть Т— линейное преобразование банахова пространства X в себя, удовлетворяющее следующим условиям1.

Г существует такая постоянная С > 0, что ||Т"||<С при п=\, 2, ... ;

п

2° для каждого х £ X последовательность хп — — ^ Тьх 6=1 содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к элементу х£ X.

В этих предположениях последовательность (х„) сильно сходится к элементу х, а соотношение Рх = х определяет ограниченный проекционный оператор Р, проектирующий на подпространство инвариантных элементов оператора Т :Тх — х. Таким образом,

РТ ^ТР = Р2 = Р, ||Р||<С.(5.1)

ИмеемИмеемТх = х.Тх = х.6 = 26 = 2= ^||(Г11_7)х|1<^||х1г= ^||(Г11_7)х|1<^||х1гДоказательство. Пусть х^Х. В силу условия 2° существует подпоследовательность (-K„v), v= 1, 2, ... последовательности (хл), слабо сходящаяся к некоторой точке х £ X. Докажем, что х является инвариантным элементом, т. е.

Имеем

Имеем

Тх = х.

Тх = х.

6 = 2

6 = 2

= ^||(Г11_7)х|1<^||х1г

= ^||(Г11_7)х|1<^||х1г

(5.2)

(5.3)

Так как х^-^х, то па основании леммы 1 Txnv-^Tx. Полагая в соотношениях (5.3) n=nv и переходя к пределу при v->oo, получаем соотношение (5.2). (Мы воспользовались следующим тривиальным обстоятельством: если ул—*-у и || у„ || —>0, то у = 0.)

Теперь мы докажем, что последовательность хп сходится сильно к элементу х. С этой целью разложим вектор х на две составляющие: х — х4-(х — х). В силу соотношения (5.2) имеем

х„ = х ^г^^Тк (х — х).(5.4)

6 = 1

Следовательно, для того чтобы получить наше утверждение, достаточно доказать, что последовательность элементов

±^Т'(х-х)

6 = 1

сильно сходится к нулю при п->оо. Обозначим через Хх подпространство, являющееся замыканием множества значений оператора / — Т. В силу леммы 2 множество Хх слабо замкнуто. Так как

аг-аг-то х — х £ Хх.то х — х £ Хх.

аг-

аг-

то х — х £ Хх.

то х — х £ Хх.

Следовательно, наше утверждение будет доказано, если мы убедимся в том, что -^ ^ Т6у —> О при п->оо для каждого у Е ^i- Рассмо- 6=1

трим сначала частный случай: пусть у принадлежит области значений оператора / — Т, т. е. имеет вид у — z— Tz.

В этом случае имеем

л —> со.

Пусть теперь у — произвольный элемент подпространства Хх =

= (/ — Т^Х. Для каждого е > 0 существует такой элемент ^'=z'— — Tz', что || у — у'|| < е. Для такого элемента у' имеет место соотношение

Однако, как мы только что убедились, первое слагаемое в правой п

части стремится к нулю, а поэтому — ^ Tfty -> 0 при пА-оо для 6=1

каждого у^Хр Таким образом, доказательство рассматриваемого утверждения закончено.

Положим теперь Рх — ’ х. Оператор Р является, очевидно, линейным, и его норма удовлетворяет условию ЦРЦ^С. Так как Тх — х для всех хп, то ТР — Р, откуда ТпР — Р, а поэтому п

— ТпР = Р при л = 1, 2Отсюда вытекает, что Р1 = Р.

Йя 1

Для того чтобы доказать соотношение РТ=Р, заметим, что

Левая часть последнего неравенства имеет при и—>оо предел ЦРТх — Р-^Н- а правая — нуль. Поэтому РТх = Рх для всех х £ X. Таким образом, доказательство теоремы Иосида — Какутани закончено.

Заметим, что только что доказанная теорема является далеко идущим обобщением теоремы Ф. Рисса, изложенной в § 4. Действительно, можно высказать следующее утверждение, принадлежащее Иосида [5].

Следствие. Если Т является линейным слабо вполне непрерывным оператором в банаховом пространстве X (т. е. оператор Т преобразует шар в слабо предкампактное множество') и если, кроме того, существует такая постоянная С > 0, что ЦТ61| <С при 6=1, 2то последовательность п

~2^6 сильно сходится к ограниченному проекционному one- Й = 1

ритору, удовлетворяющему условию (5.1).

Как нам известно (ср. § 6, гл. VII), в рефлексивном банаховом пространстве, в частности в гильбертовом пространстве и пространствах Lp, р > 1, ограниченный оператор является слабо вполне непрерывным, ибо в таких пространствах шар слабо компактен. Следовательно, в рефлексивных банаховых пространствах эргодическая теорема имеет место для ограниченных операторов с нормой ^ 1. Таким образом, последнее следствие действительно является обобщением теоремы Ф. Рисса.

В 1952 г. М. Альтман распространил теорему Иосида на общие локально выпуклые пространства.

' § 6. Существование инвариантной меры на компактныхдинамических системах

В рассуждениях § 2 и 3 мы предполагали, что на динамической системе существует нормированная инвариантная мера. В случае динамической системы, заданной с помощью дифференциальных уравнений Гамильтона, такая мера действительно существует. Однако этот факт не является очевидным для общих компактных динамических.

/ Крылов и Боголюбов доказали, что для компактной динамической системы существует нормированная инвариантная \мера, благодаря чему к таким системам можно применять эргодические теоремы.

Ввиду фундаментального значения этого факта мы приведем здесь идею доказательства. Мы ограничимся случаем одного преобразования Т (а не группы Т().

В силу теоремы Радона — Ф. Рисса мерам на компактном пространстве R взаимно однозначно соответствуют линейные положительные функционалы, заданные на пространстве С (R) непрерывных на R функций, причем норма функции / определена следующим образом: || /1| == max | / (х) |. Это соответствие дается формулой

x^R

Прибегая к терминологии функционального анализа, можно сказать, что пространство, сопряженное к пространству С (R), является пространством мер Радона. Инвариантной мере (р (ТА) = р (Л)) соответствует инвариантный функционал /(^7/) = /(/), где U— отображение пространства С (R), соответствующее отображению Т множе- . ства R;

Uf(x)°^/(Tx)

Таким образом, вместо того чтобы доказывать существование инвариантной нормированной меры, достаточно доказать существование линейного положительного и нормированного инвариантного функционала.

Доказательство. Пусть

к

(/, х. к) 1 ^ / (Т1х), к = 1, 2

i=i

Рассмотрим произвольный элемент x°£R; в силу компактности R и непрерывности / существует такая возрастающая последовательность

натуральных чисел (fev), что функционал 1(f) = lim ®l (f, xn, &v) существует для всех функций, принадлежащих некоторому счетному множеству, плотному в пространстве С (R) (достаточно применить диагональный процесс Кантора). Расширяем функционал / (/) на все пространство С (R) и получаем функционал, обладающий требуемыми свойствами:

1° ((1) = lim 1 = 1;

fev

2° Цип-ХипА-УИ'ГТх»)- v z=i

= lim 4-= lim 4-" км

= lim 4-

= lim 4-

У / (Тх°) 4- / (Т^+]хо) _ у {Тхо}

.1=1

км

= ^т^-^/(Гх») = Ц/у,

3° функционал 1(f) положителен, ибо если /^-0, то и /(/^>0.

УПРАЖНЕНИЯ

Как можно определить инвариантные множества с помощью их характеристических функций?

В каком месте доказательства теоремы § 2 мы пользуемся компактностью пространства /??

Доказать „дискретную" эргодическую теорему, пользуясь спектральным представлением оператора

2л

U" = J е'"» dE (Ф).о

Доказать „континуальную" эргодическую теорему, исходя из ее „дискретной" формулировки и выполняя предельный переход (ср. Хопф [1]).

В каком месте мы пользуемся компактностью при доказательстве теоремы Крылова — Боголюбова?

ГЛАВА XXI

Теория почти периодических функций и векторов. ' О представлениях топологических групп.

Шаровые функции.

В этой главе мы покажем, как, развивая идеи Г. Вейля, Реллиха и Маака, можно очень просто получить обе основные теоремы теории общих почти периодических функций на группах, а также анало- п.ч ,ые факты теории почти периодических векторов Г. Вейля—Маака. Ввиду того что излагаемая здесь теория опирается на теорему Реллиха из гл. VII, советуем читателю вспомнить основные факты, касающиеся спектральной теории вполне непрерывных эрмитовых операторов.

Бохнеровская теория почти периодических функцийБора. Почти периодические векторы

Рассмотрим периодическую с периодом о > 0 функцию /, непрерывную на всей вещественной оси ЕЧ/СС^Е1), /(t-|- ka>) = /(О при А = 0; ±1, ±2Обозначим через о/ сдвиг на величину а функции f\

of(t) = /(— о + О- о СЕ1.

Докажем, что непрерывная периодическая функция обладает, тем свойством, что множество ее сдвигов является предком- пактным в метрике пространства непрерывных функций

||/~-Arll = sup|/(O —#Ш/ с р?

Доказательство. Так как функция / периодична с периодом Й, то достаточно рассмотреть лить такие ее сдвиги о/, для которых О^а<(0. Пусть б > 0; так как функция / равномерно непрерывна, то существует такое е = е(б), что |/(О — /(E)] < б при |/— t' | < е. Пусть ov о2, ..., oN— конечная е-сеть на интервале [0, <о). Тогда функции oxf, a2faNf образуют конечную б-сеть в множестве всех сдвигов функции /. Действительно, если 0<o<ti, то для некоторого I (1<Z<:^ |oz— о|<е и поэтому

1°/ — "z/l = sup |/(— о + О — /(— Ч + 0| <6-(1.1)

Таким образом, множество (о/) предкомпактно.

Доказанное нами свойство периодической функции можно сформулировать несколько иначе: если на вещественной оси Ех ввести псевдо расстояние

Р/(о. т) = ||а/ — т/||, 6. т^Д1,

то в „метрике" р^, множество Д1 является предкомпактным. Мы придем к определению Бохнера и фон Неймана почти периодической функции па произвольной (не обязательно топологической) группе S, если в предыдущем свойстве заменим множество Д1 множеством S, а число — о + / — элементом o-1t (о-1 — элемент группы, обратный элементу о).

Определение (Бохнер — фон Нейман). Комплекснозначная функция /, заданная на абстрактной группе S, называется почти периодической (в этой главе мы будем употреблять сокращение и. п.), если группа S является предкомпактной в метрике

Р/ (о. ^) = sup | / (о-*0 — / (т-1/) | = | of — т/1.

Если в качестве группы S взять вещественную ось Д1, то получится бохнеровское определение и. п. функции Гаральда Бора, именно, ограниченная и непрерывная на Д1 функция / называется п. п. функцией Бора, если множество ее сдвигов является предкомпактным в смысле метрики пространства функций, непрерывных и ограниченных на Д1. Как было доказано в начале настоящего параграфа, непрерывная на Д1 периодическая функция является п. п. функцией Бора.

Отметим, что классическое определение п. и. функции Бора можно сформулировать следующим образом: число т называется в-периодом функции /, если |/(т-|-/) — /(0|<е для всех /^Д1. Подмножество М сД1 называется относительно плотным, если существует такое число I > 0, что в каждом интервале длины I найдется число, принадлежащее М. Функция /^С(ДТ) называется почти периодической функцией Бора, если для каждого е > 0 она обладает относительно плотным множеством е-периодов. Можно показать, что эти два определения п. п. функции Бора эквивалентны.

Следующее обобщение почти периодичности было дано в 1949 г. Вейлем, а затем Мааком. Прежде всего обратим внимание на то, что, рассматривая в определении фон Неймана элементы о, т^^ как операторы, действующие на векторы / комплексного банахова пространства § с нормой | • |, мы находим, что оператор о является линейной изометрией: .

1^/1 —1/1 ПРИ °Е^. /ЕФ;

O(aJx-v а^^а^х^а^, fv f^^^, ax, a^Cf

Далее заметим, что для п. п. функций /(/) на группе ^ существует (двусторонне) инвариантный интеграл1) J'fCO^^CO (см- Дополнение II): для любого о имеем у

f (а/) (0^(0 = / /№^(0.

Отсюда

(0/1. о/2)= J (0/1) (0/2) rf[X (0 ='

У

= f (о (/]■/2)) (0^(0= У /1(т)/^)ф(т) = (/1. /2).’

В связи с этим банахово пространство § целесообразно рассматривать как пространство, в котором существует еще вторая — унитарная — метрика: || /|| °= (/, /)Ча. Нормы | ■ | и || • || находятся в со

II/IKI/I-II/IKI/I-отношении

II/IKI/I-

II/IKI/I-

В самом деле,

Н/112 = f |/WI2^(OCsup |/(0Р f^(O=l/|.

ибо

^ dp (/)=!.

Известно, что абстрактная точка зрения обычно позволяет упрощать рассуждения, дает возможность лучше увидеть существенные черты теории и, кроме того, расширяет границы „классической11 теории. Поэтому читателя не удивит, если, следуя Вейлю, мы введем следующее определение.

Определение почти периодического вектора. Пусть дано полное комплексное банахово пространство § с элементами /, g, ... и нормой | • |, и пусть дана группа ^ изометрических отображений о, т, . . . пространства ^ в себя. Вектор / £ § называется почти периодическим (п. п.), если группа S’ является предком- пактной в метрике р^: '

Р/(о; т)°= |о/ —т/|.

Далее предполагается, что пространство § является унитарным пространством со скалярным произведением (/, g), определяющим другую норму ||/||2 = (/, /)/2. Между обеими нормами имеет место

*) Точнее говоря, нс интеграл, а среднее. Г. Вейль доказал, что эти понятия по существу совпадают.

соотношениесоотношениеII/IKI/I-II/IKI/I-(1.2)(1.2)

соотношение

соотношение

II/IKI/I-

II/IKI/I-

(1.2)

(1.2)

Наконец, считается, что элементы группы $ являются унитарными преобразованиями пространства 5) на себя

(о/, og) = (/. g), о* = o-i.

Теория почти периодических векторов

В этом параграфе мы докажем две основные теоремы теории почти периодических векторов. В последующих рассуждениях рассматривается фиксированный п. и. вектор /, поэтому целесообразно ввести подпространство, имеющее своей „образующей" вектор /. Рассмотрим конечные линейные комбинации вида

к

^сц^Ь гДе а^С', ot£#.(2.1)

i = l

Замыкание множества всех линейных комбинаций вида (2.1) в банаховой метрике | • | (унитарной метрике || • ||) обозначим через ^(^j). Очевидно, множество фу обладает следующими свойствами:

1° фу является полным банаховым пространством с нормой | ■ |;

2° фу является инвариантным (относительно группы ^) подпространством: если h £ фу, то оА фу для всех

3° фу является унитарным пространством со скалярным произведением ( • , •).

Операторы о, т, . ..^^ являются изометрическими преобразованиями пространства фу.

Мы докажем, что в пространстве фу (которое, вообще говоря, является бесконечномерным) существуют конечномерные инвариантные подпространства ф^,:

б!тфу<оо, оф¥сф¥, v=l, 2

причем_

(2.2)

V

Формула (2.2) составляет содержание первой основной теоремы Вейля, в соответствии с которой каждый п. п. вектор можно разложить в ортогональный ряд вида

/ = 2(/, Н^юк

где (hk, ht) = blk, причем Av является элементом конечномерного инвариантного подпространства %v

Мы докажем даже несколько больше.

Теорема. Введем следующее отображение пространства ^ и себя:

(й. of) of do

\для краткости мы пишем do вместо dp (о)]. Оператор F обладает следующими свойствами1.

оператор F симметричен1. (Fh; g) — (h; Fg), h, g^-^y,

P) оператор F вполне непрерывен в пространстве 5)^, рассматриваемом как унитарное пространство или как пространство с нормой | • |;

у) (Fh, h)>0 при h + Q (отсюда вытекает, что нуль не является собственным значением оператора F: если Fh — 0, то h — Oy,

преобразования т£^ перестановочны с оператором F; tF = Ft.

Из этой теоремы на основании теоремы Реллиха (гл. VII, § 5) заключаем, что:

1° собственные пространства .yv с ^)^ являются конечномерными;

2° соотношение 6) означает, что собственные подпространства §v являются инвариантными: o^v <z §v; действительно, если h £ ф , т. е. Fh = Xh, то F(oh) = oFh = oXvh = k^oh, так что оА С 5?f

3° инвариантные подпространства §5^, v= 1, 2, ..., как собственные подпространства являются взаимно ортогональными; §v | ф^ при v + р,;

4° имеет место формула

— Ф %vV

Доказательство теоремы. .

К пункту а). Имеем

(Fh, g)=( J (h, of) of da, И = J (h, of) (of, g)do = у

= J (g. of) (of, h) do = (Fg, h) = (h, Fg),'

что и требовалось доказать.

К пункту р). Мы докажем несколько больше, чем утверждали: преобразование F отображает множество, ограниченное по

норме | • || (а следовательно, и множество, ограниченное по норме •]) на множество, предкомпактное по норме |-| (а следовательно, предкомпактное также по норме ||-||, ибо |-(-фундаментальная последовательность является || ■ ||-фундаментальной). С этой целью заметим, что функции ^л вида ^д(о) =' (А, о/), где ||А||<1, являются равномерно ограниченными и равностепенно не- йрерывными на предкомпактном множестве ^, а поэтому в силу теоремы Арцела образуют предкомпактное множество по метрике пространства непрерывных функций С (^). Действительно,

Цл(о)| = |(А, 0/)|<||Л||||о/||<1||о/|| = ||/||. .

Итак, функции £д, где ЦАЦ-СД ограничены в совокупности числом |[/||. Равностепенная непрерывность этих функций вытекает из неравенства'

| ^ (о) - Xh (o') = 1 (Л, о/) - (А, о/) I = I (А, о/ - о'/) I < <||А||||о/ —о7||<1 -рДо, о').

gFA | =gFA | =j (A, of) of doУj (A, of) of doУКомпактность множества {Fh : || А || ^ 1} вытекает из неравенства

gFA | =

gFA | =

j (A, of) of do

У

j (A, of) of do

У

< J I (A, of) 11 o/| do <у

<sup|(A, o/)| f|/|rf0^|^||/| f

(мы воспользовались неравенством Шварца и изометричностью операторов о).

Следовательно, если (Аг)— такая последовательность, что последовательность (^ы) фундаментальна, то последовательность (FAZ) является | • |-фундаментальноЙ, а так как пространство фу полно, то последовательность (Fht) имеет в ■ этом пространстве предел. Это означает, что множество [Fh : || А || <^ 1} является | • |-компактным.

К пункту у). Так как

(Fh, h)= J |(А, of^do,у

то в силу непрерывности функции ^h(o) = (h, of) из равенства нулю скалярного произведения (Fh; h) вытекает, что (А, о/) = 0 и (а, 2 aiQih =0 для каждой конечной линейной комбинации вида 2 OfPif, а^С1, а^Э. Таким образом, вектор А ортогонален к множеству, плотному в гильбертовом пространстве $$р а это возможно лишь в том случае, когда А = 0, что и требовалось доказать.

К пункту 6). Принимая во внимание инвариантность меры Хаара, в силу унитарности оператора т при А получаем

т(Рк) = т J* (A; af) af da = J (/t, а/) та/da = уs

= J (A; т-ха/^ /d = J (tA, a/) a/ da — F(rh), »s

что и требовалось доказать.

Таким образом, наша теорема, и в частности первая теорема Вейля, полностью доказана.

§ 3. Теория п. п. векторов (продолжение)

Прежде чем переходить к формулировке и доказательству второй основной теоремы теории п. п. векторов, заметим, что элементы пространства ^f являются п. п. векторами. Это имеет место по следующим простым причинам:

1°. Вектор т/ является п. п. вектором, ибо если Ор .... On^ есть е-сеть, соответствующая метрике Ру, то о, т-1, ..., o^y^t-1 является е-сетью, соответствующей метрике рту, где

Рт/ (о. о') = I о (V) — а' (т/) |.

2°. Вектор ат/, где а — комплексное число, также является п. п. вектором, ибо если О[aN— сеть с расстоянием узлов ^е|а| в метрике, заданной п. п. вектором т/, то ov .... oN является е-сетью, соответствующей метрике рату.

3°. Конечная линейная комбинация вида 2 ai°if является п. п.

i

вектором. Это вытекает из п. 1°, 2° и из того, что сумма двух п. п. векторов является п. п. вектором (доказательство предоставляем читателю).

4°. Если (/г) — сходящаяся последовательность п. и. векторов, 1Л-/о|->О, I—>оо, то предел /0 также является п. п. вектором. Действительно, пусть |/„— /о|<е/3 и пусть о,°n^ — сеть с расстоянием узлов </е/3 в метрике р/л, соответствующей п. п. вектору /„. Докажем, что (о/)^(в* является е-сетью, соответствующей предельному вектору /0. Если а— произвольный элемент группы S, то существует узел сети, скажем аь находящийся от а на расстоянии е/3 в метрике р/п:

Р/„ № о,) = I »1п ~ °dn I < е/3-(*)

Таким образом, в силу неравенства (*) и изометричности отображений о и ог

I О/о — ° if О К I О/о — ®Л I + I «fn — G-Ja I 4- I Gjn — Gifo I <

/о — A 1 + e/3 + | /л — /о I < e/3 e/3 — e.

Итак, группа ^ является предкомпактной в метрике р^ и, следовательно, предел /0 является п. п. вектором, что и требовалось доказать."

После этих приготовлений докажем теорему, которую для функций совершенно другим методом доказал Маак.

Теорема. Каждое инвариантное подпространство ^v4=0 пространства ^ содержит нетривиальное конечномерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Пусть A ^ §v—неравный нулю вектор. Так как §v с §у, то h— п. п. вектор. Пусть фЛ—подпространство, для которого вектор h служит „образующей"; это означает, что фЛ является замыканием множества конечных линейных комбинаций вида 2/ aflih. Как мы видим, теперь роль пространства X) играет пространство ^}. а роль пространства ^—пространство §. Так как ^j—замкнутое инвариантное подпространство, то ^cS^f. Определим теперь оператор Н (заменяющий оператор F);

Hg °— J (g, oh) oh do при g £ $\

Он обладает всеми свойствами оператора F с той разницей, что его областью определения служит пространство $\ а область значений R (Н) принадлежит $\ Поэтому к оператору Н применима теорема Реллиха. Таким образом, существуют нетривиальные конечномерные собственные подпространства оператора Н, являющиеся инвариантными подпространствами пространства %*\ что и требовалось доказать.

Скалярные почти периодические функции.Вторая основная теорема. Теорема Бора

Как отмечалось, основной моделью теории, изложенной в предыдущих параграфах, служит теория п. п. функций на группе 9.

Если / — п. и. функция на группе ^, то

. of^V— J^t), у. g)= pV)g<t)dt, .

II/ — ^11 — sup I/(0 — 8" W|-

В § 2 мы доказали, что каждую и. п. функцию можно разложить в ортогональный ряд п. п. функций, принадлежащих к конечноМерным инвариантным подпространствам §v:

'$/=Ф^,(4.1)

' причем' причемV

' причем

' причем

o^v с $v (V = 1, 2, ...), о^,dim ф, < оо.

Обозначая через Рх оператор ортогонального проектирования наОбозначая через Рх оператор ортогонального проектирования наПодпространство §v, ^ЦмеемПодпространство §v, ^Цмеемдля любого элемента / Ф§> в СИЛУ формулы (4.1)для любого элемента / Ф§> в СИЛУ формулы (4.1)VV(4-2)(4-2)где gv°—P^g- причем очевидно, что og^^ для всех о^^. Фор-мула (4.2) означает, что каждый элемент пространства 5$^ в част-где gv°—P^g- причем очевидно, что og^^ для всех о^^. Фор-мула (4.2) означает, что каждый элемент пространства 5$^ в част-ности функцию /, можно сколь угодно точно аппроксимироватьл (г)ности функцию /, можно сколь угодно точно аппроксимироватьл (г)л(р)л(р)конечными суммами вида 2 /v* A " ^J : / ~ S /•Vv= 1конечными суммами вида 2 /v* A " ^J : / ~ S /•Vv= 1VVVVе. Числое. Числослагаемых зависит лишь от к > 0 (т. е. от точности аппроксимации).Вторая основная теорема в одном отношении утверждает несколько Дольше, в другом — несколько меньше.слагаемых зависит лишь от к > 0 (т. е. от точности аппроксимации).Вторая основная теорема в одном отношении утверждает несколько Дольше, в другом — несколько меньше.

Обозначая через Рх оператор ортогонального проектирования на

Обозначая через Рх оператор ортогонального проектирования на

Подпространство §v, ^Цмеем

Подпространство §v, ^Цмеем

для любого элемента / Ф§> в СИЛУ формулы (4.1)

для любого элемента / Ф§> в СИЛУ формулы (4.1)

V

V

(4-2)

(4-2)

где gv°—P^g- причем очевидно, что og^^ для всех о^^. Фор-мула (4.2) означает, что каждый элемент пространства 5$^ в част-

где gv°—P^g- причем очевидно, что og^^ для всех о^^. Фор-мула (4.2) означает, что каждый элемент пространства 5$^ в част-

ности функцию /, можно сколь угодно точно аппроксимироватьл (г)

ности функцию /, можно сколь угодно точно аппроксимироватьл (г)

л(р)

л(р)

конечными суммами вида 2 /v* A " ^J : / ~ S /•

Vv= 1

конечными суммами вида 2 /v* A " ^J : / ~ S /•

Vv= 1

V

V

V

V

е. Число

е. Число

слагаемых зависит лишь от к > 0 (т. е. от точности аппроксимации).

Вторая основная теорема в одном отношении утверждает несколько Дольше, в другом — несколько меньше.

слагаемых зависит лишь от к > 0 (т. е. от точности аппроксимации).

Вторая основная теорема в одном отношении утверждает несколько Дольше, в другом — несколько меньше.

' Вторая основная теорема. Почти периодическую функцию можно равномерно аппроксимировать линейными комби- л (е)

нациями вида 5 А®, где oh\^.^ для всех 0^9, однако теперь v = I

функции А® зависят от е,

л (е)

(4.3)(4.3)/ — 2 Av

(4.3)

(4.3)

№1

Доказательство этой теоремы (следуя Вейлю, будем называть ее теоремой о сильной аппроксимации) вытекает из формулы (4.1) и следующих двух замечаний.

Замечание 1. Сверткой функции и с функцией g (и, g £ С (^)) называем выражение вида

(“ * g) (О —' f и (о) g (о~Ч) do.(4.4)

В силу неравенства Шварца и инвариантности интеграла имеем

|(M*g)(x)| =|(M*g)(x)| =/ u^g^t^do < || и || || g П,

|(M*g)(x)| =

|(M*g)(x)| =

У

откудаоткуда1«*^К1|«ПН11-1«*^К1|«ПН11-(4.5)(4.5)

откуда

откуда

1«*^К1|«ПН11-

1«*^К1|«ПН11-

(4.5)

(4.5)

Пусть теперь и?— неотрицательная функция, непрерывная на группе S с носителем V, содержащимся в шаре с центром в единице группы и радиуса е, причем f ue(a)do=l. Имеем

»»< Г Me(o)|/W — /(о-10|^о<sup 1/(0 — /(o-V)K< Г Me(o)|/W — /(о-10|^о<sup 1/(0 — /(o-V)K

»

»

< Г Me(o)|/W — /(о-10|^о<sup 1/(0 — /(o-V)K

< Г Me(o)|/W — /(о-10|^о<sup 1/(0 — /(o-V)K

<k/ —о/1 — р/е, о)<е

(е— единица группы S), откуда

(4-6)(4-6)| / — ие * /1< е.

(4-6)

(4-6)

Формула (4.6) означает, что п. п. функцию можно аппроксимировать равномерно свертками этой функции с непрерывными функциями, имеющими носители в достаточно малой окрестности единицы группы.

Замечание 2. Если /v£$v, то

u*f^^v• (4-7)

Действительно, выражение и* f^ является пределом сумм вида 2 с л (о.) <//v, которые вследствие инвариантности подпространства §v принадлежат этому подпространству.

Доказательство второй основной теоремы. Пусть

<| II «^Г1.<| II «^Г1.

<| II «^Г1.

<| II «^Г1.

где ие/2 — такая непрерывная функция, что |/ — zz®/2 * /1 < е/2.

<|/-«е/2*/|+<|/-«е/2*/|+ZZ®/2 *ZZ®/2 *v=l Jv=l JСледовательно, на основании неравенства (4.5) и соотношения (4.7) имеем

<|/-«е/2*/|+

<|/-«е/2*/|+

ZZ®/2 *

ZZ®/2 *

v=l J

v=l J

«(е) /-«е/2*2^ v= 1

<| + IK2l|-|ll ^ir^e.

о опр. р/о_

Полагая Av = zz * /, получаем наше утверждение.

Рассмотрим теперь классические п. п. функции Бора. Для этих функций группой 9 служит вещественная ось £* с топологией, индуцированной п. п. функцией /. Теперь мы сможем доказать значительно больше.

Т е о р е м а (Б о р). Почти периодическую функцию Бори можно

Г разложить в ряд Фурье по показательным функциям elXvt « смысле метрики || • ||;

2° равномерно аппроксимировать тригонометрическими многочленами вида "^с^^ е1^1.

V

Для доказательства утверждений 1° и 2’ достаточно убедиться, что в каждом инвариантном подпространстве <£> можно взять базис, состоящий из показательных функций. Нам известно, что сдвиги 0_1^)М — §"(^ + ^). — оо < t < оо, образуют однопараметрическую группу унитарных преобразований каждого инвариантного подпространства и, в частности, подпространства $v Элементы этой группы мы обозначим через U (t). Кроме того, нам известно, что однопараметрическая группа унитарных преобразований конечномерного пространства имеет спектральное представление (ср. § 4 гл. X)

U^ = eltH = '21eiX^EKv

(Exv — операторы ортогонального проектирования па собственные подпространства оператора Н = Н*). Ввиду того что каждый вектор g € %» имеет вид g^ — g (/ + v) = U {t} g (v), получим

g W = 2 eiWEx,,g (v) = 2 c^1.Vv

Поэтому, действительно, каждая функция, принадлежащая подпространству §v, является линейной комбинацией показательных функций, что и требовалось доказать.

Вторая основная теорема теории почти периодическихвекторов

Теорему о равномерной аппроксимации, доказанную в § 4, можно сформулировать несколько по-другому. Обозначим символом [(§v)]y линейную оболочку подпространств §v, замкнутую по метрике р^; вторую основную теорему теории п. п. функций на группах можно записать в виде формулы

где ^v— множество всех конечномерных инвариантных подпространств, содержащихся в пространстве ^.

31 К, Морен

Заметим, что формула (5.1) имеет место в произвольном замкнутом по норме | • | пространстве п. п. функций.

Теперь мы докажем, что аналогичная формула имеет место также в общем случае почти периодических векторов, т. е. что для общих п. п. векторов имеет место теорема о сильной аппроксимации. Впервые эта теорема была доказана Вейлем с использованием дополнительной аксиомы: при и^С^) имеет место неравенство (4.5), т. е. неравенство

и (о) of do <11 И II ||/||.

Очевидно, при этом дополнительном предположении изложенное нами доказательство проходит также в случае п. п. векторов. Однако, как заметил Маак, эта аксиома не является вовсе необходимой, более того, если доказана теорема о сильной аппроксимации для скалярных п. п. функций, т. е. доказана формула (5.1), то нетрудно доказать аналогичную формулу (и этим самым теорему о сильной аппроксимации) для абстрактных почти периодических векторов, используя при этом только прежние аксиомы.

Во избежание недоразумений инвариантные подпространства скалярных п. п. функций на группе ^ будем обозначать прописными греческими буквами Ф, Фу...; прописными готическими буквами ^/- Фу • • • будем обозначать множества п. п. векторов.

Как и раньше, мы считаем, что группа ^, метризированная по-' средством расстояния pf(a; т) = |о/ — т/|, предкомпактна. Заметим, что непрерывные числовые функции на группе а? являются почти периодическими. Множество всех п. п. функций на группе ^ будем обозначать через Ф..

Обозначая конечномерные инвариантные подпространства в Ф через Фу, вторую основную теорему для п. п. функции можно записать в виде формулы

•Ф^КФу)^.(5.2)

Как и в предыдущем параграфе, при ф^Ф имеем

ф * / —’ J ф (О) о/ da € ^f.(5.3)

пусть

ф * / °— (ф * / : Ф € ф);

множество [Ф*/]7 является линейным инвариантным подпространством. содержащим вектор /.

. В силу включения (5.3) имеем [Ф */^сфу. Однако ^—минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор /; поэтому

[Ф */]/=£>/•(5.4)

Сопоставляя формулы (5.2) и (5.4), находим.

^ = [Фу*/]у(5.5)

Однако Фу*/ — конечномерное подпространство, ибо dim Фу < со. Полагая -у/ — Tv * /, мы приходим ко второй основной теореме (в формулировке Маака)

£/ = Mz-(5.6)

Почти периодические функции и представления групп

Пусть дана произвольная группа ^ и функция /, почти периодическая на ^. Рассмотрим ортогональное разложение пространства ^:

•&/=®'£>v> dlm£>v<oo, o$v = $v, а^^.

Мы видим, что каждому элементу о ^ ^ поставлено в соответствие унитарное преобразование Uv (о) конечномерного пространства §v на себя, причем, очевидно,

”yv(oT) = yv(a)(/v(T);

Следовательно, п. п. функция /определяет последовательность ((7v(o)) унитарных представлений группы ^. Если пространства $v(v=l, 2,...) не содержат (нетривиальных) инвариантных подпространств, то говорят, что пространства ^ (v=l, 2, ...) неприводимы и что представление Uv (о) является неприводимым представлением группы $. Ввиду того что всегда можно считать, что пространства .£>v неприводимы (см. упражнения), п. п. функция / определяет последовательность неприводимых унитарных представлений группы <^.

Могло бы показаться, что таким образом проблема представлений произвольных групп решена, причем исключительно простым способом.■

Однако оказывается, что существуют группы (например, группа квадратных неособенных матриц n-го порядка), для которых единственными почти периодическими функциями являются константы.

С другой стороны, обнаруживается, что непрерывные функции на компактной группе являются почти периодическими и, следова-

тельно, вся замечательная теория Вейля и Петера представлений компактных групп (Петер и Вейль [1], ср. упражнения) получается как частный случай теории, изложенной в этой главе.

Метод п. п. функций имеет значение для тех групп, на которых существует множество S п. п. функций, отделяющих точки группы. Это означает, что для каждой пары различных элементов о, т^^ существует п. п. функция f^S, для которой / (т) =£ / (о). Такие группы Фрейденталь называет группами с достаточным множеством п. п. функций (в терминологии фон Неймана такие группы называются максимально почти периодическими). Как нам известно, компактные группы, а также группа одномерных сдвигов (связанная с почти периодическими функциями Бора), а, следовательно, также группа /г-мерных сдвигов обладают достаточным количеством п. п. функций. Фрейденталю мы обязаны важной теоремой, в соответствии с которой перечисленные выше типы групп в принципе исчерпывают все максимально п. п. группы, точнее: каждая связная, локально компактная группа, обладающая достаточным множеством п. п. функций, является прямым произведением группы сдвигов пространства Еп (п — 0, 1, 2 ...) и связной компактной группы.

Сформулируем теперь полученную теорему о представлении компактной группы ^ в форме, допускающей обобщение на случай локально компактной группы. С этой целью напомним определение унитарного представления топологической группы ^ (ср. гл. X, § 6).

Определение. Будем говорить, что отображение o->U(o) является (непрерывным) унитарным представлением топологической группы 9 в гильбертовом пространстве §, если каждому элементу o^S1 соответствует унитарное преобразование пространства U(о) так, что единице группы соответствует оператор тождественного преобразования: U(e) = I, а произведению элементов группы соответствует произведение операторов, соответствующих этим элементам: U(от) —U(о). U(т). Другими словами, представление o->U(o) группы а? является гомоморфизмом группы 9 в группу унитарных операторов пространства §.

Представление предполагается непрерывным в том смысле, что для любой пары векторов /, g £ ^ скалярное произведение (U (о) /, g) является функцией, непрерывной на группе ^. Представление называется неприводимым, если в пространстве § нет нетривиальных подпространств, инвариантных относительно всех операторов U (о).

Если ^ = @^v, где ф— инвариантные подпространства, то оператор U, рассматриваемый только на подпространстве §v, будем обозначать через Uv и писать U=^Uv, при этом оператор U будем

называть прямой (ортогональной) суммой операторов Щ. Полученную нами теорему о представлении компактной группы S можно сформулировать следующим образом.

Теорема (Г. Вейль). Представление o->U(o) компактной группы S разлагается в прямую сумму (вообще говоря, несчетную) конечномерных неприводимых представлений o-^-U (о)

^ = Ф ^v. dim &v < со.

'U(a) = @Uv(o), o^S.

V

В случае локально компактных, но не компактных групп ситуация является значительно более сложной. Прежде всего, как заметил в 1939 г. Вигнер, для таких групп может не существовать ни одного нетривиального [т. е. такого, что U(o)^I, о^^] конечномерного представления. Кроме того, унитарное представление не всегда разложимо в прямую сумму неприводимых представлений: здесь возникает разложение в прямой интеграл представлений. Приведем здесь основной результат Маутнера, дополненный Наймарком.

Каждому непрерывному унитарному представлению o-^-U (о) локально компактной группы S в пространстве $ можно поставить в соответствие прямой интеграл J ^<Zp(X), где р— л