Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ЧАСТЬ 1
Глава!
Геометрия банаховых пространств
Введение
Содержание главы
В этой главе мы подготовим геометрический аппарат, который будет использоваться во всей книге. За исключением нескольких вводных замечаний о терминологии и обозначениях, речь будет идти о геометрии банаховых пространств или пар банаховых пространств, находящихся в двойственности.
В § 11 мы обсуждаем с той степенью подробности, которая нам потребуется, различные понятия, связанные с «обособленностью» элементов и подпространств и заменяющие в некотором смысле понятие угла в евклидовом пространстве. Техническая трудность, связанная с тем фактом, что в общем случае подпространство может быть не дополнимым (см. ниже), преодолевается частично с помощью понятия «расщепления», заменяющего понятие проекторов, связанных с парой дополнительных подпространств. Изучаются также свойства пар линейных многообразий, порождающих все пространство («диэдров»), § 12 посвящен геометрическим свойствам пар банаховых пространств, «спаренных» с помощью билинейного функционала; простой и наиболее важный случай (по существу единственный, если пространства рефлексивны)—это каноническая спарен- ность между банаховым пространством и его сопряженным. Рассматриваются те же вопросы, которые обсуждались в § 11 для случая одного банахова пространства, и некоторые другие.
Часто нужно бывает решить, «близки» ли между собой подпространства банахова пространства; другими словами, нужно определить топологию, или даже метрику, на множестве всех подпространств банахова пространства. Это может быть сделано различными способами по аналогии со случаем евклидова пространства. § 13 содержит сводку некоторых определений и ре- (ультатов, нужных для приложений.
Если рассматриваемое банахово пространство является гильбертовым, то факты, описываемые в § 11, 12 и 13, могут быть выражены в терминах углов, ортогональности и других
«евклидовых» геометрических объектов и отношений. Это проделано в § 14. Никаких существенных упрощений не получится, если принять предположение о конечной размерности, за исключением, конечно, того, что в этом случае все линейные многообразия будут замкнутыми.
Читатель, который ire очень интересуется техническим аппаратом теории общих банаховых пространств, может опустить все доказательства в § 11, 12 и 13. Содержание некоторых пунктов (включая весь § 13) не потребуется вплоть до гл. 7. Об этом каждый раз делается соответствующее предупреждение, и такие места могут быть пропущены при первом чтении, с тем чтобы возвращаться к ним по мере надобности.
Терминология и обозначения
Используется обычная терминология теории множеств, теории векторных пространств и топологии; отметим только некоторые моменты. Пустое множество обозначается символом 0; теоретико-множественная разность — символом \; принадлежность и не принадлежность элементов множеству — символами е и ^ соответственно.
Все векторные пространства имеют в качестве поля скаляров (обозначаемого часто через F) поле комплексных или действительных чисел; последнее обозначается R. Так как мы обычно не хотим различать случаи действительного и комплексного поля, то термины «действительная часть», «сопряженный» (в смысле комплексно сопряженный) и т. п. и соответствующие обозначения Re- и т. п. просим считать безобидными излишествами в действительном случае. Тождественное отображение в любом векторном пространстве обозначается /. Линейным многообразием называется аддитивное однородное множество (векторное подпространство) в векторном пространстве. Упорядоченная пара (М, У) линейных многообразий в векторном пространстве Е пазываетсямгиэ д р о мд если Л4 + N = Е. Если, кроме того, A4(W = {0} (т. е. ЕТстГ^лгеораическая прямая сумма М и N), то диэдр (Л4, У) называется расчлененным.
Алгебраическим проектором в Е называется идемпотентное линейное отображение Е в Е. Нуль-пространство и образ алгебраического проектора именно в таком порядке образуют расчлененный диэдр, и это соответствие между алгебраическими проекторами и расчлененными диэдрами является биективным; алгебраический проектор, соответствующий данному расчлененному диэдру, называется алгебраическим проектором, ассоциированным с данным диэдром; мы будем говорить о нем как о проекторе на N вдоль М; если Р ассоциирован с (M.N), то I — Р ассоциирован с (vV, М).
Если S— топологическое пространство, го замыкание множества Wcz S обозначается clsU^ или, если нет опасности смешения, cl W. Подобным же образом пределы в S, или S-пределы, обозначаются Iims.
Если X — нормированное пространство, то норма обычно обозначается || • || или, если это совершенно необходимо, II • Их; исключениями являются функциональные пространства, рассматриваемые в гл. 2. Одномерное нормированное пространство над скалярным полем F идентифицируется с F; соответственно его норма обозначается | • I. Для каждого х е X мы будем писать sgn х = |х|ЬД, если х¥=0, и sgn 0 = 0. Единичный шар {х е А: ||хК1} обозначается через S(Z). Расстояния между точками и множествами в X обозначаются символом d (•, •). В нормированном пространстве все топологические понятия относятся к топологии, индуцированной нормой, если специально не оговорено противное.
Подпространством линейного пространства называется замкнутое линейное многообразие. Диэдр (У, Z) в X замкнут, если Y и Z— подпространства; подпространство Y называется д о п о л н и м ы м, если существует такое подпространство Z (л о п л л и е и и е к У) -..штп (У, Z) является расчлененным замкнутым лиэлро^ио о е. кт о р омназывается ограниченный (т. е. непрерывный) алгебраический проектор. Очевидно, что нуль- пространство и образ проектора образуют расчлененный замкнутый диэдр; если X—банахово пространство, то справедлива обратная лемма (10.В). Действительно, как хорошо известно, из теоремы об открытых отображениях вытекает следующее утверждение.
10.А. Если (У,Z)—расчлененный диэдр в нормированном пространстве X, причем У и Z полны, то алгебраический проектор на Z вдоль У ограничен (т. е. является проектором) тогда и только тогда, когда X полно.
Непосредственным следствием этого утверждения является
10.В. В банаховом пространстве алгебраический проектор, ассоциированный с расчлененным диэдром, ограничен, т. е. является проектором. Подпространство банахова пространства до- полнимо тогда и только тогда, когда оно является нуль-про- странством [образом] проектора.
Если X и У—банаховы пространства, то [А; У] обозначает банахово пространство всех ограниченных (т. е. непрерывных) линейных отображений X в У. Теорема об открытых отображениях позволяет нам называть элементы [А; У] гомоморфизмами, что мы и будем часто делать. Гомоморфизм называется
эпиморфизмом, если он сюръективен (т. е. является отображением на; в этом случае он является открытым отображением), мономорфизмом, если он инъективен (т. е. взаимно однозначен), и изоморфизмом, если он биективен. Если 7 е [X; У] является изометрическим изоморфизмом, то 7 называется конгруэнцией, а про X и У говорят, что они конгруэнтны (относительно отображения 7). Если X— банахово пространство над скалярным полем 7, то мы можем отождествить [7; 7] с 7 и [7; X] с X; [/; 7] есть X, сопряженное к X. [X, X] есть банахова алгебра эндоморфизмов (операторов) на X, и мы будем для краткости обозначать ее X. Элементы этой алгебры, являющиеся изоморфизмами, называются автоморфизмами.
В примерах в качестве банахова пространства X часто берется пространство 1т действительных или комплексных последовательностей, суммируемых в р-й степени, 1 ^р<оо, а также пространство Z°° или /” (подпространство пространства /”, состоящее из последовательностей, стремящихся к нулю). Во всех этих случаях подразумевается, что встречающиеся индексы пробегают последовательность (1, 2, ...}, и мы полагаем ет= ™ (^П1п) “ (бгпп) , Щ = 1, 2, . . . .
Непрерывные выборки
В некоторых пунктах этой главы и еще в некоторых местах этой книги мы используем в качестве инструмента часть геории непрерывных выборок, разработанной Э. Майклом. Мы приведем только те определения и теоремы этой теории, которые потребуются нам. .
Пусть X и У— топологические пространства и 7(У)—класс всех подмножеств У. Функция ср: Х-*Р^ называется курьером1). Курьер ф называется полунепрерывным снизу, если для каждого х е X, каждого уЕф(х) и каждой окрестности V элемента у существует такая окрестность U элемента х, что для всякого z е U мы имеем ф (г) П К=7 0. Н е п р е р ы в н ой выборкой для курьера ф называется непрерывная функция f: X -^У, такая, что f (х) е ф (х) для всех х е X.
Если У — банахово пространство, то 7(У) будет обозначать множество замкнутых выпуклых подмножеств У. Если X и У — банаховы пространства, то [X, У]о будет обозначать подмноже-
ство множества [X, У], состоящее из всех эпиморфизмов X на Y. Эти обозначения не будут использоваться нигде, кроме настоящего параграфа. Следующие теоремы взяты из работы Майкла [1]; мы приводим их в форме, приспособленной для нашего изложения, и с использованием нашей терминологии.
10.С (Майкл [1], лемма 7.1). Пусть X — метрическое пространство, Y— банахово пространство и <р: X-^-F(Y)—полунепрерывный снизу курьер. При любом заданном /.>1 существует такая непрерывная выборка f для ф, что Ц/(х) Ц-^К inf(||y||: у е ф (х)} при всех хеХ.
Для того чтобы получить это утверждение из леммы Майкла, следует заметить, что метрическое пространство паракомпактно и что действительная функция inf(||y||: уЕф(х)} полунепрерывна снизу на X.
10.D (Майкл [1], предложение 7.2). Пусть X и Y— банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем, а Т — эпиморфизм X на Y. Для каждого Х>1 существует непрерывная функция f: Y-^-X, такая, что для каждого ijeY имеют место соотношения Т^(у)—у, ||f (у) ||< X inf (||х||: Тх=у^ и /(ay) =<xf(y) для всех скаляров а.
10.Е (Майкл [1], теорема 7.4). Пусть X и Y—банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем. Для любого Х>1 существует непрерывная функция f: [X, У]0Х Y-* X, такая, что для любых Г е [X, У]о, у е Y мы имеем ТЦТ,у^=у, llf(7', y)|KA.inf {||х||: Тх = у} и ЦаТ, Ру) = а"‘Р/(Т, у) для всех скаляров а, р, а^О.
Заметим, что 10.D является фактически следствием леммы 10.Е (но используется при доказательстве последней). Сами мы используем 10.Е только для доказательства следующей леммы.
10.F Если X— банахово пространство и ^>1, то существует непрерывная функция ло: Х*\{0}->-Х, такая, что х*(ло(х*)) = = ||х*|| и ||л0(х*)||^Х для всех х* е Х*\{0}.
Доказательство. Пусть F — скалярное поле. Взяв Y=F в 10.Е, будем иметь [X;/?]0=Х*\{0}. Положим ло(х*) =f (х*,||х*||). Тогда ло непрерывно, х*(л0(х*)) =x*(f(x*, ||х*||)) =||х*|| и 11ло(х*)||<X inf {[|х||: х*(х) <||х*||} = Д.$,
Углы, расщепления и диэдры
Угловое расстояние и связанные с ним понятия
Всюду в этом параграфе мы будем рассматривать фиксированное банахово пространство X над скалярным полем F. Мы не исключаем явным образом случая A = {0}, но большая часть последующих предложений будет в этом случае бессодержательной, и мы не будем отвлекаться на формулировки утверждений и доказательств, относящихся к этому случаю. Некоторые предосторожности иногда необходимы, здесь и во всей книге, если рассматриваемое подпространство в X совпадает с {0} или с самим X; в наиболее существенных случаях мы принимаем сами соответствующие меры предосторожности (см., например, 10.С), но в менее важных случаях это предоставляется читателю.
Существует несколько способов описания «углового удаления» ненулевых элементов из X друг от друга, которое могло бы заменить евклидово понятие угла между векторами; мы избираем наиболее простое симметричное: если х, у е %\{0X^Fe-«bi определяем угловое расстояние между х и у ка^у[х, yU= = ||sgnх — sgnylt Таким образом, (ГXу [х,у] X 2, и из уфх^у^О следует у = ох для некоторого положительного действительного скаляра а. Фундаментальный факт, относящийся к связи этого понятия с геометрией пространства А, заключается в следующем.
11.А. Для любых х, у е Х\^ мы имеем
у[х, у] • max {|| х II, || у II) ^ 2 || х - у ||.
Доказательство. Вследствии симметрии достаточно рассмотреть случай ||у||^||х||. Положим у = у[х, у]. если II у || ^ X^l —^ Y^ II х ||, то заключение леммы вытекает из неравенства
UII = IX-y + ylKIX-yll + (l ~у v) II ^11-
Если (1—^ у) || х || ^|| у ||^|| х ||, то оно следует из неравенства У || X II = II х - II х II sgn у II = II х - у - (II X II - II у II) sgn у IK <IX-yll44vlXII. &
Следующая лемма о трех углах будет часто использоваться.
11.В. Пусть и, v, к еХ\{0}, и пусть существуют у', у">0, такие, что у[и, ри]>у' для любого скаляра р=£0 и y[Xu + pu, т]> X у" для любых скаляров X, р, не равных одновременно нулю.
Тогда у [и, <w + £w]^-^-•/"¥" для любых скаляров а, р, не равных одновременно нулю; аналогичное утверждение справедливо при замене и на и и у на и. ■
Доказательство. Если а = 0, то -у [u, Ptw] = у [р-'и, к>] ^ у" > > -jVy"; если р = 0, то у [и, аи] ^ у' > у у'у"> так как у'у"^ ^2. Если а, Рт^О, то аи + Риу^О, так как у[аи, — р®] = = у[ — ар-1и, ш]^у">0. Применяя 11.А дважды, будем иметь
у[и, ау рк>] — ц || ыц |;ау + pw ) |,аи + Ри»|!г
1 , II и аи II 1 /*
I IM ||аи+(М.1к 4 Y Y ‘ ^
Если У¥={0} является подпространством в А и хеАХУ, то мы можем положитьу[У, x] = inf(y[z/, х]: уеУ\{0}}> d(y,sgnx)> >0. Это угловое расстояние дает представление о том, как далеко от У расположена прямая, проходящая через 0 и х. Оно будет часто встречаться в сочетании с такими условиями на х, как «х ф У и у[У, х]Ху» для некоторого у>0. Часто более удобно использовать другой вид «условия удаленности», а именно «||х|| ^Xd^Y, х)» для некоторого Х>1; последнее условие имеет то преимущество, что не теряет смысла даже при У={0} или х = 0 (в этих случаях оно удовлетворяется при любом X или соответственно при любом х или любом У). Связь между указанными условиями формулируется следующим образом:
11.С. Пусть У¥={0} является подпространством в X. Если у>0 и х^Х\У удовлетворяет условию у[У, х]>у, то ||х||< < 2у-1(/(У, х). Если X > 1 и хеХ удовлетворяет условию ||х||-<1М(У,х), то или х=0, или хф У и у[У, х] > V1.
Доказательство. Если у[У, х]1>у, то из И.А следует, что для каждого y^Y y||x||<ly[z/, х]||х||<12||х — у\\, так что первая часть утверждения справедлива. Если ||х||-^ Xd (У, х), х¥=0, то d(Y,x)=£0, откуда хфУ и у[У, х] > d( У, sgn х) = ||x||_|d (У, х) > > V. 5, ■
Если У и Z являются подпространствами в X, УП2={0} и У, Z¥={0}, то мы можем положить у[У, Z] = inf {у[у, г]: у Е У\{0}, z е Z\{0}}.
11.D. Если У и Z являются подпространствами в X, УП2 = {0} и У, Z¥={0}, то Y+Z является подпространством тогда и только тогда, когда у[У, Z]>0. Если (У, Z)—расчлененный замкнутый диэдр с У, Z+ {0}, а Р — проектор на Z вдоль У (см. 10.В), то 0<||Р||-'<у[У, Z]<2||P||-‘.
Доказательство. Пусть Р—алгебраический проектор У+Z вдоль У на Z. Предположим, что у[У, Z]>0, и пусть заданы у е У п z е Z, такие, что P(y + z) =z. Если z=0, то P(y + z) =0; если у = 0, то у[У, ZHIPty-l^) || Д 2||z||; если у, гЩД • то в силу 11.А имеем у[У, Z\\\P (y + z) ||< у[у, — zj'lzll^ 2||у + г||. Отсюда следует ограниченность Р, так как ||Д||-< 2у[У, Z]'1. Из 10.А вытекает, что Y + Z полно и, следовательно, является подпространством. Обратно, если Y+Z есть подпространство, то оно полно и Р ограничен вследствие 10.А; и если уе У\{0}, z е Z\{0}, то
Yty, г] >|| Д||-Ч|Р(sgn у — sgn z) || = ЦРЦ-',
откуда у[У, Z] >[|Д||-,>0. Последнее утверждение получается, если положить Y+Z=X. 4-
Расщепления
Пусть У— подпространство в А, а Х>1—действительное число. Отображение q\ XX называется (УД)-р а с щ е п л ен и е м пространства X, если оно удовлетворяет при всех х, у^Х условиям■
х — q (х) е У;
х - у е У =ф q (х) = q (у);
II q (х) |КМ (У, х).
В силу (а), (Ь) и (с) мы имеем для каждого хеХ
qVqW) = у (х),(11.1)
||у(х)||<ДЦУ, у(х)).(11.2)
11.Е. Для каждого подпространства У пространства X и для каждого Х>1 существует непрерывное (У, X)-расщепление.
Доказательство. (Результат тривиален, если не требовать непрерывности.) Пусть Й — канонический эпиморфизм X на фак- торпространство X/У. Из 10.D следует, что существует непрерывное отображение со: Х/У-*Х, такое, что Qco(g)=g, ||w(g) || ^ Х||£|| и со(а^) = асо(е) для каждого ^^Х/У и каждого скаляра а. Положим у(х)=со(Йх) для всех хе А; (а) и (Ь) проверяются непосредственно; ||<7(х)||^Х||Йх|| =Xd( У, х); q непрерывно и удовлетворяет дополнительно условию у(ах) = = ау(х). 4г
Мы покажем, что непрерывные (У, •)-расщепления, которые существуют для всех подпространств У, являются обобщениями на нелинейный случай проекторов вдоль У (т. е. проекторов с нуль-пространством У), которые, согласно 10.В, существуют, только если У дополнимо.
11.F. Если У— дополнимое подпространство в X, а Р— проектор вдоль У, то Р есть непрерывное (_Y, Xs)-расщепление при любых 2i>l, 2v>||P||.
Доказательство. Условия (а) и (Ь) выполняются тривиально, и Р непрерывен. Для любых хеХ
II Рх |] = inf^y|| Р (х — f/) ||^|] Р ||сГ (Г, х). &
Элемент из области значений (У, •)-расщепления вне У\{0} может быть задан произвольно:
11.G. Если У является подпространством bXuzeX удо-' влетворяет неравенству ||z'|^ Xd( У, z) для некоторого Х>1, то для каждого р>Х + 2 существует непрерывное (У, р)-расщепление q пространства X, такое, что q(z) = z.
Доказательство. Вследствие 11.Е мы можем предположить, что z+Q, и, значит, z^ У; пусть у* еХ* является ограниченным линейным функционалом на X, обращающимся в нуль на У и удовлетворяющим условию z/*(z) = l, |]t/*||d(y,z) = 1. Положим v=-^ (ц — Х)> 1. Из 11.Е следует существование непрерывного (У, v)-расщепления, скажем q'. Мы получаем ||z — q'(z) ||^||z|| + + ||/(2)ll< (Z + v)d(y,z).
Для всех хеХ положим q(x) =q'(x) + y* (x) (z— q'(z)). Сразу видно, что q непрерывно, удовлетворяет условиям (а) и (Ь) и что ^(z)=z; наконец,
ll<7WIKk,U)ll + l|y,M(y, x)||z-<7,(z)IK(v + X + v)d(y, х) =
'= pd (У, х). £
Ниже нам потребуется (для доказательства теоремы 41.F) следующий специальный результат:
11.Н. Пусть W и У — подпространства в X, такие, что WcY; пусть q0 есть (IFДо)-расщепление У, a qx есть (УДО -расщепление X. Положим X = Хо + 2-1 + 2,0Х1 и q(x^ =qx(x) +q0(.x— q{ (x)). Тогда q есть (IFД)-расщепление X.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что q удовлетворяет условиям (а) и (Ь) для (IF, • (-расщепления X. Пусть задано хеХ; положим ^,(x) = z, q0 (х — qx (х)) = у, так что q^ = y-Vz. Если || у ||^Хо(1 + 2ь~’) || ^ [], то мы имеем
Шх)ц<(1 +x0(i + V'))klK(i + Ч(! +V'))^!d(r’
<Xd(W, х);
если || у |Ц>Х0(1 + X, ')ll2 Ik то мы имеем
\\q (х) || < XX"1 (1 + X,)-11| у || < X (X--1| у || -1| г ||) <
<Х(й(Г, y^-d<W, z)) ^Х</(ЦУ, ^(х)) = Xd (IF, х). &
Диэдры
Содержание этого пункта потребуется впервые' в гл. 8.
Диэдры были определены в § 10, там были описаны некоторые их свойства. Пусть (Уь У2) является диэдром в X. Если существует х>0, такое, что для каждого хеХ найдутся такие . У, и у2, что Уг е Y{, х=у1+у2 и II у,-|| ^ х||х||, /= 1, 2, то мы будем говорить, что диэдр является раскрытым; нижняя грань (необязательно достигаемая) значений х обозначается х(У,, У2) и называется раскрытием диэдра; заметим, что х (У,, У2) ^-^-. В U.K мы дадим точную характеризацию раскрытых диэдров. । Сначала отметим очевидный факт:
.1. Если (Уь У2)—раскрытый диэдр и Z\ и Z2— линейные многообразия в X, причем Z, zd У,-, г= 1, 2, го (Zi, Z2) есть раскрытый диэдр с x(ZbZ2) х(Уь У2).
Все замкнутые диэдры раскрыты, как это будет показано далее; более точно:
.J. Диэдр (У,, У2) замкнут тогда и только тогда, когда он раскрыт и У1ПУ2 замкнуто. В частности, расчлененный диэдр ■ замкнут тогда и только тогда, когда, он раскрыт.
Доказательство. Мы можем считать в обеих частях доказательства, что У,ПУ2 замкнуто. Пусть Й— канонический эпиморфизм X на факторпространство X/ (У1ПУ2). Тогда (ЙУ,, ЙУ2) является расчлененным диэдром в ЙХ = Х/ (У, П У2) и Йч (ЙУ,) = = У,, 1=\, 2. Пусть П,— алгебраический проектор ЙХ вдоль ЙУ2 на ЙУ, и П2 = / — Пь
Если У,- замкнуты, то они полны и, следовательно, полны йУ;. Из 10.В следует, что Пг ограничены. Для любого заданного хеХ и любого р>1 существует у\ е У,, такое, что Йу, = П1йх, ||у1||-^р||Йу1||^р||П||| ||х||; таким образом, если у2 = х — ух, то мы имеем Йу2 = П2йх е ЙУ2, откуда у2 е У2, ||у2||-^(1 + + р||П|||) ||х||. Следовательно, (Уь У2) раскрыт с х(У,,У2)^ <1 + НП,II.
Если (Уь У2) раскрыт и заданы р>1 и сЕЙ.У, то существует такое хеХ, что Йх = £, ||х||^ р||^||; мы можем положить х = = У| + у2, где yt^Yi, ||//ilK pxllxll, <=1, 2 и х = х(УьУ2). Тогда й//;ейУь Йу, + Йу2 = б; отсюда Й^ = П,-£ и ||П^||-<||//,|К ^p2x||g||, i = 1, 2. Таким образом, П» являются проекторами, а
так как р произвольно близко к 1, то ||П,-||^х(Уь У2), i=L 2. Вследствие 10.В замкнуты ЙУг и К, = Q-1 (£2Уг), i=L 2. 4-
Замечание. Очевидно, что для расчлененного замкнутого диэдра (Уь У2)х(Уь У2) = maxdlPH, ||/— РН}, где Р есть проектор вдоль У1 на У2 (ср. 10. В). Поэтому из 11.D вытекает, что уДН, У2] ^ х(Уь Уа) ^ < 2у-'[У1, У2].
U.K. Диэдр (УЬУ2) является раскрытым тогда и только тогда, когда cl У[Пс1 У2 = с1 (У1ПУ2).
Доказательство. Условие необходимо. Пусть (К, У2)—раскрытый диэдр; положим х=х(Уь Уг)- Пусть х е cl У] flcl У2, е>0, р>1 произвольны. Существуют yt е У,-, такие, что ||х —yjK е, t=l, 2. Но y\ — y2=zx—z2 при ггеУь ||z,-|K ■^рхЦг/i — у2||^2рех, i=l, 2. Пусть теперь ух— zx=y2— г2е е У1ПУ2, ||х — (ух — Z|)|K||x — i/i|| + ||Z|||-< (1+2рх)е. Так как е произвольно мало, то хес1(У1ПУ2). Отсюда ДУ^ДУгС с cl (У|П У2); обратное включение тривиально.
Условие достаточно. Предположим, что cl У|Пс1 У2 = с1 (У1П У2). Так как (cl Уь cl У2) —замкнутый диэдр, то, согласно 11.J, он раскрыт. Положим х = х (cl Уь cl У2), и пусть х е X задано, а р>1 произвольно; тогда х=их+и2, где «;ес1У(, l|ui||-Cpx||x||, 1=1, 2; но (У|, У2) является диэдром и, следовательно, х = 2х + + z2, где г^еУ,, 1= 1, 2. Тогда их — zx= — (и2— z2)ecl У1Пс1 У2 = = с1(У1ПУ2). Следовательно, существует такое уеУ1ПУ2, что f|u, — z, — у|| = ||«2 — z2 + y||^(p — 1)рх||х||. Положимyx=zx + уе е Уь y2 = z2 — v eY2. Тогда х = ух + у2 и 1ЫК||нг-|| + \\ut — z/JK <(1+р—1)рх||х|| =р2х||х||, i=l, 2. Следовательно, (Уь У2) раскрыт и х(Уь У2) ^-х = х(с1 Уь cl У2) (равенство вытекает из 11.1). 4,
Рассмотрим теперь некоторые геометрические свойства замкнутых диэдров (которые в силу 11.J являются раскрытыми).
. Если (УЬУ2)—замкнутый диэдр, то d(Yx[\Y2, ух) ^ <х(Уь У2)7(У2, У1) для любого yxeYx. Аналогичное утверждение справедливо, если индексы 1 и 2 поменять местами.
Доказательство. Пусть Й и П;— те же, что и в доказательстве 11.J. Тогда 7(У1П У2, z/i) = ЦЙ//1Ц = ||П1 (Qi/, — Й//2) II для всех y2eY2, откуда 7(У] А У2, у,) ^||П1||7(ЙУ2,Й1/1) <х(Уь У2) X Х7(У2, 1/1), так как ||П1|Кх(Уь У2), ||Й|| = 1. 4г
11.М. Если (Уь У2)—замкнутый диэдр, Х>1 задано, a qx есть \непрерывное"\ (У1ПУ2, X) -расщепление Уь то отображение q; Х-*Х, определяемое соотношением q (х) =уДуА, где х = = У| + Уг, У г Е У#, 1 = 1, 2, корректно определено и представляет собой ^непрерывное^ (У2, Хх)-расщепление X, где x=x(Yb У2).
Аналогичное утверждение справедливо, если индексы 1 и 2 поменять местами.
Доказательство. Пусть Q и Пг — те же, что и в доказательстве 11. J. Из того факта, что qx обладает свойствами (а) и (Ь), вытекает, что существует единственное отображение со,: ПУ, —» -*YX, такое, что qx (у^ = mx(Qyd и Qco, (Qz/,) = Qz/, для всех yxeYx. Легко видеть, что со, непрерывно тогда и только тогда, когда qx непрерывно. Отсюда следует, что для фигурирующего в формулировке предложения q имеем q (х) = со, (II,Qx), так что q корректно определено и непрерывно, если непрерывно qv Далее, х — q (х) = у2 + (у, — qx (yx))^Y2. Если х1 — х2еУ2, то мы имеем z/{ — у2 = (х1 — х2) — (z/^ — у|)еУ, П У2, откуда q(х1) = qx (у{) = = у1(у2) = <7(х2). Используя 11. L, получаем || q (х) || = || qx (у,)|| < <М(У| fl У2, y1)<W(y2, y1) = W(y2, х). £
Спаренные пространства
Спаренные пространства
Пусть X и X'— банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем F, и пусть (•, •): ХуД'F— билинейный функционал. Для произвольных множеств V cz X, V' с X' мы определяем, как обычно, поляры равенствами
У° = (УеД; Re(x, х') ^ 1 для всех хеЕ},
V'0 = {хе/: Re(x, х') ^ 1 для всех x'eV'Y
Мы будем говорить, что X и X' с п а р е н ы (посредством (•, •)), если их единичные шары удовлетворяют условию
2(Х)° = 2(Т), 2(^)° = 2№,(12.1)
другими словами, если для каждого хеХ и каждого х'еХ'
||x'|| = sup(|<y, х')|: уе^(Х)},
II х [| = sup (|<х, у')\: у' eSW).(12.2)
Если X и X' спарены указанным образом, то X' и X будут, конечно, спарены посредством транспонированного функционала, так что мы можем и будем называть неупорядоченную пару X, X' спаренной посредством нашего функционала и будем рассматривать порядок только как способ различения аргументов функционала.
Из (12.1) и (12.2) следует сразу, что | (х,х') |<||х|| Цх'Ц для всех х Е X, х'^Х', что функционал (•, •) непрерывен и что A^fO}, Х'° = {0}, так что X ^ X' образуют пару пространств, находящихся в двойственности относительно функционала (•,•) В смысле Бурбаки [1] (стр. 195). Если F — поле комплексных чи-
сел, то стандартное рассуждение показывает, что X и X' спарены посредством (•,■) тогда и только тогда, когда соответствующие действительные пространства спарены посредством Re (•, •).
Самым ярким примером спаренных пространств являются, конечно, произвольное банахово пространство X и его сопряженное X, спаренные посредством «канонического функционала» или функционала «вычисления» (х, х*) =х* (х). Где бы и в каком бы порядке не встретилась пара пространств X, X*, всегда будет подразумеваться, что они спарены посредством этого функционала. .
Если X и X'— банаховы пространства, спаренные посредством (•, •), то отображение Ф': Х'-*Х*, определяемое равенством Ф'х'=(-,х'), является, как это следует из первых соотношений в (12.1) или (12.2), конгруэнцией на некоторое подпространство в X*, а вторые соотношения в (12.1) или (12.2) означают, что Ф'Х' есть подпространство характеристики 1 в X* в терминологии Диксмье [1] (дуксиальное подпространство в X*, по Растону [1]). Те же замечания относятся к отображению Ф: Х->Х'*, определенному равенством Фх = (х, •). Если X рефлексивно, то Ф' и Ф необходимо являются отображениями на все пространство и с точностью до конгруэнции X' совпадает с X*, а X с X'* (Растон [1], стр. 580). Позже мы вернемся к этому частному случаю.
Начиная отсюда всюду в этом параграфе X и X' будут всегда обозначать пару банаховых пространств, спаренных посредством заданного билинейного функционала (•,•). Как обычно, мы обозначаем через о(Х, X') и с(Х', X) слабые топологии в X и X' соответственно, индуцируемые спаренным пространством (Бурбаки [1], стр. 197). В частности, если Х'=Х*, то это соответственно слабая топология в X и слабая* топология в X*. Ясно, что для любого множества V с X множество V0 является д(Х', X)-замкнутым, и если V выпукло и уравновешено (т. е. симметрично или закруглено, в соответствии с тем, является ли поле F действительным или комплексным), то V00 является своим о(Х, X')-замыканием (Бурбаки [1], стр. 199).
Рассмотрим заданный оператор А е X. Непосредственным следствием определения и простейших свойств слабых топологий (Бурбаки [1], стр. 251) является тот факт, что оператор А'е (Х')~, такой, что (Ах, х'-) = (х, А'х'^ для всех х е X, х'е X'. существует тогда и только тогда, когда А непрерывен в топологии о(Х, X'), причем тогда этот сопряженный1) оператор определяется единственным образом.
Точно так же Д' существует тогда и только тогда, когда Ф'Х' инвариантно относительно оператора А, алгебраического сопряженного1) к А, и тогда Д'х' = Ф'-1Д*Ф'х'. Сопряженный оператор удовлетворяет условию ||Д'|| = ||Д|| и непрерывен в топологии а^Х^Ху Отображение Д^-Д' является линейным и изометрическим, и А есть сопряженный к А' относительно транспонированного спаривания. Если для А существует обратный оператор, то существует обратный оператор и для Д' (Бурбаки [1], стр. 253—254) и Д' ^(Д-1)'. Заметим, что если Х'4=Х*, то каждый оператор Д еЯ обладает сопряженным оператором А' = А*.
Подпространства
Если У— линейное многообразие в X [в Х'], то его поляра У0 представляет собой в точности его аннулятор относительно спаривающего функционала. Если У=У00, т. е. если У о(Х,Х')- замкнуто [а(X', X)-замкнуто], то мы будем говорить, что У (в этом случае необходимо замкнутое, т. е. являющееся подпространством) есть насыщенное подпространство. В частности, У0 всегда насыщено. Если Х' = Х*, то каждое подпространство в X насыщено.
Рассмотрим некоторое подпространство У пространства X, и пусть Й': Х'^-Х'/У0 — канонический эпиморфизм на фактор- пространство. Билинейный функционал ((•,•)): Ух (Х'/У°)->F, определяемый соотношением {{у, Й'х')) = (у, х1), является, очевидно, корректно определенным. Используя обозначение <°) для поляр относительно этого функционала, будем иметь 2(У) = = 2 (X'/У°)(°), 2 (Х'/У°) с 2 (У)<0); последнее включение эквивалентно неравенству
d(Y°, х') ^ sup (| (у, х') |: уЕ1(У)} для всех х'еХ'. (12.3) Если это включение является равенством, или, что то же, если (12.3) есть равенство для всех х', то мы будем говорить, что У обладает свойством строгой спарен ноет и. То же самое можно выразить иначе, сказав, что У и Х'/У° спарены посредством функционала ((•, •)). Более общим образом, если существует такое число Sy>0, что 2 (У)(°) с sy2 (Х'/Уо), т. е. что d(Y°, х') ^ sK sup (| (у, х') |: уе2(У)} для всех УеХ', (12.4) то мы будем говорить, что У обладает свойством квази- строгой спаренности. Значения Sy, для которых имеет место включение или неравенство (12.4), имеют минимум. Мы будем всегда предполагать, что само Sy и есть этот минимум. Тогда Sy^l, а случай Sy = 1 соответствует свойству строгой
спаренности. Так как уооо=уо, если у обладает свойством квази- строгой спаренности, то этим же свойством обладает У000 и Syo. -^ Sy.
Наиболее важный общий тип подпространств, обладающих свойством строгой спаренности, описывается следующей леммой.
12.А. Пусть X— произвольное банахово пространство. Для спаренных пространств X и X* каждое подпространство в X и каждое насыщенное (т. е. слабо * замкнутое) подпространство в X* обладают свойством строгой спаренности.
Доказательство. Для каждого подпространства У пространства X подпространство У* конгруэнтно X*/ У0, а (А/У)* конгруэнтно У0 относительно естественных отображений. Таким образом, У и X*/ У0 спарены, а для насыщенного подпространства Z а X* таковыми будут Z=Z№ и X/Z0. $,
Замечание 1. В общем случае если X не рефлексивно, то могут существовать ненасыщенные подпространства в X*. которые не обладают даже свойством квазистрогой спаренности. Действительно, подпространство Z пространства X* обладает этим свойством при некотором sr > О тогда и только тогда, когда Z имеет характеристику Sy1 > Опо отношению к Z00 (Диксмье [1], теорема 7'). Диксмье [1] приводит пример (для X = 1^ слабо * плотного подпространства в X*, которое имеет характеристику 0 и потому не обладает свойством квазистрогой спаренности.
Замечание 2. В лемме 12. А утверждается, что для двух данных спаренных пространств X и X* каждое насыщенное подпространство каждого из пространств обладает свойством строгой спаренности. Вопрос о том, будет ли справедливым такое же или, может быть, более слабое утверждение относительно свойства квазистрогой спаренности для пары произвольных банаховых пространств, остается открытым.
Оставшаяся часть этого пункта посвящена диэдрам и не потребуется вплоть до гл. 8.
12.В. Пусть У и Z— линейные многообразия в X. Тогда и только тогда (Y,Z) и (Y°,Z°) являются оба диэдрами в X и X' соответственно, когда существует о(Х, X') -непрерывный проектор Р в X, такой, что PX = Z, (I— P)X = Y. В этом случае оба диэдра являются расчлененными, У и Z являются насыщенными подпространствами и У, Z, У0, Z° обладают все свойством квазистрогой спаренности.
Доказательство. Если (У, Z) и (У0, Z0)—диэдры, то У00 Л П/°о= (y° + Z°)°=А/0 = {0}, y°° + Z00 дэ Y + Z = X, Y0RZ° = (Y+Z)° = = Х° = (0), так что (У00, Z00) и (У0, Z0) являются замкнутыми расчлененными диэдрами. Так как УсУ00, Z с Z00, то должно иметь место равенство, т. е. У и Z являются насыщенными подпространствами и (У, Z) есть замкнутый расчлененный диэдр. Пусть Р — проектор X вдоль У на Z и Q — проектор X' вдоль
Z° на У0. Для любых хеХ, х'еХ' мы имеем (Рх, (/ — Q)x') = = ((/ —Р)х, Qx')=0, откуда ^Рх, х') = {Рх, Qx') = (х, Qx'\ Другими словами, Q — P', где Р' — сопряженный оператор. Отсюда, как это доказано в предыдущем пункте, следует, что Р является <т(Х, Л")-непрерывным оператором.
Обратно, предположим, что существует фигурирующий в формулировке предложения проектор Р. Тогда, очевидно, (У, Z) является замкнутым расчлененным диэдром, сопряженный оператор Р' существует и является проектором в X'. Мы проверяем непосредственно, что P'X'=Y°, Ц' — Д') Л"=2°, откуда следует, что (У0, 2°) является замкнутым расчлененным диэдром.
Докажем, что Z обладает свойством квазистрогой спаренно- сти. Для других пространств доказательства аналогичны. Пусть задано х' е X'. Мы имеем
d (Z°, х') <Ц Р'х' || = sup { | (х, Р'х') |: х е 5 (2)} = = sup {| (Рх, х') |: х е 5 (2)} < <sup{|(y, х')1: уе||Р||2(У)} = = IIP II sup (| (у, х')\: y^^(Y)},
так что утверждаемое свойство имеет место при 5z^l|P||. ^
Если (У, 2)—диэдр, удовлетворяющий условиям, сформулированным в лемме 12.В, то мы будем называть его (Х.Х^-рас- члененным. Тогда диэдр (У0, 2°) является (X', X)-расчлененным. Непосредственным следствием леммы 12.В, представляющим интерес в связи с вопросом, поставленным в сделанном выше замечании 2, является следующее утверждение:
12.С. Если У — подпространство пространства X, являющееся нуль-пространством или образом о (Х,Х')-непрерывного проектора, то У обладает свойством квазистрогой спаренности.
В наиболее важных случаях определение (X, X')-расчлененности может быть упрощено:
12.D. Диэдр (Y,Z) в пространстве X является (X, X*)-расчлененным тогда и только тогда, когда он расчленен и замкнут. Диэдр (Е, IE) в пространстве X* является (X*, X)-расчлененным тогда и только тогда, когда он расчленен, а подпространства Е и IE насыщены, т. е. слабо * замкнуты.
Доказательство. Часть «только тогда» следует из 12.В. Предположим, что (У,2)—расчлененный и замкнутый диэдр. Тогда проектор Р вдоль У на Z, так же как и любой оператор, слабо непрерывен, т. е. о(X, X*)-непрерывен.
Предположим, что (Е, IE) — расчлененный диэдр, а Е и 1Е насыщены. Положим У=Е°, 2 = 1Е°. Тогда У и 2 будут подпространствами в X, причем У°=Е, 2°=1Е, УЛ2= (Е+ 1Е)° =
= Х*° = {0}. Пусть Q — проектор в X* вдоль Xй на У0. Далее рассмотрим линейное многообразие U= Y + Z с X, и пусть R — алгебраический проектор U вдоль Y на Z. При каноническом мономорфизме XF: XX** проектор R становится сужением на ^VU алгебраического сопряженного к Q проектора Q*. Поэтому R ограничен. Так как Y и Z полны, то из 10.А следует, что (7 полно и, следовательно, является подпространством в X. Но тогда У+2 = Д = Доо= (У + 2)00= (У0П2°)0 = {0}0 = Х, так что Q = R* слабо* непрерывен, т. е. о(Х*, X)-непрерывен. 4г
Замечание. Показано (см. например, Шеффер [3],VII, пример 2.1), что для произвольных спаренных банаховых пространств X и X' расчлененный диэдр (У, Z) в пространстве X с насыщенными У и Z не обязательно должен быть (X, X')-расчлененным.
Выборки и расщепления
Приведем две леммы, касающиеся существования некоторых непрерывных отображений.
12.Е. Для любого Х>1 существует непрерывная функция л: Х'\{0}->Л, такая, что (л(х'), х') = |]х'|| и |]л(х') ||-СХ.
Доказательство. Рассмотрим отображение ло: Х*\{0}-*Х, определенное в 10.F. Положим л (х') =ло(Ф/х') и используем тот факт, что Ф' является конгруэнцией. 4г
12.F. Пусть У — подпространство в X, обладающее свойством квазистро- гой спаренности, а ц > 1 — действительное число. Для любого X > 1 и для любых х'еХ', Цх'КХ ' d(Y°, хЦ существует непрерывное (У, n(l + XsY))-расщепление гЦ-; х'1) пространства X, такое, что (г(х; х’)х') = 0 при всех х е X.
Доказательство. Пусть q— произвольное (У, ц^2)-расщепление X (11.Е). Если х' = 0, то положим г(х; 0) = q(x); условия утверждения будут удовлетворены, так как ц1,,2< p(l+XsY). Если х'Д=0, то мы должны иметь х'е У0. Из того факта, что выполнено (12.4), следует существование такого у е У, что (у.х') = 1, ||у||с?(У°, х') ^ ц ^Syl (у, х') | = p'^sy. Положим Цх;х') = = q(x)— (<?(x),x')y. Очевидно, что расщепление гЩ;х') непрерывно и удовлетворяет условиям (а) и (Ь) для (У, •)-расщепления. Таким образом, i(r(x;x/),x/) = ^q(x),x'} (1 — (у, х') ) = 0.
Наконец,
'V(x; х')||<|]q (х)||(1 +||у||||х'||) <
< Ц А (1 + Хц’^Ду) d (У, х) ^F (1 + Xsy) d (У, х). 4, Замечание. Слегка модифицированная форма утверждения 12.Е позволила бы нам показать, что в 12 F у может быть выбрано непрерыв- ной'функцией от х'^ У0, так что отображение г: X X (Х'\У°)->-Х непрерывно. Эта дополнительная информация далее нам не потребуется.
Рефлексивные пространства
Для удобства читателя, и в особенности читателя, не склонного платить за максимальную общность дополнительными техническими осложнениями, мы опишем в этом пункте тс
упрощения, которые получаются, когда каждое из спаренных банаховых пространств рефлексивно. Мы уже отмечали, что если X и X' спарены и X рефлексивно, то Ф' является конгруэнцией X' на X*, так что X' также рефлексивно. Поэтому мы можем и будем в дальнейшем ограничиваться случаем спаренных пространств X и Л"*, причем X и X** отождествляются.
Топологии о(Х,Х*) и о(Л"*,Л") являются просто слабыми топологиями в X и X' соответственно. Любой оператор АеХ имеет сопряженный А'=А*; то же самое справедливо для каждого оператора из (X*)' .
Каждое подпространство в X или в Л"* является насыщенным. Каждое подпространство в X и в X* обладает строгим и тем более квазистрогим свойством спаренности (12.А). Если Y и Z— линейные многообразия в X, то (У, Z) и (У0, Z0) тогда и только тогда являются оба диэдрами, когда один из них является рас- : члененным замкнутым диэдром, и в этом случае таковыми являются они оба (12.В и 10.В). Поэтому диэдр (У, Z) является (X, А*)-расчлененным тогда и только тогда, когда он расчленен и замкнут.
Класс всех подпространств банахова пространства
Две метрикиI
В этом параграфе мы опишем два способа наделения топо- ! логической и метрической структурами класса всех подпрост- । ранств банахова пространства и тс свойства этих структур, ко- । торые являются существенными для наших целей. Мы будем следовать в основном работе Берксопа [1], к которой мы и от- , сылаем читателя за подробностями. Содержание этого параграфа будет впервые использовано в гл. 7.
Рассмотрим фиксированное банахово пространство X и классы S(Z), Ес(А) всех его подпространств и всех их дополнительных подпространств соответственно.
В соответствии с нашим первым понятием «близости» элементов Е(Х) два подпространства X близки между собой, если одно из них может быть отображено на другое с помощью автоморфизма (обратимого оператора) в X, который близок тождественному. Более точно, если У, ZgE(Z), то обратимый оператор СеЯ называется допустимым (для У, Z), если CY = = Z. Определим функцию
г0(У, 2) =г0(У, 2) =11в противном случае.в противном случае.inf {|| С — I1|: С допустим }, если существует допустимый автоморфизм,
г0(У, 2) =
г0(У, 2) =
1
1
в противном случае.
в противном случае.
Фундаментальную систему окрестностей «точки» У должны тогда составлять такие Z, для которых г0(У, Z)<e. Мы покажем, что таким образом определяется топологическое пространство и даже метрическое пространство,
' 13.А. Для любых У, ZeE(X) мы имеем гД¥, Z) <С 1; ir0(Y,Z)— r0(Z, У) |^г0(У, Z)r0(Z, У); г0(У, Z) = 0 тогда и только тогда, когда У = Z. Для любых У, Z, ЕеЕ(А) мы имеем го(У, V) Го< У. Z) + r0(Z, V) +r0(Y, Z) fo(Z, V).
Доказательство. Случаи, когда один из допустимых автоморфизмов не существует, тривиальны, и их можно не рассматривать. Если С допустим для У, Z, то таковым является и УС для каждого скаляра Х=А0, так что гй(¥, Z) ^lim||ХС — /|| = 1. Если х-»о
г0(У, Z)<1, то существует допустимый автоморфизм С для У. Z, такой, что ||С-/||<1. Тогда r0(Z, У) ^НС"1 — /К||С — /|| X Х(1—||С— /Ц)"1. Взяв нижнюю грань, мы получим r0(Z, У) —• ■—г0(У, Z) < г0(У, Z)r0(Z, У), что и подавно справедливо, если г0(У, Z) = l. Поменяв местами У и Z, мы завершим доказательство первой части.
Если y = Z, то допустимым является / и гД¥, Z)=0. Обратно, предположим, что г0(У, Z) =0. Тогда существует последовательность (С„) допустимых автоморфизмов, такая, что Нт Сп=1.
Для любых (/еУ имеем CugeZ для каждого п. Так как Z— подпространство, то у = lim Cny^Z. Поэтому У с Z. Но выше доказано, что r0(Z, У)=0, откуда 2сУ, и имеет место равенство.. ..
Если С] и С2 допустимы для У, Z и Z, V соответственно, то C2Ct допустим для У, V и ||С2С] — /|| = || (Ci — /) + (С2 — /) + + (С2-/)(С,-/)|| < ||С, —/|| + ||С2-/|| +||C1-/||J|C2-/||. Взяв нижние грани, получим требуемое неравенство. ^
Положим г(У, Z) = max {г0(У, Z), r0(Z, У)}. Из 13.А следует, что In (I + г (У, Z)) есть метрика на Е(А). Введем более естественную эквивалентную метрику, а именно
д(У, Z) = inf( 2 rWb V^Y п = 1, 2, ...;
'■ У^З^, i —Vo=¥,vn = z^. (13.1)
Очевидно, функция 6 симметрична и удовлетворяет неравенству треугольника. Далее,■
п-1п-1
2г(Уь V/+1)> Sln(l+r(Ez, Ei+I))>ln(l + r(y, Z)),
1 = 0i=o•
так что из 6(У, Z) =0 следует У = Z и 6 является метрикой. Функция u-1ln(l + u) убывает при 0<и-^1. Поэтому для любых У, Ze В(Х)
6(У, Z)ln2<r(y, Z) In 2 ^1п(1 +г(У, Z))^,
^6(У, Z)^r(y, Z)^ 1.(13‘2)
Так как в силу 13.А из г0( У, Z) <е< 1 следует г(У, Z) <е(1 — е)-1, то мы можем подвести итог:
Функция б, определенная равенством (13.1), является метрикой на Е(Х), эквивалентной метрике 1п(1+г) и удовлетворяющей условию (13.2). При этом база индуцированной равномерной структуры состоит из множеств вида {(У, Z): Го(У, Z) < <е}, где е>0.
Замечание. Если г удовлетворяет неравенству треугольника, то 6 = г.
Метрическое пространство, определенное на В (X) метрикой д, обозначается через В (X, 6), а метрическое пространство, определенное на Ее(Х), — через ВС(Х, 6) (ср. 13.G).
.С. Н(Л, 6) полно.
Так как это свойство нам не потребуется, то мы отсылаем читателя за доказательством к работе Берксона [1], теорема (4-1).
Другое понятие «близости» можно определить в терминах хаусдорфова расстояния между замкнутыми ограниченными множествами (см. Куратовский [1], стр. 223—224). Для любых таких множеств М и N это расстояние определяется формулой
А(М, К) = max {sup d (М, х), supt/(M, х)}.xeNхеМ
Введем метрику на Е(Х) с помощью хаусдорфова расстояния между единичными шарами:
6'(У, Z) = А (2 (У), 2(Z)) =
= max {sup {d (2 (У), zy. z eX(Z)), sup (d (2(Z), у): ^е2(У)}}^
<1.(13.3)
Метрическое пространство, определенное на В(Х) метрикой д', обозначается через В (X, 6'); аналогично определяется ЕС(Х, 6').
.D. Е(Х,6') полно: если (УД есть ^'-последовательность Коши в Е(Х) и У = {Пт уп: (у^ — последовательность Коши, упе.У^, то У еВ(Х) и lim 6'(У, УД = 0.
П->оо
Доказательство. Очевидно, что У является линейным многообразием. Далее, (2(УД) есть A-последовательность Коши. Так
как X — полное пространство, то из основной теоремы о хаусдорфовых расстояниях (см. Куратовский [1], стр. 415) следует, что она имеет A-предел M = {lim ип: («„) —последовательность
П->оо
Коши, и„е2(У„)}. Так как lim|| уп || = || Игл уп || для последова- П-> ООП-> ОО
тельности Коши и так как М замкнуто, то мы имеем М = 2(У), и У является подпространством, a lira 6' ^У, У„)= lim А (2 (У),
П->ооП->ОО
2(У„)) = 0. 4,
Если У, Z еЕ (X), У с Z, У =^ Z, то У (У, Z) = 1. В частности {0} и X изолированы в Е(%, 6').
Доказательство. Пусть дано xeZ\y. Для любого X > 1 существует такое yeY, что ||х— у||^<Kd^Y, х) =Xd(Y,х — у). Тогда sgn (х — у) е 2 (Z) и.
d^W, sgn(x - y^>d(У, sgn(x-y))>>||х-у|Г'^(У, х-у^Х"1.
‘ Так как Х>1 произвольно, то требуемое утверждение следует из (13.3). 4-
Связь между б и д' описывается следующей леммой:
13.F. Для любых Y,Ze Е(Х) имеем б'(У, Z) -^26(y,Z). Равномерная структура и топология в Е (X, 6) сильнее, чем равномерная структура и топология в Е(X, д').
Доказательство. Мы утверждаем, что
У (У, Z)<2r(y, Z).(13.4)
В силу (13.3) достаточно доказать это для г(У, Z)<1. Пусть СеХ допустим для У, Z. Далее У={0} тогда и только тогда, когда Z = {0}, а в этом случае (13.4) тривиально. Поэтому мы будем предполагать, что У, Z¥={0}. Для любого у е 2 (У)\{0), согласно И.А, имеем
d£(A у) ^1111 у llsgn(Су)-у || ='
.=11Уllv[Cy, y]<2||(C-/)y||^2||C-Z||.
Взяв верхнюю грань левой части и нижнюю грань по допустимым С в правой части, получим
sup{d(2(Z), у): уе2(У)}^2г0(У, Z).
Меняя местами У и Z и используя (13.3), получаем (13.4). Применяя (13.1) и (13.4) к Vt и Vw и используя тот факт, что 6' есть метрика, находим, что б'(У,Z)-<2б(У,Z). 4г
3е.
Дополнимые подпространства
Исследуем теперь свойства ЕС(Х) как подмножества в Е(Х,д) и E(Z,d') и сравним структуры Ес(Х,д) и Ес(Х,д').
13.G. Множество ЕС(Х) открыто и замкнуто в E(Z,d): из д(У, Z)<1 следует, что либо оба подпространства У и Z допол- нимы, либо оба они не дополнимы. Если Y, Ze EC(Z), то
д (У, Z) ^ г (У, Z)< inf {|| Р - Q ||: P,Q- проекторы, РХ = Y,QX = Z}.
(13.5)
Доказательство. Если 6 (У, Z) < 1, то существует конечная п-1
последовательность Vo=E, •■•, Vn = Z, такая, что 5 г (V;,
Е1 + |)< 1. Поэтому существует допустимый автоморфизм С, для V/, К+1, а отсюда следует, что либо все У; являются дополни- i мыми, либо ни одно из них таковым не является.
‘ Пусть Р и Q— описанные выше проекторы. Из 10.В следует, что они существуют. Достаточно рассмотреть случай, когда ||Р— QII<1. Тогда С=1—P + Q, D — I + P — Q обратимы и CY = = QYeZ. Легко проверяется, что £>(/— Р) = (I— Q)C, так что (/ — P)C~iZ = D-'! (/ — Q)Z = {0}, откуда C^'ZcY. Следовательно, CY=Z, и г0(У,Z) <С||С— /|| = ||Р— QII- Меняя местами У и Z, получаемт(У,Z)-^||Р— Q||. Из (13.2) следует теперь (13.5). 5,
13.Н. Пусть дано У е ЕС(Х) и У#={0}, X. Пусть Р— произвольный проектор вдоль У. Если ZeE(X), 6'(У,Z) < <min{||P||'1, ||/ —РЦ"1}, то ХеЕДХу Образ проектора Р'есть дополнение к X, а проектор Q вдоль X на образ Р удовлетворяет неравенству
|| Q- Л II ^21| P\\\\I-PW(Y, Z)(l -HP ||6'(У, Z))-1.
Доказательство. Так как ЦР||> I, то д'(У, Z) < 1 и вследствие
Z¥={0}, X. Положим V = PX. Покажем сначала, что ZQE= = {0}. Если хе (ZAE)\{0}, мы имеем
д' (У, Z) > d (2 (У), sgn х) > d (У, sgn х) > || Р ||“1,
что абсурдно.'
Покажем теперь, что Z+E замкнуто. Пусть даны z е Z\{0}, и е Е\{0). Тогда
■ У [z, v] ^ d (У, sgn и — sgn z) ~^d (У, sgn и) — d (У, sgn г) ^ .
,>11Р1Г'-д'(У, z).•
Взяв минимум, получим.'
(13.6)(13.6)'y[Z, И] ^11 Р1Г1-6ЧГ, Z)>0.
(13.6)
(13.6)
Из 11.D следует, что Z+V замкнуто.
Теперь мы утверждаем, что YcZ+V. Предположим, что это неверно. Так как Z-V-V есть подпространство, то УА(2 + У) есть собственное подпространство в Y. Для каждого л>1 существует (ср. доказательство 13.Е) элемент уЕУ\{С}. такой, что ||г/||^ < ?Д(УА (Z + I/), /у). Поэтому существует z е Z, такое, что ||z/-zKX6'(y,Z)||< Но H-P^ze^Y, (1 — P)z=z — Pz^ eZ+V, так что
||//||^M(yA(Z + I/), y)^X||z/-(/-P)z||^
^Х|Г/-Р1111у-2|№2||/-Р||б'(У, Z)||t/|l.
Так как ||/— Р||дЛ(У,Z) < 1, то, соответствующим образом выбирая Х>1, можно прийти к противоречию, что и доказывает наше утверждение.
Пусть теперь X = Y +V a Z + V cl X, так что выполняется равенство и (Z, I/) есть расчлененный замкнутый диэдр, и пусть Q — проектор вдоль Z на V. Из (13.6) и 11.D следует
||Q||^2|| Р ||(1 — ||Р||д'(У, Z))-’.(13.7)
Так как V есть общий образ Р и Q, то мы.имеем QP = P. Пусть дано х е X. Так как (/ — А)хе У, то для каждого Х>1 существует элемент z е Z, такой, что ||z—(/ — Р)х||^
Хб'(У, Z) I! (/ — Р)х||. Так как Qz = 0, то мы имеем ■
|| (Q-P)x|| = ||Q(/-P)x'| = ||Q(z-(/-P)x) ||<
<X||Q||||/-P||6'(y, Z)||xl|.
Последняя часть утверждения следует из (13.7) и того обстоятельства, что Х>1 и х выбирались произвольно. j,
3.1. Множество ЕС(Х) открыто в Е(Х,б'). Топологии ЕС(Х, б) и Е<(Х, д') совпадают. ■
Доказательство. Элементы {0} и X изолированы в Е(Х, д') (13.Е) (и тем более изолированы в Е(Х,б) (13.F)), а значит, являются б'-внутренними точками множества Е(Х). Все другие УеЕДХ) являются б'-внутренними точками этого множества вследствие 13.Н, так что это множество открыто в Е(Х, б'). Для любого такого У и для любого проектора Р вдоль Y неравенство Л'(У, Z) <min(||P||-1 ,|| / — /JI"’} влечет вследствие 13.Н и 13.G неравенство б(У, Z) <2||Р|| Н/ — Р||б'(У,Z) (1 -^[|Р|[б'(У, Z))-1. Полому топология Е(¥, б') сильнее топологии ЕДХ, б). Обратное m ношение следует из 13.F. 5,‘'
Дж. Линденштраус привел (в частном сообщении) весьма простой пример банахова пространства X, для которого 5С(Х) не замкнуто в 3(Х, о'). В силу 13.G топологии В(Х, д) и 3(Х, 6') не совпадают. Далее, так как ЕС(Х,6)—полное пространство (13.С, 13G), а 3С(Х,6') таковым не является, то равномерные структуры этих пространств не совпадают, несмотря на 13.1
Класс всех замкнутых диэдров
Замкнутые диэдры в X образуют подмножество в прямом произведении Е(Х)ХЕ(Х). Мы намерены показать, что это множество открыто в топологии произведения, когда Е(Х) наделено любой из метрик 6 или 6'.
.J. Множество Н(Х) всех замкнутых диэдров в X и подмножество До(Х) всех расчлененных замкнутых диэдров оба открыты в Е (X, 6') ХЕ (X, б'), и тем более в Е (X, б) X Е (X, б). Раскрытие х(-, •) непрерывно на Н(Х), а угловое расстояние у[ •, •] непрерывно на HQ(X} без диэдров ({0}, X), (X, {0}) в любой из индуцированных топологий. ,
Доказательство. 1°. Так как топология, индуцированная метрикой 6, сильнее топологии, индуцированной д', то достаточно рассмотреть последнюю. Начнем с множества Н(X).
Пусть задано О^Л^ЩХ). Положим х0 = х(У0, Хо), и пусть е таково, что О<2хое<1. Рассмотрим произвольный фиксированный диэдр (У, Z) е Е (X) ХЕ(X) с б'(Уо, У)+d'(Z0, Z) <^ е. Покажем, что (У, Z) еЯ(Х), так что Н(X) открыто в Е(Х,б')Х ХЕ(Х, д'). Пусть р>1, но 2р2хое<1.
Мы утверждаем прежде всего, что для любого хеХ существуют уе У и zeZ, такие, что
Це/Il, ||z|K pxollxll, ||х—(y + z)|| <р2хое||х||.
Действительно, по определению х0 существуют у^ е Уо и ZoeZo, такие, что t/0 + z0=x, Ilz/oll. llzoll<рх0||х||. По определению 6' существуют ueY и zeZ, такие, что ||z/lKl|i/oll. |lz|K||zol|, ||t/ —t/oll + 4-||z — z0|K ре max{||y0|l, ||z0||} < p2xoe||x||. Эти у и г удовлетворяют нашим требованиям.
2°. Покажем теперь, что (У, Z) является (замкнутым) диэдром, и оценим его раскрытие. Пусть задано хеХ. Построим по индукции последовательности (хп) в X, (у„) в У и (z„) в Z следующим образом: х0 = х; если хп_х уже построено, то предыдущая часть доказательства гарантирует возможность выбора упе¥, гпеХ в хп = хп_х — (уп + г„) таким образом, что ||уп||, 1|г„1КрХо11х„-11|, || хп ||^р2х0е || xn-i ||. По индукции II х„ || < (р2х0е)"|[ х ||, || уп ||, || z„ || < рк0 (рЧеГ"1|| х ||. Так как р2к0е <
(
п\ / п\
У и. , У z, являются последовательностями Коши i v \i)
в подпространствах Y и Z соответственно; пусть у е Y и ге Z — II и
их пределы. По определению (х„) имеем х — У (yi + z^ = = II я„+1 ||^(р2хое)п+1||х ||-»0 при п -» оо, так что y + Z = x. Следовательно, (У, Z) есть замкнутый диэдр. Таким образом,
IIУII, II2II ^ рх0 2 (р2Хов)"|| X II = рх0(1 - р2х0е)~‘ II х II. о
Так как р произвольно близко к 1, то мы имеем х = х(У, Z)^ х0 (1 — хое)-', или х —хо^хохе.
1 — I 2
Но хе^хое(1 — хое) <~ = 1- При р> 1, таком, что р2хе< 1, "2 предыдущее рассуждение можно повторить, поменяв местами (Уо, Zo) и (У, Z). Мы получаем, таким образом, что х0 — х^ххое; объединяя это неравенство с предыдущим результатом, видим, что
’Ix-'-xo-’l^e.
Отсюда ясно, что раскрытие х(-, •) непрерывно на Н(X) в топологии, индуцированной У. *
3°. Чтобы доказать утверждение относительно Нд(Х'), мы докажем фактически немного больше. Пусть Н'(Х)—подмножество в H(X)XEW, состоящее из всех пар (У, Z), таких, что yriZ = {0}, У, Z#={0} и У + Z замкнуто. По 1I.D последнее условие может быть заменено на у[У, Z]>0. Покажем, что Н'(Х) открыто и у[ •, •] непрерывно на нем в топологии, индуцированной У.
Пусть задано (Уо, Zo) е Н'(Х). Положим уо=у[Уо, Zo], и пусть е таково, что 0<4е<у0<2. Рассмотрим произвольную пару (У, Z) е S(X) x3(Z) с 6'(Уо, У) + У(Х0, Z) <1 е. Покажем, что (У, Z) еН'(Х). Так как е<1, то из 13.Е следует, что У, Z#={0}. Выберем произвольное р>1, такое, что 4ре<уо. Пусть заданы у е У\{0}, z е Z\{0}. Существуют у0 е 2 (Уо) и г0 е 2 (Zo), такие, что l|t/o — sgn t/|| + ||z0— sgnz||^pe. Отсюда следует! что ||t/oll + ll2oll>2 —ре, откуда ||sgn у0 — sgn t/|| + [|sgn z0 — sgn z||< ^2pe. Поэтому
yQ/> 21 = II sgn У — sgn 2|| > y[^o, 2o] — 2pe > y0 — 2pe>0.
Следовательно, . УП2 = {0} и у = у[У, Z] > уо — 2е>0, так что (У, Z) еН'^Х). Поскольку у>у0 —2е>2е, то мы можем повто-
рить предыдущее рассуждение, поменяв местами (Уо, Zo) и (У, Z), и заключить, что । у — уо| -С 2е, так что у[ •, • ] непрерывно на Н'(Х) в топологии, индуцированной д'.
4°. В силу 13.Е ({0}, X), (X, {0}) являются изолированными точками в Е (X, 6') ХЕ (X, д') и, очевидно, Д0(Х) = (//(X) П ПД'(Х)) U{({0}, X), (X, {0})}, так что Н0^Х) обладает требуемыми свойствами. 4,
Замечание. Так как проекция //о(Х) на каждый из сомножителей Е(Х) X Е(Х) есть в точности ЕС(Х), то из 13.J вытекает новое доказательство того факта (13.1), что ЕС(Х) открыто в 2(Х, 6').
Лемма о непрерывно меняющихся подпространствах
Следующая лемма является простым следствием свойств введенных нами топологий.
.К. Пусть U и V—непрерывные функции на действительном интервале 1 с обратимыми значениями в X, причем U^t0) = = У(/о) для некоторого toeJ. Если У есть подпространство в X, такое, что для каждого tel или U(t)Ycz V(t)Y, или U(,1)Ytd щ>|/(/)У, то U(f)Y=V(t)Y для всех tel.
Доказательство. Мы можем предположить без потери общности, что V=l. Функция t-*U ^t) У: J ->- Е (X, 6) непрерывна, так как U^")Y=U(t")U-4t')(U(E)Y) и lim II ЩГ') U-x (f) -/|| = 0.
В силу 13.F функция t-^-U(t)Y; J Е(Х, д') и подавно непрерывна. Следовательно, 6ДУ, U(t)Y) есть непрерывная функция от t. Из наших предположений и из 13.Е следует, что она может принимать значения, равные только 0 и 1, и в действительности равна 0 при t = /0. Отсюда следует, что б'(У, U(t)Y) = 0, teJ, и наше утверждение доказано. 4,
. Гильбертово пространство
Обозначения
В этом параграфе мы покажем, каким образом геометрические понятия и свойства, введенные в предыдущих параграфах, могут быть выражены с помощью «евклидовой» терминологии, когда банахово пространство X является в действительности гильбертовым.
Итак, мы будем рассматривать в этом параграфе гильбертово пространство X. Скалярное произведение обозначается (•, •). Если скаляры — комплексные числа, то соответствующим действительным пространством будет гильбертово пространство со скалярным произведением Re(•,•). Множество элементов,
ортогональных ко всем элементам множества VczX, обозначается через V1:
Vv=Vx^X: (х, у) = 0 для всех у е V}.
Иногда мы будем использовать обозначение dS(X) = = {xeZ: ||х|| = 1}. Если У— подпространство пространства X, то ортогональный проектор с образом У обозначается PY. Сокращения dim и codim употребляются соответственно для записи ортогональной размерности и коразмерности.
Естественный изометрический изоморфизм X на сопряженное пространство X* мы будем обозначать б, т. е. юх = (• , х). Если У — подпространство пространства X, то йУ1 = У°. Если А е X, то мы обозначаем через А его гильбертов сопряженный (эрмитов транспонированный), т. е. А' = й-1Л ы. В большинстве случаев мы будем вести речь таким образом, как если бы й осуществлял идентификацию X и X*. Каноническая спарениость между X и X* заменяется тогда скалярным произведением.
Углы, расщепления и диэдры .
Основные «евклидовы» геометрические понятия, нужные нам, — это понятия угла между векторами, угла между подпространством и вектором и угла между подпространствами. Если х, уе/\{0}, то у г о л Xf (х, у) единственным образом определяется условиями ~
|| х IHI у 'J cos X-- (х, у) = Re (х, у), 0 ^ XL (х, у) X л.
Если У^{0}— подпространство в X и хеХХУ, то мы полагаем <Х(У,х) = inf{<£(y,х): уеУ\{0}}, или
cos XL(У, x) = sup{]^}: уЕУ\{0}}, 0<^(У, х)^.
(14.1)
Определение угла между подпространствами У и Z несколько сложнее, и мы будем привлекать этот угол, только если ни У cz Z, ни Z cz У (так что У, Z =/= {0}). Если У П Z = (0), мы полагаем XL (У, Z) = inf (XL (у, г): у g У \ {0}, г g Z \ {0}} или
cos XL (У, Z) = sup {]^[: yG У\{0}, 2EZ\{0}[, (14.2)
0<ХС(У, ZXzp
Далее, положим V = (У Л Z)x и заметим, что У Л V N= {0}, так как для любого у G У \ Z мы имеем Pvy G (У Л Е) X {0}. Точно так же Z Л V X {0} и (У Л К) П (Z П Ю = (0). Поэтому будет
целесообразно (и будет находиться в соответствии с обычным понятием «диэдрального» угла) положить «^(У, Z) = -4Ц¥ (W, Zf]V). Это совместимо также с прежним определением, поскольку У П-^ = {0} влечет Y f) V = У, Z П V = Z. Заметим, что углы между подпространствами заключены между 0 и -^- и потому однозначно определяются своими косинусами или синусами.
Связь между углами и угловым расстоянием дается очевидной формулой
у [х, у] = 2 sin у А- (х, у), х, у е X \ {0). (14.3)
14. А. Если Y =£ {0}—подпространство и х г X \ Y, то у [К, х] = = 2 sin у 4 (У, х) и || х И-1 d (К, х) = sin А (К, х) Этаким образом, || х ||^М (К, х), х =/= 0, эквивалентно sin ^ (К, х) ^ АГ1). Если Y, Z #= {0} — подпространства и Y П Z = {0}, то у [У, Z] = = 2 sin у (У, Z).
Доказательство. Это следует непосредственно из определений. i
14.В. Если (У, Z) — расчлененный замкнутый диэдр, не сота- дающий ни с (X, {0}), ни с ({0}, X), и Р — проектор вдоль У на Z, то sin^(y, Z) = || Р1Г1.
Доказательство. Если х е У UZ, то либо Рх = 0, либо Рх = х. Если x^yjZ, то рассмотрим треугольник с вершинами 0, Рх и х. По теореме синусов
|| Рх Usings (У, Z)<||Px||sin^((/-P)x, -Рх) =
= || х || sin ^ (— х, - (/ - Р) х)< || х ||. Поэтому || Р || sin ^ (У, Z) ^ 1. Пусть у г У и zg Z- единичные векторы; положим x=z — (z/, z) у. Тогда Рх = z, || Рх ||= 1 и || х ||2 = = 1 — 2 (у, г^-Цу, z)2 = sin2-4i ку, 2). Поэтому || Р ||sin 4 (у, z) 1. Взяв нижнюю грань, получаем ||P||sin^(y, Z)^l, откуда и следует равенство. 4,
14.С. Если У и Z — подпространства в X, то Y+Z замкнуто тогда и только тогда,' когда либо YcZ, либо Zc^Y, либо ^(У, Z)>0.
Доказательство. Предположим, что ни У с: Z, ни Z gz У. Положим y = (yf)Z)±. Если Y Л-Z замкнуто, то замкнуто (Y + Z) CIV. Раз замкнуто последнее множество, то замкнуто и Y + Z = P?l((V + ZWV). Но (У+Х)ПИ = (УПИ) + (ХПЮ и (У П У) П (^ П Р) = {0}. Из 11.D и 14.А следует, что (У + Х)ПУ
замкнуто тогда и только тогда, когда sin-^-^(У ПК Z П К = = siny^(y, Z)>0. 4,
Что касается расщеплений, то все, что требуется сказать, это то, что мы можем в силу дополнимости каждого подпространства ограничиться «проекционными расщеплениями», рассмотренными в 11.F. На первый взгляд неудобно ограничиваться исключительно расщеплениями с ортогональными проекциями. Заметим, однако, что / — PY может рассматриваться как единственное (У, 1)-расщепление (с Х=1!), если Y=j=X.
Для завершения обзора геометрических объектов, введенных в § 11, укажем точное значение раскрытия замкнутого диэдра.
14.D. Если (У, Z) —замкнутый диэдр, У, Z+X, то
'x(y,Z)sin<(y,Z) = l.
Доказательство. Прежде всего подразумевается, что ни одно из подпространств не содержится в другом. Пусть V= = (ynZ)--. Тогда (УПК ZHV) есть расчлененный замкнутый диэдр в V (см. доказательство 14.С), и нормы проекторов в V вдоль УНУ на Z(W и вдоль Z(W на УПУ равны l/sin<£ (УПК ZH У) = 1/sin-<(У, Z) (в силу 14.В).
Для каждого х мы имеем единственное разложение х= = uA-yA-z, где и = Руп 7.x е Y^Z, yeY^V, zeZ(W. Упомянутые выше проекторы являются отображениями yA-z = Pvx->-z, У + г — у.
Возьмем любое хе V, такое, что й = 0, и пусть x = y'A-z', y'eY, z'е Z. Тогда у' — у = — V — г) е YHZ. Поэтому ||/|| = = !!</+(/ — y)lt>Vil llz'll>Hzll. Так как x = y + zeV произвольно, го х(У, Z) 1/sin ^(У, Z).
Возьмем любое хеХ. Если xeYRZ, то x=x + 0, xeY, О е Z. С другой стороны, положим
Мы выделим специальный класс замкнутых диэдров: замкнутый диэдр (У, Z) перпендикулярен, если либо У = X, либо Z = X, либо 4; (У, Z) = dL.
Для заданных подпространств У и Z следующие условия эквивалентны:
(У, Z) —перпендикулярный замкнутый диэдр;
У К Z;"
(/-Pz)(/-Py) =0.,
Доказательство. Эквивалентность (Ь) и (с) тривиальна. Положим V = (ynZ)1. Точно так же, как в предыдущем доказательстве, (У, Z) тогда и только тогда будет замкнутым диэдром, когда (У f) V, Z П V) будет расчлененным замкнутым диэдром в V. Таким образом, (а) эквивалентно утверждению, что Z П У есть ортогональное дополнение У П V в V, т. е.
z n V = (У П И1 Л V = ((У П Ю + (У n Z) I1 = У1.
Так как всегда У1 с: У, то эт) эквивал: нтпо тому, что У1 с Z, т. е. (Ь).
Множество всех подпространств
В случае гильбертова пространства X теория, изложенная в § 13, значительно упрощается. Прежде всего НС(Х) = 3(А’). Далее справедливы следующие равенства:
14.F. Для любых Y, ZgS(X) агы имеем.
r(Y, Z)=b(Y, Z)=b4Y, Z)=\\PY-Pz\\.
Доказательство. Покажем сначала, что
d^y.Z) <r(y,Z),(14.4)
соответствующим образом видоизменив доказательство 13.F. Точно так же, как в этом доказательстве, предположим, что г (У, Z)<1. Пусть С — допустимый автоморфизм для Y, Z. Тогда при любых у е S (У) мы имеем Pzy е 2 (Z), Су е Z, так что
d^ (Z), У) = || (/ — pz)уШ и - С)у\К\\1 - СП. ■
Продолжая, как в доказательстве 13.F, получаем sup(6?(S (Z), i/): yeZ(Y^<rQ(Y,Zy,,
меняя местами У и Z, заключаем о справедливости (14.4).
Покажем теперь, что
\\Py-Pz\K64Y.Zy(14.5)
Мы следуем доказательству Ахиезера и Глазмана [1], стр. 105. Для любого хеХ имеем (PY— Pz)x = PYU — Pz)x — — (/ — Py)Pzx, причем слагаемые ортогональны. Далее,
|| (/ - Ру) Pzx II = II Pzx - PYPzx IK У (У, Z) II Pzx II, так как IIPy^zxIKUPz^II. • ■■
Наконец, используя предыдущее рассуждение и меняя местами Y и Z, получаем
II Ру U - Pz^ X IP = ^Ру и - Pz) X, и - Pz) X) =
= m-Pz^PyU- PZ)X, U-PzV^C
< II (/ - Pz^ Ру (/ - Pz^ X IIII (/ - Py) X II <
<У(У, Z) \\PykI-Pz>x\\UI-Pz>x\\, откуда ||Ру(/— PzMIK д'(У, Z)|| (/—Pz)-^ll- Вследствие упомянутой выше ортогональности
II (Ру - Pz) X If2 = II Ру (I - Pz^ X IP + 11 (/ - Ру) PZX\^
^У\У, Z) (|| Pzx |p + || U-PzV ||2) = d'2(У, Z)||x||2,
откуда следует (14.5).
Далее, в силу (14.4), (14.5) и 13.G имеем г(Y, Z) = д'(Y, Z) = = 1|Ру — PzAV Так как г, очевидно, удовлетворяет неравенству треугольника, то b(Y, Z) =r(Y, Z) (замечание к 13.В). 4-
• Замечание. Ввиду 14.Е мы будем просто писать Е(Х) вместо Е(Х,д) = Н(Х, 6').
14.G. Если ||Ру—Pz|| = 6'( Y, Z) =.. .< 1, то dimy = dimZ, codim y = codimZ. Для любых кардинальных чисел d, с, таких, что d + c = dimA, множество
S (X) = (У е Е (X): dim У = d, codim У = с)
открыто и замкнуто в Е(Х).
Доказательство. Так как 6(y,Z)<l (в силу 14.F), то для Y, Z существует допустимый автоморфизм С. Он сохраняет ортогональные размерности и коразмерности. 4,
15. Замечания к главе 1
Мы предполагаем, что читатель имеет некоторое знакомство с теорией банаховых пространств. Назовем некоторые общеизвестные курсы, в которых излагается эта теория: Бурбаки [1], Данфорд и Шварц [1], Хилле и Филлипс [1], Рисе и Секефальви-Надь [1], Дэй [1] и Тэйлор [1]. Наши обозначения и терминология, ‘ хотя и согласуются с общепринятыми (имеется лишь одно нововведение: понятие диэдра), в то же время ие совпадают полностью с принятыми ни в одной из этих книг.
Понятия, родственные понятию «угловой удаленности» элементов и подпространств, рассмотренные в § 11, были предложены несколькими авторами. Наше угловое расстояние у[х, у] между элементами хну было введено (под именем угла) Кларксоном [1]. В этой связи упомянем также дель Паску [1, 2] и Сундаресана [1].
В связи с вопросами, обсуждаемыми в § 13, отметим, что первое обобщение на случай банаховых пространств расстояния '\Ру — Pz|| между подпространствами гильбертова пространства было дано Крейном, Красносель-
ским и Мильманом [1], которые ввели понятие раствора в (У, Z) подпространств Y и Z, определяемого следующим образом:
6 (У, Z) — max {sup У (У, г); г г 2 (Z)}, sup У (Z, у); у G 2 (У)}}.
Свойства раствора изучались далее Гохберюм и Крейном [1]. Тесно связанная с понятием раствора метрика д'(У, Z) была введена Гохбергом и Маркусом [1] и независимо от них Берксоном [1], который занимался сравнением с ней метрики 1п(1 + г(У, Z)), введенной Массерой и Шеффером [1], стр. 562— 563.
Добавим к гл. 1 важный постскриптум. Почти всюду в этой книге введенные понятия и полученные результаты, так же как и доказательства, останутся неизменными, если норму основного пространства X заменить какой-либо эк- вивалешной нормой (причем для спаренных пространств X и X' новая норма должна по-прежнему удовлетворять предположению о спаренности, иначе пришлось бы иметь дело с «квазиспаренными» пространствами, чего нам хотелось бы избежать). Проверка этого утверждения предоставляется читателю, а все исключения будут специально отмечаться. В частности, если X конечномерно, то без потери общности можно считать норму евклидовой, так что в этом случае применима терминология гильбертова пространства. Хотя это предположение и не лает существенного выигрыша, мы будем его принимать всякий раз, когда будут обсуждаться специфически конечномерные вопросы.
Глава 2
Функциональные пространства
' 20. Введение
Содержание главы
В этой главе мы введем несколько классов функциональных пространств, которые будут играть существенную роль при последующем изучении дифференциальных уравнений. Элементы этих пространств будут фигурировать в двух различных качествах: (i) как части самих уравнений и (ii) как возможные решения этих уравнений. Так как мы ограничиваемся случаем обыкновенных дифференциальных уравнений с действительной независимой переменной, то мы будем рассматривать только пространства функций, определенных на интервале J действительной прямой R. Значения этих функций могут, однако, принадлежать банахову пространству X.
Что касается ситуации (i), то кажется естественным сделать предположение, что выполнены условия Каратеодори, т. е. что рассматриваемые функции (сильно) измеримы и интегрируемы (по Бохнеру) на каждом компактном подинтервале ]'с: J\ естественно также использовать в качестве основной топологии топологию сходимости в среднем на каждом таком интервале /'. Все такие функции с одной и той же областью определения / и одним и тем же пространством значений X образуют с указанной топологией пространство jL(X), или, короче, L(X). Это пространство занимает центральное место в нашей книге. Все же для того, чтобы не отказываться от более традиционного требования непрерывности, мы специально рассматриваем пространства непрерывных функций.
Что касается (ii), то может показаться естественным рассматривать только пространства непрерывных функций с топологией равномерной сходимости на каждом компактном подинтервале. Эта точка зрения оказалась чрезмерно ограничительной и неудобной. Так как эти функции принадлежат L(X) и на компактных интервалах равномерная сходимость влечет за собой сходимость в среднем, то можно принять более удобную точку зрения, по которой пространства, используемые в ситуации (ii), относятся к более общему классу, встречающемуся в (i).
После описания терминологии, обозначений и т. и., составляющего содержание этого введения, мы обсуждаем в § 21 класс ДДХ) функциональных пространств, состоящих из нормированных пространств F, содержащихся в алгебраическом смысле в L(X), нормированная топология которых сильнее топологии, индуцированной из L(X). В ЛДХ) определяется структура порядка и обсуждаются вопросы, связанные с полнотой и с локальным замыканием (единичный шар «локального замыкания» пространства Fe^(X) есть Ь(Х)-замыкание единичного шара в F).
В § 22 рассматривается подкласс 5~(Х) пространства Л^Х). Пространство РеЛДХ) принадлежит ^“(Х), если для любой функции j из единичного шара пространства F любая измеримая 'функция g: J-*X, удовлетворяющая неравенству Н^Ц^ПЛ! (поточечно, почти всюду), также принадлежит единичному шару F. Пространства этого класса обладают более богатой структурой. В частности, при некоторых слабых ограничениях определяется , некоторого рода двойственное пространство к ^-пространству (сопряженное пространство или двойственное в смысле Кёте).
В § 23 описываются подклассы класса 9" (X) с еще более богатой структурой: они состоят из пространств, грубо говоря, инвариантных при преобразовании /^-/ — т нашей области определения /, которая должна в этом случае быть прямой или полупрямой. Эти пространства включают пространства Орлича и, в частности, пространства Лебега Lr1 при 1-Ср-Соо.
В § 24 рассматриваются аналогичные подклассы класса ?F(X), состоящие, однако, из пространств непрерывных функций.
В этой главе мы вынуждены были отказаться от намерения сделать изложение основных результатов по возможности самостоятельным. Для того чтобы величина этой главы была соизмерима с ролью, которую она играет в книге, и чтобы избежать значительного углубления в области, которые, возможно, не представляют большого интереса для читателя, мы будем ссылаться во многих случаях на доказательства, имеющиеся в опубликованных работах, в особенности в работе Шеффера [1]. Тот факт, что в том или ином случае приводится развернутое доказательство, не указывает на важность соответствующего результата: дело может быть просто в том, что результат новый или отсутствует удобная ссылка.,,..
Дальнейшая терминология и обозначения ■ ■•■■■ ■ ■ ' для случая абстрактных пространств.'
Отношения «сильнее, чем» и «<С»' ‘*
Дополним терминологию и обозначения, введенные в § 10.
Выпуклое множество К в векторном пространстве называется уравновешенны м, если из х е К, X е S (F) следует Хх е К
(т. с. К симметрично или закруглено в соответствии с тем, является ли F действительным или комплексным полем). Если К — непустое уравновешенное выпуклое множество, то его пересечение с лучом {2а: 2, >0} либо совпадает со всем лучом, либо является или полуоткрытым сегментом, или замкнутым сегментом. Множество, получающееся из К присоединением к нему всех концов всех полуоткрытых сегментов, полученных указанным образом, также является уравновешенным выпуклым множеством. Оно называется радиальным з а м ы к а н и е м множества К и обозначается rad К. Если rad К = К, то К называется радиально замкнутым. Для любого непустого уравновешенного выпуклого множества К множество rad К является радиально замкнутым. В топологическом векторном пространстве, очевидно, rad АГс= cl 7<. Поэтому rad К ограничено, если К ограничено.
Если X — нормированное пространство с нормой || • ILy и а>0, то мы определим нормированное пространство а,Х соотношением S(aX) =aS(Z); другими словами, X и аХ совпадают в алгебраическом смысле и ||х||ах = а-111^11х Для всех хеХ..
Пусть Z — локально выпуклое хаусдорфово топологическое векторное пространство (нормируемое или нет), и пусть Y—■ нормированное пространство (с нормой II "IM, содержащееся как линейное многообразие в Z. Мы будем говорить, что У сильнее, чем Z, если нормированная топология в У сильнее топологии, индуцированной из Z. Это отношение может быть выражено следующими эквивалентными способами:
для каждой непрерывной полунормы л в Z существует такое число а.л ^ 0, что л (г/) ^ал1|г/11у для всех у е У; '
5(У) является Z-ограниченным;.
каноническая инъекция У->-Z непрерывна.'
В частности, если Z— нормированное пространство (с нормой 11 • ||z), то (1) и (2) могут быть сформулированы следующим образом:
) существует такое а = а(У, Z)>0, что llyllz ^ а||г/||у для всех у е У;
) S (У) cz aS (Z) (с тем же а, что и в (Г)).
Отношение «сильнее, чем» транзитивно. Если Y сильнее, чем Z, то мы будем также говорить, что Z слабее, чем Y. Отношение «сильнее, чем» зависит от алгебраической и топологической структуры пространства У, но не от частного вида его нор^ы. Если У, Z— нормированные пространства, то У сильнее, чем Z, п Z сильнее, чем У, тогда и только тогда, когда У и Z совпадают как топологические векторные пространства, но не обязательно
как нормированные пространства; их нормы эквивалентны, и мы будем говорить, что У и Z эквивалентны по норме. Это отношение между нормированными пространствами является, очевидно, отношением эквивалентности.
Введем теперь более точное отношение порядка для нормированных пространств, при котором будут приниматься во внимание сами нормы. Если У, Z—нормированные пространства, то мы будем писать У ^ Z, если У сильнее, чем Z, и а (У, Z) <. 1 в (Г), т. е. если У алгебраически содержится в Z (отсюда обозначение) и l|z/llz^llyllу Для всех у ^ У или эквивалентно Х(У)с cS(Z). Если y^Z, то-мы будем также писать Z^Y. Ясно, что отношение < является отношением порядка. Утверждение «У сильнее, чем Z» мы можем теперь сформулировать еще так:
(2") У ^aZ (с тем же а, что и в (Г)).
Функции и функциональные пространства
Рассмотрим действительную прямую R и обозначим через ц меру Лебега на R; вся терминология, касающаяся мер, относится к р, если специально не оговорено противное. Интервалом называется любое связное множество / с R, содержащее более чем одну точку. Принимаются обычные обозначения с использованием круглых и квадратных скобок для интервалов с заданными концами, как конечных, так и бесконечных. Постоянно используются специальные обозначения /?_=(—оо,0] и /?+= =[0, +оо).
Наши функциональные пространства будут состоять из сильно измеримых функций на заданном интервале / со значениями в заданном банаховом пространстве X, или, точнее, из классов эквивалентности таких функций, различающихся на множествах меры нуль. Мы будем, однако, придерживаться обычно менее строгой терминологии и идентифицировать такие эквивалентные функции. Индивидуальные функции будут обычно обозначаться буквами того же типа, какой используется для обозначения элементов их пространства значений, т. е. f, g для произвольного банахова пространства X, но ср, ф для скалярного поля F. Если не возникает опасности смешения, то функция, принимающая на / постоянное значение, обозначается тем же символом, что и это ее значение. Если ср, f, g, f*, U, V — сильно измеримые функции на / со значениями соответственно в F, X, X, X*, [X, У], [Y.Z], то функции Reep, ф, |<р|, НЛ1, sgn f, f+g, срЛ (Л f*), Uf, VU определяются соответствующими операциями над их значениями в каждой точке. Они сильно измеримы, и их классы эквивалентности определяются единственным образом по классам эквивалентности исходных функций. Если последние непрерывны, то
непрерывны и сложные функции, за исключением sgn /. Последняя непрерывна, если /(/J^O, teL Очевидно, ф=|фjsgnф, f = llfllsgn f.
(Измеримая) характеристическая функция каждого измеримого множества Ес/ обозначается хе-
Множество (классов эквивалентности) действительных измеримых функций на 1 является (условно о-полной) решеткой с отношением порядка ^, где ф1 -Сф2 означает ф](/) ^ф2(/) п. в. (почти всюду, т. е. за исключением множества меры нуль) на J. Функция ф положительна, если ф^О. Последовательность (ф„) возрастает, если фп+1>фп, п=1, 2, ... . Такие выражения, как «строго положительна» или «строго возрастает», не имеют точно определенного смысла и не будут использоваться для наших функций. Решеточные операции обозначаются sup и inf. Если ф1-^ф2, то мы определяем интервал равенством [фЬ фг] = {ф: ф измерима, ф1^ф^ф2}. Если Ес/ измеримо, ц(Е)>0 и ф — действительная измеримая функция на 7, то существенной верхней гранью функции ф на Е называется
ess sup ф = inf {X е R: Хх£ > ХеФ):Е
аналогично определяется essinf^. Если /0 — конец интервала 7 или его внутренняя точка, то
ess Нт sup ф (t) = Hm ess sup ф,t->t»6->0 /П(/(—6, to"Vb>
и аналогично для ess Нт inf ф (/). Если верхний и нижний пре
делы совпадают, то их общее значение есть е55Нтф(/). С оче- t-»t0.
видными изменениями определяются существенные пределы при /—>—оо или /—> + <х>.
Функциональные пространства будут обозначаться полужирными заглавными буквами, такими, как F, G, а классы функциональных пространств — рукописными заглавными буквами, такими, как Jf, 9", снабженными, возможно, различными индексами. Когда одна и та же буква любого из этих типов используется для различных пространств значений, то эти пространства значений могут быть указаны как аргументы, например L(X), Л°(Х). В случае L(X) (определенного в предыдущем пункте, а также более строго ниже, через пункт), равно как и в случаях, обсуждаемых в § 22, 23 и 24, это условное обозначение отображает более глубокую внутреннюю структуру; как будет видно из точных определений, в этих случаях символ без аргумента, скажем F, обозначает пространство функций, принимающих действительные значения, a F(X)—соответствующее
пространство функций со значениями в X. Примерами таких пространств являются пространства Lp(X), l^p^oo (см. следующий пункт). В немногих случаях, когда требуется отметить область определения функций, на нее указывает индекс, помещаемый внизу слева, например Д(Х). Другое обозначение используется в том особом случае, когда пространства функций, определенных на R, /?+ и R_, используются в одном и том же контексте. Это другое обозначение вводится в § 22 (стр. 72) там, где оно впервые используется. Толстые вертикальные черты применяются для обозначения нормы в наших функциональных пространствах, например | • |F, для того, чтобы отличить ее от нормы в пространстве значений, которая обозначается, как обычно, || ■ || или в случае скалярного поля | • |.
Пространства Лебега Lr(X)
Особенно важными среди функциональных пространств, которые мы будем рассматривать, являются пространства Лебега, определяемые следующим образом. Пусть J a R — заданный интервал, а X — банахово пространство. Если l^p^oo, то jl/ (X), или, короче, I/(X), — это пространство всех сильно измеримых функций j: 1-»Х, для которых j || f (/) ^ dt < оо, 1
с нормой |f |р = / J || f (/) If dtX,P; а УЬ°°(Х), или, короче, v/
L°° (X), — это пространство всех сильно измеримых функций f: 1—>Х, для .которых ess supj|| j || < оо суть существенно ограниченные функции с нормой If j = ess supj|| f ||.
Обозначение, принятое для норм, отражает соглашение о том, что верхний индекс в Le(X) всегда принимает значения 1 ^ р ^ оо и что в особом случае нормы | • (^ ее обозначение сокращается и записывается в виде | • |. Это соглашение действует во всей книге. Мы также придерживаемся условных обозначений, описанных в предыдущем пункте и полагаем Lp(/?) = = 1Л I ^р <, оо (классические действительные пространства Лебега); оправдание этому будет дано ниже в § 22 (стр. 73).
Неравенство Гельдера может быть записано в виде
J|Vm(0№^hlPIH(20.1)
для всех -
где оо-’=0, как обычно в этом контексте. Приведем следующие классические результаты (ср. Тэйлор [1], стр. 376—386).
4*
А. Пространства ЦДЕ\ 1^р^°о, полны. Если q"'= = 1 — р^1, то отображение ф—>ф": L* (F) —> Lp (F) У, определяемое билинейным функционалом (ф, ф”) = J ф W Ф (0 dt, является изометрическим мономорфизмом и в случае р<ео конгруэнцией. В частности, Lp (F) рефлексивно при 1<р<оо. Еще более частным случаем является L2 (F) — гильбертово пространство со скалярным произведением (ф, Ф) = J ф(0Ф Wdt.
j
Пространство L(X)
Пусть J с R — заданный интервал и X— банахово пространство. Множество (классов эквивалентности) всех сильно измеримых функций f: J-*X, интегрируемых (по Бохнеру) на каждом компактном подинтервале /'с/, наделенное топологией сходимости в среднем на каждом таком Г (т. е. сходимости в j-L1 (X) сужений на Гу является локально выпуклым топологическим векторным пространспщмтжеъщюе мы обозначаем jL(X) или чаще ОД.В частност1(Г L(/?) =
Множество полунорм, опфгделятШцих топологию в L(X), есть f J || f (t) \\dt I, где Г пробегает все компактные подинтер-
I г J
валы в 7, или по крайней мере такой класс подинтервалов, что их объединение есть 7. Так как 7 есть объединение конечного или счетного множества {7V} примыкающих друг к другу компактных подинтервалов, то L (X) может быть представлено в виде прямого произведения X L1 (X). Проекция IIV
v Д
на v-й прямой сомножитель есть просто сужение функций на 7V. Так как ^L1 (X) является банаховым пространством, то L (X) является пространством Фреше, т. е. полным метризуе- мым (в частности, хаусдорфовым) пространством.
Очевидно, что L представляет собой решетку с отнсшением порядка ^, и притом «порядково-выпуклую»: если фн ф2еЬ, Ф, <Ф2, то [ф!, ф2] с L.
В. Для лютых фм ф2еЬ, ф,^ф2, интервал [фн ф2] слабо секвециально компактен в L.
Доказательство. См. Шеффер [1], лемма 3.2. Используемый там факт, заключающийся в том, что интервалы слабо секвенциально компактны в каждом ; L1 (X), был доказан Какутани [1]. j.
I = R и I = R+. Операторы сдвига
В этом пункте собраны некоторые факты, относящиеся к. функциям, определенным на R и R+.■
20.С. Предположим, что J = R или J = R+. Рассмотрим функцию ф: J -> R+. Если существуют положительные числа И, т, г] (■q>l), такие, что ф(/о + т) > ЛФС^о) и ф(<)>//ф(/0) для всех to^J, /о^/^/о+т, то ф(/) ^ Hv'e*^-^ (/0) для всех tgeJ, f> t0, где ц=т-1 In г].
Доказательство. Для любых /о, t положим n=[(t— ^о)т-1] (целая часть). Тогда r]rt+I = еМ"Н)т^е^и-м, так что ф(/)^ ^ №р (/0 + ит) 2^ Яг^ф (?0) > Яц-'е^-^ф (<0). 5,.
Функция феЬ (на R или R+^ называется крепкой, если Ф^Ои существует такое число А>0, что
<+д
inf ( ф (u) du > 0.(20.2)
Очевидно, что крепкость зависит от поведения функции ф только при больших )/|.
20.D. Предположим, что J = R или J = R+. Функция ф е L, Ф > 0 крепка тогда и только тогда, когда существуют положительные числа ц, М, такие, что для всех to^J, / > t0
(
t\
j ф(u)du I ^ Ale1*^-^. -(20.3)
Доказательство. Предположим, что ф существенно положительна, и пусть х>0 — значение нижней грани в (20 2) для соответствующего А>0. Принимающая положительные значения неубывающая функция ф, определенная формулой ф(/) = = ехр ( j ф (u) du I, удовлетворяет неравенству ф(/0 +А) > ехф(#0), to е I. Поэтому из 20.С следует (20.3) с М = е-и, ц = хА-1. Обратно, если функция ф удовлетворяет (20.3), то она удовлетворяет (20.2) с любым А>—p-‘lnAl>0. 4,
Введем еще следующее полезное обозначение. Для любого / е я4 L (X) (где X— банахово пространство), f+О, мы определим «числа» sQ^), s(f), O^so(f) <s(f) <.оо .таким образом, чтобы интервал (s0(f), s(f)) был наименьшим открытым интервалом в R+, для которого f обращается в нуль почти всюду вне этого интервала, т. е.
's0(f) = sup {/: X1(,(J/ = 0)’ s(D = inf[/: Xu, ю/ = 0}.
Пусть F — произвольное множество или пространство, состоящее из таких функций (и еще, возможно, 0). Положим
s0(F) = inf{50(/=): feF\{0}} и s(F) = sup{s(f): /еР\(0}}.
Аналогично для (ЕцЫХ) (здесь случай f=0 не исключается) определяем s_(f), Sy(/), — оо ^S-(f) ^0^s+(^+ оо следующим образом:■
s_ (f) = sup \teR_: х^ (/ = 0),
S+ (f) = inf {/ e R+; ^ +oo)f = 0],
и если F — множество или пространство, состоящее из таких функций, то
s_ (F) = inf (s_ (f): feF}
s+(F) = sup(s+(f): feF}.
Все эти «числа» обычно используются, только если они конечны. То, что R обладает свойствами аддитивной группы, a R+ — аддитивной полугруппы, отражается в определении qji ej а- тора сдвига, применимого к функциям с этими областями определения. Начнем с функций на R, принимающих значения в банаховом пространстве X.
Если f: R^X и т е R, то мы определим «сдвиг» Txf; R-^X формулой zЛ
Если / сильно измерима, то этим же свойством обладает Тх^, и Гт сохраняет отношение эквивалентности (по модулю нуль, т. е относительно множеств меры нуль). Очевидно, что Тх есть непрерывное линейное биективное отображение L(X) на L(X) для каждого т. Отметим следующие тривиальные соотношения для этих операторов:.
Го —тождественный оператор/ Тт,+т, = Гт,Гт2 для всех тп т2 е R;
(20.4)
II Txf || = Тх || f || для всех teR и для всех сильно измеримых функций f: R^-X.(20.5)
Для области R+ определения несколько более сложные. Если f: R+^X и tgR+, то мы определим Txf, Txf так:
. f 00^/<т,
T~xm = m^ teR+.
Часто удобно ввести оператор 7Т, определенный для всех t е R как Тх = Т+, если т^О, и как ГХ = Т~Х, если т<0 (опасности смешения с оператором Тх, определенным выше для функций на R, не возникает). Определим также- оператор усечения 0Т для каждого %e=R+ как Йт^ТтТ7, так что 0J = = х[т ^f. Опять если f сильно измерима, то этим свойством обладают все TJ и 0J, й эти операторы сохраняют отношение эквивалентность (по модулю, нуль) и являются непрерывными линейными отображениями L(X) на L(%). Мы имеем
ТхТх = То = То — тождественный оператор для всех те^_;
(20.6)
TX1-vxi — TX1Tt^ TXl+x3 = ТХ;Тх, для всех т,, т^ g R+\ (20.7) кгНМШи,(2o.s)
H0J || = ©т|| ( || <|| f || для всех т е R+ и для всех сильно
измеримых f: R+—>Х.
Следовательно, для каждой сильно измеримой функции h R^X-
. II Тт.Тт/11= Tr.^rJIf l| = rT1+TJ|f II ДЛЯ всех т„ т2 е R. (20.9)
Наконец, приведем основное соотношение между операторами сдвига, определенными для функций на R, и операторами сдвига, определенными для функций на R^.. Если задана функция f: R-*X и если f+ —ее усечение на /?+, то
TT+f+=0T(rTf)+,Л7+= (У-J)+ для всех т е/?+. (20.10)
Л’-пространства
Решетка Л’(Х)
Всюду в этом параграфе / — фиксированный интервал, являющийся областью определения всех функций в наших функциональных пространствах, если специально не оговорено противное. Рассмотрим банахово пространство X, соответствующее ему■пространство L(X) и следующие частично упорядоченные классы:
(а) класс Л’(Х) (полное обозначение /Л^Х)) всех нормированных пространств, которые сильнее, чем L(X), с отношением порядка <, определенным во введении (стр. 49);
(b) класс Г^) всех непустых радиально замкнутых L(X)- ограниченных уравновешенных выпуклых множеств в L(X) с порядком, индуцированным теоретико-множественным включением. .
Используя наше обычное соглашение, мы будем писать Л’(К) =2^. Между ЛДХ) и Г(Х) может быть установлено сохраняющее порядок биективное соответствие соотнесением каждому пространству РеЛ’(Х) его единичного шара 2(F). Действительно, очевидно, что множество 2(F) выпукло, уравновешено и радиально замкнуто. Далее, оно L(X)-ограничено, так как F сильнее, чем L(X). Обратно, если К е Г(А-), то пусть F — линейное многообразие, натянутое на К в L(X); определим норму | • |Л в F следующим образом: {) |F = inf {Х: X > О, Х~7 е ^) (это «функционал Минковского» на К). Определение имеет смысл, так как К «поглощает» каждый элемент из F и дает полунорму, поскольку К выпукло и уравновешено; эта полунорма является нормой, ибо К, будучи ограниченным в пространстве Хаусдорфа L(X), не содержит полностью ни одного луча. Очевидно, 2(F) = = rad^ = ^. Так как различные нормированные пространства имеют различные единичные шары, то отображение F^2/F): ДПА-)Г(Х) является биективным; оно сохраняет отношение порядка ■<.
Далее," Г(Х) есть решетка с К\ Л /(2 = Ki П Ki и К] V Ki, определяемым как радиальное замыкание выпуклой оболочки ^1U^2• Решающим моментом является то, что L(X) локально выпукло, а выпуклая оболочка КХ)-ограниченного множества Ь(Х)-ограничена. Решетка Г(Х) является условно полной: если 3 — непустое множество индексов и Х^еГ(Х), |еЕ, то мы имеем ЛК^=Пх=, и если К^ с: Ко для некоторого фиксированного ДеГ(Х) и всех |еЕ, то V К^ является радиальным замыканием и выпуклой оболочки (J К^,. Если, в частности, Е является линейно упорядоченным множеством и Kz^K для £', следующих за g, то мы имеем просто V ^ = rad(J^t-
Установленное выше соответствие переносит эту условно полную решеточную структуру с Г (Л") на Л’^, и нам остается только интерпретировать решеточные операции в терминах К (X). Небольшое рассуждение показывает, что интерпретация эта такова: если F,, Р2еДДХ), то F, Л F2 является (алгебраически) пересечением Р,Г1р2 и имеет норму | f |^ д ^ = max !|f I,, , |f |г}; F[ V F2 является (алгебраически) суммой F, + Р2 и имеет норму |/|FiVF. = inf (|Mf, + M2: f = f1 + f2j,eFi, /=1, 2). Если F^ еДДХ) при всех |еЕ, то A Ft является (возможно,
собственным) подмногообразием в f^Fg, на котором
sup {Ifl : geS) < ОО,
с этой верхней гранью в качестве нормы. Если дополнительно Fg < Fo для некоторого фиксированного Fo е К (X) и для всех geS, то VFj есть сумма SFg (множество конечных сумм вида 2fs, heF^ с нормой |f|v = inf (S|hL : f = Sh, h G F^, fj = O для всех £g3, за исключением лишь конечного числа}- В частности, если 3 является вполне упорядоченным множеством и F^^F^ для V следующих за £, то VF^ есть (J Fg с нормой lf|vr6 = inf {|f|F^ ^2, f F^}.
Важно отметить, что эквивалентность по норме между пространствами сохраняется при взятии конечных сумм и пересечений в Л°(Х); если, например F, и F2 эквивалентны по норме и G, и G2 также эквивалентны по норме, то эквивалентными по норме будут F1 A G, и F2 A G2, F, V G, и F2 V G2. Для бесконечных пересечений это уже, вообще говоря, неверно.
Формулировка (1) отношения «сильнее, чем» (введение, стр. 49) может быть представлена в случае «./^-пространств» в виде следующего необходимого и достаточного условия того, что нормированное пространство F, которое алгебраически является линейным многообразием в L(X), есть элемент из jVk^Y
(N) для каждого компактного подинтервала Г сс I существует такое число а^^О, что j ||f (/) \\dt ^ау| f|F для всех feF. 3
Обозначим через a(F; А) наименьшее значение ar, которое удовлетворяет (N). Ясно, что
a (F;a (F;А) = supА) = supWt^Wdf. feS(F)Wt^Wdf. feS(F)
a (F;
a (F;
А) = sup
А) = sup
Wt^Wdf. feS(F)
Wt^Wdf. feS(F)
21.А. Если F, Ge.АДХ) и F^ G, то a(F; Д) ^a (G; Д) для каждого компактного подинтервала J'ccJ. Для заданного Fe.f(.V) функция a(F, Д) является неубывающей субаддитивной функцией на J'.
Доказательство. Это-тривиально. 4,
Рассмотрим пространство I/(X), l^p^oo. Положив <p = ||f||eL , ф = хг^Ь7 в неравенстве Гёльдера (20.1), находим, что L^X) удовлетворяет условию (N) при «г=|хг| , так что V (X) е Jf (X). Взяв ( кратной хУ'> получим сразу, что а(Г(Х); n = |xy4?=(pU'))1-p'‘.
Банаховы пространства из Л^Х)
Рассмотрим класс полных, т. е. банаховых, пространств из ЛЧХ) и обозначим его b^(X). Этот класс содержит, очевидно, пространства Lp(X), l^p^.00.
21.В. Пространство РеЛДХ) полно тогда и только тогда, когда L(X)-предел каждой F-последовательности Коши в 5(F) принадлежит 5(F).
Доказательство. Условие имеет смысл, так как каждая F-последовательность Коши есть L(X)-последовательность Коши и потому имеет L(X)-предел (который совпадает с F-пределом, если последний существует). Доказательство части «только тогда» тривиально. Для того чтобы доказать часть «когда», предположим, что (fn)—какая-нибудь F-последовательность Коши в F. Так как эта последовательность F-ограничена, то из предположения вытекает, что ее L(%)-предел, скажем g, принадлежит F. Для заданного е>0 существует такое mQ, что |f„ — fm If 6 ПРИ всех т, и > mQ. Для любого m > m0 Un — fm) является F-последовательностью Коши в e£(F) и, следовательно, ее ЦЛ")-предел g— fn лежит в eS(F). Другими словами, |g — fmlp^e при всех пг^-тй. Следовательно, (fm) F-cxo- дится к g. 4 '
Важным следствием 21.В является
21.С. ЬЛ’(Х) является подрешеткой в JF(X) и содержит пересечение решеток любого подкласса.
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 2.1. 4
Для пространств из ЬЛ’(Л') отношение «сильнее, чем» характеризуется особенно просто:
21.D. Если F, Geb^(X), то F сильнее, чем G, тогда и только тогда, когда F содержится как линейное многообразие в G. В частности, все пространства ЬЛЦХ), которые имеют базой одно и то же линейное многообразие в L(X), эквивалентны по норме. ■
Доказательство. Это следствие 21.С, получаемое с помощью теоремы об открытых отображениях. См. Шеффер [1], следствие 2.1. 4,
Локальное замыкание'
Из включения КеГ^Х), очевидно, следует включение ЛьсоК е Г (X). Для каждого РеХ(Х) соотношение S(lcF) = = clLW)X (Р)определяетпросгранство lc F е ЛДХ), которое мы будем называть локальным замыканием пространства F. Оператор 1с является, очевидно, оператором замыкания (т. е. возрастающим, сохраняющим порядок и идемпотентным) на решетке ^(Х). Если F = lcF (т. е. если 2(F) является ЦХ)- замкнутым), то мы будем говорить, что F является локально замкнутым. Так как локальная замкнутость, вообще говоря, неинвариантна относительно эквивалентности по норме, то мы будем говорить, что ЕеХ(Х) является квазилокально замкнутым, если оно эквивалентно по норме локально замкнутому пространству, или, что то же самое, если F и lc F эквивалентны по норме. Класс выпуклых множеств Г(Х), выполнив свой долг, теперь удаляется из наших рассуждений.
21. Е. Предположим, что F еДДХ). Функция f е L (X) принадлежит lc F тогда и только тогда, когда существует последовательность (f„) в F такая, что Итьдо/^ = f и lim inf |f„|F < оо, и в этом случае |fllcF<Hminf|fre|f Для каждого компактного подинтервала Г с J имеем a(F; /') ~ a(lcF; Г).
Замечание. Часть „только тогда" может быть уточнена следующим образом: если f е lc F, то существует последовательность (/„) в F, такая, что lim tn = b Um |/n|F = ! /11с F L(X)
Доказательство. Всё, кроме равенства a(F; Л) =a(lc F;/'), следует из определений и из метризуемости L(X), а равенство это следует из 21.А и леммы Фату, примененных к последовательности (fn), фигурирующей в замечании, j,
Пересечение любого класса локально замкнутых пространств из ^(Х), очевидно, локально замкнуто. Так как эквивалентность по норме сохраняется при конечных решеточных операи-иях, то пересечение всякого конечного класса квазилокально замкнутых пространств из ^(Х) квазилокально замкнуто. Вообще говоря, не верно даже, что объединение двух локально замкнутых пространств в ЛДХ) локально замкнуто. См., однако, 22.F.
21.F. Всякое квазилокально замкнутое пространство Fe gX(X) полно. Обратно, если РеЬЛДХ) и если F u lc F состоят из одних и тех же элементов, то F квазилокально замкнуто.
Доказательство. Это следует непосредственно из 21В и 21.D. См. Шеффер [1], теорема 2.2. 5,
Легко показать, что всякое рефлексивное пространство из ЬЛДХ) должно быть локально замкнутым (см. Шеффер [1], теорема 2.3). Далее будет показано (хотя и прямое доказательство
было бы нетрудным), что пространства L^(Д'), 1<р^Соо, являются локально замкнутыми (см. 22.D, 22.S).
Пополнение
Для любого заданного ЕеЛДА) класс {G: GeM^X), OF} не пуст, так как он содержит 1с F, что следует из 21.F. Его нижняя грань ЬЕеЬЛДХ) (в силу 21.С) поэтому вполне определена. Оператор b является оператором замыкания на решетке ЛДА) и F^bF^lcF, откуда, согласно 21.А и 21.Е, следует, что
a(bF; Д) = а(Е; Д) для каждого компактного интервала Г cz J.
■(21.1)
Представляет интерес описать строение bF в терминах F-последовательностей Коши:■
21.G. Если РеЛДА), то bF состоит из всех ЦХ)-пределов ¥-последовательностей Коши с нормой ■
if|6F = inf |lim|f„|F: (fn) — F-последовательность Коши, НшД = /?|.
(21.2)
Доказательство. Так как F<^bF и bF полно, то каждая F-последовательность Коши является bF-последовательностью Коши и имеет bF-предел, который является также и L(А)-пределом. Пусть Fi — линейное многообразие всех таких пределов с полунормой, задаваемой правой частью формулы (21.2) (все свойства нормы, за исключением невырожденности, тривиальны). Если feF, и (fn) — какая-нибудь F-последовательность Коши с bF-пределом (или L(А)-пределом) f, то |f |bF = lim |f„|bF ^ ^lim|fn|p. Беря нижнюю грань по таким последовательностям, мы заключаем, что |flbF^IHF,> откуда следует, что Fj нормировано и что F <1 Fj^bF. Мы утверждаем, что Fj полно; так как тогда Fi>bF, то имеет место равенство, что и требуется доказать..
Остается проверить наше утверждение. Пусть (fn) — Fj-no- следовательность Коши. Выберем, если нужно, подпоследовательность и так ее перенумеруем, чтобы для перетасованной подпоследовательности, вновь обозначенной (Д), выполнялось неравенство |fm+1 — fm|F <2-m, m=l, 2, .... Достаточно показать, что эта подпоследовательность Расходится. Так как )m+i~ fmeF|, то Для каждого гп существует F-последовательность Коши <gmn\ для которой |gw,„+1 - g,« JF < 2-m-rt, !^fmnlp^2 , lim §mn~ fm + i fm> ^>= I > 2, . . . . ПоЛО-
rn->ooL(X)■■.
п-1
жим л„= 2 gi.n-i^V. Тогда
/-=1•
н-1
I ^п + 1 ^п |р I gi. n + Y — igi, n-i Ip + | gni |^. 'Д
<(n- l)2~" + 2-,,+1 <2-n+1n.
Поэтому (/t„) является F-последовательностью Коши. Пусть h— ее L(X)-предел. Тогда /zeF,. Для любого фиксированного m (m\
hm,n — 2 gi, m + n-i > i = l ’/
L(X)-предел которой есть
Д — 2 lim gin = h - (h„ - fi). ( = 1 n->oo LlX)
Далее,
I
mI|m+n—1Ioo
Ь_ У aI у „|y 9-Z+'_0-^+1
o-m + ngi, m + n-il Igi. m + n-il•
(—1IpIZ=m + lIpm + 1
Поэтому |A + fi — fmlp ^2-m+1. Так как это верно для всех пг, то Fi-последовательность Коши (fm) Fj-сходится к A+fi и Fi полно. 4,
Замечание. Пространство bF является своего рода пополнением F, но каноническое вложение F -> bF не обязательно изометрично.
Отношение =ф
До сих пор мы рассматривали Л”(Х) при фиксированном X. Пусть теперь X, Y, Z — банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем. Рассмотрим три пространства F е Л” ([У; Z]), G е Л^^Х; У]), Не Л’^Х.Х}). Мы будем писать F • G =ф Н, если из Де F, У е G следует ДУ е Н, | ДУ |н ^ <MFMG
21.Н. Если F-G=^H, F, ^ F, G,^G и Н,^Н, то Р1-С,=фН1. Если Р-С=фН, то отображение (ДУ)-» -» ДУ: F X G -» Н непрерывно.
Доказательство. Это тривиально. 4,
Замечание. Применяя последнее утверждение из 21.Н к случаю, когда X — банахово пространство над скалярным полем F, а <р, f, f*, U, V — функции со значениями в F, X, X*, X, X соответственно, получаем следующий результат: если эти функции принадлежат соответствующим пространствам, то отображения (ср, f) -»<р/, (/*, /) -^ У, j*), У, /*) -> (•, f*) f, (U, f) -> Uf, (U, У) -> UV непрерывны.
Примером отношения =ф служит классическое отношение 1/([У; Z]).L?(№ У])=^1/([Х, Z]) при 1 + г"'= р-‘+ <?-'. ^
Сходный результат для пространств Орлича приведен в работе О’Нейла [1]. Более общие примеры отношений =ф будут указаны позже (22.V, 24.J, 100.С, § 112).
^-пространства'
Решетки 3" и ЬЗ". Локальное замыкание
Во всем этом параграфе мы вновь считаем / фиксированным * интервалом (некоторое уточнение будет сделано в предпоследнем пункте). Будем пока рассматривать пространства функций, принимающих действительные значения.
Класс 3", или, подробнее, j3", состоит из всех пространств F е Л’, которые удовлетворяют условию
(F) если ере F и ф— действительная измеримая функция на /, такая, что |ф|^|ф|, то ф е F и |ф|р^|ф|р.
Таким образом, нормированное пространство F (классов эквивалентности) действительных измеримых функций принадлежит 3" тогда и только тогда, когда удовлетворяются условия (N) и (F).
22.А. 3" является подрешеткой в Л и содержит пересечения и объединения (в предположении, что последние существуют в Л) любых непустых подклассов в 3".
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 3.2. 4,
Обозначим через Ь5* класс всех полных пространств из 3", т. е. ЬЗ=ЗПЬЛ. Очевидно, L? е ЬЗ", l^p^oo.
22.В. ЬЗ" является подрешеткой в 3" (и, следовательно, в ЬЛ9) и содержит пересечение любого непустого подкласса. Если F ^3, то bF е ЬЗ".•
Доказательство. Первая часть очевидным образом вытекает из 21.С и 22.А. Относительно последней части см. Шеффер [1], теорема 3,4, причем приведенное там доказательство упрощается за счет 21.G. 4-
Вернемся к вопросу о локальном замыкании «^-пространств». Здесь первую часть предложения 21.Е можно уточнить следующим образом:
22.С. Предположим, что РеЗ. Если фе1сР, то существует F-ограниченная возрастающая последовательность (фп) в F, 0^ф„^|ф|, такая, что |ф| = Птфп и |ф|1с Р = Нт|фп|г Обратно, если (ф„) является P-ограниченной возрастающей последовательностью в F, фп^0, то существует ф = 11тьфп и vg1cF, |ф|1сР<Нт|фп|г
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 3.5. 4
В качестве почти "непосредственного следствия получаем в силу 21.F.
22.D. Если F е 9~, то 1с F е Ь^.
Доказательство. См. Шеффер [1], следствие 3.2. 4-
22.Е. Пространство Fe.9" является квазилокально замкнутым тогда и только тогда, когда для каждой F-ограниченной возрастающей последовательности (ф„) в F, <рп ^ О, ее Ъ-предел ср принадлежит F. Оно локально замкнуто тогда и только тогда, когда дополнительно |<р|,. = lim j <prt|F или эквивалентно |cp|F^ ^lim|<p„fF. Пространство F^9~ является квазилокально замкнутым тогда и только тогда, когда F и 1с F состоят из одних и тех же элементов.
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 3.6 и следствия 3.3, 3.4. £
22.F. Класс квазилокально замкнутых пространств в 9" является подрешеткой в Ь^". Подкласс локально замкнутых пространств является подрешеткой и содержит пересечение любого подкласса.
Доказательство. См. Шеффер [1], следствие 3.6. Существенным шагом является доказательство того факта, что если F, GeS локально замкнуты, то FV G локально замкнуто. Этот результат (Шеффер [1], теорема 3.7) лежит глубже большинства других и существенно опирается па 20.В. 4-
Операторы к0, к, f. Скудные и обильные пространства
Пусть FetT. Определим k0F как линейное многообразие всех <р е F с (существенно) компактным носителем, т. е. обращающихся в пуль п. в. вне компактного подинтервала в J и kF как F-замыкание k0F. Как k0F, так и kF наделим нормой из F. Очевидно, что kF состоит в точности из тех функций ср е F, для которых liml%.x ср| = О для любой неубывающей последовательности (/„) компактных интервалов с (J/n = /.
22.G. Операторы к0 и к являются двойственными к операторам замыкания (т. е. убывающими, сохраняющими порядок и идемпотентными') на решетке 9", а оператор к является двойственным к оператору замыкания на Ь9~. Для любого FeS имеют место соотношения k0F ^ kF ^ F, 1с k0F = lc kF —lc F; далее, a(£0F; 7Z) =cc(kF; J') =a(F; J') для всех компактных подинтервалов Г с J. Для любого F е Ь9" имеет место равенство bk0F = kF.
- Доказательство. Все это тривиально вытекает из 22.С и свойств локального замыкания. j.
Замечание. Так как bF полно для любого Fe^", то полно kbF, откуда bkF ^ bkbF = kbF. В действительности имеет место равенство, но нам это не потребуется.
Пространство Fg 9", такое, что kF = F, называетс^^с к у д- н ы м *) пространством. Скудность инвариантна относительно" эквивалентности по норме. Примерами скудных пространств являются Lr, 1-Ср^оо. С другой стороны, L°° не является скудным, если J не компактно. Важное скудное пространство kL°° мы будем для краткости обозначать через L”. Это пространство принадлежит Ь9". Оно состоит из всех измеримых существенно ограниченных функций с существенным пределом, равным 0 в тех концах 7, которые не принадлежат J.
Пусть Fe9. Мы определяем fF как множество всех таких <peL, для которых x/peF для всех компактных подинтервалов 7'с7 и siipr|xrq)|F < оо, с этой верхней гранью в качестве нормы. Очевидно, что fFe^" и фактически
' fF = V {G е 9": k0G = k0F}.
Пространство РеУ, такое, что fF^F, называетс^о^б и л fail ы м) пространством. Если F эквивалентно по норме обиЛЫГОиу пространству, "или, что то же самое, эквивалентно по норме пространству fF, то оно называется квазиобильным. Пространства Lp, 1С р С оо обильны, причем fL” = L°°.
22.Н. Оператор f является оператором замыкания на 9" и на Ь9~. Для любого Fe;9" имеют место соотношения F С fF ^ Ic F, kofF=AoF, kfF=kF, fk0F = fkF = fF; кроме того, cc(fF; 7') = = а (F: 7') для всех компактных подинтервалов J' cz. L Каждое [квази] локально замкнутое пространство в 9~ [квази] обильно. Пересечение любого класса обильных пространств обильно.
Доказательство. Все это тривиально, за исключением того факта, что из Fg Ь^- следует fF е Ь^"; этот факт вытекает из 21.В. 4,
Класс 9"к ■
Класс 9"к состоит из всех пространств F е 9Г, которые содержат все существенно ограниченные функции с компактным
') В оригинале lean. — Прим. ред.
носителем,' т. е. (алгебраически) содержат k0L°°. Очевидно, что РеУ")( тогда и только тогда, когда Fe^h Z^gF для всех компактных интервалов J'cJ. Обозначим через Ь^к подкласс всех полных пространств в 9 к, т. е. Ь9к = ^9Г\9к. Пространства V, 1 ^р^оо, принадлежат Ь5*к.
Сформулируем одну тривиальную лемму, очень часто используемую в этой книге.
22.1. Если V^9~Ku^u^ — действительные измеримые функции на J, совпадающие вне некоторого компактного интервала и существенно ограниченные (в частности, непрерывные') на нем, то ср <g F тогда и только тогда, когда ф g F.
22.J. Если Р ^9 и существует такая непрерывная функция ср е F, что ср (О =А0, IeJ.toFg 9 к- Для F е Ь^~ это достаточное условие является также и необходимым.
Доказательство. Для доказательства достаточности предположим, что Д с: J — компактный подинтервал, и положим о = min|cp(Q |>0. Тогда х7,<?о-1 |ф |, откуда х;, eF. Чтобы доказать необходимость нашего условия для Feb^y, заметим, что существуют неубывающая последовательность (jn) компактных интервалов, таких, что (J 7rt = 7, и последовательность (срп) непрерывных функций, таких, что Х^^Фп^Х/ > n= 1, 2 Поэтому (срп) является возрастающей последовательностью в F.
У 2"'IcpJp'cpJ есть F-последовательность 1/
Коши, которая сходится к некоторому cpeF. Но 0 ^ |фп|р‘ Фп ^ ^|Ф11р‘, так чт0 последовательность равномерно сходится к своему L-пределу, который равен ср. Поэтому ср непрерывна и ф ^ 2-n|cpn|~'Ху для любого п. Так как (J Jn = J, то ср нигде не обращается в нуль. 4,
Очевидно, что 9К есть подрешетка в 9, а Ъ9К есть подрешетка в 9 к (и в Ь9). Ни одна из них не обязана содержать пересечение бесконечных подклассов, но если Ре9к. G е 9 и G>F, то, очевидно, G е 9 к- Поэтому 9 к содержит объединение любых подклассов в предположении, что оно существует в 9, т. е. в Л. Если Ре9к, то k0F, kF, !Ре9к и bF, 1сРеЬ^~л; если F g Ь^к, то также kF; fFeb^K. Квазилокально замкнутые пространства и локально замкнутые пространства из 9 к образуют подрешетки в Ь9К вследствие 22.F.
Парные пространства
Пусть задано Fe.'T Рассмотрим множество F' всех измеримых действительных функций ф на J, таких, что
ффеЬ* J ф(/) ф(/) dtффеЬ* J ф(/) ф(/) dtккдля всех фе2 (F),для всех фе2 (F),(22.1)(22.1)
ффеЬ* J ф(/) ф(/) dt
ффеЬ* J ф(/) ф(/) dt
к
к
для всех фе2 (F),
для всех фе2 (F),
(22.1)
(22.1)
где к зависит только от ф. Так как из включения фЕ1(Р) следует в силу условия (F), что |ф'| sgn ф е 2 (F), то из условия (22.1) вытекает (и, значит, эквивалентно ему) следующее, на вид более сильное условие:
(22.2)(22.2)J | ф(Оф (t)\dt ^к для всех фе2(Т).
(22.2)
(22.2)
Для полных пространств эти условия эквивалентны условию, Которое на вид является более слабым:
22. К. Если РеЬ^Г и ф— измеримая действительная функция, такая, что фф е L1 для всех ф е F, го фЕ F\
Доказательство. Если бы (22.2) не выполнялось, то существовала бы в F последовательность (ф„), фп^0, такая, что фя|р<;2_п, [ ф^^ф^^с//^ 1. Тогда 1^ф; была бы возра- j' 1/
стающей F-последователыюстыо Коши. Если ф — ее Р-предел, ■п
И значит, и L-предел, то мы имеем ф^2фр п=1, 2, ..., .1
откуда вытекает противоречие и^^ J ф«(0 I Ф (О 1^ ^ 1 /
< J ф(01Ф(0!^^<°°-
Очевидно, F' является линейным многообразием и на нем можно ввести полунорму
hlr = suphlr = sup= sup= supJ ф(0Ф(0 dtJ ф(0Ф(0 dtфе£(Р)фе£(Р)|ф(0ф(0|с?/: фе2(р)1<оо.|ф(0ф(0|с?/: фе2(р)1<оо.(22.3)(22.3)
hlr = sup
hlr = sup
= sup
= sup
J ф(0Ф(0 dt
J ф(0Ф(0 dt
фе£(Р)
фе£(Р)
|ф(0ф(0|с?/: фе2(р)1<оо.
|ф(0ф(0|с?/: фе2(р)1<оо.
(22.3)
(22.3)
22.L. Если ¥е9", то (k0F)'= (kF)' = (fF)' = (bF)'= (Ic F)'= — F' (как пелунормированные пространства).'
Доказательство. Так как k0F, kF, fF, bF, IcFe,^" и lck0F = = 1c kF = 1c fF = 1c bF = 1c F, то достаточно доказать, что (lcF)'=F'. Предположим, что ^eF, и рассмотрим произвольное ере 2 (1с F). Из 22.С следует, что существует возрастающая последовательность {ср„} в ^(F), ср„^О, имеющая предел Пт'фп = | ср |. Из (22.3) и теоремы Б. Леви получаем
L
. J |ср(СФ(О\dt = lim J ЖОЖО1.^ ^|ф|Р,.
.77.
Поэтому -ф = (1с F)z, откуда F'ceQcF)' и |ф|(|с п ^|ф|Р,. Обратные включения и неравенство следуют сразу из неравенства F<lcF. 4,
Если мы предполагаем только, что F е 9" или даже Fe b^, то вполне может статься, что | • |F, не будет нормой (если все функции из F равны нулю п. в. иа некотором фиксированном ненулевом измеримом множестве EcJ) или, даже если она будет нормой, что изфеР' не следует, что ф е L. Однако справедлива следующая теорема:
. 22.М. Если Ре9"к, то F' — нормированное пространство с .нормой (22.3), являющееся локально замкнутым пространством из bf?^ и | X/JF, — а (F; /') для каждого компактного подинтервала Ге]. Отображение ф—>ф*: F'—»F*, определяемое функционалом (ср, ф*) = J ср(Оф(Ой/, является изометрическим мономорфизмом, и справедливо следующее «неравенство Гёль- дера»:.
| (ср, ф*) | ^ J | ср (/) ф ДрД1 ^|<р|к|ф|р/ для всех фЕр, феР'.
7(22.4)
Если F, Ge9~K, F-<G, то F'^G'. Для любого Fg Т к мы имеем F" = lcF; отображение F -►F' является инволютивным решеточным антиавтоморфизмом решетки локально замкнутых пространств в 9"к- .
Доказательство. Пусть задано фер'. Для каждого компактного подинтервала Ге] мы имеем xreF и потому [ | ф (/)№=[ Ху^) ЖW^|x7JfHIF'. Отсюда следует, что
|ф|Р, = 0 тогда и только тогда, когда ф = 0. Таким образом, | * |р, действительно является нормой, F' удовлетворяет уело-
вию (N) и a(F'; /')^|Xy'jF- Очевидно, F' удовлетворяет также условию (F). Изометрический мономорфизм F' в F*, так же как и формула (22.4), следует непосредственно из определений. Далее, для каждого компактного подинтервала J'с J мы имеем sup j J ^(^^(Odf: V(F)
= sup| [ [ф(01^: фЕДР)1 = а(Р; J').
Поэтому /Др', откуда F'e$FK и |Xy|F, = «(F; Г).. ■
Если (ф„) — F'-ограниченная возрастающая последовательность положительных элементов из F' и ф = НтЕ'фп, то в силу (22.4) f | <р (/)!ф„ (/) dt CI^If' Для вссх Фе-(Б), п=1, j
.... Из теоремы Б. Леви следует, что J |ф (f)!^ (О dt ^ ^Нт|ф,1|р- лля всех (pe^i'F), Поэтому феР' и |ф|г^ ^1(т|фп^- Из 22.Е вытекает, что F' локально замкнуто.
Тот факт, что из соотношений F, Се£"к, F Д G следует неравенство F' > G', очевиден. Точно так же очевидно, в силу (22.4), что F ■< (F')'=F" для любых РеДк. Так как F" локально замкнуто, то мы получаем 1с F ^ Р". Для установления равенства нам следует доказать обратное неравенство F^^lcF. Так как, согласно 22.L, F"=(lcF)", все приводится к доказательству того факта, что F"4F, когда F локально замкнуто. Для этой цели мы существенным образом используем метод Люксембурга и Цаанена ([1], теорема 1).
Предположим, что F локально замкнуто. Выберем неубывающую последовательность (Д) компактных интервалов, таких, что U Jn= ^- Для каждого п множество 2ffl = xz S (F) не пусто, выпукло и L-замкнуто (^так как F содержит |Ху4~'Ху' и локально замкнуто).
Пусть заданы феР" \ {0} и р>1, и пусть ф„ = = min | |ф |, пх, } ^ F. Если мы отождествим функции, обращающиеся в пуль вне Д, с их сужениями на ]п, то множество ^п будет выпуклым и замкнутым в y^L1 и не будет содержать р|фп|р’фп. Ввиду канонической конгруэнции между (y^L1)* и y^L00 (см. 20.А) из теоремы Хана — Банаха вытекает
в. обращающейся f ©п(0ф W dt ^1в. обращающейся f ©п(0ф W dt ^1существование такой функции o„eL“, п. в нуль вне /„, что [ рип (f) ф„(Л dt ^|фп|р и
в. обращающейся f ©п(0ф W dt ^1
в. обращающейся f ©п(0ф W dt ^1
для всех фе2„. Из последнего факта следует, что g^e^F') и потому р|<р|F„^ р|срп|/^>|Фп!f Для всех р>1 и всех п. Так как (фп) — возрастающая последовательность положительных элементов из F, имеющая предел Пшьфп = |ф|, и, как видим, F-ограниченная, то из 22.Е следует, что фЕр, I ф |F ^ IФ |Г/, так что действительно F"^F.
На решетке локально замкнутых пространств из 9" к отображение F—> F' обращает порядок и инволютивно (так как F"=lcF=F), а следовательно, биективно. Поэтому оно является решеточным антиавтоморфизмом. 4,
Замечание. В силу 22.L предположение F <= 5"к в 22.М может быть заменено более слабым предположением F е ГГ, IcFe^^.
При выполнении любого из предположений предыдущего замечания F' называется пространством, пари ы м к F.
22.N. (1/)'=1Д p-v + q-' = \, l^p^oo, и (L”Y=V. Следовательно, I/ локально замкнуто, 1^/т^оо. Если F^9~K, то F' слабее, чем L” \чем L1], тогда и только тогда, когда F сильнее, чем L1 Y4eM L°°], Если F^9~K квазилокально замкнуто, то F' сильнее, чем L” \чем L'], тогда и только тогда, когда F слабее, чем L1 \чем L“],
Доказательство. Из 20.А п 22.М. следует; что (L7')' = L9, p~x-Vq-1=l, 1 ^ р <°о, и что L1 является подпространством в (Ь°°У = (Ь“У. То, что это подпространство не является собственным, вытекает из включения 1еГ(Ь”). Оставшаяся часть утверждения следует из 22.М. 4-
Тонкие пространства
Пусть В, Ве.У. Мы говорим, что пространство D тонко по отношению к В, если для каждой непрерывной функции Ф е D, ф(/)лЛ0, 1^1, существует функция ф е В, такая, что ф>Ф-1 ^ L*. (Определение не затрагивает алгебраической и топологической структур пространств В и D и имеет смысл для любых двух множеств измеримых функций. Однако нас не интересует такая общность. См., впрочем, § 24, стр. 97). Очевидно, если В, Bi, D, D] е 9" и Bj слабее, чем В, D] сильнее, чем D, и D тонко по отношению к В, то D, тонко по отношению к В,. В силу 22.J D, очевидно, тонко по отношению к любому В, если D^9"k. С другой стороны, если J компактно и D е 9~к, то.
1 eD и D, очевидно, нс является тонким по отношению ни к какому В. Отсюда некоторые ограничения, налагаемые в следующей лемме. Нас не интересуют также осложнения, возникающие, если В не полно.
22.0. Предположим, что интервал ] не компактен и что Beb.f", D е ^ц. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.
D тонко по отношению к В;
если ф е D непрерывна и ф(/)^0, t <= J, то ф-1 ^ В';
если ф е D, тр е В' непрерывны, то lim inf ^(/)tp(/) | =0 при t, стремящемся к .множеству концевых точек J, не принадлежащих J;
D тонко по отношению к 1с В.
Если В е Ъ^к (или по крайней мере 1с В е Ь^к), то предыдущие условия эквивалентны условию
В' тонко по отношению к D', а если D, кроме того, локально замкнуто, то они ему эквивалентны. ■
Доказательство. Импликация (а)-> (Ь) вытекает тривиально из определения В'; импликация (Ь) -> (а) следует из 22.К. Импликация (с) —> (Ь) тривиальна (полагаем 1р = ф"1); импликация (Ь) ->• (с) очевидна для ф и хр, нигде не обращающихся в нуль, и сводится к этому случаю, поскольку каждая непрерывная функция с компактным носителем принадлежит и D и В' (последнее проверяется непосредственно). Эквивалентность (а) и (d) получается использованием (Ь) и того факта, что (1с В') = = В' (согласно 22.L).
Предположим, что IcBebiTV В условие (с) пространства D и В'= (1с В)' входят симметрично. Поэтому из (а) — (d) следует, что В'*тонко по отношению к D', если D = D", т. е. в силу 22.М, если D локально замкнуто (и D'gB/T", что всегда верно), а следовательно, и если D квазилокально замкнуто. Обратно, так как В' локально замкнуто, из (с) следует, что D" = lcD и тем более D топки по отношению к В" = 1с В, так что верно (d). 4-
Замечание. Требование к локальной замкнутости для справедливости импликации (а)->(е) в 22.0 нс является избыточным: L” тонко по отношению к L1, но (L1)/ = L°° не тонко по отношению к (Ь”У = I/.
22.Р. Если р(/)=оо, ВеЬЗД, ВеЗД- и D сильнее, чем В, то D тонко по отношению к В.
Доказательство. Если непрерывная функция ф е D, ф(/)=£0, tei, удовлетворяет условию фф"! е L1 для всех ф е В, то она удовлетворяет этому условию, в частности, при ф = ф и, следовательно, 1 е Lb что абсурдно. 4,
Области R, R_, R+. Разрезание и сращивание в нуле
Этот пункт, который не потребуется вплоть до гл. 8, посвящен изучению отношений между ^-пространствами функций, определенных на R, с одной стороны, и на R- и R+— с другой. Не представляет труда распространить все рассуждения на случай произвольного интервала /, разрезанного на два интервала внутренней точкой, но мы предпочитаем рассматривать только указанный частный случай.
В этой связи мы используем следующие соглашения: под областью изменения / понимается R, если явно не оговорено противное или если это не явствует из следующего соглашения: : нижний индекс — или + у функции, определенной на R, обозна- . чает ее сужение на R- или R+ соответственно, а применительно я к другим символам этот индекс указывает на R- или на R+ как • на области определения в смысле, поясняемом в каждом случае отдельно. Верхний индекс — или + используется просто для I удобства; в частности, мы пишем Х~ = XR * Х+ = XR (эти функции определены на всем R). Относительно знаков ± и + в лю- боу: положении мы условимся, что одновременно во всей формуле или предложении берутся либо все верхние знаки (которые могут быть как верхними, так и нижними индексами), либо все нижние знаки, и рассматриваемая формула применяется или . к обоим случаям сразу, или к одному из них в соответствии с контекстом.'
Так, если L = pL, то мы полагаем L± = R L. Отображение Ф~>ф_©ф+ является, очевидно, изоморфизмом в смысле пространств Фреше пространства L на внешнюю прямую сумму L_®L+. Если 5F = К5Г, то мы опять полагаем З^Д = ^^ и ■ аналогично для Ь^", ^к и т. д.
Если Ре!Г, то мы обозначаем через F± нормированное пространство,- являющееся алгебраическим множеством {ф±: Ф^Р} и имеющее норму |ф±|г =1х±ф|Р- Заметим, что- норма корректно определена и что отображение ^ф—>ф± есть- конгруэнция между подпространством ^F = {фе F: %+ф = 0} в F (оно является подпространством в силу условия (N)) и пространством Р±. Все это имеет смысл в силу условия (F). Далее мы будем писать |ф±|р .вместо |ф±|р . Доказательство следующих результатов может быть проведено непосредственно и предоставляется читателю (ср. Шеффер [6], леммы 3.1—3.4).
22.Q. (1) Предположим, что РеД Тогда F±eF±. При
■ этом феР в том и только в том случае, если ф± е р±. Более
точно, отображение ф—>Ф_®ф+ является изоморфизмом F на F_®F+, и тах_+|ф±|р<|ф|Р<|ф_|р + |ф+|р.
(2) Отображения F->F±: ^"-^-3"+ являются сюръективными полными решеточными гомоморфизмами и коммутируют с операторами 1с, Ь, к0, к, f и (при F е 3" к или по крайней мере к'Ре^к) с операцией перехода к парному пространству. Если F локально замкнуто или обильно, то оба пространства F± локально замкнуты или обильны соответственно.
(3) Отображение F-> (F„, F+): 3"->3'-Х3'+ сюръективно. Если F, GeF, F± = G±, то F и G эквивалентны по норме. F^3~ полно, скудно или принадлежит 3"к тогда и только тогда, когда оба пространства F+ полны, скудны или принадлежат 3"к* соответственно.
Замечание 1. В силу 22.Q (2) обозначения 1с F±, bF± и т. п. являются недвусмысленными, и скобки могут быть опущены.
Замечание 2. (Lp)± = fi Lp, 1 ^ р ^ °°, и (в“)^ = ^^L”. Поэтому обозначения I®, L”± недвусмысленны.
Класс З^Х)
В качестве, области изменения t мы вновь рассматриваем некоторый интервал /. В этом параграфе мы пока рассматривали только функции, принимающие действительные значения. Обратимся теперь к пространствам функций со значениями в заданном банаховом пространстве X. Для каждого пространства F е 3" обозначим через F(X) нормированное пространство (классов эквивалентности) сильно измеримых функций f; J^-X, таких, что ||Л1 е F, с нормой !Проо = Hl f Ир- ® индексе у знака нормы мы будем по возможности опускать аргумент X. Мы видим, что F(/?)=F, и это соответствует нашему соглашению об обозначениях. Обозначение Lp(X), 1-^р^оо, введенное ранее, согласуется с нашим новым определением.
Класс {F(X): рЕ.ф для фиксированного пространства X обозначается через 3"(Х). Смысл этого обозначения раскроется полностью дальнейшими результатами, из которых будет следовать, что свойства пространств F(X) вполне отражают свойства соответствующих пространств F.
22.R. Если G — нормированное пространство сильно измеримых функций J->X, то G^3~(X) тогда и только тогда, когда G удовлетворяет условию (N) (т. е. Ое,-Г(Х)) и следующему условию;
(FA). Если j е G и функция g; J -> X сильно измерима и удовлетворяет неравенству ||g||<l7H, то g (= G и |g|G ^IHg'
Доказательство. См. Шеффер [I], теорема 3.1. 4*
22.S. 9"W является подрешеткой в Л’(Х). Отображение F->F(X): 9" -* 9" (.X) является полным решеточным изоморфизмом, коммутирующим с операторами 1с и Ь. Пространство 9"(Х) полно, локально замкнуто или квазилокально замкнуто тогда и только тогда, когда F полно, локально замкнуто или квазилокально замкнуто соответственно. Для каждого F е 9" имеем <x(F(X); /')=a(F; /') для всех компактных подинтервалов J'czJ.
Доказательство. См. Шеффер [1], теоремы 3.2, 3.3, 3.4, 3.8 и следствия 3.1 и 3.6. Последняя часть сразу следует из доказательства 22.R. 4г
В силу 22.S такие обозначения, как VF$(20, lc F(X) и bF(X), недвусмысленны и не требуют дополнительных скобок. Если мы очевидным образом определим k0(F(X)), k(F(X)) и f(F(X)), то из 22.R и 22.S легко следует, что они равны соответственно (k0F)(X), (kF) (Y) и (fF)(X), и мы можем опустить скобки. Естественным образом пространство F(X) из 9"(Х) называется скудным или [квази] о б и л ьи ы м тогда и только тогда, когда F соответственно скудно или [квази] обильно. Точно так же, если J = R, обозначения F±(X) и т. п. в смысле предыдущего пункта недвусмысленны и не требуют использования дополнительных скобок. Подобным же образом мы можем писать b^"(.Y), 9"±\Х^ и т. д.
22.Т. Если FGaT, то Р(Х) рефлексивно тогда и только тогда, когда F и X рефлексивны.
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 3.9. Этот результат по существу принадлежит Гальперину [1]. 4-
Для спаренных пространств X и X' и пространства FeS'k (а также в несколько более общем случае) мы исследуем отношения между F(Y) и F'(Y'), где F'—пространство, парное к F.
22.U. Предположим, что X и X' — банаховы пространства, спаренные посредством (•, •), и что F е 9" с lc F е 9" к (в частности, Fg9"kV Если f'^L(X'), то следующие утверждения эквивалентны;
Г^РЦХ'у,существует такое k'^Q, что J всех feF(X);'существует такое йо^О, чтоГ^РЦХ'у,существует такое k'^Q, что J всех feF(X);'существует такое йо^О, чтоam, rm)dtam, rm)dt<MHF для<MHF для/ am, rm)dt/ am, rm)dt<^olflF<^olflF
Г^РЦХ'у,
существует такое k'^Q, что J всех feF(X);'
существует такое йо^О, что
Г^РЦХ'у,
существует такое k'^Q, что J всех feF(X);'
существует такое йо^О, что
am, rm)dt
am, rm)dt
<MHF для
<MHF для
/ am, rm)dt
/ am, rm)dt
<^olflF
<^olflF
для всех f g k0F (X);
и тогда |f [V есть общая нижняя грань значений к и к0, удовлетворяющих (Ь) и (с) соответственно.
Доказательство. Из (а) следует (Ь). Если feF(X), /'еР(Х'), то из сильной измеримости f и f' и непрерывности (•,•) следует измеримость (Д f). Так как Д||е F, Ц^ЦеЕ', то из 22.М с замечанием и (22.4) следует неравенство
<7(0, i'^dt<7(0, i'^dt</llf(0 Illi f' (0 ll^<l/lFl/'|F„
<7(0, i'^dt
<7(0, i'^dt
так что (b) выполняется c inf к ^ |/'|F„
влечет (с). Тривиально c inf k^^ inf к.
влечет(а). Пусть задано ?_> 1, и пусть л —соотвстствую-
щая функция,определенная в 12.Е. Для любого ср еk0F положим
f m _J 1 ф ^ 1 я ^' ^) при ^ ^ ^ °’
.ич-у 0 при ^(/) = о.'
Так как множество {/: f' (0=7^0} измеримо, а л непрерывна, то / сильно измерима. Из 12. Е следует, что ||/||^Х|ф|, откуда / е k0F (X), | /|р | ф)р. Вновь используя 12.Е, заключаем, что (/, Г) = I Ф III/' II, и, применяя (с), получаем J | ф(0 |||/' (/) \\dt <
: ^Х^о|ф|с. Поскольку феЕР произвольна, мы имеем ||f'||e ^(lX)XF- („ силу22. L), т. е. Г «ИГ) с \П^.к.. Так как к > 1 произвольно, то |/'|р, ^ inf fe0. 5,
;^-пространства дают важные примеры отношения =ф, вве- . денного в конце §21..
V. Пусть X, У, Z — банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем, причем F е ^ и G е,Ш У]). Если G < L°° ([X; У]), то F ([У; ZJ) • G => F ([X; Z]) и G • F ([Z; X]) => =^F^Z; У]); если G<L0°°([X; У]), то F ([У; Z]) ■ G =Ф kF ([X; Z]) и G -F([Z; X])^kF([Z; У]).
Доказательство. Это очевидно, если воспользоваться 21. РЕ 4,
Другой пример: для любого Fe5" с 1cFe^~k и любого банахова пространства X имеем F'(X*) -F(X) лф L1. Это следует из 22.U.
(/-пространства
Классы °Г, ZT^
Всюду в этом параграфе под / подразумеваются R или R+, если не оговорено противное, и широко используются операторы
сдвига и усечения, определенные во введении. Мы вновь рассматриваем пока пространства функций, принимающих действительные значения.
Класс д' состоит из всех пространств Veg-, которые удовлетворяют следующим дополнительным условиям:
(Z) F ^ {0};
(Т) если феР, t^R, то Гт(рЕр, |Гтф|р^jфjp.
Если J = R, то из (20.4) следует, что неравенство в условии (Т) может быть заменено равенством. . ■
Если J = R-, то из условия (Т) в силу (20.6) вытекает следующее условие:
(Т*) если фЕр, тей+1 то Р^фЕр, |Гтф|р = |ф}Р. В действительности (Т) эквивалентно условию (Г*) вместе с дополнительным условием «если фЕр, те/?+, то ГГфеЕ». В самом деле, ввиду условия (F) если справедливо (Т^) и дополнительное условие, то из (20.6), (20.8) и (F) следует, что 1лдр!рЧгГл-ф|р = |<М1р<1ф1,,
Для J = R+ мы определим класс д'* как класс всех пространств Fe5", которые удовлетворяют (Z) и (7^); таким образом, он содержит д' как подкласс.
Обсцее замечание 1. В этом параграфе все результаты, касающиеся J', доказываются для / = /?+, но справедливы также и для J = R (все исключения отмечены), причем доказательства остаются теми же с незначительными изменениями или даже упрощаются и предоставляются читателю; исключением является, конечно, пункт о разрезании и сращивании в пуле (стр. 72), в котором обе области изменения t встречаются одновременно. Мы не используем обозначений RJ, ^^7 Для различения этих двух классов д', потому что они не вполне аналогичны.
Обицее замечание 2. При использовании многочисленных ссылок па работу Шеффера [1], читатель должен иметь в виду, что наши классы 9" п д'"* при J = R _ обозначены в этой работе через д-^' и 9" соответственно.
Для пространств FeZ^ число s0(F), определенное во введении (стр. 54), существует вследствие (Z) и играет важную роль. Очевидно, что so(F)=O при РеУ" (ври J^R^. Для любых FetT^ и т е R+ мы определяем пространства 7Др и 0ГР как линейное многообразие {т^ф: фер] и подпространство {0Tcp: феР} в F соответственно. Оба наделяются нормой из F.
А. Если F^g"*, teeR + , то T^F, . 0tF е £7*Л ТДР^втР^Р (с заменой второго неравенства на равенство, если т<-$0(Р)), s0(7+F) = t + s0(F), s0(OtF) = max [т, s0(F)}.
если воспользоваться тем,если воспользоваться тем,Доказательство. Это очевидно, что ©^+ = 7+ (см. (20.6)). ^
если воспользоваться тем,
если воспользоваться тем,
В. (1) 9" есть подрешетка в 3" и содержит пересечение любого бесконечного подкласса в предположении, что оно не равно {С}, и объединение любого бесконечного подкласса, если оно существует в 9", т. е. в Л3.
Пересечение любого конечного подкласса в 9"У принадлежит 9~У; это же относится к пересечению бесконечного подкласса, если оно не равно {0}; кроме того, Хо(ДРр) > sup So(F^), причем если подкласс конечен, то имеет место равенство.
Если множество индексов Е совершенно упорядочено и если F^e^T^, cgH и F^^F^- при |<V. то VFt е9"^, в предположении, что объединение существует в 9"^, т. е. в Л3.
Доказательство. См. Шеффер [1]. теорема 4.2 и следствие 4.1. Отметим, что тот факт, что FA С=^{0} при F, Gg7 или 9""У, вовсе не тривиален. 4,
IIЗамечание. Хотя Д'”* не является подрешеткой в 3", оно представляет собой условно полную решетку с отношением порядка ^: операция пересечения та же, что и в ^ (т. е. в eV). Если В—непустое множество индексов, FgEj* и F^e,/^, Fj ^ Fo для всех
I
I
£ е В, то объединение V* F^ еГ совпадает алгебраически с объеди-
'V F^''V F^'пением \/ Fj в 3", и если ф е ^ Fs, то ) ф lv->F = infTe^
'V F^'
'V F^'
f переводят 9" в 9" и Э"Уf переводят 9" в 9" и Э"УСуществуют и другие эквивалентные способы описания этого объединения. Мы опустим доказательства этих утверждений; отметим лишь, что тот факт, что для любых Fb F2eJ* существует Fgej'*, Fb F2 ^ Fo, следует из 23. G.
f переводят 9" в 9" и Э"У
f переводят 9" в 9" и Э"У
С. Операторы b, 1с, k0, k, 6 9"*.
Доказательство, Относительно b и 1с см. Шеффер [1], теоремы 4.3, 4.4. Для к0, к и f результат тривиален. 4,
Введем обозначения \т9" = Ь^ П9-, Ь9"> = Ь^- Q9~'y, 9"к = -с^кП^Г, Ь9-К = Ь.ТКС\9-.
23.D. Пространства ЬЗ", 9~к, Ь9~к являются подрешетками 3", причем первое из них содержит пересечение любого подкласса в предположении, что это пересечение ¥={0}.
Доказательство. Следует из 22.В, 23.В (1) и того факта, что 9"к и Ь9"к являются подрешетками в 9". &
Инвариантность относительно сдвигов, выражаемая условием (Т) пли (Г*), влечет за собой некоторую «однородность» £Г-про-
странств по отношению к области 7. Типичной и важной иллюстрацией является следующее свойство функции «(F;/'):
(1) Если F е 9" и Г cl J — компактный интервал с р(7') = 1, то a(F;/') = a(F; [0, /]).
(2) Если FeIT* и J'ccR+— компактный интервал с ц(Е)=1, то a(F;7') <a(F;[s0(F), $o(F) + /]), причем если Г a [s0(F), оо), то имеет место равенство.
Доказательство. Что касается (2), см. Шеффер [1], след-' ствие 4.3. Для случая J = R+ (1) следует из (2). Для J = R (1) тривиально. 4,
■ С учетом 23.Е определим функцию a(F;/) для />0 следующим образом: положим ее равной a(F; [s0(F), s0(F) + /]) для Fe^'> и равной a(F;[0,/]) для Ее 9". Эта функция будет изучаться далее (стр. 82).-
Очевидно, Lpeb9"K, l^p^oo, причем a(Lp, /) = /1-р (стр. 59). Введем еще два важных пространства из Ь^^. Про-
< + 1
странство М состоит из всех фЕ L, таких, что sup | ф(п)\du< оо, ten J
*t .
с этой верхней гранью в качестве нормы. Положим М0 = кМ. Легко видеть, что Мо может быть охарактеризовано как подпространство в М/ + 1, состоящее из таких феМ, для которых f+i
lim J |ф(м)Ши = 0. Заметим, что, выбирая длину интервала интегрирования отличной от 1, мы получим пространства, эквивалентные по норме М и Мо.
23.F. М, Мо ее Ъ9~к", М локально замкнуто; Мо не содержит крепких функций..
Доказательство. Все это тривиально, за исключением локальной замкнутости М, для доказательства которой следует использовать 23.Е и теорему Б. Леви, j,
Чрезвычайная важность М вытекает из следующего непосредственного следствия леммы 23.Е (и того факта, что к сохраняет порядок):
23.G. М является слабейшим пространством, а Мо — слабейшим скудным пространством в 9" ив 9"*. Более точно; если Е е 9~ или F е 9"*, то F ^ a (F; 1) М; если F, кроме того, скудно, то F^a(F, 1)М0 и F не содержит крепких функций.
Оператор Т ■
В этом пункте мы исследуем взаимоотношения между классом 9"* и его подклассом 9", так что мы предполагаем J = R+. Нашей задачей является построение расширения каждого ”, возможно более близкое к какому-либо пространству из 9". Таким способом мы надеемся научиться сводить вопросы, касающиеся пространств из 9"^", к соответствующим вопросам о более «податливых» пространствах из 9". С этой целью мы определим T-F как линейное многообразие (г?ф: ф£р, т (= /?+} с нормой iTtvIr^ = |®гф|Р. Это определение имеет смысл в силу (20.8) и условия (F) и является однозначным, так как если 7^, = 7~Ф2 при, скажем, т2>тр то, согласно (20.7), 0 ф2 = T^T^m = Т*’ Т*!^ = Г^_т@тф.. Отсюда и из (l^ получаем |0тф1 |р = |0тф2|р. Ясно, что тем самым определена норма. Определение это подходит для наших целей:
23.Н. Если F^^, то T-F^g-, T-F=A(G: GeT", G > F}; a(T~F; /) =a(F; /) для всех />0; каноническое вложение F—<-7^F (фактически F->0SoT-F, где sq— s0(F)) является изометрическим. Если F е ^9"*, то каноническое вложение T^F-^- ->-bT-F является изометрическим и, следовательно, таковым же является каноническое вложение F->b7“F. Оператор Т~ является возрастающим, сохраняющим порядок и идемпотентным на 9"*, и его сужение на 9~ есть тождественный оператор. Наконец, Т” коммутирует с операторами к0, к и f-
Доказательство. См. Шеффер [1], стр. 237. Последнее утверждение тривиально. ф.
Вообще говоря, из полноты F не следует полнота T~F. Для квазилокально замкнутых F это, однако, так, и верно даже значительно большее — такие пространства являются в точности усечениями 7_F.■
23.1. Если Fe.E^, то Т” 1с F = 1с T~F. Если F ^квази] локально замкнуто, то T~F также [квази] локально замкнуто и F = OsJ-F = Ttj-F, T~F = {t^-. ф^г), где s0 = s0(F).
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 4.7. 4,
Класс 9"к
Рассмотрим более подробно класс 9"к при J = R и J = R+. Мы уже знаем, что если Fe Д то Fg 9~ к тогда и только тогда,
когда характеристическая функция каждого подиптервала в J принадлежит F. Но из (Т) и (F) сразу следует, что для этого ' необходимо и достаточно, чтобы F содержало характеристическую функцию какого-нибудь одного компактного подинтервала в /, например Х[о, щ
При F е £Г к оказывается полезным ввести обозначение P(F; О = |Х[о h|f = |^j'|f’ ГДС Z'— произвольный компактный иод- интервал в / с ц (/') = (• Очевидно, P(F; /) является для заданного F неубывающей субаддитивной функцией от Z и удовлетворяет при всех Z > 0 соотношениям.
a(F; Z)p(F; l»l,(23.1)
p(F; Z)>p(G; Z) при F<G,(23.2)
P(k0F; Z) = p(kF; Z) = p (fF; Z) = p (F; /). *
Таким образом, p(F; Z) является своего рода антиподом для * a(F;Z). Это яснее будет видно ниже (стр. 82).
Любое FeEк должно содержать вместе с функцией Хщ ц все ее сдвиги, все их линейные комбинации и все функции, ограниченные абсолютными значениями таких линейных комбинаций. Эти замечания объясняют необходимость введения двух новых специальных пространств, из которых первое будет д.чя нас более важным. Пространство Т состоит из всех феЬ, таких, что
нфл/м(23.3)
для некоторой последовательности (т„) в R и некоторой последовательности (an) в R+ с Son<°° с нормой inf^On, где ।i
нижняя грань берется по всем парам последовательностей, удовлетворяющим условиям (23.3). Пространство S определяется аналогично, только последовательности предполагаются конечными.
23.J. Пусть Т е Ь^"к, и пусть Т локально замкнуто и скудно, koT=S и bS = T. Тогда Т является сильнейшим пространством в Ь£ГК. Точнее, если Feb^", то Feb9"к тогда и только тогда, когда F слабее, чем Т, и тогда F>p~'(F; 1)Т. То же самое заключение справедливо, если ЬП", Ь9~к заменить на ТГ, 9" к и Т заменить на S = k0T. Если ф^Ь удовлетворяет неравенству | Ф (0 I ^ Ре~а 1/1 для всех t, где р, а>0, то ф е Т- ■
Доказательство. См. Шеффер [1], раздел 4.4, стр. 238—247. Равенство S = k0T следует из того факта, что каноническое вло-
жение S -^Т является изометрическим, а скудность — отсюда и из того, что bS = T. Последнее утверждение очевидно ввиду определения Т. 4-
Имеется весьма важный результат относительно локально замкнутых пространств из 9".
23.К. Если Fe;T локально замкнуто, то F е Тк и a(F; I) p(F; /) <С 2/ для всех 1>0.
Доказательство. См. Шеффер [2], теорема 2. 4-
23.L. Класс квазилокально замкнутых пространств из хГ является подрешетпой в Ь9~к, о класс локально замкнутых пространств из 9" является подрешеткой предыдущего класса и имеет М слабейшим, а Т — сильнейшим элементом.
Доказательство. Это следует из 22.F, 23.К и 23.F, 23.G, 23.J. 4-
Из 23. К вытекает, что если F е 17" локально замкнуто и если Ф^Р, /' — компактный подинтервал в У и l^yU'V то J | ф(/)\dt s^a(F; /)|ф|р^2ф-1 (F; /)|ф|Р. Неравенство между г первым и последним членами имеет место, даже когда F не является локально замкнутым (но входит в 9" к\ если только Ф непрерывна па /':
23.М. Предположим, что FgKk. Если функция фЕр непрерывна на компактном подинтервале J'cJ и /^р.(/'), то P(F; Z) [ |ф(/) |^<2/|ф|г
г
Доказательство. См. Шеффер [2], теорема 1. Дополнение к доказательству, охватывающее случай />ц(/'), является очевидным. 4-
Пусть РеЬ.Т"к. Часто нас интересуют прежде всего непрерывные функции, содержащиеся в F. Оказывается, что среди всех пространств из Ь7~к, имеющих одно и то же множество непрерывных функций и одинаковые нормы, «наименьшее» обладает, как показывает следующая лемма, очень удобными свойствами. При рассмотрении всех вопросов, связанных с непрерывными функциями, не происходит потери общности при замене F на это «наименьшее» пространство. Аналогичную конструкцию можно провести для неполных Ре/Д, но мы ее рассматривать не будем.
6 Зак. 405
23.Х. Пусть F е Ь£ГК, и пусть Fc = Л (С е Ы7Д-: ф е F из непрерывности следует ф е G, 1ф10 = 1фЦ- Тогда Fcе ЬгГк> FC<F и
если функция ф е L непрерывна, то срЕ F тогда и только тогда, когда фЕрс, и в этом случае |ф|р = |ф|Р; ■
если Г>1>0, то ^ (F; Z)< 0 (Fc; Z) ^ 0 (F; Z');
если Z > О, то 0 (1с Fc; Z) ^ -^- 0 (F; Z).
Доказательство. См. Шеффер [4]. 4
Парные пространства в ф~"
Наиболее важные факты о парных пространствах к ^-пространствам собраны в следующей лемме.
.0. Если YeT и F'— нормированное пространство с нормой (22.3), являющееся локально замкнутым пространством из Ь9~к, то p(F'; /) =m(F; /) для всех Z>0. Если F, Ge;7 и F-Д G, то F'>G'. Для любого F е ГТ имеем F" = lcF. Отображение F-Fявляется инволютивным антиавтоморфизмом решетки локально замкнутых пространств из Д'.
Доказательство. В силу 23.С и 23.К 1с F е У к. Поэтому можно применить замечание к 22.М. Заключение леммы следует отсюда, если отметить тот очевидный факт, что Fz удовлетворяет условию (Т). 4г
Таким образом, мы видим, что для ^-пространств не требуется никаких дополнительных предположений для того, чтобы Fz было нормированным пространством и F'e.T, Из 23.0 и 23.L следует, что Mz эквивалентно по норме Т, a Tz эквивалентно по норме М. В действительности справедлив более простой и более сильный результат:
.Р. MZ = T и Г = М.'
Доказательство. См. Шеффер [1], лемма 4.10. 4,
Функции a(F; Z), P(F; Z). Пространства L1, L°°, L”
В основной части книги мы увидим, что одно из самых важных свойств ^"-пространства F — это поведение функций a(F; Z) и 0(F; Z) (последней в случае F<=YFk} при малых и при больших I. Мы покажем в настоящем пункте, что это поведение тесно связано с взаимоотношениями между F и некоторыми «стержневыми» пространствами, а именно L1, L°°, L”. Хотя некоторые заключения могут быть сделаны и для того случая,
когда F нс является полным, наши основные результаты будут сформулированы только для РеЬ,?".
Напомним сначала некоторые свойства функций a(F; /) (определенной для Ре:Г и ЕеУ) и p(F;Z) (определенной для FeZk). Обе функции принимают положительные значения, не убывают и являются субаддитивными функциями от />0. Мы можем поэтому доопределить их па расширенной полупрямой, положив a(F; 0) = lima(F; Z), a(F; oo) = lim a(F; Z), /->0l-»OO
и аналогично определить P(F;O) и P(F;oo). Монотонность и субаддитивность обеих функций сохраняются. Отметим, что если a(F;0)=0, то a(F;Z) непрерывна. То же верно для p(F;Z).
Для удобства ссылок соберем здесь некоторые свойства указанных функций, либо тривиальные, либо доказанные ранее, с учетом очевидных распространений на случаи Z = 0 и Z = oo (21.А, 21.Е, (21.1), 22.G, 22.Н, 22.М, 23.Е, 23.Н, (23.1), (23.2), 23.К, 23.N). Эти свойства верны для O-^Z-^oo.
a(A,F; Z) = Xa(F; Z), a(F; Z)^a(G; Z)
(23.4) при X > 0, F, Gey или T , F^G;
a(k0F; Z) = a(kF; Z) = a(fF; Z) = a(bF; Z) = a(lcF; Z) = a(F; Z) (23.5)
при F e У или a(T~F; Z) = a(F; Z) при F e У*;(23.6)
P(XF; ZW'ptF; Z), P(F; Z) > p (G; Z)
при Z>0, F, Gey^, F<G;
P(lcF; Z)<p(bF; Z)<p(k0, F; Z) = p(kF; Z) = p(fF; Z) = p(F; Z) .(23.8)
при FeZZK\
a(F; Z)P(F; l»l при F e Ук;(23.9)
<x (F; Z)P(F; Z)^2Z для локально замкнутых F e 5Г\
a(F; Z) = P(F'; /) при F ее У;(23.10)
lp(F; Z)<p(lcFc; Z)^p(Fc; Z)<P(F; Z')(23.11)
при F e ЬУк, Г > Z.
Перейдем к основным теоремам.
23.Q. Предположим, что F е ЬУк- Следующие условия эквивалентны-.
P(F;0)>0;
каждая непрерывная функция из F ограничена-.
множество непрерывных функций из F является Р-замк- нутым;
Fc сильнее, чем L"°.
Если F квазилокально замкнуто, то предыдущие условия эквивалентны также условию
F сильнее, чем L°°.
Доказательство. Докажем импликации (а)(d) --> (с) ->-
->• (Ь) -> (а). Импликация (е)(d) тривиальна, так как F,.•< F;
импликация (а) -> (е) для локально замкнутых F доказана в работе Шеффера [1], теорема 4.20.
Из (а) следует (d). Пусть p(F; 0) = р0>0, и пусть функция q е F непрерывна. Для любых t^J, р>1 существует компактный интервал Г с J, такой, что р| Ф 1^1 ф(/) 1ху,. Поэтому р!ф|Р I Ф (Л IP(F; И (-П) ^ М Ф W I- Так как это справедливо для всех t и р > 1, то мы заключаем, что ф ограничена и что |фКр1;|)ф|1... Поэтому |ф|р = max (|ф|Р, Р0|ф|), так что FA^'L00 является одним из пространств G, фигурирующих в 23. К, ннжняя грань которых есть Fc. Следовательно, Fc ^ =CFAfE V’C^'L”
влечет (с). Предположим, что имеет место (d) и что (фп) является F-сходящейся последовательностью непрерывных функций из F с F-пределом ф. Тогда (ф„) является F-последо- вателыюстью Коши и, следовательно, в силу изометрии Fc-последовательностью Коши, а значит, в силу (d) Ь°°-последова- тельностью Коши, откуда вытекает ее равномерная сходимость к непрерывному пределу. Этот предел является также L-преде- лом и, следовательно, совпадает с ф. Таким образом, ф непрерывна.
влечет (Ь). Предположим, что ф е F — неограниченная непрерывная функция. Существует такая последовательность (т„) в j, что | ф (тп) 12> 2"; п=1, 2, .... Рассмотрим последова
тельность (ф„), определенную формулой ф„ = X 2~!Т-тД ф [. Из (Г) и (F) вытекает, что она является F-последовательностыо Коши. Пусть ф —ее F-предел. Эта последовательность является в то же время возрастающей последовательностью непрерывных функций, так что ф, будучи се L-предслом, будет также и поточечным пределом, причем ф^ф„, п= 1, 2, . . .. Если бы ф была непрерывна, то было бы ф (0) 5? ф„ (0) = 2j 2-< | ф (тг) | ^ и, ।
п = 1, 2, ..., что невозможно. Поэтому множество непрерывных функций в F не замкнуто, что противоречит (с).
влечет (а). Если p(F;O) = O, то существует последовательность (ZJ, 0 < Z„ < 1, такая, что B(F; Ц^п^. Рассмотрим пепересекающиеся компактные интервалы 3 п = н — -^ 1п, п + -£ 1п , п = 1, 2, . .
На / существует непрерывная функция ср, такая, что ф(£) = О при (^[Jjn и О^Ф^Хфрг^и при t^Jn, п=1, 2, .... Очевидно, ф не ограничена. Но ф=^%, фёЕ, так как
Six, ФI <S«₽(F; Z„)< оо. А это противоречит (Ь). 5
J ■" IF ।
R. (1) Предположим, что F е ЬУ. Тогда a(F; 0) > О' в том и только в том случае, если F слабее, чем L1.
) Предположим, что FelX, и пусть s0 = s0(F). Следующие условия эквивалентны-. '
a(F; 0) > 0;
F слабее, чем Qs„L';
F слабее, чем 0TL' для некоторого teR+.
Доказательство. Относительно доказательства (2) см. Шеффер [1], лемма 4.14 и теорема 4.21. Если J = R+, то (1) является частным случаем (2); если J = R, то доказательство (1) аналогично н даже проще, j.
Аналогичные результаты справедливы и при Z^oo.
,23.S. Предположим, что F е Ь£Гк- Следующие условия экви
валентны;
‘(а) P(F; оо)> оо;.
F слабее, чем L”;
1с Fc слабее, чем L°° (или, что то же, чем■
; Предыдущие условия вытекают из условий
F слабее, чем L°°;
F содержит крепкую непрерывную функцию, а,в случае, «когда F квазилокально замкнуто, все перечисленные условия ^эквивалентны.
Доказательство. Эквивалентность (а) и (Ь) доказана в работе Шеффера [1], теорема 4.22. В силу (23.11) имеем yP(F; oo)^p(lcFf; oo)^p(F; оо), так что (а) справедливо тогда и только тогда, когда р (1с Fc; оо)<оо. Доказанная
эквивалентность в применении к локально замкнутому пространству 1с Fr вместо F означает эквивалентность (а) и (с).
Из (d) следует (е), так как 1 е L°°, а 1 крепка и непрерывна. Предположим, что выполняется (е), ф е F крепка и
непрерывна, J ф(н)б/н^х, tel, для некоторых А, х>0.
Согласно 23. М,■■
ПЛ
nxP(F; nA)^P(F; м) J ф (u) du «С 2п-Х| ф|Р,о
так что P(F; оо) ^ 2х-1 А|ф|Р< оо, и из (е) следует (а).
Если F является квазилокально замкнутым пространством, то из (Ь) очевидным образом вытекает (d). 4г
Замечание 1. Если F кзазилокально замкнуто, то слово «непрерывную» может быть опущено в (е) в силу замечания, предшествующего 23.М.
Замечание 2. На соответствующий вопрос относительно a (F; со) ответ дается тем тривиальным наблюдением, что для любого V е Д' или Д'* тогда и только тогда ct(F; оо) < со, когда F сильнее, чем L1.
Мы можем использовать теперь эти результаты для усиления второй части 22.N. ’
23.Т. Предположим, что РеЬГ. Тогда
F' слабее, чем L°°, или эквивалентно, чем L”, тогда и только тогда, когда F сильнее, чем L1;
F' слабее, чем L1, тогда и только тогда, когда F сильнее, чем L°°;
F' сильнее, чем L°°, тогда и только тогда, когда F слабее, чем L1;
если FebTк, то (Fc)' сильнее, чем L1, тогда и только тогда, когда F слабее, чем L”.
Доказательство. (1) и (2) следуют из 23.0 и (первой части) 22.N; (3) следует из 23.Q, 23.R и (23.10), если принять во внимание, что в силу 23.0 F' локально замкнуто. Для доказательства (4) заметим, что, согласно 23.0, локально замкнутое пространство (Fc)' тогда и только тогда сильнее, чем L1. когда (Fc)" = lcFc слабее, чем (LI)/=L°°, а это в силу 23.S бывает тогда и только тогда, когда F слабее, чем Lo°. 4-
Тонкие пространства
Рассмотрим применительно к ^-пространствам отношение «пространство D тонко по отношению к пространству В», вве-
денное в § 22 (стр. 70). Первая часть следующей леммы позволяет нам ограничиться случаем, когда ВеЬД даже если / = /?+.
.U. (1) Если J = R+, ВеЬ^"> и D е З^к, то D тонко но отношению к В тогда и только тогда, когда D тонко по отношению к ЬТ^В е ЪсГ.
2) Предположим, что В е Ь£Г и D е$Гк- Каждое из следующих условий является достаточным для того, чтобы D было тонко по отношению к В:
B = L' и D не слабее, чем L°°;
В не сильнее, чем L1, или ВеЬ.Тк не слабее, чем L”;
D сильнее, чем Мо, в частности D скудно;
каждая непрерывная функция срЕ D удовлетворяет условию
<+д
infinfф(ы)№: /е/, 0<Д^ф(ы)№: /е/, 0<Д^1 } = 0;1 } = 0;(23.12)(23.12)
inf
inf
ф(ы)№: /е/, 0<Д^
ф(ы)№: /е/, 0<Д^
1 } = 0;
1 } = 0;
(23.12)
(23.12)
каждая непрерывная функция ф е В' удовлетворяет условию (23.12).
Следующее условие является необходимым, а если D квазилокально замкнуто, то и достаточным;
В не сильнее, чем L1, или D не слабее, чем L°°.
Доказательство. (1). Часть «только тогда» тривиальна, так. как Ь7"В ^ В. Предположим, что D тонко по отношению к ЬТ^В и тем более по отношению к 1с7-В = Т-1сВ (в силу 23.1). Мы утверждаем, что D тонко по отношению к 1с В. В силу 22.0 отсюда следует доказательство части «тогда».
Для доказательства нашего утверждения предположим, что- Ф е D — непрерывная функция ф(/)=^0, tej, a фЕТ~1сВ — такая функция, что фф-,^1Д Тогда в силу 23.1 65оф = 1сВ (где s0 = s0(B)) и, очевидно, xi0 5э]ТФ-1 s L1, так как ф больше строго положительной константы на [0, s0]. Поэтому (б^Ф-1 L*.
1°. Если фЕП непрерывна и нигде не обращается в нуль, то из включения ф"1 е L” = (L,), следует неравенство l^^-'j |ф|, и, значит, IeD, что противоречит (а). Если выполняется (а), то ф-1^(Ь')/ и из 22.0 следует, что D тонко по отношению к IA
Докажем достаточность (d). Пусть феО непрерывна и нигде не равна нулю. Тогда из включения ф-1 е В' следовало бы
в силу 23.0 и 23.G, что ф-1 е М. Используя неравенство Шварца, мы нашли бы, что при 0<А^С1
■t + Xу 2 /+\/ + Л
А2=| j | ф (и) ф-1 (и) |/г du\ ^| | ф (zz) | z/zz | | ф-1 (zz) | du
\z/ t ■ t
t+x
<|ф~'1м J Ф, («) и«, t^J,
что противоречит (23.12). Следовательно, ф'^В'. Применение 22.0 завершает доказательство.
Подобным же образом из (е) следует, что В' тонко по отношению к D'; поэтому в силу 22.0 условие (е) является достаточным.
3°. Если непрерывная функция ф.не удовлетворяет условию (23.12), то |ф| есть крепкая функция (положите Д=1). Далее, из (Ь) следует, что или D, или (в силу 23.Т (1)) В' не слабее, чем L”. Из 23.S следует, что или D, или В7 не содержит ни ■одной крепкой непрерывной функции. Следовательно, из (Ь) вытекает (d) или (е), и поэтому условие (Ь) является достаточным. Из (с) в силу 23.F и 23.G следует, что D не содержит крепких функций, так что выполняется (d). Отсюда вытекает, что условие (с) также является достаточным.
4°. Если D тонко по отношению к В и если бы В было сильнее, чем L1, a D слабее, чем L”, то мы могли бы заключить, что L°° тонко по отношению к 1Д что невозможно. Поэтому условие (1) необходимо. Если D квазилокально замкнуто, то из (1) следует (Ь); условие (f) является поэтому достаточным. 4,
Проблема. Является ли условие (f) (необходимым и) достаточным в случае, когда D е ЬЕГ к не является квазилокалыю замкнутым пространством?
Толстые пространства-
Мы введем несколько операций над функциями из L. Нам -следует различать случаи J = R+ и J = R и мы начнем с первого, ■более трудного.
Итак, пусть J = R+. Для каждой функции фЕЬ и для произвольных чисел А, о>0 определим функции Адф, Лоф
Z + ЛZ
равенствами Лдф(/)=| ф (zz) cZzz, Лаф(/)= [ e~a(t~u}(f)(u)du. Обозначим через Лаф функцию, определяемую равенством Лоф(/) =
= J е-^^-^ф (u) du, в предположении, что интеграл существует • t.
(и конечен) при всех t е R+ (для этого необходимо и достаточно, чтобы он существовал и был конечным для какого-нибудь одного значения /). По соображениям симметрии — в топ мере, в какой это возможно, — рассмотрим также функцию
t
N\T\4> и заметим, что Ад7’дф(/) =[ ф (u) du. Здесь г v =
(i-A)+
= max{0, г} для гг R (это обозначение не приведет к смешению с использованием знака + для указания сужения на R+; очи не будут встречаться вместе). Таким образом, Лд, ЛдТд, Л1 являются линейными положительными отображениями векторной решетки L в себя. Функция Ла имеет те же свойства, но се областью определения является линейное многообразие в L. Значениями этих отображений! являются непрерывные функции, и из положительности следует, что
|ЛдфКЛд|ф| и т. д.(23.13)
Когда J = R, дело обстоит проще. Для ф е L, Л, о>0 по/ I- А
ложим Лдф(()= J ^UOdu,
Лаф(0 = j" е-а(#-ы) у (и) du, Лаф(/)=| е~ ^u-t^ ф (и) du
в предположении, что два последних интеграла существуют (п конечны). Тогда Лд> Ла, Ла ведут себя точно так же, как отображения, определенные выше, на J = R+, и удовлетворяют (23.13).
) Основные взаимоотношения между этими отображениями в теоремах .'У-пространств описываются следующей леммой.
.23.V. (1) Предположим, что J = R+, FeblTк и ф е L, ф>0.
. . Тогда следующие утверждения эквивалентны;
[(b)] Лдф е F для каждого [для некоторого] Л > 0;
[(d)] ЛдТдфЕр для каждого [для некоторого] А>0;
[(f)] ЛдреР для каждого [для некоторого] о>0;
[(h)] Лаф существует и е F для каждого [для некото- , рого] о>0.
В частности, функция ср е L, ф Д 0, тогда и только тогда удовлетворяет условию ^е М, когда каждая из функций Лдф, ЛдТдф Л^ф, Л"ф ограничена-
Пусть J = R, Feb£TK и ф е L, ф>0. Тогда следующие утверждения эквивалентны-.'
(a) [(b)] Лоф е F для каждого [для некоторого} А >0;
(с) [(d)] Лаф существует и eF для каждого [для некоторого} а>0;
(е) [(f)] ЛаФ существует мер для каждого [для некоторого} о>0.
В частности, функция ф е L, ф^О тогда и только тогда удовлетворяет условию ф е М, когда каждая из функций Лдф, Л^ф, Л„ф ограничена.
Доказательство. (1) Докажем импликации (а) =>(с) —> (d) ^ =>(e)-*(f)=^(a) и (a)->(b)=^(g)->(h)=>(a). Импликации, обозначенные одинарными стрелками, тривиальны.
(а) влечет (с). Для любого Д>0 функции ЛдГдф и ГдЛдфер отличаются только на отрезке [0, А] и непрерывны па нем. В силу 22. I Лд7’дф е F.
(d) влечет (е). Для любого Д>0 из (d) для любого о>0 и для всех t е R+ имеем
ОО/^)_}_ОО
Л^ф(/)=^ J е~° е~“>ф (и) du ^ е~/°д J ^[u}du =/ = 0 (#-(/ + 1) Д)+/=0(<-(/ + !) д)+
= е~/оЛ ТДЛдТ^ф (/).
/=о
Далее е-^Т’/дЛдТлф е р для всех j и .
2к-/аА7’Мд7’^ф|р= ^^'"ЧЛдПф^аз. ■ /-0/-0'
Так как F полно, то Лофер и
IЛоФ|Р < (1 - е-^)"11 Лл7Дф|р.(23.14)
Из (f) следует (а). Для о>0 из (f), для любого Д>0 и для всех t е R+ имеем■
<+д
;Лдф (f)^eoAJ е-0 и+д~“'ф (и) du = е^ГдЛоф (/),
-' о
(23.15)(23.15)так что Лдф е F и
(23.15)
(23.15)
|Лдф|р<еПД|Лаф|р.
(Ь) влечет (g). По аналогии с доказательством импликации (d) -> (е) заключаем, что для Д>0 из (Ь), для произвольного о>0 и для всех / е/?+ имеем
Л"ф(/) = ^[е"° (“-^ф (u) du ^ У] е~!айТ7ьА&(р (f).
/=0 Д/Дi = o
Поэтому в силу полноты F Л"феР и
|А"ф|р<(1 -^д)-‘|ЛдФ|р.(23.16)
(h) влечет (а). Для о>0 из (h), для любого Д>0 и для всех t е R+ имеем'
Лдф (/) ^ еаЛ | е-а <и-° ф (ы) du = е'тЛЛ"ф (/),t■
так что Лдф е F и.
|Лдф!рОпЛ|л"ф|р.(23.17)
Доказательство аналогично предыдущему, но проще и предоставляется читателю. Заметим лишь, что вместо (23.14)— (23.17) мы будем иметь■
Л„Мр^0-^T'^^; |ЛлФ|рО2а^ 4,(23.18)
С этого места мы вновь будем, насколько это окажется возможным, рассматривать одновременно случаи J = R+ и J = R. Пусть ВеЬ.Т" или КТ"* и ОеЬ£Гк- Мы будем говорить, что D толсто по отношению к В, если Л] отображает В в D. В силу условия (23.13), которое выполняется также и при J = R, достаточно предположить, что ф е В, ф >0, влечет Л1ф е D. (Хотя определение имеет смысл и тогда, когда В и D не являются полными пространствами, мы этого случая рассматривать не будем.) Из 23.V следует, очевидно, что Л] в этом определении может быть заменено на любое Лд или па любое Лд, Л", ЛдТд (при J = R+), либо Лп , Л 7 (при J = R). Точно так же очевидно, что если В, BieiT- или Ь^“ Д D, О^кУк, В! сильнее, чем В, D! слабее, чем D, и D толсто по отношению к В, то Di толсто по отношению к Вь Дальнейшие свойства толстых пространств приведены в следующей лемме.
23.W. Предположим, что В е ЬУ или ХлТ^ » De ЬУК-
Если D толсто по отношению к В то, сужения на В функций К,\, ЛдТд, Ло, Л» (при J=R+) и Л\, Aj (при J = R) входят в [В, D].
Если D толсто по отношению к Be ЬУ, то В' толсто по отношению к D'; если D квазилокально замкнуто, то верно и обратное.
D толсто по отношению к М [к Мо] тогда и только тогда, когда D слабее, чем L°° (чем L”].
T|l”| толсто по отношению к В тогда и только тогда, когда В сильнее, чем L1 (чем Мо].
Если D квазилокально замкнуто и слабее, чем В, то D толсто по отношению к В.
Пусть В^ЬУ или ЬУ и D, = ЬУ^, и пусть D, D, *толсты по отношению к В, В, соответственно. Тогда DAD, толсто по отношению к ВДВ, и DVD, толсто по отношению к В V В, (в предположении, что это пространство входит в ГГ при В, В,еЬУ ). в частности, L°° Л D, L“ Л D толсты по отношению к L1 V В, (L! V В) Д М-> соответственно.
Доказательство. (1) Обозначим через Ад и т. д. соответствующие сужения на В. Если бы функции Ад: В-> D не были ■ограничены, то существовала бы последовательность (ф„) в В, такая, что |ф„ |в ^2" и | АлЧ'/<?D У п. В силу (23.13) мы можем предположить, что фп^0. Тогда ^^ф^ является В-последова- тельностыо Коши. Обозначим ее В-предел через ф, так что О^Фп^Ф, п=\, 2, .. . . Так как Ад положительна, то О^Адфп^Адф, откуда (Алф^Уя, п=1, 2, ..., что невозможно. Поэтому Аде [В; D]. Для других отображений доказательство можно было провести аналогично; но мы можем сразу воспользоваться (23.14) — (23.18), тем фактом, что I! Тд 1|. = 1, и тем фактом, что для фиксированного А>0 Ул (1 — е~,,л)-1 имеет минимум, равный 4; в результате получим следующие соотношения (все нормы в [В; D]):
-5-||Лд||<!!лтЛк11Лд||,
^Л||Ад||^||л;ИлЛ^(1-УаТ'|М (/=/?+), (23.19) - у2,а11Лд||<|л.7||<(1-у2аТ'^^ u = r\
Проведем доказательство для случая J = R+, другой случай проще. Пусть задано ф'е D', ф'^0. Для любого ф^В, Ф^О, мы имеем AiT^eD. Используя теорему Фубини, получаем
СОСОf -ЦООи
J ф (/) Л^' (/) dt = [" ф (/) di J ф' (и) du = | ф' (u)'du J q>^dt = оо<о(“~1) +
= J ф'(?/) AtT^ff(u)du ^ lj Ai^ib i][B; п)|ф|в|ф/|^, б
следовательно, Л1ф's В' и В7 толсто по отношению к D'. Обратно, точно такие же рассуждения приводят к выводу, что если В' плотно по отношению к D', то D" = lcD, а если D квазилокально замкнуто, то пространство, эквивалентное по норме D, толсто по отношению к В" = 1сВ и тем более к В.
Доказательство частей «тогда» тривиально. Если D толсто по отношению к М, то АД —leD (при J = R+: при J = R имеем АД=2е D), так что D слабее, чем L00. Если D толсто по отношению к Мо, то О-<Х[о z]^CAix[0 z+n, так что 0(D; /) ^ ^ЦА,,^ D), откуда |3(D, оо)<оо. Из 23.S следует, что D слабее, чем L“.
Основная часть утверждения (не заключенная в квадратные скобки) следует из (3) и (2) в силу 22.N и 23.Р. Часть, заключенная в квадратные скобки, тривиальна.
Вновь проведем доказательство для случая J = Ra.. Пусть задано феВ, ф>0; тогда фЕЙ. Для любого ф'ей', ф'^-О, в силу теоремы Фубини имеем‘
ОООО/ 4- 1ООI
J ф' (/) Л(ф (/) dt = \ ф' (/) dt | <р (u) du = [ ф' (О dt | Тй^ (/) do =
оОt5о
^■Д1 оо
С= f **v J <р'(/) 7’7ф (/) ^ ^It'Io'1ф L» .
б б
откуда A^eD" = lcD. Так как D квазилокально замкнуто, то А1ф е D.
Это утверждение тривиально, так как Л, линейно. Последняя часть следует из (3) и (4); например, L°° A D и L1 V В эквивалентны по норме (L°° Д D) V Т и (М Л В) V L1 соответственно (в силу 23. J и 23. G), а из последних двух пространств первое толсто по отношению ко второму. 4,
Замечание. Если J = R+ и BeI)J'>, то можно показать, используя 23. Н и 23. W (1), что DesJ-^ является толстым но отношению к В тогда и только тогда, когда оно является толстым но отношению к ЬГ^В еЬ^.
Для каждой функции (peL функция Адф является своего рода «сглаживанием» ф. Покажем теперь, что если D толсто по отношению к В н <ре В непрерывна и удовлетворяет некоторым слабым требованиям гладкости, то не только Адф, но и сама ф входит в D. Непрерывная действительная функция называется несваливающейся вправо [влево], если существуют такие числа d, к > 0, что |ф(/')1 ^^1^(0' ПРИ Н'еА1'>Ф'^1] и \Г — Л ^ 6. "
. Предположим, что ВеЬУ или Ь^-"* и Deh.?",-, Если D толсто по отношению к В и если ф е В непрерывна и не сваливается вправо [или влево], то ф е D. Обратно, если пространство В е Ь^- квазилокально замкнуто и если каждая непрерывная функция ф е В, несваливаюшдяся вправо [или влево], входит в D, то D толсто по отношению к В.
Доказательство. Проведем доказательство для J = R+. Предположим, что D толсто по отношению к В. Пусть ф Е В — несваливающаяся вправо функция с константами 6, к. Мы можем считать, что ф > 0. Тогда 6ф ^ кК^, откуда ф е D. Если ф не сваливается влево, то бТ^^к.Х^, так что T&W е D, откуда ©аФ = Т^Т6 ф е D. Но последняя функция отличается от ф только на [0, 6], причем обе функции непрерывны на этом отрезке. В силу 22.1 ф Е D.
Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что для любой функции феВ функция А^ф! несваливающаяся вправо, а А" | ф] несваливающаяся влево с произвольным 6>0 и к = е-\ Обе эти функции принадлежат В, так как В е ЬЗГк квазилокально замкнуто (в силу 23. К) и применимо 23. W (5) с В вместо D. Отсюда сразу вытекает заключение теоремы. 4,
Разрезание и сращивание в нуле
Теперь мы исследуем применительно к 9"-пространствам вопрос о введенных в одном из пунктов § 22 (стр. 72) разрезании и сращивании в нуле функций и функциональных пространств. (Это потребуется в гл. 8.) Принятые там обозначения будут использоваться и здесь. 9" обозначает класс 9", соответствующий J = R, а 9"+— класс 9", соответствующий J = R+, однако 9"_ будет обозначать теперь подкласс класса 9"-, получающийся симметризацией (т. е. зеркальным отражением в нуле, или заменой переменных t-^—/) из класса 9"+. Вся теория, развиваемая в этом пункте для ,7”+-пространств, с помощью симметризации переносится па .^.-пространства. При очевидных соглашениях относительно обозначений операторы Тх , Тх суть операторы сдвига, соответствующие при симметризации операторам it, Тх, и т. д. Подробности предоставляются читателю. ■
. (1) Отображения F->F±: 9" -*5Г+ являются сюръективными полными решеточными гомоморфизмами и коммутируют с операторами к, Ь, к0, к, f и с операцией перехода к парному пространству.
Если F е Ы7", то F слабее, чем Lv, сильнее, чем L1, слабее, чем Lo°, и сильнее, чем L , тогда и только тогда, когда оба [или одно из] F+ соответственно слабее, чем LL, сильнее, чем L±, слабее, чем Lo±, и сильнее, чем L±.
Если ВеЬД, Ое!Гк, то D тонко по отношению к В тогда и только тогда, когда одно из D+ тонко по отношению к В-...
Если В е b^“, D е ЬУк, то D толсто по отношению к В тогда и только тогда, когда оба D+ толсты по отношению к В±.
Доказательство. (1) Это следует сразу из 22.Q (2) и (20.10), за исключением сюръективности отображений. Если F+ е ST+, то мы определим F как множество таких ф е L, для которых (Лф) + еР+ при всех t^R и sup| (Ттф)+|f+< оо, с этой верх.т е Д'
ней гранью в качестве нормы. Легко видеть, что F е Т, F+=F+ и что это пространство является «наибольшим» пространством, обладающим этим свойством. В силу последнего обстоятельства F полно, обильно или локально замкнуто тогда и только тогда, когда F+ обладает соответствующим свойством.
Части «только тогда» доказываются тривиально. Остается доказать части «тогда», заключенные в квадратных скобках, что мы сделаем для F+. Так как a(F; /) = a(F+; /), |3(F; /) = = ₽(F+; /), то части «тогда» для утверждений, касающихся L1 и Lo°, следуют из 23. R, 23. S и замечания 2 к 23. S. Наконец, предположим, что F+ сильнее, чем L“, скажем, F+ ^ ^ZL“. Для любого ф£р мы имеем ess sup | ф | = sup ess sup X rn r+
X| (,Tn^+ 1 = sup | (Тпф)+ | < Z sup | (7»+ lF < Z sup | Г„ф |F = Z |ф |F, откуда ф e L“, H|^Z^|F, так что F сильнее, чем L”.
Это тривиально.■
Для любого фЕВ имеем А1ф+<C(A^)+, и последняя функция отлична от Л( (ф+ + Г1+ф+) только на [0,1], причем обе функции непрерывны на этом отрезке. Поэтому если одна из функций Л1ф+, (Л1ф)+ принадлежит D+, то ему принадлежит и другая вследствие 22.1 и 23.V (1). (Обратите внимание па два различных применения Л(: одно для J = R+, другое для J = R'.] Соответствующее заключение справедливо и для D_, и наше утверждение следует из 22.Q (1). 4,.
Замечание 1. Ясно, что Мк, Мо+, Т + совпадают с пространствами М, Mo, Т, определенными на / = R-н так что предыдущие обозначения однозначны.
Замечание 2. Почти очевидно, что в противовес 22.Q (3) отображение F -> (F_, F+) : 9" ->9~_X9"+ не является сюръективным.
Классы ^~(Х), ГГ^Х)
Теперь мы вернемся наконец к теории пространств функций со значениями в заданном банаховом пространстве X, развитой в конце § 22 (стр. 73), и применим ес к изучению .^-пространств, рассмотренных в этом параграфе. Введем классы ^"(Х) = ={F(X): Fe.T} для J = R и J = R^ и .Т* (X)={F(X): Fe^*}. Эти классы являются подклассами класса ^(Х). По аналогии с 22.R мы имеем следующую простую характеризацию этих классов.
. Если G — нормированное пространство сильно измеримых функций, определенных на J = R или J = R+ и принимающих значения в X, то Се^Г(Х) тогда и только тогда, когда G удовлетворяет условиям (N) и (Fx) (г. е. Ge^(X)) и условиям
(Zx) G^{0} (при Х^{0});
Ух) если feG, т г R, то TT(eG, ll\flG^flG.
Если J = R+, то Се^(Х) тогда и только тогда, когда G удовлетворяет условиям (N)„ (Fx), (Zx) и условию
(Ту) если feG, tsR+, то TtfeG, It^Ig=1^g.
Доказательство. Это следует непосредственно из 22.R и определений 9" и ГГ*. 4-
В дополнение к примерам «опущенных» скобок, приведенным в § 22 (стр. 74), отметим, что s0(F(X)) = s0(F) и т. д.; определив очевидным образом T^(F(X)) и т. д., мы можем, не боясь двусмысленности, писать T^F (X), 0TF(X), T'F(X), b^"(X), b^"">(X), 9~+(X) и т. д. Мы обращаем внимание на то, что 22.U применимо к любому РеД вследствие 23.С и 23.К-
24. Пространства непрерывных функций
S*^-пространства
Как мы отмечали во введении, мы хотим рассмотреть, помимо пространств локально интегрируемых функций, изученных в предыдущем параграфе, пространства аналогичной структуры, но состоящие исключительно из непрерывных функций. Мы не будем развивать эту теорию сколько-нибудь полно, а опишем
только ту часть ее, которая совершенно необходима для дальнейшего. Так как иногда желательно рассматривать пространства непрерывных функций как частный случай пространств измеримых функций, то мы могли бы отождествить с каждой непрерывной функцией все функции, совпадающие с ней п. в.; мы условимся, однако, использовать термин «непрерывная функция» в обычном смысле, если из контекста не следует необходимость отождествления. ' ■
Рассмотрим вновь заданный интервал / и действительные функции на 7. Важную роль играет пространство G, или, подробнее, jC-пространство всех ограниченных непрерывных действительных функций па 7, с верхней гранью в качестве нормы. Пространство С является подпространством в L°° при указанном выше отождествлении, так что С е ЬЛ9. Введем Со = С Л L” — подпространство в С, состоящее из таких ф е С, для которых 11Шф(/)=0 при t, стремящемся к концевым точкам 7, которые не принадлежат J.
' Определим ^*^, или, подробнее, ДТЧ8, как класс нормированных пространств F, состоящих из непрерывных действительных функций, определенных на 7 и удовлетворяющих условию (N) (так что F е Л9) и условию
(FC) если ф£р и ф— непрерывная действительная функция на 7, для которой ;ф|<^|ф|, то ф е F и |ф|Р^|ф|Р.
Обозначим через Ь^'®' подкласс всех полных пространств из SF^? (это обозначение требует известной осторожности, так как из Ре.У^1 не обязательно следует IdFeS^).
Следует отметить, что SF48 не является подклассом в 9", так что теория § 22 непосредственно неприменима. Однако соответствие между этими двумя классами может быть установлено с помощью понятия «обёртки».
Для любого РеЛФ' рассмотрим множество eF всех измеримых действительных функций ф на 7, таких, что ) ф I -^ | ф | для некоторого ф е F, и положим | ф |eF = inf {| ф |Р: фЕр, I ф I ^ I ф I }- Будем называть eF обёрткой (для) F.
24.Л. Предположим, что Fe.O. Тогда eF является нормированным пространством с нормой | • |сР, eF s 9" и eF = = Д {G е ST-. G^F}. Далее, a (eF; 7') = a (F; 7') для каждого компактного интервала J'cJ. Каноническое вложение F->eF изометрично, и F состоит из всех непрерывных функций из eF. Если F полно, то eF также полно.
Доказательство. См. Шеффер [1], теорема 6.1 и следствие 6.1. £
Заметим, что С, C0Eb3r<F, еС — L“, еСо=Ь”. ■
7 Зак. 405 .
24.В. 9"^ является подрешеткой в ^ и Xig"^ является подрешеткой в З7^. Оператор е является инъективным решеточным гомоморфизмом 9"^ в 9" и W^ в ЪЗ".
Докхзлтнльство. Тот факт, что 9*48 является подрешеткой в Л9, доказывается так же, как теорема 3.2 в работе Шеффера [1]. Утверждение относительно b^’g7 следует из 21.С. Пусть заданы F, G е 9^. Так как F ^ eF, G ^ eG, то F V G ^ ^eF V eG е З7. В силу 24.А е (F V G) ^ eF V eG. Точно так же e(F Д G) ^eF Д eG. Обратно, eF, eG^e(FVG), откуда eF V cG^e(F V 6) в 9". Если ф = eF A eG, р > 1, то существуют ф, е F, ф2еС, такие, что |ф|^|фИ, 7=1, 2 и |Ф1|Р, |ф2?С^Р1НрЛеШ Н° Т0ГДа I Ф Кф = inf { | ф1 |, | ф2 | } Е F Д G, I Ф ip Л G ^ Р 1Ф leF д eG" ПоЭТОМу ф Е С (F Д G) И, ПОСКОЛЬКУ р>1 произвольно, |ф|е(РЛ gi^HIcf Л ес> так что eF Л eG <е (F Д G). Таким -образом, е: 9г(в~>9~ является решеточным гомомор- | физмом. То, что этот гомоморфизм инъективен и отображает в 9" 48 в ЬЗ", следует из 24.A. 5,
Мы покажем далее (24.1), что lcF = lc(eF) е Ь9" для любого 8гЗге. Для произвольного V ^9*4? определим k0F, kF точно так же, как мы это сделали для ^"-пространств в § 22 (стр. 64), и снова назовем F скудным, если kF = F. (Приведенная там характеризация kF является, конечно, бессмысленной для пространств непрерывных функций.) Имеет место следующий результат:
24.С. Операторы к0 и к являются двойственными к операторам замыкания на решетке З-^, причем к является двойственным к оператору замыкания на решетке ЪЗ"^. Для всех FsbO имеем bk0F = kF. Далее, к0 коммутирует с е и ekF ^ <С ке F для всех F е 9*4?.
Доказательство. Все это тривиально. Последнее утверждение следует из того факта, что в силу 24.А kF^keF, keFE^. 4,
Важным свойством полных пространств F s 9"%, которым не обладают остальные пространства, является тот факт, что из F-сходимости следует равномерная сходимость на каждом компактном подинтервале в 7:
24.D. Предположим, что РеЬ^. Для каждого компактного интервала J'aJ имеем у (F; 7') = sup (|х,,ф|: фЕ2(Р)}<оо.
Доказательство. Предположим, что для некоторого Г верхняя грань не является конечной. Тогда найдется последовательность (фп) в F, ф„>0, такая, что lU^"- |ХГФ„|>«.
(
п \
2ф/ является F-последо-
1 /
вательностью Коши. Пусть ф есть ее F-предел, а значит, и L-предел, так что 0^фп^ф, п=1, 2 НоtpeF непре
рывна, и потому п <|хгФ„|<|хгФ|< 00 Для всех и, чт0 невозможно. 5,
Определение тонкости пространства D по отношению к некоторому пространству В, данное в § 22 (стр. 70) для F-npo- странств, сразу переносится на случай DeS", BeW; однако оно непосредственно сводится к предыдущему случаю в силу следующей тривиальной леммы.
4.Е. Предположим, что D е 3", В е З"^. Тогда D гонко по отношению к В тогда и только тогда, когда D тонко по отношению к еВ.
Обратимся к вопросу о разрезании и сращивании в нуле для областей J = R и J = R+, что потребуется в гл. 8. В этом абзаце и в следующей лемме используются обозначения, введенные при рассмотрении этой темы (стр. 72). Так, мы будем писать 3^ = R3T?, 3%± = р^ЗЧ?. Для произвольного F е 34? мы вновь определим F± как множество (ф^: феР1, но при определении нормы мы должны положить |ф_,. I = jy* ф|еР, так как функция х±Ф в общем случае не непрерывна (что касается ^-пространств, то мы используем в качестве нижнего индекса F вместо F±). Очевидно, что |ф+|р = inf (|ф|Р: фер; ф+= Ф+] и аналогично для |ф I . Заметим, что С. = „ С, Сп± = „ Сп.
I Ip— К± и П + и
.F. (1) Предположим, что Ve34. Тогда Р+е ^ёД и e(F±) = (eF)±. Если ф— непрерывная функция на R, то фЕр тогда и только тогда, когда ф±е F+. При этом тах_ +|ф±| ^ <|ф|Р<|ф_|Р + |ф+|Р
2) Отображения F-*F+: 34?-^>-34?+ являются сюръективными полными решеточными гомоморфизмами и коммутируют с ко и к.
3) V <=^34? полно или скудно тогда и только тогда, когда оба F± полны или скудны соответственно.
Доказательство. Первое утверждение в (1) следует сразу из определения F+. Из остальных утверждений в (1) и (2) часть доказывается тривиально, а часть следуют очевидным образом из 24.А и из 22.Q, примененных к оберткам.
Часть «только тогда» утверждения (3), касающаяся полных пространств, почти очевидна, и доказательство ее предостав-
ляется читателю. Для доказательства части «тогда» предположим, что оба F± полны. Пусть (фп) есть F-последовательность Коши. Тогда (ф„±) являются Р±-последовательностями Коши с Копределами, скажем ф±. Так как фп_(0) =фп+(0) = фп (0), п=\, 2, ..., и так как из Расходимости вытекает в силу 24.D сходимость в каждой точке, то мы имеем ф“(0) =ф+(0), и существует непрерывная функция ф на R, такая, что ф± = ф±. Вследствие (1)
феР и Нш|ф-ф^^1т1(|ф-~Фи-|р + |ф+~Ф,^^4.
В силу 24.F (1) обозначение eF± недвусмысленно. .
Класс 9Д?(Х).
Предположим, что 7— заданный интервал, а X — заданное банахово пространство. Для произвольного FeiF? пусть F(X) обозначает нормированное пространство всех непрерывных функ' ций f: J-+X, таких, что IHII^F, с нормой i f|F (х) = III f IIJF- Далее . мы будем опускать аргумент X в индексах и т. п. Таким образом, F = F(/?). Так как единственным общим пространством у 9" и ЗГ^ является {0}, то обозначение F(X) не приводит к смешению с соответствующим обозначением для ^-пространств и является более удобным в употреблении, чем подчеркивающее различие обозначение F[X], введенное Шеффером [1], стр. 261. Введем класс ^^(Х) ={F(X): FeO}. Таким образом, 9~^ = =9"^(R).
.G. (1) Если G — нормированное пространство непрерывных функций на 7 со значениями в X, то GeF^^X) тогда и только тогда, когда G удовлетворяет условию (N) (т. е. Ge еХ(Х)) и условию'
(FCx) если f е G и g— непрерывная функция на J со значениями в X, такая, что IlgH^Hfll, то §eG и |g |G <J f |G.
Для произвольного Fe.F^ пространство F(X) полно тогда и только тогда, когда полно F.
Доказательство. Доказательство утверждения (1) протекает точно так же, как доказательство 22.R (Шеффер) [1], теорема 3.1. Часть «только тогда» утверждения (2) очевидна. Для доказательства части «тогда» предположим, что (f„) есть F (Х)-после- довательность Коши в S(F(X)), и пусть f — ее ЦХ)-предел. Для каждого компактного интервала 7'cz 7 в силу 24.D имеем |v(L-^)| = |xr||L-fn|||<Y(F; П|^-Цр> так что последовательность (f„) сходится равномерно на каждом таком Г и f непрерывна. С другой стороны, (||fj|) является F-последова- ' дельностью Коши, и ее F-предел должен быть и ее. L-предет
лом II/II. Поэтому imieF, feF(X) и |fjF = Ит|ШЦР^ 1, так что feS(F(X)). Согласно 21.В, F (X) полно. 5.
Вследствие 24.G (2) обозначение Ь9"'@'(Х) для {F(X): Fg е b^'g’^^'i^X) ПЬЛДХ) недвусмысленно.
24.Н. ^"^(Х) есть подрешетка в Jf^XY Отображение F — -F(X): ^"^’-^'‘S'(X) является решеточным изоморфизмом и отображает Ь9~г(? на Ь9"‘$'(Х).
Доказательство. Доказательство точно такое же, как для 24.В (см. Шеффер [1], теорема 3.2). Последнее утверждение следует из 24.G (2). 5.
В силу 24.Н такие обозначения, как VF=(X), являются недвусмысленными. Если определить k0(F(X)) и k(F(X)) очевидным образом, то из 24.G и 24.Н сразу следует, что они совпадают с (k0F) (X) и (kF) (X), так что скобки могут быть опущены. В очевидных обозначениях F(X) скудно тогда и только тогда, когда скудно F. Аналогично если J = R, то обозначение F±(X) для F е 9"^ является недвусмысленным, так же как и З^ДХ) и т. п.
Обратимся к основному вопросу о локальных замыканиях ^"^-пространств.
Если Y^^^, то lc(F(X)) = lc(eF) (X), так что lc(F(X)) = (lcF)(X) ebST(X).
Доказательство. Так как F -С eF, то, очевидно, F(X)^C <ДеЕ) (X) (последнее пространство входит в ^"(Х)), откуда lc(F(X)) -<lc(eF) (X). Для доказательства обратного неравенства достаточно показать, что lc(F(X)) е^"(Х); действительно, в силу 24.А и 22.S отсюда следует, что (eF) (X) = Д {G е 9" (X): G > F (X)}, а так как 1с(F(X)) > F(X) локально замкнуто, то мы получаем lc(F(X))> lc(eF) (X), что и требовалось. Поскольку частный случай X = R дает lcF = lc(eF), то, действительно, lcF(X) = (IcF) (X).
■ Остается доказать, что 1с (F (X)) е 9" (X), т. е. в силу 22.R что это пространство удовлетворяет условию (Fx). Предположим, что функция felc(F(X)), что функция g: J -* X сильно измерима и || g || ^ || f ||. Тогда существует последовательность (f„) 1 в F (X), | f„ |F | f ||с (F (х) такая, что limfn = f. Далее, §еЬ(Х),
^lf lie (F (X))- Н° n-gJKII^-^ll + SUpt0’ HM-HLll}->0 + + sup {0, || g |l —1| / ||} = 0, так что gn —>g в L(X). Поэтому g'Glc(F(X)), | g"|lc (F (Iim | gn |F ~C J f |le(p (iY)4-
В силу 24.1 обозначение lcF(X) недвусмысленно (заметьте, насколько полезно использовать одинаковые обозначения для пространств из 9"(X) и ^^(Х)).
Мы закончим этот пункт, собрав воедино разрозненные нити.
24.J. Пусть X. Y, 7, — банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем, и пусть ГеТ"^ и Се„Л[Х; У]). Если С<С([Х;У]), то F ([У, Z]) - G => F ([X, Z]) и G-F([Z;X])=> =ф F([Z; У]). Если G ^ CodX; У]), то F([У,Z])-G =^> kF([X; Z]) и G.F([Z; X])^kF([Z; У]).
Доказательство. Это тривиально, если воспользоваться 21.И и тем фактом, что (операторное) произведение непрерывных функций непрерывно. 4-.
Рассмотрим снова заданное банахово пространство X. Обозначим через C(X)inv множество тех 1/еС(1), которые обра- тимозначны (т. е. для которых оператор U^^X обратим для каждого /е/) и, кроме того, удовлетворяют условию (НеС^).
24.К. Множество C(X)inv открыто в С(Х), и отображение U U~x множества С(Х) на себя непрерывно.
Доказательство. Предположим, что [70eC(X)inv. Если U е С (X), | [7 - ПО|^|[7Р;' | , то мы имеем || UU^ 1 -/II <||/7-(7о1ГШ(Г1|К|/7-/7о||77(Г,|<1. Поэтому функция UUq1 обратимозначна, и, следовательно, этим же свойством обладает U. Так как операция обращения непрерывна в X, то функция U-' непрерывна и l| U~l — Uq1 j| ^|| Uq' |j| U0U"' — /|^ ^|С^Шс/Д;,--/Г<2|1/-^оН^ГТ+' Таким образом, U-' - UE1 e С (X), откуда [/"'eCLTi, U g C (X)inv, так что множество C (X)j открыто. Мы получаем |/7""1 —/7о 11 ^ ^|^(Г'|2|^-Уо|(1 -|t/o""'ll^-^o|)-1, и, значит, отображение U—>U~' непрерывно в С (X)inv. 4-
ТГ^-пространства на J = R+ и ТГ^-пространства на J = -
Изучая инвариантные относительно сдвигов пространства не прерывных функций, мы должны уже рассматривать случав I = R+ и J = R отдельно.
Предположим, что J = R^. Обозначим через ТЕ* подкласс в , состоящий из всех пространств F е 3"^, которые удовлетворяют условиям (Z) и (7*). Очевидно, что последнее условие предполагает, что ф(0)=0 для всех tpe F. Отсюда видно, между прочим, почему не существует на /?+ класса пространств непрерывных функций, аналогичного 9". Как и ^~ * для 3", так и д-^* не является подрешеткой для З"^, но содержит все конечные пересечения. Кроме того, если V ^З"^*, то k0F, kF е З"^*.
Предположим теперь, что J = R. Обозначим через З-^ подкласс в 3"^, состоящий из всех пространств F е З"^, которые удовлетворяют условиям (Z) и (Т). Легко видеть, что этот класс является подрещеткой в 3"^. Если F е 3~^, то k0, F, kFe^'g’.
24.L. (1) Если J = R_ и F е 3^, то сЕеЛ '.
Если J = R и ГеЕЕ, то eF е Тк.
Доказательство. (1) См. Шеффер [1], теорема G.2.
Из 24.Л следует, что eF е 3". Так как F удовлетворяет условиям (Т) и (Z), то eF удовлетворяет условию (Т) и содержит Ху Д-1И некоторого компактного интервала J'czR. Отсюда и следует теорема. £
Обозначим через \13-<?Г> и Ь.7~'₽’ подклассы всех полных пространств из сГгвУ и 3~гв соответственно. Для пространств m этих классов мы можем значительно усилить 24.D. Для формулировки усиленного утверждения при J = R+ нам потребуется пространство СекТ^*— подпространство в С коразмерности 1, состоящее из таких фЕС, для которых ф(0)=0.
. (1) Если J-=R+, то С°— слабейшее пространство в
Если J — R, то С —слабейшее пространство в ХтЗ-^.
Доказательство. Проведем доказательство для случая (1). Для случая (2) оно проще. Пусть задано ЕеЬЗ"^. Существует такое q?0G F, ф0 ^ 0, и такое Zoe= R+, что ф|;(/0)= 1- Положим y = y(F; [0, /,,])< оо, как и в 24.D. Мы утверждаем, чго F^yC. Действительно, пусть задано фЕр. 11ри О^т^/о мы имеем I <р (т) | ^у|ф|Р по определению у. При т ^/0 положим ф = inf {| ф (т) | ф0, 7~_# |ф|}. Эта функция непрерывна и 0 ^ ^ ф < I ф (т) I Фо, так что фер. Но 0 ^ 7'^"_/ф ^ От_,J ф | ^ | ф |, следовательно, | ф |г > | Ф |г. Далее, | ф (т) | = | ф (т) | ф0 (f0) = ф (f0X ^ у | ф|г ^ У |ф|р, чем наше промежуточное утверждение и доказано. Поскольку, однако, гр(0) — 0 для всех фЕр, как отмечалось выше, мы имеем в действительности р^уС0. 4,
Замечание. Вследствие 24.Л утверждение 24.М (1) может быть переформулировано следующим образом. Если J = R ., то пространство F е ЬЛ” входит в Т^^ тогда и только тогда, когда оно является пространством всех непрерывных, обращающихся в нуль в начале координат функций из некоторого пространства G е Ь^-^, содержащего характеристическую функцию некоторого интервала и являющегося более сильным, чем L” (для доказательства части «только тогда» положите G =eF). Соответственно из 24.М (2) вытекает такое утверждение. Если J = R, то пространство F е ЬЛ входит в biTS тогда и только тогда, когда оно является пространством, состоящим из всех непрерывных функций некоторого пространства G е 1Ук, являющегося более сильным, чем L00.
В принципе можно распространить определение то лстоты данного банахова пространства D по отношению к другому банахову пространству В, данное в § 23 (стр. 91) для В<=ЬУК и В е ЬУ или ЬУ^ на случай ВеЮ* (при / = /?+) или В е ЬУ?” (при J = R). Однако этот новый случай сводится к старому в силу 24.А, 24.L и следующей тривиальной леммы.
. Предположим, что D G ЬУк и ВеЬУУ (при ^=^+) или В е ЬУ?’ (при J = R). Тогда D толсто по отношению к В тогда и только тогда, когда D толсто по отношению к еВ.
Пусть X— заданное банахово пространство. Для J = R+ введем класс y^"*(X) = {F(A): Fg^">}; для J = R введем класс У?ДХ) ={F(A): FeO). В силу 24.G (2) мы можем, не опасаясь двусмысленности, использовать обозначения ЬУ?’>(Х), ЬУЗДХ) для соответствующих подклассов, состоящих из полных пространств. Имеет место обычная лемма, характеризующая свойства таких пространств (ср. 23.Z).
. (1) Если J = R+ и G — нормированное пространство непрерывных функций на R+ со значениями в X, то Се.УДА) тогда и только тогда, когда G удовлетворяет условиям (N), (FCx) (так что GgO(X)) и (Zx), (Тх).
Если J = R и G — нормированное пространство непрерывных функций на R со значениями в X, то G г д-^(Х( тогда и только тогда, когда G удовлетворяет условиям (N), (FCA) (так что Gg^(X)) и (Zx), (ТА).
Доказательство. Это следует непосредственно из 24.G(1) и определения классов У^ и 5.
25. Замечания к главе 2
Мы продолжаем предполагать у читателя некоторое знакомство с функциональным анализом и напоминаем, что общие курсы, к которым читатель мог бы обратиться для справок, перечислены в первом абзаце замечаний к гл. 1 (стр. 45). Что касается теории меры и теории интегрирования функ-
пий со значениями в банаховом пространстве, мы можем отослать читателя к монографиям Хилле и Филлипса [1] и Бурбаки [2].
Наша теория .^-пространств тесно связана с работами Дьёдонне [1], Кёте [1], Лоренца и Вертгейма [1], Эллиса и Гальперина [1], Люксембурга [1], Люксембурга и Цаанена [1—3], а также с именами и работами других авторов. Пространства, рассматриваемые Люксембургом и Цааненом, представляют собой по существу пространства, которые мы называем локально замкнутыми пространствами из $Г к (но областью определения их служат весьма общие пространства с мерой и компактные интервалы заменяются ad hoc «ограниченными множествами»). Теория парных пространств также в основных чертах содержится в этих статьях.
Применение указанных понятий и результатов функционального анализа к теории линейных дифференциальных уравнений вызвало в свою очередь расширение фронта исследований в двух противоположных направлениях: (1) в направлении изучения более общих структур, возникающих при опущении некоторых предположений (теория класса ЛЦХ), рассмотрение пространств, не являющихся квазилокалыю замкнутыми, и т. д.); (ii) в направлении изучения более богатых структур, а именно структур, обладающих некоторыми свойствами инвариантности при сдвигах (классы 9~(Х), 9""* (X) и т. д.). Мы, однако, воздерживались от изложения теорий, претендующих на максимальную общность: § 21, например, мог бы быть изложен в значительно более общей форме (в частности, не в рамках функциональных пространств), как это сделано в работе Шеффера [1], раздел 2; вместо того чтобы ограничиваться интервалом действительной оси в качестве области определения наших функций можно было бы использовать общее пространство с мерой, наделенное в некоторых случаях группой или полугруппой сохраняющих меру преобразований, и т. и. Как было отмечено во введении, мы предпочитаем умеренную степень общности, наилучшим образом приспособленную для прп- • менений к дифференциальным уравнениям.
Важным примером функциональных пространств — точнее, локально замк- < Нутых пространств из Д'к для произвольного интервала / и из 9" к для J = R или J = R + — являются пространства Орлича. Их роль в теории, из- ложечной в этой главе, описана в работе Шеффера [1], раздел 5; дополнительные сведения имеются в работе Массеры и Шеффера [4], лемма 3.4. Среди многих изложений теории пространств Орлича мы отметим работы Красносельского и Рутицкого [1] (только для областей конечной меры) и Люксембурга и Цаанена [2].■
Глава 3
Линейные дифференциальные уравнения
Введение
Содержание главы
Главной целью этой книги является изучение некоторых дифференциальных уравнений,а именно, линейных уравнений
х+Лх = 0,(30.1)
£+Дх=^(30.2)
что мы и начинаем в этой главе. Независимая переменная, обозначаемая всегда через /, пробегает подинтервал (т. е. связное множество, содержащее не менее двух точек) / в R. Этот интервал / — произвольный или выбираемый специальным образом— фиксируется и по большей части не упоминается. Члены А и I суть элементы из L(X) и ЦХ) соответственно; X — заданное банахово пространство. Решением х называется первообразная функция (в смысле, который будет уточнен ниже) на / со значениями в X, такая, что если х обозначает ее производную, то рассматриваемое уравнение (30.1) или (30.2) обращается в тождество в L(X).
Кроме уравнений (30.1) и (30.2), полезно ввести операторное уравнение
U + AU = 0,(30.3)
решением которого U является первообразная функция на / со значениями в X. Умножение (слева) в X на заданный элемент определяет элемент из X, и это отображение изометрично. Следовательно, (30.3) представляет собой частный случай уравнения (30.1), в котором X заменено на X. Это замечание применимо ко всем другим уравнениям.в X, подобным (30.3), которые встретятся нам ниже.
В главах, посвященных специальным вопросам (начиная с гл. 9), будут излагаться по мере потребности дополнительные сведения о дифференциальных уравнениях.
В § 31 описываются основные свойства приведенных выше ■ уравнений: существование и единственность решений, формулы, связывающие решения уравнений (30.1), (30.2) и (30.3), и
оценки для этих решений. Один пункт посвящен доказательству теоремы о сходящейся последовательности решений последовательности уравнений вида (30.2). В § 32 развивается теория парных уравнений в спаренных пространствах, включая теорию сопряженных уравнений и соответствующие формулы Грина. § 33 содержит некоторые подготовительные сведения о множествах решений этих уравнений, принадлежащих заданному функциональному пространству.
Первообразные
Функция / на / со значениями в банаховом пространстве X называется первообразной (функцией), если существует такой элемент L(X), обозначаемый через f, что f (0 = f (<о) + t
+ J i(u)du для всех te!. Здесь /0— некоторое фиксирован
ное число из интервала J. Функция f, однозначно определяемая по Д называется производной функции f. Как элемент пространства L(¥) она является фактически классом эквивалентности функций, отличающихся на множествах меры нуль. Первообразная всегда абсолютно непрерывна на каждом компактном подинтервале в J. Обратное верно, если X равномерно выпукло— в частности, гильбертово, или, в еще более частном j случае, конечномерно, — а также при некоторых других предпо- * ложениях (Кларксон [1], Данфорд и Морс [1]), но для произ- ■ вольного X неверно (Бохнер {!]).
.А. Пусть X, У, Z— банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем. Если U и V— первообразные со зна- ' нениями в [Y;Z] и [.¥; У] соответственно, то UV является первообразной и (UVy=UV-VUV. В частности, если X— банахово пространство над скалярным полем F и ср, f, f*, U, V — первообразные со значениями в F, X, X*, X, X соответственно, то tpf, М,1*У {'J*)h Uf, UV являются первообразными. Если X и X' — спаренные пространства и f и f' — первообразные со значениями в X и X' соответственно, то {f, f'} является первообразной. Если U — первообразная, принимающая обратимые значения в X, то U~x есть первообразная и (U~x)’ =— U^UU-'.
Доказательство. Первое утверждение тривиально. Частные случаи получаются заменой X, У, Z на X и F в соответствующих местах, а для спаренных пространств X и X' использованием конгруэнции Ф': X' -> Ф'Х' cz X* (§ 12). Докажем последнее утверждение. Так как U непрерывно, то непрерывно U~\ следовательно — UulT' е L0С). Выберем фиксированное
‘ /ое/и определим первообразную V формулой V (0 = U 1 (/0) — - J U~x (u)U(u)U~x (и) du, tel. Тогда UV nVU являются первообразными и (t/V) = UV + UV = U (у — U~') = UU-X X XkUV — IY Аналогично (V17) = (VU — /) U~x U. Здесь UU~X, U”XU eL^XY Таким образом, UV — I и VU — I служат соответственно решениями уравнений IF — U U~x W = 0 и IF — — WU~XU = 0, удовлетворяющими условию lF(/o) = O. Такое решение единственно (см. § 31) и, значит, совпадает с тривиальным решением 0. Поэтому UV = VU = I, U~X = V. j,
.В. Предположим, что X— гильбертово пространство и что f— первообразная со значениями в А\{0}. Тогда ||f|| и sgn / являются первообразными и
"iii/in^iin №пп-кт/ш '
Доказательство. Вследствие ЗО.А функция llfll2=(f, f) является первообразной. Следовательно, первообразной является ||f||. Снова в силу ЗО.А функция HfH-1 является первообразной, значит sgn ( = ||"f ||*7 — первообразная; далее f=||fH'sgnf + + IlfII (sgn f) '• Принимая во внимание тождество, получаемое дифференцированием соотношения (sgnf, sgnf) = l, находим, что ||/||2 = ||f|| "2+||fll2ll (sgn f)’||2, откуда и следует доказываемое утверждение. 5.
Решения
Существование, единственность и формулы для решений
Из определений первообразной и решения, данных в § 30, вытекает, что непрерывная функция х на J со значениями в X является решением уравнения (30.2) с начальным условием х(/о)=*о для некоторого to е J тогда и только тогда, когда она удовлетворяет интегральному уравнению
tt
x(t) = х0 + [ f (u) du — J A (u) x (u) du. (31.1)
Так как любой компактный подинтервал в I покрывается конечным числом интервалов /'с/, таких, что J || A (u) || du < 1, то г
из теоремы (Банаха) о неподвижной точке для сжимающих отображений, примененной для каждого Г к пространству рС (X), вытекает, как обычно, существование решения уравнения (31.1)
на всем / и его единственность. Таким образом, доказаны существование и единственность решения уравнения (30.2) с заданным «начальным» условием в точке /о", это справедливо, в частности, для уравнений (30.1) и (30.3). Очевидно, что решение зависит лишь от классов эквивалентности А и /, а не от выбора их конкретных представителей (ср. 90.А).
.А. Если U — решение уравнения (30.3) и оператор t7(/0) обратим для некоторого tgeJ, то U(t) обратим для всех teJ.
Доказательство. Пусть V— решение (со значениями в X) уравнения V—VA =0, удовлетворяющее условию V(/0) = ТУ-1 (/0)- Существование и единственность V доказываются так же, как для уравнения (30.3). Положим U^i = f7V, U^2= VT7. Из 30.А следует, что Wx и W2 — первообразные, и прямой подсчет показывает, что они являются решениями уравнений Wi+AW7,— WiA = = 0 и ЙУ2 = 0 соответственно с начальными условиями U^i(£0) = = ^2(^0)= А Для этих уравнений опять справедливы теоремы существования и единственности. Поэтому U^s = W^2 = / и V=
В силу 31.А можно говорить об обратимозначных реш епи ях уравнения (30.3). '
х(О=1/(О17"1(/о)^М,(31.2)
\
U"x ktM^+\ и~' ku>Ku>duy(31.3)
U^=Ukf)ir4t^lMa(31.4)
-(b) Если х — решение уравнения (30.1), а ср — скалярная первообразная, то фх есть решение уравнения (30.2) при f=q>x.
Доказательство. Это доказывается, прямой проверкой с использованием единственности и ЗО.А. j, ’
Формулы (31.2) — (31.4) показывают, что значения решений- уравнений (30.1) — (30.3) при каждом t^ I,. точно так же как и сами решения (как элементы из L(X) или L(X)), зависят линейно и непрерывно от «начальных» значений в точке /о и от Д Пусть заданы t0, tteJ, и пусть U — обратимозначиое решение уравнения (30.3). Тогда П(/[) t7-1 (/0) является автоморфизмом пространства X, причем этот автоморфизм в силу (31.4) не за* висит от выбора U. Мы назовем его отображением вдоль' решений уравнения (30.1) о т70 к ц. Для любого х^еТТ
точки х0 и хх^ЩЕ) ^"’(^о) хо действительно являются в силу (31.2) значениями при /0 и /] соответственно одного и того же решения уравнения (30.1).
Оценки решений
Элементарные оценки решений, даваемые следующей леммой, будут широко использоваться в дальнейшем.
.С. Пусть Г а J — компактный подинтервал длины p(J') =1.
Если х— решение уравнения (30.2) и /0, t^J', то
II X (0II f II X (<0) 11+ J||f(u)||d^expf Jm(u)MuY (31.5)
II X (/) II<//-1 J II х (u) \\du + J II f (и) IIrfw^expf j || A (zz) HduY (31.6)\ гJ'/ w'/
В частности, если x — решение уравнения (30.1) и t0, t^J', то
IIX (0 IK II X (/о) II exp / J II А (и) II du\,(31.7)
U'/
II x kt^ ||^rV / || x (u) ||rf«Vxp/ J || A (zz) ||dzzY (31.8)V'/ w'/
Если U— обратимозначное решение уравнения (30.3) и t0, t e J', to
||l7Wt/~1(/o)Kexpf J || A(w)||dA(31.9)
Если Xi и x2 — ненулевые решения уравнения (30.1) z. to, t e J', to
Yl^K x2 (0J C 2y [x, Uo), x2U0)]expf2 j || A (zz) || du\. (31.10)
\ r/
tJ 11 A (u) || du tf)tJ 11 A (u) || du tf)Доказательство. Беря нормы в (31.1), применяя лемму Гро- нуолла на интервале между t0 и t и учитывая равенство х0 = х(?0), получаем
t
J 11 A (u) || du tf)
t
J 11 A (u) || du tf)
II х (/) |К Н| х(/0)II + J Ilf (и) ||du jexp
to
откуда сразу следует (31.5). Формула (31.6) доказывается интегрированием обоих членов в (31.5) по (о на интервале I'. Формула (31.9) вытекает из неравенства (31.7), примененного к решению UU'x (/0) уравнения (30.3), равному / при t=t0.
Для доказательства (31.10) рассмотрим решение уравнения (30.1), задаваемое формулой х = ||xi (/0) ||~’х|— 11^2 (^о) 11-1^2- Применяя (31.7), 11.А и вновь (31.7), получаем
Yk(0, x2(0I exp/- j || А(ы)||л/|< \ г/
< Y [м ((), х2 (()] ||X) (Q (Г1II xt (0 || <
<2||х(/)||^2||х(/0)||ехр/ J || А (и) ||du \ =
= 2у[х,((0), х2(/0)] exp^ J || A(u)||tZu\ 4 /
Теорема замкнутости
Следующая теорема будет играть в дальнейшем основополагающую роль. Ее главным содержанием является утверждение о том, что множество троек (A, f, х), где х есть решение уравнения (30.2), замкнуто в L(A) X L(X) X L(X).
Q31. P. TeopemaJ?&/ct6 (Л„) и (f„) — -последовательности в L(A) и 17(X)"" соответственно, и пусть хп — некоторое решение уравнения хп + А„х„ = )п, п=1, 2 Если существуют пределы
HmAn = A, limfn = f, limxn = x, то функция х.является (.всюду,
LLL—-^-=-
за исключением, быть может, множества меры нуль) решением уравнения (30.2) и хп-*х при п—>оо равномерно на каждом компактном подинтервале в I.
Доказательство. Так как последовательность (хп) сходится в L (X), то существует ее подпоследовательность (хп(/)), сходящаяся поточечно п. в. Мы можем при этом считать, что сходятся сами непрерывные функции х„, а не их классы эквивалентности. Поэтому можно заключить, что существуют такие 16е] и х6бХ, что limx„(/)(/0) = x0. Рассмотрим решение х' /-»оо
уравнения (30.2), такое, что х* (t0) = х0.
Пусть Г сд I — произвольный компактный подинтервал; предположим, что он содержит /0. Так как у = хп(/} — х' есть решение уравнения у + А„ (пу = f„ (/)"— f 4- (А — Ап (п) х' и так как правые части сходятся к 0 в L(A) при /"-> оо, то из (31.5) сразу следует, что х„(/)—>х' равномерно на F. Следовательно, Нт х„(/) = х,> /->ooL
так что х'= х (т. е. x'(t) = x(t) п. в.), и при этом отождествлении х действительно является решением уравнения (30.2).
Для каждого п, z = xn — x. является решением уравнения z + Anz = fn — f + (А — AJ х, а поскольку правые части сходятся
к нулю в L(X) при и-*оо и Нтх^х, то из (31.6) следует, что хп—*х равномерно на F. 4,.
Сопряженные уравнения в спаренных пространствах
Сопряженные операторно-значные функции
32.Л. Пусть X и X'— спаренные пространства, и пусть задано ДеЦ.Г). Следующие условия эквивалентны:
для каждого представителя функции А оператор Д(/) непрерывен в топологии о]Х,Х') для почти всех / е/;
[(c)] существует А' е L( (АД ' ), такое, что для любых непрерывных [постоянных] функций f и f' на J со значениями в X и X' соответственно выполняется соотношение (AYf} = 4,A'Y).
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если выполнено (а), то для выбранного представителя А и для почти всех teJ существует сопряженный оператор (Д (/))'. Если мы определим A': J—vX', положив A'(t) = (Д(/))' для таких / (и, скажем, =0 для остальных /), то из изометричности отображения взятия сопряженного оператора следует, что A' е L( (X') ~ ) и ^AWfUL {ЧО^ЧЧЧ 440140^ Для этих h так чт0 ЧЧЛЧ = 4’A'f'Y
влечет (с). Это тривиально.•
влечет (а). Для произвольных Д, te.1, Д> Д, положим tt
V (Д, 0 = [ А (и) du, V44> Й= f A4u)du. Для любых хеХ х'^Х' в силу (с) мы имеем (V (Д, t\x, х') = j (А[и]х, х') du = = [ (x,A4u]x')du = (x, V44< Ох')- Поэтому УДД, ОМ^ДД) ЛУ> где справа стоит оператор, сопряженный к V (Д, f)- Если А и А' — ., — произвольные представители соответствующих классов, то Hm U-toT'V (Д, t^AVo], Нт (Д-Д)~' V (Д, /))' - Нт (/ - ^)-1 X t-^t^/~>/оt-^tr,
X УД^о, ^) = ДД^о) для почти всех Де J (Хилле и Филлипс [1], стр. 101). В силу изометричности отображения взятия сопряженного оператора мы заключаем, что Д (Д) имеет сопряженный оператор (Д(Д))' = ДДД) и потому непрерывен в топологии а(Х, X') для почти всех Де/. (Если Л' сепарабельно, возможно более простое доказательство импликации (с)-»(а).), 4,. ■
Если выполнены условия теоремы 32.А, то мы будем называть функцию А' сопряженной1) к А и говорить, что А имеет сопряженную. Функция А сопряжена к А' относительно транспонированного спаривания. .
В "частном случае Х' = Х* (имеющем место, в частности, если X рефлексивно) каждая функция A е L(A) имеет сопряженную, а именно А*, определяемую формулой А* (/) = (А (/) )*.
Сопряженные уравнения•
Пусть X и X'— два спаренных пространства, и пусть задана функция AeL(X), имеющая сопряженную. Тогда существует сопряженный элемент А' е L((X') ~). Рассмотрим уравнения
ж'— А'х'=0,(32.1)
х'— A'x'=p,.(32.2)
где ('еЬ(Г) и решения х' принимают значения в X'. Уравнение (32.1) называется уравнением, сопряженным2) к уравнению (30.Г), которое в свою'очередь является сопряженным к уравнению (32.1) относительно транспонированного спаривания. Допуская вольность речи, мы будем называть уравнение (32.2) сопряженным к уравнению (30.2).
! В частном случае Х' = Х* (который имеет место, в частности, Когда X рефлексивно) функция А имеет сопряженную А* и со- Ьряженные уравнения суть алгебраические сопряженные3) уравнения.
. J. 4х*—А*х* = »,(32.3)
; '^J0^^х* — А*х*=$*.(32.4)
Если X — гильбертово пространство, то последние заменяются (при отображении со-1) (эрмитовыми) сопряженными .уравнениями в самом X-
;у — А"у = 0,,
У — A^y = g.■
■ Формула Трина•
32.В. Предположим, что функция А е L(^) имеет сопряженную. Пусть заданы fe L(X) и f'е L(X'). Тогда любые решения.
’) В оригинале associate. — Прим. ред.
■2) В оригинале associate. — Прим. ред.
■-3) В оригинале adjoint — Прим. ред.
8 Зак. 405
х и х' уравнений (30.2) и (32.2) соответственно удовлетворяют при всех tQ, t g J соотношению
(x (0, x' (0) - (x (to), x' (t^) =
tt
= j (x(u), f' (u))du + j (f(u), x'(u))du.(32.5)
to
Доказательство. Используя 30.A, (30.2) и (32.2), получаем
(x, х'У = (x, A'x') — (Ax, х') + (х, V) + (/, х').
Первые два члена взаимно уничтожаются, и (в силу 32.А) интегрирование от t0 до t дает (32.5). 5, . •—
Формула (32.5) часто называете^ф о р м у л о й Грина. /
Полагая, в частности, f = f = O, получаем
32.С. Предположим, что функция А g LCV) имеет сопряженную. Для любых решений х и х' уравнений (30.1) и (32.1) соответственно (х, х'} постоянно на J.
32.D. Предположим, что функция А е L(Y) имеет сопряженную. Если U — обратимозначное решение уравнения (30.3) и оператор U((0) непрерывен в топологии о(Х,Х') для некоторого 16е! (в частности, если U есть решение с начальным условием (?(/0)=/), то U(/) обладает этими же свойствами при любом tel Следовательно, V'(/) = (,U(I))' существует при всех tel и и'~1= (и~1)' является решением уравнения
V' - A'V' = 0(32.6)
(где обозначение V' не является в общем случае указанием на сопряженность V').
Доказательство. Пусть V'— решение уравнения (32.6) с начальным условием V'(t0) = (LH (/0) У, и пусть заданы х е X, х'еХ', Cel. Применяя 32.С к решениям иц-Ц^х и Ух' уравнений (30.1) и (32.1) соответственно, получаем (х, УЧ^)^) ={Uy0)U~i(tl)x, V'y^x'> = kU"4txV1 x'Y Таким образом, lA1^,) имеет сопряженный оператор ГЧЛ). Отсюда следует, что и-ху1') и ^(^i) непрерывны в топологии о(Х, А')
Замечание. Пусть, в частности, U — решение с начальным условием U СА = 1, и пусть Ux — другое решение уравнения (30.3), причем оператор" U\ СА непрерывен в топологии о^Х, X'). В силу (31.4) Ux =
:= ииД(оу так что из 32.D следует существование U,v=(U1(t0')Y U',
т. е. оператор Ui(t) непрерывен в топологии а (X, X') при всех t.
Если V] — произвольное решение уравнения (32.6), то, применяя 32.D и (31.4) к решениям уравнения (32.6), получаем V'=U' ’Vj^q). Следовательно, tl\V] = (С, (/0)/ У' М постоянно на J.
D-решения однородных уравнений
D-решения и их начальные значения
Рассмотрим какое-нибудь пространство ОеЬЛДХ). Решение уравнения—feOrtjnwtH—уравнения (30.2), принадлежащее D, называете!) D-p е ш е н и е муДля пространств D(X) с ОеЬ^" мы будемт-сЛУдуя Нраиилу, принятому в гл. 2, опускать аргумент X в индексах в выражениях вида «D-решение» и т. и. В случае J = R+ или J = R и ОеЬД& тот факт, что любое решение является непрерывной функцией, позволяет нам заменить пространство D на Dt. (в силу 23.N): каждое D-решение является Отрешением и обратно, причем D-норма и Ос-норма решения совпадают.
Предположим, что В е ЬЛ’(Л'), f е В, х есть D-решение уравнения (30.2), Г — компактный подинтервал в J длины р.(Д)=/ и teP. Из (31.6) следует, что
||х (Z) || ^(Д'а(О; /') | х |0 + а (В; /)Шв)ехр/J || Л(и)ИиУ (33.1) V/
В частности, если / = 0, так что х есть D-решение уравнения (30.1), то
||x(Z)||^Z ‘a (D; /') jx |D exp f j || Л (u) || du\. (33.2) /
Жонглируя оценками, полученными в 31.С, мы могли заметить при J = R+ или J = R эффект «сглаживания» решений уравнения (30.1), даваемый предположением ЛеМ(Х). Пусть х — упомянутое решение. Тогда из (31.7) следует, что ||x(Z)||^ ^|| х (t') || exp (| Л |м) при всех /, t' е I с | /' — Z | ^ 1, так что || х || не сваливается ни вправо, ни влево (см. § 23, стр. 94). С другой стороны, в силу (31.8)
/< + 1\
Цх(01К / || X (u) llrfu ехр(|Л|м)(33.3)
/
для всех teJ; отсюда видно, что каждое М-решение уравнения (30.1) ограничено, т. е. является Ь^-решением, а каждое М0-ре- шение является Ь“-решением.
. Обратимся теперь к изучению D-решений уравнения (30.1) в общем случае. Удобно предположить, что 0 е I, и в дальнейшем мы будем считать это предположение выполненным без. дополнительных напоминаний. Этого можно достичь без потери общности с помощью сдвига независимой переменной.
33.А. Предположим, что ОеЬЛДА). Множество XD всех D-решений уравнения (30.1) является подпространством в D. Отображение II, определяемое формулой Пх=.г(0), есть мономорфизм Хо в X.
Доказательство. По теореме 31.D линейное многообразие всех решений уравнения (30.1) замкнуто в L(A). Поэтому его пересечение Хо с D замкнуто в более сильной топологии D. Очевидно, П линейно и инъективно. В силу (33.2) оно ограничено, причем
|| II || ^ inf I/”'a(D; /)ехр( J II А (и) ||du ): Г — компактный интер- вал, Ое/'с/; / = р.(7/)|. j, ""''Перейдем к изучению линейного многообразия V/ \'j(t^c0
Лр^ I—ПХо = {х(0): х есть D-решение уравнения (30.1)},
"которое мы обозначим через Aon или, подробнее, Aon (А). Тот факт, что решения рассматриваются при / = 0, не играет существенной роли: множество значений D-решений уравнения (30.1) при любом фиксированном toej является попросту образом Аоо при отображении (автоморфизме) вдоль решений уравнения (30.1) от 0 к /0. Если D = L°°(A) или D = Lo° (А) (эквивалентно, D = C(A) или D = Со (А)), то мы будем сокращать обозначения и вместо Aon писать Ао или Аоо соответственно.
оо Линейное многообразие Аоо может не быть замкнутым, как будет показано в примерах 33.G и 33.Н для случая сепа-' радельного гильбертова пространства.
Следующие результаты будут многократно использоваться в дальнейшем. Среди прочего они применяются при изучении вопроса о замкнутости A0D.
33.В. Теорема. Предположим, что ОеЬЛДА), и пусть У — линейное многообразие, Y сд Аоо- Тогда ЛУсдАоо тогда и только тогда, когда существует число Sy^M, такое, что каждое решение х уравнения (30.1) с х(0)еУ удовлетворяет неравенству | х |D <Sy || х (0) ||.
Доказательство. Предположим сначала, что cl УсдХоо- Так как X0D является образом мономорфизма II, описанного в 33.А, то ГМ (с! У) есть подпространство в XD. Сужение отображения П на это подпространство является, таким образом, изоморфизмом банахова пространства П-1(с1У) на банахово пространство cl У. Его обращение есть сужение отображения П'1 па с! У и потому ограничено. Часть «только тогда», таким образом, доказана, причем установлено, что Sy—норма обратного оператора.
Обратно, предположим, что Sy существует. Сужение отображения И-1 па У является тогда ограниченным линейным отображением У в банахово пространство X» и имеет единственное ограниченное линейное продолжение, скажем V: с! У —> Хц. Но отображение 1PF: с1У—^Х и тождественное вложение с!У->Х являются оба ограниченными линейными продолжениями тождественного вложения Y-*X и потому совпадают. Следовательно, cl У = IPF (cl У) сд ПХц = Хоо- '
Доказательство не проходит при У = {0}, но в этом случае утверждение выполняется тривиально. 4-
Непосредственным следствием этой теоремы является
33.С. Теорема. Предположим, что ВеЬЛ’(Х). Тогда Хор замкнуто в том и только в том случае, если существует число. S^O, такое, что каждое D-решение (30.1) удовлетворяет неравенству f х |D М S || х (0) ||.
.Замечание. Если X конечномерно, то существование S немед-
4ленпо следует из того, что линейное многообразие всех решений урав-
;нения (30.1) конечномерно, и, значит, то же самое справедливо для XD.
Мы будем обозначать через Sy и S нижнюю грань чисел, удовлетворяющих заключениям теорем 33.В и ЗЗ.С соответственно; иногда мы будем писать подробнее: SyD (А) и SD (А) соответственно. Если это не приведет к путанице, то мы будем опускать индекс D и/или аргумент А.
33.D. Пусть УеЬАДХ) и Е — подпространство в D. Если Хоо замкнуто, то Хое замкнуто и SE^SD. Д частности, если Хо замкнуто, то замкнуто ХОо-
' Доказательство. Дважды применить теорему ЗЗ.С. Л.
В этой связи мы сформулируем один специальный результат, который не потребуется нам в дальнейшем. За доказательством отсы- . лаем к работе Шеффера [3], теоремы 7.1, 7.2, с очевидными модифика: •■ циями.
" 33.Е. Если Хж = Хо, то Хо замкнуто. Если J = R^ или J — R и если Хомс = Хом, то Хом замкнуто.
В важном случае ^-пространств полезно следующее наблюдение:
33.F. Если D е Ы7" и Лоо ^={0}, то D е Ь£Гк- В частности, если J = R+ или J = R и De b^, то Лоп ¥={0} влечет D е к-
Доказательство. Пусть х — нетривиальное D-решение уравнения (30.1). Тогда ||x||sD является непрерывной функнйсй, которая нигде не обращается в нуль на J. В силу 22.J заключаем, что DeFK. &
оо Примеры и комментарии ''
Рассмотрим два примера случаев, когда X0D не замкнуто.'
33.G. Пример. Пусть J = R+ и X — действительное или комплексное сепарабельное гильбертово пространство /2. Пусть уравнение (30.1) записывается в виде системы
хп + th (/ — га) • хп = 0, га = 1, 2, ... .
Здесь функция А задается диагональной матрицей (и, следовательно, ее значения суть симметрические или эрмитовы операторы) и ЛеС(У), причем ПЛ || = 1.
Любое решение х этой системы задается своими компонентами x”(0 = W^rx«(0)’—
так что каждое |хп|еТ, поскольку (хп (/) | ^ 2хп (га) е-' t~n'. Пусть D — произвольное пространство из bS к (см. 33.F). Тогда D слабее, чем Т (в силу 23.J), и X0D содержит все элементы из X, имеющие лишь конечное число ненулевых компонент, и потому плотно в X.
Рассмотрим теперь решение х с начальным условием х (0) = (га-1); мы найдем, что при всех
।> ch [t] ch(t—1)
при z->o°-
Поэтому х не принадлежит М(У) и тем более не принадлежит более сильному пространству D (У). Следовательно, X0D + X и X0D не замкнуто, j,
ЗЗ.Н. Пример. Если в примере 33.G мы произведем замену переменных, положив y = etx, а затем заменим у на х для единообразия, то (30.1) преобразуется в систему
хп + (th (t — га) — 1) хп = 0, га= 1, 2
Здесь А опять задается диагональной матрицей (и потому принимает симметрические или эрмитовы значения) и ДеС(Х). Теперь || А || = 2.
Компоненты решения х определяются формулами ... euchre ... l+th(t—га)о
Хп (/) ~ ch (/ - га) Хп (0) ~1—thra Хп(0)’ П 12
Каждое I хп I ограничено и не убывает (следовательно, ||хп|| не убывает) и lim x„(t) = (l+е2П)хп(0). Отсюда следует, что Хо содержит все эле/-> ОО•
менты, имеющие конечное число ненулевых компонент, но не содержит элемента (га-1), так что Хо является плотным линейным многообразием, которое не замкнуто. 3,
Замечание. Мы предполагали, что J — R+, поскольку именно этот случай понадобится нам в дальнейшем. Однако аналогичные примеры . можно построить и для J = R.
В приведенных примерах А не было постоянным. Случаи с постоянным А (но не симметрическим или эрмитовым) описаны в работах Массеры и Шеффера [1] (пример 4.1) и [4] (пример 2.1).
СОСО Если X не является гильбертовым пространством, то может случиться, что X0D — подпространство, по не дополнимо. Соответствующие примеры приведены Массером и Шеффером ( [4], примеры 2.2 и 4.1 (последний воспроизведен в примере 44.В)). В первом примере пространство X есть произвольное 1Р для р =/= 2 (и тем самым рефлексивно, равномерно выпукло и сепарабельно, если р =# 1, оо), А постоянно, Хо — недололнимое подпространство, а все ограниченные решения являются в действительности константами. В другом примере X = /”, Л —заданная постоянная диагональная матрица, XQ = X и XQ0 = I” не дополнимо.
Естественно возникает вопрос, каждое ли линейное многообразие Y в банаховом пространстве X является X0D, т. е. К = Х0О(Л) для некоторого ДеЦХ) и некоторого De, скажем, b F^ (ср. 33.F)? Если I = R+ и X бесконечномерно, то ответ отрицателен.
3.1. Нели Др Л2еЕ(Х), Dp D9 g b^^ и X0Di (4J+ X0D ( ^2) ~ ^* ^ диэдр (ХоиДЛ^, Х()0;(Л2)) раскрыт.‘
Доказательство. См. § 81 (стр. 311). 3,
Если X бесконечномерно, то заведомо существуют диэдры, не являющиеся раскрытыми. Вследствие 33.1 самое большее один член такого диэдра может быть вида Х0о(Л) для некоторых ЛеЦХ), Deo-T^ и, значит, по меньшей мере один из них является «запретным». Однако если Y — допол- нимое подпространство, то Y = X0D (/ — 2Р), где Р — любой проектор вдоль Y и D — любое пространство из bF R (следовательно, более, чем Т). Действительно, решения уравнения (33.1) даются в этом случае формулой х (/) = = e-t (/ — Р) х (0) + е*Рх (0). Поэтому если X конечномерно, то ответ на поставленный выше вопрос положителен.
ОО ОО ПноблЕМА. Всегда ли недополнимое подпространство «запретно» в указанном смысле?
Один результат о сопряженных уравнениях
Мы докажем один специальный результат, касающийся пары сопряженных уравнений на J = R+. Пусть X и X'— пара спаренных пространств. Мы используем определение топкости одного ^"-пространства по отношению к другому (§ 22, стр. 70).
.J. Предположим, что J = R+ и что функция ДеЕ(Х) имеет парную. Рассмотрим пространства В.ЕеЬ^^. Если D тонко по отношению к Е' или Е тонко по отношению к D' (в частности, если D, ЕеЬ^д- и либо D, либо Е сильнее, чем Мо, или не слабее, чем Ео’), то Х^ С (Хоо)°, где X® = = ^ое(— А'). В частности, Хоо cz (Хо)° и Хос(Хоо)0.
Доказательство. Предположим противное. Тогда существует такое D-решение х уравнения (30.1) и такое Е-решение х' уравнения (32.1), что (х(0), х'(0)) = а'0. В силу 32.С ||х||\\х'\\">
| (х, х'} । = ' о । >0. Так как ||х||е D с D" и Цх'Це Есд Е", то из 22.0 (с) вытекает, что предположение о тонкости приводит к противоречию. Частные случаи следуют из 23.U (2), (Ь), (с). 4,
Замечание. Если бы ответ на проблему, поставленную после 23.11, . был положителен, то предположение о топкости в 33.J могло бы быть заменено на следующее предположение: «либо D, либо Е не слабее, чем Е°°». Этот результат был бы наилучшим возможным, так как для Л = 0 и любых D и Е, более слабых, чем L”, мы имеем X0D = Хн = X, Х'йЕ = Х0 = Х'. Поэтому мы ставим еще одну проблему и даем частичный положительный ответ, а именно для случая 4еМ(Х) и D, ЕеЬЭ'д..
Проблема. Можно ли предположение «D тонко по отношению к Е' или Е топко по отношению к D'» заменить в 33.J предположением «либо D, либо Е не слабее, чем Е°°»?
.К. Предположим, что J=RV и что функция ЛеМ(Х) имеет парную. Рассмотрим пространства D, ЕеУ\. Если либо D, либо Е не слабее, чем Е°°, то ХоЕ с (Хоп)°-
Доказательство. Предположим противное. Пусть х, х', а определены так же, как в доказательстве 33.J. Как мы отмечали в начале параграфа, если ДеМ(Х), то каждое М-реше- ние и, следовательно, каждое D-решение для D е bl^-^ уравнения (30.1) является ограниченным. Это применимо и к парному уравнению. Поэтому || х ||^| о ||х'Г', II V ||^| о Цхр1, так что D и Е содержат ненулевые константы и, следовательно, слабее, чем L°°, в противоречие с предположением. 4,
■34. Замечания к главе 3
При рассмотрении линейных дифференциальных уравнений мы предполагаем выполненными условия Каратеодори, в которых обычные требования непрерывности заменены условиями лишь интегрируемости. Это существенно для возможности плодотворного применения классов функциональных пространств и относящихся к ним понятий, изученных в гл. 2, к исследованию свойств дифференциальных уравнений, что представляет собой одну из главных целей этой книпь
Обсуждение проблем существования решений и т. и. при этих общих предположениях и даже в нелинейном случае, но только для конечномерных пространств можно найти, например, в книге Коддингтона и Левинсона [1] (см. особенно гл. 2). Упомянем также книгу Сансоне и Конти [1] (см. особенно гл. 1), где, в частности, можно найти лемму Гронуолла в общем виде. В качестве общего курса, в котором изложена теория функций со значениями в банаховом пространстве, интегралов от таких функций и т. п., . мы можем рекомендовать книгу Хилле и Филлипса [1].
ЧАСТЬ II
Глава 4
Дихотомии
Введение
В этой главе мы начинаем изложение основной темы настоящей книги с исследования однородного уравнения (30.1), т. е. уравнения
х + Лх = 0, (40.1) где областью изменения независимой переменной t является J = R+ (это будет предполагаться повсюду в этой главе), Л е Ь(Я) задано и X— некоторое фиксированное банахово пространство.
Мы опишем два типа поведения решений уравнений (40.1), которые можно было бы несколько пестрого назвать равномерной условной устойчивостью и равномерной асимптотической (или экспоненциальной) условной устойчивостью: равномерной, поскольку имеет место независимость от «начального» значения (0, и условной, поскольку некоторые решения остаются (или становятся) малыми, в то время как другие остаются (или становятся) большими. Кроме того, имеется некоторое условие «обособленности» этих двух множеств решений. Мы ввели общий термин дихотомия для поведения такого рода; более точно, (обыкновенная) дихотомия и экспоненциальная дихотомия соответственно.
Обыкновенная и экспоненциальная дихотомия — наиболее «совершенные» типы поведения решений уравнения (40.1), которые мы будем рассматривать, и они будут служить образцами при изучении других типов.
В § 41 и 42 вводятся соответственно понятия обыкновенной и экспоненциальной дихотомий, причем дается несколько эквивалентных формулировок, и описываются свойства дихотомий и их взаимосвязь с классами решений, принадлежащих определенным функциональным пространствам. Работать с обыкновенными дихотомиями определенно труднее, чем с экспоненциальными дихотомиями, хотя последние явно сложнее.
В § 43 мы обсуждаем взаимоотношение между дихотомиями, обыкновенной и экспоненциальной, решений уравнений (40.1) и
сопряженного уравнения в двух спаренных банаховых пространствах.
Упрощения в формулировках, которые возникают, когда пространство X гильбертово, незначительны. Поэтому они отмечаются мимоходом в соответствующих местах. Однако если X конечномерно, то имеют место важные специальные результаты; они изложены в § 44.
Мы включили сюда формулировки некоторых теорем (например, теоремы 41.Е), которые важны с точки зрения этой главы, но доказательство которых мы должны или предпочитаем отложить на некоторое время. Иногда здесь дается только одно доказательство из двух представляющих интерес, тогда как другое приводится позднее (например, для теоремы 41.F).
Всюду в этой главе U обозначает решение уравнения (30.3), удовлетворяющее условию ^(0)=/.
Обыкновенные дихотомии
Определение
Говоря неформально и весьма вольно, подпространство У пространства X индуцирует дихотомию решений уравнения (40.1), если решения, начинающиеся на У при / = 0, остаются равномерно ограниченными, а решения, начинающиеся далеко от У, остаются равномерно «отграниченными» от 0, причем оба множества решений остаются равномерно «обособленными». Теперь дадим точное определение.
Подпространство У пространства X индуцирует дихотомию решений уравнения (40.1), или дихотомию для функции А, если существует такое У >0 и для каждого Х>1 существуют такие N' = N'UA>0, yo = yoW>O, что любые решения у, z уравнения (40.1) с г/(0) У, ||z(0) Ц-C Xd( У, z(0)) удовлетворяют неравенствам
(DD II ^(0 II^A^IIi/ (^о) II(DD II ^(0 II^A^IIi/ (^о) II(Dn) l|z(/)||>yV,-,i|z(/0)||(Dn) l|z(/)||>yV,-,i|z(/0)||(Din) У [у (0. zW\> у0(Din) У [у (0. zW\> у0для всехдля всехдля всехдля всехдля всехдля всехWQ>0;’1^о^_/ ^ 0 при у, z ^ 0.WQ>0;’1^о^_/ ^ 0 при у, z ^ 0.
(DD II ^(0 II^A^IIi/ (^о) II
(DD II ^(0 II^A^IIi/ (^о) II
(Dn) l|z(/)||>yV,-,i|z(/0)||
(Dn) l|z(/)||>yV,-,i|z(/0)||
(Din) У [у (0. zW\> у0
(Din) У [у (0. zW\> у0
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
WQ>0;’
1^о^_
/ ^ 0 при у, z ^ 0.
WQ>0;’
1^о^_
/ ^ 0 при у, z ^ 0.
Для определенности мы будем называть такую дихотомию обыкновенной в отличие от экспоненциальной дихотомии, которая будет введена в § 42.
Фактически нет необходимости предполагать существование N' и уо для каждого X; эта и другие подобные очевидные упрощения и переформулировки определения обеспечиваются следующей теоремой:
41.А. Теорема. Пусть Y — подпространство в X. Тогда следующие утверждения эквивалентны: а
Y индуцирует дихотомию для A.
Существует N>0, и для некоторого, Х>1 существуют N'>0, уо>О, такие, что любые решения у, ^уравнения (40.1) с z/(0) е Y, ||z(0) ||^ \d(Y, г(0)) удовлетворяют условиям (Dj), (Dn), (Dm).
[(d)] Существует N>0, и для каждого [некоторого] Х>1 и каждого [некоторого] (УД]-расщепления q пространства X существуют такие N' = N'[q}>0, уо = уо(9)>О, что любые решения у, z уравнения (40.1) с z/(0) е Y, q (z (0)) = z (0) удовлетворяют условиям (Dj), (Dn), (Dm).
[(f)] Для каждого [некоторого] Х>1 существует D = = D(X)>0, такое, что любые решения х, у, г уравнения (40.1) с х = у + г, уДеУ, ||z(0) ||^ Xd[Y, z(0)) удовлетворяют усло
виям.
(Di) || у (t) || < D || х (f0) || для всех t>tQ>0; (Dn) II z (t) || < D || x (to) || для всех to>t>O.
(g) [(h)] Для каждого [некоторого] Z>1 и каждого [некоторого] (У, ХУрасщепления q пространства X существует D = D[q) > 0, такое, что любые решения х, у, z уравнения (40.1) с z(0) = q[x$yy y = x — z удовлетворяют условиям (D0, (Du), или, эквивалентно, что для каждого иеХ выполняются условия
(d")|| П W (П '[t^u — q(jj 1 (f0) u))|k D|| и || для всех t^t^O;
№\\U ^qVU-Vt^u^CDWuW№\\U ^qVU-Vt^u^CDWuWдля всех 1йХ^для всех 1йХ^t>0.t>0.
№\\U ^qVU-Vt^u^CDWuW
№\\U ^qVU-Vt^u^CDWuW
для всех 1йХ^
для всех 1йХ^
t>0.
t>0.
Доказательство. Для доказательства эквивалентности условий (g) и (h) положим х = U U-1 (/0) и, так что u = x(toy z = Uq(U~l (t0) и). Рассмотрим следующую диаграмму импликаций:
Все эти импликации очевидны, если воспользоваться определением расщепления и формулами (11.1), (11.2), за исключением импликаций указанных жирными стрелками, а из последних только (h) -^- (е) выводится не совсем просто.
влечет (h). Пусть (d) справедливо для [Y, Л)-расщепле- ния q, и пусть х, у, г таковы, как предполагается в (h). Мы
имеем у (0)е У, и по (11.1) q (2 (0)) = 2 (0), так что у, z удовлетворяют условиям (D[), (Dn), (Dm), согласно (d). Предположим, что у, 2 #= 0. Полагая f =/0 в (Dm) и применяя лемму 11.А к у(^0), - 2 (Ц находим, что шах {|у^, ||z(<0)|) < 2у-' ||х(/0)||. Отсюда вытекают условия (d(), (Dn), если воспользоваться соответственно (D[), (Dtl) (поменяв в последнем местами t и /0), причем они будут выполняться с D = 2у~1 шах {Д', N'Y Если у или 2 равно 0, то же самое заключение может быть получено соответственно из (Оц) или (D[), так как у0^2.
влечет (а). Пусть у — решение уравнения (40.1) с у(0)еУ. Применение условия (D') к хх = у, = у, 2t = 0 при любом X дает (Di) с N = inf ЩХ\ Пусть дано %>1, и пусть 2 —решение Х’> 1
уравнения (40.1) с |[ 2(0) ||^Хс((У, (2(0)). Применение условия (Dn) к X] = 2] = 2, ух = 0 дает (Ьц) с N' = D (t0 и t меняются местами). Если у, 2 #= 0, то применяем условие (DQ к У, = ||//(f0)|i 11/> Z1 =-||2(/0)|Г12, xx=yx-Vzv t = t0, и получаем у\y(t0Y г(/0)] = = 11 хх (f0)ll> D11| ух До) II = D-\ так что (Ощ) справедливо с Yo = D~*.
(h) влечет (е). Предположим, что (h) справедливо для (У, Х0)-расщепления q с D^ = D0. Пусть дано Д>1, и пусть х, у, 2 таковы, как предполагается в (е). Определим решения Ух, 2! уравнения (40.1) формулами 2, (0) = q (х (0)), ух = х — 2,. Длл решения w = у ~ yx=zx — 2 имеем и(0)еУ. Следовательно, ?(М0)) = 0. Далее, ||2(0) |КМ(У, 2(0)) = М(У, 2, (0))<М г, (0) ||, так что, используя неравенство (Dn) из условия (h), с zx вместо z и t = 0, получаем
||ш(0)||<(1 +Mli^(O)|K2Wo||x(/o)||.(41.1)
Пусть теперь дано t ^ t0. Применяя (D') к ух вместо у и затем к ю, ю, 0, 0 вместо х, у, 2, /0, складывая и используя (41.1), находим ■
II У W II < II Ух (0 II + II ^ (0 II < Do (II х ^ II + II W (0) II) ^<Оо(1 + 2Х00)||хД0) ||.
Пусть дано / ^ /0. Тем же самым способом, но используя условие (Dn) для zx вместо z (а также (о[) для w, как прежде), мы находим ||2(f)|KD0(l + 2XD0) || х (f0) ||. Отсюда заключаем, что (е) справедливо с D = D (X) = Do (1 + 2XD\ j.
Для дополнимых подпространств можно указать еще несколько эквивалентных условий дихотомии: . .
■ 41.В. Дополнимое подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для А в том и только в том случае, если справедливо любое из следующих эквивалентных условий:'
(a) [(h)] Существует такое А>0 и для каждого [некоторого] дополнения'Z к У существуют такие N'=N'(Z]>0, уо = уо(^)>О, что любые решения у, г уравнения (40.1) с у(0) е У, z(0) eZ удовлетворяют условиям (Di), (Du), (Dm)..
(с) [(d)] Для каждого [некоторого] проектора Р вдоль подпространства У существует D = D[P]>0, такое, что
|(D"i) |1[/ (/)(/ - P]U'4t0^<D для всех t>tQ>0;
(Dcu) Wu^PIF'V^W^Dдля всех tQ>t>0..
Доказательство. Пусть Р — проектор вдоль У на Z. Используя 11.F, получаем следующие цепочки импликаций:
41.A (с)-> (а)-> (Ь)-> 41 .A (d)'
и
41.А (g)->(c)->(d)->41.A (h).
Теорема 41.А завершает доказательство. 4г
■ Если пространство X гильбертово, то каждое его подпространство дополнимо, и в 41.В (b), (d) можно (но не обязательно) взять Z=YL, Р = [ — Ру. В этом случае единственным условием теоремы 41.А, сохраняющим интерес (помимо определения самой дихотомии), является (Ь). Мы переформируем для этого случая определение и указанное условие заодно с 41.В (а), (Ь):
41.С. Если X— гильбертово пространство, то подпространство У индуцирует дихотомию для А в том и только в том случае, если справедлива любая из следующих переформулировок соответственно определения, условия 41.А(Ь), условия 41.В(а), условия 41.В (Ь):
(а) [ (Ь) ] Либо У ^ {0} и существуют такие N > 0 и для каждого [некоторого] со, 0<(о^-^-л, такие N'= N'[Ф] "> 0, " ‘ 1 1 и0 = и0(и), О<ио^ул, что любые решения у, г уравнения (40.1)^ для которых у, z ^ 0, у(0)еУ, ^[Y, z(0))^a>, удовлетворяют условиям (Di), (Оц) и условию ■ ; ■ ;
(Ош н)<£(у(0.2(0) ^ <»о для всех t>0; ■ . ■ -
гибо У — {0} и существует АР > 0, такое, что каждое решение г уравнения (40.1) удовлетворяет условию (Du). -
(с) [(d)] Существуют такое N>0 и для каждого [некоторого] дополнения Z к Y такие N' = N' (Z)>0, too=m(AZ'h 0 < (Од^Сду л, что любые решения у, г уравнения (40.1) с у(0) е У, 2(0) eZ удовлетворяют условиям (Di), (Du), (Dm).
Доказательство. Все переформулировки выполняются с помощью 14. А. Возможность взять и= у л в (а), (Ь) следует из (с), если положить Z = У1. 5,
Замечание 1. На основании 11.С мы можем при У=£{0) заменить в определении дихотомии и в условиях 41 A(b), (е), (f) «||г(0)||^ ^Xd(Y, г(0))» па «у[У, г(0)] 5s у» Дая некоторого у > 0; тогда N' ,уо, D становится функциями от у, а случай Y = (0) должен быть оговорен отдельно. Мы опускаем детали.
Замечание 2. Как показывает доказательство теоремы 41. А (в особенности доказательство импликации (h) (е)), функции N’ (X), N'(q'), S(X), D(q) можно выбрать неубывающими, а фактически даже линейными функциями от одной переменной X, а в качестве уо(Х), yo(q) можно взять обратные к таким функциям. Леммы 11. D и 11.F показывают, что в 41. В в качестве N'(Z) может быть взята неубывающая линейная функция от у[У, Z]-1, в качестве yo(Z)—обратная к такой функции и в качестве D(P)—неубывающая линейная функция от II Р ||. Соответствующие результаты для 41. С следуют из 14. А.
Замечание 3. Имея в виду дальнейшее (см., в частности, 42. D), уместно поставить вопрос, не является ли условие (Diti) излишним в определении дихотомии или в условиях 41.A(b), (с), (d) и 41.8(a), (Ь), а также пе является ли излишним условие (Dinu) в 41.С(а) — (d). Ответ отрицателен даже для двумерного X (для одномерного X условия (Dni), (Вити) бессодержательны) и постоянного А, причем для наиболее жестких из этих условий, а именно для определения дихотомйи и 41.С (а). Это иллюстрируется примером 41.G.
Замечание 4. Вопрос о том, какие подпространства в X индуцируют дихотомию хотя бы для какого-нибудь А е1(Х), решается тривиально, если заметить, что для А = 0 решения уравнения (40.1) постоянны и, следовательно, каждое подпространство в X индуцирует дихотомию для 0. Некоторые близкие вопросы будут рассмотрены в § 72.
Дихотомии и решения в ^-пространствах
Теперь мы изучим связь между подпространствами, индуцирующими дихотомии, и линейными многообразиями Хо-, введенными в § 33. Мы ограничимся рассмотрением пространств D(X) с DEb.T. На основании 33.F мы можем предположить без потери общности, что D слабее, чем Т, т. е. что D е ЬУк. Наиболее важными из указанных линейных многообразий в рассматриваемом случае являются Хо и Хоо.
41.D. Теодема". Если подпространство Y пространства X индуцирует дихотомию для А, то Х00с Yа Хо и Хоо является под-
пространством. Если Ве’пТк, то либо X№=XQ, либо Хоо с с Хюс Y в соответствии с тем, слабее D, чем L°°, или нет.
Доказательство. Обратимся к определению дихотомии. Условие (Di) влечет включение Y с: Хо, а условие (Dn) — включение ХооСгУ. Линейное отображение y-+Uy. У->Ь°°(Х) ограничено в силу того факта, что (Dj) влечет || Ду||^ АДу|| (или в силу теоремы ЗЗ.В). Поэтому прообраз Хоо подпространства L”(X) замкнут в У и, следовательно, является подпространством в X.
Пусть дано ОеЬХк- Рассмотрим любое D-решение х уравнения (40.1) с х(0) ^ У. Тогда условие (Dn) дает при соответ- 1+1
ствующем N'>0 неравенство || x(i) ||^ N' J || х (w) |lcZ« для всех
/ > 0. Так как хеМ(Х) (согласно 23.G), из этого неравенства следует, что х ограничено и, следовательно, х(О)еХо. Поскольку во всяком случае У с: Хо, то Хоо сд Хо. Если D слабее, чем L°°, то справедливо обратное включение, и равенство доказано.
Предположим, что существует D-решение х уравнения (40.1) с х(О)ЙХоо. Если ,<(0)еУ, то мы имеем а = inf || х (t) ||^
N-1 lim sup|| х (/) ||>0. Если х(0)^ф, то и подавно из (Dn) /->оо
следует, что а = inf || х (/) || > 0. Поэтому 1^а~Ч|х|| и IeD.
Следовательно, D слабее, чем L”. 5,
Теорема. Если подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для А, то и каждое подпространство Z, такое, что YclZclXo, также индуцирует дихотомию.
Доказательство. См. § 63 (стр. 206). 4-
«дм Замечание. Приводимый ниже пример 41.Н показывает для случая сепарабельного гильбертова пространства, что может существовать подпространство К, которое индуцирует дихотомию, хотя Хо не замкнуто и, следовательно, само не индуцирует дихотомии.
41.F. Теорема. Если подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для А и ХОо имеет конечную коразмерность относительно У, то Хоо также индуцирует дихотомию для А.
Доказательство I (доказательство II см. в § 63 (стр. 206)). 1°. По теореме 41.D Хоо является подпространством, содержащимся в У. Мы допустим, что Xoo+Y, так как в противном случае доказывать нечего. По предположению существуют некоторое (У, 2ц)-расщепление у, пространства X и постоянные Wb N'x, yoi>O, такие, что для' У удовлетворяется условие 41.A (d).
Пусть Уо — любое (конечномерное) дополнение к XQ0 относительно У. Заметим, что У0=А{0}. Пусть Q— проектор У вдоль Хоо на Уо- Положим X=Xi + IIQII+ X1HQII и ^(x) = qx(x) + Q(x— ^(х)) для каждого хеХ. Согласно 11.F и 11.Н, q является (ХОоА)- расщеплением X. Мы утверждаем, что существуют N, N', уо>О, такие, что условие 41.Л (d) удовлетворяется для Xoo и этого расщепления.
2°. Для любого уеУо\(О} мы по допущению имеем inf || U (/)у || ^ МГ1 lim sup|| U (t) у ||>0. Точно так же если ух, <^0t-»oo
У2е¥0\^, то [ inf If U^yx ||- inf || U(t)y2 |(K sup (/(f) (у, -1/2) IK t>0<>0f>0
^ ^i II У\ — Уг П- Непрерывная функция inf || U (t) у || имеет полого
жительный минимум, скажем р, на компактном множестве \у: yeY0, ||z/||=l}.
Следовательно, любое решение у уравнения (40.1) с у(О)еУо удовлетворяет для любых /0, f^O неравенствам
II У (0 II> РН У (0) ||> p/vr'll у (fo) II.(41.2)
Если у ^ 0 и и - ненулевое решение уравнения (40.1) с и (0) е Хоо и если задано t0">0, то, применяя (Di) к Ц у^о) 1Г* У — II «(/о) 1Г' и, мы получдем
<4L3>
3°. Так как ХооС У, то условие (Dj) справедливо для Хоо с N = NX. Пусть 2 — решение уравнения (40.1), такое, что ^(г(0)) =z(0). Определим решения ух, zx уравнения (40.1) начальными условиями zx (0) = qx (z(0)), ух (0) = Q (2(0) — zx (0)) e e Уд, так что z=yx+zx и qx (zx (0)) =2, (0). Предположим на время, что ух, 2j =£ 0. Неравенство (Dm), примененное к У, дает y[yi(O —2!(/)]>у01 для всех t. Используя лемму 11.А, неравенство (Пц) для zx и неравенство-(41.2) для ух, получаем, что для любого f > /о ^ 0
IlzWII^y Vol max(||z/l (()||, ||21(/)||}>
> У Yoi max [рАД1 Jy, (f0)||, N'"1 ||z, (f0)||} >
(41.4)(41.4)^N'-'Wz^t^W,
(41.4)
(41.4)
где N' = 4y-' max {P"^,, N'^. Неравенство между крайними членами в (41.4) сохраняется, если ух или zx равно 0, так как
у01^2. Таким образом, (Оц) справедливо для Хоо с указанным N'.
Предположим, что 2 =Л 0, и пусть и такое же, как и в п. 2°. Допустим на время, что ух, zxV=0. Пусть дано t"^0. Согласно (41.3), у [w(/), PUiWA^^Nr2 для всех скаляров р =# 0. Неравенство (Dm), примененное к У, дает у[р«(0 + vy, (/), 21(/)]^Yoi для всех скаляров р, v, не равных нулю одновременно. Из леммы о трех углах 11.В мы выводим, что у[«(0> 2(0]^ ^-4 Yo^^ • То же заключение остается верным, если у, или Zj = 0, так как yOp p/V~2^2 (последнее, согласно (41.3)). Следовательно, (Dm) верно для Хоо с Yo = ^YoiP^i • 5-
рр Замечание. Если коразмерность Хоо относительно У нс конечна, то утверждение теоремы 41. F, вообще говоря, не верно. Пример 41.1 показывает это для случая сепарабельного гильбертова пространства и ■ ограниченной непрерывной функции А, принимающей симметрические или эрмитовы значения.
Примеры
41.G. Пример. Пусть X— двумерное действительное или комплексное пространство с декартовыми координатами хь х2, и пусть система (40.1) имеет вид
Xj — х2 = 0,х2 = 0.
Каждое решение этой системы дается формулой х (0 = (х, (0, *2 (0 ) = Ui (0) + х2 (0) О х2(0)). Покажем, что подпространство Х0 = (х: х2 = 0} удовлетворяет условиям (Di), (Dn) определения дихотомии, или, что то же самое, условию 41.С (а), но не удовлетворяет условию (Dm), или, что то же самое, условию (Ошн) (1 \
(даже только для о^ул).
Решения ус у(О)еУо постоянны. Следовательно, справедливо условие (D[) c^=l. Пусть дано со, 0<ю<уЛ, и пусть г¥=0 будет решением, таким, что -^ (Xo, z(0))^o>, т. е. ! 2, (0) | ^|| z (0) ||cos со. Положим tm = — | 22 (0) Г2 Re (2, (0)z2 (0)). Несложное вычисление показывает, что при /т<0 !| 2 (01! возрастает, когда t изменяется от 0 до оо. Если же ^т>0, то || 2 (011 убывает, когда t изменяется от 0 до tm, и затем возрастает, когда t изменяется от tm до оо. Следовательно,
9 Зак. 405
в последнем случаев последнем случаеII z Wil2II z Wil2мы имеем при / ^/0 ^ 0
в последнем случае
в последнем случае
II z Wil2
II z Wil2
М^Л = , _ / Re (г, (^ г2 (0)) \21|г(0)||21 к |г2 (0)| || г (0)|| )
ЫШ1 2 ||г(0)||2 и.
Таким образом, в любом случае (Dn) справедливо, причем N' = N' (со) = 1/sin со.
Рассмотрим теперь решения у(0 = (1, 0), z (t) = (Е 1), для которых у^еХо, 4- (20, г (0)) = у л. Они удовлетворяют равенству tg (у ((), z (())=/-1, так что lim х^Цу^Г), г (()) = 0 и £->оо
условие (Dihh) не выполняется. Заметим, что вообще никакое подпространство не индуцирует дихотомии, как показывает теорема 41.Е или несложное непосредственное доказательство. 5,
, ОО 41.Н. Пример (продолжение примера 33. Н). В примере 33. Н II х || не
I убывает для любого решения х уравнения (40.1). Следовательно, Хоо = (0) индуцирует дихотомию для Л с N' = 1 (например, в силу 41. С), но Хо не замкнуто. 4,
ОО 41.1. Пример. Пусть X — действительное пли комплексное гильбертово пространство Р, и пусть (40.1)—алгебраическое сопряженное к уравнению примера ЗЗ.Н, а именно система
хп — (th(t— п)—1)х„ = 0, n = 1, 2
Здесь Л снова задается диагональной матрицей и, следовательно, принимает симметрические или эрмитовы значения. Кроме того, Л е С(Х) и || Л || = 2. Любое решение х определяется своими компонентами
... ch (t — п) ... 1-th п_
XnW =—x„(0) =—-xrt(0), n=l, 2, ....
e'ch n1 + th t-n
Каждая из функций | хп | не возрастает, следовательно, ||х|| также ие возрастает, и Хо = X индуцирует дихотомию для Л с N= 1. Далее, lim xn(t) = t-»oo
= (1 + е2")"1 хп (0), так что lim ||х (t) || > 0, за исключением случая х = 0. 1->оо
Поэтому Хоо = {0}- Но {0} не индуцирует дихотомии, так как в этом случае мы бы для всех решений х и всех t^0 имели, согласно 41.С, неравенство || х (t)||> .V'-1 II х (0)|| для подходящего N' >0; однако для достаточно большого целого m e2m>N' — 1 . и для решения х с начальным условием х(0) = ет мы имели бы lim ||х (011 = (1 + e2m)_1<^'_| = N'~' || х (0) || — противоречие. 4,
Экспоненциальные дихотомии
Определение
Мы хотим рассмотреть тип поведения решений уравнения (40.1), называемый экспоненциальной дихотомией, который отличается от обыкновенной дихотомии добавочным требованием, что решения, начинающиеся на «индуцирующем» подпространстве
if^-yj - [1^^ Ifoy II
У, убывают по равномерному показательному закону, тогда как решения, начинающиеся вдали от У, растут подобным же образом. Этот тип поведения и проще по строению и богаче по свойствам, чем его обыкновенный аналог, как будет показано в этом параграфе и следующих главах. Точное определение таково: Подпространство У пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию решений уравнения (40.1), или экспоненциальную дихотомию для А, если существуют такие v, V, N>0 и для каждого л>1 такие Х' = Х'Щ >0, уо = уо(>.) >0, что любые решения у, z уравнения (40.1) с у(0)ЕУ, ||z(0) Ц/C Xd^Y, z(0)) удовлетворяют условиям
(Ej) ||//(П|КПе-^-'Н1//(Ш(Е„) Ilz^ll^n'-'e^-^lzOI(Din) 4\yW г№](Ej) ||//(П|КПе-^-'Н1//(Ш(Е„) Ilz^ll^n'-'e^-^lzOI(Din) 4\yW г№]длядлядлядлядлядлявсех / ^ /0 ^ 0;всех / ^ /0 ^ 0;всс^7> /^ 0; ij^всех t ^ 0 прГТ/Г г =^ 0всс^7> /^ 0; ij^всех t ^ 0 прГТ/Г г =^ 0
(Ej) ||//(П|КПе-^-'Н1//(Ш
(Е„) Ilz^ll^n'-'e^-^lzOI
(Din) 4\yW г№]
(Ej) ||//(П|КПе-^-'Н1//(Ш
(Е„) Ilz^ll^n'-'e^-^lzOI
(Din) 4\yW г№]
для
для
для
для
для
для
всех / ^ /0 ^ 0;
всех / ^ /0 ^ 0;
всс^7> /^ 0; ij^всех t ^ 0 прГТ/Г г =^ 0
всс^7> /^ 0; ij^всех t ^ 0 прГТ/Г г =^ 0
(Последнее условие то же самое, что п для обыкновенной дихотомии.)
Очевидно, в этом случае У индуцирует обыкновенную дихотомию для А. Поскольку все решения, начинающиеся на У, стремятся к 0, а все остальные неограпичены, подпространство, индуцирующее экспоненциальную дихотомию, единственно (в отличие от случая обыкновенной дихотомии, когда при /1=0 каждое подпространство индуцирует дихотомию). Поэтому недвусмысленно, а часто и удобно говорить, что А обладает экспоненциальной дихотомией.
Аналогично теореме 41.А мы имеем несколько эквивалентных определений экспоненциальной дихотомии, в том числе одно условие^ (аД лишь слегка отличное по форме:
C42.a7~Teopema.J|Пусть У— подпространство в X. Следующие утверждения эквивалентны-.
У индуцирует экспоненциальную дихотомию для А.
(аоо) Существуют такие v, v', N, N'^, yoo>0 и для каждого Х>1 такое Т — Т().)^0, что любые решения у, z уравнения (40.1)- с ij^eY, fjz'(0) 1)^17^Н(У, г(0)) удовлетворяют условию (Е/) и условиям
(ЕПоо) ||г(/)||^ П^'е^^-^Цг (Zo) II для всех t^t^T-,
(EniJ yVyUV 2(/)]>уоо для всех t>T при y,z=#0.
Существуют такие v, V, N>Q и для некоторого Х>1 такие Л/>0, уо>б, что любые решения у, г "уравнения (40.1) с y^eY, ||г(0) || < Xd(Y, г(0)) удовлетворяют условиям (Ei), (Ен), (Dm)..
[(d)] Существуют такие v, V N>0 и для каждого [некоторого] Х> 1 и каждого [некоторого] (УД)-расщепления q пространства X такие N" = N'(q) >0, уо = Уо(9)>О, что любые решения у, z уравнения (40.1) с у[0] е Y, q(г(0))=z(0) удовлетворяют условиям (Ei), (Ец), (Dm).
(е) [(f)] Существуют такие v, v'>0 и для каждого [некоторого] Х>1 такое D = D[X]>0, что любые решения х, у, z уравнения (40.1) с x = y + z, ij№igY, |]г(0) || < Xd[Y, 2(0)) удовлетворяют условиям
(е() l|t/(Oll<Oe~v(<-<")||xO| для всех t>tQ>0;(Еп) l|z(f)||<D2-v'(^c||x(f0)|| для всех to>t>O.
(g) [(h)] Существуют такие v, у'>0 и для каждого [некоторого] Х>\ и каждого [некоторого] (Y, X) -расщепления q пространства X такое D = D[q]>0, что любые решения х, у, г уравнения (40.1) с 2 (0) = ^ (х (0)), y = z — х удовлетворяют условиям (Ei), (Ен) или эквивалентно что для каждого ueX мы имеем
(Ef) Il U (MlT' (f0) и -qllTx (f0) u))|| < De-V(<-M|| и ||
для всех t^ t0>0
№\Ци (t)q(U-\t0)u)l^De'v'^^ для всех to>t>O.
Доказательство. Эквивалентность условий (g) и (h), так же как и эквивалентность всех других условий, за исключением (аоо), доказывается точно так же, как в теореме 41.Л.
(а) влечет (аоо). Пусть Хо> 1 фиксировзно. Положим М'= = N'[X0], уо = УоДо). Выберем некоторое р>1 и для кзждого Х>1 положим Т = Т (X) = (v + v')~lln(AW/(X+ 1) (р—I)-1)- Для любого Х> 1 пусть у, z будут решениями уравнения (40.1) с i/(0) G У, ||2(0) IK Xd[ У, z(0)). Решение у удовлетворяет условию (Ei). С помощью (УД0)-рзсщепления или иным способом получаем х = У) + 21, где ух и zx— решения урзвнения (40.1) с yd/peY, ||2,(0)KM(y,2(0)) =Д0</(У, 2Д0)). Мы имеем II//] (0) ||<||г(0) || + ||zi(0) IK (Х+1) ЦгДО) ||. Для любого /0> Т нз- ходим, используя (з),
II2 (fo) II <111/1 (^о) И + ПгД^о) II <
<(Х+ n^-^IIZ! (0)11 + 112, (/0) II <
<(Д+ \]ПП'е-^‘»+ 1)|| 2> «о) II <
(42.1 )(42.1 )<р||2, (f0) II-
(42.1 )
(42.1 )
Применяя лемму 11.А в случае ух ^ 0 (в этом случае z#=0, 2,^0) и (42.1) в противном случае, находим, что для всех
t^t^T выполняется неравенство
н*(о ii^IyoIi^! (oii>
^jp-'YoW'-'^'^llz^) ||.
Следовательно, (ЕПоо) справедливо с Л^ = 2ру^'ЛС. Если у, z=#0, то применение (42.1) и в случае необходимости леммы 11.А дает для любого t ^ Т
Ц ||«/(Г) II к (О U MOllP
>2 Yoj^^yP *Yo.
так что (EmJ справедливо с Yoo = yP-TYo-
(аю) влечет (а). Пусть дано Х> 1. Положим Т = Т^Х\ Пусть у, z будут решениями уравнения (40.1) с y^eY, ||z(0)||^ <А<Ц¥, ^(О)). Решение у удовлетворяет условию (Е]). Если О^#о, ^Г, то неравенство (31.7) дает |] z^ ]|^Ц z(t0) ||ev ^-W X
(
т\
— VT — J || Д (и) ||du I. Комбинируя последнее неравенство о/
VT + J || Л (и) || du I. Если о/
у, z^Q и О^/^Г, то (31.10) и (ЕШоо), примененные к точке Т, / т\
дают Yly(0, z(0]>y Y \У (Л, z (Г)] exp ( — 2 j || Л (u) || du I ^
ГТ\
^ у YooexP I — 2 j || А (и) \\du I. Используя (ЕШоо) для t^T, за- \ о)
г т• \
ключаем, что (Difi) справедливо с Yo = -у YooexP I — 2 I || А (и) ||du I.
V о/
и (а) доказано. 5,
Для дополнимых подпространств имеет место результат, аналогичный 41.В:
42.В. Дополнимое подпространство Y пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию для А в том и только в том
случае, если справедливо любое из следующих эквивалентных условий-.
(a) [(b)] Существуют такие v, V, N>0 и для каждого [некоторого] дополнения Z к Y такие N'=N'(Z)>0, yo = Yo(Z)>O, что любые решения у, z уравнения (40.1) с у(0) е Y, г(0) е Z удовлетворяют условиям (Ei), (Ец), (Dm).
(с) [(d)] Существуют такие v, v'>0 и для каждого [некоторого] проектора Р вдоль Y такое D = D[P]>0, что
fccMUttHf - P^U^^CDe-^'^ для всех t>tQ>0;
te^.U[tW~4to^De'v lt‘~l}te^.U[tW~4to^De'v lt‘~l}для всех /о^/^О.для всех /о^/^О.
te^.U[tW~4to^De'v lt‘~l}
te^.U[tW~4to^De'v lt‘~l}
для всех /о^/^О.
для всех /о^/^О.
Доказательство. Это доказывается так же, как и 41.В (с использованием теоремы 42.Л вместо теоремы 41.A), £
Если пространство X гильбертово, то имеют силу те же са- | мые замечания, что и для обыкновенной дихотомии, и мы получаем тем же самым способом результат, аналогичный 41.С:
42.С. Если X — гильбертово пространство, то подпространство Y индуцирует экспоненциальную дихотомию для А в том и только в том случае, если справедлива любая из следующих переформулировок определения, условия 42.А(Ь), условия 42.А (аоо), условия 42.В (а), условия 42.В (Ь) соответственно-.
(a) [(b)] Либо У=А={0} и существуют такие v, V, N > 0 и для каждого [некоторого] со, 0<и^ул, такие N' = N' (со) > 0, и0 = и0 (со), 0<и0^ул, что любые решения у, z уравнения (40.1) с ij№[eY, ^(Y, г(0))^и удовлетворяют условиям (Ei), (Ец) и (Ошн), либо Y ¥={0} и существуют такие V, N'>0, что каждое решение 2 уравнения (40.1) удовлетворяет условию (Ец).
(а^) Либо /^{О} и существуют такие у, v , N, Аоо>0 и в^, 0 <йсо^^- л, и для каждого а, 0<о)^-^-л такое Т = = ^(^^О, что любые решения у, z уравнения (40.1) с y[C)^Y, -ЛЦХ, z(0))^co удовлетворяют условиям (Et), (Ец^) и условию
(Ешоон) ^ {у (/), z^^^tooo для всех t^T при у, 2=^=0;
либо У = {0} и выполняется условие (а) [или (Ь)).
(с) [(d)]. Существуют такие v, V, N>0 и для каждого [некоторого] дополнения Z к У такие N' = N'(Z)>Q, co0 = co0(Z), 0<и0^С-^л, что любые решения у, г уравнения (40.1) с y№)GY, z(0)eZ удовлетворяют условиям (Ei), (Ец) и (Ощц).
Замечание 1. Условие 42. А (а») представляет больший интерес как необходимое, а не как достаточное условие экспоненциальной дихотомии. По этой причине мы не формулируем эквивалентные условия, которые соответствовали бы 42. A(b), (с), (d) аналогично тому, как 42.А(аоо) соответствует 42.А(а) (определению), ибо они очевидным образом вытекают из 42. А(а„). Эти же замечания относятся к 42.0 (а«). Аналогичное условие для обыкновенной дихотомии было бы лишь достаточным условием (доказывается так же, как в теореме 42. А), но не необходимым, как сразу показывает случай Л = 0 в любом пространстве X размерности > 1.
Замечание 2. Замечания 1 и 2 предыдущего параграфа дословно приложимы к теоремам 42. А, 42. В и 42. С. Мы добавим то важное наблюдение, что параметры v, v' имеют одни и те же значения для всех условий. Поэтому имеет смысл говорить о допустимых v, v' для Л, не уточняя того условия, в которое они входят. Обозначим через v = v(A), V = У'(А) верхние грани допустимых значений v, V соответственно. Очевидно, v, v' допустимы при соответствующим образом подобранных значениях других параметров, всякий раз как они меньше этих верхних граней. Верхние грани могут быть или достижимыми, или конечными, но недостижимыми или бесконечными. Читатель может проверить, что все эти альтернативы имеют место для v, например, на скалярных уравнениях х + х = 0, х + 01 + 0"'х = О, х + tx = 0 соответственно, а для V на соответствующих алгебраических сопряженных уравнениях.
Замечание 3. Так же как для обыкновенной дихотомии, условие (Пш) в определении экспоненциальной дихотомии и в 42. Л(Ь), (с;, (d) и 42. В (а), (Ь), условие (Еш») в 42. А(а») и условия (15тп), (Ешооп) в 42. С не являются излишними. Это показано в примере 42. F для двумерного X (для одномерного X вопрос бессодержателен) и для самых жестких из условий, а именно для определения экспоненциальной дихотомии и условия 42.0(a). Однако теперь имеется важный случай, в котором эти условия все-таки излишни:
42.D. Предположим, что А^М(Х) и что у, г —ненулевые решения уравнения (40.1), удовлетворяющие условиям (Et), (Еп) для некоторых v, V, N, N' > 0. Тогда они удовлетворяют условию (Din) с ч0 = е-0^^^ N' > 0, где
I
.. а + v , а — V A L, ц = —:—т , и = —:—7 .
(Мы предполагаем здесь, имея на то право, что V < а.) Следовательно, условия (Dm), (Ещоо), (Оши), (Ёщооп) излишни в определении и в соответствующих условиях для экспоненциальной дихотомии при А е М(Я).
Доказательство. Для любого фиксированного /о^О решения ух =|| у (/0) 1Г1 у, z, = || z (<0) И-1 z удовлетворяют условиям (ЕО, (Е„) соответственно. Если использовать оценку J || A (u) || du ^ <:a(t — /0 + 1) для /^/0, то сравнение неравенств (Еп) и (31.7)
для решения zx при больших t показывает, что v'^ а. Таким образом, заменяя, если это необходимо, V на любое меньшее число, мы будем иметь V<a, ц/ >0. Полагаем t = (v + v')-1 X X In(p4i'-1AW') (ибо N, N' ^ 1) и находим, что || ух (tQ + т) || < ^ ^-VT, П^ (Zo + т) ||^ AT~'ev\ Применяя неравенство (31.7) к решению zx—yx, получаем
у \у ((0), z ((0)1 = II zx (t0) - ух ^ II >
. 1^||21(/о + т)-1/|(^о + т)к-а(Т+1)^
'. >^N,-leVt - Ne-^e-»^^* =
= Yo>°-
Отсюда вытекает излишность (Ош) и (Ощн). Для доказательства излишности (Ешоо) и (Ещоон) берем в приведенном рассуждении to^-Т, предполагаем, что z удовлетворяет лишь (Епоо), и заменяем N' на N<». 4,
Замечание 4. В отличие от случая обыкновенной дихотомии неизвестно, индуцирует ли каждое подпространство У пространства X экспоненциальную дихотомию для некоторого А. Если подпространство У дополнимо (что всегда имеет место, если пространство X гильбертово), то ответ положителен: если Р— произвольный проектор вдоль У, то У индуцирует экспоненциальную дихотомию для постоянной функции / — 2Р, поскольку в этом случае U (t) = = е~* Ц— Р) + е‘Р, так что условия (Е^), (Б"]]) выполняются.
Ф Ф Если подпространство У недополнимо, то оно не может индуцировать экспоненциальную дихотомию ни для периодических А (в том числе для постоянных А; см. 113. L), ни для почти периодических А (см. 102. В). Поэтому мы ставим проблему (ср. с проблемой, поставленной после 33.1):
СО СО ПноблЕМА. (а) Существуют ли банахово пространство X и его не- дополнимое подпространство У, такие, что У индуцирует экспоненциальную дихотомию для некоторого A s L(X)?
Если да, то не будет ли это верно для всех X и всех недо- полнимых У?
Каковы будут ответы, если потребовать, чтобы ДеМ(Х)?
Мы закончим этот пункт, дав простые необходимые условия того, что А обладает экспоненциальной дихотомией.
Теорема. Если A е L(^) обладает экспоненциальной дихотомией, то ||Д||—крепкая функция.
Доказательство. Существуют либо ненулевое решение у, удовлетворяющее условию (Ej) для подходящих v, N, либо ненулевое решение z, удовлетворяющее условию (Ец) для подходящих V, N'. Используя неравенство (31.7), получаем для всех
/ > /о > О
- J || Л («) \\du < II у (Q 1Г' || у w II < Ne-'»«-Ы,
(
I\
/ II Л («) \\du > || 2 (^ Г1 II 2 (О II > N^V^
соответственно, и утверждение теоремы вытекает из 20.D. &
Экспоненциальные дихотомии и решения в ^-пространствах
По аналогии со случаем обыкновенных дихотомий мы изучим связь между подпространствами, индуцирующими экспоненциальные дихотомии, и линейными многообразиями X0D для D е Ь^Т*к- В отличие от сложных теорем 41.D, 41.Е, 41.F с их длинными доказательствами ситуация в настоящем случае так проста, как только можно пожелать.
.F. Теорема. Если подпространство У пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию для Л, то X0D = У для каждого D е Ь£Гк-
Доказательство. Поскольку каждая убывающая экспоненциальная функция принадлежит Т, то условие (Ei) определения экспоненциальной дихотомии влечет включение У с Хот- Далее, условие (Ец) того же определения влечет включение Хо«сУ, так как никакая возрастающая экспоненциальная функция не принадлежит М. Поскольку D е Ь1Ук сильнее, чем М, и слабее, чем Т (согласно 23.G, 23.J), то Xqt^ X0Dc Хом- 5»
Заметим, в частности, что если Л обладает экспоненциальной дихотомией, то теорема 42.F говорит нам, что индуцирующее эту дихотомию подпространство совпадает с Х0(Л) (в сущности с ХооИ) ПРИ любом D е Ы7"к).
Пример
.G. Пример. Пусть X —двумерное действительное или комплексное евклидово пространство с декартовыми координатами X], х2. Пусть ф — произвольная непрерывная действительная неотрицательная неубывающая функция на R+ с Итф(/) = оо.
£->оо
Определим функцию ф равенством
tt
ф (/) = e“2t j е2“ф (и) du = j е-2иф (^ — и) dv.1
оо
Эта функция неубывающая, и Итф(0^ lime’2 ф (и) du = оо. '<->ОО<->00 у
Пусть (40,1) имеет вид системы х, + %! — фХ2 = 0, х2 — х2 = 0.
Каждое решение этой системы может быть записано в виде х(0 = (Х](0, х2 (0 ) = (е-^ (0) + е'ф (0 х2 (0), ezx2(0)). Мы покажем, что А0 = (х: х2 = 0} удовлетворяет условиям (Е^, (Еп) определения дихотомии или, точнее, эквивалентным условиям (Е^, (Еп^) из 42.С (а^) (ср. с доказательством теоремы 42.А). Однако, как мы увидим, Ао не удовлетворяет условию (Dm) или эквивалентному условию (Ош и) даже для со =-^ л.
Если у — решение с начальным условием у (0) е %0, то II у (0 11^ = I У1 (0) I — константа. Следовательно, условие (ЕО справедливо с v = 1, А = 1.
Пусть задано со, 0<а^ул. Возьмем произвольное е, 0<е< 1, и выберем Т — Т (ш) таким образом, чтобы ее2<гр (O^cosco для всех t"^T. Это возможно, ибо е2<ф(0 f оо. Заметим, что для всех о^0 имеет место соотношение
Пусть г =N 0 — произвольное решение с ^Д (Ао, г (0)) ^ со, т. е.
| г, (0) | ^ | г2 (0) | etg и. Для любого t"^T
(1 - е) гр (/) | г2 (0) |< ^ (0 | г2 (0) | - б^] г, (0) | С
^ I гр (0 г2 (0) + е-2^ (0) | = | zx (0 | е-< <
.^гр (01 ZaWI + e-^lzJO) К
<(1 +-е) гр (01 г2 (0) |,|22(01е-г = |22(0)|.
Следовательно, для любого <^0^0"
‘ (||z(/q)||6-S2<l-Hl-M2Wo)|z^^^
^(4^)" (1 +(1 ~ е)2гр2(Ш1 ^^
^^plMOII^')2..
Таким образом, условие (Ец оо) выполняется с V = 1, N'oo = = (1+8)/(1-8), T = T^Y00
Рассмотрим, однако, решения у(/) = (б-(, 0), г (/) = (б'гр (0, б') с у^еХ0 и Д(Х0, г(0)) = |я. Для них tg^(y(O, г(/)) =
= 1Лр((), так что Нт (у (Z), г (Z)) = О, и условие (Ощц) не
<->оо выполняется. 4,
Замечание. Мы не можем брать ф е М из-за 42.D, по немного более сложное рассуждение показывает, что для получения примера с теми же самыми свойствами достаточно предположить, что ф е L и *+1
J ф (u) du f оо. t
Дихотомии для сопряженных уравнений
Дихотомии для сопряженных уравнений.
Пусть X, X'— два спаренных банаховых пространства. Мы установим связь между существованием дихотомии, обыкновенной или экспоненциальной, решений уравнения (40.1) и существованием соответствующей дихотомии решений сопряженного уравнения (32.1). Основной результат таков:■
43.A. Теорема. Предположим, что функция ЛеЦХ) имеет сопряженную. Если подпространство У пространства X обладает свойством квазистрогой спаренности и индуцирует обыкновенную \экспоненциальную\ дихотомию для А, то У0 индуцирует обыкновенную \экспоненциальную\ дихотомию для —А'.
Доказательство I (доказательство II см. в § 66, стр. 242). Мы проведем доказательство для экспоненциальных дихотомий; для обыкновенных дихотомий оно проводится точно так же.
Прежде чем излагать это «геометрическое» доказательство в общем случае, мы хотим продемонстрировать «непосредственное» доказательство в том специальном случае, когда У является нульпространством с(Х, X')- непрерывного проектора Р (или, что эквивалентно, У является членом (X, X')-расчлененного диэдра; в силу 12.С У автоматически обладает свойством квазистрогой спаренности; эта ситуация заведомо имеет место, если пространство X гильбертово). Именно, заметим, что (/ — Ру есть проектор вдоль У0, что (согласно 32.D) U'" ' является решением операторного уравнения (32.6) с начальным значением I' при Z = 0 и что, используя условие 42.В (d), мы получаем для подходящих v, V, D>0
II ^''(0 P'U' ((0)II = II и (Zo) PU"' (Z)|| < De~v li~Mдля всех Z ^ Zo ^ 0,
|| U'"' (Z) (/ - РУ U' (Zo)| = |l U (Zo) (.1 — Р') U (Oli ^ Ое^-‘>
■для всех Zq^Z^O.
Поэтому условие 42.В (d) выполняется для сопряженного уравнения, причем у и v' меняются местами.
Доказательство в общем случае проводится по приведенному образцу, но проектор надо заменить на соответствующее расщепление. Мы хотим использовать условие 42. A(g) для данного уравнения и показать, что условие 42. А(е) выполняется для сопряженного уравнения, причем снова v и у' меняются местами.
Итак, пусть дано Л>1 н х', у', г' — решения уравнения (32.1), такие, что х' = у' + г', у'(0) е У0, || z'(0)|| =С М(У°, z'(0)). Пусть зафиксировано произвольное ц> 1, и пусть г—функция, определенная в лемме 12. F, так что r(;z'(0)) есть непрерывное (У,р(1 + Xs у)) -расщепление пространствах. Применим условие 42. A (g) к этому расщеплению и заметим, что D = = D (г(■; z'(0))) зависит только от ц(1 + Xsr), но не зависит более от г' (замечание 2 к теореме 42.А и его следствия).
Пусть х — произвольное решение уравнения (40.1), а у, г — решения, определяемые условиями z(0)=r(x(0); z'(0)), у = х — г, так что у(0)еУ. Тогда (у(0), у'(0)) = 0 и в силу 12.F также (z(0), z'(0)) = 0. Поэтому из 32. С вытекает, что (х, у') = (2, х') и (х, z') = (у, xz) являются постоянными. Используя (Б,,), (EQ, находим
I (х (0- у' (0) 1 = I <2? (/Q), х' dsY) I <
< De-V ||х (ОН ||х' (f0)|| для всех t>tQ>0, | (х (/), г' (0) I = I (у (/о), х' (<0)) | <
< De-'1^6-^ ||х (011 ||х' (<о)11 Для всех /0>/>0.
Поскольку для фиксированного / х(/) есть произвольный элемент из X, то мы заключаем, что х', у’, г' удовлетворяют условиям (Е^, (Ец). Поэтому сопряженное уравнение и подпространство У0 удовлетворяют условию 42. А(е) для данного X с переставленными v, V и с определенным выше D, которое при фиксированном р. зависит только от X. 4,
Наиболее важный частный случай получается, если поло- ■ жить Х' = Х*.
43.В. Теорема. Пусть задано А еЬ(Г). Подпространство Y пространства X индуцирует обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для А в том и только в том случае, если У0 индуцирует в X* обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для —А*.'
Доказательство. Это следует из теорем 43.А и 12.А. 4,
43.С. Предположим, что X— гильбертово пространство, и пусть задано AeL(X). Подпространство Y пространства X индуцирует обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для А в том и только в том случае, если У-1- индуцирует обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для —А+.
СО ОО Возвращаясь на время к общему случаю двух спаренных пространств X, X', упомянем еще одно следствие теоремы 43.А:
ОО_.
ОО ОО 43.D. Предположим, что функция 4eL(X) имеет сопряженную и что как подпространство У а X, так и У0 обладают свойством. квазистрогой
спаренности. Если У индуцирует дихотомию для А, то У00 также индуцирует дихотомию; если У индуцирует экспоненциальную дихотомию для А, то У — насыщенное подпространство.
Доказательство. Применяем дважды теорему 43. А с учетом единственности подпространства, индуцирующего экспоненциальную дихотомию. 5,
СТО Обыкновенные дихотомии и многообразия Хо, Xq
Замечания, которые мы здесь делаем, имеют непосредственное отношение к теоремам 41.D, 41.Е, 41.F. Так как эти теоремы для случая конечномерного X покрываются теоремой 44.А, то настоящий пункт представляет интерес только для бесконечномерного случая. Ниже поляры берутся относительно спаренной пары X, X*.
Предположим, что подпространство У индуцирует дихотомию для Л е L (X). По теореме 43.В У° индуцирует дихотомию для — А*, поэтому (по теореме 41.D) У0 с Xq (здесь Xq=X0(—Л*)). Следовательно, (Xq)° с У. Если Xq замкнуто, то, как показывает теорема 41.Е, оно также индуцирует дихотомию для — А*. Если, кроме того, Xq обладает свойством квазистрогой спаренности (в частности, если оно насыщенно), то теорема 43.А показывает что (Хо)° индуцирует дихотомию для А. Следовательно, в данном случае подпространства, индуцирующие дихотомии для Л, — это в точности пространства, удовлетворяющие условию (хо)ОсУсХо (ср. с теоремой 41.Е). Однако Хо не обязано быть замкнутым, и потому (Хо)° не обязано индуцировать дихотомию; это подтверждается приводимым ниже примером 43.F. Мы сформулируем теперь теорему (которая будет доказана позднее), показывающую, что часть приведенных соображений можно спасти. Для лучшего понимания взаимоотношений между этой теоремой, теоремой 41.F и результатами следующего параграфа напомним, что Xqq с (Xq)° (33.J).
43.Е. Теорема. Предположим, что подпространство У индуцирует дихотомию для А. Если W* — подпространство в X , такое, что У0 с IF с Хо, причем У0 имеет конечную коразмерность относительно IF*, то подпространство IF*0 (.удовлетворяющее условию IF*0 ст У) индуцирует дихотомию для А. Подпространство (Хо) является пересечением всех подпространств, индуцирующих дихотомию для А.
Доказательство. См. § 63 (стр. 206).
Замечание. Теорема 43.Е не может быть усилена следующим образом: «если Z — подпространство в X, (Xq)° с Z с У и коразмерность Z относительно Y конечна, то Z также индуцирует дихотомию для Л», как показывает приводимый ниже пример.
43.F. Пример (продолжение примеров ЗЭ.Н, 41.Н и 41.1). Пусть функция А та же, что и в примере 41.1, где X — сепарабельное гильбертово пространство, А принимает симметрические или эрмитовы значения и ЛеС(Х). В этом случае X = Х0(Л) индуцирует дихотомию. Алгебраическое сопряженное уравнение приведено в примерах ЗЗ.Н, 41.Н; Хо(—Л1) всюду плотно в X, но не совпадает с X; далее, (Хо(—Л+))L = {0} не индуцирует дихото-
мии для А. Если иеХ\Х0(—А) (например, и = (л"1)), то одномерное подпространство, натянутое на и, очевидно, не индуцирует дихотомии для —-ДД согласно 43. С, гиперплоскость {и}1 не индуцирует дихотомии для А, но удовлетворяет условиям предыдущего замечания. 5,
Конечномерное пространство
Пусть пространство X конечномерно. В соответствии с нашим общим соглашением (см. § 15) мы считаем, что его норма евклидова. Большая часть результатов, полученных в предыдущих параграфах, сохраняет свое значение, хотя некоторые из доказательств могут быть упрощены. В частности, удобными условиями обыкновенной и экспоненциальной дихотомий служат условия, приведенные в 41.С и 42.С соответственно в совокупности с важными условиями 41.В (с), (d) и 42.В (с), (d), касающимися оценок для норм \\и(1((1— Р) LH (/0) ]], WU^plh^w.
Определенные упрощения, специфические для конечномерного случая, возникают в связи с теоремами 41.Е, 41.F, 43.Е, касающимися связи между подпространствами, индуцирующими дихотомии, и многообразиями Хо, Хоо, (Хо)°-
44.А. Теорема. Класс всех подпространств в X, которые индуцируют дихотомию для данного AeL(A), либо пуст, либо совпадает с классом всех подпространств У, таких, что Аоо с ст У с Хо (этот класс содержит Аоо, Ао). В последнем случае Uoo (А) ^ = Хо(- А') и (Хй (А) / = Аоо (- А').
Доказательство. (Мы опираемся на теорему 41.Е, доказательство которой по-прежнему откладываем на после.) Первое утверждение следует непосредственно из теорем 41.D, 41.Е, 41.F. Для доказательства последнего утверждения заметим, что Хоо(А) индуцирует дихотомию для А. Следовательно, (ХооИ))2- индуцирует дихотомию для —А + (43.С). Теперь первая часть утверждения, примененная к —АД дает включение (Л’оо(А))1с сХ0(—А+); обратное включение следует из 33.J. Меняя местами А и —АД находим (МкА—А+))1 = -Y0(A)< Следовательно, Хоо(-А+) = (*о(А))М 4,
Of? Замечание. Для бесконечномерного X теорема 44. А, вообще говоря, неверна. Пример 43. F для сепарабельного гильбертова пространства служит контрпримером к первому ее утверждению, так как ТОо(А)={О) не индуцирует дихотомии для А, а Хо( — А' ) 4= X даже не замкнуто; по этой причине также не выполняется равенство (ЛТоМ))"1"” = Хо(— дД. Для конечномерных же X это условие эквивалентно условию (ЛД—/П) I1 = Too(A) и, так же как и условие (ЛДА))1 =
= Хоо(—Д+), выполняется в примере 43. F. Поэтому для случая произвольных спаренных пространств X, X' и функции .4 е L(X), имею- ■ щей сопряженную, встает следующий вопрос: если существует подпро^ странство У (пусть даже о бла 7Й юi це е~сшЯТС тв ом квазистрогой спарен- ности), индуцирующее дихотомию для А, то следует ли отсюда, что №(Д))° = Хоо(—Л')? Ответ отрицателен: можно построить контрпример с постоянным А для X = /* и X' = X* (см. приводимый ниже пример 44. В). Мы не смогли построить контрпример для рефлексивного пространства, не говоря уже о гильбертовом.
ОО 44.В. Пример. Пусть X — сепарабельное пространство /*, и пусть уравнение (40.1) имеет вид системы
хп — п-'хп = 0,«=1, 2,...,
так что А постоянно и задается диагональной матрицей. Всякое решение х этой системы определяется своими компонентами
Xn№ = etinxn№, ti=\,2
Каждая из функций | хп | не убывает, следовательно, и ||х|| не убывает, н при х ф 0 мы имеем хп + 0 для некоторого п и lim ||х (/)|| lim etln | x,t(0) |=оо.
Поэтому Хо = Хоо = (О} индуцирует дихотомию с N' = 1.
Отождествим X* с /°°, так что канонический функционал принимает
вид (х, у) — 2 -'пУп- Тогда алгебраическое сопряженное уравнение запи- I
шется в виде системы
Уп + n.~'yn = 0, п = 1, 2
Всякое решение у этой системы определяется своими компонентами
'ynW = e-tlnynW, п=\Л
Каждая из функций ! yrt | не возрастает, следовательно, и ||у|| не возрастает, и Xq = X = Г” индуцирует дихотомию для — А с ^=l. Мы утверждаем, что Лоо ~ ‘о •
Очевидно, е„ е Хоо для любого п. Поскольку линейная оболочка множества (еп) является плотным многообразием в /”, а Хоо — подпространство (теорема 41.D), то /” ед Хоо. Обратно, предположим, что (/ — решение с у (0) ^ /“. Тогда
lim sup ||у (ц)|| ^ lim snpe-1 | уп (0) |>О,
так что у (0) ^ Ха0. Следовательно, Хаа с I”, и равенство доказано
Однако (Хо)° - (0}° = X* = /°° + [” = Х^.
Между прочим, можно доказать, что (недополпимое) подпространство Х00 = /о° индуцирует дихотомию для — А (Массера и Шеффер [4], пример 4.1). 5г
Замечания к главе 4
Тип поведения решений однородного уравнения, названный нами экспоненциальной дихотомией, по существу рассматривался Перроном [2] (теоре ма /), хотя он ограничивался конечномерным X и А е С(Х) и его услови применимы лишь после того, как матрица А соответствующим преобразованием (Перрон [1]) приведена к треугольной форме. Майзель [I] впервые показал, что условия Перрона эквивалентны условиям экспоненциального роста решений (Ei), (Ец). Ни Перрон, ни Майзель не упоминают об условии (Din), которое в силу 42. D действительно излишне в рассматривавшемся ими случае. Однако введенное Майзелем условие, что некоторый определитель отграничен от нуля, по существу есть не что иное как условие (Dm).
Случай, когда условия (Ец) н (Din) выполняются автоматически, т. е. когда само X индуцирует экспоненциальную дихотомию, является наиболее часто встречающимся в литературе по устойчивости решений дифференциальных уравнений. По-видимому, впервые его рассмотрели Персидский [1] и Малкин [1], причем последний даже в случае, когда оператор А непрерывен, по не ограничен.
Тесно связано с рассматриваемым кругом вопросов введение Красовским [1] понятия, как мы сказали бы, «равномерно некритического поведе- . пня» решений (вообще говоря, нелинейного) дифференциального уравнения. В нашем случае однородного линейного уравнения определение Красовского может быть перефразировано следующим образом. Поведение решений уравнения (40.1) называется равномерно некритическим, если для каждого к > 1 существует Т = ?'(&)> 0, такое, что для любого решения х уравнения (40.1) и любого to ^ Т имеет место неравенство
шах ||х (1)11 > к ||х (10)1|.
|М,1<Г
Справедлива следующая теорема (ср. Массера и Шеффер [3], теопема 3.5):
А Если существуют такое подпространство У пространства X и такие положительные числа К > V, х, V, N, N', что любые решения у, г уравнения (40.1) с у (0) е У, II г(0) || ^ М(У, г(0)) удовлетворяют условиям (Ei) и (Ец), то Y = XQ и поведение решений уравнения (40.1) равномерно некритическое. Обратно, если АеМ(Х) и поведение решений уравнения (40.1) равномерно некритическое, то Хо замкнуто, и существуют такие числа v, v', N, Мое, у~ м такая функция ТИх) ^ 0, определенная на X\XQ, что любые решения у, г уравнения (40.1) с р(0) е Хо, г (0) ^ Xo удовлетворяют условиям (Ei), (Ец™) и (Ещ®), причем последним двум для всех t^to'^ ~^ Ti(z(0)). Если коразмерность Хо конечна (в частности, если X конечномерно), то Хо индуцирует экспоненциальную дихотомию.
Доказано (Массера и Шеффер [3] (примеры 3.3 и 3.4)), что предположение А е М(Х) в «обратной» части теоремы не может быть опущено и что равным образом не может быть опущено условие относительно коразмерности Хо. Первый из указанных примеров--вариант примеров 65. D - 65. G (действительные скалярные уравнения); во втором используется алгебраическое сопряженное к уравнению примера 33. G.
Глава 5
Допустимость и связанные с ней понятия
Введение
Содержание главы
В этой главе мы будем изучать не только однородное уравнение (30.1)
.ж+Ах = 0,(50.1)
но и (главным образом) неоднородное уравнение (30.2)
.x+Ax=f(50.2)
для фиксированного А е L(X) и различных f е L(X).
Основной темой будет взаимосвязь между определенными «пробными функциями» f и «хорошими»1) решениями уравнения (50.2) для этих /. Грубо говоря, речь будет идти о понятии допустимости пары классов функций из L(X), а именно класса «пробных» функций и класса «хороших» функций; пара называется допустимой, если для каждой «пробной» функции / уравнение (50.2). имеет «хорошее» решение.
В § 51 понятие допустимости исследуется в том случае (единственном, разрабатываемом в этой книге), когда оба класса являются функциональными банаховыми пространствами типа, описанного в гл. 2. Такие пары пространств рассматриваются ниже в этом введении. Основным результатом является теорема об ограниченности (теорема 51.А).
Для того чтобы не вызывать сомнений в уместности понятий, вводимых в § 52, и полностью уяснить их связь с главной темой, предпочтительно даже к предварительному их Описанию приступить лишь после § 51. В § 53 и 54 исследуются сопряженные уравнения; об их содержании подробнее будет сказано там же. В § 55 содержатся некоторые результаты для случая конечномерного X.'
В оставшейся части этого введения и в § 51 областью изменения / является произвольный интервал J; в § 52—55 ею будет /?+. Об этом читателю будет своевременно напомнено.
*) В оригинале «nice». — Прим. ред.
|Q Зак. 405
Пары функциональных банаховых пространств
Мы будем иметь дело с парами (В, D), где В, ВеЬЛ’(Х). Термин пара или ^ - и а ра, без особых пояснений, всегда будет иметь именно это значение. Пара (B^D,) сильнее, чем пара (В2, D2), а последняя слабее первой, если В] слабее, чем В2, и D1 сильнее, чем D2 (напомним, что эти отношения нестрогие); па основании 21.D это отношение эквивалентно алгебраическим включениям B2cz Blt D^Dj Если (Bt, D,) одновременно сильнее и слабее, чем (В2, D2), то В, и В2 эквивалентны по норме, равно как и D] и D2 (или, эквивалентно, В, и В2 состоят из одних и тех же элементов, равно как и D, и Ь2). В этом случае мы можем говорить, что пары эквивалентны.
Важным частным случаем пар являются те пары, в которых составляющие их пространства принадлежат к наиболее узким классам функциональных пространств, описанным в гл. 2. Ти- , личным примером служат ^"-пары, т. е. нары (В(Х), D(X)) ' (которые мы всегда будем сокращенно обозначать (В, D)) с В е b^~, D е Wk- Поскольку мы ожидаем, что D(X) содержит ненулевые решения уравнения (50.2) и, возможно, уравнения (50.1), то предпочтительно потребовать с самого начала, чтобы ВеЬ.^к, а не DebST Если и Bsb.^, то мы говорим, что (В, D) есть 9"к -пара.■
Аналогично З^-парам мы определяем 94? - п а р ы: пары (В(Х), D(X)) (также сокращенно обозначаемые (В, D))—с В е b^'g’, D е WK- Может показаться странным, что мы налагаем на D такое требование вместо того, чтобы считать его пространством непрерывных функций, но наш выбор приводит, как оказывается, к наименьшим осложнениям.
Если J = R+, то мы имеем специальные классы пар, содержащих пространства, инвариантные относительно сдвига, а именно 9" -пары и 9"^- п а р ы (первые содержатся среди последних), т. е. ^“-пары (В, D) с В е Ь^" или ВеЬ.Г" соответственно и D е Ь9К, а также £Г^ - п а р ы, т. е. ^“'З’-пары (В, D) с ВеЬГ^, ПеЬ^к.
Если J = R, то аналогично имеем ^"-пары, т. е. ^“-пары с ВеЬ.5", ВеЬ.7к. и 94? - и а р ы, т. е .^^-пары с ВеЬО, D Е Wk.
Резюмируем:
Пары (В(Х) D(X)), или сокращенно (В, D):
З^-пары В е ЬЗ^ 1
З^-нары В е W к i D е Ь9К;^Г^-пары В е W^ J .
при J = R+:З^-пары ST^-пары З^^-пары при J = R;£Г-пары ^"‘З’-парыпри J = R+:З^-пары ST^-пары З^^-пары при J = R;£Г-пары ^"‘З’-парыВеЬ.Г 1В Е b.^ I D е Ь^к;В е b^* jВ е b^ )ВеЬ^ } °Gb^ВеЬ.Г 1В Е b.^ I D е Ь^к;В е b^* jВ е b^ )ВеЬ^ } °Gb^
при J = R+:
З^-пары ST^-пары З^^-пары при J = R;
£Г-пары ^"‘З’-пары
при J = R+:
З^-пары ST^-пары З^^-пары при J = R;
£Г-пары ^"‘З’-пары
ВеЬ.Г 1
В Е b.^ I D е Ь^к;
В е b^* j
В е b^ )
ВеЬ^ } °Gb^
ВеЬ.Г 1
В Е b.^ I D е Ь^к;
В е b^* j
В е b^ )
ВеЬ^ } °Gb^
51, Допустимость
Определение и теорема об ограниченности
vth=4vth=4Мы рассматриваем уравнения (50.1) и (50.2) для заданного ДеЬ(Я); областью изменения / служит произвольный интервал / с R. Пусть (В, D) — пара (банаховых функциональных пространен)—в смысле, определенном во введении. Мы-гов^рим^ что параQB.D) допустима)]или, подробнее,(<ao п у ст и м а д"л я Д\инЪтда, более вольно, д л я у р а в и е н и я (50.2)), если "При каждом feB уравнение (50.2) имеет D-решение. Непосред
vth=4
vth=4
ственно из определения следует, что если пара допустима, то и
всякая более слабая пара допустима.
Нашим главны^ результатом является
^сли пара (В, D) допустима для А, то существует число /(>0, такое, что при каждом f еВ и при каждом р>1 имеется О-решение х уравнения (50.2) с j х |D ^ p/(|f |в.
Доказательство. Пусть Y —линейное многообразие всех D-решений уравнения (50.2) при всех f е В, т. е. всех первообразных х е D, удовлетворяющих условию ж + ДхеВ. Отображение П: YВ, определяемое формулой Пх=х+Дх, линейно и
по предположению сюръективно. Поскольку В и D сильнее, чем L(X), то из теоремы 31.D вытекает, что график 11 замкнут в DxB. Так как В и D — банаховы пространства, то по теореме об открытых отображениях (ср. Хилле и Филлипс [1], теорема 2.12.1) существует число fe>0, такое, что для каждого feB найдется хеП-7 с I lD ^ ^ I f |в- Итак, утверждение теоремы верно, причем в качестве К можно взять нижнюю грань всех возможных значений к. 5,
Значение К, полученное в доказательстве, является наименьшим значением, удовлетворяющим утверждению теоремы. В случае надобности оно будет обозначаться через Кв. t> (Д), но если нет опасности недоразумения, то индексы и/или аргумент будут опускаться. '
Замечание. Как следствие теоремы о выборках 10.D получаем, что для данного р > 1 решение х в теореме 51. А может быть выбрано так, чтобы отображение f-> х: В-> D было непрерывно (и перестановочно с умножением на скаляры). Более полный результат, учитывающий зависимость от А, содержится в теореме 71. В.
Мы не определяли допустимость для неполных функциональных пространств; однако иногда бывает полезна следующая лемма:
1.В. Пусть даны пространства F, йеЛДХУ Предположим, что существует числа & > О, такое, что для каждого f е F уравнение (50.2) имеет решение х е G, удовлетворяющее условию |х |G ^ ^ I f |р- Тогда пара (bF, bG) допустима, причем KbF bG
Доказательство. Пусть даны f е bF, р>1. Согласно 21.G f есть предел F-последовательности Коши в L (X). Используя формулу (21.2) для |f|bF, заключаем, что в F существует по
,ООП
' следовательность (fn), такая, что S|fJF<Plf lbF и lim In->OO L 1
Пусть xn — решение уравнения xn+ Axn — fn, такое, что xn e G,
I^L^MMp- Тогда в силу 21.G существует x= lim У xf, n-»oo L 1
причем xebG, MbG < Si-tnlG =^ & ^IMF < PMf lbF- По теореме 31.D x действительно является решением уравнения (50.2). Так как f е bF и р> 1 произвольны, то лемма доказана. 5,
С этого места мы будем предполагать (общность при этом 1 не теряется}, что 0 е/. Имеет место такое дополнение к теореме 51.Л:
.С. Пусть пара (В, D) допустима, тогда существует число С^О, такое, что если f е В, р>1 и х есть D-решение уравнения (50.2) с |x|D<pKff |в, то || х (0) 1КрС|/|в.
Доказательство. Пусть /' — произвольный компактный подинтервал в /, такой, что 0 г /', и пусть его длина равна ц (/') = /. В силу (33.1) имеем || х (0) || ^ рС | f |в, где
С = (КГ’а(П; /) + а (В; /))ехр/ J|M(u)||duY А
V'/
Мы всегда будем брать в качестве С наименьшее число, удовлетворяющее лемме 51.С, и будем обозначать его полностью Св, d(A), но снова будем опускать индексы и/или аргумент везде, где это удобно.•.
Регулярная допустимость
Во многих случаях одной лишь допустимости еще недоста- тощте—для—ноя-учения дальнейших результатов. Поэтому мы "введем несколько более ограничительное понятие. Пара (В, D) регулярно допустима (для 4), если она допустима и Хоп-за^еНгяутгг-Дэгя конечномерного X допустимость и регулярная допустимость совпадают. Это уже неверно даже для сепарабельного гильбертова пространства X, как показывает пример 65.S.
Для регулярной допустимости имеет место теорема об ограниченности, более точная, чем теорема 51.А. Мы используем здесь в дополнение к числам К, С, определенным выше, еще число 5 = SD, введенное в теореме 33.С.
51.D. Теорема. Предположим, что пара (В, D) регулярно допустима для А. Тогда для каждых feB и Х>1 [и каждого (Aon, Х)-расщепления q пространства А] существует D-решение х уравнения (50.2) с Ц х (0) || Xd (Хоо, х (0)) [с q (х (0)) = х (0)]. Каждое D-решение с этими свойствами удовлетворяет неравенствам I х |D <^Kz|f |в, l|x(0)|KXC|f|B, где К' = К + 2SC.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть q— (XOd, X)-расщепление пространства X. По предположению существует D-решение х* уравнения (50.2). Пусть х— решение уравнения (50.2) с х(0) = q^x’ (0)). Тогда <?(х(0)) = х(0), и х— х' является решением уравнения (50.1) с х(0) — х'(0) е Хоо, так что х — х' е D. Следовательно, х е D.
Для доказательства второго -утверждения допустим, что х есть D-решение уравнения (50.2) с || х (0) || ^ Xd (Хоо, я(0)). Пусть дано р>1. По теореме 51.А существует другое D-решение х' с 1^ jD ^PK|f |в, II V(0) H^pCIf^. Тогда х — х' есть D-решение уравнения (50.1). Поэтому х (0) — х' (0) е Хоо, так что II х (0) || ^ ^Xd<X№, x^ = Xd<Xto, x'(0))<X||x'(0)|KpXC|f|B. По теореме 33.С |х — x'|D ^ S|| х (0) — х'(0) ||^(1 + X)pSC|f |в. Таким образом, |х|D ^I V|D-Ь|х — x'|D <р(К + (1 +Х)5С)|ПВ <рХХ'Ив. Поскольку р> 1 произвольно, теорема доказана. 5,
Замечание. Из доказательства видно, что если х (0) = 0, то Jx|D ^ <(X + SC)IHB.
Предположим, что пара (В, D) регулярно допустима и что X od дополнимо. Пусть Z — дополнение к Хоо- Для каждого /е В существует точно одно D-решение х уравнения (50.2) с х(0)е2, и это решение удовлетворяет неравенствам
|x|D^max{l, ||P|l}-^|flB, II .v (0) ||<|| Р||С |/'|в, где Р есть проектор на Z вдоль Хоо> а К' — то же, что и в теореме 51.D.
Доказательство. Это следует из леммы 11.F и теоремы 51.D. &
Допустимость и локальное замыкание
Нам встретится ряд результатов такого типа: «если такая- то пара допустима и ..., то такая-то другая пара также допустима». Первым и тривиальным примером было замечание, что допустимость некоторой пары влечет допустимость всех более слабых пар. Докажем теперь некоторые менее тривиальные теоремы этого рода.
51.F. Теорема. Предположим, что пара (В, D) допустима. Если существует подпространство У пространства X, такое, что УсХоп и факторпространство X]Y рефлексивно {в частности, если само X рефлексивно или если Хоо замкнуто, a XjX№ рефлексивно}, то пара (1с В, 1с D) также допустима.
Доказательство. Положим ^ = ^в, о, С = Св, о, и пусть Sy = SyD — число, определенное в теореме 33.В. Возьмем произвольное р>1. Пусть дано felcB. Положим = Iflicв. Тогда существует последовательность (f„) f„cB, |MB=^cr, такая, что lim fn = f. По теоремам 51.Л и 51.С существует
П->оо L
D-решение хп уравнения хп + Лхп = /„, такое, что |xnjD^ ^pM/Je^P^- II х„ (0) НК рСхт. Отсюда следует, что |Дп(0) + + У|КрСо в факторпространство XjY. Поскольку Х/У рефлексивно, мы можем выбрать подпоследовательность (f„) (которую мы снова будем обозначать через (/„)), такую, что (хп(0)+У) имеет слабый Х/У-предел, скажем х0 + У, где хц может быть выбрано так, что ||х01Кр2Са. Пусть х — решение уравнения (50.2) с х(О) = хо; мы утверждаем, что xelcD.
Поскольку (х„(0)+У) слабо сходится к х (0) + У в X[Y, существует последовательность ^у^, такая, что (//„ (0) + У) (сильно) сходится в XIY к х(0)+У, причем уп для каждого п является конечной выпуклой комбинацией элементов Xj, j^n. Таким образом, z/„eD, |y„|D < рКо, н уп (0) ||< рСа и уп + + Xyn = gn> где gn — соответствующая конечная выпуклая комбинация элементов f/, j^n. Следовательно, g„e=B, jgnlg^cr
Поскольку (у„ (0) + У) сходится к х (0) + Y, существует последовательность (гОп) в X, гОп—z/n(0)e У, такая, что Пт гОгг = х (0).
Пусть г„ — решение уравнения zn+Azn = gn> удовлетворяющее условию г„(О) = го„. Так как zn (0) — уп (0) е У с Aon, то для каждого п zn — yn есть D-решение уравнения (50.1). Поэтому z^eD. Применяя теорему ЗЗ.В, находим
Iгп|D <|уп|D +1zn - уп|D <рКа + Sr м zn (0) - уп(0) 1|<
<p^ + SyC)o + Sy||zrt(0) ||, откуда
lim sup|г„|D CpW + SyC)o + Sr|| х(0)"^
^p(^ + (l + р) Sy С) а <оо.
С другой стороны, применяя (31.5) к zn — х, gn — f и /0 = 0 на каждом компактном интервале J' с J, содержащем 0, мы заключаем, что zn -> х равномерно на каждом таком интервале; тем более lim zn= х. В силу 21.Е отсюда следует, что хе
П-> оо L
elcD, как и утверждалось, и что
|xllcD<p^ + (l + р) SrC) ЩсВ.
Поскольку р>1 Произвольно, ТО Кдс В, Ie D ^ К + 2SyC. £
Если D еЬЗ^к(^), то мы можем доказать более сильный результат, который, очевидно, приложим также к ^"-парам и ^-‘g'-napaM:
51.G. Теорема. Предположим,, что пара (В, D(X)) допустима, причем D е Ь^к- Если существует подпространство У в X. такое, что Ус Xqd и факторпространство X]Y рефлексивно (в частности, если само X рефлексивно или если А"оо замкнуто и X/X0D рефлексивно), то пара (1с В, fD(X)) также допустима. В частности, если S'-пара или S^-napa (В, D) допустима и существует подпространство Y, обладающее указанными выше свойствами, то S'-пара (1с В, 1D) также допустима.
Доказательство. Доказывая теорему 51.F, мы нашли, что гп-^-х равномерно на каждом компактном интервале /'с /.Для любого такого Г мы имеем при каждом п
I tj-x |D < | Tr^n In +1 Xy' )zn - x) |D < I zn |D + | %y' lD I Xy' kzn - x) |.
Беря верхний предел при п^-ео, получаем
IXy'^lD ^Дт suphJD <р^ + (1 +р) SyC)|f|Jc в
для каждого J'. Следовательно, х е fD ^Х). ^
Ф Ф Замечание 1. Если X0D замкнуто, то подпространство У с X0D, такое, что X/Y рефлексивно, существует тогда и только тогда, когда факторпространство Х!Хйй само рефлексивно; часть „тогда" этого утверждения очевидна; а если такое Y существует, то факторпростраиства (X/EI/^qq/E) и X/^qd конгруэнтны и первое из них рефлексивно. Если, кроме того, X0D донолнимо, то всякое его дополнение естественно изоморфно XIX0D, так что рефлексивность этого факторпростраиства эквивалентна рефлексивности дополнения.
ООЗамечание 2. Из условий теоремы 51.F [51G] еще не сле
дует, что регулярная допустимость пары (В, D) влечет регулярную допустимость пары (1с В, 1с D) [(1с В, f D (X) ) или (1с В, f D)], ^ даже если X — сепарабельное гильбертово пространство (так что А^ц донолнимо); это показывает пример 65.Р.
Ф ОО Мы не смогли устранить предположения рефлексивности в предыдущих результатах, хотя в ряде весьма специальных ситуаций они могут быть опущены (см., например, теоремы 51.1 и 62.J). Поэтому мы ставим проблему:
ОО СО Проблема. Не является ли предположение существования подпространства Y с указанными свойствами рефлексивности излишним в теореме 51.Р? в теореме 51G? в случае аТ'-пар или ГГ^-пар?
Из условий теоремы 51.F или теоремы 51.G еще не следует, что пара (1с В, D) допустима (см. пример 65.В). Теорема 51.G подсказывает, что для ^"-пар и (F'g’-nap все дело в поведении в «открытых концах» интервала /. Необходимо «уплотнить» D до fD, чтобы восстановить допустимость. Вместо этого мы можем попытаться «проредить» 1с В в этих открытых концах. И действительно, имеет место следующая теорема, в которой не накладывается никаких условий рефлексивности:
51.Н. Теорема. Предположим, что 9"-пара или STtf-napa (В, D) \регулярно\ допустима. Тогда 9~-пара (к 1с В, D) также \регулярно\ допустима.
Доказательство. Результат о регулярной допустимости является тривиальным следствием результата о допустимости. Доказательство последнего для J = R+ будет дано в § 52 (стр. 166), а для J = R — в § 81 (стр. 313). Случай произвольного некомпактного интервала J сводится к одному из этих двух подходящей заменой независимой переменной; детали доказательства предо. ставляем читателю. Если интервал J компактен, то каждая £Г-пара или ^"‘g'-napa (В, D) регулярно допустима с XoD = X,
так как D е Ь^к, и поэтому D(X) содержит все ограниченные непрерывные функции на /, в частности все решения уравнений (50.1) и (50.2) для любого ieL(X). В этом случае теорема тривиальна. 4,
Ф ОО В заключение этого пункта мы приведем одну теорему того же типа, что и теоремы 51.F, 51.G, без предположения рефлексивности, но только для алгебраического сопряженного уравнения и для jC-nap или eTU-irap. Для рефлексивных пространств этот результат покрывается теоремой 51.G. Приводимая ниже теорема не будет использоваться в дальнейшем.
ОО ОО 51.1. Теорема. Пусть X сепарабельно и 9"-пара или ^T'S-napa (В, D) допустима для — Л* в X*. Тогда пара (1с В, 1с D) также допустима для — Л*.
Доказательство. Для J = R+ доказательство будет дано в § 52 (стр. 166), для I = R — в § 81 (стр. 313). Завершается доказательство так же, как в теореме 51.Н. 4,
ОО оо Про6лема. Не является ли предположение сепарабельности X излишним в теореме 51.1?
Некоторые замечания о допустимости 9"-пар и родственных им пар на R+
Ввиду специфически «односторонней» природы классов ^"~>, 9"%"* и их неудобных свойств (например, они не являются подрешетками в 9", 9~^) желательно указать случаи, когда допустимость £7~~*-пары или ^"‘g'^-пары может быть заменена допустимостью £Г-пары, в идеале более сильной. В последующих результатах никаких принципиально новых идей не используется. Всюду мы предполагаем, что J = R+.
51.J. Пусть (B,D)—данная 9*^-пара. Если 9~^-пара (0ТВ, D) [регулярно] допустима для некоторого т>0, то сама пара (В, D) также \регулярно\ допустима.
Доказательство. Пусть у — D-решение уравнения у + Ау = = 0Т/ для данного )е В (X). Пусть х — решение уравнения (50.2), удовлетворяющее условию х(т)=г/(т). Тогда х и у суть непрерывные функции, совпадающие вне интервала [0, т]. В силу 22.1 х е D(X). 4-
Чтобы мотивировать следующий результат, напомним, что если В е ЬЗГ-*, то нижняя грань всех пространств F е Ъ9~, для которых F > В, равна ЬТ”В (ср. 23.Н). Для В е Ь^Г^^ соответствующим пространством будет ЬТ^еВ.
51.К. Если ТГ^-пара или iT^-napa (В, D) \регулярно\ допустима, то Д^-пара (кУ-lc В, D) [регулярно] допустима. Если пространство В скудно или если D квазиобильно и существует подпространство Y пространства X, такое, что Y с: X0D и Х/Y рефлексивно, то °Г-пара (ЬУ-В, D) или (ЬУ~еВ, D) [регулярно] допустима.
Доказательство. (Мы опираемся па теорему 51.Н, доказательство которой все еще не закончено.) По теореме 51.Н З^-пара (к 1с В, D) (ср. 24.1, 24.1.) допустима. Ио, согласно 23.1, для s0 = s0(B) мы имеем к к В = кО,.,,У-к В = 0,окУ_к В, и поскольку ГНс В локально замкнуто, то кГ“1с В е Ь£Т. В силу 51.J пара (кУ~к В, D) допустима.
Если В скудно, то для Ве.У~* имеем ЬУ-В = ЬУ-кВ = = Ьк У_В kb У_В ^ к к У В = кУ- к В (23.П, замечание к 22.G, 23.1). Если Ве.УУ"; то аналогично ЬУ-еВ = ЬУ^ек В ^ < ЬУ-кс В < kb У-еВ < к к У-еВ = кУ-к еВ = кУ-к В (24.С, предыдущее соображение и 24.1). Отсюда следует утверждение теоремы.
Если D квазиобильно и выполнено предположение рефлексивности, то пара (Ike У1с В, D) = (У~к В, D) допустима (22.G, 23.1 и теорема 51.G), так как D и fD эквивалентны по норме, и ЬУ~В < 1с У-В = у-1с В, или ЬУ-еВ<1сУ-еВ = У-1сеВ = = У_1с В.
Множества допустимых пар■
Мы соберем здесь некоторые результаты, касающиеся структуры множеств допустимых и регулярно допустимых пар для данного А е L(X). Эти результаты встретятся в последующих параграфах и главах (например, 52.Р, 52.Q, 52.S, 63.0, 63.Р, 64D, 64.Е). Первая теорема является обобщением того очевидного факта, что если обе пары (Вь D) (В2, D) допустимы, то пара (В) V В2, D) также допустима.
51. L. Теорема. Пусть дано ОеЬЛ’(Х), и пусть .59 с ЬЛДХ)—непустой класс пространств, такой, что пара (В, D) [регулярно] допустима для каждого В е ^. Тогда найдется ВоеЬЛЩХ), более слабое, чем любое ВеЗ.и такое, что пара (Во, D) также [регулярно] допустима, если только существует пространство Е е АР[X], более слабое, чем каждое В е ^. Более точно, найдутся числа а в>0, ВеЗ, такие, что F = V kg В: Be Я] существует и Во = bF.
Доказательство. Положим ^в = ^в D для каждого В е Дй. Пусть ов столь мало, что овКв ^ 1 и овВ^Е для каждого В е ^’. Последнее условие обеспечивает существование указанного в теореме F (и неравенство F^ Е). Далее, Во = bF е ВЛДХ) н овВ ^ F < BQ, так что Во слабее, чем каждое В е $. Остается доказать, что пара (Во, D) допустима. Утверждение, касающееся регулярной допустимости, тривиально.
Пусть даны /е F и р > 1. Тогда для некоторого п существуют пространства BjВл и функции /]/л, такие, что /, е В/, /= 1п,
nInIHHZ^b'IMb ^pI^If- Так KaKZ^b'IMb ^pI^If- Так KaKпара (в;, d) допустима, то по теопара (в;, d) допустима, то по теореме 51.Л существуют О-решепия х, уравнений it + Axt = ft с | х; lD ^ ^P^b^Mb-^P^b^I^Ib^ i = l. Но тогда х = ^ xt является D-pe-реме 51.Л существуют О-решепия х, уравнений it + Axt = ft с | х; lD ^ ^P^b^Mb-^P^b^I^Ib^ i = l. Но тогда х = ^ xt является D-pe-
n
I
n
I
H
H
Z^b'IMb ^pI^If- Так KaK
Z^b'IMb ^pI^If- Так KaK
пара (в;, d) допустима, то по тео
пара (в;, d) допустима, то по тео
реме 51.Л существуют О-решепия х, уравнений it + Axt = ft с | х; lD ^ ^P^b^Mb-^P^b^I^Ib^ i = l. Но тогда х = ^ xt является D-pe-
реме 51.Л существуют О-решепия х, уравнений it + Axt = ft с | х; lD ^ ^P^b^Mb-^P^b^I^Ib^ i = l. Но тогда х = ^ xt является D-pe-
пп
щепием уравнения (50.2) с |x|D^SKL^pS^'IMb <p2^’f- Д°-
нустнмость пары (Во, D) следует из 51.В с G —D = bD. j.
51.М. Предположим, что I = R. или I — R. Пусть дано D е Ь^к. Тогда существует В;| е Ь9~, такое, что 9"-пара (В, D) [регулярно] допустима в том и только в том случае, если В сильнее, чем Во. в предположении, что одна такая \регулярно\ допустимая 9"-пара существует, а именно в предположении, что пара (Т, D) [регулярно] допустима.
Доказательство. Применяем теорему 51.L с Е=М(Х) (с учетом 23.G) к классу всех В(Х), ВеЬ^-, таких, что пара (В, D) допустима.
Затем используем тот факт, что 9~ (X)-подрешетка в ЛДХ), и свойства b для 9"-пространств (22.Л. 23.В, 22.S, 23.С). Заключительное замечание следует из теоремы 52. К j.
Замечание. Соответствующее утверждение справедливо при J = R для .Т-Т^-пар. Мы лишь используем Е = С(Х) (24.М(2)) и заменяем Во на Вр Л С (X). Однако приведенное доказательство не годится для J = R^ и S'^-nap или fT^-nap, так как 9""*, 9"%^ не являются подрешеткамп в Л9, в рассуждения в доказательстве теоремы 51.L не проходят, если мы возьмем специальный супремум V-1" (замечание к 23.В) вместо V. Тем не менее соответствующие результаты могут быть получены при помощи 51.К для тех случаев, когда либо D квазиобиль- по н существует подпространство Y с Х01) такое, как указано в 51.К, либо когда мы ограничиваемся скудными пространствами В. Формулировки этих результатов предоставляем читателю.
Проблема Остается ли утверждение 51.М верным для J = R + , Во е
е Ь9~ * и ,7~^-пар? Для Во е VFY?^ и ST'g'-nap?
Теорема 51.L подсказывает следующий вопрос. Предположим, что иам даны В и класс пространств D, такие, что все пары (В, D) допустимы. Существует ли Do. более сильное, чем все D, для которых пара (В, Do) также допустима? Ситуация здесь не столь проста, как для противоположной задачи, с которой мы имели дело выше. Прежде всего, мы должны ограничиться регулярной допустимостью (что не уменьшает общности, если X конечномерно); но даже в этом случае ответ все еще неудовлетворителен. Наиболее общий результат, которым мы располагаем, таков:
51.Х. Теорема. Пусть дано В elVf(X), и пусть ^ cz бЛДХ)—непустой класс пространств, такой, что пара (В, D) регулярно допустима для каждого Deg). Если X0(D| v D , = X0Di для любых D,, D2 s Q), то существует Do е ЬЛДХ), более сильное, чем каждое D = @ с XQD = X0D, и такое, что пара (В, Do) регулярно допустима. Более точно, существуют числа cD > О, D е Э, такие, что DQ = д {odD: D е ®у
Доказательство. По предположению существует подпространство У пространства X, такое, что X0D = У для всех De @. '
Пусть / е В, Dj, Вге®, и пусть хь х2 —решения уравнения (50.2), причем x; е D/, /=1, 2. Тогда х,—х2 будет D[ V О2-решеиием уравнения (50.1), так что х( (0) - х2 (0) Е .Y0(d V D | = Tqq ™ К. Поэтому x[-x2eD1, откуда х2 е Dj. Аналогично Xj е D2. Мы заключаем, что для данного ; еВ множество D-решеиий уравнения (50.2) одно п то же для каждого Deg, Будем называть эти решения ^-решениями.
Пусть K'D = Кв D + 2SdCb, d и od = max (SD, Кв] для каждого Degt. Определим Do так, как это сделано в формулировке теоремы. Тогда Оп е еЬЛ’(Х) (согласно 21.С) и Do сильнее, чем каждое De®.
В силу этого последнего свойства X0D cY. Обратно, пусть у — любое решение уравнения (50.1) с у (0) е У (^-решение). По теореме ЗЗ.С ов' I У Id ^ ^d^d"# (0) Ч^ II У (0) II ДДя каждого DEgf, так что у г Do. Следовательно, У a X0Dn, и равенство доказано.
Для данных (еВ и л > 1 пусть х будет ^-решением с ||х(0)||^ ^М(У, х (0) ). Такое решение существует но теореме 51.D, и по той же теореме оно удовлетворяет нера венствам ов11 х |D $5 Хов 1KD | f |в ^ X 1 / |в для всех De$, так что х ед Do. Поскольку f произвольно и X0Di = Е, то пара (В, Do) регулярно допустима, j.
Следующий пример показывает, что предположение ,Д0(П] v do = ^оп,“ не может быть заменено более слабым ,,X0D] = X0D2“.
51.0. Примьр. Пусть J = R+ или J=R и ф — произвольная неотрицательная непрерывная непрерывно дифференцируемая неограниченная функция из L1 с ф (0) = 0. Рассмотрим в качестве (50.2) следующее уравнение в F (скалярное поле):
х — (1 + ф)-1 фх = f.
Общее решение уравнения (50.1) в данном случае имеет вид х = (1 + ф) х (0). Пусть D| = L (F), D2 = L1 (F). Тогда X0D, = XqDq = (0), ^oiDiVD:)”'’”^' Возьмем в качестве В множество непрерывных функций /" = о (1 +ф)-1 ф, »eF, с 1/1в = 1°'- Д-!,я таких f уравнение (50.2) имеет общее решение х = Оф + + (1 + ф) х (0). При х (0) = 0 хе D2; при х (0) = — a х е Db Таким образом, как пара (В, Dj), так и пара (В, D2) (регулярно) допустимы, ио если с=#0, то. очевидно, в D, д D2 никаких решений нет. j,
В приведенном примере D, и D2 суть (локально замкнутые) пространства из Ь^к> фактически из bj R. Это позволяет поставить следующий вопрос: верно ли утверждение теоремы 51.N для <У-пар или ^if-пар, если предположение ,,X0(D VD^ = X0D “ заменить предположением ,,X0Di = X0Do“?
Ответ существенно зависит от природы интервала J. Если интервал Z компактен, то ответ тривиальным образом положителен, так как каждая <У-пара или у^-пара (В, D) регулярно допустима с X0Q = X (ср. с доказательством теоремы 51.Н). Если интервал J содержит одну концевую точку (и, следовательно, используя замену переменных, можно считать, что J = R^Y то имеются частичные положительные ответы (например, 52.Р, 52.Q; см. также проблему, поставленную после 52.S). Если J не содержит концевых точек (так что мы можем считать J = R), то ответ категорически отрицателен. Фактически он остается отрицательным даже в случае J'-npo- странств, множества @, состоящего из двух элементов, размерности 1 и А — 0:
51.Р. Пример. Предположим, что J = R, X = F (скалярное поле) и Л = 0. Пусть D- и D+— подпространства в L°°, состоящие из тех ф е L°°, которые удовлетворяют условиям lim ф(1) = 0, lim ф (1) = 0 соответственно. Тогда / —^ — оо/ —^ 4- оо
XQ _ = ^0D+ = (О)! Т-пара (L1, D~) допустима, так как при любом f е L1 (F) t
решение х (/) = J f (и) du уравнения (50.2) принадлежит D- (F). Аналогично
J'-пара (L1, D+) допустима. Одиако D-Д D+= L”, и пара (L1, L”) недопустима, так как для любого /" е L1 (Г) и любого решения х уравнения
(50.2) имеем lim х (/) — lim х (t) Ци) du, а последняя величина =#0
I -> -f- оо/ -> — оо•)
для некоторого / е L1 (F). j.
Недопустимые пары
Можно поставить вопрос: допустима ли данная пара хотя бы для одно» AeLiA)? Этот вопрос не очень интересен для случая компактного интервала J (мы уже отмечали, что в этом случае каждая S’-пара или S^-napa допустима; см. доказательство теоремы 51.Н). Мы приведем здесь лишь один интересный отрицательный результат для J = R+ или J = R. Существуют и другие пары, даже S'-пары, которые также «абсолютно недопустимы», но мы не в состоянии дать их полную характеризацию.
.Q. Д-пара (м, L”) недопустима ни для какого ЛеЦА); Д-пара (L”, L“) недопустима ни для какого А е NV(XY
Доказательство. Пусть дано Л Е L (X), и пусть U — решение уравнения (30.3) с 17(0) — /. Для фиксированного к > 0 и для каждого и=1, 2, ... выберем число ln, 0<Zn<l, столь малое, что J || Л (м) || ^ к, п=\, 2, ...,
где 1п = [и, пЛ-lnV Для фиксированного х0 е X, ||х0|| = 1, положим
j i;xUWU-xVnFl^xQ, t е Jп,
I 0,‘
Согласно (31.9), при t^In имеем
(51.1)(51.1)п+1Поэтому j" II f (/) |1 d!п+1Поэтому j" II f (/) |1 d!moiKz-v.
(51.1)
(51.1)
п+1
Поэтому j" II f (/) |1 d!
п+1
Поэтому j" II f (/) |1 d!
(|| f (t) || di < ek, n=l, 2,..., так что f e M (X).
Если Л e M (X), то мы можем взять 1„=1> й = |А|м> и из (51.1) получим, что / s L°° (X).’
Пусть у — какое-нибудь решение уравнения (50.2) для этого /. В силу (31.3) для каждого п имеем
У (я+ in) = U (п + 1п) U-1 (п) у (и) + J U (и -1- in) U'1 (и) f (u) du =
= U (n + in) U~1 (n) у (и) +x0, откуда, используя (31.9), получаем
1 = ко IK IIУ кп + U) II + || у (п) || ек.
Поскольку это справедливо для всех п, то у §ё L” (X). ^
Ниже мы укажем некоторые широкие классы J'-nap. ^*-пар и J'S y-nap (включающие все пары, образованные пространствами Орлича), которые всегда допустимы для некоторого Д е L (X) (примеры 65.N, 65.0 с замечаниями к ним). . .
( Уравнения со скалярным^ А на д2~Л Д
Мы докажем один простой и полезный при построении примеров результат для случая J = R + и Л = ф/, фек^^^
.R. Допустим, что J = R+, _Л = фЛ-Ф е L. Положим ^^
Ш = exp - J
' о
9~-пара или ДД?-пара (В, D) допустима для А тогда и только тогда, когда либо .
1ED, Xod =Х и для каждого f е В(Х) решение х уравнения (50.2), определяемое формулой
х(0 = 1(0/б Ч^Н ^du,(51.2)
о
принадлежит D(X);
либо
g ^ D, Хов = {0} и для каждого ) е В (X) решение х уравнения (50.2), определяемое формулой
х«) = -мо J r4uWW,tх«) = -мо J r4uWW,t(51.3)(51.3)
х«) = -мо J r4uWW,t
х«) = -мо J r4uWW,t
(51.3)
(51.3)
существует и принадлежит D(X).
Доказательство. Непосредственно проверяется, что U = у есть решение уравнения (30.3) с //(0)=/. Следовательно, согласно (31.2), Xqd = X, или ={0} в соответствии с тем, ceD ил. g ^ D- Из (31.3) следует, что формулы (51.2) и (51.3) (послед няя в том случае, если она имеет смысл) определяют решения
уравнения (50.2). Теперь часть «тогда» получается тривиально, и мы переходим к доказательству части «только тогда».
Предположим, что пара (В, D) допустима. Если g е D, Xod —X, то каждое р^пгеНисГуравнения (50.2) является D-решением, в частности таковым является решение, определяемое формулой (51.2). Этим исчерпан случай (1). Предположим поэтому, что g ^ D, Хоо = {0}.
Пусть дано /еВ(Х). Выберем некоторое ХоеХ, ||х0|| = 1. Поскольку ЦДхо ^ В (X), то существует D-рсшение у уравнения у + Лу = ||/:||хо, удовлетворяющее, согласно (31.3), равенству
{
/ t\ -I
у(0) + 1 J r>W(«W«k •(51.4)
t
Далее, j g-1 (u)|| f (и) \\du, будучи неубывающей функцией, имеет о
конечный или бесконечный предел при t-»oo. Поэтому
J g-1 (и) || f (и) || du I х0|| также имеет конечный или бес- о/
конечный предел при 1->оо. Если этот предел >^>0, то из_ (51.4) следует, что g^X^-11| у (0 II для всех^достаточно~больших I; значит, *eD (согласно 22. I) в противоречие с допуще
нием. Поэтому I J g“‘ (n)||f (и) \\du I х0 =—у (0), и из (51.4) выте- \о/
кает, что у (t) = I — g^) J g-1 (и)Ц f (и) \\du ( х0. Следовательно, интеграл в (51.3) существует, и || х || ^|| у ||, откуда х е D (X). 4-
В предположениях леммы 51.R с R вместо X 9"-пара или 9"^-пара (В, D) допустима для А тогда и только тогда, когда пара (В, D) допустима для ф.
ДокАзатвльство. Применим 51.R к Л=ф/ и к ф и используем тот факт, что если хоеХ, ||х0|| = 1, то ф е В в'том и только в том случае, если фх0 е В(Х), а также аналогичный факт для D и D(X). 4,
52. (В, В)-многообразия
Содержание главы (окончание)
Мы теперь в состоянии продолжить наш обзор содержания главы. Примем раз и навсегда, что в оставшейся части этой главы областью изменения t служит R+. Все пары — это &~-пары или Р^-пары.
При попытках применить понятие допустимости ^"-пар или ^"^-пар (В, D) к исследованию структуры решений уравнений (50.1) и (50.2), равно как и сопряженных к ним уравнений, часто оказывается, что нужны только те (еВ(А), которые имеют компактный носитель (т. е. fek0B(A)). Полная допустимость пар используется только для того, чтобы дать с помощью теоремы 51.А оценку D-решений уравнения (50.2) для таких /. Поскольку к0В(А) не полно, то использования всего пространства В (А) можно избежать только ценой дополнительных предположений. Между прочим, если X бесконечномерно, то часто случается, что, даже предполагая допустимость пары (В, D), ничего нельзя сделать, потому что Aqd не замкнуто, — дополнительная причина для поисков более тонких методов.
Желательно построить понятие, которое охватывало бы те элементы описываемой ситуации, которые существенны для анализа структуры уравнений. В качестве одной из уместных технических деталей заметим, что если f имеет компактный носитель, то D-решепия уравнения (50.2) полностью характеризуются совпадением их для больших / с D-решениями уравнения (50.1) (ср. 22.1), т. е. с решениями уравнения (50.1), которые начинаются па Aon при t = 0. Искомое понятие — это понятие (В, D)-многообразия ((В, D)-подпространство это замкнутое (В, D)-многообразие), заменяющее Aon в той роли, которую последнее играло выше. Кратко говоря, (В, D)-многообразие — это линейное много^^пазие Y, содержащееся в Aon и обладающее следующим свс гвом: для каждого fek0B(A) существует решение уравнения (50.2), совпадающее для больших / с решением уравнения (50.1), начинающимся на Y при ^ = 0 и для которогоMD<MflB> где к > 0 не зависит от f (тот факт, что х есть D-решение, следует из включения КсА0В). Некоторая искусственность этого определения вполне компенсируется тем, как это новое понятие проясняет и упорядочивает последующее изложение.
В настоящем параграфе дается точное определение и главные свойства нового понятия (одно из наиболее важных это то, что (В, D)-многообразие является также (1с В, D)-многообразием), а также связь его с понятием допустимости. Заметим, в частности, что из допустимости пары (В, D) следует, что Aon является (В, D) -многообразием. Наши интересы, однако, в дальнейшем будут концентрироваться вокруг (В, D) -подпространств.
(В, D) -многообразия и -подпространства являются весьма мощным инструментом (в противоположность допустимости) изучения взаимосвязи между уравнениями (50.1), (50.2) и сопряженными уравнениями в пространстве X', спаренном с А. В § 53 мы рассмотрим те следствия для сопряженных уравне-
ний, которые вытекают из существования (В, D)-многообразий для уравнения (50.2). В § 54 исследуется наиболее важный случай (В, D)-подпространств. Типичный результат таков. Пусть (В, D)— 9~к-пара или 9~ к-пара; если У— (В, D)-подпространство, то У0 — (В', ТУ)-подпространство для алгебраического сопряженного уравнения-, если D квазилокально замкнуто, то справедливо обратное утверждение. Использование алгебраического сопряженного уравнения позволяет также получить некоторые интересные факты о самом уравнении (50.2). Эти результаты собраны в одном из пунктов § 54.
Специальные результаты для случая конечномерного X или те специальные формы, какие принимают предыдущие результаты для этого случая, собраны в § 55. Наиболее примечательным является следующий результат. Пусть (В, D)—9"к-пара или 9"-пара; если пара (В, D) допустима, то пара (Dz, В') допустима для алгебраического сопряженного уравнения; если D квазилокально замкнуто, то верно обратное утверждение.
(В, D)-многообразия
Зафиксируем AeL(A). Предположим, что (eL(X) имеет компактный носитель, и положим s = s (f) (см. § 20, стр. 54). Пусть х — произвольное решение уравнения (50.2). Будем обозначать через Хоо или, подробнее, через хяд решение уравнения (50.1), удовлетворяющее условию x^(s) =x(s). Очевидно, хоо(/)^-х(/) для всех t> s. Если ОеЬ9~к, то ^eD(X) в том и только в том случае, если XcoeD(X), т. е. если xoo(0)gAqd (см. 22. I).
Все пары, встречающиеся в этом параграфе, будут ^-парами или .^^-парами. Зафиксируем некоторую пару (В, D). Линейное многообразие Ус= X называется (В, D)-многообразием (для А, или, вольно говоря, для уравнения (50.2)), если Ус Хоо и существует число й>0 со следующим свойством: для каждого fek0B(A) найдется решение х уравнения (50.2), такое, что Хоо (0) е У (и, значит, х е D (А)) и |x|D <£|ПВ- Обозначим нижнюю грань всех возможных значений к через Кт или, подробнее, через Аув,о(А) с обычным соглашением об отбрасывании индексов и аргументов. Ясно, что если В=А{0}, то Кт>0. Замкнутое (В, D)-многообразие называется (В, D) -п о д п рос т р а н с т в о м.
А. Если У —(В, ТУ)-многообразие, то существует число Су^й, такое, что если f е й0В (А), р>1 и х — решение уравнения (50.2) с х„(0)еУ, |x|D <pAr|f|B, то II х(0)|KpCr|f |в.
ДоклзатЕльство. Доказательство то же, что и для 51.С. А Мы будем обозначать через CY или, подробнее, через
Сув, о (А) наименьшее число, удовлетворяющее условиям леммы 52.А.
Имеет место ряд результатов такого рода: «если У— (В, D)-многообразие и .. ., то Z — (Bi, DJ-многообразие». Часть довольно тривиальных примеров собрана в следующей лемме. Другие случаи представлены в теореме 53.D, лемме 52.1, теоремах 54.F, 54G, 54.1 и т. д.
В. Предположим, что У— (В, D)-многообразие. Тогда
У является (Bi.Dj)-многообразием для любой S'-пары или Э^-пары (Bi, D]), которая (такова, что пара (kBi,Di)) слабее, чем (В, D);
всякое линейное многообразие Z, такое, что У cl Z с Zoo, также является (В, ХУумногообразием; в частности, таково само Xod)
если УсХоко, то У является (В, kD)-многообразием.
; Предположим дополнительно, что У замкнуто, т. е. является (В, Dy подпространством, и что Z— линейное многообразие, Zc^Y. Тогда
если Z плотно в Y, то Z также является (В, D) -многообразием-,
если Z является (В, Di)-многообразием для некоторого Di е ЬУк, то Z является и (В, D Д Dp-многообразием.
Доказательство, (а) Существуют числа р, д>0, такие, что кВ,<рВ, D<SDP Если fekoBI(X) = kokB1(X), то f е k0B (X), и для данного р>1 существует решение х уравнения (50.2) с х J0) е Ус X0D С= Хощ И |х |DI с д| х iD С рдХу I Пв < PpSXyI f lBl.
Это тривиально; очевидно, Kz^Ky
Это тривиально.
Во-первых, Z с У с: X0D. Далее, пусть f е kQB (X) и р> 1, и пусть х — решение уравнения (50.2) с хх (0) е У, |х |D < рКу | f|B. Поскольку Z плотно в У, то существует решение у уравнения (50.1), такое, что Хоо (0)+ + у (0) е Z (так что у (0) е У) и || у (0) IK (р — 1) If |в- Теперь г = х + у есть решение уравнения (50.2) с z^ = х^ + у, для которого 2^(0) gZ и |z|D< <UID+|ylD<pKr|f|B + Srh(0)K(pKr+(p-l)Sr)|/|B (rieSr=SXD- константа из теоремы 33. В). Мы видим, что Kz^Ky, поэтому в силу (Ь) имеет место равенство.
Положим KZi =KZB-D1, CZ1 = CZB D . Пусть f, p и x —те же, что и в доказательстве части (d), a z — решение уравнения (50.2) с z^ (0) е Z, |zjD1<pKZI|f|B, причем ||z(0)|KpCzl|f |в. Тогда у = z - х = z^ - х^ есть решение уравнения (50.1) с у (0) е У и [I у (0)|| ^ ||х (0) || 4-И z (0) || ^ <Р(С21+сг)|/|ь. Как и выше, отсюда следует, что
|z|D<p(Kr + Sr(Czl+Cr))|f|B.
Следовательно, z е (D Д Di) (X) и
•гIdдDi 0шах (^Су 4-Sy (CZj + Су), Кг|}1(1в. 4,
. Нашим основным результатом является следующая теорема, которая, в частности, часто позволяет, имея дело с (В, D)-многообразиями, игнорировать случай ^"‘g’-nap.
52. С. Тео.’Ема. Линейное многообразие УсХ является (В, D) -многообразием в том и только в том случае, если оно является (1с В, D) -многообразием.
Доказательство. Часть «в том случае» тривиальна в силу 52.В (а). Пусть У—(В, D)-многообразие. Вспомним, что (1с В, D) является ^"-парой (согласно 22.S, 24.1). Пусть даны f е &01с В(Х) и р>1. Положим s = s(f). Согласно 22.С и 22.S или доказательству 24.1 существует §еВД), такое, что ||g||^||f|| (так что geMW с s(g) <s), hlB<|f|IcB и
/ II f W -g (О II dt <(p-1)If |IcB|X[0, s) ^ exp - J || A w IIdt I. (52.1) 0 , X ’
По предположению существует решение у уравнения y-Y-Ay=g с у=(0)еУ и |g|D<P^|g|B<P^/f|lcB. Пусть х — решение уравнения (50.2), удовлетворяющее условию х(s) = у(s), так что Хоо=Уоо и Хоо(О) е У. Применим (31.5) к х— у и f — g на интервале [0, s] с t0=s. Используя (52.1) и тот факт, что х и у совпадают вне [0, s], находим
II* - glK ( / II f (0 - g (0 II dt) exp Г j II A (t) II dt ) x[0, sl <
(p ~ 1) I f lice I X[0, $| |D X[0, 5]*
вытекает из доказательства 52. В (а).вытекает из доказательства 52. В (а).Значит, имеет местоЗначит, имеет месторавенство. 5,равенство. 5,Следовательно, |x — g|D ^(p — l)|f |Ic в. Таким образом, |x|D^ <|g|D + k-g|D^(P^ + (P_ 1))IHicb- Отсюда следует утверждение теоремы с Кт ic в ^ Кт = Ктв. Обратное неравенство
вытекает из доказательства 52. В (а).
вытекает из доказательства 52. В (а).
Значит, имеет место
Значит, имеет место
равенство. 5,
равенство. 5,
Исследуем случаи, когда все (В, D)-многообразия Плотны В X оо •
52.D. Предположим, что У с X есть (В, D)-многообразие. Если х — решение уравнения (50.1) с х(0) ^с1 У, то ф||х||—*^L* для каждого фЕ В (г. е. ||х||-1 еВ').
Доказательство. Согласно 52. С, можно, не теряя общности, предположить, что В г 69" и локально замкнуто. Положим б — d(cl Y, х (0)). Пусть даны феВ, р>1 и т>0. Положим
f = Хщ т] | Ф | sgn х е к0В (У). По предположению существует решение у уравнения (50.2), такое, что уоо(0)еУ, ||у(0)||^ ^рСг1Мв^рСг1ф1в- Но 110 31.6(b) другое решение 2 уравне- t
ния (50.2) определяется формулой 2 (/) = х (0 f Х[о. т|(“)1ф(«)|Х 6
X || х (zz) |Г' du, причем 2^ = х J | ф (zz) 11| х (zz) Ц”1 du. Поэтому y — z о
есть решение уравнения (50.1), и мы имеем у — z = у^ — ?„, так что•
6 /1 ф (zz) |II х (zz) Г' dll = d (cl У, z,x (0) )<II Усо (0) - 2^ (0) II = 6
= ||у(0)-2(0)|| = ||у(0)||<рСг|ф|в.
Поскольку т^0 и р>1 произвольны, заключаем, что
J | ф (zz) 1|| х (zz) |Г’ du ^ 6”1 Су | ф|в, так что ф|| х |Г' е L1. Поэтому о
если ВеЬ.7к или В е Ь^Г, то ||| х Ц-1 |в,^й-1Сг. 5..
52. Е. Теорема. Пусть D тонко по отношению к В (в частности, пусть (В, D) является ^-парой, ST*-парой или СТ#*-парой, которая не слабее, чем (L1, L”)). Если Yc.X есть (В, D)- многообразие, то Y с Хоо <= cl У.
Доказательство. Если х — решение уравнения (50.1) с х (0) ^ ^ cl У, то из 52. D и предположения о тонкости D следует, что ЦхЦ^В. Следовательно, x(O)^Aod- 5»
Относительно S^-пар и т. п. см. также теорему 52.N. .
ОО Замечание. Мы не можем потребовать равенств У = Уоо = с*^ в тео" реме 52.Е, если только X не является конечномерным. Действительно, если X бесконечномерно и существует какое-нибудь (В, D)-многообразие, то но 52.B(d) всегда существует незамкнутое многообразие. Тогда мы можем выбрать У таким образом, чтобы одно из равенств не было верно. Тот факт, что A'0D не обязано быть замкнутым, будет показан на примере 65.S.
(В, D)-многообразия и допустимость
Мы упомянули в начале этого параграфа, что имеется "связь между существованием (В, D)-многообразия и допустимостью пары (В, D) или некоторой связанной с нею пары. Центральным результатом этого параграфа является следующий:
52. F. Теорема. Если пара (В, D) допустима, то Xod является . (В, D)-многообразием. Обратно, если существует (В, D)-многообразие, то пара (кВ, D) допустима.
Доказательство. Предположим, что пара (В, D) допустима, и "положим ^ = ^в,D- Для данных f е к0В (X) и р>1 по теореме 51. А существует D-решение х уравнения (50.2) с |xjD^ < рК | f |в. Отсюда следует, что хх е В (X), т. е. что х^ (0) е Xod- Таким образом, У = Хоо является (В, В)-многообразием с Ку^К.
Обратно, предположим, что У есть (В, В)-многообразие с константой Ку. По определению для любых fEk0B(X) и р> 1 существует В-решение х уравнения (50.2) сU|D ^p^r|f |в. Поскольку bk0B (X) = кВ (X) (22. G или 24. С), то допустимость пары (кВ, В) следует из 51. В с F = к0В (X) и G = В (X) = ЬВ (X); наконец, Ккв.в^Ку (фактически имеет место равенство, так как Kyb, d — КукВ, d)- S-
Замечание. В общем случае второе утверждение теоремы 52.F невозможно усилить до допустимости самой пары (В, D) даже для скалярного уравнения с постоянным Л; ср. с примером 65.В. Однако при некоторых дополнительных условиях это усиленное утверждение все же оказывается справедливым, как показывают приводимые ниже следствия.
52.G. Если В скудно, то пара (В, В) допустима тогда и только тогда, когда существует [тогда и только тогда, когда Xod есть] (В, V>yмногообразие.
Доказательство. Это следует из теоремы 52.F, леммы 52.В (Ь) и того факта, что кВ = В. ,$,
52.П. Если В квазиобильно (в частности, квазилокально замкнуто) и если существует подпространство У пространства X, такое, что У czXodu факторпространство X(Y рефлексивно (в частности, если само X рефлексивно или Xod замкнуто, a X/Xod рефлексивно), то пара (В, В) допустима тогда и только тогда, когда существует [тогда и только тогда, когда Xod есть) (В, D)-многообразие.
Доказательство. Часть «только тогда» следует из теоремы 52.F. Если существует (В, В)-многообразие, то из той же теоремы вытекает, что пара (кВ, В) допустима. По теореме 51.G такой же является и пара (1с кВ, fB) = (1с В, fB). Поскольку D И $D эквивалентны по норме, то пара (В, В) слабее и, следовательно, также допустима. 5»
Мы теперь в состоянии завершить незавершенные доказательства двух теорем § 51 для случая J = R+.
Доказательство теоремы 51.Н для J = R+. По теореме 52.F* существует некоторое (В, D)-многообразие. По теореме 52.С оно является также (1с В, D)-многообразием. Снова по теореме 52.F пара (к 1с В, D) допустима. 4.
Доказательство теоремы 51.1 для J = R+. Согласно теоремам 52. F, 52. С, Y* = X0D (—Д ) является (1с В, В)-многообразием для —Д* с константами Ку*, Су.. Пусть даны F е 1с В (X*) и р>1, и пусть (т (н) ) —возрастающая последовательность в Д+, причем 11m т (п) = оо. Для каждого п положим
fn = Х[0, т (п/ е к01С В VO, I ^ |к в ^ * *1= в- '
Существует решение х* уравнения х* — Д*х* = fn с х‘х (0) е У* и I х*
lie В*lie В*Ьс в- Следовательно, последовательность^
lie В*
lie В*
(х„(0)} ограничена в X*. Далее, X сепарабельно, так что шар S(X*) метри-
зуем и компактен в слабой* топологии (Дэй [1], стр. 77) и, следовательио, ( слабо* секвенциально компактен. Таким образом, .выбирая, если это необходимо, подпоследовательность последовательности (т (п) ), мы можем считать, что (х„ (0)) слабо’" сходится, скажем к х0 е X . Обозначим через х решение уравнения (32.4) с х* (0) = х0. Мы утверждаем, что для каждого / е R+
последовательность (х* (/)) слабо* сходится к х* (/). Действительно, для достаточно больших п т (п) ^ (, и х* — х* является решением уравнения (32.3) в интервале [0, (], а значит, согласно 32. D, удовлетворяет равенству х*п (0 — х* (0 = (U (() )-1* (х„ (0) — х* (0)), где (/ — решение уравнения (30.3) с (7(0) = /, причем функция ((/(() )-i непрерывна в слабой* топологии. Из слабой* секвенциальной компактности шара S(X’) следует, что для каждого t е R +
(52.2)(52.2)||x’(f)||< lim inf ||х* (/)|| = 5прф„ (/),
(52.2)
(52.2)
“и П-> оо "11 П
где Vn^Jn^ll^mMll^nll- Таким образом, фп е D, | ф„ |D ^ рКк IF lie в- Но (фп) — возрастающая последовательность положительных элементов из D; в силу 22. С sup ф = lim ьф е lc D; в силу (52.2) х* е Lc D (X*), и вычис-
П П П-»оо п
лепия показывают, что Klc в |с D ^ Ку* ^ КВ] D. 5»
(В, П)-подпространства
Для (В, D)-подпространств имеет место теорема, аналогичная теореме 51.D о регулярной допустимости. Эта теорема впоследствии будет играть центральную роль, а пока мы не будем приводить никаких ее важных следствий.
52. I. Теорема. Предположим, что У с: X является (В, ВУпод- пространством. Для каждых f г k0B (X) и Х>1 [и каждого (У, курасщепления q пространства X] существует решение х
уравнения (50.2) с х^ (0) е У и || х (0) || Xd (У, х(0)) [qx(0)) = = х(0)]. Каждое решение с этими свойствами удовлетворяет неравенствам | х| D ^^у|Пв, U(0)lldCr|f|B, где Ky = Ky + + ^SyCy.
Доказательство. Это доказывается так же, как теорема 51.D (с использованием теоремы 33.В вместо теоремы ЗЗ.С). 5,
Замечание. Если в последней части теоремы х (0) = 0, то, как показывает доказательство, f х |D ^ (Ку + 8уСу^ | / |в.
52.J. Пусть J<z.X — дополнимое (В, D)-подпространство, и пусть Z — дополнение к У, а Р — проектор на Z вдоль У. Для каждого fek0B(X) единственное решение х уравнения (50.2) с Хоо(0) еУ u x|0)gZ дается формулой
t'
x(t^= U^U-PfU^^f^du- . о
,- j U(t) PU~lJ(u)f(u)du, teR+ (52.3)
t
(где U — решение уравнения (30.3) с U (0) = 7) и удовлетворяет неравенствам |xfD<max(l, ||Р10/<у|f|в, llx(0)|K||P||Cr|f|B, еде Ky ~ то же, что и в теореме 52. I.
Доказательство. В силу (52.3) имеем
МПt
x(t) — — U(t)P^ U~4uUWu +J UWlT4uH(u)du,0o'
так что, согласно (31.3), x является решением уравнения (50.2) и x(0).eZ. Далее, ‘
xoo — U(I — P')^ IF4u^(uW.о
откуда Хоо(0) е У. Остальные утверждения следуют из теоремы 62.1 и леммы 11.F. 5,
9"-пары и родственные им пары
Иметь дело с З^-парами и .^^^-парами при исследовании (В, D)-многообразий ничуть не приятнее, чем при исследовании допустимости (§ 51). Здесь, однако, имеется более радикальное средство, чем в предыдущем случае (ср. 51.К): любое (В, D)- многообразие для такой пары является (Вь D)-многообразием и для всякой более сильной ^-пары.
52.К. Пусть (В, D)—З'^-пара или ЗЛ^-пара. Если У является (В, D)-многообразием, то Y является также (7*lcB, D)- многообразием (где 7~1с В е ЬЗ" локально замкнуто и слабее, чем В), а значит, и подавно (ЬТ^В, D)- или (Ь7~еВ, Оу многообразием.
Доказательство. Положим s0 = s0(B). По теореме 52. С У является (1с В, В)-многообразием с константой Ку. Согласно 23.1, 1с В = 0S„7'1с В. Пусть даны f е kQT~ 1с В (X) и р > 1. Тогда 6SJ е 0So&o7 1с В (X) = ки 1с В (X), и существует решение у уравнения y-V-Ay = 6J с уД0)еУ и |y|D< <р/(г|0Л|св ^P^lf b— 1с в- Пусть X — решение уравнения (50.2) с х (s0) = у (s0). Тогда х(1( = у(У для f>s0, так что х00 = у00, хоо(0)еУ. Применяя (31.5) к х — у и %(0 So]f для всех / е [0, s0] с t0 = s0, находим
(So\
J II f (и) II du exp о/
так что
Ио<Ыо + 1х-У1о<
(
So \ X
J ММ №)1 |f|r- 1сВ.
о / /
Следовательно, У есть (7~1с В, D)-многообразие. Последняя часть утверждения следует из 52.В(а), так как Ь7-В^1с7-В = = 7~1с В (в силу 23.1) или аналогично Ь7~еВ <1 7~ 1с (еВ) = = 7~ 1с В (в силу 24.1). 5,
При рассмотрении 5^-пар и т. п. специфический вид пространства В часто несуществен. Поэтому полезно иметь условия того, что многообразие является (•, В)-многообразием, а также соответствующие условия для допустимости (которые и завершат доказательство утверждения 51.М).
52. L. Теорема. Пусть дано D e ЬЗ~к. Линейное многообразие У тогда и только тогда является (В, t>y многообразием для некоторой 3~-пары, или 3~"”-пары, или ST^^-пары (В, D), когда оно есть (Т, D) -многообразие.
Доказательство. Часть «тогда» тривиальна. При доказательстве части «только тогда» мы можем считать в силу 52.К, что В е bS^ и В локально замкнуто. Но тогда (Т, D) слабее, чем (В, D) (по 23.К, 23.J), и доказательство завершается при помощи 52.В (а). 5»
52.М. Пусть дано D е Ь5ГК. 5Г-пара, или gr^-пара, или ёГ^^-пара (В, D) ^регулярно\ допустима тогда и только тогда, когда \регулярно\ допустима пара (Т, D).
Доказательство. По теореме 52.F Add есть (В, D)-многообразие. Следовательно, по теореме 52.L оно есть (Т, D)-многообразие. Но пространство Т скудно (согласно 23.J), и в силу 52.G пара (Т, D) допустима. Часть «тогда» тривиальна. 5-
Посмотрим на теорему 52.Е с другой стороны. В случае ^У-пар и т. п. утвердительный ответ па проблему, поставленную после 23.U, позволил бы нам получить утверждение теоремы 52.Е лишь при предположении, что пара (В, D) не слабее пары (L1, L°°). Имеется один случай, когда это можно сделать; для (В, D)-подпространств (и, следовательно, в конечномерном случае) приводимая ниже теорема покрывается теоремами 64.А, 64.В.
52. N. Теорема. Пусть ДеМ|Т), (В, й^-ЗГ-пара, или Тапара, или ЗГ^-пара и YcX есть (В, ТУу многообразие. Если х — решение уравнения (50.1) с х (0) ^ cl Y, то inf || х (/) || > 0.
Если (В, D) не слабее, чем (L1, L°°), то Y cz Add cz cl Y.
Доказательство. По теореме 52. L Y является (Т, В)-много- образием. Согласно 52. D, ||х|Г'еТ' = М. В силу (31.7)
Л + 1XЛ + 1X
||х(/)|Г'^Н II х (м) И”' du I exp I j || Л (u) || du |•
■<lM~4Mexp| A|M.
Следовательно, inf || x (f) ||>||| x ||-1 |M exp (—| A |M) > 0. Последняя часть следует из теоремы 52. Е, если D не сильнее, чем Lx, и из первой части настоящей теоремы, если В не слабее, чем L°°, и потому не содержит функций, отграниченных от 0. 4,
Замечание 1. Замечание к теореме 52. Е равным образом применимо и к теореме 52. N.
Замечание 2. Последнее утверждение теоремы 52. N является наилучшим возможным, ибо если А = 0еМ(Х|, то пара (L1, L°°) допустима, а каждое линейное многообразие есть (L1, Е°°)-многообразие (пример 65. А).
Множества пар
Мы получим здесь аналог теоремы 51.N для (В, D)-подпространств, а Также некоторые улучшения этой теоремы для S'-пар и т. п.
О. Теорема. Пусть даны В е Ь^" или b©^? и подпространство YcX, и пусть ® czbS" к—непустой класс подпространств, такой, что ¥ есть (В, D)-подпространство для каждого De ©.Тогда существует D6e.b9"K> более сильное, чем каждое De©, и такое, что ¥ есть (В, Do)-подпространство (более точно, существуют числа aD > 0, De ®, такие, что
О0=Л [«dD: De@^
в предположении, что выполняетсяв предположении, что выполняетсяхотя бы одно из следующих условий:хотя бы одно из следующих условий:
в предположении, что выполняется
в предположении, что выполняется
хотя бы одно из следующих условий:
хотя бы одно из следующих условий:
существует йеГк, более сильное, чем каждое De3;
© счетно;
УчЧО};
s (В) = оо.
Доказательство. Для каждого De® положим Оц = max {syD, Куп}' где KyD = KyB o + 2SyDCyB D. В случаях (3) и (4) положим od = Oq; в случае (1) возьмем каждое oD столь большим, чтобы oD^aD, G^odD; в случае (2) упорядочим 0 в последовательность (Dn) и положим oD = = max Joq , |Xm nil !• Во всех случаях определим затем Do, как это сделано в формулировке теоремы, так что Do е Ь^. Доказательство включения Do g ЫГК проводится по-разному для разных случаев, и мы пока отложим
его.
Для каждого решения х уравнения (50.1) сх(0)еУ и каждого De® имеем Од1 ]x|D ^OQ'SypI] х (0) |К||х (0)||, так что xeD0(X). Таким обра
зом, Y е XODo.
Пусть даны ) е й0В (X) и X > 1, и пусть q — (Y, Х)-расщепление пространства X. Пусть z —решение уравнения (50.2) с z (s (f)) = 0, так что z^ = 0. Определим х как решение уравнения (59.2) с х (0) = q (z (0)); таким образом, х (0) — z (0) е У, q (х (0)) = х (0). Далее, х^ = хх — z^ = х — z, так что хоо(0) еУ. Для каждого De® теорема 52. I дает ов 1 lx| < ^Оо*^го1^1в^
^ X | f jB. Мы заключаем, что х е Do (X), I х fDo ^ X | f |в.
Чтобы закончить доказательство, осталось показать, что Do е 5"^. В слу
чае (1) выбор oD обеспечивает неравенство D0^G, так что ОдеТ"^. В случае (2) |Х[о л|п ^|X[o,n]|D CoD для каждого Z > 0 и каждого целого
п>1. Поэтому sup oD' I Х[0, ZJ |D = ( <™<xz+, aD ^ I x№, /] |D < °°- откУда
X[0 (] e Do для каждого I > 0. Таким образом, Do e 5*^.
В случае (3) существует ненулевое О0-решеиие х уравнения (50.1), так как У с X0Dg. Поскольку || х || е Do — непрерывная функция, нигде не обращающаяся в нуль, то Dq е 9"к-
Предположим, наконец, что выполняется условие (4), причем условие (3) не выполняется. Пусть дано С > 0. Существует фЕ В с $(<р) >/0. Мы можемПредположим, наконец, что выполняется условие (4), причем условие (3) не выполняется. Пусть дано С > 0. Существует фЕ В с $(<р) >/0. Мы можемсчитать без потери общности, что (0 ^ так что фе&оВ. Далее, предположим, берем любое х0еХ\{0} и положим ния (30.3), удовлетворяющее условиюсчитать без потери общности, что (0 ^ так что фе&оВ. Далее, предположим, берем любое х0еХ\{0} и положим ния (30.3), удовлетворяющее условиюSo < s < оо (где So = 5о(ф), s = х(<р)),что ср ^ 0 и что J <p(u)du=l. Вы-sof = срПхо, где U — решение уравне-(7(0)=/; таким образом, /екдВ(Х)So < s < оо (где So = 5о(ф), s = х(<р)),что ср ^ 0 и что J <p(u)du=l. Вы-sof = срПхо, где U — решение уравне-(7(0)=/; таким образом, /екдВ(Х)
Предположим, наконец, что выполняется условие (4), причем условие (3) не выполняется. Пусть дано С > 0. Существует фЕ В с $(<р) >/0. Мы можем
Предположим, наконец, что выполняется условие (4), причем условие (3) не выполняется. Пусть дано С > 0. Существует фЕ В с $(<р) >/0. Мы можем
считать без потери общности, что (0 ^ так что фе&оВ. Далее, предположим, берем любое х0еХ\{0} и положим ния (30.3), удовлетворяющее условию
считать без потери общности, что (0 ^ так что фе&оВ. Далее, предположим, берем любое х0еХ\{0} и положим ния (30.3), удовлетворяющее условию
So < s < оо (где So = 5о(ф), s = х(<р)),что ср ^ 0 и что J <p(u)du=l. Вы-so
f = срПхо, где U — решение уравне-(7(0)=/; таким образом, /екдВ(Х)
So < s < оо (где So = 5о(ф), s = х(<р)),что ср ^ 0 и что J <p(u)du=l. Вы-so
f = срПхо, где U — решение уравне-(7(0)=/; таким образом, /екдВ(Х)
Поскольку У = {0}, то определенные выше решения х, г совпадают и являются Do-решениямн. Но для 0 ^ / ^ М^ $о) мы имеем
ss
х (/) = z (/) = - и (t) J и~1 (zz) f (и) du = — и (t) Хо J <р (и) du = - U (/) х0. tt
Таким образом, Ц х || есть непрерывная функция из Do, нигде не обращающаяся впуль на [0, /0]. Поэтому Х[о, t0] s О0 иDo е 3"£
Р. Пусть дано скудное пространствоВек?"или'оЗ'с6, и пусть
© е ЪЗ*^ — непустой класс пространств, причем пара (В, D) регулярно допустимадля каждого De@. Пусть, далее,X0Di =-Yqq2 для любых Dp
D, = @.Тогда существует D6eb3"K, болеесильное,чемкаждое De®
с Х№1= XQD для всех De®, и такое, что пара (В, Do) регулярно допустима, если выполняется хотя бы одно из условий (1), (2), (4) теоремы 52.0 или если X0Dy={0}, De®.
Доказательство. Если У = X0D для всех D е ®, то У есть (В, О)-под- пространство (теорема 52. F). Для Do, определенного, как в теореме 52.0, У есть (В, О0)-подпространство; следовательно, согласно 52. G, пара (В, Do) допустима. Далее, У с X0Dj; но Do сильнее, чем каждое Ое^, следовательно, AqD|i е У, и равенство доказано. ^
Q. Пусть дано В е ЪЗ" или ЬЗ-^, и пусть © е ЪЗ"к — непустой класс квазиобильных пространств, такой, что пара (В, D) регулярно допустима для каждого De®. Предположим, что X0D] = X0Di для любых Dp D2 е ® и X/X0D рефлексивно. Тогда существует обильное пространство Do е ЪЗ-^ более сильное, чем каждое D е @, с XODo = X0D для всех De® и такое, что пара (В, Do) регулярно допустима, если выполняется хотя бы одно из условий (1), (2), (4) теоремы 52. О или если AqD=/={0}, De®.
Доказательство. Мы можем считать без потери общности, что каждое D е ® обильно. Тогда проходит то же доказательство, что и для 52. Р (из 22. Н следует, что Do обильно), только при установлении допустимости пары (В, О0)^спользуется 52. Н вместо 52. G. ^
■Замечание. Условия (1) — (4) нельзя совсем исключить из тео
ремы 52.0 и лемм 52.Р, 52.Q. Действительно, условие (1) есть необходимое условие (с G = Do). Рассмотрим, однако, случай X = F, Д = 0. Тогда условие (1) нарушается, если, например, ® есть класс всех квазиобильных ОеЬЗк, которые не слабее, чем L". Тем не менее остальные условия всех трех предложений выполняются (с У = Xod= {0}) для любого пространства В из Ь.У или b^’S', не удовлетворяющего условию (4). Проверку предоставляем читателю.
Заметим, чго условие (1) удовлетворяется при ®eb3"K (с G = Т, согласно 23.J), а условие (4)—при ВеЬ!Г, или Ь^-", илиЭто ука
зывает на дальнейшие усовершенствования теоремы 52.0 и леммы 52.Р для 3"-пар и родственных им пар; вместо соответствующего следствия 52.Q мы имеем намного более сильный результат 62.G (без предположений рефлексивности). Другие относящиеся сюда результаты будут приведены ниже (62.Н). Мы обращаем внимание на 51.М как на сильный результат противоположного характера.
R. Пусть даны В е Ь^-, или Ъ®^, или Ъ®^"* и подпространство У, и пусть ®сЬ;Гк—непустой класс пространств, так что У является (В, D)- подпространством для каждого De®. Тогда существует Do е Ь® к, более сильное, чем каждое De ®, и такое, что У является (В, Do)-подпространством.
Доказательство. Это следует из теоремы 52.0 с G = Т и того факта, что D^AOgDeJ'. 4г
S. Пусть дано скудное пространство В е bj', или Ь^^, или bj'1^*, и пусть 9 с bj-к — непустой класс пространств, такой, что пара (В, D) регулярно допустима для каждого D = @. Если XQDi = Xot>2 для любых Dp D2 е 9, то существует DQ е Ь^ к, более сильное, чем каждое D е @ с XODo = XOD для всех Degs, и такое, что пара (В, Do) регулярно допустима.
Доказательство. Это доказывается так же, как 52.Р, с использованием 52. R. 4,
Проблема. Останется ли 52.Р верным, если опустить предположение скудности В? A 52.S?
(В, В)-многообразия, допустимость и сопряженные уравнения
Полярное многообразие (В, D)-многообразия
В этом и следующем параграфах мы рассматриваем не только уравнения (50.1) и (50.2), но также и сопряженные уравнения; таким образом, мы начинаем с двух спаренных банаховых пространств X, X' и с функции AeL(X), имеющей сопряженную А', и рассматриваем в X' уравнения (32.1) и (32.2), а именно
х' — А'х'=0,(53.1)
х' — А'х' = Г-(53.2)
Иногда мы будем считать X' совпадающим с X* (и, значит, сопряженные уравнения — алгебраическими сопряженными (32.3), (32.4)), в особенности когда речь будет идти об утверждениях относительно уравнений (50.1), (50.2), которые могут быть сформулированы без ссылок на сопряженные уравнения (см., например, теоремы 54.F, 54.G). Во всех таких случаях предположение, что функция А имеет сопряженную, излишне. Поэтому в § 53 и 54 мы будем предполагать, что функция А имеет сопряженную, во всех тех и только тех случаях, когда эта сопряженная функция или сопряженные уравнения упоминаются в формулировках и равенство Х' — Х* явно не предполагается. Обозначения и терминология относятся либо к исходным уравнениям, либо к сопряженным уравнениям в зависимости от контекста; так, например, Хо = Хо(Д), но Х' = Хц(—А').
Поскольку теперь требуется, чтобы рассматриваемые пространства В, D имели парные (см. § 22, 23, особенно 22.М, 23.0),
то каждая пара (В, D) в этом и следующем параграфах будет 9"к-парой или 9~-парой (если явно не оговорено противное). Тогда (Dz, Bz) (сокращенное обозначение для (DZ(XZ), BZ(XZ))) также будет ^к-нарой или £Г-парой соответственно.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые следствия из существования (В, D)-многообразий без каких бы то ни было предположений о замкнутости. Однако читатель, интересующийся главным образом конечномерной теорией, должен проявить терпение: настоящее расположение материала, по-види- мому, наилучшее в методическом отношении, но результаты этого и следующего параграфов для конечномерного случая подытоживаются лишь в § 55.
В наших исследованиях мы руководствуемся двумя главными принципами, «идеальная» формулировка которых (верная для конечномерных X; теоремы 55.А и 55.С) такова: «если У — (В, D)-многообразие для А, то У° — (Dz, В')-многообразие для —А'» и «если пара (В, D) допустима для А, то пара (Dz, Bz) допустима для —А'». Сначала мы попробуем претворить в жизнь первую из этих руководящих идей; теорема, которую мы докажем, будет основополагающей во всей нашей работе с сопряженными уравнениями.
А. Тиорема. Предположим, что У cz X есть (В, О)-лного- образие для А. Если fz Е &ODZ (Xz) и х'— любое решение уравнения (53.2), такое, что х^ (0) е У0, 70XzeBz(A") и I|в-^ С Ку IГ к + Ск II V(0) ||.
J (f (0, х'^) dt оJ (f (0, х'^) dt оДоказательство. Рассмотрим произвольные f Е /?0В (X) и р> 1 и положим s = max {s(f), s (f')}. По предположению существует решение х уравнения (50.2) с хм(0)еУ, I х |d ^ рКу If ?в, II х (0) || ^ pCr|f |в. Применяя 32. С, получаем (x(s), xz(s)) = = <^о= (s)> <„ (s)) = (х„ (0), х'^ (0)) = 0. Используя 32. В (формула Грина) и 22. U (ср. последний абзац § 23, стр. 96), находим
J (f (0, х'^) dt о
J (f (0, х'^) dt о
<х(0, j'W)dt + | <х (0), х'(0)>|
^1^’о1Гк + и-(0)11П х'(0 ||<
^p(Krlf'k + Cr|| xz (0)||)|f|B.
Теперь наше утверждение вытекает (как и выше) из 22.U. £ Непосредственным и важным следствием является
В. Теорема. Если У с X является (В, D)-многообразием для А, то Уоа Хвв,.'
Доказательство. Полагаем в теореме 53. A [' = 0 и замечаем, что х'^ = х'. 5,
Теперь мы переходим к поднимаемому теоремой 53. В вопросу о том, какую часть Х'в, занимает поляра У0. Поскольку У0—подпространство, а Хвв —не обязательно (как показывает пример 65. Q), мы не можем во всех случаях иметь У° = Х'В„ Ниже мы опишем случаи, когда равенство справедливо (теорема 53. Е), а пока покажем, что в некотором смысле У° может быть расширено; например, У0 всегда можно модифицировать таким образом, чтобы любой конкретный элемент из XqB, принадлежал У0 (теорема 53. D).
С. Пусть У с: X является (В, В)-многообразием для А, и пусть дано Хц е Х'№. Тогда Z = У П (FxQ° — также (В, ^-многообразие для А (здесь Fx'Q — (не более чем) одномерное подпространство, порожденное вектором х').
Доказательство. Пусть х'— решение уравнения (53.1), удовлетворяющее условию х' (0) = х'; в частности, х'еВ'(Х').
Если У c(Fx')°, то Z = Y и доказывать нечего. Предположим поэтому, что существует решение х уравнения (50.1) с х(0)еУ и (х(0), х'(0)) =ст=#0- Разумеется, xeD(X).
лучаем|<Уоо(0), xz(0)>Kлучаем|<Уоо(0), xz(0)>KВозьмем любые f е/г0В (X) и р>1 и положим s = s(f). По предположению существует решение у уравнения (50.2), удовлетворяющее условиям у^ (0) е У, j z/|D < pXylf lB, II </(0) |J^ <pCy|f|B. Согласно 32.C, (y^ (0), x' (0)) = (y^ (s), x'(s)> = = (y(s), x'(s)). Используя 32. В (формулу Грина) и 22. U, по
лучаем
|<Уоо(0), xz(0)>K
лучаем
|<Уоо(0), xz(0)>K
S
J (ЦТ), x'(t))dt + \(у(0), хЦ0))\ о
^(MB, + pCy||x,(0)||)|f|B.
Теперь положим z = у — ст-1 (у^ (0), х'(0))х, так что z также есть решение уравнения (50.2). Имеем ^(0), х(0)еУ; следовательно, z^ (0) е У и
(^ (0), х' (0)) = (^ (0), х' (0)) - ст-1 (Уоо (0), х' (0)) (х (0), х' (0)) = 0, так что z^WJeZ. Наконец,
|г|с<|у|п + | а Г’ 1(^(0), x'WIkl^
;С Р ^y +1 О г' IX }D (| х' |в + Су II х- (0) II)) I f |в.
Таким образом, Z также является (В, О)-многообразием, причем Kz не превосходит выражения в фигурных скобках. 4,
D. Теорема. Пусть У а X есть (В, ХУумногообразие для Л. Если W' cl X' — линейное многообразие, такое, что У° cz W' cz а Х'ов„ причем коразмерность У° относительно W' конечна, то Z = У П W"0 также есть (В, ^-многообразие для А (и Z° — W"). В частности, каждый элемент из Х'в, содержится в Z° для некоторого (В, Оумногообразия Z cz У.
Доказательство. Проведем индукцию по d = dim (Ц7'/У°), коразмерности У0 относительно W'. При d = 0 W' = У0, У О W'° = = УПУ°°=У, и доказывать нечего. Предположим, что утверждение верно для d = п, и допустим, что условия теоремы выполняются для d = nA-\. Тогда W' = V' + Ех'й для некоторого х'еГ, где У'— линейное многообразие, такое, что YacV', и dim (1/7У°) = и. По предположению индукции U = У П V'3 есть (В, О)-многообразие. В силу 53.С Z = У П W'u = У П V'0П (ЕХд)° = = (/П(^Хо)° также есть (В, О)-многообразие. 4,
Теперь опишем случаи, когда У0 = %'н,.
Е. Теорема. Предположим, что либо (1) D тонко по отношению В (в частности, (В, D) есть (Г-пара не более слабая, чем (L-1, Lo°)), либо (2) ДеМ(Х) и (В, D) есть 9"-пара не более слабая, чем (L1, L”). Тогда если YcX является (В, D)- многообразием для А, то У0 = (X0D)° = X'QW.
Доказательство. По теореме 52. Е или по теоремам 52.N и 53. В имеем (^0D)0 = У0 cz Х'ов„ Остается показать, что X'B, cz cz (Х^0 или эквивалентно что X0D cz (A^,)0. Допустим, что х'— решение уравнения (50.1) с х (0) ^ (Х'в,)°. Тогда существует решение х' уравнения (53.1) с х'(0)еХ'в, (т. е. В'-решение), такое, что (х(0), х'(0)) = а=^0. Согласно 32. С, имеем | а | = = I (х, х') KII х Illi х’ II, так что Hxir'^lor'llx'll И llxir'e В'; Теперь заключение x(O)^%od выводится так же, как и в доказательствах теорем 52. Е или 52. N соответственно. 4,
у^1 Приведем одно следствие, показывающее, что в некоторых случаях (В, О)-многообразие обязано быть замкнутым.
СО 53. F. Предположим, что D квазилокально замкнуто. Пусть D тонко по отношению к В (в частности, пусть (В, D) есть J-napa не более слабая, чем (L1, L°°)). Если существуют (В, ВУмногообразие для Д и (D', В'рмного- рбразц? для — Д', то Хдр есть насыщенное подпространство. Если пари
(В, D) допустима для Л, а (О', В') допустима для — А', то обе допустимости регулярны.
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что D локально замкнуто, так что О" = О. По теореме 53. Е ^оо' ссть насыщенное подпространство. По той же теореме и по теореме 53. В XgD с (Л^)00 = (Хдв,)° с с XoD„ = XgD, так что X0D = (^оь')° является насыщенным подпространством. Последняя часть теоремы получается при помощи теоремы 52. F. ^
Один результат о допустимости ЕГ-пар
Теорема, которую мы собираемся доказывать (так же как в предыдущих случаях, с помощью формулы Грина), является еще одной попыткой претворить в жизнь руководящий принцип «допустимость пары (В, D) для А влечет допустимость пары (D', В') для —А'». Эта теорема относится только к У-парам.
. G. Теорема. Предположим, что (В, D) — ЕГ-пара. Пусть пара (В, D) допустима для А или существует (В, Dy многообразие. Тогда существуют числа k{, к2>0, такие, что если х' — произвольное ^-решение уравнения (53.2) для некоторого f' eD'(T), то х'<=В'(Х') и |х'|В'^МхТм +МП^-
Доказательство. Пусть У —(В, О)-многообразие (предположение, что пара (В, D) допустима, влечет существование такого Y по теореме 52. D). Возьмем любые f е /е0В (X) и р>1 и положим s = s (f). Существует решение х уравнения (50.2), удовлетворяющее условиям х^ (0) е У, |x|D ^p/trlf |в и || х(0) || ^ pCy|f |в. Используя (33.1) и тот факт, что ||— Л' || = ||Л||, получаем
'U40)||<(|x1M + a(D'; niri.JexpH(53.3)
/
В силу неравенства Шварца имеем
(
S + 1* 2
f (Hx(0IIU,(/)||)1/2dz) <
s+1s+1
. ^J ||х(0И/ UWK
S8
^a(D; l)|x|D|x,|M<
'^pXra(D; UIHbIx'I^.
Пусть минимум достигается в точке т, скажем s^t-^s+1. Используя 32.В (формулу Грина) и (53.3), получаем
J (ЦГ), x'W)dtОJ (ЦГ), x'W)dtО= |<М),х'(0М = о= |<М),х'(0М = о
J (ЦГ), x'W)dt
О
J (ЦГ), x'W)dt
О
= |<М),х'(0М = о
= |<М),х'(0М = о
— J (X (t), f' (t)) dt + (х (т), хЦт» - (х(0), х' (0))
'< J 11х(01111ПДО + 11х(т)||||х^^
, ^р KfIHD'+ ^a(D» 01*Л|м +
JlM(W о
Теперь утверждение теоремы следует из 22.U (ср. с последним абзацем § 23, стр. 96). Кроме того,
^i = Куй (О; 1) + Су exp ( J || Д (0 \\dt
1
к2 = Ку + Суа(\У; 1)ехрк2 = Ку + Суа(\У; 1)ехрJim(oii^L 4г о/
к2 = Ку + Суа(\У; 1)ехр
к2 = Ку + Суа(\У; 1)ехр
.Н. Предположим, что (В, D) есть 9"-пара. Если пара (В, D) допустима для А или если существует (В, В)-многооб- разие, то Х'ОВ, = Х^..
Доказательство. По теореме 53. G с Г = 0 имеем Х'м ст X'QB,. Обратное включение верно, так как В' сильнее, чем М .(согласно 23. G). 4г
1. Предположим, что (В, D) есть ^~-пара. Пусть пара (В, D) допустима (для Д) или существует (В, ^-многообразие. Тогда если для некоторого СеЬ.Гк Z'cz X' является (О', G)- многообразием для — А', то Z' есть (О', В')-многообразие для - А'.
Доказательство. Поскольку G сильнее, чем М, то из 53. Н следует соотношение Z'а Х'№а Х'№ = Х'№. Для любого f'е екдОДУ') и любого р>1 существует решение х' уравнения (53.2), такое, что x^i'OjEZ' и |x'|G С Р^4Г|0/. Далее, х'еМ(Х'), причем |х'|M<a(G; 1)|х'|0- По теореме 53. G
)2 Зак. 405
|х'|в,<(p/<z^ia(G; 1) + ^2)1Г1со так что Z' есть (D', В')-много- образие. &
Замечание. Доказательство утверждения 53.1 показывает, что Z' фактически является (О', В' Л G)-многообразием.
(В, О)-подпространства и сопряженные уравнения
Полярное многообразие (В, D)-подпространства
В этом параграфе показано, как начатое в предыдущем параграфе исследование развивается и углубляется в случае, когда рассматриваемые (В, D)-многообразия суть (В, D)-подпространства (удовлетворяющие свойству квазистрогой спаренности; это предположение излишне, если Х' = Х*). Замечания и соглашения начала § 53 остаются пока в силе.
54. А. Пусть Y аХ есть (В, П)-подпространство для А со свойством кзазистрогой спаренности. Если V eRqD^X') и х'— решение уравнения (53.2) с х^(О)еУо, то d (У0, х’ (0)) ^ s^SySy|f'|D„
Доказательство. Пусть х— произвольное решение уравнения (50.1) с х(0) е У. Полагая s = s(f') и применяя 32.С, получаем (х (s), х' (s)) = (х (s), х'^ (s)) = (х (0), х^ (0)) = 0.
Используя 32.В (формулу Грина), теорему ЗЗ.В и лемму 22.U,
находим
I (х (0), х'I (х (0), х'^sKn х(0) mnD„^sKn х(0) mnD„
I (х (0), х'
I (х (0), х'
^sKn х(0) mnD„
^sKn х(0) mnD„
По определению свойства квазистрогой спаренности
d (У0, X* (0)) ^ Sy - sup {| (х (0), х' (0)) |: х (0) е S (У)} <
.sySy | f'|D,. 3,
Мы переходим теперь к главному результату этого параграфа.
54. В. Теорема. Пусть YcX есть (В, D)-подпространство для А со свойством квазистрогой спаренности. Тогда У0 является (D', В') -подпространством для —А'.
Доказательство. У0 есть подпространство, и У°с Х'н по теореме 53. В. Пусть даны Л > 1 и некоторое (У0, Х)-расщепле- ние q' пространства X'. Для произвольного f' е /г0Ь' (X') положим s = s(f'\ Пусть z' — решение уравнения (53. 2) с 2'(s) = 0, так что z'^ = 0. Определим х' как решение уравнения (53.2) С х' (0) = q' (z' (0)). Тогда х'— z' есть рещение уравнения (53,1),
и ^ = х^-г^ = хл-z', так что х'^ (0) = х' (0) - z’ (0) е У0. Согласно (11.2) и 54. А, Ц л:'(0) |] ^ X сГ (У0, х' (0)) ^ Х5Г5Г|^|П„ Из теоремы 53. А следует, что |х'|в,^(Ку + Ххг5гСг)|Л|0,, и, значит, У0 есть (О', В')-подпространство для —А' с Ку0^ ^^ Ку A-SySyCy. 5г
54.С. Пусть У — насыщенное подпространство в X, причем как У, так и У0 обладают свойством квазистрогой спаренности. Если D квазилокально замкнуто, то У является (В, D)-подпространством для А тогда и только тогда, когда У° есть (D', В')- подпространство для —А'.
Доказательство. Это следует из теоремы 54.В, примененной к (50.2) и (53.2); соотношений У00 = У, В^1сВ = В"; эквивалентности по норме D" = Ic D и D и леммы 52.В (а). 5-
Объединим теоремы 54.В и 54.С для случая Х'=Х* (специальную формулировку для случая гильбертовых пространств мы опускаем).
54.D. Пусть У — подпространство в X. Если У есть (В, D)- подпространство для А, то У0 в X* является (D', й'уподпростран- ством для —А*. Если D квазилокально замкнуто, то справедливо и обратное утверждение;
Доказательство. Это следует из теоремы 54.В, леммы 54.С и леммы 12.А. 5г
Замечание. Предположение квазилокальной замкнутости D в ’ обратной части лемм 54.С и 54.D в общем случае не может быть ону- I щено; см. замечание к теореме 55.А.
‘ Условия допустимости для алгебраического сопряженного 1 уравнения
Теоремы 54.В и 52.F показывают, что если существует (В, D)-подпространство для А, обладающее свойством квазистрогой спаренности, то пара (kD', В') допустима для —А'. Можно ли утверждать, что сама пара (D', В') допустима? Поскольку D', В' локально замкнуты, то это, несомненно, можно сделать в силу 52.Н, если X' рефлексивно, или, что то же самое, если X рефлексивно (так что X' = X* с точностью до конгруэнции). Мы докажем, что это утверждение верно в случае Х' = Х* и без предположения рефлексивности (теорема 54.Е); кроме того, мы ставим следующий вопрос:
АО ОО Проблема. Если X' =/= X* и существует (В, 0)-подпространство для А, обладающее свойством квазистрогой спаренности, будет ли пара (О', В') допустима для — Л'?
СО Q^i Замечание. Для приложимости леммы 52. Н в этом случае достаточно, чтобы X'JY'' было рефлексивно, ибо У0 с Хов (согласно теореме 53. В; здесь У —(В, В)-подпрэстранство). Простым следствием свойства квазистрогой снаренности для У является то, что указанная рефлексивность эквивалентна рефлексивности самого У. Поэтому если (В, В)-подпространство, существование которого предполагается, рефлексивно, то ответ иа поставленный вопрос положителен.
54.Е. Теорема. Если существует (В, D)-подпространство для А (в частности, если пара (В, D) регулярно допустима для Л), то пара (D', В ) допустима для —А* в X*.
Доказательство. См. выше доказательство для случая рефлексивного X. 5,
с»
СО ОО Пусть У — данное (В, В)-подпространство, и пусть /* е ВДХ*). Для любого хое¥ положим л До) = — |" (а (/), Г (Г)) di, где х — решение урав- 6
нения (50.1) с х(О) = хо. Это определение имеет смысл в силу 22.U, так как х е В (X). Таким образом, т] является ограниченным линейным функционалом на У: линейность очевидна, а | т] До) I ^1 a |D IГ Id'Sy |/* |D,|| х0 II- По теореме Хаиа —Банаха существует элемент х^еС | Xg|| ^ Sy| f |D,, такой, что (х0, Хд) = т] (х0) для всех xQ е Y. Пусть х* — решение уравнения (32.4) с х* (0) = Хд. Подытоживая, имеем
11аЧ0)М8у|Г1П',(541)
(х(0), х* (0)> = - j <х (О, FW dtо
для всех решений х уравнения (50.1) с х (0) е У. Пусть даны f е k0B (X) и р>1. Положим s = s(h- По предположению существует решение z уравнения (50.2), удовлетворяющее условиям г^ (0) е У, |г |D ^ рХу |/|в, || г (0) || ^ ^pCy|f|B. Применяя 32.В (формулу Грина) и используя (54.1) с х=гоо, находим
Д (s), х* ($)) = (z^ Д), х* (s)) =.
= Доо (0), х* (0)) + J (^(0, HtY)dt =О
= -w. rwdt-
s
I <zW. EWdt.(54.2)
s
Применяя формулу Грина еще раз и используя (54.2), получаем
f U W, х* (0) dt - (г (s), х* (s» - (г (0), х* (0)) - J (г W, Г W) dt =
бо
= — (z (0), х*(0)) - J (г(/), Г(т«, о
[ <Н0- х* Wdi6[ <Н0- х* Wdi6откуда, используя 22.U и (54.1), находим
[ <Н0- х* Wdi
6
[ <Н0- х* Wdi
6
<||г(0) ИЦ х* (0) || + |2|D|r|D,<
< р (Ку Н sKcr) | /|в | nD„
Наконец, из 22.U следует х*еВ'(Г). При этом Kw в, (— Д’) ^
Ку + SyC^. 4»
Множества (В, О)-многообразий и -подпространств для
5Г-пар и родственных им пар
В этом пункте мы всюду предполагаем, что (В, D) есть У-пара, или у-’-пара, или УК^-пара, так что соглашение, принятое в начале § 53, отменяется. Мы хотим показать, что, грубо говоря, класс (В, D)-подпространств для данного А не слишком сильно зависит от пространств, составляющих пару. Это верно, в частности, для случая квазилокалыю замкнутых D, который мы и рассмотрим в первую очередь. Приводятся также весьма фрагментарные результаты о (В, D)-мпогообразиях.
Месторасположение этого пункта обусловлено применяемыми методами, которые опираются на результаты § 53 и 54. Достаточно, однако, рассматривать лишь алгебраические сопряженные уравнения, т. е. работать с X' = X*. Это освобождает нас, между прочим, от необходимости налагать дополнительные ограничения на А (существование сопряженного). Итак, все поляры и т. п берутся относительно спаренных пространств X, X*.
54.F. Теорема. Пусть D квазилокально замкнуто. Если существует (В, Dy подпространство, то Х№=Х0№, причем каждое (В, D) -многообразие является (В, Му многообразием и обратно.
Доказательство. На основании 52.К мы не потеряем общности, допустив, что ВеЬУ и локально замкнуто. Мы можем также считать, что D локально замкнуто. Таким образом, В" = В, D" = D. Очевидно, (В, В)-много- образия являются и (В, М)-многообразиями (52.8(a)). По теореме 54.8 существует (D', В')-подпространство для —А*. Согласно лемме 53. Н, примененной к алгебраическому сопряженному уравнению, Xом = X0D// = X0D. Согласно лемме 53.1, примененной к алгебраическому сопряженному уравнению, каждое (В, М)-многообразие для А является и (В, D")-, т. е. (В, D)-многообразием для А. 5,
Замечание. Ниже мы покажем, что равенство Хом = X0D справедливо при более слабом предположении, что D квазиобильно (62.С). Без всяких ограничений на D это уже неверно даже для X = Е и Д = 0 (пример 65.А).
54.G. Теорема. Пусть D квазилокально замкнуто. Если существует (В, D)-многообразие (в частности, если пара (В, D) допустима), то каждое (В, D) -подпространство является (Т, D) -подпространством и обратно.
Доказательство. (В, D)-подпространство всегда есть (Т, D) -подпространство (теорема 52.L). Докажем обратное. Снова предположим (это не уменьшает общности), что ВеЬ?" и что В и D локально замкнуты. Пусть У — (Т, D) -подпространство. Из 54.D и того факта, что Т' = М, следует, что У0 есть (D', М)-подпространство для —Л*. Согласно 53.1, У0 есть (D', В')-под- пространство для —А*. Снова в силу 54.D У есть (В, D)-подпространство для A. 4,
54.Н. Пусть D квазилокально замкнуто. В каждом из следующих включений либо имеют место равенства, либо включаемый класс пуст;
{
{(В, ^-подпространства]) , > CZ {(Т, D)-под пространства] j
cz {(Т, №)-подпространства].
Доказательство. См. теоремы 54.F и 54G. 4,
Замечание. Все шесть возможных комбинаций, за исключе- ' нием той, в которой все четыре класса пусты, могут быть проиллюстрированы на примере скалярного уравнения с постоянным А (примеры 65.А, 65.В). Исключенный случай иллюстрируется либо уравнением в двумерном пространстве X с постоянным А (пример 65.С), либо скалярным уравнением с ограниченным непрерывным А (примеры 65.К, 65.L).
Заключение теоремы 54.G остается верным и при иных условиях на (В, D) (см. также приводимую ниже проблему 2):
54.1. Теорема. Предположим, что (В, D) не слабее, чем (L1, L”). Если существует (В, D)-многообразие (в частности, если пара (В, D) допустима), то (Т, 0)-подпространство У существует тогда и только тогда, когда X0D замкнуто. При этом У = XQD и является (В, D)-подпространством.
Доказательство. Пусть У — (Т, О)-подпространство. Рассмотрим пространство Dc, определяемое по 23.N и содержащее те же самые непрерывные функции и с той же самой нормой, что и D. Тогда У будет (Т, Вс)-подпростран- ством и тем более (Т, 1с Вс)-подпространством; но по условию существует (В, В)-многообразие, а следовательно, и (В, 1с Вс)-многообразие. По теореме 54.G У является (В, 1с Вс)-подпространством. Согласно 23.S, (В, 1с Dc) не слабее, чем (L1, L”). Из теоремы 52.Е, примененной к (В, 1с Dc), и того факта, что У есть (Т, В)-подпространство, вытекают соотношения У с X0D= = X0D cz Хо lc d cz cl У = У, так что У = X0D и X0D замкнуто н, значит, является (В, В)-подпространством. Если X0D замкнуто, то оно (согласно 52.В (Ь)) является (В, В)-подпространством и, следовательно, по теореме 52.L (Т, В)-подпространством. X
Возвратимся теперь к произвольной ^"-паре, или .9"^-паре, или ST''S’-'-паре (В, D). Имея в виду описать класс всех (В, D)-подпространств, мы начнем с замечания, что по определению и но теореме 53.В каждое (В, D) -многообразие удовлетворяет условиям У cz X0D, У0 cz XqM. Нам хотелось бы показать, что каждое подпространство, удовлетворяющее этим условиям, есть
(В, D)-подпространство. Это действительно так в случае конечномерного X (55.В), и имеет место следующий общий результат.
54.J. Теорема. Предположим, что существует некоторое (В, DYnodnpo- странство Z. Пусть У — подпространство пространства X, такое, что либо У cz X0D и (К Л Z)0 с Xqm, либо cl (К + Z) с XQD и У0 с ХдМ. Тогда У есть (В, ВУподпространет во.
Доказательство. Мы можем считать без потери общности, что В е Ь^" и локально замкнуто. Согласно 53.Н, XgM = Xqb,.
Предположим, что выполнено первое альтернативное условие. В силу 54.D Z° есть (D', В')-подпространство для —Л*. Поскольку Z°c(ynZ)°c: с XqB,, то из 52.В (Ь) следует, что (У Л Z)0 есть (D', В')-подпространство для —Л*. Опять в силу 54.D У Л Z есть (В,IcD)-подпространство для Л, так как (lcD)'= D'. Далее, УЛ ZcZ, так что из 52.В(е) вытекает, что У П Z также есть (В, D) -подпространство. Поскольку У Л Z с У с X0D, то из 52.В(Ь) следует, что У есть (В, D)-подпространство.
Предположим, что выполнено второе альтернативное условие. Так как Z с cl (У + Z) с ZqD, то cl(y + Z) есть (В, В)-подпрэстранство. Согласно 54.D, (cl (У + Z))° = (У + Z)0 = У0 Л Z0 есть (В', В')-подпространство для —Л*. Поскольку У° fl Z°c У°сЛ'оВ,, то У0 есть (d', вО-подпространство для —Л*. Снова в силу 54.D У есть (В, 1с В)-подпространство. Так как У cz с! (У + Z), то из 52.В (е) следует, что У —также (В, В)-подпространство. 4,
54.К. Предположим, что либо X0D замкнуто, либо XqM слабо * замкнуто (т. е. является насыщенным подпространством), тогда класс всех (В, D) viod- пространств пуст или совпадает с классом всех (Т, D) -подпространете; последний класс либо пуст, либо состоит в точности из тех подпространств У, которые удовлетворяют условиям У с X0D, У0 с %JM.
Доказательство. Пусть Z — (В, В)-подпространствз, а У — подпространство, такое, что У cz X0D и У0 с Хом. Имеем Z с X0D, откуда У + Z с XQD. Если Лов замкнуто, то cl (У + Z) с X0D Далее, Z0 с Х*01А (теорема 53.В), и У0 + Z0 с XqM. Если Xqm — насыщенное подпространство, то (У Л Z)0 = — (У00 Л Z00)° = (y0 + Z0)00 с XqM. Теорема 54.1 показывает, что в любом случае У есть (В, В)-подпространство. Отсюда с учетом теоремы 52.L следует утверждение теоремы. 4,
Замечание. Отношения включения для У, У0 могут быть переписаны в эквивалентной форме (-Y0D)° с У0 с Хом в случае, когда X0D замкнуто, и в форме (Xqm)° с У с Jf0D в случае, когда Хом слабо* замкнуто. „
СТ? Проблема 1. Останется ли верным утверждение 54.К, если снять предположение о замкнутости X0D, Хом? По крайней мере первая часть утверждения?
«?? В случае утвердительного ответа иа второй вопрос теоремами 54.G и 54.1 подсказывается (и дается частичный отрет на) следующий вопрос (дли бесконечномерного X);
ОО Проблема 2. Если существует хотя бы одно (В, D)-многообразие, то будет ли всякое (Т, D)-подпространство также и (В, D)-подпространством?
Конечномерное пространство
Пусть X — конечномерное пространство с евклидовой нормой (см. § 15). Весь анализ, проведенный в § 51 и 52, сохраняет значение, причем основные доказательства фактически не становятся много проще. Конечно, понятия допустимости и регулярной допустимости совпадают в этом случае, так же как и понятия (В, D)-многообразия и (В, D) -подпространства; рефлексивность X упрощает формулировку теоремы 51.F и все ее следствия; но мы не можем предложить ни одного важного результата, специфического именно для конечномерного случая.
Несколько иначе обстоит дело с содержанием § 53 и 54. Пожертвовав несколькими деталями, все результаты этих параграфов можно подытожить и с избытком покрыть следующими предложениями:
55.А. Теорема. Пусть (В, D) — 9" «-пара или 9~-пара. Если У —(В, ОУподпространство для А, то У1 — (D', В'Уподпростран- ство для — А+. Если D квазилокально замкнуто, то верно и обратное утверждение. Если множество всех (В, Dynodnpo- странств для А непусто, то оно состоит из всех подпространств У, таких, что (Хов'(~А+)) с Ус ^оо (А); здесь Хов' (— A^) = Xom(— А1") в случае, когда (В, D) есть 9~-пара. Если D тонко по отношению к В, то существует не более одного (В, ХУуподпространства, и если таковое существует, то х^\~ а+) = (Хов (А) )■*■.
Доказательство. Первое утверждение следует из 54.D. Всякое (В, В)-подпространство для А, скажем подпространство У, удовлетворяет условиям У cz Хов (А), У1 с Хов'(—А+) (54.D или теорема 53.В), следовательно (Хов'(~ А+)) с У. Обратно, предположим, что существует (В, В)-подпространство для А, скажем подпространство Уо, и что У — подпространство, удовлетворяющее условию (Хов'(—А1")) сУ-сХ0о(А). Тогда Уо1 <=(У ПУо^сХов^- А+). По теореме 53.D У П Уо есть (В, В)-подпространство для А. Далее, У П Уо cz У cz Хов (А). В силу 52.В (Ь) У является (В, В)-подпространством для А. Специальный результат для £Г-пар вытекает из 53.Н. Последнее утверждение следует из теоремы 52.Е и первой части доказательства или из теоремы 53. Е. 4г
Замечание. Предположение квазилокальной замкнутости D не может быть опущено в обратной части первого утверждения теоремы 55.А даже для X — F и А = 0 (пример 65.А).
55.В. Пусть (В, D) — ;Т-пара, или -пара, или tT'S'^-napa. Тогда множество всех (В, D) -подпространств либо пусто, либо совпадает с множеством всех подпространств Y, таких, что (Аом( — А'))1 сУс X0D (А).
Доказательство. Это следует из теоремы 55.А с учетом 52.К или из 54.К (заключительное замечание),
Замечание 1. 'Теорема 55.А, примененная к алгебраическому сопряженному уравнению, или теорема 54.F показывает, что X0D(A)= = АОМ(А), если D квазилокально замкнуто. Однако в 62.D будет доказано, что то же самое заключение верно при более слабом предположении квазиобильности D.
Замечание 2. Может случиться, что (Аом (— А+))1 с X0D (А), и все же множество всех (Т, D) -подпространств (содержащее множество всех (В, D)-подпространств) пусто; см. замечание к примерам 65.К, 65.L, с X = R, ограниченным непрерывным А и произвольным D.
И, наконец, самое важное:
55.С. Теорема. Пусть (В, D)—9"к-пара, или £Г-пара. Если пара (В, D) допустима для А, то пара (D7, В7) допустима для —А*. Если D квазилокально замкнуто, то справедливо также обратное утверждение.
Доказательство. Это следует из теоремы 54.Е (примененной к алгебраическому сопряженному уравнению при доказательстве обратного утверждения; при этом мы можем считать D локально замкнутым, так что D7/ = D). Другой способ: воспользоваться теоремами 52.F, 54.В и 52.Н. 4,
Замечание. Предположение квазилокальной замкнутости D не может быть опущено в обратной части теоремы 55.С, так как тогда мы получили бы, что существование (В, D)-подпространства (или, что эквивалентно, допустимость пары (кВ, D)) влечет в силу прямого и обратного утверждений теоремы допустимость самой пары (В, D). Однако это не так даже для X = F и постоянного А (см. замечание к теореме 52.F и пример 65.В).
Замечания к главе 5
Исторические замечания
Предположение о том, что некоторая пара функциональных пространств допустима для уравнения (50.2), — предположение, которое может рассматриваться как особый случай устойчивости уравнения (50.1) при постоянно действующих возмущениях, — было исследовано Перроном [2], который отметил большую важность этого условия. Перрон ограничился, однако, паре, ми (С, L") (в нашей терминологии). Для этих нар он доказал теорему ограниченности, соответствующую пашей теореме 51.А. Методы Перрона являются классическими.
Позднее Беллман [1], Крейн [1] и Кучер [1], используя функциональноаналитические методы, распространили результаты Перрона на пары (Lp, L”), хотя все еще для конечномерных X. Однако следует заметить, что их работы были в некотором смысле шагом назад по сравнению с работой Перрона, поскольку они рассматривали лишь уравнения, для которых Хо = X. При этом ограничении ими также была получена наша теорема 51.А.
Дополнимые (В, Ъ°°)-подпространства
Недавняя работа Коппела [1] привлекла наше внимание к одному типу результатов, который, по нашему мнению, стоит описать здесь, хотя его точное место в общей теории пока еще не определилось, а сам он, по-видимому, далеко еще не принял желательного окончательного вида. Для А е М(А) и ^"-пространств эти результаты в достаточной степени покрываются результатами § 64.■
Мы предполагаем, что областью изменения t является I = R+. Обозначим через I) решение уравнения (30.3) с U^ " I- Для каждого проектора Р в X определим функцию GP: R+ X R+ X равенством
Gp (t, и)-U (0 (Х[о (](u) I - Р) и~х (и).(56.1)
Заметим, что
Gp (;. •) = х[о, nU W и-х + и (0 Gp (0, .).(56.2)
56.А. Теорема. Пусть У сХ— дополнимое подпространство, а Р— проектор вдоль У, и пусть дано функциональное пространство В е Ь^"к (или по крайней мере ВеЬ#" или Ь^З”, причем 1сВе^"к). Тогда У является (В, L”)-подпространством для А в том и только в том случае, если существует число А > 0, такое, что
G*p (t,-)^ В' (А*).
|Gp(A ')х*|в, ^^ Эля всех teR+, x*eS(X*)(56.3)
для всех teR+, х* е 2 (А*).
Доказательство. На основании теоремы 52.С мы можем считать, что В Ь^"
. Условие необходимо. Если У есть (В, Ь°°)-подпростраиство, то в силу 52.J для каждого fek0B(A) функция х, определенная формулой
X (0 = J GpUl U)f(u) du,
о
является Ь°°-решением уравнения (50.2) с jx| < аКу If |в, где ст — — тах{1, || Р||). Поэтому для любых t е R+ и х*е2(А*) имеем
J (f (u), Gp (t, и) х) du оJ (f (u), Gp (t, и) х) du о( | Gp (t, и) f (и) du, х*) о( | Gp (t, и) f (и) du, х*) о<<7^1/1»<<7^1/1»
J (f (u), Gp (t, и) х) du о
J (f (u), Gp (t, и) х) du о
( | Gp (t, и) f (и) du, х*) о
( | Gp (t, и) f (и) du, х*) о
<<7^1/1»
<<7^1/1»
для всех fekoB(A). Таким образом, (56.3) вытекает из 22.U при к = сКт
Условие достаточно. Для каждого f Ek0B(X) формула
х (0 = J Gp (t, и) / (u) du
дает решение х уравнения (50.2) с х„(0) еУ (ср. доказательство 52.J). Согласно (56.3) и 22.U, имеем
I <х (О, Х*)1- ] (Ци), G*py, и^ х"^ du <*1/1]
для всех t е R+, x*e'L(,X*\ Таким образом, х е L°° (X), | х | ^ &| f |в. 4
Замечание. В силу (56.2) G*p^t, ^х* ев'(х‘) для всех t тогда и только тогда, когда 6р(0, •) х* = 1)'-хР*х* е В' (X*). Использование теоремы Банаха — Штейнгауза позволяет ослабить условие (56.3), допустив зависимость к от х* (но не от f).
■ 56.В. Теорема. Пусть В — то же, что и в теореме 56.А. Если существует такой проектор Р в X и такое число к' > 0, что
ОрУ, •) е В' (X), |Ор(У, -)| <*' для всех te R+,(56.4)
то пара (В, L“) допустима. Обратно, если пространство конечномерно, то это условие необходимо для допустимости.
Доказательство. Условие достаточно. Для данного (еВ(Х) имеем,
согласно (56.4), Gp (t ■ )f е L1 (X). Таким образом. х(0 = Gp(t, и) f (u) du
существует, и снова в силу (56.4) х е L°° (X), | х | ^ й'| / |в,- Теперь сравнение (56.2) и (31.3) показывает, что определенное так х является решением уравнения (50.2). Разумеется, (56.4) влечет (56.3) с к = к', так что дополнительно получаем, что нуль-пространство проектора Р является дополнимым (В, L”)-подпространством.
Если X конечномерно, то условие необходимо. Как всегда, используется евклидова норма. По теореме 52.F Хо есть (дополнимое) (В, L")-подпространство. По теореме 56.А условие (56.3) выполняется для некоторого проектора Р вдоль Хо и некоторого к > 0. Но из (56.3) следует (56.4) с к' = к - dim X. 4,
Для В = L” и конечномерных X это — результат Коппела, который обобщил теорему Беллмана [1] (рассматривавшего случай Хо= X).
«^ Остается открытым вопрос, верна ли импликация (56.3) -> (56.4) для бесконечномерных X. Как легко может проверить, читатель (пользуясь теоремами 56.А, 64.А, 64.В), это заведомо так в случае 4е М(Х) и Be bST.
Глава 6
Допустимость и дихотомии
Введение
Эта глава — в некотором смысле сердцевина книги. В гл. 4 мы описали определенные «чистые» типы поведения (а именно обыкновенную и экспоненциальную дихотомии) решений однородного уравнения (30.1), т. е. уравнения
ж+Дх=0(60.1)
Це /?+, А ее L(X)). В гл. 5 мы рассмотрели неоднородное уравнение (30.2):
ж+Дх=Л(60.2)
а также исследовали для пары (В, D) функциональных банаховых пространств взаимосвязь между В-функциями f и D-решениями х. Эти рассмотрения привели нас к понятию допустимости пары (В, D) для Дик понятию (В, D)-многообразия для ^"-пар и ^"^-пар. Цель гл. 6 — установление связи между этими двумя сторонами теории для уравнений с аргументом t, пробегающим J = R+ (случай J = R мы изучим в гл. 8). Важным ограничением, которое мы должны принять, является то, что пары будут состоять из пространств, инвариантных относительно сдвига; фактически они будут ^"-парами, или З^-парами, или З^^-парами. Кроме того, в большинстве случаев будут рассматриваться только (В, D)-подпространства, и регулярная допустимость для конечномерных X общности при этом не теряется (см., однако, § 66). С другой стороны, мы сможем иметь дело с поведением решений уравнения (60.1), более общим, чем дихотомии.
Основными результатами главы служат «прямые» и «обратные» теоремы. Типичный пример прямой теоремы: «Если существует (В, D)-подпространство (или если пара (В, D) регулярно допустима) для А и ..., то решения уравнения (60.1) ведут себя таким-то образом (обычно речь идет о дихотомии или каком-нибудь ее суррогате)». Термин «обратная теорема» не нуждается в пояснении.
§ 61 посвящен доказательству одного неравенства (теорема 61.Л), которое является основным для всех прямых теорем, и некоторым важным следствиям из него.
В § 62 мы изучаем прямые теоремы, за исключением тех, в которых фигурируют дихотомии. Например, из одного лишь существования (В, D)-подпространства, вообще говоря, не следует дихотомии. Однако отсутствие дихотомии в некотором смысле «поточечное», если отбросить условие угловой удаленности (Dj/j) в определении дихотомии: условия роста (Dj), (DJZ) не верны «поточечно», т. е. для значений Ik (О II, где х— решение уравнения (60.1), ио аналогичные условия справедливы для ы-д
«средних значений» A-1 J ||х(ц)||<7« или для D-норм «слоев» t
%р <+д]Л-’ ПРИ фиксированном А>0 и различных t. Подобные результаты получаются и для поведения, «имитирующего» экспоненциальную дихотомию. Здесь решающим условием является то, что пара (В, D) должна быть не слабее, чем пара (L1, L”).
Поведение, которое мы только что вкратце описали, равномерно в том (хорошо известном в теории устойчивости) смысле, что параметры при сравнении слоев и средних в точках, скажем, / ^ to не зависят от to. В том же § 62 мы покажем, что при определенных предположениях относительно пары (В, D) (в которых фигурирует сравнение с пространствами L1 и L°°) можно получить и поточечные результаты об устойчивости в виде условий роста (D;), (D7J) или (Е2), (Е/;), но за счет равномерности.
Наконец, налагая более сильные ограничения на (В, D), мы получаем паши центральные «прямые» результаты, в которых утверждается существование обыкновенной или экспоненциальной дихотомии. Это сделано в § 63 (теоремы 63.А, 63.G и 63.J). Приводятся также обратные теоремы, характеризующие те пары (В, D), для которых существуют (В, D)-подпространства, или те пары, которые регулярно допустимы, — для случая обыкновенной дихотомии (теоремы 63.С, 63.Е) — и дающие один обширный класс таких пар для случая экспоненциальной дихотомии (теорема 63.К)■
В параграфах, упомянутых выше, не делается никаких предположений относительно А. Все становится много проще и изящнее, когда мы предполагаем, что АеМ(Х). Эта ситуация изучается в § 64. В этом, случае любое (В, D)-подпространство индуцирует дихотомию (теорема 64.А) и экспоненциальную дихотомию, если пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”) (теорема 64.В). Класс тех пар (В, D), для которых существуют (В, D)-подпро-
странства, или тех пар, которые регулярно допустимы при наличии экспоненциальной дихотомии, допускает точную характеризацию (теорема 64.С).
Чтобы продемонстрировать силу всех этих результатов, требуется ряд примеров и комментариев. Они приводятся в § 65. Мы старались свести число различных типов примеров к минимуму и получать многочисленные индивидуальные примеры вариацией одной и той же основной темы. В то же время мы пытались дать сильнейший возможный вариант в каждом случае: наименьшую размерность X, «наибольшую» регулярность А и т. д. Мы надеемся, что этот параграф убедит читателя в том, что результаты данной главы являются наилучшими возможными со многих точек зрения и, в частности, что нет никаких разумных обратных теорем для «преддихотомического» поведения решений уравнения (60.1), рассмотренного в § 62.
В § 66 мы обращаемся к рассмотрению сопряженных уравнений в некотором пространстве X', спаренном с X. Пусть Y — (В, D)-подпространство для А. Теорема 54.В показывает, что (в предположении, что выполнены некоторые несущественные на данный момент условия) У0 есть (D', В')-подпространство для —А'. Поэтому с помощью прямых теорем § 62, 63 и 64 легко можно показать, что из существования (В, D)-подпространства для А вытекают определенные следствия относительно поведения решений сопряженного однородного уравнения.
ОО Эти результаты для сопряженных уравнений являются исчерпы- . вающими для случая конечномерных X. Достаточно удивительно, что существование одного лишь (В, D)-многообразия для А или наличие одной лишь допустимости пары (В, D) для А без каких бы то нн было предположений замкнутости все же дает некоторую информацию о поведении решений сопряженного уравнения. Эта информация получается при помощи тонкого аналога теоремы 61.А (теорема 66.D); см. § 66.
В заключение мы перечислим предположения, которые будут предполагаться выполненными во всей этой главе: областью изменения / является R+; A^L(X); (В, D) есть либо 2Г-пара, либо ^Г^-пара, либо 9"^"*-пара. Дальнейшие предположения при изучении сопряженных уравнений в спаренных пространствах будут сделаны в § 66.
Основные неравенства
А. Теорема. Пусть У— (В, D)-подпространство. Тогда существует число К" >0, такое, что для любых А> 1, Д>0, для каждой пары решений у, г уравнения (60.1) с у(0) eY и
IIг(0)|| ^М(У, 2(0)) и для всех т"> 0
„ т+Д
тах{10т+д<’ |X[0,x)z|D}< Д^Д) / II ^ («) + г (и) |] rf«. (61.1) т
Доказательство. Поскольку а(В; А) = а(1с В; А) = а(Т-1с В; А) (см. 21.Е, 23.Н и 24.А, 24.1), то 52.К позволяет нам считать, как мы и будем делать, что В е Ь^" и является локально замкнутым. В этом предположении мы докажем (61.1) для /Су = /Су = = ^ув.о + ^^уЬ^ув, d (ср. теорему 52.1).
Если z/ + 2 = 0, то из условий теоремы следует, что z/ = 2 = 0, и доказывать нечего. Поэтому мы предположим, что ш = г/ + г=#0. Положим
tОО
х (0 = У (0 JХ[т, Т+Д] (u)II® (и) 1Г' du-z (0 J х[т т+д] (и)II w (и) 1Г1 du. о/
Таким образом, х есть решение уравнения (60.2) для f = = х[т, Т+Д] sgn ® (см. 31.8(b)). Имеем НЛ1 = Х[х, Х+Д), откуда в силу 23.К f ^ k0B (X) и |f |в = р (В; АХ2А/а(В; А). Далее, х^ = т+Дт+Д
= г/ J II w (и) |Г' du, так что .^(OJeF, и х(0) = — г(0) J || w (и) |Г' du,
так что || х (0) || ^ Xd^Y, х (0)). Поэтому мы можем применить теорему 52.1 и получить
|х|0<2ЛА^/а(В; А).|х|0<2ЛА^/а(В; А).(61.2)(61.2)
|х|0<2ЛА^/а(В; А).
|х|0<2ЛА^/а(В; А).
(61.2)
(61.2)
По неравенству Шварца
l®t+AZ/|D<A“2|0T+Ay|D j II ®(«)Г' du J II w (u) II du <
<A-2|x|dJ ||®(u)||du, (61.3) T
и аналогично т+Д hio.tiz|d<a-2IxId J ll®(«)ll^u.(61.4)
Эти неравенства в совокупности с (61.2) доказывают утверждение теоремы. 4г
Теперь мы выведем из (61.1) некоторые важные неравенства для «средних» и «слоев» решений у, z. Для каждой пары (В, D) и каждого А > О положим
Г(Д) = Г(В,О.Д)-771ГХ5^7.(61.5)
Это невозрастающая функция от А. Для действительных г мы будем использовать обозначения: [г] — наибольшее целое число и г+ = тах{0, г}.
|61.В. Теоремау) Предположим, что У есть (В, D)-подпростран- ствО~" 1 огба”бля всех А>А0>0 справедливы следующие неравенства-.
для каждого решения у уравнения (60.1) с y(Q)<=Y и для всех t0^- 0, / Ж + Ао
t + Д^о+^
J \\ti^\\du^-^K"V^^ WyWW, (61.6) t'fo
.jx^, < + А]У|0^У1 (Ml^/o, Ц + А]У|П’(61-7)
для каждого X>1, для каждого решения z уравнения
с ||z(0) IK Xd (У, z(0)) и для всех to^-0, t^-to+^o
J nz^Hdu^-^-X^T^) / Hz(u)Hdu, (61.8) (to-A)+’ '°(t-A) +
'hpo-Aj+.q^^^^^y^^IXp-^^^.qZ^.(61.9)
Доказательство. Положим Ai = A/[A/Ao]> Ao. Докажем (I). Пусть у, t0, t удовлетворяют приведенным условиям. Используя 23.М и теорему 61.А с 2=0, К произвольно близким к 1 и с Ао вместо А, получаем для каждого т^-0
T + (t-M + Ai
J\\y^\\du< -7^777 I^+a.z/Jd^.
Т + (/ — Zq)^
До« До) рJ
тт+Д,^А^Г(Д0) J \\y(u)\\du.
Полагая т=/о+тАь т = 0, ..., [А/Ао]—1 и складывая, приходим к (61.6), так как Ai/Ao = (А/Ао)/[А/Ао].
Применяя теорему 61.А (с Ао вместо А) и 23.М в обратном порядке, доказываем (61.7):
|ХК < + A]HD ^I^ + Ao^Id ^
^Доа(В;До) I Wy^uH\dU.
^Ку^ (ao)|X[(„, f.+A]?/Ip-
Докажем (II). Пусть X, z, t0, t, такие, какие там предполагается. Для любого т>Ао с помощью тех же соображений, что и выше, получаем
(Т-«-М) +
/ II2 (z/) 11 du < р ф. д^ |Х[0, t-a0[z|d
4ЛЛ,Куг* . ,
Доа(В; AoTP(D; Л,) J 2 ^ '* du ^
т-Л,
т+
С-^-^Т(А0) / \\z(j^\\du,(61.10)
(т—Л,)+
так как [(т — (t— t0)— Ai)+, (т—(,t — М)+1 есть либо {0}, либо интервал длины ^ Аь содержащийся в [0, т — Ао]. Неравенство между крайними членами в (61.10) остается верным для любых действительных т, поскольку т-<Ао влечет (т — — (^ — /о)) + = О, так что первый член есть 0. Полагая теперь T=t — шА[, т = 0, ..., [А/Ао]—1 и складывая, приходим к (61.8).
Наконец, (61.9) следует из цепочки неравенств |X[(<o-A)+,to]Z|D^|%lO, <-A,Z|D
2ЛКу с,
'^ Доа(В; До) Jllz(“)lld«<
t-Ao
^Х^УГ(А0)|%[«-Л) +. H^jp- ^
Укажем одно следствие из теоремы 61.А, которое описывает (поточечно, но не равномерно) угловую удаленность решений у, г уравнения (60.1).
61.С. Предположим, что Y есть (В, D)-подпространство. Для любых Х>1, А>0, для каждой пары нетривиальных решений у,
z уравнения (60.1) с z/(0) е У, ||г(0)||^Xd (У, 2(0)) и для всех т>0
y[*/(t), 2(т)]>(ХК"Г(А))-,ехр(-^^ || А (и) || du I. (61.11) XT/
Доказательство. Положим //i = ILv(t)||'iz/, 2, = — ||z(t) H-'z. Используя 23.М и теорему 61.А, находим
t+2A
I " ^ ^ II dw ^ р (О; Д) Рт+Д^ |D ^ t+A
т+Д
СЛ^Т^У IIУ1 (u)+2,(u)||ju.
В силу (31.7) имеем
1=II1/i(t)!K"
<А-1^ j К ух (и) || exp М || А (и) ||du\ <
'т+Дz X т/
<XKyV (А) || ух (т) + г, (т) || exp (2 j || A (u) || du\
X т/
Поскольку у[г/(т), 2(t)] = ||z/i (т) +2i (т) ||, следствие доказано. 4,
62. Преддихотомическое поведение решенийоднородного уравнения
Средние значения и слои решений
Как указывалось во введении, мы "покажем здесь, в теореме 62.А, как близко можно подойти к дихотомии решений уравнения (60.1), предполагая лишь существование (В, В)-под- пространства (или, в частности, регулярную допустимость некоторой пары (В, D)), а именно мы покажем, как условия роста для дихотомии, в которых сравниваются значения ||x(/0) ||, ||х(/) || для решений х уравнения (60.1), заменяются такими же уело-
^о + Дf + Д
виями для средних (значений) J || х (zz) || du, j ||x(«)||dzz или t
для D-норм слоев хи <9+Д]х, х« <+д]х- Для большей симметрии, а также для несколько большей общности средние и слои некоторых решений вычисляются на интервалах вида [(/0 — А)+,/о],
[(^—А)+, tY Теорема 62.В показывает, каким образом поведение решений уравнения (60.1) имитирует экспоненциальную дихотомию, в случае когда пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”). Это важный пример той решающей роли, которую играют пространства L1, L°°, Lo° как члены сравнений.
62.А. Теорема. Пусть Y— (В, D)-подпространство (в частности, пусть пара (В, D) регулярно допустима и y=%oD ). Тогда
для всякого А>0 существует M = M(\)>Q, такое, что каждое решение у уравнения (60.1) с z/(0) е Y удовлетворяет для всех t^> /0^ 0 неравенствам.
j || z/(u) ||tZu ^ Л4 j II z/(«)||du,(62.1)
tt,
.|X[t f+Aj^|D ^ ^|^[f.,/л + л^|0;(62.2)
для любых Х>1, А>0 существует М' = М\\, X) >0, такое, что каждое решение г уравнения (60.1) с ||z(0)||-^ <Ad(Y, 2(0)) удовлетворяет для всех t^-t6">0 неравенствам
tto
J || z («) || du ^ M'-' j ||z(«)||d«,(62.3)
.■(<-Д) +(<o-A) +
lxi<fo-A>+-чг|0'(62-4)
В частности, мы можем взять М=\+Ку^ (А), М'= 1 + Л/<"Г (А), где К" — константа из теорем 61.А, 61.В.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 61.В с Ао=А. Для f> fo+А неравенство (61.6) сразу дает (62.1). Для/О^^<о+А неравенство (61.6) дает
1? + Д£о+2Д
j || z/(«)||d«< J || у (и) || du С tto
.'/п+Д
С(1 + K;T(A)) J II у (ц) || du.
Неравенство (62.2) доказывается аналогично с использованием неравенства (61.7).
Далее, для />f0+A (61.8) влечет (62.3). Для ^< / <Д0 + А tott
j || 2 (u) II du < J II z (u) II du < (1 + XKyV (A)) J || z (u) || du
(t„-A)+Ц-2Д)+Ц-Д^
в силу (61.8) при О А, а в противном случае в силу того факта, что t<\ влечет [(^ — 2А)+, (/ — А)+] = {0}. Таким образом, (62.3) доказано. Аналогично выводится (52.4) из (61.9). i
Для доказательства следующей теоремы нам понадобится 20.С.
В. Теорема. Предположим, что пара (В, D) не слабее, чем пара ([Д L”), и что У есть (В, D)-подпространстве (е частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У = Лоо). Тогда
существует такое ц>0 и для любого А>0 существует такое М = М1Д^>й, что каждое решение уравнения (60.1) с у^еУ удовлетворяет для всех /^/о^О неравенствам
f + A/ IIУ (u) II du tf + A/ IIУ (u) II du tMe^d-wMe^d-w<о+ЛJ II z/(и) II du,<о+ЛJ II z/(и) II du,(62.5)(62.5)
f + A
/ IIУ (u) II du t
f + A
/ IIУ (u) II du t
Me^d-w
Me^d-w
<о+Л
J II z/(и) II du,
<о+Л
J II z/(и) II du,
(62.5)
(62.5)
(62.6)(62.6)|^Z.Z + Ald|D
(62.6)
(62.6)
для любых Х>\ и А>0 существуют ц' = ц'(Х)>0 и М' = = Л4'(А, X) > 0, такие, что каждое решение z уравнения (60.1) с ||2(0)||<1 Xd(Y, z(0)) удовлетворяет для всех f>/0>0 неравенствам
С UztuHldu^M'-Vd-M J ||z(u)||du,(62.7)
(f—Л)+«о-А) +
<62-8’
Доказательство. В силу предположений относительно (B,D) из леммы 23.S и замечания 2 к ней следует, что либо а (В; оо)=оо, либо Р(В; оо) = оо. Поэтому lim Г(А) = 0.
Выберем Ао столь большое, что ЗКуГ (До) ^ 1. Для любого А положим р = [А0/Д]+1. Имеем рА>А0, и (61.6) дает
to + Ao+pAfo+pA
J II у (и) II du < J J ||z/(u)||du.
fo + Aoto
На основании теоремы 62.A (I) мы можем теперь применить (#+рД\ —I
J IIZ/(«) II du j , причем т = Д0, t/
H^J^(1 +/СуГ(А0)) 1 ^(1 + AjГ^Д)) 1 и п = -| (кроме слу
чая z/ = 0, но тогда (62.7) тривиально). Мы заключаем, что для всех t"^tQ"^O
t + p^t0 + px
J ||y(u)||du^2^^-W J \\y^\\du, t
где p = Ao"'lny. Применяя теперь (61.6) с A0 = A и с t0 + mA, m=l, .... р—\ вместо t и складывая, получаем
^о + р Ato 4- А
/ ||Н«)Ы«С(1-Нр-1ИгТ(А)) / ШиШи
(включая случай р=1). Комбинируя полученные результаты, находим'
< + Дt + pA/о + рА
| || z/(u) || du < j II у (и) ||с?и ^ 2е-^<#-#0> J || у (и) || du < tt<о
to + Л
^J || у (и) || du,
где М = М (А) = 2 (1 + [Ао/Л] КуГ (А)). Доказательство неравенства (62.6) аналогично.
Возьмем Ао = Ао(Х), столь большое, что ЗЛКуГ(Ао) ^ 1. Пусть р' = [Ао/а] + 1. Неравенство (61.8) дает
;о+до■'о
J IIZ (и) II du <-|- J II г (и) II du, - (<0+д'-р'л)+(<0-р'а)+
так что на основании теоремы 62.А (II) мы можем применить
20.С к функции <р(0= II z (и) ||du, причем т = Ао, Н = -т,
2
т] = у. Далее доказательство продолжается так же, как в части (I), и неравенство (62.7) оказывается верным с р' — р' (/-) = -(Ао(Х))~'1п4, М'^МДА, М = 2(1 +^[Ао(Х)/д]КуТ(А)). Доказательство неравенства (62.8) аналогично. &
Замечание 1. Определенные в доказательстве М и М' являются . невозрастающими функциями от А (как в теореме 62. А, так и в теореме 62. В). Мь1 можем, очевидно, считать, что Дд есть неубывающая
функция от X. Тогда ц' есть невозрастающая функция от X, и М' (являющееся в теореме 62. А линейной неубывающей функцией от X) есть неубывающая функция от X в теореме 62.В.
Замечание 2. Легко получить непосредственные следствия из частей (II) теорем 62.А и 62.В для решений, начинающихся на дополнении к У, если таковое существует.
Замечание 3. По поводу незначительного ослабления ограничений на У в теоремах 62. А, 62. В см. 62. F.
Приведем одно полезное следствие теорем 61.А, 62.А и 62.В.
.С. Пусть У —(В, ^-подпространство (б частности, пусть пара (В, D) регулярно допустима и Y = ХовУ Тогда Хом„сгУсд czXod с Aoto = Ходи = Хом- Если пространство D квазиобильно, то Хоо = Хом- Если пара (В, D) не слабее, чем пара (L1, L”), то все включения превращаются в равенства.
Доказательство. Для любого решения 2 уравнения (60.1) с 2(0)^ У существует Х>1, такое, что || 2 (0) IK Xd (У, 2(0)). Из теоремы 62.А (II) (неравенство (62.3), равно как из теоремы 61.В), следует, что Хом„ссУ- Чтобы доказать первое утверждение, остается показать, что Хом с Хош, ибо остальные включения тривиальны. Пусть г—М-решение уравнения (60.1). Тогда либо 2 (0) G У cz Aod cz XofD, либо 2 (0) ^ У. В последнем случае из теоремы 61.А вытекает для подходящего Х>1 и для каждого т^0 неравенство
■ 1ХЮ. T|Z|D ^а(В; 1) 121м>
так что 2 е /D (X) и 2(О)еХою- Утверждаемый результат для квазиобильных D сразу следует отсюда.
Если пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”), то мы применяем теорему 62.В; в силу тех же соображений, что и выше, неравенство (62.7) влечет включение Хом с У, а неравенство (62.5) дает включение У cz Хомо- Следовательно, всюду имеют место равенства. 4,
Неравномерные поточечные свойства решений
Две теоремы, которые мы здесь докажем, показывают, что, предполагая чуть больше о паре (В, D), мы можем усилить заключения теорем 62.А и 62.В (точнее, половину каждого из них) до получения оценок поточечных значений решений уравнения (60.1), но за счет равномерности оценок.
. D. Теорема. Предположим, что D сильнее, чем L°° [и что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”)], и что У есть (В, D)-подпространство (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима
и Y = XodY Тогда на R+ существует положительная функция L, такая, что каждое решение у уравнения (60.1) с у(0) еУ удовлетворяет при всех / >/о ^ 0 неравенствам
II УМКАМИ У МИ(62.9)
[ II у (О IK ^М^^-'-41 у МП, (62.10) где у — то же, что и в теореме 62.В]. Более точно, для каждого А>0 существует число Lo = LoyV)>O такое, что неравенство (62.9) [(62.10)] справедливо с
LM=L0(A)exp J || Л (u) || du .
^Кроме того, Y = XoD=Xokt) есть (В, kD)-подпространство, и пара (kB,kD) регулярно допустима.]
Доказательство. Поскольку D сильнее, чем L”, то не произойдет никакой потери общности, если предположить, что D <[ L” Для данного А>0 и для всех О/q + А имеем (в силу теорем 61.А и 62,А(1) [62.В(1)] и неравенства (31.7)) lly(OIKI0iy|<IMID< x^4r J ИШйиС
2Kz'MW \+ЛIKyMU)\
^ЛоДв-МГ J Wy^Wdu^ д -exp J II A (u) II du II у МН
ПуМК —Ьв4г— ехР IM(u)l|du е-^^^||уМ|| .
Для /о^К/о + Л из неравенства (31.7) сразу следует, что л.+д,
II у (011^ схр ( J || Л (и) || du ||| у (/0)||.
||у(01К^дехр J || А (и) || du e-Mf-«||^ (/0) || .■
Итак, наше утверждение справедливо, причем
МА)=шах|1,
' ,,,(^^yM(Л) ) '■
| !.,№)— «тах]!,^^}].
[Поскольку убывающие экспоненты принадлежал 7, то из 62.С вытекают включения Y с Хот <= Хоко с= Хоо = У, так что всюду имеют место равенства. Согласно 52.В (с), У есть (В, kD)- многообразие. По теореме 52.F пара (кВ, kD) допустима.] 4,
62.Е. Теорема. Предположим, что В слабее, чем 0TU для некоторого т>0 [и что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”)], а У есть (В, D)-подпространство (б частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У = Xod)- Тогда на R+ для каждого А>1 существует положительная функция Е'^-Д^, такая, что каждое решение z уравнения (60.1) с ||z(0) Ц-^ОД (У, z(0)) удовлетворяет для всех / > <о ^ 0 неравенству
\\z^\\>(.L4t0, X))-1 |1г:(^о) II(62.11)
[||z(/)||^(L4^ X))-1 ^'<<-<-)||z(#o)IL(62.12)
где р,/=р,'(Х) —то же, что и в теореме 62.В]. Более точно, для каждых А > 1, А > 0 существует число Lq = Lq (А, А) >0, такое, что (62.11) [(62.12)] справедливо с
(
fo + A■
J ||Л(и)||(/и to
Доказательство. По предположению У есть (0Т1Л D)-подпространство, следовательно (согласно 52.К), оно есть (Ll, D)-подпространство; пустьКп — соответствующая константа. Применяя теорему 61.А с т = 1, устремляя А к 0 и используя тот факт, что a(L';A) = l тождественно, получаем, что
|xlo,^|D^2A/("l|z(OI|.|xlo,^|D^2A/("l|z(OI|.(62.13)(62.13)
|xlo,^|D^2A/("l|z(OI|.
|xlo,^|D^2A/("l|z(OI|.
(62.13)
(62.13)
Комбинируя (62.13) с 62.А(П) [62.В(II)] и (31.7) для данного значения А и для О/0+А, находим
^^^гл^, 1^-д.^1о^ w"vm4\, a) I^^+^Id^ / ?о+Д\
> n ехр " J M(«)l|du МШ 2A/<yiM (A, A)JI
--ц'Д / to+A\’
М011>“f MMH^" )^'(^wl|z(/0)|| .
<;Л/\у|Л1 (△, Л) \//
Для /о-^^^^о + Л, как и в предыдущем доказательстве, применяем (31.7) и заключаем, что верны (62.11) и (62.12) с
,Г 2ХК"м'(А, X) )
L0(A,X) = maxp,j
Хд(А,Х) = ец WAmax[l, ^-^&
Замечание 1. Если в предположениях теоремы 62. D мы применим изложенное доказательство к решениям z уравнения (60.1) с II г(0) II ^ Xd(Y, г(0)), то получим неравенство вида
|| z (/) || >(Г (/, X))-1 || г (/0) II._...
г— 1 11' н ♦ \1(Ь2.14)
[цг(/)||>(Г(ЛХ)) 1 е^ ('-«||г(/0)1|],
/f+Д\
где U (/, X) = Lg (А, X) exp I j" || А (и) || du I. За исключением коп-\ t/
кретного вида функции L'(-, X), эти неравенства являются, конечно, тривиальным следствием неравенства (31.7).
Аналогичные рассуждения в предположениях теоремы 62. Е дают для решений у уравнения (60.1) с у(0) s У неравенство
II у (0II <^ (/) |] у (/0) ||
г„ ,,1(62.15)
[ || г/ (/) IK Z, (Z)II </(/„) ||],
// + Д\
где L (t) = Lo (Л) exp I ^ ||Л(и)||йц|. И снова, за исключением кон- \ t ./
кретного вида функции L, '-эти неравенства тривиальны в силу (31.7).
Замечание 2. Теорема 62. D без квадратных скобок является, за исключением конкретного вида функции L, непосредственным следствием теоремы 33. В и неравенства (31.7) и помещена здесь для симметрии (см. также теорему 82. Т и замечание к ней).
Замечание 3. Читателю предоставляется получить следствия из теоремы 62.Е для решений, начинающихся на дополнении к У, если таковое существует.
В теоремах 62. А, 62. В, 62. D и 62. Е, как они были сформулированы, подпространство У зависит от В. В качестве постскриптума к этим теоремам мы покажем здесь, что несколько более общая формулировка позволяет освободиться от этой зависимости.
62.F. Теоремы 62 А, 62.В, 62.D, 62.Е, а также лемма 62.С остаются справедливыми, за исключением конкретного вида М и М' в теореме 62.Л, если предположение «У есть (В, D) -подпространство (в частности, пара (В, D) регулярно допустима и У = XD0)» заменить более слабым предположением (ср. теорему 52.L) «существует (В, D)-многообразие (в частности, пара (В, D) допустима) и У есть (Т, D) -подпространство».
Доказательство. В случае теорем 62. А, 62. D (без квадратных скобок) и леммы 62.С (за исключением последнего утверждения) мы просто используем (Т, D) вместо (В, D) (так что ограничения на (В, D) становятся излишними). В случае теоремы 62.Е (без квадратных скобок) мы замечаем,
что У есть (Т, IcD)-подпространство и что существует (В, IcD)-многообразие, так что по теореме 54. G У является (В, 1с D)-подпространством. Мы используем эту пару вместо (В, D). Наконец, в случае теоремы 62.В, частей теорем 62. D, 62, Е, заключенных в квадратные скобки, и последнего утвер- . ждепия леммы 62. С из теоремы 54.1 следует, что У фактически есть (В, D)- подпрострапство, так что па самом деле здесь нет никакого увеличения общности. 5,
Различные следствия
Теперь мы можем доказать обещанные теоремы о множествах допустимых ^"-пар и т. п., упоминавшиеся в конце § 52. Следующие два результата противостоят предложениям 51.М и 52.S.
62.G. Пусть дано В е Ь.Т", или Ь^-^, или ЬЗ~Т?^. Тогда существует такое обильное пространство Do е Ь9~к, что 3"-пара, или З'-'-пара, или 3~^"‘-пара (В, D) с квазиобильным D регулярно допустима в том и только в том случае, если D слабее, чем Do, при условии, что найдется хотя бы одна такая регулярно допустимая пара, т. е. при условии, что пара (В, М) регулярно допустима.
Доказательство. Никакой потери общности не произойдет, если заменить в этом утверждении слово «квазиобильным» на слово «обильным». Имея это в виду, рассмотрим 3 — непустой класс всех обильных D = ^Тк- таких, что пара (В, D) регулярно допустима. Если Db D2e@, то Dt V D2 сильнее, чем М- Следовательно, в силу 62.С ^ODi ^ ^0 (D, V Он ^ ^ом ='^«d • Поскольку соответствие D ■*—>D(X) сохраняет пересечения и объединения, мы можем применить теорему 51.N, следовательно, существует пространство D0 = AOdD, которое либо принадлежит bj, либо = {0) (согласно 23.D) и сильнее, чем все De®, причем пара (В, Do) регулярно допустима. Но Do обильно (см. 22.Н) и, поскольку В =/= (0), Do должно содержать некоторую ненулевую непрерывную функцию. Значит, @0 е bJR. j,
62.Н. Предположим, что ХО№о — Х0№ (в частности, что существует (F, G)- подпространет во для некоторой пары (F, G), не более слабой, чем (t1, L”))- Пусть дано bebj, или bj , или bj^ . Тогда существует DQ s bj"^, такое, что J'-napa, или J^-napa, или Д^-пара (В, D) регулярно допустима в том и только в том случае, если D не слабее, чем Do, при условии, что найдется хотя бы одна такая регулярно допустимая пара, т. е. при условии, что пара (В, М) регулярно допустима.
Доказательство. То, что ХОМо = Хом в сформулированном частном случае, следует из 62.С. Обозначим через @ непустой класс всех D е bjк, таких, что пара (В, D) регулярно допустима. Для каждого De@ в силу 62.С имеем ^ОМо ° ^оо ° ^ОМ’ так чт0 на самом Деле справедливы равенства. Дальше доказательство идет точно так же, как и для 62.G. j,
В приводимом ниже аналоге теоремы 51.G пет никаких предположений рефлексивности, что позволяет распространить справедливость заключения этой теоремы на случай некоторых нерефлексивных X. Мы включили эту теорему из-за ее интересного доказательства.
Теорема. Предположим, что пара (В, D) не слабее, чем пара /LI, L”), и что существует некоторое (В, О)-подпространство (в частности,
что пара (В, D) регулярно допустима). Тогда пара (1с В, 1D) регулярно допустима.
Доказательство. Пусть У — (В, П)-подпространство. Согласно 62.С, У = ^оо ^oiD’ так что последнее многообразие замкнуто. По теореме 52.С У есть (1с В, О)-подпространство (н 1с В е bj'">). Положим Sy = SyD, KY = = KY |с в о* ^ у ~ ^ У 1с в D* KY = KY + 2SYCY. Пусть даны ( ^ 1с В (X) и X > 1. Положим о = | /||с в. Для каждого неотрицательного целого п по теореме 52.1 существует решение уп уравнения уп + Ауп = Х\п n+^f- Для которого 8п»№^> ||yrt(O)||<Xd(y,//„(O))> и |f/„|D<U^’|x(„, ге+1ДеВ<Ка, II Уп^ II
каждого n yn совпадает на интервале [и, Н| с решением ния (60.1), к которому можно применить теорему 62.В (формула беря А = 1, р/ = Цл(^)> ^ “ ^z(h^). находим для п = 1,2, ...,1п■ j II Уп W II du s^MV'x'vn~Vl j II уп (и) II du <0n-I<M'a(D; 1) е-^'t"-1»!^^ ^<XKyAf'a(D; 1 )е“^ {п~ ^а.Используя (31.7) и рассматривая случай п = 0 отдельно, получаем тельноII Уп№ 1КХке-ц,,1а, га — 0, 1 гдекаждого n yn совпадает на интервале [и, Н| с решением ния (60.1), к которому можно применить теорему 62.В (формула беря А = 1, р/ = Цл(^)> ^ “ ^z(h^). находим для п = 1,2, ...,1п■ j II Уп W II du s^MV'x'vn~Vl j II уп (и) II du <0n-I<M'a(D; 1) е-^'t"-1»!^^ ^<XKyAf'a(D; 1 )е“^ {п~ ^а.Используя (31.7) и рассматривая случай п = 0 отдельно, получаем тельноII Уп№ 1КХке-ц,,1а, га — 0, 1 гдеуравне-
каждого n yn совпадает на интервале [и, Н| с решением ния (60.1), к которому можно применить теорему 62.В (формула беря А = 1, р/ = Цл(^)> ^ “ ^z(h^). находим для п = 1,2, ...,
1п
■ j II Уп W II du s^MV'x'vn~Vl j II уп (и) II du <
0n-I
<M'a(D; 1) е-^'t"-1»!^^ ^
<XKyAf'a(D; 1 )е“^ {п~ ^а.
Используя (31.7) и рассматривая случай п = 0 отдельно, получаем тельно
II Уп№ 1КХке-ц,,1а, га — 0, 1 где
каждого n yn совпадает на интервале [и, Н| с решением ния (60.1), к которому можно применить теорему 62.В (формула беря А = 1, р/ = Цл(^)> ^ “ ^z(h^). находим для п = 1,2, ...,
1п
■ j II Уп W II du s^MV'x'vn~Vl j II уп (и) II du <
0n-I
<M'a(D; 1) е-^'t"-1»!^^ ^
<XKyAf'a(D; 1 )е“^ {п~ ^а.
Используя (31.7) и рассматривая случай п = 0 отдельно, получаем тельно
II Уп№ 1КХке-ц,,1а, га — 0, 1 где
оконча-(62.16)оконча-(62.16)(62.7));
оконча-
(62.16)
оконча-
(62.16)
х = тах Су, KyM'a^D; 1)ехр
п-1
Положим хп = 2 Уш, n= L 2, .. . . Тогда хп будет решением уравнения о
х„+ Ахп = Ху n]f‘ ^° предположению существует другое решение zn того же самого уравнения с гИоо(0)еУ, | zn |D ^ XKYo, || z (0) || ^ XCYo. Далее, п-1■
Xn-Zn = Xno=-ztio== 2 Ут °° ~z" °° есть решение уравнения (60.1) с хп (0)- т= 0
-2„(0)еУ. Поэтому мы получаем, используя (62.16),
I хп Ip ^ I ^п Id + J хп гп1^ ^-■
<XKra + Srl|xn(0)-zn(0)H^
■.< ХКуа + XxSy 2 e~'Vrna + XSyCya <
m=0
<х(к^ + х5г(1 -e^T^a.(62.17)
Согласно (62.16), (хп(0)) есть последовательность Коши. Пусть х — решение уравнения (60.2) с х (0) = lim хп (0). В силу (31.5) хп -> х равномерно
П->оо
на каждом интервале [0, т], т>0. Поэтому (62.17) дает
IX(0. TJ* |D < fi^P | Xl0. т] хп |D + ^ | Хю, т] (^ - хп) |D ₽ (D; т) <
< X ^К'у + xSY (1 - е^Т1) П |1с в + О,
откуда мы заключаем, что х е fD (X). Следовательно, пара (1с В, 1D) допустима, а выше мы доказали, что Х^о замкнуто. j,
63. Допустимость, (В, О)-подпространства и дихотомии.
•Общий случай
Обыкновенные дихотомии
Теперь настал тот момент, когда мы можем показать, в каких случаях (В, D)-подпространство индуцирует дихотомию для А и, обратно, для каких пар (В, D)-подпространство, индуцирующее дихотомию, есть (В, D)-подпространство. Мы начнем с основной «прямой» теоремы для обыкновенных дихотомий.
63.А. Теорема. Предположим, что пара (В, D) сильнее, чем пара (0Т1Д L“), для некоторого т^О, а У есть (В, ВУподпро- странство (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и Y = Хов)- Тогда Y индуцирует дихотомию для А.
Доказательство. По предположению Y есть (®Т1А Ь°°)-под- пространство, а значит, и (L1, L“)-подпространство (см. 52.К). Пусть Аю — соответствующая константа из теоремы 61.А. Напомним, что a(L1;A)=l для всех Д>0.
Докажем выполнение условия (е) или (f) теоремы 41.А. Пусть дано Х> 1. Рассмотрим решения х, у, г уравнения (60.1), для которых x = y-V-z, y(O)^Y, || z(0) ||^М (У, z (0)). Если /^/0>0, то возьмем А, такое, что 0<Д^/0, и применим теорему 61.А с т = /0 — Д; мы получим
lly(^)IK|0/oг/K2X/<y1Д-, J||x(«)||d«."
to-л
Устремляя Д к 0 и используя непрерывность х в точке ^о = О, придем к (Di) с D = 2XKn. Если tQ">t">0, то применим теорему 61.А с т = г'о; мы получим
^о+Д
llz^lKlXp.^K^y.A"' J 1Щи)№.
to
Устремляя Д к 0, придем к (Оц) с тем же самым значением D.
Возможно другое доказательство, использующее определение дихотомии, где выполнение условий (Di), (Du) с N = 2Ky^ N' = 2XKyt проверяется с помощью теоремы 61. А, а выполнение условия (D[n) с у0 = (4АЛ")~1 — с помощью 61.С. 4-
Ограничения на У могут быть немного ослаблены (ср. теорему 52.L).
63.В. Предположим, что пара (В, D) сильнее, чем пара (OTL', L°°) для некоторого т ^ 0 и что существует (В, ОУ многообразие (в частности, что пара (В, D) допустима') Если У есть (Т, D)-подпространство, то У индуцирует дихотомию для Л.
Доказательство. По предположению существует (U, Ь“)-многообразиг (см. 52.К) и У есть (Т, Ь°°)-подпространство. Следовательно, У — (L1, [^-подпространство (теорема 54.G), и теорема 63.А дает искомое утверждение. j.
Основная «обратная» теорема для обыкновенных дихотомий такова:
63.С. Теорема. Если подпространство Y пространства X индуцирует дихотомию для А, то Y есть (L1, к^Уподпространство и пара (L1, L“) допустима.
Доказательство. По определению (или по теореме 41.D) Ус Хо. Пусть дано X>1. Согласно П.Е, существует непрерывное (У, X)-расщепление q пространства X, фигурирующее в условиях (gj или (й) теоремы 41.А, с константой D = D^qy Далее U обозначает, как обычно, решение уравнения (30.3) с 0^=1.
Пусть дано fekoL’(X). Поскольку D~7eL(X) и q непрерывно, то функции g=U~'j— q^LHjy h = q(U~'f) сильно измеримы. Так как ||(?(х) ||-<Х||х||, то g, /zeL(X) и s^gy s(h) <. s (J) < со; кроме того, значения g принадлежат Y. В силу (D"), (Dn) имеем
II U (t) g (и) || < D || f (и) || для всех t^u^O,
|| U (0 h (u) || ^ D || f (и) || для всех u^t^Q. (63.1)
Определим теперь функцию х формулой
tОО
х (0 = J U (0 g (и) du — J U (/) h. (zz) du. (63.2) оt
Непосредственная проверка показывает, что х есть решение уравнения (60.2). Далее, х^ = U j g^du, откуда хоо(0) = о
= J g (zz) du е Y. Из соотношений (63.1), (63.2) вытекает, что о
|| х (/) ||^D J || f (u) \\du = Djfl! для всех teR+, так что Y с Хо о
в действительности есть (L1, L“)-подпространство с Ky^D. Допустимость пары (L1, L“) следует теперь из 52.G, поскольку L1 скудно. 5,
Подытожим результаты теорем 63.А, 63.С.
63.D. Теорема. Подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для А тогда и только тогда, когда Y есть (L1, L“)- подирост ранет во. Если Хо замкнуто, то Хо индуцирует дихотомию для А тогда и только тогда, когда пара (L1, L°°) допустима.
Среди непосредственных следствий этой теоремы отметим замечательно простые доказательства некоторых утверждений гл. 4.
Доказательство теоремы 41.Е. Теорема 63.D и 52.6(b). 5,
СО Доказательство теоремы 43.Е. За исключепигм последнего утверждения, заключение теоремы следует из теорем 63.D и 53.D. Если х ^ (%*)0, то существует х* г Хц, такое, что (х, х*) ^ 0. Обозначим через 1У* = Е° 4- Fx* подпространство в X*, натянутое на У0 и х*. Тогда 1У* удовлетворяет условиям теоремы 43.Е, так что Y П(1У*)° индуцирует дихотомию; но х е (1У*)°. j,
Нашей следующей задачей является изучение связей между дихотомиями, многообразием Хоо и парой (L1, L”). Сначала дадим другое, более простое, но не более длинное, чисто «геометрическое» доказательство теоремы 41.F.
Доказательство II теоремы 41.F. Пусть N—число, соответствующее подпространству Y в определении дихотомии. Пусть Уо— любое (конечномерное) дополнение к ХОо относительно У. Так же как в части 2° доказательства /, получаем, что существует р>0, такое, что каждое решение у0 уравнения (60.1) с уо(О) е Уо удовлетворяет для всех /о, ^ > 0 неравенству
11Уо(О11^Р11Уо(О)||^Р^-1||уо(/о) II-
По теореме 63.D Y является (L1, Ь°°)-подпространством. Пусть Ку— соответствующая константа, и пусть даны /екоЬДХ) и р > 1, а х — решение уравнения (60.2) с ^(0)^ У, |х|^pAfK|f|х. Существует единственное разложение х„ = у + у0, где у, у0 суть решения уравнения (60.1) с у(О)еХоо, уо(О)еУо. Далее,
z = х — у0 есть решение уравнения (60.2) с z^ (0) = хю (0) — у0 (0) = = у (0) е Лоо. Мы имеем
\х\> lira sup || х (0 || = lim sup || x^ (t) || = lim sup || y0 (/) || > p|| y0 (0) II, £->oot->oo£->oo
'|2KM + |yo|^M + A||yo(O)||<
^(l+p-'^rxKp^/l+r^lfl!.
Следовательно, Лоо также есть (L1, L°°)-подпространство; значит, по теореме 63.D оно индуцирует дихотомию. 4,.
3.Е. Теорема. Если подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для А и Лоо имеет конечную коразмерность относительно У, то Лоо есть (L1, Е”Уподпространство и пара (L1, L”) допустима.
Доказательство. По теоремам 41.F и 63.D Лоп есть (L1, L“)- подпространство. Согласно 52.В (с), оно является также (L1, L”)- подпространством. Допустимость пары (L1, L”) следует теперь из 52.G. 4-.
.F. Если ЛОо замкнуто, то оно индуцирует дихотомию для А тогда и только тогда, когда пара (L1, L”) допустима.
Доказательство. Теоремы 63.А и 63.Е. 4-
Экспоненциальные дихотомии
Мы переходим к доказательству основной «прямой» теоремы для экспоненциальных дихотомий.
.G. Теорема. Предположим, что пара (В, D) не слабее, чем пара (L1, L”), а У есть (В, D)-подпространство (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У = Лоо). Предположим, далее, что существует подпространство Z пространства X, индуцирующее дихотомию для А. Тогда Y=Z индуцирует экспоненциальную дихотомию для А.
Доказательство. По теореме 41.D ЛОо = ЛоМ, с2сЛ0М = Лд: но, согласно 62.С, Лом„= У = Лом- Следовательно, У = Z.
Таким образом, У индуцирует дихотомию для А. Выберем какое-нибудь Л>1 и обозначим через No, No, у0 соответствующие параметры. Мы проверим условие (Ь) теоремы 42.А для У и для этого X. Пусть у и г—- решения уравнения (60.1), для которых у(0) е У, 1,2(0) ||-<Td^Y, z(0)). В силу теоремы 62.В и
условий (Di), (Du) для любого / >/0 + 1 имеем
t/ о + i
lly(t)ll<N0 Jh^lldw^^Me-^'-'o-1) J ||у(ц)Иц<
<е^Ме~^-(Чу<М
^o+ 1t
l|2(/0)IK^ J M^II^^Xe"^-'’-1’ J||2(m)|M«<to(-1
^e^N'^M'e-v-'tt-to ||z(0||,
где М = уИ(1), p' = p'(X), M' = М' (1, X).
Для /0^/^/0+1 условия (D[), (Dn) дают
II У W ||<e^Voe-^-'o) || у (t0) II,|| 2 (^) IKe^^'^ll^) ||.
Таким образом, условия (Ei), (Ец) теоремы 42.А(Ь) удовлетворяются с v = p, v' = p' (поскольку р/ зависит от X, мы не можем доказать непосредственно выполнение условий экспоненциальной дихотомии, фигурирующих в определении),N = euNoM, N' = ^e^NoM (мы используем тот очевидный факт, что No, No, М, М'^- 1). Наконец, условие (Dm) выполняется по предположению с заданным уо. 5,
Замечание. Мы могли бы ослабить ограничения на У тем же самым путем, как в 63.В; но в настоящем случае, как показывает теорема 54.1, У все равно было бы (В, D)-подпространством, так что увеличение общности было бы только кажущимся.
Ф Естественно возникает вопрос, достаточно ли для экспоненциальной дихотомии условия, что У есть (всего лишь) (В, D)..многообразие. Частичный положительный ответ дается следующей леммой:
СО 63.Н. Предположим, что В не сильнее, чем L1, и что существует хотя бы одно (В, V))-многообразие (в частности, что пара (В, D) допустима). Предположим далее, что существует подпространство Z пространства X, индуцирующее дихотомию для А. Тогда Z индуцирует экспоненциальную дихотомию для А.
Доказательство. Всякое (В, В)-многообразие является и (В, М)-много- образием. По теореме 63.D Z есть (L1, Е^-подирострапство и тем более (Т, М)-иодпростраиство. По теореме 54.G Z есть (В, М)-подпространство. Поскольку пара (В, М) не слабее, чем (L1, L”) , искомое утверждение следует из теоремы 63.G. j,
Ф Что касается остальных пар (В, D), которые не слабее, чем (t1, L”), то мы ставим следующий вопрос:
СО Проблема. Если В сильнее, чем L1, a D не слабее, чем L”, и если существует хотя бы одно (В, В)-многообразие (или пара (В, D) допустима),
то всякое ли подпространство Z, индуцирующее дихотомию для А, индуцирует экспоненциальную дихотомию для Д?
Ф Следующий частичный ответ показывает, что по крайней мере условие (Ец) выполняется для такого Z и любого Х> 1 (помимо условия (Dtn), выполняющегося но предположению).
ОО 63.1. Предположим, что В сильнее, чем L1, a D не слабее, чем L“, и что существует (В, DY многообразие Y (в частности, что пара (В, D) допустима и Е = X0D). Предположим далее, что существует подпространство Z пространства X, индуцирующее дихотомию для А. Тогда У с X0D с Хоо = = Z = X0=clY: У является (В, D Д L“)-многообразием; существуют такое V >0 и для каждого Х>1 такое N' = N' (X) > 0, что каждое решение z уравнения (60.1) с j1 z (0) Н ^ Xd (Z, г (0) ) удовлетворяет условию (Ец).
Доказательство. См. § 66 (стр. 250). j,
ОО Замечание. Чтобы ответ на постав тайный выше вопрос быт положителен, достаточно, как показывает 63.1, чтобы он был положителен для пар (Т, D) в случае, когда ХпП = Хо индуцирует дихотомию и выполнено условие (Ец) (теорема 52.L). Действительно, достаточно . предположить, что либо D локально замкнуто, ибо мы можем заменить D на Dc н затем на 1с Df, которое также не слабее, чем L” (см. 23.S); либо D ^ L“, так как тогда в силу 63.1 мы можем заменить D на Од L”.
Очевидным следствием теорем 63.Л и 63.G является
63.J. Предположим, что пара (В, D) одновременно сильнее, чем (0rL’, L°°), для некоторого т"> 0 и не слабее, чем (L1, L”). Если Y — (В, D)-подпространство (б частности, если пара (В, D) регулярно допустима и Y = XoD\ то Y индуцирует экспоненциальную дихотомию для А.
Напоминаем читателю о понятии функционального пространства, толстого по отношению к другому пространству (§ 23, стр. 91, и § 24, стр. 104), которое понадобится нам для того, чтобы сформулировать основную «обратную» теорему для экспоненциальных дихотомий.—
63.К. Теорема. Если подпространство У пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию для А и D толсто по отношению к В, то Y = XoD является единственным (В, D)-nod- пространством и пара (В, D) регулярно допустима. -
Доказательство. Доказательство близко к доказательству теоремы 63.С, к которому мы и отсылаем за подробностями. По теореме 42.F Y = Хт. Покажем, что пара (В, D) допустима. Тот факт, что Y является единственным (В, D)-подпространством, вытекает тогда, например, из 62.С.
II Зак. 405
Пусть дано Х>1 и q— непрерывное (У, X)-расщепление пространства X, к которому применимо условие (g) или (А) теоремы 42.А, с константами v, V, D = D(q) >0. Пусть дано feB(X). Положим g = U~'f— q(LMf), h = q(U-xy, так что gAeUX) (если функция f непрерывна, то такими же будут g и А). Согласно (Е") и (Еп), имеем
II U W g'(u) II ^ /?е—v (,—ы) || f (и) || для всех ^^п^О,
|| U (t)h.(u)\\<.De~vu-t4\Hu) || для всех н^/^0. (63.3)
Определим х формулой (63.2). Непосредственно проверяется, что если интеграл существует, то х есть решение уравнения (60.2). Однако в силу (63.2) и (63.3)
(
t ОО
J e-v<<-«>||f(U) ||du+ J e-v'(“-«||HK) \\du о t
так что, согласно сделанным предположениям относительно пары (В, D) и леммам 23.V(1), 24.N, интеграл существует и xeD(A), Таким образом, пара (В, D) допустима. Если бы мы использовали 23.W(1), то аналогия с доказательством теоремы 63.С была бы еще глубже. 4г
63.L. Если подпространство У пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию для А; то следующие пары (и все более слабые') регулярно допустимы; (BVL1, ВДЬ“) и тем более (В, В) и ((вуь‘)ДМо, ВДЬ“) для каждого локально замкнутого В е Х>Т; в частности, регулярно допустимы пары (М, L“), (L1, Т), (Мо, L“). Если пара (В, D) (регулярно) допустима, то пара (кВ, kD) также (регулярно) допустима.
Доказательство. За исключением последнего утверждения, все следует из теоремы 63.К и 23.W(3)— (6). Предположим, что пара (В, D) допустима. По теореме 42.F У = Aon = ^okn (последнее замкнуто) и У есть (В, D)-подпространство (теорема 52F). В силу 52В (с) У есть (В, &D)-подпространство. По теореме 52.F пара (кВ, kD) допустима. 4-
ГЭ Некоторые полезные необходимые и достаточные условия ■даны в приводимом ниже аналоге теоремы 63.D и леммы 63.F.
63.М. Теорема. (1) Подпространство У пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию для А тогда и только тогда, когда У является как (L1, L°°) -подпространством, так. и (L2, V)-подпространством; тогда и только тогда, когда Y является (М, L°°) -подпространством; тогда и только тогда, когда
У является (L1, Т)-подпространством; тогда и только тогда, когда У является (Мо, L”) -подпространством.
) Если Хо, Хот или Хоо замкнуто, то оно индуцирует экспоненциальную дихотомию для А тогда и только тогда допустима пара (М, L”), (L’T) или (Мо, L”) соответственно.
Доказательство. Части «тогда» следуют из теорем 63.D, 63.G и леммы 63.J; части «только тогда» — из 63.L (и теоремы 42.F). 4,
Множества пар
В общем результаты, относящиеся к описанию классов пар (В, D), которые допустимы или таковы, что для них существует (В, D)-подпространство и т. п., не слишком удовлетворительны (см. соответствующие пункты § 51, 52 и 62). Однако в случае, когда для А имеет место дихотомия, мы можем дать довольно точный ответ па следующие вопросы: какие пары (В, D) .(конечно, как и везде в этой главе, имеются в виду только ^~-пары, либо ^Т^-пары, либо ^'^“’’-пары) обладают (В, D)-подпространством, допустимы или регулярно допустимы? Вопрос о просто допустимости отличается от вопроса о регулярной допустимости лишь для бесконечномерного X и не будет здесь освещен полностью.
Предположим, что существует подпространство, индуцирующее обыкновенную дихотомию для А, но не индуцирующее экспоненциальной дихотомии (тогда никакое другое подпространство также не индуцирует экспоненциальной дихотомии).. Мы будем говорить, что для А имеет место случай I или случай II в соответствии с тем, индуцирует Х№ дихотомию или нет, и случай 1 или случай 2 в соответствии с тем, является многообразие Хо замкнутым (и, следовательно, согласно теореме 41.Е, индуцирующим дихотомию) или нет. Таким образом, имеются четыре комбинации: случаи II, 12, III и 112. Очевидно, в случае конечномерного X возможен только случай II (теорема 44.А). Примеры 65.А (с А=0), 41.Н, 41.1 и 65.R показывают, что если X — сепарабельное гильбертово пространство, то возможны все четыре комбинации. Заметим, что в случае II Аоо имеет бесконечную коразмерность относительно каждого индуцирующего дихотомию подпространства (теорема 41.F), в частности относительно Хо в случае Ill.
N. Теорема. Предположим, что существует подпространство, индуцирующее обыкновенную дихотомию для А, но не индуцирующее экспоненциальной дихотомии. Тогда
если пара (В, D)
70 X0D совпадает с
какие подпространства являются
(В, ВУпод-
пространет вами ?
является ли пара (В, D) допустимой ?
является ли пара (В, D) регулярно допустимой ?
слабее, чем (L1, L00)
xQ
все подпростраштва, индуцирующие дихотомию для А
да
1 случай 1: да
1 случай 2: нет
не слабее, чем (1?, L”), но слабее, чем
(1Л L0”)
АОо
( случай I: ХОо
1 случай II: никакие
• да нет
да нет
не слабее, чем
(L‘, L”)
х0 или
никакие
')
нет
') нет, кроме, быть может, сличая, когда В сильнее, чем L',u X сХ =Х ™
UD UU О со = cl Х^ (а частности, когда для А имеет место случай II).
Доказательство. 1°. Предположим, что У—(В, D)-подпространство. Мы утверждаем, что У индуцирует дихотомию для А. Действительно, У есть (Т, D)-подпространство (теорема 52.L и тем более (Т, М) -подпространство. Но класс всех (L1, L°°) -подпространств совпадает с классом всех подпространств, индуц? рующих дихотомию (теорема 63.D), а последний непуст по предположению. Согласно 54.Н, каждое (Т,М)-подпространство ы частности, У) является (L1, L°°)-подпространством и индуцируе- дихотомию для А.
2°. Если пара (В, D) слабее, чем (L1, L°°), то каждое подпространство, индуцирующее дихотомию, является (L1, к°°)-под пространством и тем более (В, D)-подпространством. Обратное утверждение следует из 1°. Поскольку D слабее, чем L°°, тс Add = Ал (теорема 41.D). По теореме 63.С пара (L1, L°°) дот' стима, а значит, и подавно допустима пара (В, D).
Если пара (В, D) не слабее, чем (L^L00), но слабее, чех (L1, L”), то это значит, что В сильнее, чем L1, a D слабее,’чех L”, но не слабее, чем L°°. По теореме 41.D А0о = Аоо является подпространством. В силу 63.Е пара (L1, L”) (регулярно) доп'-
стима и потому слабее, чем пара (В, D); далее Лоо = Лоо является (В, D)-подпространством. Обратно, если У есть (В, D)- подпространство, то из части Г доказательства и из теоремы 41.D следует, что Лоо с У с Лоо, так что всюду имеют место равенства; наконец, У = ЛОо индуцирует дихотомию для А. Таким образом, имеет место случай I.
Если пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”), то всякое (В, D)- подпространство должно было бы индуцировать экспоненциальную дихотомию (теорема 63.G). Следовательно, таких подпространств не существует, и пара (В, D) не является регулярно допустимой.
ОО Предложения 63.Н и 63.1 (доказательство последнего пока не проведено) показывают, что всегда, кроме, быть может, оговоренного случая, из простой допустимости пары (В, D) следовало бы наличие экспоненциальной дихотомии, и, значит, эта допустимость невозможна. 5,
63.0. В предположениях теоремы 63.N,
если для Л • имеет местоесли для Л • имеет местослучай случайслучай случайслучай случайслучай случайто (В, йрподпространствэ существует тогда и только тогда, когда (В, D)пара (В, D) регулярно допустима тогда и только тогда, когда онаслабее, чем (L1, L”)слабее, чем (L1, L”)слабее, чем (L1 L”), но.не слабее, чем (L1, L°°)слабее, чем (L1, L°°)Г слабее, чем (L1, L°°)1(.никогда')то (В, йрподпространствэ существует тогда и только тогда, когда (В, D)пара (В, D) регулярно допустима тогда и только тогда, когда онаслабее, чем (L1, L”)слабее, чем (L1, L”)слабее, чем (L1 L”), но.не слабее, чем (L1, L°°)слабее, чем (L1, L°°)Г слабее, чем (L1, L°°)1(.никогда')IIII22IIIIIIII22
если для Л • имеет место
если для Л • имеет место
случай случай
случай случай
случай случай
случай случай
то (В, йрподпространствэ существует тогда и только тогда, когда (В, D)
пара (В, D) регулярно допустима тогда и только тогда, когда она
слабее, чем (L1, L”)
слабее, чем (L1, L”)
слабее, чем (L1 L”), но
.не слабее, чем (L1, L°°)
слабее, чем (L1, L°°)
Г слабее, чем (L1, L°°)
1(.никогда')
то (В, йрподпространствэ существует тогда и только тогда, когда (В, D)
пара (В, D) регулярно допустима тогда и только тогда, когда она
слабее, чем (L1, L”)
слабее, чем (L1, L”)
слабее, чем (L1 L”), но
.не слабее, чем (L1, L°°)
слабее, чем (L1, L°°)
Г слабее, чем (L1, L°°)
1(.никогда')
I
I
I
I
2
2
II
II
II
II
2
2
63.Р. Пусть Л конечномерно, и пусть существует подпростран- :тво, индуцирующее обыкновенную дихотомию для А, но не индуцирующее экспоненциальной дихотомии. Тогда пара (В, D) допустима в том и только в том случае и (В, О^-подпростран- ;тво существует в том и только в том случае, если пара (В, D) лабее, чем (L1, L”). Если, кроме того, пара (В, D) слабее, чем L1, L°°), то (В, D)-подпространства совпадают с подпростран- твами У, удовлетворяющими условию Л00с У с Ло; в против- чом же случае единственным (В, D)-подпространством яв- сяется Лоо.
Доказательство. Теоремы 63.N и 44.А. 5-
Как ни странно, результаты, которыми мы располагаем для •лучая экспоненциальной дихотомии, далеко не так четки. Для
этого случая известно, правда: что подпространство Ло = Лоо = Лоо (при любом Deb,TK) является единственным подпространством, индуцирующим экспоненциальную дихотомию (или фактически обыкновенную дихотомию), и единственным (В, D)-подпространством, если таковое вообще существует (62.С или часть 1° доказательства теоремы 63.N); что, следовательно, если вообще существуют какие-нибудь (В, D)-многообразия, то они в точности совпадают с линейными многообразиями, содержащимися и плотными в Ло (52.B(d)); что (В, D)-многообразие и, следовательно, (В, D)-подпространство существуют в том и только в том случае, если пара (кВ, D) (регулярно) допустима (теорема 52.F); что пара (В, D) допустима в том и только в том случае, если она регулярно допустима. Далее, мы знаем (теорема 63.К), что все это так, если D толсто по отношению к В. В некоторых случаях никакие другие пары (В, D) не будут допустимыми (теорема 64.С), но возможно построить даже скалярные уравнения, для которых допустимы дополнительные пары (примеры 65.N, 65.0). Ввиду этих примеров, а также ввиду 51.Q мы ставим следующий вопрос: '
Проблема. Каждая ли пара (В, D), (регулярно) допустимая для некоторого Дое L(Л), допустима для некоторого ДеЬ(Л), обладающего экспоненциальной дихотомией? (Ср. примеры 65.N, 65.0 и особенно их обрамление.)
Допустимость, (В, О)-подпространства и дихотомии. Уравнения с Ае М(Л)
Основные теоремы
Как отмечалось во введении, многие из затруднений предыдущих параграфов отпадают в случае ДеМ(Х). В самом деле, это допущение оказывает «сглаживающее» воздействие на решения уравнений (60.1), (60.2), уже выявленное в § 33, что дает нам возможность говорить вместо «послойного» поведения, описанного в § 62, о соответствующем «поточечном» поведении без всяких дальнейших ограничений на пару (В, D) и таким образом доказывать существование дихотомий. Мы переходим к изложению «прямых» теорем для обыкновенной и экспоненциальной дихотомий.
А. Теорема. Пусть ДеМ(Х), и пусть У является (В, D)-подпространством (в частности, пусть пара (В, D) регулярно допустима и Y = Лоо)- Тогда У индуцирует дихотомию для Д. ■ .
Доказательство. Положим а = |Д|м-Мы докажем выполнение условия (е) или (f) теоремы 41.А. Пусть дано Х>1. Рассмотрим решения х, у, z уравнения (60.1), такие, что x = y + z, yW'ieY. ||z(0)||-< Xd(K,z(O)). Применим теорему 61.А с А=1. Если />/0>0, то, беря т = /0 и используя (31.7), получаем
II У (0 II ^ е II У U + 1) || ^ р (D.|Xy+i, <+2]У |о ^
е2а .
Р (D; 1) I^^+^Id
<уХЛ('Т(1) J || х (м) || du </о
фП?Г(1)|х(/0)|.
Если /0 ^ ^ ^ 0, то, беря т = /0+1, аналогично находим
'И2^ И^ P(D; 1) I^U. ! + HZId
еа
^ Р (D; 1) I^Ю. ^+ UZlD ^
^-UeX'Hl) f ||х(М)№</«+1
«^/щцщр,)!.
Таким образом, условия (dQ и (Оп) выполняются с D = D(X) = = ^ Хе3аК"Г (1). Другое доказательство: воспользоваться определением дихотомии и проверить выполнение условий (Dj) и (Dn) при помощи теоремы 62.А, а условия (Ош) при помощи леммы 61.С. 3
•64.В. Теорема. Предположим, что ЛеМЩ, пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”), и что У является (В, ОУподпростран- ством (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У = Хоо). Тогда У индуцирует экспоненциальную дихотомию для А. ~
Доказательство. Теоремы 63.G и 64.А. 3,
Обратимся к вопросу об обратных теоремах. Для обыкновенных дихотомий предположение АеМ^) ничего не добавляет к теоремам 63.С и 63.Е. Однако для экспоненциальных дихото-
мий достаточное условие допустимости пары (В, D), данное в теореме 63.К, является в этом случае также и необходимым:
64.С. Пусть А е М(Х). Если существует подпространство, ин-' дуцирующее экспоненциальную дихотомию для А, то пара (В, D) (регулярно} допустима тогда и только тогда, когда D толсто по отношению к В, и (В, D)-подпространство (заведомо единственное и совпадающее с Хо) существует тогда и только тогда, когда D толсто по отношению к кВ.
Доказательство. Части «тогда» следуют из теоремы 63.К. Положим а = |Д,м и предположим, что пара (В, D) допустима. По теореме 42.F XoD — ХОм = Хо является подпространством, индуцирующим экспоненциальную дихотомию (так что допустимость является регулярной). Поэтому всякое ограниченное решение уравнения (60.2) для любого /еВ(Х) является также (М-ре- । шепнем и, следовательно) D-решением.
- Пусть х — фиксированное нетривиальное решение уравнения (60.1). Тогда х удовлетворяет условию (Е[) с подходящими v, .V>0, если х(0) еД и условию (Ец) с подходящими V, N'>0 в противном случае (мы должны рассматривать обе возможности, поскольку У может быть =Х или ={0}). Рассмотрим произвольное (рЕ В..
Пусть х(О)еХо. Определим функцию у равенствомt
y(t} = x (0 J | ф (и} | II X (и) 1Г1 du. ■о
Она является решением уравнения (60.2) при f=^|sgnx (см. (31.В(Ь)). Поскольку 11/11= |ф| и / непрерывна, если непре- . рывна ф, то /еВ(Х). Оценивая выражение ||х(/) ||||х(н)||-1 сверху и снизу с помощью (Ei) и (31.7) соответственно, получаем
t
<гХЫ(0= р~а(<~“+1)|ф(м)1^<11у(0Н^
о■
t
<^ J ^',(^")|ф(«)|г/и = ^С|ф|(О.(64.1)
о"
Поскольку ф е М, то из 23.V(1) следует, что AvI Ф I ограничено. Следовательно, функция у ограничена, и ввиду сказанного выше t/eD(X). Таким образом, Аа|ф|еВ. Поскольку это верно для всех феВ, то из 23.V(1) вытекает, что D толсто по отношению к В, ■
Если х(0) ^ Хо, то полагаем
у (О = - х (t) j | ф (и) 111 х (и) Г* dut ■
i используем (Ец). В противном случае проводятся те же рассуждения, что и-выше, только соотношения (64.1) заменяются оотношениями е-аАа | ф I (1) ^|| у (/) || ^ N Av | ф |(0 (которые юказывают, что интеграл, определяющий у, существует).
Утверждение про (В, D)-подпространства следует из тео- земы 52.F; единственность — из утверждения 62.С или из тео- зем 42.F и 64.А. 3,
Множества пар
В предположении, что ЛеМ(1), мы можем дополнить тверждения теоремы 63.N и лемм 63.0, 63.Р и дать полное шисание ситуации, показывающее, что множество регулярно допустимых пар (B,D) и множество тех пар (В, D), для кото- зых существует хотя бы одно (В, D)-подпространство, могут •одержаться только среди конечного числа возможных множеств.
■ 64.D. Теорема. Предположим, что ЛеМ(Я). Тогда
если
то
(В, ХУрподпространства существуют тогда и только тогда, когда
и
пара (В, D) регулярно допустима, тогда и только тогда, когда
не существует никакой дихотомии для Л
^никогда1)
^никогда')
для Л существует дихотомия, но не существует ни одной экспоненциальной дихотомии
случай I: пара (В, D) слабее, чем (L* L”)
случай I 1: пара (В, D) слабее, чем (L1, L^°)
случай I 2: пара (В. D) слабее, чем (L1, L”), но не слабее, чем
(L1, L°°)
случай II: пара (В, D) слабее, чем (L1, L°°)
случай II 1: пара (В, D) слабее, чем (L1, L°°)
случай II 2: никогда
существует экспоненциальная дихотомия для Л
D толсто по отношению к кВ
D толсто по отношению к В.
Если (В, D)-подпространства существуют, они описываются теоремой 63.N в случае обыкновенной дихотомии и сводятся к единственному подпространству Хо в случае экспоненциальной дихотомии.
Доказательство. Предложение 63.0 и теоремы 63.N, 64.А г 64.С. £
64.Е. теорема. Предположим, что пространство X конечномерно и что А е М(Х). Тогда
если
то
(В, Прподпространства существуют тогда и только тогда, когда
и
пара (В, D) допустима тогда и только тогда, когда
не существует никакой дихотомии для А
(никогда)
(никогда)
для А существует дихотомия, но не существует
экспоненциальной дихотомии
пара (В, D) слабее, чем (L1, Lq ) (.именно ими будут все подпространства У, такие, что Хоо ст У ст Хо, или одно лишь Хоо — в соответствии с тем, будет или нет пара (В, D) слабее, чем
(L1, L”))
пара (В, D) слабее, чем (t1, L”)
существует экспоненциальная дихотомия ;для А
D толсто по отношению к кВ (именно таким подпространством будет Х0 = Х№)
D толсто по отношению к В
Доказательство. Лемма 63.Р и теоремы 64.А и 64.С. ^
Замечание. Три возможности для А в теореме 64.Е иллюстри руются соответственно примерами 65.К, 65.L (X = R, ДеС) илт 65.С (X двумерно, А постоянно); примером 65.А (А=0); примерок 65.В (А = ±/).
ОО Остальные возможности в теореме 64 D, а именно случаи 12, II и 112 для обыкновенной дихотомии, иллюстрируются в сепарабельнок гильбертовом пространстве примерами 41.Н, 41.1 и 65. R соогве- ственно с ограниченной непрерывной функцией А, принимающей сим метрические или эрмитовы значения.
65. Примеры и комментарии
Примеры с постояннным А
Мы начинаем этот пункт с простейшего из всех возможных примера, А=0. Этот пример показывает, сколь необходимы в предыдущих результатах условия, обеспечивающие экспоненциальное поведение; помимо того, он связывает воедино разрозненные результаты, касающиеся «наилучших возможных» условий из гл. 5. Затем мы рассмотрим следующий по простоте случай, А = ±/, и «двухмерный» пример.
65.А. Пример. Пусть X произвольно (в частности, X может быть скалярным полем F), и пусть А = 0, так что все решения уравнения (60.1) постоянны. Как было установлено в § 41 (замечание 4), каждое подпространство в X индуцирует обыкновенную дихотомию; в частности, ее индуцирует Хоо = {0}. Теорема 63.Е или непосредственная проверка показывает, что пара (Ь1, Lo°) регулярно допустима. Однако здесь не только нет экспоненциальной дихотомии, но даже ни одно нетривиальное решение не удовлетворяет никакому из условий экспоненциального роста теоремы 62.В или заключенных в квадратные скобки частей теорем 62.D, 62.Е. Следовательно, предположение, что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”), не может быть ослаблено в теореме 62.В, теоремах 62.D и 62.Е (квадратные скобки), в теоремах 63.G и 64.В и в дополнительных результатах.
Поскольку Х0 = Х, то мы имеем случай II классификации, приведенной в конце § 63. По теореме 63.N и лемме 63.0 пара (В, D) регулярно допустима тогда и только тогда, когда она слабее, чем (L1, L”). Поскольку для любого Deb^-^ либо Хоп = Х, либо Aqd = {0} в соответствии с тем, слабее D, чем L°°, или нет (теорема 41.D), то никаких других допустимых пар нет. Не существует и никаких (В, О)-многообразий, если пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”) (в противном случае Хоо было бы (В, О)-подпространством). Если пара (В, D) слабее, чем (1Д L”), но не слабее, чем (L1, L”), то Аоо = (О} является единственным (В, В)-подпространство.м (и -многообразием). Если пара (В, D) слабее, чем (L1, L°°), то каждое подпространство, включая (0) и X, является (В, О)-подпространством; следовательно, каждое линейное многообразие является (В, В)-многообразием. Заметим, что Хоо = {0} #= X = Хом (ср. замечание 2 к теореме 52.М и замечание к теореме 54.F).
Заметим, что (Т, М)-подпространства существуют (именно все ■ подпространства являются таковыми), но не существует ни (М, М)-под- пространств, ни (Т, Т)-подпространств. Полагая пару (В, D) равной по- ■ очередно (Т, М). (М, М), (Т, Т) н (М, Т), мы получаем иллюстрации
к лемме 54.И (ср. замечание к этой лемме); из четырех множеств подпространств пустыми являются в точности следующие: ни одно; множество (В, D)- и (В, М)-подпространств; (В, D)- и (Т, D)-подпространств; (В, D)-, (В, М)- и (Т, D)-подпространств.
Предположим, наконец, что X есть конечномерное пространство с евклидовой нормой. Мы видим, что X не является (Ь1, Ьо^-подпространством для А = 0, но Х1={0} есть (L1, L°°)- подпространство для — А+ = 0. Поскольку (L1/ = L°°, (LtT/ = L1, эго даст контрпример, доказывающий справедливость замечания к теореме 55.A. .
хМл-О
65.В. Пример. Пусть снова X произвольно (возможно, = F). Предположим, что А=1 [—/] (мы могли бы взять и любое положительное кратное). Решение уравнения (60.1) определяется формулой x(t) = e-G(0) [х(/) =eG(0)], так что ^[{0}] индуцирует экспоненциальную дихотомию с v = M=l [v'= М = 1]. По теореме 64.С пара (В, D) (регулярно) допустима тогда и только тогда, когда D толсто по отношению к В, и (В, D)-подпространство (необходимо единственное и совпадающее с X [с{0}]) существует тогда и только тогда, когда D толсто по отношению к кВ. Таким образом, этот простой пример (особенно в действительном скалярном случае X = R) является в рассматриваемом отношении прототипом всех случаев экспоненциальной дихотомии при условии А е М(Х).
В частности, пара (Lo°, L”) допустима (по 63.L), а пара L°°, L”) не допустима (это непосредственно проверяется для постоянного f или следует из 51.Q). Поскольку L°° = lc Lq°, L” = kL°°, это дает нам примеры, требовавшиеся в связи с теоремой 51.G и замечанием к теореме 52.F.
Кроме того, Х[{0}] является (М, М)-подпространством и (Т, Т)- подпространством, но не является (М, Т) -подпространством (теорема 64.С и лемма 23.W (3); напоминаем, что кМ = Мо). Следовательно, беря пару (В, D) совпадающей с (М, Т), мы иллюстрируем случай леммы 54.Н, когда пустым является только класс (В, D)-подпространств. 5,
65.С. Пример (продолжение примера 41.G). В примере 41.G для двумерного действительного или комплексного евклидова пространства X А постоянно и нет подпространств, индуцирующих дихотомию. Из теоремы 64.А следует, что не существует и никаких (В, D)-подпространств. Это иллюстрирует случай леммы 54.Н, когда все четыре класса подпространств пусты. Поскольку условия (Dj) и (Dn) (но не (Dm)) определения дихотомии удовлетворяются при Y = X0, этот пример показывает, что условие (Dm) является существенным для справедливости обратной теоремы 63.С. 4
Контрпримеры для прямых теорем•
В этом пункте мы приведем некоторые примеры с целью показать, что предположения и заключения прямых теорем § 62, 63 и 64 являются наилучшими возможными. Во всех этих примерах X = R (см., однако, заключительное замечание этого пункта) и А ф М непрерывно. Для того чтобы пояснить важность этих примеров, мы предварительно сделаем несколько замечаний. По техническим причинам порядок примеров не соответствует порядку замечаний. Удобно начать с анализа теорем 62.D и 62.Е. Этот анализ показывает, что в общем случае нельзя ни усилить заключения, ни ослабить предположения.
Замечание 1. Прежде всего мы выясним, нельзя ли в теореме (62.D брать £(/0) независимым от /о, т. е. не будет ли всегда выпол-
пяться условие (Di) [(Ei)] для [экспоненциальной] дихотомии. Если ■ мы предположим в дополнение к предположениям теоремы 62.D, что В слабее, чем 6Т1Д для некоторого т ^ 0 (предположение из теоре- . мы 62.Е), то теорема 63.А [63.J] показывает, что верно большее, а , именно что У фактически индуцирует [экспоненциальную] дихотомию. Однако без этого дополнительного предположения ответ отрицателен: для каждой пары (В, D), в которой В не слабее любого 0Т1Л мы можем построить уравнение (пример 65.F), для которого пара (В, D) допустима, Аоп = X = R является единственным (В, D)-подпространством и условие (Dj) не выполняется [не говоря уже о (Ei)] независимо от того, сильнее D, чем L“, или нет [или слабее пара (В, D), чем (t1, L"), или пет].
Замечание 2. Мы утверждаем, что предположение «D сильнее, . чем L“» теоремы 62.D в общем случае не может быть ослаблено. Поскольку решения являются непрерывными функциями, то действительное ослабление этого предположения имеет место, только если D содержит неограниченные непрерывные функции (эквивалентно (по 23,Q), если D„ не сильнее, чем L“). Для каждой пары (В, D) с таким D [независимо от того, будет пли нет пара (В, D) слабее, чем (L1, L”)] мы построим уравнение (пример 65.D), для которого пара (В, D) допустима, X0O = X — R является единственным (В, D)-подпространством и нетривиальные решения уравнения (60.1) неограниченьт, так что нера- ■ венство (62.9) не может удовлетворяться даже при /0 = 0 ни для какого 7.(0) [не говоря уже о (62.10)].
Аналогичные замечания применимы и к теореме 62.Е:
Замечание 3. Поставим вопрос: нельзя _ли в теореме 62.Е считать L'(/0,X) независимым от (о, т. е. не будет ли всегда выполняться условие (Di 1)[(Eiт)]? Если предположить дополнительно, что D сильнее, чем L" (предположение из теоремы 62.D), то теорема 63.A [63.J] снова показывает, что У действительно индуцирует [экспоненциальную] дихотомию. Однако без этого дополнительного предположения ответ снова отрицателен: для каждой пары (В, D), в которой D содержит хотя бы одну неограниченную непрерывную функцию (т. е. Dc не сильнее, чем L”; ср. замечание 2), мы построим уравнение (пример 65.Е), для которого пара (В, D) допустима, X0D = (0) и условие (Dn) не выполняется [не говоря уже о (Ец)] независимо от того, будет ля 9 слабее,
. чем некоторое 0ти, или нет [или будет ли пара (В, D) слабее, чем (L1, L”), или пет]. '
Замечание 4. Мы утверждаем, что предположение «В слабее, чем 0Т1Д для некоторого г ^ 0» теоремы 62.Е в общем случае не может быть ослаблено. Действительно, для каждой пары (В, D), в которой В не слабее, чем любое 0TU [независимо от того, будет ли пара (В, D) слабее, чем (l1, L”), или нет], мы построим уравнение (пример 65.G), для которого пара (В, D) допустима, AOd = W и нетривиальные решения уравнения (60.1) не отграничены от 0, так что неравенство (62.11) не может удовлетворяться даже при /о = 0 ни для какого L1(0, X) [не говоря уже о (62.12)].
Примеры, «анонсированные» в предшествующих замечаниях, показывают, что основные прямые теоремы § 63 и 64 имеют «наилучший возможный» вид.
Замечание 5. В теореме 63.A [63.J] предположение «пара (В, D) сильнее, чем (0Т1ДЕ°°), для некоторого т > 0» не может быть ослаблено без дополнительных’ ограничений на А типа А е М(Х). Действительно, пусть это предположение ие выполняется. Тогда либо В не слабее, чем любое 0Т1Д либо D не сильнее, чем L", причем если в последнем случае ослабление «строгое», D должно содержать хотя бы одну неограниченную непрерывную функцию. Примеры показывают, что для любой такой пары существует уравнение, для которого пара (В, D) (регулярно) допустима, но дихотомии нет [не говоря уже об экспоненциальной дихотомии] (примеры 65.F, 65.G и замечания 1, 4 для первого случая; примеры 65.D, 65.Е и замечания 2, 3 для второго).
Замечание 6. Из замечания 5 относительно 63.J следует, что в теореме 63.G предположение о том, что некоторое подпространство индуцирует дихотомию, не является излишним.
Замечание 7. Все предыдущие рассмотрения показывают, что предположение A g М(Х) в теоремах 64.А, 64.В необходимо.
65.D. Пример. Для произвольного данного пространства ВеЬ5"к, которое содержит неограниченную непрерывную функцию, мы построим непрерывную Де L, такую, что (при X = R) мы будем иметь Xod = Хом„ = R и пара (М, D) будет допустима — откуда следует, что и пара (В, D) будет допустима и R будет единственным (В, D)-подпространством (по 62.С) для каждого ВеЬ^, или Ь^“^, или ЪЙГ^"*— и все же такова, что каждое нетривиальное решение уравнения (60.1) неограничено.
Пусть дано D. Положим р(/) = P(D; /) = |х[0]ZJ|D- Согласно 23.Q, р(0) = 0 и функция 0 непрерывна (см. § 23, стр. 83). Функция Z + р (Z) строго возрастает от 0 до оо, когда I изменяется от 0 до оо, и потому имеет непрерывную обратную функцию £, которая ведет себя точно так же. Эта обратная функция удовлетворяет неравенству £(«)<« для всех и>0.
e-t
Положим 6(0 = ^ J £(u)du, teR+. Функция д непрерывна и не- о
прерывно дифференцируема, причем 6(/) = — ef J (^(е-<) —^(u))^u.
Для всех t имеем 0 < б (/) <£ (e"'f) <е~‘ ^ 1 и — е~‘ < 6 (/) < 0, так что б строго убывает. В частности, для всех teR^
₽ (6 «)) < Р(£ (в"')) < £ (с-') + р (£ (е-9) = e-t.(65.1)
Возьмем <о = О и определим строго возрастающую последовательность (<„) формулой <„ = <„_[ +д (<„_!). Если бы Игл Д =
= t'<oo, то мы имели бы д(/') = 0, что невозможно. Следовательно, limfn=°o. В частности, /, = 6(0). Определим функцию £ формулами
..£(<) = exp(<2/2t,), 0<<<<,,
/] х(65.2)
Ц< + д(/)) = ехр^< +д(<) - ^ / J^Z), t >0.
Функция / + 6(<) строго возрастает, так как ее производная 1 +6(/)>0. Она отображает интервал [/„_i, /п) в [/„, <n+i), п = = 1, 2, ... . Поскольку эти интервалы заполняют R+, то g корректно определена на /?+. Поскольку g строго возрастает, непрерывна и непрерывно дифференцируема на [0,9), то индукцией по п легко доказать, что g обладает этими свойствами всюду на R+, если только мы покажем, что £(9) = £(/[ — 0) и £(9 4-0) = = £(9 — 0). По определению £(0)=1 и £(4-0) = 0. Далее, Ц<,) = ехр(49) = ^!-0) и £(9+0)(1 +6(+0)) = (1 +6( + 0)) X X exp^t^ (0)4-0, откуда £(<! 4- 0) = ехр^/^ = Ц9 - 0). Пользуясь (65.2), легко получить, что
• £(/)>exp(f - у 9), IgR^ (65.3) Далее, £(fj = ехр(<я - у ^^„-J^exp^^g (<„_,). По индукции - '
^(<я)>ехр[<я + у(г-2)<1^(<я_г), г=\,...,п. (65.4)
Выберем столь быстро возрастающую последовательность (оп) положительных чисел, что
п->ооп->ооlim ол^"'(^) = °°,(65.5)
п->оо
п->оо
и столь быстро убывающую последовательность (ел) положительных чисел, что.,
6Л ^ 2 ^л ^n-l)6Л ^ 2 ^л ^n-l)^0ГпР(ел)<°°-^0ГпР(ел)<°°-(65.6)(65.6)
6Л ^ 2 ^л ^n-l)
6Л ^ 2 ^л ^n-l)
^0ГпР(ел)<°°-
^0ГпР(ел)<°°-
(65.6)
(65.6)
Пусть ст — действительная непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция на R+, такая, что о(/) = 1 для всех t, не принадлежащих интервалам /л = [£л —en, tnY п=1, 2, ..., а на Jn 1 <о(0 ^о^л-~ея) = стл. Тогда 0 <ст - 1 < ^ an^Jn.
1
Согласно (65.6), эта последняя функция принадлежит D. Кроме того, поскольку е„ ^-^ 6 (/„-J < 1, то мы имеем 5олеп^2олР(еп)а(О; 1)<оо, так что 2or„Xj„eL*. Мы заключаем, что а-1Е0ДЬ’,
Положим Д = ^-1 —ост-1, так что U = ^а будет решением уравнения (30.3) с начальным условием £/ (0) = 1. В силу (65.3) функция g-1 ограничена убывающей экспонентой, следовательно, опа принадлежит! и ограничена. Поскольку £-1ст = £-1 (ст — 1) + + £~‘^U-'|(ст — 1) + £-1, мы заключаем, что ^'яеВДЕ1. Поэтому Xqd = Хои = ^ом =/?. Однако, согласно (65.5),
1%1%12 ®л j ^ ^л12 ®л j ^ ^л12 е»12 е»>О^ 4tn^°°>О^ 4tn^°°
1%
1%
1
2 ®л j ^ ^л
1
2 ®л j ^ ^л
1
2 е»
1
2 е»
>О^ 4tn^°°
>О^ 4tn^°°
при п—>оо, так что каждое нетривиальное решение уравнения (60.1) неограничено.
Осталось доказать, что пара (М, D) допустима для А, в частности, что для каждого feM решение у (t) = g-1 (t) ст (t) X t
X J £ (u)a”4u)f ku?) du уравнения (60.2) принадлежит D. Поло- o"
t
жим ср(0 = g-1 (0 J g(«)| f (u) \du, так что | у | ^стф = (ст — 1)ф + ф. о
Мы утверждаем, что функция ф ограничена и принадлежит D. Отсюда следует, что уеВ, что и нужно установить. Докажем наше утверждение. Рассмотрим любое t"^tx, скажем £л^/</л+,. Поскольку tm — tm_x = d (Z,n-i) ^ tv< 1 для всех m, то, используя
и тот факт, что £ —возрастающая функция, получаем
•п-1tn-rt
q>W^yir4tn)Utn-r') / lf(u)№+ J Ш№<r==1^-r-l*n-l
°°^n-v 1
<e"W2e^,/2|flM+ J \fW\du^
^e-^./2(i_e-<1/2)--|f|M+ j tf(u)idu.
4-1
Первое слагаемое последнего члена неравенства является убывающей экспонентой, которая принадлежит Т, а следовательно, принадлежит D и ограничена. Второе слагаемое, которое постоянно на интервале [/„, Zn+i], ограничено величиной 2|f|M. Чтобы показать, что оно принадлежит D, заметим, что оно равно
оо4+1•
4-1
и произведем следующие выкладки, используя (65.1) с tu вместо /ц23.У(1):
ОО4+1°о 4+1
^PUn+i-Q J |f(u)|d«<^e_<" J |f(u)|cZM<
4->.14-1
°° 4 + 1.
^^2 J e-“|f(u)№<
4-i
^ 26^ J е~и | f (u) | du < оо. 'о
Следовательно, ср ограничено на [6, оо) ограниченной функцией, принадлежащей D. В силу 22.1 ср обладает теми же самыми свойствами, что и утверждалось. 4
5.Е. Пример. Для произвольного данного пространства Deb^/c, которое содержит неограниченную функцию, мы построим непрерывную ЛеЬ, такую, что (при X = Д) мы будем иметь ^od = ^ом “ {0} и пара (М, D) будет допустима — откуда следует, что пара (В, D) будет допустима для любого ВеЫГ,
илиЬ^, или Ь^"^"*, —и все же такова, что условие (Оц) из определения дихотомии не выполняется.
Пусть D дано, и пусть £ и а — те же, что и в примере 65.D. Положим Д = — (|§-1 + да~‘), так что U = So. Согласно (65.3), ^(О^^О-*00 при t —> оо, откуда Хом == {0} и тем более Xod = {0}. Используя (65.5) и тот факт, что g есть возрастающая функция, находим
U^^U ' [tn-^^^-^n^t^l '^„--^е^-^О при П—>ОО,
так что условие (Оц) не удовлетворяется ни для какого нетривиального решения уравнения (60.1).
Остается доказать, что пара (М, D) допустима для Д, в частности, что для каждого feM решение tj^= — ^^a^X X J ^'(и) а-1 (и) f (и) с/и уравнения (60.2) существует и принад- t
лежит D. В силу тех же соображений, что и в примере 65.D, достаточно доказать, что функция ф, определяемая формулой
ф(/) = £(0/ £ ‘ (“) I f (“) 1^“, принадлежит D и ограничена. Рас- t
смотрим произвольное / > 0, скажем tn_x<t^.tn. Используя (65.4), получаем
Ф(0<) IfWIdu + j^Wr'^+J / И(«)М«^
#n+l°°-
‘п-хг-‘
Теперь доказательство того обстоятельства, что функция ф принадлежит D и ограничена, проводится так же, как в примере 65.D. 4-
.F. Пример. Для произвольного данного пространства В eb^~, или bl?-*, или Ь^^, которое не слабее, чем любое ^L1, мы построим непрерывную ДеЕ, такую, что (при X = R) мы будем иметь Xot = R и пара (В, Т) будет допустима — откуда
следует, что пара (В, D) будет допустима и X№ = R будет единственным (В, О)-подпространством для каждого Deb9~K, — и все же такова, что условие (Dj) определения дихотомии не выполняется.
Мы утверждаем, что достаточно рассмотреть локально замкнутое ВеЬ5", которое не слабее, чем L1. Действительно, для любого ВеЬД или Ь.Т--" имеем а (В; 0) =а (1с В; 0) = = а(Т~1сВ;0) (21.Е, 23.11). Следовательно (см. 23.R), ТЛсВ, локально замкнутое пространство из Ь^“, также не слабее, чем U. Поскольку оно слабее, чем В, то из допустимости пары (7'-1сВ, Т) будет следовать допустимость (В, Т). Что касается ВеЬТ^"', то такое В сильнее, чем L” (см. 24.М(1)), локально замкнутое пространство из Ь^“, которое не слабее, чем L1. Поэтому достаточно- рассмотреть случай с L” в качестве В. ,
Пусть дано В е Ь^~, локально замкнутое и не более слабое, чем L1. Тогда В' локально замкнуто и не сильнее, чем L°°, а поэтому содержит неограниченную непрерывную функцию (см. 23.Q). Теперь мы строим 1 и а так же, как в примере 65.D, но для В', а не для D.
Положим Л ™^-1 + 6а"1, так что U — ^"'а"1. Согласно (65.3), U (/) С g-1 (0 <ехр (— t + ^t^, так что U g Т, откуда Хот = R. Используя (65.5) и тот факт, что g — возрастающая функция, находим
U (tn) U ' ^tn - ye„) = a„g ' (/Jg^ -у8„р>оо при п->оо, так что условие (DJ не удовлетворяется пи для какого нетривиального решения уравнения (60.1).
Далее, — Л = — Л = — (^"'+ 6а"1)- В силу примера 65.Е пара (М, В7) допустима для — Л'. По теореме 55.С пара (В", М7), т. е. пара (В, Т), допустима для Л (ср. 22.М, 23.Р). 4-
65.G. Пример. Для произвольного данного пространства BebSF, или ЫТ"*, или Ь^??*, которое не слабее, чем любое 0TLl, мы построим непрерывное Л е L, такое, что (при X = R) мы будем иметь ХОм = {0} и пара (В, Т) будет допустима — откуда следует, что Хоо = {0] и пара (В, D) допустима для каждого ОеЬ^^,^и все же такова, что каждое нетривиальное решение уравнения (60.1) не отграничено от нуля. Так же как в примере 65.Е, достаточно рассмотреть локально замкнутое В е Ь5Д которое не слабее, чем L1.
Для такого В мы строим g и а так же, как в примере 65.F (т. е. так же, как в примере 65.D, но для В7, а не для D), и
полагаем Л = - U+ ост, так что U = go ’. В силу (65.6) cr(f) = 1 для tn-i^t^-^ktn + t^O^tn-Kn, п=1, 2, .... Используя (65.3), получаем
\ e^U^dt^^ J e-4^dt>
О , m-1 tm_x п
е I/
= -^-e~<'/2/rt-> оо при n-»oo.
Согласно 23.V (1), U ф М. Следовательно, Х0м = {0}. С другой стороны, U^tn -1г^ = с-^1п —^Со"^ (/„)-► О прип-^оо, так что каждое нетривиальное решение уравнения (60.1) не отграничено от нуля.
Далее, — Л+ = — Л = ^-‘ — йо-1. Ввиду примера 65.D пара (М, В') допустима для — Л+. По теореме 55.С пара (В, Т) допустима для А. &
Замечание. Примеры, аналогичные примерам 65.D —65.G, можно построить в любом банаховом пространстве X, просто полагая А = = (+ ^-1 ± do-1) I, какой бы случай ни имел места. Тогда У = = g* 'а^ */; решения уравнения (60.1) ведут себя так же, как в действительном скалярном случае, а вопрос о допустимости сводится при помощи 51.S к вопросу о допустимости для соответствующего действительного скалярного уравнения.
Контрпримеры для обратных теорем
Сначала мы покажем, что в общем случае .неверны никакие обращения теорем § 62. Пример 65.С, который подпадает под разряд, указанный в заголовке этого пункта, показывает, что условие угловой удаленности является существенным в случае постоянного Л даже при сильных условиях (Di) и (Dn), для того чтобы обеспечить допустимость некоторой пары (В, D) или существование (В, D)-подпространств (по поводу аналогичных соображений относительно условий (Ei) и (Ец) см. пример 65.М). Мы покажем, что для теорем 62.А, 62.В, 62.D и 62.Е неверны никакие обратные утверждения, даже если отпадают трудности, связанные с угловой удаленностью, а именно если Y=X или У={0}. Более точно, мы построим уравнения в X — R (см., однако, заключительное замечание этого пункта) с непрерывным Л е L, таким, что пара (Т, М) не допустима (а значит, в силу
52.L и никакая пара (В, D) не допустима) и все же, такова, что либо XoT = R и каждое решение уравнения (60.1) удовлетворяет части (I) заключения теоремы 62.В — и тем более 62.А— для каждого ВеЬ5"К| а также заключению теоремы 62.D — даже с квадратными скобками (пример 65.Н); либо Аом = {0} и каждое решение уравнения (60.1) удовлетворяет части (II) заключения теоремы 62.В — и теоремы 62.Л — для каждого DgIi^k или заключению теоремы 62.Е — даже с квадратными скобками— (примеры 65.1, 65.J). Заслуживает внимания, что примеры 65.1 и 65.J дают два различных «превращения» примера 65.Н (в том же самом смысле, в котором примеры предыдущего пункта получаются один из другого «превращениями»), Фактически пример 65.1 дал бы (62.14) вместо заключения теоремы 62.Е.
65.Н. Пример. Пусть а — действительная непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция на R+, такая, что <?(/)= I всюду, за исключением неперекрывающихся интервалов Jn = = [п — п-', и], п = 1, 2,..., а на Jn a (t)^ 1, причем Пт апе-п = оо, п->оо .
где ап = Jo (и) du.
Положим А=1+дст“', так что U k.t') = e-t<s-x ^^,e-t для всех t, UeT и Xot = R. Покажем, что пара (Т, М) не допустима для А. Поскольку функция f(t) = e-t принадлежит Т, t
достаточно показать, что решение у (0 = е^'а-1 (t) J а (и) du о
уравнения (60.2) не принадлежит М (ср. 51.R). Действительно, о (0=1 для п ^ t ^ п + -^, п=1, 2,..., так что у(0^ п
"^e-t J a (u)du^e~n~lon для таких t. Следовательно, п-п-1
п+1п4’
j \y^\dt> ^ 1 y(f)\dt>^e-n-'1an-+oo при п->оо и у ^ М. пп
Обратимся к однородному уравнению. Пусть дано А>0. Положим р = 2 + [2А-1], так что р-х<^\. Мы утверждаем, что существует х = х(А)>0, такое, что■
1/(0 + Г;-1 ^ОХ1^. xeR^ (65.7)
Предположим на время, что t'^p. Поскольку р^2, то t и t + р-1 не могут обе быть внутренними точками интервалов Jn, п> р. Следовательно, либо о(/) = 1, либо o(f + р_|) = 1. Поэтому
U (0 + 1) U + р"^ = е™* (о (/) + в”р 'о-1 (/+ р”1)) ^е 2.
Отсюда вытекает, что неравенств:) (65.7) справедливо с х = = max (е1'2, max а(/И- Поскольку р не возрастает при возра-
I ОС <Д р J
стании А, то х обладает тем же свойством.
Для каждого / ^/0 ^ 0 и каждого и, О^и^Д —р-1, имеем в силу (65.7)
{7 (f + u) i(< + „) _+ /
U(t + p~' + и),
< хе-(,”,’) (U (<0 + и) + U (/0 + р + «)).(65.8)
Далее, t < t + р”’ < t + у А < t + Л — р"1 < t + Д, так что [С t + + А — р“'] U [/+ Р“\ ^ + Л] = [С t +.Д]. Поэтому (65.8) дает
Х[<. t+&^ ^ X[t. /+д-р-']^ + Xp+р-1, /+д]^ ^
^хе (< ^ (Г^^хр,j,+д-р-']^ + ^/-b-p-'Xt^+p- i,<„+д]^ +
+ ^f-fo+p-IX[/o, fa+x-p- Ч^ + ^(-^Хр^р-1, <,+д]^} ^ ^хе-^^Т^^ + 2Tt..ti + Т№р-^ t^}U.
Мы заключаем, что для любого ВеЬ.Г^ верно неравенство
В частности, для D = L‘, L°° получаем
/ + Л/о+д*■
j и (и) du < 4хе-<#-м J и (и) du,
Umax U^^.
to ^ u< t- + Д
/t Ч-ДX
4xe_(/~f“W (Zo) exp I J |Л(и)|<7иП
tn/
Поскольку общее решение уравнения (60.1) имеет вид х=(/.т(0), то эти неравенства показывают, что часть (I) утверждения теоремы 62.В и заключенная в квадратные скобки часть теоремы 62.D справедливы с р=1, Л1 = Л0 = 4х. 4»
5.1. Пример. Используем ту же функцию ст, что и в примере 65.Н, и положим А = — 1 + сто'1, так что U ^ = е#а-1 (0 для
п+1п + Т
всех t. Далее, J U^dt^^ е‘dt ^~ел —> оо при п —> оо, так пп
что U ф М и Лом = {0}. Для доказательства недопустимости пары (Т, М) достаточно (5LR) показать, что решение *у (/) =
= — e^cr-1 R) J e-2"cr(w)dw уравнения (60.2) при f(/) = e-< не при- t
надлежит М, если интеграл вообще существует. Для га—1^ ^i^ra —-£, га = 2, 3, ..., имеем <т(0=1; следовательно, для
таких / получаем lyCOI^^ j е~2иа (га) du ^ еп~'е~2пап. По-
п — п
этому J | y(t) \dt ^-^е п 'ап-> оо при га—> оо, так что действи- n—1
тельно у^ М.
Для произвольного Л>0 выберем р так же, как в примере 65.Н, и докажем методом, использованным при доказательстве неравенства (65.7), что
U^H^lH^'e*, t^R+,
с тем же самым х. Продолжая так же, как в примере 65.Н (меняя только местами /о и /), получаем для всех />/о>О неравенство -
Х[((„-Д)+, ц^ ^^ U ^(^-(^-^-р-') +
+W + Т-(г-^+р-1)) Х[«_Д)+, q^.
Мы заключаем, что для любого D е ЬгДк верно неравенство | Хр,-Л)+. Ч|D4хе-^-^| Х[(<_Л) + , q<7
В частности для D = L',
J и ki0du^4xe-«-^ J U(.u^du. (+-A)+(f-A) +
Эти неравенства показывают, что справедливо утверждение (II) теоремы 62.В с |л' = 1, М' = 4х. 4,
.J. Пример. Используем ту же функцию а, что и в примере 65.Н, и полагаем Л = - (1 + да-1), так что U (/) = е‘о ^^е*. Следовательно, U ^ М и Хом = {0}. Поскольку — А^ = — А = = 1 + да?1, пример 65.Н показывает, что пара (Т, М) не допустима для — Л+. По теореме 55.С пара (М', Т'), т. е. пара (Т, М), не допустима для А.
Пусть дано Д>0. Положим р = 1 + [Д-1]. Для любого t^p существует t', t^t' ^i + Д, такое, что а(Г)=1. Используя (t+д\
— Д — j | А (и) | du I .
tJ
Мы заключаем, что существует х' = х'(Д)>0, такое, что
(
/+д\
— j | А (и) \du j, tE R+.t/
Следовательно, при i^io^O мы имеем
(
^о + Д\
— J | А (и) | du I.
Поэтому заключенная в квадратные скобки часть теоремы 62.Е справедлива с |Z=1, L' = x'. ^
В приведенных примерах Л ^ М, и по основательной причине: если, например, Y = X и ЛеМ(^), то в силу части (I) теоремы 62.А Y=X индуцирует дихотомию (см. (33.3)), следовательно, X должно быть (L1, L°°)-подпространством и пара (L1, L00) должна быть допустима (теорема 63.С); аналогично для других случаев. Однако, как мы сейчас покажем, если пренебречь специальным видом Ь^о) и Ь'ЦоЛУ то вполне возможны уравнения в X=R с Л g С, такие, что либо Zot = ^ и каждое решение уравнения (60.1) удовлетворяет заключению теоремы 62.D (даже с квадратными скобками), либо Хом = {О} и решения удовлетворяют заключению теоремы 62.Е (даже с квадратными скобками), и все же никакая пара (В, D) не допустима.
65.К. Пример. Положим
А (/) = е~” + 1 + sin 1п (/ + 1) — cos In (/ + 1), так что Л е С и [/(<) = exp [е~л — (е-л + 1 — cos In (i + 1)) (i + 1)}^ ^ехр(—е-я/) и, значит, УеТ и ХоТ= R. Для всех i^io^O имеем
■ W1 (/0) < ехр {- е”" (i +1) + (е~л + 2)(io + 1)} =
= ехр{- е~л(/- i0) + 2(i0 + 1)},
и (62.10) справедливо с ц = е-л, Л (/0) = е2 (/ +п. Однако для целых положительных h
t/(e2tn-l)[7-4e(2W-l)==
= ехр{— е^-1* л + (е~л + 2) е*2*'1’"} =
= ехр((е-я + l)e(2fc-l) л} —> оо при й—>оо, так что условие (Di) не выполняется, и дихотомии нет. По теореме 64.А никакая пара (В, D) не допустима. 4.
65.L. Пример. Возьмем алгебраическое сопряженное к уравнению примера 65.К, так что опять ЛеС. Поскольку оператор U является обратным к оператору примера 65.К> то U (/)^ехр(е~л/), так что U ^ М и Аом = {О}. Далее, неравенство (62.12) справедливо с р/ = е-л, U (tQ, Л) = е- (<о+1>. Однако условие (Du) не выполняется, никакой дихотомии нет и никакая пара (В, D) не допустима. 4-
Замечание. Для Л из примера 65.К [65.LJ имеем — Л+=—Л, и для любого D е bj^ имеем (Хом ( — Л))1 — {О}1 = R = Хот (Л) = X0Q (Л) Г(ХОМ(- Л))^ -/^ -{°}-Хом (Л) =-АГ0о (Л)]; тем не менее не существует никаких (Т, О)-подпространств. Это иллюстрирует замечание 2 к теореме 55.А и лемме 55.В.
Как уже отмечалось в начале этого пункта, в примере 65.С А постоянна, подпространство Y = Хо удовлетворяет условиям (Di) и (Dh) определения дихотомии (но не условию (Dm)) и никакая пара (В, D) не допустима. Что будет, если для некоторого подпространства Y выполняются условия (Ej) и (Ец) определения экспоненциальной дихотомии? Если АеМ(Х), то 42.D показывает, что выполняется условие (Dm)- Следовательно, имеет*место экспоненциальная дихотомия, и теорема 64.С точно описывает все допустимые пары. В противном случае, однако, никакая пара (В, D) не обязана быть допустимой даже для двумерного X (для одномерного X проблема бессодержательна) и непрерывного А:g 1 /(-^ - о
65.М. Пример (продолжение примера 42.G). В примерё^Х} возьмем ф(/)=е2<. Условия (Ei) и (Ец) определения экспоненциальной дихотомии удовлетворяются. Рассмотрим функцию f (/) = (0, e-t), так что feT(X). Общее решение х уравнения
(60.2) имеет вид
х (0 = (%] (0, х2 (/)) = (c^-t + с2е3* - -у е‘, 4с2е< - у е"^, где постоянные С] = х, (0) —-у х2 (0) +-|-, с2 =-j х2 (0) +-j- произвольны. Для каждого решения ||х(/) || -► оо при t-*oo, так что
х ^ М. Поскольку пара (Т, М) не допустима, то не допустима никакая пара (В, D). £
Мы закончим этот пункт примерами, показывающими, что в теореме 64.С предположение A е М(Х) обязательно для необходимости условия толстоты для пары (В, D) (достаточность доказана в теореме 63.К). Фактически мы для каждой пары (В, D) из очень широкого класса пар построим уравнение в X = R с непрерывным /IeL, для которого пара (В, D) допустима и R или {0} (по нашему выбору) индуцирует экспоненциальную дихотомию. Этот класс состоит из всех тех пар (В, D), для которых либо D слабее, чем Ь^ДВ^ где Dj е ЬУ"к содержи! неограниченные непрерывные функции, либо В сильнее, чем Ш/Вь где Bt еЬ7, или b/ГЛ или ЬЕГ^ не слабее, чем любое 0Т1А Этот класс, очевидно, содержит пары, в которых D не толсто по отношению к В, например пары (М, L1), (L°°, Т) (ср. | 23.W(3), (4)). В частности, укажем . пару (L1 V L°°, L1 Д L°°), сильнейшую из всех пар, состоящих из (обобщенных) пространств Орлича (см. Шеффер [1], раздел 5, особенно теорему 5.2). Примеры попутно показывают, что ни одна из этих пар, включая все пары, образуемые обобщенными пространствами Орлича, не является «абсолютно недопустимой» в смысле § 51 (стр. 157).
Ясно, что достаточно построить примеры для пар вида (М, L°° Д D,) и (L1 V В„ Т); а рассуждения в примере 65.F показывают, что в случае последней пары достаточно предположить, что В, еЬ.Т локально замкнуто и не слабее, чем 1А При описании примеров мы будем опускать нижний индекс 1.
65.N. Пример. Пусть дано D е Ь^-к, содержащее хотя бы одну неограниченную непрерывную функцию. Построим •функции б и £ так же, как в примере 65.D, и рассмотрим функцию т] (/) = е~^ (/). В силу (65.2) и (/ + б (/)) = ехр ( — у f^ (t). Поскольку / + б (/) и £ возрастают с ростом t, ^ — возрастающая функция для t^tv Поскольку т](0 = ехр (—/ +/2/2/|) убывает, когда t изменяется от 0 до tx для любых /"^С^О, мы имеем Л (С') Л~! (О^ Л (^i) Л"1 (0) = ехр ^—^ /^. Следовательно,
т>ехр(/"-Г-1/,)т, t">f>0.(65.9)
Положим А = ^С'[^ = ~ ts ']> так что ^ = ^1[^ = У. В силу (65.9) ясно, что R [ {0} ] индуцирует экспоненциальную дихотомию для А. Согласно 63.К, пара (М, L°°) допустима.
Обсуждение примера 65.D [65.Е] показывает, что пара (М, D) также допустима. Из леммы 51.R (или из теоремы 51.N) следует, что пара (М, L”AD) допустима. 4
65.0. Пример. Пусть В е Ь^- локально замкнуто и не слабее, чем L1. Построим Е, как в примере 65.F, т. е. как в примере 65.N, но для В' вместо D. Снова полагаем Л = ^-1 1д = - ^"Ч и находим, что R [{0}] индуцирует экспоненциальную дихотомию для Л. Согласно 63.К, пара (L1, Т) допустима. По примеру 65.N пара (М, В') допустима для — Лт= — Л. По теореме 55.С пара (В", М'), т. е. пара (В, Т), допустима для Л. Поэтому пара (L’VB, Т) также допустима. & •
Замечание. Как и в предыдущем пункте, все примеры этого пункта, за исключением, конечно, примера 65.М, могут быть трансформированы в соответствующие примеры для случая произвольного X умножением действительного скалярного Л на / (в силу 51.S).
оо Примеры для бесконечномерного пространства
Здесь мы собрали некоторые примеры (все для сепарабельного (действительного или комплексного) гильбертова пространства X и с ограниченными непрерывными А, принимающими симметрические или эрмитовы значения), иллюстрирующие утверждения, которые могут оказаться неверными, если размерность не конечна. Частично они используются для иллюстрации замечаний гл. 5. Для начала по-новому посмотрим на примеры 41.Н н 41.1. Уже отмечалось, что они служат примером случаев 12 и 111 (для обыкновенной дихотомии) соответственно (ср. замечание к теоремам 64 1), 64.Е).
65.Р. Пример (продолжение примеров 33.11, 41.Н и 43.F). В примере 41.Н подпространство Хоо = (0) индуцирует дихотомию, но Хо не замкнуто. По теореме 63.Е пара (L1, L”) регулярно допустима; но пара (L1, L°°), конечно, не являлся регулярно допустимой. Это иллюстрирует замечание 2 к теоремам 51.F, 51.G, ибо /L” = 1с L” = L°°. 5»
65.Q. Пример (продолжение примеров 41.1 и 43.F). В примере 41.1 подпространство Хо = X индуцирует дихотомию, так что пара (L1, L“) регулярно допустима, а X является (L1, L“)-подпространством для Л (теорема 63.С). Алгебраическое сопряженное уравнение совпадает с уравнением примера 41.11 (пример 65.Р), так что Хо (LI), (— Л ) = Х0(—Ат) не замкнуто. Это иллюстрирует вводные замечания к лемме 53.С, теоремам 53.D, 53.Е п т. д. .
Этот пример показывает также, что в теореме 63.Е предположение о том, что Хсо имеет конечную коразмерность относительно Y, не является излишним, поскольку мы имеем случай III и потому никакая пара (В, L”) не может быть допустимой (т. е. регулярно допустимой, ибо Хоэ = (О}), а ХОо не может быть (в, L”)-подпространством (теорема 64.А или теорема 64.D).4,
Мы можем объединить оба примера в один, иллюстрирующий случай 112 для обыкновенной дихотомии:
65.R. Пример. Пусть X — внешняя прямая (гильбертова) сумма ХЧ>0Х(2> двух экземпляров (действительного или комплексного) гильбертова
пространства /2, так что X само является сепарабельным гильбертовым пространством. Пусть (60.1) имеет вид системы
4° + (th и - Л) - 1)х® = 0,п=1, 2 (65.10(1))
^ - (th (/ - я) - 1) х® = 0,п = 1, 2, ....(65.10(2))
Таким образом, (60.1) распадается на уравнение примера 41.Н в X11’ п его алгебраическое сопряженное—уравнение примера 41.1 в Х<2).
Мы утверждаем, что подпространство У = (011)}А Х<2> пространства X, обладающее ортогональным дополнением Z = ЛО)А{0(21}, индуцирует дихотомию. Действительно, норма решения уравнения (65.10(1)) не убывает, норма решения уравнения (65.10(2)) не возрастает, и решения, начинающиеся в момент / = 0 на У или на Z, остаются в тех же самых подпространствах. Поэтому выполняется условие 41.С (d) с N = N' = 1,со(|=-^л.
Обозначая через Х^\ Х$ соответствующие многообразия в Х^ для уравнений (65.10(1)), 1=1, 2, мы получаем, очевидно, Хо = Xq 1 ф Х^ = = Х^ © Х(2\ причем это многообразие не замкнуто, поскольку не замкнуто X® (пример 41.Н); далее, Хю = Х$ ф Х^ = {0} не индуцирует дихотомии, поскольку ее не индуцирует {о®} для решений уравнения (65.10(2) ) (пример 41.1). &
Наконец, обратимся к вопросу о том, является ли предположение, что У есть (В, D)-подпространство или что пара (В, D) регулярно допустима, необходимым в прямых теоремах предыдущих параграфов (помимо тех случаев, когда предполагается наличие обыкновенной дихотомии, как, например, в 63.Н, 63.1 и проблеме, поставленной между ними). Пример 65.Р показывает, что пара (L1, L“) может быть допустимой, даже если Хо не замкнуто. Сейчас будет описан более драматический пример, когда никакое X0D не замкнуто и никакое подпространство У не удовлетворяет даже заключению теоремы 62.А, не говоря уж о том, что никакое У не индуцирует ни обыкновенной, ни экспоненциальной дихотомии, и все же допустимы все пары (В, D), в которых D толсто по отношению к В.
65.S. Пример (продолжение примера 33.G). В примере 33.G X0D плотно в X, но является его собственным подмножеством для всех D е bJK. Мы применим этот факт к D = Т, М; поскольку всякоз подпространство У, удовлетворяющее заключению теоремы 62.А, должно удовлетворять включениям Хот с: У с: Хом, то мы должны были бы иметь для такого подпространства X = cl Хот с: У с: Хом #= X. Следовательно, таких подпространств не существует.
Для любой функции ] — (f„) е Nl(X) одно из решений х= (хп) уравнения (60.2) определяется компонентами
Хп-^~ J chU-n) du’ "~L2' n
Поскольку при I Т1 К I т21
тото\хп (О К2\хп (О К2^!Ик < 2е-( 1 т=1-1 Т| 1 ch т2 "^!Ик < 2е-( 1 т=1-1 Т| 1 ch т2 "tJ e-^VkWu пtJ e-^VkWu пI fn (и) I duI fn (и) I du
то
то
\хп (О К2
\хп (О К2
^!Ик < 2е-( 1 т=1-1 Т| 1 ch т2 "
^!Ик < 2е-( 1 т=1-1 Т| 1 ch т2 "
t
J e-^VkWu п
t
J e-^VkWu п
I fn (и) I du
I fn (и) I du
(последний интеграл существует в силу 23.V (1), ибо |Д| е М). Так как длина кривой в X не меньше, чем длина хорды, то
(
ОО / ОО\ 2 \ УзОО
^ J fn(«)l d« <2 J е-'и-ц WiWUu.
1 'О/ / о
Если D толсто по отношению к В и (е В(Х), то последний член этого неравенства принадлежит D (см. 23.(1)), так что yeD(X). Следовательно, пара (В, D) допустима. Такие пары вполне могут быть не слабее, чем(с', L”). Следовательно, этот пример иллюстрирует замечание к теореме 52.Е. ^
Оценка параметров дихотомии
Доказательства прямых теорем § 63 и 64 позволяют оценивать параметры дихотомии (обыкновенной или экспоненциальной) в конечном счете через Ку и в случае теорем 64.А, 64.В также через | Л |м, но в остальном оценки не зависят от А. Мы не будем выписывать явные формулы в общем случае, а рассмотрим лучше интересный частный случай, который в действительности нам потребуется в дальнейшем (см. теорему 102.А), а именно случай, когда А е L°°(X) и пара (L°°, L°°) регулярно допустима (так что по теореме 64.В подпространство Хо индуцирует экспоненциальную дихотомию). Оказывается, что при этих предположениях оценки параметров дихотомии, которые могли бы быть получены из доказательства теоремы 64.В, являются чересчур грубыми, а метод, комбинирующий теоремы 61.А, 64.А и 64В, дает значительно более точные значения. Сейчас мы выполним соответствующее вычисление.
65.Т. Вычисление. Предположим, что AeL°°(X), и положим |А| = а. Предположим также, что пара (L00, L°°) регулярно допустима, и положим К = Косое 2 = 5^. Очевидно, C^.^^l.
Пусть у — нетривиальное ограниченное решение уравнения (60.1). Для фиксированного т>0 определим функцию х формулой х (/) = у (О J х[0 т| (ы) IIУ ku 1Г' du для всех teR+, так что х о
является (см. 31.В(Ь)) решением уравнения (60.2) для f = х10, т)sgnу. Далее, feL”(X), |f|=l; х(0) = 0; функция
хх = у J ||j/(»)ll ' du ограничена, откуда следует, что и х ограничена. По теореме 51.D (замечание) имеем
|| у (т)Ц J II у (и) II"1 du = \\x^ ||<k|<^(l +S)|П=^(1 +S).
°(65.11)
Неравенство между крайними членами справедливо для всех t
т>0. Положим v = K~l (1 +S)-'. Если ф (/) = J || у (и) |Г* du, то в о
силу неравенства (65.11) фф-1 > v, откуда, интегрируя и учитывая (65.11), находим
f
I II У W II”' vev f || у (и) |Г' du для всех t^t'^O. (65.12) о
Пусть дано /0>0. Положим /' =/о + а-|1п (1+av""*) >/0. Если f, то, применяя (65.12) и (31.7), находим
lly^ir'^v^ j II z/(u) \\-'du>
"^’Vev Ч-t') || у (/0) ||-1 J е-а (u-t„) Ди _
Н1+«<')-(|+о~Ч)г’(^|^- ']
т. е.«
II У (О IK (1 + av-'y+^’ve-vn-v ц у (/о) ц. (65>1з)
Если /0 <С / ^/', то в силу (31.7) имеем
.IIУ W || < еа «-^>11 у ^ || < е^ »'-4)e-v (<-Ч)Ц у (/0) ц,
т. е. снова (65.13). Следовательно, у удовлетворяет условию (Ei) с
v = K~' (1 + 5)“', N = (1 + av"l)'+a-lv. (65.14)
Читателю стоит убедиться самому, что значение N в (65.14) является наилучшим, которое можно получить из (65.12) (для любого /') и (31.7). Заметим также, что (65.12) (с С = /о) и (31.7) дают \\yUY'i^n^-t (1—е йЛ|) || у (Zo) II, так что при доста-
точно больших /о N может быть заменено любым числом, большим av-1. Если в последнем неравенстве положить / = /0 и устремить /о к оо, то мы придем к заключению, что v^a. Это означает, что в (65.14) N ^4av"’.
Пусть дано Х>1, и пусть г— нетривиальное решение уравнения (60.1) с ||z(0) ||^ W(X0, z(0)), а у — произвольное ограниченное решение уравнения (60.1). Положим w = y + zN=0. Для фиксированных т'>т>0 определим функцию х равенством
tОО
X W = У (0 J Х[т т1 (п)И W (и) г‘ du - z (0 J х[т< т1 (u) II W (и) Г' du. оt
Таким образом, х есть решение уравнения (60.2) для f = Х[Т Tq sgn w.
Далее, f е L°° (%), |f|= 1; x(0) = — z(O)J || w (и) Ц-' du, откуда T
|| x (0) |KXd(X0, x(0)); функция xoo=y j || w (u) Ц""' du ограничена, T
откуда следует, что и х ограничена. По теореме 51. D
11 z W II J II W (и) 1Г1 dll = ||х (т) || < IX К хк (1 + 25) | f | = ХК (1 + 25). т
Поскольку это справедливо для всех V>t, то, полагая vo = К-х (I + 2S)-1, получаем
Р(0|ф|®(«)1Г' du<XV~x.(65.15)
Рассмотрим сначала случай у = 0. Если ф = J || z (zz) Ц-' du, t
то неравенство (65.15) дает фф-1^ — X-Ivo, откуда, интегрируя и учитывая (65.15) и (31.7), находим
'-1 ' _ °°
Ilz^r^V’v^ J||z(zz)ir'rfM>
t
^X~'a~xv’oeK v°^ /o^||z(Z)|p' для всех f^fo^O,
т. e. || z(Z) ||^ (2,zzVq-1) 'eX v°^ <0^ || z (/0) ||, так что z удовлетворяет условию (Еп) с
V = Л~Чо, N' = XaVo ', где vq =(1 + 2S)-1.(65.16)
Допустим теперь, что у #= 0, и пусть дано т^О. Применяя (65.15) к Hi/Mir’y и || z (-г) ||~1 z вместо у и z, получаем, что при t = тt
V'y^lj 11 оу (и)1Г* du ) ^
■^11 чу (т) || f j е~а(ы-т)(Д/^ = ay \у (т), z(t)].
\т/
Следовательно, у и z удовлетворяют условию (DHI) с
^=(ха<У'.(65.17)
Мы заключаем, что Хо удовлетворяет условию 42. A (b) с v, v', Л/, N', уо, определяемыми формулами (65.14), (65.16) и (65.17). Мы получили не совсем условия из определения экспоненциальной дихотомии, так как значение vz в (65.16) зависит от 1. Однако из теоремы 42.А (замечание 2) следует, что мы можем взять в качестве v' любое фиксированное число, 0<v' <Vq, за счет соответствующего увеличения N' = N'^ для каждого X. £
Замечание. Обратно, нетрудно видеть, что имеют место оценки
KC^Nq'^'N+V-tN'\ S^N.(65.18)
Вторая из них очевидна. Доказательство же первой столь похоже па доказательство теоремы 63.С, что мы предоставляем его читателю (см. также Шеффер [8], стр. 78).‘
66. Поведение решений сопряженного однородного уравнения
Следствия существования (В, Dy подпространства
На всем протяжении этого параграфа мы имеем дело со спаренными пространствами X, X' и с уравнениями (60.1), (60.2) и (32.1), (32.2), т. е.
х'-А'х' = й,(66.1)
' х' — А'х' = У 1(66.2)
для данной функции A е L(X), имеющей сопряженную. Нашей целью является изучение поведения решений уравнения (66.1) в предположении, что мы имеем некоторую информацию об уравнении (60.2). В этом параграфе (В, D) всегда будет обозначать ^Г-пару, и мы будем исследовать случай, когда существует (В, В)-многообразие для А. В последнем пункте мы несколько ртойдем от этих предположений,
Простейшим (и единственным интересным для конечномерного X) случаем является тот, когда существует (В, D)-подпространство У для А, обладающее свойством квазистрогой спарен- ности. Как мы знаем (теорема 54.В), тогда У0 является (Dz, В')- подпространством для —А'. Для того чтобы применить прямые теоремы § 62, 63 и 64 к уравнениям (66.1) и (66.2), мы должны лишь выяснить, какие дополнительные свойства пары (В, D) обеспечивают нужные нам дополнительные свойства пары (Dz, В'). В действительности удобно заменить пару (В, D) парой (В, Dc), что можно сделать, поскольку Dc содержит те же самые непрерывные функции, что и D, и с той же самой нормой. Условия, о которых идет речь, даются леммой 23.Т, и, поскольку они являются необходимыми и достаточными, результаты § 65 показывают, что теорема, которую мы сейчас сформулируем, является наилучшей возможной постольку, поскольку дело касается свойств пары (В, D).
Мы сформулируем результаты, соответствующие прямым теоремам § 62. Сжатая табличная форма оправдывается растянутостью и простотой вывода наших утверждений.
А. Теорема. Предположим, что У является (й,О)-подпространством для А (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У = Хоо) а что У обладает свойством квазистрогой спаренности. При следующих дополнительных предположениях верны утверждения следующих теорем с заменой (60.1) на (66.1); у, г на у', z'\ У на У0 и D на В':
дополнительные предположения
теоремы, указанные модификации которых справедливы
никаких
теорема 62. А
пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”)
теорема 62. В
В слабее, чем L1 \и пара (В, D) не слабее, чем (L1, Lo°)]
теорема 62. D
D сильнее, чем L°°[u пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”)]
теорема 62. Е
Доказательство. У является (В, Dc)-подпространством для А. По теореме 54.В У0 является (О^, В')-подпространством для —А'. Наши утверждения следуют из 23.Т и теорем 62.А, 62.В,
62.D и 62.Е, примененных к уравнениям (66.1) и (66.2), многообразию У0 й паре (De, В')- &
Замечание 1. Рассмотрите «пересечения» предположений теорем 62.D, 62.Е и соответствующие части теоремы 66.А.
Замечание 2. Теорема 66.А остается верной, если предположение «У является (В, D)-подпространством для А (в частности, пара (В, D) регулярно допустима для А и У = X0D)» заменить более слабым предположением (ср. с теоремой 52.L) «существует (В, D)-многообразие для А (в частности, пара (В, D) допустима для ,4) и У является (Т, D)-подпространством для А». Это следует из доказательства леммы 62.F.
Имеется, конечно, аналог этой теоремы для более сильных предположений прямых теорем § 63 и 64, которые обеспечивают существование дихотомии (обыкновенной или экспоненциальной) для А. Такой аналог вида «если У есть (В, D)-подпцосгранет во для А со свойством квазистрогой спаренности и ..., то У0 инду- I цирует дихотомию (обыкновенную или экспоненциальную) для —А'» является, однако, простым следствием, получаемым с помощью теоремы 43.А, тех прямых теорем, которые связывают дихотомии для А и для —А'. Мы предоставляем ее очевидную формулировку читателю.
В этой связи интересно привести «непосредственное» доказательство теоремы 43.А. Оно обладает теми недостатками, что использует неоднородные уравнения и не дает соотношений, от' меченных в доказательстве I этой теоремы между значениями v и V для экспоненциальной дихотомии.
Доказательство п теоремы 43. А. Поскольку У индуцирует обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для А, то оно является (L1, L“)-подпространством [и (L2, L2)-подпространством] для А. Поэтому У0 обладает теми же самыми свойствами для —А' (поскольку (L'J^L00, (L”)^^, (L2)'=L2) и, следовательно, индуцирует обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для —А' (теорема 54.В и дважды использованная теорема 63.D [теорема 63.М]). £,
со Следствия одного лишь существования (В, В)-много- образия
Остальная часть этого параграфа представляет интерес только для бесконечномерных X.
В § 61—64 предположение, что У замкнуто, было весьма существенно для справедливости прямых теорем. Пример 65.S показывает, что очень мало определенного можно сказать об уравнении (60.1), если это предположение не имеет места. Поэтому несколько удивительно, что одно лишь существование (В, D) -многообразия (следовательно, в частности, одна лишь допусти- ■ мость нары (В, D)) для А без каких бы то ни было предположений о замкнутое гн, не говоря уже об условии квазистрогой спаренности, обеспечивает
поведение решений сопряженного уравнения (66.1), которое на первый взгляд чрезвычайно похоже на поведение, описанное в прямых теоремах § 62, 63 и 64 (ср. предыдущий пункт). Разница в сущности состоит в том, что это поведение «неравномерно» относительно выбора решения.
Приступим к изложению этих результатов. Ввиду только что упомянутой «неравномерности» выглядит интересным сформулировать «индивидуальные» теоремы, касающиеся изолированных решений, и «коллективные» теоремы, касающиеся классов решений, обширных настолько, насколько это возможно. Хотя результаты последнего типа требуют значительно более сложной техники, мы для экономии места не будем доказывать более простых результатов непосредственно (путь, которым это можно было бы сделать, станет ясным из наших доказательств).
Центральной проблемой является получение «заменителя» теоремы 61.А. Это — теорема 66.D. Сначала мы докажем элементарный вариант этой теоремы— 66.С; для этого нам понадобится следующая почти тривиальная топологическая лемма:
В. Пусть S — топологическое пространство и ср — неотрицательная действительная функция на SxR+, такая что <р(р. •) не убывает, lim тр(р,/) = оо для каждого peS и <р (ь О непрерывна на S для каждого t<=R + . Для любого числа ^>0 положим ОДр) = sup[t; (f(p, t) ^ k}. Тогда функция Од полунепрерывна сверху на S.
С. Предположим, что Y есть (В, D)-многообразие для Л. Тогда, полагая Ку = KYB D (Л), имеем;
для каждого А>0, каждого решения у' уравнения (66.1) с у' (0)е У0 и каждого т ^ 0
‘2К
I^Hb^^MD^) J(66.3)
T
для каждого A>0 и каждой пары решений у', г' уравнения (66.1) с у (0) е У°, г' (0) ^ Х'№,
т+ А
таХ { 1ег+лу1в'' lZI0. Лв,}liy'W+z’(u)fldu (66.4)
т
для всех т > тг(г'(0) ), где ту (х') = ty (sgn V) — полунепрерывная сверху функция на X \ Хов,.
Доказательство. (I) Мы можем считать, что г/'=Л= 0. Положим t
х' (t) = y'(t) ( Х|Т1 т+д1 (и)]!//'(u)ll“‘ du.
6
Таким образом, х' является решением уравнения (66.2) для f = Х[Т т + д] sgn у\ и мы имеем IIП = Х|т, т+др ()ТКУДа в силу 23. К /'е k0D'(X'), |f|D,= т + Д
-= Р (О'; Д)^2А/а (D'; А). Далее, х'ю = у J || у' («) || ' du, так что х'^ (0)еУ° т
и х' (0) = 0. По теореме 53. А х' е В' (X') и
|x^B.^2AAr/a(D'; А).(66.5)
Используя неравенство Шварца (ср. (61.3) в доказательстве теоремы 61.А) и учитывая (66.5), получаем неравенство (66.3).
II Для всех решений х* уравнения (66.1) функция | Xfo т] х |в- является непрерывной функцией от х' (0) е X' для каждого фиксированного т ^ 0. Действительно, используя (31.7), получаем
11 Х[0, tjx2|в, "" | Х[о, т]х1lBJ = IХ[о, т] (х2 - *0 |в, <
(В'; т)|х[о, г1(х2-х0|<
<Р (В7; т) [|Ху (0) -х' (0) {] exp ( J || А (и) || du I.
Далее, для фиксированного х' (0) функция | Х(о т)х'|в/ не убывает как функция от т. Если х' (0) ^ XqB> т. с. х' ^ В' (х'), то, поскольку В' локально замкнуто, Пт |хю Tix'l = оо (см. 22.11). Теперь мы можем применить Т->оо 11
лемму 66. В к пространству S = ^х' е X': || х'|| = 1}\^в, и функции ф(х'(0), т) = |х[0>Т]Х'|В,. Введем обозначение Cy = CyBD(A). Из 66. В следует существование полунепрерывной сверху функции
Ту (х') = Ту (sgn х') = 02Су (sgn х'\ х'еХ'\ ХдВ„
такой, что если г' есть решение уравнения (66.1) с z (0) ^ Хов,, то для любого т>Ту(г'(0)) имеет место неравенство
|Х10. т^'1в,>2Су||^ (0)||.(66.6)
Пусть теперь у' и z' удовлетворяют условиям, приведенным в формулировке предложения, и пусть т>Ту(г'(0)). Поскольку г (0) ^ Хов,, то за = = у' + z' V= 0, н мы можем положить" /ОО
хЦИ-уЧО J Х[т, т+Д| («> I! ^ (“)1Г‘ ^-z'^ J Х[т, Т+Д1 («)Н ™' («)Г‘ йи. оt
Так определенное х' является решением уравнения (66.2) для f' = = Х[Т- т+д] sgn ш'. Снова f'ekoD'(X') и |D, С 2А/а (О'; А). Далее,
х^ — у J 11 аг'(и) || * du, так что х^ (0) е У0 и II х'(0) || = ||/(0) || X т т+д
X J || ш' (и)|Г' du. В силу теоремы 53. Л и неравенства (66.6) х'е В' (X') и тт+Л
|х'|в,С2АКу/а(О'; А) + 1|х[0, t^Ib- J IIш'(и)Г1 d«. (66.7) Т + Дт
Далее, |Х|0- Tjz'|B, j ||ш' (и)Ц-1 du Clх'|в/. Вместе с (66.7) это дает :Т |х'|в, С 4 АКу/а (О'; А).(66.8)
Используя неравенство Шварца (ср. (63.1) и (61.4)) и учитывая (66.8), получаем (66.4). &
66. D. Теорема. Предположим, что У является 4 В, D) -многообразием для Л (в частности, что пара (В, D) допустима для А и Y = X0D) и что Z'— конечномерное подпространство в X', такое, что У0 П Z'= {0}. Тогда существуют числа с > 0, с' 0, такие, что для любого А > 0 любой пары решений у1, / уравнения (66.1) с z/'(0) е У0, Z(0)eZ' и любого т 0 имеет место неравенство
т+Д
тахубт+дИв'- |Х[о, т/|в J < 2-^^т^ j И У'(«) + z'(») II du, (66.9) т
где Г^А^Гф', В';А) = Г(В, 1с D; А) вычисляется по формуле (61.5).
Доказательство. 1°. Положим V =Z П^ов,. Это конечномерное подпространство. Пусть W' — (конечномерное) дополнение к V' в Z*. В частности, Г' П Хов' = {°’-
По теореме 53.D М = У П (У0 + Р)° = У Л Р° является (В, В)-миого- образием, и № = У0 + V'. Если 1Р+Н0), то компактное непустое множество {w'elP: ||ш'|| = 1} содержится в X \ Хов,. Следовательно, полунепрерывная сверху функция Тм(щ') = тм (sgn о/) из леммы 66.С имеет конечный максимум па W"\{0}, скажем тт- Фиксируем какое-нибудь то > тт. Если IP = {0}, то возьмем То = 0.
2°. Предположим па время, что V' = {0} и dim Р = р. Тогда Р° имеет конечную коразмерность р. Пусть V — наибольшее линейное многообразие, содержащееся в У, такое, что V f] V'0 = {0}. Очевидно, оно является конечномерным подпространством, причем dim V ^ р. Ясно, что У + Р° = V + Р°. Поскольку V конечномерно, то сумма насыщена: У + Р° = (V + ро)оо = = (У0 П Р)° = {0}° = X. Поэтому V является дополнением к Р° в X, откуда получаем dim V = р.
Непрерывная функция | (и, и') | строго положительна на компактном множестве {о е V: |]у|| = 1} х {Ре Р: llv'll = 1} и потому имеет на нем положительный минимум, скажем о > 0.
Пусть и'—произвольное решение уравнения (66.1) с у'(0) е Р. Тогда существует решение и уравнения (60.1) с у(0) е Ус У, такое, что ||а(0)|| = 1, | (у(0), у'(0)) I ^ о||Р(0)|| (это утверждение тривиально, если и' = 0).
Пусть у1 — произвольное решение уравнения (66.1) с у'(0)е У0. В силу предложения 32.С, неравенства Шварца и включения oeD(X) имеем для любых А > 0 и г 0
а||о'(0Ж1(У(0), о' (0)> | = | (v (0), у’ (0) + р' (0)) | =
■/т + Д\2
= А-2 || (о (и), у* (и) + о' (и)) f''2 du j <
4 т/
т + Дт+Д
‘<А-2 J || о (и) || du J || у’ (и) + о' (и) II du <
тт
Т+Д
,.^А-2а(О; А) | а |D J || у' (и) + о' (и) \\du.
Положим SV,= S1/D (Л) и Sv-,= Sy/g, (—Л'). Напомним, что a(D; Л) = = P(D'; A)^2A/a(D'; А) ((23.10), 23. К). Поэтому, используя равенство || о (0) || — 1, получаем
т+д
fo'|B/< Sy, || о'(0)||< да(5о Д) J В/(«) +п'(«)|Ж(66.10)
где к = 2о_ ‘SySy,.
Формула (66.10) очевидным образом справедлива для V' = {0} с к = 0.
3’. Пусть у' и г' такие, как предполагается в формулировке теоремы. Мы можем единственным образом записать г' = и' 4- w', где о' и ш'— решения уравнения (66.1) с о'(0) е V и w'(0) е W'. Будем пока считать т ^ То.
Применим 66.С к (В, D)-многообразию М и решениям у'+ o', w'. Используя (66.3) или (66.4) в соответствии с тем, ш' = 0 или w'ф0, находим (поскольку т > т,и (ш'(0)))
4/< ТгЛ
|ет+д (/+о'Ж<^г^4г J И(«) + г/(«)»^ (66-11) т
4/< Т+Л
1*10. tlH^ Aa(D^ Д) J li/(«) + 2'(«)U«-(66.12)
т
Используя (66.10), (66.11) и 23. M, находим
Т+2Д
1 °''в'Aa (D'^ A) I ll/(u)+o'(«)ll^т +Д
<У £Г'(д)|ет+д (/ + /)|в,<.
^^'(А) тлЛ
^ д^ПУ J WtiW^du.(66.13)
т
Комбинируя (66.11), (66.12), (66.13) с неравенством || От+ д о' ||, |1 Х|о, т]у'|1^ ^ || о'||, получаем (для любого т ^ т0)
КМ(2+^Г' (А)) Т■
max (|6Т + Д/|В„ |х[0, т]ИВ'}<2Да(р,; д) j II у’ («) + г' (и) || du.
Т(66.14)
4°. Снимем теперь ограничение т 2 т0. Поскольку a (D', А) ^ 2a ^D'; -^ Aj, P(D'; А) С 2Р (D'; АV то Г'Д^ ^ 4Г' (А). В силу (66.14) с А \2/\ 2/2
вместо А имеем
(
2т0\
J || А (м) || du I . Если о/
Л<2то, то т0+ 2'А<2т0 и неравенство (31.7) дает (для т + Д<т0 + ^-Л; остальные случаи тривиальны)
4 Л^Ьо + у Д,2т0]
^к" 1 0 , д/||.
•Tq —— Д Т<> + ~ Д
Следовательно, |®т+д/|в,<|Х1 ,^L + |e 1
в * [т+д, Т„+- A] ,в I T„+y Д
<(Е+1)|0, /| ;
т»+^ Л вкроме того,то + — ЛТ + — Л
J ||/(u) + z'(u)|| du^E J II/(u) + z'(«)M«< TqT
T + A
<E J ||/(u) + z'(u)||du.
Если A ^ 2t0, to t0 + -^ A ^ А ^ т 4- А, так что
J Wy’^-Vz' (u)|| du< J ||/(u) + z'(u)||du. ToTv
Комбинируя эти оценки с неравенством (66.15) и используя тот факт, что'||%[0 т/'||^11 Х[о, т„]г'||> заключаем, что неравенство (65.9) справедливо для т ^ т0 с
с = 8Е(Е+ 1)КЛ, С= 16Е(Е+ 1)^КЖ (66.16)
В силу (66.14) это тем более верно для т ^ т0. ^
В предположениях теоремы 66.D каждое из следующих условий достаточно для того, чтобы в (66.9) с' = 0:
a) Z <— Zqq,;
г' П 2qB, = {0);
D тонко по отношению к В (в частности, пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”)).
Доказательство, Воспользуемся доказательством теоремы 66.D. При условии (а) W" = (0). Следовательно, т0 = 0, z' = o', и из неравенств (66.10), (66.11) получаем неравенство (66.9) с с = 2КМ + -^ к, с'= 0. При условии (b) V'={0). Следовательно, к = 0 и с'=0 (см. (66.16); отметим, что в данном случае проще непосредственное доказательство, использующее 66.С и часть 4° доказательства теоремы 66.D). При условии (с) теорема 53.Е дает К° —Л^,, так что выполняется условие (Ь), поскольку К0 П 2' = (0). 5,
Приведем аналогичные «индивидуальные» утверждения.
66.F. Предположим, что существует (В, О)-многообразие для А (в частности, что пара (В, D) допустима для Л). Пусть у' и г'— любые решения уравнения (66.1), удовлетворяющие условиям у'(0) е Хдв, и z'(0)^(Х0п)°/(0}, причем у'(0) + г'(0) ^ (Z0D)°, если г'(0) = 0. Тогда существует такое число щ>0 (зависящее от у', г'), что для всех А>0, т^0 имеет место неравенство
т+д
max {|ет+д/|в,- |Х[о, т|Ищ] ^ д^7Ш~аГ J \\ у’W-V-Z-(uHl du. (66.17) т
Замечание. Чтобы оценить слабость ограничений на у' и z", заметим, что (Z0D)° с К0 с х'в, для каждого (В, В)-многообразия У (теорема 53.В).
Доказательство. Отложим на время рассмотрение «исключительного» случая, когда Z (0) #= 0 принадлежит подпространству, натянутому на (Z0D)° и у' (0) (так что у' (0) £ (Х№^ и Z' (0) е А^в,). Поскольку у' (0) е Х'№> и Z0D является (В, В)-многообразием для А (52.В (Ь), теорема 52.F), то в силу теоремы 53.D (Z0D)° + Ру' (0) = У° для некоторого (В, В)-миогообра- зия К. Положим Z' = Fz' (0). Поскольку «исключительный» случай исключен, К0 П 2'= (0). Так как Z’ — (не более чем) одномерное подпространство, то имеет место случай (а) или (Ь) леммы 66.Е. Отсюда вытекает требуемое заключение.
Обратимся к исключительному случаю. Существует скаляр р^0, 1, такой, что для функции х' = у' + pz' х' (0) е (2f0D)°. Пусть У = X0D, т. е. является (В, В)-многообразием, и z' = Fy' (0), Z^ = Fz' (0). Тогда К°П2( = {0) и в обозначениях доказательства теоремы 66.D V; = Zf, i = 1, 2. Применяя (66.10) с F( = Z( вместо V', у' вместо и' и (р — I)-1 х' вместо у', находим (поскольку / + (р - 1)-1х' = р (р — I)-1 (/ + z'))
т+Д :iy'lB^ly^TI а^ГаГ J
т
Применяя далее (66.10) к У^^г вместо V7, z вместо и и — (р —1)-|х' вместо у', находим
т+Д
^'^^Й^Л Аа(В'; А) I И^ + ^ИИ^т
так что (66.17) выполняется. 4-
Теперь мы можем попользовать теорему 66.D и лемму 66.F вместо теоремы 61.А и получить все аналоги прямых теорем § 62, жонглируя парами (В, D), (В, Dc), (o', В') так же, как в теореме 66.А. Для краткости мы приведем «коллективную» форму этих теорем в виде аранжировки теоремы 66.А; формулировка для «индивидуального» случая предоставляется читателю.
66.G. Теорема. Предположим, что У является (В, D)-многообразием для А (в частности, что пара (В, D) допустима для А и У — X0D) и что Z'— конечномерное подпространство в X', такое, что У0 П 2' = {0}. Тогда справедливо заключение теоремы 66.А, если заменить условие «||z'(0) ||^М(У°, z'(0))» условием «2/(0) е Z4 и зависимость от X— зависимостью от Z*.
Мы немного подробнее сформулируем аналоги прямых теорем § 63 и 64, обеспечивающих поведение решений уравнения (66.1), которое, за исключением «неравномерности» относительно решений, копирует обыкновенную или экспоненциальную дихотомию. Доказательства снова те же, что и в § 63 и 64, с использованием теорем 66.D и 66F вместо теоремы 61.А и теоремы 66.G вместо теорем 62.А, 62.В, да еще соотношений между парами (В, D), (В, Dc) и (o', В'). Сначала мы рассмотрим «коллективные» формы.
66.Н. Теорема. Предположим, что У является (В, ВУмноеообразием для А (в частности, что пара (В, D) допустима для А и У = Хопу Если пара (В, D) сильнее, чем (L1, L*), или если 4еМ (X), то существуют такое N>0 и для каждого конечномерного подпространства Z* пространства X' с У°П2' = {0} такие N' = N' (Z') > 0 и уо = Yo (Z') > 0, что любые решения /, к уравнения (66.1) с у' (0) е У0, /(OjeZ' удовлетворяют условиям (Dj), (Dll), (Ош).
Теорема. Предположим, что У является (В, йумногообразием для А (в частности, что пара (В, D) допустима для А и У = йо) и что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”). Предположим далее, что существует линейное многообразие У t в X, вместе с любым конечномерным подпространством Z' в X' с У® П Z7 = {0}, удовлетворяющее заключению теоремы 66.Н (в частности, что пара (В, D) сильнее, чем (L1, L°°), или что А е М (X) ). Тогда У°=У®= = (X0D)° = АцВ/ и существуют такие числа v, N > 0 и для каждого конечномерного подпространства Z' в X' с У0 П ^Л = {0} такие числа v' = v'(Z')>0, N' = N'(Z')>0, Yo = Yo(2')>O, что любые решения t/, z' уравнения (66.1) с у' (0) е Уо, /(OjeZ' удовлетворяют условиям (Ej), (Ец) и (Ещ).
Наконец, приведем «индивидуальные» формы этих результатов.
66.J. Предположим, что существует (В. D)-многообразие для А (в частности, что пара (В, D) допустима для А). Пусть у' и 2? — решения уравнения (66.1), такие, что у (0) е Х'ов„ / (0) ^ (X0D)° \ {0}. Если пара (В, D) сильнее, чем (L1, L°°), или если АеХЦХу то существуют такие числа N
N', Yo>O, что решения у', г' удовлетворяют условиям (Di) и (Оц) (а также условию (D]il)> если только у'(0) + г'(0) ^ (X0D)0).
е
редположим, что существует (В, D)-многообразие для А (в част- ' пара (В, D) допустима для А) и что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”) (в этом случае (X0D)° = XgB, по теореме 53.Е). Пусть у' и z'— решения уравнения (66.1), такие, что у (0) е Xqb,, z' (0) ^ XgB, \{0}. Если у' и г’ удовлетворяют заключению леммы 66.J (в частности, если пара (В, D) сильнее, чем (L1, L°°), или если А е М (X)), то существуют числа у, V, N, N', Vo>O, такие, что решения у', г' удовлетворяют условиям (Е]), (Ец) и (0111 )•—,
Заметим, что в предположениях леммы 66.К условие справедливости (Ош) в G6.J становится бессодержательным при у', zf фй и потому ие упоминается в формулировке последнего.
оо Вопрос о дихотомиях
Мы теперь в состоянии дать доказательство предложения 63.1, дающего частичный ответ на проблему, поставленную после леммы 63.Н. Мы, следовательно, возвращаемся к изучению уравнений (60.1) и (60.2) для любого А е L(X) (без ссылок на спаренное пространство X') и для 9"-пар, iT^-nap или iZV^-nap (В, D), нарушая таким образом соглашение, принятое в начале этого параграфа. Причина, по которой мы помещаем доказательство в этом месте, состоит в том, что мы можем использовать результаты предыдущего пункта с X' = X* и с Т вместо В.
Доказательство леммы 63.1. Включения У с X0D с Хоо с Z следуют из теоремы 41.D. По теореме 52.L У является (Т, О)-многообразием. Положим X'= X*- По теореме 43.А Z0 индуцирует дихотомию для —А'. По теореме 66.1 с y,=Z и с Т вместо В имеем У0 = Z0, откуда следует равенство cl Y = = У00 = Z. Поскольку Хоо замкнуто, это равенство дает Хоо = Z. Так как Хоо является, таким образом, единственным подпространством, индуцирующим дихотомию, теорема 41.Е показывает, что ХОо = Хо. Далее, Z = Хоо является (t1, L”)-подпространством (теорема 63.Е), а следовательно, и (в, Е”Дпод- пространством (52.8(a)). Из 52.8 (е) следует, что У является (в, ОдЕ^)- многообразием.
Наконец, набросаем доказательство (Ец). Снова по теореме 66.1 решения у* алгебраического сопряженного уравнения (32.3) с у* (0) е У0 = Z0 удовлетворяют условию (Ei) с константами, которые мы для отличия обозначим через V], М. С учетом условия 41.A(g) (dQ для дихотомии, индуцируемой подпространством Z0 для —А*, легко выводится теперь справедливость условия 42.A (g) (Б]), для того же подпространства с vi вместо v и с подходящим Di, зависящим только от X.
Но Z0 является насыщенным подпространством в X*. Следовательно (12.А), оно обладает свойством строгой одаренности. Мы можем поэтому применить соображения из доказательства I теоремы 43.А (к —А* вместо Л и Z0 вместо У); в результате приходим к зактючению, что условие 42.А(е)(Е,]) выполняется для подпространства Z00 = Z по отношению к самому А с у' = vi. Отсюда сразу следует, что условие (Ец) справедливо с v' = vi, как и утверждалось. 4,
67. Замечания к главе 667. Замечания к главе 6251251
67. Замечания к главе 6
67. Замечания к главе 6
251
251
67. Замечания к главе 6
Связь между допустимостью пары для уравнения (60.2) и подобным дихотомическому поведением решений уравнения (60.1) впервые была установлена Перроном [2] с помощью классических методов и при ограничительных предположениях (для пары (С, L°°); см. также замечания к гл. 4 и 5). Пример 65.К в сущности не отличается от примера, который был использован Перроном, чтобы проиллюстрировать значение предположения о допустимости пары (С, L“) или с другой точки зрения о «равномерности» экспоненциального роста решений.
Крейн [1] и Кучер [1], используя методы функционального анализа, распространили результаты Перрона на случай, когда допустима пара (Lp, L"), по ценой допущения Хо = X. Их результаты были получены в предположении, что Л г С(Х). Опуская это предположение, Кучер доказал, что если Хо = X и пара (Lp, L“) допустима, где р > 1, то существуют числа ^, v > 0, такие, что каждое решение х уравнения (60.1) удовлетворяет неравенству
|| х (/) ]|< АЧЩО) ||exp(-v/|-p ), из которого, очевидно, следует, что
||x(/)|KL(/o)U(/o)llexp(- t(t-toV~p ')
для всех t Та t0 ^ 0. Здесь мы имеем первый пример «поточечной неравномерной» теоремы, которая, конечно, много слабее, чем теорема 62.D.
В недавней работе М. Региш [1] исследовал другие случаи неравномерного поведения, особенно в связи с допустимостью определенных .У-пар, не являющихся -парами.
Идея, лежащая в основе результатов § 66 (за исключением довольно тривиального первого пункта), восходит к Ф. Хартману, и некоторые доказательства по сути дела принадлежат ему.
Глава 7
Зависимость от Л
Введение
Мы рассмотрим здесь, каким образом свойства, изученные в гл. 4, 5 и 6, зависят от операторной функции Л в уравнениях (30.1) и (30.2), т. е. в уравнениях
х + Лх = 0, (70.1)
х + Лх = Л (70.2)
и как они изменяются с изменением Л. Следовательно, в некотором смысле эта глава содержит своего рода теорию возмущений, хотя некоторые ее части скорее касаются свойств «грубости» уравнений, т. е. нечувствительности определенных типов поведения к малым изменениям Л. "
В этой главе мы будем иметь дело только со случаем, когда областью изменения / является J = R+, за исключением некоторых результатов первого пункта §71, которые равно приложимы к любому интервалу J. Время от времени мы будем напоминать об этом соглашении. Случаем J = R мы займемся в § 84.
В § 71 мы исследуем, в какой степени допустимость пары (В, D) или существование (В, D)-подпространства У устойчивы относительно некоторых малых изменений Л, а также как такие изменения влияют на величину Кв, о (Л) из теоремы 51.А или на подпространство У и соответствующие величины Ку (Л), Sy (Л). В § 72 мы выводим подобные результаты о нечувствительности для существования обыкновенной или экспоненциальной дихотомии и об изменении при изменении Л подпространств, индуцирующих дихотомию, и описывающих се параметров. В частности, множества функций Л, обладающих экспоненциальной дихотомией, оказываются открытыми во многих ^-пространствах.
Этот анализ дополняется анализом «в большом» в § 73 и 74, где описываются свойства связности операторных функций, для которых существует обыкновенная или экспоненциальная дихотомия. Первый из этих параграфов посвящен задачам в общих банаховых пространствах; отдельные полученные там результаты используются во втором из названных параграфов, посвя-
щепном случаю, когда X— гильбертово пространство, включая конечномерный случай. В качестве примера мы приведем один простой результат для конечномерного Л". Пусть Q^,— класс всех А е L“(X), обладающих экспоненциальной дихотомией. Тогда Qco открыто в L°°(X) и, если X не является действительной плоскостью (где проблема усложняется закручиванием решений вокруг 0), Qco распадается на точно 1+dimX компонент, по одной для каждого возможного значения dimXo(Л), причем каждой компоненте соответствует система вида г/ + г/ = О,г— z = 0 во взаимно ортогональных подпространствах подходящих размерностей. Соответствующий класс для обыкновенных дихотомий является связным.
В этой главе нам потребуются результаты § 13 о множествах подпространств банахова пространства, а также соответствующая часть § 14.
,71. Классы допустимости и (В, В)-подпространства
< Классы допустимости.
На время допустим, что областью изменения t служит произвольный интервал /, содержащий 0. Пусть (В, D) —некоторая Х-пара^ Обозначим через Ad(B, D) класс всех операторов ЛеЦХ), для которых пара (В, D) допустима, а через Adr(B, D) и Ade(B, D) —подклассы тех AeAd(B, D), для которых Хоо (Л) соответственно замкнуто (т. е. пара (В, D) регулярно допустима для А) или замкнуто и дополнимо. Заметим, что Ad(Bb D) П PAd(B2, D) =Ad(BtVB2, D) и аналогично для Adr и Adc. Как обычно, если (В, D) есть ^"-пара или S^-napa, мы вместо Ad(P(X), D(X)) и т. п. пишем Ad(B, D) и т. п.
71.А. Пусть (В, D) является Af-парой, и пусть РеХ(Я) таково, что F-D^B. Предположим, что Ло, ЛеЬ(Х), причем Л о ^ Ad (В, D), А — Лд е F, Кв, в (Ло) [ А — Ло |р <11. Тогда для любой функции f е L(X), любого D-решения хо уравнения
x + Aox = f .(71.1)
(если таковые имеются) и любого достаточно малого р> 1 существует D-решение х уравнения (70.2), такое, что
|Х— x0|D <рХв, о (Ло) | А — Ло|F(1 — рКв, о (Ло) | А — Л0|р) 1 |xo|D.
(71.2)
Как частный случай получаем, что если AoeAd(G, D) для СеЬЛ’(Х), го ЛeAd(G, D) и Ко.о(ЛХКо,в(Л0)(1- — Кв, с(Л0) | Л — Ло If)-1.
В частности, AeAd(B, D), и
(71.3)(71.3)Кв.’о (Л) ^ Кв.1 d (Ло) — | А — Л0|г.
(71.3)
(71.3)
Доказательство. Мы можем считать, что В ^ {0}; ибо в противном случае заключение верно тривиальным образом. Положим К = Кв, о (Ло), г) = | Л — Л0|Р, и пусть р>1 таково, что рКп<1. Пусть f и хо удовлетворяют условиям леммы и на время фиксированы. Возьмем уй = xQ е D и определим уп последовательно для п=\, 2,... как D-решение уравнения у + Лцу = (Ло - А) уп_х с |г/л|в<рК|(Л-А0) уп_х |в. Тогда |z/JB < < pAnl^-i lD ^ • • • ^ (pAM)'!l-rolD, п=1,2, .... Если мы по
п
ложим хп = 2 у,, п = 0, 1, ..., то (х^ будет D-последователь- о
ностыо Коши, а ((А — Ло) xj — В-последовательностыо Коши. Если х является D-пределом первой последовательное. ;, то (А — Ао) х будет В-пределом второй; оба являются и подавно L-пределами. Поскольку хп + Аохп = / + (Ло — Л) хп_х, п=1, 2, . .., то по теореме 31.D мы имеем (заменяя, если это необходимо, х эквивалентной непрерывной функцией) х + Лох = = f + (Ао — А) х, так что х действительно является решением уравнения (70.2), и
|х -х0|в < 2 l/MD <pKn(i - рКп) 1 kolD,
т. е. неравенство (71.2) справедливо.
Частные случаи получаются сразу, если взять в качестве х0 D-решение уравнения (71.1) с |x0|D <: рКс, о (Ло) |f |G и затем положить G = В. 5,
Для любого пространства РеЛДА) и любого АлеЬ(Я) множество Ло + F = {A е L(X): А — АоеР} и каждое из его подмножеств будет, если не оговорено противное, наделяться метрикой и топологией, перенесенной из F. Заметим, что A0 + F=AI + F в том и только в том случае, если Ах —Аое F.
Теорема. Предположим, что Ао е L (X), Fe/(X) и (В, D) есть ДГ-пара. Пусть F • О=фВ. Тогда
множество Ad (В, D) П (Ло + F) открыто в Ло + F и Кв, о (А) непрерывна на этом множестве;
если G е ЬЛ9 (А), то множество Ad(BVG, О)П(А0 + Р) открыто и замкнуто в Ad (В, D) П (Ло + F) и Ас, о (А) непрерывно на первом из этих множеств;
при G, таком же, как в (Ь), для любого фиксированного л>1 существует непрерывная функция -£: (Ad(BVG, D) П
П(Ао + F)) X G —> D, такая, что х = |(А, /) является D-решением уравнения (70.2) с |x|d^Z/<g, o(A)|f|G.
Доказательство. Мы снова можем считать, что В =# {0}, а также что Ad (В, D) f| (Ао + F) ^ 0. Не будет никакой потери общности, если в качестве Ло взять произвольный элемент этого пересечения. Для краткости будем писать Кв, о (А)= = К (А). Рассмотрим любое ЛеЛ0 + Р, для которого
T) = |A-Ao|F<|^-'(Ao).
Тогда лемма 71.А дает AeAd(B, D) (так что Ad(B, D) П П(А0 + Р) открыто) и К~Х (А) ^ К1 (Ао) — л- Поскольку
К (А) | Ао — A |F =< (к1 (Ао) — л)-' n < 1,
то мы можем применить 71.А к Ао и А (поменяв их местами). Следовательно, |/С1 (А) —/С* (Ао) | < т), так чт0 ^ (А) непрерывна, и (а) доказано.
Пусть Ао и А—такие же, как выше, и G — такое, как предполагается. Лемма 71.А, примененная к функциям Ао и А, взятым в обоих порядках поочередно, показывает, что обе они принадлежат множеству Ad(BVG, D)P(A0 + F), если только ему принадлежит одна из них. Следовательно, это множество открыто и замкнуто в Ad(B, D) П (Ao + F). Снова в силу 71.А, примененного к Аои А, взятым в различных порядках, получаем v "Л^^ч Kg’d (Ло) ^ ° “ К (Л) П) Kg'd (Ло) ^ Kg, d (А) ^.
— X (Ло) n Kg'd^Л°^
так что Kg, d (А) непрерывна, и (Ь) доказано.
Рассмотрим, наконец, отображение А, которое каждой паре (A, f)e(Ad(B\/G, D) П (Ао + F)) X G ставит в соответствие множество A(A,f) cz D всех D-решений уравнения (70.2). Мы утверждаем, что каждое Л(А,П является непустым замкнутым выпуклым множеством в D, а А является полунепрерывным снизу курьером в смысле § 10. Что касается первого утверждения, то А (АД) непусто, так как AsAdfG, D), feG; оно получается параллельным переносом линейного многообразия Хи всех D-решений уравнения (70.1) и, следовательно, выпукло и замкнуто (см. ЗЗ.А). Докажем полунепрерывность. Пусть (АоДо) принадлежит области определения А, и пусть выбрано
Хо г Л(Ло, /о); Хо является D-решением уравнения x-vAox=fo. Рассмотрим теперь какую-нибудь пару (Л,^) из области определения А, для которой г) = 1Л — Л0|Р< К~[ (Ло). Пусть р>1 таково, что рА(Л0)т] < 1, и пусть у будет D-решением уравнения y+Aoy=f — f0 с Шп^рАс,о(Л0Ш-Мс- Тогда xi=xo + y является D-решением уравнения (71.1). Согласно 71.А, существует D-решение х уравнения (70.2) (т. е. х е А(Л,^)), такое, что
|^-XolD<h-xJD + |y|D^
рА (Ло) n (1 - РА (Ло) г])"11 Х[ |D +1 у |D ^
<(1 — рА (Ло) П)-1 (рА (Ло) T)l^olD + 1^ lD) =
. = О (Л + If —/olG)-'
Следовательно, А полунепрерывно, как и утверждалось. В силу 10.С функция £ удовлетворяет условиям пункта (с), так как inf(|x|D: хеА(Л, Л}^Ас,п(ЛШ|с. X
71.С. Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 71.В, и пусть D ^ L°° (X). Тогда множества Adr(B, О)П(Л0 + Р) и Adc(B, D)f|(A0 + F) открыты в Ло + F, So (Л) непрерывна на Adr(В. О)П(Л0 + Р) и А —>Хов(Л) является непрерывным отображением Adr (В, D) П (Ло + F) в В(Х, д') и Adc (В, В)П(Л0+Р) в ВС(Х, д).
Замечание. Заключение теоремы справедливо и без предположения D ^ L“ (X), но доказательство существенно усложняется, а выигрыш в общности не представляет здесь большого интереса. Из нашего дополнительного’ предположения следует, что ||f(OlldfKlf|D для всех непрерывных функций f е D и всех t е J.•
Доказательство. 1°. Как и при доказательстве теоремы 71.В, будем считать, что В #= {0}, Adr(B, D) Q (Ло + F) #= 0, я пусть Ло — произвольный элемент этого непустого пересечения. Положим А(Л) = Ав, о (Л), 5(Л) = 5о(Л). Рассмотрим ЛеЛ0 + Р, для которого
П = М - 4IF < I А"1 (Ло)(1 + S (Ло))-' < | А"1 (Ло).
Из (71. А) следует, что Ле Ad (В, D), А~'(Л)> А~'(Ло) — тр Пусть х —ненулевое D-решение уравнения (70.1). Тогда (Л-Ло)хеВ и для любого р> 1 существует D-решение у уравнения у + Ау = (Л — Ло) х, для которого | у |D ^ рА (Ло) X X |(Л- Л0)х|в ^ рА (Л0)т]|х|п. Отсюда следует, что х0 = х + г/
является D-решением уравнения хо + ЛоХо = О, и мы получаем
IX lD ^| xofD + I у !d < S (Ло) II x0 (0) II + I у |D C ^5(Ло)||х(О)Щ-(1 +S (Ло))!^!,,^ < S (Ло) IIX (0) II + рК (Ло) (1+ S (Ло)) л IX |D.
Поскольку p произвольно близко к 1, имеем
Iх Id T^^o^sW7711 * (°) И-
По теореме ЗЗ.С Хоо(Л) замкнуто, следовательно, Л е Adr(B, D), и множество Adr(B, D) П (Ло + F) открыто в Ло + F. Кроме того,
s (Л) ^ 1 - К (Ло) (1 + S (Ло)) ч ’(71 -4)
откуда, используя (71.3) и записывая все для удобства ссылок в несокращенных обозначениях, получаем
Kb/d (Л) (1 + Sd (Л)) 1 ^ Kb/d (Ло) (1 + SD (Ло)) ' — |Л — Л0|Р.
(71.5)
В силу ограничений, наложенных на т), имеем т)< <К-1(Л) (1+К(Л))-', так что предыдущие рассуждения можно повторить, поменяв Ло и Л местами. Комбинируя (71.5) с аналогичным неравенством, полученным после этой перестановки, находим
| К"1 (Л) (1 + S (Л) Г1 - к-1 (Ло) (1 + S (Ло))"11 < п.
Поскольку К(Л) непрерывна, отсюда следует, что К(Л) также непрерывна на Adr(B, D) () (Ло + F).
2°. Для тех же Ло, Л имеем в прежних обозначениях
1|хо(О)-х(О)|| = ||у(О)||<Ып<
< рК (Ло) ЛI х |D ^ рК (Ло) S (Л) П || х (0) ||. (71.6)
В силу (71.4) К(Ло)5(Л)г)^2К(Ло)5(Ло)т)<1; поэтому, выбирая р>1, столь малое, что рК(Л0)5(Л)т)< 1, получаем %о^О, а исподьзуя 11.А, находим
|| sgn х (0) - sgn х0 (0) II = у [х (0), х0 (0)] < 2рК (Ло) S (Л) г).
Поскольку х (0) — произвольный элемент из Коо (Л), то
sup {d (х, X (Kod (Ло)): х е X (X0D (Л))} < 2К (Ло) S (Л) п.
17 Зак. 405
Мы можем повторить эти рассуждения, поменяв Ло и Л местами, так как в силу (71.3)
к (Л) S (Ло) т) < К (Ло) S (Ло) Г) (1 - к (Ло) пГ* <
< К(Л0) (1 + S (Ло)) ц (1 — К (Ло) (1 + S (Ло)) л) ’ < 1
В результате получаем, что
6'(Хоо(Л0), Хоо(Л))^
^ 2 max {Кв, о (Ло) Su (Л), Кв, о (Л) SD (Ло)}| Л — Ло 1г ^
2^в, о Ио) ^о Ио) | ^ — d0|F/-.
"i-/<b,d(W+MW^A)|f ’м ’
и отображение Л—>Хов(Л): Adr(B, D) П (Ло + F) —> Е (X, У) непрерывно..
3°. Класс Adt (В, D) П (Ло + F) является прообразом класса Ес(А) при этом отображении. Последний класс в силу 13.1 открыт в Е(Х, 6'). Следовательно, первый класс открыт в Adr(B, D) П (Ло + F), который в свою очередь открыт в Ло + Р. Снова в силу 13.1 топологии ЕС(Х, 6') и ЕС(Х, 6) совпадают. Следовательно, отображение Л—>Хоо(Л): Adc(B, D) П (Ло + F) -> - —> ЕС(Х, 6) непрерывно. 5,’
Дополнение. На основании 13.Е класс Ad (В, D) П (Ло + F) П П {Л: Аоо (Л) = {0}} открыт и замкнут в Adr (В, D) П (Ло + F) и, следовательно, также в Adc(В, П)П(Л0+ F). Для любого Л из указанного класса функция ^(Л, f) из теоремы 71.В однозначно определена и линейна по f, причем [| ^(Л, -)|| = К(Л), где норма берется в пространстве [В, D], Для любых Ло и Л из этого класса, для достаточно малых т) = |Л — Л0|р и для fQ = f, х0 = £(Л0, f), х — ^(Л, f) вычисления, выполненные в конце доказательства теоремы, показывают, что
UM, fW(4, mD<P(i-pKHo)n)-1K2Ho)inBn,
так что-
шл, И-НЛо, •)»<’
СII Е (Ло, •) II2 (1 - II £ (Ло, •) III Л - Ло |F)~1 IЛ - Л0|р,
и Л—>^(Л, •) является непрерывным отображением нашего класса в [В, D],
Для ^-пар и ^ТД^-пар имеем такое следствие:
71.D. Пусть дано ЛоеЬ(Х), и пусть (В, D)—9~-пара или g-'S'-napa, причем D 4( L°°.
Множества
•Ad (В, D) П (Ао + В (А)),
' Adr(B, D) Л (Ао + В (А)),
Ade (В, D) Л (Ao + В (A))
открыты в Л0 + В(А); Кв, dM) непрерывна на первом множестве, 80(Л) — на втором, Л—>Аоп(Л) является непрерывным отображением второго множества в 3 (А, д') и третьего 'в Зс (А, д).
Если G е b^F или Ь^"^ соответственно, то множество Ad(B\/G, D) П (Ло + В (А)) открыто и замкнуто в Ad (В, D) Л 1 Л (Ло + В (А)); Kg, d (А) непрерывно на первом из этих множеств-, для каждого А>1 существует непрерывная функция £: (Ad (В V G, D) П (Ао + В (А))) X G (А) -> D (А) такая, 'что х = = t(A, f) является D-решением уравнения (70.2) с |x|D^ <^G.DU)|f|G.
Доказательство. В случае #"-пар это следует из теорем 71.В и 71.С с F = В (А) и из соотношения
В (А) • D (А) =ф В (А)
(см. 22.V). В случае ^''S'-пар заметим, что мы можем заменить пару (В (A), 0(A)) парой (В (А), В(А)ДС(А)) (так как каждая непрерывная функция из В (А) (и, следовательно, каждое D-решение х) принадлежит С (А) и | х |D (Y) с (Х) = ■ ••= sup (|x|D, IхJ) = |x|D), а затем взять F = В (А), поскольку )Ь (A) • (В (А) Д С (А)) В (А) (см. 24.J). £
" Замечание. Для множеств Ad (fcB, D) П (Ao + В (A) ) и т. п. спра- *■ ведливы аналоги предложения 71.D с DC L”, ибо (см. 22.V, 24.J)
■В (А) • D (А) =ф кВ (А),’
или
V-, В (А) • D(A) Д Со (А) =>кВ(А).
' В случае J = R+ имеем дальнейшие результаты для ^"-пар ,и З^^-пар.
71.Е. Теорема. Пусть J = R+:, и пусть (В, D) — ^-пара или
9"^-пара с B<L°°. Тогда Ad (В, В) + кВ (А) = Ad (В, D) и аналогично для Adr, Ade.■■-.
Доказательство. Включение зэ тривиально. Пусть Ad обозначает любой из классов Ad(B, D), Adr(B, D), Adc(B, D). Сначала покажем, что если А е Ad и Век0В(Х), то A + BeAd. Пусть s = s(B). Для данной функции fe В(Х) существует D-решение х уравнения (70.2). Пусть у — решение уравнения у+ (A + B)z/=f с начальным условием у(s) = х(s); тогда у(Ц = = х(/) для /> s, так что уеО(Х) (см. 22.1) и А+Ве eAd(B, D). Пусть U и Ux— решения операторных уравнений U + AU = 0, (Д-Р (А+В) U\=0 с начальным условием (7(0) = = 7/1(0)=/. Множество значений D-решений уравнения (70.1) при t=s имеет вид U (s) X0D(A). Соответствующее множество для уравнения х+(А + В)х=0 имеет вид Ux (s) Xod (А + В). Эти множества совпадают (снова в силу 22.1), следовательно, множество X0D (А + В) = U?' (s) U (s) Хов (А) замкнуто [и доподнимо] тогда и только тогда, когда Хов (А) замкнуто [и дополнимо]. Поэтому во всех случаях А + В е Ad.
Пусть теперь В е кВ (X). Поскольку (см. 71.D) А е Ad П П(А + В(Х))— открытому множеству в А + В (X), — то существует BoskoB(X) со столь малой нормой |В —В0|в, что А + ■к В —Вое Ad. Тогда А+ В = (А + В — Во) + Вое Ad согласно первой части доказательства. 5,
.F. Пусть J = R+, AoeL(X) и (В, D) — &~-пара или Р^-пара, в которой В скудно и D^L°°. Тогда каждое из множеств Ad (В, D) П (Ао + В (X)), Adr(B, D) П (Ао + В (X)) и Ade(В, О)П(А0 + В (X)) либо пусто, либо совпадает с А0 + В(Х).
Доказательство. Теорема 71.Е. 4,
Замечание. Как будет показано в примере 84.А, заключения теоремы 71.Е и леммы 71.F не остаются верными, если У = Л, а не R+. Все случаи некомпактного интервала J могут быть сведены к одному из этих двух случаев, как уже отмечалось ранее в доказательстве теоремы 51Н. Если интервал / компактен, то то же доказательство показывает, что Ad (В, D) = Adr(B, D) = Adc(B, D) = L(X) для всех ^"-пар или ^TV-пар (В, D), таких, что XQD (А) = X для каждого AeL(X); таким образом, в этом случае теорема 71.Е и лемма 71.F становятся тривиальными.
Для пар пространств, инвариантных относительно сдвигов, имеет место следующий специальный результат, не связанный с предыдущими:
.G. (о) Пусть J = R+, (В, D) — ^"-пара, или Т^-пара, или Т^-пара, и пусть дано AeAd(B, D). Тогда 7TAeAd(B, D) для всех х ^ R+ и К^ТГА) = /Св, о^ТГА) является невозрастающей функцией от т.
Ь) Пусть J^R, (В, D)-ZT-пара или ST^-napa, и пусть дано Де Ad (В, D). Тогда 7TdEAd(B, D) для всех teR и КМ = К<А•
Доказательство. Мы докажем (а), ибо доказательство (Ь) аналогично и проще. Пусть дано те^+. Для любой функции feB(X) имеем ТД е В (X). Для любого р>1 найдется D-решение х уравнения х + Ах = T^f с |x|D ^рЛДА)!/^^ = = РК(Л)П|В. Далее, Тхх является, очевидно, D-решением уравнения у А-кПА)у = ТУТ^Ч, и | Г7х |D |х |D р/с (Л) I f |в. Следовательно, r7AeEAd(B, D), и в силу произвольности р>1 К(ТХА) ^КХА\ В случае т"^V^O применяем эти рассуждения к ТУ-А и ТУ-А = Tv--vTx-A и получаем неравенство к (тал) к (.ту-а) £
(В, D)-подпространства'
. В этом пункте, так же как и во всей оставшейся части главы, предполагается, что J — R+. Если мы заменим условие допустимости пары (В, D) условием существования (В, D)-подпространства, то получим некоторые результаты, аналогичные результатам предыдущего пункта, хотя и более ограниченного характера. Обычно мы будем считать, что В#={0}, так как в противном случае все становится тривиальным.
.Н. Пусть (В, D) — ^-пара или ^^-пара с D^L°°, Ло ЛеЬ(Д, Л-Л0Ек0ВД), з = з(Д — До), и пусть Uo, U — решения операторных уравнений Uq + AqUo = O, U+AU=0 с Uo (0) = U (0) = I. Если Уо является (В, D) = подпространством для До, то Y=U~'(s)U0(s)Y0 (= IT' (0 U0(t)Y0 для всех t^s) является (В, ВУподпространством для А. Если Уо дополнимо, то У также дополнимо. Далее, положим. Ко = КуАЛоУ So = = Sy, (До), К = Ку (A), S = Sy (Д). Если дополнительно |Д — А0|в < < "2 Ко (1 + So) , то
К-1 ^ТСаГ* -| Л - Л0|в,
,,,,(71-8)
К~ ‘(1 + S)“^Ao~(l +Sor'-| Л —Л0|в,
(1 +S)-,>(l+So)-,-AolA-AoIB;(71.9)
кроме того,
.д'(У0, У)^2Ао59|А-Ао1в(1-Ао(1+5о)|А-А01в)-1;
(71.10)(71.10)и если х0— любое решение уравнения хо+ЛдХо = О
(71.10)
(71.10)
с хо(О) е Уо, то для данного р>1 существует решение х уравнения (70.1) с л(0) е У, такое, что'
|х — x0|D ^р/(| Л — Л0|в|х0|п.
Доказательство. 1°. Поскольку решения уравнений (71.10) и (70.1) совпадают справа от s, то U (0 U~' (s) = Uo (/) Uol (s), t^?s, так что У является корректно определенным подпространством; оно дополпимо тогда и только тогда, когда допол- нимо Уо. Далее, У является множеством значений при / = 0 тех решений х уравнения (70.1), которые удовлетворяют условию Хоо Ло(О) е Уо. Поскольку х„. леВ(Х), то У с: Хов (Л).
Пусть даны функция f е k0B (X) и р>1. Существует решение х0 уравнения (71.1), удовлетворяющее условиям хо=ол„(0)е Уо и lxolD ^P^olflB- Пусть х — решение уравнения (70.2), такое, что Хоо Ло= ЯоооЛо. Ясно, что х(0 = х0(0, t^s, независимо от значения s (f). Поскольку Хоо д„ (0) = хо» л, (0) s Уо> то Хоол(0)е'У. Наконец, как мы знаем, у = х — х0 является решением уравнения у + Ау = (Ло — Л) х0. Применяя неравенство (31.5) к этому решению на интервале [0, s] и используя тот факт, что оно равно нулю справа от s, находим '
S\/ S'\
k Xg |q ^^ | Х[0, sj |qk Xg |q ^^ | Х[0, sj |qJ || А (u) — Ло (u) \\du 11х08exp I J|| A («)J du 1^ о/\о/
k Xg |q ^^ | Х[0, sj |q
k Xg |q ^^ | Х[0, sj |q
<а(В; [0, s])|x[o,$]|DM - Ло|вIх0|D exp
Следовательно, |x|D <|х0|о + |х - x0|D <o|x0|D <pKoa|f|B> гДе (S\
J || Л (zz) ||dz< j. Итак, У о-'
действительно является (В, В)-подпространством для А.
2°. Суть оставшейся части доказательства состоит в том, что мы можем для малых |Л — Л0|в избавиться от зависимости от s. Именно предположим, что т] = | А — Л0|в < ^- Ко^ (1 + Sq)-1 , и выберем р> 1, столь малое, что p/f0 (1 +S0)n< 1. Пусть дана функция f е k0B (X). Положим т = max{s, s (f)}. Пусть z/0—Решение уравнения (71.1) с у0Ло (0) е Уо и |z/ojD < р/С0П1в- По-
строим по индукции последовательность (уп) решений уравне- НИЙ уп + Л0^ = (Л0~ А^у^,2, С-и
I ^/nlo ^^ Р^о I (-^ Ло) У п— 1lg ^^ рКиП IУп -1 |q
(здесь мы используем соотношение D^L°°. Поскольку рКоЛ^ h
то SlyJo^^-'^1-^ Ив откуда
О'О'ОО<S0 exp<S0 exp
О'
О'
О
О
<S0 exp
<S0 exp
^Soexp J || Л0(м)||йы ^|y„|D<c«.V '/ О
Полагая гп = "21Уь имеем znooAo = 2 У( ^ Ло- Следовательно, как (z„), так и (г,гоод„) являются D-последовательностями Коши. Если z и г'— их D-пределы (а значит, и их Ь”-пределы и потому непрерывные функции), то повторное применение теоремы 31.D показывает, что z является решением уравнения (70.2) и z' = Zooa„. Поскольку Уо замкнуто, то z^a, (0) е Уо, откуда 2оод(0)еУ. Далее,
^L^Slynlo^Cp-'^'-rir'inB.
так что действительно К-1 ^ Ко"1 — т), как и утверждалось (см. (71.8)).
Пусть х — любое ненулевое решение уравнения (70.1) с х(0)еУ, так что Хоол,(0)е Уо. Поскольку (Ло — Л) хек0В (X), существует решение у уравнения у + Аоу = (А — Ло) х с ую Ло (0)е Уо и ly|D ^Р^ол1х1в- Тогда х0 = х + у является решением уравнения (71.10) с х0(0) = х0оол0 (0) = ^^(0) + ^ Ло(О)е Уо. Выполняя те же самые вычисления, что и в части 1° доказательства теоремы 71.С, находим, что |x|D ^S0(l — KoU+So)t])-1||x(O)||, так что S ^S0(l - К"о(1 + So)^""', или
(1 + S)-' >(1 + So)'1 (1 - КоП)-' (1 - Ko(l + So)n).
Это дает неравенство (71.9) и с учетом первого из неравенств (71.8) второе неравенство (71.8). Имеем также неравенство
|x-xo|D = |t/|D^p/<oT]|x|D.(71.11)
Продолжая вычисления по образу части 2° доказательства теоремы 71.С, находим, что sup \d(у, 2(Уо)): У е 2 (У)}^2KqSt). Поскольку /4 (1 + So)-1 > 2т], то из (71.8) получаем ^(l+S)т)<l, и предыдущие рассуждения могут быть применены к Ло, А и Уо, У, переставленным местами. Таким образом мы получаем опенки для д'(Уо, У), как в теореме 71.С; формула, соответствующая (71.11) при указанной перестановке, есть в точности последняя часть утверждения. 4,
Теорема. Пусть (В, D) -9"-пара или ^^-пара со скудным В и локально замкнутым D <C L ” Предположим, что Ло, ЛеЩ), Л-ЛоеВ(Х) и что существует [дополнимое] (В, D)-подпространство Уо для Ло. Тогда существует [дополни- мое\ (В, Вуподпространство У для А.
Доказательство. 1°. Прежде всего разделаемся со случаем .T'S'-nap (В, D). По теореме 52.С подпространство У. является (В, D)-подпространством для ЛеЬ(Г| тогда и только тогда, когда оно является (1с В, D)-подпространством, т. е. (klcB, D)- подпространством (с точки зрения некоторых приводимых ниже замечаний интересно, что фактически ^ykI*в = ^УIcв совпадает с Kyr, как показано в доказательстве теоремы 52.С). Но (к 1с В, D) есть ^"-пара со скудным к 1с В и с В (Я) ^ к 1с В (X), поскольку пространство В само скудно. Таким образом, достаточно доказать теорему для ^-пар (klcB, D). В оставшейся части доказательства (В, D) обозначает ^-пару.
2°. Предположим временно, что |Л — Л0|в ^у eKo' (1 + SO)~I> где Ко и So те же, что и в 71.Н, а значение е, 0<е<у, будет уточнено позднее. Поскольку пространство В скудно, существует возрастающая последовательность (тп) в R+ с то = О и Нт т„=оо, такая, что
П-^оо
, 14 И - Л0)|в < г-^’^' (1 + So)"1.
Положим Лп = Ло + Х[о, т„] (Л — Ло), п = 1, 2, ..., и определим Un как решение операторного уравнения Un + AnUn = 0 с Un^ = 1.
Положим Yn = Un 1 (т„) (/0(тп) У». Непосредственно видно, что Yn = Un4T^Un-\^^Yn-\. Далее, положим
% Ч л„ - л„_, |в = |х[тп_1, тп] (Л - л0)|в < г^е/Х (1 + s0)-',
так что 2т|л<гМ7' О + So)
Мы утверждаем, что Yn является (В, В)-подпрострапством для Лп и постоянные Кп = Ку^^Л^, S„ = 5Гп (Лп) удовлетворяют неравенствам
К^К»’ -ЗпгЖо’Ч! -е(1 + So)-') > ^~'(1 ~ в),(71.12)
к;' (1 + 5„)-' > Ко1 (1 + So)”' - SnX Ко"' (1 + So)~' (1 - е).
(71.13)
Это сразу доказывается по индукции ввиду 71.Н; действительно, утверждение справедливо для и = 0 по предположению: предположение индукции (71.13) дает
2КЛ1 + S„) т)„+ [ < 27<О (1 + So) (1 - б)”1 Ппт 1 < <2-n8(l-e)''l<2",<l.
Применяя (71.9) к Yu_x и Yn и используя (71.12), получаем
(1 + S„)-' > (1 + So)-' Кй (1 - бГ* 2^X1+ So)-' (1-8(1- 8)-1),
откуда S„^(SO(1—е)+е)(1—2е)-'. Поскольку либо Уо = {О} и тогда Уп = {0}, либо So ^ 1 (ибо D^L00), то
Sn<S0(l-28)-'.(71.14)
Далее, 71.Н дает с учетом (71.13)
ЬЦУп, Yn+^ < 2KnS„n„+I (1 - К„ (1 + S„) т^Г* <
<2“”е(1 -(1 + 2~(”+,>)8Г'<2~п8(1 -W1,
так что (Уп) является последовательностью Коши в Н (X, 6'). В силу 13.D она имеет предел, который мы обозначим через Y. Мы утверждаем, что он является подпространством, фигурирующим в заключении теоремы. Заметим, что
6'(Уо, У)С5бДУ„, У„+1)<28(1-2е)-‘,(71.15)
Это вместе с 13.1 показывает, что если Уо дополнимо и е достаточно мало (это является единственным дополнительным ограничением, которое мы накладываем на е в этом доказательстве и которое зависит только от Уо), то У также дополнимо.
3°. Теперь докажем наше утверждение, что У является (В, О) -подпространством для А. Пусть у — решение уравнения (70.1) с г/ (0) е У. Согласно 13.D, существует последовательность К) решений уравнений уп + Апуп = 0 с уп(0) е Уп и lim z/n(0) =
= у(0). Поскольку Ап — А равно нулю на [0, т„], то из (31.7) следует, что tjn^-y равномерно на каждом компактном интервале и тем более в L(X). Но в силу (71.14) величина |z/n|D^ <S„||z/„ (0) IK S0(l — 2е)-|||</п (0) || ограничена при n-^oa. Согласно 21.E, у e 1c D(X) = D(X) и
■ | у |D < So (1 - 2e)~1 Jim || yn (0) Ц = So (1 - 2e)"11| у (0) ||.
Следовательно, УссХопМ), и к тому же
8 = 8г(Д)<80(1 -2е)~'.(71.16)
Пусть дана функция fek0B(X), и пусть m— целое число, СТОЛЬ большое, ЧТО Tm^sO) И /s<f)\
2Х>«(В) [0, s(f)]|x[0,$(f))|Dexp М || Д (ы) № . (71.17) \о '/
Пусть z —решение уравнения z + Zmfe = f с 2оолт(0)еУт и HD ^ Ко(1 — е) |f |в. Такое решение существует в силу (71.12). Поскольку г и £.х,д совпадают справа от s(f), то, согласно (31.5) (с /0 = s(f)) и (71.17), мы получаем, используя тот факт, что Am(t) = Л (/) для 0 ^/ <s(f) ^тт, неравенство
/S(f)\z»<f) .\
lz-z-KlD<b[0,S(f)i|DH llf(u)№ exp J \\Am^du < \o/\o/
^2m/<0|f|B.
Следовательно,
lz^JD<^o((l-er1+2m)|f|BK2^o(2-e)(l-e)-,|f|B.
(71.18)
В силу последнего утверждения 71.11 существует последовательность (у„), п = пг, т + 1, ..., решений уравнений уп + Апуп = = 0 с ym = ZooAm, такая, что ynW е У„ и■■
' \Уп-l/n-ilD<A:0(l -е)“'т]п|!/п-11р<2_',е(1 - ef11 z/„_, |р
(снова ввиду (71.12)). Отсюда получаем по индукции
Используя (71.18), находим '
S lyR-yR-i|D<e(l-28)- J 2-lz^l =
m + 1m + 1ID
= 2-m8 (1 - 28)-' |2^m|D < KOe (2-8) (1 - 8)-* (1 - 28)-' If |B.
(71.19)
Следовательно, (yn) является D-последовательностью Коши. В силу приведенных выше рассуждений (или в силу теоремы 31.D) ее D-предел, скажем у, является решением уравнения (70.1) и у(0) = Нт уп(0)е У (снова ввиду 13.D). Рассмотрим
решение х уравнения (70.2), для которого х^д = у. Сравним У = 2 — Ут = 2 — ZooAm И W = X — у = X — Х^д, обе фуНКЦИИ раВПЫ пулю вне [0, s(f)]; обе являются на этом интервале решениями уравнения (70.2), ибо на нем Лт(/)=Л((). Поэтому у = хв, т. е. х = 2+(у— УтУ Используя (71.19), получаем
для каждого АдеИХр если подпространства У наделены топологией Е(Х, д')- То же самое справедливо на основании 13.1 для дополнимых (В, D)-подпространств, наделенных топологией НС(Х, 6).
. Дихотомические классы
Экспоненциальные дихотомии
Отклоняясь от на первый взгляд более естественного порядка, рассмотрим сначала экспоненциальные дихотомии: это более богатый и интересный случай, и мы рассмотрим его подробнее.
Мы снова, как и на продолжении всей этой оставшейся части главы, имеем дело со случаем J = R+. Обозначим через Q или, более подробно, через Q(A) множество всех А е L(X), обладающих экспоненциальной дихотомией, и через Qc = ^c(-V) подмножество тех А, для которых А0(А) (подпространство, индуцирующее дихотомию) дополнимо. Заметим, что эти два класса совпадают для конечномерных X и, более того, для гильбертовых пространств и что вопрос об их несовпадении в общем случае остается открытым (замечание 4 и проблема в § 42, стр. 136). Из теоремы 63.М вытекают соотношения
Q = Adr(M, L”), Qc = Adc(M, L”), (72.1) которые позволяют нам применить результаты предыдущих параграфов. В последующем мы будем сокращать Кг го> 8^ до Kv, S. *
72.А. Пусть AoeL(X). Тогда QD (А0 + М(А)) и Qc0 П(Ао+М(А)) являются открытыми множествами в А0 + М(А). Функция S(A) и функции Kv (А) для всех пространств РеЬ^Г или Ь.^-1^, таких, что F сильнее, чем М (в частности, для всех пространств FeI)A, или ЬУ^, или b£Tlg,->), непрерывны на QR (Ао + М(Я)). Отображение А ->Х0(А) является непрерывным отображением QD(A0+M(X)) в В (А, д') и QCD (Ао + М (X)) в ЕС(Х,6).
Доказательство. Это вытекает из 71.D и (72.1), если заметить, что FVM как сильнее, так и слабее, чем М, и, следовательно, Adr(FVM, L°°) = Adr(M, L°°) = Q. &
Возможно усилить часть леммы 72.А, касающуюся отображения А-*-А0(А). С этой целью обозначим для любого AeL(X) множество значений при /=т всех ограниченных решений уравнения (70.1) через Ао(А). Ясно, что
' АоТ (А) = [7 (т) Ао (А) = Хо(6тА) = Хо(ГГА). (72.2)
В частности, Хо (Л) является подпространством тогда и только тогда, когда подпространством является и Xq^A).
72.В. Пусть ЛоеЦХ). Отображение
А->ХЦАу. ЙП(Л0 + М(Х))->3(йГ, б')
непрерывно равномерно относительно teR+,
Доказательство. Будем писать К вместо Км. Пусть Л —произвольный элемент из й П (Ло + М (X)). Согласно 71.Gc(B, D) = = (М, L”) и (72.1), (72.2), мы имеем Т^АеЙ для всех т е R+ и К^Тт A^^K^AY Рассмотрим, в частности, Ло — произвольный, но фиксированный элемент из Й П (Ло + М(Х)). По условию (E7) экспоненциальной дихотомии существует N>0, такое, что ||xo(OIICN|l*o(Qll, ^^^о^О, Для любого решения х0 уравнения (71.10) с хо(О) е Х0(Л0). Поэтому (см. (72.2)) S(JtAo)^N.
Пусть Л е Q (1 (Ло + М(Х)) удовлетворяет неравенству |Л — Л0|м ^ у К~' (Ло)(1 + А^)-1 для того же Ло. Используя приведенные выше соображения, получаем
|Г7Л-Гг~Л0|м<|Л- Ло^у/ГЧтДЛоК! +5(7ДЛо)Г'.
Поскольку Гт А е Й П (Т% Ло + М (%)), то применима формула (71.7), что дает с помощью (72.2) неравенство
б'(Хот (Ло), Хот(Л))<б'(Хот (Ло), Хот(Л))<2К(Гт-Л0)5(Г7Л0)|Гт-Л-Тг-Л0|м
б'(Хот (Ло), Хот(Л))<
б'(Хот (Ло), Хот(Л))<
1 - к (Т-л) (i + s (г7л0))I т-А - т;а0 |м
2К (Ло) ^ | Л — Л0|м
^ 1-к(Л0)(1+^)|Л-Лolм для BCextGR+- &
72.С. Й + Мо(X) = й, Йс + Af0(X) = Йс. Для данного Лд е L (X) каждое из множеств Й (КЛ0 +М0(Х))> йс П (Ло + М0(Х)) либо пусто, либо совпадает с Л0 + М0(Х). В частности, ЙПМ0(А') = =ЙС П МО(Х) = 0.
Доказательство. Это следует из 71.Е и (72.1). Последнее утверждение вытекает из того факта, что О^й (или из 42.Е и 23.F). 4,
Почти все приведенные результаты являются частными случаями следующей теоремы, которая, с другой стороны, является их следствием:
72.D. Теорема. Пусть В е Ь^" или 'oST^ сильнее, чем М (в частности, В е Ь^-, или 'оЗ'^, или ЛКГЧ;?*\ Тогда '
(а) если ЛоеЬ(Д, то Й П (Ло + В (%)) и Йс П (4 + В (%)) являются открытыми множествами в Ло + В (%), и S (Л), Кв (Л) — непрерывные функции на первом из этих множеств',
(Ь) отображение Л—>Ао(Л): й П (Ло + В (%)) —> Е (%, д') непрерывно равномерно относительно т е R+ и отображение Л-*АС0(Л): йс П (Ло + В (X)) ->ЕС(А, д) непрерывно. -
Если пространство В скудно, то .
(с) Й + В^^Й, ЙС + В(Х)=ЙС; для Лое1(Х) каждое из множеств QH (Ло+В^))» ЙСП (Ло + В (X)) либо пусто, либо со: впадает с Л0+В(Х); в частности, йП В (X) = ЙСПВ (X) = 0.
Доказательство, Это следует из 72.А, 72.В и 72.С с учетом того факта, что равномерная структура и топология в Л + В(Я) сильнее, чем равномерная структура и топология, индуцируемые из Л + М(Х), и того факта, что если В скудно, то оно сильнее, чем кМ = М0. Для доказательства непрерывности Кв полагаем в 72.A F=B. j.
Нашей следующей задачей является изучение зависимости от Л параметров, входящих в определение экспоненциальной дихотомии. Мы напоминаем, что определение «чисел» г(Л) и г'(Л) дано в замечании 2 § 42 (стр. 135). Выведем новую характеризацию этих чисел в .терминах возмущений Л.
72.Е. Если Лей и ceR, то Хо(Л) индуцирует экспоненциальную дихотомию для А + csI тогда и только тогда, когда — v (Л) < о < V (Л). , ■ ■
Доказательство. Условие достаточно. Допустим, что —'у(Л)<о<У/(Л). Для каждого решения у уравнения
у+АА + оПу = 0 (72.3)
и для решения х уравнения (70.1) С л(0) =г/(0) имеем //(/) = = е“"'х(/), teR^ По предположению существуют числа v, v'>0, такие, что —о<г<У(Л) и o<v'<v/(A). На основании определения у(Л), уДЛ) существуют числа N, N' = N'(h), уо= =Yo(M, которые вместе с указанными v, V удовлетворяют условиям (ЕД, фп) и фш) определения экспоненциальной дихотомии для А и У=А0(Л); но тогда те же самые параметры вместе с v + o и V — о>0 вместо v и v' соответственно удовлетво-. ряют тем же условиям для Л + о/ и того же Y. .
Условие необходимо. Предположим, что Х0(Л) индуцирует экспоненциальную дихотомию для Л + о/ с параметрами vi, vp
Nt, Ni=Ni (X), yoi=Yoi(M- Для 'любого решения х уравнения (70 1) и для 'решения у уравнения (72.3), удовлетворяющего условию г/(О)=л(О), имеем при х(0)=у(0) еА'0(Л)
|| х (0 || = eot || у (01| < Nxeat-^ ^ || у (t0) || =
= (Z-W || х (С) II для всех /^/о^О.
Следовательно, — о < V[ — о ^ v (Л). Аналогичные рассуждения в случае х (0) = у (0) ^ Ао (А) дают о < v( + <J ^ v'(А). 3,
Для любого AeQ положим Н (А) ={о е R: А + а/ей}. Поскольку /еМД), //(А) является прообразом открытого множества йА (А + М АТ)) при непрерывном отображении о->А-Ь + о/: R -> А + М(Х)- (см. 72.А). Следовательно, множество Н (А) открыто. Оно содержит 0. Пусть теперь До (А) обозначает компоненту А (А), содержащую 0. Эта компонента является открытым интервалом, ограниченным или неограниченным.
72.F. Если o', а" е R, и с'<о", то А0(А + о7) с А0(А + </7) для любого AeLI.?). Если А е Q, то А0(А + су/) постоянно на каждой компоненте множества А (А).
Доказательство. Добавление (о" — о')/ к А + о7 приводит к умножению всех решений однородного уравнения на e-(a"-J,)<, так что первая часть утверждения тривиальна. Далее, в силу 72.А отображение о^-А0(А+о/): Н (А) ->- Е (А, д''} непрерывно. Теперь первая часть доказательства вместе с предложением 13.Е показывают, что д'(А0(А + о7), А0(А+V7)) < 1 тогда и только тогда, когда А0(А + о7) = Х0(А + а"1), что и завершает доказательство. £
72.G. А0(А) = (—v (А), v'(A)).
Доказательство. 72.Е и 72.F., 4,
72.Н. Теорема. Для любого Ао е L(A) функции v(A) и v'(A) полунепрерывны снизу на йП(А0 + М(Х)) и тем более на йП(А0+В(Х)) для любого ВеЬ.'Г или Ь^’й’, более сильного, чем М. ■
. Доказательство. Пусть Ао — произвольный, но фиксированный элемент из й П (Ао + М (А)). Выберем произвольно v и V, удовлетворяющие условиям 0<v<v(A0), 0<v'<v'(A0). Согласно 72.G, множество {А0 + о/: — v^o^V} является непустым компактным связным множеством, содержащим Ао и содержащимся в множестве ЙП(А0 + М(А)), которое открыто В А0 + М(А). Поэтому существует столь малое е>0, что
Tl^Гл. 7. Зависимость от Л
если йеЛ0 + М(Х) и |В *> (До + о/)|м < е для некоторого os[- v, v'], то BeQ. В частности, если ДеД0 + М(^) и |Д — Д0|м <е, то Л + a/sQ для всех а е [ — v, v']. Следовательно, связное множество [ —v, v'] является подмножеством множества В (Д). Поскольку оно содержит 0, то из 72.G следует, что [ —v, v'] с: Во (Д) = ( —v (Д), v (Д)). Так как v и V произвольно близки к v (Дй) и т'(Д0), то это доказывает утверждаемую полунепрерывность. &
Замечание. Если Х= R, то, как легко показать, Лей и Хо (Л) = R тогда и только тогда, когда
inf Л (w) du> —ооt > tQ > о /
И
t
$(Л) = lim inf (/ — М"1 f А^ du>0;t-to-> ооj
Лей и Хо (Л) = {0} тогда и только тогда, когда
t
sup Л (и) du < оо
И
t
— V (Л) = lim sup (/ — Zq)”1 \A^du<Q.
to
Отсюда сразу вытекает, что v (Л) и V (Л) фактически непрерывны на Й П (Ло + М (X)) для каждого Ло г L. Возникает следующий вопрос:
Проблема. Будут ли т(Д) и V (Д) непрерывными наППМ0+ + М(Х)) в общем случае?
Заметим, однако, что этот вопрос не столь интересен, как вопрос об оценке границ для параметров экспоненциальной дихотомии через КвИ) и 5(Д) (где, скажем, В — некоторое пространство из Ь^^) и, может быть, через некоторую норму функции А, но никак иначе не зависящей от А. Эта проблема уже обсуждалась в § 65 (стр. 237, особенно вычисление 65.Т).
Обыкновенные дихотомии
Для обыкновенных дихотомий не существует удовлетворительных аналогов для результатов предшествующего пункта. Поэтому мы будем довольно кратки. Пусть Qo[Qoc], или подроб-
нее Qq(A) [QQc (A)], — множество всех A^L(X), для которых некоторое [дополнимое] подпространство индуцирует дихотомию. В соответствии с классификацией различных случаев в § 63 (стр. 211) обозначим через QOi [^ою] подмножество всех тех /4 ^ Qo, для которых ХооИ) [дополнимо и] индуцирует дихотомию, через Qon дополнительное к нему подмножество в Qo, через Qoi [Qoic] подмножество рсех тех А ^ Qo, для которых ^(А) замкнуто [и дополнимо], и через Q02 дополнительное к нему подмножество в Qo. Заметим, что в этой классификации мы не исключаем тех А, которые обладают экспоненциальной дихотомией; разумеется, QczQoiHQoi и Qccl QoicCIQoic-
72.1. А ^ Qo [А ^ QqcJ тогда и только тогда, когда существует [дополнимое] (L1, L°°)-подпространство для А, и QOcczQoc: cz Ad(U, L°°). Далее, QOi = Adr(L1, L~), Qoic = Adc(LI, L^), Qdi = = Adr(L‘, L°°), Qoic — Adc (lA L”). Если X конечномерно, ■ то Qo ic — Qoi — Qoic — Qoi — Qoc= Qo —Ad (L1, Lo) —Ad(Ll, L ).
Доказательство. Теоремы 63.D и 63.F. &
Замечание 1. В случае гильбертова пространства X индекс «с» не нужен и остаются только классы Qo, Q0[, Йоц, Qol, Q02- Если X конечномерно, то Q0 = Q0i = Q0b
Замечание 2. Если X — бесконечномерное гильбертово пространство, то, как мы уже знаем из замечания к теореме 64.Е (иначе говоря, из примеров 65.А (А = 0), 41.Н, 41.1 и 65.R), пересечения QolD^ob ^016^02, ^опП^о! и ЙопП^ог непусты, даже если X сепарабельно, и фактически содержат ограниченные непрерывные функции А, принимающие симметрические или эрмитовы значения. Включение Qo czAdtL1, L°°) является строгим, как показывает пример 65.S.
Замечание 3. В примере 44. В алгебраическое сопряженное уравнение дает в случае Х = 1°° постоянное А е (Qoj \ Q0lc) П ^oic (так как Х0 = Х индуцирует дихотомию и недополнимое подпространство, Х^ = 1^ также ее индуцирует; см. Массера и Шеффер [4], пример 4.1). Используя внешнюю прямую сумму Х^^ф^2) Двух экземпляров пространства /°° с нормой (| х(1) 0 х^ || = шах { || х(1) ||, || х^2) ||} — пространство, конгруэнтное /°°, — мы можем скомбинировать этот пример (в первом слагаемом) с формальным аналогом для случая /°° примера 41.Н (во втором слагаемом). Обычными методами проверяется, что недополнимое подпространство Xqq*!^® индуцирует дихотомию, что ее индуцирует и дополнимое подпространство Х(1)®{0(2)} и что Х0 = Х(1)$^2) не замкнуто. В этом примере, следовательно, (ограниченное непре* рывное) А принадлежит (^OI \^olc) П ^02 П ^рс»
СО СО Првведенные примеры показывают, что взаимоотношения между классами с индексом «с» и их дополнительными классами в общем случае могут быть довольно запутанными (правда, в примерах замечания 2 пространство X не является ни сепарабельным, ни рефлексивным). На следующей диаграмме показаны возможные комбинации подмножеств множества По.
Большой квадрат изображает По. Он разделяется вертикальной линией на две половины Hoi и Поп и горизонтальной — на Hoi и Пог- Внутренний квадрат изображает QOc. Треугольники, прилежащие к вертикальной и горизонтальной средним линиям, изображают соответственно Ноы и Hole. Зачерненная область является единственно возможной областью для конечномерного X. Область, ограниченная жирной линией, соответствует случаю гильбертова пространства. Заштрихованные области (включая зачерненную) представляют те случаи, для которых примеры известны и описаны выше, в замечаниях 2 и 3.
Остальные классы, судя по всему, что мы знаем, по-видпмому, пусты. Подчеркнем наиболее бросающиеся в глаза открытые вопросы:
СО СО Проблема. Верно ли для всех X, что ПОс = По? или что П01с = Hoi?
72.J. Теорема. Пусть йог обозначает любой из классов Йо, Йос, Йщ, Йоте, Йоп, йщ, йою и йог- Тогда QOi + L1 (Я) =Qoi- Если АоеЦЯ), то каждое й0<П (^o+L'^)) либо Пусто, либо совпадает с Ao+L^X). В частности, L1 (^) с Йо1сП ЙО1с.
Доказательство. Первое утверждение следует для Йо и йос из 72.1 и теоремы 71.1; для йоь Йощ, Й01 и Й01С — из 72.1 и теоремы 71.Е; для Йоп и Q02 доказывается переходом к дополнениям. Остальное получается тривиально. Последнее утверждение верно потому, что как Х0 = Х, так и Л"оо={О) индуцируют дихотомию для 0, так что 0 е ЙоюПйою- &
Мы опустим очевидное (и неинтересное) следствие для пространств ВеЬ.7" или bgr-^, которые сильнее, чем L1; равным образом опустим мы и результаты о полунепрерывности подпространств, индуцирующих дихотомию, о непрерывности Х0(А), Хоо(А), S(A) и ^1(A) ит. д., которые могут быть получены из замечания к теореме 71.1 и из леммы 71.D, а также оценки параметров дихотомии (см. § 65, стр. 237).
Мы закончим этот йараграф одним результатом, который показывает, что дихотомические классы не очень обширны.
72.К. Теорема. Если FeT" или S"^ сильнее, чем М, и содержит хотя бы одну крепкую функцию, то По П F(X) неплотно в F(X).
Доказательство. Предположим, что функция ф е F крепка. Мы можем считать без потери общности, что |ф|м = 1 н при FeS-^ что ф(п) = 0, п — О, 1, ..., ф удовлетворяет неравенству (20.3) для некоторых ц, М>0.
Пусть (mn) — последовательность положительных целых чисел, такая, чго mn+i > 2(1 + ц-1) mn, п = 1, 2, ..., и m0 = 1. Положим
Ф = ф2(-1)"Хгт т . F-
$I п’ n + lJ
Для п = 1. 2, ... имеем
00ф (м) duф (м) du<р (м) du ^<р (м) du ^
0
0
ф (м) du
ф (м) du
<р (м) du ^
<р (м) du ^
<-In М —ц (т„-тге_]) + mn_v (72.4)
Рассмотрим Л = ф/еР(Х). Мы утверждаем, что если В е М (X) и [В-Л|м<—ц, то В ^ Йо- Это докажет наше утверждение, поскольку F сильнее, чем М.
Положим С = В — А, й = 2ц-1 |С|М < 1. Пусть V и IF — решения операторных уравнений V + BV == 0 и IF + CW = 0 с V (0) = IF (0) = 1.
(
t\
— |" ф(и)</и1. Используя неравенство (31.9) для W 6/
и неравенство (72.4), получаем, что для каждого решения у уравнения у 4- By = 0
II У W II = II IF (т2„) у (0) || охрII У W II = II IF (т2„) у (0) || охрJ ф (м) du о
II У W II = II IF (т2„) у (0) || охр
II У W II = II IF (т2„) у (0) || охр
>М|| IF-1 (m2„) || * || у (0) || ехр (ц (m2n - тгп_^ - тгп_^ >
М|| у (0)|| ехр (ц (1 “4 *1) ™2„-(ц+ 1) т2„_^>
АГ ||у (0) || ехр ( (ц + 1) (1 — Т]) f^n-i) -> оо при п->оо, / «24+1\
II yk«i2n+\) 1| = И W (т2п+ t)y (0)|| ехр (- J ф(и)</и1<' о/
<M-l||lF(m2ra+1)||||t/(0)||exp(-n(m2n+1-m2n) + mMX
М-1 ||у (О)Цехр^-ц^1 --1 т))т2л+1 + (ц+ 1)т2П)<
М-1 Уу (0) ||ехр (-(ц + 1) (1 -Т)) т2п) -> 0 при п -> оо.
Таким образом, у не удовлетворяет ни условию (Dj), ни условию (Оц) определения дихотомии. Следовательно, В ф. Qo, как и утверждалось. 4-
Замечание. Чтобы подчеркнуть роль предположения о том, что F содержит крепкую функцию, отметим, что По П F (X) плотно в F(X)>
когда FeZ или S"^ скудно. Действительно, в силу теоремы 72.J k0F(X)c L1 (X)pQ0, а первое множество плотно в F (X).
В качестве непосредственного следствия для экспоненциальных дихотомий получаем
72.L. Если F е.Г или Я" 9 сильнее, чем М, то множество й П ?(Х) неплотно в F(X).
Доказательство. Если F содержит хотя бы одну крепкую функцию, то паше утверждение вытекает из включения й с й0 и теоремы 72.К. В противном случае множество Й fl F(X) пусто согласно 42.Е. 4,
Связность в дихотомических классах. Банаховы пространства
Семейства деформаций
Теперь мы приступаем к изучению свойств связности «в большом» дихотомических классов; нас особенно интересует проблема выделения их компонент. Мы ограничимся рассмотрением классов QCHF(X) и QocAF(X), где F — любое пространство из 3" или 3%, не обязательно полное. В этом параграфе мы изучаем случай, когда X — общее банахово пространство. Результаты здесь довольно бедные, но они дают основу для изучения более интересной ситуации, когда X— гильбертово пространство, которая будет рассмотрена в следующем параграфе.
Па всем протяжении этого и следующего параграфов мы будем иметь дело с элементами .4, В, Се Ь(Я), иногда с различными индексами. Примем раз и навсегда соглашение, что U, V и W с теми же самыми индексами будут соответственно единственными решениями операторных уравнений
U (0) = /;V^ = I;W^ = I.U (0) = /;V^ = I;W^ = I.U + AU — 0, V+BV =0, W + CW = 0,
U (0) = /;
V^ = I;
W^ = I.
U (0) = /;
V^ = I;
W^ = I.
Главная теорема о связности, которую мы установим, в значительной степени основана па идее «связывания» двух операторных функций из исследуемого класса посредством деформации пространства X для каждого t, сохраняющей (качественно) свойства роста и угловые соотношения решений соответствующих уравнений. Формализация этой идеи содержится в следующих определении и леммах.
Предположим, что V е.3 или 3^. Функция a-*Ga\ [0, 1]-> ->C(X)inv, записываемая также как (Go), называется семейством F-д еформаций, если выполняются следующие условия: .
(a) Go является первообразной, и GoeF(A) для каждого а;
(Ь) отображения о—>Са. [О, 1]->С(А) и G->Ga" [О, 1]->F(A) непрерывны.
Из (Ь) и 24.К следует, что отображение а -> Ga *: [0, 1 ] —> С (А) также непрерывно. Следовательно, |Ga| и |G7'| ограничены на [0, 1]. Мы обозначим их наименьшую общую верхнюю границу через m или т0.
73.А. Если {Ga) — семейство F-деформаций, то (Ga') также является семейством F-деформаций. Если (Ga) и (Ga) — семейства F-деформаций, то (G^Ga) также является семейством F-деформаций.
Доказательство. Это следует из определения и лемм 21.Н, 22.V, 24.J, ЗО.А. £.
73.В. Предположим, что AeF(X) и что {Ga) есть семейство F-деформаций. Положим
Ga = GaAGaX — GaGaX.(73.1)
Тогда отображение а-»-Са; (0, 1]—>-F(A) непрерывно. Кроме того,
Wa=GoUGa'{O),(73.2)
и,
х z = Gox(73.3)
является взаимно однозначным соответствием между решениями уравнения (70.2) и решениями уравнения
z + Co2 = go,(73.4)
где go = Gat
Доказательство. Это доказывается непосредственной проверкой с использованием 21.Н, 22.V, 24.J и ЗО.А. Л
73.С. Пусть А е F (A), (Go) — семейство F-деформаций и Са определено формулой (73.1). Для любого D е ЬУк имеем Aon (Ca) = Ga (0) Aon (А). Если S'-пара или S^-napa (В, D) допустима для А, то она допустима для каждого Са. Если У является (В, D)-многообразием для А, то Оа{й)У является (В, О)-многообразием для Со с Коа№т{Са)^т^Кт{А); если, кроме того, У является подпространством, то За^цАСа)^ ^m2Sy(A). Если подпространство У пространства X индуцирует обыкновенную [экспоненциальную] дихотомию для А, то такую же дихотомию индуцирует Оа{^)У для Са.
Доказательство. Все, кроме последнего утверждения, следует из 73.В. Последнее же утверждение выводится из первых при помощи теоремы 63.D [63.ЛА] или доказывается непосредственно следующим образом. Пусть решения х уравнения (70.1) и z уравнения z + Coz=0 связаны соотношением (73.3). Тогда если г(0) е Go (0) У, то х(0) е У; если ||г(0) \\<Ad[GQ (0) У, 2(0)), то |]х(0) || <m||z(0)IKmU(Go(0)y, Go(0)x(0) )^.m2Xd(Y, х(0)); если решение z (а следовательно, и х) нетривиально, то для всех /', t" е R+ имеем ||z (t') |||| z[t") 1Г1 ^ т2|| х (/') |||| х (<") Ц-1; наконец, если z*, z"=£0 и, значит, х', х"^0, то в силу 11.А
у [г' (t), г" (<)] > m"1 Illi z' (/) Г* х' (0 -1| 2" (0 |Г' х" (/) || >
- ^^m-'IIVWIII^^Oir'v^U), x"Wl^
^-^fn-^lx'CO, x"(t)].
Отсюда следует последняя часть утверждения. Если параметрами [экспоненциальной] дихотомии, индуцированной подпространством У для А, были [v, vl, N, АДЛ), уо(Л), то параметрами [экспоненциальной] дихотомии, индуцированной подпространством Gc(0) У для Ga, будут [v, V] m?N, m2N' (т2Х), ^ т~2у0(т2Л). Заметим, что v и V не изменились — факт, не видный из первого, косвенного доказательства. 4,
Линейная связность в дихотомических классах
Для F е ЗГ или S*^ множества Йс Я F(X) и QOcF(X) будем обозначать для краткости через Qcf и Qocf соответственно. Если потребуется указать явно пространство X, мы будем писать Qcf (Л-) и Qocf(^)- Эти множества будем считать снабженными метрикой и топологией из F(X).
73.D. Пусть Л е F (A), (GJ — семейство V-деформаций и Со определено формулой (73.1). Если ЛеДср [Л е Qcf], причем дополнимое подпространство, индуцирующее дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для Л, обозначено, скажем, через У, то отображение а—>Со определяет кривую в йэ,т [йсг], а отображение о -> Gq^Y (в дополнимое подпространство, индуцирующее дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для Са) определяет кривую в SC(X, д) и, следовательно, в ЕС(Х, д').
Доказательство. Это вытекает из 73.В и 73.С. То, что отображение о->Со(0)У: [0, 1]-> Е (X, д) непрерывно, следует, как и в 13.К, из непрерывности отображения o->Go(0): [0, 1]->-А. ко-
торая в свою очередь следует из условия (Ь) определения семейства F-деформаций. 5г
Следующие две леммы представляют собой важные шаги в направлении нашей главной теоремы (теоремы 73.G). Мы предполагаем, что Fe.7" или 9"^.
Пусть Л, В е QOcf [е Qcf], 11 пусть подпространства Уд и YB индуцируют дихотомии [экспоненциальные дихотомии] для А и В соответственно и имеют общее дополнение Z. Пусть, крем? того, либо U (t)YA = V (t)YB для всех teR+, либо U(t)Z = V(i)Z для всех teR+. Тогда существует функция С е Qqcf [sQcF] с подпространством YC = YB, индуцирующим дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для С, такая, что А и С можно соединить кривой в Qocf [в Qcf], и W(t)Yc — V (t)YB, W (t) Z = V (f) Z для всех t e R+.
' Доказательство. Рассмотрим" сначала тот несколько более сложный случай, когда U[t]Z = V[t]Z для всех teR*. Пусть Р и Q— проекторы на Z вдоль Уд и YB соответственно. Тогда проекторы на U[t]Z = V[t]Z вдоль U^Ya и V[t]YB имеют соответственно вид U (О PU~' (/) и V (0QP1 (О- Поскольку область значений у них общая,
UPU~'VQV~' = VQV"X,-
,,1(73.5)
VQV UPU = UPU .
Следовательно, функция S = UPU~l — VQV-1 удовлетворяет условию S2 = 0.
. Из наших предположений следует (41.В (С)), что UPU~', VQV- е С(X), так что SeC(X). Кроме того, S является первообразной (30.A), S(0) — Р — Q и S = —AUPU~l + UPU-1A +
' +BVQI/’1-VQV^'B, так что S е F (X) (см. 22.V, 24.J).
' Для каждого ое[0, 1] положим Go = I + aS; это — первообразная в C(A)inv, так как GaX = I — aS. Мы утверждаем, что (Ga) — семейство F-деформаций. Действительно, Ga = oSeF(X) и отображения a->Go и a->G0 линейны и, следовательно, непрерывны.
Определим Са формулой (73.1). Поскольку Go = 7, то Со= А. Мы утверждаем, что С = С, удовлетворяет заключению леммы . с Ус = G1 (0) Уд. Действительно, согласно 73.D, А = Со и С можно соединить кривой в Qqcf [в QcF], а Ус индуцирует дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для С,
Кроме того, G [ (0) = / + Р — Q и Gi 1 (0) = I — Р + Q, так что
Ус = G, (0) Уд = (/— Q) Уд с Ув =
= ОДО) GF* (0) У в = Gi (6, (/ - Р) YB с G, (0) Уд.
Поэтому всюду имеют место равенства и ¥С=УП. Далее,. Gf' (0) QGi (0) = Р (для / = 0 равенства (73.5) принимают вид PQ = Q, QP = P). Следовательно, в силу (73.2) и (73.5)
WQW-' = (/ + S) £7 G Г1 (0) QGi (0) U-1 (1-8) =
= U + S")UPU-4l
Значит, нуль-пространства W (t) Ус = W (Г) Ув, К(/)УВ, равно как и области значений W(t)Z, V(t)Z этих равных проекторов, совпадают для каждого / Е R+.
Рассмотрим теперь другой возможный случай, когда U(t)YA = V(t)YB. Мы можем повторить предыдущее доказательство, заменяя Z на YA = YH и Уд, Ув (оба) на Z. Доказательство проходит точно так же, как прежде, и даже упрощается, так как в этом случае P = Q. 4-
73.F. Предположим, что ЛеЦУ) и что Р — проектор в X с нуль-пространством У. Для каждой функции фЕЬ положил!
(73.6)(73.6)Лф= Л+ V(/-2UPI/~‘)e L(X).
(73.6)
(73.6)
Если У индуцирует дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для Л,Р при некотором ф, то UPU~X Е С (X) и У индуцирует дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для Лф при любом ф ф.
Если У индуцирует дихотомию для Л и функция ф крепка, то У индуцирует дихотомию для Л^.
Если UPU-xeC(X) и ф ^ || Л || [причем функция ф = = ||Л|| крепка], то У индуцирует дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для ЛФ-
Доказательство. Прямым вычислением получаем
£Ар1 (<) = I Р exp I — J ф (и) du I + (/ — Р)ехр I J ф (и) du \ 1 U 1 (().
Таким образом, для любых /0, te5P+ / t\
U4(t)(I-P)U^(t0)=U (/)(/-.?) (/""'«о) exp - J cp^duV ,t \ VW
U^PU^' (to) = U (t) PU~1 (/o) exp J ф (h) du .
Теперь (а) следует сразу из 41.8(c), (d) [42.8(c), (d)]; включение UPU~' e С (X) вытекает из (73.7) c t = ta.
■ Если функция ф крепка и М, ц — константы из 20.D, то мы имеем в силу (73.7)
|| (Lt (t) V - Р) U^1 (/о)|| <|| U (t^i- Р) и"1 (/0)|| ЛГ'^Ц для t^tQ^O, \\U^PU54t0^\\u^PU~4^^^^для /о^^О;
поэтому (Ь) следует из 41.8(c) и 42.8(d).
Если UPU^ е С(Х), то U (/- Р) U~'C (X), и в силу (73.7) с учетом (31.9) мы имеем для всех /0, 1е/?+
II и^п U-P)u^to)k - J V(u)du <
<к(/-Р)У’1|ехр - J (ф (и) —1| Д (u) ||) c?u j,
,K(/)P[^I(Zo)|k|i/Pt7~I|exp I - / (ф(и)-||Л(и)||)йи . х t/
Если ф>1И11 [если функция ф—||Д|| крепка и М, ц —константы из 20.D], то имеет место неравенство
ехр(- J (ф(ц)-||Л(«))||йЫ)<1 [^M-'e-^'-^j
для />/о^О и аналогичное неравенство для /0>/>0. Теперь (с) следует из 41.8(d) [42.8(d)]. 4,
Предположения приводимой ниже главной теоремы этого параграфа те же самые, что и в 73.Е, но мы повторим их ради удобства.
G. Тесрема. Предположим, что Л, В е QOcF [eQcF], Допустим, что подпространства УА и Ув индуцируют дихотомии ^экспоненциальные дихотомии] для А и В соответственно и имеют обидев дополнение Z; и пусть либо U (О У А = V (/) Ув для всех IeR+, либо U (I] Z = V (f) Z для всех t<=R+. Тогда А и В можно соединить кривой в йОср [в йср].
Доказательство. На основании 73.Е мы можем считать, что Ya=Yb=Y и что равенства ПЩ Y= V(/) У, U (t) Z = V (/) Z оба верны для всех t е R+- Пусть Р— проектор па Z вдоль У. Тогда проектором на U(t)Z=V(f)Z вдоль (J(/)Y= V(i) У будет 5(f), где 3 = UPU^' = VPV-1. В силу наших предположений и леммы 41.В (с) 3 е С(Х).
Для каждого ое[0, 1] введем следующие элементы пространства L(X):
Ла = Л + о (]| Л ]| + || В ||)(/ — 2S),
Ва = В + о(|| Л|| + ||В||)(/ —2S),
Са = (1 — а) А + оВ,■
2?0 = Са-+ (П Л Ц + ЦВ ||)(Z — 2S) = (1 —о) Л, + оВ,.
Фактически, согласно 22.V, 24.J, Ао, Ва, Са, DaeF]X] и отображения а^-Л0 и т. д. интервала [0, 1] в F(X) линейны и, следовательно, непрерывны. Далее, 3 является первообразной, а также решением уравнения 3 = —ЛЗ + ЗЛ и, кроме того, решением уравнения 3 = —BS + SB в обоих случаях с начальным условием 3(0) = Р. Следовательно, 3 является решением уравнения
3 = - COS + SCa, S(0) = P(73.8)
для каждого о. Но WaPWa' также является решением уравнения (73.8), откуда
ГаРГ^^Зе С(Х).(73.9)
Теперь используем 73.F; согласно части (а) этой леммы, У индуцирует дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для Ло, Во, ое[0,1]. В силу (73.9) Са удовлетворяет условиям части (с) леммы 73.F (сформулированным для Л). Далее, функция ||Л|| + ||В|| — ||Са||> а||Л|| + (1 — а)||В||>0 [и крепка, так как ||Л|| и [|В|| крепки согласно 42.Е]. Следовательно, У индуцирует дихотомию [экспоненциальную дихотомию] для Do, ое[0, 1].
Таким образом, Л=Л0 и A\ = DQ, AX=DO и D\ = BX, DX = B\ и В0 = В попарно соединимы кривыми в Qocf [в Qcf]- &
Замечание 1. Заметим, что, двигаясь вдоль кривой, соединяющей ' А и В в йОсР [в QcF], можно так выбирать подпространство У, индуцирующее
дихотомию [экспоненциальную дихотомию], чтобы «провести» кривую в Е< (Х, б) (и, следовательно, в ЕС(Х, 6')). Именно так обстоит дело для кривой, использованной в 73.Е, — на самом деле для любой кривой, состоящей из точек Су, определяемых семейством F-деформаций, — на основании 73.D И того факта, что FC=G[(O)K^; и тривиальным образом обстоит так дело для прямолинейных отрезков, использованных в доказательстве теоремы 73.G, так как У фиксировано на протяжении всего доказательства.
Замечание 2. Что касается случая QcF, то стеснительное предположение «Уд и Ув индуцируют экспоненциальные дихотомии» является излишним, если предположить, что Х0(А) и Хо(В) имеют общее дополнение, и если писать «и(/)Х0(Л) = V(t)X0(B)» или, более выразительно, «Хд (Л) = Хд (В)» вместо «С (t) Y д = V (/) Уд».
Замечание 3. Предположение «{/(/) Y д = V (/) Уд для всех / г Ra» , ■ может быть ослаблено до предположения «для каждого / г R+ либо I) (t) Уд с V (/) YB, либо U (t) Ya zd V (/) Уд». Действительно, это дает Yд с Уд или Y д zd Уд, но поскольку Z является общим дополнением, то мы должны иметь Уд = Уд; затем применяем ,13.К. .Аналогично предположение «U(t)Z = V(/)Z для всех teRv>
. может быть заменено более слабым «для каждого teR+ либо U^Zc. cV(t)Z, либо U(t)Z zd V(/)Z».
■ Мы закончим этот параграф теоремой о связи между QOcf И QcF-
73.Н. Теорема. Если F содержит хотя бы одну крепкую функцию, то Qqcf (содержит QcF и) содержится в c1fQcf; при этом каждая линейно связная компонента QocF содержит по крайней мере одну линейно связную компоненту QcF.
Доказательство. Включение QcF с: QOcF очевидно. Пусть А е Qqcf, и пусть У —дополнимое подпространство, индуцирующее дихотомию для А, а Р — проектор вдоль У. Для любой крепкой функции ф е F функция оф крепка при всех действительных о>0. Следовательно, если Лаф определено формулой (73.6), то из того факта, что UPU~' е С (X) (см. 41.8(c)), следует, что Лаф е F (X) и (см. 73.F (Ь)) что Ла(р г Qcf для всех о>0. Поскольку отображение о-* Лаф является линейным и, следовательно, непрерывным отображением отрезка [0, 1], скажем в F (X), отсюда следует, что Л = Ло принадлежит F-замыканию Qcf и соединимо, скажем, с Лф е QcF кривой в Qocf- &
"Замечание. Предположение, что F содержит крепкую функцию,
■! существенно, так как если оно не выполняется, то множество UcF -?.#,. пусто (42.Е), тогда как 0 г QOcF.
Связность в дихотомических классах.Гильбертово пространство
Некоторые мотивировки'
Для того чтобы понять, что делается в этом параграфе, рас- ' смотрим бегло один частный случай. Как уже упоминалось во введении к главе, мы намереваемся среди прочего показать, что для конечномерного (евклидова) X, отличного от действительной плоскости, компоненты множества Qoo (и других множеств fiF) оказываются в точности теми подмножествами множества Qoo (или Qf), для которых Х0(А') имеет некоторую определенную размерность. Самым сложным является доказательство того, что эти подмножества связны — фактически линейно связны.
Предположим для определенности, что полем скаляров является R и что dimX = 3 (напоминаем, что dim и codim обозначают ортогональные размерность и коразмерность), и рассмотрим то подмножество в Qoo, для которого dimAoH) = l. Одним из элементов этого подмножества является постоянная операторная функция В = 1— 2/3, где Р = 1— Ру— ортогональный проектор вдоль одномерного подпространства, скажем У. Пусть А— произвольный элемент этого подмножества. Если бы мы смогли соединить А в самом этом подмножестве с некоторым С, для которого Х0(С) = У=Яо(5) и W (t) У= Е(/) У= У для всех t, то мы смогли бы в свою очередь соединить С с В, согласно теореме 73.G (включая замечание).
Наиболее очевидный путь для соединения А с таким С состоит в нахождении семейства Ь°°-деформаций (Go), которое постепенным «раскручиванием» уложит ограниченное решение х уравнения (70.1) (единственное с точностью до умножения на скаляр) на У\{0} (в силу связности на одну открытую полуось, скажем Уь прямой У) для каждого 1. Кажется наиболее естественным воспользоваться для нахождения Ga линейной интерполяцией наименьшего поворота, переводящего х(/) в Уь с параметром ое[0, 1]. Это не всегда возможно, потому что х(/) и У1 могут быть диаметрально противоположными или близки к тому (что точно так же плохо, ибо при этом портятся свойства ограниченности Ga). Поэтому приходится выполнять поворот в два шага, каждый раз на угол, равномерно «отграниченный» от л (по техническим причинам в фактическом доказательстве оба шага сливаются в один).
Исследования этого параграфа, посвященные таким доказательствам связности, представляют собой главным образом разработки этой идеи с видоизменениями, возникающими по следующим причинам: dimXpH) может принимать любые значе-
ния; манипуляция с поворотами не проходит в случае размерности 2; в случае комплексного поля скаляров нужна иная геометрическая структура «поворотов» (унитарные операторы).
Заметим между прочим, что глубоким топологическим фундаментом, скрытым за нашими геометрическими конструкциями, является тот известный факт, что грассмановы многообразия (т. е. алгебраические многообразия m-мерных подпространств «-мерного действительного или комплексного векторного пространства) односвязны, за исключением действительного случая с п 2 и m = 1.
Мы увидим, что в отличие от всех наших предыдущих исследований (ср. § 15) методы этого параграфа, несомненно, требуют использования скалярного произведения и гильбертовой нормы даже для конечномерных X; и хотя результаты для этого последнего случая могли бы быть сформулированы и без привлечения специальной нормы, это было бы весьма неудобно в ряде случаев, что будет отмечено в свое время. Мы также обращаем внимание на непривычную необходимость различать случаи действительного и комплексного полей.
Во всем этом параграфе мы имеем дело с гильбертовыми пространствами, так как имеют силу обозначения и терминология, введенные в § 14.
Две геометрические леммы
Следующие две леммы играют фундаментальную роль при изучении связности дихотомических классов:
74.А. Пусть Z — действительное гильбертово пространство с dimZ>2. Пусть е е dS(Z) — данная точка и р — первообразная на R+ со значениями в 52 (Z). Для любого фиксированного числа со, у л < со < у л, существует первообразная q со значениями в d'ZVZY такая, что
II q IK с||р ||, где
с = с (со) =с = с (со) =л sin со2 (— cos 2со — cos со)л sin со2 (— cos 2со — cos со)>л/з/4> 1;>л/з/4> 1;
с = с (со) =
с = с (со) =
л sin со2 (— cos 2со — cos со)
л sin со2 (— cos 2со — cos со)
>л/з/4> 1;
>л/з/4> 1;
(р (t), q(t)) ^ cos 2со > — 1, т. е. ^1(р(0, q(t)) ^ 2со < л, для всех / ё /?+;
(е, q (t)) cos2со> — 1, т. е. ^-(е, q (t)) ^2а<л, для всех t е R+.
74.В. Пусть Z— комплексное гильбертово пространство, eedS(Z)—заданная точка и р— первообразная на R+ со ■значениями в d£(Z). Для любого фиксированного числа со,
-^ л<<о<ул, существует первообразная q со значениями в 52(Z), такая, что
UIKdlpll, где '
/ \1(о , 2л COS to V <
■ с = с (<о) =5— 3 Н5— > 1;
'— cos 2to \ cos to + cos 2to /
(p(f), qkt^ действительно и ^ —cos2ro>0 (r. e. ^(p[t), q (()) ^ л — 2<o < -^ л) для всех teR+;
I (e, q (/)) I = (q (/), e sgn (q (t), e)) ^ — cos 2w > 0 для всех t e R+.
Замечание. В леммах 74.A и 74В можно, если функция р непрерывна, считать непрерывной и q, правда, ценой (сколь угодно малого) увеличения с(ы).
Доказательства этих лемм элементарны, но очень громоздки и здесь опущены. Они приведены (вместе с наброском доказательства замечания) в работе Шеффера [8] (леммы 7.1 и 7.2). Заметим лишь, что лемму 74.А не удается доказать, полагая просто д = Ф(р), где Ф: 52 (Z) -> 52 (Z)—фиксированное непрерывное отображение, так как при таком Ф нельзя получить значения —е, а также нельзя отобразить никакую точку в диаметрально противоположную к ней.
Из 74.В (а), (с) и ЗО.В получаем в качестве дополнения к 74.В
|| (е sgn [q, е) У || = | (sgn (q, е] У | < J^ < -^ И Р «• <74- О
Семейства деформаций •-
С. Пусть дано F е ^~ или SFT?, и пусть р и q— первообразные на R+ со значениями в действительном [комплексном] гильбертовом пространстве X, такие, что ||р|| = ||(?|| = 1 и р, qe е F(Z), причем [p[ty q(t)), [действительно и]"> г для всех! е R+ и некоторого числа г, —\<г^.\. Тогда существует семейство V-деформаций (Ga), такое, что•
оператор Ga(t) ортогонален [унитарен] для любых o,t;
Go = I и Gxp = q;
если иеХ и [и, р] = (и, q) =0, то Gav = v для всех о.
Доказательство. Определим ф0 условием соэфо = г, О^фо<л, и функцию ф условием со$ф=(р, q), О<^ф^.фо (т-. е. ф — =<^[р, q)). Таким образом, функция ф непрерывна, а функция cos ф является первообразной.
В действительном случае мы построим G\[t] как поворот' на угол ф((), переводящий р[1] в q[t], а для нахождения Go(0
воспользуемся линейной интерполяцией по углу вращения. Это возможно, так как функция ф отграничена от л. Ясно, что любой элемент уел, ортогональный ко всем значениям р и q, будет неподвижен при каждом 6а((). Для фактического построения, проводимого ниже, требуются некоторые вычисления. В комплексном случае мы воздерживаемся от каких-либо геометрических толкований, а формальные построения в общем одинаковы в обоих случаях, и их можно рассматривать совместно.
Мы начнем с введения двух вспомогательных функций, определенных на прямоугольнике [0, 1]Х[О,фо] (о, ф)-плоскости формулами
Р.^, Ф) = ^(=«т при ф = 0),
,.1 — cos аф /1 о ,
-^(а, ф) = sin2 ф 2-02 при ф = 0).
Нам потребуются также следующие производные:
,,др, (а, ф) a cos аф sin ф — sin аф cos ф
Pi = д(со5фГ =si+ф
( = — у а (1 — а2) при ф = о),
,,. др2 (а, ф) а sin аф sin ф — 2 (1 — cos аф) cos ф
;Рг^.Ф)- д (cos ф)sin4 ф
(= --^-о2 (4 - о2) при ф = о).
Поскольку все эти функции непрерывны в своей компактной области определения, они равномерно непрерывны и ограничены. Пусть р — общая граница для |pj, |р,|, /=1, 2.
Определим кососимметрическую [косоэрмитову] первообразную H=(-,q)p — (•, р)<?е С(Х) и отметим тождества:
/7р = р cos ф — <?, Н2р = - рзш2ф, <Нр, р) = (Нq,q) = 0,*
Hq = р — q cos ф, H2q = — q sin2 ф, H3 = — Н sin2 ф.
Кроме того, прямым вычислением получаем
| (cos ФУ Klip 11 + 11 <? и, Ш1<2(||р|| + Ш).(74.3)
откуда (со8ф)"ер, Н е F (X) (при FeO эти функции, очевидно, непрерывны).
Теперь определим семейство (Go) формулой
GO = I"P\ (о, ф)Д + р2(о, ф)#2.(74.4)
Мы утверждаем, что оно удовлетворяет условиям предложения. Действительно, вследствие кососимметричности [косоэрмитово-
сти] Н мы имеем G^ = / + р, (а, ф) Н + р2 (а, ф) Н2, и, используя (74.2), получаем для каждого о
G^o = GtGa = 7 + (2Р2 (°> ф) - Pi (°. Ф))Н2 + Рг <а> ^Н4 ='
= / + (2 1 "^ ^- - ^Д - ^^ аф)2 sin2 ф! Н2 = /.
\ Sin2 ф Sin2 фSin4 фv/
Таким образом, Ga(0 ортогонально [унитарно] для всех а и t (условие (а)) и Gae С (X)lnv.
В силу (74.4) G0 = l, G\ = I — Н + ((1—cosф/sin2ф)Н2; таким образом (см. (74.2)), G\P = р — р cos ф + <? — р(1 — cos ф) = q (условие (Ь)). Если и ортогонально ко всем значениям р и q, то Ни = (у, q)p—(у, р)^ = 0 и (см. (74.4)) Gau = u (условие (с)).
Осталось доказать условия (а) и (Ь) для семейства F-деформаций. Поскольку функция cos ф является первообразной и pz, р< равномерно непрерывны, то функции р, (о, ф), /=1, 2, являются первообразными. Следовательно, первообразной является и Ga, причем
Ga = (- Р{ (о, Ф) Н + р' (о, ф) Н2^ (cos ф)" -
-р^о, ф)Я + р2(о,ф)(ЯЯ + ЯЯ), (74.5)
откуда, используя (74.3) и |[Я||^2, получаем || Ga IK 16р (|| р ||+ + || q ||) (причем Ga непрерывна, если непрерывны р и q). Следовательно, GoeF(X), и условие (а) для семейства F-деформаций удовлетворяется.
Поскольку pz, р<, <=1, 2, ограничены и равномерно непрерывны в своей компактной области определения и ф непрерывна, то отображения o-*pz (о, ф), а -»р[ (о, ф), Z = 1,2, интервала [0, 1] в С также непрерывны. Поэтому из (74.4), (74.5) следует (см. 21.Н, 22.V и 24.J), что отображения o^>Ga: [0, 1]—> С (X) и c->G; [О, 1]->F(X) непрерывны (условие (b)). j,
Экспоненциальные дихотомии. Общий случай
Поскольку в этом параграфе пространство X гильбертово, мы можем писать QF и йог вместо йсг и йосг- Предположим, что задано ¥ е9" или Э7^.
В настоящем пункте мы исследуем свойства связности множества Qp, за исключением случая, когда поле скаляров действительно и dimX = 2 («действительная плоскость») или dim Л'о(Л) = 1. Этот более сложный исключительный случай будет рассмотрен в следующем пункте.
74.D. Пусть А е ЙР, dimX0(A)<oo, dimX0(A) <codimX0(A) [codim Х0М) <оо, codim Х0(А) ^ dim X0(A)]. Если X действительно и dim X = 2, то предположим дополнительно, что dimXo(A)=A 1. Пусть У— любое подпространство пространства X с dim У = dimХ0(А) [dim У = codimХ0(А)]. Тогда существует С е Qf, соединимое с А кривой в ЙР, такое, что СД)У с У п. в. (т. е. для почти всех t е R+) и Х0(С) = У [У — дополнение к Хо^сп
Доказательство. Если Л=1, то утверждение очевидным образом справедливо с С=А, так как ХоИ) есть либо {0}, либо X. Поэтому на протяжении всего доказательства будем считать, что dimX>2. Положим n = min{dim Х0(А), codim Х0(А)}<оо. Заметим, что если X действительно, то п + 2 ^. dim X. Мы докажем следующую последовательность утверждений, для которой 74.D является очевидным частным случаем т = п;
(Рт) Для данного т, О^т^п, и для любого подпространства У пространства X с dim У=т существует такое Сейр, соединимое с А кривой в ЙР, что СД)Ус У п. в. и dim Х0(С) =п, Х0(С)=>У [codim Х0(С)=п, ХДС) П У={0}].
Доказательство проводится индукцией по пг. Утверждение (Ро) очевидным образом верно с С=А. Предположим, что для заданного пг, \4m4n, верно (Pm_i). Пусть У — подпространство с dimy=m. Поскольку mi>l, существует ее У с ||е|| = 1. Введем Уо=УП{е}1— подпространство размерности пг—1. Поскольку соединимость кривыми в йр транзитивна, то на основании (Pm-J не будет потери общности в предположении, что на самом деле Л(/)УосУо п. в. и Х0(А) л> Уо [Х0(А) П У={0}].
Пусть Q = I — Py6—ортогональный проектор вдоль Уо. Тогда QA = QAQ. Поскольку пг—\<п, существует подпространство У'=) Уо с dim У' = пг, такое, что ХДА) => У' [Хо (Л) П У'= {0}]. Пусть х — любое решение уравнения (70.1) с х(0) е У'\Уо, так что У' натянуто на Уо и х(0). Из того факта, что Уо является п. в. инвариантным относительно оператора АД) и, следовательно, инвариантным относительно обратимого оператора U Д) для всех / е R+, следует, что хД) ^ Уо, т. е. Qx(t) =£0 для всех t е R+.
Положим p = sgn(Qx). Это первообразная со значениями в ^^(Уо1). Согласно ЗО.В, llpIK ||Qx||/||Qx|| = ||QAx||/||Qx|| = = ||QAQx||/||Qx||-<||QA||^||А||, так что рЕр(Х) (если А непрерывно, то таковым же будет х, а следовательно, и р). Кроме того, eEdS(y^). Если X действительно, то dimy0 + 3 = m + 2^ п + 2 ^ dim X, так что dim Уо" = codim Уо^ 3. Поэтому мы можем применить 74.А (в действительном случае) или 74.В (в комплексном случае с Z = Уо и произвольным, но фиксированным со
(из соответствующего интервала); в результате получаем функцию q, первообразную со значениями в 62 (Уо1). В силу 74.А (а) или 74.8(a) в зависимости от того, какой случай имеет место, с учетом замечания к этим леммам, если это необходимо, видим, что qE F(X). В комплексном случае из (74.1) вытекает дополнительно, что (е, sign (д, е) )■ е F(X).
Теперь рассмотрим пары функций (/ц, q(), t=l, 2, определяемые равенствами Pi=p, q\—pi — q и q2 = e в действительном случае, p2 = ^sgn (q, е) в комплексном. Из проведенных выше вычислений и из условий (Ь) и (с) леммы 74.А или 74.В видно, что каждая пара ^рт, q^ удовлетворяет предпосылкам леммы 74.С с r= cos 2d) в действительном случае и г=—cos2w в комплексном. Пусть теперь (Gt, а), (=1, 2, — соответствующие семейства' F-деформаций. Определим семейство F-деформаций (Go) формулой Ga = G2iOG1- а (см. 73.А; это то, что подразумевалось в начале параграфа под «одновременным выполнением поворотов») и Са формулой (73.1). Мы утверждаем, что С = С\ удовлетворяет условию (Pm).
Согласно 74.С(Ь), имеем Go = Л откуда Со = А. В силу 73.D С соединимо с А кривой в йр.
Поскольку значения функций р,, qt принадлежат Уо", из 74.0(c) следует, что сужение Go на Уо является тождественным отображением, т. е. Ga(/— Q)=/— Q. Следовательно, Ga 1 (/ — Q) = I — Q, Go(/— Q) = 0. Поскольку Уо п. в. инвариантно относительно операторов A, Ga, Ga', Ga, то оно п. в. инвариантно относительно Са (см. (73.1)), и, в частности, С(/)Уост с Уо п. в.
Теперь, используя 74.0(b), получаем для рассмотренного выше частного решения х уравнения (70.1)
Gyx = G\Qx + G, (/ — Q)x = || Qx ||G]P + (/ — Q)x =
= || Qx || G2,1G1, ,p + U - Q) x = || Qx || q2 + (I -Q) x.
Поскольку Qx(f)=#=0 для всех t и q2 = e или q2 = e sgn(p, e), мы видим, что У натянуто на Уо и G1(/)x(Z) для каждого t. Согласно 73.В, z = GiX является решением уравнений z + Cz=0. Следовательно, —CGlx=(G1x). Поскольку значения последней функции п. в. принадлежат У, то мы п. в. имеем С(/) G1 (/)х(/) е еУ. В совокупности с концом предыдущего абзаца это дает С(/) У СЕ У п. в.
В силу 73.С А0(С) =Gi (О)Ао(А). Следовательно, dimXo(C) = п [codimХ0(С) =п]. Кроме того, С1(0)У/ натянуто на С1(О)Уо=Уо И Gi(0)x(0). Следовательно, С,(0)У'=У. Поэтому Х0(С) = = С,(0)Х0(Д) =) С1(0)У/ = У[Хо(С)ПУ = G( (0) (Х0(А) П У') = ={0}]. 4,
..Замечание. По построению и па основании 73.D при движении
вдоль кривой, соединяющей А и С, подпространство Хо описывает кривую в Е (X).
‘ Мы приступаем теперь к главным результатам этого пункта. Для любых двух кардинальных чисел d и с, таких, что d+c= = dimX, введем класс
. dQF = {AeQF: dim Хо (Л) = d, codim Хо (А) = с} =
•= йрП(А: Х0(Л)е^З(Х)}_
4.Е. КлассdQp непуст тогда и только тогда, когда класс QF непуст, а именно тогда и только тогда, когда F содержит хотя бы одну крепкую функцию. Если ф е F крепка и Р — ортогональный проектор в X с dim (/ — Р) X = codim PX — d, dim РХ = с, то Аф, Р = ф(/— 2P)GdQF.
Доказательство. Часть «только тогда» следует из 42.Е. Доказательство части «тогда» состоит в проверке включения Аф, р е гД2Р; оно вытекает из 73.F(с) с 0 вместо А и, значит, с / вместо I). 5,
Замечание 1. Отметим, что вопреки общему правилу случай, когда с = d = 1 и X действительно, не охватывается леммой 74.Е. См., однако, 74.J и 74.К.
■, Замечание 2. Если К = (/ — Р)Х, Z = РХ и если мы отождествим X
с внешней прямой (гильбертовой) суммой F©Z, то Лф, р примет вид
■ ф(И©(—©), а уравнение х + А^,рх = 0 примет вид системы
у + ФУ = 0. Z — cpz = 0.
Замечание 3. Элементы Лф, Р- являются своего рода каноническими представителями класса jQp. Неопределенности в выборе Р можно, очевидно, избежать, поступая так, как в замечании 2. Нет никакого одно. злачного выбора ф, если только F не содержит констант (в частности, (23.S с замечанием ©если F е 9" локально замкнуто), в каковом случае 5мы можем взять ф = 1. Тогда Л;, р принимает вид ^Л =/d © (—/с),
■а уравнение х + Л], уХ = 0 принимает вид
у + у = 0, z — г = 0.
.F. Теорема. Предположим, что по крайней мере одно из двух кардинальных чисел due конечно, причем если X действительно, то они не равны одновременно 1. Тогда класс dQF линейно связен.
Доказательство. Рассмотрим то же А , Р, что и в 74.Е, cY= = (/ — Р^Х, Z = PX, dim Y = d, dimZ = c. Из доказательства 73.F видно, что X0(^q,p) = F и U^, p^Y =Y, UW1P^Z = Z для всех t G R+..
В силу 74.Е достаточно показать, что любое А е jQf можно соединить с А-^.р кривой в jQF. Если d < сю и d ^ с, то 74.D показывает, что существует С, соединимое с А кривой в йр, такое, что Х0(С) = У = Хо (Аф,Р) и С (О У ст У п. в. Следовательно, У инвариантно относительно обратимого оператора Wz (/) для всех teR+. Таким образом, й7(/) У = У = [/ф, Р (/) У для всех t е R+. По теореме 73.G С и 4ф, р соединимы кривой в йр. Поэтому также соединимы А и Дф, Р. При движении вдоль этих кривых, согласно замечанию 1 к теореме 73.G и замечанию к 74.1), Хо описывает кривую в 3(2). Но (14.G) множество j3 (2) открыто и замкнуто в 3(2), так что значения 20 остаются в ^3(2) при движении вдоль этих кривых. Поэтому они содержатся в^йр, и это множество линейно связно.
Если с<оо и c^,d, то 74.D показывает, что существует С, соединимое с А кривой в йр, такое, что Z является дополнением к 20(С) и, конечно, к У=20(А(Г,р), и C^Z П 2 п. в. Как и выше, выводим, что W(f)Z=Z = U^, P(t)Z для всех t е R+; применение теоремы 73.G показывает, что С и АЧ,Р соединимы кривой в ЙР. Заканчивается доказательство так же, как в предыдущем абзаце. 5,
.G. Теорема. Предположим, что F сильнее, чем М (в частности, F е ZT, или ЁГ*, или У^*^, и содержит крепкую функцию. Тогда каждый класс £йР открыт и замкнут в ЙР. Если либо d, либо с конечно, причем, в случае действительного X они не равны одновременно 1, то ^йр совпадает с одной из компонент класса йр.
Доказательство. Поскольку F сильнее, чем М, то множества йр и ййр являются теоретико-множественными пересечениями Йм и ййм соответственно с F (2), и топология йр сильнее, чем топология, индуцированная из йм. Поэтому для первой части теоремы достаточно рассмотреть случай F = M. В силу 72.А отображение 4->20(А): йм —*3(2) непрерывно, а ^йм является прообразом множества £3 (А), которое открыто и замкнуто в 3(2) согласно 14.G. Следовательно, 5йм открыто и замкнуто в йм.
Что касается второй части теоремы, то для любого F первая часть показывает, что множество d^r открыто и замкнуто, 74.Е показывает, что оно непусто, и теорема 74.F — что оно связно. 5,
Замечание 1. Согласно 72.А, множество йм открыто в М(Х), следовательно, QF открыто в F(X). Поэтому компоненты множества Q
являются в течности линейно связными компонентами. Поскольку ли' нейная связность вытекает из теоремы 74.F, нет необходимости специ
ально отмечать этот факт в теореме 74.G.
Замечание 2. Предположение, что F сильнее, чем М, никоим образом не является излишним в теореме 72.G. Если, например, мы предпо- t+i
ложим, что F содержит такую функцию ср, что lim | ср (u) | du = оо, t-»oo J
то класс [J {^р‘- с или d конечно] сам будет линейно связным. Доказательство этого факта будет дано в теореме 74.R (с замечанием 1). Мы пока откладываем его, потому что мы еще не рассмотрели исключительного случая и потому что оно представляет наибольший интерес для конечномерного X.
Экспоненциальные дихотомии. Исключительный случай
Рассмотрим теперь ‘Qf в случае, когда пространство X действительно и dimX=2. Мы можем снабдить действительную евклидову плоскость ориентацией, т. е. выделить некоторую произвольную систему декартовых координат как правую. Это позволит нам говорить об «углах» как о величинах со знаком. Чтобы в дальнейшем не беспокоиться о «выборе направления» этих углов, введем следующие определения.
Если со е R, то Г (и) будет обозначать поворот на угол со, т. е. тот элемент из X (ортогональный оператор), который в любой правой системе декартовых координат задается матрицей (^"З Тогда Г (со'+ со") = Г (со') Г (со"), IIГ (со") — Г (со') || = || Г (со" — со') — / |1 = 21 sin у (со" — со') | ^ | со" — со' | и dV (co)/dco =
= Г (to + у л) .
Если х — любая непрерывная функция на /?+ со значениями в Х\{0}, то со(х; 0 обозначает угол, на который повернулось х между 0 и t, т. е. единственную непрерывную функцию со(х; •), удовлетворяющую условиям со(х;0)=0 и Г(со(х; -))sgnx(0) = = sgnx. Если х является первообразной, то, как хорошо известно,
t
• со(х; 0 = J (г(ул)х(м), х (и)^ || х (и) Vdu, о
так что со(х; •) также является первообразной и I со (х; ')|^ С||х||/||х||. Если х непрерывна, то со (х; •) также непрерывна.
Предположим теперь, что /1еЬ(Г) и dim ХоИ) = 1- Пусть х — любое ненулевое решение уравнения (70.1) с х(0) еХ0(Л). Очевидно, ы(х; •) не зависит от частного выбора х —• все они
коллинеарны; мы обозначим общее значение этих со (х; •) через ыА. Таким образом, ыА есть первообразная с j йл ।^||х||/||х|К ■^!|Д||, и йл непрерывно, если А непрерывно. Кроме того, <ол является единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей условиям юл(0)=0 и
Г(Юл№)ХоМ) = ^Д = (7(ОХо(Д), t^R+.(74.6)
Пусть снова дано Ре.У или ЕГ^.
74.Н. Теорема. Пусть X —действительная евклидова плоскость. Если Л, йе!йр и если функция ыв — ыД ограничена для некоторой ориентации X, то Л и В соединимы кривой в iQf.
Доказательство. Существует некоторое действительное «о, скажем О^юо<л, такое, что Г(®о)^оИ) =Ха(В). Определим семейство F-деформаций (Go) формулой Ga = Г(о(соо + ыв — (Од)).
* Действительно, функция Ga (/) принимает ортогональные значения при любых о, / и является первообразной. Следовательно, СстеС(Я)щу. Далее функция Ga = о^юв — йл)Г (о(со0 + ав — ол) + . т-^-л) непрерывна, если непрерывны А и В, и
l|GJ|<o(| йл| + |йв|)<а(||Д|| + ||В||),
так что GoeFil) (условие (а) для семейства F-деформаций). Наконец, для любых о', а" е [0, 1]
I! Ga" — Ga' II = II Г ( (о" - О') ((00 + СО д - С0л) ) - / |К
< | о" - о' 11 too + <ов - СОЛ I ,
. II Ga" — Ga' IK | Йе — to л |{| о" — o' |—.
- о'|| Г ((о" - о') (соо + &в - сол)) - 111} <
..<|| а" —о'|( || Д ||+ || В ||) (1 + | соо + со5 — сол |).
■ Следовательно,.
| Ga" — Ga' К I о" — о' I (too + I ® д — С0л | ) ,
I Ga" ~ Ga'|p ^С ~ I (| Д|р + |S |р) (1 + <00 + | (Од — С0л| ),
и отображения o-^-Ga: [О, 1]->С(Х) и o->Ga: [0, l]-^-F(^) непрерывны (условие (Ь)).
Определим теперь Са формулой (73.1). Поскольку G0=F (0)=/, имеем Со = А. Положим С = С А, согласно 73.D, А и С соединимы
■ кривой в ЙР. Более точно, Хо (Сс) = Ga (0) Хй (Д) = Г (осо0) Хо (Д),
так что dim Л0(Са) — 1, и наша кривая лежит в |йр. Еще точнее, в силу 73.В и (74.6)
. ■ Г ((0Са (0) Ло (Со) = Wa (/) Ga (0) Ло (/1) = Ga (/) и (t) Ло (Л) =
,■= Г (О (соо + СОд (/) - Ыл (/)) + № .4(0^0 (Л) ~
„= Г(асод(0 + (1-а)сол(О)Хо(Са),■
так что (оСа = аюв + (1 — о) сол. В частности, разность соСа — сол — = a(tos — сол) ограничена.'
Далее,
■ .Л<(С) = Г(Юо + Юв(О-солад(Д) =
= Г((ов(/))Г((оо)Г-,(а>л(О)Х'И)=,
= Л$(В)..
По теореме 73.G (с замечанием 2) С и В соединимы кривой в ЙР. Но если D — произвольная точка этой кривой, то, как показывает доказательство теоремы 73.G, Ло (В) = Ло (С) = Ло (В), откуда, в частности, следует, что Ло (D) = Ло (В), так что кривая лежит в !йР. Наконец, согласно (74.6), mD = сос = ав, так что разность cdd —сол остается ограниченной. 5,
Если А, Ве'йг, то мы будем писать А~В, если разность сов — сол ограничена для некоторой ориентации Л. Очевидно, ~ является отношением эквивалентности и не зависит от выбора ориентации. Из теоремы 74.Н и некоторых частей ее доказательства вытекает тогда такое следствие:’
.L Каждый класс эквивалентности по отношению = в }йр линейно связен.
Нам хотелось бы по аналогии с 74.Е найти определенные «простые» элементы в каждом из классов эквивалентности. Выбор этот не столь очевиден в данном случае; мы выполним его таким образом, чтобы решения однородного уравнения, ортогональные при / = 0 к решениям, начинающимся на Л0(Д), обладали этим свойством при всех I. •
.J. Пусть Л — ориентированная действительная евклидова плоскость. Если ср — произвольная крепкая функция в F, со — произвольная действительная первообразная с со(О)=О, qeF, и Р— произвольный проектор в X с dim РХ=\,' то '■
В(,и.р=-с»г(1л)4-фГ(со)(/^^^^•
и
Х0(Вф.й.р) = (/-Р)Х, ®Вф.й,р = ®-
Доказательство. Поскольку ф, ®eF, то также и Вф ш peF (X), и непосредственная проверка показывает, что (/ t\/ t\\
Р exp / ф (u) du + (/—Р) ехр[ - J ф (и) duj I,^,Vp(0 =//t\/ <\ \
= I Р exp I — | ф (и) du + (/ — Р) exp I | ф (и) du I I Г(— со(<)). \\ о/'о/ /
Следовательно, (t\
- J ф (и) du I,
II ^Ф, m, р (/) РУф.’ю, р ((0) II = ехр I - j ф (и) du I.
Поэтому из 20.D и 42.В (d) следует, что Вф.ш.ре'йр и Хо(Вф,а,р) — = (1 — Р)Х. Наконец,
Г (Ю (0) Хо (Вф, й, р) = Г (Ю (О (I - р) х = Уф, й, р (t) (/ - Р) X
= ^ф. й>, Р (0 *0 (Вф, й, р)>
откуда в силу (74.6) ^в^р-ю- j.
Замечание 1. Если у н г —компоненты х в правой системе декартовых координат, в которой Р представляется матрицей (^ °) (фактически имеются две такие системы; можно взять любую), то уравнение х + Вф_ й рх = 0 принимает вид системы двух скалярных уравнений у + ф cos 2<в • у + (— (Ь + ф sin 2<в) г = 0,
г + (to + ф sin 2<в) у — ф cos 2to • г = 0.
Замечание 2. Вфьй1р1 = В^ ^ р> тогда и только тогда, когда разность to2 — to] ограничена.
Теперь мы можем снять оговорку в теореме 74.G, касающуюся класса }Qr
74.К. Теорема. Пусть X — действительная евклидова плоскость и F сильнее, чем М (в частности, F е ^~, или 9"*, или 9"^^, и содержит крепкую функцию. Тоеда компоненты класса |йР совпадают с классами эквивалентности по отношению ^.
Доказательство. Класс }^F открыт и замкнут в ЙР (теорема 74.G), а классы эквивалентности связны (74.1). Следовательно, достаточно будет показать, что они открыты в Jqf. Наделим пространство X какой-нибудь ориентацией.
Пусть задано А е jQF. В силу 72.В и того факта, что F сильнее, чем М, существует е>0, столь малое, что если В е JQf и | В — A |F <е, то б'(Хо(Л), Хо(В))<| для всех t. Пусть В выбрано таким образом, и пусть соо — единственное действительное число, такое, что Г (соо) Хо (Л) = Хо (В) и —л < соо ^-^-л. Согласно (74.6), Г (соо + ®в (О — сод(О)Х^(Д) = X' (В). С первого взгляда видно, что |sin(coo + <»B (/) —сод(/)) |=d'(X'(Л), Х'(В)) <^. Поскольку разность ®в — ®д непрерывна и обращается в О при / = 0, отсюда следует, что | соо + сод — сол) < -^ л и В « Л. 4-
Чтобы показать, сколь важно предположение, что F сильнее, чем М, мы приведем один результат в противоположном направлении (ср. теорему 74.R). Для того чтобы подчеркнуть контраст, заметим, что в условиях теоремы 74.К kF сильнее, чем кМ = М0, и потому не содержит крепких функций.
.L. Предположим, что X — действительная евклидова плоскость и что kF содержит крепкую функцию. Тогда класс {Qf линейно связен.
Доказательство. Пусть ф— крепкая функция, упомянутая в формулировке. Допустим, что X ориентировано. Пусть Р — произвольный фиксированный ортогональный проектор в X с dimRX=l. Ввиду 74.1 и 74.J (с учетом замечания 2) достаточно показать, что для каждой действительной первообразной со с со(0)=0 и й е F найдется в )Qf кривая, соединяющая В^ Mi Р и В^,й, р=Лф1 р, или, более определенно, что отображение а -> -^В^.а.а.р: [О, I]—> tQF непрерывно.
Поскольку ф е kF, то для данного е > 0 существует ф0 е k0F, такое, что |ф — ф0|р<е. Положим 5 = 8(ф0) и заметим, что IIZ — 2Р||=1. Тогда для любых а', ст"е[0, 1] имеем
И В^, о"<о, р — Вф, а-®, р || < | а" — о' II й | +1 фо I (IIГ (а"со) — Г (а'со) || + + ||Г (—а"со) — Г (—а'со) ||) + 2 |ф-ф0К ^|о" -о' |(|й| + 2|ф0||со|) + 2|ф-фо |,
так что
| ВФ, <т р - 5Ф, »-«. р |F < । с" ” °' । (I “-If + 2 Но |f Х[о. sj“ |) + 2е- Если ja"—а', достаточно мало, то второй член этого неравенства будет, скажем, <3е. Поскольку е>0 произвольно, то отображение О^-Вф, аю,р: [0, 1]-* !QF, действительно, непрерывно. 5,
Теперь вернемся к предположениям теоремы 74.К. Напомним, что dimXoH) и codim ХоИ) являются инвариантами для классов jQf (фактически они образуют по определению полную систему инвариантов, подчиненную условию dimX0(/l) + + codim ХоМ) = dim X) и не зависят от пространства F. Нам хотелось бы найти инварианты с тем же самым свойством для наших компонент класса !йР, т. е. для классов эквивалентности по отношению ~. Это будет сделано в теореме 74.М.
В действительном пространстве последовательностей 1°° рассмотрим линейное многообразие b всех последовательностей (^„)е/”, таких, что ( 2 Ы е/”• Пусть (ёп)(£п)+& обозна- \ 1 / чает канонический алгебраический эпиморфизм /” на фактор- пространство Г(Ь.
.М. Теорема. В предположениях теоремы 74.К отображение А —> (ыл (п) — аА(п — 1)) {Qp -> I” канонически индуцирует биективное отображение разбиения iQp/» на классы эквивалентности (являющиеся компонентами) на факторпространство Г”)Ь. Поэтому отображение
А->^йа(п)- юл(п- !)) + &: \Qv^-rib. сюръективно и образует полную систему инвариантов для отношения т. е. для связности в 'Пр.
Доказательство. Поскольку F сильнее, чем М, то из Ле i'qf следует йл е М, так что ((ол (п) — ®л (п — 1)) = I J <ол (и) du е /°°. Если А, В е )йр, то /1 ~ В тогда и только тогда, когда разность сод —(ол ограничена; а это имеет место тогда и только тогда, когда (сов (п) — (ол (п)) е /”: часть «только тогда» тривиальна, часть «тогда» следует из неравенств t
I (Од (0 - (ОЛ (/) КI Шд ([/]) - (Од ([/]) + | I (Од (и) - (Од (и) | du <
..^Н(шд(и)-“л(иШо=+1“а-“л1м-
Наконец,
®в (/г) - ©л (/г) = 2 {(©в (z) —шв U - 1)) - (юл (/) - ©л (z - 1))}, 1.
п = 1, 2, ...,
так что А~В тогда и только тогда, когда.
((©в(«) - ^в(п- 1)) -(аА(п) - toA<n - 1))) е Ь.
Предыдущие аргументы показывают, что канонически индуцируемое отображение iQp/^ -* Iх lb корректно определено и инъективно. Остается показать, что оно сюръективно. Пусть дана последовательность (£„)eZ°°, и пусть функция феР крепка. Если VeO, то не будет никакой потери общности в допущении, что ф(дг)=О, n=0, 1, 2, ... . Мы можем считать, что Ф удовлетворяет неравенству (20.2) с А = т, где А — положительное целое число, т. е.
t-Vm
х = inf ф (zz) du > 0.-
Положим
jm.
Х]= J ^lu^du^x, /=1, 2,
(/-1) m
Ф = Ф 2 Xi 1+ 1 ^)^,(/-D rn, jmv(74.7)
-/ — 1V — \i —/
Последняя функция измерима, причем |ф|^фх ’m || (g„) IL, и непрерывна, если Ее5г^. Таким образом, феР. Положим ©(/) = J ф(м)^. Это первообразная с © (0) = 0 и со = ф е F. о
Следовательно, со = ®Вф ю Р (см- 74.J), и остается только доказать, что (ю(/г) — м(/г — 1) + b = (£„) + Ь. Но для любого поло-, жительного целого числа к'
к jm•
® (Am) = ^ J ф (zz) du = f=l (/-l)m
k/ jm\ jmkm
= SX7I( ^ И J ф = 5 ^'> z = l') = (/-!) m + 1 i) u-\imZ-l "
и потому при (k — l)m<n^.km
пго (п) - 2 Si1пго (п) - 2 Si1^ I to (fem) — to (n) I +^ I to (fem) — to (n) I +<и(Ым + И(Ш<и(Ым + И(Шkmkmto (fem) — 2 Si + 2 I St I1n+lkmkmto (fem) — 2 Si + 2 I St I1n+l
п
го (п) - 2 Si
1
п
го (п) - 2 Si
1
^ I to (fem) — to (n) I +
^ I to (fem) — to (n) I +
<и(Ым + И(Ш
<и(Ым + И(Ш
kmkm
to (fem) — 2 Si + 2 I St I
1n+l
kmkm
to (fem) — 2 Si + 2 I St I
1n+l
co (n) — 2 Si e ^”. откуда (co (n) — co (n — 1) — £„) e b, что и требовалось доказать. 4.
Замечании 1. Тот факт, что Г”/Ь не зависит от F, показывает, что если F сильнее, чем М, то каждая компонента множества }йм порождает в меньшем множестве }Qf с его более сильной топологией в точности одну компоненту, в случае когда QF вообще непусто (т. е. когда F содержит крепкую функцию; см. 74.Е).
Замечании 2. Мы могли бы заменить /” меньшим множеством, например множеством ограниченных последовательностей целых чисел, но это, по-видимому, не имеет практического значения: нет никакой надежды на выделение полной системы представителей классов из 1°°1Ь\ а только такая система позволила бы нам иметь (путем некоторого «канонического» выбора интерполирующей функции со и крепкой функции ф) канонический элемент В^ ^ р в каждой компоненте JQf.
Замечание 3. /” имеет мощность континуума. Постоянные последовательности попарно неэквивалентны по модулю Ь: Следовательно, (“lb имеет мощность континуума, и такова же мощность множества компонент [Qp
Обыкновенные дихотомии
Мы снова рассматриваем произвольное гильбертово пространство X и предполагаем, что дано Fe(T или ST'S. Доказательство следующей леммы совершенно аналогично доказательству 74.D и будет здесь опущено.
74.N. Пусть А е йог, подпространство Ул индуцирует дихотомию для А и
dimУл<oo, dim Ул ^ codim Ул
[codim Ул < оо, codim Ул < dim Ул].
В случае, когда X действительно и dimX = 2, предположим дополнительно, что dimyj4^=l. Пусть У — любое подпространство в X с dim У = dim Ул [dim У = codim Ул]. Тогда существует С е йог, соединимое с А кривой в Йон, такое, что С (ОУ с У п. в. и У индуцирует [является дополнением подпространства, индуцирующего} дихотомию для С.
74.0. ТеОрвма. Пусть А е Йог и пусть некоторое подпространство либо конечной размерности, либо конечной коразмерности
индуцирует дихотомию для Д. Тогда А и 0 соединимы кривой в Пор.
Доказательство. Пусть YA — подпространство конечной размерности или конечной коразмерности, индуцирующее дихотомию для А. Предположим пока, что случай действительного X с dim Л = 2 и dim Ул = 1 не имеет места. Если dim YA ^ codim Ул и, следовательно, dim Ул<оо [codim Ул<^ dim YA и, следовательно, codim Ул<оо], то (74.N) существуют такое подпространство У с dim y = dim YA [dim y = codim Ул] и такой оператор С, соединимый с А кривой в Пор, что С(/)Ус У п. в. и, следовательно, W(A)Y=Y для всех t е R+ и что У индуцирует [является дополнением подпространства, индуцирующего] дихотомию для С. Поскольку каждое подпространство в X как индуцирует, так и является дополнением подпространства, индуцирующего дихотомию для 0, и, кроме того, инвариантно относительно / (значения U, соответствующего 0), то теорема 73.G показывает, что С соединимо с 0 кривой в Пор. Следовательно, А также соединимо с 0 кривой в Пор.
Предположим теперь, что X является евклидовой плоскостью, которую мы будем считать ориентированной, и что dimУд=l. Мы можем считать, что УЛ = ХО(Д), так как в противном случае Х0(Л) = Я индуцировало бы дихотомию и мы имели бы предыдущий случай. Положим В = — йлГ ^ л) е F (X). Тогда V =Г (йл). Очевидно, что каждое подпространство индуцирует дихотомию для В. В частности, это относится к Х0(Д), и Е(/)Х0(Д) = = Г (йл (/)) Ад (Д) = U (0 Хо (Д). По теореме 73.G Д и В соединимы кривой в По?. Но X индуцирует дихотомию для В. По первой части доказательства В соединимо с 0 кривой в Но?. Следовательно, А также соединимо с 0 кривой в Нор. 4>
Конечномерное пространство
В случае, когда пространство X конечномерно, теоремы 74.G, 74.К, 74.М, 74.0 и леммы 74.Е, 74.J можно резюмировать следующим образом.
74.Р. Теорема. Пусть X — конечномерное евклидово пространство, причем dimX = n, и пусть F е 9" или 9"^ сильнее, чем М (в частности, V е.2Г, или 2Г-", или 9*^^. Если F не содержит ни одной крепкой функции, то HF= 0. В противном случае Пр непусто и открыто в F(X), и если только X не является действительным пространством с n—Z, то его компоненты совпадают с множествами d~dHF, d = 0, ..., п; функция dimX0^) дает полную систему инвариантов связности-, элементы ^"''Дф”
= ф(/а®( — In-d)) для любой фиксированной крепкой функции феР и любого представления X = YQZ, dim Y = d, образуют полную систему представителей для компонент. В исключительном случае действительной плоскости компонентами Йр являются множества ойР (содержащее —ф/), ”йр (содержащее ф/) и классы эквивалентности по отношению ~ в }йр (каждый из которых содержит В^^.р для некоторой ориентации, соответствующего со и любого ортогонального проектора Р с dimPX = = 1); полную систему инвариантов связности образует dimA'o(^) в совокупности, если эта размерность =1, с (юА(п^— — со л (п— 1)) +Ь для некоторой ориентации X.
74.Q. Теорема. Пусть X — конечномерное евклидово пространство uTeP или SF^. Тогда множество йОр непусто и линейно связно.
Чтобы показать важность предположения теоремы 74.Р о том, что F сильнее, чем М, обращаем внимание на 74.L и предлагаем следующий контрастирующий результат:
74.R. Теорема. Пусть X — конечномерная евклидова плоскость, и писть F е 9" или 9"^ содержит функцию ф, такую, что "t+i
lim | ф (и) \du *= оо. Тогда множество йр непусто и линейно /->оо
связно.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что Ф^О. Для каждого е, 0<е^1, существует t(e)eR+, такое, /+1
что J ср (и) du 2^ е-1 для всех /^т(е). Положим-
a (t) = max 1, mina (t) = max 1, minZС + 1J q>(u)du, J ср (и) duZС + 1J q>(u)du, J ср (и) du1.1.
a (t) = max 1, min
a (t) = max 1, min
ZС + 1
J q>(u)du, J ср (и) du
ZС + 1
J q>(u)du, J ср (и) du
1.
1.
Таким образом, о — непрерывная функция, и из условия />т(е) + 1 вытекает, что о(/) >е-1. Теперь введем ф = о~,ф-гСф. Очевидно, ф е F. Для каждого е, 0<е-^1, положим ф6 = = тах{ф —еф, 0}. Тогда ф6(/) =0 для />т(е) + 1, так что фе е k0F. Однако О^ф — фе-^еф, так что $ф — фе|р<е|ф)Р и ф е kF.
Мы утверждаем, что ф — крепкая функция. Для любого «+1
t6eR+ непрерывная функция J ср (и') du достигает своего наи- t
большего значения на интервале [/0, /в + т(1)], скажем в течке Л, и это наибольшее значение равно, скажем, m> 1. Для каждого / е [/qJo + t(1 ) + 1] в интервале [Ро, /о + т(1)] лежит либо /, либо t—1. Следовательно, о(/)^т. Поэтому
/о+ Т (1) +12[ +1
|^ku^du^m-'1 J fp(u)du=l,
и наше утверждение доказано.
Согласно 20.D, существуют р, М>0, такие, что |" -^^du ^ t о
^ р (< — t0) + In М для всех />^^0. Пусть дано е, 0<е^1. Имеем еф(0 —гр (/) >0 для />т(е) +1. Следовательно,
tт(е) + 1
[ (еф (и) — гр (и)) du ^ — J гр (и) du = — X (е),ио
скажем, для всех t^-to^O. Мы приходим к заключению, что t
J(2ev(w)-Tp(w))</u^p(<-<0) + lnM-2Me), t>to>O. (74.8)
Поскольку функция грекр крепка, то из теоремы 74.F и лемм 74.L и 74.Е следует, что каждое множество " ^Qf линейно связно и содержит некоторое Лф, р, причем || Лф, Р || = гр. Поэтому чтобы доказать наше утверждение, достаточно показать, что Лф, р + 2еф/ е °Qf для каждого е, 0<е^1, где n = dimX.
Итак, пусть Р — фиксированный ортогональный проектор, и пусть даное, 0<е^1. Положим В = Лф,Р + 2еф/ е F. Для любого t^to^O (74.8) вместе с (31.9) дает
(
t,■ ■
- J 2еф(ц)с?ц] <i)
- J (2еф (и) -1| Лф, р (и) ||) du\ =1
— J (2еф (и) — гр (и)) du I ^
^ Л4.
В силу 42.8(d) пространство X индуцирует экспоненциальную дихотомию для В, т. е. Bg^1f. 4,
Замечание 1. Доказательство того факта, что Лф, р + 2еф/ е dim ^ЙР, не зависит от конечности размерности К. На основании теоремы 74.F имеем, таким образом, для произвольного гильбертова пространства X следующее утверждение, которое полезно сравнить с теоремами 74.G п 74.0. Если F — то же, что и в теореме 74R, го любые два элемента А, Вейр, для которых конечны одна из размерностей dimX0(A), codim Ло (Л) и одна из размерностей dimX0(B), codim Хо (В) соединимы кривой в QF г. е. множество |j ^йр; с или d конечно^ линейно связно.
Замечание 2. Ясно, что в теоремах 74.Р, 74Q и 74.R, за исключением случая действительной плоскости в первой из них, евклидова норма может быть заменена любой банаховой нормой (функционалом Минковского). В исключительном случае, однако, компоненты множества {йр нелегко описать при помощи произвольной банаховой нормы.
75. Замечания к главе 7
Как уже отмечалось во введении, содержанием этой главы является, по крайней мере частично, некая разновидность теории возмущений. В связи с этим естественно, что многие частные результаты были получены авторами, упомянутыми в замечаниях к гл. 4 — 6. В частности, теорема 9 Перрона [2] по существу равносильна утверждению, что множества Ad (С, L°°) ПС (Л), й П С(Л) открыты в С(Л) в случае конечномерного Л, если ограничиться линейными возмущениями. Аналогично Беллман [1] изучал открытость в С(Л) тех частей множеств Ad(C, L°°), Ad(U,L”) и Ad(L2, L°“), для которых Х0(Л) = Л. Крейн [1] показал, что множество „Й^ открыто в L” (здесь и = dim X) и что функция v(4) полунепрерывна там. Кучер [1] обобщил это на случай любого L₽, р > 1, а также исследовал йои, (которое па самом деле совпадает, конечно, с ZJ (X) по теореме 72.J). Как мы видим, все эти авторы, за исключением Перрона, ограничивали свое внимание случаем Хо(4) = X.
Что касается понятия семейства деформаций, то стоит отметить, что отношение между А и каждым из Са, описываемое формулой (73.1), является отношением «/-подобия» (Копти [1]) или «кинематического подобия» (Маркус [1]), если отвлечься от условий, налагаемых на Ga.
Глава 8
Уравнения на R
Введение ■
В гл. 4—7 главным объектом исследования были уравнения (30.1) и (30.2), т. е. уравнения
' . х + Ах = 0, (80.1)
х + Ах=}, (80.2) в которых областью изменения независимой переменной / служил интервал J = R+, хотя § 51 и 71 содержали некоторые результаты, справедливые и для произвольного интервала /. Целью этой главы является повторное исследование проблем, рассмотренных в предыдущих главах, но уже для случая J = R.
Метод этого исследования состоит главным образом в разрезании области определения в точке 0, применении предыдущей теории к уравнениям, рассматриваемым только на R_ и R+, и, наконец, сращивании их в точке 0. Конечно, нам будут также полезны результаты гл. 5 и 7 для произвольного интервала /. Применение результатов предыдущих глав к интервалу R_ требует лишь многочисленных словесных изменений, в общем заключающихся в «замене переменных /». Мы будем указывать на такие изменения пометкой «симметризация» (уже использовавшейся в этом смысле в § 23, стр. 94) и воздерживаться от описания деталей, очевидных в каждом отдельном случае.
Результаты, получаемые в этой главе, показывают, что там, где аналог какой-либо теоремы относительно уравнений на Ra. существует, он обычно является непосредственным обобщением при помощи «метода разрезания и сращивания» и менее интересен, чем его оригинал. Поэтому мы не будем гнаться за исчерпывающими формулировками, а больше внимания будем уделять исследованию области применимости таких обобщений и доказательствам наиболее значительных результатов. Этот перенос ударения объясняет тот факт, что структура этой главы не повторяет структуру предыдущих глав: например, результаты, соответствующие некоторым результатам гл. 5, помещены перед определением аналога дихотомии, а всё, касающееся сопряженных уравнений, собрано в одном параграфе.
Ясно, что мы будем существенно использовать соотношения между пространствами функций на R и на R_ и /?+, описанные в пунктах «Разрезание и сращивание» § 22 (стр. 72) и § 23 (стр. 94). В частности, будем систематически использовать введенные там обозначения, которые мы здесь напомним. Все утверждения, формулы и т. п. будут пониматься применительно к J = R как области изменения t, если только противное не оговорено особо или не вытекает из следующего соглашения: нижние значки — или + означают ограничения на R- или R+ соответственно. Точный смысл этого ограничения для некоторых объектов был объяснен в § 22 (стр. 72) и § 23 (стр. 94). Так, (80.1) + обозначает уравнение (80.1), где областью изменения / служит R+. Верхние значки — и + являются всего лишь удобными индексами. Что касается этих индексов, напомним соглашение о том, что всякий раз, когда знаки ±, + появляются в любом положении, все верхние знаки (т. е. все верхние знаки * как в нижних, так и в верхних индексах) должны браться одновременно во всей формуле или высказывании, и аналогично нижние знаки; а формула или высказывание применяется к обоим случаям вместе или к какому-нибудь одному из них в зависимости от контекста.
Главным инструментом при работе с уравнением (80.2) на R+ в гл. 5 и 6 было понятие (В, D)-многообразия, где (В, D) является ^"-парой или ^"^-парой. Соответствующее понятие для уравнения (80.2) на R получается расщеплением последнего на уравнения (80.2)+; это — пара взаимосвязанных линейных многообразий, каждое из которых относится к одному из этих уравнений. Мы назовем этот объект (В, D)-диэдром; как мы увидим, он действительно является диэдром в смысле определения гл. 1, и к тому же раскрытым диэдром (§ 11, стр. 24; § 14, стр. 41). При этом (В, D)-подпространствам для J = R+ соответствуют замкнутые (В, О)-диэдры для J = R. § 81 посвящен исследованию этого понятия и его связи с понятием допустимости ^"-пар и ^^-пар, тем самым являясь аналогом § 52. Полученные там результаты являются единственными значительными результатами этой главы, которые непосредственно не выводятся из предыдущих.
В § 82 мы описываем поведение решений уравнения (80.1), соответствующее дихотомиям и экспоненциальным дихотомиям. Оказывается, что разумные аналоги, называемые двойными [экспоненциальными] дихотомиями, получаются просто сращиванием в точке 0 [экспоненциальных] дихотомий для (80.1) + и что более «внутреннее» определение, по-видимому, невозможно, . за исключенном важного частного случая, когда подпространства, индуцирующие указанные две дихотомии, не пересекаются.
Кроме того, доказываются теоремы, устанавливающие связь таких двойных дихотомий с допустимостью ^"-пар или ^"^-пар и т. д., соответствующие теоремам § 63 и 64. Их справедливость служит подтверждением корректности определения двойных дихотомий. § 82 заканчивается краткой сводкой результатов о «преддихотомическом» поведении решений уравнения (80.1), которые соответствуют теоремам § 62.
В § 83 обсуждается соотношение между уравнениями (80.1), (80.2) и сопряженными уравнениями в спаренных пространствах X и X'. Оказывается, что содержательные аналоги предыдущих результатов возможны лишь для J = R+ в случае подпространств со свойством квазистрогой спаренности — и к тому же допол- нимых, — так что мы обходимся без всех сложностей § 53 и 66, относящихся к более общим ситуациям.
Наконец, § 84, соответствующий гл. 7, содержит некоторые результаты о зависимости свойств уравнений (80.1) и (80.2) от А.
(В, В)-диэдры и допустимость
Основные теоремы
Рассмотрим уравнения (80.1) и (80.2) для данного AgL(XL Если D е ЬЗ^, то мы будем писать A± od = Х± оо (Л) вместо более точного, но громоздкого А±оо±(А±) для обозначения множества значений в точке, t = 0 В±-решепий уравнения (80.1)+. Подобные сокращенные обозначения, вводимые повсюду в этой главе, будут понятны без объяснений. На основании 22.Q(1)
Xod = ^-оо П ^+od- (81.1)
Понятие, которое мы хотим определить, относится к тематике § 33. Мы включаем его сюда, потому что довольно бессмысленно вводить там все наши соглашения о знаках для одной изолированной темы. Пара (У_, У+) линейных многообразий в пространстве X есть D-раскрытый диэдр (для Л или для уравнения (80.1)), если У±еХ±0о и существует число х/>0, такое, что для каждого х е X найдутся решения у± уравнения (80.1), удовлетворяющие условиям у- (0) е У±, у+ (0) — у (0) = — х (так что термин «диэдр» оправдан) и |yi| ^к'ЦхЦ. Обозначим точную нижнюю грань допустимых значений х' через xD или, подробнее, через xD (Л; У_, У+).
81.А. D-раскрытый диэдр является раскрытым диэдром. Замкнутый диэдр (У_, У4) является D-раскрытым диэдром в том (и только в том) случае, если У± с А±оо.
Доказательство. Пусть (У_, У+) — D-раскрытый диэдр, и пусть П± — мономорфизм из леммы 33.А, для А± и D±. Пусть даны теА' и р>1, а у- — то же, что и в предыдущем определении для х' = pxD. Тогда у-(0) е У± cz Х± od, у+(0) — -у-(0) = х, ||y±(0)||<pji|y±|j<pxn||II±||||x||, так что диэдр (У_, У+) раскрыт, причем х(У_, У+Х xD тах|| П± ||.
Пусть (У_, У+) — замкнутый диэдр с У±<=А±оо. Согласно 11.J, он раскрыт. Положим х = х(У_,У+). Пусть даны хеХ и р>1. Существуют решения у- уравнения (80.1), удовлетворяющие условиям 1/±(0)еУ±, у+ (0) — у~ (0) = х, || у- (0) ||^рх|| х ||. По теореме 33.В, примененной к уравнению (80.1)±. |y±|D^ ^ S± у II У~ (0) II ^ pxS± у II х ||. Следовательно, наш диэдр D-раскрыт с xD^xmaxS±y. 4,
Введем одно обозначение, аналогичное обозначению § 52. Пусть f е L (А) имеет компактный носитель. Положим s± = s± (f) (см. § 20, стр. 55). Для произвольного решения х уравнения (80.2) обозначим через х^ или, подробнее, через х*«,д решение уравнения (80.1)±, удовлетворяющее условию x±oo(s±) = = х (s±). Очевидно, х+оо (/) = х (() для t ^ $+ и х~оо (0 = х (/) для £^s_. Заметим, что для Deb^"K х е D (А) тогда и только тогда, когда х± ю (0) е A±0D (см. 22.1, 22.Q(1)).
Проблема допустимости Л’-пар для общего случая рассмотрена в § 51, и нам нечего добавить для нашего частного случая J = R. В этом параграфе (В, D) всегда обозначает некоторую заданную 9"-пару или ^^-пару. За счет потери тривиального случая мы дополнительно будем считать, что В=А{0}.
Пара (У_, У+) линейных многообразий в пространстве А есть (В, D)-диэдр (для А или для уравнения (80.2)), если У±сгА±он и существует число к>0, обладающее следующим свойством: для каждой функции f е к0В (А) существует решение х уравнения (80.2), такое, что х± о= (0) е У± (и, значит, xeD(A)) и |x|D<MHB- Использование термина «диэдр» оправдывается теоремой 81.В. Точную нижнюю грань всех возможных значений к обозначим, как обычно, через Ау или, подробнее, через Аув, d (А). Так как В =# {0}, то Ау>0. Справедлив дословный аналог леммы 52.А с заменой «(В, О)-много- образия» на «(В, О)-диэдр» и «х^^еУ» на «.г±оо(0)еУ±»; он определяет Су = Сув, d (А).
Основные соотношения между (В, О)-диэдрами для А и (В±, О±)-многообразиями для А± описываются следующей теоремой:
81.В. Теорема. Пара (У_, У+) линейных многообразий в пространстве X является (В, ОУдиэдром для А тогда и только тогда, когда она является D-раскрытым диэдром для А и Y+, является (В±, D+У многообразием для А±. В частности, всякий (В, Dy диэдр является раскрытым диэдром.
Доказательство. Условие необходимо. Нам нужно только доказать, что пара (У_, У+) является D-раскрытым диэдром; остальное получается сразу из предположений теоремы и лемм 22.Q(1) и 24.F(1). По предположению мы имеем также У±с:Х±оп.
Поскольку В ^ {0}, существует функция фЕк0В, ф^О,
■ +■
такая, что J ф (и) du = 1, где $± = $±(ф). Положим Е =
S
= exp I J || Л (u) \\du I.
Пусть х — произвольное фиксированное на время решение уравнения (80.1). Положим z0(f) = x(t) j ф (u)du. Согласно 31.В (b), z0 является решением уравнения (80.2) для f = q>x. В силу (31.7) || f П^ £ф|| х (0) ||. Следовательно, f е k0B (X) и 1Нв<£|<р1в1|х(0) ||.
Пусть дано р>1. Поскольку (У_, У+) является (В, В)-ди- эдром, существует решение z уравнения (80.2), такое, что г±ю(0)ЕУ± и |г1п<р£гШв<р££г|ф|в||х(0)||. Тогда z-z0 будет решением уравнения (80.1) и z± оо = z0 ± =о + (z— z0) = s±
= х± J ф (u) du + (z — z0).Следовательно, z+oo (0) — Z-^ (0) =
о
s+
= x(0) j ф (u) du = x (0). Далее, для любдго t e R± имеем
Поскольку х (0) — произвольный элемент пространства X, то пара (У_, У+) действительно является D-раскрытым диэдром .(нужно только взять в качестве у- решения уравнения (80.1) с у| = 2±оо и xD < £^у|ф|в + |x[s_, s+]|j- Наконец, в силу 81.А это раскрытый диэдр.
Условие достаточно. Пусть даны f е kQB (А) и р>1. Согласно второй части условия, существуют решения х* уравнения (80.2), такие, что х| ю (0)еУ±, |х^ |n<pA± у|f± |в<рА± у If |в, ||x^(0)|l<pC±y|f|B.
Согласно первой части условия, существуют решения у- уравнения (80.1), такие, что у±(0)еУ±, у+ (0) — у~ (0) = = х+ (0) — х' (0) и
1st |D < Pxu II *+ (0) - х- (0) || С р2х„ (C_Y + С+у)| f |в
«Далее, х- — у- суть решения уравнения (80.2), совпадающие в точке / = 0 и, следовательно, тождественные. Обозначим это решение через г. Тогда г± ^ (0) = х| ^ (0) — у- (0) е Y± и |z|D^ ^h-lD+h+lD^h=L+l^lD+iy=iD+li/:iD^p(^-y+^+y+ + pxn (С-у + С+у))If |в, так что (У_, У+) является (В, О)-диэдрсм, причем Кт ^ К-т + К+т + у-d (С-у + С+У). 3-
Для замкнутых (В, D)-диэдров получаем такое следствие.
81.С. Пара (У_, У+) -подпространств в X является замкнутым (В, D)-диэдром тогда и только тогда, когда она является диэдром и У± есть (В±, D±)-подпространство.
Доказательство. Это следует из теоремы 81.В и леммы 81.А. Заметим, что из второй части условия вытекает, что У+czA+on. 3,
Теперь мы установим связь между (В, D)-диэдрами и допустимостью пары (В, D), соответствующую одной части теоремы 52.Г (относительно другой части см. 81.1). Нам потребуется общая теорема об ограниченности (теорема 51.А).
81.D. Теорема. Если пара (В, D) допустима для Л, то пара (A-0D, A+od) является (В, ^-диэдром и, следовательно, D-раскрытым диэдром.
Доказательство. Положим К = Кв, п (Л) (см. теорему 51. А). Пусть даны f е &0В (А) и р> 1. Существует D-решение х уравнения (80.2), такое, что |x|D ^ рА|С |в. Очевидно, х + » (0)eA± od. Поэтому пара (А-0|), А+,,.)) является (В, О)-диэдром с Ку^К. Последнее утверждение следует из теоремы 81.В. 3-
1.Е. Теорема. Пара (В, D) допустима для А тогда и только тогда, когда пара (В±, D±) допустима для А* и пара (Х-№, Х+Оп) является диэдром.
Доказательство. Условие необходимо. Тот факт, что пара (В±, D+) допустима для А±, следует из условия теоремы в силу 22.Q(1) и 24.F(1); остальное вытекает из теоремы 81.D.
Условие достаточно. Пусть дано f е В (Y). Согласно первой . части условия, существуют решения х^ уравнения (80.2) с л'Т eD±(X), Согласно второй части, мы можем положить х+ (0) — х~ (0) = у+ (0) — у- (0), где у- являются решениями уравнения (80.1) с i/±(0)s^±0D и, следовательно, irGD+II). Но тогда г = х+ — у+ = х~ — у~ есть решение уравнения (80.2) с z± = х:2 — t/д s D± (X), откуда следует, что zgD(I) (см. 22.1, 22.Q(lj). Поэтому пара (В, D) допустима. £
Мы приведем одно следствие этой теоремы и дадим доказательство результата, упомянутого в гл. 3.
.F. Если Debs'к и пара (^-0D> ^+0D) является диэдром, то она является D-раскрытым диэдром.
Доказательство. Пусть В — подпространство в L1 (или в М), состоящее из тех функций, которые обращаются в нуль п. в. вне отрезка [0,1], так что В е biF и В ^= {0}. Далее, В_ = {0}, поэтому пара (В_, D_) тривиально допустима для Л_. Для каждого Де ВДА’) обозначим через г_ решение уравнения (80.2)./. с х+(1) = 0, так что х+„ = 0, откуда следует, что T.eD (X). Таким образом, пара (В+, D+) допустима для Л+. Теперь наше утверждение следует из теорем 81.Е и 81.D. ^
/СО ДоказателВство леммы 33.1. Мы должны доказать, (что в пашей новой ( терминологии) если Лр ДдЬД'.У) и Dp D2ebJr + A-, то пара 0+on 0J, Y+o|) (Л2)) либ° будет раскрытым диэдром, либо вообще не будет диэдром. Определим Л е L (У) формулами А к = Л2 и Л_ (—/)= — Л, (1), ieRl. В силу 22 Q (3) существует D е Ь=7 к, такое, что D+ = D2 и D_ есть симметризированное Dr Тогда ^-^(Л^Х+^Л,) и X+OD (Л) = х+0„2 (Л)' и наше утверждение следует из 81.F и 81.А. ^
Возвратимся к вопросам, связанным с допустимостью. С первого взгляда на гл. 5 и 6, с одной стороны, и на теорему 81.D — с другой кажется, что мы не очень удачно ввели наше общее определение регулярной допустимости (§ 51), по крайней мере для случая J = R, и что предположение о том, что YOn замкнуто, полезно было бы заменить требованием, что оба многообразия Y+on замкнуты. К счастью, оба эти условия эквивалентны при наличии допустимости:
.G. Если существует (В, О')-диэдр (в частности, если пара (В, D) допустима), то многообразия А±оп замкнуты тогда и только тогда, когда Хов замкнуто.
Доказательство. Если пара (У_, У+) является (В, D)-диэдром и, следовательно, раскрытым диэдром (теорема 81.В), то пара (Т-дц, А+ов) также является раскрытым диэдром (см. 11.1). В частности, так обстоит дело, если пара (В, D) допустима (теорема 81.D и лемма 81.А). Наше утверждение следует теперь из (81.1) и H.J. £
Некоторые дальнейшие результаты
В предыдущем пункте содержатся результаты, которые нам понадобятся при сведении проблем, относящихся к уравнениям (80.1) и (80.2), к соответствующим проблемам для уравнений (80.1) + и (80.2)±. В соответствии с нашим планом мы не даем результатов, являющихся чисто техническими, а лишь приводим несколько характерных аналогов теорем из гл. 5. Мы обращаем внимание на дозволенность опущения скобок в таких выражениях, как 1с F±, k F± и т. п. (§ 22, стр. 73; § 23, стр. 96; § 24, стр. 99). Начнем с аналога важной теоремы 52.С.
81.Н. Теорема. Пара (У_, У+) линейных многообразий в пространстве X является ^,оудиэдром тогда и только тогда, когда она является (1с В, D) -диэдром.
Доказательство. Это следует из теоремы 81.В (необходимость), теоремы 52.С, примененной к (80.2)±, и теоремы 81.В (достаточность). j, '
Замечание. Доказательство, предложенное в работе Шеффера [6], теорема 4.7, неправильно, так как оно использует теорему 4.1, которая ■ является относящейся к необходимости частью пашей теоремы 81.В, с заменой условия «D-раскрытости» условием «раскрытости», как если бы это более слабое условие также было достаточно.
Теперь мы доведем до конца аналогию с теоремой 52.F, получив следующее частичное обращение теоремы 81.D:
Если существует (В, О')-диэдр, то пара (кВ, D) допустима.
Доказательство. Пара (AC—0D, ^+ов) является (В, В)-диэд- ром. По теореме 81.В Х±оо является (В±, D±)-многообразием для А±. По теореме 52.F пара (кВ±, D±) допустима для А±. Остается применить теорему 81.Е. ^
Мы опустим аналоги лемм 52.G и 52.Н, которые вытекают из теоремы 81.D и леммы 81.1 так же, как их прототипы вытекают из теоремы 52.F, и дадим обещанные доказательства для случая J = R двух теорем о допустимости.
Доказательство теоремы 51.Н для J = R. Применить теорему 81.Е (необходимость), теорему 51.Н для J — R+ (к уравнениям 80.2)±) и теорему 81.Е (достаточность). Или же теоремы 81.D, 81.Н и 81.1 (как при доказательстве для случая J = R+\ ^
ОО^ОО Доказательство теоремы 51.1 для / = R. Применить теорему 81.Е (необходимость), теорему 51.1 для 1 = R± (к уравнениям (80.2)±) и теорему 81.Е (достаточность). Из того факта, что (-^-0D> -^+ог>) является диэдром, следует, что (.Kl01cD, ^+Oicd) также является диэдром. 4,
Из результатов, специально относящихся к У-парам и У^-парам, отберем аналоги теоремы 52..L и леммы 52.М.
81.J. Предположим, что дано D е ЬУк- Пара (У_, У+) линейных многообразий в X является (В, D)-диэдром для некоторой д'-пары или гт’б-пары (В, D) тогда и только тогда, когда она является (Т, D)-диэдром.
Доказательство. Часть «тогда» тривиальна. Для доказательства части «только тогда» заметим, что если В е ХтТ^, то 1с В е ЬУ (24.1, 24.L(2)). Поэтому на основании теоремы 81.И мы можем без потери общности считать, что В е ЬУ. Теперь наше утверждение следует из теоремы 81.В (необходимость), теоремы 52.L, примененной к уравнениям (80.2)±, и теоремы 81.В (достаточность), ибо (B±D±) является У±-парой. 4-
81.К. Предположим, что дано D G ЬУк- Тогда \регулярно"\ допустимая Т-пара или ^ГФ-пара существует в том и только в том случае, если угара (Т, D) \регулярно\ допустима.
Доказательство. Часть «в том случае» тривиальна. Для доказательства части «только в том случае» мы можем, как и в предыдущем доказательстве (но используя теорему 81.D и лемму 81.1 в дополнение к теореме 81.Н), считать, что В е ЬУ. Теперь наше утверждение вытекает из теоремы 81.Е (необходимость), леммы 52.М, примененной к уравнениям (80.2)±, и тео, ремы 81.Е (достаточность). 4,
Наконец, установим аналог теоремы 62.1, который также служит обоб- , щением теоремы 51.G на случай нерефлексивных пространств X.
81.L. Предположим, что 9"-пара или IT'S-napa (В, D) не слабее, чем в (L1, L”), и что существует замкнутый (В, D^-диэдр (в частности, что пара 5 (В, D) регулярно допустима). Тогда пара (IcB, fD) регулярно допустима.
'1 Доказательство. На основании теоремы 81.Н мы можем считать, что J (В, D)—i7"-napa. Поэтому паше утверждение следует из 81.С, теоремы 62.1, ■•' примененной к уравнениям (80.2)±, и теоремы 81.Е (ибо, очевидно 2f_o£D +
+ ^+OfD Т_ + ^+ = xy 5,
Двойные дихотомии. Связь с допустимостью и (В, D)-диэдрами'
Двойные дихотомии
Мы продолжаем изучение уравнений (80.1) и (80.2) для данного ЛеЦХ). Мы стоим перед задачей определения видов поведения решений уравнения (80.1), которые были бы подходящими аналогами дихотомий и экспоненциальных дихотомий, определенных в гл. 4 для уравнений на R+. Как мы увидим, можно принять следующие определения.
Замкнутый диэдр (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию (решений уравнения (80.1), или для Л), если У± индуцирует дихотомию для Л±; индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию (решен и~и уравнения (80.1), или для Л), если У± индуцирует экспо- шенциальную дихотомию для Л± (в этом случае мы будем также говорить, что Л обладает двойной экспоненциальной дихотомией).
Было бы желательно дать эквивалентную формулировку этих определений, которая не так сильно опиралась бы на раздельное рассмотрение уравнений (80.1)_ и (80.1)+, а именно формулировку в терминах решений уравнения (80.1) типа условий (Di), (Du), (£>ш) и т. д. или условий (£т), (Ец) и т. д. в зависимости от того, какой случай имеет место. К несчастью, это, по-види- мому, невозможно, если не считать выходом простую замену слов «У± индуцирует дихотомию для Л^» соответствующими определениями. Мы полагаем, что дальнейшее обсуждение необходимых условий и достаточных условий сделает для читателя ясным положение дел. В случае расчлененных диэдров, однако, мы в состоянии дать необходимые и достаточные условия желаемого вида.
Сначала приведем некоторые необходимые условия для двойных дихотомий и двойных экспоненциальных дихотомий.
82.А. Предположим, что замкнутый диэдр (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию для А. Тогда существуют такое А/>0 и для каждого Х>\ такие М' = М'Щ >0, yo=Yo(^)>O, что любые решения у, уравнения (80.1) с у (0) г Y_ f] У+, z- (0) е Y+, II2± (0) II ^Xd (У_ П У+, z'MO)) удовлетворяют следующим условиям".
(Г) II У W 11^ А^|| у (t0) || для всех /^/0^0 и всех t^to^Q; (lI") [Iz- (0| ^ АП2"" (/0)|| для всех f>t0;
"(П+) |г+ (/)||§СМ'||г+ (/0)| для всех t<t0;
t ^0, если у + г+,t ^0, если у + г+,t ^ 0, если у + z~,t ^ 0, если у + z~,(пг) ylHfl+Hfl, (ol^Yo для всех z~ N= 0;
t ^0, если у + г+,
t ^0, если у + г+,
t ^ 0, если у + z~,
t ^ 0, если у + z~,
(Ш+) М+гДО- 2+(0]^ Yo для всех z+ ^0.
Доказательство. В силу ILL || z~ (0) || <Axd (У+, г±(0)), где х = х(У_, У+) — раскрытие диэдра. Наше утверждение следует теперь из определения, причем
N = maxN±, N' (%) = max N±N± (Хх), YoW = m>n Yo ± (M,
где N+ и т. д. суть параметры дихотомии, индуцируемой Y+ для А±. Л,
(82.^ А Предположим, что замкнутый диэдр (У_, Уч) инду- цщтует^двойную экспоненциальную дихотомию для А. Тогда существуют "такие х,"^’, 2Т^0"м для каждого К> 1 такие N' = ПЦХ^>0, Yo=Yo(M>O> что любые решения у, z- уравнения (80.1) с у(0)гУ_ПУ+, г±(0)еУ?, Hz^(0)KW(y_Л Г+, zh(0)) удовлетворяют следующим условиям;
(I) II У W II ^ jVe-vlf-<« l|| у (/0) || для всех /^<0^0 и всех
.(П") ||г” (0|| ^ N'e~v 1||z“ (f0)l| для всех f>tQ;
.(ll+) ||z+ (Oil< N'e~v 1 ^^'U^ (/0)li для всех t <Л0;
1 (ill") то же, что .и в 82.А.
Доказательство. Это доказывается так же, как и 82.А. При этом v = minv±, v' = min{v±, v±) и N, N' (%), Yo(M те же, что
и в доказательстве 82.А. 5,
Замечание. Из условий (пН) вытекают, в частности, следующие необходимые условия для решений у, z~, таких же. как в 82.А u 82.В
(Ulf) у[у(Дz" (ol>Yoдля всех/ ^ 0,еслиу, г" =# 0;
"(ИД) У [у (О-z+ (01 ^ YoДля вссхt^0.ес'лиу, z+ + 0;
(Illi) y[z~(0,г+ (01 ^ Yoлля всех0 если г~'г+ ^ 0.
ДляодномерныхX данныев 82.А и82.Внеобходимые усло
вия двойной дихотомии, обыкновенной или экспоненциальной, тривиальным образом и достаточны. Как покажет пример 82.А, для двумерных X даже условия леммы 82.В недостаточны для обыкновенной двойной дихотомии. Можно было бы подумать, что следует рассмотреть еще какие-нибудь необходимые условия на решения w с щ(0)^У_ПУ+. Однако все такие условия
бессодержательны для примера 82.G, так как там Y+ = X. Мы должны все же отметить, что в этом примере А^М^). Представляется весьма маловероятным, что это действительно имеет значение (ср. Шеффер [6], замечание 2 к примеру 6.1); тем не менее мы запишем такой вопрос:
Проблема. Являются ли необходимые условия предложения 82.А [82.В] достаточными для двойной [экспоненциальной] дихотомии в случае АеМ(Х)?
Обратимся теперь к вопросу о достаточных условиях двойных дихотомий и двойных экспоненциальных дихотомий.
82.С. Пусть (Y_, Y+) — замкнутый диэдр. Рассмотрим следующие утверждения"
(a) [(b)] Существуют такое М>0 и для каждого [некоторого] Z>1 такие N' = N' (Z)>0, Yo —Yo(M>O> что любые решения у, z- уравнения (80.1) с у (0) г У_ Q У+, 2±(0)еУт, ||гг-(0) Ц^ * ^Zd (У_ Л У+, г±(0)) удовлетворяют условиям:
(I), (П*) — те же, что и в 82.А;
(IV±) y\y[t] + zT(0, z-^\>Yo для всех t, если у + zT, z- N= 0;
(c) [(d)] существуют такое N>0 для каждого [некоторого] Z>1 и любой [некоторой] пары ^±(У_р|У+, Хурасщеплений подпространств У^, такие N' = Ne(q~, q^^^Q, No^yoVq", q+]>^, что любые решения у, z- уравнения (80.1) с г/(0) е У_ (] У+, 2±(0)еУ±, q” U” (0)) z- (0) удовлетворяют условиям (I), (ll*), (IV4 '
(е) пара (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию.
Имеют место следующие импликации: (C)^(o)^(b)^(d)^(e)."
Замечание. Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что условия (lV~), (lV + ) в совокупности эквивалентны совокупности условий (ill-), (lll + ) лемм 82.А и 82.В и условий
(V") уЬ(О, г+(о]^ Уо для всех t ^ 0, если у, z+ ^ 0;
(V+) у[г/(О- «“(/)]^ у0 для всех t ^ 0, если у, г ^ 0;
возможно, с иным значением у0. Более точно, для t^O условия (lV+) и (Ш + ) совпадают, (IV-) влечет (V+) с тем же самым у0 и, согласно 11.В (лемма о трех углах), условия (Ш+) и (V+) в совокуп
ности влекут (IV ) с -j Уо вместо у0. Для ^0 имеет место симме
«» очевидны.«» очевидны.тричная ситуация.
«» очевидны.
«» очевидны.
Доказательство. Импликации о)
влечет (а). Предположим, что (Ь) справедливо для некоторого Хо> 1 и что дано Х>1. Положим 6 = 6 (X) = 4 (Хо — 1) X
/ 1\
X I "2 (Хо + 1) + XI > 0. Пусть у и г1 - решения уравнения (80.1) указанного в (а) вида, для этого X. Условие (I) одно и то же для (а) и (Ь), поэтому в отношении него не требуется никаких доказательств.•
Существуют решения х- уравнения (80.1), для которых x^OjGLh У+ и ||г±(О)-^(О)||<|(Хо+ 1)^(У_ПУ+, 2^(0)). Та<им образом, решения u- = z~ — х* удовлетворяют условиям
ИфеУ;, ||н±(О)||<4^о+1^(У_()У+), z*(0))<
<Х0^(У_ПУ+, ^(0)).
Далее,
|| х± (0) II < II ^ (0) II + II 2* (0) || < (4 (^0 + 1) + х) d (У_ п У+, 2± (0)).
Рассмотрим ' решения и- = и- + бх±. Имеем и- (0) г У^, II ^ (0) || < (4 (Хо + 1) + 4 (Хо - 1)) d (У_ Л У+, 2± (0)) = XQd (У_ П У+, и±(0)). Таким образом, и- и и- удовлетворяют предположениям условия ТЪ) (с Хо) (сформулированным там для z-\
При доказательстве выполнения условий (11+) и (IV+) мы можем считать, что 2+=А 0, откуда и+, и+ 4 0. На время предположим также, что х+ 4 0. Тогда условие (IV+) пункта (Ь), примененное к бх+, 0, и+ (вместо у, z-, 2+), дает у[бх+(/), и+(/)]> >уо(Хо). Согласно 11.А, верно неравенство буо(Хо) II х+1| ^
2 || и+ — бх+ II — 2 || «+ ||, откуда следует, что
?2+Klk1 + h+!!<0 +26-,у0-1(Х0))||Ы+1|.(82.1)
Применяя теперь условие (IV+) пункта (Ь).к —х+, 0, и4 получаем у[—х+(/), и+(()]^-уо(Хо). Снова используя 11.А, находим
|| и* II < 2у0-’ (Хо)|| и* + х* II = 2у-‘ (Хо)II г+ ||.(82.2)
Теперь мы можем опустить предположение х+ 4 0, так как (82.1) и (82.2) тривиально удовлетворяются при х+ = 0 и и+=г+, ибо уо(Хо)<2.
Условие (IH) пункта (а) следует непосредственно из (82.1) и (82.2) и условия (П+) пункта (Ь), примененного к и+, а для N'^ мы получаем значение
Докажем (IV+). Предположим, что y + z~ + 0. Для заданного /о применим условие (IV+) пункта (Ь) к
|| у (/0) + г" Оо) 1Г‘ (у + л") -1| z* (/0) Г1 х+,
(вместо у, z~, г+) при / =/0. Используя 11.А и (82.1), находим
YL™-t-Z Vt0),Z (toll ||||1/«0) + г-(<о)11||г+(/0)||Р
у YoM || г+ ^-JI ^ у Yo^C1 + 26 Yo (Ч)) *
Таким образом, условие (IV+) для (а) доказано, причем последний член предыдущего неравенства играет роль уо(/.).
Выполнение условий (П") и (IV-) устанавливается симметризацией.
(d) влечет (е). Мы покажем, что если выполняется условие (d), то У+ удовлетворяет для А+ условию (d) теоремы 41.А. Соответствующий результат для ¥_. получается симметризацией. Тем самым утверждение будет доказано. Мы используем условия (Ш*) и (V*) вместо (IV*).
Согласно 11.М, q+ индуцирует (У+, Лх)-расщепление q пространства X с х=х(У_, У+); при этом q будет расщеплением, фигурирующим в 41.Л (d). Пусть теперь и и и— решения уравнения (80.1) с и(0)е У+ и ^(и(0))= и(0). Это последнее равенство означает, что и(0)е У- и у+(о(0)) = и(0). Определим решения у и w уравнения (80.1) условиями w (0) = q~ (и (0)), у = = и— щ. Тогда у, г- = +W и 2* = и удовлетворяют предположениям пункта (d). В силу условий (I), (11+) и (V+), примененных к у и z~ = —w, получаем с помощью 11.А, что для всех t>to>O
IMO IKII У (0 11+11 w *А IK^ + М'^Г, <7+)) max{II z/(^0) ||, || та ^ ||}<
<2у0-‘(7-, q+\(N + N4q-, q^ ) || и (t0) ||
(даже если у = 0 или ш = 0, так как ^(д-, </+)•< 2). Таким образом, условие (Di) выполняется с 2у“' (</~, <у+) (/V + N' (q-, q+)) в качестве М+. Условие (Пц) для и (или, вернее, для и^ является непосредственным следствием условия (П+) для г+ = и, с N'(q-, q+) вместо N'+ (q). Наконец, условие (Ощ) для и, и 4= 0 является непосредственным следствием условия (Ш+) с ХокЧ-'А^ вместо yo-AqY
влечет (а). Поскольку (с) влечет (d), a (d) влечет (е), .то лемма 82.Л показывает, что удовлетворяются все условия пункта (а), исключая, может быть условие (V*). Следовательно,
остается доказать это условие. Пусть дано 2^ > 1, и пусть q^ суть (У-ПУ+, X)-расщепления подпространств Ут.
Предположим, что условие (V+) пункта (а) неверно для этого X; тогда существуют последовательности (уп) и (2”) нетривиальных решений уравнения (80.1),такие, что z/ra(0)e У_ [) У
z; (0)еУ„, ^;(0)||<Xd(y_ny+> 2-(0)) и inf2- (/)]-> 0 при
Не будет никакой потери общности в предположении, что, скажем, <^(У_П ^+, 2~(0)) = п. Введем теперь новое (У_ПУ+, X)- расщепление q+ подпространства У- следующим образом: если х е У_ и х — 2” (0) е У_ П У+ для некоторого п, то положим ^+(х) = 2“ (0) (заметим, что для данного х может существовать самое большее одно такое п, так как его существование означает, что (/(У-ПУ+, х) = и); в противном случае положим q+ (х) = q^ (0). Сразу получаем, что q* действительно является (У_ П У+, X)-расщеплением подпространства У— Применим (с) к этому q+ и q~ = q^.
Поскольку q+(gn (0)) = 2а (0), то условие (V+) пункта (с) дает y[t/„(O, z'^^XQ^q", ^+) для всех t^0 и всех п, что противоречит предположению о последовательностях (i/n) и (2”). Таким образом, условие (V+) пункта (а) доказано; условие (V-) получается симметризацией.
D. Пусть (У_, У+) — замкнутый диэдр. Рассмотрим следующие утверждения-.
[(b)] Существуют такие v, V, N > 0 и для каждого [некоторого] К > 1 такие N' = N'])^ > 0 и у0 = уо(Х) > 0, что любые решения у и г- уравнения (80.1) с у(0)е У_П У+, 2±(0)е Ут, || z±(0)||-^Х(/(У_ П У+, 2±(0)) удовлетворяют следующим условиям-.
(I), (№) — те же, что и в 82.В;
(IV±) — то же, что и в 82.С.
[(d)] Существуют такие v, х', N > 0 и для каждого [некоторого] X > 1 и любой [некоторой] пары q^Y-RY^, ^-расщеплений подпространств Ут такие N'= N'[q', q+]> 0 и у0 = = уо(^~> ?+) > 0> чт0 любые решения у и z± уравнения (80.1) с у(0)еУ-П У+, 2±(0)еУт, q[z-[0]) = 2±(0) удовлетворяют тем же условиям (I), (П±) и (IV±), что и в пункте (а).
Пара (У_, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию.
Имеют место следующие импликации:
(C)^(a)^(b)^(d)^(e).
Доказательство. Это доказывается так же, как 82.С, с ис. пользованием 82.В вместо 82.А и теоремы 42.А вместо теоремы 41.А. 4,
Замечание. Доказательство импликации (с) -> (а) было получено применением «грубой силы», например использовались | лсщеплепия не непрерывные и не удовлетворяющие соотношению q(cx\ = cql.x'V Если в условии (с) параметры N' и уо предполагаются зависящими от X, но в остальном не зависящими от q1, то непосредственное доказательство без этих недостатков получается при помощи 11.G.
Для одномерного X достаточные условия двойных дихотомий, приведенные в 82.С и 82.D, являются тривиальным образом и необходимыми. Мы покажем на примерах 82.Н, 82.1 и 82.J, что для двумерного X импликации (d)->(b) и (e)->-(d) в об* щем случае не верны, даже если первое из условий является «экспоненциальным», а второе — «обыкновенным» и даже если 4eL“(X) (фактически А можно считать даже непрерывным).
Однако если диэдр (У_, У+) расчленен, то ситуация много проще: условие (1) в 82.А, 82.В, 82.С и 82.D становится тривиальным; условие (ПР), так же как и условие (IV±), сводится к условию (П1°) замечания к 82.А и 82.В, а от предположений относительно 2- остается только г±(0)е Ут. Таким образом, система условий (IP), «обыкновенных» или «экспоненциальных», и (Ш?) необходима и достаточна для того, чтобы пара (У_, У+) индуцировала двойную дихотомию, обыкновенную или экспоненциальную. Этот факт входит составной частью в следующие две теоремы:
Теорема. Пусть (У_, У+) — расчлененный диэдр. Следующие утверждения эквивалентны: ■
Пара (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию.
Существуют такие N', у0 > 0, что любые решения z^ уравнения (80.1) с г±(0)Е?+ удовлетворяют условиям
(DD,-)|| z~ (О1| N' || z- (0) ||для всехf^tQ;
(DD,+)||z+ (OIK Mz||z^ (/0) ||для всех<<0;
(DDH)Y [2-(0, z+(01 ^ Voдля всехt, еслиz-,z+#=0.
Существует D > 0, такое, что если U — решение уравнения (30.3) с U (0) = 1, а Р±— проектор на У+ вдоль У±, то
(DD'_) ||t/(0P-t/"I(0)ll<O для всех t>t0;
:(DD'+) ||Щ0^+^-|(0)11<О для всех К/0.
Доказательство. Вместо того чтобы использовать ранее полученные необходимые или достаточные условия, мы применим 41.В к уравнениям (80.1)± и подпространствам У± с их дополнениями Z±=YT и соответствующими проекторами Р±.
влечет (Ь). Используя условие (а) леммы 41.В, получаем (DD,±) и (DDH) с N' = max N _N'± (У_) и у0 = min у0±(У_).
влечет (с). Используя условие (с) леммы 41.В, получаем
(DD'*) с D = D_(Р_)О+(Р+).■
влечет (а). Из условия (Ь) вытекает условие 41.В (Ь) для уравнений (80.1 )± с N± = N± (УД = N', уо±(Ет) = Уо-
влечет (а). Из условия (с) вытекает условие 41.В(Ь) для уравнений (80.1)± с D±(P±) = D. 4-
82.F. Теорема. Пусть (У_, У+)—расчлененный замкнутый диэдр. Следующие утверждения эквивалентны:
Пара (У_, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию.
Существуют такие V, N', у0 > 0, что любые решения г* уравнения (80.1) с г±(0)еУт удовлетворяют условиям
■(ЕЕ,-)||z_(/)|K^e-v'H-fcl||z_(f0)||для всех t">t0;
(ЕЕ,+)|| 2+ (t) || ^ N'e-V 1<-<«1|| 2—(/0) ||для всех t^t0;
■(DDn)то же, что и в теореме82.Е.Это условие излишне,
если А <= М(£). •
Существуют V, D> 0, такие, что если U — решение уравнения (30.3) с U(0) = I, а Р±— проектор на Ут вдоль У±, то
.(ЕЕ'“) \\и ^ P_U"4t0')W^De-vu-M для всех t>t0;
(ЕЕ'+) \\и (0 P+U~4i0V\\^De-vyt-M для всех t^t0.
Доказательство. Это доказывается так же, как теорема 82.Е, с использованием 42.В и 42.D вместо 41.В. 4
Замечание. Если пространство X гильбертово, то мы можем заменить условие (DDn) в теоремах 82.Е и 82.F условием, что суще
ствует число <о0, 0 < <в0^ — л, такое, что
•(^DD,,^) ^ (2~ (0> z+(0 ) ^ <°о Для всех t, если z~, z+ ^0.
Примеры
Во всех приводимых здесь примерах X— действительная или комплексная плоскость с декартовыми координатами х, и х2. Первый пример касается необходимых условий двойных дихотомий, остальные — достаточных условий.
21 Зак. 405
Пример. Пусть (80.1) имеет вид системы
xi — 2хт=0
для t ^ 0;
хг + 2х2 = 0
М + 2xt — 2Zx2 = О для Z > 0.
х2 + 2х2 = О
Здесь операторная функция А разрывна в точке Z = 0. Незначительной модификацией можно было бы избавиться от этой разрывности, сохранив все свойства примера. Общее решение нашей системы имеет вид х= (xix2), где
[х1(0)е2<,Z<0,
*i (0 =9 ,
I (х( (0) + Z2x2 (0)) е“2\ Z^0, х2 (0 = х2 (0)е~2'.
Если мы хотим, чтобы выполнялись условия по крайней мере леммы 82.А, то поведение решений в ±оо вынуждает нас выбрать Y_ = {х: х2 = 0} (ось Х|) и У+ = X. Мы утверждаем, что тогда удовлетворяются условия (I), (11+), (Ш*) даже леммы 82.В. Поскольку У_сУ+, то условие (11+) тривиально, условие (Ш+) бессодержательно и условие (III-) сводится к(Ш|”). Пусть у и г- такие, как предполагается в 82.В, для некоторого X > 1. В нашем случае это означает, что уг(0) = 0, так что у2 = 0, и | zj~ (0) р < (X2 — 1) | z^ (0) р. Не будет никакой потери общности, если мы предположим, что z^ (0) = 1 и г~ (0) = а, где 1 + |а|2 ^ V.
Теперь, || у (t) || е' * * = || у (0)|| е-'# 1 для всех Z, так что условие (I) удовлетворяется с v = M=l.
Для Z ^ 0 имеем
е-< < II г- (Z) || У = е-ЧI + I о р е^2 < е"Ч1 + | а |2)72 < Ге^.
Прямое вычисление показывает, что для Z^0
(1 + | а I2)"1 (1 +1 Z4^ < 1 + | а + Z212 < 2 (1 + | а |2)(1 + yZ4 откуда
Х-'е"^! + 1 Г^ || 2" (Z) || е1 = в"* (1 + | а + t2 |2)'М/^ Хе”* (1 +1Z^71.
Комбинируя эти неравенства, заключаем, что для всех Z
X- '<р (t) < || г” (t) IIе‘ < /2 Х<р (/),
где ф — убывающая функция, определяемая формулой ф (Z) =е-,для<^0 и формулой ф (0 = е~* ^1 + -j /4) 2 для t^0. Следовательно, при t^t0
II г” (t) || < /1 Хе-'ф (Z) </1 Хе” М /0) < /1 Х2е-(/-у || z~ (Zo) II, так что условие (П~) выполняется с V = 1 и N = У 2 X2.
Наконец, предположим, что у #= 0. Для /^0 имеем
у [у (t), z (0] > | (sign 2~ (0 - sign у (t) )2 | =
= II2- (0 г1 е~2< >(1 + Ы2Г''2 > Л'1,
так что условие (ill, ) выполняется с \о = X-1.
Однако подпространство У+ = X не индуцирует дихотомии для А+, не говоря уж об экспоненциальной дихотомии (хотя У_ индуцирует ее для А_). Действительно, рассмотрим последовательность (х(п>) решений уравнения (80.1) с начальными условиями x<n>(0) = (—n2, 1). Тогда
II V"’(л+1)11 (2 (2п2 + 2н+ xW'1 е-2п"2
И х"” (я) IIв"2""*
при п ~> ОО. 4,
82J& Пример. Пусть (80.1) —система с постоянным А, —'-И = 0, х2 + 2х2 = 0.
Общее решение имеет вид х(/) = (х, (/)„ х2(/)) = (х, (0). x2^e'2 ). Очевидно, если У- совпадает с осью х, и У+ = X, то диэдр (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию (например, в силу 41.С (d)). Кроме того, если q+ является ортогональным проектором на ось х2, a q- равно 0, то удовлетворяется условие (d) леммы 82.С. Пусть, однако, для данного Х>1 у и 2" — решения, определяемые формулами //(/) = (],0) и г~(/) = ((Х2—l)/2,e-2i), так что у(0)е е У_ = У_ П У+, и ||г-(0)|| = X = Xd(y_ П У+,2-(0)). Тем не менее
tg <£ (y(t), z~(t)) = е-2' (X2—1)~"2->0, так что у[у(О> г~(/)]->-0 при /~>оо, и условие (d) леммы 82.С не выполняется, 4,
в Пример. Пусть (80.1) —система вида
xI + (th Z) Xi = 0, х2 + (2 + th /) х2 = 0,
получающаяся из системы предыдущего примера умножением каждого решения па (ch/)-1. Угловые соотношения, таким образом, сохраняются. Легко проверить, что теперь условие (d) леммы 82.D выполняется с теми же q*, как и прежде, так что (У-, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию; но условие (Ь) леммы 82.С, конечно, по-прежнему не выполняется; вследствие этого не выполняется также и условие (Ь) леммы 82.1). 4,
Замечание. В примере, показывающем несправедливость импликации (d) -> (b) в лемме 82.D, операторная функция А не может быть постоянной, периодической или почти периодической, так как в этих случаях диэдр, индуцирующий двойную экспоненциальную дихотомию, обязан быть расчлененным (теоремы 113.С и 102.А), так что указанная импликация верна тривиальным образом. Это совершенно противоположно случаю обыкновенной двойной дихотомии, иллюстрированному примером 82.Н.
Пример. Пусть (80.1) —система
X] — 2х] = 0
х2 + 2х2 = 0
Xi + 2xi — х2 = 0 х2 + 2х2 = 0
вида
для
у.
для / ^ 0.
Эта система аналогична системе примера 82.G, но здесь AsL°°(X). Разрыв в точке t = 0 снова в принципе можно устранить. Общее решение х = (хцхз) дается формулами
(х,(0)Л<<0,
*i(0 = <
((х/(0) +/х2 (0)) е , О О, х2 (0 = *2 (0) е"2<.
Снова возьмем в качестве У- ось х\ и положим У+ = X. Очевидно, У_ индуцирует экспоненциальную дихотомию для А- (например, согласно 41.C(d)). Покажем, что У+ = X индуцирует экспоненциальную дихотомию для А+. Пусть х — любое нетривиальное решение уравнения (80.1). Если х2(0)= 0, то х2 = 0 и Цх(£) Це* = ||х(0) Це-* для всех t ^ 0; в противном случае полагаем Х|(0)/х2(0) = р + ci (р н а действительны; а = 0 в действительном случае), так что ||х(1)1|е( = 11x2(0) ||е-<(1 + а2 + (Р+ /)2)'^2 для t ^ 0. В обоих случаях ||х(/)||е< убывает для t ^ 0, так что X индуцирует экспоненциальную дихотомию с v+ = N+ = 1.’
Рассмотрим, однако, произвольное решение г- уравнения (80.1) с z^ (0) + 0 (т. е. z~ (0) г У+ \ (У_ П У+)). Положим zj~ (0)/z^ (0) = р + ci.
Если // — решение вида у (0 = (е~2<, о), то tg ^ (у (0, ?-(/)) = (1 + о2)2 X X (р + tVX -* 0, так что у \у Ц\ z~ (/)] -> 0 при t -> оо.
Поскольку z" — произвольное решение с г~(0)е У+\(У_ ПУ+), то условие (d) ни леммы 82.D, ни даже леммы 82.С, не выполняется пи для какого расщепления <;+ (расщепление q~ тривиально), ибо не выполняется условие (V+). 4»
Связь с допустимостью и (В, В^-диэдрами
Теперь мы в состоянии испытать наше определение двойных дихотомий и двойных экспоненциальных дихотомий на справедливость прямых и обратных теорем, аналогичных теоремам § 63 и 64. Мы приведем лишь наиболее важные результаты и попытаемся в каждом случае свести доказательство к аналогичным результатам для уравнений (80.1 )± и (80.2) ±. Вплоть до конца этого параграфа (В, D) обозначает данную 9~-пару или 9"^- пару.
82.К. Теорема. Пусть либо АеМ(Х), либо (В, D) сильнее, чем (L1, L°°). Предположим далее, что (У_, Y+) — замкнутый (В, D)-диэдр (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и Y± = X±od)- Тогда пара (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию для А.
Доказательство. На основании теоремы 81.Н и лемм 24.1, 24.L (2) мы можем ограничиться рассмотрением ^“-пар. Поэтому наш результат следует из 81.С и либо теоремы 64. А, либо теоремы 63.А с учетом 23.Y (1) и замечания 2 к 22.Q. Частный случай регулярной допустимости вытекает из теоремы 81.D и леммы 81.G. X
82.L. Теорема. Замкнутый диэдр индуцирует двойную дихото- • мию для А тогда и только тогда, когда он является [замкнутым) (L1, L-) -диэдром. Если многообразие Хо замкнуто, то пара (Х-о, Х+о) индуцирует двойную дихотомию для А тогда и только тогда, когда пара (L1, L°°) [регулярно) допустима.
Доказательство. , Первая часть вытекает из леммы 81.С и теоремы 63.D. Вторая — из теоремы 81.Е и леммы 63.D с учетом леммы 8LG. 4,
82.М. Теорема. Если многообразие ХОо замкнуто, то пара (Х-оо, Х+оО) индуцирует двойную дихотомию тогда и только тогда, когда пара (L1, Lo°) [регулярно) допустима.
Доказательство. Теорема 81.Е и лемма 63.F с учетом леммы 81.G. 4г
Теорему 63.Е, однако, не «переносится» без дополнительных предположений (пример 82.0). Справедлив лишь следующий результат.
82.N. Предположим, что замкнутый диэдр (У_, У+) индуцирует двойную дихотомию для А и что Х_оо + X+oo = X. Предположим далее, что коразмерность Х±оо относительно У± конечна или эквивалентно что коразмерность Хй0 относительно У_ П У+ конечна. Тогда пара [Х_№, Х-юо) индуцирует двойную дихотомию для А и является (L1, Ъо^-диэдром, а пара (L1, L”) [регулярно) допустима.
Доказательство. По теореме 41.D Х±оо является подпространством, содержащимся в У±. Поскольку Х...оо + ^+оо = X, то, используя модулярность решетки линейных многообразий, получаем
У± = (У± П Тт оо) + оо,(82.2)
откуда
У_ПУ+ = (У_ПУ+оо) + (У+ПХ_оо).(82.3)
С учетом сделанных предположений (82.2) показывает, что коразмерность Х+оо в У± конечна в том и только в том случае, если то же самое верно относительно коразмерности Х_Оо Л Х+Оо = ^оо в У± Л Хтоо; далее, (82.3) показывает, что последнее имеет место (для верхнего и нижнего знаков) в том и только в том случае, если Хоо имеет конечную коразмерность в У_ Л У+ (действительно, последняя коразмерность является суммой коразмерностей Х±оо в У±). Этим установлена указанная в формулировке эквивалентность. Наше заключение следует теперь из теорем 41.F и 63.Е, леммы 81.С и теоремы 81.Е. 4»■-
В то время как для уравнений на / = /?+ существование дихотомии влечет, по крайней мере для конечномерного X, существование (l‘+, L“+)-подпространства и допустимость пары (U, Lo°°+), аналогичный результат для J — R, вообще говоря, не справедлив по той причине, что (Х_оо, Х+оо) может не быть диэдром:
82,0. Пример. Для любого X (даже для X = R) и для Л = 0 каждый замкнутый диэдр индуцирует двойную дихотомию. Однако X±Oo = {0} и пара (1Д L”) не допустима, как уже отмечалось в примере 51.Р. 4,
Вот все, что касается обыкновенных двойных дихотомий. Теперь мы обратимся к двойным экспоненциальным дихотомиям.
82.Р. Теорема. Предположим, что пара (В, D) не слабее, чем. (L1, L”), и что (У_, У+)— замкнутый (Ъ,Г))-диэдр (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У± = Х±оп). Предположим далее, что существует замкнутый диэдр (Z_, Z+), индуцирующий двойную дихотомию для Л. Тогда У± = Z±, и пара (Y-, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для Л.
Доказательство. Как и в теореме 82.К, мы можем считать, что (В, D) является Д“-парой. Заключение теоремы следует из леммы 81.С и теоремы 63.G. 4-
82.Q. Теорема. Предположим, что ЛеМ(У) и что пара (В, D) не слабее, чем (b1, L”). Если (У_, У+) — замкнутый (В, О)-диэдр (в частности, если пара (В, D) регулярно допустима и У+^X + od), то пара (У_, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для Л.
Доказательство. Эта теорема доказддается-^ак—же. .как и предыдущая, с исгюльзованиё^Гтёоремь! 64.В. 4, _——■Ий/g, ^
82.R. Теорема. Предположим, что замкнутый (¥_,У+удиэдр индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для Л. Если D толсто по отношению к В, то пара (В, D) регулярно допусти
ма. Если D толсто по отношению к кВ, то Х±оп = У± и (У_, У+) является единственным (В, D)-диэдром. Если ЛеМ(У), то эти достаточные условия являются также и необходимыми. -
Доказательство. Достаточность условий следует из лемм! 23.Y (4) и 24.N, теорем 63.К и 81.Е н леммы 81.1. Необходимость' условий при ЛеМД) следует из лемм 23.У (4), 24.N и теорем 64.С, 81.D и 8LE. 4г
. Полезные необходимые и достаточные условия экспоненциальных дихотомий, данные в теореме 63.М, имеют точные аналоги в рассматриваемом нами случае.
82.S. (1) Замкнутый диэдр (У_, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для Л тогда и только тогда, когда (У_, У+) является как (L1, L°°) -диэдром, так и (L2, L2) -диэдром; тогда и только тогда, когда (У_, У+) является (М, L°°) -диэдром; или (L1, Тудиэдром; или (Мо, Х^Удиэдром.
(2) Если многообразия Хо, Хот и Хоо замкнуты, то пары (Х_о, Х+о), (Х_оТ,Х+от) и (Х_оо, Х+оо) индуцируют двойную экспоненциальную дихотомию для А тогда и только тогда, когда пары (М, L°°), (L1, Т) и (Mo, L”) соответственно допустимы для А.
Доказательство. (1): леммы 22.Q (замечание 2), 23.Y (замечание 1), 81.С и теорема 63.М. (2): леммы 22.Q (замечание2), 23.Y (замечание 1), теорема 81.F, лемма 81.G и снова теорема 63.М. 4,
-' Преддихотомическое поведение решений однородного уравнения'
- Теоремы 82.К, 82.Р и 82.Q показывают, что при определенных предположениях относительно пары (В, D) и некоторых других условиях замкнутый (В, D) -диэдр индуцирует двойную дихотомию или двойную экспоненциальную дихотомию. Результаты § 62 позволяют нам распознавать при более слабых предположениях своего рода «преддихотомическое» поведение решений уравнения (80.1). Формулировки соответствующих результатов, получающиеся почти буквальным повторением, громоздки, а доказательства неглубоки. Поэтому мы удовлетворимся тем, что сформулируем теоремы для «экспоненциального» случая и дадим наброски доказательств.
82.Т. Теорема. Предположим, что пара (В, D) не слабее, чем (L1, Ц°), и что (У_, У+)—замкнутый (В, Вудиэдр (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима и У± = Х± 0D). Тогда
существуют такое р > 0 и для каждого А > 0 такое М = М (А) > 0, что каждое решение у уравнения (80.1) с у(0) е У_ П У+ удовлетворяет для всех t ^ to 0 и всех t ^ /о ^ 0 неравенству
rf 4* Д£о4* Д*
-J ||д/(«) II d« Ме-^ 1^-^ 1 J ||;/(и) || du;
t — Kt0 —К
(И) для каждого X > 1 существуют такие р' = р'(Х) > 0, р" = р"(Х) > 0 и для каждого такого X и А > 0 существуют такие № = ЛГ(А, X) > 0, М" = = М"(Д, X) > 0, что каждое решение г± уравнения (80.1) с г±(0) е У±, ||г±(0)|| ^Хй(У- f) У+, z±(0)) удовлетворяет для всех to и t, ±{t — /о) ^ 0, неравенству
_t + А/0+ А
J || Z- (и) И du ^М'е-^' |(~<о1 [" || z± (и) || du)
t-Дt,-A■
и каждое решение w уравнения (80.1) с ||w(0)||^X min с((У±, ш (0)) удо
влетворяет для всех /^/о^О и всех t^to^O неравенству
/+Д/оЗ-Д
J ll^fuJlMu^Al"^"1^"1 | || w (и) ]| du.
t-ьt0-&
Все эти утверждения останутся справедливыми, если мы заменим to+ дt + д
■ | WyWWdu, | iiy(u)lldu и т. д. на | Хр0-д, <0+д]У |D> |Хр-д, ; + a1*/|d
<0-Д/-Д
и т. д.
Доказательство. В силу 81.С и 23.Y (1) мы можем применить теорему 62.В к уравнениям (80.1)±. Используя ILL, получаем неравенство || г* (0) ||^Доказательство. В силу 81.С и 23.Y (1) мы можем применить теорему 62.В к уравнениям (80.1)±. Используя ILL, получаем неравенство || г* (0) ||^^ Xxd (К±, z* (0) t'f [|x(u)||du<£t-д^ Xxd (К±, z* (0) t'f [|x(u)||du<£t-дI, где х = х(У_, К+), и используя (31.7), получаем, чтоI, где х = х(У_, К+), и используя (31.7), получаем, что± ДJ Цх(«)||^« о± ДJ Цх(«)||^« о/ А\, где Е = exp I J || Л (u) ]] du I , для любого ре-\-Д// А\, где Е = exp I J || Л (u) ]] du I , для любого ре-\-Д/шения х уравнения (80.1) и любого t, O^t^A; аналогично для D-норм слоев. Поэтому р = min р±, р' (X) = min {р±, р^. (Хх)], р" (X) — min р^_ (X), М (А) =шения х уравнения (80.1) и любого t, O^t^A; аналогично для D-норм слоев. Поэтому р = min р±, р' (X) = min {р±, р^. (Хх)], р" (X) — min р^_ (X), М (А) =
Доказательство. В силу 81.С и 23.Y (1) мы можем применить теорему 62.В к уравнениям (80.1)±. Используя ILL, получаем неравенство || г* (0) ||^
Доказательство. В силу 81.С и 23.Y (1) мы можем применить теорему 62.В к уравнениям (80.1)±. Используя ILL, получаем неравенство || г* (0) ||^
^ Xxd (К±, z* (0) t'
f [|x(u)||du<£
t-д
^ Xxd (К±, z* (0) t'
f [|x(u)||du<£
t-д
I, где х = х(У_, К+), и используя (31.7), получаем, что
I, где х = х(У_, К+), и используя (31.7), получаем, что
± Д
J Цх(«)||^« о
± Д
J Цх(«)||^« о
/ А\
, где Е = exp I J || Л (u) ]] du I , для любого ре-\-Д/
/ А\
, где Е = exp I J || Л (u) ]] du I , для любого ре-\-Д/
шения х уравнения (80.1) и любого t, O^t^A; аналогично для D-норм слоев. Поэтому р = min р±, р' (X) = min {р±, р^. (Хх)], р" (X) — min р^_ (X), М (А) =
шения х уравнения (80.1) и любого t, O^t^A; аналогично для D-норм слоев. Поэтому р = min р±, р' (X) = min {р±, р^. (Хх)], р" (X) — min р^_ (X), М (А) =
= е^Е max М± (А), М' (A, X) = е^'^Е max М± (А) М' (А, Хх), М" (А, X) = ~, +“ , +
= е^" ^Е max М'± (А, X). 4, +
82.U. Теорема. В предположениях теоремы 82.Т, если D сильнее, чем L”, то
(I) для каждого Д>0 существует Х-о = Х-о(А) > 0, такое, что каждое решение у уравнения (80.1) с у(0) g У_ П У+ удовлетворяет для всех t ^ to ^ 0 и всех t ^ tg ^0 неравенству
|| у (0 ]|^ ^ (fo) е-^ 1 #-^1 II У (^о)Ц,
/ £о+ А\
где L (t0) = Lo exp || А (и) || du , а р то же, что и в теореме 82.Т;
\<о-Д/
для каждого Х>1 и каждого А>0 существует lq = L'o(A, Х)>0> такое, что каждое решение г* уравнения (80.1) с z±(0)eK_, 1|2±(0)||^ ^ Xd (У_ f) Y+, z^ (0)) удовлетворяет для всех t0, t, т(/ —/0)^0, неравенству
II z^ (t) || < L' (to, X^e-f-'V-tA || 2± М ||,
/ fn+A\
где t' (Zo, X) = L'o exp I || А {и) || du 1 и р' = ,р' (X) — то же, что и в тео- Vo - д/
реме 82.Т.
"Доказательство. В силу лемм 81.С и 23.Y (1) мы можем применить теорему 62.D и формулу (62.14) (замечание 1 к теоремам 62.D и 62.Е) к уравнениям (80.1)±. Используя 11.L так же, как и в предыдущем доказательстве, получаем искомое утверждение; при этом LQ (^^ = max Lo ± t,^,
La (А, X) = Е max Lo + (A) La- (A, Xx). ^
82.V. Теорема. В предположениях теоремы 82.T, если В слабее, чем L1, то для каждого Х>1 и каждого А>0 существуют Lq=Lq(A, Х)>0 и Lq = Lq (А, Х)>0, такие, что каждое решение г^ уравнения (80.1) с z± (0) е У _ и || 2~ (0) || ^ Xd (У _ f] У+, г* (0)) удовлетворяет для всех t0, t, ± (/—/0)0, неравенству
' II z± (/) || > (L' (/„, X) Г1 е^' ' ^'1| г± (/„) ||,
и каждое решение w уравнения (80.1) с ||ю(0)||^Х min d(Y±, w (0)) удовлетворяет для всех /^/0^0 и всех iZ^to^O неравенству
||^(/)|IXL"(/0, Х))-'е1г"1<-<-1||ф(/0)||,
(
^о+ А\/ £0+Д\
Г || 4 (и) || du I, L"(/o, X) = Lyexp I Г || А (и) || du I L-A/Vo-A/
и р'=р'(Х), р" = р" (X) те же, что и в теореме 82.Т.
Доказательство. Применяем леммы 81.С и 23.Y (1), теорему 62.Е, формулу (62.15)и лемму ILL. Получаем Lq (А, X) = Е max Lq± (А, Хх), Lo_(A)
Lq (А, Х) = max Lq± (А, X). £
Замечание. Из формулировок «экспоненциальных» результатов теорем 82.Т, 82.U и 82.V мы получим формулировки соответствующих «обыкновенных» результатов, опустив предположение, что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L”), и положив в заключениях теорем р = р' = = р" = 0.
■83. Сопряженные уравнения
Мы рассматриваем два спаренных банаховых пространства X, X* и функцию Л е L(^), имеющую сопряженную Л'. В дополнение к уравнениям (80.1) и (80.2) мы теперь рассматриваем также сопряженные уравнения (32.1) и (32.2) в пространстве X', т. е.
‘х'-Л'х^О,(83.1)
x'-A'x^V.(83.2)
Нашей целью является исследовать, в какой мере соответствующая теория, развитая в § 43, 53, 54 и 66, имеет аналог для уравнений на / = R. Напомним, что предельно общий анализ этой
проблемы в случае J = R+ затруднялся необходимостью иметь дело с (В, D) -многообразиями, которые не замкнуты, не говоря уж о свойстве квазистрогой спаренности. Представляется чем-то удивительным — приятным или нет, в зависимости от точки зрения,— что эти затруднения не встречаются в пашей теперешней ситуации. Более точно, проводя аналогию с § 53, мы должны взять (В, D)-диэдр (У_, У+) для А и изучить связь между сопряженными уравнениями и парой (У-, У+). Теперь наименьшее, что мы вправе ожидать, это чтобы каждой функции f' eL(X') с компактным носителем соответствовало решение х' уравнения (83.2) с х'^ (0) е У+. Однако ясно, что это приводит к требованию, чтобы (У-, У+) было диэдром (доказательством служит алгебраическая часть доказательства необходимости в теореме 81.В). Но это требование крайне ограничительно: согласно 12.В, диэдр (У_, У+) обязан быть'(X, X')-расчлененным. Таким образом, У± — подпространства со свойством квазистрогой спаренности; таковы же подпространства У±; и все они насыщены и дополнимы. Итак, мы вынуждены (и это неприятная сторона дела) ограничить наше внимание случаем (X, X)-расчлененных диэдров; но мы тем самым обходимся без всех осложнений, вызываемых отсутствием указанных свойств (и это приятно, особенно с точки зрения главной части § 66). Можно было бы сказать, что для конечномерных X все эти упрощения излишни; однако тот факт, что (X, X')-расчлененный диэдр расчленен, безусловно, не лишний. Мы видели, сколь это может быть важно, при обсуждении определения двойных дихотомий в предыдущем параграфе.
Эти замечания, оправдывающие рассмотрение только (X, X')- расчлененных диэдров, являются, строго говоря, лишь эвристическими. Мы дополним их следующим результатом об одном важном частном случае.
83.А. Предположим, что (В, D) и (F, G) — ^~-пары, одна из которых не слабее, чем (L1, L“). Если существует (В, ОУдиэдр (У_, У+) для А и (F, Gyduadp (zL, Z+) для — А', то диэдр (У_, У+) является (X, Х'\расчлененным и Z± = У±.
Доказательство. Предположим сначала, что пара (В, D) не слабее, чем (L1, L“). В силу теорем 81.В и 53.Е У± = Х±ов'! в силу леммы 53.Н У^ = Х±ом Х±ос 2±. Но тогда У- + У+=э id Z'_ A-Z'+= X'. Согласно 12.В, диэдр (У_, У+) (х, Х^-расчле- нен, а (У-, У+) является (х', Х)-расчлененным диэдром; и поскольку Z±cy±, то мы должны иметь равенство. Если же той парой, которая не слабее, чем (L1, L“), является (F, G),
то мы переставим X и Г в приведенных рассуждениях; в результате получим, что диэдр (У_, У+) совпадает с (X, Х')-рас- члененным диэдром (zl, Z+) и что диэдр (zl, Z+) (х', Х)-рас- членен и, следовательно, Z± насыщены, так что y± = Z± = Z±.
.Замечание. Ввиду теоремы 53.Е лемма 83.А останется верной,
если мы заменим слова «ие слабее, чем (L1, L^j» словами «не слабее, чем (L1, Lxj» при условии, что АеМ(Х).
Приведем теперь краткую подборку результатов, получаемых при рассмотрении (X, Х^-расчлепепных диэдров. Ниже (В, D) будет обозначать данную ST к~пару или Т-пару (так что могут быть определены парные пространства).
83.В. Теорема. Если (У_, У+) является (X, Х'Урасчленен- ным (В, ОУдиэдром для Л, то(У^, У°+) будет (Х', хУрасчленен- ным (D', й'Удиэдром для — А'.
Доказательство. 'Лемма 81.С и теорема 54.В с учетом леммы 12.В. 4.
83.С. Пусть (У_, У+) — (X, Х'Урасчлененный диэдр в X. Если D квазилокально замкнуто, то (У_, У+) является (В, D)- диэдром для А тогда и только тогда, когда (У1, У+) является ((X', Х)-расчлененным) (В', В'удиэдром для — А'.
Доказательство. 81.С, 12.В и 54.С. 4-
83.D. Если существует расчлененный замкнутый (В, Мудиэдр для А, то пара (В', D') допустима для —А* в X*.
Доказательство. Пусть (У_, У+)— расчлененный замкнутый (В, О)-диэдр. Согласно 12.D, У-+ У°+= X*. Согласно 81.С и теореме 53.В, Х_ов'+ Х+ов'= X . Наше утверждение вытекает теперь из леммы 81.С и теорем 54.Е и 81.Е. 5-
Замечание. Мы не можем продолжить аналогию между лем. мой 83.D и теоремой 54.Е, заменив в условиях леммы 83.D существование расчлененного замкнутого (В, D) -диэдра регулярной допустимостью пары (В, D), если только мы не предположим, что X0D = {0}. Действительно, в общем случае неверен даже аналог теоремы 55.С для конечномерных X; допустимость пары (В, D) для А не обязана ",иметь следствием допустимость пары (В', D') для •—А+, как показы’вает приводимый ниже пример. Это — иллюстрация к необходимости
ограничится расчлененными диэдрами, которая была отмечена в наших ’ вводных замечаниях.
Пример. Предположим, что X = R, и определим А формулой А (/) = th/, так что А е С. Общее решение уравнения (80.1) имеет вид х(/) = x(0)/ch I. Поскольку у < е-1 f| ch t ^ 1,
то диэдр (/?,/?) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для А. Следовательно, многие 9"-пары допустимы (теорема 82.R). Далее, —А+(/) =—th t, и общее решение алгебраического сопряженного однородного уравнения имеет вид у(/) = = y(O)chZ, так что X±om(—Л+) = {0}. Значит, эти подпространства не образуют диэдра, и вообще никакая £Г-пара недопустима для —А+ (теорема 81.Е). Этот последний факт может быть также проверен прямым вычислением. Как обычно, этот пример может быть приспособлен для любого пространства X умножением скалярной функции А на /. 3.
Завершая нашу подборку, укажем на важную связь между двойными дихотомиями для А и —А', индуцированными (X, X')- расчленепными и (X', X)-расчлененными диэдрами.
83.F. Теорема. (X, X') -расчлененный диэдр (У_, У+) в X индуцирует двойную дихотомию [двойную экспоненциальную дихотомию] для А тогда и только тогда, когда (У-, У°+) индуцирует двойную ' дихотомию [двойную экспоненциальную дихотомию] для —А'.
Доказательство. Это вытекает из леммы 12.В и теоремы 43.А. Из доказательства I последней теоремы следует, что в случае двойных экспоненциальных дихотомий значение параметра V в условиях (ЕЕ^), (.ЕЕ'-) теоремы 82.F может быть взято одним и тем же для А и — А'. 4,
84. Зависимость от А
Классы допустимости и замкнутые (В, Оудиэдры
В этом параграфе мы вкратце рассмотрим для уравнений (80.1) и (80.2) на J = R тематику, развитую в гл. 7 для уравнений на / = R+, а именно вопрос о зависимости свойств уравнений и их решений от операторной функции А.
Отметим, что в § 71 классы "допустимости, такие, как Ad(B, D), Adr(B, D), Adc(B, D), фактически были определены для произвольной A-пары (В, D), причем областью изменения t был любой интервал J, и что лемма 71.А и теоремы 71.В и 71.С (с дополнением) справедливы в той же общности. То же самое можно сказать и относительно следствия 71.D из этих утверждений для 9"-пар или ^FV-nap. Итак, для случая / = R установлено уже довольно много, и нет нужды здесь это повторять. Кроме того, 71.G (Ь)— результат, сформулированный специально для 9"-пар и tTV-nap на R.
Пусть (В, D)—^“-пара или ^"^-пара с В ^ {0}. К списку классов допустимости мы добавим Add(B, D)— подкласс класса Ad (В, D), состоящий из тех А, принадлежащих последнему классу, для которых диэдр (A-od, Х+оо) расчленен; в силу (81.1) он, с другой стороны, характеризуется условием Aqd (Л) = {0}. Дополнение к теореме 71.С описывает свойства этого класса при D L°°; в частности, Ada(B, D) П (Ло + В(^)) является открытым и замкнутым подмножеством множества Adr(B, D) П (Ло + + В(Х)) и тем более множества Adc(B, D) П (Ло + В(^)).
Что касается классов допустимости, все, что мы хотим, — это проиллюстрировать неверность теоремы 71.Е в случае J = R, a не /?+. Эта иллюстрация отвечает требованию, чтобы пара (Х-оо, ^+оо) была диэдром, необходимому для допустимости ^-пары или ^“^-пары (В, D) для А (теорема 81.D). Следующий пример является очень сильным в этом отношении; в самом деле, пространство X в нем двумерно, и мы покажем, что, прибавляя к А некоторое В, даже принадлежащее k0F(X) для любого F е 9" или ^~^, мы можем уничтожить допустимость пары (В, D). Поскольку такое прибавление не изменяет размерностей пространств A±od, то ^егко видеть, используя теорему 81.Е и леммы 71.D, что заключение теоремы 71.Е сохраняет силу для J = R при условии, что пространство X одномерно.
84.А. Пример. Пусть X— действительная или комплексная евклидова плоскость с декартовыми координатами Xi и х2, и пусть (80.1) — это система из двух уравнений
Х| + -Ч = 0,х2— х2 = 0
с постоянным, симметрическим или эрмитовым А. Каждое решение записывается в виде х^ = (xi (/), х2(/)) = (Xi (0)е-‘, х2(0)е'). Если У_ совпадает с осью х2, а У+— с осью хь то, очевидно, расчлененный диэдр (У_, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию, так что все 9"-пары и ^“^-пары (В, D) с D, толстым по отношению к В, допустимы (теорема 82.R).
Пусть теперь дано любое пространство Fe,ST или Э7^, F#={0). Тогда существует функция tpEk0F, ф^О, такая, что s+,
J ф (u) du = ~ л, где s± = s± (ф). Рассмотрим уравнение х +
+ (Л + 5)х = 0, записываемое в виде системы
х, + х, + е-2'ф (О х2 = 0, х2 - е2,ф (/) х, - х2 = 0,(84.1)
так что операторная функция В непрерывна, если непрерывна ф, и
|| В |Кфшахехр(± 2s±).
Таким образом, 8Ek0F(I). Пусть (В, D) — произвольная ^-пара или ^“^-пара с В =# {0}, такая, что D не содержит ни одной функции, экспоненциально возрастающей либо при
—оо, либо при / —> + оо (в частности, произвольная £Г-пара или fT^-napa). Мы утверждаем, что пара (В, D) недопустима для Л + В. Действительно, решение х = (хц х2) системы (84.1) определяется формулами
М(0 = еМ(0 = ех2(/) = е‘х2(/) = е‘х1 (0) cos I J ф (u) du I — х2 (0) sin I j ф (и) du р,
М(0 = е
М(0 = е
х2(/) = е‘
х2(/) = е‘
Vo / Vo /J \/ t\
J ф (и) du I + х2 (0) cos I J ф (и) du I .
о /Vo /
Выражения в фигурных скобках постоянны для /^$_ и t^s+. Поэтому в силу наших предположений относительно D мы имеем .
X-od (Л + S) CZ (xb x2): Xj cos I j
— х2 sin I j ф (м) du I = 0 |, Vo / I
S
Х+оо (Л + S) с: (хь х2): х1 sin I j .Vo
/ s+\]
+ х2 cos I ф (и) du = 0 к
Vo/J
Но в силу предположений относительно ф
$+s_
J qXOfdu — J ф(н)йи = р,
о0
так что одномерные подпространства в правых частях совпадают. Поэтому Х-оо (Л + В) + ЛДоо (Л + В)^Х, и по теореме 81.D пара (В, D) не может быть допустимой для Л + В. &
Если мы продолжим исследование результатов § 71 с целью выяснить, в какой степени они или их аналоги справедливы для уравнений на R, то нам придется рассматривать замкнутые (В, О)-диэдры вместо (В, D)-подпространств. Учет основных соображений, лежащих в основе примера 84.А, предохраняет нас
от поисков полного аналога теоремы 71.1: шаги, соответствующие части 4° доказательства этой теоремы, теперь невыполнимы. Однако остальные части доказательства, относящиеся к случаю, когда норма |Д — Д0|в мала, позволяют сформулировать следующую теорему о замкнутых (В, D)-диэдрах:
84.В. Теорема. Пусть (В, D) — &~-пара или Р^-пара со скудным В {0} и локально замкнутым D ^ L°°. Предположим, что для ДоеЬ(Х) существует [расчлененный] замкнутый (В, D)- диэдр (Уо-, Уо+). Тогда найдется е>0, такое, что если А е/1д+ + В(Х) и|Д— Л0|в^е, то существует [расчлененный] замкнутый (В, D)-диэдр (У-, У+) для А.
Доказательство. По лемме 13.J существует ei > О, такое, что если У_ и У+ являются подпространствами в X с 6'(Уо+, У±)^ ^Е|, то (У_, У+) является [расчлененным] замкнутым диэдром. По лемме 81.С. Уо± есть (В±, D±)-подпространство для До±. Да' лее, В± скудно, a Dj. локально замкнуто и ^ L± (22.Q (2), (3) и замечание 2; 24.F (3)). Согласно доказательству теоремы 71.1, существует е > О, такое, что если Д е До + В (X) и | Д± —До±|в ^ ^е, то существует (В±, D±)-подпространство У± для А*, такое, что б'(Уо±, У±)^е1 (мы использовали (71.15)). Это и подавно будет иметь место, если | Д — Д0|в ^ в. Но тогда (У_, У+) является [расчлененным] замкнутым диэдром. В силу 81.С он будет [расчлененным] замкнутым (В, D)-диэдром для А. 4,
Дважды дихотомические классы
Мы будем обозначать через Q или, подробнее, через Q(X) множество всех Де Ь(Х), для которых некоторый замкнутей диэдр (очевидно, единственный и совпадающий с (Х'-0, Х+о)) ■ индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию. Можно было бы рассмотреть подмножество Qc всех тех Дей, для которых Хо = Х-о П Х+о дополнимо (так что Х_о и Х+в дополни* мы), но куда более интересно меньшее подмножество Qd, йли Qd(X), состоящее из тех Дей, для которых наш диэдр pat- членен, т. е. Хв = {0}. Из леммы 82.S следует, . что £i = = Adr(M, L°°) и Qd = Add(M, L°°). Более полезен тот факт, вытекающий из самого определения двойной экспоненциальной дихотомии, что Дей тогда и только тогда, когда Д±ей+ (экспоненциально-дихотомическому классу, соответствующему R± й для случая J = R+ описанному в § 72 под названием Q), и что (Х_В(Д), Х+В(Д)) ее Н(Х), классу замкнутых диэдров в X, а также что Д е Qd тогда и только тогда, ко^да вдобавок (Х_о, Х+о) e.Hq[X), классу расчлененных диэдров.
Из результатов, соответствующих лемме 72.А и теореме 72.D(а), (Ь), мы приведем только наиболее важные. Как показывает пример 84.А, нет никаких аналогов леммы 72.В или теоремы 72.D(с).
84.С. Теорема. Пусть В Е Ь^~ или Ь^<? сильнее, чем М (в частности, BebiT или Ь^-^). Тогда для данного AoeL(A) множества Q.Q (Ао + В (А)) и fid А (Ао + В (А)) открыты в 40 + + В (А) и отображения А -»(А_о (А), А+о (А)): fi А (Ао + В (А)) -» -> 2 (A, д') X 2 (А, д') —со значениями в И (А) — и А-* ->А0(А): fi А (Ао + В (А)) —>2 (А, д') непрерывны.
Доказательство. Отображение А->-А±: Ао+В (А)Ао± + + В±(А) непрерывно (22.Q(1), 24.F (1)); поэтому теорема следует из теоремы 72.D и леммы 13.J. 4,
Теперь перейдем к обыкновенным двойным дихотомиям. Обозначим через fio класс всех AeL(I), для которых некоторый замкнутый диэдр индуцирует двойную дихотомию, и через fiod— подкласс тех AeL(A), для которых по крайней мере один такой диэдр расчленен. Мы не будем предпринимать попыток классификации, подобной классификации § 72, а только отметим, что А е Qo тогда и только тогда, когда существует замкнутый (L1, L°°)-диэдр для А (теорема 82.L), причем AeQM, если вдобавок хотя бы один замкнутый (L1, L°°)-диэдр для А является расчлененным. Снова ввиду примера 84.А нет никакого аналога теоремы 72.J, разве лишь следующий слабый результат:
84.D. Пусть дано AoeL(A). Тогда множества fi0A A(A0+L*(A)) и fiodA(Ao+L'(A)) открыты в Ao+L'(А).
Доказательство. Теорема 84.В. 4,
Связность в дважды дихотомических классах
Мы никоим образом не намереваемся воспроизводить здесь для уравнений на R общие исследования о связности дихотомических классов, выполненные в § 73 и 74 для уравнений на R+. Мы только хотим использовать результаты этих исследований для того, чтобы получить аналоги наиболее важных теорем о структуре связности дихотомических классов ЙР и ЙОР в случае гильбертова пространства X. Однако несколько наших первых замечаний справедливы и для любого банахова пространства X.
Мы используем, насколько это возможно, соглашения § 73 и 74; так, U, V и W (с индексами или без них) суть решения уравнений U + AU = О, V + BV = 0 и W + CW = 0 с U (0) = V(0) = №(()) = I. Понятие семейства F-деформаций для данного Fe.9* или SF^ вводится точно так же, как в § 73, И справедливы леммы 73.А и 73.В; также верна и лемма 73.С, если в ней
подпространства заменить на замкнутые диэдры и дихотомии — на двойные дихотомии,— это следует непосредственно из самой леммы 73.С.
Имеется одна трудность, касающаяся пространств FeS"1?, и состоит опа в том, что данные функции из F± не обязаны быть ограничениями на R± одной и той же функции из F из-за возможности разрыва в точке / = 0. Эта трудность устраняется, если все рассматриваемые функции обращаются в нуль при / = 0. Следующая конструкция позволит нам ограничиться этим случаем без потери общности. Читатель, интересующийся только случаем Fe5". может ее, разумеется, пропустить.
84.Е. Конструкция. Пусть Fe.O. Предположим на время, что существует функция фо е F с фо(О) V=0. Тогда существует т > 0, такое, что 0<Х[-т г]<РЫ для некоторого р > 0. Отсюда следует, что любая непрерывная действительная функция ф на R, обращающаяся в нуль вне интервала [—т, т], принадлежит F и удовлетворяет неравенству |ф|Р^ ^ р | фо |р |ф |. Определим функцию 6 формулами
Q/Zx Г <(Gt)2(2-(//t)2) при U|<r,
I / При | /1 ^ т.
Очевидно, функция 6 является первообразной, причем 0^0 (^)/f ^ 1, бе С, |0| = — и 8(0) = 0. Для ае[0, 1] определим формулой б0 (1) = (1 — о) t + + а8(/) первообразную, совпадающую с / вне интервала [—т, т]. Имеем 80 (/) = /, 6^/) = 6(0 и для любых а', о"е [0, 1] '
(84.2)(84.2)
(84.2)
(84.2)
' Пусть дано ЛеР(Х). Положим Аа (0 = А (6а (0). Мы утверждаем, что 4aeF(X) и что отображение с -*• Аа: [0, 1]->F(X) непрерывно. Действительно, разность Аа — А непрерывна и обращается в нуль вне интервала [—т, т]. Следовательно, она принадлежит F(X). Поэтому ЛаеР(Х). Пусть дано е>0. Поскольку операторная функция А непрерывна, она равномерно непрерывна на интервале [— т, т]. Поэтому существует 6>0, такое, что f, t" е [— т, т], |f' —0|<S влечет ||Л (/") — A (0)|| < е; если а', а" е [0, 1] и | а" —а'К 25 Кб б/16т, то (84.2) дает | Аа„ — А^, | < е, поскольку рассматриваемая разность обращается в нуль вне интервала [— т, т]. Следовательно, | Ad„ — Аа, |F ^ ре | ф0 |F, и утверждение о непрерывности доказано.
Положим Ga(0 = U(9a (0)1Л‘(0. Мы утверждаем, что (Ga) есть семейство F-деформаций. Действительно, Ga является обратимозначной первообразной и совпадает с / всюду вне интервала [—т, т]. Следовательно, Gq е С(Х) inv. Кроме того, отображение a^>Ga; [0, l]->C(Xj непрерывно, так как Ga(0 непрерывно по обеим переменным /ион тождественно равно / при И | ^ т и всех о. Далее, Ga=GaA—(1—а + c6)AaGa е F(X), и леммы 21. Н, 22. V и 24. J и предыдущее доказательство непрерывности отображения a-> Л0 показывают, что отображение c-*G0: [0, 1] —F(X) непрерывно. Это доказывает наше утверждение. Отметим мимоходом, что Ga (0) = 1 Для всех а.
Определяя теперь Са формулой (73.1), находим Са = (1 — о + об) Ла и Ц/д^) = G(6a(0). Таким образом, Со = А, С>=9А1 и Ci (0) = 0.
Если наше временное предположение не выполняется и ф(0) = 0 для всех ф е F, то мы просто полагаем 6(/) = I. Все дальнейшие построения
проходят полностью, только они в этом случае тривиальны, ибо Go = 1 и Са = А. Кроме того, С,(0) = Л(0) = 0, так как || А || е F. 5,
Начиная с этого места, мы предполагаем, что X есть гильбертово пространство Для данного FetF или ^9 вводим, как обычно, йр = ЙГ)Р(Х) и йОр = й0 П F (Л). Для того чтобы не затруднять читателя легко восполнимыми рассуждениями, мы проведем детальный анализ лишь для йр, а затем резюмируем результаты для йор.
Спрашивается, что должно занять место классов ^йр из §74. Чтобы найти ответ, допустим, что задано А е йр. Напомним, что Хо = Х_о О Х+о. Пусть d=dimX0 и с± = codim Х±о. Очевидно, (Х±о, Х^ П Х^д) ~ расчлененный замкнутый диэдр, так что с* = dim (Х^ Г) Хт0); ио (Х^- П Х_о, Х^ П Х+о) — расчлененный замкнутый диэдр в Ху (ср. доказательства лемм 14.С и 14.D), так что с- + с+ = dim Ху, откуда d + с- + с+ = dim X.
Поэтому мы введем для любых трех кардинальных чисел d, с~ и с+, таких, что d + с- + с+ = dim X, класс
С ' ° d^F " {^ s ^f* dim Хо (Л) = d, codim X±o = c*}.
Полезно ввести обозначения c = c~+c+ и d~ = dA-c*. Мы имеем
С" 'Л = QF П I (Л) " dE X±0•
Очевидно, если А принадлежит этому классу, то ^±S^±^±F (Для f = R* этот класс описан в § 74). Случаи, когда каждое из Х-о(4) и Х+о(Л) имеет либо конечную размерность, либо конечную коразмерность, это в точности те случаи, когда по крайней мере два из чисел d, с-, с* конечны или эквивалентно по крайней мере одно из чисел с, d-, d* конечно.
Мы имеем следующий специализированный аналог леммы 73. D (см. также доказательство теоремы 74. F):
84.F. Предположим, что Аес ,с ^ЙР, (Ga) — семейство Р-деформаций и Са определено формулой (73.1). Тогда отображение с^>Са определяет кривую в с ' с ^йр. Если РеУ^ А (0) = 0 и Ga (0) = 0 для всех а, то Со (0) = 0 для всех с.
Доказательство. Если принять во внимание модифицированную форму леммы 73.С, то то же самое доказательство, что и для 73.D, показывает, что отображение a-> Са определяет кривую в йр; и так как, согласно модифицированной лемме 73.С, Хо (С„) = G„ (0) Хо (Л), Х±о (Ca) = Ga (0) Х±о (Л), то ясно, что Саес с^йр. Последнее утверждение сразу следует из (73.1). 4,
Обратимся теперь к вопросу о «канонических» представителях классов с 'с ^йр в том же смысле, в котором функции Л^ р были «каноническими» в § 74 (в частности, в 74.Е). Представляется естественным выбрать «каноническое» А в с 'с ^р тсм жс способом, каким выбирался «канони
ческий» представитель
А
Ф
класса с . й в 74.Е.4^ ФР
Мы можем дополнительно
потребовать, чтобы замкнутый диэдр (^_0 (Л), ^+о(Л)) был перпендикулярным (см. § 14, стр. 44). Эта идея осуществляется следующим образом
84. G. Множество с-. <Айг непусто тогда и только тогда, когда непусто QF, а именно тогда и только тогда, когда F содержит крепкую функцию. Если функция ф е F крепка и в случае F е 9"% удовлетворяет условию <р (0) = 0 и если Р^ — ортогональные проекторы, такие, что Р~Р* = 0, dim Р^Х = с— и dim(/ — Р"*) (I — Р+) X = d, то
\р-.р+ = ^+ ^ - 2р+} -^~^- 2Р~^) s "’ С"Х
Для доказательства второго утверждения положим А = АДля доказательства второго утверждения положим А = А. По. ПоДоказательство. Часть «только тогда» первого утверждения следует из 42. Е, так как F, очевидно, содержит хотя бы одну крепкую функцию тогда и только тогда, когда каждое из F_ и F+ содержит такую функцию. Часть «тогда» вытекает из второго утверждения, так как проекторы с требуемыми свойствами, несомненно, существуют в силу условия d + ст + с* = dim X н так как в случае F г 9"'®’ существование хотя бы одной крепкой функции в F влечет существование другой такой функции, обращающейся в нуль при / = 0.
Для доказательства второго утверждения положим А = А
Для доказательства второго утверждения положим А = А
. По
. По
скольку || А || = ф, то ,4е F(X) (в случае Ре7'|?мы используем тот факт, что <р (0) = 0). Теперь, согласно 74. Е, Л± = ±ф± (/ — г?*) е й±р и Х±о (Л) =
= (/ — Р^ X, откуда codim Л±о (Л) = с*. Далее, условие Р Р+ = 0 означав в силу 14. Е, что (Л_о (Л), Х+0(Л)) является перпендикулярным замкнутым диэдром. Следовательно, Л е Qp Наконец, Хо (Л) = Х_о (А) Л 2С+0 (Л) = = (/ — Р~) (/ — Р+) X, так что dim Хо (Л) = d. 5,
при / = 0 необходимо, чтобыпри / = 0 необходимо, чтобыфункции Л=Лф>р_ р.функции Л=Лф>р_ р.Замечание!. Если в случае Fe.7"1? мы попробуем снять ограничение ф(0) = 0, то найдем, что для непрерывности операторной
при / = 0 необходимо, чтобы
при / = 0 необходимо, чтобы
функции Л=Лф>р_ р.
функции Л=Лф>р_ р.
О = Л (+0) - Л (-0) = 2ф (0) (/ - Р~ - М) = 2Ф (0) (/ - Р") U - Р+\
поэтому обязательно должно быть ф (0) = 0, если не предполагается, что d = 0, т. е. если не предполагается, что диэдр, индуцирующий дихотомию, расчленен.
Замечание, 2. Если Y = (/ — Р-) (/ — Р+) X = (/ — Р- — Р+) X, Z± = Р~Х, и если мы отождествим X с внешней прямой (гильбертовой) суммой YQZ-®^, т0 Ар, р-, р+ принимает вид Ф {/rf sgn (-)Q @^с-©(— ^ +)}■ а уравнение х + Л^, р_ р+х = 0 принимает вид системы
у - фр = 0, у + фр = 0,
Z- + фг~ = 0 ДЛЯ / < 0, Z~ + фZ^ = 0 для Z > 0, z+ — фз+ = 0, z+ — фг+ = 0.
Мы не будем останавливаться на частном случае этой системы, получающемся, когда F е 9" содержит константы и выбрано ф = 1.
Покажем геперь, что классы с ’cdHF и их «канонические» представители определены нами удачно, доказав теорему о связности, соответствую щую теореме 74. F.
84. Н. Теорема. Предположим, что по крайней мере два из трех кардинальных чисел d, с", с* конечны, причем если X действительно, эти три числа не равны 0, 1, 1 в любом порядке. Тогда множество с ' с dSF линейно связно.
Доказательство. Г. Рассмотрим для заданных кардинальных чисел
некоторую фиксированнуюнекоторую фиксированнуюфункцию Д^ р_, рфункцию Д^ р_, р+, определенную так же, как
некоторую фиксированную
некоторую фиксированную
функцию Д^ р_, р
функцию Д^ р_, р
в 84. G. Такая функция существует, если только класс Ир непуст, и на осно
вании 84. G достаточно показать, что любое Аес ■ с dQF соединимо с А р_ р + кривой в этом классе.
В качестве подготовительного шага покажем, что для случая F е З"^ можно, не теряя общности, считать Д(0) =0. Действительно, выполним конструкцию 84. Е. Тогда из 84. F следует, что а->С0 является кривой в С ’ С d^F’ пРИ11См Со = Д и С,(0) = 0, так что в оставшейся части доказательства мы можем заменить А па Сь Таким образом, будем считать, что Д(0) = 0 в случае РеГТ Заметим, что в этом случае мы имеем также равенство А^ р_ р+ (0) = 0; мы хотим, чтобы это обращение в нуль в точке t = 0 имело место вдоль всей кривой, соединяющей паши два элемента.
2°. Нашим следующим шагом будет доказательство того, что не произойдет никакой потери общности, если предположить, что замкнутый диэдр (Х-о(Д), Х+о(Д)) перпендикулярен. Как нам известно (мы опускаем аргумент Д), (Х+о, Х^ПХ_0) — расчлененный замкнутый диэдр. Пусть Q— проектор на Х^" П Х_о вдоль Х+о, а Р— ортогональный проектор вдоль Х10. Тогда PQ = Р и QP = Q, так что (Р — Q)2 = 0. Кроме того,
Х^о = РХ = Р (х+о + (Хо1 п х_о) ) = Р (Хо1 п х_о).(84.3)
Положим Go = I + о (Р — Q). Поскольку Go 1 = 1 — о (Р — Q), то (Ga) является семейством F-деформаций, будучи рассматриваемо как семейство констант. Определим Са формулой (73.1). Согласно 84. F, а->Са является кривой в с ■ с dfiF> причем Со = А. Если F е 3" ‘б, то также Со (0) = 0. В силу модифицированной леммы 73. С (см. замечания в начале этого пункта) Х+0(С]) = = G]X+o = X+o; далее, (/ - Q) (х^ П Х_о) = (0), так что, используя (84.3)> получаем Х_о (С,) = G,X_0 = G, (Хо + (х^ П Х_о) ) = Хо + Р (х£ П Х_о) = = Хо + Х^о=з Х^о = (Х+о (С]) )1. Согласно 14. Е, диэдр (Х_0(С,), Х+0(С,)) перпендикулярен. Поэтому, начиная с этого места, мы будем считать диэдр (Х-о (Д), Х+о (Д)) перпендикулярным. Заметим, что диэдр (Х_о (Д р_ р+) Х+0(Д р_ р+) ) = ((/ —Р-) X, (/ —Р+) х) также является перпендикулярным. Мы хотим, чтобы перпендикулярность диэдра, индуцирующего дихотомию, сохранялась вдоль всей кривой.
3°. Остальная часть доказательства будет лишь намечена. Поскольку числа с* и d+ = d + с" не равны одновременно 1 при действительном X, то доказательство теоремы 74. F показывает, что Д+ соединимо кривой в ^+Й+Р с <р+(/ — 2Q*), где Q* — некоторый ортогональный проектор с dim Q*X = с*
и codim Q+X* = d* (мы могли бы взять Q* = Р*, ио в таком выборе пег никакого преимущества). Эта кривая состоит из двух кривых в ^+й+г.
Первая кривая описана в 74. D и является результатом применения семейства F+-деформаций (G^) (фактическое построение дает последовательность таких семейств, но мы можем заменить их одним-единственным), где каждая функция Gj принимает ортогональные или унитарные значения и [I О* |^&|| А+||, причем к является константой (см. 74. А или 74. В и доказательство 74. С). В частности, оператор G^(0) является ортогональным или унитарным и, следовательно, сохраняет перпендикулярность диэдров; и если £еИ, то J С + (0) || ^ к || А (0) ||=0, так что С* (0) = 0. Определим семейство F-деформаций (Ga), положив G^+= G* и G^_ = G* (0) (константа). Тог факт, что мы получаем семейство F-деформаций, очевиден. Определяя Со формулой (73.1), получаем кривую в с ’cdQF, при движении вдоль которой Са+ описывает первую упомянутую выше кривую в ^йр Требования перпендикулярности и в случае F е 9"^ обращения в нуль в точке 0, упоминаемые в частях 2° и 1° доказательства, выполняются для всех Са в силу лемм 73. С (модифицированной) и 84. F, так что мы положим В = С) и постараемся продолжить построение, исходя из В. Заметим, что
B_ = G* (0) А_О^-1(0).
Вторая упомянутая выше кривая является кривой, соединяющей В). с Ф+(/— 2Q+), в соответствии с теоремой 73.G, и У = У40(В) = (I—Q+)A и Z = A^q (В) = Q+X. Мы построим кривую о->Со в ’ dQp начинающуюся в В, заставляя С№ описывать эту кривую и полагая Са_ = В_ для всех о. Это будет кривая в F(X) (в случае FeO надо использовать доказательство теоремы 73.G и тот факт, что В(0) = 0 и ф(0) =0). Теперь из доказательства теоремы 73. G вытекает, что А+0(Са) = Х+0(В), так что фиксированный перпендикулярный замкнутый диэдр (Х_0(В), Х+0(В)) = = (X-o(Ca)X+o(Cff)) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для каждого Со. Следовательно, кривая о-*Со лежит в с ’ ^йр.
Таким образом, нам удалось соединить исходное А этой части доказательства кривой в с ’ с ^1F с С, таким, что С+ = ф+(/— 2Q*); при этом условия перпендикулярности и обращения в нуль в точке 0 выполняются вдоль всей этой кривой и, следовательно, выполняются для С. Кроме того, С_ = В_ = G* (0) A_G]+~* (0). .
4°. Теперь мы применим симметризированную часть 3° этого доказательства к С вместо А и возьмем Q- = Р*. Тем самым мы соединим С кривой в с ’ С d^F (с сохранением перпендикулярности и в случае FeO обращения в нуль в точке 0) с D, скажем, таким, что D_ = —Ф-(/ — 2Pj. Но D+ = G; (0) C+G^-‘ (0) = ф+ (/-2В+), где R+ = G^ (0) Q+G,--* (0) - другой ортогональный проектор с dimP+X = c+ и codim R*X = d\ Поскольку Dec"-c+dQF и (Х-о(£», Х+о(£>)) = ((/-Р-)Х, (7-В+)Х) является перпендикулярным замкнутым диэдром, мы должны иметь P"R* = 0 и dim(/ — Р~}(1 — R^X = dimA0(jD) = d. Следовательно, D = A^p _ +.
5°. Осталось соединить Д^ р_ ^+ с А^ р-р+- Поскольку вследствие перпендикулярности
Р-Х = ((I — P-yX)1 с (l-R*)X,.
р-Х с Ц — Р^Х,
существует ортогональный или унитарный оператор S в X, такой, что S оставляет Р-Х поточечно инвариантным и отображает (/ — R^X на (/ — Р^Х, т. е. SP~S~'= Р~ и SR'S-1 = Р*. Так как либо ортогональная размерность d\ либо ортогональная коразмерность с+ последних двух пространств конечна, то в действительном случае мы можем выбрать оператор S таким образом, чтобы он сводился к собственному вращению иа конечномерном подпространстве и к тождественному отображению на его ортогональном дополнении. Мы приходим к заключению, что в любом случае S = еп, где Н является кососимметрическим или косоэрмитовым оператором. Положим Sa= е"И, о е [О, 1]. Каждый оператор Sa ортогонален или унитарен, причем So = I и Si = S. Теперь лемма 84. F дает нам кривую в с ’ с dQP, соединяющую А и Д „= Ас (So) в качестве
J ф, Р , R + if, SP S , SR + S Ф, Р (состоящего из констант) семейства f-деформаций, j, Замечание. Более тщательный анализ «первой кривой» в частях 3° и 4° доказательства, включающий в себя пересмотр доказательств лемм 74.А — 74.D, позволяет получить равенство R* = Р+ непосредственно, обходясь, таким образом, без части 5° доказательства.
Утверждение, соответствующее теореме 74. G, имеет вид
■84.1. Теорема. Предположим, что F сильнее, чем М (в частности, Туз
или З"^, и содержит крепкую функцию. Тогда каждое множество с ’ cdnp открыто и замкнуто в йр. Если по крайней мере два из трех чисел d, с~, с* конечны и если в случае действительного X эти три числа не равны 0, 1, 1 в любом порядке, то с ’ с d&F совпадает с одной из компонент йр.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 74. G, первую часть теоремы достаточно доказать только для F = М. По теореме 84. С отображение
А -> (Х_о (Д), Х+о (Д), Хо (Д)): йм -► Е (X) + 2 (X) X 2 (X) непрерывно, а с ■ с^йм - прообраз множества ^_Е (X) X ^2 (X) X £Е (X), которое открыто и замкнуто в 2 (X) X Е (X) X 2 (X) (см. 14. G). Следовательно, множество с ’ с^йм открыто и замкнуто в йм.
Что касается второй части теоремы, то для каждого F первая часть показывает, что множество с ’ с ^р открыто и замкнуто, лемма 84. G показывает, что оно непусто, и теорема 84. Н показывает, что оно связно. &
Замечание 1, Компоненты множества ЙР линейно связны, так как Qp открыто в F(X) (ср. замечание к теореме 74.G).
Замечание 2. Как и в теореме 74.G, предположение, что F сильнее, ; чем М, не является излишним. В частности, если существует ф е F с
<+1
lim | ф (и) | du = оо, то объединение всех классов с ’ с dQF, |<1->” J
для которых по крайней мере два из трех чисел d, г, с* конечны, является линейно связным. Это вытекает, как и в замечании 2 к теореме 74.G, из доказательства теоремы 74.R.
Для конечномерных X получаем:
J. Теорема. Пусть X — конечномерное евклидово пространство с dim X = п, и пусть F сильнее, чем М (в частности, FeS" или T^Y Если F не содержит ни одной крепкой функции, то QF = 0. В противном случае Ир непусто и открыто в F(X), а его компонентами, если только X не является действительным пространством с п = 2, служат в точности множества ©^+qf, с",с+^0, с" + с* ^ п; функции codim Х-0(-4), codim Х+0(Л) или функции dimX_0(-4), dimX+oH) образуют полную систему инвариантов связности; элементы ф^ ^_ ^+ sgn (•) ©/с- ©^—1с+^ для любой фиксированной крепкой функции ф = F и для любого представления X в виде y©Z~©Z+ с dim 2± = с- образуют полную систему представителей компонент. Даже в исключительном случае действительной плоскости множества °°Qf, 2’°йр и °’2Qf являются компонентами, содержащими ф/sgп(•), ф/ и —ф/ соответственно.
Замечание. В случае действительной евклидовой плоскости изучение структуры связности множеств j^Qp, ®''йр и д’^р (которые по теореме 84. I являются открытыми и замкнутыми в Ир, если F сильнее, чем М) может быть выполнено путем адаптации результатов " соответствующих пунктов § 74 (т. е. лемм 74. Н — 74. L и теоремы 74. М), применяемых к А+, если с+= 1, и к А_ (после симметризации), если с~ = 1. Эта адаптация осуществляется непосредственно и элементарно, только усложняются обозначения. Ее осуществление предоставляется читателю.
Как было обещано, мы сформулируем результаты для классов обыкновенной двойной дихотомии ^Ор, соответствующие теоремам 74.0 и 74.Q.
К. Теорема. Предположим, что Дейор и что замкнутый диэдр (У_, У+), у которого конечны по крайней мере два из трех чисел dim(y_ П У+), codim У_, codim У+, индуцирует двойную дихотомию для А. Тогда А и 0 соединимы кривой в ЙОр.
L. Теорема. Пусть X ->■ конечномерное евклидово пространство. Тогда множество Й№ непусто и линейно связно.
ЧАСТЬ III
Глава 9
Метод Ляпунова
Введение
Содержание главы
Как отмечалось во введении к гл. 4, понятие дихотомии, обыкновенной или экспоненциальной, решений уравнения (30.1), т. е.
ж + Дх = 0, (90.1) тесно связано с понятием равномерной устойчивости, соответственно обыкновенной или асимптотической. Это подсказывает возможность применения так называемого (второго, или прямого) метода Ляпунова для характеризации дихотомий. Настоящая глава содержит краткое изложение этого вопроса.
После некоторых предварительных результатов о поточечных свойствах решений уравнения (90.1), сообщаемых в следующем пункте, в § 91 дается определение функций Ляпунова и их полных производных и формулировка некоторых относящихся к ним предположений. В § 92 и 93 приводятся характеризации экспоненциальных и обыкновенных дихотомий соответственно в терминах существования функций Ляпунова с подходящими свойствами. Такой порядок обусловливается тем фактом, что в экспоненциальном случае результаты и доказательства проще, изящнее и являются более йсчерпывающими.
В обоих, параграфах содержатся «прямые» и «обратные» теоремы. Типичная форма первых такова: «Если существуют функции Ляпунова, удовлетворяющие таким-то и таким-то предположениям, то существует подпространство, индуцирующее дихотомию ^экспоненциальную дихотомию] для Д». Термин «обратная теорема» не нуждается в особом пояснении. Комбинируя эти теоремы с результатами гл. 6 (§ 63 и 64), можно получать теоремы вида: «Если существуют функции Ляпунова, удовлетворяющие таким-то и таким-то предположениям, то для та-
ких-то д'-nap (В, D) существует (В, D)-подпространство (или пара (В, D) допустима) для А, т. е. для уравнения (30.2):
(90.2)(90.2)х + Ах = f»,
(90.2)
(90.2)
равно как и соответствующие обратные теоремы. Это мы предоставляем читателю (см., однако, доказательство теоремы 93.А).
Как мы упомянули выше, эта глава носит эскизный характер. Так, например, мы не исследуем ни различных предположений регулярности функций Ляпунова, ни усложнений, возникающих в бесконечномерном случае, ни (как мы пытались делать в предыдущих главах) истинной роли различных предположений в каждой теореме. По некоторым из этих вопросов читатель в соответствующих местах будет отсылаться к статье Массера и Шеффер [3]. Мы подчеркиваем тот факт, что в отличие от большинства наших предыдущих результатов предположения конечной размерности и дополнимости, встречающиеся в теоремах, не являются в настоящем контексте лишь удобными допущениями, от которых можно освободиться ценой некоторых технических усложнений, а весьма существенны для результатов.
Метод Ляпунова требует, чтобы X рассматривалось как действительное пространство, и это предполагается всюду начиная с § 91. Результаты § 92 и 93 относятся, конечно, к уравнениям на J = R+ как области изменения независимой переменной. В связи с этим ограничением см. замечания к этой главе.
Поточечные свойства решений. Исключительные множества
Пусть временно область изменения /— это данный интервал /, 0е/, а X— данное банахово пространство. Нам понадобится исследовать различные элементы пространства ЦХ), которые, строго говоря, являются классами эквивалентности сильно измеримых функций по модулю множеств меры нуль, ; и выбирать из каждого класса индивидуальный элемент, который затем можно изучать «поточечно».
Если f е L(A'), то предел
f0(() = lim (t' — t) 1 f f(u)duv->t
существует п. в. на J. Множество меры нуль E0(f), на котором этот предел не существует, и значение f0(t) предела, там где он существует, очевидно, зависят только от класса эквивалентности f; и если f0 доопределить на всем интервале /, положив МО =0 для teE0(f), то fo будет принадлежать классу эквивалентности f (Хилле и Филлипс [1], стр. 102). Мы назовем так
определенную /о естественным представителем к л ас- с a f. Если класс f содержит непрерывную функцию, то именно она является естественным представителем класса f и Eo{f)=0. В этой терминологии если f — первообразная, то функция, равная обычной (сильной) производной Пт (/' —/)-1 (/(/') —f (/))
всюду, где этот предел существует, и 0 там, где он не существует, есть как раз‘естественный представитель ).
Пусть теперь дано А е ЦХ), и пусть, как обычно, U обозначает то решение уравнения (30.3), т. е. уравнения
U+AU=0,(90.3)
которое удовлетворяет условию Д(0)=/..
\90А*. Для каждого /о е J имеем.
lira sup (i - ^Г'1| {U (0 - U (^0)) [/"' (^0)|| =
= lim sup(f — /0) 1 Л (u) du (90.4)
■<-»<о+оIJ||
независимо от того, конечен или бесконечен этот предел, и аналогично для t-^-to— 0 (одни из возможностей исключается, если t0 является концевой точкой интервала Г). Далее, lim (/ — /0)-1 W (0 — U{to)) существует тогда и только тогда, ко- t ->to
гда существует lim {t — t^ [ А {и) du, и в этом случае первый
*0
предел равен второму, умноженному справа на —U{t0). Следовательно, если U и А обозначают естественных представителей соответствующих классов, то уравнение (90.3) удовлетворяется поточечно, т. е.
U{t) + A {t) U{t) = O, te J.
Доказательство. Определим первообразную V со значениями в X равенством t
V {t) = {U {t) - U {to))U”x {to) + J Л {u)du. (90.5)
Очевидно, достаточно доказать, что если один из двух верхних пределов в (90.4) конечен, то
lim (/-/0)’'II НО 11=0,(90.6)
и аналогично для t-^to — 0; это последнее получается по очевидной аналогии и поэтому опускается.
Поскольку U — решение уравнения (90.3), то в силу (90.5) имеем
t
V W = - J А (и) (U (и) - U (/0)) U-' (^о) du.
Если первый верхний предел в (90.4) равен о<оо, то равенство (90.6) верно ввиду оценок
lira sup (/-/0Г' II V (01К t
< lim sup f |ММ1Й-^оГ'(Щ«)-Щ^^'М1^< f->*o+O"
t
lim f || A (h) \\du = 0. t-»<„+o J
Снова ввиду (90.5) V является решением операторного уравнения V + AV = F, где F (0 = А (0 J A^du, и V(/0)=0. Поскольку это уравнение является частным случаем уравнения (90.2) с X, замененным на X, мы можем применить неравенство (31.5) к интервалу 7'=[/о, 0 для любого />О- В результате находим
U- M-Ill V(01|
и
' J || А (и) || (/ — ^о) ’ J ^ (у) du du I exp Ы IM (u) II du 1 ^
Vo^0'V»'
/ tи\/ t\
I J || A (u) || (u — Zo)-1 j A (u) dx) du j exp M IM («) II du I.
Если второй верхний предел в (90.4) равен а<оо, то мы снова получаем (90.6)
lim sup(Z - /0) ’ll V (0 IK / t\/ t\
1-C or lim I f IM («) II du j exp I f || A (u) ||du ] = 0. $.
t->t»+o \V
Для применения метода Ляпунова нам понадобятся следующие три множества:
Ео = {/ е J: Нт (Г — О-* W (/') — [/(/)) не существует],
Et^{t^J: lim sup (t' - ty' || U (Л - U (0 || = co],
f'-»f+O
EL=AtE h Hm sup (/ — /Т1 II U (H — ^ (0 11= °°}- r-»t-o
Все эти три множества имеют меру нуль, так как Ео^Ео^й) является множеством меры нуль (см. выше) и так как Е^> U Ем а Ео. Эти множества могут быть описаны в терминах функции А:
90.В.Его =90.В.Его =Ео = Ео^,
90.В.
Его =
90.В.
Его =
V
ООООlim sup Ц'— tyx f А (и) du =r-»t+oJ
ОО
ОО
c(/e J: essc(/e J: esslim sup (f — /) 1 f || A (u) \\du = 0 | сГ-><+0'I
c(/e J: ess
c(/e J: ess
lim sup |] A ((') ||= oo),i'->t+0
и аналогично для Его.
Доказательство. Это сразу следует из 90.А. 5,
.С. Если х — решение уравнения (90.1), то Е0(х) а Ео. и если х обозначает естественного представителя, то х (0 + + А(() х (О = 0 для всех tej\ Ео. Кроме того, lim sup (Д — ty1 X
V ->t 4-0
X || х (/') — х (0II < 00 для всех tej \ Ei, и аналогично для К—>1 — 0 и t^JXEro.
Доказательство. (31.2) и 90.А. 4,
Следующая лемма справедлива для действительных конечномерных пространств X. Термины «измеримость», «множество меры нуль», «почти все» относятся к мере Лебега на J, X или XxJ в зависимости от контекста. Сама мера Лебега зависит, очевидно, от выбора евклидовой метрики в Л", но упомянутые выше понятия не зависят от этой нормировки. Мы используем терминологию, обозначения и результаты книги Халмоша [1], особенно гл. 7.
.D. Пусть X — действительное конечномерное пространство. Измеримое множество HaXxJ является множеством меры нуль тогда и только тогда, когда для почти всех х е X мкожество Н [х] = {/е7: Щ/)хеЯ} (проекция на J пересечения с Н графика решения уравнения (90.1), начинающегося в х при / = 0) имеет меру нуль.
Доказательство. Будем предполагать, что X снабжено некоторой евклидовой метрикой. Пусть pj, p.Y, р обозначают меры Лебега в 7, X, XxJ соответственно; р является пополнением произведения мер р.¥ X pj. Пусть Ф — гомеоморфизм XXI на себя, определяемый формулой Ф(х, f) = (U-4t)x, t); обратный к нему гомеоморфизм дается формулой Ф-1(х, t) = (U (t)x, t).
Мы утверждаем, что если ВсХх! является борелевским множеством, то В имеет меру нуль тогда и только тогда, когда ФВ (также борелевское множество) имеет меру нуль. Действительно, множество В является рд X pj-измеримым. Предположим, что р(В) = (рхХру) (В) =0. Тогда рл(В()=0 для почти всех t^J, но автоморфизм и-1(^ переводит множества меры нуль в множества меры нуль, так чторх((ФВУ) =РХ(и-\пв^= = 0 для почти всех t е J, откуда следует, что р(ФВ) = = (pxXpj) (ФВ) =0. Обратное утверждение получается применением тех же самых рассуждений к Ф~!. Тем самым наше утверждение доказано.
Обращаясь теперь к нашему p-измеримому множеству Н, находим, что Н [х] = \tej: Ф~' (х, t)^H^ = (t ^ J: (х, /)еФ//}= = (Ф//Д, х^Н. Если р(27) = О, то существует борелевское множество В то Н с р(В)=0, и, следовательно, р(ФВ)=0. Но В[х]с= (ФВ)Х для всех хеХ, откуда pj (//[X]) 4 pj ((ФВ)Х) =0 для почти всех хеХ. Обратно, предположим, что pj(77[X])=O для почти всех хе X. Существует борелевское множество ВсН с р(В)=р(В). Имеем (ФВ)хсВ[х], так что рД(ФВ)х)=0 для почти всех хеХ. Поэтому р(фВ)=0, откуда следует, что р(В)=р(В)=0. 4,
Функции Ляпунова .
Функции Ляпунова
' Мы продолжаем пока предполагать, что областью изменения t служит произвольный интервал / с 0е/. Однако здесь и далее в этой главе X— действительное банахово пространство. Это ограничение существенно для метода Ляпунова, и в случае, когда рассматриваются уравнения в комплексном
пространстве, они должны быть заменены соответствующими уравнениями в «несущем» действительном пространстве.
Мы рассматриваем функции V: XXJ-*R с V(0, 0=0 для всех 1е1, удовлетворяющие следующим условиям регулярности:
(С) (непрерывность): функция V непрерывна;
(L) (условие Липшица): для любого г>0 и любого компактного подинтервала J'сс J существует такое L = L (г, J') >0, что | V(x",/) — V(x', /) |< L\\x"— х'|| для всех х', х"ег2(Х) и всех t^J'. Не будет никакой потери общности, если считать, что L имеет наименьшее возможное значение; тогда оно является неубывающей функцией от г и Г.
Такие функции, особенно когда они рассматриваются вместе со своими полными производными, которые будут определены в следующем пункте, называются (обобщенными) функциями Ляпунова. Функция V называется (абсолютно) однородной степени % (% > 1), если V (рх, t) = \p\xV(x, i) для всех xsX, ieJ и ре R. Иногда мы будем требовать, чтобы функция V удовлетворяла некоторым из следующих более сильных условий регулярности:
(С') (абсолютная непрерывность): для любых чисел е, г>0 и любого компактного подинтервала 1’с] существует число д = д(е, г. Г) >0, такое, что для любого конечного множества непересекающихся интервалов (0,0 + 50 ст Г, i=l, .... п, с
2бг^б и для любых xierS(X) имеет место неравенство 1
Si И (xf, /г + д;)-У(х£)|<е.
i)
(1/) (равномерное условие Липшица): функцию L в условии (L) можно выбрать не зависящей от J'.
Очевидно, из (L') вытекает (L), а из условий (С') и (L) в совокупности вытекает (С). В связи с методом Ляпунова рассматривают и другие, более сильные условия регулярности, но мы не будем входить здесь в подробности (см. Массера и Шеффер [3], стр. 545—546).
91.А. Если функция Ляпунова V удовлетворяет условию (С'), а функция х; J -^ X является первообразной, то функция Ух: J-+R, определяемая формулой Vx(0 = V(х(/),/), является первообразной.
Доказательство. Пусть J' — данный компактный подинтервал. Докажем, что Vх абсолютно непрерывна на Г. Пусть дано
с,>0. Положим r = sup || х (t) ||, У = d(4-e, г, (условие (С')) ter' z/
и L = LV, J') (условие (L)). Поскольку х абсолютно непрерывна па Г, то существует д, 0<д^д', такое, что для каждого конечного множества непересекающихся интервалов Ub tt + dz) с J',
пП
/=!,...,«, с 2^г ^6 мы имеем неравенство Sil х (t, + б;) —.
'1
— х(<г)||^е/2Т. Поскольку 6^6', то
пП
2 I VxVi + dz)- Vx(Q |< 2 I V+ 6‘)-v (x ^’I +
n
+ 2|И(х«,), wi-w wi<
'1
■ _<^2ll^(^ + dz)-x(/z)|| + ye<e. 4,
i
. Непрерывная неубывающая функция с; R+-+R+, обладающая тем свойством, что с(г)=0 тогда и только тогда, когда г = 0, называется функцией сравнения. В теории функций Ляпунова обычно рассматриваются следующие предположения относительно V: функция V равномерно мала (в 0), если | V(x,i) '|^а(||х||) для некоторой функции сравнения а и всех xgX, tel; в терминологии Ляпунова «V имеет бесконечно малый высший предел». Заметим, что всякая функция V, удовлетворяющая условию (L'), является равномерно малой для любой функции сравнения а, удовлетворяющей условию п(г) Х> rL(r). Функция V положительно определена, если V(x,0 > 6(||х||) для некоторой функции сравнения b и всех хе X, t^J. Функция отрицательно определена, если функция —V положительно определена.-
Положительно определенная функция Ляпунова W, не зависящая от t (и, следовательно, удовлетворяющая условиям (С') и (I/) и равномерно малая), называется базовой1) функцией. Базовые функции всегда существуют: формула 1^(х) = ||х||и определяет базовую функцию для каждого х^ 1, и эта функция фактически однородна степени х.
Полные производные
Теперь рассмотрим функции Ляпунова в связи с уравнением
Пусть дано A s L(X), и пусть V — функция Ляпунова. Верхняя правая производная функции V вдоль
*) В оригинале gauge.—Прим, ред,..
решений уравнения (90.1) или, если А подразумевается верхняя правая полная производная ф у н к ц и 1 V— это обобщенно-действительная функция У+ на XxJ, опре деляемая формулой
У'+(х, 0= Ит suph"' (У(х — hA(t)x, / + /г)—У(х, /)), А->+0
хеХ, tej,
где под А понимается естественный представитель. Ниж ня я правая, верхняя левая и нижняя левая пол ные производные V+, V и V- определяются анало гично (с помощью lim inf, lim sup и lim inf), и У' будс Л->+0h-»—0h->—0
обозначать любую из этих полных производных без уточнени: типа. Те концевые точки интервала J, в которых та или ина: изучаемая полная производная не определена, мы можем i будем игнорировать. Если V имеет псевдодифференциа, dV[(x, t); (Ах, At)] (см. Алексевич и Орлич [1]), то мы имее» У'(х, t) =dV\.(x, 0; (—А (/)х, 1)] для каждой полной произ водной.
1,В. V,+ (х, t) = ± оо тогда и только тогда, когда
DtV (х, t) = lim sup h-' (У (х, t + h) — У (х, I)) = ± оо л->+о
соответственно. Аналогично и для других полных производны; и частных производных чисел.
Доказательство. Согласно (L), существует А>0, такое, чт< для достаточно малых действительных h с t+h^.J верно нера венство
\h'4Vkx-hA(t)x, t + h)-V(t, х)}-
-h"4V(x, t + h)-V(x, П}|<^11 Л (0 llllx ||
Но справа стоит конечное число, не зависящее от /г. 4, Замечание. На основании 91.В множества
6+(± оо) = {(х, /): Т'+ (х, /) = ± оо}
зависят только от V, но нс от А. То же самое верно относительн' множеств G+(±oo), G'(± оо), С_(±оо), соответствующих други! полным производным. В частности, все эти множества пусты, если дл: каждого х функция V (х, •) удовлетворяет локальному условию Лип шина по I._.
Теперь мы оправдаем термин ^производная вдоль решенш уравнения (90.1)», установив свя^ь между полными произвол
ными функции V и производными числами функции Ух (определенной в предыдущем пункте формулой
для решения х уравнения (90,1). Производные числа обозначаются префиксами Д+, D+, D~, D_.
.С. Пусть х — произвольное решение уравнения (90.1). Тогда D+Vx(t)=V'+(x(t), t) для всех t е J \ Ео. Если t е J \ ЕА, то ^^(О — — 00 тогда и только тогда, когда (x(t}, t)e G + (±oo) соответственно. Аналогичные соотношения верны для других производных чисел и полных производных. ■
Доказательство. Для каждого t^J условие (L) обеспечивает существование Е>0, такого, что для достаточно малых действительных h с t-VheJ верно неравенство
' rvWkxkt^h\ t + h^-V^W, t)}-
' -h-4v<At)-hA^x^, / + A) — У (x (0, 0)1 <
^LWh-^xAt-V^-xUn + A^xUl.
Если t е J\Eo и й->+0, то в силу 90.С второй член неравенства стремится к 0 и, следовательно, разностные отношения в левой части неравенства имеют одинаковые верхние пределы, а именно В+Ух^ и У,+ (х(0, 0- Если tsJ\E^, то второй член неравенства остается ограниченным согласно 90.С. Следовательно, эти верхние пределы, либо оба конечные, либо оба бесконечные, равны. 3,
Ключ к применению метода Ляпунова при более общих неклассических предположениях, с которыми мы сейчас имеем дело (условия Каратеодори и, что менее важно, общие банаховы пространства), лежит в следующих определениях и теореме 91.D (главной лемме).
Полная производная V' функции Ляпунова V почти м и н о- рируема [почти мажорируема] непрерывной функцией tp: XxJ^-R, если удовлетворяются следующие условия (поскольку в эти условия входит, кроме самого У, и Д, то наша терминология не совсем строга):
(а) Либо V удовлетворяет условию (С'), либо соответствующее множество Е^ счетно и проекция на J каждого относительно компактного подмножества соответствующего множества G(—оо) [соответствующего множества G( + oo)] также счетна.
(Р) Если положить Н = ^х, t): У'(я, 0 <ф(х-0} VH = UX^Y- УДхД) >ф(х, /)}], то либо проекция на J каждого относительно компактного подмножества множества Н имеет меру нуль, либо X конечномерно и само Н имеет меру нуль.
23 Зак. 405 '
Важно заметить, что эти условия построены гаким образом, что для их проверки не требуется ничего знать о решениях уравнения (90.1) (ср. 90.В).
Наиболее важные частные случаи заслуживают специальной терминологии. Полная производная V' почти положительно определена, если она почти минорируема функцией с(||х||), и почти отрицательно определена, если она почти мажорируема функцией —с(||х||), где с — некоторая функция сравнения; V' почти положительно [почти отрицательно] полуопределена, если она почти мино- рируется [почти мажорируется] нулем.
91.D. Теорема (главная лемма). Предположим, что функция Ляпунова V имеет некоторую полную производную, которая почти минорируется \^почти мажорируется] непрерывной функцией ф. Тогда для каждого решения х уравнения (90.1) и всех to, t\^J, /o^h имеем
t,
Vх Уд ~ Vx (t0) > J ф (x (0, /) dtto
tx
VxM-VxktoX /ф(х(0, t)dt .
Доказательство. 1°. Достаточно провести доказательство для почти минорируемой производной У/+. Действительно,
если производная V + почти минорируема функцией ф, то У,+ и подавно будет минорироваться той же функцией ф;
если V + или V почти мажорируются функцией ф, то (—У)'+= —V+ или (— 7)^ = — V,+ почти минорируются функцией — ф и достаточно рассмотреть — V и — ф;
доказательство для левых полных производных получается из доказательства для правых полных производных заменой переменных t-^—t и взаимной заменой прилагательных «верхняя» и «нижняя», а также «почти минорируемая» и «почти мажорируемая».
2°. Предположим, что имеет место первая альтернатива в условии (Р), и пусть х, t0 и /1 таковы, как предполагается в условии теоремы. Если для V выполняется (С') — первая альтернатива в (а), — то из 91.А следует, что Vx является первообразной, так как х есть первообразная. Согласно (первой части) 91.С (естественный представитель) Vx(,t] п. в. совпадает с V'+(x(0,0- По условию (Р) Vx(t) >■ ф(х(0,0 для почти всех
Z G [Zo, ^1] (так как множество {(x(Z),Z): f е [Zo, Л]} компактно), и требуемое заключение получается теперь интегрированием по Лебегу от /0 до tx. В случае второй альтернативы в (а) множество тех Z е [Zo, G], для которых (x(Z), /) е G+(—оо), счетно. В силу (второй части) 91.С и предположений о Е^ имеем DWx(f) > —оо для всех Ze[Zo, G], за исключением счетного числа точек. Наконец, по условию (0) и первой части 91.С D*Vx(t) ^ ф(х(/), Z) для почти всех / е [Zo, GL Теперь наше заключение следует из одного результата теории интеграла Перрона (Сакс [1], стр. 295).
3°. Предположим теперь, что имеет место вторая альтернатива в условии (0). Тогда V/+(x(Z), Z) > ф(х(/),/) для всех t Е 7\//[х(0)], где //[х]—множество, определенное в 90.D (здесь Д[х(0)] = {Z: (x(Z), Z) е Н}). В силу 90.D множество //[х(0)] имеет меру нуль для почти всех х(0) е А. Таким образом, рассуждения части 2° доказательства показывают, что заключение теоремы верно для «почти всех» решений уравнения (90.1), т. е. для всех решений, кроме тех, которые начинаются при Z = 0 на некотором множестве меры пуль в X. Поскольку дополнительное множество всюду плотно, то заключение теоремы справедливо по непрерывности (условие (С) и (31.2)) также и для исключительных решений. 4,
Экспоненциальные дихотомии
В этом параграфе, как и в следующем, областью изменения t является J = R+; X по-прежнему — данное действительное банахово пространство. Начнем с «прямой» теоремы.
.А. Теорема. Предположим, что ЛеМ(А) и что существует функция Ляпунова V, которая равномерно мала, и одна из полных производных которой почти отрицательно определена. Тогда Хо замкнуто, все неограниченные решения стремятся по норме к оо при Z -► оо и существуют числа v, V. N,!^ и уоо>0, такие, что любые решения у и г уравнения (90.1) с t/(0) г Аф и г(0) ^Хо («ли 2 = 0) удовлетворяют условиям (Ei), (EiIoo), (Еш^) (ср. 42.А (Зоо)) —последним двум условиям с Т = Т(2) = = min{Ze/?+: ||2(/') ||>||г(0) || для всех t'> ty Если Хо имеет конечную коразмерность, то оно индуцирует экспоненциальную дихотомию для А.
Доказательство. 1°. Основная идея доказательства состоит в разделении решений х уравнения (90.1) на те, для которых VxtO >0 при всех Z, и те, для которых Vx(G)<0 при некотором /ь Первые, как оказывается, суть ограниченные решения, а вто
рые стремятся по норме к оо. Поскольку Vx строго убывает для х¥=0 в силу теоремы 91.D, то из условия Vx(t^^>0 при всех / вытекает, что Рх(/)>0 при всех /, если только х не равно 0. Мы разобьем доказательство на несколько шагов.
Пусть а и с обозначают функции сравнения, входящие в условия равномерной малости V и почти отрицательной определенности некоторой полной производной. Положим, кроме того, Е = ехр(| Д |м).
2°. Сначала покажем, что если х является решением уравнения (90.1), то Vx(/I)<0 для некоторого ^ тогда и только тогда, когда Нш || х(() || = оо. Чтобы доказать часть «только тогда», /->оо
возьмем б>0, столь малое, что а(б)<—Vx^tx). Тогда, поскольку Vx убывает, a (||x(f) ||)> | Vx(f) | >—РД(1)>а(д) для всех />Л, откуда ||х(<)||>6 для всех таких 1. Снова "по теореме 91.D Vx^ < Рж(/1)— ((— f()c(6)-»—оо при Z-^-oo; таким образом, а(||х(/)||) >| Vx(0 |^-оо, и, следовательно, ||х(/)||->оо при t-^oo. Доказательство части «тогда»: если lim || х (t) || = оо, то
inf || х (О || = £> 0; согласно теореме 91.D, Рх(0 ^ Рх(0)— teR+
— /с(£)->—оо, так что Рж(0<0 для достаточно больших I.
■ 3°. Для любого нетривиального ограниченного решения у имеем, согласно предыдущим рассуждениям, Vy(Z) >0 для всех t. Покажем, что, обратно, выполнение условия Vy(/)>0 для всех t означает не только то, что у ограничено, но также что существуют v и М>0, такие, что все ограниченные у удовлетворяют условию (Ei). Из теоремы ЗЗ.С следует тогда, что Хо замкнуто. В частности, мы утверждаем, что если у — решение уравнения (90.1) с Уу(/)>0 для всех /, то у удовлетворяет условию (Ei), где N — любое положительное число, столь большое, что М>2Е, a^N^Cc^E-^ и v = c(l) a-’ (N)ln 2.
Сначала мы покажем, что
llf/(OIKy^U(^o)ll для всех t>tQ>0.(92.1)
Рассмотрим решение ух = 2N 11| у (t^ || 'у. По части 2° доказательства Ру, (0>0 для всех t, и мы должны доказать, что ||i/i(OII< j М|| У\ (^о) 11= ! Для всех t^tQ. Если /о<Д</о+1, то в силу (31.7), действительно, 11#!(^||<Е||#1'(Ш<у Wil#! (Ш- Предположим, что |]z/i (/,) ||> 1 для некоторого бХо+1- Тогда, согласно (31.7), || ух (t) ||> Е~[ для t\ — \^t^tx. Теорема 91.D
приводит к противоречию.
- a^N"1^ -а^Ух (to) ИХ VUl (/,) - VU1 (t0) <
tvtv'
Jc(IX(/)HX<- J сЦгЧсИ = -сОгЧ.
Теперь положим т=а(М)с~|(1) и рассмотрим для данного to решение у2 = Л/|| y(t0) \ГХ у. Мы утверждаем, что ||г/2(Л)1Х1 для некоторого Л, /о/X to+т. Если бы это было не так, то теорема 91.D привела бы к следующему противоречию:
-а(Л/) = -а(||//2(/0)||)<УуД/0 + т)-^^^
#о+Т.
^ — J c^dt = — тс (1).
А)
Значит (см. (92.1)), ||z/(t0HXII< jNil У 01 = ^111/(Ш Xl|y2(ti)||<|||y(to)ll- Поэтому мы можем применить 20.С к || у И-' с данным т, i] = 2 и // = 2М-1. В результате получим (Ei), с обещанными v и N.
4°. Пусть z —какое-нибудь неограниченное решение. Согласно частям 2° и 3°, lim || z (t) || = оо. Поэтому Т = Т (z) (см. форму- /->оо
лировку теоремы) определено корректно. Мы утверждаем, что г удовлетворяет условию (ЕПоо) с этим Т и Л/^ = 2£т+1, где m — любое целое число, такое, что tn ^ 2а (1) с-1 (1) и V = = |с(1)а-1(лХ1п2.
Сначала докажем, что
|| 2 (/) II >2^'^(Qll для всех t>t0>T.(92.2)
Предположим, что (92.2) неверно для некоторого />/0>Т. Мы можем найти th /2, to"Ct\<ti^t, такие, что l|z(t1)|| = = |ML||z(t2)|| = Em+,||z(t2)|| и ||z(/1)||>||z(u)||>z(/2)|| для tx< <u<t2. В силу (31.7) мы должны иметь /2 — ti>m> > 2а(1)с~'(1). Рассмотрим решение Z] = ||г(/2)|Г' г. Очевидно, ||zi(0)|Xl. Теорема 91.D приводит к противоречию:
- 2а (1)< - а (|| г, (/2) ||) - а (|| z, (0) ||) <
<Х«2)-Х(0ХУг,(/2)-Ег,(/1)<
<-J c(||zI(a)||)da^-(/2-f|)c(l).
Теперь положим т = 2a(^м)c_| (1) и рассмотрим для данного t0">T решение г2 = уЛ^||г(/о)1Г'2- Согласно (92.2), || z2 (/) ||^ 1 для всех / ^/0- Поэтому из теоремы 91.D следует, что для любого р > 1
- а (|| z2 (/0 + рт) ||) - a (n'^ < - а (|| z2 (/0 + рт) ||) - а (|| z2 (f0) ||) <
<Кг,(/о + рт)-Уг2(/оХ-ртс(1) = - 2paQvL).
Значит, а(||г2(/0 + рт)||)>а(Л^), откуда || z2 (/0 + рт) ||> N'x. Поскольку р>1 произвольно, то
|| z (/0 + т) II = 2NC11| z (Zo) Illi z2 (/0 + т) II> 211 z (/0) ||.
Поэтому мы можем применить 20.С к || z || (но только для t^to^T) с данным т, г] = 2 и H = 2N'~1. В результате получим (Еп J с обещанными Т, V и N'^.
5°. Из 42.D следует, что существует уоо>0, такое, что у и z, фигурирующие в формулировке теоремы, удовлетворяют условию (Ещоо) с 7 = 7(z).
6°. Предположим, что Хо имеет конечную коразмерность. Если Хо = Х, то Хо очевидным образом индуцирует экспоненциальную дихотомию для А. Пусть поэтому Z Ф {0}— (конечномерное) дополнение Хо. Из обычных соображений компактности, примененных к {zeZ: |]х|1 = 1}, следует, что существует То > 0, такое, что 7(z) ^То для всех решений z уравнения (90.1) с z(0)eZ. Пусть z — такое решение. Если 0ф-^ t "> Тй, то
в силу (31.7)
/т.\
||z(OII>l|z(/o)||eV(t-Mexp | -v'7o - J II A (w) || dw . ■.'о/
•Комбинируя это с (Ецоо), получаем (Ец) с,
/\
N'= N^expyVT0+^ \\ АШШ\.■
V о/
Согласно 42.D, существует у0>0, такое, что решения у и z с у(О)еХо и z(0)eZ удовлетворяют условию (Ещ). В силу 42.В (а) или (Ь) Хо индуцирует экспоненциальную дихотомию для А. 5,• .■
Замечание 1. Если А ^ М(Х), то остальные . условия теоремы 92.А не обеспечивают даже справедливости условий (Dt) и (Du), даже для одномерного X, непрерывного 4 и V, удовлетворяющего условиям (С'), (L') (фактически для V'^x, Q = — i х I; см. Массера и
Шеффер [3], пример 3.1). Это находится в иодной противоположности с классической теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости, в которой V положительно определена и условие (Ei) выполняется для всех решений независимо от того, ДеМ(Х) или нет (см. Массера [2], теоремы 13 и 7(f); то же самое доказательство применимо для разрывных А).
ОР Замечание 2. Если Хо имеет бесконечную коразмерность, то оно не обязано индуцировать экспоненциальной дихотомии, даже когда выполнены все остальные условия теоремы 92.А; пример 3.2 из работы Массера и Шеффер [3] показывает это для случая сепарабельного гильбертова пространства X, А е С(Х) (алгебраическое сопряженное к уравнению примера 33.G) и в высшей степени регулярной функции V. Одпако часть 6° доказательства применима к любому конечномерному подпространству Z пространства X с Хо П Z = {0} и описывает «коллективное» поведение решений, полностью аналогичное поведению, описанному в теореме 66. 1 для решений сопряженного уравнения, за тем исключением, что ко всему прочему v' не зависит ’ от Z.
Теперь рассмотрим обратную теорему.
.В. Теорема. Предположим, что А обладает экспоненциальной дихотомией и что Хо дополнимо.. Тогда существуют неотрицательные функции Ляпунова Vo и Vlt удовлетворяющие условиям (С') и (L') и, следовательно, равномерно малые, такие, что каждая полная производная функций Vo u Vi почти отрицательно полуопределена и почти положительно полуопределена соответственно и каждая полная производная функции Ляпунова V=V0—Vi почти отрицательно определена. Если А еМ(Я), то Vo и V] могут быть выбраны таким образом, чтобы функция Vo+Vi была положительно определена. Во всех случаях Vo и Vi могут быть выбраны однородными с одной и той же наперед заданной степенью однородности х^ 1.
Доказательство. 1°. Мы применим условие 42.8(c) экспоненциальной дихотомии к Хо и некоторому проектору Р вдоль Хо- Удобно переписать условия (Eci) и (E"n), заменив /0 и / на t и и соответственно:
||(/(«)(/- Р) и"Ч^\\<Ве~^и-п для всех u>t>0, \\U(u)PU~'(t)\\^De-v'{t~u) для всех t>u>0.
Если мы умножим уравнение (90.3) слева и справа на LH и проинтегрируем от t' до t" Ц" ^ f 0), то получим■
U <П -U~' (t') = ^ U-'^A (s) ds.
Отсюда и из неравенств (92.3) немедленно находим
II и (и)(1 - P^U'X (/") -U'1 (/)) II < De"'^ / II A (s) ||ds ■ для «>/">/'>0,11
II и (и) Р (и -1 (И -и-' (/) Ж De-v м J II A (s) || ds (92.4) для t" ^ t' ^ и ^ 0.1'
2°. Пусть W — фиксированная базовая функция, L*(r)—соответствующая константа Липшица (из условия (L) или (L')) и Ь* — функция сравнения, входящая в определение положительной определенности W. Определим Vo и V] для каждых хеХ и t е Р+ следующим образом:
У0(х, 0 = f W(jJ(u)(I-P)U-4t)x)du,
tt(92.5)
УДх, /) = ^(Р[/-‘(0^)+J W(u)PU-4t)x)du о
и положим V=Vo—Vi- Поскольку в силу (92.3)
W(и («)(/ - Р) и-' (t) *) < ОII х IIL* (DII х II) е-'^"^
для всех и ^ /, то интеграл, определяющий Vo, конечен. Первый член в выражении, определяющем Vi, может быть опущен без ущерба для дела: это ничего не изменит, за исключением положительной определенности Vo+Vi в случае АеМ(Х) (часть 4° доказательства). Очевидно, Vo и Vi неотрицательны и удовлетворяют условию Vo(O,/) = Vi(0, 0 = V(0,/) =0 для всех t е R+. Если W однородна степени х (например, №(х) = ||х||х), то такими же будут 1/0, V] и V.
Для данного г>0 и любых х', х" ег£(Х), /">/'>0 имеем в силу (92.5), (92.3) и (92.4)
| Ио (х", t") - V0(x', f) |< j WkU {и) U-P^U-X ^/)du +
- +L*{Dr)\\U{u)(.I-P)U-\t"}(x"+ U (uHI - Р^и-ЧП-и"ЧЛУ x'WduC
c Dr I? (Dr) (t"-t') + v-^DL* (Dr) III x"-x'||+|| x' || J || A (s) ||ds ] < CU(r) Ur(t"-t')-H\x"-x'Hr J II A(s)lids ,(92.6)
где T0(r) = v *DL*(Dr). Аналогично
IКЛХ", П-У^х', ПК
^LJr)! vV^'-n+ll^'-x'll + r J II A(s)||ds , (92.7)
где Lx (r) = (1 + v'~')DL* (Dr). Из (92.6) и (92.7) следует, что Vo и Vi, а следовательно, и У удовлетворяют условиям (С) и (L'). Таким образом, они являются функциями Ляпунова и равномерно малы.
Теперь мы докажем, что Vo и Vi, а следовательно, и V удовлетворяют условию (С')- Пусть даны е, г>0 и компактный интервал J'clR+. Выберем 6>0, столь малое, что
■/ п 4*4\
rA0(r)|v6+^ J || A(s)||ds) <е
для любого конечного множества непересекающихся интерва- п
лов (tb ^ + dz)c:/', /=1, ..., nc 56ZС6- Рассмотрим произвольное такое множество интервалов и произвольные х, е ErS(X), i= 1, ..., п. В силу (92.6)
^|Vo(c> h + fy) — Vo(xb OK
1
(
n n 4*4\
v^6z+2 J || A(s)||ds j <e.
I1 tz/
Доказательство для Уь основывающееся на (92.7), полностью аналогично.
■3°. Пусть х — любое заданное решение уравнения (90.1).
Положим у = U (I — P)x(Q) = U (I — P)U~lx, z = UPx (0) = UPlFxx. Тогда x = у + г и у (и) = U (и) (/ — Р) U~x (t) х (t), z (и) = = U (и) PU-1(t) x(t) для любых и, t е R+. Поэтому
Vox(t)- J W(y(u))du, ‘t(92.8)
QQУ,Д0 = Г(г(0))+ j W(z(u))du,.
Q
Q
так что Vox и Vix являются не только первообразными, но и непрерывно дифференцируемыми функциями, и
VQX^=-Wky (0)<0,VQX^=-Wky (0)<0,v,/O = ^(z(O)>o.v,/O = ^(z(O)>o.(92.9)(92.9)
VQX^=-Wky (0)<0,
VQX^=-Wky (0)<0,
v,/O = ^(z(O)>o.
v,/O = ^(z(O)>o.
(92.9)
(92.9)
Поскольку sup {II у ||, l|2||}>y(||t/|| + ||z||)>-i||x||, то мы имеем
Vx(0='-0V(y(0) + r(z(0))<
(max {II у (0 II, II z(0 II }Х
<-6*(4l|x(Oll).(92.10)
В силу 91.С Vo(x(O, 0 = Х(0 Для всех t е R+ \ Ео и аналогично для V' и Vlx, V и V х, где V', V(, V' —любые полные производные функций Vo, V,, V соответственно. Поскольку эти функции Ляпунова удовлетворяют условию (СО и Ео является множеством меры нуль, то неравенства (92.9) и (92.10) показывают, что Vo почти отрицательно полуопределена, V, почти положительно полуопределена и V' почти отрицательно определена (с функцией сравнения с (г) = 6* (— г)).
4°. Если ЛеМ(Х), то положим Е = ехр(| А |м). Пусть х — любое решение уравнения (90.1). В силу (92.8) и (31.7) имеем
t+i<+1
УОх^> S W^y^du>^ b {\\ у (и)\\) du~^ b (E~l\\y (t)\\) tt
для /^0,
IV (z (0)) > b (II z (0) II) > b (E"1 II z (0 II) для O<x 1, - у (/)> t(
j W^W j ь* (II2 («)!))d«> ^(^‘112(0 II) t-1t-1
для / ^ 1.
Следовательно,
Vox (0 + X ^ > b (E"1 max {|| у (0 ||, || z ^ 111) > b ^ E~x || x (01|).
Таким образом, V0(x, t) + Vj(x, /) >6(||x||), где функция сравне- ния b определяется формулой b (г) = b I -^ E rl и, значит, функция Vo+ Vi положительно определена. ^,
Замечание 1. Если А удовлетворяет некоторым более сильным условиям регулярности, то с помощью подходящего выбора W можно показать, что Vo, Vi и V также удовлетворяют более сильным условиям регулярности. В ряде случаев существование достаточно регулярной функции W зависит от природы пространства X. См. Массера и Шеффер [3], теорема 3.2.
СО ОТ* Замечание 2. Предположение, что Хо является дополномым, не может быть обойдено в доказательстве путем использования расщеплений, если не предполагается по крайней мере существование хотя бы одного (Хо, •) -расщепления, удовлетворяющего условию Липшица. По-видимому, неизвестно никаких естественных условий существования такого расщепления, за исключением самой дополппмости.
Обыкновенные дихотомии
В противоположность случаю экспоненциальных дихотомий и .классической теореме метода Ляпунова о равномерной устойчивости нам, чтобы охарактеризовать обыкновенные дихотомии, потребуется пара функций Ляпунова, а не одна такая функция. Зато на А не налагается никаких ограничений.
.А. Теорема. Предположим, что существуют две неотрицательные функции Ляпунова Vo и Vb однородные, одной и той же степени, такие, что функция V0+Vi равномерно мала и положительно определена, и такие, что некоторая полная производная функции Vo почти отрицательно полуопределена, а некоторая полная производная функции Vi почти положительно полуопределена. Тогда Х00 является подпространством, и существует N>Q, такое, что каждое решение у уравнения (90.1) с у(0) е Лоо удовлетворяет условию (Dj). Если Vi удовлетворяет условию (L') и Лоо имеет конечную коразмерность, то Ло также является подпространством и каждое подпространство Y, Л0ос: ст У ст Ло индуцирует дихотомию для А.
Доказательство. 1°. Если х> I—общая степень однородности, то из наших предположений вытекает существование чисел а, Ь, таких, что
йи|| х ||z< V0(x, /) + V, (х, /Хаи|| х |Г для всех xeX,teR+. Предположения о полных производных функций Vo и Vi показывают (теорема 91.D), что VOx— невозрастающая функция, а Vix — неубывающая для любого решения х уравнения (90.1).
2°. Фундаментальную роль играет множество У8сХ всех значений у(0) решений у уравнения (90.1), для которых Viw = 0; в силу однородности Уо является симметричным конусом. Если у — такое решение и / > /0 > 0, то 6И|| у (/) Ц2 ^ ИОу (/) ^ Еиу (/0) С
^ аи IIУ (t0) IIй- Следовательно, у удовлетворяет условию (Pi) с N~ab~x. В частности, Уос: Ло.
Если у0 — решение уравнения (90.1) с г/о(0)еХ0о, то 0 ^ К1Уо ^ аи || у0||и, и из того факта, что YiSl не убывает, следует, что 71^ = 0, т. е. что t/o(O) е Уо. Таким образом, ЛООС2 Уо, и фактически каждое решение, начинающееся на Лоо, удовлетворяет условию (Dj). На основании теоремы 33.С Лоо замкнуто.
3°. Начиная с этого места, будем предполагать, что Vi удовлетворяет условию (Т'). Положим L = L(1). Пусть Z— любое конечномерное подпространство с yoriZ = {O}. Поскольку V, является однородной, a Viz— неубывающей функцией, причем limVlz(t)>0 для каждого решения z уравнения (90.1) с /~>оо
z(0) eZ\(0}, то из обычных соображений, использующих компактность, следует существование T = T(Z)>0, такого, что Viz(T)>0 для всех таких 2. Поскольку Ео однородна и Vo2 не возрастает, то из соображений компактности вытекает существование числа p=p(Z), 0<р<\, такого, что V i2(t)^ Рх X X (1 — рх)-1 EOz (t) для всех t">T. Поскольку функция Ей неубывающая, то.
а* II г (t) IIй > V |г (t) > V lz (t0) > рх (EOz (t0) + V u (М) >
> p^b^Wz (/0)|Г для всех t^to^T.
Неравенство (31.7) для O-^to-^t-<T в сочетании с предшествующими неравенствами показывает, что 2 удовлетворяет условию (Dn) с /T(Z)
N' = N' (Z) = ab-xp-x (Z) exp I J || A («) || du
' о
Пусть у и 2— нетривиальные решения уравнения (90.1) с у(О)еУо и z(0)eZ. Для любого данного t0^-T положим У1 =1! УОГ1 У и z, =|| z (t0) Г ‘z. Тогда
■ ри6и < pX(V0ZY (to) + Viz, (to) №, (to) = Viz, (to) - Viv, (to) ^ < LII z, (to) - У1 (to) II = Ln (y (to), 2 (t0)].
Используя (31.10) для O^to^T, приходим к заключению, что у и z удовлетворяют условию (Dm) с'
•/T (Z)\
Yo = Yo(2) = 6V(Z)L-Iexp -2 J || А (и) || du .
\о/
4°. Теперь, наконец, предположим, что подпространство Хоо имеет коразмерность т<оо. Тогда Хо также является подпространством. Доказывая тот факт, что либо ХОо, либо Хо, либо некоторое промежуточное подпространство индуцирует дихотомию, мы можем выбирать (как и в случае теоремы 41.F) между длинным и путаным доказательством (фактически несколькими длинными и путаными доказательствами), использующим только геометрию решений уравнения (90.1) с неоднократным применением леммы о трех углах для установления угловой удаленности, и коротким доказательством, которое использует связь между дихотомиями и допустимостью пары (L1, L”) для А и, следовательно, привлекает чужеродные свойства неоднородного уравнения. Пример доказательства первого типа дается теоремами 4.2 и 4.3 из Массера и Шеффер [3]; из этих теорем вытекает, что Хо индуцирует дихотомию; окончательное утверждение следует из теорем 41.F и 41.Е. Здесь мы приведем для разнообразия и простоты доказательство второго типа. Поскольку Хо является подпространством, то на основании теорем 63.D, 41.F и 41.Е достаточно доказать, что пара (L1, L°°) допустима для А.
5°. Мы утверждаем, что существует конечномерное подпространство ZQ в X, такое, что Уо П Z0 = {0} и Yo+Zo = X. Класс всех подпространств Z, удовлетворяющих условию УоГ^ = (О}, непуст, так как он содержит {0}. Поскольку ZooczXo, то любое подпространство Z из этого класса имеет dim Z<.m. Поэтому существует подпространство, скажем Zo, максимальной размерности. Если бы х0 Е Х\(Уо + Zo), то подпространство Z0 + Rx0, натянутое на Zo и Хо, удовлетворяло бы условию УоП (Z0+/?x0) ={0} (ибо Уо — симметричный конус) и имело бы большую размерность, чем Zo, что невозможно. Следовательно, Y0+Z0 = X и наше утверждение установлено.
Части 2° и 3° доказательства показывают, что «Уо вместе со своим дополнением Zo индуцируют дихотомию для Л» с данными N, N'^N'(Zo) и уо=уо(^о), за тем исключением, конечно, что Уо вовсе не обязано быть линейным многообразием! (Если бы оно было многообразием, то наши мучения тут же кончились бы.) Заманчиво, однако, применить доказательство теоремы 63.С для. установления допустимости пары (L1, L”). Это действительно будет сделано — и при этом неважно, что Уо является конусом или что Zo есть линейное многообразие; важно только, что Yq + Zq=X и что выполняются условия (Di), (Du) и (Din). Техническая трудность состоит в том, что, хотя каждое х е X представимо в виде x=y+z, у Е Уо, zeZ0, в общем случае не существует никакого способа выбирать у и г («расщепление») так, чтобы отображения х-*у и x-^z были непре-
рывны. Мы преодолеем эту трудность с помощью искусственного приема.
6°. Пусть Wt, t=l, ..., n, — конечное семейство решений уравнения (90.1). Существуют решения yt и zt уравнения (90.1) с Уг(О) е Уо и z,(0) е20, такие, что yt + zt = Wi. Для любого i и любого ueR+ имеем неравенство ||z/; (u)||, ^zt (u)|| < 2у~1 ||тг(ы)||. Оно следует из (Пш) и 11.А, если у^, 2,^0, и тривиально в противном случае (ибо у0^2). Используя условия (Dj) и (Dn), получаем для каждого i неравенства
|| yt (OIK DII wt (и) II для всех t>u>0,
II %i (t) || ^ D (I wt (u) || для всех u^^O,'
где D = 2y^‘ max{Af, N'Y
Пусть JidR+, t=l, ..., n, — неперекрывающиеся компактные интервалы. Определим х формулой
п /tОО\
X (0 = 2 I ^ W I ^М du ~ zi W J ^i M du •
Очевидно, x является решением уравнения (90.2) с
f=’2i'X,jWl. Далее, (93.1) дает
П МОО\
II х (О II ^ -О X ( J Xj,MH Wt (u)||du+ J %У/(и)|| Wi^Wdu j = 1 \ot/
= 0^ J || w^ ^du = D |f |„
и, следовательно, xeL“(X) и Ixj^DIfl,.
Для завершения доказательства того, что пара (L1, L“) допустима для А, остается показать (51.В), что линейное многообразие «ступенчатых функций» f = Sxj^z (линейность его очевидна) плотно в ЕДА) или эквивалентно в коЬДА) (ибо L1 скудно). Пусть даны gekoL^X) и е>0. Положим s = s(g). Существует «простая функция» h = 51Хтг^!, где /, с: [0, s] — неперекрывающиеся компактные интервалы и ht е X, z=l, ..., п, такая, что |б/ 'g — h\\ ^е exp I — [ || A (и) || dn I (Хилле и Фил- ■\ б
липс [1], стр. 100). Положим wt = Uht (это — решение уравнения (90.1)) и f = Uh = Sxj^B используя неравенство (31.9), получаем
|g-fFi -\u(U"xg- А)|1 <| U"'g — h I, exp H II A MW dll 3, '0/
gg Замечание. Теоремы 4.1, 4.2 и примеры (для случая сепарабельного гильбертова пространства) 4.1, 4.2 и 4.3 из Массера и Шеффер [3] точно показывают, что можно спасти, если коразмерность Хоо не конечна. Существование подпространства, индуцирующего дихотомию для А, не спасается.
Обратимся теперь к соответствующей обратной „теореме. Обратные теоремы для экспоненциальной И'обыкновенной дихотомий значительно более походят друг на друга своими формулировками и доказательствами, чем прямые теоремы.
.В. Теорема. Предположим, что дополнимое подпространство У индуцирует дихотомию для А. Тогда существуют функции Ляпунова Ко и Ki, удовлетворяющие условиям (Cz) и (U) —и, следовательно, равномерно малые — и однородные одной и той же наперед заданной степени х > 1, такие, что функция V0H-Vi положительно определена и каждая полная производная функций Ко и Vj почти отрицательно полуопределена и почти положительно полуопределена соответственно.
Доказательство. 1°. Применим условие дихотомии 41.В (с) к У и некоторому проектору Р вдоль У. Перепишем условия (d"i) и (D"п), заменив t0 и t на t и и соответственно:
.||U (u)(/ — Р) U~V (Oil ^ В для всех u">t^0,
'|| U М PU~} (Oli В для всех t^u^O.
Так же как в доказательстве теоремы 92.В, получим
■ t"
для и ^ t" ^ V ^ 0.для и ^ t" ^ V ^ 0.(93.3)(93.3)|| и (и) и - Р) (и '1 (Г) - и -1 (/)) Ik В J II A (s) II ds
для и ^ t" ^ V ^ 0.
для и ^ t" ^ V ^ 0.
(93.3)
(93.3)
t”
Хи м Р^и'ЧЛ- и-ЧШ<в J II Д (s) || cfs
для
I"
f ^и^ 0;
аналогичными рассуждениями получаем
UuU"Vu^u-p)u-xW
(93.4)(93.4)\\(и (и)-и (/)) PU -14'1 К D / II Л (s) II ds
(93.4)
(93.4)
для
2°. Пусть IF— фиксированная базовая функция, однородная степени х^ 1 (например, !F(x) = ||х||х). В качестве постоянной Липшица и функции сравнения из определения положительной определенности IF можно взять L* (г) = L*ry-' и Ь* (г) = (Ь*^4 с L*, 6*>0. Для каждых хеХ и t е R+ определим функции Fo и Fi следующим образом:
(93.5)(93.5)Fo (х, f) = sup IF (U (u) (/ -P^U-X (t)x), u> t
(93.5)
(93.5)
Vi(x,t) = sup W(U^PU"X ^x\
Ku<t
В силу (93.2) эти функции неотрицательны и однородны степени х и удовлетворяют условию Fo(O, /) = F, (0, Г) =0 для всех t^R+.
Для данного г>0 и любых х', х" е rS (X) и /"> /'>0 имеем, согласно (93.5), (93.2), (93.3) и (93.4),
|F0(x", V^-V^x\ ПК
< sup | IF U (и) U - P) СГЧП x") - W<U {и) -U-P) U~' (П x')l + u>t"
+ sup | W‘4(J (t")(I -P)U~\t')x')~W(U(u)(I-P)U-4t')x'>)\^ t'Cusl t"
< L* фг^”х { sup || и (и) и - R) U"x (И (x" - x') +
-V U WJ - PV,IFX (/") - u~x (/')) ^11 +
+ sup Uu^n-U^U-P^U-'U'V'U^
< LDV"X II x" - x' II + 2r J II A (s) II ds
и аналогично (с теми же самыми оценками) для Fi. Отсюда, так же как в доказательстве теоремы 92.В, следует, что Fo и Fi удовлетворяют условиям (С') и (А') и, следовательно, являются равномерно малыми функциями Ляпунова.
Поскольку ЩЦЦ— Р) U~l (()х + U(t)PU~' (t)x=x для всех х и t, мы должны иметь неравенство max {||U (()(/ — Р) U~l (i) х||> II U (t) PU~' (t) х ||} ^4 || х ||. Поэтому из (93.5) следует, что
VoU, O + ^iU, t^
>^(U(t)(/-P)U"40x)+r(l7 (О PU~1 (0 x)> (^ b* IIx if ’
так что функция ^o+Vi положительно определена.
3°. Пусть х — любое решение уравнения (90.1). Положим y = U^l — Р)х(0) и z=UPx^. Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы 92.В, получаем ■'
VOx(O = sup W(y(u)), 71Л(/)= sup №(г(и)), teR+. U^t^^u^t■
Таким образом, для каждого решения х функция VOx не убывает, а каждое производное число DPOx(O неположительно для всех t е R+. Согласно 91.С, каждая полная производная Ро(х, /) функции У о неположительна для всех хеХ и всех / е R^ \ Ей. Поскольку Ео есть множество меры нуль и Ро удовлетворяет условию (С'), то мы доказали, что Ро почти отрицательно полуопределена. Доказательство того факта, что каждая полная производная функции Pi почти положительно полуопределена, совершенно аналогично. ^
Замечание. При дополнительных предположениях относительно А _ и относительно существования определенного рода базовой функции W " функции Уо и V, удовлетворяют более сильным условиям регулярности. Один из таких результатов см. в работе Массера и Шеффер [3], теорема 4.4..
Замечания к главе 9
Первой попыткой охарактеризовать экспоненциальные дихотомии с помощью обобщенного метода Ляпунова можно считать работу Майзеля [1]. Сюда же могут быть отнесены результаты Красовского [1], обобщающие метод Ляпунова на случай условной асимптотической устойчивости (в нелинейном случае), если с помощью теоремы 45.А перевести его «равномерно некритическое поведение» на язык экспоненциальных дихотомий (ср. замечания к гл. 4).
Как мы уже отмечали во введении и в § 91, метод Ляпунова является существенно «действительным». Можно задать вопрос, позволяет ли этот ме^ тод охарактеризовать двойные (обыкновенные или экспоненциальные) дихотомии, когда областью изменения независимой переменной являрт^ч L^ R. Следующие исключительно простые примеры~ показывают, что это не так в любом естественном смысле.
.А. Пример (продолжение примера 83. Е). В примере 83. Е X = R и A(/)=th/, так что Де С и диэдр (R, R) индуцирует двойную экспопен- циальную дихотомию для А. Пусть V—равномерно малая функция
Ляпунова, некоторая полная производная которой почти полуопределена. Для любого решения х уравнения (90.1) функция Vx монотонна (теорема 91.0). Однако lim | х (/) I = 0. Следовательно, lim Vx (0 = 0, откуда следует,
I t |->оо | / | ->оо
что Vx = 0. Таким образом, единственной такой функцией Ляпунова является V = 0. ^
.В. Пример (продолжение примера 83. Е). Для алгебраического сопряженного к уравнению предыдущего примера имеем /1(0 =—th Z, так что Д е С, и никакой диэдр вообще не индуцирует даже обыкновенной дихотомии. Однако функция V, определенная формулой V(x, О =—х2 th t, является функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям (С') и (I/). Она равномерно мала и однородна степени 2 (эти свойства проверяются непосредственно). Ее единственная полная производная V' отрицательно определена: V' (х, 0 = - х2 (1 + th2 ty 4, .
Глава 10
Уравнения с почти периодическим А
. 100. Введение
■ Содержание главы
Эта глава посвящена более специальной теме, чем обсуждавшиеся нами до сих пор. Именно, мы намереваемся изучать уравнения (30.1) и (30.2), т. е. уравнения
х + Лх = 0, (100.1)
’ ' х + Лх = /, (100.2)
В которых Л— (равномерная) почти периодическая функция от Л • Часто также будет предполагаться, что функция / почти периодическая, и, разумеется, мы будем интересоваться почти периодическими решениями уравнений (100.1) и (100.2), но они будут не единственным нашим объектом исследования. Проблемы, рассматриваемые в этой главе, являются лишь незначительным обобщением соответствующих проблем для периодических уравнений. Последние исследуются в следующей главе.
Мы рассматриваем только «равномерные» почти периодические функции, или почти периодические функции Бора. Возможно и, вероятно, желательно, чтобы охватить все интегрируемые периодические функции, распространить результаты на почти периодические функции Степанова (относящиеся к М так же, как равномерные почти периодические функции относятся к С). Эта фраза не означает ничего большего, чем приглашение любознательному читателю выполнить самому это простое обобщение.
Ниже в этом введении мы приведем используемую далее терминологию и обозначения, относящиеся к почти периодическим функциям, и сформулируем некоторые вспомогательные результаты, которые нам потребуются. Выбор подходящей области изменения независимой переменной / оказывается несколько щекотливым вопросом. С точки зрения почти периодических функций естественно взять всю действительную прямую R, тогда как с точки зрения дифференциальных уравнений естественнее
выбрать полуось R+, более подходящую, когда мы имеем дело с функциями, относительно которых не предполагается, что они почти периодические. Мы пойдем на компромисс в этом вопросе, используя R как основную область изменения t и соответственно строя доказательства, но включая в изложение те результаты для уравнений на R+, которые представляются достаточно интересными (см. § 104). Результаты для R_ опускаются; они могут быть получены симметризацией. Итак, на всем протяжении главы областью изменения t служит R, если явно не оговорено противное, а обозначения, введенные в пункте «Разрезание и сращивание» гл. 2 (стр. 72, 94) и использовавшиеся повсюду в гл. 8 для установления связи этой области с А*_ и R+, остаются в силе (см. введение к гл. 8) и пополняются ниже с учетом наших теперешних целей.
Заканчивается это введение общими замечаниями об уравнениях (100.1) и (100.2) с почти периодическим А.
Большая часть этой главы обусловлена в значительной степени тем фактом, что если пространство X конечномерно, то допустимость для почти периодического А пары, состоящей из пространств почти периодических функций, эквивалентна существованию двойной экспоненциальной дихотомии для А, индуцируемой расчлененным диэдром (теорема 103.А). Различные подходы к этому результату при более общей постановке вопроса составляют содержание наших исследований. '
В § 101, в частности, мы имеем дело с предположением, что уравнение (100.1) не имеет ни одного нетривиального почти периодического решения или по крайней мере ни одного решения некоторого специального типа. Это предположение, конечно, выполняется в описанной выше конечномерной ситуации. Мы приводим слабые достаточные условия для этого предположения и получаем некоторые следствия, касающиеся допустимости. Случаи допустимости пар пространств почти периодических функций, в которых это предположение не выполняется, мало интересны, если вообще существуют. По этой причине, а также по причине тривиальности мы опускаем простые переформулировки для почти периодического случая тех результатов § 51 и 71, которые относятся к общим Л’-парам. -
§ 102 посвящен двойным экспоненциальным дихотомиям и их связям с допустимостью некоторых пар. Важная теорема 102.А устанавливает связь двойных экспоненциальных дихотомий для А с экспоненциальными дихотомиями для сужения А+ на /?+.
В § 103 рассматриваются случаи рефлексивного X, когда возникают важные упрощения, и конечномерного X.
§ 104 (замечания) содержит обсуждение результатов Фавара для почти периодических уравнений. . ■
Пространства почти периодических функций
Мы предполагаем известными основные результаты теории (равномерных) почти периодических функций со значениями в банаховом пространстве. Эта теория была развита Бохнером [2] и строится аналогично теории действительных таких функций. За современным изложением мы отсылаем к Кордуняну [3], стр. 131 —144. В дальнейшем мы будем опускать эпитет «равномерная».
Мы рассматриваем модули (аддитивные подгруппы) действительных чисел, впредь называемые просто модулями и обозначаемые в большинстве случаев готическими буквами. Модули образуют полную решетку относительно включения. Решеточными операциями пересечения и объединения служат соответственно теоретико-множественные операции пересечения и объединения. Наименьшим элементом является {0}, а наибольшим— само R. За исключением {0} и модулей с одной-един- ствепной образующей, а именно модулей вида {«со: п целое\ где (о=А0— некоторое действительное число, все модули плотны в R. Мы будем называть их плотными модулями.
Каждая почти периодическая функция f имеет ряд Фурье 2 ап exp ^iXnt\ Мы обозначаем через 3№(f) модуль п
функции Д т. е. (самое большее счетный) модуль, порожденный спектром {Z,,} функции f. Нам потребуется принадлежащее Фавару соотношение между модулями и почти-периодами:
100.А. Если f и g— почти периодические функции со значениями в произвольных банаховых пространствах Хи У, то 9% (f) cz ЭХ (g) тогда и только тогда, когда для каждого е>0 существует д>0, такое, что каждый б-почти-период функции g является е-почти-периодом функции f.
Доказательство. См. Фавар [1], стр. 42—43. Это доказательство применимо без изменений к функциям со значениями в банаховых пространствах. 4,
Пусть X— банахово пространство и а — модуль. Мы будем обозначать через Ай(X) пространство всех почти периодических функций f: R->X с 9R(f)c:a с супремум-нормой/При этом нет опасности путаницы между этим обозначением и соответствующими обозначениями для ^-пространств и ^"^-пространств. Да (X) изометрически вложено как подпространство в С(Х) и, следовательно, в L”(X). Тем самым Аа (X) е ЬЛДХ), и очевидно, что Ай(Х)^Аь(Х) тогда и только тогда, когда асК Условимся опускать индекс, если модулем является само R; таким образом, А(Х) обозначает пространство всех почти периодических функций на R со значениями в X. Как обычно, мы так-
же опускаем аргумент X всякий раз, когда X = R. Если а совпадает соответственно с {0}, множеством (нт: п целое} или множеством {гео: г рационально}, где м¥=0— некоторое действительное число, то Ад (Л") будет соответственно пространством всех постоянных функций, пространством всех непрерывных периодических функций с периодом 2л/|м| или пространством всех предельно периодических функций с периодом 2л/;со| (см. Бор [1]). То, что мы часто ограничиваемся в этой главе плотными модулями, подчеркивает уже упоминавшуюся выше разницу между периодическим и собственно почти периодическим случаем.
100.В. Если а — плотный модуль, то 1с (А„ (X)) = L” (X).
Доказательство. Поскольку Аа (X) ^ L” (X) и 1с С (X) = L” (X) (см. 24.1), то достаточно показать, что С (X) 1с (Аа (JQ). Пусть даны f £2(0(1)) и компактный интервал I'cR. Положим / = р.(7/). Поскольку модуль а плотен, существует и е а, такое, что 0 <со<2л//. Очевидно, существует непрерывная периодическая функция g: R-> X с периодом 2л/со>/, совпадающая с f на Ей удовлетворяющая неравенствам |gKhzfKifi<1. Но ЭД(^)с{цщ: п целое} с а, так что g eZ(Aa (X)). В силу произвольности интервала Г отсюда следует, что f е с1ь£(Аа (X)). 4,
Замечание. Предположение, что модуль а плотен, существенно: пространство постоянных функций локально замкнуто. Отметим также, что локальное замыкание сохраняет период, общий для всех функций рассматриваемого пространства.
100.С. Если а, Ь, с — модули, причем а, Б сщ с, и если X, Y, Z — банаховы пространства над одним и тем же скалярным полем, то
^([У; Z])- Аь ([X, У])^АС([Х, Z]).
Доказательство. Согласно общей теории, если функции Lk /?—>[У, Z] и V: /?->[%, У] почти периодические, то такова же и UV, причем ЭД фУ^ с ЭД((7) + ЭД (17). £
Замечание. Важные частные случаи леммы 100. С получаются, если в качестве каждого из пространств X, К, Z взять либо банахово пространство X, либо поле скаляров F; ср. замечание к 21. Н.
Нам потребуется некоторая информация о связи между почти периодическими функциями и их сужениями на R+. Конечно, мы не будем останавливаться на соответствующих результатах для R_, сразу получаемых симметризацией. Одним из наших инструментов является следующая тривиальная лемма.
100.D. Если f е А (X), то |/1 = lim sup |, / (/).;.
Обозначим через Ал+(X) класс {/+: f е Ал (X)} с супремум- нормой. Таким образом, Ал+ (X) изометрически вложено в С+(Х) и, следовательно, в Li (X). Заметим, что Ад (X) ^ ^^ (X), так что мы не можем использовать определения и результаты § 24 (стр. 96). В действительности, однако, ситуация здесь намного проще, ибо отображение f-*f+: Ал (Х)-> Ал + (X) является не только эпиморфизмом:
100.Е. Для каждого модуля а пространство Аа (X) кон- груентно Ал+ (X) относительно отображения f—>f+. Следовательно, Аа + (X) е ЬЛ^ (X).
Доказательство. Указанное отображение линейно и сюръективно. Оно изометрично в силу 100.D. ^
100.F. Предположим, что f, geA^X). Тогда f+ является первообразной и (J+)- = g+ тогда и только тогда, когда f является первообразной и f=g.
Доказательство. Часть «тогда» тривиальна. Для каждого фиксированного т>0 функция h, определенная формулой
t
h(t) = f(t)- f (t — %) — J g(u)du,
t-t
почти периодична, поскольку таковы fug. Если f+ является первообразной и (f+y = g+, то /г(/)=0 для всех f>x\ но тогда из 100.D следует, что /i = 0. Следовательно, f (— т) = f (0) + J g(u)du, о
и это справедливо для всех т>0, так что f- является первообразной, причем (/-)' = £— Отсюда следует часть «только тогда». 5,
Почти периодические уравнения и решения. Предварительные результаты
Мы приведем одну лемму о сужениях почти периодических решений на /?+ и о модулях таких решений.
100.G. Пусть даны ЛеА(Х) и f^A(X). Если х— решение уравнения (100.2), то х+е А+(Х) тогда и только тогда, когда хеА(Х). В этом случае St (f) с: 9К (Л) + 3№ (х).
Доказательство. Часть «тогда» тривиальна. Докажем часть «только тогда». Допустим, что меА(Х) таково, что у+—х+. Применяя лемму 100.F к у и f— Ay вместо f и g, получаем, что у является решением уравнения (100.2). Однако х+ = у+, и из единственности решений следует, чтох = уеА(Х). Утверждаемое
соотношение между модулями вытекает из того тривиального замечания, что поскольку х, х е А(Х), то 2% (х) = 2№ (х). 4,
По поводу обозначений. Мы будем обычно заменять индекс Аа (X) индексом *а (и, следовательно, индекс А(Х) индексом *), например, (Л) = А0.4аш И). В силу лемм 100.G и 100.D мы можем для уравнений на R^ обойтись без соответствующих обозначений вроде X+0*a (Л) = Х+ола+ т (Л+). Будем также использовать обычные сокращения, такие, как (А„, Аь) для пары (А„ (X), Аь(^)) и т. п.
Известно (мы еще вернемся к этому вопросу; см. теоремы 113.А и 113.В), что если функция Л периодическая и Хо замкнуто, то все нетривиальные ограниченные решения уравнения (100.1) отграничены от 0 и фактически, если X конечномерно, почти периодичны. Если функция Л почти периодична и модуль 2Я(Л) плотен, то это уже не обязательно так даже для одномерного действительного X в отношении первого утверждения и для двумерного или одномерного комплексного X в отношении второго. Следующие примеры принадлежат Бору [2], к которому мы и отсылаем за подробностями.
100.Н. Пример. Пусть а —данный плотный модуль. Тогда существует последовательность (со„) положительных чисел из а, такая, что 2«®п<°°- Положим
1■
■Ф V) = 2 ч&п sin (йп1,
1
■ф (О = J Ф (u) du = ^ »(1 “ cos co„i).
1
Тогда <р е Аа и ф^0 является первообразной, причем ф=ф и ф(л/соп) > 2п, так что функция ф неограничена.
Возьмем X = R и Л=ф. Тогда функция U = exp^—ф) ограничена, но не отграничена от 0 и не почти периодична. 4,
Пример. Пусть ф и ф те же, что и в примере 100.Н, а X — комплексное поле. Положим Л = /ф, так что (7=ехр(—/ф). Каждое нетривиальное решение уравнения (100.1) ограничено и отграничено от 0, но ни одно не является почти периодическим. Такой пример невозможен для X = R. §,
ОО В общем случае Хо* не обязано быть замкнутым. Пример 2.1 из Массера и Шеффер [4] иллюстрирует это для постоянного А в случае сепарабельного гильбертова пространства. Этот пример легко приспособить для демонстрации того, что для любого плотного модуля «
многообразие X0;fn не обязано быть замкнутым. Плотность а здесь существенна (см. теорему 112.В).
Даже будучи замкнутым, Хо* не обязано быть дополнимым (Массера и Шеффер [4], пример 2.2; здесь Л постоянно и X =/р, р ф 2 (это пространство рефлексивно и фактически равномерно выпукло и сепарабельно при рф\, <»). Все ограниченные решения постоянны и Ло — недополнимое подпространство. Следовательно, Х0„а = Хо обладает этим свойством для какого угодно модуля а).
Условие Хо*а ={0}
Во введении мы намекнули на важность для теории уравнений (100.1) и (100.2) предположения, что Xo*a = {0} для данного модуля а. Здесь мы докажем лемму несколько более общего плана, которая применима к только что упомянутой ситуации, а также и к другим проблемам, с которыми мы будем иметь дело в следующем параграфе.
101.А. Пусть АеА(Х) и D — подпространство в L°°(X), такое, что если [eD, то Af е D и 7JeD для всех теР (например, D = L” (X) или D = Аа (А) с ЗИ (А) с я). Пусть далее АщО = {0} и пара (D, D) (регулярно) допустима для А. Если функция f е D почти периодична их — единственное D-petue- ние уравнена; (100.2), то. х также . почти периодично и ЭХ(х) + ЭХ (А) = ЭИ (f) + ЭИ (А). Если я — модуль, такой, что ЭИ (А) с я, то пара (бДАДХ), ОДАа(А)) регулярно допустима.
Доказательство. Положим K = Kd, о (А) и для данных f и е>0 положим.
5 = ^41+A|f|)“'e.■
Пусть т — любой общий d-почти-период для f и А. Имеем x+Ax=f и (Тхх). • + (7\А) (Тхх) = Txf, так что у = х—Тхх является единственным D-решением уравнения у + Ay = g, где
g = (f ~ U) - И - (М)) kTxx) = t-Txi- А (Тхх) + Тх (Ах) е D.
Поэтому
||х — ^х| = |1/1^ Д |g|^ Дб(1 + |^xl) ^ Д6(1 + A|f |) = е. '
Таким образом, т является е-почти-периодом для х. Следовательно, х почти периодично, и леммы 100.А и 100.G дают ЭИ (х) с ЭИ (f) + ЭХ (A) с ЭХ (х) + ЭХ (А). Прибавляя ко всем частям 2И(А), получаем требуемое равенство. Последнее утверждение является непосредственным следствием предыдущих. 4,
Покажем теперь, что если а — плотный модуль, то условие Ло™ = {0} фактически вытекает из очень слабых предположений о допустимости для А или А+.
101.В. Теорема. Пусть а —плотный модуль. Если D — подпространство в L°° (Л), содержащее Аа (ЛЭ, и пара A, D) регулярно допустима для А, или если D+ — подпространство в Ь”(Л), содержащее Аа+(Л), и пара Ат (X), D+) регулярно допустима для А+, то Лои = {0}.
Доказательство. Проведем доказательство для первой альтернативы. Для второй оно точно такое же, надо только дополнительно сослаться на лемму 100.G. По теореме 51.D (замечание) существует /('>0, такое, что если f е Ая (Л) и решение х уравнения (100.2) с х(0)=0 лежит в D, то jxl^K'lfl. Пусть у —любое нетривиальное Аа-решение уравнения (100.1). Тогда у — непрерывная функция и по лемме 100.D lim sup || у (t) || = |у|.
/->оо
Поскольку модуль а плотен, существует йео, такое, что 2/(,го<1 и || у (л/2со)||^у|у[. Рассмотрим функцию х, определенную равенством x(t) =у(/) sin at. По лемме 100.С х е Аа (Л') с D. Кроме того, х(0)=0. Непосредственная проверка показывает, что х является решением уравнения (100.2) для f (0 = гоу(0 cos at; и снова f е А„ (Л). Но тогда
у 1у КII У (л/2го) II = II х (л/2со) II
<|xKK'|f|^Aro|y|<4|y|.
Мы получили противоречие. Следовательно, предположение, что существует нетривиальное Аа-решение уравнения (100.1), абсурдно. ^
В качестве непосредственного следствия получаем
101.С. Пусть а —плотный модуль, а Ь —модуль такой, что b с а. Если либо пара (Аа, L”) или (Аа, А6) регулярно допустима для А, либо пара (А+, L”) или (Аа+, Аб+) регулярно допустима для А+, то Л0*а = {0}.
Замечание 1. Роль пространства D в теореме 101.В весьма своеобразна; действительно, единственное D-решение, которое появляется в доказательстве, фактически лежит в Аа (X), а D-порма равна Ь°°-норме. Мы не можем взять ни D = Аа (X), ибо пара (Аа, Аа) может не быть допустимой; ни D = L” (X), ибо пара (Аа, L°°) может не быть регулярно допустимой. Ввиду всего этого возникает следующий вопрос:
ОО Проблема. Можно ли предположение относительно D или D+ в теореме 101.В заменить одной ^лишь допустимостью пары (Ап, L°°) или (Ай+, L”) соответственно, быть может, дополнительно предположив, что ХОм замкнуто?
Замечание 2. Предположение почти периодичности Л ни упоминалось, ни использовалось в теореме 101. В и лемме 101. С.
оо Остается открытым вопрос, нельзя ли опустить в теореме 101.В и лемме 101.С предположение, что а является плотным модулем. Мы даем частичный утвердительный ответ для конечномерных X.
оо С другой стороны, для сепарабельных гильбертовых пространств ответ отрицателен даже для постоянного А и « = {/ко}, как показывает пример 112.D.
101.D. Пусть а —данный модуль, причем либо а плотен, либо X конечномерно. Если пара (Аа, Аа) регулярно допустима для А или пара (Аа+, Аа) регулярно допустима для А + , то Хо*а = {0}.
Доказательство. Для плотного а наше утверждение следует из леммы 101.С с b = а. Пусть а = {пи}, и>0, и пара (Аа, Аа) допустима. Предположим, что существует нетривиальное Аа- (т. е. периодическое с периодом 2л/со) решение у0 уравнения (100.1), и построим последовательность (у„) в Аа, беря в качестве уп+1 Аа-решение уравнения (100.2) с f = — уп, п = 0, 1 Определимпоследовательность непрерывных
функций (х„) формулой
п 1
хп^ = ^уп_,^ П = 0, 1,.... о
Непосредственная проверка показывает, что х„ является решением уравнения (100.1) для каждого п. Однако для целых m
хга(2лт/<о) = mn{(2n/to)ra z/0(0) + о(1)} при m->oo, так что множество {хД линейно независимо над полем скаляров. Следовательно, {хп(0)} есть бесконечное линейно независимое множество в X, и X не может быть конечномерным. Если « = {0}, то проходит то же самое доказательство. 4-
Замечание. В случае а —{0} из предположений леммы 101.D 'следует, что А постоянно. В случае а = {шл} и конечномерного X
•можно дать другое доказательство, использующее методы § 112 (ср.
. теорему 112.В). С помощью этих методов можно показать, что на самом деле А должно быть периодическим с периодом 2лДо. Если это заранее предполагается, то рассматриваемое утверждение фактически хорошо известно.
Скомбинируем теперь леммы 101.А и 101.D, но опустим при этом периодический случай, который в большей общности будет рассмотрен в следующей главе (§ 112). .
101.Е. Пусть а — плотный модуль и А е Аа (А). Если пара (Аа, А„) регулярно допустима для А, то каждая функция feAa(A) удовлетворяет равенству ЯК (х) + 2)1 (А) = 9)1 (f) + 2)1 (А), где х — единственное Хд.-решение уравнения (100.2).
Доказательство. По лемме 101.D Ао« = {0}, и наше утверждение следует из леммы 101.А с D = Aa(A). 5,
101.F. Пусть а —плотный модуль и Аог А (А). Тогда множество Ad, (Аа, An) Л (Ао + Аа (А)) открыто в Ао + Аа (А); если для каждого А из этого множества g (А) е (Аа (А))~ есть мономорфизм, переводящий функцию f е Аа (А) б единственное ^-решение уравнения (100.2), то отображение
А -> £ (A): Adr (А„, Аа) П (Ао + А„ (А)) -> (Аа (А))' непрерывно.
Доказательство. Первая часть следует из теоремы 71.С с учетом леммы 100.С; ^(А) корректно определено (так как Ао*а = {О}, см. 101.D) и, очевидно, линейно, инъективно и ограничено (по теореме 51.А). Наше утверждение следует поэтому из дополнения к теореме 71.С. ^
101.G. Множество Adr(A, A)Q А (А) открыто в А (А); если для каждого А из этого множества ^(А) е (А(А))~ есть мономорфизм, переводящий функцию feA(A)) в единственное почти периодическое решение уравнения (100.2), то отображение
А-^(А): Adr(A, А)П А(Х)^(А(А))' " непрерывно.
Замечание. Леммы 101.Е, 101.F и 101.G останутся верными, если везде добавить нижний индекс +, так что получатся результаты для уравнений на R^. Чтобы убедиться в этом, достаточно учесть леммы 100. Е и 100. G.
Экспоненциальные дихотомии
Мы докажем сейчас важную теорему о том, что почти периодическая функция А обладает двойной экспоненциальной дихотомией тогда и только тогда, когда А+ обладает экспоненциальной дихотомией. При этом оказывается, что замкнутый диэдр, индуцирующий двойную экспоненциальную дихотомию, является расчлененным.
7
/ 102.А. Теорема.I Предположим, что ЛеА(Г|. Следующие утеерждёКШГ 'эквивалентны:
А обладает двойной экспоненциальной дихотомией, и индуцирующий ее замкнутый диэдр (Х_о, Х+о) расчленен;
А обладает двойной экспоненциальной дихотомией;
А+ обладает экспоненциальной дихотомией.
Доказательство. 1°. Импликации (а) -*(Ь) —► (с) тривиальны. Остается доказать импликацию (с)->(а). Предположим, что выполняется (с). На основании теоремы 72.D, примененной к L”, существует е>0, такое, что если B+eL+(X), |в+ —Л+|^е, то В+ обладает экспоненциальной дихотомией, пара (L”, L”) регулярно допустима для В+ и S+ (B+)2S+ (Л4), КцДВ+)^
где К+ = К+оо.'
Поскольку А почти периодично, мы можем выбрать возрастающую последовательность (т («)) е-почти-периодов функции А, такую, что т^^п, п = 1, 2, ... . Имеем |(7'т (п) Л)+ — А+ J = =| Тх (п) А — Л|^ е. Поэтому (7\ („) Л)+ обладает экспоненциальной дихотомией, и S+ ((7\ (п) Л)+) <2S+ (Л+), К^ ((Т^, Л)+)< ^2К+(Л+). Согласно вычислению 65.Т, параметры v и N, соответствующие Л+ и каждому (7’т(„)Л)+, могут быть и будут выбраны имеющими общее значение, зависящее только от|Л|, 5+(Л+) и КДА^, ибо |(7'т (п) Л)+| = | Л| (см. 100.D).
Далее мы рассматриваем уравнения
х + (7’т(п) Л)х = 0,(102.1)
A)x = TxMf(102,21
для каждого п. Для любого f е L(X) тогда и только тогда х является ре.шением уравнения (102.2), когда Т_х№х является решением уравнения (100.2). Аналогично для уравнений (102.1) и (100.1)..
Пусть у — ограниченное решение уравнения (100.1). Тогда (7’T(„)z/) + является ограниченным решением уравнения (102.1)+. Согласно условию (Ei), для ^ТХ№А)+ имеем
IIУ (0) II = II Тх (п) у (т (») )|| < Ne-^ <"' II Тх (п) у (0) || =
= Ne-VT || у (- т («)) || < АА?-™ | у |.
Поскольку это справедливо для всех п, то мы должны иметь у(0) = 0, т. е. Х0(Л) ={0}.
Наша следующая цель — доказать, что пара (L”, L°°) допустима для А. Пусть дано fsL°°(X). Для каждого п (Гт (n) f)+е L” (X'). Следовательно, уравнение (102.2) имеет
решение, которое мы обозначим через 7’т(п)уп, причем (^ (п) Уп^+г L+ W>
иоУп^К^ЦТ, (п) Л)+)|(^ w Л + К4К+ (Л +)If |.
Заметим, что каждое уп является решением уравнения (100.2). Поэтому (Гт(п)уп) + и (7’T(n)z/n+l) +— ограниченные решения уравнения (102.2)+, a (7'T(n)(z/n+1— z/,i)) + — ограниченное решение уравнения (102.1)+. Снова по условию (Ei) имеем
II Уп+\(0) - Уп (0) II = II Тх ^Упла (т (п)) - Тх (п) уп (т (n)) II <
Ne-^ <"> || Тх ^yn+1 (0) - Тх ^уп (0) || <
.Me--™ (|| Тх и+\^п+\(т (n + 1) - т (»)) Ц +
+ 11 Тх (n}yn(Q) ||) <
^8АГе-^+(Л+)И|.
Следовательно, (уп(0)) является последовательностью Коши. Обозначим через у решение уравнения (100.2) с начальным условием у (0) = Игл уп (0).
Пусть дано t^R. Тогда существует т, такое, что т(т) > — t. Для любого п^ т мы имеем t + т(п)>0, так что
II Уп (0 II = II Тх ^уп (t + т (и)) II < |(7\ (п)уд+1 < 4К+ (А+) I f|.
Из неравенства (31.7), примененного к решениям уп — у уравнения (100.1), получаем у (О = lim уп (t), так что || у (t) IK
^4К+ (A+)|f|.Поскольку t произвольно, то у ограничено, и пара (L”, L°°) действительно допустима для Л с Коо^А^^АК+^А+У
4°. Поскольку А0(Л) = {0} (часть 2° доказательства), то пара (L°°, L°°) регулярно допустима для А. По теореме 82.Q замкнутый диэдр (Х_0(Л), А+0(Л)), расчлененный в силу (81.1), индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для А. Таким образом, условие (а) выполняется, i
В качестве побочного следствия для уравнений на R+, уже упоминавшегося в предыдущих главах, получаем
В. Если Л+еА+(Х) обладает экспоненциальной дихотомией, то Х+0(Л*-) дополнимо.
Доказательство. Существует А г А(Х), такое, что А + = А*. Поэтому наше предположение есть не что иное, как условие (с) теоремы 102. А. Оно эквивалентно условию (а) той же теоремы, так что Х+0(Л+) = Х+0(Л) имеет дополнение Х_0(Л). j,
Более важное следствие теоремы 102.А касается допустимости пар пространств почти периодических функций.
102.С. Теорема. Пусть а — данный модуль, и пусть Л е Аа (А). Если А обладает двойной экспоненциальной дихотомией или А +
обладает экспоненциальной дихотомией, то пара (Аа, Аа) регулярно допустима для А, а пара (Аа+, Аа+) регулярно допустима для А+.
Доказательство. Альтернативные предположения эквивалентны по теореме 102.А. По той же самой теореме из них следует, что Хо (А) = Хо*а(А) = {0}. В силу теоремы 82.R или доказательства теоремы 102.А пара (L”, L00) регулярно допустима для А. Регулярная допустимость пары (Аа, Аа) для А следует из 101.А с D = L°°(X). Соответствующий результат для А+ получается теперь при помощи леммы 100.Е и 100.G. 5,
Рефлексивные и конечномерные пространства
Если пространство X рефлексивно, то различные условия, обсуждавшиеся в предыдущем параграфе, укладываются в простую схему, описываемую следующей теоремой. Мы опускаем периодический случай, который будет рассмотрен в следующей главе (замечание 2 к примеру 113.N).
.А. Теорема. Предположим, что пространство X рефлексивно и что а — плотный модуль. Пусть дано АеА(Х). Положим Ь = а + 8Ю(А). Следующие утверждения эквивалентны и влекут равенства Хо= Хо«» = Хо»а = {0};
А обладает двойной экспоненциальной дихотомией и индуцирующий ее замкнутый диэдр (Х_о, Х+о) расчленен;
А обладает двойной экспоненциальной дихотомией",
А + обладает экспоненциальной дихотомией",
пара (L°°, L°°) регулярно допустима для А;
пара (L”, L+) регулярно допустима для А+;
пара (Аь, Аб) (регулярно) допустима для А и Хй замкнуто-,
пара (Аь+, Аь+) (регулярно) допустима для А+ и Xw замкнуто-,
пара (Аа, L°°) регулярно допустима для А;
■(1) пара (Ап+, L”) регулярно допустима для А+.
Доказательство. Условия (а), (Ь), (с) эквивалентны по теореме 102.А; (Ь) эквивалентно (d) по теоремам 82.Q и 82.R; (с) эквивалентно (е) по теореме 64.С. Таким образом, первые пять условий эквивалентны. По теореме 102.С из них следуют условия (f) и (g) (слово «регулярно» может быть как сохранено, так и опущено в силу 33.D), а из последних, в свою очередь, тривиально вытекают условия (h) и (1).
Все это справедливо и без предположения рефлексивности X или плотности а. Теперь мы используем эти предположения. По-
скольку в силу леммы 100.В 1с(An (X)) = L°° (X), то мы можем применить теорему 51.F. В результате получаем, что (h) влечет (d). Но из леммы 100.В также следует сразу, что 1с (Аа+(X)) = L” (X). Поэтому применение теоремы 51.F к А+ показывает, что (1) влечет (е). i
Если пространство X конечномерно, то теорема 103.А упрощается за счет исключения лишнего теперь слова «регулярно» в (d)— (i) и условий относительно Хо и Х+о в (/) и (g) соответственно. При этом предположении теорема 101.В и ее следствия 101.С и 101.D (для плотного «) содержатся в теореме 103.А, поскольку из (h) с учетом (1) следует, что Хо = Х0*а = {0}.
Для частного случая конечномерного X упомянем еще одно необходимое и достаточное условие для наших эквивалентных утверждений:
U03.BJ Если X конечномерно и ЛеА(Х) представляется в некотором базисе пространства X треугольной матрицей функций {из Х{Е^, то А обладает двойной экспоненциальной дихотомией {и выполняются все утверждения теоремы 103.А) тогда и только тогда, когда каждый диагональный элемент имеет ненулевое среднее значение. цп.^^
Доказательство. См. Массера [3]. 4,
С этим критерием тесно связано следующее замечание. Теорема 103.А показывает, что для конечномерных X допустимость пары (Аа, Аа) (где а — плотный модуль) для почти периодической А влечет (через допустимость пары (Аа, L00)) равенство Хо*а = {О}- Хорошо известно, что в периодическом случае {А периодично с периодом 2л/ш и а = {пи}) справедливо также и обратное (см. теорему 112.В). Однако для плотных а и 8И(Л) это не верно даже для X = R:
.С. Пример (продолжение примера 100.Н). В примере 100.Н Хо*а = Хо* = {0}. Если бы пара (Аа, Аа) была допустима, то из теоремы 103.А следовало бы, что Хо = {0}; однако Хо = R. (И действительно, среднее значение ф равно 0 по построению.) 4
Замечания к главе 10
Уравнения на R+
Во введении мы объяснили наш выбор R в качестве области изменения независимой переменной t тем, что это — естественная область определения почти периодических функций. Однако с общей точки зрения, принятой в этой книге, естествен вопрос о возможности построения теории для R+ как области изменения t без использования в качестве вспомогательного инструмента функций па R. Постановка этого вопроса для уравнений с почти периодическим А имеет смысл, так как почти периодические функции на Rr —
5олее точно, элементы пространства" А + (Х), где X—некоторое банахово [ространство, — можно описать, не прибегая к помощи продолжения на R, а именно, функция )еС+(Х) принадлежит А+(Х) тогда и только тогда, когда для каждого е>0 существует /(е) > О, такое, что каждый интервал FcR+ длины ^(7') = Де) содержит некоторое т, для которого |/— T^l^e.
Можно доказать непосредственно н без больших изменений в доказательствах все результаты этой главы, относящиеся к уравнениям на R+, Правда, со следующими оговорками: мы не в состоянии доказать лемму 102. В, не используя теорему 102. А; а для теоремы 102. С, отнесенной к уравнениям на Ry, требуется другое доказательство, так как в общем случае неверно, что Х^о = {0}, п потому не может быть использован аналог леммы 101.А. Это другое доказательство можно дать, используя асимптотически почти периодические функции; см. Шеффер [7], теорема 3.4 и следствие 3.4. Асимптотически почти периодические функции были введены Фреше (ем. Фреше [1]) и были впервые применены к почти периодическим дифференциальным уравнениям Рейтером [1].
Теория Фавара
Все результаты этой главы, относящиеся к почти периодическим решениям, «глобальны» в том смысле, что уравнение (100.2) рассматривается для целого класса «пробных функций» f. Имеются некоторые важные «индивидуальные» результаты, относящиеся к отдельным f. Однако в этом случае, вообще говоря, недостаточно рассматривать единственный оператор А. Для полноты картины мы включим сюда краткий обзор этих результатов. Основной результат принадлежит Фавару [1] («третья теорема»; доказательство идентично доказательству видимо более слабой «второй теоремы»). Эта теорема (с доказательством) приведена также^в—работе Фавара [2], стр. 85 —95.
Для любого AgA(X) множество (Тг (А) 4= с1А {Т^А: те/?} является компактным подмножеством в А(Х). РезульТэт-Фавара таков:
.А. Теорема. Пусть X конечномерно, А и f почти периодичны и для каждого ВеТг(А) каждое нетривиальное ограниченное решение уравнения у + By = 0 отграничено от 0. Если уравнение (100.2) имеет хотя бы одно ограниченное решение, то оно имеет почти периодическое решение х с Wtw + ЭЛ (А) = ЭЛД) + ЭЛ (А).
ОО Этот результат можно обобщить, не изменяя доказательства Фавара, па равномерно выпуклые (или изоморфные таким пространствам) X, но, вообще говоря, ценой ослабления заключения: утверждается лишь существование решения х, слабо почти периодического в смысле Америо [1], т. е. такого, что функция (х, а*) почти периодична для каждого а* е X*. Это обобщение детально проведено в работе Америо [2] (теорема 11), где в действительности рассматриваются немного более общая ситуация и несколько иные предположения; но поскольку доказательство Америо является непосредственной адаптацией доказательства Фавара, мы считаем себя вправе опустить его. В случае, когда Х0(В) ={0} для всех ВеТг(А) (первая теорема Фавара), обобщение проходит фактически, если X лишь рефлексивно. Подведем итоги:
ОО 104.В. Пусть X рефлексивно, А и f почти периодичны, и пусть либо XqI.B') = {0} для каждого В g Тг(А), либо X равномерно выпукло и для каждого ВеТг(А) каждое нетривиальное ограниченное решение уравнения у+Ву = 0 отграничено от 0. Если уравнение (100.2) имеет ограниченное решение, то оно имеет слабо почти периодическое решение.
25 Зак. 405
Ж? При каких условиях действительно имеются почти периодические решения? Один ответ, кажущийся немного узким по своим предположениям, может быть выужен из работы Америо [2] (теорема III, с учетом работы Америо [3]), где используется тот факт, что слабо почти периодическая функция почти периодична тогда и только тогда, когда замыкание множества ее значений компактно.
ЯО 104. С. Пусть X равномерно выпукло, А и f почти периодичны, и пусть для каждого ВеТгМ) существует ов>0, такое, что каждое решение уравнения у + Ву = 0 удовлетворяет неравенству || х(1)|1 ^ ав II х(0) || для всех t eR. Если уравнение (100.2) имеет ограниченное решение, то оно имеет почти периодическое решение.
ЯО Америо [4] показал, что даже для уравнения с А = 0, удовлетворяющего условиям леммы 104.С, это утверждение неверно, если в качестве X взять пространство непрерывных действительных функций па отрезке [0,1] с С-пормой, сепарабельное нерефлексивнос пространство. Вопрос, достаточно ли рефлексивности без равномерной выпуклости, остается, по-видимому, открытым даже в этом частном случае.
Замечание. Заключительное паше наблюдение относится к случаю, когда А периодична (при этом не обязательно предполагать непрерывность, по мы пренебрежем здесь этой возможностью усиления результатов). В этом случае множество сдвигов А замкнуто, так что предположения, выполнение которых в теореме 104. А н леммах 104. В и 104. С требуется «для каждого В еТг(Л)», можно теперь отнести лишь к самому А. Если Хо(А) замкнуто, то условие «отграииченности» в теореме 104. А и лемме 104. В выполняется само собой и может особо не предполагаться (теорема 113. А); наконец, для конечномерного X (но (даже) не для сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства) каждое ограниченное решение уравнения (100.1) (слабо) почти периодично (теорема 113. В, пример 113. G), так что теорема 104. А принимает вид:
.D. Предположим, что X конечномерно и что А непрерывна и периодична, a f почти периодична. Тогда каждое ограниченное решение уравнения (100.2) является почти периодическим; и если таковые существуют, то найдется решение, скажем х, для которого ЭЛ (х) + ЭЛ(А) = ЭЛ(/) +ЭЛ(А).
Глава 11
Уравнения с периодическим А
ПО, Введение
Содержание главы
Продолжая наше исследование специальных вопросов, мы теперь рассмотрим уравнения (30.1) и (30.2), т. е. уравнения
х + Дх = 0,(110.1)
х + Ах = f,(110.2)
где А периодична. Разумеется, мы особенно интересуемся случаем, когда f также периодична, равно как и существованием периодических решений.
В предыдущей главе уже упоминалось, что периодический случай нельзя подвести под почти периодический: во-первых, почти периодичность предполагает непрерывно-ть, тогда как периодичность— вовсе нет; однако это второстепенная трудность, которую можно было бы обойти, либо обобщив «почти периодическую» теорию так, чтобы охватить почти периодические функции Степанова — усилие, едва ли оправдываемое частной целью, — либо заметив, что во всех случаях, где единственным препятствием является вопрос непрерывности, методы почти периодического случая работают и в периодическом случае, причем часто даже со значительными упрощениями. Во-вторых, как мы видели в гл. 10, предположение, что некоторый определенный модуль плотен, существенно для некоторых результатов (например, для теоремы 103.А), которые поэтому не имеют аналога для периодических уравнений; наконец, периодический случай, несомненно, богаче по содержанию.
Как и в предыдущей главе, областью изменения переменной / является R, если не оговорено противное, и остаются в •<тите вее-юбоажшения и соглашения предыдущей главы и гл. 8, относящиеся к связи этой области с областями R- и R+-
Ради удобства мы предполагаем, что период А равен 1. Это не влечет никакой потери общности. Действительно, если А периодична с периодом, скажем, т > 0, то мы всегда можем преобразовать уравнения (110.1) и (110.2) в уравнения точно
такого же вида с А, имеющей период 1, заменяя x(t), /1 (/), /(/) на х(т, 0, тЛ(тО, Д'(тО соответственно. Заметим, что эта замена переменных сохраняет
свойства ограниченности и непрерывности х, А и f, если таковые наблюдаются;
периодичность, если таковая наблюдается; не сохра-| няется только делимость каждого периода на т;i
выражения .1 ||Л(/)||^г, J.llf (/) || dt и j ||x(/)||d/, где интегралы берутся по одному периоду, а также оценки для || х ||.
Таким образом, если специально не оговорено противное, «периодическое» означает «периодическое с периодом 1».
В этом введении дается необходимая информация о периодических функциях, а также излагаются основные факты, касаю? щиеся решения U уравнения (30.3).i
Для периодических уравнений в конечномерных X мы моглй бы воспользоваться известным методом канонического приведения к уравнениям с постоянным А, связанным с именем Флоке [1], а теория уравнений последнего типа изучена исчерпывающим образом. Однако такое «представление Флоке», вообще говоря, невозможно в случае бесконечномерного X. Этот вопрос обсуждается в § 111. Это одна из причин, по которым мы получаем наши результаты иными методами. Другая состоит в том, что при нашем способе становится возможным избежать, даже в конечномерном случае, обычного приведения постоянного А к канонической матричной форме — метода, который неисправимо конечномерен и зачастую излишне сложен.
§ 112 посвящен результатам «глобального» характера о периодических решениях уравнений (110.1) и (110.2) с периодической функцией f. В § 113 исследуются решения уравнения (110.1) и в особенности дихотомии и экспоненциальные дихотомии. В частности, показано, что существование двойных дихотомий, обыкновенных или экспоненциальных, можно вывести из изучения многообразий X+od, Deb5"K без привлечения понятия допустимости и т. и. Имеются также результаты, соответствующие результатам § 102 и 103. § 114 имеет дело с результатами «индивидуального» рода, в особенности с необходимыми и достаточными условиями того, что уравнение (110.2) с данной периодической функцией / имеет периодическое решение.
Пространства периодических функций
Для данного банахова пространству X периодические функции f е L(X) (с периодом 1), очевидйоГЪбразуют подпространство в М(Х). Это подпространство, Снабженное нормой пространства М(Х), мы будем обозначать через Р(Х) а обычным соглашением . относительно опускания аргумента X. Заметим, что вследствие
! + 1
периодичности J || f (и) ||du = | f |м для каждого f е Р (X) и всех
t е R.'
Кроме пространства Р(Х), рассмотрим множество непрерывных периодических функций на R со значениями в X. Они образуют подпространство в С(Х). Мы снабдим его нормой этого пространства и обозначим через РС(Х). Очевидно, РС(Х) = Р(Х) Л С(Х), и в обозначениях предыдущей главы РС(Х) = А{2лп)(Х).
Операция сужения на интервал [0, 1] является конгруенцией Р(Х) па [о, i]L5 (X) и конгруенцией РС(Х) на гиперплоскость в [о, цС(Х), состоящую из тех функций f, у которых /(1) = f (0). Это указывает на возможность рассмотрения периодических продолжений других пространств из класса ю, i]-^"(X) или [о, [^^(Х). Однако все такие пространства периодических функций сильнее, чем Р(Х), и, если только они содержат непрерыв-. ные функции, нигде не обращающиеся в нуль, слабее, чем РС(Х). Поэтому их свойства в значительной степени описываются свойствами пространств Р(Х) и РС(Х), и мы не будем специально на них Останавливаться.
Свойства решения U
Пусть А е Р(Х), и пусть, как обычно, U обозначает решение оперативного уравнения (30.3), т. е. уравнения
U + AU = 0(110.3)
с U(0) = I. Обычным порядком доказывается, что из периодичности А следует, что T_XU и иЩ!) являются решениями уравнения (110.3) и имеют общее значение (7(1) при / = 0. Раз и навсегда для всей этой главы положим (7(1) = Ux. Имеем T_XU=UUX. Вообще
U (0 = U ^ - и) Ux(110.4)
для всех / и всех целых п. Приведем одно простое следствие:
.А. Для каждого е > 0 существует б > 0, такое, что || (7(/)(7-’((о)-/|| <е для всех t0, / е R, \t — /01 ^ б.'
Доказательство. Поскольку (7 непрерывно, такое б, несомненно, существует при дополнительном ограничении to, te е[—1,1]. Мы можем считать, что б<1. Для любых данных t0, t е R, |/ — /0|^б, существует целое число п, такое, что 1t — п |, | to — п | < 1. Но тогда | ((— и) — ((о — и) |^б и, согласно (110.4), ||(7(/)(7-'(/0)-/|| = ||(7((-«)(7-1((0-n)-/||<е. &
Что касается обозначений, то мы всегда пишем Е = ехр (|Л|)М, так что, например, из (31..9) следует, что П^Л^Е.
Представление Флоке
Продолжим наше исследование уравнений с AgP^X)— предположение, которое нет нужды повторять. Мы говорим, что А имеет представление Флоке порядка т, где т - положительное целое число, если существует В е X, такое, что функция Р(/)= UWtB периодична с периодом т. В этом случае Р является обратимозначной первообразной с Р(0) = I, а U(t) = P(t)e^tB. Значение представления Флокс основано на том факте, что замена переменных х = Ру преобразует уравнения (110.1) и (110.2) в уравнения у + By = 0 и у + By = g, где В постоянно и g = Р Д. Очевидно, что если функция А имеет представление Флокс порядка т, то она имеет и представление Флоке любого порядка, кратного т.
1 11.А. А имеет представление Флоке порядка m тогда и только тогда, когда U^ имеет логарифм в X.
Доказательство. Если UT имеет логарифм, то мы можем положить его равным — тВ. Используя равенство (110.4), находим -■
Р (/ + m) = U (t + т) ev+m) в = U (0 UTe^e15 = U (/) etB = Р W Обратно, если А имеет представление Флоке порядка т, то
U? = U (m) — Р (т) е-тВ = е~тВ. 4,
Следующий результат известен как теорема Флоке. Доказательство, основанное на лемме 111.А, можно найти в книге Коддингтона и Левинсона [1], стр. 77—78, 90—93, 120 — 121, где имеется хорошее обсуждение действительного случая.
111.В. Теорема. Если X конечномерно, то А имеет предста вление Флоке порядка не выше 2, если X действительно, и по рядка 1, если X комплексно.
Поищем теперь общие условия, обеспечивающие существо вание представления Флоке порядка 1. Они интересны для бес конечномерного X, а также для действительного конечномерного X.
111.С. Если оператор Ux + о/ обратим для всех се R+, то А имеет представление Флоке порядка 1.
Доказательство. Оператор (1—о)/ + oUx обратим для всех о е [0, 1], так что / соединимо с Ux кривой, состоящей из обра-
тимых элементов в (коммутативной) замкнутой подалгебре пространства X, порожденной Ux и U?'. Теорема Нагумо (Рик- карт [1], теорема (1.4.12)) показывает, что Ux имеет логарифм (фактически принадлежащий этой подалгебре). Наше утверждение следует теперь из 111.А. 5-
Для общего случая банаховых пространств упомянем следующий результат. Его несколько более сильная форма дана Шеффером [10].
111.D. Теорема. Существует постоянная ф0 = фо(М > In 4, такая, что если |'4|щ<фо, то А имеет представление Флоке порядка 1. При этом ф0 — /0, гОе 1g — точная нижняя грань длин всех кривых, лежащих на границе шара 5(Х) и соединяющих диаметрально противоположные точки.
Доказательство. См. Шеффер [10]. Доказательство для J A jM < In 4 дано в работе Массера и Шеффер [2], теорема 2.1. Д-•
Замечание 1. Простым следствием теоремы H1.D является тот факт, что предположение «j/1 |м < ф0» можно заменить чуть более слабым «существуют такое феР и такой обратимый оператор СеХ, что | С~1 АС — ф/ |м < Фо» (ср. Массера и Шеффер [2], следствие 2.1).
Замечание 2. В противоположность обычной для этой книги сл- ■ туации утверждение теоремы 111. D существенно зависит от выбора нормы в X.
' Мы переходим к более подробному исследованию случая, когда пространство X гильбертово.
111.Е. Теорема. Если X— действительное или комплексное гильбертово пространство и|4|м<л, то А имеет представление Флоке порядка 1.'
Доказательство. Допустим, что заключение теоремы неверно. Множество тех се/?_, для которых оператор Ux + о/ обратим, открыто и содержит 0. Поскольку, согласно лемме 111.С, это множество не покрывает всей полуоси R+, оно имеет граничную точку, скажем оо > 0. Отсюда стандартным образом (см., например, Риккарт [1], стр. 278—279) получаем, что существует последовательность (х„) в X, такая, что || хп |[ = 1 и Уп = (°о'и1 + IVn^° ПРИ m->oo.
Теперь используем тот факт, что X есть гильбертово пространство. Рассмотрим для каждого п решение Uxn уравнения (110.1). Мы имеем || Uxn || ^ || Л |||| Uxn ||; поэтому, используя лемму 30.В, получаем
| А |м > J || U (t) хп Г' II U (/) хп ||di > j || (sgn U (/) xj ||dt. оО
Последний член представляет собой длину кривой па д£(Х), соединяющей точки sgn х„ = хп и sgn Utxn = sgn(—ха + Уп) = = —sgn(x„ — у„). Поэтому
I ?М ^ ^^" ^гн ^п Уп)^ ^П' Хп Уп) 5^
^ л — arcsin|| у„ || —> л при п—>оо, так что 1А1м^л в противоречие с предположением. 5-
Замечание 1. Как и в теореме 111.D (замечание 1), мы можем заменить в теореме 111.Е условие «|Д’м<л» условием «существуют q> g Р и обратимый оператор Сел, такие, что jc '^G — <р/|м < л ».
Замечание 2. Для действительных X оценка л в теореме 111. Е является наплучшей возможной, как будет показано в примере 111. Г (для непрерывного А и двумерного А). Однако если X = R, то А
всегда имеет представление Флокс порядка 1с В = | A (i) di.
СО Замечание 3. Для бесконечномерных действительных или комплексных гильбертовых пространств оценка л в теореме НЕЕ является почти наилучшей возможной в смысле строгого неравенства: пример 111.О для сепарабельного гильбертова пространства показывает, что . для любой большей границы никакого представления Флокс, вообще говоря, не существует. Таким образом, остается открытым только следующий вопрос (ср. Шеффер [9]):
СО Проблема. Пусть X — бесконечномерное гильбертово пространство и |Л|м=л. Имеет ли А представление Флоке какого-нибудь порядка? порядка 1, если X комплексно? порядка 2, если X действительно?
111.F. Пример. Пусть X— действительная евклидова пло-’ скость с декартовыми координатами хь х2, и пусть Л(/) представляется матрицей
!/ sin 2л/1— cos 2л/\
2 л \ — 1 — cos 2л/— sin 2л/ / ’
так что ЛеРС(Х). Непосредственно проверяется, что для каждого ыеХ Д(/)и=л(п,п(/))/’(/), где «(/)= (cos л/, sin л/) и b(t) = (sin л/, — cos л/). Поскольку ||а|| = ||6|| = 1, то !1Л1|=л, постоянной, и |Л|м = л.
Далее, //(/) представляется матрицей
/cos л/ л/cos л/— sin л/\ \sinn/ л/sin л/+ cos л// ’
и потому U\ — матрицей ( ^ _") . Этот оператор, очевидно, не имеет (действительного) квадратного корня в X, не говоря уже о логарифме. 5-
СО 111.G. Пример. Пусть / — действительное или комплексное сепарабельное гильбертово пространство всех квадратично суммируемых последовательностей х = (х„) действительных или комплексных чисел, где п пробегает все целые числа. Множество {em}, ет = (етп) = (6тп), является полным ортонормированным множеством. Пусть V — ортогональный или унитарный оператор смешения, определяемый формулой Vem = em-i. Как показал Краббе [1], V = ew, где W — кососимметрический или косоэрмитов оператор, определенный формулой (WePl,en)=(—l)m-"(m— nV1 для тфп, причем II II = л (спектр оператора 1^ представляет собой прямолинейный отрезок с концевыми точками —jtz, + л/).
Пусть дано и на время фиксировано е > 0, и пусть R— симметрический или эрмитов оператор, определенный формулой Rem = 0 при m < 0 и Rem = = еет при m ^ 0. Тогда е”ет = ет при m < 0 и енет = е~еп1 при m > 0.
Теперь положим Л(/)= — W — 6/(1—t^elwRe-iw для 0^/^1 (так что Л(1) = А (0) = — №) и определим А вне этого интервала условием периодичности. Таким образом, A G РС(Х). Непосредственная проверка показывает, что U (/) = е^е^для 0^/^ 1, так чго Ux = ew е^ = Ve^-
Шеффером ([И], теорема 3) показано, что П^ и;: имеет корней никакого порядка, не являющегося делителем h, и, следовательно, не имеет логарифма ни для какого целого положительного h. По лемме 111. А А не имеет представления Флокс никакого порядка.
Далее, оператор etw ортогонален или унитарен для каждого /. Поэтому II А(/) + W II = 6/(1—/)|| R II = 6/(1 — /)е для 0 ^ / ^ 1 и, следовательно, 3
А + W | = — е и | А + 1^ |м = е, откуда | А |м ^ л + е. Поскольку е > 0 произвольно мало, то функция А отличается от постоянной —W столь мало, сколь мы пожелаем, как в метрике пространства Р(Х), так и в метрике пространства РС(Х), а |А|М превосходит л на столь малую величину, сколь мы пожелаем. 5-
Периодические уравнения и периодические решения
Как и прежде, мы предполагаем на всем протяжении этого параграфа, что ЛеР(/). Нашей теперешней целью является изучить условия существования и свойства периодических решений уравнений (110.1) и (110.2), последнего — с периодической функцией f. Сначала нам следует рассмотреть произвольные решения уравнения (110.2) с периодической функцией f. рлиАОдЦ (щ^
Пусть f е Р (X). Если мы используем равенство (ЗКЗфИ примем во внимание равенство (110.4) и условие периодичности, то найдем, что любое решение х уравнения (110.2) удовлетворяет для каждого целого п равенству.
х(п + 1) = Uxx (п) + Фf,(112.1)"
где-—— ■.
i
Ф/ = Ux J U~x (Of ^dt.(112.2)
о
Изучим более подробно преобразование Ф. Для этого введем один полезный класс функций. Для любого уеХ определим функцию fy-.R-^X равенством fy (t) = 6/ (1 — t) U (t) UX'y в интервале O^/^l и условием периодичности вне этого интервала. Таким образом, fve РС(Х).
П 12.А.у!усть Ф определено равенством (112.2) и ЛР — равен- ствЬм_У^= fy для каждого уеХ. Тогда
ФТ = / е X; Ф является эпиморфизмом Р(Х) на X и (его сужение на РС(Х) является1) эпиморфизмом РС(Х) на Х\ Ч7 является мономорфизмом X в Р(Х) и мономорфизмом X в РС(Х).
WX = {/у уеХ^ является дополнимым подпространством в Р(х) и в РС(Х), причем дополнением служит соответствующее нуль-пространство преобразования Ф; в обоих случаях Ч7Ф является проектором на Ч7Х вдоль этого дополнения.
Доказательство. Преобразования Ф и Ч7 линейны. Для любого у е X
।
Ф'!Д = ф)у = J 6< (1 — /) у dt = у,
о
так что ФЧ7 =/. Это показывает, что Ч7 — инъективное, а Ф — сюръективное отображение РС(Х), и тем более Р(Х) в X. Тривиальным алгебраическим следствием равенства ФЧ7 = 1 является то, что в Р(Х) или в РС(Х) Ч7Ф есть алгебраический проектор на ФХ вдоль нуль-пространства Ф.
Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что ФиТ ограничены. Для любого ?е Р(Х) из (31.9) и (112.2) вытекает неравенство || Ф/1| ^ Е |f |м, так что Фе[Р(Х); X]. Поскольку РС(Х)^Р(Х), то мы имеем и подавно Фе[РС(Х);Х]. Для любого уеХ неравенство (31.9) дает
|VJM^E||y|| f 6t (1 — 1) dt = ЕЦ у Ц, О
и |47J< |- ЕII у ||. Таким образом, Ч7 ее [X, Р (X)], и Ч7е[Х; PC (X)]. Фактически || Ф ||[р m.^j, II Ф П[рс(Х); хр II '^ И|х; р (хц ^ £, II ^ Ире pc <х)| ^ <4 Е. &
Теперь мы переходим, к рассмотрению периодических реше нпй уравнения (110.2) с feP(X). Из равенства (112.1) и п-
риодичности А следует, что решение х уравнения (110.2) периодично тогда и только тогда, когда
(/—1/.И0) = Ф/.(112.3)
.В. Теорема. Лор = Лорс есть (замкнутое} нуль-пространство оператора (/— Ux}. Уравнение (110.1) не имеет нетривиальных периодических решений (т. е. Л0р={0}) тогда и только тогда, когда отображение 1 — Ux инъективно. Уравнение (110.2) имеет периодическое решение для каждого feP(X} (или для каждого f е РС(Л)) (т. е. пара (Р, PC) (или (PC, PC)) (регулярно} допустима} тогда и только тогда, когда отображение 1 — Ux сюръективно. Это периодическое решение существует и единственно тогда и только тогда, когда отображение I— Ux обратимо. Если пространство X конечномерно, то все три утверждения эквивалентны.
Доказательство. Первое утверждение следует из равенства (112.3), если в нем положить f = 0. Остальные получаются из (112.3), если мы вспомним, что на основании 112.А образом Ф является все пространство X, и используем тот факт, что биективный оператор обратим. Что касается случая конечномерного пространства, то каждый инъективный или сюръективный оператор обратим. 5.'
"VЗамечание 1. Из теоремы 112. В видно, что допустимость пары
' (PC, PC) влечет допустимость пары (Р, PC). Из анализа доказатель- ■ ства следует, что даже допустимость нары (VX,PC(X)) влечет допустимость пары (Р, PC).
.СОСО Замечание 2. Как мы упоминали в § 100, пример 2.2 нз Массера и Шеффер [4] показывает, что Хор не обязано быть дополнимым, даже если Д постоянно, а X сепарабельно и равномерно выпукло и, следовательно, рефлексивно.
,РО Замечание 3. Хорошо известная для конечномерного X эквивалент’, ность трех утверждений, приведенных "в формировке теоремы 112. В, вообще говоря, не имеет места, если X бесконечномерно, — фактиче- ' 6КИ "даже для иие1'ОЯнно1б~Д И сепарабельного гильбертова пространства, как показывают следующие примеры.
ОО 112.С. Пример. Пусть X = I2 — действительное или комплексное сепарабельное гильбертово пространство, и пусть S — оператор’ (одностороннего) смещения в I2, определяемый формулой Sem = ет+х, »?г="1,2? ."77 . Его алгебра- ичзский сопряженный S+ описывается формулами S^ ет = ет_х, m = 2,3 ... SAr^O- Имеем S’rS = Z#=SS', так что S инъективно, S1 сюръективно, но ни одно из них не обратимо. Далее, ||S]| = 1. Поэтому I—L S имеет логарифм, скажем Т. Положим А = — Т. Тогда U(t) = etT, так что I — Ux = — S. По теореме 112.В уравнение (110.1) не имеет нетривиальных периодических решений, однако пара (PC, PC) недопустима, j.
ОО 112.D. Пример. Пусть X, S и Т — те же, что и в предыдущем примере. Положим А=—7'+, Имеем I -Uv = -^ S' . По теореме 112.В пара (Р, PC) допустима, однако уравнение (110.1) имеет нетривиальные периодические решения. 4,
Даже если пара (Р, PC) или эквивалентно пара (PC, PC) и недопустима, то все равно кое-что можно сказать о периодических решениях уравнения (110.2) для тех периодических функций f, для которых тацие решения существуют.
Теорема. Следующие утверждения эквивалентны-.
многообразие (/—Ux)X замкнуто (это имеет место, в частности, если X конечномерно);
множество (feP(X): существует периодическое решение уравнения (110.2)} замкнуто в Р(Х);
множество У е РС(Х): существует периодическое решение уравнения (110.2)} замкнуто в РС(Х);
[(e)] существует k>0, такое, что если feP(X) lfePC(X)l 'и существует периодическое решение уравнения (110.2), то существует периодическое решение х, для которого
[|xKMf|l-
Доказательство. Мы докажем эквивалентность (а), (Ь) и (d). Доказательство эквивалентности (а), (с) и (е) совершенно аналогично.
влечет (Ь). Согласно (112.3), / принадлежит множеству, фигурирующему в (Ь), тогда и только тогда, когда Ф[ е е [/—t/|]X. Поэтому рассматриваемое множество в точности совпадает с прообразом подпространства (/ — U\)X при непрерывном линейном отображении Ф: Р(Х)-*Х. Следовательно, оно само является подпространством.
влечет (d). При условии (Ь) множество Ф-|((/—Ux)X), наделенное нормой из М(Х), является банаховым пространством. Далее, пара (Ф"1 ((/ — Ux)X), РС(Х)) допустима. Поэтому по теореме 51.Л выполняется (d).
nn (d) влечет (а). Рассмотрим факторпространство У = Х/Хор. Это банахово пространство. В силу того факта, что Хор является нуль-пространст- вом оператора /—Ux, этот оператор индуцирует мономорфизм Q: У-> X, причем Qy = (/—Ux)X и ||О|| = ||/ — С|||. Для любого у е У положим
f = Wttye'VtJ -Ux)X czq>-4U — UAXY
Согласно (112.3), периодическими решениями уравнения (110.2) являются в точности те решения х, у которых х(0) Еу Среди них по условию (d) имеется одно, скажем х0 с |х0 J </г |/|м. Тогда || у ||у < || х0 (0) ||<| х01 < < к I^Qr/ |м < fe£l| йу |i< kEV - LMIMy- Отсюда следует, что £2У = (/ - Ux)X полно, так что (а) справедливо. ^ ■ ■ ■
Замечание. Поскольку по теореме 112.В Хор замкнуто, то из условий (Ь) и (с) вытекает регулярная допустимость пары (Ф~'((/— U^X), РС(Х)). Мы предоставляем читателю сформулировать более точные утверждения, заменив условия (d) и (е) теми, которые получаются, если применить теорему 51.D. Приведем только со. ответствующее следствие для дополиимого Хор.
.F. Пусть Хор имеет дополнение Z, и пусть выполняется одно из эквивалентных утверждений теоремы 112.Е. Тогда существует к'> О, такое, что если je Р(Х) [f е РС(Х)] и существует периодическое решение уравнения (110.2), то единственное периодическое решение х с x(0)eZ удовлетворяет неравенству |х|<И?М1х1<Ит.
Доказательство. Это следует из леммы 51.Е, примененной к В = Ф~'((/—6ДХ), с нормой из М(Х) [из С(Х)], и D = = РС(Х). 5,
Поскольку Хор = Хорс всегда замкнуто, допустимость и регулярная допустимость пары (Р, PC) или (PC, PC) совпадают. В частности,
Ad(P, РС)ПР(Х)) = Adr(P, РС)П Р(Х),
и т. д. Результаты, относящиеся к этим классам допустимости, могут быть выведены из теорем 71.В и 71.С, поскольку, очевидно, Р(Х)-РС(Х)=ф Р(Х) и РС(Х) • РС(Х)^> РС(Х). Мы не будем специально формулировать эти утверждения для периодических уравнений.
113. Решения однородного уравнения
D-решения
Следует ожидать, что периодичность А налагает сильные ограничения на ограниченные решения и прочие D-решения уравнения (110.1), при D е КУк. Это действительно так, как мы сейчас увидим. Мы продолжаем предполагать без дальнейших напоминаний, что АеР(Х).
.А. Теорема. (1) Если D е ЬЕГк и X0D замкнуто, то либо Xod = Хо, либо Xod = {0} в соответствии с тем, будет ли D слабее, чем L°°, или нет. В первом случае существует N > 0, такое, что каждое D-решение (т. е. каждое ограниченное решение) х уравнения (110.1) удовлетворяет неравенству || x^t) || У N 1| х(/0) 1| для всех tu и t и, таким образом, отграничено от 0, если только не является тривиальным решением.
2) Если D+ Е b^"K+ uX^0D+ замкнуто, то либо X+0D + = X , либо Х+Ор+ = X+0Q, либо Х+ор+ = Xt0T в соотретстрии с тем,
будет ли D + слабее, чем L*; не слабее, чем L”, но слабее, чем Lo” ; не слабее, чем L”+. В любом случае существует М+>0, такое, что каждое решение х уравнения (110.1) с х + е D+W удовлетворяет неравенству || х (() || ^ N+ || х (<0) || для всех t^t0. В третьем случае (а также и во втором, если X+0D+ = Х+оо конечномерно} существуют v1", N+>0, такие, что это решение х удовлетворяет неравенству || х (/) || ^ N^e-'5* v-t^ X X || х (f0) || для всех t^tQ.
Доказательство. Мы систематически будем полагать и = [/0]; из
следует неравенство ||х(п) ||< Е||х (/Д ||.
Поскольку 4еМ(Х), то каждое М-решепие уравнения (110.1) и тем более каждое D-решение ограничены (§ 33, стр. 115—120). Заменяя, если нужно, D на D ДЕ”, мы можем без потери общности считать, что D ^ L” и, значит, X0D с Хо. Допустим, что Хоо #= {0}. Пусть х — нетривиальное D-решение уравнения (110.1), и пусть даны /0 и 1. Тогда Т .„х также является D-решением уравнения (110.1). Полагая 3 = 3d, получаем в силу теоремы 33.С неравенство
l|x(/)IK|xKk|D = |7'_„xJD<S||7’_„x(0)|| =
= 3||х(п) ||<SE||x(f0)||.
Таким образом, || х || е D отграничено от 0 величиной (ЗЕ)-'|х|>0, так что D должно быть слабее, чем L00; в этом случае, очевидно, Хов = Хо. Итак, наше утверждение справедливо с N = SE.
Как и при доказательстве части (1), не произойдет потери общности, если считать, что D+^L7 и, значит, X+0D+ cz Х+о; при этом, если D+ слабее, чем L“( то имеет место равенство. Пусть в любом случае х— решение уравнения (110.1) с х+ е D^W, и пусть дано / >/0- Тогда Т_пх также является решением уравнения (110.1). Если п > 0, то (Т_гах)+ = Тп х+ е е D + (X). Если п С 0, то ТТ_п (Г-пх)+ = (ТпТ_пх)ч = х, с D (X). Но 0_n(7'..nx)+= 7'tn7'Zn(7'_nx)+е D+(X) отличается от (Т_„х)+ только на интервале [0, —п], а там обе функции непрерывны. По лемме 22.1 и в этом случае (Lcx)te D+(X). Полагая S+ = S+D+) получаем в силу теоремы 33.С неравенство
|| х (О || - II Т_пх kt - п) || ^| (Г _пх) + |d+^
<3+||х(тг)1КЗъЕ||х(Ш.(113.1)
Таким образом, || х (/) IK N+1| х (tQ) ||, причем N* = S+E,
Предположим, что D+ не слабее, чем L”. Для любого решения х уравнения (110.1) с х^еОЧД
lim sup || х (f) ||^ S+E inf || х (f) || = 0. t->oot^O
Поэтому %+0D+ cz X+oo, причем имеет место равенство, если D+ слабее, чем L^. Рассмотрим случай с конечномерным X+Oo- Из обычных соображений компактности следует, что существует т > 0, такое, что || х (/) || ^ у Е~' || х (0) || для каждого решения х уравнения (110.1) с .vteD+(A’| и для всех /^т. Если х— любое такое нетривиальное решение, то при заданном t0 Т-пх будет другим таким решением, и мы имеем
II х (/0 + т) || = || Т_пх (f0 - п + т) |К у £-11| Т_пх (0) |1 =
= |Д",Цх(п)||^4И'гМ11.
Используя (113.1) и применяя 20.С к ||х|Г', мы приходим к заключению, что || х (f) || ^ N^e-^ ^-^И х (/0) || для всех / О t0, где v+ = x“’ln2 и N^^^S+E.
Предположим, наконец, что D+ не слабее, чем L“+. По лемме 23.S мы можем выбрать т>0,. столь большое, что Р(т) = р(0+; т)>4S2+E2. Пусть х — нетривиальное решение уравнения (110.1) с х+еВПТ), и пусть дано /0. Тогда Т_пх является другим таким решением. В силу 23.М и (113.1)
II х (f0 + т) || = || Т_п (<0 - « + т) || <
•^t_|S.(£ | || Т_пх (и) \\du ■
<25 + £Г'(т) j(T-„x)+lD+< ^25'2+£Г'(т)||х(п) || <| ||х (/„) ||.
Мы снова заключаем, что || х (0 || ^ Af+e-v+ (/-(Д| х (0 || для всех О/о с v+ и М+, задаваемыми теми же самыми формулами. Отсюда следует, что X+0D+ с ^+ог обратное включение справедливо, поскольку D+ слабее, чем Т+ (см. 23.J). 5,
Замечание. В теореме 113.А (2) неравенство ||х (/) ||^A+e_v+^_< ^Х X || х (Zo) II для решений с х , е D+ (Л) не обязано, конечно, вынол- ■ пяться, если D+ слабее, чем L“, как показывает случай 4 = 0, D+ = L”’
ОО Це обязано оно выполняться и если D* не слабее, чем L“, но слабее, чем L”^, а X; оо не конечномерно, как показывает пример 113.F с постоянным симметрическим или эрмитовы^ А в сепарабельном гильбертовом пространстве.
, Если х — ограниченное решение уравнения (110.1), то || х (t) — х (^о) ll^ll U (0 U~l (/о) — I III*1 и из леммы 110.А следует, что это решение равномерно непрерывно. Если X конечномерно, то, как известно, каждое ограниченное решение является фактически почти периодическим; представлением Флоке доказательство этого факта сводится к соответствующему доказательству для постоянного А, а последнее обычно выполняется с помощью представления А матрицей канонической формы. Мы приводим прямое доказательство, которое дает также некоторую информацию о бесконечномерном случае.
113.В. Теорема. Если Хо замкнуто, то каждое решение уравнения (110.1), замыкание множества значений которого компактно, является почти периодическим. В частности, если X конечномерно, то каждое ограниченное решение уравнения (110.1) почти периодично.
Доказательство. Множество [х(п): п целое] содержится в некотором компактном множестве и потому вполне ограничено. Для заданного е > 0 пусть пь . . . , nlt — различные целые числа, упорядоченные по возрастанию, такие, что для каждого целого п мы имеем при некотором /, 1^/-^^, неравенство || х (и) — х (пу) ||^ S-1 е, где S = S„o (теорема 33.С). Пусть / = ’= /(е) = nh — n, + 1. Для данного to е R положим m = [ц1 — /0]. Тогда to^-Hj—m.^nh— m. <С to + I. Пусть / таково, что || х (m) — х (ну) ||^ S_l8. Разность T_mx—Т..пх является ограниченным решением уравнения (110.1). По теореме 33.С
Iх — Т-^пГт^х j = \T_mx — Г_„.х|^
S j T_m(0) —(0)|| = •
= S||x(m)-x(n/)IK8..
Таким образом, интервал [/оДо +/] содержит е-почти-период п,— m решения х. 4-
ОО Предположение, что замыкание множества значений компактно (очевидное необходимое условие), вообще говоря, не является излишним, как показывает пример 113.G с постоянным кососимметрическим или косоэрмитовым А в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Двойные дихотомии
Мы уже упоминали во введении о том замечательном факте, что если оператор А периодический, то вывод о существовании двойных дихотомий, обыкновенных или экспоненциальных, можно сделать, исходя из свойств Х+od для некоторого DebT^. Описываемое теоремой 113.А поведение решений делает это предположение правдоподобным; сейчас мы докажем его. Начнем с простейшего случая двойной экспоненциальной дихотомии.
113.С. Теорема. Предположим, что ЬеЬ5Д не слабее, чем L°°. Если (Х-оо, X +оо) — замкнутый диэдр (который обязан быть пасчлененным) и либо X конечномерно, либо D не слабее, чем L^°, то пара (Х-оо, Х+оо) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для А. Обратно, если замкнутый диэдр (У_, У+) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию для А, то он расчленен и совпадает с (Х-оо, X+od) для каждого Deb2TK.
Доказательство. В предположениях «прямой» части замкнутый диэдр (Х-оо, Х+оо) расчленен по теореме 113.А(1). Применяя теорему 113.А (2) к D+ = D+ и еще раз после симметризации к D~ = D_, находим, что этот диэдр удовлетворяет условиям (EEj±) теоремы 82.F(b) с v^minv- и А^тахМА — , +— ,
Поскольку ЛеМ(1), теорема 82.F показывает, что этот диэдр индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию.
Для доказательства обратного утверждения заметим, что в силу 42.F У± = Х±оо для любого DebT\. Поскольку это относится и к Т, которое не слабее, чем L”, то теорема НЗ.А(1) снова показывает, что диэдр расчленен. 5-
СО Замечание. Альтернативное предположение, что либо X конечномерно, либо D не слабее, чем L”, не является излишним, как показывает пример 113.F с постоянным А в сепарабельном гильбертовом пространстве, где диэдр (Х-оо, Х+оо) = ({0}, X) расчленен и замкнут, по не , индуцирует никакой двойной экспоненциальной дихотомии.
Перейдем к случаю обыкновенных двойных дихотомий, который осложняется возможностью нерасчлененности диэдра. Ввиду теорем 113.С и 113.А(2), казалось бы, достаточно для «прямой» теоремы взять D = L°°, однако никакой особой выгоды для доказательства это ограничение не дает.
113.D. Теорема. Если D е Ь.7"к и (Х-оо, X+оо) — замкнутый диэдр, то этот диэдр индуцирует двойную дихотомию для А.
Доказательство. 1°. Мы докажем, что Х+оо индуцирует дихотомию для Ат, проверив выполнение условия (d) теоремы 41.А. Соответствующее утверждение для Х-оо и А_
получается симметризацией, а оба вместе они приводят к требуемому заключению.
Пусть N, N+ и N- — константы из части (1) теоремы 113.А, части (2) этой теоремы с D+ = D+ и симметризированной части (2) с D = D„ соответственно (если Х^ = А-оо П X .о = {0), то выбор /V > 1 произволен). Пусть дано л> I, и пусть q+— (Aon, ^-расщепление подпространства А_13. Если х = = x(A-od, AAod)— раскрытие диэдра, то q+ индуцирует, согласно 11.М, (A+od, Лх)-расщепление q пространства А. Это будет расщепление из 41.A(d).
Пусть у и 2—решения уравнения (110.1) с требуемыми у+ и z+, т. е. у (0) е А+оз и y(z(0)) =2(0).
Последнее условие означает, что z(O)eA-od и zplzlO)) = = г(0), и влечет неравенство || г (0) || ^ Xd (Aon, z (0)). I la основании теоремы 113.A (2) (с использованием симметризации) у^ и г+ удовлетворяют условиям роста (Di) и (Du) с М+ = М+ и ' N+ = N~. Поэтому остается только доказать условие угловой удаленности (Ощ).
2°. Мы утверждаем, что
|| 2 (п) || < X'd (Aon, г (п)),. n = 0, 1,...,(113.2)
где
V = (X+ 1)МЛГ + 1 > 1.(113.3)
Разобьем доказательство соотношения (113.2) па два случая. В обоих мы рассматриваем произвольное решение и уравнения (110.1) с н(О)еАоп и замечаем, что Тпи (0) е Aon, откуда (z(0)— Tnii (0) е А-od- Мы предполагаем, что п дано.
Предположим, что XN~ || z(n)|| ^ X' || z(0)||. Тогда (симметризированная) теорема 113.А (2) дает
llz(n)||^V(XMT1||z(0)||<V(M")_,d(Aoo, z(0))<"
< Х' (n~Y 1II2 (0) - Тпи (0) II ^ X' II2 (и) - Т пи W II = = X' II 2 (и) - и (0) ||.
Поскольку zz (0) е Aon произвольно, неравенство (113.2) справедливо в этом случае.
Предположим, что XN~ || z(n) || > X' || z(0) ||. Снова по (сим- метризованной) теореме 113.А (2) и по теореме 113.А(1)
NN” || г (/г) — и (0) || = NN- || 2 (и) — Тпи (/г) ||>
•>Х\\2^-Тпи^\\>
^N\\u(--n) ||-М||г(0) \\> >||ц(0) ||-A||z(0) \\>
'>||z(n)||-||z(/z)-n(0)||-M||z(0)||,
откуда, используя (113.3), находим
^NN” + l)||z(n)-u(0)||X|z(R)||-X||z(0)|l>
>(1 -Г_,ХХХ“)||г(п)|| =
= X'-4NN- + 1)11 г (n) II.
Поскольку и (0) g Xqd произвольно, то (113.2) справедливо также и в этом случае.
3°. По лемме 11.L из (113.2) вытекает, что
||z(n)IKVd(Xo3, z(n)X Vxd(X+0D, 2 (и)), и = 0, 1,
Далее, sgn у (п) = sgn Т-пу (0) е Х+оо- Поэтому при у, г ^ 0 у Vy (n), z (м)| = || sgn z (п) - sgn у (п) || >
>||z(n)H ''d(X+oo, z(n) )XVx)“'.(113.4)
Наконец, при 1е/?+ из (31.10) и (113.4) следует, что
V \У (0, г (/)] > ^ Е~\\у ([/]), z ([/])]> 1 кЕ^Л
Таким образом, условие (Ощ) справедливо с
Yo=Yo(^) = 4^2x^+ П^Х^ + ОГ'. £
Как отмечалось выше, сильнейший частный случай теоремы 113.D таков: если (Х_о, Х+о)— замкнутый диэдр, то этот диэдр индуцирует двойную дихотомию для Л. Тривиальное слабое обращение этого результата таково: если некоторый замкнутый диэдр (У-, У+) индуцирует двойную дихотомию для А, то пара (Х-о, Х+о) является диэдром (ибо У±с:Х±о). Таким образом,
Если пространство X конечномерно, то замкнутый диэдр, индуцирующий двойную дихотомию для Л, существует тогда и только тогда, когда Х_0 + Х+0 = Х.
ОО Замечание. Если X не конечномерно, то в этой связи возникают два вопроса. Во-первых, верно ли, что из существования замкнутого диэдра, индуцирующего двойную дихотомию, следует, что диэдр (Х-о, Yj-o) замкнут или эквивалентно что многообразие Хо замкнуто? Ответ отрицателен: контрпримером для случая сепарабельного гильбертова пространства служит пример 113.Н. Примера с постоянным оператором А мы не нашли. Второй вопрос остается открытым (мы предполагаем, что ответ отрицателей).
ОО Проблема. Если (Х-о, Х+о)—незамкнутый (по, возможно, раскрытый) диэдр, то существует ли замкнутый диэдр, индуцирующий двойную днхо- томикР
ОО В заключение заметим следующее: если X конечномерно и (Х_о, Х+о) — диэдр, то X = Хо 4- Х-оо + Х4Оо- Для постоянного А это довольно просто вытекает из явной формы решений, а для периодического Д доказывается
при помощи теоремы Флоке Это утверждение неверно, если X не является конечномерным, как показывают примеры 113.1 (для сепарабельного гильбертова пространства) и 113.J (для нерефлексивного несепарабельного пространства, но с постоянным Д). Мы не знаем контрпримера с постоянным Д для (сепарабельного) гильбертова пространства или хотя бы для рефлексивного пространства.
оо Примеры
113.F. Пример. Пусть X— действительное или комплексное сепарабельное гильбертово пространство интегрируемых в квадрате действительных или комплексных функций х = (ха), а = [0, 1], с 1Лнормой. Определим симметрический или эрмитов оператор А формулой (Дх)а = оха, ее [0, 1]. Тогда (J (I) = е~1А, так что (U(t)x) а = ё~^ х0 и
1
lim || U (t) х |р = lim f e-2to | x0 |2 do = 0
£-> oot-> oo J
по теореме Лебега о сходимости под знаком интеграла. Следовательно, Х+оо = Х. С другой стороны lim || U (t)x ||₽ оо для всех х^О, так что t-> —оо
Х-оо = {0}.'
Мы утверждаем, что не может быть, чтобы
|| U W x\\<N + e”',+ а“ад11 U (/„) Х||
для всех х е Х+оо = X и всех t ^ t0, не говоря уже об индуцировании экспоненциальной дихотомии замкнутым диэдром (Х_Оо, Х+оо) = ({0}, X). Действительно, это означало бы, что || U (/) ||^ Af+e-v *->0 при/->оо. Однако, если xw еХ определено формулой х^ = »‘/2Х[0 п-ц (а), п = ',2то ||х(”>|| = 1 и для фиксированного t ^0■
II U (t) х№ IP = п I" e-2t" do > 2-2tin -► 1 при п -> оо,
б
так что 11^(011 ^ 1 для всех t ^ 0 (фактически имеет место равенство). 4,
В остальных примерах X — действительное или комплексное сепарабельное гильбертово пространство суммируемых в квадрате последовательностей х = (х„) действительных или комплексных чисел, где п пробегает все целые числа. Обозначения те же, что и в примере 111.G. В частности, V = ew — оператор смещения: Vem = еш + ь
113.G. Пример. Положим А =—IF. Это кососимметрический или косоэрмитов оператор, так что оператор U(f) — etw ортогонален или унитарен. Каждое решение х уравнения (110.1) ограничено; фактически ||х|| даже постоянна. Более того, поскольку X рефлексивно, то слабое замыкание множества значений х слабо компактно. Однако, как мы сейчас покажем, никакое нетривиальное решение не является слабо почти периодическим и тем более почти периодическим.
Пусть х — нетривиальное решение, скажем с хт(0)=£0. Тогда х (п) = Vnx (0), так что xm(n) = xm_„ (0)-> 0 при п-> оо Мы покажем, используя обычные приемы теории почти периодических функций, что это уже запрещает функции хт = (х, ет) быть почти периодической. Предположим
противное, т. е. что она является почти периодической. Пусть дано е, 0 < 4е < <|хт(0)| Поскольку всякая почти периодическая функция равномерно непрерывна, то мы можем выбрать б > 0, столь малое, что если t, t'e R, |/' — — А <6, то хт(/')—хт(/)|^е. Пусть р — целое число, столь большое, что km(n)l = km-n(0)l ^ е для всех п ^ р, и пусть (Th)—последовательность е-почти-периодов функции хт с Тд ^-i—т* ^ р. Поскольку дробная часть Хк лежит в компактном множестве [0, 1], то существуют к, к', к' > к, и целое число г ^ р, такие, что | г — (тА, — Tfe) | ^ д. Но здесь мы приходим к противоречию:
I хт (0) | ^
< I хт (°) * хт (H^t) ) | + | хт (r~xk' + xk)-xm (") | + | хт ^ I < < е + 2е + е < | хт (0) I. j,
113.Н. Пример. Рассмотрим алгебраическое сопряженное к уравнению примера 111.G, т. е. во введенных там обозначениях A(f) =— IT + + 6/(1—f)etwRe-tw в интервале O^/^l и продолжается по периодичности вне этого интервала, так что 4еРС(Х), U (/) = etwe-p (3~2б для 0 < / < 1 и 0,= ewe^R = Ve~R.
Поскольку оператор e!W унитарен и е~р (3-2<> Rem = ет или е~р (3-2<) вет в соответствии с тем, будет ли т<0 или ^1, то из (110.4) следует, что ||7/х|| не возрастает для каждого х. Поэтому Х+о = X, и замкнутый диэдр ({0}, X) индуцирует двойную дихотомию. Далее, Хо = Х-о П Х+о = Х-о. Если п — положительное целое число, то 1/( —п) ет = (,eRV-lT ет = ет-п при ш < 0 и U (— и) ет = min {еЕП, eEm}em_n при т ^ 0. Поскольку ||7/е,„|| не возрастает, то lim ])L/(/)em!]= Пт || U (— n) emfi = max {1, eEm} < оо. Сле-
?-> —ооП-> оо
довательно, Х-0 = Хо содержит все ет и, значит, плотно в X. Однако для
х = ^ m-leme X мы имеем ЦС/(—п)х||^|(7/(—п)х)0| = ц-'е®»-> оо при 1
/1->оо, так что х ^ Х-о. Таким образом, Х-о = Хо не замкнуто, j,
113.1. Пример (продолжение примера 111.G). В примере 111.G норма |[7/х11 не возрастает для каждого хеХ (это доказывается так же, как в предыдущем примере), так что Х-о = X, Х+Оо = {0} и (X, (0)) индуцирует двойную дихотомию. Для каждого in U (п) ет = (Ve^)" em = min {eEn, eE(n+m)} em^ для всех достаточно больших положительных целых чисел п, следовательно, im || U (/) х В = оо для всех х=£0, и Х+о = {0}. Наконец, для всех п "^ 0
U (-n^em = Ve-RV~AY em = em-n при m < 0 и max {e-En, e-Em} em_n при m > 0, так что lim |] [/(/)’х||>0 для всех хфО и Х_Оо = {0}. Поэтому
•t-> — ОО
Хо + Х_оо + Х+оо = {О}^Х. £
113.J. Пример (продолжение примера 44.В). Если мы в примере 44.В рассмотрим алгебраическое сопряженное уравнение (в X* = I”, с постоянным —А*) как определенное на всей оси R, то все решения уравнения (110.1), очевидно, не возрастают и не ограничены при t~> — оо (за исключением тривиального решения). Поэтому ({0), X ) = (Х_0, Х^_о) индуцирует двойную дихотомию. Однако Х_тсХ_0 ={0} И X +03 =• /д (пример 44,В), так что Хд + Х_оо + X +эо = /0 5^ l°° = X . 4,
Экспоненциальные и двойные экспоненциальные дихотомии
В этом пункте мы исследуем другой вопрос, а именно связь между двойными экспоненциальными дихотомиями для А и экспоненциальными дихотомиями для А + и некоторые относящиеся сюда результаты аналогично тому, как мы это проделали в § 102 и 103 для почти периодических уравнений. Основным результатом здесь является точный аналог теоремы 102.А.
113.К. Теорема. Следующие утверждения эквивалентны:
А обладает двойной экспоненциальной дихотомией и индуцирующий ее замкнутый диэдр (Х-0, Х+о) является расчлененным;
А обладает двойной экспоненциальной дихотомией;
А+ обладает экспоненциальной дихотомией.
Доказательство. Импликации (а)->(Ь)->-(с) тривиальны. Доказательство импликации (с)—>(а) совершенно аналогично соответствующему доказательству в теореме 102.Л (с т(п) = и, и =1,2,...), за тем лишь исключением, что часть Г доказательства заменяется ссылкой на тот факт, что ТпА = А, п = = 1,2,... (импликация (Ь)-*(а) содержится в теореме 113.С.) 5,
113.L. Если <4 ^ обладает экспоненциальной дихотомией, то Х+0(Д) = = ЛДоИ+) дополнимо. ■
Доказательство. В силу импликации (с) -> (а) из теоремы 113.К Х,о(Д) имеет дополнение Х_0(Д). ^
113.М. Теорема. Если либо А обладает двойной экспоненциальной дихотомией, либо А+ обладает экспоненциальной дихотомией, то пары (Р, PC) и (PC, PC) регулярно допустимы для А и Хор = Хо = (0\
Доказательство. Альтернативные предположения эквивалентны по теореме 113.К и по той же самой теореме имеют следствием равенство A0 = {0}. По лемме 82.S пара (М, L°°) допустима для А. Для любой функции fe PUO^M^), a fortiori для любой функции f е РС(Х), пусть х— единственное ограниченное решение уравнения (110.2). Вследствие периодичности ТХх также является решением уравнения (110.2), поэтому Тхх = х и х периодично, £
В противоположность почти периодическому случаю (теорема 103.А) обращение теоремы 113.М неверно лаже для постоянного А и одномерного комплексного или двумерного действительного X;
113.N. Пример. Пусть X является (отождествлено с) комплексным полем. Положим Л = и Тогда 1Ц1)=ги, и оператор 1 — Ut = 1— е~* обратим. По теореме 112.В пары (Р, PC) и (PC, PC) допустимы. Фактически верно большее; используя замену переменной, можно показать, что для каждой периодической функции f е L(X) с периодом, не являющимся кратным 2л, уравнение (110.2) имеет единственное решение с тем же самым периодом. Однако все решения уравнения (110.1) имеют постоянную норму, так что А не обладает двойной экспоненциальной дихотомией.
Если в качестве X взять «несущую» действительную евклидову плоскость, то то же самое уравнение даст соответствующий действительный двумерный контрпример. 5,
Замечание 1. В случае X = R обращение теоремы 113.М все- 1
таки верно. Действительно, положим ^Д (t) dt ^= о. Из допустимости 6
вары (Р, PC) или (PC, PC) для А но теореме 112.В следует, что 1 — Ux = 1 — е-0 =# 0, т. е. что о + 0. Если о > 0, то для любого t ^ Zq мы имеем
\
- р {и) du <'
/
/ ^о + [^ ^и1\
Е exp I — J А(и)Цп| =
==£е_пц_(о]<£е0е_ац_<,)
Таким образом, пара ((0), X) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию. Если а < 0, то симметризацией получаем, что (X, (0)) индуцирует двойную экспоненциальную дихотомию.
Замечание 2. Теперь мы можем ответить на вопрос о том, что изменится в теореме ЮЗ.А, когда модули 6 и ( неплотны (в этом случае мы, конечно, опускаем предположение непрерывности А и (). Используя теорему ИЗ.К, так же как в теореме 103.А, получаем, что условия (а) — (е) по-прежнему эквивалентны и влекут (?) и (g), а эти последние в свою очередь влекут (h) и (i) соответственно, причем все это не зависит от предположения рефлексивности пространства X. Из теоремы Н4.С следует, что если добавить это предположение, то условия (?) и (?т) эквивалентны, равно как и условия (g) и (i), и что если X конечномерно, то все эти четыре условия эквивалентны. Однако пример 113.N показывает, что никакое из этих четырех условий, вообще говоря, не влечет/ ни одного из первых пяти, даже если А постоянна, а X — комплексное одномерное или действительное двумерное пространство.
Имеется важная характеризация тех ЛеР(Х), которые обладают двойной экспоненциальной дихотомией в терминах спектра оператора Ux. Для того чтобы сделать эту характери-
зацию пригодной также и для случая действительного X, мы должны использовать формализм к о м п л е к с и ф и к а ц и и X + IX пространства X (см., например, Риккарт [1], стр. 5—9). Это множество (формальных) элементов х + iy, х, у е X с очевидными алгебраическими правилами для комплексных чисел и с
II х + iy 11= max (||х cos 9 — у sin 0 || +1| х sin 0 + у cos 9 ||)/ ^2.
Алгебра операторов (X + /X)' состоит из элементов А + IB, А, В е X, с очевидными правилами действия на элементы. Обычно «спектром» оператора АеХ называют спектр оператора А + 10 е (X + iX)~. Очевидно, что Л е Р(Х) обладает двойной экспоненциальной дихотомией тогда и только тогда, когда ею обладает А + i0 е Р((Х + 1Х)~); и если оператор Ut соответствует А, то Ut + /0 является оператором, соответствующим А + 10.
Обещанная характеризация дается следующей теоремой. Эту теорему можно было бы приспособить для получения другого доказательства теоремы 113.К, но мы предпочитаем рассматривать их независимо, поскольку они совершенно различны по ^срдей-фушщионально-анадитической природе.
113.0. Теорема. А обладает двойной экспоненциальной дихотомией ^эквивалентно, А+ обладает экспоненциальной дихотомией) тогда и только тогда, когда спектр оператора Ut не пересекается с единичной окружностью.
Доказательство. Ввиду предыдущих замечаний мы можем ограничиться и ограничимся случаем комплексного X. Спектр оператора U будет обозначаться через А((7).
Условие необходимо. Пусть а — любое фиксированное действительное число. Решения уравнения у + (А + iaf)y = O отличаются от решений уравнения (110.1) множителем e-iot, так что замкнутый диэдр, индуцируюший двойную экспоненциальную дихотомию для А, индуцирует ее и для А + lol. По теоремам 113.М и 112.В, примененным к A + iai, оператор / — e~iaUi обратим, и, следовательно, е'” ^ А (Сд). В силу произвольности а заключаем, что Л (И,) не пересекается с единичной окружностью.
Условие достаточно. Поскольку множество Л((/1) компактно и не пересекается с единичной окружностью, то Л((/1) = Л- U Л+, где Л- и Л+ — компактные непустые одновременно множества, соответственно внешнее и внутреннее по отношению к единичной окружности. По теореме о спектральном разложении (см., напри-
мер, Рисе и Секефальви-Надь [1], стр. 450) существует расчлененный замкнутый диэдр (У-, У+) с Y±, инвариантными относительно оператора U\, такой, что если U- — сужение U\ на У± (гак что (№)"— сужение 17” на У± для каждого целого п), то Л([7±)=Л±.
Поскольку множества Л(П+) и Л(((/_)_|) лежат оба внутри единичного круга, то существует V > 0, такое, что спектральные радиусы как оператора U+, так и оператора (И-)-1 будут <е-11'. Тогда для всех достаточно больших положительных целых т мы будем иметь '||([7+Л|1, |!(П~) ||^e-vm. Поэтому существует No > 0, такое, что
■т-0, 1,.... (113.5)
Если Л' или А+ пусто, то соответствующая часть доказательства бессодержательна, и ее надо опустить.
Рассмотрим решение г- уравнения (110.1) с г-(0)еУ+. Возьмем t > t0 и положим n = [Z] и п0 = [/о], так что п ^ п0 и । ((— 4) — (п —«о) i^l- Согласно (110.4),
г” (п) = П?г- (0) = (У+Г г" (0), z' (n0) = (Д+Г z" (0).
Используя (113.5) и (31.7), получаем
^-(Oll^ E'h“(n)||< e||(C,"T ""Ilk^Mlic
< EW"V (^',о) IIг" (to) II < ,\rVvII2" (fo)||,
где N' = E2Noev . Таким образом, условие (EEj-) теоремы 82.F выполняется. Для решения z+ уравнения (110.1) с z+(0) е У_ и t ^ t0 из тех же самых рассуждений вытекает равенство V(n0) и, следовательно, выполнение условия (ЕЕ,+) той же самой теоремы. Поскольку ЛеМ(^), теорема 82.F показывает, что А обладает двойной экспоненциальной дихотомией. 4,
Если мы применим теорему 113.0 к случаю постоянного А, то получим обобщение хорошо известного для конечномерных X результата:
113.Р. Теорема. Если АеХ то (постоянное)А обладает двойной экспоненциальной дихотомией (эквивалентно, А+ обладает экспоненциальной дихотомией) тогда и только тогда, когда спектр А не пересекается с мнимой осью.
Доказательство. Мы снова можем считать, что X комплексно. Далее, Ux = е-А. По теореме об отображении спектра (см., например, Рисе и Секефальви-Надь [1], стр. 462) преобразование
Х-^-е~к комплексной плоскости отображает А(Л) па А(е~А) и мнимую ось на единичную окружность. Поскольку мнимая ось является полным прообразом единичной окружности, то А(А) пересекается с первой тогда и только тогда, когда А^^ = А(е~А) пересекается со второй. Наше утверждение следует теперь из теоремы 113.0. 5,
114. Индивидуальные периодические уравнения ^.^'-^
В этом параграфе мы рассматриваем уравнение (110.2) с ЛеР(Я) и заданной функцией / е Р(Х) (эти предположения остаются в силе на протяжении всего параграфа). Нас будут интересовать главным образом условия, обеспечивающие существование периодических решений в предположении, что существуют решения определенного типа (в частности, ограниченные решения). Интересно, что предполагаемые свойства этих решений, такие, как ограниченность, относятся, вообще говоря, только к сужениям на R+ (или после симметризации на R-'). Результаты этого параграфа стоит сопоставить с теоремами Фавара, рассмотренными в § 104.
Используются два основных метода: один, основанный на теореме Тихонова о неподвижной точке, другой — на теореме Хана — Банаха. Наиболее общий результат, получаемый первым методом, таков:
114.А. Теорема. Предположим, что уравнение (110.2) имеет решение х, для которого замкнутая выпуклая оболочка множества {х(и): и = 0, 1 . . .} слабо компактна. Тогда уравнение (110.2) имеет периодическое решение.
Доказательство. Согласно (112.1), множество {^(п)} инвариантно относительно неоднородного линейного непрерывного отображения х -> U\X + Ф/. Следовательно, его замкнутая выпуклая оболочка К также инвариантна. Поскольку отображение линейно и непрерывно, оно также непрерывно в слабой топологии, в которой К компактно. По теореме Тихонова о неподвижной точке (Тихонов [1]) в К существует неподвижная точка уо нашего отображения, т. е. (/— U^yo = Ф/- В силу (112.3) решение у уравнения (110.2) с у(0) = у0 является периодическим. 5,
Мы приведем два приложения этой теоремы. В первом предполагается существование решения с относительно компактным множеством значений (по крайней мере на R+). Во втором от решения, существование которого предполагается, требуется только ограниченность (на R или на RV), но надо добавить некоторое предположение о рефлексивности.
'114.В. Теорема. Если уравнение (110.2) имеет решение х,
такое, что замыкание множества значений функции х+ компактно, то это уравнение имеет периодическое решение.__
Доказательство. По предположению замыкание С множества {x(n): n = 0, 1, .. .} компактно. Замкнутая выпуклая оболочка К множества (x(/z)} совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества С. Следовательно, само К компактно и тем более слабо компактно, и паше утверждение вытекает из теоремы 114.А. А
114.С. Теорема. Предположим, что замыкание многообразия Х0[Х+0] рефлексивно (в частности, что X рефлексивно}. Если уравнение (110.2) имеет ограниченное решение \решение х с ограниченным xj, то оно имеет периодическое решение.
Доказательство. Если х ограничено, то ограничены также Т-пх, и = 0,1,..., и уп = Т_пх — х является ограниченным решением уравнения (110.1). Поскольку уп (0) = х(п} — х(0), множество (t/n(O)} ограничено в Хо, а его замкнутая выпуклая оболочка Ко ограничена в cl Хо. Если cl Хо рефлексивно, то Ко компактно в слабой топологии в с! Хо, которая в силу теоремы Хана — Банаха совпадает с топологией, индуцируемой на cl Хо слабой топологией пространства X. Следовательно, Ко слабо компактно в X, и таково же множество К = х}0} + Ко — замкнутая выпуклая оболочка множества (х(ч)}. Наше утверждение следует теперь из теоремы 114.А. Доказательство при отчасти более слабом, отчасти более сильном предположении, что х+ ограничено и с! Х40 рефлексивно, совершенно аналогично. 4»
Замечание 1. Для конечномерного X доказательство теоремы 114.С сводится при помощи теоремы 114.Л к теореме Брауэра о неподвижной точке. Другое доказательство основывается на представлении Флоке. Еще одно можно получить из теоремы 114.F.
ОО
СО ОО Замечание 2. Можно спросить, нельзя ли отбросить предположения компактности в теоремах 114.А, 114.В и 1I4.C (где оно появляется под видом рефлексивности), т. е. не будет ли одного существования ограниченного решения или даже решения, ограниченного только на R.,, достаточно для существования периодического решения. Пример, построенный в Массера и Шеффер [2] (пример 3.3) для сепарабельного (но, конечно, нерефлексивного) пространства Iх (фактически для пространства, ему конгруентиого), убедительно свидетельствует в пользу отрицательного ответа.
ОО
СО СО Добавление при корректуре. Ответ действительно отрицателен. Это может быть получено при помощи упомянутого примера ввиду того недавно открытого Нейбауэром [1] факта, что множество обратимых операторов в Iх связно в (/')'.
Замечание 3. Из доказательств явствует, что в теоремах 114.В и 114.С предположения об относительной компактности множества значений и об ограниченности соответственно незачем относить к самим х+ или х, а достаточно отнести к пх значениям при целочисленных 1. Однако, как легко показать, никакого ослабления предположений при этом на самом деле не происходит (ср. Массера и Шеффер [2], лемма 3.1).
Теперь перейдем к основному результату, получаемому при втором подходе. Прием, используемый в доказательстве, принадлежит Боненблусту и был применен (для случая конечномерного X) Массерой [Ij.^uw SOz.^
"^Т14.Р. Теорема^Еслы уравнение (110.2) имеет решение х, для которого
lim inf || х (п) ||/« = 0, П->оо
где п пробегает целые числа (в частности, для которого х+ ограничено'), то Ф/ лежит в замыкании образа оператора 1 — Ui.
Доказательство. В силу (112.1)'
п-1
х (п) = U\X (0) + s U^f, « = 0,1 (114.1)
Возьмем произвольный линейный функционал х*е((/ — U\)X)°, где поляра берется в X*, т. е. х* лежит в нуль-пространстве one-, ратора (/—Hi)*. Тогда (Hi-.x*) = (-.х*), так что (114.1) дает
II X («) 1111 х* II > | (х (п), х*) | = | (х (0), X*) + п (ФГ, х-> |.;
Деля на п и беря нижний предел при п-^оо, находим, чъ (Ф/,х*)=0. Поскольку х* ^ Ц1 — (7i)X)° произвольно, то
Ф^((/-Е1)Х)00 = с1((/-Е1)Х). 4,
В предположениях теоремы 114.D f принадлежит Р-замыканшо множества функций из Р(Х), для которых уравне-. ние (110.2) имеет периодическое решение. Если, кроме того,\ fePC(X), то f лежит в PC-замыкании соответствующего мноД жества в РОД.'
Доказательство. Множество, о котором идет речь, это ф-'((/— П|)Х). По лемме 112.А V является изоморфизмом X в подпрострап, тво ЧЕХ пространства Р(Х), и это подпространство имеет дополнение Ф~'({0)}. Далее, для любого множества
V с X имеет место равенство Ф_| (У^ДТ + Ф-1 ({0}). По теореме 114.D
f е Ф"1 (cl ((/ - U^ X)) = Д cl ( U - (7,) X) + Ф-1 ({0}) =
= с1Р(Д(/-(71)^) + Ф"!({0}) =.
= с1Р(^(/-П1)^ + Ф“'({0})) =
= С1Р(Ф"'1((/-У1)^)).
Доказательство для fePC(X) совершенно аналогично. ^
ОО Замечание. В общем случае неверно, что если Ф/ принадлежит замыканию множества (/ — Ui)X, но не принадлежит самому множеству (/—U0X, то уравнение (110.2) имеет ограниченное решение. Действительно, если X рефлексивно, то такая возможность исключается теоремой 114.С. Остается открытым следующий вопрос:
ОО Проблема. Если Ф/ес1((/— L/i)X)\(/— Ui)X, то всегда ли уравнение (110.2) имеет решение с
Игл inf || х (л) ||/« = 0? П-»0О
Мы подошли к главному приложению теоремы 114.D.
114.F. Теорема. Предположим, что образ оператора I — Vх замкнут (или что выполняется любое из эквивалентных условий теоремы 112.С). Если уравнение (110.2) имеет решение х с lim inf || х(п) Щп=0(п целые) или эквивалентно с liminf || x(t) ||// = 0, Д~>оо<->оо
в частности решение с ограниченным х+, то оно имеет периодическое решение.
Доказательство. Эквивалентность предположений о нижних пределах следует из неравенства || х (п) || ^ F(|| х (I) || + |f |м), справедливого, согласно (31.5), для любого п и любого 1, такого, что n^/^n+ 1. По теореме 114.D Ф/ е(/ — П\)Х, т. е. (/—Ui)yo = <I>j для некоторого у0 е X. В силу (112.3) решение у уравнения (110.2) с у(0) — уо периодично. Другое доказательство опирается на теорему 112.С и лемму 114.Е. 5,
Глава 12
Уравнения высших порядков
Введение
Содержание главы
В предыдущих главах рассматриваемыми линейными дифференциальными уравнениями были уравнения (30.1) и (30.2), т. е.
х + Лх = 0,(120.1)
х + Лх = $.(120.2)
Это уравнения первого порядка (хотя значения хи) лежат в .банаховом пространстве X), в которые входит только первая производная от решения. В этой главе объектом нашего исследования являются уравнения высших порядков
w<m н> + 2 Akw№ = 0, (120.3)
ш(т+1> + ^ Akw№ = h, (120.4) о
где т — некоторое положительное целое число, значения w и 1г принадлежат некоторому банахову пространству W, а значения каждой из функций Ак— пространству W.
Обычно утверждается, что уравнения (120.3) и (120.4) могут быть сведены к уравнениям (120.1) и (120.2) в подходящем более широком пространстве X (а именно во внешней прямой сумме m + I экземпляров пространства W^ и что поэтому теория уравнений высших порядков может быть получена как частный случай из теории уравнений первого порядка Первая часть этого утверждения по существу верна, и мы опишем указанную редукцию в § 121. Однако вторая его часть, вообще говоря, неверна.
В свете наших задач это видно лучше всего на понятии допустимости пары функциональных пространств для уравнения (120.4). Пусть даны В, D е ЬЛ^ 1^). Разумно назвать пару (В, D) допустимой для уравнения (120.4), если для каждой
li е В существует решение eeD уравнения (120.4). Если мы рассмотрим соответствующее «редуцированное» уравнение (120.2), скажем в прямой сумме Л" = Ц^Эф^т, то это условие означает, что для каждой функции { с m-й «компонентой» из В, а остальными, равными 0, существует решение х уравнения (120.2) с 0-й «компонентой», принадлежащей D. Здесь рассматриваемые / действительно образуют пространство из класса ЬЛДЛ"), но если бы В было ^"-пространством или 5Г- пространством, то это уже не имело бы места для соответствующего пространства функций /. Более серьезным препятствием на пути установления связи допустимости пары (В, D) с какой-либо допустимостью для уравнения (120.2) и последующего применения результатов предыдущих глав является отсутствие априорных ограничений на «компоненты» решения х, отличные от 0-й.
К счастью, только что описанные трудности в основном могут быть обойдены посредством некоторых технических приемов для наиболее важного случая У"-нар и подобных им пар, если только относительно Ah сделать некоторые умеренные предположения. Таким образом, становится возможным установить результаты, по существу аналогичные результатам гл. 6, связывающие допустимость ^-пар, или какое-нибудь аналогичное условие с поведением решений однородного уравнения (120.3) и их производных.
Заметим, что. затрачивая несколько больше усилий на технические усовершенствования, те же самые методы можно применить к системам уравнений, в которых каждое уравнение имеет свой порядок; при этом получаются по существу те же самые результаты. Мы не будем здесь углубляться в этот вопрос.
Другим, и более фундаментальным различием между уравнениями (120.3) и (120.4), с одной стороны, и уравнениями (120.1) и (120.2) —с другой, является сложность определения в первом случае понятия алгебраического сопряженного уравнения. Более точно, если мы обычным путем сведем уравнение (120.3), скажем, к виду (120.1) и затем рассмотрим соответствующее алгебраическое сопряженное уравнение х* — Д*х* = 0, то это уравнение не будет иметь вида, получающегося при редукции предполагаемого «алгебраического сопряженного» к уравнению (120.3). С другой стороны, обычное определение такого алгебраического сопряженного уравнения предполагает достаточную гладкость функций Л/, и несимметрично, даже если не обращать внимания на возможную асимметрию U7 и W*. Билинейный функционал, входящий в соответствующую форму формулы Грина, сам несимметричен и зависит от t (ср. Хартман [1], раздел 12).
Эти и относящиеся сюда ' вопросы подробно изучались Хартманом [1]. Его работа основана на весьма общем абстрактном методе, который применим и к другим ситуациям, помимо рассматриваемой в настоящей главе, не обязательно связанным с дифференциальными уравнениями. Мы включили данную главу в книгу с единственной целью дать читателю возможность составить представление,о характере этих результатов и о специальных проблемах, которые они влекут за собой. Поэтому глава эта гораздо беднее других как по части методов, так и по охвату материала. Мы довольствуемся здесь схематическими набросками центральных теорем типа теорем гл. 6, о которых мы уже упоминали выше. Мы опускаем обсуждение для уравнений высших порядков всех вопросов, с которыми имели дело в гл. 7—11. Мы используем некоторые доказательства из работы Хартмана, но не пытаемся описать его общий метод. Мы отсылаем к его статье за дальнейшей информацией, особенно об алгебраических сопряженных уравнениях и о некоторых уравнениях второго порядка при различных предположениях относительно До и А\. См. также книгу Хартмана [2], гл. XIII.
§ 121 посвящен обсуждению уравнений (120.3) и (120.4), сведению их к виду (120.1), (120.2) и исследованию их решений. Приводится важная теорема (121.В), дающая оценки для производных решений исходя из оценок самого решения и функции 1г. В § 122 рассматриваются понятия допустимости и (В, В)-под- пространств для ^-пар. В § 123 излагаются основные теоремы.
п-е первообразные функции
Для того чтобы говорить надлежащим образом о решениях уравнения (120.3) или (120.4), мы должны обобщить понятие первообразной функции, п - ю первообразную (фу н к ц и ю) на интервале J со значениями в банаховом пространстве X определим рекуррентно: f является первой первообразной, если ) является первообразной; f является (п + 1)-й первообразной, если f является первообразной и / является n-й первообразной, ц = 1, 2Если f— п-я первообразная, то мы обозначаем через Р\ k = 0, ..., п, ее /г-п роизводную, определяемую рекуррентно формулами fw = f, f<k+l)= (fto)'. Каждая из них, за исключением последней, является (п— /г)-й первообразной.
Докажем одну лемму, дающую оценки производных f(0),... ..., fw (т+1)-й первообразной через f и
120.А. Для каждого положительного целого т существует действительное число ст>0, обладающее следующим свойством; если f: J -> X является (т+1)-й первообразной, то для за-
данного компактного интервала [т, т + А] с: /
;V|lf<fc) (/)IKcmyilf(T + /A/m)|| +
1-0
Т + Д
£ = 0, ..., m. (120.5)£ = 0, ..., m. (120.5)” J ||f<"i+D(u)№, fe[T, т + A],
£ = 0, ..., m. (120.5)
£ = 0, ..., m. (120.5)
Доказательство. Достаточно проверить соответствующее неравенство m1
|Ф(А) (s) К cm ^|ф(//т)|+ j |ф,т+° (r)\dr, se[0, 1], k = 0,...,m, j=00
(120.6)
где ф — действительная (т+1)-я первообразная на [0,1]. В самом деле, для данных /, е [т, т + А] и к существует х* е X*, такое, ЧТО ||х*|| = 1 И (РЧЛ), х*) = ||/W(/|) ||. Положим ф($) = = Re(f(r+sA), х*), так что ф(’Ч$) = А’Ке(/(,Дт + 5А), х*\ 1 = = 0,. ,.,т+1, и выполнение неравенства (120.6) в точке s = = (Ч—т)/А влечет выполнение неравенства (120.5) в точке t = tx.
Перейдем к доказательству неравенства (120.6). Рассмотрим интерполяционные многочлены nmj степени т, удовлетворяющие условиям КтАМгп^=Оц1 0 = 0, .... гп. Фактически эти многочлены имеют вид лт/(s) = Ц (ms — i)/(j — i). Существует общая граница ст > 0 для всех |л^|, j, к = 0, .... т, на интервале [0, 1]. т
Далее, ф = ф + 2 ф (Цт) пт!, где ф является (т + 1)-й 1=о
первообразной, обращающейся в нуль в точках s = //m, / = = 0,..., m. По теореме Ролля существует sh е [0, 1], такое, что Ф(Ь)(s'/г) = 0, к = 0,. . ., т. Поэтому
1
< 11 а|)№+1)(г)| dr, s е [0, 1], к = 0, .... т. о
Используя индукцию по m — к, находим т
|ф(*)(з)К[1р^) (х)| + ^|ф(/7т)||л(Д>.(5)|<
1т
г</|^<,г+1)(г)1^г + ст^|ф(//т)|.
.• о1=0
Поскольку л^.1"11 = О для всех /, то ^(т+Р = фПп+р, и (120.6) доказано. £
Замечание. Детальный анализ многочленов Ят/ и их производных / т \
показывает, что ст может быть взято равным т m I для четных т и
•\2/
(m-i)^ для нечетных т.
Уравнение (т+1)-го порядка
Хотя, конечно, мы могли бы принять и более общую точку зрения, условимся, что по всей этой главе областью изменения t будет J = R+. Объектами нашего рассмотрения будут положительное целое число tn, банахово пространство W и функции Л,. eL((F), к = 0т. Если /zeL(UX), то решением уравнения (120.4) является (т+1)-я первообразная w; RV->W, удовлетворяющая вместе со своими производными уравнению (120.4), рассматриваемому как уравнение в L(UX). При h = 0 мы получаем решение уравнения (120.3).
Для того чтобы «свести» уравнения (120.3) и (120.4) к уравнениям вида (120.1) и (120.2), мы введем банахово пространство
X = ф IP-внешнюю прямую сумму m + 1 экземпляров про-
0
странства W, наделенную супремум-нормой, т. е. если х = tit
= Qx^gX, xj е W (верхний индекс обозначает компоненты о
элементов из X), то ||х|| „ = тах||х; Цц-.Мы ничем не рискуем, если I
будем опускать в дальнейшем индексы у норм. Заметим, что указанный выбор нормы столь удобен, что мы позволяем себе нарушить наше прежнее соглашение о том, что норма в конечномерном пространстве X предполагается евклидовой (§ 15, стр. 46).
. Для данных ЛАеЬ(1Г), к = 0,. . . , т, и heL(№) уравие-:. ние вида (120.2) в X, задаваемое системой
х1 — х1+1 = 0, / = 0, ..., m — 1,
xm + 2 Акхк = h,(121.1)
и
будем называть приведенной формой уравнения (120.4). Легко видеть, что Л е L(X) ,f е L(X) и что при введенной
норме в Л {т
2II ли о
Ilf II = 11 A II.(121.2)
Уравнение (120.1) с тем же самым И называется приведенной формой уравнения (120.3). Точная связь между уравнением (120.4) и его приведенной формой (120.2) дается следующей леммой, тривиальное доказательство которой опускается:
.А. (т+1)-я первообразная w: R+-^-W является решением уравнения (120.4) тогда и только тогда, когда х = Ти*^ о является решением его приведенной формы (120.2). Обратно, первообразная х: R+-*X является решением уравнения (120.2) тогда и только тогда, когда х° является (ш+1)-й первообразной и решением уравнения (120.4) и xj = х°д\ j = 0,.. . , m. Следовательно, для любого /о е R+ и любого хйЕХ существует единственное решение w уравнения (120.4) с w(i} ^ф = х^, j — = 0, . . ., tn.
Основным инструментом при работе с решениями уравнения (120.4) и его приведенной формы служит следующая оценка для производных решения уравнения (120.4). Ниже ст—константа, определенная в 120.Л.
.В. Теорема. Для данного О 0 существует положительное целое число р = р(/0), такое, что
s+t
j || А (г) II dr ^^р, O^s^to.(121.3)
S
Для любого такого р и любого АеЦМ/7) каждое решение w уравнения (120.4) удовлетворяет неравенствам
Iтр।s+1
И A (t)\\^2e*Pcmpm^\\w(s-Hlmp)\\ + 3e*P ^ \\h(r)\\dr, (121.4) /-0s
■0 ^ s ^ /0, s ^ t ^ s + 1, к = 0, ..., т.
।/4-1 4-1 тр/4-1 +Ьшр
• ||щ(6>(01|<2е^Р(ст^+'/и j || ку («)»</«+ j 11/г (и)НМ
■0</^/0— \[тр, к = 0т.(121.5)
Доказательство. Существование числа p = p(,to) следует из непрерывности по s левой части неравенства (121.3). Для данного s, O^-s-Cto, на основании неравенства (121.3) существует целое число i,такое, что
J || А (г) || dr < ^ , T = s+iip, &=1/р.(121.6)
т
Рассмотрим решение x = ®wtri приведенной формы (120.2) о
уравнения (120.4). Используя 120.А, находим, что для почти всех t, т^(-^т + Д, выполняются неравенства
|| ау(,"+[) (/) || ^
'<и(01К11Л(01111х(01| + ||й(01К
<II A (t) II I стрт II w (т + jimp) II + ./-о
■+ J |! uy(m+1)(r) ||dr | + IIА (0 И.
Интегрируя по указанному интервалу и используя неравенство (121.6), получаем
У || ty(m+l)(r) ||dr ^ cmpm ^|| су (т +//тд) || + 2 У ||A(r)||dr.
т/=0т
Повторно используя 120.А, находим
1|х(т)||<
<2 Lmpm ^||су(т + j/mp)||+ J ||h(г)||dr ) С. '/=0т/
<2 устрт ^|| w (s + j/mp)\\ + У ||h (г)||drY (121.7)
Для любого t, s^/^s + l, неравенства (31.5), (121.2) и (121.3) дают
11х(ои<^р1||х(т)||+у \\h^\\drVXS'
а из этого неравенства с учетом неравенства (121.7) следует (121.4).
Пусть теперь дано t, 0<,t<.tQ— i/mp. Рассмотрим любое s, такое, что I-4.S <Л + \/mp^t0, и воспроизведем предыдущие рассуждения вплоть до неравенства (121.7). Теперь 6<.s — t <, <т — K(s + 1 — \jp) — (s — 1/тр)< 1 и т + Д<х+К/ + + 1 + \!тр. Поэтому неравенства (31.5), (121.2), (121.3) и (121.7) дают
llx(t)l№2p ||х(т);|+ / || h (г) II dr
Xi/
^2е2 " (стрт V || ф ($ + j/mp)H [ ||/г (r) || dr) < х /-оt'
I /тпt + \+\lmpX
^2е2 ₽|стрт]£||<£ф+/ЛМ11 + j || Л (И l| dr .
...X /-0t/
Интегрируя первый и последний члены этого неравенства по s в интервале [/, t + YjmpY получаем (121.5). 4,
Первым важным следствием теоремы 121.В является теорема о замкнутости, аналогичная теореме 31.D.
121.С. Теорема. Пусть (Лйп), Л = 0, ..., т, и (/гп)—последовательности е пространствах L(tT) и L(1F) соответственно, и пусть wn — некоторое решение уравнения
.zw^+D-p Дл,_nw^ = hn,' (121.8)
п = 1,2, ... . Если пределы IimL Ak, n = Ak, k=0, ..., tn, limLAn = /z Л ~> con-^ OO
и limL^n = ^ существуют, то функция w является (с точностью до эквивалентности по модулю множеств меры нуль) решением уравнения (120.4), и для fe = 0, ..., nt w^-»^ при п-^-оо равномерно на каждом компактном подинтервале полуоси R+.
Доказательство. Сопоставим уравнению (121.8) его приведенную форму
х« + A,nxn = frt,(121.9)
а уравнению (120.4) — его приведенную форму (120.2). Очевидно, тп
lim.A^A IimLfn = f. Далее, хп = ф w^ является решением zi->oort->oo/г“0
уравнения (121.9). Если мы сможем доказать, что существует Пгпьхп = х, то наше утверждение сразу будет следовать из
П-»=»
теоремы 31.D, примененной к приведенным формам, и из деммы 121.А. Обратимся к доказательству L-сходимости последовательности (х„). (Как мы увидим, доказательство фактически «предвосхищает» часть доказательства теоремы 31.D.)
Выберем произвольно /0>1.' Поскольку последовательность (А,п) сходится в L(X), то существует положительное
$+1
целое число р, такое, что J || А, п (г) ||dr =С -^р для всех s,
O^s^/o и п=1, 2, ... . Тогда предел А этой последовательности удовлетворяет неравенству (121.3). Из теоремы 121.В (а именно из неравенства (121.5), примененного к решению wn уравнения (121.8)) следует, что
(
fo+Ifo + I\
стрт+'т J || wn(u)fldu + J || hn (и) || du I ,оо/
O^t^to— 1, п=1, 2, ....
Поскольку последовательности (h^ и (w^ сходятся в L(W'), а /0 произвольно велико, заключаем, что последовательность (х„) равномерно ограничена на каждом компактном подиитер- валс полуоси /?+.
Далее, хп является решением уравнения хп + Ахп = = (А—A_n)xn+fn, которое служит приведенной формулой уравнения
tytm-H) + 2 A. = ап ЛО п ь,1>
где
т
г.-2И,-л,„)<1 + л„.
Равномерная ограниченность последовательности (хп) на каждом компактном подинтервале полуоси /?+ и сходимость последовательностей (Ай11) и (Нп) в L(tT) и ЦМ7) соответственно показывают, что последовательность (g„) сходится в L(l^) (а ее предел фактически равен й).
Снова возьмем произвольное /0 > 1 и выберем соответствующее р так, чтобы удовлетворялось неравенство (121.3). Применяя, как и выше, теорему 121.В, но уже к wn' — wn как к реше-
нию уравнения (120.4) с h, замененным на gn,~gn, находим
||хпД/) — xn(/)||^2e2 Р I СтР^'т j || wn' (и) — wn (м) || du + о
to + 1\
+ J ||§■„'(«)-£„(»)||du I, O^/^/o—1, », n'= 1, 2, ... . о/
Следовательно, последовательность (x„) сходится равномерно на интервале [0,/о— 1]- Поскольку /о произвольно велико, то последовательность (хп) сходится равномерно на каждом компактном подинтервале полуоси R+, а значит, и подавно сходится в L(X). $,
Другие следствия теоремы 121.В относятся к случаю, когда A/feM(tF), fe = 0, ..., m; эти включения эквивалентны на основании (121.2) включению А е М(Я). Следующая лемма является тривиальным следствием теоремы 121.В.
.D. Пусть AkeNV^, к = 0, ..., т, и пусть р — положительное целое число, такое, что р^2 Ам. Предположим, что t+t
he [ДИ7), и определим функцию И формулой И (/) = J [| А(ы) \\du. t
Тогда каждое решение w уравнения (120.4) удовлетворяет неравенству
tmp1
|| йУ(У||^2е2 Pcmpm 2 TJimpW w || + Зе2 PH, k = 0,...,m. (121.10) 7 = 0■
Используя эту лемму, мы можем получить интересные результаты относительно решений уравнения (120.4), принадлежащих пространству D(1E), где D е Ь^к- Такие решения, естественно, называются D-p е ш е н и я м и.
Теорема. Предположим, что AfteM(tT), k = 0, ..., пг, и что DgIj.7к- Решение w уравнения (120.3) является D-решением тогда и только тогда, когда х = ®ш^' является D-реше- о
нием приведенной формы (120.1). Если Аг L(W') имеет компактный носитель или если heBlW'p где ВеЪП”, либо Ь.Г^, либо ЬЕГ^"", и D толсто по отношению к В, то решение w уравнения (120.4) является D-решением тогда и только тогда, когда ш
x=Q)wlJ’> является D-решением приведенной формы (120.2) о
Доказательство. Часть «тогда» очевидна. Пусть р и Н те же, что и в 121.D. Для однородного уравнения й = 0 и, следовательно, Д = 0, так что, согласно (121.10), w е D(tt^) влечет х е D(X), и фактически
' Н1о<Ыо^2е2 Pcmpm+,m|®|D. (121.11)
Если функция h имеет компактный носитель, то функция Н имеет компактный носитель и непрерывна, так что Н е D; последнее имеет место также, когда йе 8(117) и D толсто по отношению к В. В обоих случаях (121.10) показывает, что если ®eD(U7), то № D(X). j,
. Допустимость и (В, О)-многообразия
Как мы упомянули во введении, нас интересует «допустимость» S'-пары (В, D) для уравнения (120.4), т. е. вопрос о существовании D-решений уравнения (120.4) для каждого he еВ(1Е). Кроме того, мы хотим распространить на уравнения высших порядков понятия (В, D)-многообразия. Заманчиво использовать результаты предыдущего параграфа и особенно теорему 121.Е как средство сведения указанных проблем для уравнения (120.4) к соответствующим проблемам для приведенной формы (120.2), к которой применим весь аппарат гл. 5. Это действительно возможно, однако при этом пришлось бы долго жонглировать функциональными пространствами, что существенно задержало бы получение интересующих нас результатов. Поэтому мы предпочитаем строить теорию для уравнений высших порядков параллельно теории гл. 5 для уравнений первого порядка, используя приведенную форму как удобное вспомогательное средство.
В этом параграфе мы будем считать, что AhcL(W), k = = 0, ..., т. Хотя наше внимание будет ниже сосредоточено на ^-парах и им подобных, несколько первых определений и результатов имеют смысл в более широком контексте.
Для любого пространства Deb^(lE) решение су уравнения (120.3) или (120.4) называется D-решси и ем, если w е D — терминология, уже использованная в предыдущем параграфе. Введем множество
Xo(D)=* ®а>С)(0): су есть D-решение уравнения (120.3) I о
— линейное многообразие в X. Подробнее его следовало бы обозначать Хо до) (^о, ..., Ат). Скажем, что Д’-Пара - более точно, ДДИ^-пара — (В, D) доп усти м а (для Ль ..., Лт) или, бо-
лее вольно, для уравнен и я (120.4), если для каждого h е В существует D-решение w уравнения (120.4). Пара регулярно допустима, если, кроме того, многообразие Хою» замкнуто. Относительно понятия допустимости мы докажем только аналог теоремы 51.А.
122.А. Теорема. Если пара (В, D) допустима для Ло, ...,Л„„ то существует А > 0, такое, что для каждого h е В и каждого р> 1 найдется D-решение w уравнения (120.4) с |ay|D <' pK\h |в.
Доказательство. Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 51.А (существенно различен только выбор теоремы замкнутости), но ввиду важности результата мы приведем его полностью. Пусть V — линейное многообразие всех D-решений уравнения (120.4) для всех he В, т. е. многообразие всех (т + 1)-х первообразных w е D, удовлетворяющих уело- m
вию ^<т+1) + 2 4^)еВ. Отображение П: V-^B, определяе-
m
мое формулой Пда = w(m+,) + У, Лкиы№\ линейно и по предполо- о
жению сюръективно. Поскольку В и D сильнее, чем Ь(№), то теорема 121.С (с фиксированными Ло, ...,Л,„) показывает, что график П замкнут в D X В. Поскольку пространства В и D банаховы, из теоремы об открытом отображении вытекает существование числа к > 0, такого, что для каждого h е В существует П’({/г}) с | w |D ^ к | /г|в. Таким образом, заключение теоремы справедливо с К, равным точной нижней грани всех возможных значений к. $,
Теперь ограничим наше внимание случаем, которым мы фактически интересуемся: будем в дальнейшем предполагать, что ЛлеМ((Р), к = 0,.. . , т, и что (В, D) является 9~-парой, 2Г^-парой или 2Г^^-парой. Поскольку D е Ь^Гк, из теоремы
следует, что (с обычным отбрасыванием аргументов № и X)
Хо (п> (Ло, Лт) = Xod (Л).(122.1)
По этой причине мы будем просто писать ЛТо. Для только что упомянутых пар введем понятие (В, D)-многообразия следующим образом. Линейное многообразие У в пространстве X есть (В, D)-м и о г о о б р а з и е (для Ло,. . ., Лт или для уравнения (120.4)), если У cz Xod и существует число Кт > 0, такое, что для каждого h е &OB(IF) и каждого р> 1 найдется решение w уравнения (120.4), такое, что если x = Qpwd") —
28 dan. 405
соответствующее решение уравнения (120.2), то х„(0) е Y (откуда следует, что XoceD(X), затем xeD(X) и и'ЕО(Ю). IwId ^ P^fI^ 1в- Замкнутое (В, D)-многообразие называется (В, D)-п о д п р о с т р а н с т в о м.
Ниже мы делаем беглый обзор основных теорем о (В, D)- многообразиях и (В, D)-подпространствах, используя, насколько возможно, аналогию с соответствующими результатами § 52.
. Если Y — (В, О')-многообразие для Ло, • ••. ^т, то существует число Сг>0, обладающее тем свойством, что если /?e^0B(W), р>1 и w является решением уравнения (120.4), т
таким, что для х = ®юЛ хм (0) е У и | w |D ^ p^rl^lв> то |k(0)!|^pCr|A|B.
Доказательство. Если р — положительное целое число, такое, что р^2|Л|м, то в силу теоремы 121.В ((121.5))
||х(0)|К2е2 P[cmpm+'ma (D; 1 + X/mp) | w |D + а (В; 1 + 1/тр)|/г|в), так что наше утверждение справедливо с
Су = 2с2 Р{стрт+’тКуЩ (D, 1 + {/тр) + а (В; 1 + \lmp)Y 5,
. Предположим, что Y есть (В, О')-многообразие. Тогда
Y является (Bi, D^-многообразием для любой д'-Пары, или д'^-пары, или 2ГЕ^-пары (Bf, DJ (такой, что пара (^Вь D,) является') более слабой, чем (р D);
любое линейное многообразие Z, с ля которого Y с Z с: с Хоо> также является 1^,0)-многообразием; в частности, им является самоХоо;
если Y < Хопп, то Y является (В, kD) -многообразием.
Доказательство. Это доказывается так же, как и 52.В. £ Следующие несколько результатов позволяют нам ограничиваться по существу одними ^"-парами.
122.D. Теорема. Линейное многообразие Y в X является (В, D)-многообразием для Ло,..., Лт тогда и только тогда, когда оно является (1с В, ^-многообразием.
Доказательство. Мы следуем линии доказательства теоремы 52.С, но курсируем между уравнением (120.4) и его приведенной формой. Часть «тогда» тривиальна в силу 122.С (а). Предположим, что Y является (В, В)-многообразием, причем (1с В, D) является 9"-парой или 9" -парой. Пусть даны he k01с В (W) и
р>1. Положим s = s(/z). Как и в доказательстве теоремы 52.С, найдется gE В (II7), такое, что || g IK || f || (и, значит, g е k0B (И7) с s(gXs), Шв^ЩсВ и
S/ S\
J IIА (0 - ST (О II dt^p- 1)\h |1с в Г' (D, s) exp - J || Л (О || dt . о
По предположению существует решение у уравнения у^+ч +
+ 2 Л^’^ = g> такое, что у = ®у(7) удовлетворяет условиям оо■
^(0)еУ и Ы0^р/<уШв^рКу|А|1сВ. Пусть ^-решение уравнения (120.4), такое, что x = ®w^'> удовлетворяет условию о
x(s) = y(s), так что х^ = ух и x^^eY, Тогда, как и в теореме 52.С, из (121.2) и (31.5) следует, что |х — z/|D ^ (р — 1)| A|ic в. Таким образом,
Ыо <
^Mo + l^-ylo^Mo+h-t/lD^
<(р/Су + (р- 1))|А|1св. г
Если У является (В, D) -многообразием для Ло, ..., Л,„, то У является (Т~ 1с В, D) -многообразием (где последняя пара представляет собой 9"-пару, более слабую, чем (В, D), и Т-lc В локально замкнуто).
Доказательство. Доказательство относится к доказательству леммы 52.J так же, как доказательство теоремы 122.D — к доказательству теоремы 52.С. Подробности представляем читателю. jr
122.F. Пусть дано D е Ь^Д. Линейное многообразие У в X является (В, D)-многообразием для Ло,..., Лт для некоторой 9~-пары, или 2Г-*-пары, или гГ^-пары (В, D) тогда и только тогда, когда оно является (T.D)-многообразием.
Доказательство. Это доказывается так же, как теорема 52.К, с использованием лемм 122.С и 122.Е вместо лемм 52.В и 52.J. 4-
Наш следующий результат относится к связи между допу- „ стимостью и (В, D) -многообразиями.
122.G. Теорема. Если пара (В, D) допустима для Л ,..., Л„г, то Хов является (В, ^-многообразием,
Доказательство. Это доказывается так же, как теорема 52.F (первая часть), с использованием теоремы 122.Л вместо теоремы 51.А. 4,
Замечание. Мы не приводим здесь (имеющего место) частичного обращения этого результата, аналогичного второй части теоре- ■ мы 52.F.
Теперь мы докажем основную теорему о (В, ^-подпространствах, аналогичную теореме 52.1. В этой теореме Sy = = SyD(A) для некоторого КсХОа(Л) (теорема 33.В).
122.Н. Теорема. Пусто У является (В, D)-подпространством для Аи,...,Ат. Тогда для каждых /гек0В(ЦУ) и X > 1 [и каждого (У,Х)-расщепления q пространства А] существует решение w уравнения (120.4), такое, что х = ® w^l удовлетворяет 1о
условиям х„(0) е У и || х(0) || 4 Xd^Y, х(0) )[^(х(0)) = х(0)]; каждое решение w с этими свойствами удовлетворяет неравен' ствам joy |D 4АЛ'|/г|в и P.x(0)|K2»Cy|/i|B, где KY = KY + 2SyCy.
Доказательство. Доказательство почти идентично доказательству теоремы 52.1, но, поскольку последнее было заменено ссылкой на доказательство предыдущей теоремы, мы проведем сейчас доказательство со всеми подробностями.
Докажем существование w в первой части утверждения. Допустим, что q является (У, а)-расщеплением пространства X. По предположению существует решение w' уравнения (120.4), такое, что для х' = ©w'd"1 имеемх^(0)еУ и I ^'|D 4^-Ау|А|в• m Пусть w— решение уравнения (120.4), такое, что X = © W^l о удовлетворяет условию х(0) = q(x'(0)). Тогда ^(х(0)) = х(0), || х(0) || 4ДД (У, х(0)), и х — х'= х^ — х'^ является решением с х^ (0) — х^ (0) = х (0) — х'(0) е У. Поэтому х^(0)Е У.
Докажем вторую часть. Допустим, что w (и х) таковы, как там указано, и пусть дано р > 1. По определению и по лемме 122.В существует решение w' уравнения (120.4), которое вместе с соответствующим х' удовлетворяет условиям х'(0)еУ, |гг>,|[)4 4рАуМ|в и II 4 (0) ||4pCy|/i|B. Далее, х - х'= хю - х^ является решением уравнения (120.1) с начальным значением, принадлежащим У, так что || х (0) ;|4^(^, х(0)) = М(У, х' (0))4 Х|| х' (0) ||4 4 рХСу | h |в. По теореме ЗЗ.В | w — w' |D 41 x — x' |D 4 4 Sy i,x(0) - x' (0)11 4 p(l + X)SyCYI h |в. Таким образом,
:l^l0 ^P (Kr + (1 + Л) SyCY)| A|B 4 pKK'Y |h |B.
Поскольку р > 1 произвольно, наше утверждение доказано. 4.
Наконец, установим тот почти очевидный факт, что допустимость ^"-пары (или родственной ей) для А влечет допустимость той же самой пары для Ло,. .. , Л,„ и что аналогичное утверждение справедливо для (В, D)-многообразий.
Теорема. Если пара (В, D) [регулярно] допустима для Л, то она [регулярно] допустима для Ло,. . ., Лт. Если У является (В, D)-многообразием для Л, то У является также (В, О)-л<ного- образием для Ло,..., Лт. '
Доказательство. Предположим, что пара (В, D) допустима для А. Если heB[W), то соответствующее f в приведенном уравнении (120.2), согласно (121.1) и (121.2), удовлетворяет условию (еВ(Х), По предположению приведенное уравнение имеет D-решение, скажем х. Согласно 121.Л, х° является D-решением уравнения (120.4), так что пара (В, D) допустима для Ло, ...,Лт. Заключение относительно регулярной допустимости следует из (122.1). Если У является (В, D)-многообразием для Л, AekoB(I^) и р> 1, то fek0B(X) и приведенное уравнение (120.2) имеет решение х с Zno(0)E У и fxjD ^pKylflB = pKYl/ilB, где Ку = КУВ 0(Л). По лемме 121.А х° является решением уравнения (120.4) с ©х°^ = х и |x°|D C|x|D ^P^F|Л|B. Поскольку по предположению Ус Aqd, то У также является (В, D)-многообразием для Ло,... , Лт. 4,
123. Основные теоремы
' Результаты, которые мы намереваемся доказать в этом параграфе, находятся в тесной связи с результатами, приведенными в гл. 6 (в особенности, в § 64) для уравнений первого порядка. Будет использоваться та же самая терминология «прямых» и «обратных» теорем: «прямая» теорема излагает условия, при которых регулярная допустимость некоторой пары (В, D) или существование (В, D)-подпространства для Ло,..., Лт влечет определенный тип поведения решений однородного уравнения (120.3) или, скорее, его приведенной формы (120.1)—более точно, существование дихотомии или экспоненциальной дихотомии для А. Термин «обратная» теорема имеет очевидный смысл.
Мы рассматриваем только случай, когда Л^еМ(Ф) k = = 0,.. ., m, — предположение, которое действует на протяжении всего параграфа. (В, D) всегда обозначает данную 2Г-пару, или 2Г—-пару, или ST'S'^-napy. " ■
Как мы увидим, главной причиной, почему наши прямые теоремы не имеют точно такого же вида, как теоремы § 64, несмотря на предположение /l^G М(й^), к = 0, . . . , т, является необходимость налагать дополнительные условия на коэффициенты Ль ..., Ат. Заметим, что коэффициента Ло эти дополнительные условия не затрагивают и что они удовлетворяются по крайней мере в том важном случае, когда Ah е L”(W), k = = l,...,m. В противоположность этому обратные теоремы являются непосредственными следствиями обратных теорем гл. 6, примененных к приведенным формам однородного и неоднородного уравнений.
.А. Теорема. Предположим, что Y является (В, D)-подпространством для Ао, ...,Ат (в частности, что пара (В, D) регулярно допустима для Ло, .. . , Лт и Y = AOd)- Предположим, далее, что хи. <-нИа е Т~1с В (это пространство > В) для всех t R+ и k = 1,.. . , гп, причем
5“Р|Х^. <+1]Лк|г_ 1с в < о°, к = \,...,т, (123.1)
(в частности, что Ак е L°° (W), к = 1,...,т, или что В слабее, чем 6rL' для некоторого текр. Тогда Y индуцирует дихотомию для А.
Доказательство. 1°. Заметим сначала, что из условий в скобках вслед за формулой (123.1) действительно следует справедливость этой формулы. Если ЛйеЬ°°(1^), то ||Х(<, <+1И&|1^ <|ЛЙ|Х[//+1|Е Т"1сВ, ибо 7-lcBeb^ (23.1, 23.К, 24.1, 24.1Д1)) и |xlt л-иЛ^^-icв^|Л&|р(Г- IcB; 1), причем эта оценка не зависит от t. Если В слабее, чем 0XL’, то T^lcB слабее, чем L1, скажем В^рТ^кВ, и х« <+1)Лй е L1 (МД,
/+1
Ни. /+1Иь1г- 1С в ^ р / и ^МII ^и <s р I л^ |м. '
t
Эта оценка опять не зависит от t.
Далее, мы можем, не теряя общности, предположить и действительно предположим, что В е \т2Г к и что В локально замкнуто, ибо в противном случае мы могли бы на основании 122.Е заменить В более слабым пространством Т~ 1с В, которое обладает этими свойствами. Ввиду этого предположения В совпадает с Г* 1с В, так что хи, тИ^ЕВ для всех t е R+, к = 1,. .. ,т, и условие (123.1) заменяется условием
■ ■ s“p|xu, #+и^й|в = о^< О°, £=1, ..., т. (123.2)
На протяжении всего доказательства р обозначает положительное целое число, такое, что р^2|Л|м.
2°. Переходя к основной части доказательства, возьмем действительную (т + 1)-ю первообразную ф^-0, определенную на /?+, обращающуюся в нуль вне интервала [у> * и такую, что 1
| ф {t)dt = 1. Пусть с > 0 — общая граница для {ф,м|, к = 0, ..., ш.
2
Мы собираемся показать, что подпространство У удовлетворяет по отношению к Л условиям (е) или (!) теоремы 41.Л. Пусть дано X > 1, и пусть у и z— решения уравнения (120.1), такие, что t/(0)e У и || 2(0)|| > Kd{Y,z(0)). Пусть выбраны Д> 1 и те^. Определим w формулой
tОО
w (t) = y°(t) J ф(А-1 (zz — т)) du — гЧй J Ф^"1 (м — -^du. оt
Очевидно, у°, г° и ф являются (т+1)-ми первообразными, и по лемме 121.А у° ® = yW, z1^ = z\ k = Q, ..., т. Поэтому
w^ (/) = у»^ (^) С ф(Д~‘ (u — T^du —
— z1,ft>(/) j ф(А 1 ки — т^ du + ufe U\ (123.3) /г = 0tn + I, где
vk ^ = 2 ( ^) A-^'V^'-^A-* kt - г)) W (0 + 2f (0), (123.4) /-o
к = 0, . . ., m + 1, так что
Уо = О, l|tzfeIK2fecX| i JIzz + zH, (123.5) I А, ТД-.Л I
■ „j* к = 1, ..., m + 1.
Теперь (123.3) показывает, что w является решением урав- нейия (120.4) для h = um+l + S Аьиь, и (123.5) дает .о
ИН<2т+,сХ| ।.(1 + 2||Лл)||//+г||.(123.6)
|Т+— А, 1 + д МIj
т
Положим x=@w’/’. Принимая во внимание, что каждая о
функция ик, согласно (123.5), обращается в нуль вне интервала (т + уА, т + а), /г = 0т, получаем в силу (123.3) и наших предположений относительно ф, что
ет+дх = \Qx+xy, Xf0 Т+1Д|Х = - Ах[о ^^р.(123.7)
В частности, xOD = \y и х(0) = — Дг(0), так что
•U0O, ||х(0ЖМ(У, х(0)).(123.8)
3°. До сих пор Д^1 было произвольно — ниже нам потребуется и этот случай. Но теперь выберем Д=1. Тогда из (123.6) вместе с (123.2) и (31.7) следует, что /г G/г0 В (Ц7), причем |/г|в О|| t/(r) + г(т) ||, где а = 2т+1е2 %^р(В; 1) + 2«ь^ не зависит от К, у, z и г.
Ввиду (123.8) мы можем теперь применить теорему 122.Н к w и х. Это дает
I w JD С ХК'У | h |в С КоКу II у (т) + z (т) ||.
На основании (123.7) заключаем, что
l^ + i^L’ ixio т,цг°А<Ха/<'|| t/(r)-z(T)||.(123.Т
4°. Пусть теперь даны /0, t^Rv Если t "> t0, то мы приме ним теорему 121.В к у0 (на основании (121.2) мы имеем в фор муле (121.5) \1тр <1 1/д ^ V2). Используя (31.7) и (123.9) д;и г = /о, находим, что
||t/(ОП^е2 Р||у (/+ 1)||<2ерстдт+1т j || t/°(u) \\dti <
*t+i
^еРс^+'та^Ч^^у0^^■
<D||t/№)) + z(/0) И,
где
D = D ^) = SKe^p^'ma^D; ^)oKy.
Если / ^/о, то применим теорему 121.В к г° и используем (31.7) и (123.9) для т = /о + 1. В результате получим
Цг(/)|К 2е2 Pcmpm+l J ||2°(п)||с?«< t
^2е2 Рс1Прт*'пта(0; 4)|хгп , з12°1 < \/ I о, fo + —8
II 2| lD
< е 2 PD || у «о + 1) + z (t0 + 1) IK D || у ((„) + 2 (/0) ||
с тем же самым D = D(?v). Поэтому условие (е) или (f) теоремы 41.Л выполняется. 4,
.В. Теорема. Пусть выполнены предположения теоремы 123.А. Предположим, кроме того, что пара (В, D) не слабее, чем (L1, Lo°), и что если D слабее, чем L”, то
limA-'supIx^^^^l =0, k=\,...,m (123.10)
(это последнее условие выполняется, если Л^еЬ^ТГ) или Л(, eMcBIIF), k = 1,. .. , tn). Тогда V индуцирует экспоненциальную дихотомию для А.
Доказательство. 1°. Заметим, что при условии в скобках после формулы (123.10) эта формула действительно выполняется, если D) слабее, чем L”, и, следовательно, В не сильнее, чем L1. Это очевидно даже без такого предположения относительно В, в случае когда Ah е Г~1с В ((Г). Если ЛкЕЬ°°(ТГ), то, применяя лемму 23.К к локально замкнутому пространству Т- 1с В, находим, что
a-1 sup । хи, ,+А| Л|г- 1с в < A-W~ 1с в; Д)1 ^1 <
С 21 Л4/а (Т" 1с В; Л) = 2|Л J/а (В; Л) -> 0
при Л->-оо (замечание 2 к лемме 23.S применимо к ВеЬ.У^’’*).
Как и в доказательстве теоремы 123.Л, мы можем и будем предполагать, что В е Ь^к и что В локально замкнуто, так как в противном случае В можно было бы па основании 122.Е заменить более слабым пространством Т~ 1с В. Ввиду этого предположения условие (123.10) принимает вид
lim A-'suplx^ <+д;ЛА|в = 0,& = 1т. (123.11)
Здесь положительное целое число р и действительная функция ,р те же, что и в предыдущем доказательстве.
По теореме 123.A Y индуцирует дихотомию для Л. Пусть No и No = Ао(Х)— параметры из условий (Di) и (Dn) определения дихотомии. Мы докажем теорему, показав, что Y удовлетворяет условию (Ь) теоремы 42.А для любого данного Х>1. Нам нужно проверить только выполнение условий (Ei) и (Ей), так как (Dm) следует из наличия обыкновенной дихотомии, индуцируемой У.
2°. Предположим сначала, что D не слабее, чем L”, так что (по лемме 23.S) limp(D; /) = оо.
1-Уоо
Чтобы доказать (Ej), выберем />2 столь большое, что
p(D; /)^30е2 Р cmpmvx тЖсК'у’
где ст — то же, что и в части 3° предыдущего доказательства. Пусть у — любое решение уравнения (120.1) с у(0) е У. Проведем части 2° и 3° доказательства теоремы 123.А для этого у, для 0 в качестве г, для А = 1 и для любого т е R+. Поскольку здесь /. > 1 произвольно близко к 1, то неравенство (123.9) заменяется неравенством
IQ-r+i^lD^^Kyll^^)».(123.12)
Используя теперь теорему 121.В и неравенства (123.12) и (31.7),; а также лемму23.М,находим,что•
х+1:
||//(т + /)Ц^А0(/-1)“1j ||4/(u)l|d«^;
т+1.
. 3.
]т+1“+2"
С 2е2 Pcmpm+'mN0 U — I)-1 J du J || t/°(s)||dsC т-4-1 и
, 3
,г+' + Т
. ^Зе^стрт+хпг1М1-ГГ1 J Ц у» (и) ||du С
т + 1
-р1+Т
<6е2 cmpm+'mN0гт|®г+1г/°1о<
(/— 1) Р ^D; / +-—j
у у (t) ii.
ибо О 2 влечет'
^-P(d;1 + 1)>|P(D;Z).
Из условия (Di) и леммы 20.С, примененной к ||у||-1 (при у Ф 0), следует, что условие (Ej) выполняется с N = 2Na и v = /-| In 2.
Чтобы доказать (Ец), рассмотрим данное Х>1 и выберем Z' = Z'(X)>2 столь большое, что
p(D; (^^SOXe^X^+'^W^y-
Пусть 2 — любое решение уравнения (120.1) с ||г(0)||^ <А<Ц¥, 2(0)). Проведем части 2° и 3° доказательства теоремы 123.А для этих Хиг, для 0 в качестве у, для А = 1 и для г + V вместо т. Продолжая, как выше, и используя теорему 121.В, неравенства (123.9) и (31.7) и лемму 23.М, находим, что
t + Z'-I
||2(t)||^A'(Zz-1)-’ J ||2(w)||dn<
,T + Z'-l"+'2
^ 2e2 Pcmpm+trnN'o(I' — I)-1 J du J || 2° (s) ||ds ^ тa
'r+Z'+l
<3e2 Pcmpm+'mN'0(l'- I)"1 J IIг°(«)||du<
<4||2(t + Z')||.
Из условия (Dn) и леммы 20.C следует, что условие (Еп) выполняется cAZ' = 2Ag(X) и v' = Г~' 1п 2. Заметим, что это значение V зависит от X. По этой причине мы избрали условие (Ь) теоремы 42.А, а не условие (а).
3°. Предположим теперь, что D слабее, чем L”. Тогда В не сильнее, чем L1, так что (поскольку В локально замкнуто) lim А~‘р(В, А) ^ lim 2/а(В; А) = 0(23.К, замечание 2 к 23.S).
J Далее, имеет место (123.11).
Г Чтобы доказать (Ei) выберем А>1, столь большое, что
J /m\
> д~’ ^р(В; Д)+Ssup|xlt.,+A^|J^e =
^12 ez crnp mam;-^\cNjKy) .
Пусть // — любое решение уравнения (120.1) с //(0)еУ. Проведем часть 2° доказательства теоремы 123.А для этого у, для 0 в качестве г, для указанного А и для любого т е R+. Теперь условие (Dj) и неравенство (123.6) дают /г g 1<0В (U/z) с
|/г|в<2т+1С/М//(т)||(₽(Э; А) +
+ 2 sup !%„ 4в х 2т+,сА еД II у (т) ||.
Продолжая, как в части 3°, но с указанным А и с Х> 1, произвольно близким к 1, находим, что )ш|п ^/<у|/г|в, откуда, используя (123.7), получаем
Мг+дА^Д 1!^!0<2'"+'^1^е||//(т)||.(123.13)
В силу теоремы 121.В и неравенства (123.13)■
. зт+Д+у
||//(т + А)Х2е2 Pcmpm + 'rn J || уй (н) ||du <.
т + Л
<2е2 Рстрт+'тЦо; у)|вт+д//°|п <
^2m+2e2 Pcmpm+'tna^D; -|-j с^^е||//(г) [[ = = ||11/(т)||.
Согласно условию (DT) и лемме 20.С, примененной к Ц//Ц-1 (при //=^0), условие (Ei) выполняется с N = 2А0, v = A"1 In 2.
Чтобы доказать (Ец), рассмотрим данное 7. > 1 и выберем
А' = А'(Х)>3 столь большое, что
X
Р(В; А) +SsupIx^^^A.lJ^
^е =12 Хе2 стр пги.\и\ -^\cNo\X)Ky\
Пусть г — любое решение уравнения (120.1) с || г(0)|Х ^.Xdl.Y, z^Y Проведем часть 2° доказательства теоремы 123. А для этих г и 7., для 0 в качестве у, для А' вместо А и для любого
т е/?_. Теперь условие (Du) и неравенство (123.6) дают h е к0В (W), причем
| А |в ^ 2m+xcNo II2 (т + А') || (р (В; д') +
+ 2зир|Х(м + дА|в)<
<2т+,с^е'А'||г(т + А')||.
Продолжая, как в части 3°, но с А' вместо 1, находим, используя (123.7),
< 2m+'XcNoKve || г (г + А') ||((123.14)
В силу теоремы 121.В и неравенства (123.14)
. II г (г) || ^ 2е2 Pcmpm+'rn J || г° (и) \\du < т
‘■^2е2 c,„pm+’ma (^D; уП %! t+2|2°| <
^2m+2?.e2 Pcm/?m+1ma(b; ^ с^/Суе'Цг^ + А')|| ^
.<у||2(т + А')||.■
Ввиду условия (Dn) лемма 20.С показывает, что условие (Ец) выполняется с (V' = 2Л/о и V = Д'-1 In 2. &
Как уже упоминалось в начале параграфа, имеется резкое различие между сравнительной громоздкостью прямых теорем и полной тривиальностью обратных.
123.С. Теорема. Если подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для Д, то У является (L1, L00) -подпространством для ДоДт и пара (l1, L”) допустима для До,.. . , Дш.
Если Лоо имеет конечную коразмерность относительно У, то Лоо является (L1, L”) -подпространством для До, ...,Дт и пара (1Л L”) допустима для До,.. ., Ат.
Доказательство. Теоремы 63.С, 63.Е и 122.1. 5»
Комбинируя теоремы 123.А и 123.С, получаем
123.D. Теорема. Подпространство У пространства X индуцирует дихотомию для А тогда и только тогда, когда У является (U, L°°)-подпространством для А0,...,Ат. Если Хо замкнуто, то Хо индуцирует дихотомию для А тогда и только тогда, когда пара (L1, Lo°) {регулярно) допустима для А0,...,А,п. Если Хоо замкнуто, то ХОо индуцирует дихотомию для А тогда и только тогда, когда пара (L1, L“) (регулярно) допустима для До,..., Ат.
Для экспоненциальных дихотомий обратная теорема такова:
23.Е. Теорема. Пусть существует подпространство X, индуцирующее экспоненциальную дихотомию для А. Тогда пара (В, D) (регулярно) допустима для Ло, . . . ,Ат, если D толсто по отношению к В; и существует (В, D)-подпространство для Ло, .. ., Ат (необходимо единственное и совпадающее с Хов), если D толсто по отношению к кВ.
Доказательство. Теоремы 64.С и 122.1. 4,
Замечание. Мы не рассматриваем ограничений на До,..., Ат, которые обеспечили бы необходимость этих условий.
Комбинируя теоремы 123.В и 123.Е, получаем следующий результат.
.F. Теорема. Подпространство Y пространства X индуцирует экспоненциальную дихотомию для А тогда и только тогда, когда оно является (М, L°°)-подпространством для Ао,...,Ат, и тогда и только тогда, когда Y = X» и пара (М, L00) (регулярно) допустима для До,..., Ат.
Библиография')
Алексевич и О р л и ч (А 1 е х i е w I с z А., О г 1 i с z W.)
Analytic operations in real Banach spaces, Studia Math., 14 (1954), 57-78.
А м e p и о (A m e r i о L.)
Funzioni debolrnente quasi-periodiche, Rend. Sem. Mat. Unto. Padova, 30 (1960), 288—301.
Sulle equazioni differenziali quafi-periodiche astratte, Ricerche, Mat., 9 (1960), 255—274.
Ancora sulle equazioni differenziali quasi-periodiche astratte, Ri, cerche Mat., 10 (1961), 31—32.
4. Sull’integrazione delle funzioni quasi-periodiche astratte, Ann. Mat.
' Para Appt., (4), 53 (1961), 371—382.
A x и e 3 e p И. И. и Г л а з м а н И. М.
Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Гостех- издат, 1950.
Беллман (Bellman R.)
On the application of a Banach — Steinhaus theorem to the study of the boundedness of solutions of non-linear differential and difference equations, Ann. Math., (2), 49 (1948), 515—522.
Берксцн (Berkson E. R.)
Some metrics on the subspaces of a Banach space, Pacific J. Math., 13 (1963), 7—22.
Бор (Bohr H.)
Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. II. Zusammenhang der fastperiodischen Funktionen mit Funktionen von unendlich viel Variabcln; gleichmaSige Approximation durch trigonometrische Summen, Acta Math., 46 (1925), 101—214.
Kleinere Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, VHL Uber den Logarithmus einer positiven fastperiodischen Funktionen, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 14 (1936), № 7, 17—24.
Бохнер (Boihner S.)
Absolut-additive abstrakte Mengenfunktionen, Fund. Math., 21 (1933) 211—213.
Abstrakte fastperiodische Funktionen, Acta Math., 61 (1933), 149—184 Бурбаки (Bourbaki N.).
Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959 (1955).
Интегрирование, вып. 2, «Наука», 1970 (1959).
’) Для переводных книг в круглых скобках указан год издания ориги- црла. — Прим. ред.
Гальперин (Halperin 1.)
Reflexivity in the I?' function spaces, Duke Math. J., 21 (1954), 205— 208.
Г о x 6 c p г И. Ц. и Крейн M. Г.
Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН, 12 (1957), вып. 2, 43—118.
Г о х б е р г И. Ц. и Маркус А. С.
Две теоремы о растворе подпространств банахова пространства, УМН, 14 (1959). вып. 5, 135—140.
Данфорд н Морс (Dunford N„ М о г s е А. Р.)
Remarks on the preceding paper of James A. Clarkson, Trans. Am. Math. Soc., 40 (1936). 415—420.
Данфорд ii Шварц (Dunford N., Schwartz J. T.)
Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, 1962 (1958).
Д и к с м ь е (D i х m i е г J.)
Sur tin theoreme de Banach, Duke Math, j., 15 (1948), 1057—1071.
Дом шлак Ю. И.
О поведении па бесконечности решений эволюционного уравнения с неограниченным оператором, Изе. АН Азерб. ССР, сер. физ-мат. (1961), № 5, 9-22.
О поведении па бесконечности решений эволюционного уравнения с неограниченным оператором при наличии нелинейного возмущения, Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.-мат. (1962), № 1, 3—14.
О некоторых свойствах линейного дифференциального уравнения с неограниченным постоянным оператором в банаховом простран- стне, Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.-мат. (1963), № 1, 45—53.
Д ь ё д о и н е (Dieudonne J.)
Sur les espaces de Kothe, J. Anal. Math., 1 (1951), 81 -115.
Дэй (Day M. M.)
Линейные нормированные пространства, ИЛ, 1961 (1958).
Какутани (Kakutani S.)
Concrete representations of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. Math., (2), 42 (1941), 523—737.
К ё т e (Kothe G.)
Neubegriindung der Theorie der vollkommenen Raume, Math. Nachr., 4 (1950—1951), 70—80.
Кларксон (Clarkson J. A.)
Uniformly convex spaces, Trans. Am. Math., Soc., 40 (1936), 396—414.
Коддингтон и Левинсон (Coddington E. A., Levinson N.)
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, 1958
Конти (Conti R.)
Sulla Csimilitudine tra matrici e la stabilita dei sistemi differenziali linear! Atti Rend. Acc. Naz. Lincei, (8), 19 (1955). 247—250.
Коппел (Cop ре I W. A.)
On the stability of ordinary differential equations, J. London Math. Soc., 39 (1964), 255—260.
К о p ду и яну (Corduneanu С.)
Sur un theoreme de Perron, An. $ti. Unto. «Al. I. Cuza» Iasi, 5 (1959), 33—36.
Sur certains systemes differentiels non lineaires, An. §ti. Univ. «At. I. Cuza» la^i, 6 (1960), 257—260.
Functii aproape-periodice, Ed. Ac. R.P.R., 1961.
Краббе (К r a I) b e 6. I. )
Abelian rings and spectra of operators on /,,, Proc. Am. Math. Soc.
7 (1956), 783—79Q,
Красносельский М. А. и Р у т и ц к и й Я. Б.
Выпуклые функции и пространства Орлнча, Фнзматгиз, 1958. Красовский Н. Н.
К теории второго метода Ляпунова для исследования устойчивости, Мат. сб., 40 (1956), 57—64.
Крей и М. Г.
О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости, УМН, 3 (1948), вып. 3, 166—169.
Крейн М. Г., Красносельский М А. и М и л ь м а и Д. П.
О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометрических вопросах, Сб. трудов ин-та мат. АН Укр. ССР, II (1948), 97-112.
Куратовскнй (Kuratowski К.)
Топология, т. 1, «Мир», 1966 (1958).
Кучер Д. Л.
О некоторых критериях ограниченности решений системы днффе- реициалышх уравнений, ДЛН СССР, 69 (1949), 603 606.
Лоренц и Вертгейм (Lorentz G. G., Wertheim D. G.)
Representation of linear functionals on Kothe spaces, Cap. J. Math., 5 (1953), 568—575.
Люксембург (Luxemburg W. A.)
Banach function spaces. Thesis, Delft, 1955. Van Gorcum, Assen, 1955.
Люксембург и Цаанен (Luxemburg W. A., Zaanen A. C.)
Some remarks on Banach function spaces, Indag. Math., 18 (1956), 110—119.
Conjugate spaces of Orlicz spaces, Indag. Math., 18 (1956), 217—228.
Notes on Banach function spaces. I—V, Indag. Math., 25 (1963), 135—147, 148—153, 239—250, 251—263, 496-504.
Майзель А. Д.
Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, Труды Уральск, политехи. ин-та, 51 (1954), 20—50.
Майкл (Michael Е.)
Continuous selections. I, Ann. Math., (2), 63 (1956), 361—382. Малкин И. Г.
Об устойчивости по первому приближению, Сб. научн. трудов Казанского авиац. ин-та, 3 (1935), 7—17.
М а р к у с Л. (М а г k u s L.)
Continuous matrices and the stability of differential systems, Math. Z„ 62 (1955), 310—319.
Массера (M a s s e r a J. L.)
1 The existence of periodic solutions of systems of differential equations, Duke Math. J., 17 (1950), 457—475.
Contributions to stability theory, Ann. Math., (2), 64 (1956), 182—206.
Un criterio de existencia de soluciones casi-periodicas de ciertos siste- mas de ecuaciones diferenciales casi-periodicas. Univ. Reptib. Fac. Ingen. Agr. Montevideo Publ. Inst. Mat. Estadist., 3 (1958), 99—103.
Sur Texistence de solutions bornees et periodiques des systemes quasi-lineaires d’equations differentielles, Ann. Mat. Рига Appt., (4) 51 (1960), 95—105.
А а с с ep а и Шеффер (Massera J. L., Schaffer J. J.)
Linear differential equations and functional analysis 1, Ann Math, (2), 67 (1958), 517-573.
Linear differential equations and functional analysis II, Equations with periodic coefficients, Ann. Math., (2), 69 (|959), 88—104.
3. Linear differential equations and functional analysis Ill, Lyapunov's
W second method in the case of conditional stability, Ann. Math., (2), 69 (1959), 535—574.■
^-/4. Linear differential equations and functional analysis IV, Math. Ann.,
139 (1960), 287—342.
Нейбауэр (Neubauer G.)
Der Homotopietyp der Automorphismengruppe in der Raumen /_2 und S-o. Math. Ann.
О ’ И e й л (O’Neil R.)
Fractional integration and Orlicz spaces. I, Trans. Am. Math. Soc., 115 (1965), 300-328.
Паска (del Pasqua D.)
Su una nozione di varieta linear! disgiunte di uno spazio di Banach, Rend. Mat. Appt., (5), 13 (1954—1955), 406—422.
Sulle coppie di varieta lineari supplementari di uno spazio di Banach, Rend. Mat. Appt., (5), 15 (1956), 129—139.
Перрон (Perron O.)
Uber eine Matrixtransformation, Math. Z., 32 (1930), 465—473.
Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen, Math. Z., 32 (1930), 703—728.
Персидский К. П.
Об устойчивости движения по первому приближению, Матем. сб., 40 (1933), 284-293.
Растон (R u s t о n A. F.)
Conjugate Banach spaces, Proc. Cambridge Phil. Soc., 53 (1957), 576—580. Региш (R e g h i s M.)
О неравномерной асимптотической устойчивости, Прикл. мат. мех., 27 (1963), 344—362.
Рейтер (Reuter G. Е. Н.)
On certain non-linear differential equations with almost periodic solutions, /. London Math. Soc., 26 (1951), 215—221.
P н к к a p т (R i c k a r t С. E.)■
General theory of Banach algebras. Van Nostrand, Princeton, 1960. Рисе и Секефальви-Надь (Riesz F„ Sz. - Nag у B.)
Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954 (1953). Сакс (Saks S.)
1. Теория интеграла, ИЛ, 1949 (1937).
Сансоне н Конти (Sansone G., Conti R.)
Equazioni differenziali non lineari, Cons. Naz. Ricerche, Monografie Mat. № 3, Cremonese, Rome, 1956.
Суидаресан (Sundaresan K.)■
Orthogonality in normed linear spaces, /. Indian Math. Soc., 22 (1958), 99—107.
Тихонов A. H.
Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., Ill (1935), 767—776. Тэйлор (T а у 1 о r A. E.)
Introduction to functional analysis, Wiley, New York, 1958. Фавар (F a v a r d J.)
Sur les equations differentielles lineaires a coefficients presque-periodi- ques, Acta Math., 51 (1928), 31—81.
Leqons sur les fonctions presque-periodiques, Cahiers scientifiques, Fasc. 13, Gauthier-Villars, Paris, 1933.
Ф л о к e (F 1 о q u e t G.)
Sur les equations differentielles lineaires d coefficients periodiques, Ann. Set. Ecole Norm. Sup., (2), 12 (1883), 47—89.
Фреше (F г ё с h е t М.)
Les fonctions asymptotiquement presque-periodiques, Rev. Sci., 79 (1941), 341—354.
Халилов 3. И.
Об устойчивости решений уравнения в банаховом пространстве, ДАН СССР, 137 (1961), 797—799.
X а л м о ш (Н a I m о s Р. R.)
Теория меры, ИЛ, 1953 (1950).
Хартман (Hartman Р.)
On dichotomies for solutions of n-th order linear differential equations, Math. Ann., 147 (1962), 378—421.I
Ordinary differential equations, Wiley, New York, 1964. J Хартман и Онучик (Hartman P., Onuchie N.)
On the asymptotic integration of ordinary differential equations, Pa- sific J. Math., 13 (1963), 1193—1207.
Хилле h Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)
Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, 1962 (1957). Шеффер (Schaffer J. J.)
Function spaces with translations. Math. Ann., 137 (1959), 209—262.
Addendum, Function spaces with translations, Math. Ann., 138 (1959), 141 — 144.
Linear differential equations and functional analysis. V, Math. Ann., 140 (1960), 308—321.
A result in the theory of function spaces with translations, Univ. Repiib. Fac. Ingen. Agr. Montevideo Publ. Inst. Mat. Estadist., 3 (1962), 147-151.
Linear differential equations and functional analysis VI, Math. Ann., 145 (1962), 354—400.
Linear differential equations and functional analysis VIL Equations on (—oo, +oo), Math. Ann., 149 (1963), 1—32.
Linear differential equations and functional analysis IX. Almost periodic equations, Math. Ann., 150 (1963), 111 —118.
Linear differential equations and functional analysis VIII, Math. Ann., 151 (1963), 57—100.
On Floquet’s Theorem in Hilbert spaces, Bull. Am. Math. Soc., 70 (1964), 243—245.
On Floquet’s Theorem in Banach spaces, Univ. Repiib. Fac. Ingen. Agr. Montevideo Publ. Inst. Mat. Estadist., 4 (1964), 13—21.
More about invertible operators without roots, Proc. Am. Math. Soc., 16 (1965), 213—219.
Эллис и Гальперин (E 11 i s IL W., Halperin I.)
Function spaces determined by a levelling length function, Can. I. Math., 5 (1953), 576-592.
Именной указатель
Алексевич (Alexiewicz Л.) 439
Амерно (Amerio L.) 385, 386, 439
Антосевнч (Antosiewicz Н. А.) 13
Ахиезер II. И. 439
Беллман (Bellman R.) 8, 9, 186, 187, 304, 439
Берксоп (Berkson Е. R.) 32, 34, 46, 439
Боненблуст (Bohnenblust Н. F.) 412
Бор (Bohr Н.) 374, 376, 439
Бохнер (Bochner S.) 107, 373, 439
Бурбаки (Bourbaki N.) 27, 28, 45, 105, 439
Вертгейм (Wertheim D. G.) 105, 441
Гальперин (Halperin I.) 74, 105, 443
Глазмаи И. М. 439
Гохберг И. Ц. 46, 439, 440
Данфорд (Dunford N.) 45, 107, 440
Диксмье (Dixmier J.) 27, 29, 440
Домшлак Ю. И. 11, 440
Дьёдоние (Dieudonne ,1.) 105, 440
Дэй (Day М. М.) 45, 440
Красносельский М. А. 45, 105, 440, 441
Красовский И. 11. 144, 369
Крейн М. Г. 8. 9, 45, 46, 186, 251, 304,
439, 440, 441
Куратовский (Kuratowski К.) 35, 441
Кучер Д. Л. 8, 9, 186, 251. 304, 441
Левинсон (Levinson N.) 120, 390, 440
Линденштраус (Lindenstrauss J.) 38
Лоренц (Lorentz G G.) 105, 441
Люксембург (Luxemburg W. А.) 69, 105, 441
Майзель А. Д. 8, 144, 369, 441
Майкл (Michael Е.) 18, 19, 441
Малкин И. Г. 144, 441
Маркус А. С. 46, 440
Маркус (Markus L.) 304, 441
Массера (Massera J. L.) 5, 9, 10, И, 13, 46, 105, 119, 143, 144, 345, 350, 358, 359, 363, 365, 367, 376, 369, 377, 384, 391, 395, 411, 412, 44!
Мильман Д. П. 46, 441
Морс (Morse А. Р.) 107, 440
Нейбауэр (Neubauer G.) 411
Зверкин А. М. 6Зверкин А. М. 6
Зверкин А. М. 6
Зверкин А. М. 6
О’Нейл (O’Neil R.) 63, 441
Онучик (Onuchic N.) 10, 443
Орлич (Orlicz W.) 439
Какутани (Kakutani S.) 53, 440
Каменский Г. А. 6
Кете (Kohte G.) 105, 440
Кларксон (Clarkson J. Л.) 45, 107
Коддингтон (Coddington Е. А.) 120, 390, 440
Конти (Conti R.) 120, 304, 440, 442
Коппел (Сорре! W. А.) 186, 187, 440
Кордуняну (Corduneanu С.) 10, 373, 440'
Краббе (Krabbe G. L.) 393, 440
Паска (del Pasqua D.) 45, 442
Перрон (Perron О.) 8, 9, 144, 185,
186, 251, 304, 442
Персидский К- П. 144, 442
Растон (Ruston A. F.) 27, 442
Региш (Reghis М.) 251, 442
Рейтер (Reuter G. Е. И.) 385, 442
Рцккарт (Rickart С. Е.) 391, 408, 442
Рисе (Riesz F.) 45, 409, 442
Рутицкий Я. Б. 105, 440
Сакс (Saks S.) 355, 442
Сансоне (Sansone G.) 120, 442
Секефальви-11адь (Sz-Nagy В.) 45,
409, 442
Супдаресан (Sundaresan К ) 45, 442
Тихонов А. Н. 410, 442
Тэйлор (Taylor А. Е.) 45, 52, 442
Фавар (Favard J.) 372, 373, 325, 442
Филлипс (Phillips R. S.) 45, 101, 105,
120, 147, 345, 366. 443
Флоке (Floquet G ) 388, 442
Фреше (Frechet М.) 385, 442
Халилов 3. И. 11, 442
Халмош (Halrnos Р. R.) 442
Хартман (Hartman Р.) 9, 10, 13, 251, 415, 416, 442, 443
Хилле (Hille Е.) 45, 101, 105, 120,147, 345, 366, 443
Цаанен (Zaanen А. С.) 69, 105, 441
Шварц Дж. (Schwartz J. Т.) 45, 440 Шеффер (Schaffer J. J.) 5, 9, 10, 13, 31, 46, 48, 53, 59, 60, 63, 64, 72, 74, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 85, 97, 98, 100, 101, 103, 105, 117, 119, 143, 144 234, 240, 286, 312, 316, 345, 350,359 363, 365, 367, 369, 376, 377, 385,391, 392, 395, 411, 412, 441, 443
Эллис (Ellis Н. W.) 105, 443
Предметный указатель
дихото-дихото-
дихото-
дихото-
автоморфизм 18
алгебраическая сопряженность (об
уравнениях) 113
алгебраический проектор 16
— сопряженный 28
ассоциированный (о проекторе) 16
базовая функция 351
верхняя левая полная производная 352
— правая полная производная 352
возрастает (о последовательности функций) 51
гомоморфизм 17
двойная дихотомия 314
— экспоненциальная дихотомия 314
дихотомия 122
— обыкновенная 122
— экспоненциальная 131
диэдр 16
— замкнутый 17
перпендикулярный 44
раскрытый 24
расчлененный 16
D-раскрытый 307
(X, X')-расчлененный 30 дополнение 17 допустимость 32, 135, 147
пары 414, 424
регулярная 149, 425
естественный представитель 346
изоморфизм 18
индуцирует (дихотомию) 122, 314
— (экспоненциальную дихотомию) 131
интервал 51
канонический функционал 27
квазилокальная замкнутость 60
квазиобильность 65, 74
комплексификация 408
конгруэнция 18
крепкая функция 54
курьер 18
— полунепрерывный снизу 18
модуль 373
— плотный 373
— функции 373
мономорфизм 18
лемма о трех углах 20
линейное многообразие 16
локальная замкнутость 60
локальное замыкание 60
непрерывная выборка 18
несваливаемость 94
нижняя левая полная производная 352
— правая полная производная 352
обертка 97
обильность 65, 74
обладает (дихотомией) 314
— (экспоненциальной мией) 131 обратимозначность 102 оператор 18
— сдвига 55
— смещения 393
— усечения 56 ориентация 293 отношение ==> 62
отображение вдоль решений 109 отрицательная определенность 351
пара 146
парность 70
первообразная 107 подпространство 17 — дополнимое 17 — дуксиальное 27 — насыщенное 28 — характеристики 127 полная производная 352
верхняя левая 352
правая 352
— — нижняя левая 352
— правая 352
положительная определенность 351 положительность 51
поляра 26
почти мажорируемость 353
— минорируемость 353
отрицательно определена (о полной производной) 354
полуопределена (о полной производной) 354
положительно определена (о полной производной) 354
полуопределена (о полной производной) 354 представление Флоке 390
— порядка 390
приведенная форма (уравнения) 418, 419
проектор 17
алгебраический 16-
производная 107
вдоль решений 351 пространство Лебега 52 псевдодиффереициал 352
равномерная малость 351
— некритичность 144■
радиальная замкнутость 49 радиальное замыкание 49 раскрытие 24 раствор 46 расщепление 22-
регулярная допустимость 149, 425 решение 106 41»~~
— обратимозначиое 109
свойство квазистрогой спаренности 28
— строгой спаренности 28 семейство F-деформаций 276 сильнее, чем 48, 49, 146
симметризация 94
скудность 65, 74, 98, 101
слабая почти периодичность 385
— топология 27
слабее, чем 49, 146
сопряженность (об уравнениях) 113
— (о функциях) 113
сопряженный оператор 27
спаренные пространства 26
теорема Нагумо 391
— Флоке 390
толстота 91, 104
тонкость 70, 99
существенная верхняя грань 51
существенный предел 51
угловое расстояние 20
уравновешенность 48
условия Каратеодори 47
формула Грина 114
функционал вычисления 27
функция Ляпунова 350
однородной степени х 350
— сравнения 351
эквивалентность пар 146
— по норме 50
экспоненциальная дихотомия 131
эндоморфизм 18
эпиморфизм 18
эрмитова сопряженность (об уравнениях) 113
(В, D) -диэдр 308
(В, D)-многообразие 161, 425
(В, D)-подпространство 161, 426
D-раскрытый диэдр 307
D-решение 115, 423, 424
F-деформация 276
.9"-пара 146
У к-пара 146
У^-пара
fe-я производная 416
' п-я первообразная 416
S-предел
^"-пара 146
^■**-пара 146
fT^-napa 146
iT^^-napa 146
Указатель обозначений
Символы, обозначающие произвольные числа, функции, множества, пространства и т, и., по возможности всюду опущены, а там, где они стоят, их присутствие не отражается на алфавитном порядке.
А,р 291; Л,р р- р+ 339.
А ( •), А„ ( •), Аа+ (•) 373 - 374
Ad(., •), Adr(., •), Adr(., • )253; Add(-, • )333
В 297
b 59, 61, 73
В V. о. р 295-
Ь^ 63; ьдгк 66; ЬЗ^ 72; ЬЗЧ-) 74; Ь^ 97; b^f.) 101; b^(-)59; b^, b^*, b^^ 77; b^(-), b^(-) 96; b^, b^* 103; b^(-), ЬЗ^М 104
C, Cb.d(-) 148; Cy, СумД.) 161, 162, 308, 426
(С), (O') 350-
C, yC, Co 97; C° 103
CRn, Ю2
c1, cl5 17
codim 41
d(-, •) 17
D+, D+, D~, D_ 353
(DO, (D„), (D„0 122; (d9, (Di,), (d"), (Dn) 123; (d"i), W 125
(Dnin) 125
(DDF), (DDH, (DDh), (dd'’), (dd'+) 320; (DDUH) 321
Dim 41
62 ( • ) 41.
em 18
e 97, 100
£o (•) 345; £0, £«, £^ 348
(Ei), (En), (EllM), (EIU„) 348; (Ei), (Eh), (еГ). (fn) 132; (e'O, (E"h) 134; (Ешоон) 134
(ЕЕГ), (ЕЕП 321; (EE'"), (ee'+) 321'
essinf, ess sup, esslim, essliminf, esslimsup 51
f 65, 74'
F 16..
(F) 63; (Fx) 73
Sr, ;Sr 63; 9\ 65; Sr±, 9\* П\ ОТ) 73; ^±(-) 74
(FC) 97; (FCY) 100'
^, ОТ 97; S^ 99; Sr^(.) 100; OT± (•) 101
G+ (± oo), C+ (± oo), G~(± oo), G_ (± oo) 352 /16. ' .. .
inf 511
k, k0 64, 74, 98 101
К, /Св.оМ 147; Ky, /Сув.пМ 161, 308, 425
/р, Г, /” 18■
(L), (I/) 350■ '.
L, L(-), ,L(.) 53; L± 72.
Lp, L°°, [/(•), ,LP(.), L”(.), /L°°(.) 52; Lo°° 65 1c 60, 73, 74, 102• ■
Iim5 17
Si (.) 373.
M, Mo 78•..
(N) 58
ЛЛ’(-), J(-)56.
PY 41
P(.) 388; PC(.) 389'
r (.,.), r0(., •) 32
R 16; R_, R+ 50
rad 49'■
$(•), So( ')< s-(•), s+(•) (в обозначениях типа s(f), s(F)) 54, 55.
S, Sd(-), Sy, SKD(.) 117',
8, 80
sgn 17*-ад'
sup 51.
T~ 79, 96'
Тт (на R, на R^ 55; it, TT 55, 94; Г?Р 76; FtF(-) 96; (T) 76;
(T*) 76; (Tx), (T?) 96 ''-
T 80
Sr 76; £TX 76; TK 77; ^+, T_ 94; ^(-),V‘\ ^"+(-)96
Sr-g7, Sr-g7* 103; ^(.j, Sr-g7^.) 104’
Tr(• ) 385
Vx 350C.
V', V'+, F;, F'”, F- 352’
Хо, Хоо 116; Xod> Xod(‘) 116, 424; Хо(въ Xo(d>(. •)424;
X±0D, X±0D(.) 307; Xo.a(-) 376; X0T(-) 268
XD 116
(a) 353
a (• ; Л 58; a( • ; 0 58; a( •; 0), a( ■ ; oo) 83
(P) 353
6(. ; /) 80; p(.;0), p(-; oo) 83
y[x, 20; Y[y, -v], yK. X] 21
Y(-;П 98
Lr(A), Г(В, D; A) 192
Г (co) 293
Г(Х) 57
S( -, •) 33; 6'( -, •) 34
A(., •) 34
Mb), Яо(.) 38
- 0 (...) 46
0T 56; 0XF 76; 0XF (•) 96
x(., •) 24; xD, xD (A; •, •) 307
Ад, Ao, Ao (на /?+) 83; Ад, A,7, Aj (на /?) 84
H 51
v, v (•), V, V (•) 135
S(.) 32, 44; 2Д •) 32; 3(. , 6), ЗД ., 6), 3( •, 6'), Sc( • , S') 34; ^3(.) 45
6 41
»(•,•) 27
£(•) 17
Ф, Ф' 27
Xe 51; x-, X+ 72
co (x; • ), (Од 293, 294
Q, Q( •), Qc, Qt( •) 268, 335; Qd, Qd (.) 336; Qo, Qo( •) 272, 336; ^oc, ^oc (’ )• ^ob Sole, ^oib ^ob ^oic, ^02 273; Qgd 336; Qp, Qop 288, 336; Qcp> Qcf( ■), Qocf> Йоср( ■) 278; jQp 291; c-’c dQF 338
+ (в обозначениях типа r+) 89, 192
-+±т (в обозначениях типа <p+) 72 (в обозначениях типа F+, F+(.)), 72, 74, 99, 101; (в формулах) 306; см. также «индивидуальные» обозначения
..а 376
оо, оо д 161; ± оо, ± оо д 308
с 63
' (в обозначениях типа F') 67; (в обозначениях типа Л*) 27, 112
’ (в обозначениях типа X*) 18; (в обозначениях типа Л*) 27, ИЗ; + 41
0 26; 1 41
'18
107'
Ml, hL 1-1 17; | |, | |р 52; | |„ 52, 73, 99, 100
(•) (в обозначениях типа F(X)) 73, 100
(., • ) 40; (-, •) 26
[•, •] (в обозначениях типа [ф, ф]) 51
[•; - ] (в обозначениях типа [X; У]) 18
4 (•, •) (в обозначениях типа -^ (х, у), ^(У, х\ ^(Y,Z^ 41
^, ^ (в обозначениях типа ф^ф) 51; (в обозначениях типа X < У) 50
л, V. Д, V 57'
=ф 62
~ 295
Ло + У 254
О г ла вление
От переводчиков 5
Предисловие 7
ЧАСТЬ I
Глава 1. Геометрия банаховых пространств15
Введение 15
Содержание главы 15. Терминология и обозначения 16. Непрерывные выборки 18.
Углы, расщепления и диэдры20
Угловое расстояние и связанные с ним понятия 20. Расщепления 22. Диэдры 24.
Спаренные пространства26
Спаренные пространства 26. Подпространства 28. Выборки и расщепления 31. Рефлексивные пространства 31.
Класс всех подпространств банахова пространства32
Две метрики 32. Дополнимые подпространства 36. Класс всех замкнутых диэдров 38. Лемма о непрерывно меняющихся подпространствах 40.
Гильбертово пространство40
Обозначения 40. Углы, расщепления и диэдры 41. Множество всех подпространств 44.
Замечания к главе 1г. . 45
Глава 2. Функциональные пространства<47
Введение47
Содержание главы 47. Дальнейшая терминология и обозначения для . случая абстрактных пространств. Отношения «сильнее, чем» и «^» 48.
Функции и функциональные пространства 50. Пространства Лебега , Lp (X) 52. Пространство 59 L(X) 00. J = R и J = R+. Операторы сдвига 54.
^-пространства56•
Решетка ^ (X) 56. Банаховы пространства из «V (X) 59. Локальное замыкание 60. Пополнение 61. Отношение ^ 62.
5Г-пространства63:
Решетки 9" и ЬК. Локальное замыкание 63. Операторы к0, к, f.
Скудные и обильные пространства 64. Класс 3" R 65. Парные пространства 67. Тонкие пространства 70. Области R, R_, R+. Разрезание и сращивание в нуле 72. Класс 3~ (X) 73.
^-пространства75
Классы д, 3 * 75. Оператор Т~ 79. Класс д к 79. Парные пространства в д 82. Функции a(F; /) p(F; /). Пространства Ц, L°°, L” 82. Тонкие пространства 86. Толстые пространства 88. Разрезание и сращивание в пуле 94. Классы д (X), д^" (X) 96.
Пространства непрерывных функций96
3"%-пространства 96. Класс З"^ (X) 100. ^^^-пространства на J — R+ н <7 ^-пространства па J = R 102.
Замечания к главе 2104
Глава 3. Линейные дифференциальные уравненияС106
Введение106
Содержание главы 106. Первообразные 107.
Решения108
Существование, единственность н формулы для решений 108. Оценки решений ПО. Теорема замкнутости 111.
Сопряженные уравнения в спаренных пространствах112
Сопряженные операторно-значные функции 112. Сопряженные уравнения 113. Формула Грина 113.
D-решения однородных уравнений115
D-решения и их начальные значения 115. Примеры и комментарии 118. Один результат о сопряженных уравнениях 119.
Замечания к главе 3120
ЧАСТЬ II
Глава 4. Дихотомии.. /121
Введение121
Обыкновенные дихотомии122
Отределение 122. Дихотомии и решения в ^-пространствах 126. Примеры 129.
Экспоненциальные дихотомии130
Определение 130. Экспоненциальные дихотомии и решения в д-пространствах 137. Пример 137.
Дихотомии для сопряженных уравнений139
Дихотомии для сопряженных уравнений 139. Обыкновенные дихотомии и многообразия Хо, Хо 141.
Конечномерное пространство142
Замечания к главе 4 000 144
Глава 5. Допустимость и связанные с ией понятия■ . /445
Введение145
Содержание главы 145. Пары функциональных банаховых пространств 146.
Допустимость147
Определение и теорема об ограниченности 147. Регулярная допустимость 149. Допустимость и локальное замыкание 150. Некоторые замечания о допустимости ^-пар и родственных им пар на /?+ 153.
(В/Вр"м иогообразий .. ". 159
Содержание главы (окончание) 159. (В, В)-миогообразия 161. (В, D)- многообразия и допустимость 164. (В, В)-поднространства 166. У-пары и родственные им пары 167. Множества пар 169.
(В, В)-многообразия, допустимость и сопряженные уравнения . . . . 172 Полярное многообразие (В, В)-многообразия 172. Один результат о допустимости S'-пар 176.
(В, В)-подпространства и сопряженные уравнения178
Полярное многообразие (В, В)-подпространства 118. Условия допустимости для алгебраического сопряженного уравнения 179. Множества (В, D)-многообразий и -подпространств для 9-пар и родственных им пар 181.
Конечномерное пространство184
Замечания к главе 5185
Исторические замечания 185. Дополиимые (В, Ь°°)-подпространства 186.
Глава 6. Допустимость и дихотомии(188
Введение188
Основные неравенства190
Преддихотомическое поведениерешений однородного уравнения .. 194
Средние значения и слои решений 194. Неравномерные поточечные свойства решений 198. Различные следствия 202.
Допустимость, (В, В)-подпространства и дихотомии. Общий случай 204. Обыкновенные дихотомии 204. Экспоненциальные дихотомии 207. Множества пар 211.
Допустимость, (В, В)-подпространства и дихотомии. Уравнения с4еМ(Д214
Основные теоремы 214. Множества пар 217.
Примеры и комментарии219
Примеры с постоянным А 219. Контрпримеры для прямых теорем 221. Контрпримеры для обратных теорем 228. Примеры для бесконечномерного пространства 235. Оценка параметров дихотомии 237
Поведение решений сопряженного однородного уравнения240
Следствия существования (В, В)-подпространства 240. Следствия одного лишь существования (В, В)-многообразия 242. Вопрос о дихотомиях 250.
Замечания к главе 6251
Глава 7. Зависимость от АZT252
Введение252
Классы допустимости и(В,В)-подпространства253
Классы допустимости 253. (В, В)-подпространства 261.
Дихотомические классы268
Экспоненциальные дихотомии 268. Обыкновенные дихотомии 272.
Связность в дихотомическихклассах.Банаховы пространства276
Семейства деформаций 276. Линейная связность в дихотомических классах 278.
Связность в дихотомических классах. Гильбертово пространство . . . 284 Некоторые мотивировки 284. Две геометрические леммы 285. Семейства деформаций 286. Экспоненциальные дихотомии. Общий случай 288. Экспоненциальные дихотомии. Исключительный случай 293. Обыкновенные дихотомии 300. Конечномерное пространство 301.
Замечания к главе 7304
Глава 8. Уравнения на RС305
Введение305
(В, В)-диэдры и допустимость307
Основные теоремы 307. Некоторые дальнейшие результаты 312.
Двойные дихотомии. Связь с допустимостью и (В, В)-диэдрами . . . 314 Двойные дихотомии 314. Примеры 3.1. Связь с допустимостью и (В, В)-диэдрами 324. Преддихотомнческое поведение решений однородного уравнения 327.
Сопряженные уравнения329
Зависимость от А332
Классы допустимости и замкнутые (В, Dl-диэдры 332. Два кды дихотомические классы 335. Связность в дважды дихотомических классах 336.
ЧАСТЬ III
Глава 9. Метод Ляпунова(344
Введение344
Содержание главы 344. Поточечные свойства решений. Исключительные множества 345.
Функции Ляпунова349
Функции Ляпунова 349. Полные производные 351.
Экспоненциальные дихотомии355
Обыкновенные дихотомии 363
Замечания к главе 9369
Глава 10. Уравнения с почти периодическим А371
Введение371
Содержание главы 371. Пространства почти периодических функций 373. Почти периодические уравнения н решения. Предварительные результаты 375.
Условие ХОЙ. „ = {0}377
Экспоненциальные дихотомии380
Рефлексивные и конечномерные пространства383
Замечания к главе 10384
Уравнения на R* 384. Теория Фавара 385.
Глава 11. Уравиеиия с периодическим А387
НО. Введение387
Содержание главы 387. Пространства периодических функций 388. Свойства решения U 389.
Представление Флоке390
Периодические уравнения и периодическиерешения393
Решения однородного уравнения397
"D-решения 397. Двойные дихотомии 401. Примеры 404. Экспоненциальные и двойные экспоненциальные дихотомии 406.
Индивидуальные периодическиеуравнения 410
Глава 12. Уравнения высших порядков414
Введение414
Содержание главы 414. и-е первообразные функции 416.
Уравнение (ш+ 1)-го порядка418
Допустимость и (В, У)-многообразия424
Основные теоремы429
Библиография43)
Именной указатель444
Предметный указатель446
Указатель обозначений 448
X. Л. Массера, X. X. Шеффер
Линейные дифференциальные уравненияи функциональные пространства
Редактор В. И. Авербух. Художник К. П. СиротовХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Н. Д. Толстякова
Сдано в производство I0/XI 1969 г.Подписано к печати 5/VI 1970 г.
Бумага № 1 60Х90/'|6= 14,25 бум. л. Печ. л. 28.50. Уч.-изд. л. 27,72
Изд. № 1/4985. Цена 2 р. 20 к. Зак. 405
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москаа, 1-й Рижский пер.. 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати»при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29
123о&^к^У;Xi~*t
В^.WA^,*^t tX^-x^av fj
|Ц^ бДемХ^О^^р I? ^ ГMpiU- /• « 1
110Х-^ ' ^^’ t^^*
322.
K'-utti*,, t>0
I Лг - *2Хг-
Зз/ г^м/
3 6^ ^- « ДлАМ. ^
То+лу А
Км(1 +26Г(Л)) с
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
PURE AND APPLIED MATHEMATICS
A Series of Monographs and TextbooksEdited by
Paul A. Smith and Samuel Eilenberg
Columbia University, New York
LINEAR DIFFERENTIALEQUATIONS
AND FUNCTION SPACES
JOSE LUIS MASSERAJUAN JORGE SCHAFFER
Instituto de Matematica у EstadisticaUniversidad de la Repiiblica Oriental del UruguayMontevideo, Uruguay
ACADEMIC PRESS ■ NEW YORK AND LONDON
1966
X. Л. Массера, X. X. Шеффер
Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства
Перевод с английского
А. М. Зверкина и Г. А. Каменского
Издательство «Мир»
Москва 1970
УДК 517.9; 517.43
Монография включает результаты исследований по теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, прина: длежащие в основном авторам — известным уругвайским математикам. В ней впервые в мировой литературе систематически излагаются вопросы, связанные с экспоненциальной дихотомией, устойчивостью и условной устойчивостью решений дифференциальных уравнений. Авторы широко используют методы функционального анализа.
Книга предназначена в первую очередь для математиков, занимающихся теорией дифференциальных уравнений и функциональным анализом, но она, несомненно, заинтересует не только математиков других специальностей, но и научных работников в области механики. Она будет также полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
12-69
От переводчиков
Теория дифференциальных уравнении в банаховых пространствах находится на стыке двух важнейших разделов современной математики — функционального анализа и дифференциальных уравнений. .
На русском языке имеются две монографии, посвященные проблемам теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, — это книги С. Г. Крейна «Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве» («Наука», 1967) и М. Г. Крейна «Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве» (Институт математики АН УССР, Киев, 1964). В первой из этих книг рассматриваются проблемы общей теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах (в основном с неограниченными операторами) и не затрагиваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Ближе по содержанию к настоящей книге стоит книга М. Г. Крейна, однако различие в используемых авторами методах приводит к тому, что эти две книги пересекаются лишь в общих вопросах и удачно дополняют друг друга').
В данной книге, принадлежащей перу известных уругвайских математиков X. Л. Массеры и X. X. Шеффера, систематически излагаются результаты исследований авторов по теории линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.
Для того чтобы охарактеризовать содержание этой книги, приведем следующий, хорошо известный в теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, результат: эквивалентны такие три утверждения: .
Для каждой непрерывной ограниченной на [0, оо) функции f система
х + A (l)x = f^ (1) имеет по крайней мере одно ограниченное на [0, оо) решение.
Существуют такие положительные постоянные N, v, N\ у' и такое представление евклидова пространства Еп в виде прямой суммы двух подпространств Хо и X, размерности к и п— к соответственно, что каждое решение %о(О системы (1) с начальным значением хо(0)еХо удовлетворяет неравенству
||хо(О!К^/||хо(О)|!,
') См. также книгу Е. А. Барбашипа «Введение в теорию устойчивости», в которой имеется удачное введение в теорию уравнений в банаховых пространствах.
а каждое решение %i(t) системы (1) с начальным значением %i(0)eX[ удовлетворяет неравенству
■ ||xI(/)||>^1ev'q|x1(0)||. ■
Ш. Существует функция V (х, t), представляющая собой квадратичную форму по х с ограниченными коэффициентами, зависящими от /, такая, что ее производная вдоль решений системы (1) определенно отрицательна (сама функция V при этом не предполагается знакоопределенной).
В настоящей книге результаты указанного типа переносятся на уравнения в произвольных банаховых пространствах и детально анализируются. Перенесение это отнюдь не является тривиальным и требует привлечения тонких результатов теории топологических векторных пространств. Эти результаты излагаются в первой части книги.
Вторая часть книги содержит теорию линейных дифференциальных уравнений вида (1) в банаховых пространствах с произвольным ограниченным оператором Д(/).
Третья часть книги начинается с построения теории, в которой идеи второго метода Ляпунова применяются к исследованию поведения решений уравнения (1) с привлечением аппарата, разработанного во второй части книги. Затем исследуются линейные уравнения с периодическими и с почти периодическими коэффициентами в банаховых пространствах. В частности показано, что представление Флоке в бесконечномерных пространствах в общем случае невозможно. Получены разнообразные условия, при которых представление Флоке существует. Разработан новый метод исследования уравнения с периодическими коэффициентами, при котором не используется обычное сведение уравнения (1) к уравнению с постоянными коэффициентами.
Книга представляет собой оригинальное изложение теории линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, базирующееся на существенном использовании методов функционального анализа. Она написана на высоком научном уровне и отличается общностью результатов, большинство из которых принадлежит авторам книги. .
Предназначается эта книга в первую очередь для специалистов по теории дифференциальных уравнений, но она представляет интерес и для специалистов по функциональному анализу, так как в ней построена нов^я- ветвь теории функциональных пространств. . ■
А. Зверкин, Г. Каменский
Предисловие
Эта книга посвящена изучению некоторых проблем теории обыкновенных дифференциальных уравнений, относящихся в весьма широком смысле к теории устойчивости. Пусть
х+Лх=0 (1)
— однородное линейное дифференциальное уравнение и
x+Ax=f (2)
— соответствующее неоднородное уравнение. Здесь х обозначает функцию со значениями в некотором (действительном или комплексном) банаховом пространстве X; x=dxldt\ действительная независимая переменная t пробегает, скажем, полуось /?+=[0, оо); А— отображение R+ в алгебру X (ограниченных) операторов — т. е. эндоморфизмов — пространства X и f— отображение R+ в X. В предисловии мы не будем останавливаться ни на точной формулировке ограничений (типа Каратеодори), налагаемых на отображения A, f, ни на значении слова «решение», применительно к уравнениям (1) и (2), при этих ограничениях. Существенные свойства решений остаются, впрочем, такими же, как и в классическом (непрерывном и конечномерном) случае.
Типичными примерами двух главных классов исследуемых нами свойств служат соответственно «допустимость» и «дихотомия», описываемые следующим образом.
(1)[ Допустимость. Пусть В и D — два функциональных про- странс1^а, состоящие из отображений R+ в X. Мы будем говорить, что пара (В, D) допустима для уравнения (2)—точнее для А — если для каждого (еВ существует такое решение х уравнения (2), что х е D. Мы будем рассматривать только тот случай, когда В и D — такие банаховы пространства, в которых из сходимости по норме следует сходимость в среднем на каждом компактном подинтервале в R+. Основной результат
(теорема 51.А), получаемый с помощью теоремы об открытых отображениях, состоит в том, что существует решение xeD, D-норма которого ограничена фиксированным кратным В-нормы функции ). Отсюда видно, что понятие допустимости в некотором смысле родственно понятию устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
(II) Дихотомия. Предположим, что введена характеристика «угловой удаленности» между ненулевыми элементами пространства X, например собственно угол, если X — гильбертово пространство, или в общем случае угловое расстояние у[х, у} = = IIII i/||-1t/—ЦхЦ'-'хЦ. Мы будем говорить, что (замкнутое) подпространство У пространства X индуцирует дихотомию решений уравнения (1), если существуют такие положительные постоянные у, N, N', уо, что выполняются следующие условия (формулируемые здесь в предварительном виде):
(D/) для любого решения у уравнения (1) с у^ е У выполняется неравенство ||г/(0 ll'^-^HyGo) II, О/о^О;
(Du) для любого решения г уравнения (1), такого, что «угловая удаленность» элемента z(0) от любого ненулевого элемента подпространства У не меньше у, удовлетворяется неравенство ||z(Z) ||> ^-412(^)11, />^о>О;.
(Оги) для любой пары ненулевых решений у и z уравнения (I), обладающих свойствами, описанными в (D/) и (D/;), «угловая удаленность» между у^ и z^ не меньше уо для всех ОО.
Если неравенства в (D/) и. (D//) заменены неравенствами
|| у || < Ne"N у" м || у (#0) |^ || z (/) || > дЛ1 ev ^ || z (/0) ||, с положительными константами v и v', то мы говорим об экспо- ненииальной дихотомии. Ясно, что эти два понятия тесно свя- заныс понятиями равномерной условной устойчивости и условной экспоненциальной (равномерной асимптотической) устойчивости и что в частном случае Y=X они просто совпадают с понятиями равномерной устойчивости и экспоненциальной устойчивости соответственно.
Насколько нам известно, первым, кто обратил внимание на важность этих свойств, был Перрон [2], который показал, что допустимость пары (С, С) (где С — пространство всех ограниченных непрерывных функций на /?+ со значениями в X) при довольно общих предположениях эквивалентна существованию экспоненциальной дихотомии. После Перрона многие авторы
(например, Беллман [1], Крейн [1], Кучер [1], Майзель (1]) пытались распространить его результаты на более общие случаи. Беллман и Крейн первыми предложили использовать методы функционального анализа, применив теорему Банаха — Штейн- гауза; при этом они, как и Кучер, ограничивались исследованием устойчивости (случай Y = X; X конечномерно1)). Более подробные исторические сведения приведены в замечаниях в конце глав 4—6.
Авторы настоящей книги рассмотрели эту проблему в более общем случае в 1956—1958 годах, пустив в ход теорему об открытом отображении. Они опубликовали свои результаты в трех совместных статьях (Массера и Шеффер [1—3]), которые были первыми из серии статей под общим заголовком «Линейные дифференциальные уравнения и функциональный анализ». Позже в исследованиях, начатых совместно и продолженных Шеффером, было показано, что можно достичь значительно большей общности, и при этом обнаружилась в некотором роде «естественная область» свойств допустимости и дихотомии. Наряду с дальнейшим развитием других тем и идей, затронутых в предыдущих статьях, это составило содержание частей IV— IX упомянутой серии (Массера и Шеффер [4]; Шеффер [3, 5— 8]). В разработку вопросов, изложенных в статье Шеффера [5], внес вклад Ф. Хартман, который также изучал уравнения высших порядков (Хартман [1]). Одним из главных инструментов для всех этих обобщений является теория некоторых классов функциональных пространств, в частности пространств, обладающих свойствами инвариантности при сдвигах. Эта теория была развита Шеффером [1, 2, 4].
Поскольку процесс обобщения осуществлялся в несколько приемов, в упомянутых выше статьях иногда нарушается порядок изложения и встречаются повторы, что затемняет суть дела. Поэтому нам показалось целесообразным написать ясное и систематическое изложение теории в целом, в результате чего и появилась эта книга. Разумеется, мы воспользовались этой воз-
’) М. Г. Крейн в докладе [1], прочитанном в марте 1948 г. на заседании Московского математического общества, впервые рассмотрел вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах. Подробно эти исследования изложены им в лекциях, про- чтаппых в 1947/48 г. в Одесском университете и опубликованных позднее и монографии «Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве» (отредактированные и дополненные К). Л. Далецким), Ин-т математики АН УССР, Киев, 1964. (Выходит в свет значительно расширенный вариант этой монографии: Ю. Л. Далецкий и М. Г. Крейн, Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банахо- цом пространстве, «Наука», 1970.) — Прим. ред.
можностью для завершения ряда предыдущих исследований и включили несколько новых результатов, а также исправили некоторые замеченные ошибки. Неизбежным образом терминология и обозначения этой книги несколько отличаются от терминологии и обозначений, использованных в статьях.
В своей недавней книге по обыкновенным дифференциальным уравнениям Хартман излагает часть этой теории (Хартман [2], разделы XII 6—7, гл. XIII). При этом он вводит некоторые абстрактные методы, которые могут оказаться полезными для других приложений (см. § 120).
Большинство авторов, занимавшихся проблемами, рассматриваемыми в этой книге, и в первую очередь Перрон [2], интересовались не столько вопросами, касающимися самих линейных дифференциальных уравнений, сколько приложениями теории к слабо нелинейным уравнениям, т. е. уравнениям вида
x + Ax = h,
где h; R+XX -► X является в некотором смысле «малой» функцией второго аргумента. Дальнейшее развитие этого направления исследований, характеризующееся использованием методов, введенных в упомянутых выше статьях, изложено, например, в работах: Массера и Шеффер [1], Массера [4], Кордуняну [I, 2], Хартман и Онучик [1], Хартман [2] (разделы XII 8—9). Теория, излагаемая в этой книге, может быть применена подобным же образом. Основными инструментами для такого применения являются метод последовательных приближений и теоремы о неподвижной точке («тривиальная» теорема Банаха о сжатых отображениях и теорема Тихонова о неподвижной точке). В общем плане этой книги первым шагом в этом направлении должен был бы, конечно, служить результат, подобный теореме 6.1 Хартмана и Онучика [1]. Такое изучение нелинейных уравнений показало бы попутно, сколь велика связь между допустимостью и устойчивостью при постоянно действующих возмущениях. Мы с большой неохотой решили отказаться от всякого рассмотрения нелинейных уравнений и ограничиться только случаем линейных уравнений. Иначе нам пришлось бы чрезмерно увеличить и без того большой объем работы.
Мы считали бы, что не достигли своей цели, если бы значение теории (если она таковое имеет), развиваемой здесь, было усмотрено в том, что уравнения рассматриваются в общем банаховом пространстве X, а не, как обычно, в конечномерном пространстве (с заданным базисом). В действительности основные черты теории и сила функционально-аналитического подхода в
полной мере проявляются уже в конечномерном случае. Однако сама природа методов и результатов делает распространение их на бесконечномерные пространства настолько естественным, что мы с легким сердцем пошли ради этого на некоторые технические усложнения. Такая цена невелика, если учесть концептуальную сложность, неизбежную при любом использовании функциональных пространств. На самом деле это наше решение существенно помогло уточнению многих понятий — как это часто бывает при обобщениях такого рода, — что привело к обогащению и упрощению теории даже для конечномерного случая. Мы старались, однако, избегать вопросов, обусловленных бесконечномерностыо пространства. Несколько исключений сделано для оправдания ограничений, налагаемых в некоторых теоремах (относительно знаков, обращающих внимание на такие исключения, см. ниже). Ряд исключений представляет самостоятельный интерес, например § 66 и обсуждение лейа- ремы Флоке в § 111. С другой стороны, чисто конечномерные понятия и методы, .такие как следы матриц, определителщ_прщ>е- дение к тргсутолБПощ^йЧюрмальной формам и т. п., были исключены. При этсДПбыло утрачено до удивления мало результатов (ср. Массера и Шеффер [1], раздел 9). "
Придерживаясь этой точки зрения, мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения функции А суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы, конечно, огромный интерес, особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных. К сожалению, пока нам не удалось достаточно далеко продвинуться в этом направлении. Некоторые фрагментарные результаты, не являющиеся, однако, по-настоящему естественными и существенными обобщениями, были опубликованы Халиловым [1] и Домшлаком [1—3].
Эта книга предназначена в первую очередь для читателей, интересующихся дифференциальными уравнениями, а не для специалистов в области функционального анализа. Поэтому знакомство с теорией дифференциальных уравнений предполагается. Что касается функционального анализа, то читатель должен иметь понятие о слабой и сильной сходимости в банаховых пространствах. Более подробные сведения содержатся в замечаниях к главам 1 и 3. За указанными исключениями изложение носит замкнутый характер, конечно, в разумных пределах. Наиболее значительным исключением является глава 2, что и объясняется во введении к этой главе.
Всего в книге 12 глав, объединенных в три части. Часть I, включающая главы 1—3, содержит подготовительный материал,
не относящийся непосредственно к основной тематике книги; об этом уже говорилось выше. Глава 1 посвящена некоторым разделам геометрии банаховых пространств. В главе 2 изучаются классы функциональных пространств, наилучшим образом приспособленные для нужд теории допустимости. В главе 3 обсуждаются общие свойства линейных дифференциальных уравнений и их решений. Для того чтобы глава 2 не стала чрезмерно длинной, мы ограничились изложением существенных свойств теории и опустили доказательства нескольких теорем (их можно найти в статьях Шеффера [1, 2, 4]).
Часть II образует ядро книги, где развиваются основные идеи. Она состоит из: главы 2, посвященной дихотомиям; главы 5, в которой изучается допустимость и ее важные варианты; главы 6, где речь идет о связи между дихотомиями и допустимостью для уравнений на /?+=[0,оо); главы 7, в которой описывается зависимость дихотомий и допустимости от операторнозначной функции А; и главы 8, где изучаются сходные проблемы для уравнений на R = (—оо, + оо).
В части III содержатся дополнения к общей теории и частные ее случаи, а именно: метод Ляпунова (глава 9), почти периодические уравнения (глава 10), периодические уравнения (глава 11) и уравнения высших порядков (глава 12).
Главы разделены на параграфы. Глава 6 содержит параграфы от 60 (введение) до 67 (замечания); аналогичный способ нумерации применяется в каждой главе. Параграфы в свою очередь разделены на ненумеруемые пункты. Способ обозначения буквами теорем, примеров и т. и. и последовательная нумерация формул в пределах каждого параграфа понятны сами собой.
Иногда теорема формулируется в одном параграфе, а ее доказательство дается в другом. Если такая теорема используется до того места, где приведено доказательство, на это всякий раз обращается внимание читателя. Слово или совокупность слов, написанные разрядкой, — это определяемый объект в формальном определении.
Абзацы или целые пункты, отмеченные знаком со, представляют интерес только для бесконечномерных пространств А; отмеченные знаком оо оо — только для пространств А, содержащих (замкнутые) подпространства, не имеющие (замкнутых)
„оо,
дополнении; отмеченные знаком оо оо—только для нерефлексивных пространств А.
Для удобства читателя эти места набраны петитом, равно как и некоторые другие, посвященные вопросам, лежащим в сто-
ропе от основного направления. Поэтому разделы, напечатанные петитом, могут быть пропущены читателем без ущерба для единства изложения. Результаты, полученные в этих разделах, не используются в остальной части книги. Читатель может для развлечения отыскать два преднамеренных исключения из этого правила.
С тех пор как кто-то из наших коллег по профессии ввел толстую вертикальную черту для обозначения конца доказательства, многие последовали его примеру, а многие другие усмотрели в этом вызов и стали изобретать варианты и улучшения. Поскольку наша книга и так изобилует толстыми вертикальными чертами — хотя они и не так уж толсты — и поскольку мы хотели внести некоторый вклад в это дело, мы тоже приняли вызов и изобрели знак, который, мы надеемся, понравится не только поклонникам моря, но также всем тем читателям, которые, утомившись от преодоления обширных и не отмеченных на карте доказательств, могут оценить чувства человека, благополучно прибывшего в порт.
Исследования, приведшие к написанию этой книги, проводились, как уже отмечалось, обоими авторами в Институте математики и статистики при республиканском университете (Монтевидео), а также Шеффером, бывшим в течение 1960 года стипендиатом фонда Джона Саймона Гугенгейма, в Чикагском университете и в RIAS (Балтимора). Работа над самой книгой выполнялась обоими авторами в упомянутом выше институте, а также Шеффером в Технологическом институте имени Карнеги (Питтсбург) в течение академического 1964/65 года. Чтение курса лекций в последнем институте, посвященного изложению части представленной здесь теории, дало ценную возможность для исправления ряда ошибок в рукописи.
Первый вариант глав 2, 3, 7 и 9 был написан Массерой, а остальных глав — Шеффером. Все главы были переписаны, проверены и приведены к их окончательному виду обоими авторами совместно.
Мы выражаем благодарность за ценную помощь профессору X. Л. Антосевичу, который был столь любезен, что критически прочитал всю рукопись. Его предложения были чрезвычайно полезны, и сумей мы претворить в жизнь большее их число, книга от этого только выиграла бы.
Мы благодарим также наших коллег из всех упомянутых институтов за сделанные в процессе работы над книгой замечания и предложения, слишком многочисленные, чтобы говорить о каждом из них в отдельности. С.реди них особое место зани-
мает вклад, внесенный профессором Ф. Хартманом, о чем мы уже говорили выше.
Мы благодарим также миссис Ребеку Э. де Ноачас за отличное выполнение трудной ее работы.
Нам остается только выразить признательность всем работникам издательства Academic Press, знакомым и незнакомым нам, которые, не жалея ни сил, ни времени, работали над книгой, выполняя все наши типографские прихоти, и придали ей такой прекрасный внешний вид.
Март 1966Март 1966Хосе Луис Массера Хуан Хорхе Шеффер
Март 1966
Март 1966