Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
В СПЕКТРАЛЬНУЮ
ТЕОРИЮ
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО«НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
517.2 * й Л 36
УДК 517.91
Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). Б. М. Левитан, И. С. Саргсян.
В книге излагаются основные вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и систем двух уравнений первого порядка. Рассмотрены также отдельные важные вопросы, относящиеся к спектральной теории обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка.
Книга состоит из 14 глав.
Глава I — Разложение в конечном интервале. Глава II — Разложение по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля в бесконечном интервале. Глава III — Разложение в сингулярном случае для системы Дирака. Глава IV — Исследование спектра. Глава V — Примеры (поясняющие на конкретных классических примерах изложенную в предыдущих главах общую'теорию). В главах VI—VIII излагаются новые методы, в основном созданные авторами, для изучения асимптотического поведения спектральной функции и разложений по собственным функциям оператора второго порядка. В главах IX—XI излагаются те же вопросы, что и в предыдущих трех главах, для систем двух уравнений первого порядка. В главе XII выводится асимптотическая формула для числа собственных значений в случае уравнения второго порядка, заданного в бесконечном промежутке. Глава XIII — Элементы спектральной теории линейных операторов в пространстве Гильберта. Связь с дифференциальными операторами. Глава XIV — Некоторые теоремы анализа.
В книге библиографических названий 134.
2-2-3
201-69
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Разложение в конечном интервале 11
Оператор Штурма—Лиувилля 11
Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций 16
Нули собственных функций 27
Периодические решения 34
Доказательство теоремы разложения с помощью
- метода конечных разностей 40
Доказательство теоремы разложения с помощью метода интегральных уравнений 51
Доказательство теоремы разложения в периодическом случае 58
Доказательство теоремы разложения методом контурного интегрирования 61
Уточнение теоремы разложения 67
Одномерная система Дирака 71
Асимптотические формулы для собственных значений и собственных вектор-функций 75
Доказательство теоремы разложения с помощью метода конечных разностей 82
Доказательство теоремы разложения методом интегральных уравнений 92
Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма—Лиувилля 105
Самосопряженные дифференциальные операторы п-го порядка Ill
Доказательство полноты системы собственных функций для самосопряженного дифференциального оператора 2п-го порядка методом конечных разностей 119
Вычисление регуляризованного следа для оператора четвертого порядка . .125
Глава II. Разложение по собственным функциям оператора Штурма—Лиувилля в случае бесконечного интервала 136
Доказательство равенства Парсеваля на полупрямой 136
Круг и точка Вейля для оператора Штурма—Лиу- ' билля 144
Интегральное представление резольвенты . . . .152
Ортогональность разложения . . 161
Формулы для р (X) и m (z) 175
Доказательство равенства Парсеваля в случае всей прямой 181
Интегральное представление резольвенты в случае всей прямой 191
Формулы для функций $ (X), ^(Х) и С (X) . . . .200
Равенство Парсеваля для самосопряженного дифференциального оператора n-го порядка 209
Г лава III. Разложения в сингулярном случае для системы Дирака 219
Доказательство равенства Парсеваля для системы ■ Дирака 219
Круг и точка Вейля для системы Дирака . . . .227
Интегральное представление резольвенты. Формулы для функций р (X) и m (z) 234
Доказательство равенства Парсеваля в случае всей прямой 243
Глава IV. Исследование спектра 254
Дискретный спектр 254
Теорема осцилляции для интервала (0,со). ...259
Исследование спектра в случае q (х) с Ж(0,со)..263
Преобразование основного уравнения 272
Случай q (х) —» —со 275
Исследование спектра системы Дирака в случае суммируемых коэффициентов 281
Преобразование основной системы 288
Случай чисто точечного спектра 294
Другие случаи спектра 301
Г л а в аV. Примеры 305
Классический интеграл Фурье 305
Разложение в ряд Фурье—Бесселя 307
Разложение в интеграл Фурье—Ханкеля. :..316
Разложение по ортогональным функциям Чебышева—Эрмита 323
Разложение по полиномам Лежандра и присоединенным функциям Лежандра 327
Разложение по многочленам Чебышева—Лагерра 335
«Атом водорода» 340
Система Дирака 345
Глава VI. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения• 349
Применение метода последовательных приближений 349
Сведёниек задаче Гурса 356
Решениесмешанной задачина полупрямой....359
Решениесмешанной задачинаконечномотрезке369
Глава VII. Разложение по собственным функциям оператора Штурма—Лиувилля 375
Вывод вспомогательных формул 375
Предварительная оценка спектральной функции. Случай всей прямой 380
Асимптотическое поведение спектральной функции. Случай всей прямой 389
Асимптотическое поведение спектральной функции. Случай полупрямой 394
Суммирование по Риссу спектральной функции394
Доказательство теоремы равносходимости ....401
Сходимость и суммируемость разложения по собственным функциям 408
Асимптотическое поведение спектральной функции уравнения порядка 2п 411
Глава VIII. Дифференцирование разложений по собственным функциям 419
Предварительная оценка производных спектральной функции'419
Асимптотическое поведение производных спектральной функции 427
Равносуммируемость дифференцированных разложений по собственным функциям 432
Суммирование дифференцированных разложений в обычный и обобщенный интеграл Фурье . . . .439
Сходимость дифференцированного разложения по собственным функциям 446
Обоснование метода Фурье для одномерного волнового уравнения 448
Глава IX. Решение задачи Коши для одномерной системы Дирака• 454
Вывод формулы для решения задачи Коши . . . .454
Сведение к задаче Гурса 464
Оператор — матрица преобразования 470
Решение смешанной задачи на полупрямой . . . .475
Решение задачи (1.1)+(1.2) при <<0 ......480
Глава X. Асимптотическое поведение спектрального ядра и его производных в случае системы Дирака 487
Вывод основных тождеств 487
Предварительная оценка спектрального ядра и его производных 491
Асимптотические поведения спектрального ядра и спектральной функции 501
Асимптотическое поведение производных спектрального ядра 510
Глава XI. Разложение и дифференцирование разложения по собственным функциям системы Дирака 522
Некоторые предварительные оценки 522
Доказательство теоремы равносходимости . . . .529
Доказательство теоремы равносуммируемости дифференцированных разложений 538
Глава XII. Асимптотическое поведение числа собственных значений оператора Штурма—Лиувилля549
Интегральное уравнение для функции Грина...549
Первая производная функции G (х, ц; ц) 558
Вторая производная функции G (х, ц; и) 561
Дальнейшие свойства функции G (х, ^; ц)....566
Дифференцирование функции Грина по ц....569
Асимптотическое распределение собственных значений 577
Разложение по собственным функциям при неограниченно растущем потенциале 587
Асимптотика числа собственных значений оператора порядка 2п 593
Глава XIII. Элементы спектральной теории линейных операторов в пространстве Гильберта. Связь с дифференциальными операторами 597
Абстрактное гильбертово пространство 598
Линейные функционалы и ограниченные линейные
опрераторы 603
Некоторые общие понятия теории линейных операторов 607
Спектральный анализ самосопряженных операторов610
Расширения симметрических операторов . . . .616
Достаточное условие самосопряженности оператора
Штурма—Лиувилля на всей оси и полуоси . . . .623
Самосопряженность систем первого порядка . . .630
Глава XIV. Некоторые теоремыанализа 634
Леммы Римана—Лебега 634
Теоремы Хелли ..638 .
Формула обращения Стилтьеса 643
Тауберовы теоремы 645
Цитированная литература 664
ПРЕДИСЛОВИЕ
Спектральная теория линейных операторов имеет своими основными источниками, с одной стороны, линейную алгебру, более точно теоремы о приведении квадратичных форм к сумме квадратов, и, с другой стороны, задачи теории колебаний (колебание струны, мембраны и др.).
По-видимому, уже давно была замечена аналогия между задачами линейной алгебры и теории колебаний. Однако только Д. Гильберт стал систематически пользоваться этой аналогией в своих основополагающих работах по теории интегральных уравнений. В результате возникло гильбертово пространство Z2, а затем и общее гильбертово пространство.
Введение в математику пространства Z2 и абстрактного гильбертова пространства привело к интенсивному развитию спектральной теории линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. В течение нескольких лет усилиями ряда выдающихся математиков эта теория была доведена до высокой степени совершенства и, пожалуй, даже завершена.
Вначале казалось, что абстрактная спектральная теория полностью охватывает различные частные задачи и дает ответы в принципе на все вопросы.
Однако постепенно выяснилось, что это далеко не так. Имеется много очень важных вопросов, на которые абстрактная спектральная теория или совсем не дает ответа, или дает очень недостаточный ответ. Например, это относится к вопросам асимптотического поведения собственных значений и собственных функций и других спектральных величин. Кроме того, теорема о спектральном разложении оператора, которая является одной из основных теорем во всей теории, описывает это разложение в абстрактных терминах так называемого разложения единицы. Для конкретных операторов (дифференциальных, конечно — разностных) спектральное разложение обычно
можно описать через решения соответствующих уравнений. В вопросах конкретного описания разложения единицы общая спектральная теория мало помогает. По-видимому, этим объясняется тот парадоксальный факт, что через несколько лет после фактического завершения абстрактной спектральной теории самосопряженных операторов почти одновременно в различных странах началась интенсивная работа по спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов. Эта работа продолжается и в настоящее время, в особенности для операторов с частными производными.
Настоящая монография посвящена систематическому изложению ряда основных вопросов современной спектральной теории самосопряженных обыкновенных дифференциальных уравнений, главным образом одного уравнения второго порядка и системы двух уравнений первого порядка (частным случаем которых являются так называемые системы Дирака). Рассмотрены также некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов п-го порядка, однако со значительно меньшей подробностью, чем это сделано для операторов второго порядка. Так что те части монографии, которые относятся к операторам п-го порядка, могут служить лишь введением в эту область, которая к настоящему времени успела уже стать весьма обширной.
Принято различать регулярные и сингулярные дифференциальные операторы. Дифференциальный оператор называется регулярным, если область его задания конечна и коэффициенты непрерывны. Если же область задания бесконечна или коэффициенты (все или некоторые) несум- мируемы (или и то и другое), то дифференциальный оператор называется сингулярным. •
Основу спектральной теории регулярных операторов второго порядка составляет так называемая теория Штурма—Лиувилля, названная так в честь двух выдающихся математиков, положивших своими трудами начало глубокому изучению этих вопросов. Регулярные системы двух уравнений первого порядка начали изучаться значительно позже.
Хотя регулярным задачам посвящено в нашей книге довольно много места, но не они составляют главное
содержание книги. Главным в книге является спектральная теория для сингулярных операторов. Начало этой теории было положено в работах Г. Вейля. Эти работы наряду с классической проблемой моментов сыграли выдающуюся роль в создании в трудах Ф. Рисса, Дж. ФонНеймана и других математиков общей спектральной теории симметрических и самосопряженных операторов. Заметим, что замечательная теорема Г. Вейля о предельном круге и предельной точке дает полное описание для симметрического дифференциального оператора второго порядка всех его самосопряженных расширений. Общая задача описания всех самосопряженных расширений симметрического оператора была решена значительно позже Дж. Фон-Нейманом.
Большую роль в привлечении внимания математиков к ' спектральной теории дифференциальных операторов сыграла монография Е. Ч. Титчмарша [1]—[2], в которой дан новый подход к теории сингулярных операторов второго порядка и поставлен (частично под влиянием задач квантовой механики) и решен целый ряд новых задач.
В отечественной монографической литературе первое изложение спектральной теории для сингулярных операторов второго порядка было дано одним из авторов (Б. М. Левитан [1]), который также предложил новый метод обоснования этой теории. Идея этого метода очень проста и состоит в том, что основные спектральные соотношения для сингулярного оператора получаются из соответствующих соотношений в регулярном случае с помощью предельного перехода. Этот метод и результаты вышеуказанной монографии широко используются в настоящей книге. Однако данная монография ни в коем случае не может рассматриваться как расширенное издание той монографии. Изменения и добавления настолько значительны, что эта книга несомненно является новой.
Много места уделено в книге также сингулярным системам двух уравнений первого порядка, чего в монографии 1950 г. вообще не было. Заметим, что эти результаты являются сравнительно новыми и во всяком случае в основном были получены после 1950 г. G точки зрения общей спектральной теории многие основные
теоремы в этой книге являются частными случаями некоторых весьма общих теорем.
Для удобства читателей, незнакомых с абстрактной спектральной теорией, в книге помещена глава (XIII), в которой в весьма конспективной форме и в основном без доказательства изложены основные предложения этой теории и указываются некоторые связи со спектральной теорией дифференциальных операторов.
По просьбе авторов В. А. Садовничий написал § 17 гл. I, а А. Г. Костюченко — § 8 гл. VII и § 8 гл. XII. А. Г. Костюченко и М. В. Федорюк внимательно прочитали всю рукопись и дали авторам ряд ценных советов, которые авторами были использованы.
Авторы выражают благодарность всем этим лицам.
Февраль, 1969 г. МоскваФевраль, 1969 г. МоскваБ. Левитан, И. СаргсянБ. Левитан, И. Саргсян
Февраль, 1969 г. Москва
Февраль, 1969 г. Москва
Б. Левитан, И. Саргсян
Б. Левитан, И. Саргсян
ГЛАВА 1
РАЗЛОЖЕНИЕ В КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
Оператор Штурма — Лиувилля
Пусть L есть линейный оператор, определенный на некотором множестве элементов. Элемент у ^= 0 называется собственным для L, если Ly = Ху, при этом число X называется собственным значением.
Одним из простейших операторов, часто встречающимся в приложениях, является оператор вида
где q (ж) будем считать действительной и вначале непрерывной функцией на некотором отрезке [а, 6]. Для этого оператора упомянутое выше множество элементов (функций) у (ж) определяется очевидными условиями дифференцируемости, а также некоторыми условиями на границе отрезка [а, Ь].
Важнейшие краевые условия для оператора L следующие:
у (a) cos а + у' (а) sin а = О, у (Ь) cos р + у' (6) sin р = 0.
у^ = у^, уЧа) = уЧЬ)-
Одной из основных целей этой книги является изучение следующей краевой задачи:
(1.1)(1-2)(1.1)(1-2)Ьу (ж) = — § + у (ж) у = Ху, у (a) cos а -]- у' (а) sin а = 0, 1 у (b) cos Р + у; Д) sin 3 = 0. J
(1.1)
(1-2)
(1.1)
(1-2)
Краевая задача (1.1)—(1.2) в литературе известна под названием задачи Штурма—Лиувилля.
Заметим, что к виду (1.1) приводятся более общие уравнения второго порядка
— ^{р(ж)^} + Цж) у = Хг(ж)у(а<х<&),(1.3)
где функции р^ иг (ж) положительны в интервале [а, Ь]. Если предположить, что р (ж) имеет непрерывную первую производную, а р (х) г (ж) — непрерывную вторую производную, то с помощью подстановок
z = 4 (^71^ dx> и = ^ ^ р ^'чь и- = сХ>
где постоянная величина
уравнение (1.3) принимает вид (1. 1) с заменой X на р., причем
9 <z) = 14т - с2 7§ ’ Ч^^Р (х))\
При этом интервал [а, 6] преобразуется в интервал [0, л], а краевые условия своего вида не меняют.
Итак, рассмотрим краевую задачу (1. 1)—(1.2). Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что а=0 и Ь = л. В самом деле, подстановка 1 = 7—-л о — а преобразует интервал [а, 6] в интервал [0, л], не меняя при этом вида краевой задачи (1.1)—(1.2).
Предположим, что при некотором Хт рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение у (х, XJ ^ 0. В этом случае, согласно данному в начале параграфа определению, число Xj называется собственным значением, а соответствующая функция у (х, XJ— собственной функцией краевой задачи (1.1)—(1.2).
Лемма 1.1. Собственные функции у (ж, XJ и у (ж, Х2), соответствутоицие различным собственным значениям, ортогональны, т. е.
J У ^, XJ у (х, \) dx=0 ^ ^ Х2). о
Доказательство. Пусть / (я) и g (х) — непрерывные, дважды дифференцируемые функции. Положим
Lf = f ^ — q^f^xY
Дважды интегрируя по частям, получим тождество
\Lf.g^dx = W^f, g) -W0V,gH\f^'Lgdx, (1.4) Оо
где
f{x)g'{x) •
Пусть / (ж) = у (х, XJ и g (ж) = у (ж, Х2). Из краевых условий (1. 2) легко следует, что Wo {/, g} = И4к {/, g^ = 0. Поэтому из тождества (1.4) следует, что
(xi — Хг) j У (х> Х1) У (х> хг) йх = °>о
и так как Х1^=Х2, то лемма доказана.
Лемма 1.2. Собственные значения краевой задачи (1.1)—(1.2) действительны.
Доказательство. Пусть Хт = и + iv — комплексное собственное значение. В силу действительности функции q (xY а также действительности чисел а и р, число Х2 = Xj = и — iv есть также собственное значение с собственной функцией у (ж, XJ. Тогда на основании предыдущей леммы мы имеем
j | у^х, \^ \^dx = 0,
о
откуда следует, что у (х, XJ = 0.
Теорема 1.1. Если q(x)—непрерывная функция
на отрезке [а, Ь], то Эля любого а существует единственное
решение <р(ж, X), а^ж^б, уравнения (1.1) такое, что
<р (а, X) = sin а, а/ (а, X) = —cos а.
Для каждого фиксированного ж (Да, Ь] функция »(ж, X) является целой функцией X.
Доказательство. Положим
<р0 (ж, X) = sin а — (ж — a) cos а,
и пусть для п > О
?„ (^> х) = ?о (ж> х) + $ {? ^ — х) ?„-i (^ х) (* — О dt.
Так как q непрерывна, то ^(^[^Л/ при а^ж^Ь. Пусть | X | ^ N. Тогда | <р0 (ж, X) | ^ К при а ^ х ^ Ь. Поэтому
I ?! (^, х) — ?о (ж> Х) К [ (^ + ^И (^ ~ 2) dt =
=^К1МД-^ (ж —ay.
Для n ^ 2 мы имеем
?„ (ж> x) — ?„-i (^, x) =
= [ {? W — X) • {^ It, X) — Vn_2 It, X)} lx — i) dt,
I ?„ (^> x) — ?„-i (^> x) I
< IM + TV) lb — a^ j I <p„_! It, X) — ?я_2 It, X) I dt.
Отсюда
| ?2 (ж> х) — ?1 (^ х) I <
./ К (М + W)2 (6 - а) f ,
% ——!—g— I (2 — а)2 ах =
_К (,М + Nyz (^Ь - а^ж - а^з —3 I
и вообще
I ?п Iх» Х) - %-1 Iх- Х) I < "—(„—1)1 — •
Следовательно, ряд
? (х, X) = <р0 (ж, X) + 2 {?„ (*, х) — ?„-1 (х, X)}(1. 5)
И=1
сходится равномерно по X для | X | ^ N и равномерно по х для а^ж^б. Так как для п^2
?^ (*, Х) — <(V1 (*- Х) = [ {? W — Х} {?„-! (^ Х) — ?^2 (^, Х)} dt, а '
^ (Ж> Х) — ?^-1 (Ж- Х) = {? ^ — Х) {?^1 (Ж> Х) — ?„-2 ^ Х)}>
то ряды, полученные однократным и двукратным дифференцированием ряда (1.5), также сходятся равномерно по х. Следовательно,
?" (Ж, X) = 2 {<р" (х, X) — ^ (х, X)} =
= ?1 (^, х) — ?0 (^ Х) + S ^"п ^ Х) — ?я-1 (ж> Х)> =
м-2
= {9 (ж) — х). 1?0 (ж, х) + 2 [?^i (^,х) — ?„-2 (х, х)]! =
= {у ^—Х^(х, X)
и, значит, <р (ж, X) удовлетворяет уравнению (1.1). Ясно также, что она удовлетворяет указанным выше начальным условиям. То, что <р (ж, X) является целой функцией переменной X, следует из равномерной сходимости ряда (1. 5) и структуры функций «„(х, X).
Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций
Положим ctga =—h и ctgP = Н). Тогда краевые условия (1.2) перепишутся в виде
y'(0)~M0) = 0, 1
у'(л) + Яу(л) = 0. J
Обозначим через <р (ж, X) решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям
?(0, Х)=1, ?'(0, Х)=л,(2.2)
а через ф (ж, X) — решение того же уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
ф (О, Х) = 0, Ф'(О, Х) = 1.(2.3)
Лемма 2.1. Обозначим X = s2. Тогда
<р (ж, X) = cos sx + у sin sx +
•+yjsin{s(a: — т)} 5 (т) <р (т,-Х) t/т, (2.4)
о
Ф (ж, X) = S-l^-j-l j sin (s (x — т)} q (т) Ф (т, X) tR (2. 5)
0
. Доказательство. Докажем равенство (2.4). Так как <р (ж, X) удовлетворяет уравнению (1. 1), то
sin {s (ж — т)) q (т) <р (т, X) йт = о
= j sin (s (ж — т)} <р" (т, X) t/т -j- о X
+ s2 j sin {s (ж — т)} <р (т, X) йт.
о
Далее, интегрируя первый интеграл в правой части последнего равенства два раза по частям и учитывая условия (2. 2), мы находим
sin (s (ж — т)} q (т) <р (т, X) йт = о
= —к sin sx -|- s<p (ж, X) — s cos sx,
т. е. равенство (2.4). Равенство (2.5) доказывается аналогично.
Л е м м а . 2.2. Обозначим s = о -j- it. Тогда существует $о 2> 0 такое, что при | s | )> s0 справедливы оценки
^^х,\^ = О^\=«\ ф(ж, X) = O(|s|-1el<l«),(2.6)
а точнее,
<р (х, X) = cos sx + О (| s |-1еИх),(2. 7)
Ф(^) = ™ + о(2.8)
Все оценки выполняются равномерно по х при О^ж^л.
Доказательство. Положим ф(ж, X) = e^\xF(x). Тогда из равенства (2.4) получаем
F (ж) = {cos sx + -^- sin sa:j- e_l x +
+ у sin (s (x — t)} e“l11 ^-""iq ^ F (t) d-;.
о
Пусть [1 = шах | F ^ |, Тогда из последнего равенства следует
оо
о
о
и, значит,
1 г1 -17] j I ? И) I ^ о1 г1 -17] j I ? И) I ^ о
1 г
1 -17] j I ? И) I ^ о
1 г
1 -17] j I ? И) I ^ о
при условии, что знаменатель дроби положителен. Это заведомо имеет место при | s | > j | ^ (т) | йт и, следова- о
тельно, оценка (2. 6) для функции у (ж, X) доказана. Для функции же ф (ж, X) оценка (2. 6) доказывается аналогично, опираясь на равенство (2. 5). Оценки (2. 7) и (2. 8) получаются подстановкой оценок (2.6) в интегралы, стоящие соответственно в правых частях равенств (2. 4) и (2. 5).
Разумеется, общие асимптотические разложения для у (ж, X) и ф (ж, X) как функций s могут быть получены путем повторения этого процесса.
Займемся теперь выводом асимптотических формул для собственных значений и собственных функций. Из этих формул, в частности, будет следовать существование бесчисленного множества собственных значений.
По-прежнему предположим вначале, что Ат&оо и Н ^ оо. При любом X функция <р (ж, X) удовлетворяет, очевидно, первому из краевых условий (2. 1). Поэтому мы определим собственные значения, если подставим функцию у (ж, X) во второе краевое условие.
Согласно лемме 1.2 собственные значения действительны, т. е. Im s = t = 0. Поэтому оценка (2. 7) принимает вид
ф (ж, X) = cos sx + О (у).(2. 7')
Далее, дифференцируя равенство (2.4) по х и используя оценку (2. 7;), нетрудно получить оценку
Ф^ (ж, X) = —s sin sx + h cos sx + О ^^.(2.9)
Теперь, подставляя значения функций ср (х, X) и <р^ (х, X) из оценок (2.7) и (2.9) во второе краевое условие (2.1), для определения собственных значений получим следующее уравнение:
—s sin sit + (Л + Н) cos sit + О = 0.(2. 10)
Для больших s уравнение (2. 10), очевидно, имеет решения и корни лежат вблизи от целых чисел. Отсюда уже следует существование бесчисленного множества собственных значений.
Покажем, что, начиная с некоторого достаточно большого целого п, вблизи каждого п лежит только один
корень уравнения (2. 10). G этой целью продиффе
ренцируем левую часть уравнения (2. 10) по s, что возможно в силу формулы (2.4) (заметим, что в левой
на самом деле,на самом деле,части уравнения (2. 10) выражение
на самом деле,
на самом деле,
в силу теоремы 1.1, есть аналитическая функция от X). Мы получим
— sin sn — its cos sn — tcQi-\- Щ sin sit + О (1).
Нетрудно убедиться, что это выражение при s, близких к большим целым числам, не может равняться нулю.
Пусть sn— n-й корень уравнения (2.10). Из теоремы Штурма (см. § 3) и асимптотических формул для собственных функций следует, что sn должно находиться вблизи п, а не какого-либо другого целого числа. Другое доказательство этого утверждения, не опирающееся на теорию Штурма, можно получить следующим образом.
Как уже отмечалось выше, собственные значения суть корни уравнения
<р (it, X) -|- Н^ (л, X) = о) (X) = 0.
Положим X = s2. Тогда <о (X) = о^ (s). Из формулы (2.4) следует, что ^ (s) есть целая функция s. Далее, из
асимптотических формул (2. 7') и (2. 9) следует, что для sin sn ^= 0
<о1 ($) =—Hs sin sn|l -|- О (j~j)}'(2.10')
Возьмем в s-плоскости круг Dr радиуса R = N ^-^ , где N — натуральное число. В силу теоремы Руше и асимптотической формулы (2. 10') внутри круга DR число нулей <о1 (s) равно числу нулей функции s sin sk, т. е. равно 2/V -|- 1. Функция ^ (s) четна, поэтому можно рассматривать только ее положительные нули. Каждому положительному нулю <о1 (s) соответствует собственное значение, т. е. число собственных значений sk, которые меньше IV + -^, равно /V—|— 1. Отсюда следует, что в асимптотической формуле для sn
S„ = n4-o^.(2.11)
В самом деле, пусть sn= 7тгп-|-о (1), т^п. Тогда, с одной стороны, число собственных значений sk, которые меньше s„, равно п -ф-1 (£ = 0, 1, . . ., п\ С другой . 1 стороны, в силу предыдущего, в круге радиуса должно быть 2шя-|-1 нулей функции ^(s), т. е. число собственных значений sk, которые меньше sn, равнялось бы тп -ф- 1 ^ п + 1. Полученное противоречие доказывает справедливость формулы (2.11).
Положим 5я = п-ф-Вя. Тогда уравнение (2.10) примет вид
(« -ф- 8я) sin 8як + (А + Н} cos 8ял -ф- О (1) = 0.
Отсюда следует, что
sin8„K=0(l), т. е. 8„ = О(^-).
Таким образом, для больших п корни уравнения (2. 10) имеют вид
». = » + °(4)-(2Ы')
Асимптотическую формулу (2. И') можно значительно уточнить, если предположим, что коэффициент q ^ уравнения (1.1) имеет ограниченную производную. В самом деле, дифференцируя равенство (2. 4) по ж, а затем, подставляя значения ф (ж, X) и <f/(я, X) во второе из краевых условий (2. 1), после несложных преобразований мы получим
(—s -ф- S) sin sn + A cos sk = 0,(2.12)
где
А = h + Н -ф- j |cos st -ф- у sin st| q ^ <p (т, X) t/т, о
В = ^г+Н^^ + т}^^’ X) dx‘ о
В силу оценки (2. 7') выражения для А и В принимают вид
А = h + Я+у j 9 (т) ^т~Ьу j ^ ^ cos ^ s^~ + О 00 оо
В = у j q (т) sin 2st6Zt + О 0-). о
Так как, по предположению, q (х) имеет ограниченную производную, то, интегрируя по частям, мы получим
j q (т) cos 2st6/t = О 0-), 0 (т) sin 2s^cLt = О 0^. оо
Следовательно, для А и В получаем выражения
Д = h + Н + h± -ф- О 0),^ =0 0 (т) йт,
о
S=°(D-
Поэтому уравнение (2. 12) можно записать в виде
tg sit =-р-.
Полагая снова sn = п + §„, мы получим tg п8 = yL^+^L + О Ш, откуда
8=Ух£+Л+о^,
и, значит,
+(2-13)
где
с=41 h+H+4 ^м^ L\о /
Предполагая, что q (ж) С С2 (0, л), можно доказать более точную асимптотическую формулу, а именно:
s ++(2.13')
где сх — постоянная величина.
Пользуясь формулой (2. 13), получим асимптотическую формулу для собственных функций (<р (ж, Хя) = <ря (ж). Подставляя в равенство (2. 4) вместо функции <р (ж, X) ее выражение из (2. 7') и пользуясь дифференцируемостью функции q (ж), мы получаем
<р(р X) = cos s^+y sinsa:-)-
+ у $ sin {«(я — т)) cos st^(t) йт + <?(1) =
О
I h . I sin sx c / \ j
= cos s^+ у sin sx + J q (t) d^ + O(^y
0*
Подставляя сюда sn вместо s, в силу формулы (2.13) получаем
<р (ж, Хя) = <ря (ж) = cos пх— ^ sin пх-\- ^ sin пх +
+ 512-^ ( q (т) йт о(-4) = cos иа: + ^-^ sin «ж +,
1 2п I х 1\п2/1 п1\п2/ *
где
Р(ж) = —с^ + А + у j q^ t/т.
Чтобы получить асимптотическое разложение нормированных собственных функций ^„(х), рассмотрим интеграл
а2 = j <р2 (ж) dx = j cos2 пх dx 4- -^- j р (ж) sin 2пх dx-]-О
В силу дифференцируемости функции р (ж)
р (ж) sin 2пх dx = O
Поэтому
откуда
Следовательно, для нормированных собственных функций имеет место следующая асимптотическая формула:
U" ^ =^ V„М = ]/^ {cos пх4- ^ sin п^ 4- О ^. (2.14)
Разберем теперь случай h=co, Н ^= оо (случай
А=/=оо, Н = со с помощью подстановки t = m — х
сводится к рассматриваемому). Первое краевое условие (2. 1) принимает вид
у(0) = 0.(2.3')
Функция ф (ж, X) из пункта 1 настоящего параграфа удовлетворяет условию (2.3'). Поэтому в рассматриваемом случае мы определим собственные значения, если подставим функцию ф (ж, X) во второе краевое условие (2.1). Дифференцируя равенство (2.5) по х, получаем
^4(ж>4 —cos8^-4 jcos{$(^—4) q(4 Ф(т, 4^T- 0
Поэтому из второго краевого условия (2.1) следует
cos $л -р ^ cos (s (к — 4} q (4 Ф (т> 4 ^т 4~ 0
4- н l^-^_j_4. sin (s (п — 4} 9 (4 Ф (т, 4 йт? = 0. (2.15)
Iо'
В силу оценки (2.8) из равенства (2.15) получаем
cos S7T + у \ cos {s (л — т)} 9 (т) sin ST ^т + о.
+ ^ + О^) = 0.(2.15')
Предполагая снова, что ^ (4 имеет ограниченную производную, мы получаем-
j q (4 cos {s (л — 4} sin st t/т = 0
= cos sn j q (^ cos st - sin st йт -|- sin sn J q (t) sin2 st <Zt =
° ™
sin tit f , . , ,/ 1 \
=—y- ) q (4^ + °
0
Поэтому уравнение (2. 15') принимает вид
cos sitcos sitsin snsin sn00= cos ^ + ^1“^ + ^(i)^0-= cos ^ + ^1“^ + ^(i)^0-(2.16)(2.16)
cos sit
cos sit
sin sn
sin sn
0
0
= cos ^ + ^1“^ + ^(i)^0-
= cos ^ + ^1“^ + ^(i)^0-
(2.16)
(2.16)
Из этого уравнения видно, что при больших s его корни должны быть близки к числам вида » + у, где п — целое число. Кроме того, так же, как и прежде, доказывается, что, начиная с некоторого достаточно большого целого я, вблизи каждого числа » + у лежит только один корень уравнения (2.16).
Положим sn = п -f- у 4- 8„. Тогда из уравнения (2.16) следует
<^(л + у4А)л = — tg8„" =51- 4-O^iy
n + у
откуда
8-=T^n+<4
и, значит,
s-="+T+-rhy + 0(i).
V + 2 )
где Я1 = Я + у j q^dt..
о
Теперь, подставляя значение sn в равенство (2.5), для собственных функций ф (х, Хя) = Фя (я) получаем следующую асимптотическую формулу:
M^) = -^sin(« + y)z + o(l).
п +у
Для нормировочного коэффициента а*1 получаем формулу
Поэтому нормированные собственные функции ип (ж) = = — ф„(4 в рассматриваемом случае имеют вид
уяМ = K4sin(rt + T)^ + °(^)-(2Л7)
Наконец, разберем случай Л = от и Я=от. Это означает, что краевые условия (2.1) принимают вид
У (°) У (4 = °.
и поэтому функция ф (я, X) из предыдущего пункта должна еще удовлетворять условию ф (л, X) = 0. Из (2. 5) следует
sin 5л 4- J sin (s (л — т)} q (т) ф (т, X) йт = 0
о
или
sin $л И -ф- j cos s~q (т) ф (т, X) d" I о
— cos $л j sin st • q (т) ф (т, X) йт = 0. о
В силу оценки (2.8) из последнего уравнения следует (предполагается, что q^ имеет ограниченную производную)
.1Sin 5Л—g^ COS $Л.1Sin 5Л—g^ COS $ЛJ 9(4 ^ + о(^г)= оJ 9(4 ^ + о(^г)= о
.1
Sin 5Л—g^ COS $Л
.1
Sin 5Л—g^ COS $Л
J 9(4 ^ + о(^г)= о
J 9(4 ^ + о(^г)= о
= sin 5л — у cos 5л 4" О ^^ = 0.(2.18)
Это уравнение того же вида, что и уравнение (2.10). Поэтому поступая так же, как и в пункте 2, мы установим, что корни уравнения (2.18) лежат вблизи от целых чисел и, начиная с некоторого достаточно большого целого п, вблизи каждого п лежит только один корень. Поэтому корни sn уравнения (2.18) имеют вид
(2. 19)(2. 19)s = п + — + О (ДД,”1 п 1 \п2/’
(2. 19)
(2. 19)
где «1=2^ j q^W-
Подставляя значение s„ в (2.5), для собственных функций ф (я, Хя) = фя (я) получаем асимптотическую формулу
».М=^ + О(У.
Для нормировочного коэффициента а"1 получаем формулу
Поэтому нормированные собственные функции ип (х) = = — фя (я) имеют вид
ип^ = У^ sinra-f-O^).(2.20)
Нули собственных функций
■ Глубокое исследование распределения нулей собственных функций привело Штурма к другому доказательству существования бесчисленного множества собственных значений краевой задачи (1.1) — (1.2).
Чтобы ориентироваться в результатах настоящего параграфа, рассмотрим простейшую краевую задачу
z/" + Xz/ = O,
У1 (0) = У1 (^) = 0.
Здесь собственные функции суть ср0(а:)=:1, ^(2)=: = cosz, ср2 (я) = cos 2х, . .., сря (я) = cos пх, ... Соответствующие собственные значения суть Хо = О, Х1 = 12, Х2 = 22, . . ., Хя=п2, ... Мы расположили собственные функции в порядке возрастания собственных значений и начали счет с нуля. Непосредственно видно, что нули собственных функций обладают следующими двумя свойствами:
п-я собственная функция внутри интервала [0, л) имеет ровно п нулей;
нули п-й и (лг —|— 1 )-й собственных функций перемежаются, т. е. между любыми двумя последовательными нулями п-й собственной функции лежит нуль (п -ф-1 )-й собственной функции.
Оказывается, что эти свойства собственных функций имеют место и в общем случае.
Основной в этом круге вопросов является следующая фундаментальная теорема Штурма.
Теорема 3.1. Пусть даны два уравнения
u!'-^-g^u = 0,(3-1)
гУ' + Л^г^О.(3.2)
Если g (ж) <^ Л (ж) во всем интервале [а, Ь], то между каждыми двумя нулями любого нетривиального решения первого уравнения заключен по крайней мере один нуль каждого решения второго уравнения.
Доказательство. Умножая уравнение (3.1) на и, а (3. 2) на и и вычитая, мы получим
u"v — d'u=-^ (u'v— t/u) = {Л (я)— g(x^uu. (3.3)
Обозначим последовательные нули и через хТ и х2. Тогда, интегрируя тождество (3. 3) в пределах от хт до xv получаем
^и!и — хУи^ = и! (хг) v (х2) — и1 (х^ и fo) =
= 1 (Л (я) — g (2)) и (ж) и (ж) dx.
Предположим, что и в интервале (д^, z2) в нуль не обращается. Не нарушая общности рассуждений, мы можем предполагать, что и > О и у > 0 внутри интервала [2:n z2|. Следовательно, в последнем равенстве правая часть положительна. Так как, по предположению, ц(д:)^0, то в точке хг функция и возрастает. Следовательно), и! (zJ^O. По аналогичным соображениям ui (х.^<^ < 0. Поэтому
и' (х^ и (х^ — и1 (х^ и (х^ ^ О,
и мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Следствие. Любое решение уравнения
у1' + g (х) у = 0(—со ^а^ж^б^д:)(3.4)
при g (х) <2—m2<(0 может иметь не более одного нуля.
В самом деле, уравнение
у" — т^у О
имеет решение етх, которое нигде в нуль не обращается. Поэтому на основании предыдущей теоремы любое решение уравнения (3. 4) не может иметь больше одного нуля в любом конечном интервале.
- Теорема 3. 2 (теорема сравнения). Пусть и (ж) есть решение уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям
и(а) = sin а, а'(а) =—cos а, (3.5)
а и^ — решение уравнения (3. 2) с теми же начальными условиями. Кроме того, пусть g (x)<^h{x) во всем интервале [а, Ь]. '
Если и^ в интервале а<^х^Ь имеет т нулей, то и^ в том же интервале имеет не меньше чем т нулей и к-й нуль и (ж) меньше к-ro нуля и (х\ ■
Доказательство. Обозначим через ху ближайший к точке а (но отличный от этой точки) нуль функ-
ции ) и ^xY На основании предыдущей теоремы достаточно доказать, что и (х) имеет по крайней мере один нуль внутри интервала [a, яД. Предположим противное. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что внутри интервала [a, ^j, y(z)^>0, u(x^Y>0- Так как и (х^ = 0, то в окрестности точки хт функция и (ж) убывает. Следовательно, и' (х^ ^ 0. Интегрируя тождество (3. 3) в пределах от а до xv мы получим
и' (х^) и (х^) = j (^ М — g (я)} и (х) и (я) dx.
а
Так как в интервале [a,zj, по предположению, и(х\>0, ц (ж) > 0, a h (х) 2> g (х), то в последней формуле правая часть положительна. Выражение же слева ^ 0, и мы получили противоречие. Теорема доказана.
Пусть у (я, X)—функция, введенная в § 2. Рассмотрим уравнение (й^я^б)
ср (ж, X) = 0.
Очевидно, что нули этого уравнения суть функции от X. Докажем, что эти функции непрерывны относительно X. Справедлива
Лемма 3.1. Если х0(а <^х0<^Ь) есть нуль функции V (^о> Ч)» 7770 любому достаточно малому числу е соответствует такое число 8, что при | X — Хо | < 8 функция у (х, X) имеет в точности один нуль в интервале I — ^о I < е-
Доказательство. Нуль х0 решения ср (я, Хо) дифференциального уравнения (1.1) есть простой.нуль, так как, если бы уДя0, Хо) = 0, то из теоремы единственности решения задачи (1.1) + (3. 5) следовало бы, что у (х, Х0) = 0.
Значит, ф^. (ж0, Хо) =^ 0, и для определенности положим, что фя (^о’ ^о)^>О- Пусть е — настолько малое число, что фДж, ло) D> О в0 всем интервале |ж— ж0|^е. Тогда Ф (ж — е, А0Х 0 и ф(ж + е, Х0)>0. Далее, в силу непрерывности ф^. (ж, X) относительно X) существует такое 8, что для | X — Хо | ^ 8 функция ф, (ж, X) также останется положительной во всем интервале | х — х01 ^ е. Следовательно, монотонно возрастающая функция ф (ж, X), очевидно, не может иметь двух нулей в этом интервале. Если мы, кроме того, выберем 8 настолько малым, чтобы при |Х — А0К8 функция ф (ж — е, X) оставалась отрицательной, а ф (ж + е, X) — положительной (в силу непрерывности ф (х, X) относительно X это возможно), то этим будет доказано утверждение леммы: решение ф (х, X) при | X — Хо | < 8 имеет в точности один нуль в интервале [х — е, х + е].
Из этой леммы следует важное
Следствие. При изменении X решение ф (х, X) только тогда может потерять нуль или приобрести новый, если он войдет внутрь интервала или выйдет оттуда через краевые точки а и Ь.
Следующая теорема Штурма доказывает существование бесчисленного множества собственных значений.
Теорема 3.3 (теорема осцилляции). Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений Хо, Хи Х2, . .., Хя, . . . краевой задачи (1. 1)—(1. 2). При этом собственная функция, соответствующая собственному значению Х)я, имеет ровно т нулей в интервале а <^х <^Ь.
Доказательство. Пусть ф (х, X) есть решение уравнения (1. 1), удовлетворяющее начальным условиям (3. 5).
В силу теоремы 3.2 при возрастании X число нулей функции ф (х, X) не убывает. Пусть |д(^)Кс при Сравним уравнение (1.1) с уравнением
у" + (X-ф с) у = 0.
Решение последнего уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (3. 5), есть
у = sin а • ch {(—X — с)‘/2 (ж — а)} —
сова ^(_х_с)7=(ж_а)}. (_X_C)V27 1 л
При достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях X эта функция, очевидно, в нуль не обратится. Поэтому, пользуясь снова теоремой 3.2, мы убеждаемся, что ср (ж, X) при достаточно больших по абсолютной величине отрицательных значениях X в нуль не обращается.
Выбирая для сравнения уравнение
/ + (X-C)y = O,
мы видим, что при X положительном и неограниченно возрастающем число нулей решения ср (ж, X), расположенных в интервале |а, 6], неограниченно растет.
Рассмотрим уравнение
у (ж, X) = 0.
На основании леммы 3. 1 корни этого уравнения непрерывно зависят от X. С другой стороны, в силу теоремы 3. 2 при возрастании X каждый нуль функции ср (ж, X) передвигается влево, а через точку а нуль выйти не может, так как число нулей не убывает. В силу следствия леммы 3. 1 новые нули входят через точку Ь. Пусть р0 есть первое значение параметра X, для которого ср (6, X) = 0. Такое значение, очевидно, найдется. Пусть pj — второе значение параметра X, для которого ср. (6, Х) = 0 и т. д. Последовательность чисел р0, pv р2, . . . . . ., рт, .. . обладает тем свойством, что функция у (ж, ря) имеет внутри интервала [а, 6] ровно т нулей, причем у (6, рт) = 0. Если sin 8 = 0, то второе из краевых условий (1.2) выполняется) и, следовательно, числа рт суть собственные значения. Поэтому в этом случае теорема доказана.
Пусть теперь sin |Э =^ 0, и пусть и (ж), и (ж) — функции, рассмотренные в теореме 3. 2. Тогда
+ и2 {h ^ — g (ж)} > 0.(3.6)
Поэтому функция и2 ^^^ монотонно возрастает во всяком интервале, где и не обращается в нуль. Предположим, что и (ж) и и (ж) имеют одинаковое число нулей внутри интервала [а, 6].
Обозначим через ж, ближайший к точке b нуль функции и^ху Покажем, что в интервале х^ ^х^Ъ не может быть нулей функции и(х\ В самом деле, в силу теоремы 3. 2 между а и xv лежат по крайней мере v нулей функции и (ж). Если бы и (х) обращалась в нуль в интервале х, ^ х Ь, то во всем интервале [a, 6J она имела бы больше нулей, чем функция и(хУ вопреки нашему предположению.
Интегрируя соотношение (3. 6) в пределах от х^ до Ь, получим
' ' t и (6) у (b) J1 “ ^ г (г,) J '
Следовательно,
“' (6)и’ УЛ
и (6)и (6) "
Примем < X' < X ^ (6, X) ?(Ь, X)Примем < X' < X ^ (6, X) ?(Ь, X)Ф (ж, X') за и (х), а ср ^х, V) за и (ж), где р,и <) "^Зт+i- На основании неравенства (3. 7) функция
Примем < X' < X ^ (6, X) ?(Ь, X)
Примем < X' < X ^ (6, X) ?(Ь, X)
в интервале (рю, рт+1) монотонно убывает. Так
как ср (6, р.т) = ср(6, р.т+1) —0, то она должна убывать от -j-co до —оо. Поэтому внутри интервала (pm, рт+1) найдется одно значение Хт, для которого
?' (6, Хм)У (Ь, Хт)?' (6, Хм)У (Ь, Хт)ctg р,ctg р,
?' (6, Хм)У (Ь, Хт)
?' (6, Хм)У (Ь, Хт)
ctg р,
ctg р,
3 Б. М. Левитан, И, С. Саргсян
т. е. выполняется второе из условий (2. 1). Значит, Хт есть собственное значение, а ср (я, Хт) внутри (а, 6) имеет столько же нулей, что и у (я, р.га), т. е. т.
Периодические решения
Рассмотрим задачу
^^(,.-q^y = ^(4.1)
У^4*т(4.2)
Предположим, что q (0) = q у^у Тогда q ^ может быть определена для всех значений х как непрерывная периодическая функция с периодом л. При этом решения уравнения (4. 1) также становятся определенными для всех значений х. Если при этом нам требуется найти все периодические решения у (х) с периодом к, то мы придем к краевой задаче (4. 1)—(4. 2).
Чтобы доказать в этом случае существование бесконечного множества собственных значений, поступим следующим образом.
Рассмотрим одновременно две задачи:
^ + ^х-д^у = о,(4.1')
у^ = у^ = О,(4.2')
и
^ + ^-q^z = O. (4.1") z'(0) = z'(л) = 0."(4.2")
Задача (4. 1')—(4.2') соответствует задаче (1. 1)—(2. 1) в случае h = со и Н = со, рассмотренной нами в пункте 4 § 2, а задача (4. 1")—(4.2")—случаю h=H = 0, рассмотренному в пункте 2 § 2. Поэтому обе задачи имеют последовательности собственных значений и собственных функций соответственно:
Ро- р.1, Р2, • • •, Р„, • • .; Z/oM, Z/1M, Уа^У . . ., у-ЛхУ • • ., 4), VP 4г- • • ., v„, • • •; М*), Z1 1®У ^M, • • ., 2„(z), . . .
Функции ук^ и z,k^ согласно теореме 3.3 имеют по к нулей внутри [0, л].
Пусть у (z, X) и ф (т, X) линейно независимые решения уравнения (4. 1).
Лемма 4.1. Если p(z, X) имеет в интервале [0, л]
по крайней мере два нуля и если х, и х% — два соседних нуля, расположенных в этом интервале, то ф (х, X) имеет внутри (хТ, х^ в точности один нуль, т. е. нули
z2). Тогда функция интервале (zr х^) иz2). Тогда функция интервале (zr х^) идвух линейно независимых решений взаимно разделяются. Доказательство. Предположим, что ф (.г, X) совсем
z2). Тогда функция интервале (zr х^) и
z2). Тогда функция интервале (zr х^) и
не/Мне/Мимеет нулей в интервале (z1, V Ф. X)
не
/М
не
/М
= ^^—у) непрерывна во всем
равна нулю на его концах. Следовательно, для некото
рого промежуточного значения ? должно быть f (s) = 0. Но это невозможно, если решения ср (т, X) и ф (ж, X) обра
/'М =/'М =зуют фундаментальную систему, так как
/'М =
/'М =
?' Ф, X) Ф (г, X) — у (х, 7.) Ф' ф, 7.)Ф'2 (,r, X)
и в числителе стоит детерминант Вронского W (р, ф} 7^ 0. Следовательно, ф (х, X) имеет по крайней мере один нуль. Но более чем одного нуля ф (х, X) иметь не может, потому что между двумя нулями решения ф (х, X), как только что было доказано, находился бы по крайней мере один нуль решения ср (х, X), что противоречит предположению. Лемма доказана.
Пусть решения ср (х, X) и ф (х, X) образуют фундаментальную систему решений уравнения (4. 1), определенную начальными условиями -
у(0, X)=l, cpz(0, Х) = 0,(4.3)
ф(0, Х) = 0, ф'(0, Х)=1.(4.4)
Чтобы функция у (х, X) = С^ (х, X) -ф С2ф (х, X) была собственной функцией задачи (4. 1)—(4. 2), постоянные С\ и С2 должны удовлетворять системе линейных уравнений
С^ (0, X) + с2ф (0, X) = CJ? (к, X) + С2ф ^, X),
С^ДО, ,.)+С2ф'(0, Х)_С1?ДЛ, /) + С2фДк, X)
с детерминантом
1 — ф(л, X)—ф (п, X)
-^,Х)
Раскрывая, получаем
^(л) = а(л, л)+ ф'(я, /.) — 2,(4.5')
так как детерминант Вронского о (z, X) ф' (z, X) — ф (z, X) X Х?'^, Х)=1, в чем можно убедиться, полагая z = 0. Только в том случае, когда детерминант (4.5) равен нулю, решение у = С^ + С2ф есть собственная функция. Следовательно, собственные значения задачи (4.1)—(4. 2) суть корни уравнения
/гМ = ?(^ Х) + ф'(л, Х)-2 = 0.(4.6)
Если, в частности, для одного из собственных значений Х° все элементы детерминанта (4, 5) будут равны нулю, т. е. если
ср(-, Х°)=1, э'(я, д0) = 0,(4.3')
Ф(к, Х°) = 0, Ф'(к, Х°)=1,(4.4')
что вполне возможно, то С, и С2 произвольны. В этом случае каждое решение уравнения
"5^ + Р"— 9 W) У — О
есть периодическая функция.
Из условий (4. 3)—(4. 3') и (4. 4)—(4. 4') следует, что при X = Х° функции у (z, Х°) и ф (ж, Х°) удовлетворяют краевым условиям (4.2) и поэтому являются собственными функциями, соответствующими одному и тому же собственному значению Х°. Такое Х° называется двукратным собственным значением.
Теорема 4. 1. Между наибольшим из чисел (и,.-г vfc) и наименьшим из чисел (p.fc, vfc+1) лежит в точности один нуль функции F (X), т. е. собственное значение \k, к = = 0, 1, 2, . . ., краевой задачи (4.1)—(4.2). Этим исчерпываются все собственные значения.
Доказательств о. При X = v0 решение z0 (z) совсем не имеет нулей в интервале [0, л]. Отсюда следует, что ^<^0 так как’ еслн P'o^^o’ 10 в СИЛУ теоремы 3.1 между нулями Ойл функции у0 (х) находился бы по крайней мере один нуль функции z0 (z), что противоречит предположению. Аналогичным рассуждением доказывается неравенство у^^рд., А=1, 2, . .. Далее, так как при X > vk+1 в силу той же теоремы 3. 1 каждое решение имеет не менее Анулей внутри (0, л) и так как zk+1 (z) имеет к-\- 1 нулей, то отсюда следует, что vt+i/> P^-i- Теперь выясним, какой знак имеет функция F (Х^ для значений p.fc и vk. При X = p.fc функция у (х, р.Д имеет точно к + 1 нулей в интервале [0, л] по одному между к + 2 нулями функции ук (х) (включая концы)), следовательно, »(х, р.Д меняет свой знак к + 1 раз и поэтому в точке г = л для нечетного к функция у (л, pft) положительна, а для четного — отрицательна. Далее, мы имеем ф (л, р.Д = 0, поэтому ф (z, р.Д есть собственная функция ук (х\ Следовательно (в силу того, что детерминант Вронского W (л) = = ф(л, р.&)ф'(л, Цд) = 1), ф'(л, [!,.))> О для нечетных к и < 0 для четных к. Но тогда для нечетных к функция
F (р J = у (л, р J Н- 2 =
положительна. Опа обращается в нуль только при ?("> ^) = Ф'(Л> Н»)=1»(4-7)
но мы не будем сейчас рассматривать этот случай; он приводит к двукратному собственному значению Хк. Соответственно для четного к функция F (у.^ отрицательна. Отсюда следует, что между р.;. и р4+1 лежит по крайней мере один нуль функции F (X), т. е. собственное значение Xfc+1 задачи (4.1)—(4.2).
При X = чк решение ф (х, vj, как нетрудно убедиться, есть собственная функция zk^х\ Следовательно, опять ф(л, vj ф' (л, vj=l. Так как функция zk (я) = ф (х, vj имеет точно к нулей внутри интервала [0, л], то ф(л, vfc)^>0
для четного й и <0 для нечетного к. Но отсюда следует, что F (vfc) Д> 0 для четных к и F (vfc) < 0 для нечетных к. Значит, между чк и vt+1 лежит по крайней мере один нуль функции F (к). Случай (4. 7) мы снова исключим из рассмотрения. Итак, окончательно можно утверждать, что между max (р.,,^, vj и min (pfc, vfc+1) лежит по крайней мере один нуль функции F (X). Существование по крайней мере одного собственного значения в указанном интервале доказано. Остается доказать единственность. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что в указанном интервале производная F’ (X) сохраняет постоянный знак.
Из (4. 5') мы имеем
F’ (X) =.(4. 8)
х ' дкдк
„()у (п, X) дУж (тс, X)
Существование производных ^—— и ——- следует из теоремы 1.1. Для обеих функций ср (z, X) и ф (z, X) имеем соотношение
^(Д) + (Х-5«)^ = ^<4-9>
которое получается в уравнения (4. 1) по X.ф (z, X)ду (О, X) дккоторое получается в уравнения (4. 1) по X.ф (z, X)ду (О, X) дкрезультате дифференцирования Далее, для функций ср (ж, X) п
которое получается в уравнения (4. 1) по X.
ф (z, X)
ду (О, X) дк
которое получается в уравнения (4. 1) по X.
ф (z, X)
ду (О, X) дк
О, ^0, ^ = 0,(4.10)
так как начальные условия для ср (.г, X) и ф (z, X) не зависят от X. Определим теперь ^- как решение неоднородного уравнения (4. 9) с начальными условиями (4. 10). Метод вариации произвольных постоянных приводит к формулам
X) {у^, X) 6 (С X)-
о
— -р (/, X) ф (ж, X)} dt, (4.11)
Дифференцируя далее равенство (4. 12) по х, находим
— ^, ^Wx^' х))^-(4-13)
Полагая в равенствах (4. 11) и (4. 13) х = к и суммируя, в силу (4. 8) получаем
^'(х) = ( (—<Ж л)?2^ х)+ [?(". х)—№> Х)]Х
х у (t, X) ф (t, х) + у; (л, х) ф2 (t, х)} dt.
Подынтегральная функция
a®2 (t, X) + 26® (t, X) ф (t, X) -|- сф2 (t, X),(4. 14)
где
а = — Ф(л, х), ь = 1 {У(л, х) — ф;(л, X)}, с = =?;(л, х),
сохраняет все время один и тот же знак, если 62— ас ^ О, так как
а®2 + 26<рф + сф2 = 4 (а® + 6ф)2 + "7 (ас — ^2) Ф2-
’ В нашем случае
№ - ас = 1 {? (к, X) + ф; (и, X)}2 -1=А {^(Х) + 2)2 _ 1.
Если точка X есть нуль функции F (X), то в этой точке подынтегральная функция (4. 14) отрицательна (например, для четных к мы имеем ф (к, X) )> 0 и ®Дк, Х)<^0) и может быть представлена в виде
—{\/ф(^><) +'/=?Г(^Уф (<, >-)}2-
Производная F! (X) будет отрицательна также для всякого нуля, лежащего между p^ и р,.; это же будет и для интервала ^у *й+1). Но тогда во всех этих интервалах функция F (X) может обратиться в нуль только один раз, так как в двух последовательных нулях функции F (X) производная F' (X) не может иметь один и тот же знак. Теорема доказана.
Пусть ук (ж) — собственная функция, соответствующая собственному значению Хк. Тогда функция ук (ж) в силу предыдущей теоремы может иметь только к или ^-|- 1 нулей. Но каждая собственная функция имеет всегда четное число нулей, т. е. точек перемены знака, так как согласно краевым условиям (4.2) ук (0) = ук (л).
Итак, справедлива
Теорема 4. 2. Краевая задача (4.1)—(4. 2) разрешима для бесконечной последовательности собственных значений Хк. Соответствующие собственные функции vk (ж) обращаются в нуль в интервале [0, к] к раз при четном индексе и ky- 1 раз при нечетном.
Значит, у0 (ж) совсем не имеет нулей, щ (х) и у2 (ж) имеют по два нуля, и^х-) и и^^— по четыре и т. д.
Остается рассмотреть исключенный нами ранее случай (4.7), т. е. когда <р (л, рй)=^(тг, pj = l. В этом случае, как отмечалось выше, Хк называется двукратным собственным значением и такое Хк считается дважды: Х^ = Хк. Ему в соответствие ставятся два линейно независимых решения
^-i М = ? (^ Н*+1)> vk (х) = ф (х, ^ку
Теорема 4. 1 позволяет выписать асимптотические формулы для собственных значений Хк. Эти формулы легко следуют из формул (2.13) и (2.19).
Доказательство теоремы разложения с помощью метода конечных разностей
В параграфах 2 и 3 мы доказали двумя различными методами существование бесчисленного множества собственных значений. Метод второго параграфа восходит
к Лиувиллю, третьего — к Штурму. В связи с этим краевую задачу
=(5.1)
у (0) cos а 4- у1 (0) sin а = 0,(5.2)
у ^ cos р + У1 ^ sin Р = 0(5.3)
называют задачей Штурма—Лиувилля. Однако ни Штурм, ни Лиувилль не смогли доказать полноты собственных функций. Это было сделано В. А. Стекловым.
В настоящее время существует несколько методов доказательства полноты собственных функций, среди которых наиболее важными являются метод интегральных уравнений (или метод функции Грина), метод контурного интегрирования и метод конечных разностей. В настоящем параграфе мы изложили метод конечных разностей. В последующих двух параграфах будут рассмотрены остальные методы.
Итак, рассмотрим краевую задачу (5.1)—(5.3). Если у = у(х, л) есть решение уравнения (5.1), удовлетворяющее начальным условиям
y(0) = sina, (5.4)
у1 (0) — —cos а, (5.5)
то функция у (х, А), очевидно, удовлетворяет краевому условию (5. 2).
Обозначим через п произвольное натуральное число,
и пусть h = -^-_ Далее, положим x^^vh, qv = q^h), и пусть у,, v = 0, 1, 2, . . ., п—1, компоненты вектора, который будет определен ниже. Заменим первую и вторую производные разностными отношениями:
У'У'Уч — i/y-lhУч — i/y-lhи” y'*+I — ^Ум + Уч-ли” y'*+I — ^Ум + Уч-л(v = 0, 1, . . ., п — 1). ■ (5.6)(v = 0, 1, . . ., п — 1). ■ (5.6)
У'
У'
Уч — i/y-lh
Уч — i/y-lh
и” y'*+I — ^Ум + Уч-л
и” y'*+I — ^Ум + Уч-л
(v = 0, 1, . . ., п — 1). ■ (5.6)
(v = 0, 1, . . ., п — 1). ■ (5.6)
Для у0 из начального условия (А 4) получим
у_т определим с помощью начального условия (5. 5)
у^ = sin а 4- h cos а.(5-8)
Заменив в уравнении (5. 1) вторую производную выражением (5.6), получим уравнение в конечных разностях
+ (X _ q^ Уч = 0(5. 9)
(v = 0, 1, 2, . .., га — 1).'
Из уравнений (5. 9) и начальных условий (5. 7) и (5. 8) можно определить последовательно yv уй, .. ., у„. Как известно, при п—> со и v/г -> х имеем у^ —> у (ж), где у (ж) — решение задачи (5.1) -[- (5. 4) + (5. 5) и притом равномерно в каждой области (О^ж^л, 0 ^ | X | ^ R < со).
Присоединим к задаче (5. 9)-|-(5. 7) + (5. 8) краевое условие
уп_г cos р + 2”ZL^cX sin Р = О, (5. 10)
которое получается из краевого условия (5.3) в результате замены производной разностным отношением. Полученная задача для уравнения в конечных разностях, очевидно, представляет собой алгебраическую задачу на собственные значения в re-мерном векторном пространстве. Из краевых условий (5.7), (5.8) и (5.10) следует, что
Z/-i~Z/o(^ +^ctga),(5.11)
Z/„ = ^i(l-ActgP))..(5.12)
Подставив эти значения в систему уравнений (5. 9), мы получим систему га однородных уравнений с га неизвестными у0, yv уу . . ., у^. Легко видеть, что матрица этой системы симметрична и является матрицей Якоби. Поэтому, как хорошо известно из алгебры, собственные значения системы (5. 9) + (5. 7) + (5. 8) -[- (5. 10) веще-
ственны и собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны (скалярное произведение двух векторов у = (у0, yv уу . . ., у^ и z = (z0, z^ z2, . . ., zM-1) определяется с помощью равен- и —1\
ства (у, z)= 2 Mzi
Покажем, что все собственные значения простые. Предположим, что X—кратное собственное значение. Тогда, так как система симметрична, ему должны соответствовать по крайней мере два линейно независимых собственных вектора: у = (уо, yv у2, • • ., уп_^ и z = = (z0, zv zy . . ., z^y Можно считать, что уо=^=О, zot&O (если, например, уо=О, то согласно (5.11) у^ = 0, и поэтому из уравнения (5.9) получаем у^ = 0 для v = 1, 2, . . ., и). Кроме того, так как уравнение (5.9) однородно, то, не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что yQ = z0. Но тогда из (5.11) получаем y_1 = z_,, и, значит, из уравнений (5.9) следует, что У, = г, (^ Д 2, • • п— 1)-._
Обозначим собственные значения задачи (5. 9)-(-(5. 7)Д- -f- (5. 8) + (5. 10) в порядке их роста через ХйЛ(А=1, 2, . . ., и) и соответствующие собственные векторы через y^^ W?^ У^»У^,^. Далее, обозначим через а| А
квадрат нормы вектора у^\
а1 л = II у^ II2 = W = 2 ^ [^’J2- м=0
Векторы yW, yW, . . ., yW образуют в и-мерном векторном пространстве ортогональный базис. Поэтому для произвольного и-мерного вектора / = (/0, /1; /2, . . ., f^ имеет место равенство Парсеваля
(/, л=2^=2^,)2- (5-13)
1=0й=1*> *
Обозначим через у,, (X) решение уравнения (5. 9), удовлетворяющее начальным условиям (5. 7)—(5. 8). Если h-> 0 и >h-> х, то у^(К) -> у (х, X) равномерно в каждой конечной области плоскости X. Отсюда следует, что корни
уравнения (5. 12), которые мы обозначим через \ h, Х2 м . . ., \, А, стремятся к последовательным корням уравнения (5.3). В частности, если Л^>0, то число корней Хк h в каждом конечном интервале (—N, 7V) ограничено, равномерно по h ).
Покажем теперь, что равенство Парсеваля для задачи (5. 1) -[- (5. 2) + (5. 3) можно получить из равенства (5. 13), полагая h -> 0.
Пусть функция / (ж) (0 ^ ж ^ л) имеет непрерывную вторую производную и обращается тождественно в нуль в окрестностях точек ж = 0 и ,т = л. Положим / = {/ (v/г)} = = {/,,} (v = 0, 1, . . ., п—1) и напишем для вектора / равенство (5. 13)
(/, /)=2hf w=2 (/j ^,)2=
?=0к=1 а,г- 11
= 2 ^-(/. й>)!+
+ 2 4~^ y^Y^h + h, (5.14)
где через N обозначено произвольное положительное число. Оценим Z2. С этой целью преобразуем коэффициент Фурье (/, у^\ Из уравнения (5. 9) следует, что
И—1
(/. у^ = 2=
v=0
1 V Ki Г ук^*1— 2уь\ + У^--1 м=0 L
v-Ш + f^,„+и%. - /Ж»-. 1 +
+ 2M’^Zx±1T±Z^1-^4 (5.15)
Если h достаточно мало, то /о = О, /я-1 = 0, /„=0. Положим еще /_j = 0. Тогда из равенства (5. 15) получцм
71—1.
л")=- дт 2 [-" ~«+<- -
‘»=0
Поэтому согласно неравенству БесселяПоэтому согласно неравенству Бесселя
Поэтому согласно неравенству Бесселя
Поэтому согласно неравенству Бесселя
Если Л —> О, то
I -^г — qf |2 -* j (Г (*) — q^f W dx.
о
Поэтому из неравенства (5. 16) вытекает, что существует такая постоянная величина Л 2> О, что равномерно по
Следовательно, из соотношений (5. 14) получаемСледовательно, из соотношений (5. 14) получаемп—12vw- 2 ^-</, едteOIX, , |<У к> кп—12vw- 2 ^-</, едteOIX, , |<У к> к(5-17)(5-17)Так как при h—> ОТак как при h—> ОИ—1712 м1 к^ (/2 (ж) ^>"v=0JИ—1712 м1 к^ (/2 (ж) ^>"v=0J
Следовательно, из соотношений (5. 14) получаем
Следовательно, из соотношений (5. 14) получаем
п—1
2vw- 2 ^-</, ед
teOIX, , |<У к> к
п—1
2vw- 2 ^-</, ед
teOIX, , |<У к> к
(5-17)
(5-17)
Так как при h—> О
Так как при h—> О
И—171
2 м1 к^ (/2 (ж) ^>"
v=0J
И—171
2 м1 к^ (/2 (ж) ^>"
v=0J
aL^ J уЧ$' x^dx^3-2^aL^ J уЧ$' x^dx^3-2^(/, у^-* 5 /(^г/^ x^dx,(/, у^-* 5 /(^г/^ x^dx,
aL^ J уЧ$' x^dx^3-2^
aL^ J уЧ$' x^dx^3-2^
(/, у^-* 5 /(^г/^ x^dx,
(/, у^-* 5 /(^г/^ x^dx,
4646разложение в конечном интервале
46
46
где Хк—к-й нуль (в порядке роста) уравнения (5.3), и так как число корней ^ д в фиксированном интервале (—N, N) ограничено, равномерно по к, то, переходя в неравенстве (5.17) к пределу при к->0, мы получаем
Из этого неравенства при ZV-> оо следует
( /2 (т) dx = 2 Цн ( / (т) у (ж, Y^ dad ,(5. 18)
(Iк=1 ^к (о)
т. е, равенство Парсеваля для функций, удовлетворяющих указанным выше условиям,
Обозначим через ик (т) нормированные собственные функции, т. е. положим
и1Аж^4;У^' ХА-
Тогда равенство Парсеваля (5. 18) примет вид
КОО
[ f(x)dx = 2 «»,(5.19)
где ак—коэффициент Фурье по нормированным собственным функциям, т. е.
ak=\f (ж) ик № dx'о
Пусть / (ж) — произвольная функция с интегрируемым квадратом. Как известно, можно указать последовательность дважды дифференцируемых (даже бесконечно дифференцируемых) функций fk (ж), сходящуюся в среднем квадратичном к / (ж). Можно считать, что функции fk (ж)
в окрестностях точек ж = О и х = т: тождественно обращаются в нуль. Поэтому в силу (5. 19) мы имеем
00
( Uk ^-f. wax= 2 №-а^\(5. 20)
я=0
О
где
С = J 4 4)и» ^ ^о
Если к, Z-^-oo, то левая часть равенства (5.20) стремится к нулю. Значит, и правая часть стремится к нулю. Из неравенства Коши—Буняковского следует, что
।а»—^ к j [/ м—tk wj2 аА •(о)
Поэтому из сходимости fk (ж) в среднем к / (х) следует
lima№ = a„ (n = 0, 1, 2, . . .).
Обозначим через N 2> 0 фиксированное целое положительное число. Из (5. 20) следует
№ - О2 < ( Vk 4) - Л « dx. n=0J
О
Полагая здесь к-> со, получаем
5 К—<z))2< ( (/4) —/,4)}2^-
Полагая теперь N-> оо, получаем
{ЙМ_Я(О}2< j(/(z)-/z(T))^,-. о
Из этого неравенства, в частности, следует (с помощью со
неравенства Минковского) сходимость ряда 2 а«* ^ак как
225 Д» — ^ К + а^) „=05 Д» — ^ К + а^) „=0
2
2
5 Д» — ^ К + а^) „=0
5 Д» — ^ К + а^) „=0
то из предыдущего следует, что при Z -> со СООО
2 ПО2- 2 «I м=0н=0
С другой стороны, из сходимости в среднем /, (ж) к / (.г) следует
J /^ (ж) dx -> J /2 (ж) dx. оо
Поэтому, переходя в равенстве
f^W = 2 {«^Pм=0
к пределу (Z-> оо), получаем
т-ОО
( /2 (ж) dx = 2 аг-
Итак, нами доказана
Теорема 5.1. Для каждой функции с интегрируемым квадратом в интервале [0, kJ имеет место равенство Парсеваля
1100■
U2M^-2 4(-т21)
гдегдеап = \f(^ и„ ^ dx. оап = \f(^ и„ ^ dx. о(5. 22)(5. 22)
где
где
ап = \f(^ и„ ^ dx. о
ап = \f(^ и„ ^ dx. о
(5. 22)
(5. 22)
Замечание. Ограниченность числа собственных значений Х^ h в фиксированном интервале (—N, N) можно доказать без использования теории функций комплексного переменного.
Обозначим через 6 произвольное положительное число < к, и пусть
/5 (ж) =/5 (ж) =2 то2 топри Опри О8,8,при 8при 8< х< х
/5 (ж) =
/5 (ж) =
2 т
о
2 т
о
при О
при О
8,
8,
при 8
при 8
< х
< х
Далее, обозначим через /8 вектор с компонентами /8< = = /5(vA) (v=0, 1, 2, .. ., n— 1). Применяя к вектору/5 равенство (5. 13), находим
v=0fc=l А'> к
Отсюда для произвольного /V )> О получаем неравенство
(5.23)(5.23)
(5.23)
(5.23)
Из сходимости у, (X) при А->0и ->h->x к у (х, X) следует, что при достаточно малом h величина (/3, yW^ мало отличается от интеграла
1 г
— I X. Л dx
О J d \ ’ К, 111 о
и притом sin а=^ О, малом ои притом sin а=^ О, малом о(/,, у'*"")1 >4 sin2 а.(/,, у'*"")1 >4 sin2 а.равномерно для | Кк Л|^/У. Поэтому, если то при достаточно ’ малом h и достаточно
и притом sin а=^ О, малом о
и притом sin а=^ О, малом о
(/,, у'*"")1 >4 sin2 а.
(/,, у'*"")1 >4 sin2 а.
4 В. М. Ленитан, И. С. Саргсян
Следовательно, согласно (5, 23)
(5-24)
Так как при /г—>0 величины а£ ь равномерно ограничены, то из оценки (5. 24) следует, что в интервале (—N, N) число собственных значений \к h ограничено, равномерно по h. Поэтому можно выбрать такую подследовательность hv hy . . ., hp -* 0, что будут существовать пределы
Um X,., = Хк (£=1, 2, ...; |Х,,Ар|<^). ^->00
Очевидно, что числа \к являются корнями уравнения (5. 3), и поэтому на самом деле нет необходимости в выборе подпоследовательности hp, т. е. существуют пределы
Пт Ч, h = ?ч- й ->0
Если sin а = 0, то мы получим тот же результат, определив функцию /. (ж) равенства
h № =h № =-gj- при 0 5Сг<( 8,О при 8 < х ^ к.
h № =
h № =
Теорема 5. 2 (теорема о разложении). Если Эля непрерывной функции / (ж) ряд
СОit =0СОit =0ап = J f{x)vn(x)dx, оап = J f{x)vn(x)dx, о
СО
it =0
СО
it =0
ап = J f{x)vn(x)dx, о
ап = J f{x)vn(x)dx, о
сходится равномерно в интервале [0, к], то он представляет функцию / (ж):
СО
/ (ж) = 5 апип (ж).
я=0
Доказательство. Положим
СО
НЧ = Ч^—Уа,упЧУ(5.25)
В силу условий теоремы h (ж)— непрерывная функция в [0, к]. Из равенства (5. 25) следует, что
b„ = h (ж) к„ (.т) dx — О
(п = 0, 1, 2, . . .).
Теперь, применяя к функции 1г (ж) равенство Парсеваля (5.21), мы получим
) № (ж) dx = 0.
о
Отсюда в силу непрерывности h (ж) следует, что h (ж) = 0. Поэтому теорема следует из равенства (5.25).
Доказательство теоремы разложения с помощью метода интегральных уравнений
Рассмотрим задачу
у" + (х — q^ у = Нж\(6-j)
у (0) cos а + у1 (0) sin а = 0,1
у (к) cos р + у1 (0) sin В = 0,]"
где / (ж) ^ 0 — непрерывная функция.
Пусть X есть фиксированное комплексное число. Обозначим через и (х, X) решение уравнения (5. 1), удовлетворяющее начальным условиям
и (0, X) = sin а,
и' (0, X) = —cos а, и через и (х, X) — решение того же уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
и (те, X) = sin 8,и'(те, Х) =—cos р.
Если и(х, 11) и и (х, X) линейно независимы, т. е. если
и (ж, X) не есть собственная функция задачи (5. 1)—(5. 3) ), то детерминант Вронского
W {и,W {и,и Vи' и'и Vи' и'=^= 0.=^= 0.
W {и,
W {и,
и V
и' и'
и V
и' и'
=^= 0.
=^= 0.
формулы Лиу-формулы Лиу-И наоборот, если для некоторого X детерминант Вронского равен 0, то и=Си, и, значит, и есть собственная функция. Таким образом, собственные значения задачи (5. 1)—(5. 3) совпадают с нулями детерминанта Вронского. Так как в нашем случае коэффициент при первой произ-
формулы Лиу-
формулы Лиу-
водной равен нулю, то в силу известной виляя W от х не зависит:
ГР (и, г’} — о> (X).
Введем функцию
х ^ t,
G (ж, /; X) =G (ж, /; X) =. ^“(^ \Щх, X),. ^“(^ \Щх, X),ххt.t.
G (ж, /; X) =
G (ж, /; X) =
. ^“(^ \Щх, X),
. ^“(^ \Щх, X),
х
х
t.
t.
G(x, t, X) называется функцией Грина. Она по х и t симметрична и при действительных X действительна. Пока жем, что функция
у (х, X'j^^Gtx, t; К) f (t) dt(6.3)
о
есть решение краевой задачи (6. 1)—(6.2). В самом деле,
У (ж, Х) =
=^у-<н (ж, X) jn(Z, X) /(<) dt + и (х, X) Jy (Z, X)/ (i) dt p (6. 3') xx
Поэтому
у"^ 4у"^ 4— zyiy Н^’ х) V1^ Х)/РИ +
у"^ 4
у"^ 4
+ и" (ж, '/.) J z? р, X) / (/) dt + г' (.г, X) и (ж, к) / (.г) —•
— и'(ж, 'P)v(x, "^f^— и'(ж, 'P)v(x, "^f^
— и'(ж, 'P)v(x, "^f^
— и'(ж, 'P)v(x, "^f^
(ж, P)^u(t, X) / (<) dt + и (ж, X)Jy(i, X) / (<) dt^ -(-/(ж) =
Х) + /С4
т. е.
у" + р. — 9 (4} У = / (*)•
Непосредственно проверяется, что функция у (х, X) удовлетворяет краевым условиям (6. 2).
Итак, если X не есть собственное знамение однородной задачи(5. 1)—(5. 3), то неоднородная система (6.1)—(6.2) разрешима при любой функции f(x\ Решение дается формулой (6.3), Напротив, если X—собственное значение однородной задачи, то неоднородная система (6. 1)—(6. 2), вообще говоря, неразрешима.
Если X не есть собственное значение однородной задачи, то система (6.1)—(6.2) имеет единственное решение. В самом деле, разность двух решений неоднородной задачи есть, очевидно, собственная функция однородной задачи и в силу нашего предположения она тождественно равна пулю.
Мы можем предположить, что Х = 0 не является собственным значением. В противном случае выберем фиксированное число -Q и рассмотрим краевую задачу
у" + <(х 4-19) — <? (ж)} у = О,
у (0) cos а + у' (0) sin а = 0, у (л) cos 13 -ф- у! (к) sin р = 0.
Собственные функции у этой задачи те же, что и у задачи (5. 1)—-(5. 3). Все собственные значения сдвинутся вправо на тр Очевидно, что можно подобрать т] так, чтобы для новой задачи число нуль не являлось уже собственным значением. Положим G (х, t; 0^ = С(ж, /). Тогда функция
у (ж) = j G (т, f)f(t)dt(6.3")
о
есть решение уравнения
и" — q^y^f^Y удовлетворяющее краевым условиям (6.2). Перепишем уравнение (6.1) в виде
У" — О' (ж) у = / (ж) — Хг/.
На основании предыдущего можно утверждать, что система (6. 1)—(6.2) эквивалентна интегральному уравнению
у + Х^С^ж, <) у (<)(/<= \ G (ж, t) f (t) dt = g (х\ оо
В частности, однородная задача [/(ж) = 0] эквивалентна интегральному уравнению
у (ж) 4- X j G (ж, <) у (i) dt = 0.(6. 4)
о
Обозначим через Хо, Хр Х2, . . ., Хя, . . . совокупность всех собственных значений задачи (5. 1)—-(5. 3) и через ий^х\ v^ixy . . ., Vj^x), . . . соответствующие нормированные собственные функции. Рассмотрим ядро
ОО
я(Ж, e) = vя(Ж, e) = v(ж) Ун (5)х» •
я(Ж, e) = v
я(Ж, e) = v
В силу асимптотических формул, полученных ) в § 2,
ряд для Н (ж, Ё) сходится абсолютно и равномерно и, следовательно, ядро Н (х, Е) непрерывно. Рассмотрим теперь ядро
Q^x, ^ = G(x, ^1Цх, ^ = G(x, е) + 2 -■(4^™ »-0
Оно, очевидно, непрерывно и симметрично.
По известной теореме теории интегральных уравнений всякое симметрическое ядро Q (ж, ?), не равное тождественно нулю, имеет по меньшей мере одну собственную функцию ), т. е. существует число Хо и функция и (.г) ^ О, удовлетворяющее уравнению
и (ж) + Хо J Q (ж, Ё) и (5) d£ = 0.(6. 5)
о
Таким образом, если мы покажем, что ядро Q (ж, |) не имеет собственных функций, то получим, что (Их, Е)™0, т. е.•
ОО
G (х, Е) = —^.(6. 6)
п=0
Из этого разложения уже легко получить полноту собственных функций.
Из уравнения (6.4) следует
[ G (х, ^ и„ (I) ^ = — ^ г„ (ж), о
Поэтому
^„(^ = о, о
т. е. ядро Q(x, s) ортогонально ко всем собственным функциям краевой задачи (5.1)—(5.3).
Пусть и(ж) есть решение интегрального уравнения (6. 5). Покажем, что и(х) ортогональна ко всем ип(ху В самом деле, из уравнения (6.5) следует
( и(х)ип(х)йх.
Отсюда следует, что
?) и (s) dt =?) и (s) dt =О = и (ж) 4- Хо J Q (х,о
?) и (s) dt =
?) и (s) dt =
= и (х) 4- Хо j G (х, ;) и (?) dq,о
т. е. и(х) есть собственная функция краевой задачи (5. 1)—(5.3). А так как и (ж) ортогональна ко всем и„(ж), то ulxjsO и, следовательно, Q (х, s)^0. Итак, формула (6.6) доказана.
Теорема 6.1 (теорема о разложении). Если f (х) имеет непрерывную вторую производную и удовлетворяет краевым условиям (5.2)—(5.3), то f (х) разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи (5. 1)—(5. 3)
я-оя-оа„ = \f^v^dx.оа„ = \f^v^dx.о(6. 7)(6. 7)
я-о
я-о
а„ = \f^v^dx.о
а„ = \f^v^dx.о
(6. 7)
(6. 7)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
Тогда в силу (6. 3) и (6.6)
/ (ж) = j G (ж, ^ h ^ d^ = -2 vn (х) 1 j н„ (?) А (?) d? = б?z=0О
Из ортогональности и нормированное™ функций и,,^ следует, что
% = J /W^W ^-о
Теорема 6.2. Для каждой функции]^ с интегрируемым квадратом в интервале [О, тг] имеет место равенство Парсеваля
г00
( /2 (ж) dx = 2 а2.(6. 8)
о”=°
Доказательство. Если /(ж) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, то равенство (6.8) следует непосредственно из равномерной сходимости ряда (6.7). В самом деле,
( /2 (ж) dx = 2 ап ( / (ж) v„ (х) dx= У а;.
gя*=00п=и
Распространение равенства Парсеваля на произвольные функции с интегрируемым квадратом осуществляется с помощью приема, приведенного в § 5 при .доказательстве теоремы 5. 1.
Возвратимся к формуле (6. 3). Правая часть этой формулы называется резольвентой. Мы знаем, что резольвента существует для всех X, которые не являются собственными значениями краевой задачи (5. 1)—(5. 3).
Покажем теперь, как получить разложение в ряд Фурье для резольвенты, если известно разложение функции /(ж).
Функция у (х, X), определенная по формуле (6. 3), удовлетворяет краевым условиям (6.2). Поэтому, интегрируя по частям, получим
j {у" (ж, X) — q (ж) у (х, X)} и„ (ж) dx = и
= j {щ (ж) — q (х) и„ (ж)} у (х, X) dx =
О
. =( У (Х> Х) ип (Ж) Дж = —\йп W*(6- 9)
О
Пусть
У (ж, Х) = ^d^^u^v ttn=\fWAxW»-0о
Тогда из (6. 1) и (6.9) следует
% = ( ^У" (х> х) + [х — У W] У (х, >0) ^ (*) dx =
Отсюда
Следовательно, разложение резольвенты имеет вид
СЮ
(6Л0)
я=0
Доказательство теоремы разложения в периодическом случае
Для доказательства разложимости функций, удовлетворяющих периодическим условиям, в ряд по собственным функциям задачи (4. 1)—(4. 2), т. е. задачи
у"+(Х-9(з;))у = 0,(7.1)
у(0) = у(л),у'(0) = у'(л),(7.2)
можно было бы и здесь, как и в предыдущем параграфе, основываться на асимптотических формулах для соб ственных значений и собственных функций, предварительно получив более точные приближения для них. Однако этот путь был бы очень длинным. Вместо этого мы воспользуемся тем, что рассуждения предыдущего параграфа полностью применимы также и здесь, если только будет доказана равномерная и абсолютная сходимость ряда 00
2 и» ^ и«3)
я=0
В силу теоремы 4. 1 и асимптотических формул (2. 13) и (2.19) мы получаем представление о собственных значениях км задачи (7. 1)—(7. 2), а именно: ^f-> 1- Поэтому для доказательства равномерной и абсолютной сходимости ряда (7.3) достаточно доказать ограниченность собственных функций ип(х\
Для простоты доказательства исключим случай двукратного собственного значения. Положим X = s2 и перепишем уравнение (7.1) в виде
у" -\-s^y=q^y.
Применяя метод вариации постоянных, получаем
у (ж, X) = сг sin sx 4- с2 cos sx 4
1 г
+ у I у (t, X) q (£) sin s(_x — t) dt.
о
Постоянные cx и c2 определяются с точностью до постоянного множителя из соотношения
с2 = сх sin як 4- с2 cos зл 4* у j У (t, X) q (t) sin s (л — t) dt.
0
Выберем сг и c2 таким образом, чтобы функция у (х, X)
была нормирована: ^ У2(х, \^dx=\; тогда у (х, X) при о
s‘z=Xn будет нормированной собственной функцией. В самом деле, так как мы исключили двукратные корпи, то Хи ни при каком п не равно собственному значению р-„(см. §4); поэтому ни одно решение уравнения у” + {Хя — 9 (z)} У = 0 (кроме тривиального решения у г 0) не может обращаться в нуль на концах интервала. Отсюда заключаем, что для всякого отличного от у„(ж) решения у, для которого у^ = у^, можно найти такое с, чтобы пя(0)—су (0) = = уя(л)— су(л) = 0, а тогда и„^—cyix^ = 0. Следовательно, для s| = Хя нормированная функция у (х, X) тождественна с нормированной собственной функцией.
Теперь, применяя неравенство Коши—Буняковского, получаем
j У (С л) 9 (0 sin six — i) dt )
j у2 (t, X) dt j q2 (t) dt C. оо
Следовательно,
у (x, X) = сг (s) sin sx 4- c2 (s) cos sx-\-0 (y).
Перенося ^0") в левую часть, возводя в квадрат и интегрируя, мы получаем
j |у (ж, X) — О (у)} dx = 1 — 2 j у (z, X) О (у) dx -фио
+^[Ф+°(Ф)]+^=.°(Ф)- ГЛ)
Далее,Далее,X)M0‘O=°G)- оX)M0‘O=°G)- о
Далее,
Далее,
X)M0‘O=°G)- о
X)M0‘O=°G)- о
Так как числа q и с2 входят в решение (7.4) симметрично, то мы можем считать, например, что | q | ^ | с21.
Это неравенство показывает, что с3 (а вместе с ним и с2) ограничено. Но этим доказана и ограниченность собственных функций. Итак, доказано, что ряд (7.3) сходится равномерно и абсолютно. Теперь все выводы предыдущего параграфа остаются в силе. В частности, имеет место формула
00
G^x, :) =.
Теорема 7.1. Каждая непрерывная функция /(х), имеющая непрерывную вторую производную, может быть разложена в ряд по собственным функциям задачи (7. '!)■—(7.2), если она удовлетворяет краевым условиям (7.2).
Доказательство дословно совпадает с доказательством теоремы 6.1.
Доказательство теоремы разложения методом контурного интегрирования
Приведем сначала формальные рассуждения.
Предположим, что разложение по собственным функциям вида (6.7) уже обосновано. Тогда, как показано в § 6, резольвента у (х, X), определенная по формуле (6. 3), допускает разложение по собственным функциям (6. 10) и удовлетворяет уравнению (6. 1). Решив это уравнение, мы сможем, как это следует из (6. 10), определить члены разложения функции / (ж), найдя вычеты в полюсах функции у (х, X). Как показано в § 6, п. 1, нули функции ш(Х) совпадают с собственными значениями задачи (5. 1)—(5. 3) и поэтому простые. Пусть и (х, 1.,) = кми (х, \п). Из граничных условий вытекает, что постоянная кп конечна н
отлична от нуля. Следовательно, функция у ^х, X) при X = \п имеет вычет
о
Приведенные формальные рассуждения показывают, что должно иметь место разложение вида
ООТ.
/ м=2 й^и ^Sм dt’
«=оо
Общий метод, который мы ниже используем, состоит в следующем: функция у (х, X) определяется по формуле (6. 3); интегрируя ее по расширяющимся контурам комплексной плоскости/, получаем в пределе функцию /(т); стягивая же контур интегрирования к вещественной оси, на которой расположены особенности у (х, X), получаем разложение / (т) в ряд по собственным функциям.
Теорема 8.1. Пусть функция /(х) принадлежит $ (0, к). Тогда при 0<(т<^к разложение по собственным функциям краевой задачи (5.1)—(5.3) ведет себя в отношении сходимости так же, как и обычный тригонометрический ряд Фурье. В частности, это разложение сходится к у {/ (^ + 0) А* 1АХ — ^)), если функция / (т) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки х.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
зМ^’^(8.1)
(у (т, X) определяется по формуле (6. 3')), который берется по замкнутому контуру С в плоскости X, описываемому следующим образом. Пусть а = s-; верхняя половина контура соответствует четверти границы квадрата в плоскости s, образованной отрезками прямых (s = а + it)
Нижняя половина контура строится симметрично верхней относительно вещественной оси. Легко видеть, что интеграл (8. 1) равен конечной сумме ряда по собственным функциям. В самом деле, внутри контура интегрирования находятся лишь конечное число собственных значений, т. е. конечное число полюсов функции у (х, X). Тогда в силу известной теоремы теории вычетов интеграл (8. 1) равен сумме вычетов в полюсах у (х, X), а последние являются членами разложения функции /(ж).
Рассмотрим случай sin а ^ О, sin^^C). Согласно лемме 2.2 на упомянутых выше отрезках границы квадрата
и, (у, X) = cos у s • sin а 4- О {[ s |-1 е^},
и (х, X) = cos (s (л — ж)} sin 8 + О (| s |~1е'' С^)},
и’ (у, X) = —s sin sy • sin а 4* О к^’Л'
и’’ (ж, X) = s sin {s (л ■— ж)} sin 3 4- О {ez (к-:с4-
Тогда
о) (X) = s sin «л • sin а • sin 3 4- О (е,$).
На тех же отрезках | sin $л | ^ Ае*" и, следовательно,
_L _^h । о
ш (X) s sin st. . sin а • sin р [1\| s ’
Отс юда
и (ж, X) и (у, X) cos (s (л — ж)} cos sy . fez \ о; (X)s sin sr.\ I ^ I2 /
и
U"^y $ и (у, >•) / (у) Й = о
cos (s (7: — х)} cos sycos (s (7: — х)} cos sys sin s^s sin s^f (у) Й 4-f (у) Й 4-ez(^) I / (у) I dyez(^) I / (у) I dy
cos (s (7: — х)} cos sy
cos (s (7: — х)} cos sy
s sin s^
s sin s^
f (у) Й 4-
f (у) Й 4-
ez(^) I / (у) I dy
ez(^) I / (у) I dy
Пусть О О 8 О ж; тогда последний член в этой формуле преобразуется к виду
fp— Мх/1 С.
d X (
Ввиду того, что ^ = 2s, этот член приводит к появлению в интеграле (8. 1) слагаемого
= 0{р^|т|) + °( [VW
Второй член, стоящий справа в этой формуле, может быть сделан сколь угодно малым за счет 8; первый же член при фиксированном о стремится к нулю, когда п-^> то, ибо он имеет вид
1 г I г2л[ j | jС U1 г I г2л[ j | jС U/ (у) Ду +/ (у) Ду +COS (s (л — у)} COS SXCOS (s (л — у)} COS SXs sin STs sin STt^dy\dX^o^. (8.2)t^dy\dX^o^. (8.2)
1 г I г
2л[ j | j
С U
1 г I г
2л[ j | j
С U
/ (у) Ду +
/ (у) Ду +
COS (s (л — у)} COS SX
COS (s (л — у)} COS SX
s sin ST
s sin ST
t^dy\dX^o^. (8.2)
t^dy\dX^o^. (8.2)
Аналогичное исследование может быть проведено относительно другого слагаемого в у (ж, X), в котором ж ^ ^ у ^ л. В итоге мы получаем, что интеграл (8. 1) равен
cos {$ (л — х)} cos уs sin ST.
Первый член в этой формуле в точности совпадает с выражением, которое мы получили бы в соответствую-
щей задаче при разложении /(ж) в ряд Фурье по косинусам и, следовательно, равен частной сумме ряда Фурье по косинусам. Этот факт, конечно, легко проверить и непосредственно с помощью теории вычетов. Отсюда уже следует рассматриваемая теорема о связи между разложением по собственным функциям и разложением в ряд Фурье. Если sina = 0 или sin р = О, данная теорема доказывается аналогично.
В том случае, когда /(ж) обладает ограниченной вариацией в окрестности точки х, установленный выше результат легко получить непосредственно, не привлекая теории рядов Фурье. Прежде всего имеем
COS {s("-z)}cos sy _ 0 f е< (Tt^J+Zy sin sit [ etT- J ' ’’
и, следовательно, та часть выражения (8.2), где 0^ ^г/<^;г— 8, стремится к нулю, как и ранее. При х — 8 у ^ х имеем
cos {s (л — ж)} cos sy
sin sic
e-isU-ll {[ ± Q (e~M ^x')} е~“» {i _|_ 0 (e-2Zy)}e-isU-ll {[ ± Q (e~M ^x')} е~“» {i _|_ 0 (e-2Zy)}2ie~iSK (1 + О (e"2^)}2ie~iSK (1 + О (e"2^)}= — lzeis(^) {1 +O(e~2S/)},= — lzeis(^) {1 +O(e~2S/)},
e-isU-ll {[ ± Q (e~M ^x')} е~“» {i _|_ 0 (e-2Zy)}
e-isU-ll {[ ± Q (e~M ^x')} е~“» {i _|_ 0 (e-2Zy)}
2ie~iSK (1 + О (e"2^)}
2ie~iSK (1 + О (e"2^)}
= — lzeis(^) {1 +O(e~2S/)},
= — lzeis(^) {1 +O(e~2S/)},
если 8 <' л — x. Член, который содержит О (e-25z), приводит, как и прежде, к слагаемому, стремящемуся к нулю. Главный член в (8.2) доставляется интегралом
— ^ J C’8U яЧ^Ау= — 2^/^ — °) J е^-Му-V
+ ^ J е^НЦх-^-1ШйУ =
= /(а- —О)1 2^“+^ j ei8^-»'> U^ — °) — f(y)}dy-
Я—8
5 Б. М, Левитан, И. С, Саргсян
Первое слагаемое ^-^ "^ дает после интегрирования 1
у / (т — 0), что и требуется. Интеграл от второго члена дает О (e'sz | X I""1) и, следовательно, стремится к нулю. Далее, так как / (ж) имеет ограниченную вариацию, мы можем положить
/ (* — 0) — / (у) = g (у) — h (у),
где g (у) и h (у) — положительные, монотонно убывающие функции, стремящиеся к нулю при у—» х. По второй теореме о среднем имеем
$ Re{e,'‘^~3')} g^dy =
х—8
= g (х— 8) j Re ^е*8<^-”^ dy =
х— 8
= g (x — 8) Re ( et8 ix~»>dy = О.
Этот член доставляет в (8.1) слагаемое
^{^jfrP^^0^^-8))’
которое может быть сделано сколь угодно малым за счет о. Подобным же образом исследуем члены, содержащие h^y), а также те члены, где у^>х. Это завершает доказательство теоремы.
Если х = 0, то при условии sin а ^= 0 справедливо аналогичное утверждение о сходимости. Если же sin а = 0, то у (х, X) = 0, и наше утверждение не имеет места, за исключением лишь того случая, когда
/(+0) = 0.
Для х = т: положение аналогично.
§ 9. Уточнение теоремы разложения
Теорема разложения в ряд Фурье по собственным функциям была нами получена в §§ 5, 6 при весьма ограничительных условиях.
Асимптотические формулы для собственных функций, выведенные во втором параграфе, позволили доказать в § 8, что разложение по собственным функциям сходится при тех же условиях, что и разложение в ряд Фурье по косинусам.
В настоящем параграфе мы приведем другое, более элементарное доказательство этого факта.
Для определенности рассмотрим случай
/?. =^ оо
и
Н 7& СО.
Будем также предполагать, что q (ж) имеет ограниченную производную, так что справедлива асимптотическая формула (2. 14).
Пусть / (ж) — абсолютно интегрируемая (по Лебегу) в интервале (0, л) функция. Положим
ааоо/(С]” + “ У cos кх ■ cos kt\dt,/(С]” + “ У cos кх ■ cos kt\dt,
а
а
о
о
/(С]” + “ У cos кх ■ cos kt\dt,
/(С]” + “ У cos кх ■ cos kt\dt,
sn. j W (/ (о 5 ик ^ ик (Оdt.
Если
фи (^ о=2^ ^Uk — 4+5 2cos кх ■cos kt *
ТО
8п,/^—оп,Лж)=\ Ф»^- tHW dt.о
Лемма 9. 1. Существует такая постоянная М, что для всех и
I Фп Iх- ^) I <с м.
Доказательство. Из асимптотической формулы (2. 14) следует
2
ЪЧ ^ ^к W — ~ Cos ^ ' C0S ^ =
■^ {Р (i) cos кх • sin kt + Р (л) cos kt sin кх\ + О ^)=
’• (PW + |i(()|2SM£±« +
+ -^ (Р (Ж) - р (0)sin к'к_1'л-0 (1). (9.1)
Очевидно, что функция р (ж) в интервале [0, к] ограни-чена. Докажем, что сумма 2~Т~ в пнте1,вале 1.^’ ~1к=1
равномерно ограничена. Имеем *)
=2 S (2cos =
*) В силу известного тождества*) В силу известного тождества
*) В силу известного тождества
*) В силу известного тождества
ттг sin и 7
Но интеграл i —— du ограничен и имеет максимум при о
ДГ = л. Поэтому для О^л^л
11t t2 sm "211t t2 sm "21 dt + -^ к,1 dt + -^ к,
11
t t
2 sm "2
11
t t
2 sm "2
1 dt + -^ к,
1 dt + -^ к,
что и доказывает наше утверждение о равномерной ограниченности ^Дх\ Тогда лемма следует непосредственно из формулы (9. 1) в силу равномерной ограниченности функций Р (ж) и тя (ж) в интервале [О, л].
Лемма 9.2. Если функция «^ в интервале [0, л] имеет непрерывную вторую производную и ^удовлетворяет краевым условиям
<р (0) cos а + ® (0)<р (0) cos а + ® (0)sin а — О, ф (л) cos 8 -ф- ф' (л) sin 8 = О, то при п—>• оо
<р (0) cos а + ® (0)
<р (0) cos а + ® (0)
j Фв (ж, <) <р (£) dt-^- 0. о
Доказательство. В самом деле, при наших предположениях в силу теоремы 6. 1 и известной теоремы теории рядов Фурье s (х) и % Дж) стремятся равномерно к <р (ж). Следовательно, их разность
з„, т (*) — % т (ж) = J ф„ (ж, #) ф (0 dtо
равномерно стремится к нулю.
Теорема 9.1. Для любой абсолютно интегрируемой по Лебегу в интервале [0, л] функции f(x) при п —> оо
S„,AX) — %/(ж)-^°
равномерно во всем интервале [0, л],
Доказательство. Пусть /(ж) — произвольная, абсолютно интегрируемая функция. Как известно, для любого е ^> 0 можно подобрать дважды дифференцируемую и удовлетворяющую краевым условиям (9. 2) функцию <рЕ (ж) так, что
$ I / (^) — М I ^ < 2^7 - о
где М указано в лемме 9. 1.
Далее, имеем
s„, у (^) — %, / М = $ ф„ (*> t) {/ (0 — ?, М at + о
+ $ ф„ l^1) ®s (t) at. (9.3) о
^м\\1^--^№<м2_=^.о^м\\1^--^№<м2_=^.о(9-4)(9-4)На основании леммы 9. 1
^м\\1^--^№<м2_=^.
о
^м\\1^--^№<м2_=^.
о
(9-4)
(9-4)
С другой стороны, в силу леммы 9.2 при фиксированном е можно взять п настолько большим, что равномерно во всем интервале [0, п] будет иметь место неравенство
$ ф„(^. О ?.(0 At о$ ф„(^. О ?.(0 At о(9-5)(9-5)
$ ф„(^. О ?.(0 At о
$ ф„(^. О ?.(0 At о
(9-5)
(9-5)
ТогдаТогдаиз (9. 3) в силу (9. 4) и (9. 5) следует, что\«,/^ — %/^\<’
Тогда
Тогда
и так как число е произвольно, то теорема доказана.
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что разложение по собственным функциям оператора Штурма—
5 ю]
Лиувилля любой суммируемой функции сходится или расходится в любой точке интервала [0, п] в зависимости от того, сходится или расходится ряд косинусов в этой точке.
В случае h = оо или Н = оо разложение Штурма — Лиувилля следует сравнить с разложением в ряд Фурье по функциям зш^+у^ж, п = 0, 1, 2, .. ., а в случае А = оо и Н = оо — с разложением в ряд по sin пх.
Одномерная система Дирака
Пусть L означает матричный оператор
р12(ж)=р21 (ж),р12(ж)=р21 (ж),(10. 1)(10. 1)Ри (ж) р12 (ж)\^21 (*) Р22 W/
р12(ж)=р21 (ж),
р12(ж)=р21 (ж),
(10. 1)
(10. 1)
где ptk^ (i, &=1,2)— вещественные функции, определенные и непрерывные на интервале [0, к], Далее, пусть у (ж) означает двухкомпонентную вектор-функцию у (ж) =
/ У1 (ЖЛ Гр
=I , I. 1огда уравнение
\Уа Vе)/
(,be + l — i> = °.<10-2)
где X — параметр,
В =В =1 =1 =
В =
В =
1 =
1 =
эквивалентно системе двух совместных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
(10.2')(10.2')S + Р11 И У1 + Р12 (*) Р2 = ХУ1> ]— 5 + ?21 (*) У1 + Р-22 (Ж) У 2 = ХУ2- J
(10.2')
(10.2')
В том случае, когда р12 (ж) = р21 (ж) = 0, рп (ж) = У (ж) + т, р^ (х) = Й (ж) — т, где V (ж) — потенциальная функция, а т — масса частицы, система (10,2') в релятивистской
квантовой теории известна под названием одномерной стационарной системы Дирака. Обозначим через
Н = Н (я)
гладкое ортогональное преобразование двумерного пространства. Как известно, всякое ортогональное преобразование в двумерном пространстве имеет, в фиксированном ортогональном нормированном базисе, матрицу вида
х /cos ср (ж) — siny(a:)\Н (х) =..
\ Sin ср (ж) COS ср (ж) /
Легко видеть, что матрицы В и Н коммутируют, т. е,ВН^НВ.
Положим y = Hz, Тогда, подставляя это значение у в (10.2) и умножая обе части полученного уравнения слева на Я-1, мы получаем
Н^В A (Hz) + H-'LHz = H-^Hz
или
В^^(Н"Ч}^ Н H”4Jl\z = \z.(10.3)
Вычислим матрицу
q=h^b4-h a-h-^lh. хах 1
Имеем
н-вА н-ьн =
dx \ 0 V (х)/
Рп cos’ <Р + Pi2 sin 2<Р + Ри sin2 ?, р12 cos 2у + — (р22 — p,J sin 2f, \
Ри cos 2<р + Т- (ри — Ри) sin 2®, ри sin2 9 — р12 sin 2<р 4- pn cos’ <р /
Поэтому матрица Q имеет вид
/9и 9п\
Q г=
\912 922/
/?' + Рп cos2 <р + Р12 sin 2<Р + Ри sin2 <Р, p12cos 2<Р + — (р22 — Ри) sin 2<Р
= I 1
\Р12 cos 2<Р + g- (р22 — Ри) sin 2<Р, «' + рп sin2 <? — pn sin 2<р -f- р22 cos2 ?
Функцию ср (а;) выберем так, чтобы ^32(а:) = 0. Тогда
Pi2 (я) cos 2ср (ж) + -^ (р23 (ж) — pu (я)} sin 2ср (я) = 0. Отсюда
?^=^ arctg ■,
z Pll W P22 Iх)
и матрица Q (х) принимает вид
z х _ /911 (ж)0 ) = /Ж 0
V W I QZ^X I ( Q r / ,
Поэтому уравнение (10. 3) можно переписать в виде
(10. 4)(10. 4)РМ о0 г (ж)
(10. 4)
(10. 4)
Выберем теперь функцию ср (ж) так, чтобы spur Q (ж) = = 9ц W + 922 СИ = Т- е-
2?' (И + Рп СИ + Р22 СИ = 0.
Отсюда
ср (ж)
о
Тогда уравнение (9. 3) примет вид
(10. 5)(10. 5)/ 0 /рСП 9М\
(10. 5)
(10. 5)
\— 1 0/ dx \q^x) —р(х)/Z"
Уравнения (10.4) и (10.5) мы будем называть в дальнейшем каноническими видами системы (10.2). При
исследовании различных вопросов спектральной теории уравнения (10.2) удобно пользоваться тем или другим каноническим видом. Так, например, при исследовании асимптотического поведения собственных значений и собственных функций, а также вопросов разложения произвольной вектор-функции по собственным функциям уравнения (10.2) (при наличии некоторых однородных краевых условий в точках Ойл) удобно пользоваться каноническим уравнением (10. 4). А при изучении таких вопросов, как, например, асимптотическое поведение числа собственных значений уравнения (10.2), заданного на бесконечном интервале, а также обратной задачи, удобно пользоваться каноническим уравнением (10. 5).
Итак, рассмотрим краевую задачу для системы (10.2'), предварительно приведя ее к каноническому виду (10. 4):
Уг — Р + Р М} У1 = °, У1 + Р + г (ж)} у2 = 0, (10.6) у2 (0) cos а + ут (0) sin а = 0,(10. 7)
у2 (л) cos р + ух ^ sin ,8 = 0.(10. 8)
У Iх, Р) =У Iх, Р) =Будем предполагать, что функции р (ж) и г р) непрерывны на интервале [0, л]. Пусть при некотором Xj рассматриваемая краевая задача имеет нетривиальное решение У1 (х* Р)\
У Iх, Р) =
У Iх, Р) =
,... В этом случае число X. называется
уЛх^ \)/
собственным значением, а соответствующее решение у(х, XJ называется собственной вектор-функцией.
Лемма 10.1. Собственные вектор-функции у (х, XJ и z (х, Х2), соответствующие различным собственным значениям Х1^=Х2, ортогональны, т. е.
j (У1 (х- Р) Ч Iх- Р) + Уг ^ Р) Ч Р- Р)} йх = °- о
Доказательство. Так как функции у (х, Х^ и z (х, Х2) являются решениями системы (10. 6), то мы имеем
У^х- Р) —Р1 + рР)}У1Р, Х1) = 0, у’Лх, Р) + Pi + r Р)} У2 Р, Р) = 0, z’^x, Х2) — р2 + р (х^ z, (х, Х2)=0, Р (-г, X,) 4- 'С, + г (х)} з2 (.т, Х2) — 0.
Умножая эти уравнения соответственно на zT (х, Х2), —z2 (х, Х2), —у, (х, Х1), у2 (х, X) и суммируя, получаем
^^Лх’ 'чПЛч ^) —z/s^- ч^Лч ч^ =
= (xi хг) {^1 Vх’ xi) zi Vх’ хг) + Уч Vх' xi) г Vх' хг)}- Теперь, интегрируя последнее равенство в пределах от О до тс, мы находим
(Xi — Х2) j (У1 (ж> Xi) Ч (^ Хг) + Уч (х- Xi) Ч Iх- Хг)) dx =
о
= (Ю кх' Xi) z2 (х> Хг) Уч кх' Xi) zi (х> Хг)}о’
Правая часть последнего равенства равна нулю в силу краевых условий (10. 7) и (10.8). Поэтому имеем
(Xi — Хг) j (У1 (ч Xi) zi (ч Хг) + Уч (ч Xi) Ч (ч Хг)} dx = °, о
что и доказывает лемму, так как, по условию, Хт ^= Х2.
Лемма 10.2. Собственные значения краевой задачи (10. 6)—(10. 8) действительны.
Доказательство предоставляем читателю (см. доказательство леммы 1. 2).
§ И. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных вектор-функций
равенства (2. 4) и (2. 5). В случае системы Дирака можно также выписать формулы, аналогичные формулам (2.4) и (2. 5), и провести дальнейшие рассуждения в том же плане. Однако здесь мы предлагаем другой метод. При изучении асимптотического поведения собственных значений и собственных вектор-функций системы Дирака очень удобно привлекать так называемые операторы-матрицы преобразования, вывод и некоторые применения которых даны в главе IX. Здесь мы приводим только определение этих операторов и окончательный их вид.
Пусть А и В—два линейных дифференциальных оператора, бу и б2 — два линейных функциональных пространства.
Определение. Линейный непрерывный оператор X, отображающий пространство бу в бу называется оператором преобразования, если он удовлетворяет следующим двум условиям:
1°. АХ = ХВ.
2°. Существует непрерывный обратный оператор X-1. Пусть
Р^ 77 \
,> (И.1)
“77 r^V
где Ру (х), Гу (х), р2 (х) и г2 (х) — вещественные и непрерывные функции на отрезке [0, л].
Пусть бу и б2 суть совокупности непрерывно диффе- „ (fiX^X
ренцируемых вектор-функций / (а:) = I I и g (х) — V2 \Х))
(ёЛ^У
— I I , соответственно удовлетворяющих краевым 4^2 \XU
условиям
(11.2)(11.2)/2 (0) cos у + Д (0) sin т = 0, 1g2 (0) cos 8 + ^ (0) sin 8 = 0, J
(11.2)
(11.2)
где у и 8 — произвольные действительные числа.
Как доказано в гл. IX, § 3, в этом случае оператор-матрицу преобразования X можно задать в виде:
g (ж) = X [/ (ж)], т. е.
gi (ж) = а (ж) fx (я) + р (ж) /2 (ж) +
(И.З)(И.З)(11.4)(11.4)+ j (Р (ж, s) /, (s) + R (ж, s) /2 (s)} ds, g^ (ж) = -9 (ж) Д (^) + а (ж) /2 (ж) +
(И.З)
(И.З)
(11.4)
(11.4)
+ j {С (ж, s) Д (s) + Н (ж, 5) /2 (s)} dx,
О
где
а 6г) = 4 sin 4 ^P1 ^ + Г1 ^—
— ?2 (') — 'а Ml ^ + arc sin -
р w=4cos j 4 S ipi м+о co—
— Pi (') — r-i (т)] йт + arc sin -
(x = sec (8 — y)), a функции P(x, s), R(x, s), Q^x, s') и H(x, s) — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.
/<р1 (х, Х)\
Обозначим через » (х, X) =,. х решение си
стемы (10.6), удовлетворяющее начальным условиям
^(0, X)=cosa, »2(0, X) = —sin а. (11.5)
Очевидно, что функция <р (ж, X) удовлетворяет краевому условию (10.7). Рассмотрим задачу (10. 6) + (И. 5) при р)х) = т (х) = 0. Как нетрудно убедиться, в этом случае
<р1 (ж, X) = cos (Хж — а), ср2 (ж, X) = sin (Хж — а). (11.6) Применим теперь оператор преобразования к решению задачи (10. 6) 4- (Ю. 7). Система (10.6) имеет вид
\ di\ di—Р (ж)—Р (ж)(И.7)(И.7)
\ di
\ di
—Р (ж)
—Р (ж)
(И.7)
(И.7)
/ cos (Ха: — а)\
Функция (11.6), т. е. вектор-функция
является решением уравнения
/ О\ dx/ О\ dx(11.8)(11.8)— \dx 1
/ О
\ dx
/ О
\ dx
(11.8)
(11.8)
У = ^у.
о /
Если ф (а:, X) является решением уравнения В1ф = Хф, то в силу определения оператора преобразования X мы имеем
А.Х [ф] = ХВг [ф] = X [Хф] = \Х [ф],
т. е. ср = Х[ф] есть решение уравнения
АМ = Х?-
, /cos (Ха:— а)\
Итак, если ф (а:, X) =есть решение уравне-
\sin (Ха: — а)/
ния (11.8), то вектор-функция »(а:, X) = X [ф (х, X)] есть решение уравнения (И. 7). В нашем случае рг (х) = —р (х), гДа:) =—г (а:), р2 (а:) — г2 (а:) = 0. Далее, так как краевые условия (11.2) теперь заменяются краевым условием (10. 7), то y = 8; так что х —1. Поэтому в силу (11.4) для функций а (а:) и р (а:) получаем выражения
{
1 Г
у UP W + r W]о
Р (а:) = sinР (а:) = sinу J [Р М + г (т)] dx оу J [Р М + г (т)] dx о
Р (а:) = sin
Р (а:) = sin
у J [Р М + г (т)] dx о
у J [Р М + г (т)] dx о
Из формул (11.3) для решения <р (а:, Х) =
задачи (10. 6) -ф- (11. 5) получаем следующие формулы:
(р2 (а:, X) = a (a:) cos (Ха: — «) + Р (ж) sin (Ха: — а) +
-ф- J (Р (a:, s) cos (Xs — а) -ф- R (х, s) sin (Xs — а)} ds о
и
ср2 (ж, X) = a (a:) sin (Ха: — а) — р (a:) cos (Ха: — а) +
+ j (Q С^ s) cos (^ — а) + ^ (ж> s) sin Q's — а)} ds о
или, подставляя значения а (а:) и 8 (а?) из (11.9),
yI (а:, X) = cos {; (а:, X) — «} + j (^ (a:, s) cos (Xs — а) + о
+ R (х, s) sin (Xs — а)} ds, (11.10)
cp2 (х, X) = sin {; (х, X) — «} + ^Q (х, s) cos (Xs — а) 4" о
-V Н ^х, s) sin (Xs — а)} ds, (11.11) где
6 (a:, X) = Yx — у j [р (т) + г (т)] dT. (11.12) о
Лемма 11.1. Равномерно по х при 0<^х^,к спра
ведливы оценки при |X|-> оо
(11.13)(11.13)(11.14)(11.14)у1 (а:, X) = cos {; (а:, X) — а) 4- О
(11.13)
(11.13)
(11.14)
(11.14)
с?.2(а‘, X)=sin(E(a:, X)—а) 4-0
-jy = —х sin {£ (а:, X) — а} 4- О (1),
^у = х cos (; (а:, X) — а} 4" О (1).
Доказательство. Для получения оценок (11. 13) достаточно интегралы, входящие в правые части формул (И. 10) и (И. И), интегрировать по частям, что возможно в силу дифференцируемости функций Р (х, s), Н (х, s), Q (х, s) и Н{х, s). Оценки же (И. 14) доказываются аналогично, если продифференцировать предварительно равенства (11,10) и (11.11) по X. Лемма доказана.
Лемма 11.2. Собственные значения краевой задачи (10. 6) + (10. 7) -|- (10. 8) простые.
Доказательство. Так как функции фД^с, X) и фДа:, X) удовлетворяют краевому условию (10.7), то для определения собственных значений краевой задачи (10. 6)—(10. 8) нужно подставить значения функций ф, (ж, X) и ф2(^, X) в краевое условие (10.8) и найти корни этого уравнения. Положим
Л (X) = фДтг, X) cos р + ф: (тг, X) sin Д то г да
/ф! (Ж, XJ\ Пусть Х1 — двукратное собственное значение, а I—
одна из соответствующих собственных вектор-функций. Тогда одновременно должны выполняться условия D (XJ = 0 dD (XJ п
и —-Д1А. = и, т. е. аК
Ф2 (~, X]) cos Р + ф! (л, X]) sin р = 0,^1^11 cos в + ^рд sin 3 = о.
Из последних двух равенств следует
у*1 А 1,1 — V, <"■ М^-д у =°- <“-15)
Дифференцируя систему (10, 6) ио X, мы получим
Теперь, умножая уравнения (10.6) и (11,16) соответственно на , jp, —ух и уу суммируя, а затем интегрируя по ^ в пределах от 0 до л, получаем
[у» (^ х) ^ ~ ZA (^ Х) Sr К = — Пу1 ^’ Х) + у2 ^’’ z^ ^’-
Полагая в последнем равенстве X = Хт и учитывая, что „ силу (11. 10) „ (11. И) |__о = О, получаем, используя равенство (11.15), соотношение
— 5 № (^ Х1) + ?2 (, Xl)} dx = о
= ?2(", х1)-^— Vi^ xi) д = °-
Отсюда следует, что ^т (х, XJ — <р2 (х, XJ = 0, что невозможно. Лемма доказана.
Как уже отмечалось выше, собственные значения краевой задачи (10.6)—(10.8) совпадают с корнями уравнения
ср2 (л, X) cos Р + fj (к, X) sin р = 0.
Теперь, подставляя сюда значения функций <р: (л, X) и ф2(п» X) из оценок (11.13), мы получаем
(11.16')(11.17)(11.16')(11.17)sin (Хл — д) -|- О ^у) = 0,
(11.16')
(11.17)
(11.16')
(11.17)
где в силу (И. 12)
9=8—а—у J {p(t) + r(t)}<Kо
Для больших jXj уравнение (11.16'), очевидно, имеет решения и они, как нетрудно видеть, имеют вид *)
лХя— 9 = пл-|-8я (п = 0, ±1, +2,...).
Подставляя эти значения в уравнение (11.16'), мы находим, что sin 8Я = О^у^, т. е. оя = О^у^. Поэтому для собственных значений получаем следующую
асимптотическую формулу:
Ч = "+| + °(4) (" = °> + 1- ±2,...), (11.18) где & определяется формулой (И. 17).
Пользуясь формулой (11.18), получим асимптотическую формулу для собственных вектор-функций <рт (ж, Хя) = = 11^, ^>2(х, \я) = ия(<х), а именно:
ня(ж) = cos (е„ — а) + 0(^)>(11.19)
^(^sin^-aHOfl), (11.20)
где 1п=Цх, \п)^\пх~у J {р W + г (t)} dx. о
Чтобы получить асимптотическое разложение нормированных собственных вектор-функций, рассмотрим интеграл о
Следовательно, нормированные собственные вектор-функ- ции имеют вид
^)=-^co^V"a) + o(v), м^=^»™ ^-а)+°(4У
§ 12. Доказательство теоремы разложения с помощью метода конечных разностей
Рассмотрим краевую задачу (10. 6) + (10. 7) + (10. 8). Как и прежде, предположим, что функции р(х) и г (х) непрерывны и вещественны на интервале [0, к], а а и 8— два произвольных вещественных числа.
Обозначим через п произвольное натуральное число, и пусть h = л/n. Далее, положим х. = чк, Р^=Р ^h\ г3 = т^к\ и пусть у^,, и y2v+1 (v = 0, 1,..., п— 1), компоненты векторов, которые будут определены ниже. Заменим производные функций ух (ж) и уг (х) разностными отношениями:
, , ,У1,- ~ S'l.v—1, , .?/2,vH — У'2,ч/ |О
У а Wд, у2 (х)
(> — 0, 1, . . п — 1).
Если у1 = у1(х, X) и у2 = у2(х, X) — решения системы (10. 6), удовлетворяющие начальным условиям
y1(0)=cosa,(12.2)
у2(0)=—sin а,(12.3)
то функции у1(х, X) и уДх, X), очевидно, удовлетворяют краевому условию (10.7). Поэтому для у2 0 из условия (12. 3) получим’
у2,0 = —sina.(12.4)
Положим
у._1 = cos а.(12.5)
Заменив в уравнениях системы (10.6) производные выражениями (12. 1), получим систему уравнений в конеч
ных разностях
(12.6)(12.6)-^У^А-У^-^А-Р^Ух,^^ у (У1,, —У1.,-1) + (х + г,)Уг,, = 0 .
(12.6)
(12.6)
(v = 0, 1, .. ., п — 1).
Из уравнений (12. 6) и начальных условий (12. 4)—(12. 5) можно определить последовательно у1 0, уг р .. ., ух я_1 и Уг i> Уг 2’ • • •’ Уг п- Как известно, при и—>■ со и ^к-^- х Ух^ и уг \ стремятся к решению задачи (10. 6) + (12. 4) + + (12. 5)’и притом равномерно в каждой области (О^ж^л; 0 | X | ^ 7? + ос). Присоединим к задаче (12. 6) + (12. 4) + + (12.5) краевое условие
У2,яСО8Р + У1,я-1 sin ,8 = 0, (12.7)
которое получается из краевого условия (10. 8). Полученная
6*
задача для уравнений в конечных разностях, очевидно, представляет собой алгебраическую задачу на собственные значения в 2п-мерном векторном пространстве. Из условий (12. 4), (12.5) и (12.7) следует, что*)
У1,-1 = —y2,0ctga,(12-8)
О2-9)
Подставляя эти значения в систему (12. 6), мы получаем систему однородных урайнений с 2/? неизвестными: г/, 0, У1,Р ■ ■ •’ У1,я-1> 1/2, Г У^,^ ■ • •> Уъ„Г
Лемма 12.1. Собственные значения задачи (12.4)— (12. 7) простые.
Доказательство. Пусть X — кратное собственное значение. Тогда ему должны соответствовать по крайней мере два различных собственных вектора**): у—(у10, У1,гУг,ии z = (z1|0, z1>p .’. .
. . ., Zj я_р z2 р z2 2, . . ., z, J. Можно считать, что yx „jT^O, Zj -^0, так как, если, например, уг _1 = 0, то согласно (12.8) у20 = 0, и поэтому из системы (12.6) получаем ух ,_j = у2,, = 0 для v — 0, 1, 2, . . ., п. Кроме того, так как система (12.6) однородна, то не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что y1_1 = z1_1. Но тогда из (12.8) получаем y20 = z20, и, значит, из системы (12.6) следует, что уТ> v^ = z,,’^, yM = z2i, (v = 0, 1, 2, . . ., n). Лемма доказана. ’’’
Скалярное произведение векторов у и z определим с помощью равенства
(У, 2)=2(г/1,А,, + 1/2,Л2л)л-(12.10)
у=0
Лемма 12.2. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Согласно (12.6) мы имеем, с одной стороны,
Z/2..+1 —Уз,.—P^Z/i,^XAZ/i,„ (12- 11) — У1, у + У1, у-1 — rjiy^ „ = khy^ „(12.12)
*) Если ctga=<», то следует положить [/2 о = О; если ctgP=oo, то полагаем У9,н = 0.’
**) Рассматриваемая’алгебраическая задача самосопряжена (см. Замечание на стр. 86).
с другой стороны,
22,v+l~ 22,у—М21,»=^21,„(12‘ 13)
—21,, + 21, ,-1 — гЛ22, V = ^Ч, г(12. 14)
Умножая уравнение (12. И) на zJv, а уравнение (12. 13) на у, , и вычитая получаем
чУг, >+i2i, чУ®, ч Ут, чЧ, »+i + У1, ?Ч, ч =
= 1Ц"к-Р-)У1,чЧ,ч-(12.15)
Далее, умножая уравнение (12.12) на z2 ,, а уравнение (12.14) на y2v и вычитая получаем
чУ1, м + 22, чУ1, м-1 + Уй, м21, мУ 2, м21, м-1 =
= Л(Х —[1)г/2^2м.(12.16)
Теперь, придавая в уравнениях (12.15) и (12.16) v значения v = 0, 1, 2, . .., п — 1 и суммируя полученные 2п уравнения, находим
(^ р) S ^ (У1, м21, м + У 2, М22, м) = 2 (21, 4У2, м+1
У1, чЧ, м+1 “Ь 22, мР1, м-1У2, м21, м-1)'(I2- 1^)
В силу (12. 10) равенство (12. 17) можно переписать в виде к—1
(х — р) (у, 2) = 2 (2i,4У2,v+i — У1,л,м+1) +
+ 2 (Ч,чУ1,ч-1 — У2,А,ч-1\(12.18)
Преобразуем правую часть последнего равенства: я—1
^2 (21; ^У^, м+1У1, 4Z2, м+1) = 21, П-1У2, п 22, «У1, я-1
я-2
2 (У1,м22, м+121, 4У2, м+1) — 21,п-1У2, я 22,яУ1,я-1
м—1
S (Ul, v-]22, V V*2, '/], м-1)*(12. 19)
Преобразуем теперь вторую сумму равенства (12.18)
Ч—1
(22^У1^-1^2, А,у-1) = 22,0^1,-1^2, 021, -1 "Ь
v=0
VS(Ws.(12.20)
В силу (12.19) и (12.20) равенство (12.18) принимает вид
(Х I1) (ZO 2) — 22,оУ1,-1Z/2,02l,-l “Ь 21,п-1У-1,п22,пУ1,п-Г
Теперь, используя условия (12. 8) и (12. 9), из последнего равенства получаем (X — pi) (у, z) = 0, что и доказывает лемму, так как Х^Ар.
Замечание. Пусть = | v =0, 1, . . п — 1, \v2, v /
произвольный 2и-мерный вектор, удовлетворяющий условиям (12.8)—(12.9). Определим оператор Ьь^у^ = ^ =
= I с помощью равенств:
V2, м /
^i, v = "д’ (У2, i+i Уг, J РчУх, i>
1
^2, V = д- (У1, 1У1, 1-1) “Ь ^Уъ, 1-
Пусть z^ другой 2и-мерный вектор, удовлетворяющий условиям (12.8)—(12.9).
Из предыдущих вычислений следует, что (^„ zJ = (Ун Lhz^,
т. е. оператор Lh самосопряжен.
Разумеется, в этом можно также убедиться, рассмотрев матрицу оператора Lh.
Лемма 12. 3. Собственные значения задачи (10.14) -)—[—(10. 17) действительны.
Доказательство предоставляем читателю.
Перейдем теперь к доказательству теоремы разложения. Здесь, как и в случае оператора Штурма —Лиувилля, сначала будет доказано равенство Парсеваля, из которого теорема разложения получается с помощью обычных приемов.
Обозначим собственные значения задачи (12.4)—(12.7) в порядке роста их модуля через Х^ (&=+!, + 2, . .. .. ., +п) и соответствующие собственные векторы через
У^ь^У^о0’ • • •’ Уь’Л' У^’ • • ■> УЫ)- Далее, обозначим через а| д квадрат нормы вектора ук у т. е. положим
< »= IIМР = <Ук, м Ук,ь) = 5 h {[у)^]2 + <-/)]2}.
’у=0
Векторы ytiib, у^, .. ., у^л образуют в 2п-мерном векторном пространстве ортогональный базис. Поэтому для произвольного вектора /=(Д>0, Д г, . . ., Д^; Д о, Д 1, . . ., Д я-1) имеет место равенство Парсеваля
^ = ^4^^ = ^-^и.у.лГУ (12.21) v=0к=—» k,h
Обозначим через yv(X)= I I решение системы (12.6), \Уа, удовлетворяющее начальным условиям (12. 4)—(12. 5).
(у-Дх, Х)\
Если h —» 0 и v/t -> х, то у^ (X) -> у (х, X) =. I равно-
\У2\Ж1
мерно в каждой конечной области Х-плоскости. Отсюда следует, что корни уравнения (12.7) стремятся к последовательным корням уравнения (10.8). Ограниченность числа собственных значений Хк h в каждом фиксированном интервале (—N, N) может быть доказана так же, как и в случае оператора Штурма—Лиувилля (см. замечание
/Д (ж)\
в § 5), если в качестве вектор-функции /(ж) = I I взять \Д Vе) /
функцию
/1,5(ж) = 0, Д,3(ж) =/1,5(ж) = 0, Д,3(ж) =
/1,5(ж) = 0, Д,3(ж) =
/1,5(ж) = 0, Д,3(ж) =
Покажем, что равенство Парсеваля для задачи(10.6) — (10.8) можно получить из равенства (12.21), полагая Л->0.
Пусть вектор-функция / (ж) (0 ^ х ^ к) имеет непрерывную первую производную и обращается тождественно в нуль в окрестностях точек ж = 0 и x — v.
*) Штрих означает, что пропущен член с 1; -- 0.
Положим ft (v/i) = /м, f2(yh) — f2<„ (v = 0, 1, . .., n— 1) и напишем для вектора / = {/3 0, /2> р . . ., /2 /2-0, А.р • ' •’ A,«-J равенство Парсеваля (12.21):’
v=0v=02 Ж- «ме=2 Ж- «ме=
v=0
v=0
2 Ж- «ме=
2 Ж- «ме=
I’m^I’m^14, d>*14, d>*Т J 2>
I’m^
I’m^
14, d>*
14, d>*
(12.22)
где N — произвольное положительное число. Оценим Iv С этой целью преобразуем коэффициент Фурье)
(/■ Укк = 2 А Vi,^ + кЖЖ) = у=0
(fc, А) _ Цс, A)"I
7с, h *4 v=07с, h *4 v=0——■ — рЖ. о +
7с, h *4 v=0
7с, h *4 v=0
L X М (_ 21122i2zL ,. „tk, к —
=Л ЖУ^Кп + У^к„-1 + №V2,o - У^ hk, -1) +117 (к h\ I '2,v+l/2,V,1 ,
+i42A<‘’{~ »|■(12.23)
Если h достаточно мало, то /2,0 = /2,„ = /i,M-i = 0- Положим еще /2 _2 — 0. Далее, пусть вектор g={g10, gl lt . . . • • •> ^.„-р ^2,о> ^.р • • •> §2,„-J определяется равенствами
^1,1(A, v+l /2, v) Pit 1, v’
ио частям определенного интеграла.ио частям определенного интеграла.^2,^ = — "^k.i — fl,1-1) + ГЛ,(v = 0, 1, . . ., П 1).
ио частям определенного интеграла.
ио частям определенного интеграла.
Тогда равенство (12.23) можно записать в виде
И—1■
(/•" У к, к) = Г” 2 h ^А ^1, V + У^/^г, J = А (^ У к, к\ м=()
Поэтому согласно неравенству Бесселя
Л"2 ^Л"2 ^A ^ № 2
Л"2 ^
Л"2 ^
Если Л -> О, тоЕсли Л -> О, то= №"11 S'IP-= №"11 S'IP-(12.24)(12.24)1И2=1И2=v=O/1, v — /],v=O/1, v — /],hh—pJi,-> +—pJi,-> +
Если Л -> О, то
Если Л -> О, то
= №"11 S'IP-
= №"11 S'IP-
(12.24)
(12.24)
1И2=
1И2=
v=O
/1, v — /],
v=O
/1, v — /],
h
h
—pJi,-> +
—pJi,-> +
h
S {[т-^^Афр^гФШ^ax. 0
Поэтому из неравенства (12. 24) вытекает, что существует такая постоянная величина Л )> О, что равномерно по Л—> О
У<А№.
Следовательно, из соотношений (12.22) получаем
Ук.нУУк.нУ(12.25)(12.25)п—1
Ук.нУ
Ук.нУ
(12.25)
(12.25)
2А^ь+/и- v=0
Так как при h -> О
^к^,АП^-\№-у12Мах,о
^=0
-* J {у? (ж- х J + у2 (ж- К^ ах = а2,
It Ук^=%Ь{?х,^+^^^^ у=0
- J (Л (*) Ух ^ XJ + /2 (*) У г (ж> Х J) dx> о
где Хк есть к-й нуль (в порядке роста модуля) уравнения (10. 8), и так как число корней Хк к в фиксированном интервале (—N, N) ограничено, равномерно по к, то, переходя в неравенстве (12.25) к пределу при h-»0, мы получаем
J Ui ^ + /2 (^)) dx — о
[/i W Ух ^, Х^ +f^ у^х, XJ] dx[/i W Ух ^, Х^ +f^ у^х, XJ] dx
[/i W Ух ^, Х^ +f^ у^х, XJ] dx
[/i W Ух ^, Х^ +f^ у^х, XJ] dx
Из этого неравенства при N —> со следует, что
5 {/i w+/2 м)= о
= 2 ^И lA^^i^’ WiW»2& xJld , (12.26) к——оо * [0)
т. е. равенство Парсеваля для функций, удовлетворяющих указанным выше условиям*). Распространение равенства Парсеваля на произвольные вектор-функции с интегрируемым квадратом осуществляется так же, как и в случае оператора Штурма — Лиувилля (см. § 5, п. 3).
(Uk^X
Обозначим через , , нормированные собственные \ук W
вектор-функции задачи (10. 6) + (10. 7) + (10. 8), т. е. положим
к
Тогда равенство Парсеваля (12. 26) примет вид
-ОО
\№Wmdx = 2 <^(12.26)
о
где ак — коэффициент Фурье вектор-функции / (ж) по нор- (ик
мированным собственным вектор-функциям I , т. е. \ икVх))
Ч = J (Л (А Ч (ж) + А (А Ч (я)} dx. о
Теорема 12.1 (теорема о разложении). Если для / А (ж)\
непрерывной вектор-функции /(ж) = I ряды
'^,VX) )
2 «дИ и 2 ЧЧ^
'k=—CDk=—CD
сходятся равномерно в интервале [0, тс], то они представляют функции f^Vx) и fz(x) соответственно, т. е.
ОООО
А(ж) = 2 «А(ж),/2(ж)= 2 akvk<xY (12.27)
k=—ооk=—со
Доказательство. Положим
^1 (^) = А м — 2 «а (ж),
л2 W = A W — 5 akyk^xYk=.— CD
В силу условий теоремы вектор-функция
непрерывна в [0, тс]. Далее, вычислим коэффициенты Фурье
функции Л (ж). Из (12.28) следует, что
ск = J (Ai (ж) ик ^ + А2 (ж) ик (ж)} dx = и
У^и^ — S «лМ^М^ + М^М*) —
я=—ОО
2 «Л М ик (ж)} dx = ( {Д (ж) ик (ж) + /2 (ж) ик (ж)} dx — ”=-со
ООк
2 «Д К № ^к ^ + и„ (ж) vk (ж)} dx = ак — ак = О
(/£ = 0, ±1, ±2, . ..).
Тогда в силу равенства Парсеваля
J Щ (ж) + Д2 (ж)} dx = O, о
т. о. /г(ж) = О. Поэтому равенства (12.27) следуют из равенств (12. 28).
§ 13. Доказательство теоремы разложения методом интегральных уравнений
В настоящем параграфе мы покажем, что, как и в случае оператора Штурма—Лиувилля, можно доказать полноту собственных вектор-функций системы Дирака на конечном интервале методом интегральных уравнений.
Будем искать решение системы
Уз — {>-+ Р (ж)} У1 = /т (ж),(13.1)
У1 + {'z- + r W) У2 = —/2 (ж)(13.2)
^ 0 — непрерывная вектор-функция , удов-
летворяющее краевым условиям
ут (a) sin а + У2 (а) cos а = 0,(13.3)
у, (6) sin р + Уг W cos р = 0.(13.4)
Пусть X—фиксированное комплексное число. Обозначим
/ ^ (ж, А)\
через у (ж, X) =решение системы (10.6),
-4^2 I3'’
удовлетворяющее начальным условиям
У! (a, X)=cosa, у2(а, X) = —sin а, (13.5)
/ ф1 (ж, Х)\
а через ф (ж, X) = , . ,. — решение той же системы,
удовлетворяющее начальным условиям
ф1(6, X) = cos 3,ф2(&,—sin р. (13.6)
Если у (ж, X) и ф (ж, X) линейно независимы, т. е. если ф (х, X) не есть собственная вектор-функция (если ср (ж, X) = = Сф (ж, X), то ср (ж, X) удовлетворяет краевым условиям (13.3)—(13.4) и является, следовательно, собственной вектор-функцией), то определитель Вронского
гг {ср, ср} .Т^О.
л)
Наоборот, если для некоторого X определитель Вронского равен нулю, то ср (ж, X) = Сф (ж, X) и, значит, у (ж, X) есть собственная вектор-функция. Таким образом, собственные значения задачи (10.6) —[— (13.3) —|— (13. 4) совпадают с нулями определителя Вронского, рассматривая последний как функцию от X.
Докажем, что определитель Вронского W (у, ф) от х не зависит. В самом деле, мы имеем
?2 — {^ + ^W} Ъ=0>
^-^ + ^(^^ = 0,(}
+ {х + г (ж)/ Ф2 = °- .
Умножая эти уравнения соответственно на ф1 (ж, X), —ф2(я, X), —уДя, X), у2(ж, X) и суммируя, мы получаем
у; (ж, х)ф1(ж, х) — у; (ж, х)ф2(ж, х)—
— ФДж, xjy^x, х) + фдж, х)у3(ж, х) = о, т. е.
"j^Vi^, X)42(z, X) —у2Д, Х)фД.г, Х))=-^ТУ{у, ф)=0,
что и доказывает наше утверждение. Значит, W (ср, ф) зависит только от X: W {ср, ф) = ш(Х).
рованную матрицу обозначим через мг, т. е. мг=(мр и2). Поэтому в силу правила умножения матриц имеем: если
/ М1 )
И = I , V =, то
UTV = U1v1 + и3У2, Положим
6(я, у; Х) =6(я, у; Х) =(13.8)(13.8)тдсуФ^ ^^(у.х)’ у<ж'-L.?^, Х)фГ(у, X), .т < у.
6(я, у; Х) =
6(я, у; Х) =
(13.8)
(13.8)
Покажем, что вектор-функция
у (^ X) = fУ1 <ж’ ^ = (G(^, у; ^f(y)dy (13.9) \У2(^ Х)/ а
есть решение системы (13.1)— (13.2), удовлетворяющее условиям (13.3)—(13.4).
Действительно, по определению, имеем
С(ж, у; Х) =
' 1/уД^х)<Ыу>х)Vi(^х) ^(у-х)\
_м(Х)ХУа^’Х)ф1(у>Х)^(^^^(У-ХНХУ
~ 1/^1 (у-х) ^i ^’^^У'х)Ф1(а:’xh
to^\Vi(y.Х)ф2(^х)?з(у.х)Фг(ж>х)/’УЖ
Поэтому
С(ж, у; \^f^ =
' J_hAx, Х)ф2(у, Х)/](у) + =р1(ж, Х)ф2(у, Х)/2(у)\
_ “(М ^2(ж, Х)фДу, Х)/1(у) + =р2(ж, Х)ф2(у, Х)/2(у)У ’ z У
— J^hAy'^^i^'^tMA-wAyA^i^A^t^X
w(x) \ъ(у> ^^(^ ^/Ау) + ?2(у- ^Фг^- ^fa^UH ’ У $
Следовательно, полагая
№ (у) = М1 (у) ^ (у) + м2 (у) у2 (у),
из (13. 9) получаем
У1 ^’ 7 = "^у |^1 ^’ х) [ [v7”/] (у) +
+ V1(., Х)$[»7](У)^,(13.10)
у2 7- х) = ттту {^ 7,7 [ [?7] (у) й +
+ ?27, 7 $ О(у)Ц-(i3.ii)
Теперь, дифференцируя равенство (13. 10) по х, мы получаем
У1 7- 7 = тгру {^ 7, 7 S ^7] (У) Й +
+?; 7. 7 5 [Ф71 (у) ay—vi (^, ^ (Ф1 <^ ^) /1 ^ +
+ ^ (^- 77 (7J + Ф1 (^, 7 [fi (^> 7/i (7 + ?2 (ж- х)7 (71| •
Подставляя значения функций у( (ж, X) и ф( (ж, X) из системы (13. 7), мы находим
у( (ж, X) =. —{X + г (ж)) -^^щ- |<р2 (ж, X) j [tpr/] (у) dy +
+ ?i(^ z) $ [Ф71(у)^у|—^ytvi^ 7Фг(^ 7 —
— <?2(^ 7<Pi(^ 7Ш7-(13.12)
Учитывая равенство (13.11) и тот факт, что
?1(^, Х)ф2(ж, X) —<р2(ж, Х)^, Х) = Ж{<р, ф} = <о (X),равенство (13. 12) можно переписать в видеу;(ж, х) = — (х + г (ж)} у2 (ж, х)—/2(ж),
т. е. выполняется уравнение (13. 2). Аналогично доказывается выполнимость уравнения (13. 1).
Непосредственно проверяется, , что вектор-функция у (ж, X) удовлетворяет краевым условиям (13.3)—(13.4).
Итак, доказана
Теорема 13. 1. Если X не есть собственное значение однородной краевой задачи (10. 6) -|- (13. 3) -|- (13. 4), то система (13.1)—(13.4) разрешима при любой функции / (ж) и решение дается формулой (13. 9). Напротив, если 1 есть собственное значение однородной краевой задачи, то система (13. 1)—(13. 4), вообще говоря, неразрешима.
Если X не есть собственное значение однородной краевой задачи, то система (13. 1)—(13. 4) имеет единственное решение. В самом деле, разность двух решений неоднородной задачи есть, очевидно, собственная вектор-функция однородной задачи, и в силу нашего предположения она тождественно равна нулю.
Мы можем предположить, что число X = 0 не является собственным значением. В противном случае выберем фиксированное число т[ и рассмотрим краевую задачу
Уз — ((X — ч) + Р (*)) У1 = о, ^ + {(X — ^1) + г W} У2=0> уг (a) sin а + У2 (а) cos а = 0, Pi (6) sin р + у2 (6) cos р = 0.
Собственные векторы у этой задачи те же, что и у задачи (10. 6) + (13. 3) + (13. 4). Все собственные значения сдвинутся вправо на тр Очевидно, что можно подобрать т] так, чтобы для новой задачи число нуль не являлось уже собственным значением.
Положим
G^x, у; 0) = С(ж, у).
Тогда, по доказанному, вектор-функция
у (а;) = J G (ж, у) / (у) <7г/(13.9')
а
есть решение системы
у'2 — р УУ Ух = Л М
у; + г(ж) у2= — /3(ж),
удовлетворяющее краевым условиям (13.3)—(13.4). Перепишем систему (13. 1) в виде
Уг — Р^ У1 = 11 M + ^Z/i,
—Уг — г ^ У г = /2 ^ + ^2> или
/1 0\
Если положитьЕсли положитьу = ЦНхН'< /=(о(13-13)
Если положить
Если положить
то система (13.13) примет вид
Ву = 1№ VmY
На основании предыдущего можно утверждать, что система (13. 1)---(13. 4) эквивалентна системе интегральных уравнений
у (ж) = j G (ж, у) [/ (i) + Ху (<)] at
или
у (х) — X j G (х, г) у (0 at = g У\
ъ
гдеg (х^= ^ G(,x, Су У) at.
77Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
7
7
В частности, однородная краевая задача (10.6)-|- -|- (13. 3) + (13. 4) эквивалентна интегральному уравнению
у (я) — К j G (ж, 0 у (t) 41 = 0.(13.14)
а
Обозначим через и0(ху г±1 (я)^„(х),••• сово
купность всех нормированных собственных вектор-функ- ций краевой задачи (10. 6) —|—(13. 3) —|—(13. 4) и через Хо, Хи, • • •’ ^ье •••—соответствующие собственные значения.
Рассмотрим ядро
Н\х, Е)= 2•(13.15)
Я=—СО
В силу асимптотических формул, полученных в § 11, ряд для Н (х, |) вне каждой окрестности диагонали х = ^ сходится равномерно. Далее, из ограниченности частных
2
sin пх
—-— следует ограниченность частных сумм п-1
ряда (13.15), и поэтому его можно почленно интегрировать.
Рассмотрим теперь ядро
Q^x, ^ = Н^х, ^-G(x, ^ = -G(x, Е) + 2 ^^Ж
Я =-00
Оно, легко видеть, непрерывно ) и удовлетворяет условию Q (х, Е) = QT (Е, ху Это условие обеспечивает самосопряженность интегрального оператора с ядром Q^x, Е). Поэтому всякую матрицу, удовлетворяющую этому условию, мы будем в последующем называть самосопряженным ядром.
По известной теореме теории интегральных уравнений всякое самосопряженное ядро Q (я, Е), не равное тождественно нулю, имеет по меньшей мере одну собственную функцию, т. е. существуют число Хо и функция и(ж)^0, удовлетворяющие уравнению
6
(13.16)(13.16)и (а-) + Хо j Q (х, Е) и (Е) dS = 0.
(13.16)
(13.16)
Таким образом, если мы покажем, что ядро Q (я, Е) не имеет собственных функций, то получим Q (х, Е) = 0, т. е.
G^x, Е) = 2 U' ^ ^ •(13.15')
Из уравнения (13.14) следует
G(x, ^vk^d^ = lvk(x\(13.17)
а
Вычислим теперь интеграл
6
aW)/
В силу определения матрицы Q (х, Е) имеем
q(x)=^H(x, l)vk®dt — \G(x, ^vk^)dl. (13.18)
С другой стороны, каждый член ряда (13. 15) имеет вид
1 .хх f (Е)(Х) У"2
х„ад^-хД^)^ ^M^JE)/
Поэтому, если мы обозначим
6
то в силу ортонормированности собственных вектор-функ- ций ия (я) получим
6
а
1 Г1
А2 ^=т j ^м И «и Ф + ии (х) и^ (Е)) ^=гии (я),
а
т. е.
h^=^v^x\
Тогда в силу (13.17) из (13.18) получим
q(^= ( Q(x, ^vk^& = ^uk^ — ^uk^=0, (13. 18)
т. е. ядро Q^x, Е) ортогонально ко всем собственным вектор-функциям краевой задачи (10. 6)(13. 3) + (13. 4).
/ иг (z)\
Пусть и(х)=. I есть решение интегрального
\ ^2 Vе) /
уравнения (13.16). Покажем, что и^х) ортогональна ко всем ип^х\ В самом деле, из уравнения (13.16) следует
V — \921 922//
6
“1М + хо $ {911 (^, ^) “1 ^ + 912 (^^ ^) М2 ^ ^ = °,
ь
и, (х) + Хо j {g21 (х, Е) Ut (Е) + 922 (^^ ^ и2 (^)) ^ = 0.
Умножая первое из этих уравнений на ия1 (х), а второе — на ия2(^) и затем интегрируя по х в пределах от а до Ъ и, наконец, суммируя, мы получим
6
j {«1 W У„1 W + М2 И У»2 ^ ^ + а
66
+ Хо $ '^ (В) j [gn (ж, В) УЯ1 (ж) + д]2 (ж, В) ия2 (ж)] dx + а
b
+ м2 (В) j [g21 (ж, В) УЯ1 (ж) + ?22(ж, В) ия2 (ж)]dx^ d^= 0
или, короче,
ъ
J uT^vn^dx-V
А
(13.19)(13.19)
(13.19)
(13.19)
Так как Q(x, ^ = QT(£, х), то в силу (13.18') 66
j QT (х, В) ип (я) dx = j Q (В, х) ия (х) dx = 0. аа
Поэтому из (13. 19) следует, что
6
.j ит (х) ия (я) dx = 0.
а
Тогда в силу определения матрицы Q (ж, В) мы заключаем, что
. ьь
и (я) + Хо j Q (х, В) и (В) dl = и (х) — Хо j G (х, В) и (В) dl = 0, аа
т. е. и, (ж) есть собственная вектор-функция краевой задачи (10. 6) -ф- (13. 3) Ц- (13. 4). А так как и(^ ортого-
нальна ко всем собственным вектор-функциям ип^х\ то и(х)=0 и, следовательно, Q^x, Е) = 0.
Теорема 13.2 (теорема о разложении). Если f(x) = (fi (^h
=имеет непрерывную первую производную и удо-
\Н \х)/
влетворяет краевым условиям (13.3)—(13.4), то f (х) разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным вектор-функциям краевой задачи (10. 6) + + (13.3)+ (13. 4)ю
f^= 2(13.20)
Л =—ОО
т. е.
(13. 20')
где
(13.21)
Доказательство. Положим
У^) — рШ1^=^1<Аfi ^ + г (х) /2 (ж) = — А2 (ж) .
Тогда в силу формулы (13. 9') имеем
aW)
или, используя выражение для G(x, ?) из (13.15'),
ОО6ОО
2 ^rj пт^рп^^= 2 “л^ я=—ооая=—со
ОО6ОО
№= 2 ^^тД к1<м^= 2 а^^-я=—coап=—оо
Далее, умножая первое равенство на ия1 (х), второе — на ия2 (я), а затем суммируя и интегрируя в пределах от а до Ь, в силу ортогональности и нормированности век- тор-функций и^х) мы получаем
an=\f (Х) Уп ^ dx-а
Теорема доказана.
/ Л (ж)\
Теорема 13.3. Для каждой функции /(#)=1 , , .1 \/2 Vе) / с интегрируемым квадратом в интервале [а, Ь] имеет место равенство Парсеваля
ъ
\^MWx= 2 4(13.22)
а”=-”
Доказательство. Если /(х) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, то равенство (13. 22) следует непосредственно из равномерной сходимости рядов (13.20z). В самом деле, умножая первый ряд на Д (х), второй — на /2(+ суммируя, а затем интегрируя в силу (13.21) получаем
ьь
\№^ + fi^dx= 2 an\fT^yn^dx= 2 а«’ ал=—со вл=—со
т. е. равенство (13. 22).
Распространение равенства Парсеваля на произвольные вектор-функции класса Ж1 (а, Ь) осуществляется с помощью обычных приемов (см. § 5).
Возвратимся к формуле (13. 9). Правая часть этой формулы называется резольвентой. Как было указано, резольвента существует для всех X, которые не являются собственными значениями краевой задачи (10.6)-1-(13. 3)-|- + (13.4).
Покажем теперь, как получить разложение в ряд Фурье для резольвенты, если известно разложение вектор-функ- Ции /(ж).
Вектор-функция у (х, л), определенная по формуле (13.9), удовлетворяет краевым условиям (13. 3)—(13. 4). Поэтому, интегрируя по частям, получаем
$ {[Уз Vх' х) — Р И У1 Vх' Х)1 У»1 to — 1Уг to х) +
+ r(x)y2(x, X)] vn2 (х)} dx = у2 (х, Х)^:^)!» —
6
— У1 Iх, Х) ^2 fc) la — J К1 (^) + Г (я) гя2 (Х^ у2 (х, X) dx +а.
+ ( ^пЛ^ — Pto^mto^Pito ^dx =
6
= к\иАхШх1 ^dx = K<iA4 (13.23)
Пусть
:у(х, Х)= 2 dAXtoAxY an=^f^vn^dx.
--л—со„
Тогда из системы (13. 1)—(13.2) и равенства (13. 23) следует
66
а» = j /г to ип (х) dx = [ {[у; (х, Х) — р (х) уг (х, X)] yfll (х) —
— [У^ (х- х) + г (я) у2 (х, X)] уя2 (х^ dx —
-"к\уЧх* х)^) = (х„-хШх)-
Отсюда-
-Следовательно, разложение резольвенты имеет вид .
.00
y^^^^zx^Ax^(13.24)
П=-00
т. е.
со
(13. 24')(13. 24')уЛ^ >0= 2 х^л^)’И=—ОО
(13. 24')
(13. 24')
ОО
У^х' х)= 2 Х^Л^М-«=-00
§ 14. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма—Лиувилля
Рассмотрим краевую задачу
VA-k^A-q^y^ y«^-hy^ = O, у'^А-Ну (л) = 0,
(0
х
(14.1)
(14.2)
(14.3)
где q (х) ^ С2 (0, л) и h, Н — действительные числа, не равные бесконечности. Обозначим через Хо, Хр Х2, ..., Хя, ... собственные значения этой задачи. Как было показано в § 2, для достаточно больших п имеет место асимптотическая формула (см. (2.13')):
V^+^+O^),(14.4)
где
с = А А + Я-н!^^)^ .(14.5)
о '
Из формулы (14. 4) следует, что
\ = »! + « + о(^).(14.4')
Поэтому
2 (Х„—га2 — с) <00.(14.6)
»-о
Ряд (14.6) называется регуляризованным следом для оператора Штурма:—Лиувилля, и цель настоящего параграфа— найти его сумму.
Обозначим через ср (я, X) решение уравнения (14. 1), удовлетворяющее начальным условиям
?(0, Х)=1, ср^О, \) = h.
Тогда собственные значения Хя являются корнями целой аналитической функции
ПоэтомугдеПоэтомугде?»(". Х)4-Яср(к, X).
Поэтому
где
Поэтому
где
(14.7)(14.7)будет1-Гбудет1-Гф; (к, х) + Яср(к, х) = лф(Х),
(14.7)
(14.7)
будет
1-Г
будет
1-Г
Мы изучим асимптотическое поведение обеих частей равенства (14.7) при больших отрицательных Х = —р. Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степеМы изучим асимптотическое поведение обеих частей равенства (14.7) при больших отрицательных Х = —р. Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степеи А — некоторая постоянная величина, которая определена позже ). Если Х^ = 0, то множитель заменяется на —X.
Мы изучим асимптотическое поведение обеих частей равенства (14.7) при больших отрицательных Х = —р. Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степе
Мы изучим асимптотическое поведение обеих частей равенства (14.7) при больших отрицательных Х = —р. Сравнивая затем коэффициенты при одинаковых степе
нях р слева и справа, мы получим, в частности, значение суммы (14. 6).
Положим)
ф(-|‘>=й(1+У=(*+Ух со /
х§-—^-i!^- = c1p, + riWsi^L, (14.8)
П 0+5 Р“
п-1 ''
гдегде(14.9)(14.9)
где
где
(14.9)
(14.9)
Изучим асимптотическое поведение функции ф (р.) при больших положительных р.. G этой целью рассмотрим In ф (Р-):
- ад=2 ш («- "^)=- 2 2 ф С^У= Я=1Я=1 А=1
к-1п-1
Дальнейшие оценки основаны на следующей лемме. Лемма 14.1. Если \пг — ^„|^а, то
(14.10)
деле,деле,В самом
деле,
деле,
2
” I»2— х» I* (P + "2)t
Лемма доказана.В силу оценки (14.10)Лемма доказана.В силу оценки (14.10)а* к”^ I1а* к”^ I1имеемимеемооК тК тdt </ тс(1 + #2)*2 'dt </ тс(1 + #2)*2 'ОкАОкАа*Р 2а*Р 2(14. И)(14. И)
Лемма доказана.
В силу оценки (14.10)
Лемма доказана.
В силу оценки (14.10)
а* к”^ I1
а* к”^ I1
имеем
имеем
о
о
К т
К т
dt </ тс
(1 + #2)*2 '
dt </ тс
(1 + #2)*2 '
ОкА
ОкА
а*
Р 2
а*
Р 2
(14. И)
(14. И)
Далее,
СООО. 'ОО
я=1к=1п=1
СООО
w=ln=l
ОО-IS^-"'-^^- <14Л2>л-1
Так как
sup | (Хя — n2 — с)n21< со,
то из оценки (14. 10) следует оценка
7 2(Х- - -с) "2 ^=°и- <14 лз> Я-1■
Поэтому в силу (14. 11), (14. 12) и (14. 13) мы получим
1п ф М = с 2 ^ +.1 2 (Хя - «2 - С) + о (^). (14.14)
Как известно,
^ + о(<г2^)-^ + о(<г2^)-тс ethic V(11 тс
^ + о(<г2^)-
^ + о(<г2^)-
F+n2— 27u~ 2f— 2^7
Тогда из (14.14) следует
1п Ф М = ^ + ^ (sx - хо + у с) + О (р-5/=),
где
(14. 15)(14. 15)Sx=5 (х„ —ге2 —с)-л=о
(14. 15)
(14. 15)
§ 14]
Следовательно,
= exp (^- +1 (s, — X,+1 с) + О (НО j =
=1+?^+г(8> -х-+ 4=+Т)+0 ^ <14' 16>
В силу (14.16) из (14.8) следует
Ф(—р.) —2. (у ^Vp-+4CTt +
Изучим теперь асимптотическое поведение функции ^(к> ^-VH^, X)
при больших отрицательных X = —р., пользуясь интегральным уравнением Лиувилля. Чтобы упростить вычисления, будем предполагать, что А = 0, а функция q^ такова, что
j q(х) d,x = O*Y о
Согласно формуле (2.4) имеем
ф (ж, —р.) = ch Vp-ж + -;= 1 q W sh (Vp- (ж — о) ? (с —Р-) ^- VU J
0
Используя оценку (2.7), получаем
?(л- —р.)=1е^. i + _^j ^ (z) sh (Vp- (л —О) х
х Ch^tdt + 0(2.) =4е^{1 +(14.18)
\ г /I \г /)
Далее,
?^ ^ — Р) = Vp sh Vp z+ J ch (Vp (* — O) 9 ^ ? ^, — p) dt. о
ПоэтомуПоэтому]-( sh {Vp (^ — $)} q (s) ch Vp s ds dt + 0]-( sh {Vp (^ — $)} q (s) ch Vp s ds dt + 0ch Vp t +ch Vp t +
Поэтому
Поэтому
]-( sh {Vp (^ — $)} q (s) ch Vp s ds dt + 0
]-( sh {Vp (^ — $)} q (s) ch Vp s ds dt + 0
ch Vp t +
ch Vp t +
If1/ 1 \ 1
= I e^K Vp [9 (0) + 9 Ml + 0 (A) .(14. 19)
( 14 vp.\ r /J
В силу (14. 18) и (14. 19) имеем
«^ — Р)+ #?(", —р) = у е^-рр + # +
+ ^ [9 (0) + д («)] + О (А)}.(14.20)
Из равенств (14.7), (14.17) и (14.20) следует ЛС1 = п:,
т. е. Л =т. е. Л =Поэтому из (14. 17) и (14.20) мы получим
т. е. Л =
т. е. Л =
Я + -^[9(0) + 9(")] + о(4-)=
4 vp.\ г /
т)+О-
Сравнивая коэффициенты приСравнивая коэффициенты при1^Р1^Ри учитывая (14. 5),и учитывая (14. 5),
Сравнивая коэффициенты при
Сравнивая коэффициенты при
1^Р
1^Р
и учитывая (14. 5),
и учитывая (14. 5),
мы получаем
1 г 1/ м Н Ht
5х = ^[9 (0) + 9(л)1—^2“
где sx определяется формулой (14. 15).
Вычисление следа для системы Дирака. Асимптотические формулы для собственных значений краевой
задачи (10.6)—(10.8), полученные в § И, позволяют вычислить след системы Дирака. Обычно следом оператора называют сумму его собственных значений. Если предположить, что функции р (х) и г (ж) из уравнения (10. 6) дифференцируемы, то формулы (11. 18) можно значительно уточнить, а именно можно выписать следующие члены разложения:
х =1+п+-^+-2|+оШ. (14-21)
Если предположить еще, что 8 = 0, т. е.
3 — « — у j (р (ж) + г (ж)} dx = 0,о
то из (14.21) следует сходимость ряда
^о+2(^+^.п=1
Поступая аналогично тому, как мы действовали при вычислении суммы (14. 15), можно доказать следующую формулу:
Ч + 2 ft, + Х-.) = ^S^ «оз 2. + '"V*1 «оз 2₽-
п=14
Самосопряженные дифференциальные операторы и-го порядка
Развитая в предыдущих параграфах теория допускает обобщение на дифференциальные операторы порядка выше второго. В настоящем параграфе дается краткий очерк основных понятий и теорем в этой области, доказательство которых читатель может найти в монографиях М. А. Най- марка[1] и Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона [1].
Линейные дифференциальные выражения и краевые условия. Линейным дифференциальным выражением называется выражение вида
функции р0(х), р^х), . . ., рп(х) называются коэффициентами, а число п — порядком дифференциального выражения..
Будем предполагать, что функции р-1 (ж), рг (х), . .. . . ., рп^ непрерывны в некотором фиксированном конечном интервале [а, 6]. Обозначим через С(и> совокупность функций, имеющих непрерывные производные до n-го порядка включительно в интервале [а, 6]. Для любой функции у ^ С^' определено дифференциальное выражение I (у), являющееся непрерывной функцией на отрезке [а, 6].
Обозначим через
Уа' Уа' ' ■ - У^! Уы У'ъ' ■ • •• уМ (15- 2)
значения функции у (х) и ее первых п — 1 производных в точках а и Ъ. Пусть U (у) означает линейную форму относительно переменных (15. 2), т. е.
U (у) = «оуа + а^; + . • • + %_гу^ +
+^6+^;+...+ря^^(15.3)
Если задано несколько таких форм U^ (у) (> = 1, 2, . . ., т), то равенства
U^y) = 0(>=1,2т) (15.4)
называются краевыми условиями.
Обозначим через D совокупность всех функций у ^ С(”', удовлетворяющих краевым условиям вида (15.4). Очевидно, что D есть линейное подпространство в С^', причем D может совпадать с Cw лишь тогда, когда условия (15. 4) вообще отсутствуют.
Пусть задано некоторое дифференциальное выражение I (у) и некоторое многообразие D, определенное условиями (15.4). Каждой функции y^D поставим в соответствие функцию и = Цу). Это соответствие есть линейный оператор с областью определения D. Обозначим его через L. Таким образом, если y^D и если и^Цу), то, по определению оператора L,
и = Ly.
Оператор L называется дифференциальным оператором, порожденным дифференциальным выражением Цу) и краевыми условиями (15. 4)..
Таким образом, и это весьма существенно, одно и то же дифференциальное выражение может порождать различные дифференциальные операторы в зависимости от выбора краевых условий.
Самосопряженное дифференциальное выражение. Пусть коэффициенты рк (ж) (/с=0, 1, .. ., п) дифференциального выражения (15. 1) имеют в интервале [а, Ь] непрерывные производные до п—/с-го порядка включительно.
Пусть у и z— две произвольные функции из С'”1. Интегрируя к раз по частям, получаем
J p^zy^dx = [p^Zy^1* - (ря_к2)' у^~2) + .. . а
6
H-l^pt/W)”^.(15.5)
Полагая здесь к = п, п—1, ..., О и суммируя полученные равенства, мы придем к формуле
66
j Цу)2 dx = P (т], Q + j У^ (z) dx, (15. 6) aa
где
l* (z) . (-1)” (/^Г + (-1№)M + ... +(15.7)
a P Ц, Q — некоторая билинейная форма относительно переменных
Ч = (Уа* Уа^Я-1); Уь' У'ъ’ уМ) и
' С = (z , z', . .z(”-1): z.. Zi, . .■
Дифференциальное выражение I* (z), определенное формулой (15. 7), называется сопряженным к дифференциально му
8 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
выражению Цу); формула (15.6) называется формулой Лагранжа.
Применяя предыдущие рассуждения к интегралу
j V (z) • у dx, мы придем к формуле вида а
j Г (z) • у dx = Q (т], () + j z • I (у) dx. аа
Следовательно, дифференциальное выражение Z (у) является сопряженным к выражению V Ц), т. е. (Z*(y))* = Z (у). Другими словами, дифференциальные выражения Z (у) и Z*(y) сопряжены друг к другу.
Дифференциальное выражение Z (у) называется самосопряженным, если Г(у) = Цу).
Теорема 15.1. Всякое самосопряженное дифференциальное выражение есть сумма дифференциальных выражений вида
к = WT; ^-1 (у) = | W*-UY + WT-^V
где р (ж) — функция, принимающая только действительные значения.
Теорема 15. 2. Всякое самосопряженное дифференциальное выражение с действительными коэффициентами обязательно четного порядка и имеет вид
I (у) = WT + W*-^ + • - • + W)' + рл.
где ра(х), рЦх), . .., рДя)— действительные функции.
Самосопряженный дифференциальный оператор. Пусть Uv Uy . . ., Um — линейно независимые формы переменных уа, у'аУ^”1’; У6, У», • •., У^; дополним их при т<^2п какими-нибудь формами Um+V . .., U1M до линейно независимой системы 2п форм. В силу линейной независимости этих форм переменные уа, у'а, .. ., у^”-1); уь, у'ь, . .., y!bn~v' можно выразить в виде линейных комбинаций форм Uv Uy ..., Uln. Подставим эти выражения в билинейную форму Р (tj, С) в формуле Лагранжа (15.6). Тогда Р (ц, С) станет линейнойоднородной формой от переменных Uv Uy .. ., Uw Коэффициенты при пе-
ременных Uv U2, . . ., U2n являются линейными однородными формами от переменных z0, г'а, . .., z^”-1); z6, z&, . .. ..z^”-1). Обозначим эти формы через И2я, P^-i’ • • ^1
соответственно. Тогда формула Лагранжа (15.6) перепишется в виде ь
\l(y)^dx = U1V2„ + U2V2„-1+... а
■■■ +^2^1+ 5 У^Ц^^Х.(15-8)
Легко показать, что формы Vv V2, ..., И2я линейно независимы.
Краевые условия
7] = 0, И2 = 0, ..., ^,„ = 0,(15.9)
а также всякие краевые условия, им эквивалентные, называются сопряженными к краевым условиям
U1 = 0, U2 = 0, Um = 0.(15.10)
Краевые условия называются самосопряженными, если они эквивалентны своим сопряженным условиям.
Дифференциальный оператор, порожденный выражением Г (у) и краевыми условиями (15.9), называется сопряженным к оператору L, порожденному выражением Цу) и краевыми условиями (15. 10). Оператор, сопряженный к L, обозначается через L*.
Из определения сопряженного оператора следует, что оператор L является сопряженным к L*, т. е. ф*)* = Ь.
Из формулы (15. 8) и краевых условий (15. 9) и (15. 10) следует, что для операторов L и L* имеет место равенство 66
j Ly • z dx = J у • L*z dx.(15. 11)
aa
Введем обозначение
b
(у, z) = J у (x) z (ж) dx.
a
Тогда равенство (15.И) примет вид
(Ly, z) = (y, L4\(15.12)
Оператор L называется самосопряженным, если L* = L.
Из определения оператора L* следует:
Оператор L самосопряженный тогда и только тогда, когда он порождается самосопряженным дифференциальным выражением и самосопряженными краевыми условиями.
Собственные значения и собственные функции самосопряженного оператора. Не нарушая общности дальнейших рассуждений, можно в качестве интервала [а, 6] взять интервал [0, 1]. Пусть самосопряженный оператор L порождается самосопряженным дифференциальным выражением
1у = (Яв ^ ywYw + fo ^ у'*-»)™ + ...
У. (15.13)
где уДх^— действительная функция класса Си~,> [0, 1], и самосопряженными краевыми условиями
2л
Uj (У) = Д (М,ту^ (0) + N-my^ (1)) = 0
(/ = 1, 2, . . ., 2га), которые мы будем кратко записывать одним уравнением: U^ = Q.
Рассмотрим задачу на собственные значения
ly=Ay, U^ = 0.(15.14)
Эта задача при любом X имеет тривиальное решение: У to = 0.
Если же X таково, что задача (15. 14) имеет нетривиальное решение, то это число X называется собственным значением оператора L (или задачи (15. 14)), а соответствующее решение — собственной функцией.
Справедлива следующая
Теорема 15. 3. Собственные значения задачи (15.14) действительны и образуют не более чем счетное множество, не имеющее предельных точек на конечном рас-
стоянии,. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны..
В самом деле, пусть ^^. = ^Дх, X) (/=1, 2, ..., 2га) решения уравнения ■
' 1у = \у,(15.15)
удовлетворяющие начальным условиям
?(»-i)(0, Х) = 8.„ <bm = \,2,...,2nY
Функции <Ру (ж, X) непрерывны но совокупности переменных (ж, X) для х е [0, 1] и всех X и при любом фиксированном х являются целыми аналитическими функциями от X.
Так как функции ^^ (х, X) образуют фундаментальную систему решений уравнения (15. 15), то задача (15. 14) имеем своим собственным значением число X в том и Только в том случае, когда существуют постоянные с., не равные все нулю и такие, что функция
2»
У (я, X) = 2 с .<?. (ж, X)/=1 3 3
удовлетворяет уравнениям £7д.(г/) = 0 (/с=1, 2, . . ., 2га), т. е. система уравнений
2».
Se/W = °(&=1, 2, 2га) (15.16)
/=1 3
имеет нетривиальное решение. А это имеет место в том и только в том случае, когда определитель системы (15.16)
iw=i^wC>1
равен нулю. Так как pCm~1) (О, X) и <pt.m-1) (1, X) являются целыми функциями X, то это же верно и для △ (X).
Функция А (X) может иметь только действительные корни (мы рассматриваем самосопряженную задачу) и поэтому не может тождественно равняться нулю. Нули функции A (X), которые, как мы видели, являются
собственными значениями задачи (15. 14), могут сгущаться только к бесконечности.
Возникает вопрос о том, существует ли хотя бы одна система самосопряженных краевых условий. Исчерпывающий ответ на этот вопрос получается не просто. Полное изложение этого вопроса дано в главе XI монографии Коддингтона и Левинсона [1]. Однако некоторые частные системы самосопряженных краевых условий указать совсем просто. Например, легко проверить, пользуясь тождеством (15. 8), что краевые условия
у (0) = у’ (0) = ... = у^ (0) = 0,(15. 17)
у (1) = у' (1) = . .. = у^ (1) = 0(15. 18)
самосопряжены (для оператора I вида (15. 13)).
В дальнейшем будут рассмотрены только условия вида (15. 17)—(15. 18). Следует отметить, что полученные в следующем параграфе результаты без существенных изменений переносятся на некоторые другие самосопряженные краевые условия (но не на все).
Выпишем в явном виде уравнение для определения собственных значений в случае краевых условий (15. 17)— (15. 18). Из (15.17) следует, что собственная функция записывается в виде 2„
у= 2 с^дх, XY
(15.19)выпол-(15.19)выпол-Поэтому из (15. 18) следует система уравнений 2„ 2 ^(i, ^) = о /=„4-1 3 3 (т = 0, 1, . .., п — 1).
(15.19)выпол-
(15.19)выпол-
Так как не все с у равны нулю, то (15.19) может няться в том и только в том случае, когда
?„+1(1. ^- ?2„(1. *)
(15.20)(15.20)лт_ Vw+it1» Х)>
(15.20)
(15.20)
?(-D(l, X), ..., ^(l, X)
Доказательство полноты системы собственных функций
для самосопряженного дифференциального оператора 2п-го порядка методом конечных разностей
Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи. В этом пункте мы рассмотрим конечно-разностный аналог краевой задачи (15.14) и выведем формулы, аналогичные рассмотренным в предыдущем параграфе, для дифференциальных операторов. Мы увидим, что для самосопряженных конечно-разностных операторов полнота системы собственных векторов тривиально следует из подсчета размерности соответствующего векторного пространства.
Основываясь на этом, мы докажем в следующем пункте с помощью предельного перехода полноту системы собственных функций оператора (15.13) при краевых условиях (15.17)—(15.18).
Разобьем интервал [0, 1] na*N равных частей точками vA (v = 0, 1, 2, ..., N—1), А-—А. Пусть /(ж) — непрерывная действительная функция, заданная на отрезке [0, 1]. Положим f^ — f(yh) (> = 0, 1, . .., N — 1). Числа /0, fv .. ., fN1 можно рассматривать как координаты TV-мерного вектора /.
Определим скалярное произведение
(/. §х=^ил(16.1)
'у=0
Далее введем в рассмотрение разностные, операторы
(v = 0, 1, ..., N — 1).
В определения (В_/)о и (В+У)^ входят величины f_T и f,p аргументы которых лежат вне интервала [0, 1] и поэтому их необходимо задать дополнительно (мы увидим, что эти величины, так же как и некоторые другие, могут быть определены из краевых условий).
В дальнейшем важную роль играют следующие формулы «дифференцирования» произведения и «интегрирования» по частям:.
8-(/л,)=АЛША/,. |в
8+ (А • ^)=А+А^ + М /'
(8-A £)л = —(A M+Z^v — /-1^0- | (V- ^-(h Ш + /^а-1-/о£-1. i (16‘3)
Рассмотрим теперь конечно-разностный оператор, порожденный дифференциальным выражением (15. 13):
1ьУ = 8" (9о8-У) + 8Т2 (918--1У) + • ■ • + ^-(16.4)
ZAy есть вектор с компонентами {ZAy}„ (v = 0, 1, 2, . .. . . ., ZV — 1). Эти величины, очевидно, содержат y_v у_г, ... • • •, У-я; Ую Ук+v ■ ■ ■’ Ук+ч-г которые непосредственно не заданы и, как мы увидим в дальнейшем, могут быть определены (по крайней мере частично) из краевых условий.
Из формул (16.3) легко следует, что конечно-разностное выражение (16.4) формально самосопряжено (относительно скалярного произведения (16.1))..
Применяя формулы (16.2) и (16.3), нетрудно вывести формулу
№ 2Х = кУ' ^X-VYy^ ^W — Yy, z]A(°)> (16-5) где [у, 2]a(v) — форма относительно величин
“у—1’ -УУ-1’’ — “у—1’ У—1’У-1’I
- ’-1’(16.6)
^-у„ Mly,, • • .1 ^-у:, 8Х м"-^, ... М '
Нетрудно видеть, что в форму [у, z]A(v) величины у 8_уz 8_z8”-1z , входят
<7у-1» ~Уу-1> * ’ — ^y-l’ У-1’У—1’VУ—1 . ,
множителями, а остальные разностные отношения для у^ и z, входят в более сложные выражения, причем коэффициенты этих выражений составляются из разностных
отношеций функций у0(х), 91 (ж)> ■ ■ ч QnW- Поэтому если мы в краевых условиях (15. 14) производные заменим разностными отношениями (16.6), не изменив при этом чисел М -т и Njm, то, вообще говоря, даже если диффе- рёнциальная задача была самосопряженной, мы не получим для разностной задачи самосопряженных краевых условий. Однако в случае простейших краевых условий (15. 17)—(15. 18) нетрудно написать самосопряженные краевые условия для конечно-разностной задачи. Эти условия имеют вид
у_1 = 8_у_1=...=§п-1у_1 = 0,(16.7)
Ук_1 = ^-УК-1= ■ •■ =^"1Уу-1 = °-(16-8)
В самом деле, как мы уже выше заметили, в правую часть формулы (16. 5) величины
У-р 8_у_р . . ., ^y.v, z_p S-z^8”-1z_p
Ук-v ^-Ук-V ^Ук-ъ zn-v *-zn-v ■ • •’ $- lzy-i
входят множителями. Поэтому если все эти величины равны нулю, то независимо от того, чему равны остальные величины, справедливо равенство
т. е. задачат. е. задача(У, 2Х = (У. WХу^у(У, 2Х = (У. WХу^у(16.9)(16.9)
т. е. задача
т. е. задача
(У, 2Х = (У. W
Ху^у
(У, 2Х = (У. W
Ху^у
(16.9)
(16.9)
при краевых условиях (16.7)—(16.8) самосопряжена.
Полнота системы собственных функций. Придавая v значения 0, 1, 2, .. ., N — 1, мы из (16.9) получаем систему линейных однородных уравнений, связывающих величины у^_я, у^_п+1у^ yv+1у^п. Из краевых условий (16. 7) следует, что
У-х = У-г= • • ■ = У-„ = 0.(16.10)
Поэтому из уравнений (16. 9) можно выразить yr, y,w . . . • • ч Уи^ через у0, угуя_Р Последние величины можно считать произвольными.
Обозначим через Ч3/, л (v, X) U= ^ 2, ..., 2п; v = 0, 1, 2, .. ., N—1) решения уравнения (16.9), удовлетворяющие начальным условиям
^у.^^(;, т = 1, 22п).(16.11)
В условия (16.11) входят значения 4.»,*(v> X) Для v = —1, —2, . . ., —2п. Поэтому, чтобы уравнение (16.9) имело смысл, необходимо продолжить коэффициенты дифференциального оператора (15.13) немного налево с сохранением дифференциального класса.
Известно, что если Л->0, vh-*x, то
Г1?,.^ Х)-^^, X).(16.12)
Обозначим через Хх Д^Х2 *^ ... ^Х^ & собственные значения задачи (16.’9) + (16. 7) -]- (16. 8). Собственные значения Xm h являются корнями уравнения (см. вывод уравнения (15. 20))
?я+1)А(^-1-х)^.a^-i, х)
Дд(Х)^^^(W-!,X)S.^JTV-l, X)=0<
X)ГМ*-*. X)
Из (16.12) следует, что
ПшДд(Х) = Д(Х),(16.13)
м
где Д(Х) определяется формулой (15.20).
Обозначим теперь через фт h^ собственный вектор задачи (16. 9) + (16. 7) + (16. 8), соответствующий собственному значению Xm> h. Так как векторы сру, А (v, X) образуют фундаментальную систему решений уравнения (16.9) и векторы фт A(v) удовлетворяют начальным условиям (16. 7), то
2Я
Фт,*М= 2 ГXJ, (16.14)
/=»+!
где rmji к — действительные постоянные.
Пусть /=(/0, fv .. ., fN^— произвольный TV-мерный вектор. Так как векторы фт>д(>) (> = 0, 1, . .., N — 1; т = 1, 2, .. ., N) образуют полную орто нормированную систему векторов в TV-мерном векторном пространстве, то справедливо равенство Парсеваля
(/, Ьк=^Ь(16.15)
Подставляя (16. 14) в (16. 15), равенство (16. 15) запишем в виде
002»
1|/||Х = $ 5 g^jkW^j.M (16.16)
—00 *’ ^“n+1 где
^М = (Л
а матрица рл (X) = {р^, д (Х)}<}=„+1 состоит из функций скачков, причем скачки находятся в собственных значениях задачи (16.9)—|—(16. 7)—|—(16.8). Величина скачка в точке X й определяется равенством
P.v, h (^р, Л Н- 6)p.-у, h (Х^ h 0) = 2 Гк<, кГ kJ,
и сумма берется по всем таким к, что \кк = \ h (так как спектр, вообще говоря, кратный, поэтому различные векторы ф4 h (v) могут соответствовать одному и тому же собственному значению X д).
Рассуждая теперь в точности так же, как и при доказательстве теоремы разложения по собственным функциям сингулярного дифференциального оператора (см. лемму 9. 1 гл. II; см. также § 5 гл. I и § 1 гл. II), можно показать, что приращения функций р^ h (X) в каждом конечном интервале (р, v) ограничены равномерно по h. Отсюда следует, что при ограниченном X h соответствующие ему числа rm. h также ограничены равномерно по h. Поэтому можно указать такую последовательность А,-» 0, что существуют пределы
limr«,*. = ^.-(A, i = 1, 2, .. .).(16.17)
#->ОО
Покажем, что существуют также пределы '.
НтХ д (Р=1> > •••)•
В самом деле, из (16. 13) и известной теоремы теории аналитических функций следует, что
•>irn \,л=Ч’(16.18)
Л->оо
где X h и \р — нули соответственно функций Дд(Х) и Д (X), упорядоченные в порядке роста их модулей. Заменяя в (16. 14) Л на Л, и полагая.-
s -> оо, >Л3 -> ж, в пределе получаем функции которые, как легко это проверить, являются ортонорми рованными собственными функциями задачи (15.16)—|— —|—(15. 17)—|—(15. 18). То что функции ф™^) являются решениями уравнения (15. 15) при Х = Хт, следует из того, что они являются линейными комбинациями функций фДя, XJ. Краевые условия (15.17)—(15.18), а также ортонормированность для фт (ж) получается, если в соответствующих соотношениях для фт A(v) перейти к пределу.’
\ 2dx I\ 2dx I(16. 19)(16. 19)Рассуждая теперь как и при доказательстве теоремы 5.1 гл.I, получаем из (16.15) равенство Парсеваля для произвольной функции / (ж) 6 $й [0, 1]:
\ 2
dx I
\ 2
dx I
(16. 19)
(16. 19)
Вычисление регуляризованного следа для оператора четвертого порядка
Цель настоящего параграфа — вычислить регуляризованный след оператора
Ly = yY4 + q(x)y = Xy (0<z<>),(17.1)
у (0) = у^ = 0, у"^ = у'Ч^ = О-(17.2)
Наши рассуждения носят общий характер, и мы рассматриваем оператор вида (17. 1)—(17.2) только ради простоты изложения. Аналогично вычисляются формулы следов для операторов, заданных более общими дифференциальными выражениями и произвольными краевыми условиями. Этим же способом можно вычислить формулы следов и для некоторых сингулярных задач.
Для вычисления следа оператора (17. 1)—(17. 2) достаточно предположить, что функция q (ж) один раз дифференцируема. Но мы докажем большее, чем формулу так называемого первого следа. Поэтому предположим, что q(^— достаточно гладкая функция. Предположим также, это не является ограничением общности, что
J q (х) dx = 0. о
Асимптотика решений при больших значениях X. Хорошо известно ), что если комплексную s плоскость ($4 = Х) разбить на восемь секторов: Sz (Z = 0, 1, . ..,7), определенных неравенствами
1т"81т"8arg $arg $(Z + 1)"8(Z + 1)"8(Z = 0, 1, . .., 7),(Z = 0, 1, . .., 7),
1т
"8
1т
"8
arg $
arg $
(Z + 1)"
8
(Z + 1)"
8
(Z = 0, 1, . .., 7),
(Z = 0, 1, . .., 7),
то во всяком из таких секторов уравнение (17.1) имеет четыре линейно независимых решения ук (х, s) (Zc=l,2, 3, 4), регулярных относительно s, лежащих в секторе S; при | $ | достаточно большем и удовлетворяющих соотношению
где тк — корень четвертой степени из единицы, a N — целое положительное число и зависит от гладкости функции q (ж). Если q (х) имеет т непрерывных производных, то можно утверждать существование представления (17. 3) с Дг = т-|-3. Для функций ич> к (ж) справедливы следующие рекуррентные соотношения:
(17-4)(17-4)4щ, к (ж) + 6o)|u"_1; t (ж) + 4о)^(12, t (ж) ++ ю^-з, к ^ + «ЧЧ (^ “(-з, к (ж) = °.
(17-4)
(17-4)
Положим, кроме того, и0> к (ж) = 1, ич> к (0) = 0 при v^l. Функции и, к (ж) определяются теперь однозначно. Так, из (17. 4), например, находим
(17.5)(17.5)“о, к ^ = 1 > “1, к (Ж) = °- Ы2, к М = °-из.к = ” 4^i 9^^’о
(17.5)
(17.5)
щ, к=^<А
Формулы (17.3) можно дифференцировать по х, причем
оказываются справедливыми следующие соотношения:
причем
(17-6)(17-6)Ч*?к М = 0, и\^к (я) = 0, и«к ^ = 0,
(17-6)
(17-6)
Uik (х) = g- q (ж), £Z^k(a:)= — -gq(x),u'i,'k(x)~ —^-q^X ■■• (i = 0, 1, 2, 3).
Целая функция /(s), нулями которой являются собственные значения оператора (17.1)—(17. 2). В настоящем пункте мы найдем асимптотическое представление
целой функции /($), нулями которой являются собственные значения оператора (17. 1)—(17. 2).
Введем следующие обозначения:
и. ^ = Щк = ук (0), и, (у J = U2k = у" (0), 1
и3(Ук) = и3к = ук^ илук) = и4к = у"М-Г ■ )
Пусть теперь ик (ж, $) — решения уравнения (17.1) . нормированные при ж = 0 условиями Коши
^-1>(0, $) = 8е ^(А, р = 1, 2, 3, 4).
Обозначим через pt (s) вектор: pt (s) = {ук (0,. s), у'к (0, s), у"(0, s), y'k (0, s)), где штрих означает дифференцирование по х. Пусть
V (х, s) = (u1(x, s), Р2(х, s), V.^x, s), l’4(x, s)).
Заметим, что в силу теоремы единственности ук (х, $) равен скалярному произведению векторов 6^ (s) и V (х, s), т. е._
УД®. s) = (V(x, s), ре($)).
Подставляя выражения (17.6) в Д ($) = det || Utj||(i, /=1,2, 3, 4) (см. равенства (17. 7)), мы без труда находим, что
Д(5) = /(5)8(5),
где 8 (s) — определитель Вронского решений ук (х, $) (£=1, 2, 3, 4).
Таким образом, мы получили представление для целой функции / (s), нулями которой являются собственные значения оператора (17.1)—(17.2) в виде
№) = ^-<17-8)
Представление (17.8) позволяет нам найти асимптотику /(s) при $-> со. На основании формул (17.3), (17.5) и (17. 6) заключаем, что
Д (s) = det || U( ^ || = det ||и., J| = s4 5 е^«Рк, N (s), (17.9)
где ак (£=1, 2, 3, 4)—корни четвертой степени из минус единицы, занумерованные в порядке возрастания их аргумента, ас, = 0. Функции Pk,n^ в каждом из секторов Si комплек:ной s-плоскости допускают представление
Формула (17.8) получается вычислением определителя четвертого порядка. При этом мы получаем, что, например,
№’ = 4, ₽р’ = 0, ^> = 0, ^> = 0,
Г = 9(0)+9(«),(17.9")
Аналогично вычисляются определитель Вронского решений ук(х, s):
8(»)=2^+о(^)-(17Л0)
где у0 — определитель Вандермонда чисел cot.
Заметим, что из формул (17. 6) следует, что первый отличный от нуля коэффициент у., (v^l) имеет индекс, больший четырех. Этим замечанием мы впоследствии воспользуемся.
Дзета-функция, ассоциированная с /(s). Отметим на комплексной плоскости точки Sp а2, .. ., а5 и их выпуклую оболочку обозначим через Р. В нашем случае Р — четырехугольник. Направление внешних нормалей к Р назовем критическими. Удалим из плоскости четыре сектора Тт (т = 1, 2, 3, 4) сколь угодно малого раствора с биссектрисами, параллельными критическим направлениям. Оставшуюся область обозначим Q, она в свою очередь распадается на четыре открытых сектора Qm (т = 1, 2, 3, 4).
Легко устанавливается следующее утверждение.
Лемма 17.1. При достаточно большом R в пересечении областей | s | 2> R и 2 отсутствуют нули функции f(s).
Доказательство. В самом деле, легко проверить, что Re as = (a, s), где справа стоит скалярное произведение векторов а и s. Пусть теперь $, для определенности, принадлежит 2Г Тогда геометрически ясно, что с некоторым 8 > О будет выполняться неравенство ReajS — Reat$>8|$|, &^1. Вследствие этого из формулы (17.9) сразу получаем / (z) = Ce^s (1 -]-о(1)). Аналогичные оценки справедливы в остальных секторах 2 . Лемма доказана.
Выберем теперь в одном секторе (для определенности 2J луч I и построим контур Гр состоящий из дважды проходимого луча I и окружности у с центром в нуле. В нашем случае 0 не есть собственное значение, поэтому /(0)=^0. Очевидно теперь, что луч I и окружность у можно выбрать так, чтобы все нули /($) оказались во внешности Гр
Замечая далее, что при хеГ, и s->co
введем в рассмотрение интеграл
(17.12)(17.12)
(17.12)
(17.12)
который в силу (17. И) сходится в полуплоскости Re а> 1. В формуле (17.12) s-” = e-aLn8, где Lns — фиксированная ветвь логарифма во внешности Гг Функцию (17. 12) назовем дзета-функцией, ассоциированной с функцией / (s).
Лемма 17.2. При Rea^>l
(17. 13)(17. 13)Zi (°) = 2 ^
(17. 13)
(17. 13)
(О
где s, — нули функции j (s).
Доказательство. Поскольку /($)— целая функция первого порядка, для f(s)lf(s) справедливо равномерно сходящееся в каждом конечном круге разложение
а.а.(17. 14)(17. 14)1
а.
а.
(17. 14)
(17. 14)
/(») ^JLS —5/
9 В. М. Левитан, И. С. Саргсян
Используя тот факт, что при | sz | > R нули функции / (s) лежат в секторах Тт, нетрудно получить оценку | s — sz | > >8|sz|(d>0) для всех I и s^Pr
Разобьем сумму в правой части (17. 14) на две: 2 = 5 + 2 , отнеся ко второй слагаемые, для которых (/) (/') (Z")
| st | > R. Легко видеть, что
(17.15)(17.15)
(17.15)
(17.15)
при достаточно большом R. Умножив (17. 14) на s-17, Re а >2, возьмем интегралы от обеих частей по контуру Гг Оценка (17.15) позволяет переставить местами интегрирование и суммирование. Далее, так как
г.г.
г.
г.
то мы приходим к формуле (17.13) при Re с >2. Замечая, однако, что обе части (17. 13) определены и регулярны в полуплоскости Re а > 1, мы делаем вывод о справедливости равенства (17.13) при Rea>l.
Лемма 17.3. Дзета-функция гг (а) аналитически продолжается в полуплоскость Re a > — N — 1 как регулярная функция. Если N в формуле (17. 3) можно выбирать любым, то 2Х (а) — целая функция.
Доказательство. Разобьем интеграл (17.12) на четыре интеграла
Здесь Г( — проходящий в противоположных направлениях луч Z, а v0 — некоторое натуральное число, меньшее N + 1. ‘
Легко видеть, что Z4 (а) и Z4(a)—целые функции а; Z2 (а) в силу (17. И) аналитически продолжается в полуплоскости Re а О — v0. Наконец, Z3 (а) равно нулю при Rea(>l и, следовательно, аналитически продолжается нулем на всю плоскость. Поскольку v0 любое, то лемма доказана.
Представление (17.16) позволяет находить значение z4 (а) в целых точках. Справедлива следующая
- Лемма 17.4. При п = 0, 1, 2, ...
(17.17)(17.17)Z1 (-7?) = <4,
(17.17)
(17.17)
где соМ— коэффициенты в разложении (17.11).
Для доказательства обратимся к формуле (17. 16). При а целом и неположительном Z4 (a) = 0, поскольку под знаком интеграла оказывается регулярная внутри у функция от s, далее, Z2(a) = 0 при целом а вследствие того, что однозначная функция от s интегрируется вдоль луча Z в двух противоположных направлениях. Учитывая еще, что Z3 (a) = 0, мы сведем вопрос к вычислению Z4(a). Это, очевидно, приведет нас к формуле (17.17). Лемма доказана.
Заметим, что числа а)(у легко находятся по асимптотике функции /(s). Учитывая формулы (17.9), (17.9'), (17. 9") и (17. 10), а также замечание после формулы (17. 10) мы, например, получаем, что
Ю(1) = _[д-(0) + д(к)]. (17.18)
Регуляризованные следы оператора (17.1)—(17.2). Предположим, для простоты записи дальнейшего, что q (х) — бесконечно дифференцируемая функция. Тогда известно, что для корней функции / (s) справедливо следующее асимптотическое представление):
5=геа<(1+^+^(17.19)
Здесь индекс г (i=l, 2, 3, 4) означает номер сектора Т,, в котором расположена данная серия корней. Возведя
обе части в степень —а, получаем
c2i , = c4ii = o.c2i , = c4ii = o.
c2i , = c4ii = o.
c2i , = c4ii = o.
Поскольку известная формула Тейлора для функции (1 + •/” справедлива и для комплексных ж и а, мы можем представить третий множитель последней формулы асимптотическим рядом н получить, что
S- ~ V ®/fc=0S- ~ V ®/fc=0(17.20)(17.20)
S- ~ V ®/
fc=0
S- ~ V ®/
fc=0
(17.20)
(17.20)
где
^>(а) = а- <?//) = 0, ^п(°) = 0, ... (17.20')
Фиксируем целое, достаточно большое число т. Из формулы (17.20) следует, что
(17.21)
допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Re а О — 2т — 1, так как общий член ряда (17.21) есть о( —
( ге2т+а+2
Индекс вверху у ф”’ (а) указывает на зависимость функции от выбора контура Гт.
Наша цель — отыскание чисел ^-ф’1’ (—4m) (m = l, 2, . . ., 2т<т-]-1), которые мы назовем регуляризованными суммами собственных значений оператора (17. 1)— (17.2)/
Введем в рассмотрение функцию
4
д27с+а 1
регулярную при Rea(>l. В соответствии с (17.21) мы
имеем
0=^ (а)-®”’(а).
Так как z4 (а) в случае бесконечной дифференцируемости q(x) целая функция, то вместе с ф*11 (а) функция Ф”’ (а) аналитически продолжается в полуплоскость Rea> —2т— 1. Заметим, что Ф*1’ (а) выражается через дзета-функцию Римана. В самом деле,
фофо1 у^кА-а1 у^кА-а
фо
фо
1 у^кА-а
1 у^кА-а
(17.22)(17.22)
(17.22)
(17.22)
k=0
^to) = S^to).
>=i
Поскольку значения дзета-функции в целых отрицательных точках известны, то формулы (17.22) позволяют найти значение Ф(п ('—4т), m=i, 2, . . .. Так, учитывая (17.20'), по формуле (17. 22) получаем, например (£(—4) = 0),
Ф"’ (-4) = Q„ (-4) С(—4) + Q, (-4)С (-2) +
+ <24(-4)((0) = 0.(17.23)
Вспоминая формулы (17.17) для ^ (■—п), мы приходим к теореме.
Теорема 17.1. При любом положительном т (2т < <( т -|- 1) справедливы равенства
=— Ф|п (—4т).
4?п+1 т \/
В частности, при т = 1, учитывая, что корни S , расположены симметрично по всем секторам Т t, а также формулы (17.20'), (17.18) и (17. 23), получаем, выбирая т, например, равным двум, что со
«=1«=14 2 [\- ^1 - ЧП - Ф'211 (-4) = -to (0) + q Ml-
«=1
«=1
Отсюда
П—1
Аналогично вычисляются другие регуляризованные суммы.
Указания к литературе
—2. Преобразование общего уравнения второго порядка к каноническому виду и асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций являются классическими и в основном принадлежат Лиувиллю.
Результаты этого параграфа классические и были получены Штурмом.
Существенные результаты данной теории были установлены Гамелем [1], Хауптом [1] и Титчмаршем [4]. См. также Гогей- зель [1].
Впервые метод конечных разностей для изучения краевых задач для уравнения второго порядка был применен Планшере- лем [1]—[2]. Он доказал, что собственные значения и собственные векторы конечно-разностной задачи сходятся к собственным значениям и собственным функциям дифференциальной задачи. Полнота системы собственных функций на этом пути не была им доказана. Это сделал Б. М. Левитан [18].
Результаты этого параграфа являются классическими. Систематически функцию Грина к изучению краевых задач начал применять Гильберт [1]. Отметим, что теоремы полноты и разложения для классической задачи Штурма—Лиувилля впервые доказал В. А. Стеклов [1].
См., например, Гогейзель [1].
Идея применения контурного интегрирования к доказательству теорем разложения восходит к Коши. Данный параграф написан на основе пункта 1.9 монографии Титчмарша [1].
Результаты этого параграфа в основном принадлежат Гобсону [1] и Хаару [1]—[2]. Другой подход к теоремам равносходимости, применимый также к сингулярным дифференциальным операторам второго порядка, разработал Б. М. Левитан [14]—[15].
Канонический вид (10. 4) системы двух уравнений первого порядка был предложен И. С. Саргсяном [7], а (10. 5) — М. Г. Гасымовым [1].
Результаты этого параграфа в основном принадлежат Гурвицу [1]. Применение операторов преобразования принадлежит авторам.
—13. Полнота системы собственных вектор-функций для системы двух уравнений первого порядка была доказана Гурвицем [1]. Биркгоф и Лангер [1] рассмотрели общие системы первого порядка. Метод конечных разностей к доказательству полноты применил И. С. Саргсян [7]. Применение метода интегральных уравнений принадлежит авторам и излагается здесь впервые.
Впервые регуляризованный след для классической задачи Штурма—Лиувилля вычислили И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [2]. См. также И. М. Гельфанд [1], Б. М. Левитан [20], Л. А. Дикий [1]. Для системы Дирака след вычислил Э. Абдука- дыров [1].
Результаты этого параграфа классические. При написании этого параграфа использованы монографии М. А. Наймарка [1] и Коддингтона и Левинсона [2].
Применение метода конечных разностей к доказательству полноты собственных функций самосопряженных дифференциальных операторов n-го порядка принадлежит Б. М. Левитану и излагается здесь впервые.
Формула первого следа для дифференциального оператора, заданного двухчленной операцией ly = yw + q (х)у с общими регулярными краевыми условиями, впервые была получена Р. Ф. Шевченко [1]. Затем В. А. Садовничим [1]—[2] были доказаны формулы следов для более общих случаев. Наконец, В. Б. Лидским и В. А. Садовничим [1]—[3] была предложена методика вычисления формул следов общих задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке.
ГЛАВА II
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОПЕРАТОРА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ В СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
Доказательство равенства Парсеваля на полупрямой
Задача Штурма—Лиувилля называется регулярной, если интервал [а, 6] конечен и функция д (х) на этом интервале суммируема. В противном случае, т. е. если либо интервал [а, 6] бесконечен, либо функция д (х) на интервале [а, 6] не суммируема (либо и то и другое), задача Штурма—Лиувилля называется сингулярной.
В параграфе 3 первой главы мы получили теорему разложения для регулярной задачи Штурма—Лиувилля с помощью предельного перехода, заменив дифференциальное уравнение уравнением в конечных разностях.
Аналогичная идея позволяет получить теорему разложения и для сингулярной задачи, если рассматривать ее как предел регулярных задач.
Мы начнем с рассмотрения того случая, когда интервалом является полуось [0, оо), а функция g(z) непрерывна в каждом конечном интервале 0 ^ х ^ Ь.
Итак, рассмотрим уравнение
У" + (X — q (ж)} у = 0 (0^ж<со). (1.1)
Обозначим через а произвольное действительное число, через у (х, X) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям
у (0, X)=sina, у' (О, X) =—cos а. (1-2) Очевидно, что функция у (х, X) удовлетворяет краевому условию
у (О, X) cos а -ф у1 (0, X)sina = 0. (1-3)
Обозначим через Ъ произвольное положительное число (в дальнейшем b будет неограниченно расти), через р —
произвольное действительное число и присоединим к задаче (1. 1) + (1.3) краевое условие
у (b, X) cos р + у' ф, X) sin р = 0.(1.4)
Задача (1. 1) + (1. 3) + (1. 4) — это регулярная задача Штурма—Лиувилля. Обозначим через Хя 6 собственные значения этой задачи и через уп> ь (х) = у\х, Хн^— соответствующие собственные функции, удовлетворяющие начальным условиям (1.2). Если / (ж) С ^ (0, 6) и
ь
Я2 = \ у2 (ж) dx,11, О J V ц, b \ /1
о
то в силу равенства Парсеваля
(/2(ж)&=2 "j— ( ^H^y^t^dxA .(1.5)
0и—1ь \о/
Если ввести монотонно возрастающую функцию скачков
р»м= 2(х>0)-
0<Хя 4<Х a”-b
то равенство (1.5) можно записать в виде
\p^dx=\F4"X)dpb(kY(1.6)
0—со
где
6
F (X) = j j (х) у (х, X) dx.о
Мы покажем, что равенство Парсеваля для задачи (1. 1) + (1. 3) получается из равенства (1.6) при Ъ-+ оо. С этой целью докажем лемму.
Лемма 1.1. Для любого положительного числа N существует такое постоянное положительное число А = A (N), не зависящее от Ь, что
—jv<x 6<лг ”>6—jv<x 6<лг ”>6=2^ = ?W-P(-N)<A. (1.7)
—jv<x 6<лг ”>6
—jv<x 6<лг ”>6
Доказательство. Рассмотрим сначала случай
sin а т^О. Так как в области ■—iV^X^TV (О^ж^а)
1 С11у 1 у (ж, X) dx \ > у sin2 а-1 С11у 1 у (ж, X) dx \ > у sin2 а-(1.8)(1.8)(а — произвольное фиксированное число) функция у (ж, X) непрерывна, то в силу условия у (0, X) = sin а существует столь малое положительное число h, что для | X | ^ N
1 С11
у 1 у (ж, X) dx \ > у sin2 а-
1 С11
у 1 у (ж, X) dx \ > у sin2 а-
(1.8)
(1.8)
х о
Если теперь к функции
Л ^ =Л ^ =10,10,х > h,х > h,применить равенство (1.6), то, используя оценку (1.8), мы получимприменить равенство (1.6), то, используя оценку (1.8), мы получим^ъ (X) =^ъ (X) =
Л ^ =
Л ^ =
1
0,
1
0,
х > h,
х > h,
применить равенство (1.6), то, используя оценку (1.8), мы получим
применить равенство (1.6), то, используя оценку (1.8), мы получим
^ъ (X) =
^ъ (X) =
= 1 sin2 а (р6 (Л^) — р6 (—/V))
откуда следует неравенство (1.7).
В том случае, когда sin а = 0, мы получим оценку (1. 7), применив равенство Парсеваля к функции
W = №W = №0, x^h.0, x^h.
W = №
W = №
0, x^h.
0, x^h.
Лемма доказана.
Покажем теперь, что, используя лемму 1. 1 и известные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса, можно получить равенство Парсеваля для задачи (1. 1) + (1. 3).
Пусть вначале функция /„(ж) обращается в нуль вне интервала 0 ^ ж ^ п, п<_Ь, имеет непрерывную вторую производную и удовлетворяет краевому условию (1.3). Применяя к 'этой функции равенство Парсеваля (1.6), мы получаем
\№dx = ] 7*Wp4(X), (1.9) О —со
где
Fn (х) = 5 Л ^ У & А) йх.О
Так как обе функции /„(ж) и у (ж, л) удовлетворяют краевому условию (1.3) и в окрестности точки Ъ функция fn(x) тождественно равна нулю, то из тождества Грина следует, что ь
Рп^ = — т\ i" ^ ^У"(ж’ х^ — у (ж) у Iх’ х))йх = о ь
= — т J у Сс х) {/," ^ — q ^ f,. ^ dx.
О
Поэтому для произвольного конечного N > О
{b'$ у ^,x) Vt; № — q № tn (41 ^{b'$ у ^,x) Vt; № — q № tn (41 ^2' dpb^<2' dpb^<|X|>7V
{b'
$ у ^,x) Vt; № — q № tn (41 ^
{b'
$ у ^,x) Vt; № — q № tn (41 ^
2
' dpb^<
2
' dpb^<
< -^2 J 15 у <x>x) [/»W — q (ж) tn U)] ^‘1 ^p» (x) =
—co ^ 0*
= ^2 S ^ ^ — Q ^ ^ ^ d X'
0
Из этой оценки и равенства (1.9) получаем
nN
\№dx~ ^„^d?»^
О— N
(1. 10)(1. 10)< PV2 5 V» ^ — 9 (*) Л W)2 dx-о
(1. 10)
(1. 10)
В силу леммы 1. 1 множество монотонных функций (р6 (X)) (—N ^ X ^ N) ограничено. Поэтому можно выбрать последовательность (6,J, для которой функции Pifc(X) сходятся к монотонной функции р (X).
Переходя в неравенстве (1. 10) к пределу по последовательности Ък, мы получаем неравенство
nN
\№dx- j ^(Х)йр(Х)
0—N
-^ J (/»W — 9 ^ in W dx--^ J (/»W — 9 ^ in W dx-оо
-^ J (/»W — 9 ^ in W dx-
-^ J (/»W — 9 ^ in W dx-
о
о
Наконец, полагая в последнем неравенстве 1V-* со, получаем
\№dx=
0—оо
е. равенство Парсеваля для функций, удовлетворяющих указанным выше условиям.
Пусть теперь / (ж) — произвольная функция с интегрируемым квадратом:
/(ж)С^2(0, со).
Как известно, можно указать последовательность функций {/„(ж)}, удовлетворяющих предыдущим условиям (т. е. равных нулю вне интервала [0, п], удовлетворяющих краевому условию (1.3) и имеющих непрерывную вторую
производную) и условию
lim ( {/(ж) — /я(ж))2(/ж = 0.
00 о
Так как
^UM-L^GFe^ (п,т->соуо
то
сосо
J <Fn М - Fm ^ dp (X) = J {/„ (.г) - /„ ^Y dx -> 0.
—co0
В силу полноты пространства функций с интегрируемым квадратом (относительно монотонной функции р (X) )) из последнего равенства следует существование предельной функции F (X), удовлетворяющей равенству Парсеваля:
J/2(^)& = J Р(Х)йр(Х).0—со
Остается показать, что при и^- оо функции
F„ СА) =\f^U (ж, А ^жо
сходятся в среднем к F (X).
Пусть g (ж) — другая функция с интегрируемым квадратом и G (X) построено по g^ так же, как F (X) по f (хУ Очевидно, что
СООО
j {/ ^ - g (х)}* dx = J ^ (X) - G (X)}2 dp (X).
0—co
Полагая теперь g(x^=.f(x^ (О^ж^п), g(^ = Q ^x^>nY мы получаем
j {F (X) - Fn OW dp (X) = J p ^ dx -> 0 (n -» co),
что и доказывает сходимость в среднем Fn^ к F ^к\ Итак, нами доказана
Теорема 1.1. Пусть / (ж) с УР (0, оо). Существуют не зависящая от функции f(x) монотонно возрастающая функция р (X) ) и функция F (X) (обобщенное преобразование Фурье функции f(x^ такие, что имеет место равенство
j р (ж) dx — j Р Q.^ dp (X).
О—со
Функция F (X) является тичном последовательностиФункция F (X) является тичном последовательностипределом в среднем квадра непрерывных функцийпределом в среднем квадра непрерывных функций
Функция F (X) является тичном последовательности
Функция F (X) является тичном последовательности
пределом в среднем квадра непрерывных функций
пределом в среднем квадра непрерывных функций
F« W=\f (ж) У ^' х) dx,о
т. е.
Нш J {^(Х) —^я(Х))2йр(Х) = 0).
2. Пусть /(ж), g(x) ^^(О, оо) и F (X), G(X)— их преобразования Фурье. Очевидно, что функции f (ж) + g (х^
ппимеют своими преобразованиями Фурье функции
п
п
F (X) + G (X). Поэтому сосо
5 {/ (*) + g W)2 dx = ^F (X) + G « dp (X),
О—co
coco
j {/ ^ - g (x)^ dx = j IF (X) - G (X)}* dp (X).
0—co
Вычитая из верхнего равенства нижнее, мы получаем
f кж^ g ^F) dx — j F (X) G (X) dp (X).(1.11)
0—co
Равенство (1. И) называется обобщенным равенством Парсеваля.
Теорема 1.2. (теорема разложения). Пусть f (ж) —■ непрерывная функция (0 ^ х ^ оо) и интеграл
J F^x, X)dp(X)
сходится абсолютно и равномерно по х в каждом конечном интервале. Тогда
f^= \F(K)y(x, X) йр (X).(1.12)
Доказательство. Пусть g(x) есть непрерывная функция, равная нулю вне конечного интервала [0, п]. В этом случае равенство (1. 11) запишется так:
\f^g (ж) ^ = J F (X) М g (ж) у (ж, X) ^ dp ^.
О—оо 1 0'
В последнем интеграле в силу абсолютной сходимости можно изменить порядок интегрирования, и мы получим j / (х) g (ж) dx = j g (х) j j F (X) у (ж, /.) do (X)! dx.
О0’ —co-
В силу произвольности непрерывной функции g (х), 00
а также непрерывности функций / (ж) и F(k)y(x, X)dp(X)
—00
(непрерывность последней функции следует из предполагаемой равномерной сходимости интеграла) мы получим
00
Цх)= J FQ^y^x, X)d?Q^—00
что и требовалось доказать.
Круг и точка Вейля для оператора
Штурма—Лиувилля
В этом параграфе мы по-прежнему рассматриваем интервал [0, оо) и функцию q (ж), непрерывную в каждом конечном интервале.
Пусть F (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
y"^^k-q^y = O(2.1)
и G^ удовлетворяет тому же уравнению с X1 вместо X. Если Ъ— фиксированное число, то в силу тождества (1. 4) гл. I
ь
(к1 — X) F (ж) G (ж) dx = о
ь
= j ^F (ж) fa (ж) G ^ — G" (ж)] — G^Vq^F^ — Л^)]} ^ =
ъ
= — J (F (ж) G" (ж) — G (ж) F" (ж)} dx = о
= 1EO(^G)-^{F, G). (2-2)
где обозначено
Если, в частности, X = и + in, X' = X = и — w, то в силу действительности q (ж) имеем G ^ = Г (х), и поэтому из (2. 2) следует, что
ъ
2г J IP^PtZ^ZH'JP, F^ — iW^F, FV (2.2') о
Обозначим через ф (ж) = ф (ж, X) п 0 (z) = 0 (z, X) решения уравнения (2.1) с начальными условиями (а — действительное число)
(2.3)(2.3)cp(O)=sina, ср' (0) =—cos а, 6 (0) = cos а, 9'(0)=sina.
(2.3)
(2.3)
Так как в уравнении (2. 1) член с первой производной равен нулю, то в силу известной формулы Лиувилля вронскиан постоянен и, следовательно,
W^ {ср, 9} = TVg {ср, 9} — sin'2 a + cos2 a = 1.
Поэтому общее решение уравнения (2. 1) можно представить (с точностью до постоянного множителя) в виде 6 (я) + ^ G4
Рассмотрим те решения, которые в точке х — Ь удовлетворяют условию
{9 (6) + /ср (6)} cos В -|- {9' (5) + 1^' (6)} sin р = О (2. 3')
с действительным р. Из этого условия определим I:
e(6)ctgp + e'(6)
у (6)ctgp + v' (6) •
Если Ъ фиксировано и ctg р принимает все значения от —оо до 4-оо, то I описывает в комплексной плоскости окружность Сь. Заменим ctg р на комплексную переменную z и положим
Z = Z (X,Z = Z (X,е (&) z + ez (1) ?(6)z + ?' (6) ’е (&) z + ez (1) ?(6)z + ?' (6) ’(2-4')(2-4')ТочкекругаТочкекругаZ = оо соответствует z =Z = оо соответствует z =— V^T" Поэтому центру— V^T" Поэтому центруСь соответствует точка 1 =Сь соответствует точка 1 =Ф' I1)Ф (^) "Ф' I1)Ф (^) "Подставляя 5Подставляя 5
Z = Z (X,
Z = Z (X,
е (&) z + ez (1) ?(6)z + ?' (6) ’
е (&) z + ez (1) ?(6)z + ?' (6) ’
(2-4')
(2-4')
Точке
круга
Точке
круга
Z = оо соответствует z =
Z = оо соответствует z =
— V^T" Поэтому центру
— V^T" Поэтому центру
Сь соответствует точка 1 =
Сь соответствует точка 1 =
Ф' I1)Ф (^) "
Ф' I1)Ф (^) "
Подставляя 5
Подставляя 5
10 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
в формулу для I, находим, что центр Сь находится в точке
Wb (0, ф)
ИТ (у, Ф)*
Далее,
I ?(6)J —2 Ч?(6)?(»))(V(6)[2 '
Так как W0{y, ср} = 0, то в силу (2.2') последнее выражение имеет тот же знак, что и и. Итак, нами доказана Лемма 2.1. Если и~>0, то верхней z-полу плоскости соответствует внешность круга Сь.
гр(6)лm
I ак как точка —?, ^ лежит на С6 (при z = 0), то для радиуса гь круга С6, мы получим выражение
6 I ?' (6) Wb (у, ф) || ИТ {у, ф) |
6
= I 2у j | ср (ж) р dx I . (2. 5)
Далее, в силу леммы 2. 1 Z находится внутри круга Сь, если lmz<0, т. е. если i (z—z)>0.
Разрешая (2. 4') относительно z и подставляя в неравенство i (z — z) ^> О, мы получаем
j _ г+т-е+б) £фт-П&) | п
I М6) М(6)2ф(6)+б(6) Г
откуда находим, что
И|/рИШ ?} + /^{ф, 5}+71^{9, Й + ЗД 0}] =
= 1^{е + /ф, § + Zcp}>o
Поэтому, полагая в тождестве (2. 2Z) F = 6 -+ /ср, мы получаем
ъ
2n J | 9 (ж) -+ /ср (а-) р dx С iW0 (6 + /ф, 5 + 7ф}. о
Так как Wo{^, 9} = 1, Wo (ср, ср) = О, HUQ, 9} = О, IVo (6, ф} = 1, то l-Tz0 {0 —|—/ср, вЦ-1^ = 1— l = 2i 1ml. Таким образом, I находится внутри Сь, если у )> 0 и
ь
$ l6M +W)l'2^<—^-.(2-6)
о
Тот же результат получается в случае у <2 О (пользуемся
неравенством Im z ^> 0). В обоих случаях знак Im I противоположен знаку у. Следовательно, если I находится внутри Съ и 0 <_ У <2 Ь, то
Im ZVIm ZV6'ъ
Im Z
V
Im Z
V
^ | 9 (ж) + /ср (ж) |2 dx <_ j | 9 (ж) + Zcp (ж) |2 dx <2 оо
Поэтому I лежит также и внутри С6-. Значит, если У <2 У то СЬ' содержит Сь. Отсюда следует, что при Ь-^ оо круги Сь сходятся либо к предельному кругу, либо к предельной точке. Пусть m = mQ^ — предельная точка или любая точка предельной окружности. Тогда для любого b
|9(ж) -|- mcp(.r)|2tZx|9(ж) -|- mcp(.r)|2tZxIm (m)VIm (m)V12."^12."^ь
|9(ж) -|- mcp(.r)|2tZx
|9(ж) -|- mcp(.r)|2tZx
Im (m)
V
Im (m)
V
12."^
12."^
Поэтому j | 9 (x) + m? (ж) |2 dx ImJm^ . о
Итак, имеет место следующая
Теорема 2.1. Для всех недействительных значений X существует решение уравнения (2. 1)
^ (ж, X) = 9 (ж, X) -|- m (X) ср (ж, X)
с интегрируемым квадратом на интервале [0, оо).
В случае предельного круга гь стремится к конечному пределу при 6-> оо. Поэтому из (2.5) следует, что у (ж, Х)с^2(0, оо), т. е. в этом случае каждое решение уравнения (2. 1) принадлежит jf2(0, оо).
Естественно возникает вопрос: зависит ли классификация предельного круга и предельной точки от выбранного частного значения Хо, или она зависит только от оператора— "^г+У (ж)? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 2.2. Если каждое решение уравнения (2. 1) для некоторого комплексного Хо принадлежит классу jf2(0, оо), то для произвольного комплексного X каждое решение уравнения (2. 1) принадлежит классу ^2(0, оо). Иначе говоря, если для некоторого недействительного Хо имеет место случай предельного круга, то этот случай имеет место и для произвольного недействительного X.
Доказательство. Пусть два линейно независимых решениясри <р уравнения —-^А-Ч^У^^вУ^ гДе ImXg^O, принадлежат классу jf2(0, оо). Пусть /— произвольное решение уравнения —-^- +5 (ж) у = Ху. Запишем это уравнение в виде
—^-Vq^y^^y-V^ — У у-
Умножая ср в случае необходимости на постоянную, чтобы иметь W (у, <р) = 1, и применяя формулу вариации постоянных, получаем
Z (*) = СД (^ + с2ф (а) +
+ (X — Хо) J (ср (ж) <р (<) — у (f) Ср (ж)} % (f) at, (2. 8) е
где с, ср с2— постоянные. Если использовать обозначение
и если М таково, что || ср (ж) Ц, ^ М, J <р (ж) Ц, ^ М для всех .т ^ с, то неравенство Коши—Буняковского дает
J I {V (*) Ф (0 — V ^ Ф ^ Z W I dt <
<м (l?k)l + kWDllzMIL-
Применяя это неравенство к формуле (2. 8), а затем применяя неравенство Минковского, получаем
k^lIXdcil + I^IJ^ + ^lx-koi^iix^t.
Если с настолько велико, что | X — Хо | Л/2 < 1/4, то
Их^ИХ^Ы + Ы)^-
Так как правая часть этого неравенства не зависит от ж, то Дж)с^2(0, оо), и теорема доказана.
Полезное достаточное условие того, чтобы для оператора L =—^- -|-q (ж) имел место случай предельной точки, доставляет следующая
Теорема 2.3. Если q^x)^—кжг, где к — некоторая положительная постоянная, то для L имеет место случай предельной точки.
Доказательство. Покажем, что уравнение —у" -ф- -ф- q (ж) у = 0 не имеет двух линейно независимых решений класса 5s2 (0, оо). Предположим, что ср (ж) — действительное решение уравнения Ly = O, и пусть $(.г)сМ(0. оо). Из равенства ^° = q^ получаем (с>0)
j УМЕ at^-Дж ?2 at > —k j ср2 ^ at.
Обс
Интегрируя по частям и используя то обстоятельство, что <р (ж) с jf2(0, оо), докажем существование постоянной^ такой, что
-X W?W+f MlMEdt-(2.9)
Пусть
н ^=yOBLdt.
Тогда, используя неравенство Коши—Буняковского, получаем
см УМ dt" l^WM^Mdt
c\c
k^ (ж) j cp2 (t) dt. (2. 10)
Таким образом, в силу (2. 10) из (2.9) следует, что существует постоянная к3 такая, что
£WW + я^) - V» (к) < к,.£WW + я^) - V» (к) < к,.(2.11)(2.11)
£WW + я^) - V» (к) < к,.
£WW + я^) - V» (к) < к,.
(2.11)
(2.11)
Если И {х}-^- оо при х-* оо, то из (2. 11) следует, что
для всех достаточно больших х. Это означает, что функции ср (ж) и ср' (ж) имеют одинаковый знак для больших х, а это противоречит тому, что ср(ж)с^?2(0, оо). Таким образом, Н (ж) остается конечной, так что
^-<11Ж^<оо.(2.12)
Предположим, что ср (ж) и ф (ж) — два линейно независимых решения уравнения Ly-О класса j?2(0, оо), т. е. предположим, что для L имеет место случай предельного круга. Можно предполагать, что эти решения действительны и что
W {ср, ф) = ср (ж) ф' (ж) — у' (ж) ф (ж) = 1.
Отсюда следует равенство
В силу неравенства (2. 12) и неравенства Коши—Буня- ковского левая часть этого равенства интегрируема на интервале (с, оо), а правая часть, очевидно, неинтегри- руема. Таким образом, случай предельного круга не может иметь места. Теорема доказана.
Для данного р функция Z = Z (X) есть аналитическая функция от X. Она даже мероморфна с полюсами на действительной оси. В самом деле, в силу (2.4) полюсы I (X) суть нули функции
ср (Z>, X) cos Р + у' (Z>, X) sin р.
Эти нули суть собственные значения уравнения (2. 1) в конечном интервале [0, 6] и, следовательно, простые.
Из рассуждений предыдущего пункта следует, что для данного X область Z-плоскости, покрытая кругом С6, убывает с возрастанием Ь. Поэтому семейство аналитических функций Z (X) = Z (X, Ъ, р) равномерно ограничено в каждой ограниченной области, лежащей целиком в верхней (нижней) Х-полуплоскости. В силу известной теоремы теории аналитических функций это семейство нормально, (т. е. из каждой бесконечной последовательности можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность) в каждой из упомянутых областей.
Если при некотором недействительном X имеет место случай предельной точки (в силу теоремы 2. 2 то же самое справедливо -для всех других недействительных X), то, как легко видеть, семейство функций Z(X) имеет единственный предел т(Х), который является аналитической функцией в силу известной теоремы Вейерштрасса.
В случае предельного круга семейство Z (X) имеет неединственный предел. Из нормальности семейства следует, что можно выделить неограниченно возрастающую последовательность чисел Ьк и последовательность чисел 8;. так, что предел
lim Z (X, bk, pj = т (X)
А'->со
существует в каждой из Х-полуплоскостей и является аналитической функцией. Числа т(Х), очевидно, лежат на предельных окружностях.
Положим
ф4 (ж, X) = 0 (ж) -ф- Zip (ж), Z = Z (X, ьу
Лемма 2.2. Для каждого недействительного X
б6 (х, X) —> ф (ж, X),
j | (х, X) |2 dx -> j | ф (ж, X) |2 dx (b-> со).
6о
Доказательство. Очевидно, что
Ф6 (ж» X) = <р (ж, X) + [Z (X) — т (X)] ср (ж, X),
где б (х, X) с ^2(0, °0)'
В случае предельного круга I (X) -> т (X), поэтому ф6(ж, Х)-»ф(ж, X) и в силу того, что <р (ж, Х)с^3(0, оо),
j I Ф* (^ А) Р ^ I Ф Ол ^) I2 ^ оо
В случае предельной точки
/ 6
1I (X) — т (X) | ^ rb = I 2v j | ср (ж, X) |2 dx I(и =^ 0).
X о/
Так как rb 0, то ф6 (ж, X) -> ф (ж, X), 6
$ |{Z(X)—тп(Х))ср(ж, X)\2dx = 0
6
= | Z(X) — m(X) |2 J | cp (z, X)|2^<
0
(b
4i>2 J | <p (ж, X) |2 dx о
Поэтому и в этом случае
J |Фб(ж- Х)|2(/ж-^ J|^(a:, Х)|2dx. оо
Интегральное представление резольвенты
Пусть /(ж)С^2(0, оо). Положим (X—недействительное число)
Ф(ж, Х) = ф(ж, Х)^ср(у, X)/(y)tZy +
0
+ ?(ж, X) J ф(у, X)/(y)tZy,
где <р (.г, X) и ф (ж, X) —функции, введенные в предыдущем
параграфе. Если / (ж) — непрерывная функция, то
Ф; (ж, X) = ф; (ж, X) J ср (у, X) / (у) dy +
+ ?'ЛЖ> X) J (и, ''Ш^Фл
Ф" (ж, X) = ф" (ж, X) ^ ср (у, X) / (у) dy + О
+ ?" (*, X) J Ф (у, X) / (у) dy + (ф' (ж, X) ср (ж, X) —
— ср'(ж, Х)ф(ж, X)} f (х) = {q (х) — Х)Ф(ж, Х^-Щх^ так как
ср (х, X) ф' (х, X) — ср' (х, X) ф (х, X) = Wx (ср, Ф) = И70 {ср, Ф) =
sin a cos а + т (X) sin а
— cos а sin а — m (X) cos а ’
Таким образом,
Ф"(ж, Х)+ (X — д(х^Ф(х, X) = f(x).
Кроме того,
ф(0, X) = cp(O, X) ^ф(у, X)f(y)dy,
О
Ф'(0, Х) = ср'(О, X) J ф^, X)f^dy,о
так что Ф (х, X) удовлетворяет краевому условию
Ф (О, X) cos а + Ф' (О, X) sin а = 0.
Пусть Хя j и сря 6 (ж) — собственные значения и собственные функции краевой задачи (1. 1) + (1. 3) + (1. 4). Пусть Z(X) и ф6 (х, X) имеют то же значение, что и в предыдущем
1а4 сингулярный оператор штурма—лиувилля [гл. п
параграфе. Положим
( № 2)? (z/. z), G, (ж, у; z) = ( ,. , , х
ИI ?(z, з)^Ду, г), у>х,
^г.У=\СДх, у; гИ^ау(z = u+iv).
Полагая
а»= $ vLM^-(зл)
О
получаем (см. гл. I, § 6)
оо %г>Ь И J / (у) W ^</
м^—Аг г >—=
С V to, М ] / № у to. Д ^
=^(Х),(3.2)
где функция рь (X) определена в § 1 настоящей главы.
Лемма 3. 1. Для каждого недействительного z и фиксированного х
I '-pto, к)I z-XI '-pto, к)I z-X|2 ^рь (X)|2 ^рь (X)<^.<^.(3. 3)(3. 3)
I '-pto, к)
I z-X
I '-pto, к)
I z-X
|2 ^рь (X)
|2 ^рь (X)
<^.
<^.
(3. 3)
(3. 3)
Доказательство. Полагая в первом из равенств (3. 2) /(г/) = сря Ду) и учитывая равенство (3.1), в силу ортогональности собственных функций ^Дх) получаем
— f G, (х, у; z) ф , (у) dy = —. .(3. 4)
Jкп.Ь)
О
Теперь, применяя равенство Парсеваля к функции Gb (х, у; z) (рассматривая последнюю как функцию от у)
и учитывая (3. 4), мы находим, что
6ОО20°
V ^n.hWГ | ср (я, X) ,.. .
|G6(z, у; ^йу = >-—р=dMkY
Утверждение леммы следует из последнего равенства, так как в силу леммы 2. 2 интеграл слева сходится.
Следствие I. Пусть функция р(X) имеет то же значение, что и в первом параграфе. Тогда
I |^Г"рРМ<^I |^Г"рРМ<^(3.5)(3.5)
I |^Г"рРМ<^
I |^Г"рРМ<^
(3.5)
(3.5)
с той же константой К, что и в неравенстве (3. 3).
В самом деле, для произвольного а > 0 из (3. 3) следует
Полагая сначалаСледствиех = 0, получаемПолагая сначалаСледствиех = 0, получаемЪ-* оо, а затем а-^ оо, получаем (3. 5).
Полагая сначала
Следствие
х = 0, получаем
Полагая сначала
Следствие
х = 0, получаем
II. Если sina^O, то, полагая в (3.5)
оо. Отсюда следует, что приоо. Отсюда следует, что приГ dp (X)
оо. Отсюда следует, что при
оо. Отсюда следует, что при
J |z-X|2^
любом a > О
Г ^Р (X) / С dp (X)...
Если sin a = 0, то, дифференцируя (3. 4), получаем
6,
— 1 G, (х, z) ф , (и) аи = —;,—..
О
Отсюда в силу равенства Парсеваля находим
f I д п z J2 , f I ?' (^, X) 12
У’ zHdlJ= • 7 ZL-- ^(Х)-
О- -со
Теперь, поступая аналогичным образом, нетрудно получить (3. 6) и в этом случае.
Лемма 3.2. Пусть / (г) С S’2 (О, оо) и
RJ=\g^, у; хМ^й> о где
,( 'т'^- 2)^ (у, z\ У^Х
Сг(х, у; = \ .. , .._
I V (ж, z) ф (у, z),у > х.
Тогда,
\\ПгПМх<1Др ^dx. оо
Доказательство. При каждом Ь^О из (3.2) в силу равенства Парсеваля следует (z = и + w)
6со( h^2
J I R,, tf\2dx = S a2 jT^ [ / (у) b (у) dy < n I 6 ГЧЦ О I J
0«=1-0'
co | 6126
< i 2 ^ !■ ^ '^ь ^ ^ = i S/2 ^dy- «=00.’0
Пусть a — фиксированное положительное число. Если а < 5, то.
$ I R„ d I2 dx < J | Rz> J |2 dx < A j f (y) dy. 000
aoo
Устремляя b к oo, мы получаем \ | RJ\2dx ^ i /2 (y) dy,
о0
и так как а произвольно, то лемма доказана.
Теорема 3.1 (интегральное представление резольвенты). Для каждой функции /(ж)С<5?2(0, оо) и каждого недействительного z справедливо равенство
(3.7)(3.7)
(3.7)
(3.7)
где
F (X) = 1 • i • m ( / (ж) <р (ж, X) dx.
■«->00 J
Доказательство. Допустим вначале, что функция
/ ^ = /„ (^
обращается в нуль вне конечного интервала [О, п], удовлетворяет краевому условию (1.3) и имеет непрерывную вторую производную.
Пусть Ъ > п и v — произвольное положительное число. Положим
J А, (*) ? (^ х)
о
Тогда равенство (3. 2) можно переписать в виде
Оценим теперь Iv В силу (3. 2)/1={уьдм>*,и= 2“ха-,»<-X j /„(у) ?).-, iAuW<30Vi,6<Ш.бС-'1 к Lo^Р6(Х) =(X) = /] + /2 + Z3.(3.8)мы имеем6 W2 /i xa& (z - 4, b)J al 1 z ~ Xfcj j J'2 j'^^b^dx1 .(3.9)Оценим теперь Iv В силу (3. 2)/1={уьдм>*,и= 2“ха-,»<-X j /„(у) ?).-, iAuW<30Vi,6<Ш.бС-'1 к Lo^Р6(Х) =(X) = /] + /2 + Z3.(3.8)мы имеем6 W2 /i xa& (z - 4, b)J al 1 z ~ Xfcj j J'2 j'^^b^dx1 .(3.9)
Оценим теперь Iv В силу (3. 2)
/1={уьдм>*,и= 2
“ха-,»<-
X j /„(у) ?).-, iAuW<3
0Vi,6<
Ш.бС-'1 к Lo
^Р6(Х) =
(X) = /] + /2 + Z3.(3.8)
мы имеем
6 W
2 /i x
a& (z - 4, b)
J al 1 z ~ Xfcj j J'2 j
'^^b^dx1 .(3.9)
Оценим теперь Iv В силу (3. 2)
/1={уьдм>*,и= 2
“ха-,»<-
X j /„(у) ?).-, iAuW<3
0Vi,6<
Ш.бС-'1 к Lo
^Р6(Х) =
(X) = /] + /2 + Z3.(3.8)
мы имеем
6 W
2 /i x
a& (z - 4, b)
J al 1 z ~ Xfcj j J'2 j
'^^b^dx1 .(3.9)
Далее, интегрируя два раза по частям, мы получаем
( А() Wk, ъ ^( /»СА ^к, ъ ^ —
Оо
— 9 ^ Wk, ъ АО)( {/» ^ — Ч (^/„(^О} Wk, ъ ^ dx-
О
(3.10) Так как в силу леммы 3. 1 первая сумма в правой части (3.9) сходится, то, учитывая равенство (3. 10), из (3. 9) мы находим
/«]2¥/з
A^^v 2 ^ JIA'(^)—?(^)/„(^)J?*,4^)^■
Поэтому в силу неравенства Бесселя
ii<^\V№~q^ux)w =v-хо’
гС
Гочно так же доказывается, что /3 ^ —. Из этих оценок следует, что 1г и 73 стремятся к нулю при v —»• 00 равномерно по 6. Поэтому можно воспользоваться обобщенной теоремой Хелли, и мы из равенства (3. 8) получим (см. для сравнения доказательство теоремы 1. 1)
дл= J ^.Х^Х^ m (з,Ц)
Если / (ж) — произвольная функция с интегрируемым квадратом на [0, оо), то, как известно, можно указать последовательность функций V»(x^ (И = А 2, . ..), удовлетворяющих предыдущим условиям и при и-^- оэ сходящихся к /(ж) в среднем квадратичном. В силу равен
ства Парсеваля последовательность преобразований Фурье Е (X) функций /я (ж) сходится также в среднем квадратичном (по мере р (X)) к преобразованию Фурье функции / (ж), которое мы обозначим через F (X). Поэтому в силу следствия I леммы 3.1 и леммы 3.2 можно в равенстве (3. 11) перейти к пределу при и-^со, и мы получим утверждение теоремы.
Замечание. С помощью аналогичных рассуждений можно получить формулу
J Н2 (/) g ^ & = J F^p dp (X),(3. 7')
О—оо
где
F Q.) — I • i • m ( / (ж) у (ж, X) dx,
И->ОО -
G ^ = I • i • m I g (ж) у (ж, X) dx. ">т о
Теорема 3.2. Пусть функция / (ж) удовлетворяет следующим условиям:
1°. /(ж)С^2(0, оо),
2°. (/" (ж) - q ^ / (ж)} С X2 (0, оо),
3°. / (0) cos а + /' (0) sin а — О,
4°. Пт1У{^(ж), ^(ж)}—0, где ЕДх‘‘) = (у (ж, Х)с?р(Х)
(МО).
Положим
gQ^HyWwWо
Тогда
f$=\^'LWk\(3.12)
причем последний интеграл сходится абсолютно.
Доказательство. Если /(ж) обращается в нуль вне конечного интервала, то, меняя порядок интегрирования, мы получаем
F (X) =/ (ж) » (т, X) dx.
■ о
Эта формула для g (X) остается в силе и в общем случае, ввиду сходимости преобразований Фурье в среднем. Поэтому формулу (3. 7) можно записать в виде
р 1 f fl^WC)
2 J z — X "
Последний интеграл в силу леммы 3. 1 сходится абсолютно. Пусть А (X) определяется по
е/=/"(^) — q^f^
так же, как ^(Х) по f (х\ В силу условия 4° и тождества Грина имеем
h (X) = j {/" (ж) — q (т) / (т) | E. (z) dx = о
COl' X1
= — j / (я) j p<p (x, p) dp (p) dx.
о'+o'
Если / (ж) обращается в нуль вне конечного интервала, то
л
А (X) = — j v-F (р) ^Р (р) = — j Hg (р).(3.13)
+0+0.
Эта формула остается в силе и в общем случае, ибо х
jp?(^, p)dp(p)Cjf2(0, со).
+0
В самом деле, 6 / X26
Ш W (я, р) d?b (и.) dx = U 2 -^ЧдИ*
О 1+0'0 и<хи,6<х ”)
г}'«.ь/ J V л«'6 С 9 7 / \
х 2 чг'^.б^)Ь ^И
ПI^п v
Отсюда (а < 6)
$ j Р<Р (я, р) d?b (р) dx < j р2ф6 (р). о но' +о
Полагая вначале 6-> оо, а затем а-> оо, получим наше утверждение. Теперь, дифференцируя (3.13), получаем dfo^ = -\dg(XY dg^ = -^B.(3.14)
Так как в силу условия 2° интеграл
г у (я, X) dh (X) J — X
сходится абсолютно, то благодаря (3. 14) абсолютно сходится и интеграл
J <р(ж, \^dgQ.\
Поэтому теорема следует непосредственно из теоремы 1. 2.
§ 4. Ортогональность разложения
Теорема 1. 1 устанавливает отображение пространства /(^)Cjf2(0, оо) в пространство F (X) с ^Ь^} (— °°> °°)' Важным дополнительным фактом является то, что это есть отображение jf2(0, оо) на jf2p(x)}(—оо, оо). Пространства jf2(0, оо) и ^{р(X)} (—оо, оо) являются гильбертовыми пространствами, и поэтому вышеуказанные факты можно суммарно выразить, сказав, что соответствие / -<-* F есть взаимно однозначное отображение пространства ^?2(0, оо) на пространство jf2P(X)} (—оо, оо), сохраняющее нормы, т. е. унитарное отображение.
И В. М. Левитан, И. С. Саргсян
Цель настоящего параграфа — доказать это утверждение.
Предварительно докажем несколько лемм.
Пусть ф(ж, К) и р (К) — те же функции, что и в § 3. Положим
х+д
Е^х, у^ j ®(х, р)<р(у, р)ф(р).
X
Лемма 4.1. Пусть Д = (X, К + Д) — конечный интервал, концы которого являются точками непрерывности функции р (К). При каждом фиксированном х функция Еь (х, у) как функция от у принадлежит классу Ж1 (0, оо).
Доказательство. В обозначениях предыдущего параграфа имеем
О \Х^ХЯ^^Х+ДJ
х ( 26 (у) 6 du=
Ь<ХЯ> 6^Х+ДJ
Х^П, 6^Х+Д
Если а<^Ь и х — z, то из последнего равенства следует неравенство
а (Х+ДV2Х+Д
( ( ?(*, ri? (у, ri^p»(ri 4'< ( ?2ri, ri ^(ri-
fl ' хJX
При фиксированном а и 6-»со мы получим, переходя к пределу под знаком интеграла,
аХ+Д
$М(я, y)dy< J +2 (^, Х)ф(Ч ох
и так как а произвольно, то лемма доказана.
Лемма 4.2. Пусть / (ж) с <5?2 (О, оо)
и
Тогда
Erf = j Е^ (х, y^f^dy. о
о
о
Доказательство. Пусть вначале = /я(а:) обращается в нуль вне конечного При Ъ 2> п мы имеем
Ь ( Я12
$ $ /«(у)^^ y)^y dx =
О *0'
Ъ ( п
функция / (ж) = интервала [0, п|.
о 'о
2^.ь^^к.ъкУ')
_X<Xfcii<).M
I2 dy\ dx =
Если а
а ( п
О 'о
Полагая
Теперь,
2 ч i M^-b^dy
Ь, то и подавно"Х+Д
L х
2
2 п
' < i /» (^) dx.
О
О
6-> оо при фиксированном а, мы получимШ ^ (я, у) /„ (у) dy I dx < J /2 (ж) dx.
о 'о
о
переходя к пределу при а -> оо, мы находим
о
5 /2 (ж) dx, о
т. е. утверждение леммы для функции /„(ж). Пусть / (ж) — произвольная функция с интегрируемым квадратом. Положим
[ / (ж), 0 ^ х ^ п, Ш = \ 0? х>п
Тогда при фиксированном а>0 из последнего неравенства следует
Ш Ед (т, у) /„ (у) dy dx < j /2 (ж) dx.
О ^0о
Полагая /г-* оо, мы получим
а (оо12оо
Н^Д^, у)/(у)</у dx^^P^dx, о 'о-о
откуда и следует утверждение леммы, полагая а-> оо.
Лемма 4.3. Пусть /(ж)с^2(0, оо) и
F (X) = 1 • i • m ^ / (ж)»(ж, X) dx.
о
Тогда
Ед] =^F (к)у(х, ^dp^F).(4.1)
Доказательство. Пусть /(ж) = /„(ж) обращается в нуль вне конечного интервала [0, и]. Положим
F„ (х) = S Л (у) ® (У. XWо
Умножая обе части этого равенства на ^х, X) и интегрируя по X на интервале Д = (X, X -|- Д) (по мере, определяемой функцией р (X)), получаем
$ /»(Z/) Ед (х, y)dy = ^ F„ (X) ? (х, *^ do (X).
оД
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть /я(у)=/(у) для О^у^п, /я(у) = 0 для у>п. Если п-> оо, то F (X) сходится в среднем к F (X). Поэтому в последнем равенстве справа можно перейти к пределу. Переход к пределу слева также возможен на основании предыдущей леммы, и мы получим (4. 1).
Лемма 4. 4. Пусть
Ед (ж) = ^ у (х, X) dp (X)д
н / (ж) С jf2 (0, оо). Тогда для почти всех X (по мере, определяемой на прямой функцией р (X))
F (к) = Итf (х) Ед (х) dx.д~>о Р (Qi Jо
Доказательство. Если sin а 7^=0, то интегрируемость квадрата функции Ей (ж) следует из леммы 4. 1 (полагая у = 0).
Пусть sin а = 0. Из ортогональности функций <ря Дж) следует’
f (дЕ. (я,р / с12
И—й—) d^ — j! j ^ (^ W ХЖ(Х)[ ^ =
00 uJ
= J 2^«.ъ^—Uy = j ^ (ж, X)dPi(X).
0 (Х^Хд^ j^X+ДJ А
Отсюда с помощью точно таких же рассуждений, как и при доказательстве леммы 4. 1, следует, что при каждом фиксированном х
дЕ, (х,
-^^С^(0, оо).
В частности, при х = 0 следует, что Ей (у) С Ж1 (0, оо). Полагая в формуле (4. 1) ж = 0), мы получаем следующее
равенстворавенство
равенство
равенство
j / (ж) Е^ (ж) dx = J F (к) dp (к).
о4
Деля последнее равенство на р (А) = р (к 4- А) — р (к), мы получаем
у^у J / ^ Е, (я) dx = ууду j F (к) dp (к).
1 о4
Наконец, полагая здесь А -> 0 и пользуясь известной теоремой Лебега о дифференцировании определенного интеграла, мы получаем утверждение нашей леммы.
Теорема 4.1. Пусть Цх'ус.й^О, оо) н А = (к, к -]- А) — конечный интервал, концы которого являются точками непрерывности р (к). Для каждого недействительного z
R,EJ= j G(x, у; z)оR,EJ= j G(x, у; z)оЕДу, t)/(<) dt\ dy =ЕДу, t)/(<) dt\ dy =ДД(4-2)(4-2)
R,EJ= j G(x, у; z)о
R,EJ= j G(x, у; z)о
ЕДу, t)/(<) dt\ dy =
ЕДу, t)/(<) dt\ dy =
Д
Д
(4-2)
(4-2)
где F (К)— преобразование Фурье функции Цх\
Доказательство. Рассмотрим вначале тот случай, когда функция / (z) =/я (z) обращается в нуль вне конечного интервала [О, га]. Прибегая снова к обозначениям § 3, мы получаем
\Gb(x, у; z) Щ„(П j®(y, к)ср(/, к)ф6(к) dt dy —\Gb(x, у; z) Щ„(П j®(y, к)ср(/, к)ф6(к) dt dy —оо•о•о_ ( ?(д. к) J х — X д_ ( ?(д. к) J х — X д$/„(0¥(£, к)^ </Рб(к).О$/„(0¥(£, к)^ </Рб(к).О
\Gb(x, у; z) Щ„(П j®(y, к)ср(/, к)ф6(к) dt dy —
\Gb(x, у; z) Щ„(П j®(y, к)ср(/, к)ф6(к) dt dy —
о
о
•о
•о
_ ( ?(д. к) J х — X д
_ ( ?(д. к) J х — X д
$/„(0¥(£, к)^ </Рб(к).
О
$/„(0¥(£, к)^ </Рб(к).
О
Сходимость к ■ пределу правой части последнего равенства очевидна. Рассмотрим левую часть. Пусть а > О — фиксированное число. Имеем
ъоъоGb(x, у; z') j/„(C j ? (у, к) ср (t, k) dpb (к) dt dy= ’Gb(x, у; z') j/„(C j ? (у, к) ср (t, k) dpb (к) dt dy= ’оодд
ъ
о
ъ
о
Gb(x, у; z') j/„(C j ? (у, к) ср (t, k) dpb (к) dt dy= ’
Gb(x, у; z') j/„(C j ? (у, к) ср (t, k) dpb (к) dt dy= ’
о
о
д
д
z)h”/„W j? (У, А?^, X)dp6(X) dt dy. (4.3)
дд•о
д
д
При 6-» co и фиксированном а первое слагаемое справа стремится к'
S^ оS^ одду; ^([/„(О $ у(у, Х)ф(/, X)dp(k) dt - dy
S^ о
S^ о
д
д
о
(см. лемму 2. 2).
Покажем, что второе слагаемое стремится к нулю при а-» оо, Ь^>а. Для этого воспользуемся неравенством Коши — Буняковского
442ДЧДУXW*+A *J .2ДЧДУXW*+A *J .{6 г”{6 г”а .^Х^^ д^Х+ДОа .^Х^^ д^Х+ДО^ \ fW ^.b^dt^ \ fW ^.b^dt2VA2VAJ f W dtJ f W dt
4
4
2ДЧДУ
XW*+A *J .
2ДЧДУ
XW*+A *J .
{6 г”
{6 г”
а .^Х^^ д^Х+ДО
а .^Х^^ д^Х+ДО
^ \ fW ^.b^dt
^ \ fW ^.b^dt
2VA
2VA
J f W dt
J f W dt
Покажем, что в силу леммы 2. 2 интегралъ
( 1^6 (ж, у; z)\2dy а
можно сделать меньше любого наперед заданного положительного числа.
В самом деле, обозначим через е произвольное положительное число и выберем вначале а настолько большим, что
Jit (у, z)|2dy<e.
Затем подберем Ъ настолько большим, что
Jit (у, z) I2 dy — j 11» (У, z) I2 dy <e, о0
$|М> z)|My— J 11 (У, z^dy < e, о0
что возможно в силу леммы 2. 2. Тогда мы получим
Поэтому в (4.3) можно перейти к пределу 6-» оо, и мы получим (4.2).
Рассмотрим теперь общий случай. Если функция /(ж) =/я(ж) для 0^ж<(га, равна нулю для х^п, то, по доказанному,
R2E,fn = Jd? (X),(4. 4)
гдегде
где
где
F„W = j /(*)?(*, ^dx.о
При и —> оо последовательность /^„(Х) сходится в сред- тем к F (X). Поэтому переход к пределу справа в формуле (4.4) очевиден. Возможность предельного перехода слева следует из лемм 4.2 и 3.2. Теорема доказана.
Замечание. Пусть g (ж) с Xй (0, оо). Помножим обе части равенства (4.2) на g^ и проинтегрируем по х в пределах от 0 до п. Мы получим
j R^f .g^dx=\ G"^W dp (X), ОД
где положено
G„ (x) = j £ и ? (ж> x)dx.0
Полагая n-»- co, мы получаем
J R^d .g^dx=\ ^^-dp (X),(4. 5)
ОД
где
G (X) = 1 . i. m i g (ж) ср (x, X) dx.”-m о
Пусть f (x\ g(x)c^2(0, оо). Умножая обе части равенства (4.1) на gl^ и интегрируя по а: в пределах °т 0 до п, мы получаем
я/СОj g Wj J E^ (x, y)f{y)dy0( 0я/СОj g Wj J E^ (x, y)f{y)dy0( 0dx= \Сй^Р^5р(^.dx= \Сй^Р^5р(^.
я/СО
j g Wj J E^ (x, y)f{y)dy
0( 0
я/СО
j g Wj J E^ (x, y)f{y)dy
0( 0
dx= \Сй^Р^5р(^.
dx= \Сй^Р^5р(^.
Полагая со, находим
ОО/ООX•
(?(^)Н^д(^ уМ^ду\Дх =
и I оj
= <ЕьЬ g^F^GW^Xy (4.6) д
Семейство операторов £д обладает следующими свойствами:
1? Самосопряженность, т. е.
(Яд/, g^U, E^gy
2? Монотонность, т. е. если Д' с Д, то
W, П«Е^, f).
3? Полнота, т. е.
ОО
(^(-СО, 00)/, g) = (Л g) = ^ / М g (Ж) 4х-
О
Свойство 1° следует из формулы (4. 6) и симметричности функции Е^ (х, уУ Свойство 2° также следует непосредственно из формулы (4. 6). Свойство 3° следует из той же формулы (4.6) и из равенства Парсеваля (1.11).
Докажем еще одно свойство операторов Е^, а именно: 4? Ортогональность, т. е. •
Е^Е^ = Е^^,
где Д' • Д — пересечение интервалов Д' и Д.
Положим Ех = Е^а,, Хг Тогда формулу (4.5) в силу (4. 6) можно записать в виде
JRZE^ -g^dx=\ d-^^-.(4. 7)
ОA
С другой стороны, в силу формулы (3. Ту полагая там E^f вместо / и учитывая предыдущую формулу, мы получим
7 D. , Г dx kE\EJ, g)
j R.Ed • g(x)dx =——у.(4. 8)
0—oo
Из формул (4. 7) и (4. 8) в силу теоремы единственности для преобразования Стилтьеса (см. гл. XIV, теорему 3. 2) следует
5Х • Ед = Е<-со, х^Ед = Е(_ет> Х)Д)
что и требовалось доказать).
Семейство операторов Е., обладающих свойствами 1°—4°, называется разложением единицы.
Лемма 4.5. Пусть
Ед (х, у) = j <р (ж, X) ? (у, X) dp (X).
А
Тогда
ОО
j Ед (х, г) Ед- (z, у) dz = о
= j ?(®, Х)<р(у, X) dp (X) = Ед . д- (ж, у).(4.9)
Д . Д'.
Доказательство следует непосредственно из ортогональности.
Лемма 4.6. Пусть
Ед (ж) = ^ у (ж, X) dp (X)д
и Ед (X) есть преобразование Фурье функции) Ед(х). Для почти всех X (по мере, определяемой на прямой функцией р (X)) Ед (X) = 1 для X с А и равно 0 для X с А.
Доказательство. Если sin а ^ О, то, полагая в формуле (4.9) х = у = 0, получаем
J Ед (z) Ед- (z) dz = j dp(\).(4.10)
0Д • Д'
Если sin а = О, то, положив в формуле (4.9) ж = у = 0, мы получим слева и справа нуль. В этом случае следует вначале продифференцировать равенство (4. 9) по х и по у, что возможно, ибо (см. доказательство леммы 4. 4)
? f дЕ^ (х, z) 12\ 1;( az < со,
J (ОХ)
о
и затем положить х = у — 0. Мы снова получим (4.10). Деля (4. 10) на р (Д'), полагая Д'- 0 и пользуясь леммой 4.4, мы получим утверждение настоящей леммы.
Лемма 4.7. Пусть G(x, у, z) имеет то же значение, что и в § 3. При каждых фиксированных х и z (z — недействительное число') преобразование Фурье функции G (х, у; z) есть
i^3Lz — X ’
Доказательство. Полагая в формуле (3. 7) / (у) = = Ед (у), в силу леммы 4. 6 мы получаем
ОО
\G(x, у; 2)Ед(у)дуЦ^Ам\). (4.11) од
Деля на р (А), получаем
ОО од
Полагая Д—>0 и пользуясь леммой 4.4, мы получаем утверждение леммы.
Перейдем к доказательству основной теоремы параграфа.
Теорема 4. 2. Пусть р (X) имеет то же самое значение, что и в теореме 1.1*). Какова бы ни была функция F (X) с интегрируемым квадратом на (—со, со) (относительно меры р (X)), существует функция / (х) из класса (0, со) такая, что к
/ (ж) = 1 • i • m ( F (X) о (х, X) dp (X)
и справедливо равенство Парсеваля
J F4^ dp (Х)^= J/2^)^.
—ооО
Доказательство. Предположим вначале, что FK (X) есть непрерывная функция, равная нулю вне конечного интервала (—N, N). Положим
N
gN^ = ^(Х)<р(ж, X)dp(X).
—N
Покажем, что
\g2N(x)dx<co.(4.12)
о
Пусть Хр Х2, . . ., Хя— произвольное разбиение интервала (—N, N) и В, С (X,-!, X,.). Положим
ях<
(№2^ j ?(*, X)dp(X), X0 = -IV.
Если max (X# — Xf_j) -* 0, то равномерно в каждом конечном интервале
g^^-* gN^(и—>со).
В силу леммы 4. 5 и равенства Парсеваля
”пXtN
J (4”) ^Чх = 2 F^ ( ap (X) -> ( Е2 (X) др (X). (4. 13)
0*-1 .x<-i-»
Пусть а)>0 — фиксированное число. Из (4.13) следует существование такого фиксированного положительного Числа К, что
\WWdx<K.(4.14)
Полагая п-»оэ, мы получаем
а
j g2N (х) dx < К,
О
и так как а произвольно, то отсюда следует (4. 12).
Теперь покажем, что преобразование Фурье функции ^(ж) почти всюду (по мере, определяемой функцией р (X)) совпадает с FK (X). В силу формулы (4. 10)
ОО
j g^ (х) Ex (ж) dx = 2 Fn (U $ dp (к).(4.15)
о* д • д,-
Пусть п-* со. Из неравенства (4. 14), а также из того, что F\ (ж) С (0, со), следует, что в равенстве (4.15) можно перейти к пределу, и мы получим
ОО
j gg^ Ex (х) dx = j Fn (X) dp (X).
од
Деля последнее равенство на р(Д) и полагая Д->0, мы получаем, пользуясь леммой 4. 4, что для почти всех X преобразование Фурье функции gN (х) совпадает с ^(Х). Поэтому в силу равенства Парсеваля (теорема 1.1)
ООУ
(4. 16)(4. 16)\g»dx= \F2N^dp(k\
(4. 16)
(4. 16)
О—N
Пусть теперь F (X) — произвольная функция класса ^р(Х)} (—°°, °0)- Можно подобрать последовательность непрерывных функций Fn^, равных нулю вне конечных интервалов (—N, N) и сходящихся к F (X) в среднем. Пусть
N
gA (ж) = j Fn (X) ? (ж, X) dp (X).
Из (4. 16) следует (N! > N)
соОО
j \gK- ^ — §N W}2 йх = 5 lF»' (х) — F* (Х)Г dP (Х)- О—оо
Поэтому функции gN (х) сходятся в среднем квадратичном к некоторой функции / (ж) и имеет место равенство Пар- севаля
j /2 (ж) da; = J F^ (X) dp (X).
О—оо
Остается показать, что при 7V-* со функции
1^ = S ^(х) ? (ж, X) dp (X)
—н
сходятся в среднем к /(ж).
Пусть Н (X)—другая функция из класса ^р(Х)}(—оо, оо) и А (ж) строится по Н (X) так же, как / (ж) по F (X). Очевидно, что
р(ж) —/г(ж))Мж = J {F(X) —Я(Х))Чр(Х).
Полагая Н (X) = F (X) при —N ^ X ^ N и Н (X) = 0 при | X | )> 7V, мы находим
со—Nоо
j {/ (ж) - fN (ж)}2 dж = р2 (X) dp (X) + j F2 (X) dp (X).
О—оо^
Теперь, полагая в последнем равенстве 7V-* со, мы устанавливаем, что функции fN(x) сходятся в среднем к / (ж), чем и завершается доказательство теоремы.
§ 5. Формулы для р (X) и m (я)
С помощью интегрального представления резольвенты, полученного в § 3 (см. теорему 3. 1), можно получить полезные формулы для функций р (X) и т (z). Формулу для р (X) можно положить в основу при определении
спектра оператора Штурма — Лиувилля (см. главу IV). Предварительно докажем несколько лемм.
Пусть ф (ж, X) — функция, рассмотренная во втором параграфе настоящей главы.
Лемма 5.1. Для любых фиксированных недействительных X и X'
limn7^^, X), ф (ж, Х,)) = 0.
Доказательство. Функция 0 (ж, X) + Z (X) у (ж, X) удовлетворяет краевому условию (2. 3). Поэтому
Ш6{0(а:, Х^ЦХ^^х, X), 0 (ж, X') + Z (X') ? (ж, X')} = 0.
Отсюда следует, что
^{ф^, X) + [Z(X)-m(X)]?(;r, X), Ф(Ж, Х') +
+ [Z (ХЭ — m (X')] <Р (ж, V)} = 0,
т. е.
Wb {ф (ж, X), ф (ж, X')} + [Z (X) — т (X)] Wb (о (х, X), ф (х, X')} + +т-то^м<н^ х)> ?(^ ^i+uw-^wix
X [/ (X') - т (X')] W6 {? (х, X), ? (X, X')} = 0. (5.1)
В силу тождества (2. 2) мы имеем
Wb^^ X), ф(ж, Х')) =
= (Х' — X) J у (ж, X) ф (ж, X') dx + Wo (у (ж, X), ф (ж, X')}. О'
Поэтому при 6-* со на основании теоремы 2. 1
Wb№ X),Wb№ X),{ьо{ьо|?(Ж, Х)|2^ +0(1).|?(Ж, Х)|2^ +0(1).
Wb№ X),
Wb№ X),
{ь
о
{ь
о
|?(Ж, Х)|2^ +0(1).
|?(Ж, Х)|2^ +0(1).
В случае предельной точки
2v j | <р (х, X) |а dx
о
так что
lim [Z (X) — т (X)] Wb {у (ж, X), ф (ж, X')} = 0. 6-*00■■
Это последнее равенство остается также в силе в случае предельного круга, если Z(X)-*m(X), так как в этом случае интеграл j | у (ж, X)|2tZa: остается ограниченным. Ана- о
логично оцениваются остальные слагаемые в (5. 1), и лемма доказана.
Лемма 5. 2. В обозначениях предыдущей леммы имеем ОО
J ф (ж, X) ф (ж, X') dx = т ^Tj^" ) .(5. 2)
о
Доказательство. В силу формулы (2. 2)
(Xz — X) j ф (ж, X) ф (ж, X') dx = Wo {ф (х, X), ф (х, Хф} — о
-^{ф^, X), ф(ж, X')}. (5.3)
Используя условия (2. 3), мы находим, что первый член справа равен
[cos а -ф- т (X) sin a] [sin а — т (Xz) cos а] —
— [cos а + m (X') sin а] [sin а — т (X) cos а] = т (X) — т (X').
С другой стороны, в силу предыдущей леммы второй член правой части равенства (5.3) стремится к нулю при Ъ-> оо. Поэтому (5.2) следует из (5.3), если в последнем перейти к пределу при Z)-* со.
В частности, при X' = Х (Х = и -ф- iv) из (5.2) следует ^|ф(ж, Х)|2(7ж= —(5.4) о
так что в (2. 7) на самом деле имеет место знак равенства.
12 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Лемма 5.3. При фиксированных ит и и2 и 8 -* О
«1
(5-5)(5-5)j —Im {т (и + i8)} du = 0(1). “1
(5-5)
(5-5)
Доказательство. Пусть sin а =4 0. В силу (4.7) (при ж = 0) и равенства Парсеваля
ОО00
j |ф(у, z)|2rfy= j -^^^ (z = u + iv\ (5.6) О—oo
Если sin а = 0, то следует предварительно доказать, что преобразованием Фурье функции ^-0(ж, у; z) является функция ^^’^ . Это обстоятельство легко установить, дифференцируя обе части равенства (4. И) по х, что возможно, ибо при фиксированных х и z ^G(x, у; z) с С^2(0, со). Полагая затем ж = 0, мы снова получаем формулу (5.6).
Из формул (5.4) и (5. 6) следует
-Im {m (и + Й)) = 8 j.
—00
Интегрируя последнее равенство по и в пределах от иг до и2, мы находим
U,«200
j — Im{m(n + i8))d« = 8 j du j ^^py2.
UxUx—00
Пусть (a, 5)— конечный интервал, причем a<_uv b^>u2. Тогда в силу (3.6)
8“(du [—0(1),
J J (u — kp 4- o2 V «!—00
«200
Далее, имеем
s f J С dp (X) С л Г 5 du
8 j du J (u — X)2 4- 82- J d? W J (u —X)2 + 82 — aaux
Ь8
-^PWj 7^72 = 0(1)- и лемма доказана.
Теорема 5.1. Пусть концы интервала А = (X, X -]- А) суть точки непрерывности функции р (X). Тогда р(Д) = р(Х + Д)-р(Х) =
=-^-lim ({—Im [m (u + io)]} du. (5.7) '* 8-*oo "
Доказательство. Пусть функции / (ж), g (ж) С С^2(0, оо) и обращаются в нуль вне конечного интервала. В силу формулы (3. 7')
ФМ = j R,bg^dx = j dp (X) = j где
a(A)= j/’(X)G(X)dp(X),*
A
F (X) = j / (ж) у (ж, X) dx, о
G (X) = j g (x) <p (x, X) dx.
о
По формуле обращения Стилтьеса (см. гл. XIV, теорему 3. 1)
а(Д) = ^Ит${—1т [Ф (и + i§)]} du.(5.8)
Далее, имеем
1m [Ф (и Д- i8)J = j g ^ dx • Im M [0 (х, и + i8) + о'о
+ та (и + го) <р (ж, и + г’З)] э (у, и + го) / (у) dy +
4 j ®(a:,u+ 18)[6(у,м-Н8) + т(н-Н'8)?(У>“-Н8)]/(у^
Функции « (ж, u), ф Uc, и), f(x) и g (x) действительны. Поэтому из предыдущего равенства, соотношения (5.8) и леммы 5. 3 следует
а (Д) = — lim ( {—Im [m (и + ^)]} F W G W du. (5. 9) Т д
Выбирая /(ж) и g^x) надлежащим образом, можно добиться того, чтобы/Ди) и G (и) отличались сколь угодно мало от единицы в фиксированном интервале Д (см. доказательство леммы 1. 1). Поэтому из (5.9) и леммы 5.3 следует формула (5. 7). Теорема доказана.
Теорема 5. 2. Для каждого недействительного г справедлива формула
ОО.
m(z) = — ctg а + j(5.10)
—ОО
Доказательство. Из формулы (3. 7) в силу произвольности функции /(ж) следует
G(x, у; z)= J ^3=512^21 д^ху (5. И) —ОО
С другой стороны, по определению,
у, z) —| [б^^ z) + m (z) <? (у, z)]<p(ar, z), у>х. Поэтому в силу условий (2. 3) из (5. И) следует
G(0,0; z) = [cos а-]-m (z) sin a] sin а = J ~2_ ° ^P (^)>
—oo
т. е.т. е.
т. е.
т. е.
со
/ \., Г do (X)
m (z) = — ctg а +
—ОО
что и требовалось доказать.
Заметим, что формула (5. 7) следует из (5.10) в силу формулы обращения Стилтьеса (см. гл. XIV, теорему 3. 1).
§ 6. Доказательство равенства Парсеваля в случае всей прямой
Рассмотрим уравнение
y"+{X-g(^))y = O,y"+{X-g(^))y = O,(6-1)(6-1)
y"+{X-g(^))y = O,
y"+{X-g(^))y = O,
(6-1)
(6-1)
предполагая теперь, однако, что ж изменяется в интервале (—со, со) и q(x)—непрерывная в каждом конечном интервале функция.
Обозначим через у (ж, X) решение уравнения (6. 1), удовлетворяющее начальным условиям
?(0, Х) = о, ?;(0, Х) = -1,(6.2)
а через 0 (ж, X) — решение того же уравнения при начальных условиях
0(0, Х) = 1, 0^(0, Х) = 0.(6.3)
Пусть [а, 6] — произвольный конечный интервал. Рассмотрим краевую задачу, определяемую уравнением (6. 1) и краевыми условиями
(6-4)(6-4)у (a) sin а + у' (а) cos а = 0, у (b) sin Р + у' (Ъ) cos р = 0,
(6-4)
(6-4)
где а и р — произвольные действительные числа.
Пусть Хр Х2, .. ., Хя, ... —собственные значения и У1^-> Уа^, • • •, Уп^\-.— соответствующиеортонормирован- ные собственные функции этой задачи. Так как <р (ж, X) и О (х, X) — линейно независимые решения уравнения (6. 1), то
y„^ = to^ х„) + т№ КУ
Пусть / (ж) имеет интегрируемый квадрат в интервале [а, 6]. Применяя к / (ж) равенство Парсеваля, получим
2
00
+ 2 5 ₽n+ J / (ж) ? (ж- хв) dx . j / (ж) 0 (ж, Х„) dx +
1 Ь.2
(6. 5)(6. 5)j / (ж) 0 (ж, Хя) dx >
(6. 5)
(6. 5)
Если теперь ввести функции скачков в собственных значениях краевой задачиW)= 5 Р2»О^ХВ<ХприХ>0,-2 ₽2п о^хп>х+,6(х)= РлвО$^хп<(ХприX > 0,—2 РВТ„ о^х„>хkbW= 5 т»0<Х„<Хприх >0,—2 Т» о^хп>хЕсли теперь ввести функции скачков в собственных значениях краевой задачиW)= 5 Р2»О^ХВ<ХприХ>0,-2 ₽2п о^хп>х+,6(х)= РлвО$^хп<(ХприX > 0,—2 РВТ„ о^х„>хkbW= 5 т»0<Х„<Хприх >0,—2 Т» о^хп>хсо скачками(6.1)+ (6.4) при X О, при X ^ О, при X ^ О,со скачками(6.1)+ (6.4) при X О, при X ^ О, при X ^ О,22то равенство (6. 5) можно записать в видето равенство (6. 5) можно записать в виде^,»М +^,»М +X) dxX) dx
Если теперь ввести функции скачков в собственных значениях краевой задачи
W)= 5 Р2»
О^ХВ<Х
при
Х>0,
-2 ₽2п о^хп>х
+,6(х)= Рлв
О$^хп<(Х
при
X > 0,
—2 РВТ„ о^х„>х
kbW= 5 т»
0<Х„<Х
при
х >0,
—2 Т» о^хп>х
Если теперь ввести функции скачков в собственных значениях краевой задачи
W)= 5 Р2»
О^ХВ<Х
при
Х>0,
-2 ₽2п о^хп>х
+,6(х)= Рлв
О$^хп<(Х
при
X > 0,
—2 РВТ„ о^х„>х
kbW= 5 т»
0<Х„<Х
при
х >0,
—2 Т» о^хп>х
со скачками
(6.1)+ (6.4) при X О, при X ^ О, при X ^ О,
со скачками
(6.1)+ (6.4) при X О, при X ^ О, при X ^ О,
2
2
то равенство (6. 5) можно записать в виде
то равенство (6. 5) можно записать в виде
^,»М +
^,»М +
X) dx
X) dx
Лемма 6.1. Для любого положительного числа N существует такое положительное число Л = Л (/V), не зависящее от а и Ь, что
У(р,7(Х))<Л + /=1, 2), (6.6)
где
Р11 W — ^«, ь W> Р12 W — ?21 W — Ча, Ь М»
?мМ = ^,ьМ-(6.7)
Доказательство. Чтобы доказать неравенство (6. 6), достаточно взять i = /, так как
+ P22(W)-P22(-W)}.(6.8)
Положим «р (ж, у) = фх (ж, X), 0 (ж, X) = ф2 (ж, X). Тогда в силу обозначений (6. 7) равенство (6. 5) примет вид
6оо g
j Л (я) dx = j 2 F, (X) F. (X) dVij (X),(6. 9)
где
6
F,w=\f (ж)^(ж> x)dx-
Далее, так как функции ф}*-1’ (ж, X) (i, &=1, 2) непрерывны по совокупности переменных (ж, X) и в силу начальных условий (6.2) и (6.3) ф^"1’(0, X) = 8.fc (8.fc=l, когда i = к, $ik = 0, когда i к'), то для любого положительного е < 1 и данного /V существует такое h ~> 0, что
(6. 10)(6. 10)| ф^ “(я, X) — 8,fc | < е
(6. 10)
(6. 10)
для О^ж^Л и |X|^/V.
Пусть gh (ж) — дважды непрерывно дифференцируемая неотрицательная функция на интервале [а, Ь], обращающаяся в нуль вместе со своей первой производной вне интервала [0, к) и нормированная так, что
л
(6. И)(6. И)к функциямк функциям$ gA(a:)da:=l.
(6. И)
(6. И)
к функциям
к функциям
о
Применяя равенство Парсеваля (6.9)
g^-1) (ж) (к = 1, 2), мы получаем
j I g^-D (я) р dx > ( 2 G« W Gj. W d?iJ (X), (6. 12)
где
Gn (x) = j ^P"11 (ж) ФД*» x) dx = + ^л (ж) ф^~п (ж, X) dx. оо
Отсюда, в силу оценок (6. 10) и соотношения (6. 11)> следует
1^(х)~8аК^ (i,2),
что вместе с (6. 12) дает
J I g^ ^ I2 dx > ( 2 (8.-fc — s) ^к — ^ d?u (X)
0—N {’ X-1
(£=1,2).(6.13)
Полагая в неравенстве (6.13) к=Л, мы получаем ^^^(e-ipfp^A)-?^
+ 2е (е - 1) {р12 (N) - р12 (-А)) + е2 {р22 W - р22 (-А)), откуда, в силу неравенства (6.8) и учитывая, что 0<е<1, следует
\ gX ^ dx > (2е2 - Зе + 1) (рп ^ - pn (-/V)} +
+ 2e(e-l)(p22(/V)-p22(-/V)}.(6.14)
Аналогичным образом, полагая теперь в (6.13) к = 2, а затем используя неравенство (6. 8), находим, что
J | g'h ^ |2 dx > (2е^ - Зе + 1) {р22 (А) - р22 (-А)) +
+ 2е(е-1){р11(А)-р1](-А)}.(6.15)
Теперь, суммируя неравенство (6. 14) и (6. 15), мы получим
А
j ^(^)^+ ( i^wn^
ОО
> (2* - 1 )2 <Рп (^) ~ РП (-N) + РМ W - ?и (-1^, что доказывает оценку (6.6) для рп (X) и р22 (X) и тем самым лемму..
Покажем теперь, что, используя лемму 6. 1 и известные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса, из равенства (6. 5) можно получить равенство Парсеваля для уравнения (6. 1), т. е. справедлива
Теорема 6.1. Пусть f(x)(Z^(—со, со). Существуют не зависящие от функции / (ж) монотонные, ограниченные в каждом конечном интервале функции £ (X), ((X) и функция с ограниченной в каждом конечном интервале вариацией т] (X) такие, что справедливо равенство Парсеваля .
J f^dx = J Р(Х)^(Х) +
—ОО—00
+ 2 j F (X) G (X) d-ц (X) + J G2(X)^(X),(6.16)
—00—00
где
F (X) = 1 • i • m \ f (x)^ (x, X) dx, • «->00 — n
G (X) = 1 • i • m j / (ж) 0 (x, C)dx.
Доказательство. Пусть вначале функция /„(ж) обращается в нуль вне интервала —п х ^ п, п<С <С min {| а |, | 5 |) *), имеет непрерывную вторую производ-
ную и удовлетворяет краевым условиям (6. 4). Применяя к этой функции равенство Парсеваля (6. 5), мы получаем
Так как обе функции /„(ж) и у&(ж) удовлетворяют краевым условиям (6. 4) и в окрестностях точек а и Ъ функция tn(x} тождественно равна нулю, то интегрируя два раза по частям, мы получаем
ъъ
(/„ ^ у к (ж) ^ = — г 1 ^ (ж> ^* ^ — ч ^ у к <ж)}dx =
аа
6
= — г $ V« (*) — У (ж) /„(*)) У к ^
а
Отсюда следует, что
' Ь12
2 (м^Ук^А <
<А 2 (IW — y(x)f„(x)]yk(x)dxр |XaI>p-.
12
=
= -^ S {/« (Ж) — У (Ж) /я (ж)}2 dx-
Из этой оценки и равенства (6. 17) получаем
\№<1х— 2\№<1х— 2<^ S kfn^ — y^fnW^-<^ S kfn^ — y^fnW^-(6. 18)(6. 18)
\№<1х— 2
\№<1х— 2
<^ S kfn^ — y^fnW^-
<^ S kfn^ — y^fnW^-
(6. 18)
(6. 18)
Далее, имеем
= 5 (/«fc) 1₽^ (*> Ч) + ъ° (ж> 4)1ах =
= $^«(>0^,iW + 2 ^(^„(Х^ДХИ
+ \GX^cl’;aibQY где
F„ W = J /л (*) ? (*. ^) ^ Gn (X) J /„ (я) О (z, X) ах.
Тогда неравенство (6. 18) можно переписать в виде
J Д (х) dx - ( [Ря (X) d^, ь (X) + 2Fn (X) G„ (X) dX b (X) + +^Ж,Да)1 <^ \<Ш-чкхМЛ<ах. (6.18')
В силу леммы 6.1 множество функций {£я ь (X)) и (Ся>6 (X)), —Н^Х^р, ограничено, а множество (т]я 6 (X)}, —р^ ^ X ^ р., ограничено и имеет равномерно ограниченную вариацию. Поэтому можно выбрать последовательности cfc и Ьк, для которых при ак-*—со, ^->4”°° функции ^, Ьк (X), т]ял, bkW и ^aki Ьк (X) сходятся соответственно к ^ (X), Ч(Х) и С(Х). Переходя в неравенстве (6.18') к пределу по последовательностям ак и Ьк, мы получаем
J Л (ж) dx - j ^„ (X) d^ (X) + 2Fn (X) G„ (X) d-ч (X) + —и-^
+ G=(X) d^ (X)}+ G=(X) d^ (X)}km-qkxMnWax.km-qkxMnWax.
+ G=(X) d^ (X)}
+ G=(X) d^ (X)}
km-qkxMnWax.
km-qkxMnWax.
Наконец, полагая в последнем неравенстве р-> со, получаем
/2СОоо
\ft^dx = j ^(Х)^(л)4-2 j F^G^d^Q.H
-П—00—00
00
+ J g2(X)<k(X),
—00
t. e. равенство (6. 16) для функций, удовлетворяющих указанным условиям.
Распространение равенства Парсеваля на произвольные функции класса jf2 (0, оо) осуществляется с помощью обычных приемов ).
Пусть / (ж), g(x) С. ^(—оо, оо) и функции FT (X) и G, (X) построены по функции g (х) так же, как F (X) и G (X) по / (ж). Очевидно, что функции / (ж) + g (х) имеют своими преобразованиями функции
F^HF^q и G(X)±G](X).
Поэтому 0000
+ 2 j w^^wwh
—00
со
+ J <GQ?y + G^Vdq4 '—00
0000
j Ш-б№= j ^(X)-^(x)}2de(X)4-
— 00—00
+ 2 j ^-F^^G^-G^^m
+ J ^-о^ацх).
Вычитая из верхнего равенства нижнее, мы получаем
J t^g^ax = j Fi^F^&m
4-2 $ {^(X)G1(X) + ^1(X)G(X))d71(X) +
+ j G(X)G2(X)^(X).(6.19)
Равенство (6. 19) называется обобщенным равенством Парсеваля.
Теорема 6.2 (теорема разложения). Пусть Цх)— непрерывная функция на всей оси —со ^ ж ^ 4-со и интегралы
j FQ.^^x, ^ац\), j Р^Цх, Х)^ (X),
(6. 20)
G(X)?(x, X) di; (X), С(Х)б(ж, X)dC(X)
сходятся абсолютно и равномерно по х в каждом конечном интервале. Тогда
t^= J р (X) ^ (х, X) d^ (X) + J Р^Цх, X)d7](X) +
4- J G(X^<x, Х^а-пСкН 5 G(H^(x, Х)(К(Х).
Доказательство. Пусть g^ есть непрерывная функция, равная нулю вне конечного интервала [—п, п], В этом случае обобщенное равенство Парсеваля (6. 19) запишется так:
j / (ж) g (ж) dx =
= J F (X) ■ j g (ж) <p (x, X) dx| dX (X) +
+ 5 ^W ^CW, ^dx ^(Х) +
+ j G (X) I j g (x) у (ж, X) dx ■ dq (X) 4-
В интегралах правой части последнего равенства в силу абсолютной сходимости интегралов (6. 20) можно изменить порядок интегрирования, и мы получим
J Hx)g(x)dx= ^g(x\ ( F(\^<x, Х)^(Х) +
-nI —00
+ j ^(х)е(ж, x)dii(x)+ .
+ J G^^^x, X)d7j(X)+ j С(Х)б(ж, X)dC(X) ЙЖ.
В силу произвольности непрерывной функции g(z), а также непрерывности функции / (ж) и интегралов (6. 20) (последние как функции от х непрерывны благодаря предполагаемой равномерной сходимости) утверждение теоремы следует из последнего равенства.
Интегральное представление резольвенты в случае всей прямой
Пусть функции p(z, X) и 0 (ж, X) имеют то же значение, что и в предыдущем параграфе. Очевидно, что W (<р, 9} = 1. Пусть концы интервала (X, Х + Д) суть точки непрерывности функций ЦХ), т;(Х) и С(Х), определенных также в предыдущем параграфе. Положим
"х+д
Еь. (ж, у) = $ {f (ж, X) <р (у, X) d; (X) + <р (ж, X) 9 (у, X) dij (X) +
X
+ f (у, X) 0 (ж, X) dT] (X) + 0 (ж, X) 0 (у, X) dC (X)}.
Лемма 7. 1. При каждом фиксированном х функция Е^х, у) С ^2(—оо, оо), т. е.
j El (х, y)dy<4-oo.
Доказательство. В обозначениях предыдущего параграфа, в силу ортогональности, имеем
J Г 2 {₽я? (^, хя) + тя° (ж- х«)} х
” 1х<х„^х+д
Х{,8яр(у, Хя) + Тя9(у, \^dy =
- 5 {Ы*- х„) + т№ х„)}2. х<х„^х+д
Если а-<_а1<^Ь1<^Ь, то из предыдущего равенства следует неравенство
**i А+Д
Ш [V (ж- х) ? (У- х) dV t (X) + Р (Ж, X) 9 (у, X) d^ ь (X) + «1 ' X
+ ?(у, Х)9(Ж, X)dVi(X) + 9(^, \)Цу, \)d^b(l)]ydy Х+Д
< $ {?2 (^, х) d^a, b (X) + 2? (х, X) 9 (х, X) d7]a> b (X) +
X
+ 92(Ж, X)dCa>i(X)}.
При фиксированных ар by и при а^>—оо, 6^--(-оо мы получим, переходя к пределу под знаком интеграла,
4,Х+Д
j Ei (ж, y)dy^_ J (ф2 (ж, X) d^ (X) 4- 2ф (ж, X) 9 (ж, X) d^ (X) Д-
+02(^, W)L
и так как а1 и bY произвольны, то лемма доказана.
Лемма 7.2. Пусть /(ж)С^2(—оо, оо). Положим
Eif = j ЕЦж, y)f(y)dy.
Тогда
ОО00
J {£J)2^< j HyW
Доказательство. Пусть вначале функция /(z’) = = tn (ж) обращается в нуль вне конечного интервала j—п, га]. Прибегая снова к обозначениям предыдущего параграфа и предполагая, что n<)min{|a|, |6|), a < О, 6 > 0, мы получаем
Ь п. "j 2
\ И Г 5У к (ж) У к (01 f„ W dt\ dж =
J J и<х„<х+дJ I
= 2^^„^Ук^^Ч < \f2„^dt.
>.<х^х+д
Если a <^a1<^b1 <^b, то из последнего неравенства следует
Ьх п ГХ+Д
+ ?(2:, О9^- О ^а, Ь (0 + ? (<- х)9(^. ^d^, t(X) +
+X)9(f, Х)^(Х))]л| £г<
Полагая а-*—оо, Ь-*-^оо при фиксированных аА и bv мы получаем
j | j Е^(х, f)/„(f)d^ dx^ j j^it^dt, (7. 1)
откуда в силу произвольности чисел а1 и Ь1 следует лемма для /„(ж).
Пусть теперь /(ж) — произвольная функция класса ^ (—оо, оо). Положим
о, | т | >
При фиксированных ах и Ъх из (7. 1) следует
j | j Es (х, t) /„ (t) eZ^| dx < j /2 (0 dt.
Полагая здесь n^- оо, мы получаем
j j ЕДх, Z)/(Z)dZ dx ^ pt^dt, ax l—oo—oo
что и доказывает лемму в силу произвольности aY и bY.
Согласно рассуждениям второго параграфа существуют функции т^Х) и т2(Х), регулярные в верхней полуплоскости и такие, что функция
^(ж, Х) = 9(ж, X) + mY (X) у (х, X)
принадлежит классу j?2(—оо, 0), а функция
ф2(ж, Х) = 9(ж, X) 4- т2 (X) v (х, Ь)
принадлежит классу jf2(O, оо).
Так как W (у, 9} = 1, то отсюда легко следует, что
W {фр ^-m^-m^Y(7.2)
13 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Далее, в силу формулы (5. 4) при X = и + iv мы имеем
J |<Ы-г, X)|4z =J |<Ы-г, X)|4z =Im (mj (X)}Im (mj (X)}—0000—0000j | о2(ж, X) p с?ж = —j | о2(ж, X) p с?ж = —Im {?«.> (A)}Im {?«.> (A)}
J |<Ы-г, X)|4z =
J |<Ы-г, X)|4z =
Im (mj (X)}
Im (mj (X)}
—00
00
—00
00
j | о2(ж, X) p с?ж = —
j | о2(ж, X) p с?ж = —
Im {?«.> (A)}
Im {?«.> (A)}
о
Отсюда Im (т^ (X)} > 0, Im (m2 (X)} ^О при г^>0. Положим
G (ж, у; X) =G (ж, у; X) =У ж,У ж,Фг fc, X)^ (у, X)mi(X) — т2(Х)
G (ж, у; X) =
G (ж, у; X) =
У ж,
У ж,
mi (X) -m2(X)
и пусть
Ф(х, Х) = j G(x, у; X)f(y)dy.
Покажем, что если / (ж) — непрерывная функция, то Ф (ж, X) является решением уравнения
Ф" (ж, X) 4* {X — q (ж)} Ф (ж, X) = / (ж).
В самом деле, в силу определения функции Грина <?(ж, у; X) имеем
Ф (х, Х) =X) / (у) dy +
х ’ ' тА (X) — т., (Л) J।
Поэтому
ф'.р- '^-„^^ S ^' >^iwa« +
( ^Лу, W<H( ^Лу, W<Hm2 (X) — m2 (X)m2 (X) — m2 (X)J ^^У, ^f^d-y-VJ ^^У, ^f^d-y-V
( ^Лу, W<H
( ^Лу, W<H
m2 (X) — m2 (X)
m2 (X) — m2 (X)
J ^^У, ^f^d-y-V
J ^^У, ^f^d-y-V
^(х, X)
®ы кх' ' тх (Ц — т.> Q-^
■V^kv^?{t?1 (z’X)' 2(ж’X) ~ ^(ж’ X)'2 (ж’ X)} 1 ^ = = V1^-^^^ M + /(.r) в силу (7. 2).
Пусть [a, 6] — конечный интервал, а и р — фиксированные действительные числа. Как и в предыдущем параграфе, обозначим через (Хя) и {у, (ж)) собственные значения и собственные функции краевой задачи (6.1) 4* (6. 4). Далее, пусть функции ф])й(ж, X) и '^2> ь(х, X) определены так же, как функция ф/(я, X) в случае полупрямой (0, оо) (см. § 2, п. 3).
Лемма 7.3. Пусть / (ж) с ЭР (—оо, оо), з = и-^й'. Имеет место оценка
ОО00
j |ffJ|2dx-<C J f2^dx,
—00— co
где
ОО
^/ = ф(^ 2)= j G^x, у, z)f(y)dy.
—00
Доказательство в основном совпадает с доказательством леммы 3.2.
Лемма 7.4. При а)>0 имеем
—00
00
оо ‘ да<
С 00 >
С < (X)
J Ха < —00
с °°»
00
Г « (X) ,
j Х2
— 00
с °°>
( 1 ^^(Х) |
} Х2
С^ со
Доказательство. Обозначим через G t (ж, t; z) функцию Грина задачи (6. 1) 4* (6. 4). Тогда аналогично формуле (3. 4) имеем
ь
( Ga, ь (*,2) Уп W dt=^- (z = u + w\ (7. 3)
Дифференцируя это равенство по х, мы получаем
i
=(7.У)
Тогда в силу (7.3) и равенства Парсеваля имеем (р, ’> фиксированы)
2 4Й^<)1°...^ ‘;Н<Ля^а
или в обозначениях предыдущего параграфа
J(ТГГф+Та
.ь
< $ I Ga, ь (х, t; z) |2 dt. a
Полагая в этом неравенстве вначале а-*—оо, Ъ-*-\-со, а затем р—>—со, v-*-)-00, мы получаем
( У2^’ G ^е (X) 4- 2? (ж, X) 6 (ж, X) d^ (Z) 4- 62 (ж, X) di М / ю
j(и_Л)2 4-у2'■
— СО
Теперь, полагая в последнем неравенстве х = 0 в силу условий (6.3), получаем утверждение леммы для функции С(Х). Точно так же, применяя равенство Парсеваля к функции ^ GH< ъ (х, t; z) в силу (7.3') и условий (6.2), получаем утверждение леммы для функции ; (X). Наконец,
утверждение леммы для функции ?] (X) следует из оценки |^(Х)|<(^(Х)^(Х)}‘А
и неравенства Коши — Буняковского. Лемма доказана.
Теорема 7.1 (интегральное представление резольвенты). Пусть f (х) с Ж1 (—оо, оо). Тогда для любого недействительного z
СО
( Ж£4-(7.4)
—СО
где обозначено
СО
EJ = J ЕЦх, yMW)^—со
Ех^ У) = $ {^(^ х) '^(У’ х) d£ (X)-j-у (z, Х)Цу, X) dnq (X) + +о
Ж-Цу, х^Цх, ^онцх, к) Цу, х^ацх».
Интеграл в правой части формулы (7.4) сходится абсолютно.
Доказательство. Если / (ж) =/я (ж) обращается в нуль вне конечного интервала и имеет непрерывную вторую производную, то формула (7.4) выводится буквально так же, как формула (3. 7).
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть /(ж) — произвольная функция с интегрируемым квадратом в интервале (—оо, оо), и пусть функции fn(x) при п^> оо сходятся в среднем квадратичном к / (ж), а также удовлетворяют перечисленным выше условиям. По доказанному, п 4 _ ”“ fV(z, X)F„(X)dS(X) + ?(x, X)G„(X)dv(X) ,
21Пj 2 X ] IZ A'
0(x, Х^РДХ^т^ХИ-Цх, X)G„(X)dQ(X)\
где
EnQ^ j W?fc XM^ G«W= J /„(^) 6(^, X)</.r.
—co—co
Нам следует показать, что в последнем равенстве возможен предельный переход при п^> оо. В силу леммы 7.3 при п^- оо имеем B,fn-^>RJ. Остается рассмотреть предел правой части равенства.
Рассмотрим гильбертово пространство пар функций ). Элементом гильбертова пространства является упорядоченная пара комплекснозначных функций
7 = {/1(4 /2(Х)}.
Скалярное произведение определим по формуле
СО
(7, g) = i (Л С) ?i С) ^ W + /1 С) & С) ^ С) + —со
+ /2W£1WW) + /2№№^
Из определения функций Е (X), tj (X) и С (X) легко следует неотрицательность скалярного произведения
(7,7)>о.
Отсюда обычным приемом получается неравенство Коши — Буняковского
I (7- ё) К (7, Пк • к!» gp- (7-6)
Пусть А — произвольное положительное число. Положим
(
—ААсо\
JJJy 2 — X •
Из определения функции EJ„ и в силу неравенства (7. 6) следует оценка
dyEJnг — X
( Г tf? (х, X) de (X) 4- 2-е (х, X) 6 (х, X) dv; (X) -|- 62 (х, X) ДГ, (X) 1
( )[77=^2I X
(
оз
J {^ (М d^ (X) + 2F„ (X) G„ (X) d-ч (X) + G^ (X) dt. (X)} A
В силу леммы 7.4 и равенства Парсеваля последнее выражение при А -» со стремится к нулю равномерно по п.
Аналогичное утверждение имеет место для интеграла в пределах (—со, —А). Остается показать, что при фиксированном А и со
АА
с ^х^х/» } г GEiL J z — /. J z — A *
Интегрируя по частям, получим
AA
f <G£xhi_ ALAjL -aGi C E-J„ ^
J z — Xz — Az AJ (z — Ey* '
-A—A
Так как в силу леммы 7. 1 при»фиксированном х функция Ех(х, у)С<5?(—оо, оо), то в последнем выражении можно перейти к пределу, и мы получим
ААп->оз \—Ап->оз \—АЕА z — X z — АЕА z — X z — АE^i z + АE^i z + АJ (z — X)--АJ (z — X)--Аdl.dl.
А
А
п->оз \
—А
п->оз \
—А
ЕА z — X z — А
ЕА z — X z — А
E^i z + А
E^i z + А
J (z — X)-
-А
J (z — X)-
-А
dl.
dl.
Покажем теперь, что EJ как функция от X имеет ограниченную вариацию в каждом конечном интервале. Пусть для определенности Х^>0, и допустим вначале, что / (ж) — Д (а;) обращается в нуль вне конечного интервала. EJn есть предел при а^-—оо и &^-4-со суммы
Поэтому из неравенства Коши—Буняковского следует
6
2 (/„ ^ у к (0 у к Мat 0<>-к<>. „
0<А*<>.0<А*<>.6J А, (0 у к W at6J А, (0 у к W atьj Ga>b(x, t; z^y^dtьj Ga>b(x, t; z^y^dt
0<А*<>.
0<А*<>.
6
J А, (0 у к W at
6
J А, (0 у к W at
ь
j Ga>b(x, t; z^y^dt
ь
j Ga>b(x, t; z^y^dt
Последнее выражение, очевидно, ограничено равномерно по п.
Таким образом, EJ есть предел функций, вариации которых равномерно ограничены. Поэтому предельная функция также имеет ограниченную вариацию.
Интегрируя правую часть равенства (7,7) по частям в обратном порядке, мы получаем
л lim jл lim jг — Xг — XС dx£’x/J z — X •С dx£’x/J z — X •
л lim j
л lim j
г — X
г — X
С dx£’x/
J z — X •
С dx£’x/
J z — X •
и так как А произвольно, то формула (7,4) доказана.
§ 8. Формулы для функций § (X), nj (X) и £ (X)
На полупрямой представление функции р (X) в виде предела функций р6(Х) при &->оо может быть, как мы увидим в главе IV, во многих случаях использовано для определения спектра оператора Штурма — Лиувилля. Подобные вычисления на всей оси становятся крайне затруднительными, Вот почему особое значение приобретают формулы для функций $ (X), т] (X) и С (X), аналогичные формуле (5. 7)..
Лемма 8.1. При фиксированных и1 и и2 и и^-0 справедливы, оценки
( (—Im —:—л \J du = О (1),(8.1)
J (т1 (и -j- iv) — m2(u-|-ir)Jхх
«2.'
Г г Im +du = O^,(8.2)
J I ml (u + w) — m2 (u -r iv) Jx ' x '
.I du = О (1).(8.3)
(u+iv) —7n2(u+iv) IXX '
' Доказательство. Из равенства (7.2) в силу ра
венства Парсеваля следует
bоо
(z = и + iv\(z = и + iv\И^ z)|M, = 2i-j№L-^
(z = и + iv\
(z = и + iv\
ап=о
Интегрируя по и, получаем
6оом2
J du $ |С„1(», I; г)^^) (с^+тг- (8- 4)
«х ап»0их
Покажем, что при фиксированных иг и и2 равномерно по п, а, b
ДиДи11^ — У 2 + У2^ — У 2 + У2(8-5)(8-5)
Ди
Ди
1
1
^ — У 2 + У2
^ — У 2 + У2
(8-5)
(8-5)
Пусть ■—N ^.и1<^и2^. N, где N ^1. Если |ab|^21V, то |и — Хи|^^_ Поэтому (f^l)
7 vdu
J (И_хир + И2 Хк2 4 /.2+(}
“1«1
Если |ХД<2Д^, ТО
tiiоо
S
v Ди ^ с v Ди/ _ 47V2 4-1 /о
(и _ Х„)2 + У2 j (U_X„)2 + V2 - л К ,2 4- ! •(
«I—со”
Из (8. 6) и (8. 7) следует оценка (8. 5). Из (8. 4) и (8. 5) находим
«26/°°9\
(du ( IG Лх, f, z)|2dI = O=
J J I о, 6\II v /2 4- 1
Ui a\и=0 n /
4Soi2^)=o(4) (y-^°)
равномерно no a, b, x; uv u2 фиксированы.
Полагая теперь a-*—oo, б-*-)-00, получаем
J du J IG(x, t; z)|2dZ = O^44
При x = 0При x = 0G(0, t; z) =G(0, t; z) =Ф1 B, 2)
При x = 0
При x = 0
G(0, t; z) =
G(0, t; z) =
mi (z) — m2(z) ’
z)
mi (z) — m2 (z) ’
В силу формулы (5. 4)
( IMA ^чхЛлаь™, —ОО
j I ^2 (Ж- Z) Г'.
0.
Поэтому, полагая в (8. 8) x = 0, получаем
(8.8)(8.8)(8. 9)(8. 9)du = О (1),du = О (1),f Im (z771 (z) — m2 (z)}
(8.8)
(8.8)
(8. 9)
(8. 9)
du = О (1),
du = О (1),
J |m! (z) — m2(z) |2
откуда следует (8.1).
Рассуждая аналогично, мы получаем с помощью (8.3)
du j | G'c (x, t; z)\2dt = o(~\
Но
Gl(0, f, z) =
Поэтому в cu.iv (8. 9)
—m2 (z) ф] (#, z) m-L (z) — m2 (z) ’—ml (2)ф2(9 2) m। (z) — m.x (z) ’—m2 (z) ф] (#, z) m-L (z) — m2 (z) ’—ml (2)ф2(9 2) m। (z) — m.x (z) ’o,0.o,0.| m2 (z) |2Im (mj (z)} — | mx (z) |2Im (m2 (z)} ди _qm\ If I\ />
—m2 (z) ф] (#, z) m-L (z) — m2 (z) ’
—ml (2)ф2(9 2) m। (z) — m.x (z) ’
—m2 (z) ф] (#, z) m-L (z) — m2 (z) ’
—ml (2)ф2(9 2) m। (z) — m.x (z) ’
o,
0.
o,
0.
«
S Im{S Im{Ml (z) m2 (z)m1 (z) — m2 (z)Ml (z) m2 (z)m1 (z) — m2 (z)du = О (1),du = О (1),откуда следует
S Im{
S Im{
Ml (z) m2 (z)m1 (z) — m2 (z)
Ml (z) m2 (z)m1 (z) — m2 (z)
du = О (1),
du = О (1),
т. e. (8.2). Остается доказать (8. 3). G этой целью про
верим неравенствоверим неравенство
верим неравенство
верим неравенство
(8. 10)(8. 10)Im (*I. Im J mi <4^2(2) ...1
(8. 10)
(8. 10)
[m^z)—m2(z) J [m^z)—m2(z) J
Положим mx(z) = r (coscp + isincp); m^z) = p(cos<p4~*sin'JOIS силу формулы (8. 9) Im (zra1 (z)} 2> 0, следовательно, sincp)>0, Im {/n2 (z)} < 0, следовательно, зп1ф<0, y)>0.
Умножая все знаменатели в (8.10) на сопряженные величины, мы придем к неравенству
|Im ^mx (z) тп2 (z)}]2
< Im ^ (z) — п^ (z)} • Im {| mx (z) |2 m2 (z) —mx (z) | пц. (z) |2)
или в тригонометрической форме
гр sin2 (ср — ф) ^ (р sin ф — г sin ср) (г sin ф — р sin ср) =
■=rp sin2 ф + гр sin2cp — (г2 + р2) sin ср sin ф.
Отсюда следует
гр [—2 sin2 ср sin2 ф — 2 sin ср cos ф sin ф cos ср] ^
^ — (г2 + Р2) sin ср sin ф.
Сокращая на положительную величину —sin <р • sin <р, мы получаем
2rp cos (<р — ф) ^ г2 + р2,
а это неравенство всегда справедливо.
Из неравенства (8.10) следует оценка
’ mj (z) m2 (z) 1 . mI (z) ~ m2 (2) J’ mj (z) m2 (z) 1 . mI (z) ~ m2 (2) Jdu • j Imdu • j Im
’ mj (z) m2 (z) 1 . mI (z) ~ m2 (2) J
’ mj (z) m2 (z) 1 . mI (z) ~ m2 (2) J
du • j Im
du • j Im
что и доказывает (8. 3).
Теорема 8.1. Пусть А = (X, X + А) — конечный интервал, концы которого суть точки непрерывности функций $ (X), т] (X), С (X).
Имеют место формулы (£ (А) = $ (X + А) — £ (X))
Е(Д) = —lim ( (—Im ;— ... 1:——=—(du,(8. 11)
л г^о ит^и+гЗ)—m2(u+t8)J’х1
(Д) = A Km ( Imau, (8. 12)
xmj (u + i8) — m2 (u + i8)Jx7
((A) = A Km ((—Im -I2iA±AAAi+A)I du.(8.13)
^ g^Q JI^1 \u + to) — ^2 Vй + ?o)J7
Доказательство. Пусть fT (x) и /2 (x) обращаются в нуль вне конечного интервала и имеют непрерывные вторые производные. Положим
ООFv (X) = j Д (ж) ф (ж, X) dx,— ООООFv (X) = j Д (ж) ф (ж, X) dx,— ООGj (X) = j /j (ж) 6 (х, X) dx, —ООGj (X) = j /j (ж) 6 (х, X) dx, —ОО
ОО
Fv (X) = j Д (ж) ф (ж, X) dx,— ОО
ОО
Fv (X) = j Д (ж) ф (ж, X) dx,— ОО
Gj (X) = j /j (ж) 6 (х, X) dx, —ОО
Gj (X) = j /j (ж) 6 (х, X) dx, —ОО
ОООО
^2 (^) = j /2 (^ ? (Ж> ^) ^Ж' ^2 Q') = j /2 (^) 6 (ж, ^) Дж-
—ОО—ОО
Из теоремы 7.1 следует
Ф(з) = j RJr h^dx =
—ОО
_ J [ Fl (M F, W Д^ОЛ + ‘F^G.^.-, v F, WGi (k^dg —00
G] (X)G2(X)dC(X)"1_ 7 do(X) z-XJ z-X’
—00 где
+ [Л W G, (X) + Ег (X) G. (X)] dg (X) + '+G1(X)G2(X)^(X)}.
В силу формулы обращения Стилтьеса
о (Д) = — lim ? {—Im Ф (и + й)} du.
~ 5'>Од
С другой стороны,
Im Ф (ц + й) =.
00! х
— f /J f е (ж. “ + <8) + т2 (к + <8) ? (я, и+«8) v
— j /2W ах im j(u + j6) _ m2 (tt + i5) X
—00l—oo
X [0 (t, и + i8) 4- mv (u + й) <p (<, и + й)] /j (f) dt +
00
। C 6 (x, u + i6) -[- ^i (и 4~ ‘8) <P (^, “ + i"8) v 'J mjfu-j-iS) — m2(u-|-i8)
X [0 (t, и + й) + w2 (u + i§) <p (f, и + й)] /j (^) dt\.
Принимая во внимание
1°. действительность функций <p ^x, u) и 6 (ж, u),
2°. равенства
Im--^<z>= Im(^
тх ^ — m2 (z)1 my (z) — т2 (z)
= Im= Imт-1 (2)тх ^ — т2 (У) ’т-1 (2)тх ^ — т2 (У) ’
= Im
= Im
т-1 (2)
тх ^ — т2 (У) ’
т-1 (2)
тх ^ — т2 (У) ’
3°. лемму 8. 1, мы получаем
3 (Д) = -1 Пт ( F, (и) ^2 (и) X 5-*°о
т ту (и + 18) — т2 (и 4* 18)
+ 7- lim ( {^ (и) G, (и) + Ег (и) G^ (и)} X
X I—1т —ц —du +
Т Шу (и + i8) . т2 (и + 18) Шу (и + <8) — т2 (и 4* ^)Т Шу (и + i8) . т2 (и + 18) Шу (и + <8) — т2 (и 4* ^)[ m^u-^io)—тпо^и V l4j
Т Шу (и + i8) . т2 (и + 18) Шу (и + <8) — т2 (и 4* ^)
Т Шу (и + i8) . т2 (и + 18) Шу (и + <8) — т2 (и 4* ^)
(8. 14)
Подбирая функции fT (ж) и /2 (ж) так, чтобы F^^ (и) и F^ (и) были близки к нулю, a Gr (и) и G2(u) — к единице (в интервале Д), в силу леммы 8. 1 из равенства (8. 14) получаем формулу (8. 13).
Если /^ж) и /2(ж) таковы, что Fr (и) и F2(u) близки к нулю, a G^u) и G2(u) — к единице, то, интегрируя по частям, легко видеть, что функции
ОО,
j /' (ж) <р (ж, it) dx, —ОО
ОО
$ /г (ж) ? (ж> “) ^
—СО
будут близки к —1, а функции
/' (ж) 6 (ж, и) dx,
/' (.г) 9 (ж, и) dx
—ОО
будут близки к нулю.
Подбирая Д (ж) и /2 (ж) так, чтобы Рг (и) и F2 (и) были близки к единице, a Gj (и) и G2 (и) — к нулю, из равенства (8. 14) мы получаем формулу (8. 11).
Формулу (8. 14) перепишем в виде
х+д
IF^F^uWuH х '
+ [^ (u) G2 (и) + F2 (и) G (и)] d-q (м) 4- GT (и) G2 (и) d^ (а)) = х+д
— lim ( Fj (и) • F2 (и) X
6о г
X d — ( (1 П1 ;!;Г—du +
л J I— т., (и
Х+д
+ lim ( G^ (и) • G2 (и) х5->0
X d-^ j |—Im+oX d-^ j |—Im+oz/Z] (u -|- io) m2 (u + i6)mi (,! H" !4 — n4 (u + I®)z/Z] (u -|- io) m2 (u + i6)mi (,! H" !4 — n4 (u + I®)du -j-du -j-
X d-^ j |—Im+o
X d-^ j |—Im+o
z/Z] (u -|- io) m2 (u + i6)
mi (,! H" !4 — n4 (u + I®)
z/Z] (u -|- io) m2 (u + i6)
mi (,! H" !4 — n4 (u + I®)
du -j-
du -j-
Переходя в двух первых интегралах справа к пределу под знаком интеграла (что возможно в силу теоремы Хелли) и используя формулы (8. И) и (8. 13), получаем
J [^1 (“) С2 (“) + ^2 (“) ^1 (“)] ^ (“) = д
= — lim ( (^ (u) G2 (и) + F2 («) G, («)} X71 3->0 J
Vmi <u + i8> I
( m! (a + i8) — m2 (u + i8) J
Пусть h 2> 0. Положим
/1(ж) = 0,ж<0,—у,О^ж^/г,0,ж)>/г,
/2(ж) = 0,ж<0,Л-,О^ж^/г,0,x^h.
Тогда
кк
F^G^u)-V F^G^u) ==j^-j<p(;z:, и) dx • у j 9 (ж, u)dx.
оо
В силу начального условия 9(0, п)=1, при достаточно малых h интеграл
к
-г I 0 (х. и) dx
о
будет сколь угодно мало отличаться от единицы. Далее, в силу начального условия ф (0, и) = 0 получаем
о
к .
= — дГ 5 (т^ t^) —?(0, U^dx =о
к
о
В силу начального условия '^(0, и) =—1 последнее
выражение при достаточно малых h будет сколь угодно мало отличаться от единицы.
Итак, при достаточно малых 1г выражение Fx (и) G^ (и) -ф- -|-F2 (u) Gt (и) мало отличается от единицы. Поэтому из (8.25) следует формула (8. 12), чем и завершается доказательство теоремы. '
Равенство Персеваля для самосопряженного дифференциального оператора n-го порядка
В этом параграфе результаты первого и шестого параграфов этой главы будут распространены на самосопряженные дифференциальные операторы и-го порядка. При этом мы снова воспользуемся методом предельного перехода.
Пусть —со ^ а<6^ со, и пусть в интервале (а, 6) задано дифференциальное выражение
1у = рДх^№ + Pi М У'”"1* + • • • + РДх)у. (9. 1)
Будем предполагать, что рк (ж) комплекснозначные функции класса С(”~к) (а, Ь), притом ро(ж)т^О. Предположим также, что дифференциальное выражение (9. 1) формально самосопряженно, т. е. совпадает со своим сопряженным Z+ по Лагранжу:
В случае четного п общий вид таких выражений указан в § 15 гл. I. В случае нечетного п среди коэффициентов обязательно должны быть комплексные.
Как и в § 6, рассмотрим самосопряженную задачу на замкнутом конечном интервале 8 = [а', Ь'], а^а'^Ь'^ Ь. Пусть на 8 задано п линейно независимых самосопряженных краевых условий
^Ду) = i ^М$ Дк-" (а1) + N5jkytk-U (0=0(9. 2)
и= 1,2,.. «У
Условие (9. 2) сокращенно запишем в виде U5 (у) = 0. 14 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Тогда краевая задача на 8 запишется в виде
1у = ^У,1)^ = 0.(9.3)
Задача (9. 3) самосопряженна, и поэтому для каждого 8 с (а, 6) существует полная ортонормированная система собственных функций (%5fc (ж)} и соответствующих им собственных значений (X8fc).
В дальнейшем скалярное произведение и норму для функций из пространства JX2(8) будем определять равенством
(и, v)8 = j и (ж) г (ж) dx,|| и ||8 = (и, и)/2.
8
Эти же величины для функций из класса Ж2 (а, Ь) будут обозначаться через (и, и) и ||и||, т. е.
ь
(и, у) = j и (х) 8 (ж) dx, || и || = (и, иУ^. а
Равенство Парсеваля для самосопряженной задачи (9. 3) записывается в виде
VE=l>x# РА)
Мы получим равенство Парсеваля на интервале (а, 6), осуществив в равенстве (9.4) предельный переход: о —> (и, b). С этой целью обозначим через <ру = -^Дх, X) (/=1, 2,..., и) решение уравнения 1у = \у, которые при некотором фиксированном с (а <( с <( Ь) удовлетворяют начальным условиям
^(c, X) = 8yfc и, А=1, 2, ..., п\ (9.5) где ojk — символ Кронекера. При фиксированном х производные ср^-й (ж, X) являются целыми функциями X. Так как решения '^Дх, X) линейно независимы, то
Z8fc (ж) = 2 хгД(9- 6)
/=1
где rtkj — комплексные постоянные. Подставляя (9. 6) й формулу (9.4), запишем равенство Парсеваля в виде
ОО
Ш1= $ .2 FM№kQ^M!M (9.7)
.—ОО 5 ’ к—Л
где
F6j (7) = J / (ж) фу (ж, X) dx,(9. 8)
а элементы матрицы р5 (X) = ||p5yfc (ж) Ц”, к=1 суть функции скачков со скачками, расположенными в собственных значениях задачи (9. 3). Величины скачков определяются равенством
( н Р$,-к (>- + 0) - Р5у, (7 - 0) = 2 W$ тк, (9. 9)
причем сумма берется по всем тем т, для которых Х5и = >>5 (в отличие от случая § 1, различные функции ^Sm (ж) могут ,<Й>Ътветствовать одному и тому же собственному значению 'к6рУ Очевидно, что матрица р5 (X) обладает следующими свойствами:
: 1? Матрица р5 (X) эрмитова.
2? Если X > р, то матрица р6 (Д) = р5 (X) — р5 (р) неотрицательна (Д = (р, X]).
.(' 3? Полная вариация функций р5у& (X) конечна на каждом венечном X интервале.
(А Для определенности будем предполагать, что р5(0) есть нулевая матрица и что р5 (X + 0) = р5 (X).
Матрица р5 (X) называется спектральной матрицей за- Ддчи (9.3).
* Следующая лемма является аналогом леммы 1. 1.
. Лемма 9.1. Пусть {8}—множество замкнутых ин- Мервалов, сходящихся к интервалу (а, Ь) и (Us (у) = 0} — божество соответствующих самосопряженных краевых условий. Тогда из {8} можно выделить такую последова- ^лъностъ {ЗД, что
Нт 8 —(а, by lim р,. (X) = р (X), /->00/->00
причем второй предел, существует на интервале (—со, оо) и предельная матрица р (X) удовлетворяет перечисленным выше условиям 1°, 2° и 3°.
Доказательство. Мы докажем, что для каждого фиксированного Л )> О существует такое М = М (Л) > О, не зависящее от 8 и U8, что для | X | ^ Л
V{p5yfcW)=(9.10)
~А—А
Лемма будет тогда следовать непосредственно из теоремы выбора Хелли (см. первую теорему Хелли, § 2, гл. XIV).
Оценку (9. 10) достаточно доказать для / = к, так как из (9.9) следует, что
ААА
(9. И)(9. И)2 J I dP8/k (х) К J йРмз W + J Фг» W.
(9. И)
(9. И)
—А—А—А
Заметим, что функции ^-^х, X) непрерывны по совокупности переменных (ж, X) и при х = с равны 8yfc. Поэтому для данных Л и е>0 (число е будет выбрано позже) существует такое h > 0, что
Iv^^, ь) —M<sIv^^, ь) —M<s(9. 12)(9. 12)
Iv^^, ь) —M<s
Iv^^, ь) —M<s
(9. 12)
(9. 12)
для с ^ х ^ х 4- h и | X | ^ Л.
Пусть / (ж) — неотрицательная функция класса Cw (а, Ь), обращающаяся в нуль вместе со своими производными до (п + 1)-го порядка включительно вне интервала (с, c-^-li) и нормированная так, что
ь
(9. 13)(9. 13)^ f (х) dx — 1.
(9. 13)
(9. 13)
Применяя К функции (—1)”>-1^О”-1) (я) (т = 1, 2, . . ., га) неравенство Бесселя, получаем
«+Ь -А п
\\^Чх)\Мх>\ 2 ^.(Х^т^Х),(9.14)
о—А ), к=Х
где
Fk (X) = (—If-1 J /(т-1) (ж) ®fc (т, X) йх = С
=/ (ж) Sf-15 (ж) dx.
Из равенства (9. 12) и условия (9. 13) следует
1^.М-3^Кг-
откуда
IWOK8^ |^(Х)|>1-е.(9. 15)
Поэтому
/= S i
—л У, fc=i
—л У=1-л
-A X=1
Используя неравенство (9. И), отсюда получаем
z> i ii^wi2%vw-
-Л /=1
= 2 j 2 1^.(4 ^^(Х) —
-л /=!
—Л j, к=1
= 2 J fl^-WI^PwM-
—Л b fc=1
Отсюда в силу первого из неравенств (9. 15) следует неравенство
^>2 Si^wi2^mw-
333
И, наконец, используя второе из неравенств (9. 15), получаем
/>2(1-е)2 ^p5)nm(X)-(l+ne) J dp6mm (X) -
-л^ -л
— (l + ne)e f J] ^^jj^ =
= {1_(и + 4)е + 2^) ^p5mffl(X)-
-(1+ие)е J 2^pw(X).
-A J=1
Поэтому из (9. 14) следует
j | y(,H-1J (ж) |2 dx
л
>{1-(и + 4)е + 2е2} j d^mm(^)-
— (1 +ne)s ( ^ d-Pi/jM-
—A
Придавая в этом неравенстве m значения 1, 2, . . ., п и суммируя по т, получаем
2 j \рп-"^ах>
т—Х е
А
>{l-(ra + 4)g + 2^) ( j? (X) -
,-Л ^-1
Л
— и(1+нг)е J 2 dp5wm(A) =
-А т=1
Л
. ={1_(2и+4)е-(^-2)^ j ^a^Q-Y (9.16)
-л ”‘=1
Если s выбрано так, что 1 — 2 (и + 2) е -}- (2 — п-) г2 )> у, То из неравенства (9. 16) получим оценку (9. 10) и, следовательно, лемму 9. 1.
Для каждой предельной матрицы р (X), существование которых утверждается в лемме 9. 1, определим пространство ^?{р())} (—оо, оо) как пространство всех век- W-функций g (X) = (gy (Х))”=1, для которых
ОО
kl!2= ( 5 ^W^W^-^Xco.
— СО1
Можно показать, что пространство ^?{Р<х)} (— оо, оо) полно (см. И. С. Кац[1]).
Рассуждая теперь как и при доказательстве теоремы 6. 1, можно получить следующую теорему.
Теорема 9. 1. Пусть р (X) = {p/fc (X))” fc=1 — предельная матрица, определенная в лемме 9. 1. Если Цх^З^а, Ь), то существует вектор-функция g (X) f j?(P(x)} (—со, со) такая, что если
Q^ = \НХ") 5, Iх. х)&- 8 С (а, Ь),
то при 8->(я, 6)
при этом справедливо равенство Парсеваля
11/НЫ1 и разложение со
—оо У, ^=1
причем последний интеграл сходится к функции / (ж) по норме в пространстве Sr2 (а, Ъ\
В § 4 было показано, что для спектральной функции дифференциального оператора второго порядка, соответствующей точке предельной окружности, имеет место теорема обратного преобразования Фурье (см. теорему 4.2). В частности, в случае предельной точки спектральная функция единственна и для нее имеет место теорема обратного преобразования.
Для операторов и-го порядка также имеет место теорема обратного преобразования при некоторых предположениях. В следующих теоремах, которые мы приведем без доказательства (доказательство этих теорем читатель может найти в монографии Э. А. Коддингтона, Н. Левинсона [1], гл. X, § 3), предположения соответствуют случаю предельной точки для дифференциального оператора второго порядка.
§ 9]
Теорема 9.2 (обратного преобразования). Предположим, что ни одно из уравнений
(/±0у = 0(9.17)
не имеет нетривиальных решений в классе 9Д (а, Ь). Для каждой вектор-функции g (X) £ Э?ц<ед (—со, со) существует такая функция / (ж) £ ДД (а, by что
00 п
причем интеграл сходится к функции f (х) по норме пространства ^{а, 6) и
ъ
8k (х) = J / (ж) ?л- (ж> х)
Теорема 9. 3. Предположим, что ни одно из уравнений (9. 17) не имеет нетривиальных решений в классе ДД(а, Ъу Тогда матрица р (X) единственна в том смысле, что если р (X) — любая другая матрица, для которой справедлива теорема 9. 1, то
р (X) — р (р) = р (X) — р (р)
в точках непрерывности матриц р (X) и р (X).
Указания к литературе
Результаты этого параграфа принадлежат Вейлю [1]—[3]. Другое доказательство дал Титчмарш [1]. Изложенное здесь доказательство равенства Парсеваля было предложено Б. М. Левитаном [1] и независимо Левинсоном [3]—[4] и Иосида [1].
Результат о круге и точке принадлежит Вейлю [2]. Теоремы 2. 2 и 2. 3 изложены авторами на основе § 2 гл. IX монографии Коддингтона и Левинсона [1]. Отметим, что теорема 2. 2 есть частный случай теоремы об индексах дефекта общих симметрических операторов в гильбертовом пространств'е (см., например, Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман [1 ]). Теорема 2. 3 принадлежит Титч- маршу [5], более общий результат был получен Н. Левинсоном [1], а также Сирсом и Титчмаршем [1].
Интегральное представление резольвенты впервые было доказано Вейлем [2]. Изложенное здесь доказательство принадле-
жит Б. М. Левитану [1]. Теорема 3. 2 получена Б. М. Левитаном [1]. Аналогичные теоремы были у Вейля и Титчмарша.
Результаты этого параграфа означают, что точкам окружности Вейля соответствуют самосопряженные расширения оператора Штурма — Лиувилля (см. гл. XIII).
Формула (5. 7) принадлежит Титчмаршу [1].
Основной результат этого параграфа принадлежит Вейлю [3]. Другое доказательство равенства Парсеваля дал Титч- марш [1]. Изложенное здесь доказательство принадлежит Б. М. Левитану [1].
Вейль [3], Титчмарш [1], Б. М. Левитан [1].
Формулы (8. И), (8. 12) и (8. 13) принадлежат Титчмаршу [1].
Теорема 9. 1 доказана впервые М. Г. Крейном [1] и Ко- даира [1 ]. Изложенное здесь доказательство, в том числе основная лемма 9. 1, принадлежат Б. М. Левитану [4].
ГЛАВА III разложения в сингулярном случае ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА
§ 1. Доказательство равенства Парсеваля дая системы Дирака
В параграфе 12 первой главы мы получили теорему разложения по собственным вектор-функциям регулярной задачи для системы Дирака с помощью предельного перехода, заменив дифференциальные уравнения уравнениями в конечных разностях.
Эта идея позволяет, как и в случае оператора Штурма — Лиувилля, рассмотренного в предыдущей главе, получить теорему разложения и для сингулярной задачи системы Дирака, если рассматривать ее как предел регулярных задач.
. Рассмотрим тот случай, когда интервалом является действительная полуось [0, оо).
Итак, рассмотрим систему (0^ж<^оо)
У'г-^-Hi^y^O,(Ы)
Z/; + ^ + ^M}Z/2 = 0,(1.2)
ГДе коэффициенты дг (ж) и д2 (ж) непрерывны в каждом конечном интервале 0 х Ь.
И через у (ж, X) =И через у (ж, X) =9 Обозначим через а произвольное действительное число ?i кж» ^)\г
И через у (ж, X) =
И через у (ж, X) =
,.. решение системы (1. 1)—(1.2),
Удовлетворяющее начальным условиям
ут (О, X) = cos а, ?2(0’ ^)=—sin а. (1.3) Очевидно, что у (ж, X) удовлетворяет краевому условию .уг (О, X) sin а Д-у2 (0, X)cosa—0.(1.4)
^влее, обозначим через b произвольное положительное ^®сло (в дальнейшем b будет неограниченно расти) и
через р произвольное действительное число и присоединим к задаче (1. 1) + (1.2) + (1. 4) краевое условие
у2(б, X) cos р + ух (6, X) sin 3 = 0.(1.5)
Задача (1. 1) -ф- (1. 2) -ф- (1.4) -ф- (1. 5) — это регулярная задача для системы Дирака. Обозначим через Хя 6 собственные значения этой задачи, а через фя 6(т) =
/©(^(афХ/?1 (^J '^п »)\
= ‘ m J = ? (^ '% ») =/соответствующие
х Т и, 6 \ / /\ Г 2 \ ’ п, о/ /
собственные вектор-функции, удовлетворяющие началь- ,/ /1 (ж)\
ным условиям (1. 3). Тогда, если /(ж) =, I С jf2 (0, b),
\/2 W/ ь
о. j {/f (ж) + /2 (ж)} dx < —со и о
ъ
< » = S и?»^ wi2+[^ (ж)12} о
то в силу равенства Парсеваля (см. формулу (12. 26) гл. I)
1 U^ М + П ^ dx = 2 ^71 S 171 ^ <ь (2) +
Он——со ’ I 0'
+ /2 № ^№ь (ж)] dx .(1.6)
Если ввести монотонно возрастающую функцию скачков
5 7?-(Х<0)'
',(1.7)
Р.(Ч= 2 Ду(Х>0\
то равенство Парсеваля (1.6) можно записать в виде
Ьсо
j tfX(xHfU^dx= J F2Q^d?b^,(1.8)
о ■—со
гдеб
'. F (X) = j Дг (ж) ^ (ж, X) + /2 (ж) ср2 (ж, X)) dx. ’о
Мы покажем, что равенство Парсеваля для задачи (1. !) + (!•2)+ (1.4) получается из равенства (1.8) при 6->оо. Предварительно докажем лемму.
Лемма 1.1. Для. любого положительного числа N существует такое постоянное положительное число Л = =± Л (А"), не зависящее от Ь, что
V{p»W) = 2 ^ = ^НьНО<А.(1.9)
Доказательство. Пусть sina=+0. Так как в области —А^Х^А, О^ж^а (а — произвольное поло
жительное число) вектор-функция у (ж, X) непрерывна, то В силу условия ф2(0, Х)=—sin а существует столь малое положительное число h., что для | X | ^ А
■ АX 2
(1.10)(1.10)1 Г11
(1.10)
(1.10)
■у 1 у2 (ж, X) dx \ + у sin2 а-
о/
Пусть вектор-функция /л(+ =Пусть вектор-функция /л(+ =(к mi, z х определяется(к mi, z х определяетсяВо формуле1Во формуле1fi (ж) = 0.fi (ж) = 0.
Пусть вектор-функция /л(+ =
Пусть вектор-функция /л(+ =
(к mi
, z х определяется
(к mi
, z х определяется
Во формуле
1
Во формуле
1
fi (ж) = 0.
fi (ж) = 0.
N , h, '.2N , h, '.2
N , h, '.2
N , h, '.2
Вели теперь применить к вектор-функции f (х) равенство Парсеваля (1. 8), то, используя оценку (1. 10), мы получим
к
^ I ср2 (ж, X) dx о
Н т $ ^2 х)dx) ф»(х)>4 s^^tpj^)—Pt(—n)v
~К \ оJ
откуда и следует неравенство (1.9).
В том случае, когда sin а = О, мы получим неравенство (1.9), применив равенство Парсеваля к вектор-
О,О,/2 М = °-/2 М = °-функции / (ж) =
О,
О,
/2 М = °-
/2 М = °-
Покажем теперь, что используя лемму 1.1 и известные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса, можно получить равенство Парсеваля для задачи (1. 1) + (1. 2) + (1. 4).
Пусть вначале вектор-функция /к (ж) = 1оора-
/ щается в нуль вне интервала О^Д^п, п О Ъ, имеет непрерывную первую производную и удовлетворяет краевому условию (1.4). Применяя к этой вектор-функцип равенство Парсеваля (1.8), мы находим
нсо
V^HftA^dx- 5 F^d?^),(1. 11)
и—со
где ь
F„ Сл) = 5 Um № V1 U- 'U 4- kSs U, U} dx. (1.12) 0 _/^(z, ^)\
Так как ф (x, a) =,.. удовлетворяет системе
4'\^2(Х, А)/ 1
1.1)—(1.2), то мы имеем
?iU, Х)=т[$ —^iM^J. ?2(^ х) = т[”^)?2}
Поэтому из (1. 12) получаем
F« W = Т S /«(x) [S “ 91 U) V1 U- X)J dx + О 6
+т ^2„ М [—5^ — q-2 U) ъ U- X)J d<i-. и
Далее, так как обе в ект op-функции /я (ж) и у (ж, А) удовлетворяют краевому условию (1.4) и так как в окрест- ности точки b / (ж) тождественно равна нулю, то, интегрируя интегралы правой части последнего равенства по частям, для ^„(Х) получим выражение
W = Т S { ? 1 ^’ л) [^ ” 91 ^ М] + О
+ ®2 (а-, х) [ — ^ — ?2 (ж) /2„ (^ } ^.г.
Доэтому для произвольного конечного г¥>0 и в силу равенства Парсеваля (1.8) мы имеем
^ (A dpb (ХХ ^ $ ( S [?1 ^’ }Я^ — 91 ^ /т" ^4 +
1М>лг|).|>а(о
+ ?2 ^ х) { — % — Ча (я) /2я (ж)}] dx } dpt (X) < со / 6
<ж S И?1 (^’_ 91 (а:)}+(ж’ ХЛ-^-
—со I О
— Ча Wa„ (^)}] dx 1 dpb (X) = А- И ^ — дг (ж) fln (ж) J +)о I
+[—^ — ?1 м /2» (^^ йж •
Из этой оценки и равенства (1. 11) следует
Х^ША-ПЛ^^- \F^Ad?b{4
о-N
<4^5 {[5г^>)l-v
+ [-57-^W/2„Wj}^-(1.13)
В силу леммы 1. 1 множество монотонных функций {р4(X)} (—А’^Х^А) ограничено. Поэтому можно выбрать последовательность Ьк такую, что функции p6fc(X) сходятся к монотонной функции р (X).’
Переходя в неравенстве (1. 13) к пределу по последовательности Ьк, получаем неравенство
яА
5Ш*) + /Ш)^- И(>М(Х) < О—N
<лм о?”91 w/^WJ+f-^-^W^WJ} о
Наконец, полагая в последнем неравенстве А-*оо, получаем
О—со
т. е. равенство Парсеваля для вектор-функций
обращающихся в нуль вне конечного интервала, имеющих непрерывную первую производную и удовлетворяющих краевому условию (1.4). Распространение равенства Парсеваля на произвольные вектор-функ- ции класса ^2 (0, оо) для задачи (1. 1) + (1. 2) + (1.4) осуществляется в точности так же, что и в случае оператора Штурма — Лиувилля.
Итак, доказана
Теорема 1.1. Пусть вектор-функция / (ж) = I
\/2 V^) принадлежит классу jf2(0, оо), т. е.
СО
j 7, (^) + fl У^У dx < 00 •
О
Существуют не зависящая от / (х) монотонно возрастаю-
щая функция р (X) (—оо<^Х<^оо) и функция /^(Х) (обобщенное преобразование Фурье вектор-функции f (х) по собственным вектор-функциям задачи (1. 1) + (1. 2) 4- (1. 4)) такие, что имеет место равенство
СОсо
(1. 14)(1. 14)$ №) + /-»)^ = j F^^a^W-
(1. 14)
(1. 14)
О—со
Функция F (X) является пределом в среднем квадратичном последовательности непрерывных функций
F« (х) = [ (А И Ут (^ х) + А (^ ?2 (^ х)) ах,
О
т. е.
со
lim ( (F(X)-F„(X))^p(X) = O.
Л->СО '•
—со
/Д (х)\
Пусть вектор-функции / (ж) =и g (х) =
\12\Ч)
/^ (Ч\
= I . . принадлежат классу 5?2(0, оо), a F(X) и G(X)— \^2 \Ч)
их преобразования Фурье. Очевидно, что функции / (х) +
/Д (^ + gi ($)\
± g(x)~ I , х , х имеют своими преобразованиями \W±£2(z)/
Фурье функции F(K) + G(k). Поэтому в силу (1.14)
СО
J {[/1 (^) + gi (ЧУ + [/2 (Ч + ^2 (^j2) ах = о
1со
= j {A(X) + G(X))2dp(X),
—СО со
$ {[/1 (Ч — gi (ж)]2 + [/2 (Ч — g2 W]2) ах = О
со
= J (Е(Х)-С(Х)УМЧ-
—со
15 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Вычитая из верхнего равенства нижнее, мы получим
ОО00
jf/i^i^ + W^))^ \ F^G^dp(\y (1.15)
О—оо
Равенство (1. 15) называется обобщенным равенством Пар с ев а ля.
Теорема 1.2 (теорема разложения). Пусть f^ =
/'Л (^
= I I —непрерывная вектор-функция (0^ж<^ оо), \х))
/ср, (ж, Х)\
Ф (х, X) =и F (X) имеют прежние значения,
а интегралы
00J F ^ ?! (*, X) dp (X),00J F ^ ?! (*, X) dp (X),00J ^МТг^- X)dP(X)00J ^МТг^- X)dP(X)(1.16)(1.16)—00—00—00—00
00
J F ^ ?! (*, X) dp (X),
00
J F ^ ?! (*, X) dp (X),
00
J ^МТг^- X)dP(X)
00
J ^МТг^- X)dP(X)
(1.16)
(1.16)
—00
—00
—00
—00
сходятся абсолютно и равномерно по х в каждом конечном интервале. Тогда
0000
/1(^)= j ^М?!^ ^)^pW, /2(ж) = $ ^ (М «Рг (ж> "К) dp (ку
—00—00
Доказательство. Пусть ^(ж) =. —есть
Х^2 V')/
непрерывная вектор-функция, равная нулю вне конечного интервала [0, га]. В этом случае равенство (1. 15) запишется так:
J (Л (*) 81 ^ + /2 (ж) 82 ^ ^ =
О
= J F (X) | J [^ (ж) ф3 (ж, X) + g2 (ж) ф2 (г, X)] & dp (\у
—оо [ ОJ
В последнем интеграле в силу абсолютной сходимости можно изменить порядок интегрирования и переписать все равенство в виде
£1 (*) +£1 (*) +
£1 (*) +
£1 (*) +
'ОО
^М & = 0.^М & = 0.ш- 5 f^^, w)
^М & = 0.
^М & = 0.
.—ОО
В силу произвольности g^x\ а также непрерывности/^) и функций (1.16) (непрерывность последних следует из предполагаемой равномерной сходимости интегралов (1. 16)) коэффициенты при gT (ж) и g2 (х) под знаком последнего интеграла равны нулю. Теорема доказана.
Круг и точка Вейля для системы Дирака.
В этом параграфе по-прежнему рассматривается интервал [0, оо), а функции ^ (ж) и ^М предполагаются непрерывными в каждом конечном интервале.
Если для некоторого комплексного значения Хо каждое
решение ср (ж, X) =решение ср (ж, X) =. х)\
решение ср (ж, X) =
решение ср (ж, X) =
системы $у = Ху удовле-
творяет условию
ООаз
JI ? (^, х) |2ах = J {।<рт(ж, х) |2 +1<p2(ж, x) |2) ax< co, 00
т. e. <p (л?, X) £ jf2(0, co), то говорят, что для оператора jf имеет место случай предельного круга в бесконечности; в противном случае для $ имеет место случай предельной точки в бесконечности. Чтобы оправдать это определение, необходимо показать, что эта классификация зависит только от оператора $ и не зависит от выбранного частного значения Хо. Этот факт в данном случае Доказывается в точности так, как в случае уравнения Штурма — Лиувилля (см. теорему 2. 2 гл. II). Однако мы этого делать не будем, так как в § 7 гл. XIII будет доказано, что для системы Дирака при сделанных выше
предположениях относительно функций qT (ж) и q2 (х) имеет место только случай предельной точки.
Пусть <р (ж, X) — решение системы (1.1)—(1.2), удовлетворяющее начальным условиям (1.3), а 9 (ж, X)—решение той же системы, удовлетворяющее начальным условиям
02 (0, X)=cosa, 9,(0, X)=sina. (2.1)
Теперь, если F (ж) и G (х)— решения системы (1.1)— (1.2), соответствующие X и X', то
(X' - X) j ^ ^ G. (х) + F2 ^ G, ^ dx =
= j {^ ^ t-G' (х) - q2 (х) G. (ж)] + F, ^ [G; ^ -
— qT ^ G2 (ж)] + G, ^ | F2 ^ + q2 ^ FT (ж)] ++ ^2 W [—^2 И + ?i И F2 W]) & =
= J 1^2 M G1 M + ^2 (Ж) G1 W — F1 W G2 № —
- F. (x) G; (ж)] dx = ^F, ^ G. ^ - Fx ^ G, №•(2. 2)
В частности, если X' = X, то из последнего равенства следует, что
FT (х) G2 (ж) — F2 (ж) GT (ж) = const.
Таким образом,
уДж, Х)92(ж, X) —<р2(ж, Х)91(ж, Х)=1.(2.3)
Значит, <р (ж, X) и 9 (ж, X) — линейно независимые решения системы (1. 1)—(1.2), и поэтому общее решение системы можно представить (с точностью до постоянного множителя) в виде 9 (ж, X) -|- /ср (ж, X).
Рассмотрим те решения, которые в точке х = Ь удовлетворяют краевому условию ф — действительное число)
{9,(6, X) + Z?1(6, X))cosH
■+{92(6, X) + Z?2(6, X))sin^ = 0. (2.4)
Из этого условия определим I:
] ®1 (^' X) °tg Р + ®2 (^’ X)/О Мх
71 (6, X)ctg^ + ?2(6, X) •\ • )
Для комплексных X знаменатель правой части (2.4') не равен нулю, так как в силу леммы 10.2 гл. I собственные значения регулярной задачи для системы Дирака действительны. Поэтому если ctg р заменить на комплексную переменную z, то I = I (X, z) есть мероморфная функция от X, регулярная в верхней и нижней полуплоскостях.
Мы имеем
I = I (X, z) = - Мд21£+М121 .(2. 4")
71 (6, X) Z + ?2 (6> X)
Действительной оси z-плоскости соответствует некоторая окружность Съ в Z-плоскости. Точке Z = оо соот-Действительной оси z-плоскости соответствует некоторая окружность Съ в Z-плоскости. Точке Z = оо соот-ветствует точка z =ветствует точка z =ствует точка z =ствует точка z =^(б, X) til». X)?2 (6, X) ?1 (5. X) •^(б, X) til». X)?2 (6, X) ?1 (5. X) •, а центру круга соответ-, а центру круга соответ-Значит, центр кругаЗначит, центр круганахо-нахо-дится в точке (заметим, что (<р (6, X) = ср (6, X))6, (6, X) ?2 (6, X) — 62 (6, X) уд (6, X) Ti (6, X) ?2 (6, X) — ?2 (6, X) ?1 (6, X) 'дится в точке (заметим, что (<р (6, X) = ср (6, X))6, (6, X) ?2 (6, X) — 62 (6, X) уд (6, X) Ti (6, X) ?2 (6, X) — ?2 (6, X) ?1 (6, X) '(2.5)(2.5)
Действительной оси z-плоскости соответствует некоторая окружность Съ в Z-плоскости. Точке Z = оо соот-
Действительной оси z-плоскости соответствует некоторая окружность Съ в Z-плоскости. Точке Z = оо соот-
ветствует точка z =
ветствует точка z =
ствует точка z =
ствует точка z =
^(б, X) til». X)
?2 (6, X) ?1 (5. X) •
^(б, X) til». X)
?2 (6, X) ?1 (5. X) •
, а центру круга соответ-
, а центру круга соответ-
Значит, центр круга
Значит, центр круга
нахо-
нахо-
дится в точке (заметим, что (<р (6, X) = ср (6, X))
6, (6, X) ?2 (6, X) — 62 (6, X) уд (6, X) Ti (6, X) ?2 (6, X) — ?2 (6, X) ?1 (6, X) '
дится в точке (заметим, что (<р (6, X) = ср (6, X))
6, (6, X) ?2 (6, X) — 62 (6, X) уд (6, X) Ti (6, X) ?2 (6, X) — ?2 (6, X) ?1 (6, X) '
(2.5)
(2.5)
Далее,
I m I ^t6, Х) I = —; / f^6’ Х>_^С6» X) 1
I ?1 (6, X) J 2 I ?1 (6, X) ?1 (6, X) /
21?1(6, Х)|221?1(6, Х)|2(2.6)(2.6)
21?1(6, Х)|2
21?1(6, Х)|2
(2.6)
(2.6)
Если V = X, \ = u-\-iv, то в силу (2.2) (G (ж) = Р (я)) из равенства (2.6) следует, что
ь
.[ (?1 (^, X) ^ (ж, X) + ?2 (ж, X) ?2 (ж, X)} dx
I ш { - ^М I = v 2,
I (6- X) J vЫбТТП5‘
Последнее равенство показывает, что если и ^> 0, то верхней z-полуплоскости соответствует внешность круга Сь.
Вычислим теперь радиус круга Сь. С одной стороны, точка —62 ^- ^ (при z = 0) лежит на окружности С6, а с другой стороны, как уже отмечалось, центр круга находится в точке (2.5). Поэтому радиус круга равен
6 I ?1 (6, X) ?2 (6, X) - ?2 (6, X) ?1 (6, X) ?2 (6. X) I •
Отсюда, используя равенства (2.2) и (2. 3), находим
11
гь =»=»•
2| yj J{ [V1 (», X)|2 + |?2(z, X)^2 I p| J|T(x, X)|2<^
о0
(2.7)
Далее, l находится внутри Сь при у > 0, если Im z < 0, т. е. если i (z— z)>0. Поэтому, разрешая (2.4") относительно Z, мы получим
■ [ ^2 (6, X) + 6.2 (6, X) /<р2 (6, X) 4- 62 (6, X) ।...
1^1(6- X) + 0± (6, X) Т z-?1(6] /.) + §1(6] X) ’
Отсюда находим
Ч^Дб, Х) + 6т(6, W* Ч + Ш X)]
- [Z?1 (6, X) + 5Т (6, X)] [Z?2 (6, X) + 62 (6, X)]) > 0.(2. 8)
Теперь, полагая в тождестве (2. 2) X = и + iv, V = = и — iv, G{x) = F (ж), получаем
2у ( | F ^ |2 dx = i {F, (0) F, (0) - F2 (0) FT (0)) -
°'-i^^F^-F^F.^. (2.9)
Поэтому, если F^x) = ^^x, X)-)-Z? (т, X), то из (2.9) следует ь
2y j | 9 (x, X) -|- 1^ (^x, X) |2 dx =
= iW (9 + ZT, 9 + Z?}_0 - iW (9 + Z?, 9 + l^x=b. (2. 9')
Отсюда в силу (2, 8) получаем
2у 19 (я, X) + Z<p (ж> ^) I2 ^ < iW (9 + Z<p, 0 + 1ф)ж=0, (2. 10) о
где W {/, g) = fT (х) g2 (ж) —/2 (л) gT (х). Так как в силу начальных условий (1.2) и (2.1)
Wr{9,0U=W(T> ?U = 0; W^ 5Uo=1V{9, ^=1,
и, следовательно,
W (9 + Z<p, 9 + Z<p) = Z — Z = 2Z Im Z, (2. 10')
то из (2. 10) следует
ь
j |9(;r, X) + Z<p(:r, Х)|2&< —-^.(2.11)
о
Тот же результат получается в случае и <_ 0 (пользуемся неравенством Im z > 0). В обоих случаях знак Im I противоположен знаку и.
Рассуждая аналогично, легко показать, что точка I лежит на окружности Сь в том и только в том случае, когда
ь
j |9(ж, X) + Z<p(a:, Х)|2& = — -1^1. (2.12) о
Далее, если I лежит внутри Съ и 0 <^У <^Ь, то
Im IIm Ij |9(ж, X)4-Z<p(a:, X)|2d^< о
Im I
Im I
| 9 (ж, X) + Z<p (ж, X) |2 dx <
Поэтому Z лежит также и внутри Су. Значит, если У < Ь, то Су содержит Сь. Отсюда следует, что при Ь-* оо круги Сь сходятся либо к предельному кругу Сто, либо к предельной точке т^. Если Сь сходится к кругу, то
его радиус rm = Нт гь положителен, и из (2. 7) следует, что ср (а:, X) ^^2(0, оо). Если m = m(X) — любая точка на Со,, то m лежит внутри любого круга Сь для 6 2> 0. Следовательно, в силу (2.11)
ь
j | 6 (ж, X) + ту (х, X) |2 cZa: ^ — ^ , о
и, полагая 6-*оо, получаем, что 9 (а:, X) -|- пг^ (х, X) £ £ jf2(0, оо). Те же соображения имеют место, если Сь сходится к точке тго. Поэтому, если Im X =4= 0, то всегда существует решение системы (1.1)—(1.2) класса jf2(0, оо). В случае Сь -* Ст все решения принадлежат классу jf2(0, оо) при Im Х = у =4=0, так как таковы решения у (ж, X) и 9 (ж, X) + ту (ж, X), и это отождествляет случай предельного круга со случаем существования окружности Со,. Соответственно случай предельной точки отождествляется со случаем существования точки тго. В случае Cb-+mm имеем Птг6 = 0, и из (2.7) следует, что функция у (а:, X) не принадлежит классу jf2(0, оо). Поэтому в этом случае имеется только одно линейно независимое решение из класса jf2 (О, оо) для Im X =4=0.
В случае предельного круга I лежит на Сь тогда и только тогда, когда выполняется равенство (2.12). Следовательно, I лежит на Сго тогда и только тогда, когда
у J | 9 (ж, X) —|- Zy (ж, X) |2 dx = —Im I. о
Поэтому в силу (2.9') и (2.10') из (2.11) следует, что I лежит на предельной окружности в том и только в том случае, когда
lim W (9 (а:, X) + Zcp (х, X), б (х, X) -|- Zy (а:, X)} = 0.
Vi(*, x)^icp2(ar, X)/ ’решенияVi(*, x)^icp2(ar, X)/ ’решенияНами доказана следующая
Vi(*, x)^i
cp2(ar, X)/ ’
решения
Vi(*, x)^i
cp2(ar, X)/ ’
решения
Теорема 2.1. Если Im X =4= 0 и ср (х, X) = /61(^ ХЛ
9 (ar, X) = п ,, — линейно независимые
хм*. М/
системы
Уг — (Х + 91 М) У1 = °>
у\ + (х + 9» И) У2 = 0, удовлетворяющим начальным условиям
<р2 (О, X) — cos а, <р2 (О, Х) =—sin а,
9j (О, X) = sin а, 02 (О, X) = cos а,
то решение ф (ж, X) = 9 (ж, X) + Ц (х, X) удовлетворяет краевому условию (92 (6, X) + Цг (b, X)) cos ₽ + (92 (6, X) -|- -j- Z<p2 (6, X)) sin р = 0 в том и только в том случае, когда I лежит на окружности Сь комплексной 1-плоскости, имеющей уравнение W (ф (ж, X), ф (ж, Х)я,_6} = 0. Если Ь-*со, то либо Сь стремится к предельной окружности Ст, либо к предельной точке т^. В первом случае все решения системы принадлежат классу jf2(0, оо). Во втором случае в точности одно линейно независимое решение принадлежит классу jf2(0, оо), если ImX^O. Кроме того, в случае предельного круга точка лежит на предельной окружности Ст тогда и только тогда, когда HmW^(a:, X), ф(х, X} = 0.
®-*СО
Замечание. В случае предельной точки, если I — любая точка на Сь, то I стремится к предельной точке тю, и это имеет место независимо от выбора р в краевом условии (2.4). В частности, это имеет место, когда Р = 0, и, таким образом, предельная точка определяется равенством
m V 6) (6, X)
Положим ф6(ж, Х) = 9(а:, X) + Z? (ж, X).
Лемма 2.1. Для каждого недействительного X (при 6-> оо)
Ф* (а:, X) -> ф (ж, X), J | ф6 (ж, X) I2 dx -> J I Ф (ж, X) I1 dx. -оо
Доказательство. Очевидно, что
ф»^, Х)= ф (ж, X) + (Z(X, 6)-?п(Х))?(^, X),
где ф (ж, X)q^2(0, оо), а т(Х)— точка предельной окружности ).
В силу формулы (2. 7) мы имеем
/ Ьх -1
\ЦХ, b) — mQ^\<2rb=l |у| j |<р(т, Х)|2^| .
\ о/
Поэтому, так как при Ь-* оо гь-*0, то ф6(я, X)-* ф (ж, X). Далее,
ь
j | (Z (X, b) — m (X)) ср (ж, X) |2 dx = о Ь/Ь\ -1
= 1I (X, 6) — т (X) |2 j | ср (ж, X) |2 dx ^ | у2 j | ср (ж, X) |2 dx | . о\ о/
Следовательно,
j | ф6 (ж, X'^dx-> J | ф (яг, Х)|2&.
оо'
Интегральное представление резольвенты.
Формулы для функций р(X) и m («)
Пусть вектор-функции ф (х, X) и ср (ж, X) имеют прежние значения. Положим
Ж^, XWy, X), у<х,
G (х, у; X) = ( . ,, , _ . ,.(3.1)
kI ?(*, Х)^Т(у, X), у>х, v ’
или более подробно
G\x, у; X) =
Ш*, х^^у, хМЖ х)<р2(у, х)\
= ХФг^, ^^(у, Ч ^^^У- Х ’3 ,,,
— /?1(^ Х)Ф1 (у» х)> ?i(^, ^2(z/> xb'
^(^ МФДг/. М, ?2(^, "х^^у, х‘
/А
Пусть / (ж) =. I — произвольная вектор-функ-
\/2 W/
ция класса jf2(0, оо). Покажем, что вектор-функция
ф(ж’ х) = (ф2(^ X)ф(ж’ х) = (ф2(^ X), определенная равенством
ф(ж’ х) = (ф2(^ X)
ф(ж’ х) = (ф2(^ X)
Ф(Х, X) = Jc(:r, у; k^W (3.2) О
удовлетворяет системе
У» — Р- + 91 (ж)} Ут = +/1),3
У[ + Р' + ?2(я)}у2 = — /2^) /'
и краевому условию (1.4).
Определитель Вронского W {ср, ф) не зависит от х и W {у, ф} = 1 (см. п. 1 § 12 главы I).
Теперь в силу определения матрицы G (х, у; X) мы имеем
ф^ж, Х) = ф1(ж, X) ^[срГ(у, Х)/(у)]с?у +
О
+ V1(:r, X)J^(y, Х)/(у)Ш(3.4)
$2^ М = Ф2(^ X)J[^(y, X)/(y)]dy + О
+ ?2(^, ^^[ФЧУ. >Шу№,(3.5)
где
[?Г(У> ><) / (у)] = ?1 (^ х)Л(*) + ?2(*> ^)/2М- (3.6) Дифференцируя равенство (3. 4) по х, мы получаем ф;(Ж, х) = ф{(ж, х) [[^ x)/(y)]dy + О
+ ^(^ х) J [фг (у, ^) / (у)] йу + ф! (ж, X) [уг (ж, X) / (ж)] — — фДж, Х))*7^, Х)/(2-)].
Так как ф (ж, X) и ср (ж, X) являются решениями системы (1.1)—(1.2), то, подставляя значения функций ф( (ж, X) и <р( (ж, X) из системы (1.1)—(1.2) в последнее равенство и учитывая (3.5)—(3.6), мы получаем
х) = — [х + ffl (Ж)] / ф2 (Ж, хф^у, х)/(У)]^ +( о
ОО1
Н-Уг^ Х)$[фГ(У, Ц/№У + {Ф1(^ ^(z, М —
— Фг^» ^Vi^. Х))/2 W = — R + ?2 Wl ф2 (ж> Х)— /2М. т. е. удовлетворяется второе уравнение из системы (3. 3). Аналогичным образом проверяется, что Ф (ж, X) удовлетворяет и первому уравнению.
Далее, мы имеем из (3. 4)—(3. 5)
ОО
Ф1(0, Х) = ?1(О, X) J^(y, way, о оо
Ф2(0, Х) = ?2(0, X) j^(y, \)Цу)Шо
так что Ф(ж, X) удовлетворяет краевому условию (1.4).
Обозначим через Хо, Х±1, Х±2, . . ., Х±в, . . . собственные значения, а через <р0(ж), <р±1 (ж), <р±2(ж), . . ., <р±„(ж), . .. соответствующие собственные вектор-функции краевой задачи (1. 1) + (1. 2) -|- (1. 4) + (1. 15). Пусть I (X, 6) и фДя, X) имеют то же значение, что и в предыдущем параграфе. Положим
I^^(У. z\ У <х,
ъкх' У- z) —z^^y, z), У>х,
6
R,, bf=\Gt Iх- у; z) f (у) dy- (3-7) 0
Тогда, полагая еще
ttn= $ {?^ (ж) + <p22 (Ж)} ^
9
в силу разложения (13. 24) гл. I получаем
ь
?(*. ^$f (у)?(У, '^У
^м. (3-8)
где р6(Х) имеет то же самое значение, что и в § 1.
Лемма 3. 1. Для каждого недействительного z и фиксированного х справедлива оценка
СОС |У(*. X)J ] z — X —ООСОС |У(*. X)J ] z — X —ОО|2^р6 (х)|2^р6 (х)с,с,(3.9)(3.9)
СО
С |У(*. X)
J ] z — X —ОО
СО
С |У(*. X)
J ] z — X —ОО
|2^р6 (х)
|2^р6 (х)
с,
с,
(3.9)
(3.9)
причем постоянную С можно выбрать не зависящей от Ь. Доказательство. Полагая в формуле (13. 24) гл. I
t (У) = ?„ (У), получаем
V„\Gb^ У’ ^^y^y = -^^. О
Поэтому в силу равенства Парсеваля
Ьоооо
Ом ——mm
что в силу определения матрицы G6 (х, у; г) равносильно
*) Здесь применяются следующие обозначения:
I ^Ь (ж> У, z) | 2 =- | £11, 4 | 2 + I £12, 6 I 2 + I £21, 4 I 2 + I £22, Ъ I 2;
I ?и (*) I 2 = I V»1 (Z) | 2 + | ?»2 (*) I 2'
ьZ)!2 5 I Фб (у, 2)Г^У =ьZ)!2 5 I Фб (у, 2)Г^У =равенству
ь
Z)!2 5 I Фб (у, 2)Г^У =
ь
Z)!2 5 I Фб (у, 2)Г^У =
I Ф» (®. 2) I2 5 ] <р (у, z) I2 dy + | ср (ж,
О
|Z-X|2 “МЛЛ
Откуда и следует оценка (3.9) в силу леммы 2. 1.
Следствие I. Пусть р (А) имеет то же значение, что и в § 1. Тогда справедлива оценка
ОО
5 гйп^^^кс <3-1°)
с той же константой С, что и в оценке (3.9). В самом деле, пусть а > 0 произвольно. Из оценки (3. 9) следует
i Т-иХ?-)<с.(3.11)
Полагая здесь сначала Ь-> оо, а затем а-> оо, получим оценку (3. 10).
Следствие II. При любома)>0
( №J А2( №J А2ООГ dp^A)J А2ООГ dp^A)J А2ОО.ОО.(3. 12)(3. 12)
( №
J А2
( №
J А2
ОО
Г dp^A)
J А2
ОО
Г dp^A)
J А2
ОО.
ОО.
(3. 12)
(3. 12)
Доказательство. Так как срп1 (0) и ср^ (0) не могут одновременно обращаться в нуль, т. е. |<р(0, Х)|2=Л0, то, полагая в оценке (3.10) z = 0, мы получаем
d? ОСI Z — А |2d? ОСI Z — А |2< 00,< 00,
d? ОС
I Z — А |2
d? ОС
I Z — А |2
< 00,
< 00,
откуда и следует наше утверждение.
Лемма 3.2. Пусть /(z)= , , J С^(0, оо) и
V2 Vх)/
z = ^ + iv. Тогда имеет место оценка
ОО00
j|7?7|2^<^ j|/(y)|2^,
гдегде
где
где
СО
RA=\ G^ У’ ^ЦУ^о
а матрица G(x, у; z) определяется по формуле (3. 1).
Доказательство. Пусть Ъ )> 0 произвольно. Тогда из (3.8) в силу равенства Парсеваля следует
Ьоо( 6) 2
( I Я, 6/12 dx = 2 Л2|Л'Г|2 $ f (у) (У) йУ <
о'п——ООV оI
оо/6\26
<4 2 "MV^KAyW =^ $ |/(у)Р^-
«——оо [о.10
Если а — фиксированное положительное число и а<(6, то
д66
j I R, Д I2 dx < j I R^ J I2 dx < ^ j I / (у) I2 dy.
о00
Полагая здесь b~^ co, мы получаем
\\R,f\2^<^ $|/(y)l2^, оо
откуда и следует утверждение леммы в силу произвольности числа а.
00—0000—00Теорема 3.1 (интегральное представление резольвенты). Для каждой вектор-функции f (х) с S'2 (0, оо) и каждого недействительного z справедливо равенство
00
—00
00
—00
(3. 13)
где
E (X) = 1 • i • m ( /г (z) cp (z, X) dx.»-»co
Доказательство. Пусть вначале /(я) = /я(я) обращается в нуль вне конечного интервала [0, п], удовлетворяет краевому условию (1.4) и имеет непрерывную первую производную. Пусть 6 )> и и р — произвольное положительное число. Положим
Еп (х) = 5" /» W ? (^ х)dx-о
Тогда равенство (3.8) можно переписать в виде
ОО
—00 {—р.р. ОО
5 + 5+5 гЧ^т^^(х)=—00— р. р. .
= Д + 72 + 73.(3.14)
Оценим теперь Iv Мы имеем в силу (3. 8)
р.
*>м*>м• vj^W)
*>м
*>м
I z — X
2 т^М^и<11 ^k<—WО2 т^М^и<11 ^k<—WОIVfcMI2 V»Ч ^ - Ч)2)IVfcMI2 V»Ч ^ - Ч)2)Так как вектор-функция <pfc (я) = системы (1. 1)—(1. 2), то мы имеемТак как вектор-функция <pfc (я) = системы (1. 1)—(1. 2), то мы имеемfn (^ ^ (*) dxfn (^ ^ (*) dxУм М/Ум М/естьесть(3.15)(3.15)решениерешение
2 т^М^и<11 ^k<—WО
2 т^М^и<11 ^k<—WО
IVfcMI2 V»
Ч ^ - Ч)2)
IVfcMI2 V»
Ч ^ - Ч)2)
Так как вектор-функция <pfc (я) = системы (1. 1)—(1. 2), то мы имеем
Так как вектор-функция <pfc (я) = системы (1. 1)—(1. 2), то мы имеем
fn (^ ^ (*) dx
fn (^ ^ (*) dx
Ум М/
Ум М/
есть
есть
(3.15)
(3.15)
решение
решение
5 ^ М ?fc (*)dx = А $ {/„i (*) [?и W — 91 (*) ?ы (*)] + оо
+ /„2 (^) [— ?и ^ — Чг (^) ?fc2 (^)]} dx-
Теперь, интегрируя последний интеграл по частям и учитывая, что вектор-функции /я (z) и <pfc (z) удовлетворяют
краевому условию (1.4), a f„(x) вне интервала [0, и] обращается в нуль, получаем
п»
J fn М ?к (О dx = ^ 5 (?ы (^ 14 ^ — 91 ^ /ш MJ +
Оо
+ ?М (*) Hl W — ?2 (*) /«2 GO]} dx.
Поэтому, так как в силу леммы 3. 1 первая сумма в правой части (3. 15) ограничена, то, учитывая последнее равенство из (3.15) мы получаем
»^2x7,
(3.16)(3.16)$ Ч (ж) ?л (О dx I
(3.16)
(3.16)
о)
где
Ъ (^^ — 91(хН„1(х)\
Тогда в силу неравенства Бесселя из (3. 16) следует
оценка
Точно так же доказывается, что 73^^. Из этих оценок следует, что 1г и 13 стремятся к нулю при р.->оо равномерно по 6. Поэтому можно воспользоваться обобщенной теоремой Хелли, и из равенства (3. 14) мы получим
ОО
(3. 17)(3. 17)L(£l2L^l2i) dp (X)
(3. 17)
(3. 17)
—ОО
Формула (3. 13) для произвольной вектор-функции Цх) из класса ^2(0, оо) получается из (3. 17) в точности так же, как при доказательстве теоремы 3. 1 гл. И. Теорема доказана.
16 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Из формулы (3. 13) легко следует следующая.
Теорема 3.2. Для каждого недействительного z справедлива формула (Imz0¥=0)
ОО
m(z)—m(z0)= j (у^— у”У’‘ ^’(3,18Э
—ОО
и если X и р— точки непрерывности функции р (X), то справедлива формула (т>0)
р (X) — р (р) — — Um ( {—Im [m (о + гт)]} da. (3. 19) " т-»0 /
Доказательство. В силу произвольности вектор- функции /(ж) из формулы (3. 13) следует )
00, Т ,
С( V И’ X) у (у, X) Д-(\\
У, 2)= ] :dp(X).
— ОО
Поэтому
С(ж, у, z^ — G^x, у; z0) =
ОО
= 5 ?(*> X)?r(y, xV^-—(X). J— £ Л. — *0/
—ОО
В последнем равенстве слева и справа стоят матрицы. Значит, равны соответствующие элементы этих матриц. Приравнивая элементы стоящие на пересечении первой строки и первого столбца в силу (3. Г) и определения произведения <р (ж, X) срт (у, X), а затем полагая х = у = 0 и учитывая начальные условия (1.3) и (2. 1), мы получаем
(cos а -|- m (z) cos а) cos а — (cos а -)- т ^z^ cos а) cos а =
ОО
= S cos2a^_±___J_^p(X), —со
что и доказывает формулу (3. 18).
Докажем теперь формулу (3. 19). Пусть z = а + 1Т- Из формулы (3.18) следует
signTm(z)-m(z)_ 1 г | т | dp (X)
Х\ * / к2iл J (X — а)2 т2 *
—ОО
Тогда в силу формулы обращения Стилтьеса (см. гл. XIV, теорема 3. 1) отсюда следует, что если X и и суть точки непрерывности р (X), то
р (X) — p(p.) = Iim( —/(а, ^йа. (3.20)
С другой стороны, в силу (2. 12) m (z) = m (z). Поэтому
х(=- т) = г!а1лМ--Ы=^11т(т(г)). (3.21)
При т)>0 формула (3.19) следует из формулы (3.20) в силу (3.21). Теорема доказана.
§ 4. Доказательство равенства Парсеваля в случае всей прямой
Рассмотрим снова систему (1.1)—(1-2), предполагая
Обозначим через ^ (z, X) = (Обозначим через ^ (z, X) = (теперь, однако, что х изменяется в интервале (—оо, оо), а ^ (ж) и д2 (ж) — непрерывные в каждом конечном интервале функции.
Обозначим через ^ (z, X) = (
Обозначим через ^ (z, X) = (
... решение си
,>0/
стемы (1. 1)—(1. 2), удовлетворяющее начальным условиям
?п(0, >0 = 1,?12(0, Х) = 0,(4.1)
/>21 (я, Х)\
а через <p2(z, Х) =—решение той же системы,
Удовлетворяющее начальным условиям
?21(0, Х) = 0,?22(0, Х) = 1.(4.2)
Пусть [а, 6] — произвольный конечный интервал. Рассмотрим краевую задачу, определяемую системой
1.1)—(1.2) и краевыми условиями ут (a) sin а + у2 (а) cos а = О, Ут (b) sin ₽ + у2 (6) cos р = О,
(4-3)(4-3)где а и р — произвольные действительные числа.
(4-3)
(4-3)
Пусть Хо, Х±1, Х±2, . . ., X ,..., —собственные значения
И Уо ^ У±1 (A У^^Y • •У±пкх\ • •9^] I — соответствующие собственные вектор-функции этой задачи. Так как решения системы (1.1)—(1.2) ^ (z, X) и <p2(z, X) линейно независимы, то
^W^Pa^- XJ + ТА (^ х)-
Далее, ввиду того, что рассматриваемая задача однородна, то, не нарушая общности рассуждений, можно считать, что | Ря | ^ 1, I Т» I ^ 1- Положим
а» = 5 I У„ ^ I2 dx-
Пусть / (z) =имеет интегрируемый квадрат
V2 \ХМ
в интервале [а, 6]. Тогда, применяя к функции / (я) равенство Парсеваля, получим
ЬооГ Ь
(|/(*)12^ = 2 -^r\\fT<x)yn<x)dx
an——oov a
bb$/T(^)?l(^ ^dx a$/T(^)?l(^ ^dx aГ ^ [₽A (^, x„) + T„?2 (^> X)1dx
b
b
$/T(^)?l(^ ^dx a
$/T(^)?l(^ ^dx a
Положим
2 # <1>°>' - 2 i <х<0)'
0<Х„^Хо^хп>х
^ <х>°>; - 2 ^ (х<°>.
0<Хн^ХО^ХП>Х
Р12, а, Ь (Х) = Р21, а, Ъ W>
Р22,я,»м=-- 2 4 (Х>0); - 2(Х<0)-
0<Хд^ХО^ХП<Х
Тогда равенство (4. 4) можно записать в виде
Ьоо2
\\f^dx = [ 2 РД\)РД\^.]О(к), (4.5) a—00
где
РДХ^^^х^Дх, X)dx (i = l, 2).(4.6)
Лемма 4.1. Для любого положительного числа IV существует такое постоянное положительное число Л = Л ^N\ не зависящее от а и Ь, что
N
Х/^,м№<А Ц, 7=1, 2).
Доказательство. В силу условий (4.1)—(4.2) мы имеем
М0’ Х) = 8</ (8о=1’ i = i; 8<у = 0’ Z^^-
Поэтому для данного 7V существует такое h )> 0, что (°О<1)
l?,-/^, х) —%-1<®,(4-7)
Для 0<z</i и |X|<7V.
Пусть fh(^x)=\, . . —неотрицательная непрерывная ,\12КХ)/
Функция, притом /2 (z) = 0, а Д (х) обращается в нуль
вне интервала [О, А], и нормированная так, что
j Д (ж) dx = 1.(4. 8)
о
Положим
Fib W = 5 Я И ?< (^ Х^х=^ /1 W ?Л ^ X) ^ (г = 1, 2). оо
Тогда в силу (4.7) и (4. 8) мы находим
^)Н- (^ = 1, 2).(4.9)
Далее, применяя равенство Парсеваля (4.5) к функции / (ж), получаем *)
f f F^F^dp^.
0
Отсюда в силу (4. 9) следует
\fi^dx> j 5_ (8.1— е)(Д1~ e)^P.v(X) =
=2 Wpo-W-8 5 2 (Sh + ^^/x)-!-
—1_,Vl, У—1
К 2
+ еЧ 2 dp<y(X) = Z1 + Z2 + Z3.(4.10)
Вычислим Iv 1^ и 1а. Очевидно, что
A = PnW-Pn(-^).(4.11)
Далее,
Z2 = -2s {Р11 (TV) - Р11 (-TV)} - 2е (Р12 (TV) - Р12 (-TV)}.
И, наконец,
Z3 = 2s2 (Р12 (TV) - Р12 (-TV)} + s2 (р22 (TV) - Р22 (-TV)}.
Из последних двух равенств следует
Л + Л^-З^Рп^-РпЬЛОН
+ 2e(e-l){p12(^)-p12(-7V)} +
+ e2{p22(7V)-p22(-7V)}.(4.12)
Так как
2 {р12 W - Р12 (-^)) < РП W - Рп (-^) +
+ p22R-p22(-^),(4.13)
то, учитывая, что е—1 < 0, из равенства (4.12) получим неравенство
/2 + Л > ^ - Зе) (Рп W - Р11 (—AQ) +
+ (2e2-e)(p22(7V)-p22(-7V)}.
Тогда в силу последнего неравенства и равенства (4. 11) из (4. 10) следует
j /2 ^ dx > (2е2 - Зе + 1) {рп (7V) - рп (-2V)) +
°+(2e2-e){p22(7V)-p22(-^)}.(4.14)
/gj (z)\
Пусть теперь gh(x)=\ I удовлетворяет тем же усло- \8г Vх)/
виям, что и fh(x), с заменой gy^x) на g2(xY т. е. gT(a:) = 0,
a j g2 (х) dx = 1. Тогда, поступая так же, как и выше, о
мы получаем неравенство
5 g2 dx > (2е2 - е) {рп (Л/ ) - рп ^-NY, +
°+ (2б2 - Зе + 1) {р22 (ЛО - р22 <-NY.(4. 15)
Суммируя неравенство (4. 14) и (4. 15), мы получаем
$ {/1 (^) + >
> (2е - 1)2(рп (7V) - Р11 (-7V) + Р22 W - Р22 k-NY^
откуда и следует утверждение леммы для функций pn (X) и P22W в СИЛУ монотонности этих функций. Утверждение леммы для функции р12 (X) следует из неравенства Коши — Буняковского. Лемма доказана.
Покажем теперь, что, используя лемму (4. 1) и известные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса из равенства (4.5), можно получить равенство Парсеваля для системы (1. 1)—(1. 2), т. е. справедлива
/Д
Теорема 4. 1. Пусть /(а:) =с S?2(— со, оо).
\/2 \Х)/
Существуют не зависящие от функции f (ж) монотонные, ограниченные функции pu (X), р22(Х) и функция с ограниченной в каждом конечном интервале вариацией р12(Х) такие, что справедливо равенство Парсеваля
сооо 2
U/^P^t 2 F{(k)F/X)dp (X), (4.16) JJ <, /=1J у
—00—00
где
Ft (X) = I • i • m ( f1 (ж) <p( (ж, X) dx.n-co **
Доказательство. Пусть вначале вектор-функция
Д(а:) =обращается в нуль вне интервала
V2 Vх) /
—п^ж^п, M<min(|a|, |Ь|}*) имеет непрерывную первую производную и удовлетворяет краевым условиям (4.3). Применяя к f^^x) равенство Парсеваля (4.4), мы получим
j \№\гах= 2 <j \№\гах= 2 <b5 fnWvk ^axb5 fnWvk ^ax^. 17)^. 17)
j \№\гах= 2 <
j \№\гах= 2 <
b
5 fnWvk ^ax
b
5 fnWvk ^ax
^. 17)
^. 17)
Так как в окрестностях точек а и b f„(x) тождественно
равна нулю, то, интегрируя по частям, мы получаем
J fT„ ^ У к ^ ^ = Ч S /в1 ^ ^ ^ — 91 ^ Уи ^)] dx —
"^й" 5 ^”2 ^ ^А1 ^ + ^2 ^ ^к2 ^^ ^Х ~
= тг $ {[/«2 (^) — 91 (^) /„1 Ml Ун (^) +
+ [—/«1 (Ж) — ^2 (^) /„2 (^1 Ук2 (Я)} ЙХ.
Поэтому отсюда и в силу равенства Парсеваля следует
1Ь5 №УкЮ йх а1Ь5 №УкЮ йх а226
1Ь
5 №УкЮ йх а
1Ь
5 №УкЮ йх а
2
2
"Ч 2 Ч i tO*) — yAx^^y^-v
+ {—/»1 (*) — ?2 ^ U ^ УИ W1 ^ ) <
006
А=—ооА=—оо^ 2 Ч SVif^-giW^xyjy^xH
А=—оо
А=—оо
+ (—/В1 ^ — ?2 М /«2 ^ Ум Ml ^) =
= Ч $ <^2 W — 9г М /„1 (я)]2 + Р^ (я) + 9г (х) fn2 (ж)]2} dx.
! kwi2^—! kwi2^—bb222 ч и/»^)^)^ <—P'^it^P-а'^ J {[/;2M-^iM/„i№ ++ Ki W + ?2 W/В2 WF}(4‘18)2 ч и/»^)^)^ <—P'^it^P-а'^ J {[/;2M-^iM/„i№ ++ Ki W + ?2 W/В2 WF}(4‘18)Из этой оценки и равенства (4. 17) мм находим
! kwi2^—
! kwi2^—
b
b
2
2
2 ч и/»^)^)^ <
—P'^it^P-а'
^ J {[/;2M-^iM/„i№ +
+ Ki W + ?2 W/В2 WF}(4‘18)
2 ч и/»^)^)^ <
—P'^it^P-а'
^ J {[/;2M-^iM/„i№ +
+ Ki W + ?2 W/В2 WF}(4‘18)
Далее, имеем
ъ
2 ^=
—р-^Хд^р.а‘
6I2
= 2 -4 S^^e^vi^’^+ta^. чя^ =
—p.^X^<P-я
2
где
Рм^ = \Г„кх^Дх, \)dx (i=l, 2).
Поэтому равенство (4. 18) можно переписать в виде
яр- 22 Р4ддЕ.дда^)а,ДДяр- 22 Р4ддЕ.дда^)а,ДД
яр- 2
2 Р4ддЕ.дда^)а,ДД
яр- 2
2 Р4ддЕ.дда^)а,ДД
"^ J (О*) — 91 М/„1 № +
(4. 19)
В силу леммы 4. 1 множество монотонных функций р1Ч й 4 (X) (—р^^Х^р.) г = 1, 2 ограничено, а множество р12 И>1(Х) ограничено и имеет в каждом конечном интервале ограниченную вариацию, равномерно по Ь. Поэтому можно выбрать последовательности ак и Ък, для которых при ак^> — оо, Ьк-> оо функции р,У)а>1(Х) сходятся соответственно к ру (X). Переходя в неравенстве (4. 19) к пределу по ак и Ьк, мы получаем
”Р- 2
( ДДх)\Мх- ( 2 Fto(X)F^dpy(\)\
—л—р.
7Г $ <[/;= ^ - 91 ^ tnx № + Ki ^ + q. (а:) ^ (х)]^) dx.
И, наконец, полагая в последнем неравенстве р—► оо, получаем
*оо 2
( \№\2dx = ( 2
Л
т. е. равенство (4. 16) для функций, удовлетворяющих указанным условиям.
Распространение равенства Парсеваля на произвольные функции класса 5(2(—со, оо) осуществляется с помощью обычных приемов. Теорема доказана.
Пусть /(ж) и g(x^^4—со, оо) и функции G.Q.) построены по g (х) так же, как F,. (X) по f (х\ Очевидно, что вектор-функции / (ж) + g (х) имеют своими преобразованиями Фурье соответственно функции F 4 (X) + G4 (X) (t= 1, 2). Поэтому
00
$ I / (ж) + g ^ |2 dx =
—со 'со 2
= $ 2 [Л-М + ^(Х)][^.(Х) + (?.(Х)]^,.(Х),
—00
$ l/W— g(x)l2dx = —00
co 2
= J #2=JF^)-G^)W*)-Gy(^ -—00 ъ 3‘
Теперь, вычитая из верхнего равенства нижнее, мы получаем
00
J tT (х) g (ж) dx =
—00 о° 2
= | $ # 2 2 [Л (*) Gj (X) + F, (X) G. (X)] dpt, (X) =
—оо 1
о° 2
= 5 2_ ^.(X)G.(X)^,V(X).(4.20)
Равенство (4.20) называется обобщенным равенством Парсеваля.
Теорема 4.2 (теорема разложения). Пусть Цх) =
/А М \/ /
= 1 ч I — непрерывная вектор-функция (—оэ^ж^со), \/2 Vе)'
у,, (ж, X), F. (X) (г = 1, 2) имеют прежние значения, а интегралы
ОО
рДХ^Дж, X)dP//(X)(i, / = 1, 2)(4.21)
— ОО
сходятся абсолютно и равномерно по х в каждом конечном интервале.
Тогда
002
/(ж)= ( 2 ЕДХ^Дх, X)dp (X).
j Г (х) g (х) dx =—Яj Г (х) g (х) dx =—Я[ gT (x) ^4 (ж, X) dx[ gT (x) ^4 (ж, X) dxДоказательство. Пусть g (х) — непрерывная вектор-функция, равная нулю вне конечного интервала [—п, и]. Тогда, применяя к вектор-функциям / (ж) у g (ж) обобщенное равенство Парсеваля (4. 20), получаем
j Г (х) g (х) dx =
—Я
j Г (х) g (х) dx =
—Я
[ gT (x) ^4 (ж, X) dx
[ gT (x) ^4 (ж, X) dx
^ij (X).
В правой части последнего равенства в силу абсолютной сходимости можно изменить порядок интегрирования. Тогда мы получим ■
j gT (ж) / (ж) dx =
dx.dx.= SV^H 2 РДХДДх, X)dp(X)
dx.
dx.
-П 1-00 j=1
Утверждение теоремы следует из последнего равенства в силу произвольности непрерывной вектор-функции g (х), а также непрерывности / (ж) и интегралов (4.21) (непрерывность последних следует из предполагаемой равномерной сходимости). Теорема доказана.
Указания к литературе
Основной результат этого параграфа, т. е. теорема 1. 1 впервые получен Контом и Сангреном [1]. Изложенное здесь доказательство принадлежит И. С. Саргсяну [7].
Результаты этого параграфа принадлежат Титчмаршу [4] и Маклеуду [1]. Следует, однако, отметить, что если коэффициенты р (ж) и г (ж) непрерывны в каждом конечном интервале, то может иметь место только случай точки (см. гл. XIII, § 7).
Интегральное представление резольвенты получено авторами и публикуется здесь впервые. Остальные результаты этого параграфа принадлежат Титчмаршу [4] и Маклеуду [1].
Теорема 4. 1 имеется в работе Титчмарша [4]. Лемма 4. 1 и изложенное здесь доказательство теоремы 4. 1 принадлежат авторам и публикуются^впервые.
ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА
Спектром, соответствующим задаче, как для оператора Штурма — Лиувилля, так и для системы Дирака в случае полупрямой [0, оо) называется множество, дополнительное к множеству точек, в окрестности которых спектральная функция р (X) постоянна. В случае всей прямой (— оо, оо) спектр есть дополнение к множеству точек, в окрестности которых все функции В (X), т; (X) и С (X) постоянны ). Очевидно, спектр есть замкнутое множество. Точечным или дискретным спектром называется множество всех точек разрыва спектральной функции р (X) (в случае полупрямой [0, оо)) и функций В(Х), т; (X) и ((X) (в случае всей прямой (оо, оо)), а непрерывным спектром — множество точек непрерывности р (X), принадлежащих спектру. Аналогично и в случае всей прямой (— оо, оо). Точки в дискретном спектре называются также собственными значениями, а решения задачи, соответствующие таким точкам, называются собственными функциями.
Дискретный спектр
Рассмотрим задачу
уП^^-д^у = О,(1.1)
у (0) cos а + у' (0) sin а = 0(1-2)
на полупрямой.
В настоящем параграфе будут указаны некоторые достаточные условия для дискретности спектра задачи (1.1)-(1.2).
Лемма 1.1. Для дискретности спектра задачи (1.1)—(1.2) достаточно, чтобы при каждом фиксирован
ном X любое решение уравнения (1.1) имело конечное число нулей на полупрямой [0, оо).
Доказательство. Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля на конечном отрезке [0, 6], т. е. к задаче (1.1)—(1.2) присоединим краевое условие у (b) cos 3 -j- -j-yf (6) sin P = 0. Из теоремы осцилляции Штурма (т. е. из теоремы 3. 3 гл. I) при условии леммы следует, что число собственных значений N6 (X) задачи на конечном отрезке [0, 6] остается ограниченным в каждом конечном интервале равномерно по Ъ. Так как задача (1. 1)—(1. 2), т. е. задача на [0, со), есть предел задачи на [0, 6], то очевидно, что спектр предельной задачи дискретен.
Замечание. Из теоремы сравнения Штурма (см. теорему 3. 1 гл. I) следует, что условие леммы 1. 1 заведомо выполняется, если
.9М-^ + оо при х —> оо.(1-3)
. В самом деле, при фиксированном X найдется такое z — xx, что при х">хх выполняется неравенство X —q(x)<^0. Тогда в силу той же теоремы сравнения Штурма любое решение уравнения (1.1) в интервале (хх, оо) имеет не более одного нуля. А в интервале (0, хх) число нулей Конечно.
Оказывается, что условие леммы 1. 1 выполняется при значительно менее ограничительном условии, чем (1.3). А именно, имеет место следующая
Лемма 1.2. Пусть коэффициент q^x) удовлетворяет следующим условиям:
,1? ограничен снизу, т. е. существует такое постоян
ное число с > 0, что для всех х
.q^>—C't-4)
2? при любом ш ^> 0
'Пт j q (ж) dt = оо.(1.5)
полупрямой (0, оо) и, следовательно, в силу леммы 1.1 спектр задачи (1.1)—(1-2) дискретен.
Замечание. А. М. Молчанов доказал [1], что при выполнении условия (1.4) условие (1.5) является необходимым и достаточным условием дискретности спектра задачи (1.1)—(1.2). Из леммы 1.2 следует достаточность условия (1. 5). Необходимость этого условия доказывается с помощью методов, которых мы в этой книге не касаемся (см. указанную работу А. М. Молчанова и книгу И. М. Глазмана [1]).
Доказательство леммы 1.2. Сначала заметим, что, не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что
9М>0. (1.6)
Предположим, что при некотором Х = Хо>О найдется решение уравнения (1.1) у = у\х\ которое имеет беско
нечное число нулей «! О «2 аз < ая <С - • •
Пусть ш — малое положительное число, удовлетворяющее неравенству ш <^ 1/(Х0Д-!)• Выберем N настолько большим, что для х^> N
j 9 W ^ > ш (хо + !)>j 9 W ^ > ш (хо + !)>(1-7)(1-7)
j 9 W ^ > ш (хо + !)>
j 9 W ^ > ш (хо + !)>
(1-7)
(1-7)
что возможно в силу условия (1.5). Далее, выберем п настолько большим, что «„> А, и затем т'>п настолько большим, что ат — ая )> ш- Если <о увеличить, то в силу (1. 6) условие (1.7) будет выполняться для тех же самых х. Поэтому, не нарушая общности, можно предполагать, что ат — ая=Ра), где Р— целое число.
Перепишем уравнение (1.1) (при Х = Х0) в виде
у" = toto) — Ч) у-
Умножим обе части последнего уравнения на у и проинтегрируем в пределах от ая до ат. Интегрируя левую часть по частям, получим
ататат
(1-8)(1-8)— j [/(<)]2^=j У (t) У2 w dt — хо j y^dt. аи“яая
(1-8)
(1-8)
Оценим интеграл
ат
j q^y^W “л
Для этого представим его в виде
“w. р «я+кш
j q^y^^dt^ ^ j q (it) у2 (f) dt.
«йаи+(Аг—1)ш
Из теоремы о среднем значении для интегралов и уело- вия (1.7) следует
“я+*™
j q^^dt^-A^y2^,
а„ + (к — 1) ш < 4 < % + Аш.
Поэтому
"тр“т
$ q^y4t>)dt>(k»+l)^y4^^= (4+l)j y2^dt-
р «м+кш
-(4 + 1)2 5 [z/2(<)-i/2(4)J^- (1-Ю)
^=1 «и+(*-1)ш
Далее, мы имеем
|У2М-г/2^)| =
«И+А?ш«И+А?шy^^du-V j \у'(и^2 du . «„+(&-!) шy^^du-V j \у'(и^2 du . «„+(&-!) ш
«И+А?ш
«И+А?ш
y^^du-V j \у'(и^2 du . «„+(&-!) ш
y^^du-V j \у'(и^2 du . «„+(&-!) ш
17 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Поэтому из (1.10) следует
атат
j 9 (0 У2 <А > (хо + !) j У2 ^ — апап
р &п+кш । ая+А'си"J
— P-o+OSJJ у2 (и) du df —
Л*1 а„+(к-1)ш 'ай+(Л—1)ш*
р «н+А?ш | ам+А*и>1
^o+^s $ S [у'(и)]2 du d£ = ®я+(А—l)w * ай+(fc—l )ш'
атат
= (хо + О J У2 (Оdt — (хо + ^ ш j У8 ^ ^ —аиая
-(Х0+1)ш j [у'Ж^-(1.11)
«и
Из (1.8) и (1.11) следует “m“т'
-Sty'W^Xl-^o + l)^ J y4t)dt-
т. е.
{l-(Xo+1)to) j ly4tWy'mdt<0,
что невозможно, так как (Хо 4-1) ш < 1. Лемма доказана.
Теорема 1.1. Если Хо есть точка дискретного спектра и <р (ж, Хо) — соответствующая собственная функция, то <p(z, Xo)q^2(O, оо).
Доказательство. В обозначениях леммы 4. 1 гл. II мы имеем
а (I2
Ш ? (^, X) <р (у, X) dPb (X) dy < $ ?2 (z, X) dPi (X) < М,
О U/ д
где a<_b, М — фиксированное положительное число. Полагая вначале 6-> оо, а затем а-> оо, мы получим
ОО /j-
j К ? (^, А) ? (!Л ^ dp (X)i dy < М.
о1
Пусть интервал Д содержит только один скачок функции р (X), который мы обозначим через d (Хо). Из последнего неравенства мы получим
ОО
d (Хо) ?2 (ж, Хо) J у2 (у, Хо) dy < М,о
и так как у (ж, Хо) не равно тождественно нулю, то теорема доказана.
§ 2. Теорема осцилляции для интервала (0, оо)
Цель настоящего параграфа доказать следующую теорему.
Теорема 2. 1 (теорема осцилляции для интервала (О, оо)). Пусть коэффициент q^ уравнения (1.1) удовлетворяет условиям (1.4) и (1.5). Обозначим через фя(ж) = = у(ж, Хя) *) (n — Q, 1, 2, . ..) собственные функции задачи (1.1)—(1.2). Каждая функция ф„(ж) внутри интервала (0, оо) имеет ровно п нулей, причем нули различных собственных функций перемежаются.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля на конечном отрезке [0, &]:
V'-V^-q^y-O <0<x<b\(2-1)
у (0) cos а + у’ (0) sin а = 0,(2. 2)
'у (6) cos р + у’ (b) sin р = 0.(2.3)
Обозначим через Хо; 6, Х1;6, . . ., Х„. 6, . .. собственные значения задачи (2.1)—(2.2)—(2.3), а через фЯ1д(д:) = = <р(ж, Х„. 6)— соответствующие собственные функции.
*) Х„ — собственное значение задачи (1.1)—(1.2), у (г, X) — решение уравнения (1. 1), удовлетворяющее начальным условиям У (0, X) = sina, у'(0, Х) = —cos а.
Как нам уже известно, при 6-> оо числа Х„;6 стремятся к собственным числам Хя(и = 0, 1, 2, . . .), а ф«;г,(ж) стремятся, притом равномерно в каждом конечном интервале, к собственным функциям ф„(ж) задачи (1.1)—(1.2), причем при условии (1.4) пределы Хя от числа 8 из условия (2.3) не зависят. Нам будет удобно положить р = 0, т. е. рассмотреть в точке b краевое условие У W-0.
Обозначим через х^ь, жг”», . . ., 4Д последовательные нули функции фя 6 (ж) в интервале (0, Ь\
Доказательство сформулированной выше теоремы основано на следующих трех леммах.
Лемма 2. 1. Для каждого фиксированного п и Ь-> со sup 4”» < +=о.
В самом деле, если предположим обратное, то для любого А найдется номер п0 и последовательность неограниченно возрастающих чисел bv by . . ., bk, ... так, что х^ьк>А- Так как К,Ьк^ = ^х' К.Ы^ решение уравнения у" + (Х„о, Ьк — q (ж)} у = 0 и Ф»,,^”!)^ О, фя ь (Ьк") = 0, то из теоремы сравнения Штурма следует, что любое решение уравнения у" — q (4 у = 0 обращается в нуль в интервале (А, Ьк), что противоречит лемме 1.2.
Лемма 2. 2. Для каждых фиксированных k, п ub-> со
inf (4+1, ь— жЦ)>0.6
Действительно, предположим, что утверждение леммы не верно. Тогда найдутся натуральные числа п6 и 16 <( п0 и последовательность неограниченно возрастающих чисел Ьк такие, что
lim= 0.(2. 4)
\ »о+1, Ьк'
Выделяя из Ьк подпоследовательность, можно в (2. 4) нижний предел заменить на предел, а из леммы 2. 1 следует, что можно также предполагать существование конечного предела
Jim = xW.(2.5)
Из (2. 4) и (2.5) следует
(2. 6)(2. 6)Иш ж(”°) . = х(”о).
(2. 6)
(2. 6)
»->оо '°+1' ^‘°
Пусть Х>^„, 6fc (^=1, 2, . . .), а в остальном произвольно. Из теоремы сравнения следует, что <р (ж, X) в интервале (ж^”0^, z^rf Ьк) имеет хотя бы один нуль. Переходя к пределу при к-^-ео, получим, что <р(ж)яо\ Х) = 0 для всех X 2> Х„о, что невозможно, так как при фиксированном х и X -> оо функция <р (ж, X) асимптотически равна С cos \/Х х или С sin VX х, где постоянное число С ^= 0.
Лемма 2.3. Для каждого фиксированного п и Ь^* оо
inf (Хя+1, s — Хя> 6) > 0.
Доказательство. Предположим обратное. Тогда найдутся натуральное число п6 и последовательность неограниченно возрастающих чисел bk такие, что
lim(X„o+1,6fc-X„o.6fc) = O.(2.7)
А?-* оо
Пусть
limXno,6fc = Xv(2.8)
А?-* оо
Из (2. 7) и (2. 8) следует
liml^,.t = l,,(2.8')
Рассмотрим функции <р (ж, Х„о, bk) и <р (ж, X»o+i, tj- Их нули суть: z^ (i=l, 2, . .., n0); ^t^f (t = l, 2, ... . . ., n0 + 1).
Пределы этих нулей обозначим через х^д и а;("»+1Х
Для х > ж<"о> функция <р (ж, Х„о, bk) сохраняет знак; пусть для определенности положительна. Поэтому ее предел — функция <р (х, Х„о) для х ^ х^д удовлетворяет неравенству <р (ж, Х„о) ^ 0. Так как <р (ж, Х„о) есть решение Дифференциального уравнения второго порядка, то для ^^>а;(яо)
?(^ М>0*)> (2.9)
, *) Если р (ж, Хо) > 0 для х > х0 и р (ж, Хо) = 0 для х > г0, то V («, Хо) = 0 и, следовательно, р (г, Хо) = 0.
Так как <р (ж, X„o+i, 6fc) меняет свой знак на один раз больше, чем <р (ж, Х„о, Ьк), то для х > ij^W имеем <р (х, Х„о+1, Ьк) < 0. Отсюда, как и прежде, заключаем, что для х > ^"Д"1' в силу (2. 8')■
v(®, м<°,
что противоречит неравенству (2.9). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.1. Теперь мы можем изучить нули собственных функций фя (ж) задачи (1.1)—(1.2), рассматривая эту задачу как предел при 6->оо задачи (2.1)—(2.2)—(2.3). Нам известно, что существуют пределы
ИтХ„,6 = Хя (И = О, 1, 2, ...).(2.10)
6-» ОО
Из леммы 2. 3 следует, что числа Хя различны:
Х0<Х1<Х2<...<Хя<...(2.11)
Далее, в силу (2. 10) равномерно в каждом конечном интервале
lim у (ж, Х„,6) = lim фя> 6 (ж) = фя (ж).
6-*ОО6-*00
Поэтому нули Х^ъ функций ф 6 (ж) СХОДЯТСЯ К нулям Х^1 функции фя(ж). Из леммы 2. 2 следует, что числа х^1 также различны. Следовательно, функции фя (ж) имеют не менее п нулей. Покажем, что число нулей и не более чем п, т. е. в точности равно п. Допустим, что при некотором п фя (ж) имеет (га + 1) нуль: х\п\ х^, . . ., х^. Из леммы 2. 3 следует, что для фиксированного га и всех достаточно больших b
\|+1, 6^я, 610,
где 7} от b не зависит. Поэтому найдется такое постоянное число р., что для всех достаточно больших b
Х„ t <С р- , р. X .
Из второй теоремы сравнения (см. теорему 3.2 гл. I) следует, что <р(ж, р.) в интервале (0, оо) имеет не менее га + 1 нуля. Поэтому для достаточно больших b функция
, з] ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА В СЛУЧАЕ g (я) С ^ (0, оо) 263 у($> р) имеет не менее га + 1 нуля в интервале (0, 6), что противоречит теореме осцилляции.
Перемежаемость нулей функций фя (ж) (га = 0, 1, 2, . . .) следует из (2. 11) и второй теоремы сравнения. Теорема доказана.
Исследование спектра в случае д (ас) С X (0, со)
В дальнейшем нам понадобится следующая
Лемма 3.1. Пусть функции Иу(х), А2 (ж), ^ (ж), g2 (ж) неотрицательны на интервале 0 ^ х ^ X, и пусть Ну (ж) и А8(ж) непрерывны, a gy (ж) и g2(x) интегрируемы на этом интервале.
Если
ооНу (ж), Л2 (ж) < С + j [Лт (t) gy (t) + Н^ (f) g^ (01 dt,
о
о
(3. 1)
где С — постоянная, то справедливы неравенства
Лг (ж), Нг (ж) < С exp И [^ (f) + g^ (Oil dt, 0 < х < X. (3.2) 'о'
Доказательство. Положим
У (ж) = j [^(s) gy (s) + h2 (s) g^ (s)] ds, (3. 3) 0
^hi^gj^ + ^g^).(3.3')
Помножив первое из неравенств (3. 1) на ^(ж), а второе на g2 (я) и суммируя, в силу (3. 3) и (3. 3') получим $ < С [^ (ж) + ga (ж)] + У (ж) [^ (ж) + g^ (х)].
Последнее неравенство можно переписать в виде
4*4*У (х) ехрУ (х) ехр— \Ui(sHgAs^ds < о
4*
4*
У (х) ехр
У (х) ехр
С С [^1 (ж) + 8г (ж)] ехр — J [^ (s) + g2 (s)J ds .
о
Интегрируя это неравенство в пределах от 0 до х, находим
У (ж) exp j — j [^ (s) + g^ds
< о-
ОтсюдаОтсюдаС — С exp — j fa (s) + g^ (s)] ds
Отсюда
Отсюда
у (ж) ^ C expу (ж) ^ C expJ fc(s) + g2(s)l^ 0■J fc(s) + g2(s)l^ 0■(3.4)(3.4)i о■
у (ж) ^ C exp
у (ж) ^ C exp
J fc(s) + g2(s)l^ 0■
J fc(s) + g2(s)l^ 0■
(3.4)
(3.4)
Неравенства (3.2) следуют непосредственно из (3. 1) и (3. 4) в силу (3. 3). Лемма доказана.
sin sx .cos а -4ssin sx .cos а -4sПусть ^(ж, X) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям <р (О, X) = sin а, ср' (О, X) = —cos а. Переписывая уравнение (1.1) в виде у" + Ху = q (х) у, применяя метод вариации произвольных постоянных и полагая X = s2, мы получим
sin sx .
cos а -4s
sin sx .
cos а -4s
<р (ж, X) = cos sx sin а —
+ у sin (s (ж — £)} q (t) <p (t, X) dt. (3. 5) о
Пусть s = a -|- zt, т ^ 0.Пусть s = a -|- zt, т ^ 0.Введем обозначениеВведем обозначение
Пусть s = a -|- zt, т ^ 0.
Пусть s = a -|- zt, т ^ 0.
Введем обозначение
Введем обозначение
<рт (x, X) = у fa X) е~тж.
Тогда из (3.5) следует
.- \Sin SX.
<рт (ж, л) = cos sx • sin а —cos а +
+ у J s™ (s ^ — ^ 9 (^ Vi (^ ^) ^1 о
Так как ] cos sx | ^ е^, | sin sx | ^ етж, то из последнего
равенства следует неравенство
I ?i (^ х) К 1 + ]7]- + JTf S U to Vi to х) Idt-о
Тогда, применяя лемму 3.1 (полагая Л2 (х) = g2 (ж) = 0), мы получим
|Vi(®, х) I ^ (1+ ]7j-)exp ( утр $ I <7 to I ^Ч- (3.6) х о'
Так как, по условию, q (t) С X (0, оо), то из последнего неравенства следует, что функция ^ (ж, X) ограничена для 0 ^ х ^ оо при | s | ^ р ]> 0, т 0.
Рассмотрим сначала вещественные положительные значения s. Тогда при s ^ р функция ^ (ж, X) ограничена. Поэтому из формулы (3.5) получаем (при х-* оо)
/ л X. sin sx,
<р (ж, X) = cos sx sin а— cos а -|-
СО
+ 7 J sin (s (ж — f)} q (t) <р (t, X) dt —
О
оо
— + j sin (s (x — 7)} q (7) <p (t, X) dt =
= p. (X) cos sx + v (X) sin sx + о (1),(3. 7)
где обозначено
00
p. (X) = sin а —^- j sin st • q(t)^ (t, X) dt, (3. 8) о
v (X) = — ^-^ + 7 J cos st • q(t) <p (t, X) dt.(3. 9)
о
Так как интегралы в формулах (3. 8) и (3. 9) равномерно сходятся при s ^ р ]> 0, то р. (X) и v (X) являются непрерывными функциями s.
Аналогично если 0 (ж, X) есть решение уравнения (1. 1), удовлетворяющее условиям О (О, X) = cos а, 9' (О, X) = = —sin а, то при ж-* оо
9 (ж, X) = рт (X) cos sx + vT (X) sin sx + о (1),(3. 7')
где
ОО
Pi (X) = cos а^- j sin st ■ q(t)^ (t, X) dt, (3. 8')°00
Vj (X) = — ^-^ + у j cos st ■ q(t)^ (t, X) dt. (3. 9')
о
Далее, дифференцируя (3. 5) по x, находим
'Vx (ж> ^)= —S s™ sx s™ a — cos sx cos a +
Д- j cos (s (x — t)} q (£) <p (t, X) dt. (3. 10) о
Оценивая эту функцию так же, как это было сделано выше, получаем, что при х-* оо
^(ж, Х) =—sp (X) sin sx + sv (X) cos sx + о (1). (3.10') Аналогично
9^. (ж, X) = —sp2 (X) sin sx + s'^ (X) cos sx + о (1).
Рассмотрим определитель Вронского для ср (х, X) и 9 (я, X). Так как уравнение (1. 1) не содержит первой производной, то в силу известной формулы Лиувилля определитель Вронского равен постоянному числу. Поэтому
^(?, 6} = ^{?, 6}_0= 1 =
= W {р (X) cos sx + v (X) sin sx, рт (X) cos sx + vi M sin s®} + + 0 (1) = 8 (p (X) л (X) - P, (X) V (X)} + 0 (1).
Из равенства
s(p(X)V1 (X)-p1(X)v(X)} + o(l)=l,учитывая, что левая часть от х не зависит, получаемp(X)v1(X)-p1(X)v(X) = -L.(3.11)
, Из последней формулы, в частности, следует, что функции р. (X) и v (X) не могут обратиться в нуль для одного и того же значения X.
Рассмотрим теперь комплексные значения s. При фиксированном положительном т из формулы (3. 5) следует (при z-> со)
(х, X) = у е'*8с sin а + cos а + О (е~т$) —
— A j e-'^q (t) у (t, X) dt + О М е-^^ | q (f) у (t, X) | dH. о'о'
Так как | <р (t, X) | = О (ет<), то ^полагая, например, 5=у ^
ОН tr^’ |g(ОУ (G X) | Л) j = О [ j е"2^1 I?WIdt J = 'о' 'о/
= О|еТ|ж~2$) j | q (t) | dt\ + О I етж j | q (t) | dt\ = о (e™).
\fl/\л-5/
G другой стороны,
ОО/ ОО\
j ^.«tx-hg ^ ^ ^ х) dt = О I е"х j | q (t) | dM = о ^х\
Поэтому
?(я, Х) = е--{М (X) 4-0(1)},(3.12)
где 00
М (X) = 1 sin а 4- COS а —( ei8tq ^ <р (Z, X) dt. (3. 13)
'0
Если воспользоваться формулой (3. 10), то мы получим ^ (X, X) = -ise-<8^M (X) 4- о (1)).(3. 14)
Аналогично
9 (х, X) = е-<ю {Мх (X) 4- о (1)),(3. 12')
где
00
Мг (X) = cos а — sin а — Д- ( е*8^ (?) 9 (i, X) dt. (3. 13')
0
Мы располагаем теперь всеми вспомогательными средствами для исследования спектра оператора Штурма —Лиувилля в случае q (х) С X (0, оо). Пусть Ъ ~> 0. Рассмотрим в конечном интервале [0, 6] краевую задачу (2.1)—(2.3).
Начнем с исследования отрицательного спектра. Из формул (3.12) и (3. 13) следует, что для каждого фиксированного Хо < 0 число корней уравнения <р (6, X) = 0 в интервале — оо<Х^Х0 ограничено, равномерно по Ь. Поэтому число точек роста функции р6(Х) (определение функции р6(Х) см. в § 1 гл. II) в интервале —оо<^Х^Х0 ограничено, равномерно по Ь, и, значит, предельная функция р (X) обладает этим же свойством. Для случая, когда д(х)-»0 при х- оо, этот факт легко следует из теории Штурма (см. замечание после доказательства леммы 1.1).
Если число нулей функции <р (х, 0) на полупрямой [0, оо) конечно, то число отрицательных собственных значений также конечно. В самом деле, в этом случае из теоремы осцилляции Штурма следует, что для любого 6> 0 задача (2. 1)—(2. 2)—(2. 3) имеет ограниченное число отрицательных собственных значений.
Итак, нами доказана
Теорема 3.1. Если g(z)c5?(0, оо), то спектр отрицательных X задачи (1. 1)—(1.2) дискретен и снизу ограничен.
В следующей лемме указывается простой достаточный признак конечности числа нулей функции <р (х, 0).
Лемма 3.2. Если (1 + х^ q (х) С $ (0, оо), то функция у(х, 0) имеет на полупрямой [0, оо) конечное число нулей и, следовательно, число отрицательных собственных значений конечно.
Действительно, как известно*), если (1 + х2) q (х) с С S' (0, оо), то существует такая фундаментальная система решений ух и уг уравнения
у" — q^y = O, что
lim уу (х) = 1, lim (у2 М — х) = 0. Л->ОО Я»ОО
Так как <р (ж, 0) = Схух ^ + С2у2 ^, то
Ит <р (ж, 0) = оо, л-->со .
если С2т^0, или
.Um <р (я, 0) = 1,
если С2 = 0. И в том и в другом случае у (х, 0) имеет конечное число нулей на полупрямой [0, оо).
Рассмотрим теперь положительный спектр. Так как в силу (3. 11) функции р.(Х) и v (X) не могут обратиться в нуль для одного и того же значения X, то р.2 (X) — + 2 W > 0- Поэтому, полагая
—iL^— = sin 8 (X),— = cos 8 (X),
[F12(X) + V2(X)]A^2 (X) + v2 (X)]/«
формулу (3.7) мы можем записать в виде (при х-* оо)
?(х, X) = [^(X) + v2(X)]V>sin[St;+^^^(3.15)
Если предположить, что *)
(1+х)9(х)с^(0, оо),(3.16)
то дифференцируя формулу (3.5) по s, мы получим, после несложных преобразований ),
^(^ b) = ^V(X) + v2(X)]4^^(3. 17)
Обозначим через б большое положительное число и примем для простоты, что в краевом условии (2. 3) р = 0 (случай произвольного действительного р рассматривается аналогично). Тогда положительные собственные значения задачи (2. 1)—(2. 2)—(2. 3) определяются из уравнения
sin [s&+8(Х)]=:о(1).(3.18)
Пусть «J — положительный корень уравнения (3.18). Заметим, что 8(Х) = О(1). Тогда
8^+ 8(Х1) = тг. + о (1) (з1=1ДЭ-(3.19)
Пусть s^ — следующий за зг корень уравнения (3. 18). Тогда либо
s26 + 8 (Х2) = игл + о (1) (з2 = \/Х2),(3.20)
либо
s2^ + 8 (Х2) = (тп + 1) л + о (1).(3.21)
Покажем, что случай (3.20) невозможен. В самом деле, если бы равенство (3. 20) имело место, то из теоремы Ролля вытекало бы, что уравнение <р' (6, X) = 0 имеет корень з3, заключенный между Sj и з2 и, следовательно, удовлетворяющий условию
s3b + 8(Х3) = тк + о(1),
что невозможно в силу асимптотической формулы (3. 17).
Вычитая из равенства (3.21) равенство (3. 19) и принимая во внимание непрерывность функции 8(Х), мы получим для двух последовательных собственных значений Хт и Х2 задачи (2. 1)—(2. 2)—(2. 3) асимптотическую формулу
»2-»1 = т + »(4)(^ = \^; i = l, 2)- (3.22)
Теорема 3.2. Если q(x) с X (0, оо), Х>0 и Д>0, то
p(X + A)-p(X) = lJ(3.23)
т. е. в интервале (0, оо) спектр задачи (1. 1)—(1.2) непрерывен.
Доказательство. Обозначим через Хт 6, Х2 4, . .. . .., Хя 6, ... собственные значения задачи (2. 1)—(2. 2)— (2.3), ’а через у (^ Хъ 6), ? (х, Х2> 6), . . ., ? (х, Хя> 6), ... соответствующие собственные функции. Предположим сначала, что q (х) удовлетворяет условию (3. 16). Тогда
в силу определения функции р6 (X) (см. § 1 гл. II) и асимптотической формулы (3.22), мы имеем (s„>6 = V^, д)
Р4 (х + Д)— ?б (Х): 2 ~ь~
х<х„<х+д j ^ (ж, xn> 6) dxо’
2*”+1,6 8"> ьх<х„,6<х+д (sn+1> 6 _ sn, J J ?2 (2, х„, j) dx
о
1^«+1, 6 — ^я, 6
71^™1 Г
х<х„, 6<х+д* + ^ ^ _^Z1 ^ b)dz + o (1)
о
Из асимптотической формулы (3. 7) следует, что ь
у $ ?2 (*> К Jd* — ^ [р2 (Х«, б) + v2 (х», »)] + 0 (^ .о
Поэтому
, р4 (X + Д) — Р6 (X) =
=" 2+0(1)/х
X (X„+i, 6 Хя> 6).
Переходя в последнем равенстве к пределу при 6-» оо, получим утверждение теоремы для случая, когда q ^ Удовлетворяет условию (3. 16).
Пусть теперь условие (3. 16) не выполняется. Положим
( q (xY 0 <^ х <^ п,q^ = \0, х>п?
Функция ^„(а:), очевидно, удовлетворяет условию (3.16). Поэтому, обозначая через p„ (X), ,ия (X), vn (X) функции,
соответствующие функции qn (х), мы получим
х+д
р„(*+д)-р„(*)=J vr^w+^wi•
Переходя в этом равенстве к пределу при п-> оо, получим формулу (3. 23).
§ 4. Преобразование основного уравнения
В некоторых случаях уравнение (1. 1) с неограниченно растущим q^ можно путем подходящей замены преобразовать к другому виду, допускающему вывод асимптотических формул.
Предположим сначала, что X — действительное число, а функции q1 (х) и q1' (х) непрерывны. Введем обозначения
Е (я) = j {X — q (t)}'i2dt, tj (z) = {X — g- (x^y. о
Тогда
d"q d"q dx "df-~dx‘~d£d"q d"q dx "df-~dx‘~d£d^ d^d^ d^-ax 4— q (я)}
d"q d"q dx "df-~dx‘~d£
d"q d"q dx "df-~dx‘~d£
d^ d^
d^ d^
44g"^5q'^<X — g^)}^"1" 4 (X-g^yg"^5q'^<X — g^)}^"1" 4 (X-g^y114 ^-q^"4 ^-q^"^ — q^Y119 dx 4 {X —д(ж)}</‘‘/’
4
4
g"^5q'^
<X — g^)}^"1" 4 (X-g^y
g"^5q'^
<X — g^)}^"1" 4 (X-g^y
1
1
4 ^-q^"
4 ^-q^"
Поэтому уравнение (1.1) преобразуется к виду
d2-q d?d2-q d?, „ 1 ir [4 ‘ {X —g(x))2, „ 1 ir [4 ‘ {X —g(x))25g'2 (z)16 (X — g(x)}35g'2 (z)16 (X — g(x)}3iq = 0.iq = 0.(4. 1)(4. 1)
d2-q d?
d2-q d?
, „ 1 i
r [4 ‘ {X —g(x))2
, „ 1 i
r [4 ‘ {X —g(x))2
5g'2 (z)
16 (X — g(x)}3
5g'2 (z)
16 (X — g(x)}3
iq = 0.
iq = 0.
(4. 1)
(4. 1)
Это уравнение того же вида, что и (1.1), но в уравнении (4. 1) коэффициент при к] в последнем члене при больших X оказывается малым.
Из уравнения (4. 1) следует, что всякое его решение ^ = у ($) удовлетворяет интегральному уравнению
<р (Е) = <р (0) cos £ + <р' (0) sin £ —
— ^Sin(£ т)|4 [X_g^]2 +16 р^^р jvW^’ (4-2) 0
где т = ? (<). Это уравнение можно использовать для получения асимптотических формул для <р(£).
При невещественных X или при q (х) > X функция £ принимает невещественные значения, и поэтому формула (4. 2) содержит интегралы вдоль комплексных путей. Нет, однако, необходимости вводить подобные интегралы, так как можно получить аналогичное уравнение с действительной независимой переменной, причем такой переменной оказывается непосредственно х. Для получения указанного уравнения предположим, что q (0) = 0 (этого всегда можно добиться соответствующим выбором начала координат в плоскости X). Положим затем
Р и = (X - g И)'-' £ {[X - q ИГ1'. 5} -g. (4.3) Тогда
Р (ж) = {X - q (х)^-r-^ — q toV'1Т—
х х 4 х п dxм \ dx 4 [X — q (я)р/4 yJ
d2y _ f 1, 5 q,a^ ),
dz» (4 ‘ [X — g(a:)]~r16 [X — g (x)]2 P- ''
В силу (1. 1) и (4. 3)
^ = ( sin {£ (x) — $ (Z)}--,- dt =
= J sin {£ (ж) - 5 (i)} 4 {[X - qW1'14r} ^ + 0
■+ J sin {^(ж) — Ц^ • (X — q(t)}3/lydt^I1 + /2.
0
18 Б. M. Левитан, И. G. Саргсян
Интегрируя два раза по частям, получим
к = {sin [Е (х) - Е (f)] [X - q ^ -^ +
+ 5 cos[Е^ — ^^^dt = О
= —V (0) Vй sin Е ^ + {cos [Е (ж) — Е (<)] Ч (0)» —
— j sin [Е (х) — • Е (()] [X — q (<)]V2iq (i) dt = о
= —т/ (0)'Х~1/:! sin Е (х) + т] (ж) — т] (0) cos Е (х) — /2.
Поэтому
7] (ж) = 7] (0) COS Е (ж) + 7]' (0) X-1''1 sin $ (ж) + I,
т. е. т] (х) удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
7] (х) = 7] (0) COS $ (х) + 7]' (0) X"‘/1 sin $ (х) +
+ j sin {Е (ж) — Е (<)} R (<) т] (?) dt, (4. 4) о
где
RW = -RW = -(4. 5)(4. 5)g"W i 5 g'^w^-qW^11 16 ^-gwyi’
RW = -
RW = -
(4. 5)
(4. 5)
В формулах (4. 4) и (4. 5) при Im X ^> 0 мы предполагаем, что 0 <{ arg X <{ л, а в тех случаях, когда q (?) изменяется от 0 до оо, предполагаем, что arg {X — q^t^ изменяется от argX до л.
Лемма 4.1. Пусть q(x) монотонно стремится к бесконечности. Пусть
(4.6)(4.6)q1 (x) = 0{[9(z)H, х -^оо,
(4.6)
(4.6)
,ge c — некоторое фиксированное число, удовлетворяющее условию 0 < с < -^, и ф' (х) сохраняет знак для боль-
щи$ х. При этих предположениях интеграл
(4. 7)(4. 7)j | R (х) | dx о
(4. 7)
(4. 7)
сходится равномерно по X в каждой области, в которой (X— ^(^j^S^O для 0 ^£<00.
Доказательство. В силу оценки (4.6)
g'2 (*)(g (*))s/lg'2 (*)(g (*))s/ldx =dx =• x■J [gMl/2~c• x■J [gMl/2~c
g'2 (*)(g (*))s/l
g'2 (*)(g (*))s/l
dx =
dx =
• x■
J [gMl/2~c
• x■
J [gMl/2~c
Кроме того, мы имеемКроме того, мы имеем^о{[^)Г3^^^о{[^)Г3^^
Кроме того, мы имеем
Кроме того, мы имеем
^о{[^)Г3^^
^о{[^)Г3^^
+ 4 f-^4r^=o(i).2 J {gw)/1двух оценок в силу (4. 5).+ 4 f-^4r^=o(i).2 J {gw)/1двух оценок в силу (4. 5).g" (»)_ g' W Iх
+ 4 f-^4r^=o(i).
2 J {gw)/1
двух оценок в силу (4. 5).
+ 4 f-^4r^=o(i).
2 J {gw)/1
двух оценок в силу (4. 5).
{g(z)}3/l[g^)]^ lx,
Лемма следует из последних
I 5. Случай q (х) -► —оо
*!■ Теорема 5. 1. Пусть q (х) ^ 0, ф (ж) < 0 при ж ^ О, ^z)~*—00 и q" (х) сохраняет знак для больших х. <ероме того, пусть выполняется условие (4.6). Если интеграл
ОО
(5-1)(5-1)| q (ж) |-'/г dx
(5-1)
(5-1)
Рисходится, то спектр непрерывен и заполняет всю ось (*-00, +оо).
'1 Доказательство. Заметим, что из условий теоремы вытекает сходимость интеграла (4. 7). Поэтому из
уравнения (4. 4) при положительных X следует, что
•»] (ж) = т| (0) cos $ (ж) + V (0) ^-'/2 sin Е (я) +'
+ j sin (t (ж) — i (7)} R (7) •»] (7) dt + о (1). о
Отсюда, полагая ц (ж) = {X — q (ж)} /*<р (ж, X), где у (ж, X) имеет то же самое значение, что и в § 3, получаем
?(ж, Х) = {Х — q^y41 X
X {р (X) cos £ (ж) + v (X) sin $ (ж)} + о (1),(5. 2)
где
р (X) = Х^ sin а — j sin £ (7) R (7) (X — q (7)}'/*<p (7, X) dt, (5. 3) о
M x a' (0) sin a cos а vw=—IS—
+ ^ cos £ (7) R (t) {X — q (7)}'/*<p (t, X) dt. (5. 4) о
Аналогично, если 6 (ж, X) — такое решение уравнения (1. 1), что 9(0, X) = cosa, О'(0, X)=sina, то
6 (ж, X) =
— {X — q^y^ {p1(X)cos £ (ж) + Vj(X) sin $ (ж) + о (1)},(5. 5)
где Pj (X) и Vj (X) получаются из р(Х) и v(X) заменой sin а, —cos а и ср (7, X) соответственно на cos a, sin а и 6 (7, X).
Из приведенных рассуждений следует также, что интегралы в формулах (5. 3) и (5. 4) сходятся равномерно по X и, значит, р (X) и v (X) представляют собой непрерывные функции X.
Далее, дифференцируя (4.4), находим
iq' (х) = (X — q ^ху1!11 X-,'', т/ (0) cos $ (ж) — т) (0) sin $ (ж) +
+ j cos (Е (ж) — $ (^)) 7? (7) •»] (7) dt о
Поэтому, поступая, как и выше, получаем
{[^ — 9 (я)]''*? (ж> х)} =
= (X — q (a:))‘/,[v (X) cos 5 (ж) — р (X) sin Е (я) + о (1)], откуда в силу (5.2) и (4.6) следует ср' (х, X) =
= {X — q (х)}‘/« (v (X) cos $ (ж) — р (X) sin $ (ж) + о (1)}.(5. 6)
Аналогично
У (ж, Х) =
= {X — g (ж)}7< {v/X) cos $ (ж) — р/Х) sin $ (ж) + о(1)).(5. 7)
Таким образом,
Нт РГ {<р, 6} = р (X) ^ (X) — ^ (X) v (X) = W {<р, 6}№0=1. «-►СО
Следовательно, р(X) и v (X) при положительных X не могут обратиться в нуль для одного и того же значения X.
Приведенные выше рассуждения нуждаются в некотором видоизменении при Х<0. Однако мы можем выбрать X так, чтобы при х^ X выполнялось неравенство х— з(^)^>0, и повторить все предыдущие рассуждения уже для интервала (X, оо). В результате мы придем к тому же заключению о поведении функций р(X) и v (X) при Х^о.
Вычислим сначала спектр для случая X ^ 0. Пусть &2>0 произвольно. Рассмотрим краевое условие
<р (6, X) cos Р + <р' (6, X) sin Р = 0.(5. 8)
Если sinp^O, то при 6-» оо (5.8) можно переписать, пользуясь (5. 2) и (5. 6), в виде
(5.9)(5.9)v (X) cos 5 (6) — р (X) sin ^ (6) = о (1).
(5.9)
(5.9)
При sin Р = 0 получим
р (X) cos Е (6) + v (X) sin ЦЬ) = о (1).(5, 9')
Анализ обоих последних уравнений одинаков. Рассмотрим уравнение (5, 9'). Полагая
^^п- = sin ш (X)г- = cos <о (X).
{^(Х^Х)}'-^2(Х)+ч2(Х)}/-
перепишем его в виде
sin {S (6, X) -|- ш(Х)) =о(1).(5.10)
Пусть Xj и Х2 — два последовательных положительных корня уравнения ср(6, Х) = 0 (или, что тоже самое, уравнения (5.10)).
Пользуясь асимптотической формулой (5.2) и рассуждая аналогично тому, как при анализе уравнения (3. 18), можно показать, что
Ц6, Х2) — ЦЪ, XJ =л-|-о(1)
Н(^ Х) = j (X —g(iO}V1<ZiH.\о/
Поэтому
j {А — ? (О — A — q U^ dt =
О b
= [_^ = к + о(1).(5.11)
) VX.-g^ + VX,-^!)V У V 7
Далее,
ъь
С dt Гdt
J 2 VX! — g (X) J VX2 — g(<) + VX! — q (t) оо
Отсюда и из соотношений (5. И) вытекает, чтоОтсюда и из соотношений (5. И) вытекает, что
Отсюда и из соотношений (5. И) вытекает, что
Отсюда и из соотношений (5. И) вытекает, что
Покажем теперь, что при 6-> оо
sincossincos(2U<, 7)}(2U<, 7)}VX —g(<)VX —g(<)di = 0(1).di = 0(1).(5.13)(5.13)
sin
cos
sin
cos
(2U<, 7)}
(2U<, 7)}
VX —g(<)
VX —g(<)
di = 0(1).
di = 0(1).
(5.13)
(5.13)
Действительно, рассмотрим интеграл с синусом (интеграл с косинусом оценивается аналогично). Так как t
^t, X) = j VX — 9 (w) du,о
то
sin 2$ (/, X)A"Msin 2$ (/, X)A"Mb f sin 2$ (/, X)— J x — g Wb f sin 2$ (/, X)— J x — g Wdi (t,di (t,№ X)0№ X)0sin 2цX —g(<)sin 2цX —g(<)dx] =dx] =sin 2ц ,sin 2ц ,^ = Ц1, X)).(5.14)^ = Ц1, X)).(5.14)
sin 2$ (/, X)
A"M
sin 2$ (/, X)
A"M
b
f sin 2$ (/, X)
— J x — g W
b
f sin 2$ (/, X)
— J x — g W
di (t,
di (t,
№ X)
0
№ X)
0
sin 2цX —g(<)
sin 2цX —g(<)
dx] =
dx] =
sin 2ц ,
sin 2ц ,
^ = Ц1, X)).(5.14)
^ = Ц1, X)).(5.14)
Если ц возрастает, то и t возрастает, а следовательно, (X — q^-1 убывает. Поэтому
sin 2ц X — д(<)sin 2ц X — д(<)| sin 2ц | йц =| sin 2ц | йц =
sin 2ц X — д(<)
sin 2ц X — д(<)
| sin 2ц | йц =
| sin 2ц | йц =
При возрастании числа к последнее выражение монотонно Убывает, и оценка (5. 13) следует из разложения (5. 14), Представляющего собой знакопеременную сумму.
Из оценок (5.13), асимптотической формулы (5.2) и расходимости интеграла (5. 1) вытекает, что
(
Ъ\-1 »
X)^ = ^(X) + v2(X)+o(l).
Отсюда и из формулы (5. 12) заключаем, что при X > 0, Д>0
Р» (* + △)“ ?»(*) =2 "ь^=
^х+д J ?2 о, х„, 6) at
о
2^я+1,4 —^я, 4
х<х», 1<х+д (Х„+11ь—х„(6) Jу2 (<, хи> 6) at о
=5? 2 {WTir+WTH' +0 ^ ^} (х"«.»— х«. 4^х+д
~* it j р2(X) 4- v2 (X) ’
т. е. при X > 0 спектр непрерывен.
Если X < 0, то, выбирая X из условия, что X — q (t) )> 0 для t > X, и заменяя в асимптотических формулах всюду 44
j {д— Q^^'dt На j {д—qW^'di, мы придем к прежнему ох
результату. Теорема доказана.
Теорема 5.2. Если выполнены все условия теоремы 5. 1, но интеграл (5. 1) сходится, то спектр дискретен и имеет единственную предельную точку на бесконечности.
Доказательство. Из сходимости интеграла (5. 1) и определения функции $ (ж, X) следует, что при ж -> со
$ (х, X) - $ (Ж, 0) = j [{X - q ^^ - {-q (<*1 At = о
х atх atCO.CO.х at
х at
х at
CO.
CO.
J Q.-q^*A-^-qW^„■> {^-<?W}Y1 + {-<?(<))‘/8
Поэтому мнимая часть функции $ (ж, X) ограничена равномерно в каждой конечной части Х-плоскости, в частности, в каждом конечном интервале действительной оси.
Из формулы (5. 2) следует, что интегралы
(5. 15)(5. 15)j ya(f, X^dt о
(5. 15)
(5. 15)
равномерно ограничены в каждом конечном интервале изменения действительной переменной X.
Допустим, что в некотором конечном интервале (X, X + Д) спектр содержит бесчисленное множество точек. Очевидно, в этом случае должна существовать последовательность неограниченно возрастающих положительных чисел bv by . .., bk, . . . так, что число собственных значений Х„( Ьк в интервале (X; X -|- Д) неограниченно растет вместе с к. Поэтому в силу ограниченности интегралов (5.15) сумма
2^—
^п,ьк^ J ^(t, \bk)dt
о
росла бы неограниченно при к^> со, что противоречит лемме 1.1 гл. II.
§ 6. Исследование спектра системы Дирака в случае суммируемых коэффициентов
Рассмотрим задачу
^ (ж) — (X + ^ (ж)) у2 = О,(6.1)
Уг (ж) + (х + ?2 (ж)} У! = о,(6. 2)
Уу (0) cos а + у2 (0) sin а = 0(6. 3)
на полупрямой [0, оо). Предположим, что коэффициенты ?1(ж) и 92(ж) принадлежат классу ^ (0, оо).
Обозначим через ср (ж, X) =решение системы
1)—(6. 2), удовлетворяющее начальным условиям
(6.4)(6.4)фт (0, X) =—sina, cp2(0, X)=cosa.
(6.4)
(6.4)
Перепишем систему (6. 1)—(6. 2) в следующем виде:
У,^) —Ху2 = 91(ж).у2,(6.1')
у2(ж)Н-хУ1 = — q^Uv(6-2')
Считая правые части системы (6. 1')—(6. 2') известными и применяя метод вариации произвольных постоянных, мы находим
срт (ж, X) = sin (Хж — а) + j ?2 (s> л) 9i (s) cos ^ Vх — s) ^s — о
— j у2 (s, X) g2 (s) sin X (ж— s)ds, (6.5) 0
cp2 (ж, X) = cos (Хж — а) —■ J ?2 (s> *) 91 (s) sin ^ kx — s) ^s —
— j cp1 (s, X) g2 (s) cos X (ж — s) ds. (6. 6) о
Пусть X = а + it (т )> 0), и положим
<Р1(ж, X) = ^ (ж) e", <р2(ж, Х) = й2(ж)е".(6.7)
Тогда из формул (6. 5) и (6. 6) следует
h1 (х) = е~хх sin (Хж — а) + ^ha^q^^e-'^81 созХ(ж — s)ds— о
^i (8)9г (s) е~т(х~8) sin X (ж — s) ds, (6. 5') о•
/12(ж) =
= е~тзс cos (Хж — а) — ^ А2 (s) qT (s) е~'С(х“*) sin X (ж — s) ds — о
j ^ (s) q^ (s) cos X (я; — s) ds. (6. 6') 0
Так как
| sin (Хж — а) | ^ етж, | cos (Хж — я) | ^ етж,
то, переходя в формулах (6. 5') и (6. 6') к абсолютным ве- дичинам, мы получим
I Ai (ж) К 1 + j (I ^ М Н 92 МI + IА2 М 119i (s) I) As, ■о
IК (ж) К 1 + j (I А1 (s) Ы92 (s) I + I *2 (s) Ы91 (s) 1} As.
0
Поэтому применима лемма 3. 1, и мы получаем
| ^ (ж) || А2 (ж) К ехр | j [ | дг (s) ( + ( q2 (s) ( ] ds .
10.
А так как, по условию, q^^x), q^^)^^ (0, оо), то из последней оценки следует, что вектор-функция А(ж) = " /А1(ж)\
= I , , . I ограничена при 0 ^ж^ оо, |Х|^р)>0ит^0. МЧ\Ж)/
иледовательно, в силу (6. 7) для больших х
^у^х, Х) = О(ет®), ч?г^х, Х) = О (етх\ (6-8)
/Ж силу I Поэтому/Ж силу I ПоэтомуРассмотрим сначала вещественные значения X. Тогда э. 8) функции cpj (х, X) и <р2 (х, X) ограничены, из формул (6.5) и (6.6) получаем при х-> оо
/Ж силу I Поэтому
/Ж силу I Поэтому
ОО
it» (®, X) = sin (Хх — а) + j (?2 (s’ ^) 91 (s) c°s X (ж — s) —о
— ^(s, X) q^ (s) sin X (ж—s)) ds +
(
CO
j [ 19i (s) I 192 (s) 11 As
(6.9)(6.9)= p. (X) cos Xx + v (X) sin Хх + о (1),
(6.9)
(6.9)
ОО
<р3 (ж, X) = cos (Хж — а) — j (ср2 (s, X) qT (s) sin X (ж — з) 4~ о
+ ф! (s, X) q^ (s) cos X (ж — s)} ds 4-
00
+ 0+ 0j [ 19i (s) | + 192 (s) 11ds
+ 0
+ 0
— v (X) cos kx — p (X) sin kx + o(l),(6. 10)
где
CO
fi (X) = —sin а + j {<p2 (s, X) qT (s) cos Xs 4- о
-(-^(s, X) q^ (s) sin Xs) ds, (6.11) CO
v (X) = cos а 4" j (?2 (s> ^) 9i (s) &in Л5 — о
— <Pi (s, X) q^ (s) cos Xs) ds. (6.12)
Так как интегралы в формулах (6. И) и (6. 12) сходятся равномерно по X, то функции р (X) и v (X) являются непрерывными функциями X.
Аналогично если 6 (ж, X) =Аналогично если 6 (ж, X) =61(ж, Х)\
Аналогично если 6 (ж, X) =
Аналогично если 6 (ж, X) =
- , ч — решение си- Мж» X)/
стемы (6. 1)—(6. 2), удовлетворяющее условиям
6Т (О, X) = —cos а,62 (О, X) — — sin а, (6. 4')
то
О, (х, к) = $ (X) cos кх 4- ц (X) sin кх 4- о (1), (6.13) 62(ж, к) = iq (X) cos кх — $ (X) sin кх 4- о (1), (6.14)
где
СО
i (X) = —cos а 4" j (®2 (s> ^) 9i (s) cos Xs 4" o
4-6i(s, к) q2 (s) sin Xs) ds, (6.13')
CO
(X) = —sin а 4- ^ (62 (s, X) 9i (s) sin Xs — о
— 6i (s, X) q2 (s) cos Xs) ds. (6. 14')
Тогда в силу (6. 9), (6. 10), (6. 13) и (6. 14) мы имеем
ИЧ^ ^^cpjz, Х)92(а:, X) — <р2 (ж, X) ^ (ж, Х) = = p.(X)-q(X) —v(X)|(X)H-o(l).(6.15)
Так как в силу начальных условий (6.4) и (6.4') • ^{?, 6},-о = ?1(О, Х)62(0, Х)-?2(0, Х)92(О, Х)= 1, то из (6.15) следует, что для действительных X
р. (X) ц (X) — v (X) £ (X) = 1.(6.16)
Из формулы (6. 16) следует, что функции р(Х) и v(X) не могут обратиться в нуль для одного и того же значения X.
Рассмотрим теперь комплексные значения X. При фиксированном положительном т из формулы (6. 5) при ж-» со получаем
фх (ж, X) =— cos а^— sin а + О (е-'*) +
+4" ! е^'^' Ws, X) 91 (s) — i?i (s, a)^(s)}^ + 0
{
X1
j e-'^ | <p2 (s, X) qx (s) — Цх (s, X) q2 (s) | ds .(6. 17)
oJ
Далее, так как в силу (6. 8) при х^> со
°1 $ e-11^"! Ув (s, ^91^™ i?i(s, Ч^5)!^ I о■
= 0 j j е-ч^ [ I qx (s) | I q2 (s) | ] ds I о= 0 j j е-ч^ [ I qx (s) | I q2 (s) | ] ds I о
= 0 j j е-ч^ [ I qx (s) | I q2 (s) | ] ds I о
= 0 j j е-ч^ [ I qx (s) | I q2 (s) | ] ds I о
x—8\
= 0= 0ет(*-2») j [|ГУ1(5)| + Ы5)|]^ +
= 0
= 0
o)
+ 0 I q, (s) 1 + I q2 (s) I ] ds I — о (e^),
а с другой стороны,
( ^М», ^ (S) Х) ^ ^ _ ^ ^ Х) ^ ^ ds =
— о ^Y— о ^Y(6. 18)(6. 18)= 0^ jll^l + l^)!]^ то из равенства (6. 17) мы имеем (при z-> оо) ?1(z, ^^(^(XHotl)}, где обозначено
— о ^Y
— о ^Y
(6. 18)
(6. 18)
n , sin aCOS а .
1W 221'
+ 4 J e<Xs (®2(s, X) qx (s) — tq^ (s) V1 (s, X)} ds. (6.19) о
Аналогично из формулы (6. 6), а также из аналогичных формул для решения 9 (z, X) мы получим
?2(^ Х) = е-^(Л/2(Х) + о(1)},(6.20)
^(z, X) = ^{Ai1(X) + o(l)},(6.21)
92(z, X) = e-^{TV2(X) + o(l)},(6.22)
где
-, x sill a , cos-a
MA^ =2Г + ^
—4le<X,^(s’ x)^1 (s) + ?1 (s, ^q^ds, (6.23)
^(>-)=-T+^+
+ 45 e*8 (92 (s, X) qx (s) - i^ (s, X) q, (s)} ds, (6. 24) о
AT ,^x sin« cos a
— —2i
-I J ^ {i92 (s, ^) 4i GO + 9i (s, X) q, (s)} ds. (6. 25) 0
Теорема 6.1. Если коэффициенты ду^ и д^^ принадлежат классу ^(0, оо), то спектр задачи (6. 1)-{- _|_ (6. 2) + (6. 3) непрерывен и заполняет всю ось (—оо, оо).
Доказательство. Пусть ф (z, X) = 9(z, Х)Ц- -|- т (X) <р (х, X)— то решение системы (6.1)—(6.2), которое принадлежит классу jf2(0, оо). Тогда, используя формулы (6. 18), (6. 20)—(6. 22), мы имеем
\) = ^х, X) + m (X) ?1 (я, Х) =
= е-^(7У1(Х) + ш(Х) ^(Х) + о(1)},
^х, X) = 92 (z, X) + т (X) <р2 (х, Х) =
= е-^(А2(Х) + ш(Х)Л/2(Х)+о(1)}.
Так как для каждого недействительного X существует только одно решение системы (6. 1)—(6. 2), принадлежащее классу ^(0, оо), то, очевидно, что cp(z, X) и 6 (z, X) не принадлежат j?2(0, оо). А так как, по предположению, ^(х, X) £ ^(О, оо), то должно быть
АX^1 (X)т ^ ~Мх (X)АX^1 (X)т ^ ~Мх (X)а2(Х) ^2 (X) •а2(Х) ^2 (X) •
АX^1 (X)
т ^ ~Мх (X)
АX^1 (X)
т ^ ~Мх (X)
а2(Х) ^2 (X) •
а2(Х) ^2 (X) •
Далее заметим, что когда X стремится к действительному пределу (т. е. т-> 0), то из формул (6. 19), (6.23)—(6.25) и (6.11), (6. 12), (6. 13') и (6. 14') следует
^м^4 <х)+ьмь м-*4 ммь
4 <v (х) -wi- (хн 4 (х) - <х» •
6 (X) + ^ (X) И (X) + iv (X) •6 (X) + ^ (X) И (X) + iv (X) •Следовательно,
6 (X) + ^ (X) И (X) + iv (X) •
6 (X) + ^ (X) И (X) + iv (X) •
lim т (X) = т->0
Поэтому для действительных X
Im (ш (X)} =
1
А2 (X) + V2 (X) •
И так как функции р (X) и v (X) не обращаются в нуль для одного и того же значения X, то 1т(иг(Х)}—непрерывная функция X на всей оси (—оо, оо). Тогда в силу формулы (3. 19) гл. III, мы имеем
х+д ,
р(Х + Д)-р(Х)*4 J
что и доказывает теорему.
§ 7. Преобразование основной системы
В некоторых случаях систему
У'1 — (х + 91 W} Уг = 0,(7.1)
у'-—(X + у2 (z)} у, = О(7.2)
с неограничено растущими коэффициентами у1 (ж) и у2 (z) можно путем подходящей замены преобразовать к другому виду, допускающему вывод асимптотических формул.
Предположим, что X — действительное число, а коэффициенты -д^х") и 9г^ дважды непрерывно дифференцируемы. Положим
« М = j {Iх + 9i W] Iх + 9» (я)]}71 ^,(7 • 3)
О
u^ = Ftx, "^у^
v^ = G(,x, Х^у^-Р-Цх, Х^у^х),' '
где
F^, х)==G^x, Х) = ^^~. (7.5)
Тогда
du du dx ,„ ,, dx F', . F ,
"da "dx* da (^2 + Fy^ • ^ VУ 2 + yr yr
Отсюда
, f duF' 1 a'
Уг I "daаГУДТ"
Теперь, подставляя это выражение у' в уравнение (7. 2), мы получим
или В силу (7. 3) —(7. 5)
й=5»>-4('-+«1«ы1=
= G(x, X) Уг (х) — F"1 (х, X) ух ^ = и (я).(7.6)
Далее, мы имеем
' та=тА = ^+G^ + ^'^ - F~^
откуда в силу (7. 2) мы находим
^ = - 37 ^ + W - (^ IX + q2 (х)] -^Уг
Подставляя значение у( из последнего равенства в уравнение (7.1) и учитывая первое из равенств (7. 4), мы получим
X + 91 (Ж) G,(G [X +g2 (ж)]^1
37 —a’FI 7a'F^ «V V-
Так как в силу (7. 3) и (7. 5) коэффициент при и в первом члене правой части (7. 7) равен —1, а коэффициент при ух равен нулю, то уравнение (7.7) принимает вид
daI a' (х) F ^х, X) "( • )
Значит, система (7.1)—(7.2) преобразуется к виду (см. (7. 6) и (7. 8)):
^ = v,(7.9)
daх 7
£-=-«+ R^(7.10)
19 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
гдегде
где
где
В (х, X) =(7.11)
v ' ar ^ F (я, К)v '
или, используя (7.3) и (7.4),
’ J 4 Р-+ gi (ж)]2 [X + g3 (a:)] 4LX + gi(^)J [j-+ g-2 (^)Г2
5 Фх (ж)J_ gj (ж) ?2 (*)I
16 ' [X + Чх (z)]3 [X + g2 (x)]8 * [X + 91 (z)]2 [X + g2 (г)] 1
_i7 .g22 (ж) ,
16 [X + 9i (ж)] [X + 7a t3-)] *
Лемма 7.1. Если вектор-функция
"Ч (я) ="Ч (я) =Ъ (ДЪ (Д
"Ч (я) =
"Ч (я) =
Ъ (Д
Ъ (Д
является решением системы (7. 9)—(7. 10), т. е. если
т=^<7-9'»
5 = -11 + Л(1, Х),„(7.10)
то она удовлетворяет системе интегральных уравнений r^ (z, X) = т]1 (0) cos a (z) + т12 (0) sin а (z) —
— Д1(5> ^P^i X) sin [а (s)—a^x^ds, (7.12) о
т]2 (х, X) = —т;1 (0) sin а (z) + т]2 (0) cos а (z) +
+ Д1 (s, X^P^s, X) cos [а (s)—a (z)] ds, (7.13) о
где
P^x, ^ = R^x, X}.a'^ = ^-V(7.14)
Доказательство. В самом деле, в силу уравнения (7. Ю') и (7. 14) мы имеем
j ($> ^) р (s> ^) SIn [а (5) — а W] ^s = о
= j {$«'(splits, х)а'(5)} sin [а (s) — а (ж)] ds = о
~ а' (s) s™ [а (s) — а ^^ ^s о
+ j'»li(s, ^) «'(s) sin [а (s)—a (т)] ds. (7.15) о
Теперь, интегрируя первый интеграл правой части равенства (7.15) по частям, а затем используя уравнение (7.9') и еще раз интегрируя по частям, мы находим
S §sin ta (s)—а da = 0
= т]2 (0) sin а (т) — j ^ cos [а (s) — а (т)] da (s) =о
— 7)2 (0) sin a (т) — t]1 (x, X) -)- t]1 (0) cos a (x) —
— J ^(z, X)sin[a(s)—a(x)]da(s). о
Из равенства (7. 15) в силу последнего равенства следует справедливость уравнения (7. 12). Уравнение (7. 13) Доказывается аналогично.
Лемма 7.2. Пусть ^ (т) и q^^— монотонные функции, и выполняется одно из условий".
п 9i^>0, ?2(z)<0, q'T^>0, ^(т)<0, q1 ^ -> оо, »а(а:)-> —оо,
„^(^ХО, 72(т)>0, q't (т)<0, ^(т)>0, qT ^-* — оо,
9z(®)-»oo,
3° ^1W, q^>0' чЛжУ ^^>0' Q1^, 9г2(т)^оо,
-4? 91 (я), 9г (я) < °, 91 <А Qi ^ < °, 91 W, 92 м -* — ОЭ и условия
ЬХМ = О^<Н^\СУ <№ = о^д2(хусу (7.16) где I) <_ с О у .
6? 9" (z) и q" (х) сохраняют, знак для больших по абсолютной величине х.
Тогда интеграл
(7.17)(7.17)| Р (х, 7) | дхо
(7.17)
(7.17)
сходится равномерно по л в каждой области | (7 + д^ху |, I (7 + 9г С2-)} | ^ § 1> О для 0 ^ х <0 со.
Доказательство. В силу равенств (7.11'), (7. 14) и (7.3)
9'2 W
5[91 (ж)]2
Р(х,
4 [7+ 91 (ж)]3'2 [7 + 92 (ж)],/г
4 [X + 9Х (х)]7* [^ + 9> (*)Г^16 [7+^ (^[X+g^)]
8
[7 + 91 (а-)] ^ [7 + 9'2 t1)] 7
I[?2 (*)]2
16 " [7 + gi (аД'/з [7 + 92 (аД72
Очевидно, что для доказательства леммы достаточно показать, что каждое из слагаемых интегрируемо на полуоси [0, оо).
Пусть выполняются условия 1°, 5° и 6° (доказательство в остальных случаях проводится вполне аналогично). Тогда в силу (7. 16) мы имеем
X, X
^ {^(д)"<?2w1-'2|jo <?iwyj-6^^V2
Так как, по условию, qa^ — монотонная функция, то, применяя теорему о среднем к последнему интегралу,
мы получаем (Хомы получаем (ХоX)X)XГ dqv (z) | {9i(z))'/2XГ dqv (z) | {9i(z))'/2(7. 19)(7. 19)
мы получаем (Хо
мы получаем (Хо
X)
X)
X
Г dqv (z) | {9i(z))'/2
X
Г dqv (z) | {9i(z))'/2
(7. 19)
(7. 19)
Диалогично получаем оценку
(7.20)(7.20)'( dx = О (1).
(7.20)
(7.20)
Далее, используя опять теоремуДалее, используя опять теоремутегрируя по частям, мы находим (АоГх _тегрируя по частям, мы находим (АоГх _о среднем, ао среднем, аX)X)затем ин-затем ин-( 9" ^^{91 (^)}72{?2 WYk( 9" ^^{91 (^)}72{?2 WYk1-V, (91 (*)' q'iW 1х . -<91 ^Y11 Jx„1-V, (91 (*)' q'iW 1х . -<91 ^Y11 Jx„dx =dx =1 f W2 <71 wY111 f W2 <71 wY11dx.dx.Поэтому в силу оценок (7. 16) и (7. 19) заключаем, что ■ ахПоэтому в силу оценок (7. 16) и (7. 19) заключаем, что ■ ах(йх = О (1)..^{91М}А{92(^)}/зАналогичным образом установим, что(йх = О (1)..^{91М}А{92(^)}/зАналогичным образом установим, что(7.21)(7.21)( ^=0(1)..1 (g!^)}/-^^)}'1И, наконец, используя оценку (7. 16) и теорему нем, получим( ^=0(1)..1 (g!^)}/-^^)}'1И, наконец, используя оценку (7. 16) и теорему нем, получим(7. 22)(7. 22)о сред-о сред-^<91 ^‘Чч» WY1,^<91 ^‘Чч» WY1,Г хГ х(зтд— dxJ UiW‘442^ 1 6(зтд— dxJ UiW‘442^ 1 6О [th (i)}^^ {Q-, (^)}-^1Ь0 = 0(1). (7. 23) Сходимость интеграла (7. 17) следует из оценок (7. 19)—■ (7.23) в силу (7.18). Лемма доказана.О [th (i)}^^ {Q-, (^)}-^1Ь0 = 0(1). (7. 23) Сходимость интеграла (7. 17) следует из оценок (7. 19)—■ (7.23) в силу (7.18). Лемма доказана.
Далее, используя опять теорему
Далее, используя опять теорему
тегрируя по частям, мы находим (АоГх _
тегрируя по частям, мы находим (АоГх _
о среднем, а
о среднем, а
X)
X)
затем ин-
затем ин-
( 9" ^
^{91 (^)}72{?2 WYk
( 9" ^
^{91 (^)}72{?2 WYk
1-V, (91 (*)
' q'iW 1х . -<91 ^Y11 Jx„
1-V, (91 (*)
' q'iW 1х . -<91 ^Y11 Jx„
dx =
dx =
1 f W
2 <71 wY11
1 f W
2 <71 wY11
dx.
dx.
Поэтому в силу оценок (7. 16) и (7. 19) заключаем, что ■ ах
Поэтому в силу оценок (7. 16) и (7. 19) заключаем, что ■ ах
(йх = О (1).
.^{91М}А{92(^)}/з
Аналогичным образом установим, что
(йх = О (1).
.^{91М}А{92(^)}/з
Аналогичным образом установим, что
(7.21)
(7.21)
( ^=0(1).
.1 (g!^)}/-^^)}'1
И, наконец, используя оценку (7. 16) и теорему нем, получим
( ^=0(1).
.1 (g!^)}/-^^)}'1
И, наконец, используя оценку (7. 16) и теорему нем, получим
(7. 22)
(7. 22)
о сред-
о сред-
^<91 ^‘Чч» WY1,
^<91 ^‘Чч» WY1,
Г х
Г х
(зтд— dx
J UiW‘442^ 1 6
(зтд— dx
J UiW‘442^ 1 6
О [th (i)}^^ {Q-, (^)}-^1Ь0 = 0(1). (7. 23) Сходимость интеграла (7. 17) следует из оценок (7. 19)—■ (7.23) в силу (7.18). Лемма доказана.
О [th (i)}^^ {Q-, (^)}-^1Ь0 = 0(1). (7. 23) Сходимость интеграла (7. 17) следует из оценок (7. 19)—■ (7.23) в силу (7.18). Лемма доказана.
8. Случай чисто точечного спектра
Цель настоящего параграфа — установить некоторые достаточные условия для дискретности спектра задачи —^ + д1^У1 = о,(8.1)
у; +^ + 9^У1 = о.(8.2)
уг (0) cos а+ у2 (0) sin а = 0.(8. 3)
Теорема 8.1.Если коэффициенты ^ (а:) и д^х')
удовлетворяют условиям 1° + 5° + 6° или 2° + 5° + 6° леммы 7.2, то задача (8. 1) + (8. 2) 4- (8. 3) имеет чисто точечный спектр.
Доказательство. При Im X > 0 мы предполагаем, что 0<^argX<^K, а в тех случаях, когда ду^ или д^^х)-*—со, предполагаем, что и arg {X + дТ (х^ и arg {X + д2 (ж)} изменяются от arg X до л. Поэтому
у arg X < arg {X + ^ (ж)}1/-, arg {X + д^ (а:)}1/, ^ ^. Отсюда следует, что мнимая часть функции
а (а;) = J {[X + 91 (s)] [X + д^ (s)])V= ds о
положительна. Далее, при выполнении условия 1° или 2° леммы 7.2, ограниченном X и а:-* со, мы имеем
а (ж) ~ i j {^ <х)У^ {q2(s)}'^ ds,о
так что е-<“(ж) -* со при х-* со. Пусть Цж, Х) = т](а:, Х)е,'“(ж). Тогда из (7. 12) и (7.13) следует, что
^ (а:, X) = т]1 (0) е*“(ж) cos а + I2 (0) е*“(ж) sin а (а:) —
— j ^ (s, X) е' <”(*)-”(«)}.? (s, X) sin (а (s) — а (a:)} ds, о
;2 (a:, X) = —т^ (0) eia ^ sin a (a:) + r]2 (0) eta W cos a (a:) +
+ J 5, (s, X) e*<“(;r)_°1(>)>/’ (s, X) cos {a (s) — a (a:)} ds.
Отсюда, так как
| eia(-x'> sin а (ж) | ^ 1,| е*'"^ cos а (ж) | + 1,
следует, что
IM*.x)l<lii(0)l + h2(0)l+JlM«, x)||P(s, к) [^,
о
I ^2х) К hi (0) I + h2 (0) 14- I ^i h X) 11 p (S, X) I ds,
0
и, значит, согласно лемме 3. 1, которая применима в силу леммы 7. 2,
l№ х)1> 1^(^ х)|
(11- (0) | + 112(0) |) exp J
Следовательно, hih> х)|, h2h> x)l
< (111 (0)1 + 112 (0) I) exp J IP (s, X) | ds I | =
(8.4)(8.4)ОО изОО из(8-5)(8-5)= О (e-1'"^1) = О {eIm “(«)}.
(8.4)
(8.4)
ОО из
ОО из
(8-5)
(8-5)
Далее, при фиксированном X, ImX>0 и при х—> (7. 12) следует
lj (ж, X) = l1^ e-iaW —1,22(0) е--'"^) + О (e-im-W) 4-
+^ 5 ^! (s* ^ Р (s* ^ e'^W-^Pds + .о
+ ° И hl (s> х) 11 Т5 (s, X) I е-1™ [“(*)-“( »)lds ■.
о
В силу (8. 4) мы имеем
о j 17)1 (s, X) 11P (s, X) I e-Im С“ Wds =
= 0 $ |7’(s, X)^-11”^^)^^)]^^о
^Oje-imr-t^^-»)] j | Р (s, X)|ds +
'о•
4-OjeIm”№ )
'8
ТакТаккаккак
Так
Так
как
как
a (x — 8) = a (a:) — J {[X + qT (s)] [X + q^ (s)]}73 ds, X-b
то
—Im [а (а:) — 2а (а: — 8)] =
= 1т а (а;) — 2 Im $ {[X + qx (s)] [X + q^ (s)]}V= ds.
Поэтому
ехр {—Im [а (а:) — 2а (а: — 8)]} = о {е1™"^)} (а:-* оо).
Следовательно, используя еще лемму 7.2, из (8.6) при х—> со получаем оценку
О j | li (s, X) 11P (s, X) | e~Imt“(;c)-a(,)]ds} = о (e1™01^)}. (8. 6')
С другой стороны, в силу леммы 7.2 при х-* со
имеем
$
j 11] (s, х) Р (s, х) е-1^ W-“ Wds =
(8-7)(8-7)— О eim«(«) j | p(S) X)| cM = o{eIm’W}.
(8-7)
(8-7)
Благодаря оценкам (8. 6') и (8. 7), равенство (8. 5) можно нереписать в виде
^(а;, Х) = е-’“«(Л/+(Х) + о(1)},(8.8)
где
ОО
М*(X) =+ 1(^(5, X)P(s,X)e<-(«^s. (8.9)
■0
Аналогичным образом из равенства (7.13) получаем
т]3(я;, X) = e-’"W{/V+ (X) + о(1)},(8.10)
ГДе
Iсо
ДГ+(Х) = ^+^ + .| (^(s, ^P^s, X^-Wds. (8.11) о
Теперь, если Im а (а:)-*— оо при а:-* оо и, следовательно, е,е(*>-» оо, то, поступая таким же образом, как И выше, мы равенствам (7. 12)—(7. 13) придадим вид
т), (а;, X) = e^W ^м- (X) + о (1)},(8. 12)
т]2(а:, X) = е'”^1 (7V~ (X) + о (1)},(8.13)
где
ЛГ(Х) = 2^ + ^ 1 7 (S, x)p(Sj х^1*^,14)
+^- j ^ii (s, ^) P (s, X) e’*a ^d$. (8. 15) о
/срт (а;, Х)\
Обозначим через ср (а:, X) =решение системы
\?2 Vе’ Ч/
(8. 1)—(8. 2), удовлетворяющее условиям
ср1 (О, X) = —sin а, ср2 (О, X) = cos а, (8. 16)
/9^31, х)\
а через 9 (ж, X) =—решение, удовлетворяющее
V2 \Х' Ч /
условиям
9Д0, Х) =—cos а, 92(0, Х) =— sin а. (8.17)
Далее, так как из (7. 4) следует, что
^(0) = ^(0)у2(0), ^(0)-С(0)у2(0)-^(0)У1(0),■’
то в силу (8. 16) мы имеем
т] (0) = F (0) cos а,
^2 (0) — ^-1 (0) sin а + G (0) cos а.
С другой стороны, благодаря (7. 4)
fi (ж, 4 = G (х, X) 7]т (ж, X) — F (х, X) т)2 (а;, X),
(о. 1У)
?2 (Х' Х) = ^ кХ' Х) ll Vх' ^Y
Поэтому, используя равенства (8. 8) и (8. 10), для решения ср ^х, X) получаем следующие асимптотические формулы при х—> оо ):
ср+ (х, X) : е-'“ w {G (ж, X) М+ (X) —
_F<x,4N*(\Ho<4Y (8-20)
cp+ (ar, 4 = e-"W {F~4x, Чм^(Ч + о(Ч},(8.21)
где в силу (8.18') и (8.19), используя (8.9) и (8.11),
М| (Х) = Ti {—^ (°) sin а + ^ (°) “ G (°)1 cos а +
+ j cp+ (s, X) Р (s, X) F (s, X) e'-Ws , (8. 22) о’
N* (X) = ~ (f-1 (0) sin а — ^iF (0) — G (0)] cos а +
+ Jv+(s, \)P(s, \)F(s, X^Wdsl. (8.23) о'
Диалогичным образом для решения 9 (ж, X) получаем следующие асимптотические формулы при z-»oo:
6+ (ж, X) = e-iKW (G (ж, X) М + (X) —
-F^N^ + о(1)}, (8.24)
6+(ж, X) = e-<“W{F-1(a;,X)7l/+(X)4-o(l)},(8.25)
где М^ (X) и Ng (X) получаются соответственно из М* (X) И N* (X) заменой sin a, cos а и ^(х, X) соответственно на cos а, —sin а и 9+ (ж, X).
Пусть ф (т, X) = 9 (ж, X) -}- w (X) <р (х, X) — то решение системы (8. 1)—(8. 2), которое принадлежит классу ^(О, оо). Тогда, используя асимптотические формулы (8. 20)—(8. 21) и (8. 24)—(8. 25), мы получаем
Ф1 <А Ь) = 9+ (ж, X) 4- т* (X) ср+ (ж, X) =
= е~,е W (G (ж, X) М* (X) — F ^х, X) N+ (X) 4-
т* (X) [G (х, X) М* (X) - F (х, X) N* (X)] -}- о (1)}, ф2 (х, X) = 9+ (х, X) -}- тЛ (X) ср^ (х, X) =
= е-<”(») ^F-1 (х, X) М* (X) -}- т* (X) F"1 (х, X) М* (X) 4- о (1)}. Так как ф (х, X) с Хг (0, оо), то из последних двух формул следует, что
Щ+ (X) = ——
V 7 М* (X)
GVxA^M^^-FVx, X) Nt (X)
~ ^GVxA^Mt^-FVxA^NtW
Подобные формулы имеют также место в случае, когда Im а (ж)-* — оо, с заменой в формулах (8.26) т+(Х), Л/+,е (X), А|>0(Х) соответственно на т-(Х), Л/~>6(Х), N~, е W> гДе последние две функции получаются из равенств (8.14) и (8.15) так же, как функции ^*>6(Х), Аф>0(Х) были получены из равенств (8.9) и (8. И).
Пусть X — фиксированное действительное число. Согласно условию 1° леммы 7.2 ^ (ж) монотонно стремится к + оо, а 91^— к —°0- Сначала предположим, что для всех х X + q^ (х) > 0, а X + q^ (ж) < 0- Тогда функция а (а:) чисто мнимая, так что а (а:) = е'^2 | а (а:) |. То же самое предположим при выполнении условия 2°. Тогда, как легко видеть, F (х, X) = е,л/41F (х, X) | и G(x, Х) = = е-<к/41G (х, X) |. Следовательно, из (8.22) следует, что функция е-,'л/471/+ (X) действительна. Аналогичным образом доказывается, что функции М^(Х), N+(k), Аф(Х), Л/~(Х), Мд (К), А~(Х) и/У0(Х) становятся действительными, если каждую из них умножить на е-<л/4 или е*л/4.
Итак, установлено, что на самом деле функция е-'~^М* (X) действительна и непрерывна на всей действительной оси. Так как, кроме того, М* (X) регулярна в верхней Х-полуплоскости, то по принципу симметрии Л/+(Х) — целая функция. Аналогично можно заключить, что М^(Х) — также целая функция. Следовательно, в силу формулы (8. 26) тЛ (X) мероморфна. Собственные значения совпадают с ее полюсами, и, следовательно, спектр чисто точечен. Аналогично разбираются остальные случаи.
С тем же успехом все предыдущие рассуждения можно провести и в том случае, когда при q, (х) -* -ф-оо, д2 (аф-*—оо или при q^x1)-*—оо, q^ (х) -> -ф-оо неравенства X (а:) ф> 0, X -ф- q^ (а:) < 0 или X -ф- q, (а:) < 0, X + д2 (а:) 2> 0 выполняются не для всех х. Очевидно, что тогда можно выбрать такое X, что при всех х > X и фиксированном действительном X выполнялись неравенства X -}- q1 (х) > 0, X-}-д2 (а:) <( 0 (в случае условия 1°) и неравенства X -ф- q^ (х) < 0, X -ф- q^ (а:) > 0 (в случае условия 2°), и после этого все предыдующие выводы можно повторить для интервала (X, оо). Теорема доказана полностью.
д 9. Другие случаи спектра
В настоящем параграфе мы проведем дальнейшее исследование спектра задачи (8. 1) + (8. 2) + (8. 3). Пусть -/ф1 (х, Х)\/^i^, ^)\
функции ср (х, X) = XJ и 9 (х, X) =, Х)имеют
прежние значения. Обозначим через т] (х, X) и т]0 (z, X) решения системы (7. 9')—(7. 10'), которые получаются из л*(У1 (^Л
формул (7. 4) заменой в них у (ж) =. I соответственно
«а ср (х, X) и 9 (х, X). Тогда в силу (8. 16) и (8. 17) из формул (8.18) следует
Ъф (°) = F (°) cos а,
^ (0) = ^ (0) cos а + ^-1 (0) sin ai " t]1q (0) = —F (0) sin а,
Tj26(0) = —G (0) sin а + F"1 (0) cos а. (9-2)
Далее, из формул (8. 19) для ср (0, X) и 9 (0, X) получаем следующие выражения:
^X^G^^-F^^,
?2 (0, X) = F'1 (0)^(0),(
MW = G(0H^-F(0HM ,q ,. 92(0,Х) = ^(0)^(0).
В силу условий (8. 16) и (8. 17) мы имеем
\ W {ср, 9}я=0 = ?1 (0, X) 92 (0, X) - ср (0, X) 9, (0, X) = 1.
’Поэтому, используя выражения (9.3) и (9.4), мы по-
'Лучаем■
W {?, 6} = [G (0) т]1т (0) - F (0) ^ (0)] F-i (0) т]1в (0) -
- [G (0) т]1в (0) - F (0) т]2б (0)] F-^ (0) т]1т (0)=
= ^(0)^(0)-^(0)^(0)=!. (9.5)
Теорема 9.1. Если коэффициенты q^kx^ и q^x) удовлетворяют условиям 3°, 5° и 6° или 4°, 5° и 6° леммы 7.2, то спектр задачи (8. 1) + (8. 2) (8. 2) непрерывен и заполняет всю ось (—оо, оо).
Доказательство. Пусть X — фиксированное действительное число. Так как в силу условий 3° и 4° леммы 7.2 функции q^x^ и q^^ при х-* со одновременно стремятся или к -}- оо или к —оо, то предположим сначала, что для всех х одновременно или X -}- q1 (а:), X + д2 (ж) > 0 или X -}- ^ (а:), X + ^ W < 0. В обоих случаях мы получаем, что обе функции а (а:) и F (х, X) (см. формулы (7. 3) и (7. 5)) действительны. Значит, Im а (а:) = 0. Поэтому из оценки (8. 4) следует, что | т^ (а:, X) ] и ] т]2 (х, X) | ограничены. С другой стороны, условия теоремы обеспечивают сходимость интеграла (7. 18). Тогда формулы (7. 12) и (7. 13) можно переписать в следующем виде при а:-* оо:
т^ (а:, X) = р. (X) sin а (а:) + v (X) cos а (х) + о (1),(9. 6)
т]2 (а:, X) = —v (X) sin а (а:) + р. (X) cos а (а:) + о (1), (9. 7) где
р. (X) = т]2 (0) + j т)1 (s, X) Р (s, X) cos a (s) ds, (9. 8) о
v (X) = 7]j (0) — j 7]] ($, X) P (s, X) sin a (s) ds. (9. 9) о
Так как интегралы в формулах (9.8) и (9. 9) сходятся равномерно по X, то р. (X) и v (X) являются непрерывными и ограниченными функциями от X.
Далее, в силу асимптотических формул (9. 6) и (9. 7) из равенства (9. 5) следует, что при а:-* оо
W {ср, 9} = [р-? (X) sin а (а:) + v? (X) cos а (а:)] X
X [—v0 (X) sin а (а:) + р., (X) cos а (а:)] —
—[—\ (Х) sin а М + Р-¥ (Х) cos а (^1X
Х[р-е (X) sin а (а:) + v0 (a:) cos а (а:)] + о (1) =
=М^Н (WH^1)-
где р-¥(Х), v,(X) и р6(Х), v6(X) получаются из формул (9.8) и (9.9) с помощью замены т^ (а:), т;2 (а:) соответственно на F (а:, X) ср2 (а:, X), G (а:, X) ср2 (а:, X) — F-1 (х, X) срх (а:, X) и F (х, X) 62 (а:, X), G (х, X) 02 (а:, X) — F"1 (х, X) 61 (а:, X). Следовательно, при а:-* оо
и поэтому ни функции Р¥(Х), ^(Х), ни функции [Х0 (>.), ve(X) не могут обратиться в нуль для одного и того же значения X.
В силу (9. 1) и (9. 2) из (8. 22) имеем
^JW^ гХЛ9 — Ч2 JO) + j Tj,... (s, X) Р (s, X) е^
о
ИЛИ
Аналогично получаются формулы
^(Х) = 1[ц¥(Х)-^(Х)],
Подобные выражения имеют место и для функций М" (X) и N”^\\
Тогда в силу формулы (8.26) для т* (X) получаем выражение
^(Х)Р-¥(Х)—^8(X)v¥(X)г
тР2¥(Х) + ^(х)Р2(х)+^(Х)-
Следовательно,
"^7X)+ЧW•"^7X)+ЧW•Im т+ (X) =
"^7X)+ЧW•
"^7X)+ЧW•
Аналогично
Im т (X) = .
V '^|(Х) + ^(Х)
В обоих случаях Imm(X)— непрерывная и ограниченная функция X. Поэтому утверждение теоремы, т. е. непрерывность спектра, следует из формулы (3. 19) гл. III. так как согласно этой формуле
х+д
рР. + ДХ)-р(Х)=±1)-№^7г.
В том случае, когда неравенства X + ^(ж), Х2 + g2(x) 2> И или X-|-<?i (я), Х + ?2(х)<0 выполняются не для всех .г. то доказательство завершается в точности так, как при доказательстве теоремы 8. 1. Теорема доказана.
Указания к литературе
Лемма 1. 1 принадлежит Б. М. Левитану [1 ], а лемма 1.2 — авторам и публикуется здесь впервые.
Теорема 2. 1 при условии g (хс) —» + оо была получена Вейлем [1], а при условии (1. 5) А. М. Молчанова теорема доказана авторами и публикуется здесь впервые.
Результаты этого параграфа в существенном принадлежат Вейлю [1], см. также Титчмарш [1]. Изложенный здесь способ вычисления функции р (X) принадлежит Б. М. Левитану [1].
Результаты этого параграфа принадлежат Титчмаршу [1].
Теоремы 5. 1 и 5. 2 принадлежат Титчмаршу [1 ]. Изложенное здесь доказательство этих теорем принадлежит Б. М. Левитану [1].
Результаты этого параграфа принадлежат Конту и Сан- грену [2]. Параграф написан на основе их работы.
, 8, 9. Эти параграфы написаны на основе работы Руса п Сангрена [1]. Данное здесь изложение результатов Руса и Сангрева принадлежит авторам.
$ЛАВА V
ПРИМЕРЫ
|1. Классический интеграл Фурье
д- В настоящей главе мы рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих изложенную выше теорию.
Для задачи Штурма— Лиувилля простейшим примером Является случай классического интеграла Фурье, которому соответствует д(х) = 0. Если рассматриваемым интервалом является действительная полуось (0, оо), а краевые условия в нуле задаются формулой (2. 3) гл. II, to в этом случае
9 (ж, X) = cos а • cos V^^ + Х^2 sin а • sin \fkx,
<5 (ж, X) = sin а • cos х/кх — \-^ cos а • sin х/кх.
дикция ф (ж, X) = 9 (ж, X) -|- т (X) <р (ж, X) при ImX>0 ter отличаться от е*^ * лишь постоянным множителем, е—ivT^ не принадлежит cSf2(0, оо). Следовательно,
х sin а — i VX cos ат (X) ==.
cos а -|- i VX sin a
ли ctga^O, то для X<0 знаменатель этой дроби может обратиться в нуль. Поэтому в этом случае
v-T , . л
—Im/n(X) =—Im/n(X) =cos2 a -|- X sin2 a ’0,cos2 a -|- X sin2 a ’0,(ctga<0), X<0(ctga<0), X<0
—Im/n(X) =
—Im/n(X) =
cos2 a -|- X sin2 a ’
0,
cos2 a -|- X sin2 a ’
0,
(ctga<0), X<0
(ctga<0), X<0
и формулы обращения в силу отсутствия отрицательного спектра имеют вид
ОО
^(Х) = J / (ж) {sin a cos xjkx — cos a • sin x]kx\ dx, (1.1) о
20 Б. M. Левитан, И. С. Саргсян
оо
/ (х) = — J F (X) (sin a cos \jXx — о
— A ,2 cos а • sin \Кх\—-——т—г-5- ,(1.1)
v } cos2 а + X sin2 а '7
Если ctga = /i>0, то при Х =—А2 знаменатель функции /п(Х) обращается в нуль. Следовательно, в этом случае имеется одно отрицательное собственное значение: X= = —А2, и соответствующая ему нормированная собственная функция равна e~hx^2h- Поэтому к правой части разложения (1. 1) следует добавить член
-^ e-te f(t)e~h‘dt,о
и разложение принимает вид
СО
^ (^=^e~to S ^ е-Мйг+ о
со
+ — ^ F (X) (sin a • cos \fkx — Х-^2 cos a • sin x/kx^ X о
cos2 a + X sin2 я "' ‘
Разложение (1.1) и (1.2) можно, конечно, обосновать в обычных предположениях для интегралов Фурье, рассматривая непосредственно подынтегральное выражение.
Заметим, что формула (1. 2) может быть также получена из формулы (1. 12) гл. II при q^ — 0. В самом деле, в этом случае
Р (X) = Sin a, V (X) =—
и, следовательно,
т- уТ^ЩХ) 4-v2 (X)) г. (cos2 a + X sin2 a) *
§ 2. Разложение в ряд Фурье — Бесселя
Рассмотрим уравнение Бесселя
^ = °,(2.1)
ах ‘ \ х )х '
где X, ж и р — действительные числа. С помощью подстановки y = \]xz уравнение (2.1) приводится к виду
X — /4 L = 0.(2.2)
Последнее уравнение имеет следующие линейно независимые решения (VX = s):
уг (х, X) = \/х Jp ^sx\ у2(х, Х^^хУ^х), где Jp (t)— функция Бесселя первого рода и
У (A Jp W cos ри—J_p(t)
Р ' 'sin pit
■— функция Бесселя второго рода. Из известных разложений функций Бесселя в степенные ряды следует, что при х^- 0
У1 = о(/+2\ у2=О^х 2\
Из этих оценок следует, что для р ^ 1 только у^ имеет интегрируемый квадрат в окрестности нуля. Напротив, если 0^р<Ч, то оба решения имеют интегрируемый квадрат.
Пусть 0<^а<^Ь и а, р— произвольные действительные числа. Присоединим к уравнению (2. 1) краевые условия
у (a) cos а + у’ (a) sin а = 0,(2-3)
у (b) cos р + у' (К) sin р = 0.(2. 4)
Так как в интервале [а, X] уравнение (2. 2) не имеет особенностей, то совместно с краевыми условиями (2. 3) и (2. 4) оно определяет регулярную задачу Штурма—Лиувилля, 20*
к которой применима классическая теория, изложенная в гл. I.
Обозначим через Хр Х2, . . ., Хя, . . . собственные значения и через <?Дх\ <?Дх), • • ■> У»^)» ••• соответствующие собственные функции этой задачи. Чтобы получить трансцендентное уравнение, корнями которого являются числа Хя, найдем решение уравнения (2. 2), удовлетворяющее краевому условию (2.4). Легко видеть, что таким решением является функция
у (ж, Х^СуДх, Х) + у2(х, X), где
у-ДЬ, X) ctg р 4- t/г М/о 4
ух кь, х) ctgр 4- к; (6, х) •v ■ ’
Поэтому собственные числа Хя являются корнями уравнения
у (а, X) cos a-V- у1 (а, X) sin а = 0,
которое можно записать в виде
С ^уДа, X) ctg а + у,'(а, X)} +
+ (У2 (а> х) ctg а + Уг (а> А)} = °> (2- 6)
где С определяется по формуле (2. 5). Так как у2 (ж, Х)-> со при х -> 0, а ух (х, X) -> 0, то при каждом фиксированном X число нулей функции у (х, X) в интервале [а, Ь] остается ограниченным при а->0. Отсюда следует (см. главу IV), что уравнение (2.2) и краевое условие (2. 4) определяют в интервале (0, Ь] дискретный спектр собственных значений с единственной предельной точкой на бесконечности. Соответствующие собственные функции должны иметь интегрируемый квадрат. Последнее условие в случае р^1 однозначно заменяет краевое условие (2.3), ибо в этом случае лишь уДх, Х) = \jx Jp(\jXx) имеет интегрируемый квадрат. Таким образом, для определения собственных значений в интервале [0, Ц следует подставить в краевое условие (2.4) вместо у (х, X) функцию \jxlр^Хх^, и мы получим следующее трансцендентное уравнение:
JPW | V^cos 3 + ^1= sin pl 4- VbJ'ptsb') sin р = 0.(2. 7)
; Если sinP = O, то мы получаем более простое трансцендентное уравнение
,.JPW = O.(2.8)
, Обозначим в последнем случае собственные значения (т. е. корни уравнения (2. 8)) через sn. В силу известной формулы *)
v • ь
j хРр и dx = ^ {[/; да + (i - jy VI р WI2}. о
Полагая в этой формуле s = sn, получаем
(ь "
l^(V0^ = ^[7;(s,,X)]2. 0
Поэтому нормированные собственные функции имеют вид
"^xJpkSnX'l
bJ'p(s„b)
И разложение в ряд Фурье — Бесселя пишется в виде
'■03/™ Г /\6
-н»)-^ Vm i^M/mn. (2.9)
.я—1О
п 2. При р <( 1 все решения уравнения (2.2) имеют Интегрируемый квадрат. Поэтому в этом случае требование интегрируемости квадрата не заменяет краевого усло- ЙМ (2. 3). Мы покажем, что, меняя надлежащим образом Э условии (2. 3) а вместе с а (которое мы заставим стре- '№гься к нулю), можно получить недостающее краевое ■условие.
Так как уравнение (2. 2) не содержит первой произ- •одной, то определитель Вронского для у^ (х, X) и у2 (ж, X) Постоянен, т. е.
^ (Ур Уз^Ут^^У'2^’ \)~у2(х, \)у}(х, Х) =
i; = ^1р (sx) ^xYp (sx)}' — \}xYp(sx) ^xJp (sx)}' =
i= sx (Jp (sx) Y'p (sx) — Yp (sx) Гр (sx)} = const.
g *) См., например, Ватсон [1|, стр. 147.
Для окончательного вычисления W {yv у^ воспользуемся известными асимптотическими формулами для функций Бесселя от большого аргумента (см., например, Ватсон [1], стр. 226):
Л(') = /тМ‘-т-т) + 0(т)]. ^-т) + °(т)].
1', w = -/ЗД ™ (‘ - ^ -т) + ° (т)]. ^ю=/?Н (- -^ -т)+О}
Подставляя эти выражения в формулу для W (yv у2}, 2 а затем полагая ж-> оо, мы получим, что W (ур у^ = —.
Пусть, для определенности, ^ = -^-, т. е. у1 (6) = 0. Не нарушая общности рассуждений, можно также считать, что у(6)=1. Легко показать, что
У ^’ Х) = "W^v у2} ^У1 ^Х’ Х)У» ^Ь’ Х) — У1 &’ Х)У1 ^Х’ Х^ =
~ s ^bx(Jp (sx) Yp (sb) - Yp (sx) J'p (sb)}.(2.11)
Собственные значения Хя определяются теперь из уравнения
у (a, X)ctga + y'(a, Х) = 0.
Пусть вначале 0<^р<^1. Так как
УР ^) = <JP Д) cos рт ~ J-p kt)} cosec рк, то из формулы (2. 11) следует У кж» х) =
= - так ^. И Г_р kbs) - J_p ksx) J»}. (2. 1 Г)
При фиксированном s и х->О
Ip ^^ — 2?г (1 + р) ^жР^’
j;w= 2T(iTf>+°
Поэтому
у (а, X) Ctg а + у' (а, X) =
а2а22+р2+р к Vb s ( sFJ'_p (bs)
а2
а2
2+р
2+р
2 sin ,рк ) 2?Г (1 + р)
^Зр (bs)2-РГ(1-р)^Зр (bs)2-РГ(1-р)"2 ~Р а2"2 ~Р а22+Р2+Р( — --|-О\а2 Р | ctg а( — --|-О\а2 Р | ctg а(2. 12)(2. 12)Обозначим через с произвольное постоянное пусть а удовлетворяет уравнениюОбозначим через с произвольное постоянное пусть а удовлетворяет уравнениючисло, ичисло, и12~Р а12~Р а2 ~Р2 ~Р2^Г(1-р)2^Г(1-р)а— Са— С2+-₽2+-₽2Я' (1 + р)2Я' (1 + р)(2. 13)(2. 13)
^Зр (bs)2-РГ(1-р)
^Зр (bs)2-РГ(1-р)
"2 ~Р а2
"2 ~Р а2
2+Р
2+Р
( — -
-|-О\а2 Р | ctg а
( — -
-|-О\а2 Р | ctg а
(2. 12)
(2. 12)
Обозначим через с произвольное постоянное пусть а удовлетворяет уравнению
Обозначим через с произвольное постоянное пусть а удовлетворяет уравнению
число, и
число, и
1
2~Р а
1
2~Р а
2 ~Р
2 ~Р
2^Г(1-р)
2^Г(1-р)
а
— С
а
— С
2+-₽
2+-₽
2Я' (1 + р)
2Я' (1 + р)
(2. 13)
(2. 13)
Разрешая это уравнение относительно ctg а, мы получаем
^+р^+рctg а —
^+р
^+р
Р — с2-тг (1
с2-ТГ(1-р)а2 Р — 2ТГ(1 +р) а2 Р
Поэтому
"р" + т . I /1 I—+ р
a2 ctga + ^y + pja 2=
=-2Р+1рГ(1 + р)~ ^Ц с2~РГ (1 — р) а 2"+/' - 2РГ (1 + р) а 2 ₽
и, следовательно, в формуле (2. 12) можно пренебречь О-членами, если только у — р 2> Р—2", т- е. р<1. Из уравнений (2. 12) и (2. 13) следует трансцендентное уравнение, заменяющее краевое условие (2. 3):
spJLp lbs') — С8~рГр tbs') = О, или
КрЛр^-с1'р^ = 0.(2.14)
Обозначим корни уравнения (2. 14) через sn. Числа sn суть собственные значения уравнения (2.2) с краевыми условиями (2.4) (при Р = -у) и (2. 14). Соответствующие собственные функции уп(ж) мы получим, подставив в (2. 11') sn вместо s:
=тт^У,и лдч)- ь,ад /;(Ч))= т ^bx_
= 1W М - J_p ^}. (2. Ю)
Если с = оо, то мы получим обычное разложение в ряд Фурье — Бесселя порядка р, если же с = 0, то обычное разложение порядка ■—р.
Пусть теперь р = 0. В этом случае
Уо(5а:) = 4{Т + 1п-^}{1 + 0(^)},
Yo(sx)^ T^ + O^Un^O,
где у — постоянная Эйлера. Поэтому
у (а, X) ctg а 4-у'(а, X) =
=JL4^{[yw- Wl^In^X
X (а2 ctg а 4- la2_ j'^bs^-V-
= ^^- ![/; (fe) — 4 Zo О38') hi s] 42 ctg а 4- у а 2
Полагая
2 / .I tz \ / "л*।1 v
— (Т+ In у) I a2 ctg а 4- у а 2
и проведя вычисления, аналогичные предыдущим, получаем следующее уравнение для определения собственных значений:
Уу(^) —-у/' (bs) In s| = 0.
При с = оо мы получим обычное разложение в ряд Фурье — Бесселя.
Аналогично можно изучить разложение при р = 0. Мы получим следующие уравнения для определения собственных значений:
c\-PJp^-J_pH = 0 (р>0),
- clubs’) — {У0Н^-^о (^s) In s| = 0.
Пользуясь обычными приемами, можно показать, что собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Далее, для каждой функции / (ж), имеющей в интервале [0, 6] интегрируемый квадрат, имеет место равенство Парсеваля (см. теорему 5.1 гл. I). Из равенства Парсеваля легко следует (см. теорему 5. 2 гл. I), что если ряд Фурье — Бесселя для непрерывной функции /(ж) сходится равномерно, то для) ж)>0 его сумма равна функции Цх\
Укажем простой признак равномерной (и абсолютной) сходимости ряда Фурье — Бесселя. Для определенности рассмотрим обычное разложение в ряд Фурье — Бесселя.
Теорема 2.1. Если функция f (х) удовлетворяет следующим условиям-.
1? /(ж) в интервале [0, Ь] имеет непрерывную вторую производную,
2? f^ = 0,
3? /(0)=/'(0) = 0,
то ряд Фуръе—Бесселя для f (х) сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Пусть
соЪ
1^ = ^ ^/xJp(snx>)-^\ ^t Jp(snt)f(t)dt, (2. 16) и=1a” 0
где
= i tj2p ^sn^ dt-0
В силу асимптотической формулы (2. 10)
«2 = 1 ( t= О (ДУ
" 'J Xя 24 /1 \ k „ )' '
о
Далее, интегрируя дважды по частям, мы получаем
ъ
а„ = J \j?Jp (V) / (О At = о
ъ (—4- Jev^ мт—ъ (—4- Jev^ мт—1<21<206'006'0EVt"J, (v)J /№ At =EVt"J, (v)J /№ At =P2~ T—\at, (2.17)P2~ T—\at, (2.17)
ъ (
—4- Jev^ мт—
ъ (
—4- Jev^ мт—
1
<2
1
<2
0
6'
0
0
6'
0
EVt"J, (v)J /№ At =
EVt"J, (v)J /№ At =
P2~ T
—\at, (2.17)
P2~ T
—\at, (2.17)
причем проинтегрированные члены обратились в нуль в силу условий 2° и 3°.
Легко также видеть, что из условия 3° следует ограниченность функции ~^~. Поэтому из формулы (2. 17) следует
«, = о(Л-(2-8)
Из асимптотической формулы (2. 10) легко следует, что
)К = О^
При га-* оо.
Поэтому из оценки (2. 18) следует, что ряд Фурье— Бесселя (2. 16) сходится абсолютно и равномерно, и теорема доказана.
Пользуясь асимптотической формулой (2. 10), можно Показать, так же как ив классической задаче Штурма — Лиувилля (см. гл. I, § 9), что ряд Фурье — Бесселя сходится при тех же условиях, что и обычный ряд Фурье По косинусам, для всех *) х > 0.
Разложение в интеграл Фурье — Ханкеля
Рассмотрим теперь разложение по собственным функциям уравнения (2.2) в бесконечном интервале (0, оо). Как показано в § 1 гл. И, разложение по собственным функциям в интервале (0, оо) может быть получено из разложения в конечном интервале [О, Z/| при Ь-> со. Рассмотрим вначале случай р ^ 1, и пусть для определенности в краевом условии (2.4) р = -^-.
Пользуясь асимптотическими формулами для функций Бесселя J р(х) и Гр (х), можно показать, что
ТС I / 1 \п b I \ 6 / ’
где зя — и-й нуль уравнения J р (bs) = 0.
Рассуждая дальше как в § 1 гл. II (см. также пункт 2 настоящего параграфа), можно получить формулы
ОО
/ (я) = J sF (s) V^ Ip ksx^ ^si
0
ю(3- !)
F (s) = J / (ж) V^ Jp ($^) dx о
и формулу Парсеваля
J /2 (ж) dx = sF2 (s) ds.(3.2)
оо
Формулы (3. 1) называются формулами обращения Фурье — Ханкеля.
Пусть теперь 0 < р <( 1. Как было показано в предыдущем параграфе, в этом случае собственные значения для конечного интервала [0, 6] определяются из уравнения
\»r_p^-cJ'p^ = Q,(3.3)
где с — произвольное действительное число.
Обозначим через kj и к2 последовательные положительные корни уравнения (3.3). Из асимптотических формул (2. Ю) и (2. 10') легко следует, что при со
х/л2 — V^i = У + О (у).(3. 4)
В силу формулы (2. 15) и однородности краевой задачи функции
также являются собственными функциями. Для определения спектра изучаемой краевой задачи для интервала [0, оо) нам понадобится вычислить предел
, Из асимптотической формулы (2. 10) следует, что при фиксированном К > 0 и больших ж
^„ (г) =
= У 4 &V (с cos (v — т i")—Z« eos (у + т ~ т) +
+° СО=Уч s« ^ (с c°s (у-ч-У)-
— ^cos^ — ^ — ^ + p^ + O^')^
= ]/OO(C — /'"COS^^
Поэтому
lim у ( ^ (ж) dx = 4- s;1 {(с — // cos рл)2 + \2р 5{п-2 р^ =
= у-(с2 — 2у cos р^-\-№у
Полагая, как и в § 1 гл. И,
2-
e<sK^s+A С 62 (z) dxО
мы получаем в силу (3. 4)
д?»м= 2 ——=
s<s„^s+A Г Л ,/ 1 \1 f „
(тйх
8<^ХС -М-"Ю5ГТ-^к" j
8+Д Гs ds
~* j с2 — 2cs^P cos ри 4- s^P "
Следовательно, при X )> О спектр непрерывен. Если отрицательного спектра нет, то формула разложения имеет вид ■
ОО ОО
Г Vx {cJv(xs) — S2PJ_B(xs)}_
/M^J c1 — 2cs2P cos pu 4- sip sdsj ^ (c^(^s) —
о0
— s2?Z_p(^)}/(0^.(3.5)
Исследуем теперь, для каких с будет отрицательный спектр. Пусть Х<^0, \/Х = ?а, (□> 0). Из уравнения (3.3) следует
(_1)р а^г_р ^ — сГр {ЪЬ) = 0.(3. 6)
Как известно,
JpH = ^PIlIp^,(3.7)
где
ОО
к=0
Дифференцируя равенство (3. 7), мы получаем
Поэтому из уравнения (3.6) следует
или■ т. е.или■ т. е.е^'а^е" Г_р (tn)— се2 Гр (Ь^) = О
или
■ т. е.
или
■ т. е.
W-p И-сГрИ = 0,
(3.8)(3.8)Гр (Ь°) _ ^г_р (ь^ Г •
(3.8)
(3.8)
Из асимптотической формулы для функции Бесселя от чисто мнимого аргумента следует (см., например, Ватсон, стр. 226), что при Ь^- со левая часть равенства (3. 8) стремится к единице. Поэтому если с < 0, уравнение (3. 8) при достаточно больших b не имеет решений и, следовательно, в этом случае отрицательный спектр отсутствует, и формула разложения пишется в виде (3. 5).
При с )> О мы получим одно отрицательное собственное значение
Вычислим соответствующую собственную функцию. 1
Так как \Д = 1с2р, то из формулы (2.11) следует
sin рте V^ сКрsin рте V^ сКрф (ж, X) = ^х \cJ р\xic2p) — (iypс]_т\zic^F,
sin рте V^ сКр
sin рте V^ сКр
_2
It
Множитель —^ sin ри можно отбросить, и мы получаем собственную функцию: \jx Кр\хс2р). Для нормировки этой
последней функции воспользуемся известной формулой из теории функций Бесселя ):
ООоООос? J Р - '2с? sin pitос? J Р - '2с? sin pitо
ОО
о
ОО
о
с? J Р - '2с? sin pit
о
с? J Р - '2с? sin pit
о
Таким образом, в случае с^>0 к правой части фор мулы (3.5) следует добавить член
2с? sin рл рт.2с? sin рл рт.оо/ j_\vr КД1с2рИ^ dt./ j_\vr КД1с2рИ^ dt.
2с? sin рл рт.
2с? sin рл рт.
о
о
/ j_\
vr КД1с2рИ^ dt.
/ j_\
vr КД1с2рИ^ dt.
Аналогичные вычисления можно провести и в случае р = 0. Мы приведем лишь окончательный результат:
ОО
р ,-f21
V х kZ0(zs) — Y^zs} +~ /0(zs)lnsi
/(^)= 1 —г2РUdsx
J (c + vlnsf +1 оо
X 5 ^ (с^о(^) — ^o(^) + ^o(^)lns}/(#)^ + 0
оо
о
о
Таким образом, в этом случае при любом с <^ —|—оо спектр содержит одно отрицательное значение. Прис=-|-оо дополнительное слагаемое к интегралу выпадает, и мы получаем обычное разложение в интеграл Фурье — Хан- келя по функциям Бесселя нулевого порядка.
Из (3. 2) легко следует обобщенное равенство Пар- севаля
ОООО
j f^g^dx = j F(s)G (s)s ds, (3.9) оо
где G^s) определяется no g (z) так же, как F (s) по /(z).
Из обобщенного равенства Парсеваля (3.9), так же как в § 1 гл II (см. теорему 1.2), можно получить следующую теорему.
Теорема 3.1. Если /(ж) непрерывна для. всех ж)>0 и интеграл
ОО
•jj sF(s) \jx Jp (sx) ds(3.10)
(i
интервале, то(3.11)интервале, то(3.11)сходится равномерно в каждом конечном
интервале, то
(3.11)
интервале, то
(3.11)
ОО
/ (ж) = j sF(s) \]х I р (sx-) ds.о
' Аналогично тому, как доказывается теорема 2. 1, можно доказать и следующую теорему.
Теорема 3.2. Если для всех х^О.
1? /(ж) имеет непрерывную вторую производную,
2?/(0) = /'(0) = 0,
3? /(-j-oo) = 0, / (ж), /'(ж), f (ж) С j?(0, оо), то интеграл (3. 10) сходится абсолютно и равномерно для всех ж^О, и, следовательно, имеет место разложение (3. И).
Как известно, многие дифференциальные уравнения с помощью надлежащей подстановки сводятся к уравнению Бесселя. Рассмотрим, в частности, уравнение
d2ydz2d2ydz22р + 1 dy х dx2р + 1 dy х dx+ ху — 0 ■+ ху — 0 ■(3.12)(3.12)
d2y
dz2
d2y
dz2
2р + 1 dy х dx
2р + 1 dy х dx
+ ху — 0 ■
+ ху — 0 ■
(3.12)
(3.12)
Это уравнение рассматривалось еще Эйлером. Если *1
сделать подстановку z = х ‘у, то мы получим уравнение
Как мы видели, последнее уравнение имеет своими решениями функции \[х I ^Х х^ и \]xYр(^х). Поэтому Уравнение (3.12) имеет решения
Jp(VX X-)Yp^'Xx)
(VF^ ’(VXxY •
21 Б. M. Левитан, И. С. Саргсян
Положим .2РГ(р + 1)7,^Гх)
/,№«)=^
л Г(р + О
»-о»-оГ(р + 1 + 1)А! ' \2/
»-о
»-о
Легко видеть, что функция /^(V^ ж) удовлетворяет следующим начальным условиям
iP№=i, ГР^ = о.
Выпишем формулы разложения в интеграл Фурье — Ханкеля по функциям / (у^ ЖУ С этой целью выпишем вначале обычные формулы обращения Фурье — Ханкеля, т. е. формулы (3.1),
СООО
/ (х) = j sF (s) V# Jp (xs) dx,F (s)= ^ \/x f (x) I p (xs) dx.
о0
1
Пусть j(x) = xg(x). Тогда
00
F (s) = ^ \jx f (x) J p (xs) dx =
0
00 op csP
=WTm^ S 6 ^ Ь(м) ж^Чж = У^р-\^ ф (^
Поэтому
x” 2 g(^ = ^ (p1 + -1У J sF (s) V$ (s$y jp (sx) ds = 1 0
=2W7F+91ф (s)s2P+1^+ 2 ip W dx =
XX22— 2^Y^p + 1)— 2^Y^p + 1)00J Ф (5) jp (sx) s^pA3ds.000J Ф (5) jp (sx) s^pA3ds.0
X
X
2
2
— 2^Y^p + 1)
— 2^Y^p + 1)
00
J Ф (5) jp (sx) s^pA3ds.
0
00
J Ф (5) jp (sx) s^pA3ds.
0
’аким образом, разложение по функциям j (sx) имеет МД
Ф (s) = j g (z) jp (sx) x^^dx, 0
g (ж)=22РГ2 (}, + 1) S ф (s) ip ^sWds-0
| 4. Разложение по ортогональным функциям Чебышева — Эрмита
Вначале построим так называемые многочлены Чебышева — Эрмита. Для этой цели рассмотрим функцию
ф (ж, 0 = е-'42^ = е^е-^-^1.
Разлагая функцию ф (х, t) по степеням t, получаем
■ф^, #) = е«ге-(^, = 2^Г"^
я=0
Отсюда непосредственно следует
^W = 2S^-L=(-1)'^^.(4.1)
функции Нп (ж) называются многочленами Чебышева — урмита. Выведем дифференциальное уравнение для этих Многочленов. Из соотношения
Вдедует
;Н;^ = 2пНя_Лх) (п>1),(4.2)
В из соотношения
d-5^ + 2(t-x^(x, t) = 0
вытекает
И»,, ^ - 2хНп ^ + М_х (я) = 0 (и > 1).
Комбинируя последние две формулы, получаем следующее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно Нм^
Н'^х^— 2жЯ'(ж) + 2пЯя(ж) = 0 (п^О).(4.3)
Первые многочлены Чебышева — Эрмита имеют вид
Но^ = \,Нт(х) = 2х,Нг^ = 4ж2 —2,
Я„ (ж) = 8^ — 12,Я4(ж)=16ж1 —48ж2+12.
Общее выражение для многочлена Чебышева —Эрмита Нп(х) следующее:
Н„ (х) = (2z)” - 2^^- W^ +
I п (п — 1) (а — 2) (п —3) zo-xw .
Последний член равен
j («/2)1j («/2)1при четном п,
j («/2)1
j («/2)1
при нечетном п.
Покажем, что многочлены Чебышева — Эрмита ортогональны на всей прямой (—оо, оо) при весе р^ = ^ж". В самом деле, в силу формулы (4. 1) мы имеем
j Hm^H,AxV-4x = <-\Y 5 H^^-dx.
Интегрируя последний интеграл при n ^> m по частям и принимая во внимание формулу (4.2) и то, что при
#_> оо обращаются в нуль все производные от е-^, мы находим
5 нп^нп^е-'ах = к-\у-^т j нт_ЛхГ-^-ах=... —СО—ОО
’7дП-т Ж1
...=(-!)—2”ш! j Но^1^- = О.
—СО
Таким же путем при п = т можно вычислить
гJ Н2пе-=Чх = 2’,п\ ^.
■—00
Поэтому функции
■?Я(Ж) = ^£± (п = О, 1, 2, ...)(4.4)
у2"п! ^л
составляют ортонормальную систему на всей оси (—оо, оо) и называются ортонормальными функциями Чебышева — Эрмита.
■2. Пусть q(x) = x2, —оо<^ж<^оо. В этом случае нам
приходится решать уравнение
у"+(Х_ж2)у = 0.(4.5)
Так как q (z) = х2-> -{-со при х-* + оо, то, как известно из результатов главы IV, спектр оператора I (у) = г —у" -{- хгу на всей прямой дискретен. Обозначим через Хр Х2, . . ., Хв, . .. спектр уравнения (4.5) на всей прямой.
Покажем, что ортонормированные собственные функЦии, являющиеся решениями уравнения (4.5) класса -5?2(—оо, оо), т. е. решения уравнения (4.5) с интегрируемым квадратом на всей числовой оси, совпадают с функциями <ря (z), определенные формулами (4. 4).
В самом деле, пусть у = e'^z. Тогда уравнение (4. 5) принимает вид
‘/' —2^' + (Х — l)z = O.(4.6)
Если
z = 2a/(4-7)
к=0
— решение уравнения (4.6), то из уравнения (4.6) для неисчезающих коэффициентов получаем следующую рекуррентную формулу:
“kv-i2А -|- 1 — X— (& +4(^ + 2) •
Формулы (4. 8) показывают, что для уравнения (4.6) существуют два решения: четное z, (z) и нечетное z2(z): стало быть, в степенной ряд (4. 7), для каждого из этих решений, входят лишь только четные или только нечетные степени х. Из формул (4.8) прежде всего следует, что ряд (4. 7) либо обрывается (именно, если Х = 2&-|- 1 — нечетному целому неотрицательному числу), и в этом случае уравнение (4.6) совпадает с уравнением (4.3), следовательно, решением является полином Чебышева — Эрмита, либо имеет бесконечное число неисчезающих коэффициентов и сходится для всех значений х.
Во втором случае все ак, начиная с некоторого к, имеют одинаковый знак. Пусть они положительны, тогда они удовлетворяют неравенству
■л \ “к
и, как легко убедиться, при достаточно больших х
z = ^akxk>Ce2,С=^0,
к=0
2„
и, следовательно, y = ze не имеет интегрируемый квадрат на всей прямой. Этим самым устанавливается, что ортогональные функции Чебышева — Эрмита являются единственными решениями нашей задачи класса 5^(—оо, оо).
Полнота системы ортогональных функций Чебышева—■ Эрмита в классе j?2 (—оо, оо) следует из общей теории, изложенной в главе II.
i 5. Разложение по полиномам Лежандра
| присоединенным функциям Лежандра
Полиномами Лежандра называются полиномы, определенные по следующим формулам:
" Po^l," Po^l,P»^ = WT^ ("=1- 2-'--)'P»^ = WT^ ("=1- 2-'--)'
" Po^l,
" Po^l,
P»^ = WT^ ("=1- 2-'--)'
P»^ = WT^ ("=1- 2-'--)'
чточтоОчевидно, 4 степени. , Докажем,Очевидно, 4 степени. , Докажем,функции Рп(х) являются многочленами
что
что
Очевидно, 4 степени. , Докажем,
Очевидно, 4 степени. , Докажем,
что многочлены Рп^ составляют ортого-
ильную систему на отрезке [—1, 1]. В самом деле, пола- *я “я (z) = (z2— 1)"» мы для любого целого неотрица- ельного т<"п имеем
1j Pn(x)xmdx1j Pn(x)xmdxi
1
j Pn(x)xmdx
1
j Pn(x)xmdx
i (Ж) ^dx = 0,2«ra| J n \'
-i
х^то легко проверить путем многократного повторного ^интегрирования по частям, принимая при этом во внима- жие, что все производные от u„(z) до (п—1)-го порядка №а границах промежутка интегрирования обращаются у нуль. Отсюда следует, что и "
\Р„^Рт^аж = ° (™<п\
ML е. действительно два различных многочлена взаимно ^Ортогональны. Для вычисления коэффициентов нормиро- |®ания мы при помощи многократного интегрирования по Мастям получаем
и»я) (■г) ы*я) (ж) dx = — ( п^1-^ (z) w(n+^ (z) dx =
Sri-1
11
х = j ыО1-2' (ж) u^^dx = ... =(—1)”u^^dx =
-1-1
= (2п)! j (1 — ж)" (1 + х)" dx.
-1
Далее, так как
11
j(l— ж)”(1 -ф-л)^^;^ J (1 — z)"-1)!+z)"+1dz = ... -I-1
П^П ‘ • -2 • 1Г ,* I у2я л (ПР292»— (n + 1) (п + 2)...2п р1"^(2п)!(2п+1) 4
то
$ Рп ^ Дж = ^ 1)2 5 W М}2 ^ = ЙГП •
-1-1
Поэтому нормированные многочлены имеют вид
?п\ж) — у 222"»! dxn
(и = 0, 1, 2, ...).(5.1)
Многочлены Лежандра Рп (ж) обладают тем свойством, что при любом п
^„(1)=1,(5-2)
что легко увидеть, образуя по известному правилу Лейбница n-ую производную выражения (ж—1)”(ж-]-1)” и полагая затем х = 1.
Важную роль играют многочлены Лежандра в теории потенциала, где они фигурируют в качестве коэффициентов разложения так называемой производящей функции. В самом деле, производящей функцией в теории потенциала называют величину, обратную расстоянию между двумя точками, одна из которых удалена от начала координат на 1, а другая — на и<1 и радиусы-векторы которых образуют угол arccosz, т. е. величину
Ф (ж, и) = -==
V1 — 2жи -|- и2
Теперь, подставляя в разложении
—=1 —/1-Н—=1 —/1-Н^ + |^-^3 +^ + |^-^3 +
—=1 —
/1-Н
—=1 —
/1-Н
^ + |^-^3 +
^ + |^-^3 +
_(2п-1)И
'(2п)И
группируя по степеням, производящей функциигруппируя по степеням, производящей функцииВместо t = —2хи + и2, а затем Мы получаем разложение для в виде
группируя по степеням, производящей функции
группируя по степеням, производящей функции
Ф (*, и) =■ V = У Q„ М “”•(5-3)
VI — ZXU + И21я=0
' Покажем, что функции Qn(x) тождественны с ранее Определенными многочленами Лежандра. Для этого сначала докажем, что QJ^ составляют ортогональную систему на отрезке [—1, 1]. Из (5.3) следует
СО
. == У Q^Q^uV. (5.4)
’1.п,т=0
Интегрируя левую часть равенства (5. 4) по х в пределах от —1 до 1, получаем
Гdx1 , 1 -|- Vur
I —==============: = —— In=- ,
J V(1— 2;ки-|-и2) (1—2xv -|- v2) Vuv 1—Nuv
откуда в силу разложения
1"4^7=2,(1 + 1‘,+т,,+ "-+-5ГТГ
следует
С= V 2 „Пу» /5
J V(1 — 2хи + и2) (1 — 2xv + у2) -2j 2п -|- 1"' '
Теперь, интегрируя правую часть равенства (5. 4) по х в пределах от —1 до 1 и сравнивая с разложением (5. 5),
мы получаеммы получаемJ Qn W Q« М йж =J Qn W Q« М йж =0, при т=^=п,2 , при т=п.0, при т=^=п,2 , при т=п.
мы получаем
мы получаем
J Qn W Q« М йж =
J Qn W Q« М йж =
0, при т=^=п,
2 , при т=п.
0, при т=^=п,
2 , при т=п.
т. е. функции Qn^ образуют ортогональную систему на отрезке [—1, 1]. Из построения функций Qn^ следует, что они многочлены. С другой стороны, как многочлены Лежандра {^(z)}, так и многочлены {^„(ж)} можно рассматривать как системы, полученные из системы 1, х, х2, ...,$”,... путем ортогонализации последней. Так как процесс ортогонализации обнаруживает, что существует, если не принимать во внимание постоянных множителей, только одна система ортогональных многочленов, в которую входят многочлены любой степени ), то для доказательства Qn (х) = Рп (я) при любом п достаточно отметить, что, как и многочлены Рп^, многочлены Q„(x) тоже удовлетворяют условию (5.2), т. е. ^я(1) = 1. В самом деле, полагая в (5.3) х=1, получаем
сои)=^=1+и+и2+...+и”+ ...=2о)“я>я=0
что и доказывает наше утверждение.
Получим рекуррентные формулы и дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра.
Дифференцируя равенство (5. 3) по и, заменяя там Qn (я) на Рв^х\ получаем
^(д’ “)-= S пР (х'иГ1
ди V1 — 2хи + «2 . (1 _ 2хи + и^ ^'’
т. е.
(z — и) 2 Р„ (я) и” = (1 — 2га + и2) 2 пРп ^ и”~^ я=0я=0
откуда, приравнивая коэффициенты при и”, получаем следующую формулу для трех последовательных многочленов Лежандра:
(и + 1) Р„ц (х) — ж (2п + 1) Р„ (z) + пР,^ (z) = 0.
/ Первые многочлены Лежандра имеют вид
а Р0(ж)=1,Р1(ж) = х, Р^х^-^х2 — ^-,
Рз^^^3—у®’^M^-^-^—r^H-g--
Многочлен Лежандра ', ,1 d”(z2-l)”
У (ж)2”nl dx"
удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка:
(х2 — 1)у" 4-2ху' — п (п + 1)у = 0(5.6)
или
[(ж2 — 1) у'}' — п (п + 1) у = 0.(5. 6')
Это доказывается путем (га + 1)-кратного дифференцирования очевидного равенства (ж2—1)и' = 2пхи, где ц = (ж2—1)”, причем в результате заменяем и(п1 (х) через 2”п'.у.
Из уравнения (5. 6) следует, что все корни многочлена Р,(ж) различны между собой, так как Рп (ж) есть решение уравнения второго порядка. Далее из определения многочлена Рп (ж) на основании теоремы Ролля вытекает, что все корни его действительны и лежат в промежутке [-1, 1].
Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля стандартного вида:
^ + {Х + (т^Ч + 4)}и = 0^ + {Х + (т^Ч + 4)}и = 0(5.7)(5.7)
^ + {Х + (т^Ч + 4)}и = 0
^ + {Х + (т^Ч + 4)}и = 0
(5.7)
(5.7)
Так как здесь q(t) = — ^ tg2t + у)~>— 00 ПРИ
t-* ± у, то мы имеем сингулярный случай. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (5. 7). С помощью подстановок
a:=sin£,у— и- —- .■._(5.8)
У vcos t''
задача (5.7) преобразуется к уравнению
(1 —ж2) у" —2^' +Ху = О,(5.9)
а отрезок^—-у, yj—в отрезок [—1, 1] при краевых условиях: у (ж) остается конечной в обоих особых точках уравнения (5.9), т. е. в точках +1. Мы уже знаем, что числа X = п (п + 1) являются собственными значениями, а многочлены Лежандра Рп (ж) — собственными функциями этой задачи.
Покажем, что многочлены Лежандра являются единственными решениями этой задачи на собственные значения, ограниченными на отрезке [—1, 1]. Заметим, что одновременно с u = j^ удовлетворяет дифференциальному уравнению (5. 9) и функция / (—ж), а следовательно, удовлетворяют уравнению также функции / (ж) + / (—ж) и / (ж) — / (—ж), из которых первая — четная, вторая — нечетная и одна по крайней мере не исчезает тождественно, ибо функция u = f^$Y по предположению, не равна тождественно нулю. Итак, достаточно показать, что всякое четное и всякое нечетное решение и уравнения (5.9), непрерывное при —1^ж^1, есть многочлен Лежандра и что при этом X должно быть числом вида и (и + 1). Представив и в виде степенного ряда
и (ж) = 2 а^"»
И=1
из уравнения (5.9) получим следующую рекуррентную формулу для коэффициентов:
=(и —0, 1, 2, ...).(5.10)
Если и^— четная функция, то все ап с нечетным п— нули; если же ы(ж)— нечетная функция, то нулями будут коэффициенты ап с четным п. Из формул (5. 10) в случае п — 2h > 0 имеем
°” и [^— 1) (" — 2) ][^ (п — 3) (п — 4)] • • •
. . . Г1 —как, (5.11)
где к—п — 2 А. Ряд для и (ж) обрывается в том и только в том случае, если X — число вида п(п4~1). Очевидно, что в этом случае и (ж) представляет собой п-й многочлен Лежандра. Для всех иных значений X получится бесконечный ряд, который согласно элементарным признакам сходится при |ж | <^ 1. Дадим числу к определенное значение, притом столь большое, чтобы все сомножители произведения (5. И) были положительными (ак можно считать положительным). Так как с возрастанием п произведение, записанное при помощи квадратных скобок в правой части формулы (5. И), в силу известных теорем стремится к положительному предельному значению, то при п > к наверно anj> —, где с — положительная постоян
ная. В силу этого 2 аХ не м°жет быть ограниченной ч=1с
функцией в окрестности точки х = 1. Отсюда вытекает, что число X =т^= тг (и -|- 1) не может быть собственным значением.
В силу формул (5. 1) и (5. 8) заключаем, что собственные значения задачи (5.7) суть числа Хя = п(п-|-1), а нормированные собственные функции
Un = У^Р" Р” VcoT< =
Vcos t d" (—cos3 <)”
Полнота системы (5.1) в ^2 (—1, 1) следует из теоремы Вейерштрасса.
Из дифференциального уравнения многочленов Лежандра (5. 9) легко вывести другие ортогональные системы. Дифференцируя уравнение (5. 9) по х, получим дифференциальное уравнение для функции и1 (х), и так же точно, как и выше, окажется, что лишь при X = п (га + 1) существует решение, регулярное в обеих конечных точках интервала [—1, 1], а именно В'(ж). Полученное таким путем для В'(ж) уравнение не является еще самосопряженным, но его можно привести к самосопряженному,
введя функцию Р'(ж) \/1 —ж2 = гп(ж) в качестве неизвестной. Тогда новое уравнение примет вид
{(1_Ж2)2Т__1_+Х2 = о.
Его собственными значениями будут числа Хя = п (га -ф-1) (?г=1, 2, 3, . . .), а собственными функциями:
Функции гп^ = РП11^ называются присоединенными функциями Лежандра первого порядка. Функции Рп (ж) = — Рп о (ж) мы при этом будем называть функциями Лежандра нулевого порядка. Функции Лежандра Рп г (ж) удовлетворяют соотношению ортогональности
1
j Рп, 1 (ж) Рт, I М ^Х = 0 при т^п. —1
Точно так же, дифференцируя уравнение (5. 9) h раз, получим для функции
U^^t-^Pn^P,.^
дифференциальное уравнение
Y\z = QY\z = Q(5. 12')(5. 12')
Y\z = Q
Y\z = Q
(5. 12')
(5. 12')
с собственными значениями Хя=п(п-|-1) (п = Л, Л-|-1, h + 2, . ..) и соответствующими собственными функциями Рп h^x\ которые также взаимно ортогональны на отрезке [—1, 1] и называются присоединенными функциями Лежандра Н-то порядка. Их нормирование производится при помощи следующего легко доказываемого равенства:
(» + А)!(га — X)! '(» + А)!(га — X)! 'SO
(» + А)!
(га — X)! '
(» + А)!
(га — X)! '
Рп, h (ж) ^ж = 2га 4-1
Что таким путем получены все собственные значения и собственные функции дифференциального уравнения (5. 12'), доказывается таким же образом, как и для функций Лежандра нулевого порядка.
Разложение по многочленам Чебышева — Лагерра
Многочлен Чебышева — Лагерра степени п определяется формулой
Легко убедиться, что ^?п(т) в самом деле есть многочлен степени п. Действительно, в силу формулы Лейбница, имеем
=2(-1)Ч”Ь(«-1)---(*+1)^=
к=0\'
=2 МГ^т) п (П - 1) ... (п - к + 1) х'^= к=о
_ 2 (_ 1)"-* ["("—Ч -■• ("~^ + ЧР хн-к __ к=0
= (-1)"^" — -^- ^ Д- -w2 (” - ^2 ^ _ ... +(—!)"„! у
Первые многочлены Чебышева—Лагерра имеют вид ^0(а:)=1, ^ (ж) = — х + 1, ^2{х) = х2~ 4^ + 2, jf3 (ж) = —х3 + 9ж2 — l&r + 6, ^я (ж) = х4 — 16ж3 + 72х2 — 96ж + 24.
G целью получения рекуррентных формул и дифференциального уравнения для функций ^я (ж) рассмотрим функцию
Ф (ж, t) =: Y^y е
Докажем, что при любом п
дп$ (х, t) Idt" L-дп$ (х, t) Idt" L-
дп$ (х, t) I
dt" L-
дп$ (х, t) I
dt" L-
В самом деле, в силу определения функций ^я (ж) имеем
я—О к=ия—О к=ия=0я=0-TV^tn = к]-TV^tn = к]
я—О к=и
я—О к=и
я=0
я=0
-TV^tn = к]
-TV^tn = к]
(—l)^/ п \ „ чг! (—l)1 ж* tk
1=0п=к \/к=0'1
11т^е ^^(я, 0,(6.1)т^е ^^(я, 0,(6.1)xt
1
1
т^е ^^(я, 0,(6.1)
т^е ^^(я, 0,(6.1)
что и доказывает наше утверждение в силу единственности разложения функции ф(ж, 2) по степеням t.
Из очевидного соотношения
(1 _ ty ^lH = (1 —t — x^ (ж, t)
в силу формулы (6. 1) следует тождество
СОсо
11=0,»=0
Приравнивая в последнем тождестве коэффициенты при одинаковых степенях t, мы приходим к рекуррентным формулам
^„н W — (2п + 1 — х)2е„ (ж) + п2^-! (ж) = о (и > 1).
Эта формула и вытекающая аналогичным образом из соотношения
формулаформула(l-f)^_l = _^(a;) t)
формула
формула
^;, (ж) — п^ (х) = —пжп_! (ж) (п > 1)
приводят к формуле
Х^ (ж) = и^, (ж) — га2^ (ж) (и > 1)
и к однородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка
жу" + (1 — х)у' + пу = 0(6.2)
для многочленов Чебышева — Лагерра.
Многочлены Чебышева — Лагерра составляют ортогональную систему на полупрямой (0, оо) с весом е-®, т. е.
j е-®^ (ж) $п (ж) dx = 0 (гаг < га). о
Это следует из равенства
J е-®хк$п (ж) dx = хк -^ (ж”е-$) dx =
оо
= —к ( хк-1 -^ -- (Л~ж) dx =
о
= к (к — 1) ( хк”^ —(ж”е-®) dx = ...
J dz”-2 О
. ..=(—l)1 А! (——- (а?ё"жА dx = 0 при п^к.
J dxn~* о
Нормировочные коэффициенты вычисляются следующим образом:
СОСО
^ ^ ax = j (-1)” х" Ix^ dx =
°0
= га! j x”e~xdx = (га! )2.
о
Поэтому функции
^М=е 2пГ— (п = 0’ !’ 2’
22 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
представляют ортогональную нормированную систему на полупрямой (0, оо) и называются ортонормальными функциями Чебышева—Лагерра.
Рассмотрим уравнение
и"+(х —(-^—i~4>=° (°<*<°о)- (б-3)
G помощью подстановок
х = ^ , у (ж) = и (?) t-1^!»,
уравнение (6.3) приводится к виду
жу"+ (1 —ж) у'+ Ху = Ожу"+ (1 —ж) у'+ Ху = О(0^ж<^оо).(6.4)(0^ж<^оо).(6.4)
жу"+ (1 —ж) у'+ Ху = О
жу"+ (1 —ж) у'+ Ху = О
(0^ж<^оо).(6.4)
(0^ж<^оо).(6.4)
Так как в уравнении (6. 3)
4 ^ = "Гб---4^ —"2
монотонно стремится к -|-со при i-* сю, то спектр уравнения (6. 3) дискретен. С другой стороны, уравнение (6. 4) совпадает с уравнением (6. 2), для которого собственные значения \п = п, а собственные функции — многочлены Чебышева—Лагерра. Что уравнение (6. 4) не имеет других собственных функций, кроме указанных, доказывается так же, как и в случае многочленов Эрмита. Следовательно, собственные значения уравнения (6.3): \п = п, а собственные функции
“bw=^_t^b(4).
Как и у функций Лежандра в § 5, процессом дифференцирования и умножения на подходящие множители приходим и здесь к лагерровским функциям высшего порядка (обобщенные функции Лагерра), которые удовлетворяют аналогичным дифференциальным уравнениям. Прежде всего из уравнения (6. 4) после m-кратного дифференцирования следует, что функции
удовлетворяют дифференциальному уравнению
хи" + (m + 1 — х) и1 + (X — т) и = 0,(6. 5)
которое можно записать в следующей самосопряженной форме:
(х’^е-^и1)1 + х,пе-2С (X — т) и = 0.
Соответствующие ортогональные функции
и = х 2 е 2 ^” ^
удовлетворяют следующему уравнению штурм-лиувил- левского типа
(хиЧ + (^^-^-^у + \и = 0.
Для того чтобы показать, что наши уравнения не имеют других собственных значений и собственных функций, вносим в уравнение (6. 5) степенной ряд и = 2 ачх' и полу- у=0
чаем для коэффициентов с помощью рекуррентных формул следующее выражение:
ап (т — X) ... (т — X 4- v — 1)
—(т-Н)1
Заметим, что при произвольно заданном значении X коэффициенты а,, начиная с некоторого определенного v, имеют постоянный знак и что ряд сходится для всех значений х, следовательно, действительно представляет регулярное при 0 ^ х < оо решение уравнения (6. 5). Для целого положительного Х = п (п^тп) ряд обрывается и представляет собою, следовательно, многочлен. При всяком другом значении X легко получит оценку вида
где с — надлежащая постоянная, а г — положительный Целый показатель. Но отсюда вытекает, что наше решение
при ж- оо стремится к бесконечности не медленнее г 1 1
чем -^г . Таким образом доказано, что оно не может быть собственной функцией нашей задачи.
«Атом водорода»
Рассмотрим уравнение
+^(E-^--Ar = 0(7.1)
dr2 ' г dr г2\ г /'’
(0 О Г О оо),
где I — целое положительное число или нуль.
В квантовой механике к этому уравнению сводится изучение уровней энергии атома водорода *). Подстановка R = — y приводит уравнение (7. 1) к виду
+=(7.2)
dr2 11 г r2 J 9''
Так же, как и в случае уравнения Бесселя (см. § 2), можно показать, что в конечном интервале [0, 6] спектр дискретен.
Рассмотрим бесконечный интервал (0, оо). Покажем, что для отрицательных Е спектр остается дискретным. Пусть Е<0. Очевидно, что существует такое значение г = гЕ, что вне интервала (0, г^)
Е+1-1-1к+П<0.
Поэтому в интервале (гЕ, оо) любое решение уравнения (7. 2) имеет не более одного нуля. В интервале (0, г^ число нулей конечно. Из конечности числа нулей любого решения для Е < 0 следует дискретность спектра.
Для нахождения отрицательных собственных значений решение уравнения (7. 2) будем искать в виде
у (г) = е~Хги (г),X = \)^Ё, Е <0.
Тогда из уравнения (7. 2) для функции и (г) находим уравнение
+(7.2')
аг2 аг 1 (г г2 Jх
Представим решение уравнения (7.2') и (г) в виде степенного ряда
у(г) = Н«2а/у=0у(г) = Н«2а/у=0(7.3)(7.3)
у(г) = Н«2а/у=0
у(г) = Н«2а/у=0
(7.3)
(7.3)
и, подставляя в уравнение (7. 2'), для нахождения коэффициентов получим рекуррентные соотношения
a»+i —(v + Z + 2)(v + Z+l)-Z(Z + l) 'V ’
Нетрудно видеть, что ряд (7.3) будет сходиться при всех значениях г, но при г-* оэ решение уравнения (7. 1)
7? (г)7? (г)e^rv (г)гe^rv (г)г(7-5)(7-5)
7? (г)
7? (г)
e^rv (г)г
e^rv (г)г
(7-5)
(7-5)
стремится к бесконечности. В самом деле, полагая Р=у , s = 2Z-]-l, перепишем (7.4) в виде
а»-н м-р 1(^ _|_ s-|_ 1) af
Отсюда видно,Отсюда видно,что отношение а-+- -> при со.
Отсюда видно,
Отсюда видно,
_а, м +1 р
Далее, мы можем взять такое v = v', что
-VTT+T->4(1+*)-
где е> 0, -g- (1 + e)< 1. Начиная с этого значения v, коэффициенты а, растут быстрее, нежели коэффициенты ряда, определяемые рекуррентной формулой
^»+i^»+i М^ + S) L М^ + S) L
^»+i
^»+i
М^ + S) L
М^ + S) L
Ряд же с этими коэффициентами дает у1(г) = еш+,)г.
Поэтому у (г) растет быстрее иг (г), и, следовательно, функция (7.5) стремится к бесконечности при г->со.
Таким образом, решение уравнения (7. 1) в силу (7. 5) может иметь интегрируемый квадрат на полуоси (0, оо), если ряд (7. 3) оборвется на каком-нибудь члене. Тогда и (г) будет многочленом. Очевидно, что обрыв ряда (7.3) на каком-нибудь члене может произойти лишь при особом значении параметра X (см. формулу (7. 4)). Положим, что коэффициент ап еще не равен нулю. Чтобы следующий коэффициент ая+1 обращался в нуль, необходимо, чтобы
Ясно, что при этом условии не только ая+1, но и все последующие коэффициенты обращаются в нуль, ибо все они пропорциональны ая+1. Полагая к = п -\-1 -\- X и учитывая, что Е = —X2, мы получаем, что отрицательными собственными значениями являются числа
Рассмотрим вид собственных функций, отвечающих отрицательным собственным значениям Ек —— -^. Так как Xt = — \jEk ^, то из (7.4) для коэффициентов ач получаем выражения
_ 2 A-^+Z + l)^ — ‘ к ' (v + 1) (2Z + ч + 2) а'-
Вычисляя теперь один коэффициент за другим (а0 — произвольный) и подставляя их в (7. 3), получаем
у (г) = а/+1у (г) = а/+111к — I — 1 2г ,1 ! (2Z 4- 2) ’ к +
у (г) = а/+1
у (г) = а/+1
1
1
2! (2Z + 2) (2Z + 3)
(X — Z — 1) (X — Z — 2)... 3 • 2 • 1 /2гу1
Х (X — 1)! (2Z + 2) (2Z +3)... (2Z + n) V к / /'
Полагая ? = —, мы для функции R (г) в силу (7.5) и последнего равенства получаем следующее окончательное выражение:
^(r)=Cft,e-^^i(S).
где Ск[ — некоторая постоянная, а <5?^/ (?) — обобщенная функция Лагерра порядка 2Z + 1 (см. § 6, п. 3).
Рассмотрим теперь положительные значения Е. Положим \jE = 8.
Как известно ), для ограниченного в нуле решения уравнения (7.2) справедлива асимптотическая формула при s —> оо
X у cos рг + у In sr — (Z + 1)у + aj + о (1),(7. 6)
где a = arg Г (z + 1 + 7).
Из (7.6) легко следует, что при 6—> оо расстояние между последовательными нулями функции у (b, з) — обозначим их через Sj и s2 — стремится к нулю. Заметим, что, как нетрудно показать, функция у (b, s) кратных корней не имеет. Пользуясь этим обстоятельством, можно получить более точную оценку для s2 — Sp
(s2 — s^b + -^-ln26s2 — у In 2^ = л + о (1),(7. 7)
S2-Si = y + o(^).(7-8)
Подставляя (7. 8) в (7. 7), получаем
(ss — sj b + ("™2$1) In 6 = (s2 — Sj) b +
+ ^1п6 + °(^) = к + °(1)'
Отсюда окончательная оценка для s2— sp
^-^ = ^+о(|).(7.9)
Нам понадобится еще следующая оценка при Ь-» со:
j cos (2sr + у In 2sr + 2a) dr = О (1).(7. 10)
Пусть a > 0 произвольно. Мы имеем
J cos ^2sr -|- -|- In 2sr + 2a) dr = aъ
= j cos 2sr • cos (y In 2sr + 2a) dr —
°ъ
— J sin 2sr • sin ^ ln ^sr + 2a) dr. a-
Оба интеграла справа оцениваются аналогично. Рассмотрим, например, первый интеграл. Интегрируя дважды по частям, получаем
6
j cos 2sr • cos ^ ln 2sr + 2a) dr =
= °(1) + i $ cos 2sr{—^-8ш^1п2$г+ a) +
+ 2^2 cos (>2^ +a)} dr = O^.
Из оценок (7.9) и (7.10) следует
РА (s) = р„ (s + А) — рА (s) = 2"»~
»<«п<Л-\-Ь J у2 (г, s„) dr
=4 2 (^^^s^lr^+^yi^ »«Я<»+А
Пользуясь известными свойствами Г-функции:
Г (z + 1) = гГ (z), r(z)r(l-z) = ^,
получаем
Поэтому из (7.11) окончательно получим
т. е. спектр непрерывен.
Система Дирака
Рассмотрим уравнение
9(1)--^. г (х) /шт К»,И/ (S. 1)(0^Х<^ со).
Пусть р (ж) = а, q (ж) = 0, г (ж) = —а, где а — произвольное положительное число. Тогда уравнение (8. 1) примет вид
Ух + (« + А У г = О,
y; + (a-k)y1 = O.(}
/<рД
Обозначим через ср (ж, X) = I I решение системы (8. 2), удовлетворяющее начальным условиям
срг (О, Х) =—sin а, ф2 (0, X) = cosa, (8.3)
где а — произвольное действительное число. Из системы (8.2) следует, что функции ^ (ж, X) и ф2(я, X) удовлетворяют одному и тому же уравнению второго порядка, а именно:
уп=^_^у.(8.4)
Далее, из системы (8. 2) и условий (8. 3) следует
ф' (О, X) = —(a + X) cos а, ф' (О, X) = (а — X) sin а. (8. 5)
Теперь, решая уравнение при начальных условиях (8. 3) и (8. 5), для функций у1 (ж, X) и ф2 (я, X) получаем явные выражения
Фт (ж, X) =—sin a • cos (ж VX2 — a2}—
(8.6)(8.6)y^- cos a • sin {x V^2— a2),
(8.6)
(8.6)
Ф2 (ж, X) = cos a • cos {x VX2 — a2} —
— VX + a S™ a " S™ ^ ^2 — a2)‘
/Oj^, X)\
Пусть теперь 6 (x, X)=lfl I—решение системы (8. 2), удовлетворяющее начальным условиям
0j (О, X) = cos a,
62 (О, X) = sin a.
Поступая аналогичным образом для функций (^ (ж, X) и ^(ж, X) получаем явные выражения
sin а • sinsin а • sin{х \/Х2 — а2}.{х \/Х2 — а2}.6Т (ж, X) = cos а • cos {ж VX2 — а2} —
sin а • sin
sin а • sin
{х \/Х2 — а2}.
{х \/Х2 — а2}.
62 (.t, X) = sin а • cos (ж \/Х2 — а2} 4~
cos а • sincos а • sin
cos а • sin
cos а • sin
Все квадратные корни в выражениях (8.6) и (8.7) действительны и положительны, если X — действительное число и больше а.
Из общей теории (см. гл. III, § 2) следует, что функция ф (ж, X) = 6 (ж, X) -f- т (X) <р (ж, X) принадлежит классу $г (0, оо) для Im X > 0. Следовательно, функция 6Т (ж, X) -|- 4- т (X) ^ (х, X) также принадлежит классу „$4(0, оо) при Im Х^> 0 и, значит, она кратна ехр {гх VX2— а2}, т. е. имеет место равенство
{cos а — иг (X) sin а) cos (ж \/Х2 — а2) —
— j/утт^ (sin а -|- "г (X) cos а) sin (ж \/Х2 — а2} —- = С [cos (ж VX2 — а2} + i sin (ж \/Х2 — а2}].
Отсюда получаем
— V ^~^ t8"1 a"VTnW cos а) — (cos а — ^ (X) sin а)
или
^ХТa sin а -\- i VX — a cos а,q ox
m (X) =!д=—:— .(о- °)
VX -f- a cos а — i VX — a sin а
Если Х>а, то из (8.8) следует
1шиг(Х) = — г-
' X a cog 4»
Если —a <^Х<^а, то, как следует из (8. 8), функция тп (X) действительна, а если же X <^ —а, скажем X = —р. (р. > а),
тогда \Д-\-а =— vV— а> VX— « = — Vp + а и
кттЩ=.х 7 р. — a cos 2а
Если cos а и sin а имеют одинаковые знаки, то функция т (X) на действительной оси между —а и а не имеет полюсов, и поэтому формула разложения в этом случае имеет вид
00
Hz)=^"j Д^'к тй. —Р)-₽■(—И)а^ +
+ И(8.9)
где F (ж) — преобразование Фурье функции / (я) по функциям «(ж, X).
А если cos а и sin а имеют разные знаки, то функция иг(Х) имеет полюс в точке Х =—a cos 2а с вычетом —2а sin 2а. Так как <рг (ж, — a cos 2а) = —sin а • eMSin2a, ?2 (^i — а cos 2«) — cos а • e«®sin2«, то к правой части разложения (8. 9) нужно прибавить член
—2a sin 2a$ (л^ — a cos 2a) X
00
X J {—/1 (0 sin a +/2(0 cos a} ea/sin2ad£.
0
Указания к литературе
Результаты этого параграфа — классические.
См. Ватсон [1 ], гл. XVIII, Титчмарш [1 ], гл. IV. Изложенный здесь метод принадлежит Б. М. Левитану.
См. Вейль [3], Ватсон [1], гл. XIV, Титчмарш [1], гл. IV, Б. М. Левитан [5].
Сеге [1], Титчмарш [1], гл. IV, Б. М. Левитан [1].
Сеге [1], Титчмарш [1], гл. IV, Курант и Гильберт [1].
Курант и Гильберт [1].
Шредингер [1], Титчмарш [1], гл. IV. Изложенный здесь метод принадлежит Б. М. Левитану [1].
Этот пример заимствован из работы Титчмарша [5].
ГЛАВА VJ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
§ 1. Применение метода последовательных
-приближений
Пусть q (х) — действительная суммируемая в каждом конечном интервале функция, определенная на всей числовой прямой (—оо, оо), а /(ж) — дважды дифференцируемая функция, также определенная на всей числовой прямой (—оо, оо).
При этих предположениях о функциях q^ и / (ж) рассмотрим следующую задачу Коши:
(1.1)
“!-=/«’ £|„=°- (1'2)
Составим для решения этой задачи Коши интегральное уравнение. С этой целью перепишем уравнение (1. 1) в виде
Если функция мает вид
q^x)”O, то уравнение (1.Г) прини-
д2ц^_—оd
Как известно, решение задачи (1. 3) + (1. 2) имеет вид
“о(*> г^^Ц^х-Н^-Н^х — ^.(1.4)
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
дгид^и dt2Oxiдгид^и dt2Oxig^, t)g^, t)(1. 5)(1. 5)
дгид^и
dt2Oxi
дгид^и
dt2Oxi
g^, t)
g^, t)
(1. 5)
(1. 5)
с известной правой частью g (х, t). Обозначим через м (х, t) решение уравнения (1.5), удовлетворяющее начальным
условиямусловиямй |/=0 = 0,й |/=0 = 0,дй Idt Ь-одй Idt Ь-о(1.6)(1.6)
условиям
условиям
й |/=0 = 0,
й |/=0 = 0,
дй I
dt Ь-о
дй I
dt Ь-о
(1.6)
(1.6)
Хорошо известно, что
«(я, o = yj \g^y’ "^^^(1.7)
где Дх>, — треугольник в плоскости (у, т) с вершинами в точках (ж — t, 0), (ж, £) и (ж +t, 0).
Используя формулы (1.4) и (1.7), нетрудно составить интегральное уравнение для решения задачи (1.1') -|- (1. 2). В самом деле, рассматривая в уравнении (1.1') правую часть как известную функцию и применяя формулы (1.4) и (1.7), мы получим следующее интегральное уравнение, эквивалентное задаче (1. 1') + (1.2):
“(я, t^-^V^x-V^ + f^x — 0) — tт) *
—у J dt j q (у) U (у, т) dy =
0x— (t—т)
tx-Ht— т)
= u0 (x, t) — у ^dt j q (у) и (у, т) dy. (1.8) 0x— (t—т)
Интегральное уравнение (1.8) является уравнением типа уравнения Вольтерра и поэтому может быть решено методом последовательных приближений.
Пусть функция и0(х, t) определяется по формуле (1.4). При к ^ 1 положим
t ®+(<-т)
Uk (х, t) = у ^dt j q (у) и^ (у, т) dy (к = 1, 2, . . .).
0 я—(I—т)
Тогда из равномерной сходимости последовательных приближений, доказательство которой мы опускаем, считая его общеизвестным, следует, что решение интегрального уравнения (1.8) иДх, f) определяется по формуле
и (х, t) = u0 (ж, f) — ^ (х, t) + и2 (ж, t) — .. .(1.9)
Покажем, что каждую из функций ик (х, £) (А= 1, 2, . . .) можно представить в виде
(1.10)(1.10)хЦ-t
(1.10)
(1.10)
ик (ж, <) = у I / («) wk (ж, t, s) ds. x—t
При к=1 имеем
/ f «-{-(/—т)
U1 (х, t) = у J dx j q (z) 1 [/ (z + т) +
0 I х-«-т)
1/ ж+(<—т)
+ /(z — ^]dz = 4рт j q (z) / (z + т) dz +
'0 x— (/—t)
t ^+(^—'c)
+ 4i^T S q(,zM^ — ^d.z =
0 x—^t—x)
t #+/
~4S^T S q^s-^j^ds-V
0 x—#4*2^
t x-f-/—2т
+t^t 5 ? (s + ^ / (s) ds-
0x—t
Меняя порядок интегрирования в обоих интегралах,
получим
их (х, t^ = -^ I / (s) ds \ q (s — т) dx + x—t0'
x-\-t+4 S ^s^sX—tx-\-t+4 S ^s^sX—tj q (s + -c) dx = оj q (s + -c) dx = о
x-\-t
+4 S ^s^s
X—t
x-\-t
+4 S ^s^s
X—t
j q (s + -c) dx = о
j q (s + -c) dx = о
x 4-/=4 5 /(s)X—tx 4-/=4 5 /(s)X—t
x 4-/
=4 5 /(s)X—t
x 4-/
=4 5 /(s)X—t
^ (z+«+<)
ds.ds.j q (t) d-L
ds.
ds.
4 (*+»—О
Таким образом, мы получим формулу (1. 10), если положим
j-(»+*+<)
wi (ж, t, s) = y^(т)^.(1.11)
— (»4-8—/)
Допустим теперь, что для к = 1, 2, . . ., п — 1 формула (1.10) уже доказана. Докажем ее для к — п. Мы имеем
иДх, *) =
оо»+(<—т)»+(<—т)j q^ж—(I—т)j q^ж—(I—т)#4-Ту j /(s)zy„_1(z,T,s)<2s X—т#4-Ту j /(s)zy„_1(z,T,s)<2s X—т(1. 12)(1. 12)
о
о
»+(<—т)
»+(<—т)
j q^
ж—(I—т)
j q^
ж—(I—т)
#4-Т
у j /(s)zy„_1(z,T,s)<2s X—т
#4-Т
у j /(s)zy„_1(z,T,s)<2s X—т
(1. 12)
(1. 12)
Изменим порядок интегрирования так, чтобы внешний интеграл брался по s. Так как
z — t^s^z Дт и х — i-J-x^z^x + i — т, то
х — i ^s ^х +1.
Поэтому пределы интегрирования по s будут от
X— t ДО X + t.
Итак, мы получим
«„ О, £) = у $ / (s) У П ю"-1 ^’ т’ ^q^ ^т йг ds’
z—t v ем’
где отж — некоторая область плоскости (т, z) (зависящая от х и i), точный вид которой в дальнейшем нам не понадобится. Таким образом, формула (1. 10) доказана для к = п, причем
wn(x; t, s)=4 j j 9(z)tr„_1(z, ^s'idTdz. (1. 13)
Из (1.8) и (1.9) следует формула
и (я, ^ — -2и(жЛ"^-Ц(ж 0} +
+ у j w^x, t, s)f(s)ds, (1.14) где положено
W (X, t, s) = —Ш} (x, t, s) + ^2 (ж, t, s) — . . .
. . .+(—1)"%(Ж, /, s)+ . ..(1.15)
Выведем некоторые оценки для функции и) (х, t, s), годные для малых t.
Лемма 1.1. Пусть функция q(x) есть суммируемая функция в каждом конечном интервале. Тогда для t *> О справедлива оценка
x-\-t/ X-Vt\
I^Cr, t, s)Ky J IgC^ldtexp^-f j |q (t)|d~ J .(1.16)
Доказательство. Покажем, что при сделанных предположениях справедливы неравенства
/t-iМ^ t, ^К-^^/t-iМ^ t, ^К-^^х 4-7x—tх 4-7x—t(1. 17)(1. 17)
/t-i
М^ t, ^К-^^
/t-i
М^ t, ^К-^^
х 4-7
x—t
х 4-7
x—t
(1. 17)
(1. 17)
(*= 1, 2, . ..).
Рассмотрим сначала случай k= 1. Из формулы (1. 11) находим
— (®+*4-0
| w± (ж, t, s) К у j I^MI^-
у (®+*-О
Так как х — i^s^x + i (см. формулу, предшествующую формуле (1. 11)), то из последней формулы следует
23 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
оценка
I toj (ж, t, s)|I toj (ж, t, s)|2" J x—t2" J x—tkWI^,kWI^,т. e. оценка (1. 17).Предположим теперь, что неравенство (1. 17) доказано уже для всех к = 1, 2, . . ., п— 1. Докажем его для к = п.Из формулы (1.13) и оценки (1.17) следует оценкат. e. оценка (1. 17).Предположим теперь, что неравенство (1. 17) доказано уже для всех к = 1, 2, . . ., п— 1. Докажем его для к = п.Из формулы (1.13) и оценки (1.17) следует оценкаI»»(^ t, ») К у $ $ I “V1 (2, т, s) 11 q (z) I d- dzI»»(^ t, ») К у $ $ I “V1 (2, т, s) 11 q (z) I d- dz1 f Гт”~2 IlfJ и Ig (z) I (n — 2) I T J l?(H|^ Wdz.1 f Гт”~2 IlfJ и Ig (z) I (n — 2) I T J l?(H|^ Wdz.Так как (см. формулу (1. 12)) х — i+’^z^x+i — т, то х — t ^ z — т^г + ^^^-Ь^ Поэтому из последней оценки следует неравенствоТак как (см. формулу (1. 12)) х — i+’^z^x+i — т, то х — t ^ z — т^г + ^^^-Ь^ Поэтому из последней оценки следует неравенствоК (ж, t, s)|К (ж, t, s)|12 (n — 2) !12 (n — 2) !я-f-Z) w—1у $ ^(Hl^j хх J J \q^\^4zdT.(1.18)’тая-f-Z) w—1у $ ^(Hl^j хх J J \q^\^4zdT.(1.18)’таДалее, так как O^T^i и х— i+T^z^^+i— ",Далее, так как O^T^i и х— i+T^z^^+i— ",то х — t ^ z ^ х + t и, следовательно, область aw содержится в прямоугольнике О^т^#; х — i^z^x-|-T Поэтому из неравенства (1.18) следует оценкато х — t ^ z ^ х + t и, следовательно, область aw содержится в прямоугольнике О^т^#; х — i^z^x-|-T Поэтому из неравенства (1.18) следует оценкаI ^п (^> ^, S)K 2 (п — 2) ! I У $1 x—tI ^п (^> ^, S)K 2 (п — 2) ! I У $1 x—ttx-\-tX j т”-2^т j | ^ (z)| dz0x—ttx-\-tX j т”-2^т j | ^ (z)| dz0x—tt. e. оценка (1. 17).t. e. оценка (1. 17).
I toj (ж, t, s)|
I toj (ж, t, s)|
2" J x—t
2" J x—t
kWI^,
kWI^,
т. e. оценка (1. 17).
Предположим теперь, что неравенство (1. 17) доказано уже для всех к = 1, 2, . . ., п— 1. Докажем его для к = п.
Из формулы (1.13) и оценки (1.17) следует оценка
т. e. оценка (1. 17).
Предположим теперь, что неравенство (1. 17) доказано уже для всех к = 1, 2, . . ., п— 1. Докажем его для к = п.
Из формулы (1.13) и оценки (1.17) следует оценка
I»»(^ t, ») К у $ $ I “V1 (2, т, s) 11 q (z) I d- dz
I»»(^ t, ») К у $ $ I “V1 (2, т, s) 11 q (z) I d- dz
1 f Гт”~2 Ilf
J и Ig (z) I (n — 2) I T J l?(H|^ Wdz.
1 f Гт”~2 Ilf
J и Ig (z) I (n — 2) I T J l?(H|^ Wdz.
Так как (см. формулу (1. 12)) х — i+’^z^x+i — т, то х — t ^ z — т^г + ^^^-Ь^ Поэтому из последней оценки следует неравенство
Так как (см. формулу (1. 12)) х — i+’^z^x+i — т, то х — t ^ z — т^г + ^^^-Ь^ Поэтому из последней оценки следует неравенство
К (ж, t, s)|
К (ж, t, s)|
1
2 (n — 2) !
1
2 (n — 2) !
я-f-Z) w—1
у $ ^(Hl^j х
х J J \q^\^4zdT.(1.18)
’та
я-f-Z) w—1
у $ ^(Hl^j х
х J J \q^\^4zdT.(1.18)
’та
Далее, так как O^T^i и х— i+T^z^^+i— ",
Далее, так как O^T^i и х— i+T^z^^+i— ",
то х — t ^ z ^ х + t и, следовательно, область aw содержится в прямоугольнике О^т^#; х — i^z^x-|-T Поэтому из неравенства (1.18) следует оценка
то х — t ^ z ^ х + t и, следовательно, область aw содержится в прямоугольнике О^т^#; х — i^z^x-|-T Поэтому из неравенства (1.18) следует оценка
I ^п (^> ^, S)K 2 (п — 2) ! I У $
1 x—t
I ^п (^> ^, S)K 2 (п — 2) ! I У $
1 x—t
tx-\-t
X j т”-2^т j | ^ (z)| dz
0x—t
tx-\-t
X j т”-2^т j | ^ (z)| dz
0x—t
t. e. оценка (1. 17).
t. e. оценка (1. 17).
Неравенство (1.16) следует непосредственно из неравенства (1. 17). В самом деле, в силу формулы (1. 15)
что и требовалось доказать.
Делая различные предположения относительно поведения функции q (ж), можно получить различные оценки для функции и?(х, t, s) при малых t.
' Теорема 1.1. Если функция q (ж) суммируема в каждом конечном интервале, то для любого фиксированного конечного интервала (т0, х^) и любого фиксированного числа <о > 0 можно указать такую постоянную С = С (х0, х^, £0), что при х £ (т0, х-^ и 0 < t < t0 справедливо неравенство
jw (х, t, s)|< С.
Доказательство следует непосредственно из (1.16).
(1. 19)(1. 19)Теорема 1.2. Пусть в некотором интервале функция q^ удовлетворяет следующему условию: существуют положительные постоянные С = С (х0, х^ и а = а (т0, х^ такие, что при t^t0 (t0 — фиксированное число) и х^ (т0, хТ) справедливо неравенство
(1. 19)
(1. 19)
| q (т) | дд<^СЕ.
Тогда можно указать постоянную С, зависящую от постоянной неравенства (1. 19) и не зависящую от t, такУю, что для х ^ (т0, х^ и t ^ i0 выполняется неравенство
| w (х, t, s)K Cta.| w (х, t, s)K Cta.(1.20)(1.20)
| w (х, t, s)K Cta.
| w (х, t, s)K Cta.
(1.20)
(1.20)
Доказательство следует непосредственно из (1. 16).
Замечание. Для оценки (1.19) достаточно, чтобы существовали постоянные С (т0, х^, t0) = С и р = р (т0, хт; t0) > 1 такие, что для х^^хй — i0, ^ + t^ выполняется неравенство
I z-VioVIp
I $ №№ <c.
В самом деле, в силу неравенства Гельдера ^у + -^- = 1 при t<^t0 имеем
ррх -(-/ x—tх -(-/ x—tCt1^'.Ct1^'.
р
р
х -(-/ x—t
х -(-/ x—t
Ct1^'.
Ct1^'.
Из дифференцируемости функций ги^ (х, t, s) по ж и из равномерной сходимости рядов, полученных почленным дифференцированием ряда (1. 15), которая следует из равномерной сходимости дифференцированных по х рядов (1. 19), следует следующая
Лемма 1.2. Если функция q (ж) имеет (к — 1)-ю производную, то функция io (х, t, з) дифференцируема к раз по х и s.
Сведение к задаче Гурса
В настоящем параграфе мы покажем, что функция ш (ж, t, s) является решением задачи Гурса. Мы будем вести рассуждения, предполагая, что формула (1. 14) уже установлена, и будем выводить задачу Гурса для функции w (х, t, s). Несколько видоизменяя рассуждения, можно было бы одновременно получить новое обоснование формулы (1. 14), но мы этого делать не будем.
Итак, рассмотрим задачу Коши:
Ч (ж) и,(2. 1)
(2.2) (2. 3)(2.2) (2. 3)«(я, О L>=/(*)>
(2.2) (2. 3)
(2.2) (2. 3)
ди (х, /) I qdt |<=о"
Пусть решение этой задачи дается формулой (1. 14), т. е. и^х, t) = ^j(x-vtHHx-t)H
'4“ у $ i> s)f(s)ds. (2.4)
я-t
Выясним, каким условиям должна удовлетворять функция w^x, t, s), чтобы функция и^х, t), определенная формулой (2. 4), давала решение задачи (2. 1) + (2. 2) + (2. 3). Из формулы (2. 4) следует, что условие (2. 2) выполняется автоматически. Далее, дифференцируя формулу (2. 4) по t, полагая затем t = 0 и используя условие (2. 3), мы- получаем
О = у (to (ж, t, X + t) / (ж + t) + to (ж, t, X — t)f(x — t)) |(=0 = = to (x, 0, x)f(x).
Поэтому w^x, 0, ж) = 0.(2. 5)
Условие (2.5) будет использовано в дальнейшем.
Выведем теперь для функции to (ж, t, s) дифференциальное уравнение и дополнительные условия (мы увидим, что для функции to (х, t, s) получается задача Гурса).
Обозначим через и (х, t; f) решение задачи (2. 1) 4~ (2.2) 4~ 4- (2. 3), и пусть нам уже известно, что функция и (х, t; f) представляется по формуле (2.4). Обозначим через Lt оператор ^- и через Мх оператор ^—^(х). Покажем, что
Мхи (ж, t\ f) = и, (ж, t", MJ).
В самом деле, левая и правая части этого равенства удовлетворяют одной и той же задаче Коши
Mxv = Ltv,
Поэтому требуемое равенство следует из единственности решения задачи Коши.
Таким образом, уравнение (2. 1) можно записать в виде
Ltu = u<x, t; MJ)(2.6)
Используя формулу (2.4), мы получим
Ltu = 4 (/" (^ + 0 + Г ^ - 0) +1 {/ (^ + 0 X
Xjtw(z,t, х + t) + w (х, t, х + i) f (x + t) + / (^ — t) X X yt ш (x, t, x — i) — idI^x, t, x — i) f (x — i)J +
+ !{/(. + ,)+/(._^)^_£)| U
IOu \8-x-vtOurj
x-Vt
+t J f^—4sLds- (2-7)
x-t
Далее, снова используя формулу (2.4) и интегрируя два раза по частям, мы получим
и (я, t; ^/) = 1{/"(ж + ^ +
+ /" (х — t) — q (х + t) f (х + t) — q ^x — t) / (ж — i)} — x-Vt
— у j q (s) w (x, t, s) / (s) ds + у (ш (ж, t, x + t) f (x + ^) — X-t
— w^x,t,x — t) f (x — i)) — 11/ (X + «)ди) ^’ s^ |g^+< —
X-Vt
n dw (z, t, s) I 11 г , . d^w (z, t, s) ,
-/^-^)—4;—1 +y J f^—Wds' <2-8)
X-t
Так как функция / (ж) произвольна, то в выражениях (2. 7) и (2.8) коэффициенты при / (ж + t), f(x — f) и подынтегральные выражения должны совпадать (коэффициенты при производных функции / (ж) взаимно уничтожаются). Приравнивая в выражениях (2.7) и (2.8) коэффициент при / (ж + t\ получим'
dw (х, t, х -|- <) . dw (х, t, s) I ,. . dw(x, t, s) I
dtdt |«=z+<4 V^ "T ) ds |,=z+< ’
откуда
ftisJX^^-^^ + O-
Интегрируя это равенство в пределах от 0 до t и используя условие (2. 5), получим
t.
w (х, t, х + t) = —^ О' (^ + т) ^т-(2. 9)
о
Точно так же из равенства коэффициентов при / (ж —/) следует
t
1 г
ш (ж, t, х — £) = — 2" ?(ж — т) ^т-(2. Ю)
о
. Наконец, приравнивая в (2. 7) и (2. 8) подынтегральные выражения, мы получим для функции из (х, t, з) как функции переменных t и s следующее дифференциальное уравнение:
— = ——q(s)w.(2.11)
Уравнение (2. И) совместно с условиями (2. 9) и (2. 10) определяет для функции из^х, t, з) задачу Гурса.
Решение смешанной задачи на полупрямой
Пусть q (ж) — действительная функция, определенная на полупрямой [0, со) и суммируемая в каждом конечном интервале, а / (ж) — дважды дифференцируемая функция на той же полупрямой. Продолжим функцию q (ж) на отрицательную полуось с сохранением класса, в остальном как угодно, а функцию / (ж) — пока неопределенным образом (в дальнейшем мы уточним способ продолжения функции / (ж)).
При сделанных предположениях относительно функций q (х) и / (ж) рассмотрим следующую задачу:
«Lo = /W. JL=0’<3-2>
и1я=0=?№,и1я=0=?№,(3.3)
и1я=0=?№,
и1я=0=?№,
где <р (i) — некоторая действительная функция, определенная для положительных t. Условия на ?(£) выяснятся в дальнейшем.
Обозначим через и (ж, i) решение задачи (3. 1) 4- (3. 2) + (3.3).
Как мы видели в § 1, при сделанных предположениях относительно функций q (ж) и / (ж) решение - задачи Коши (3. 1) + (3. 2) можно представить в виде
и^х, t) = y{/(a: + f)+ /(2 —£)} +
xAt
+ у J s)f(s)ds. (3.4) ■х— t
Используя условие (3.3) из формулы (3.4), мы получим
/№ + /(-++ ^(0, t, s)f^ds = 2=?(t\(3.5)
-t
Если предполагать, что функции / (£) и <р (i) для £ ^ 0 заданы, то уравнение (3. 5) может служить для определения функции /(i) для i + О. В самом деле, перепишем уравнение (3. 5) в следующем виде:
о
/ (—*) + j (0, t, s) / (s) ds = 2? (i) — f(t) —
t
— j w (0, t, s) / (s) ds = g (t).(3.6)
о
Очевидно, что функция g (£) для t^O нам известна. Далее, о/
j to (0, t, s) / (s)ds= j К (t, s) / (—s) ds,
-tо
где К (t, s) = w (0, t, —s) — известная функция. Таким
образом, уравнение (3.6) принимает вид
t
(-0 -V \ К kt, sM (-8) ds = g kt). (3. 7) 0
Уравнение (3.7) есть интегральное уравнение типа уравнения Вольтерра. Решая его относительно функции /(—t), мы найдем
t
(—0 = g kt) + J К^ kt, s) g (s) ds. (3. 8) о
Пусть функции f(t) и^(^на полупрямой 0^i<^co имеют непрерывные вторые производные. Продолжим /(i) на отрицательную полуось по формуле (3.8). Выясним, при каких условиях продолженная функция также имеет непрерывную вторую производную на всей числовой прямой. Из уравнения (3. 8) следует, что для £ < 0 функция fkt) имеет непрерывную вторую производную. Таким образом, мы должны лишь исследовать поведение продолженной функции и ее первых двух производных в точке t = 0.
- Очевидно, что для того, чтобы задача (3. 1)—(3.3) имела непрерывное в нуле решение, необходимо выполнение условия
/(+0) = ?(+0).(3.9)
Поэтому, если выполняется это условие, переходя в уравнении (3.6) к пределу и полагая #-»-|-0, получим
/(-0) = /(+0),
т. е. продолженная функция в нуле непрерывна.
Далее, дифференцируя уравнение (3. 6) по t, мы получим
-/' k-t) + w (0, t, -t) f k-t) + f ^-^f^ ds =
-tt
= 2f' kt) - f kt) -tkt)w (0, M)-\ dw ^’-A f (s) ds. (3. 10) 0
Полагая в (3. 10) £-> -{-0, получим
-/'(-0) + / (—0)^(0, 0, 0) = 2?'(+0)-/'(+0)_
—/(4-0)w(0, о, 0). (зло')
Так как w(0, 0, 0) = 0 (см. формулу (2.5)), то из (3. 10') получим
/'(+0)-/'(-0) = 2У(+0).(З.И)
Далее, из условия (3. 2) и (3. 3) следует, что
^(+0) = 0.(3.12)
Поэтому из (3. 11) следует
/'(+0) = /'(-0),значит, и первая производная продолжается непрерывно.
Наконец, рассмотрим продолжение второй производной. С этой целью продифференцируем по t равенство (3. 10). Мы имеем
Г (-t) + / (-0 dw ^ ~f)-Г (-t) w (0, t, -tH
0
+ f^ ^12) I + ^(o^») f (s) ds = 2?„ (z) =
-t
= f(l}-f(l}^ii^-f{l)w{0, t, 0-
- / to ^^ |„. - S/» *■
0
Полагая здесь t -> -{-О и учитывая предыдущие результаты, относящиеся к /(0) и /'(0), мы получаем
2?"(+0)-/"(+0)-/"(-0) =
^ /m fdw (0, t, Z) , dw (0, t,—Z) , dw (0, t, s) I ,
it 1
. dw (0, t, s) I "1,n ,91
dt I,—dz-o 'k ;
Вычислим член, стоящий в скобках правой части равенства (3. 13). С этой целью продифференцируем равенство (3. 4) два раза по t. Получим
^=А {/" (^ + f) + /" (X - 0) +т {/' ^ +t) w (х, t,x + t) +^Цх + 1).^Ц^^t)w(x, t, X~t) +
+ /(ж_,)1^^+/^^^
. dw (x, t, s) I 1 .( d^w^x, t, s) Ихл
Полагая здесь t = 0, в силу (2. 5) получаем
№ I411 („\_^Нт\1 ^M^AJLzLO.dt» |<=0 TW 2 J WI at№ I411 („\_^Нт\1 ^M^AJLzLO.dt» |<=0 TW 2 J WI atdw (x, t, x — Z)dtdw (x, t, x — Z)dt.dw (x, t, s) I dt |й=х+/.dw (x, t, s) I dt |й=х+/dw (x, t, s) I ] dt [«=$-/ J/=0 'dw (x, t, s) I ] dt [«=$-/ J/=0 '(3.14)(3.14)
№ I411 („\_^Нт\1 ^M^AJLzLO.
dt» |<=0 TW 2 J WI at
№ I411 („\_^Нт\1 ^M^AJLzLO.
dt» |<=0 TW 2 J WI at
dw (x, t, x — Z)dt
dw (x, t, x — Z)dt
.dw (x, t, s) I dt |й=х+/
.dw (x, t, s) I dt |й=х+/
dw (x, t, s) I ] dt [«=$-/ J/=0 '
dw (x, t, s) I ] dt [«=$-/ J/=0 '
(3.14)
(3.14)
Далее, используя первое из условий (3.2), получаем
^V=ra-4^№
Отсюда
d21\^-f^ = -q^f<xY (3.15)
Из равенства (3.14) и (3. 15) следует
^/^хГ^ (^t i, ж + <) । dw (х, t, х — Z) , dw (х, t, s) |,
1 didt
+j?t^ UL,=-2« ^' w- <3-16> Полагая в равенстве (3. 16) x = 0 и подставляя в (3. 13), получаем
2?" (+0) - Г (+0) - Г (-0) = -2q (0) / (0).(3. 17)
С другой стороны, дифференцируя условие (3.3) два раза по t, подставляя результат в уравнение (3. 1) и полагая затем £ = 4-0, мы получаем
(3. 18)(3. 18)?"(+0) = Г(4-0)-9(0)/(0).
(3. 18)
(3. 18)
Из равенств (3. 17) и (3. 18) следует
Л4-0)=/"(-0),т. е. и вторая производная продолжается непрерывно.Итак, нами доказана следующая
Теорема 3.1. Пусть функции / (ж) и у (ж) принадлежат классу С2 (0, со). Для того чтобы продолженная на отрицательную полуось по формуле
/ (ж) + / (—^)—j w(0, х, s') f (s') ds = 2^ (х)
функция f(x) принадлежала к классу (?(—со, со), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (3. 9) и (3. 12), /и. е.
?(+°)=/(+0), ?'(+О) = о.
Теперь рассмотрим более общую задачу,
а именно:
д^и д^и, .
(3-1)
(3.2)
(3.3')
Предположим, что функция q (ж) удовлетворяет прежним требованиям, и продолжим ее на всю числовую ось с сохранением класса. Будем искать решение задачи (3. 1) 4-(3. 2) 4-(3. 3') в виде
и(х, С = у{/(^ + ^) + /(ж — *)} +
+ у j w(x, t, s') f (s') ds. (3.4) x-t
Пусть / (x) ^ C2(0, co) и <p (ж) £ С2 (0, co). Из условий (3.2) и (3.3') следует, что для того, чтобы задача
— (3. 3') имела непрерывное в нуле решение, необходимо выполнение условий
?(+0) = /'(+0)-А/(+0),^(+0) = 0. (3.19)
Если мы вычислим —^’ ^ | и и (О, Z) из равенства (3. 4) и подставим в граничное условие (3, 3'), то получим
fWHWWwip, t, t^-f^ivip, t, -t)-
-h{f(t) + f H)} + J ^AA |^/ (s)ds_
— h J w (0, t, s^t (s) <is = 2<p (ty (3.20)
Перепишем уравнение (3.20) в виде
о
ГЮ-^о. I, -О + ЧД-О+Ц^АЬ-
— hw^O, t, s)J/(s)ds = 2y(#)—
-f^-tw(O,0+
0
+ Azy(O, t, s)J/(s)ds. (3.20')
Правая часть равенства (3.20') — известная функция. Обозначим ее через g^t'). Заменяя переменную в интеграле левой части, мы придадим равенству (3.20') вид
/'(-^-[^(0, t, -tHhMHH
+ ^K(t, s)f(-s)ds^g(t),(3.21)
о
где
K(t, s) = - ^^•^'-?)-14-^(0, t, -8).
Уравнение (3.21) есть интегро-дифференциальное уравнение с неизвестной функцией / (—f). Если его один раз проинтегрировать, то для определения / (—t) мы получим интегральное уравнение типа уравнения Вольтерра, Интегрируя (3.21) по t от 0 до t, мы получаем
t
-/(-#) 4-/(-0)- j (ю(0, t, -f) + Л) f^dt + о t tt
+ j dt j К (t, s)f (—s) ds = j g (t) dt.
000
После некоторых несложных преобразований последнее равенство можно переписать в виде
t
/(—4 —/(—°) + ^K^t, s')f(—s')ds = g1(f).(3.22)
о
Положим /(—0)=С и запишем уравнение (3.22) в виде
/ (-f) + j Кг (f, S) / (_S) ds = gl (t) + с. (3. 23) о
Уравнение (3. 23) имеет решение при любом С, значит, оно будет иметь решение и при С = / (Д—0). С другой стороны, при любом С решение уравнения (3.23) является также решением интегро-дифференциального уравнения (3.21). Поэтому, полагая в (3.23) С = /(4~0), азатем t = 0, мы получаем
/(-0) = С = /(+0),(3.24)
т. е. продолженная функция непрерывна при ж = 0.
Далее, полагая в равенстве (3.20') t = 0 и учитывая равенство (2.5), т. е. и? (ж, 0, ж) = 0 при любом ж, мы получаем
/' (-0) - м (-0) = 2? (4-0) - f (4-0) 4- М (4-0).
Отсюда в силу (3.24) и первого из условий (3. 19) следует
/4-0) = /4+0),(3.25)
т. в. первая производная продолженной функции также непрерывна при 2=0.
Наконец, рассмотрим вторую производную продолжения. С этой целью продифференцируем равенство (3. 2(У) по t. Мы имеем
-f (-t) - / W) -^^£L+// (_,) [zy (0, t, -t) + Д]+
+/(—z>s) I -а (о, t, зЯ| +
1 7 х 7 L дх U=o х7 J к=-/
о
+ ( МУ-^(0, t, а)Ъа =
J х 7 dt L ОХ |я;=0 хJ
= 2^-Ш-](У?У^t, t)+M-
-S/(s>£[^Sr^-L-to№ '■ s)>- |3-26> 0
Полагая в (3.26) t = 0 и учитывая равенства (2.5), (3. 24) и (3.25) и второе из равенств (3. 19), мы получаем
у» (Q)у// । Q)j (0) |(О- О(О- t О ।
I dtdt
I dwt^x, t, s) I . dwl^x, t, s) I |-3 2y\
'8=-t8=t J
Далее, так как (см. формулы (2.9) и (2.10))
dw (0, t, <) _1.. dw (0, t, -<) _1,.
dt ~2'*dt — — 2
TO
[-1 (, (0) - g (0)) = n.
Поэтому равенство (3.27) принимает вид
Г(-0)-Г(+0) =
.(3.27)|»-0 (x 1»—0 1=0.(3.27)|»-0 (x 1»—0 1=0= /(0)= /(0)dw (х, t, s) I . dw (x, t, s)dx U-o dx
.(3.27)
|»-0 (x 1
»—0 1=0
.(3.27)
|»-0 (x 1
»—0 1=0
= /(0)
= /(0)
'8-t
Вычислим член, стоящий в скобках правой части (3. 27'). С этой целью, продифференцировав равенство (3. 4) один раз по ж, а второй раз по t, получим
+ У kf кх "V^W^i t> z+O+ffc— t^W^X, t, X— J)) +
t, s)l +f(3._t)du>£x t, 411
§ 4. Решение смешанной задачи на конечном отрезке
Рассмотрим теперь смешанную задачу для одномерного волнового уравнения на конечном отрезке действительной оси, который, не нарушая общности рассуждения, мы можем считать совпадающим с отрезком [0, тс]:
д^и д^и
— q (ж) и,
(4.1)
д^ — дх»
I =0, 1 /*=0
(4-2)
^0 = ? Ю>
(4.3)
^L+ff“
L=w
(4.4)
Мы покажем, что задачу (4. 1) + (4. 2) + (4. 3) -]- (4. 4) можно решить с помощью метода продолжения, использованного уже нами в предыдущем параграфе, не прибегая к разложению по собственным функциям. Однако, в отличие от рассмотренного в предыдущем параграфе случая полупрямой, в случае конечного отрезка продолжение приходится осуществлять как влево от точки ж = 0, так и вправо от точки ж = тс.
Пусть у (ж) — непрерывная на [0, тс] функция. Продолжим функцию q (ж) на всю числовую ось с сохранением класса, а в остальном произвольно, и будем искать решение задачи (4. 1) + (4. 2) + (4. 3) + (4. 4), как и прежде, в виде
U^, #) = £(/(,: + #)+/(,;_#)) +
X-Vt
+4 $ W^x, t, s)f{s)ds, (4.5) X—t
причем функцию /(f) мы должны продолжить вне интервала (0, тс), используя граничные условия (4. 3) и (4.4).
Сначала выведем некоторые необходимые условия, которым должны удовлетворять функции y(f) и ф (f).
Из условия (4. 3) следует, что
?(+0) = /'(4-0)-Л/(+0).(4.6)
24 В. М, Левитан, И. С. Саргсян
Из условия (4. 3) и из второго из условий (4. 2) сле дует, что
?'(+0) = 0.(4.7)
Аналогично из условия (4. 4) и из второго из условий (4. 2) следует, что
ф(4-0) = /'(тс —0)+Я/(тс —0),(4.8)
‘^(+0) = 0.(4.9)
Используя граничное условие (4. 3), мы продолжим функцию /(£) с интервала (0, тс) на интервал (—тс, 0). Пусть /(f), ?WE^2(0> тс)- В предыдущем параграфе мы видели, что условия (4. 6) и (4. 7) необходимы и достаточны для того, чтобы продолжение функции /(f) принадлежало к классу С2(—тс, тс). Чтобы продолжить функцию f^ в интервал (тс, 2тс), мы используем граничное условие (4. 4), из которого, как мы видели выше, следуют условия (4. 8) и (4. 9). Покажем, что для того, чтобы продолженная в интервал (тс, 2тс) функция / (f) принадлежала к классу С2(0, 2тс), условия (4.8) и (4.9) не только необходимы, но и достаточны. В самом деле, подставив (4. 5) в граничное условие (4.4), мы получим
//(тс + #) + //(тс_#) + Я{/(тс + #) + /(тс-^} +
4" W (тс, t, тс -{-f) / (тс -ф-f)— w (тс, t, Тс—f)/(TC— 0 + тс-|-/
। Г dw г s) I с / \ т 1+ ——LLJ^ds +
ТС — /
+ Я j ш(тс, t, s)f (s) ds = 2Ф (f).(4.10)
Для определения / (тс 4- t) (0 ^ t ^ тс) мы получили интегро-дифференциальное уравнение. Если его один раз проинтегрировать, то для определения / (л + f) мы получим интегральное уравнение типа уравнения Вольтерра. Сначала перепишем уравнение (4. 10) в виде
//(тс + #) + (Я + ш(тс, t, тс-Н)}/(тс-Н) +
++яш(тс, t, s)\f(s)ds =
JV*|X“TCJ"
или после замены переменных в интеграле левой части f (л + t) + {Н + w (л, t, к +1^ / (л + f) +
+ Ни>^, t, a +")}/(" +°)^=^1W- J lО*|х=тсJ
0s=tc+t
(4.11')
Полагая
К (t, a) = AAhA In + a)
и интегрируя уравнение (4. И') по t от 0 до t, мы получаем
/(" + <)-/(" + 0) +
+ j {Н + w (л, t, n +1^ / (л + #) dt + о
+ ^d^ ^! (Z, a) / (л 4- a) da = g (£), о о
или после несложных преобразований
f^ + t)-f^ + OH
+ \K(t, S)f(n + S)dS = g(t).(4.12)
О
Рассмотрим интегральное уравнение
/(„4-^)4- ^K(t, s)f(n + s)ds = g(t) + C,(4.13)
О
где С — произвольное постоянное число. Очевидно, что при любом С решение интегрального уравнения (4. 13) является и решением интегро-дифференциального уравнения (4. И). Поэтому уравнение (4. 13) при С = /(п—0) также имеет решение, и оно в свою очередь есть решение уравнения (4.11). Полагая в (4.13) C = fkn— 0) и £ = 0, получаем
/(я+0) = /(я-0),/(я+0) = /(я-0),(4. 14)(4. 14)
/(я+0) = /(я-0),
/(я+0) = /(я-0),
(4. 14)
(4. 14)
т. е. продолженная функция /(£) непрерывна в точке t = it.
Далее, полагая в (4. 11) £ = 0 и учитывая (2.5), (4. 8) и (4. 14), мы обнаружим, что
/'(" + 0) = /'(к_0),(4.15)
т. е. в точке ж = л непрерывна и первая производная продолженной по формуле (4. И) функции /(£).
Наконец, исследуем вторую производную функцию / (£). С этой целью, продифференцировав уравнение (4.11) по t, получим
Г (^ + 0 + f k^-V^kH -vw (к, t, n + tY +
+ /(« + <)+ /(« + <)dw (it, t, it + <)dw (it, t, it + <)dtdt
+ /(« + <)
+ /(« + <)
dw (it, t, it + <)
dw (it, t, it + <)
dt
dt
+ /(л + 0/1^ + Hiy(it, t, к4-#)14-
+T I + H/ (s) as =
1 J dxdt |ж=л 1dt J
= 2Ф' (0 + Г k^ — tW f kn — t) {H -\-w {к, t, Tt — tY —
_/(„_,)№ )x
IU*I
(e-v-tJ
— iS) I) fks) ds.(4.16)
J dxdt1dt |®-kJ 1J
Полагая здесь t=0 и учитывая (2.5), (4.9), (4.14) и (4. 15), получаем
/"(л + О) —/"(л —0) =
_ ,, . rd^i^jt^-z) — ;^,, 17<
' ' ( dtdt J<=о* X ■)
Далее, в силу формул (2. 9) и (2. 10) мы имеем dw (л, t, л 4-t\ I1, ,
W-
dw (л, t. л— Z) I1. .
Поэтому из (4.17) окончательно следует
Г(л_0)=г (л + 0),
т. е. и вторая производная продолженной по формуле (4.11) функции ЦГ) непрерывна в точке t — л.
Таким образом, начальная функция / (t) продолжена нами из интервала (0, л) в интервал (—л, 0) и (л, 2л). Это продолжение класса С2(—л, 2л). Интегральные уравнения (3.23) и (4. 13) дают возможность продолжать функцию / (£) дальше на всю числовую ось. Покажем, например, как получить продолжение функции / (t) в интервал (—2л, —л). Для этого следует предположить, что в уравнении (3.23) t изменяется в интервале (0, 2л). Так как решение уравнения Вольтерра того же дифференциального класса, что и свободный член (в случае достаточной дифференцируемости ядра, что у нас имеет место), то наше продолжение класса С2(—2л, 0). Так как уравнение (3.23) есть уравнение Вольтерра, то в интервале (—л, 0) переопределения начальной функции не происходит. Поэтому полученное продолжение класса С®(—2л, 2л).
Если теперь предположить, что в уравнении (4. 13) t изменяется от 0 до Зл, то мы получим продолжение Начальной функции / (t) в интервал (2л, 4л). Это продолжение класса С2(—2л, 4л). Так шаг за шагом мы продолжим начальную функцию на всю числовую ось. Это продолжение класса С2(—со, со). Если полученную таким
образом функцию подставить в формулу (4. 5), то в силу самого процесса продолжения мы получим решение задачи (4.1) +(4. 2) 4-(4. 3)4-(4.4).
Указания к литературе
Формула (1. 14) может быть получена с помощью метода Римана. Именно так эта формула выводится в работе А. Я. Повз- нера [1]. Излагаемый нами метод по существу также близок методу Римана. По поводу оценки (1. 16) и следующих см. работу Б. М. Левитана [14]. См. также совместную работу авторов [3].
Аналогичный метод, но по другому поводу, применялся в работе И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [1].
, 4. Насколько нам известно, метод продолжения применялся ранее только в случае смешанных задач для простейшего волнового уравнения uif=uxx.
ГЛАВА Vil
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
ОПЕРАТОРА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
§ 1. Вывод вспомогательных формул
Мы будем изучать уравнение
/ + {Х — q(x))y = O,
(1.1)
заданное на всей числовой прямой. Относительно функции q^ мы будем предполагать, что она действительна и суммируема в каждом конечном интервале. Обозначим через ср (ж, К) решение уравнения (1. 1), удовлетворяющее начальным условиям
у(0, Х)=1,
<р'(0, Х) = 0,
(1.2)
и через ф (я, К) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям
ф(0, Х) = 0,ф'(0, Х) = 1.
(1.2')
Наряду с уравнением (1. 1) будем рассматривать уравнение в частных производных
д^и д^и . .
(1-3)
Пусть функция / (ж) имеет непрерывную вторую производную. Обозначим через и (х, t; f) решение уравнения (1. 3), удовлетворяющее начальным условиям
^•1 = 0. dt |/-о
(1-3')
Как было показано в предыдущей главе, функцию и(х, t; f) можно представить в виде- -
и- (х, t; /) = у {/ (х + t) + / (х — t^ + ^ j w (х, t, s) / (s) ds.
Приравнивая) в формуле (1.4) /(я) последовательно ф (х, X) и ф (х, X), мы получаем равенства
ср (х, X) cos \Ш = y {<Р (^ + t, X) + <p (a; — t, X)} +
x-^-t
+ y j w^x, t, s)<p(s, ^ds, (1.5)
X—t
ф (a:, X) cos \fkt = -^ (ф (x + t, X) + ф (a: — t, X)} +
+ y j iy(x, t, s) ф (s, X)ds. (1-5') ■x—t
Обозначим через g4 (Z) функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
1? g, (t) четна, т. е. g, (t) = g, (—f).
2? g, (^) обращается в нуль вне интервала (—е, е).
3? g, (t) имеет кусочно-непрерывную и кусочно-монотонную первую производную.
Далее, обозначим через фе (р.) cos преобразование Фурье функции g, (t), т. е. положим
фДр)= ^g4 (t) cos v-tdt.(1-6)
о
Из условия 3° следует, что при больших р имеет место оценка
Ф.М = °(^)-И
Помножив обе части равенства (1. 5) на ge(Z) и проинтегрировав по t в пределах от 0 до е, получим
?(^, х)Ф,(\/^) =
1 Т
="2 5 Ue (^ — s) + Ze (^, «)}?(*, "^ds,(!-8)
где
Ze^- s) = J tv(x, t, s'lg.^dt. (1.9)
Точно так же из формулы (1. 5') следует
Ф^, х)Ф,(\/^) =
= У J <g.(2 —S)+Z.№ S)WS> ^S,(1.8')
где /Е (ж, s) определяется по формуле (1.9).
Пусть / (я) и g(^)Ejf2(—сю, сю). Положим
j / (ж) ? (ж> ^) dx,
—СО
со
^м=
j / (ж) ф (ж, X) dx,
— СО
со
.(1. 10)
GiW =
J g(x)<?(x, X)dx,
—СО со
G2(X)^
j g (ж) ф (ж, X) dx.
— СО.
Функции FT (X), F2 (X), Gj (X) и G2 (X) называются преобразованиями Фурье функций / (я) и g (х\ Если функции f (х) и g (я) обращаются в нуль вне некоторого конечного интервала, то интегралы в формулах (1. 10) существуют в обычном смысле. В противном случае равенства (1. 10) следует понимать в обобщенном смысле, (см. § 6, гл. II).
Далее, как известно, существуют монотонные, ограниченные в каждом конечном интервале функции $ (X) и С (/.) и функция с ограниченным в каждом конечном интервале изменением tj(X) такие, что если /(ж) и g(#)E,S?2(—00> °°)> то имеет место равенство Парсеваля
СОсо
j f(x)g(x)dx = J F^GJ^dU-kH
—co—co
co
+ J ^F^G^^-F^G^d^H —CO
co
+ ^2(X)G2(X)dC(X).(1.11)
—co
Формулы (1.8) и (1.8') показывают, что при фиксированном х функции ср (ж, Х)фе(^Х) и ф (х, Х)фв(\/Х) суть преобразования Фурье функции, равной -^ ^g, (х — s) + -j-Z,^, s)} в интервале (х— е, х + е) и равной нулю вне этого интервала. Поэтому, заменяя в формуле (1.8Z) z на у и применяя равенство Парсеваля (1.11), получаем
СО
$ ФеС^Х?^, X) ф (у, X ^ (X) + [<Р (х, Х)ф(у, Х) + —со'
+ ?(У, X) ф (ж, Х№(Х) + ф(*, X) ф (у, X) <К(X)} =
=т j U.^—s) + z.(^ *)} X
X {g, (у — s) + Z. (У, s)} ds, (1. 12)
где Дяу есть пересечение интервалов (х — е, х + е) и (У —э, у + е).
Формула (1.12) принимает более простой вид, если ввести в рассмотрение спектральную функцию уравне-
ния (1.1):
9 (х, у, к) =
$ <? Iх, х) ? (У. х) ^Е (X) + [у (х, к) ф (у, к) +
= +<р(у, к)^^, ^^(k)^-»^ к)ф(у, к)^(к)> (к>0),
— ${?(*, ^^(У. х) ^ (к) + [ср (х, к) ф (у, к) +
+ ф (УД) Ф (х, к)] ^ (к) + ф (х, к) ф (у, к) & (к)} (к < О).
(1- 13)
Пользуясь спектральной функцией 9 (х, у, к), можно формулу (1. 12) записать в виде
■ j Ф^^МЧ*- у> х) =
=J 5 <М*—S) + Z.(*« *)Ш(У—*) + z8(y. s)) is- (1.12')
В частности, если х = у, то
; j ф2(^)</х9(а:, х, к) =
—СО'
'=Т 5 ^Ах — sWx.^i s)}zds. (1.14)
х—е
,/ Функция 9 (х, у, к) дает разложение единицы оператора (1.1) и поэтому обладает следующими свойствами (см., например, гл. XIII):
Положительность. Обозначим через А интервал (к, к -]- А) и положим
9 (ж, у, А) = 9 (ж, у, к + А) — 9 (я, у, к).
Для АДля А>0>0
Для А
Для А
>0
>0
9 (ж, х, А) ^ 0.
Ортогональность. Для любых двух интервалов Д = (к, к + А) и Д' = (р, р -|- Д') справедливо равенство
J 9 (х, t, A)9(t, у, b')dt = Q(x, у, Д-Д'), (1.15) —СО
где через Д • Д' обозначено пересечение интервалов А и Д'. Если положить Д = А', то из формулы (1. 15) и неравенства Коши—Буняковского следует оценка
(
с°\7i / с°у А
j 92 (х, <, Д) dM I 92 (Z, у, Д) dM —
—СО/ ' — 00/
= [9 (х, х, Д)9 (у, у, Д)]7=
<у№ х, Д) + 9(у, у, Д)].<у№ х, Д) + 9(у, у, Д)].(1. 16)(1. 16)
<у№ х, Д) + 9(у, у, Д)].
<у№ х, Д) + 9(у, у, Д)].
(1. 16)
(1. 16)
Предварительная оценка спектральной функции. Случай всей прямой
Как мы уже отмечали, функция 9 (ж, у, к) называется спектральной функцией уравнения (1.1). В настоящем параграфе мы получим, опираясь на формулу (1. 14), некоторые важные оценки для спектральной функции. В дальнейшем, используя эти предварительные оценки, мы получим асимптотическое поведение спектральной функции уравнения (1. 1) при к—>-|-оо.
Лемма 2.1. Пусть е0 — произвольное положительное число и (х0, х^) — произвольный конечный интервал действительной оси. Существует постоянная С — С (х0, xv е0) такая, что если х и у принадлежат интервалу \х6, х^, то имеет место неравенство
о
j eeoVlM | Д^ (х, у, к) | < С.
-СО
В частности, при любых конечных е, х и у
о
j е*^1х 11 d^) (ж, у, Х)|<^оо.
-со
Доказат е л ь с т в о. В качестве функции gs(Z) возьмем
функцию
g6 W =g6 W =^(е —И) при |<|<е,Опри | Z | ^ е.
g6 W =
g6 W =
Тогда, как легко видеть,
ge (2) cos \j\tdt =ge (2) cos \j\tdt =ОО1Г-'sin е vkye vT1Г-'sin е vkye vT22(2.1)(2.1)
ge (2) cos \j\tdt =
ge (2) cos \j\tdt =
О
О
1Г-'
sin е vk
ye vT
1Г-'
sin е vk
ye vT
2
2
(2.1)
(2.1)
Подставляя значение функции фе(\/^) из (2.1) в (1.14),
получим
оо1sh у е V] X |1sh у е V] X |44441"2 е1"2 еdx9 (х, х, X)dx9 (х, х, X)s) + Z, (*> S)P ds-s) + Z, (*> S)P ds-(2-2)(2-2)
о
о
1
sh у е V] X |
1
sh у е V] X |
44
44
1
"2 е
1
"2 е
dx9 (х, х, X)
dx9 (х, х, X)
s) + Z, (*> S)P ds-
s) + Z, (*> S)P ds-
(2-2)
(2-2)
Положим е VI X | = и. Из формулы Лагранжа следует, что
sh и = sh и — sh 0 = и ch 9 и > и.
Поэтому из оценки (2.2) выводим
Я 1 —
1 shy е V| X |
1 ;=^9 (х, х, X)
(2.3)(2.3)<4S 5 ^Л^ — 5) + х6(ж> s^2ds.
(2.3)
(2.3)
K-t
Пусть е = е0+1. Легко видеть, что при |Х|>1 справедливо неравенство
sh е У^
поэтому из неравенства (2.3) следует оценка
\ е " dx9 (ж, х, X) <
-СО
<ysJ к.(^ —^Ч-Х.^- sy^ds-V
О
-ф- j е8»^Х| dx9 (ж, х, X). (2.4)
Оценка (2. 4) доказывает лемму при х = у. Случай х^у сводится к случаю х = у при помощи неравенства (1. 16). Таким образом, лемма доказана полностью.
Обозначим через а произвольное действительное число и положим
^ (t, а) = g, (t) cos at.
Так как функция g% (t, а) удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на функцию g6 (t), то, заменяя в формуле (1.14) g^t) на gB yt, а^, получим
j Фв(\/Ч a^d^yx, х, Х) = -СО
х+е
= Т J (М* — s’ aWT.Ax^ s. a^Yds, (2.5)
где
/, (x, s, a)= j w (x, t, s) g, (t, a) dt,(2. 6)
I»-» I
фв (VX, а) = j gt (t, a) cos V X t dt = о
= y^‘ V^ + a) +V.(VX — «)}• (2.7)
Положим
H (ж, у, a, e) = j ф|(\/Х, a)dxb (ж, у, X).(2.8)
-CO
Если функция g,^ выбрана как прежде, то из формулы
ф, (VX, a) = ^ j (е — Id) cos а^1 cos VX t dtо
для X < О следует оценка
I Ф. (V^, a)|<ch V| X| s, поэтому
0
\H (x, у, a, e)K j ch2 V| X | e | dx9 (ж, у, X) |.
-CO
Из этой оценки и предыдущей леммы непосредственно следует
Лемма 2.2. Если коэффициент q(x) в уравнении (1.1) суммируем в каждом конечном интервале и если (ж0, Ж]) — произвольный конечный интервал действительной оси и е0 — произвольное положительное число, то существует постоянная
С = ^хй, xv е0), не зависящая от а, такая, что для.
х, У 6 кх№ х^ и г < е0 выполняется неравенство
\Н^х,у,а,^\<С.(2.9)
Если х^=у, то в силу обозначения (2.8) равенство
можно записать в виде
СО
j ф2(\/Х, a)d^(^, у, Х) = о
= Т J Ub^ — s. °) + X,(s, S- а^Х
х Vgt (У — s, а) + хе (у, S, а)} ds — Н (ж, у, а, е), (2. 10)
где /е(ж, s, а) определяется по формуле (2.6).
Положим X = р2,9 (ж, у, X) = 9 (ж, у, р2) = 9Т (ж, у, р)
при X > 0 и продолжим при фиксированных х и у функцию 9j (ж, у, р) на отрицательную полуось нечетно. Тогда формула (2.10) примет вид
СО
j Фе (Рч а) ^ &, У> р) = 4 j ^g. (^ — s, а) + х„ (ж, s, а)} X
-СОАЖу
X <g6 (у — s,a) + /Е (у, s, а)} ds — 2Н (х, у, а, е).(2. 10')
В частности, при х = у получим
СО
$ Ф. (р> «) ^д (*, р) = -со
=7 J kgAx-s^^-VxA^s^ayds —
— 2H(x,x,a,s\ (2.11)
(2. 12)(2. 12)Лемма 2.3. Если коэффициент q^ уравнения (1. 1) суммируем в каждом конечном интервале и (х0, х^) — произвольный конечный интервал действительной оси, то существует постоянная С = С (х0, х,) такая, что для х, у ^ (хЙ, хг) выполняется неравенство 'Н+1
(2. 12)
(2. 12)
V {61 (^, У, р)}<с.
Доказательство. Положим в формуле (2.11) в = 2. Тогда мы получим (в силу (2. 1))
sin2(p_a)p(р — й)2 | “А И’ Х> 14 —sin2(p_a)p(р — й)2 | “А И’ Х> 14 —Г [sin2 (р + °) ) ) (р.-|-а)2
sin2(p_a)p
(р — й)2 | “А И’ Х> 14 —
sin2(p_a)p
(р — й)2 | “А И’ Х> 14 —
-СО
я+1
у j {gj (^ — s, а) + 7Л (.г, 5, а}2 ds— 2# (ж, х, а, 1). (2.13) 1
В силу теоремы 1. 1 гл. VI и леммы 2.2 существует постоянная С=С(х0, х^ такая, что если х ^ (х0, х^, то правая часть равенства (2.13) не превосходит С. Поэтому из равенства (2.13) следует оценка
i JT^Ww)<c,
-СО
ИЛИ со С Sill4 Р 7 Л /, X /
] V1 (*, *, Р + а) < С, -со
и, значит, тем более
J^^A^^p+^XC.(2.14)
О
Как известно, для 0^р.^у имеет место неравенство sin ц 2 тт х . Поэтому
5Р + «) >
о
> S (61 ^ж’ я, а + 1) — ^ кх, х, а)}.(2. 14')
Неравенства (2. 14) и (2. 14') доказывают лемму при .^=у. Случай х^=у при помощи оценки (1. 16) сводится к случаю х = у.
25 Б. М. Левитан, И, С. Саргсян
Пусть/(s) ^^(—оо, оо), а функция v£(a:, s) = {gs (ж—е)-ф. "Н/Л3-’5) ПРИ s 6 U— ®> ж + ®) и равна нулю вне интервала (ж — е, ж + е). Тогда из равенства (1.8), (1.8') и из первых двух равенств (1. 10) в силу равенства Пар- севаля (1. И) следует
j Ф, (Vх) (Л (х) ? U,х) d^ (х) + -со
+ (Л (Х) Ф U, Х) + ^2 (Х) ? ^ Х)1 ^ (Х) +
+ ^(х)Фи> 'W^ =
=4 S ^А^ — А + хА^-АИАНз. (2-15)
Пользуясь спектральной функцией 9 (ж, у, X) (см. (1. 13)) и определением функций (X) и ^(Х) (см- (1- Ю)), можно формулу (2. 15) записать в виде
СОсо
j Ф» №) d^ j / (s) 6 (ж, s, X) ds =
-СО-со
(2. 16)(2. 16)= 4 5 / (S) Ue ^ — s) + Х£ (^, s)} ds.
(2. 16)
(2. 16)
Так как функция /(s) произвольна, то из формулы (2. 16) следует
2 j ф£ (V X) с?х0 (ж, s, Х) = -со
(2. 17)(2. 17)8г U — S) + Хе U, S)> U — 5 К ®>
(2. 17)
(2. 17)
0,| х — s | ^ е.
Сходимость интеграла слева следует из лемм 2. 1 и 2.2, а также из оценки (1.7). Формулу (2.16) можно записать в виде
j Ф,(^А(Ж’ 1*) = -СО
= $ / (S) ^8. (^ — s) + Хе (*> s)} ds —
О
— 2 J ^(V^)^^, х)> (2-18)
-СО
где обозначено
5 (ж, л) =/ (s) 9 (х, s, a) ds,
-со
^(^ ^ = 8^, р2)(р>0),
Si (ж, р) = —S^x, —р) (р < 0).
Аналогично формулу (2. 17) можно записать в виде
СО
5 флн)^^, s, р)= -со
gs (^ — s) + Хе (*> S) —— 2 j Фе №ИхЦх, 8, X), -со—2 Фе №) d^ (х, 8, X),СОgs (^ — s) + Хе (*> S) —— 2 j Фе №ИхЦх, 8, X), -со—2 Фе №) d^ (х, 8, X),СО| х — s | ^ е,| х — s | ^ е,| х — s | ^ е.| х — s | ^ е.(2- 19)(2- 19)
gs (^ — s) + Хе (*> S) —
— 2 j Фе №ИхЦх, 8, X), -со
—2 Фе №) d^ (х, 8, X),
СО
gs (^ — s) + Хе (*> S) —
— 2 j Фе №ИхЦх, 8, X), -со
—2 Фе №) d^ (х, 8, X),
СО
| х — s | ^ е,
| х — s | ^ е,
| х — s | ^ е.
| х — s | ^ е.
(2- 19)
(2- 19)
Если в уравнении (1.1) д(х) = 0, то ю(х, t, s) = 0 и> следовательно, Хе^» s> ф = 0. Поэтому формулы (2. 18) 25*
и (2. 19) принимают вид
J Ф. М d^ (^ ^ = J / (*) §6 ^ ~ s) ^,(2. 20)
-сох-г
^Ш^хлЦ8^ l^-sl<6’ (2.21) -соК ’1I ’
где положено
Щ*, s, ^ = 1^^1, S>, р)= J f^yx^ ^ ^ds.
Вычитая из равенства (2. 18) равенство (2. 20), получаем J Мр^Щх, Р, /) =
= j /($)Х.(Ж. s)ds—2 j <p£(VX)dxS(;r, X), (2.22) где положено
R ^, р, /) =(ж, р) — S* (ж, р).
Вычитая из равенства (2. 19) равенство (2.21), мы получаем
$ Фе (н) d^ (ж, s, р) =
/, (ж, s) — 2 j ф. (\/Х)^х9(ж, s, X), | ж — s|-^e,
= о _’“(2.23)
—2 j фа(^/X)dx9(ж, s, X),|ж — s|^e,
причем
Ф (ж, s, p) = 6j (ж, s, p) — 9* (ж, s, p).
Формулы (2. 22) и (2.23) играют в дальнейшем фундаментальную роль.
Асимптотическое поведение спектральной функции, ай всей прямой
' В настоящем параграфе мы изучим асимптотическое поведение спектральной функции 9 (ж, у, X) уравне- КИЯ (1- !)•
В этом параграфе мы наложим на функцию gt(f) более жесткие условия, чем это было сделано прежде. А именно будем предполагать, что функция g. (t) удовлетворяет следующим условиям:
Д. gt(t) = gs(—ty
g,W = l, если |^|<у.
ge (/) = 0, если | / | ^ е.
g4($ ограничена равномерно по е и Л
g^it) имеет непрерывную четвертую производную.
Лемма 3.1. Предположим, что коэффициент q(x) в уравнении (1.1) есть суммируемая функция в каждом конечном интервале. Обозначим через (х0, ^) произвольный конечный интервал. Существует постоянная С —
С (ж0, х^ такая, что если х, s £ (х(р х^), то имеет Место оценка
о$ |tM)ll<№s,X)|<C.о$ |tM)ll<№s,X)|<C.(3.1)(3.1)
о
$ |tM)ll<№s,X)|<C.
о
$ |tM)ll<№s,X)|<C.
(3.1)
(3.1)
Доказательство. Так как
1ф1(\^)| — О ( J cos VX ^П = <9(ее®^lхI) = О(е^|Х|+1)«),
то оценка (3. 1) следует непосредственно из леммы 2. 1. . Перейдем теперь к исследованию асимптотического ®°ведения спектральной функции 9 (ж, s, р). Предварительно мы преобразуем правую часть формулы (2.23).
Вначале рассмотрим член
/е (ж, s) = j w (х, t, s) gE (£) dt.| я-s I
ПоложимПоложим
Положим
Положим
1
а (ж, s, р) = ^ w (ж, t, s) cos р£ dt. I л-s I
Мы имеем, используя формулу обращения Фурье,
2 Т
gE (0 = ^ ) Ф. М cos V-t dp.
о
Поэтому из равенства Парсеваля для обычных интегралов Фурье следует
ф£ (р) а (ж, s, р) dp =
о•
у J w (ж, t, s) ge (t) dt = ^ x£ (ж, s), I л-S I
o,
Пользуясь четностью функции а (ж, s, р), последнюю формулу можно преобразовать к виду
1 с2" ) Ф« W а (ж- s> Р) dp =1 с2" ) Ф« W а (ж- s> Р) dp =у Zs ^, S), I X — S К е, 0,I X —■ s ] ^ е.у Zs ^, S), I X — S К е, 0,I X —■ s ] ^ е.(3.2)(3.2)
1 с
2" ) Ф« W а (ж- s> Р) dp =
1 с
2" ) Ф« W а (ж- s> Р) dp =
у Zs ^, S), I X — S К е, 0,I X —■ s ] ^ е.
у Zs ^, S), I X — S К е, 0,I X —■ s ] ^ е.
(3.2)
(3.2)
Рассмотрим член, соответствующий отрицательному спектру. Мы имеем (меняя порядок интегрирования)
0(е8
j И gs (t) cos VX tdt\ dx^ (x, s, X) = j gE (t) h^x, s, f) dt,
-CO ^0'0
где
о
h(x, s, t)= j cos \/^ t dx^ (ж, s, X).
ПоложимПоложим1
Положим
Положим
р (ж, s, р) = J Л (ж, s, f) cos р£ dt.о
Из равенства Парсеваля для обычных интегралов Фурье следует (см. вывод формулы (3. 2))
сое
4 ргр
у ] Фе (р) ₽ И s, р) dp = у J gt (t) К (ж, s, f) dt. (3. 3) -ото
Из равенств (2.23), (3.2) и (3.3) вытекает важное равенство
J Ф>КФЧг,^) = 0,(3.4)
где
Ф (ж, s, р)2 \ а кж' s> v) ^v 4"
0
Ф* (ж, s, р) =
+ у J Р(^, S, v)dv, |ж —sl^e, (3.5) 0
2 с
— \ Р (ж, s; v) d^,| ж — s | ^ е.
■0
В силу оценок (р—> + со)
n+i f р1
V 1 \ ₽(ж, s, v) dvl = o(l),
ИоJ
V (Ф* (я, S, р)}V (Ф* (я, S, р)}< С,< С,(3.6)(3.6)и леммы 2.3 для функции Ф* (ж, s, р) справедлива следующая оценка (р —»- —|—со):
V (Ф* (я, S, р)}
V (Ф* (я, S, р)}
< С,
< С,
(3.6)
(3.6)
где постоянная С зависит только от интервала изменения переменных ж и s. Поэтому в силу равенства (3. 4)
применима тауберова теорема Б. М. Левитана (см. гл. XIV, теорему 4.1), откуда следует, что равномерно в каждом конечном интервале изменения переменных х и s и при р —> со
Ф*(ж, s, р) =0(1).(3.7)
Из (3. 7) нетрудно получить асимптотическое поведе- ■ние спектральной функции.
Теорема 3.1. Если q (х) удовлетворяет условию (1. 19), то при каждых фиксированных х и s
91 ^ s, р) — А А^^А = о (1).(3. 8)
Оценка (3.8) имеет место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и s.
Доказательство. В силу асимптотической формулы (3. 7) и формулы (3. 5) для доказательства равенства (3.8) достаточно показать, что при р->4-со
j а (х, s, >) dv = о (1),(3.9)
о
р
А j Р (х, з, v) dv = —6 (х, 8, —00) + о (1),(3. 10)
о
и притом равномерно в каждой конечной области. Докажем вначале равенство (3. 9). Мы имеем
р.е.
j а (х, s, V) <Ь — J и? (х, t, з) —^ dt.
о|*-sl
Обозначим через т; произвольное положительное число, не превосходящее е и единицы, и положим
, sin , w (х, t, s) —dt =
I С IJ \ Sin fit 1 ,T I T
— I \ "A 11 w kx't, s) —-— dt = IT + 72-
‘ | Ж-S I T, '
I3J
В силу оценки (1.20)
, :1Л1< С J t^dt=C^.
'о
Поэтому, каково бы ни было положительное число (, можно выбрать т] настолько малым, что для всех р будет выполняться неравенство
1Л1<|. (3.11)
Далее, из леммы Римана — Лебега следует, что при фиксированном ц можно взять р0 несколько большим, чтобы при р )> р0 имел0 место неравенство
1Л1<|.(З-12)
Из оценок (3.11) и (3.12) следует, что при р )> р0
Г /\ sin pt ,.
1 to (ж, t, s)——at
I ^-*1
что и доказывает равенство (3. 9) в силу произвольности Числа С
Докажем равенство (3. 10). Мы имеем
— ( р (ж, s, v) dv= — ( h (х, s,dt.
11 J 1 x 77 711 J x7 t
■00
Так как
о
j cos V^ t [ d-^ (ж, s, ^)|<oo, —00
то функция h (x, s, t) no t есть целая аналитическая Функция и, значит, в частности, в окрестности точки
t = 0 дифференцируема. Поэтому из известной теоремы теории рядов Фурье следует, что при р—> со
р.s,
— ( Р (ж, s, v) dv = — ( h (ж, s, ^)=
и J 1 х 7 л J х ' t Оо
= h(x, s, 0)-фо(1) =—9 (ж, s, —со) + °(1)1
что и требовалось доказать. Равномерность равенства (3.10) следует из ограниченности функций h (х, s, t) и дЛ (я, s, t)
dt *
Замечание. Из тауберовой теоремы В. А. Марченко (см. гл. XIV, теорема 4.2, частный случай) следует результат, более точный, чем оценка (3.8), а именно:
X — S I хX — S I х— со). (3.13)— со). (3.13)г1
X — S I х
X — S I х
— со). (3.13)
— со). (3.13)
lim Э^ж, s; р) — —
[1 СО
При х — s равенство (3.13) следует непосредственно из тождества (2.23) и указанной теоремы В. А. Марченко. При х s следует рассмотреть монотонную функцию
Р (х, s; р) = 9Т (х, х; р) -ф 29: (ж, s; р) -ф 9Т (s, s; р) и применить к ней теорему В. А. Марченко (снова используя тождество (2.23)).
§ 4. Асимптотическое поведение спектральной функции. Случай полупрямой
Пусть уравнение
£/" + (^ — ? (ж)} У = 0£/" + (^ — ? (ж)} У = 0(4-1)(4-1)
£/" + (^ — ? (ж)} У = 0
£/" + (^ — ? (ж)} У = 0
(4-1)
(4-1)
задано на полупрямой [0, со). Функцию д (х) мы будем считать суммируемой в каждом конечном интервале. Присоединим к уравнению (4.1) граничное условие в точке х = 0:
y'(0)_/li/(0) = 0,y'(0)_/li/(0) = 0,(4.2)(4.2)
y'(0)_/li/(0) = 0,
y'(0)_/li/(0) = 0,
(4.2)
(4.2)
где ^ — произвольное действительное число. Случай h = со здесь мы рассматривать не будем. Этот случай с достаточной полнотой исследован в работе [15] Б. М. Левитана.
Обозначим через <рд(ж, X) решение уравнения (4. 1), удовлетворяющее начальным условиям
?до, х) = 1, ?до, х)=л.(4.3)
Как известно, при данном h существует по крайней мере одна монотонная, ограниченная в каждом конечном интервале, непрерывная слева функция р (X), порождающая изометрическое отображение пространства Д'2 (О, со) на ^Р(х)}(—со, со) по формулам
4Л
F (Х) = lim ( / (ж) cpA (х, X^dx, /(ж) = Нт ( F (X) <рА (ж, X) dp (X),
где интегралы сходятся в метриках пространств 5%(Х)} (—со, со) и jf2 (0, со) соответственно и справедливо равенство Парсеваля
j f^dx= J РЦХ^р(Х\ О—со
Назовем спектральной функцией уравнения (4.1)(при начальных данных (4. 3)) функцию
х
.4^ У,^=\ ^(ж, Х)срА(г/, X)dp(k).
О
Далее, обозначим через 9* (х, у, X) спектральную функцию той же задачи при ^(ж) = 0. Предположим сначала, что h ^ 0. В этом случае уравнение
/ + Xy = O(4.4)
не имеет отрицательного спектра. Положим при X > 0, Х = р2. Тогда
М^» у, Х) = 9л(я, у, р2) = 9л>1(ж, у, р),9;(ж, у, Х) = ^(х, у, р2) = 0*, t (ж, у, р).
Повторяя выводы предыдущего параграфа), мы получим асимптотическую формулу (и—> со)
9л. 1(^> У, А — ^,1^ У' ^) = 6л(^> У- —оо) 4-о(1). (4.5)
Выделим из функции 9*, х (ж, у, р) главный член. Как известно (см. § 1 гл. V),
9», 1 (^ У’ ^) = V J (cos va: + v sin vs) (cos vy +v sin vy) X
0
x/ _2 Г^2
x -^+^ dv= Г J cos^ • cos '^ ^+^2dv4-
0
p-p- ф,
। 2A f sin (я + y) v v2 л j 2Л2 f sin mx • sin му л
о0
p-p.
2 f,2Л2 г cos • cos ми у .
= — cos mx • cos ми амI— им +
it Jyit J V2 + A21
00
i tin- I от ул • Ollii I 0111~ У/ * м Лм
оо
‘
2 Г7 । f sin м (x + y) ,
= — I cos mx • cos mu avH— \o ,• м ам —
It J°1 It Jv2 -|- A2
00
Ж^РЗ-Дх-^ dv = ^(x у „AI^T^^t^vdy—
IT J y2 _|_ Д21 ' ’ ^’Л J y2 -j- ^2
00
-^-Т°-у2^—^ + °W (^4-z/>0),(4.6)
0
причем
9* (ж, у, p)= — I cos va: • cos vy dvо
есть спектральная функция задачи (4. 1) 4- (4.2) при q (х) = 0 и h =0.
Из асимптотической формулы (4. 5) и из равенства (4. 6) непосредственно следует.
Теорема 4.1. Пусть функция q(x) удовлетворяет условию (1. 19). При каждых фиксированных х^О и у=^0
lim <6А, 1 (ж, у, р) — О; (ж, у, р)) = 6А(ж, у, —со)+
2Л Г sin у (х + у) dcos v (х - у) ,;
7?)^ + №к ) V1-V№ а"
ооо
о
о
Равенство (4. 7) имеет место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и у (ж + У ^ 8 2>0).
При х = у = 0 мы получим из равенства (4. 5)
lim р(р)—— р[=р(— со) —h. р.->со I'
(4-8)(4-8)Рассмотрим случай h <V 0. В этом случае уравнение (4. 4) имеет одно отрицательное собственное значение Хо =—№. Действительно, собственные функции, соответствующие отрицательным собственным значениям, имеют интегрируемый квадрат. Для Х<0 решения уравнения (4.4) имеют вид
(4-8)
(4-8)
Поэтому если o)A(a:, X)£jf2(0, co), to l-|--=- = 0, t. e. v| X |
X = X0 = —№. Соответствующая нормированная собственная функция имеет вид \j2h^x. Таким образом, при сравнении спектральной функции 6А (я, у, X) со спектральной функцией 6А(ж, у, X) появится дополнительный член —2ЛеА1х+’), соответствующий отрицательному собственному значению задачи (4. 4)—(4. 2).
Следовательно, вместо формулы (4. 7) мы получим формулу (x + y>0)
lim {9Л>1(^ У, !*) — б*^, У, Р)) = М^, У, — со) —
2А f sin "v (я: + у),2Д2 с cos v (ж — у)
r: J v2 -J- "2Tv ^'j2 + ^2
Рассмотрим теперь случай х-\~У = 0. Вместо формулы (4. 5) мы теперь получим формулу
9а, i(*, У, р) — 9а, 1(ж, у; у.) = 9Д (х, у; — со) — 2/г + о (1),из которой при ж = у = 0 снова получим формулу (4.8).
Суммирование по Риссу спектральной функции
Результаты, полученные в § 3, позволяют изучить асимптотическое поведение средних по Риссу спектральных функций. Мы рассмотрим случай всей прямой. Случай полупрямой, а также случай конечного интервала изучаются аналогично.
В силу равенства (3. 7) и оценки (3.9) из тауберовой теоремы 4.1 (см. гл. XIV) следует оценка (s^O — произвольное число)
причем константа С зависит только от области изменения точки (ж, у).
Пользуясь оценкой (5. 1), нетрудно получить.асимптотическое поведение при со интеграла
Г(з + ВГ(з + ВН1-^6^ У. V).Н1-^6^ У. V).
Г(з + В
Г(з + В
Н1-^6^ У. V).
Н1-^6^ У. V).
В самом деле, в силу формулы (3. 8) и из определения
функций Ф* (ж, у, v) и 6* (ж, у, v) имеем
^г(Г+ТГ Н1 — рО ^'61—
О
I 1 Г /v2\®
-ГАЛТ* eos^x-yW-
О
П Г (s + 1) J \р/ - v ’ У /
о
=17Г^И1_УУйА(а:’ ^ v)-Ji-^ + /3. (5.2)
В силу известной формулы (см. Титчмарш [3], стр. 234)
(X1^1 (^)
(5.3)(5.3)ПТТп $ О - Э cos "1 ^ = V^ ^2 2L^
(5.3)
(5.3)
ПоэтомуИ>
/1=^Т(Г+1Г $(! -ЭcosЧх-У^d"=
s+ "о[^(^ —у)! ~s+ "о[^(^ —у)! ~(5.4)(5.4)
s+ "о
[^(^ —у)! ~
s+ "о
[^(^ —у)! ~
(5.4)
(5.4)
WWcos ^t йм dt =cos ^t йм dt =1пГ(» + 1)1пГ(» + 1)I ж-у |I ж-у |^=^т(г+1гS 0 -5Уa(ж’у’v) о
W
W
cos ^t йм dt =
cos ^t йм dt =
1
пГ(» + 1)
1
пГ(» + 1)
I ж-у |
I ж-у |
Из последней формулы в силу теоремы 1.2 гл. VI, т. е. в силу оценки (1.20), следует оценка
С In (лС In (лДалее, имеемДалее, имеем(5. 5)(5. 5)a = s.a = s.У,У,J j ((К)0 —-— at =J j ((К)0 —-— at =
С In (л
С In (л
Далее, имеем
Далее, имеем
(5. 5)
(5. 5)
a = s.
a = s.
У,
У,
J j ((К)
0 —-— at =
J j ((К)
0 —-— at =
— v = min(a, $), a^=s, р?1'’'
J3 — nj(s + l) И1 ^ Р^’ у’ ^d^ — о
Из формул (5.2), (5.4), (5.5), (5.6) и из оценки (5. 1) следует
Теорема 5.1. Пусть функция д(х) удовлетворяет условию (1.19). Тогда при каждых фиксированных х и у и р-> со
J 1 [Р- (® — У)]
1
ТЙ^1’ у; -со) +ТЙ^1’ у; -со) +Су.' ’Су.' ’v = min (a, s), а ^4= s,v = min (a, s), а ^4= s,С 1пуС 1пу, а = 8., а = 8.[М* —У)] ^
ТЙ^1’ у; -со) +
ТЙ^1’ у; -со) +
С
у.' ’
С
у.' ’
v = min (a, s), а ^4= s,
v = min (a, s), а ^4= s,
С 1пу
С 1пу
, а = 8.
, а = 8.
(5- 7)
Равенство (5. 7) имеет место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и у.
■ § 6. Доказательство теоремы равносходимости
Опираясь на формулу (2.22) и на тауберову теорему 4. 1 гл. XIV, в этом параграфе мы дадим полный вывод теоремы о равной сходимости разложения в обобщенный интеграл Фурье и разложения в обычный интеграл Фурье при минимальном требовании на коэффициент ?(ж)— суммируемость в каждом конечном интервале.
Рассмотрим случай всей прямой. Случай полупрямой и случай конечного интервала изучаются аналогично.
Займемся сначала преобразованием правой части формулы (2.22). Меняя порядок интегрирования, получим
z+eГ г।
j /(s) j w (ж, t, s) ge (£) dt I ds =
®~e4 #-8IJ
efx+Z1
= ^вЮ] ( ^(^$)/($) ds?dt
о*
26 Б. M, Левитан, И. С. Саргсян
ПоложимПоложим
Положим
Положим
X-vt
h(x, t) = j w^x, t, s)f(s)ds,
a(x, |i) = ^ й (x, f) cos pt dt.
о
Из равенства Парсеваля для обычных интегралов Фурье следует
?т с
- j фе(гДа(ж, р)^ =_^h<x, t}dt =
—со0
= у j /($) j w(x, t, s^g^drids. (6.1)
.х-г *|x—8|^
ооДалее, имеем (в результате перемены порядка интегрирования)
о
о
j ge (#) cos V^ t <1ч d). j 6 (^ s, ^) / (s) ds = 0‘ —co
= j gg^k^x, t)dt, о
где
0co
к (x, t)= ^ cos y'4 dx ^ 6 (ж, s, a) / (s) ds.
Положим
i
P (z, ^=^k(x, t) cos \itdt.
о
Из равенства Парсеваля для обычных интегралов Фурье следует
у I 'l'» W ₽ ^’ ^) ^= У \к (^ О ^ Wat- <6-2)
—соО
Из формул (2.22), (6.1) и (6.2) окончательно получим
J ФДрЧ^ ^) = 0(0<е<1),(6.3)
где обозначено
R* (х, р) = R (х, р, /) — 4 j а (х, V)cb-\-^ j Р (ж> N) ^- (6- 4) оо
Лемма 6. 1. При каждом фиксированном х
lira \/{/Г (аг, р)} = 0.(6.5)
Д->ОЭ р.
Равенство (6. 5) имеет место равномерно в каждом конечном интервале изменения х.
Доказательство. Достаточно доказать равенство, аналогичное равенству (6. 5), для каждого слагаемого правой части равенства (6. 4) в отдельности. Мы имеем
.R^x, р, 7)=^ (ж, р) — S*(x, р).
Докажем равенство (6.5) для S\ (х, р). Обозначим через [а, б] произвольный конечный интервал и рассмотрим задачу
Z + P- — q (ж)} у = ° («<£<&),
у (a) cos а + у’ (а) sin а = 0,
у (6) cos В + у’ (6) sin В = 0,
в которой а и В — произвольные действительные числа. Обозначим через X =р2 положительные собственные значения этой задачи, расположенные в порядке роста,
20 *
и через фя (ж) — соответствующие нормированные собственные функции. Далее, положим
Ч«,^' 8. Р) = 2 Фя (^ Фя (4
81-а, i^i ^) = U(s)ei,a> ъ^ s' p)ds = 2 cAW- яНиО
Известно (см., например, гл. II), что при (а,6)->(—со, со))
а, Ъ <Х' S' РО ^ 61 ^ S, 4 А, „, 4 (Х> Р^) ^ А ^' 4
Далее,
V {^.„.Дж, р)} = 2 I cn 11 ф„ ^ К
P-P-^P-mO+I
AAA
2 kl2H 25 kif x
\р<ря<р+1/ \р<р.я<р+1/\р<р.я<р.+1/
x [91, a, 4 (^ ^ p. + 1) — 9j, a, 4 k x' p)F •(6- 5')
Так как *) lim 5 |c„|2 = I", 4)-» (—с», co) р^яСц-Щ
p+i
= j ЕЧ^^^-А-^Е^Р^Дч^НРЧ^^^-
то равенство (6. 5) следует из оценки (6. 5') с помощью предельного перехода сначала по (а, 6) и затем по р.
Для функции S* (ж, р) равенство (6.5) может быть получено аналогично или, еще проще, исходя из явного вида этой функции, с применением неравенства Коши — Буняковского.
Далее, имеемДалее, имеем
Далее, имеем
Далее, имеем
н+1
= j | а (ж, t) \ dt = о (.1)
и аналогично для интеграла с р (ж, v). Таким образом, лемма полностью доказана. Из доказанной леммы и из тауберовой теоремы 4. 1 (см. гл. XIV) для интегралов Фурье непосредственно следует
Лемма 6.2. При каждом фиксированном х
lim В* (ж, р) = 0.lim В* (ж, р) = 0.(6-6)(6-6)
lim В* (ж, р) = 0.
lim В* (ж, р) = 0.
(6-6)
(6-6)
Равенство (6. 6) имеет место равномерно в каждом конечном интервале изменения х.
Чтобы доказать теорему о равной сходимости, остается исследовать поведение функций
j а (ж, v) dv, j р (ж, v) dv оо
при оо.
Лемма 6.3. Пусть коэффициент q(x) суммируем в каждом конечном интервале. Тогда при каждом фиксированном х
р-
lim|Х->СОlim|Х->СОа (ж,а (ж,v) dv = 0.v) dv = 0.(6-7)(6-7)00
lim|Х->СО
lim|Х->СО
а (ж,
а (ж,
v) dv = 0.
v) dv = 0.
(6-7)
(6-7)
0
0
Равенство (6. 7) имеет место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Мы имеем
р.1,
J а (х, v) dv — j h (х, t) -.” ^ dt. оо
Далее, из оценки Iw^, t, s) | О С (см. теорему 1.1 гл. VI) следует.
Обозначим через т] произвольное положительное число и положим
I = J h(x, t)^!-dt =
^0 у
В силу оценки (6. 8)
С^2.
Поэтому, каково бы ни было число ^ )> 0, можно подобрать число т] столь малым, что для всех р будет выполняться неравенство
(6.9)
Выбрав т], возьмем затем число р0 настолько большим, чтобы для всех р )> р0 выполнялось неравенство )
(6.10)
что возможно на основании леммы Римана — Лебега. Из оценок (6. 9) и (6.10) и произвольности числа С следует равенство (6. 7).
Лемма 6.4. При каждом фиксированном х
JimН-> соJimН-> соv)dv = —S (ж, —со).v)dv = —S (ж, —со).(6. И)(6. И)
Jim
Н-> со
Jim
Н-> со
v)dv = —S (ж, —со).
v)dv = —S (ж, —со).
(6. И)
(6. И)
Равенство (6. 11) имеет место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Функция к (ж, £) (определение к (ж, £) см. в начале настоящего параграфа) по t аналитична (в частности, дифференцируема). Поэтому из известной теоремы теории рядов Фурье следует, что ■
р
lim|Х->00lim|Х->00— ( Р (ж, >) д'# —
lim|Х->00
lim|Х->00
ТС J Г Х
0
= lim= limр-р-19 г— \ А (ж, 1\тс J х *о19 г— \ А (ж, 1\тс J х *о^-dt^-dt
= lim
= lim
р-
р-
1
9 г
— \ А (ж, 1\
тс J х *
о
1
9 г
— \ А (ж, 1\
тс J х *
о
^-dt
^-dt
= к(х, 0) =—S (х, —со),
что и требовалось доказать*).
Из лемм 6. 2, 6. 3 и 6. 4 следует
Теорема 6.1 (о равной сходимости). Пусть коэффициент q (ж) есть суммируемая функция в каждом конечном интервале и /(ж)^^2(—со, со).
Тогда равномерно в каждом конечном интервале имеет место равенство
limlimj / (s) 0! (ж, s; р) ds — 1 J / (s)dsj / (s) 0! (ж, s; р) ds — 1 J / (s)ds
lim
lim
j / (s) 0! (ж, s; р) ds — 1 J / (s)ds
j / (s) 0! (ж, s; р) ds — 1 J / (s)ds
/ (s) 6 (ж, s; —oo) ds,
m. e. разность между разложением no собственным функциям оператора Штурма—Лиувилля и разложением в обычный интеграл Фурье стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале.
Сходимость и суммируемость разложения по собственным функциям
Из теоремы о равной сходимости, доказанной в § 6, непосредственно следует теорема о сходимости разложения по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля.
Теорема 7.1. Если коэффициент q (х) есть суммируемая функция в каждом конечном интервале и f (х)£ Q^2(—°°, °0), то в каждой точке, где выполняется локальное условие разложимости функции j (ж) в обычный интеграл Фурье, имеет место равенство
lim ( [6 (я, s, X)— 9 (я, $, —X)] / (s) ds = f (х).
В этом параграфе мы изучим суммирование по Риссу разложения в обобщенный интеграл Фурье.
В силу равенства (6.3) и оценки (6. 5) из тауберовой теоремы 4.1 гл. XIV следует, что
где константа С зависит от интервала изменения х и от р не зависит, а функция R* (ж, v) определяется по формуле (6.4).
Поэтому для исследования вопроса суммирования по Риссу разложения, т. е. чтобы оценить
^) ^R (X, v),^) ^R (X, v),
^) ^R (X, v),
^) ^R (X, v),
мы должны оценить интегралы
= ^ тттгту [ О - ^ а
/2 —— г . 1 , (^(х, v)dv.
L П l(s-|-l) J\р2 у Г \ ’ /
Начнем с первого интеграла. Мы имеем
Предположим, что выполняется оценка (1.20). Тогда
Далее, мы имеем
к (ж, t) = к (ж, 0)-|-О(£) =—S (х, —oo)-J-O(Z).
Поэтому
ГJ. 1 (;J'Z)
2-I*+ ~
/2 = —у- р I к^х, t)" -у - dt Д-
J(U.<) 2
T
+ оцу *+т . dt^
Is + v
J i (0 s+ 2J i (0 s+ 2dt -J- О (p. 5) —dt -J- О (p. 5) —
J i (0 s+ 2
J i (0 s+ 2
dt -J- О (p. 5) —
dt -J- О (p. 5) —
= -^(7^5^, -c») + 0K7(7.2)
Из оценок (7.1) и (7.2) следует
Теорема 7.2, Пусть коэффициент q(x) есть суммируемая функция в каждом конечном интервале, и пусть выполняется условие (1.19). Если j^xWX1^—°°> 03)> то равномерно в каждом конечном интервале имеет место равенство
г (s + 1) Н1^V^^’ v) —
о
=Т(7Т.Г5^ "”) + °(7-)-
Асимптотическое поведение спектральной функции уравнения порядка 2п
Рассмотрим формально симметричное дифференциальное выражение I (у), определенное на всей оси или полуоси, вида
I (у) = (—1 )”у<2») + р^ ^ у^ + . . . + ро ^ у.
Коэффициенты рк (х) будем предполагать действительными.
Пусть L — одно из его самосопряженных расширений, которые существуют, так как коэффициенты действительны и, следовательно, индексы дефекта равны. Спектральное семейство Ех оператора L в этом случае является семейством интегральных операторов с ядром 6 (ж, ?; X), которое называется спектральной функцией. Можно дать и другое, эквивалентное определение спектральной функции.
Пусть Uj (х, X) — решения уравнения
ЦЧ — ЧЬ .(8.1)
которые удовлетворяют условиям
и^Д, X)U = §/8 (л 5 = 1, 2, ,,„ 2п).(8.2)
Тогда в случае всей оси спектральная функция 6 (ж, Е; X) равна
6 (ж,Х2)— 6 (ж,Х1) = 6(ж, Д) =
Р 2п
=2 иДх, ДиДЪ, Х^ДХ), (8.3)
д j, к=1
где матрица || ajk (X) || есть матрица, которая была введена в § 16 гл, II, т, е, спектральная матрица оператора L.
Если оператор L задан на полупрямой [0, оэ), то
• Дх, ^; Д)=( 2 Ч^ Ы ^,к^’(8,3')
д Х-к=1
где мДж, X) — некоторые решения уравнения (8,1), которые удовлетворяют начальным условиям
VU^ и, 5=1, 2, ,,„ и).(8.2')
Доказательство эквивалентности этих двух определений спектральной функции 6 (ж, Е; X) можно найти в монографии М. А. Наймарка[1].
Из представления (8.3) и (8.3') следует, что
а (X) = D^Df^ (ж, Е; X) ^ = ^- ^ (0, 0; X)
35=о
(/, к = 1, 2, . . ., 2га, если —со <£ < со;
/, к = 1, 2, . . ., га, если 0 ^ж ^ со).
Таким образом, вопрос об асимптотике спектральной матрицы а^ (X) может быть сведен к нахождению асимптотики спектральной функции 6 (ж, £; X) и ее производных.
Теперь сформулируем результат, касающийся асимптотики самой спектральной функции оператора L на всей оси и полуоси.
Теорема 8.1. Пусть оператор L определен на всей оси —оо^ж^оо, полуограничен и его коэффициенты рк (ж) таковы, что р.гп_г ^ — кусочно-гладкая функция, а остальные коэффициенты локально суммируемы.
Тогда в каждой конечной области (х, £) при Х-> со для спектральной функции 6 (х, Е; X) любого полуограни- ченного самосопряженного расширения, т. е. для любой 6 (ж, Е; X), порожденной произвольной спектральной матрицей а ,к (ж) ip jk (X) = 0, X <( Хо), имеет место асимптотическая формула
6 (ж, £, Х) = 60(ж, Е; Х)-|-о(1),(8.4)
где 60 (х, £; X) — спектральная функция оператора (—1)”у(2"' на всей оси и равная
1
Если оператор L задан на полуоси [0, со) с самосопряженными краевыми условиями
2п1
ВДу^^М^Ч^ (7 = 1, 2, ..., га), (8.5) то имеет место теорема, аналогичная сформулированной, если краевые условия удовлетворяют определенному требованию.
Именно, пусть kt — корни уравнения т2” — К = 0, лежащие в верхней полуплоскости и
р.+(т- х)=П(т —х<)-t1=1
, Обозначим через В'Дт, Х) = 2 остаток от деле-
2п
НИЯ В. ^ = 2 bt л* 1 на р.+ (т, К). Требуется, чтобы
3.-=1 3
1? det || б'.у || т^= 0 (условие разрешимости).
2? Элементы cjt матрицы, обратной к матрице || bV ||, удовлетворяют неравенству
где г. — наивысший порядок дифференцирования в /-м краевом условии.
Тогда имеет место следующая
Т е о р е м а 8. 2. Для спектральной функции 6 (ж, £; К) любого полуограниченного самосопряженного расширения оператора L на полуоси [0, оо) при выполнении условий 1° и 2° справедлива следующая асимптотическая формула при к—> оо:
9(ж, ^; к)^60(ж, ^; к) + о(1),(8.6)
равномерно в каждой конечной области изменения х и Ч. Здесь %(х, Е; К) — спектральная функция оператора (—1)”у<2”> на полуоси [0, оо) с теми же краевыми условиями (8. 5).
В случае п = 1 из теорем 8. 1 и 8. 2 мы получим соответственно теоремы 3.1 и 4. 1 настоящей главы.
В случае п > 1 схема вывода асимптотических формул (8. 4) и (8. 6), основанная на использовании рассмотрения Задачи Коши для волнового уравнения, уже не может Привести к цели. Это связано с тем, что уравнение
только в случае п = 1 является гиперболическим, что является определяющим при рассмотрении оператора L с произвольными (растущими) коэффициентами. Нетрудно также показать, что при /?)> 1 не существует такого многочлена Р (~, X) двух переменных т и X, что Р(^, L^u = 0 есть гиперболическое уравнение.
Укажем теперь схему доказательства теоремы 8. 1.
Вначале исследуется спектральная функция 60 (ж, £; X) оператора L, коэффициенты которого являются финитными, т. е. обращаются в нуль вне некоторого интервала. Асимптотику 60 (ж, £; X) можно установить прямым способом. Именно, рассмотрим уравнение для ядра К (ж, Е; X) резольвенты оператора L:
К^х, ?; X) = A0(z, ?; X) +
-ф-К0(х, s; \)P^s, -£^K(s, £; X)d$,(8.7)
где К0(х, е; X) — ядро резольвенты оператора (—1)”у12"’ на всей оси, а Р(х, -^^—оператора, содержащего все младшие члены оператора L (его коэффициенты финитны), т. е.
р(х,\ ах /'' ах"1
Нетрудно показать, что при больших [ X | уравнение (8. 7) может быть решено методом последовательных приближений и равномерно по (ж, £) на всей оси имеет место при X —> оо равенство
£(^; Х) = К0(г,Е; Х) + ^1.(8.8)
Интегрируя левую и правую части (8. 8) по замкнутому контуру Г в комплексной плоскости Х = ^-|-гт, который проходит через точку т] на действительной оси, получим при т; -> со
Ш ^) = Ш ^ч)+о(1),(8.9)
где 60 (х, В; т;) — спектральная функция оператора (—I)”?/*2”’.
Пусть теперь нам надо установить формулу (8. 4) в об
ласти 8 (х; а^х <5 X, «j^^^^i)- Возьмем область и.—
= (х:а— Л^ж^Х + Л), при некотором Л>0, и рассмотрим «урезанный» оператор L, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами р. (х) оператора L в области и, а вне us = \x; а — h — е ^ b -j- h + г) обращаются в нуль.
Обозначим через G0(x, Ё; t) функцию Грина задачи Коши параболического уравнения
Если теперь G(x, S; i)— ядро интегрального оператора е~и, т. е. функция Грина задачи Коши операторного уравнения
то, как можно убедиться при помощи формулы Грина, в области 8 имеет место равенство
(8.10)(8.10)G^x, 5; О — G0(x, Е; <) = О (1) е^2”"1
(8.10)
(8.10)
где с—постоянная, не зависящая от е, h, t. С другой стороны, как нетрудно видеть,
G (х, Е; г) = J е~х< d9 (ж, £; X).
Учитывая это представление, равенство (8. 10) можно переписать в виде
j e-^d^^x, Е; Х)= j e-X1d%(x, 5; X) + О (1) е^2”-1,(8. И)
где б0(т, В; X) — спектральная функция «урезанного» оператора L. После умножения левой и правой части
равенства (8. И) на е и/ и интегрирования по t в пределах от 0 до оо получаем
С ай (х, Е; Х) г dMxJ^X) 1 л/ц
оо
где с* — постоянная, зависящая только от с, a h* = А 2,1 . Используя последнее равенство, можно установить важ ное для нас соотношение
J е~’х1/2вй9 (ж, $; X) = J е-х1/2”< (ж, Е; X) + G (s),(8. 12)
оо
где G (s) есть аналитическая по s = т; + it функция в полосе | т | < А = h*c*f cos -^- и G (0) = 0.
Обозначив р (X) = 0 (ж, х; X2"), о (X) = 0о (ж, х; X2”) на основании (8. 12), получим
J e-sXdp (X) = j e-,xda (X) + G (s).(8.13)
00
Из формулы (8. 9) находим, что
°М = Ш х; Х2”) = 1х + о(1).
Далее, из равенства (8. 13) на основании тауберовой теоремы В. А. Марченко (§ 4, гл. XIV), которая позволяет уточнить оценку остатка в тауберовой теореме Икеара, получаем
— । р(Х + Оу-Р(Х) о _ G (0) I ^ у 0 ^ = А
Х^-оо IIXАп
где А — абсолютная постоянная.
Так как число А может быть выбрано как угодно большим, а вместе с А будет как угодно большим А, то, учитывая равенство (8. 7), и то, что G (0) = 0, получаем утверждение теоремы 8.1 в случае, когда Е = х. Доказа-
тельство для случая s ^= ж проводится после этого путем рассмотрения неубывающей функции
Ф(ж, £; Х) = 9(ж, ж; X) + 26 (ж, 5; X) + 6 (Е, Е; X).
Доказательство теоремы 8.2 технически несколько сложнее, но проводится по той же схеме.
Отметим, что, применяя результаты Нильсона [1] но оценке спектральной функции общих эллиптических операторов на отрицательном спектре, можно установить теоремы 8.1 и 8. 2 и для неполуограниченных операторов. По крайней мере для операторов с достаточно гладкими коэффициентами это сделать можно совсем просто. Именно, надо рассмотреть квадрат неполуограниченного оператора L, который уже будет положительным. Далее следует воспользоваться теоремой 8.1 или 8. 2.
Из теоремы 8.1 следует
Теорема 8.3 (о равносходимости). Всякая финитная функция f^x), которая разлагается в интеграл Фурье, разлагается и в интеграл по собственным функциям и наоборот.
Здесь имеется в виду точечная сходимость разложений.
Эта теорема следует непосредственно из теоремы 8.1, так как частичные суммы разложений в интеграл по собственным функциям и Фурье равны соответственно
•ъ
S^x, f; Х) = ( 9 (х, 5;
S0(x, f; Х)= (90(Ж, В; Х)/(^)^,
и следовательно,
S&, f;Х^оо.
'а
Для производных DxD{^(x, Е; X) — Э^"1 (гг, Е; X) можно также на указанном пути получить соответствующую асимптотику, что позволяет написать асимптотику спек’ тральной матрицы.
27 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
Указания к литературе
Основные сведения по разложению и собственным функциям изложены в монографиях Титчмарша [1], Б. М. Левитана [1 ] и др. Тождества (1. 12) и (1. 14) получены в работе Б. М. Левитана [14].
Леммы 2. 1 и 2. 2 для случая полупрямой [0, со) в существенной своей части принадлежат В. А. Марченко [1]. Изложенное здесь доказательство леммы 2. 1 принадлежит Б. М. Левитану [14].
Асимптотическая формула (3. 8) получена в работах Б. М. Левитана [14]—[15]. См. также В. А. Марченко [3].
Формула (4. 5) выведена в работе Б. М. Левитана [15], см. также работу В. А. Марченко [3].
Суммирование спектральной функции по Риссу рассматривалось в работах Б. М. Левитана [14]— [15].
и 7. Теорема равносходимости впервые доказана Б. М. Левитаном [14], см. также его работу [15] и В. А. Марченко [1]. Суммирование по Риссу разложения по собственным функциям рассматривалось Б. М. Левитаном [14] —[15].
Результаты этого параграфа принадлежат А. Г. Костюченко [1]—[2].
ГЛАВА VIII
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
Предварительная оценка производных спектральной функции
В настоящей главе изучаются вопросы дифференцирования разложений по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора второго порядка
у"+^-д^у = О,(1.1)
определенного на полупрямой [0, оо) с начальными условиями
у(0)=1,у'^ = 0.(1.2)
Предполагается, что функция д^х) действительна, определена на полупрямой [0, оо) и суммируема в каждом конечном интервале.
На протяжении всей главы предполагается, что спектр задачи (1.1)—(1.2) неотрицателен или, если отрицательный спектр существует, он снизу ограничен. Последний случай легко приводится к предыдущему. Итак, пусть X = р2 (X )> 0). Обозначим через ср (ж, р) решение задачи (1.1)-(1.2).
Как известно, существует монотонная, ограниченная в каждом конечном интервале функция р (р) такая, что Для каждой функции / (rr) £ .Sf2 (0, оо) справедливо равенство Парсеваля
ОО00
J f (ж) dx = ^F2 (р) dp (р), оо
где(1.3)
А
F (р) = 1 • i • m ( / (ж) ср (s, р) ds.
А->оо /
Обозначим через 9 (ж, s, р) спектральную функцию уравнения (1.1) (при начальных данных (1.2)), т. е. положим
О (ж, S, р) =О (ж, S, р) =( ср(ж, v)<p($, v)dp(v), р>0, ОU * ^/
О (ж, S, р) =
О (ж, S, р) =
О,р = о.
В настоящем параграфе мы получим некоторые предварительные оценки для производных спектральной функции 0 (ж, s, р).
Как мы видели в предыдущей главе, для произвольного действительного t имеет место равенство
ср (ж, р) cos pi = у (у (ж + t, р) + ср (т — t, р)} +
+ у1у(ж, t, s) у (s, p)ds. (1.5)
x—t
Дифференцируя равенство (1. 5) по х, получаем с?;(ж, р)cosрг=у{?;(.г-н, р) + ?;(.г —i, р)) +
-j-y {Н^, i, х + i) <р (х + i, р) —— и?(х, I, х — i)y(z— i, р)} +
. 1 [ dw(x, t, s) ,, ,
+ т J "di^ds- (1,6)
Пусть функция gs (i) удовлетворяет условиям, указанным на стр. 376. Помножим обе части равенства (1.6) на g, (i) и проинтегрируем по i от 0 до г, после чего получим
^’х^ ^)Фе(^) = У J {?*(Z + ^ Pj+^tz—^ P)}^SW^ +
+ у^{1У(т, t, x + t^^ + t, р) —
и
— to (ж, t, x — t^^x — t, p))^s(<)^ +
+ "2" J St (00+ "2" J St (00x 4-/j dw^x, t, s)J dx■X—/x 4-/j dw^x, t, s)J dx■X—/ф (s, ^ds\at = IY-V Ц-V ly (1.7)ф (s, ^ds\at = IY-V Ц-V ly (1.7)
+ "2" J St (0
0
+ "2" J St (0
0
x 4-/
j dw^x, t, s)
J dx
■X—/
x 4-/
j dw^x, t, s)
J dx
■X—/
ф (s, ^ds\at = IY-V Ц-V ly (1.7)
ф (s, ^ds\at = IY-V Ц-V ly (1.7)
Преобразуем правую часть равенства (1.7). Рассмотрим первый член. Интегрируя по частям, найдем
ес
j^^H-*, f1)^ W^= j ^И^Н-^ ^бА^й1 = оО
= —?(*> Р) g. (°) — j ? (^ + t, р) g't (О dt,
О
5 «Х — ^ Р) gt^dt = — 5 Ч?АХ-1’ Р^ДМ1 = ОО
= ? Iх- Р) St (°) + j ? (^ — t, М, ^ dt- о
Следовательно, пользуясь четностью функции g6 (£) относительно t, получим
А = — j ? (^ + ^> V-^g^ (<) dt + j ? (ж — t, р) g'E (i) dt = 00
f /\ dg6 (s — x) j (*,\ dg=(s — x\ j
= — J ?(s, ^)^^—Ld$— J ?(s, ^-^^—Lds =
x—e
Преобразуем теперь второй член равенства (1.7). В силу формул (2. 9) и (2. 10) получим
ю (ж, t, х + t^^x + t, ^gt^dt = о
= — ^ j ?(* + *> P)g,(O 0
I q (x + т) <й? dt =j <7 (я + т)йт> ds =оJI q (x + т) <й? dt =j <7 (я + т)йт> ds =оJ=y 5 ?^—t, ^gjo 0=y 5 ?^—t, ^gjo 0j q (ж — t) dx} dt = оJj q (ж — t) dx} dt = оJ= — у J ?(s, P-)gs(s—x)
I q (x + т) <й? dt =
j <7 (я + т)йт> ds =
оJ
I q (x + т) <й? dt =
j <7 (я + т)йт> ds =
оJ
=y 5 ?^—t, ^gjo 0
=y 5 ?^—t, ^gjo 0
j q (ж — t) dx} dt = оJ
j q (ж — t) dx} dt = оJ
1 V8 I
=y J ?(s, P^etz —s) J q<x — T')dT'tds =
= — у J ke(s— ^\q^^ ?(s, ?W
Следовательно, ж+8S1
72= —1 j gE (s _ ж) ^q (T) rfT| ? (s, ^ds. (1.9)
И, наконец, меняя порядок интегрирования в последнем интеграле равенства (1.7), получим
^з= j ?(s> ^Ч^- s)ds>(1.Ю)
где
Iя—*1Iя—*1(1.11)
Iя—*1
Iя—*1
В силу равенств (1.8), (1.9) и (1.10) равенство (1.7) примет вид
€(^ riW = -| $ V(s’ ^^^-^ds —6
x+s8I
IfГ
— J ) ^(’-^«(^W, P)^s +
X—6X'
1 T
+ y j \(x, S)V(S, ^(18 =
1— У 5 (M*- s)1— У 5 (M*- s)dg6 (s — x)dsdg6 (s — x)ds
1
— У 5 (M*- s)
1
— У 5 (M*- s)
dg6 (s — x)ds
dg6 (s — x)ds
—y sE (s—^^ W йт| v <S) ^)ds-C1 •12)
Из равенства (1. 12)следует, что при фиксированном х функцию ф^ (ж, р) ф6 (р) можно рассматривать как обобщенное преобразование Фурье (по собственным функциям ф (ж, р)) функции, равной
1Т Mz’s)1Т Mz’s)dg^s—^)dg^s—^)dsds
1
Т Mz’s)
1
Т Mz’s)
dg^s—^)
dg^s—^)
ds
ds
— у g, (S — ж) ^q (т) dxj = ht (ж, s) (1.13)
при s^(x — s, x -|- s) и равной нулю вне этого интервала.
Поэтому из (1.12) в силу равенства Парсеваля получим
J ^(Р)^^ ^)Фе(^)Йр(^) = j f^MSt SW (1.13') Ох—е
Отсюда в силу произвольности функции /(s) и (1.13) получим
ОО
$ ФЛР’Ыз. ^тИ^ pJ<W) = О
\ (*, s) —— 4 ^. (S — Ж) $ 9 (т)^'-
= ■х(1.14)
| х — s | ^ г,
О,| х — s | ^ г.
Дифференцируя тождество (1. 14) по s*) и используя (1. И), получаем при х >s
ОО
J Фе М ^ (S, Р) V» ^ И) ЙР (Р) =
О
, х dw (х, t, s) I ,§As-^——x—-I+
v4, U-XS
I ( „ /A^k1» t,d^g^s — z'j
(1.15)(1.15)J ^e ' ' dx dsdsi
(1.15)
(1.15)
S 9 <T) dT —yg= ks — x^q (s), X
| x — s | ^ s, 0,| x — $ | ^ s.
*) При этом мы предполагаем, что функция q (х) абсолютно непрерывна.
В силу определения спектральной функции 9 (ж, s, р), т. е. равенства (1.4), тождество (1.15) примет вид
СОj ^s МОСОj ^s МО, d-о (х, s, [^ % dx ds, d-о (х, s, [^ % dx ds,. dw (х, t, s)sA8-^-^—-,. dw (х, t, s)sA8-^-^—-
СО
j ^s М
О
СО
j ^s М
О
, d-о (х, s, [^ % dx ds
, d-о (х, s, [^ % dx ds
,. dw (х, t, s)
sA8-^-^—-
,. dw (х, t, s)
sA8-^-^—-
С - (f\^w^x, t, s) j t dx dsС - (f\^w^x, t, s) j t dx dsds4-ds4-^^Sr^L\q^ ^—^sA8 — ^ q^A’| x — s |< e, | x — s | ^ e.^^Sr^L\q^ ^—^sA8 — ^ q^A’| x — s |< e, | x — s | ^ e.(1.15')(1.15')Продолжая функцию 9 (ж, s, p) относительно p нечетно, получим из тождества (1.15) при s = xПродолжая функцию 9 (ж, s, p) относительно p нечетно, получим из тождества (1.15) при s = xd^D (x, s, p.) I ,/„ dw (x, t, s)dx ds^e ' ' dxd^D (x, s, p.) I ,/„ dw (x, t, s)dx ds^e ' ' dx
С - (f\^w^x, t, s) j t dx ds
С - (f\^w^x, t, s) j t dx ds
ds4-
ds4-
^^Sr^L\q^ ^—^sA8 — ^ q^A’
| x — s |< e, | x — s | ^ e.
^^Sr^L\q^ ^—^sA8 — ^ q^A’
| x — s |< e, | x — s | ^ e.
(1.15')
(1.15')
Продолжая функцию 9 (ж, s, p) относительно p нечетно, получим из тождества (1.15) при s = x
Продолжая функцию 9 (ж, s, p) относительно p нечетно, получим из тождества (1.15) при s = x
d^D (x, s, p.) I ,/„ dw (x, t, s)
dx ds^e ' ' dx
d^D (x, s, p.) I ,/„ dw (x, t, s)
dx ds^e ' ' dx
ООd^w (х, t, s)dx dsd^w (х, t, s)dx ds|_ at|_ atd2g6 (s —^ds^d2g6 (s —^ds^
О
О
d^w (х, t, s)dx ds
d^w (х, t, s)dx ds
|_ at
|_ at
d2g6 (s —^ds^
d2g6 (s —^ds^
-^gA^q^Y (1-16)
Докажем теперь несколько простых лемм о поведении производных собственных функций.
Лемма 1.1. Если функция q(x) в каждом конечном интервале абсолютно непрерывна, то при а-» оо справедлива следующая оценка:
v F^xds = ^ ^ ^2 d? ^=0 и-а •17)
al и**, иь j 8=3. о
Оценка (1. 17) имеет место равномерно по х в каждом конечном интервале.
Доказательство. Из известных асимптотических формул для собственных функций следует, что для х из конечного интервала и р -> оо
ТИ^ ^) = О(р).ТИ^ ^) = О(р).(1.18)(1.18)
ТИ^ ^) = О(р).
ТИ^ ^) = О(р).
(1.18)
(1.18)
Отсюда и из леммы 2. 3 гл. VII следует оценка (1.17).
Аналогичным образом можно доказать следующую лемму.
“Д1 fd2t (х, s, р))Y I dxkdsk Js=x“Д1 fd2t (х, s, р))Y I dxkdsk Js=xЛемма 1.2. Если функция q(x) в каждом конечном интервале имеет суммируемую Уг-ю производную, то при каждом фиксированном х и при а-> со имеет место оценка
“Д1 fd2t (х, s, р))
Y I dxkdsk Js=x
“Д1 fd2t (х, s, р))
Y I dxkdsk Js=x
j (V^ (ж, р)}2 dp (р) = О (а2*)
(£ = 1, 2, . ..).(1.19)
Оценка (1. 19) имеет место равномерно по х в каждом конечном интервале.
Из леммы 2.3 гл. VII и леммы 1.1 и неравенства Коши — Буняковского следует
Лемма 1.3. Если функция q^ в каждом конечном интервале имеет суммируемую первую производную, то при каждых фиксированных х и s и при а -> оо имеет место оценка
dO (х, S, р) дхdO (х, S, р) дх
dO (х, S, р) дх
dO (х, S, р) дх
(1.20)(1.20)= 5ы«, ^н^ж ^) и м=£>(<*) •
(1.20)
(1.20)
Оценка (1.20) имеет место равномерно в каждом конечном интервале изменения х и s.
Из леммы (1.2) и неравенства Коши — Буняковского следует
Лемма 1.4. При условиях леммы 1.2 имеет место оценка
V।^) ЫV?'1 (s> ^) I W =
„ ( dx^si )"
= 0^ (i + i = 2k).(1.21)
Оценка (1.21) имеет место равномерно в каждом конечном интервале изменения переменных х и s.
Обозначим через 6* (ж, з, р) спектральную функцию задачи (1.1)—(1-2) при 9^ = 0, т. е. положим
2 С
9* (х, з, р) = — 1 cos vx • cos vs dv.(1.22)
о
Из определения функции 6* (х, s, р) непосредственно следует
Лемма 1.5. При а-> ео имеет место оценка
^W’8’. рП 0(аЯ) (Л + / = ге = 0) 1, ...). (1.23) а ( dxKds3 )
Оценка (1.23) имеет место равномерно на всей полупрямой (0, оо).
Асимптотическое поведение производных спектральной функции
Формула (1. 14) позволит нам исследовать асимптотическое поведение производных спектральных функций 9 (ж, $, р). Чтобы изучить асимптотическое поведение производных спектральной функции задачи (1. 1) + (1. 2), мы будем сравнивать их с производными спектральной функции более простой задачи, а именно задачи
у"^\у = О (X > 0),(2.1)
У(0) = 1,У(0) = 1,у'(0) = 0.у'(0) = 0.(2-2)(2-2)
У(0) = 1,
У(0) = 1,
у'(0) = 0.
у'(0) = 0.
(2-2)
(2-2)
Для этой цели преобразуем правую часть формулы (1.14). Мы имеем
00
5 Ф.М?^. р)?Д^, ^)^рМ = —00
е
_ \М—i^ —x)\q^dz~> к—SKS’_ \М—i^ —x)\q^dz~> к—SKS’
_ \М—i^ —x)\q^dz~> к—SKS’
_ \М—i^ —x)\q^dz~> к—SKS’
Используя спектральную функцию 6 (ж, s, р), придадим формуле (2. 3) вид
, / х 58 (z, s, р) Ф, (р)< ’
1 8 М / и-0х
\(^ s'l—^Ssl8 — ^) J q^dT\(^ s'l—^Ssl8 — ^) J q^dTdg^ — x)dsdg^ — x)ds8,(2.398,(2.390,0,\x — s\x — s|>e.|>e.
\(^ s'l—^Ssl8 — ^) J q^dT
\(^ s'l—^Ssl8 — ^) J q^dT
dg^ — x)ds
dg^ — x)ds
8,
(2.39
8,
(2.39
0,
0,
\x — s
\x — s
|>e.
|>e.
Выписывая для функции 0* (ж, s, р), т. е. для спектральной функции задачи (2.1) + (2. 2), формулу, аналогичную формуле (2. 3'), вычитая ее из (2. 3') и учитывая, что для задачи (2.1) + (2. 2) w (х, i, s) = 0, получим
<)0 (х, s, р) 50* (х, s, р)
dxdxdx
dx
dx
s,s,(2.4)(2.4)
s,
s,
(2.4)
(2.4)
8,8,(2-5)(2-5)
8,
8,
(2-5)
(2-5)
Положим
/\ С дю (х, tf s) , ,
а (ж, s, p) = l cos pi af. (2. 6)
|x-8|
Тогда в силу равенства Парсеваля для обычных инте гралов Фурье из формул (1. 6) гл. VII и (2. 6) следует
ОО8
5 Ф,ма(^. s. р№=у j ^OV’s) ^w^- t2-7) 0l*-»|
Далее, в силу формулы обращения из формулы (1.6) гл. VII находим
ОО
g, (s — ж) = — \ ф, (р) cos (s — z) р dp =
— ОО
=т I Ш^^-Т^. <2'8)
—ОО
Поэтому в силу четности функций ф8 (р) и а (ж, s, р) но р и формул (2. 7) и (2. 8) формулу (2. 4) можно переписать в следующем виде:
ООр.
Г I \ Л 56 (х, S, р) 56* (х, S, р)\ л ,
\ I—Н ~Н —1 a (ж> s> v) dv +
—соО
1 sin (S - X) р с ( I = 0.(2. 9)
Теорема 2.1. Если функция q^ в каждом конечном интервале абсолютно непрерывна, то при каждых фиксированных х и s справедлива асимптотическая формула (р-> оо)
SO -Э^Г1^^-^^1^0^) (2' 10)
Так какТак какДоказательство.Доказательство.V \ а (ж, s, v) dv = о (fi), I1 АV \ а (ж, s, v) dv = о (fi), I1 Аоото в силу оценки (1.20)то в силу оценки (1.20)иитауберова теорема 4. 1 гл. при каждых фиксированных рядка 1 функциитауберова теорема 4. 1 гл. при каждых фиксированных рядка 1 функциии+i [»1V - 1 cos v ($ — х) dv ? = О (р),равенства (2. 9) применимаXIV, откуда следует, что х и s средние по Рис су по-и+i [»1V - 1 cos v ($ — х) dv ? = О (р),равенства (2. 9) применимаXIV, откуда следует, что х и s средние по Рис су по-РО (ж, s, р) 56* (х, s, р)РО (ж, s, р) 56* (х, s, р)1 С1 Сдхдхдхдхооостаются ограниченными при р-> оо, равенствор-остаются ограниченными при р-> оо, равенствор-от. е. имеет местоот. е. имеет местооодб (х, s, v) дб* (х, s, v)дб (х, s, v) дб* (х, s, v)дхдхдхдх11ооРавенство (2.10) имеет место равномерно в каждом конечном интервале изменения х и s.
Так как
Так как
Доказательство.
Доказательство.
V \ а (ж, s, v) dv = о (fi), I1 А
V \ а (ж, s, v) dv = о (fi), I1 А
о
о
то в силу оценки (1.20)
то в силу оценки (1.20)
и
и
тауберова теорема 4. 1 гл. при каждых фиксированных рядка 1 функции
тауберова теорема 4. 1 гл. при каждых фиксированных рядка 1 функции
и+i [»1
V - 1 cos v ($ — х) dv ? = О (р),
равенства (2. 9) применима
XIV, откуда следует, что х и s средние по Рис су по-
и+i [»1
V - 1 cos v ($ — х) dv ? = О (р),
равенства (2. 9) применима
XIV, откуда следует, что х и s средние по Рис су по-
РО (ж, s, р) 56* (х, s, р)
РО (ж, s, р) 56* (х, s, р)
1 С
1 С
дх
дх
дх
дх
о
о
остаются ограниченными при р-> оо, равенство
р-
остаются ограниченными при р-> оо, равенство
р-
о
т. е. имеет место
о
т. е. имеет место
о
о
дб (х, s, v) дб* (х, s, v)
дб (х, s, v) дб* (х, s, v)
дх
дх
дх
дх
1
1
о
о
+ ^ j q М di j cos a (s — z) da? = О (1). (2.11) х0'
Для доказательства теоремы остается вычислить интегралы
р-
s, v) dv,
о
2
хО
Вычислим первый из них. В силу определения функции а (ж, s, >), т. е. (2. 6), мы имеем
dw (х, г, s) . I j —' eos Nt dt \ ач.
дх
ОО
О
О
Меняя порядок интегрирования, получим
1(1
S
dw (Х, t, С /л V2\Л 1Л
Ц И (1И cos ^^-(2-12)
dx J \p2/''
|x-s|'o>
Далее, в силу известной формулы (см. Титчмарш [3], стр. 234)
((i^)„os,,»=/^:W.(2.13)
Из последних двух формул окончательно получим
(2. 14)(2. 14)(2-15)(2-15)dm (х, t, s) Е^ (рИ ^
(2. 14)
(2. 14)
(2-15)
(2-15)
дх ц^к '
Для второго интеграла в силу (2. 13) получим
.1 J»l IP (® — •
9 = ;=■ Р:
4 V2n [р (s — z)J
Поэтому теорема следует из равенства (2. 11) в силу (2. 14) и (2.15).
Аналогичные асимптотические формулы можно получить и для старших производных спектральной функции О (ж, $, р). Но мы здесь этого делать не будем и ограничимся лишь формулировкой теоремы для вторых производных.
Теорема 2. 2. Если функция q (ж) в каждом конечном интервале имеет абсолютно непрерывную первую производную, то при каждых фиксированных х и s справедлива асимптотическая формула
J \Р-2/ VL dxdsдх ds J х ' х '
о
Равенство (2.16) имеет место равномерно в каждом конечном интервале изменения х и s.
§ 3. Равносуммируемость дифференцированных разложений по собственным функциям
В настоящем параграфе, используя предварительные оценки, полученные для производных спектральной функции 9 (ж, s, р) в § 1 настоящей главы, мы докажем теорему о равной суммируемости дифференцированных разложений по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля и разложения в обычный интеграл Фурье по косинусам функций из класса S’2 (О, оо).
Предварительно докажем несколько лемм.
Из формулы (1.13') следует
ООл+б
5 Фе (и) F (и) tU^ Р^р(р) = 5 ^кДх, s)ds, (3.1)
где /(s)£<^2(0, оо) и
F (р) = I • i • m ( / (s) ср (s, р) ds,(3. 2)
о
, ,, f die (х, t, s) /.,7. , dg, (s — x)
M^ S)= J ' dxdl
lx-«|
—4 ^ (s—ж) ^ w dT- <3-3)
Введем обозначения
8 (x, p) = j / (s) 9 (ж, s, p) ds = j F (v) ср (ж, v) dp (v),(3. 4)
оо
8* (x, p) = j / (s) 9* (x, s, p) ds.(3. 5)
о
В силу определения функции 8 (х, р) формула (3. 1) примет вид
ООж+s
С г / \ 7 dS (х, ц)f , х
( ^-IlAlgl(()d,+
I Я-S 1
д~^^~~y^(s — ж) i(3.6)
, Функция 8 (х, р) есть отрезок разложения по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля, а 8* (х, р) — отрезок разложения в обычный интеграл . Фурье по косинусам функции /(ж)^^2(0, оо).
Выписывая для функции 8* (х, р) формулу, аналогичную формуле (3.6), и учитывая, что в этом случае д(ж) = 0, w (х, t, з) = 0 и вычитая ее из формулы (3.6), получим
) VsW^I эхдх J
—со л+s/ S
= j /(s) } —ai—LgAtW~
Л—6']#— 8|
81
— у £, (s — z) j g (t) dy ds. (3-7)
Лемма 3.1. Пусть /(ж)^^2(0, оо). Если функция q(x) в каждом конечном интервале абсолютно непрерывна, ■ то при каждом фиксированном х и при р -> оо имеет место оценка
^г |ср>, ^|W)|W = oM. (3.8)
Оценка (3. 8) имеет место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. В силу определения функции 8 Ач Р), т. е. равенства (3. 4), мы имеем
о
■. Поэтому, на основании неравенства Коши — Буняковского, отсюда следует
у|^р)|= J |(р,(ж, ^77^)1^^)^
/М-1\ Чг /М1\ 41
<( $ [?;^. р)г^р(р) 5 ^(р)^р(р) .(3.9)
•\ и./\ р./
28 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
В силу леммы 1.1 имеем
н+1
5 ей*. ^2^м=ом.(з.ю)
Далее, так как
ОО
j ^Wp(i*)< °0'
—со
то при р —> ОО р.+1
( F2(p)<W) = o(l).(3.11)
Поэтому лемма следует из неравенства (3. 9) в силу оценок (3.10) и (3. И).
Аналогично доказывается
Лемма 3.2. Пусть / (s) € «2?2 (0, оо). Если функция q (х) в каждом конечном интервале имеет суммируемую k-ю производную, то при каждом фиксированном х и при р -> оо справедлива оценка
Vf^^) = o(pfc)(А=1, 2, . ..).(3.12)
Оценка (3.12) имеет место равномерно в каждом конечном интервале.
Из определения функции S* (х, р) непосредственно следует
Лемма 3.3. Пусть f (s)£.Sf2(0, °0)- Тогда при р-»оо
V= о(pte) (k — 1, 2, ...).(3.13)
Оценка (3.13) имеет место равномерно на всей полупрямой [0, оо).
Теорема 3.1. Пусть /(ж)^^2(0, оо). Если функция q(x) в каждом конечном интервале абсолютно непрерывна, то равномерно в каждом, конечном интервале имеет место равенство
Um Xi -=о,
о
т. е. разность между средними по Риссу первого порядка производных первого порядка разложения функции /(ж)^S’2(0, оо) по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля и разложения в обычный интеграл Фурье по косинусам стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Положим
П = ( ^^ $) f^ds, (3.14)
1
a(^, ^)= j Л (x, t) cos p-tdh(3.15)
о
k^x, t)=f(x-\-t) j q (t) dx,(3.16)
1' X-Vt1
p (ж, p) = j/(^ + i) j q (t) d~ ? cos pi dt =
1
= ^(ж, t) cos y-tdt, (3.17)
Ф. (P-) = у J ^ Wcos^tdt (°<S<1)-(3- 18)
В силу равенства Парсеваля для обычных интегралов Фурье из формул (3. 15)—(3. 16) и (3. 17)—(3. 18) соответственно получим
ОО6
j Ф, (р-) а (ж, р) dp = л j g6 (t) л (ж, t) dt =
—ООо
dt =dt =е (x+t
dt =
dt =
= л И«(0 J —'-f^ds
(3. 19)2S*(3. 19)2S*Г ,( Г dw (x, t, s) „
(3. 19)
2S*
(3. 19)
2S*
= л J /(0 J —-gA^dt ds,х-t 4®~»|^
5 Ф6(р-)Р(Ж' Р-Ир = 5 gAWx- t)dt =
= \ gA^t^ + t) j д(:)йт Й =
= j f^gAs—xy^q^dnds. (3.20)
Поэтому в силу равенств (3.19) и (3. 20) тождество (3. 7) можно переписать в виде
5 t, м ^5 t, м ^dS (х, р) dS* (х, р)dS (х, р) dS* (х, р)а (ж, v) d; +а (ж, v) d; +
5 t, м ^
5 t, м ^
dS (х, р) dS* (х, р)
dS (х, р) dS* (х, р)
а (ж, v) d; +
а (ж, v) d; +
+ ~jp(z, v)dv?=O.+ ~jp(z, v)dv?=O.(3. 21)(3. 21)dS (х, р) dS* (х, р) 1dS (х, р) dS* (х, р) 1dxdxdxdx(а (ж, v) — р (ж, v)} d^(а (ж, v) — р (ж, v)} d^
+ ~jp(z, v)dv?=O.
+ ~jp(z, v)dv?=O.
(3. 21)
(3. 21)
dS (х, р) dS* (х, р) 1
dS (х, р) dS* (х, р) 1
dxdx
dxdx
(а (ж, v) — р (ж, v)} d^
(а (ж, v) — р (ж, v)} d^
О’
При р -> оо очевидна справедливость следующих оценок:
V \ а (х, v)dA = o (1), \/ I р (ж, v) dv > = о (1). (3. 22)
Поэтому в силу оценок (3.8), (3.13), (3.22) и равенства (3.21) применима тауберова теорема 4. 1 гл. XIV, на основании которой средние по Риссу первого порядка функции
в каждом конечном интервале равномерно стремятся к нулю, т. е.
dS (х, V)dS (х, V)dS* (х, v)dS* (х, v)
dS (х, V)
dS (х, V)
dS* (х, v)
dS* (х, v)
^ j [а (ж, v) — Р (ж, v)] dv ? = 0
dS* (x, dxdS* (x, dx=— IimU |L->CO=— IimU |L->CO{а (ж, p)—P (ж, v)} dv.{а (ж, p)—P (ж, v)} dv.(3.23)(3.23)
dS* (x, dx
dS* (x, dx
=— Iim
U |L->CO
=— Iim
U |L->CO
{а (ж, p)—P (ж, v)} dv.
{а (ж, p)—P (ж, v)} dv.
(3.23)
(3.23)
или
t Uf dS (х, v)
^00 0J \- Z 1
Для доказательства теоремы достаточно показать, что в каждом конечном интервале равномерно имеет место равенство
lim ( fl -3(a(^, v) —р(ж, ^d, = 0.(3.24)
p.->CO ^ \ v /
В силу определения функции а (х, р), т. е. (3.15), мы
Имеем
^ h (х, £)-О^ h (х, £)-Оcos 'd dtcos 'd dtdv.dv.
^ h (х, £)
-О
^ h (х, £)
-О
cos 'd dt
cos 'd dt
dv.
dv.
Меняя порядок интегрирования, получаем
К1 _За(х’ о
= J h (х, £) К fl —^ cos vt Л? dt. (3. 25)
.о Io
. Так как, по предположению, функция q (ж) в каждом конечном интервале абсолютно непрерывна, то она в каждом конечном интервале ограничена. Тогда Вз леммы 1.2 гл. VII следует, что в каждом конечном
Y dw t, s) конечном интервале ограничена и функция ——- так что из (3. 14) находим
|/?(^, 0 | < С J W\ds,x-t
откуда в силу неравенства Коши — Буняковского получим
(x-Vt\ */з /®"V^\ */з
(3. 26)(3. 26)j /2 (s) ds j I j ds jx-t/\X-t/
(3. 26)
(3. 26)
так как, функция /(s) интегрируема с квадратом. Тогда из (3.25), (3.26) и (2.14) при р.->оо следует оценка
I<^ С j [1^4 оI<^ С j [1^4 о| ^=/2 №) || ^=/2 №) |
I
<^ С j [1^4 о
I
<^ С j [1^4 о
| ^=/2 №) |
| ^=/2 №) |
=^.\^r-d“=0^ <3-27>
Далее, рассуждая аналогично, из (3. 15), (3. 16) и (2. 14),
получим
SO -Эр(*’ о
JS/2 ^JS/2 ^q (х) dxq (х) dxdt = O ([i-l4).dt = O ([i-l4).(3. 28)(3. 28)
JS/2 ^
JS/2 ^
q (х) dx
q (х) dx
dt = O ([i-l4).
dt = O ([i-l4).
(3. 28)
(3. 28)
Оценка (3.27) и (3.28) доказывает равенство (3.24),
а тем самым и теорему.
. Исходя из леммы 3.2 и 3.3, совершенно аналогично доказывается.
Теорема 3.2. Пусть /(^)^eSf2(0, оо). Если функция q (ж) в каждом конечном интервале имеет абсолютно непрерывную (к—1)-ю производную, то равномерно в каждом конечном интервале имеет место равенство
lira to "Уд0,
|1->со J х '12/1 дх^dxk I
О'
т. е. разность между средними по Риссу порядка к производных к-го порядка разложения функции Цх) по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля и разложения в обычный интеграл Фурье по косинусам стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале.
Суммирование дифференцированных разложений в обычный и обобщенный интеграл Фурье
Из теорем о равной суммируемости дифференцирован' ных разложений по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля и разложения в обычный интеграл Фурье по косинусам, доказанных в предыдущем параграфе, легко получить теоремы суммирования дифференцированных разложений по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля к значению соответствующих производных разлагаемой функции, если имеются такие теоремы суммирования производных для разложения в обычный интеграл Фурье. Относительно суммирования первой производной обычного ряда Фурье известна теорема Л. Фейера — А. Лебега (см., например, И. П. На- тансон[1]). В настоящем параграфе с помощью нашего метода мы докажем теорему, аналогичную теореме Фейера — Лебега.
Теорема 4. 1. Пусть F {/ (z)} означает обычный ряд Фурье функции / (х\ Ряд F {] (х^ в точке х0 суммируем ио методу Рисса первого порядка к значению f! (х0), если в точке х0 удовлетворяются следующие условия:
В некоторой окрестности точки х0 функция f (х) ? абсолютно непрерывна.
В точке х0 функция f (х) непрерывна.
Доказательство. Пусть функция /(ж) абсолютно непрерывна в интервале (ж0— 8, ^ + 8) (§^> 0), Далее, пусть {/„(а:))—последовательность гладких функций, определенных на интервале (0,2л) и сходящихся в метрике S’1 (0,2л) к функции / (я). В силу гладкости функций /я(а:) имеем
/я (z) = 2 (аья) cos to + 6<”) sin to) (n = 1, 2, ...), (4.1) k=0
где a^ и b^ — коэффициенты Фурье функции /я (ж), причем ряды (4.1) сходятся равномерно.
Пусть t — произвольное действительное число | £ | </ 8/2. Из (4.1) следует
у </» (® + 0 + /я(^ — 0) = 2 № cos +
+ b^ sin кх} cos kt (n=l, 2, ...). (4.2)
Помножим обе части равенств (4. 2) на gs (t) и проинтегрируем по t от 0 до е. Тогда в силу (3. 18) получим , 6со
у ( {/» (® + 0 + /я(^ — 0} g. W dt= % Н”> cos кх 4-
о
■+ 6[и) sin to) <J>S (A) (n=l, 2,...). (4.3)
Введем обозначения
8Я (х, р) = 2 ка^ cos ^ + ^я) sin ^ (я = 1, 2, . . .).
Тогда равенство (4. 3) примет вид
J Ф5 (i1) dwSn (х, р) = -со
8
= j Уп (^ + ^) + tn ^х — ^) Ss W ^^ (n = 1, 2, . ..), (4. 4) о
Сходимость последовательности {/„ (ж)} к функции / (ж) позволяет перейти к пределу под знаком интеграла в правой части равенства (4.4), а оценка (1. 7) позволяет перейти к пределу в левой части этого равенства.
В результате мы получим
СО
J(.Г, р) =
-со
= \U(x4-tHHx-t))g.(t)dt, (4.5) о
где
'.S (ж, р) = 2 (ctk cos кх + bk sin кх^
ь<р-
а ак и Ьк — коэффициенты Фурье функции / (ж).
Дифференцируя равенство (4. 5) по х для х ^ ^ж0 — у , ж0 + у I, находим
СО
С \ j 8S (х, р) -со 6
= J Ux^-v^-vf,^—t^g. w^- (4-6) О
Положим
а (х, р) = J {/; (ж + () + fx (х — t)} cos ^ dt. (4. 7) о
В силу равенства Парсеваля для обычных интегралов Фурье из (1.6) и (4.7) следует
$ Ux (® + 0 + fx ^ — t)} g5 w at = 0 co
j aCr, p)<Mp)dp. (4.8) 0
В силу четности функций уЕ (р) и а (я, р) относительно р из (4. 6) и (4. 8) следует
^ j а (ж, v) dv} = 0.(4. 9)
Далее, из определений функций S (s, р) и а (ж, р) следует, что при р-> оо справедливы оценки
^+1 С (т )Р+1 о
V -£=°Н V «(^0^=°(1)- (4.10)
IL IJIL J
Из равенства (4.9), оценок (4.10) и из тауберовой теоремы 4. 1 гл. XIV следует, что средние по Риссу первого порядка функции
стремятся к нулю равномерно в интервале (ж0—^-,
^o + yj- т- е-
lim ( fl ——- ( а(ж, Д dv| = O. (4.11)
Из равенства (4.11) следует, что для доказательства теоремы достаточно доказать справедливость следующего равенства:
Jim /.' iim f (1 — ^а(а:0, v)dv = /'(a:0).(4.12)
11->СОи.^00 J X ^ /
В силу определения функции а (ж, v) мы имеем
7 S 0 — 5) $ и; (^+^)+/^ (^о—01 «os ^pv-
Меняя порядок интегрирования, получим
Г ="А Vl'x (^0 A-tWfx (^0 — Olx о
Г1
X — ^ cos ^t dv? dt. (4. 13) io'
Поэтому из (2. 14) и (4. 13) следует
^V^V^ ^ Wf, (*„ - 01at. (4.14)
Преобразуем интеграл в правой части (4. 14) следующим образом:
1=У^А^(^о+о+/;(^о2/mjat + о
(4.15) о ’
Заменой переменных в интегралах правой части равенства (4. 15) приведем его к виду
1 = /4) [/;(=„+^+ о
+ Г,— A—2f (^o)l+
\ Г /J Z
+ 2/1/'(^о)( ^dz. (4.16)о z
Оценим при больших ^ первый интеграл в правой части (4. 16).
Обозначим через ц произвольное положительное число и положим
В силу непрерывности функции f (ж) в точке хй, каково бы ни было число 8 ^> 0 и фиксированное ц, можно подобрать число р0 настолько большим, что для всех ft ^> р0 будет выполняться неравенство
|Л1<{. (4.18)
С другой стороны, выбрав ц достаточно большим, мы получим неравенство
1^1 <|.(4-19)
Из оценок (4. 18) и (4. 19) и из произвольности числа о в силу равенства (4.17) получим
lim J+— 2/'(жо) X
|1->СО J X‘ /X^ /
О;
■/з/ (2)
х</2 = 0. (4.20)
И, наконец, переходя в равенстве (4.16) к пределу, в силу равенства (4. 20) получим
(4.21)(4.21)lim I = 2 у 1 /' (х^ J ^k dz.
(4.21)
(4.21)
^соГ ко Z
Далее, согласно известной формуле (см. Ватсон [1|, стр. 428) со _. .
Т ^*=±1/^,J Z '22^2
О
что вместе с равенством (4.21) доказывает равенство (4. 12), а тем самым и теорему. В силу эквивалентности методов суммирования первого порядка по Чезаро и по Риссу из доказанной теоремы следует теорема Фей- ера — Лебега. Нетрудно видеть из доказательства, что предыдущая теорема при тех же предположениях верна и для обычных интегралов Фурье, т. е. справедлива
Теорема 4. 2. Пусть выполнены следующие условия1, 1? /М6^2(0, оо).
2? В некоторой окрестности точки х0 функция / (ж) абсолютно непрерывна.
3? В точке хй функция f (х^ непрерывна.
Тогда первая производная разложения функции / (ж) в обычный интеграл Фурье в точке хй суммируема по методу Рисса первого порядка к значению /' (ж0].
Из теорем 3. 1 и 4. 2 следует
Теорема 4.3. Пусть функция q^ в каждом конечном интервале абсолютно непрерывна и выполнены следующие условия:
1? /МС^2(0, оо).
2? В некоторой окрестности точки хй функция / (ж) абсолютно непрерывна.
3? В точке хй функция f (ж) непрерывна.
Тогда ij-
О
т. е. первая производная разложения функции f(x) по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля в точке х0 суммируема по методу Рисса первого порядка к значению f (ж0).
Справедлива аналогичная теорема и для старших производных.
§ 5. Сходимость дифференцированного разложения по собственным функциям
Теорема 5.1. Пусть функция q^ суммируема в каждом конечном интервале, и пусть функция / (ж) при ж^О удовлетворяет условиям;
1? t^ и seu^ = f'(^-q^H^c:^(0, со).
2? / (0) cos а + f (0) sin а = 0.
3? lim W [у (ж, X), /(ж)] = 0 для всех X из спектра.
Тогда разложение функции f(x) по собственным функциям сходится абсолютно.
Доказательство. Из условий теоремы и тождества Грина следует
/ (X) = I • i . щ ^ / (ж) у (ж, X) dx = 6->со о
= — 4-1 • i • ш ( /(ж) S’ {у (х, X)} dx = — у § (X), (5.1)
л 6-»со J
0 где
<S (X) = 1. i . m ( S’ {/ (^ у (х, X) dx.5->со J
0
Из леммы 2. 1 гл. VII и неравенства Коши — Буняковского следует, что
о
j ИМП?(^ Х)|^р(Х)<ю.(5.2)
— СО
Рассмотрим интеграл
СО
J(X) 11 у (ж, х)|ф(Х). 0'
Заменим в этом интеграле X на [i2 и положим
F (X) = FT ([i), у (х, X) = у^ж, [I), ^(Х) = ^(р.), р(Х) = р/р).
Тогда интеграл примет вид
СО
J I| I ?i (ж, Р) | Ф1 (р) =
О
1
= $ I Л М 11 ?i (я, Р) I Ф1 (р) +
О
со а+1
+ 2 ( I^i(p)||%(*> Iх) I ^ (р).(5.3)
а=1 J
а
Далее, из (5.1), леммы 2. 3 гл. VII и неравенства Коши — Буняковского следует
«4-1
J I ^i (р) I I ?i (^ Р) I c?Pi (р)
-^ ( Sf (р) ^ (р) I (92 (ж, х, а + 1)— ОД^, х, «))<-^,
причем постоянная С не зависит от а. Поэтому из разложения (5.3) следует
JIЛ (р) 11 ?з (я, р) | dpj (р) <
< IЛ (rt 11 ?i (^ р) I ^р1 (р) + с 2 4- <оо,
что вместе с оценкой (5.2) доказывает теорему.
Цель настоящего параграфа состоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 5.2. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы и, кроме того, в точке х0 ^ 0 функция g (х) = f (ж) — q (ж) f (ж) разлагается по
собственным функциям у (ж, X) ). Тогда
х
Г (^о) =lim $ (х) ?L (^о-х) ^р (х)-(5-4)
Х->со J
—со
Доказательство. По условию, х
g(x0) = lim i ^(Х)?(^о- X)dp(X) =
Х->со J
—со
= —lim ( Х^(Х)?(^0, X)dp(X) =
Х-^со —со
X
= Пт \f^vW-
X
— g(x0)lim ( Е(^^<хй1 X)dp(X). (5.5)
Х->со J
—со
Так как
g М = Г (^о) — q ^ / W
И
X
lim ^(ХЖ х) <^Р (х) = / М-
то равенство (5.4) следует из равенства (5.5).
§ 6. Обоснование метода Фурье для одномерного волнового уравнения
В настоящем параграфе мы покажем, что результаты § 4 предыдущей главы, в которой исследовалось решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения на конечном интервале, и теорема 5.2 позволяют про
вести обоснование метода Фурье для одномерного волнового уравнения при более слабых ограничениях на начальную функцию, чем это делается обычно.
д^и д^идР dx1д^и д^идР dx1q М и,q М и,Рассмотрим следующую смешанную задачу на отрезке:
д^и д^и
дР dx1
д^и д^и
дР dx1
q М и,
q М и,
и|/=|, = /(-Т)>
(6- 2)
=0> dt й-о
(6.3)
"^ — huA =0, _ дхJ^=o
(6.4)
+ НиА = о.
(6-5)
(6-1)
Но доказанному (см. § 4 главы VII), если функция /(ж) имеет непрерывную вторую производную и удовлетворяет условиям
f(+0)-/z/(+P) = 0,(6.6)
f (тс — 0) + Hj (тс — 0) = О,(6. 7)
то смешанная задача (6.1) -4- (6. 2) + (6. 3) + (6. 4) -|- (6. 5) имеет решение для всех £)>0. Обозначим это решение через и0 (ж, ty При фиксированном t эта функция удовлетворяет граничным условиям и имеет непрерывную вторую производную. Поэтому в силу классической теоремы функцию u0(z, i) при любом фиксированном t можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля
(6. 8)(6- 9)(6.10)(6. 8)(6- 9)(6.10)у" -V Р- — q(x^y = o,y'(O) — hy(O) = O, |у'^ННу^=О, /
(6. 8)
(6- 9)
(6.10)
(6. 8)
(6- 9)
(6.10)
u0 (ж, <) = 2 c„ (г) ф„ (ж),W=1
29 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
гдегде(6.11)(6.11)с„ (0 = J “о (ж- 0 ?„ ^ d^о
где
где
(6.11)
(6.11)
а »м (ж) — собственные функции задачи (6. 8) + (6. 9). Для определения коэффициентов сп (t) определим сначала сп (0) и с'(0). (1 этой целью используем начальные условия (6. 2)—(6. 3). Полагая в (6. И) t = 0 в силу условия (6.2), получим
(0) = J / (ж) (ж) с/ж = а„. (6.12) о
Дифференцируя (6.11) по I, а затем полагая ( = 0в силу условия (6. 3), получаем
(6.13)(6.13)<(0) = 0.
(6.13)
(6.13)
сс<1^м0 (ж, <)dt-<1^м0 (ж, <)dt-?„ (ж) а$ =?„ (ж) а$ =Далее, дифференцируя (6. И) два раза по t в силу уравнения (6.1), получаем
с
с
<1^м0 (ж, <)dt-
<1^м0 (ж, <)dt-
?„ (ж) а$ =
?„ (ж) а$ =
оо— д(х)и0(х, #)|<р„(ж)с/ж.
о
о
Интегрируя последний интеграл два раза по частям и используя граничные условия (6. 4)—(6. 5) и (6. 9), получаем
< (0 = J ыо (ж- 0 «М — q М ?я (я)} ^ о
откуда в силу уравнения (6. 8) следует
< (о=—\, j “о (^- о ?„ wаж=—\с« ю- (6.14)
о
§ 6]
Итак, в силу (6.12), (6. 13) и (6. 14) для определения спф) получена следующая задача Коши:
<to + >.Ato = 0, Си(°)=ап. <(0) = 0.
Решение этой задачи имеет вид
с„ № = а» cos Фч t-(6-15)
Подставляя значение сн(£) из (6.15) в (6.10), получаем, что
и0 (ж, о = 2 «„ cos Ф\ ф„ ФУ (6. ю') «=0
Если функция /" (ж) в точке х0 удовлетворяет условию локального разложения в ряд Фурье, то из формулы (6. 10') в силу теоремы 5.2 ) следует, что ряд (6.10') можно два раза по ж дифференцировать, т. е.
СО
5 L=2 cos L - (6-16) и=0
причем ряд (6. 16) сходится равномерно.
Докажем, что ряд, полученный из (6. 10') дифференцированием один раз по переменной t, абсолютно сходится. В самом деле, положим
а« = $ Vf" Ф) — q Ф) / Ф)) ?„ Ф)dx-
о
Интегрируя последний интеграл два раза по частям, в силу условий (6. 6)—(6. 7) и (6. 9) получаем
% = J f to К М — q М ?„ to} а$ = О
= — х„ J / to ?„ (ж) dx = —^а,,, О
откуда
Дифференцируя ряд (6. 10') по t, получаем
= — 2 A, sin VM^M- (6-18)
Далее, в силу (6. 17) и неравенства Коши — Буняковского получим
(6. 19)(6. 19)
(6. 19)
(6. 19)
что следует из того, что j” (ж) — q^f (ж) £ Д'2 (0, л) и
Х.=»8+°(Д-.
Из оценки (6. 19) следует, что ряд (6. 18) абсолютно сходится.
Выясним сходимость второй производной по t. В силу уравнения (6. 8) мы имеем
СО
= — 2 ХA cos ^х” ^” ^ =
= j| йл°5 VMAA)—qtoy?„to^ = .
= 2 ^У» to cos V\. < — 4 ^ 2(^ cos vt.
Отсюда в силу сходимости рядов (6.10) и (6. 16) следует сходимость ряда со
^=—2^cos ^f ^=жо)-
П=1
Рассмотрим теперь случай
и (х, 0) = 0, u.'t (х, 0) = / (ж).(6. 20)
Обозначим через и.(х, 7) решение задачи (6.1)44- (6. 20) 4- (6. 4) 4- (6. 5). Тогда
Ну (х, t)= и0 (х, т) с/т.
о
Теперь если положим
со
«1 (ж, t)= 2 с„ (/) ?я (ж), с„ (г) = (^ (х, t) <р„ (ж) ах, «=оJ
то для сп^ получим следующую задачу Коши:
<W + VnW = o. с„(0) = 0,
< (°) = ап = J / И ?„ (*)
о
Значит,
с« № = 7= sin 'К t-
В остальном исследование этого случая проводится аналогично.
Указания к литературе
§§1, 2, 3, 4. Результаты этих параграфов принадлежат И. С. Саргсяну [1], [2], [3], [4].
Теорема 5. 2 принадлежит авторам и опубликована в их совместной работе [1]—[2]. Другое доказательство дано в совместной работе авторов [3].
Обоснование метода Фурье дано в работе Б. М. Левитана [17]. См. также совместную работу авторов [3].
ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ
СИСТЕМЫ ДИРАКА
§ 1. Вывод формулы для решения задачи Коши
Пусть р (ж) и г (х) — действительные функции, определенные на всей прямой и суммируемые в каждом ко/ (ж) печном интервале), а вектор-функция /(ж)=1
W2 W вещественна и непрерывно дифференцируема. Пусть /и1 (х, <)\ м (ж, £)= II. Рассмотрим задачу Коши
\ 2 \) I
(1.2) при р (ж) =(1-3)(1.2) при р (ж) =(1-3)i 0\ д / 0 1\ д (р^ 0 \ О i / dt ' \—1 О/ дх ' у 0 г (ж)/
(1.2) при р (ж) =
(1-3)
(1.2) при р (ж) =
(1-3)
и (х, 0) = / (ж).
Рассмотрим сначала задачу (1.1) 4-(1-2) = q(x) = 0, т. е. задачу
,тди° . т)ди° п )
11 В =0,
<Ц 1 дх (
П° (ж, 0) = / (ж), j
/1 0\ /О 1\
где обозначеногде обозначено/=\0 1)’5=\—1 О/
где обозначено
где обозначено
Задача (1.3) эквивалентна двум независимым задачам относительно компонент nJ (х, t) и м!) (х, t) вектор-функ- ции м°(ж, ty
м» (ж, о)=tx (ж), -^- |/=о=it; <$у j
дм №£ р1
№}(1.5)
ut;<x, ^=!2{ху-^|<=о=— it;(ху ।
Решая задачи (1.4) и (1.5) по методу Даламбера, мы получаем
«? (^ о=4{/i(^+о + i/2(*+о) +
+ 4 < А (ж — 0 — if2 (ж — 00
4 (ж, ^=^ (—1/1 (ж + 0 + /»(ж + 0) 4
+ 4{гЛ (^—0 + /2 (^ — по
следовательно, решение задачи (1.3) дается формулой
u0 ^ ^ = 1. {Hf (х + 0 4- HTf (х - 0),(1. 6)
(1-6')
Нт — транспонированная матрица.
Рассмотрим теперь неоднородную задачу с однородными начальными данными
• г № 1 п дй ,,,
(1.7)(1.7)г1-гт-Д-В — = g(x, t),dt 1 dx о \
(1.7)
(1.7)
й (ж, 0) = 0.
ция. Нетрудно убедиться, что эта задача также распадается на две независимые задачи относительно компонент й1 (х, t) и й2 (ж, Z) вектор-функции й (х, Z), а именно:
dt^ dx2dt^ dx2
dt^ dx2
dt^ dx2
Как известно *), решение задачи
и (ж, 0) = о, I = ч (х)''dt р-о 4 ' '
определяется по формуле
X-\-ttx-^t—т)
IfIff
и (ж, t) = у 1 q (т) dt 4- у i cZt i h (s, t) ds.
x—t0x—^t—t)
Поэтому, применяя последнюю формулу к задачам (1.8) и (1.9), мы получаем, что решения этих задач определяются соответственно по формулам
t
«1 (ж, о =у j {—^ (ж-н —т, т) + ^ (ж 4-г — т, т) — о
— igx (х — t 4- г, 4 — g^ (х — t 4- т, т)} dt,
t
«2^, 0 = 2" $ <—^1 (ж + ^ — т» ^-ig^x-Vt — T, т)4- о
4-^(ж—#4-т, т) — ig^ (ж — t 4- Т, т)}с/т.
Значит, решение задачи (1.7) задается по формуле t
а(х, о = —у j {Hg(x^-t — т, т)4- о
-\-HTg(x — <4~T, ^d^.(1.10)
ее в видеее в виде(1.2)(1.2)Вернемся к задаче (1. 1)4- (1.2). Перепишем
ее в виде
ее в виде
(1.2)
(1.2)
B^ = -Q^u<x,dt 1 ox x \ j \ n
гдегдеи (x, 0) = / (ж),
где
где
/р(ж)0 \
\ 0 г (ж) /
*) См. Р. Курант и Д. Гильберт [1], стр. 158.
Предположим, что р (ж) иг (ж) имеют непрерывные производные ).
Полагая теперь g (ж, £) = —Q (ж) и (ж, £) и считая g (ж, £) известной, а затем учитывая, что решение задачи (1. 1')44-(1.2) есть сумма решений задач (1. 3) и (1. 7) в силу формул (1.6) и (1.10), мы получим
и (ж, #) = у{Я/(ж + #)4-Яг/(ж —#)} +
у j {HQ(x + t — т) и (ж 4- t — т, т) 4-
'о
4- HTQ (х — t 4- т) и (х — t 4- т, т)} ^т или, заменяя переменную интегрирования, и<х, г) = 4{Я/(^4-04-ЯЛ(^-0} +
у J HQ (s) u (s, х 4" t — s) ds 4-
4-y j HTQ^u(s, s — x + t)ds. (1.11)
Таким образом, для задачи (1.1) 4-(1-2) мы построили эквивалентную ей систему интегральных уравнений (1. И). Эти уравнения являются уравнениями типа уравнения Вольтерра и поэтому могут быть решены методом последовательных приближений.
Пусть и0(ж, £) определяется по формуле
и0(х,=(1.6)
При р^1, р = 1, 2, 3, . . ., положим
х-\4
пр (ж> ^ = 2" i j HQ (s) Up^ (s, x 4-1 — s) ds 4-
4~yi J HTQ (s) u-p^ (s, s — x-\-f)ds.(1.12)
Тогда из равномерной сходимости последовательных приближений, доказательство которой мы опускаем, следует, что решение уравнения (1. 11) определяется равенством
и, (х, 1) = и0 (ж, 1) 4- ^ (.г, 1) 4- • • ■
...+^(^ 0 + --- (1.13)
Покажем, что каждую из вектор-функций и,р (х, t\ р = 1, 2, 3, . . ., можно представить в виде
иР (ж> 0 = КР (ж, 0 / (ж + 0 + LP ^, 0 / (ж " 0 +
+ | J НДх, t, sH^ds, (1.14)
где Кр (х, t\ Lp (х, 1) и Н(ж, t, s) — матрицы второго порядка.
Действительно, при р=1 в силу (1.6), из (1.12) следует
и^х, t) = ^i ( Я<? (s) (Я/(ж 4-1) 4-Яг/(2s — X— t^ds-^
+ ^i j HTQ (s) {Ht(2s — x-\-t^-VHTf^ — <)} ds.
или, заменяя переменную,
(
ж-¥^\
i j Я<2 (s) Hds I / (ж 4- ^) 4™
4-f-^-i J HTQ (s) HTds j / (x —1)4*
x -|-1 + s2x -|-1 + s2x-\-t
x -|-1 + s2
x -|-1 + s2
нЧнЧ+t $ дм
нЧ
нЧ
x—t
^.^Q^—^H^f^ds,(1.15)
откуда и следует формула (1. 14), если положить
(1.16)(1.16)Кх (ж, <) = -^ i j HQ (s) H ds,
(1.16)
(1.16)
L1 (ж, t) = i \ HTQ (s) HTds,
Hx (x, t, s)^i [HQ ^±L±-^ ht 4- HTQ ^~\ + "') #}.
Допустим теперь, что для р = 1, 2, . . ., q—1 формула (1.14) уже доказана. Докажем ее для p — q. Полагая в (1.14) p = q— 1 и подставляя выражение для «Дж, f) в (1.12), мы получим
иДх, t) = ^t J HQ^s^K^s, $At- 5)/(ж + #) +
4- L^ (s, x 4- t — s) / (2s — x — i)} ds 4-
+ |‘ [ HTQ^ {^8-i(s> s — x-V^t^s — xA-t^A-
+ Vi(5> s — xA-f)tQc — tAdsA-
4-yi J 27<2(s)|^- J Hq l (s, xA-t — s, т) / (t) d^ I ds Д-x* 2s—x—t)
x/ 2s—хЛ-t''
ds.ds.1 ГT 11 Г
ds.
ds.
+т M *2 (s) |t j ^?-i (s>s — ^ + #> t) f (t)
(1-17)
ПоложимПоложими4(ж, О— Л + ^г + Л + Л-и4(ж, О— Л + ^г + Л + Л-(1. 17')(1. 17')
Положим
Положим
и4(ж, О— Л + ^г + Л + Л-
и4(ж, О— Л + ^г + Л + Л-
(1. 17')
(1. 17')
Преобразуем каждый из интегралов 1к, А=1, 2, 3, 4. Делая замену переменной во второй части интеграла Iv получаем
/\
Л = [4 [ HQ (з) К,_, (з, з + < — s) </s I/(з + Z) +
+ ^ j ^(£±£±±,^(£±1+1, £+£=£)/(,)*.
Аналогичным образом получаем
/2 = ^у i J HTQ (s) А?_1 (s, s — ж + t) ds j / (ж — t) 4-
I 1 . Г— t + А „ (x — t-A-t t — ж + А,.. J
+ v \HQ\2)K»A2—’ 2)H^^-
x-\-t/з + Л = у; $ у X—tx-\-t/з + Л = у; $ у X—tИ, наконец, изменяя порядок интегрирования в интервалах 73 и 1М мы получаем
x-\-t
/з + Л = у; $ у X—t
x-\-t
/з + Л = у; $ у X—t
J HQ (s) Hq-1 (s, x 4- t — s, t) ds -)-■
WdT.WdT.4- j HTQ(s)Hq_^s, s-x-]-t, ^ds
WdT.
WdT.
X—t'
Если теперь положим
Kq(x, f) = yi J HQ^K^fs, x + t — s)ds,(1.18)
ЬДх, ^ = 1-1 j HTQ (s) Lq^ (s, s — x + t^ds,(1.19)
x— t
—2—14-4—s—• —2—; + + !#+?++ЛГ,.,++4 ^+^)+
+ yi j HQ^H^^, x + t— t, s)cZs +
T(«+^-4)
+ yi J HTQ (t) Hq_y (t, t — x-^t, s') di, то равенство (1. 17) можно переписать в виде
«?(^ t) = Kq(x, t)f(.x + t)-VLq(,x, 1)Цх — i) +
+ 4 $ НЛЖ' ^ sH^d^
т. е. формула (1.14) при p = q. Формула (1.14) доказана при любом р ^ 1.
Теперь, подставляя выражения и.р^х, t), р = 0, 1, 2, . . ., в равенство (1.13), мы получаем, что решение задачи (1.1)+ (1.2) задается формулой
и (х, t) = K (х, t) / (х + t) + L (ж, i) / (ж — i) +
+ у j Н (х, t, s)f(s)ds, (1.20)
X—t
(1.21) t), т. е.(1.22)(1.21) t), т. е.(1.22)(1.23)Следовательно, в силу (1.16) для матрицы Ь-Лх, () получим выражениеL1 (ж, i) = lT {х, i) Нт,(1.24)гдеЩх, 0 = "^ $ lP^^-r^\ds.Покажем, что каждую из матриц К (ж, i) и Lp (ж, i)(1.23)Следовательно, в силу (1.16) для матрицы Ь-Лх, () получим выражениеL1 (ж, i) = lT {х, i) Нт,(1.24)гдеЩх, 0 = "^ $ lP^^-r^\ds.Покажем, что каждую из матриц К (ж, i) и Lp (ж, i)
(1.21) t), т. е.
(1.22)
(1.21) t), т. е.
(1.22)
(1.23)
Следовательно, в силу (1.16) для матрицы Ь-Лх, () получим выражение
L1 (ж, i) = lT {х, i) Нт,(1.24)
где
Щх, 0 = "^ $ lP^^-r^\ds.
Покажем, что каждую из матриц К (ж, i) и Lp (ж, i)
(1.23)
Следовательно, в силу (1.16) для матрицы Ь-Лх, () получим выражение
L1 (ж, i) = lT {х, i) Нт,(1.24)
где
Щх, 0 = "^ $ lP^^-r^\ds.
Покажем, что каждую из матриц К (ж, i) и Lp (ж, i)
где обозначено
К^х, ^=^К (х, t), L(x, t)=^L(x, t), ^=0jwcO
H (x, t, s) = 2 H (x, t, s).
Равномерная сходимость последних рядов доказывается аналогично равномерной сходимости последовательных приближений и мы это доказательство опускаем.
Отметим некоторые свойства матриц Кр (ж, i) и Lp (х, i), которые в дальнейшем позволят явно вычислить их.
Из определения матриц Q (з) и Н следует, что
( P(sWr(sY ?[p(s) + r(s)]\
У н _(s) + r (s)L р (s) + r (s) ) -
= IP (s) + г (з)] {_. 1 j = [р (s) + г (s)J Н.
Поэтому в силу определения матрицы Кт (х, в силу (1. 16), имеем
Кх (х, f) = кг (ж, ^) Н, где
кЛж’ ^ = ^ J [p(s) + r(s)ltis.
Далее, г т _ ( p(s) + r (s)> Ip (s) +г (ДЛ _
= [р + Г (8)] (\=[р^ + г (8)1 НТ.
можно представить в виде
К> 1^ = кДх, t)H,
Щх, ^ = 1Дх, t} Н1 (р=1, 2,(1.25)
Действительно при р = 1 формулы (1. 25) доказаны в силу (1. 22) и (1.24). Предположим, что для р = 1, 2, . . ., q— 1 формулы (1.25) уже доказаны. Докажем их для p = q. Полагая в (1.25) р = q — 1 и подставляя выражение для Kq_A (ж, i) в (1.18), получаем
Кд(х, t) = yi j HQ (s) kq_As, x-\-1— s^Hds =
= "2"i 1 k^^s^x-^t — s) HQ (s) H ds.
Подставляя сюда выражение HQ^H из (1.21), мы находим
x-\-t
КДх, ^ = -^ j ^(s, ж + < — s) [p (s) + r (s)] ds • Я,
что и доказывает формулу (1.25) для матрицы Kq (ж, t), если обозначить
&,(ж, £) = у $ ^-! (s, ж + # — s) [р (s) + г (s)] ds.
Формула (1. 25) для Lq (ж, i) доказывается аналогичным образом с помощью равенств (1.19) и (1.23).
Теперь, подставляя выражение для К (х, £) и L (х, f) из (1.25) в (1.20) и полагая
k(х, t) = ^к (х, i),/(ж, i) = ^IQc, t),
р=0р=0 р
формулу (1.20) можно переписать в виде и (ж, () = к (ж, i) Hf (х 4- t) + I (ж, i) HTf (ж — i) Д
+ y j Я (ж, t, s)/(s)ds.(1.26)
x—-t
Формула (1.26) дает решение задачи (1.1Д(1.2) и в дальнейшем будет играть важную роль.
Сведение к задаче Гурса
Рассмотрим опять задачу (1.1)+ (1.2). Выясним, каким условиям должны удовлетворять функции к^х, t\ Цх, () и матрица Я (ж, t, s), чтобы вектор-функция и^х, t), определенная формулой (1.26), давала решение задачи (1.1)+(1.2). В настоящем параграфе будет доказано, что для матрицы Я (ж, t, s) получается задача Гурса, а функции к (ж, i) и Цх, i) удается явно вычислить (см. ниже (2.8), (2.10)).
Пусть решение задачи (1.1)+ (1.2) задается формулой (1.26). В силу (1.6) кй(х, t) = ^ = la(x, i), а из равенств (1.22), (1.24) и (1.25) и из выражений для функций к (ж, i) и I (х, £) следует, что к Ц, 0) = = 1р(х, 0) = 0 (р = 1, 2, . ..). Поэтому
А(ж, 0) = /(ж, 0) = 1. (2.1)
Из формулы (1.26) и из (2.1) следует, что начальное условие (1. 2) выполняется автоматически.
Обозначим через и (х, t; f) решение задачи (1.1) + + (1.2), и пусть нам уже известно, что вектор-функция и(х, t; f) представляется по формуле (1.26). Обозначим через Т, следующий оператор:
а через Вж оператор
/ 0 1 \ д/ р (ж) 0 \
Вж =.
ж \—1 0/ дх ' х \ п \ Q г Покажем, что
Вжи,(х, t; f)=u(x, t; В J).
В самом деле, нетрудно убедиться, что левая и правая части этого равенства удовлетворяют одной и той же задаче Коши
В^Ц' ^ = Т4и(х, i),
Поэтому требуемое равенство следует из единственности решения задачи Коши.
Следовательно уравнение (1.1) можно записать в виде
Т{и(х, t, ^ = и(х, t; BJ).(2.2)
В силу определения оператора Tt и формулы (1.26), имеем
Ttu^ 1; f^-U^W, f, /)] =
= —ik't (x, i) Hf (x 4-t) — tk (x, i) Hf (x + t) —
— il't (x, i) H1 fix — i) + il (x, t) Hrf'\{x — i) —
—H (x, t, x + t) / (x + 0—
—у H (x, t, x—ffix— i) —
— у J Н’Дх, t, s^ds. (2.3)
X—t
G другой стороны, в силу определения оператора Вж и формулы (1.26) имеем
и (х, t; Bxf) = к (х, i) HBf (ж + 0 +
+ к(х, <)Я<2(ж + <)/(ж + 0 + Цж, 1)НТВ^ (x-tH
+ I (х, i) НTQ (х — i) / (ж — i) +
+ у j Н {х, t, s) Bf (s)ds +
+ y J H (x, t, s) Q (s) f (s) ds.
x—t
Интегрируя первый интеграл правой части последнего равенства по частям и учитывая, что НВ = —Ш, НТВ = Ш!, последнее равенство можно переписать в
30 В- М- Левитан, И. С. Саргсян
виде
и(х, t; BXQ =—ik^x, t) Hf (ж 4- О +
+ к (x, i) HQ (x + i) / (x + t) +
+ I (x, Q HTQ (x — i) / (x — i) + ll (x, t) HTf (x — i) +
+ у ^H Qc, t, x + t) Bf (x + t) —— H (x, t, x — i) Bf (x — £)} —
-y j QH'^x, t, s^B—H^x, t, s)Q (s)} f(s)ds. (2.4)
Так как вектор-функция / (ж) произвольна, то в силу уравнения (2. 2) в выражениях (2. 3) и (2. 4) коэффициенты при / (ж + Q, f(x — t) и подынтегральные выражения должны совпадать (коэффициенты при производных /' (х + Q и f' (х — t) взаимно уничтожаются). Итак, приравнивая коэффициенты при / (ж 4~ О и / (ж — Q соответственно, получим
—ik't (х, Q Н — у Я (х, t, х + 1) =
= к(х, I) HQ (х + I) + уН (х, t, х-^^В,(2.5)
—И'Дх, QHr-l-H(x, t, x — Q=-
= Цх, t^)HTQlx — Q—^-H^x, t, x — QB. (2.6) Перепишем уравнение (2. 5) в виде к'( Qt, Q Н — ik (х, t) HQ (x + t) =
= ^H(x, t, x + QViB — IY (2.5')
Слева и справа в равенстве (2. 5') стоят матрицы второго порядка, а равенство матриц означает равенство соответствующих элементов.ПустьСлева и справа в равенстве (2. 5') стоят матрицы второго порядка, а равенство матриц означает равенство соответствующих элементов.ПустьН 1х,Н 1х,t,t,x + Q =x + Q =Hulx, t, x + Q H12(_x, t, x + i)\H21(x, t, x-\-Q Hi2{x, t, x-\-Q)Hulx, t, x + Q H12(_x, t, x + i)\H21(x, t, x-\-Q Hi2{x, t, x-\-Q)
Слева и справа в равенстве (2. 5') стоят матрицы второго порядка, а равенство матриц означает равенство соответствующих элементов.
Пусть
Слева и справа в равенстве (2. 5') стоят матрицы второго порядка, а равенство матриц означает равенство соответствующих элементов.
Пусть
Н 1х,
Н 1х,
t,
t,
x + Q =
x + Q =
Hulx, t, x + Q H12(_x, t, x + i)\
H21(x, t, x-\-Q Hi2{x, t, x-\-Q)
Hulx, t, x + Q H12(_x, t, x + i)\
H21(x, t, x-\-Q Hi2{x, t, x-\-Q)
Подставляя значения матриц H, Q (х + Q, В и
Н (х, t, х + Z) в равенство (2.5'), получаем
I кг ^х, Z)— ik (z, <)p(z + <), ik^x, Z) + к (x, t) r (x-^-1) \
\— ikj (z, Z) — к (z, <) p (z + Z), kt (z, Z) — ik (z, Z) r (z + Z)/ .—iH-^ (z, Z, x -J- t) — Ни (z, t, x + Z),.
/iHu(.x, t, х + ^ — Нц^, t, х-цД
I —HI22 (^I t, X 4~ t) — H2^ (,x, t, X J- Z),I
'iZZ21 (z, Z, x -L t)—H2a Vх, t- x + t)
Так как в матрице справа первый элемент первой строки, умноженный на I, равен второму элементу первой строки с обратным знаком, то этим свойством обладает и матрица слева. Поэтому
i {к^ (х, Z) — ik (х, t) р(х-\-1)} —
= —{z^ (ж, t) + к (х, Z)r (ж 4 ty, т. е.
д; (ж, 0 = 7 {р(ж + ^ + г(ж + 0}А(ж, ty (2.7)
Решая это уравнение с учетом начального условия (2.1), мы получаем
к (х, 0 = у ехр у ^ [р (ж + т) + г Ус + т)] сМ. (2. 8) I
Теперь преобразуем уравнение (2. 6). Запишем его сначала в виде
l't ус, t)HT-ilt(x, t^tfQyc — t^
= -^-Нус, t, x — t)[iB + I] (2.6') или подробнее
/Z) ^х, Z) — ip^x — Z) Z ^х, t),— ilj (z, Z) — r (z — Z) / (z, Z)
\ilt (r, t) -j- p (z — Z) Z (z, Z), Z) (z, Z) — ir [x — t) I (z, Z)
— iHti {x, t, x — Z) 4" Hn (z, Z, x -— z),\
iHu (x, t, x — t) 4- H12 (z’ t, x — ty |
—Ш22 Vх, t, x — z) 4- ^21 (x, ^ x — ^)’I
iH2\ (z, Z, x — Z) 4- H22 (z, Z, x — Z) /
Так как элементы первого столбца, умноженные на I, матрицы справа равны соответствующим элементам второго столбца, то этим свойством обладает и матрица слева. Поэтому
ЦГДх, Z)— ip (х— уЦх, Z)} = = —U't (х, Z) — г (х — Z) Z (ж, Z),
т. е.
^(^ 0=у{Р(® — tW^x — t)}l(x, t\ (2.9)
Интегрируя это уравнение с учетом начального условия (2.1), для функции Цх, Z) получаем следующее явное выражение:
I (х, 0 = ^ ехР jy j [Р (^ — т) + г (^ — т) cZtL (2.10) I о'
Далее, в силу уравнения (2. 7) из (2. 5') мы получим
Н (х, t, x-\-t)[iB— /] =
= ik (х, Z) {р (х + Z) + г (х + Z)] И — 2HQ (х + t^. (2. И)
Так как
IB — I = —Нт, [р (х + Z) + г (х + Z)] Н — 2HQ (ж + Z) = = i [р (х + Z) — г (х + Z)J Е,
где
то из (2. И) следует
Н (х, t, х-\-1) Нт = к (х, Z)[p(a?4-Z) — (^ + 0J Е. (2.12)
В силу (2. 9) из (2. 6') мы получим
Н (х, t, х — i)[iB4"^] =
— —iZ (ж, Z) {[р (ж — Z) + г (х — Z)J Нт — 2HTQ (х — ty.
(2.13)
А так как в силу определения В, Нт и Q (х — i)
iB + I = H, [р (х— t)-\-г (х — t)]HT — 2HTQ (х— t) =
= i[r(x — t) — р (х — i)] Е1,
то равенство (2.13) примет вид
Н (х, t, х — 1)Н = Цх, ^) [г (ж — i)— р (х— t^E'.(2.14)
И, наконец, приравнивая подынтегральные выражения в равенствах (2.3) и (2.4), для матрицы Н (х, t, s) мы получаем уравнение
Ш'^х, t, s) — H',{x, t, s)B + H(x, t, s)Q{s) = Q. (2.15)
Уравнение (2. 15) совместно с равенствами (2. 12) и (2. 14) для матрицы Н (х, t, s) определяют задачу Гурса.
Из равенств (2. 5") и (2. 6") получим некоторые, нужные нам в дальнейшем, соотношения. Приравнивая в каждом из этих равенств элементы первой строки и первого столбца, учитывая формулы (2. 7) и (2.9), а затем полагая <=0 в силу (2.1), соответственно получаем
Н^ (х, 0, ж) + Ш12 (х, 0, ж) = у [р (ж) — г (ж)],
Ни(х, 0, ж) — Ш12(х, 0, ж) = у[р(я:) — г (ж)], откуда
Ни(х, 0, ас) = у[р(х) — г (ж)],Н12(х, 0, ж) = 0. (2.16)
Аналогичным образом, приравнивая элементы второй строки первого столбца, мы получаем
Н21(х, 0, х)4-Ш22(х, 0, ж) = у [р (ж) — г (ж)],
#21 (ж> °< ^ — Ш22 (х, 0, ж) = — ^ [р (ж) — г (ж)], т. е.
/721(ж, 0, ж)=0, Н^х, 0, ж) = — у [р (ж) — г (г)]. (2.17)
§ 3. Оператор — матрица преобразования
Пусть Hj и Л2 — два линейных дифференциальных оператора, ^ и L2 — два линейных функциональных пространства.
Определение. Линейный непрерывный оператор X, отображающий пространство L^ в Ly называется оператором преобразования, если он удовлетворяет следующим двум условиям1.
1? А1Х = ХА2.(3
2? Существует обратный оператор X \'
Пусть
Р1^ ^ \ / 0 1\ d (Р1^ о \
0 г^Г
ах 1 х U
= В± + (Ш,(3.2)
0
^B^A-QM(3.3)
причем рхкх\ Г1 (ж), р2(ж) и г2(ж) — действительные функции, суммируемые в каждом конечном интервале (0 х ^ ^ b <С со).
Ly есть совокупность непрерывно дифференцируемых
вектор-функций f(x) = , ., определенных на интер-
V2 Vе)/
вале |0, Ь) и удовлетворяющих краевому условию
/2(0)-А1/1(0) = 0,/2(0)-А1/1(0) = 0,(3.4)(3.4)
/2(0)-А1/1(0) = 0,
/2(0)-А1/1(0) = 0,
(3.4)
(3.4)
где йг — произвольное конечное действительное число.
Ь2 есть совокупность непрерывно дифференцируемых вектор-функции g(a:)=,, определенных на том же
\§2 \ЖН
интервале [0, 6) и удовлетворяющих краевому условию g'2(0)-/z2g1(0) = 0,(3.5)
где /i2 — произвольное конечное действительное число.
Оператор-матрицу X будем искать в виде (/ (ж) С ^)
X [/ (ж)] = R (ж) / (ж) + j К (х, s) / (s) ds, (3. 6) о
где R (ж) и К (х, s) — квадратные матрицы второго порядка.
В силу (3. 2) и (3. 6) имеем
Л^ [/ (я)] = BR' (я) / ^ + BR ^ /' (я) + Qi (s) R (ж) / (ж) ++ В К (х, х) / (ж) +
+ j ^ВК; (х, s) + Qx ^ К (х, s)} / (з) ds. (3. 7) о
С другой стороны, в силу (3. 3) и (3. 6)
ХА. и (*)] = R ^ Bf (ж) 4- R ^ Q. ^ / (ж) +
+ ^(^, s^Bf^HQ^U^ds.
о
Интегрируя по частям, последнее равенство можно переписать в виде
ХА, [/ (я)] = R (х) Вf (х) + R (я) Q, (я) / (х) +
+ К(х, x)Bf(x) — K(x, 0)В/(0) +
+ ( ^К (х, з) Q, (з) - К'8 (х, з) В) / (з) ds. (3. 8) о
Так как / (ж) — произвольная вектор-функция пространства Lv то в силу равенства (3.1) коэффициенты при /(ж), /'(ж) и подынтегральные выражения в (3.7) и (3. 8) должны быть равны. Поэтому, приравнивая коэффи-
(3.9)(3.9)циенты при fix), мы получим BR (ж) = R ^ В.
(3.9)
(3.9)
Тогда если положим
\у (ж) 8 (ж)/ ’ то из (3. 9) получим, что
3 (ж) = а (ж), у (ж) = —р (ж),
аа(3.10)(3.10)т. е. матрица R (ж) имеет вид
а
а
(3.10)
(3.10)
Для этого, приравниваяДля этого, приравниваяВычислим функции а (ж) и р (ж).
Для этого, приравнивая
Для этого, приравнивая
коэффициенты при / (ж) в выражениях (3. 7) и (3. 8), для определения матрицы R (ж) мы получаем следующее уравнение:
ВИ' Д) + Qi Д) R (ж) - R (ж) Q2 (х) =
ПоложимПоложим= К(х, х)В— ВК(х, х).(З.И)
Положим
Положим
.(^п(х, s), К12 (х, s) \
8 —\К21(х, s\ К22(х, $)/'
Используя явный вид матриц ^ (ж), Q2(x), В и R(x) (см. (3.10)), уравнение (3. И) запишем в следующем виде:
/ — Р'(ж)+[рДж) — р2(х)Н^, a'M+tPi^)— ^^(^^
\ —а'Д) + [Р2Д) —^Дж^рД), — Р'(ж)+[гДж) — г2(ж)]а(ж)/
/[^12 ^l ^ 4" ^21 Д’ ^УЬ ^11 ^I "^В.22 (.X, ж)\
\ Кп(х, х)— К^кх, ж), К12 (ж, х) + К21 (ж, х)/‘'
В матрице справа в уравнении (3.12) элементы на главной диагонали равны, но имеют разные знаки, а элементы на второй диагонали равны. В силу равенства матриц этими свойствами обладает и матрица слева. Поэтому из уравнения (3.12) следует
а' (ж) + [р! (ж) — г2 (ж)] р (ж) = —а' (ж) + [р2 (ж) — тх (ж)] р (ж),
В' (ж) — [р! (ж) — р2 (ж)] а (ж) = —р' (ж) + [гДж) — г2 (ж)] 8 (ж),
т. е.
2а' (ж) + q (х) р (ж) = 0, |
2(3' (ж) — q (ж) а (ж) = 0, /‘'
где
9 М = Pi (^) — Р2 (ж) + ri И — r2 И (3- I4)
Из систем (3. 13) следует
2а (ж) а' (ж) + 23 (ж) р' (ж) = О, т. е.
{а2 (ж) + р2 (ж))' = О, откуда получаем
а2(ж) + р2(з:) = а2(0) + р2(0).(3.15)
//1 (ж)\
Пусть вектор-функция / (ж) = I непрерывно диф- \/2 Vе) /
ференцируема и удовлетворяет условию
Л(0) = 1, /2(0) = />г(3.16)
Тогда, очевидно, /(ж) удовлетворяет краевому условию (3.4) и поэтому t^C.Lv Далее, пусть
У[/(я)] = ^),(3.17)
/ gy (ж)\
где вектор-функция g (ж) = I I — элемент простран-
\§2\а')/
ства L2, и, значит, удовлетворяет краевому условию (3.5).
Тогда из равенства (3.17) при ж = 0 в силу определения оператор-матрицы X, т. е. в силу (3. 6) и (3.10), следует
g1(0) = a(0)/1(0) + p(0)/2(0),
g2(0) = -P(0)/1(0) + a(0)/2(0).
Умножая первое из этих уравнений на число /г2, а затем вычитая из второго и учитывая краевое условие (3. 5) и условия (3. 16), находим
т=^2«(°).
Положим
(3. 18)(3. 18)a (0) = 1.
(3. 18)
(3. 18)
Тогда
Поэтому
«2 (0) + (0) == х\ (3.20)
Теперь, решая систему (3. 13) и учитывая выражения (3.15), (3.18)—(3.20), для функций а (ж) и ^(ж) получаем явные, выражения
—^ \ ? W ^ + агС8™ 7 >(3-21)
оj
Р (ж) = х cos | — у q (т) d-. + arcsin у I,(3. 22)
где функция q^ определяется по формуле (3. 14), а число х — по формуле (3. 20).
Теперь, приравнивая подынтегральные выражения в (3. 7) и (3. 8) для матрицы-ядра К (ж, s), получаем следующее уравнение:
К>, s)B^BK'x{x, s) =
= К(х, s)Q2(s)—Q1(x)K(x, s).(3.23)
И, наконец, должен быть равен нулю член, содержащий /(0) в выражении (3.8), ввиду отсутствия подобного члена в (3. 7). Итак,
К (х, 0)В/(0) = 0, т. е.
/ А"12(ж, 0), Кп(х, 0)\
\-к^ 0), ^(ж, 0)Ри)- ’
что равносильно системе уравнений
^Сп 0)^(0) = ^^, 0)/2(0),
К^х, 0)^(0) = ^^, 0)/2(0).
Отсюда в силу краевого условия (3. 4) окончательно получим
^12(ж, 0) = ^АГ^ (ж, 0), К^х, 0) =/г^ (ж, 0).(3.24)
Далее положим
Кп (х, 0) = ср (ж), К21 (ж, 0) = ф (ж),(3. 25)
где ср (ж) и ф (ж) — пока произвольные непрерывно дифференцируемые функции. Условия (3.24) и (3.25) для матрицы-ядра К (ж, s) определяют условие
к($, S)|,_o= ;,(з.2б)
7\ф(ж),'
а условие (3.26) совместно с уравнением (3.23) определяют задачу Коши для К (х, s). Эта задача разрешима ).
Выражая решение задачи (3. 23) + (3. 26) по формуле (1.26) и подставляя в (3. И), мы получаем для определения / <р (2ж) \
вектор-функции I ^^ j интегральное уравнение. В это уравнение войдут также величины о(0) и ф (0), которые можно определить из уравнения (3.12) при ж = 0. Поэтому, проделывая вычисления в обратном порядке, мы докажем, что оператор-матрица X, определенная по формуле (3. 6), в котором матрица-ядро К (х, s) является решением задачи Коши (3. 23) + (3. 26), удовлеторяет соотношению (3. 1). Существование обратного оператора У-1 следует из вида оператора X.
Решение смешанной задачи на полупрямой
Пусть функции р (х), г (ж) и вектор-функция / (ж) = //1 (ж)\
=, I удовлетворяют прежним требованиям. Продол-
\/2 W )
жим функции р (ж) и г (ж) на отрицательную полуось с сохранением класса, а в остальном как угодно, а функции fx (ж) и /2 (ж) — пока неопределенным образом (в дальнейшем мы уточним способ их продолжения).
При сделанных предположениях рассмотрим смешан-
ную задачу
_i;^ = s»+(,WBi(4.,)
и^х, 0) = /(ж),(^-2)
и2(0, <)—hUy^O, t) = 0,(4. 3)
где, как и прежде, I — единичная матрица,
a h — произвольное конечное действительное число.
(и^х, £)\
Обозначим через и(х, £)=1,, I решение задачи
4. 3). Согласно формуле (1. 26) решение задачи (4. 1) + (4. 2) можно представить в виде
и (х, t) = k (х, Z) Я/ (х + <) + I (х, Z) Яг/ (х — <) +
(4.4)(4.4)xA-t
(4.4)
(4.4)
+ у Я (х, t, s^f^ds,
где в силу результатов § 2
1к (ж, £) = у ехр1к (ж, £) = у ехру j [р & + т) + г (ж + т)] ат оу j [р & + т) + г (ж + т)] ат о1I (ж, t) = у ехр1I (ж, t) = у ехр(4. 4')(4. 4')у [р (ж — т) + г (ж — т)] атОу [р (ж — т) + г (ж — т)] атО
1
к (ж, £) = у ехр
1
к (ж, £) = у ехр
у j [р & + т) + г (ж + т)] ат о
у j [р & + т) + г (ж + т)] ат о
1
I (ж, t) = у ехр
1
I (ж, t) = у ехр
(4. 4')
(4. 4')
у [р (ж — т) + г (ж — т)] ат
О
у [р (ж — т) + г (ж — т)] ат
О
Рассмотрим теперь применение операторов преобразования к продолжению решения уравнения (4. 1) на отрицательную полуось. Будет показано, как выразить решение и(х, <) в точке —х в виде линейного оператора над и (s, Z) (О^х^ж). Пусть матрицы Л3 и Л2 имеют вид
A1 = B^A-Q(-^, A2 = B^ + Q^ (^>0). (4.5)
Предположим, что функции р (х) и г (х) продолжены на отрицательную полуось так, что р (—0) = р (—]—0), г(—0) = г(Д-0), т. е.
<?(-0) = <?(+0)-(4.6)
Иначе говоря, предположим, что матрица Q (ж) продолжена в нуле непрерывно. Далее, обозначим через X оператор-матрицу преобразования, отображающий пространство Lh непрерывно дифференцируемых вектор-функций //i (ж)\
/ (ж) = I I , удовлетворяющих краевому условию (4.3), V2 Vе)/
т. е.
/ДО)-АД (0) = 0 на пространство Lk.
.iu^x, £)\
Пусть вектор-функция и* (ж, £) = II является
\ М2 \Х’ Ч/ решением смешанной задачи (4. 1)—(4. 3) на полупрямой [0, со). В силу условия (4.3) при каждом фиксированном t вектор-функция и* (ж, Z) принадлежит пространству L№ поэтому к и+(х, Z) можно применить оператор X.
Продолжение решения и+ (х, t) на отрицательную полуось определим по формуле
и(—х, f) = uT(x, t) = X[u+(x, £)],(4.7)
т. е. в силу определения оператора X (см. формулу (3. 6)) X [п+ (ж, £)] = и" (ж, t) = В (ж) и* (ж, <) +
+ К (ж, s)u+(s, t)ds. (4.3) о
Покажем, что вектор-функция и" (х, Z) удовлетворяет уравнению (4. 1) на отрицательной полуоси. В силу определения матрицы Л! нам нужно показать, что
^)] = -/7^.(4.9)
Так как при каждом фиксированном t решение и* (х, £) принадлежит пространству Lh, то в силу определения оператора-матрицы преобразования X и равенства (3. 1) мы имеем
A1Xlu+(x, t)]= ХА2[и+(х, <)].(4.10)
Согласно равенству (4.7) левая часть (4.10) совпадает с левой частью уравнения (4. 9). Вычислим правую часть равенства (4. 10). В силу уравнения (4. 1), которое можно переписать в виде имеем
ХА^и^х, ^)] =fZ^]= —fZx[^]_
Из формулы (4. 8) очевидным образом следует, что оператор-матрица X и оператор дифференцирования ^- коммутируют, поэтому из последнего равенства мы получим в силу (4. 7)
ХД2[и+(х, t)] = —i/Ax[u+(x, t)] = —il^r>
т. е. совпадают и правые части равенств (4. 9) и (4. 10), что и доказывает наше утверждение.
Покажем теперь, что продолякение решения иМх, t) на отрицательную полуось непрерывно вместе с первой производной по х.
В самом деле, полагая в формуле (4.8) ж = 0, мы получим
и<—0, ;) = 7?(0)u+(+0, ty(4.11)
По определению (см. (3. 10)),
/ а(0) р(0)\ О /Г)\ ' ' Г \ / I
^_р(0) а(0)/’
где а(0) = 1, а р(0) вычисляется по формуле (3.19). Так как в нашем случае пространства Z1 и Ь2, рассмотренные в предыдущем параграфе, совпадают: L{ = L2 = Lh, следовательно, h1 = h2 = h и поэтому р(0) = 0. Значит, R (0) = 7, и непрерывность продолжения решения п+ (ж, Z) в нуле следует из равенства (4.11).
Далее, используя явный вид операторов Ар Л2 и X, равенство (4. 10) в силу (4. 7) можно переписать в виде 5 5г + <? К=д Н5 ^ +Q (аИ+
+ ^(Л- 5)[в^ + У(5)и(5, t^ds.
О
Полагая здесь ж=0, мы получим
вди^’ ^Ь+емм-о, о= С/Ф
= R (0) [5 AAA |^ + Q (+0) и (+0, <)].
Так как R^ = I, то в силу (4. 6) и (4. И) отсюда следует
ди (—ж, <) I дх ж=оди (—ж, <) I дх ж=оди (ж, <)дхди (ж, <)дх(4-12)(4-12)
ди (—ж, <) I дх ж=о
ди (—ж, <) I дх ж=о
ди (ж, <)дх
ди (ж, <)дх
(4-12)
(4-12)
т. е. в нуле непрерывна и первая производная.
Формулу (4. 8) можно использовать для продолжения начальной вектор-функции / (ж). В самом деле, полагая в формуле (4. 8) t = 0 и учитывая начальное условие (4. 2), мы получаем
/(—ж) = R (х) f (ж) + ^ К (ж, s)/(s)ds. (4.13) о
Непрерывность продолжения / (ж) и его производной в нуле следует из равенств (4, 11) и (4. 12), если в них положить < = 4-0.
Вернемся теперь к задаче (4. 1)—(4, 3).
Если ж)><)>0, то решение задачи совпадает с решением задачи (4. 1) + (4.2) и, следовательно, дается формулой (4.4). А если 0<ж<<, то нужно использовать продолжение вектор-функции / (ж) на отрицательную полуось по формуле (4. 13), притом следующим образом: интервал интегрирования (ж—t, жД-<) в формуле (4.4) разбиваем на два интервала: (ж— t, 0) и (0, х-\-^, а затем в интеграле по интервалу (ж — t, 0), ж — £ < 0, переменную интегрирования s заменяем на —s, а значение
функции / (—s) — по формуле (4. 13). Аналогично заменяем значение функции / (ж — i) в формуле (4.4). Тогда после несложных преобразований для решения задачи (4. 1)—(4. 3) при О О х О t получаем следующую формулу:
и (х, ^ = к (х, t) Hf (ж + f) + I ^> t) HTR (< — ж) / (Z — ^) +
+ y Я (ж, t, s) / (s) ds + у J H^x, t, s)f(s)ds, (4.14) оо
где
. (x, t, s) = 2l(x, t^HTK((t — x, s) +
t—x
+ H (ж, t, —s) R (s) + H (ж, t, —т) К (t, s) d'.
5. Решение задачи (1.1) +(1-2) при t <0
Рассмотрим опять задачу (1.1)+ (1.2), т. е. задачу
-H^B^A-Q^(5.1)
и (ж, 0) = / (ж),(5. 2)
однако, предполагая теперь, что t О 0. Положим t = —т. Тогда уравнение (5.1) принимает вид
П dU кХд^ = В ди1хд™^ + Q (.г) и (х, -ту (5.1')
Обозначим через 1г матрицу
и положим
и(х, +"с) = 71и(ж, —т).
Так как Ц = 1, то
и ух, —т^ = 1гиух, туи ух, —т^ = 1гиух, ту(5-3)(5-3)
и ух, —т^ = 1гиух, ту
и ух, —т^ = 1гиух, ту
(5-3)
(5-3)
Теперь, подставляя значение и (ж, —т) в уравнение (о. 1'), мы получаем
- т ди (гг, т) п г ди (^, ^) ।\ г /\
^1 —= 5/1 di^ I1V ^’
Умножая обе части последнего уравнения слева па -I, и учитывая, что 1^ = 1, —1,В1, — В, мы находим
-П^в^ + (ЫхН(5.4)
где
/ —г (х)0 \
Qx ^ = -IXQ М 73 = QV , _р ^ ) .(5. 5)
Начальное условие (5.2) в силу (5.3) преобразуется к виду
и (х, 0) = IJ (х),(5. 6)
что совместно с уравнением (5.4) определяет задачу Коши для v (х, т). Так как задача (5. 4) + (5.6) такого же вида, что и задача (5.1) —|—(5.2), то, применяя формулу (4. 4), мы получаем
v (х, т) = кх (ж, т) HIJ (ж + т) + 1Х (ж, т) НГ1Х / (ж — т) +
+ у 5 Н^х, -s)Ixf(s)ds, (5.7)
где согласно (4. 4)
кх (ж, т) = A exp I ( sp <2; (ж + о) da |,
(х, ') = у ехр ) у sp Qa (х — a) da L
А так как, по определению матрицы Qx (ж), т. е. (5.5), sp Qx (ж) = —sp Q (х), то из последних выражений легко следует, что
кх (х, ^ — Цх, —т), 1Х (х, т) = &(ж, —т),(5.8)
31 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
где к (ж, —т) и /(ж, —т) выражаются по формулам (4. 4'). Поэтому равенство (5. 7) можно переписать в виде
и (ж, т) = I (ж, —т) HIJ (ж + т) + к (ж, —т) HTIJ (ж — т) +
+ у НАх, Т, s) /,/($) ds.
Отсюда, умножая обе части слева на 1Т в силу (5.3), мы получим
и (х, —т) = к (х, —т) Н} (х — т) 4- I (ж, —т) HTf (ж + ^ + + у $ ЦН^х, т, s)l1f(s)ds,
так как I1HI1=IIT, IJ111х = Н. Теперь полагая —т = /, будем иметь
и(х, t) = k(x, Z) Н/ (ж + <) + Цх, t^H^^x— <) +
x—t
+ у Н (х, t, s)f(s)ds, (5-9)
Х-^ где
Н (х, t, s') = I1H1(x, —t, s)/^(5.10)
Займемся теперь выводом уравнения для матрицы-ядра Н (ж, t, s). Согласно формуле (2.15) матрица-ядро
Нг (ж, т, s) в (5. 7) удовлетворяет уравнению
Ш'т (х, т, s) — H'g (ж, т, s) 5 + Нj (ж, т, s) Q^ (s) = 0.
Заменяя здесь т на —t и учитывая (5. 5), получаем
—Ш'и (ж, —t, s) — Я(8 (х, —t, s') В —
— Н^х, —t, s) ITQ (s) Ц = 0,
откуда, умножая один раз слева, а затем справа на Iv мы находим
г‘7^^ (ж, —t, s) 1г + ЦН^ (ж, —t, s) В1г +
Л-кН^х, —t, s)!^ (s) = 0.
Из определения матриц ^ и В следует, что В^ = —1ЛВ, поэтому последнее уравнение, в силу (5.10), можно переписать в виде
ШДх, t, s^—H'^x, t, s)B + H(x, t, s)()(s) = 0. (5.11)
Вычислим теперь H (ж, 0, ж). Пусть
(Н^, HW\
Нг (х, т, s) — () .
Тогда в силу определения матрицы Qy (х), т. е. (5.5), и согласно формулам (2.16) и (2.17) имеем
Н^Дх, 0, х^—Н^Дх, 0, ж) = у [р(ж) — г(ж)];
Н<Дх, 0, х^Н^Дх, 0, ж) = 0.(5.12)
С другой стороны, в силу (5. 10) имеем
/Я Я \Я^Л
Н(х,м= “"•
Поэтому, используя (5. 12), мы получаем
НДх, °- ^ = —НДх, 0, х) = — у [р (х) — г (ж)],
(5. 12')(5. 12')Я12(ж, 0, хДНгД, 0, z) = 0
(5. 12')
(5. 12')
И, наконец, в силу (5.10), (5.5) и (5.8), из равенств (2. 12) и (2. 14) для матрицы Я (ж, t, s) нетрудно получить следующие условия на характеристиках:
Й (х, t, х + ^Нт=к(х, t)[r{x + t) — p(x + t)]E,}5 и, Й (х, t, х — t) й =1 (х, t) [р (х — Z) — г (х — £)] Е1, J
которые совместно с уравнением (5.11) определяют задачу Гурса для матрицы-ядра Я (z, t, s).
Замечание. Полученные в этом параграфе формулы для решения задачи Коши при Z < 0 можно также получить на основании результатов § 1.
Резюмируя все результаты настоящей главы, мы приходим к следующей, важной для последующих двух глав, теореме,
Теорема 5.1. Пусть р(х) и г^ — действительные функции, определенные на полупрямой [0, со) и непрерывно дифференцируемые в каждом конечном интервале*'), a Пх)— действительная вектор-функция, определенная и непрерывно дифференцируемая на полупрямой |0, со), удовлетворяющая в нуле условию: f2 (0) — Иф (0) — 0, где h — произвольное действительное число. Тогда решение задачи
dt Ox х х '
и (,х, 0) = / (ж), и2 (0, /) — Нщ (0, Z) = О, где I — единичная матрица второго порядка, а
В о/ ’ W — 0 г^) дается фюрмулами
1? при 0 <C.t <_х
и^х, t)—k(x, /) НЦх + /) + Цх, t)HTf(x— () +
+ у H(x, t, s'jj^ds; (5,13)
2? при £ <Ч), 0 <(—t <_х
и (х, t) — k (х, £) Hj (х + Z) + I (х, £) HTf (х — Z) +
+ у Н {х, t, s)f(s)ds, (5.14)
Й) I3 .дальнейшем это условие будет ослаблено.
а матрицы второго порядка Н {х, t, s) и Н (х, t, s) являются решениями одного и того же матричного уравнения
iJV) (ж, t, s) — W's ^х, t, s)B + W (x, t, s) Q (s) = 0,
удовлетворяющие следующим условиям на характеристиках;
Н (х, t, х + t^ НТ = к (^х, t) {р (^ + #) — г (ж + £)} Е,
Н (х, t, х — t)H = 1 (х, f) {г (ж — Z) — р (х — t^ Е',
Н (х, t, х + t)HT — к (х, t) {г (ж + Z) — р (х + t^ Е,
Н (х, t, х — t)H — I (х, t) {р(х — 0 — г (х — t^ Е',
где
3? при 0 <х<1 решение строится следующим образом..
Продолжим функции р^х") и г (ж) на отрицательную полуось с сохранением класса, а в остальном как угодно, а вектор-функцию j^ — по формуле
/ (—ж) = R (ж) / (ж) + j К !^х, s) / (s) ds, (5. 15) о
где
/' а (ж) 3 (ж) \
3(Z) a(z)/’ притом
а (ж) = cosj sp f(? (т) — Q (—т)]
8 (ж) = sinj sp [(? (t) — Q (—t)J
l'
а матрица второго порядка К (х, s) есть решение задачи К'8 (х, s) В + ВК'Х (х, s) + (? (z) К (х, s) —
— К (х, s) Q (—s) = О, К^х, х^В — ВК^х, z) = S7?,(z) +
^Q^R^-R^Q^, К (х, О^ВЦО^О.
Тогда решение дается формулой
и (х, t^ = k ^х, f) lit ^х + t) + I (^х, t) HTR (t — ж) / (Z — ж) +
+ y j H (x, t, s) f(s) ds + у j H^x, t, s)f (s) ds, (5.16) оо
где
HT (x, t, s) = 21 (z, t) HTK (t — x, s) +
+ H (z, t, —s) 7? (s) + j H (z, t, —т) К (t, s^dT.
Указания к литературе
Результаты этой главы принадлежат И. С. Саргсяну [8], [11].
По поводу § 3 см. работу Тола и Пратса [1], а § 4—совместную работу авторов [4].
ГЛАВА X
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
СПЕКТРАЛЬНОГО ЯДРА И ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ
В СЛУЧАЕ СИСТЕМЫ ДИРАКА
§ 1. Вывод основных тождеств
(1.1)(1.2)(1.1)(1.2)Мы будем изучать задачу B^^Q^y = XIy,
(1.1)
(1.2)
(1.1)
(1.2)
Уч (°) — Ni (°) = °,
где / — единичная матрица второго порядка,
В =В =( °\—1 О/’( °\—1 О/’"Q М ="Q М =0ГМ/’0ГМ/’
В =
В =
( °
\—1 О/’
( °
\—1 О/’
"Q М =
"Q М =
0
ГМ/’
0
ГМ/’
функции р (ж) и г (ж) удовлетворяют условиям предыдущей главы, т. е. действительные функции, определенные на полупрямой [0, оо) и непрерывно дифференцируемые в каждом конечном интервале, a h — произвольное действительное число.
Наряду с задачей (1.1)—(1.2) рассмотрим задачу Коши
(1.3)
и (х, 0) = / (a:),(1.4)
/717) к
где / (ж) — I — действительная вектор-функция, определенная и непрерывно дифференцируемая на полупрямой [0, оо), удовлетворяющая условию /2 (0) — АД (0) = 0.
Продолжим функции р (ж) и г (ж) на всю числовую ось с сохранением класса, а в остальном как угодно, а /(ж) — по формуле (5.15) предыдущей главы, т. е.
/ (—ж) = В (ж) / (ж) + К (ж, s) / (s) ds.
о
/ ф2 (ж, А) \
Обозначим через у (ж, к)=j решение урав
нения (1.1), удовлетворяющее начальным условиям
Фт (°* х) = 1- ?2(°> ^ = h-(1.5)
Очевидно, что ф (ж, X) удовлетворяет краевому условию (1.2).
Положим теперь /(z) = cp(z, X) и рассмотрим задачу (1.3)+ (1.4). С одной стороны, решение этой задачи при 0 + t < х, 0 < —t <_х и 0<z<( задается соответственно по формулам (5. 13), (5.14) и (5.16) предыдущей главы. С другой стороны, решая задачу (1.3)+ (1.4) по методу Фурье, легко убедиться непосредственной проверкой, что решение этой задачи можно задавать по формуле
«(z, Z) = y(z, А)е,Х/.«(z, Z) = y(z, А)е,Х/.(1.6)(1.6)
«(z, Z) = y(z, А)е,Х/.
«(z, Z) = y(z, А)е,Х/.
(1.6)
(1.6)
Тогда в силу единственности решения задачи (1. 3) + (1. 4), приравнивая правые части формул (5.13), (5. 14) и (5. 16) предыдущей главы с правой частью формулы (1.6), соответственно находим тождества:
1? при 0 + t< х
<р (ж, X) е<Х/ = к ^х, t) И® (х + t, X) + I {х, X) Н*ъ (х — t, X) +
+ у j II (х, t, sy^s, I) ds; (1-7)
2? при t2? при t<0, 0<— t<0, 0<— t< х< х
2? при t
2? при t
<0, 0<— t
<0, 0<— t
< х
< х
<р (z, X) е’Х/= & (z, i) Нф ^х + t, X) + I (^х, t^HT^^x—t, X) +
+ у j Н^х, t, s)tp(s, X)ds; (1.8)X-Vt■
3? при 0 О х < t
у (z, X) eat = к (х, t) И® (х + t, X) +
гI (х, t) и R (( — ж) у (# — ж, л) -|- у j Н (^х, t, s) у (s, X) ds -|-
0
+ у j Ну A, t, s) ср (s, X) ds. (1. 9) о
Обозначим через е произвольное положительное число и через gs (Z) — функцию, удовлетворяющую следующим условиям:
1? gE (£)— обращается в нуль вне интервала (—е, е);
2? gE (£) имеет кусочно-непрерывную первую производную.
Далее, обозначим через у. (X) преобразование Фурье функции gs (t), т. е. положим
\ gAVx,dt.(1.Ю)
Обозначим через х произвольную точку полупрямой [0, со).
Предположим, что z^e). Умножим обе части тождества (1.7) на функцию gs Д) и проинтегрируем по t в пределах от 0 до е. Имеем
Т^- х) j gAtyAtd-t = о
= Н ^к (ж, /) ср (х + t, X) gs (/) dt + о
+ Нт j I (z, /) cp (z — t, X) g£ (/) dt + 0 s ^a?+^1
+ уи j H (x, t, s^^s, X) <7s?gs (Z) dt. (1.11) О t
Заменяя переменную в первых двух интегралах правой части и меняя порядок интегрирования в третьем интеграле, тождество (1. И) можно записать в виде
? (z, X) j ge (г) e^'dt = о
= Н ^ к (х, s — х) gt (s — х) <р (s, X) ds +
Нт j Цх, х — s) gs (х — s) у (s, X) ds -ф-
+ y 5 I 5 77 (z, Z, s)^E (7) ^1 cp (s, X) <7s. (1.11') X—8 '•| X—8 |'
Умножая теперь обе части тождества (1.8) на функцию g6 (Z) и интегрируя по t в пределах от —е до 0, а затем поступая так же, как и при получении тождества (1.11'), мы получаем о
V (*, х) (0 е^й1 =
— 77 j к (х, s — z) gs (s — z) ср (s, X) ds +
4-Нт Цх, x — s) gE (x — s) cp (s, X)ds-}-
+ y j | j H^x, t, s) gE (Z) <7#| у (s, X)ds. (1.12)
И, наконец, суммируя тождества (1. IV) и (1. 12) и учитывая равенство (1. 10), мы окончательно получим важное для дальнейшего тождество
ср (z, X)cps(X)= j W (х, s; e)cp(s, X^ds, (1-13) s
где
Ж (ж, s; е) = Нк (ж, s — ж) gs (s — ж) +
+ НЧ (х, ж — s) g, (ж — s) +
+4 j я (ж, t, s) g^ ^ at + | ж-s I
—| Ж—S |
(1. 14)(1. 14)+ y j H (x, t, s^g^dt.
(1. 14)
(1. 14)
Далее, так как в силу условия 1° на функцию gt(f) из (1. 14) следует, что НДж, ж + е; е) = Ж (ж, ж — е; е) = О, то, дифференцируя тождество (1.15) по ж, мы получаем второе важное в дальнейшем тождество
<?MW = J ^"^'’-^^ к) ds. (1.15)
Предварительная оценка спектрального ядра и его производных
//1 (ж)\
Пусть / (ж) — I I — произвольная вектор-функция W2 хЧ)
класса 3f2(0, оо), а ср (ж, X) по-прежнему является решением задачи (1.1)+ (1.5).
Как уже было доказано нами в гл. III, при данном h существует неубывающая, ограниченная в каждом конечном интервале, непрерывная слева функция р (X), —оо < <^Х<2оо), порождающая изометрическое отображение
пространства вектор-функций ^(0, оо) на пространство S'{P(?.)}(—оо, со) по формулам
(2.1)(2.1)(2.2)(2.2)F Q.') = ^f ^ ? (Zj Х) dZi
(2.1)
(2.1)
(2.2)
(2.2)
ОЭ
f^ = j F (X) a (ж, X)dp(X),
где интегралы (2.1) и (2.2) сходятся в метриках пространств ^^(Х)^—°°> со) и ^(О, оо) соответственно и справедливо равенство Парсеваля
j|/(z)|2dz= j F2^d?Q.\(2.3)
0-=о
Далее, если /(z), g(^)E+2(O, °0), а ^+) и G ^— их преобразования Фурье, то, как было доказано в гл. III, имеет место следующее обобщенное равенство Парсеваля:
\ Г ^ g ^ dx = j F (X) G (X) dp (X\(2.4)
0-co
Введем следующую терминологию:
1°. Функцию р (X) будем называть спектральной функцией задачи (1. 1) + (1. 2).
2°. Матрицу второго порядка
х
О (z, s; X) = j у (х, ц) <рг (s, [л) dp (у.)(2. 5)
о
мы будем называть спектральным ядром задачи (1. 1)—|— + (1.2).
В настоящем параграфе мы получим некоторые нужные нам в дальнейшем оценки для спектрального ядра и его производных.
В предыдущем параграфе мы получили тождество (1. 13)
ср (z, X) фе(Х) = j W (х, s; е) ср (s, X) ds, (2.6) где матрица второго порядка
Xs; е) W12(x, s; е)\
W (ж, s; е) =
\1т2] Vх' s; e) ^22 (z> s>" ®)
определяется равенством (1. 14).
Тождество (2.6) означает, что для любого х^О функции <р,. (х, X) фа (X) (i=l,2) (компоненты вектор-функции ? (г, X) ф6 (X), являются преобразованиями Фурье вектор- /ТП^ (ж, s; е)\
функций, равных I ™, соответственно при
\х— s | 5^ s и равных нулю при | х— s | > е. Поэтому, если
/Л кхУ\
то в силу обобщенного равенства Парсеваля (2. 4) мы имеем
J (х> 0 (О F М d? (О = J {^н Iх» s;е) (s) +
-соо
. +W,2(^,S;S)/2(S))dS (i = l,2), (2.7) пли в матричной форме
J у (х, X) F (X) ^ (X) dp (X) = j w (х, s; е) / (s) ds. (2. 7') -co0
Замечание. Тождество (2. 7'), которое выводилось в предположении непрерывной дифференцируемости функций р (z) и г (х), справедливо при суммируемых р (z) и г (х\ Это легко получить с помощью предельного перехода.
Лемма 2.1. Если элементы р{х) и г (ж) матрицы Q (х) системы (1.1) суммируемы в каждом конечном
интервале и если (х0, tJ — произвольный конечный интервал вещественной оси, то существует постоянная С = С (т0, гс1), такая, что для любых х и s, принадлежащих интервалу ^х0, х^, и для всех а справедливы оценки
«+1Д1
V ^ik (^ «; Д) = S I ?< 1Ж' х) 11 ?& (s, х) I d? (X) < С
(г, * = 1,2). (2.8)
опреде-опреде-Доказательство. Пусть функция gs (Z) ляется равенством
опреде-
опреде-
Тогда
f
/ ek\2 е / sin 2" I
_е\ 2" /
Пусть а — произвольное положительное число. ПоложимgE (t, а) = gE (О e-<ai.
Тогда
T/ е (X — а)\2
г sm2 1
^е Сн а) = I gs (*, a) eMdt = т —_—-. (2. 9)
J\2/
Поэтому из равенства (2.6) и в силу (2.9) на основании равенства Парсеваля мы имеем
^(х, X) Р4р (Х) =^(х, X) Р4р (Х) =е2 Г [sin [е Д — а)1/2Н
^(х, X) Р4р (Х) =
^(х, X) Р4р (Х) =
Z ) 1 ЦХ-а^2 J -СО
(2. 10)(2. 10)= j || W (х, s; е, а) ||2 ds, о
(2. 10)
(2. 10)
где ЦП7(z, s; г, а)||2 означает сумму квадратов элементов матрицы W (х, s; в, а), причем последняя определяется формулой (1. 14), где функция gt^ заменена на gs(i, <z) = = g (<) e~iaf. А так как gE (Z) финитна, то матрица W ^х, s; в,, а) тоже финитна и в силу суммируемости элементов р (z) и г (т) матрицы Q (х) функция || W (х, s; е, а) ||2 суммируема. Поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства (2. 10), существует. Тогда из (2. 10) при в = 2 следует
<С<С
<С
<С
и, значит, тем более
(2.И)(2.И)л+1
(2.И)
(2.И)
Далее, так как при 0<^х^1 справедливо неравенство sin х 2? л л \
а+1а+1—— > —, то из оценки (2. 11) следуют оценки
а+1
а+1
(i=l,2),(2.12)
которые доказывают лемму для функций 6^ (х, s; X) (i = = 1, 2) при s = x. Оценки (2.8) для этих же функций при s =^ х следуют из оценок (2. 12) в силу неравенства Коши — Буняковского. Аналогично завершается доказательство леммы для функций 6(^ ^х, s; X) при ^7- Лемма доказана.
Лемма 2.2. При условиях леммы 2.1 и для всех а справедлива оценка
р(а+ 1) —р (а)<С.р(а+ 1) —р (а)<С.(2.8')(2.8')
р(а+ 1) —р (а)<С.
р(а+ 1) —р (а)<С.
(2.8')
(2.8')
Доказательство леммы следует из оценки (2. 12), если в ней положить i = 1, х = 0 и учесть, что у1 (0, X) = 1.
Займемся теперь оценкой производных спектрального ядра 6 (т, s; X). Для этой цели рассмотрим формулу (1.15)
?;^х)ф,м= J ^^?м)^: (2.13)
Из этого равенства следует, что при фиксированном а- функции у) (ж, Х)фе(Х) (i = l, 2) можно рассматривать как обобщенные преобразования вектор-функций, равных
'dWn ,.
(i = l, 2)(i = l, 2)—■■■* (rr, s; в),дх ''
(i = l, 2)
(i = l, 2)
dW;» ,.
—г-^№ s;О
. дх х'
при s^^x— в, х -|- в) и равных нулю вне этого интервала. Поэтому на основании равенства Парсеваля мы имеем
J iwi«pmw)= 5 |^^|2^ (2.i4>
Пусть функция gt (<) определяется так же, как и в доказательстве леммы 2. 1. Заменяя в равенстве (2. 14) gt (<) на gE (t, a) = gE (Z) e~iat и учитывая (2.9), мы (2.14) можем переписать в виде
со ,
22, е — asin2Е 0- —«), е — asin2Е 0- —«)I ^ (^ Х) I2 d? М =I ^ (^ Х) I2 d? М =
2
2
, е — a
sin2
Е 0- —«)
, е — a
sin2
Е 0- —«)
I ^ (^ Х) I2 d? М =
I ^ (^ Х) I2 d? М =
= Т| р 2Л4,.
J || дх || х 7
где матрица W (х, s; е, а) та же, что и в доказательстве леммы 2. 1. Оценим теперь интеграл в правой части
равенства (2. 14) при больших а. Так как матрица W (х, s; е, а) определяется формулой (1. 14) с заменой gE (Z) на gE (Z) e~iat, то мы имеем
W (х, s; е, а) = Нk (х, s — х) gt (s — х) е-«»(«-ж) _[_
+ HTl (х, х — s) gE (х — s) e-»’«(»-*) _|_
+ 1 J H (x, t, s) g, (Z) e~iaidt +
|X-8|
-I 30—8 |
+ y J H (x, t, s) g. (t) e'^dt.
В силу финитности функции g. (Z) финитны и матрицы W (х, s; в, а) и Д W ^х, s; е, а). С другой стороны, непосредственным дифференцированием матрицы W ^х, s; в, а) по х легко убедиться, что при больших а ее элементы имеют порядок О (а). А если элементы р (х) и г (х) матрицы <2 (ж) имеют суммируемую первую производную, то при а-> оо
j 11^^^’ s; s’ а)[р5 = 0(а2)- (2- 15)
Лемма 2. 3. Если элементы р (х) и г (х) матрицы Q (х) системы (1.1) абсолютно непрерывны в каждом конечном интервале, то при а-> со справедливы оценки
-Ь S 1?;(^>оп?;(^ >оир(>о=эд (2.к>)
П (VoJJ
(i, k= 1, 2),
где 6jfc (х, s; X) (г, k= 1, 2) — элементы матрицы 6 (х, s; X) (см. 2.5)).
Оценки (2. 16) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
32 Г,. М. Левитан, И. С. Саргсян
Доказательство. В силу оценки (2.15) из равенства (2. 14') аналогично тому, как это было сделано при доказательстве леммы 2. 1, получаем
а+1
j |?;.(x,k)^p(k) = O(^) (i = l,2),(2.17)
а
что доказывает лемму при i = к. Для остальных случаев лемма следует из оценок (2.17) в силу неравенства Коши — Буняковского.
Из лемм 2. 1 и 2.3 и неравенства Коши — Буняковского следует
Лемма 2.4. При выполнении условий леммы 2. 3 и при а—> со справедливы оценки
\№ ^W^^^d^k^O^a) (2.
(i,^=l, 2).
Оценки (2. 18) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Аналогичным образом можно доказать следующую лемму.
Лемма 2.5. Если элементы р^ и г (х) матрицы Q (х) в каждом конечном интервале имеют абсолютно непрерывные производные до (Z — 1)-го порядка включительно, то при а —> со справедливы оценки
Д/ ^д1^ (х, s; X)]
^ ( dx™dsn
#4-1
S р'^(2.19)
где m-\-n = l, l,k=i, 2. Оценки (2.19) имеют место равномерно в каждом конечном интервале изменения, переменных X и S.
Рассмотрим теперь задачу (1. 1) -}- (1.2) при условиях р (ж) = г (х) ™ 0, т. е. задачу
В% = ИУ (°<ж<со),В% = ИУ (°<ж<со),(2. 20)(2. 20)
В% = ИУ (°<ж<со),
В% = ИУ (°<ж<со),
(2. 20)
(2. 20)
г/2(0)-ЛУ](0) = 0.(2.21)
Лф (ж, Х)\
Обозначим через ф (ж, Х)=^ ^ решение уравнения (2.20), удовлетворяющее начальным условиям
(2. 22)(2. 22)^(0,X) = l, ф2(0, Х) = А.
(2. 22)
(2. 22)
Задача (2. 20) + (2. 22), как легко убедиться, распадается на две независимые задачи относительно функций фх (ж, X) и ф2 (ж, X), решения которых задаются формулами
ф, (ж, X) = cos Хж — h sin Хж, )
; ,'. . , ,.(2.23)
ф2 (ж, X) = sin Хж + h cos Аж. J'
Определим спектральную функцию и спектральное ядро задачи (2. 20) -ф (2. 21).
Присоединим к краевому условию (2.21) условие
у2(6)-ЯУ1(6) = 0,-у2(6)-ЯУ1(6) = 0,-(2.24)(2.24)
у2(6)-ЯУ1(6) = 0,-
у2(6)-ЯУ1(6) = 0,-
(2.24)
(2.24)
где b — произвольное положительное число, а Н — произвольное действительное число, и вычислим собственные значения краевой задачи (2. 20) -ф (2. 21) -ф (2. 24). Так / фх (ж, Х)\
как ф (ж, Х)=^ ^ удовлетворяет краевому условию (2.21), то для определения собственных значений нужно подставить выражения функций фх (ж, X) и ф2 (ж, X) из равенств (2.23) в краевое условие (2. 24). Мы имеем
sin XX -ф h cos Xb — Н cos Xb + hH sin Xb = 0,
t. e.
(1 + hH) sin Xb + (A — #) cos Xb = 0.(2.25)
Если положим
1 Ц-hHcos u) = -===^,V(1 +Д2) (1 + H^
то уравнение (2.25) можно будет переписать в виде sin (lb + ш) = 0, откуда
+,^ + ,0 = и' (/г = 0, ±1, ±2,...).
Следовательно, для собственных значений получаем выражение
”'t + t (» = 0, +1, ±2,(2.26)
Далее, так как
«ь = 5 № ^ к, а+^ (+ к, а) ^ - (1+да ь, о
то согласно определению спектральной функции ?4(Х) (см. гл. Ill, § 1) мы имеем-
О') — 2(1 + Л2) Ь’ ' °’
'•Я, Ь^^
+— 2 (1 + №) ь ’ к < 01
Преобразуем р*(Х) при X + 0 (для X < 0 преобразуется аналогично). Используя формулы (2. 26), получаем
1 + №6 л (1 + №) b
tv (1 + Л2) 2 ^”+1>6*'п’ь^
= Г(Г+^2) 2 ^”’ь “* ^ (1+^2) ’ (А-> °0)-
Такой же ответ получаем для /. + 0.
Таким образом, спектральная функция р* (X) краевой задачи (2. 20) + (2. 21) имеет вид
(Х) =(Х) =X+(Г+"^)’X+(Г+"^)’
(Х) =
(Х) =
X+(Г+"^)’
X+(Г+"^)’
а спектральное ядро
9* (ж, s; X) = ^^ ^ j ф (ж, fi) фг (s, fi) dp. (2. 27) о
Из определения матрицы 0*(х, s; X) непосредственно следует
Лемма 2.6. При а-> ео равномерно для всех положительных значений х и s имеют .место оценки
у ^x,s;X»<C М=1, 2),(2.28)
%=0^ V = m + n;i,k=^2^, (2.29) где 0*А. (ж, s; X) — элементы .матрицы б* (ж, s; X).
§ 3. Асимптотические поведения спектрального ядра и спектральной функции
Пусть / (ж) =— произвольная вектор-функция
из класса jf2(0, оо), равная нулю вне некоторого конечного интервала. В таком случае ее преобразование Фурье
СО
FQ^ftsy^s/^ds(3.1)
о
существует в обычном смысле.
Теперь, подставляя выражение F (X) из (3.1) в равенство (2.7), а затем меняя порядок интегрирования в левой части, что возможно в силу оценки (2.8') и теоремы Фубини, получаем
j | j ф (ж, X) срт (s, X) ф. (X) dp (X) | / (s) ds =
0 I)
= j W (ж, s; s) / (s) ds. и
Благодаря произвольности вектор-функции / (ж) =
. . I из последнего равенства следует тождество 2 W )
оо
j <р (ж, X) <рг (s, X) ^ (X) dp (X) = W (х, s; е),(3.2)
-ОО
где W (х, s; е) определяется равенством (1.14). Теперь, полагая
W* (х, s; е) = j И (х, t, s) g. (i) dt +
+ j H (x, t, s) gs (£) dt (3.3)
и учитывая равенство (1.14) и определение спектрального ядра 9 (ж, s; X), тождество (3. 2) можно переписать в виде
СО
$ фе(х)^х9(^ s; х) =
—со
Нк (х, s — ж) g^ (s — ж) + НТ1 (х, х — s) gt (х — s) 4"
— ■-]- W *(х, s; е),| х — s|^e, (3. 2Z)
0,| x — s | ^ e.
Выпишем тождество, аналогичное тождеству (3. 2'), для спектральной матрицы 9* (z, s; X). При р(ж) = г(ж) = 0 из равенств (4. 4Z) предыдущей главы следует, что к (^х, f) =
= Цх, t) = -2 . G другой стороны, как легко следует из задач (2.15) + (2.12)-]-(2.14) и (5.11) + (5. И') предыдущей главы, при р (ж) = г (ж) ~ 0 матрицы Н (х, t, s) и Н (х, t, s) — нулевые матрицы и, следовательно, в этом случае матрица W* (х, s, е) также нулевая. Поэтому
в рассматриваемом случае тождество (3. 2') принимает вид
^Hgt{s— x^-Y^-HTg^x — s), )х — s|<e, 1
22(3. 4)
0,I X — S | ^ е.
Теперь, вычитая из тождества (3. 2Z) тождество (3. 4), получаем
j Фв (z) dx (6 (z, s; X) —e*(z, s; X)) = — 00
Hyk (z, s — z) — 2jgs (s—z)+# p (z, ж—s)—Tj^s (^— s) r
+ W* (z, s; e), | z — s | $ e ^" 5)
0,| z — s | > e.
Займемся теперь преобразованием правой части тождества (3. 5). С этой целью положим
а(1) (ж, s; X) = j Н (х, t, s) ^ dt,
]X-S|
(3.6)(3.6)-1X-S,
(3.6)
(3.6)
a(2) (^, s; X) = j H^x, t, s)e'Ytdt,
a (ж, s; X) = a(1) (z, s; X) -]- a,2) (ж, s; X).
С другой стороны (см. равенство (1.10)),
^^ = \gA^^dt.^^ = \gA^^dt.(3.7)(3.7)
^^ = \gA^^dt.
^^ = \gA^^dt.
(3.7)
(3.7)
Тогда в силу равенства Парсеваля для классического преобразования Фурье из последних двух равенств с учетом (3. 3) следует (е ^ 1)
СО
A j »б(Х)а(Ж, s; Х)^Х = ^(^ s; е).(3.8)
Далее, обращая формулу (3. 7), получаем
СО
^(0 = ^ 5 W^dX.(3.9)
— СО
На основании равенств (3. 8) и (3. 9) тождество (3. 5) принимает окончательный вид
j ^= М ^х® кх'v ^) ~ о,(3.10)
—со
где положено
Ф (ж, з; X) = 9 (ж, s; X) — 0* (ж, з; X) — J а Vr’ V v) d-* + о
If1 ) »-<Х(8-.Г) I
H ] к (x, s — ж)———,r—+
'2т.( '2 J i (s — x) 1
+ ^Hr /(ж, x-S)-|p—(3.11) Д Ikи J I I Л, о J
Тождество (3.10) и тауберова теорема для интегралов Фурье В, А. Марченко (см, гл, XIV) дают возможность изучить поведение спектрального ядра при | X | -^ оо, Предварительно докажем следующие леммы.
Лемма 3.1, Если коэффициенты р (ж) и г (ж) системы (1, 1) суммируемы в каждом конечном интервале, то при любых фиксированных х и з и для всех а справедливы оценки
у{Ф#Д^, s; Х))<С (1,^ = 1, 2),(3.12)
где Ф<л. (ж, s; X) — элементы матрицы Ф (ж, s; X), определенной равенством (3, 11), Оценки (3, 12) имеют место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и з,
Доказательство, Для доказательства леммы достаточно получить оценку (3,12) для каждого элемента матрицы правой части равенства (3.11). Для элементов матриц 9 (ж, s; X) и 9* (ж, s; X) оценка (3,12) совпадает с оценками (2,8) и (2.28), Далее, из определения ма-
трицы а (ж, s; X), т, е. из равенства (3,6), в силу суммируемости элементов матриц Н (ж, t, s) и Н (ж, t, s) и известной леммы Римана — Лебега следует, что в каждой конечной области изменения переменных х и s справедливы равенства
Jim a[k (х, ,s; X) — О (/, к — 1, 2),
где a.ik (т, s; X)— элементы матрицы a (z, s; X). Поэтому при а—» со■
}«+1
= j |at.ft(z, s; v)|dv = o(l),
наконец, для элементов матриц
Н (х, s — х\Д ■:-
'2 J Zr.i (s — ж) ’
,л Г1 ) »-О.(Ж-«) I
11 V^’— — у} 2тЛ (x — s)
оценка (3. 12) получается непосредственно из выражений этих матриц, если мы их запишем в виде
I Г«-1Х(«-ж) 1\
— Н *(z, s-z)-l
2с Iх'2 J ( (s — х)
х — s г1 1 о,— sin и —
= Н\к(х, s — х\ — —2 —:,
'2 1т. (х — S) ’
I т f1 1 е-О,(Ж-8) 1(3.13)
= —Нт {Z (ж, х — s)} е 2 ?—.
хнтЦз — х)
Лемма доказана,
Л е м м а 3.2. Пусть р (х) иг (х) равномерно в каждом конечном интервале удовлетворяют условию Дини, Тогда при любых фиксированных х и s справедливо равенство
lim ( а (ж, s; v)c?v = 0.(3. 14)
Х->со ^.
Равенство (3.14) имеет место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и s.
Доказательство. В силу определения матрицы а(х, s; v), т. е. равенства (3. 6), мы имеем
к
j a (z, s; v) d^ =
М 1-i^i]
= U j Я (ж, t, s)ei'>,dt 4- J Я (х, t, s^e^dt ? dv =
-X I [x-s I-1'
1
= 2 ( (Я (x, t, з) + Я(х, —t, s)}^^-dt.(3.15)
Из вида матриц НДх, t, s) и Я (х, t, s) следует, что
Я (х, 0, $) + Д(ж, 0, s)=0.
Поэтому равенство (3. 15) можно записать в виде
х1'
j а (х, s; v) dv = J ДДх,1,з^— F (x, 0, s)} S™J4 dt, (3.16)
-Xjx-s]
где
F (x, t, s)=2[H(x, t, s^-^H^x, —t, s)}.
Из условия леммы и вида матриц Я (ж, t, s) и Я (х, t, s) следует, что F (х, t, s) как функция от t в точке ( = 0 удовлетворяет условию Дини. Поэтому
1
Ит ( ^F(.x, t, s) — F(x, 0, s)}^^-^, Х->оо |x-s|
откуда и следует доказательство леммы в силу равенства (3. 16).
Теперь докажем основную теорему настоящего параграфа.
Теорема 3.1. Если р{х) и г (ж) равномерно в каждом конечном интервале удовлетворяют условию Дини, то при любых фиксированных х и s справедлива асимптотическая
формула
9 (ж, s; X)—9 (ж, s; -—Х) = 9* (ж, s; X)—-9* (ж, s; —л) + W, 8-хННТЦх, х-^-П^^-^о^. (3. 17)
Формула (3.17) имеет место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и з.
Доказательство. Обозначим через (/, g) скалярное произведение векторов / и g, т. е. положим (/, g) = fT • g. Пусть / и g — произвольные постоянные векторы. Из формулы (3. 5) следует
СО
J M^ck^i^ 8, Х; L g) — ^, з, X; /, g^ = -СО
(а(Ж> $; /, g^g^S — XWb(x, 8, е\ L g\ | ж— s|<$,
| 0,| ж — S I ^ e,
(3. 18) где обозначено
a^x, s, X; /, g)=(9(x, s; X)/, g\
a^x, s, X; /, £-)=(6Дж, s; X)/, g\ a<x, s; f, g) =
=(рЩж, s — ж) — yp, ^ + ^лД(ж, X— s) — Jp, gy b(x, s; e; /, g)=(lV*(x, s; e)/, g^
При s — x и g= f, очевидно, что Oj и а2 — монотонные функции от X, а функция а (ж, ж; /, /) = 0. Поэтому из тождества (3. 18) в силу тауберовой теоремы В. А. Марченко (см. гл. XIV, теорема 4. 2, частный случай) и равенства (3. 14) следует асимптотическая формула lim {аДж, ж, X; /, /) — з2 (ж, ж, —X; /, /) —
-[а2(ж, ж, X; /, /)-а2(ж, ж, -X; /, /)]) = 0. (3.18') При s =^= х и g = f рассмотрим монотонные функции от X Т] (ж, s; ^ =
= а1(ж, х, X; /, /) + 2а1(ж, s, X; f, ^-^-а^, s, X; /, /), ~.2(ж, з; Х) =
= а2(ж, ж, X; /, /)-)-2аДж, s, X; f, f) + а2 (s, s, X; /, /)
и снова применим указанную тауберову теорему В. А. Марченко. В результате, в силу (3. 18') получаем
lira (а1 (ж, s, X; /, /) — а1 (т, s, —X; /, /) —
—1=2 (^ s> с Л /)—М^ s> —м L /)1 —
,, sin X (х — s) 1 п
а (ж, s; /, пН
Теперь, преобразуя квадратичные формы к билинейным, из последней формулы получаем
Ит^ж, з, X; /, g) — з^х, з, —X; f, g) —
— [a2(.r, s, X; /, g)—а2(лг, s, —X; /, g)] —
a(x, s; f, g)-^4 = 0.
'' r. (x — s) J
И так как векторы / и g произвольны, то из последнего равенства следует формула (3.17). Теорема доказана.
Из асимптотической формулы (3. 17) следует
Теорема 3.2. При условиях теоремы 3.1 справедлива асимптотическая формула
llm (р (X) - р (-Х) - д^ л} = 0.(3. 19)
В самом деле, из определения спектрального ядра У (х, s; X), т. е. из равенства (2. 27), и из явного вида
1
2
( ) w (см‘ Равенства (2- 23)) (ж, м/( ) w (см‘ Равенства (2- 23)) (ж, м/вектор-функции ф(ж, Х) =вектор-функции ф(ж, Х) =мы находим, что
( ) w (см‘ Равенства (2- 23)) (ж, м/
( ) w (см‘ Равенства (2- 23)) (ж, м/
вектор-функции ф(ж, Х) =
вектор-функции ф(ж, Х) =
О* (0, 0; X) - 0* (0, 0; X) = (^ ^ ^-^ X. (3. 20)
Далее, в силу равенств (2. 1) гл. IX
к^^ 8 — х^\8=зс=0 = Цх, х — s)\8=x^ = ^. Следовательно, учитывая это и определение матрицы Н (см. (1. 6Q гл. IX), получаем
(3. 21) 9 (ж, s; X)(3. 22)(3. 21) 9 (ж, s; X)(3. 22)\Hk (х, s — ж) + НТ1 (х, х — s) — 7] |8=ж=0 = 0. И, наконец, из определения спектрального ядра (см. (2.5)) и из условий (1.5) следует, что
(3. 21) 9 (ж, s; X)
(3. 22)
(3. 21) 9 (ж, s; X)
(3. 22)
Теперь, полагая в формуле (3.18) s = x — 0 и учитывая равенства (3.20), (3.21) и (3.22), получаем
/1 h \
Пш , , 9 Wa) — Р (—а) — X) = 0, л->со А / I" (*/г) J
что и доказывает асимптотическую формулу (3. 19). Теорема доказана.
Формула (3. 19) дает асимптотическое поведение нечетной компоненты спектральной функции р (X). Чтобы выяснить асимптотическое поведение самой р(Х), нам достаточно, очевидно, найти асимптотическое поведение ее четной компоненты. Имеет место следующая
Теорема 3.3. Пусть р^ и г (ж) равномерно в каждом конечном интервале удовлетворяют условию Липшица. Тогда при | "а I —> со справедлива асимптотическая формула
vm.A_^ = 0^.(3.23)
Доказательство. Из формулы (3.3) в силу (3.3) при х = s = 0 следует
J W ^х <6ц(0, 0; Д - ОД (0, 0; А)} = j G (t) ge^ dt, (3. 24) — oo— г
где
(Я„(0, t, 0),— е<£<0,
I Яп(0, i, 0),0<i<e.
Так как
6n (0, 0; X) = p (X), 0Д (0, 0; X) = ryy^y, то из равенства (3.24) в силу тауберовой теоремы В. А. Марченко (см. гл. XIV, теорема 4.2') получаем
Р (X) + Р (-Х) = А •G ( ±°> + £< - °) + 0 (1). (3.25)
С другой стороны из равенств (2.16) и (5. 12') гл. IX следует, что G (-(-О) -Д G (—0) = 0. Тогда формула (3.23) следует из (3. 25). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы и теоремы 3.2 следует
Т е о р е м а 3. 4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3. Тогда при | X | -» оо справедлива асимптотическая формула
Р — П(1+Л2) +° W1
§ 4. Асимптотическое поведение производных спектрального ядра
В параграфе 1 нами была выведена формула (см. (1. 15))
tU^ Х)<МХ) = J(4Л)
Из этой формулы следует, что при фиксированном х компоненты вектор-функции ф^. (ж, X) фе (X), т. е. функции фе (X) ф1 (ж, X) и фЕ (X)v- ®2 (ж> М> можно рассматривать охох
как преобразование Фурье вектор-функций, равных соответственно
У^п^’ s; е)\/±W21(x, s; е)
4^2^, s; e)/s; e)
при | x — s | ^ e и равных нулю при | х — s | ^ 0. Поэтому / А (^h
если /(ж) = ES^O, 00) и равна нулю вне неко- V2 \Х!)■
торого конечного интервала, то в силу обобщенного равенства Парсеваля (2.4) из равенств (3.1) и (4.1) следует
ООЖ4-8
J ^1^^^^^)= $ dW™dr 'b^ds.
Отсюда в силу произвольности вектор-функции /(ж) получаем тождество
J ^(х, K)^(s, Х)ф$(Х)(/р(Х) = ^W^x, s; е), (4.2)
—00
где
W 1.x, s; е) = Нк (х, з — х) gE (s — х) +
-V НтЦх, х — s)ge(a:—s) + y S Н (^х, t, s)gE^t)dt + к-«|
—ej
+ y j H (x, t, s') gE(t')dt. (4.3)
Далее, учитывая определение спектрального ядра 6 (ж, s; л), тождество (4. 2) можно переписать в виде
Г , а дб (х, s; i T-W (х, s; е), I х — S I < г, .. феМ^.—dI<4'2)
—ОО' О,| X — S | ^? 0.
Теперь, дифференцируя тождество (3. 4) по х и вычитая из (4. 2'), получаем
Г , х , [96(2, s; X) дв* (х, s; X) 1
AW(x, s; e)-ll{EgE(s-x)4-
=’+ HTgE (х — s)), \х — s|<e, <414)
0,| х — s | ^ е.
Преобразуем правую часть тождества (4. 4). Из определения матрицы W (х, s; е) следует
l;w^’ s; е) — {HsAs~^-V^g^x — s)} =
= фк’х (x, s — x) gE (s — x) + H1!^ (x, x — s)gE(x — s)} Д
+ {я[м«,>-4-]^^+
1
—sign(a:—5)у{Я(ж, |x — s |, s) gE (| x — $ |) —
— sign (ж— s)i Я (ж, — | ж — s |, s)gE(—|ж —s|)} +
+ | j ^ (ж, t, s)g^t)dt-V
+ j Й'Дх, t, s^g.^dt = Л + 4 + Z3 + /4. (4.5)
Из определения функций к (х, t) и Цх, i) (см. формулы (2. 8) и (2.10) гл. IX) следует, что
к’х (х, s — х) =
у S [р И + Г (т)1 </т ,(4.6)
X
ГДх, x—s) =
= ^IPW + r(^)J exp= ^IPW + r(^)J exp(4. 6')(4. 6')
= ^IPW + r(^)J exp
= ^IPW + r(^)J exp
(4. 6')
(4. 6')
Нк'ж (х, s — х) j е 1Ч8*Ж)(1^ 4" оНк'ж (х, s — х) j е 1Ч8*Ж)(1^ 4" о00I00I=-5— 1 ^.QAd^iHkxlx, s — г) 2it J -5 ' ’ х’' s — х=-5— 1 ^.QAd^iHkxlx, s — г) 2it J -5 ' ’ х’' s — х
Нк'ж (х, s — х) j е 1Ч8*Ж)(1^ 4" о
Нк'ж (х, s — х) j е 1Ч8*Ж)(1^ 4" о
00I
00I
=-5— 1 ^.QAd^iHkxlx, s — г) 2it J -5 ' ’ х’' s — х
=-5— 1 ^.QAd^iHkxlx, s — г) 2it J -5 ' ’ х’' s — х
С другой стороны, из равенства (3.9) мы имеем
g, [ ± (*-*)]= 4 И (X) e^^'dX.(4. 7)
пред-пред-Поэтому слагаемое L из равенства (4. 5) можно ставить в виде
пред-
пред-
^ = ^7 S Ф/'М
тpi"K(_8—X) д .
— гЯ 1Дх, x — s)—7— .(4.8)
Так как
sin X -3
= 2е S — X.8 — X
8 — X
S — XS — Xпsin X —7-— 2е ' 2 —
S — X
S — X
то (4. 8) можно переписать так:
7i = V I OO^.JI/^^ s—x^e 2 +
+ Н /; (ж, х — s) е 2 —— — [.(4. 8')
Положим
д(ж, s; X) = -^ [р (т) + г (т)] с?т — X s-=^.(4.9)
Теперь, подставляя выражения к^х, s— х) и l^tx, х— s) из (4. 6) и (4. 6') в равенство (4. 8Q и учитывая (4. 9), мы получаем
г _ Р ^ + г (я)1—2т.г _ Р ^ + г (я)1—2т.( ф ала. Г^еч(»,«;>■)_
г _ Р ^ + г (я)
1—2т.
г _ Р ^ + г (я)
1—2т.
J Те \ / л Н 21
/Д’ 21/Д’ 21e-iq(.T, s;e-iq(.T, s;8 — X sin X —2—8 — X sin X —2—S — XS — X(4. 8")(4. 8")
/Д’ 21
/Д’ 21
e-iq(.T, s;
e-iq(.T, s;
8 — X sin X —2—
8 — X sin X —2—
S — X
S — X
(4. 8")
(4. 8")
мымыДалее, учитывая определение матрицы Н = имеем
мы
мы
_ piqix, s; X) п p-iq(x. s; X) — 2ie2i—
sin q (x, s; X)—cos q (x, s; X)sin q (x, s; X)—cos q (x, s; X)cos q (x, s; X) sin q (x, s; X)cos q (x, s; X) sin q (x, s; X)= A (x, s; X).= A (x, s; X).(4. 10)(4. 10)
sin q (x, s; X)
—cos q (x, s; X)
sin q (x, s; X)
—cos q (x, s; X)
cos q (x, s; X) sin q (x, s; X)
cos q (x, s; X) sin q (x, s; X)
= A (x, s; X).
= A (x, s; X).
(4. 10)
(4. 10)
3333Б. M. Левитан, И. С. Саргсян
33
33
Раскрывая матрицу Л (ж, s; X) с учетом (4. 9), находим Л (ж, s; X) =
= Л(ж, s) cos X * "J-— Л (ж, s) Т sin X ^ ®,(4.10')
где
/0 —1\
Л (ж/s) = Л (ж, s; 0);7 = 1^ I .(4.11)
Подставляя выражение Л (ж, s; X) из (4. 10;) в (4.8") и полагая
а, (ж, s; X) = -г ' Л L л (^ s) х
Г sin X (s — ж) „ 1 — cos X (g — д) ~1, . „.
для 1г получаем окончательный вид
А = J ОИМ^ s; х)- —ООА = J ОИМ^ s; х)- —ОО(4.13)(4.13)
А = J ОИМ^ s; х)- —ОО
А = J ОИМ^ s; х)- —ОО
(4.13)
(4.13)
Преобразуем теперь слагаемое 72 из выражения (4.5).
Предположим, что функция gB (^) имеет кусочно-непрерывную и кусочно-монотонную вторую производную. Тогда из (3.7) легко следует (интегрированием по частям с учетом условия на функцию g, (^)), что при больших | X | имеем место оценка
».М=о(п).
Эта оценка позволяет дифференцировать равенство (3. 9) по t, после чего мы получаем
О) = гМ Хфе(Х)е-^.(4.14)
Так как
lzgAs-^= -fxg.J^-^
то в силу (4.14)
L = ^ I Ф.т^ЯЬ^з-а:)-
— НТ1 (ж, X — s) — ^- (Я — Я7^ j ve-'C^ йч
С одной стороны, учитывая выражения для функций к^х, f) и Цх, t) и матрицы Н, имеем
Нк^х, з— ж) — Нт Цх, х — з)— у (Я — ^Г) =
= i [Л (ж, s) + 71],
где матрицы А (ж, з) и Т имеют прежние значения, определяемые равенствами (4. 10), (4. 10') и (4. И).
С другой стороны, так как
Jox JооJox Jоод fg-i^s-x) 1 дх ( s — хд fg-i^s-x) 1 дх ( s — х
Jox J
оо
Jox J
оо
д fg-i^s-x) 1 дх ( s — х
д fg-i^s-x) 1 дх ( s — х
то, полагая еще
л 8”х . , S — X
,л 2 Sin X —К—
4^sV^ = yVA^sWne Ц$Д ,(4.15)
для 1г получаем следующий окончательный вид:
J2= j Ф. (X) dxa2 (х, s; X).(4.16)
Далее, в силу равенства (3.9) для L легко получаем следующее представление:
J3= J Фе (X) dxa3 (ж, s; X),(4.17)
где
а3 (ж, s; X) = — ^§£^п2). {я (х, | х — з |, з) е ^ 2 +
п ^-*11 sin X J5
+ 1Цх, — \х — з |, з)е ' 2 J—i^—^| .(4.18)
(4.19)(4.19)Преобразуем, наконец, /4. Для этого положим а^Дж, з; Х) = у j Я.(Д, t, s^e^dt, |tc-s| —J Ж—в I
(4.19)
(4.19)
а(2Дж, s; ^) = у j Н'Дх, t, s^e^dt.
Тогда из равенства (3. 7) и равенства (4. 19) в силу классического равенства Парсеваля соответственно следует (е<1)‘
со
j Н; (ж, t, s) ge (0 dt = A- j ^ (X) а™ (ж, s; X) dX, |zc-«|—co
-|.Z-8|CO
4 j я; (ж, t, s)gt(f)dt = -^ j фе(Х)а(2Дх, з; X)dX.
-1—со
Поэтому для /4 получаем окончательный вид
Л= 5 'Д СЛ) ^ха4 (ж’ s; л)>(4.20)
где х
а4 (ж, s; X) = -^ j [аО) (ж, s; v) Д-а^2) (ж, s; v)Jt7v. (4.21) о
Итак, учитывая равенства (4.13), (4.16), (4. 17) и (4.20), тождество (4. 4) можно переписать в виде
j фе (X) dxR (х, з; Х) = 0,(^-22)
где положено
R (х, s; X) =
= -^- (6 (ж, s; X) — 9* (ж, з; X)) — ^ а* ^ж'^‘^’ ^
Х=1
Тождество (4. 22) и тауберова теорема Б. М. Левитана дают возможность аналогично тому, как при получении формулы (3. 18), изучить асимптотическое поведение производной по х спектрального ядра 6 (ж, s; X) при |Х|-»со. Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 4.1. Если функции р (х) и г (ж) имеют суммируемую в каждом конечном интервале производную, то при а—» со справедливы оценки
а+1
s; Х)) = О(а) (i, к = 1, 2),(4.24)
где R.k (х, s; X) — элементы матрицы R (х, s; X), определенной равенством (4. 23), Оценки (4. 24) имеют место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и s.
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно получить оценку (4.24) для каждого элемента каждого слагаемого выражения (4.23). Для элементов матриц ^ 6 (ж, s; X) и ^ 6* (ж, s; X) оценка (4. 24) следует из оценок (2.18) и (2.29), полагая там Z=l. Для элементов матриц ak (х, s; X) (7с =1, 2, 3) оценка (4. 24) следует непосредственно из явного вида этих матриц. Что касается матрицы а4(ж, s; X), то в силу непрерывности по t матриц Яя(ж, t; з) и Й'х(х, t, з) (см. равенства (4.19)) и леммы Римана — Лебега следует, что в каждой конечной области изменения переменных х и з
limt^, s; X) = Jim а® (х, s; Х) = 0(7, / = 1, 2),
Х->соХ->со
где а^Х (ж, s; X) и а^Х (ж, s; X) — элементы соответственно матриц а<Р (.z, g; X) и а<2) (ж, s; X). Поэтому при а-^- со
{
х
^ 1 ЕаЩ ^s;v) +°C (^’s; = о
=^ J {i^H^ s; ^w*^ s; дп^^о)-
a
Лемма доказана.
Теорема 4.1. Если функции р^ и г (х) имеют суммируемую в каждом конечном интервале производную, то при каждых фиксированных х и s справедлива асимптотическая формула х
s: Ф0^ (4-25)
Асимптотическая формула (4. 25) имеет место равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и s.
Доказательство. В силу оценок (4. 24) и тождества (4. 22) применима тауберова теорема Б. М. Левитана, согласно которой равномерно в каждой конечной области изменения переменных х и з справедлива асимптотическая формула
х
JO-X)^^s; v)=°(1)’
-X
или в силу выражения (4.23) для R (ж, s; v) х[
ГЛ ^А л J ^® t2-’ s> •*) ^®* V^s- ^)
J V— Wdv I й di
— 2^^’ s; v) =°(1)' (4-26)
Вычислим теперь каждый из интегралов х
Л^= S^-'S^^ * '0 (^=1. 2,3,4). -X
Из определения 04 (ж, s; v), т. е. из равенства (4. 12), следует
х
Л1= J (1— ^da^x, s; v) =
-X
Р М + Г М4 itР М + Г М4 itАА(х, з) j (1 —(х, з) j (1 —^2\ Я Г sin ^ (s — 2) wtiv L^2\ Я Г sin ^ (s — 2) wtiv LS — XS — X
Р М + Г М
4 it
Р М + Г М
4 it
А
А
(х, з) j (1 —
(х, з) j (1 —
^2\ Я Г sin ^ (s — 2) wtiv L
^2\ Я Г sin ^ (s — 2) wtiv L
S — X
S — X
ут 1 — cos X (s — х\ут 1 — cos X (s — х\8 — X8 — XA fc s) X
ут 1 — cos X (s — х\
ут 1 — cos X (s — х\
8 — X
8 — X
X
X (fl — yj) [cos v (s — ж) — T sin v (s — ж)] dt.
Далее,
x
( ^1 — ^ [cos v (s — ж) — T sin v (s — ж)] d-j = -x
= 2 ) (1 — cos v (s — ж) dx 0
В силу известной формулы (см. Титчмарш [3], стр. 234)-
i (! - Э cos V (S - Ж) ^V = J/ ^ X ^^Р , (4.27)
поэтому для Лт получаем окончательное выражение
=V ^-х^2
12 V2nv ' (S _ Х^'’
Из (4. 15) для И2 получаем выражение
1г /м2\sinv о
^-тИ(». «) + Г1((1-Е)я,[« 2 -~-
Так как
2Т i (! - i)dv=T i О - 5)cos2 v ^ dv’
оо-Xо
о
о
-X
то
X
А2=4№ Х)+Т] ((1-$)^ =
-X
=2_[Л(Ж,5)+Т]. (4.29)
Вычислим теперь Л3. Используя (4. 18) мы имеемВычислим теперь Л3. Используя (4. 18) мы имеем
Вычислим теперь Л3. Используя (4. 18) мы имеем
Вычислим теперь Л3. Используя (4. 18) мы имеем
откуда после несложных вычислений для Л3 получаем выражение
А^з^^^ |ж —з|, з) + Я(ж, — (ж —s|, з)). (4.30)
Вычислим, наконец, Л4. Мы имеем в силу (4. 19) и (4.21)
Xг 1
а=^ i О ~ S)5 н= ^1) s} ebt dt+
-X4^-s|
-(- j Н' (ж, t, s) e^dt
-|ж-s|
Меняя порядок интегрирования и поступая так же, как
и выше, получаем
а,=1 ( я>, t,1 ®-» Iа,=1 ( я>, t,1 ®-» Icos tt dvcos tt dvdt +dt +cos ^t dt dt.cos ^t dt dt.
а,=1 ( я>, t,1 ®-» I
а,=1 ( я>, t,1 ®-» I
cos tt dv
cos tt dv
dt +
dt +
cos ^t dt dt.
cos ^t dt dt.
откуда в силу формулы (4. 27) находим
Х"7а рIa, CKt^
Л4 =■ I Н (ж, t, s —— dt +
42 V2n J x 7 t /=1
H—~i=( ^'Дх, t, s) ^ ■ dt. (4.31)
Из формул (2.12), (2. 14) и (5. 11') гл. X легко следует, что А3 =—-А2, а из асимптотики бесселевых функций получаем, что
Л2 + Л4 = О(1).
Поэтому асимптотическая формула (4.25) и, следовательно, теорема следуют из равенства (4.26) в силу формул (4. 28) — (4. 31). Теорема доказана.
Указания к литературе
Результаты этой главы принадлежат И. С. Саргсяну |5], [9], [12].
ГЛАВА XI
РАЗЛОЖЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ СИСТЕМЫ ДИРАКА
Некоторые предварительные оценки
Рассмотрим задачу на собственные значения
\—1 0/^2 '0r(z)/4 v 7
g^-hg^^(1.2)
где 1 — единичная матрица второго порядка, а к — произвольное действительное число. Функции же р(ж) и г (ж) — действительные функции, определенные на полупрямой [0, оо) и суммируемые в каждом конечном интервале.
В первом параграфе предыдущей главы нами было получено тождество (см. формулу (1. 13) гл. X)
tp (ж, X) <ре (X) = j W (х, з, е) tp (s, X) ds, (1.3) я-е
/^(ж, Х)\
где вектор-функция tp (ж, X) =, как и прежде,
означает решение уравнения (1. 1), удовлетворяющее начальным условиям
^(0, Х) = 1,^(0,\^к,(1.4)
а матрица W (х, з, е) определяется формулой (см. (1. 14) гл. X)
W (х, з, е) = А (х, s) gt (х — з) +
+ у j {Н (х, t, s)A-H(x, t, s)} ge(t)dt.
I x-s I
/ /1(ж)\
Пусть /(ж)= I I — произвольная вектор-функция \/2 \XU
класса S'2 (О, со). Обозначим через F(X) обобщенное преобразование Фурье вектор-функции / (ж), т. е. положим
(1-6)(1-6)F (X) = j /г (з) ср (s, X) ds.о
(1-6)
(1-6)
Из тождества (1.3) следует, что функции ^(ж, X) <ре (X) и <р2 (ж, X) <ре (X) при каждом фиксированном х являются обобщенными преобразованиями Фурье соответственно вектор-функций, равных
Wn (ж,з,е)\/И^ (ж,з,е)\
W12 (х,з,е))И(И' (ж,з,е)
ХА X **/ /\ Аа \//
при х — s ^ 3 ^ х + е и равных нулю вне этого интервала. Поэтому в силу обобщенного равенства Парсе- валя (2.4) гл. X из тождества (1.3) и равенства (1.6) следует
J ср (ж, X) F(F) <ps (X) dp (X) = j W (x, s, e)/(s)ds. (1.7)
Введем в рассмотрение вектор-функцию (8Лх, Х)\ х
8^ X) = ( 1' x ^(X)^, Х)ф(Х).(1.8)
J Фв (х) dxs (Х'J Фв (х) dxs (Х'Тогда равенство (1.7) примет вид
J Фв (х) dxs (Х'
J Фв (х) dxs (Х'
(1.9)(1.9)Х)= j Ж (ж, з, e)/(s)ds.
(1.9)
(1.9)
Ж-8
Выпишем теперь формулу, аналогичную формуле (1. 9), для задачи (1. 1)-|-(1. 2) при р (ж) = г (ж) = 0. С этой целью найдем новое представление для вектор-функции 5 (ж, X). Подставляя значение функции F (X) из (1.6)
в выражение (1.8), а затем меняя порядок интегрирования, получаем
S (ж, X) = J Ь ? (ж, X) ^ (Si х) dp (X)! / (s) ds, (1. 10) 0 U
так как
UT (s) ? (S, X)) у (я, X) = уг (s) ?1 (s, X) + /2 (s) ?2 (s, X)) X
/?1(^ x)\ (fAsWsi х)?1(ж. WWS- xj^x, X)) x —
\ ?2 (^, X) /V1 (s) ?! (s, X) ?2 (^ X) +/2 (s) ?2 (s, X) ?2 (^ X) '
?! (s, X) ?! (^, X) ?2 (s, X) ?! ^ X)\ //1 (S)fits, Х)у2(ж, X) ^(^s, X) <p2 (ж, X)/ \/2 (s)
AW _ ./2(5)/AW _ ./2(5)/уДж, x)\
AW _ ./2(5)/
AW _ ./2(5)/
T,(z, X)) (=p>(s’ *>■ x»
= ^<x, X^4s, X))/(S).
Поэтому в силу определения спектрального ядра 6 (ж, s; X) (см. формулу (2.5) гл. X) равенство (1.10) приобретает вид
5 (ж, X) = ^ 6 (ж, s; X^f^ds.(1.11)
о
Следовательно, вектор-функцию, аналогичную 5 (х, X) для задачи (1. 1) + (1. 2) при р (ж) = г (ж) = 0, можно определить формулой
/5* (ж Х)\ю
' =S‘(z, Х)=( 9*(z, s; X)f^ds, (1.12)
где матрица 6* (х, s; X) определяется формулой (2. 27) гл. X.
Далее, при р (х) = г (х) = 0 из определения функций k(x, t) и Цх, t) следует, что k^x, t) = l(x, ^) = ^, а матрицы Н (х, t, з) и Н (х, t, з) как решения задачи Гурса с нулевыми значениями на характеристиках тождественно
равны нулевой матрице. Значит, формула (1.9) в рассматриваемом случае имеет вид
j Фе (ж) dxS* (х, X) =у Н j g, (s — х) / (s) ds +
+ j^ j g^x-s^^ds. (1.13)
Теперь, вычитая из равенства (1.9) равенство (1. 13), получаем
J ф, (X) dx (5 (ж, X) — 5* (ж, X)) = j {ж (ж, з; е) —
-| № ks-xH HTgt кх - s)]} / (s) ds. (1.14)
Лемма 1.1. Если коэффициенты р{х) и rkx) уравнения (1.1) непрерывны в каждом конечном интервале, то при любом фиксированном х и при а-> оо справедливы оценки
й+1А
V(5,(^X)}=^(Х)!)^^ Х)|ф(Х)^0(1) (1.15)
(А = 1, 2).
Оценки (1. 15) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
кк=1, 2).кк=1, 2).Доказательство. В силу определения вектор- функции S kx, X), т. е. равенства (1.8), мы имеем
кк=1, 2).
кк=1, 2).
\JkSkk^ ^= J I^WII^(^ ^)Мр(Х)
Поэтому согласно неравенству Коши — Буняковского из последнего равенства следует
(* = 1, 2).(* = 1, 2).(1.16)
(* = 1, 2).
(* = 1, 2).
i А)|Мр(Х)<сi А)|Мр(Х)<с(A = l, 2),(A = l, 2),(1-17)(1-17)Теперь, с одной стороны, в силу леммы 2. 1 гл. X
i А)|Мр(Х)<с
i А)|Мр(Х)<с
(A = l, 2),
(A = l, 2),
(1-17)
(1-17)
а с другой стороны, так как благодаря равенству Парсе- валя
сосо
5 |F(/.)|^p(X)=^MI2^<ro-
—соо
то очевидно, что при я->оо
J |F(X)|MP(X) = o(l).J |F(X)|MP(X) = o(l).(1. 18)(1. 18)
J |F(X)|MP(X) = o(l).
J |F(X)|MP(X) = o(l).
(1. 18)
(1. 18)
Оценки (1.15) следуют из оценок (1. 17) и (1. 18). Лемма доказана.
Из определения вектор-функцин S* (ж, X), т. е. равенства (1.12), и из явного вида матрицы У (ж, s; X) (см. формулы (2. 27) и (2. 23) гл. X) непосредственно следует
Лемма 1.2. Равномерно на всей полупрямой [0, оо) при а—* оо справедливы оценки
а+1
V^;^, Х))=о(1)(F=l, 2).(1.19)
а
Теперь займемся оценкой вариаций производных век- тор-функций S (ж, X) и S* (ж, X) по ж. Для этой цели
рассмотрим тождество (1. 15) гл. X, т. е. тождество
ц ф. (X) = J ? (^ >о ^.(1 ■ 20)
Из этого тождества следует, что при фиксированном х функции ср'к (х, X) <р, (X) (k = 1, 2), можно рассматривать как обобщенные преобразования Фурье вектор-функций, равных соответственно по к,
'^Wh(^ s; е)\AW^ s; ej'^Wh(^ s; е)\AW^ s; ej(* = 1, 2)(* = 1, 2)
'^Wh(^ s; е)\
AW^ s; ej
'^Wh(^ s; е)\
AW^ s; ej
(* = 1, 2)
(* = 1, 2)
при x — e ^ s ^ x + 6 и равных нулю вне этого интервала. Поэтому на основании обобщенного равенства Пар- севаля (2.4) гл. X из тождества (1.20) и равенства (1. 6) следует равенство
J «х, \)F^^W\) = j ^^/(s)^,
зс-е
которое, используя определение вектор-функции S (х, X), примет вид
J W^-^1- J ^^/(^^ (1.21)
В случае р (х) = г (х) = 0 аналог равенства (1.21) в силу (1. 13) есть
со#+е
J ФаМ^^Г2-^^ S ^^"t^*15' (L22) где
(1.23)(1.23)< 0 1\
(1.23)
(1.23)
0Г
Здесь учтено, что—— = —АА—А и А (// — Н^^
Jдхдх 2 х'
= 1В. Вычитая теперь из равенства (1.21) равенство (1.22), получим
$ Ф.т{$ Ф.т{СО
$ Ф.т{
$ Ф.т{
dS (ж, X) dS* (ж, X)дхдх
—оо
С (dW (х, s; е)J 1 дхл-еС (dW (х, s; е)J 1 дхл-еiS —Al / (s) ds.дх 1'iS —Al / (s) ds.дх 1'(1.24)(1.24)
С (dW (х, s; е)
J 1 дх
л-е
С (dW (х, s; е)
J 1 дх
л-е
iS —Al / (s) ds.дх 1'
iS —Al / (s) ds.дх 1'
(1.24)
(1.24)
Лемма 1.3. Если коэффициенты р^ и г(х) уравнения (1. 1) имеют абсолютно непрерывные производные в каждом конечном интервале, то при любом фиксированном х и при а-> оо справедливы оценки
У рЦ^1} = J IF (X) | • I n (х, X) I dp (X) = О (а),
№=1, 2).
Оценки (1. 25) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Из определения вектор-функ- ции S (х, X) в силу неравенства Коши—Буняковского следует
а+1/«+1\‘/г /“+1
vPAy^AH^ f |F(X)^P(X)(М(^ х)Мр(Х)
(&=1,2).(1.26)
Тогда оценки (1.25) следуют из неравенств (1.26) в силу оценки (1.18) и оценки (2.17) гл. X. Лемма доказана.
Поступая аналогичным образом и опираясь на оценки (2. 19) гл. X и (1. 18) легко доказать лемму:
Лемма 1.4. Если коэффициенты уравнения (1.1) р (х) и г (х) в каждом конечном интервале имеют сумми-
руемые производные до порядка п включительно, то при любом фиксированном х и при а-* со справедливы оценки
v ■ = w) 11 ^^х)। rfpw=° w а
(£=1, 2).(1.27)
Оценки (1.27) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Из определения вектор-функции S* (х, X) непосредственно следует
Лемма 1.5. Равномерно на всей полупрямой [0, оо) при а^> со справедливы оценки
V = 0^<д= ^ 2>"(1-28)
Доказательство теоремы равносходимости
Опираясь на формулу (1.14) и на тауберову теорему Б. М. Левитана (см. § 4 гл. XIV), в настоящем параграфе мы дадим доказательство теоремы о равносходимости разложений по собственным функциям задачи (1.1)4-(1.2) и простейшей задачи
/0 1 \ Ду
(^-1^(0)-^(0) = 0(2.1)
для произвольных вектор-функций с интегрируемым квадратом на (0, оо).
Заметим, что если в задаче (2.1) й = 0, то из равенств (2. 23) гл. X мы получаем, что
tpj (х, X) = cos Хх, <р2 (х, X) = sin Хх, и поэтому в этом случае для вектор-функций из класса ^(О, оо) разложение по собственным функциям системы Дирака сравнивается с разложением в обычный интеграл Фурье.
34 Б. М. Левитан, И. С, Саргсян
Займемся теперь преобразованием правой части равенства (1.14). Подставляя выражение матрицы W (х, s; е) в равенство (1.14), получаем
СО
j ^d^S^x, Х)-5*(^ ^)} =
= J (Я^^, S —Ж) —ljge(s —Ж) +
-\-Нт^Цх, х — s) — yjg.Cr — s)|/(s)ds +
+ Т S I J H(x’ A AgAtWA-
X—£ ЧX—8 I
+ j H(x, t, s)gEWdt\f^dS = I^I2.(2.2)
Заменяя переменную, имеем
I1 = H^k(x, t)—^gAt)f(xA-t)dt +
AH1 J (z^, t)-^g6^Hx-tW-(2.3)
Теперь, если мы положим
(2-4)(2-4)(2.4')(2.4')а(1) (ar, Х) = J Ярс (ar, Z)— у} / (х + Z) e^dt,
(2-4)
(2-4)
(2.4')
(2.4')
а^ {х, \^=\НТ (Z (х, Z) — у} / (х — Z) eiXtdt,
а (х, /.) = ап) (.г, /.) -|- а(2) (х, а),
то в силу равенства Парсеваля для классического преобразования Фурье из равенств (2. 4) и равенства (см. (1. 10) гл. X)
Ш = \gAtVXtdt (2.5)
находим„
со
л=4? 5 м)^ ^^(2-6)
—со
Меняя порядок интегрирования во втором интервале правой части равенства (2. 2), мы его приведем к виду
6 (X+t1
/2=4 j ] j Я (ж, I, s)/(s)ds) gE(t)dl + о)
оI
+ 4 j И Й ^x,t, s')f^ds\g,^dt. (2.7)
Далее, положим
b (х,b (х,t) =t) =/Ь, (х, t)\b2 (х, t)/Ь, (х, t)\b2 (х, t)
b (х,
b (х,
t) =
t) =
/Ь, (х, t)
\b2 (х, t)
/Ь, (х, t)
\b2 (х, t)
(2-8)(2-8)
(2-8)
(2-8)
4 J Н (х, t, s) / (s) ds, x-t
x-t
4 J Й (x, t, s)f (s) ds, x-Vt
Пусть
(2.8')(2.8')^x, X) = J b (x, t) e^dt.
(2.8')
(2.8')
Тогда, применяя равенство Парсеваля для классического преобразования Фурье, из равенств (2.8') и (2.5) получаем
(2-9)(2-9)СО
(2-9)
(2-9)
—со
Поэтому, учитывая равенства (2. 3), (2. 6), (2. 7) и (2. 9), формулу (2.2) можно переписать в следующем окончательном виде:
СО
5Х) = 0,—СО5Х) = 0,—СО(2.10)(2.10)
5Х) = 0,
—СО
5Х) = 0,
—СО
(2.10)
(2.10)
где
В (х, X) = 5 (х, X) — S* (я, X) —
х
— ^W^ Д + РСп V)HV- (2-И) о
Докажем несколько лемм.
Лемма 2.1. Если коэффициенты р^ и г^ суммируемы в каждом конечном интервале, то при каждом фиксированном х и при а^> со справедливы оценки
а+1
V{^,>OW(1) (*=1,2),
В (х, Х) =В (х, Х) =/^ (х, Х)\\^2 (^ ХН '/^ (х, Х)\\^2 (^ ХН '(2. 12)(2. 12)
В (х, Х) =
В (х, Х) =
/^ (х, Х)\
\^2 (^ ХН '
/^ (х, Х)\
\^2 (^ ХН '
(2. 12)
(2. 12)
Оценки (2.12) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Так как вариация суммы не превосходит суммы вариаций слагаемых, то для доказательства оценок (2.12) достаточно показать, что эти оценки имеют место для каждого слагаемого суммы (2.11). Для элементов вектор-функций S (х, X) и 5" (х, X) оценки (2.12) совпадают с оценками (1.15) и (1.19). Далее, в силу суммируемости вектор-функций Н |/с (щ, Z) ■—Ы / (х -f- t) и
Нт |i(х, Z)—^-} j (х — Z) применима лемма Римана — Лебега, согласно которой
lima*.^, Х) = 0(А=1, 2), a (ar, X) =
Поэтому
V W ^fa' '№= t | ай (ar, v) |dv =о(1) (k=l,2\ (2.13) °‘) a
Так как вектор-функция b (x, Z) даже дифференцируема, то оценки (2. 12) для функций
j ^к (х, v) dv оj ^к (х, v) dv о(^ = 1, 2),(^ = 1, 2),9(х, v)=9(х, v)=Рг^ 'О/Рг^ 'О/
j ^к (х, v) dv о
j ^к (х, v) dv о
(^ = 1, 2),
(^ = 1, 2),
9(х, v)=
9(х, v)=
Рг^ 'О/
Рг^ 'О/
получаются из леммы Римана — Лебега в точности так, как при доказательстве оценок (2. 13). Лемма доказана.
Лемма 2.2. Пусть р^ и т^ измеримы и локально ограничены, а/ (х) — произвольная вектор-функция из класса jf2(0, оо). Тогда для каждого интервала O^x^Xq существует постоянная С— С ^х^ такая, что при £ -» О справедливы оценки
\bk(x, 0|<№(£=1, 2).\bk(x, 0|<№(£=1, 2).(2. 14)(2. 14)
\bk(x, 0|<№(£=1, 2).
\bk(x, 0|<№(£=1, 2).
(2. 14)
(2. 14)
Доказательство. Докажем оценку (2.14) для функции ЬДх, t). Для b2^x, t) доказательство аналогично. По определению,
Мж, ^ = у j {^и^ S)A(S) + Н12{х, t, s)f2(s)}ds. (2.15)
Пусть х — произвольная точка полупрямой [0, оо). Так как в равенстве (2. 8') интеграл по t берется в пределах от —е до е, то, выбирая е ^ х, мы получаем, что х Д-1 "^ О, х — ^ ^ 0. Поэтому, применяя неравенство Коши —
Буняковского к интегралу правой части равенства (2. 15), находим
л+tл+1
\ъм ОК^ $ IA^MsH-^ J |/2(«)М«< х—tx-t
coу/,/соу/,
j Д (s) ds + C'/l- J /2 (s) ds = Ct'S
0/\0/
где положено
Ck — max \Hlk(x, t, s)|(^=1, 2).
Лемма 2.3. При условиях предыдущей леммы для любого фиксированного х справедливы равенства
х
(* = 1, 2).(* = 1, 2).(2-16)(2-16)lim I РА (х, v)dv = O
(* = 1, 2).
(* = 1, 2).
(2-16)
(2-16)
Х->со \
Равенства (2. 16) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 2.2, докажем равенство (2.16) только для функции Pj (х, v). Из ее определения, т. е. равенства (2.8), следует
J Pi Iх > S^ = JJ Pi Iх > S^ = JJ Ьг (х, t) е<',/^| dv =J Ьг (х, t) е<',/^| dv =
J Pi Iх > S^ = J
J Pi Iх > S^ = J
J Ьг (х, t) е<',/^| dv =
J Ьг (х, t) е<',/^| dv =
еX 1е
= j b^x, t\ j ei',td^dt = 2 j b^x, t)~L dt. (2Л1)
-el-X-s
Далее, так как из (2.15) следует, что Ь1(х, 0) = 0, то в силу оценки (2.14) b1(x, t) — b1(x, 0) = O(t6) (3)>0). Поэтому утверждение леммы для РДаг, X) следует из (2.17) благодаря равенству (3. 17) гл. X. Лемма доказана.
Лемма 2.4. Если коэффициенты р^) и г (х) суммируемы в каждом конечном интервале, то при любом фиксированном х справедливы оценки
х
lim ( ак (х, v)dv = O (А=1, 2).(2.18)
Х->со \
Равенства (2.18) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Докажем лемму опять только для с^ (х, v). Из определения функции с^ (х, v), т. е. равенств (2. 4)—(2. 4'), следует
ат (х, v) = aW (х, v) 4 а<2> (х, v) =
4 Z Г/с (х, Z)^-1 /2 (х + Z)| e'^dt 4
+ jf^^ 0—yjA^ —О — — i 1I (х, Z)^-"1 /2 (х — Z)| e^dt.
Поэтому
j а, (т, v) dv = 2 j |^ (х, Z) — 1] /, (х + Z) +
+ i ^ (ж> Z) — у J/2 kx + Oj —t—^^ +
4-2 5{р4, o-IJa^-O-
• Г 7 z 1 1 t / Л sin Xi— 1 Z (X, t)2 /2 Vе — Of —"t— “^•
Заменяя во втором интеграле правой части последнего равенства переменную, получаем
х
j 04 (ж, v) d^ =
—х
= 2 j [/с (ж, Z) + Z (ж, —Z) — 1]Д (ж + Z)= 2 j [/с (ж, Z) + Z (ж, —Z) — 1]Д (ж + Z)sin Xttsin Xttdt +dt +
= 2 j [/с (ж, Z) + Z (ж, —Z) — 1]Д (ж + Z)
= 2 j [/с (ж, Z) + Z (ж, —Z) — 1]Д (ж + Z)
sin Xtt
sin Xtt
dt +
dt +
+ 2 j Щх, Z) — Цх, — t^f^x + ^^^Ldt,(2.19)
так как
к (ж, Z) —|— Z (хт — Z) = cos q (x, Z),
к (x, Z) — Цхт — Z) = i sin q (x, t), где положено
t
q^x, t) = у j (p (x + t) + r (x + t)) cZt,о
то равенство (2.19) можно переписать в виде
j аДж, v)dv = —4 j sin2 {у q (x, Z)| /1 (x + Z) si” ^ dt + — X—£
+ 2i j sin ^q (x, Z)} /2 (x + Z) - ^ ^ dt, откуда и следует равенство (2.18) для ах (z, v) на основании леммы Римана — Лебега. Лемма доказана.
Из лемм 2.1—2.4 легко следует основная в настоящем параграфе
Теорема 2.1 (о равносходимости). Пусть / (ж) ^ €^2(0> °0)- Если коэффициенты, р (х) и г (х) уравнения (1.1) измеримы и локально ограничены, то равномерно в каждом конечном интервале имеет место равенство
lim {[^(ж, X) — Sk(x, —X)] —
Х->оо
- [5’ (ж, X) - s; (X, -X)]) = О, (2. 20)
т. е. разность между разложением вектор-функции / (ж) в обобщенные интегралы Фурье по собственным вектор- функциям задач (1.1)—(1-2) и (2.1) стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. В силу оценок (2.12) и равенства (2. 10) применима тауберова теорема Б. М. Левитана (см. теорему 4. 1 § 4 гл. XIV), на основании которой при любом фиксированном х
lim(7?fr(a-, X)— Rk(^ —X)) = 0(&=1, 2),
т. е. согласно равенству (2.11)
lim^^, ^-Sk(x, —X)J — [S* (z, X^-S^x, —X)]) = Х->со
X
= 2^-lini (а (z, v)—р (z, v)} дм.
Тогда равенство (2.20) следует из последних в силу лемм 2. 3 и 2. 4. Теорема доказана.
Теорема 2.1 дает окончательное решение вопроса о сходимости разложения по собственным вектор-функциям одномерной системы Дирака для вектор-функций с интегрируемым квадратом на полупрямой (0, оо). Действительно, если в задаче (2.1) положить h = 0, то разложение в обобщенный интеграл Фурье по собственным вектор-функциям этой задачи есть разложение в обычный интеграл Фурье, ибо, как отмечалось в начале параграфа, при А = 0 собственными вектор-функциями этой задачи /cosXz\
являются ф (ж, Х)=[ . I. Следовательно, при А = 0 \ sin /
теорему 2. 1 можно сформулировать так:
Теорема 2.2. Пусть /(ж) £ jf2(0, оо) и выполняются условия теоремы 2.1. Тогда разность между разложением вектор-функции / (ж) по собственнным вектор-функциям одномерной системы Дирака и разложением в обычный интеграл Фурье стремится к нулю равномерно в каждом конечном интервале.
В частности, из теоремы 2.2 следует
Теорема 2.3. Пусть выполняются условия теоремы 2.1. Тогда в каждой точке ж0, где выполняются локальные условия разложимости вектор-функции f (ж) в обычный интеграл Фурье, имеет место равенство
]im {5 (ж0, л) —S^g, —Х)) = / W>
Х->со
т. е. разложение вектор-функций Цх) в обобщенный интеграл Фурье по собственным вектор-функциям одномерной системы Дирака в точке ж0 стремится к значению f(x^.
Доказательство теоремы равносуммируемости дифференцированных разложений
В настоящем параграфе, опираясь на формулу (1.25) и вышеуказанную тауберову теорему Б. М. Левитана, мы докажем теорему о равносуммируемости по М. Риссу дифференцированных разложений по собственным вектор- функциям задачи (1.1) -(- (1. 2) и простейшей задачи (2. 1).
Сначала займемся преобразованием правой части формулы (1.24). Подставляя выражение матрицы W (ж, s; е) из (1.5)) в формулу (1.24), предварительно дифференцируя по х, получаем
—СО
= S ^Д^Н8^.^ — ^^ +
+ j [Л (Ж, s)-/]/^)^-^-
X—£
л;-]-6
— j ^Н^х, t, S) — Й^х, — t, s)} |Hx-8|/(s)g,(s — X)ds +
+ j J Н^Ж’ l’ S) + ^ ^’ ~Z’ S^ g* ^ ^ ^ ^ = х—е | х—в |'‘
= 71 + 72 + 7з + 74,(3.1)
где
/ cos q (х, s), —sin q (х,
ЛА- S)=Linq(x s) cosoto(ЗЛ,)
\ Dill У yvO, о КvU6 у l*V, J
причем
9 (ж, s) = 1 j {p (ж + т) + r (ж + t)} d-г. (3.1") о
Пусть в s-окрестности точки x вектор-функция /(ж) дифференцируема. Тогда, интегрируя по частям интеграл 12, приведем его к виду
72= J М £ ^ f^gA8—^48 + е.
+ j [Л (ж, s) — 7] f (s) g6 (s — x) ds. Поэтому
+ [ Л (x, s) — 7] f (s)} g^ (s — z) ds, откуда, заменяя переменную s — x = t, получаем
+ [Л (x, x+ [Л (x, x7, + 7, = ( (["^> +/(« + <) +
+ [Л (x, x
+ [Л (x, x
+ ^) — 4 f ^ 4* oj gE (0 ^^- (^- 2)
Если теперь мы положим
х)=
+ [Л (ж, ж + <) — 7] f (х + О} cos Xt dt, (3.3) то отсюда и из (2. 5) в силу равенства Парсеваля для преобразования Фурье следует *)
А + А = ^ J AW0^’ ХИХ =
= J А А) ^х I ^ $ а А- А ^ ! • (3. 4) —азI О/
Далее, заменой переменной интеграл 73 можно представить в виде
73 = — J (77 (ж, 1t|, ж -|- /) -|-
+ 6 (х, — 1t|, х + t^ f(x + t) g^ (t) dt и поэтому, полагая
(х, Х) =— j (77 (ж, 1t|, х -|- /) -f-
+ Я (ж, — 1t|, х -|- t)} / (ж + /) cos Xt dt (3. 5) и снова применяя равенство Парсеваля, из (3. 5) и (2, 5) получаем
А=^ ] А(А₽(^ А^ =
= J (х) | v) L (з-
—соI 0
*) Заметим, что для четных gE (t) равенство (2. 5) принимает вид
А (М = j 66 (0 cos Xt dt.
И, наконец, преобразуем интеграл Iv Меняя порядок интегрирования, находим
л= 55 4хх^н^ж’z> s)+^(z’ —z- wgo^ р^ж
Теперь, полагая
т (z, X) = j | j -^ [Я (z, t, s) +
+ Н (ж, —/, s)] / (s) ds\ cos Xt dt (3. 7)
и применяя равенство Парсеваля, из (3. 7) и (2. 5) получаем
Л = А J Ш(*> ^d^ == J ФДХ)^Л = А J Ш(*> ^d^ == J ФДХ)^v) (Ьv) (Ь(3.8)(3.8)оо
Л = А J Ш(*> ^d^ =
= J ФДХ)^
Л = А J Ш(*> ^d^ =
= J ФДХ)^
v) (Ь
v) (Ь
(3.8)
(3.8)
о
о
Следовательно, в силу равенств (3. 4), (3. 6) и (3. 8) равенство (3.1) можно переписать в виде
(3-9)(3-9)
(3-9)
(3-9)
где х
. dS (х, X) dS* (z, X) 1 f,
ф (ж, X) = —V—-;Xl а (ж, v) dv —
47 dxdxit J x ’ 7
о
xx
— j Р(ж, v)dv— A j Т(Ж) v)dv. (3.10)
00
К доказательству основной теоремы настоящего параграфа предпошлем несколько лемм.
Лемма 3.1. Если коэффициенты р(х) и г^ и вектор-функция / (ж) в каждом конечном интервале имеют локально ограниченные производные, то при каждом
фиксированном х и при а-* оо справедливы оценки
а—|~1
(3.11)(3.11)V {Ф,(^ >^-о^(к=\, 2),
(3.11)
(3.11)
/ФДж, Х)\
(ж, Х) =.
УФг^- Х)/
Оценки (3.11) имеют место равномерно в каждом конечном, интервале.
Доказательство. Очевидно, что для доказательства оценок (3. И) достаточно доказать их для каждого слагаемого, входящего в выражение (3. 10). Для компо- ,„ dS (z, X) dS* ^х, X)„ ,.
нентов вектор-функции —-- и ^- оценки (3. И)
следуют из оценок (1.25) и (1.28). Далее, в силу суммируемости вектор-функций (в окрестности точки Z — 0)
ГdA (z, s) _ dA (z, s) 1,,.
L dxdsЖ + О +
+ [Л (ж, ж-j-Z)— l\f (ж-j- t) = B(x, Z) (3.12)
применима леммаприменима леммаРимана—Лебега, согласно которой
применима лемма
применима лемма
lim ak (х, X) = 0lim ak (х, X) = 0(£ = 1, 2),(£ = 1, 2),Поэтому приа-1-l,Поэтому приа-1-l,й-|-1й-|-1
lim ak (х, X) = 0
lim ak (х, X) = 0
(£ = 1, 2),
(£ = 1, 2),
Поэтому при
а-1-l,
Поэтому при
а-1-l,
й-|-1
й-|-1
о
аЦ-1аЦ-1Далее, поступая аналогично, из определения вектор-функций 3 (ж, X) и у (ж, X) и леммы Римана—Лебега заключаем, что
аЦ-1
аЦ-1
= 0(1),
о
Лемма доказана.Лемма доказана.оо(£=!, 2).(£=!, 2).
Лемма доказана.
Лемма доказана.
о
о
(£=!, 2).
(£=!, 2).
Лемма 3.2. Пусть вектор-функция j(^ в ь-окрест- ности точки х имеет суммируемую с квадратом производную, а коэффициенты р^ и г{х) уравнения (1.1) имеют локально ограниченные первые производные. Тогда справедливы равенства
(к = 1,2).(3.13)(к = 1,2).(3.13)
(к = 1,2).(3.13)
(к = 1,2).(3.13)
Доказательство. Из определения матрицы Л (ж, s), т. е. из равенств (3. Г) и (3.1") следует
дА (х, s) I
дх |g=g;+/
sin <? (ж, ж + 0 cos g (ж, ж + <)\
2— cos q (х, х + Т) sin q (ж, ж + /)/’’
дА (a:, s) I
6s |в=я+/
sin 9(ж, ж + ^) СО89(ж, ж + <)\
— "У/1 А */ I ’ (3 • 15)
2\ — cos q (ж, х + t) sin q (x, x + t)/
где
t
q (x, x + /) = у j h (x + t) dx, h (x) = p (x) + r (x).(3.16)
о
Далее, в силу того же равенства (3. V) имеем
Л (ж, х + t) — I =
2 sin2 q (ж, ж + <)1 sin q (ж, х +1)\
1 Ь (ЗЛ?)
—sin q (х, x + t) 2 sin2 l-^-q (ж, ж + #)|у
Докажем теперь равенство (3.13) для функции ^ (ж, v). Для а2 (ж, >) доказывается аналогично, так как нетрудно видеть, что эти функции содержат однотипные слагаемые. Из определения функции а1 (ж, X) (см. равенство (3.3)) следует, что она является cos-преобразованием Фурье
первой компоненты вектор-функции (3.12), которая в силу равенств (3. 14), (3.15) и (3.17) имеет вид
Вх (ж, t) = — у [Л (ж + i) — h (ж)] h (х + О sin q (ж, $ + 1) —
1
— у [А (ж + t) — h (ж)]/2 (ж + /) cos q (ж, ж + i) +
У q (х, ж + <)1 + /' (ж + <) sin 9 (ж, ж + i) =
= 6] + 62 + 63 + 64.(3.18)
Поэтому а4 (ж, X) можно представить в виде 46
04 (ж, X) = 2 \ Ьк (ж, /) cos X/ dt.к=1 е
Следовательно, для доказательства леммы нужно доказать
равенстворавенствоj bk (ж, t) cos vt dtj bk (ж, t) cos vt dtdM = 0.dM = 0.(3.19)(3.19)
равенство
равенство
j bk (ж, t) cos vt dt
j bk (ж, t) cos vt dt
dM = 0.
dM = 0.
(3.19)
(3.19)
Докажем равенство (3.19) для каждого слагаемого в отдельности. Мы имеем
XС £
К
^2 \ с
— тт) | \ bi(x, t) cos v/ dt Ым —
—XI —Ej
6/ X1
S
C />2 \
64 (ж, t)) Hl — cos Mt dM; dt.
—гI 0’
Подставляя сюда выражение 62 (ж, t') из (3.18) и учитывая формулу (4. 27) гл. X, находим
^1 = — 1/у i [А (ж + ^) — /г (ж)фх
73/ (X;)
X /1 (ж + t) sin q (ж, ж 4- ^) —^— dt.
Так как по условию функции р (ж) и г (х) имеют локально ограниченные производные, то из определения функции А (ж) следует, что при 7->0
7г(ж-|-1)— h (ж) = O(ty (3.20)
Поэтому, используя также ограниченность функции
j\ (ж + 7), получаемj\ (ж + 7), получаем
j\ (ж + 7), получаем
j\ (ж + 7), получаем
откуда и следует, что при Х-> со
(3.21)
Для слагаемого равенства (3.19), содержащего b2(x, t), доказательство вполне аналогично. Доказательства для двух последних слагаемых аналогичны. Докажем для последнего слагаемого.
По определению, мы имеем
j b4 (х, t) cos vj dt I d'< =
г1 73, Q^
= 2 J b,^ Op т ^-7^^
Подставляя сюда выражение bt(x, 0 из (3.18), получаем
I 2( Д (ж + 0 sin q(x, ж + 0 —У- dt.
Гак как для малых t в силу равенства (3. 16) sin у (ж, х + 0 — О (t),
35 В. М. Левитан, И. С. Саргсян
ТОТО^ (Xi) t^^ (Xi) t^dtdt
ТО
ТО
^ (Xi) t^
^ (Xi) t^
dt
dt
$ |/> + t)IH
Значит, при Х-» оо
л-о
чем и завершается доказательство леммы.
S О — й) ^ ^^=°—хS О — й) ^ ^^=°—хlimlim(*=1, 2).(3.22)(*=1, 2).(3.22)Лемма 3.3. Пусть /(ж) С S'2(О, оо). Если коэффициенты р ( х ") и г (х) уравнения (1.1) имеют локально ограниченные производные, то при каждом фиксированном х справедливы равенства х
S О — й) ^ ^^=°
—х
S О — й) ^ ^^=°
—х
lim
lim
(*=1, 2).(3.22)
(*=1, 2).(3.22)
Равенства (3. 22) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. В силу дифференцируемости по t матрицы Н (х, 1t|, х -\- f) -\- Н (^х, —1t|, х 4- t) и равенств (2. 16), (2.17) и (5.12) гл. IX имеем (для малых С)
П (х, р|, х-^-1)-\-И (х, —|£|, х + ^) = Ct.
Поэтому доказательство равенств (3. 22) проводится в точности так же, как и при доказательстве (3. 21).
Лемма 3.4. Пусть /(ж) С S’2(О, оо). Если коэффициенты р (х) и г (х) уравнения (1. 1) имеют локально ограниченные производные, то при каждом фиксированном х справедливы равенства х
lim U1 —v)dv = O (* = 1,2). (3.23)
Равенства (3. 23) имеют место равномерно в каждом конечном интервале.
Доказательство. Поступая так же, как и при доказательстве леммы 2.2, мы установим, что при £—>0
где0 (х,где0 (х,|с,Дж, ^)| = 2Л (*=1, 2),(3.24)
где
0 (х,
где
0 (х,
/с, (х, t)\
\с2(ж> 0/
= j ^ IH (х, t, s) + Н (х, t, s)] / (s) ds, x—t
C = max I ^H (x, t, s) + H (x, t, s)} I.
Тогда, используя оценки (3.24) доказательство леммы завершается в точности так же, как и при доказательстве равенства (3. 21).
Из лемм 3. 1—3. 4 и равенства (3. 9) легко следует
Теорема 3.1 (о равносуммируемости). Пусть вектор-функция f (х) принадлежит классу ^(О, оо) и выполняются условия:
1? в некоторой окрестности точки хй вектор-функция f (ж) суммируема с квадратом,
2? коэффициенты р^х) и г (ж) уравнения (1.1) имеют локально ограниченные первые производные.
Тогда справедливо равенство
dSk^J^LdSk (я, дхдхdSk^J^LdSk (я, дхдхlira 1 —-хlira 1 —-х= 0= 0(3.25)(3.25)х
dSk^J^LdSk (я, дхдх
dSk^J^LdSk (я, дхдх
lira 1 —
-х
lira 1 —
-х
= 0
= 0
(3.25)
(3.25)
№ = 1, 2),
т. е. разность между средними по Риссу первого порядка производных разложений вектор-функции / (ж) по собственным вектор-функциям задач (1.1)—(1.2) и (2. 1) стремится к нулю в точке хй.
Доказательство. В силу леммы 3.1 и равенства (3. 9) применима тауберова теорема Б. М. Левитана, согласно которой
х
lim ( fl—(ж, v) = 0 (к = 1, 2). (3.26) Х-> со J V
Равенства (3. 25) и тем самым теорема следуют из равенств (3. 26) в силу лемм 3. 2, 3. 3 и 3. 4.
Если в задаче (2.1) положим h = 0, то, как отмечалось в § 2, разложение по собственным вектор-функциям этой задачи совпадает с разложением в обычный интеграл Фурье. Поэтому из теоремы 3. 1 и теоремы 4.2 гл. VIII следует
Теорема 3.2 (о суммировании). Пусть коэффициенты р^ и г^ уравнения (1.1) имеют локально ограниченные первые производные и выполнены следующие условия:
1? /(ж)С^2(0, со).
2? В некоторой точке ж0 вектор-функция f (ж) непрерывна. Тогда
г Гд <18 (ж, v) I ,, ,
hni 1 1 —иг—з= f(xX
т. е. первая производная разложения вектор-функции по собственным вектор-функциям одномерной системы Дирака в точке х0 суммируема по методу Рисса первого порядка к значению f (ж0).
Указания к литературе
Результаты этой главы принадлежат И. С. Саргсяну [6], [10], [12].
ГЛАВА XII
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЧИСЛА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ
Интегральное уравнение для функции Грина
Из результатов гл. IV мы знаем, что если у оператора Штурма — Лиувилля
Ly=—y"-Vq^U (а<х<Ъ)(1.1)
функция q (ж) снизу ограничена и стремится к -J-co при х^а или х—»Ь (или и то и другое), то спектр оператора L дискретен *).
В настоящей главе будет дано другое доказательство этого факта для случаев: 1) а= —оо, & = -|-оо и 2) а= О, Ь = -|-оо. На функцию qt^ кроме условия д(ж)-*-|-оо (при х-* +оо) будут наложены дополнительные условия, которые позволят нам не только доказать дискретность спектра у оператора L, но и получить асимптотическую формулу для функции
А(Х)= 2 1,
е. для числа собственных значений.
Так как, по предположению, функция q (х) снизу ограничена, то, не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что для всех х из интервала (а, 6) выполняется условие
9(ж)> 1.
Мы рассмотрим подробно случай всей прямой, т. е. случай а — —со, 6 = -|-оэ. Изменения, которые необходимо внести в случае полупрямой, несложны и будут кратко указаны.
*) В предположении, что хотя бы одна из краевых точек сингулярна. При этом если одна из краевых точек регулярна, то в ней необходимо задать краевое условие.
Положим при фиксированных ж и р > 0
х^ (д(ж) + p}v% g(x, т,; ^^Ix^exp^ |z —т]|х) (1.2)
и рассмотрим интегральное уравнение
С(ж, к]; p) = g(®, т]; р) —
— ё^ ^ l^MCs)—4(Ж)1С(Ч T|; p)dL (1.3)
Ниже будет показано, что уравнение (1.3) при достаточно больших р может быть решено с помощью метода итераций и решение есть функция Грина оператора (1. 1). (Единственность функции Грина следует из теоремы 2.3 гл. 11.)
Обозначим через X банахово пространство ) числовых функций А (х, т;) (—со^к, т]<^-|-оо) с нормой
СО / СО
|| А (ж, т]) ||| = j J j | A (x, 7]) |'2 d-q . dx
— 00 ( —00
и определим в пространстве X оператор N формулой
NA(x, т])= j g(x, Е; p)[g(E) — у (ж)] А (Е, т^, (1.4)
где функция g (ж, Е; р) определяется формулой (1.2).
В дальнейшем важную роль будет играть следующая
Лемма 1.1. Пусть функция q (ж) удовлетворяет условиям:
1? для | ж — В | г^ 1
(1.5)(1.5)(1-6)(1-6)\q (^ — q (^\<: Кда ^\^ — ж\,
(1.5)
(1.5)
(1-6)
(1-6)
где К > О, 0 < а <| у — постоянные числа-, 2? для | ж — Е | )> 1
q Ф ехр (—у | х — Е | \Jq (х)} < В,
где В — постоянное число.
Тогда для достаточно больших р оператор N— сжимающий (т. е. ||/V|K1).
Доказательство. Положим
/УЛ (ж, ч^гМ^х, 7]) =
= J g^, *; i1) [? (?) — q (ж)] л (?, т^л-
| Ж—^}^1
4- 5 g 4’’ ^ 4 k ^—q (ж)] л (^, 7]) d^= а (х, т,; р)Д- ₽ (ж, т]; р). 1^-Е|>1
Тогда
\М<х, 7])К|а(ж, т]; р)| + |Р(ж, 4; ^)|, |
Мг (ж, т]) ^2 {а2 (ж, т]; ;а) —р р2 (ж, tj; р)). /' ‘ '
Далее, а2 (ж, т]; р)
J g^, ^ Р) Ы?) — 9(^)1 • | А (£, 7])|^f8^
В силу условия (1.5) мы имеем при | ж — ^ | ^ 1
g (ж, Е; р) I q (?) — q ^ К Kg (х, ?; р) да (ж) | В — ж |. Поэтому
( J g($, ?; р)|?(?) — 9(ж)||Л(5, rJl^V^ \|^-Е|<1/
<7Г2/ J qa(x)g(x, ^; р)|ж — ?|| Л (В, 7])|^V.
\|Ж-Е|<1/
Подставляя значение функции ^(ж, Е; р) из (1.2), мы получаем
| х — ? | qa (х) g (х, Е; р)|Л(Е, т])|^ =
I ж—1^1
= у| Ж — £ |1+з | Ж — Е [-е д" (ж) Х'2+6 X
1ж-Е|<1
Хх1-еехр(—х|ж — 61) | Л (^, т]) | dL (1.9)
Так как х = (д (ж) + t1}/2, то при р.—»- —|—со да(ж)х-2+» = 0(—\(1Л0)
где С>0 ибо в силу условия 0<а<-£- можно найти такое е<(1, что ^ = 1 —|—-^-е — а будет положительным числом.
Тогда из оценок (1.8), (1.9) и (1.10) следует а2(ж, т]; rtC^-f к — ^И^’ ^I^V—
=^ S k-^riM^x
X J |ж-^'|-6|Л(^, 7])|^'.(1.11)
k-E'i^i
Интегрируя неравенство (1.11) по ж в пределах от — оо до -|-оэ, после очевидной замены переменных и перестановки пределов интегрирования (используя также неравенство Коши — Буняковского), получаем
^ -^j | u~e | du j | u' |-5 du' ] j | А (ж, 7]) |2 dx\ =
^ I «I <1| к' I ^1( —coJ
Интегрируя теперь последнее равенство по tj в пределах от —оо до +оо, мы получаем
iH^, ti; rtlix^-^M^’ ^L (1Л2)
где С — постоянное число.
Оценим теперь ||Р(ж, т;; р)|| при р-^ -|-оо. В силу определения Р(ж, к;; fi), т. е. из (1.7), мы имеем
Р(ж, т]; р) = J g^x, Е; р)ГО — q<x^A (Е, т])^ =
I Е I >1
= J g^> Е; р)9(В)Л(^ т])^ — |ж—El >1
— 9 (ж)^ g(x, Е; р)Л(Е, 7])^ = ^ + ^.
I я—ЕI >1
Из оценки (1.6) и равенства (1.2) следует
?1<^$ехр( —|-\№ — ^|)М0. WEX
| ж—Е |>1
Xехр(—^V^l^— ^ |) М (^, ^)|^' =
I я—Е' 1>1
=тЦexpf—4- Vfw) I А (х + и, t^duX
ехр( — у | А (х + и*, 7])|du'.
I«'l>i
Теперь, как и при выводе оценки (1.12), интегрируя последнее неравенство по ж в пределах от —оо до -|-оо, получаем
j [32 (ж, 7j; р.) dx ^ ^- е 2 ^^ j ] Л (ж, tj) |2 dx. —СО—00
Поэтому с помощью интегрирования по т] в пределах от —со до -|-со из последнего неравенства получаем нужную оценку для ||Рх (ж, tj; р)||х при р-> -|-со, а именно:
II₽!^н)к<^М(ж, ^)L(1.13)
где С — постоянное число, аг — сколь угодно большое положительное число.
Аналогичная оценка справедлива и для )| Р2 (ж, ц; р) 1^.
Тогда из (1.7) в силу оценок (1.12) и (1.13) для NA(x, т]) при р-»-|-оо получаем следующую оценку:
^'А (ж, т]) ^<-^-11А (х, т])||х,
что и доказывает лемму.
Замечание. Введем в рассмотрение банаховы пространства А^, А1Т), Х^ (р^1, т ■— произвольное действительное число), элементами которых являются числовые функции А (ж, у), (—оо О х, т] < оо), а нормы, определяются соответственно следующим образом:
оо
М(^, 4)11^) = sup i МЖ чЖ^, Ж14)
AV -CD<X<CO J
—co
00 / 00x
IIА (ж, 7])|||(т) = U j |А(ж, 7])|VT(71)d7] Uz, (1.15) —00 I. —00)
co
IIА (ж, 71)|||(T>= sup ( |А(ж, 7]) I2 g2T (n) cZTj. (1.16) 1 —co<x.<co J —oo
Легко видеть, что лемма, аналогичная лемме 1.1, имеет место во всех этих банаховых пространствах.
Рассмотрим снова интегральное уравнение (1.3), которое можно записать, используя определение оператора /V (см. (1.4)), в виде
^Ж 7]; р) = £(ж, 7]; р) — NG(t, -q; р).(1.17)
Так как при достаточно больших р оператор /V сжимающий во всех рассмотренных выше пространствах Банаха, то если функция g(x, tj; р) принадлежит одному из этих пространств, то уравнение (1.17) может быть решено с помощью метода итерации и решение принадлежит тому же пространству.
В следующих леммах указываются достаточные условия для того, чтобы функция g (ж, т]; р) принадлежала соответственно пространствам Х^ (р > 0), X, Х^ и А(-Т) (т>0).
Лемма 1.2. Если q^^O, то функции g(x, ц; р) и — g(x, т;; р) принадлежат пространству Х№(р> 0), т, е.
ОО
sup {g(^, V» р)}р(1.18)
— со<я<со
—ОО
со
Ч! PH d-rl<co. (1.18')
Доказательство. Из определения функции g (х, Tj; р), т. е. из равенства (1.2), следует
ОООО
$ {^(^ V р)}^^ 5 exp (—рф^ Iх — 7] I) d-q =
—ОО—ОО
ОО
= \ ехр (—рф^ I и I) du = —=,Лр
откуда (1.18) следует непосредственно. Соотношение (1.18') доказывается аналогично.
Лемма 1.3. Если выполняется условие
СО
j (у (ж)рЭ'г dx < оо,
—ОО
то функция g (х, т]; р) принадлежит пространству X, т. е.
(1. 19)(1. 19)j ■ j [g(z, Ч? р)]2 di\ dx
(1. 19)
(1. 19)
Доказательство. В самом деле, для рО 0 мы имеем
^g ^, т]; р)}2 йт] = j ^ ехр (—х | х — т] |) d^ =
0—оо
2*32 (q (я) + р}3,:22g3'2 (х)
Поэтому (1. 19) следует из последнего равенства в силу условия леммы.
Лемма 1.4. Если для [ж — ц | ^С 1 функция g (.г) удовлетворяет условию
где С — постоянное число, то функция g{x, т(; р) принадлежит пространству X^id( m. е.
СО
sup 1 {^(^ ч; р}2q(ч)^<) ю•(1.21)
—со<х<со
—00
Доказательство. В силу пределения функции g (ж, 7]; р) мы имеем
00
J (^(^, ч; p)}29h)^ = —со
= $ ^тЛ^+н ехр 21 ~711 ^ ^ + ^2} dTi + I Ж—1) I <1
+5 ^^Lexp(_21 ж _ ^ | Гд (Ж) + р.]1/^=
1«—ii>i
= а (ж) + Ъ (ж).
Из условия (1.20) следует
sup а (ж) ^) sup Iехр (—2х | ж— 7]|)(/?] =
= sup [ ехр (—2х | и |) du <_ со.(1.22)
Далее, при |ж — ч | ^> 1 в силу условия (1.6) мы имеемg^Hg^^ ч; р)}2<Сехр(—у|ж —т]| Vp).
Поэтому, поступая так же, как и при получении оценки (1.22), мы получаем
sup 6 (ж) <^ со,
что вместе с (1.22) доказывает (1.21) и тем самым лемму.
Лемма 1.5. Пусть для | ж — ^ | ^ 1 выполняется условие
qW4^<Cy(1.20')
Тогда функция —^g^x, ц; р) ^х=^т^ принадлежит пространству Х~рц т. е. )
ОО
sup i^ Р))2^1^)^ < °°.(1.23)
—ОО
Доказательство. Если "q^x, то
^ = х^(х, -q; р) = ухехр(—х\х — Т]|),
где х2 = q (ж) + р. Поэтому (1. 23) может быть получено так же, как и (1.21).
Лемма 1.6. Пусть функция у (ж) удовлетворяет условию (1.20') и выполняется условие
_ з_2т
{9 (ж)) 2€^i(—со, ю).(I-24)
Тогда функция g(_x, tj; р) принадлежит пространству Х^", т. е.
кЧ^, ч; рУИ^Ь)?2" ^1(/ж<оо.
—со —соJ
Доказательство. Положим
j ^g^, т;; ^«Г^Ч^йт^ j {g(z, ч; р^ХЬХН- —00| Ж-7; I < 1
+ ^ U(ж, ч; р))2ХСчХ = «(.?)-НФ).
Из определения функции g (х, т(; р) в силу условия (1.20') для \х— т] | ^ 1 при р>0 следует
{g И 'С р)}2 СГ2" Cl) ^ С7~(2т+1) (ж) ехр {—2 \х — т] | \lq (ж)}.
Поэтому
а (ж) Н Cq^2'^ (х) J ехр {—2|ж— ц | ^q (ж)} d^ ^
НИХ)) (”+^, в силу чего и па основании (1.24) а (ж) 0 ф(—со, аз). Далее, для \х — ч | > 1
U^« ч; р))2ФФ<СехР(—21ж —Х-)-
Поэтому
Ъ (ж) С ехр (—2ux) du = 1
и, значит, 6(ж) также принадлежит классу jf2 (—со, со). Следовательно, а (ж) + b (х) ^ $х (—со, со), что и доказывает лемму..
§ 2. Первая производная функции 6г (sc, tj; р)
Дифференцируя формально уравнение (1.3) по ц, мы получаем
^-=-^— $ g^ ^; р)№ —9(2)]^dl(2.1)
Заменив в уравнении (2.1) -^G(x, т;; р) па К (_х, ц; р), получим интегральное уравнение
к^ Ч! Р-) = -^ g (^р-) —
00
(2.2)(2.2)—g^, ?; р) [g (?) — q (ж)] К (?, т]; р)^.
(2.2)
(2.2)
—00
В силу леммы 1.2 -^g^x, ч; р)^Х^\ Поэтому из
леммы 1. 1 (см. замечание после доказательства этой леммы и и. 3 § 1) следует, что К (х, ц; p)f Х^\ Нетрудно также проверить, что при у =^х функция К (ж, ц; р) есть непрерывная функция по тр
Интегрируя уравнение (2. 2) по ц в пределах от —со
до т], мы получаем
$ X (х, 7]; р) d-q = g (х, 7]; р) — — 00
К (?, т]; р) d-q Idr.К (?, т]; р) d-q Idr.(2.2')(2.2')а следовательно, иа следовательно, и00
К (?, т]; р) d-q Idr.
К (?, т]; р) d-q Idr.
(2.2')
(2.2')
а следовательно, и
а следовательно, и
— 5 g^, ?; р) [^ (?) — q (ж)]
При 7] = х функция -^ g (х, 7]; р),При 7] = х функция -^ g (х, 7]; р),—00
При 7] = х функция -^ g (х, 7]; р),
При 7] = х функция -^ g (х, 7]; р),
К (ж, т]; р) имеет разрыв первого рода, что не препятствует применению формулы Ньютона — Лейбница. Существование интеграла справа в уравнении (2. 2'), а также
законность изменения порядка интегрирования следуют из того, что К (х, тр, р)^Хр\ т. е. из того, что
00
sup 1 | К (х, тр р)|йт]<^оо.
—со<д;<со J —00
Уравнение (2.2') совпадает с интегральным уравнением (1. 3). Поэтому из единственности решения уравнения (1. 3) следует, что
j К (х, 7j; р) d~q = G (х, т]; р). —00
Дифференцируя последнее равенство по т], получаем, что при 7, =^ ж
^ (ж, т]; ^ = Ag(_x, tj; р).
Поэтому интегральное уравнение (2. 2) можно записать в виде
ОО
^—^=— J g^’ ^; р№(0 —q^A-^g^. ч; ^и —
— ОООО
- J g^ V, ^to^-q^\^-^dt(2.3)
—ОО
Применяя оценки, аналогичные тем, что были использованы при доказательстве основной леммы 1.1, можно показать, что функция
ОО
/(ж, 7]; р) = — \ g (ж, Е; V-Hq^ — q^A^g^, т], ^d^ —ОО
непрерывна по т]. Для этого достаточно проверить, что несобственный интеграл, определяющий функцию Цх, tj; р), сходится равномерно по т], что следует легко из уравнения (1.6).
Решая теперь уравнение (2. 3) с помощью итераций, нетрудно показать непрерывность по т] функции
-^G(x, 7,; ^ — -Lg^x, т,; р).
р) имеет такие же раз- р). Последняя функция7] = ж. В самом деле,р) имеет такие же раз- р). Последняя функция7] = ж. В самом деле,Поэтому функция -^ G (х, tj; рывы, что и функция -^ g (ж, 7j; имеет единственный разрыв при
р) имеет такие же раз- р). Последняя функция
7] = ж. В самом деле,
р) имеет такие же раз- р). Последняя функция
7] = ж. В самом деле,
-^g(x, Tj; р) =
у- = Aq (*)+р-},/=-у- = Aq (*)+р-},/=-—Y ехр {—(^ — ЖУАУ если т]> х,
у- = Aq (*)+р-},/=-
у- = Aq (*)+р-},/=-
1
уехр{—(ж — ч)х}> если т] < х
Поэтому
4^ж’ ^ рН-^+о —-^ g (^ 7]; p)|^_0=—1. (2.4)
Таким образом, функция -^ G (ж, ц; р) по т] непрерывна всюду кроме точки ц = х, в которой она имеет разрыв первого рода, причем
— G (ж, т]; р) |1=$+о ^- G (х, т]; р)^_ж_0= 1. (2.5)
В предыдущем параграфе было доказано, что перваяВ предыдущем параграфе было доказано, что перваяВторая производная функция G-(x, ij; р)
В предыдущем параграфе было доказано, что первая
В предыдущем параграфе было доказано, что первая
существует как элесуществует как элепроизводная функция -^G(x, ц; р)
существует как эле
существует как эле
мент пространства Х^ для любого р ^ 1 (определение пространства Х^ см. в § 1, замечание, после доказательства леммы (1.1)), непрерывна по т] при tj^zh
удовлетворяет интегральному уравнению
00
—00
Это уравнение можно привести к виду
$^х, ту, р) = Z (ж, 7]; р) —
00
(3.1)(3.1)— ^ ^(^, ^; рМ^) —д^)!^, ч; р)^> — 00
(3.1)
(3.1)
где
9^ ч; ^ = 4^°^’ 715 ^ — 4ч8^’ ^ ^
/(ж, т]; р) =
= J 8^- V, р)к(^) — 7(^)1 -^- g (^> т],- р)Й. (3.2) —00
36 Б, М, Левитан, И, С, Саргсян
Дифференцируя формально уравнение (3. 1) по т;, получаем
4^^<ж> ч; ^ = 4^ж’ 1х) —
00
— \ g(x- ^; Iх) Г? (О — a О)! -^ $^ т*; ^^<3-3)
—00
Далее, снова пока формально, дифференцируя (3. 2) по т; и используя равенство (2. 4) (см. также сноску на стр. 557), мы получаем
А I (Ж) ^ р) = g (х> -^ р) [? (7)) — q (ж)] — 00
= МЖ> ч; Iх) ЬтМ-
Рассмотрим теперь интегральное уравнение
М (х, т]; р) = Ц (ж, т;; р)—
— j ^(^ =; Iх) \q (^ — 9 WJм (^> ч; Iх)^.(3.4)
—со
Покажем, что Ц (ж, tj; р) принадлежит к пространству X^-Vi). Отсюда и из леммы 1.1 будет следовать, что решение уравнения (3.4) также принадлежит этому пространству Банаха. Мы имеем
к(х> ч; A = g<x- ч; Iх) к h) — q W] —
— J g^, I; p)[g(O — q(^^g^, -q- p)^; — lE-г.Ю
— $ g(x, s; p-)^^) — q(x^-^, 'g; ^^^Л+^+Л- 1£-тЦ>1
Из условий (1.5) и (1.6) нетрудно вывести, что 7, принадлежит к пространству ХР\ а значит, и Х^Ч1\
Рассмотрим теперь 72. Предполагая, что условие (1.20') выполняется, получаем
ЛХХХ g^x' ^х^х
lE-rJ^i
— q (ж) | exp { — | ? — Tj | ■ [5 (?) + p]-7i) q-'U (t]) [q (?) + p|7^? <
<ОД J g(x, ?; p)|g(B) —lE-lKi
— q (ж) | exp { — I — 7] I [q (?) + p]7,} dE,
где C (p) — некоторая постоянная, зависящая только от р.
И, наконец, используя условие (1.6), для 73 получаем следующую оценку:
ЛХХХХ) j g(x, s; p.|q(^ —
IE—T,I>1
— q (ж) | exp { —11 ? — 7] | fa (?) + p]'A | dt
Поэтому
CO
(^2 + ^ X hX C (p) j g<x, ?; p)|?(0 —
—CO
— q M | exp {— у I ? — 7] I fa (?) + p]7= J dt
Интеграл справа можно оценить как при доказательстве леммы 1.1. В результате легко доказывается, что Zt (ж, т]; р) принадлежит пространству Х^5’ т. е.
СО
sup 1 {Zi (ж, т]; р) Yq^ (7]) df\ <( со.
—СО<Я<СО J
—со
Теперь мы покажем, что М (х, гц р), т. е. решение интегрального уравнения (3.4) (которое по доказанному принадлежит пространству Х^^А)), при х\^=х равняется
-^-JG(x, т]; р) — g^x, т]; р)].
Интегрируя уравнение (3.4) по т, в пределах от т]0 до '’l (^о — фиксированная точка), получаем
j М (ж,[i) dq = j 1Х (х, т); р) dq —
— У g(x, Е; р)|9(£) — 9(41 | 5 м ^' ч; P^Ut (3.5)
"СОI т(0)
Далее, из уравнения (3. 1) следует
^(х, q; р)—^(ж, 7]0; р)=/(ж, q; р) — Z (ж, т]0; р) —
— \ g^ ^; р)М —-4; р) —
—со
т!0; р)]^.(3.6)
Если мы покажем, что
\1Л^ ч; p^^z^, 7i; р) — Ж ^ р)’(3-7)
то из единственности решения уравнений (3. 5) и (3.6) будет следовать, что
j М (ж, тр р) d-q — $ (ж, 7]; р) — ^ (ж, т]0; р),
т. е.
М (ж, т]; р)=А^(ж, т- р) =
=^rKG(;r’Р)].(3.8)
52
ААтак как ^g (ж, т]; р) существует при "q^x, то
А
А
из (3.8) следует, что для 'q^x существует -^G^x, т]; р) и есть элемент банахова пространства Х^'М.
Таким образом, нам осталось доказать равенство (3.7).
Из условия (1.6) легко получить, что функцию
/(ж, 7]; р) =
со
= —5 gk^; ^[Q^-Q^-^g^ 7i; р-И? (3-9) —co
можно дифференцировать под знаком интеграла. В самом деле, выберем IV настолько большим, чтобы точка т] попала в интервал (—IV, N), и представим функцию I (ж, ц; р) в виде
Цх, т]; р) = — j g^x, Е; p)to(^) —gMl^g^, ^; р)^ — —СО
. — \ g^ ^' н)1?Ю —д^)]-^-#'^ ч р)^ —
со'
— \g^ ^' f^) to (Е) — »(ж)]-Д-gr (5, т); p)d£ =
7]; р) + а2(ж, 7]; р) + а3 (ж, ц; р).
Функции аД-г, т]; р) и а3(.г, ц; р) можно дифференцировать под знаком интеграла, так как после дифференцирования получаются абсолютно и (равномерно) сходящиеся интегралы, что легко следует из условия (1.6). Функция а2 (ж, тц р) есть интеграл в конечных пределах и его дифференцирование не вызывает затруднений.
Дифференцируя равенство (3. 9) по ц и используя равенство (2. 4) (см. также сноску на стр. 557), мы получаем -^Цж' 7i; p) = sr(^, ^; Р) [9 h) — 9 (ж)1 —
СО
— ) g (ж, 6; р) [9 (0 — q (ж)] ^5 g (t 7]; ^a^ — l^x, 7]; р). —со
Поэтому
j к ^' 71; р) ^ = / (ж, 7]; р) — I (х, 7]0; р),
710
что совпадает с равенством (3. 7) и утверждение доказано.
Дальнейшие свойства функции Сг (ж, iq; р)
Кроме свойств, установленных выше, функция G^x, т]; р) обладает еще другими важными свойствами, которые будут выведены в этом параграфе.
Лемма 4.1. Функция G(x, т]; р) для i\^x удовлетворяет дифференциальному уравнению
^^{q^ + ^G.(4.1)
Доказательство. Уравнение (3.4) в силу равенства (3. 8) можно записать в виде
^j2 G (ж, т,; р) — {^ (а-) + р) g (ж, т;; р) =
= ^q^ — q^g^ ч; р) —
со
— 5 g k^ Е; р) (9 (^) — q (ж)) ^- G (Е, т(; р) dE,
-СО
откуда следует со
^ = kq М + р) g — J g (ж, 6; p) kq ® — q (ж)} ^ dt
-CO
ИЛИ
co
= g— 5 gk^ E; p) kq k^ — q M) ^ kq h) + p)-1 ^- -co
Сравнивая последнее уравнение с уравнением (1.3) на основании единственности решения заключаем, что
^ kq h) + р)-1=G k^, ч; р),
что совпадает с уравнением (4. 1). Лемма доказана.
Лемма 4.2. Функция G(x, у; р) симметрична относительно переменных х и у, т. е.
(4.2)(4.2)G (ж, у; ^ = 0 (у, х; р).
(4.2)
(4.2)
Доказательство. Пусть х и у — две различные точки прямой линии, причем пусть для определенности х<^у. Рассмотрим интеграл
7 = $ р (У, £; р) ^ G ^ ^’ Iх) — G ^ ^ Г-) ^ G ^У’ ^’ !л) ^*
существование которого следует из того, что
G <х, т]; р) е Х^\
^(гг^; р)№'А),
что нами отмечалось в предыдущих параграфах. Положим
/= S +5+5 (G^ ^; ^$№ V, i1)-
- G (х, Е; [Д g G (у, Е; ^ ^Е = Д + 72 + L
'Гак как
G ^У’ ^' ^ ^ G ^^—G (X, Е; р) ^2 G (у, Е; р) =
= 5^^, Е; v^G(x, Е; p)-G(^, Е; ^^G(y, Е; р)],
ТО
Л = G (у, х; i^G (х, Е; р) |.^_0 — G (х, х; р) -^G (у, £; р) |Е_Ж, h = G (у, у; р) ^G (х, ^; р) |Е_у —
— G (х, у; р) ^ G (у, 6; р) |е=у_0 —
— G (у, х; р) ~G (х, Е; р) |^+0 +
+ <7 (ж, х; ;i)-^G(у, Е; р) |Е_Ж,
7з = — G {у, У, р) ^G (х, 6; р) |Е_у +
+ &(х, у, p)^G(y, I; р)|^у+0.
Складывая эти равенства и учитывая (2. 5), получаем
I = G (у, х; р) — G (х, у; р),
что и доказывает равенство (4. 2), так как из уравнения (4.1) следует, что 7 = 0.
Если функция q (х) ограничена снизу и lim q(x) = |я|->+со
= -(-оо, то оператор Штурма — Лиувилля имеет дискретный спектр и единственную функцию Грина для всех р вне спектра (см. гл. IV, § 1).
Выше было показано, что функция G(x, -q; р) удовлетворяет всем условиям функции Грина оператора Штурма — Лиувилля. Следовательно, в силу единственности функции Грина G(x, т]; р) есть функция Грина. Из гл. II нам известно, что функция Грина G(x, т]; р) выражается через решения
Ф1(^ ^^^(—со, 0) и ^(х, p^S^O, оо), которые в случае q (х) -> -|-оо при | х | -> оо определяются в существенном однозначно,
Из интегрального представления резольвенты (см. гл. II, § 3) следует, что для любой функции Цх^ (—°°, °0)
СОсо
J G (х, у- ^/(^^ = 2^,(4.3)
где со
-00
Здесь Хп— собственное значение, а ^(х)— соответствующая собственная функция оператора Штурма — Лиувилля, т. е.
■—¥>^(^) + 9 (^) ¥>„(^) = х„¥>„ (^)-
Дифференцирование функции Грина по р
Из лемм 1.1 и 1.3 следует, что если д-'-Цх)^ £ jf1 (—оо, оо), то функция Грина G(x, tj; р) принадлежит пространству X, т. е.
СО ( СО1
j М G2 (х, т]; р) о!ж dx <( оо.(5. 1)
-СО '■-со'
Если же д~’^(х) £.gW (—оо, оо), то и (5.1) может не иметь места.
Предположим, что для некоторого натурального т > О
со, со).(5.2)
В этом случае естественно рассмотреть итерации функции Грина G(t) (х, tj; р) и можно надеяться, что такая итерация будет ядром Гильберта — Шмидта, т. е. удовлетворять условию (5.1).
Из интегрального разложения функции Грина (см. гл. II, § 3) следует, что итерации функции Грина с точностью до знака совпадают с соответствующими производными по р.
Мы подробно изучим -^G(x, ц; р), что соответствует первой итерации. Случай высших производных (итераций) изучается аналогично, и мы ограничимся лишь в этом случае формулировкой окончательного результата.
Из уравнения (1. 3) следует
СО
^=$— JР)} 19 (0 — 9 W1G ч; р) Л —
-СО
со
— J g ^, Е; р) [9 (0 — 9 (41 ^ G (Е, т]; р) dV (5. 3)
-СО
Если ^-72 ^ £^ 1 (—оо, оо), то из леммы 1.6 следует, что функция g (х, tj; р), а следовательно, в силу леммы 1. 1 и G (х; 7j; р) принадлежит пространству Х(-1), т. е.
G2 (х, -д; р) q 2 (tj) df\ ? dxG2 (х, -д; р) q 2 (tj) df\ ? dx^. 4)^. 4)
G2 (х, -д; р) q 2 (tj) df\ ? dx
G2 (х, -д; р) q 2 (tj) df\ ? dx
^. 4)
^. 4)
Так как функция G(x, tj; р) симметрична, то условие (5. 4) можно записать в виде
СО ( со)
j j G2(t], х; р)^~2(т]) dr^dx <( со. (5.5)
-СО '-со'
Более того, из леммы 1.1 (и последовательных приближений) следует, что при р-> со
j j G2 (т], х; р) (у (т]) + р) 2 йт]] dx
(5-6)(5-6)— О I j Н g2 (х, т]; р) [9 (•>]) + р.] 2d-q dx .
(5-6)
(5-6)
Положим
СО
а (х, т]; р) = j -^ ^’ ^ [^ (^) — д (ж)] G (t т]; р) d^ (5. 7)
-СО
Лемма 5.1. Пусть функция q^ удовлетворяет
условиям■
1 ? для | х — Е | ^ 1
|^(Е) —9(^)|<Л?а(а:)|Е—а:|,
где Л > О и 0 < а < -^— постоянные числа;
2? для | х — Е | ^ 1
q^q'Hx^B,
где В — постоянное число;
3? для | х — Е | > 1
q4 (Е) ехр |^ | х — Е | xjq (ж)| < С,
где С — постоянное число;
4? функция д~,/2 (ж) ^ jf1 (—оо, оо).
Тогда функция а(х, tj; р) определенная равенством (5. 7), принадлежит пространству X, т. е.
СО СО1
j ■ j a2(z, т,; p) dr; ? dx <X oo.(5. 7')
-CO '•-co'
Доказательство. Запишем функцию a ^x, tj; p) в виде
CO
a (x, tj; p) = j ^-'^l [9 (E) + p] X -CO
X [9 (E) — q (ж)] to (?) + P?1 G (E, tj; p) dt
Оценивая этот интеграл аналогично тому, как это мы делали, доказывая лемму 1.1, мы докажем (5.7'). Более того, рассуждая как при доказательстве леммы 1.1 и используя оценку (5. 6), нетрудно получить оценку
а (х, т]; р) || х = о (|| G (х, т]; р) [q (tj) + p]~i ||х) =
= о (к ^’ ч; Iх) к к) + р]1L)- (5-8)
Непосредственно проверяется, что если ^-72 (^) g Е^Ч—оо, оо), то функция ^^(ж, 7j;p) принадлежит пространству X, т. е.
dx <dx <00.00.СО С СО
dx <
dx <
00.
00.
-со '•-со
Учитывая (5. 7), интегральное уравнение (5. 3) можно переписать в виде dG dg/,
= —аН> v W — дрдр'1 г/
СО
— j #Ч> s; p)[<z(O — Q^l-^G^ ^; р.)^- (5.3')
-со
Решая теперь это уравнение с помощью итераций, получаем
^=^ —а(^, р.) + .8(^ ^[4(5.9)
причем из леммы 1.1 следует, что при р-» оо
ЦР^^^П^оИЦ-аП.(5.10)
\11ИА/
Так как
то (5.10) можно записать в виде
ll?(^^F)llx = o(|^|x + kllx). (5.11)
Покажем, что
Ь^- 7i; р.)11х = °(|^(ж’ тй о)!|х).(5. 12)
dz<9 w + р}7/2dz<9 w + р}7/2С4 5 ехр (—\jq (ж) + р) dxС4 5 ехр (—\jq (ж) + р) dxdx(9 W + Р)dx(9 W + Р)(5.15)(5.15)
dz
<9 w + р}7/2
dz
<9 w + р}7/2
С4 5 ехр (—\jq (ж) + р) dx
С4 5 ехр (—\jq (ж) + р) dx
dx
(9 W + Р)
dx
(9 W + Р)
(5.15)
(5.15)
Оценка (5.12) будет следовать из оценки (5.8), если мы покажем, что при р->-|-оо
k k, 7i; р) Isr k) + р] 1к = ° (|^(. ^ р)11х)’ (-13)
Непосредственное вычисление дает
(5- 14)(5- 14)Ug(.r, = С ( ——,
(5- 14)
(5- 14)
где С — постоянное число.
Далее, используя условие (1.20), мы получаем k k, 7i; р) к к) + рГ1 L =
СО / СО1
= S S g2^’ ^ккЭ + рР'к da: =
-со ’■-со'
СО ■
5 J g2 (ж, Ч р) ^q (tj) Д- pf^T] Д
-СО Д Я-^ I 5$ 1
+ 5 g2 ^’71,1 ^ ^ ^+^2 ^
I х-т, I > 1
■ со
5 g2 ^, ^; р) (9 (ж) + рГ2 d-q'idx-V--со'
Очевидно, что оценка (5.13) следует из оценок (5.14) и (5.15). Следовательно, оценка (5. 12) доказана. Теперь из оценок (5. И) и (5. 12) мы получаем оценку
1№ 7j; р)ц1="(Ц^^ 7i; р)|х)-(-16)
Из уравнения (5.9) в силу оценок (5. 12) и (5.16) следует оценка
|^(^^)х<|^^’ ч; р)^1 +°(1))-(5-17)
Вернемся к уравнению (5. 3'). Перепишем его в виде
СО
^^ + а + J § ^ ^’ р) to (£) — q (41 G (Е, v, ^ di.
Беря норму и оценивая норму интеграла по лемме 1. 1, получаем
откуда
Ц^^’ ^L^l^^, ^ ^Цх (1+°(1))- (5Л8)
Из оценок (5. 17) и (5. 18) заключаем, что
|^ ^р)^]^^ ti; р)^1 + °(4)> (5-18')
т. е.
Ит р.->соИт р.->со1^=1.х1^=1.хд
Ит р.->со
Ит р.->со
1^=1.
х
1^=1.
х
I д
^ Р)
Теорема 5.1. Пусть функция q(x) удовлетворяет условиям 1° и 2° леммы 5.1 и, кроме того, условиям
3? для некоторого натурального т ^ О
<Г -Ч.т) (-/■:( со. оо);
4° для | х — 11 4? 1
<f'1 (?) exp | — у | x — ? | \/q (ж)| < C,
где C — постоянное число.
Тогда функция —^G^x, tj; р.) принадлежит пространству X, т. е.
СО [' СО1
( 1 G(x. т; <1)1 йт! dx<" оо
-СО ’-CO‘
и при <1-> ОО
15^ ^)|/=|^(^;^(5-19)
Так как в силу (4. 3)
СО
S £ <С (», ,; „)) т. И ^ = (-1Г ,1 J^iL, -СО
то из равенства Парсеваля следует
I Lpg<z. ч: и)}'2^ = (’')2 2 (СТ^' (5 20>
-соw«l
откуда
СО Z ООсо
-со ’-со'w=l
Поэтому асимптотическую формулу (5.19) можно записать в виде
<T'W~|-^(:r, ^|Т)|^
СО 7 со)-CD ^—CO'СО 7 со)-CD ^—CO'(5.21)(5.21)
СО 7 со)
-CD ^—CO'
СО 7 со)
-CD ^—CO'
(5.21)
(5.21)
Вычислим интеграл правой части асимптотической формулы (5.21).
Полагая в известном равенстве
СО 1 С pio-tP~^t
— I -- . da = -т—(i0)
it J Cl2-|" P ?\/
-oo
P = z = {q (x) + p}1^, t = | x— т; |, мы получаем (см. равенство (1.2))
1।1 7е<“1ж—ч!
g (х, я; р) = я- exp (— х — т;1х) = я- \ —————;da.
о \ ’ и г/ 2*1 '12т J а2 -р g (г) р
-СО
Теперь, дифференцируя последнюю формулу т раз по р, получаем
ат , х (—1)тт! 7
^т g (^> i; I1) — 2п J (a2 4-g(z) -ppjt+l^-
Поэтому в силу равенства Парсеваля отсюда следует
F(т!)2 7 da
J (ар^^’ 711 ^| ^— 2п J (a2-pg(z) +р)2т+2> -со-со
откуда на основании предыдущего равенства и (2.1)
вытекаетсо-совытекаетсо-со(_1)2т+1 (Т|)2 ^2т+1—(2т i)i а^-н S'(2,(_1)2т+1 (Т|)2 ^2т+1—(2т i)i а^-н S'(2,V, ^) LV, ^) L■'(2т+1)!+(т!)2 • 1 • 3 • 5(4^ + 1)122Т+2 (2^1)1[д^+р]^■'(2т+1)!+(т!)2 • 1 • 3 • 5(4^ + 1)122Т+2 (2^1)1[д^+р]^(5. 22)(5. 22)Из асимптотической формулы (5.21) в силу последнегоИз асимптотической формулы (5.21) в силу последнегоравенства окончательно получим, что при р-> ооравенства окончательно получим, что при р-> оо
вытекает
со
-со
вытекает
со
-со
(_1)2т+1 (Т|)2 ^2т+1
—(2т i)i а^-н S'(2,
(_1)2т+1 (Т|)2 ^2т+1
—(2т i)i а^-н S'(2,
V, ^) L
V, ^) L
■'(2т+1)!+
(т!)2 • 1 • 3 • 5(4^ + 1)1
22Т+2 (2^1)1[д^+р]^
■'(2т+1)!+
(т!)2 • 1 • 3 • 5(4^ + 1)1
22Т+2 (2^1)1[д^+р]^
(5. 22)
(5. 22)
Из асимптотической формулы (5.21) в силу последнего
Из асимптотической формулы (5.21) в силу последнего
равенства окончательно получим, что при р-> оо
равенства окончательно получим, что при р-> оо
(5. 20')(5. 20')(4т + 1)!! гйх
(5. 20')
(5. 20')
22Т+2 (2т 4- 1)! Д <д ^ л._ ц.)2т+^
Асимптотическое распределение собственных значений
В этом параграфе, используя тауберову теорему М. В. Келдыша (см. гл. XIV, теорема 4. 3), из асимптотической формулы (5. 20') получим асимптотическую формулу для распределения собственных значений. Эта формула приводится в следующей теореме.
Теорема 6.1. Пусть функция q (х) удовлетворяет условиям теоремы 5. 1. Введем монотонную функцию
а (X) = mes {g (z) < X)
и положим
X
6 (X) — j (X — ^'^da (X).о
37 Б. М. Левитан. И. С. Саргсян
Предположим, что существуют положительные константы а и О такие, что для достаточно больших X выполняются следующие неравенства'.
^<W^<W¥^<W^<W¥(6.1)(6.1)
^<W^<W¥
^<W^<W¥
(6.1)
(6.1)
Тогда при X -> оо справедлива асимптотическая формула
N^=^\~^\(\-^do^ =
^n*<XО
= А j ^-q^dx. (6.2)
» (ж)<Х
Доказательство. Пусть
с (X) = mes ^q (z) < X).
Тогда
СОсо
Гdx Г de (X)
-СОО
Покажем, что
СООСООda (X)(X+jj.)2^da (X)(X+jj.)2^
СО
О
СО
О
da (X)(X+jj.)2^
da (X)(X+jj.)2^
05( X'
(6-4)(6-4)Г (2t + 2) г dX I с ..,, . .
(6-4)
(6-4)
Г (2т + 3/2) Г (1/2) J (X + |i)2t+2 | J (Х v) 2^°(v)
'О^0
В самом деле, меняя порядок интегрирования, получаем
ооf X'ГdXJ Сda (v)1 (Г+Тр+2 J (XО0■ооf X'ГdXJ Сda (v)1 (Г+Тр+2 J (XО0■оо= | do (v)ооо= | do (v)о(X — м^-Х(T+7jTi+2(X — м^-Х(T+7jTi+2dXdX(6-5)(6-5)
ооf X'
ГdXJ Сda (v)
1 (Г+Тр+2 J (X
О0■
ооf X'
ГdXJ Сda (v)
1 (Г+Тр+2 J (X
О0■
оо
= | do (v)
о
оо
= | do (v)
о
(X — м^-Х(T+7jTi+2
(X — м^-Х(T+7jTi+2
dX
dX
(6-5)
(6-5)
Далее,
( ILziO± - ТГ‘А dt -
J (X + |Jl)2t+2 “ J (Z + _L а)2Т+2—
0‘
,00
1C -,
—"^ГТ^277% ) (ТТИ^2
Отсюда в силу известных формул для интегралов Эйлера получим
7 (Х - ^_ Г (2^ +3/2) Г (1/2)
3 (X 4- рр+2 Г ^- _р 2) (V + ^)2т+^2 ’
что вместе с формулой (6. 5) доказывает формулу (6. 4). Обозначим
ф (X) = j (X — v)7z d<3 (у).
О
Тогда
х
d6 (X) = у j (X — ^-l-da (v) dX.
о
Поэтому формулу (6. 3) можно записать в виде
Г da (X) 2Г (2т + 2) Г dtp (О /е е\
3 (X + и)2^ — Г(2т + 3/2) Г (1/2) J^+Tj2^'( ‘ 1
-соо
Из асимптотической формулы (5.20') и из (6. 3) в силу (6.6) следует
„(4x4-1)!!2Г(2х + 2)7 dVW
.22т+2(2т + 1)! Г(2т-р 3/2)Г(1/2) J (X+p)2t+2-
о
Подставляя сюда значения эйлеровых функций Г (р), получаем
к ) (Х+,Ц)2^2-( -)
о
По определению,
Полагая
д- можно записать в виде
, С dNM
о
Поэтому из (6. 7) окончательно получим асимптотическую формулу
(6. 8)(6. 8)7 dN (/.)17 d; (7.)
(6. 8)
(6. 8)
J (7. + Д)2'4"2 л J (X + н)2Т+2'
О0‘
В силу условия (6. 1) к асимптотической формуле
(6.8) применима вышеуказанная тауберова теорема
М. В. Келдыша, на основании которой из (6. 8) следует асимптотическая формула (Х-* со)
^(Х)~1ф(Х)
или в развернутом виде
сл)—21 ~ 5 d= (v)= $ {А—ч йж >„<ло1О)<>.
и теорема доказана.
В настоящем пункте мы получим формулу, из которой, с одной стороны, в частном случае будет следовать формула (6.2), с другой стороны, используя эту формулу в следующем параграфе, мы докажем теоремы о сходимости и суммировании разложений и дифферен-
цированных разложений по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля функций, растущих на бесконечности как многочлен."
Теорема 6. 2. Пусть т и р—натуральные числа. Предположим, что имеет место условие
400. для \х — ^|^1
ч'И (0 qp (2) ехР |— 41 IV? (ж)} < В’
и пусть остальные условия теоремы 5. 1 выполняются в том же виде. Тогда наряду с асимптотической формулой (5.19) справедлива и асимптотическая формула
ч; р)^^1 + °(1))- (6-9)
Доказательство. Мы докажем асимптотическую формулу (6.9) для простейшего случая т = 0, р—\. Доказательство в общем случае вполне аналогично, однако связано с несколько более громоздкими вычислениями.
Из интегрального уравнения (5. 3) следует (умножая на Ч (ж))
q^ = q^-.
со..
— J q ^) 4 (^ (^ =; 1Д} № — 9 (*)] G (Е, 7]; р) & — -со■■
— q^g (х, Е; р) V1 (Е) — q (ж)] q-1 (?) X
-СО
X^q^^G^T-^. (6.10)
Положим а (ж, р) = ОО'
= — ( 9 (ж) ^ <£ (*, ^; Р)} [9 (?) — q (я)] G (5, Tj; р) dt
—ОО
Рассуждая как при доказательстве леммы 1. 1, можно показать, что
II “(^ w р-) Их =0 (IIG (^ ^ р)11х)-
Далее, из той же леммы и интегрального уравнения (1.3) следует
IIG (х, т;; р) ^ = О (|| g (х, т;; р) ||х).
Поэтому
IIа (^ ч р) Их — ° (II £ (ж, т, р) Их).
Непосредственным вычислением нетрудно установить оценку■
Ц g Iх, q; р) ||х = оф (х) ~ g (х, т;; р) |J, что с предыдущей оценкой приводит к оценке
IIа (^> ч; р) Их=° (| q ^ ^ g (х> ч; р) |х) •
Из этой оценки и интегрального уравнения (6.10) аналогично выводу асимптотического равенства (5.18) следует
[sM^^, р)^!»^)^^, 7i> р)]^14-o(i))>
что и доказывает утверждение теоремы при т = 0 и р = 1, так как
I ^ G <х’ ^ Р) ]х=| ^ G (Х’•
Теорема 6.3. Пусть функция q(x) удовлетворяет условиям теоремы 6.2. Введем монотонную функцию
§ 6] распределение собственных значений 583
а (X) = mes {9 (z) < X} и положим
X
^(X)= J (X— ^'!^da^(6.11)
о
и предположим, что функция ф (X) удовлетворяет неравенствам (6.1).
Тогда при X -> оо
хх2^’^л<^2^’^л<^— (т: }О— (т: }О(X — V^h^Fdo (v) =(X — V^h^Fdo (v) =
х
х
2^’
^л<^
2^’
^л<^
— (т: }
О
— (т: }
О
(X — V^h^Fdo (v) =
(X — V^h^Fdo (v) =
гдегде=1 J q^W-qWax, (6.12) 5(®)<Х
где
где
«У = j q2p М ^ &) ах,(6.13)
-00
а ^„(х)— собственная функция оператора (1.1), соответствующая собственному значению Хм.
Доказательство. Заменяя в равенстве (5. 20) число т числом т Д- р, получаем
ООоо
(Хм+р)2^+2'(Хм+р)2^+2'J {^SJG 715 ^)}2^=(т+р)! 2
(Хм+р)2^+2'
(Хм+р)2^+2'
Теперь, если умножим обе части этого равенства на фр (х) и проинтегрируем по ж в пределах от —со до +со, а затем используем асимптотическую формулу (6. 9) и равенство (6.12), то мы получим, что при р-* со
{(т + р)!}2 ^ (^^^(z+pj+a и-1
■ 00( г ат+рJ L^+p—00■ 00( г ат+рJ L^+p—00g^- г, р:g^- г, р:dx.dx.
■ 00
( г ат+р
J L^+p
—00
■ 00
( г ат+р
J L^+p
—00
g^- г, р:
g^- г, р:
dx.
dx.
Из последнего асимптотического равенства в силу (5.22) (полагая там т + р вместо т) приходим к равенству
ОО,
Я=1
„(4г-Нр + 1)6 С qip (ж),
22(^И2 (2т +2р + 1) ! {д (г) +!л}2Г+^%
Поступая так же, как и при получении асимптотического равенства (6. 8) из равенства (5. 20'), в рассматриваемом случае из равенства (6. 14) мы приходим к равенству
7 dXpW 1 ?^^/R 151
J (X 4-р)2(т+Ю+2 T. J (X + ^гСЧ-РИг >
—00—00
где
Z? CM = 5 МЛ
а функция ф (X) определяется равенством (6.11). Тогда асимптотическая формула (6.12) следует из (6. 15) в силу теоремы М. В. Келдыша. Теорема доказана.
Формула (6.2) является, очевидно, частным случаем формулы (6.12) (соответствует случаю р = 0).
Случай полупрямой. Аналогичные результаты могут быть получены в случае полупрямой (0, оо). Пусть функция Q-(ж) определена на полупрямой (0, оо) и удовлетворяет условиям (1.5), (1.6) и (1.20).
Рассмотрим оператор
Цу) = —у" + q СМ у (ж>0),(6.16)
у/(0) —(0) = 0.(6.17)
Здесь h — произвольное постоянное число.
Вначале выясним, как выглядит для этого случая аналог функции g^x, tj; р.). Пусть x2=g(z) + p (р>0),
X (х) = ch х.т -|- Az'1 sh хх.
Рассмотрим функцию( (х + h)^ X (7]) е-х" g+ & Ч! р) = ( (х + д)-! х (ж) е-хчРассмотрим функцию( (х + h)^ X (7]) е-х" g+ & Ч! р) = ( (х + д)-! х (ж) е-хчСК4СК4(ч > ху(ч > ху(6.18)(6.18)
Рассмотрим функцию
( (х + h)^ X (7]) е-х" g+ & Ч! р) = ( (х + д)-! х (ж) е-хч
Рассмотрим функцию
( (х + h)^ X (7]) е-х" g+ & Ч! р) = ( (х + д)-! х (ж) е-хч
СК4
СК4
(ч > ху
(ч > ху
(6.18)
(6.18)
Нетрудно проверить, что функция g* (х, tj; р) удовлетворяет уравнению
<?Т]26
и условиям =0,-^1=-1.
\ ^/ г^-0Ц-а:+О|т]=я—О
С помощью функции g* (х, 7j; р) можно составить интегральное уравнение, аналогичное уравнению (1.3) и доказать затем существование функции Грина G* ^х, ц; р) для оператора (6. 16)—(6. 17).
Чтобы в этом окончательно убедиться, нужно только посмотреть, как оценивается функция g* ^х, ц; р). Из (6.18) следует
йЧх' ч; Р) =
-Lz-i(l +/гх-1)-1е-^>-(1 +O(x-i))(т^я),
= i(6.19)
у x-i (1 + hx-^ е-х (1 + О (х-1))(т] > 0),
Так как х^ = о(1) при р,-»-)-оэ, то из (6.19) следует, что
g4x» I! p^yx^e-l^l* (1 + о(1)) =
= g(x- ^; и) (1 + о(1))-(6.20)
Представление (6. 20) дает возможность легко распространить полученные ранее результаты на случай полупрямой.
Заметим только, что в случае полупрямой в асимптотических формулах (6.2) и (6. 12) коэффициент перед 1 интегралом следует заменить*на ^.
В заключение этого параграфа укажем некоторые достаточные условия для того, чтобы имели место неравенства (6.1).
Пусть функция q (ж) монотонно возрастает, имеет первую и вторую производные и вогнута. Тогда q1 (ж)>0, q" (ж) > 0. Далее, пусть выполняется еще условие
q^qf^xXC ^q1 (х)^,q^qf^xXC ^q1 (х)^,(6.21)(6.21)
q^qf^xXC ^q1 (х)^,
q^qf^xXC ^q1 (х)^,
(6.21)
(6.21)
где С — некоторое конечное число, отличное от нуля.
Обозначим через х = р (X) функцию, обратную функции q (х) = X. Из рассмотрения графика функции q (ж) видно, что функция р (X) монотонно возрастает, имеет первую и вторую производную и выпукла, т. е. р'(Х)^>0,
Легко видеть, что из условия (6.21) следует неравенство
р/(Х)>-С-1Хр"(Х).р/(Х)>-С-1Хр"(Х).(6. 22)(6. 22)
р/(Х)>-С-1Хр"(Х).
р/(Х)>-С-1Хр"(Х).
(6. 22)
(6. 22)
В самом деле, из q (х) = X дифференцированием получим
^^ = ,- = 57 = ^,dX
__d_/dX\_ d / 1 \ d / 1 \dXp" (X)
dx \dx/dx I dx j dX \p' (X)/ dx (p' (X)}3 *
\dX /
Подставляя значения q (x), q' (x) и q" (ж) в (6.21), получаем
у P"M кР' №у P"M кР' №Р'^>-С"ЧР"^’Р'^>-С"ЧР"^’
у P"M кР' №
у P"M кР' №
Р'^>-С"ЧР"^’
Р'^>-С"ЧР"^’
т. е. условие (6. 22).
Далее, выразим функцию а (X) = mes (q (ж) <( X) через функцию р (X). Очевидно, что
а (\) = mes kq кх) < X) = mes (z < р (X)) = р (X).
Поэтому из определения функции ф (X) следует (ф(Х) = = ФоМ)
XX
,. 1Г v^a(v)l Г чРр'^ам
Интегрируя последний интеграл по частям и учитывая, что р' (X) > 0 и р" (X) < 0, получаем
хх
Ф^ (X) = —т j (X — v)1^ ^р’ ^ ^v ~h j (^ — v)1/1 Г—р" (v)l ^v оо
< J ^ (X — ^ [—р" (*)] <Ь.(6. 23)
о
С другой стороны, в силу условия (6. 22) мы имеем х
фр (X) — j vp (X — v)Vi р1 (v) eta > о
> C-Yk j vp (X — v)7i [—pn (v)] t/v.
o
Из последнего неравенства в силу неравенства (6.23) следует
м^хсф/х),
т. е. правое неравенство (6.1). Левое неравенство (6. 1) является тривиальным.
§ 7. Разложение по собственным функциям при неограниченно растущем потенциале
Рассмотрим следующую задачу на собственные значения:
У" + (^ — Ч W) У = 0(0<z<oo),(7.1)
у (0) cos a + у1 (0) sin a = 0.(7.2)
Пусть функция q (х) удовлетворяет условиям теоремы 6. 2 и, кроме того, для больших х удовлетворяет неравенству
9 (ж)9 (ж)8 ах ;8 ах ;(7.3)(7.3)
9 (ж)
9 (ж)
8 ах ;
8 ах ;
(7.3)
(7.3)
где а и 8 — некоторые положительные константы.
Известно, что если выполняется условие (7. 3) (точнее, если q (ж)—> -|-оо при х—> -|-оо), то собственные функции $„(ж) задачи (7. 1) + (7. 2) быстро убывают. Так, например, если функция q(x) растет на бесконечности со скоростью многочлена, то собственные функции <р„(я) убывают быстрее, чем е-с1ж|, где С^О— любая константа. Поэтому при любом s )> О существуют интегралы
ОО
(7.4)(7.4)а^ = j д’ (ж) <р2 (ж) dx < -|-оо, о
(7.4)
(7.4)
и для построения ряда Фурье нет нужды от разлагаемой функции требовать интегрируемости квадрата.
В настоящем параграфе, используя асимптотическую формулу (6. 14), мы докажем некоторые теоремы о сходимости и суммировании разложений и дифференцированных разложений по собственным функциям задачи (7.1) + -ф- (7. 2) функций, растущих на бесконечности как многочлен.
Предварительно докажем несколько лемм.
Лемма 7. 1. Пусть функция q (х) удовлетворяет условиям теоремы 6.2 и условию ^Ч.3\ Тогда при р.-* со справедлива оценка
2 a^oG^1),(7-5)
р.^р.я<Р-+1
где положено ря = Хя (Хя — собственные значения задачи (7. 1)—(7.2)), а числа а^ определяются формулой (7. 4).
Доказательство. В силу условия (7.3) мы имеем а (X) = mes (g (ж) < X) ^ mes ^ах5 <( X) =^) Z = СХ1^. (7. 6) Положим
X
°8 W = j ',8^° М’
О
где s — некоторое фиксированное число. Тогда, используя обозначения предыдущего параграфа, формулу (6.14), заменяя там т -]- р -|- 1 на р, а 2р на s, можно записать в виде )
С ^Zs W р С ^4 (И Л f °* (И ^ /у Гх
оо v ' 'о '1'
Из оценок (7. 6) для функции а#(л) получим оценку о8(М<С'^.
Поэтому из (7.7) следует неравенство
с dx8 СЧj (1р)2^о ' 'с dx8 СЧj (1р)2^о ' '1Щ)’j Q. .12)2?1Щ)’j Q. .12)2?и, значит, иодавнои, значит, иодавно(7!14Л-2»-2,г-1(7!14Л-2»-2,г-1(7- 8)(7- 8)
с dx8 СЧ
j (1р)2^
о ' '
с dx8 СЧ
j (1р)2^
о ' '
1Щ)’
j Q. .12)2?
1Щ)’
j Q. .12)2?
и, значит, иодавно
и, значит, иодавно
(7!14Л-2»-2,г-1
(7!14Л-2»-2,г-1
(7- 8)
(7- 8)
(,^+1)![<?-/_, ft)j ft ,,.2)2?(,^+1)![<?-/_, ft)j ft ,,.2)2?С ДРУГОЙ стороны,
(,^+1)!
[<?-/_, ft)
j ft ,,.2)2?
(,^+1)!
[<?-/_, ft)
j ft ,,.2)2?
>^{ZS№ + 1)2|-ZS(^)}.(7.9)
Из оценок (7.8) и (7.9) следует оценка (ря=у'Хя):
ZJ(^ + 'I)2! - Z. (!^2) = 2 < < С^>^,
Н<Нл<Н+1
что и требовалось доказать.
Пусть функция /(ж) суммируема в каждом конечном интервале, и пусть существует такое положительное число s, что
/2 (ж) q-“ (х) dx < оо.(7.10)
о
Положим
8^, р) = 2 с^х),Р-и<Р-
где
ОО
Cn=\f ^ V» ^ ^'0
Лемма 7.2. Если функция f{x) удовлетворяет условию (7.10), а функция q(x) условиям леммы 7.1, то при р —> оо справедлива оценка
V (5 (ж, р)} = О (p’+i/s+'/2).(7. 11)
Доказательство. По определению функции S(х, р), имеем
(5 (х, р)} = 2 I с„ IIК к^ К
VР-^Ри<Р-+1
'2(7.12)
\Р-^Р-Я<Р-+1/\Р-<Р-Я<Р-+1/
Далее, применяя неравенство Коши — Буняковского, в силу (7. 10) получаем
ОООО
cn=\f k^ ?„ k^ dx = J -S; ?« kx) q8'2 k^ d^ < о0 9 w
j /2 kx) q"8 kx) j kx) q8 k3^< c {a^}1'2.
0/ \o/
Поэтому
\7№5 atW 5
+V<+ji<++l/ \+<+л<+ + 1/
Лемма следует из последнего неравенства в силу оценки (7. 5) и оценки (2. 12) гл. VII.
В точности так же из оценки (7.5) и оценки (1.21) гл. VIII следует.
Лемма 7.3. Пусть выполнены, условия леммы 7.2 и, кроме того, функция q (ж) в каждом конечном интервале имеет суммируемую k-ую производную. Тогда при р-> со справедлива оценка
(7.13)(7.13)\у_ Q (рв+1/8+V2+1-).
(7.13)
(7.13)
dxk /
Пользуясь оценками (7. 11) и (7. 13) и методами глав VII и VIII, легко доказать следующие теоремы.
Теорема 7.1. Пусть функция q(x) удовлетворяет условиям теоремы 6. 2 и условию (7. 3), а функция / (ж) суммируема в каждом конечном интервале и существует такое положительное число s, что
ОО
j /2 (^) 47* (ж) дх<^сп. о
Тогда в каждой точке непрерывности функции f(x) для 11
т "> s 4- у + у имеет место равенство
гдегдеНт у.->соНт у.->со2 ^-^ с^^=нх\Ня<Р-2 ^-^ с^^=нх\Ня<Р-
где
где
Нт у.->со
Нт у.->со
2 ^-^ с^^=нх\
Ня<Р-
2 ^-^ с^^=нх\
Ня<Р-
ОО
Ся= J f^^n^ йх»
Риссу (порядкаРиссу (порядкаразложеразложеО
Риссу (порядка
Риссу (порядка
разложе
разложе
т. е. средние по
ния функции / (ж) по собственным функциям оператора
Штурма — Лиувилля в каждой точке непрерывности функции f(x) стремятся к Цх).
Теорема 7. 2. Пусть Цх) и q (ж) удовлетворяют всем условиям предыдущей теоремы и, кроме того, q(x) имеет суммируемую в каждом конечном интервале (к— 1)-ую производную, a Цх)— суммируемую к-ую производную. Тогда в каждой точке непрерывности функции ЦЦх) для 11
т^з+у+у+й имеет место равенство
i™ 5 а->ооv '
11
т. е. средние по Риссу порядка ^s-^y + yb^ производной k-го порядка разложения функции / (ж) по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля в каждой точке непрерывности функции У*^ (ж) стремятся к значению f(k) (х).
Теорема 7.3. Пусть функция q (х) удовлетворяет условиям теоремы 1А. Далее, пусть на интервале (О, со) существуют операторы ^°j = / (ж), $j = f* — q (ж) У, ДА}, ... . .., Skf, которые удовлетворяют следующим условиям;
1? {^*У (ж)}я=0 cos а + {^V Ж=о sin а = О
(i = l, 2, ..., k — 1).
2? $Ч^ = о2? $Ч^ = оexp j \jq (x) dx-oexp j \jq (x) dx-oпри ж-» coпри ж-» co
2? $Ч^ = о
2? $Ч^ = о
exp j \jq (x) dx
-o
exp j \jq (x) dx
-o
при ж-» co
при ж-» co
(i = 0, 1, 2, . .., k— 1),
3? №№ = о3? №№ = оexp J \jq(x) dx-oexp J \jq(x) dx-oпри ж-» coпри ж-» co
3? №№ = о
3? №№ = о
exp J \jq(x) dx-o
exp J \jq(x) dx-o
при ж-» co
при ж-» co
(i = 0, 1, 2, ..., k— 1), 4? Существует такое положительное число s, что
^к! (ж)}2 q-8 (ж) dx < со, (Г
Г s1 I
Тогда если, ^^ y + ^ + f , то равномерно в каждом конечном интервале имеет место равенство
00l^^^n^YП=1.
Теорема 7.4. Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы и, кроме того, функции Цх) и q (х) имеют суммируемую в каждом конечном интервале т-ую производную.•
Г s 11 т 1
Тогда если ^2>-т+"^+-г + -о-, то в каждой точке непрерывности функции У'м) (ж) имеет место равенство
П=1
§ 8. Асимптотика числа собственных значений оператора порядка 2п
Рассмотрим самосопряженный обыкновенный дифференциальный оператор L на всей оси —<х><^ж<^со
Ьу^^уу^ + р^^у^н...
• • • + Ро(х) У + Ц (х, ^) у = Ц + Ц,
где В1(ж, — I—оператор, который имеет порядок не выше 2п — 2. Предположим, что характеристический многочлен
Р (s, х; X) = ^ + р2я_2 ^ (isf^ + .. . + р0 ^ + X
при всех достаточно больших х и Х>0 и всех действительных s положителен. Далее, предположим, что коэффициенты р4 (ж) оператора L и корни s, (х, X) характеристического многочлена Р (s, х; X) таковы, что выполнены условия
1? в < I Ms2] I < л, в < I ^^^-З! I < л. I Sj k$, X) |I Sj (ж, X) I
2? | р. (ж) — Pj (=) |< с | х $ | ру ^х\ \х — ?|<1,
ау< ^^—у’ (^°’2«-2)-
38 Б. М. Левитан, И. С. Саргеяц
3? | Ру (ж) | ^ с ехр [с01 х — Е | Pg” (s)/ при | х — Е | ^ 1 и некоторой постоянной с0> 0, которая зависит от характеристического многочлена Р (х, s; X).
4? р0(ж)^ср0(Е) при \х — Е | ^ 1 и некотором с > 0. СО
5? I -,- ■■ < оо при некотором 12> 0. J Ро W
—ОО
6? рПТГ^ТТП^^ЧЕГ при всех ж 11 Х>0, I X + Ро (з) | 2”
к = 1, 2, ..., 2п.
Введем теперь в рассмотрение функцию
П ОО
p(X) = I2 5 рчм^ГхЛ’
fc=l —ОО
где sk (ж, X) — характеристические корни, у которых ImSj.^, Х)2>0. Как видно, р (X) есть аналитическая функция в плоскости X = Е + it с разрезом вдоль положительной полуоси.
Пусть теперь а^ определяется равенством
t
Имеет место следующая
Теорема 8.1. Пусть для оператора L выполнены условия 1°—6? Коэффициенты q. (х), стоящие при i-й производной оператора L} (х, ^), подчинены р0 (х) в том смысле, что
2 71-1
I <1< (ж) I < ci (ро (^)}2”
при некотором е^>0. Функция <3^, определенная выше, пусть удовлетворяет тауберову условию to' (Z) ^ ао (Z) («>0).
Тогда при Х-> со имеет место асимптотическая формула
5 1 = N (X) ~ а (X), где X?f — собственные значения оператора L.
Теорема доказывается по классической схеме Т. Кар- лемана: сначала находится асимптотика функции Грина К (ж, £; X) — ядра резольвенты оператора L при больших Х<0. Затем применяется тауберова теорема М. В. Келдыша. Заметим, что для наших целей асимптотика К (я, 6; X) нужна равномерная по ж во всем пространстве. Эта асимптотика ищется методом «параметрикс», т. е. пишется в явном виде ядро резольвенты для главной части оператора при «замороженных» коэффициентах, т. е. для оператора
(0 дхг» 4” ?2я-2 (^) Д$2”-2 4~ • ■ ' 4~ Ро (О'
Это ядро может быть найдено с помощью преобразования Фурье. Затем составляется обычным образом интегральное уравнение для ядра резольвенты исходного оператора L. Доказывается, что оно может быть решено методом последовательных приближений, если выполнены условия теоремы.
Отметим два частных случая.
Пусть рк(х)~ 0 (&=1, 2, ..., 2п— 2). Тогда функцию а (/) легко вычислить до конца. В этом случае
w ~ т S w™dx-
q (х)<Х
2н = 4. Запишем оператор L в виде
Ly = у^ — 2 (р2 (ж) уУ + р0 (ж) у + Lx (х, ^ у.
Нетрудно проверить, что условия 1°, 3°, 6° будут выполнены, если р^ (х) ^ с (р0 (ж) + Хо) при некотором Хо и с <Д. В этом случае функция а (/) также вычисляется до конца. Именно:
^ (X) ~ 4 J ^—Р2 (ж) + \1р2 (ж) + (X — р0 (ж)} dx. Ро^'КХ
Этот же результат можно получить, исследуя при малых t функцию Грина G(x, Е; /) параболического уравнения. На этом пути получены результаты по асимпто-
38*
тике N (X) и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для сингулярных эллиптических операторов с дискретным спектром.
Указания к литературе
Впервые асимптотическое поведение N (X) получено де Ветом и Мандлем [1], которые использовали вариационные теоремы Куранта. Титчмарш [2] к этой задаче применил метод Карлемана и получил асимптотическую формулу для N (X) при мепее ограничительных условиях на потенциальную функцию q (х) (в указанной работе рассмотрен случай двух переменных, однако метод этой работы применим также и в случае одной переменной).
Полный ряд для функции Грина использован Б. М. Левитаном [21]. Применение оценок взвешенного следа функции Грина к вопросам разложения по собственным функциям при неограни- чено растущем потенциале принадлежит Б. М. Левитану (см. также совместную работу авторов [3]).
Формула для N (X) в случае операторов n-го порядка, приведенная в § 8, принадлежит А. Г. Костюченко [3], [4].
Г Л Л В А ХШ
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ ГИЛЬБЕРТА.
СВЯЗЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
Для более глубокого понимания многих вопросов, изложенных в предыдущих главах этой книги, полезно рассматривать эти вопросы с точки зрения общей спектральной теории линейных самосопряженных операторов в пространстве Гильберта.
В настоящее время имеется много прекрасных руководств по абстрактной теории линейных операторов в пространстве Гильберта, однако при применении общей теории к дифференциальным операторам возникает ряд аналитических трудностей и, к сожалению, в этом вопросе не все еще выглядит так гладко и законченно, как в общей теории. Возможно, что это объясняется некоторой незавершенностью теории, в особенности, если речь идет о дифференциальных операторах с частными производными.
В настоящей главе дается краткое изложение некоторых основных вопросов спектральной теории линейных самосопряженных операторов в абстрактном пространстве Гильберта. Как мы уже отмечали, эта теория доведена в настоящее время до высокой степени совершенства и может быть изучена по многим руководствам. Поэтому эта часть главы в основном изложена без доказательств и может служить в качестве первого ознакомления с абстрактной спектральной теории в пространстве Гильберта (читатель, знакомый с этой теорией, например, в объеме книги Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана [1] или Л. А. Люстерника и В. И. Соболева [1] или В. И. Смирнова, том V, изд. III, может соответствующие параграфы этой главы пропускать). .
Конец главы (§§ 6 и 7) посвящен некоторым приложениям абстрактной теории к дифференциальным операторам.
Абстрактное гильбертово пространство
Определение абстрактного гильбертова пространства. Пусть И — линейное комплексное пространство с элементами х, у, г, . .. Предположим, что каждой паре х, у^Н может быть поставлено в соответствие комплексное число (ж, у), называемое скалярным произведением этих элементов и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
^х, у^^у, х\
X + xy y) = (xv у) + (х2, у),
(Хх, у) = X (ж, у) для любого комплексного числа X,
(ж, х) ^ 0, причем (ж, ж) = О тогда и только тогда, когда х = 0 (нулевому элементу пространства Н\
Число || ж || = (ж, х^Х назовем нормой элемента х. Из аксиом скалярного произведения можно вывести, что эта величина удовлетворяет всем условиям нормы в линейном нормированном пространстве.
Если Н полно в смысле метрики р (ж, у) = ||ж— у|| и бесконечномерно, то оно называется комплексным (унитарным) гильбертовым пространством.
Замечание. Аналогично определяется действительное гильбертово пространство. При этом скалярное произведение предполагается действительным числом.
Приведем два важных примера гильбертовых пространств.
1? Пространство 12. Элементами этого пространства являются бесконечные последовательности х = (Ер Е2> • • • • • ., ^„, • • •), У = (ip 12, • • •> Чя* • • •) комплексных чисел таких, что
СОсо
2RJ2<”. 2lij2<°о- k=l
Скалярное произведение определяется равенством
со
(X, у)= IX-к-1
Можно показать, что 12 удовлетворяет всем условиям унитарного гильбертова пространства.
2? Пространство ^ (а, Ь). Элементами этого пространства являются измеримые комплекснозначные функции / (z), g ^х\ . . . на отрезке [а, 6] с интегрируемым квадратом модуля. Скалярное произведение определяется равенством
6
(/ ^ g (ж)) = (/ (ж) F(*jа
С этим пространством мы имели дело по существу на протяжение всей книги. Именно нами изучалась спектральная теория дифференциального оператора Штурма — Лиувилля в пространствах S’2 (0, к), j?2 (0, оо), S’2 (—со, оо). В связи с формулой Парсеваля нам пришлось рассматривать пространство ^^(Х)} (а, Ь), которое также является пространством Гильберта.
Наконец, в связи со спектральной теорией системы уравнений типа системы Дирака мы рассматривали гильбертово пространство, элементами которого являются вектор-функции.
Ортогональность. Два элемента х, у^Н называются ортогональными, если (ж, у) = 0. В этом случае пишут: х | у. Элемент х называется ортогональным подпространству $ С.Н, если х ортогонален любому у^^. В этом случае пишут: х _\_Д!.
Имеет место следующая важная
Теорема 1.1. Пусть $— подпространство пространства Н. Для любого х^Н имеет место единственное разложение
ж=г/ + з, (1.1)
где у^^ и г \_$.
Элемент у в разложении (1.1) называется проекцией элемента х на ^. Заметим, что совокупность М всех элементов из Н, ортогональных подпространству $, есть также подпространство. Поэтому элемент г из разложения (1. 1) есть проекция элемента х на М. Подпространство М называется ортогональным дополнением к пространству 2? и обозначается так: Н — ^. Говорят также, что Н есть ортогональная сумма $ и М, и пишут д=^4-м, 1
Ортогональные системы. Система ev е2, . . ., еп, . .. элементов пространства Н называется ортонормальной, если
( 0, при i ^ j,(е., е.) = i . . .v * - 11, при г = у.
Пусть ^ — подпространство, порожденное ортонормальной системой вр е2, .. ., ея, . . . (т. е. множество все-
N
возможных линейных комбинаций вида 2 ^Д, где ^к — t=i
комплексные или в случае действительного пространства Н действительные числа, N = l, 2, . .. и их замыкание по норме в Н\ Очевидно, что для любого элемента х^^ и любого е у> 0 существует такая линейная ком- N
бинация 2 ^*е*> чт0
к=1
(1.2)
Простое вычисление показывает, что
N 2Х 2 ^кек к-1N 2Х 2 ^кек к-1NNNN= (ж, X) 2 'Тс (Х> ек) 2 ^к ^к’ ^ + к=1к-1= (ж, X) 2 'Тс (Х> ек) 2 ^к ^к’ ^ + к=1к-1
N 2
Х 2 ^кек к-1
N 2
Х 2 ^кек к-1
NN
NN
= (ж, X) 2 'Тс (Х> ек) 2 ^к ^к’ ^ + к=1к-1
= (ж, X) 2 'Тс (Х> ек) 2 ^к ^к’ ^ + к=1к-1
Здесь ск = (х, еку Числа ск называются коэффициентами Фурье элемента х.
N
Из тождества (1.3) следует, что разность х — 2 ^Л
к-1
принимает наименьшее значение, когда числа Ч1г равны
соответствующим коэффициентам Фурье: ^к = ск. В этом случае из (1.2) и (1.3) мы получим
и так как е можно считать сколь угодно малым, то из (1.4) следует
х = Пт 2 с]гек = 2 скек-N->od к=1к-1
OD
Из (1.4) следует также сходимость ряда2|ск|2, причем
к=1
И2-2ы2
Если теперь х — произвольный элемент пространства Н, то можно положить
х = у + z,
где у^Ж, 2 Тогда
У = 2 44, 4 = (У- eJ = (У, ек) + (z, ej = (х, ек),
=(1-5)
й1Г=2ы2-
Гак как
hli2 = h + 2|r = h2l! + hh
ТО
k IP > II у II2-(1-6)
Из (1.1) и (1.5) следует
Неравенства (1.7) называются неравенством Бесселя.
Замкнутые ортонормальные системы. Пусть в гильбертовом пространстве Н дана ортонормальная система (е,).
Определение 1.1. Ортонормальная система (е^ называется полной, если в Н не существует вектора х, отличного от нулевого, и ортогонального всем элементам системы (ej.
Определение 1.2. Ортонормальная система {et.} называется замкнутой, если пространство $, пораженное этой системой, совпадает с Н.
Очевидно, что ряд Фурье по замкнутой системе для любого х^Н сходится к этому элементу и имеет место равенство Парсеваля
2ЫЧ4
Замкнутая ортонормальная система называется также ортонормальным базисом пространства Н.
Теорема 1.2. Понятия полной и замкнутой ортонормальной систем совпадают.
Доказательство. Если ортонормальная система полная, то не существует элемента, отличного от нулевого и ортогонального линейному многообразию S’, порожденному этой системой. Но тогда в разложении (1.1) z = 0 и, следовательно,
х = у.
Обратно, если ортонормальная система (е() замкнута, то ^£ = Н и, следовательно, для любого элемента х^Н
m2=Ski2.
k=l
Поэтому, если xj_e< (г = 1, 2, . ..), то ||ж|| = 0, т. е. х = 6, что и означает полноту системы (е,.).
Замечание. Рассмотрения пункта 4 относятся к так называемым сепарабельным гильбертовым пространствам. Эти пространства характеризуются тем, что в них существует счетная полная ортонормальная система.
Существуют, однако, несепарабельные пространства Гильберта, например пространство почти периодических функций. В этих пространствах всякая полная ортонормальная система несчетна. В этой книге несепарабельные гильбертовы пространства не встречаются.
Линейные функционалы и ограниченные линейные операторы
Линейные функционалы и линейные операторы. Пусть в гильбертовом пространстве Н задано некоторое множество элементов В с Н.
Определение 2. 1. Если всякому элементу j^B поставлено в соответствие определенное число Ф (/), то говорят, что в Н задан функционал Ф с областью определения В.
Если каждому элементу / ^В ставится в соответствие некоторый элемент Tf £ Д С Н, то Т называется оператором в Н с областью определения В и областью значений Д.
Для области определения функционала Ф и соответственно областей определения и значения оператора Т применяют такие обозначения: ВФ, Вт, ^т.
В дальнейшем в этом параграфе мы будем рассматривать только так называемые линейные функционалы и линейные операторы и будем предполагать, что В = Н.
Определение 2.2. Функционал Ф (оператор Т) называется аддитивным и однородным, если для любых комплексных чисел а, р и любых элементов /, g^H выполняется равенство
Ф (а/ + pg) = аФ (/) + рФ (g) (Т (а/ + Pg) = «Г/ + р7».
Определение 2.3. Функционал Ф (оператор Т) называется ограниченным, если
sup |Ф(/)| < со, f sup || 771|< со).
Il/KiVI7K1)
Определение 2.4. Линейным функционалом (оператором') называется однородный, аддитивный и ограниченный функционал Ф (оператор Т).
Нормой ЦТЦ линейного оператора Т называется величина
II Т ||= sup ||77||.
Норму можно также определить с помощью равенства
|| т || — sup -l^^Р sup Цуи •
Ограниченный линейный оператор непрерывен.
Если однородный и аддитивный оператор непрерывен в одной точке, то он ограничен. Аналогичные свойства справедливы и для линейных функционалов.
Билинейный функционал. Если каждой паре элементов /, g^H отвечает определенное (вообще говоря, комплексное) число 2 (/, g), причем
Q («1/1+«2/2- g') = «is(/i> g^^Uy g)>
2 (/. rM, + to = .^2 (/, gl) + 538 (/, g^, (2.1) в) sup I Q (/, g-) I < co,
НЖ1, IbKi
то говорят, что в H задан билинейный функционал.
Величина (2. 1) называется нормой билинейного функционала и обозначается: || 2 IL
Теорема 2.1. Всякий билинейный функционал 2 (/, g) в Н может быть представлен в виде
Qy, g) = (Af, g),
где А есть ограниченный оператор в И, однозначно определяющий билинейный функционал Ф, причем
И1Н|й||.
Сопряженный оператор. Пусть А — ограниченный линейный оператор, определенный всюду в Н. Выражение (/, Ag), очевидно, есть билинейный функционал в Н с нормой ||А||. Поэтому из предыдущей теоремы следует, что однозначно найдется линейный (ограниченный) оператор А*, для которого
(/, Ag) = (A*f, g),(2.2)
причем || А*)) = || А ||.
Оператор А*, удовлетворяющий для любых /, g^H соотношению (2. 2), называется сопряженным для А. Легко видеть, что (А*)* = А.
Если А*=А, то А называется самосопряженным оператором.
Ограниченный самосопряженный оператор А называется положительным, если для любого / ^Н (Af, f) ^ 0.
Проектирующие операторы. Пусть Н— гильбертово пространство и G — подпространство Н. Оператор Р, который каждому элементу /СП относит его проекцию g на G, называется проектирующий оператором (на G) или проектором и обозначается
g = pf=Paf.
Проектирующий оператор, очевидно, линеен. Кроме того, он ограничен, и его норма равна единице. Приведем без доказательств основные свойства проектирующих операторов.
Для того чтобы оператор Р, определенный всюду в Н, был проектирующим оператором, необходимо и достаточно, чтобы
Р^ = Р,
Р* = Р.
Произведение двух проектирующих операторов Ре,, Ра, есть проектирующий оператор в том и только в том. случае, когда они перестановочны, т. е.
Ра, • Ра, = Ра, • Ра,, '
и если это условие выполнено, то
Ра, • Ра, = Ра, еде G — G1 Q Gy
Сумма проектирующих операторов
Ра, + Ра, + • • - + Ра„ — Q (и < оо), есть проектирующий оператор в том и только в том случае, когда
Рак-Ра,=0 U^k\
т. е. когда подпространства Gt попарно ортогональны. В этом случае
G = GT 4- G, 4- ■ • ■ + Gn.
Разность двух проектирующих операторов
Ра, — Ра,
есть проектирующий оператор тогда и только тогда, когда G2C,Gr
Если {Pk} (k=i, 2, .. .) — бесконечная монотонная последовательность проектирующих операторов, то Рк
при к-* оо сильно сходится к некоторому проектирующему оператору Р, т. е. для любого j ^Н
^Р^= ?Р
5. Унитарные операторы. Линейный оператор U, заданный во всем пространстве Н и отображающий его на .все пространство, называется унитарным, если для любых f, g^H
(Uf, Ug) = (f, g).(2.3)
Приведем, опять без доказательств, следующие простые свойства унитарных операторов.
Если U —унитарный оператор, то обратный оператор U-1 существует и также является унитарным.
U*=U-1, т. е. U*U = UU* ~ I (единичному оператору).
Изометрическое отображение. Пусть даны два гильбертова пространства: Ну и Я2. Условимся отмечать скалярное произведение в первом пространстве индексом 1, а во втором — индексом 2.
Определение 2.5. Линейный оператор V, заданный во всем пространстве Ну и отображающий его на все Н2, называется изометрическим отображением (Н, на Я2), если для любых /, g ^Ну
(Vf, Vg).^, g)v(2.4)
Если область значений Дк оператора V не совпадает со всеми Ну (а равенство (2.4) имеет место), то отображение V называется полуизометрическим.
В силу этих определений теорему 1.1 гл. II можно трактовать как полуизометрическое отображение пространства Е?(0, оо) на £{Р(Х)} (—оо, оо), а теорему 4.2 гл. II—как изометрическое отображение этих пространств.
Изометрические операторы.
Определение 2.6. Линейный оператор V, определенный в гильбертовом пространстве И, называется изометрическим, если он сохраняет нормы элементов, т. е. || Ух||= ||х|| для х^Н.
Как всякий линейный оператор, У определен во всем Н, но не требуется, чтобы V отображал Н во все Н. Поэтому изометрический оператор может и не быть унитарным, что видно из следующего простого примера.
Пусть ер е2, . . ., ея, . ..—ортонормальный базис в Н и ж — произвольный элемент Н. Тогда
Ж = 2 ^^it’ Хк = ^Х' CkY
к-1
Оператор
КX = 2 Жке№
к=1
изрметричен и отображает все Н в подпространство пространства Н, ортогональное ev
Некоторые общие понятия теории линейных операторов
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые общие понятия теории линейных, как правило, неограниченных операторов. Такие операторы не могут быть определены на всем пространстве, а только лишь на некотором его плотном множестве. Так, например, дифференциальные операторы определены на дифференцируемых функциях, множество которых плотно в пространстве $Ма, Ь).
Два оператора А и В считаются равными или совпадающими, если D{A') — D{B') и Ах — Вх для любого x^D (Л). Если же D (Л) с D (5) и Ах = Вх для любого x^D (Л), то оператор В называется расширением оператора А, а оператор А — сужением оператора В. В этом случае пишут А с В.
Понятие о замкнутом операторе.
Определение 3.1. Оператор Т (не обязательно линейный) называется замкнутым, если из существования пределов
jn^DT, Um/„;=/, ЛтТ/я = ^я->сои->со
следует, что j^DT и g = T{.
Таким образом, всякий непрерывный оператор, очевидно, замкнут, но обратное неверно, так как для не непрерывного оператора из существования Нт /я не обя
зательно следует существование lim Tfn.
Если сам оператор Т не замкнут, но для различных последовательностей {/J и {gj £ Вт, сходящихся к одному и тому же пределу, последовательности {T/J и ^Tg^ не могут сходиться к различным пределам, то у оператора Т имеются замкнутые расширения. Среди этих расширений выделяют минимальное замкнутое расширение, которое содержится во всяком замкнутом расширении оператора Т. Обычно его обозначают через Т и называют замыканием оператора Т. Чтобы получить Т,_ следует присоединить в Вт все те элементы / из Вт (замыкание Вт), для которых найдется хотя бы одна последовательность /р /2, . . ., fn, ... QBT, сходящаяся к /, И ДЛЯ которой TfM сходится, и положить
П = lim Tfn.
Общее определение сопряженного оператора. Пусть Т — произвольный линейный оператор ), область определения которого Вт плотна в Н. Рассмотрим скалярное произведение
(Tf, g), f№.
(Существуют пары элементов g, g*, для которых
(Tf, gWL g*Y(3.1)
для любого j^BT. Например, равенство (3.1) выполняется при g = g* = 6.
Если Вт плотно в Н (что мы предположим), то элемент g* однозначно определяется элементом g.
Положим g* = T*g. По определению, Т* называется сопряженным оператором для оператора Т. Его область определения Вт* есть совокупность всех тех g, для которых существуют g*, удовлетворяющие (3. 1) при всех
/ ^ Dt. Следующие утверждения просто следуют из определения сопряженного оператора:
Оператор Т* линеен.
Если ScT, то S* с Т*.
Оператор Т* замкнут и для незамкнутых Т.
Если оператор Т имеет замыкание Т, то (Ту = Т*.
Если оператор Г* существует, то Т С Т**.
Симметрические и самосопряженные операторы.
Линейный оператор А называется симметрическим, если
область определения Da плотна в Н,
для любых двух элементов f, g^Di справедливо равенство
(Af, g) = (f, Ag).
Если существует такое число у 2>—°°» ч'тю для любого f^Dx
(Af, /)> Т(Л /),
то оператор А называется полу ограниченным снизу.
Очевидно, что для симметрического оператора A* ZD А, откуда следует, что симметрический оператор всегда допускает замыкание.
Если В есть симметрическое расширение оператора А, то В с А*.
Оператор А называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным, т. е. А* —А.
Приведем без доказательств следующие свойства самосопряженных операторов:
Если самосопряженный оператор имеет обратный, то этот обратный оператор является самосопряженным (ограниченным или неограниченным).
Собственные значения самосопряженного оператора действительны.
Собственные векторы fv fv соответствующие двум различным собственным значениям \, Х2 самосопряженного оператора, ортогональны.
О спектре линейного оператора. Пусть Т — замкнутый линейный оператор, определенный на плотном в Н множестве Др. Рассмотрим уравнение
Tf-\f = g, f£DT, g^H,
39 Б. М. Левитан, И. С. Саргсян
с комплексным параметром X. Обозначим через Ду (X) множество значений оператора Т — XZ. Если соответствие между Вт и Дг(Х) взаимно однозначно, то оператор Т— \1 имеет обратный (71 — XZ)*1 с областью определения Дг(Х) и областью значений Вт-
Определение 3.2. Значения параметра X, для которых обратный оператор (Т—XZ)-1 существует, определен всюду в Н (m. е. St (X) = Н) и ограничен, называются регулярными значениями {регулярными точками') оператора Т. Остальные точки комплексной плоскости X образуют спектр оператора Т.
Можно показать, что для самосопряженного оператора весь спектр расположен на действительной оси.
Резольвента. Пусть Т — линейный замкнутый оператор с плотной в Н областью определения. Резольвентой оператора называется зависящий от параметра X оператор.
RT = {T — Му\
рассматриваемый на множестве всех тех значений X, для которых он существует, и его область определения, т. е. Дг(Х), плотна в Н. В каждой регулярной точке оператора Т резольвента RY есть определенный во всем Н ограниченный оператор.
Можно показать, что для самосопряженного оператора А
если X есть регулярная точка оператора А.
Спектральный анализ самосопряженных операторов
Определение 4.1. Спектральной функцией называется операторная функция Е^ действительного параметра X, удовлетворяющая следующим условиям-.
при любом значении X функция Е. есть оператор проектирования,
Ех с Ew при X < р {т. е. Е^ — EY есть неотрицательный оператор'),
£'_со = 0, £'+C0 = Z, т. е. при любом х^Н
Ига || Ехх || = 0, lim || Е.х — х || = 0,
Х->—со 'Х->4-со
При любом х вектор-функция Е^х непрерывна справа, пг. е.
Иш ||=0.
>+о
Из свойства б) легко следует, что для любого х^-Н существуют пределы
11m Я х = Е йх, limE ^x = E ^т (е>0). е->0 Ге—>0 г
Условие г) означает, что Е^й = Е^. Это условие не является существенным и представляет собой только определенную нормировку спектральной функции.
Мы будем пользоваться следующими обозначениями: если Д обозначает один из интервалов (а, Р), [а, р), (а, р], [а, Р], то Е^ будет соответственно обозначать
^Ю 5.+о= ^р-о ^«> ^р-о Еа_0, Е^о Еа+0 = Е^ Еа;
■^Р+0^«-0 = ^ф^а-О*
Из свойства б) легко следует, что Ед для любого Д есть оператор проектирования. Легко также проверить, что если интервалы Др Д2, .. ., Дв попарно не пересекаются, то ЕдЕд, = 0 при i^j.
Интеграл по спектральной функции. При помощи произвольной спектральной функции можно построить интеграл, аналогичный интегралу Стилтьеса.
Пусть / (X) — произвольная числовая функция, непрерывная в интервале [а, 6]. Рассмотрим произвольное разбиение интервала [а,6] какими-либо точками
а = Хо <|Х2 <|Х2<|... <|\п_1 <^\п = Ь этого интервала на части Д; = (У—Х>._1), i = l, 2,..., п, и составим сумму
где ^ — произвольная точка интервала Дс
Сумма 5 есть некоторый ограниченный линейный оператор в Н.'
Можно показать, что при неограниченном уменьшении длин всех интервалов Д; сумма 5 стремится по операторной норме (равномерно) к определенному предельному
39*
оператору 7, т. е. каково бы ни было е^>0, существует такое число 8^>0, что если все △<<^В, то любая сумма 5 удовлетворяет неравенству
е.
Оператор J называется интегралом функции /(X) по dEy и обозначается через
6\f^dEvИз существования интеграла (4. 1), очевидно, существование интегралаьj / (X) dEyX, х^-Н, а6\f^dEvИз существования интеграла (4. 1), очевидно, существование интегралаьj / (X) dEyX, х^-Н, а(4-1)(4-1)следуетследует(4.2)(4.2)
6
\f^dEv
Из существования интеграла (4. 1), очевидно, существование интеграла
ь
j / (X) dEyX, х^-Н, а
6
\f^dEv
Из существования интеграла (4. 1), очевидно, существование интеграла
ь
j / (X) dEyX, х^-Н, а
(4-1)
(4-1)
следует
следует
(4.2)
(4.2)
который есть предел суммЕсли в равенствекоторый есть предел суммЕсли в равенстве2 f^E^x = Sx. »=i2 f^E^x = Sx. »=i
который есть предел суммЕсли в равенстве
который есть предел суммЕсли в равенстве
2 f^E^x = Sx. »=i
2 f^E^x = Sx. »=i
||^||2=||^||2=пSf&lE^xпSf&lE^x22пп=5*)=5*)(4.3)(4.3)перейтиперейтик пределу, то мы получимк пределу, то мы получим6\fM dE.x6\fM dE.x2 Ъ= 5l/(X)H^|2 =2 Ъ= 5l/(X)H^|2 =6Ц\Ц\^<ЦЕхх, х\6Ц\Ц\^<ЦЕхх, х\(4.4)(4.4)
||^||2=
||^||2=
п
Sf&lE^x
п
Sf&lE^x
2
2
п
п
=5*)
=5*)
(4.3)
(4.3)
перейти
перейти
к пределу, то мы получим
к пределу, то мы получим
6
\fM dE.x
6
\fM dE.x
2 Ъ
= 5l/(X)H^|2 =
2 Ъ
= 5l/(X)H^|2 =
6
Ц\Ц\^<ЦЕхх, х\
6
Ц\Ц\^<ЦЕхх, х\
(4.4)
(4.4)
(4.5)(4.5)В последнем равенстве правая часть есть обычный интеграл Стилтьеса. Если функция /(X) непрерывна для всех конечных X, то можно определить интеграл
(4.5)
(4.5)
j H^dExx
как предел интеграла (4.2) при а-*—со, 6->4~°о. В силу критерия Коши и формулы (4. 4) интеграл (4. 5) существует в том и только в том случае, когда существует обычный интеграл Стилтьеса
J \f(k^d\Exx\» = J \ЦХуЧ(Ехх, ху
При этом
/ (X) dExx/ (X) dExx2 со= 5 \f№(Exx, х),2 со= 5 \f№(Exx, х),
/ (X) dExx
/ (X) dExx
2 со
= 5 \f№(Exx, х),
2 со
= 5 \f№(Exx, х),
что получается из (4. 4) предельным переходом.
Основная спектральная теорема.
Теорема 4.1. Для всякого самосопряженного оператора А существует единственная спектральная функция Ех, обладающая следующими свойствами;
вектор х тогда и только тогда принадлежит области Da, когда сходится интеграл
СО
j | X I2 d (Ехх, х),
при этом условии
Ax=\\dExx, || 4а: ||2 = J Wd(Exx, ху (4.6) —СО—со
. Обратно, всякий оператор, определенный условиями а) и б), при помощи некоторой спектральной функции Ех есть самосопряженный оператор, область определения которого определяется вторым из уравнений (4.6).
Доказательство этой теоремы см., например: Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман[1].
Теорема 1.1 гл. II есть, как легко видеть, частный случай теоремы 4.1. При этом
ЕД = \F (X) «х, X) dp (X), F (X) = ] / (t) ? Д, X) dt. —соО
Из результатов этой же теоремы следует, что каждой точке предельной окружности Вейля соответствует самосопряженное расширение оператора Штурма —• Лиувилля (следовательно, в случае предельной точки имеется только одно самосопряженное расширение. См. также следующий параграф этой главы).
Приводимость. Пусть М—замкнутое подпространство Н и Р — оператор проектирования на М.
Определение 4.2. Подпространство М приводит оператор Л, если из x^Dа следует также, что Px^Da и
АРх = РАх.
Теорема 4.2. Замкнутое подпространство М тогда и только тогда приводит самосопряженный оператор А, когда оператор проектирования Рм перестановочен со спектральной функцией Ех оператора А при всех значениях X.
Доказательство см. Н. И. Ахиезер, И. М. Глаз- ман [1].
Описание спектра самосопряженного оператора с помощью его спектрального разложения. Напомним, что число X называется регулярной точкой оператора А, если оператор RX = (A — X/)-1 существует, определен во всем Н и ограничен. В этом случае оператор Rx называется резольвентой оператора А. Есе нерегулярные точки оператора А называются его спектром. Очевидно, что собственные значения X оператора А принадлежат его спектру, ибо в этом случае оператор (Л — X/)-1 не существует. Совокупность всех собственных значений оператора Л называется его дискретным спектром. Все остальные точки спектра, если они существуют, называются точками непрерывного спектра, а их совокупность — непрерывным спектром оператора. Если оператор А самосопряжен, то его собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны и поэтому образуют конечное или счетное множество (в сепарабельном пространстве не может быть более счетного множества попарно ортогональных векторов). Таким образом, дискретный спектр самосопряженного оператора (в сепарабельном пространстве Гильберта) есть конечное или счетное множество вещественных чисел.
Покажем, что всякое невещественное число А есть регулярная точка самосопряженного оператора Л, причем
R =ЦА—\Г)-1 = ТR =ЦА—\Г)-1 = Т(4. 7)(4. 7)
R =ЦА—\Г)-1 = Т
R =ЦА—\Г)-1 = Т
(4. 7)
(4. 7)
где Е^ есть спектральная функция оператора А (ср. с теоремами 3.1 и 7.1 гл. II).
Действительно, интеграл в правой части (4. 7) существует (см. пункт 2 настоящего параграфа). Далее, для любого х О Н
dE^x ? dE,,x
V—^ ~- >■ I2
|lm?|2
Следовательно, этот интеграл есть ограниченный оператор и легко проверить, что он равен Rx.
Из неравенства (4. 8) вытекает, что
Кроме того, из формулы (4.7) следует, что (7?х)* = Ry.
Следующая теорема дает некоторую характеристику спектра самосопряженного оператора А.
Теорема 4. 3. Пусть А — самосопряженный оператор в Н и Ех— его спектральная функция. Тогда
Действительное число Хо является регулярной точкой оператора А в том и только в том случае, когда функция Ех постоянна в некоторой окрестности этой точки.
Действительное число Хо является собственным значением оператора А в том и только в том случае, когда Е\е — Ец~0 У= 0, при этом Е\о — Е^-о есть оператор проектирования на собственное подпространство оператора А, соответствующее собственному значению к0.
Доказательство см.: М. А. Наймарк [1], стр. 121 или Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман[1], стр. 275.
§ 5. Расширения симметрических операторов
Дефектные подпространства и индексы дефекта. Одна из основных проблем абстрактной теории симметрических операторов заключается в описании всех симметрических расширений данного симметрического оператора А. Особенно важен частный случай этой задачи, состоящей в выяснении тех условий, при которых данный симметрический оператор имеет самосопряженные расширения и описание в таком случае всех этих расширений.
Если В — симметрическое расширение симметрического оператора А, т. е. А с В, то В* с А*, но В — симметрический оператор. Поэтому В С В* и, следовательно,
А С В d В* С А*. (5. 1)
Из этого включения следует, что всякое симметрическое расширение оператора А является сужением оператора А*.
Определение 5.1. Симметрический оператор А называется максимальным, если он не имеет симметрических расширений.
Из этого определения следует, что самосопряженный оператор А является максимальным. В самом деле, в этом случае А* = А и включение (5. 1) показывает, что В = А, т. е. что всякое симметрическое расширение В оператора А совпадает с А.
Обозначим через $. линейное многообразие элементов вида у — (А 4- И) х, x^D (Л), i = V—1 и через $_4 линейное многообразие (Л — Л) х.
Лемма 5.1. и $_4— подпространства {т. е. замкнутые линейные многообразия).
Доказательство. Простые вычисления дают
|| (л ± И)х^г— цл^НкИ2, поэтому
||(Л + ЛИ>И. (5-2)
Предположим теперь, что уп = (А + И)хп и ys->0. Тогда || уп— у„||-»0 и, следовательно, в силу (5.2) К—^JR0- Из полноты Н следует, что хп—>хй^*Н.
Таким образом, xn^D (Л), хп-> ж0, Ахп = уп±_ гхп-* у0 + гх6. Так как А— замкнутый оператор, то ж0£7)(А) и Ах0 = = у0 + ^о- Отсюда следует, что у0С^?±1-> что и требовалось доказать.
Обозначим через N±i ортогональные дополнения к ^ы.
Определение 5.2. Дефектными подпространствами оператора А называются подпространства Nу. Размерности этих подпространств называются индексами дефекта оператора А.
Замечание 1. Обозначим через X произвольное недействительное число. Аналогично предыдущему можно ввести линейные многообразия $х и 2Д, доказать их замкнутость, определить подпространства Nx и Nx и определить индексы дефекта как размерности подпространств Nx и А'х. Подпространства ^х и $\ зависят от X, однако можно доказать, что их размерности в каждой из полуплоскостей Im X > 0 и Im X < 0 от X не зависят (доказательство см., например: Н. И. Ахиезер, И. М. Глаз- ман [1]). Поэтому индексы дефекта симметрического оператора от выбора (недействительного числа X) не зависят.
Замечание 2. Если для оператора Штурма—Лиувилля
Z (у) = —у" АгЧ^У,0 < ж < со
при краевом условии
у’ (0) соь а 4- у (0) sin а = 0
имеет место случай предельной точки, то индексы дефекта — (0, 0), в случае предельного круга — индексы дефекта (1, 1).
Описание области определения сопряженного оператора. Элемент z £Н тогда и только тогда ортогонален подпространству ^, когда для любого х £ D (А)
(z, Ах— 1ж) = 0 или
(Аж, z) = (ж, iz),
т. е. когда z £ D (А*) и A*z = iz. Следовательно, ортогональное дополнение для L(, которое мы выше уже ввели и обозначили через N#, есть подпространство собственных элементов оператора А*, соответствующих собствен
ному значению г. Аналогичное предложение имеет место для Ж_$ и N_..
Теорема 5.1. Область определения D (А) оператора А* (сопряженного оператора к замкнутому симметрическому оператору) есть прямая сумма *) D (A), N. и N_{, т. е.
D(A^) = D(A)®Ni®N_{.(5.3)
Доказательство. Обозначим через у произвольный элемент из D (А*) и рассмотрим элемент А*у—1у. Тогда так как Н — %_(®N_., то
А*у — iy = (Ах — ix) + z0, z0£N_r (5.4) Далее, Ах = А*х и A*z0 =—iz0. Поэтому из (5.4) следует А*(у — х —1^ = 1 (у — ж)4-20+ А*(— ^iz^ =
1
= i (у — ж) + z0 — у i (—i)z0 = i (у — х) +
11/1 \
+yz0 = i(y — ж) + у i(—i)z0 = i^y — ж —yiz0J.
Следовательно,
1
У — £ — у iz0 = 2 6 АС-
Полагая у iZ0 = 2, получаем
У = $4-z +^,(5.5)
и требуемое разложение (5.3) получено. Покажем, что это разложение единственно. Пусть наряду с разложением (5.5) имеется еще другое разложение элемента у:
y = x14-z1 + zv
Тогда
(ж — zr1)4-(z — z,) + (s— ^ = 0.(5.6)
Применяя к обеим частям равенства (5. 6) оператор Л*, мы получаем
Л (ж — ж^ + i (z — z2) — 1(2 — 2j = 0.(5. 7)
Умножая (5. 6) на z и вычитая из (5. 7), будем иметь
Л (ж — аф — z (ж — ж1) — 2z (z — zj = 0.(5. 8)
Так как Л (ж — ж1)—z (ж— ^JX^— z^, то из (5.8) следует
Л (ж — а:^ — г (ж — zcj = 0, 2г (2 — ^) = 0.
Поэтому z1 = 2. Аналогично z1 = z, и поэтому х1 = х.
Если вместо г возьмем произвольное недействительное число X, то получим разложение
Р(Л*) = Р(Л)фА\®Лф(5.9)
Если индексы дефекта оператора Л суть (0, 0), т. е. соответствующие дефектные подпространства N. и N_. нулевые, то из формулы (5.5) следует, что D (Л*) = D (Л), и, значит, оператор Л самосопряжен.
Обозначим через Г множество тех элементов из D (Л*), для которых квадратичная форма (А*у, у) принимает действительные значения.
Теорема 5.2. Для того чтобы элемент y^D(A^ принадлежал множеству Г, необходимо и достаточно, чтобы в разложении (5. 5) имело место равенство
ИМИ
Доказательство. Если y = x-^z+z, то
(А*у, у) = (Ах + A* (z + z), ж+(г + г)) =
= (Ах, х) -}- (Ах, z + z) + (Л* (z + z), ж) +
'-ф- (Л* (z + f), z + z) = (Ах, ж) + (х, A* (z -ф- z)) +
+ (Л* (z © z), х^ + (A* (z + z), z + z-) =
= А (х, х) -}- 2 Re (х, A*(z©z)) +
(zz — ZZ, Z 4- ^) = Л (х, х) 4
2 Re (х, A* (z 4- 2)) 4- i II z ||2 4"
4-z(z, z) — z(z, z) — z || 21|2.(5.10)
Так как (Ах, х) и i (z, 5) — i (g, z) — действительные числа, то из (5.10) следует
1т(Л*у, z/) = ||z||2-№
Из этого равенства следует теорема.
Теорема 5. 3. Всякому симметрическому расширению В замкнутого симметрического оператора А соответствуют два линейных многообразия Т .dN tu Т_. С. N_t и изометрический оператор U, отображающий Т. на Т_., причем
область определения D(B) состоит из элементов вида
y = x-Vz-VUz,(5.11)
где x^D (Л) u z £ Г,.,
для всякого у вида (5.11)
By = Ах-Viz— iUz.(5.12)
Наоборот, если даны два линейных многообразия T(c.N( и T_t с N_t и изометрический оператор U, отображающий Т. на T_t, то оператор В, определенный на множестве элементов вида (5. И) формулой (5. 12), есть симметрическое расширение оператора А.
Оператор В замкнут в том и только в том случае, когда замкнуты многообразия Т. и Т_..
Доказательство. Пусть В — некоторое симметрическое расширение оператора А и у £ D (В\ Как мы видели, D (В) с. D (А*) и поэтому согласно формуле (5.5)
у = х + z + z,
причем так как у £ Г, то по теореме 5. 2
И=Ь1|.(5.13)
Если у пробегает все D (В), то z пробегает некоторое линейное многообразие Т., а элемент z пробегает некоторое линейное многообразие Т_4. Покажем, что при этом каждому элементу z £ Т 4 может соответствовать лишь один элемент z^T.. В самом деле, если
y^^i + zi + ^v У2 = ж2 + ^ + ^2, Ун y2ED(B'), TO
У1 = У2 = Ж1 — ж2 + 0 + (^ — z2) 5 D (S) С Г.
Поэтому из (5.13) следует Ц^ — z2|| = 0, т. е. 2^=2^ Относя каждому элементу z £ Т, единственный, соответствующий ему в силу равенства (5. 5) элемент 2, мы получаем изоморфное и изометрическое отображение Т, на Т_.. Обозначая оператор, осуществляющий это отображение, через U, приходим к равенству (5.11), а тогда
By = Ау = А* (х + z + Uz) = Ах + iz — iUz,
т. е. равенство (5.12).
Обратно, пусть Т. С Nt и Т_. с N_(— два линейных многообразия и U — изометрический оператор, отображающий Т. на Т_.. Оператор В, определенный на элементах вида (5.11) равенством (5.12), дает симметрическое расширение оператора А, ибо линейное многообразие Z)(S) элементов вида (5.11) удовлетворяет условию
2)(5)СГПУ(Л*)
и на D (5) выполняется равенство
By = А*у.
Остается доказать последнюю часть теоремы. С этой целью заметим, что для замкнутости В необходима и достаточна замкнутость многообразия Ж, элементов вида (В + il)y, y^D^B\ Необходимость доказана в лемме 5. 1 настоящего параграфа. Докажем достаточность. Предположим, что $'t замкнуто, но В не замкнут. Замыкая *) В, мы присоединим к ^^ новые предельные элементы и, следовательно, 3^ окажется не замкнутым.
Далее, для любого y^D(B)
(В + гГ) у = (В + il) (х + z + 2) = (А + И) х + 2iz.
Поэтому
3; = ^®Г„(5.14)
где 3, — совокупность элементов вида (А ® il)x, х^В (А). Так как 3t замкнуто, то 3\ замкнуто вместе с Т v Это доказывает достаточность.
Предположим, что указанным выше в теореме 5. 3 способом мы расширили симметрический оператор А до
симметрического оператора В. Возникает вопрос, каковы дефектные подпространства и индексы дефекта этого расширения? Ответ дается в следующей теореме.
Теорема 5.4. Пусть В — замкнутое симметрическое расширение замкнутого симметрического оператора А с областью определения D (В) = D (Л) + Тt Д- U (Т{).
Пусть {т^ т^ — индекс дефекта оператора А:
т^ = dim А7,., тг = dim N_.
и (т[, т'^— индексы дефекта оператора В:
т^ = dim NV, т2 = dim N'_r
Тогда
N^N'^T.,N_. = N'_.®T...
Поэтому, если dim Tt = dim T_t = I, mo
m1 = m\-V I, m2 = m' + I.
Доказательство. Так как H — $'. ф NV, то в силу (5.14)*‘
Н = Ь,®^®Т..
С другой стороны,
н = ь4®^.
Поэтому
N. = N'(®T..
Аналогично доказывается равенство
лс,. = лг;® 7_..
Из этих равенств соотношение между индексами дефекта следует непосредственно.
С помощью теорем 5. 3 и 5. 4 можно дать полное описание всех замкнутых симметрических расширений данного замкнутого симметрического оператора А. Можно также указать условие для существования самосопряженных расширений и описать все эти расширения. По этому поводу и другим вопросам абстрактной спектральной теории можно обратиться к монографиям А. И. Плес- нера [1] и Н. И. Ахиезера, И. М. Глазмана fl].
Достаточное условие самосопряженности оператора Штурма — Лиувилля на всей оси и полуоси
Непосредственно из определения сопряженного и самосопряженного операторов следует, что для доказательства самосопряженности симметрического оператора А достаточно показать, что если некоторый элементx^D(Л*), то x^D^AY т. е. что
Р(Л*) = 2)(Л).(6.1)
Чтобы доказать равенство (6. 1), нужно иметь подробное описание области 2)(Л*). Для оператора Штурма — Лиувилля
Z (у) = —у" + q (х) у(6. 2)
это удается, и на основании такого описания можно дать достаточное условие самосопряженности оператора I (замыкания оператора Z) в терминах функции q^xY Аналогичные построения можно осуществить для системы уравнений первого порядка типа Дирака, что делается в следующем параграфе.
В дальнейшем изложении важную роль играет следующая
Лемма 6.1. Пусть Цх) (а^х^Ь) удовлетворяет следующим условиям;
в интервале (а, 6) имеет абсолютно непрерывную первую производную,
/"Ме^Да, bY
/(а) = /'(«) = /(&) = /'(&) = 0.
Пусть h (ж) — произвольная фиксированная функция класса ^Ча, Ь).
Если для произвольной функции / (ж), удовлетворяющей условиям а), б) и в),
ъ
J f (ж) h (ж) dx = 0,(6. 3)
то почти всюду h (х) = а -|- Вх, где а и р— постоянные числа.
Доказательство. Вначале дадим характеристику класса функций, удовлетворяющих условиям а), б) и в). Положим /" (£) = X (<). Тогда
f (ж) — ^ X (i) dt,
f(x) — J (ж — t) X (i) dt.
Поэтому из условия в) следует
$Х (t)dt = 0,^ t\ (t) dt = 0.(6.4)
Наоборот, если функция Х(£) класса S’2 (а, 6) удовлетворяет условиям (6. 4), то, полагая
/ (ж) = j (ж — t) X (t) dt,
получим функцию / (ж), удовлетворяющую условиям а), б) и в).
Если теперь функция h^^^^a, b) не удовлетворяет условиям (6.4), то можно подобрать такие постоянные числа аир, что функция
hy (t) = h(t) — а — p#
(6- 5)
будет удовлетворять этим условиям. Действительно, для определения а и р мы получим два уравнения
| hy (t) dt = j h (t) dt — a (6 — a) — -|- (6 — a)2 = 0,
ab
j thy ^ dt^^th (t) dt — ^ (6 — a)2 — у (b—a)3=0,
(6.6)
из которых аир определяются однозначно.
Вернемся теперь к уравнению (6. 3). Его можно записать в виде
X (ж) А (ж) dx = 0.
(6-7)
Используя (6. 4), перепишем последнее равенство в виде
ьX (ж) Ат (ж) dx = О,ьX (ж) Ат (ж) dx = О,(6-8)(6-8)
ь
X (ж) Ат (ж) dx = О,
ь
X (ж) Ат (ж) dx = О,
(6-8)
(6-8)
где hy (ж) имеет вид (6. 5), с постоянными аир, удовлетворяющими условиям (6. 6). Полагая в (6. 8) X (ж) = hY (ж) (что возможно, так как hY (ж) удовлетворяет условиям (6. 4)), мы получим
ъ
J h\ (ж) dx = О,
а
откуда следует, что почти всюду А (ж) = а + рж,
что и требовалось доказать.
Случай всей прямой. Пусть I (у) = —у" + ч(х)у (— оо <^ ж <( оо), и пусть функция q (ж) непрерывна в каждом конечном интервале. Обозначим через D (Z) множество всех финитных, дважды непрерывно дифференцируемых функций. Прежде всего дадим описание области D (Z*). Согласно определению сопряженного оператора, если у £ D (I) и z О D (Z*), то найдется такая функция z*£L2(—оо, оо), что
ОО00
j (—У" + g (я) z/) z (/ж = j у • г* dx. (6. 9) —00—00
Интегрируя по частям, получаем 0000
у • z* dx = j у" • Z* (ж) dx,
—00—00
0000
у • q (х) • z dx = у" • Y (х) dx,
—00—00
где
У — ^ (ж — £) (^) dt, У (ж) = J (ж — t) q (Z) z (£) dt, о0
4Q Б. M. Левитан, И. С. Саргсян
Поэтому равенство (6. 9) можно переписать в виде
J у" [—z (ж) + У (ж) — Z* (ж)] dx = 0.(6.10)
—ОО
Из равенства (6. 10) на основании леммы 6. 1 получаем
z (ж) = У (ж) — Z* (ж) + а + рж =
= j (х — Z) [q (t) z (i) — z* (£)] dt + « + рж. о
Из последнего равенства следует полное описание функций z (ж), принадлежащих области D (Г), которое дается в следующей лемме.
Лемма 6. 2. Область D (Z*) состоит из функций z (ж), удовлетворяющих следующим условиям-.
z(a:)^5f2(—оо, оо),
z (ж) непрерывна и имеет абсолютно непрерывную первую производную в каждом конечном интервале,
—z" + q (ж) z = z* (х) £ S^ (—оо, оо).
С помощью леммы 6.2 можно доказать следующую теорему.
Теорема 6.1. Если функция q (ж) снизу ограничена, то оператор 1 (замыкание оператора Z) самосопряжен.
Вначале докажем еще одну лемму, в которой содержится главная часть доказательства теоремы 6.1.
Лемма 6.3. Если функция q(x) снизу ограничена, то из включений
УЕ^Н—™, °°), Ну) — — У" +уН)у^^(—ОО, оо)
следует включение
у'№(-«» Ч-(6.И)
Доказательство. Интегрируя по частям, имеем
j t/dx + J yi/dx = у1 (а) у (a) — у' (—а) у (—a). (6. 12) —a—a
Из включений у^$2^—оо, оо), —у"-\- д^у ^^2(—со, оо) следует существование при а->4-°о конечного предела у суммы
— j уу" dx-\- j q (ж) у2 dx.(6.13)
Так как, по предположению, функция q (ж) снизу ограничена, то из ограниченности суммы (6. 13) следует, что первое слагаемое этой суммы может либо стремиться к конечному пределу, либо стремиться к —оо. Но тогда левая часть равенства (6.12), а следовательно, и величина у' (а) у (а) — у! (—а) У (—а) при a-^-J-co либо имеет конечный предел, либо стремится к 4~оо. Если мы покажем, что случай
lim [у' (а) у (а) — у’ (—а)у(—а)] = +оо(6.14)
невозможен, то из (6. 12) получим
а
lim ( y^(^)dx < оо, а->оо
—а
чем и докажем лемму. Чтобы доказать невозможность равенства (6. 14), рассмотрим функцию
1^ = ^ («) + 1/2(—«)
и ее производную
Г (а) = 2у' (а) у (а) — 2у’ (—а) у (—а).
Если выполняются (6. 14), то /'(а)-»- оо и тем более I (а)-* оо, что противоречит принадлежности функции у (х) классу 5f2(—оо, оо).
Доказательство теоремы 6.1. Покажем, что оператор Z* на своей области определения симметричен. Отсюда будет следовать
Г Q(iy = l*.(6.15)
С другой стороны, для симметрического оператора I всегда
40*
имеет место включение
1“ С I*.(6.16)
Из (6. 15) и (6. 16) следует, что Z** = Z*, т. е. самосопряженность оператора Г. Далее, для любого симметрического оператора А (с плотной областью определения)
А*6 = А,
где А — замыкание оператора А (см. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман [1], стр. 127 и 148). Поэтому 1 = 1" и, следовательно, оператор Z самосопряжен. Таким образом, нам остается доказать симметричность оператора Z*. Пусть у и z£Z)(Z*). Тогда из леммы 6.3 следует, что у’ и г'Q^1^—оо, оо) и поэтому y'z^$^—оо, оо), yz' £ ^5f(—оо, оо). Следовательно, найдутся такие последовательности ап и 6м, что
Нт у' ^ z (аД = О, Я ->СОJ™ у! ^71 ^ = °’Нт у' ^ z (аД = О, Я ->СОJ™ у! ^71 ^ = °’Ит у ^ z! (а,) = О,Ит у ^ z! (а,) = О,Нт у (6Jz'(6J = O.Я -> 00Нт у (6Jz'(6J = O.Я -> 00(6.17)(6.17)
Нт у' ^ z (аД = О, Я ->СО
J™ у! ^71 ^ = °’
Нт у' ^ z (аД = О, Я ->СО
J™ у! ^71 ^ = °’
Ит у ^ z! (а,) = О,
Ит у ^ z! (а,) = О,
Нт у (6Jz'(6J = O.
Я -> 00
Нт у (6Jz'(6J = O.
Я -> 00
(6.17)
(6.17)
Переходя теперь в тождестве Грина
Ьп
j YyV ^ — =1* (у)] dx = (zp' — yz')^ ап
к пределу, получаем, используя (6. 17),
00
J [г/Z* (z) — zZ* (у)] cZa: = О,
что доказывает симметричность оператора Г на всей области D (Z*).
Случай полупрямой. Рассмотрим теперь оператор Штурма — Лиувилля Z (у) = —у" + q(x)y на полупрямой (О, оо), по-прежнему предполагая, что q (х)— непрерывная функция. В качестве D (Z) выберем множество финитных, дважды непрерывно дифференцируемых функций,
удовлетворяющих краевому условию
у' (0) cos а + у (0) sin а = 0.(6.18)
В следующей лемме дается описание области D (Z*).
Лемма 6.4. Область определения D (Z*) сопряженного оператора I* состоит из функций z (ж), удовлетворяющих следующим условиям:
z (z) £ jf2 (0, со),
z (ж) непрерывна и имеет абсолютно непрерывную первую производную в каждом конечном интервале,
— z" + q (х) z £ $2 (0, оо),
z' (0) cos а + z (0) sin а = 0.
Доказательство основывается на лемме 6.1. Предположим сначала, что у (х) удовлетворяет условию у (0) = у' (0) = 0. Тогда применима лемма 6. 1, и мы получим
z (ж) = а -|- Зж -|- j (ж — Z) [q (t) z (Z) — z* (Z)] di. ■о
Из этого представления следует, что z (ж) удовлетворяет условиям б) и в), а также существование пределов
z(-|-0) = a, z'(+0) = ₽.
Рассмотрим тецерь произвольные функции, удовлетворяющие условию (6. 18) и напишем равенство, определяющее сопряженный оператор:
(6.19)
Интегрируя по частям, получаем
ОО00
$ —y"z dx = — у' (0) Z (0) + у (0) z' (0) — j у (—z!') dx.
оо
Поэтому равенство (6. 19) можно записать в виде
ОО
5 к—у" + У W y}zdx = о
ОО
= j у {—z" + q (ж) z) dx — у1 (0) z (0) +
о
+ у (0) z' (0) = j yz*dx. (6.20) о
Так как, по доказанному, Г (z) — —z" + q (х) z, то из (6. 20) следует
-у' (0) z (0) + у (0) z'(0) = 0.(6.21)
Подставляя это выражениеПодставляя это выражениеВ силу (6. 18) -^Я = — tg а.
Подставляя это выражение
Подставляя это выражение
в (6.21), получаем для z(x) условие г).
Используя лемму 6.4, можно получить следующую
теорему, аналогичную теореме 6. 1.
Теорема 6.2. Если д (ж) (0 ^ х < оо) — непрерывная, снизу ограниченная функция, то оператор I (замыкание оператора I, определение которого дано в начале этого
пункта) самосопряжен.
Замечание. Другое доказательство теоремы 6.2 дано в главе IT. В главе II доказана значительно более
общая теорема (теорема Титчмарша).
Самосопряженность систем первого порядка
Рассмотрим оператор первого порядка, определенный / уТ (х) \
на вектор-функциях у (х) =.(0 ж < оо),
ХУг \ж) /
’+ а (х) ух + b (х) уа;
= \‘(7.1)
. — "1Е + b ^ у^ + с ^
уТ (х) cos а Д- у2 (0) sin а = 0.(7.2)
Коэффициенты а, Ь, с будем считать непрерывными функциями. В качестве D (Jg) возьмем непрерывные финитные вектор-функции с непрерывными первыми производными, удовлетворяющие условию (7. 2).
Найдем область определения сопряженного оператора D ^\ Вместо леммы 6. 1 используем следующую лемму, доказательство которой вполне аналогично доказательству леммы 6. 1.
Лемма 7.1 Пусть f(x)—непрерывная функция, удовлетворяющая условиям'.
а) /(ж) в интервале (а, 6) абсолютно непрерывна,
^ №£^ Ь),
в)/(а) = /(6) = 0..
Если
ъ
J f (ж) h (ж) dx = 0, h (ж) £ ^ (а, 6),
то почти всюду h (х) = const.
Пусть z =£ D ^Г\ Тогда на основании определе-
\Z2/
ния сопряженного оператора получим
00
S {['&+a^J/l + 6^J/2]Zl + О
+ [—4г + b ^ У1 + с ^ yJ Z2} dx =
00
^^y^ + y^dx, (7.3)
О
где z* = i е^2(0, со).
\Z2/
Полагая последовательно у2 = 0, уТ = 0 из (7.3), на основании леммы 7. 1 нетрудно получить следующую лемму (см. доказательство леммы 6. 4).
Лемма 7.2. Область определения D (^*) состоит I zy (ж) \
из вектор-функций z (ж) — I I, удовлетворяющих сле- \Ч\Х) /
дующим условиям".
гДж), z2(x) (^(О, со),
z1(x) и z2(x) абсолютно непрерывны в каждом конечном интервале,
z' + а(х) z^ + b (х) z2^^2(0, со),—z' + i^z!-}-
4-е(ж) z2^^2(6, со), т. е. S’(z) ^ jf2 (О, со).
zT (0) cos « + z2 (0) sin a = 0.
Из леммы 7. 2 мы выведем следующую замечательную
теорему.
Теорема 7.1. Если коэффициенты системы (7.1) непрерывны (в каждом конечном интервале'), то оператор $ (замыкание оператора 5£) самосопряжен.
Доказательство. Достаточно доказать симметрич-
/z/Д ность оператора 68* (см. теорему 6. 1). Пусть у =
\Уг) и z = ( 21 ) £D (56*). На основании леммы 7.2 yTz2^ (5 <2?2 (0, со), y2zTc 562 (0, °°). Поэтому найдется такая последовательность ап-* оо, что
11m уТ (ап) z2 (а,) = 0, lira у2 (ап) zx (ап) = 0. (7. 4) Н -> ООП -> ОО
Далее, на основании тождества Грина имеем (снова используя результаты леммы 7. 2)
A-(zv у^Дх =A-(zv у^Дх =(У, З*(2))ап-(Ж*(У'), ZK^
A-(zv у^Дх =
A-(zv у^Дх =
= S[-d7^i’ ЧУ о
= У1 ЮчМ — г, (а^у2(ап).
Переходя в этом равенстве к пределу и используя (7. 4), получаем
(У, ^‘(2)) = (^(У)- 2)
для любых у, z^-D (3*), что и требовалось доказать,
Теорема 7. 1 показывает, что для системы первого порядка, коэффициенты которой непрерывны в каждом конечном интервале, не может быть случая предельного круга (т. е. индексы дефекта (0. 0)).
Указания к литературе
—5. В этих параграфах дано краткое изложение основ теории симметрических и самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Подробное изложение этой теории читатель может найти, например, в книгах Н. И. Ахиезера, И. М. Глазмана [1] и Ф. Рисса, Б. Секефальви-Надь [1].
Теорема 6. 1 принадлежит Вейлю [1]. При изложении результатов этого параграфа авторы использовали книгу И. М. Глазмана [1].
Теорема 7. 1 принадлежит Б. М. Левитану. Независимо аналогичная теорема была получена В. В. Мартыновым [1].
ГЛАВА XIV
НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА
Леммы Римана — Лебега
На протяжении всей книги мы часто ссылались на леммы о поведении при | X | -> оо тригонометрических интегралов вида
ъ/ (ж) sin Хж dx,ъ/ (ж) sin Хж dx,6j / (ж) cos Хж dx,6j / (ж) cos Хж dx,(1.1)(1.1)
ъ
/ (ж) sin Хж dx,
ъ
/ (ж) sin Хж dx,
6
j / (ж) cos Хж dx,
6
j / (ж) cos Хж dx,
(1.1)
(1.1)
где (а, 6)— конечный или бесконечный интервал, а/(ж) С С $ (а, Ь). Эти леммы хорошо известны и обычно их называют леммами Римана — Лебега. Менее известны леммы о поведении интегралов (1. 1) в случае, когда функция / (ж) зависит от параметров.
Лемма 1.1. Пусть интервал (а, 6) конечен и /(ж) с С S'(а, 6). Тогда
ъ
(1.2)(1.2)lim \ / (ж) sin \х dx = 0.| X | -> оо j
(1.2)
(1.2)
Доказательство. Предположим вначале, что /(х) есть характеристическая функция интервала (а, Р) С (а, Ь), т. е. /(ж)= 1 при х £ (а, р), /(ж) = 0 при ж^(а, Р). Тогда
6Р
Г , / , . 1f 17 cos Ха — cos Х8
I / (ж) sin kx dx = i sin кх dx =7-
откуда равенство (1. 1) следует непосредственно.
Предположим теперь, что / (ж) есть ступенчатая функция, т. е. интервал (а, 6) можно разбить на конечное число интервалов (а^, а^, к = 1, 2, .. ., п, причем внутри
интервала (аы, «,.) функция / (ж) равна постоянному значению dk. Тогдаинтервала (аы, «,.) функция / (ж) равна постоянному значению dk. ТогдаHm I /(ж) sin Xxdx = У dk Ит i sin Хх dx = 0.] X[-> оо J7с=1 |Х|->со JЯ»к-1Если /(ж) — произвольная функция класса S’(а, 6), то, как известно*), для любого е>0 можно указать такую ступенчатую функцию уЕ (ж), чтоHm I /(ж) sin Xxdx = У dk Ит i sin Хх dx = 0.] X[-> оо J7с=1 |Х|->со JЯ»к-1Если /(ж) — произвольная функция класса S’(а, 6), то, как известно*), для любого е>0 можно указать такую ступенчатую функцию уЕ (ж), чтоj !•/ (*) — ?, (*) I dx < е.j !•/ (*) — ?, (*) I dx < е.(1.3)(1.3)Из предыдущего следует, что при фиксированном г можно выбрать Хо = Хо (е) настолько большим, что при | X | > ХоИз предыдущего следует, что при фиксированном г можно выбрать Хо = Хо (е) настолько большим, что при | X | > ХоФЕ (ж) sin XxdxФЕ (ж) sin XxdxПоэтому из (1.3) и (1.4) следует, что при |Х|>Х0Поэтому из (1.3) и (1.4) следует, что при |Х|>Х0/ (ж) sin Хх dx/ (ж) sin Хх dx[/ (ж) — ф6 (ж)] sin Хх dx -|-[/ (ж) — ф6 (ж)] sin Хх dx -|-6“F 1 ?е ^ sin Xxdx6“F 1 ?е ^ sin Xxdxj l/M —?ЕМ|^+j l/M —?ЕМ|^+6+ \ <p, (ж) sin Xx dx6+ \ <p, (ж) sin Xx dx(1.4)(1.4)2e,2e,
интервала (аы, «,.) функция / (ж) равна постоянному значению dk. Тогда
интервала (аы, «,.) функция / (ж) равна постоянному значению dk. Тогда
Hm I /(ж) sin Xxdx = У dk Ит i sin Хх dx = 0.
] X[-> оо J7с=1 |Х|->со J
Я»к-1
Если /(ж) — произвольная функция класса S’(а, 6), то, как известно*), для любого е>0 можно указать такую ступенчатую функцию уЕ (ж), что
Hm I /(ж) sin Xxdx = У dk Ит i sin Хх dx = 0.
] X[-> оо J7с=1 |Х|->со J
Я»к-1
Если /(ж) — произвольная функция класса S’(а, 6), то, как известно*), для любого е>0 можно указать такую ступенчатую функцию уЕ (ж), что
j !•/ (*) — ?, (*) I dx < е.
j !•/ (*) — ?, (*) I dx < е.
(1.3)
(1.3)
Из предыдущего следует, что при фиксированном г можно выбрать Хо = Хо (е) настолько большим, что при | X | > Хо
Из предыдущего следует, что при фиксированном г можно выбрать Хо = Хо (е) настолько большим, что при | X | > Хо
ФЕ (ж) sin Xxdx
ФЕ (ж) sin Xxdx
Поэтому из (1.3) и (1.4) следует, что при |Х|>Х0
Поэтому из (1.3) и (1.4) следует, что при |Х|>Х0
/ (ж) sin Хх dx
/ (ж) sin Хх dx
[/ (ж) — ф6 (ж)] sin Хх dx -|-
[/ (ж) — ф6 (ж)] sin Хх dx -|-
6
“F 1 ?е ^ sin Xxdx
6
“F 1 ?е ^ sin Xxdx
j l/M —?ЕМ|^+
j l/M —?ЕМ|^+
6
+ \ <p, (ж) sin Xx dx
6
+ \ <p, (ж) sin Xx dx
(1.4)
(1.4)
2e,
2e,
откуда и следует лемма в силу произвольности числа е. Замечание 1. Аналогично доказывается, что
lim| X | -> соlim| X | -> со/ (ж) cos Хх dx = 0./ (ж) cos Хх dx = 0.
lim
| X | -> со
lim
| X | -> со
/ (ж) cos Хх dx = 0.
/ (ж) cos Хх dx = 0.
Это же замечание справедливо и для последующих лемм этого параграфа. Поэтому дальнейшие леммы мы будем формулировать только для первого интеграла (1. 1).
Лемма 1.2. Пусть интервал (а, 6) бесконечен {в одну или в обе стороны") и j^х)^^(щ, Ь). Тогда равенство (1. 2) справедливо.
Доказательство. Для определенности рассмотрим интервал вида (а, -|-со), где а — конечное число. Для произвольного е j> 0 можно указать такое Л = Л (е), что
j | / (ж) | dx <_ е. (1. 5) а '
В силу леммы 1.1 при фиксированном Л можно взять Х0=Х0(е) настолько большим, что для |Х|)>Х0
Аj /(ж) sin kxdxАj /(ж) sin kxdx(1.6)(1.6)
А
j /(ж) sin kxdx
А
j /(ж) sin kxdx
(1.6)
(1.6)
- Из оценок (1.5) и- Из оценок (1.5) и(1.6) | X | > Хо следует(1.6) | X | > Хо следует
- Из оценок (1.5) и
- Из оценок (1.5) и
(1.6) | X | > Хо следует
(1.6) | X | > Хо следует
СОj^x) sin \xdxСОj^x) sin \xdxj / (x) sin cxdx +j / (x) sin cxdx +/(ж) sin Xx dxA/(ж) sin Xx dxA
СО
j^x) sin \xdx
СО
j^x) sin \xdx
j / (x) sin cxdx +
j / (x) sin cxdx +
/(ж) sin Xx dx
A
/(ж) sin Xx dx
A
j /(ж) sin \x dx + j | / (z) | dx < 2e,
откуда и следует лемма.
Из следующей леммы мы получим заключение о поведении интегралов вида (1.1) в случае, когда функция /(ж) зависит еще от параметра (или параметров).
Лемма 1.3. Пусть имеется бесконечное множество функций Е = (/ (ж)}, которые удовлетворяют следующим условиям:
1? f (^QS (а, b), причем интервал (а, Ь) может быть как конечным так и бесконечным.
2? Множество Е компактно в метрике пространства Хка, Ь).
Тогда равенство (1.2) выполняется равномерно, т. е. для любого е ^> 0 можно указать такое Хо = Хо (е) (не зависящее от индивидуальных функций семейства Е), что для | X | > Хо и всех f(x)^E выполняется неравенство
ьj /(ж) sin "kxdxьj /(ж) sin "kxdx< е.< е.(1.7)(1.7)
ь
j /(ж) sin "kxdx
ь
j /(ж) sin "kxdx
< е.
< е.
(1.7)
(1.7)
Доказательство. Пусть е )> О выбрано произвольно. Из известного признака компактности множества в метрическом пространстве следует, что в семействе Е можно указать конечную е сеть, т. е. существует конечное число функций Е,= (/Дж), /ДД, . . ., fn(x^cE, что для любой функции f(x)^E существует функция fk(x')^Es такая, что ь
^K^ — f^x^dxO.(1.8)
а
При фиксированном е можно, очевидно, указать такое Хо = Хо (е) Д> 0, что для | X | ^> Хо и всех k = 1, 2, .. ., п выполняются неравенства
6
(1.9)(1.9)j tk(^ sin kxdx
(1.9)
(1.9)
a
Лемма следует из (1.8) и (1.9).
Замечание 2. Если интервал (а, 6) конечен и функции /(ж) семейства Е непрерывны, то для компактности семейства Е в метрике jP^a, Ь) достаточно, чтобы семейство Е было компактным в метрике пространства С (а, Ь), а для последнего достаточно, чтобы семейство Е было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным ).
Если интервал (а, 6) бесконечен, то для компактности семейства Е достаточно потребовать, чтобы для любого е Д> О можно было бы указать такой конечный интервал (а', Ъ') С (а, Ь), что для любой функции Цх^Е
а*Ь
и чтобы семейство Е было компактным в метрике пространства $ (а1, Ь'У В самом деле, при выполнении этих условий множество Е' функций g^x); равных /(ж), если а' ^.х^Ь', и нулю, если а<_х<.а' и Ь1 <^х <^Ь образует компактную е-сеть для множества Е, и, следовательно, множество Е также компактно.
Представляет интерес тот случай, когда семейство Е порождается одной суммируемой функцией /(ж): Е = — (Л М} = {/(^ + С}, ж^(а1 &), (ai ^)— конечный интервал, t принадлежит некоторому ограниченному числовому множеству М.
Пусть (ж-|-£} £ (Л, В) и j^x^^^A, В). Тогда множество Е компактно. В самом деле, пусть {£я} — бесконечная последовательность чисел, принадлежащих множеству М. Выберем из ДД подпоследовательность t'n-* t0. Тогда
ь b+ta
' J 1/^ + 0—/(^ + ^0)!^= J 1/^ + ^ —^о) —
a a+tQ В
— / (z) | & ^ | / (z + ^ — Д,) — / (ж) | dx -> 0.
Теоремы Хелли
. Пусть аДХ), а2(Х), ..., ая(Х), ... — бесконечная последовательность монотонных, неубывающих, ограниченных функций, заданных в конечном замкнутом интервале (а, Ь\ Для определенности будем считать, что все функции нашей последовательности непрерывны слева:
^-О) = а„(Х).
Первая теорема Хелли. Если функции ая(Х) равномерно ограничены, то можно выделить подпоследовательность a„j (X), сходящуюся к монотонной функции а (X). Сходимость имеет место в каждой точке непрерывности предельной функции а(Х).
Доказательство. Пусть Хр Х2, ..., Xv, . . . — счетное, всюду плотное множество точек в интервале (а, Ь\ G помощью диагонального процесса (см., например,
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. V, стр. 49) можно выделить подпоследовательность ая (X), ая (X), . . . . . ., а,^(Х), . . ., сходящуюся во всех точках Хр Х2, . . ., Xv, . . . Положим
%°”yW = T»-
Если Х^ <; Х„, то т^ ^ и,. G помощью чисел tv мы определим предельную функцию о (X). Положим
а(Х-|- 0) = inf tv, xv>x
а (X — 0) : sup tv,XV<Xо(Х) = А{а(Х + 0) + а(Х-0)}.
а (X) есть, очевидно, неубывающая функция.
Покажем теперь, что в каждой точке непрерывности функции а (X) имеет место
Пт а„.(Х) = а(X).(2.1)
У-»оо 3
Пусть X — произвольная точка из интервала (а, Ь). Так как для X<Xv
%.(ХХ%.(ХЛ
ТО
Hm а„ (X) < Пт а (Х„) = Пт а„ (XJ = т„. /->00 3/->003j-><x> 3
Левая часть в этом неравенстве от v не зависит, справа же стоит любое tv, для которого соответствующее Х^ больше X. Поэтому
Jim ая. (X) ^ inf т„ = а (X + 0).
У-»оо 3 XV>X
Точно также доказывается, что
а (X — 0) ^ Пт а„. (X).
Таким образом,
В каждой точке непрерывности функции □ (X) а (X — 0) — = а (X + 0). Поэтому из предыдущих неравенств следует
lira ая/(Х) = а(Х).
что и требовалось доказать.
Вторая теорема Хелли. Пусть интервал п^Х^б конечен и /(X) — непрерывная в этом интервале функция. Пусть последовательность монотонных функций ayQ^, а2(Х, . . ., ад (X), ... сходится к а 4' в каждой точке непрерывности предельной функции. Если, сверх того, lim ая(а) == а (а),lim сп (Ь) = а (6),(2.2)
П->СОЯ->00
то
lim J/(X)^(X) = J/(X)da(X).(2.3)
Доказательство. Пусть е— произвольное положительное число. Выберем положительное число 8 = 8 (s) так, что для | X' — X" | < 3
|/(Х')-/(Х")|О
< Х,-! < х.< Х,-! < х.4141Пусть а —- Хо < Х2 < Х2 <
< Х,-! < х.
< Х,-! < х.
41
41
<^\р = Ъ есть разбиение интервала (а, Ь), для которого (X.— Хн)<6, Выбирая в интервале (Х^, Х() произвольную.
точку р,, получим
$ / (х) <4 (X) - f / (Р,) К (X,-) - % (X.-,)]
J /(Х)^(Х)-/(р,) ( dcnWJ /(Х)^(Х)-/(р,) ( dcnW
J /(Х)^(Х)-/(р,) ( dcnW
J /(Х)^(Х)-/(р,) ( dcnW
= £ (% (6) -44 <2Мг, (2.4)
причем число М выбрано из условия | -^ (л) | <( М. Точно так же доказывается неравенство
<2Мз. (2.5)
Выберем точки др к„ . . ., к^ средн точек непрерывности функции з (л). Очевидно, что зафиксировав эти точки, мы сможем подобрать п столь большим, что будет выполняться неравенство
(2-6)(2-6)Из (2.4), (2.5) и (2. G) в силу произвольности s следует (2. 3).2. Теорема Хелли допускает следующее обобщение ыг. бесконечный промежуток: Пусть последовательность монотонных. функций ф, Д) (—со ^Х<^оо) сходится немонотонной функции с (л) в каждой точке непрерывности последней, и пусть / (а) есть непрерывная функция на всей действительной оси. Предположим, что как бы мало ни было положительное число г, можно указать столь большое положительное число А = А (г), что для всех а, b ф> А и всех пИз (2.4), (2.5) и (2. G) в силу произвольности s следует (2. 3).2. Теорема Хелли допускает следующее обобщение ыг. бесконечный промежуток: Пусть последовательность монотонных. функций ф, Д) (—со ^Х<^оо) сходится немонотонной функции с (л) в каждой точке непрерывности последней, и пусть / (а) есть непрерывная функция на всей действительной оси. Предположим, что как бы мало ни было положительное число г, можно указать столь большое положительное число А = А (г), что для всех а, b ф> А и всех п/Д)1«ХД)/Д)1«ХД)
(2-6)
(2-6)
Из (2.4), (2.5) и (2. G) в силу произвольности s следует (2. 3).
2. Теорема Хелли допускает следующее обобщение ыг. бесконечный промежуток: Пусть последовательность монотонных. функций ф, Д) (—со ^Х<^оо) сходится немонотонной функции с (л) в каждой точке непрерывности последней, и пусть / (а) есть непрерывная функция на всей действительной оси. Предположим, что как бы мало ни было положительное число г, можно указать столь большое положительное число А = А (г), что для всех а, b ф> А и всех п
Из (2.4), (2.5) и (2. G) в силу произвольности s следует (2. 3).
2. Теорема Хелли допускает следующее обобщение ыг. бесконечный промежуток: Пусть последовательность монотонных. функций ф, Д) (—со ^Х<^оо) сходится немонотонной функции с (л) в каждой точке непрерывности последней, и пусть / (а) есть непрерывная функция на всей действительной оси. Предположим, что как бы мало ни было положительное число г, можно указать столь большое положительное число А = А (г), что для всех а, b ф> А и всех п
/Д)1«ХД)
/Д)1«ХД)
То? о а
'im ( tMd^XO^ Т /ДИД а).
Л->СО JJ
— со—со
Доказательство. Вначале покажем, что функция / (а) абсолютно интегрируема по предельной функции а (X). Действительно, если числа b и сф> А, то, по условию,
I / Д) I <4 Д)
Zj | Б. М. Левитан. И. С. Саргсян
Полагая при фиксированных b и с (Ь и с можно считать точками непрерывности а(Х)) и-» оо, мы получим С
ь
Полагая с-* оо, получим
J |/(Х)|^(Х)<8.(2.8)
ь
Точно так же доказывается, что
j |/М WXe.(2.9)
Из этих неравенств следует абсолютная интегрируемость /(X). В силу предыдущей теоремы при фиксированных —а и 6, являющихся точками непрерывности функции а(Х)
ъ6
lim f / (X) da„ (X) =(2.10)
fWCO JJ■
—a—a
Далее, в силу неравенств (2.7)
—alim ( I / (X) | с?аи (X) < e, n->00—coИз (2. 8), (2. 9), (2. 10) и—alim ( I / (X) | с?аи (X) < e, n->00—coИз (2. 8), (2. 9), (2. 10) иJim j | / (X) | daB (X) (2. И) следуетJim j | / (X) | daB (X) (2. И) следует8.8.(2. И)(2. И)Птw->coПтw->com^W- J KWm^W- J KWJim J | / (a) | do„ (X) + J |/(X)|da.(X) +Jim J | / (a) | do„ (X) + J |/(X)|da.(X) +bbbb+ lim J / (X) da„ (X) — J / (X) da (X) ++ lim J / (X) da„ (X) — J / (X) da (X) ++ lim$|f(X)|XW+$|/(W°W<4e.+ lim$|f(X)|XW+$|/(W°W<4e.6666ТакТаккак e произвольно, то теорема доказана.как e произвольно, то теорема доказана.
—a
lim ( I / (X) | с?аи (X) < e, n->00
—co
Из (2. 8), (2. 9), (2. 10) и
—a
lim ( I / (X) | с?аи (X) < e, n->00
—co
Из (2. 8), (2. 9), (2. 10) и
Jim j | / (X) | daB (X) (2. И) следует
Jim j | / (X) | daB (X) (2. И) следует
8.
8.
(2. И)
(2. И)
Пт
w->co
Пт
w->co
m^W- J KW
m^W- J KW
Jim J | / (a) | do„ (X) + J |/(X)|da.(X) +
Jim J | / (a) | do„ (X) + J |/(X)|da.(X) +
b
b
b
b
+ lim J / (X) da„ (X) — J / (X) da (X) +
+ lim J / (X) da„ (X) — J / (X) da (X) +
+ lim$|f(X)|XW+$|/(W°W<4e.
+ lim$|f(X)|XW+$|/(W°W<4e.
6
6
6
6
Так
Так
как e произвольно, то теорема доказана.
как e произвольно, то теорема доказана.
3. Формула обращения Стилтьеса
Пусть а (X) = Oj (X) + io2 (X) есть комплексная функция ограниченной вариации на всей действительной оси ).
Положим
?(z) =?(z) =do (X)z — X 1do (X)z — X 1
?(z) =
?(z) =
do (X)
z — X 1
do (X)
z — X 1
Формула обращения Стилтьеса дает способ выразить а(Х) через <p(z).
Положим (z = а -J- гт)
„л— 818пт?С) _1 7 1Ч^(Х) п
т №— —21” — J (X - а)2 + Т2 •
Теорема 3.1. Если точки а и b суть точки непрерывности функции а (X), то
а (6) — а (а) — Пт ( —ф (а, т) da.(3. 2)
Доказательство. Пусть а(—со) = 0. Интегрируя (3.1) по частям, получим
-»<», ’)=-4 J ^((x-If+^w^
Интегрируя последнее равенство по а в пределах (а, 6), мы получим
Н^0’ т)йа = А J_M_0(X)dX-
-I I (Х-^ + ^^М^^Д^ b^-I^ ay (3.3)
Рассмотрим первый интеграл справа. Имеем
Л J А 2 q2 х 1/
Так как
77 J — т2’
ТО
/ (V, Ь) _ о (Ь) = 1 J -ДЬ (0 (л + X) - = Wi =
= | 5 Т^И^ + 6)~44И.+
Зададим г > О и выберем о так, чтобы выполнялось неравенство
| о (X + 6) — ° (4 | 4 у , если | А | <^ о.
Это возможно, так как, по предположению, точка b есть точка непрерывности функции □ (А). Выбрав таким образом 8, мы получим
Пусть М > 0 выбрано из условия | □ (X) | <^ М. Тогда
14Х2 Д_ т'214Х2 Д_ т'2dX =dX =4М (т. t 6 — (y-aiTtg -}4М (т. t 6 — (y-aiTtg -}
14
Х2 Д_ т'2
14
Х2 Д_ т'2
dX =
dX =
4М (т. t 6 — (y-aiTtg -}
4М (т. t 6 — (y-aiTtg -}
При фиксированном 3 можно взять т столь малым, что последнее выражение будет < -|-. Так как е произвольно, то мы доказали, что
Шп/(т, 6) = а(6).
Точно так же доказывается, что lim Z (т, а) = а (а). т^О
Поэтому формула (3. 2) следует из формулы (3. 3).
Теорема 3.2 (теорема единственности). Если с^ (X) и °2 W — две функции с ограниченной вариацией и при всех недействительных z
f dax (X) J1 da, (X) .1 z — XJ z — X ’
—co—co
mo Cj (X) — a2 (X) = const.
Доказательство. По теореме 3. 1 ог (6) — Oj (а) и a2 (6) — a2 (a) должны совпадать для всех точек непрерывности а, b обеих функций с^ (X) и а2 (X). Значит, эти функции могут отличаться лишь на постоянную величину.
Замечание. Если a (X)— действительная функция, то <р (z) = <р (z). Поэтому в этом случае
Цо, T) = XLlM^lM = eiiln{cp(<
Для т ^> 0 формула обращения Стилтьеса принимает вид ■ъ
о (Ь) — a (a) = Пт — ( — Im {<р (z)) do.
Тауберовы теоремы
Тауберовы теоремы для интегралов Фурье Б. М. Левитана.
Теорема 4.1. Пусть функция a(v) удовлетворяет следуюецим условиям1.
В каждом конечном интервале функция о ^ имеет ограниченную вариацию..
(4.1')(4.1')При р-> СО
(4.1')
(4.1')
V МД} = о(Ыг) р*
Для каждой функции gk^, имеющей ограниченную (г + 2)-ю производную и равной нулю вне промежутка (-Л, А),
j h (v) da ^ = 0, где h (v) = -L- J gK (t) e~'^dt.
Тогда для p-> oo справедлива оценка p
\^-^d°^ = 0^ (s>0).(4.1)
—p
Доказательство. Рассмотрим интеграл
p
J (p, s) = ^ (p2 — v2)*da(v).(4.2)
—p
Доказательство будет состоять в том, что мы для этого интеграла дадим другое представление, из которого легко следует оценка (4.1). Положим'
J (Р2 — V2)", I V К р (s > 0),-•s)=|o,
И пусть .р
h (£, р, s) = j <р (р, v, $) e^dv.(4. 3)
—р
В силу формулы обращения Фурье
®(р, v, s) = A- J h\t, Р, sy-^dt. ■
Подставляя это значение в формулу (4.2), мы получим
7 (р, $) = -^ j do^y j h^t, p, s)e~,,zdf . (4.2')
Обозначим через n целую часть числа s: п = [s]. Интегрируя интеграл в формуле (4. 3) п раз по частям, мы получим
/г (i, р, $) = -^L ( <р(в)(^, v, s^e^d^.(4.4)
V1) J—p-
Рассмотрим теперь отдельно случаи s целого и нецелого. Пусть сначала число s цело: s = n, причем и ^ 1 (случай s=0 мы рассмотрим отдельно). Интегрируя левую часть равенства (4. 4) еще раз по частям, мы получим
Ш ь s) = "7i^(^B)(^ s)L£eW~
— <р(в)(р, v, 5)1^6-^} +
+т^г i^”+1)^> v> s)e*^v- (4-5)
V1')*
Обозначим через ф (t) функцию, имеющую ограниченную (и 4* 2)-ю производную, равную единице в промежутке 11
—2<^t<^~2 и НУЛЮ вне промежутка (—1, 1). Положим
м<)=44‘)-
Функция фА(<) равна нулю вне промежутка^—Л, Л). Поэтому из условия в) теоремы следует
Вычитая это равенство из равенства (4. 2), получим
/ (р, s) = A- J da (v) | J [1 — фл (f)] h (t, p, s) e ^dt
Подставляя сюда вместо h, (t, p, s) выражение (4. 5), получим
7(p, s)=Jm (p, s) + J(2)(p, s) + 7(3,(p, s),
где
7Ш (p, s) =
1 - ФА to Wn1 - ФА to Wn7(2,(p, s) =7(2,(p, s) =(-1) ti”4^2л(-1) ti”4^2л=-p-=-p-e-iw,fdq,e-iw,fdq,
1 - ФА to Wn
1 - ФА to Wn
7(2,(p, s) =
7(2,(p, s) =
(-1) ti”4^
2л
(-1) ti”4^
2л
=-p-
=-p-
e-iw,fdq,
e-iw,fdq,
1 — Фа (0(jty+i1 — Фа (0(jty+ippE, s^’"^ dt\.E, s^’"^ dt\.—p—p
1 — Фа (0(jty+i
1 — Фа (0(jty+i
p
p
E, s^’"^ dt\.
E, s^’"^ dt\.
—p
—p
Положим теперь
1-ФаМ (i<)«1-ФаМ (i<)«e-wdt.e-wdt.(4-6)(4-6)
1-ФаМ (i<)«
1-ФаМ (i<)«
e-wdt.
e-wdt.
(4-6)
(4-6)
Легко видеть, что этот интеграл сходится при s )> 1 абсолютно, а при s = l ограниченно. Кроме того, с помощью интегрирования по частям нетрудно показать, что при v-> со справедлива оценка
(4. 7)(4. 7)л8м = о(/^Ув \ /\ ^''tZ у
(4. 7)
(4. 7)
Меняя в JU) (р, s) порядок интегрирования, что возможно в силу сходимости интеграла (4. 6), мы получим
Г3,(рХ = Х+^р, е, s) (л,^)^ »(> + £) Й. (4.8)
Далее, пользуясь обозначением (4. 6),
/<п(р, s) = J АДч
/(2,(Р,j ЛМ
получим
f^a^ + p),(4-9)
(4. И)(4. И)Легко видеть, что при р ^> оо
(4. И)
(4. И)
уХР’ s) L±P. = О (р8).
Оценим теперь интегралы (4. 9) и (4. 10). Рассмотрим, например, интеграл (4. 9). Интеграл (4. 10) оценивается аналогично.
Обозначим через N целое положительное число и положим
t= 5 л (Х0 б-+р)=
—Л7 N col
j + j + И ^» ^ ^а б + р) — ч + ч + ч-
—со —Л' N '
Каково бы ни было положительное число s при доста
точно большом р Д> р (е) и | v I ^ ^> получим
^+1/ 11 \г
V {аб + р))<е|р + 7Г<е1 рП/Г^ + т) •
ПоэтомуПоэтомуNN1ч1<Се|рГ1ч1<Се|рГj—Nj—NI 7 I’’I 7 Г2 + 1I 7 I’’I 7 Г2 + 1Се (лг. (4. 12)Се (лг. (4. 12)
Поэтому
Поэтому
N
N
1ч1<Се|рГ
1ч1<Се|рГ
j—N
j—N
I 7 I’’
I 7 Г2 + 1
I 7 I’’
I 7 Г2 + 1
Се (лг. (4. 12)
Се (лг. (4. 12)
Далее,
1/21/2TV + 1 ^TV + 1 ^и аналогичная оценка для i3:1„ < -тт-п Ц •3 Л + 1 ги аналогичная оценка для i3:1„ < -тт-п Ц •3 Л + 1 г(4.13)(4.13')(4.13)(4.13')
1
/2
1
/2
TV + 1 ^
TV + 1 ^
и аналогичная оценка для i3:
1„ < -тт-п Ц •
3 Л + 1 г
и аналогичная оценка для i3:
1„ < -тт-п Ц •
3 Л + 1 г
(4.13)
(4.13')
(4.13)
(4.13')
Если сначала подобрать IV, а затем р = р(е), то из оценок (4.12), (4.13) и (4.13') получим для р)>р(е)
НКСеИ-(4-14)
Отсюда и из (4.11) следует, что при р-> оо
J(1,(p, s) = o(pr+‘).(4.15)
Аналогичная оценка имеет место для J(2) (р, s). Поэтому при р -> оо
J(1)(p, s)+J(2>, s) = o(p'+r).(4. 16)
Оценим теперь J(3) (р, s) при больших р. Пусть IV — по-прежнему целое положительное число. Положим
ОО
J A,(v)^o(v-M) =
A (v) ^° (v + £) = 71 + 7 г + 7.3 •
Как и прежде, 'lAI + U.Ks^-rdtr+i). (4.17)
Далее,
7(3) (р, s)=j <р'"+1Чн ^ $) (А +/2 + 7з) ^ =
-I1„
— h + 7? + /;ь
Из (4. 17) следует
Mil + l/iKjrnJ ^'"’<>». $' «)(|5Г+,)Д«й
ибо
XX’ 5, S) = O(pX
Рассмотрим теперь /з. Мы имеем’Рассмотрим теперь /з. Мы имеем’d^ =d^ =
Рассмотрим теперь /з. Мы имеем’
Рассмотрим теперь /з. Мы имеем’
d^ =
d^ =
чтобы для | v |< 7V,чтобы для | v |< 7V,Обозначим через ц произвольное положительное число
чтобы для | v |< 7V,
чтобы для | v |< 7V,
и выберем а настолько большим, | В | ^> а выполнялось неравенство
7Х + ад<Х + И<Х/1Т1г.
Тогда получим
N$ ЛМ^Х + Е)—NN$ ЛМ^Х + Е)—NСт У -Ш1Ш11I у |г+а +1/—уСт У -Ш1Ш11I у |г+а +1/—у
N
$ ЛМ^Х + Е)
—N
N
$ ЛМ^Х + Е)
—N
Ст У -Ш1Ш11I у |г+а +1
/—у
Ст У -Ш1Ш11I у |г+а +1
/—у
Поэтому
l^l + jegKCT) J Х^, е, s)||er^<2C7)|p|w.
Далее,
а
| е2 К С j | ?Х (и, е, s) 11 е Г ^ < С<!аг+1.
ПоэтомуПоэтому
Поэтому
Поэтому
|/з|<С(271Х + Хаг+1).
Следовательно,
1^(3,(^ ^КСГ^^ + г^^)"1].(4.19)
Пусть е — произвольное положительное число. ВыбеПусть е — произвольное положительное число. Выберем вначале Д' таким, чтобы настолько большим, чтобырем вначале Д' таким, чтобы настолько большим, чтобы2/ в/V + 132/ в/V + 13Затем выберем аЗатем выберем авыполнялось неравенствовыполнялось неравенство2Ст]<(-у. Наконец, выберем р настолько большим, чтобы выполнялось неравенство \ у • огда из оценки (4.19) получим оценку2Ст]<(-у. Наконец, выберем р настолько большим, чтобы выполнялось неравенство \ у • огда из оценки (4.19) получим оценку
Пусть е — произвольное положительное число. Выбе
Пусть е — произвольное положительное число. Выбе
рем вначале Д' таким, чтобы настолько большим, чтобы
рем вначале Д' таким, чтобы настолько большим, чтобы
2/ в
/V + 13
2/ в
/V + 13
Затем выберем а
Затем выберем а
выполнялось неравенство
выполнялось неравенство
2Ст]<(-у. Наконец, выберем р настолько большим, чтобы выполнялось неравенство \ у • огда из оценки (4.19) получим оценку
2Ст]<(-у. Наконец, выберем р настолько большим, чтобы выполнялось неравенство \ у • огда из оценки (4.19) получим оценку
J^^, S)^o^r+s).(4.19')
Из оценок (4.17) и (4. 19') следует
J(p, s) = epr+8.(4.20)
Разделив последнее равенство па р28, получим
^ J (р, s) = ( (1 — ^)S da (>) = о ^r~s),
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь случай s = 0. В этом случае (см. обозначение (4. 3))
h (t, р, 0) = I е 'dv = —=,
' гJItIt
-Il
Поэтому ■
7 ^ °) = i J ^ М I t1 - Фл (01 ^^- e-^-dt
00
= j do (v) (Ло (v — p) — Ao (v + p)) =
—CP—CP—00—00
—CP
—CP
—00
—00
Гак как J0(v) обладает всеми свойствами функции Л, (v), то можно провести предыдущие оценки. В результате мы получим'
7 Ь °) j d' С') = ° (|1) — (• й) — о (IР Г),
что п доказывает теорему при s = 0.
Пусть теперь число s =/г + а (а-у= 0) нецелое. В этом случае мы должны оценить интеграл
Лр, -s') - j ^-^'Мо^.
Этот интеграл мы преобразуем, интегрируя по частям, п сведем к оценке для целых степеней $. Интегрируя п+ 1 раз, получим
= С j (д2—р]>7(-к »><Л о
где С — некоторая постоянная величина. Далее, положим
J (р, n + «)=c H + j (р2 —v2pv7(v,n)dv=7/ +7".
Из оценки (4.20) следует
| Г | = о р^ j v (р2 — ^pd; = о ^r+a\(4. 21)
Далее, еще раз интегрируя по частям, получим
7' = -С, | ^ - (р - 1 )Т] 7 (р - 1, п + 1) +
+ С2 j (р2-ч2р>7(->, п + 1)^.
О
Поэтому, снова применяя оценку (4. 20), получим
Г = о (ри+’'+а) + о р.^1’' j v(p2 — А)“~2(Ь = о(р"+г+"). (4. 22) \ о/
Из (4.21) и (4.22) следует, что при р-> оо
1 (р, $) = о(рг+8).
Таким образом, теорема полностью доказана.
Замечание. Аналогично можно доказать, что в оценках (4. 1) и (4. V) можно заменить о на О. В случае нечетной a (v) (именно этот случай и применяется в работе) функции A,(v) и Л (i, р, s) можно предполагать четными, т. е. рассматривать cos-преобразование Фурье четной функции 6^t\ равной нулю вне промежутка (—Л, Л). Основная оценка в этом случае примет вид
j (р2V2)" (Zo (v) = о (р"+г) о
или
о',
Теорема 4.1 фактически дает нам асимптотическое поведение нечетной компоненты функции a (v). Чтобы получить асимптотическое поведение самой функции a (v), следует рассмотреть ядра более общей природы чем <р(р, v; s) (см. теоремы В. А. Марченко в этом параграфе) или наряду с ядром <р (р, v; s) рассмотреть еще некоторое нечетное ядро, которое позволило бы нам выяснить асимптотическое поведение четной компоненты функции a (v).
В следующей теореме это делается в одном из простейших случаев *).
Теорема 4.1'. Предположим, что функция o(v) удовлетворяет следующим условиям:
В каждом конечном интервале имеет ограниченное
изменение.
При | а | ^- оо
7Н<))=0(1).
Для каждой функции g^t), имеющей непрерывную вторую производную и равную нулю вне интервала (—Л, Л)
J A(v)(Zs(v) = 0, h^ = ^ j gx (i) e-^dt.
-OO-A
Точка нуль есть точка непрерывности a(v).
Тогда при X -» оо
а(Х) + а(—Х) = 0(1).(4.23)
Замечание. Заметим, что условие г) не является ограничением, ибо всегда существует такое число v0, что для функции ат (v) = a (v + v0) точка нуль есть точка непрерывности. Вместе с тем, как легко видеть, для Oj (v) условия а), б) и в) выполняются, если они выполнялись Для a(v).
В асимптотической формуле (4.23) предполагается, что точки X и —X суть точки непрерывности функции a (v).
Доказательство теоремы 4.1J Положим при Х>0
.О для v < —X,
1 ч
2* ДЛЯv = —Л,
Х(х> v) =Х(х> v) =—1 для О для 1 для 1"2 для—1 для О для 1 для 1"2 для—X < V < О,v = 0,
Х(х> v) =
Х(х> v) =
—1 для О для 1 для 1
"2 для
—1 для О для 1 для 1
"2 для
О <_ v <(х,
V = X,
О дляО для
О для
О для
Из формулы обращения Фурье следует, что
X (^ v)=^ jX (^ v)=^ j1 — cos Xti1 — cos Xtie-'^dt.e-'^dt.Г1- 24)Г1- 24)
X (^ v)=^ j
X (^ v)=^ j
1 — cos Xt
i
1 — cos Xt
i
e-'^dt.
e-'^dt.
Г1- 24)
Г1- 24)
Положим, по определению, ~o-sxx
( / (v) do ^ = lim ( / (v) do (v),( / (v) do (v) = Jim ( / (v) do (>).
,e->0 "4e-»0
-X-X+0=
X.-0X
j / M do (v) = j / (v) do M + j / (v) do ^\(4. 2a)
-x-x+o
Нетрудно видеть, что
X
a(X) + a(_X) = 2o(0)+ j Z(X, ^do^), -x
или, подставляя вместо Z(X, v) выражение (4.24), a(X) + o(-X) =
= 2a(0) + ± Ua(v)!72<H
Пусть ^A(i) имеет то же самое значение, что и в теореме 4. 1. Из условия в) теоремы следует, что
— ОО‘—00'
Так как a(v) и
ОО
f ।1 —cosXi
J Фл(01e dt
в точке ч —() непрерывны, то внешний интеграл в (4. 27) можно понимать в смысле (4.25). Вычитая теперь из равенства (4,26) равенство (4. 27), получаем
.(л) + .(-/.)^2.(0) +.(л) + .(-/.)^2.(0) +^2.(0)+“‘^2.(0)+“‘
.(л) + .(-/.)^2.(0) +
.(л) + .(-/.)^2.(0) +
^2.(0)+“‘
^2.(0)+“‘
—со- -со-
(j-iV'^-'idt(j-iV'^-'idt
(j-iV'^-'idt
(j-iV'^-'idt
2.(0) + 2 J ЛД',)^^- ( А, (v-Л) <1=^-
- ( ЛМ-Х) d^,(4.28)
где А, Л) имеет то же самое значение, что и и гео реме 4. 1.
Так как при больших v
то оценка (4.23) может быть получена из интегрального представления (4. 28) с помощью оценок, аналогичных тем, что были проведены при доказательстве тео ремы п I.
^2*: ^'- -'Ьмттан, И. С. (’аргслн
Тауберовы теоремы для интегралов Фурье В. А. Марченко.
Теорема 4.2. Пусть при некотором целом п-^^ неубывающие и непрерывные слева функции р (X) и а (X) (—оо <Х < оо) удовлетворяют следующим условиям:
На множестве бесконечно дифференцируемых функций f^x), равных нулю вне интервала (—h, h), имеет место тождество
j ^ (X) cZ {р (X) — а (X)} = j f^G^clx,
где G (x) — некоторая функция, определенная и суммируемая на интервале (—h, h), и
S/(X) = j Цх^е-^дх.
Одна из функций р (X) и а (X), скажем а (X), такова, что.
а* (Х„)< оо
при некотором Хо > 0.
Далее, пусть ядро Т (N, X) (0 ^ N < оо — параметр) удовлетворяет следующим условиям:
При любом N функция Т (N, X) имеет ограниченную вариацию по Х(—оо<^Х<^оо) и
i (i+^ni^^ №< с».
При любом N функция T(N, X) имеет к^О производных по X, причем \TW{N, X) | = о (| X |_я-2), когда |X]-^- оо (m = 0, 1, ..., к). Производная к-го порядка Tw (N, X) имеет ограниченную вариацию и
j (I+IXI”)!^^^, Х)|<оо,
При любом конечном а
5 (i + iXHI^z^i^, X),lim ^^” J (l + |X|«)|dx7*(7V, Х)|
-ОО
(в пунктах А, В u С число п такое же, как и в условиях I и II).
Обозначим через <р (ж) четную бесконечно дифференцируемую функцию вида
?R) = 1, И <у ,
о<?(г)<1, l^i^i,
? (ж) = 0, | я | > 1 и положим
ОО■
tAN^=-L^ j Т (А, XV^.
—ОО
Тогда
limN->colimN->coОООО
lim
N->co
lim
N->co
J Т (N,X)dx(p(X)-a(X)}_ J Ui^.x^G^dx
T^N, Х) =T^N, Х) =б) к = п = О,б) к = п = О,I, 1 2 ’ о,I, 1 2 ’ о,RK^v, IM = W. Rl>^v,RK^v, IM = W. Rl>^v,—CD—ОО
T^N, Х) =
T^N, Х) =
б) к = п = О,
б) к = п = О,
I, 1 2 ’ о,
I, 1 2 ’ о,
RK^v, IM = W. Rl>^v,
RK^v, IM = W. Rl>^v,
(TO(TOнекоторые теоремы ah а ли з aнекоторые теоремы ah а ли з a| Г. I. NIV| Г. I. NIV
(TO
(TO
некоторые теоремы ah а ли з a
некоторые теоремы ah а ли з a
| Г. I. NIV
| Г. I. NIV
в) функция Gy) «мест ограниченную вар нацию в некоторой окрестности пуля.
Тогда, если условия теоремы 4. 2 выполнены при любом h i! с (-|-0) — О (наирнмер, а (X) ~ X), то при Nоо
ONHaG N)^
= о Я7) - = (- ^) + у Я Я’”) + ^ ( -Я! |-о (। X
Теорема 4. 2' *) Пусть функции Р (X) и з (X) удовлетворяют. условиям I и II теоремы 4. 2 с н -- 0. Пусть g (.г) — произвольная финитная функция, совпадающая в песо торой окрестности нуля с функцией GGrY и.
g (и) = 1 g (.т?) еh^dx,
Тогда cyuiccmeyem такая абсоаютпая кокетанта С, что
]) ,Йт|{?(Я—р(-х)}-
- (3 (/.) - = (-Х)} - Sg (л) к Сз» Q,
II) ^|{P(X)-?(-A)}-
- НО- = (-0} - S» (X) - А I <Со* (1), где А — некоторое число.
Заметим прежде всего, что.если ^ (ж) — другая финитная функция, совпадающая с G И в окрестности пуля, то согласно хорошо известным теоремам локализации
Hm^H^-S.XX)} =0,
а
со
существует. Поэтому теорему достаточно доказать хотя бы для одной финитной функции g (х), совпадающей с G (х) в окрестности нуля.
Заметим еще, что функция р (X) определена с точностью до постоянного слагаемого, поэтому ее всегда можно считать ортонормированной так, что А = 0.
Доказательство. Утверждение 1) есть следствие теоремы 4. 2, если взять ядро Т (N, X) = 1 при | X | <) /V и О при | X | > /V.■
Доказательству утверждения II) предпошлем следующее замечание: если функция а (X), X £ (О, Д- оо), такова, что при некотором конечном 8 ^ 0 для любых последовательностей (с/Д, {ДД by )> dy, lim dy — co выполняется неравенство
lim | a (dy) — a (by) | 4 Ф(4. 2D)
то существует такое число А, что
lim | a (X) —A !<-=-•(/j-3(l)
>.->00V2
Действительно, из (4. 29), очевидно, следует, что
lim | a (X) | О оо , X-* colim | a (X) | О оо , X-* colim Re a (X) — lim Re a (X) ^ 8, X->coX-*co
lim | a (X) | О оо , X-* co
lim | a (X) | О оо , X-* co
lim Im a (X) — lim Im a (X) ^ o. X-*ooX-*oo
Поэтому все частные пределы функции a(X), Х-*Д-оо,
лежат в прямоугольнике
lim Rea (X) ^ Re z О lim Re a(X),
lim Im a (X) ^ Im z ^ lim Im a (X),
длины сторон которого ^ 8. Ясно, что ' если комплексное число А лежит в центре этого прямоугольника, то для
него выполняется неравенство (4. 30).
Проверим теперь, что функция
«(*) = (Р W + Р Ь^)} - {= W + = (- а)} - S* (X) (4.31) удовлетворяет условиям (4.29), если g (ж) = <р (0 G (ж) и § = Со*^У Для этого положим
тх)={гп при
' I 0 при IXI ^ (dK, b1V).
Эти ядра удовлетворяют условиям А, В, С (при А = 0) теоремы 4.2 и поэтому к ним применима теорема 4.2. Расписывая неравенство, доказанное в этой теореме, мы убеждаемся, что функция а(Х), определенная формулой (4. 31), удовлетворяет условию (4.29) с ^=Сс*^-^. Отсюда вытекает существование такого А, для которого имеет место (4.30), а следовательно, и условия II), что и требовалось доказать.
Следствие. Если условия теоремы 4. 2 выполнены при любом h, причем а* (-|- 0) = 0 и функция G (я) в окрестности нуля удовлетворяет условиям, обеспечивающим сходимость ее ряда Фурье и ему сопряженного, то при Х-> + оо имеет место такая асимптотическая формула:
Р(Х) = а(Х) + 1.Ае(0)+л+ о(1).
3. Тауберова теорема М. В. Келдыша.
Теорема 4. 3. Пусть <р (ж) и ф (ж) — положительные возрастающие функции, определенные при а > 0, причем <р (ж) дифференцируема и удовлетворяет условиям
Иш <р (ж) — оо
и при х > а > 0
а<р (ж) < хф1 (я) < Р<р (ж),
где а и р — два положительных числа *\ а при х < а/2
<р (ж) = 0, ф (ж) = 0,
*) М. В. Келдыш доказал свою теорему в предположении, что числа аир удовлетворяют неравенствам 0 < р < а -(- 1. Позже Б. И. Коренблюм [1] показал, что теорема верна без этого условия.
и пусть
W=\
о
d? to
(Е _-ж)«+1
g fc) = j
О
ЭД
(Е _ ^m+i .
где т— целая часть {3. Если при х-+—оо
то
Пт
Я-КО
?(д)_1 ф(^)_
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
А б д у к а д ы р о в Э.
Вычисление регуляризованного следа для системы Дирака. Вестник Москов. ун-та, серия матем., механика, № 4 (1967), 17—24.‘
А т к и неон Ф. В.
Дискретные и непрерывные граничные задачи, М., «Мир», 1968.
А х и е з е р Н. И.
Лекции по теории аппроксимации, М., «Наука», 1965. А х и е з е р Н. И. и Г л а з м а н И. М.
Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», М., 1966.
Б и р к г о ф (Birkhoff G. D.)
On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter, Trans. Amer, Math. Soc. 9 (1908), 219—231.
Boundery value and expansion problems of ordinary linear differential equations, Trans. Amer. Math. Soc. 9 (1908), 373-395.
Existence and oscillation theorems for a certain boundary value problem, Trans. Amer. Math. Soc. 10 (1909), 259-270.
Б и p к г о ф и Лангер (Birkhoff G. D. and Langer R. E.) 1. The boundary problems and developments associated with a system of ordinary linear differential systems of the first order, Proc. Amer. Acad, of Arts and Sciences 58 (1923), 51 — 128,
Блохинцев Д. И.
Основы квантовой механики, М.—Л., Гостехиздат, 1949. В а т с о п Г.
Теория бесселевых функций, том I, М.—Л., Гостехиздат, 1949.
В е й л b.(Weyl Н.)
Uber gewohnliche lineare Differentialgleichungen mit singu- laren Stellen und ihre Eigenfunktionen, Gottinger Nachrich- ten (1909), 37—64.
Uber gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die zugehorigen Entwicklungen willkiirlicher Funktio- nen, Math. Ann. 68 (1910), 220-269.
liber gewohnliche Differentialgleichingen mit singularen Stellen und ihre Eigenfunktionen, Gottinger Nachrichten, (1910), 442—467.
де Be т и М а и д л ь (de Wet J. S. and Mandi F.)
On the asymptotic distribution of eigenvalues, Proc. Roy. Soc. Ser. A 200 (1950), 572-580.
В а л т н e p (Wintner A.)
On Dirac’s theory of continuous spectra, Phys. Review (2) 73 (1948), 781—789.
Г а м e л, ь (Hamel G.)
fiber die lineare Differentialyleichungen zweiter Ordnung mitperiodischen Koeffizienten, Math. Ann. 73 (1913), 371 412.
Г а с ы м о в M. Г.
." Обратная задача теории рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п, Труды Моск, матем. об-ва 19 (1968), 41—112.
Гельфанд И. М.
О тождествах для собственных значений дифференциального оператора второго порядка, Успехи матем. наук, 11, 1 (67) (1956), 191—198.
Г е л ь ф а н д И. М. и Л е в и т а и Б. М.
Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции, Изв. АН СССР, сер. матем. 15 (1951), 309-360.
Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 88 (1953), 593—596.
Гильберт (Hilbert D.)
Grudzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral- gleichungen,
I. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math,-Phys. KI. (1904), 49-91.
Там же (1905), 213—259. III. Там же (1905), 307—338.
IV. Там же (1906), 157—227. V. Там же (1906), 439—480.
VI. Там же (1910), 355—477.
ГлазманИ. М.
Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов, «Наука», М., 1963.
Гобсон (Hobson Е. W.)
On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by series of normal functions, Proc. London Math. Soc. (2) 6 (1908), 349—395.
Г о г e й з e л ь Г.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.—Л., Гостехиздат, 1937.
Гурвиц (Hurwitz W. А.)
An expansion theorem for a system of linear differential equations of the first order, Trans. Amer. Math. Soc. 22 (1921), 526—543.
Дикий Л. A.
Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на конечном отрезке, Изв. АН СССР, серия матем. 19 (1955), 187—200.
Дородницын А. А.
Асимптотические законы распределения характеристических значений для некоторого специального вида дифференциальных уравнений второго порядка, Успехи матем. наук 7, 6 (52) (1952), 3-96.
И о с и д a (Yosida К.)
On Titchmarsh — Kodaira’s formula concerning Weyl- Stone’s eigenfunction expantion, Nagoua Math. J. 1 (1950), 49-58.
Кац И. С.
О гильбертовых пространствах, порождаемых монотонными эрмитовыми матрицами-функциями, Харк., Зап. матем. о-ва (4), 22 (1950), 95—113.
К е л д ы ш М. В.
Об одной тауберовой теореме, Труды Матем. ин-та, им. В. А. Стеклова АН СССР 38 (1951), 77—86.
К о д а и р a (Kodaira К.)
On ordinary differential equations of any even order and the corresponding eigenfunction expansion, Amer. J. Math. 72 (1950), 502-544.
Коддингтон (Coddington E. A.)
On the spectral representation of ordinary self-adjoint differential operators, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 38 (1952), 732—737.
Коддингтон и Левинсон (Coddington E. A. and Levinson N.)
On the nature of the spectrum of singular second-order linear differential equations, Canadian J. Math. 3 (1951), 335— 338,
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, М., ИЛ, 1958.
Конт и Сангрей (Cont S. D. and Sangren W. С.)
An asymptotic solution for a pair of first order equations, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 696—702.
An expansion theorem for a pair of singular first order equations, Canadian J. Math. 6 (1954), 554—560.
КоренблюмБ. И.
Общая тауберова теорема для отношения функций, ДАН СССР 88 (1953), 745-748.
Костюченко А. Г.
Некоторые вопросы спектральной теории операторов, 4-я летняя математическая школа, Киев, 1966.
Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального оператора порядка 2m, ДАН СССР 168 (1966), 266-279.
Асимптотическое распределение собственных значений эллиптических операторов, ДАН СССР 158 (1964), 41-44.
Распределение собственных значений для сингулярных дифференциальных операторов, ДАН СССР 168 (1966), 21-24.
Костюченко А. Г. и Лев итан Б. М.
Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма — Лиувилля, Функц. анализ и его приложения 1, вып. 1 (1967), 86—96.
К р е й н М. Г.
Про урм1тов оператори з напрямними функцюналами, Сб. трудов Ин-та матем. АН УССР 10 (1948), 83—106.
Об одномерной сингулярной краевой задаче четного порядка в интервале (0, оо), ДАН СССР 74 (1950), 9—12.
О неопределенном случае краевой задачи Штурма — Лиувилля в интервале (0, оо), Изв. АН СССР, серия матем. 16 (1952), 293-324.
К ур ант Р. и Гильберт Д.
Методы математической физики, М.—Л., Гостехиздат, 1951. Левинсон (Levinson N.)
Criteria for the limit-point case for second-order linear differential operators, Casop. pestov. mat. fys. 74 (1949), 17—20.
The inverse Sturm—Liouville problem, Mat. Tidsskrift В (1949), 25-30.
A simplified proof of the expansion theorem for singular second-order linear differential equations, Duke Math. J. 18 (1951), 57-71.
Addendum to 2A simplified proof. . . Duke Math. J. 18 (1951), 719-722.
The expansion theorem for singular self-adjoint differentia) operators, Ann. Math. 59 (1954), 300—315.
Левин Б. Я.
Распределение корней целых функций, М., Гостехиздат, 1956.
Левитан Б. М.
Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.—Л., Гостехиздат, 1950.
К теореме разложения по собственным функциям дифференциальных второго порядка, ДАН СССР 71 (1950), 605-608.
Разложение по функциям Бесселя в интеграл Фурье — Стильтьеса, ДАН СССР 73 (1950), 453-456.
Доказательство теоремы разложения по собственным функциям самосопряженных дифференциальных уравнений, ДАН СССР 73 (1950), 651-654.
Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье, Успехи матем. наук 6, 2 (42) (1951), 102—143.
Замечание к одной теореме В. А. Марченко, Труды Моск, матем. об-ва 1 (1952), 421—422.
Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка, Изв. АН СССР, серия матем. 16 (1952), 325—352.
Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка, Успехи матем. наук 7, 3 (49) (1952), 108— 109.
О полноте квадратов собственных функций, ДАН СССР 83 (1952), 349-352.
О спектральной функции уравнения у" + {X—q (ж)} у=0, Изв. АН СССР, серия матем. 17 (1953), 473—484.
О разложении по собственным функциям дифференциальных уравнении второго порядка, Успехи матем. наук 8, 3 (1953), 156—157.
О разложении по собственным функциям уравнения у"+{g (Ж)}у=о, ДАН СССР 90 (1953), 17-20.
Об одной специальной тауберовой теореме, Изв. АН СССР, серия матем. 17 (1953), 269—284.
Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении ио собственным функциям, Изв. АН СССР, серия матем. 17 (1953), 331—364.
Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. II, Изв. АН СССР, серия матем., 19 (1955), 33—58.
Некоторые вопросы спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов, Успехи матем. наук И, 6 (72) (1956), 117-144.
Об обосновании метода Фурье в одномерном случае, Науч, зап. Моск, заочного пед. ин-та, 1958, 12—16.
Приложение к книге Е. Ч. Титчмарша «Разложение по собственным функциям», том 1, М., ИЛ, 1960, 217—277.
Об одной теореме Титчмарша—Сирса, Успехи матем. наук 16, 4 (100) (1961), 175—178.
Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма — Лиувилля, Успехи матем. наук 19, 1 (115) (1964), 21. Исследование функции Грина уравнения Штурма — Лиувилля с операторным коэффициентом, Матем. сб. 76 (118) 1968. 239—270.
Л е в и т а п Б. М. и Саргсян И. С.
Теорема о сходимости дважды дифференцированного разложения по собственным функциям оператора Штурма— Лиувилля, Изв, АН Арм. ССР, серия физ.-матем., естеств. и техн, наук, том IX, № 3 (1956), 3—15.
К статье «Теорема о сходимости дважды дифференцированного разложения по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля», Изв. АН Арм. ССР, серия физ,- матем., естеств. и техн, науки, том IX, № 7 (1956), 105—106.
Некоторые вопросы теории уравнения Штурма— Лиувилля, Успехи матем. наук 15, 1 (91) (1960), 3—98.
О продолжении решений одномерной системы Дирака, ДАН СССР 165 (1965), 1241-1244.
Л и д с к и й В. Б. и Садовничий В. А.
Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций, Функц. анализ и его приложения I, 2 (1967), 52—59.
Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций, Матем, сб, 75, '4 (1968), 558 — 566,
-Формулы следов в случае уравнения ОРРа—Зоммерфельда, Изв. ЛИ С'.СХЗР, серия матем, 32, 3 (1968), 633—648.
Л ю с т о р н и к Л, А,, С о б о л е в В. И.
Элементы функционального анализа, М., «Маука», 1965.
М а к л е у д (Macleod R.)
Some problems in the theory of eigenfunctions, Thesis, Oxford, 1966. ''
M a p т м и о в В, B,
Условия дискретности п непрерывности спектра в случае самосопряженной системы дифференциальных уравнений первого порядка, ДАН СССР 165 (1965), 996—999,
М а р ч е и к о В, А,
Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка 1, Труды Моск, матем. Об-ва I (1952), 327—420. II. Там же 2 (1953), 3—83.
Теоремы тауберова тина в спектральном анализе дифференциальных операторов, Изв. АН СССР, серия матем. 19 (1955), 381-422.
М о л ч а н о в А. М.
Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка, Труды Моск. . матем. об-ва 2 (1953), 169—199.
II а и м а р к М. А.
Линейные дифференциальные операторы, М., Гостехиздат, 1954.
Исследование спектра и разложение по собственным функциям песамосопряженного оператора второго порядка, Труды Моск, матем. об-ва 3 (1954), 181—270.
II а т а и с о н И. П.
!. Теория функций вещественной переменной, М., Гостехиздат, 1957.
Н и л ь с о н (Nilsson N.)
Some estimates for eigenfunction expantions and spectral functions correspondings to elliptic differential operators, Math. Scand. 9 (1961), 107—121.
Петровски й И. Г.-
Лекции по теории интегральных уравнений, М., Гостехиздат, 1948.'
11 лапше рель (Plancherel М.)
Le passage a la liinite des equations aux differences aux equations differentielles dans les poblemes aux limites, Bull. Sci. Math. 46 (1922), 153—160.
Idem. Bull. Sci. Math. 46 (1922), 170—177.
П л e с н e p А. И.
J. Спектральная теория линейных операторов, М., «Наука», 1965.
II о в з и е р А. Я.
О дифференциальных уравнениях типа Штурма — Лиувилля на полуоси, Матем. сб. 23 (65) (1948) 3—52.
П р а т с и Тол (Prats F. and Toll J. S.)
Connections of Phas shiff and potential for the Dirac equation, Phys. Rev. 113, I (1959).
P и с сФ. и Секефальви-Надь Б.
Лекции по функциональному анализу, М., ИЛ, 1954.
Рос и С а н г р е н (Roos В. W. and Sangren W. С.)
Spectra for a pair singular first order differential equations, Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961), 468-476.
Садовничий В. A.
О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков, Дифференц. уравнения 2, 12 (1966), 1611-1624.
О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков, Матем. сб. 72, 2 (1967), 293—317.
Саргсян И. С.■
Суммирование производных разложений по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля, ДАН СССР 104 (1955), 821—824.
Теорема о суммировании производных разложений в обычный и обобщенный интеграл Фурье, ДАН Арм. ССР 23 (1956), 3-10.
О дифференцировании разложений по собственным функциям оператора Штурма—Лиувилля, Изв. АН СССР, серия матем. 21 (1957), 263-282..
Асимптотическое поведение производных спектральной функции оператора Штурма— Лиувилля, Изв. АН Арм. ССР, серия физ-матем., естеств. и техн, науки, том 10, № 3 (1957), 3-16.
Асимптотическое поведение спектральной матрицы одномерной системы Дирака, ДАН СССР 166 (1966), 1058— 1061.
Разложение по собственным функциям одномерной системы Дирака, ДАН СССР 166 (1966), 1292-1295.
Теорема о полноте собственных функций обобщенной системы Дирака, ДАН Арм. ССР 27 (1966), 77—82.
О решении задачи Коши для одномерной нестационарной системы Дирака, ДАН Арм. ССР 27 (1966), 129—133.
Суммирование производных спектральной матрицы одно ■ мерной системы Дирака, ДАН Арм. ССР 27 (1966), 193-197.
Теорема о равносуммируемости дифференцированных разложений по собственным функциям одномерной системы Дирака, ДАН Арм. ССР 27 (1966), 262-^267.
О решении задачи Коши для одномерной системы Дирака, Изв. АН Арм. ССР, серия матем. 1 (1966), 392—436.
Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении по собственным функциям одномерной системы Дирака, Изв. АН Арм. ССР, серия матем. 2 (1967), 155-194.'
Сеге (Szego G.)
Ортогональные многочлены, М., Физматгиз, 1962."
С и р с (Sears D. В.)
Note on the uniqueness of Green’s functions associated with certain differential equations, Canadian J. Math., 2 (1950) 314-325.
Сирс и Титчмарш (Sears D. В. and Titchmarsh E. C.)
Some eigenfunction formulae, Quart. J. Math. (Oxford) (2)
(1950), 165-175.
Стеклов В. A.
Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, 1896.
Степанов В. В.
Курс дифференциальных уравнений, М., Гостехиздат, 1953. Тамаркин (Tamarkin J.)
О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Петроград, 1917.
Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary functions ' in series of fundamental functions, Math. Z. 27 (1927), 1—54. Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том I, М., ИЛ, 1960.
Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, том II, М., ИЛ, 1961.
Введение в теорию интегралов Фурье, М.—Л., Гостехиздат, 1948.—
On the uniqueness of the Green’s function associated with a second-order differential equations, Canadian J. Math. 1 (1940), 191-198.
Some eigenfunction expansion formulae, Proc. London Math. Soc. (3) 11 (1961), 159-168.
Eigenfunction problems with periodic potentials, Proc. Roy. Soc., Ser. A 203 (1950), 501-514.
Ф о к B. A.
Начала квантовой механики, Л., 1932.
X а а р (Haar А.)
Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. I, Math. Ann. 69 (1910), 331—371.
Idem. II, Math. Ann. 71 (1911), 38—53.
X а у n t (Haupt O.)
'1. Uber lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnungmit
periodischen Koeffizienten, Math. Ann. 79 (1919), 278—285. Шевченко P. Ф.
1. О следе дифференциального оператора, ДАН СССР 164 (1965), 62-65.
Ш и л о в Г. Е.
1. Математический анализ, М., Физматгиз, 1961. Шредингер (Schrodinger Е.)
1. Quantisierung als Eigenwertproblem, Ann. der Physik (4) 80 (1926), 437-490.
ние уравнения (1.1) имеет конечное число нулей на
1 2 V 'dx I»=.r+I 1 J x ' dx |»=x-<J 1
il MW, t, s) । 2 J dxdt * x^ aS' x-t
Полагая здесь t = 0 и учитывая условие (3.2) и равенства (2. 5), (2. 9) и (2. 10), получаем
(х, t, s) I . dw (x, t, $) I 1q ,3 2g\
причем равенство (3. 28) имеет место при любом х. Поэтому из равенства (3.27) следует
f(_0) = f(4-0), что и дает непрерывность второй производной продолженной функции при х=0.
Итак, нами доказана следующая
Теорема 3.2. Пусть функция f(#)EC2(0, со). Для того чтобы продолжение функции / (Z) на отрицательную полуось по формуле (3.20/) принадлежало классу С2(—оо, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (3. 19), т. в.
У (+0) = f (+0) - А/ (+0), у' (4-0) = 0.
О,
где
х х С / dw (х, t, s)
К^, S)=^Е(()——’-at.
3. Сформулируем теперь без доказательства резуль
тат в общем случае, охватывающий итерации высших
х
К (t, X) = j х (х. ") еы^ = 2i ——^.
ОО
J (1 + I X [«) | rfxT^ (TV, X)|
—ОО
C2kh-ka*(j),
где константу С, которая зависит только от <р (ж), можно выбрать так, что С<)8-107.
Частный случай теоремы 4.2. В книге применяется
частный случай теоремы 4.2, а именно:
Б. М. ЛЕВИТАН, И. С. САРГСЯН