Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
INTRODUCERE
IN TEORIA DISTRIBUTIILOR
CU APLICATII IN TEHNICA
EDITURA TEHNICA BUCURESTI-1975
В.Кеч, П.Теодореску
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В ТЕХНИКЕ
Перевод с румынского О.Е.Булгару Под редакцией Б.Е.Победри
CD
Ю CD
Издательство ’Мир’
Москва w>»-.$f^c
УДК 517.43 + 519.55
ИНВ № 33
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ
BHBSWOTWA
КОЛОйЗА
ОСКОР^А
Книга содержит элементарное изложение основ теории обобщенных функции, главным образом дельтафункций Дирака и их производных, часто встречающихся в инженерных расчетах. С помощью этих функций осуществляется представление сосредоточенных механических и физических величин. Основная часть книги посвящена приложениям теории обобщенных функций в механике, физике, электротехнике.
Книга предназначена для инженеров и научных работников, специализирующихся в самых различных областях механики и физики, а также для студентов технических вузов.
Редакция литературы по новой технике
© Перевод на русский язык, с авторскими изменениями и дополнениями, «Мир», 1978.
К
20204-158
041(01)-78
158-78
Тот, кто проводил более или менее громоздкие математические выкладки, не раз испытывал досаду от того, что довольно «хорошая» непрерывная функция в некоторых точках является недифференцируемой, рассматриваемый ряд или интеграл расходится, а преобразование Фурье достаточно простой функции, например константы, не существует. Эта досада усугублялась тем, что проводимые выкладки не являлись самоцелью, а были лишь промежуточным этапом в получении необходимого результата. (В дальнейшем от недифференцируемой функции необходимо было взять интеграл, сложить расходящиеся ряды или интегралы с подобными себе, а преобразование Фурье нужно было лишь для того, чтобы упростить задачу и на заключительном этапе вернуться к оригиналу с помощью обратного преобразования.)
Именно в том, чтобы сделать промежуточные операции «законными», неоценимую услугу исследователю оказывают обобщенные функции, обобщенные производные, обобщенное понимание сходимости рядов и интегралов, обобщенное преобразование Фурье. Рассмотрению таких понятий посвящено в настоящее время довольно много работ, причем не только «чисто» математических. Нельзя также пожаловаться на отсутствие литературы по прикладным вопросам теории обобщенных функций. Среди механиков, физиков и инженеров большой популярностью пользуются книги И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова, В. С. Владимирова, Я. Микусин-
скоро и Р. Сикорского, Л. Шварца, Г, Бремерманаб и многие другие.
Однако почти во всех современных руководствах по теоретической механике, теории упругости и гидромеханике основные положения теории обобщенных функций полностью игнорируются. Хотя для обозначения сосредоточенных воздействий в некоторых из них и применяются символы дельта-функции Дирака и ее производных, при оценке их влияния используются средства классического анализа с его вырезанием окрестностей особых точек и рассмотрением пределов при уменьшении этих окрестностей.
Предлагаемая советскому читателю книга румынских авторов поможет механикам и физикам принять на вооружение основные достижения теории обобщенных функций для описания сосредоточенных нагрузок, масс, электрических зарядов, фундаментальных решений теории упругости и т. д.
Книга предназначена для тех, кому часто приходится сталкиваться в различных ситуациях при решении самых разнообразных задач с такими функциями, как единичная функция Хевисайда, дельта-функция Дирака и ее производные.
Нельзя сказать, что от читателя не требуется никакой предварительной математической подготовки. Хотя книга содержит минимальный теоретический материал, все же предполагается, что читатель владеет основными понятиями функционального анализа или по крайней мере может в них разобраться, заглянув в какой-либо учебник, например в книгу А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа». Имея в виду именно такого читателя, мы не делали г.ри переводе разъяснений используемых авторами математических понятий. Например, не отмечалось, что пэл компактными множествами авторы понимают ограниченные замкнутые множества, ибо рассматриваются только евклидовы пространства Д”.
При переводе мы старались использовать терминологию, общепринятую в отечественной литературе. В слу-
1 См. список литературы на стр. 504.
чаях отсутствия полностью эквивалентных терминов на русском языке делались соответствующие сноски. Заметим, что слово «distributie» — «распределение» переводилось нами как «обобщенная функция», что более принято в отечественной литературе, хотя некоторые авторы и делают различие между понятиями «распределение» и «обобщенная функция» (см., например, книгу А. Г. Зе- маняна «Интегральные преобразования обобщенных функций»). Прилагательное «real» переводилось как «действительный», хотя не менее распространен термин «вещественный».
Для русского издания авторы существенно переработали книгу. Сделаны значительные добавления в тексте и литературе, исправлены опечатки и неточности.
Книга, несомненно, заинтересует многих инженеров, механиков, физиков. Она будет также полезна аспирантам и студентам технических учебных заведений.
Б. Е. Победря
В русском издании этой книги дано несколько новых постановок задач, улучшены некоторые доказательства, приведены новые результаты и формулы, полезные в различных областях.
Настоящее издание дополнено также несколькими новыми пунктами и разделами, относящимися как к теории обобщенных функций, так и к ее применениям. Рассмотрены обобщенные функции с компактными носителями и периодические обобщенные функции, имеющие многочисленные применения. В разделы, где рассматриваются дифференциальные и интегральные уравнения, включены сведения об интегро-дифференциальных уравнениях типа свертки, а также функциях Грина и обобщенных функциях Грина, тесно связанных с фундаментальными решениями в смысле теории обобщенных функций.
В разделе, относящемся к приложениям в механике, описаны применения обобщенных функций к системам материальных точек с переменной массой. Выведены уравнения Лагранжа для систем материальных точек, масса которых изменяется непрерывно или скачкообразно, а также для случая столкновения.
В настоящем издании указаны новые важные применения, связанные с постановкой плоской задачи теории упругости в напряжениях как в статическом, так и в динамическом случаях. Получены фундаментальные решения для упругой плоскости (в статическом и динамическом случаях) и поставлена задача для упругой полу-
плоскости (статическая), включая особый случай периодических нагрузок.
Методы теории обобщенных функций очень полезны при изучении линейной вязкоупругости. В книге подробно рассмотрены одномерный случай и модели Кельвина и Максвелла.
Во многих областях физики встречаются задачи, связанные с линейными колебаниями. С помощью методов теории обобщенных функций проведено исследование таких колебаний, включая продольные колебания механических систем.
В настоящем издании дополнен также список литературы.
Авторы благодарят издательство «Мир» за разрешение на увеличение объема книги, что позволило включить большое количество новых задач.
21 мая 1977 г.21 мая 1977 г.Авторы также приносят благодарность д-ру физикоматематических наук, профессору Московского государственного университета Б. Е. Победре за его содействие улучшению издания нашей книги на русском языке.
21 мая 1977 г.
21 мая 1977 г.
Авторы
Решение многих теоретических и практических задач тесно связано как с методологическим подходом, так и с используемым математическим аппаратом. При математическом описании физических явлений и решении соответствующих краевых задач могут возникнуть определенные трудности, связанные с дополнительными ограничениями, появляющимися в связи с ограниченными возможностями используемого математического аппарата. Вообще говоря, эти ограничения вовсе не необходимы и они не всегда связаны с рассматриваемым физическим явлением.
К обычно используемым методам относятся методы классического математического анализа. Однако возможности этих методов часто ограничены. Так, например, не всякая непрерывная функция дифференцируема. Это связано с математическим аппаратом и сильно влияет на единство и общность результатов. Теория обобщенных функций является мощным математическим аппаратом, позволяющим решать широкий класс задач (которые, вообще говоря, не поддаются решению методами классического математического анализа) без ограничений, ие связанных с физическим явлением. Этот аппарат позволяет строго обосновать применяемые методы и полученные результаты и дает возможность построить единую и общую теорию.
В первой части книги авторы приводят элементы теории обобщенных функций — формулировки теорем с их возможными применениями, не уделяя при этом слит-
ком много внимания их доказательству, но и без ущерба для математической строгости. Рассматриваются такие вопросы, как дифференцирование обобщенных функции, дельтообразные последовательности, прямое произведение и свертка обобщенных функций, обобщенные функции, сосредоточенные на кривых, поверхностях и объемах, однородные обобщенные функции, интегральные преобразования обобщенных функций, и приводятся различные вычислительные формулы. Особо подчеркиваются возможности применения этой теории при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, а также уравнений в свертках, встречающихся в механике, физике и технике. Много внимания уделяется также методике решения возникающих краевых задач (задач Коши, мно- юточечных краевых задач и т. д.).
Во второй части книги рассматривается представление некоторых механических и физических величин (связанные векторы, сосредоточенные нагрузки, моменты систем материальных точек, электрические величины) через обобщенные функции. Это представление выявляет единство математического описания непрерывных и разрывных явлений. Приводятся примеры применения в механике (общие теоремы, задачи Коши для материальной точки, линейные колебания, задачи для балки и нитей, краевые задачи теории упругости), физике (в акустике — эффект Доплера, в оптике — явление дифракции, в исследовании электростатического поля — выражения для напряженности и потенциала) и электротехнике (сила тока и электрический заряд, полное сопротивление и проводимость электрических цепей, отрицательные частоты, установившиеся и переходные процессы, линейные динамические системы, стационарные системы, дифференцирующие цепочки и т. д.). Приведены также некоторые характерные задачи, подчеркивающие эффективность применения обобщенных функций.
Следует отметить, что наряду с известными результатами авторы приводят большое количество и новых. В книге излагается методика подхода к различным задачам, которая иллюстрируется примерами, выявляются
различные стороны этой методики, а также трудности, которые при этом могут возникнуть.
Цель книги в том, чтобы привлечь внимание к возможностям использования современного математического аппарата при изучении некоторых механических или физических явлений, а также в технике, т. е. книга обращена к широкому кругу читателей, применяющих математические методы, и особенно к тем, кто должен решать дифференциальные уравнения: инженерам, занимающимся проектированием и исследовательской работой в различных областях, механикам, физикам, студентам высших учебных заведений.
23 апреля 1975 г.■
Авторы
Элементы теории обобщенных функций
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ОПЕРАЦИИ
Введение
Единичная функция. Дельта-функция
Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где, помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).
Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция 0(х), определенная следующим образом (фиг. 1.1):
(1.1.1)(1.1.1)(О при9(х)= . Рк '(1 при
(1.1.1)
(1.1.1)
/г~
L
О
Фиг. 1.1.
Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.
В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ 6, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения 6-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину т, то его плотность
р(х) = т8(л).(1.1.2)
Отсюда следует, что символ 6(х) обладает свойствами
(О при х ф О, 8(л) =1 г '(1.1.
(со при х =0,
j о(х)^х=1.(1.1.3')
Заметим, что, строго говоря, 6(х) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (1.1.3) и (1.1.3'). Получился, таким образом, некоторый формализм в применении 6-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией 6 (х) и функцией 6 (х) существует связь
(114) dx
которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.
1.1.1.2. Исторический очеркДругими областями, где функции, являются теория альных уравнений и теория1.1.1.2. Исторический очеркДругими областями, где функции, являются теория альных уравнений и теорияиспользуются обобщенные обыкновенных дифференци- уравненип в частных произ-используются обобщенные обыкновенных дифференци- уравненип в частных произ-
1.1.1.2. Исторический очерк
Другими областями, где функции, являются теория альных уравнений и теория
1.1.1.2. Исторический очерк
Другими областями, где функции, являются теория альных уравнений и теория
используются обобщенные обыкновенных дифференци- уравненип в частных произ-
используются обобщенные обыкновенных дифференци- уравненип в частных произ-
водных. С. Л. Соболев в 1936 г. ввел понятие обобщенного решения для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Были введены и другие новые понятия: конечные части расходящихся интегралов, формальные производные в случае преобразования Фурье и т. д„ что позволило создать единую теорию обобщенных функций. Так, в 1950—1951 гг. появилась монография Л. Шварца, в которой систематически излагается теория обобщенных функций и дается .математическое обоснование формализма применения обобщенных функций в различных областях механики, физики и техники.
Основанная на методах функционального анализа теория обобщенных функций привела к развитию ряда направлений математики: теории дифференциальных уравнений, операционного исчисления, теории преобразований Фурье и др. Позже она была развита в работах Я. Минусинского и Р. Сикорского, И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова, Л. Хёрмандера, А. X. Земаняна, Г. Бремермана и др. Румынская литература в этой области представлена монографиями Г. Маринеску, Р. Кристеску, В. Кеча и П. П. Теодореску.
Л. Шварц вводит обобщенные функции методом линейных функционалов; Я. Минусинский и Р. Сикорский вводят обобщенные функции с помощью фундаментальных последовательностей непрерывных функций, т. е. используя секвенциальный метод. Последний метод аналогичен методу Р. Дедекинда введения действительных чисел посредством сечений в области рациональных чисел. Таким образом, становится очевидным, что понятие обобщенной функции является обобщением понятия функции. С другой стороны, этот метод ближе к классическому анализу, что привело к его широкому применению в физике.
Заметим еще, что при решении конкретных задач механики, физики или техники дельта-функция (и другие аналогичные функции) встречается, как правило, только на промежуточных этапах; в окончательном ответе они или отсутствуют, или фигурируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо достаточно хорошей функцией. Это указывает на то, что в действительности каж-
дая обобщенная функция связана с определенным функционалом и обобщенные функции с помощью линейных функционалов вводятся естественным путем, что оказывается эффективным и с точки зрения моделирования физических явлений, и с точки зрения вычислений. Мы воспользуемся этим в дальнейшем для введения понятия обобщенной функции.
Основные функции и основные пространства
Основное пространство Кт
Пусть Rn— п-мерное действительное евклидово пространство, а х= (хь Хг, ..., хп), У=(У1, У2Уп) —точки из этого пространства. Определим скалярное произведение следующим образом:
G*. y^^^'Xiyi'V'Xiyi'V • • • А-хпУп—’^4х:Уи (1-1.5) Z-1
а норму — выражением
II х II =V (х, х)= V X?+-^2+ .. . + хп =
=I х | .(1.1.5')
/-I
Расстояние между точками х и у определяется по формуле
сЦх, у)= II х- У II •(1.1.6)
Определение 1.1.1. Основное пространство Кт состоит из действительных функций <р(х), называемых основными функциями, класса Ст (т. е. имеющими непрерывные производные до порядка т включительно), равными нулю вместе со всеми своими производными до порядка т включительно вне некоторых ограниченных областей.
Эти области вместе с границами определяют носители основных функций-, обозначим их через suppip(х). Носитель функции ф(х) определим как замыкание множества точек х, для которых ф(х)=#0; таким образом,
если xcesupp ф(х), то, какой бы ни была окрестность V точки х0, существует точка xeV, для которой ф(х)#=0. Так как носитель функции ф(х) ограничен, то он является компактны.» множеством (ограниченное замкнутое множество). Поэтому можно утверждать, что функции ф(х)е^" имеют непрерывные производные до порядка m включительно и компактный носитель.
Основное пространство Кт является векторным (линейным) пространством, так как если фЬ фге/<т, а, ре/?, то cupi-r рфге/<т. Чтобы это пространство было топологическим, определим сходимость к нулю (сдвигом можно определить сходимость к любой точке) последовательности функций фНх)е/<т, ^е^ (/V0=N—{0}), следующими условиями:
supp»ft(x) с | х | <а;
D₽»ft(x)=>0, Вр= д - - ,
дх('дх^...дх„п
P = Pi + P2 + • • - -VP™<m-
В этом случаеВ этом случаеlim cpfc (х)=0.lim cpfc (х)=0.(1.1.7)(1.1.7)
В этом случае
В этом случае
lim cpfc (х)=0.
lim cpfc (х)=0.
(1.1.7)
(1.1.7)
Выражение (1.1.7) равносильно условиям а) и б), из которых первое означает, что носитель каждого члена последовательности фк(х)е/<т содержится в шаре радиуса а с центром в начале координат («-мерный шар), а второе условие означает, что эта последовательность функций вместе со всеми своими производными до порядка m включительно равномерно сходится (в обычном смысле) к нулю. Таким образом, множество функций ф(х)е/<т со сходимостью, определенной выше, образует векторное топологическое пространство.
(1.1.8)(1.1.8)Если определить норму в пространстве Кт выражением
(1.1.8)
(1.1.8)
I НИВЛИПТНКА iI НИВЛИПТНКА ill?Wlk= SUP IDP®(X)|,р<т, | л- | <а
I НИВЛИПТНКА i
I НИВЛИПТНКА i
то условие б) равномерной сходимости к нулю имеет следующий вид:
б') И™ II <Ы*) 11^=0.
Рассмотрим функцию (фиг. 1.2)
?W =?W =. х — аsinлb — аО. х — аsinлb — аОпри X [я, 6], при х^ [а, /)].при X [я, 6], при х^ [а, /)].(1.1.9)(1.1.9)
?W =
?W =
. х — аsinл
b — а
О
. х — аsinл
b — а
О
при X [я, 6], при х^ [а, /)].
при X [я, 6], при х^ [а, /)].
(1.1.9)
(1.1.9)
у№)
Заметим, что эта функция непрерывна и имеет компактный носитель (отрезок [а, 6]). Она бесконечное число раз дифференцируема (за исключением точек а и 6), и можно написать
cosл при х £ [а, Ь\, b — а b — а
О при Х^ [а, 6].
Для односторонних производных в точках а и b имеем выражения
W = °, '4 («) =,
о — а
г/.(6) = 0.
о — а
Это означает, что рассматриваемая функция не дифференцируема в этих точках. Таким образом, функция
непрерывна и имеет компактный носитель [а, 6]; она принадлежит основному пространству К0.
Аналогично пусть дана функция (фиг. 1.3)
с (х)="с (х)="(1.1.9')(1.1.9')sin2 ——-л при х С \а, 6],6 — а
с (х)="
с (х)="
(1.1.9')
(1.1.9')
О при х ^ [а, Ь\.
Эта функция непрерывна вместе со своей первой производной и имеет компактный носитель [а, Ь]. Она не имеет
непрерывных производных второго и выше порядка в точках а и b несмотря на то, что бесконечное число раз дифференцируема в остальных точках. Таким образом, функция ф(х)е№ (a, by
Вообще методом математической индукции можно доказать, что функция
<Р (-0 =<Р (-0 =(1.1.10)(1.1.10)sin'"4'1 ——— л при х£^а, 6],О при х ^ [а, Ь]
<Р (-0 =
<Р (-0 =
(1.1.10)
(1.1.10)
является основной и принадлежит пространству /("‘(а, 6).
С помощью рассмотренных функций можно построить и другие функции того же основного пространства. Так, если ф(х)еА™, a f(x)—функция класса Ст, то ф(х) = =/(х)ф(х)幫. '
Функция
У^Ь Х2,- •*л) =
П sin^+i ^2l£L.„4 при (хь х2,..., хпКВп,
- z_ibi"ai,1.1. И)
0при (хь х2,. .., xMDn
является функцией п переменных и принадлежит пространству Кт с носителем D^=\ax, 6i]X'[a2, 62]Х ... ...Х(а„, &п]. В частности, функция
?(-v, У)=
sin -—— л sin ——— л при (х, у) £ [аь ^] X [п2, 62], 61 — а\Ь^ — а2*
.0при (х, у)^^, ^i]X(a2, Ь^
11.1.11')
принадлежит основному пространству К° и имеет носителем область в виде прямоугольника [ai, &i]X[a2, 62].
Рассмотрим последовательность функций
?« W =?« W =s)nmTl поs)nmTl пох 4- а Лх 4- а Л2а2апри х^ [ — а, а], при х$ [ — а, а].при х^ [ — а, а], при х$ [ — а, а].(1.1.12)(1.1.12)
?« W =
?« W =
s)nmTl п
о
s)nmTl п
о
х 4- а Л
х 4- а Л
2а
2а
при х^ [ — а, а], при х$ [ — а, а].
при х^ [ — а, а], при х$ [ — а, а].
(1.1.12)
(1.1.12)
Очевидно, что supp<pn(x)=[—а, а] для любого п. Эта последовательность вместе со своими производными до порядка т включительно равномерно сходится к нулю, а носители всех членов последовательности ограничены. Поэтому последовательность (1.1.12) сходится к нулю в основном пространстве Кт.
С другой стороны, последовательность функций
I
X
1+а
।—sinm+1л при —^.\~а, а\,^пИ = \п2ап(1.1.12')
i
I 0 при — ^[ —а, а],
несмотря на то что равномерно сходится к нулю вместе со своими производными до порядка т включительно, все же не является последовательностью, сходящейся к нулю в пространстве Кт, так как suppq>n(x) = =[—па, па] и условие а) ограниченности носителей при п->оо не выполняется.
Основное пространство К
Если для пространства Кт положить т=оо, то получится основное пространство К, образованное бесконечно
дифференцируемыми функциями (класса С°°) с компактными носителями. Что касается сходимости к нулю в пространстве К, то она определяется аналогично сходимости в пространстве К™ с условием, что последовательность основных функций вместе со всеми своими производными любого порядка равномерно сходится к нулю, т. е.
Иш 11 срА (л:) |]та=0 для любого т. (1.1.13) к-* оо
Рассмотрим функцию (фиг. 1.4а)
I ab I
(1.1.14)(1.1.14)(.t-a)(»-^) при х^ ^
(1.1.14)
(1.1.14)
О при х^а, Ь\
Легко можно установить, что она бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель [а, Ь]. В точках а и b функция ф(х) вместе со своими производными лю-
бого порядка равна нулю, т. е. в этих точках ее график имеет касание бесконечного порядка с осью абсцисс.
Возьмем, в частности, а = — с, Ь = с; тогда получим следующую основную функцию (фиг. 1.46):
Аналогично в евклидовом пространстве Rn рассмотрим бесконечно дифференцируемую функцию
Т(*)= еТ(*)= ео2—г1о2—г1при гпри г<а,<а,(1.1.15)(1.1.15)о;о;при гпри г~> а,~> а,
Т(*)= е
Т(*)= е
о2—г1
о2—г1
при г
при г
<а,
<а,
(1.1.15)
(1.1.15)
о;
о;
при г
при г
~> а,
~> а,
где г=|х|. Носителем этой функции является п-мерный шар с центром в начале координат |х|^а. Следовательно, рассматриваемая функция принадлежит основному пространству К.
Функция
ф(хь х2,..., х^ =
= Пепри -xz£(az, Ь^, (1ЛЛ6)
ООпри л-;^(а;, Ь^при л-;^(а;, Ь^
О
О
при л-;^(а;, Ь^
при л-;^(а;, Ь^
тоже является основной, принадлежит пространству К и имеет носителем область £)п=(аь &1]Х[а2, 62]Х ... ... Xftin, 6ц].
Если обозначить через Km(D) основное пространство, образованное функциями класса С™ с носителями в n-мерном компакте D, то между пространствами Ктф), К™, К^Щ и К можно записать соотношения
Кт (D) с Кт, К^сКсКтЕК», (1.1.17)
U KmR = Km, VK^=K, Л Кт = К, (1.1.17'} DDm = Q
где объединения осуществляются по всем компактам D.
Теорема 1.1.1. Если Е является компактным множеством из Rn, a F— открытое множество, содержащее Е(Е^)Е), то существует основная функция ц>(х), равная единице на Е, нулю вне F и заключенная между 0 и 1 в остальной области.
На фиг. 1.5 приведен график этой функции для п- 1 (компакт Е = \а, 6], F= (a', b'^ =>[а, 6]).
<р(х) |
Теорема 1.1.2. Если ^^еК, a Uh (^=1, 2, ..., Л') — конечное число областей^, покрывающих носитель функции ц>(х), то существуют функции еь(х)^К, такие, что
supp^^СUk’ lLU8)
6-1
причем эти функции eh(x)^O, 1], равны нулю вне областей Uh и удовлетворяют соотношению
2^) = 1.(1-1.19)
Последнее свойство представляет собой теорему разбиения единицы и используется при доказательстве локальных свойств обобщенных функций и при выполнении операций над ними.
Соотношение (1.1.18) может быть представлено в виде
N
4,W = 2^W^’ ^РРтИх) cz 17». (1.1.18')
6=i
Теорема справедлива и для N= оо.
Теорема 1.1.3. Пусть <р(х, y^K^Rn+m^ x^Rn, y^Rm. Тогда существует последовательность
N'
?б(^. у)=2 ui^v^'zde ипА^КЖ^ v^WR^, которая сходится к с? (.г, у^ при к-^со.
Это означает, что множество основных функций
?(х, у^^и-ДхА-и^у^ где и{ (х) € К iR% иДу^К [Rm), плотно в К ^Rn+m).
Заметим, что функция ф(х) = С, C = const#=0, не является основной, так как хотя она и бесконечно дифференцируема, но не обладает компактным носителем. Однако функция ф(х) =0 является основной функцией.
Основное пространство S
Основное пространство S получается расширением пространства К; по определению это пространство содержит все функции ф(х) класса С°°, которые при |х|->-оо стремятся к нулю вместе со всеми своими производными
любого порядка быстрее любой степени 1/|х| Ч. Эти функции удовлетворяют соотношению
| xMW I <Cft7,(1.1.20)
где
D’= —,(1.1.20')
dx»*dxg*...dx’”
^'kq—^k1k,...knqtqt...qn(kl, £2, • • •, ^л» 91,92»-.., 9я = 0, 1, 2,...).
Определение 1.1.2. Последовательность функций фк(х)е$ сходится к функции ф(х)е$, если для любых а, р
xpD4W^^D“?(x),
к-»оо, x£R\(1.1.21)
где Сар не зависят от к.
Пространство S линейно, так как для любых ль m^R и фь фг^Х имеем Х1ф14-Л2ф2^5.
Следует отметить, что пространство S шире пространства KCKclS), так как любой элемент ф(х)е/( принадлежит и пространству S; обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Пространство 5 получено расширением пространства К путем уточнения поведения на бесконечности функций ф(х), которое менее ограничительно, чем в случае пространства К. Именно в этом и состоит существенное отличие между этими пространствами.
Из определения сходимости в пространстве 5 следует, что она слабее сходимости в пространстве К, так как из сходимости в пространстве К следует сходимость в пространстве 5. Если (реК и фь->-ф в К, то ф^-^-ф и в 5. Более того, пространство К плотно в S, так как для лю-
То есть носителем функции пространства 5 может быть неограниченное множество (некомпактное). — Прим. ред.
бого фе5 существует последовательность фьеК, такая, ЧТО фА-^ф.
Функция (фиг. 1.6)
^ = е-^ х^^^(LL22)
принадлежит основному пространству S, что можно легко проверить. В отличие от нее функции (фиг. 1.7, а, б)
^i(x')=ex, ®2(х) = е~ 1 х 1, x^Ri^i(x')=ex, ®2(х) = е~ 1 х 1, x^Ri(1.1.23)
^i(x')=ex, ®2(х) = е~ 1 х 1, x^Ri
^i(x')=ex, ®2(х) = е~ 1 х 1, x^Ri
не принадлежат пространству 5. Действительно, функция Ф1(х) не стремится к нулю при х->-оо, а функция фг(х) не дифференцируема в начале координат.
Заметим, что если а(х)еС°° и ф(х)е5, то функция ф(х) =а(х)ф(х) не всегда принадлежит пространству S; например, если a(x)=ev’, то функция а (х)е~х‘(t S. Можно показать, что если функция а(х)еС°° вместе со
всеми своими произодными любого порядка и не возрастает при х-э-оо быстрее полинома, то функция о(х)ф(х)е5. Этими свойствами обладают, например, функции sinx, cosx, Р(х) (полином).
Аналогично функция
х2,..., хп^ = е^у=^
, x^R1,(1.1.24)
принадлежит основному пространству S. Тому же пространству принадлежит, в частности, и функция
<р(х, у)=е-^х6+«2\ (х, y^R. (1.1.24') Функция
<?(х, у, z^=xmynzpe-(.x2+y2+z!\ (х, у, z)^R, (1.1.25) тоже принадлежит основному пространству 5.
Пространство обобщенных функций
Понятие обобщенной функции.
Пространство обобщенных функций
Определение 1.1.3. Обобщенной функцией называется каждый линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве.
Обозначим через Ф рассматриваемое основное пространство (например, Кт, К или S). Приведенное определение включает следующие условия:
каждой основной функции фЕФ соответствует по определенному закону / действительное число, которое обозначим через (Д ф), т. е. ф_/ (/, ф);
для любых Zi, r^R и Фь ф2^Ф выполняется соотношение
(/, н^+^^^'-и/, ?i)+'2(/, ^'i;
если %—»® при k-^со, где ®€Ф, то
Ит (/, ?», = (/, ®).
Первое из этих условий является выражением действа-
тельности функционала, второе выражает линейность, а третье — непрерывность функционала. Определенное таким образом основное пространство является топологическим векторным пространством. Чтобы ввести явно рассматриваемую переменную, запишем функционал f через
Поскольку функционал, определенный условиями а) — в), принимает действительные значения, то обобщенная функция будет действительной. Очевидно, можно ввести и комплексные обобщенные функции-, для этого достаточно рассматривать вместо действительного основного пространства комплексное основное пространство, оставляя в силе определение 1.1.3. Число (f, <р), соответствующее комплексной основной функции ф, будет действительным или комплексным. В дальнейшем будут рассматриваться только действительные обобщенные функции; случаи комплексных обобщенных функций будут оговорены.
Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством Ф, образует топологическое пространство Ф', сопряженное с пространством фб. Соответственно определяются пространства (^п)', К' и S'. В зависимости от рассматриваемых основных пространств получаются различные виды обобщенных функций. Так, обобщенные функции, определенные на пространстве К"', называются обобщенными функциями конечного порядка р^т (поскольку из включения КтгКр, т^р, следует включение (^)/s(/(m)/); обобщенные функции, определенные на пространстве К0 (случай т = 0), называются мерами. Обобщенные функции, определенные на пространстве К, называются обобщенными функциями бесконечного порядка, а обобщенные функции, определенные на пространстве S,—■ обобщенными функциями медленного роста.
Поскольку сходимость, определенная в пространстве К, сильнее сходимости, определенной в пространстве 5 (S^dK^, то множество функционалов, определенных на
Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором топологическом линейном пространстве Ф, образует линейное пространство Ф', называемое сопряженным с Ф.— Прим. ред.
пространстве К, содержит множество функционалов, определенных на пространстве S. Следовательно, имеет место соотношение
S'cl К'.(1.1.26)
Поскольку основное пространство К плотно в S, то обобщенные функции медленного роста могут быть получены продолжением некоторых обобщенных функций, определенных на основном пространстве К- Интегрируемые функции, ограниченные функции и вообще локально интегрируемые функции, которые удовлетворяют соотношению
| /(х) | <А | х^при | х | — оо, А, к —const, (1.1.27) составляют класс обобщенных функций медленного роста. Они могут рассматриваться как продолжения соответствующих функционалов из пространства К'. Это свойство будет использовано в случае преобразования Фурье. Аналогично обобщенные функции с ограниченными носителями являются обобщенными функциями медленного роста; они могут быть продолжены из К' в S'.
Свойства
Определим произведение обобщенной функции на действительное число соотношением
(V. ?)='•(/, ?). ?€Ф, /€Ф', 'SR, (1-1.28)
а сумму двух обобщенных функций — следующим образом:
(/ + g, ?) = (/, ?) + (g, ?)> ?€Ф, Л £€ф'- (1.1-28') Следовательно, если X, peR, феФ, Д £еФ', то
(V + ^ ?) = л(/, ?) + Kg, ?)(1.1.29)
и множество Ф' обобщенных функций является линейным пространством.
Таким образом, функционал Xf + pg является линейным и непрерывным. Его непрерывность следует сразу,
так как если ф^-^ф в Ф при ^->оо, то
+ 1ЧД, ®) = (V + № ?), к — ео.
Определим теперь сходимость в пространстве обобщенных функций Ф'. Пусть ф — основная функция, принадлежащая пространству Ф, а / и Д— соответственно обобщенная функция и последовательность обобщенных функций из пространства Ф'. Будем говорить, что последовательность обобщенных функции ДеФ' сходится к обобщенной функции /еФ', если
^(Л, ^ = (/, <?)^(Л, ^ = (/, <?)кк(1.1.30)(1.1.30')(1.1.30)(1.1.30')
^(Л, ^ = (/, <?)
^(Л, ^ = (/, <?)
к
к
(1.1.30)
(1.1.30')
(1.1.30)
(1.1.30')
Сходимость, введенная в ф', является слабой сходимостью.
Таким образом, операции умножения обобщенной функции на действительное число, сложения двух обобщенных функций и введение сходимости позволяют определить пространство обобщенных функций. Можно показать, что пространство обобщенных функций является полным пространством. В самом деле, если последовательность обобщенных функций такова, что для каждого ф£ф числовая последовательность (Д, ф) имеет предел, то существует единственная обобщенная функция feO', для которой справедливо соотношение (1.1.30).
Пусть а(х) —функция класса С°°, а Дх) —обобщенная функция, принадлежащая пространству Ф'. Тогда произведение а(х)/(х) тоже будет обобщенной функцией, определяемой соотношением
(1.1.31)(1.1.31)(а/, ?) = (/, «с?1, <р€Ф-
(1.1.31)
(1.1.31)
Условия бесконечной дифференцируемости функции а(х) достаточно для существования произведения а/ в случае основных пространств Д’" и Д. Мы видели, что в случае основного пространства S должно выполняться дополнительное условие (функция а(х)ЕС°° при х-*оо не дол-
жна расти быстрее полинома). В случае основного пространства Кт для того, чтобы произведение а(х)/(х) имело смысл, достаточно, чтобы функция а(х) была функцией класса С’”.
Произведение комплексной обобщенной функции / на комплексную функцию а определяется соотношением
(а/, '?) = (/> «ЧЬ(а/, '?) = (/> «ЧЬ(1.1,32)(1.1,32)
(а/, '?) = (/> «ЧЬ
(а/, '?) = (/> «ЧЬ
(1.1,32)
(1.1,32)
где а — функция, комплексно сопряженная с функцией а, причем предполагается, что «фЕФ. В частности, если а = Х = а-Н’|3 —■ комплексное число, то а=/.—а—Zp и можно написать
Заметим также, что каждой комплексной обобщенной функции / можно поставить в соответствие комплексно сопряженную обобщенную функцию /, определяемую соотношением
(/, <?) = (/, ф). (1.1.33)
Примеры обобщенных функций
Примеры
Пусть для определенности Ф = /(. Определим функционал /, ставящий в соответствие каждой функции фe^ число
(/, <р)=2 ¥(«)-ф(0) + <?(1) + ?(2)+... . (1.1.34) л—О
Эта сумма конечна, так как ф(х) является функцией с компактным носителем. Определенный таким образом функционал представляет собой обобщенную функцию, потому что, как легко проверить, он является линейным и непрерывным. Очевидно, вместо основного пространства К можно рассмотреть основное пространство Кт и получить, таким образом, обобщенную функцию конечного порядка р^т на этом пространстве.
Рассмотрим теперь функционал (1.1.34) на пространстве 5. В этом случае функция ф(х) не имеет компакт-
ного носителя, а второй член в формуле является числовым рядом. Поскольку <p(x)eS, то |ф(х) | ^Д/|х|т+2, Д>0, т>0, и, следовательно, ряд ^ 1 ?(«) I сходит- л = 0
ся, а значит, сходится и ряд ^ <р (/г). Таким образом, л-О
функционал (1.1.34) имеет смысл и на пространстве S. Определенный таким образом функционал (1.1.34) является линейным. Если непрерывность следует из того, что сходимость в К сильнее сходимости в S. Следовательно, этот функционал является обобщенной функцией на S.
Обобщенная функция Дирака *)
Обобщенную функцию б(х) Дирака можно определить на каждом из пространств К™, К и S соотношением
(8(х), ?(х)) = ф(0), x^R".(1.1.35)
Можно легко проверить, что этот функционал является линейным и непрерывным.
На основе соотношения (1.1.35) можно написать выражение для обобщенной функции Дирака, сосредоточенной в точке x°eRn ^сдвиг обобщенной функции); она обозначается символом б(х—х°) и определяется соотношением
(8(х — х°), ф(х)) = ф(х°), х, x°$Rn. (1.1.35')
Заметим, что обобщенная функция Дирака является мерой, поскольку для определения этого функционала достаточно рассмотреть пространство К0 (т = 0).
Если обобщенная функция б(х) определена на К° и если функция а(х)еО, то произведение ц(х)6(х) имеет смысл. На основе формулы (1.1.31) можно написать
(а(х)З(х), ф (х)) = (8 (х), а (х) у (х)) — а (0) с? (0), x^R".
(1.1.36)
Обобщенную функцию Дирака обычно называют дельта-функцией. — Прим. ред.
Отметим, что функционал /, определенный на Кт, К или 5 соотношением
(Л ?)= I ?(0) I ,(1.1.37)
не является обобщенной функцией, хотя это непрерывный функционал, потому что он не линеен. Действительно, вообще говоря, модуль суммы двух чисел не равен сумме модулей этих чисел.
Регулярные обобщенные функции.
Сингулярные обобщенные функции
Будем говорить, что функция /(х), х^Рп, является абсолютно интегрируемой в конечной области Dn^Rn, если существует интеграл
J | / (л) | г/л<оо;J | / (л) | г/л<оо;(1.1.38)(1.1.38)
J | / (л) | г/л<оо;
J | / (л) | г/л<оо;
(1.1.38)
(1.1.38)
если функция /(х) абсолютно интегрируема в любой конечной области Z)nc/?n, она называется локально интегрируемой. Заметим, что абсолютно интегрируемая функция является интегрируемой, т. е.
J f{x)dxDnJ f{x)dxDnоо.оо.(1.1.39)(1.1.39)
J f{x)dx
Dn
J f{x)dx
Dn
оо.
оо.
(1.1.39)
(1.1.39)
Локально интегрируемые функции порождают важный класс обобщенных функций. Пусть f(x) является локально интегрируемой функцией и ф(х)еА. Определим функционал на К соотношением
ИНВ№ 33_НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИОДНИ РУКИ И 2Х В ДДЕИНВ№ 33_НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИОДНИ РУКИ И 2Х В ДДЕ(/, <р)= J J^dx= J/^dx, x£Rn, (1.1.40) RnDn
ИНВ№ 33_
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДДЕ
ИНВ№ 33_
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДДЕ
где DH— носитель основной функции ф(х). Заметим, что если fh(x) образуют последовательность локально интегрируемых функций на Rn, равномерно сходящуюся на каждом компакте к функции f (х), то
Иш(Л, ?) = (/, ?).(1.1.41)
2-3677г~^г"
{ НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В
Следовательно, этот функционал определяет обобщенную функцию. Если f(x) является локально интегрируемой функцией с комплексными значениями, то соотношение (1.1.40) принимает вид
(/, V) = J J^dx.(1.1.40')
Dn
Обобщенные функции, порожденные локально интегрируемыми функциями, называются регулярными обобщенными функциями или обобщенными функциями типа обычной функции; будем обозначать их тем же символом /(х), что и порождающую функцию.
Если ф(х)е5(/?п), а /(х) является интегрируемой функцией на Rn, то соотношение
(1.1.42)(1.1.42)(/, ?) = f f^dx, x^Rn,Rn
(1.1.42)
(1.1.42)
определяет регулярную обобщенную функцию медленного роста.
Если /(х) является ограниченной функцией, т. е. |/(х) | ^Л, Д>0, для любого xeRn, то
I (/, ?) II (/, ?) I< Д f I ? (х) I dx.R"< Д f I ? (х) I dx.R"(1.1.43)(1.1.43)
I (/, ?) I
I (/, ?) I
< Д f I ? (х) I dx.
R"
< Д f I ? (х) I dx.
R"
(1.1.43)
(1.1.43)
Интеграл в (1.1.43) существует. Следовательно, ограниченная функция /(х) определяет на пространстве S регулярную обобщенную функцию медленного роста.
В общем случае, если f(x) является локально интегрируемой функцией, такой, что |f (х) | ^Д |х|й, Д, ^>0, при |х|->оо, и если ф(х)е5 (тогда ф(х) удовлетворяет соотношению |ф(х) | ^B|x|-<ft+2\ В, &>0), то |/(х)ф(х) | ^ДВ|х|-2. Следовательно, интеграл J / (x)<?(x)dx существует, а функция /(х) определяет R" регулярную обобщенную функцию медленного роста на основном пространстве S. Такие обобщенные функции определяются, например, функцией е-"1 -О о ОО, многочленом Р(х) и т. д.
Обобщенные функции, которые не являются регулярными, называются сингулярными. Обобщенная функция Дирака б(х) является примером сингулярной обобщенной функции, поскольку не существует локально интегрируемой функции 6(х), такой, что
(8(х), ф(х))= J 8(x)v(x)rix=v(0). (1.1.44)
Линейные преобразования переменных
Линейные преобразования
Пусть f(x), xeRn, является локально интегрируемой функцией, определенной на n-мерном евклидовом пространстве, и
х=ау^-Ь(1.1.45)
— линейное невырожденное преобразование, матрица которого имеет вид
« = (<Д/)« = (<Д/)(1.1.46')(1.1.46')апа12- . . аХп «21 «22 • • • а2л
« = (<Д/)
« = (<Д/)
(1.1.46')
(1.1.46')
^nX^tfl • • • ^ЛЛ
(det а^О), а-1— обратная матрица. В развернутом виде можно написать
(1.1.45)(1.1.45)Xi—а-иУ\А" СкчУт^" • • • 4"а1л^л + ^ь^2 — ^211/1 4" ^22^/2+ • - • "V аЧпУn"V ^h
(1.1.45)
(1.1.45)
ХП— апхУх +ал2У2 4" • • • ^“ппУп-'Г ^п- Если ф(х)е/<(Дп), то можно написать
(/(»У4-^ с?(У))= J /(ay-yb^yydy.
Rn
Поскольку у=сп1(х—Ь) и dy= |det«|-Idx, то имеет место соотношение
(/(ау + 6), ?(у)) =1-(/(х), ? [а"1 (х-&)]). (1-1-47)
I det а, I
Это равенство получено для регулярных обобщенных функций; оно будет принято в качестве определения обобщенной функции Цау + Ь') в общем случае.
Сдвиг обобщенных функций
Рассмотрим, в частности, сдвиг обобщенных функций. Если /(у) —обобщенная функция, то Цу—у°) является обобщенной функцией, полученной сдвигом исходной обобщенной функции /(у), где у= (Уь у2, -, Уп) и у° = = (уА У2°Уп°). Тогда
х=у —у°,(1.1.48)
или в развернутом виде
хх=ух-^
х2=у2 — у°2,(1.1.48')
х„=ув-у°„.
Матрица а в этом случае является единичной матрицей
/1 0...0\
а = £ = |° 1 ' °(1.1.49)
\0 0...1/
deta=l и а-1 = а. Следовательно,
1Лу-у°\ <?№=</№, ?(х+уО)).(1.1.50)
Заметим, что можно изменить обозначение для независимой переменной, поэтому
(/(х-хО), <Цх^=(/Цс\ ?(х + хО)), X, x°£Rn. (1.1.50')
В частности, можно написать-
(8(х — х°), ? (х)) = (8(х), <p(x+x°)) = ip(x0), х, x°£Rn.
(1.1.51)
. Преобразование подобия обобщенных функций
Линейное преобразование подобия (растяжение и сжатие') определяется соотношением
х=ау,(1.1.52)
где матрица а и обратная матрица о-1 имеют вид
о ... О \
/ап 0 .. .0 Л«и1
а=||> яд22 I, (1.1-53)
•0 ...aj00
\апп /
a deta = aua22 — «пп- В развернутом виде можно написать
^i =аиУ1,
Х2=Я22у2,(1.1.53')
^п^^ппУп*
Следовательно, (/М, ?(У)) = -5 №), Т^"1^)), (1-1-54)
I ац«22...«лл I
или, изменив обозначения для независимых переменных, можно написать
(/(auXi, а22х2,..., а,^, ?(х1э х2,..., хп)) =— / (ХЬ х2, • • ■, ^л), ? —L, —, •••»~Ь
| «11«22. • .«лл I \\«11 «22«лл//
(1.1.54')
Если ап=а22= ... =«„„=«, то
U4«A ?(х)) = —?—x^R\ a^R.
| а|л \ \а Л
(1.1.55)
Для обобщенной функции Дирака можно написать
(8 (ах) <Дх)) = ^-(8(х),=x^R’1 a^R.
| а I" X \ « )) I а|л
(1.1.56)
Если а=—1, получаем преобразование симметрии обобщенных функций. При этом соответствующее соотношение принимает вид
(/(-X), ?(х)) = (/(X), ?(-х)), x^R". (1.1.57)
В частности,
(8(-х), ?(х)) = (8(х), <р( —x))=<p(0), x^R\ (1.1.58)
1.1.6. Равенство обобщенных функций
Равенство двух обобщенных функций
Две непрерывные функции /(х) и g(x) на отрезке [a, b]cR равны, если они принимают одинаковые значения в каждой точке рассматриваемого отрезка. Очевидно, это равенство в обычном смысле является поточечным, т. е. локальным равенством.
Можно определить равенство рассматриваемых двух функций в более широком смысле, считая, например, что они равны, если равны площади, определяемые ими на отрезке [а, 6]:
6ь
J / (x)tZx = J g(x)dx, x£R; (1.1.59) аа
равенство в смысле соотношения (1.1.59) может быть распространено на более широкий класс функций, чем непрерывные.
Определение 1.1.4. Функция f(x) называется нулевой почти всюду на множестве А, если множество всех точек хеА, для которых /(х) =7^0, имеет нулевую меру (т. е. это множество может быть покрыто счетным семейством отрезков, сумма длин которых сколь угодно мала).
Отметим, что множества нулевой меры называют еще и пренебрежимыми множествами.
Определение 1.1.5. Две функции f(x) и g(x) называются равными почти всюду на множестве А, если множество всех точек хеА, для которых f^^g^x), является множеством нулевой меры.
В этом случае будем писать
/ И — g" W почти всюду, х^А. (1.1.60)
Из определения следует, что если две интегрируемые функции f(x) и g^, определенные на множестве А = =[а, 6], равны почти всюду на А, то они удовлетворяют соотношению (1.1.59). Таким образом, равенство почти всюду является обобщением поточечного равенства двух функций.
Пусть /(х) и g(x), xeRn,— две локально интегрируемые функции, равные почти всюду. Если ф(х)е^ то
f / Мф^о'х^ J g(x^ (х) dx. (1.1.61)
RnR"
Следовательно,
(/, vHfr ^,(1.1.6V)
или
v-g, Ч>)=0.(1.1.61")
Определение 1.1.6. Две обобщенные функции f(x) и g(x) равны-.
f-g,(1.1.62)
если для любой основной функции <р(х) выполняется соотношение (1.1.61').
Определение 1.1.7. Обобщенная функция f(x) равна нулю:
/=0,(1.1.63)
если для любой основной функции ср (х)
(/W, ?W)=0.(/W, ?W)=0.Например, функцияНапример, функция0 при х ф 1, 2, x^R, 1 при х=1, .2 при х=20 при х ф 1, 2, x^R, 1 при х=1, .2 при х=2(1.1.63')(1.1.64)(1.1.63')(1.1.64)
(/W, ?W)=0.
(/W, ?W)=0.
Например, функция
Например, функция
0 при х ф 1, 2, x^R, 1 при х=1, .2 при х=2
0 при х ф 1, 2, x^R, 1 при х=1, .2 при х=2
(1.1.63')
(1.1.64)
(1.1.63')
(1.1.64)
[0 /М=ц[0 /М=цпорождает обобщенную функцию, равную нулю. Рассмотрим следующую функцию Дирихле:
[0 /М=ц
[0 /М=ц
(1.1.65)(1.1.65)при иррациональном^^, при рациональном х.
(1.1.65)
(1.1.65)
определенную для xeR, а также функцию
g(x) = 0, x^R.(1.1.66)
Заметим, что функция f(x) разрывна в каждой точке, тогда как функция g^x) непрерывна. Функция Цх) не является локально интегрируемой по Риману, но она локально интегрируема по Лебегу. Таким образом, эти две функции локально интегрируемы по Лебегу и равны почти всюду, поскольку множество всех точек х, для которых f (х) ^ g (х), совпадает с множеством рациональных точек и, следовательно, имеет нулевую меру. Таким образом, можно написать Ч
■ (2) (/ (х) ср (х) dx—(X) g(x)<p(x)dx=0,
RR
т. е. выполнены соотношения типа (1.1.61') и (1.1.63') для любой основной функции ср(х). Следовательно, обобщенные функции, порожденные функциями f(x) и g^xV равны (обобщенная функция, порожденная функцией Дирихле, равна нулю).
Введем также функцию
А(х) = 1, x^R.(1.1.67)
1 Символ SB означает, что интеграл понимается в смысле Лебега в отличие от 5? — интеграла в смысле Римана.— Прим. ред.
Заметим, что h^ не совпадает с функцией Дирихле /(х) на множестве иррациональных чисел, и поскольку последнее множество не образует ни на каком компакте множества меры нуль, то эти две функции не равны почти всюду, так что
(Ж) J / (а-) ср (a) dx=0,
(Ж) f h (х) ср (х) dx=^) J ср (х) dx.кR
Следовательно, обобщенные функции, порожденные функциями Л(х) и f(x), не равны.
Обобщенная функция Хевисайда
Рассмотрим функции(О при х<0, 6(х)=L Рv 11 при х>0,Рассмотрим функции(О при х<0, 6(х)=L Рv 11 при х>0,(О(О22при х^О, при х=0, при х>0.при х^О, при х=0, при х>0.(1.1.68)(1.1.68')(1.1.68)(1.1.68')
Рассмотрим функции
(О при х<0, 6(х)=L Р
v 11 при х>0,
Рассмотрим функции
(О при х<0, 6(х)=L Р
v 11 при х>0,
(О
(О
2
2
при х^О, при х=0, при х>0.
при х^О, при х=0, при х>0.
(1.1.68)
(1.1.68')
(1.1.68)
(1.1.68')
Эти функции локально интегрируемы по Риману, причем они отличаются только в точке х=0. Следовательно, обобщенные функции, порожденные ими, равны:
(1.1.69)(1.1.69')(1.1.69)(1.1.69')6 (х) = 0! (х), поэтому можно написать
(1.1.69)
(1.1.69')
(1.1.69)
(1.1.69')
(6 (х), ср (х)) = С ср (х) dx.
Заметим, что 6(х) является регулярной обобщенной функцией; она называется обобщенной функцией Хевисайда *>.
1 Обычно эту функцию называют единичной функцией Хевисайда. — Прим. ред.
Функция Хевисайда
6(хь х2,..., хя) =
= Р при ^>0, х2>0,..., хп>0,(LL70)
|0 в остальных точках,
определенная на Rn, порождает регулярную обобщенную функцию (обобщенную функцию Хевисайда на Rn>), описываемую соотношением
№, х2,..., х„\ v(xh х.2,..., х„))=
ОО СООО
= ^J... С ф (xb х2,..., xn>dxTdx2.. ,dxn. (1.1.70') 6 о о
Свойства обобщенной функции Дирака
Используя определение равенства двух обобщенных функций, можно получить интересные соотношения для них. Например, с помощью формул (1.1.31) и (1.1.51) можно обобщить соотношение (1.1.36) следующим образом:
(а (х) 8 (х — х°), <р (х)) = а (х°)<р (х°),
а(х)£С°, х, x4Rn,(1.1.71)
откуда, учитывая соотношение (1.1.35') и определение равенства двух обобщенных функций, получаем
а (х) 8 (х — х°) =а (х°) 8 (х — х°),
а^С0, х, x4Rn.(1.1.72)
В частности, хл8(х) = 0, n^Na, x£Rx\(1.1.73)
Аналогично можно написать
а(х, у)8(х, у^ — а^О, 0)8(х, у\ а^х, у^С0^ (1.1.74)
1 Здесь и далее No — множество натуральных чисел, А" — множество целых неотрицательных чисел. — Прим. ред.
и, в частности,
х8(х, у) = 0.(1.1.75)
Из соотношения (1.1.58) с учетом (1.1.35) следует
8(-х) = 8(х), x£R".(1.1.76)
Таким образом, обобщенная функция Дирака является четной обобщенной функцией.
Аналогично, исходя из формулы (1.1.56), можно получить соотношение
8(ах) =—5—8(х), x^R. (1.1.77) I а I
Для пространства Rn имеем
8 (“Л, «2^2,- • Vj =
Можно также написать
8(ах+?)=—!— В/хЦ—М, x^Rn. (1.1.78) | а |\ а /
Обобщенная функция Vp —
Рассмотрим функцию (фиг. 1.8)
/(х)= — при х^О;(1.1.79)
X
эта функция не является локально интегрируемой, так как она не интегрируема в окрестности начала координат. Отбрасывая окрестность, содержащую начало координат, можно получить локально интегрируемую функцию. График функции состоит из двух ветвей равносторонней гиперболы, асимптотами которой являются оси координат.
Чтобы определить функционал, соответствующий этой функции, введем понятие главного значения в смысле Коши расходящегося интеграла от данной
b
функции. Очевидно, J (ljx)dx для a, b>0 не суще
ствует. По определению главное значение этого интеграла, обозначаемое символом Vp, равно
(1.1.80)(1.1.80)
(1.1.80)
(1.1.80)
Вычислив здесь правую часть, получим
В частности.В частности.(1.1.80')(1.1.81)(1.1.80')(1.1.81)
В частности.
В частности.
(1.1.80')
(1.1.81)
(1.1.80')
(1.1.81)
Следующее соотношение ставит в соответствие функции 1/х функционал Vp (1/х):
(Vp-^,<pM) = Vp^-^
dx.
^W^K. (1.1.82)
Легко можно проверить, что определенный таким образом функционал является линейным и непрерывным. Следовательно, он представляет собой обобщенную функцию. Обобщенная функция Vp(l/x) совпадает с 1/х всюду, за исключением начала координат; поэтому обобщенная функция Vp(l/x) называется регуляризацией функции 1/х.
Заметим, что для <р(х)еК можно написать
= Vp у^(х)</х = Jq>(x)</x=(l, <р(х)). RR= Vp у^(х)</х = Jq>(x)</x=(l, <р(х)). RRОтсюда следует, чтоОтсюда следует, чтоxVp —=1.XxVp —=1.X(1.1.83)(1.1.83)Таким образом, регуляризация функции 1/х была проведена хорошо, поскольку из соотношения (1.1.83) видно, что сохраняется главное свойство этой функции.Таким образом, регуляризация функции 1/х была проведена хорошо, поскольку из соотношения (1.1.83) видно, что сохраняется главное свойство этой функции.1.1.6.5. Другие обобщенные функцииРассмотрим функцию•^^^^ ПРИ х/°1.1.6.5. Другие обобщенные функцииРассмотрим функцию•^^^^ ПРИ х/°(1.1.84)(1.1.84)и поставим ей в соответствие обобщенную функцию Vp(l/x2):(Vp —, <p(x)) = Vpp-^^^tiLt. (1.1.84')Rи поставим ей в соответствие обобщенную функцию Vp(l/x2):(Vp —, <p(x)) = Vpp-^^^tiLt. (1.1.84')RЗаметим, чтоЗаметим, чтоRR= (Vp^, xWY) = ^(x)dx=(l, ^(x^. R= (Vp^, xWY) = ^(x)dx=(l, ^(x^. R
= Vp у^(х)</х = Jq>(x)</x=(l, <р(х)). RR
= Vp у^(х)</х = Jq>(x)</x=(l, <р(х)). RR
Отсюда следует, что
Отсюда следует, что
xVp —=1.X
xVp —=1.X
(1.1.83)
(1.1.83)
Таким образом, регуляризация функции 1/х была проведена хорошо, поскольку из соотношения (1.1.83) видно, что сохраняется главное свойство этой функции.
Таким образом, регуляризация функции 1/х была проведена хорошо, поскольку из соотношения (1.1.83) видно, что сохраняется главное свойство этой функции.
1.1.6.5. Другие обобщенные функции
Рассмотрим функцию
•^^^^ ПРИ х/°
1.1.6.5. Другие обобщенные функции
Рассмотрим функцию
•^^^^ ПРИ х/°
(1.1.84)
(1.1.84)
и поставим ей в соответствие обобщенную функцию Vp(l/x2):
(Vp —, <p(x)) = Vpp-^^^tiLt. (1.1.84')
R
и поставим ей в соответствие обобщенную функцию Vp(l/x2):
(Vp —, <p(x)) = Vpp-^^^tiLt. (1.1.84')
R
Заметим, что
Заметим, что
R
R
= (Vp^, xWY) = ^(x)dx=(l, ^(x^. R
= (Vp^, xWY) = ^(x)dx=(l, ^(x^. R
Следовательно,
(1.1.85)(1.1.85)л2 Vp —= 1.
(1.1.85)
(1.1.85)
Рассмотрим также функцию
/(х) = ~— при л:^0, x^R, (1.1.86)
и введем обобщенную функцию 3* (1/|х|) следующим соотношением:
f З5—-—, ®(л:)^ = С ^^-dx-y С ^^—dx.
I 1 > 1щ I < 1
(1.1.86")
Можно обобщить это определение на случай, когда xe.R". Например, введем обозначение
г = УхЙу2(1.1.87)
и определим обобщенную функцию 3й (1/г) следующим образом:
(з* — <р (х С С ±^2щ^1п1121^1 dxdy +
\ г/ JJ г
г<1
+ jj l^ldxdy.(1.1.88)
г>1
Эта обобщенная функция является регуляризацией функции 1/г, которая не является локально интегрируемой в окрестности начала координат.
Аналогично можно определить обобщенную функцию 3d (1/(х2+у2)].
Заметим, что функции (1.1.84) можно поставить в соответствие и обобщенную функцию Pf(l/x2), которая называется псевдофункцией 1 /х2 и определяется следующим образом:
/pf _L, ^^V lim f vW dx^ f lWdx_2^1
6(х)6(х)Аналогично определяются и обобщенные функции Pf (6 (х) /х) и Pf (6 (—х) /х):
6(х)
6(х)
(1.1.90)(1.1.90)С -11^1 dx-\-q> (0) In s
(1.1.90)
(1.1.90)
JS- + 0 J X
Pj ®( x)XPj ®( x)X^ ^^„^(Ojlns^ ^^„^(Ojlns(1.1.90')(1.1.90')
Pj ®( x)
X
Pj ®( x)
X
^ ^^„^(Ojlns
^ ^^„^(Ojlns
(1.1.90')
(1.1.90')
Нетрудно проверить следующие соотношения:
Vp —= Pf^M + PfAL^L ,(1.1.91)
XXX
—— = pf2Lf)- —Pf 6(~л) .(1.1.91')
] X IXX
Отметим, что понятие конечной части интеграла, так же как и понятие псевдофункции, было введено Адамаром.
Носитель обобщенной функции.
Обобщенные функции, сосредоточенные на множестве
Определение 1.1.8. Пусть А— открытое множество. Будем говорить, что обобщенная функция является нулевой на А:
/W=0, х^А,(1.1.92)
если для любой основной функции <реЛ) такой, что supp срсД, выполняется соотношение
(/, ?)-0.(1.1.92')
Определение 1.1.9. Будем говорить, что обобщенные функции jug равны на открытом множестве А, если для любой основной функции ц>еК, такой, что suppq)czA, выполняется соотношение
(/, ?) = (£, Т),(1-1.93)
или
a-g, <р)=0.(1.1.93')
В этом случае будем писать
/(х)=^(х), х^А. (1.1.93")
Из определения обобщенной функции следует, что не имеет смысла говорить о значении обобщенной функции в точке. Таким образом, нельзя, например, сказать, что значение обобщенной функции в точке х0 равно нулю. Тем не менее можно придать точный смысл понятию «нулевой» в окрестности некоторой точки обобщенной функции. Пусть U — некоторая окрестность точки х0 и сре/С — произвольная основная функция с носителем, содержащимся в U. Будем говорить, что обобщенная функция f(x) равна нулю в окрестности точки Хо, если (Д ср) =0 для любой cpej< с supp<pc:(7. Можно доказать, что обобщенная функция является нулевой на открытом множестве А, если она является нулевой в окрестности любой точки этого множества. Это доказывает следующее локальное свойство обобщенных функций: если две обобщенные функции равны в окрестности каждой точки, то они равны и глобально, т. е. на данном открытом множестве.
Определение 1.1.10. Носителем обобщенной функции f называется дополнение объединения всех открытых множеств, на которых f(x) равна нулю. Носитель обобщенной функции f будем обозначать символом suppf.
Из определения следует, что носитель обобщенной функции является замкнутым множеством. Если к тому же носитель обобщенной функции является ограниченным, то в этом случае имеем обобщенную функцию с компактным носителем; такие обобщенные функции особенно важны в приложениях.
Определение 1.1.11. Будем говорить, что обобщенная функция f сосредоточена на множестве А, если носитель обобщенной функции f содержится в A (suppfc:A).
В частности, носитель обобщенной функции, порожденной кусочно непрерывной функцией, определяется замыканием множества всех точек, в которых функция отлична от нуля.
Рассмотрим обобщенную функцию Дирака б(х); запишем для любой функции ф(х)е/( соотношение
(1.1.95)(1.1.95)функциейфункцией
(1.1.95)
(1.1.95)
функцией
функцией
Заметим, что для любой функции ф(х)еК, носитель которой не содержит начало координат (0^ зпррф), можно написать
Т(х))=0. (1.1.94)
Следовательно, обобщенная функция б(х) равна нулю в окрестности любой точки х#=0, т. е.
6(х)=0 при х^О. (1.1.94')
Отсюда следует, что носителем обобщенной функции б(х) является точка 0. Таким образом, обобщенная функция Дирака д(х) сосредоточена в начале координат. Аналогично носителем обобщенной функции д(х—х°) является точка х°, т. е. б(х—х°) сосредоточена в этой точке. Из определения равенства на открытом множестве двух обобщенных функций и соотношения (1.1.94') следует, что обобщенная функция Дирака б(х) совпадает на множестве точек х#=0 с обобщенной функцией, равной всюду нулю. Обобщенная функция б(х) обладает компактным носителем.
Аналогично обобщенная функция Vp(l/x) равна 1/х на множестве точек х#=0. Носителем этой обобщенной функции является множество R всех действительных чисел. Таким образом, она не является обобщенной функцией с компактным носителем.
Носителем обобщенной функции Хевисайда является множество [0, <х>] = /?+, т. е. ее носитель ограничен справа. Таким образом, 6(х) является обобщенной функцией с некомпактным носителем, сосредоточенной на положительной полупрямой /?+.
Характеристическая функция отрезка
Рассмотрим функцию (фиг. 1.9)
(0 при I х I > а,A(x)=Lа>0.
' ' (1 при | х | <а,
g^ =g^ =(1 при х^Л, (0 при х ^ А(1 при х^Л, (0 при х ^ АЭта функция называется характеристической отрезка (—а, а]. Вообще функция
g^ =
g^ =
(1 при х^Л, (0 при х ^ А
(1 при х^Л, (0 при х ^ А
представляет собой характеристическую функцию множества Д.
Функция h^ порождает обобщенную функцию, определяемую соотношением
(А(х), © (х)) = J h (х) у (х) dx — J o^dx. (1.1.97) R
Заметим, что для любой фe^, такой, что зиррфЩ—а, а]= 0, выполняется соотношение (/г, ф)=0. Следовательно, носителем обобщенной функции h^ является
h(x)
I
Фиг. 1.9.
отрезок [—а, а]. Таким образом, й(х)—обобщенная функция с компактным носителем, сосредоточенная на отрезке [—а, а].
Обобщенную функцию Цх) можно выразить при помощи обобщенной функции Хевисайда следующим образом:
h (х) — 9 (х-фа) — 9 (х — а)=9 (а — | х | ), x^R. (1.1.98)
Отношения неравенств
Чтобы можно было сравнивать обобщенные функции, введем понятие положительной обобщенной функции.
Определение 1.1.12. Обобщенная функция { называется положительной на .множестве Д, если для любой функции феХ, Ф^О, с зиррфсД выполняется соотношение
(/, у)>0. (1.1.99)
В этом случае будем писать
/>0, х^А./>0, х^А.(1.1.99)(1.1.99)
/>0, х^А.
/>0, х^А.
(1.1.99)
(1.1.99)
Определение 1.1.13. Будем говорить, что обобщенная функция I больше обобщенной функции g на множестве А:
/W>gW, х^А,/W>gW, х^А,(1.1.100)(1.1.100)
/W>gW, х^А,
/W>gW, х^А,
(1.1.100)
(1.1.100)
если для любой функции феА, ф^О, supp фсД, выполняется соотношение
I/, ^>(g, <р), (/-А, ?)>0.(1.1.100')
В частности, если неравенство f(x)^O, хеА, имеет место для любого множества А, т. е. если (/, ср) ^0 для любой функции феА, ф^О, то
/>0;(1.1.101)
аналогично
f>g,(1.1.102)
если (/, ср) "^^g, ф) для любой функции феА, ф^0.
Пусть ср(х)^О (ф(х)еК). Тогда
(8(л), ©(х)) = ?(0)>0.(1.1.103)
Следовательно, обобщенная функция Дирака б(х) положительна.
Заметим, что можно писать
(o(2x), ?(х))=у ?(0)>0,(8(х), ф (х))=ф (0) ^ 0.
Следовательно,
8 (х) > 8 (2х).(1.1.104)
В общем случае при а^ 1
8 (ах) 8 (х).(1.1.104')
Если /(х) и ^(х) — локально интегрируемые функции и f^g почти всюду, то для любой функции ф^гО
(q>e^ выполняется соотношение
(1.1.105)(1.1.105')(1.1.105)(1.1.105')(/. v)>U» Т),
(1.1.105)
(1.1.105')
(1.1.105)
(1.1.105')
т. е.
I* / (х) у (x) dx > { g (х) у (х) dx. RR
Этому соотношению удовлетворяют функция Дирихле f(x), определяемая формулой (1.1.65), и функция
(1.1.106)(1.1.106)^10 для рационального х,(1 для иррационального
(1.1.106)
(1.1.106)
где интегрирование понимается по Лебегу.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. ДЕЛЬТООБРАЗНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Дифференцирование обобщенных функций;
Производная обобщенной функции.
Свойства
Дифференцирование является одной из операций, которая выявляет пользу понятия обобщенной функции. Действительно, в отличие от обычных функций, которые не всегда дифференцируемы, обобщенные функции обладают производными любого порядка; этот факт ведет к многочисленным применениям.
Чтобы дать определение производной любой обобщенной функции, воспользуемся понятием производной локально интегрируемой функции и получим формулу для регулярных обобщенных функций. Полученное таким образом определение сведется в случае обыкновенных функций к классическому определению.
Пусть функция f^EC1. Тогда
(/'(■*), y(x))=f/'(x)y(x)dx, у(х)€/С (1.2.1)
R
Функционал (1.2.1) определяет обобщенную функцию, соответствующую непрерывной функции /'(%)—произ-
водной функции f(x). Проинтегрируем выражение (1.2.1) по частям:
(/' W, v W) = | ? W ^/ (■*)=R
но основная функция ф(х) имеет компактный носитель, поэтому
(/'W, ?(■*))=-(/(■*), ?'W), *£R. (1.2.2)
Соотношение (1.2.2) выполняется в случае регулярной обобщенной функции. В общем случае производная обобщенной функции определяется соотношением (1.2.2) б. Можно показать, что функционал, определенный соотношением (1.2.2), является линейным; его непрерывность следует из определения сходимости в пространстве К- Следовательно, производная обобщенной функции является обобщенной функцией.
Для производной k-го порядка можно написать
(/w(4 ?WH-1)WU^ x^R. (1.2.3)
Заметим, что, используя понятия сдвига обобщенных функций и сходимости в пространстве обобщенных функций, можно определить производную обобщенной функции, как и в классическом случае. Пусть f(x) — обобщенная функция одной действительной переменной. Тогда
/'W = limZl£±^zJ^=J^Z^ (l2.4) J ’ h^ohdx ' x
где переход к пределу осуществляется в смысле сходимости в пространстве обобщенных функций. Аналогично можно определить и дифференциал обобщенной функции.
Используя это замечание, можно легко распространить на сложные обобщенные функции правило диффе-
1 Такую производную часто называют обобщенной производной. — Прим. ред.
ренцирования обычных сложных функций. Пусть и^еС”, xeR и f(x)— обобщенная функция. Можно написать следующее правило дифференцирования:
df<u<x)) ,= й/_ц1(1.2.5)
dx du v ’v 7
которое имеет смысл, поскольку функция и'(х)еС°°. Полученное обобщение является естественным, поскольку оно охватывает случай обычных функций.
Аналогично, если f(xh х2, ..., хп)— обобщенная функция п независимых переменных, а ср(хь х2, ..., х„)— основная функция, среА, то частная производная по переменной X, (i = l, 2, ..., п) определяется соотношением
(-^—/(А,х„\ ф(хь х2,..., х„))=
х2,..., х„\ А-?(хь х2,..., хА (1.2.6)
ОХ;/
В общем случае
(
dkf (х\, х2,..., хЛ ,А
—, ? ^ х2,. . ., х„) =дхк1дхк2.. -дх"у
- ( - А /7 А , Хп\ ААЫ1^дА2А , (1.2.7) дх^дхк1...дх„п )
где /г = ^1 + Й2-• -+^п- Символически можно написать
(D7, ?) = (-1)\/, Dfe?). (1.2.7')
Отметим также следующее свойство:
supp Dfc/ с s upp /.(1.2.8)
Приведенные выше определения справедливы и для обобщенных функций, определенных на пространстве К™, при условии, что к^т. Эти определения действительны также и для обобщенных функций, определенных на основном пространстве 5.
Пусть а(х)—функция одной переменной, a(x)sC°°, и f(x)—обобщенная функция одной переменной,
f^eK'. Формула для производной произведения, известная в классическом случае, сохраняется:
НУ=а/'7«7.(1.2.9).
Аналогично эта формула распространяется и на случай многих переменных: если функция a(xi, х2, ..., хп)еС°° и обобщенная функция f(xh х2, ..., х^еК7, то
-7_(an = —f.LQ 77- (/—12 ..п\ (1.2.10). дх{ 1 J dxi J ' дх;’’’'
В случае обобщенных функций, определенных на пространствах Кт и S, справедливы аналогичные формулы при условии, что имеет смысл произведение функции на обобщенную функцию.
В классическом случае производная функции нескольких переменных зависит, вообще говоря, от порядка дифференцирования. В пространстве обобщенных функций производная обобщенной функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования. Например, для обобщенной функции f (хь х2, ..., х^^-К7 можно написать
—7 = -дЧ (,; /=1, 2,..., п).(1.2.11)'
dxidxj dxjdxi
Этот результат действителен для производных любого, порядка: символически можно написать
Dp+<7/—Dp (D<7/) = D<7 (Dp/).(1.2.12)
Пусть 9(х)—обобщенная функция Хевисайда. Тогда
(9' (х), ® (х)) = — (9 (х), cp'(x))= — j 9 (х) ср' (х) dx=
R
= — J -/ (х) dx = — ф (х) | = ср (0) = (8 (х), ср (х)), оо
откуда следуетоткуда следуетО'(х)=8(х).О'(х)=8(х).(1.2.13)(1.2.13)
откуда следует
откуда следует
О'(х)=8(х).
О'(х)=8(х).
(1.2.13)
(1.2.13)
В общем случае, если 0(хь х2, .... хп)— обобщенная функция Хевисайда, то
^ь^,.^, ^ =ч дх\дхг.. .дхп
д26 (х, у,) , .,—v=8(х, у).дхду 11д26 (х, у,) , .,—v=8(х, у).дхду 11Хп\ (1.2.14)(1.2.14')Хп\ (1.2.14)(1.2.14')В частности,
д26 (х, у,) , .,
—v=8(х, у).
дхду 11
д26 (х, у,) , .,
—v=8(х, у).
дхду 11
Хп\ (1.2.14)
(1.2.14')
Хп\ (1.2.14)
(1.2.14')
Из формулы (1.2.3) непосредственно следует
(^W, ?(x)) = (-l)VS,(0).(1-2.15)
В частности,
(&'(*)» ?(х))=-Т'(0).(1.2.15')
Заметим, что
9'(х-х°)=8(х-х°),(1.2.16)
а
(8w(x-x°), ТММ-ЦУ^О).(1.2.16')
Пусть теперь /(х) — функция класса С”, отличная от нуля и для которой f'(x)^0. В этом случае /(х) либо положительна, либо отрицательна (фиг. 1.10). Если 0(f(x))— функция Хевисайда, то
0(/W)=0(/W)=(0 при / (х) (1 при / (х)(0 при / (х) (1 при / (х)(1.2.17)(1.2.17)
0(/W)=
0(/W)=
(0 при / (х) (1 при / (х)
(0 при / (х) (1 при / (х)
(1.2.17)
(1.2.17)
Дифференцируя в смысле теории обобщенных функций по формуле для производной сложной обобщенной
функции и замечая, что tZ0(f(x))/tZx=O, получаем /'(х)8(/(х))=0.(1-2.18)
Поскольку f'(x) =/=0 всюду, то
8(/И)=0.(1.2.19)
В частности, эти условия выполняются для функции f (х) = еж, поэтому
8(0=0.(1.2.20)
Пусть теперь f (х, у) =ху; тогда
6№)=)01,РИЖ»<0.(1.2.21)
(1 при ху^-0.
Заметим, что эта функция может быть выражена также следующим образом:
0(ху)=0(х, у) + 6( —^, — У)-(1.2.21')
Дифференцируя это выражение и учитывая четность обобщенной функции Дирака, получаем
^/) + 8(-х, -уНЦх, у). (1.2.22) дхду
Наконец, дифференцируя 0(ху) по формуле для производной сложной обобщенной функции, получаем
28 (х, у) — ^ху^Д-хуй' txy\ (1.2.23)
Отметим еще одно свойство: если производная обобщенной функции равна нулю, то обобщенная функция является константой.'
Производная в смысле теории обобщенных функций. Производная в обычном смысле
В дальнейшем будем различать производную в смысле теории обобщенных функций и производную в обычном смысле в случаях, когда последняя существует (для
регулярных обобщенных функций); производную в обычном смысле будем отмечать волнистой чертой. Тогда .для обобщенных функций, порожденных функциями класса Ст, можно написать
Dft/=D7, к<т.Dft/=D7, к<т.(1.2.24)(1.2.24)
Dft/=D7, к<т.
Dft/=D7, к<т.
(1.2.24)
(1.2.24)
6' (х)=о6' (х)=о
6' (х)=о
6' (х)=о
Заметим, что для обобщенной функции Хевисайда '0(х), xeR, производная в обычном смысле равна нулю:
(1.2.25)
в каждой точке, отличной от начала координат. Разница между формулами (1.2.13) и (1.2.25) и выявляет существующее отличие между производной в смысле теории обобщенных функций и производной в обычном смысле.
Для обобщенной функции Хевисайда в R2 аналогично можно написать
D^fA', у)=0,(1.2.26)
за исключением точек на положительных полуосях координат.
Среди функций, часто встречающихся в приложениях, отметим кусочно дифференцируемые функции. Пусть Цх)— функция одной переменной с производной, непрерывной всюду, за исключением, быть может, одной точки х0, в которой она имеет разрыв первого рода (фиг. 1.11). Пусть
Hm /(х) = /(хо + О),
л-^Жо+О
(1.2.27).
ls= lim f^=f^xQ-^
дг-^ло—О
— соответственно пределы справа и слева функции /(х) в точке Хо и
5о—^ —4—/(Ло + О) —/(х0 —0)(1.2.27')
— скачок функции в этой точке.
Пусть <р(х) еК; тогда
(/'(A ?W)= -(/W,
= — lims^+0= — lims^+0Xo—600“
= — lim
s^+0
= — lim
s^+0
J / W ?' W dx + J / (x) <p' (x) dx .
Интегрируя по частям и переходя к пределу, получаем
(/'(x), ?(x))=-lim = -*■4-0
+ j Г W ? W dx=s0? (x) + (/' (x), ? (x)) == (/'(х) + $08(х-х0), ?(x)),
откуда в силу определения равенства двух обобщенных функций следует
Г к^^Г (~)+«оЧ*-*о)-(1.2.28)
Таким образом, производная в смысле теории обобщенных функций равна сумме производной в обычном смысле и произведения скачка на обобщенную функцию Дирака, сосредоточенную в точке разрыва.
В частности, если функция непрерывна, то so = O и
f^=f w.f^=f w.(1.2.29)(1.2.29)
f^=f w.
f^=f w.
(1.2.29)
(1.2.29)
т. е. в этом случае производная в смысле теории обобщенных функций совпадает с производной в обычном смысле.
Если Дх)— функция класса С1 всюду, за исключением точек xt(i=l, 2, ..., р), в которых оиа имеет разрывы первого рода со скачками
sz=/(xz + 0)-/(xz-0) (г=1, 2,..., р\ (1.2.30) то можно написать соотношение
/'(■th/wf^x-x,).(1.2.31)
z=i
Точки разрыва могут образовывать и счетное множество, например если функция f(x) является периодической.
Предположим теперь, что f(x)—функция класса Сй всюду, за исключением точки Хо, в которой функция и все ее производные в обычном смысле до А-го порядка включительно имеют разрывы первого рода; пусть Si (i=0, 1, 2к—1) — скачок функции f(i)(^) в точке xq. Последовательно дифференцируя соотношение (1.2.28), находим й-1
/WfxH/^+^s^-'-^x-Xo). (1-2.32) 1-0
Можно получить аналогичные формулы для функций нескольких переменных.
Примеры
С помощью формулы (1.2.28) можно вычислить производную обобщенной функции Хевисайда. Действительно, замечая, что $о = 0(х+О)—0(х—0) = 1 и учитывая равенство (1.2.25), получаем опять формулу (1.2.13).
Для вычисления производной обобщенной функции, соответствующей характеристической функции отрезка (1.1.95), можно использовать соотношение (1.1.98) или формулу (1.2.31). Таким образом, находим
к' (х) = 8 (х-фа) — 8 (х —а).(1.2.33)
Рассмотрим теперь функцию (фиг. 1.12)
/(х)= | х | прИ Х<°’(1.2.34)
[ х при х 0.
Эта функция непрерывна всюду; она также дифференцируема всюду, за исключением начала координат, где f'(0—0) =—1, /'(О+О) = 1. Можно записать производную в смысле теории обобщенных функций в виде
|x'=|x|'=J 1 ’ = 29(х) — 1. (1.2.34') . I 1 при х>0,
Эта производная совпадает с производной в обычном смысле.
Введем наряду с обобщенной функцией Хевисайда также следующую обобщенную функцию (фиг. 1.13):
енА
о
Фиг. 1.13.
9(-х) = Р ПрИ Х<°’(1.2.35)
(0 при л)>0.
Заметим, что имеют место соотношения
9(х)4-9(-х)=1(л:),(1.2.36)
■1—1 ПРИ Х<0,
6 (х) — 6 ( — x) = signx=1’ (1.2.36)
I 1 при х>0,
где функция 1 (х) равна единице в любой точке xeR (фиг. 1.14,а), а функция signx, xeR, указывает знак числа х (фиг. 1.14,б).
В этом случае можно написать [x|' = signx,(1.2.34")
а также
|x|"=(signx)'=28(x).(1.2.34'")
Исходя из соотношения (1.1.73), с помощью математической индукции можно получить следующие соотношения:
хп8(п-6)(х)=0 (£=1, 2,..., га, n^N0Y (1.2.37)
Из того же соотношения для случая п=1 последовательно находим
8(х)4-х8' (х)=0,
2В'(х) + хВ"(х)=0,(1.2.37')
га8',“1(х) + х8('г)(х)=О.
Отсюда последовательным исключением получаем
xn8(',)(x) = (-l)',/z! В(х), n^N. (1.2.38)
При помощи математической индукции можно показать также, что
хл8(',+,)(х) = (-1)”(/г+1)1 8'(х), n^N, (1.2.38') или в более общем виде
х^'1^ (х) = (- 1)" 1" + ^--8W (.г), к, n^N. (1.2.38")
Действительно, при п = 0 получаем тождество. Предположим теперь, что соотношение верно для п. Умножим соотношение
(«-(-й-Н)^"**’ (х) + х8(п+6+1)(х)=0,
имеющее вид (1.2.37), на хи. В результате получим
= (-1)= (-1)^Я+ 18("+А-Ы) (^ = „ („ _j_ £ _]_ Ц хп^А-Ц ^ =/14-1 (и + ^ + 1)!
= (-1)
= (-1)
таким образом, соотношение (1.2.38") доказано.
Эти результаты позволяют вычислять произведение многочлена на производные произвольного порядка обобщенной функции Дирака. При этом используются производные меньшего порядка этой обобщенной функции.
В общем случае, исходя из соотношения (1.1.72), можно установить при помощи математической индукции следующую формулу:
а (х) ^т) (х - х°)=С°та (х°) 8(т) (х - х°) -
- Схта' (хО) В^-1 ’ (х - х°) 4- С^а" (х°) 8(“-2) (х-х0)-
-...+(- IfC”^ (хО) В (х - X»),
а(х)еСт, х, x°^Rn,(1.2.39)
где Стр — число сочетаний из т элементов по р.
Отсюда можно легко получить различные частные случаи (в том числе и формулы (1.2.37)—(1.2.38")). Например, в случае а(х') = sinx получаем
sin а8('")(а)=-С^('"^1) (а) +
+ O(m-3) (а) - ... +(- 1)рС^-18(,""2р+1) (а) + .. . .
(1.2.39')
Введем также обобщенные функции, соответствующие функциям х+ и Х-, определенным следующим образом (фиг. 1.15):
Фиг. 1.15.
. . . [О при А<0„ о ...
х+ = а6(а) = г ’(1.2.40)
(А При А^О,
... [ — А при А < 0,.„.„
А_= — а6( — Аг ’(1.2.40')
I 0 при А>0.
Заметим, что эти обобщенные функции являются обобщенными функциями медленного роста.
Отметим соотношения
А = А+ — А_, I A I =A+4*A_ = ASignА. (1.2.41) Можно вычислить производные
(а+)' —6 (а), (а_)'= — 6 ( —а),(1.2.42)
а также
функцию Vp(l/x) и вы-функцию Vp(l/x) и вы-^-dx^-dxх—иХ^ + Е2х—иХ^ + Е2о (х) dx=о (х) dx==<? (0) lim С е->+0 J=<? (0) lim С е->+0 JX2 + е2X2 + е2dx-|- lim 1е-* 4-0dx-|- lim 1е-* 4-0х— ZeX2 + е2х— ZeX2 + е2[? М — ?(0)]dx=[? М — ?(0)]dx=
функцию Vp(l/x) и вы-
функцию Vp(l/x) и вы-
^-dx
^-dx
х—и
Х^ + Е2
х—и
Х^ + Е2
о (х) dx=
о (х) dx=
=<? (0) lim С е->+0 J
=<? (0) lim С е->+0 J
X2 + е2
X2 + е2
dx-|- lim 1е-* 4-0
dx-|- lim 1е-* 4-0
х— Ze
X2 + е2
х— Ze
X2 + е2
[? М — ?(0)]dx=
[? М — ?(0)]dx=
Введем теперь обобщенную числим
=?(0)lim ?=-+о J=?(0)lim ?=-+о Jxdxх2 + е2xdxх2 + е2
=?(0)lim ?
=-+о J
=?(0)lim ?
=-+о J
xdx
х2 + е2
xdx
х2 + е2
z? (0) lim arctg — 4"е->+0е
+ Г — [? W—¥ (0)] dx = — z"n? (°) +
+ Vp C ~Ldx, y^K.
Отсюда получим соотношения Сохоцкого
•—-—= lim —-— = Vp — -шВ (х), (1.2.43) X + Z0 е->+0 х + ZeX
—= lim —-—=Vp — 4-шВ (х). (1.2.43')
х—Z0 «->+0 х—Zex
В. Гейзенберг ввел обобщенные функции д+(х) и 6_(х), определяемые следующими соотношениями:
8+ (х) = 18 (х) -Vp -А—1В (х) +Vp А , (1.2.44)
22lUх22пх
8_(х)=18(х) + -1- VpA = ±6(x)—L VpA. (1.2.44') 22111X22ЛX
Заметим, что
8+(х)4-8_(х)=8(х).(1.2.45)
Учитывая формулы Сохоцкого, можно также написать
8+(х) = А!—, В Лх)= 1—. (1.2.46)
+ V ’ 2л x+ZO ’ х 12я х— Z0 k '
3—3677
Можно установить также следующие результаты, которые обобщают формулу Сохоцкого:
1= Vp —l)^1 —-—(1.2.47)
(х + /0)₽ хР<Р-^\ V К
—1— _ Vp -L +(-1)"-1 —i^— в^-^ (х),
(х — iO)P xP(p—1)1
p^N.(1.2.47')
Определим обобщенную функцию lnjx| соотношением
(In | x | , <p(x)) = Vp j <p(x)ln | x | dx, '^[x)^K. (1.2.48)
Тогда можно написать
-y-ln|x| = Vp—. dxx-y-ln|x| = Vp—. dxxМожно также доказать соотношениеМожно также доказать соотношениеddxddxVp_L=_Vp_L. xVp_L=_Vp_L. x(1.2.49)(1.2.49')(1.2.49)(1.2.49')
-y-ln|x| = Vp—. dxx
-y-ln|x| = Vp—. dxx
Можно также доказать соотношение
Можно также доказать соотношение
ddx
ddx
Vp_L=_Vp_L. x
Vp_L=_Vp_L. x
(1.2.49)
(1.2.49')
(1.2.49)
(1.2.49')
L2.1.4. Ряды обобщенных функций
В электротехнике часто встречаются «зубчатые» волны— периодическая функция с периодом Т и единичной амплитудой (фиг. 1.16), определяемая соотношением
9V Т Т \
(1.2.50)
Точки х,= (2i+ 1) (7/2), ieZ, являются точками разрыва этой функции, а ее скачки равны St =— 1—1=—2. Применив формулу (1.2.31), где точки разрыва образуют счетное множество, получаем
/\И=1-2^НадУУ (1.2.51)
Аналогично прямоугольная волна с единичной амплитудой и периодом Т (фиг. 1.17), определяемая соотношением
я*я*
я*
я*
имеет точки разрыва Xi = i(T/2), i^Z, и скачки st = =2(—1)», так что
Д(х) = 2 ^ (-l)'B^-f^ .(1.2.53)
/■ОО
Разложив функцию ft(x) в ряд Фурье, получаем следующие ряды по синусам:
/1 W= - У А (- 1/ Sin АА ,(1.2.509
i-i
AW“S'<A>rsi"l2'+1)A(L2'S2,)
z5)
Поскольку эти ряды сходятся, их можно почленно дифференцировать. Таким образом, получаем
A №= —г ^(-^(L2-51')
/2 W = y 2 cos (2z +1) -^ .(1.2.53')
Отсюда следует
(-l/cos^A (1.2.54)(-l/cos^A (1.2.54)
(-l/cos^A (1.2.54)
(-l/cos^A (1.2.54)
В частности, при Т = 2л можно написать
2л ^ В (х—(2/-]-1)л)=1-)-2 ^(—1)'cos z-Y- (1-2.54') I ■—соi ■!
Аналогично
Т ^-^\x-i^=4^os^iV\^1 (1-2.55)
а также
л ^ (— 1)'8(х—/л) = 2 ^cos(2/-|-1)х. (1.2.55') i — ~Z-0
Используя таким образом разложение в ряд Фурье и дифференцирование в смысле теории обобщенных функций, можно получить различные соотношения между рядами.
В общем случае, если ряд из обобщенных функций с общим членом ft^eK.' сходится к обобщенной функции Цх^гК', т. е. если
Х№)=т(1.2.56)
Z-I
то этот ряд можно почленно дифференцировать:
2 f?\xWW(A k£N. (1.2.56') z-i
Другие свойства производной
Ранее было показано, что для функций одной переменной, принадлежащих С1 всюду, за исключением конечного числа точек, где они имеют разрывы первого рода, имеет место формула (1.2.31). Похожая формула может быть установлена и для частных производных первого порядка функций нескольких переменных, являющихся функциями класса С1 всюду, за исключением дуги кривой, где они терпят разрывы первого рода.
Пусть /(х, у) — функция класса С1 в R\ за исключением кривой Г, где она имеет разрывы первого рода (фиг. 1.18). Тогда имеет место соотношение
(Лкх, У), Skx, У^ =
= (fy(x, у\ ^{х, 1/))+^ s^ Vc, У^ах, (1.2.57)г
где sy представляет собой скачок функции f(x, у) при пересечении кривой Г в положительном направлении
~ J <?^, у)7'д(х, y^dy.
Получаем
kf-Дх, У\ Дх, УТ^^Дх, УИДх, y^dxdy-VR*
+ isb’?(xr, y^dx,.
i/=-Z
Фиг. 1.19
отсюда, если учесть, что второй интеграл вычисляется вдоль кривой Г и представляет собой криволинейный интеграл, следует формула (1.2.57).
Аналогично, если обозначить через sx скачок функции f(x, у) при пересечении кривой Г в положительном направлении оси Ох, можно написать
UAx, У), Дх, у^—к/'Дх, у\ ср(х, у))ф-
+ f SVP lx, у) dy.(1.2.58)
г
В У?3 можно также написать
к/Дх, У, Д, ф(лг, у, z)) = (7^ к,х. У, z),
?(-v. У, 2))+ [js^(x, у, z)dydz, (1.2.58')
где S — кусочно гладкая поверхность.
Рассмотрим, например, функцию (фиг. 1.19)
(1.2.59)(1.2.59),.. если — 2<у<2,
(1.2.59)
(1.2.59)
f^, у)= п
(О в остальных точках,
которая равна единице на полосе, ограниченной прямыми у ——2 и у = 2, и равна нулю в остальных точках плоскости. Используя предыдущие формулы и учитывая при
этом, что /х' = 0,
fy — ^, Sy ,9 = -2= 1, Sy\y—1—1» Sx 1у- ~%~Sx 19-2 = 0,
получим
Ux(X, y\ y(JC, y)) = (/x(x, y), tp(x, y))=0 =* /x(X, y)=0,
(1.2.60)
(Zy (-V, i/), Y(-Y, i/)) = f [<p(-V, — 2) — ?(x, 2)}dx. (1.2.60')
Аналогичные результаты можно получить и для замкнутых контуров. Пусть FiUF2 = re/?2 — замкнутая кусочно гладкая кривая (фиг. 1.20). Применив формулу
к дугам кривой Г1 и Гг, получим
(Л, =?) = (7к, ?) + J sy^dx-\-
ДВ (Г,)
+1 sy^dx= (f'y, у) + [ s^dx - [ Sy^dx,
АВ (Л,)Г1Г1
где кривая Г пройдена в прямом направлении. Можно далее написать
(/у^, У), W, У^ = (7ЛХ, У), =Р(^, У)) +
+ f (А/ (-*, У^ Vх, У^х, (1.2.61) i?
где (Af)y представляет собой скачок функции f при пересечении кривой Г и выражается следующим образом:
(д/(-у, У^н=Дхт, yT)—fkxT, ут\ (1.2.62)
Здесь индекс i соответствует внутренности области, ограниченной кривой Г, а индекс е — внешности этой области.
В частности, если функция f(x, у) равна нулю во внешности области, ограниченной кривой Г, то формула (1.2.61) принимает вид
(Л(-к, у), ?(-*, У^ = (?^х, у\ ф(х, у)) +
+ [ / Iх, У) ? (х, У) dx.(1.2.63)
Г
Аналогично можно написать
f/x(X, У\ ф(Х, t/)) = (/;(x, у), ф(х, 1/))4-
+ Г(Д/(х, i/))x?(x, y^dy, (1.2.6V) г
(/х(х, у\ ф(х, 1/)) = (7.',.(х, у), ф(х, у))4-
+ Г/(Х, y)?(-Y, y^dy. (1.2.63') Г
Можно установить аналогичные формулы и для функций нескольких переменных. Пусть, например, функция f (х, у, z) отлична от нуля (или равна нулю) во внешности области D, ограниченной замкнутой кусочно гладкой поверхностью S. Тогда имеют место следующие соотношения:
(Л(лг, У, г\ ^ У, ^ = О'.Дх, у, z), <р(лг, у, г)) +
+ JJ (Д/(х, у, г))#(х, у, z^dydz, (1.2.64)
(Л (л:, у, z\ <p(x, у, z^ = ^^x, у, z\ ^(х, у, z)) +
+ JJ/^> у’ ~МХ. У, ^dydz, (1.2.64') s
а также соотношения, соответствующие направлениям, определяемым осями Оу и Oz.
(о, о)
С '" В (а, а)
ООА(а, о)
О
О
Фиг. 1.21.
Рассмотрим, например, квадрат ОАВС со стороной а (фиг. 1.21) и функцию Цх, у), равную нулю вне квадрата и единице внутри квадрата. Учитывая, что fx'=0, fV=^» а /(л, У) = 1 на сторонах квадрата, можно написать
(Л(-*. У), ?(*, y)) = .f?(-v, y)dy = f?(x, y^dy-V
OA
+ J ?(•«, У) dy*V f ?(•«, y^dy^- J ^^x, y)dy =
ABBCCO
аО
= J?(«, #W + J?(0, У)^у. Оа
Отсюда следует
у), ^(х, </)) = J [y(tz, «/)-<? (О, y^\dy (1.2.65) и
и аналогично
(ЛСг, У), ?(^, y))=U?(-v, °)-?(^, a)Idx. (1.2.65')
Отметим, что скачки, фигурирующие в формулах, соответствующих незамкнутым кривым и поверхностям, вычислены в положительном направлении соответствующей оси; если это направление изменено, то скачок следует взять с противоположным знаком. В случае замкнутых кривых и поверхностей скачки вычислены по направлению к внутренности области, ограниченной соответствующими кривыми или поверхностями.
Формулы разложения некоторых обобщенных функций
Общие результаты
Для интерпретации различных физических явлений часто полезно представлять одни обобщенные функции другими, более простыми; для обобщенной функции Дирака имеют место такие формулы разложения.
Теорема 1.2.1. Рассмотрим на Rn функции fi(xh х2, ... ..., хп)еС°° (i=1, 2, ..., и). Если эти функции имеют единственный корень х°= (xi°, Х2°, ■••, ^п°), так что функциональный определитель отличен от нуля;
D(x°) =D(x°) =дЦу, f2,..., fn)d(Xb х2 х^дЦу, f2,..., fn)d(Xb х2 х^(1.2.66)(1.2.66)
D(x°) =
D(x°) =
дЦу, f2,..., fn)
d(Xb х2 х^
дЦу, f2,..., fn)
d(Xb х2 х^
(1.2.66)
(1.2.66)
то имеет место соотношение
6 (А /2!6(Х-Х°) =
— | D ^0^ | 8(Xj —Xi, X2— X2, ..., x„ хл). (1.2.67) Действительно, можно написать
J 8(/i, Л,..А? (А /2AWA- .^Л=
Rn
= Ф (0, 0,..., 0), где
dfidf2...dfn— | D (x) | dxxdx2...dxn.
Следовательно,
j 8 (A /2,-, fuMfi, A-, /л)|О(х)|//х^х2.. ,dxn= Rn
=y (0, 0,..., 0).
Заметим, что функция
ф(хь х2..., х„) = I D(x) | v(xb х2)..., х„) является основной; поэтому
J 8 (/1, А • • ■, АФ (*ь x2v.., х„) dx^dx2 ...dxn=
Rn
= Y(0( 0,..., 0).
Но
<р (0, 0,..., 0) =iФ (X?, Х2,..., Хл),
так что можно написать .
J 8(/ь /2 /л)Ф(-^1,^2, - • x№)dxxdx2. ,.dxn =
Rn
1,/00О,
=Ф (Xi, Х2,. . ., Хл),
|D(x0)|л
откуда следует соотношение (1.2.67).
Это соотношение может быть обобщено на случай, когда функции Mxi. х2, .... *n) (i=l, 2, ..., п) имеют конечное или бесконечное число простых корней ХЛ Таким образом, можно написать
Ч/ьК-.., Л)=УЧ^-Д|D(V)|
х, х1^.■(1.2.68)
В частности, получаем
Ч/Н)=У3(х-х7), х, x^R. (1.2.69) I /'(V)|
Этот результат можно получить и путем применения правила дифференцирования сложной обобщенной функции.
L2.2.2. Применения
Пусть 9(х)—обобщенная функция Хевисайда. Определим следующую обобщенную функцию (фиг. 1.22):
в(х2-а2)^
-а 0 ах
Фиг. 1.22.
„(0 при х2 —а2<0,
6 х2-а2) = /
(1 при х2-а2>0.
0 при | л | <а, а>0 1 при | х | >а,
Эту обобщенную функцию можно выразить также следующим образом:
9 (х2 —а2)= 1 —6 (х-|-а)4-9 (х —а), а>0. (1.2.70')
Поскольку функция и^ = х2—а2 бесконечно дифференцируема, можно применить формулу (1.2.5) дифференцирования сложной обобщенной функции. В результате получим ■
2х8(х2 —а2) = 8(х —а) —8(х-|-а), а)>0. (1.2.71)
Функция и(х) = х не равна нулю в точках х = —а и х=а, поэтому соотношение (1.2.71) принимает следующий вид:
8(х2 —а2)=^-[6(х-а) —8(х+а)], а>0. (1.2.71')
Используя формулу (1.1.72), можно написать
8(х2—a2j = -^-[8(x-a) + 8(x + a)], а>0. (1.2.71")
Применив формулу (1.2.69), получим такой же результат.
Заметим, что формулу (1.2.69) нельзя применить к 6(х2), поскольку уравнение х2=0 имеет двойной корень. Поэтому обобщенная функция 6(х2) пока что лишена смысла. Можно придать смысл этой обобщенной функции путем вычисления
lim 8 (х2- а2).
а-»+0
При ф(x)e^ можно написать
(8(х2 — а2), <?(х)) = ^-[ч>(а)4-ф(-а)], а>0.
Но
ф(а) = ф(0) + аф'(^), 0<^<а, ?( — а) = <р(0)— а^'^\ —а<^<0. Следовательно,
(6(х2 —а2), ф(х)) = —ф(0)4—^-[ф'^)—ф'СУ], а>0.
Переходя к пределу, получаем
11m (8 (х2—a2), <p(x)) = lim — у(0).а->+0а->+0 а
Этот предел не существует при <р(0)=#0. Ф (х) еК и ф (0) = 0, то
lim8(x2 — а2) = 0.cl^+О
(1.2.72)(1.2.72)Но если(1.2.72')Но если(1.2.72')Последнее соотношение придает смысл обобщенной функции 5(х2).
(1.2.72)
(1.2.72)
Но если
(1.2.72')
Но если
(1.2.72')
Рассмотрим теперь обобщенную функцию
6 (х2-|-а2)= 1 при x^R, афО. (1.2.73)
хВ (х2 + а2) = 0.хВ (х2 + а2) = 0.(1.2.74)(1.2.74)Заметим, что функция w(х) = х2+а2еС°°, поэтому можно применить формулу (1.2.5) сложного дифференцирования. В результате будем иметь
хВ (х2 + а2) = 0.
хВ (х2 + а2) = 0.
(1.2.74)
(1.2.74)
Применив формулу (1.2.69) к обобщенным функциям б (sin х) и 6 (cos х), также получим
8(sinx) = ^ 8(х — /гл),8(sinx) = ^ 8(х — /гл),(1.2.75)(1.2.75)
8(sinx) = ^ 8(х — /гл),
8(sinx) = ^ 8(х — /гл),
(1.2.75)
(1.2.75)
8(cosx) = 2 8(х-(2«+!)у)- (1.2.75')
. В пространстве R3 можно написать, например, соотно шение
8 (sin х, sin у, sin z) =
= 2 2 2 8(х —тл, у —пл, х—рлу (1.2.75") тп = — 60 п = — ОО р = — оо
Найдем теперь разложение обобщенной функции б(х2—а2, у). В этом случае применим формулу (1.2.67). Поскольку функции fi(x, у)=х2—а2 и /"г(х, у)=у имеют простые корни (а, 0) и (—а, 0), а функциональный опре-
делитель D (х, у) =2х, то/
8(х2 —а2, у)=-^— [8(х—а, </)+8(х + а,у)], а>0.
(1.2.76)
В случае А (х, у)=х2—a2, f2(x, у)=у2—№ получаем четыре пары простых корней: (а, 6), (—а, Ь), (—а, —6) и (а, —6), а функциональный определитель D(x, у) = = 4ху. Из формулы (1.2.67) следует
6(х2 —а2, у2 — Ь^=-^— Г6(х —а, у — 6)4-4аЪ
-|-8(х-|-а, у — 6)-|-В(x-j-а, у-|-6)-|-8(х— а, y-j-6)], а, 6>0.(1.2.77)
Аналогично получаем
8(sinx, у) = ^ 8(х —/л, у).(1.2.78)
I ■■—со
Умножая обе части соотношения (1.2.76) на х, получаем
х8(х2—а2, У) = -^-[8(х —а, у) + В(х + «, у)]=
= yt8(^-«, t/)-8(x+<z, у)], а>0.
Отсюда следует соотношение
2x8 (х2 —а2, у) = 8(х — а, у) — В (х-|-а, у), а>0, (1.2.79) которое в более общем виде выглядит следующим образом:
2хВ(х2 —а2, у— 6) = В(х—а, у — 6) — В(х-|-а, у — 6),
«>0,(1.2.79')
4ху6(х2—а2, у2 — 62) = В (х—а, у — Ь) — В(х+а, у — 6) +
+ 8(хЦ-а:, у + 6)—8(х—a, y-rb), а, 6>0. (1.2.79")
Аналогично можно-написать
8((х — а)(х —£)) =i[8 (х — а)+ 8 (х — 6)], афЬ, .
I Ь — а | ■(1.2.80)
а также
8 (а (х)(х - а)) = -8 (х - а) =8 (х - а\
| а (а) |I а (х) |
(1.2.81)
где а(х) —функция класса С°°, не обращающаяся в нуль. Например,
й(х3-1) = у 8 (х—1) = 8 (3 (х—1)) < 8 (х—1), (1.2.82)
или в общем случае
8 (хл—1) = —8 (х—1) = 8 (п (х —1))<8(х —1), \<n^N.
П(1.2.82')
Обобщенные функции с компактным носителем. Периодические обобщенные функции
Обилие результаты
Приведем две особенно полезные в применениях теоремы.
Теорема 1.2.2. Пусть g(x) — локально интегрируемая функция, a a, (z=l, 2, ..., п)—постоянные величины. Равенство
п
g(x) + 2uzB(x-xz)=0, х, x^R, (1.2.83)
имеет место тогда и только тогда, когда выполняются соотношения
(1.2.83')(1.2.83')g^=o,
(1.2.83')
(1.2.83')
а, = 0 (z=l, 2,.. ., п).(1.2.83")
Действительно, пусть <р(х)е/((Р) — основная функция, носитель которой не содержит точки xt (i=l, 2, ... .... м); соотношение (1.2.83) влечет равенство
U, ?) = о,
откуда следует, что функция g(x^ равна нулю почти всюду, исключая, быть может, лишь точки xL.
Пусть теперь ф(х) —основная функция, носитель которой содержит только точку xt. Тогда
azy (xz)=0.
Следовательно, a, = 0. Поступая таким образом для 1=1, 2, ..., п, получаем условия (1.2.83"); теперь из формулы (1.2.83) с учетом (1.2.83") следует условие (1.2.83'). Достаточность условий очевидна. Таким образом, теорема доказана.
Таким же путем можно доказать следующую теорему.
Теорема 1.2.3. Пусть g(x)— непрерывная функция, а ар (i=l, 2, ..., п; j = 0, 1, 2, ..., /п) — постоянные величины. Тогда равенство m п
(1.2.84)
7-0/=1 влечет соотношения
gW=0,(1.2.84')
a/=0 (z=l,2,..., п\ j = 0, 1, 2,...m). (1.2.84")
Эта теорема представляет собой обобщение предыдущей теоремы.
3.2. Структура обобщенных функций с компактным носителем
Теорема 1.2.4. Для того чтобы обобщенная функция одной переменной f(x) удовлетворяла уравнению
Р(х)/(х) = 0,(1.2.85)
где Р(х)— многочлен, необходимо и достаточно, чтобы f(x) имела вид
sг тк
/ (x) = 2rzB lx-х^ + 22 Д^"'’^-^), (1.2.86) /=1»-1;=1
где Xi (i= 1, 2, .... s) —простые корни, хк (k= 1, 2, ...,г) — кратные корни многочлена Р(х) кратности mh, с, и с,к— постоянные величины, а 6 — обобщенная функция Дирака.
Эта теорема может быть связана с результатами разд. 1.2.1.3, относящимися к произведению многочлена на производные произвольного порядка обобщенной функции Дирака.
Теорема 1.2.5. Пусть носитель обобщенной функции f(x) образован точками Xi (1= 1, 2п).Тогда f(x) име
ет вид
л mj
/^ = ^^^1\х-х^(1.2.87)
i -1 /-о
где ср (1=0, 1, ..., mp j=l, 2, ..., п) —постоянные величины, а 6 — обобщенная функция Дирака.
Действительно, для любой основной функции ф(х), равной нулю вместе со своими производными до порядка т{ включительно в точке х^ (z=l, 2, ..., /г), можно написать
(Л Ф) = о.
Пусть теперь <р(х)—произвольная основная функция. Тогда
Ф (X) = (X - Х^' (X-x2)m=... (х — xnf^ (х) =Р (х) у (х).
Следовательно,
(/, Ф) = (^/, ?) = о.
Таким образом, получено соотношение вида (1.2.85). Далее из предыдущей теоремы следует соотношение (1.2.87), поэтому сформулированная выше теорема доказана.
Итак, две сформулированные теоремы эквивалентны.
Отметим, что в теореме 1.2.4 были особо выделены простые корни ввиду важной роли, которую они играют. Очевидно, однако, что вклад простых корней можно было учесть в выражении для кратных корней, рассматривая корни с единичной кратностью.
Периодические обобщенные функции
В механике, как и в других естественных науках, встречаются периодические величины, имеющие большое значение как с теоретической, так и с практической точки зрения. Разложения в рлд Фурье являются важными представлениями таких величин.
Иногда, однако, появляются трудности, связанные с тем, что ряд Фурье, соответствующий некоторой функции, не всегда сходится к этой функции, например в случае периодических сосредоточенных величин. Единая теория, позволяющая обойти эти трудности, получается при разложении в ряд Фурье периодических величин в пространстве обобщенных функций. В этом пространстве любой ряд Фурье, соответствующий периодической обобщенной функции, сходится к этой обобщенной функции. Таким образом, задача сходимости не возникает и можно представлять рядами Фурье как величины, выраженные посредством локально интегрируемых функций, так и величины, выраженные периодическими обобщенными функциями.
Для выявления свойств рядов Фурье в пространстве обобщенных функций ниже будет изучена зависимость между функциями, определенными на окружности, и соответствующими периодическими функциями, определенными на прямой.
" Пусть Г — окружность длины Т с центром в начале координат О, и пусть f(Af), Л4еГ,— векторная функция, определенная на Г. Поставим в соответствие этой функции векторную периодическую функцию f(x) с периодом Т, определенную на оси Ох\ здесь волнистая черта обозначает периодичность функции. Основной функции ф(х)е/((/?) поставим в соответствие следующую периодическую функцию с периодом Т:
Ф(х) = 2 ?(-* + ^), n^z- (1.2.88)
Очевидно, что эта функция также является основной, так что <5(x(eK(R(.
Между функцией f (s), определенной на Г, и периодической функцией f(x), определенной на R, имеет место соотношение
т
t(s^^ds= [ tlx)^lx)dx= J f (x) Ф (x) dx, (1.2.89) R0
где Ф (s) — функция класса C°°, Ф (s) eK(Г).
Очевидно, что при x, se[0, T]
f(s) = f(x), Ф($) = Ф(х).(1.2.90)
Определение 1.1.14. Обобщенная функция F(x)^K'(R) называется периодической с периодом Т, если для любой основной функции <p(x)eK.(R') выполняется соотношение
(Fix-Т\ ?(х)) = (Д(х), ?(х)).(1.2.91)
Из этого определения и соотношения (1.2.89) следует, что связь между обобщенной функцией f(s), определенной на Г, и периодической обобщенной функцией f (х), определенной на R, выражается соотношением
№ y(x)) = (/(s), Ф« (1.2.893
являющимся обобщением соотношения (1.2.89).
Пусть 6(5)еД'(Г)—обобщенная функция Дирака, сосредоточенная в начале координат, которая зависит от дуги s окружности Г. Поставим в соответствие этой обобщенной функции периодическую обобщенную функцию 6(х), определенную на R. Таким образом, можно написать соотношение
(8(s), Ф($)) = (8(х), <р(х)) = Ф(0).(1.2.92)
Заметим, что
Ф (0) = Ф(0),
поэтому в соответствии с формулой (1.2.88) можно написать
Ф(0) = 2 VW(1.2.93)
Следовательно,
(8(х), ?(х)) = Ф(О) = 2 fW^f 2 8(л-д7л tw), П=*00\Л“00/
n^Z.(1.2.92')
Таким образом, получаем
8(х) = 2 Чх-пТ\ n^Z. (1.2.94)
Далее с учетом соотношения (1.2.75) можно написать
„ . . X/Т* \2л _ „
8(sina)x)=X —Sx — n— , <о=, n^Z.
2л \2 /Г *
««•—ОО
(1.2.95)
Если ввести теперь обозначение Т'=27’, то получим
8^sinyx)=.^ -Ls^-kF), п £ Z. (1.2.95')
Таким образом, сложная обобщенная функция 6(sin их) является периодической обобщенной функцией с периодом 7, для которой
8(x)=u>8(sinюх), u) = y-.(1.2.96)
Заметим также, что для обобщенной функции 0(х) имеет место соотношение
®W= 2n^z- (1.2.97)
Следовательно, обобщенная функция 6(х) удовлетворяет равенству
6'(л) = 8(х).(1.2.98)
Таким образом, 6(х) соответствует обобщенной функции Хевисайда. "
Дифференцируя соотношение (1.2.94), получаем выражение для обобщенной функции 6'(х):
8'(х) = ^ 8'(x-/zT), n^Z. (1.2.94')
Пусть теперь / (х) — периодическая обобщенная функция с периодом Т, определенная на Д. Коэффициенты соответствующего ряда Фурье определяются соотношением
^(7)=-^ (7 to, е^П, —^, «67 (1.2.99) а ряд Фурье имеет вид
/М = 2 сЖ\n^Z. (1.2.100)
Аналогично можно изучить периодические обобщенные функции f ^^КуНиУ, в частности, при п=2 и л=3 можно рассмотреть векторные обобщенные функции, широко используемые в механике.
1.2.4. Дельтообразные последовательности
Понятие дельтообразной последовательности
Во многих задачах теоретического или прикладного характера появляются последовательности локально интегрируемых функций, которые сходятся в пространстве обобщенных функций к обобщенной функции Дирака. Такие последовательности локально интегрируемых функций называются дельтообразными последовательностями.
Определение 1.1.15. Если /й(хь х2, ..., хп) является последовательностью локально интегрируемых функций, такой, что
НшД^, х2,..., хл)=8(хь х2,..., х„\ (1.2.101)
то /к(хь х2, ..., хп), k^N0, называется дельтообразной последовательностью.
Заметим, что соотношение (1.2.101), определяющее такую последовательность, эквивалентно следующему соотношению:
11™ ^^ЬХ^' T^b X2v, Хп^ =
= №, -^2,..-, х„\ ^(Х^ Х2,..., Х„)) =
=<р(0, 0,..., 0),(1.2.101')
где ф(хь х2, ..., Хп^К.
Можно сказать, что любой член последовательности Мх) является некоторым приближением обобщенной функции Дирака. Это обстоятельство чрезвычайно важно для практических целей. Действительно, предположим, что нужно получить некоторые числовые значения в задаче, в которой результаты выражаются через обобщенные функции. Тогда для выполнения вычислений можно заменить регулярную обобщенную функцию обычной функцией, порождающей данную обобщенную функцию, а сингулярную обобщенную функцию — некоторым членом соответствующей дельтообразной последовательности. Полученные таким образом формулы можно запрограммировать для вычислений на ЭВМ и получить нужное приближение в зависимости от выбранного члена дельтообразной последовательности.
Важной задачей является отыскание критериев, позволяющих устанавливать, является ли данная последовательность локально интегрируемых функций дельтообразной.
Теорема 1.2.6. Пусть последовательность локально интегрируемых функций ЬЛХ^ ^2, ••■, Хп), определенных на Rn, удовлетворяет условиям
а) I И-J/.k, ^2) * * 1 j XJ|
2
6)>i"jrjЛС^ь х2)..x^dxxdx^...
6->”2
(О если
*" если О^Й,
У
Фиг. 1.23.
где М не зависит от к и 51 и Q — некоторый параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям и одна из вершин которого Л0^0, хг°, .... хп°) такова, что Хх°<0, х2°<0, .... хп°<0. Тогда эта последовательность является дельтообразной, т. е. выполняется соотношение (1.2.101).
Для доказательства ограничимся последовательностью Д(х, у) локально интегрируемых функций. Указанный параллелепипед сводится в этом случае к прямоугольнику, для которого х°<0,у°<0 (фиг. 1.23). Введем функцию
Ft (-v, ^)= Ц А С*, 0) dxdy= С С Л (х, у) dxdy. х«у° 'я
Ясно, что
У\ k^N0.(1.2.102')
дхоу
Если х>0 и у>0, то Q содержит начало координат и, следовательно, согласно условию б) limFft(x, у) = 1. Если же координаты точки Л(х, у) не являются одновременно положительными, то Q не содержит начала координат и в силу того же условия НтЕл(х, у)=0. Поскольку Fk(x, у) являются ограниченными функциями, получаем
limFj^, у) = 6(х, у),(1.2.103)
где 0(х, у) —функция Хевисайда в R2. В силу соотношения (1.2.102') можно написать
Нт /А(х у) = Пт ^ = —52 Г Нт Fk (х, у)] =
*-►»к-к» дхду дхду [й^«j
дхду
Следовательно,
ИшД(х,у)=8(х, у),(1.2.103')
А-#- ОО г. е. теорема доказана.
Функции, образующие дельтообразные последовательности, называют также импульсными функциями.
Аналогично доказывается и следующая теорема.
Теорема 1.2.7. Пусть fk(xlt х2, .... х„) —дельтообразная, последовательность, а ф(хь х2, ..., х„)—функция класса С°°, такая, что ф(0, 0 0)=0. Тогда для любого парал
лелепипеда Qc^Rn, грани которого параллельны координатным плоскостям и одна из вершин которого Л(Х1°, х2°, ..., х„°) такова, что Xi°<0, х2°<0, ..., хп°<0, имеет место соотношение
lim f [ ... ^(хь х2,..., х„)Д(хь х2,..., х„)Х
X dxydx^.. .dxn^0.(1.2.104)
Для доказательства ограничимся дельтообразной последовательностью в Д2. Пусть Д(х, у)—рассматриваемая последовательность. Введем обозначение
у
Fk кх, у) = $ ( ф (х, у) /6 (х, у) dxdy.
х° у°
Тогда
уИА^ уу дхоу
Переходя к пределу в смысле теории обобщенных функций, получаем
lim —-^-l_^L— _^_Нт р(х, y) = *im ( Сф(х, у) /*(х дхду дхдук—’
X» у»
У) = ^(х, у^Цх, у)=^(Р, °^(х, У^^-
Следовательно,
lim F^ (х, у)=h, (х)+h2 (у),
где hi (1= 1,2) — функции одной переменной.
Поскольку это соотношение имеет место для любой дельтообразной последовательности Д(х, у), то можно использовать такую произвольно выбранную последовательность для определения функций hi. В этом случае выполняется соотношение (1.2.103). Следовательно, h-t = 0, поэтому соотношение (1.2.104) имеет место и теорема, таким образом, доказана.
1.2.4.2. Примеры
Дельтообразные последовательности были использованы в интегралах Фурье, теории распространения тепла, волновой теории света, в представлении сосредоточенных нагрузок и т. д. Так, при формулировке принципа Гюйгенса в волновой теории света Кирхгоф использовал функции (фиг. 1.24)
(1.2.106)(1.2.106)сходящиеся в обобщенном смысле к 6(х): lim/„(x)=8(x).
(1.2.106)
(1.2.106)
При представлении точечных источников тепла Кельвин использовал эту функцию в виде
=е"47Г, &>0, />0. (1.2.106')
2 V^kt‘
Как известно, в теории интеграла Фурье используется функция Дирихле (фиг. 1.25)
/0<п<со,(1.2.107)
лх
для которой также можно написать предельное соотношение вида (1.2.106). В самом деле, применим теорему 1.2.7. Тогда
lim ф(х)-^-^о'х=0,(1.2.108)
а
где ф(х)—функция класса С”, для которой ф(0)=0. В частности, при ф(х) =х имеем
Um J sin nxdx=0.(1.2.108')
Д-#-оо
Интегрируя по частям, переходя к пределу и учитывая соотношение (1.2.108), получаем
ь
11m Гф(х)cosnxdx—0.(1.2.109)
Л-*оо а
В частности, при ф(х) =х ь
lim С х cos nxdx—Q.(1.2.109')
а
Отметим и функцию Стилтьеса (фиг. 1.26)
/„^=--(1.2.110)
л епх + g—пх:л ch пх
которая также является импульсной функцией. Интегрируя по х и переходя к пределу, получаем
Нт—arctge" = 6 (х).(1.2.111)
Л-^оо Л
Функция Коши (фиг. 1.27)
fnW = -^,е„>0, n^NQ, (1.2.112)
л *2 +
где Е« — сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел, также является импульсной функцией.
Дифференцируя по х, получаем (фиг. 1.28)
ПтПт2 ^пХЛ (х2 + $22 ^пХЛ (х2 + $2= 8'(х),(1.2.113)= 8'(х),(1.2.113)
Пт
Пт
2 ^пХ
Л (х2 + $2
2 ^пХ
Л (х2 + $2
= 8'(х),(1.2.113)
= 8'(х),(1.2.113)
т. е. последовательность fn'(*) сходится к производной дельта-функции.
Аналогично функции (фиг. 1.29)
/„№ = -n^Ntil (1.2.114) Л (Х2 + е2)2
где последовательность положительных чисел е« сходит-
ся к нулю, образуют дельтообразную последовательность.
Действительно,
ti2 + E2ti2 + E2ПосколькуЬ^пПосколькуЬ^па^п«2 + е2а^п«2 + е2arctg —Snarctg —Sn
ti2 + E2
ti2 + E2
Поскольку
Ь^п
Поскольку
Ь^п
а^п
«2 + е2
а^п
«2 + е2
arctg —
Sn
arctg —
Sn
то справедливо соотношение
;ь;ьаа
;ь
;ь
а
а
Таким образом, условие а) теоремы 1.2.6 выполнено; условие б) нетрудно проверить, если учесть при этом приведенные выше соотношения.
Рассмотрим теперь следующую последовательность функций (фиг. 1.30):
Фиг. 1.30.Фиг. 1.30.о1о10при0прип (1 + пх) ПРИп (1 + пх) ПРИп (1 — пх^ прип (1 — пх^ приприпри(1.2.115)(1.2.115)
Фиг. 1.30.
Фиг. 1.30.
о
1
о
1
0при
0при
п (1 + пх) ПРИ
п (1 + пх) ПРИ
п (1 — пх^ при
п (1 — пх^ при
при
при
(1.2.115)
(1.2.115)
Заметим, что площадь образовавшегося треугольника равна единице при любом п. Следовательно,
(1.2.115')
4—3677
т. е. условие а) теоремы 1.2.2 выполнено; далее
*(О при
lim \/„(x)dx=i’(1.2.115")
_1[1 при х>0,
т. е. выполнено и условие б) теоремы, и, следовательно, можно написать соотношение вида (1.2.106).
Фиг. 1.31а.
Рассмотрим теперь последовательность функций (фиг. 1.31а)
(
— при х^\ — а, а], «>0, 2а(1.2.116)
О в остальных точках.
Используя теорему 1.2.6, можно доказать, что
lim Ло(х) = 8(х).(1.2.116')
а-*+0
К этому же результату можно прийти и другим путем. Действительно, при ф(х)еЛ^
(AOW, ?W)= J ha^x^^dx = -^- ^^x)dx.
Применив теорему о среднем значении, получим (М-^), ?(*))=<? ф, -а<^<а, откуда при а^-+0 будем иметь
Иш(й„(х), <р(^)) = Нт<р ($)=<р(0) = (8 (х), <?(х)). а-+ 0а-»+0
Таким образом, соотношение (1.2.116') доказано.
Фиг. 1.316.Фиг. 1.316.
Фиг. 1.316.
Фиг. 1.316.
Рассмотрим также функцию (фиг. 1.316)
/п^ =/п^ =(1.2.117)(1.2.117)п при о <; х <с —,п
/п^ =
/п^ =
(1.2.117)
(1.2.117)
О в остальных точках.
Заметим, что
X
fn ^dx=n j*о
Следовательно, условие а) выполнено, поскольку интеграл ограничен. Что касается условия б), можно, очевид- 4*
но, написать
hm /л(х)йГх= н ’ ив остальных точках.
Получено, таким образом, соотношение (1.2.101). Рассмотрим интеграл
^«W= J^W fn^dx,^«W= J^W fn^dx,(1.2.117')(1.2.117')где ф (х) — функция класса С00, такая, что ф (0) = 0, a fn — рассмотренная выше дельтообразная последовательность. Применив теорему о среднем значении, получаемгде ф (х) — функция класса С00, такая, что ф (0) = 0, a fn — рассмотренная выше дельтообразная последовательность. Применив теорему о среднем значении, получаемFn^ — n Г<Хх)^х —^(Е), ОСJ\ п jоОтсюда следуетlilnFn (х)=ф(0)=0. fl-* обFn^ — n Г<Хх)^х —^(Е), ОСJ\ п jоОтсюда следуетlilnFn (х)=ф(0)=0. fl-* об(1.2.117")(1.2.117")Таким образом, последовательность (1.2.117) является последовательностью импульсных функций.Аналогично можно построить дельтообразные последовательности функций нескольких переменных, имеющих такой же вид. Например, последовательность функцийТаким образом, последовательность (1.2.117) является последовательностью импульсных функций.Аналогично можно построить дельтообразные последовательности функций нескольких переменных, имеющих такой же вид. Например, последовательность функцийМС у) =МС у) =—V при (х, у) С [—а, а]Х[—а, а], . О в остальных точках—V при (х, у) С [—а, а]Х[—а, а], . О в остальных точках(1.2.118)(1.2.118)удовлетворяет соотношениюHmA„(x, у)=8(х, у) .(1.2.118')а-»+0удовлетворяет соотношениюHmA„(x, у)=8(х, у) .(1.2.118')а-»+0Таким же образом последовательностьТаким же образом последовательностьМх, у, z) =Мх, у, z) =’ -i— при (х, у, 2^\—а, а]х[ —«, «]хX [—а, а].’ -i— при (х, у, 2^\—а, а]х[ —«, «]хX [—а, а].0 в остальных точках0 в остальных точках(1.2.119)(1.2.119)
^«W= J^W fn^dx,
^«W= J^W fn^dx,
(1.2.117')
(1.2.117')
где ф (х) — функция класса С00, такая, что ф (0) = 0, a fn — рассмотренная выше дельтообразная последовательность. Применив теорему о среднем значении, получаем
где ф (х) — функция класса С00, такая, что ф (0) = 0, a fn — рассмотренная выше дельтообразная последовательность. Применив теорему о среднем значении, получаем
Fn^ — n Г<Хх)^х —^(Е), ОС
J\ п j
о
Отсюда следует
lilnFn (х)=ф(0)=0. fl-* об
Fn^ — n Г<Хх)^х —^(Е), ОС
J\ п j
о
Отсюда следует
lilnFn (х)=ф(0)=0. fl-* об
(1.2.117")
(1.2.117")
Таким образом, последовательность (1.2.117) является последовательностью импульсных функций.
Аналогично можно построить дельтообразные последовательности функций нескольких переменных, имеющих такой же вид. Например, последовательность функций
Таким образом, последовательность (1.2.117) является последовательностью импульсных функций.
Аналогично можно построить дельтообразные последовательности функций нескольких переменных, имеющих такой же вид. Например, последовательность функций
МС у) =
МС у) =
—V при (х, у) С [—а, а]Х[—а, а], . О в остальных точках
—V при (х, у) С [—а, а]Х[—а, а], . О в остальных точках
(1.2.118)
(1.2.118)
удовлетворяет соотношению
HmA„(x, у)=8(х, у) .(1.2.118')
а-»+0
удовлетворяет соотношению
HmA„(x, у)=8(х, у) .(1.2.118')
а-»+0
Таким же образом последовательность
Таким же образом последовательность
Мх, у, z) =
Мх, у, z) =
’ -i— при (х, у, 2^\—а, а]х[ —«, «]х
X [—а, а].
’ -i— при (х, у, 2^\—а, а]х[ —«, «]х
X [—а, а].
0 в остальных точках
0 в остальных точках
(1.2.119)
(1.2.119)
сходится к дельта-функции:
ИшАдГл:, у, z) = 8(x, у, z\ (1.2.119') а->+0
Рассмотрим теперь следующую последовательность функций (фиг. 1.32):
Фиг. 1.32.Фиг. 1.32.
Фиг. 1.32.
Фиг. 1.32.
Заметим, чтоЗаметим, чтоR2R2
Заметим, что
Заметим, что
R2
R2
-^—[а — г) при 0<г<а, а>0, г=ух24-у2> ла3 .
0 в остальных точках.
(1.2.120)
2е а
^^(а~г}г‘м-
о о
Следовательно, выполнено первое условие теоремы 1.2.2. Далее для любой прямоугольной области Q, удовлетво-
ряющей условиям теоремы, имеет место соотношение
lim f f /а(х, y)dxdy
Jl, если 0$2, (О, если 0 £2.
Таким образом,
lim/a(x, y) = 8(x, у\
(1.2.120')
Можно также показать, что функции
’ 2л (х2 _|_ ,у2 _|_ Е^р12 ’ гл>0, «€VV0 (/> = 3, 4, 5,...),
(1.2.121)
где последовательность положительных чисел еп сходится к нулю, являются импульсными.
Например, при р=3 получаем
(1.2.121")
Следовательно,
Ит/„(х, у) = Цх, у\
Дифференцируя формулу (1.2.121") по х и у, получаем следующие соотношения:
У) = Ит/-/„(х, у)= дхп-»дх
л^»| 2л (д-г 4. ;t/2 4. е^’Л
Ж У) = Ит ^-/„(х, у^=
^Ит Г5.
п-*®2л (х2 -|- 1/2 _|_ Е^)5/»
(1.2.122)
Рассмотрим также функцию (фиг. 1.33)
^Х’ ^^-j^-J 6(х—^^ =— С
Оприх < —с,
(1.2.123)(1.2.123)1 /1 I X \
(1.2.123)
(1.2.123)
Мнпри—
прих > с.
Фиг. 1.33.Фиг. 1.33.
Фиг. 1.33.
Фиг. 1.33.
где 0 — функция Хевисайда. Справедливо соотношение
Итф(х, с)=6(х). с-*+0Итф(х, с)=6(х). с-*+0(1.2.123')(1.2.123')
Итф(х, с)=6(х). с-*+0
Итф(х, с)=6(х). с-*+0
(1.2.123')
(1.2.123')
Таким образом, последовательность функций ф(х, с) сходится к функции Хевисайда 0(х).
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. СВЕРТКА
Прямое произведение
Обилие результаты
Прямое, или тензорное, умножение двух обобщенных функций — операция, обобщающая обычное умножение двух функций. Пусть Rn и Rm— два евклидовых пространства размерности п и m соответственно, а *=(*1, Х2 Хп)еДп и У=(У1, у2, .... Ут)^РтТОЧКИ этих пространств. Декартово произведение этих пространств R«xRm = Ru+m представляет собой новое евклидово пространство размерности п + пг. Точками этого пространства являются пары (х, у) = (хь х^, ..., xn, ух, У% ..., Ут), причем координаты записываются в указанном порядке.
Пусть теперь / (х) и g(y) —две числовые функции, x^Rn, y^Rm. По определению прямое произведение функций f(x) и g^y)—это определенная на Дп+т функция
y)=f{x)xg(y)=f(x)g(y).(1.3.1)
Таким образом, прямое умножение двух функций совпадает с обычным умножением и является коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным по отношению к сложению определенных на одном пространстве функций.
Если, в частности, функции f(x) и g^y) локально интегрируемы на R" и Rm соответственно, то их прямое произведение А(х, у) является локально интегрируемой на Rn+m функцией.
Чтобы определить прямое произведение двух обобщенных функций, обобщающее прямое произведение двух функций, рассмотрим сначала на Rn и Rm соответственно две локально интегрируемые функции f(x) и g^y). Пусть ф(х, у) eK(,Rn+m) —основная функция, определенная на Rn*m. в силу теоремы Фубини *> о перемене порядка интегрирования можно записать
См., например, [46, стр. 317]. — Прим. ред.
(/MX^to ?(х, у))= J / (х) g (у) <Р (х, y^dxdy=
Rn+m
= J f^dx J g^s^ y^dy^/tA Ш V(t y^V RIRm
Таким образом, прямое произведение двух обобщенных функций f(x)^R'(Rn) и g(y)^K' (7?m) определяется соотношением
(/W Xg(A ?(^, У^=
=Ш, (g(y\ <р(х, у))), т(х, у^К^п+тУ (1.3.2)
Можно показать, что функционал, порожденный прямым произведением, является линейным и непрерывным и, следовательно, представляет собой обобщенную функцию, определенную на основном пространстве /С(7?п+т).
Заметим, что прямое произведение двух регулярных обобщенных функций является регулярной обобщенной функцией, соответствующей функции f(x) g(y).
Можно показать, что носитель обобщенной функции Hx^Xg^y) является декартовым произведением носителей обобщенных функций f(x) и g^yV т. е.
supp [/ (х) X g (У)]=[supp / (х)] X [supp g (у)]. (1.3.3)
Используя полученные выше результаты, можно легко доказать коммутативность прямого умножения. Запишем равенство
f{*}Xg(y) = g(y) Х/(х).(1.3.4)
Следовательно, прямое произведение можно определить и соотношением
VWXgA ?(х, у))=
= U№, (fA <р(х, у))), ф(х, y)WO. (1.3.2')
Ассоциативность прямого умножения доказывается аналогично:
/ИХШХЛ(2)НЖ'^ (1.3.5)
где / (х) С К' (/?"), g (у) € К' 1/А h (г) с К’ (Rp).
Дистрибутивность прямого умножения относительно сложения определенных на одном и том же пространстве обобщенных функций очевидна. Таким образом, если f^eK'^R"^ gi(y), g2(y)eK'(Rm) и а, ре/?, то / W X [agi (У) + .352(У)]=а/ W X g\ 1уНИ (^) X g2 (у).
(1.3.6)
Свойства. Примеры
Пусть D? и Dy —дифференциальные операторы по переменным х и у соответственно. Тогда справедливо соотношение
WW X g(y)J=(Df/(x)) X №(у)). (1.3.7)
Действительно, для произвольной основной функции ф(х, y}^K{Rn+m} можно написать
(СИ/М Xg(y)], ?^х, у^=
= t-lY4/WXgUA, D^(x, у^ =
= (-ЦРШУ), №), W, у)))^
^^(У), (Dx/(x)), ^(х, у^ =
= (D£/(x)Xg(y\ ?(х, у)).
Применив теперь оператор Dy , получим соотношение (1.3.7).
Аналогичное соотношение получается при умножении прямого произведения на бесконечно дифференцируемую функцию вида ц(х) b (у). Таким образом, если а1,х']Е(>(1Х и Цу) еС°° (Rml, a f(x)eK'(Rn) и g\y) eK'lRm), т0 справедливо соотношение
a W b(у) [/ (х) х g (у)] = 1а (х) / (х) ] х \Ь (у) g (у)]. (1.3.8)
В случае других основных пространств можно получить аналогичный результат, учитывая условия, при которых определено произведение функции на соответствующую обобщенную функцию.
Если функция f(x) определена на Rn, а функция 1 (у) — на R™, то
/(х)х1(у)=/(А(1.3.9)
Следовательно, это прямое произведение не зависит от переменной у. То же самое справедливо и для обобщенных функций.
Обобщенная функция Хевисайда 6(хь х2, ..., хп), определенная на Rn, может быть записана с использованием прямого произведения в следующем виде:
9 (хь х2,..., х„) = 9 (х,) х 6 (х2) х ... X 8 (х„)=’
=8(х1)8(х2).. .8(х„).(1.3.10)
Ее носителем является множество
supp8(xb х2,..., х„) =
=supp 9 (х^ х supp 9 (х2) х ... х supp 9 (х„) —
~ [0, со) х [0, оо) х ... X [0, со). (1.3.11)
Заметим,что
d"6(xb х2,..., хп^
= 5 (Xj, Х2,..., х„) =
ОХ 16X2. . .ОХп
60 (-^1) х 60 (*2) х х 66 (х„)dxi дх2дхп ’
поэтому
8(хь х2,..., x„)=8(xj X 8(х2) х ... X 8(хл). (1.3.12)
Используя прямое произведение, выражение (д/ду)0(х, у) можно записать в виде
-^-9(х, у) = ^-[8(х) х 8(у)] =
= 9(х) X—9(у) = 9(х)х8(у).(1.3.13)
Тогда для функции ф(х, y)e^(7?2) получаем
у), v^. ^W^W Хб(у), ?(х, У)) = ду)
= (9W, (8 (у), ф^х, у))) = (9(х), ср(х, 0)).
Таким образом,
-^-9(х, у), ф (х, у)^=С<р(х, 0)Ух. (1.3.13') ду7 J
о
Используя формулу (1.2.57), можно написать
\ ду)
=Ц4-Цх, у\ ^^х, у)]+ С sg<?tx, y^dx.
\ ду/ J *
у-0
Заметим теперь, что sy= 1 на границе разрыва у = 0 и кроме того (5/<Зу)0(х, у)=0. Итак, соотношение (1.3.13') получено другим путем.
Свертка
Общие результаты
По сравнению с прямым умножением свертка является преобразованием другой природы.
Пусть /(х) и g^x)—локально интегрируемые функции на 7?". Свертка функций /(х) и g(x) определяется соотношением
/WXgW = j J^gVx— tW= $ g^flx—tW=
RnRn
= (/W, ^(-v-^^^to. /^-C^l/^gV, (1-3.14)
если только интеграл существует и является локально интегрируемой функцией переменной x^Rn. Равенство двух интегралов легко проверить, например, заменой z = x—t.
Если, в частности, функции /(х) и g(x) непрерывны, то их свертка также является непрерывной функцией.
Для существования свертки двух функций достаточно выполнения одного из следующих условий:
Функция /(х) интегрируема на Д", а функция g(x) ограничена на R" (или интегрируема на Rn>). В этом случае свертка является непрерывной и ограниченной функцией на Rn, причем можно написать следующую оценку:
I / W XgW I < J I /И I t/xsup | g(x) I . (1.3.15)RnRn
Носители функций f(x) и gt^, xeR, содержатся в интервале [О, оо]. В этом случае свертка принимает вид
О при х< О,
/№И= £(1.3.16)
/ И g (х — ^) dt ПРИ х > 0.
.о
Ее носитель содержится в интервале (0, оо).
Функции /(х) и g (x) обладают компактными носителями.
Чтобы распространить определение свертки на обобщенные функции, рассмотрим сначала локально интегрируемые функции f(x) и g(x), определенные на Rn, в предположении, что их свертка, определяемая формулой (1.3.14), существует. Пусть ф(х) ^R(Rn)—основная функция. Тогда можно написать
t/W^gA ?W)=J [ J/®^^-^) ^] <?^dx=
Rn Rn
=£(7®^)^+^^-
R?n
где произведена замена переменной х—^ = ц. Очевидно, что произведение fl^g^) можно рассматривать как прямое произведение f (£) Xg^T]), так что
V/ W X g А ? W)=(/W *g(y), ^^Л-у^А=УИ, IgAA'Ay^lWgA ЦЧА^^гУЖ (1.3.17)
Будем считать, что соотношение (1.3.17) определяет свертку обобщенных функций f(x), g(x)^K' (Rn). Таким образом, свертка записывается при помощи прямого произведения; при этом основная функция равна <р(х+у).
Можно показать, что для существования свертки достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:
Хотя бы одна из обобщенных функций /(х) и g^ обладает компактным носителем.
Обе обобщенные функции f(x) и g(x^ обладают ограниченными с одной и той же стороны носителями [например, f(x)=0 при х<а и g(x)=0, при х<Ь, т. е. носители обеих функций ограничены слева].
Вообще можно показать, что носитель свертки двух обобщенных функций /(х) и g^x) содержится в замыкании объединения носителей этих обобщенных функций:
supp (/ (х) X g М) с supp/(x)Usuppg(x). (1.3.18)
Учитывая свойства коммутативности и ассоциативности прямого умножения, можно показать, что свертка также обладает этими свойствами: если /(х), ^(х), h^x^^K' ^RnY то можно написать
/ИХ^МИ х/w,
(1.3.19)
[/ W X g W] X h (x)=/ (x) x [g pc) X h (x)].
Свертка обладает также свойством дистрибутивности относительно сложения обобщенных функций, т. е.
/^ X [ag! (х) + ^2 (*)] =
= a[/(x) XgiW] + ?[/W X^Wl, «, v^R. (1-3.19')
Если Dp— дифференциальный оператор, то можно написать
Dp (/ (х) X g p^DV (x) X g W = f (x) X- D^ (x).
(1.3.20) Действительно, для ф(х)е7<(Д'1)
(D₽(/WXg« ?W) = (-l)₽(/WXg(-x), Dp?(x)) =
= (-l)p(/W Xg-(y), Dp4>(x+y)) =
= (- 1)Р№), (^(У), Dp?(x+y)))=
= (/W, №(</), <р(^+у))) =
= (/(x) xDp^(y), ?(x+ «/)) = (/(*) XDpg[x), <p(x)).
Отсюда следует соотношение (1.3.20).
В приложениях часто появляются обобщенные функции, зависящие от параметра.
Теорема 1.3.1. Пусть ft(x)— обобщенная функция, зависящая от параметра и такая, что существует (d/dt)ft(x). Тогда
^t w * g * g w -3-21) at at
в случае, если выполнено одно из условий:
все обобщенные функции ft(x) сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;
обобщенная функция g(x) сосредоточена на ограниченном множестве;
носители функций ft(x) и g(x) ограничены с одной и той же стороны константой, не зависящей от t.
Предположим теперь, что параметр t=k принадлежит счетному множеству. Если последовательность обобщенных функций /а(х) сходится к обобщенной функции f(x) при ^^-оо и обобщенные функции fk(x) и g(x) удовлетворяют одному из перечисленных выше условий а) —в), то можно показать, что
Нт(Д(л:) XgW) = /W У g W-(1.3.22)
Примеры
Обобщенная функция 6(х) играет роль единицы для свертки, поскольку
ЦхШМ=Ж x^Rn. (1.3.23)
Действительно, условие а) существования свертки выполнено, поскольку носитель 6(х) состоит из одной точки. В этом случае можно написать
(Ш/(х), <?(х))=(8(х) */(£), ?(х+г/)) =
=(/М (8W> ?(-^+у)))=(/(</), v^^fW, tW),
откуда следует соотношение (1.3.23).
Если fk(x) является дельтообразной последовательностью, то
Пт(Л(Ш(х))=?(х).(1.3.22')
Аналогично можно показать, что
8(х-х°)*/(х)=/(х-х0), х, x^R"; (1.3.23') в частности,
8(х-а) ^Цх-Ь^- Цх-а-Ь\ х, a, b^R". (1.3.23")
Можно также написать
Dp [В (х) X / N] = DPS (х) ^ / (х) = Dp/ (х). (1.3.24)
Вычислим теперь свертку 0(х—а)>^0(х—Ь), О^а^б. В этом случае носителями функций 0(х—а) и 0(х—6) являются соответственно интервалы (а, оо) и [6, оо), причем оба они содержатся в интервале [0, оо). Применив формулу (1.3.16), получим
6 (х — а) X 6 (х — Ь) =
О при х^а,
?(1.3.25)
( 9(/ — а)9(х — t — b^dt при х>а.
Заметим теперь, что
J9 (/—а)6 (х — t—b) dt—J 9(х — t — b}dt= аа
—Ьх—а—Ь
Г 9(«)rf«= f 9(«)du=x—а — b, х^а-}-Ь.
х—а—Ь0
Отсюда получаем (фиг. 1.34а)
6 (х—а) X 6 (х—6) = (х—а—6)+ — (х — а — 6) 6 (х— а — 6) =
-( 0"Р“ *<»+6.(1.3.25')
[х — а — b при х^-а-^-Ь.
Вообще, если дана функция /(х), то определим положительную часть функции/(х) соотношением (фиг. 1.346)
/+(х)=6(х)/(х).(1.3.26)
Для а = Ь = 0 получаем
6(х) Х6(х)=х+=х6(х) = /° ПрИ Х<-°’ (1.3.27) (х при х>0.
Аналогично можно написать
6(х)Х^+ = -^-х"+1;(1.3.28)
в частности,
9 (х) ^х+=^-х2+.(1.3.28')
Справедливы также следующие соотношения:
6 (х) sin х X 9 (х) cos x=-i-x+ sin х, (1.3.29)
6 (х) sin х X 6 W sin x = -^- [9 (x) sin x —x+ cosx], (1.3.29')
6 (х) cosx X 9 (х) cosx=-^-[0 (х) sin x-f-x+ cosx], (1.3.29")
Рассмотрим теперь интегрируемую на R функцию /«W=-^e-“2x\ а>о, (1.3.30)
Ул
и вычислим свертку /о (х) Х/б (я):
ЛМХЛМ= ^/ММ<И=
= — J g-a^g-b^x-f^dt^
g2»= о» _ / уа, + 6чГ
= _ е а2+ь' С е \dt
Произведя замену'
и=у^ууьч - ——
V аЧ + Ь2
и учитывая значение интеграла Пуассона
J е-иЧа = Ул,(1.3.31)
получаем
faW¥;ftAxWAy(1.3.32)
ab(1.3.321
У а2 + Ь2
Отметим, что функция (1.3.30) соответстувет дельтообразной последовательности, определяемой формулой (1.2.Ю5).
Рассмотрим теперь функцию
лм=—«>°.(^З-33)
Л «2 + X2
соответствующую последовательности, определяемой формулой (1.2.112). Заметим, что, хотя носителем этой функции является вся действительная ось, эта функция ограничена:
поэтому свертка имеет смысл и можно написать соотношение вида (1.3.32), причем
с = а^-Ь.(1.3.32")
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ
НА КРИВЫХ, ПОВЕРХНОСТЯХ И ОБЪЕМАХ.
ОДНОРОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Обобщенные функции, сосредоточенные на кривых, поверхностях и объемах
Обилие результаты
Если носитель обобщенной функции /(х) содержится в множестве Д(suppfczД), то говорят, что обобщенная функция /(х) сосредоточена на А. Так, например, обобщенная функция Дирака б(х) и обобщенная функция Хевисайда 0(х) сосредоточены соответственно в начале координат и на полуоси [0, оо).
Общий метод представления таких обобщенных функций основан на введении некоторой дифференциальной формы, соответствующей гиперповерхности в пространстве Rn. В целях упрощения вычислений будем использовать другой, более простой способ, допускающий важные физические интерпретации.
Пусть Г — кусочно гладкая кривая в R3, а р(х, у, z) — линейная плотность массы, распределенной на Г. Обозначим через ds и dm соответственно элементы дуги и массы. Тогда линейная плотность р(х, у, z) будет равна
Р^, У,(L4J)
ds
Полная масса, распределенная на Г,
М — f dm — [ pds.(1-4.2)
г i?
Введем теперь в связи с общей массой М обобщенную функцию Цх, у, z), определив ее соотношением
ЦДх, у, z), срфс, у, z))=J /(х, у, z^^x, у, z^ds, (1.4.3) Г
где Цх, у, z)—локально интегрируемая функция, а ф(х, у, z)e/((/?3). Обобщенная функция Цх, у, z^ сосредоточена на Г, поскольку для любой основной функции ф(х, у, z)e/((/?3), носитель которой не содержит точек кривой Г, обобщенная функция Цх, у, z) равна нулю. Рассмотрим, в частности, следующую обобщенную функцию, сосредоточенную на Г:
/ (х, у, z)—p(x, у, z)=l на Г,
которую символически будем обозначать как 6(Г). С физической точки зрения эта обобщенная функция соответствует полной массе, распределенной на Г с единичной линейной плотностью. Она является аналогом обобщенной функции Дирака 6(х, у, z), которая с физической точки зрения выражает единичную плотность массы, сосредоточенной в начале координат. В дальнейшем обобщенную функцию 6 (Г) будем называть обобщенной функцией Дирака, сосредоточенной на Г. Формально эта обобщенная функция определяется соотношением
(8 (Г), ср(х, у, z)) = JJJ 8 (Г) ср (х, у, z^dxdydz =
= J?(-x, У, 2W-(1-4-4)
Г
Ее основное свойство состоит в том, что 6(Г)=0 для точек (х, у, z) Г.
Аналогично, если 5 — кусочно гладкая гиперповерхность в Rn, a dS — элемент площади, то обобщенная функция Дирака 6(5), сосредоточенная на гиперповерх*
ности S, определяется соотношением
(8(5), ?U)H?teM ^W^K^, x^Rn. (1.4.5) s
Далее, если V — область в R", то обобщенная функция 6 (И), сосредоточенная на области V, определяется соотношением
(8(1/), <р(х)) = f т(х)Л/,(1.4.6)
й
где <р(х)еЛ’(ДГ!)) a dV — элемент объема.
Используя формулы
(/ (*, У, z\ ?У, z^ = \ f (^, У, 2) ? (^, У, г) ds, (1.4.5')
(/ У, ZX ?(Х, у, z^ = f/(x, у, z^x, у, z)dV, (1.4.6') й
можно ввести произвольные обобщенные функции f(x), сосредоточенные соответственно на гиперповерхности 5 и объеме V.
В частности, в случае п = 3 получаем обобщенные функции, сосредоточенные соответственно на поверхности 5 и в объеме V в пространстве R3.
Важно отметить, что некоторые физические величины действуют на функции, которые не всегда принадлежат основному пространству К. Например, обобщенная функция f = р6(Г), определенная соотношением (1.4.3), тесно связана с полной распределенной на кривой Г массой, выражение которой дано формулой (1.4.2). Чтобы соотношение (1.4.3) также определяло полную массу, распределенную на Г, необходимо допустить, что ф= 1; между тем эта функция не принадлежит основному пространству К, поскольку не обладает компактным носителем. Таким образом,
(Р8(Г), 1)= [р^х = /И.(1.4.7)
г
Рассмотрим теперь обобщенную функцию хрб(Г), где р(х, у, z)—непрерывная функция. Если ф(х, у.
z) еК — основная функция, то
(хо8(Г), <р)=(8(Г),X'^ds. (1.4.8)
j?
Очевидно, что рассмотренная обобщенная функция также сосредоточена на Г. Чтобы выявить ее физический смысл, достаточно рассмотреть абсциссу центра масс кривой Г:
( x^ds
хс^.(1.4.9)
•г
Числитель
SOyz=\x?ds(1.4.10)
г
представляет собой статический момент кривой Г относительно плоскости Oyz, а знаменатель — полную массу, распределенную на Г.
Сравнивая выражение (1.4.10) для статического момента Soyz с выражением (1.4.8), замечаем, что для ср = 1 можно написать
(хр8 (Г), Y^x?ds = SOtiZ. (1.4.11) г
Отсюда следует, что статический момент кривой Г относительно плоскости Oyz полностью описывается обобщенной функцией хрб(Г), которая называется обобщенной функцией статического момента кривой Г относительно плоскости Oyz. Введем обозначение
хр8(Г) = 5х(Г).(1.4.12)
Тогда можно написать
(^(П, ^=80уг.
Также можно ввести обобщенные функции, соответствующие статическим моментам кривой Г относительно остальных координатных плоскостей.
Аналогичные рассмотрения можно провести и в случае моментов инерции, а также моментов произвольного порядка. Эти примеры показывают, что некоторым физическим величинам могут соответствовать функционалы, определенные на более широком, чем К, пространстве.
Важным свойством обобщенных функций Дирака является их аддитивность. Таким образом, если гиперповерхность S = SiU52, то
8(5) = 8(51) + 8(52).(1.4.13)
Действительно, для произвольной функции ср(х)е e.KVRn^ можно написать
(8(5), у)= [ <?dS= [f ^dS2 =
"s s,s,
= №), t) + (8(52), ?),
откуда следует соотношение (1.4.13).
Если Р(хь х2, .... xn)=0— уравнение некоторой гиперповерхности в R", такой, что РеС°°, то
Р8(5)=0,(1.4.14)
поскольку
(Р8 (5), <р) = (8 (5), Р^ = f P»dS=0,
s
ибо функция Р(хь х2, ..., хп) равна нулю для xeS.
Формулы дифференцирования
Обобщенные функции Дирака 6(Г) и 6(5) особенно часто используются при вычислении частных производных обобщенных функций, порожденных функциями с разрывами первого рода.
Рассмотрим теперь формулу (1.2.57), полученную для функций f(x, у) класса С1 в R2, имеющих разрывы первого рода при пересечении кривой Г. Введем угол, образованный нормалью п с осью Оу. Тогда dx=ds cos (п, у) и интеграл в правой части формулы (1.2.57) можно записать в виде
f sg<? (x, у) dx = f stiS (x, y) cos (n, y) ds = гг
= (s9cos(n, у) 8 (Г), ?(x, у)), так что будем иметь
=У)+^с03(»> У)8(г)- (1-4.15)
оуоу
Получим также
дд
"Т-/^, У) = —/(А y) + sxcos(n, х) 8 (Г). (1.4.15') VVU vv
Аналогично, рассматривая формулу (1.2.58'), получаем да
— f(x, у, ^)=— /(х, у, 2) + sxcos(n, х)8(5). (1.4.15")
Вообще, если /(Xi, х2, ..., хп)—функция класса С1 всюду на JRn, за исключением гиперповерхности 5, где функция терпит разрыв первого рода, то можно написать -^-=-^—[-sfcos(n, х,)8(3) (/=1, 2,..., п\ (1.4.16) dxi ОХ;
где 6(3)—обобщенная функция Дирака, сосредоточенная на гиперповерхности 3, St— скачок функции при пересечении этой гиперповерхности в положительном направлении оси Oxi, a cos (п, х^ — косинус угла, образованного осью Oxi с нормалью к гиперповерхности.
Для обобщенной функции Дирака, сосредоточенной на кривой или поверхности, можно получить формулы, аналогичные формулам (1.2.37) — (1.2.39").
Примеры
Рассмотрим функцию (фиг. 1.35)
/(*,/(*,1 при | х | <У,'У>О, 0 в остальных точках.
/(*,
/(*,
Кривая, ограничивающая область, где функция отлична от нуля, состоит из двух ветвей Г[ и Га (Г = Г1иГ2), которые определяются соответственно следующими уравнениями:
(Г1)х= — у, х<0, у> у,
(1.4.18)
(Г2)х=#,х>0, у>0;
это и есть кривая разрыва, соответствующая функции f(х, у). Производные в обычном смысле там, где они существуют, равны
^-=о.дх ' ду
При вычислении производной по х следует учесть, что и
,' । я К?
cos (га х) L = cos — =,
cos(rab x)|rs = cos —=.
Следовательно,
Аналогично при вычислении производной по у имеем
Sy 1г, =S8 1г21>
а также
/ м л учcos(га, у\L = cos— = —,
/ ч л уч
cos (га2, у) L = cos—= -,
И
Фиг. 1.36.Фиг. 1.36.
Фиг. 1.36.
Фиг. 1.36.
откуда следует
(1.4.19')(1.4.19')= ^" [8 (ГО + 8 (Г2)] = ^- 8 (Г).
(1.4.19')
(1.4.19')
Пусть 6(х, у)—обобщенная функция Хевисайда . , х(1 ПРИ X > О, W > О,, 1 л
6 (х> у)= а(1.4.20)
(0 в остальных точках.
Кривая разрыва Г этой функции состоит из двух ветвей (фиг. 1.36):
(Г1)У=О, х>0,
(1.4.21) (Г2)х=0, у>0,
соответствующих полуосям Ох и Оу. Заметим, что
cos (га, х^ ]г = cos (га, У)|Г1 = 1, поэтому
-^-Цх, У) = 8(Г2)у)-8(Г,).(1.4.22)
дхду
В этом случае можно написать /526 (х, у) , л / 5 „ /т-, ч /
= —(в(гг), "Т-^^ У>)= —I ТД°, У)^9=—?(°- У) | =
\ оу] л иI
Оо
= ?(0, 0) = (8(х, у\ ср(х, у)), откуда следует соотношение
^<^>=^-8(Г2)=^-8(Г1) = 8(х, у). (1.4.23) дхду дудх
Далее, учитывая аддитивность обобщенной функции Дирака, сосредоточенной на кривой Г=Г1иГ2, и дифференцируя соотношение (1.4.23) по х и у, получим
526(Г) = 56 (х, у) । 56 (х, у)(1 4 24)
дхду дхду
Однородные обобщенные функции
Обилие результаты
Пусть Цх-1, х2, .... хп) —функция га переменных, а к — действительное положительное число. Функция /(х), xeRn, называется однородной функцией степени X, если
/(Ахь кх^..., кх^ =
^^/(х^ х2,..., хп\(1.4.25)
i-ii-iд ,— /^, х2, дх.д ,— /^, х2, дх.Класс функций, определенный этим соотношением, полностью описывается уравнением Эйлера
i-i
i-i
д ,
— /^, х2, дх.
д ,
— /^, х2, дх.
■,хп)= V(xi, х2). .., х„\ (1.4.26)
которое является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Его общим решением является функция, удовлетворяющая соотношению (1.4.25).
Например, функции
Г= | X I =УХ1+Х2 + ... -f-Хл (хь х2>..., x„KRn,
(1.4.27)
«-7=^=(1А27')
у х^ + х1++ Х2п
являются однородными функциями степени 1 и —1 соответственно. Первая из этих функций локально интегрируема всюду, тогда как вторая имеет сингулярность в начале координат и не интегрируема в окрестности этой точки. Поэтому поставим в соответствие функции 1/г функционал, совпадающий с этой функцией всюду, за исключением начала координат. Производные функции г также являются однородными функциями нулевой степени; начало координат является сингулярной точкой этих функций.
Функция Хевисайда 0(х) является однородной функцией нулевой степени, поскольку
6 (£х)=6 (х)=kQ» (х).(1.4.28)
Далее, поскольку преобразование подобия определено для обобщенных функций, то понятие однородности произвольной степени можно распространить и на обобщенные функции.
Определение 1.4.1. Обобщенная функция [(хь х2, ... .... хп) называется однородной функцией степени К, если для любого действительного числа к>0 она удовлетворяет соотношению вида (1.4.25).
Можно записать это условие и в другом виде. Действительно, пусть ф(х)еК(/?п)—основная функция. Учитывая определение преобразования подобия, получаем б
(/(Ах,, кх2,..., кх^, ^(хь х2,..., х„)) =
См. формулу (1.1.55). — Прим. ред.
1 /„.. ^ - / Х1 Х2ХП \\
—"тг / (хь Х2>‘--’Т/г
К \\ К КК
= ^{/{Хх, Х^,..., Хп\ ф(Хь х2,..., х„)), А>0, откуда следует
/ (Х1> Х2, Хп) <р / ——. .—=
■\\ к кк ))
=АХ+л(/(хь х^..., х„), ?(xb х2,..., хл)), (1.4.29) или
■(.т ?(^)) = ^+Л(Лх), ?(х))> x^Rn. (1.4.29')
Эти соотношения эквивалентны соотношению (1.4.25) и позволяют установить, является ли данная обобщенная функция однородной или нет.
Для обобщенной функции Дирака 6(х), x^Rn, можно написать
8(х), ?(4-))=ф(0) = (6(х), ?(х)), x^Rn, ,\ К //
т. е. 6(xi, х2 хп) является однородной обобщенной функцией степени —п. В частности, 6(х), xeR, является однородной обобщенной функцией степени —1, 6(х, у) — однородная обобщенная функция степени —2, а 6(х, у, z) —■ однородная обобщенная функция степени —3.
Аналогично для б(х), xeR, можно написать
8(р)(х), ?f^\ = ^A)L?(p) (О)^-^)^, у^, .\ ^ // кр
т. е. 8(р)(х), x^R, является однородной обобщенной функцией степени —р—1. Таким образом, после дифференцирования р раз по х степень однородности понизилась на р единиц.
Можно показать, что однородные обобщенные функции обладают следующими свойствами:
сумма двух однородных обобщенных функций степени X является однородной обобщенной функцией степени X;
если а(х)— однородная бесконечно дифференцируемая функция степени р, a f(x) —однородная обобщенная функция степени X, то а(х)/(х) является однородной обобщенной функцией степени Х + р;
производная по переменной х, однородной обобщенной функции /(Хь Хг, .... хп) степени X является однородной обобщенной функцией степени X—1;
однородные функции разных степеней линейно независимы.
Можно показать, что обобщенная функция Vp(l/x) является однородной обобщенной функцией степени —1; напротив, обобщенная функция (1/|х|) неоднородна.
Формулы дифференцирования
Пусть f (х, у) —однородная в обычном смысле функция степени —1, локально интегрируемая на R2. Вычислим производную по у этой функции. Пусть ф(х, у^еДрД Тогда
f^-/(x, У), Я*, у))=-(/(-^ У). У)
к дуJ \Оу
Дх, у) [ф(х, у)-у (О, O^dxdy —
ду
D
Дх, у)-^-^(х, y^dxdy,
где D — конечная область с границей Г, a R2—D — дополнительная область к R2. Заметим, что после интегрирования по частям первый интеграл можно записать в виде
Дх, У)-^-Ьр(-к, У) — ® (0, O)\dxdy =
ду
D
?(х, у)-^-/(х, y^dxdy —ду
/ (^ У) I? (х, У) - ? (°, 0)] dx,
Г
где кривая Г пройдена в положительном направлении. Поэтому
— Wf-^dxdy-V
\ од )dgdig
DR»—D
+ J f'idx — <p (0, 0) J jdx.гг
Выберем теперь <р(х) так, чтобы suppicpazD. Тогда
I df \ I d/ \/,, х Р\
— ,?=Н— ’ V ~ 8 х’ УAfdx, ф(х, у) ,
X\ и\г/
откуда
—/(х, у) = —/(х, у) — 8(х, у^ /(х, у)dxy 1.4.30) дуОДIdJ
г
Аналогично получаем
*Т-/(Х,У)| +8(х, У") [/(х, y^dy. (1.4.30')
dxdx|оJ
г
В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема 1.4.1. Пусть f(xb х2, .... хп)—однородная в обычном смысле функция степени 1—п, локально интегрируемая на Rn. Тогда ее частные производные равны
~—/(^-ь х2,..., хп) =—— / (х^ х2,..., хп) 4-
dx;dx;D
+ (— l)i-18 (хь x2,..., x„) J / (xu x2,..., x„) dx^dx2...
Г
.. .dx^dXiH.. .dxn (z=l, 2,..., /г), (1.4.31)
где D — ограниченная в Rn область, границей которой является гиперповерхность Г.
Примеры
Функция 1//?= 1/Кл2-{-t/24-z2 является однородной в обычном смысле функцией степени —1. Для нее
д II \ л д / 1 \ у, д / 1 \z_77 ^77 У — Я3 ’ ду ( R j — R3 • д2 / дз *
(1.4.32)
Тогда получаются однородные в обычном смысле функции степени 1—3=—2. Применив теперь формулу (1.4.31), будем иметь
дх2 \ R ) R5J R3
Г
-^-Ш^2-^2.^ у, г) [ J^£_ (1.4.33) dy2\R R5 ' v s ' J R3 4'
Г
_^_/_L\z) с^^_
dz2 ( R) R5J R3
г
Сложим полученные равенства и введем оператор Лапласа
дх2 1 дуЗ 1 dz2 ’дх2 1 дуЗ 1 dz2 ’(1.4.34)(1.4.34)
дх2 1 дуЗ 1 dz2 ’
дх2 1 дуЗ 1 dz2 ’
(1.4.34)
(1.4.34)
тогда
(1.4.33')(1.4.33')1 \$/.... _а f xdydz — ydxdz + zdxdy
(1.4.33')
(1.4.33')
r) ’ JR3
Выберем теперь в качестве Г поверхность шара единичного радиуса с центром в начале координат. Заметим, что dxdz——dzdx. Тогда
(1.4.35)(1.4.35)
(1.4.35)
(1.4.35)
Функция IjiR является гармонической при R^O. Соотношение (1.4.35) выявляет таким образом разницу между оператором Лапласа в обычном смысле и оператором Лапласа в смысле теории обобщенных функций.
Аналогично получаем
А In -у- = — 2л8 ^х, у\ r = V хг-^уг.(1.4.36)
Рассмотрим функцию
/ (х, у) =;(1.4.37)
О2 + у2)2
это однородная в обычном смысле функция степени 1—2 =— 1. В этом случае можно воспользоваться формулами (1.4.30) и (1.4.30'). Выберем в качестве Г окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Тогда получим
ОХ(^2 4- у2)34
(1.4.38)
А.ПХ1 у} =^у
поскольку криволинейный интеграл в формуле (1.4.30) равен нулю.
Заметим, что
Отсюда, учитывая соотношение (1.4.36), получаем
(1.4.39)(1.4.39)/ у \А
(1.4.39)
(1.4.39)
Д[— |=2л8(х, у).
\ r^ Jдх
Заметим также, что в первом из соотношений (1.4.33) интегрированием по поверхности шара единичного радиуса с центром в начале координат получаем
дх2 \ R / Ro3
Аналогично из соотношения
л 2 1 д / х \
Ra ~ R — дх \ R )
5—3677
с учетом соотношения
имеем
И^П-^2-3^^4^ у’ 2)1 (1ЛЛ2)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье обобщенной функции одной переменной
Пусть /(х), xeR,— действительная или комплексная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (т. е. /(х)—ограниченная кусочно монотонная функция с конечным числом разрывов первого рода); кроме того, предположим, что /(х)—абсолютно интегрируемая функция, т. е.
| / (х) | dx <( со.(1.5.1)
Экспоненциальное преобразование Фурье функции f(x) определяется формулой
Д(й)=Д[/(х)]=/(х)= J / (х) eiuxdx, (1.5.2)
где и — новая действительная переменная. Преобразование Фурье f (х) =ру (х\\ = Р(и') функции f(x) является комплекснозначной функцией действительной переменной. Заметим, что эта функция ограничена, поскольку
|F[/(x)] I < J I/W I dx. (1.5.3)
Функция F (ы) является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением бесконечно удален-
ной точки; таким образом, она имеет производные любого порядка по и. Если f(x) —интегрируемая функция на R, то ее преобразование Фурье существует и является непрерывной и ограниченной функцией, стремящейся к нулю при | и | —>0.
Пусть в соотношении (1.5.2) функция F(и) известна, а функция Цх) —неизвестна. Тогда это соотношение является интегральным уравнением, решение которого имеет вид
= — f F^r^du. (Т.5.4)
В этом случае f(x) называется обратным преобразованием Фурье функции F^, которое будем обозначать как
/ №=F^ [F (М)]=/^ U WA=F-' [?’ [/ (х)]]. (1.5.4')
Таким образом, были определены два интегральных оператора: прямой оператор Е[ ] и обратный оператор Е-^ ]. Это линейные операторы, поскольку для любых действительных или комплексных чисел а, р, аь Pi имеют место соотношения
^[«AW + ^Wj^a^IAWl + ^fAW], (1.5.5)
F^ [а^, (ц) + р^ (ц)] = o^F^ [F. («)] + ^F-i \F^ «
В некоторых приложениях с успехом могут быть использованы синус- и косинус-преобразования Фурье, определяемые соотношениями
Fc [/ (Z)J = J / (^)cos uxdx^о
~(1.5.6)
F$U W]=J^x^ sin ахс^х.о
Между этими двумя преобразованиями Фурье и экспоненциальным преобразованием Фурье существует тесная связь. Если /(х)—четная функция, f(x)=f(—х), то 5*
^[/Wl^SFJ/^].(1.5.7)
Аналогично, если )(х)—нечетная функция, т. е. /(%) = = —)(—X), то
F[/(x)] = 2zFs[/(x)].(1.5.7')
В общем случае любую функцию можно представить в виде суммы двух функций:
/М=/1(л:) + /2(.г),(1.5.8)
fd) |
гдегде/iW = y [/ № + /(-•<)],/iW = y [/ № + /(-•<)],(1.5.8')(1.5.8')
где
где
/iW = y [/ № + /(-•<)],
/iW = y [/ № + /(-•<)],
(1.5.8')
(1.5.8')
(1.5.9)(1.5.10)(1.5.9)(1.5.10)
(1.5.9)
(1.5.10)
(1.5.9)
(1.5.10)
/2 М = '-[/И-/(-л)],
причем первая из этих функций является четной, а вторая— нечетной. Следовательно,
F [/ ^\ = 2FC [f. (х)] + 2iFs [/2 «
Рассмотрим, например, функцию (фиг. 1.37)
/ (х) = 9 ^сф-ах =/ (х) = 9 ^сф-ах =О при -Х<0,еах при Л'^0, а~>0.
/ (х) = 9 ^сф-ах =
/ (х) = 9 ^сф-ах =
Ясно, что эта функция непрерывна всюду, за исключением начала координат. Ее скачок в начале координат равен единице. Кроме того, это абсолютно интегрируемая
на R функция, поскольку ^ e~axdx=i]a. Таким обра-о
зом,получаем
F [6 (х) 6-^]= J 6 (х) er-axeittXdx=
= С e-axeiuxdx =е-^е1 ах ,
Jа — in
°9
откуда, учитывая формулу Эйлера
eiax = cos их-\-i sin их, | е1их | =1,(1.5.11)
будем иметь
F [6 (х) е-“х] =— =l i -.(1.5.12)
а — in д2 а. м2а2 -|_ И2
Аналогично
Fc [6 (х) е-ах]= С е-ах cos uxdx—-— ,
оа2 + м2
(1.5.13)
^Лб (х)^"*] — f е~ах sin uxdx =-, а">0.
VJ JД2 + М2 ’
0
Следовательно,
F [6 (x) e-ox]—Fc [6 (x) e-ox] + iFs [6 (x) e-^Y (1.5.14)
Заметим теперь, чтоЗаметим теперь, чтоинтегралы j" | sin x | dx,интегралы j" | sin x | dx,
Заметим теперь, что
Заметим теперь, что
интегралы j" | sin x | dx,
интегралы j" | sin x | dx,
J | cosx | dx, J | 6(x)|dx расходятся, поэтому нельзя вычислить преобразование Фурье в обычном смысле функций sinx, cosx, 0(х). Чтобы устранить эти исключительные случаи, распространим преобразование Фурье на обобщенные функции.
В дальнейшем будет рассмотрено комплексное основное пространство К, состоящее из основных комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций ф(х) действительного переменного, обладающих компактными носителями. Таким образом, пусть ф(х), xeR,— комплекснозначная основная функция. Тогда ее преобразование Фурье будет определяться соотношением
^[?W] — j ?W eiuxdx, (1.5.15)
где и — действительная переменная. Вместо действительной переменной и можно рассмотреть комплексную переменную s=u+iv, так что
ф (s)=y ^=F [ср (х)] = С ср (х) e'sxdx —
J ср (л-) e~vxeiuxdx.J ср (л-) e~vxeiuxdx.(1.5.16)(1.5.16)
J ср (л-) e~vxeiuxdx.
J ср (л-) e~vxeiuxdx.
(1.5.16)
(1.5.16)
Поскольку функция ф(х) обладает компактным носителем, то интеграл в этой формуле рассматривается только на интервале, соответствующем носителю функции фМ-
Функции -ф($) являются аналитическими всюду на комплексной плоскости, за исключением бесконечно удаленной точки. Таким образом, функции tp(s) бесконечно дифференцируемы. Интегрируя по частям, получаем
F [ср' (х)] = j ср' {x)eisxdx=
= ср (х) еих | — J is^ (х) eisxdx.
Отсюда следует, что преобразование Фурье функции ф'(х) равно
F[cp' (л)]= — ^[^(х)].(1.5.17)
В общем случае можно написать
F [ф<л) (х)] = ( — is^F [ф (х)], p£N. (1.5.17')
Далее, если P(dldx)—дифференциальный полином с постоянными коэффициентами, то
F [Р (У ® W] Р (~Zs) F ^Wl-(1 ‘5-18)
Пусть /((a)—множество основных функций <р(х), носитель которых содержится в интервале [—а, а], а>0. Множество преобразований Фурье ф($) = F[<p(x)] этих функций составляет векторное пространство 2(a). Объединение этих пространств составляет основное комплексное пространство 2:
2 = U 2(a), (К= U(1.5.19)
а\ а /
Функции ф(х)е2(а) удовлетворяют неравенствам
I 5^ф(s) 1 <Сре°\®।, s=u-\-i-u, P^N, (1.5.20) где Ср — константа, зависящая от р.
Определение 1.5.1. Последовательность ipn(s)e2 сходится к ф(«)е2, если члены этой последовательности удовлетворяют неравенствам (1.5.20), где Ср и а не зависят от п, и, кроме того, функции фп (s) сходятся к функции ф($) равномерно на каждом интервале действительной оси.
Полученное таким образом пространство 2 является основным комплексным пространством, на котором будет определено преобразование Фурье обобщенных функций. Пусть 2' — множество линейных непрерывных функционалов на 2. Функционалы F^eZ' являются обобщенными функциями, определенными на основном комплексном пространстве 2. Эти обобщенные функции называют также ультраобобщенными функциями. Между пространствами К и 2 существует взаимно однозначное соответствие, так что можно написать
Р№=2, F-4Z]=K.(1.5.19')
Пусть f(x), xeR,— обобщенная функция, определенная на основном пространстве К.
Определение 1.5.2. Преобразованием Фурье обобщенной функции [(x)eK'(R( называется обобщенная функция AU (x)] = A(s) eZ', определенная на Z следующим соотношением типа равенства Парсеваля:
(/4/WL^[?W]) = (7^ (1-5.21)
Аналогично можно определить преобразование Фурье обобщенных функций, определенных на основном пространстве S.
15 Л.2. Свойства
Основные свойства преобразования Фурье обычной функции сохраняются и в случае обобщенных функций. Таким образом, можно написать
[Р Ш Z W] = p‘x-^FV/^ = Pt-is)F^,
(1.5.22)
^^[/^)1 = ^[^(^)/^)Ь (1-5.22')
^Ч/7 №)]] = №(1.5.23)
^№)D = 2n/(-x),(1.5.23')
где F-1— оператор, обратный F, который удовлетворяет соотношению
Преобразование Фурье прямого произведения двух обобщенных функций можно записать в виде
F {/(х) х ^)]=^ [/ (х)] X F [g(^)].(1.5.24)
Пусть f(x) —обобщенная функция медленного роста, а ^W—обобщенная функция с ограниченным носите-
лем. Тогда для свертки этих обобщенных функций справедливо соотношение
[/ WX g ^ = F [/ (х)] F [g (x)].(1.5.25)
Далее, если f(x)eS', а функция а(х)еС°° такова, что функция А[а(х)] обладает ограниченным носителем и a(x)f(х) eS', то
F [а (х) / (х)]=F [а (х)] X F [/ (х)].(1.5.25')
Заметим, что преобразование Фурье обобщенных функций с ограниченными носителями и обобщенных функций медленного роста, появляющихся во многих задачах, можно вычислить по более простым формулам.
Действительно, пусть f(x)—обобщенная функция с ограниченным носителем. Тогда ее преобразование Фурье удовлетворяет соотношению
7 W=F [/(х)]=(/ W, ^)=(/(х), e-^ = F^u\
(1.5.26)
Далее, пусть f(x)eS\ т. е. f(x) —обобщенная функция медленного роста. Тогда
(^[/« ?(«)) = (/(«), ^l?»(1.5-27)
где Д[<р(х)] = ф(я), Д[/(х)] = Д(ц).
Пусть теперь последовательность fn(x) сходится в смысле теории обобщенных функций к обобщенной функции f(x), limfn(x) =f(x); если
^^[/„Wl И Д(5) = Д[/(х)], то
' Д(£) = Пт Fn(s).(1.5.28)
Преобразование Фурье обобщенной функции нескольких переменных
Аналогично можно определить преобразование Фурье и в случае обобщенных функций нескольких переменных.
Если ф(хь х2, ..., х„) е/ДД71), то ее преобразование Фурье -ф(5], s2, ..., Sn) =Е[ф(хь х2, ..., хп)], где Sj = Wj + iUj (/=1, 2, ..., п) определяется соотношением
ср(х) = Д [ср (х)]= J ср (х)е11-5*^dx, x^,R. (1.5.29) Rn
Здесь (s, х) означает скалярное произведение
(s, х)=s1x1 ~^s2x2-|- ... -фхлхл. (1.5.30)
Если f(xh х2, ..., x^eK'^R"), то ее преобразование Фурье
^[/(-^1, ^2,-•^n)l = 7Ul, х2,..., x„)=F(s1, s2,..s„) определяется соотношением
(7м, ?^)) = (2л)п(/(х), cp(x)), x^R". (1.5.31)
В частности, если интегрируемая на Rn функция имеет вид
/(хь х2,..., Хл)=/1(х1)/2(х2).../л(х„), (1.5.32) то ее преобразование Фурье равно
=F [/1WH [Л МЬ • -F Un Wb (1.5.33)
Для обобщенных функций медленного роста можно также написать формулу вида (1.5.27).
Преобразование Фурье обобщенных функций с ограниченным носителем можно вычислять по формуле
= (7(^ь хп\ е‘^^^+-+^)_ (1.5.34)
Для преобразования Фурье обобщенных функций нескольких переменных можно получить соотношение
F [р (—— —— ..., ——(х. х2,..., х )1 =
\1 дх*2 дхjJ
= Р( —/Sj, —Zs2,..., —is^F^Sv, s2,...,s„), (1.5.35)
где Р(д/дхъ д)дх2, ..., djdx^—дифференциальный полином с постоянными коэффициентами. Справедливо также следующее соотношение:
\д$2 dsn /
= F\P(ixb ix2,..., ix^ ftxv х2,..., л„)]. (1.5.35')
Формула для обратного преобразования Фурье имеет вид ■
(^"Ч/И, ?W) = — (/(«), ^[?WD, x^Rn. (2л)"
'(1.5.31')
Для прямого произведения и свертки можно получить формулы, аналогичные формулам (1.5.24) и (1.5.25).
Приложения
Соотношение
(1.5.36)
L vJ a + iu
можно получить так же, как формулу (1.5.12). Учитывая соотношение (1.2.36), будем иметь
F^-^l]F^-^l]2аа2 + «22аа2 + «2, а>0., а>0.(1.5.37)(1.5.37)
F^-^l]
F^-^l]
2а
а2 + «2
2а
а2 + «2
, а>0.
, а>0.
(1.5.37)
(1.5.37)
Заметим, что функция e~°1Jrl определяет обобщенную функцию медленного роста. Далее можно написать
limlimааа»+о Л (х2 + а2)а»+о Л (х2 + а2)8W,8W,(1.5.38)(1.5.38)
lim
lim
а
а
а»+о Л (х2 + а2)
а»+о Л (х2 + а2)
8W,
8W,
(1.5.38)
(1.5.38)
что соответствует дельтообразной последовательности, определенной функцией Коши (1.2.112). Переходя к пределу при п-> + 0 в формуле (1.5.37), получаем
F[1 (х)]=2л8(«),(1.5.39)
а также
f~v I82Лf~v I82Л(1.5.39')(1.5.39')
f~v I8
2Л
f~v I8
2Л
(1.5.39')
(1.5.39')
Поскольку -6(х) является обобщенной функцией с ограниченным носителем, то ее преобразование Фурье можно вычислять по формуле (1.5.26). Поэтому
F [8 (х)] = (3 (х), e-'iux)—e°= 1.(1.5.40)
Аналогично, учитывая соотношения (1.1.55) и (1.1.77), получаем
F[8(x-a)]=e'“", ^[8^х)]=у1у .(1.5.41)
Если в формуле (1.5.12) положить а-*+0, то будем иметь
f [6 W] = 1*т —"— = 1*т [—h;1 •
o^+oa—iu а^+о[а2 + «2 a2 4-u2J
Заметим,что
Игл = Vp — ,(1.5.42)
а^+0 а2 4- ы2и
поэтому
F[(0 (х)]=л8 («) + < Vp — .(1.5.43)
К этому же результату можно прийти, если провести преобразование Фурье обобщенной функции 0(х), определенной на К, а потом, учитывая замечание, сделанное в разд. 1.1.3.1, продолжить ее с К на S. Действительно, можно написать
F -^[6 W]=h s=u-V^,
откуда следует
F[0(x)] == —=—'— .(1.5.43')
is s и + iv
Теперь, устремив u-> + 0 и учитывая соотношения (1.5.38) и (1.5.42), получаем формулу (1.5.43).
Заметим, что соотношение (1.5.43') выражает преобразование Фурье обобщенной функции, определенной на пространстве К, тогда как соотношение (1.5.43) выража-
ет преобразование Фурье обобщенной функции, определенной на пространстве S.
Учитывая соотношение Сохоцкого (1.2.43), можно также написать
IIи + /0и + /0(1.5.43")(1.5.43")
I
I
и + /0
и + /0
(1.5.43")
(1.5.43")
Аналогично, учитывая соотношение (1.2.36), получаем
F [0 ( — х)] = л8 («) — / Vp — =—. (1.5.44)
и и — /О
С помощью формул (1.2.46), определяющих обобщенные функции Гейзенберга, можно написать
Л[0(х)]=:2лМ«), А[0(-х)] = 2л8_(п). (1-5.45)
Из формулы (1.5.22), примененной к первому из соотношений (1.2.42), следует
^.(1-5.46)
Заметим, что х+ является обобщенной функцией медленного роста, которая может быть продолжена на 5. Поэтому
F(x+]= — Игл — .(1.5.46')
-у-.;-0 S2
Но
11Щ = Vp —- ,
у^+0 (ц2 + у2)2 г ы2
(1.5.47)
lim= —8 (я).
»^+0 Л (Ы2 + V2)2
Следовательно,
F[x+]=-Vp^--M8'(«).(1.5.46")
Используя формулу (1.2.47), получаем
(И + /0)2(И + /0)2(1.5.46'")
(И + /0)2
(И + /0)2
Аналогично, учитывая формулы (1.2.42') и (1.2.47), можно показать с помощью математической индукции, что
F[x;i = n! Z"+I Vp —?
«”+I(« + /0)л+1
n^N.(1.5.48)
Аналогично доказывается, что
^W=-Vp ^ + -И«)=-^?, (1.5.49)
F[x"_]=«! Z"+1 Vp—^п<-1^пЧ^ =
= -^2, n^N.(1.5.50)
(a — z0)”+I
Учитывая соотношения (1.2.41), можно также написать
F[x]=-2m8'(zz), F[ | x | ]=—2 Vp-^. (1.5.51)
Чтобы вычислить преобразование Фурье обобщенной функции Vp (1/х), будем, исходя из обобщенной функции Хевисайда, применять формулу (1.5.23'). В результате получим
F [F [9 («)]] = nF [8 (х)] -ф IF [Vp у =
= л"ViF j^Vp — ] = 2л9 ( — и).
Отсюда, учитывая формулу (1.2.36'), будем иметь
F |Vp —]=/л signzz.(1.5.52)
Можно также написать
F [signx] = 2z Vp — .('1.5.52')
и1
Далее применим преобразование Фурье к обоим членам формулы (1.5.36). Учитывая соотношение (1.5.23'),
получаем
аа_ л (а2 -|_ х2) __ л (а2 -|_ х2) _=e-«l“i а>0.=e-«l“i а>0.(1.5.53)(1.5.53)
а
а
_ л (а2 -|_ х2) _
_ л (а2 -|_ х2) _
=e-«l“i а>0.
=e-«l“i а>0.
(1.5.53)
(1.5.53)
Формула (1.5.25) позволяет в этом случае получить новое доказательство справедливости соотношения (1.3.32) для функции (1.3.33).
Для преобразования Фурье функции f (х) = е~а2х2 eS можно написать
Д [е-"2^2] = J e~a2x"eiuxdx—F (я).
Дифференцируя по м, находим
eluxd (e-°lxl) =eluxd (e-°lxl) =F'V.u^ = i С xe^a7x''eiuxdx=
eluxd (e-°lxl) =
eluxd (e-°lxl) =
I la?I la?и с , .——^ 1«), 2^2и с , .——^ 1«), 2^2
I la?
I la?
и с , .
——^ 1«), 2^2
и с , .
——^ 1«), 2^2
откуда следует
Интегрируя, получаемИнтегрируя, получаем_ ц2F^=Ce 4fl2_ ц2F^=Ce 4fl2
Интегрируя, получаем
Интегрируя, получаем
_ ц2
F^=Ce 4fl2
_ ц2
F^=Ce 4fl2
Следовательно, при » = 0 можно написать
Д(0) = С= J e-»=x‘dx=-^- .
Таким образом,
F (u) = F[e~°2xF (u) = F[e~°2x
F (u) = F[e~°2x
F (u) = F[e~°2x
Аналогично можно доказать справедливость соотношения (1.3.32) для функции (1.3.30).
Вычислим некоторые преобразования Фурье в случае х= (хь х2, .... хп)^^п- Можно написать
F[8(xb х2,..., х„)] = 1,(1.5.55)
^[В^-^, х2-а2,..., х„-а„)]=е/(“1а1+“2а2+">, (1 5.56)
^[8(^ь ^2,^я)1 =—-—,(1.5.57)
1^1 л
^[Чм, -^2,.... хл)] = (2л)лВ (sb s2,..., s„), (1.5.58)
F\e 1 2"]=л2е 4 1 2 л . (1.5.59)
Другие полезные в приложениях преобразования Фурье можно получить таким же путем.
Можно ввести преобразование Фурье обобщенной функции б (у) по двум переменным по формуле
(^[S^)], ^(а, (2)) = 4л2 J <р (х, O^dx, (1.5.60)
где а, р — новые переменные в пространстве преобразований Фурье. В этом случае обратное преобразование Фурье выражается формулой
<р(х, y)=_J— J j Ф(°, Й е^1^+9у) dad'^. (1.5.60') Следовательно,
Д [В (у)] = 2лВ (а).(1.5.61)
Аналогично
F [8 (х)]=2л8 (р).(1.5.61')
Заметим, что здесь б(х) и 6 (у) являются обобщенными функциями, сосредоточенными на прямых х=0 и у = 0 соответственно. Их нельзя путать с обобщенными функциями, сосредоточенными в начале координат.
Далее получаем
к [^ 8w]=-Za^[8wi=-2Zn^ (1.5.62)
F К"8 м= “r^F [8 (у)] = _2/л?8 (a)’ (1 -5'62,)
а также аналогичные результаты для производных произвольного порядка.
Можно, например, исходя из соотношений
6 (х) = 9 (х) X 1 (у), 8 (а, ?) = 8 (а) X 8 (^), (1.5.63)
с учетом формулы (1.5.24) написать
F [6 (х)] =4л28+ (a) X 8 (?) = 2л28 (а, ?) + 2гл — X8(?). (1.5.64) а
. Преобразование Лапласа
Л. Преобразование Лапласа функции одной переменной
Преобразованием Лапласа функции Цх) действительной переменной является функция L(p) комплексной переменной, определяемая соотношением
A(p) = j/(x)e-^x.(1.5.65)
о
Карсон использовал операционное исчисление, основанное на преобразовании.
С ^р) = р J / (х) e~Pxdx,(1.5.66)
о
которое называется преобразованием Карсона функции /(х) Д Очевидно, что
C^ = pL^.(1.5.67)
На основе преобразования Лапласа было развито операционное исчисление Хевисайда.
В отечественной литературе преобразование (1.5.66) известно под названием преобразования Лапласа — Карсона. — Прим. ред.
Определение 1.5.3. Пусть /(х)—комплекснозпачная функция действительной переменной, удовлетворяющая следующим условиям:
/(х) = 0 при х<0;
[(х) кусочно дифференцируема;
I / W I -CAle“x, М>0, а^-0.
Тогда функция
L [/ (х)] = J / (х) e~Pxdx,(1.5.68)
6
определенная для комплексной переменной p=u + iv, называется преобразованием Лапласа функции Цх). Функция /(х), удовлетворяющая условиям а)—в), называется оригиналом, а функция L[f(x)J— изображением функции f(x). Можно показать, что изображение L(p), определяемое соотношением (1.5.68), является аналитической функцией на комплексной полуплоскости Кер>а. Число а, фигурирующее в условии в) экспоненциальной ограниченности функции /(х), называется показателем роста этой функции. В частности, если оригинал ограничен, то его показатель роста а = 0.
Нетрудно проверить, что функции x+n, 6(x)cosx, 0(x)sinx, 0(х)е~х2 являются оригиналами, тогда как функция 9(х)ех'2 не является оригиналом. Сумма и произведение двух оригиналов являются оригиналами.
Поскольку функция (1.5.68) является аналитической, то она бесконечно дифференцируема в полуплоскости Кер>а. Справедливо следующее соотношение (теорема дифференцирования изображения):
Lw W = J (-х)л/ (х) e-Pxdx=L [(- х)л/ (х)]. (1 J5.69) о
Показатель роста оригинала (—х)”/(х) совпадает с показателем роста оригинала /(х).
Если /(х) является функцией класса С на [0, оо), то можно написать
— j e~Pxd/ (х)=/ (х) е~Рх | -|- /? j / (х) e~Pxdx. О00
Отсюда следует
L V' W] = PL [/ (х)] + / (0 + 0),(1.5.70)
где /(0+0)—скачок функции /(х) в начале координат, а /(0—0) =0.
Обратное преобразование Лапласа, обозначаемое как L-1, определяется соотношением
£-ЧЛ(/2)] = Л-1[Л[/(х)]]=/^ С L^ePxdp,u>0.
u—i оо
(1.5.71)
В общем случае голоморфная функция Цр) может быть преобразованием Лапласа некоторой функции f(x) тогда и только тогда, когда она определена на полуплоскости Rep>0 и ее модуль мажорируется полиномом относительно переменной |р|.
Для функции Хевисайда 6(х) можно написать
ООООСО
L [6 (х)] = J 9 (х) e~Pxdx=^ e~Pxdx= е-ихе-£Рх |. ооо
Заметим, что | е-1”4 | =1, а Пт е-“^=0, если только ы>0; поэтому
£[0(х)]=—, Re/?>0.(1.5.72)
Р
Аналогично получаем
А [9 (х) е-^]=—!—, р — к
Re р>
■ Re
(1.5.73)
L [9 (х) sin «)х] =
0)
р^ 4- 0)2
(1.5.74)
L [9 (х) cos юл] =,
р*1 4- ш2
Re р>
■ | Im « |
•
Формула (1.5.68), определяющая преобразование Лапласа для функций, может быть распространена и на обобщенные функции.
Определение 1.5.4. Пусть Цх) —обобщенная функция одной переменной с supp/<=[0, со) и такая, что произведение f(x)e~Px является обобщенной функцией медленного роста У^e-Pxe.S'y Тогда преобразование Лапласа обобщенной функции f(x) определяется соотношением
LU W] = <f^, e-PxY(1.5.75)
Теорема дифференцирования, выраженная соотношением (1.5.69), верна и в этом случае.
1.5.2.2. Свойства. Применения
Классические свойства преобразования Лапласа сохраняются и в случае обобщенных функций. Заметим, что
L [/ (*-*)] = (/ № е-Р^ = -L (/ (л), (Г Т). к > О,К
поэтому можно сформулировать теорему подобия
L\f(kx)\^—L{-^-Y к>0.(1.5.76)
к \ к )
Аналогично получаем теорему запаздывания
Ь^х-а^Н^ЦМ (1.5.77)
и теорему дифференцирования
Ь\Г^\=рЬ\/Ш(1.5.78)
или в общем случае
£[/(ЛМ = АлЧ/(<(1.5.78')
где производные рассматриваются в смысле теории обобщенных функций.
Заметим, что
L [8 (л)] = (8 (л), е-Р^^в0=1;(1.5.79)
формулы (1.5.76) — (1.5.78') позволяют также написать
£[8(Ъ:)]=—, к>0,(1.5.80)
к
ЦЦх-ау\=е~р<\(1.5.81)
£[8(”>(д;)]=^.(1.5.82)
Используя формулу для преобразования Лапласа (1.5.72) и соотношение (1.5.69), получаем
£ К - х^ wi=Ш(л)_ (_ 1Г 4L,\ р /р
откуда следует
£№=7«=(-1)"(-;) ■(1.5.83)
Далее, если учесть формулу разложения (1.2.71"), то будем иметь
£[8(х2 — а2)]— —— уе”А^е-Р°^=— ch/м, а>0. (1.5.84)
L [8 (sinL [8 (sin*)]=£*)]=£Используя формулу (1.2.75), получим
L [8 (sin
L [8 (sin
*)]=£
*)]=£
^ S (л — nay = ^ е~пг-р, п = — ооП =— ОО
n^Z.n^Z.(1.5.85)
n^Z.
n^Z.
Отметим также следующую теорему смещения (теорему затухания)
LVW^X^IAp-ky(1.5.86)
Например, £[6(л:)ехД=£(£-Х)=—1—.(1.5.86')
Что касается изображения производной оригинала, заметим, что формула для обобщенных функций (1.5.78) отличается, вообще говоря, от классической формулы
(1.5.70). Формальное совпадение получается только в случае, когда оригинал является непрерывной в начале координат функцией, т. е. когда скачок в начале координат f(0+0)=0. На самом деле формула (1.5.78) является более общей, чем формула (1.5.70); последняя является частным случаем первой. Действительно, если ввести в рассмотрение производную в смысле теории обобщенных функций и производную в обычном смысле и учесть формулу (1.2.28), то можно написать
Г(х)=7'(х) + /(О+О)8(х),
откуда следует
L\fW\ = L \f (х)] + / (0 + 0).(1.5.87)
Отсюда с учетом соотношения (1.5.78) получаем формулу (1.5.70).
В случае когда функция f(x) имеет несколько точек разрыва первого рода Хг (i= 1, 2, ..., и), можно цапнешь
f W=7' (х) 4V (0 4- 0№)+2 sz8 (х -
где S;'—скачок в точке х,. Применив к этому выражению преобразование Лапласа, получим
L V* (х)] = L \f (х)] + / (0 + 0) + 2 s^. (1.5.87') z-i
Пусть f(x) и g^x) —две обобщенные функции, носители которых содержатся в интервале [0, сю) и для которых при Rep>ai и Rep>«2 существуют преобразования Лапласа. Тогда при Rep>rnax (czj, czg) можно написать
(/(X), ^^[/(.Х)],
(1.5.88) e-P^=L\g(x)Y ■.
Согласно определению свертки,
(/И * g(x), e~p*)=(/Wxg(y), e-p^Y^
= (/W, te(y), e-pw^ = (g^, r^M е-р^== Ц/ (x)]A[g(x)].
Следовательно,
L [/ И * g W] = ^ [/ W] L [g (x)].(1.5.89)
Итак, преобразование Лапласа свертки двух обобщенных функций равно произведению изображений этих обобщенных функций в случае, если указанная свертка определена.
Из соотношения (1.3.27) имеем
Этот же результат можно получить как частный случай из формулы (1.5.83).
Аналогично можно написать
Z. [0 (х) еХх* 0 (х)] =1Re^^ReX, (1.5.91)
/’(/’ —X)
L [0 (х) еХх * 0 (х) е^] —,
(/> — X) (/> — ц)
(1.5.91')(1.5.92)(1.5.92')(1.5.91')(1.5.92)(1.5.92')Re р > max (Re X, Re u),
(1.5.91')
(1.5.92)
(1.5.92')
(1.5.91')
(1.5.92)
(1.5.92')
L [/ (х) * 8(Л) (х)] = p“L [/ (х)],А[/(х)*8(х)1 = А[/(х)].
Преобразование Лапласа обобщенной функции нескольких переменных
Классическое определение преобразования Лапласа в случае одной переменной, так же как и соответствующее определение для обобщенных функций, можно распространить на случай нескольких переменных. Итак, если /(■^ь ^2, хп)—комплекснозначная функция действительных переменных, удовлетворяющая следующим условиям:
Цхх, х2, ..., хп) = 0 при Х]<0 или х2<0 или ... или х^ <С0,
/(хь х2хп) имеет частные производные первого порядка,
I f(x„ х2,..., х„) | ^Меа1Х^а1Х^-^Хп, М>0, U\ , ^2, • • ’ > ^л
то преобразованием Лапласа функции /(хь х2, ..., хп) называется комплекснозначная функция п переменных p^Uj-ViDj {j — ^, 2,..., п\ определяемая соотношением
LkPv Pi,---, P^L\fkxXl х2,..., x„)] =
=j J" ‘ "J-^^’ х^--» x^e~{p'x'+p*Xi+'''+PnXn',dxxdx<:,...dxn, 0 0 о
(1.5.93) или
L [/ (х)] = J / (х) е~{Р’хMx, x£Rn, (1.5.93')
* де, jj^jJ
(А х)=р1х1 + р2х2+ . . . ^гРпХп,
(1.5.93") dx=dxxdx2.. .dxn.
Изображение L(pV) р2, ..., рп) является аналитической функцией на области Repeat (i=l, 2, ..., п). Обратное преобразование Лапласа определяется соотношением
/(Х1, х2,..., х„) = А-1[А[/(х1, х2,..., х„)]] =
«1 4-/ со Ua4-x со
“ (2лг)п J J
п, —Z ОО и^ — 1 60
ti^+Z ОО
... J L^px,p2l...lP^ep^P1X^-^pnxndpxdp2...dpn
(1.5.94)
при Uj~>aj (7 = 1, 2,..., п\
Очевидно, что
В частности, при/(хь х2, ..., x„)=/i(Xi) /2(х2) -./«(*„) можно написать
^I/iM, Ate),--., 7«(О1== Ц/1(х1)О1/2(х2)]...Ц/„(хп(].
(1.5.95)
Таким образом, для функции Хевисайда 0(хь х2, ..., хп) = = 6(Xi) 6(х2) ... 9(хп) получаем
L [6 (х1; х2,..., х„)] = L [9 (xj] L [6 (х2)]. . .£ [0 (х„)] =
=1, Re^>0 (/=1, 2,..., пУ (1.5.96)
Р1Р2- • -Рп
Аналогично можно показать, что
£[0(хь х2,..., xnUXlJCl+X1Jtl+-+x"Jc^==
= L [0 (xj б^1 ] L [0 (х2) eXi v=]... L [0 (xn) e ^"j =
(Pl — ^1)(Д2 — ^2). • -{Рп— X„)
при Ор,/> Re Xy (/— 1, 2,..., n). Заметим, что
£[0(x) sinx]—^1^ ,
(1.5.97)
(1.5.98)
L [9 (x) cosx] =,
1J 1 + p2
откуда, учитывая соотношение
sin (Xj -j- x2) = sin X] cos x2 -|- cos X] sin x2,
можно показать, что
£[0 (xb x2) sin (x, + -<2)]=
Pl +P2
(1 + P1)(1 + P2)
Reph Rep2>0.(1.5.99)
Теорема дифференцирования изображения имеет вид
= Д( — -х^Д — х^...^—x^f^ х2,...,хп^. (1.5.100)
Рассматривая соотношение (1.5.93) для случая рх = = Р2 = . • . = Рп = Р, получим формулу для итерированного преобразования Лапласа
L\f(*x, х^..., х^ТДр^
оо еоОО
^-■- j/^h xn^e-pU1A"x^"-"Vx^dxxdx2.. ,dxn 0 0 о
(1.5.101)
при тех же условиях, что и общее преобразование Лапласа. Например,
Л[е(хь х2).х„У1 = -^—.(1.5.102)
Очевидно, другие частные случаи общего преобразования Лапласа получаются аналогично.
Для изображения производной оригинала нескольких переменных можно написать
х2 ... хя)]-
(1.5.103)
-L [/(хь х2>..., х£_ь 0, xw,..., хй)],
где Z.[(f(Xi, х2, ..., хп)]—преобразование Лапласа в Rn, а Д/(хь х2, ..., Xt-x, 0, х,+1, ..., хп)] — преобразование Лапласа в Rn-V.
Например,
ддх2
gXiXi +Х2Х2
= p2L [e^i vi+^2^2 ]-Z[^-] =
О1 — \х^р2 — л2) рх — Х1 (^1 — Х])(^2 — Х2) ’ (1.5.103')
Re А > Re >4, Rep2>Rek2.
Это соотношение можно получить непосредственно.
Как и в случае одной переменной, преобразование Лапласа может быть распространено и на пространство обобщенных функций.
Определение 1.5.5. Пусть f (хь х2, ..., хп) еК' —обобщенная функция, носитель которой содержится в области х^О, х2^0, ..., Хп^О, и такая, что произведение
X Ле-(-р1Х1+Р2Х2+-+рпхп'>
является обобщенной функцией медленного роста.
Тогда преобразование Лапласа определяется соотношением
£[/W] = (/W, е-(р'Я x^R\£[/W] = (/W, е-(р'Я x^R\(1.5.104)(1.5.104)
£[/W] = (/W, е-(р'Я x^R\
£[/W] = (/W, е-(р'Я x^R\
(1.5.104)
(1.5.104)
где скалярное произведение (р, х) дается формулой (1.5.93").
Теорема дифференцирования, выраженная соотношением (1.5.100), верна и в этом случае.
Свойства. Применения
Как и в случае преобразования Лапласа обобщенной функции одной переменной, можно написать
ЦИМх, Мг,---, £„x„)] =
^1^2* • '^п\ ^1^2^п
(1.5.105)(1.5.105)Az>0 (/=1, 2,..., п\
(1.5.105)
(1.5.105)
L\j\Xx—au х2 — а2,..., хп—а„^=
= e-(p^+^+-+/W л [/(а, х2,..., х„)],(1.5.106)
(1.5.108)(1.5.108)(1.5.105')(1.5.105')Ь\Цхх — ах, х2 — а2.Ь\Цхх — ах, х2 — а2.хп -«„)] =хп -«„)] =_.e-(Piai+p2a^A-...+P„an')L ^"ЧЧ Ч - • Ч)]:_.e-(Piai+p2a^A-...+P„an')L ^"ЧЧ Ч - • Ч)]:Pi-Pi-(1.5.106')(1.5.106')(1.5.107')(1.5.107')
(1.5.108)
(1.5.108)
(1.5.105')
(1.5.105')
Ь\Цхх — ах, х2 — а2.
Ь\Цхх — ах, х2 — а2.
хп -«„)] =
хп -«„)] =
_.e-(Piai+p2a^A-...+P„an')
L ^"ЧЧ Ч - • Ч)]:
_.e-(Piai+p2a^A-...+P„an')
L ^"ЧЧ Ч - • Ч)]:
Pi-
Pi-
(1.5.106')
(1.5.106')
(1.5.107')
(1.5.107')
XZ,“", XnA = PlLV^Xx х2,..., л„)].
(1.5.107)
Заметим, что
= (Чч х2,..., х^, е-^^^Р^^-+Рп^)=е0=1.
Поэтому
МЧЧЧ Mz,..., ^пХп)1 = - ;- .-
А;> 0(1 = 1, 2,..., /г),
Можно написать также итерированное преобразование Лапласа
£[Чч х2,..., л„)]=1.(1.5.108')
Для преобразования Лапласа производной произвольного порядка обобщенной функции нескольких переменных получаем
д&.+^+'-+йлдхЪдх22... дхкп1 Zпд&.+^+'-+йлдхЪдх22... дхкп1 Zп/(хх, х2,..., х)/(хх, х2,..., х)
д&.+^+'-+йл
дхЪдх22... дхкп
1 Zп
д&.+^+'-+йл
дхЪдх22... дхкп
1 Zп
/(хх, х2,..., х)
/(хх, х2,..., х)
-pki1Pz1...p>L\f^xv х2х„)]. (1.5.109)
fex 4-feg 4-... 4-feдпдх^' дхк2*... дх^пfex 4-feg 4-... 4-feдпдх^' дхк2*... дх^пОтсюда, в частности, следует
fex 4-feg 4-... 4-feдп
дх^' дхк2*... дх^п
fex 4-feg 4-... 4-feдп
дх^' дхк2*... дх^п
=L -^—f{xx, л2.=L -^—f{xx, л2.Рассмотрим теперь формулу (1.4.16) дифференцирования функции /(х), xeRn, принадлежащей классу С1 всюду, за исключением гиперповерхности 5, где она имеет разрыв первого рода. Применив преобразование Лапласа, получим
=L -^—f{xx, л2.
=L -^—f{xx, л2.
., х„) + Z.[s,. cos [it, х^ 8(5)].
(1.5.110)
Поскольку оригинал f(xb х2, ..., х^^О только при хг^0, то гиперплоскости х, = 0 являются гиперповерхностями разрыва, причем скачок в направлении Ох, равен si = f{xX, Х2, . . . , Xi-l, 0, Хг+1, . . . , Хп) , 3 COS (fl, Xi) = 1; ПрИходим, таким образом, к формуле (1.5.103). Например,
=^[0^, _х2)] = -^- = А .(1.5.110')
Р1Р2 Д2
Формула для свертки (1.5.89) остается справедливой также и в случае нескольких переменных.
Для обобщенной функции п переменных f(xi, х2, ... ... , х„) с ограниченным носителем, содержащимся в области Xi^O, х2^0, ..., хп^0, преобразование Лапласа определяется также соотношением
L{pv Р^.... рп> =
= {f{xx% х2,..., хп\ е^^^^-^^^), ^Pj>aj,
(1.5.111)
где pj^Uj-Vtoi (/=1, 2,..., п).
Преобразование Фурье этой обобщенной функции равно
Д(зь з2,..., з„)=
= (/(ль х2,..., хп), e'^.+^+.-.+v,,)), (1.5.Ц2)
где s^ttj-Ytoj (у = 1, 2?..., п). Заметим, что
L{ — isv, —is2,..., —isn)=F (sb s2,..., s„). (1.5.113)
Для этих обобщенных функций можно также написать
Р^Щ,ип^ = lim ^(Sj, s2,..., $„)=
= lim 1Д — 1$Х, — is2,..., —is„) (/=1, 2,..., /z). »;^+0
(1.5.114)
Последняя формула имеет много практических применений.
НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ
Производные некоторых часто используемых обобщенных функций
Обобщенные функции одной переменной Для случая x^R можно написать
9'(х)=8(х), 9'(-х)=-8(х),(1.6.1)
(х+)'=9(х), (х_)'=-9(-х),(1.6.2)
(х+)' = Хх^\ (xl^-Xx^1, X^Z_,(1.6.3)
(6 (х) cos х)' = 8 (х) — 6 (х) sin х, (1-6.4) (9(х) sinx)' = 9(x)cosx,(1.6.4')
хВ(',)(х)=-и8(л'1)(х), n^N0,(1.6.5)
хл6(л) (х) = ( — 1)л«! 8(х), п 6М(1.6.5')
хл8(л~й)(х)=0 (^=1, 2,..., п, п^Кй\ (1.6.5") хл8(л+6) (х) = (- 1)л_(2±^2к 5W (х), n^N, (1.6.5'") k\
|х|' = 29(х)—l=signx, (signx)' = 28(x), (1.6.6)
И ~=9(л + а)_е(м)==
.0 при | х | >а]
= 8 (а — | х | ), а>0,(1.6.7)
кЧх>=ЧхА-<^-Чх-а>=-2хЧх?--а2\ а>0, (1.6.7')
(In ,х|)' = Ур^, (Vp^y=_VpJ-, (1.6.8) (x4-/0)x = x+ + e;^xi, X^Z_,(1.6.9)
^(x + ZO^/.^+zO)^1, X^O, (1.6.9') ^х—Ю^=х\А-е-^хх_, X^Z_,(1.6.10)
-£-(x-zO)x=X(x-z'O)x-1, X^O, (1.6.10')
In (x-(-z‘0) = In | x | +<л6(—xY (1.6.11)
-^1п(х+Ю)=Ур^-/Я8(х);=-^, (1.6.11')
ln(x —z‘O) = ln | x | —ш6(—x),(1.6.12)
-A— ln(x — z‘O) = Vp — -|-zn&x = —J, (1.6.12') dxxx — Z0
/(x) = —[(2га+1)л-х], n^Z, x^R, (1.6.13)
f'Vx^-^A- 2 Чх-^п^
^(-иУ^-^У^м, (1-6.13-)
Vл = —ОО /rt = l
№Y=^ й'(х-2лл)№Y=^ й'(х-2лл)пп
№Y=^ й'(х-2лл)
№Y=^ й'(х-2лл)
п
п
п sin пх.п sin пх.(— 1 при(— 1 прил —1х£[2п, 2«4"1), х£ [2/?+1, 2/? + 2),л —1х£[2п, 2«4"1), х£ [2/?+1, 2/? + 2),(1.6.13")n^Z, (1.6.14)(1.6.13")n^Z, (1.6.14)f'W = 2 J} (^1Я(М) = 4 ^f'W = 2 J} (^1Я(М) = 4 ^cos (2/г-|-1) лх.(1.6.14')cos (2/г-|-1) лх.(1.6.14')
п sin пх.
п sin пх.
(— 1 при
(— 1 при
л —1
х£[2п, 2«4"1), х£ [2/?+1, 2/? + 2),
л —1
х£[2п, 2«4"1), х£ [2/?+1, 2/? + 2),
(1.6.13")
n^Z, (1.6.14)
(1.6.13")
n^Z, (1.6.14)
f'W = 2 J} (^1Я(М) = 4 ^
f'W = 2 J} (^1Я(М) = 4 ^
cos (2/г-|-1) лх.
(1.6.14')
cos (2/г-|-1) лх.
(1.6.14')
Заметим, что ряд (1.6.14') соответствует ряду, определенному формулой (1.2.52) при 7 = 2; соответствующий график аналогичен графику на фиг. 1.17.
Обобщенные функции нескольких переменных
В случае обобщенных функций двух переменных можно написать
626 Ц. у) ^^ д^(1.6.15)
дхду
△ In ±=_2л8(х, у\ г=Ух2^М'\(1.6.16)
(1.6.16')
△) = 2л -^- 8 (х,
\г2 ) дх
-4г-( —) = л8(х, у),дг \ г }
(1.6.17)
z —x-^iy, z = x — iy,
Е^х; /) = Р ПрИ 1x1 <Л />0,(1.6.18)
(0 при | х | >/,
— Е (х; /) = 8(х4-/)-8(х-/), />0, (1.6.18')
-^"Е^ ^) = 6(^+^ + Ч^-^, ^>0,11.6.18")
4Ь^; П = ^Е^’ ^^'W^-W^x-ty ?>0, (1.6.18'")
('^"-°-^")6(/)6(^- I х I ^‘^^ ty (1.6.19) Для случая обобщенных функций трех переменных запишем следующие формулы:
Д-jL——4л8 (л, у, z), /?=Ух24-У2+22> (1.6.20)
Д^] = --^(/?2-Зх2)--^-8(х, д, zy (1.6.20')
Преобразование Фурье некоторых часто используемых обобщенных функций
. Обобщенные функции одной переменной
Для случая xeR можно написать
ДЩл)]1) =2л8(м),(1.6.21)
Д[8(х)]=1, Д[8(л-й)]=е-'“а,(1.6.21')
F [8(Лх)]=—,(1.6.21")
Д[8'(л)]=--ш, Д[6(л) (х)] = (-ш)л, ) (1.6.22)
F [8(2л) (*)] = (- 1)л/г2л,(1.6.22')
F [8(2л+1) (х)] = (- ХрЧи^+Ч(1.6.22")
Д[6 (л;)]=_2—= Л8(и)-НУр -^=2л8+(«), (1.6.23)
F [6 ( — х)]=^- = л8 (й) — i Vp — = 2л8_ (и),
(1.6.23')
F[9(a- | х | ] = 2-^^, a>0,(1.6.23")
х+1=-(7^=-Ур^-М8'<“’’ <L6-24>
(и —Z0)',+I
f+i[
VP ^
lf+W"* («)], n^N,
(1.6.25')
F [x] = —2iai' (u),
(1.6.26)
Л 1 x|l=-2VpA,
Gl.6.26')
'^Vp — j=/nsign«,
(1.6.27)
F [sign x] = 21 Vp — , a
(1.6.27')
^[х2я] = (—1)"2л8(2п)(м),
(1.6.28)
^[x^sign x] =
= 2/(-1)л(2«)! Vp-^,
(1.6.28')
F[x'1]=-2(-i)W”)(«),
(1.6.29)
F
VpJ-l=— . XnJ (71
—— лк"-1 s ign zt, n ^ No,
(1.6.29')
F
Ур-?-1=-л | м | ,
(1.6.29")
L I
—l=-2C-21n | a | , X | J
(1.6.30)
(u 4- zO)n+1
Vp^ + t-irW")^)], n^N, (1.6.25)
где С — постоянная Эйлера:
С = С———— </а — f-^^-
Ja=0,57721566490...
. (1.6.30')
01
F [sin ax] = uv [В (s — а) — В (s+a)],
(1.6.31)
F [cos ax] = n [1
। (s — £Z) -f- В (^“1“^)],
(1.6.31')
F [sh ах] = л [в ($ — ia) — В (s-|- za)].
(1.6.32)
F [ch ax]=л [8 (s — /a) + 8 (s4- M)],
(1.6.32')
F [e~a । x ।
, 2a
(1.6.33)
J a2 + u2 ’
Я 1 a 1
=e-ai“i, a>0,
(1.6.33')
[л a2 + x2 J
F [?
= 2K0]au\ <z)>0,
(1.6.34)
[ У x2 + a2 _
где Ko — модифицированная функция Бесселя второго ро-
да и нулевого порядка,
F [6 (х) е~ох] =
=, a>0,
a — ia
(1.6.35)
F[9( — х) е~а'х
]—1a^O
(1.6.35')
a + zu
р и-а’л Ч — '
/■Ы2
Яa )> n
(1.6.3G)
1 Iе 1
16.2.2. Обобщенные функции нескольких переменных
переменных(1.6.37)переменных(1.6.37)Для случая обобщенных функций двух можно написать
переменных
(1.6.37)
переменных
(1.6.37)
где
Г—р Х"-\-у\ "2 = )/ U1 -j-U2,(1.6.37')
6*
гдегдеX2 + ^.У2X2 + ^.У2^1=2л^,.Г2].2с Г 1^1=2л^,.Г2].2с Г 1у— №2)О2'у— №2)О2'" 6 (а — г)Ка2—г2" 6 (а — г)Ка2—г22лт22лт2^[Л'о^г)]^-^- а^ + ЛЗ^[Л'о^г)]^-^- а^ + ЛЗ(1.6.38)(1.6.38')(1.6.39)(1.6.39')(1.6.40)(1.6.41)(1.6.42)отметим(1.6.43)(1.6.43')(1.6.44)(1.6.44')(1.6.38)(1.6.38')(1.6.39)(1.6.39')(1.6.40)(1.6.41)(1.6.42)отметим(1.6.43)(1.6.43')(1.6.44)(1.6.44')
где
где
X2 + ^.У2
X2 + ^.У2
^1=2л^,
.Г2].2
с Г 1
^1=2л^,
.Г2].2
с Г 1
у— №2)
О2'
у— №2)
О2'
" 6 (а — г)
Ка2—г2
" 6 (а — г)
Ка2—г2
2л
т2
2л
т2
^[Л'о^г)]^-^- а^ + ЛЗ
^[Л'о^г)]^-^- а^ + ЛЗ
(1.6.38)
(1.6.38')
(1.6.39)
(1.6.39')
(1.6.40)
(1.6.41)
(1.6.42)
отметим
(1.6.43)
(1.6.43')
(1.6.44)
(1.6.44')
(1.6.38)
(1.6.38')
(1.6.39)
(1.6.39')
(1.6.40)
(1.6.41)
(1.6.42)
отметим
(1.6.43)
(1.6.43')
(1.6.44)
(1.6.44')
F Гур —1 = 4Л in -L _ 2лС0,Lr2Jа2
с С 1 —Z0(a)da_”? Жda,
JaJ«
o1
а /о — функция Бесселя нулевого порядка',
6“1
№и\ + «2 ’
1. “1(“1 —“2)
• =лг
Для обобщенных функций трех переменных следующие преобразования Фурье:
F [8 (R—а)]=4л — sin аа3)
гдегде^_уЗ^УН2"% ^З^^ «1+«2 + «3,^_уЗ^УН2"% ^З^^ «1+«2 + «3,°з
где
где
^_уЗ^УН2"% ^З^^ «1+«2 + «3,
^_уЗ^УН2"% ^З^^ «1+«2 + «3,
Аналогично для обобщенных функций п переменных можно написать
FflfXi, х2,..., х^] = (2л)"8(«! «2,..., «л), (1.6.46)
F[B(x1, х2,хя)]= 1,(1.6.46')
^[Ч^-ац хг-а^..„ хп-а^=е1^“^
(1.6.46")
F [8№хп А2х2,..., k^-—- 1, (1.6.46'")
I Я1Л2..,кп |
■^—8(х15 х2,..., х„) =—iUj (/ = 1, 2,..., «),
(1.6.47)
F[xJ=—2ш —— 8(хн х2,..., х„) (/=1, 2,..., ц).
(1,6.47')
Преобразование Лапласа некоторых часто используемых обобщенных функций
Обобщенные функции одной переменной
Для случая xe.R можно написать
£[6(х)]=—, £[6(х-а)]=—е—р, Reр>0, (1.6.48) РР
£[8(х)] = 1, £[8(х-а)]=е~аЛ(1.6.49)
£№)] = -^,(1.6.49')
L [8(л)(х)]=р\(1.6.50)
£[хл+] = (-1Г(2-у,,)--^г,Rejo>0, (1.6.51)
£[(х-а)+] = -у е-“р, LV.x-a.f^^^e-ap, R^p>0, piрЗ
(1.6.5V)
L [8(х-|-а)-|-8(х —a')l = 2chap1 Rep>0, (1.6.52)
£ ]8(x-|-a) —8(x—a)] = 2shap, Re/7>0, (1.6.52')
Z[8(a2x2-/>2)1=—— ch — p,(1.6.52")
| ab | a
£[8(sinx)]= 5 е-т-пР,
(1.6.53)
£[6(x)eXx] =—-—, Re p > Re X, p—X
L [6 (x) eZmx] = —1— , P fO)
L [6 (x) e-i M] =, Re p > 0,
P + ь
(1.6.54)
(1.6.54')
(1.6.54")
L [6 (x) cos ад] =Re p > 0,
p2 o)2
(1.6.55)
£ [6 (x) sin ад] =-—, Re p > 0,
/>2 _|_ «2
(1.6.55')
L [6 (x) ch ax] =— , Re p *> | Re a |
p1 — a2
, (1.6.56)
L [6 (x) shax] = —-— , Rep> | Rea | p2 _ a2
£[9(x)/0(x)] = —=, Re/?>0,
+1
, (1.6.56')
(1.6.57)
где /о — функция Бесселя нулевого порядка;
L [б (х) 6 (х —a) ln(x-f-]/ х2 —а2)] =
= — К0{ар\ а>0, Р
(1.6.58)
L
а>0, V Xi— al
(1.6.58')
L
XWlx-^aY ^_рК^ар^ а>0> И(х2 — Д2)3
(1.6.58")
где Ко — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
Обобщенные функции нескольких переменных
Для преобразования Лапласа обобщенных функций трех и четырех переменных имеем
А Г—Rep3=O,(1.6.59)
где
R=V x^j^ Рз-^+^+^з2,(1.6.599
Z[8(a-/?)] = ^-shap3,(1.6.60)
y.rcosj^i4л— pep q 1шЛ=0, (1.6.61)
L R Jр2+л23
=, Re^> | Rep3 |.(1.6.62)
L RJp2-^
Аналогично в случае обобщенных функций п переменных можно написать
Z. [9 (хъ х2,..., х„)] =i,(1.6.63)
Р1Р2- ■ -Рп
Repj>0 (/ = 1, 2,..., га), /.[^(х,, х2,..., х„)] = 1,(1.6.64)
Zpfxj-aj, х2—а2,..., xn-an^e^fllP1+fl2P1+-+flnpn\
(1.6.64')
£[8(Мь Л2х2,..., VJ]=——7-^——. (1.6.64")
LL1 -iSr- — е "_Гп .1 -iSr- — е "_Гп .I кгкг...кп I
L
L
1 -iSr- — е "
_Гп .
1 -iSr- — е "
_Гп .
;-, 1тЛ> | Rep„ | , (1.6.65) Р2 + *2
где
rn=V Xi4--X2+.. •+х«, ря—V^Pi 4~Р2 + • • • Ч-/7».
(1.6.65')
Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общие результаты. Фундаментальные решения
Теория дифференциальных уравнений в пространстве обобщенных функций отличается от теории этих уравнений в пространстве обычных функций. Вывод этих уравнений и отыскание их решений важны в приложениях. Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях позволяют находить новые решения, которые невозможно получить классическими методами.
Следует заметить, что вывод некоторых уравнений математической физики не всегда можно осуществить непосредственно в пространстве обобщенных функций из-за трудностей, возникающих при моделировании физических явлений. Вообще говоря, уравнения, описывающие такие явления, выводятся сначала классическими методами. После этого осуществляется нулевое продолжение неизвестных функций таким образом, чтобы они были определены на всем пространстве; рассмотренные в обычном смысле производные заменяются соответствующими выражениями, вычисленными согласно соотношению между производной в смысле теории обобщенных функций и производной в обычном смысле почти всюду непрерывной функции, имеющей конечное число точек разрыва первого рода. Таким образом, неизвестные величины задачи — это регулярные обобщенные функции. Затем допускается, что эти неизвестные могут быть произвольными обобщенными функциями. Часто используется другая возможность: с самого начала предполагается, что>
неизвестные величины— произвольные обобщенные функции, причем рассматриваемые дифференциальные уравнения в обобщенных функциях имеют тот же вид, что и дифференциальные уравнения, полученные классическими методами (очевидно, что эти уравнения справедливы не на всем пространстве). Однако общего метода перехода к дифференциальным уравнениям в обобщенных функциях не существует.
Основные функции
Приведем сначала некоторые полезные при исследовании дифференциальных уравнений свойства основных функций.
Пусть Н(Я)— подпространство K(R), Нс^К, содержащее основные функции вида
yAxWW, -^К.(2.1.1)
Заметим, что это подпространство характеризуется тем, что любой его элемент удовлетворяет соотношению
J /^dx=0.(2.1.2)
Пусть ф(х)е/((/?)—произвольная функция, а
>.= J Ф(х)^х(2.1.3)
— постоянная, соответствующая ф(х). Пусть также ФоМ^К^)—фиксированная основная функция, удовлетворяющая соотношению
J <р0(х)</х=1.(2.1.4)
Теорема 2.1.1. Любую основную функцию ф(х) eKW можно единственным образом представить в виде
+ ‘/Ах)еН (/?).(2.1.5)
Действительно, поскольку <ро(х)—фиксированная функция, а X определяется соотношением (2.1.3), то функция %(х) определяется единственным образом соотношением (2.1.5). Далее,
J 7.^dx = J ^^dx — X J cp0(x) dx=0.
Следовательно, 7-(_х)еН (R-) и ^х^ —бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем.
Этот результат можно распространить и на случай основных функций нескольких переменных. Пусть ф(хь х2, ..., хп)еЯ(^")— основная функция, определенная на Rn, а Х(х2, *з, •••> хп)еК(/?”-1)—ассоциированная основная функция, определяемая соотношением
4*2, Х3,. . ., Хп^ =
= f Ф(Х1, х2,..., x^dxx, ^гК^НпУ (2.1.6)
Пусть также <ро(*1)еЯ(Я)—фиксированная основная функция одной переменной, обладающая свойством
J ToM^i^1-J ToM^i^1-(2.1.7)(2.1.7)
J ToM^i^1-
J ToM^i^1-
(2.1.7)
(2.1.7)
Обозначим через ЯД/?”) подпространство K^R"), НхсК, содержащее основные функции /(xi, х2, ..., х„), обладающие свойством
., x^dxx = 0.., x^dxx = 0.(2.1.8)(2.1.8)
., x^dxx = 0.
., x^dxx = 0.
(2.1.8)
(2.1.8)
Любой элемент этого подпространства имеет вид/С*!, х2,..., хл) =
(2.1.9)(2.1.9)= -А-®(хх, х2,..., хп\ ^^K(Rn).
(2.1.9)
(2.1.9)
Следовательно,
х2,..., х„) = ( /(«!, х2,..., x^d^v (2.1.9')
Теорема 2.1.1/ Любую основную функцию ф(хь х2,... ..., хп)е/<(7?п) можно единственным образом представить в виде
№> Х2,..., X„)=Z(Xb Х2,. . ., Х„) +
+4*2, х3,..., х„)То(х]), z(xb х2,..., хп^Нг (/?").
(2.1.10)
Действительно, функция Z(xb х2, ..., хп), единственным образом определяемая соотношением (2.1.10), является основной и удовлетворяет соотношению (2.1.8), т. е. принадлежит подпространству Hi^R^Y
Первообразная обобщенной функции
Определение 2.1.1. Обобщенная функция g(x) eK^R) называется первообразной m-го порядка обобщенной функции f (х) еК'(R), если
gwW=:m (2.1.11) т. е.
(^-)(Х), ®(х)) = (/(х), ?(х)) (2.1.11')
для любой ^X^KkRY
В частности, если т = 1, то g(x) является первообразной первого порядка или просто первообразной обобщенной функции f(x).
Теорема 2.1.2. Любая обобщенная функция f(x)e гКЧк^ обладает первообразной g(x)^R'(RY Две первообразные gi(x), gz(x) отличаются на постоянную.
Действительно, пусть дана обобщенная функция Кх^еКЧК) и ф(х)е/<(7?)— основная функция, записанная в виде (2.1.5). Определим функционал g(x) соотношением
teW, Ф^^^М, zW)+x(£W> ?oW) ==teW> т'С^Н^^ — (/(x)> ?W)+X^>
где C=(g(x), фо(х))—постоянная величина. Нетрудно проверить, что определенный таким образом функционал g(x) является линейным и непрерывным и представляет собой обобщенную функцию. С другой стороны, справедливо соотношение
(gW, Ф' (x))=-te'(x), Ф W) = -(/W. ?И)+^С.
где
"^= j ф'(х)г/х=0, ?= J z(^=
= j О)^=Ф(Х)-
Следовательно,
(g'(x), ф(х))=(/(х), ф(х)),(2.1.12)
или
g'(xW(x).(2.1.12')
Таким образом, существование первообразной доказано.
Пусть теперь giM и g2(x)— две первообразные обобщенной функции f(x). Для ф(х)е/((/?) можно написать
W ?(•*))=(£2 Iх), ?W)> теW
или
([^И-^гМ]'. “Wj^-lgi М-^(х), ф'(х)) =
= - (^i W -g2 (х), z W), X S Н.
Рассмотрев теперь ф(х)еК(Р) в виде (2.1.5), получим
Vg\^-g^xV ФМ)=
= (^1 W - ^2 W> Z W) + ^ (^1 W - g2 (X), ф0 (X)) =
=лС—С j <p(x)rfx=(C, <|>(х)),
где (^iW-g2(x), ср0 (х)) = С=const.
Следовательно, giW-g2^=C(2.1.13)
и теорема полностью доказана.
Теорема 2.1.2'. Любая обобщенная функция f(x)e eK4R) обладает первообразной g(x)eK'(R) произвольного порядка пг. Две первообразные gi(x), g2 (х) одинакового порядка пг отличаются между собой на полином степени пг—1.
Действительно, существование обобщенной функции ^(х), удовлетворяющей соотношению (2.1.11), можно доказать методом математической индукции, используя результаты, полученные в случае т=1, для которого теорема доказана. Предположим, что существует обобщенная функция h^, для которой h^-^^x) — f(x). Заметим, что в силу доказанного существует обобщенная функция g(x^, для которой g'(.x>) =h(xy Отсюда следует, что gM удовлетворяет соотношению (2.1.11), т. е. существование первообразной m-го порядка доказано.
Предположим теперь, что существуют две первообразные m-го порядка АДх) и А2(х), для которых
(АДх)-А2(х), <р(х))= J Рт_г (х) ср (х) dx,
где Р^х^— полином пг—1-й степени. Тогда после интегрирования по частям с учетом формулы (2.1.1) получается следующее соотношение для первообразных 5i(x)=A/(x) и g2(x) = h2(x):
kgiW-g2W, хМ)= J Pm^x^dx,
где P-mA^— полином m-й степени. С учетом представления (2.1.5) для основной функции ф(х)е/((/?) можно написать
teiW-^W- 9W)=
=(^М-^2М>?0М)=
= J ^V^WWl-glW, To(x)) =
= 4glW-&(4 ToW)-
—X J PmW?oW^+ J Pm(X)<p(x)</x =
= J PmVd№W^C=
=(^mW+C, ФМ). C=const, откуда следует
gx^-g^-P^x)(2.1.14)
(постоянная С вошла в полином Pm^Y
Теорема 2.1.3. Для любой обобщенной функции f(xb х2,..., хп) eK'(Rn^ существует первообразная g(xi, х2,... ..., хп) еК' (^п), так что
-^-g^x, х2,..., хп)=/^, х2,..., хп). (2.1.15) 0X1
Если gi^Xi, х2, ..., хп), g2(xi, х2Хп) — две первообразные, то
gl^X, х2,..., xn)—g2txv х2,..., хп) =
= h(x2, х3,..хп),(2.1.16)
где h (х2, х3,..., х„) G К' ^п""х\
Отметим, что эту теорему можно обобщить для первообразной произвольного порядка т, так что
dmg(x!, х2,..., хп) _дх™1 дх2 2... дх™п
(2.1.17)
= /(х1, х2,..., х^ (т = Ш1 4-;п2-г • • • +т„1-
Общие результаты
Учитывая полученные результаты, можно утверждать, что дифференциальное уравнение
^М_^0(2.1.18)
dx
имеет единственное классическое решение
у (x) = C=const.(2.1.18')
Рассматриваемое в смысле теории обобщенных функций дифференциальное уравнение
^.W^/^),(2.1.19)
dx
где f(x)—произвольная обобщенная функция, всегда имеет решение. Заметим, что если f(x) является регулярной обобщенной функцией, то всегда существует первообразная, являющаяся также регулярной обобщенной функцией. Отсюда в силу теоремы 2.1.2 все первообразные будут регулярными обобщенными функциями.
Теорема 2.1.4. Пусть уравнение (2.1.19), где f (х)— обычная функция, рассматривается в смысле теории обобщенных функций. Тогда его единственным решением является классическое решение
У(^) = ^ f(x)dx-
Заметим, что возможны случаи, когда / (х) является сингулярной обобщенной функцией, тогда как ее первообразная— регулярная обобщенная функция. Например, при f(x)=6(x) получим первообразную у(х)=0(х). Возможны также случаи, когда [(х) —регулярная обобщенная функция, тогда как ее первообразная является непрерывной функцией. Например, при f(x) = 0(х) получим первообразную у(х)=х+. В общем случае можно написать
y^=xv-rC=xft (х)-|-С, C=const. (2.1.20)
(2.1.21)(2.1.21)Если исходить из уравнения z/" (х) = В (х),
(2.1.21)
(2.1.21)
то в силу теоремы 2.1.2' получилось бы равенство ^(х)=х+4-С-|-С1х, C,Ci=const. (2.1.21')
Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений первого порядка, записанную в нормальном виде
/-У1 W=O11 ^ У1 (х)4-О12 (X) у2 (х) + ... +а1л (х) уп (х), ах.
(х) ух (х) +а22 (х) у2 (х) + ... + а2л (х) уп (х),
(2.1.22)
^М=ал1 (х) ух (х) -}-ал2 (х) у2 (х) + ... +алл (х) уп (х),
где коэффициенты aij(x) являются бесконечно дифференцируемыми функциями.
Введем матрицы
(
°и а12.. .а1л\Z^1 \
а21 а22...а2л1 I у2 j (2д 23)
°л! ал2- • -^лл/\Уп /
Тогда эту систему можно записать в виде
№_ = Д(х)у(ху ах№_ = Д(х)у(ху ах(2.1.22')(2.1.22')
№_ = Д(х)у(ху ах
№_ = Д(х)у(ху ах
(2.1.22')
(2.1.22')
Известно, что существует квадратная невырожденная матрица U(х) (det (/=/=()), называемая фундаментальной матрицей системы уравнений (2.1.22'), которая является классическим решением этой системы, т. е. для которой можно написать
Vx\U\xV (2.1.22")
Теорема 2.1.5. Единственным решением матричного дифференциального уравнения (2.1.22х) с элементами матрицы А(х), являющимися бесконечно дифференцируемыми функциями, будет классическое решение.
Действительно, допустим, что существует решение в обобщенных функциях у(х) = (/(х)г(х), где z(x) —новая неизвестная матрица. Дифференцируя, получаем
dxdxdx
Отсюда, учитывая равенство (2.1.22"), будем иметь t/(x) ^^-=0.
Далее, поскольку Щх)—невырожденная матрица, то dz(x) jdx=O. Следовательно, 2(х) =С и теорема доказана.
Рассмотрим теперь однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами
(Х) Д~ \ dx )
+аДх)Дл~Дх)+.. .-|-<z„(x)//(x)=0. (2.1.24)
Если ввести обозначение
t/z(х) = (/<"-') (х) (/=1, 2,..., п^ (2.1.25) то можно показать, что это уравнение эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений вида (2.1.22).
Теорема 2.1.6. Дифференциальное уравнение (2.1.24) для каждого x<=R всегда обладает отличным от нуля решением класса С".
Теорема 2.1.7. Единственным решением однородного дифференциального уравнения п-го порядка (2.1.24) с переменными коэффициентами аДх^гО (i=l, 2, ..., п) является классическое решение.
В частности, единственным решением рассматриваемого в смысле теории обобщенных функций дифференци-
ального уравнения
у' ^Д-а^у (х)=0, ф)еС”, (2.1.26) является классическое решение
у^ = СеC=const. (2.1.26')
Если ух^х), у2(х), ..., z/n(x) —фундаментальная система решений уравнения (2.1.24), то общее решение этого уравнения можно записать в виде
У Vx) — C1y1 (л:)-^-С2У2 М+ • • • +Слуп(л),
C,=const (/=1, 2,..., п).(2.1.24')
Вронскиан фундаментальной системы решений отличен от нуля:
^ (У1, Уз, • . •, Уп^ =
УхУз••-Уп
У1у'з•••У'п
/0, (2.1.27)
yU-П у^...у^
поскольку эти решения линейно независимы. В этом случае уравнение (2.1.24') можно записать в следующем виде:
Ух
Уз •
••Уп
У
Ух
Уз •
•■У'п
У*
У^
у^.
■У^
ytn-X)
yV
УП2 .
у(п>
W (Ух, Уз,---, Ут У} =
=0. (2.1.28)
Коэффициенты аДх) (i=l, 2, ..., и) уравнения выражаются в виде
УхУ2-.-Уп
у; у^ ■••у;
=
IT (У1, 02Уп)
y('---i) у('--1>...у(«-/-1)
•
у^+1) у^^.. .у^^
yWу^. . ,yW
(2.1.28')
2.1.1.4. Обобщенное решение. Фундаментальное решение
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение п-го порядка
рИу№=/(4 /^^К'^(2.1.29)
\ dx ]
с коэффициентами аДх)еС°° (i=l, 2, ..., и).
Определение 2.1.2. Обобщенным решением дифференциального уравнения (2.1.29) на интервале [а, 6] называется обобщенная функция у^еКЧИ), которая удовлетворяет в смысле теории обобщенных функций этому уравнению на интервале [а, 6], т. е. для которой выполняется соотношение
\ \ ах //\ \ ах //(2.1.29')(2.1.29')
\ \ ах //
\ \ ах //
(2.1.29')
(2.1.29')
при любой ф(х)е/((/?), такой, что supp ф(х) с[а, 6].
Теорема 2.1.8. Пусть f(x)—непрерывная на [а, Ь] функция. Тогда единственным решением уравнения (2.1.29) на интервале [а, 6] является классическое решение.
Определение 2.1.3. Пусть коэффициенты линейного дифференциального оператора Pfdjdx1), соответствующего уравнению (2.1.29), являются постоянными величина-
ми. Элементарным, или фундаментальным, решением уравнения (2.1.29) или соответствующего оператора P^d(dx^ называется обобщенная функция £(x)e£z(£), удовлетворяющая уравнению
pf-^-)£(x) = 8(x).pf-^-)£(x) = 8(x).(2.1.30)(2.1.30)
pf-^-)£(x) = 8(x).
pf-^-)£(x) = 8(x).
(2.1.30)
(2.1.30)
Теорема 2.1.9. Решение уравнения (2.1.29) существует и имеет вид
у (х) —Е (х) * / (х),(2.1.31)
если только свертка определена.
Это утверждение справедливо, если, например, обобщенная функция /(х) обладает ограниченным носителем или если фундаментальное решение обладает таким носителем.
Для доказательства теоремы используем формулы (1.3.20) и (1.3.23). Тогда
Р^Ых) = р(^][£(х)*/(х)]=; \ dx )\ dx )
= р[±)£(х)*/(х)=8(х)*/И=/(4 \ dx )
Заметим, что существует бесконечно много фундаментальных решений. Все они отличаются на слагаемое, являющееся решением однородного уравнения
P(-^b(x)=0.(2.1.32)
Частное решение уравнения (2.1.30) называется частным фундаментальным решением и обозначается через £+(х). Общее решение однородного уравнения (2.1.32) обозначается через £о(х). В этом случае общее фундаментальное, или просто фундаментальное, решение дается формулой
£(х)=£0(х)+£+(х),(2.1.33)
которую можно непосредственно проверить.
Частное или общее решение данного уравнения можно получить, если использовать соответственно частное
фундаментальное или фундаментальное решение этого уравнения.
Например, одним из частных фундаментальных решений оператора dnldxn является следующая обобщенная функция:
ДД(х) =’^^ х'7"1.(2.1.34)
+ k ;(п— 1)! +(п—1)1k ’
Для доказательства этого результата можно использовать метод математической индукции. Формулу (2.1.34) нетрудно проверить при п=\. Пусть £п— решение, соответствующее показателю п. Заметим, что
/л-1\( л) ., (Л)
х \ _ F х \_
= Е^ ^^с\Е^У+ . . . +С"£ J—
п\ п J\ п /
=—8(х)4-0(х) = 0(х),
поэтому fn+V^S (х). Таким образом, формула (2.1.34) доказана.
Аналогично регулярная обобщенная функция
Е (х) = 0(х) —, ш>о,(2.1.35)
является фундаментальным решением оператора [d2!dx2) + со2. Действительно, поскольку
Е' (х)=0 (х) COSOJX,
Е" (х) =8 (х) — 0 (х) <о sin <ох, то утверждение очевидно.
Далее, обобщенная регулярная функция
Е (х) =Lg—lxi, (U>0>(2.1.36)
является фундаментальным решением оператора t^d2jdx2)—со2. Эта обобщенная функция порождена непрерывной всюду, за исключением начала координат,
дифференцируемой функцией (фиг. 2.1). Заметим, что
Е' (•*)="£■ е~™1 х 1 sign х-
Дальнейшая проверка утверждения не представляет трудностей.
Эти операторы имеют многочисленные применения в механике, особенно в задачах теории колебаний.
Е(х) |
Фиг. 2.1
2.1.2. Методы решения
Метод вариации постоянных
Одним из классических методов интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является метод вариации постоянных. Этот метод может быть применен и в случае, когда уравнения изучаются в пространстве обобщенных функций.
Рассмотрим уравнение
pM-W)=№)> m^K4RY (2.1.37) \ dx j
где оператор P(djdx) определен в формуле (2.1.24). Пусть у\^, уг(^), •••, Уп^х), хе[а, 6], — фундаментальная система решений (т. е. система линейно независимых частных решений) однородного уравнения (2.1.24) с отличным от нуля на интервале [а, 6] вронскианом (2.1.27). С другой стороны, уравнение (2.1.24) можно записать в виде (2.1.28); коэффициенты уравнения даны формулой (2.1.28'). ‘
Предположим, что коэффициенты aiW бесконечно дифференцируемы. Поскольку вронскиан ^(уь уг, — , Уп) дифференцируем, с учетом формулы (2.1.28') получаем, что вронскиан бесконечно дифференцируем на интервале [а, 6]. С помощью фундаментальной системы решений общее решение однородного уравнения (2.1.24) можно записать в виде (2.1.24').
Используя метод вариации постоянных, будем искать решение неоднородного уравнения (2.1.37) в виде (2.1.24'). При этом будем предполагать, что СДх) (i = l, 2, ..., и) являются обобщенными функциями. Коэффициенты СДх) можно определить из системы уравнений
Ci (л) у! (л) + Ci (л) у2 (л) + ... + С'п (л) у„ (л) = О,
Ci (л) yi (л) + Ci (л) yi (л) + . • • + С'п (л) у'п (л) = 0,(2.1.38)Ci (л) у^ W + Ci (л) у^2’ (л) 4- • • - +Ci (л) у<"-2)(л)=0,
Ci (л) уМ (л) + Ci (л) у^ (л) + ... + С’п (л) у^} (л) =
-/(л).
Далее, поскольку определителем этой системы является вронскиан Ц7(уь у2, ..., уп), который отличен от нуля на интервале [а, 6], то решение системы можно записать в виде
Ci (л) = ^ ^ f (л) (г=1, 2,..., п\ (2.1.38')
где ДДх) — алгебраические дополнения элементов последней строки и i-ro столбца вронскиана. При помощи первообразных этих обобщенных функций общее решение уравнения (2.1.37) можно записать в виде (2.1.24').
Если коэффициент при y<n>(x) не равен 1, то последнее уравнение системы (2.1.38) изменится — первый член нужно умножить на этот коэффициент. При этом определитель полученной системы не всегда отличен от нуля, так что при решении системы следует учитывать имеющиеся особенности.
Эти рассуждения можно использовать при определении фундаментального решения, соответствующего оператору Pt^djdx). Если /(х)=6(х), то можно написать
С;(х) = ^^-8(х)=-^^-8(х).(2.1.39)
1 IT (а:)’W(0)'’
Отсюда следует
СДх)=^М-9(х) (z = 1, 2,... /г). (2.1.39') ’U7(0) v’7
Частное фундаментальное решение выражается в виде пп
w=S Ж,и<2Л■40)
/-11=1
где, согласно соотношению (1.3.26), Уг+(х)—положительная часть функции Уг^х).
Если фундаментальная система решений является нормальной, т. е.
^(0)= 1, ^(0)=0 г/("-1)(0) = 0,
Ы0)=0, г/'(0)=1,-.., .^-D (0)=0, (2.1.41)
^л-1(0)=0, z/^^^O,..., z/(L-D(O)=O,
Уп(0) = 0, г/;(0) = 0 г/("-1)(0)=1,
то VT(O) = 1, Д,(0)=0 (г = 1, 2,..., /г-1), Д„(0)=1, так что
Е+^ = Цх^уп^х) = уп+ (х).(2.1.42)
Общее решение однородного уравнения можно записать в виде
^о W=У (0) У1W + у' (0) у2 (х) + .. . + у^-г) (0) уп (х).
(2.1.43)
В частности, если у (0)=у' (0)= ... =у(.п~^ (0)=0, y(n-i) (0)= 1, то можно написать
Е0^ = уп^.(2.1.44)
Отсюда следует, что для определения частного фундаментального решения можно исходить из решения Е0(х) однородного уравнения, удовлетворяющего следующим начальным условиям:
£о(О)=О, fo(O)=O,..., 4Л~2) (0)=0,ti”-1)(0) = l.(2.1.44')
Рассмотрим, например, уравнение
y(n)W = /W, /WEK4RY^ЛА5)
Решение соответствующего однородного уравнения yW^=0(2.1.46)
записывается в виде
Ео (х) = Сх + С2 (х) + ... + Спх-Ч (2.1.46') С учетом условий (2.1.44') получаем
(2.1.46") (п — 1)!
Мы пришли, таким образом, к частному фундаментальному решению (2.1.34).
Для дифференциального уравнения y"(x)-«W) = /(x), f^GK'^,(2.1.47)
можно написать
Eq^x^C^^-C^-^, ш>0.(2.1.48)
Отсюда с учетом начальных условий Ео(О) =0, Ео'(0) = 1 получаем
Тогда частное фундаментальное решение можно записать в виде
f+(x) = -^l-(e^-e-M-r)=-^-sh<0A:, <u>0. (2.1.47')
Заметим, что это решение отличается от полученного ранее (2.1.36). Однако если к нему прибавить решение — (1/2(о)е“х однородного уравнения, то получим решение (2.1.36).
Аналогично для уравнения
у"(х)4-<о2у(х) = /(х), / (х) е К' <R\(2.1.49)
находим
EQ (x) = Cj cos <ох4-С2 sin <ох (2.1.50)
и получаем частное фундаментальное решение (2.1.35). Рассмотрим уравнение
У" W+ ш2У (х)=9 (х) cos w'x,
(2.1.51) (О ф 0)', (О, О)' > 0.
Частное фундаментальное решение (2.1.35) и обобщенная функция в правой части имеют один и тот же носитель— интервал [0, оо). Следовательно, получаем решение
у (х)=/?+ (х) * 9 (х) cos (о'х=
Опри х < 0,
х(2-1-51')
= 16.,л COS ш'х— cos «>х. ~
— I sin wcosw (x —Z)ar=-—■ при X^O.
Рассмотрим следующее линейное неоднородное уравнение с переменными коэффициентами:
ху"(х) —у'(х)=х2.(2.1.52)
Общее решение однородного уравнения имеет вид у^ = СхфС^.(2.1.53)
Далее, И?(х)=2х=#0 при х=#0. Используя метод вариации постоянных, получаем систему уравнений
Ci (х)4-х2С2 (х)=0,
(2.1.54) 2х2С2(х)=х2,
позволяющую определить обобщенные функции Ci (х) и С2(х). Заметим, что в этом случае коэффициент при у"(х) отличен от единицы.
Из написанной выше системы уравнений следуетс; ^=—Lx2,
(2.1.54') c;w=-~[mww(4
Отсюда получаем
C1W=—^3 + ^1, ^=4^
^ЦхН-уЦхН^ Ап А2, Аз, A4=const. (2.1.54")
Следовательно,
у (х) = -^-х34-а]Х24-а2х29 (х)4-а3, a1a2,a3=const.
(2.1.55)
Заметим, что при помощи обобщенной функции Хевисайда это решение определено на всем интервале (—оо, оо), тогда как классическое решение определено только на каждом из интервалов (—оо, 0) и (0, оо), на которых оно совпадает с обобщенным решением.
Рассмотрим уравнение
ху"^ — z/'(x)=l.(2.1.56)
Соответствующая система имеет вид
Ст {х)+х2С2 (х)=0,
(2.1.57) 2л2С2 (х)= 1.
Отсюда находим
С1И=—yx + Ab C2(x)=—|-Vp-L + ^0W +
-|—^ 8' (х)4-А4, Аь А2, hj, A4=const. (2.1.57')
Используя свойства обобщенной функции Vp(l/x), получаем
у (х) = — х + щх2 + а2х29 (х) + а3,
(2.1.58) аь а2, а3—const.
Далее рассмотрим уравнение
ху"^ — z/'(x) = 8(x).(2.1.59)
Запишем соответствующую систему
ti(x)+x2ti(x)=0,
(2.1.60) 2х2С2(х) = 8 (х),
откуда.
С1(х)=—1-6(х) + А1, С2(х)=-^8'(х) +
(2.1.60')
Н~ ~^" ^ G^) Н~'^ 6 (х) Н~ ^4, Лр h2, h3, /14—const.
Следовательно, общее решение принимает вид
у (х) =— 6 (х) -|- а^2 -{-а2х29 (х)+а3,
(2.1.59') аь а2, а3=const.
Полученное общее решение не является фундаментальным, поскольку нельзя выразить решение уравнения
х/'(х)-/(х)=/(х), /(x)GtfW (2.1.61)
в виде свертки у^* f(x), так как оператор x(d2/dx2)— —d]dx имеет переменные коэффициенты.
Метод интегральных преобразований
Интегральные преобразования могут быть особенно полезными при решении дифференциальных уравнений в обобщенных функциях. Ниже будет показано, как
можно использовать в этих целях преобразование Фурье и преобразование Лапласа.
Рассмотрим, например, (недифференциальное) уравнение
(2.1.62)(2.1.62)xnytx)=0..
(2.1.62)
(2.1.62)
При х#=0 единственным классическим решением является функция z/=0. Однако в пространстве обобщенных функций это уравнение имеет и другие решения.
Действительно, применим преобразование Фурье. Тогда, используя свойство (1.5.22'), получаем
(2.1.63) dsn
откуда в силу теоремы 2.1.2'
F(s)=C0 + C1S + C2s2 + ... +C„_1s""1. (2.1.63') Применив обратное преобразование Фурье, можно написать
г/(х)=С08(х) + С18'(х) + С28"(х)+ ... + С„_18<"-0(х).
(2.1.62')
В частности, при п= \ решением уравнения ху^х)—^(2.1.64)
является обобщенная функция
^(х)=С08(х).(2.1.64')
Рассмотрим теперь линейный оператор с постоянными коэффициентами
(2.1.65) / dxn dxn 1
а также соответствующее уравнение (2.1.30). Применив преобразование Фурье к этому уравнению, получим
Р (— is) F \Е (х)] = 1, s — u-\-i4).(2.1.65')
Это уравнение всегда имеет решение. Следовательно, можно определить фундаментальное решение уравнения
а также решение уравнения (2.1.29) при условии, что существует свертка (2.1.31).
Отметим, что преобразование Фурье можно применить непосредственно к уравнениям вида (2.1.37), несмотря на то что это уравнения с переменными коэффициентами. Например, применив преобразование Фурье к уравнению
£'//(х)-со2£'(х) = 8(х),(2.1.66)
получим
(- is)2F [£ (х)] - w2F [£ (х)] = 1,(2.1.67)
откуда следует^ (-<)] =откуда следует^ (-<)] =1$2 -[- о>21$2 -[- о>2
откуда следует
^ (-<)] =
откуда следует
^ (-<)] =
1
$2 -[- о>2
1
$2 -[- о>2
Используя формулу (1.5.37), получаем фундаментальное решение (2.1.36).
Применим преобразование Лапласа к уравнению
£"W|<pc) = S'4(2.1.68)
Тогда
p2L [/-(xH + ^Z [£ (х)] = 1.
Отсюда следует
£[£(х)]=—(2Л.69) _)_ о)2
Применив теперь формулу (1.5.69), получим фундаментальное решение (2.1.35).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение с переменными коэффициентами
xy''toWk)=H4(2.1.70)
Применив преобразование Лапласа, получим
(p2L \у ^\H^PL [у (х)] = 1,(2Л.71)
dP
откуда следует
-p^L\yU^ = \,
а также
^(^--L-j-Cp(2.1.72)
Р
Применение обратного преобразования Лапласа позволяет написать
^(х)=0(х)+С18(х) + С2,(2.1.70')
где вторая произвольная константа С2 соответствует однородному уравнению.
Применив теперь преобразование Фурье к уравнению (2.1.70), получим
i ^F {у (х)]) - 2isF [у (х)] = 1,(2.1.73)
as
откуда следует
и
Л[г/(х)]= — + СЬ C^const. (2.1.74)
Применение обратного преобразования Фурье приводит, таким образом, к тому же решению (2.1.70').
УРАВНЕНИЯ В СВЕРТКАХ
Свойства уравнений в свертках
Алгебры со сверткой
В линейном пространстве определена операция сложения двух элементов пространства, а также операция умножения на число (действительное или комплексное). В некоторых из таких пространств можно определить и операцию умножения двух элементов пространства.
Определение 2.2.1. Линейное пространство А называется алгеброй, если в нем определена операция умножения двух элементов, удовлетворяющая следующим условиям:
х (z/г) = (xz/) г, х, у, zed (ассоциативность);
(ах) $уУ—№) (*> У\ х, уеА, а, 'leR;
X(z/ + 2)=xy-\-xz, (у Д-z) Х = уХ-\- ZX, X, у, zeA (дистрибутивность относительно сложения).
Если операция умножения обладает еще следующим свойством:
ху=ух, х, уеА (коммутативность), то алгебра называется коммутативной.
Элемент иеА называется единичным элементом, если он обладает свойством
их=хи = х для любого хеА; в этом случае А называется алгеброй с единицей.
Например, множество непрерывных на интервале [а, Ь) функций образует коммутативную алгебру с единицей, если под умножением понимать обычное умножение двух функций.
Аналогично множество квадратных матриц порядка п с действительными элементами образует (некоммутативную) алгебру с единицей.
Если для элемента хе А существует элемент х-'еА, такой, что
хх^^х-'х^ц,
то говорят, что х-1 является обратным элементом для х.
В алгебре матриц порядка п не всякий элемент обладает обратным; обратный элемент существует тогда и только тогда, когда матрица невырождена (ее определитель отличен от нуля).
В пространстве обобщенных функций, являющемся линейным векторным пространством, определена свертка двух обобщенных функций, которая есть не что иное, как операция умножения двух обобщенных функций. Однако пространство обобщенных функций не является алгеброй по отношению к такой операции умножения, поскольку свертка определена не для всех пар обобщенных функций. Если свертка имеет смысл, то она является коммутативной и ассоциативной операцией, причем единичным элементом для нее служит обобщенная функция Дирака б(х). Поэтому будем рассматривать определенные подпространства пространства К', образующие алгебру относительно свертки.
Определение 2.2.2. Подпространство УСсК' образует (коммутативную) алгебру со сверткой (обладающей единичным элементом), если выполняются следующие условия:
свертка двух или нескольких обобщенных функций, принадлежащих УС, существует и принадлежит этому же подпространству;
^^^УС (единичный элемент).
Например, множество Д' обобщенных функций с ограниченным носителем образует алгебру со сверткой, поскольку если f(x), g^eA', то свертка f(x)*g(x) существует и принадлежит А'.
Аналогично множество К'+, состоящее из обобщенных функций из К', носитель которых содержится в [0, оо), образует алгебру со сверткой.
Если обобщенная функция f(x)£X' обладает обратной МеЗГ, то
/ ^ * У”1 W=А1 W * У W=8 W•i2-2-D
Во всех приведенных выше выкладках можно считать также, что x^Rn.
Рассмотрим, например, алгебру со сверткой K'-lR). Обобщенная функция 9(х)е.К'+, поскольку ее носителем является интервал [0, сю]. Обобщенная функция бЦх) сосредоточена в начале координат. Следовательно, b'(X)GK'+- Далее,
9 (х) * 8' (х) = -^- [9 (х) * 8 (х)]=— 9 (х) — 8 (х),'dxdx
поэтому
9-i(x) = 8'(x).(2.2.2)
Заметим, что
У (х) = 9 (х) ех, [8' (х) — 8 (х)] G /<+ (7?) и
9 (х) ех * [8' (х) — 8 (х)] = — [9 (х) е г] — 9 (х) ех —
= 8 (х) е’ — е°8 (х)=8 (х).
7—3677
Поэтому можно написать
/->(х) = 8'(х)-8(х).(2.2.3)
Далее, поскольку обобщенная функция (2.1.35) является фундаментальным решением уравнения (2.1.68), то
Е-* (х) * Е (х) = [8" (х) + ш28 (х)] * Е (х) =
=^"(х)+и)2£(х)=8(х).
Следовательно,
Е-1 (х)=8" (х) + ш28 (х),(2.2.4)
причем обобщенные функции Е^ и Д-Дх) принадлежат пространству К'а-.
Учитывая, что
Чх, У), дхду можно написать
6^у^Ъ^х, z/)] =
дхду дхду
^д2^Л=Чх, у\ дхду
Отсюда следует
6-Дх,.(2.2.5)
дхду
Учитывая соотношение (1.4.36), запишем для обобщенной функции
л8^ »)<=^т д-^г+^г.
следующую свертку:
Д8(х, У^ * (— 1п — ^8(х, у)*л(— In — ) =
= 8(х, z/)*8(x, z/) = 8(x,z/).
Заметим, однако, что обобщенная функция — (1/2л)1п(1/г), где г=Ух2 + у2, не является обратной к обобщенной функции Аб(х, у), поскольку она не принадлежит подпространству K'a-VR^-
Теорема 2.2.1. Пусть для обобщенных функций f(x), g(x)^K'+ существуют обратные функции f~} (х) и g-1 (х). Тогда свертка f(x) * g(x)^K'+ имеет обратную функцию следующего вида:
[/ И * g ИГ1 = /-1 W * g-1 W-(2-2-6)
Действительно,
[/ М * g (*)] * I/-1 И * g"1 Ml =
= [/ (х) * /-1 (х)] * [g (х) * g-1 (х)]=8(х) * 8(х)=8(х).
Определение уравнения в свертках
Пусть Ж'стК' — алгебра со сверткой, а а(х), 6(х)е^. Все приводимые в дальнейшем результаты действительны при xeRn.
Определение 2.2.3. Уравнение вида
а (х) * у (х)=Ь (х),(2.2.7)
где а(х) и 6(х)—известные обобщенные функции, а z/(x)—неизвестная обобщенная функция, называется уравнением в свертках.
Теорема 2.2.2. Пусть а^еЖ' — фиксированная обобщенная функция. Чтобы уравнение в свертках (2.2.7) имело хотя бы одно решение при любой правой части Ь(х)^Х", необходимо и достаточно, чтобы для а(х) существовала обратная обобщенная функция а-^хУ Если а-^ (х) существует, то уравнение имеет единственное решение
у (х) = а-1 (х) * 6(х).(2.2.7')
Указанное условие является необходимым. Действительно, предположим, что при любой правой части 6(х)е^' уравнение (2.2.7) имеет хотя бы одно решение. В частности, при b(х) = 6 (х) еЖ' существует решение у(х): а(х) * z/(x) =б(х). Следовательно, z/(x) =а-1 (х), т. е. для а(х) существует обратный элемент. Это условие является и достаточным, поскольку если а(х)аУ' обладает обратной обобщенной функцией а-1 (х) гУГ, т. е.
если
.й(х)*й-1(х)=й-1(х)*й(х)=8(х),
то, умножив уравнение (2.2.7) слева на а-1 (х) (умножение понимается в смысле операции умножения, определенной в алгебре <%"), получим
й-1 (х) * [а (х) * у (х)]=й—' * &(х) =
=8(х)*г/(х)=у(х).
Следовательно, уравнение имеет решение вида (2.2.7').
Для доказательства единственности решения достаточно умножить решение (2.2.7') на а(х); при этом получается уравнение (2.2.7). Следовательно, соотношения (2.2.7) и (2.2.7') эквивалентны. Теперь достаточно заметить, что а-1 (х) является единственным решением уравнения (2.2.7) при 6(х)=6(х). Теорема доказана.
Элемент а-1 (х) называется элементарным (фундаментальным) решением уравнения в свертках (2.2.7).
Если а(х) —бесконечно дифференцируемая функция, то она не обладает обратной обобщенной функцией. В этом случае уравнение (2.2.7) не обладает элементарным решением.'
Рассмотрим следующее определенное в K'+^R) уравнение в свертках:
Pf—Ь(х)*У(х)=8(х),(2.2.8)
\ dx /
где P(d(dx)—линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами (2.1.65). Свертка (2.2.8) существует для любой обобщенной функции у(х)еК'+, поскольку
Р (8(х) * у (х)=8(х)у (х)=
\ dx j\ dx /
= рН^(х) = 8(х).
Следовательно, z/(x) является фундаментальным решением, соответствующим оператору (2.1.65). Согласно результатам, приведенным в разд. 2.1.2.1, фундаментальное решение уравнения (2.1.37) имеет вид (2.1.42), где
\ dx J J\ dx J JО (х) sin и>хО (х) sin и>х(2.2.11)(2.2.11)
\ dx J J
\ dx J J
О (х) sin и>х
О (х) sin и>х
(2.2.11)
(2.2.11)
Уп^х)—решение соответствующего однородного уравнения с начальными условиями вида (2.1.44'). Следовательно, можно написать\
р Ш 6 (х) * 6 (х) уп (х)=Цх\ (2.2.9) \ dx )
так что
[р (^) 8 (х)р=е (х) уп (х) е KV (2.2.9')
Таким образом, уравнение
Р^8(х)*«/(х)=/(х), /(х)е^, (2.2.10)
имеет единственное решение
У W=[р И”1* / W=6 W Уп W * / W> (2.2. Ю')
которое удовлетворяет также и дифференциальному уравнению
(2.2.10")
didxldidxlРассмотрим теперь оператор P(djdx) = (d2/dx2)—о2. Заметим, что фундаментальное решение (2.1.36) не принадлежит алгебре со сверткой К'+, потому что его носителем является вся числовая ось. Следовательно, это фундаментальное решение не является обратным элементом для P(rf/dx)6(xj. В то же время носитель фундаментального решения (2.1.47') содержится в интервале [0, оо), поэтому это фундаментальное решение принадлежит К\. Следовательно, можно написать
di
dxl
di
dxl
Я(х)! '^lisLsh^x, (O>0. (2.2.12)
В силу полученных выше результатов уравнение
№К'+, (2.2.13) ах^ /
имеет единственное решение, которое дается формулой
у(х)=М sha>x*/(x).(2.2.13')
СО
Фундаментальное решение оператора dnldxn определяется соотношением (2.1.34) и принадлежит алгебре со сверткой К'+- Следовательно, можно написать
(2-2Л4)
В общем случае множество всех фундаментальных решений дифференциального уравнения (2.2.10") содержит решение, принадлежащее К'+- Это решение единственно и является фундаментальным решением соответствующего уравнения в свертках.
Операционный метод решения уравнений в свертках
Рассмотрим уравнение в свертках (2.2.7), где а^, Ь(х^еК'+. В теореме 2.2.2 даны условия, при которых существует единственное решение (2.2.7'). Среди эффективных методов решения этого уравнения отметим метод преобразования Лапласа, которое обладает свойством (1.5.89). Действительно, это соотношение справедливо для обобщенных функций, носители которых содержатся в интервале х^О и для которых, следовательно, определено преобразование Лапласа. Применив преобразование Лапласа к этому уравнению, получим
Z, [а (х)] Z. [z/(x)] = Z, [6 (х)],(2.2.15)
откуда следует
P=tt-Vh>. (2.2.15')
Если для функции L (р) существует оригинал, принадле-
жащий алгебре со сверткой К'+, то он и является единственным искомым решением.
Этот метод не применим в случае, когда для обобщенных функций а(х) и 6(х) не определено преобразование Лапласа или когда для функции L(p) не существует оригинала.
Заметим, что к уравнению в свертках (2.2.7) можно применить и преобразование Фурье. Нужно лишь заранее убедиться в выполнении условий применения этого преобразования к свертке рассматриваемых обобщенных функций.
Рассмотрим, например, уравнение
6 (х) sin х * у (х) = ^-6 (х)х sin х. (2.2.16)
Входящие в это уравнение обобщенные функции принадлежат алгебре со сверткой К'+. С учетом теоремы (1.5.69) и преобразования Лапласа (1.5.98) можно написать
L [9 (х) sin х] L \у (х)] = у- L [9 (x)xsin х] ,
или
—L [у (х)] = — f—
Р2 + 1 k п 2 dp pi + 1
откуда следует
Цу (х)] =Цу (х)] =РР^А- 1РР^А- 1
Цу (х)] =
Цу (х)] =
Р
Р^А- 1
Р
Р^А- 1
Поэтому решение уравнения (2.2.16) единственно и дается формулой
у (х)=9 (х) cosx,(2.2.16')
которая соответствует соотношению (1.3.29).
Рассмотрим также уравнение
9 (х) cosx * у (х) = у- 9 (х) (sin x-)-xcos х), (2.2.17)
коэффициенты которого принадлежат К'+- Применив преобразование Лапласа, получим
p2 + i 19 2Lp2 + i (P2+O2J (p2+-P откуда следует
p^ + 1
Таким образом, получено также решение (2.2.16'). соответствующее соотношению (1.3.29").
Найдем теперь обобщенную функцию, обратную обобщенной функции а(х) =0 (х)+6'(х), принадлежащей, очевидно, алгебре со сверткой К'+- Составив уравнение в свертках
(9(х) + 8'(х)]*у(х)=8(х)(2.2.18)
и применив к нему преобразование Лапласа, получим
f-+pk№)]=i.
\ р /
Следовательно,
Таким образом, опять получили решение (2.2.16'). Рассмотрим теперь уравнение
[8"(х)~ ш28(х)] * у (х) = 8(х).(2.2.19)
L \У (х)]L \У (х)]Применив к нему преобразование Лапласа, получим (^-ш2)А[у(х)]=1. Следовательно,
L \У (х)]
L \У (х)]
1111
1
1
2to2toр (1) р -}- со
2to
2to
откуда находим решение
у (х) = й^ (ешг — е~шх) = — -— shwx «>>0, (2.2.19') 2ши>
соответствующее фундаментальному решению (2Л.47'). Предположим теперь, что нужно найти обобщенную функцию у^ таким образом, чтобы обобщенная функ-
ция £(х), определяемая соотношением
Z? (х)=у (х) * 6 (х) sin х,(2.2.20)
являлась фундаментальным решением оператора (dfdx)— 1. Составим соответствующее уравнение в свертках
(-у1) 6 (х) sin х* у (х)=8 (х);(2.2.21)
оно определено на алгебре со сверткой К'+- Действуя аналогичным образом, получаем
у(х)=8(х)+8'(х) + 2е\(2.2.2Г)
2.2.2. Интегральные уравнения
Обилие положения
Многочисленные задачи математической физики приводят к уравнениям, в которых неизвестная функция входит под знак интеграла. Такие уравнения называются интегральными. Так, например, дифференциальное уравнение первого порядка .
у), /(х, у)еС0(/Д, (2.2.22) с условием у=уо при х = х0, где (х0, yo^eDczR2, эквивалентно следующему интегральному уравнению:
: У ^ = f ^^’ У^^Уо’ (2.2.22') в котором неизвестная функция z/(x) входит под знак интеграла. Вообще говоря, эта функция входит в уравнение нелинейным образом, так что уравнение является нелинейным интегральным уравнением.
Если f(x, у) является линейной по у функцией, то интегральное уравнение (2.2.22') называется линейным. Среди линейных интегральных уравнений отметим интегральные уравнения Вольтерры первого рода, имеющие вид
|*К(х, f}y{f)dt—f[x), х>0, (2.2.23) о
а также интегральные уравнения Вольтерры второго рода, имеющие вид
у (х) + X J/< (х, Цу ^dt = /(х), х>0. (2.2.24) о
Функции К(х, Ц и /(х) известны и представляют собой соответственно ядро и свободный член интегрального уравнения. Функция у(х) неизвестна, а X— действительный или комплексный параметр. Предполагается, что функции К^х, Ц и f(x) локально интегрируемы и ядро К^х, Ц равно нулю при t^x^O.
Если функция [(х) равна нулю, то уравнения (2.2.23) и (2.2.24) являются однородными.
Специальный вид уравнений Вольтерры получается, если рассмотреть Х=1 и ядро К^х, Ц=К{х—Ц.
В этом случае можно написать
f К (х — Ц у ^dt =f (х), х > 0,(2.2.23')
б
у (х) -4- ^' К (х —/) у ^dt=J (х), х>0. (2.2.24') о
Продолжим функции К^хЦ f(x) и у(х) нулевыми значениями при х<0 и введем соответствующие обобщенные функции. Тогда рассматриваемые интегральные уравнения можно записать при помощи свертки следующим образом:
6 (х) К (х) * у (х) = 9 (х) / (х),(2.2.23")
у(х)4-6(х)/С(х) *у(х)=6(х)/(х).(2.2.24")
Заметим, что 0(x)K(x), 0(x)f(x), у(х)е/С'+(/?), поэтому уравнение Вольтерры первого рода (2.2.23') становится уравнением в свертках (2.2.23"), определенным на алгебре со сверткой К'+-
Уравнение (2.2.23") не всегда имеет решение. Например, если после продолжения ядро 0(х)/<(х) является функцией класса С°°, то рассматриваемое уравнение в свертках не имеет решения. Действительно, в этом слу-
чае для любой обобщенной функции g^eKV свертка 6(х)К(х)* g(x) является бесконечно дифференцируемой функцией. Поэтому при g(x) =[9(х)Л(х)]-1 свертка 6(х)/((х) *[9(х) /С(х)] является бесконечно дифференцируемой функцией, которая, следовательно, не может совпадать с 6(х).
Рассмотрим теперь для уравнения Вольтерры второго рода следующую обобщенную функцию:
/С1(х) = 6(х)/С(х) + 8(х).(2.2.25)
Поскольку Ki^e.K'+, можно написать
Кх^*У^У-ЦхИ^.(2.2.24'")
Следовательно, уравнение Вольтерры второго рода также сводится к уравнению в свертках на алгебре со сверткой К'+-
Интегральные уравнения Вольтерры первого рода
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерры первого рода
J cos(x — Уу^У dt = f (х), х^О, (2.2,26) о
с ядром /C(x)=cosx. Продолжим функции COSX, /(х), t/(x) нулевыми значениями при х<0. Тогда уравнение (2.2.26) будет эквивалентно следующему уравнению в свертках:
9 (х) cos х* у (х)=0 (х) /(х).(2.2.26')
Заметим [см. формулу (2.2.18)], что
[9 (х) cos х]~1=6 (х) -|-8' (х),(2.2.27)
поэтому решение уравнения (2.2.26) имеет вид
У W = I9 W + 8' W] *6 (х) / (х) =
=[9 (х) / (х)]' + 9 (х) J / (0 dt.(2.2.28)
В частности, при Цх) = sinx получаем
у (х) = [б (х) sin х]' + 9 (х) ^‘ sin tdt=§ (х). (^.2.28')
6
Следовательно, у(х) = 9(х) является решением уравнения
^ cos (х —/) у ^dt= sin х, х^>0.(2.2.26")
6
Рассмотрим интегральное уравнение
^‘(х — ^) cos (х — /) у (/)///=/(х), х>0, (2.2.29) б
где f(x)—заданная функция. Ядром этого уравнения является функция К^ =xcosx.
Запишем соответствующее уравнение в свертках
6 (х) х cos х * у (х)=9 (х) / (х).(2.2.29')
Если теперь в качестве правой части полученного уравнения в свертках взять обобщенную функцию Дирака 6(х) и применить к этому уравнению преобразование Лапласа, то получим
dp \-t-1 /
откуда
L [[6 (х) х cos х]->]=Ы = у2 + 3 + 24- -LJ
р2 — 1\р — 1 р 4- 1 /
Следовательно,
[6 (х) х cos/с]-1 = 8" (х) + 38 (х) + 26 (х) (е^ — e~v) =
=8" (х) + 38 (х) + 46 (х) sh х. (2.2.30)
Таким образом, решение уравнения (2.2.29) имеет вид у (х) — [8" (х) + 38 (х) + 46 (х) sh (х)] * 6 (х) / (х) =
= [6 (х) /(х))" + 3б (х) /(х)+4б (x)sh (х) * 6 (х) ,f \х\ =
= [6 (х) /(х)]"+3б(х) /(x) + 46(x) ^ sh(x — i) f \4Л <it.
б
В частности, при f (х) = еж имеем
у (х) = 8' (х)+8 (х)-ф 20 (х) [(1 + х) еж+sh х]. (2.2.31') Запихнем теперь для интегрального уравнения
f sin (х — t^y (t)dt=f(x), х^-0,(2.2.32)
о
соответствующее уравнение в свертках
6 (х) sin х * у (х)=0 (х) / (х).(2.2.32')
Учитывая формулы (2.1.35) и (2.2.4) при ю=1, получаем
[0 (х) sin х]-| = 8"(х)-ф8(х).(2.2.33)
Следовательно, решением уравнения (2.2.32) является обобщенная функция
У W = [8" W + § W] * 6 (х) / (х) =
(2.2.34)
= [0(х)/(х)]"+0(х)/(х), где дифференцирование проводится в смысле теории обобщенных функций.
В частности, при f(x)=cosx можно написать
у(х) = 8'(х).(2.2.34')
Интегральному уравнению.
^ [е~‘— s\nt)y(x — f}dt=f (х\ х^-0, (2.2.35) о
соответствует следующее уравнение в свертках:
0 (х) ^е-х— sin х) * у (х)=0 (х) / (х). (2.2.35') Аналогично можно показать, что
[0 (х) (е~х—sin х)]-1=8'(х)-ф 28 (х)+0 (х) (4ех— 1). (2.2.36) Таким образом, решение интегрального уравнения (2.2.35) имеет вид
у (х) = [8' (х) + 28 (х) + 0 (х) (4ех— 1)] * 6 (х) / (х) =
= [6 (х) /(х)]'+20 (х) / (х) + 0 (х) J ^-‘ — !)/(/) dt. о
■(2.2.37)
В частности, при f(x) = 9(х) получаем у (х) = 8 (х) + 8(х) (4ех — х — 2).(2.2.37')
Интегральные уравнения Вольтерры■
второго рода।
Рассмотрим теперь интегральное уравнение Врльтер- ры второго рода/
УУех~‘у (/) dt=/ (х), х^-0.ех~‘у (/) dt=/ (х), х^-0.(2.2.38)(2.2.38)
У
У
ех~‘у (/) dt=/ (х), х^-0.
ех~‘у (/) dt=/ (х), х^-0.
(2.2.38)
(2.2.38)
Соответствующее уравнение в свертках имеет вид
[8 (х)+8 (х) ех] * у (х) = / (х).(2.2.38')
Заметим, что
[8 (х) + 8 (х) ^j^1 = 8 (х) - 8 (х).(2.2.39)
Следовательно, решением уравнения (2.2.38) является обобщенная функция
У W = Is W — 6 Ml * 9 (х) / (х) =
.= 8 (х)/(х)-6(х) [/(х-/)^.(2.2.40)
Отметим, что решение этого уравнения можно записать и в виде
у (x) = f (х) — у /(х — /) dt, х > 0.(2.2.40')
о
Для интегрального уравнения
(2.2.41)(2.2.41)у (х)ф- f cos (х — /) у (/) dt—f {х), х>-0, 6
(2.2.41)
(2.2.41)
получаем следующее уравнение в свертках:
[8 (х) -ф8 (х) cos х] * у (х) = 8 (х) / (х).(2.2.41')
Вычислим теперь при помощи преобразования Лапласа
обратный элемент, соответствующий ядру К\(х) = 6(х) + + 6(V)cosx в алгебре со сверткой К'+"
'(1+7?7r)£|'<r,(',,l”L
Отсюда следует
^2 + 1^2 + 1Z^r1^)]Z^r1^)]
^2 + 1
^2 + 1
Z^r1^)]
Z^r1^)]
Ki 1 (х) = 8(х) —9 (х)е 2 f cos % —sin .
(2.2.42)
Решение уравнения (2.2.41) имеет вид
t/W =t/W =8(х) — 9(х)е 2 Icos ^3 х —
t/W =
t/W =
*9(х)/(х) =*9(х)/(х) =
*9(х)/(х) =
*9(х)/(х) =
= 9 (х) / (х) — 9(х) С е 2 | cossin —•X
к 7 k222/
Х/(х-/)Л,(2.2.43)
или
У(х) = /(х) — je 2 (cos^-Z—15sin15^ х о
X f(x — t)dt, х^-0.(2.2.43')
Рассмотрим также следующее уравнение:
у (x) + J sin (x — i) у ^dt=f (х), х^.0. (2.2.44) о
Соответствующее уравнение в свертках имеет вид /
[8 (х) + в (х) sin х] * у (х) = 9 (х) /(х).(2.2.44')
Заметим,чтоI
[8 (х) + 9 (х) sin хУ’^8 (х) — 6 (х( sin У2х, (2.2.45) поэтому решение уравнения (2.2.44) имеет вид /
у(х) = [в(х) — 9(x)sin ),г2х] * 9 (х) / (х) =I
= 9 (х( f (х^ — 9 (х( f sin У 2(x-t)f(t]dt, (2.2.46) 6
ИЛИ
у (х) = / (х) — sin У 2 (х —z)/(Z) tZ/, х>0. (2.2.46') б
Рассмотрим уравнение
гД-У + J (х — ^гД-У + J (х — ^eos(x — t( у (t( dt = f (х\ x^-0.eos(x — t( у (t( dt = f (х\ x^-0.(2.2.47)(2.2.47)
гД-У + J (х — ^
гД-У + J (х — ^
eos(x — t( у (t( dt = f (х\ x^-0.
eos(x — t( у (t( dt = f (х\ x^-0.
(2.2.47)
(2.2.47)
Заметим, что
[8 (x) + 9 (x) x cos x]-1 =
= 8 (xH9 (x) (x уз - 4 sin x УЗ). (2.2.48) зУз
Отсюда находим решение
-Г
у (х) = /(хУр 3 — 4 sin / 3 3]/(х — t(dt, зУ'Зо
х>0.(2.2.49)
Для интегрального уравнения Вольтерры второго рода вида (2.2.24) имеет место следующая теорема.
Теорема 2.2.3. Пусть ядро К(х) является локально интегрируемой функцией, ограниченной на каждом интервале. Тогда обобщенная функция 8(х)+К(х) = = К} (.v) ^К'+ единственным образом обратима в алгебре
со свинкой К+. Обратный элемент имеет вид
\К?х (х)=8 ^-\-Н (х),(2.2.50)
где И V) ЕЕ К + .
Применив преобразование Лапласа к уравнению
'[8 (х) + ^(x)]*^Г1 (х) = 8(х),
получим ;
L )/<г1 (X)] = ----1= 1 - g (р) + g2 (р) -
1 + R (Р)
-р\р\;... +(-i)W+. - g(p)=L ^(х)]
при условии, что ряд сходится. При помощи обратного преобразования Лапласа получаем
К?А (.ri -^а (х) — К (х) + К7 (х) — К 3(х) —...
...+(_1)"/<^(х)4-...,(2.2.51)
где свертка п членов обозначена символом
р(х)=К(х)*К(х)*.. .*^(x).(2.2.52)
Осталось доказать, что ряд (2.2.51) сходится в К'у, для этого достаточно доказать, что каждый член ряда, за исключением первого, ограничен по модулю членом сходящегося на интервале [0, а] ряда. Введем обозначение Л1й = тзх|К(х) | на интервале [0, а]. Тогда
i К\х^ | =i К\х^ | =( К (х— /) ^ (t)dt о( К (х— /) ^ (t)dt о
i К\х^ | =
i К\х^ | =
( К (х— /) ^ (t)dt о
( К (х— /) ^ (t)dt о
K^x — t^K^ | dt<,xM"a, хе[0, а\.
Предположим теперь, что
! K"nW 1 <"—^ма. ^е[0, а\.(2.2.53)
Таким образом, методом математической индукции соотношение (2.2.53) доказано полностью. Заметим, что
— А12+1< — Л1Г1,л!л!
поэтому на интервале [0, а] рассматриваемый ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
4,+4^+v ^+. • • ^-^-Mna-V(2.2.54)
1!2!п — 1!
Таким образом, доказана сходимость ряда (2.2.51).
Итак, для обратного элемента получено выражение вида (2.2.50), где
Н (х)= - К 1хНК$2 (х)-К*\хН • • •
Заметим, что Н(х)=0 при х<0. Если KW — непрерывная функция, то и //(х) является непрерывной функцией.
В силу теоремы 2.2.2 обратный элемент определен единственным образом.
Решение уравнения (2.2.24') выражается в видег/(х) = 9(х)/(х) + Я (х) * 9 ^f ^ == 9(х)/(х) + 9(х) [Н (х-t^f^clt, (2.2.55)б
ИЛИ \
у ^x\ = f^-\- \Н (x — f)f(f}dt, х>0. (2.2.55') б
Рассмотрим, например, уравнение
у (х) + J у (/) dt—f (х), х > 0.(2.2.56)
о
Заметим, что Ki (х) = 6(х) + 0 (х), поэтому
Н (х) = - 9 (х) + 9*2 (х) - 9*3 (х) + .. .
...+(-1Г0*я(х)+....(2.2.57)
Учитывая формулы (1.3.27) и (1.3.28), получаем 9<я(х)= ^ x"-i =х+-1.(2.2.58)
(л—1)!(л—1)!7
Следовательно,
Я(х)=-9(х) + -^-х—^-х2+...
if _В£1_ х«-14-... = _0(х)е-< (2.2.58')
Таким образом,
АТт(х)=8(х) —6(х)е~*(2.2.59)
поэтому решение уравнения (2.2.56) можно записать в виде
у (х) = / (х) - J е-^-п f (/) dt, х>0.(2.2.60)
о
В частности, при /(х)=е~ж получаем следующее решение:
у (х) = (1 — х) е~х, х> 0,(2.2.60')
интегрального уравнения
#(x)+J У ^di=e-x, х>- 0.(2.2.56')
Очевидно, что если применить преобразование Лапласа к уравнениюу
[8 (х) + 6 (х)]*/<Г1 (х) = 8(х),;
то получим।
/,[КГ1(х)]=1.
Таким образом, мы придем к тому же результату
Интегро-дифференциальные уравнения
Наряду с рассмотренными выше интегральными уравнениями Вольтерры вида (2.2.23') и (2.2.24') введем также интегро-дифференциальные уравнения типа свертки, имеющие следующий общий вид:
Di</ (х) + ^/(х — /) О2у (/) dt—g (х), х>0, >2.2.61) о
где D] и В2 — дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами порядка пит соответственно (n^mV Предположим, что функции / и g являются функциями классов Ст{0, оо) и С°[0, оо) соответственно. Тогда решение интегро-дифференциального уравнения типа свертки (2.2.61) состоит в отыскании функции yeOW оо), удовлетворяющей этому уравнению, а также следующим условиям типа Коши:
У(О) = Уо, y'^Wn У"(^ = у2,..., У^Н^^Уй-о
.12.2.62)
Используя далее зависимость между производными в обычном смысле и производными в смысле теории обобщенных функций, можно переписать уравнение (2.2.61) вместе с условиями (2.2.62) в виде уравнения в свертках. Полученное уравнение можно решать, применяя, например, преобразование Лапласа.
Чтобы проиллюстрировать методику решения интегро-дифференциальных уравнений типа свертки, рассмот-
рим уравнение
ау" (х) 4- by' (х) + г j* / (х — /) у’ (i) dt =
о
=g(x), a, b, c = const, х>0,(2.2.63)
с начальными условиями
У (О)=уо, У'^ = У1-(2.2.64)
Введем теперь обобщенную функцию, соответствующую функции
у (х)=9 (х) у (х),(2.2.65)
а также обобщенные функции, определенные функциями
7 (х) = 9(х) / (х), g(x) = 9(x)g(x).(2.2.35')
Тогда уравнение (2.2.63) можно записать в виде
а у (х) + bу (х) + с f^ *™"у(х) = g(x\ х г R.
dx2dxdx
(2.2.63')
Используя соотношения
-у- "у W =У W + Уо8 (■<),
dxdx
У W = У {х) + у^' (х) + у^ (х), dx2dx2
в которых введены производные в смысле теории обобщенных функций и производные в обычном смысле, получаем следующее уравнение в свертках:
[aS" (х) + 68' (х) + с/' W] * "У (■<) =
= g (х) + cyj (х) + ау08' (х) + (ау! + Ьу^ 8 (х). (2.2.63")
Например, в случае интегро-дифференциального уравнения
2у"(х)-[-Зу'(х)— ^(х — t^y' ^dt=‘2ex, х^О, (2.2.66).
о
с однородными (т. е. нулевыми) начальными условиями получаем следующее уравнение в свертках:
[28" (х) + 38' (X) - 9 (х)] * у (х) = 29 (х) б< (2.2.66')
Применив преобразование Лапласа, получим
•Отсюда следует
& Ml=-тгГГ=Г^ЧТ= р(р—>)(р —^-hp+o2
= — ———ii—. (2.2.67)
р— 19118 р +13 (р + 1)2 к
Применив далее обратное преобразование Лапласа, получим
у (а-) = -^- 9 (х) [ (9б*/2 — 8) 6х/2 — (14- 6х) s^], xeR.
(2.2.68)
Можно также написать
у(х)=1[(9^/2-8)^/2-(1+6х)б-^], х>0. (2.2.68')
ЗАДАЧА КОШИ И МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Изучение дифференциального уравнения состоит, вообще говоря, в отыскании функции определенного класса, удовлетворяющей как данному уравнению, так и краевым условиям. Эти условия соответствуют конкретным условиям, при которых протекает явление, описываемое дифференциальным уравнением, и позволяют
определить единственным образом решение задачи в случае, если последняя корректно поставлена.
Среди всевозможных типов краевых условий рассмотрим сначала условия типа Коши (называемые также начальными условиями в случае, когда независимая переменная имеет смысл времени). Эти условия задаются в одной точке интервала (области), в котором определено дифференциальное уравнение.
Будут рассмотрены также двухточечные и многоточечные задачи, краевые условия для которых задаются в двух или нескольких точках рассматриваемого интервала (области).
Задача Коши
Пусть Р^сЦдх)—линейный дифференциальный оператор порядка п с переменными коэффициентами:
H(4(2.3.1)'H(4(2.3.1)'"1d.
H(4
(2.3.1)'
H(4
(2.3.1)'
Hi W ——+ • • • +a«-iW —
где az(x)GC°[a, b\ (/=1, 2,..., n\где az(x)GC°[a, b\ (/=1, 2,..., n\5си*11dx
где az(x)GC°[a, b\ (/=1, 2,..., n\
где az(x)GC°[a, b\ (/=1, 2,..., n\
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное- уравнение
/(х)ЕС"[а, 6].(2.3.2}
Определение 2.3.1. Задачей Коши для дифференциального уравнения (2.3.2) называется задача, заключающаяся в определении функции у^е.О\а, 6], удовлетворяющей этому уравнению и принимающей вместе СО' своими производными до п—1-го порядка заданные значения
y0 = yW, У'о = УЧхоУ У"й = У'Чх^.. ч У^—У^Ч^
(2.3.3) в точке хое (а, 6).
Можно доказать, что задача Коши имеет единственное решение.
Решим задачу Коши для дифференциального уравнения
//("Дх)-)-^"-1)^)-)- • • •+ая-1У'И+«»«/ (-*) =
=/(х), -^>0,(2.3.4)
с коэффициентами а, = соп51 (i=l, 2, ..., п) и /(x)g ■еС°[0. оо). Найдем решение, удовлетворяющее этому уравнению, а также начальным условиям
lim у^ ^=yW (^=0, 1,..., п-1),(2.3.5)
V-+0
тде у‘к^— заданные числа.
Заметим, что решение этой задачи для уравнения
тесно связано с определением соответствующего фундаментального решения.
Запишем уравнение (2.3.4) в обобщенных функциях. .Для этого продолжим функцию /(х) и искомое решение у Vх) нулевыми значениями при х<0. Введем функции
/(х) = 6 (х)/(х) у (х) = 6 (х) у (х)(2.3.6)
"и соответствующие регулярные обобщенные функции. Начальные условия являются в этом случае скачками ‘функции у(х) и ее производных до п—1-го порядка включительно в точке х=0. С учетом формулы (1.2.32) можно написать
~р
^pVx^yw(1=1, 2,..., п),
6-1
(2.3.7)
где у '°) (х) —производная порядка р в обычном смысле, а у1^ (х) —производная порядка р в смысле теории обобщенных функций. Введем обозначение
F (хI = 7 (х) + V"~1} W + • • • + Ьп_^’ (х) + b£ (х), (2.3.8) где
^^Уо^^ + ^Уо6-2)"!" • 1 + ак-гУй + ак—\Уо
Таким образом, дифференциальное уравнение
Pf — ^(х^/^х), Е^х^Кх, i2.3.9) \ dx j
где оператор (2.3.1) имеет постоянные коэффициенты, справедливо в пространстве обобщенных функций. При этом предполагается, что его решениями могут быть и сингулярные обобщенные функции. Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия задачи Коши и в формулировке данной задачи участвуют обобщенные функции.
Уравнение в свертках, соответствующее дифференциальному уравнению (2.3.9), имеет вид
pM-h(x)*y(2.3.9')
\/
Элементарное решение уравнения (2.3.9'), т. е. фундаментальное решение дифференциального уравнения (2.3.9), является обратным элементом обобщенной функции Р (d/dx)d(x) в алгебре со сверткой К/+. Предположим, что это решение определено. Обозначим его через £(х). Тогда с учетом формулы (1.3.24) можно написать
у ^ = Е (х) * F(x)=E (х) * /(х)4~
--byFU1-n ^Jr • • •-rbn-iF'(,xV\-bnE (х\ x™R. (2.3.10)
При помощи метода вариации постоянных с использованием формулы (2.1.42) можно записать фундаментальное решение в виде
Е (х) = 6 (х) уп (х),(2.3.’. 1)
где уДх) —решение однородного уравнения
Р/ — }у(х)—0, х>0(2.3Л 2)
с начальными условиями вида (2.1.44'). Тогда решение (2.3.10) принимает вид
у (х) = 6 (х) уп (х) * 6 (х) / (х) 4-
+6(x)[61y('-1)(x)+.. .^ьп_гу;^-уьпу,Ах^ xeR.
(2.3.10')
Таким образом, решение уравнения (2.3.4) с начальными условиями (2.3.5) выражается в виде
У W = J Уп ^ — ^/ № di +
+ bxy(n^4xW .. .-Vbn_.y>Hbnyn^, х>0. (2.3.13)
При этом предполагается, что f(x) —локально интегрируемая функция. В частности, решение однородного уравнения (2.3.12) с краевыми условиями типа Коши (2.3.5) дается формулой
У ^ = Ьху^ ^А-ЬчМ^ •••А-Ьп_лУ’ЛхНЬпУпкх^ х>0.(2.3.14)
Рассмотрим, например, уравнение
у"(х)=0, х^О,(2.3.15)
с начальными условиями lim у^х^Уо, Нт y'^=y'Q.(2.3.16)
Т^+О#*+0
Заметим, что ах = а2 = 0 и bx=yo, Ьз=уо; кроме того, функция уДх^^х является решением однородного уравнения (2.3.15), удовлетворяющим условиям
у2(0)=0, ^(0)=1.у2(0)=0, ^(0)=1.(2.3.16')(2.3.16')
у2(0)=0, ^(0)=1.
у2(0)=0, ^(0)=1.
(2.3.16')
(2.3.16')
Поэтому
У^НстУ'оХ’ Х>О.У^НстУ'оХ’ Х>О.(2.3.15')(2.3.15')
У^НстУ'оХ’ Х>О.
У^НстУ'оХ’ Х>О.
(2.3.15')
(2.3.15')
Можно также написать
у ^ = уйХ+-УуйЦх^ x^R.у ^ = уйХ+-УуйЦх^ x^R.(2.3.15")(2.3.15")
у ^ = уйХ+-УуйЦх^ x^R.
у ^ = уйХ+-УуйЦх^ x^R.
(2.3.15")
(2.3.15")
Многоточечные задачи
Рассмотренная выше задача Коши является локальной задачей, поскольку начальные условия были поставлены в одной точке интервала (области), в котором определено уравнение.
Определение 2.3.2. Многоточечной задачей для дифференциального уравнения (2.3.2) называется задача отыскания функции у(х)еСп[«, 6], удовлетворяющей данно
му уравнению и принимающей значения
У1 = Укх1\ yi=ykxi\-.., Уп=уМ (2.3.17)
в точках X], х2, ..., хпе (а, 6).
Заметим, что если Xi^Xj (.i^j) то пары ^, у^ (i=l, 2, ..., я) определяют п различных точек на плоскости (фиг. 2.2). Следовательно, с геометрической точки зрения многоточечная задача состоит в определении функции, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и график которой проходит через заданные п точек.
Заметим, что многоточечная задача может иметь единственное решение, может не иметь решения, а также может иметь бесконечное число решений.
Пусть z/i(x), у^М, ..., уп(х)—фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения (2.3.12), соответствующего данному дифференциальному уравнению (2.3.2), а у0(^)—частное решение по-
следнего уравнения. Общее решение уравнения (2.3.2) записывается в виде
^(х)=С1^(х) + С2у2(х) + • • •+C„y„(x)-,Ly0(x), (2.3.18)
где С\, Сг, ... , Сп — произвольные постоянные величины. Из условий (2.3.17) получаем следующую систему линейных уравнений:
Ух —Уо (•х1) = С1у1 (лГ1) + С2у2 (xj -)-•.•+ Спуп (х,),
Уг— Уо^х^—СхУ! (а2)-j-С2у2 (а2) + • • • + С„у„(х2),
(2.3.18')
Уп—yJx^C^ (хп) + С2у2(хп)+ ,..-\-Спуп (хп\
которая позволяет определить постоянные Сх, С2, ..., Сп. Если определитель этой системы отличен от нуля, то многоточечная задача имеет единственное решение. Если определитель системы (2.3.18') равен нулю, то либо решение задачи не единственно, либо многоточечная задача не имеет решения.
Например, для уравнения
y"(x)=0, xeVxv, х2],(2.3.15"')
с краевыми условиями
У^ = Ух, У^^у^ xY<x2,(2.3.16")
функции yi(x) =х и у^^ = 1 образуют фундаментальную систему решений. Заметим, что уо(х)=О, поэтому соответствующая система линейных уравнений принимает вид
Ух — С4Х1Ц-С2, у2 = С1х2 + С2,
откуда получаем решение
у (х) = J^'^ 1 (х — %,)фу, х^[хь х2]. (2.3.19) —
Определим функцию у (а) следующим образом:
у^х^у^ [9 (х —X;)—9(х —х2)] =
_[у(х) при х =[хь х2],
( 0 в остальных точках.
Применив формулу (1.2.32) к соответствующей регулярной обобщенной функции и заметив при этом, что уравнение (2.3.15'") записано в обычном смысле, т. е. в виде
у"(х)=0,(2.3.20)
получим соответствующее уравнение в пространстве обобщенных функций
У" W=y' №) 3 (х — xt) — у' (х2) 8 (х — х2) +
-гУ^ОЗ' (■< —-^1) — У^х^Ъ' (х — х2), xeR. (2.3.20')
Вычислим первообразные обобщенной функции у"(х). Тогда с учетом двухточечных условий (2.3.16") получим после некоторых преобразований"
^ (х)[(х - Х])+- (х - х2)+]+
х2 —xi
+ г/[6 (х — xj — z/26 (х — х2) =
= *2 "^ (^ - ^1) + [ 1 ~ 6 (^ ~ х2)] +
Хо — Х1
тУ1[6(х — X]) — 9(х — х2)], xeR.(2.3.19")
Очевидно, что полученные два решения эквивалентны.
В механике наряду с задачами типа Коши часто встречаются двухточечные задачи рассмотренного типа. Отметим, например, задачи баллистики, в которых известно положение в начальный и конечный моменты времени и нужно определить траекторию или угол запуска, задачи теории колебаний, в которых известно начальное положение, а также положение в некоторый момент времени и нужно определить частоту колебаний, и т. д.
Можно рассмотреть и другие краевые условия и сформулировать смешанные задачи. Для дифференциального уравнения порядка п (2.3.2) можно зафиксировать значения функции в т<п точках и значения производной первого порядка в остальных п—т точках, принадлежащих интервалу (а, 6):
У^х1)=уь у'^х^у, (« = 1, 2,..., т,
В некоторых точках интервала (а, 6) можно зафиксировать значения и функции и некоторых ее производных. При этом следует учитывать, что число краевых условий должно равняться порядку рассматриваемого дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения в частных производных
Общие рассмотрения.
Фундаментальные решения
Для дифференциальных уравнений в частных производных можно ставить задачи, аналогичные задачам, рассматриваемым в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме задач типа Коши, ставится много других краевых задач. Можно, например, рассматривать условия на контуре {на границе области, внутри которой справедливо данное уравнение), соответствующие многоточечным условиям для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор порядка m с переменными коэффициентами
m
Р(х, DhV^MD1,-/-,...,
\охп )
а=0
(2.3.22)
где а,^, х2,..., х^еС”.
Используемое обозначение указывает на то, что оператор является полиномиальным с переменными коэффициентами. Для случая оператора с постоянными коэффициентами будет использовано обозначение P(D).
Рассмотрим уравнение
Р(х, XM{x^ = f{x\ /{х^еК', хе Я”. (2.3.23)
Определение 2.3.3. Назовем обобщенным решением уравнения (2.3.23) в области £lc^Rn любую обобщенную функцию и(х)еК'{Я"), удовлетворяющую в рассматриваемой области этому уравнению в смысле теории обобщенных функций.
Таким образом, если обобщенная функция а(хь Хг, ... ,х„) является обобщенным решением уравнения (2.3.23), то для любой основной функции <р(хь х2, ..., хп), для которой supp<pc=Q, можно написать
(Р(х, D)«(x), tW) = (/W, ?W)>
eGKiQ), XE^".(2.3.24)
Очевидно, что любое решение в обычном смысле уравнения (2.3.23) является одновременно и обобщенным решением. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, если /(х)—непрерывная функция в области £2, a u(x)eCm(Q)—решение уравнения (2.3.33), то м(х) является решением этого уравнения как в обычном смысле, так и в смысле теории обобщенных функций (в обобщенном смысле). Заметим, что аналогичный результат был получен для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Действительно, в рассматриваемом случае производные максимального порядка т. в обычном смысле и в смысле теории обобщенных функций совпадают. Следовательно, [Р(х, D) w(x)—f(x)] является непрерывной функцией, равной нулю для любого xeQ(£n). В этом случае Р(х, D)u(x)—f(x)=O и в обобщенном смысле, поскольку для любой функции <p(x)eK(Q) можно написать
(Р(х, D)a(x)-/(x), ?(х))=0.
Определение 2.3.4. Назовем фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами P(D) обобщенную функцию £(х„ Хг, ..., xTl')eK'(Rn), удовлетворяющую соотношению
P(D)£(x1, х2,..., л:„)=8(хь х2,..., х^. (2.3.25)
Заметим, что заданный оператор P(D) имеет бесконечно много фундаментальных решений. Действительно, если £o(xi, х2, ..., хп) является решением уравнения
P(D)a(x)=0, xgR\(2.3.26)
а £+(х) является частным фундаментальным решением
неоднородного уравнения (2.3.25), то обобщенная функция
Д(х) = Д0(х) + Д+(х)^2.3.27)
является фундаментальным решением, поскольку
Р (D) Е (х)=Р (D) Ео (х) + Р (D) Е+ (х) = 8 (х). (2.3.26')
Можно утверждать, что любой линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами P(D) имеет фундаментальное решение, поскольку уравнение (2.3.25) всегда разрешимо. Для определения этого решения часто пользуются преобразованиями Фурье или Лапласа. Применив, например, преобразование Фурье к уравнению (2.3.25), получим'
Р( — isu — is2,..., —isn)F[E(x)]=l.
Отсюда следует
F ГД (х)1=i.'2.3.28)
v Р(—zsb — zs2,..., — isn)
В дальнейшем для получения обратного преобразования Фурье важную роль сыграет разложение выражения (2.3.28) на простые дроби. Заметим, что ■
P(D) [Д(х)* / (х)] = Р (D) Е (х) * / (х)=8 (х) * / (х) = /(х).
Теорема 2.3.1. Пусть обобщенная функция Е^е EK4Rn^ является фундаментальным, решением дифференциального оператора с постоянными коэффициентами Р^. Если обобщенная функция Цх)еК.'(.Р'У такова, что свертка Е^* f(x) существует, то обобщенная функция
и^х) — Е(х)* / (х)12 3.29)
является решением линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами
P(D)« (х) — / (х), /(х)е^, x^Rn. (23.30)
Заметим, что понятие фундаментального решения имеет смысл и для некоторых классов дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами, для которых можно сформулировать теорему, аналогичную теореме 2,3.1.
Уравнения гиперболического типа
Ниже будет рассмотрено следующее уравнение гиперболического типа;
ой(хь х2,..., х^ /)=0*),(2.3.31)
где Qa —оператор Даламбера в RnXR,
=Д—(2.3.32)
а Д — оператор Лапласа,
Д=-^ + -^+ ... +Л- •(2.3.33)
дх^ дх^дхп
Это уравнение называется волновым уравнением в R".
Найдем фундаментальное решение оператора (2.3.32) в частных случаях л=1, п=2 и /г=3. Итак, при п=Л рассмотрим оператор
и будем искать решение дифференциального уравнения
^l^_W^V^^/) = 8 (х) X 8 (/). (2.3.35)
дх2 а^ №k
Применив преобразование Фурье относительно переменной х, получим
-а^[£(л:; /)] - J-F, [£ (х; /)] = 1 (а) X 8 (/),
где а — комплексная переменная, соответствующая этому преобразованию. Заметим, что в левой части появляется оператор, фундаментальное решение которого выража-
Координаты Xi, Хг, ..., х» считаются прямоугольными декартовыми в R7*.— Прим. ред.
8-3677
ется формулой (2.1.35). Таким образом,
Ех [£" (х; /)] = —6 ^д sin aat, й, а )> 0.
Применив теперь обратное преобразование Фурье, получим фундаментальное решение
Е (х; /) = - — 9 (/) 6 (at - | х | ), я > 0, (2.3.36)
Фиг. 2.3.Фиг. 2.3.
Фиг. 2.3.
Фиг. 2.3.
где введена обобщенная функция, соответствующая характеристической функции интервала (1.1.98). Можно также написать
Е (х; f) =Е (х; f) =-упри-уприI X I <I X I <at, Е>at, Е>0, а">0,0, а">0,(2.3.36')(2.3.36')
Е (х; f) =
Е (х; f) =
-упри
-упри
I X I <
I X I <
at, Е>
at, Е>
0, а">0,
0, а">0,
(2.3.36')
(2.3.36')
0 в остальных точках.
Следовательно, Е(х; t) является функцией двух переменных, принимающей значение —а/2 во внутренности конуса, изображенного на фиг. 2.3, и равной нулю вне этого конуса.
Используя первый пример из разд. 1.4.1.3, можно непосредственно проверить, что (2.3.36') является фундаментальным решением, соответствующим дифференциальному уравнению (2.3.35).
Применив теперь двойное преобразование Лапласа относительно переменных х и t к уравнению (2.3.35), получим
р\ЕДЕДЕ^, ^-^р^ДЕДЕ^ /)]] = 1,
где р\ — комплексная переменная, соответствующая переменной х, a pi — комплексная переменная, соответствующая переменной t. Отсюда следует
ЬДЬДЕ^ ^]] =^—у
а~Р1 ' Рг
2pi \api + р2 ар\ — р2
Применив обратное преобразование Лапласа относительно переменной /, получим
ЬДЕ^
2рх
Отсюда обратное преобразование Лапласа относительно переменной х вновь приводит к решению (2.3.36).
Рассмотрим теперь уравнения
□ ;и(х, у, z; /) = /(х, у, z; /) (/=1, 2), (2.3.37) где Dj — оператор Даламбера,
Dz = A(/ = 1,2),(2.3.37')
Ct — скорость распространения продольных волн (Z=l) или скорость распространения поперечных волн (i=2), a f(x, у, z; /) — заданная обобщенная функция. Предположим, что уравнение справедливо для всего пространства, причем на бесконечности обеспечена регулярность, а начальные условия однородны (равны нулю при /=0). Используя преобразование Фурье относительно пространственных переменных и преобразование Лапласа относительно времени t, получаем
- («2+Ь2+тЧ 4-V1Л Ml[А [/]],
где а, р, у и р— комплексные переменные, соответствующие пространственным переменным и времени t. Заметим, что
F
1 -р
— е
R
А'
Cl
4л
а 2 + 02 + у2 + -Я
С*-
R^Vx^-y^z2
где осуществлена свертка по пространственным переменным.
Если
/(х, у, г; /)= — 4лх (/) х 8 (х, у, z), (2.3.40)
где х(/) —обобщенная функция, то
где осуществлена свертка по переменной t. Таким образом, решение уравнения
D;^(x, у, z\ /)-}-4лх(/) х 8(х, у, г)=0 (t = l, 2) (2.3.42)
и^х, у, z;и^х, у, z;= 1 2),R \ сг j= 1 2),R \ сг j(2.3.43)(2.3.44)(2.3.43)(2.3.44)дается формулой
и^х, у, z;
и^х, у, z;
= 1 2),
R \ сг j
= 1 2),
R \ сг j
(2.3.43)
(2.3.44)
(2.3.43)
(2.3.44)
где учтено, что R / рР с.
L 8И- —)1 (z = l, 2).
В частности, фундаментальное решение уравнений (2.3.37) записывается в виде
Е(х, у, z; f}=L.8/'/_A'j (Z=l, 2). (2.3.45)
4л/?\ Ci )
Рассмотрим теперь уравнение
□ 1Пгя(-^, У, z; /) —/(х, у, .г; /),(2.3.46)
где f (х, у, z; /) — заданная обобщенная функция. Как и в предыдущем случае, используя интегральные преобразования, получим
а2 + ^ + ^ + ^++
Отсюда следуетОтсюда следуетFYLYu^x, у, г; /)]] =FYLYu^x, у, г; /)]] =
Отсюда следует
Отсюда следует
FYLYu^x, у, г; /)]] =
FYLYu^x, у, г; /)]] =
4лр2(с2— cj)
xF[£[/(x, у, z; /)]],xF[£[/(x, у, z; /)]],(2.3.47)(2.3.47)
xF[£[/(x, у, z; /)]],
xF[£[/(x, у, z; /)]],
(2.3.47)
(2.3.47)
где использованы следующее разложение на простые дроби:
«2 + Р2 + V2 + -^«2 + Р2 +|у2 +
Р2(с? —сЬ а2 + ₽2-Ьу2 + ^ а2 + р2 + у2+^- \С?
и формула (2.3.38). Поэтому
и^х, у, г; /) =
4л (с, — с^)4л (с, — с^)*£[Л , (2.3.48)
4л (с, — с^)
4л (с, — с^)
где свертка осуществляется по пространственным переменным.
Если обобщенная функция f(x, у, г\ /) имеет вид (2.3.40), то
и^х, у, z; /) =
* х (/), (2.3.49)«)* х (/), (2.3.49)«)2 2glc2
* х (/), (2.3.49)
«)
* х (/), (2.3.49)
«)
22
с1~с2
где свертка осуществляется по переменной t. Таким образом, решение уравнения
□ 1П2«(х, у, г; /) -|-4лх (/) х 8 (х, у, z)=0 (2.3.50)
имеет вид
м(х, у, z; t) —
2 2
5г— Г*XW' (2-3-51)
с^— Су l\ С1 /+\ с2 /+J(/)
где учтено, что
г /р \ I1 —^ £.
L U- —) |= — е (< = 1, 2),(2.3.52)
1АCi Jр^
а
) (г = 1, 2). (2.3.53)
\с i i +\ cl ) X cl 1
В частности, фундаментальное решение уравнения (2.3.46) имеет вид
2 2
Е^х, у, г; /) = срU_R_\ 1 (2.3.54)
4л(С1 —С2) С1/+C2/ + J
Рассмотрим для случая и = 2 уравнения
CiiU^x, у; t^ — f^x, у; t) (< —1, 2),(2.3.55)
ZjiZ:2m(x, у; ^ = /(х, у; /),(2.3.56)
где f(x, у; /) —заданная обобщенная функция. Как и в предыдущем случае, учитывая, что
2л
а'2 + ^+^
(2.3.57)
Re/?>0, r=Vx^y\ Ci>0 (z = l, 2),
где Ко — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, получаем следующий интеграл уравнений (2.3.55):
m(x, у; t^ —
Hl/11 (/ = 1, 2), (2.3.58)
где свертка осуществляется по пространственным переменным.
Введем обобщенную функцию, определяемую следующей функцией:
У 0 P >I — ЬA 0 \P I — .—
\ Ci)I \ C; / I T/о
"L Xc^2 —r2
О при t О — ,CiО при t О — ,Ci(z = l, 2). (2.3.59)(z = l, 2). (2.3.59)
О при t О — ,
Ci
О при t О — ,
Ci
(z = l, 2). (2.3.59)
(z = l, 2). (2.3.59)
В этом случае уравнениям (2.3.55) соответствуют следующие фундаментальные решения:
eU,w, ^=--l_/U.JL\ (Z = l, 2). (2.3.60) у\С i /
Аналогично для уравнения (2.3.56) можно написать
„2„2
L~xL~xК»К»С1С2
L~x
L~x
К»
К»
2л (с, — Cj)
(2.3.61)(2.3.61)—к0(р —'ll */,[/]!,\ с2 /J J
(2.3.61)
(2.3.61)
где свертка осуществляется по пространственным переменным.
Введем теперь обобщенную функцию, определяемую следующей функцией:
(2.3.62)
Тогда фундаментальное решение, соответствующее уравнению (2.3.56), можно записать в виде
Е (х, у\Е (х, у\Й=L2-r2л (С; — с2)Й=L2-r2л (С; — с2)(2.3.63)(2.3.63)
Е (х, у\
Е (х, у\
Й=L2-r
2л (С; — с2)
Й=L2-r
2л (С; — с2)
(2.3.63)
(2.3.63)
Уравнения параболического типа
Ниже будет рассмотрено следующее уравнение параболического типа:
^au(xlt х2,.... х„; ^)=0,(2.3.64)
где Да — оператор Николеску в пространстве RUXR,
п=д———° a diп=д———° a di(2.3.65)(2.3.65)
п=д——
—° a di
п=д——
—° a di
(2.3.65)
(2.3.65)
Если ы(х; /) представляет собой перепад температуры, то коэффициент а характеризует температуропроводность и имеет вид
а —а —хсу ’хсу ’(2.3.66)(2.3.66)
а —
а —
х
су ’
х
су ’
(2.3.66)
(2.3.66)
где с — теплоемкость, у — плотность, а X — коэффициент теплопроводности. В этом случае параболическое уравнение является уравнением Фурье распространения тепла в твердом теле при отсутствии источников тепла.
Рассмотрим при п= 1 оператор
52 1 а
5x2a dt
и найдем решение дифференциального уравнения
^£11> _2. 2<^ О = g ^ х g^=8( ^ (2.3.68) дх» a dt v ’ v ’’ v
Применим преобразование Лапласа относительно переменной t и преобразование Фурье относительно переменной х. Используя новые комплексные переменные р и а, получаем
- a2Z [F [я]] -S-L\F [«]] = 1 (a) X 1 (р) = 1,
откуда
Применив теперь обратное преобразование Лапласа, получим
F [я (х; /)] = — «9 (/) е-ааЧ;
применив обратное преобразование Фурье, будем иметь
2 V nt2 V nt(2.3.69)
2 V nt
2 V nt
Если в приведенном выше уравнении я<0, то оно носит название обратного уравнения теплопроводности, а если а — чисто мнимое число, то получается уравнение Шредингера квантовой механики для материальной точки (частицы), находящейся в поле консервативных сил.
В случае п = 2 фундаментальное решение имеет вид
(2.3.70)
где r=V х^-^у\ а для случая я=3 можно написать
Е (х, у, г; /) = где j? = ]/x2 + y2+2:2.
R1_ е (О - 55 8л/ V natR1_ е (О - 55 8л/ V nat(2.3.71)(2.3.71)Уравнения эллиптического типа
R1
_ е (О - 55 8л/ V nat
R1
_ е (О - 55 8л/ V nat
(2.3.71)
(2.3.71)
Рассмотрим уравнение Пуассона эллиптического типа ku\xv х2,..., х^=/^ х^..., хп\ (2.3.72) определенное на Рп, где f (xi, х2, ..., хп) —фиксированная обобщенная функция.
В случае п = 3 получаем уравнение
Дя^х, у, z)=f(x, у, г).(2.3.73)
Рассмотрим также обобщенное уравнение Пуассона^
ДЕ^х, у, z^ — k^E^x, у, z) —8(х, у, z) =
= 8(х) X 8 (у) X 8 (г), A=const, (2.3.74) где в правую часть введены обобщенные функции Дирака. Применив преобразование Фурье относительно всех трех переменных, получим
-(а2 + 82 + у2)Г[£'(х, у, z)]-k2E[E(x, у, z)] = l, где а, Р, у — новые комплексные переменные. Следовательно,
Заметим, что
р- [i1=—(2.3.75)
I а2 + £2 + Y2 + ^2 J 4л/?х
где /^=}Ex2-l-y24-z2. Поэтому фундаментальное решение уравнения (2.3.74) имеет вид
Е (х, у, г)=~^^-(2.3.76)
В частном случае & = 0 получаем следующее фундаментальное решение уравнения Пуассона (2.3.73):
Е (х, у, z)=Е (х, у, z)=14л/?14л/?(2.3.77)(2.3.77)
Е (х, у, z)=
Е (х, у, z)=
1
4л/?
1
4л/?
(2.3.77)
(2.3.77)
Заменив к на —к, получим сопряженное фундаментальное решение уравнения (2.3.74):
(2.3.76')(2.3.78)(2.3.76')(2.3.78)Е (х, у, z) =— ebR.
(2.3.76')
(2.3.78)
(2.3.76')
(2.3.78)
Учитывая, что
ch kR=A (e6v?+e~kR),
находим и следующее фундаментальное решение:
8 (х, у, z) =—ch kR. (2.3.76") 4л/?
С помощью соотношения
sh kR=A ^R-e-^(2.3.78')
получаем для однородного уравнения
Дй(х, у, z)—А2и(х, у, z)=0(2.3.79)
следующий интеграл:
й(х, у, z) = -^-sh kR.(2.3.80)
Заменив к на +1к, где i— мнимая единица, находим комплексно сопряженные фундаментальные решения
Е (х, у, z) =—e-iftR, (2.3.81)
Ё(х, у, z^ = - A-e^R, (2.3.81')
соответствующие уравнению
Ди(х, у, г) + ^2й(х, у, z)—/(х, у, г), к —const, (2.3.82) где f(x, у, z) —заданная обобщенная функция.
Используя соотношение
(2.3.83)(2.3.83)(2.3.81")(2.3.81")(2.3.83')(2.3.83')cos kR = -^- (elltR-\-e~1,iR),находим также фундаментальное решение8(х, у, z) =— cos kR.
(2.3.83)
(2.3.83)
(2.3.81")
(2.3.81")
(2.3.83')
(2.3.83')
v у’4л/?
Аналогично с помощью соотношения
sin kR=у7 ^е‘ьк —- е-111^
(2.3.84)(2.3.84)находим для однородного уравнения Гельмгольца Ьа(х, у, z)-\-k2u(x, у, z)=0(
(2.3.84)
(2.3.84)
(2.3.85)(2.3.85)следующий интеграл:
(2.3.85)
(2.3.85)
и^х, у, z) = — sin kR.I
R
Рассмотрим теперь уравнение
(2.3.86)(2.3.86)^^х, у, z} = f(x, у, z),(
(2.3.86)
(2.3.86)
где f(x, у, z)—заданная обобщенная функция. Чтобы найти соответствующее фундаментальное решение, используем соотношение
. , ,., А ।. о / dg dh. . dg dh . dg dh \
MghA = hAg-Vg^h -4-2 —P ——,
\ dx dx dy dy> dz dz J
(2.3.87) где g(x, y, z)=g— бесконечно дифференцируемая функция, a h\x, у, z)=h— обобщенная функция. Пусть g— фундаментальное решение уравнения Пуассона
А^8^, У, ^).
4л/?
Тогда
A(y^) = y^№+-|-^Agr4-
I d(/?2) dg | d(/?2) dg | d(/?2) dgdx dx dydy dz dz
Заметим, что
^^-=2х, А№)=6 Л- LL_2L . (2.3.88)дхк , дх \ R ) R3 У
Отсюда, учитывая, что /?28(х, у, z)=0,(2.3.89)
получаем
Таким образом,
АА^у^^^х, у, z).
Итак, получено следующее фундаментальное решение уравнения (2.3.86):
Е^х, у,(2.3.90)
Для случая двух пространственных переменных с помощью формулы (1.4.36) можно получить для уравнения Пуассона
Ам(х, у)=/(х, у\(2.3.91)
где f(x, у) —заданная обобщенная функция, следующее фундаментальное решение:
Е (х, у)=— 1п — .(2.3.92)
2л г
Заметим, что
=(2.3.87')
\ дх дх ду ду /
где у(х, у) —бесконечно дифференцируемая функция, а й(х, у) —обобщенная функция. Тогда можно написать
\ 4/44
1 1 Гд (г2) dg . d(r2) dg \
2 \ дх дх ду ду ) ’
гдеI
Ag=8(x, у).
Заметим, что
-^р-=2х, Д(г2)=4, —(2.3.88')
дх' дх г г^
Отсюда, учитывая, что г2В (х, у)=0,(2.3.89')
получаем
д(—= — — In —) ;
к 4 6 У 2л I г )
поэтому
r2g-') = 8(x, у),к 4/
Таким образом, находим следующее фундаментальное решение:
Е^х, уу-=- — гЧп— ,(2.3.93)
8л г
соответствующее уравнению
ДДй(х, у)=/(х, у),(2.3.94)
где ^х, у) —заданная обобщенная функция.
Задача Коши
Рассмотрим следующее линейное дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:
4-W; 'w^; ^ № ^к-^х
\ ox dt )
(2.3.95)(2.3.95)xe^R",
(2.3.95)
(2.3.95)
для которого нужно найти решение u(x; t^^K'kR^Y Фундаментальное решение Е^х; /) соответствует опера-
тору PVd/dx; djdt) и удовлетворяет уравнению
(2.3.96)(2.3.96)Р^;^) = 8(х; 1\
(2.3.96)
(2.3.96)
\ ox dt )
Рассмотрим теперь линейное дифференциальное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами
Р(—;) dxР(—;) dxд \dt /д \dt /«(х; /) = 0«(х; /) = 0(2.3.97)(2.3.97)
Р(—;
) dx
Р(—;
) dx
д \
dt /
д \
dt /
«(х; /) = 0
«(х; /) = 0
(2.3.97)
(2.3.97)
порядка т относительно переменной 1.
Определение 2.3.5. Назовем задачей Коши для уравнения (2.3.97) задачу, в которой нужно определить обобщенную функцию и(х; 1)еК' t.R"^) > удовлетворяющую этому уравнению, а также следующим начальным условиям (/ = 0):
и (х; -ф0) —«о(х), —ыЦх\ -}-0) =
в^пкх; А-^ = ит_Лх\ (2.3.98) dtm-X
где Uq^, Ui(x), ..., um_i(x) —некоторые заданные обобщенные функции.
Определение 2.3.6. Назовем фундаментальным решением задачи Коши, соответствующей уравнению (2.3.97), обобщенную функцию Е(х; t), удовлетворяющую этому уравнению и следующим начальным условиям:
Е^х; 4-0)=0, — Е(х; 4-0)=0,..., -Е (х, 4-0) =
=°,+0) = о(х).(2.3.99)
Теорема 2.3.2. Пусть обобщенная функция Е^х-, t) такова, что свертка Е (х; /) * ит_х (х) имеет смысл. Тогда решение задачи Коши для уравнения (2.3.97) с начальными условиями
u(x; +0)=0, 2-я(х; +0)=0,..«(x; ^0)=0,
dtdi”1-^1
(2.3.100) дт—1
+0)=tim_!(x)
dt” 1 имеет вид
U^X\ 0 = E ^X\ tY* Um_vtxY (2.3.101)
Действительно, можно написать
Р
/ d d \,
—; — и (х; t) =к dx dt ) v ’
; ±Де(х\ /)*tim_!(x)=0;
\dx dt )'’” н ;
соотношение (2.3.97), таким образом, выполнено. Далее
-^—и^х-, 0=^—\E^x\ f}*um-i{x)] = drdr
=Е (х; /)* йт_1(х) (6=0, 1,..., m — 1). dO
Отсюда, учитывая соотношения (2.3.99), можно заметить, что выполнены начальные условия (2.3.100).
Последовательным применением описанного выше метода можно решить задачу Коши для уравнения (2.3.97) с начальными условиями (2.3.98). Заметим, что, вообще говоря, можно выбрать начальный момент / = /о=#О, при этом задача существенно не меняется.
Для решения задачи Коши рассмотрим функцию
и(х; 0=9 ^и(х; t),(2.3.102)
а также соответствующую регулярную обобщенную функцию. Учитывая формулу (1.2.32), связывающую производную в смысле теории обобщенных функций с производной в обычном смысле и используя начальные условия (2.3.98), получаем
д —d —
и^х; 0 =и^х; ОО-ио(х)Ъ{О,
dtdt
д2 1ot* •д2 1ot* •и (х; /)+«! (х) 8 (/) 4-«о (х) 8 (/), (2.3.103)
д2 1
ot* •
д2 1
ot* •
— и^х; Ц = — 1Цх; /)4~«m-i РМН dtdtm
+ йт-2 (Х)8 W4~ • • • +Й1 W 8(m 2) W4~«o(X) ^m ^W’
Заметим, что производные в обычном смысле по t функции м(х; /) равны соответствующим производным функции п(х; /) при />0. Поэтому уравнение (2.3.97) принимает вид
A = glx' tV (2-3.104) \ ОХ 01 )
где g(x; /) —заданная обобщенная функция, включающая начальные условия. В этом случае назовем фундаментальным решением уравнения (2.3.104) обобщенную функцию £(х; /), удовлетворяющую уравнению
pf—; — ^(х; £=8(х; Л. (2.3.105) \ dx dt )
Тогда решение задачи Коши принимает вид
«(х, /)=£(х; f)*g(x; /),(2.3.106)
где свертка осуществляется по всем п+1 переменным. Этот способ определения фундаментального решения в случае задачи Коши является, очевидно, эквивалентным описанному выше.
д2и(х; Оdxiд2и(х; Оdxi1^=я а^ dt^ J v >1^=я а^ dt^ J v >(2.3.107)(2.3.107)Рассмотрим, например, следующее уравнение гиперболического типа:
д2и(х; Оdxi
д2и(х; Оdxi
1^=я а^ dt^ J v >
1^=я а^ dt^ J v >
(2.3.107)
(2.3.107)
с начальными условиями
п(х; 4~0) —^oW’й (х! 4-0)=«i(x), (2.3.108) dt
где ^х; t) —непрерывная при ^0 функция, a Uq^g gCVR), Ui(x)eC°(£). Введем следующие функции:
2.3.109)2.3.109)и lx; /)=9(/)и(ас; t\
2.3.109)
2.3.109)
7(х; Z) = 9(/)/(ac; /).
Тогда уравнение (2.3.107) записывается в виде
№(х;^(а; О2.3.107')
дх2 a2 dt2 J кv
где производные вычисляются в обычном смысле. Начальные условия (2.3.108) принимают вид
и (ас; -|-0) — и0 (ас), -^— и (ас; -(-0) = и1 (ас), (2.3.108')
где скачки функций й^х; Г) и djdt^illx; /) вычисляются в начальный момент / = 0. Таким образом, можно написать
д —д —
— u-lx; ^ = —и1х; /) + и0(х)8(/),
д2 —"аз —•
— «(^; ^ = — ulx; /) + и1(ас)8(/) + м0(ас)8(/). (2.3.110) Ot£0tz
Из условий, которым удовлетворяют функции и0(х) и Ui(x), следует, что произведения Мо(^)б(О> «oU)6(0 и Ui(x)d(Z) имеют смысл. Подставим в уравнение (2.3.107') полученные выражения для производных. Тогда уравнение (2.3.107) примет следующий вид:
д2и (а; /)1д-и (а; /)
дх2a2 dt2
= 7^ ^) —-y[«i WS^ + Wo WSW]- (2.3.107')
Это уравнение содержит начальные условия поставленной задачи Коши.
Если Ко(^), Нх^х^ееК' (R), то уравнение (2.3.107") принимает вид
(2.3.107'")(2.3.107'")д^и (х; О _ 1 d'Zu^t) _6а2 a2 dt2 У '
(2.3.107'")
(2.3.107'")
7 [“1 (л) X 8 М +«o W X 8 (/)],
где введено прямое произведение двух обобщенных функций. Таким образом, решение задачи Коши в обобщенных функциях будет решением уравнения (2.3.107'").
Заметим теперь, что фундаментальное решение, соответствующее оператору (2.3.34), дается соотношением (2.3.36). Поэтому решение уравнения (2.3.107"') можно записать в виде
и (х; /) = —^-0(f) 0 (at — | х | ) * / (х; /) —
L«,(x)x8(/)у м0 (х) х 8 (/)! , а>0. (2.3.111)
Если g(x)e/C(7?n), a h(x; t)^K'(^n+l), то можно показать, что
й(х; /)*[g(x) x8wM] =
— А(х; t^g^ (£ = 0, 1, 2,...) (2.3.112) dtb
при suppA(x; /) ед {х2 — аЧ^<, 0, />0].
Таким образом, решение (2.3.111) принимает вид
и (х; /)= —|- 0 (а/— | х | ) */ (х; /)-|-
1 х 1 )*MoW +
2а I ot
0. (2.3.111')0. (2.3.111')-|-6(а/— | х | )*«:(х) , а>0, t^>
0. (2.3.111')
0. (2.3.111')
Если f(x; /)еС°, UoW^C1 и Ui(x)eC°, то решение задачи Коши, соответствующей уравнению (2.3.107), определяется следующей формулой Даламбера-.
/ х+а(/—г)
и(х; /)=—2- ^^ /№ xV^dx-V
0 х—a(t—т)
x+at
^- ( щ (У^+у [«о^ + ^ + ^о^-^)]- (2.3.111") x—at
1
Одна ассоциированная задача/
Между фундаментальным решением оператора P^djdx; dldt) и фундаментальным решением задали Коши для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных существует тесная связь. Рассмотрим, например, следующее уравнение первого порядка относительно переменной 1;
^^-Pl—\uU\ /) = 0, x^R". (2.3.113) dt\ дх I
Теорема 2.3.3. Пусть Е (х; /) — фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (2.3.113); тогда следующая обобщенная функция:
£(х;(2.3.114)
(^ (х; /) при / >
также является фундаментальным решением этого уравнения.
Действительно, можно написать
дЕ^х; O._vM\e(X\ /)=0, />0, (2.3.115) dt\ дх )
Е^х; 0) = 8(х).(2.3.115')
Применив преобразование Фурье относительно пространственных переменных, получаем
^£^^_р(_ш)£'(а; /) = 0, />0,
Д(а; 0)=1,
где а = (аь аг, ..., ап) —новые комплексные переменные. Но f (х; t)=E^x; Z) при /^О, поэтому
-^^Р(-/а)Д(а; /)=0, />0,
1 (а; 0)=1,где дифференцирование по времени проводится в обыч-
ном смысле. Заметим, что это уравнение справедливо и при /<0. Далее, поскольку £(а; 0) —скачок £(а; Z) в момент /=0, то между производной в обычном смысле и производной в смысле теории обобщенных функций справедливо соотношение
— Е^х =/) + §(/).
atat
Следовательно,
-^- Е (а; /) —Р( —/а)£(а; /) = о(/). dt
Применив преобразование Фурье по времени, получим
— ipE^a; р) — Р (— ia)E (а; /7) = 1,
где р— новая комплексная переменная. Заметим теперь, что это не что иное, как преобразование Фурье относительно всех переменных уравнения
^^--Р(—\Е(х; /) = 8(х; /). (2.3.116) dt\ дх I ххv '
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотрим, в частности, уравнение теплопроводности
5“№ О a^Wf)=0 ХЕ^_ (2.3.117) dtдх^
Соответствующая задача Коши состоит в отыскании обобщенной функции и^х; t), удовлетворяющей этому уравнению, а также начальному условию
и(х; О)=ио(х), (2.3.118)
где и0(х) —заданная обобщенная функция. Фундаментальное решение дано формулой (2.3.69). Согласно теореме 2.3.3, фундаментальное решение задачи Коши дается следующей формулой: '
Е^х; /) =/>0.(2.3.119)
21Ata<
Таким образом, это решение удовлетворяет уравнению
±Е^^_а ^(^Д^р, />0,(2.3.120)
dtдх^
и начальному условию
Е^х; 0)=8(х).(2.3.120')
Следовательно, если считать переменную t параметром, то Е^х\ /) образует дельтообразную последовательность. Действительно, используя интеграл Пуассона (1.3.31), нетрудно проверить справедливость соотношения
J Е (х; f}dx= 1.
Решение задачи Коши для уравнения (2.3.117) с начальным условием (2.3.118) дается формулой
«(х; f) = E(x; f)*u0(x), />0.(2.3.121)
Если zz0(x)—обобщенная функция с компактным носителем, то свертка имеет смысл. Аналогично, если и0(х^— ограниченная или интегрируемая функция на R, то
и^х; 9 = [ Е^х — $; t^u^d^, f>0.
Можно сформулировать аналог теоремы 2.3.3 в случае, когда появляются производные высших порядков по времени. Проиллюстрируем вышеизложенное на волновом уравнении (2.3.31) в Rn. Фундаментальное решение Е (х; 9 задачи Коши, соответствующей этому уравнению, удовлетворяет соотношениям
□ оД(х; 9 = 0, />0,(2.3.122)
Е^х; 0)=0, — Е (х; 0)=8(х).(2.3.122')
dt
Теорема 2.3.4. Пусть Е (х, 9 — фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (2.3.31). Тогда сущест-
вует фундаментальное решение вида (2.3.114), удовлетворяющее уравнению
^^--аЧЁ(х; /) = В(х; /).(2.3.123)
dt2
Применим преобразование Фурье по пространственным переменным к соотношениям (2.3.122). Тогда
а2£ (а; /) + -—/>0,а2 dt2
Ё (а; 0) = 0, d^(a: 0)- = 1,dt
где а2 = а12 + аг2+ ... +an2. С учетом соотношения (2.3.114)
получаем уравнение, справедливое при t>0 и КО:
। 1 d2E (a; t) n
a?E (a ' =0,
* Д2 dt2
где дифференцирование проводится в обычном смысле. Имеем также
£(а; 0)=0, — £(а; 0)=1,dt
поэтому можно написать следующие соотношения между производными в обычном смысле и производными в смысле теории обобщенных функций
dE (a; Q dE (a; /)dt — dt
d2E(a; t) __ d2E (,a; t)dt2 — dt2
Таким образом, выполняется соотношение
4-a2a2^ (a; /) = В(/),dt2
откуда, применяя преобразование Фурье относительно времени, получаем
( — ip^E^ р^Д-а^аЗЕ'.а; р) = 1.
Мы пришли, таким образом, к преобразованию Фурье уравнения (2.3.123), и, следовательно, теорема доказана.
Обобщенная функция
и (ас; t^=E(x; t)*ih(x), xeR\ ^>0, (2.3.124)
является, таким образом, решением задачи Коши для уравнения (2.3.31) с начальными условиями
и(х; 0)=0, -^—и^х; О) = «1(ас),(2.3.125)
где Wi(x)—заданная обобщенная функция, а свертка проводится по пространственной переменной х (время t рассматривается как параметр).
В частности, при п=\ получаем уравнение колебания струны
dxidxiд?^х> Ч_а2 д1и^Л=^^ xG^ f>0. (2.3.126)
dxi
dxi
Фундаментальное решение этого уравнения дается формулой
Е^ /)= —6(/)6(а/- | х | ).(2.3.127)
Следовательно, согласно доказанной теореме, фундаментальное решение задачи Коши имеет вид
0 при | ас | ">at,
Следовательно, решение уравнения (2.3.126) с начальными условиями (2.3.125) дается сверткой
и^х; /) = — 6 fa/ — ] ас | )*м1(ас), />0. (2.3.128)
Поскольку Е^х; t) является обобщенной функцией с компактным носителем, то эта свертка имеет смысл для
любой обобщенной функции иДх). Если иДх)—непрерывная функция, то можно написать:
м(х; /)=—С Ux^x — ^d^.(2.3.129)
2а J
х—at
Рассмотрим задачу Коши с начальными условиями (2.3.108). Уравнение
а2 _^10д0_=о, />0, (2.3.130)
<№dxik
с начальными условиями
уДх; 0)—0, -^- г)х (х; О) = ио(х)(2.3.130')
имеет, согласно полученному результату, следующее решение:
x+at
(2.3.131)(2.3.131)tiCY; ^=— f и»$^-la Ja—xt
(2.3.131)
(2.3.131)
rdvi(x; fjI dt _rdvi(x; fjI dt _Дифференцируя это уравнение по t, находим
rdvi(x; fjI dt _
rdvi(x; fjI dt _
д2 Г^М*; Q1 _ д2 ^1дР [ й ] dxi
Следовательно, производная о^х; f)=dvx(x; t)ldt удовлетворяет уравнению колебания струны и условию Уз (я; 0) =ий\хУ
Применив формулу дифференцирования по параметру
»(<)*(/)
-1— С /(x;t^dx = С ^^’dx-\-
^J у1Jdt
а(/)ар*)
+ /№ ^)-^—/(«; /)^^-(2.3.132)
в предположении, что u0(^)eCI, получаем хДх; f^ = ^-\uQ^x-Vaf\-\-uQ^x — a^\
-ду-^; 9=о. at-ду-^; 9=о. at(2.3.131')(2.3.131')
-ду-^; 9=о. at
-ду-^; 9=о. at
(2.3.131')
(2.3.131')
Суперпозиция решения у2(х; /) и решения (2.3.129) приводит вновь к формуле Даламбера (2.3.111"), соответствующей задаче Коши с начальными условиями (2.3.108).
Функции Грина. Обобщенные функции Грина
Общие результаты
Решение многочисленных задач математической физики тесно связано с построением так называемых функций Грина, с помощью которых решение краевых задач можно найти непосредственно квадратурами. Заметим, что функцию Грина можно получить, используя фундаментальное решение в смысле теории обобщенных функций. Если фундаментальное решение является обобщенной функцией, то соответствующая функция Грина будет обобщенной функцией.
Рассмотрим, например, линейное дифференциальное уравнение вида (2.1.29) с постоянными коэффициентами, где /(х) —функция, интегрируемая на интервале [0, оо). Частное фундаментальное решение удовлетворяет уравнению (2.1.30) Произведем сдвиг начала координат в точку g. Тогда соответствующая обобщенная функция будет удовлетворять уравнению
Р (— \ Е + ^х—Х^=% VхxA^R. (2.3.133) \ dx /
Таким образом получили обобщенную функцию Грина для уравнения (2.1.29) с постоянными коэффициентами:
G+(x; ^^f+^-O, х, X^R. (2.3.134)
Предположим, что эта обобщенная функция Грина определена. Тогда решение уравнения (2.1.29) выражается в виде (2.1.31), т. е.
ооУ^ = ^ Е+ (x-XV ($) dX = у G+ (z; Е) / (Е) dX. (2.3.135)
о
о
о
Итак, частное решение неоднородного уравнения (2.1.29) получено. Прибавляя к этому решению общее решение соответствующего однородного уравнения, получаем общее решение уравнений (2.1.29). Аналогичный метод был использован в разд. 2.1.1.4.
Упомянутая выше обобщенная функция Грина была определена с помощью частного фундаментального решения уравнения (2.1.31). Можно, однако, определить обобщенную функцию Грина для уравнения (2.1.29) и другим путем. Эта функция должна являться также решением уравнения
р(—^(х; $) = 8(х-$), хЛ^Р, (2.3.133') \ dx /
и включать в себя частную обобщенную функцию Грина, соответствующую уравнению (2.3.133). Более того, обобщенная функция Грина G^x\ |) является сингулярной частью обобщенной функции Грина G^x; g). Вторая, несингулярная, часть этой обобщенной функции является общим решением однородного уравнения (2.1.32). Пусть £о(я)—общее решение уравнения (2.1.32). Тогда обобщенная функция Грина выражается соотношением
G^x; Е)=£0(х)4-О+[(х; $).(2.3.136)
Очевидно, что сингулярная часть G+(x; £) является существенной частью обобщенной функции Грина G(x; 9-
Применения
Рассмотрим уравнение
yW^ = j^ (2.3Л37)
где f(x) —- регулярная обобщенная функция. Заметим, что частное фундаментальное решение имеет вид (2.1.34), поэтому частная обобщенная функция Грина определяется соотношением
О+(х, £)О+(х, £)1(п-1)!1(п-1)!(х-е)" \ х>$.(х-е)" \ х>$.(2.3.138)(2.3.138)
О+(х, £)
О+(х, £)
1(п-1)!
1(п-1)!
(х-е)" \ х>$.
(х-е)" \ х>$.
(2.3.138)
(2.3.138)
Она является решением уравнения
£/<"> (а:)=8 (л:—£), .х;(2.3.139)
где £ — параметр.
Решение исходной задачи записывается в виде
УИ = "^^ J^-^V®^, х>0. (2.3.140)
о
Оно соответствует однородным начальным условиям типа Коши
yW(0)=0 (£=О, 1, 2,..., л-1). (2.3.141) Можно также написать
GA^ ^"^Г^^^-^^""^' X'^R- I2-3-138') Тогда решение (2.3.140) принимает вид
У^ = ^^ ^х-^/^^, x^R. (2.3.140') ‘ 6
В случае неоднородных начальных условий Коши
У(О)=Уо, У'(°)=Уь У"(°)=У2.-.., У^ЦО^Уп-т
(2.3.141')
решение задачи дается формулой Х2хп-1
у ^=УйА"У1хА"У,2 + ■ ■ ■ +^«-1 tl—+ 1/1
+ Т^^У^-5Г7(М, х>0. (2.3.142) * о
Можно также написать
У^)=Уо6 W+У 1х + + 7- УаЛ + • • • + 7—Цт yn-ixV +
(2-3.142') (л — 1)! J о
Аналогично можно рассмотреть и дифференциальные уравнения в частных производных. Например, в случае обобщенного уравнения Пуассона (2.3.74) обобщенная функция Грина дается формулой
QU, у, z; В, л, Q=—е-к?,(2.3.143)
4лр
где
Р=У(л:-В)2+(у-Л)2+(2:-С)2.(2.3.144)
В частности, при ^ = 0 получается обобщенная функция Грина для уравнения Пуассона (2.3.73):
G(x, у, z; В, Л, С)= — -^— .(2.3.145)
Предположим теперь, что f(x, у, г) —функция, интегрируемая в R3. Тогда можно написать и^х, у, z) =
= J J J G^x, у, z; В, л, С)/(В, Л, ^d;d4ds. (2.3.146) СО —ОО —со
Предположим, что уравнения (2.3.73) и (2.3.74) рассматриваются в пространстве обобщенных функций, а Цх, у, г^—обобщенная функция с компактным носителем. Тогда решение этих уравнений записывается в виде и(х, у, z) = E(xt у, z) * у^х, у, г), (2.3.147) где Е^х, у, z) —обобщенная функция, определяемая соотношениями (2.3.76) или (2.3.77) соответственно, а свертка рассматривается в пространстве обобщенных функций.
Отметим, что сдвиг
G^x, у, z; В» Ч, С) = А(х —В, у — Л, z — С) (2.3.148) позволяет получить обобщенную функцию Грина из фундаментального решения в смысле теории обобщенных функций.
ГЛАВА 3
Представление некоторых механических и физических величин обобщенными функциями
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ВЕКТОРОВ ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Связанный вектор является математическим объектом, который характеризуется направлением, величиной (модулем) и точкой приложения. Связанный вектор представляется в пространстве £3 направленным отрезком. Приложенный в точке связанный вектор может быть представлен через некоторую сингулярную обобщенную функцию, в частности через обобщенную функцию Дирака.
Представление связанного вектора
Частный случай
На отрезке [—а, а], а>0, рассматривается векторное поле Уа(х), перпендикулярное оси Ох и направленное в положительном направлении оси Оу. В предположении, что на этом отрезке рассматриваемые векторы имеют величину Pj2a (фиг. 3.1, а) и распределены равномерно, можно написать
(3.1.1)(3.1.1)-— при х G [ — а, а],
(3.1.1)
(3.1.1)
О при х ^[ — а, а].
Используя дельтообразную последовательность, образованную функциями ha(x), определяемыми формулой (1.2.91), можно представить величину рассматриваемого
векторного поля следующим образом:
Va^=Pha^YVa^=Pha^Y(ЗЛ.Г)(ЗЛ.Г)
Va^=Pha^Y
Va^=Pha^Y
(ЗЛ.Г)
(ЗЛ.Г)
Заметим, что при а->+0 длина отрезка [—а, а} стремится к нулю, а величина Р]2а стремится к бесконечности.
Рассматривая предел векторного поля при а->- + 0 в смысле теории обобщенных функций, получаем
У(х)= lim Va ^ = Р lim ha (л) = Р8 (х). (3.1.2)
а-> + 0
Это и есть математическое представление величины связанного вектора, который направлен в положительном направлении оси Оу перпендикулярно оси Ох и приложен в начале координат. Величина равнодействующей рассматриваемого векторного поля есть Р. В векторном виде можно написать
Q(x) = 1/'(a;)(3.1.2')
(3.1.3)(3.1.3)где j— орт оси Оу. Таким образом, Q(x) представляет собой векторное поле, эквивалентное связанному вектору Pj, приложенному в начале координат. Векторное поле Q(x) можно рассматривать как линейную плотность связанного вектора Pj. Если вектор Pj приложен в точке А с абсциссой х0 (фиг. 3.1, б), то эквивалентное векторное поле, полученное из (3.1.2') сдвигом, будет следующим:
(3.1.3)
(3.1.3)
Q(%) = Pj8(x—х0).
Заметим, что функция /га(х) играет вспомогательную роль. Вместо нее можно рассматривать другую дельтообразную последовательность. В частности, можно рассматривать векторное поле Va(x), которое направлено вдоль положительного направления оси Оу перпендикулярно оси Ох и определяется по формуле (фиг. 3.2)
УлУлVa^=Va^=ООпри хе[О, а], Р>0,при хе[О, а], Р>0,(3.1.4)(3.1.4)при | х | >а.при | х | >а.
Ул
Ул
Va^=
Va^=
О
О
при хе[О, а], Р>0,
при хе[О, а], Р>0,
(3.1.4)
(3.1.4)
при | х | >а.
при | х | >а.
Это поле распределено в равнобедренном треугольнике площадью Р.
Используя формулу (1.2.115) при n=l/a, можно заметить, что функции
— [ 1 + —) при ХЕ [ —а, 0], Л \ Л /
g<M =g<M =при х Е [0, а],при х Е [0, а],(3.1.5)(3.1.5)
g<M =
g<M =
при х Е [0, а],
при х Е [0, а],
(3.1.5)
(3.1.5)
О при | х | ~>а
образуют дельтообразную последовательность, такую, что
11m go(x)=8(x).(3.1.5')
а-»+0
Величина рассматриваемого векторного поля (3.1.4) представляется следующим образом:
Va^=PgAxY(3.1.4')
При а->-+0 получаем
V (х) = lim Va (х) = Р lim ga (х)=Р8 (х),(3.1.6)
а^+0я > + 0
что совпадает с представлением (3.1.2) или (3.1.2').
Общий случай
Рассмотрим в ортогональной системе координат Охуг связанный вектор У(7Ж, Vy, Vz), приложенный в точке О. Пусть Qg— замкнутая область, содержащая точку О, такая, что при 8^ + 0 она стремится к точке О. На этой области определим векторное поле Qe(x, у, z), имеющее составляющие VxfB(x, у, z), Vyg^x, у, z), Vzhe(x, у, z), при условии, что f8, g8 и h8 являются дельтообразными последовательностями, т. е.
lim /е(х, у, z) = limge(x, у, z^ =
е --> -|-0е > + 0
= ИтЛЕ(х, у, z)=8(x, у, z).(3.1.7)
Переходя к пределу в смысле теории обобщенных функций, получим векторное поле, эквивалентное связанному вектору V:
Q(r)=Q(x, у, z)=HmQE (х, у, z)=s>+0
= 17j8(x, у, г)-|-17у]8(х, у, z)+Vzk$(x, у, z^
= V8(x, у, z)=V8(r),(3.1.8)
где i, j, k — орты осей координат, а г — радиус-вектор точки (х, у, z). Векторное поле Q(r) можно рассматривать как объемную плотность связанного вектора V. Ес- 9—3677
ли связанный вектор V приложен в точке Л с радиусом- вектором г0(х0, Уо, 20), то эквивалентное векторное поле имеет вид
Q(r) = V8 (% —%0, У — Уо, 2 —z0) = V8(r —г0). (3.1.9)
Для представления связанного вектора V может быть использована произвольная дельтообразная последовательность, так как на окончательный результат влияет не конкретная форма этой последовательности, а ее свойства. Пусть дана функция
/«(X, У, z) =/«(X, У, z) =34ле3О34ле3Опри гпри г(3.1 ЛО)(3.1 ЛО)при г^>при г^>
/«(X, У, z) =
/«(X, У, z) =
3
4ле3О
3
4ле3О
при г
при г
(3.1 ЛО)
(3.1 ЛО)
при г^>
при г^>
r==j/^q^qz^2.
Носителем этой функции является шар Qs радиуса г=е с центром в начале координат. Функции /е(х, у, г) образуют дельтообразную последовательность, такую, что
Игл /Дх, у, z) = 8(x, у, z).(3.1.11)
6^4-0
Действительно, для произвольной основной функции <р(х, у, z)^K(R3^ можно написать
(Л (л:, у, z), <р(л:, у, z))=^f.(x, у, z^x, у, z)dQ =
R3
С<р(л:, у, z)dQ=^^ Л, С), (5, Л, Qe&, 4лг3 J
S,
где использована теорема о среднем для тройного интеграла. Таким образом, получается
Ит(/Е(х, у, z\^^x,y, z)) = (lim/,(x, у, z^^^x, у, z^ =
Е + Ое > + 0
=<р(0, 0, 0) = (8(л, у, z^ ^(х, У, z)\
что и доказывает справедливость соотношения (3.1.11).
Рассмотрим поле параллельных векторов
О,(л, у, z^NfJx, у, z),(3.1.12)
определенное на шаре Qs радиуса е и с центром в начале координат. Переходя к пределу в смысле теории обобщенных функций, получим
Q(r)=Q(x, у, z) = limQe(x, у, z)= + 0
= V lim /е(л:, у, z) = Nb{x, у, z^ = NS^r\ (3.1.13) г .+0
Для доказательства справедливости этого представления вычислим торсор *> в точке О рассматриваемого векторного поля. Имеем равнодействующую
R£ = J QEtZ8= J V/ДЙ = V J ftdQ, (3.1.14) 2eS,2e
откуда при e->+0 получаем
R = V.(3.1.15)
Результирующий момент имеет значение
М£ = frxQ42 = —— CrXVrf2 =
J4леЗ J
2ее
=— VxCr^Q=O, (3.1.15')
4леЗ J
где учтено, что
У п/2=0,(3.1.16)
2s
так как этот интеграл определяет статический момент однородного шара Й8 относительно его центра. Очевидно, что Мо = О и представление (3.1.13) оправдано с точки зрения механики.
Заметим, что можно использовать любую другую дельтообразную последовательность fE, предполагая, что она зависит только от е при | г | ^е.
Сложение связанных векторов
Пусть Vb V2, ..., Vn — система связанных векторов, приложенных в точке Л(хо, z/o, 20) (фиг. 3.3). Эквивалентные векторные поля имеют вид
Q/(r) = Vz8(r-r0), /=1, 2 п.(3.1.17)
Если ввести равнодействующий приложенный в той же точке Л вектор по формуле
R^V,,(3.1.18)
<=i
для эквивалентного векторного поля будем иметь выражение
Q(r)=2Qz(r)=R8(r-r0).Q(r)=2Qz(r)=R8(r-r0).(3.1.19)(3.1.19)
Q(r)=2Qz(r)=R8(r-r0).
Q(r)=2Qz(r)=R8(r-r0).
(3.1.19)
(3.1.19)
Таким образом, свойства связанных векторов, приложенных в одной и той же точке, сохраняются и в их представлениях через обобщенные функции.
Когда точки приложения связанных векторов различны, об их сложении говорить нельзя. Однако в некоторых случаях можно привести представления через обобщенные функции системы из двух связанных векторов. Для системы п>2 векторов, приложенных в различных точках, можно попробовать сложить их, если они парад-
лельны. В противном случае можно разложить каждый вектор по трем направлениям и получить три системы, каждая из которых содержит п параллельных векторов (векторные компоненты рассматриваемых векторов).
Связанные векторы, представленные таким образом, могут быть сосредоточенными силами, импульсами и др.
Одинаково направленные параллельные векторы
Рассмотрим, например, два параллельных и равных между собой связанных вектора (Vi = V2 = V в смысле свободных векторов), приложенных в точках Л](—а, 0) и Л2(а, 0), а>0 (фиг. 3.4, а). Этим двум векторам соответствуют эквивалентные векторные поля
Фиг. 3.4.Фиг. 3.4.
Фиг. 3.4.
Фиг. 3.4.
Qi(x, y) = V18(x-|-a, y)=V8(x+<z, у), (3.1.20)
Q2(x, y)=V28(x—а, у) —V8(x — а, у).
Эквивалентное векторное поле Q(x, у) системы заданных связанных векторов имеет вид
Qk y^Q^x, y) + Q2(x, y) = V[8(x-j-a, y) + §(x —л,у)]
или с учетом формулы (1.2.76) получаем
Q (х, у)=2а¥8(х2 —а2, у), а>0.(3.1.21)
Соотношение (3.1.21) может быть принято за правило сложения двух эквиполентных (равных в смысле сво-
бедных векторов) связанных векторов на плоскости Оху, приложенных на оси Ох. То, что рассматривается плоскость Оху и что точки приложения находятся на оси Ох, не существенно. Например, если рассматривается прямая у=Ь, параллельная оси Ох, получается эквивалентное векторное поле
Q(x, у)=2о¥8 (х2—а2, у — 6), (3.1.2Г)
соответствующее эквивалентным связанным векторам V] и ¥2 (равным V в смысле свободных векторов), приложенным в точках Д1(—а, 6), А2(а, Ь), а>0 (фиг. 3.4, б).
Заметим, что представления, полученные выше, справедливы только для случая двух связанных векторов; для двух скользящих векторов получается равнодействующая, равная 2V, приложенная в точке (0, 0) или в точке (0, 6).
Пусть ¥ь ¥2, ¥3, ¥4 — система четырех эквиполент- ных связанных векторов (равных ¥ в смысле свободных векторов), находящихся в плоскости Оху и приложенных в точках Ах (—а, Ь), А2(а, Ь), Аз(а, —Ь), Ai (—а, —б), а, 6>0 (фиг. 3.5).
Эквивалентное векторное поле имеет видQ(x, z/) = V[8(x4-a, У — Ь^Цх — а, у — 6)+"ЬЗ^— а, уЦ-6)-}"8 (■£+&> УН-^)]’
С помощью соотношения (1.2.77) получается следующая формула сложения:
Q(x, z/) = 4a6V6(.Y2 —a2, z/2-62), a, 6>0. (3.1.22)
Противоположно направленные параллельные векторы
Рассмотрим два противоположно направленных связанных вектора Vi, V2, равных по величине (V] =—V, V2=V в смысле свободных векторов) и приложенных в точках —а, Ь) и Л2(п, 6), а>0 (фиг. 3.6). Эквива
лентное векторное поле имеет вид
Q(x, z/) = V[ —8(х-|-а, У — &)+8(х— а, у — Ь)].
С помощью соотношения (1.2.79') можно написать
Q(x, у) = 2а¥8(л2-а2, у-Ь\ а>0.(3.1.23)
Это и есть формула сложения двух параллельных, противоположно направленных и равных по величине связанных векторов.
Полученное представление теряет смысл в случае двух скользящих векторов; эта система векторов образует пару, которой соответствует свободный вектор.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НАГРУЗОК И НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Сосредоточенные нагрузки математически могут быть смоделированы с помощью связанных векторов. Принимая во внимание изложенное в разд. 3.1.1, можно представить нагрузку, эквивалентную сосредоточенной силе F, приложенной (фиг. 3.7) в некоторой точке Л с
радиусом-вектором г0(х0, уо, го), следующим образом:
Q(r) = F8(r-r0).Q(r) = F8(r-r0).(3.2.1)(3.2.1)
Q(r) = F8(r-r0).
Q(r) = F8(r-r0).
(3.2.1)
(3.2.1)
Носителем эквивалентной нагрузки Q(r) является точка А. С помощью этого представления можно получить математические выражения и для других сосредоточенных нагрузок (механических величин с точечными носителями) .
Для представления непрерывно распределенных нагрузок можно использовать формулу (3.2.1) и получить результаты, свойственные этому случаю нагружения.
С помощью формулы (3.2.1) можно получить и представление периодических сосредоточенных сил. Рассмотрим, например, периодическую сосредоточенную силу величиной |F| с периодом Т, приложенную в точках х=пТ, n^Z. Нагрузка, эквивалентная силе, приложенной в начале координат, имеет вид
Для коэффициентов разложения (3.2.Г) в ряд Фурье имеем выражения
с„ (/)=—№), e+^) = ±F, n^Z. (3.2.2)
Следовательно, периодическая обобщенная функция, соответствующая сосредоточенной силе (3.2.1'), имеет вид
Q(x) = ^ -^Ре;л“-\ mZ,(3.2.2')
или
Q(x) = 2 W-nPHGZ.(3.2.2")
Сосредоточенные моменты
Направленный сосредоточенный момент^
В механике абсолютно твердого тела сосредоточенные силы моделируются скользящими векторами, а моменты представляются свободными векторами. В механике сплошных сред сосредоточенные силы моделируются связанными векторами и, таким образом, каждая пара сил зависит от точек приложения составляющих ее сосредоточенных сил. Мы будем рассматривать направленный сосредоточенный момент как сосредоточенную нагрузку, полученную предельным переходом из системы двух сосредоточенных сил.
Пусть А— фиксированная точка с радиусом-вектором г0(х0, уо, Zo), а В— подвижная точка с радиусом- вектором р^, т), £). Точки Л и В расположены так, что орт и вектора АВ постоянный (фиг. 3.8, а). В точках А и В действуют соответственно параллельные, противоположно направленные силы —F и F; будем считать, что орт F0 вектора F тоже постоянный. Обозначим через
1 В русской литературе такой сосредоточенный момент носит название двойной силы с моментом. — Прим. ред.
d=ДB плечо пары (—F, F). Момент рассматриваемой пары равен
(3.2.3)(3.2.3)M = Fd',
(3.2.3)
(3.2.3)
где Д'—расстояние между линиями действия векторов d’=d | u х F° | — d sin (u, F).(3.2.3')
Определение 3.2.1. Направленным сосредоточенным моментом называется предел в смысле теории обобщенных функций пары сосредоточенных сил (—F, F) при стремлении плеча пары d к нулю. При этом предполагается, что точка А фиксирована, точка В подвижна, орты F°, и и момент пары М постоянные.
Чтобы получить выражение для направленного сосредоточенного момента, заметим, что действие рассматриваемых сил равносильно действию нагрузки
(3.2.4)(3.2.4)<W = F8 (г —р) —F8(r —г0).
(3.2.4)
(3.2.4)
Учитывая формулы (3.2.2) и (3.2.3), можно написать
-ТТ^Т [8(г-Г„)(Г-Р)].(3.2.4')
В этом случае нагрузка Q(r), соответствующая направленному сосредоточенному моменту, имеет вид
Q (г) = Hm Qd (г) =8 (г - г0) =
d-»+o| u X F° I ди
=1 „х^ I8 (Г-Го)1(31215)
Здесь введена производная по направлению и обобщенной функции Дирака, которая определяется соотношениями
-А. § (г — r0) = u-grad 8 (г — г0)= ди
= Ига [8 (r-r0)-8(r —?)] = d-*+0 а
= ^-8(x-x0, у-у№ z-z^ = OU
(3.2.6)
= cos а8 (х — x0> у — y0, z — z0) +
OX
4-cosp-^- 8(x — x0, y — y0, z — z0) + dy
4-cosy^-8(x — x0, y — y0, z—z0\
где a, p, у — углы, образованные вектором и с осями координат.
Заметим, что носителем направленного сосредоточенного момента (3.2.5) является точка Д(го), и предполагается, что орты и и F0 не коллинеарны, т. е.
(3.2.7)(3.2.7)ихР^О.
(3.2.7)
(3.2.7)
Важным частным случаем является случай, когда орты и и F0 взаимно перпендикулярны (u- F° = 0). Соответ-
ствующая нагрузка имеет вид
Q (r)= — TWF0-^-8 (г —г0) =
= — AfF°[u.gradB(r — r0)].(3.2.8)
Из соотношений (3.2.5) следует, что направленный сосредоточенный момент характеризуется:
точкой приложения А (хо, уо, zo);
ортом F0 сил, образующим его;
ортом и направления, вдоль которого осуществляется предельный переход;
его величиной М.
Момент направлен по нормали п к плоскости действия направленного сосредоточенного момента, причем п выбирался таким образом, чтобы смешанное произведение (u, F0, р) >0. Направленный сосредоточенный момент, определяемый таким образом, положителен, так как для наблюдателя, расположенного вдоль орта п, вращение в рассматриваемой плоскости происходит в положительном направлении.
Рассмотрим случай периодического направленного сосредоточенного момента с периодом Т, приложенного в точках х = пТ, neZ. Нагрузка, эквивалентная направленному сосредоточенному моменту, приложенному в начале координат, имеет вид
Q(X)=^(3.2.5')
i u X F0 | дм kk
Обозначив через Q периодическую обобщенную функцию, соответствующую направленному сосредоточенному моменту (3.2.5'), можно написать соотношения
Q(x)=Q(x)=MF0| U X F0 IMF0| U X F0 IMF0I U X F0 IMF0I U X F0 I2^ eu™xTi ’2^ eu™xTi ’raez, (3,2.5")raez, (3,2.5")
Q(x)=
Q(x)=
MF0
| U X F0 I
MF0
| U X F0 I
MF0
I U X F0 I
MF0
I U X F0 I
2^ eu™x
Ti ’
2^ eu™x
Ti ’
raez, (3,2.5")
raez, (3,2.5")
где u — орт оси Ох.
Направленный сосредоточенный момент является моментом первого порядка; при необходимости будем обозначать его величину и нагрузку верхним индексом ЦЛ4(1) и Q(1)).
Исходя из направленного сосредоточенного момента порядка п—1, рассмотрим пару ( —Q("-1), Q(/I-1)), составляющие которой приложены соответственно в фиксированной точке Л(г0) и подвижной точкеВп(еп)- Обозначим через un орт плеча dn=ABn (фиг. 3.8, б). Величина рассматриваемого момента равна
Mw=Fd'xda...dn,(3.2.9)
где d\, d^, ..., d'n_x — плечи соответствующих моментов порядка, меньшего п. Через u, (i=l, 2, ..., п) обозначим орты, определяющие направления, вдоль которых осуществляются предельные переходы к фиксированной точке Л.
Определение 3.2.2. Направленным сосредоточенным моментом порядка п в точке А (го) называется предел в смысле теории обобщенных функций пары эквивалентных нагрузок ( —Q(n-1), Q(”-1)), когда плечо бп->0, причем точка А фиксирована, точка Вп подвижна, орты F0, и^ (i=l, 2, .... и) и величина А1*п> момента постоянные.
Учитывая выражение для эквивалентной нагрузки направленного сосредоточенного момента первого порядка, которое было получено ранее, запишем выражение для эквивалентной нагрузки направленного сосредоточенного момента порядка п:
dw (г) —( -1)"—-Л—■ 8 (г-г0), (3.2.10)
лouxdua.. .ои„
П | щ X F0 |
Z =1
где введена смешанная производная по направлению порядка п обобщенной функции Дирака.
В частности, при щ = и выражение для сосредоточенной нагрузки, эквивалентной направленному моменту
порядка п, принимает вид
Q^"^ (г) = (—1)" —^—^^—-^-8(г — г0).(3.2.11)
| u X F0 |л ди'1
Если u-F° = 0, то можно написать
Q("> (г)=(-1 ^пМ(n)F° — 8 (г - г0).(3.2.12)
. ди"
Предположим, что в точке Л(го) действует сосредоточенная сила F. Попробуем перенести эту силу в начало координат О таким образом, чтобы эффект ее действия не изменился (фиг. 3.9). Нагрузки, эквивалентные сосредоточенной силе F, приложенной соответственно в точке Лив точке О, имеют вид
ал(г) = Р8(г —r0), Qo(r) = F8(r). (3.2.13)
Разлагая выражение Оа(г) в ряд Тейлора в окрестности начала координат, получаем
Оа(г)=Оо(п+4г qH) (нч-^- q(2) (г)+...
1(«—1)11(«—1)1Q("-1)(r)-(Q("-1)(r)-(1п!1п!О(л) (Г),О(л) (Г),(3.2.14)(3.2.14)
1
(«—1)1
1
(«—1)1
Q("-1)(r)-(
Q("-1)(r)-(
1п!
1п!
О(л) (Г),
О(л) (Г),
(3.2.14)
(3.2.14)
где введен направленный сосредоточенный момент
Q(Z4r)=(-l)f——F0 — 8 (г) (Z=l, 2,..., п-1), I u X FO |z di?
(3.2.15)
Q(n) (г)=(-1)л^F° — 8(r-6r0), 0<6<l.
| u X FO I" dun
Здесь u — орт вектора ro, F° — орт вектора F, d — расстояние между точкой О и линией действия силы F, приложенной в точке Л, а Л4^>=Р(/* —величина момента i-ro порядка силы F, приложенной в точке О. Выражение (3.2.14) представляет собой закон эквивалентности действия силы F, приложенной в точке А или в точке О.
Теорема 3.2.1. Действие сосредоточенной силы F, приложенной в точке А, эквивалентно действию той же силы F, приложенной в точке О, к которой прибавляются действия п—/ сосредоточенных моментов первого порядка, второго порядка, .... (п—1)-го порядка, приложенных в точке О, эквивалентные сосредоточенные нагрузки которых Q<6 умножаются на l[i\ (1=1, 2, ... ..., п—1), и действие направленного сосредоточенного момента порядка п, приложенного в некоторой точке отрезка ОА, эквивалентная нагрузка которого Q<n> умножается на Ifni.
В зависимости от физических свойств среды, на которую действует сила F, и от выбранной математической модели этой среды можно определить максимальный порядок направленного сосредоточенного момента, возникающего в задаче установления эквивалентности действия сил, т. е. можно определить число п. Так, например, при рассмотрении абсолютно твердых тел, расстояния между любыми точками которых постоянны во времени, сосредоточенные силы представляются скользящими векторами. В этом случае максимальный порядок моментов равен 1 (для исследования эквивалентности действия сил достаточно ввести моменты первого порядка). Другими словами, для твердых тел закон эк-
вивалентности имеет вид
(3.2.16)(3.2.16)ад(г)-а0(г)+а(1) (г).
(3.2.16)
(3.2.16)
При рассмотрении сплошных сред могут возникать моменты более высокого порядка.
Центр вращения;
С помощью понятия направленного сосредоточенно-1 го момента можно определить вращательный сосредото-' ченный момент (центр вращения), который представляет собой сосредоточенную нагрузку с осевой симметрией.
Пусть даны точка А (го) и орт п, перпендикулярный некоторой плоскости Р и проходящий через заданную точку. Предположим, что в этой точке действуют п^2 направленных сосредоточенных моментов величиной Mt, определенных ортами Uj и Fi° (i=l, 2, ... , п), игхРг = 0, и принадлежащих плоскости Р (фиг. 3.10, а), эквивалентные нагрузки которых равны
Q,(r) =^— -^-8(r-r0) (Z=l, 2,..., л). (3.2.17)
I u/X F? | dut
Пусть {Q} — множество эквивалентных нагрузок:
Q(r)=Q!(r)+Q2(r)+...+Q„(r).(3.2.18)
Определение 3.2.3. Вращательным сосредоточенным моментом (или центром вращения), соответствующим точке А и плоскости Р, называется элемент множества {Q}, не зависящий от ортов щ и F,0 (i=l, 2, ..., п).
Подставляя выражение (3.2.17) в (3.2.18) и используя условие, что Q не зависит от ортов uf и F? (i=l, 2, ..., п), получаем
Q(r)Ja±+b±+c4-)s(r-r0), (3.2.19) \ дх ду де /
где а, Ь и с — постоянные векторы, зависящие только от величин М,. Предположим, что этот элемент может быть
Фиг. 3.10.
записан также в виде
Q(r) = (a'4- + b' -^- + с'-^-Ыг-г0), (3.2.19') \ дх оу dz j
где а', Ь' и с' тоже являются постоянными векторами.
Вычитая (3.2.19') из (3.2.19), получаем
[(а-а')^+(Ь-Ь-)^-+(с-с-)^-;8(г-го)=О.
Если ф (г) ^K(R3) — произвольная основная функция, то можно написать
(а —а')(а —а')ддхддхj_<b —Ь') —j_<b —Ь') —
(а —а')
(а —а')
д
дх
д
дх
j_<b —Ь') —
j_<b —Ь') —
Отсюда следует, что
а — а')а — а')ддхддхНЬ-ИНЬ-Иддадда
а — а')
а — а')
ддх
ддх
НЬ-И
НЬ-И
д
да
д
да
Полученное соотношение может иметь место только тогда, когда
а = а', b = b't с=с'
вследствие линейности дифференциального оператора, действующего на произвольную основную функцию ф(г). Отсюда следует, что представление (3.2.19) вращательного сосредоточенного момента единственно, что и оправдывает приведенное определение. Обозначим через М величину этого момента (фиг. 3.10, б).
Покажем, что множество {Q} не пустое. Это позволит на основании единственности представления (3.2.19) эффективно определить коэффициенты а, b и с, входящие в это соотношение.
Итак, пусть даны два направленных сосредоточенных момента, приложенных в точке А и принадлежащих плоскости Р (фиг. 3.11, а). Допустим, что силы, составляющие эти моменты, взаимно перпендикулярны и
М1 = М2—.(3.2.20)
Орты щ и Fi° (i=l, 2) удовлетворяют соотношениям (фиг. 3.11, б)
F?=u2,F°= — иь
(3.2.21)
u1u2=0, u1xu2=n.
Эквивалентная нагрузка Q(r) в этом случае имеет вид
Q
, , М д . ,, М о д , ,,
Г)=- — Fl —-8 (г — r0 - — F^—-8 r-r0 =
2 dUi2 ди2
— у {и2 [щ • grad 8 (г—г0)] — U! [п2 • grad 8 (г—г0)]) =
—у (щ xu2)-grad8(r-r0);
здесь применена формула разложения двойного векторного произведения *\ Таким образом, нагрузка, эквивалентная центру вращения, будет иметь вид
(3.2.22)(3.2.22)Q (г) = — у М п х grad 8 (г — г0).
(3.2.22)
(3.2.22)
1 aXbXc=b(ac) — c(ab).- Прим. ред.
Векторы
a=A-Mixn, b=2-Afjxn, c=^-Afkxn, (3.2.23) где i, j и k — орты координатных осей, принадлежат плоскости Р.
Заметим, что вращательный сосредоточенный момент (центр вращения) характеризуется:
точкой приложения А (х0, Уо. £о);
направленной плоскостью Р, определенной ортом нормали к ней в точке А;
его величиной М.
Вращательный сосредоточенный момент является положительным, так как для наблюдающего вдоль орта п (фиг. 3.10, б) вращение в плоскости Р происходит в положительном направлении. Таким образом устанавливается направление момента.
Учитывая полученные результаты, для канонического представления центра вращения можно использовать представление двух наложенных направленных сосредоточенных моментов, одинаково направленных, имеющих одинаковую величину и для которых составляющие силы взаимно перпендикулярны (фиг. 3.11, ау
В частности, рассматривая вместо плоскости Р плоскость Оху (n = k), получим следующую эквивалентную нагрузку:
Q(x, У) =—^"^к х grad 8 (л — х0, у—у0) (3.2.24) с компонентами
у)=~^у-у0), 2 ду
(3.2.24')
QuVx, у)=-у Л4-^-8(х-х0, у-у0).
Пусть ABCD — квадрат со стороной а, стороны которого параллельны осям координат (фиг. 3.12, а). Предположим, что вдоль сторон квадрата действуют равномерно распределенные касательные нагрузки интенсивностью М1^а2. Суммарный момент этих нагрузок
относительно точки О равен М. Покажем, что при а->+0 в смысле теории обобщенных функций рассматриваемые нагрузки порождают центр вращения величиной М, сосредоточенный в начале координат (фиг. 3.12, а).
Соответствующие эквивалентные нагрузки могут быть выражены следующим образом:
— 18(ДД), — j8(£C), Г—-^-i8(/X?)], Г-^-|8(ДО)1, 2а2 v 2а2 J [2а2 kJ
где введены обобщенные функции Дирака, сосредоточенные на сторонах квадрата. Суммарная эквивалентная нагрузка имеет величину
Q«k //) = ^{i[8(^)-8(/JC)]-H[8m-8^
Для произвольной основной функции ф(Х, у)е/<(/?2) можно написать
(а/2
а/2а/2— ф— фУ dy .=У dy .=—о/2—о/2а
а/2
а/2
— ф
— ф
У dy .=
У dy .=
—о/2
—о/2
7
аааагде использована теорема о среднем.
а
а
а
а
Используя формулу конечных приращений, имеем (Q„(a:, z/), ^(х, 2/)) = ^-Г-in)+J-y-=p(i, П)1,
—-<1 п<—.
22
При а->+0 в смысле теории обобщенных функций получим
lim(Qo(x, у), <р(х, z/)) = (limQa(х, z/), <р(х, z/)) = д 4” 0д-*+0
=(Q(x, у), =р(х, у^4 Г-i ?(0, 0) + j^-v(0, 0)1= 2 [ox J
—8z/) —j —8 (х z/)l, <р(х, z/)V
\ 2 [ ду 11 J дх ’ J v V
•откуда
Q(x, =j^S^’ yV (3-2-25^
2 \ ду дх )
что и является вращательным сосредоточенным моментом с компонентами (3.2.24/).
Этот же результат можно получить, если вместо распределенных нагрузок рассматривать касательные сосредоточенные нагрузки интенсивностью Mj2a, приложенные в середине сторон квадрата (фиг. 3.12, б). Предельным переходом в смысле теории обобщенных функций при а->+0 получаются именно те два направленных сосредоточенных момента, которые приводят к вращательному сосредоточенному моменту.
Можно показать, что, рассматривая касательные нагрузки, равномерно распределенные вдоль сторон правильного многоугольника или вдоль произвольной окружности, тоже можно получить вращательный сосредоточенный момент. Таким образом описывается центр вращения.
Диполи сосредоточенных сил
Линейный дипольный сосредоточенный момент
Ранее был определен направленный сосредоточенный момент в предположении, что орт F0 сил, составляющий момент, и орт и, определяющий направление предельного перехода, не коллинеарны (uXF°#=O). Для случая, когда эти векторы коллинеарны, вводится новый тип сосредоточенного момента: дипольный сосредоточенный момент *).
Пусть Л — фиксированная точка с радиусом-вектором г0(х0, Уо, Zg), а В— подвижная точка, определяемая радиусом-вектором р (£, т], £), такие, что орт и вектора АВ является постоянным. В точках А и В приложены соответственно сосредоточенные силы —F и F, такие, что орт F° = u. Общая линия действия этих сил будет линией действия диполя, который будем считать положительным, если заданные силы стремятся увеличить расстояние между точками их приложения (фиг. 3.13), и отрицательным в противном случае. Обозначим через d расстояние между точками А и В. Величина момента диполя определяется равенством
D=Fd. (3.2.26)
Определение 3.2.4. Линейным дипольным сосредоточенным моментом (диполем сосредоточенных сил) в точке А называется предел в смысле теории обобщенных функций пары (—F, F), когда расстояние d-*+0, причем точка А считается фиксированной, а В — подвижной. Предполагается, что рассматриваемые силы имеют об-
О Такой момент обычно называется двойной силой без момента. — Прим. ред.
щую линию действия, орт и и и величина D момента диполя постоянные.
Нагрузка, эквивалентная рассматриваемой паре сосредоточенных сил, имеет вид
Qd (r) = F8 (г — р) — F8 (г — r0) = — ^ [8(r-r0)-8ir-p)].
а
В результате предельного перехода в смысле теории обобщенных функций при d-* + 0 получается нагрузка,
эквивалентная линейному дипольному сосредоточенному моменту:
Q(r) = MmQd(r)= — Du-I-Цг — r0)=d .+0du
(3.2.27)(3.2.27)= — Z) [u-grad 8 (r — r0)]u,
(3.2.27)
(3.2.27)
где введена производная по направлению и.
Следовательно, линейный дипольный сосредоточенный момент характеризуется:
точкой приложения Л (xq, z/o, £о);
ортом и сил, образующих его;
его величиной D.
Знак диполя определяется ортом F0 силы F. Если F°=u (как рассматривалось выше), то диполь является положительным, а если F° =—и, то он является отрица-
тельным и выражение (3.2.27) записывается с обратным знаком.
Рассмотрим случай периодического линейного дипольного сосредоточенного момента с периодом Т, приложенного в точках х=пТ, neZ. Нагрузка, эквивалентная линейному дипольному сосредоточенному моменту, приложенному в начале координат, имеет вид
0(л)=-УР0-£-8(х).(3.2.27')
Обозначив через Q периодическую обобщенную функцию, соответствующую линейному дипольному сосредоточенному моменту (3.2.27'), получим
Q(x)=-UF° 2 S'^-nT), heZ, {3.2.27")
где u — орт оси Ох.
Линейный дипольный сосредоточенный момент является моментом первого порядка; будем обозначать его в случае необходимости верхним индексом 1(Z)(1) и Q(1)).
Как и в разд. 3.2.1.1, можно вводить линейные дипольные сосредоточенные моменты высшего порядка. Таким образом, эквивалентная нагрузка линейного дипольного сосредоточенного момента порядка п будет иметь вид
Q(n) (г)=(-1 )"О(л)и — 8 (г - г0),(3.2.28)
дип
где Dw — величина момента,
Dw=Fdxd2.. d№,(3.2.29)
a d\, di, ..., dn — расстояния между переменными точками приложения сил, действующих в направлении и, и фиксированной точкой приложения сосредоточенной силы.
В частности, если di = d2 = ... = dn=d, можно написать
Dw = Fdn.(3.2.30)
Плоский центр расширения
Используя понятие линейного дипольного сосредоточенного момента, можно определить плоский дипольный сосредоточенный момент (плоский центр расширения), который является нагрузкой с осевой симметрией.
Пусть даны точка Д(го) и орт п, перпендикулярный к плоскости Р и проходящий через заданную точку. Предположим, что в этой точке действуют п~^2 диполей сосредоточенных сил величиной Dt, определенных орта-
Фиг. 3.14.
ми Ui (i=l, 2, ..., п') и лежащих в плоскости Р, эквивалентные нагрузки которых равны (фиг. 3.14, а)
О;(г)=-^и, -^-8(г-г0) (г = 1, 2,..., п). (3.2.31).
Через {Q} обозначим множество эквивалентных нагрузок вида (3.2.18).
Определение 3.2.5. Плоским дипольным сосредоточенным моментом (плоским центром расширения), соответствующим точке А и плоскости Р, называется элемент множества {Q}, не зависящий от ортов иг (г = 1,. 2, ..., nY
Подставляя выражение (3.2.31) в (3.2.18) и учитывая, что Q не зависит от ортов Ui (t=l, 2, ..., п), получим, что плоский дипольный сосредоточенный момент представляется в виде (3.2.19), где а, b и с — постоянные векторы, зависящие только от величин Di. Можно показать, как это было сделано в разд. 3.2.1.2, что представление плоского центра расширения в виде (3.2.19) единственно, что и оправдывает приведенное определение. Пусть Dp — величина этого плоского диполя (фиг. 3.14, б). Используя единственность представления (3.2.19), определим коэффициенты а, b и с, доказывая тем самым, что множество {Q} не является пустым.
Итак, рассмотрим два положительных диполя, образованных взаимно перпендикулярными сосредоточенными силами. Предположим, что они приложены в точке А и принадлежат плоскости Р (фиг. 3.15, а). Можно написать
D1 = D2=^-.(3.2.32)
Орты U] и и2 удовлетворяют соотношениям
u1-u2=0, u1xu2 = n.(3.2.33)
Эквивалентная нагрузка Q(r) в этом случае имеет вид
Q(r)=-^ (U1 [U1-grad8(r-r0)]4-
-фи2 [u2-grad 8 (r — r0)]) =
= — -y-n X (Ui [u2-grad8(r —r0)] —— u2[urgrad8(r—r0)]} =
=-y-n x [(Ui x u2) X grad 8 (r — r0)],
где использованы второе из соотношений (3.2.33) и формула разложения двойного векторного произведения. Таким образом, нагрузка, эквивалентная плоскому цент-
ру расширения, будет иметь вид
Q (г) = у- Dpn X [и х grad 8 (г — г0)].(3.2.34)
Векторы а, b и с принадлежат плоскости Р и определяются по формулам
a = y-Dpnx(nxi), b=-y Dpn X(nxj), c=-L Z) n х (n х к),(3.2.35)
2
где i, j и к— орты координатных осей.
Плоский дипольный сосредоточенный момент считается положительным, если он образован положительными линейными диполями. В этом случае он называется плоским центром расширения. В противном случае (если он образован отрицательными линейными диполями) он будет отрицательным и называться плоским центром сжатия; соотношения (3.2.34) и (3.2.35) при этом записываются с обратным знаком.
Отметим, что плоский дипольный сосредоточенный момент характеризуется:
точкой приложения А (х0, уо, £о);
ортом п нормали к плоскости, в которой он действует;
величиной Dp момента диполя.
Знак плоского диполя определяется так, как было указано выше.
Для канонического представления плоского центра расширения можно использовать представление, полученное сложением двух взаимно ортогональных линейных диполей с одинаковыми величинами и знаками (фиг. 3.15, а). Аналогичный результат можно получить, если рассмотреть нагрузки, нормально распределенные по окружности.
В частности, если вместо плоскости Р рассмотреть плоскость Оху (n=k), то из формулы (3.2.34) получим следующую эквивалентную нагрузку:
Q(x, у)= —^-£>pgrad8(x —х0, у — у0\(3.2.36)
где учтено соотношение
k-grad8(^ — х0, у —уо)=О.
Используя выражение (3.2.22) для вращательного сосредоточенного момента, в предположении, что M = DP, можно написать соотношение
Q^W^nxQ^ (г)=0.Q^W^nxQ^ (г)=0.(3.2.37)(3.2.37)
Q^W^nxQ^ (г)=0.
Q^W^nxQ^ (г)=0.
(3.2.37)
(3.2.37)
Пространственный центр расширения
Приемом, аналогичным изложенному в разд. 3.2.2.2, можно ввести пространственный дипольный сосредоточенный момент (пространственный центр расширения), который является сосредоточенной нагрузкой с центральной симметрией.
Пусть дана точка Л(го), в которой действуют п^З диполей сосредоточенных сил. Пусть Di — величины этих диполей, которые определены ортами Ui (i=l, 2, ..., п) и имеют эквивалентные нагрузки вида (3.2.31). Через {Q} обозначим множество эквивалентных нагрузок вида (3.2.18).
Определение 3.2.6. Пространственным дипольным сосредоточенным моментом (пространственным центром расширения), соответствующим точке А, называется элемент множества {Q}, не зависящий от ортов н; (/=1, 2, ..., п). '
Можно показать (см. разд. 3.2.2.2), что элемент множества {Q} может быть представлен в виде (3.2.19), где а, b и с являются постоянными векторами, зависящими только от величин Di. Это представление единственно, что и оправдывает приведенное определение.
Рассмотрим три диполя вида (3.2.31), образованных сосредоточенными силами, линии действия которых определены ортами Ui, и2 и п3. Орты щ, u2 и u3 взаимно перпендикулярны и образуют правильный триэдр (фиг. 3.16):
u2-u3 = u3-u1 = u1u2 = 0 (un u2, u3)>0.(3.2.38)
Предположим, что величина Ds пространственного дипольного момента удовлетворяет соотношениям
Фиг. 3.16.Фиг. 3.16.(3.2.39)(3.2.39)
Фиг. 3.16.
Фиг. 3.16.
(3.2.39)
(3.2.39)
Эквивалентная нагрузка в этом случае имеет вид
Q(r) =——г0)4-п2-^- 8(г-г0) +
+ «3 7^- 8 (г - r0)l = — -^- {ut [У] • grad 8 (г - r0)] + OU^Jо
+ «2 [«2 • grad 8 (г — г0)] 4- u3 [u3 - grad 8 (r - r0)]}.
Таким образом, нагрузка, эквивалентная пространственному центру расширения, имеет следующее значение:
Q(r)=-^-^grad8(r-r0),(3.2.40)
а векторы а, b и с равны
а=-^-^, b=—LflJ, c=-±D,k. (3.2.41)
Пространственный дипольный сосредоточенный момент считается положительным, если он образован положительными линейными диполями. В этом случае он
называется пространственным центром расширения. Если составляющие линейные диполи отрицательны, образованный сосредоточенный момент отрицателен и называется пространственным центром сжатия. Соотношения (3.2.40) и (3.2.41) при этом записываются с обратным знаком.
Пространственный дипольный сосредоточенный момент характеризуется:
точкой приложения Л (хо, Уо, 2о);
величиной Ds момента диполя.
Знак пространственного диполя определяется так, как было указано выше.
Представление пространственного центра расширения с помощью трех взаимно перпендикулярных, одинаковых по величине и направлению линейных диполей является его каноническим представлением. Аналогичный результат можно получить, если рассмотреть нагрузки, нормально распределенные по некоторой сфере.
Интересно отметить, что пространственный дипольный сосредоточенный момент вводит другой тип сингулярности, отличный от вводимой сосредоточенной силы. Действительно, сосредоточенная сила может быть получена с помощью дельтообразных последовательностей, тогда как пространственный центр расширения аппроксимируется последовательностью функций, сходящихся к функции 6'.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
В динамике дискретных и непрерывных систем материальных точек (в частности, в динамике твердого тела) законы движения выражаются через некоторые величины геометрической и механической природы, называемые моментами. Важную роль играют статические моменты и моменты инерции, которые характеризуют пространственное распределение масс системы материальных точек.
Дискретные системы материальных точек
Пусть Аг (х,, Уг, 2;) —дискретная система п материальных точек, имеющих массу т, и радиусы-векторы г, (i=l, 2, ..., и) (фиг. 3.17). Величина
(3.3.1)(3.3.1)
(3.3.1)
(3.3.1)
где а, р, yelV, называется моментом порядка р = а + р + +у системы точек.
ЛЛПри a=iP = y = 0 получается момент нулевого порядка
Л
Л
(3.3.2)
который совпадает с полной массой системы материальных точек.
При р=\ получаются моменты первого порядка (статические моменты), а при р=2— моменты второго порядка (моменты инерции).
10—3677
Статические моменты
Выражения
Soyz^m^, SCzx=1^miyi, SOxy = ^ mlzi (3.3.3) i=lZ=1/=1
представляют собой статические моменты заданной системы материальных точек относительно плоскостей Oyz, Ozx и Оху.
Центр масс С^Хс- Ус. £с) с радиусом-вектором гс дается по определению соотношениями
Мхс =SOyz, Myc=SOzx, Mzc = SOxy, (3.3.4)
где первое соотношение, например, показывает, что статический момент системы материальных точек относительно плоскости Oyz равен статическому моменту относительно той же плоскости центра масс, в котором предполагается сосредоточенной вся масса системы материальных точек.
Наряду с плоскими статическими моментами определим и полярный статический момент (который является вектором) выражением
s0=2mA-(3-3-5)
/=1
В этом случае положение центра масс дается соотношением
Afrc = S0(3.3.6)
и можно утверждать, что полярный статический момент системы материальных точек относительно полюса О равен статическому моменту центра масс, в котором предполагается сосредоточенной вся масса системы точек, относительно того же полюса.
Рассмотрим материальную точку At. С точки зрения теории обобщенных функций она характеризуется объемной плотностью
рЦг) = т;8}г — r^m^x — хи y—yb z — z^. (3.3.7)
Чтобы получить массу материальной точки, необходимо подействовать этой обобщенной функцией на функцию <р (г) = 1. В результате будем иметь
(3.3.8)(3.3.8)(ГФ (г), l) = (mz8 (г — rz), 1) == (8(r-rz), mz) = mz |r=rz = mz.
(3.3.8)
(3.3.8)
Система (S) материальных точек характеризуется объемной плотностью
п
?^ = ?(х, у, г) = У pz (г) ='V mz8 (г —rz) =
| л
=^mz8(x — х„ у — уи z—z^.(3.3.9)
i=i
Общая масса системы точек получается действием этой плотности на функцию ф(г) = 1; таким образом, имеем
(3.3.10)(3.3.10)
(3.3.10)
(3.3.10)
Применяя полученные выше результаты, можно вычислить моменты любого порядка системы (S) материальных точек. Таким образом, статический момент системы (S) относительно плоскости Oyz имеет вид
Л\л
5оУг=Нг), ^)= 2 Pi(r)’ ^Г^^^^’ Х)=' I =1/ / = 1
лц
=2(mi8(r-ri), *)=2w-n)- ^)=
Z=11-1
пп
= ^т1х\т=т='^т.1х1.(3.3.11)
относительноотносительноАналогично для статических моментов плоскостей Ozx и Оху можно написать
относительно
относительно
SOzx = (pH #) = 2^/8 (Г-Г;), у U^m^,
\/=1/Z —1
(3.3.11') (п\л
2"1(8(г-г,.), z
Несмотря на то что функции 1, х, у и z не являются основными (так как они не имеют компактных носителей), выражения (3.3.8), (3.3.10) — (3.3.1Г) имеют смысл, поскольку плотности рг (г) и р(г) являются обобщенными функциями с компактными носителями (образованными точкой А; или совокупностью точек Ai (i=l, 2, ..., и).
Для полярного статического момента относительно точки О можно написать
So = (?(r), r) = ( ^ mz8(r-r;i, г U=V m^r,. (3.3.12) \Z —1/z-1
и, таким образом, плоские статические моменты являются составляющими полярного статического момента.
Радиус-вектор Гс центра масс системы материальных точек определяется выражением
(3.3.13)
где М — общая масса системы материальных точек. Заметим также, что обобщенная функция
п
^o=r? (r)=r2 m-'8 (r-r<-) =/-1
Лл
(3.3.14)(3.3.14)= 2 mzr8(r — n) = V mzrz8(r — r,) /«=1
(3.3.14)
(3.3.14)
полностью характеризует статический момент системы материальных точек относительно полюса О. Действительно, действуя этой обобщенной функцией на функцию <р (г) = 1, получаем
(
п\п
^ mzrz8 (г — г;), Г = 2 mzr,. (3.3.12') Z-1' Z = 1
Можно, таким образом, говорить, что ^о является обобщенной функцией полярного статического момента системы материальных точек относительно полюса О.
Аналогично вводятся обобщенные функции плоских статических моментов:
#оу2=-Кр(г), ^=1/Р(г), ^=2Р(Г).(3.3.15)
Например, с помощью обобщенной функции ^oyz можно получить
,/ лх л
SOwz=^oWZi !)= 2 mix^r~TiV 1 =2 miXi" (313Л5')
Таким образом, и обобщенная функция (3.3.14), и обобщенные функции (3.3.15) позволяют вычислить положение центра масс. Например, используя обобщенную функцию (ММ^о, можно написать
пг^.пг^.
пг^.
пг^.
(3.3.13')
Моменты инерции
Выражение пп
Io=^mir]=^mi{x]^-y]^-z^(3.3.16)
Z-1Z-1
представляет собой полярный момент инерции системы
(S) материальных точек относительно начала коорди-
нат О. Аналогично выражения ллл
^oMZ = ^mi^, ^огх=^т^, 1ОХу=^т^ (3.3.17) <=11-11-1
представляют собой моменты инерции относительно плоскостей Oyz, Ozx и Оху. Сумма этих моментов инерции равна полярному моменту инерции
/O = /Oi/Z + /Oz. + /O„.(3-3.18)
Осевые моменты инерции системы (S) материальных точек относительно осей Ох, Оу и Oz даются выражениями
пп
/=1Z-1
п
/г=^т^х^у^(3.3.19)
Z = 1
Введем также центробежные моменты инерции
1уг=£т1!Пг1’ Ux^^m^iXbi=l/—1
п
Uy^^miXitii-(3.3.20)
Полярные моменты и моменты инерции относительно плоскостей, а также осевые и центробежные моменты инерции являются моментами второго порядка. Все они представляют собой составляющие некоторого тензора второго ранга (центробежные моменты инерции берутся с обратным знаком).
Полярный момент инерции можно выразить через обобщенные функции:
/о=(р(г), r2) = (p(r), x2+y2 + z2) =
= [ 2 m/8 (г — п)> 1-2) = 2 m<rr (3.3.21)
V*1//—1
Момент инерции IOyz относительно плоскости Oyz определяется выражением
/окг=(р(г)> -*2)=[ 2 miW~ rz), хЛ = ’21т1х2г (3.3.22)\<-i/<-i
Аналогично можно получить
/о^=(р(г). У2) = ^ т‘У1’
(3.3.22')
/О^ = (Р(Г). ^) —2т^’
Ниже приведены выражения для осевых моментов инерции:
^=(р(г). у2+^2)=У т1^А-^\ z=i
^=(р(г), г2 + х2) = У "^Л^'(3.3.23)
Л=(р(г), х2А-уА=^ mt^*V у^
1=1
и для центробежных моментов инерции:
^г=(Р(г), yz)=^mlyizi,
Z=1
4^=(P(r), гх^^т^Х;,(3.3.24)
z =1
^^(pw- ^)=2 т1х1У‘-
I =1
Как и для статических моментов, можно ввести некоторые обобщенные функции, полностью характеризу-
тощие определенные моменты инерции. Так, выражение Jo = r2p(r)(3.3.25)
представляет собой обобщенную функцию, соответствующую полярному моменту инерции относительно полюса О. Действительно, можно написать
/оН^о, 1) = (г2?М, 1) =
=т.г28(г-Г/),= 2 mzr2. (3.3.25')
V/—1/ «-I
Аналогично обобщенные функции, соответствующие моментам инерции относительно плоскостей, будут иметь вид
5№=Ап 30zJ(=yWY
(3.3.26) 30ху = ^ (г).
Обобщенные функции, соответствующие осевым моментам инерции, будут определяться выражениями
y^kyH^WY з^к^А-хА^
(3.3.27) ^Н-^+^РЮ»
а обобщенные функции, соответствующие центробежным моментам инерции, могут быть записаны в виде
Зуг = У^к^, ^=^P(r), З^хуркг). (3.3.28)
Учитывая тензорную природу моментов инерции, можно записать компоненты тензоров — обобщенные функции, соответствующие определенным моментам инерции,— в некоторой ортогональной системе OxiX2X3:
З^кх^^-х^ Р (г),(3.3.29)
где bjh — символ Кронекера:
(3.3.31)(3.3.31)а по повторяющимся индексам осуществляется суммирование. Компоненты тензора моментов инерции имеют вид
(3.3.31)
(3.3.31)
Ijb=<J^ I)-
Непрерывные системы материальных точек
Моменты непрерывных систем материальных точек (в частности, моменты твердого тела) выражаются через криволинейные, поверхностные или объемные интегралы. В общем случае интегралы, используемые для определения моментов непрерывной системы материальных точек, являются интегралами Стилтьеса. Если плотность распределения масс выражается через непрерывные функции, то эти интегралы становятся интегралами Римана.
При рассмотрении континуумов можно использовать методы, аналогичные изложенным выше. Вместо обобщенной функции Дирака, сосредоточенной в точке или в конечном числе точек и выражающей объемную плотность дискретной системы материальных точек, будем использовать обобщенную функцию Дирака 6(C), сосредоточенную на некоторой кривой, обобщенную функцию Дирака d(S), сосредоточенную на некоторой поверхности, или обобщенную функцию Дирака 6(E), сосредоточенную в некотором объеме.
Одномерный случай
Пусть <г(г)=о(х, у, z)—линейная плотность массы, распределенная вдоль некоторой кривой С (фиг. 3.18). Предположим, что сг(г) является интегрируемой функцией. Обозначим через 6(C) обобщенную функцию Ди-
рака, сосредоточенную на кривой С и определенную выражением вида (1.4.4). Тогда объемную плотность одномерного континуума можно записать в виде
р(г)=а(г)8(С)=а(х, у, г) 8 (С).(3.3.32)
Полная масса дается выражением
7И=(р(г), 1) = (а (г) 8 (С), 1)= [о (r)afs. (3.3.33) с
Заметим, что объемная плотность б (г) играет такую же роль, как и в случае дискретной системы материальных точек. Следовательно, полярный статический момент будет иметь вид
S0 = (p(r), r) = (a(r)8 (С), r) = Jra(r)ols, (3.3.34) с
а полярный момент инерции может быть записан как
70 = (p(r), г2Ма(г)8(С), r^-J^r)^. (3.3.35) с
Аналогично обобщенная функция, соответствующая полярному статическому моменту, будет иметь вид
%0 —rp(r) = ra(r)8(C),(3.3.36)
а обобщенная функция, соответствующая полярному моменту инерции, может быть записана как
Д0=г2р (r)=r2a (г) 8 (С).(3.3.37)
В этом случае центр масс определяется по формуле =га (г) 8 (С) 1)=— fra (r)als. (3.3.38)
c
Двумерный и трехмерный случаи
Предположим, что масса распределена на некоторой поверхности S двумерного тела (фиг. 3.19, а) с поверхностной плотностью о (г) =о(х, у, z). С помощью формулы (1.4.5) введем обобщенную функцию Дирака d(S),
распределенную на поверхности S. Тогда объемную плотность двумерного континуума можно записать в виде
p(r) = o(r)8(S)=o(x, у, z)8(S).(3.3.39)
Полная масса определяется по формуле
Для полярного статического момента имеем выражение So=(P(r), r) = (a(r)8(S), r)=j*ra(r)arS, (3.3.41) s
а полярный момент инерции может быть записан в виде
^0 = (р(П, r2)=(a(r)3(S), r2)=Jr23(r)^S. (3.3.42) s
Обобщенные функции, соответствующие полярному статическому моменту и полярному моменту инерции, имеют вид
^0=rp(r)=ra(r)8(S), .70 = r2p(r) = r23(r)3(S), (3.3.43)
а центр масс определяется радиусом-вектором
A=^r3^^S>1’ l)=-i7fra(r)^. (3.3.44)
При рассмотрении трехмерного континуума с помощью формулы (1.4.6) введем обобщенную функцию Дирака д(У), сосредоточенную в некотором объеме V. Если масса тела распределена с плотностью o(r)=io(x, у, z) (фиг. 3.19, б), то объемная плотность трехмерного континуума равна
р(г)=а(г)8(У)=о(л:, у, z)8(V).(3.3.45)
Полная масса дается выражением
М=(Р(г), l)=(a(r)8(IZ), 1)= f = (r)^. (3.3.46)
Полярный статический момент имеет вид
So=(?(r), г)=(а(г)8(У), r) = Jra(r)^, (3.3.47) V
а полярный момент инерции определяется по формуле
/0=(р(г), Г2) = (а (г) 8 (У), г2) = р2а(г)а1У. (3.3.48)
Полярному статическому моменту и полярному моменту инерции соответствуют следующие обобщенные функции:
^о=гр(г)^га(г)8(У), ^0 = г2р(г) = г2з(г)8(У), (3.3.49) и центр масс в этом случае определяется радиусом-вектором
гс = (4-^’l^-^fr3(r)a!y. (3.3.50)
\ М\М/ М I
V
Примеры
Ниже приведены два примера задач, где имеют место как распределенные, так и сосредоточенные массы. Такие задачи возникают при рассмотрении колебаний некоторых элементов механических систем.
Рассмотрим прямую балку длиной I. Предположим, что на часть АА] (отрезок длиной а) балки действует
равномерно распределенная масса с линейной плотностью Ото, а в точках Bj и В2, расположенных на расстояниях 6] и 62 от конца А балки, действуют соответственно сосредоточенные массы тх и т2 (фиг. 3.20, а). Выберем направление оси координат А вдоль оси балки.
Заданные массы распределены по закону m(x) = m (х) + т(х),(3.3.51)
где
т {х) = тй {х[6 (х) — 6 (х —a)]+<z9 (х — а)}соответствует распределенной массе (фиг. 3.20, б), ат (х) = тх6 (х — 6J 4-т29 (х — 62)соответствует сосредоточенным массам (фиг. 3.20, в).Линейную плотность вычислим следующим образом:
ах
+х8 (х) — (х — а) 8 (х — а)],
- ^ _ dm Qc) =т^^х_ ^ J _|_ т^ (Х _ ^^
Окончательно получим
Р(х) = т0[9(х) — 9(х — а)] +
-|—Ш18(х— ^) —(-/т?2^ (х— Ь2\(3.3.52)
Вычислим, например, момент инерции балки относительно ее конца А:
;л=М4 x2) = (m0[9(x) — 9(х — а)], х2) +
+ (Wi8(x—Ьх)-\-т2Цх— Ь2\ х2) =
= ^ т0хЧх^пгхЬ^т2Ь2 = ^т0а3-^- mxbX-Vm2bX. (3.3.53) о
Можно также использовать результаты, приведенные в разд. 3.3.2.1. В этом случае для плотности масс получается следующее выражение:
р(х) = т08 ^АВ^тх^ (х — Ьх)-\-т2Цх— Ь2\ (3.3.54) где использована обобщенная функция Дирака, сосредоточенная на отрезке АВ. Полная масса балки равняется
Lw = (p(x), l)=(m08(A5)-|-m18(x —^) +
= m28 (х—&2)> 1)= J m0dx-^-mx-^-m2=
"АВ а
==^mQdx^mx^m2—mQa-vmx-\-m2, (3.3.55) о
а момент инерции балки относительно ее конца А имеет вид
^ = (?W. *2) =
= (т08 (АВ) + т^ (х — Ьх) -ф т28 (х — Ь2), х2) =
= J тдхЧх^т^д-ьАт^Чх-ь,.
АВ
Полученный результат совпадает с (3.3.53).
Рассмотрим теперь прямоугольную пластинку ABCD размерами а и Ь. Предположим, что на пластинку действуют равномерно распределенная масса с поверхностной плотностью то и сосредоточенная масса mi в точке Ах с координатами cud относительно системы координат Аху (фиг. 3.21). Плотность масс будет равна
Фиг. 3.21.
р (х, у) = тйЪ ^-(-т^ (х— с, y — d),(3.3.56)
где введена обобщенная функция Дирака 6(5), сосредоточенная на прямоугольнике ABCD.
Полная масса пластинки равняется
УИ = (р(х, у), l) = (m08 (5)4-^i8 (х —с, y — d\ 1) =
= JJ rryjdxdy Д-тх = тйаЬ-\-ти(3.3.57)
ABCD
а момент инерции относительно оси Ох, например, имеет следующий вид:
^=(р(^, У). У2) = (/п08(5)4-т18(х — с, y — d^ у^=
= m^dxdy-^m-xy^^-c =— тйаЬ3-\-m^d2. (3.3.58) ц-d 3
ABCD
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Электрические заряды
Плотность электрического заряда
Рассмотрим электрический заряд величиной q!U равномерно распределенный на отрезке ОА длиной / оси Ох (фиг. 3.22, а). Линейная плотность рассматриваемого заряда выражается функцией
(3.4.1)(3.4.1)qi W=qi W=Л.IЛ.Iпри хее [0, /], при х ^ [0, 1\.при хее [0, /], при х ^ [0, 1\.
(3.4.1)
(3.4.1)
qi W=
qi W=
Л.
I
Л.
I
при хее [0, /], при х ^ [0, 1\.
при хее [0, /], при х ^ [0, 1\.
Функции 9;(х) соответствует обобщенная функция, определяемая соотношением
i
((h(xY <?(х)) = у-^<?(x)z/x,(3.4.2)
о
где ф(х) ^K(R)—основная функция. Применяя теорему о среднем для интеграла из правой части (3.4.2), при /->+0 (Д->0) получаем
lim(^(x), <p(x)) = lim [-^-/?(e)l, 0<^<Л
и окончательно можно написать
Ит(^(х), ?(х))=^Ит<р($)=^(0) = (^8(х), <р(х)). (3.4.2') z^+oz-^o
(3.4.3)(3.4.3)Отсюда следует соотношение lim ql (х) = <78 (х), Z -Ш
(3.4.3)
(3.4.3)
где предел рассматривается в смысле теории обобщенных функций.
Итак, линейная плотность точечного заряда q, находящегося в начале координат, определяется следующим соотношением (фиг. 3.22, б):
р(х)=у8(х).(3.4.4)
Аналогичный результат можно получить, замечая, что соотношение (3.4.1) может быть записано в виде
=(3.4. V)
где
при хе [0, /11
//(х) —L. =6(х) —6(х —/)(3.4.5)
' ' (0 при х^ [0, /])' 7 v 717
является характеристической функцией отрезка [0, ZJ. Предельным переходом в смысле теории обобщенных функций при /—>- + 0 из формулы (3.4.5) получим производную обобщенной функции Хевисайда 9(%). Таким образом, функция (1//)А(х) соответствует некоторой дельтообразной последовательности и полученный результат совпадает с (3.4.4).
Аналогично поверхностная плотность некоторого точечного электрического заряда величиной q, находящегося в начале координат в плоскости Оху, выражается через обобщенную функцию (фиг. 3.22, б):
р(х, У)=?8(х, у).(3.4.6)
Для объемной плотности точечного электрического заряда q, находящегося в начале ортогональной системы координат Oxyz, имеем следующее соотношение:
Р(х, у, z)=^8(x, у, z\(3.4.7)
которое может быть записано в виде
р(г)=^8(г),(3.4.7')
где г — радиус-вектор произвольной точки. Если рассматриваемый заряд находится в некоторой точке А с радиусом-вектором г0 (фиг. 3.23), то
р(г)=?8 (г —г0).р(г)=?8 (г —г0).(3.4.8)(3.4.8)
р(г)=?8 (г —г0).
р(г)=?8 (г —г0).
(3.4.8)
(3.4.8)
Полученная объемная плотность может быть записана и в виде
*?кх, У, ^=<Щх-х6, у — У0, z — z0\(3.4.8')
Действуя обобщенной функцией (3.4.7) на некоторую основную функцию ф(х, у, z)e/<(/?3) со значением 1 в начале координат, получим
(р(^, У, 2), <р(х, у, z))=(qb(x, у, z\ <р(х, у, z>) =
= ?<р(0, 0, 0)=?.(3.4.9)
Следовательно, полный заряд в пространстве R3 равен q. и представление (3.4.7) имеет физический смысл.
Объемная плотность электрического диполя
Электрический диполь состоит из двух точечных электрических зарядов —q и q, расположенных соответственно в точках Д(хо, Уо, £о) и ДДхо', уо, г0') на расстоянии / друг от друга (фиг. 3.24). Предположим, что это расстояние мало по сравнению с расстояниями от этих зарядов до точек, в которых определяется напряженность электрического поля. Прямая, определенная точками Л и А', называется осью диполя. Ее направление задается ортом и, направленным от отрицательного заряда к положительному. Выражение
D=ql(3.4.10)
называется моментом диполя.
Обозначим через р-(г) и р+(г) соответственно плотности зарядов —q и q, а через р(г) —плотность диполя. Можно написать, что
Pz (Г) = Р + (г) + Р_ (г) = q [8 (г - г') - 8 (г - г0)]
или
Pz (г)= - у-[8(г-г0)-8(г-г')].(3.4.11)
Определение 3.4.1. Объемной плотностью электрического диполя, сосредоточенного в точке А, называется предел в смысле теории обобщенных функций плотности р, при А'->А (/->+0), если момент D диполя остается постоянным.
В этом случае можно написать, что
p(r)= limp, (г) = — Olim J-[8 (г - г0) - 8 (г - г^)].
/ -»- + 01 + о I
Используя производную по направлению обобщенной функции Дирака, введенную по формуле (3.2.6), получим
р(г)= -D-^- 8(r —r0) = — ZJu-grad8(r —г0). (3.4.12)
Следовательно, объемная плотность электрического диполя характеризуется:
точкой его приложения Д(г0);
ортом и, определяющим предельный переход;
его величиной D.
Знак объемной плотности электрического диполя зависит от направления и и определяется как указано выше.
Электрический слой на кривой или на поверхности
Плотность электрического простого слоя на кривой или на поверхности
Рассмотрим гладкую кривую С, на которой находится электрический заряд (электрический простой слой) с линейной плотностью о(г)=о(х, у, z) (фиг. 3.25, а).
Объемная плотность заряда q, находящегося в начале координат, определяется по формуле (3.4.7'). Обобщением этого выражения является объемная плотность электрического простого слоя, находящегося на кривой С с линейной плотностью а(х, у, z), выраженная через обобщенную функцию
р(г) = р(х, у, г)=а (г) 8 (С), (3.4.13)
где 6(C)—обобщенная функция Дирака, сосредоточенная на кривой С. Обобщенная функция (3.4.13) опреде
ляется соотношением
(р(х, у, z), <р (х, у, z))= з(х, у, г)ср(х, у, z)ds,
<р(х, у, z)^K{R3\<р(х, у, z)^K{R3\(3.4.13')(3.4.13')
<р(х, у, z)^K{R3\
<р(х, у, z)^K{R3\
(3.4.13')
(3.4.13')
Аналогично, если вместо кривой С рассматривать поверхность S, на которой распределен электрический заряд (электрический простой слой) с поверхностной плотностью о(г)=!а(л:, у, z) (фиг. 3.25, б), то соответствующая объемная плотность будет определяться обобщенной функцией
(3.4.14)(3.4.14)р(г)=р(х, у, z)=a(r)8(S),
(3.4.14)
(3.4.14)
описываемой соотношением
(р(х. у, г), <р (х, у, 2))=ja(x, у, г)ф(х, у, z^dS,S
? (х, у, г) е К (/?3),? (х, у, г) е К (/?3),(3.4.14')(3.4.14')
? (х, у, г) е К (/?3),
? (х, у, г) е К (/?3),
(3.4.14')
(3.4.14')
где 6(5)—обобщенная функция Дирака, сосредоточенная на поверхности 5.
Заметим, что объемные плотности (3.4.13) и (3.4.14) равны нулю соответственно в любой точке (х, у, г) еДС и в любой точке (х, у, z)^S. Это и является проверкой правильности полученных представлений.
Плотность электрического двойного слоя на кривой или на поверхности
Рассмотрим кривую С, на которой распределен отрицательный электрический заряд с линейной плотностью ■—a(r) =—a(x, у, 2). В каждой точке кривой рассмотрим отрезок постоянной длины h, направленный по главной нормали v. Таким образом, каждой точке А кривой С с радиусом-вектором г поставим в соответствие точку А' с радиусом-вектором
r’ = r-\-h'».(3.4.15)
Совокупность всех точек г' составляет новую кривую С' (фиг. 3.26, а).
Обозначим через тит' орты касательных к кривым С и С' соответственно в точках А и А', а через s и s'—■ длины дуг соответствующих кривых. Тогда можно написать
, dr'dr' ds! . , d^ \ ds
t == тД-А . (3.4.15')
ds'ds ds'\ ds / ds'
Используя формулу Френе
—LT—Lp,(3.4.16)
ds p p'
где p — орт бинормали к кривой С, р —■ радиус кривизны, ар' — радиус кручения в точке А, получим
(3.4.17)(3.4.17)/ f \о ds
(3.4.17)
(3.4.17)
t = 1тр
А Р / р' J ds'
Можно написать
ds'ds'2 ds,2 ds,(3.4.18)(3.4.18)
ds'
ds'
2 ds,
2 ds,
(3.4.18)
(3.4.18)
выражая таким образом элемент дуги кривой С' через элемент дуги кривой С. В случае плоской кривой 1/р'=0 и соотношение (3.4.18) принимает вид
(3.4.18')(3.4.18')Фиг. 3.26.Фиг. 3.26.
(3.4.18')
(3.4.18')
Фиг. 3.26.
Фиг. 3.26.
На полученной кривой С' рассмотрим распределенный электрический заряд противоположного знака (т. е. положительный) с линейной плотностью о' (г') =а' (х', у', 2') и такой, что между линейными плотностями она' существует зависимость
о (х, у, 2) ds = s' (х', у', z')ds'. (3.4.19)
Определение 3.4.2 Электрическим двойным слоем на кривой С называется предел в смысле теории обобщенных функций при Л-> + 0 совокупности электрических зарядов, распределенных на кривых С и С, линейные
плотности которых удовлетворяют соотношению (3.4.19) при условии (3.4.18) (или (3.4.18')). При этом момент (или линейная интенсивность) электрического двойного слоя, определяемый соотношением
Н(х, у, z)=Aa(x, у, г),(3.4.20)
остается постоянным (этот момент положительный).
Если предположить, что в точке А находится отрицательный электрический заряд —a (г) ds, а в точке А'— электрический заряд a'(г) ds', которые удовлетворяют соотношению (3.4.19), то предельным переходом при /г^- + 0 получим электрический диполь, сосредоточенный в точке А. Полученный диполь имеет плотность —p(r)d/dv 6(A)ds, что и оправдывает приведенное выше определение электрического двойного слоя.
Совокупности зарядов, распределенных на кривых С и С', соответствует обобщенная функция
Ра (г) = - а (г) 8 (С) + а' (г') 8 (С').(3.4.21)
Рассматривая основную функцию ф(г)е/((/?3), можно написать равенство
(Ра(г), ?(г))=-Ja(r)?(r)ds+ f a(r')<p(r')ds',СС'
которое с учетом соотношения (3.4.19) принимает вид
(Ра (г), ? (г))= - J ° (г) Iе? (г) ~<Р (г')] ds.с
Если учесть соотношение (3.4.15) и использовать формулу конечных приращений, то получим равенство
(Ра (г), ? (г))= ^ Ь (г) -^- <р (г") ds, (3.4.21') с
где d/dv— производная по направлению v во внутренней точке Д"(г") отрезка АА', а нормаль v направлена от кривой С, на которой распределен отрицательный заряд, к кривой С', на которой распределен положительный заряд.
Используя соотношение (3.4.20) при А->-+0, получим
Иш(?л(г), q> (г)) = (р (г), ®(г)) = (* ^(r) JL <0^(18 = л^+оJ ov
с
= fs(C), р.(г)<р(г))=Гу(г)8(С),(г)),
откуда
(р (Г), ?(г))= —[1* (г) в (С)], ср (г)) .
Окончательно можно написать выражение
р(г)=-4-[Р(г)В(С)],(3.4.22)
dv
которое, и является объемной плотностью электрического двойного слоя на кривой С. Заметим, что соотношение. (3.4.22) является обобщением соотношения (3.4.12), полученного для электрического диполя.
Аналогично рассмотрим две поверхности S и S', для которых переход от точки А с радиусом-вектором г к точке А' с радиусом-вектором г' проводится по формуле
г' = г + Ап,(3.4.23)
где п — орт внутренней нормали к поверхности S в точке А (фиг. 3.26, б). Предположим, что на поверхности S распределен отрицательный заряд с поверхностной плотностью —о(г)=—о(х, у, z), на поверхности S' — положительный электрический заряд с поверхностной плотностью а'(г') = о/(х/, у', г'), такие, что
= ^dS=s' ^dS'.(3.4.24)
Таким образом, нормаль п направлена от отрицательного заряда к положительному.
Определение 3.4.3. Электрическим двойным слоем на поверхности S называется предел в смысле теории обобщенных функций при /z-^ + О совокупности электрических зарядов, распределенных на поверхностях S и S', поверхностные плотности которых удовлетворяют соотношению (3.4.24). При этом предполагается, что момент (или поверхностная интенсивность) электрического двойного
слоя, определенный соотношением вида (3.4.20), остается постоянным (этот момент положительный).
С помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, можно получить выражение для объемной плотности электрического двойного слоя на поверхности S:
Как и в случае электрического двойного слоя на кривой, обобщенная функция (3.4.25) соответствует распределе-
Фиг. 3.27.
нию диполей на поверхности S, направленных по внутренней нормали п к поверхности, а ц(г) является поверхностной плотностью момента.
В плоскости Оху рассмотрим, например, два параллельных отрезка АВ и CD, на первом из которых распределен отрицательный электрический заряд с плотностью —о =—pjh, а на втором — положительный электрический заряд с плотностью o = ylh, где h — расстояние между этими отрезками. Предположим, что отрезок АВ лежит на оси Ох (фиг. 3.27). Используя полученные выше результаты, получим плотность электрического двойного слоя на отрезке АВ в виде
р(я, у) = --5-^ЦАВ)А =-[г-А8(АВ), (3.4.26)
где 6(XS)—обобщенная функция Дирака, сосредоточенная на отрезке АВ.
Фиг. 3.28.Фиг. 3.28.Рассмотрим теперь электрический двойной слой с моментом р(х, у), расположенный в плоскости Оху, нормаль п к которой направлена в положительном направлении оси Oz (фиг. 3.28). Можно написать
Фиг. 3.28.
Фиг. 3.28.
X
р(х, у, 2)= —-^-[р.(х, у) 8(z = 0)].
OZ
Замечая, что 8 (Оху) = В (2=0) = В (2), так как
(8(2=0), ^(х, у, 2)) = J ^(х, у, z^dxdy =z—О
= f ^ ф (х, у, ^dxdy = № (2), <р (х, у, 2)), "r*
где <р (х, у, z)^K (R3), получим
р(х, у, 2)= — р.(х, у) ^-8(2)=— р.(х, у) В'(2). (3.4.27)
ГЛАВА 4
Применения теории обобщенных функций в механике
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ МЕХАНИКИ
Механические величины, представляемые обобщенными функциями
Математическая модель механики
Математическая модель ньютоновской механики, которую мы будем рассматривать, основана на взаимно независимых понятиях пространства, времени и массы. В основе этой механики лежат три закона, сформулированные Исааком Ньютоном, которые являются результатом многочисленных предыдущих исследований.
Любая материальная точка, на которую не действуют никакие силы, сохраняет состояние равномерного и прямолинейного движения (первый закон механики, или закон инерции).
Движение материальной точки описывается дифференциальным уравнением
=(4.1.1)
at
где F — сила, действующая на материальную точку массы m, г=г(/)—радиус-вектор этой точки относительно фиксированной точки (фиг. 4.1). Если масса рассматриваемой точки постоянна во времени, как и будет предполагаться в дальнейшем, уравнение (4.1.1) принимает вид
mr = F,(4.1.1')
где точками обозначена производная по времени (второй закон механики).
Силы действия двух тел (или двух точек) друг на друга численно равны и направлены в противоположные
стороны (третий закон механики, или закон действия и противодействия).
Предполагается, что радиус-вектор г(^) имеет непрерывные производные первого и второго порядка (его компоненты являются функциями класса С2). Кроме того, считается, что сила F = F(r, г; t) непрерывно зависит от времени, координат и скоростей. В таких случаях дифференциальные уравнения рассматриваемых задач могут
быть проинтегрированы при некоторых известных начальных условиях.
Но существует большое число механических явлений, в которых условия непрерывности не соблюдаются. Отсюда и возникает необходимость расширения классических рамок ньютоновской механики и дополнения ее математической модели методами теории обобщенных функций.
Скорость. Ускорение. Сила
Пусть г (t) — радиус-вектор некоторой материальной точки массы пг. Уравнение траектории С (фиг. 4.1) этой точки имеет вид
г=г(/). (4.1.2)
Эта функция из физических соображений не должна иметь разрывов, т. е. г(/) является непрерывной функцией от t.
Предположим, что скорость
v (/) = -£_ г (/) = г (/)(4.1.3)
аг
является непрерывной функцией на рассматриваемом интервале времени (z",-Z"|. за исключением конечного числа значений t (t = ti, t=l, 2, ..., «), которым соответствуют разрывы первого рода. Согласно формуле (1.2.31), можно написать
d2"п
/ =* 1 где
Vz = v(/; + 0)-v(/;-0) (/ = 1, 2,..., л) (4.1.5)
является скачком скорости, соответствующим точке разрыва ti, а знаком ~ обозначена производная в обычном смысле.
Введем обозначения
а(/)=—r(0, a(/) = -^r(l), ac(/) = 2JVz8(/-/J, '=1(4.1.6)
где а(/) —ускорение в смысле теории обобщенных функций (обобщенное ускорение), а(/) —ускорение в обычном смысле, ас (/) —добавочное ускорение, возникающее из-за разрывов. Тогда соотношение (4.1.4) принимает вид
а(/) = а(/) + аД0.(4.1.7)
Теорема 4.1.1. Ускорение материальной точки в смысле теории обобщенных функций равно ускорению этой точки в обычном смысле там, где оно существует, плюс сумма произведений скачков скорости точки на соответствующие обобщенные функции Дирака,
Учитывая соотношение (4.1.1'), введем обозначения
F(/) = ma(/), F(/) = ma(/), Ff (/) = mac (/), (4.1.8)
где F(0 — обобщенная сила (в смысле теории обобщенных функций), F(/) —сила в обычном смысле, a Fc(/)— добавочная сила, обусловленная разрывами. Таким образом, соотношение (4.1.7) примет вид
F(/)=F(/) + Fe(/). (4.1.9)
Теорема 4.1.2. Обобщенная сила (в смысле теории обобщенных функций), действующая на некоторую материальную точку, равна сумме силы в обычном смысле и добавочной силы (обусловленной разрывами), которые действуют на эту же точку.
В случае несвободной материальной точки нужно применить аксиому связей, что приводит к введению реакции связей R=R(0- Тогда можно написать
R (/) = !< (/)-|-Rf(/), (4.1.9') где R(^) —обобщенная реакция связей (в смысле теории обобщенных функций), R(Z)—обычная реакция связей, a Rc(0—добавочная реакция связей, обусловленная разрывами.
Теорема 4.1.2'. Обобщенная реакция связей (в смысле теории обобщенных функций), действующая на некоторую материальную точку, равна сумме обычной реакции связей и добавочной реакции связей (обусловленной разрывами), действующих на эту же материальную точку.
Итак, второй закон механики можно сформулировать в обобщенных функциях, если ввести обобщенные ускорения и обобщенные силы и понимать производную в смысле теории обобщенных функций.
В самом деле, для свободной материальной точки имеем уравнение (4.1.1'), а для несвободной материальной точки
mr = F + R. (4.1.1")
Предположим, что и для обобщенной функции F=0 выполняется условие а=0, т. е.
п
a^ + ^V^^-^-O. (4.1.10)
z=i
Если ф(0—основная функция, носитель которой не содержит моменты времени Z, ((=1, 2, ... , и), то из формулы (4.1.10) получается
(а«, т(/))=0,
откуда следует, что функция а(/) почти всюду равна нулю (за исключением моментов времени ^). С другой стороны, рассмотрим основную функцию ф(0> носителем которой является только точка К Тогда будем иметь
Nr (/J = 0,
откуда следует, что Vi = 0. Аналогично для t=l, 2, ... , п получим
V; = 0, z=l, 2,..., п.
Если подставить полученный результат в формулу (4.1.10), то оказывается, что а(/)=0, т. е. материальная точка описывает прямолинейное и равномерное движение. Этот результат получается путем проектирования (4.1.10) на три оси координат и применения теоремы 1.2.2. Следовательно, закон инерции сохраняет свой вид и при рассмотрении обобщенных сил. То же самое справедливо и для закона действия и противодействия.
Количество движения.
Момент количества движения
Произведение массы материальной точки на ее скорость является вектором, который называется количеством движения материальной точки и имеет вид
H(/)=mv(/).(4.1.11)
Количество движения материальной точки является непрерывной функцией на рассматриваемом интервале времени, за исключением моментов времени ^ (i= 1, 2, ... ... , п), где возникают разрывы первого рода.
Полное количество движения системы материальных точек получается суммированием количеств движения каждой точки в отдельности. Если рассматривается сплошное тело, его полное количество движения получа-
ется интегрированием количества движения элемента массы по всей занимаемой телом области; важную роль при этом имеет интеграл Стилтьеса. Такие утверждения могут быть сделаны для всех вводимых здесь величин. Мы же ограничимся утверждениями, которые касаются только материальной точки.
Скачок количества движения в момент разрыва Ц, который имеет вид
(АН), = т V, = т [v (/,+0) - v ^i - 0)], (4.1.12) выражается через скачок скорости в рассматриваемый момент разрыва.
Введем еще величины
ггf
^V^dt, ^V^dt,^¥c^dt,(4.1.13)
Vt't'
являющиеся соответственноимпульсом обобщенной силы,
импульсом обычной силы и импульсом добавочной силы на интервале времени^, /"].
Для первой и третьей из введенных величин применены классические обозначения, несмотря на то что соответствующие интегралы не имеют, вообще говоря, смысла с точки зрения теории обобщенных функций.
Замечая, что
t*га t*
JFC ^dt = ^mN^^t-^dt= Vi=l V
n
i =1
и используя формулу (4.1.9), можно написать
Гt*п
JF W^ = JF^dt^ (АН),.(4.1.14)
VVZ-l
Теорема 4.1.3. Импульс обобщенной силы, действующей на некоторую материальную точку на определенном интервале времени, равен импульсу обычной силы, дей-
ствующей на ту же точку на том же интервале времени, к которому добавляется сумма скачков количества движения материальной точки, соответствующих моментам разрыва.
Момент количества движения материальной точки определяется соотношением
Ко (/) = г (/) х Н (/) = г (/) х [mv (/)].(4.1.15)
Скачок в момент разрыва момента количества движения, который имеет вид
(ЛК),—mr (/;) х v (/,• 4*0) — mr (/,) х v (4 — 0) =
— mr (/,-) х V^r^,-) х (AH)Z, (4.1.16) выражается через скачок количества движения (или скачок скорости) в рассматриваемый момент разрыва.
Введем еще величины гt*t"
JMOF(/)^,^М0Р(/И,JMqF^/)^,(4.1.17)
t-Vt’
являющиесясоответственноинтеграломмоментаобоб
щенной силы, интегралом момента обычной силы и интегралом момента добавочной силы на интервале времени [/', /"]. Для первой и третьей из введенных величин применены классические обозначения, несмотря на то что соответствующие интегралы не имеют, вообще говоря, смысла с точки зрения теории обобщенных функций.
Исходя из соотношения (4.1.9), можно написать
СмоР(/И+СМоРс(/И,СмоР(/И+СМоРс(/И,t"t-t”
СмоР(/И+СМоРс(/И,
СмоР(/И+СМоРс(/И,
J M0F (/)dl
l't-v
или
jM0F(/)^^jM0F(/)^ + 2 №•(4.1.18)
utf/=1
Теорема 4.1.4. Интеграл момента обобщенной силы, действующей на материальную точку на определенном интервале времени, равен интегралу момента обычной 11—3677
силы, действующей на ту же точку на том же интервале времени, к которому добавляется сумма скачков момента количества движения материальной точки, соответствующих моментам разрыва.
Работа силы. Кинетическая энергия
Работа силы F(/) на интервале времени [/', 1"] определяется формулой
Z = jF(/).rfr(/),(4.1.19)
t*
где точкой обозначено скалярное произведение.
Введем обозначения
,.t.
LF = \P(f)-dr{t\ L-p^^^-dr^, I*г
4=JFeW^rW’ (4-L2°)
где Lp — работа обобщенной силы F(^), Lp—работа обычной силы F(/), a LFc— работа добавочной силы Fc(/). Для первой и третьей из введенных величин применены классические обозначения, несмотря на то что соответствующие интегралы не имеют, вообще говоря, смысла с точки зрения теории обобщенных функций. Можно написать
Lf = L^LFc.(4.1.21)
Теорема 4.1.5. Работа заданной обобщенной силы, действующей на свободную материальную точку на определенном интервале времени, равна сумме работы заданной обычной силы, действующей на ту же материальную точку на том же интервале времени, и работы заданной добавочной силы, действующей на материальную точку на рассматриваемом интервале времени.
Аналогично для обобщенной реакции связей будем иметь
Lr=L^Lrc.(4.1.21')
Теорема 4.1.5'. Работа обобщенной реакции связей, действующей на несвободную материальную точку на определенном интервале времени, равна сумме работы заданной обычной реакции связей, действующей на ту же материальную точку на том же интервале времени, и работы заданной добавочной реакции связей, действующей на материальную точку на рассматриваемом интервале времени.
Введенные выше величины имеют вид
£^=fR(0.dr(0, ^ЦгЦ/).^), U = t'f
t'
= [Rc(/).dr(0.(4.1.20')
Кинетическая энергия материальной точки определяется формулой
Т=-^-т^^.(4.1.22)
Если h — момент разрыва, то можно написать соотношения
lim Т (t)=—пг\ Пт у (/)]2=—my2(/z—0), t^t—o2 t^-o2
(4.1.23)
lim ТД/^—m[ lim у (/)]2/пу2(^4-0),
z>/z+o 2 t-t^o2
которые служат доказательством того, что моменты разрыва скорости являются и моментами разрыва кинетической энергии.
Общие теоремы механики материальной точки
Ниже приводятся теоремы об изменении количества движения, об изменении момента количества движения и об изменении кинетической энергии для материальной точки. Для дискретной или непрерывной механической системы можно сделать аналогичные утверждения.
11*
Теорема об изменении количества движения
В рамках теории обобщенных функций второй закон механики имеет вид
F(/)=-^-[mv(/)].(4.1.24)
at
Если разрывов нет, этот закон записывается в виде
at
Заметим, что
А. н (/)=-А- н (!) + V (ДН)г6 (/ - А dtdt
где скачок количества движения определяется формулой (4.1.12). Используя соотношение
FJ/)=2(AHW-^(4.1.25)
z=i
определяющее добавочную силу, получаем
^H(/)=F(/)=F(0+Ff(/).(4.1.26)
at
Теорема 4.1.6. (Теорема об изменении количества движения.) Производная по времени в смысле теории обобщенных функций количества движения свободной материальной точки равна заданной обобщенной силе, действующей на эту точку.
Для несвободной материальной точки имеем
^_H(/) = F(7) + R№.(4.1.26')
at
Теорема 4.1.6'. Производная по времени в смысле теории обобщенных функций количества движения несвободной материальной точки равна сумме заданной обобщенной силы и обобщенной реакции связей, действующих на эту точку,
Теорема об изменении момента количества движения
Если скорость и ускорение точки являются непрерывными функциями, то теорема об изменении момента количества движения записывается в виде
Ко ^ {г W X [mv №]} = г (Z) х F ^ = M0F (/).
dtdt
(4.1.27)
Если скорость имеет разрывы первого рода, то можно написать
+У (ЛК^' (/ -atdt^ei
где скачок момента количества движения определяется соотношением (4.1.16). В этом случае имеем
-4k0W = M0F W = M/(/) + M0Fc (/), (4.1.28) dt
где момент добавочной силы определяется по формуле
п
MoFc(/)=2r&) X №§(/-/,.) =
= 2 (AK)Z8 (/-/,).(4.1.28')
1=1
Теорема 4.1.7. (Теорема об изменении момента количества движения.1) Производная по времени в смысле теории обобщенных функций момента количества движения свободной материальной точки равна моменту заданной обобщенной силы, действующей на эту точку, относительно полюса той же системы координат.
Для несвободной материальной точки выполняется следующее уравнение:
^-KoW-MoF(/) + MoR(a (4-1.28")
Теорема 4.1.7'. Производная по времени в смысле теории обобщенных функций момента количества движения несвободной материальной точки равна сумме моментов заданной обобщенной силы и реакции связей, действующих на эту точку, относительно полюса той же системы координат.
Теорема об изменении кинетической энергии
Из соотношения (4.1.19) можно получить
Г/'
£= ^• V (/) di= [ ^ Т^ di,
ГU
что приводит к теореме об изменении кинетической энергии (в обычном смысле) следующего вида:
L=T^-T<f\(4.1.29)
Для производной по времени кинетической энергии можно написать
~п
^-Т^ = А-Т (/)+ У (ДТ),8 (/-/,), atat
/-1
где скачок кинетической энергии, соответствующий моменту разрыва ti, имеет вид
(дГ)/=-1-тМ(^4-0)-т>2(/,_0)].(4.1.30)
Используя соотношение (4.1.21), получим
LP^-^-T(t)dt^W (дГ);8 (/ -ta dt, J at ии
откуда
п
кР=Т^-Т^Н^ДТ\. (4.1.31)
Теорема 4.1.8. (Теорема об изменении кинетической энергии.) Работа заданной обобщенной силы, действующей на свободную материальную точку на определенном интервале времени, равна разности между кинетической энергией в конечный момент времени и кинетической энергией в начальный момент времени, к которой добавляется сумма скачков кинетической энергии этой точки, соответствующих моментам разрыва.
В случае несвободной материальной точки следует рассмотреть также механическую работу LR обобщенной реакции связей, т. е.
Л
ЬР^Ц = Т(П-Тт^т. (4.1.31')
Z-1
Теорема 4.1.8'. Сумма работ заданной обобщенной силы и обобщенной реакции связей, действующих на несвободную материальную точку на определенном интервале времени, равна разности между кинетической энергией в конечный момент времени и кинетической энергией в начальный момент времени, к которой добавляется сумма скачков кинетической энергии этой точки, соответствующих моментам разрыва.
Общие теоремы механики в случае столкновений
Ниже приводятся теоремы об изменении количества движения, об изменении момента количества движения и об изменении кинетической энергии для материальной точки, участвующей в столкновениях. Для дискретной или непрерывной механической системы можно сделать аналогичные утверждения.
Общие положения
Используя понятия обобщенной силы и количества движения обобщенной силы, введем понятие удара, при-
(4.1.32)(4.1.32)ложенного к материальной точке, с помощью формулы
(4.1.32)
(4.1.32)
Р= Игл ) F ^dt,t"-t'^ + O J
где предел рассматривается в смысле теории обобщенных функций.
Очевидно, что и в этом случае интеграл не имеет смысла с точки зрения теории обобщенных функций; однако мы применим такую запись, чтобы она совпала с классической.
Предположим, что интервал [f, /"] содержит только одну точку разрыва /0 и таков, что |?'—f|<e, где е — произвольное положительное число. В таком случае рассматриваемые силы являются обобщенными и удар можно считать обычным явлением, для которого применимы законы механики (см. разд. 4.1.1).
Теорема об изменении количества движения. Теорема об изменении момента количества движения
Используя одну из теорем о среднем, можно написать
lim fF^^/^O,(4.1.33)
Г—r-> + 0 J
г
lim fMoF(/)d/ = 0.(4.1.33')
Следовательно, благодаря разрывам количеством движения обычной силы и интегралом момента обычной силы можно пренебречь по сравнению с количеством движения добавочной силы и интегралом момента добавочной силы. Таким образом, получаем
lim (* F ^dt=mv0(4.1.34)
И
t"
lim С MOF (/)d/=r0 x (/nv0),(4.1.34')
r-r^+o J
где Го — радиус-вектор в момент разрыва, a vo-—скачок скорости, соответствующий этому моменту.
Теорема 4.1.6 принимает вид
(ДН)0=Р.(4.1.35)
Теорема 4.1.9. (Теорема об изменении количества движения.) Скачок количества движения материальной точки в момент разрыва равен удару, действующему на рассматриваемую точку в этот момент.
С помощью теоремы 4.1.7 и формулы (4.1.32) получим
(ДК)о=гоХ(ДН)о=гохР. (4.1.36)
Теорема 4.1.10. (Теорема об изменении момента количества движения.) Скачок момента количества движения материальной точки в момент разрыва равен моменту удара, приложенного к точке в рассматриваемый момент разрыва.
Оба момента вычисляются относительно одного и того же полюса рассматриваемой системы координат.
Теоремы об изменении кинетической энергии
Пусть v'— скорость точки до столкновения, a v"— ее скорость после столкновения. Теорему об изменении количества движения рассматриваемой точки можно записать в виде
mv0 = m (v"~ v') = P.(4.1.35')
Умножая скалярно это соотношение на v", получим
mv"2 — mv' . v"=Р • v"
или
где
Г^-1-mv'2(4.1.38)
является кинетической энергией точки до столкновения,
T"=A-mv"2(4.1.38')
представляет собой кинетическую энергию точки после столкновения, а
Го=^- m(v" - v? = -1- т^(4.1.38")
является кинетической энергией потерянной скорости.
Изменение кинетической энергии точки дается соотношением
(КГ^Т'-Т*,(4.1.39)
и, таким образом, формулу (4.1.37) можно записать в виде
(Д^о+Го^Р-у".(4.1.37')
Теорема 4.1.11. (Теорема об изменении кинетической энергии.) Сумма изменения кинетической энергии материальной точки в момент разрыва и изменения кинетической энергии потерянной скорости в этот же момент времени равна скалярному произведению удара, приложенного к рассматриваемой точке, на ее скорость после момента разрыва.
Если
P-v"=0(4.1.40)
(что может иметь место, например, когда после столкновения материальная точка останавливается), то получаем соотношение
(АГ)о + Го=О.(4.1.41)
Теорема 4.1.12. (Теорема Карно.) Если выполняется условие (4.1.40), то сумма изменения кинетической энергии материальной точки в момент разрыва и изменения
кинетической энергии потерянной скорости в тот же момент времени равна нулю.
Умножая скалярно соотношение (4.1.35') на V, получим
mv"-v' — mv'2 = P- v'
или
Т"-Г-Тй=Р-V,(4.1.42)
откуда
(Д7')0-7'0=Р.у'.(4.1.42')
Теорема 4.1.11'. Разность между изменением кинетической энергии материальной точки в момент разрыва и изменением кинетической энергии потерянной скорости в тот же момент времени равна скалярному произведению удара, приложенного к рассматриваемой точке, на ее скорость до момента разрыва.
Приведенная теорема является аналогом теоремы об изменении кинетической энергии при ударе.
Если,в частности,
р.у'=0,(4.1.40')
то (ДГ)0=Г0.
Теорема 4.1.12'. Если выполняется условие (4.1.40'), то изменение кинетической энергии материальной точки в момент разрыва равно изменению кинетической энергии потерянной скорости в тот же момент времени.
Эта теорема является аналогом теоремы Карно при ударе.
Складывая соотношения (4.1.37') и (4.1.42') почленно, получим
№=-!-?.(v4 v").(4.1.43)
Теорема 4.1.13. (Теорема Кельвина.) Изменение кинетической энергии материальной точки в момент разрыва равно скалярному произведению удара, приложенного к рассматриваемой точке, на полусумму скоростей точки до и после разрыва.
Из соотношений (4.1.37') и (4.1.42') получим
T0=-^-P.(v"-v') = -l-P.v0.(4.1.43')
Теорема 4.1.13'. Кинетическая энергия потерянной скорости в момент разрыва равна половине скалярного произведения удара, приложенного к рассматриваемой материальной точке, на скачок скорости в рассматриваемый момент разрыва.
Эта теорема является аналогом теоремы Кельвина при ударе.
Используя понятия обобщенной реакции связей и количества движения обобщенной реакции связей, можно ввести понятие удара связей материальной точки с помощью определяющей формулы
Р„= lim fR ^dt,(4.1.32')
где предел рассматривается в смысле теории обобщенных функций. В этом случае в сформулированных выше теоремах следует добавить соответствующие дополнительные члены.
ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ
Динамика материальной точки
Динамика свободной материальной точки
Движение свободной материальной точки описывается вторым законом Ньютона. Рассмотрим уравнение движения (4.1.1'), где F(Z) является обобщенной силой (4.1.9), а дифференцирование проводится в смысле теории обобщенных функций. Предположим, что вектор г(/) определен при teR. Это один из способов представления уравнения движения в обобщенных функциях, для которого начальные условия должны быть уточнены отдельно.
Если мы хотим ввести начальные условия в уравнение движения, поступим следующим образом. Используя
уравнение движения (4.1.1'), в котором сила F(/) является обычной и дифференцирование проводится в обычном смысле, можно написать
= (4"2Л)
Предположим, что в начальный момент /=/0 заданы радиус-вектор г0 и скорость Vo- Эти условия являются начальными условиями типа Коши (фиг. 4.2).
Рассмотрим Новую функцию г(/), Определяемую при teR соотношением
г (/)=6 (/—/0) г (z?) =г (/)=6 (/—/0) г (z?) =Скорость будет иметь видСкорость будет иметь видО при / < /0, г0 при / = /0, г(/) при />/0.О при / < /0, г0 при / = /0, г(/) при />/0.(4.2.2)(4.2.2)
г (/)=6 (/—/0) г (z?) =
г (/)=6 (/—/0) г (z?) =
Скорость будет иметь вид
Скорость будет иметь вид
О при / < /0, г0 при / = /0, г(/) при />/0.
О при / < /0, г0 при / = /0, г(/) при />/0.
(4.2.2)
(4.2.2)
(4.2.3)(4.2.3)U 11рИ 4 tQ}
(4.2.3)
(4.2.3)
v(/)=6(/-/0)v (/) =v(/)=6(/-/0)v (/) =Vo при t = tQl v (/) при t > /0.
v(/)=6(/-/0)v (/) =
v(/)=6(/-/0)v (/) =
Заметим, что г0 и v0 являются скачками соответственно радиуса-вектора и скорости в начальный момент t = to. Дифференцируя последовательно обобщенную функцию (4.2.2), получим скорость и ускорение материальной
точки:■.
7W = ^ '^ "^tW Г°" (/ ~/о)’(4'214)
+ v°8 V -
(4.2.4')
Нетрудно заметить, что выражение (4.2.4) соответствует обобщенной функции, определяемой соотношением (4.2.3).
Подставляя полученное ускорение в уравнение (4.2.1) и предполагая, что разрыв может быть не только при /=/о, но и в другие моменты, что обусловливает появление добавочной силы (4.1.8), можно записать основное уравнение механики в виде
m-^i?(/) = F(/) + mv08(/-/0) + mr0B(/-^),(4.2.5)
где F(/) —обобщенная сила. Таким образом, начальные условия введены в уравнение (4.2.5). Это уравнение включает обобщенные функции и соответствует задаче Коши для уравнения (4.2.1).
Используя соотношение (2.1.34), можно записать частное решение для оператора d?ld1? в виде
£(/)=/0(/)=^.(4.2.6)
В этом случае решением уравнения (4.2.5) будет следующее:
Гу)=« w * Г— f ^ +v0B (/-/0)+гов (/-/0)
откуда следует
Г № = — /9 (/). F (/)+v0 (^ - /0) + + ГО9 (/ - у, (г R.
Если F(/) является локально интегрируемой функцией, можно написать
г(/)= — С(/ —т)Р(т)с7г-Н^ —^vo + ro’ t>tQ. (4.2.7') о
Если обобщенная сила имеет общий вид F = F(r, г; /), то основное уравнение (4.2.5) не меняется, но для его решения нельзя воспользоваться указанным приемом. Необходимо задавать конкретный вид уравнения движения.
В случае несвободной материальной точки к заданной силе F(/) прибавляется реакция связей R(Z).
Движение тяжелой материальной точки в пустоте
Рассмотрим тяжелую материальную точку, находящуюся в пустоте под действием силы F = mg, где g— ускорение свободного падения. Задача Коши состоит в определении радиуса-вектора г = г(<), когда известны радиус-вектор г0 и скорость v0 точки в начальный момент времени to (фиг. 4.3, а). С помощью формулы (4.2.7) получаем
^) = y('-^)+g4^-^voW-'o)r0, teR, (4.2.8)
откуда
Фиг. 4 3.
Этот результат можно использовать для решения двухточечной задачи. Если необходимо определить движение в пустоте тяжелой материальной точки, для которой удовлетворяются условия (фиг. 4.3, б)
г№)=гь г(/2)=г2,(4.2.9)
можно воспользоваться соотношением вида (4.2.8), предполагая начальную (при < = /i) скорость известной. Следовательно,
г (/) = у (/-/1)4.g + (i'-i'i)+v1 + 9(/-/i)ri.
Используя и второе из условий (4.2.9), можно написать
1"2= —№ —Л)+g+(^2 —^i)+ vi + 6 (^2 ™ ^t) ri =
= ~ (^2 — ^l)2g + (^2 — ^l)V14*rB
откуда
V1 = —~-^-П)—L^-^g.
Таким образом, решение двухточечной задачи имеет вид
^^ т ~~ ^+ - ^2 - zi)J £+
+ —(/-/1)+(г2-Г1) + 9(/-/,)Г1, t^R, (4.2.10) *2 — Ч
ИЛИ
г0 = у(/-^-^+
Н— -—(/ — /i)(r2 — >"1)-|-Г1, /g[/i, /2]. (4.2.10')
Го — И
Рассмотрим смешанную двухточечную задачу, для которой задаются условия
r№) = rb v(/2) = v2.(4.2.11)
Если известна скорость в момент t = t\, то можно написать v(/) = (Z—/1)+g + 6(z' — /i)vi + r18 (/ — /О-
Используя второе краевое условие (4.2.11), получаем
V2 = (^2 — ^i) g~bvi> откуда
Vi=v2 —(/2 —Z^g.
Траектория движения материальной точки описывается уравнением
r(/) = ^-/i)+[(/-/i)+-2(/2-^)]g4^^ ф-б^-^П, teR,(4.2.12)
или
r№=y(^-^-yg-
— (^— ^i) ~ (4— Л)£— у21Ч~гв ^ ^ [^ь М- (4.2.12)
Линейные колебания
Обилие положения
Рассмотрим вынужденные колебания материальной точки под действием квазиупругой силы притяжения F(x) =—kx, ^>0 (фиг. 4.4, а) или квазиупругой силы отталкивания F^=kx, k>0 (фиг. 44., б), и возмущающей силы Q(Z) =mq^ty /^0, где m— масса точки, а к — коэффициент квазиупругой силы.
Используя обозначение
(4.2.13)
A F(x)Q(t)A F(x)Q(t)_ F(i) 4 Q(t) _
A F(x)Q(t)
A F(x)Q(t)
Ох
а
Фиг. 4.4.
можно записать уравнение движения материальной точки под действием квазиупругой силы притяжения в виде
(4.2.14) at2
Уравнение, соответствующее квазиупругой силе отталкивания, имеет вид
(4.2.14')
Таким образом, операторы t/2/t//2 + со2 и d^ldE—со2 (см. разд. 2.1.1.4) имеют глубокий механический смысл и играют важную роль при решении задач о механических колебаниях. С помощью фундаментальных решений ЕЦ^ можно записать решение уравнений (4.2.14) и (4.2.14') в виде
x^=E^>q<t\(4.2.15)
Если q^ является интегрируемой функцией, то
х^= ^q ^Е {t~x}dx.(4.2.15')
Задача Коши
В начальный момент /=0 зададим условия типа Коши следующего вида:
limх^=х0, lim -^— x(f) — v0.(4.2.16)
<^+о<-+о dt
Нулевым продолжением при КО введем функции
x(/) = 0(/)x(/), q^ = WWY (4.2.17)
Замечаем, что
X ^ = 4г X (4+^8 (0,(4.2.17')
atat
= Ъ№+^Ш(4.2.17")
применения Обобщенных функции в механике 930
Уравнение (4.2.14), которое рассмотрим вначале, принимает вид
М + «^ W=q ^ + ^ VHxQi ^ =/ И- (4.2.18)
Соответствующее уравнение в свертках записывается как
[ 8 (/) 4 ш2й (/)]«(/)=/(/).(4.2.18')
Используя результаты, полученные в разд. 2.2.1.2, получим
х(/) = -?-^ sin ш/* [^ (/)4уой (/)4-х08 (/)]» О)
откуда
х (/) = — 8 (/) sin wi*q (/) +
^ 9 (/) sin ш/ 4-х09 (/) cos О)/, / Е R. (4.2.19)
Если </(/) является локально интегрируемой функцией, то
x(/J —_L\ sin ™(/ —т) <7 (rWr 4 — sin oV 4^о c°s oV, /^-0.
0) JО)
"0'
(4.2.19')
В случае когда в начальный момент действует импульсная возмущающая функция, для q(,f) получим выражение
q^Y^W(4-2.20)
которое приводит к решению
х (/) —1 + и° 9 (/) sin ю^^о® W cos со/. (4.2.21) О)
Это выражение является решением уравнения
X (/) 4 «?х (/) = (I 4 у0) 8 (/) 4- х08 (/).(4.2.22)
При />О уравнение (4.2.22) записывается как
^л(/) + о?л(/) = 0.(4.2.22')
Решение этого уравнения имеет вид
л: (/) = 1 + и° sin to /-|- х0 cos tot. (4.2.21')
Заметим, что это решение не удовлетворяет второму из условий (4.2.16), так как начальный импульс вводит дополнительную начальную скорость, равную единице, и начальная скорость, таким образом, становится равной 1 + уо-
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (4.2.14'), которое после аналогичных проделанным ранее преобразованиям принимает вид
(/) _ to2^ ^4^5 (/)(/)=/ (/).(4.2.23)
Используя результаты из разд. 2.2.1.2 для соответствующего уравнения в свертках
[ 8 (/) + «28 (/ )]*х (/)=/ W,(4.2.23')
получим
х (/) = -^- sh wt* \q (/) 4- z>08 (/) 4- x08 (/)], 0)
откуда
(/) = — 6 (Z) sh «it* q (Z)4 -22- 6 (/) sh о)/4-*о® (Z)chw/, tE-R.
(4.2.24)
Если q^f) —локально интегрируемая функция, то имеем
х (t) = — J sh to (t — т) q (т) dx 4o
— sh tot 4xQ ch tot, t^Q. (4.2.24')
Если ^(/) имеет вид (4.2.20), то получается следующее решение:
х (/) = -1—LE1 9 ^ sh и)/ + л09 (/) ch ш/.(4.2.25)
а если q^ = i^,(4.2.26)
то решение имеет вид
х (/) = 8 (/)-{-— («12+х0) 6 (/) sh «>/-|-х09 (7) ch ю/. (4.2.27) <0
И в этом случае можно сделать аналогичные замечания относительно начальных условий.
Для уравнения (4.2.14), соответствующего квазиупру- гой силе притяжения, можно рассматривать некоторую двухточечную задачу с условиями вида
x^=xv х^=хг.(4.2.28)
Предполагая, что q^ является локально интегрируемой функцией, запишем выражение (4.2.19') в виде
л(/) = — I sin to (/ — т)/(т) eft 4*
<0 J
-}- — sin ш(/—/,)-[-л0 cos ш^ — ^),
где использованы условия типа Коши в начальный момент 1ь Подстановка второго из условий (4.2.28) дает
х2=j sin «>(/2 —т)/(т)о?т-|-
Ц- — sin<o(/2 —^J+^oCOso)^ —^)f
откуда можно определить неизвестную скорость гц в начальный момент. Исключая скорость щ из полученных выражений, получим решение поставленной двухточечной
задачи в видезадачи в виде
задачи в виде
задачи в виде
о) sin со (^2 — ^1)о) sin со (^2 — ^1)sin ш (/2 — ^) J sin ш (/ — г) / (г) dx —
о) sin со (^2 — ^1)
о) sin со (^2 — ^1)
— sin ш(/ —/J J sin ш (/2 — t) / (г) dx^-
(4.2.29)(4.2.29)-(-О)^! sin W^ — ^H-^ sin <!>(/—/!)].
(4.2.29)
(4.2.29)
Этот результат справедлив при ti^ti+ (/гл/щ), k^N.
Для уравнения (4.2.14') можно учесть двухточечные условия вида (4.2.28). Проделав аналогичные выкладки, получим решение
х^ = —— {sha)(/-2 —/J ( sh<«>(/ — x)/(x)dx —
cosh со (^2 — ^1)J
t
— sha>(/ —^) J shu)(/2—t) / (t)dr-|-
(4.2.29')(4.2.29')4* <» [^shco^ —/)-j-x2sha> (/ —/J]
(4.2.29')
(4.2.29')
Нити. Балки
Тела, у которых один размер (длина /) намного превышает остальные два размера а и b (соответствующие поперечному сечению), называются балками^. Следовательно, для таких тел выполняется условие
а, Ь<1. (4.2.30)
В зависимости от формы оси балки подразделяют на прямые и кривые. Ниже будет получено несколько результатов, касающихся прямых балок.
Различие между балкой и стержнем определяется действующей на них нагрузкой. Если тело работает на изгиб, то оно называется балкой, если же тело подвержено продольным нагрузкам, то оно называется стержием. — Прим. ред.
Если размеры поперечного сечения балки пренебрежимо малы по сравнению с ее длиной и она абсолютно гибкая, то такое тело называется нитью О,
Нити
Пусть АВ — абсолютно гибкая нерастяжимая нить, закрепленная в точках А и В (фиг. 4.5). Считая положительным направление от точки А к точке В, положение
произвольной точки на нити определим ее расстоянием s от точки А вдоль нити. Предположим, что на нить действуют силы, определенные векторной функцией F(s), непрерывной по $ всюду, за исключением конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода.
Для получения уравнений равновесия нити освободим ее в точке А, заменяя связь реакцией RA. В произвольной точке Р сделаем разрез и заменим действие части РВ нити на часть АР силой Т (натяжение), приложенной в выбранной точке и направленной по касательной к нити. Можно написать
u(s)xT(s)=O, (4.2.31)
где u(s) —орт касательной к уравновешенной нити.
Если рассматриваемое тело является нерастяжимым, то оно называется нитью, если же тело растяжимо, то оно называется струной, — Прим. ред.
Обозначим через R(s) равнодействующую сил, действующих на часть АР. В этом случае необходимое условие равновесия принимает вид
Вл + В(5) + Т(5) = 0.(4.2.32)
Из сделанных утверждений следует, что и равнодействующая R(s), и натяжение T(s) являются непрерывными функциями вместе со своими первыми производными всюду, за исключением конечного числа точек, в которых имеются разрывы первого рода. Важно отметить, что точки разрыва равнодействующей и натяжения являются точками приложения сосредоточенных сил. Между точками разрыва натяжение T(s) направлено, согласно уравнению (4.2.31), по касательной к уравновешенной нити.
Если силы, действующие на нить, выражаются через непрерывную функцию F(s), то равнодействующая R(s) имеет вид
R (s) = ^ F (a) do,(4.2.33)
б
или
— R(s)=F(s).(4.2.33')
Вообще говоря, равнодействующая R(s) не является всюду дифференцируемой функцией, так что соотношение (4.2.33') не удовлетворяется всюду.
Дифференцируя соотношение (4.2.32) в смысле теории обобщенных функций, получим
— T(s) + — R(s)=0. (4.2.34) ds ds
Обозначим производную в смысле теории обобщенных функций равнодействующей R(s), как и в (4.2.33'), и назовем ее обобщенной силой на единицу длины нити. Таким образом, уравнение равновесия нити примет вид
-^T(S)4-F(S)=0.-^T(S)4-F(S)=0.(4.2.35)(4.2.35)
-^T(S)4-F(S)=0.
-^T(S)4-F(S)=0.
(4.2.35)
(4.2.35)
Условия равенства нулю моментов всех сил, действующих на дугу АР, относительно произвольной точки приводит к уравнению (4.2.31). Следовательно, получаем
4T(s)=4 T(s)+ У msts-sj, asds
Л R(s)=4 R(s)+V (AR)^ (s-SJ, dsds
i-1
где (AT) i и (AR),— скачки натяжения и равнодействующей, соответствующие точкам разрыва s = s, (i=l, 2, ... ..., п). Уравнение (4.2.34) принимает вид
Т (s) + 4- R (S)+ У [(АТ), 4- (AR)z] 8 (s-sJ=O. asds
(4.2.36)
Как и в разд. 4.1.1.2, можно показать, что соотношение (4.2.34) выполняется тогда и только тогда, когда
^T(S) + -4R(s)=0,dsds
(AT)i + (AR)i = 0 (z = l, 2,..., zz). (4.2.37)
Если ввести обычную силу по формуле
F(s)=— R (s),(4.2.33")
ds
то можно записать уравнение (4.2.35) в виде
4-T(s) + F(s) = 0.(4.2.35')
Это уравнение применяется на участках нити, заключенных между точками разрыва натяжения T(s).
Из уравнения (4.2.36) видно, что в каждой точке разрыва сумма скачков натяжения и равнодействующей сил равна нулю.
Если в точке нити с криволинейной абсциссой $0 действует сосредоточенная сила F, то равнодействующая будет иметь вид
R(s)=F6(s-s0),(4.2.38)
где введена обобщенная функция Хевисайда. Обобщенная сила на единицу длины имеет вид
F(s)=F8(s-s0),(4.2.39)
а уравнение равновесия нити, на которую действует только эта сосредоточенная сила, записывается следующим образом:
JLT(s) + F8(s-so)=O.(4.2.40)
Если на нить действуют сосредоточенные силы F, (i=l, 2, ..., п), приложенные в точках Si<S2< ... <s,< <... <sn, то она принимает форму ломаной линии APi?2 ... Рг — РпВ (фиг. 4.6). Уравнение равновесия в обощенных функциях имеет вид
ddsddsппF;8 (s —sz)_0,F;8 (s —sz)_0,(4.2.41)(4.2.41)
dds
dds
п
п
F;8 (s —sz)_0,
F;8 (s —sz)_0,
(4.2.41)
(4.2.41)
(4.2.42)(4.2.42')(4.2.42)(4.2.42')
(4.2.42)
(4.2.42')
(4.2.42)
(4.2.42')
или
— T(s)=o,
ds v '’
(AT)Z + F/ = O.
Из уравнения (4.2.42) видно, что натяжение является кусочно постоянным, а уравновешенная нить имеет форму ломаной. С другой стороны, из того, что
(ДТ), = Т,.т-Т,_и
T/-i./ + TZj_i=0,
следует, что соотношение (4.2.42') соответствует равновесию точки Р<, на которую действует сосредоточенная сила Fj и натяжения Т<,<_1 и Т{,{+1 (фиг. 4.7).
Фиг. 4.7.Фиг. 4.7.
Фиг. 4.7.
Фиг. 4.7.
Интегрируя уравнение (4.2.41), получаем натяжение в произвольной точке нити, за исключением точек разрыва
Т (s)= -2 Fz6 (s-sz)-RA. (4-2.44)
В точках разрыва появляются соответствующие скачки.
Если r(s)—радиус-вектор произвольной точки нити, то из уравнения (4.2.31) найдем
гдегдепп(4.2.45)(4.2.45)Т= | ТТ= | ТRa+2 w-sJRa+2 w-sJ(4.2.45')(4.2.45')
где
где
п
п
(4.2.45)
(4.2.45)
Т= | Т
Т= | Т
Ra+2 w-sJ
Ra+2 w-sJ
(4.2.45')
(4.2.45')
Замечая, что орт касательной к уравновешанной нити имеет только разрывы первого рода, и принимая точку А
за начало координат, интегрированием получим
для s^-^s^s^,(^ = 0, 1, 2,..., /г), so=O, s„+1 = Z,
где Z— длина нити. Предполагается также, что F0 = Ra.
Таким образом, получено уравнение равновесия нити, на которую действуют п сосредоточенных сил F, (i= 1, 2, ...
, л).
Балки
Рассмотрим задачу изгиба прямой балки, принимая гипотезы сопротивления материалов (точнее, гипотезу Бернулли плоских сечений) и используя результаты, полученные при рассмотрении обыкновенных дифференциальных уравнений. В рамках этих гипотез рассмотрение деформации прямой балки сводится к рассмотрению деформации срединного волокна-, деформированное срединное волокно называется еще упругой линией балки.
Направляя ось Ох системы координат вдоль оси балки и предполагая, что балка изгибается под действием распределенной нормально оси Ох нагрузки q^x^, запишем дифференциальное уравнение упругой линии в виде
(4.2.47) dx^ EI
где Е — продольный модуль упругости, а ' — момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси б (проходящей через ось балки перпендикулярно плоскости изгиба). Произведение Е1 называется изгибной жесткостью балки. Нагрузка q(x) и перемещение у(х) считаются положительными, если они направ-
Нейтральной осью называется волокно, не испытывающее при йэгибе ни растяжения, ни сжатия. — Прим, рей
лены по оси Оу (предполагается, что изгиб балки происходит в плоскости Оху).
Заметим, что фундаментальная система решений однородного уравнения, соответствующего уравнению (4.2.47), такова:
т1(х)=1, -о2(х)=х, т3(х)=-1-х2,
т4 (х) =^-^-х3.(4.2.48)
Используя изложенное в разд. 2.3.1.1, можно записать частное решение ^(х) в виде
£\(х) = — у4+(х) = — 6(х)х3=^-х3.. (4.2.49) ' 7 EI6EI v 6EI +
® W® WТогда общее решение уравнения (4.2.47) будет выражаться следующим образом:
® W
® W
^-(-СгХ-)- — С3х2 +“ С4х3-|—— x^*q)x) ,
(4.2.50)
где постоянные С\, С^ С3, С4 находятся из условий закрепления балки. Уравнение упругой линии можно записать в виде
w=-4" Mi+^+4А^+4^ +4 хМ * я w=
EI \2оо /
= ц0(х)*^(х),(4.2.50')
где Л[, Л2, Я3, Л4 — другие постоянные, которые определяются тем же путем.
Рассмотрим, например, прямую балку ОА длиной ' (фиг. 4.8), защемленную в точке О и со свободным концом А ^консоль). Предположим, что на свободном конце А действует сосредоточенная сила Р, направленная в отрицательном направлении оси Оу. Эквивалентная нагрузка будет равна
?(х) — — Р8 (х — /),?(х) — — Р8 (х — /),(4.2.51)(4.2.51)
?(х) — — Р8 (х — /),
?(х) — — Р8 (х — /),
(4.2.51)
(4.2.51)
а уравнение изогнутой упругой оси имеет вид
у И=^7 [С1+^+V Сз^2+
(4.2.52)(4.2.52)Фиг. 4.8.Фиг. 4.8.
(4.2.52)
(4.2.52)
Фиг. 4.8.
Фиг. 4.8.
Уравнение (4.2.52) может быть записано и как
, XРф^1 'EI, XРф^1 'EIД + Л2^-/)+уЛз^-/)2 +Д + Л2^-/)+уЛз^-/)2 +
, XР
ф^
1 'EI
, XР
ф^
1 'EI
Д + Л2^-/)+уЛз^-/)2 +
Д + Л2^-/)+уЛз^-/)2 +
(4.2.52')(4.2.52')+2-Л4(х-/)=+4-(х-/)3+ Оо
(4.2.52')
(4.2.52')
где постоянные интегрирования определяются из условий защемления (условий типа Коши)
х=0: v(a:) = 0, -^- -и (х) = 0(4.2.53)
и из условий для изгибающего момента и перерезывающей силы (тоже условий типа Коши)
Л ^2/ X Pl <Р / \ Р л гол
х=0: v(x)=, фхФ(4.2.53)
dx^ v ’ EI ' dx» v ' EI 1'
Таким образом, определив постоянные
Ах= — Р, Л2=— Р, Л3=0, Л4=-1, *32
получим решение в окончательном виде
ч)(х)=—^-хг^1-х), хе[0, /].(4.2.54)
Если в случае, когда на балку в точке А действует сосредоточенная сила Р, которая выражается в виде q(x) =Qa(x), использовать уравнение упругой линии (4.2.50'), т0 представление (3.2.14) принимает вид
у (х)=уо (х) * [Qo (х) + Qw (х) + -А- Q(2) (х) +
посколькупоскольку-у0 (х) * Q(1) (х) = 0, г >4.-у0 (х) * Q(1) (х) = 0, г >4.(4.2.55)(4.2.56)(4.2.55)(4.2.56)
поскольку
поскольку
-у0 (х) * Q(1) (х) = 0, г >4.
-у0 (х) * Q(1) (х) = 0, г >4.
(4.2.55)
(4.2.56)
(4.2.55)
(4.2.56)
Итак, максимальный порядок п направленных моментов в этом случае равен трем.
Если рассматриваются поперечные свободные колебания (собственные колебания) прямой балки бесконечной длины, то начальными условиями будут тоже условия типа Коши. Предполагая, что ось координат Ох направлена вдоль оси балки, запишем дифференциальное уравнение поперечных собственных колебаний балки в плоскости Оху в виде
-^—ц(х; Л-1—--^--у(х; Л = 0, />0. (4.2.57) дх*’ 1 с2 dt2 1’'1
Здесь с — скорость распространения волн
(4.2.58)
где EI — изгибная жесткость, а р — плотность материала балки.
Наложим начальные условия
Hmv(x; t)=j\(x), lim -^-^(х; t)=g(x)=c^- /2(х), /-+0/-+0 otdx^
где дифференцирование проводится в смысле теории обобщенных функций, a fi(x) и f2(x-) — известные обобщенные функции.
Чтобы заменить дифференциальное уравнение (4.2.57) уравнением в обобщенных функциях, введем обобщенное перемещение
у(х; ^) = 6(^)'У(х; /).(4.2.60)
Оно получено нулевым продолжением влево, а при t — 0 имеет разрыв первого рода. Можно написать
/) = ^-у(М ^) + /i(x)B(Z), dtdt
d- —№ —d2.
-^Г^ ^ = ^^х; ZH^ —/2И8И + /1И8И,
— у^; t) = —-'u(x; t) dx^dxi
и, следовательно, дифференциальное уравнение (4.2.57) примет вид
dx1-dt2
= Г /2 W 8 (/) + К (х) 8 (/).(4.2.57')
Это уравнение записано в обобщенных функциях и содержит заданные начальные условия.
Отметим, что такой прием может быть использован и для других уравнений движения аналогичного вида.
Чтобы найти решение уравнения (4.2.57'), применим к нему преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по координате. В результате получим
c2(-/a)4F[A[w(x; /)]] -V p^F \L [5 (х; /)]] =
=-a2cF[/2(x)] + ^[/1(x)], откуда"
F\L [ц (х; /)]]=' - F [Л (х)][Л Wb
р2 4- а4с2р2 + «4с2
Применяя обратное преобразование Лапласа и учитывая соотношения (1.6.55), (1.6.55'), можно написать
F [и (х; /)] = F [/i (х)] cos (а2с^) — F [/2 (x)J sin (а2с/).
Обратным преобразованием Фурье последнего выражения получим
-и (х; t^ = F~x [А [/, (x)J cos (<А7)] —
—F~x [Л [/2 (x)J sin (a2c/)].
Замечая, что
F [cos -^- 4- sin -^—1 = 2 V2nct cos №cfL (4.2.62)
L Ш 4с/ Jк к '
FI cos —sin -^-1 = 2 V 2nd sin (a2c/)(4.2.62')
[ 4cl4cf }v\ v
г хA"2 I •/1 И* COS—- + sm —V 4ct4ctг хA"2 I •/1 И* COS—- + sm —V 4ct4ctи применяя формулу (1.5.25) преобразования Фурье свертки для случая, когда один из множителей является обобщенной функцией медленного роста, а другой — обобщенной функцией с ограниченным носителем, можно написать решение поставленной задачи в виде
г хA"2 I •
/1 И* COS—- + sm —
V 4ct4ct
г хA"2 I •
/1 И* COS—- + sm —
V 4ct4ct
у(х; /) —1 --
V 2nd
— /2 (х) * (cos —sin 1 .(4.2.63)
\ 4ct4ct /J
.4. Системы материальных точек с переменными массами
Ниже будут выведены уравнения Лагранжа для систем материальных точек с переменными массами (сначала при непрерывном изменении масс, а затем при скачкообразном изменении).
Уравнения Лагранжа для системы
материальных точек с непрерывным изменением масс
Рассмотрим систему п материальных точек с массами mt (t=l, 2, ..., п), положение которых определяется
12-3677.
обобщенными координатами qk (6=1,2,..., 6). Допустим, что на систему наложены только голономные связи, которые были исключены введением обобщенных координат.
Обозначим через u/(Z) и и"(Z) соответственно скорости частиц, захваченных и испускаемых материальной точкой массы mz(Z); пусть m/(Z) и т"(1) — соответствующие начальные массы частиц. Таким образом, имеем
mz ^ = m't (Z) + mz (/).mz ^ = m't (Z) + mz (/).(4.2.64)(4.2.64)
mz ^ = m't (Z) + mz (/).
mz ^ = m't (Z) + mz (/).
(4.2.64)
(4.2.64)
(4.2.65)(4.2.65)Допустим, что обобщенные силы консервативны и имеют потенциал U=U{qi, qi, ..., qn; t). Следовательно,
(4.2.65)
(4.2.65)
Q6 = —, 6 = 1, 2,..., h, dqu
где производная рассматривается в смысле теории обобщенных функций. Допустим также, что обобщенные силы, соответствующие захвату и испусканию, имеют вид
Q'^™, &=~" (6=1, 26),(4.2.66)
dqndqk
где dm, , LT = у - ' u, (/) rz (Z), U"= dt
u,-(Z).rz(Z), atu,-(Z).rz(Z), atZ = 1
u,-(Z).rz(Z), at
u,-(Z).rz(Z), at
(4.2.66')
а через r,(Z) обозначены радиусы-векторы частиц.
Заметим, что потенциалы U' и U" имеют смысл с точки зрения теории обобщенных функций, так как скорости и/(f) и Ui"(^) являются функциями обобщенных координат класса 6°, rz(Z)—класса С1, а т/(б) и т"(t) — класса С1 всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Пусть, кроме того, известна кинетическая энергия T=T^q\, q^qn; q\, — , qn; Z).
Тогда уравнения движения системы материальных точек с непрерывным изменением масс получаются из
условия, что функционал
/(91, 92,..., qh}^\{T^U + U'-YU"}d^ (4.2.67)г
допустимые линии уровня которого могут быть обобщенными функциями, является стационарным в смысле теории обобщенных функций. Таким образом, получаются уравнения
+(А= 1, 2,..., А), (4.2.68)
di \ dqk / oqk
которые являются уравнениями Лагранжа для системы материальных точек с непрерывным изменением масс.
В случае неконсервативных сил F, можно принять
п
I4-2-69)
dqk
Уравнения (4.2.68) тогда принимают вид
_^_ = 0 (А=1, 2,..., А), (4.2.68') di \ dqk / dqk
где
X^T-YU-VU'^U"(4.2.70)
— функция Лагранжа (лагранжиан), соответствующая консервативным силам.
Если к системе материальных точек приложены удары (добавочные силы) ¥ф^1—Л) (i=l, 2, ..., л), соответствующие обобщенные силы принимают вид
п
(4-2-69')
dqk
А.2. Уравнения Лагранжа для системы материальных точек
со скачкообразным изменением масс
Если массы т/(0 имеют разрывы первого рода в моменты времени ^ (/=1, 2, ... . п'), а массы т/'(?) имеют
dmidtdm’dtdmidtdm’dtразрывы первого рода в моменты времени ti (1=п'+1, ... ..., п"), то справедливы соотношения
dmidt
dm’
dt
dmidt
dm’
dt
Ы. ill fXi
(t = l,2,...,/г), (4.2.71)
~ .if
l=n' + 1
где скачки масс имеют вид
(&m'i)tj—mi (^4*0) — m'i (t — 0), /=1, 2,..., n',
1(4.2.72)
(Am;-)/z = m/№+0) —(// —0), /=n' + l, n' + 2,..., n".
При таких условиях кинетическая энергия Т и лагранжиан $ будут иметь только разрывы первого рода, что приводит к равенствам
dt \ dqk / dt \ dqk J dt \ dqk )'
(4.2.73)
где
(6=1, 2,..., Й) dqk
— обобщенные импульсы.
Теорема 1.2.2 с учетом полученных результатов позволяет записать уравнение (4.2.68) в виде
^=9й + ^ + 5» (6=1, 2,..., А), (4.2.74) dqk
где
S
" ±10;. ^_, у;_
dt dqk
(й=1, 2,..., й) (4.2.75)
являются обобщенными силами в обычном смысле, а
(Apk)fj=V (Ащ-Lu- (7=1, 2,..., п'), 11 dqk
(4.2.76)
UPk)tl='VlUmd')tuk •(/ = n'-H,..n")
1 dqk
представляют собой условия при скачках.
Полученные уравнения описывают движение системы материальных точек со скачкообразным изменением масс.
Уравнения Лагранжа при столкновениях
Если в уравнениях (4.2.68) положить
Qk=Qk=0,(4.2.77)
то получатся уравнения Лагранжа для системы материальных точек с постоянными массами (классический случай):
й). (4.2.78)
dt \ dqk ) dqk
При 1г\1', I") можно записать
ггг
г
г
С d ! дТ \
J dt dqk /
Допустим, что в рассматриваемом интервале времени / = /0 соответствует моменту разрыва. Применяя одну из теорем о среднем, получим
11m С —Л«0’-t'-+oj dqk
И
Г
Hm fdf = ^Pkk
и
где введен скачок обобщенного импульса.
С помощью обобщенного удара
9\ = Hm ^Q^t(4.2.79)
t'-t'-»+O •>,
уравнения Лагранжа принимают вид
(^Рь^^ь ^=172,..., Н\ (4.2.80)
Несмотря на то что в теории обобщенных функций интеграл не имеет смысла, был использован его знак для сохранения классической записи.
Теорема 4.1.14. Скачок обобщенного импульса системы материальных точек, соответствующий моменту разрыва, равен обобщенному удару, соответствующему тому же моменту.
Эта теорема является аналогом теоремы об изменении количества движения при столкновениях, выраженной в пространстве обобщенных координат.
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Статические задачи для линейных упругих тел
Чтобы построить математическую модель статической задачи для линейного упругого тела, рассмотрим некоторые аспекты геометрии деформаций и теории напряжений, а также закон Гука. В рамках математической модели ньютоновской механики будем считать, что имеют место следующие основные гипотезы:
Изучаемое твердое тело (рассматриваемое в покое относительно некоторой фиксированной системы координат) находится под действием уравновешенных внешних
нагрузок (системы нагрузок, статически эквивалентной нулю).
Твердое тело рассматривается как сплошная среда (без полостей, внутренних микроскопических трещин и т. д.). Предполагается, что и деформирование тела происходит непрерывным образом; следовательно, деформации и напряжения математически представляются по меньшей мере через непрерывные функции. Для некоторых точек тела (сингулярных точек), в которых деформации и напряжения стремятся к бесконечности, проводится дополнительное исследование. С другой стороны, введение обобщенных функций исключает такие точки. Тела с внутренними полостями (сплошные тела, которым соответствуют многосвязные области) и тела с внутренними разрезами или трещинами (частные случаи многосвязности) должны быть рассмотрены отдельно.
Рассматриваемое твердое тело не имеет начальных напряжений, которые могут возникать из-за некоторых начальных деформаций материала. Таким образом, предполагается, что ненагруженному телу (случай нулевых внешних нагрузок) соответствует нулевое напряженное состояние.
Постановка пространственных задач теории упругости в перемещениях
Под влиянием внешних воздействий частицы твердого тела меняют свое положение (относительно некоторой фиксированной системы координат). Если сдвигом или вращением можно вернуть эти частицы в начальное положение, которое они имели до приложения внешних воздействий, то говорят, что рассматривается движение абсолютно твердого тела. В противном случае рассматриваемое тело деформируется. Совокупность деформаций, которые претерпевает частица тела, образует деформированное состояние в точке (центр массы частицы). Совокупность деформированных состояний, соответствующих всем точкам (частицам) твердого тела, образует деформированное состояние рассматриваемого твердого тела.
Если ввести понятие перемещения точки, то совокупность перемещений всех точек рассматриваемого тела составляет поле перемещений рассматриваемого тела.
Тела, которые перемещаются как абсолютно твердые, называются жесткими телами; остальные твердые тела называются твердыми деформируемыми телами. В дальнейшем будет предполагаться, что рассматриваемые деформации и вращения (соответствующие градиенту перемещения) малы по сравнению с единицей.
В процессе деформирования равновесие внутренних сил, связывающих частицы тела, нарушается и возникают дополнительные внутренние силы. Эти силы, отнесенные к единице площади, называются напряжениями. Совокупность напряжений, соответствующих некоторой частице, образует напряженное состояние в точке. Совокупность напряженных состояний всех точек твердого тела образует напряженное состояние рассматриваемого тела.
Деформированное и напряженное состояния некоторого тела вместе образуют напряженно-деформированное состояние тела.
Определяющие уравнения твердого деформируемого тела позволяют описать физические свойства материала. С математической точки зрения такие уравнения дают связь между деформациями и напряжениями. В дальнейшем будем считать, что выполняются следующие упрощенные гипотезы (соответствующие линейным упругим телам), позволяющие описать определяющие уравнения:
Твердое тело изотропно, т. е. механические (и физические) свойства в окрестности каждой его точки одинаковы во всех направлениях.
Твердое тело однородно, т. е. механические (и физические) свойства в каждой его точке одинаковы. Благодаря этому механические константы материала, входящие в определяющие уравнения, не зависят от координат.
Рассматриваемое тело идеально упругое. Под влиянием внешних нагрузок тело деформируется, но если внешние нагрузки перестают действовать на тело, то оно возвращается в исходное положение и принимает начальную форму (явление гистерезиса исключается);
явление деформирования обратимо. Итак, форма деформированного идеально упругого тела зависит только от внешних нагрузок, действующих на него в данный момент времени. Между напряжениями и деформациями существует взаимно однозначная связь. Напряженное состояние в произвольной точке рассматриваемого тела зависит только от деформированного состояния окрестности этой точки. В качестве определяющих уравнений таких сред будем использовать закон связи между напряжениями и деформациями (закон Гука).
Имея в виду вышеизложенное, можно перейти к построению математической модели линейного упругого однородного и изотропного тела, в котором деформации и вращения являются бесконечно малыми.
Деформированное состояние описывается тензором деформаций с компонентами ец = ец(хь х2, х3) (i, /=1, 2, 3). Этот тензор является симметричным (ец = ец). Если i=j, то соответствующие деформации называются удлинениями, а случай i=#j соответствует сдвиговым деформациям Yij = 2Eij. Поле перемещений в теле описывается вектором перемещений и с компонентами и(=иДхь х2, х3) (i=l,2, 3).
В рассматриваемом линейном случае тензор деформаций и вектор перемещений связаны между собой соотношениями Коши
eij=uuj = ~^ kui,jA"uj.^ tK / = L 2, 3), (4.3.1)
где индексы после запятой означают дифференцирование по соответствующей координате.
Уравнения (4.3.1), рассматриваемые как система из шести уравнений по отношению к неизвестным иДхь х2, х3), должны быть совместными. Условия совместности этой системы, которые в то же время являются и условиями неразрывности деформаций, были предложены Сен-Венаном в виде (по повторяющимся индексам происходит суммирование)
етиепН^.у=0 (т, п=1, 2, 3), (4.3.2)
где Eijk — компоненты антисимметричного тензора Леви- Чивиты (равные 1, если индексы (i, /, &) образуют чет-
ную перестановку, равные —1, если индексы U, j, k) образуют нечетную перестановку, и равные нулю, если среди индексов (i, /, к) есть равные между собой). Эти условия являются необходимыми и достаточными при рассмотрении односвязных областей и являются только необходимыми при рассмотрении многосвязных областей.
Фиг. 4.9.
Теперь можно проинтегрировать систему уравнений (4.3.1). Перемещения в произвольной точке рассматриваемого тела даются формулами Чезаро
Ul = ll1 — Gijfe^Xj — Xj^tok-lc У [5;й($1, £2* У +
pop
+2(л:у —^е^, я(^, £2, У]о^6 (i = l, 2, 3), (4.3.3)
где индексы в квадратных скобках означают, что рассматривается антисимметричная часть соответствующего тензора относительно соответствующих индексов, a w,°, о),0 (i=l, 2, 3) являются перемещениями и вращениями в точке Р°(Х1°, хг0, х3°), соответствующими движению рассматриваемого твердого деформируемого тела как жесткого целого. Эти формулы справедливы только для односвязных тел (фиг. 4.9).
Заметим, что перемещения должны выражаться через функции класса С3, а для деформаций достаточно, чтобы они были функциями класса С2.
(4.3.4)(4.3.4)»W+^=0 (Z=l, 2 3),»W+^=0 (Z=l, 2 3),Напряженное состояние характеризуется тензором напряжений с компонентами Gn = Oiikxo х^ ^з) (i> /=1, 2, 3). Тензор напряжений является симметричным (а,, = о,ч). При i—j соответствующие напряжения называются нормальными, а при i^j— касательными. Компоненты тензора напряжений удовлетворяют уравнениям равновесия
(4.3.4)
(4.3.4)
»W+^=0 (Z=l, 2 3),
»W+^=0 (Z=l, 2 3),
где Fi=Fi(x1, х2, х3) —компоненты объемных сил, которые должны быть непрерывными. Напряжения должны быть функциями класса С1, а если учитывать определяющие уравнения, например, линейных упругих тел, то очевидно, что они должны быть функциями класса С2.
Закон Гука, который будет использоваться в дальнейшем в качестве определяющих уравнений линейных упругих тел, имеет вид
ац—к®и^и 4* ‘^V-^ij (Г Г I—1> 2, 3),(4.3.5)
где X и ц— упругие постоянные Ламе, а 8ц — компоненты тензора Кронекера (равные 1 при i=j и равные нулю при i^j). Можно написать и обратные соотношения
£и^^аЦ-i"0"8" (Л У’ /==1> 2>3)’ (4-3-5')
где Е — модуль Юнга, G — модуль сдвига, a v — коэффициент Пуассона. Из этих упругих постоянных только две являются независимыми. Между ними существуют следующие соотношения:
Краевыми условиями для рассматриваемых задач будут условия на границах рассматриваемых областей. Для первой основной краевой задачи (фиг. 4.10) эти условия ставятся в перемещениях и имеют вид
и^и^ (t = l, 2, 3),и^и^ (t = l, 2, 3),(4.3.7)(4.3.7)
и^и^ (t = l, 2, 3),
и^и^ (t = l, 2, 3),
(4.3.7)
(4.3.7)
где Ui — заданные перемещения точки границы с внешней нормалью п. Для второй основной краевой задачи граничные условия ставятся в напряжениях и имеют вид
ацП)=Р1 (/=1, 2, 3),ацП)=Р1 (/=1, 2, 3),(4.3.7')(4.3.7')
ацП)=Р1 (/=1, 2, 3),
ацП)=Р1 (/=1, 2, 3),
(4.3.7')
(4.3.7')
где pi — компоненты внешних нагрузок, действующих на элемент поверхности с внешней нормалью п. При рассмотрении смешанных задач на одной части границы ус-
Фиг. 4.10.Фиг. 4.10.
Фиг. 4.10.
Фиг. 4.10.
ловия ставятся в перемещениях, а на остальной части границы — в напряжениях.
Система уравнений (4.3.1), (4.3.4) и (4.3.5) является системой из 15 уравнений с 15 неизвестными и называется основной системой уравнений статической задачи теории упругости. Доказано, что такая система всегда имеет решение и оно единственно для данных граничных условий *).
Для постановки статической задачи теории упругости в перемещениях необходимо исключить напряжения и деформации из уравнений равновесия, выразив их через перемещения. В этом случае система уравнений равновесия в перемещениях называется системой уравнений Ламе и имеет вид
НД^ + р.+^^.р + Л—0 (/-1,2,3)(4.3.8)
п пп п1 Классическое решение существует при некоторых ограничениях
п п
п п
иа гладкость поверхности и функции Ft, и,, pt ; оно единственно при —1 ^'»<Ч1- — Прим. ред.
или в векторной форме
(4.3.8')(4.3.8')рДц 4- (X 4- и) grad di v и -]- F=0.
(4.3.8')
(4.3.8')
Упругое пространство.
Фундаментальные решения
Рассмотрим упругое пространство под действием объемных сил Fi, являющихся обобщенными функциями
Фиг. 4.11.Фиг. 4.11.
Фиг. 4.11.
Фиг. 4.11.
(фиг. 4.11). Поле перемещений в пространстве можно определить из уравнений Ламе (4.38), в которых все операции будут рассматриваться в смысле теории обобщенных функций. Решения уравнений Ламе должны удовлетворять некоторым регулярным условиям на бесконечности. Если, например, R = "^XiXi— радиус-вектор, то необходимо, чтобы компоненты вектора перемещений стремились к нулю при R-^oo.
Тензор с компонентами иц = иг^Х\, Xi, х^, i, j=1, 2,3, называется тензором фундаментальных решений для упругого пространства, если его компоненты удовлетворяют системе уравнений
р.ДМ;у-]-(Х4-р-) Щу.ы + ^;8 С*!, х2, •vs) = 0 (Л 7=1» 2, 3),
где 6(хь х2, %з) — обобщенная функция Дирака. Должны удовлетворяться также краевые условия
Итяо=0 (Z, у=1, 2, 3).(4.3.10)
Применяя преобразование Фурье к системе (4.3.9), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:.
^а^ [и^ + (/. + у) а^ [ukj] =8Zh
где Oj, i= 1, 2, 3 — комплексные величины. Умножая полученные уравнения на а, и суммируя по I, получаем
a F [И ] = —1.
1 1 j Х + ^ акак
Таким образом, в фурье-изображениях будем иметь
^, / = 1, 2, 3).(4.3.11)(4.3.12)^, / = 1, 2, 3).(4.3.11)(4.3.12)Х+уaza;18,у
^, / = 1, 2, 3).
(4.3.11)
(4.3.12)
^, / = 1, 2, 3).
(4.3.11)
(4.3.12)
у. (X + 2^) (akakj2у акак
Используя формулу (1.6.44), получаем
Г 1 1 4лг — =,
. R J «А«Л
а с учетом соотношений (1.6.44х) можно написать
(У=1, 2, 3).(4.3.12')(У=1, 2, 3).(4.3.12')1а;
(У=1, 2, 3).(4.3.12')
(У=1, 2, 3).(4.3.12')
— =8лг—
R J(а^Д2
Имеем также
° L*J° L*J- X[Xj. R3- X[Xj. R3a (-a j(aftaft)2a (-a j(aftaft)2(z, У = 1, 2, 3). (4.3.12")(z, У = 1, 2, 3). (4.3.12")
° L*J
° L*J
- X[Xj
. R3
- X[Xj
. R3
a (-a j(aftaft)2
a (-a j(aftaft)2
(z, У = 1, 2, 3). (4.3.12")
(z, У = 1, 2, 3). (4.3.12")
Учитывая формулы (4.3.6), можно написать
X + [л 1 X + Зр. 3 — 4v
Х+2р — 2(1— v) ’ Х + 2(л — 2(1 —V) ’
откуда следует, что
и-ц<хх, х2, х3)=
16л (1— М R16л (1— М R’' \3-4v)8(7 + ^-] (i, у = 1, 2, 3).
16л (1— М R
16л (1— М R
'(4.3.13)
С помощью соотношений Коши (4.3.1), закона Гука (4.3.5) и соотношений (4.3.6) можно ввести тензор фундаментальных решений в виде тензора третьего ранга для задачи, поставленной в напряжениях. Таким образом, получим
Х;Х1Хъ 1Л
(i, J, ^=1, 2, 3). (4.3.14)
В этом случае поле перемещений будет иметь вид
и^хх, х2, х^ — и^х^ Х2, x3^Fy{xx, х2, х3) (2=1, 2, 3),(4.3.15)
а для поля напряжений получим следующее выражение:
aiMu х2, x3)=-uiyfc(x1, х2, х3)*Рк(хх, х2, х3)
(Л У=1, 2, 3),(4.3.16)
где звездочкой обозначена свертка соответствующих функций относительно пространственных переменных.
Если на упругое пространство в точке Л (xi°, х2°, х3°) действует сосредоточенная сила Р, то можно ввести эквивалентную нагрузку с компонентами
FЛхх, Х2, Х^ = Р£ (Х[ — х?, х2 —х2, х3 — х3)
(Z=l, 2, 3),(4.3.17)
где учтена формула (3.2.1).
Поле перемещений в этом случае определяется по формуле (4.3.15) и имеет вид
М;(^1, Х2, Х^Р^^Хх—хЧ, Х2 —Х2, х3 — Хз)
(z = l, 2, 3),(4.3.18)
а с помощью формулы (4.3.16) можно получить
’/Д^Ь *2, -^з) = ^А/б(^1 —-^?, ^2 — ^2, Х3—X?) (/, у = 1, 2, 3).(4.3.18')
Если сила Р приложена, в частности, в начале координат, то
,х11 Г/О л х 1 п Х‘ХИ
и-Дхх, х2, хД —(3 —4v)P, + P,—
м 11 21 3716л(1—v)G R [; R2 J
(Z=l, 2, 3)(4.3.19)
и
* Х2, Х^-^^^Д-З^Р^-
— xtPj — хД3^ — ЗР^— xtPj — хД3^ — ЗР^XjXjXb 1Ri JXjXjXb 1Ri J
— xtPj — хД3^ — ЗР^
— xtPj — хД3^ — ЗР^
XjXjXb 1
Ri J
XjXjXb 1
Ri J
- (l-2v)(^P;. + ^Pz) (z, / = 1, 2, 3). (4.3.19')
Используя результаты разд. 3.2.1, можно рассмотреть случаи нагружения упругого пространства, например, сосредоточенными моментами. Если в точке Л (xi°, у2°, х3°) упругого пространства действует направленный сосредоточенный момент М, определяемый ортами и и F0, то для эквивалентной нагрузки можно написать
РДхх, Х2, Хз)= --^^^ЦХ1~Х1’ -К2--4 ^З-^з)
(z = l, 2, 3).(4.3.20)
Поле перемещений будет иметь вид пДхх, х2, хД =
=F° 11И(Л1 -“ х^' х^ ~ лз) =
=-— иТ (г = 1, 2, 3), (4.3.21)
I u X F0 | ди 1v /
ро„
где Ui — перемещения, соответствующие действию единичной сосредоточенной силы F0 и определяемые формулами (4.3.18).
В частности, если направленный сосредоточенный момент действует в начале координат и F° =—ib u = i2, где i, (/=1, 2, 3) —орты осей координат, то
Fy^Xy, х2, ха\ = М —— В^, х2, х^,дх2
(4.3.22)
^2(^1, х2, x3)=F3(xb х2, л:3)=0.
Поле перемещений записывается в виде
Щ^, Х2, Х3) = Л1 д ^11(^1, ^2, ^з) =
-_^(3-4v + 3 ^-1 ,16л (1 — v) G ^з1^2 /
u^(xv х2, х^М -?— и2]\хъ Х2, Л3) =дх2
=-(4.3.23)
16л (1 — v) G R3 \£2 / ’1'
ИзС^Ь -^2, ^з)=^«31(^1, -^2, ^з) =
ЗЛ1х^г^з
—16л(1 —v)G R5 '
Если в точке Л (%]0, х2°, х3°) упругого пространства действует вращательный сосредоточенный момент (центр вращения) М, определяемый ортом п с компонентами Ui, t = l, 2, 3, то эквивалентная нагрузка будет иметь вид
F^Xt, Х2, Х.^^- М ^ufen^^Xi-X^
(4.3.24)(4.3.24)х2 — х®, 'х3 — х”) (1 = 1, 2, 3).
(4.3.24)
(4.3.24)
Поле перемещений в этом случае записывается следующим образом:
х2, %3)=—А- Mejkln.kuu>t^-xov
х2 — х°, х3—х°) (/=1, 2, 3).(4.3.25)
Если, в частности, n = i3, то получим вращательный сосредоточенный момент, приложенный в начале координат. Рассматриваемый момент обусловливает положительное вращение в плоскости 0%iX2. Ему соответствует следующая эквивалентная нагрузка:
Рг(хъ х2, х3) = 4-М -^—Цхъ х2, х3\2 дх2
^(-^i, х2,—х2, х3), (4.3.26)
^зС^- *2, -Y3) = 0.
Поле перемещений в этом случае имеет вид
—— «и л:„ х^ х3 — длг2
-— «12 (Хь oxi-— «12 (Хь oxiх2,х2,М х28лС А*3 ’М х28лС А*3 ’
-— «12 (Хь oxi
-— «12 (Хь oxi
х2,
х2,
М х28лС А*3 ’
М х28лС А*3 ’
^Ху, х2, х^ = ^—М Г-^-ИгДл!, х2, х3) —2 иХ^
д ,.1 М Xi
Ио2 (Xi^ Х2 ^з) == дхх 12’ 3,J 8лО R3
«2, %з) = у ^[-^-«31(^1, -^2,
дdxiдdxi«32^!, X.,, Х3) ^0.«32^!, X.,, Х3) ^0.(4.3.27)(4.3.27)
дdxi
дdxi
«32^!, X.,, Х3) ^0.
«32^!, X.,, Х3) ^0.
(4.3.27)
(4.3.27)
жения.жения.Аналогично можно исследовать и другие виды нагру
жения.
жения.
Постановка плоской задачи теории упругости в напряжениях
Если в некотором теле в параллельных плоскостях деформированные состояния одни и те же, то говорят, что оно находится в плоском деформированном состоянии. В таком деформированном состоянии находится длинный цилиндр (теоретически бесконечный), свободный от нагрузок на боковой поверхности и находящийся под действием объемных сил, не имеющих составляющих вдоль образующей.
Если в теле все элементарные площадки с фиксированной внешней нормалью свободны от напряжений, а напряженное состояние во всех точках, лежащих на одном перпендикуляре к этой плоскости, одинаково, то говорят, что тело находится в плоском напряженном состоянии. Последнее имеет место в пластинках и в длинных цилиндрических телах при определенных способах нагружения. Если предположить, что тонкая плоская пластинка свободна от напряжений на обеих параллельных поверхностях и нагружена только на боковой поверхности (по толщине) нагрузками, параллельными срединной плоскости, то усреднением напряжений по толщине пластинки можно добиться напряженного состояния, называемого обобщенным плоским напряженным состоянием.
Уравнения равновесия записываются в виде
да, дххидх ду
(4.3.28)
дх 1 ду
где ож, оу — нормальные напряжения, тжу— касательное напряжение, а X, У— составляющие объемных сил. В ортонормированной системе координат Оху соотношения между деформациями и перемещениями имеют вид
&х&хдидхдидх_ ди_ ди(4.3.29)(4.3.29)
&х
&х
ди
дх
ди
дх
_ ди
_ ди
(4.3.29)
(4.3.29)
ди । dvт-="*+»7-ди । dvт-="*+»7-(4.3.29')(4.3.29')
ди । dv
т-="*+»7-
ди । dv
т-="*+»7-
(4.3.29')
(4.3.29')
В случае плоского напряженного состояния закон Гука записывается как
s^ = ^-(^-v=y),
(4.3.30)
YwYw. 2(l+v)„. 2(l+v)„(4.3.30')(4.3.30')
Yw
Yw
. 2(l+v)„
. 2(l+v)„
(4.3.30')
(4.3.30')
Для случая плоского деформированного состояния можно использовать те же соотношения, только вместо упругих констант £ и v нужно ввести обобщенные упругие константы
Е»Е»Е1 —у2 ’Е1 —у2 ’v0v0V1 — VV1 — V(4.3.31)(4.3.31)
Е»
Е»
Е
1 —у2 ’
Е
1 —у2 ’
v0
v0
V
1 — V
V
1 — V
(4.3.31)
(4.3.31)
Исключая из уравнений совместности деформации, с помощью формул (4.3.28) и некоторых преобразований получим уравнение ;
А (^ + ^ = - (1 + v) ’ (4.3.32) \ дх ду )
соответствующее плоскому напряженному состоянию. Таким образом, компоненты ох = Охкх> У'), Си = Сукх, У)> Txy=Txy(x, у) тензора напряжений определяются из системы уравнений (4.3.28), (4.3.32).
Граничные условия запишем в виде
п
Рх = ахСО5(п, x^x^cos^n, у\
(4.3.33)
pti = xxy cos (п, л:)-^ cos (/г, у),
п п
где рх, ру — составляющие внешних нагрузок, приложенных к элементу поверхности границы с внешней нормалью п (фиг. 4.12).
С математической точки зрения случаи плоского деформированного состояния и плоского напряженного состояния совпадают; в первом случае только нужно воспользоваться обобщенными упругими константами.
Фиг. 4.12.Фиг. 4.12.
Фиг. 4.12.
Фиг. 4.12.
Упругая плоскость.
Фундаментальные решения
Рассмотрим упругую плоскость, находящуюся под действием объемных нагрузок Х = Х(х, у), У=У(х, у), выраженных через обобщенные функции (фиг. 4.13). Предположим, что плоскость находится в плоском деформированном состоянии (объемные силы, действующие на упругое пространство, постоянны в одном направлении и равны нулю в других направлениях).
Для решения задачи в напряжениях необходимо проинтегрировать уравнения (4.3.28) и уравнение
А(3.г + 3->=А(3.г + 3->=(4.3.32')(4.3.32')
А(3.г + 3->=
А(3.г + 3->=
(4.3.32')
(4.3.32')
которое получается из уравнения (4.3.32) подстановкой обобщенных упругих констант (4.3.31).
Матрица
(4.3.34)(4.3.34)
(4.3.34)
(4.3.34)
«и(*> У) «21 (z, у) «я to У)
«12 (*, У) «22^. У) «32 to У).
называется фундаментальным решением в смысле теории обобщенных функций для упругой плоскости, если ее
Фиг. 4.13.Фиг. 4.13.
Фиг. 4.13.
Фиг. 4.13.
элементы удовлетворяют уравнениям
^- + ^-=-8к 8).
(4.3.35)(4.3.35)дх ду
(4.3.35)
(4.3.35)
du3i ■ d«21 _Qдх ду
А(«иН-^);8* to У) (4.3.35')
1 — V
и уравнениям
^12 дх
ди32
L-^_ = 0, 1 ду
1- д“22 = % ( г
(4.3.36)
дх
1 ду’ У "
△ («12 “Ь «22)8У (х, у).(4.3.36')
1 — v
Применяя двумерное преобразование Фурье к уравнениям (4.3.35) и (4.3.35'), получим
а^ [«и] + ^[«з1]=-С
aF [«31] W [«211=0,
^Ы+^Ы-^Ы+^Ы-z а1 — V а2 + р2 ’z а1 — V а2 + р2 ’
^Ы+^Ы-
^Ы+^Ы-
z а
1 — V а2 + р2 ’
z а
1 — V а2 + р2 ’
где а и 0 — комплексные величины. Решив эту систему алгебраических уравнений, находим
F [«и (я,F [«и (я,у)]= — I—-— а2 + р2у)]= — I—-— а2 + р2*а?21 — V (а2 + 02)2 ’*а?21 — V (а2 + 02)2 ’
F [«и (я,
F [«и (я,
у)]= — I—-— а2 + р2
у)]= — I—-— а2 + р2
*а?2
1 — V (а2 + 02)2 ’
*а?2
1 — V (а2 + 02)2 ’
^[«21^, У^=1— , (4.3.37)
1а2 + р2 1 — V (02 + 02)2 k '
F [U31 (X,F [U31 (X,р ■ Iа2р
F [U31 (X,
F [U31 (X,
а2 + р2 1 —V (а2 + р2)2
Учитывая соотношение (1.6.37), получим
г [in Н^^ТЙ" • '•=^+l/!-(4.3.38)
_ г J а2 -|-
Соотношение (1.6.39) можно переписать в виде
.. Х2 + №у?.. Х2 + №у?= 2™, Д>0,№2 + Р2’= 2™, Д>0,№2 + Р2’(4.3.39)(4.3.39)
.. Х2 + №у?
.. Х2 + №у?
= 2™, Д>0,
№2 + Р2’
= 2™, Д>0,
№2 + Р2’
(4.3.39)
(4.3.39)
= 2л?= 2л?аа2 + р2аа2 + р2(4.3.39')(4.3.40)(4.3.39')(4.3.40)
= 2л?
= 2л?
а
а2 + р2
а
а2 + р2
(4.3.39')
(4.3.40)
(4.3.39')
(4.3.40)
и, в частности,
С учетом соотношения (1.6.39') имеем
f ГJE^Ll—Tti «(°2—Р2)L г4 ](а2 -ь 02)2 '
С помощью этих формул и соотношений, получаемых заменой переменной х на у и наоборот, элементы фунда-
ментального решения (4.3.34) можно записать в виде
«11 ^2Л«11 ^2Л1/ хху^1 - v 12г2гГ1/ хху^1 - v 12г2гГ
«11 ^
2Л
«11 ^
2Л
1/ хху^
1 - v 12г2гГ
1/ хху^
1 - v 12г2гГ
4л (1 — V) /-2 (
/ х 1 Г х 1
«21 ^, У) = — —
2л I г2 1 — V
2v2v(4.3.41)(4.3.41)1
2v
2v
(4.3.41)
(4.3.41)
4л (1 — V) /-2 ^г2 у
31 ( ’ У 2л I г2 1 —V Ur2 7-4
4л (1 — v) г24л (1 — v) г22v42v4
4л (1 — v) г2
4л (1 — v) г2
2v4
2v4
У
Л2 1 — V
1 У
4л ( 1 — V) г2
Ух^У.2г2г 4Ух^У.2г2г 4/ х1 Г У
Ух^У.
2г2г 4
Ух^У.
2г2г 4
2 к ’ 72л 1г2
(4.3.4Г)(4.3.4Г)=^— fl—2v4-2
(4.3.4Г)
(4.3.4Г)
4л (1 — v) ri \г2 /
2л I г2 1 —V \2г2 г4
1 X
4л (1 — V) /-2
Здесь использованы формулы (4.3.36) и (4.3.36х). С помощью матриц
(4.3.42)
можно определить напряженное состояние
M = R*{Q}.(4.3.43)
соответствующее объемным силам, выраженным через обобщенные функции. Для компонент тензора напряжений имеем выражения
^(х, У^^х, g^X^ y^Ux^x, y^Y^x, у),
(4.3.44)
=Дх, у^и^х^ у)*Х(х, у)Д-«22(л:, y^Y^x, у^,
ЧА-Х У^ХА- У^Х^х, у)Д-и^х, y)*Y(x, у). (4.3.44')
Пусть, например, в точке Л (х0, уо) на упругой плоскости приложена сосредоточенная сила F(FX, Fv). Нагрузка, эквивалентная этой силе, имеет вид
Х^х, у)=Р^(х — х0, у—у0\
(4.3.45)
Y (х, у) = Ру6(х — х0, у-у0).
Для компонент тензора напряжений получаются выражения
ОАХ, У^ЛлМ-^ —хо, у — y^A-Fgux^x — х0, у — у0\
(4.3.46)
°ДХ' У^Р^ЬАх-х0, у — УоНРу^^х — Хд, у — у0\
ЧЛХ' y^ = Fx^i(x — ^ у —UoW FylisAx —хй1 у — у0).
(4.3.46')
Допустим теперь, что в начале координат приложен направленный сосредоточенный момент. Пусть u = j, а F° =—j (i и j — орты координатных осей), т. е. приложенный момент обусловливает положительное вращение в плоскости Оху (фиг. 4.14). Эквивалентная ему нагрузка
ц
Фиг. 4.14.
имеет вид
X (х, у^М^х, у\ Y^x, у)=0,(4.3.47)
а для компонент тензора напряжений получаются выражения
°ЛХ’ У^ = М -^-ихх^х, У)= —~--^-(l-2v+4^-) , ду2л(1 —v) /-4 (г2 /
(4.3.48)
°ДХ' У^Му) — - “[3-2v-4^ ,
ду2л (1— v) r^ \г*)
*t,»(x. У)=М ^^^ У)=
=- Г(х2 — i/2) (1 — 2v -|- 2 —— 4 ^1.
2л (1 — V) г4 L 3 Ч * г2 / г4 J (4.3.48') Если в начале координат на упругой плоскости приложен центр вращения М (фиг. 4.15), то для эквивалентной нагрузки получаются выражения
Х^х, у^-^-М^х, у), У(х, у^-^-М^'х^х, у),
(4.3.49)
а компоненты тензора напряжений имеют вид
/ х 1 д ,, д ,,1 М ху
у) = — М — и^х, у^ — — и^х, у} =-,
2 дудхJ л г4
(4.3.50)
°g^ Sf) = -^-^И Г-^- «21 (^ у)--£-«22(^ У)1 =
м хул г4м хул г4— 3хкХ, У),— 3хкХ, У),
м хул г4
м хул г4
— 3хкХ, У),
— 3хкХ, У),
(4.3.50')(4.3.50')М х*1 — yi
(4.3.50')
(4.3.50')
2л г<
Другие случаи нагружения можно рассмотреть ана^ логично.
Упругая полуплоскость
Пусть на упругую полуплоскость у^О действуют касательная нагрузка р — р(х) и нормальная нагрузка q = qkxY выраженные через обобщенные функции (фиг. 4.16). И в этом случае предположим, что упругая полуплоскость находится в плоском деформированном состоянии (на границе упругого полупространства действуют
Фиг. 4.16.
внешние нагрузки, постоянные в одном направлении и равные нулю в других направлениях).
При отсутствии объемных сил дифференциальные уравнения задачи, поставленной в напряжениях, принимают вид да vдт,и
—L + —— = 0,дхду
(4.3.51)
дх ду
А^+^-О.(4.3.51')
Запишем граничные условия
limTy^z, у) = — р^х\ Wxno^x, у^=—д^х\ (4.3.52)
у-*+0у-* + 0
а на бесконечности потребуем, чтобы
Ишаг(л, у) = Ншоу(л, у)— limrw(A:,у)=0. (4.3.52') y-^t»у-*«>у-*-*»
(4.3.51), (4.3.52')(4.3.51), (4.3.52')Матрица фундаментальных решений в смысле теории
(4.3.51), (4.3.52')
(4.3.51), (4.3.52')
обобщенных функций системы уравнений (4.3.51') с граничными условиями (4.3.52) и имеет вид
®и(*,У)^гС*,У)
(4.3.53)(4.3.53){И= v21(x,у)-и22(х,уУ.
(4.3.53)
(4.3.53)
?3\У^У)^32^,У\
Элементы этой матрицы удовлетворяют уравнениям
dvn [ dv3iдх ду ’
(4.3.54)
du3i । dv2i q дх ду.
A (®п 4"®2i)—0(4.3.54')
и уравнениям
ди 12 । диюqдх ду ’
(4.3.55)
^32 । д«22 _Q дх ду
△ (^ы + ^г)—*-*,(4.3.55')
граничным условиям
Пш^з^л:, ^)=0, limfaJz, у)—— 8(х), (4.3.56) у^-+оу^+о
Итг>м(х, у)-»— 8(х), Нтизз^, у)=0 »-»+еу-»+о
и условиям на бесконечности
limvn(x, у)=0 (z = l, 2, 3),
(4.3.57) limvz2(x, у) = 0 (г = 1, 2, 3), 00
где все пределы рассматриваются в смысле теории обобщенных функций.
Применяя к уравнениям (4.3.54), (4.3.54') преобразование Фурье по х и считая у параметром, получаем
-^[^„(х, у)] + -^-^['У31(^ УЯ = °,Ду
(4.3.58)
-«^[^(х, УЯ + ^-^^^х, у)]=0,
ах
-s^kFA'Vn^, УЯ+ЛЛ^Ск, УЯН
УЯ + ^Л^^, уЯ)=О, (4.3.58') Ду2
где s — комплексная величина. Исключая из этих уравнений FJuntx, у)] и FJrsi (х, у)], получаем дифференциальное уравнение
^[^(-х, У)] —2s2F,[г'21(х, у)] +
Ду4Ду2
+ s4Fjr[»2i(x, у)] = 0,(4.3.59)
общее решение которого имеет вид
/^Лх, у)] = И + 5у)г-Н^ + (С + Ду)г1НУ, (4.3.59')
где коэффициенты А, В, С и D зависят от s. Чтобы определить эти коэффициенты, применим преобразование Фурье и к условиям (4.3.56). В результате получим
Нш^^^х, у)]=0, Иш^^афх, у)]= — L (4.3.60) у->+0у->+0
Ит/^рУп (х, у)]=о (Z=l, 2, 3).(4.3.60')
Следовательно,
Д = 0, В= —is, C = D=0,
(4.3.61)
откуда
Дг [^i (^> y^V= —isye-\s'«.
С помощью уравнений (4.3.58) можно найти
(4.3.62)
Fx [vn (х, у)]=—2г -!-^-1-^— Is 1 у-f-zs^s-z 1-^1 у,
(4.3.62г
^[^(^ $0] =
Замечая, что
| s | y)e-lsls.
(4.3.63)
получим
— Fл х
d
dx \ г2
is Гл
—1 = — ise-1s । у. ri
У>0
(4.3.63')
и
1 dл dy
1 p Г d d л x [ dy \ ri dy
= — | S | e~ lJ 1^, у >0.
е- I $1 У —
(4.3.63")
Из равенства
arctg—L
dx x ri
с учетом формулы (4.3.63) находим
— F
Л
-^— arctg —1 = — е~1'1 у, у^О, dx х J
(4.3.64)
откуда следует
Fj. arctg —1= ——e-isi«, y>0. L x J s
(4.3.64')
Дифференцируя последнее соотношение по у, получаем
~-/-\ [arctg
а
ni1—-е- ' = '«, у^>0, S
откуда следует
1=л/ J-LL^-isu, у^о. (4.3.64") L Г2 J S
Окончательно имеем
,,2 а:19 d / 1 \2 а:3
^п (^, у) =гУ2 — — =г,
л г2 л dx \ r^) л г4
^21 ^, У = — У—- И; = Л dx \г^ )^i(^. У) =7УIt Г2 л^21 ^, У = — У—- И; = Л dx \г^ )^i(^. У) =7УIt Г2 л1 2Е«1л г41 2Е«1л г4(4.3.65)(4.3.65)2_ х^уЛ Г42_ х^уЛ Г4
^21 ^, У = — У—- И; = Л dx \г^ )
^i(^. У) =7У
It Г2 л
^21 ^, У = — У—- И; = Л dx \г^ )
^i(^. У) =7У
It Г2 л
1 2Е«1
л г4
1 2Е«1
л г4
(4.3.65)
(4.3.65)
2_ х^у
Л Г4
2_ х^у
Л Г4
Аналогично из формул читьАналогично из формул чить(4.3.55) и (4.3.55')(4.3.55) и (4.3.55')можно полу-можно полу-
Аналогично из формул чить
Аналогично из формул чить
(4.3.55) и (4.3.55')
(4.3.55) и (4.3.55')
можно полу-
можно полу-
^12 (*,^12 (*,У) = -У) = -V22 (^,V22 (^,У^-У^-г>32 (х,г>32 (х,У) =У) =2 х2уЛ г42 i/3Л Г4 ’2 ху2Л Г42 х2уЛ г42 i/3Л Г4 ’2 ху2Л Г4(4.3.65')(4.3.65')
^12 (*,
^12 (*,
У) = -
У) = -
V22 (^,
V22 (^,
У^-
У^-
г>32 (х,
г>32 (х,
У) =
У) =
2 х2у
Л г4
2 i/3
Л Г4 ’
2 ху2
Л Г4
2 х2у
Л г4
2 i/3
Л Г4 ’
2 ху2
Л Г4
(4.3.65')
(4.3.65')
Таким образом, фундаментальное решение в смысле теории обобщенных функций полностью определено.
Введем матрицы
3Ж У) М^ У) 5.гу^ У\3Ж У) М^ У) 5.гу^ У\я WJя WJ(4.3.66)(4.3.66)
3Ж У) М^ У) 5.гу^ У\
3Ж У) М^ У) 5.гу^ У\
я WJ
я WJ
(4.3.66)
(4.3.66)
С помощью свертки в предположении, что она существует, можно выразить напряженное состояние упругой полуплоскости в виде
{ = 1 = {^}*№1. (4.3.67)
Если в точке А(х0, 0) на упругой полуплоскости приложена сосредоточенная сила F(EX, Еу) (фиг. 4.17), то имеем
/?(x)=/vr8(x —х0), q^ = Fu^^x — x^ (4.3.68)
и окончательно получаем
^(^ У)=^п ^х — х0, y^A-F^vAx-x^ У\
(4.3.69)
<>Дх, y^=FAi(x—x0, yWFvT)22^x — x0, у\ ^ху^х, y) = FxT)31(x-x0, y^-VF^^x-x^ yY (4.3.69')
Фиг. 4.17.
Действие направленного сосредоточенного момента М, приложенного в начале координат, составляющие которого перпендикулярны границе плоскости (фиг. 4.18, а), выражается формулами
^(х) = 0, q^= — М -^-Цх — х0).(4.3.70)
Компоненты тензора напряжений имеют вид
•, (х, й= -м 4- т„(х. ,)= - “ «Щ^В, ОХЛ Г6
(4.3.71)
,,д , х 834 ху3
°у(х, y^—M—^X, у^= дхл г°
, х лл д ,.234^2(3^2 — ^2)
^ху <Х' У^=-М-^ У32 ^ у)=-.
(4.3.71')
Для случая вращательного сосредоточенного момента М, приложенного в начале координат (фиг. 4.18, б), получим такое же напряженное состояние, описываемое формулами (4.3.71), (4.3.7Г).
Пусть на упругую полуплоскость у^О в точке Л(%о, 0) действует линейный дипольный сосредоточенный момент (фиг. 4.19). Имеем
р (х) = — D — 8 (х — х0), q (х) = 0, (4.3.72) dx
а для компонент тензора напряжений получаем
=х^х, y^-D-L-u^x-x,,, у) =
ОХ
= _ 2£_(х-х0)2[(х—х0)2 —Зу2], (4.3.73)
л [(Х-ХО)2 + У2]3J i ’
о„(х, У)= —х0, у) =
*дх А
2£>;i2£>;iу2у2Л I [(X—Х0)2+у2]3Л I [(X—Х0)2+у2]3[3(х—х0)2 —у2],[3(х—х0)2 —у2],
2£>;i
2£>;i
у2
у2
Л I [(X—Х0)2+у2]3
Л I [(X—Х0)2+у2]3
[3(х—х0)2 —у2],
[3(х—х0)2 —у2],
^(х’ У^-В-^-^х—х^ у) =
= - —U-xoW[(x_x )2_у2].(4.3.73')
Л [(Х-Х0)2 + У2Р Ц 07 У J k 7
{Q} ={Q} =В случае периодической нагрузки, выраженной матрицей
{Q} =
{Q} =
(4.3.74)
действующей на границе полуплоскости, тензор напряжений определяется следующим образом:
(4.3.75)(4.3.75)1»НИ*№
(4.3.75)
(4.3.75)
Предположим, что у(х) и q^ —периодические обобщенные функции с периодами Т и Т* соответственно. Разложив их в ряд Фурье, получим
р^= 2 cnCp^eUex* (0=7-, mz,
(4.3.76)
у(х)= 2 Сп^е1""^, ^=ут-, neZ,
где коэффициенты разложений имеют вид ^W=y(^W. e-il№^ neZ, (4.3.76') сп^ = у№ e-lnm'% neZ.
Матрица {@}, соответствующая периодическим нагрузкам, приложенным на границе полуплоскости, в этом случае принимает вид
с nW1"" сп^е1пю'хс nW1"" сп^е1пю'хneZ.neZ.(4.3.77)(4.3.77)
с nW1"" сп^е1пю'х
с nW1"" сп^е1пю'х
neZ.
neZ.
(4.3.77)
(4.3.77)
Возникающие в упругой полуплоскости напряжения определяются сверткой
(4.3.78)
В частности, если нагрузки р(х) и д^х) имеют один и тот же период Т, можно получить решение (4.3.78) в виде матричного ряда Фурье
{о)= ^ кл(°)} ^яшх» teZ,(4.3.79)
где {МОЖИФлШ n^Z,(4.3.80)
и'
MQ)hI ^1, nez.(4.3.80')
v сп\Ч) J
Пусть Q(x) = FT(x)(4.3.81)
— периодическая сосредоточенная сила с периодом Т, действующая на границе упругой полуплоскости. Исполь-
зуя полученные выше результаты, можно написать
Fxcn^ F/n^Fxcn^ F/n^1т1т— FT у— FT у(4.3.82)(4.3.82)
Fxcn^ F/n^
Fxcn^ F/n^
1т
1т
— F
T у
— F
T у
(4.3.82)
(4.3.82)
Следовательно,
**1т1т— FT M— FT MgintoXgintoX(4.3.83)(4.3.83)
*
*
1т
1т
— F
T M
— F
T M
gintoX
gintoX
(4.3.83)
(4.3.83)
ИЛИ
****8(х-пГ) =F у J8(х-пГ) =F у JF^(x — nT) РуЦх — пГ)F^(x — nT) РуЦх — пГ)(4.3.83')(4.3.83')
*
*
*
*
8(х-пГ) =
F у J
8(х-пГ) =
F у J
F^(x — nT) РуЦх — пГ)
F^(x — nT) РуЦх — пГ)
(4.3.83')
(4.3.83')
В явном виде получим
«x^x, У)= 2 FA Vx — nT, $0 +
+ 2 Fy-Vx^x — nT, y), neZ,
(4.3.84)
=v^x, y)= 2 FxD^x-nT, yH
+ 2 Fy-u^^x — nT, y), neZ,
tjqAx, y)= 2 F^ax^x — nT, y) +
2 Fy-v^x-nT, y\ n^Z. (4.3.84')
Предположим, что на границе упругой полуплоскости приложены периодические линейные дипольные сосредоточенные моменты с периодом Т, имеющие вид (3.2.27"). Тензор напряжений определим по формуле
!°1=я5!°1=я5— D8' (х — пТ)о— D8' (х — пТ)оneZ. (4.3.85)neZ. (4.3.85)
!°1=я5
!°1=я5
— D8' (х — пТ)о
— D8' (х — пТ)о
neZ. (4.3.85)
neZ. (4.3.85)
В явном виде получим
аДх, у)= — 2 ^'п^—И-Т, у) n^Z,
(4.3.86)
%(х, и^=— 2 ^«(х— пТ, у\ n^Z,
txg^x, у)= — ^ D-u^ (х — пТ, у\ ti^Z, (4.3.86') где дифференцирование по х проводится в смысле теории обобщенных функций.
Рассмотрим упругое полупространство, находящееся под действием объемных сил Х=Х^х, у), У=У(х, у) (фиг. 4.20, а), выраженных через обобщенные функции. Чтобы получить выражения для напряженного состояния в этом случае нагружения, будем пользоваться записанным в виде формул (4.3.44) и (4.3.44') решением задачи для упругой плоскости, находящейся под действием объемных сил. При этом нужно потребовать, чтобы при у=0, т. е. на границе полуплоскости, напряжения отсутствовали. Чтобы освободиться от этих напряжений, рассмотрим упругую полуплоскость у^О, находящуюся под действием противоположно направленных нагрузок, величины которых равны отмеченным напряжениям. Обозначим эти нагрузки через т°Жу(л:) и о0^). Они получаются из решения задачи для упругой плоскости предельным переходом в смысле теории обобщенных функций
при у-^-VO. Искомое напряженное состояние в этом случае описывается соотношениями
а^х, у)=ип(х, уУХ^х, y)+ti12(x, y)*Y(х, у) —
—Уц(^, t/)*r°y(x) —^(х, </)*а°(х),
(4.3.87)
=и(х, У) = и21(х, у^Х^х, у) + и22(х, y)*Y (х, у) —
Фиг. 4.20.
^(х, у) —и3,(х, yyx^x, у) + из2(х, y^Y^x, у) —
— v31(x, у)*г°у(х)—^(х, у)*=у(х).(4.3.87')
Пусть, например, на упругое полупространство действует сосредоточенная сила F(FX, F^ (фиг. 4.20, б), приложенная в точке Л(х0, уоУ Можно выразить эту нагрузку через эквивалентные нагрузки (4.3.45). Учитывая формулы (4.3.46) и (4.3.46'), на границе получим
т°у (х) = Иш [F^! (X—Хо, y-yoHFg^^x-Xo, У-Уо^, у-»+о
(4.3.88)
0“(x) = lIm[FxH2i(x-Xo, у — УйНРу^х-^ У-У^\* У- + 0
Если ввести обозначения
uh (х — x0) = lim u2i (х — х0, у — у0\ у^+о
(Z=l, 2),(4.3.89)
uh (х — x0)=lim ual (х — х0, у — у^
У-+0
то можно записать соотношения, описывающие напряженное состояние в упругой полуплоскости, находящейся под действием внутренней сосредоточенной силы F, следующим образом:
^(^. y^ = FAuxx^x — xQ, y-y^-Du^x, y^uhix — Xo) —
^12(Л, y>uh(x—x0)]+Fi/[y12(x—x0, y—y^ —
Vn (x, ^^^(x —xo)—^^(x, t/)*«22(X —Xo)],
(4.3.90)
^ukx, уУ=Рх\игх^Х — Xo, y — y^ — D^x, y^uh^x—x^ —
1’22 (X, yVuhkX — Хо)] + Л,[м22(* — Xo, У — У^ —
1'21 (X, y)^«32(x —xo) —^(X, У)*«м(Х —Xo)],
Trytx, уА^Ех\и3^х — хй1 y — y^ —
i3i(x, f/H«3i ix —x0) —v32(x, у)*У21(х—х0)] +
-L^l"32(^-^0’ У — Уо) —
— i'3i (x, У) :И.32(Х-ХО) —^(x, y^uh^x — x0)]. (4.3.90')
Проделав указанные вычисления, в частности при Хо = О (что нисколько не умаляет общности), получим
Fx г 5 —v .
3 = —i- XН
4л I л2 + (у. + jy0)2
■ ^J(3-^v)^+4_(2j-v)^^^
[Х2 + (j/ + 'У0)2]2
16(1 + V) №У (» + Уд)23 +V ■
[х2 + to + 1У0)2]3 х2 + (у — У0)2
.2(1 + уХу-УЮ)2 ) , Fu f (7 —3v)y + (1 —5v)yp
[А2 + (^ — Ур)2]2 ] 4л I Jf2 + (у + у0)2
2 (у. + 'Уо)[(3 — у) у2 — 2 (3 + 5у) у рУ — 3 (1 + у) Ур] к2 + (У + Уо)2]2
(1 + Зу)(у —Уо) X2 +(у —Уо)2(1 + Зу)(у —Уо) X2 +(у —Уо)216(1 + У)УоУ (у. + у о)3 _к2 + (У + У0)2]3
(1 + Зу)(у —Уо) X2 +(у —Уо)2
(1 + Зу)(у —Уо) X2 +(у —Уо)2
2(1+ у)(У — У о)3 ]к2+(У-Уо)2]2 Г
(4.3.91)
I 1 — vа„ = —— х (и 4л I х2 + (у + у0)2
2 [(3 — у) у2 + 4уоу — (1 +у)Ур] 16 (1+у)уру (у + ур)2 . к2 + ('У+'Уо)2]2к2 + (У + 'У.о)2]3
I 1 —V2(1 + v)(y — Уо)2 | ■ Fy х ' А2 + (У — у0)2 к2 + (У — Уо)2] 2 J 4л
х I (1 — У)(У — У о) _ 16 (1 + у) уру (у + у0)3 _
t х2 + (У + у0)2[х2 + (|у + у0)2]3
_22yj-yoH(3-^v)y2--£flJ-^^_
[х2 + (У + Ур)2]2
(1 —у)(у —Уо)2(1 + у)(у — (Уо)3 )
•*2 + (У — Уо)2[х2 + (у - Уо)2]2 J ’
Fх |(5 — у) У + (3 + у) Уо хи 4л | х^ + (у + у0)2
2 (у + Уо)[(3 — V) у,2 + 2 (5 + 3v ) УоУ + (1 + V) Ур]
[х2 + (У + Уо)2]2
_ 16(1 + V) УрУ (у + Уо)3 _ (3 + У)(У — Ур) I
[Х2 + (у + (Уо)2]3 Х2 + (у - Ур)2 ~
, 2(1 +У)(у-Уо)31 , ^ х (1-у_
[х2 + ('У-,у0)2]2 J 4л I А2 + (у+Уо)2
_3[(3—v)y2-4^^-£H-v)(^_i6£+^
И + (У + Уо)2] 2[х2 + (У + У0)2]3
1 —у2(1 + у)(№—Уо)2 )(4.3 9 Г)
х2 + (у—у0)2к3 + (у — у о)2]2 /'' '
Динамические задачи для линейных упругих тел
Чтобы построить математическую модель динамической задачи для линейного упругого тела, будут рассмотрены некоторые особенности кинематики деформаций и теории напряжений с учетом закона Гука. Приведенные выше основные гипотезы должны быть дополнены и рассмотрены с учетом инерционных сил в предположении, что рассматриваемое тело находится в движении. В таком случае говорят, что внешние нагрузки находятся в динамическом равновесии.
Постановка пространственной задачи теории упругости в перемещениях
Гипотезы из разд. 4.3.1.1 и соотношения (4.3.1) — (4.3.3) справедливы и для динамических задач. Заметим только, что рассматриваемые величины явно зависят еще и от времени, т. е. и; = и;(хь х2, Хз; t) и e<j = etj (xi, х2, х3; 0 (i. /= 1, 2, 3).
Компоненты тензора напряжений а^яцДхь х2, Хз; t) определяются из уравнений движения
=(4.3.92)
где Ft = F^Xv, х2, хз; 0> Р — плотность материала. В случае когда имеет место некоторая вязкость, пропорциональная скорости, дифференциальный оператор р(<32/<3/2) заменяется оператором p(d2/d(2) +k(d/dt), где к — коэффициент вязкости.
К введенным выше упрощенным гипотезам, касающимся определяющих уравнений, прибавим еще одну гипотезу:
г) Скорость деформации тела не учитывается. Определяющие уравнения записываются в таком же виде; соотношения (4.3.5) — (4.3.5') остаются в силе.
Краевыми условиями для динамических задач являются условия на границе области и начальные условия. Условия на границе записываются в виде формул (4.3.7) или (4.3.7') и должны удовлетворяться при t^to, где /о— начальный момент времени. При /=/о условия имеют вид
илиилии^хг, х2.•^3’^ = и^хг, х2, х3),и, (м,Х2,f^ = U[ (Xj, ^2) Xj)(4.3.93)х2,-Y3;^о)==$Л/(^l’ "^2» *3)’(4.3.93')°ij^xhх2,Х3'^“ИДМ’ ^I -^зУи^хг, х2.•^3’^ = и^хг, х2, х3),и, (м,Х2,f^ = U[ (Xj, ^2) Xj)(4.3.93)х2,-Y3;^о)==$Л/(^l’ "^2» *3)’(4.3.93')°ij^xhх2,Х3'^“ИДМ’ ^I -^зУ
или
или
и^хг, х2.
•^3’
^ = и^хг, х2, х3),
и, (м,
Х2,
f^ = U[ (Xj, ^2) Xj)
(4.3.93)
х2,
-Y3;
^о)==$Л/(^l’ "^2» *3)’
(4.3.93')
°ij^xh
х2,
Х3'
^“ИДМ’ ^I -^зУ
и^хг, х2.
•^3’
^ = и^хг, х2, х3),
и, (м,
Х2,
f^ = U[ (Xj, ^2) Xj)
(4.3.93)
х2,
-Y3;
^о)==$Л/(^l’ "^2» *3)’
(4.3.93')
°ij^xh
х2,
Х3'
^“ИДМ’ ^I -^зУ
Система уравнений (4.3.1), (4.3.5) и (4.3.92) представляет собой систему уравнений динамической задачи теории упругости. Можно доказать, что эта система из 15 уравнений с 15 неизвестными всегда имеет решение, которое единственно при заданных краевых условиях 9.
Уравнения Ламе в перемещениях имеют вид
РПг^г 4"(^4_Р') Ы-ьГ1 4*^i—О (t —1> 2, 3), (4,3.94) где Иг — оператор Даламбера, определяемый соотношением (2.3.37'). Скорости распространения волн определяются по формулам
21 — V Е 21 Е , . о
<?i =с2 =, (4.3.95)
(l+v)(l-2v) р2(1 +v) р k
Эти скорости связаны между собой следующим образом:
2 2(1 V) 2 / 1 I 1\ 2f л о
Г1=Л_1С2=(1+__г)Г2,(4.3.96)
откуда получается, что Ci^c2y2. Учитывая формулу (4.3.96), можно легко показать, что между операторами Даламбера существует соотношение
2(l-v) □1=A+(l-2v) D2.2(l-v) □1=A+(l-2v) D2.(4.3.97)(4.3.97)
2(l-v) □1=A+(l-2v) D2.
2(l-v) □1=A+(l-2v) D2.
(4.3.97)
(4.3.97)
Предположив, что объемные силы отсутствуют, для поля перемещений получим'
«/ = -^(2л-2Фг) (/ = 1, 2, 3),(4.3.98)
а напряженное состояние определим по формуле
О;у=—^Ог^б/у-^-З^у— (®z,y4~ Фу./)»(4.3.99)
где функции Ф< = Ф<(л:|, х2, Хз; t) должны принадлежать классу С3 относительно пространственных координат и классу С2 относительно времени. Функции Ф, (Z=l, 2, 3) являются компонентами некоторого вектора Ф, удовлетворяющего уравнению распространения поперечных волн
□2Ф=0.(4.3.100)
Функция Q = Q(xi, х2. Хз; t) должна принадлежать классу С4 относительно всех своих переменных; она удовлетворяет уравнению■
^^ФуФ.(4.3.101)
Заметим, что соотношение (4.3.98) может быть записано в следующем векторном виде:
u=— (gradQ —2Ф).(4.3.98')
20
С помощью двух потенциальных функций перемещений (векторной и скалярной) дается постановка линейной динамической задачи теории упругости. Такое представление является полным для односвязных областей (любое поле перемещений, удовлетворяющее системе уравнений динамической упругости, представляется в таком виде). Оно обобщает представление Шефера для статического случая.
Если объемные силы ненулевые, то с помощью представлений (4.3.98) и (4.3.99) можно найти частное решение уравнений движения. Вектор Ф должен быть частным решением уравнения
2Ф = Р,(4.3,102)
а скаляр й— частным решением уравнения
iD22= —divF.(4.3.103)
— V
В случае консервативных объемных сил вида
F=grad%,(4.3.104)
где х=х(хь х^ х3; t) —функция класса С2 относительно пространственных переменных, частное решение для перемещений имеет вид
u=-^-grad«),(4.3.105)
а соответствующее напряженное состояние определяется по формулам
^=' fL2v ^u^a.j t, 7=1, 2, 3).(4.3.106)
Функция to = to(X|, х2, х3; /) должна принадлежать классу С3 относительно пространственных координат и классу С2 относительно времени. Если мы хотим удовлетворить и уравнениям совместности в напряжениях, то функция го должна принадлежать классу С4 относительно пространственных координат. Она является частным решением уравнения
П^ + ^^-Х^О.(4.3.107)
Используя результаты из разд. 2.3.2.2, можно записать частное решение уравнения (4.3.102) в виде
а частное решение уравнения (4.3.106) будет следующим:
В обоих случаях свертка соответствующих функций осуществляется по пространственным координатам.
(4.3.103)(4.3.103)Аналогично частное решение уравнения
(4.3.103)
(4.3.103)
можно записать в виде
2 = -1_4£-i2 = -1_4£-i11?2 L11?2 L
2 = -1_4£-i
2 = -1_4£-i
11
?2 L
11
?2 L
(4.3.110)
где свертка функций также относится к пространственным переменным.
Упругое пространство.
Фундаментальные решения
Рассмотрим упругое пространство под действием динамических нагрузок Fi=Fi^Xi, х2, х3; /) (фиг. 4.11). Используя нулевое продолжение влево этих функций, введем обобщенные функции
^•(Xi, х2, х3; /)=9(/)/,’z(xb х2, ху, t^ (Z=l, 2, 3).
(4.3.111)
Введем также обобщенные перемещения
и^Хх, х2, х3; /)=9 (/) щ (хь х2, х3\ i) (/ = 1, 2, 3).
(4.3.112)
Если при <о = О удовлетворяются начальные условия вида (4.3.93), то можно написать
4-и^Хх, х2, х3; t^-1-и^Хх, х2, х3; /) +
-Vu^Xx, х2, x3)8(t),
^-Ul<xx, x2, x3; ^—^и^Хх, x2, x3; /) +
+ «°(Xb x2, x3)8(/)+«?’(xb x2, х^б^),
—Щ(Х1, x2, x3; ^ = —-—щ(Хх, x2, x3; t\ ox jdxkox joxfc
Таким образом, уравнения Ламе (4.3.94) с учетом начальных условий записываются через обобщенные функции следующим образом:
^□г^; -К^Н-Р1)уj,ji Н--^/ Н~Р [U/S (/) -j-«/8 (^)] = 0 {i= 1, 2, 3).
(4.3Л13)
Применяя преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по пространственным координатам, получаем
fa <№ + Р^2) ^ tz [«/]] +fa+11) a^jF [М«;П ==F[Z[^]] + p(/>F[«?]-R^ (/=1, 2, 3),
где р — комплексная переменная, соответствующая преобразованию Лапласа, а а, (<=1, 2, 3) — комплексные переменные, соответствующие преобразованию Фурье. Умножая полученные уравнения на а< и суммируя по I, можно написать
1(X + 2ц) apih + р/?21(X + 2ц) apih + р/?2/ (аь а2, а3; р^=а,Р \Ь\й}\\=
1
(X + 2ц) apih + р/?2
1
(X + 2ц) apih + р/?2
«/^[^[^]Ц-р(^[^1+^[«/])]-
(4.3.114)
В таком случае для изображений будем иметь
F [^ VUl (Xb Х2> ^У ^)П— “ ~- [^* [^ [^/П +
№«* + Pl2
+ Р {PF [«°J+^ [«;]) — fa+t*) dif («!, а2, а3; ^)]
(/ = 1, 2, 3).(4.3.115)
Замечая, что
р—1 ГX + ц1
[ [(X + 2ц) а*аА + р/?2] (ца6а6 + р/?2) J
14лр^2/?14лр^2/?R _ _R_Cl g саR _ _R_Cl g са
1
4лр^2/?
1
4лр^2/?
R _ _R_
Cl g са
R _ _R_
Cl g са
где введены скорости распространения волн по формулам (4.3.95), и используя свойства свертки относительно операции дифференцирования, для изображений Лапла-
«zM- х2,«zM- х2,к1 =1, 2, 3).(4.3.117)к1 =1, 2, 3).(4.3.117)ut(xv х2, х3, t)=ut(xv х2, х3, t)=—— A"1 Z[Z-J*— е—— A"1 Z[Z-J*— еRR4л(?4л(?1 * —1 * —Р2 IRР2 IRRRR—Р —R—Р —А.И 3А.И 3
«zM- х2,
«zM- х2,
к1 =1, 2, 3).
(4.3.117)
к1 =1, 2, 3).
(4.3.117)
ut(xv х2, х3, t)=
ut(xv х2, х3, t)=
—— A"1 Z[Z-J*— е
—— A"1 Z[Z-J*— е
R
R
4л(?
4л(?
1 * —
1 * —
Р2 IR
Р2 IR
R
R
R
—Р —
R
—Р —
А.И 3
А.И 3
са обобщенных перемещений Получим выражение Цй-М, х2, х3; ^ = ^-{[£[7^] +
+p(^?+«?)]*^-e Р fi +^[(£0,;+
Н-Р^"/+«/)./]* — -Me р Cv -е Р
(4.3.116)
где свертка функций осуществляется относительно пространственных координат.
Используя результаты разд. 1.6.3.1, получим поле обобщенных перемещений в виде
х3;— е Р
3 1 4лс ([
В случае однородных (нулевых) начальных условий имеем
(/ = 1,2,3),(4.3.118)
о 1 ; /, R \ ।и t * — & I /1 -4-R I с2ро 1 ; /, R \ ।и t * — & I /1 -4-R I с2ра при отсутствии объемных сил можно написать
о 1 ; /, R \ ।и t * — & I /1 -4-
R I с2р
о 1 ; /, R \ ।и t * — & I /1 -4-
R I с2р
«1^, х2, х3; /) = -LfJ_ 4л |С2
1 s Л Я \] । о ( 1 Гд Л R \ R \11 т lit * О {*I I к ^7 i* х О I ГI — 01 Г11}
R к с2 Л I Я L к к с2 ЛЬ
I '0( 1 Г / v^ \(zR \ 11 I/;1О Ок
*ТиМ*\— Г)/Г Г(/ = 1,3).
I R Lk ci /+к ciME) (4.3.118')
Если начальные условия однородные, то используется представление решения через потенциалы. В таком случае соответствующие результаты будут выражаться через обобщенные функции, а производные в смысле обобщенных функций будут равны обычным производным. Пусть Р(/)—сосредоточенная сила, приложенная в начале координат. Можно написать
F ; = со&-^Р Ц^Цх^ х2, х3) (/=1, 2, 3), (4.3.119)
где cos р, (i=l, 2, 3)—направляющие косинусы вектора P(Z).
С помощью формул (4.3.108) и (4.3.110) находим
®i=—(/=1,2,3),
(4.3.120)
2 = —с2соз?,Р(/)д — (/-А]
2л и kCJ+ к с2/+]),/
где свертка функций осуществляется по времени. Таким образом, получим следующее поле обобщенных перемещений:
—cos ₽/
W (^)*,W (^)*,и^х^ х2, х3; t^=—— 4лО
W (^)*,
W (^)*,
(4.3.121)
где
Р^ = ^^Р^.Р^ = ^^Р^.(4.3.122)(4.3.122)
Р^ = ^^Р^.
Р^ = ^^Р^.
(4.3.122)
(4.3.122)
В частности, приВ частности, приР^=Р0Ъ^,Р^=Р0Ъ^,(4.3.123)(4.3.123)
В частности, при
В частности, при
Р^=Р0Ъ^,
Р^=Р0Ъ^,
(4.3.123)
(4.3.123)
т. е. в случае импульсной в начальный момент времени сосредоточенной силы, будем иметь
—Рл cos В; ( 1/ р \,
“i^- ^ х,; /)=—-—,-$(<_-)$„ +
I r2 — I— *} (z = l, 2, d).
I R I \ Cl/+\C2/+JJ,i;)
(4.3.124)
При Po=l получается фундаментальное решение в смысле теории обобщенных функций в виде тензора с компонентами
1 I 1/ R \
и,Лхх, х2, хл Р =1— 8[/——+
]"’4лО ( R к с2) 3
(4.3.125)(4.3.125)
(4.3.125)
(4.3.125)
Поле обобщенных перемещений, соответствующее произвольным объемным силам и неоднородным начальным условиям, в этом случае имеет вид
иДхг, х2, х3; fi^Uij^^Fj-V-
+ ?[mN) + ^8(/)]} (/ = 1, 2, 3),(4.3.126)
где свертка функций осуществляется по всем пере
менным.
Интересно отметить, что Сток в 1849 г. получил формулы (4.3.121) для случая, когда P^t) является обычной функцией, в виде
«1 (xXl х2, х3;«1 (xXl х2, х3;
«1 (xXl х2, х3;
«1 (xXl х2, х3;
С?С?«1«1У2(^1- Х2, ^з", ^=Т^ 4 л рРУ2(^1- Х2, ^з", ^=Т^ 4 л рРко 4ко 4хр (t-kR) d'kхр (t-kR) d'k(4.3.121')(4.3.121')
С?
С?
«1
«1
У2(^1- Х2, ^з", ^=Т^ 4 л рР
У2(^1- Х2, ^з", ^=Т^ 4 л рР
ко 4
ко 4
хр (t-kR) d'k
хр (t-kR) d'k
(4.3.121')
(4.3.121')
«3(xb х2, х3; /) = ^- 4P(Z-A?Р^-—) +
4Л?Р f2 \С\) с|С2 у
+ 3 f 'кР^-kR^dk ,
предполагая, что сила Р^ действует вдоль оси Охх.
Наконец, если в начальный момент мгновенно приложить в начале координат сосредоточенную силу и затем поддерживать эту силу постоянной, то можно написать
Р^=Р0Ц<\(4.3.127)
Для обобщенных перемещений получается выражение
—ч PQ cos Р /р \.
ui (xi> х2, ху f) =——— I— 8 и) §;; +
оЛи t А \^2 /
+У| (г = 1, 2, 3).
(4.3.128)
Рассмотрим действие вращательного сосредоточенного момента M(t) на упругое пространство в начале координат в плоскости с нормалью п. Начальные условия считаются однородными. Нагрузка, эквивалентная этому моменту, имеет вид
F(xb х2, х3; /)=
= —^- М (/) n X grad 8 (Xi, х2, х3).(4.3.129)
Замечая, что
и используя формулу (4.3.116), получаем
L\ui\ = — L\FA*—e Рсг1 n 4лО 1 R
Следовательно, поле обобщенных перемещений имеет вид
и№,х2, х3; /)=—^
где
М (/) = 6 (/) 44 (/).(4.3.131)
В случае импульсного в начальный момент центра вращений вида
Л4(/)=Л108(/)(4.3.132)
получим
u(Xi х2 х3; /) =—— n X grad — 8^/ ——YI. (4.3.133)
8лСL R \ с2 Л
Если в начальный момент времени к упругому пространству мгновенно приложить вращательный сосредоточенный момент и затем поддерживать его постоянным, то можно написать
44 (/) = Л4О9 (/).(4.3.132')
Для обобщенных перемещений в этом случае получим
и^, х2, х3; t^ —и^, х2, х3; t^ —Л40 — 8лОЛ40 — 8лО
и^, х2, х3; t^ —
и^, х2, х3; t^ —
Л40 — 8лО
Л40 — 8лО
Рассмотрим теперь случай пространственного центра расширения, эквивалентная нагрузка которого имеет вид
F(xh х2, х3; /)= —-^-ЛД/^габб^, х2, х3\ (4.3.134)
Таким образом вводится следующая обобщенная функция:
ад/)=9(/)ад/).(4.3.135)
Если начальные условия однородные, то воспользуемся формулами (4.3.118). Заметим, что
L\F-A*^e ’ -L\F-A*^e ’ --у L [ZJ(/)]-у L [ZJ(/)]
L\F-A*^e ’ -
L\F-A*^e ’ -
-у L [ZJ(/)]
-у L [ZJ(/)]
где Д — оператор Лапласа. Можно написать △ №=№YiU=UYig+/gaY. =
^/^g + g^/Y^/ig.i,(4.3.136)
так что
/_ 2L\_ JL/ _ R \
.1 p ck | P Ck / 1 \1P Ck I
Д —e \=e A—4A e 4-
\ Я /I R / R \/ 1
(
- R A e P c* (^=1, 2).
Здесь учтена формула (1.6.20) и
/— \- -5.
\/
-р —_Я_е C4R (^ = 1, 2)
где
R i==^., R .R i=:; (/=1, 2, 3)(4.3.137)
и
^R^RAi=^P + j^y- (4-3-138>
НоНо
Но
Но
ф(хп х2, х3)б(х1, х2, х^ = т>(0, 0, 0)6(хь х2, х3\
где ф— функция класса С°°. Используя формулу (1.6.20), получаем
' R' RR \
' R
' R
—» — ।/ 1 \
— е С2М| —1=0.
\R )
/ 1 \ I р Р ск | R,l (Р \ р Ск R
\ Я/,z \ AzЯ2 \ =к)
= J--P-eP 4 (£=1,2).
R1 chv ’
получить соотношениеполучить соотношениеИз предыдущих формул можно
получить соотношение
получить соотношение
Окончательно для поля обобщенных перемещений имеем
i^grad Г— Ds(^-—Л . (4.3.139)24л(1 —v)G\ С!/] k 'i^grad Г— Ds(^-—Л . (4.3.139)24л(1 —v)G\ С!/] k '
i^grad Г— Ds(^-—Л . (4.3.139)
24л(1 —v)G\ С!/] k '
i^grad Г— Ds(^-—Л . (4.3.139)
24л(1 —v)G\ С!/] k '
Этот результат можно получить и другим путем. Если воспользоваться представлением перемещений через потенциальные функции, приведенным в разд. 4.3.2.1, и заметить, что эквивалентные нагрузки (4.3.134) являются консервативными, то получается выражение
х=—^ОД^Хх!, х2, х3).(4.3.140)
В этом случае
О) =
1 — 2у
12л (1 —v)
(4.3.141)
что приводит к обобщенным перемещениям (4.3.139).
В случае импульсного в начальный момент пространственного центра расширения, выраженного в виде
DS(/) = Z)O8(/),(4.3.142)
получаем (1 — 2v) Do , Г 1 „ Г, R \"| м о i и =—''—-grad — 8 /.(4.3.143)
24n(l-v)G[ R ( сх /J
Когда пространственный центр расширения прикладывается мгновенно и затем поддерживается постоянным, т. е. имеет вид
DS^ = DOB^,(4.3.142')
можно написать
(!—-2v)£>o -gradГ—. (4.3.143') 24л(1 —v)G\«1 Л
Аналогично можно рассматривать и другие случаи нагружения упругого пространства сосредоточенными или распределенными нагрузками.
Постановка плоской задачи теории упругости в перемещениях
Плоская задача теории упругости была определена в разд. 4.3.1.3. С учетом предположений, сделанных в разд. 4.3.2.1 для динамических задач, в случае плоского деформированного состояния уравнения Ламе принимают вид
л।। х д [ ди . ди \ v д^и
рДы -4- (л -4- р)(I -4- X = р,
1 v дх \ дх ~ дудР
(4.3.144)
ду к дх ду Г № ’
где и, v — компоненты вектора перемещений (компонен-
та ty = 0) в ортонормированной системе координат Охуг, а X, У — составляющие объемных сил.
Для постановки плоской задачи теории упругости в перемещениях граничные условия запишем в следующем виде: п п
и=и, v=v,(4.3.145)
я я
где и и и — перемещения точки границы с внешней нормалью п (см. фиг. 4.12), а начальные условия — как
и^х, у, t^ = u^x, у\ v(x, у, t^=-v0^x, у), (4.3.146)
и(х, у; /о) = Но(а:, у), -и^х, у; ^=г’0^х, у) (4.3.146') при t=t0.
В напряжениях задача ставится аналогичным образом.
Упругая плоскость. Фундаментальные решения
Рассмотрим упругую плоскость, находящуюся под действием динамических нагрузок Х = Х(х, у, t), Y=Y(x, у; t) (см. фиг. 4.13). Воспользуемся начальными условиями (4.3.146), (4.3.146') при ^о = О.
Для решения задачи введем обобщенные функции
X (х, у; /)=6(/) АДх, у; t\ Y (х, у; ^ = 9 ^Y (х, у; /),
(4.3.147) полученные нулевым продолжением влево. Аналогично вводятся и обобщенные перемещения
и(х, у; О=0(^)И(Л, у; t\ ^(^ у; ^)—6(/)v(x, у, ty
(4.3.148)
Уравнения Ламе в обобщенных функциях имеют вид (см. разд. 4.3.2.2)
у. Аы-f- (X -{-р.) -^- ^-^-+ ^ ’^ "Vх + р[м08 (/) + «оВ (/)]=0, (4.3.149)
^+(X + р) -A ( A +) + у + Р [Уо8 ^ + Т)^ (/)]=о
О'у- \ ОХ Оу /
и содержат начальные условия.
Применяя к этим уравнениям преобразование Лапласа по времени и преобразование Фурье по координатам, получаем
[^ («2 + Р2) + Р^2] F [А [й]] + (X + Р) а (aF \L [й]] +W \L H])=F [А [Г]] + ? {pF [«0]+F [м0]),[Р (аЧ Л + 41 F \L Й] + (X + р) '^{aF {L [й]] + ^F [£ Й1Ч^^^ЙП+р^Ы+^ЙП.
где р— комплексная величина, соответствующая преобразованию Лапласа, а а и 0— комплексные величины, соответствующие преобразованию Фурье.
Умножим первое уравнение на а, второе — на 0 и просуммируем их. В результате получим
/(а, 0; р) =aF [А [«]] + р/7 [£ [у]] =
^F №]]Wm4^F №]]Wm41
^F №]]Wm4
^F №]]Wm4
(X + 2^) (a2 + ₽2) -j- PjP2
+ Р \Р {^F [«о]Ч^ [^o]) + а/7 [й0] + ^F ЙИЬ (4.3.150)
Таким образом, для изображений имеем выражения
А [1 Ml=—4^7 lF 1ЧАЦ++ р2) + рр2
+p(^[«ol+/:'[«o])-(x+ii)a/(a, ?; ^L
(4.3.151)
F [£ Й1 -, 2 [^ \L [й] +
^ («2 + Р2) + VP2
+р(^['уо]+^Ы)-(х+11)Р/(а, ?; z7)]-
Учитывая результаты из разд. 1.6.2 и соотношение
[(X + 2р.) («2 + Р2) + рр2] [„, (И2 + ₽2) + РР2] ~
pn2 Ipn2pn2 I ,
1«2 + ?24--ггт-«2 + 32 + —
можно написать
£ Й =+ Р+ “о)] * ^0 Й — I +
2Л.и (\^2 /
+с= у У1 й+'<^+;у у £х
ЧЧУУМУ)])’
(4.3.152)
L Й = ^{[ЛЛ + р(^о + ЧУ У)(1 —Н
+с1Г^-£[х]+А£[к]+?(^+«;)1. ±.АХ [ ОХоуJ р2 оу
L \ Ci ) к C2/1J где
е“(л:, у)=-^-н0(х, у) + -^-'У0(х, у),(4.3.153)
ох
ёр(.х, у) = -^-ы0(х, у) + —^(-г. у)- (4.3.153')
Здесь 8Р° — деформация в плоскости, а ер° — скорость этой деформации.
Используя результаты из разд. 1.6.3.1 и формулы
Л№ fer^L-VKjpfer^.W--^-, (4.3.154)
<2 — ^2Г2
f^i; kr)=L-^[pK0(pkr)]=(4.3.154')
У (/2 —^2Г2)3
/_1 (/; ^г)=£-1 ^— /С0(^г)^=б (/ — ^г)1п (/ уУ/2—k2^),
(4.3.155)
/-г№ kr^L"^/-г№ kr^L"^^К<Аркг^=^К<Аркг^=
/-г№ kr^L"^
/-г№ kr^L"^
^К<Аркг^=
^К<Аркг^=
= 6(/-kr) [/In(/ + V? - №r^-V^^T^\,(4.3.155')
/-з№ kr^=L~x ^— Кй (/^ ==±-б^-кг') [(г^+^г2)In(/ +Vt^— №r^ —
-StV^-k^],(4.3.155")
можно записать обобщенные перемещения в виде
и^д;и^д;2лО L\ C2/J2лО L\ C2/J
и^д;
и^д;
2лО L\ C2/J
2лО L\ C2/J
Например, при однородных начальных условиях получим
+'=И£ w А ^ [к, (, ^-Цр ^)]]+
[ Д2 дхдуД. ° V ci /0 V с2 /
(4.3.157)
2nG ( L\ с2 / J J
4-с! к-1 к й]* А к0 (р ^-к0 (р +
I L Р^ дхду, [\ ci /\ с2
+£-'[£ [Р]. А -Д [К, (р Д) - ^(/>^)11!.LL \ ci \ со /J
Если объемные силы равны нулю, а начальные условия являются ненулевыми, то
Цх, у; ^)=-L(-l-k0*/ifc —WWofc +
2Л ( с2 L \ С2 /\ с2 / J
+ е“*4-Г/_2к Л)-/_2к(4.3.158)
дх L \ ci /\ с2
ч)кх' У' "г ^к р; — +
Со I \ С2 )
626 ^ — кг)626 ^ — кг)V<tl — №r'^(4.3.159)362/6 kt — кг)У kt1 — k^)5(4.3.159')V<tl — №r'^(4.3.159)362/6 kt — кг)У kt1 — k^)5(4.3.159')1 д x дх1 д x дх1 дх дх1 дх дх/_Х^,kr) =У ду 626 kt — кг)/_Х^,kr) =У ду 626 kt — кг)ti — k^+tV^—k^jy дуtti — k^+tV^—k^jy дуt(4.3.160)(4.3.160)626 ki — кг)626 ki — кг)1 дх дх1 дх дх+ У/2 — 62Г2(4.3.160')+ У/2 — 62Г2(4.3.160')у дуу дуkr) =kr) == ^-8(/-Лг)[21п (/4-У/2_^2г2)^= ^-8(/-Лг)[21п (/4-У/2_^2г2)^ууt + VfZ — ktrit + VfZ — ktri
626 ^ — кг)
626 ^ — кг)
V<tl — №r'^
(4.3.159)
362/6 kt — кг)
У kt1 — k^)5
(4.3.159')
V<tl — №r'^
(4.3.159)
362/6 kt — кг)
У kt1 — k^)5
(4.3.159')
1 д x дх
1 д x дх
1 д
х дх
1 д
х дх
/_Х^,kr) =
У ду 626 kt — кг)
/_Х^,kr) =
У ду 626 kt — кг)
ti — k^+tV^—k^
jy дуt
ti — k^+tV^—k^
jy дуt
(4.3.160)
(4.3.160)
626 ki — кг)
626 ki — кг)
1 д
х дх
1 д
х дх
+ У/2 — 62Г2
(4.3.160')
+ У/2 — 62Г2
(4.3.160')
у ду
у ду
kr) =
kr) =
= ^-8(/-Лг)[21п (/4-У/2_^2г2)^
= ^-8(/-Лг)[21п (/4-У/2_^2г2)^
у
у
t + VfZ — ktri
t + VfZ — ktri
Отметим соотношения
—-у-Л^ ^) = -4-/о^ Аг)
х дху ду
— ~ /1 ^ UA=—-—fxkt\ fer^ х оху dyJ и ’
(4.3.160")
Допустим, что в начале координат на упругой плоскости вдоль оси Ох действует сосредоточенная сила Р(0, эквивалентная нагрузка которой имеет вид
Х^х, у; t)=7>^ В (х, у), У (х, у; /)=0, Р(^)=6(/)Р(/).
(4.3.161)
В этом случае перемещения определяются соотношениямиВ этом случае перемещения определяются соотношениями
В этом случае перемещения определяются соотношениями
В этом случае перемещения определяются соотношениями
+С!^У(Л7Г)-^(У)]Ь 14-зл62>
■У(х, у; /) = —Р(/)»
ClClС2С22л р (z) дхду
Cl
Cl
С2
С2
В частном случае (4.3.123), когда в начальный момент времени прикладывается импульс, обобщенные перемещения принимают вид
и^х, у; t^ = JMfQU —Н
2Ли (\ С2 /
+ с^Г/_2(/; —j —/_2р; —, (4.3.163) 5x2 [\ С1 )\ с2 /J J
— ,,,Ра 52 Г ,/г \,(,Г \1
г>(г у t\=—у/-21^ — — /-2 и; — •
k72лр дхду [\kC2/J
Если в начальный момент времени к плоскости мгновенно прикладывается сосредоточенная сила (4.3.127), которая затем поддерживается постоянной, то для обобщенных перемещений получаются выражения
й(х, у; /) = -^-(/_if/;+
2nG I \ С2 /
t\t\с2с2(4.3.164)
t\
t\
с2
с2
2лр дхду L \ С1
Важно заметить, что
-^-/_2(/; Аг) =
ОХ2
= 6 (/ — Аг)= 6 (/ — Аг)2/ (/2 — &2Г2) + (2/2 _ £2Г2) V14— кМ(4.3.165)2/ (/2 — &2Г2) + (2/2 _ £2Г2) V14— кМ(4.3.165)№ (/2 — £2^2 + / ^2 /г2г2)
= 6 (/ — Аг)
= 6 (/ — Аг)
2/ (/2 — &2Г2) + (2/2 _ £2Г2) V14— кМ
(4.3.165)
2/ (/2 — &2Г2) + (2/2 _ £2Г2) V14— кМ
(4.3.165)
-^— /-гИ\ kr) =
№ (/2-й2х2 + / //2_Й2Г2) = 6 (/ - Аг) .
2/ (/2 _ ^2Г2) + (2/2 — ^2Г2) У f2 — №Г2
—/_2 (/; Аг) =
дхду J v 1
=^Ц-кг^ху _(4.3.165')
2/ (/2 — &2r2) + (2/2 — h^ У fl —kW
^f-^ кг^^-к^-кг^ ^Mtyyp-kVV
(4.3.166)(4.3.166)X2—£2
(4.3.166)
(4.3.166)
2/2 — *2r2 + 2/ ]//2 — А2Г2
тт /-з№ ^)=vkMt-kr^WtW^-^W oy^j2
+4 ^2xl-yl -+ Я >
2/2 — А2г2 + 2/]//2— Д2г2_
М \1 — кЛ.
^^22/2 — Й2Г2 + 2/ У/2 — £2r2
(4.3.166')
Пусть на упругую плоскость в начале координат действует вращательный сосредоточенный момент М(/) (см. фиг. 4.15), эквивалентная нагрузка которого имеет вид
Х^х, у, t^ = ^-M^у>>'
2 оу
(4.3.167)
Y^x, у; ^= — -1-М^-2-6(х, уу
Предполагая начальные условия однородными и замечая, что
_5_/.[Л']_|__^_£Г}7]==0,дх ' ау, 1 J
можно записать обобщенные перемещения в виде
и у, у; f)=—М (/) * — /0 f),4nG v ЧП ду с2 /
v(x, у; /) =v(x, у; /) =4лб “>4лб “>где использована обобщенная функция (4.3.131).
v(x, у; /) =
v(x, у; /) =
4лб “>
4лб “>
Если в начальный момент прикладывается импульс, определяемый соотношением (4.3.132), то будем иметь
и (х, у; /)и (х, у; /)(4.3.169)(4.3.169)v (х, у; /)=v (х, у; /)=^nG дх \с*2 /^nG дх \с*2 /Мо д , L г \4лО ду 0 \ ’ С2 / ’
и (х, у; /)
и (х, у; /)
(4.3.169)
(4.3.169)
v (х, у; /)=
v (х, у; /)=
^nG дх \с*2 /
^nG дх \с*2 /
В случае когда вращательный сосредоточенный момент мгновенно прикладывается в начале координат и затем поддерживается постоянным, т. е. имеет вид (4.3.132'), получаем поле обобщенных перемещений
у(х, у; ^) =у(х, у; ^) =« х, у; /)=—тг« х, у; /)=—тг(4.3.170)(4.3.170)м04л(?м04л(?
у(х, у; ^) =
у(х, у; ^) =
« х, у; /)=—тг
« х, у; /)=—тг
(4.3.170)
(4.3.170)
м0
4л(?
м0
4л(?
Введем матрицу фундаментальных решений
и матрицыи матрицы«12 (х, у; f) и^^х, у; t)«12 (х, у; f) и^^х, у; t){£/} __ («и (х, у, t) l«2i (х, у; С{£/} __ («и (х, у, t) l«2i (х, у; С(4.3.171)(4.3.172)(4.3.171)(4.3.172)
и матрицы
и матрицы
«12 (х, у; f) и^^х, у; t)
«12 (х, у; f) и^^х, у; t)
{£/} __ («и (х, у, t) l«2i (х, у; С
{£/} __ («и (х, у, t) l«2i (х, у; С
(4.3.171)
(4.3.172)
(4.3.171)
(4.3.172)
Тогда поле обобщенных перемещений будет определяться формулой
{«} = ((7}*(Qb{«} = ((7}*(Qb(4.3.173)(4.3.173)
{«} = ((7}*(Qb
{«} = ((7}*(Qb
(4.3.173)
(4.3.173)
С помощью формул (4.3.163), в которых Ро—1, и формул, соответствующих случаю, когда сосредоточенная сила действует вдоль оси Оу, получим элементы матри-
цы фундаментальных решений в виде
f г \। 2 д2 Г ,Л. г \, Гг Nil
иц=-— /о /; — +г2—- /-2р; — -/_2и; —.
2лО I.V С2 / OX2 L\с1/\с2/_|)
(4.3.174)
Ы22Ы22
Ы22
Ы22
и12=и21= —д2_\^ L2L\1. (4.3.174')
1221 2лР dxdy [ 4 J Л c2/J
Результаты, соответствующие напряженному состоянию, получаются аналогичным образом.
Задачи линейной вязкоупругости
Общие результаты для одномерного случая
Если в твердом деформируемом теле наряду с упругими свойствами проявляются и вязкие свойства, то говорят, что рассматриваемое тело является вязкоупругим; соответствующие определяющие уравнения в этом случае будут включать зависимость и от времени. Для одномерного линейного вязкоупругого тела между напряжением о и деформацией е, зависящими от времени, можно записать дифференциальное соотношение вида
(4-зд75) \ dt J \ dt j
где Р и Q — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, характеризующие рассматриваемое вязкоупругое тело.
Реологические свойства вязкоупругого тела могут быть описаны с помощью функций ползучести и релаксации. Эти функции определяются соотношениями
— = =о), ^^Ш ео). (4.3.176) °0 Е0
где сто и ео — напряжение и деформация, соответствующие начальному моменту времени, когда к вязкоупруго- 14-3677
му телу, находящемуся в покое, прикладывается постоянная нагрузка. В более общем случае для одномерного вязкоупругого тела можно написать интегральные соотношения Больцмана
а(<) = С ^-^-^(f — X)dX,
(4.3.177)
^1^1 <р (/ _ т) dx. di^1^1 <р (/ _ т) dx. di
^1^1 <р (/ _ т) dx. di
^1^1 <р (/ _ т) dx. di
Если 6 — функция Хевисайда, то 6(/—т) =0 при т>1. Тогда
^^^ f ^Ht-x^t-x^dx= at J dx
tt^-^<t-x^dx=a^.di^-^<t-x^dx=a^.di
t
t
^-^<t-x^dx=a^.
di
^-^<t-x^dx=a^.
di
Отсюда следует
ииdtdt, da8 = 0® * ‘ dt, da8 = 0® * ‘ dt(4.3.178)(4.3.178')(4.3.178)(4.3.178')
и
и
dt
dt
, da
8 = 0® * ‘ dt
, da
8 = 0® * ‘ dt
(4.3.178)
(4.3.178')
(4.3.178)
(4.3.178')
Чтобы записать уравнения (4.3.178) и (4.3.178') в пространстве обобщенных функций, предположим, что а и е являются обобщенными функциями с носителями в 7?+=[0, оо). Следовательно, вязкоупругое тело находится в естественном состоянии (а = е = 0) при /^0. В этом случае <р и Ф также являются обобщенными функциями, а полученные формулы принимают вид
а = ф *а = ф *4гг/ф
а = ф *
а = ф *
= 8 * —— .dtdt ’
(4.3.179') dt dt
где а, г, ср, феЛД.
Таким образом, при указанных выше условиях соотношения (4.3.179) и (4.3.179х) являются обобщением соотношений Больцмана в пространстве обобщенных функций. Эти соотношения образуют систему из двух уравнений в алгебре со сверткой К'+ относительно неизвестных ст и е. В частности, при
= М = =06№, 3W = Eo6W(4.3.180)
получаем
а=ф* ео8 = еоф, е = ср*ао8 = аоф,(4.3.181)
где д — обобщенная функция Дирака. Таким образом, мы приходим к формулам (4.3.176).
Теорема 4.3.1. Если при /^0 одномерное линейное вязкоупругое тело находится в естественном состоянии (ст=е = 0), то обобщенные функции ползучести и релаксации удовлетворяют соотношению
<р*ф=/+=/6(/).(4.3.182)
Действительно, исключая е из формул (4.3.179) и (4.3.179х), получаем
а * [8 — (ср * ф)"]=0.
Заметим, что обобщенные функции ф и ф имеют носители в /?+ и свертка ф * ф существует. Так как обобщенные функции ст и е тоже имеют носители в R+, полученное соотношение является уравнением в свертках в K.V Учитывая, что ст=/=0, а К'+ не имеет делителей нуля, получаем
(ср*'ф)"=8.(4.3.183)
Если теперь ввести фундаментальное решение, соответствующее оператору d^ldt2 в К'+, то получим соотношение (4.3.182).
14*
Соотношение (4.3.183) может быть записано в виде
(4.3.183')(4.3.183")(4.3.183')(4.3.183")ср *6"=8, ф*ср" = 8,ср' * О' = 8.
(4.3.183')
(4.3.183")
(4.3.183')
(4.3.183")
Таким образом, замечаем, что обобщенные функции ф и ф, а также их производные первого порядка обратимы в алгебре со сверткой К'+; другими словами,
ср-^ф", ф-1 = <р",(4.3.184)
(<р')-1=ф', (ф';-’—ср'.(4.3.184')
С помощью формул (4.3.179) и (4.3.179') можно получить общие выражения для обобщенных функций ползучести и релаксации, соответствующих вязкоупругому телу, описанному определяющим уравнением (4.3.175).
Теорема 4.3.2. Если одномерное линейное вязкоупругое тело находится при /^0 в естественном состоянии (о = = е = 0) и определяющее уравнение имеет вид (4.3.175), то обобщенные функции ползучести и релаксации определяются соотношениями
ср (/) = 6 (/) * Р (Е* (/) = Е* (/) * Р (А-) 6 (/), \ at ]\ at /
(4.3.185)
Ф ю=е м * q^=£р W * Q 8 ^*
где Ep(t), Eq(t)—фундаментальные решения для операторов P(dldt), Q(d/dt) соответственно в алгебре со сверткой К'+.
Действительно, исходя из соотношений (4.3.175), (4.3.179) и (4.3.179'), получаем
\ at )\ at j
Следовательно,
p(^)o)=q(4-N)’
\ at I\ at /
так как алгебра K'+ не имеет делителей нуля.
Из того что £р является фундаментальным решением оператора P(d/d0 в К'+, следует
(/) = 8(^
a £pZ)(0)=0 (/=0, 1, 2,..., к-2), £^-1) (0)= 1/а0, где к — порядок оператора Р, а «о — коэффициент при старшей производной. Таким образом, имеем
Р № * ^р W = Q £р (/)=f (/).
Фундаментальным решением для оператора dfdt в /С+ является обобщенная функция Хевисайда; отсюда следует справедливость второй из формул (4.3.185); первая формула (4.3.185) получается аналогичным образом.
Применения
Если рассматривать вязкоупругую модель Кельвина, то определяющее уравнение получается в виде
= (/) = £гМ + т]-^-,(4.3.186)
dt
где Е-—модуль упругости, а ц— коэффициент вязкости. Следовательно,
А-^Е.
\ dt )’( dt / dt 1
Фундаментальные решения в К'^ имеют вид
£Р(/) = 8(/), Eq (/)=— 6<^е 4 ,(4.3.187)
и с помощью соотношений (4.3.185) можно получить
<Р (/)=-L е (/)е 1 *е(<)=2-6(т 1-е ■ у
(4.3.188) ф (t') = 6 (/) * к А- _|_ М 8 (/)=п8 ^ 4.Е9 (/).
Замечая, что
6(/)*6№=/+, 9(/)*6(/)е 71 = —6(/) 1 —е т‘
5 V
можно проверить справедливость соотношения (4.3.182).
Выражения для нормального напряжения и линейной деформации принимают вид
«(/) = г0[Т)8(/) + £6(/)],
(4.3.188')
/- — А
^)=^-еШ1-е L
Первая из полученных формул показывает, что в момент появления линейной деформации во напряжение о(/) = еоф (/) стремится к бесконечности. Действительно, благодаря вязкоупругим свойствам тело не может мгновенно получить конечную величину деформации при мгновенном изменении напряжения на конечную величину.
Для вязкоупругой модели Максвелла определяющее уравнение записывается в виде
di Е at 1)1 ’
где дифференциальные операторы имеют следующие выражения:
pf— ) = -——, Q ( —. (4.3.189)
\ di ) Е di ц \ di ) di
Фундаментальными решениями в К'+ будут
— — t
Ef(f)=E9(t)e r- , fQ№ = 6№.(4.3.190)
Отсюда следует
<р w=e w *- W)6 w+
\ Е di ц / Е1]
(4.3.191)
t-At
^=Е6$е 71 *^1-_=ЕЦПе '■ .
Замечая, что
^+*9(/)е 71 '
и учитывая приведенные выше другие соотношения, можно легко проверить справедливость соотношения (4.3.182).
В этом случае выражения для нормального напряжения и линейной деформации принимают вид
a (/)=feo0 ^е Т| ,a (/)=feo0 ^е Т| ,(4.3.191')(4.3.191')
a (/)=feo0 ^е Т| ,
a (/)=feo0 ^е Т| ,
(4.3.191')
(4.3.191')
ГЛАВА 5
Применения теории обобщенных функций в физике
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ В АКУСТИКЕ
Эффект Доплера для одномерной акустической волны
Классический случай
Эффект Доплера заключается в изменении периода колебаний (или частоты), регистрируемого приемником, когда источник (или приемник) движется относительно среды.
Если акустическая волна распространяется в одном направлении (например, вдоль оси Ох) в изотропной, однородной, линейной упругой среде, то дифференциальное уравнение ее распространения имеет вид
с2 (5 11)
где с — скорость распространения волны в рассматриваемой среде, а м(х; () ■—смещение частиц среды. В случае продольных колебаний
(5.1.2)
где р — плотность, а Е — модуль упругости среды. Для поперечных колебаний уравнение (5.1.1) описывает поведение струны *, причем скорость распространения поперечных волн
См. сноску на стр. 342. — Прим. ред.
где Т— постоянное натяжение, направленное по касательной к деформированной струне, a m — масса единицы длины струны.
Для двумерных или трехмерных случаев имеет место уравнение
сЧи—^=0, (5.1.3)
где А — двумерный или трехмерный оператор Лапласа. Исследование таких уравнений гиперболического типа, включая определение соответствующих фундаментальным решений, проводилось в разд. 2.3.2.2.
Если с — скорость распространения упругой волны, и— скорость источника звука, а и— скорость приемника, то между этими величинами, частотой источника / и частотой /', регистрированной приемником, существует соотношение
/=—Д.1.4) с — и
Предполагается, что источник излучает колебания с периодом Т, т. е. с частотой /=1/Т = и/2л, а приемник регистрирует их с периодом Т', т. е. с частотой ^'=\1Т = = т72л, где и и о/— соответствующие круговые частоты. Соотношение (5.1.4) представляет собой математическое выражение эффекта Доплера. Отметим, что в этом соотношении скорость и считается положительной, если источник приближается к приемнику, и отрицательной, если он удаляется от него. Это же замечание относится и к скорости и.
Анизотропный случай
Обозначив через Ci и с2 соответственно скорости распространения акустической одномерной волны вправо и влево и предположив, что при распространении волн энергия не теряется (вся кинетическая энергия превращается в потенциальную и наоборот), получим дифференциальное уравнение распространения акустической волны в упругой среде в следующем виде:
И]с2— «(л; /)=0.(о.1.5)
at 1 ax )\at 2 эх) кk
Тот факт, что распространение акустической волны происходит неодинаково в разных направлениях, объясняется некоторой анизотропностью среды). Поэтому будем считать, что рассматриваемая волна распространяется в анизотропной среде.
оdtоdtЕсли учитывать влияние внешних воздействий, то уравнение (5.1.5) принимает вид
оdt
оdt
t^=X^x\ t), (5.1.5') дх J \ at ox /
где Х^х; I)—величины, пропорциональные возмущающим силам. Такой случай может иметь место, например, когда акустическая волна распространяется в атмосфере при ветре.
Эффект Доплера при ветре
Общие положения
Для случая распространения акустической волны в атмосфере при ветре можно использовать уравнение (5.1.5') распространения акустической одномерной волны в анизотропной среде.
Предположим, что среда, в которой распространяется акустическая волна, является упругой и анизотропной. Обозначим через с скорость распространения одномерной акустической волны, а через а) — скорость ветра.
Если волна распространяется по ветру, то ее скорость
с1 = сЦ-чзу,(5.1.6)
а если она распространяется против ветра, то ее скорость
(5.1.6')(5.1.6')сг=с — w.
(5.1.6')
(5.1.6')
Следовательно, дифференциальное уравнение распространения акустических одномерных волн в атмосфере с
учетом скорости w ветра имеет вид
——(ск’) —— 1Г —(с—ту)-^—1 и (х; /) = X (х; t).
dt ' дх J L dtdx J '
"(5.1.7)
С помощью этого уравнения можно исследовать эффект Доплера для рассматриваемого случая распространения акустических волн. Для этого предположим, что точечный источник, который излучает колебания с частотой / = ©/2л, равномерно перемещается с постоянной скоростью v. Перемещение акустического точечного источника начинается при ^ = 0 в положительном направлении оси Ох, в котором распространяется волна. В этом случае интенсивность акустического источника обусловливается внешней силой, пропорциональной c2e’“J. Можно написать
X (х; 1)=с2е!в,<Цх—иГ)хЦГ), (5.1.7')
где 6(0 — обобщенная функция Хевисайда, 6 (%) — обобщенная функция Дирака, а знак «X» означает прямое произведение.
Из того что источник перемещается равномерно со скоростью у>0 при ^0, следует, что обобщенная функция Дирака д(х—и0 сосредоточена в точке x = ut^0 на оси Ох, т. е. на полуоси х^О. Носителем 6(0 является полупрямая ^^0. Следовательно, обе рассматриваемые обобщенные функции допускают преобразование Лапласа соответственно по х и по I.
Исследование дифференциального уравнения
Будем обозначать через р и q комплексные переменные, соответствующие х и t, после преобразования Лапласа. Последовательно применяя это преобразование по х и по t к уравнениям (5.1.7) и (5.1.7'), получим
[Д + 'аОР+^ПД — ^р — q\u^p, q) =-—-
q + vp— и»
(5.1.8)
где учтены соотношения (1.5.68) и (1.5.76). Следовательно,
[(с + «О р + 9] [(с — да) р — 9] [vp — № + g]
__ -А (р)। В(Р) । С (д)^ 2 0)
9 —919 — 929 — 93 ’' *
где
^i=— P^-V^Y <к = Р(с — та), q^b — Dp (5.1.9') и
А (р)=-,
2д [д (с + да — v) + /со]
В (р) =-,(5.1.9")
2д [д (с — да + v)— /со]
С (р) =.
[ д (с + да — у) + /со] [д (с — да + у ) — /<•>]
Применяя обратное преобразование Лапласа по переменной q, получаем
и (р) = [Л (р) е9^ 4- В (^) е^ + С (р) е«3<] 9 (/) =
= Л (/?) 9 (/) е~Р<-с^‘ + В (р) 0 (/) е^”™"11 +
+ C(jD)0(/)e(/<"-yp)Z.
С помощью формулы (1.5.72) и обратного преобразования Лапласа по переменнойр получим
и(х; /) = 9 (/) Л, [х — (с-)-®)/] +
0 (/) Вх [х-|- (с - та) /] -|- 0 (/) Ct (х - у/) е'”', (5.1.10) где введены обозначения
Аг (x) = Z-i [Л (р)], Вх (x)=L-^ [5 (р)],
C1(x)=A-i[C(p)].(5.1.10')
Исходя из формул (5.1.9"), можно написать Дгр^^ЧРк^АЗРк, В(р) = ^Р± + ^ ,
Р Р—Р1РР — Р2
С^=£З^^СЧЙ_ ,(5.1.11)
р — Ра Р —Pi где
р1 = р^— (5.1.1Г)7173 с + да — v74 с — да + v 1
и
А'=В"=С'=—2i™ ’
(5.1.11")
Л"=5'=:С" =— .2/ш
Следовательно, //ш 1
Bdx)=(5.1.12) 2iw \/
21ш\/
— [x—(c + W) t ]c+®>—z> 1— [x—(c + W) t ]c+®>—z> 1[x+(c—o>) /](J. (5.1.13)[x+(c—o>) /](J. (5.1.13)Таким образом, выражение (5.1.10) принимает вид и (х; /) = -^т^- ^6 [х — (с -[■ w) И — 9 Iх + (^ — ^ ^] +
— [x—(c + W) t ]
c+®>—z> 1
— [x—(c + W) t ]
c+®>—z> 1
[x+(c—o>) /](
J. (5.1.13)
[x+(c—o>) /](
J. (5.1.13)
4-{9(х — vf} — 9 [х — (с4-®’) i'll е ia> — [6(х —у/) —6[х4-(с—w) /]} ес-таА
С помощью этого результата можно получить различные частные решения.
Предположим, что х>0, />0, w<c и u<c+w = ci. Последнее условие показывает, что скорость акустического источника меньше скорости волны в направлении движения источника (направление по ветру). С помощью формул Эйлера (2.3.83) и (2.3.83х) для действительной части выражения (5.1.13) можно написать
оои (х; ^) —и (х; ^) —С sin —(с 4-да)/]С sin —(с 4-да)/]2ш2шс .sinс .sinс + ® — V щ [/ + (с — да) /] С — W + Vс + ® — V щ [/ + (с — да) /] С — W + Vпри ,с + ®Vпри /> — .’ (5.1.14)при ,с + ®Vпри /> — .’ (5.1.14)
о
о
и (х; ^) —
и (х; ^) —
С sin —(с 4-да)/]
С sin —(с 4-да)/]
2ш
2ш
с .sin
с .sin
с + ® — V щ [/ + (с — да) /] С — W + V
с + ® — V щ [/ + (с — да) /] С — W + V
при ,
с + ®V
при /> — .
’ (5.1.14)
при ,
с + ®V
при /> — .
’ (5.1.14)
при t<^— с + W
Отсюда следует, что при / = х/у появляется разрыв, а частота меняется скачкообразно от значения
/(5.1.15)/(5.1.15')/(5.1.15)/(5.1.15')с + wш с 4- да
/(5.1.15)
/(5.1.15')
/(5.1.15)
/(5.1.15')
с 4-да— и 2лс— (и—да)
до значения с — да <о с — да с — да + v 2л с + (v — да)
согласно принципу Доплера. Таким образом, получено обобщение соотношения (5.1.4).
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ОПТИКЕ
Среди основных явлений, сопровождающих распространение волн: акустических, оптических и других, отметим отражение, преломление и дифракцию. Исследование этих явлений связано с изучением волнового уравнения в неоднородных средах. Для исследования интерференции и дифракции световых волн достаточно рассматривать просто волновой характер распространения света, не учитывая специфических особенностей электромагнитных волн. Поэтому световая волна будет характеризоваться только амплитудой, фазой, длиной волны и скоростью распространения.
Ниже будет использоваться принцип Гюйгенса, согласно которому положение фронта распространяющейся волны в любой момент времени может быть представлено огибающей всех вторичных (элементарных) волн;
источниками вторичных волн являются точки, до которых дошел фронт первичной волны в предшествующий момент времени.
Явление дифракции на бесконечности
Основные результаты.
Случай точечного источника
Характерной особенностью распространения волн является изменение направления их распространения при переходе через некоторое отверстие в непрозрачном экране (дифракция). Плоское дифракционное отверстие характеризуется некоторой функцией распределения ^х, у) света, с помощью которой можно определить дифракционную картину на бесконечности.
Для определения дифракционной картины на бесконечности за плоским отверстием используется принцип Гюйгенса, согласно которому элемент площади dxdy в плоскости 2 = 0 излучает элементарную волну с амплитудой ^х, y)dxdy в направлении с направляющими косинусами а, р, у и с разностью фаз 2л/Х (ах+Ру) относительно элементарной волны, излучаемой из начала координат О (здесь X — длина волны).
Складывая эффекты от всех точек, получим
Jf/(x, у)е х dxdy, (5.2.1)
S
где й — площадь плоского дифракционного отверстия. Если наблюдать дифракционную картину в фокусе некоторой линзы с фокусным расстоянием /, то направлению (а, р, у) будет соответствовать точка фокальной плоскости с координатами.
х' = — I у'=5-1.(5.2.2)
УУ
Обычно дифракционная картина на бесконечности наблюдается в окрестности оси Oz. Таким образом, можно предположить, что a, PC 1, т. е. у~ 1, а
х' = 1а, у' = $.(5.2.2')
Если принять длину волны X за единицу длины и в фокальной плоскости ввести безразмерные координаты
и=-^—(5.2.3)
которые малы по сравнению с единицей, то для дифракционной картины на бесконечности получим следующую обобщенную функцию:
F (и, у)=^/(л:, у} e^^x+vv'idxdy. (5.2.4)
Если F(u, v')=FV(x, У)1 — образ Фурье функции fU, У), то
F (и, v) — F (2л«, 2лу),(5.2.4')
т. е. дифракционная картина на бесконечности описывается функцией F (и, у), которая является образом Фурье функции распределения света f(x, у) в точке (2ли, 2лу). В некоторых случаях функция распределения света не выражается через обычную функцию. Например, если источник света точечный, то функция распределения света должна равняться нулю всюду, кроме одной точки, где она неопределенна. В этом случае функция распределения выражается через некоторую обобщенную функцию с точечным носителем, а именно через обобщенную функцию Дирака. Поэтому точечные источники представляются таким же образом, как и сосредоточенные массы. Для точечного источника света в точке (х0, z/о) имеем следующую обобщенную функцию распределения света:
f (х, y)=kb(x—x0, у — у0\ & = const, (5.2.5) а дифракционная картина на бесконечности имеет распределение
F (и, ■у( = ке2'^и-Хо+'вУ«'>.(5.2.6)
Примеры
Рассмотрим отверстие длины 2а и пренебрежимо малой ширины, расположенное на оси Ох симметрично относительно начала координат О (фиг. 5.1). Предполо-
жим, что функция распределения света равна единице на всей длине отверстия. Следовательно, она имеет вид
/(х)=Л(х)=0(а — | х | ),(5.2.7)
-а 0 а-а 0 ахх
-а 0 а
-а 0 а
х
х
Фиг. 5.1.
где /г(х)—характеристическая функция на отрезке [—а, а], определенная соотношением (1.1.98). Применяя преобразование Фурье (1.6.23"), получаем
F^ =F^ =sin 2лаиsin 2лаи(5.2.8)(5.2.8)44лилиФиг. 5.2.Фиг. 5.2.
F^ =
F^ =
sin 2лаи
sin 2лаи
(5.2.8)
(5.2.8)
4
4
ли
ли
Фиг. 5.2.
Фиг. 5.2.
Рассмотрим прямоугольное отверстие с размерами 2а и 2Ь. Направим оси координат вдоль осей симметрии этого отверстия (фиг. 5.2). Функция распределения света предполагается постоянной и равной единице. В этом случае можно написать
/(х, у) = А(х)Л(у) = 0(а — | х | )0(& — | у | ). (5.2.9)
Дифракционная картина на бесконечности дается функцией
с , sin 2лал sin 2jt6v
F <“•"> =^■<5.2.Ю)
Заметим, что сказанное выше про дифракцию света применимо и для акустических явлений, так как в обоих случаях мы имеем дело с волновыми процессами.
Дифракция Френеля
Общие положения
Явление дифракции имеет место при частичном перекрытии световых лучей непрозрачными экранами. Таким
образом наблюдаются дифракционные каргины Фраунгофера и Френеля. Дифракцией Френеля называется дифракция, полученная прямым путем без каких-либо оптических инструментов.
В дифракционной плоскости рассмотрим плоское отверстие. Пусть ^х, у)—функция распределения света на дифракционном отверстии. Благодаря явлению дифракции в плоскости наблюдения, которая параллельна дифракционной плоскости и находится на конечном расстоянии от нее, будет наблюдаться изображение, характеризующееся функцией h^x, у). Функция h^x, у) представляет собой распределение света в плоскости наблюдения и соответствует функции распределения света f(x, у) на дифракционной плоскости (фиг. 5.3).
С изменением отверстия, т. е. функции f(x, у), будет меняться и дифракционное изображение в плоскости
наблюдения, т. е. изменится и функция h^x, у). Из линейности уравнений Максвелла, которые описывают явление дифракции, следует, что сдвиг отверстия приводит к сдвигу дифракционного изображения.
Определение дифракционного изображения в плоскости наблюдения
Из вышеизложенного следует, что существует некоторая функция g(x, у), не зависящая от размеров отверстия и расстояния между рассматриваемыми плоскостями, которая связана с функциями h^x, у) и f(x, у) соотношением
Цх, y)=f(x, y^g^' У)» (5.2.11) где введена свертка соответствующих функций.
Если точечный источник света находится в начале координат в дифракционной плоскости и имеет интенсивность, равную единице, то
/(х, У)=6(-«, У). (5.2.12)
Таким образом, функция распределения света выражается через обобщенную функцию Дирака. Замечая, что б(х, у) — нейтральный элемент алгебры со сверткой, получаем
А(х, у)=Цх, yVgkx, y^g^x, у\ (5.2.13)
Следовательно, функция (или обобщенная функция) g^x, у) соответствует точечному источнику (отверстию) с интенсивностью, равной единице. Зная g(x, у), можно получить дифракционное изображение от отверстия произвольной формы.
Если в дифракционной плоскости имеются п точечных отверстий в точках Ai^Xi, yi) с распределением света h(x, у) =&»6(х—Xi, у—^) (i=l, 2, ..., п), для изображения получим
Цх, у) = ^ f^x, yVg^x, у) =
1=1
= 2 ^'8—х'и У — У.^е^, уУ
Следовательно,
Цхз y^^big^ — x^ у — у (5.2.14) Z =1
Этот случай соответствует так называемой дифракционной решетке.
НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Соотношения между напряженностью я потенциалом поля, создаваемого электрическим зарядом, и объемной плотностью этого заряда
Случай точечного электрического заряда
Рассмотрим точечный электрический заряд q, находящийся в начале координат (фиг. 5.4). Его объемная
Фиг. 5.4.Фиг. 5.4.
Фиг. 5.4.
Фиг. 5.4.
плотность определяется формулой (3.4.7) или (3.4.7'). Этот заряд создает вокруг себя электростатическое поле, ■описываемое вектором напряженности Е:
Е (х, у, ^=Е^ = -3-=q-.(5.3.1)
Функция Е(х, у, г), хотя и имеет разрыв в начале координат, является локально интегрируемой. Следовательно, обобщенная функция, порождаемая этой функцией, регулярна.
По определению потенциал поля, создаваемого точечным электрическим зарядом q, является скалярной величиной, имеющей вид
(5.3.2)(5.3.2)И (г у, г) = 1/(г) = -^ =-2
(5.3.2)
(5.3.2)
Заметим, что и эта функция является локально интегрируемой; она тоже порождает регулярную обобщенную функцию.
Между вектором напряженности Е и потенциалом V имеет место соотношение
(5.3.3)(5.3.3)Е = — grad V.
(5.3.3)
(5.3.3)
Если применить к этому соотношению оператор дивергенции, то получим
— div E=divgrad V= ДИ— div E=divgrad V= ДИд^УdW . awдх-ду1 dz2д^УdW . awдх-ду1 dz2— 4лр.(5.3.4)— 4лр.(5.3.4)
— div E=divgrad V= ДИ
— div E=divgrad V= ДИ
д^УdW . aw
дх-ду1 dz2
д^УdW . aw
дх-ду1 dz2
— 4лр.
(5.3.4)
— 4лр.
(5.3.4)
Следовательно, потенциал поля и объемная плотность электрического заряда связаны уравнением. Пуассона. Уравнения (5.3.3) и (5.3.4) являются фундаментальными уравнениями электростатического поля. Эти уравнения будут рассматриваться в пространстве обобщенных функций.
Из соотношения (1.4.35) можно заметить, что потенциал (5.3.2) удовлетворяет дифференциальному уравнению в обобщенных функциях (5.3.4). Если оператор Лапласа рассматривать в обычном смысле, то функция 1/£ будет гармонической и уравнение Пуассона не будет удовлетворяться.
В рассматриваемом случае оператор grad в смысле теории обобщенных функций совпадает с соответствующим оператором в обычном смысле, так как обобщенные
функции Е и V являются регулярными. Следовательно, можно написать
Ex=q — ,E„=q-^—, Ez=q — .(5.3.5)
Одномерный случай
Рассмотрим одномерное уравнение Пуассона для потенциала поля, создаваемого электрическим зарядом:
(5.3.6)
Для электрического заряда q, находящегося в начале координат на оси Ох, линейную плотность можно записать в виде (3.4.4). Соответствующий потенциал удовлетворяет уравнению
— 4л^8 (х).(5.3.6')
dx^
Учитывая формулы (1.2.34) и (1.2.34'), получим
V (х) = — 2л^ | х | ,(5.3.7)
а используя соотношение (5.3.3), можно написать
rfy/~2л? при х<0)
Е== 2л^ л:п =
dx( 2nq при
= 2nq [20 (л) — 1] = 2л^ <gn х. (5.3.8)
Двумерный случай
В двумерном случае уравнение Пуассона принимает вид.
Поверхностная плотность точечного электрического заряда q, находящегося в начале координат Оху, определяется выражением вида (3.4.6). Потенциал соответствую-
щего электростатического поля удовлетворяет уравнению
дх^ ду2
Учитывая формулу (1.4.36), получим
У (х, у) = 2^1п у , г^/хЧ7^(5.3.10)
Для вектора напряженности Е можно написать
E =2q—, Eti = 2q — .(5.3.11)
гг
Функции Ех и Еу являются локально интегрируемыми, т. е. они порождают регулярные обобщенные функции. Несмотря на то что EV и Е^ не являются локально интегрируемыми функциями, как и их сумма выражение
Е = У Е^Д-Е^
является локально интегрируемой функцией, которой соответствует регулярная обобщенная функция. Напряженность двумерного электростатического поля определяется по формуле
Е = ^_ .(5.3.12)
г
Примеры
В плоскости Oxy(z = 0) рассмотрим электрический простой слой, имеющий постоянную поверхностную плотность о (фиг. 3.28). Учитывая формулу (3.4.14), для объемной плотности получим
р(х, у, х^аЦх^
Потенциал соответствующего электрического поля удовлетворяет уравнению
4лз8^).(5.3.14) дх2 д.у? dz2
Отсюда, как и в разд. 5.3.1.2, следует
V (х, у, z) — — 2ла | г | .(5.3.15)
Далее будем иметь =(5.3.16)
( — 2ла при Z 0]
Е,=\ п_; = 2ло [29 (г) — 11 = 2лз signz.
г ( 2лз при z 0)j &
(5.3.16')
Таким образом, мы получили результат, аналогичный результату, рассмотренному в разд. 5.3.1.2, для случая одномерной среды.
Рассмотрим теперь электрический диполь с моментом D, расположенный в начале координат и направленный вдоль орта и. Согласно формуле (3.4.12), объемная плотность рассматриваемого диполя
р(х, у, z) = — D —^-8 (х, у, z).(5.3.17)
ди
Применяя к соотношению (1.4.35) оператор djdu и замечая, что он перестановочен с оператором Лапласа, получаем
д . / 1 \. г д ( 1 \1. а „,,
Д— = Д — = —4лМх, у, zY
ди \ R / ди \ R / Jди
В этом случае уравнения (5.3.4) и (5.3.17) определяют потенциал электростатического поля, образованного электрическим диполем, расположенным в начале координат, следующего вида:
V (х, у, z)=— О-М-1Л=— /Ju-grad -1-. (5.3.18) да \ R /R
Эта функция является локально интегрируемой, так что обобщенная функция, порожденная (5.3.18), является регулярной.
Электрический простой слой на поверхности
На поверхности S (см. фиг. 3.25, б) рассмотрим электрический простой слой с поверхностной плотностью а(х, у, z). Соответствующая объемная плотность определяется по формуле (3.4.14), а уравнение для определения потенциала соответствующего электростатического поля имеет вид
=у, z^^Sy (5.3.19)
дх2 * ду2 * dz2k a V V У
Учитывая фундаментальное решение (2.3.77) уравнения Пуассона (5.3.19), для решения уравнения (5.3.19) имеем
V (х, у, г) =— *[ — 4ла (х, у, г) 8 (5)], (5.3.19')
4л/?
где мы воспользовались сверткой. Окончательно получаем
V (х, у, г) = -У * з (х, у, г) 8 (5).(5.3.20)»
Заметим, что
Шх, У, х)*з(х, у, z^^S), <р(х, у, z))=
— U4X, У' ^хз^и, -и, w)8(S), <р(х-ф«, уА^ч), г-у-чву =
= ^{а, -и, ф)ЦЗ), (f(x, у, z), ^(x-j-u, у-фу, г-фй»))) =
= J а (и, у, w)(/(x, у, z), ф(х4-ы, у-фу, г-фо»))^—
s’
= Js(«, у, то) К/(х, у, z)<?(x-t-u, уф-у,
SR3
г -ф w) dxdyd^ dS =
"Ji ’ у’ fVx—n, у—ч), z—w)<f(x, у, z)dSdxdydz~
S Ra
= f <p (x, y, z) [ [ з(и, vt w) / yx — u, y — 4), z — w) t/sl x R=S
X dxdydz—
= ^\ з (и, т), тм') / (х — и, у— у, z — ®) dS, <р (х, у, z^ , S
где /(х, у, z) ■—локально интегрируемая функция, а <р(х, у, z’igKiR3)—основная функция. Имеем, таким образом, формулу
/^- У, ^*а^х, у, z)8(S) =
= Ja(«) -и, w) f [х —и, y—v, z—iso^dS, (5.3.21) s
где dS выражается через переменные и, v и w. В этом случае можно написать
V (х, у, z)= f —_^^L__^ (5.3.22)
5 V(x — u)2+(;y — V)2 + (z—w)2
Электрический двойной слой на поверхности
На поверхности S (см. фиг. 3.26, б) рассмотрим электрический двойной слой с моментом ц(х, у, г). Объемная плотность определяется по формуле (3.4.25), а потенциал соответствующего электростатического поля удовлетворяет уравнению
ДУ (х, у, z)=4n-^- [^(х, у, z)8(S)], (5.3.23) дп
где п — единичный вектор внутренней нормали к поверхности.
С помощью фундаментального решения (2.3.77), как и в предыдущем случае, получим
V (х, у, z) = —1- * -А_ [и (х, у, z) 8 (5)]. (5.3.24) К on
Отсюда следует
1/(х, у, z^=—У' z)8(s)l = on L RJ
=—У, z)6(S),
а согласно формуле (5.3.21), можно написать
и (я, w)и (я, w)v (X, у, z) =д Г1v (X, у, z) =д Г1дп V (■* — “) + (У — у)2 + (г — ТУ)2
и (я, w)
и (я, w)
v (X, у, z) =
д Г1
v (X, у, z) =
д Г1
dS,dS,(5.3.25)
dS,
dS,
где производная по нормали п берется относительно переменных и, и и w.
ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ФИЗИКЕ
Общие результаты
Математическая постановка задачи
Колебательные явления, встречающиеся в механике, оптике, акустике, электротехнике и т. д., описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Общее решение в подпространстве К'+ обобщенных функций для линейных колебательных систем будет дано ниже в виде матричных рядов с элементами в виде обобщенных функций.
(7 = 1, 2,..., п\(7 = 1, 2,..., п\(5.4.1)(5.4.1)Пусть qt (t=l, 2, ..., и) — обобщенные координаты колебательной системы с п степенями свободы и КД/) — обобщенные силы, соответствующие возмущающим силам, действующим на систему. В случае малых колебаний система уравнений Лагранжа принимает вид
(7 = 1, 2,..., п\
(7 = 1, 2,..., п\
(5.4.1)
(5.4.1)
Имеют место соотношения
aik — aki, blk=bkU cik = ckl (i, 6=1, 2n\ (5.4.2) которые, однако, не являются необходимыми при последующем изложении.
Если добавить начальные условия
/=0: ^(0) = ^, ^(0)-^ (6=1, 2,..., га), (5.4.3) то получится задача Коши для линейной колебательной системы, неизвестными которой являются ^(0-
С помощью функции Хевисайда введем функции
qAtW^q^, F^t^^F^t) (6 = 1, 2,..., га),
(5.4.4)
которые приводят к соответствующим регулярным обобщенным функциям. После дифференцирования в смысле теории обобщенных функций получим
di di 1 6 v '
(6=1, 2,..., га),
5а^-=5ьф-+&(<)+»«)at2 at2
где введены и обычные производные. Учитывая эти производные и тот факт, что в системе (5.4.1) все производные рассматриваются в обычном смысле, можно записать уравнения Лагранжа в обобщенных функциях-.
5 V^k W+Mk ^Н^иЛк W]=^ W
(Z = l, 2,..., га),(5.4.5)
где
t^=F /(^+2 К^^-Н^»^)8 VtWaikq^ W] »=i
(/=1, 2,..., га).(5.4.6)
Заметим, что уравнения (5.4.5) содержат начальные условия, так что решение соответствующей задачи Коши сводится к интегрированию этой системы. Несмотря на то, что эта система получена для обобщенных функций
типа обычных, она будет рассматриваться для произвольных обобщенных функций.
Обобщенная сила SA^ является обобщенной функцией с носителем в [0, оо); в этом случае можно предположить, что и Fi (t) является обобщенной функцией с таким же носителем.
Введем дифференциальные операторы
DZ6=tiz6-^ + &i6^-+cft (z, ^=1, 2,..., д). (5.4.7) dt2dr
Пусть Хь — фундаментальное решение оператора D^ в алгебре со сверткой К/+- Это решение должно быть функцией класса С2 [0, оо) и удовлетворять соотношению
DtAW = 8W (*=1, 2,..., д).(5.4.8)
Заметим, что
О^(/)=0, Zfe^=0, Z»(0) = -^—, «66#0, (5.4.9) ^кк
где
X^HMW (6 = 1, 2,..., д).(5.4.9')
Систему уравнений Лагранжа (5.4.С) можно написать в К'+ в матричном виде
A^*q^ = ^t\ (5.4.5') где Л(/) —квадратная матрица порядка п;
A (/)={D,78(/)) (z, у = 1, 2,..., д), (5.4.10) а матрица неизвестных q^ и матрица S" (f) являются матрицами-столбцами
9(/) =9(/) =£iW У 2 V£iW У 2 V(5.4.11)(5.4.11)
9(/) =
9(/) =
£iW У 2 V
£iW У 2 V
(5.4.11)
(5.4.11)
9nW
Матрицы обобщенных функций Л(0> д(С, ^~(t)^K'+ и, следовательно, уравнение (5.4.5') допускают в К'* единственное решение для матрицы qVtY
Если имеют место соотношения (5.4.2), то матрица 4(0 является симметричной.
В дальнейшем будем предполагать, что определитель матрицы
А = det | а1} |(5.4.12)
отличен от нуля.
Уравнения в свертках
Для исследования уравнения (5.4.5') приведем другое уравнение в свертках, эквивалентное рассмотрен- яому.
Теорема 5.4.1. Если А#=0 и ац=#0, a Fi(t) (i=l, 2, ... —, и) — обобщенная функция с компактным носителем в (О, со), то уравнение (5.4.5') эквивалентно в К'+ уравнению
=(5.4.13)
где матрицы обобщенных функций A (f),(t) ^К'+
имеют вид
4(/)^Zy.8(/)} + (9(0«^^
(/, j = l, 2,..., п\(5.4.14)
^ (/) = {^-11^1 (0 * 51 (0> а^Х^ (/) * У" 2 (0> • • •
■...д^ОЗД.(5.4.14')
Действительно, пусть г/(/) = {ai,Ai(/)dij}e7<'+ (i, /= 1, 2,..., л), где^5 — символ Кронекера.
Так как F, имеет компактный носитель, содержащийся в [0, оо), то tF(Z) и Л(<) тоже имеют компактные носители. Поэтому умножение уравнения (5.4.5') слева на диагональную матрицу d(0 имеет смысл в К'+- Таким образом, можно написать
■ ^иХ, ЩЪц} * (0^8 (/)} \аИХ, (0 * Do8 (/)} =
= ta.^X, №b (0 8/J * ,f (П-Г(1).
С учетом соотношений (5.4.8) — (5.4.9') и полученных формул дифференцирования будем иметь
W^Xt №) = \а^ (/)} + {9 (/) a^Z, И).
Подставляя это выражение в предыдущее соотношение, получим выражения (5.4.14) и (5.4.14'), что доказывает справедливость формулы (5.4.13).
Эквивалентность уравнений (5.4.5') и (5.4.13) обусловлена тем, что диагональная матрица d^ отлична от нуля, а алгебра со сверткой К'+ не допускает делителей нуля._’
Заметим еще, что матрица A^t), определенная соотношением (5.4.14), является суммой двух матриц, одна из которых является матрицей сингулярных обобщенных функций, а другая — матрицей регулярных обобщенных функций.
Теорема 5.4.2. Если Д^О и ац=#0 (i=l, 2, ..., и), то матрица А(Г]еК'+ обратима в К'+ и обратная матрица имеет вид
А-ЧП = ^(-^иаиЦ^Г*к-0
^(-^[[а^-^а^^(5.4.15)
а—о
Действительно, так как Д#=0, матрица {а^б^)} обратима в К'+ и имеет место равенство
(a;-y8(/))-1 = &(/) {а,;}-1.(5.4.16)
Таким образом, свертка внутри квадратных скобок в соотношении (5.4.15) существует и приводит к матрице обобщенных функций типа обычных
Н ^ = (а/у8 (/)}-i * [9 (t) auV>uZt (/)} =
Н^ГЧ^/А^Д/)}.(5.4.17)
Для этой матрицы, элементами которой являются обычные функции, норма определяется соотношением
II//Wil - 2 1 hH^ । ’ H^\hu^\. (5.4.17')
В предположении, что Н и Н являются квадратными непрерывными матрицами одинакового порядка, элементами которых являются обычные функции, можно написать
|| J//(W|< J ||Я(/) \dt.
|| H^H^W <!!//(/) II ||//№l|.
Пусть
г/(Ю = {8(/) 80} (Z, 7=1, 2,. . ., п\ (5.4.18)
является единичной матрицей в алгебре со сверткой К'-ь Матрица U(t)+H(t) ^К'+ обратима в К'+ на отрезке 7=[О, / J, и имеет место равенство
[7/ (/) + //(/)]-! = 2 (- W* V).(5.4.19)
»=о
Введем обозначение
M = max || Н (/) || .
/ет
Тогда получим
II /Г2(/) = f || Н (т) || || //(Z-т) || dx<M4<M4v
б
Методом математической индукции можно показать, что
II Н** (/) || <II Н** (/) || <^- 1)!(6_ I), "^- 1)!(6_ I), "
II Н** (/) || <
II Н** (/) || <
^- 1)!(6_ I), "
^- 1)!(6_ I), "
Следовательно, матричный ряд (5.4.19) равномерно сходится при t^T, так как матрица Я(/) непрерывна на
[О, оо). Равенство (5.4.19) легко проверяется с помощью свертки
[tf(^/w2(-W*(aft-0
Так как матрица Л(/) может иметь вид
Л (/) = {^/8(/)}*[t7 (/) + //(/)], причем оба сомножителя обратимы в К'+, то с учетом формулы (5.4.19) получим
л-ч/м^»-1*^ тн wr,
что и приводит к соотношению (5.4.15). Теорема, таким образом, доказана.
Следовательно, решение в К'+ уравнения (5.4.13) будет иметь вид
+ 2 (-1)* ПЫ~Ч9 (/) ан DijZi (Z)}f (^Г1]^ W-
(5.4.20)
Это решение в то же время является решением в К'+ уравнения в свертках (5.4.5').
Применения для исследования механических колебаний
Общий случай
При изучении механических колебаний встречается случай, когда
аи=А 1фь(5.4.21)
т. е. матрица {a,j} становится диагональной:
l«zy) = {«zA/b(5.4.21')
Обратная матрица тоже будет диагональной:
Ы-’ (6 (/)ailDijZl (/)} = {6 (/) Dz/z (/)}, соотношение (5.4.20) упрощается и принимает вид
9 ^ = ^ai?^ij\ S' W +
+ 2 (- П6 П6 «D/Л WP 1^1*0 (5.4.22)
Это соотношение описывает продольные колебания механической системы с п степенями свободы (фиг. 5.5).
Согласно второму закону Ньютона, для точки с массой mt можно написать уравнение
тд, V^Fi (/) - к, \qt (t)-qt_x (/)] -
- ^ [^z W - ^/-i Wl - ^+i fat № - qt+i (01 -
-^+1[^-W-^+1W] (/=1, 2,..., П^ (5.4.23)
где с, — коэффициенты затухания, ki — квазиупругие коэффициенты, Fi^—возмущающие силы, действующие на точку с массой mt. Кроме того,
9oW = ^+1(^ = O; (5.4.23')
В таком случае
аи=ши(5.4.24)
а определитель
Д = т1т2.. .т„ 9^0.(5.4.24')
Дифференциальный оператор DZj принимает вид
Dzz=mz —— +(<",+^/+1)-— + ^/+^,vi, (5.4.25) at2at
— с,' at И— с,' at И(5.4.25')(5.4.25')
— с,
' at И
— с,
' at И
(5.4.25')
(5.4.25')
D;z+1—— ci+1-—ki+1,(5.4.25")
at
DZ/=0 при (z-y|>2.(5.4.25'")
Функции Zt(t) будут иметь вид
Z,. (/) = —i—sh <oz/ при az>]/, >5.4.26)
m^tV mt
где
1 / 2+ ^/+11 C i + Ci -L 1, ~ A C\n
toi= / аг——, az =, (0.4.26')
Vmt2 ni;
iV) = e ‘ Sin О);/ при «;<(]/ — 1
mtto't V ni;
(5.4.27)
где
——— — и.,\oA.27')
mt
И
Zz(/)==te - при az= I/, (5.4.28)
mtV mi
1=1, 2, ... , П.
Если начальные условия однородные (нулевые) и возмущающие силы являются импульсными в начальный момент времени
Ft^=F^V) (* = 1, 2,..., п\ (5.4.29) где Ft — постоянные, то получим
¥к*Л = \т.уР\Хх^, т2Р.2Х2(Г),..-, m„F„X„(/)). (5.4.30)
5А.2.2. Частный случай
Рассмотрим полученные выше результаты для случая п = 2. Мы имеем
(0 ](аП1 0 )
—1—11 -(5.4.31)
Следовательно,
(9(/ Вг/^)ГЙ=
(6 (^) D12Z] (/)*9 (/) D21Z2 (/)} 2 * [ о з^)^-46™0^’
= <ЛЧ 09(/)О12^(/)1
{9(/)П12^(/)!=9^)П2122(/)} 2 *{6(^D21z2(^)0/
(А —нечетное).
(5.4.33)
Тогда
qy W = 2 [9 ^ 012^1 (^) :<9 (/) d21z2 0*4^! (/) -=^! (^) - л=о
(5.4.34)(5.4.34)-0(/)D12Z! (/№(/) ^2(^)1,
(5.4.34)
(5.4.34)
^ (о=2 Is (^) D«zi w>0 w D^ (^г^№ ^2 (z) - л=о
-9 И D^Z^)^ (£Н1 WJ.
В случае когда начальные условия являются однородными (нулевыми), а возмущающие силы имеют вид (5.4.29), будем иметь
91 W = 2 Iе W Di2zi № *6 № О21^2 «ЧЛ*1 № - 6-0
— 6 (/) D^/^ (/) ^2 «И’— 6 (/) D^/^ (/) ^2 «И’(5.4.35)(5.4.35)
— 6 (/) D^/^ (/) ^2 «И’
— 6 (/) D^/^ (/) ^2 «И’
(5.4.35)
(5.4.35)
92 (^) = 219 W °12Z1 № ^9 (/) O21Z2 W]*» >\F2X2 (/) - й=0
-9(/)D21E'IZ2(/)^I(/)].
Из изложенного выше видно преимущество приведенного метода вычислений. Если для системы с п степенями свободы используются методы операционного исчисления, то для определения начальных обобщенных функций приходится решать алгебраическое уравнение порядка 2п. Выражение общего решения через п фундаментальных решений позволяет избежать некоторых трудностей (разложение на простые дроби и т. д.).
5.4.2.3. Свертки
Для вычисления приведенных выше сверток полезно использовать формулы
[б^)^]*^-—10(0,
1 v , 1(Л — 1)!
(5.436)
—In //\ -dt1 —(26—1)1
и
[9 (f)eat sin (о/р* = -^9 ^'i^]~ (^йсо5 ш^ + ^ft sin ш^)’
[6 (^) е“' sh «>/]**= “"^ Uк ch ^ - У sh ™t), где k = 1, 2, 3, J..
Здесь
1^= | r*-1 (/ — t)*-1 cos ‘Zwxdx,
6
(5.4.38)
Зк=\ t*-1^ — t)6-1 sin 2totdx
6
и
['k = | t*-1 ^t — ri*”1 ch 2wXdx,
6
(5.4 38')
Ук=j T*-1 (/ — r)*-1 sh 2u)T</t. о
Эти результаты получены с помощью преобразования Лапласа.
Применения теории обобщенных функций в электротехнике
СИЛА ТОКА И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД.
ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Сила тока и электрический заряд
Общие положения
Рассмотрим проводник с поперечным сечением А. через который при /^0, где to — начальный момент, проходит электрический заряд q = q(t); при t<t0 предполагается отсутствие тока. Сила тока определяется соотношением
Ф)Ф)dq (Z)dtdq (Z)dt(6.1.V(6.1.V
Ф)
Ф)
dq (Z)dt
dq (Z)dt
(6.1.V
(6.1.V
которое справедливо при C^t-s, а дифференцирование рассматривается в обычном смысле.
Нулевым продолжением влево вводится функция
_[ 0 при t<v
q^=\ а ?==W-toW\ {6.1.2,
( q (0 при / > /0»
где 0(0—обобщенная функция Хевисайда (фиг. 6.1). Дифференцируя (6.1.2) в смысле теории обобщенных функций, получаем
7(0 == 6 ~ W (0+-7 (0 8 (7 - /0) =
at
= 6 (/ - /0) q' (0 + q (/0) 8 (/ -t^,(6.1.3)
где <?(0 —функция класса С1. Заметим, что г (0 =*7'(0 = = 7(0 при />0- Таким образом, обобщенная функция
правильно описывает силу тока. В частности, при
?W=?0 = con?t t>t^?W=?0 = con?t t>t^(6.1.4)(6.1.4)
?W=?0 = con?t t>t^
?W=?0 = con?t t>t^
(6.1.4)
(6.1.4)
имеем
4Z) = ^ (/ —/0).4Z) = ^ (/ —/0).(6.1.4')(6.1.4')
4Z) = ^ (/ —/0).
4Z) = ^ (/ —/0).
(6.1.4')
(6.1.4')
При рассмотрении электрических цепей важное зна
чение имеют два закона Кирхгофа-.
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Положительными считаются токи, приходящие к узлу, отрицательными — токи, уходящие от него.
В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равняется алгебраической сумме падений напряжений.
На сопротивлении R напряжение падает на величину
ER^=Ri^.(6.1.5)
Это соотношение является выражением закона Ома. Аналогично при прохождении электрического тока i^ через катушку происходит падение напряжения
ELR)=L^-iR\atELR)=L^-iR\at(6.1.5')(6.1.5')
ELR)=L^-iR\at
ELR)=L^-iR\at
(6.1.5')
(6.1.5')
где L — индуктивность катушки. Падение напряжения при прохождении электрического тока через конденсатор емкостью С будет
^q^. (6.1.5")
Рассмотренные падения напряжений на активном сопротивлении R, индуктивном сопротивлении L и емкостном сопротивлении С являются обобщенными функциями, равными нулю при t<to. Следовательно, носителем этих обобщенных функций является полупрямая [0, оо), и к ним можно применить, помимо преобразования Фурье, преобразование Лапласа.
Для случая взаимной индукции двух катушек можно написать соотношение, аналогичное (6.1.5'). Рассмотрим две индуктивно связанные катушки с взаимными индуктивностями L12 и £гь соответствующими силам токов ц и ?2. Будут иметь место следующие падения напряжений:
£iW = A2-£-^), Е^-Ь^кП(6-1-6)
atat
причем предполагается, что
£12=£21=Л£(6.1.7)
Исследование цепи RLC
Важным применением алгебры со сверткой Д'+ является исследование цепи RLC, образованной сопротивлением, индуктивностью (катушкой) и емкостью (конденсатором), которые соединены последовательно с генератором, имеющим э. д. с. E^t) (фиг. 6.2).
Предполагая начальные условия однородными (нулевыми), применим к этой замкнутой цепи второй закон
С LIImm£(t) чг *q(t) ~q(t)
X(k
i(t)^_
Фиг. 6.2.
Кирхгофа. Учитывая соотношения (6.1.5) — (6.1.5"), получим
E^ = LA-4<tHRTVW^-qn (6-1.8) atС
где £(/)—обобщенная функция, определяемая формулой
_( 0 при t<ltrA
Здесь t = to — начальный момент замыкания цепи, а ЕЦ)—функция, определенная при ^/о и представляющая э. д. с.
Дифференциальное уравнение (6.1.8) содержит неизвестные обобщенные функции q(f) и 1(f), которые зависят от э. д. с. E(t) посредством коэффициентов R, L и С. Учитывая соотношение (6.1.3), получим дифференциальное уравнение
-7^)=^ (6.1.10)
которое содержит только неизвестную обобщенную функцию q^t). Если ввести обозначение
Dq=L-^--yR — + -L,(6.1.11)
4 dp di С
то уравнение (6.1.10) примет вид
Dqq(ty=E(ty(6.1.12)
В алгебре со сверткой это уравнение записывается как
Dq%^*q(t)=E(ty(6.1.12')
Согласно изложенному в разд. 2.2.1.2, фундаментальное решение этого уравнения удовлетворяет соотношениям
^MD^)]-1, ^W-D^W.(6.1.13)
Решение ^и^еКУ является единственным, и, таким образом, можно записать решение уравнения (6.1.12z) в виде
Следовательно, получены функциональные соотношения (6.1.12') и (6.1.14) между э. д. с. £(/) и зарядом
Полное сопротивление и проводимость электрических цепей
Как было показано, фундаментальное решение <g(/)eK'+ позволяет с помощью соотношения_ (6.1.14) определить заряд q(f), когда известна э. д. с. ЕЦ). Величина, обратная g (t), т. е. g-1 (/)еК'+, позволяет определить э. д. с., когда задается электрический заряд, с помощью соотношения ■
E^=8-4tWYE^=8-4tWY(6.1.15)(6.1.15)
E^=8-4tWY
E^=8-4tWY
(6.1.15)
(6.1.15)
Обобщенное полное сопротивление и обобщенная
проводимость электрических цепей
По определению соответствующее заряду q(t) обобщенное полное сопротивление электрической цепи имеет вид
Zq (/) = D?8 (/) = ^’ (^)-£Г W + /?§' М + р ^).
(6.1.16)
В этом случае для э. д. с. имеем
E^ = Zq^*q^.E^ = Zq^*q^.(6.1.17(6.1.17
E^ = Zq^*q^.
E^ = Zq^*q^.
(6.1.17
(6.1.17
По аналогии соответствующая заряду q(t) обобщенная проводимость электрической цепи определяется соотношением
A,(/) = ^) = [D,6 (/)]-*=
(6.1.16')(6.1.16')= k8"W+/?8'W + y8(Z)p
(6.1.16')
(6.1.16')
а электрический заряд имеет вид
q^AqWE(t\q^AqWE(t\(6.1.17')(6.1.17')
q^AqWE(t\
q^AqWE(t\
(6.1.17')
(6.1.17')
Между обобщенным полным сопротивлением и обобщенной проводимостью, соответствующими заряду g(f), имеет место соотношение
(6.1.18)
Замечая, что элементарное решение <g(Z)eK/+ единственно, заключаем, что рассматриваемая цепь имеет единственную обобщенную проводимость, соответствующую заряду q^.
Обобщенное полное сопротивление Zq(t) и обобщенная проводимость Лд(£), соответствующая заряду q^t), рассмотренному в (6.1.10), введены для цепи RLC. Исключая из соотношений (6.1.3) и (6.1.8) заряд q(f), получим уравнение для I^tY
Обобщенные функции 6(/) и Ц^ принадлежат алгебре со сверткой К'+; можно записать произведение
6 (/) *7 (/) = 9 ^ tJLq^JL^ (/) ^(/)] = dtdt
at откуда следует
9(O*7(/)=^"(/).(6.1.19)
Исходя из соотношений (6.1.3) и (6.1.8), получим уравнение
L(6.1.20)
dtС
которое является интегро-дифференциальным, если Щ) — регулярная обобщенная функция. Введем оператор
d^l-A.-vr^-Lq^*.(6.1.21)
atG
Тогда уравнение (6.1.20) примет вид
Dz7(/) =Ё^'(6.1.22)
или, замечая, что
D.8(/)=£8'(/)+Я8(/) + -i-9 (/) * 8 (^)=
= A8'W + W) + ^9(/),(6.1.21')
в свертках получим
D,8 (^) *7(/)=£г(^).(6.1.22')
Обобщенное полное сопротивление, соответствующее силе тока i(t), определяется соотношением
Zj (^ = D,8 (^ = А8' (/) + /?8 W + -1 9 (/), (6.1.23)
а обобщенная проводимость, соответствующая силе тока i (/), будет иметь вид
At ^ = Z?X (/) = [DZB(/)Г! =^8'(/) + /?8(^)+-l- 9 (^)p\
(6.1.23')
Справедливо соотношение
Z^A^-HIY(6.1.24)
Обобщенное полное сопротивление и обобщенная проводимость, соответствующие силе тока 1^, в алгебре со сверткой К'+ определяются единственным образом. Можно написать
E^—Zi (I) *i (t\ i^ = At^* Eyt\(6.1.25)
Обобщенное полное сопротивление 2,(Z) обозначается через 2(/) и называется полным сопротивлением цепи RLC. Мы не уточняем, что оно соответствует силе тока i(/). Аналогично обобщенная проводимость А(0 обозначается через А (/) и называется проводимостью цепи RLC. Из соотношений (6.1.3), (6.1.17) и (6.1.25) следует
2^^*q^=Zt (<)*/(^)=Zz(<) * -^—q (/) =at
at
откуда получается соотношение •
Аналогично
At (/) * Ё (/) = -^- q (/) = -^- [А, (/) * Ё (/)] =
-А-Д^Ёф, (6.1.26') at
так что можно написать
Д^^Ад^.
Операторное полное сопротивление
и операторная
проводимость электрических цепей
Изображение по Лапласу обобщенного полного сопротивления, соответствующего заряду q(t), имеет вид
Zq^ = LVZq^ = Lp^Rp^ ,(6.1.27)
где р — новая комплексная переменная. Так определяется операторное полное сопротивление, соответствующее заряду q(t). Аналогично обобщенная проводимость, соответствующая заряду q(t), приводит к операторной проводимости, соответствующей заряду q (/):
A,(/» = 7[A9(/)] =1г. (6.1.27')
Lp-A-Rp-V —
Применяя преобразование Лапласа к соотношениям (6.1.17) и (6.1.17'), можно написать
5 U^ = Zq (p)q(p\
(6.1.28)
4^ = Aq^E<pY
Кроме того, имеет место соотношение
Изображение по Лапласу обобщенного полного сопротивления, соответствующего силе тока Г(/), записывается в виде
z^-lyzm-lp^ihA- .(6.1.30)
Ср
Это соотношение определяет операторное полное сопротивление, соответствующее силе тока i\tY Аналогично обобщенная проводимость, соответствующая силе тока г(0, приводит к операторной проводимости, соответствующей той же силе тока:
At {p^LYAt (/)] =iг .(6.1.30')
Lp-VR-V—-
Ср
Справедливо соотношение
ZiUWpH-(6.1.31)
Аналогично соотношения (6.1.25) приводят к равенствам
Е^=2^р)Цр\(6.1.32)
где цр^а^е (р\
Запишем соотношения
Z^p^pZM, AtlpWAM (6.1.33)
Замечаем, что соотношение (6.1.32) формально аналогично закону Ома (6.1.5). ZiYp^ обозначается через 2(р) и называется операторным полным сопротивлением цепи, a AtYp) обозначается через А^р) и называется операторной проводимостью цепи. Мы не уточняем, что они соответствуют силе тока i (/).
Активным операторным полным сопротивлением, соответствующим активному сопротивлению R, будет
ZR YP)=R,(6.1.34)
что и оправдывает аналогию между соотношением (6.1.32) и законом Ома. Аналогично индуктивное сопро-
тивление L приводит к индуктивному операторному полному сопротивлению
ZL ^=Lp,(6.1.34')
а емкостное сопротивление С приводит к емкостному операторному полному сопротивлению
Zc^p)=4-.(6.1.34")
Ср
Операторным полным сопротивлением цепи будет
Z^=Zr(pHZl(pHZc(pY (6.1.35)
Учитывая соотношение (6.1.32), можно написать
Ёк(р)=2к(р)"Цр),
EL^ = ZL^T^p\_
(6.1.36)
EC^ = ZC^ 1^ и
Evp^ = ErVpHElVpWEcVpY (6.1.37)
Таким образом, выявлено значение каждого члена изображения по Лапласу (6.1.30).
Пусть 2ЛрУ 2г(р)—операторные полные сопротивления двух последовательно соединенных элементов. Можно написать
Е; (р; == Z, (рйVPY Е^ (р) = Z^^1 (р). Но
Ё Vt^E^t^Ei VY
Таким образом,
Е (р) = ЕдрН Ё. (/?) = \ZX (р) +Z2 (р)]7 (р).
Следовательно, выражение для операторного полного сопротивления двух элементов, соединенных последовательно, будет иметь вид
Аналогично операторное полное сопротивление двух элементов, соединенных параллельно, определяется соотношением
-^—Н-^— ,(6.1.39)
Z^P) Zi^p) Z2(p)
которое соответствует соотношению
■ .' А Ц^цМДО. (6.1.39')
действительному для операторной проводимости.
Примеры
Рассмотрим, например, цепь, представленную на фиг. 6.3. Заметим, что сопротивление R и емкость С со-
Фиг. 6.3.
единены параллельно. Таким образом, соответствующее операторное полное сопротивление определяется из соотношения
Сопротивление и емкость соединены последовательно с индуктивностью L, для которой
Z^p^Lp.
Следовательно, операторным полным сопротивлением рассматриваемой цепи будет
г«=£р+^—=-^^ЦА±^-. (6.1.41) 1 RCp + 1
С,+—
Фиг. 6.4.
Рассмотрим по аналогии и цепь на фиг. 6.4. В этом случае сопротивление R и индуктивность L соединены последовательно и параллельно к ним присоединена емкость С. Можно написать
—== Ср Л,
Z ^р^1 R + LpR + Lp
Ср
откуда следует
Отрицательные частоты
Общие результаты
При изучении электрических величин используются периодические функции cos (со/—ф) и sin ^mt—ф). Таким образом, если рассматривать замкнутую цепь, состоящую из сопротивления R и индуктивности L, к которой приложена э. д. с. E^t) =Eq sin mt, то сила тока будет иметь вид i(<)=iosin (со/—ф), где постоянные io и ф зависят от
4
Фиг. 6.5.
сопротивления R, индуктивности L, круговой частоты о и э. д. с. Ео.
В дальнейшем будем пользоваться комплексными функциями. Каждой действительной функции действительной переменной будем ставить в соответствие комплексную функцию действительной переменной. Рассмотрим функцию
x(/) = cosu)/. (6.1.43)
С кинематической точки зрения эта функция описывает движение материальной точки вдоль оси Ох с периодом Т~2л!& и частотой f=l/T=co/2n.
Пусть точка М(х, у) совершает равномерное круговое движение по единичной окружности в положительном направлении (против часовой стрелки) с угловой скоростью со (фиг. 6.5). Проекции М' и М" точки М на
оси координат совершают колебательные движения с той же частотой /=и/2л.
Соответствующие уравнения движения имеют вид
x(/) = cos<iV, z/(/)—sin®/. (6.1.44)
Предполагается, что в начальный момент времени (/ = 0) точка находилась на оси Ох (разность фаз ф равна нулю).
Если вместо плоскости Оху рассматривать комплексную плоскость, то единичному вектору ОМ = г будет соответствовать комплексная функция действительной переменной:
/(/) = cos®/-{-i sin®Z=e/m/. (6.1.45)
Таким образом, действительная функция coswf будет выражаться через две комплексные функции следующим образом:
соз®/==-|-(е'ш/4-е_/т/),(6.1.45')
а действительная функция sin tot будет иметь вид
sin ®/ = -^7(е'ш< — е-/ф/),(6.1.45")
где i— мнимая единица. .
Таким образом, комплексной функции в-™1 соответствует равномерное круговое движение единичного вектора по часовой стрелке с фазой —tot, что приводит к отрицательным частотам f=-—(о/2л. Следовательно, функцию cos tot, например, можно получить сложением равномерных вращений с одинаковой угловой скоростью, но в противоположных направлениях, т. е. сложением двух векторов. Движение вектора против часовой стрелки порождает положительную частоту, а движение вектора по часовой стрелке — отрицательную частоту.
Понятие отрицательной частоты, формально введенное выше, играет важную роль в различных задачах электротехники. Мы введем это понятие и другим путем.
Пусть ^t^—функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (периодическая и кусочно непрерывная, имеющая конечное число точек разрыва на каждом интерва-
ле). В таком случае ее можно представить в виде ряда Фурье
Л^"^^(<z„ cos nwf bn sin №t\ (6.1.46) где тт
ай=-^-^ f ^dt, an = -y J / (/)cos nuddt, (6.1.46') оо
т
bn=^- ^ f ^ sinne>tdt, ne No, (6.1.46") о
a 7 — период этой функции. Заметим, что круговая частота со = 2л/7 и частота / = (о/2л являются положительными величинами. '
С помощью формул Эйлера (6.1.45) и (6.1.45') этот ряд Фурье может быть представлен в комплексном виде
гдегде/(^=2 с^,^ЛА^
где
где
т
сп~~ \^ f {t)e-ina,tdt, n^Z.(6.1.47')
о
Заметим, что и в этом комплексном представлении ряда Фурье число п принимает отрицательные значения, что приводит к существованию отрицательных частот.
Спектр частот обобщенной функции
Исследования спектра частот обобщенной функции /(/) показали необходимость введения отрицательных частот. Введем образ Фурье F^s; а) обобщенной функции с помощью соотношения
(^(s; го), <?(s)) = 2n(/(/), <?(/)),(6.1.48)
где ф(/)е/((/?)—основная функция, ф (s) =/7[ф (^)],
F^s; to) = F[f(OL Переменная го предполагается действительной.
Спектр частот обобщенной функции f^t) описывается комплексным сопряжением F* (го) = F(s; го) фурье-образа F(s; го). Таким образом, если
F (s; ш)=а(х; <o)4-Z6(s; w),(6.1.49)
то спектр частот обобщенной функции /(/) имеет вид
F* ^=F (s; u))=a(s; ш) — ib^s; ш).(6.1.49')
Исследуем теперь комплексный спектр функции cos tot. Эта функция не является абсолютно интегрируемой и поэтому не имеет преобразования Фурье в классическом смысле; преобразование Фурье функции cos tot рассмотрим в пространстве обобщенных функций. Учитывая соотношение (1.6.31'), можно написать
F* ^=F [cos ш/] = л [8 (s — <о)4-8 (s-Ml- (6.1.50)
Это выражение показывает, что комплексный спектр функции cos mt является действительным и состоит из двух линий, одна из которых проходит через точку го, а другая — через точку —го. Обе спектральные линии имеют амплитуду л (фиг. 6.6, а).
Для спектра частот функции sin tot получим
F* (u))=/7[sin ш/]= —/л [8(s — «) — 8($-(-«>)], (6.1.50')
где использована формула (1.6.31). Отсюда следует, что соответствующий спектр частот является мнимым и состоит тоже из двух линий, одна из которых проходит через точку и и имеет амплитуду —л, а другая — через точку —to и имеет амплитуду л (фиг. 6.6, б).
Аналогично для спектра функции e’mi имеем
(6.1.50")(6.1.50")F* («>)=F [«?'<“'] = 2л8 (s+(о).
(6.1.50")
(6.1.50")
Этот спектр является действительным и образован одной линией, проходящей через точку — и и имеющей амплитуду 2л (фиг. 6.7).
Фиг. 6.7.Фиг. 6.7.
Фиг. 6.7.
Фиг. 6.7.
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Задача Коши для цепи RLC
Обилие результаты
Цепь RLC состоит из активного сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора емкости С, соединенных последовательно с генератором, имеющим э. д. с. Elf) (фиг. 6.2). Эта э. д. с. начинает действовать при 1 = 0, т. е. когда замыкается электрическая цепь. При 1>0 в цепи устанавливается ток силой i(£) и зарядом qW-
Принимая за неизвестную функцию заряд q^ и учитывая результаты из разд. 6.1.1.2, можно записать еле-
дующее дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
/>о, (6.2.1) atС
которое соответствует второму закону Кирхгофа.
Задача Коши состоит в определении при />0 функции q^ из уравнения (6.2.1), удовлетворяющей начальным условиям
^(^)b-0=^(6.2.2)
dt 6„о
где qo и to — соответственно заряд и сила тока при / = 0. Если ввести функции
д^=ЦПд11\ Ёф=^Е^ (6.2.3) и соответствующие обобщенные функции, полученные нулевым продолжением функций q^ и E^t) при /<0, то можно написать
d — л —
ЗГ9№= —^W + 908 (О, atat
(6.2.4)
77 ^W =-T^q^"Vio^W"Yqo^ VX dt*at*
где учтены начальные условия (6.2.2). В этом случае дифференциальное уравнение (6.2.1) записывается в обобщенных функциях и с учетом начальных условий (6.2.2) принимает вид
dt2dtС
= Ё W + dA + Rq^ 8 (^ + Lq^' (^).(6.2.5)
С помощью дифференциального оператора Dg, определенного соотношением (6.1.11), можно записать уравнение (6.2.5) в виде уравнения в свертках из К'+".
(6.2.6)
где введена обобщенная функция
F (/) = 1 (/) + ^1й + ^ 8 (/) + Lq^' ^. (6.2.6')
Фундаментальное решение <g (/) этого уравнения удовлетворяет условиям (6.1.13). В таком случае решение уравнения (6.2.6) с учетом (6.2.6') может быть записано в виде
(6.2.7)
где свертка функций осуществляется по переменной t.
Случаи интегрируемости
Фундаментальное решение удовлетворяет уравнению
£8" (/) + /?8' (<) + у 8 (/)1 * $ (/) = 8 (/).(6.2.8)
Применяя преобразование Лапласа, получаем
откуда
(6.2.9)(6.2.9)L [^ (/)] =iJ1 1 J Lp^RpA.^ UP-PMP-P2)
(6.2.9)
(6.2.9)
где введены обозначения рх = —а+р, р^=—а—р, a=R/2L и ^=Щ2Ь)^"^ЧЩС).
Рассмотрим три случая интегрируемости.
Если
/?>у,(6.2.10)
то р2>0, а р — действительная величина. Изображение по Лапласу (6.2.9) принимает вид
W)l=^—-— ,
Р — Рх Р — Рг)
откуда
8 (/) =-Ш- (ер|< -еР2<) = — 9 W е-*‘ sh р/. (6.2.11)
Для решения (6.2.7) уравнения (6.2.6) с учетом формулы (6.2.6') получается выражение
9"W-^-9OTe-a<sh^*[5(/) +
+ (^о + ^Zo) $ W + Lq^' (^)Ь откуда
? W = -^р 9 (/) e-at sh ^ * Д (/) +
+ -т^— 9 (/) e~at [(2Z70 + Rq^ sh 3/ -|- 213^ ch ?/]. (6.2.12)
Если E(t) —локально интегрируемая функция, то можно написать
q (f)=—— С е~™Е (/ — т) sh рт</т +
о
+t>0. (6.2.12')
ZL^
Если
/?2<-^-,(6.2.13)
то имеем р2<0, а р— мнимая величина. Если ввести обозначение.
p=Z<0, <0=^1/-^--/?2,(6.2.14)
то получим фундаментальное решение
8(0 = —9 (/)е-а' sin ш/.(6.2.15)
В этом случае решение задачи Коши имеет вид
q (0 = -^— 6 (/) e-at sin wt * Е (/)-{-
-|— 6 (/) e-at [(2Zzo-|-^o) s*n ш^ "V2-ki>qti cos ™/]. (6.2.16)
Если E(f) —локально интегрируемая функция, то можно написать
t
q (/') — —— ( ег^Е U —t) sin «rtdxA-Lm J
О
H—— e~at [(2Z,z04-^0) simo# -f-2Z,'»^0 cos u>;], ^ ^ 0.
(6.2.16')
Этот случай соответствует колебательному контуру.
Если
7^=^ .(6.2.17)
то р = 0, так что
(6-2Л8)
L ^р + а)- Фундаментальное решение имеет вид
^(/)=_L/0(/)e-4(6.2.19)
Для решения краевой задачи имеем следующее выражение:
q^=^^ ^е-'*Ё^^
+1Г 6 ^^ №о + № + ^о)Н- (6-2.20) Если E(t) — локально интегрируемая функция, то получим
q (/) = ^- Jте-^Е ^t —x^dx -}-о
+ -^е-Ч2^0 + (2^0 + ^0)/], t>^.(6.2.20')
Частный случай
Рассмотрим частный случай, когда начальные условия однородные (равны нулю): qo=io=O. Будем считать.
что э. д. с. при t>0 постоянна, т. е.
(6.2.21)(6.2.21)Ё(П=Е0ЦП.
(6.2.21)
(6.2.21)
Рассмотрим все три случая интегрируемости.
а) Если удовлетворяется условие (6.2.10), то, используя соотношение (6.2.12'), получим
q^q^sh 8т^т =sh 8т^т =
q^
q^
sh 8т^т =
sh 8т^т =
_ £о g~<«+W1.
27.^ . « + ? a— 3 a + p a—P_* откуда
q W = - T^9^ [^ (a sh ^ + 8 Ch ^/) - P] =
= _£^[e-^(ash^ + 3ch^)-8], />0» (6.2.22)
С учетом соотношения (6.1.1) имеем
i^i^= —— e_“zsh8/ /^0.= —— e_“zsh8/ /^0.(6.2.22')(6.2.22')
i^
i^
= —— e_“zsh8/ /^0.
= —— e_“zsh8/ /^0.
(6.2.22')
(6.2.22')
Если удовлетворяется условие (6.2.13), то с помощью формулы (6.2.16') получим
q^ ——— Ce^sm cotrft.
о
Таким образом,
q (/) =—(a sin co/ 4-co cos co/) — co] =
Li» (a2 + м2)
— — ^Eo [e-,zZ (a sin co/-j-co cos co/) — co], /^.0.(6.2.23)
0)
Можно также написать
/(/)/(/)—— e~at sin <o/, / >. 0 Lui—— e~at sin <o/, / >. 0 Lui(6.2.23')(6.2.23')
/(/)
/(/)
—— e~at sin <o/, / >. 0 Lui
—— e~at sin <o/, / >. 0 Lui
(6.2.23')
(6.2.23')
Если удовлетворяется условие (6.2.17) то, используя формулу (6.2.20'), получаем
q^ = —— С xe-Mdx
L .)’
о
откуда
=+(6.2.24)
а/.
Аналогично будем иметь
г(/)=,^/^<.(6.2.24')
Установившиеся процессы.
Переходные процессы
Переходные процессы
Процессы, рассмотренные для цепей с сосредоточенными параметрами R, L и С (параметры R, L и С постоянные), являются, вообще говоря, установившимися процессами. Такие процессы могут иметь место, например, когда э. д. с. прикладывается в начальный момент и затем поддерживается постоянной во времени [вида (6.2.21)]. При переходе от одного установившегося режима к другому возникает некоторый переходный процесс. Такой процесс имеет место, например, при замыкании и размыкании цепи, а также при изменении параметров цепи.
Рассмотрим сначала цепь RLC под действием импульсного напряжения. Предположим, что начальные условия являются однородными (<7o = i'o = O), т. е. ток в цепи отсутствует. При таких условиях в момент / = 0 приложим к цепи импульсное напряжение £об(О- Дифференциальное уравнение (6.2.5) примет вид
+= W- (6-2.25)
at-atС
Оно может быть записано как уравнение в свертках в
U" VHW ^Н^ w] * q^ =£08 (О- (6.2.25')
Следовательно, решением поставленной задачи является фундаментальное решение уравнения (6.2.25'), умноженное на Eq.
Рассмотрим исследованные три случая интегрируемости.
Если удовлетворяется условие (6.2.10), то имеем
^(^Ад^е-^нг)/,(6.2.26)
откуда
9(/) = _Ae-^sh^, t>0,(6.2.26')
где учтено, что
lim<7(/)=0, Нш^(/) —0.(6.2.26")
/->+0t-*»>
Используя соотношение (6.1.1), получим
i^=-^-e~at (pch 'It— ashp/), Z^>0.(6.2.27)
В пределе можно написать
lim/(/)=— <-limZ(/) =0.(6.2.27')
/-*+0L a.
Следовательно, если приложить к цепи RLC, по которой не течет ток, импульсное напряжение £o6(Z), то мгновенно возникнет ток силой Eq]L. Этот результат хорошо подтверждается экспериментальными наблюдениями.
Если удовлетворяется условие (6.2.13), то можно написать
^(^Адт^ипш^(6.2.28)
откуда следует
q (г) = -A. е-аЛ sin ш/, /^0.(6.2.28')
В пределе будем иметь соотношения (6.2.26").
Дифференцированием получим
z (/)=-^2-(w cos oV—a sin со/), /^-0, (6.2.29)
а в пределе будем иметь равенства (6.2.27').
Если справедливо соотношение (6.2.17), то
^(/)=_^/9(/)е-^(6.2.30)
откуда
q^^J^Lte-*1, t>0.(6.2.30')
В пределе получатся соотношения (6.2.26"). Отсюда следует, что ,
z(/) = -^-(l-а/)/ > 0,(6.2.31)
а в пределе имеют место соотношения (6.2.27').
Заметим, что и в случаях б) и в) можно сделать выводы относительно мгновенного тока, возникающего под действием импульсного напряжения, аналогичные сделанным в случае а).
Колебательный контур
Ниже будет рассматриваться разряд конденсатора через катушку индуктивности L и сопротивление R. Благодаря разности потенциалов на обкладках конденсатора при отсутствии катушки (L = 0) через провод, связывающий обкладки, будет протекать ток до тех пор, пока потенциалы обкладок не станут равными. Но если в цепи есть и катушка, то, когда разность потенциалов обкладок станет нулевой, э. д. с. индукции будет поддерживать в цепи убывающий ток. В результате произойдет перезарядка конденсатора. Возникнет ток проивоположного направления, и в дальнейшем перезарядка конденсатора будет происходить периодически; в цепи возникнут колебания.
Часть энергии тока будет тратиться на преодоление сопротивления Я, и колебания со временем будут затухать. При Д = 0 в цепи возникнут незатухающие колебания.
Предположим, что э. д. с. в цепи равна нулю (Е(0 = = 0), а заряженный напряжением U конденсатор разряжается в начальный момент времени. Таким образом, начальные условия имеют вид
q0=CU, /0—0. (6.2.32)
Используем результаты, полученные при рассмотрении случаев интегрируемости.
Если удовлетворяется условие (6.2.10), то с помощью формулы (6.2.12') можно написать
q^^-e-* '(ash^ + ?ch^), t>0.(6.2.33)
В этом случае имеет место апериодический разряд конденсатора, при котором в цепи не возникают электрические колебания.
Дифференцируя полученное выражение по t, получим
i (/) = ^^ (^2 — a2)e~at sh р/= —^- e^'sh ?/, / )> 0.
(6.2.34)
В пределе можно написать
lim^(/) = 0, lim/(/)=0.(6.2.35)
Если удовлетворяется условие (6.2.13), то получим
q^=^-e-at (a sin ш/Ц-ш cos oV), /^0. (6.2.36)
В этом случае происходит колебательный разряд конденсатора. Колебательный процесс разряда происходит, пока выполняется условие (6.2.13).
Заметим, что колебания заряда q^ затухают. В самом деле, амплитуда колебаний
(6.2.37)(6.2.37)— /а2 4- ш2е-«< = JL g-attoДа>
(6.2.37)
(6.2.37)
стремится к нулю при а—>-оо. Затухание тем меньше, чем меньше сопротивление R. При £ = 0 получаются незатухающие колебания. Этот случай соответствует колебательному контуру. Для силы тока имеем выражение
t (/)= —— (а2-]-“2) e~at sin а>/=— e-at sin и/, / ^- О,
COZ.U)
(6.2.38)
а в пределе будут выполняться условия (6.2.35).
Если выполняется условие (6.2.17), то получим предельные апериодические колебания. В этом случае заряд имеет вид
(6.2.39)(6.2.39)q^ = CU (Д -(-а/) ег11, /^0;
(6.2.39)
(6.2.39)
сила тока
/(/)= — CUa2te~at, t>0,/(/)= — CUa2te~at, t>0,(6.2.40)(6.2.40)
/(/)= — CUa2te~at, t>0,
/(/)= — CUa2te~at, t>0,
(6.2.40)
(6.2.40)
и в пределе получатся соотношения (6.2.35).
При наличии в цепи периодической э. д. с. Е^, которая может быть разложена в ряд Фурье, имеют место некоторые специфические явления. Например, в случае б) наблюдается явление резонанса, которое соответствует некоторой периодической возмущающей силе, круговая частота колебаний которой стремится к собственной круговой частоте <в контура.
Связанный колебательный контур
Связанный колебательный контур состоит из двух цепей RLC, соединенных индуктивно, для которых взаимная индуктивность равна М. Предположим, что рассматриваемые цепи одинаковы и состоят из сопротивления R, собственной индуктивности L и емкости С (фиг. 6.8).
Пусть £(/) — э. д. с., которая начинает действовать при замыкании цепи в начальный момент / = 0. Начальные условия, таким образом, будут однородными (нулевыми). Ставится задача определения зарядов q\^ и <7г(0 на обкладках обоих конденсаторов и токов й(0 и
ШУ
Применяя второй закон Кирхгофа к обеим цепям, получим систему уравнений
Rk+ М+ -1 qx ^=Е П
atat G
(6.2.41)
Здесь обобщенные функции соответствуют искомым функциям и заданным величинам, продолженным нулевыми значениями влево. Если начальные условия не являются нулевыми, они будут содержаться в выражении для функции 5(^), которая будет известной обобщенной функцией. Замечая, что
/i(/)=^i(0 , ^^ML^(6.2.42)
dtdt
получим уравнения
dt2[ar2dtG
(6.2.41')
dt2dt2dtG
Применяя преобразование Лапласа, будем иметьрР2 A-Rp^-Lp^p^Mр2^ (p) = 1^,
Mp2qv^-\- ^Lp2 -^Rp-\-^q2^=О,
где р — новая комплексная переменная. Отсюда следует
~^-р~ + Rp + чг~
q^ =;Е (р^,
М^р4 — (,Lp2 + Рр +
«МГ5"Е(А t6'2'43’
Mp4 — U.p2 + Rp + — J
Корнями знаменателей являются величины
Рх,ч — —cti + ^ь Рзл=' — ^2 i ^г»(6.2.44)
где
„ R ш 1
'2 (£ ± Af) 1,22 (Z ±Af) V С
В предположении, что удовлетворяется условие
^2< 4(£±Af) ,(6.2.45)
были получены комплексно сопряженные значения для Pt (i=l, 2, 3, 4). В этом случае цепь становится колебательным контуром. Вообще необходимо, чтобы выполнялось условие
rt< _1<LzJ^L , (6.2.45')
потому что постоянные R, L, М и С положительные. Заметим, что еще необходимо, чтобы L>M. При отсутствии сопротивления R (R=0) это условие становится и достаточным. Можно написать
£р2 + Rp + -L
Мр* — ^Lp2 +Rp + —}
-Г*+!
2111
(Z + M) pi + Rp + — (Z — M) pi + Rp -b —
Mp2
Mp4 — \Lpi -VRp + "£")
lr 11
211
(Z + M) pl + Rp + — (L — M) pl + Rp + —
г -^ sin о^/ -{-г -^ sin о^/ -{-Используя результаты из разд. 6.2.1.2. (случай б) и учитывая формулу (1.5.84), получаем
г -^ sin о^/ -{-
г -^ sin о^/ -{-
^ (/)=£-(/)*-L 6 (/) Г 1
2 L (Z, 4- /И) (di
4-sin ,
(Z — Af) о>22 J
(6.2.46)
^2 ^=Ё^ * 4- 6 (/) Г 7,"sin ш4~
2 L (Z +
• е-аг* sin «>2^ • (Z — Af) ш22 J
е~^‘ sin 04/4-е~^‘ sin 04/4-Для сил токов i^t) и i2(0 имеем
е~^‘ sin 04/4-
е~^‘ sin 04/4-
F1W=-^L4 AtF1W=-^L4 At* —б(/)Г!
F1W=-^L
4 At
F1W=-^L
4 At
2 L (Z + vW) toi
1„ / • Л
e-®1' sin <й2/ = (Z — Al)^2 J
1(Z + Af) <0!1(Z + Af) <0!e~ait (ч>1 сози^/ — uj sin «1^)4-e~ait (ч>1 сози^/ — uj sin «1^)4-
1
(Z + Af) <0!
1
(Z + Af) <0!
e~ait (ч>1 сози^/ — uj sin «1^)4-
e~ait (ч>1 сози^/ — uj sin «1^)4-
^e-as/ ^ cos „2/ — a2 sjn a)2/)l (6.2.47) (Z — Al) ш2J
Z2 ^ )Z2 ^ )_ dE^t>— dt_ dE^t>— dt*^;4t>*^;4t>1(Z+Al)^!1(Z+Al)^!e-avt sin o)^ —e-avt sin o)^ —
Z2 ^ )
Z2 ^ )
_ dE^t>
— dt
_ dE^t>
— dt
*^;4t>
*^;4t>
1
(Z+Al)^!
1
(Z+Al)^!
e-avt sin o)^ —
e-avt sin o)^ —
е-®»' sin о>2/ =а—л4)ш2J
=Е (/)* — 6 (/) —-— e-a,t (о^ costoj/ — Oi sin o^ /) —
2[ (Z + Л4) <1»!
e-®,z (w2 cos <o2/ — a2 sin <o2/) 1.
(Z — 44) ш2j
Рассмотрим частный случай, когда в начальный момент прикладывается э. д. с. Ео, которая затем поддерживается постоянной, т. е. имеет вид (6.2.21). В этом случае получаем ■
91 W=~ СЕ0 Г — е-™11 (wj cosio^-l-a! sin «>i/)4-
o,o,2[ “i
o,
o,
-|—- е~Ш1‘ (<o2cos<o2/-|-a2 sin ш2/) — 2 , t
<02
/6.2.48)
^2 (/) = —^- CE0 — e-™i( (wj cos wvt -|- ax sin ш^) —
— е~“г/ (a>2 COS Ш2/ +«2 sin O)2/) I , ^ ^- 0,“2J
И
/Л/)=— Eo e-ai<sin <Bi/4-
n 72 (Z +Л4)Ю11 ~
-Ie—ait gin O)2/ , / ^- 0, ' (Z —A4)to2J
(6.2.49)
е-а,< sjn w^ —е-а,< sjn w^ —z2(/)=—1
е-а,< sjn w^ —
е-а,< sjn w^ —
v '2 (Z +44)tot
g-®»' sin o)2// >- 0.(Z-Af)to22 J’ /
В пределе можно написать
11m ^i ^=СЕ0, lim^2(/) = lim/1(/) = lim/2(/)=0. (6.2.50)
Этот результат объясняется тем, что при />0 процесс является установившимся.
В случае импульсной в начальный момент времени э. д. с. вида
Ё^=Е0Ъ^(6.2.51)
имеет место переходный процесс, для которого
qi' e-ai<sin
■ Чg-«2< sin ш Л / о, ' (L — AT)^J
(6.2.52)
^2 (/)=-2- £*0 Г- - 1 ч е-^‘ sin ^t - 2 L (L + М^ оц
e—iit sjn (0-/1/ О,
(А — Af) ш2J
И
A W=4" ^о [ 77—4— е~ а‘' (toi cos о>1/ — «1 sin «о,/) +
-Iе-®2* (<о2 cos о>2/ — а2 sin onО,
"—Л1)о)2222"’
(6.2.53)
z2 (^) = 4" Ео [е-111 (oij cos (d^ — а! sin ш^) —
g—а2/ (Ю2 CqS щ^ — ц2 sjn ^Z), / ^. 0. (Z — М) <о2
В пределе будем иметь
Пш5'1(/) = Иш^2(/) = Пш/1 (/) = Ишг2(/)=0. (6.2.54) t^wf-*wt-*eot-*w
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ К ЛИНЕЙНЫМ ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Четырехполюсники
Общие положения
Четырехполюсником называется электрическая система, имеющая два входных (1 и 1') и два выходных (2 и 2') зажима (фиг. 6.9). На фиг. 6.9 представлена блок- схема цепи, состоящей из сопротивления, индуктивности и емкости, которые характеризуют структуру цепи (обоб-
iz(t) 2'
^E/t)
7
2
Фиг. 6.9.
щенную функцию веса). Обозначим через ii^t) и E\(f) соответственно силу тока и э. д. с. на входе (зажимы 1 и Г); эти входные величины являются возбудителями рассматриваемой электрической системы. Силу тока и э. д. с. на выходе (зажимы 2 и 2') обозначим через 12у) и Et^Y, эти величины представляют отклик рассматриваемой электрической системы.
При исследовании электрической системы ставится задача нахождения зависимости между входными величинами и величинами на выходе с учетом структуры системы. Если ищется отклик системы на заданное возбуждение, то говорят, что проводится анализ системы. Если задан отклик системы и ищется возбуждение и структура системы, соответствующие этому отклику, то говорят, что проводится синтез системы. Для исследования этих задач широко используются законы Кирхгофа.
В качестве примеров четырехполюсников отметим фильтры, которые пропускают сигналы определенной частоты, блокируя сигналы других частот.
При исследовании конкретной структуры четырехполюсников с пассивными элементами (для которых коэф-
Фиг. 6.10.Фиг. 6.10.о2о2Фиг. 6.12.Фиг. 6.12.
Фиг. 6.10.
Фиг. 6.10.
о
2
о
2
Фиг. 6.12.
Фиг. 6.12.
/'RLC2'
О11о
/
Фиг. 6.13
фициенты R, L и С постоянны), будем рассматривать элементарные четырехполюсники четырех типов, разделенные на две группы в зависимости от того, как соединены сопротивление, катушка и конденсатор: последовательно или параллельно. Таким образом будет рассмотрена система, представленная на фиг. 6.10, где R, L и С соединены последовательно. В этом случае рассматриваемая система может иметь структуру типа Is (фиг. 6.11, а) или структуру типа IIS (фиг. 6.11, б). На фиг. 6.12 представлена цепь, где R, L, С соединены параллельно. В этом случае имеется структура типа 1Р (фиг. 6.13, а) или структура типа Пр (фиг. 6.13, б). С помощью элементарных четырехполюсников могут быть образованы различные, более сложные системы.
Элементарные четырехполюсники. Сложные четырехполюсники
Для четырехполюсника типа Is (фиг. 6.11, а) можно записать соотношение между £i(/), E2U) и i^t) в виде
(6.3.1) atС
где использован второй закон Кирхгофа. Исключив заряд q^, получим
atat2-atCat
(6.3.1')
Аналогично для четырехполюсника типа 1р (фиг. 6.13, а) имеем
E^-E^-L/(/) + -! q^ (6.3.2)
atG
или
— ExL — i (/)+/? — z (/) 2-z (/).
dtdt vx di x C x
(6.3.2')
Примером сложного четырехполюсника может служить четырехполюсник с сечением вида Т (фиг. 6.14), 17—3677
составленный из двух структур типа Is (структуры 1 и 2) и структуры типа 1Р (структура 3), соединенных цепочкой. Рассматриваемые структуры характеризуются коэффициентами Rj, Lj и Cj (/ = 1, 2, 3).
С помощью первого закона Кирхгофа получим
М=Чк-НМ(6.3.3)
а из второго закона Кирхгофа следует
Е\ (/) = (Aj + А3)+ (Ri + /?3) к W +
at
+) ^1 Ю-^з(^)—^"2 ^к
\Gi G3 /at G3
(6.3.4)
_E2lt>=-L3d44-R3i3^-4<?^WatG3
atC2
Исключая электрические заряды и учитывая соотношение (6.3.3), можно написать
JL-e^-il^l^ к W+IR1+^з) 4"11 ^+at2-at
\ Ci G3 /at2atG3
(6.3.4')
at-1at
+ ('7^ + 77'') О (О — La — к ^ — Ra —тт к W~ г к (О-\ U2 G3/ ^3
Другим сложным четырехполюсником является четырехполюсник, изображенный на фиг. 6.15. Он состоит из двух структур типа 1Р (структуры 1 и 2) и структуры
Фиг. 6.15.
типа Is (структура 2), соединенных цепочкой. Можно получить и другие сложные четырехполюсники, для которых могут быть записаны соответствующие соотношения.
Стационарные системы
Линейные четырехполюсники
Обозначим через <pi(/) одну из входных величин (Jk^ или ii(0) и через фг(О —соответствующую величину на выходе динамической системы (в частности, четырехполюсника). Если входной величине
^«^Vi^+O(6.3.5)
соответствует величина на выходе
?2 (О^Фг^ + Л,(6.3.50
то говорят, что рассматриваемая динамическая система (соответственно четырехполюсник) является стационар-
17»
ной; она соответствует сохранению временной переменной.
Четырехполюсник (в общем случае динамическая система) называется линейным, если входная величина Ф1(0 связана с величиной на выходе фг(О соотношением
<р2(/) = [ K(t, т)^ (т)dx.(6.3.6)
Это соотношение определяет некоторый интегральный оператор U. Тогда можно написать
?2(^) = ^?1(^),(6.3.6')
т. е. этот оператор линейный. Функция КЦ, т) называется ядром интегрального преобразования.
В частности, если входной величиной является э. д. с. £i(Z), то напряжение на выходе дается соотношением
Ei^= J K^t, X^Ev^dX. (6.3.7)
В случае стационарного линейного четырехполюсника, для которого входной величине (6.3.5) соответствует величина на выходе (6.3.5'), можно написать
фИ^ J K^t, t)<p1(r+7)a't=:<p2(/4-7) =
= J К (/4*7 т) <pt (т) t/т.
Произведя замену переменных, получим
J [К(7 т —/) — К(/4*7 t)]®^r)t/t = 0.
Так как ф1(/) является произвольной функцией, а ядро К интегрируемо, то получим
K^t, х-7)=К(,НЁ х).(6.3.8)
Следовательно, ядро К интегрального преобразования является ядром разностного типа и имеет вид K(t—т) ’■. В этом случае между входными и выходными величинами имеет место соотношение
?2W= J K^t— т)<р,(т)йГт= J K^^t—x^dx. (6.3.9)
Таким образом, для установления соотношения между ними с помощью алгебры со сверткой из К'+ удобно, чтобы входные и выходные величины, характеризующие структуру системы, выражались через обобщенные функции.
Фиг. 6.16.Фиг. 6.16.
Фиг. 6.16.
Фиг. 6.16.
Таким образом, для блок-схемы, представленной на фиг. 6.16, с помощью свертки можно написать
ФзЮ-Л*^)*?^)-(6.3.10)
Это соотношение описывает процессы в линейных стационарных четырехполюсниках. Обобщенная функция /<(/) называется обобщенной функцией веса.
Например, э. д. с. на выходе Ег(0 будет иметь вид
Е^=Ке^*Ех (/),Е^=Ке^*Ех (/),(6.3,10')(6.3,10')
Е^=Ке^*Ех (/),
Е^=Ке^*Ех (/),
(6.3,10')
(6.3,10')
где KeW —обобщенная функция веса, соответствующая э. д. с. Аналогично сила тока на выходе
г2 (0— К[ (/) * t\ (f).г2 (0— К[ (/) * t\ (f).(6.3.10")(6.3.10")
г2 (0— К[ (/) * t\ (f).
г2 (0— К[ (/) * t\ (f).
(6.3.10")
(6.3.10")
где KiW —обобщенная функция веса, соответствующая силе тока.
1 Это видно из решения дифференциального уравнения, получающегося дифференцированием равенства (6,3.8) по t. — Прим. рей.
Предположим, что возбуждение имеет вид
ф! (/) = §(/).(6.3.11)
Замечая, что обобщенная функция Дирака является единичным элементом алгебры со сверткой К'+, можно написать
<р2 (/)=А7 (/).<р2 (/)=А7 (/).(6.3.11')(6.3.11')а5Фиг. 6.17.а5Фиг. 6.17.
<р2 (/)=А7 (/).
<р2 (/)=А7 (/).
(6.3.11')
(6.3.11')
а5
Фиг. 6.17.
а5
Фиг. 6.17.
Следовательно, обобщенная функция веса /С (/) является откликом линейного стационарного четырехполюсника на возбуждение (6.3.11) (фиг. 6.17, а). В частности, обобщенная функция веса KeU), соответствующая э. д. с., является откликом четырехполюсника на единичный импульс напряжения, а обобщенная функция веса KtUV соответствующая силе тока, является откликом четырехполюсника на единичный импульсный ток. Если
ЯГ(/)=8(/), (6.3.12)
то получим частный стационарный четырехполюсник, который не преобразует входной сигнал (фиг. 6.17, б). Для него можно написать
Распределитель напряжения
Распределителем напряжения является стационарный фильтр, структура которого показана на фиг. 6.18. С помощью второго закона Кирхгофа получим
Ex^=^Rx-VR^i^b E2it)=R2i(t),(6.3.13)
откуда
E2(f) =—^— Ex^t\(6.3.13')
’ Rx-VR-i
С учетом результатов, полученных в разд. 6.3.2.1, имеем
^^s/A^&^^^e^).(6.3.14)
\-'2/«1 + Л2
Вообще для определения обобщенной функции веса можно применить преобразование Фурье или преобразо-
Фиг. 6.18.
вание Лапласа к сверткам (6.3.10) — (6.3.10"). Для рассмотренного выше случая можно написать
KE'vp^-^-,(6.3.14')
El (Р)
где р— новая комплексная переменная. Таким образом, получается такой же результат.
Фильтр RC нижних частот
Рассмотрим фильтр RC нижних частот, изображенный на фиг. 6.19. Применив к нему закон Ома и второй закон Кирхгофа, будем иметь
Ex^ = R^-^qV\(6.3.15)
at СG
Исключая электрический заряд q^O, получим дифференциальное уравнение
RC-^-E^-WO-E^f),(6.3.16)
at
которое в свертках имеет вид
[/?С8' (/Ж (/)] * Е2^=Ег V).(6.3.16')
Применяя преобразование Лапласа к уравнению
[/?С8' (0 + 8 (/)] * 8 (0 = 8 (/),(6.3.17)
Фиг. 6.19.
которому удовлетворяет фундаментальное решение, получим
№Ж)ад=1,
откуда
В(р)=??.(6.3.18)
v t RGp + 1 RC 1 v ’ p + RC
Фундаментальное решение имеет вид
8^-^ЦПе Rc ,(6.3.19)
а для э. д. с. на выходе можно написать
Е^-^Ц^е Rc *E^t\(6.3.20)
Если Ei (/) — интегрируемая функция, то
Е2(/) = -^-^ ^ ^(/-т)^, />0.(6.3.20'
о
Заметим, что найденное фундаментальное решение является откликом фильтра на единичный импульс входного напряжения. Следовательно, обобщенная функция веса будет иметь вид
’ 0при / <0,
1(6.3.21)
е R" при / >-0.
Изображение по Лапласу обобщенной функции веса называется переходной функцией фильтра RC нижних частот, имеющей вид
KeWKeW1RCp+ 11RCp+ 1(6.3.21')(6.3.21')
KeW
KeW
1
RCp+ 1
1
RCp+ 1
(6.3.21')
(6.3.21')
Фильтр RC верхних частот’
Рассмотрим теперь фильтр RC верхних частот, изображенный на фиг. 6.20. Соответствующие дифференци-
Фиг. 6.20. альные уравнения имеют видФиг. 6.20. альные уравнения имеют вид
Фиг. 6.20. альные уравнения имеют вид
Фиг. 6.20. альные уравнения имеют вид
E.^R-M-^Xq^ E^ = R^L . (6.3.22)at Сat
Исключая электрический заряд, получаем
RC-^r E^tHE^ = RC4- EXVY (6.3.23) atat
Соответствующее уравнение в свертках имеет вид
[/?С8' (/) + 8 (/)] * Е^ — RC-^—Ex^, (6,3,23')
Применяя преобразование Лапласа, получим образ решения в виде (6.3.18). Фундаментальное решение будет иметь такой же вид, как и в (6.3.19), т. е. оно будет удовлетворять уравнению (6.3.17). Таким образом, получим э. д. с. на выходе
Е^ (/) = £(/) * RC — Ех ^=RC — g^t)* Ех (/).
Это позволяет записать обобщенную функцию веса как
в^е Rcв^е Rc
в^е Rc
в^е Rc
или
KE^=^-A-<mv RCKE^=^-A-<mv RC(6.3.24)(6.3.24)
KE^=^-A-<mv RC
KE^=^-A-<mv RC
(6.3.24)
(6.3.24)
Переходная функция будет иметь вид
Re^= ^Ср =1£ RCp + 1Re^= ^Ср =1£ RCp + 11RC р + 11RC р + 1(6.3.24')(6.3.24')
Re^= ^Ср =1£ RCp + 1
Re^= ^Ср =1£ RCp + 1
1
RC р + 1
1
RC р + 1
(6.3.24')
(6.3.24')
а э. д. с. на выходе
Е^ = ЕХ^-6(/) е”1^ * *ЕХ W (6.3.25)
Если, например, входная э. д. с. имеет вид
f1(/)=£'oe(/),(6.3.26)
то получим
Е2 (t^RCS W —Ех ^ = RCE^ (/) * 8 (/),dt
или
Е^Г)=Ей^е RcЕ^Г)=Ей^е RcО при / <0, _ 1 ,(6.3.27)
Е^Г)=Ей^е Rc
Е^Г)=Ей^е Rc
Еое Rc при / >- 0.
Этот результат полезен для дифференцирующих цепочек.
Соединение стационарных фильтров цепочкой
Рассмотрим два стационарных фильтра, изображенных на фиг. 6.21. Первый из них имеет обобщенную функцию веса Кл1Г)> которая преобразует входную величину д>1(£) в величину на выходе ф(/), а второй имеет
о ■
7
Mt)
v(t) 3'
3
* <p(t) О
0
4
Mt)
М^Ц*
0 2
а
б
Фиг. 6.21.
обобщенную функцию веса Кч^, которая преобразует входную величину ф(/) в выходную фг(О- Под соединением цепочкой этих двух фильтров будем понимать кон-
Фиг. 6.22.Фиг. 6.22.
Фиг. 6.22.
Фиг. 6.22.
струкцию, изображенную на фиг. 6.22, у которой входными остаются зажимы 1 и И, а на выходе — зажимы 2 и 2'.
Величины ф1(0> фг(О и ф(/) связаны соотношением
S^=KX (/) *<р[ (/), <р2^) = АГ2^)*<р(^,(6.3.28)
откуда следует
(6.3.29)(6.3.29)К (f)=Kx l^K^tyК (f)=Kx l^K^ty<р2 (/)=К2 (/) * [А'1 (/) * у! ^)] = [/<! (/) * К2 (/)] * Ф1 (/). (6.3.28^ В этом случае может быть записано соотношение вида (6.3.10), соответствующее блок-схеме на фиг. 6.16, для которой
(6.3.29)
(6.3.29)
К (f)=Kx l^K^ty
К (f)=Kx l^K^ty
Применяя преобразование Лапласа, можно найти переходную функцию фильтров, соединенных цепочкой, в виде
К^-Кх^К-М(6.3.30)
Рассмотрим, в частности, фильтр, изображенный па фиг. 6.23. Можно написать уравнения
/ТУ/ТУФиг. 6.23.Фиг. 6.23.
/ТУ
/ТУ
Фиг. 6.23.
Фиг. 6.23.
Е^Ь^^Ч^, E^=-Lq^ (6.3.31)
откуда, исключив электрический заряд, получим дифференциальное уравнение
LC^-EvtHE^ = Ex^ (6.3.32)
и соответствующее уравнение в свертках
[£СГ (/) + §(/)] * Е ^=ЕХ (/).(6.3.32')
Применяя преобразование Лапласа, получаем переходную функцию
R»w=-Ickr- (6-3'33)
Записывая эту функцию в виде
1
К (р) = -J
VTc р2 + (-М
для обобщенной функции веса будем иметь ^£1(О=—^-9^)sin—(6.3.34)
V LCV LC
Э. д. с. Е (/) определяется соотношением
Е^ = —4=г 6 (/) sin —^t*EAt\ (6.3.35)V LCv LC
Если соединить эти фильтры цепочкой (фиг. 6.24), то для обобщенной функции веса, согласно соотношению (6.3.29), будем иметь
Фиг. 6.24.
KE(t)=KE1 (,Г)*Ке2(Г) =*
±= —^ 6 (/) sin —-— / * 9 (/) sin —-— t,V LC V LCV LC
откуда с помощью формулы (1.3.29) получим
KEW = —-— (sin —-— /— t cos —Л • (6.3.36)
2 У LC \У LCV LC V”lC )
Э. д. с. на выходе определяется соотношением
Е^ (/) = — - / sin —-— t^ t cos —-— /^ * Ex (/)
2 VLC \ VLCVLC V LC )
и выражается через входную э. д. с.
Дифференцирующая цепочка
В случае дифференцирующей цепочки входная величина £1(0 (э. д. с) и величина на выходе должны удовлетворять равенству.
£2(/)=t А £,//),(6.3.38)
где т — некоторая постоянная.
Реальная дифференцирующая цепочка
Цепь, изображенная на фиг. 6.20, может быть использована для получения дифференцирующей цепочки. Используя обозначение
t = RC,(6.3.39)
можно записать переходную функцию в виде
'(6'3'40)
Рассмотрим входную э. д. с. вида
£1(/) = £о[0(/)-0(/-/О1],(6.3.41)
постоянную на интервале времени 0 (фиг. 6.25, а). Ее изображение по Лапласу будет следующим:
Фиг. 6.25.
^(/^-^(l-e-"»).
р
С учетом соотношения (6.3.40) изображение по Лапласу э. д. с. на выходе будет иметь вид
Ё2М = - т5°- -Г1 - е-^-)
1 + тр
(6.3.42)(6.3.42)или после обратного преобразования Лапласа
(6.3.42)
(6.3.42)
£'2(/) = £,Д1£'2(/) = £,Д1— е" ) е
£'2(/) = £,Д1
£'2(/) = £,Д1
Из фиг. 6.25, б следует, что напряжение Е2^ является быстро затухающим.
Идеальная дифференцирующая цепочка
Замечая, что обобщенная функция веса KeW равняется э. д. с. на выходе, соответствующей импульсному входному напряжению, и учитывая условие (6.3.38), которому должна удовлетворять дифференцирующая цепочка, получаем
КЕ^) = х — 8(/)=т8'(/).(6.3.43)
'dt
Для переходной обобщенной функции можно написать
КЕ^р^тр.(6.3.44)
Сравнение этого результата с формулой (6.3.40), соответствующей реальной дифференцирующей цепочке, используемой на практике, показывает, что реальная дифференциальная цепочка тем ближе к идеальной, чем меньше т, причем
т<1.(6.3.45)
Следовательно, постоянные коэффициенты R и С связанные с соотношением (6.3.39), должны удовлетворять условию (6.3.45).
ЛИТЕРАТУРА
Arsac J., Transformation de Fourier ct thcorie des distributions, Dunod, Paris, 1961.
Bateman H., Erdelyi A., Tables of Integral Transforms, Vol. I, McGraw-Hill, New York— Toronto — London, 1954.
Bochner S., Vorlesungen fiber Fouriersche Integrale, Leipzig, 1932; есть русский перевод: Бохнер С., Лекции об интеграле Фурье, Физматгиз, М., 1962.
Bouix М., Les fonctions generalisees on distributions, Masson et Cle, 1964.
Bremermann H., Distributions, Complex Variables and Fourier Transforms, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Massachusetts, 1965; есть русский перевод: Бремсрман Г., Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье, изд-во «Мир», М., 1968.
Cristescu R., Elemente de analiza func(ionala ?i introducere in teo- ria distributiilor, Editura tehnica, Bucure?ti, 1966.
Cristescu R., Analiza functionala, Ed. 2, Editura didact. $i ped., Bucure?ti, 1970.
Cristescu R., Marinescu Gh., Applications of the theory of distributions, Editura Academiei, Bucure^ti; Wiley, London, New York — Sydney — Toronto, 1973.
Dirac P. A. M., The Principles of Quantum Mechanics, Ed. 3, N. Y., 1947; есть русский перевод: Дирак П., Принципы квантовой механики, Фнзматгиз, М., 1960.
Диткии В. А. Прудников А. П.. Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2-е изд., Фнзматгиз, М., 1974.
Doetsch G., Handbuch der Laplace Transformation, Vol. 1—III, Verlag Birkhauser, Basel, 1950—1956.
Dunford N., Schwartz J., Linear Operators, N. Y., 1968; есть русский перевод: Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы, изд-во «Мир», М., 1974.
Fodor G., Laplace Transforms in Engineering, Akademiai Kiado, Budapest, 1965.
Garsoux J., Espaces vectoriels topologiques et distributions, Dunod, Paris, 1963.
Гельфанд И. M., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, т. I- IV, Физматгпз, М., 1958—1961.
Halperin L, Introduction to the Theory of Distributions, Toronto, 1952.
Horniander I., Linear Partial Differential Operators, SpringerVerlag, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1964; есть русский перевод: Хёрмандер А., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, изд-во «Мир», М., 1968.
Иваненко Д., Соколов А., Классическая теория поля (новые проблемы), Гостехиздат, М. — Л., 1951.
Jantscher L., Distributionen, Walter de Gruyter, Berlin — New York, 1971.
Kees W., Teodorescu P. P., Applications of the Theory of Distributions in Mechanics, Editura Academiei, Bucure^ti; Abacus Press, Tunbridge, Wells, Kent, 1974.
Kneschke A., Differentialgieichungen und Randwertprobleme, Vol. I—III, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1960—1962.
Lavoine J., Calcul symbolique des distributions et des psёudofon• ctions, Paris, 1962.
Marinescu Gh., Espaces vectoriels pseudotopologiques et theorie des distributions, VEB Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1963.
Mikusinski J„ Operational Calculus, Pergamon Press — PWN Polish Sci. Publ., Oxford — London — Edinburgh — New York, Toronto — Sydney — Paris— Braunschweig, 1959; есть руский перевод: Микусинский Я., Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956.
Nicolescu М„ Analiza matematica, Vol. I—III, Editura tehnica, Bucure^ti, 1957—1960.
Alariu V., Ecuatii cu derivate partiale. Solutii generalizate, Vol. I— II, Editura Universitatii, Bucure^ti, 1970—1971.
Pol B. van der, Bremmcr IL, Operational Calcululs Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge at the Univ. Press, 1950.
Schwartz I.., Theorie des distributions. Vol. I—II. Hermann, Paris, 1950—1951.'
Schwartz L., Methodes mathematiques pour les sciences physiques, Hermann, Paris, 1961.
Sneddon J., Fourier Transforms McGraw-Hill, New York — Toronto— London, 1951; есть русский перевод: Снеддон И., Преобразование Фурье, ИЛ, М., 1957.
Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950.
Sommerfeld A., Partielle Differentialgleichungen der Physik, Ed. 5, Akad. Verlagsgesellschaft Geest Portig K.— G., Leipzig, 1962.
Teodorescu N., Olariu V., Ecuafiile fizicii matematice, Editura didactica pedagogica, Bucure^ti, 1970.
Teodorescu P. P., ProHeme spatiale in teoria elastcitatii, Editura Academiei, Bucure?ti, 1970.
Teodorescu P. P., Dynamics of Linear Elastic Bodies, Editura Academiei, Bucure^ti; Abacus Press, Tunbridge Wells, Kent, 1975.
Tocaci E., Fenomene discontinui in mecanica $i rezistenja materia- lelor, Editura Academiei, Bucure^ti, 1974.
Владимиров В. С., Уравнения математической физики, изд-во «Наука», М., 1971.
Yosida К-, Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin — Gottingen— Heidelberg, 1965; есть русский перевод: Иосида К-, Функциональный анализ, изд-во «Мир», М„ 1967.
Zemanian А. Н., Distribution Theory and Transform Analysis, McGraw-Hill, New York — Saint Louis — San Francisco — Toronto— London— Sydney, 1965.
Zemanin A. H., Generalized Integral Transformations, Intersci Publ., Wiley, New York — London — Sydney — Toronto, 1968; есть русский перевод: Земанян А. Г., Интегральные преобразования обобщенных функций, изд-во «Наука», М., 1974.
Kees W., Produsul de convolute $i unele aplicajii ale lui, Editura Academiei, Bucure^ti, 1978.
Teodorescu P. P., Ilie V., Teoria elasicitatii, ^i introducere in meca- nica solidelor deformabile, Vol. I Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1976.
Годунов С. К., Уравнения математической физики, изд-во «Наука», М., 1971.
Розеиберг А. С., Яхинсон Б. И., Переходные процессы и обобщенные функции, изд-во «Наука», М., 1966.
Диткин В. А., Прудников А. П„ Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2-е изд., изд-во «Наука», М., 1974.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, изд-во «Наука», М., 1976.
Штоколо И. 3., Операционное исчисление, изд-во «Наукова думка», Киев, 1972.
Antosik Р., MikusinsKi J., Sikorski R., Theory of Distributions, Elsever Scientific Publishing Co., PWN, Amsterdam — Warszawa, 1973; есть русский перевод: Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р., Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход, М., изд-во «Мир», 1976.
Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, изд-во «Наука», М., 1976.
Лазарян В. А., Конашенко С. И., Обобщенные функции в задачах механики, изд-во «Наукова думка», Киев, 1974.
51*. Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразоваиия, изд-во «Наука», М., 1971.
52*. Шварц Л., Математические методы для физических наук, изд-во «Мир», М., 1965.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра 191
— коммутативная 192
— с единицей 192
— со сверткой 193
Анализ системы 487
Апериодический разряд (конденсатора) 480
Балка 342
— прямая 342
Бинормаль 309
Больцмана интегральное соотношение 418
в пространстве обоб
щенных функций 419
Вариации постоянных метод 182
Вектор напряженности 436
— свободный 265
— связанный 254
— скользящий 265
Векторное поле, эквивалентное связанному вектору 255
—пространство 17
Векторы эквиполентные 261
Взаимная индукция 457
Винт 259
Возбудители электрической системы 487
Вращательный сосредоточенный
момент 272, 369, 407, 415
Вронскиан 178
Входные величины 487
Вязкость 394
Вязкоупругая модель Кельвина 421
— — Максвелла 422
Вязкоупругое тело 417
Гиперповерхность 115
Гипотеза плоских сечений 348
Гистерезис 360
Главная нормаль 309
Главное значение в смысле Коши 43
Голономные связи 354
Градиент перемещения 360
Гюйгенса принцип 431
Движение абсолютно твердого тела 359
Дельта-функция (6-функция
Дирака) 14
Дельтообразная последовательность 87
Деформируемое твердое тело 360
Динамическое равновесие 394
Диполь сосредоточенных сил 279
отрицательный 280, 281
положительный 280
Дипольный сосредоточенный
момент линейный 279
плоский 282, 283
отрицательный 285
положительный285
пространственный 286
отрицательный 288
положительный 287
Дифракционная картина на бесконечности 431
— решетка 436
Дифракционное плоское отверстие 431
Дифракция 431
— Френеля 434
Дифференциал обобщенной функции 53
Дифференцирующая цепочка 502
идеальная 503
Доплера эффект 424
Евклидово пространство 16
действительное 16
Емкость конденсатора 456
Жесткие тела 360
Задача двухточечная 215
— Коши 215, 239, 444
— многоточечная 215, 219
— смешанная 221
Закон Гука 358, 363
— Ома 456
— эквивалентности действия силы 271
Законы Кирхгофа 456
Идеально упругое тело 360
Изображение (по Лапласу)
146
Изотропное тело 360
Импульс силы добавочной 320
обобщенной 320
обычной 320
Индуктивность катушки 456
Интеграл момента силы доба
вочной 321
обобщенной 321
обычной 321
Интегралы Римана 297
—Стилтьеса 297
Интегральные уравнения Воль-
терры второго рода 202, 206
первого рода 201, 203
-—нелинейные 201
однородные 202
Интегро-дифференциальные
уравнения типа свертки 212
Каноническое представление центра вращения 276
—расширения плоского 285
— — — расширения пространственного 288
Квазиупругая сила отталкивания 337
притяжения 337
Кельвина вязкоупругая модель 421
Кинетическая энергия материальной точки 323
системы материальных точек 356
Компактное множество 17
Компактный носитель 17
Колебания апериодические 481
— незатухающие 480
Колебательный контур 475, 481, 483
Количество движения материальной точки 319
Консоль 349
Коэффициент Пуассона 363
— теплопроводности 232
Коэффициенты затухания 451
—квазиупругие 401
Краевые условия 214
Лапласа преобразование 145, 189
итерированное 154
обобщенной функции 148
обобщенной функции медленного роста 15о
обратное 147
функции 146, 152
Лннейиое вязкоупругое тело 417
— пространство 17
Максвелла вязкоупругая модель 422
Масса полная 116, 289, 298, 299, 300
Матрица обобщенных функций регулярных 447
— сингулярных 447
— фундаментальных решений плоской динамической задачи теории упругости 416
Меры 28
Метод вариации постоянных 182
— интегральных преобразований 188
Механические колебания 449
Множество компактное 16
— натуральных чисел N 42
— нулевой меры 39
— пренебрежимое 39
— целых неотрицательных чисел No 42
Модуль сдвига 363
— Юнга 363
Момент диполя 306
системы точек порядка р 289
Моменты инерции осевые 294
относительно плоскостей 294
полярные 293
центробежные 294
порядка второго 289
— порядка первого 289
Мотор 259
Направленный сосредоточен
ный момент 265, 266, 368
первого порядка 269
порядка п 269
Напряжения 358, 360
— касательные 363
— начальные 359
— нормальные 363, 371
Начальные условия типа Коши 333
Нейтральная ось 348
Нить 343
Норма 16
Носитель компатный 17
— обобщенных функций 48
— основных функций 16
Область 23
Обобщенная производная 53
—реакция связей 318
— сила 318
Обобщенная функция 13, 27
бесконечного порядка 28
Грина 250
действительная 28
Дирака 28
комплексная 28
комплексно-сопряженная
31
■конечного порядка 28
медленного роста 28, 137
нулевая 47
однородная степени X 124
первообразная 171
периодическая 85
полярного статического момента (соответствующая полярному статическому моменту) 293, 298, 299
плоских статических моментов 293
положительная 50
— — регулярная 34
— — — медленного роста 34
сингулярная 35
с ограниченным носителем 29, 137
соответствующая полярному моменту инерции 298, 299 сосредоточенная на гипер
поверхности 116, 117
-кривой 116, 298
—-множестве 48, 115, 116
— — — — области 117
типа обычной функции 34
Хевисайда 41
четная 43
1
Р — 46
г
1
Р 46
х
Vp— 43
х
— vp>3
Обобщенное решение дифференциального уравнения 179
операторного 222
Обобщенные координаты 354,
443
— функции сложные 53
Обратимость явления 361
Однородное тело 360
Оператор Даламбера 225
— Лапласа 225
— линейный дифференциальный 222
— Николеску 232
Оригинал (функция) 146
Осевые моменты инерции 294
Основная краевая задача теории упругости вторая 364 первая 363 — смешанная 364
Основное пространство 16
Кт 16
К 21
S 24
Ф 27
Основные функции (класса С"1) 16
Отклик электрической системы 487
Падение напряжений 456
Первообразная обобщенной функции 171
первого порядка 171
порядка m 171
Перемещение точки 360
Перемещения обобщенные 395 408
Плоские статические моменты 290
Плотность 232
объемная континуума двумерного 299
одномерного298
трехмерного300
электрическогодвойного слоя на кривой 312
поверхности 313
диполя 307
простого слоя 308
связанного вектора линейная 255
объемная 257
Показатель роста функции 143
Поле перемещений 360
Полярный момент инерции 293 298, 299, 300
статический 290, 298, 299, 300
Последовательность дельтообразная 87, 88
Постановка задачи теории упругости линейной динамической 396
плоской в перемеще
ниях 408
Потенциал электрического поля 437
Предел в смысле теории обобщенных функций 91 (см. также Сходимость в пространстве обобщенных функций)
Преобразование Карсона (Лап
ласа— Карсона) 145
Лапласа 145 (см. Лапласа преобразование)
подобия 37
симметрии 38
— Фурье 130 (см. также Фурье- преобразование)
косинус 132
обратное 131
синус 131
экспоненциальное 130
Принцип Гюйгенса 431
Проводимость обобщенная, соответствующая заряду 459
силе тока 461
цепи RLC 461
— операторная, соответствующая заряду 462
силе тока 463
цепи RLC 463
Производная в смысле теории обобщенных функций 57
— обобщенной функции 53
— по направлению 267
смешанная 269
Произведение прямое обобщенных функций 105, 136
Пронстранство векторное 17
топологическое 17
— евклидово 16
— линейное 17
— основное К"1 16
К 21
S 24
Ф 27
комплексное Z 135
— полное 30
— сопряженное 28
— топологическое 17
— упругое 365
Процесс переходный 477
— установившийся 477
Работа силы добавочной 322
обобщенной 322
обычной 322
Радиус-вектор 316
Радиус кривизны 309
— кручения 309
Разбиения единицы теорема 24
Распределитель напряжения 494
Реакция связей 335
Регуляризация 45
Решение задачи Коши фундаментальное 239
— уравнения дифференциального общее 180
фундаментальное 180
общее 180
частное 180
частное 180
элементарное 180
в свертках фундаментальное 196
элементарное 196
Ряд Фурье 87
Свертка функций 108
обобщенных ПО, 137
Свертки единица 111
Свободные колебания поперечные 351
Собственные колебания поперечные 351
Сдвиг обобщенной функции 32, 36
Сдвиговые деформации 361
Сила тока 455
Силы консервативные 397
— объемные 363
Сингулярная часть обобщенной функции Грина 251
Синтез системы 487
Скалярное произведение 16, 322
Скорость 317
— распространения волн поперечных 227
продольных 227
Соотношения Коши 361
Сопротивление (электрическое) 456
— полное цепи RLC 461
операторное активное 463
■двух элементов, соеди
ненных параллельно 465
последовательно 464
емкостное 464
индуктивное 464
цепи RLC 463
Сосредоточенная сила 264, 367
401
импульсная 402
■периодическая 264
Сосредоточенные нагрузки 264
Состояние деформированное 359
плоское 371, 373, 380
—естественное 418
— напряженно-деформированное 360
— напряженное 360
плоское 371
обобщенное 371
Сохоцкого соотношения 65
Сплошная среда 359
Срединное волокно 348
Статические моменты 289, 230
- плоские 290
полярные 290
Статический момент кривой 118
Стационарная система 491, 492
Стержень 342
Структура цепи 487
Струпа 343
Сходимость в обобщенном смысле 92
пространстве обобщенных функций 30
— слабая 30
Температуропроводность 232
Тензор деформаций 361
— Кронекера 363
— Леви-Чевиты 361
— напряжений 363
— симметричный 361
— фундаментальных решений для задачи, поставленной в напряжениях 367
— упругого пространства 365
Тензорное умножение 104
Теооема дифференцирования 148
изображения 146, 154
— запаздывания 148
— затухания 149
— Карно 330
—Кельвина 331
— об изменении количества движения 324
кинетической энергии 326
момента количества движения 325
— подобия 148
— разбиения единицы 24
— смещения 149
Теплоемкость 232
Топологическое пространство 17
Траектория 316
Торсор 259
Удар 327
— связей 332
Ударный импульс 328
Удлинения 361
Ультраобобщенные функции 135
Умножение прямое 104
— тензорное 104
Упругая линия балки 348
— плоскость 373
— полуплоскость 380
Упругие константы 372
•обобщенные 372
— постоянные Ламе 363
Упругое пространство 365
Уравнение волновое 225
— в свертках 195
— гиперболического типа 225
—Гельмгольца неоднородное 234
однородное 236
— колебания струны 248
— обобщенное Пуассона 234
— параболического типа 232
— Пуассона 234, 437
— Фурье распространения тепла 232
—Эйлера 123
— эллиптического типа 234
Уравнения Лагранжа 355, 443
в обобщенных функциях 444
Уравнения движения 394
— Лагранжа 355, 443
в обобщенных функциях 444
— Ламе 364
Условия для изгибающего момента и перерезывающей силы 350
— защемления 350
— краевые 214, 395
— на контуре 222
— начальные 215, 395
— неразрывности деформаций (совместности) 361
— типа Коши 215
Фильтр 487
— RC верхних частот 497
нижних частот 495
Формула Даламбера 243
— Френе 309
—Эйлера 133
Формулы разложения 75
— Чезаро 362
Фундаментальная матрица системы уравнений 176
Фундаментальное решение динамической задачи теории упругости 238
задачи Коши 239
для колебания струны 248
линейного дифференциального оператора 223
уравнения в свертках 196
дифференциального 180
в смысле теории обобщенных функций для упругой плоскости 374
по.
луплоскости 381
общее 180
частное 180
Функционал 27
— действительный 27
— линейный 28
— непрерывный 28
— стационарный 355
Функция, абсолютно интегрируемая 33
— веса обобщенная 487, 493
— Грина 250
— Дирихле 40, 92
— единичная Хевисайда 41
— импульсная 90
— интегрируемая 33
— Коши 93
— локально интегрируемая 33
— нечетная 132
— нулевая почти всюду 39
— обобщенная (см. Обобщенная функция)
— однородная степени А 123
— ползучести 417
—распределения света 431
—релаксации 417
■— Стилтьеса 93
— ультраобобщенная 135
— характеристическая отрезка 49
—четная 131
Функции кусочно дифференцируемые 58
— равные почти всюду 39
Фурье-преобразование 130, 189
— функции 130
обобщенной 136
медленного роста 137
с ограниченным носите
лем 137
—6 (у) по двум перемен
ным 144
—■■—косинус 131
—■ — обратное 131
— — синус 131
экспоненциальное 130
Характеристическая функция отрезка 49
Центр вращения 272, 369
— расширения плоский 282, 283
пространственный 286, 288, 404
— сжатия плоский 285
— — пространственный 288
Центробежные моменты инерции 294
Цепи с сосредоточенными параметрами 477
Частота отрицательная 468, 469
— положительная 468
Четырехполюсник 487
— линейный 492
стационарный 492
— сложный 489
— с пассивными элементами 488
— с сечением вида Т 489
Эйлера уравнение 123
—■ формула 133
Электрический двойной слой на кривой 310
поверхности 312
— заряд 304, 455
Элементарное решение уравне
ния в свертках 196
— дифференциального 180
Эффект Доплера 424
Юнга модуль 363
Ядро интегрального преобразования 492
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие авторов к русскому изданию 8
ПредисловиеЮ
Глава 1. Элементы теории обобщенныхфункций13
Понятие обобщенной функции. Свойства. Операции 13
Введение13
Основные функции и основные пространства16
Пространство обобщенных функций27
Примеры обобщенных функций31
Линейные преобразования переменных ...35
Г. 1.6. Равенство обобщенных функций38
Дифференцирование обобщенных функций. Дельтообразные последовательности 52
Дифференцирование обобщенных функций . . . 52
Формулы разложения некоторых обобщенных функций 75
Обобщенные функции с компактным носителем. Периодические обобщенныефункции81
Дельтообразные последовательности87
Прямое произведение. Свертка104
Прямое произведение104
Свертка108
Обобщенные функции, сосредоточенные на кривых, поверхностях и объемах. Однородные обобщенные функции115
Обобщенные функции, сосредоточенные на кри
вых, поверхностях и объемах115
Однородные обобщенные функции123
Интегральные преобразования обобщенных функций 130
Преобразование Фурье130
Преобразование Лапласа145
Некоторые полезные формулы158
Производные некоторых часто используемых обобщенных функций158
Преобразование Фурье некоторых часто используемых обобщенных функций161
Преобразование Лапласа некоторых часто используемых обобщенных функций165
Глава 2. Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях 168
Обыкновенные дифференциальные уравнения . . . . 168
Общие результаты. Фундаментальные решения 168
Методы решения182
Уравнения в свертках191
Свойства уравнений в свертках191
Интегральные уравнения201
Задача Кошн и многоточечные задачи для дифференциальных уравнений 214
Обыкновенные дифференциальные уравнения 214
Дифференциальные уравнения в частных производных 222
Функции Грина. Обобщенные функции Грина 250
Глава 3. Представление некоторых механических и физических величин обобщенными функциями254
Представление связанных векторов обобщенными функциями 254
Представление связанного вектора254
Сложение связанных векторов260
Представление сосредоточенных нагрузок и непрерывно распределенных нагрузок обобщенными функциями 264
Сосредоточенные моменты265
Диполи сосредоточенных сил279
Представление моментов системы материальных точек обобщенными функциями288
Дискретные системы материальныхточек...289
Непрерывные системы материальныхточек..297
Представление некоторых электрических величин обобщенными функциями304
Электрические заряды 304
Электрический слой на кривой или на поверхности 307
Глава 4. Применении теории обобщенных функций в механике 315
Общие теоремы механики315
Механические величины, представляемые 'обобщенными функциями 315
Общие теоремы механики материальной точки 323
Общие теоремы механики в случае столкновений 327
Задачи типа Коши332
Динамикаматериальной точки332
Линейныеколебания337
Нити. Балки342
Системы материальных точек с переменными массами353
Краевые задачи теории упругости358
Статические задачи для линейных упругих тел 358
Динамические задачи для линейных упругих тел394
Задачи линейной вязкоупругости417
Глава 5. Применения теории обобщенных функций в физике 424
Применения теории обобщенных функций в акустике 424
Эффект Доплера для одномерной акустической
волны424
Эффект Доплера при ветре426
Применения теории обобщенных функций в оптике 430
Явление дифракции на бесконечности431
Дифракция Френеля434
Напряженность и потенциал электростатического поля436
Соотношения между напряженностью и потенциалом поля, создаваемого электрическим зарядом, и объемной плотностью этого заряда . . 436
Линейные колебания в физике443
Общие результаты . 413
Применения для исследования механических колебаний .449
Глава 6. Применения теории обобщенных функций в электротехнике 455
Сила тока и электрический заряд. Полное сопротивление и проводимость электрическихцепей455
Сила тока и электрическийзаряд455
Полное сопротивление и проводимость электри
ческих цепей459
Отрицательные частоты467
Применения теории обобщенных функций в электрических цепях471
Задачи Коши для цепи RLC471
Установившиеся процессы. Переходные процессы 477
Применение теории обобщенных функций к линейным динамическим системам487
Четырехполюсники487
Стационарные системы491
Дифференцирующаяцепочка502
Литература503
Предметный указатель 508
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,качестве перевода и другиепросим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП,
1 Рижский пер., 2, издательство «Мир»
В. Кеч, П. Теодореску
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ В ТЕХНИКЕ
Редактор Л. Якименко
Художник Б, Федоров
Художественный редактор Л. Безрученков Технический редактор Е. Потапенкова Корректор В. Соколов
ИБ 1406
Сдано в набор 19.12.77.
Подписано к печати 27.07.78
Формат 84Х108’/з2. Бумага типографская № I. Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 8,13 бум. л. Усл. печ. л. 27,30. Уч.-изд, л. 22,36 Изд. № 20/9526. Тираж 9 000 экз. Зак. 3677. Цена 1 р. 90 к.
Издательство «Мир»
Москва, 1-н Рижский пер., 2
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Хохловский пер., 7.
Ч-^ь х2,..., х„) =pi'p2*.. -ркпп-
1 В отечественной литературе торсор, т. е. совокупность вектора и момента (Q, м), отнесенную к некоторой точке О, называют мото
W. KECS
P. P TEODORESCU