ГЛАВА IX

Банаховы алгебры

Предварительные сведения

В математическом анализе часто встречаются классы функций, представляющие собой алгебры. Так, хорошо известными примерами алгебр могут служить классы, состоящие из всех ограниченных функций на некотором множестве, непрерывных ограниченных функций на топологическом пространстве, функций ограниченной вариации, почти периодических функций, функций, обладающих несколькими непрерывными производными, и аналитических функций. Во всех перечисленных случаях алгебраические операции являются обычными операциями над функциями и выполняются по правилам •

(a/) (з) = а/ (з), (/ + g) (s) = f (s) + g (s), (fg) (s) = f (s) g (s).

Некоторые распространенные функциональные пространства, такие, например, как Л^ —оо, со), незамкнуты относительно естественных алгебраических операций (произведение двух интегрируемых функций не обязательно интегрируемо), но тем не менее являются алгебрами относительно других, также весьма употребительных операций. Так, пространство Л^ —со, со) превращается в алгебру, если в качестве умножения на скаляры и сложения принять обычные операции, а произведение двух функций /, g€£i( — оо, оо) определить как их свертку:

(f*g)(s) = J /(s — t)g(t)dt.

Итак, многие линейные пространства, с которыми мы сталкиваемся в математике, при том или ином определении операций являются также и алгебрами. Настоящая глава содержит аксиоматическое изложение теории некоторых типов алгебр, встречающихся в анализе. Многочисленные приложения общей теории к изучению различных конкретных алгебр читатель найдет в следующих двух главах.

Определение. Алгебра Ж с единицей е над полем комплексных чисел называется банаховой алгеброй, или В-алгеброй, если она снабжена нормой | • |, удовлетворяющей соотношениям

|^| = 1, |яу|^И1у|, х, у С Ж,

и является относительно этой нормы 6-пространством. Банахова алгебра Ж коммутативна, если ху = ух для всех х, y^U. Инволюцией в 6-алгебре Ж называется такое отображение х-^х* алгебры Ж в себя, что

(х + уу = х* + у*,(ху)* = у*х*,

(ах)* = ах*, (х*у = х.

Все упомянутые выше алгебры функций, за исключением L^ — oo, со) и алгебры аналитических функций, являются коммутативными 6-алгебрами с инволюцией х* (s) = x(s). Пространство Lt ( — оо, со) со сверткой в качестве умножения представляет собой коммутативную алгебру с инволюцией f* (s) = f ( — s), но не 6-алгебру, ибо, в А^ —со, оо) отсутствует единичный элемент. Покажем, как присоединить к такой алгебре единицу, чтобы получить 6-алгебру. Пусть алгебра Ж не имеет единицы, но удовлетворяет всем остальным аксиомам 6-алгебры. Положим Ж^ФхЖ, где Ф —поле комплексных чисел; таким образом, Ж! состоит из всевозможных упорядоченных пар [а, х], где а£Ф, х £ Ж. Операции и норму в Ж! определим следующим образом:

[а, х] + [р, у] = [« + Р, x-VtiA.[а, х][р, у] = [оф, ау + рх + ху],Z[a, x] = [Za, Zx], | [а, х]| = |а| + |х|.

Очевидно, что Ж1 представляет собой 6-алгебру с единицей е = = [1, 0], причем |^| = 1, и что отображение х —> [0, х] является изометрическим изоморфизмом алгебры Ж в Жр

Имеется еще один тип алгебр, не являющихся банаховыми, но тем не менее таких, что их изучение с алгебраической и топологической точек зрения может быть сведено к изучению 6-ал- гебр. Пусть комплексное 6-пространство Ж является в то же время алгеброй с единицей е над полем комплексных чисел. Мы не требуем выполнения условий | е | = 1 и | ху | < х 11 у |, но предполагаем, что | е | ^ 0 и что произведение ху непрерывно по каждому из сомножителей при фиксированном другом. Определим отображение т : х —> Тх алгебры Ж в алгебру В (Ж) всех линейных непрерывных операторов, действующих в 6-простран- стве Ж, положив Тху = ху. Ясно, что отображение т является

(алгебраическим) изоморфизмом алгебры ЗЕ и подалгебры т (ЭЕ) алгебры 6 (ЗЕ). Покажем, что т —также и гомеоморфизм; это будет означать, что алгебра ЗЕ топологически и алгебраически эквивалентна 6-алгебре т(ЗЕ). Так как | х | =- [ хе | = | Тхе | С | е | • | Тх |, то обратное отображение т-г:Тх—>х непрерывно. Чтобы доказать непрерывность т, покажем сначала, что множество т (ЗЕ) замкнуто в 6 (ЗЕ). Для этого заметим, что оператор Т из 6 (ЗЕ) принадлежит т(Ж) тогда и только тогда, когда (Ty)z = T(yz) для всех у, 2 g ЗЕ. Действительно, если последнее условие выполнено, то, полагая х = Те, имеем Ту = Т (еу) = (Те) у = ху, так что Т = Тх^х(^)). Если теперь Тп£т($) и Т^—^Т, то из соотношений

(Ту) z = lim (Т^у) z = lim Т^ (yz) = Т (yz)

следует, что Т^х^)*, таким образом, т (ЭЕ) замкнуто. Поэтому т —взаимно однозначное линейное отображение 6-пространства ЗЕ на 6-пространство т (ЭЕ), а так как обратное отображение т-1 непрерывно, то по теореме П.2.4 о замкнутом графике т является гомеоморфизмом. Итак, доказано, что алгебра ЗЕ топологически и алгебраически эквивалентна 6-алгебре т (ЗЕ).

Это рассуждение показывает, в частности, что каждая банахова алгебра ЗЕ изометрически изоморфна подалгебре т (ЭЕ) с единицей / алгебры 6 (ЗЕ) всех непрерывных линейных операторов, действующих в 6-пространстве ЗЕ. В связи с этим желательно было бы показать, что оператор Тх из т(ЗЕ) обратим в 6 (ЗЕ) тогда и только тогда, когда элемент х имеет обратный в ЗЕ, причем если обратный оператор Тхх существует и принадлежит 6 (ЗЕ), то Тхх = Тх-1^т('$,). Ясно, что если х-1 существует, то ТХ-ТГХ = "TxTx-i — I. Если Тхх существует в 5 (ЭЕ), то

Тх [(^у) 2] = у2, (Т^у) z = Т"1 (yz),

и если а = Тхге, то az^T~xz для всех 2 g ЭЕ. Кроме того, ха = Тха = е = Тхх (Тхе) = Т”1 (ех) = (Т^е) х = ах.

Следовательно, х~х = а существует и Txxz = x~xz.

Определение. Элемент х банаховой алгебры ЭЕ называется регулярным, если существует обратный к нему элемент х-1, и сингулярным в противном случае. Спектр с(х) элемента х состоит из тех комплексных чисел X, для которых элемент Хе — х сингулярен. Число |а(х)| = sup |%| называется спектральным

*К^.о^х)

радиусом элемента х. Резольвентное множество q(x) есть дополнение Ф — о(х) спектра а(х). Функция х(Х) = (Хе — х)-1, определенная для ZCq(x), называется резольвентой элемента х. Элемент х назовем правым {левым) топологическим делителем нуля, если в $ найдется такая последовательность ^хп^ с | хп | = 1, п—\, 2,..., что х1гх—>0 (соответственно ххп —>0). Если элемент х является как правым, так и левым топологическим делителем нуля, то он называется двусторонним топологическим делителем нуля.

Предыдущее рассмотрение показывает, что о{х) = а{Тх) и р (%) = q {Тх); здесь ст {Тх) и р {Тх) — соответственно спектр и резольвентное множество оператора Тх, см. VII.3.1. Оно позволяет также получить ряд утверждений, относящихся к В-алгеб- рам, в качестве следствий из соответствующих результатов теории операторов. Но поскольку непосредственные доказательства этих утверждений, по преимуществу, вполне элементарны, мы, полноты ради, приведем их здесь.

Лемма. Мультипликативная группа G регулярных элементов В-алгебры Ш открыта в Ж, и отображение х—>х-х является гомеоморфизмом G на себя.

Доказательство. Покажем сначала, что группа G содержит шар {х| \е — х|< 1}. В самом деле, при \е — х|<1 ряд у =

— 2 Vе-ХТ сходится (здесь, по определению, а° = е). Поэтому п=0

ух — ху = у — (е — х)у = 2 (е — *)”- 2 (е — х)п = е. п=0 п=1

Следовательно, у = х~х и

Iх"1-ei=| 2 (е~*)n[< 11|е_хр-П=1

Таким образом, множество G содержит окрестность единицы и х"1 является непрерывной функцией от х в точке х — е. Пусть теперь x^G и | у — х | < | х"11-1. Тогда

lx"1# ——^l^lx-1!!?/—х|< 1,

и, следовательно, как только что было доказано, x"xy^G, откуда y^G. Если уп —>у, тоупу~х->е, и потому уу^1 = {УпУ"1)"1 —>е; следовательно, z/n1—>у\ ч. т. д.

Лемма. Каждая граничная точка группы регулярных элементов В-алгебры является двусторонним топологическим делителем нуля.

Доказательство. Пусть x^.G, xn£G, хп—>х. Если последовательность {|ХпЧ} ограничена, то Хп1х — е = Хп1(х — хп')—>0 и по лемме 3 x^x^G для больших п. Это противоречит условию x^G. Следовательно, последовательность {IХп11} неограничена, и мы можем считать, что ] х^11 —>оо. Пусть уп = хй1<\ хй1 [, так что |z/nl = l; тогда

Упх = Уп(х хп) + 7 ^Г > ^’

^Уп == ^ ^п) Уп "4" ~ -1. О,

это означает, что х — двусторонний топологический делитель нуля, ч. т. д.

Лемма. Спектр а (х) элемента х банаховой алгебры является непустым ограниченным замкнутым множеством. Резольвента х (X) = (Хе — х)"1 элемента х аналитична на множестве 2 (х), стремится к 0 при | X | —> оо и удовлетворяет соотношению

х (%)—х(р) = (р —Z)x(Z)x(p), %, p^QW-

Доказательство. To, что множество q(x) открыто и, следовательно, а (х) замкнуто, следует из леммы 3. Эта лемма показывает также, что Хе —х ^Х(е —xjX) ^G для больших X (ибо для больших X элемент е — х)Х близок к е), откуда вытекает ограниченность множества о(ху Так как е — х/Х—>е при |Х| —> оо, то по лемме 3 х (X) = V1 (е — х/Х)'1 —» 0 при |Х|—>оо. Для любых Z,pgp(x) элементы х(р) и х(Х) коммутируют, и

(Хе — х) х (X) х'(р) = х (р),

(ре —х) х (X) х (р) = x(Z), х(р) — х (Х) = (Х— р) х (X) х (р), откуда

Согласно лемме 3, функция х(Х) непрерывна при Z£q(x); поэтому последнее равенство показывает, что х'(Х)=—х(Х2) и, следовательно, резольвента x(Z) аналитична на множестве q(x).

Наконец, если спектр or (х) пуст, то для любого линейного функционала х* на $ функция х*х(Х) аналитична для всех X и равна 0 на бесконечности; поэтому она равна 0 тождественно. Поскольку в качестве х* можно взять любой элемент сопряженного пространства X*, то отсюда следует (см. II.3.15), что 0 = х (X) = х (X) (Хе — х) = е, но это противоречит предположению 1^1 = 1.

Теорема. Если В-алгебра не содержит отличных от О двусторонних топологических делителей нуля, то она изометрически изоморфна полю комплексных чисел.

Доказательство. Пусть х^Ж. Согласно лемме 5, спектр о£(х) непуст и ограничен, так что найдется точка X, принадлежащая его границе. Тогда по лемме 4 Хе — х является двусторонним топологическим делителем нуля, и потому х^Хе. Так как |е| = 1, то |х | = | X |, ч. т. д.

—> 7. Следствие. Если В-алгебра является телом, то она изометрически изоморфна полю комплексных чисел.

Лемма. Спектральный радиус | а (х) | элемента х банаховой алгебры удовлетворяет соотношениям

| от (х) | = Пт |хп I^C | х |.п

Доказательство. При | % | > | х | ряд 2 х"!^1 сходится и, п=0

поскольку

п=0п=0

представляет резольвенту х(Х). Поэтому | о (х) |< | х |. По лемме 5 резольвента х (X) аналитична на множестве q (х) и, следовательно, для любого функционала х* £ Ж* все особые точки скалярной аналитической функции х*х(Х) заключены в круге |Х[<|ог(х)|. Поэтому ряд х*х (X) = 2 ^*xn/Xn+1 сходится при | X | > | or (х) |, и, следовательно, для таких X

supsupХ^1Х^1< ОО.< ОО.

sup

sup

Х^1

Х^1

< ОО.

< ОО.

Поскольку х* —произвольный линейный непрерывный функционал на Ж, из принципа равномерной ограниченности (II.3.20)

вытекает, что

Хп+АХп+АСМх< оо, п= 1, 2, . ...СМх< оо, п= 1, 2, . ...

Хп+А

Хп+А

СМх< оо, п= 1, 2, . ...

СМх< оо, п= 1, 2, . ...

Следовательно,

lim|xn|1/n<|x|. fl—>оо

Так как это верно для всех таких X, что |Z|>|o(x)|, то

lim \хи I^Cj о*(х) |.

Для завершения доказательства заметим, что если элемент Хе — х сингулярен, то сингулярен и элемент Хпе — хп, ибо Хпе — хп делится на Хе — х. Поэтому, если Х^о(х^ то Хп ger (хп), откуда |Хп|С|хп|; это показывает, что | X |С lim | хп |1/п при Xga(x).

Следовательно, | а (х) | С lim | хп |1/п, ч. т. д.

Если Жо является В-подалгеброй (т. е. замкнутой подалгеброй с единицей) В-алгебры Ж и х£Ж0, то наряду со спектром о(х) элемента х относительно алгебры Ж можно рассмотреть его спектр Оо(х) относительно алгебры Жо. Множества а(х) и ст0(х), вообще говоря, различны; тем нс менее предыдущая лемма показывает, что спектральные радиусы |сг(х)| и | а0 (я) | равны. Если е0 — идемпотент в Ж (т. е. ео = ео), отличный от 0 и е, а Жо —е0Же0, то ясно, что ог0 (х) с о (х) для любого х g Жо. Следующая лемма показывает, что если единица подалгебры Жо совпадает с е, то имеет место обратное включение.

Лемма. Пусть В-подалгебра Жо банаховой алгебры TH имеет общую с U единицу е. Тогда а(х)^а0(х) для любого xgЖo, в то время как граница b (а0 (х)) множества а0 (х) содержится в границе 6(а(х)) множества ог(х).

Доказательство. Так как единица е алгебры Ж содержится в Жо, то элемент, регулярный в Жо, регулярен и в Ж. Поэтому q0(x)sq(x) и а(х)га0(х). Если Xg6(cF0(^))» то Хе — х является граничной точкой группы регулярных элементов алгебры Жо. Тогда по лемме 4 Хе — х есть двусторонний топологический делитель нуля в Жо, а значит, и в Ж. Следовательно, b (а0 (х)) ^ о (х), что в сочетании с q0 (х) ^ q (х) дает

Qo (я) П ^0 (х) = 6 (оо W) с q (х) П ст (х) = Ь (ст (х)), ч. т. д.

Следствие. Если в дополнение к условиям леммы 9 множество Сто (х) нигде не плотно или же множество q (х) связно, то ст0(х) = ст(х).

Доказательство. Если множество ст0(х) нигде не плотно, то, поскольку оно замкнуто, ст0(х) — b (ст0(х) = b (ст(х) s ст (х) s ст0(х). Если множество q(x) связно и существует точка ХСст0(х) П QW, то можно соединить ее с бесконечностью непрерывной кривой,

целиком лежащей в р(х). Но тогда найдется граничная точка множества о0(х), лежащая в р(х). Это противоречит лемме. Следовательно, множество а0 (х) П Q (х) пусто; значит, и в этом случае а0(х) еа(х) еа0(х), ч. т. д.

Следствие. Если в дополнение к условиям леммы 9 спектр о0(х) веществен, то он совпадает со спектром Oi(x) элемента х относительно любой В-подалгебры $! г Ж, содержащей х и единицу е алгебры Ж.

Доказательство. Так как а(х)^а0(х), то а (х) лежит на вещественной оси. Согласно лемме 5, множество о(х) ограничено. Поэтому q(x) связно, и следствие 10 показывает, что а0(х) = = a(x) = ai(x).'

Правым (левым) идеалом в Ж называется такое непустое собственное линейное многообразие 3 в Ж, чтоЗЖ^З (соответственно ЖЗ^З). Если одновременно ЗЖ = 3 и Ж3 = 3> то идеал называется двусторонним. Множества Ж и {0} считаются тривиальными идеалами. Поскольку идеал является собственным подмножеством множества Ж, он не может содержать ни одного регулярного элемента и потому содержится в дополнении G' группы G регулярных элементов. Так как множество G открыто (лемма 3), то 3^G' и потому 3¥=Ж. Отсюда и из непрерывности алгебраических операций следует, что 3 есть идеал. Таким образом, замыкание правого, левого или двустороннего идеала снова является правым, левым или двусторонним идеалом. Это показывает, что максимальный идеал (т. е. идеал, не содержащийся ни в каком другом одноименном нетривиальном идеале) всегда замкнут. Пусть 3 —правый идеал; упорядочим по включению семейство всех правых идеалов, содержащих 3- Применяя лемму Цорна, получаем, что это семейство содержит максимальный элемент. Итак, каждый правый (аналогично левый или двусторонний) идеал содержится в некотором максимальном правом (соответственно левом или двустороннем) идеале. В частности, если элемент х сингулярен, то хотя бы одно из множеств хЖ и Жх является идеалом; поэтому х содержится в некотором максимальном идеале. Перечисленные свойства идеалов собраны в следующей лемме.

Лемма. Как для правых, так и для левых или двусторонних идеалов справедливы утверждения*.

Идеал не содержит регулярных элементов.

Замыкание идеала есть идеал.

Максимальный идеал замкнут."

Каждый идеал содержится в некотором максимальном идеале.

Элемент х содержится хотя бы в одном максимальном правом (левом) идеале тогда и только тогда, когда он не имеет правого (соответственно левого) обратного.

Напомним, что смежные классы х + 3> xgX, по двустороннему идеалу 3 образуют алгебру относительно следующих операций:

(*+3) + (у + З) = (* + //)+ 3,

а (х + 3) = (а*) + 3, (х • Н 3) (У + 3) = (ху) + 3-

Эта алгебра называется факторалгеброй алгебры ЗЕ по идеалу 3 и обозначается Ж/З- Норма в факторалгебре банаховой алгебры ЗЕ по двустороннему идеалу 3 задается соотношением

|^ + 3|= inf |х + у|.

Лемма. Если^ —замкнутый двусторонний идеал В-алгебры ЗЕ, то 36/3 является В-алгеброй.

Доказательство. Для краткости класс х + З обозначим через х. Ясно, что ЭЕ/3 есть алгебра с единицей е. так что остается лишь показать, что выполняются аксиомы нормы. Если | х | = 0, то найдется такая последовательность Хп^. что I х + ^п |—> 0, и, поскольку идеал 3 замкнут, х^З- Следовательно, х = 0, т. е. х — нулевой элемент в 36/3- Пусть теперь 2, и. v независимо пробегают идеал 3- Тогда

IХУI = IХУI = inf | ху + г | < inf | (х + u) (у + и) | < | х 11 у |. ги, v

Так как | е| = |е2|С|е|2 и |е|^=0, то |е|>1. С другой стороны, | е | = inf | е + 2 | < | е | ~ 1. Следовательно, | е | = 1. Неравенство треугольника проверяется аналогичной выкладкой:

\x-Vy \ = \х + у | = inf |х + у + 2|<г

С w | х + ц + у + ц |< | х | +1УI-

Ясно, что |ах| = |а||х|. Наконец, докажем полноту пространства Ж/3- Пусть {хп} — последовательность Коши в $/3 их„€хп, п = 1,2, ... . Выберем из нее подпоследовательность {х„} таким образом, чтобы ряд 2 |Хп —Х„+1| сходился. Фиксируем произвольно 2i С 3 и выбираем по индукции такие z2, z3, ... С 3, что

II ^чТ^7?Н4 ^-^гЛ^й^1"^ ^ 2 ।* ^i I * f = 1, 2, .. . .

Тогда yn = Xn-V-zn есть последовательность Коши, ибо

р~1

I Уп+Р УU I ^ | S (//п+/г+1 Уп+а) I ^

/1=0

р-1р-1__

■^ ^J I Уп^Н^-Х Уп\к 1-^2 2 |-^л+к4-1ХП4-а|»

к—0/1=0

Пусть x = limz/n; тогда

хп х | [ //^ х | | уп х | > 0.

Таким образом, исходная последовательность Коши содержит сходящуюся подпоследовательность и потому сама сходится, ч. т. д.

. Коммутативные В-алгебры

В коммутативной В-алгебре X каждый идеал 3 является двусторонним, и факторалгебра Х/3 снова коммутативна; она является В-алгеброй, если идеал 3 замкнут (1.13). «Легко видеть, что каждый идеал 3' алгебры X, содержащий 3 в качестве собственного подмножества, порождает в факторалгебре Х/3 идеал 3\ состоящий из всех классов х = х + 3, для которых х£3'- Обратно, всякий идеал факторалгебры Х/3 может быть получен таким способом.

Теорема. Пусть ^-—замкнутый идеал коммутативной В-алгебры X. Факторалгебра Х/3 тогда и только тогда изометрически изоморфна полю комплексных чисел, когда идеал 3 максимален.

Доказательство. Если идеал 3 не максимален, то он строго содержится в некотором идеале; тогда факторалгебра Х/3 содержит нетривиальный идеал и потому не является полем1). Если же идеал 3 максимален, то Х/3 не содержит нетривиальных идеалов; но тогда Х/3 — поле. Требуемое утверждение вытекает из леммы 1.13 и теоремы 1.6.

Пусть а# — множество всех максимальных идеалов коммутативной В-алгебры X. Из теоремы 1 следует, что для каждого ^Ш^оЯ и каждого xgX найдется такое комплексное число х(ЭЛ),„ что х Ь ЭЛ = х (ЭЛ) е + ЭЛ- Ясно, что отображение х—>х(9Л) есть гомоморфизм алгебры X в поле комплексных чисел Ф. Этот гомоморфизм непрерывен, ибо | х (ЭЛ) | = | х+ ЭЛ | х |.

!) В этом рассуждении существенно лишь, что Ж/3 и Ф алгебраически изоморфны, —Прим. перев. .

Лемма. Пусть р — ненулевой гомоморфизм коммутативной В-алгебры U в поле комплексных чисел Ф и

— его ядро. Тогда ^^ — максимальный идеал алгебры U и х(ЗЛи) = = р(х) для любого х£ Ж. При этом соответствие р—^ЭЛу, между множеством всех ненулевых гомоморфизмов и множеством о/Я всех максимальных идеалов является взаимно однозначным.

Доказательство. Так как элемент р,(х)е — х содержится в идеале ЭЛц, то он сингулярен, и потому число р(х) принадлежит спектру о^х). Тогда по лемме 1.8 | р (х) | < | х |. Поэтому гомоморфизм р непрерывен, идеал ЭЛИ замкнут и Ж/ЭЛц является В-алгеброй (см. 1.13). Гомоморфизм р постоянен на каждом смежном классе % + ЭЛц и потому порождает некоторый изоморфизм р факторалгебры Ж/ЭЛу, в поле комплексных чисел Ф. Так как р(ае) = а, то р отображает Ж/ЭЛИ на все Ф. Это показывает, что Ж/ЭЛ^есть поле, и, следовательно, идеал ЭЛИ максимален. Равенство р (х) = х (9ЛД вытекает непосредственно из определения ^(ЭЛу,). Соответствие р—>ЗЛИ взаимно однозначно, ибо если Pi-^ЭЛ^, р2->ЗЛц3 и ЭЛ^ = ЭЛ^2, то pt (х) = х (ЭЛЦ1) = х (ЭЛЦ2) = = р2(х) для всех х£Ж.

Следствие. Всякий гомоморфизм коммутативной В-алгебры в поле комплексных чисел непрерывен.

Лемма. Пусть М —множество всех максимальных идеалов коммутативной В-алгебры U. Тогда х (о/^)в (х) и

sup |х(ЭЛ)| = Пт|хп|1/п.

9J?^e^п

Доказательство. Элемент х^^е — х принадлежит максимальному идеалу ЭЛ и потому сингулярен (1.12е). Следовательно, х(ЗЛ)Со(х). Обратно, если ^Е^С^), то сингулярный элемент Хе-х содержится в некотором максимальном идеале ЭЛ (1.12е), и потому К = х (ЭЛ). Равенство sup \х (ЭЛ)) = lim\хп 11/п вытекает из леммы 1.8.

Определение. Элемент х банаховой алгебры Ж называется топологическим нильпотентом, если |хп|1/п—>0. Радикал 31 есть множество всех топологических нильпотентов В-алгебры Ж. Если 9t = {0}, то алгебра Ж называется полупростой.

Лемма. Радикал коммутативной В-алгебры совпадает с пересечением всех ее максимальных идеалов.

Доказательство. Поскольку х(ЭЛ) = 0 тогда и только тогда, когда х^ЭЛ, эта лемма является следствием леммы 4.

Определение. Структурным пространством) коммутативной В-алгебры ЗЕ называется множество е# всех ее максимальных идеалов, наделенное топологией, которая задается всеми окрестностями вида

7V (ЭЛ0; е, Л)- -{ЭЛ|9Л£А | х (ЭЛ)-х (ЭЛ0) I < е, х^А^

где е > 0, Л —произвольное конечное подмножество в ЗЕ, а 9Л0 пробегает o4L

Семейство множеств указанного вида удовлетворяет условиям леммы 1.4.7 и потому действительно определяет некоторую топологию на множестве М.

Лемма. Структурное пространство М коммутативной В-алгебры Ж является бикомпактным хаусдорфовым пространством, и для любого х ^ ЗЕ функция х(ЗЛ) непрерывна на dt.

Доказательство. Непрерывность х(-) в каждой точке 9Л0Е<^ вытекает из определения 7. Поэтому функция х(-) непрерывна на сМ (1.4.16а). Обозначим через Qx замкнутый круг {Х||Х|< | х |) комплексной плоскости, и пусть Q = Ц Qx —тихоновское произ

ведение всех таких кругов (см. 1.8.1). Так как |х(9Л)|С |х|, то x(^)EQx для любого х^ЭЕ, и потому каждому ЭЛ из g# соответствует некоторая точка q^Q, а именно точка с координатами 9(х) = х(ЭЛ). Различным максимальным идеалам 9ЛЬ ЭЛ2 отвечают в Q различные точки, ибо если х^ЭЛ] и х^ЗЛ2, то х(ЭЛ1) = 0^х(ЭЛ2). Согласно теореме Тихонова (1.8.5) и лемме 1.8.2, Q является бикомпактным хаусдорфовым пространством, а е/М топологически эквивалентно некоторому подмножеству пространства Q. Для завершения доказательства достаточно, в силу 1.5.7, показать, что г^, рассматриваемое как подмножество в Q, замкнуто. Пусть Х£е4£, е>0, А = {х, у, х | у), где х и у — произвольные элементы из ЗЕ. Окрестность N (X; е, А), рассматриваемая как окрестность точки X в Q, пересекается с dl, и потому существует такой максимальный идеал ЭЛ, что

|Х(х) —х(ЭЛ)|<е, | X (у) —у (ЭЛ) | < е,I (я + у) — и + у) (ЯЛ) I < 6.

Так как (х + у) (ЯЛ) = х (ЯЛ) + У k^Y а е>0 произвольно, то Х(х+у) = Х(х) А-МуУ

Подобным образом можно показать, что Х(е) = 1, Х_(ах) = = аХ (х) и X (ху) = X (х) X (у). Следовательно, точка X £ Л определяет ненулевой гомоморфизм алгебры Ж в поле комплексных чисел; в силу леммы 2 существует такой максимальный идеал Ж^Л, что х(%) = Х(х), хЕ$. Итак, Х^Л, т. е. Л замкнуто в Q, ч. т. д.

—>9. Теорема. Пусть Л— структурное пространство коммутативной В-алгебры U и С {Л) есть В-алгебра всех комплексных непрерывных функций на Л. Тогда отображение х—>х^^ является непрерывным гомоморфизмом алгебры Ж в С (Л), причем sup |х(Ж)|С|х|. Это отображение является взаимно однознач

ным тогда и только тогда, когда алгебра U полупроста.

Доказательство. То, что отображение х —>х(-) является гомоморфизмом, следует из определения х(Ж). В лемме 8 утверждается, что х(-)^С(^). Неравенство |х(Ж)|<|х| вытекает из определения нормы в факторалгебре (а также из леммы 4). В случае полупростоты алгебры Ж из леммы 6 следует, что если х(Ж) = 0 для всех ^^Л, то х = 0; таким образом, в этом случае отображение х—>х(-) взаимно однозначно. Обратно, если это отображение взаимно однозначно, то та же лемма показывает, что алгебра Ж полупроста, ч. т. д.

Определение. Будем говорить, чтс| В-алгебра Ж порождается множеством Y ^U, если наименьшая замкнутая подалгебра алгебры Ж, содержащая Y и единицу е, совпадает с Ж- В этом случае Y называется системой .образующих, а элементы у Е У — образующими алгебры Ж.

Теорема. Структурное пространство коммутативной В-алгебры Ж, порожденной множеством Y с Ж, гомеоморфно замк-, нутому подмножеству тихоновского произведения Па(У)> г^ У пробегает Y.

Доказательство. Согласно лемме 4, у {Л} — в (у) и потому соответствие Ж —> у (Ж) задает отображение пространства Л в П сг (у). Это отображение непрерывно, ибо непрерывны все функции у(-). Допустим, что у(Ж1)=у(Ж2) для всех y^Y. Тогда, поскольку Y порождает Ж, имеем х(Ж!) = х(Ж2) для всех х^Ж, откуда Ж1 = Ж2, так как если х£Ж1 и х^Ж2, то х (Ж1) = 0 =^ х (Ж2). Поэтому рассматриваемое отображение является непрерывным и взаимно однозначным отображением бикомпактного хаусдорфова пространства Л в хаусдорфово простран-

ство П а(уУ Следовательно (1.5.8), это отображение является гомеоморфизмом, причем образ <^ (согласно 1.5.7) замкнут в [^ ст (у), ч. т. д.

Следствие. Если В-алгебра 36 порождается множеством Y с 36, то в качестве базы открытых множеств ее структурного пространства оЛ можно взять все окрестности вида

N ^0; », А^ -{^\^^^l, |z/(3«)-t/W|<e, у^ Д), где А —произвольное конечное подмножество в Y.

Следствие. Структурное пространство В-алгебры с одной образующей гомеоморфно спектру этой образующей.

Теорема. Подмножество комплексной плоскости тогда и только тогда гомеоморфно структурному пространству некоторой В-алгебры с одной образующей, когда оно компактно и его дополнение связно. •

Доказательство. Пусть е/Ж — структурное пространство В-алгебры 36 с одной образующей г. Согласно следствию 13, компактное множество ст(г) гомеоморфно <М. Допустим, что дополнение к ст (г) несвязно, и пусть G — связная ограниченная компонента этого дополнения. Для каждого х^Зб найдется такая последовательность полиномов {PnV что | Рп (г)— х | —> 0; следовательно, если Х = z (501), то

|Pn(X) —х(9Л) | = | (Pn(г) —х) (ЭЛ) |<|Рп(г)—-х| —*0 равномерно относительно ЭЛ^еЖ. Так как г (®Ж) = ст(г), то последовательность полиномов {РП(Х)} сходится равномерно на ст (г). Тогда, как доказывается в теории функций комплексного переменного, последовательность {Pn (X)} сходится равномерно также на 6. Для любого X £0 и любого х£ 36 положим х(К) = = lim Р„ (X), где (Р„ (X)} — такая последовательность полиномов, что |Pn (z) — х| —>0. Ясно, что величина х(Х) не зависит от выбора конкретной последовательности {Рп}, участвующей в ее определении. Для фиксированного Хо £G отображение х—>х(Х0) является ненулевым гомоморфизмом алгебры 36 в поле комплексных чисел. Поэтому по лемме 2 найдется такой максимальный идеал ЭЛ0, что х(ЭЛ0) = х(Х0) для всех х^Зб. В частности, X0 = z(Xc) = = z(Жо)€Z(в/0 = ° кг\ что противоречит тому, что XogGsQ — — ct(z). Обратно, пусть ст — компактное подмножество комплекс-

х) Это вытекает из очевидного включения b (G) с о (г), где 6(G)— граница области G, и принципа максимума модуля. —Прим, перге.

ной плоскости, и пусть его дополнение Q связно. Пусть С (а) есть В-алгебра всех комплексных непрерывных функций на множестве а с нормой

|f| = sup|fM

КЕО

Пусть z— элемент алгебры С (а), определяемый соотношением 2(Х) = Х, ХЕ а, и пусть Жо есть В-подалгебра алгебры С (а), порожденная элементом z и единичным элементом алгебры С (а). Пусть а0 (г) — спектр элемента z относительно алгебры Жо> а сг(г) — спектр г относительно С (а). Ясно, что а(г) = а; следовательно, резольвентное множество q(z) = q связно и потому, согласно следствию 1.10, а0 (2) = а (2) = а, ч. т. д.

Мы закончим рассмотрение свойств структурного пространства коммутативной В-алгебры приложением изложенной теории к доказательству существования чеховского бикомпактного расширения для вполне регулярного топологического пространства.

Определение. Топологическое пространство А вполне регулярно , если всякое его одноточечное подмножество замкнуто и для любого замкнутого множества Ао ^ А и для любой точки Х0^А0 найдется такая непрерывная на А функция f(X), что 0<; </(Х)<1 для всех ХЕ А; /(Хо)=1 и /(Х) = 0 при ХЕАо.

Теорема (теорема Стоуна — Чеха о бикомпактном расширении). Всякое вполне регулярное топологическое пространство А гомеоморфно всюду плотному подмножеству (М^ бикомпактного хаусдорфова пространства о*, такого, что любая комплексная ограниченная непрерывная функция, * определенная на МА, допускает единственное непрерывное продолжение на <М ).

Доказательство. Пусть С (А) — банахова алгебра всех комплексных ограниченных непрерывных функций на А, а ^ — структурное пространство этой алгебры. Пространство оМ хаусдорфово и бикомпактно (лемма 8). Для каждого ХЕЛ отображение х—->х (X) алгебры С (А) в поле комплексных чисел является гомоморфизмом, и потому (лемма 2) существует такой максимальный идеал ЗЛя, что х(ЗЛя) = л:(Х). Поскольку пространство А вполне регулярно, отображение X—>ЗЛ% пространства А в <М взаимно однозначно. Пусть о^д —образ А в <^ при этом отображении. Докажем, что о^д плотно в о/ll. Если это не так, то существует в <М окрестность вида

{ЭЛ | [xf (ЗП)—xf (ЭЛ0) I < в, /=1, 2, ..., пу

не пересекающаяся с ®ИК. Тогда если yt = xt — xt (ЭЛ0) е, то для каждого Х^Л найдется такое натуральное i<n, что |уг(Х)|>е. Пусть

п

yW = S yt WytW;

г—1

тогда //(Х)>е2 для всех Х£Л, так что для у(Х) существует в С(Л) обратный элемент у~\ Следовательно (лемма 1.12), у не содержится ни в каком максимальном идеале; но z/(5Ш0) = О» откуда у^й. Полученное противоречие показывает, что а#х всюду плотно в а#. Далее, для каждого х^С(Л) функция х(ЗЛ) непрерывна на о# (лемма 8) и является продолжением на о^ функции х (ЭКх) = х (X) (определенной первоначально на <у№^. Итак, для завершения доказательства достаточно показать, что взаимно однозначное отображение 6:Х —»3ftx пространства Л на о^л является гомеоморфизмом. Прообразом окрестности’

(а) {9Лх18Rx6е^д, |хг(Ж) — ^(5№х0)|<е, /=!,...,«}

при этом отображении является множество .

(Р)(Х|Х£Л, |хг(Х)~^(Х0)|<е, Z = 1, п^

которое в силу непрерывности функций хг открыто. ^Следовательно, отображение 6 непрерывно. Чтобы доказать непрерывность 6"1, т. е. чтобы показать, что отображение 6 переводит открытые множества в открытые, заметим сначала, что открытые множества вида (Р) отображаются в множества вида (а), которые открыты в ©<д. Далее, полная регулярность пространства Л позволяет установить, что каждое открытое в Л множество является объединением некоторых множеств вида (Р). Действительно, пусть G —окрестность точки Хо, а /£ С (А) —функция, отделяющая точку Хо от множества Л —G, т. с. 0<С/(Х)^1; /(Хо)~1; f(X) = O при X^G. Тогда множество

{х|Х£Л, |/(Х)-/(Х0)|<4}

есть окрестность точки Хо, содержащаяся в окрестности G. Следовательно, множества вида ф) образуют базу открытых множеств в Л. Поэтому 6 переводит открытые множества в открытые и является гомеоморфизмом, ч. т. д.

Следствие. Бикомпактное хаусдорфово пространство Л гймеоморфно структурному пространству В-алгебры С (Л).

Следствие. Если Ау и Л2 — бикомпактные хаусдорфовы пространства, а алгебры С (Л^ и С (Л2) эквивалентны1), то пространства Л4 и Л2 гомеоморфны. *

Чтобы понять, насколько замечательна теорема 16, рассмотрим в качестве пространства Л полуоткрытый интервал 0<Х<Ч вещественной оси. Этот интервал является, очевидно, всюду плотным подмножеством компактного пространства — отрезка О<ЗС1. Однако непрерывная и ограниченная на Л функция sin(lA), имеющая, согласно теореме, непрерывное продолжение на чеховское бикомпактное расширение интервала Л, не имеет, разумеется, такого продолжения на отрезок 0<^<U, получающийся добавлением к Л одной точки. В действительности никогда не удается эффективно построить чеховское расширение небикомпактного пространства. .

Коммутативные В*-алгебры

Мы уже отмечали, что В-пространства всех ограниченных функций на некотором множестве, непрерывных ограниченных функций на топологическом пространстве и почти периодических функций являются В-алгебрами с инволюцией f* (s) = f(s), если в качестве алгебраических операций принять естественные операции над функциями. Согласно следующему определению, эти алгебры являются также В*-алгебрами.

Определение. В*-алгеброй называется В-алгебра с инволюцией *, удовлетворяющей дополнительному условию | х*х | = | х |2.

Кроме уже перечисленных примеров, в которых В*-алгебры являются коммутативными, можно указать алгебру В(^) всех ограниченных линейных операторов, действующих в гильбертовом пространстве ^. Инволюция в этой алгебре состоит в Церехрде к гильбертовому сопряженному оператору (VI.2.9). Именно, если Т^В^, то, по определению, Т* есть такой оператор из В (§), что

)(Тх, у) = (х, Т*у^ х, у^^,

где (• , •) —скалярное произведение в ^. Для проверки тожде-

Здесь предполагается, что алгебры С (А^, С (Л2) изоморфны топологически и алгебраически. Более сильный результат состоит в том, что для гомеоморфизма пространств ЛА и Л2 достаточно, чтобы соответствующие алгебры были алгебраически изоморфны. Этот результат является очевидным следствием следующей теоремы Гельфанда: если коммутативные полупростые В-алгебры изоморфны алгебраически, то они изоморфны и топологически. (См. Гельфанд, Райков, Шилов [1*, стр. 68—70].) — Прим, перев.

ства | Т*Т 1 — | Z* |а заметим сначала, что

| Т*Г | = sup |(Т*Тд:, у) | = sup | (Тх, Ту)\>

>sup|(7x, Тх) | = sup | Тх |2 = | Т|2, где верхние грани берутся по всем х, у из ^, для которых ) X | < 1, | //1 < 1. С другой стороны,

* lY^bwK^ //)l = sup|(x, Т^\-\Т\. так что

\Т*Т\<\Т*\\Т\^\Т\\

Таким образом, |Т*Т| = |Т|2, что вместе с леммой VL2.10 доказывает справедливость следующей леммы.

Лемма. Алгебра В(^) всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве jg, в которой инволюция * определена соотношением (I), является В*-алгеброй.

Главная цель настоящего параграфа состоит в описании коммутативных В*-алгебр. Будет показано, что гомоморфизм х—>х(«) (см. теорему 2.9) коммутативной В*-алгебры Ж в алгебру С (Л) всех непрерывных функций на структурном пространстве Л алгебры X является изометрическим изоморфизмом между Ж и С (Л). Будет также показано, что этот изоморфизм является *-изоморфизмом, т. е. сохраняет инволюцию. Этот основополагающий результат, принадлежащий Гельфанду и Наймарку, найдет много применений в следующих двух главах.

Лемма. Если X —коммутативная В*-алгебра, то |х2|^|х|2, j х | = ] х* | и единица е удовлетворяет соотношению е---е*.

Доказательство. Для любого х^Ж имеем [х2|2 = | (х2)*х21 — = | (х*)2 х21 = | (хх*)* (хх*) | = I хх* |2 = | х |. Таким образом, | х21 = j х |2. Аналогично | хх* ] = |х|2, | хх* | = | х**х* | = | х* |2, откуда |х| -|х*|. Далее, ее* -^е*, ее* е**е* = (е*е)* = е и поэтому е* = е, ч. т. д.

Лемма (Аренс). Если А является спектром коммутативной В*-алгебры Ш, то отображение х->х(-) алгебры U в С (Л) представляет собой *-гомоморфизм. '

Доказательство. Согласно теореме 2.9, отображение х —>х(-) является гомоморфизмом. Таким образом, достаточно показать, что x*(X) = x(Z) • для всех Л^Л и х^Ж. Пусть х(Л) = а + ф и x*(X) — ^Jri6, где а, р, у, 6 вещественны. Допустим, что P-j-б^О, и покажем, что это приводит к противоречию. Положим у = \х-\-х* — (а\ y)r|/(P i б); тогда у*---у и y(X) = i. Пусть N — вещественное число. Тогда (у j Nie) (Л) = у(Х) + Ni = i (1 + N) и, следовательно, | 1 -|- N | | у | Nie |. Поэтому (1 + W)2C < | y+Nie |2 = | (y+Nie) (y+Nie)* | | (у I Nie) (y — Nie) | = | y2+N2e | < <\y\HN2. Поскольку это неравенство должно выполняться для всех вещественных N, то, подставляя N-Цу^ получаем противоречие. Следовательно, р + 6 = 0, и х(Л) = а + 04, х*(Х) = = Y”P^ (ix) (X) = ix (X) = — р + ш, (ix)*(X) = — ix*(X)~ — 0 — yf. Поэтому из доказанного выше следует, что а —у = 0, так что х*(Х)=^х(Х), ч. т. д.

Следствие. Если х^х*. то х(Х) вещественно.

—>Ч. Теорема (Гельфанд — Наймарк). Коммутативная В*-алгебра изометрически ^-изоморфна алгебре всех комплексных непрерывных функций на своем спектре.

Доказательство. Пусть Л —спектр В*-алгебры Ж. Так как по лемме 3 1хт| = |х|ш, если т является степенью 2, то из леммы 2.4 вытекает, что

sup | х (X) | = lim V\ хП I — ix I- xea

Поэтому отображение x —>%(•) алгебры Ж в С (Л) изометрично и Ж не имеет радикала. По лемме 5 это отображение является ^-гомоморфизмом. Остается доказать, что каждой непрерывной функции на Л соответствует некоторый элемент х из Ж. Для этого мы применим обобщенную теорему Вейерштрасса (IV.6.17). Обозначим через С подалгебру в С (Л), порожденную всеми функциями х(-), х^Ж. Так как | х | = sup | х (X) | и пространство Ж полно, то С —замкнутая подалгебра в С (Л). Пусть Ab ^ — различные максимальные идеалы в Л, и пусть y^XXl у^Х2. Тогда у (Хх) =^ у(Х2), так что С различает точки Л. Лемма 5 показывает, что условия теоремы Вейерштрасса выполнены, и потому мы заключаем, что С = С(Л), ч. т. д.

Следствие. Если N —спектр коммутативной В*-алгебры Ж, то гомоморфизм х-^>х(-)1 фигурирующий в теореме 2.9, является изометрическим ^-изоморфизмом между Ж и С (Л).

Следствие. Коммутативная В*-алгебра операторов в гильбертовом пространстве изометрически *-эквивалентна В*-алгебре всех непрерывных функций на ее спектре.

Следствие. Пусть 9) является В*-подалгеброй коммутативной В^-алгебры ЗЕ, причем ^ и U имеют общую единицу е. Тогда элемент у из обратим в ЗЕ в том и только том случае, когда он обратим в ^. Следовательно, спектр элемента у относительно У совпадает с его спектром относительно U.

Доказательство. Если у"1 существует в ^, то, поскольку ЗЕ и У имеют одну и ту же единицу, у"1 является обратным к у и в ЗЕ. Обратно, если у1 существует в ЗЕ, то, поскольку (t/-1)*y* (УУ-1)* = е* ei элемент у* имеет обратный в ЗЕ. Следовательно, уу* обратим в ЭЕ. Но по теореме 7 спектр элемента уу* неотрицателен, и потому резольвентное множество е(уу*) связно. Из следствия 1.10 вытекает, что уу* имеет обратный в ^. Поэтому элемент у обратим в $, ч. т. д. .

Следствие. Пусть х —элемент коммутативной В*-ал- гебры ЗЕ, и пусть В* (х) является наименьшей замкнутой В*-под- алгеброй, содержащей х и единицу е алгебры ЗЕ. Тогда алгебра В* ^ изометрически ^эквивалентна алгебре С(а(х)).

Доказательство. Ввиду следствия 10 спектр элемента х как элемента алгебры В*(х) совпадает с его спектром о(х) относительно ЗЕ. Поэтому мы можем предположить, что полиномы от е, х и х* всюду плотны в ЗЕ, т. е. что ЭЕ~В*(х). Пусть А = а(ЗЕ), так что о(х) = х(Л). Рассмотрим непрерывное отображение X—>х(Х) пространства Л на а(х). Покажем, что оно взаимно однозначно. Если %(Z) = x(V), то x*(Z) = %(X) = x(Z') = x*(X'), и потому У^^У^) для любого полинома от е, х и х*. Поскольку такие полиномы всюду плотны в ЗЕ, получаем, что у^Ху^у^Х'^ для всех у из ЗЕ. Тогда по следствию 8 любая непрерывная на Л функция в точках X и X' принимает одинаковые значения. Так как бикомпактное хаусдорфово пространство нормально, то это означает, что Х---Х'. Таким образом, X —>х(Х) является непрерывным взаимно однозначным отображением бикомпактного пространства Л на бикомпактное пространство х(Л)^ ^а(х). Следовательно, а(х) и Л гомеоморфны. Поэтому, согласно теореме 7, ЗЕ = В* (х) = С (а(х)), ч. т. д.

Вообще говоря, имеется много различных изометрических *-изоморфизмов между В* ^ и С(а(х)), так как ясно, что каждый гомеоморфизм о(х) на себя порождает изометрический автоморфизм алгебры С(а(х)) и, таким образом, преобразует один

*-изоморфизм между В*(х) и С(а(х)) в другой. Существует один специальный изометрический *-изоморфизм между В*(х) и С(а(х)), который мы хотим выделить.

Используя обозначения предыдущего доказательства, рассмотрим ^изоморфизм1) у<>у(х-1(-)) между В*(х) и С(а(х)); он обладает тем свойством, что элемент х соответствует функции х (х-1 (р)) = р, р£о(х). Очевидно, что требование соответствия между элементом х и функцией g (р) = р определяет этот *-изоморфизм однозначно, что приводит нас к следующему определению.

Определение. Пусть х — элемент коммутативной В*-алгебры, и пусть /^С(а(х)). Под /(х) мы будем понимать элемент в 6*(х), соответствующий функции / из С(а(х)) при *-изоморфизме между В*(х) и С(а(х)), однозначно определяемом требованием, чтобы х и g (и) — И были соответствующими элементами.

Обозначение /(х), введенное в определении 12, совпадает с употреблявшимся ранее. В самом деле, если / (р) = 2 anmPnpm — полином от р и р, то / (х) = 2 &nmXnx*m. Символ / (х) употребляется также для обозначения элемента (2Ш)'1 ^ f (X) (Хе—x)~xdX с

(см. определение VII.3.9) при условии, что / является однозначной аналитической функцией, определенной на некотором открытом множестве, содержащем а(х). Следующая лемма показывает, что эти два определения элемента / (х) совпадают.

Лемма. Пусть f —комплексная функция, однозначная и аналитическая на некотором открытом множестве, содержащем спектр элемента х коммутативной В*-алгебры. Тогда значения, придаваемые символу ]{х) определениями 12 и VII.3.9, совпадают.

Доказательство. Пусть соответствие у<>УкЛ представляет собой *-изоморфизм между В* ^ и С(а(х)), участвующий в определении 12, и пусть

с

где кривая С удовлетворяет требованиям определения VII.3.9. Т огда

сс

J) Здесь ^“Н*) есть отображение о (х) на Л, обратное к отображению X * * А' (X); не следует путать его с функцией х-1 (X), которая существует, гели элемент х обратим. —Прим, перев.

и, таким образом, у совпадает с элементом Цх), введенным в определении 12.

Очевидно, что предыдущие следствия можно применить к оператору Т в гильбертовом пространстве § при условии, что Т является элементом некоторой коммутативной В*-подалгебры В*-алгебры В^ всех ограниченных операторов в £. Это приводит к понятию нормального оператора, которое вводится в определении 14.

Определение. Ограниченный линейный оператор Т в гильбертовом пространстве называется нормальным, если ТТ* = Т*Т, и самосопряженным, если Т = Т*.

Ясно, что наименьшая замкнутая подалгебра в В(^), содержащая нормальный оператор Т, его сопряженный Т* и единичный оператор 1, является коммутативной В*-алгеброй. Таким образом, мы можем сформулировать следующее следствие.

Следствие. Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом пространстве ^, и пусть В* (Т) — наименьшая замкнутая подалгебра в В^), содержащая I, Т и Т*. Тогда алгебра В* (Т) изометрически *-эквивалентна алгебре С(о(ТУ). Кроме того, изометрический ^-изоморфизм этих алгебр однозначно определяется требованием, чтобы оператору Т соответствовала функция ^(р) р., р-Ссг(Т). Если символ f(T) использовать для обозначения оператора, соответствующего при этом изоморфизме скалярной функции [ ^С (п (Т)), то для каждой функции f, однозначной и аналитической на некотором открытом множестве, содержащем спектр о (Г), имеет место соотношение

с

где кривая С удовлетворяет требованиям определения VII.3.9. Доказательство. Это вытекает из следствия 11 и леммы 13.

Упражнения

Пусть S--бикомпактное хаусдорфово пространство. Показать, что:

Имеется взаимно однозначное соответствие между замкнутыми идеалами в C(S) и замкнутыми множествами FczS, а именно

F<—

Пусть ?1 —замкнутая подалгебра в C(S), содержащая вместе с каждой функцией, в нее входящей, комплексно сопряженную. Тогда существует такое разложение пространства S

в объединение замкнутых подмножеств F, что на каждом из них функции из ЭД постоянны и любая непрерывная функция, постоянная на каждом множестве F, принадлежит ЭД.

Пусть S —компактное метрическое пространство, и пусть 3c:C(S)— совокупность всех функций f из C(S), обращающихся в нуль на некоторой зависящей от f окрестности фиксированной точки x0ES. Тогда 3 Представляет собой идеал, замкнутый тогда и только тогда, когда точка Хо является изолированной.

Таким образом, при условии, что S бесконечно, в С (S) существуют незамкнутые идеалы.

Пусть S — бикомпактное хаусдорфово пространство, и пусть п (S) — наименьшее число образующих в алгебре С (S). Найти n(S):

для единичной окружности |z| = l;

для единичной сферы в трехмерном евклидовом пространстве;

для гильбертова параллелепипеда {х 11 хг | С1 //} в /2;

для конфигурации, образованной непересекающимися дугами, соединяющими каждую из точек (0, 0, 1), (0, 0, 2) и (0, 0, 3) трехмерного евклидова пространства с каждой из точек (1,0, 0), (-1, 0, 0) и (0, 1, 0).

Пусть 36 —банахова алгебра, элементы которой являются непрерывными функциями на бикомпактном хаусдорфовом пространстве S, а операции сложения и умножения определяются обычным образом. Предположим, что: •

если х(•)£$, то х(•)£$;

если х(-)^ 36 и не обращается в нуль на S, то 1/х (•)£$.

Тогда для каждого максимального идеала ЭЛ cz 36 найдется такая точка t0^S, что х(ЭЛ) = х(/0) для всех х^й. Обратно, если для каждого максимального идеала ЭЛ существует такая точка to^S, что х(9Л) = х(/0), и если х(-)£Ж и не обращается в нуль на S, то 1/х(•)£$.

Пусть 361 —банахова алгебра, удовлетворяющая условию (а) упражнения 4, и пусть 362 — всюду плотная в 364 подалгебра, удовлетворяющая условиям (а) и (Ь). Допустим, что 362 можно снабдить нормой, относительно которой она становится S-алгеброй. Показать, что тогда 361 также удовлетворяет условию (Ь).

Пусть Сп — класс всех комплексных функций x(f) на отрезке [0, 1], обладающих п непрерывными производными. Показать, что Сп с обычными операциями сложения и умножения является 6-алгеброй, если

И = sup 2И = sup 2к\к\

И = sup 2

И = sup 2

к\

к\

Описать максимальные идеалы.

Пусть CBV [О, 1] —алгебра непрерывных функций х^ ограниченной вариации на отрезке [0, 1] с нормой

|х|= sup |х(0[ + ^(х, [0, 1])

и обычными операциями сложения и умножения. Показать, что CBV [0, 1] является банаховой алгеброй. Найти максимальные идеалы.

п

Пусть Kw — алгебра всех полиномов х = 2 аь^к с ком*

п

плексными коэффициентами и нормой I х | = 2 | ак |- Сложение и умножение определяются как обычно, за исключением того, что при умножении считаем Xn+i=0. Показать, что Kw является банаховой алгеброй с единственным максимальным идеалом.

Пространство 1У абсолютно сходящихся рядов а = — {ап, — оо<л<оо) является коммутативной банаховой алгеброй с умножением

2 «т-пРп, а = {ап},

Пространство ^ максимальных идеалов гомеоморфно вещественной оси, приведенной по модулю 2л (т. е. окружности); этот гомеоморфизм таков, что если Ж^^ и 6 — соответствующие точки, то

a(3R) = 2 аг^"°.П= —ОО

(Н. Винер.) Если сумма абсолютно сходящегося тригонометрического ряда g(0) = 2 «пе"6 нигде не обращается в нуль, П=—ОО

то обратная к ней функция l/g(0) также разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрический ряд.

(Н. Винер —П. Леви.) Доказать, что если / — однозначная аналитическая функция в окрестности множества значений абсолютно сходящегося тригонометрического ряда

g(0)= 2апв"10,

то существует такой абсолютно сходящийся тригонометрический ряд

А (9) = 2рп^е,

ЧТО

Пусть h\ Hi—>Я2 — непрерывный гомоморфизм, Hi и Я2 — банаховы алгебры. Допустим, что h(a) — 0 влечет я = 0, и пусть Н2 не имеет радикала. Показать, что тогда Hi также не имеет радикала.

Пусть М — множество всех ограниченных регулярных (см. определение III.5.11) счетно аддитивных борелевских мер р на вещественной прямой R. Для р, X из М обозначим через р X % меру на R х R, являющуюся прямым произведением мер р и X. Определим меру р*Х на R, положив

(р*Л) (В) = (р х А) (£i),

где Е— произвольное борелевское подмножество в R, a Ei — = {(х, U^R X R\x"Vy ^Еу Показать, что банахово пространство М (см. часть I, стр. 177—179) с умножением р*Х является коммутативной банаховой алгеброй.

Показать, что если f^Lt( — со, оо) и X (Е) = /(s) ds, то

Е для любой меры р из пространства М упражнения 13

(Х*р) (Е) = ds ^ f(s — t) р (dt).

Е —оо

Р

Если при этом р(£)= \ g(s)ds, где g^L^ — со, оо), то

Е

(A*|i)(Е) = J ds \ f(s-t)g(t)dt.Е—оо

Пусть £ принадлежит резольвентному множеству ограниченного линейного оператора Т, и пусть d (£) — расстояние от точки £ до спектра Т. Доказать, что

каажб; т)\.

Здесь R (£; Т) — резольвента оператора Т, см. VII.3.1.

Пусть А и 5 — коммутирующие ограниченные операторы в комплексном банаховом пространстве. Показать, что

|о(Д + В)|С|о(Л)| + |о(5)|,|а(ЛВ)|<|а(Л)||а(В)|.

Если (коммутативная) В-алгебра не имеет нетривиальных идеалов, то она изометрически изоморфна полю комплексных 3 Заказ № 134

чисел. Показать, что существуют некоммутативные алгебры, не имеющие нетривиальных двусторонних идеалов, удовлетворяющие всем аксиомам В-алгебры, за исключением закона коммутативности, и не изоморфные полю комплексных чисел.

Построить некоммутативную В-алгебру й, в которой имеется элемент х=£0, не содержащийся ни в каком двустороннем идеале и такой, что х2^0.

В коммутативной В-алгебре спектральный радиус является непрерывной функцией элемента алгебры.

(Капланский.) Определим умножение в /ь положив

(*ь х2, ха, . ..) (уь у2, Уз, . . .) = (Х^, х2у2, Х3у31 . . . ).

Показать, что при таком умножении /t является коммутативной алгеброй без единицы, причем |ху|<|х| * \у\.

Показать, что имеется взаимно однозначное соответствие между замкнутыми идеалами и подмножествами натурального ряда.

Существует взаимно однозначное соответствие между максимальными идеалами и натуральными числами.

Топология на множестве максимальных идеалов дискретна.

Описать замкнутые подалгебры в Ц. :

Пусть ЭЕ —коммутативная банахова алгебра со структурным пространством оЯ. Предположим, что для каждого замкнутого множества ^МхаоЯ и каждого максимального идеала 3fti^^i найдется такой элемент х^Ж, что x(3fti)^0, а х(о^1) = 0. Доказать следующие утверждения:

Пусть 3 —пересечение всех максимальных идеалов, принадлежащих некоторому замкнутому множеству ^Oczo^. Тогда

—Здесь х—3 является элементом факторалгебры

Ж/Зг а о(х —3) —его спектром.

Пусть U — собственное открытое подмножество в оЯч у(ЭЛ) = 0 при 3ft €i7 и х(ЭЛ)^=0 при ЗЛ^(7. Тогда существует такой элемент 2, что zx — y принадлежит радикалу.

Допустим, что алгебра Ж полупроста и для любого х^Ж найдется такой элемент х^Ж, что x(9ft)=x(3ft) для всех 3ft из аЯ. Пусть Е а Ж и ^0^{3ft |x(3ft) = 0, х^Еу Показать, что идеал, порожденный множеством Е, содержит всякий элемент у, для которого у^ обращается в нуль для всех 3ft из некоторой окрестности замыкания множества

.5. Примечания и дополнения

Общую концепцию нормированной алгебры впервые предложили Майкал и Мартин [1] и Нагумо [I]. Однако с момента опубликования в 1941 г. фундаментальных работ Гельфанда [1, 3, 4, 5] и

Гельфанда и Шилова [1] изучение таких алгебр привлекло внимание многих авторов. Поскольку для наших целей требуются лишь наиболее элементарные аспекты теории В-алгебр, мы по поводу незатронутых нами вопросов отсылаем читателя к монографиям Хилле [ 1 ] (см. также переработанное совместно с Р. С. Филлипсом второе издание), Люмиса [1], Наймарка [13] и Риккарта [10]1).

Предварительные сведения. Многие понятия этого параграфа имеют прямые аналоги в В-алгебре ограниченных линейных операторов, действующих в В-пространстве, которые были уже рассмотрены в § VII. 11. Понятие топологического делителя нуля принадлежит Шилову [2]. Сингулярные элементы В-алгебры подробно изучалась Риккартом [4], которому принадлежит лемма 4; в другой форме эта лемма была ранее доказана Бохнером и Филлипсом [2]. Мазур [3] высказал, а Гельфанд [1] доказал, что если В-алгебра является полем, то она изометрически изоморфна полю комплексных чисел. Это утверждение представляет собой аналог теоремы Фробениуса; сходные результаты при широком разнообразии предположений получили Аренс [8], Эдвардс [2], Лорх [10], Рамасвами [1], Шилов [5], Стоун [1], Торнхейм [1] и Райт [1]. (Ср. теорему 6, следствие 7.) Лемма 9 принадлежит Лорху [9]. Изучение В-алгебр при помощи их идеалов начато Гельфандом [1], которому принадлежит большинство результатов § 1.

В- и В*-алгебры. Результаты § 2 принадлежат Гельфанду [1]. Фундаментальная теорема 3.7 доказана Гельфандом и Наймарком [ 1 ] - Их доказательство леммы 3.5 использует довольно глубокий результат Шилова, что, вообще говоря, не является необходимым. Приведенное в тексте доказательство этой леммы дано Аренсом [6], который получил этот результат также и в большей общности (Аренс [7]). Простое непосредственное доказательство следствия 3.6 дал Фукамия [2]; этим следствием можно воспользоваться для доказательства леммы 3.5. Следствие 3.10 принадлежит Риккарту (6), который получил также более сильные результаты о сохранении спектра (см. Риккарт [9]).

Некоммутативные В*-алгебры. Хотя наше внимание было направлено на коммутативные В-алгебры, но многое известно и в некоммутативном случае. Отметим, что Гельфанд и Наймарк [1] дали параллельно теореме 3.7 следующую характеристику некоммутативных В*-алгебр.

9 См. также книгу И. М. Гельфанда, Д. А. Райкова, Г. Е. Шилова [1*], посвященную целиком коммутативным нормированным кольцам.—Прим. ред.

Теорема. Каждая В*-алгебра изометрически *-изоморфна подалгебре алгебры всех ограниченных линейных операторов на некотором комплексном гильбертовом пространстве.

Следует заметить, что в своем доказательстве они предполагают, что В*-алгебра $ удовлетворяет дополнительному условию, а именно, что для каждого х^ элемент е-\-х*х обладает обратным; в этом случае алгебра называется С*-алгеброй. Лишь недавно Капланский1), используя некоторые результаты Фукамия [3] и Келли и Вота [1], доказал, что это условие является следствием остальных требований и, таким образом, излишне (ср. Math. Rev., 14 (1953), 884). Т. Оно (литературу и комментарии см. у Рик- карта [10; стр. 248]) показал, что условие | х*х | = | х |2 в определении 3.1 можно заменить условием |хх*| = |х| |х*|.

Теория слабо замкнутых некоммутативных В*-алгебр операторов в гильбертовом пространстве широко развита Мерреем, фон Нейманом и многими другими. Поскольку результаты этой теории нам не потребуются, мы приведем лишь единственную теорему в этом направлении, принадлежащую фон Нейману [2]. Если И — некоторая совокупность ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве ^, то множество 91е всех ограниченных линейных операторов в ^, коммутирующих с каждым оператором из Я, называется централизатором (или коммутантом) множества 91.

Лемма. Централизатор В*-алгебры операторов в гильбертовом пространстве замкнут в слабой операторной топологии и является В*-алгеброй операторов.

Доказательство. Легко видеть, что централизатор 9tc В*-ал- гебры 91 является В*-алгеброй. Если обобщенная последовательность {Ва} операторов из 91е сходится в слабой операторной топологии к оператору В, то для любого А £ 91 и любых х, у g § имеем (ВАх, у) = Нт (ВаАх, у) = Нт (АВах, у) = (АВх, у), следовательно, В£9Г\ ч. т. д.

Теорема. В*-алгебра операторов в гильбертовом пространстве совпадает с централизатором своего централизатора тогда и только тогда, когда она замкнута в слабой операторной топологии.

Доказательство. Из определения централизатора непосредственно следует, что 91 s (91с)с и что если 91 = (91с)с, то, согласно лемме, алгебра 91 замкнута в слабой операторной топологии.

Ц См. также Наймарк [13, стр. 281].—Прим, перев.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что если алгебра 91 замкнута в слабой операторной топологии, то каждая слабая окрестность точки В€(Шс)е содержит некоторый элемент'из Я.

Для иллюстрации идеи доказательства этого утверждения рассмотрим сначала случай, когда окрестность имеет вид

М = {ЯбВ(^)||(х„ (Л-В)У1)1<е}.

где 8>0, ах, и ^ — фиксированные ненулевые элементы в ^. Пусть Е — оператор ортогонального проектирования $ на 3)1 = = sp {Лу1| Л £ Я} *). Тогда Л ЯЛ = 3)1 и Л*ЗЛ = ЗЛ для любого Л € 91, поэтому ЕАЕ = АЕ и ЕА*Е = А*Е. Переходя в последнем равенстве к сопряженным операторам, получаем ЕА = ЕАЕ = АЕ, т. е. £^91с. Следовательно, Вг/^ВЕг/^ЕВг/!^ ЭЛ» и потому найдется такой оператор Л €91, что | Ayv — 5^ [ С е/| xt |т отсюда вытекает, что А принадлежит Nv

Рассмотрим теперь произвольную окрестность

N = VAQB(^\|(хь (Л-В)^)|<8, t = l, 2,

точки В; мы можем считать, что |х;|<1 Пусть §+ —прямая сумма (ср. IV.4.17) п экземпляров пространства §, и для каждого оператора А, определенного на $, пусть Л+—оператор, определенный на ф+ равенством Л+[21, ..., zn] = [Azt, ..., Azn]. Множество всех операторов Л+, порожденных операторами А из 91, обозначим через й+. Произвольный ограниченный линейный оператор С в §+ имеет вид

z„]=[S Cuzh .... 2спа];i=li=l

поэтому (9l+)c состоит из таких операторов С, для которых все операторы Си принадлежат 91е. Отсюда видно, что ((91+)с)с состоит из таких операторов Л+, для которых Л€(3С)С- Ввиду такого представления произвольного элемента в ((91+)с)с соображения, использованные в случае л = 1, можно применить для доказательства существования в 9!+ такого оператора Л+, что

I^-b*)^,..., t/n]|= s |(Л—В)у41<8,

1=1

откуда следует, что A^N, ч. т. д.

х) Если Q — подмножество в ф, то sp (Q) — наименьшее замкнутое линейное подпространство, содержащее Q (см. определение ILL4). — Прим, перев.

Эта теорема весьма важна, поскольку она характеризует слабо замкнутые В*-алгебры операторов в алгебраических терминах и наводит на мысль, что они представляют особый интерес.

Основы теории таких алгебр можно найти в работах фон Неймана [2, 13, 14, 15] и Меррея и Неймана [1]. Обзор имеется у Наймарка |2); более исчерпывающее изложение дается в книгах Диксмье [5] и Риккарта [10], где приводится библиография.

Обобщения. Мы закончим упоминанием о том, что Аренс [2,9] и Майкл |2] распространили многие результаты, относящиеся к В-алгебрам, на более общие топологические алгебры. В качестве введения в теорию топологических колец и алгебр рекомендуем работу Капланского [4].

ГЛАВА X

Ограниченные нормальные операторыв гильбертовом пространстве

Терминология и предварительные сведения

Спектральная теорема, которую нам предстоит доказать в этой главе, послужит введением в теорию, которая в случае гильбертова пространства соответствует классической теории приведения нормальной комплексной матрицы в л-мерном унитарном пространстве. Всюду в данной главе символом Т* обозначается гильбертов сопряженный оператор в гильбертовом пространстве ^. Для обозначения скалярного произведения векторов х, у из ^ употребляется символ (х, у). По определению, (Тх, у) = (х, Т*у). Оператор Т называется нормальным, если ТТ* = Т*Т. Теорема Гельфанда и Наймарка IX.3.7 о представлении коммутативной В*-алгебры (в частности, ее следствия IX.3.9 и IX.3.15) позволяет для нормальных операторов в гильбертовом пространстве построить теорию приведения более полную, чем развитая в гл. VII для общих операторов в комплексном В-пространстве.

Хотя изложение в настоящей главе не зависит от результатов гл. VII, но рассмотрение задачи приведения в свете общих результатов гл. VII помогает мотивировать изучение нормальных операторов. В гл. VII мы с каждым оператором Т в комплексном В-пространстве связали некоторую булевскую алгебру множеств комплексной плоскости, названных спектральными множествами. Спектральные множества были определены как такие подмножества спектра о(Т), которые одновременно открыты и замкнуты в его относительной топологии. Каждому спектральному множеству о соответствует проектор

(!) Е^ = ^ $ (M-T^dX, с (о) •

где С (о) — какая-нибудь спрямляемая жорданова кривая в q(T), охватывающая о и такая, что внутри ограниченной ею области нет точек из о(Т) — о. Сейчас нас интересует не столько определение (I) проекторов Е (о), сколько некоторые их свойства.

Эти проекторы удовлетворяют соотношениям

(П)5(аП6) = Е(а)Л£(6), £(oj 6) = Е (а)\] Е (6),

£(с(Т)) = /, £(0) = О,

где а и 6 —произвольные спектральные множества, а 0—пустое множество. Здесь мы употребили обозначения А/\В и A\J В для пересечения и объединения коммутирующих проекторов А и В. Напомним, что эти операторы определяются равенствами Af\B АВ, А\/В А-\- В — АВ и что пересечение и объединение двух коммутирующих проекторов снова являются проекторами. Кроме того, области значений пересечения и объединения двух коммутирующих проекторов находятся соответственно из соотно- шен и й (А Л В) Ж - (Л Ж) П (ВЖ) и (А V В) Ж - (Л Ж) + (ВЖ)=sp (Л Ж, ВЖ). Таким образом, в булевской алгебре проекторов отношение порядка А^В, которое по определению означает, что АВ^А, допускает геометрическую интерпретацию в виде ЛЖ ^ ВЖ. С другой стороны, соотношения (II) показывают, что соответствие о—>Е (п) является гомоморфным отображением булевской алгебры спектральных множеств на булевскую алгебру проекторов в Ж; кроме того, этот гомоморфизм переводит единицу о (Т) алгебры спектральных множеств в единицу I алгебры проекторов. Эти замечания приводят к понятию спектральной меры в В-про- странстве Ж. Спектральной мерой в Ж называется гомоморфное отображение булевской алгебры множеств в булевскую алгебру проекторов в Ж, переводящее единицу исходной алгебры в единичный оператор I. Таким образом, с каждым ограниченным оператором Т в комплексном В-нрострапстве связана посредством соотношения (I) спектральная мера Е, определенная на семействе спектральных множеств оператора Т. Эта спектральная мера связана (см. VII.3.20) с Т также соотношениями

(Ш)Е (6) Т = ТЕ (6), а (Гб) = 6,

где 6 — произвольное спектральное множество оператора Т, а а(Гб) - спектр сужения Тй оператора Т на многообразие Жб -В (6) Ж.

Таким образом, если спектральные множества 617 ..., дп оператора 'Г не пересекаются и в сумме составляют весь спектр о(Т), то пространство Ж можно разложить в прямую сумму $ = Жб, © • • • © &Х» гДе Т отображает каждое пространство Жб. "В(6/)Ж в себя/ и спектр сг(Тб.) сужения оператора Г на Жб. совпадает с 6^. Это показывает, что изучение оператора Т можно свести к изучению его сужений на инвариантные подпространства Жб- Очевидно, желательно знать, возможно ли дальнейшее

расщепление оператора Т, т. е. можно ли расширить область определения спектральной меры до большей булевской алгебры множеств на плоскости таким образом, чтобы сохранились соотношения (II) и (III). Ясно, что без ослабления условия (III) это невозможно, ибо если б = а(Тб), то, поскольку спектр оператора всегда замкнут (IX. 1.5), каждое множество из области определения спектральной меры, удовлетворяющей условию (III), необходимо замкнуто и открыто), т. е. является спектральным множеством. Однако для того чтобы свести изучение Т к исследованию этого оператора на инвариантных подпространствах, на которых он имеет меньший спектр, вполне достаточно найти спектральную меру, удовлетворяющую вместо (III) условиям

Е (6) Т = ТЕ (6), а (Т6) 6,

где б —замыкание множества б. Как будет показано в следующем параграфе, нормальный оператор Т в гильбертовом пространстве § порождает спектральную меру, определенную на булевской алгебре ^ всех борелевских множеств плоскости и удовлетворяющую условию (IV) для всех б^^- Эта спектральная мера, связанная с нормальным оператором, счетно аддитивна на $ в сильной операторной топологии. Это означает, что

00 ОО

2 £(Ш = Е( и 6М х^ 1=1 1=1

для любой последовательности {6J непересекающихся борелевских множеств.

Спектральная мера Е, определенная на борелевских множествах плоскости и удовлетворяющая условию (IV) для каждого борелевского множества б и условию (V) для любой последовательности непересекающихся борелевских множеств {6J, называется разложением единицы для Т. В этой терминологии спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовом пространстве утверждает, что каждый такой оператор обладает однозначно определенным разложением единицы.

Одно из многих применений этой теоремы состоит в построении для нормальных операторов обобщенного операторного исчисления, подобного операторному исчислению для конечных матриц, развитому в § VII. 1. Прежде чем описать операторное исчисление для нормальных операторов, напомним, какую форму при-

нимйет это исчисление для нормальных матриц в конечномерном пространстве. Если Г —нормальный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве ф, то его минимальный многочлен имеет лишь простые корни, и потому индексы vb . ..^ (см. определение VII. 1.1) всех собственных значений^, ..., Ад равны 1. Таким образом, для конечной нормальной матрицы Т операторное исчисление (см. VII.1.8) задается формулой f(T) = it

------ 2 / (М E M> гДе f-произвольный многочлен, a £(XZ) — i i

оператор, проектирующий § на собственное подпространство {х|х£$, (Т —Х,/)х = 0} оператора Г, соответствующее собственному значению X/. Определим для каждого борелевского множества б спектра Е (6) как сумму проекторов Е (Х^ по всем точкам спектра Х^б, если такие Xi существуют, а в противном случае положим 6(б) = 0; тогда функция Е (6) представляет собой разложение единицы для Т, а операторное исчисление задается формулой

№ = fWE№

оф)

к

где интеграл определяется как конечная сумма 2 f^E^). г=1

Если гильбертово пространство бесконечномерно, то для нормального оператора с разложением единицы Е все же существует операторное исчисление, задаваемое формулой (VI), но в этой ситуации необходимо определить интеграл, участвующий в (VI), и алгебру скалярных функций f, к которым эта формула применима.

Оператор f (Г) был уже определен для одного класса скалярных функций /, отличного от класса многочленов, а именно для класса С(а(Т)) всех комплексных непрерывных функций на спектре <т (Г). Действительно, следствие IX.3.15 показывает, что между С (а (7)) и 6*-алгеброй 6* (Г), порожденной оператором Т, существует изометрический *-изоморфизм, который определяется однозначно, если мы потребуем, чтобы скалярная функция g(X) ~Х и оператор Т были соответствующими элементами. Оператор f (Т) есть, по определению, тот однозначно определенный оператор в гильбертовом пространстве, который при этом *-изоморфизме соответствует непрерывной скалярной функции f. Этот абстрактный *-изоморфизм / <> / (Г) между С (о (Т)) и В* (Т) имеет

конкретное аналитическое представление в виде равенства (VI), которое, таким образом, определяет операторное исчисление. Термин «операторное исчисление» употребляется здесь и в других местах в следующем смысле. Пусть f—>T(f) есть гомоморфное отображение 6-алгебры скалярных функций в 6-алгебру

операторов в банаховом пространстве. Тогда каждый метод вычисления оператора Т (f) по скалярной функции f называется операторным исчислением. Обычно операторное исчисление принимает вид аналитической формулы, которая дает конкретное представление абстрактного гомоморфизма f^T^f). В настоящей главе все гомоморфизмы f—>T(f) будут *-гомоморфизмами В*-алгебр.

При изучении формальных операторов*- важные применения находят исчисления, определенные в виде различных обобщений формулы (VI). Это приводит к необходимости определить интеграл ^ f (X) Е (dX) скалярной функции / по операторнозначной функции множества Е. В настоящей главе нам придется интегрировать лишь ограниченные функции f, и потому ниже при построении интеграла мы ограничимся этим случаем. Пусть задана алгебра S подмножеств множества S, и пусть В —функция, отображающая S в алгебру ограниченных линейных операторов, действующих в В-пространстве Ж. Предположим, что функция Е аддитивна и ограничена, т. е. существует такая постоянная К^ что

B(6Ua) = B(6) + B(o) и \£(а)\<К

для любой пары непересекающихся множеств б, о из 2. При определении интеграла необязательно предполагать, что Е является спектральной мерой или что операторы Е (6) являются проекторами. Таким образом, основой при построении интеграла является любая ограниченная аддитивная операторнозначная функция Е, заданная на алгебре 2 подмножеств абстрактного множества S.

Функции, которые мы будем интегрировать, являются ограниченными и S-измеримыми. Функция f называется ^-измеримой (ср. IV.2.12), если f-1^)gS для любого борелевского множества Л из области значений f. Если S —семейство всех боре- левских множеств топологического пространства S, то S-измеримые функции называются также измеримыми по Борелю, или проще, борелевскими функциями. Класс B(S, S) (ср. IV.2.12) является, по определению, замкнутым линейным многообразием в пространстве всех ограниченных функций на S, порожденным характеристическими функциями множеств из S. Норма в пространстве всех ограниченных функций на S (и, таким образом, норма в В (S, S)) определяется соотношением | f | = sup | f (s) |.

' s^S

Мы будем называть ^-простой всякую функцию на S, имеющую вид

/=2«<Ч>

где Ха8 — характеристическая функция множества 6, из 2. Легко

проверить, что если 2 а<Хб1= 5 Р>^а , то 2 «iE ^t) = 2 ^jE (»,)r 4=31/=131=15—1'

и потому интеграл от 2-простой функции (VIII) можно определить равенством

п$ /($)5(^) = 5«г£ (6г).Si=l

Тогда, поскольку полная вариация скалярной аддитивной функции множества ц на 2 не больше, чем 4sup|p(6)| (см. III. 1.5), для бег

каждой 2-простой функции f имеем

| х*[ ^ f (s) Е (ds)\ х | | ^ / (s) x*E (ds) x I< 8S

<4sup|f(s)|sup|E(S)||x||x*|, xC$, x*^*, «es oes

и, таким образом (см. II.3.15),

I t f (s)E (ds)I<4Ksup|f (s) |,

где К —постоянная, участвующая в (VII). Это неравенство показывает, что если последовательность 2-простых функций {/„} сходится в В (S, 2) к функции f, то последовательность интегралов ^fn(s)E(ds)^ сходится и ес предел зависит только от f и не зависит от конкретной последовательности {fn}, использованной для аппроксимации f. Таким образом, мы можем определить интеграл от f равенством

f (s) Е (ds) — lim fn (s) E (ds).

8n 8

Для множества 6 из 2 интеграл ^ f(s)E(ds) равен, по определе- e

нию, ^ f (s) Хб (s) Е (ds). Ясно, что отображение f —> ^ f (S)E (ds) 88

является непрерывным линейным отображением B(S, 2) в алгебру ограниченных операторов на Ж. Если функция множества Е есть спектральная мера, то отображение f—> f (s) Е (ds) оказывается

8

также гомоморфизмом. Действительно, пусть f, g£B(S, 2); заме-

тим, что оба оператора ^ f(s)g (s) Е (ds) и ^ f (s) Е (ds) J х

SSs

S

S

X [ ^(s)£(ds)] линейно и непрерывно зависят от g и что если S

g — характеристическая функция множества б из 2, то

$ f (s) R М E (ds) = J f(s)E (ds П 6) = ss

- J f (s) E (ds) E (6) = ^ J f(s)E(ds)^ [$£($)£ (ds)] .

8SS

Таким образом, если f£B(S, 2), то равенство

J f (s) g (s) E (ds) = [ J f (s) E (ds) ] [ J g (s) E (ds) ] SS- s

имеет место для всех S-простых функций g, и, следовательно, в силу непрерывности обеих его частей по g, оно справедливо для всех f и g из B(S, 2). Если, кроме того, Е —самосопряженная спектральная мера , в гильбертовом пространстве, что означает, что £(б) = £(б)* для всех б из 2, то отображение / —> ^ f(s)E (ds) является *-гомоморфизмом В*-алгебры В (8, 2) s

в В*-алгебру ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Чтобы показать это, рассмотрим 2-простую функцию f (см. VIII). Имеем

п

[^(5)£(^)]*=2«г£(ба=^ To)E(ds) ' Si—lS

и, поскольку простые функции плотны в В (8, 2), получаем, что / (s) £ (ds) J =^ f(s)E(ds) для всех / из В (8, 2).

SS

В результате мы установили следующую теорему.

Теорема. Пусть Е — ограниченная самосопряженная спектральная мера в гильбертовом пространстве, определенная на алгебре 2 подмножеств множества 8. Тогда отображение f—>T(f)1 определенное равенством

T(f)=^f(s)E(ds), fEB(S^),

s

Является непрерывным ^-гомоморфизмом В*-алгебры В (8, 2) ограниченных ^-измеримых функций на 8 в В*-алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

Возвращаясь к общему интегралу ^ f(s)E(ds), где Е — просто ограниченная аддитивная операторнозначная функция множества, мы замечаем, что интеграл определен в терминах равномерной операторной топологии. Ясно, что аналогично можно определить интеграл ^ / (s) и (ds) ограниченной S-измеримой функции / по ограниченной аддитивной векторнозначной функции множества у. Таким образом, если Е- ограниченная аддитивная функция множества на S, значения которой Е (6) являются ограниченными операторами в В-пространстве Ж, несли х^Ж, то интеграл \j(s)E(ds)x определен для каждой ограниченной S-измеримой функции f на S. Из определения интеграла немедленно следует, что

[ 5 / (s) Е (ds) J х = \j(s)E (ds) х.‘ss

Аналогично, если х^Ж и х*^Ж*, то любая ограниченная S-измеримая функция / на S интегрируема по ограниченной аддитивной скалярной функции множества х*Е(б)х, 6£S, и

х* |/ (я) Е (ds) ^ х = f(s)x*E (ds) х.

В гильбертовом пространстве это тождество принимает вид

f (s) Е (ds) ] х, у) ^Hs)(E(ds)x, у),х,у£&

Обозначение ^ f (s) Е (ds) говорит само за себя, но, быть может, s

будет полезно явно указать, что символы

$ f^) ^(0 E(dl) и J [(s)E(ds(]8)

S (isS

обозначают интегралы от / по аддитивным операторнозначным функциям множества

g (t) Е (dt) и Е (о П 6)

О

соответственно. Интеграл ^ f (s) Е (ds Q 6) сам является ограничен* s

ной аддитивной функцией множества 6gS, а интеграл от функ*

ции g из В (8, 2) по этой функции множества записывается в виде$ 5(0 5 f (s') Е (ds[\df).

88

Если / — характеристическая функция множества 6^2, то

^s^V(s) Е (ds ndt^=\g W f ^ E ^

888

и так как обе части этого равенства линейны и непрерывны относительно /, то (IX) имеет место для всех /, g^B(S, 2).

Пусть S —нормальное топологическое пространство, и пусть функция множества Е регулярна в том смысле, что для любых х^Ж и х*£Ж* регулярна скалярная мера х*Е(-)х. Тогда из обращения в нуль интеграла / (s) Е (ds) для каждой ограниченной

8

непрерывной на S функции / вытекает, что

х* [ J f(s)E(ds)^x = f(s)x*E(ds)x = 0,f£C(S),

S8

и потому (см. IV.6.2) х*Е(б)х = 0 для любого борелевского множества dcS. Следовательно (см. II.3.15), Е(б) = 0. Таким образом, если Е и Л— ограниченные аддитивные регулярные операторнозначные функции множества, определенные на борелев- ских множествах нормального топологического пространства S, и если ^ / (s) Е (ds) = ^ / (s) Л (ds) для любой ограниченной непре- 88

рывной на S функции /, то Е(б) = Л(б) для каждого борелевского множества 6cS.

Еще одно свойство интеграла, которое часто будет применяться, носит название принципа замены меры. Этот принцип состоит в следующем. Пусть Е и Ei —две спектральные меры на 2, связанные соотношением

[E(6) = Ei(^(6)), б С 2,

где h — отображение S в себя, обладающее тем свойством, что для любого б из 2 множество hr1 (б) = {s | h (s) С 6} принадлежит 2. Если / — характеристическая функция множества б £2, то соотношение между Е и Ei может быть записано в виде

\ f(s)E(ds)=\ Hh^E^ds).

SS

Так как обе части этого равенства линейно и непрерывно зависят от f£B(S, S), то ясно, что оно справедливо для любой ограниченной S-измеримой функции f.

Элементарные свойства интеграла ^ f (s)E (ds), рассмотренные 's

в данном параграфе, будут неоднократно применяться на протяжении этой главы, причем обычно без явной ссылки на свойство, о котором идет речь.

Спектральная теоремадля ограниченных нормальных операторов

Перед доказательством того, что ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве обладает разложением единицы, мы докажем следующую ниже более общую теорему, которая часто будет использоваться в ситуации, когда применение ее частного случая (т. е. обычной спектральной теоремы) затруднительно. Эта общая теорема позволяет для любого семейства коммутирующих нормальных операторов построить спектральную меру, которая одновременно приводит каждый оператор данного семейства. Эта теорема вместе с теоремой Гельфанда —Наймарка {IX.3.7) дает ключ ко всей теории нормальных операторов в гильбертовом пространстве. Настоящая глава представляет собой в известном отношении перечень следствий и частных случаев этих двух результатов. В следующей главе указанные теоремы найдут применение к разнообразным задачам анализа.

—> 1. Теорема (общая спектральная теорема). Любая коммутативная В*-алгебра 91 операторов в гильбертовом пространстве Q изометрически *-эквивалентна алгебре С (Л) всех комплексных непрерывных функций на своем спектре Л. Кроме того, каждый изометрический ^-изоморфизм f*>T(f) между этими алгебрами однозначно определяет спектральную меру Е, заданную на алгебре $ всех борелевских подмножеств спектра Л и обладающую следующими свойствами:

для любых х, у^^ функция множества (Е(о)х, у), о£$, является регулярной и счетно аддитивной на ®;

Е(6)Т = ТЕ(6),£(6) = £(6)*,6^, Т№

T(f)=\ fWE(dl), feC(К).

Л.

Доказательство. Первое утверждение составляет содержание следствия IX.3.9. Для доказательства второго потребуется следующая лемма.

Лемма. Ограниченная билинейная форма, удовлетворяющая соотношению [х, уА = \у, х], однозначно определяет такой ограниченный самосопряженный оператор А, что [х, уА = (Ах, у).

Доказательство. Для фиксированного у величина [х, уА линейно и непрерывно зависит от х, и, следовательно (IV.4.5), найдется такая точка Ау^^, что [х, у] = (х, Ау). Так как форма [х, у] ограничена и билинейна, то оператор А линеен и ограничен, а соотношение [х, у] = [у, х] показывает, что он самосопряжен.

Продолжая доказательство теоремы, заметим, что для каждой пары к, у^^ величина (^(^х, у) линейна относительно f и | (Т (f)x, у) | <| / 11 х| | у |. Таким образом, по теореме Рисса о представлении линейного ограниченного функционала (IV.6.3), на ^ существует единственная регулярная мера р(-,х, у), для которой

(T(f)x,y)= ^f(X)n(dX,x,y), fGC (Л),

Л

|у(е, X, у)К^(у(-, X, у), еХ]х|-|у|,

Так как (T(f)ax, у) = а (Т (/) х, у), то, учитывая (а), имеем

f (X) р (dX, ах, у) — ^ / (X) ар (dX, х, у), ^С (Л), лл

и поскольку регулярная мера однозначно определяется функционалом, ясно, что р (6, ах, у) = ар(б, х, у). Аналогично можно показать, что мера р (6, х, у) билинейна по х и у. Если теперь функция / вещественна, то T(f) = T (J) = Т (/)*, так что (Т (/) х, у) = = (Т (f) у, х). Из (а) следует, что

^ fW^ (dX, х, у) = ^ / (X) у (dX, у, х), /€С(Л), Лл

откуда, по соображениям единственности, р (6, х, у) = р (6, у, х). Лемма 2 и неравенства (Ь) показывают, что для каждого б из ^ найдется единственный ограниченный самосопряженный оператор Е(б), для которого р(б, х, у) —(Е(б)х, у). Ясно, что функция Е(б) аддитивна на ^, а из (Ь) следует, что |£(б)|<1. Таким образом, свойство (III) вытекает из (а). Чтобы убедиться, что Е (6) Е (а) = Е (6f|o), заметим, что для любой пары /, g из С (Л) мы имеем

$ f W g^)E (6?yndX)= J ЦХ) J g(H)^№) = ЛАд dX

= \f(X)g(X)E(dX)=T(fg) =

л

4 Заказ № 134

= W(g)=\KX)T(g)E№ = $ f^ ^ g^E^dX). лл л

Таким образом,

$2 (н) Е № П 6) = $ g (н) Е (d^ Е (б),6 G ^ g £ С (Л),

лл

и, следовательно, Е (о Q 6) = Е (ст) Е (6) для любой пары о, 6 из ^. Поэтому Е является спектральной мерой, и, в частности, все проекторы Е (6) коммутируют. Но тогда из свойства (III) следует, что проекторы Е (6) коммутируют также с Т (/), а это завершает доказательство теоремы.

Следствие. Спектральная мера является счетно аддитивной в сильной операторной топологии.

Доказательство. Если последовательность {бп} борелевских множеств стягивается к пустому множеству, то в силу свойства (I) | Е (6П) х|2 = (Е (бп) х, Е (бп) (х) = (Е (бп) х, х) -> 0, ч. т. д.

Последнее рассуждение показывает также, что регулярность скалярной меры (Е (6) х, у) для любых х, у из § влечет регулярность векторной меры Е (6) х относительно сильной топологии в $, т. е. для любых 6^^ и е>0 существуют такое замкнутое множество F^d и такое открытое множество G^ б, что |Е(сг)х|<е для любого (Т из Ж, содержащегося в G — F. Это следует из равенства | Е (а) х |2 (£ (а) х, х). Таким образом, для самосопряженной спектральной меры (т. е. спектральной меры, удовлетворяющей условию Е (б) = Е (б) *) понятия счетной аддитивности и регулярности не зависят от того. рассматриваются они в слабой или в сильной операторной топологии. Эти понятия никогда не будут рассматриваться в равномерной операторной топологии, так как | Е | > 1 для каждого ненулевого проектора Е в любом Я-пространстве. Поэтому мы можем, не опасаясь недоразумения, употреблять такие выражения, как «регулярная счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера».

Следствие. Ограниченный нормальный оператор Т однозначно определяет на борелевских множествах комплексной плоскости регулярную счетно аддитивную самосопряженную спектральную меру Е. обращающуюся в нуль на ^(Т) и обладающую тем свойством, что

ЦТ) = J mE(dX),

О СО

Доказательство. Если мы положим Е (6) = 0, когда 6 П о(Т) пусто, то следствие 4 непосредственно вытекает из теоремы 1 и следствия IX.3.15.

Определение. Однозначно определенная спектральная мера, соответствующая по следствию 4 нормальному оператору Т, называется разложением единицы для Т.

Для того чтобы связать это определение с определением разложения единицы, данным в § 1, докажем следующее следствие.

Следствие. Если Е —разложение единицы для нормального оператора Т, а 8 —борелевское множество комплексных чисел, то

Е(8)Т = ТЕ(8), о(Т6)^8,

где Т& —сужение оператора Т на Е(8)&

Доказательство. Первое утверждение следует из теоремы 1 (II). Далее, из теоремы 1.1 и следствия 4 вытекает, что если ^6, то оператор R = \ (£ —Z)-1xs(Z)E (dZ) удовлетворяет равенству R(U — Т) = Е(8), ч. т. д.

Следствие. Регулярная счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера Е, определенная на борелевских множествах комплексной плоскости, тогда и только тогда является разложением единицы для нормального оператора Т, когда Т = J XE(dX).

о(Т)

Доказательство. Если Т = ^ ХЕ (dX) и мера Е является а (Г)

самосопряженной, то Т* = ^ ХЕ (dX). Таким образом, по теоре- о_

ме 1.1 для каждого полинома р(Х, X) от Z и Z имеем р(Г,Т*) = = ^ р (X, X) Е (dX). Из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса от

следует, что ЦТ)--. ^ ЦХ) Е (dX) для каждой функции / из от.

С (о (Г)). Таким образом, по следствию 4 Е является разложе-. нием единицы для Т. Обратное утверждение непосредственно вытекает из следствия 4..

8. Следствие. Пусть Е— разложение единицы для ограниченного нормального оператора Т; для каждой комплексной ограни-

4*

ценной борелевской функции f на спектре о (Г) положим

№ = 5 f^E(dk). ат

Тогда отображение f—+f(T) является непрерывным ^гомоморфизмом В*-алгебры ограниченных борелевских функций на а(Т) в В*-алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, причем функции f(k) = X и /(Х)= 1 отображаются соответственно в операторы Т и I. Этот гомоморфизм обладает еще следующими свойствами;

\ЦТ)х\^ $ \fW\4E(d^x,x),х^^;

от

если равномерно ограниченная последовательность {/п} комплексных борелевских функций сходится в каждой точке спектра о(Т) к функции f, то fn(T)—>f(T) в сильной операторной топологии.

Доказательство. Согласно теореме 1.1, отображение f—*f(T) является непрерывным *-гомоморфизмом. По следствию 4 функции X и 1 отображаются в операторы Т и I соответственно. Докажем утверждение (II). Имеем.

Щ'Пх^ЦН-Пх, f (Т) х) = (f (Т)* f (Т) х, х) =

^ттх^у- J ждахм-o’m

Утверждение (III) следует из (II), поскольку

\^x4(IW J ^HWWmWот

по теореме Лебега об ограниченной сходимости.

Иногда желательно иметь операторное исчисление, подобное тому, которое дается в теореме 1.1, но представляющее собой изометрический *-изоморфизм (а не просто непрерывный *-гомо- морфизм) между коммутативной В*-алгеброй операторов в гильбертовом пространстве и В*-алгеброй, элементами которой являются классы эквивалентности функций. Пользуясь таким исчислением, которое мы сейчас опишем, можно получать ограниченные операторы из функций, не обязательно ограниченных. Пусть Е — счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера, определенная на а-алгебре 2 подмножеств из S. Скалярная или векторная функция f на S называется существенно

ограниченной относительно Е, если величина vrai sup | f (s) I = inf sup | / (s) | E sESE^^I SE6

конечна. Так как мера Е счетно аддитивна, то найдется такое множество 60 из 2, что Е(60) = / и

vrai sup | f (s) | = sup | f (s) |.E sESsE6o

Таким образом, если функция f существенно ограничена, то существует такая ограниченная на S функция f0, что f(s) = f0(s) почти всюду относительно меры Е. Если функция / 2-изме- рима, то /0 — ограниченная 2-измерймая функция, т. е. элемент 5*-алгебры B(S, 2). Алгебра EB(S, 2) существенно ограниченных относительно Е и 2-измеримых функций на S есть В*-алгебра, элементами которой являются классы эквивалентности 2-измеримых скалярных функций на S, определенные всевозможными ограниченными 2-измеримыми скалярными функциями таким образом, что каждый класс состоит из всех 2-измеримых функций, отличающихся от некоторой ограниченной 2-измеримой функции лишь на множестве, имеющем нулевую меру Е. Иными словами, EB(S, 2) получается из B(S, 2) приведением по модулю множеств нулевой Е-меры. Норма в EB(S, 2) есть

1/1 = vrai sup|f(s)|.

Е sES

Хотя элементами алгебры EB(S, 2) являются классы эквивалентных функций, мы для удобства будем говорить об этих элементах как о функциях на S. Ситуация здесь вполне аналогична встретившейся нам в случае пространства ЬоД8, 2, р). Алгебраические операции в ЕВ (8, 2) определяются естественным образом; в частности, инволюция определяется как f* = f, где, как обычно, f(^) = /(M- Для ограниченной 2-измеримой функции g на S имеем g(s) Е (ds) = \ g(s)E(ds\ если Е(6) = /; поэтому ds

можно определить интеграл от существенно ограниченной относительно Е функции / как интеграл от какой-нибудь ограниченной 2-измеримой функции g, отличающейся от / лишь на множестве нулевой Е-меры. Из теоремы 1.1 вытекает, что отображение /—> ^ f(s)E(ds) алгебры ЕВ (8, 2) в алгебру операторов s

в гильбертовом пространстве является непрерывным *-гомомор- физмом. Следующий более сильный результат показывает, что это отображение представляет собой изометрический *-изомор- физм.

Следствие. Пусть Е —счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера на о-алгебре 2 подмножеств множества S. Тогда отображение f—>T(f) алгебры EB(S, 2) в алгебру операторов в гильбертовом пространстве, определенное соотношением

Tm=\mE(dsY KEB(S,^

s

является изометрическим *-изоморфизмом и обладает следующими свойствами;'

оператор Т (f) тогда и только тогда имеет' ограниченный обратный Т^у1, когда функция Uf существенно ограничена на S относительно меры Е;

о(Т(П^ П Ж, f^EB(S^);

Е(6)=1

\Т(Пх\^ ^\f(X)\4E(dX)x,xY f^EB^S^Y, s

если ^^ — ограниченная последовательность в ЕВ (S, НГ) и \im fn (s) = f (s) почти всюду относительно Е, то T(fn)x—> п

—>Т(^х для каждого х из гильбертова пространства.

Доказательство. Утверждения (IV) и (V) можно доказать так же, как соответствующие утверждения следствия 8. Чтобы показать, что отображение f—^T^f) изометрично, рассмотрим любое такое 6 £2, что Е(б) = 1. Тогда

\T(n\ = \\fWE(dX)Usup\f^\

и, следовательно, | Т (f) I < vrai sup I f (s) |. Обратно, пусть E s£S

r<_ vrai sup | f (s) | и dr = {s 11 f (s)| >r), так что £(бг)=^=0, и пото- E s£S

му 0 =7^ x = E (6r)x для некоторого вектора x. Тогда, согласно (IV),

\T(f)x\2=^ \m\4E(dX)E(br)x, х) =

S

= ^ \ЦХ)\2(Е (dX(\6T)x, х)=Л | f (X)|2(Е(dX)х, х)>г2\х\2, 86г

откуда \T(f)\>r, поскольку х=^0. Так как г — произвольное число, меньшее чем vrai sup Щ$)|, то I Т (f) | > vrai sup | f (s) |; это

Е sESЕ SES

означает, что | Т (/) | = | f |, и доказывает, что отображение f—>T(f) является изометрическим *-изоморфизмом. Чтобы дока-

зать (II), заметим, что если функция l/f существенно ограничена на S относительно меры Е, то Т(l/f)-T (f) = T (1) = I, т. е' Т (f )-1 существует. Обратно, пусть Т (f)'1 существует и является ограниченным оператором в гильбертовом пространстве; пусть г>\Т(f)-1|. Покажем, что £(6г) = 0, где 6Г = = (s 11 1 /f (s) | > г} (s 11 f (s) | < г"1}. Действительно, если это не так, то найдется такой вектор х, что 0#=х = £(6г)х, и тогда, согласно (IV),

IТ (f) х |3 = $ | f (s) I2 (E (ds) x,x)<r»\x |2. dr

Поэтому \x\ = \T (f)"1T(f)x\<r\T (f)x\<.\x\, что невозможно; полученное противоречие завершает доказательство утверждения (II). Наконец, чтобы доказать (III), предположим, что X0^f(6), где Е(6) = 1. Тогда функция 1/(Х0 — f) существенно ограничена относительно Е, и потому Хо € Q (Т (f)). Это доказывает, что f (6) 2 о (7(f)), и, таким образом,

П Z(6)2 a (7(f)).

Е(6)=1

Обратно, если АоCq (7(f)), то, согласно (II), функция 1/(Х0 —f) существенно ограничена относительно Е; следовательно, найдется такое множество 6 £5, что Е(д) = 1 и X0^f(6). Это показывает, что о (7(f)) = П f (6), ч. т. д.

Е(6)=1

Следствие. Пусть f^EB(S,'2), где Е — спектральная мера из следствия 9, и пусть Ef — разложение единицы для оператора 7 (f). Тогда £/(6) = £(f-1(6)) для каждого борелевского множества 6 комплексной плоскости.

Доказательство. Поскольку функция f существенно ограничена относительно Е, то существует такая постоянная М и такое множество о0 €2, что Е(а0)^1 и |f(s)|<.M при s^a0. Пусть T = T(f). Тогда, согласно 9(11), для каждого Xi С Q (7) функция l/(^i —f) существенно ограничена относительно Е, и потому найдется такая окрестность Ni точки Хь что Е (f-1 (Nt)) = 0. Конечное число таких окрестностей покрывает множество 6П, состоящее из всех таких комплексных чисел X, для которых |Х|<М и расстояние от X до о(Т) не меньше, чем 1/п. Поэтому Е (f-1 (6„)) = 0. Так как мера Е счетно аддитивна, то Е (Гг(е(Т))) = 0. Следовательно, Е (/^(б (] а (7))) = Е (f-1 (6)) для любого борелевского множества 6 комплексной плоскости. Таким

образом, по правилу замены меры при интегрировании,

J XE(f”1(dsy = ^f(s)£(ds) = T,

.о(Т)S

и потому по следствию 7 £/(6) = Е (/^(б)), ч. т. д.

3. Собственные значения и собственные векторы

Одно из отличий спектральной теории в общем В-пространстве (или в гильбертовом пространстве) 6т соответствующей теории в конечномерном пространстве состоит в том, что в общем случае оператор р/ — Т может иметь обратный даже тогда, когда р, принадлежит спектру о(Т) оператора Т. С рядом таких примеров мы встречались в § VII.5, где была также дана общая классификация точек спектра. Мы повторим здесь эту классификацию в применении к операторам в гильбертовом пространстве и изучим некоторые ее связи с теорией нормальных операторов.

Определение. Пусть 0(7) —спектр ограниченного линейного оператора Т в гильбертовом пространстве ^. Множество всех комплексных чисел X из о(Т), для которых оператор XI — Т не является взаимно однозначным, называется точечным спектром оператора Т и обозначается оР(Т). Каждое число р, из ор(Т) называется собственным значением оператора Т, а каждый вектор х-#0, для которого (р/ —Т)х —О при некотором рбсГр(Т), называется собственным вектором оператора, соответствующим собственному значению р, или проще, собственным вектором оператора Т. Множество всех р^о(Т), для которых оператор р/ — Т взаимно однозначен и для которых многообразие (pJ — Т)^ всюду плотно в § (но не совпадает со всем ^), называется непрерывным спектром оператора Т и обозначается ос(Т). Множество всех ^^^(Т1), для которых оператор р/ —Т* взаимно однозначен, но многообразие (р,/ —Т)^ не является всюду плотным в ^, называется остаточным спектром оператора Т и обозначается оГ(Ту

Следует заметить, что если оператор XI — Т взаимно однозначен и(Х/ —Т)^ ^, то (см. II.2.2) оператор (XI — Т)"1 определен на всем $ и ограничен, и потому X не принадлежит спектру о (Ту Это показывает, что каждая точка комплексной плоскости лежит в одном из непересекающихся множеств q(T), ор(Ту ос(Ту ат(Т). Напомним еще, что о(Т) есть непустое замкнутое множество (IX. 1.5), содержащееся в круге {А||А|<|Т|} (см. VII.3.2). Следующая лемма резюмирует вышеизложенное.

Лемма. Пусть Т — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве. Тогда резольвентное множество q(T) открыто,

а спектр является непустым замкнутым подмножеством круга {Х||Х|<|Т|}. Кроме того, множества q(T), ор(Т), ос(Т) и ОгСО попарно не пересекаются и их объединение совпадает со всей комплексной плоскостью.

Для иллюстрации введенных понятий рассмотрим гильбертово пространство /2 всех последовательностей x = {aj комплексных чисел, для которых |х| = (2 lad2)1/2< °°* Скалярное произведение в Z2 определяется формулой (х, у) = ^ «/Рь где x = {aj, z/ = {PJ. Пусть у^Тх — оператор сдвига в Z2, определенный соотношением z/ = {a2, a3, ...}, где % = {«!, a2, a3, ...}. Так как | Г | < 1, то по лемме 2 спектр a (Г) содержится в круге {Л 11 Л | ^ 1}. Если | X | < 1, то последовательность х = {1, А, X2, ...} принадлежит /2 и Тх = Хх, так что каждое X с |Х|<1 является собственным значением оператора Т. Так как спектр a (Г) замкнут и содержится в единичном круге, то a (7) = {X11 X [< 1}. Ясно, что единственным, с точностью до скалярного множителя, собственным вектором, соответствующим собственному значению X при |Х|<1, является вектор {1, X, X2, ...}, так что многообразие (х |Z2, (7 — V)x = 0} одномерно. Если |Х| = 1, то Х^ар(Т), поскольку в этом случае {1, X, X2, ...} не принадлежит Z2. Такие X лежат в ас(Т). Чтобы показать это, рассмотрим в Z2 произвольный вектор // —{Рг}, и пусть к—-такое натуральное число, что 2|Pd2<e2, гДе е —заданное положительное число. Ясно, г=к

что мы можем найти такую последовательность x = {an}, что «n+i^O при n>k и Xan —an+1 = pn при п^к. Таким образом,

\(м-т)х-у\ = ( 2 1М2)1/2<8,■

n=h+l

откуда следует, что ос(Т)^^Х\ |Х|= 1} и что остаточный спектр ar(T) пуст. Можно также привести примеры операторов Л, для которых (тг(Л) = о(Л); для таких операторов точечный и непрерывный спектры пусты.

• Следующая лемма показывает, что для нормального оператора характер точки спектра определяется разложением единицы.

Лемма. Если Е —разложение единицы для нормального оператора Т, то:

если множество 6 не пусто и открыто в относительной топологии спектра о(Т), то Е (6)^=0;

точечный спектр ор(Т) оператора Т состоит из всех комплексных чисел р, для которых Е ({р}) ^ 0;

остаточный спектр ог (Т) оператора Т пуст.

Доказательство. Пусть 6 открыто, £(6) = 0 и ХОС6П°(£)- Тогда функция (Хо—X)"1 существенно ограничена на о (Г) относительно меры Е и, согласно следствию 2.9 (II), X0^q(T), что приводит к противоречию, доказывающему справедливость утверждения (I). Чтобы доказать пункт (II), допустим, что £({р})х = = х#=0. Тогда

Тх — ^ ХЕ (dX) Е ({р}) х = ^ ХЕ (dX П {р}) х = ух, осп

так что \v^ap(Ty Обратно, если хт^О и Тх = рх, положим

1

fn(X) =fn(X) =!^-1|<т-!^-1|<т-р—X ’

fn(X) =

fn(X) =

!^-1|<т-

!^-1|<т-

о,

Тогда /п(Т)(р/~Г) = £{Х| |Х — р|>1/п}, и так как (р/-Т)х = 0, мы имеем Е ({X | | X — р | > 1/п}) х = 0. Устремляя п к бесконечности и применяя следствие 2.8 (III), получаем, что £({А|Х^=р})х = 0, откуда £ ({р}) х = х #= 0. Чтобы доказать (III), достаточно показать, что если (р/— Т) ^ не плотно в ^, то р€стр (Г). Для такого р по следствию II.3.13 и теореме IV.4.5 найдется вектор х#=0, ортогональный к (р/ —£)§, откуда (р/ — Т*)х - 0. Согласно (II), для разложения единицы А оператора Т* имеем Д^р})^!). Таким образом, в силу следствия 2.10 0^ А ({р}) = Е ({р}) и, согласно (II), р£ар(Т), ч. т. д.

Теорема. Если спектр ограниченного нормального оператора Т в ^ счетен, то в ^ существует ортонормальный базис В, состоящий из собственных векторов оператора Т. Кроме того,

х = ^(х, у) у, х£&ven

и для каждого х все коэффициенты (х, у), за исключением, быть может, счетного числа, равны нулю.

Доказательство. Пусть о(Г) = {р1, ц2, •••} и ^п^£(цп)^, где Е — разложение единицы для Т. Если §п =^ 0, то из леммы 3 следует, что ^п состоит целиком из собственных векторов оператора Т. По теореме IV.4.12 в каждом подпространстве ^п

имеется ортонормальный базис Вп. Если мы положим В = U Вп, n=i

то каждый элемент из В будет собственным вектором оператора Т. Так как £(рп)х = х для х из Вп и £ (рп) £ (рт) = 0 при

zz^m, то В является ортонормальным множеством. Кроме того, по следствию 2.3

Е (dX) х— ^ Е (рп) х, х^^, ' о(Т)п=1

и, таким образом, не существует ненулевого вектора, ортогонального ко всем элементам множества В. Следовательно, В полно и по теореме IV.4.13 является ортонормальным базисом в §. Оставшиеся два утверждения теоремы следуют из определения IV.4.11 и теоремы IV.4.10.

—> 5. Следствие. Спектр вполне непрерывного нормального оператора Т в ^ счетен и не имеет на комплексной плоскости предельных точек, кроме, быть может, точки р = 0. Каждая отличная от нуля точка спектра является собственным значением, и число соответствующих ей линейно независимых собственных векторов конечно. В § существует ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов оператора Т.

Доказательство. Первые утверждения следуют из теоремы VII.4.5, а последнее —из теоремы 4.

Унитарные, самосопряженные и положительные операторы

В этом параграфе мы вкратце рассмотрим некоторые специальные классы нормальных операторов, часто встречающиеся в математическом анализе.

Определение. Ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве § называется унитарным, если ТТ* = Т*Т = /; самосопряженным, симметрическим или эрмитовым, если Т = Т*; положительным, если он самосопряжен) и (Тх, х)>0 для любого х из ^; положительно определенным, если он положителен и (Тх, х)>0 для любого х =й=0 из §).

Ясно, что операторы всех этих классов являются нормальными.

Унитарные операторы имеют ряд других характеристических свойств. Например, если ^ — унитарный оператор, то (х, у) =

= (U*Ux, y) — (Ux, U**y) = ^Ux, Uy). Обратно, пусть оператор U удовлетворяет равенству (х, у) = (Ux, Uy). Тогда (х, у) = фЧ)х, у), и если оператор U имеет обратный, то U"x — U**, это означает, что оператор U унитарен. Другими словами, унитарный оператор представляет собой изоморфизм пространства § на себя, сохраняющий скалярное произведение (и, следовательно, сохраняющий все свойства пространства §). По этой причине операторы Д и В, действующие в $ и связанные соотношением A = U*BU, где оператор U унитарен, обладают одинаковыми свойствами. Такие операторы называются унитарно эквивалентными.

Эрмитовы операторы образуют в В^) подкласс, роль которого в В {^) во многом напоминает роль подкласса вещественных чисел в классе всех комплексных чисел. В частности, каждый оператор Т^В(^) однозначно представим в виде T — A + iB, где А и В—эрмитовы операторы. Очевидно, Д и В должны определяться формулами

Т1 I Т1*тт*

Ясно, что оператор Т нормален тогда и только тогда, когда его «вещественная» и «мнимая» части Д и В коммутируют.

Понятие положительного оператора позволяет нам ввести в пространстве В($д) отношение порядка: мы пишем S^T, если оператор Т — S положителен. Таким образом, В(^) становится частично упорядоченным векторным пространством и обладает, как таковое, многими интересными свойствами; некоторые из них приводятся в упражнениях в конце этой главы.

Связь между классами унитарных, эрмитовых и положительных операторов и соответственно комплексными числами, по модулю равными единице, вещественными числами и положительными числами иллюстрируется следующей теоремой.

Теорема. Ограниченный нормальный оператор является унитарным, эрмитовым или положительным тогда и только тогда, когда его спектр лежит соответственно на единичной окружности, вещественной оси или неотрицательной вещественной полуоси.

Доказательство. Если N — ограниченный нормальный оператор, то по следствию IX.3.15 соотношение NN* = N*N = I выполняется тогда и только тогда, когда XX = 1 для каждого X, принадлежащего спектру оператора N; аналогично соотношение N = N* равносильно тому, что Х = Х для каждого X^o(N). Пусть Е — разложение единицы для самосопряженного оператора А. Если его спектр неотрицателен, то сам оператор положителен,

поскольку по следствию 2.7 (Ах, х) = X(E(dX)x, х). Обратно, а(А)

если открытый интервал 6 отрицательной полуоси пересекается со спектром, то по лемме 3.3 (I) Е (6) #= 0. И если 0 ^ х = Е (6) х, то (Ах, х) = J Х(Е (dX) Е (6) х, х)= J X (Е (dX П 6) х, х) =

а(А)а(А)

= ^ X(E(dX)x, х)<0, т. с. оператор А нс является положи- а(А)Лд‘

тельным, ч. т. д.

Установленные в этой теореме связи между спектром нормального оператора N и значениями формы (Nx, х) могут быть значительно углублены (см. упражнение 8.8). Здесь мы исследуем эти связи в частном случае вполне непрерывного самосопряженного оператора N. В этом случае, согласно следствию 3.5, спектр o(N) состоит из последовательности {Xi} (возможно, конечной или пустой) положительных чисел, последовательности отрицательных чисел {Хй} (возможно, конечной или пустой) и нуля (при условии, что пространство ^ бесконечномерно). Кроме того, согласно следствию 3.5, множество собственных векторов, соответствующих любому ненулевому собственному значению, образует конечномерное пространство. Размерность этого пространства называют кратностью соответствующего собственного значения. Мы можем предположить, что положительные собственные значения занумерованы в порядке убывания, причем каждое из них повторяется столько раз, какова его кратность: Х4 > Х2 > .... Последовательность {Хп} либо пуста (что мы пока исключим), либо конечна, либо бесконечна; в последнем случае Хп —> 0. Тогда

(Ух, х)= ^ X(£*(dX)x, xXXJxl2,

так что (Ух, x)/fx ^^Хр Следовательно, наибольшее положительное собственное число Xi можно охарактеризовать соотношением Рэлея

)М = max -^Д •

Как, зная Xi, охарактеризовать Х2? Легко видеть, что если Xi — ненулевой собственный вектор, соответствующий значению Х1? то

{*]Х2 = max ^Д .

(х, Х1)=0 I I

Так как эта формула явно содержит собственный вектор х1? она во многих случаях оказывается неудобной. Более удовлетво-

рительная характеристика Х2 состоит в следующем. Для любого вектора у мы можем найти такую ненулевую линейную комбинацию а^Ч-аг^г вектора xt и собственного вектора х2, соответствующего собственному значению Л2 и ортогонального к хь что (а^ 4-а2х2, у) - О* Поскольку |aiXi + a2x2|2HaiP[x1|2 + + |а2|2|х2|2, мы имеем

(/V (а^х^ + а2х2), а^ + а2х2) = М | а! I21 х^ |2 +

4- Х21 а2 [21 х212 > ^21 «1X14- «2*2|2<

Следовательно,

^2"^^2"^шах(х, у)=0шах(х, у)=0(Nx, х)(Nx, х)

^2"^

^2"^

шах(х, у)=0

шах(х, у)=0

(Nx, х)

(Nx, х)

С другой стороны, соотношение [*] показывает, что если положить y^Xf, то последний максимум в точности равен Х2. Таким образом, мы получаем

а .(.Nx, х)

Ло^шш max 7 .

У (х,у)=о Iх!2

Таким же способом можно показать, что

Х3 = min max ^ '■ l/l. 1/2 (5С» V4)=0 (х, i/2)=0 и вообще

) - Xa+i= min max -^’Д,к>\.

Уд (X, У£)=0 I л I

1=1, .. ., к

Следующая теорема резюмирует изложенное.

—> 3. Теорема. Пусть Xf^X^ . .. — положительные собственные значения вполне непрерывного самосопряженного оператора N, причем каждое из них повторяется столько раз, какова его кратность. Тогда собственные значения ^ А2, • • • определяются формулами (I) и (II).

Характеристика k-vo по величине собственного значения, данная в теореме 3, кроме многих теоретических приложений, имеет многочисленные применения к приближенному вычислению^ собственных значений. Здесь мы лишь проиллюстрируем применение этой теоремы примером. Пусть L и М — вполне непрерывные самосопряженные операторы, а {Хп} и {рп} —последовательности их положительных собственных значений, расположенные в порядке убывания, причем каждое повторено столько раз, какова его крат-

ность. Тогда если L<LM, то XnCpn. Доказательство очевидно, ибо L<.M влечет (Lx, х)<:(Мх, х). Следовательно, формулы для Хп и рп, данные в теореме 3, показывают, что Хп<рп.

Спектральное представление

Пусть р —конечная положительная мера, определенная на o'- алгебре ^ борелевских множеств комплексной плоскости и равная нулю на дополнении некоторого ограниченного множества S. Одним из простейших примеров ограниченного нормального оператора может служить оператор Г, определенный формулой (Гх)(Х) = Хх (Л), x£L2(S, .^, р). Легко видеть, что спектр о (7) оператора Т совпадает с носителем меры р, т. с. с дополнением наибольшего открытого множества 6, для которого р (6) = 0. Спектральное разложение оператора Т определяется для каждого борелевского множества е формулой (Е (е) х) (X) = %е (X) х (X); таким образом, для каждой ограниченной измеримой по Борелю функции F оператор F (Т) задастся формулой (F (Т) х) (X) = = F (X) х(Х). Первая цель настоящего параграфа—показать, что приведенный пример описывает в некотором смысле типичную структуру произвольного нормального оператора.

Говоря более ясно, если Т — нормальный оператор, действующий в ^, то существует такое унитарное отображение U пространства на подходящим образом выбранное функциональное пространство L2(S, ^, р) или на прямую сумму таких пространств, что оператор UTU^ имеет вид «умножения на X». Точный смысл этой фразы поясняется следующим ниже определением. Здесь и в дальнейшем символ 2 ©« употребляется для а

обозначения прямой суммы гильбертовых пространств §а (см. IV.4.18 и IV.4.19). Проекция элемента х из ^& в §« а обозначается ха.

Определение. Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом пространстве ^, а {ра} — семейство конечных положительных регулярных мер на борелевских множествах комплексной плоскости. Отображение U пространства § на ^^(На) назы-

а

вается спектральным представлением ^ в ^Е2 (ра) относительно а

оператора Т, если выполняются следующие условия:

каждая мера ра равна нулю на дополнении спектра оператора Т;

оператор U является линейным отображением ^ на все пространство 2 L2 (ра) и сохраняет скалярное произведение;

а

для каждой борелевской функции /, ограниченной на спектре оператора Т, любого х из § и любого а

почти всюду по мере ра.

Сначала мы рассмотрим случай, когда § обладает спектральным представлением в пространстве Л2(р).

Теорема. Пусть Т —нормальный оператор в гильбертовом пространстве $. Предположим, что для некоторого вектора х из ^ линейные комбинации векторов вида Т“Т*пх, т, п>0, всюду плотны в М Тогда ^ допускает спектральное представление относительно Т в гильбертовом пространстве L2(p).

Доказательство. Пусть Е — разложение единицы для Г, и пусть р = (£'(-)х, х), а ^ — линейное многообразие в М состоящее из всех векторов вида f(T)x, где / — ограниченная борелевская функция на о(Т). По предположению, St всюду плотно в М Заметим, что если f (T)x = g(T)x, то

О -1V СП - g (Т)} X |2 = $ | / (X) - g № ц № откуда следует, что f^g почти всюду относительно меры р» Следовательно, мы можем определить оператор U^ действующий из Ф1 в L2(p), полагая UJ(T)x=f. Ясно, что оператор Uv линеен, и для у Ц'Пх, z g(T)x мы, согласно следствию 2.8, имеем

(у. г) - J IWeT^ (dX) = (Uty, Utz). а(Т)

Это показывает, что L^ сохраняет скалярное произведение и, таким образом, является взаимно однозначным и непрерывным. Поэтому он допускает единственное продолжение U на пространство ^i - М причем U отображает § на замыкание по метрике пространства Л2(ц) множества всех ограниченных боре- левских функций, т. е. на L2(p). С помощью элементарных соображений непрерывности можно показать, что U является изометрическим изоморфизмом между $£ и Л2(р). Если теперь fn(T)x —> —> у, то fn—>Uy в Lz^, и поскольку (Uf(T)fn(T)x)(X) =

ZWAiW, мы имеем (Uf (Т) у) (X) - / (X) (Uy) (Л), ч. т. д.

Рассмотрим теперь случай, когда Т — произвольный ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве ^. Назовем подпространством^^ допустимым, если Т^г^, T*^v с М и найдется такой вектор Xi £ М, что линейные комбинации векторов TnT*mxt всюду плотны в ^v С помощью леммы

Цорна можно показать, что существует максимальное семейство {^а} взаимно ортогональных допустимых подпространств. Пусть 91 —ортогональное дополнение к подпространству, порожденному семейством {§а}; ясно, что операторы Т и Т* отображают 91 в себя. Таким образом, если 91=^0, то в нем содержится ненулевое допустимое подпространство, что противоречит максимальности семейства {^а}. Это показывает, что подпространства §а в совокупности порождают все ^. Ясно, что мы можем рассматривать как прямую сумму § = 2 ©« гильбертовых пространств @а (см. лемму IV.4.19). Применяя теперь теорему 1 к сужению Та оператора Т на пространство §а, мы можем построить такую регулярную положительную меру ра, равную нулю на дополнении к о(Га) (а значит и на дополнении к о^Т)), и такое унитарное отображение Ua пространства ^а на Л2(ра), что (Uaf (Т) х) (X) = ЦХ) (Uах) (X) для каждой ограниченной борелев- ской функции f и каждого х из £а. Мы можем резюмировать сделанные замечания в виде следующей теоремы.

Теорема. Каждое гильбертово пространство ^ допускает спектральное представление относительно произвольного ограниченного нормального оператора, определенного на ^.

Мы видели, что теорема 3 является следствием спектральной теоремы для нормальных операторов. Стоит отмстить, что на самом деле эти теоремы эквивалентны. Действительно, если оператор UTU"X в пространстве ^L2((5(T^ $, ра) имеет вид, а

предписанный определением 1, и если для каждого борслсвского множества e^o(T) оператор проектирования Р(е) определен соотношением (P(e)Uy)a(X) = XeW(Uy)a(X)1 у^^, то спектральная мера Е, определенная равенством Е (е) = U-1P (е) U, является разложением единицы для Т.

Часто бывает удобно выразить результат теоремы 3 несколько иначе.

Следствие. Пусть Т —нормальный оператор в гильбертовом пространстве §. Тогда существуют пространство (S, 5, р) с регулярной положительной мерой р, ограниченная yi-измеримая скалярная функция f на S и изометрический изоморфизм U пространства ^ на L2(S, 5, р), сохраняющий скалярное произведе- дение и такой, что для любого у из

(UTyHs)H(sHUyHs)

для почти всех относительно р точек s из S.

Доказательство. Используя обозначения предыдущей теоремы и се доказательства, рассмотрим множества Sa^o(Ta) как под- 5 Заказ № 134

множества различных экземпляров комплексной плоскости, так что для различных индексов а, р множества Sa, Sp не пересекаются. Пусть S = U Sa, и пусть 2 состоит из всех множеств, a

имеющих вид е - (Jca, где еа — борелевское подмножество в Sa. а

Для таких с положим ц (е) = 2 Ни (e«Y если этот РЯД содержит а

лишь счетное число ненулевых членов и сходится; в противном случае пусть р(е) —оо. Определим расстояние между двумя точками s, / из S как обычное расстояние на комплексной плоскости, если s и I принадлежат одному и тому же Sa. В противном случае будем считать, что это расстояние равно \Т\. Легко видеть, что (S, 2, р) — пространство с регулярной мерой. Для каждого s из S положим f (s) = s. Ясно, что функция f является р-измеримой, и так как норма сужения оператора Т на §а не более |Т|, то из леммы 3.2 следует, что | /(s) [^ j 7^|. Пусть S4 состоит из всех конечных сумм вида х — ^ха., где xa £j§a и пусть [/1 —отображение множества Si в Л2(3, 2, р), заданное равенством Ux (^ ^aj = 2 Ua.xai1 где функции Uaxa для s из Sa определены так же, как в теореме 2, а для точек s, не принадлежащих Sa, доопределены соотношением (Uaxa) (s) = 0. Ясно, что отображение Uх линейно, изометрично и сохраняет скалярное произведение. Поскольку область определения отображения U^ плотна в .£, а множество его значений плотно в L2(S, 2, р), то это отображение допускает единственное непрерывное продолжение U, которое является изометрическим изоморфизмом между ^ и L2(S, 2, р) и сохраняет скалярное произведение. Так как для элемента х=^ха. из Si мы имеем

«№) ($) = 2 (МТМ ^ = f ($) (2 ^«J (s) = t (s) (IM (s),

TO UTx f(-)Ux для любого X из @, ч. T. Д.

Следствие. Если пространство ^ сепарабельно, то меру р в следствии 4 можно выбрать так, чтобы она была конечной.

Доказательство. Если .<5 сепарабельно, то в нем существует счетная система взаимно ортогональных допустимых подпространств ^п, п 1, 2, ..., которые в совокупности порождают ^. Достаточно так выбрать хп из §п, чтобы \хп^^\1<2п и чтобы линейные комбинации векторов Т^Т^Хп, i,j>0, были плотны в ^п- При таком выборе векторов хп мы имеем pn(Sn) = 1/2^ и p(S)< 1, ч. т. д.

Спектральное представление, рассмотренное в предыдущих теоремах, даст важную информацию о структуре нормального

оператора. Ясно, однако, что меры, удовлетворяющие определению 1, могут быть выбраны многими способами. Сейчас будет показано, что в случае сепарабельности гильбертова пространства § имеется в некотором смысле «наилучший» способ сделать выбор, и если этот «наилучший» выбор сделан, то полученное семейство мер характеризует оператор Т с точностью до унитарной эквивалентности. Этот результат включает в себя то, что известно под названием теории спектральных типов.

Определение. Пусть 7 —ограниченный нормальный оператор в гильбертовом пространстве ^, и пусть Е — его спектральное разложение. Вектор х из ^ называется макеймальным относительно 7, если каждая мера вида (£(•)//, z/), у€^, абсолютно непрерывна относительно меры (£(-)х, х\

Лемма. Пусть 7 — ограниченный нормальный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве ^. Пусть у0 — заданный вектор из ^. Тогда существует в § такой максимальный относительно 7 вектор х, что у0 лежит в подпространстве

^(х) = ^{Тп(Т^)тх\щ т>0} пространства ^.

Доказательство. Очевидно, мы можем предположить, что | z/o | = 1. Пусть у0, у^ у^ . . . — ортонормированный базис в ^ с начальным элементом у0. Пусть Е — спектральное разложение для 7; положим оп (е) = (Е (е) ук, уп) для каждого борелевского множества е. Применяя теорему Лебега о разложении меры (III.4.14), построим последовательность борелевских множеств {еп}, п— 1

для которой 2 ^(^п^О, и такую, что если е — борелевское под-

п— 1

множество дополнения е„ множества еп и 2 yj (е) = 0> т0 уп (е) = 0. j=o

Пусть а0 — комплексная плоскость; положим вп = U в; при п> 1. 3=п

Тогда {ап} — убывающая последовательность борелевских множеств, п—1

причем 2 ^j^n^O^ и если е — борелевское подмножество мно- з=о л п— 1

жества а^ и 2 UJ (е) — 0, то ип (е) = 0.

Положим х= 2 2'jЕ (Oj) yj. Чтобы показать, что вектор х 3=0

максимален, рассмотрим борелевское множество е, для которого(Е (е) х, х) = | Е (е) х |2 = 0.

Так как уДстп) = О при /<п, то Е (<уп) z/y = О при j<n. Таким образом,

5 (е П (On-i — о„)) * = 2 2-,£ (е Л — а„)) Е (о,) у} = 3=1

= 2-<"-^(еЛ(ап-1-ап))Уп-1, так что

I Е (е Л (оп_! — ап)) х |2 = 2'2<п'1>и„-1 (е Л (ап-1 — ап)).

Поэтому, учитывая, что и,(оп_1) = 0 при /Сп—1, имеем

5 2“2’У; (е л (»п-1 — СпУ) = | Е (е Л (an-i — <?пУ) х |2 =

= IЕ (»„-! —ап) Е (е) х |2 = 0.

Следовательно,

П—1

3 У^^Л^п-!—Огп)) = 0. 2=0

Так как ^-i —on ^ On, то

2 У/(е Л <Тп)) = 0.

5=0

Так как on-i — <Tnfe °п+1 > то

п+1

2 уДеП (Оп-1 — <т»)) = 0.

3=0

Продолжая по индукции, мы получаем, что уДеЛ (сГп-i —<тп)) = 0 для всех /. Суммируя по п, видим, что уДе) = 0 для всех /. Таким образом, поскольку vj (е) = | Е (е) у, |2, имеем Е (е) у, = 0 для всех j. Отсюда следует, что Е^у = 0 для всех у из ^, ибо {ю}~ ортонормированный базис в ^. Итак, ф^у, у) = 0 для всех у из ^, т. е. вектор х максимален.

Ясно, что у0 = Е(,а0 — о^х. Следовательно, лемма будет доказана, если мы покажем, что

Е(о0 — CT1)x£sp{Tn(T*)mx| п, т>0у

По теореме Вейерштрасса об аппроксимации и следствию 2.8 sp{7n(T*)m*|n, m>0} = sp{f(7)x|/GC(a(T))}.

Пусть задано е>0. Согласно замечанию, предшествующему следствию 2.4, мы можем найти такое открытое множество (/=?а0 —Ст1 и такое замкнутое множество Сеа0 — а^ что ]£■((/ — С)х|< е. Тогда ясно, что если /—непрерывная функция,

равная 0 на U' и 1 на С и всюду заключенная между О и 1, и если х — характеристическая функция множества Оо —а1» то

\E(a0-o1)x-f(T)x\a = ^ WWOTW^x, х)<е. и-с

Таким образом,

Е (а0 - а,) х С^ V СП х | Г С С (а (Т)^, ч. т. д.

Лемма. Пусть Т—ограниченный нормальный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве %, и пусть Е обозначает его разложение единицы. Тогда существует такая после

довательность {xn} е £, что ^ = 2 ^Ut), где

1=1

№)=^{/(Т)хг|/€С(а(Т))},

и такая убывающая последовательность борелевских множеств {М, что (Е(е)хп, хп) = (Е(е Q^)хь х^, п>1.

Доказательство. Пусть (уп) — полная ортонормальная система в §. Применяя лемму 7, выберем максимальный относительно Т вектор zv таким образом, чтобы у^^^г^* Обозначим через Т2 сужение оператора Т на ортогональное дополнение ^(24) подпространства ^(z^. Так как операторы Т и Т* отображают §(^i) в себя, то и подпространство S(?i) они отображают в себя. Отсюда непосредственно следует, что оператор Т2 нормален.

Выберем теперь в S(zi) такой максимальный относительно Т2 вектор z^ чтобы подпространство ^ (г2) = sp \Тп (T*)m z^ | п, т>0} содержало ортогональную проекцию вектора у2 на ^(Zi). Тогда У1 и у2 лежат в ^(z^@ ^(z^Y Кроме того, из максимальности zv следует, что мера P2 = (5(-)z2, z2) абсолютно непрерывна относительно pf = (E(*)z^ z-YY

Обозначим через Т3 сужение оператора Г2 на ортогональное дополнение Ж (z^ подпространства ^ (z2) в 5? (z^ и т. д. Ясно, что, продолжая по индукции, мы получаем такую последовательность {zn}^^ и такие меры цл = (£(-)2л, znY что многообразия ^(zn) взаимно ортогональны, векторы yi, .. ..у^ принадлежат ^ (zY) @ ... • • • © © (^) и мера рл+1 абсолютно непрерывна относительно Цд для п>\. Так как у^ для любого п>\ лежит в ^^^tY то г—1

ЯСНО, ЧТО

^=2г=1

Применяя теорему Радона — Никодима, обозначим через Qn измеримую по Борелю плотность меры р„ относительно ри так что

Р» (Ю = § бп (X) pi (dX)е

для каждого борелевского множества е. Так как обе меры щ и цп неотрицательны, то мы можем выбрать плотность gn так, чтобы она тоже была неотрицательной. Пусть ^ = {Х|дп(Х)>0}. Так как мера рп+1 абсолютно непрерывна относительно рп, то щ (егш™ еп) = 0. Таким образом, изменяя Qn+1, если это необходимо, на множестве ргмеры нуль, мы можем считать, что последовательность множеств еп убывает и что ev совпадает со всей плоскостью.

Для п^2 положим хп = lim xnk, где h-^oo

хПк= $ {еп(Х)}-1/2£(^х)гп,snft={x|6„(X)>l} .

Этот предел существует, поскольку для &>/

I ^nh xnj |2 =^ QnW 11Е (dX) zn р =

^nh~ ^пЗ

Qn (М 1 Qn (^) Ш (я^)|^i (S71/1 Snj) ^ pi (сп Snj')1

Snk~Sn3

так что \xnk — xnj\—>0, когда /, к—>со.

Полагая ^ = 21, мы для п>1 получаем

(Е(е)хп, х„) = | Е (е) хп |2 =

= lim Д Qn№\E(dX)zn\a =

еПЬ„7|

lim \ | E(dX) Xi |2 -- (£ (ееп) хи Xi), e^snk

ч. T. Д. !)

!) На самом деле доказательство не закончено: нужно еще показать, что

0= У, §(хл). Для этого достаточно проверить, что §(хл) = §(2п). При п=1 П=1

это тривиально, так как xv—zv Пусть п>1. Непосредственно из определения х-п, вытекает, что %(гп)> откуда § (хп) § (zn). Чтобы доказать обратное включение, покажем, что zn^§(xny Рассмотрим ограниченные боре-

На протяжении оставшейся части этого параграфа запись Pi р2 используется для обозначения того, что мера pt абсолютно непрерывна относительно меры р2. Если р( ~ р2 и р2 ~ pi, то мы употребляем запись pi рг-

Определение. Пусть р — положительная мера, определенная на борелевских множествах комплексной плоскости, и пусть {е„} — убывающая последовательность борелевских множеств, причем б! есть вся плоскость. Спектральное представление сепарабельного гильбертова пространства ^ в 2 -^2 (еп, р) относительно п=1

ограниченного нормального оператора Т называется упорядоченным представлением ^ относительно Т. Мера р называется мерой упорядоченного представления. Множества еп называются множе-

левские функции a^j (X), п, к, />1, определенные соотношениями

1

ФпаДХ)=<

г о, еп(Х)1/2,

если Qn (X) <; 1//?, если X€S^=|x|l<

: еп (X) < /

. /1/2,

если X^S^ = {X| en(X)i

>/}.

С помощью несложной выкладки получаем, что если kr > k, то

(П хпк, = Е (S'k) zn + j1^ J {q„ (X)}-1^ E ^ zn.

Так как правая часть не зависит от к', то при к' ->оо получаем

(Л хп = Е (S^) гп + /1/2 ^ {еп (Х)}"1/2 Ё (dX) гп.

п

Заметим, что

| /1/2 ^ {еп (Х)Г1/2 Е (dX) zn |2 = / J {о„ (X)}-1 (£ (dX) zn, z^ < pn (S').

Snsn

Ясно, что lim E (S3nh) zn — E (en) zn и limpn (S^) = 0. Поэтому существует пре- k->ooj->co

j->oo

ДеЛ It *^ ^nft' ^ Xnl = £ (e^ Z,t=zn — E (et—en) zn. Далее, | E (e!—en)zn |2 =

=Pn(ei—en)= \ Qn (X) pi (dX)=O, и потому lim [^n*j (T) xn] = zn. Если уh, j-»oo

4-en

KC^^Y TO \^nhj<TVn-f^Xn\^=^ N^nhi^-fW^^E^Xn, XnV и так как непрерывные функции всюду плотны в гильбертовом пространстве L^ ^Е (dK) хп, хп)}, то гп^§(хп), что завершает доказательство.—Прим, перев.

ствами кратности упорядоченного представления. Если р (ед) > О и р (ед+1) = О, то говорят, что упорядоченное представление имеет кратность к. Если р (е*) > 0 для всех к, то представление имеет бесконечную кратность. Два упорядоченных представления U и О пространства § относительно операторов Т и Т соответственно с мерами р и р и множествами кратности {еп} и {еп} называются эквивалентными, если р^р и р(епДе„) = 0 = р(епД?п) для п= 1, 2, ... .

Замечание. Отметим, что эквивалентные упорядоченные представления имеют одинаковую кратность. Действительно, если р(ел) = 0 для некоторого к, то р(е*) = 0, ибо р^р. Так как р(елДел) = 0, то р(ед) = 0. В силу симметрии заключаем, что р (в/,) — 0 тогда и только тогда, когда р (ел) = 0.

—> 10. Теорема. Сепарабельное гильбертово пространство § обладает упорядоченным представлением относительно любого ограниченного нормального оператора Т в §, и любые два упорядоченных представления пространства § относительно Т эквивалентны.

Доказательство. Первое утверждение вытекает из леммы 8 и теоремы 2 (см. доказательство теоремы 2). Следовательно, в доказательстве нуждается лишь утверждение о единственности.

Пусть U и U — упорядоченные представления $ относительно

Т в гильбертовых пространствах Я - У L2(en, р) и ^ = У L2^eTl, р) П-Л71 — 1

соответственно. Символом /=[Л> f^ •••]» где/^^2(^7 и)» будем обозначать элемент из Я; аналогичное обозначение употребляется для элементов из Я. Пусть V = UU~\ так что V представляет собой изометрическое отображение Я на ^. Напомним, что если F — ограниченная борелевская функция и у —элемент из ^, то (UF(T) y)n (X) ~^F(k) (<7у)п(Х) почти всюду на еп относительно меры р,

(UF (Г) у)п (X) - F (X) (Оу)п (X) почти всюду на еп относительно меры р.

Отсюда следует, что

[*]^1, 2,.

Покажем теперь, что р^р. Вследствие симметрии достаточно доказать, что v-^V- Будем доказывать это от противного. Допустим, что р,(е) = О и 0<р(е)<оо для некоторого ограниченного

борелевского множества е, и рассмотрим вектор

'/=1Х.. О, О,

Беря в равенстве [*] в качестве F функцию %е, получаем, что

V/ = V(x!, о, 0, ...J-lXeW, ХеОг,

Далее, | /1* ■ ц (в) > 0, но

IV/Г 2 $ Ix.(M(V/)„(MI2h(^) =

Ц $ \Ш*ку. 0;

?i^ 1 enf)o

это противоречит тому, что отображение V изометрично, и доказывает, что р~р.

Покажем теперь по индукции, что р (епЛеп) = 0 = р (еп\епу для n= 1, 2, ... . При п = 1 это следует из того, что et и et совпадают со всей комплексной плоскостью. Допустим, уже известно, что

Р (еДе5) = 0 = р (^АеД 1 < / С п.

Чтобы показать, что эти равенства справедливы также и для / = л+1, достаточно доказать, что р (еп+1 —еп+1) = 0, ибо тогда в силу симметрии р (еп+1 — еп+1) = 0, а так как р^р, то отсюда следует, что р (еп+1 —еп+1) = 0 и р (e^ — ек^ = 0.

Допустим, что р (еп+1 — еп+1) > 0, и пусть о — произвольное фиксированное борелевское подмножество множества en+i —-5п+1, для которого 0<р(о)< оо. Определим векторы f1, ..., ^^ из & соотношениями

^-[Ха, 0, 0, ...],

/2= [0, Ха, 0, ...],.

Г^О, //./о^Ха.б/./.Ь

где в последней строке функция Ха стоит на (п + 1)-м месте. Эта векторы ненулевой длины, ортогональные в $. Следовательно,, векторы Vf1, ..., Vfn+1 также имеют ненулевые длины и ортогональны в Ж. Пусть

Vf^Yfh* j=L2,...; i = l, 2n+L

Так как о с е^+1, а последовательность {его} убывает, то> р(пПет) = 0 Для т> п, и потому /Д(%) = 0 почти всюду на о

относительно меры р при т>>п. Пусть теперь 6 — произвольное борелевское подмножество в а, причем р(6)>0; определим векторы g1, ..., gn+1 так же, как /*, ..., /”+1, но с заменой х<т на хе- Тогда векторы Vg1 отличны от нуля и ортогональны в S, и в силу соотношения [*1

Таким образом, п

(^‘, vg^= $ [ 2 6- w W ] и w=6=^ (8);

63=1

I, &= 1, ...» /г + 1-

Поскольку 6 произвольно, то отсюда следует, что для почти всех относительно меры р точек X из а

3=1 J J

Sl№)l2>0, z = 1, 2,/г+1.

^=i 3

Если Xo — точка, в которой выполняются все эти соотношения, то стрбки {/' (Хо), ...,/‘(Хо)|, i=l, .... n+1, представляют собой ненулевые попарно ортогональные векторы в n-мерном унитарном пространстве Е", что невозможно. Это противоречие завершает доказательство.

Лемма, Пусть (S, 2, р) и (S, 2, р) — пространства с мерами, причем р^р. Тогда существует такое линейное изометрическое отображение U пространства L2 (S, 2, р) на пространство L2 (S, 2, р), что для любой функции f из L2 (S, 2, р) и характеристической функции Хв любого множества е из 2

Доказательство. По теореме Радона — Никодима существуют такие положительные функции 6, 6, что.

р(е)= ^ 6(Х) p(dX); р (е) = ^ 6 (X) р (dX), е^. ее

Определим линейное отображение U, полагая для / из L2 (S, 2, р)

Тогда это отображение изометрично, так как

$ I / W ^ (dx) = $ | / (X) р£ (X) р (dx> = $1 ^п (X) IV (dX).

■ SS8~

Чтобы показать, что U отображает L^S, 2, р) на все L2(S, 2, р), определим второе линейное отображение V из L^S, 2, р) в L2(S, 2, р), полагая V/--16 (•)]*/»/. Ясно, что V изометрично.

Так как для всех е из 2

р(е)^6(X)6(X)p(dX),

то почти всюду 6(Х)д(Х) = 1. Следовательно, отображения U и V взаимно обратны. Поэтому U отображает L^^S, S, р) на все L2(S, 2, р). Непосредственно из определения U следует, что оно обладает требуемым свойством, ч. т. д.*

В связи со следующей теоремой напомним, что два оператора Т1 и Т2 в гильбертовом пространстве @ называются унитарно эквивалентными, если они связаны соотношением Т2 — УТ^-1, где V — унитарный оператор в £. Было замечено (см. § Х.4), что унитарно эквивалентные операторы в ^ обладают одинаковыми свойствами.

Теорема. Два ограниченных нормальных оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве ^ тогда и только тогда унитарно эквивалентны, когда эквивалентны соответствующие им упорядоченные представления пространства ^.

Доказательство. Пусть Т, Т — ограниченные нормальные операторы в ^, и пусть U и С/— отвечающие им упорядоченные представления ^ в пространствах 2 £2(^1 И*) и 2 ^2(^1 р) соответ- 71—1п=1

ственно. Предположим сначала, что Т и Т унитарно эквивалентны, т. е. что Т = VTV-1, где V —унитарный оператор. Мы покажем, что при этом предположении существует упорядоченное представление ^ относительно Т в пространстве 2 L^en, р). Тогда из теоремы 10 будет следовать, что U и U эквивалентны. Пусть Е и Е — разложения единицы для Т и Т соответственно. Из следствия 2.7 вытекает, что E = VEV-1, и потому

F(f) = VF (T)V-1

для любой ограниченной борелевской функции F. Отображение

W = UV пространства ф на 2 ^г (еп> н)» очевидно, изометрично, и п=1.

WF (Т) х = ОVF (Т) х = UF (Т) Vx = F (X) UVx - F (X) Wx.

Таким образом, W — упорядоченное представление § относитель

но Т в пространстве У L2(en, р.). Этим доказано, что U и U экви-

п=1 валентны.

Для доказательства обратного утверждения допустим, что U и U эквивалентны. По лемме И существует изометрия Vn пространства Ь2(еп, р,) на пространство L2(en, р). Определим изометрическое отображение V пространства ^ Е2(е7И р) на простран

ство У Lz(en, р), полагая VL2(en, р) = VnL2(en, р). Тогда линейное преобразование Y CHVU представляет собой унитарный оператор в £) и, применяя лемму 11, имеем

YTx U WUTx Jj-W^Ux^U-4VUx = TU-WUx = TYx

для каждого х из £). Этим доказана унитарная эквивалентность операторов Т и 7\ ч. т. д.т)

Формула для спектрального разложения

На практике важно иметь возможность вычислять разложение единицы для конкретных операторов. Следующая теорема дает метод вычисления разложения единицы для самосопряженного оператора Т с помощью его резольвенты R(a; Т) = (а1 — Ту1. Не лишне напомнить (см. теорему 4.2), что спектр самосопряженного оператора Т веществен, и потому его резольвента R (а, Т) заведомо определена для всех невещественных значений а.

—> 1. Теорема. Если Е-~ разложение единицы для ограниченного самосопряженного оператора Т и если (а, Ь) —интервал a<A<cb

!) В приведенном доказательстве использовано усиление леммы 11, состоящее в том, что равенство U~xxeUf=7^ (см« формулировку леммы) сохраняется, если характеристическую функцию %е заменить любой существенно ограниченной функцией g (X) (понятия существенной ограниченности относительно р и р, совпадают, так как р, s р,); именно, нужен случай g (X) = X (это существенно ограниченная функция, ибо мера р сосредоточена на компактном множестве —спектре оператора Тр Это усиление легко получить, аппроксимируя g (X) линейными комбинациями характеристических функций. — Прим, перев.

вещественной оси, то в сильной операторной топологии

ъ-ь

E((a,b)) = lim limVRl^ — ^ T) — R(\i + si; T^dy,. 6^0+ е->0+ о

Доказательство. Положим для 8>0, 0<6<(6 —а)/2 и вещественных X

Ь-б

/(6, 8, X) — 2Ш-—ei—X p + eZ—х]

а-[-б

Интегрируя, получаем \1 Г 1 b — b—X. a + d—X 1

/(6, е, Х) = - [arctg-arctg J ,

и потому 1/(6, 8, Х)|^1. Ясно, что

lim lim/(6, е, X) = x<«,b>W,— со<Х<оо,

6—>0 8—>0

где х<а,ь>— характеристическая функция интервала а<Х<6. Таким образом, в силу следствия 2.8 (III)

lim lim /(6, е, Т)х = Е ((a, b))x, x^ig. б—>0 е->0

Поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что

Ь-б

{*]/(д, 8, 7) = ^ 5 (7?(и —ef; n-R^A-ei; T)]d^

a+б

Чтобы убедиться в этом, заметим, что функция, стоящая под знаком интеграла, определяющего /(6, е, X), непрерывна по (X, р,) для Х^о(Т) и рС[« + 6, Ь — 6]. Поэтому римановские суммы, определяющие этот интеграл, сходятся к нему равномерно при Х^о(Т), и потому соотношение [*] вытекает из следствия IX.3.15.

Теория возмущений

Общую теорию возмущений, обсуждавшуюся в § VII.6, можно распространить на случай, когда рассматриваемые операторы являются нормальными операторами в гильбертовом пространстве. В настоящем параграфе нас будут интересовать возмущения в сильной операторной топологии. Мы находим удобным употреблять обозначение Tn—^ST для выражения того, что ТК—>Т в сильной операторной топологии, т. е. Тпх—^Тх для любого х из пространства, на котором определены операторы Г, Tj, Т2, ... .

Лемма. Пусть S, Т, Sn, Тп (/г>1) — ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве, причем Sn-^ S и Тп—>Т в сильной операторной топологии. Тогда в этой топологии SK-rTn—>S-VT, aSn—>aS и SnTn—> ST. Если, кроме того, операторы S и 5п(/г>1) нормальны, то Sn—> S* в сильной операторной топологии.

Доказательство. Первые два утверждения очевидны. Согласно теореме II.3.21 о равномерной ограниченности, существует такая постоянная К, что |Sn|<K, откуда

| SnTnx - STx | С | SnTnx - SnTx 14-1 SnTx -STx\<^K\Tnx~Tx\ + \(Sn~S) Tx\—>0,

что доказывает справедливость соотношения SnTn —> ST в сильной операторной топологии. Предположим теперь, что все операторы Sn(n>l) и S нормальны. Тогда

I S* х |2 = (S* х, Six) = (SnSlx, х) = (S* Snx, x) = (Snx, Snx) = = | Snx |2 -> | Sx |2 = (Sx, Sx) =

- (S*Sx, x) = (SS*x, x) = (S*x, S*x) = | S*x |2,

и, следовательно,

| SIx - S^x |2 = | Six |2 - (S*x, S* x) - (S*x, S*x) 4-1 S*-x |2 —> 0.

Это означает, что SI сильно сходится к S*, ч. т. д.

Теорема. Пусть последовательность {74} ограниченных нормальных операторов в гильбертовом пространстве сходится к нормальному оператору Т в сильной операторной топологии. Тогда для всякой комплексной борелевской функции f, определенной на комплексной плоскости, f(Tn)—>f(T) в сильной операторной топологии, если только разложение единицы для Т обращается в нуль на некотором замкнутом множестве, содержащем все точки разрыва функции f.

Доказательство. По принципу равномерной ограниченности (II.3.21) существует такая постоянная К. что \Тп\, \Т\^К- Тогда, согласно лемме 3.2, спектры 0(74), о (Т) содержатся в замкнутом круге D = {| X | | X | <1^, и поэтому мы можем рассматривать только ограниченные борелевские функции на D. Обозначим 6*-алгебру всех комплексных ограниченных борелевских функций на D с нормой |/| = sup|/(X) | через 85, и пусть S — подмножество в 35, состоящее из всех таких функций /, для которых f (Тп) —»/ (Т) в сильной операторной топологии. Множество К замкнуто в 95.

В самом деле, если fm^^ и \fm — /|—>0, то

\ЦТп)х-ЦТ)х\<\(f-fm) (7n) X - (f-fm) (T) X I +

+ \fm(Tn)X-fm(T)x\<2K\f-fm\ \x\-V\fm(Tn)X~fm(T)x\ И

tei\f(Tn')x-f(T)x\<2K\f-fm\\xV rn> 1.

Отсюда следует, что f (Tn)—> sf (T), поскольку \J — fm | —> 0. Из леммы 1 вытекает, что является В*-подалгеброй алгебры 93, Так как функция /(Х) = Х, по предположению, принадлежит S, то любой полином от X и X также принадлежит S. Таким образом, в силу теоремы Вейерштрасса © содержит все нёпрерывные на D функции. Пусть теперь £(о) = 0, где or—замкнутое множество, содержащее все точки разрыва функции /. Согласно лемме Урысона (1.5.2), для каждого т>\ найдется такая непрерывная функция gm, что 0с^т(Х)С1, и

gm (X) — *gm (X) — *1, если расстояние (X, or) > -^-, 0, если Х£ог.

gm (X) — *

gm (X) — *

Таким образом, в силу следствия 2.8 (III) gm(T)—>I в сильной операторной топологии. Так как последовательность {/(7\)} равномерно ограничена, то, чтобы убедиться в сильной сходимости f(Tn) к f(T), достаточно' показать, что /(Тп) gm(Tn) для любого т>\ сильно сходится к f(T)gm(T). А это вытекает из того, что функция fgm непрерывна.

Следствие. Пусть Еп, Е— разложения единицы для нормальных операторов Тп, Т соответственно, и пусть ТК—>Т в сильной операторной топологии. Если Е обращается в нуль на границе борелевского множества от, то Еп (от) —> £ (о) в сильной операторной топологии.

Упражнения

Доказать, что оператор в § положителен тогда и только тогда, когда его можно представить в виде ТТ*.

Если коммутативная 6*-алгебра операторов на ^ не имеет нетривиальных инвариантных подпространств, то пространство ^ одномерно.

Если слабо замкнутая В*-алгебра 81 операторов на ^ не имеет нетривиальных инвариантных подпространств, то % = В($У). (Указание: воспользоваться второй теоремой § IX.5.)

Пусть ?1 является В*-алгеброй операторов в конечномерном гильбертовом пространстве ^. Показать, что § единственным

образом разлагается в прямую сумму ^ = ^i © ... © §п инвариантных ортогональных подпространств §*, не содержащих меньших нетривиальных инвариантных подпространств.

Пусть Т — нормальный оператор в гильбертовом пространстве. Показать, что оператор Т вполне непрерывен тогда и только тогда, когда

а(Т) представляет собой счетное множество {Хд};

о (Г) не имеет предельных точек, за исключением, быть может, 0;

если ХЛ#=0, то оператор Е (Хп) конечномерен (т. е. отображает $ на конечномерное подпространство).

Из положительного оператора можно единственным образом извлечь положительный квадратный корень.

Произведение двух положительных коммутирующих операторов является положительным оператором.

Показать, что если оператор N нормален, то замыкание множества значений, принимаемых квадратичной формой (Nx, х) при |х| —1, представляет собой наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее o^N).

Пусть У — коммутативная В*-алгебра операторов в конечномерном гильбертовом пространстве ^. Показать, что в § существует ортонормальный базис, каждый элемент которого является собственным вектором для любого Т£%.

Положительный оператор Т обладает ограниченным обратным тогда и только тогда, когда для некоторого е>0 оператор Т—еД является положительно определенным.

И. Ограниченный оператор Т обладает ограниченным обратным тогда и только тогда, когда для некоторого е>0 оба оператора ТТ*—еД и Т*Т—е1 являются положительно определенными.

Нормальный проектор самосопряжен. Если £1 и ^-самосопряженные проекторы, то справедливость неравенства Ei>E2 в смысле § 4 равносильна его справедливости в смысле определения VI.3.4.

Если N — нормальный оператор в ^ и Е — его спектральное разложение, то Е содержится в слабом замыкании В*-алгебры, порожденной операторами N и N* (т. е. для любого борелевского множества о комплексной плоскости оператор Е (о) принадлежит этому замыканию).

Слабо замкнутая В*~алгебра 21 порождается содержащимися в ней самосопряженными проекторами.

Обозначим через Р прямое произведение счетного числа экземпляров комплексной плоскости, и пусть / — единичный интервал. Показать, что существует такое взаимно однозначное отображение h пространства Р на /, что h (е) является борелевским множеством тогда и только тогда, когда е — борелевское множе-

ство. (Указание: воспользоваться десятичным представлением вещественных чисел.)

Пусть Nb N2, ...—счетная последовательность нормальных операторов в ^, коммутирующих между собой. Показать, что существует единственный эрмитов оператор Т, для которого каждый из операторов Nk является борелевской функцией от Т. (Указание: воспользоваться теоремой 2.1 и упражнением 15.)

Показать, что для операторов Л, В и С в гильбертовом пространстве

ЛСВ и ВеЛ влечет А = В;

ле# и вес влечет ЛеС;

Л!еЛ2 И Bt<B2 влечет At +B^A^.-V В2;

ЛеВ и а>0 влечет аЛе«6;

ЛеВ влечет —Be—Л;

если оператор А эрмитов, то существуют такие числа m и М, что т/еЛеЛ1/.

Показать, что если операторы Л и В коммутируют, то из ОеЛеВ следует Л2еВ2, но это не верно, если не предполагать перестановочности Л и В1).

Если Т — положительный оператор в ^, то

\(Тх, у) |2^(7х, х^Ту, у).

Равномерно ограниченная обобщенная последовательность положительных операторов Та в ^ стремится к нулю в сильной операторной топологии тогда и только тогда, когда Та —> 0 в слабой операторной топологии, или, что то же, когда (Тах, х)—>0 для любого xg§. (Указание: воспользоваться упражнением 19.)

Если Та — равномерно ограниченная обобщенная последовательность операторов в ^ и если а^р влечет 7а^Тр, то существует сильный предел ИшТа. (Указание: воспользоваться а

упражнением 20.)

Пусть Т\ и Т2 — вполне непрерывные эрмитовы операторы. Пусть %ь Х21 ...—последовательность положительных собственных значений оператора Т^ расположенных в порядке убывания, причем каждое из них повторяется столько раз, какова его кратность; пусть рц, р2, ••• и vn v2, ...—аналогичные последовательности для операторов Т2 и Т^А-Т^ Тогда

VA+f-tCpA-b^;

\^-Хк\^\Т2\.

Показать, что последовательность %ь Х21 ... положительных собственных значений вполне непрерывного эрмитова опера-

1) Однако 0<Л<В влечет Да<Ва при а<1.— Прим, ред.

6 Заказ № 134

тора Т, расположенных в порядке убывания и повторенных в соответствии с их кратностями, можно получить по формуле

«. (Тх, х)

Х;1 = max min -^—2_,

где Srt —произвольное л-мерное подпространство в ^.

Рассмотреть в гильбертовом пространстве всех измеримых и интегрируемых с квадратом по Лебегу функций на отрезке [0,1] интегральные операторы с ядрами

Ki(x, y) — i sgn^-y), К2(х, у) = \х — у\и вычислить их собственные значения и собственные функции.

Показать, что ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве вполне непрерывен тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

Тхп —0 сильно, если хп —> 0 слабо,

^Тхти хп) 0, если хп — > 0 слабо.

(Указание: для доказательства достаточности условия (Ь) покажите, что из него вытекает, что (Тхп, у^ —> 0, если последовательности {xnj и {уп} слабо сходятся к нулю.)

Примечания и дополнения

Основные результаты этой главы, относящиеся к спектральной теории эрмитовых операторов, восходят к работе Гильберта [1; IV]. Доказательства этих теорем даны также Ф. Риссом [20,6]; вклад в эту область был сделан также многими другими авторами. Мы отсылаем читателя к энциклопедическому обзору Хеллингера и Теплица [3], относящемуся к раннему периоду развития теории гильбертовых пространств, а также к трактату Уинтнера [1], в котором изложение ведется в терминах бесконечных матриц; в этих работах приведена обширная библиография. Около 1930 г., после периода относительного затишья, появились фундаментальные работы фон Неймана |7, 8, 2] и Стоуна [10,3], придавшие спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве современную форму. Книга Стоуна |3] содержит полное изложение спектральной теории в сепарабельном гильбертовом пространстве, что делает ее весьма ценной; в ней главным образом рассматриваются неограниченные операторы. В книге Секефальви- Надя [3|, как и в более новой книге Рисса и Секефальви-Надя [1], дается краткое изложение теории для ограниченного и неограниченного случаев. Халмош [6] рассматривает лишь ограниченные операторы, но зато развивает теорию спектральных типов. Укажем еще книги Ахиезера и Глазмана [1] и Кука [1], а также весьма ясное изложение, данное Ионеску [1].

Поскольку имеется целый ряд доступных работ, освещающих развитие спектральной теории в историческом аспекте, мы сделаем лишь краткие замечания, относящиеся к результатам, приведенным в тексте. Это даст нам возможность обсудить некоторые важные и интересные вонроПи, которые мы формально не рассматривали.

Спектральная теорема. Спектральная теорема для ограниченных самосопряженных онерагоров в гильбертовом пространстве принадлежит Гнльбер|у |l; IV|. Читателю следует также познакомиться с дока нггельс ! вами Ф. Ригса [20, 6|, которые вполне современны по духу, Было дано мною других доказательств спекIральной теоремы для самосопряженных, унитарных и нормальных операторов, как для ограниченных, так и для неограниченных. Мы отсылаем читателя к монографиям Лхиезсра и Глаз- мана [1], Уинтнера [1], Люмиса [1], Рисса и Секефальви-Надя [1], Секефальви-Надя [3], Стоуна [3] и Халмоша [6]. Кроме того, различные доказательства этой теоремы для ограниченных и неограниченных операторов можно найти в следующих работах: Веккен [1], Уинтнер [2], Иосида [И, 12; I], Иосида и Накаяма [1], Карле- ман [1], Кодаира [2], Кристиан [1], Купер [1, 2], Купмен и Дуб [1], Леньел [1], Леньел и Стоун [1], Лорх [5], Мак-Шейн [3], Накано [7, 12, 13], фон Нейман [2, 7, 16, 22], Огасавара [7], Реллих [3], Ф. Рисе [14], Рисе и Лорх [1], Смит [1], Стоун [7], Тейхмюллер [2], Фридрихе [4], Хеллингер [1], Цудзи [1], Эбер- лейн [5] и Эссер [1]. В книге Кука [1] воспроизводятся некоторые из этих доказательств. См. также статью Фелла и Келли [1].

Фон Нейман [2; стр. 401] доказал, что коммутирующее семейство нормальных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве допускает одновременное спектральное приведение. Это же утверждение справедливо для счетной системы операторов в произвольном гильбертовом пространстве (см. также Хаар [2; стр. 781—790], Секефальви-Надь [3; стр. 66—69] и Рисе и Секефальви-Надь [1; § 130, 131]). Первое изложение этого вопроса для В*-алгебры операторов без ограничения счетности, как в теореме 2.1, дано Данфордом [13], хотя слабо замкнутые алгебры ранее рассмотрел Иосида [12; I], а аналогичные результаты для абелевых колец операторов были получены Стоуном [7].

Систематическое употребление операторного исчисления в форме, данной в теореме 1.1, введено фон Нейманом [18] и Стоуном [3; гл. VI]; см. также Лорх [2, И]..

Следующая теорема доказана, по существу, фон Нейманом [2; стр. 393] и [18; стр. 213].

Теорема. Пусть А —ограниченный самосопряженный оператор а сепарабельном гильбертовом пространстве. и пусть Т — ограни* 6*

ченный оператор, который коммутирует со всеми операторами, перестановочными с А. Тогда существует такая ограниченная измеримая функция j, что Т = /(Д).

В явном виде эту теорему доказал Ф. Рисе [21]. Мимура [1] упростил доказательство Рисса и распространил теорему на неограниченные операторы. Более элементарное доказательство дано Секефальви-11адем [3; стр. 63—65] (см. также Рисе и Секефальви- Надь |1; § 129], Накано [8, 9] и Веккен [2]). Эта теорема, как установлено, не верна в несепарабельном случае, однако Сигал [5; II, стр. 38] получил соответствующее ее распространение. Обобщение этого результата на В-пространства было получено Бейдом [3, 4]. Мы рассмотрим его в гл. XVII.

Спектр самосопряженного оператора. Теорема 4.3 представляет собой один из многих способов вычисления собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора. Некоторые дополнительные соображения см. у Рисса и Секефальви-Надя 11; § 95, 96]. За более развернутым изложением методов Рэлея — Ритца, Вайнштейна и многих других читатель может обратиться к книге Коллаца 11 ]. Этой проблеме посвящен ряд недавних работ, выполненных Ароншайном и его сотрудниками; см., например, Арошпайн [3, 4], где можно найти дальнейшие ссылки. Леньел и Стоун [ 11 показали, что если оператор Т является самосопряженным, то верхняя (нижняя) грань множества {(Тх, х) 11 х | = 1} достигается тогда и только тогда, когда она является собственным значением оператора Т.

Иногда бывает удобно воспользоваться тем обстоятельством, что если оператор Т нормален, то % тогда и только тогда принадлежит его спектру о(Т), когда для любого б>0 найдется такой вектор х =^ 0, что | Тх — Ах | < в | х j. Доказательство см. у Халмоша |6; стр. 51]. По поводу некоторых результатов и библиографии, относящейся к спектру, в частности вполне непрерывных операторов, мы отсылаем читателя к работам Рисса и Секефальви-Надя [1; § 133, 134] и Цзяна [1].

Ссылки на классическую литературу по этому вопросу см. у Холлингера и Теплица [3; § 32—35].

Спектральное представление и теория спектральных типов. Результаты § 5 тесно связаны с теорией спектральных типов, изучавшейся Хеллингером [1] и Ханом [5]. Более новое изложение см. у Стоуна [3; гл. 7] и фон Неймана [15] для случая сепарабельного гильбертова пространства и у Халмоша [6] для общего

случая. Халмош интересуется кратностью спектральной меры, и его результаты обобщают работы Накано [10, 11], Плеснера и Рохлина [1] и Веккена [2]. В книге Ахиезера и Глазмана [1; §§ 69—73] рассматривается также случай неограниченных операторов.

Пусть Т—самосопряженный оператор, и пусть й (Т)— кольцо всех ограниченных операторов, коммутирующих с Т. Иосида [3] показал, что операторы Л и Т2 унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда между ^Т^ и 91 (Т2) существует ^изоморфизм, переводящий Ti в Т2.

Другие формулировки теории спектральных типов, связанные с алгебрами операторов в гильбертовом пространстве, были даны Сигалом [5; II] и Келли [6]. Мы приведем теорему Сигала, которая часто может заменить спектральную теорему.

Теорема. Максимальная симметричная абелева алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве унитарно эквивалентна алгебре всех операторов умножения на ограниченные измеримые функции в пространстве Ь2 на некотором пространстве с мерой.

Вычисление разложения единицы. Формула теоремы 6.1 принадлежит, по существу, Стильтьесу [1; стр. 72—75] и служит основным инструментом в работе Хеллингера [1]; См. также Стоун [3; стр. 183] и статьи Леньела [1] и Купмена и Дуба [1].

Теория возмущений. Литература по теории возмущений была уже указана в § VII. 11. Результаты § 7 принадлежат в основном Реллиху [2; II]. См. также Рисе и Секефальви-Надь [1, § 134—136]х).

Инвариантные подпространства. Если Т — оператор в В-про- странстве ЗЕ, а ЭЛ — отличное от {0} и всего Ж замкнутое линейное подпространство, для которого Т9Л ^ ЭЛ, то ЭЛ называется (нетривиальным) инвариантным подпространством пространства Ж относительно Т. Если Ж гильбертово, а ЭЛ и его ортогональное дополнение Ж ©ЭЛ являются инвариантными подпространствами в Ж относительно Т, то говорят, что подпространство ЭЛ приводит оператор Т. Легко видеть, что нетривиальное подпространство гильбертова пространства может быть инвариантным подпространством для оператора, но не приводить его. В действительности оператор может иметь много нетривиальных инвариантных подпространств, но ни одного нетривиального приводящего (элементарный пример см. у Халмоша [6; стр. 40]).

9 Интересные приложения этой теории можно найти в книге В. П. Маслова [1*].—Прим. ред.

Спектральная теорема гарантирует, что нормальный оператор (отличный от нулевого и тождественного) приводится по крайней мере одним нетривиальным подпространством. Для операторов, не являющихся нормальными, это далеко не ясно, и потому значительный интерес представляет отыскание нетривиальных инвариантных подпространств для заданного оператора. Неизвестно, обладает ли каждый оператор, отличный от нулевого и тождественного, нетривиальным инвариантным подпространством. Из теоремы VII.3.10 легко следует, что если Т — ограниченный линейный оператор в S-пространстве ЗЕ и если о (Т) содержит по крайней мере две компоненты связности, то Т обладает инвариантным подпространством. Ароншайн и Смит [1] показали, что любой вполне непрерывный оператор имеет инвариантное подпространство, даже если о(Т)^={0}. Из одной теоремы Родмана [1; стр. 136] следует, что инвариантным подпространством обладает изометрический линейный оператор, отображающий В-пространство ЗЕ на себя. Если Г 6 (ЗЕ) и | Тп | С К, п = 0, ± 1, ±2, ..., то ЭЕ можно перенормировать таким образом, что оператор 7 станет изометрическим; поэтому Г обладает инвариантным подпространством. Уэрмер [1] показал, что если | Тп | = О (е^а) для некоторого а, 0<а<1, и если о (Т) содержит по крайней мере две точки, то Т имеет инвариантное подпространство. Он также доказал, что то же справедливо, если | Тп | = О( | п\к) для некоторого к (см. Уэрмер [2]).

Уэрмер [4; стр. 275] доказал, что если Т—нормальный оператор, а о (7) не имеет внутренних точек и не разделяет плоскость, то каждое замкнутое инвариантное относительно Т подпространство инвариантно также относительно Т* и потому приводит оператор Т. В его статье рассматривается также следующая задача. Допустим, что множество собственных векторов оператора Т из 6 (ЭЕ) фундаментально в ЗЕ. При каких условиях можно утверждать, что всякое замкнутое инвариантное относительно Т подпространство ЭЛ порождается содержащимися в нем собственными векторами? Эта задача относится к проблеме спектрального синтеза, которую мы обсудим в § XI.4. Аналогичная задача изучалась Берлингом [4], которому удалось описать все замкнутые инвариантные подпространства для оператора умножения на 2 в гильбертовом пространстве функций, аналитических при | 21 < 1.

Сужение оператора. Пусть ЭЛ —замкнутое подпространство гильбертова пространства §. Легко видеть, что если ЭЛ служит инвариантным подпространством самосопряженного оператора Т, то сужение оператора Т на ЭЛ является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве ЭЛ. Для нормальных операторов

ситуация радикально меняется. Например, если ® = L2 на окружности 121 = 1, а ЭЛ — подпространство, представляющее собой замыкание в ^ множества функций, аналитических в круге |2|<1 и непрерывных при |2;^1, то оператор умножения на 2 нормален в ^, но не в ЭЛ, поскольку оператор, сопряженный к Т в ЭЛ, задается соотношением1)

(Г*/) (г) = г1 (/(г)-ЦО)),

Теорема Уэрмера [4], цитированная в предыдущем абзаце, дает условия, при которых сужение нормального оператора на любое инвариантное подпространство снова является нормальным оператором. Уэрмер [5] изучал сужение оператора Т на подпространство ЭЛ, не инвариантное относительно Т"1, но такое, что для некоторого х^ЭЛ множество векторов ТЧ, п = 0, 1, 2, . фундаментально в* ЭЛ. В этом случае сужение оператора Т на ЭЛ допускает представление в виде оператора умножения на 2 в пространстве аналитических функций.

Халмош, Люмер и Шеффер [1] доказали, что сужение нормального оператора может обладать обратным оператором, но не допускать извлечения квадратного корня (см. также Халмош и Люмер [1]).

Продолжение оператора. Из предыдущего пункта следует, что важно знать, когда можно продолжить (в некотором смысле) данный оператор А в гильбертовом пространстве ^ до оператора В в гильбертовом пространстве St, содержащем $, таким образом, чтобы В обладал свойствами, которыми А не обладает.

Одно из возможных определений продолжения таково: если гильбертово пространство St содержит § и если Р — самосопряженный проектор St на @, то оператор В называется продолжением оператора Л, если АР^РВР. Халмош [1] доказал, что каждый ограниченный оператор А в гильбертовом пространстве ^ допускает продолжение В на ^©^, причем если Л —оператор сжатия (т. е. | Л | ^ 1), то оператор В можно выбрать так, чтобы он был унитарным. Далее, как подметил Майкл, если А — положительный оператор в § и )Л|< 1, то в §©§ существует самосопряженный проектор, являющийся продолжением оператора А. Из этого результата вытекает ряд интересных следствий; например, если ^—бесконечномерное гильбертово пространство, то замыкание

х) Функции из 9)? продолжаются по формуле Коши внутрь круга | z | < 1, и потому имеет смысл говорить об их значениях во внутренних точках круга. —Прим/перев.

в слабой операторной топологии множества всех унитарных операторов совпадает с множеством всех сжатий, а замыкание множества всех самосопряженных проекторов совпадает с множеством всех положительных сжатий.

Следующая теорема, принадлежащая Секефальви-Надю [8, 10], является важным обобщением одного из цитированных выше результатовх).

Теорема. Если А —оператор сжатия, определенный на гильбертовом пространстве ^, то существуют такое гильбертово пространство St о ^ и такой унитарный оператор U, действующий в SY, что если Р — самосопряженный проектор й на ^, то А^Р r PUnP, п= 1, 2, ... . Кроме того, St может быть выбрано минимальным в том смысле, что оно порождается элементами {Uhx\x£$, k = 0; ± 1; ±2; ...}, причем в этом случае % и U определяются однозначно с точностью до унитарной эквивалентности.

Весьма элементарное доказательство этой теоремы, исключая условие минимальности, было дано Шеффером [I]. Распространение на случай В-пространств дано Секефальви-Надем [10; стр. 114], а аналогичные результаты для полугрупп сжатий можно найти у Секефальви-Надя [8, 10] (см. также Купер [3]). Первоначальное доказательство Секефальви-Надя опирается на следующую теорему, принадлежащую Наймарку [3].

Теорема. Пусть S— абстрактное множество и ^ — алгебра (соответственно с-алгебра) подмножеств в S. Пусть F —аддитивная (соответственно слабо счетно аддитивная) функция на 2 со значениями в множестве положительных операторов на гильбертовом пространстве ^, удовлетворяющая условиям F (0) = О и F (S) /. Тогда существуют такое гильбертово пространство Й^§ и такая аддитивная (соответственно слабо счетно аддитивная) функция Е на 2 со значениями в множестве самосопряженных проекторов из В (St), что если Р— самосопряженный проектор St на то F (е) Р ^ РЕ(е) Р для всех е С 2.

Подробное обсуждение этих важных результатов и общую теорему, объединяющую их, см. у Секефальви-Надя [11].

Из работы Секефальви-Надя вытекает, что если Л —оператор сжатия в гильбертовом пространстве ^, то существует сильно счетно аддитивная функция F, определенная на борелевских подмножествах окружности | z | = 1, принимающая значения в мно-

" г) Более общая теорема еще ранее была доказана И. М. Гельфандом [6].— Прим. ред.-

жестве положительных операторов на ^ и такая, что

Aw = J e^F(d9),о

где Aw = An, если п>0п и Д(п) = Д*1п|, если п<0. Шрейбер [1] воспользовался этим представлением, чтобы построить операторное исчисление для функций, являющихся граничными значениями ограниченных функций, аналитических при |г|<1.

Расширение оператора. Пусть А — оператор в гильбертовом пространстве ^. Интересно найти условия, при которых оператор А допускает нормальное расширение на некоторое гильбертово пространство 5$ з ^, т. е. условия, при которых в $ существует такой нормальный оператор В, что если Р — самосопряженный проектор «R на £, то АР = ВР. Брем [1], отправляясь от работы Халмоша [1], исчерпывающе исследовал такие операторы и назвал их субнормальными. В противоположность продолжению, нормальным расширением обладает не каждый оператор (ср. Халмош [1; стр. 133]). Следующий результат, принадлежащий Брему, представляет собой улучшение теоремы Халмоша (см. Секефальви-Надь [11; стр. 18]).

Теорема. Для того чтобы ограниченный линейный оператор А в гильбертовом пространстве ^ допускал нормальное расширение, необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного набора элементов х0, хъ . . ., хТ из ^ выполнялось неравенство

3 (Лпхт, Лтхп)>0.т, п=0

Если это условие выполнено, то минимальное нормальное расширение единственно с точностью до унитарной эквивалентности.

Другой критерий был дан Бремом в работе [1; стр. 79], где исследуется связь между спектрами оператора А и его минимального нормального расширения и другие вопросы. Соотношения между спектрами рассматривал также Халмош [9].

Спектральные множества Неймана. Фон Нейман [3] называет замкнутое множество S комплексной сферы спектральным множеством ограниченного линейного оператора Т в гильбертовом пространстве, если для любой рациональной функции f, для которой |/(2)|С1 при всех 2^5, существует /(Т) и |/(Т)|<1. Понятно, что если S —спектральное множество, то o^T^cS, и что если оператор Т нормален, то а (Т) является спектральным множеством в этом смысле. Представляет интерес следующая теорема.

Теорема. Если |T|<L а функция f аналитична в области, содержащей круг | г | < 1, и | / (г) | С 1 при | г | < 1, то | / (7) | < 1.

Отсюда следует, что круг | г | < 1 является спектральным множеством оператора Т тогда и только тогда, когда |7|<1. Эта теорема была впервые доказана фон Нейманом [3; стр. 269]; другое доказательство было дано Гайнцем [2]; особенно простое доказательство принадлежит Секефальви-Надю [8, 11; стр. 15]. Доказано, что оператор Т нормален тогда и только тогда, когда (ЦТ) является спектральным множеством (ср. фон Нейман [3; стр. 2801), и что Т самосопряжен (соответственно унитарен) тогда и только тогда, когда некоторое ограниченное подмножество вещественной оси (соответственно подмножество единичной окружности) является спектральным множеством. По поводу доказательств этих утверждений и некоторых дополнительных результатов см. фон Нейман [3] или Рисе и Секефальви-Надь [1; § 152 — 155].

Квадратный корень оператора. Говорят, что оператор В является квадратным корнем оператора Л, если В2 = Л. Простым следствием спек тральной теоремы является тот факт, что всякий положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве обладает положительным самосопряженным квадратным корнем. Доказательство, не использующее спектральную теорему, можно найти у Виссера |2], Веккеиа |1] или у Рисса и Секефальви- Надя |1; стр. 285|. Халмош, Люмс^р и Шеффер |1] показали, что существуют обратимые операторы в гильбертовом пространстве, не имеющие квадратного корня; на самом деле Халмош и Люмер [1] доказали, что операторы, из которых можно извлечь квадратный корень, не образуют среди операторов, обладающих обратным, даже плотного множества (относительно равномерной топологии). Аналогичный результат имеется у Шеффера [2]. Жюлиа [1 — 4] детально исследовал совокупность всех самосопряженных квадратных корней данного положительного оператора как в ограниченном, так и в неограниченном случаях. Распространение на случай корней //-й степени и несамосоиряжеиные квадратные корни рассмотрены Жюлиа в работах [5, 6].

Перестановочность операторов. Тривиально доказывается, что если Л и В — коммутирующие самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, то оператор АВ тоже самосопряжен. Было отмечено (см. упражнение Х.8. 7), что если А и В —коммутирующие положительные операторы, то оператор АВ тоже положителен. Если А — нормальный оператор, а В —оператор, коммутирующий с Л, то В коммутирует с А*. Это было высказано фон Нейманом и доказано Фуглидом [1] и Халмошем [3, 6; стр. 68]. Отсюда следует,

что если А и В— коммутирующие нормальные операторы, то оператор АВ нормален.

Браун [1] показал, что если каждый из операторов Т и Т*- коммутирует с ТТ*. то оператор Т нормален, а Путнам [3] доказал, что Т нормален, если он коммутирует с ТТ* — Т*Т.

Обобщая результат Фуглида [1], Путнам [1] показал, что если операторы А и В нормальны, а Т—такой обратимый оператор, что А = ТВТ"\ то существует такой унитарный оператор U, что A^UBU*.

Довольно неожиданным является то, что из нормальности операторов А, В и АВ не следует, что оператор ВА нормален (см. Капланский [6]). Однако, развивая некоторые исследования Вигмана [1], Капланский получил условия, при которых это верно (например, если в дополнение к сделанным предположениям хотя бы один из операторов А, В вполне непрерывен, то оператор В А нормален). Отметим еще, что если операторы А и АВ нормальны, то оператор ВА нормален тогда и только тогда, когда В коммутирует с А*А.

Если заданы два оператора Л и В, то величина их коммутатора АВ —В А является мерой того, насколько эти операторы не коммутируют. Уинтнер [3] показал, что если А и В —ограниченные самосопряженные операторы, то их коммутатор не может быть ненулевым кратным единичного оператора, а Путнам [2] заметил, что метод Уинтнера не требует самосопряженности. Виландт [2] получил более сильный результат, применимый к В-алгебрам. Халмош [10; II] (см. также Шеффер [2]) доказал, что если А коммутирует с АВ — В А, то АВ — В А является двусторонним топологическим делителем нуля. По аналогии с теоремой Джекобсона Капланский высказал предположение, что если Л коммутирует с АВ —В А, то последний оператор квазинильпотентен, а Путнам [3] доказал это в предположении, что и В тоже коммутирует с АВ — В А. Видав [1] дал другое доказательство результата Путнама, справедливое в любой В-алгебре. Несколько более сильный результат был получен Сингером и Уэрмером [1], которые доказали, что если А и 6 —ограниченные операторы в В-простран- стве, то оператор АВ— ВА квазинильпотентен, если он содержится в равномерно замкнутой алгебре, порожденной операторами А и I.

Полярное разложение. Полярное разложение, или каноническая факторизация, особенно важно для неограниченных операторов и будет изучено в § XII.7. Однако достаточный интерес оно представляет также в рассмотренном здесь случае ограниченных операторов. Оператор U в гильбертовом пространстве § называется частичной изометрией с начальной областью определения ЭЛ, если J j = | х | при х С ЭЛ и Ux^O при %С^@ЭЛ.

Теорема. Каждое ограниченное линейное преобразование Т в гильбертовом пространстве может быть представлено в форме UP, где U —частичная изометрия, а Р — положительный оператор. Если оператор Т нормален, то оператор U можно выбрать так, чтобы он был унитарным и чтобы операторы U и Р коммутировали между собой и с каждым оператором, коммутирующим с Т и Т*.

Элементарное доказательство см. у Рисса и Секефальви-Надя [1; § 110]. Вообще говоря, U и Р не коммутируют, но Браун [11 изучил операторы Т, для которых U и Р коммутируют, и доказал, что для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор Т коммутировал с Т*Т. Понятно, что такой оператор Т может быть разложен в прямую сумму нормального оператора и оператора обобщенного сдвига.

Неравенство Гайнца. Если Л и В —положительные ограниченные операторы, a Q —такой ограниченный ' линейный оператор в гильбертовом пространстве $, что | Qx | % | Ах | и | Q*x | <2 | Вх | для всех х из £\ то для каждого вещественного числа а, О^аС 1, и для всех х, у из $ справедливо неравенство | Дх, у) | < ^ | Апх 11 В1 пу |. Это— принадлежащее Като [5] усиление неравенства, доказанного Гайпцсм [1]. Като и Гайнц показали, что это неравенство остается в силе и для неограниченных операторов. Другое доказательство, основанное на теореме Рисса о выпуклости и пригодное для полилинейных форм, было дано Диксмье [6]. Недавно Гайнц [4] дал короткое и элегантное доказательство этого результата.

Симметризуемые и нормализуемые операторы. Может случиться, что оператор Т не является симметричным (или нормальным), но для некоторого нетривиального оператора А один из операторов /17” или ТА оказывается симметричным (или нормальным). В этом случае иногда удастся получить важную информацию относительно спектральной природы оператора Т. Такие операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений (ср. Холлингер и Теплиц |3; § 38]). Интегральные операторы, а также и абстрактные операторы указанного типа были в значительной степени изучены, особенно в случае их полной непрерывности. По поводу этой теории мы отсылаем читателя к книге Заанена [5; гл. 12] и статьям Заанена [3, 7, 8], Рида [1, 2], Уил- кинза [1] и Циммерберга [1, 2]. Особое внимание уделяется возможности разложения по собственным функциям.

ГЛАВА XI

Различные приложения

Эта глава посвящена приложениям спектральной теории нормальных операторов к задачам, относящимся к ряду различных областей математики. Поскольку рассматриваемые здесь вопросы лежат в стороне от основного русла наших интересов, мы не будем стремиться к сколько-нибудь исчерпывающему их изложению. Однако вследствие глубины и силы общей спектральной теории оказывается возможным не только дать удовлетворительное построение их основ, но и изложить их главные результаты; это мы и попытаемся сделать. К исследуемым в этой главе вопросам относятся: теория групп и теорема Петера —Вейля; теория почти периодических функций Гарольда Бора; преобразование Фурье, свертки и теория Планшереля в L2(G), где G — локально бикомпактная абелева группа; теоремы Винера о замкнутости в Li и связанные с ними классические тауберовы теоремы; операторы Гильберта —Шмидта и теория Фредгольма для них; преобразование Гильберта и неравенство Кальдерона—Зигмунда.

Бикомпактные группы

Этот параграф посвящен изучению бикомпактных топологических групп. Для таких групп при помощи одной из теорем о неподвижной точке из § V.10 доказывается существование меры Хаара (теорема 1). Мера Хаара используется для получения основополагающего результата Петера и Вейля, который в свою очередь применяется для доказательства основного свойства непрерывных характеров бикомпактной абелевой группы.

Теорема. Для любой бикомпактной топологической группы G существует единственная неотрицательная регулярная счетно аддитивная мера р, определенная на с-алгебре X борелевских подмножеств в G, и такая, что р (G) = 1 и р (sE) = р (Е) для каждого s из G и каждого Е из 1. Кроме того, р (Es) = р (5) и р^"1)^^) для всех s из G и всех Е из 2.

Доказательство. Обозначим через С (G) банахово пространство всех непрерывных вещественных функций на G, и пусть е — функция, тождественно равная 1. Пусть К — подмножество в С* (G)T состоящее из всех таких функционалов х*, для которых х* (е) = 1 и x*(j)>0, если /(s)>0 для всех s из G. Ясно, что К выпукло и замкнуто в С* (G) относительно С (С)-топологии. Если функция f принадлежит единичному шару в 0(G), то — e(s)<f (s)^e(s)y и потому — 1 ^ х* (/) < 1 при х*£К; это показывает, что 1х*|<1 при х*^К. Таким образом, К является выпуклым подмножеством единичного шара в C*(G), замкнутым в С (С)-топологии. Из следствия V.4.3 вытекает, что К бикомпактно в этой топологии.

Для каждого s из G определим в С (G) линейное отображение Ls соотношением (Lsf) (/) = / (st). Ясно, что LsLt — L8t и Li 1, где 1—единица группы G. Поскольку L*L* = (LsLt)* = L*tl семейство {L?|s£G} представляет собой группу операторов в C*(G). Очевидно также, что ЦК г К для любого s из G.

Покажем прежде всего, что группа (Ц | s gG} операторов в C*(G) образует на множестве К равностепенно непрерывное (см. V.10.7) относительно С (С)-топологии семейство. Для этого рассмотрим в С* (G) окрестность нуля V, определенную положительным числом е и функциями Д, ..., fn из C(G). Построим в С* (G) такую окрестность нуля (7, что для каждой пары элементов х\ у* из К, для которой х* —y*£U, вектор Ц(х* — у*) при любом s из G принадлежит V. '

Конечное множество ft, ..., fn компактно в С (G), и потому в силу следствия IV.6.9 каждому положительному числу 6 соответствует такая окрестность единицы N в G, что для любой пары элементов t, и из G, для которой игЧ ^N, выполняется неравенство

Предположим, что u"4^N. Тогда для любого s из G элемент (su)'x(st)~ и"Ч принадлежит А/, и потому

| (£.,/;) («) - (LJ/) (0 | | /у (St/) - fj (SO | < 6, i = 1, . . . , П.

Из следствия IV.6.9 вытекает, что замыкание множества {LJ;|sgG> / -1, ...,/?} компактно в 0(G) и поэтому в силу теоремы 1.6.15 вполне ограничено. Следовательно, существуют в C(G) такие функции #ь . .., gmi что каждый из элементов Lsfj удален менее чем на е/4 от одного из элементов gVl ..., gm. В качестве окрестности нуля U в С* (G) возьмем окрестность, определенную числом е/2 и функциями gVl .... gm. Если теперь х* и у* принадлежат К и х* — у* ^U, то, выбирая i подходящим образом

и учитывая, что | х* |,| у* |< 1, получаем, что

< I - у*) (Uh - £01 1- у*) gi | <

<2\Ufj-gi\Jr\ (x*-y*) ghCj + ^e для любого s из G. Таким образом, как и утверждалось, семейство {А*} равностепенно непрерывно на К.

Теперь можно применить теорему V.10.8, из которой следует существование такой точки х* £ К, что Е*х*^х* для любого s из G. Из теоремы Рисса о представлении линейных функционалов (IV.6.3) вытекает, что на семействе 2 борелевских подмножеств группы G существует однозначно определенная счетно аддитивная регулярная мера р, для которой

x*(f)=^(s)p(ds), КС (Gy

G

Поскольку функционал х* положителен, то из теоремы Рисса следует, что мера р неотрицательна, а так как х*(е) = 1, то p(G) ^ 1. Теперь если мера ps определена соотношением ps (Е) = р (s^E), то, поскольку x*^x*Ls1 мы имеем

^ (О И W = \ f (st) р (dt) = \f(t) ps (dt), f E C (G).

GGG

Легко проверить, что мера ps регулярна, и, следовательно, теорема Рисса и приведенное выше тождество показывают, что ps = p; это доказывает первую часть теоремы (кроме утверждения о единственности инвариантной меры, доказываемого ниже).

Аналогично предыдущему доказывается, что существует такая неотрицательная регулярная счетно аддитивная функция множества v, определенная на 2, что v(G) = l и v(Es) = v(E) для каждого Е из 2 и каждого s из G. Пусть v4 — какая-нибудь из таких функций, и пусть р! — неотрицательная регулярная мера на 2, причем р4((/)=1 и pi (sE) -- Pi (Е). Мы покажем, что pi^v^ этим будет установлена единственность меры р и показано, что р (Es) = = р(Е). Итак, рассмотрим какую-нибудь непрерывную на G скалярную функцию f. Функция fYl определенная на декартовом произведении G х G равенством fY (s, t) = f (st), непрерывна и, следовательно, измерима относительно Vi х гд. Поскольку Pi(G)^ = v1(G)=l, из теоремы Фубини (III. 11.9) следует, что

f (t) р, (dt) = f (st) Pt (dt) = J { J f (st) Pj (dt)^ V! (ds) =

GGG G

= ^ {^ f(st) vjds)) Pi(dO= 5 f(st)xv(ds)= f (s)v1(ds).

G GGG

Так как это справедливо для любой непрерывной функции Д то из теоремы Рисса (IV.6.3) следует, что pi^Vp Наконец, чтобы убедиться, что р (Е) = р (Е-1), рассмотрим меру А, определенную на 5 равенством ^(Е) = р (Е"1). Тогда A(G) = 1, и X(sE) = ~ р (Е’Ьг1) — р (Е’1): - А (Е). Кроме того, поскольку отображение 5—>5-1 является гомеоморфизмом G на себя, мера А регулярна. Поэтому из единственности р вытекает, что А = р, ч. т. д.

Определение. Мера, существование и единственность которой установлены в теореме 1, называется мерой Хаара на бикомпактной группе G.

Используя меру Хаара, мы покажем, что класс непрерывных функций на G, являющихся конечномерными в смысле следующего определения, образует фундаментальное множество в C(G), а также в L2(G, 2, р).

Определение. Пусть f — комплекснозначная функция, определенная на группе G. Пусть для s^G функция fs определена соотношением fa (t) ~ f (ts). Функция fs называется сдвигом функции f на 5. Будем говорить, что функция / конечномерна, если конечномерно комплексное векторное пространство функций, порожденное множеством ^8\s^G^ всех сдвигов функции f.

В доказательстве следующей теоремы используется спектральная теорема, и потому в качестве поля скаляров принимается поле комплексных чисел.

Теорема (Петер — Вейль). Пусть G— бикомпактная топологическая группа с а-алгеброй борелевских множеств 2 и мерой Хаара р. Тогда множество комплексных непрерывных конечномерных функций фундаментально и в C(G), и в L2(G, 2, р).

Доказательство. Пусть L2 = L2(G, 2, р), и пусть 91 —ортогональное дополнение в L2 множества всех непрерывных конечномерных функций. Мы докажем, что последнее множество всюду плотно в L>, показав, что 91 ДО). Для этого достаточно доказать, что произвольный элемент из 91 ортогонален к любому элементу множества C(G), всюду плотного в Ь2. Произвольный элемент / из 0(G) может быть записан в виде f = h-\-ig, где

h ($) -1 [/ (s) +77^], 5 (s)=4 [№) - Г (s)j.

Так как функции h и g удовлетворяют соотношениям h(s) = h (s-1), g (s) ™ g (s-^), то достаточно показать, что всякая непрерывная функция g, для которой g(s) = g(s"1), ортогональна к 91.

Доказательство этого утверждения опирается на некоторые свойства линейного оператора Tg1 определенного в Л2 равенством,

(Tgh (s) = $ g (su-1) f («) H W. f € U

G

Так как g€C(G), то из следствия IV.6.9 вытекает, что для каждого е > 0 в G найдется такая окрестность единицы G, что если st^^U, то |g(s) —g(OI<e- Пусть / принадлежит Л2 и имеет норму |/|^1, и пусть st"1 £ U. Тогда, поскольку (su-1) (/и-1)"1 = st"1 лежит в U, имеем

I (^(s) —(rgD(OI = l $ {g(su-1)-g(/u-1))/:(u)p(du)|^G

Се | J |f(«)|p(d«)}<e { J | f(u)|2 p (du)}1/2<e. GG

Ввиду следствия IV.6.9 это неравенство показывает, что Tg отображает единичный шар пространства Л2 в условно компактное множество в С (О). Таким образом, оператор Tg, рассматриваемый как отображение Л2 в C(G), вполне непрерывен (см. VI.5.1) и, a fortiori, он вполне непрерывен как отображение Л2 в Л2.

Затем, используя свойство g(s) = g(s-1), можно убедиться, что оператор Tg самосопряжен, ибо из теоремы Фубини следует, что любая пара элементов f, h из Л2 удовлетворяет соотношениям

(A Tgh) = J f (s) |J g (st 1')h (t) p (dt)\ p (ds) =GG

= $ Л (0 { J g (sH) f ($) P (ds) } P (dt) =

GG

= $ W) { J g (ts-1) f (s) p (ds)} p (dt) = (Tgf, h). GG

По теореме X.3.5 существует полная ортонормальная система {сра} собственных функций оператора Tg, а по VII.4.5 собственные функции, соответствующие собственному значению Х^=0, образуют конечномерное пространство. Если ^ср^Хф, Х^=0, то

g (sm-1) ф (u) |i (da) = Хф (s), s^G,

G

так что функция ф (s) непрерывна. Заменяя s на st и и на at 7 Заказ № 134

и используя соотношение р(£/) = р(Е), мы видим, что

g (su~) ср (ut) р (du) = Хф (st), G

е. любой сдвиг ф* собственной функции ф, соответствующей собственному значению X, также является собственной функцией с собственным значением X. Таким образом, каждая собственная функция оператора Т g, соответствующая ненулевому собственному значению, является конечномерной непрерывной функцией. Следовательно, 91 ортогонально к любой собственной функции оператора Tg, за исключением (быть может) собственных функций, соответствующих Л = 0. Из теоремы Х.3.4 следует, что всякий элемент h из 91 можно представить в виде h = S (h, фа) фа, где суммирование производится по всем таким а, для которых Т^фа^О. Таким образом, если ft С 91, то Tgh — 0, т. е.

О = \ g (su'1) h (u) p (du) = \ g (us-1) h (a) p (du), оG

Если в этом равенстве s заменить на единичный элемент группы G, то оно сведется к равенству (ft, g) = 0, которое показывает, что функция g ортогональна к 9L Итак, мы доказали, что конечномерные непрерывные функции образуют фундаментальное множество в L2.

Осталось показать, что конечномерные непрерывные функции всюду плотны в C(G). Предположим, что /г —функция из С (G) и что задано некоторое число е>0. Как и выше, применяя следствие IV.6.9, находим такую окрестность V единицы группы G, что | k (s) — к (s/)| <е/2 для любых s из G и t из V. Так как отображение s —> s-1 есть гомеоморфизм, то в G существует такая окрестность единицы W, что W и IV-1 содержатся в V; таким образом, множество U = ^ U IV-1 является окрестностью единицы в G и обладает свойствами U s V и U = U"1. Поскольку бикомпактное пространство нормально (1.5.9), из теоремы Урысона (1.5.2) следует, что на G существует неотрицательная непрерывная функция h Ф 0, которая на дополнении множества U обращается в нуль. Эти свойства функции h сохраняются, если мы пронормируем ее, потребовав, чтобы ее L\(G, 2, р)-норма |A|i равнялась 1. Функция к', определенная соотношением h' (s) = = Vh(s) |-/г(s-1)l/2, обладает всеми перечисленными свойствами функции/г и, кроме того, свойством h' (s) = h' (s-1). Итак, мы можем предположить, что h(s) = h(s~1). Далее, С(О)-норма функции k — Thk выражается формулой

Заменяя t на is, получаем

I k—Thk | = sup Ц Л (Г1) {A (s) - k (ts)} р (dt) I < see I J।

< sup h (Z-1) | к (s) — к (/s)| p (dt) <

s£G J

<I U(Г1)P ^t) = ^h(t)^(dt) = 41 h It = f .

UU

Согласно первой части теоремы, существует такая линейная комбинация g непрерывных конечномерных функций, что

Так как

\Thk — T^gl-supl ^ h(st-1)(k(t) — g(t))y,(dt)\<_

^sup | /l^/p^O}172^ —g^l^M^ —gb^y ’

to \k — Thg\^E,. Таким образом, для завершения доказательства достаточно показать, что функция Thg является линейной комбинацией конечномерных непрерывных функций и потому сама конечномерна. Мы уже отмечали, что функция Thg непрерывна, поэтому осталось показать только, что она конечномерна, если конечномерна функция g.

Так как

(Thg) (8) = J h (st"1) g (t) p (dt),G

то, заменяя s на su и t на tu, получаем

(Thg) (su) = ^ h (st-^g^u) p (dt);G

это означает, что (Thg)u — Th(gu). Далее, если gui, ..., gun образуют базис в пространстве сдвигов функции g, то для любого и п

из G сдвиг gu можно представить в виде 2 аг5"иЧ и потому i=l

(Thg)u=^alTh(gui)=^al(Thg)u4i= 1i= 1

Отсюда следует, что пространство сдвигов функции Thg конечномерно. Таким образом, Thg — конечномерная функция, ч. т. д.

В случае бикомпактной абелевой группы теорема 4 может быть до некоторой степени усилена.

Определение. Если G —абелева группа, то ее характером называется комилекспозначная функция х> определенная на G и такая, что х(е) 1 и х (s0 = x(s) X (0 для всех s, t из G.

Теорема. Пусть G — бикомпактная абелева группа, 2— а-алгебра се борелевских подмножеств, а р — мера Хаара на^. Тогда множество непрерывных характеровг) фундаментально как в C^Gy так и в L2(G, 2, р).

Доказательство. В силу теоремы 4 достаточно доказать, что каждая непрерывная конечномерная функция / является линейной комбинацией непрерывных характеров. Для каждого s^G определим на L2 оператор RH соотношением Rsg = gs. Поскольку группа G абелева, легко видеть, что {7?s | sgG} представляет собой коммутативное семейство унитарных операторов, определенных на Ц. По предположению, подпространство 5, порожденное сдвигами функции /, конечномерно и инвариантно относительно каждого из операторов Ra.

Пусть Д*|-/-{О} —подпространство в %*, инвариантное относительно каждого из операторов Rs и не содержащее меньших нетривиальных инвариантных подпространств. Покажем, что тогда подпространство Дч одномерно. Пусть s фиксировано, a X(s)— собственное значение оператора R^ рассматриваемого на пространстве 81. Пусть ^ = {^€8ii Rsh = k(s)h}; тогда, поскольку Rs^Rth) — k(s)(Rth), ясно, что § инвариантно относительно множества операторов VRtV а так как ^^{0}, то отсюда следует, что 5§~7$\- Это означает, что в ^ произвольный оператор Rs кратен единичному оператору, а именно Rs^X(s) 1^; поэтому размерность пространства ^ч должна быть равна 1, так как в противном случае в ^ имелись бы нетривиальные инвариантные подпространства. Поскольку операторы Rs унитарны, они оставляют инвариантным также подпространство * ЗЮ ^ь и мы можем, повторяя проведенные выше рассуждения, разложить 8

Если Х( • ) — непрерывный характер бикомпактной абелевой группы G, то |Х(^)| -1, s^G. Действительно, в этом случае % принадлежит L2(6, S, р) и является для любого s^G собственной функцией унитарного оператора сдвига Rs; g—> gs с собственным значением X(s), и потому | х (s)) = 1. Это обстоятельство используется, в частности, при доказательстве леммы 2.3.

в прямую сумму 51ф ... ф5п нетривиальных ортогональных одномерных инвариантных подпространств. Кроме того, на каждом из подпространств 5г каждый оператор Rs действует как умножение на скаляр X, (s), т. е.

Отсюда следует, что если ft Ф 0, то fz нигде не обращается в нуль, и потому, подставляя в предыдущее равенство вместо t единицу е группы G, мы видим, что функция Xt принадлежит 5; и потому непрерывна и что Xt^st^Xt^Xi^. Кроме того, полагая в том же равенстве еще и s^e, получаем, что Лг(е)=1. Таким образом, Хг (s) — непрерывный характер группы G. Поскольку ^i одномерно, оно состоит из скалярных кратных характера Xt. Итак, каждая функция из 5 (и, в частности, функция /) является конечной линейной комбинацией непрерывных характеров группы G, ч. т. д.

Почти периодические функции

Изложенная в предыдущем параграфе теория бикомпактных групп имеет интересное и важное приложение к изучению пространства АР почти периодических функций на вещественной прямой R=( — оо, оо). В настоящем параграфе эта теория будет применена для доказательства основного результата Г. Бора о почти периодических функциях. Ранее было показано (IV.7.6), что существует такое бикомпактное хаусдорфово пространство S, что АР изометрически *-изоморфно пространству С (S). В действительности R может быть вложено в S в качестве всюду плотного подмножества, причем таким образом, что каждая функция f из АР допускает единственное продолжение до функции ft из C(S). Это вытекает из следствия IV.6.19 и замечания, состоящего в том, что периодические (а значит, и почти периодические) функции различают точки из R. Кроме того, соответствие / <——> ^ является изометрическим и алгебраическим изоморфизмом между АР и C(S). Таким образом, АР можно рассматривать как семейство сужений всевозможных функций из C(S) на всюду плотное в S множество R.

Следующий шаг состоит в доказательстве того, что групповая структура множества R может быть продолжена по непрерывности на S таким образом, что S становится бикомпактной абелевой топологической группой. Чтобы доказать это, мы воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Пусть f^AP и е>0. Тогда найдутся такоечисло 6>0 и такое конечное множество функций h^ ..., hm из АР,

что если х^ х^ у^ Уг — какие-нибудь числа, для которых

[*] IM-K1) —м^2)|<6, |МУ1)~hi ^<6 при / — 1, ..., т, то

|/(^1 + У1) —/(Х2 + У2)|<8.

Доказательство. Пусть В — множество всех функций g вида gW = f(x-Hd, где — со <; и < со. Тогда В содержится в некотором бикомпактном подмножестве пространства АР (см. IV.7.2). Следовательно (1.6.15), в АР существует такое конечное множество функций hlt ..., Нт, что для каждой функции g из В найдется такая функция hi, что | g — hi | <е/8. Предположим, что соотношения [*] выполняются при 6 = е/4. Тогда для любой функции g из В имеем

18 (^i) — g (х2)| < 18 W — hi (х,)| +1 ht (хд — hi (х2)| +

-I-1 ht (x2) — g (x2)| <"8+"4"+s"="2"-

Аналогично |g'(z/i) — g'(«/2)|<e/2 для любой функции g' из В. Возьмем теперь в качестве g и g’ функции из В, определенные соотношениями

8W -f(x|-//2), 8* W = Ux-Vxd, x^R.

Так как g(x,) == f (xt |-//2) = g' (уд, то

I f (Х1 + уд - f (х2 + уд I I g' (уд - g* (уд I +

+ \8(лд-8<хд\<^+^ = б, что доказывает лемму.

Теорема. Прямая R может быть таким образом вложена в качестве всюду плотной подгруппы в бикомпактную абелеву топологическую группу S, что АР оказывается семейством сужений f\R на R всевозможных функций f из C(S). При этом отображение f—>f\R является изометрическим *-изомор- физмом С (S) на АР. Группа S называется боровским бикомпактным расширением вещественной прямой.

Доказательство. Справедливость всех утверждений этой теоремы, за исключением того, что S является абелевой типологической группой относительно операции, совпадающей на R со сложением, уже была установлена. Пусть st и s2 —точки из S; определим Si@s2. Обозначим через ^ совокупность всех окрестностей точки sb а через ^ — совокупность всех окрест-

ностей точки s2. Положим для UiCUi, Z = l, 2,

W (Ui, U^ = (^ЛАЯШ^АЯ),

где сумма берется в R, а замыкание в S. Если У^бЩ, то W ((A, U2^ A W (l^, V2) г W (Ui A Vb U2 A V2), и потому семейство множеств W = {№ (Ub U^ | Ui £ % J является центрированным, т. е. обладает тем свойством, что любое конечное число входящих в него множеств имеет непустое пересечение. Поскольку S бикомпактно, множество Т (si, s2) = А ^ не пусто. Покажем, что Т (si, s2) содержит только одну точку, которую мы и обозначим Si © s2.

Допустим, что Т (si, s2) содержит две различные точки Zb t2. По теореме Урысона (1.5.2) в С (S) найдется такая неотрицательная функция f, что f(ti) — l, /(/2) = 0. Применяя лемму 1 к сужению функции f на R, заключаем, что найдутся такие функции hi, ..., hm из АР и такое число 6>0, что если для каких-нибудь четырех вещественнььх чисел Xi, х2, ух, у2 при Z = 1, ..., m выполняются неравенства | hi (xt) — hi (х2) | С 6 и | hi (yi) — hi (у2) | < 6, то |f(xi + z/i) — /(я2 + у2)|< 1/2. Каждая из функций hi имеет единственное непрерывное продолжение на пространство S; мы обозначим это продолжение той же самой буквой hi. Следовательно, найдутся такие окрестности Ui и U2 точек Si и s2 соответственно, что | ht (s^ — hi (s) | < 6/2 для каждого s из Ut и I hi (s2) — ht (s) | < 6/2 для каждого s из U2 (Z = l, ..., m). Выберем Xi, x2 в Ut(\R, a yY, у2 — в U2[\R. Тогда \hi(Xi) — — hi(x2)\<.b и \hi (y^ —-hi (y2) | <6 при Z = l, ..., tn, откуда получаем, что | / (а^ + у^ — / (х2 + у2) | < 1/2. Это показывает, что если и^ и2 принадлежат множеству (Ui A R) + (U2 A R), то | f (и^ — — f (^2) I < 1/2. В силу непрерывности / мы можем утверждать, что если и^ и2 лежат в W (U{, U2), то | / (и^ — f (ц2) |< 1/2. Так как U, t2 принадлежат W (Ui, [72) при любом выборе Ui и U2, то

что невозмо жно. Полученное противоречие доказывает, что Т (si, s2) состо ит в точности из одной точки, которую мы обозначим Si©S2.

Ясно, что если Si и s2 принадлежат R, то s1©s2 = s1 + s2, так что операция © представляет собой распространение операции сложения с R на все S. Для того чтобы доказать, что операция © непрерывна на S х S, рассмотрим какую-нибудь окрестность V точки Si@s2. Если для любых Ui из ^i и U2 из ^2 множество W(Ui,U2) пересекается с дополнением V' окрестности V, то семейство множеств {Е' A W (U^ U2) j Ut Q ^i} является

центрированным и поэтому имеет непустое пересечение, т. е. V' П Т (sb s2) = V' П ( П W) 0. Выше мы видели, что Т (st, s2) содержит лишь единственную точку S!@s2, и потому сделанное предположение приводит к противоречию. Таким образом, найдутся такие окрестности U^^i, что W^U^ U^^V. Если теперь Ut £Ub i = 1, 2, то

{r/j © ц2} = Т (ц1, ц2) ^ W (U1, Я2);

следовательно, u1@u2^V. Этим доказана непрерывность операции ©. Отсюда, из того что R всюду плотно в S и что операция © совпадает на R с обычным сложением, мы немедленно заключаем, что s@0 = s, Si©s2 = s2©Si и si@(s2@s3) = = (Si © s2) © s3.

Осталось показать, что для каждого s из S в S существует обратный относительно операции © элемент. Рассмотрим отображение Я: АР—>АР, определенное соотношением (Я&) (х) = = §■( —a), x^R. Ясно, что Я является алгебраическим изоморфизмом АР на себя, перестановочным с операцией перехода к комплексно сопряженной функции, т. е. H(g) = Hg, g^AP. Так как АР эквивалентно C(S), то отображение Я можно рассматривать как оператор на C(S). По теореме IV.6.26 существует такой гомеоморфизм h пространства S на себя, что (Я/)(5)^ ^f^h^s)^ f£C(S), s^S. В частности, если s^R, то Л (s) = — s, так что s(©/z(s) = O для всех s, принадлежащих всюду плотному в S множеству R, а потому и для всех s из S. Следовательно, h (s) является обратным к элементу s, и S представляет собой топологическую группу, ч. т. д.

Лемма. Непрерывные характеры бикомпактной абелевой группы S представляют собой продолжения на S функций вида е^, x^R, где X —произвольное вещественное число.

Доказательство. Заметим прежде всего, что если функция х имеет вид xW — e^Xxi x£R, то, поскольку она периодична, она, a fortiori, является почти периодической и допускает непрерывное продолжение Xi на S. Кроме того, так как Х^ + у)^ = Х(х)х(//) и х(0) =1 для всех а, у ^R, то эти тождества имеют место и для продолжения Хь итак, Xi является непрерывным характером группы S.

Обратно, если Xi — непрерывный характер группы S, то обозначим через х его сужение на R. Тогда х (Ф = К Х(х + у)" = Х(Я)Х(У), IxWI^K1) х, y^R, и функция х непрерывна на R.

!) См. сноску на стр. 100.—Прим, перев.

Пусть число а ■> 0 таково, что | X (х) — 1 | < 1 при | х | ^С а, и пусть ^а) = е^, |9|<л/3. Так как X (а) = [X (^Z^)]2, то х (а/2) = ^г6/2, и по индукции х (а/2п) = е^/^. Отсюда следует, что если г = 2’nm, где т и п — целые числа, то х^) — ^6^ По непрерывности это соотношение справедливо для всех вещественных чисел г. Полагая Х = 9/а, имеем xW = ^ X£R^ как и утверждалось.

Имея в своем распоряжении эти предварительные результаты, мы в состоянии теперь доказать основную теорему относительно почти периодических функций на прямой.

Теорема (Г. Бор). Непрерывная функция на прямой R( — co, со) тогда и только тогда является почти периодической, когда она может быть равномерно аппроксимирована конечными линейными комбинациями функций, принадлежащих семейству {eax|XgJ?}.

Доказательство. Так как АР является В-пространством (IV.7.5), то ясно, что семейство функций, принадлежащих замкнутому линейному многообразию, порожденному периодическими функциями, содержится в АР. С другой стороны, было показано (теорема 2), что АР изометрически изоморфно пространству С (S), где S — бикомпактная абелева группа, а также (лемма 3), что непрерывные характеры группы S имеют вид eiKx. По теореме 1.6 множество непрерывных характеров фундаментально в C(S); следовательно, их сужения на R образуют фундаментальное множество в пространстве АР, ч. т. д.

Из существования изометрического изоморфизма между пространствами АР и С (S) и из теоремы Рисса о представлении линейных функционалов (IV.6.3) мы можем вывести следующий результат.

Теорема. Пространство АР* изометрически изоморфно пространству rca (S) всех регулярных счетно аддитивных мер, определенных на борелевских подмножествах боровского бикомпактного расширения S вещественной прямой R. Изоморфизм х* ~> Н € rca (S) задается формулой

x*f=\fi(s)^l{ds), f^AP,s

где fi —однозначно определенное продолжение на пространство S функции f из АР.

Алгебры со сверткой

В гл. IX мы видели, что некоторые функциональные пространства являются В-алгебрами относительно поточечного умножения; таким образом, теория таких алгебр может быть непосредственно

применена к этим пространствам. Однако если L^ обозначает пространство функций на вещественной прямой ( —оо, со), интегрируемых по Лебегу, то Lv не является В-алгеброй относительно поточечного умножения. Имеет место важная и полезная теорема, состоящая в том, что в пространстве Li можно определить умножение так, что после присоединения единицы Lv станет В-алгеброй, к которой применимы результаты гл. IX. В качестве «произведения» двух функций f и g из Li мы возьмем их свертку f*g< задав ее соотношением

(feg)W = $ Kx — y^g^dy, — со<х<со.

Мы увидим, что изучение алгебры L^ со сверткой в качестве умножения тесно связано с преобразованием Фурье.

Вместо того чтобы ограничить наше рассмотрение случаем аддитивной группы вещественных чисел, мы изучим общий случай локально бикомпактной абелевой группы, которую обозначим R. Будем предполагать, что группа R является а-бикомпакт- ной, т. г. представляет собой объединение счетного числа бикомпактных множеств. Для каждой такой группы существует неотрицательная счетно аддитивная мера, которая определена на а-алгебре борелевских множеств 2, конечна на бикомпактных множествах, положительна или бесконечна па открытых множествах, инвариантна относительно сдвигов, т. с. Л^Ч-В) — М^) для Е из 2 и х из R, и обладает свойством регулярности: sup X (F) = X (Е) = inf X (6) для Е из 2, где F пробегает всевозможные замкнутые подмножества множества Е, а 6—-всевозможные открытые множества, содержащие Е. Такая мера единственна с точностью до положительного множителя и называется мерой Хаара. В случае 7? = ( — оо, оо) мера Хаара (после перенормировки, если она необходима) совпадает с мерой Лебега; для бикомпактной группы существование и единственность меры Хаара были доказаны в теореме 1.1. Читатель, не знакомый с мерой Хаара, может обратиться за справкой к примечаниям, помещенным в § 11 под заголовком Алгебры со сверткой. Он может также при первом чтении считать, что R—-аддитивная группа вещественных чисел. Однако читатель, который хорошо знаком с теорией меры Хаара, естественно, заметит, что приведенные ниже доказательства без изменения применимы в общем случае локально бикомпактной о-бикомпактной абелевой группы. Мы обращаем внимание такого читателя на то, что, начиная с доказательства леммы 3 и всюду далее в этом параграфе, мы считаем, что группа R не дискретна. Дискретный случай

может быть без всякого труда изучен отдельно; некоторые замечания на этот счет имеются в примечаниях.

Итак, мы изучаем недискретную локально бикомпактную и сг-бикомпактную абелеву группу R; при этом мы пользуемся элементарными свойствами ее меры Хаара, хорошо известными в случае меры Лебега на прямой. Если интегрирование производится по мере Хаара, что имеет место в большинстве случаев, мы пишем dx вместо X(dx). Пространство LP(R, 2, Z) будем обозначать через LP(R).

Начнем изложение с формулировки и доказательства некоторых основных свойств свертки.

Лемма, (а) Функция f (х —у) является (Хх X)-измеримой, если Х-измерима функция f.

При f, g^L^R) функция f(x — y)g(y) интегрируема по у для почти всех х, а свертка f*g, определенная формулой

4»g) W = 5 Цх-УШУ^у,R

принадлежит Ц (R) и удовлетворяет неравенству

Линейное пространство L^ (R) со сверткой в качестве умножения является коммутативной и ассоциативной алгеброй.

Для f^L^R) и g^U^R) свертка ^ f (х — у) g (у) dy

R

существует для почти всех х и принадлежит L2(R), причем | f * g |2 < | f |i I g ,2- Произведение f *g линейно no каждому из сомножителей и удовлетворяет равенству h*(f * g) = (h*f)* g для h, f из Li(R) и g из L2(R). Если f^Li(R), то гильбертовым сопряженным оператором к ограниченному линейному оператору g—>f*g в L2(R) является оператор g—>f*g, где Цх) = = Н-х). .

Если f^Lt(R) и g^Loo(R), то интеграл, задающий свертку f*g, существует для всех х и определяет функцию из C(R) с нормой, не превосходящей |f|i|g|oo.

Если функции fug принадлежат L2(R), то интеграл, представляющий их свертку, существует для всех х и определяет функцию из С (R) с нормой, не превосходящей |f|2|g|2.

Если f^Lp, !<:/?<; со, и если функция fy определена соотношением fy(x) = f(x — y), x£R, то отображение y—>fy группы R в пространство LP(R) непрерывно.

Доказательство. Утверждение (а) было доказано в лемме VIII.1.24 для случая, когда R — аддитивная группа вещественных чисел. Общий случай будет рассмотрен в примечаниях в конце главы.

Поскольку подинтегральное выражение в интеграле, определяющем свертку, измеримо, мы, применяя теорему Тонелли (III. 11.14), видим, что

$ I/ (x-y)g(y)|d(xxy) =

RXR

RR\ Is (Z/) I { 5 l^X-^ ldx} ^^ I^M^Ib

R

R

R

таким образом, функция /(х — у) g (у) является (Л х ^-интегрируемой. Тогда первое утверждение пункта (Ь) следует из теоремы Фубини (III. 11.9). Остальные утверждения этого пункта доказываются при помощи простой замены переменных; это доказательство мы здесь опустим, так как оно встречалось уже раньше (см. лемму VIII.1.25).

Докажем (I). Если 1<^р<оо, то из следствия III.3.8 и регулярности меры X вытекает, что множество непрерывных финитных функций (т. е. таких, которые обращаются в нуль вне некоторого бикомпактного множества) плотно в LP(R). Пусть f£Lp(R), и пусть к — такая непрерывная финитная функция, что |/ — к\р<л. Так как функция к равномерно непрерывна, то | кг — ку |р < е> если точка 2 достаточно близка к у. Следовательно,

I /z fy |р ^ | fz kz |p +1 kx ky \p +1 ky fy |p < 3e,

что и требовалось.

Утверждение (d) легко вывести из (f). В самом деле, поскольку y—> fu является непрерывным отображением R в L^R), интеграл f (х - • у) g (у) dy при g £ Lx. (R) представляет собой непрерывную функцию ОТ X 1) и

| j /(^ —y)S(y)dy|c|/|i|g|=.

Пункт (е) доказывается аналогично.

т) Нужно воспользоваться вытекающей из предыдущего непрерывностью, отображения х -> /^ = /(х--у).—-Прим, перев.

Чтобы доказать (с), допустим, что f^L^R) и g, h£L2(R). Из (е) вытекает, что интеграл

J k(x — y)h(x)\dx

R

является непрерывной функцией от у и ограничен величиной I g* I2 i ^ (2- Следовательно, по теореме Тонелли

^ \f(.y')g(.x—y')h(x')\d(xxy') =

RxR

т. е. двойной интеграл, стоящий в левой части, конечен. Тогда в силу теоремы Фубини

\4*g* /i)l = | 5 { $ Цх-УШУ^у\ h(x)dx\ =

R R

22= | 5 {$ Hy)g(x-y)dy^Hx)dx\<\fV\g\2\h\

2

2

R R

для всех h из L2(R). Этим доказано, что f*g принадлежит L2(R) и что |/*g|2^l/lil^l2- Второе предложение пункта (с) следует из соответствующего утверждения пункта (Ь) и того факта, что Li (R) П L^R) всюду плотно в L2(R). Доказательство последнего утверждения пункта (с) сводится к проверке того, что (/*g, h) = = (g, 7* h), т. e.

S {5 ^X~ti^S^dy^ h(x)dx = ^g(y) { ^ Ду—x)ft(x)dx| dy. RRRR

Но это равенство следует из теоремы Фубини, утверждающей, что оба выписанных выше интеграла совпадают с двойным интегралом

5 Цх~-у) g(y)MX)d(x х у), RXR

в существовании которого мы уже убедились. Лемма доказана.

Из пунктов (Ь) и (е) леммы 1 вытекает следующее утверждение.

Следствие. Линейное пространство Li(R) со сверткой в качестве умножения удовлетворяет всем аксиомам коммутативной В-алгебры, за исключением, быть может, одной, посту-

лирующей существование единицы. Кроме того, унарное отображение f—*f алгебры Li(R) в себя является инволюцией, т. е.

(7+5)=/+?,(7+5)=/+?,(а/) = аД(а/) = аД(7?) = £7,7=Л(7?) = £7,7=Л

(7+5)=/+?,

(7+5)=/+?,

(а/) = аД

(а/) = аД

(7?) = £7,7=Л

(7?) = £7,7=Л

В дальнейшем мы присоединим к алгебре Lx (R) единицу, превратив ее, таким образом, в коммутативную S-алгебру. Предыдущее следствие показывает, что расширенная алгебра Li(l?) является коммутативной В-алгеброй с инволюцией. Однако она не является 6*-алгеброй, поскольку равенство |7*/| = |/|2 не выполняется.

Лемма. Пусть для f^L^R) оператор Т (/), действующий в L2(R), определен равенством

T<hg=f*g» gEUkRY

Тогда отображение f—>T(f) представляет собой непрерывный изоморфизм алгебры Li (R) на некоторую коммутативную алгебру ЭДо операторов в гильбертовом пространстве L2(R), причем

Т(/)* = Г(/), IT^KI/I,.

Кроме того, замыкание алгебры Ио в равномерной операторной топологии не содержит единичного оператора.

Доказательство. Сравнение этого предложения с леммой 1 (с) показывает, что достаточно доказать лишь последнее утверждение и тот факт, что T(J) = 0 влечет / = 0.

В следующем ниже доказательстве впервые используется подразумеваемое, но не высказанное явно в формулировке леммы предположение о том, что группа R не дискретна. Допустим сначала, что замыкание алгебры Ио в равномерной операторной топологии содержит единичный оператор, так что в L^ (R) существует такая функция /, что | / * g — g |2< (1/2) | g |2 для всех g из L2(R). Поскольку Ц (R) П Loo (R) всюду плотно в Li(R), мы можем, без ограничения общности, предположить, что / принадлежит Li (R) Q Loo^R). Так как мера одноточечного множества {0} равна нулю, то из регулярности меры X и того факта, что мера всякого открытого множества положительна, вытекает, что в R найдутся такие окрестности Un, п = 1, 2, ..., точки 0, что 0 X (Un) < 1 /п2. Положим gn (х) = (X ^п))-1/2 при х £ Un и gn (х) = = 0 в остальных точках. Тогда функция gH принадлежит

Li(/?)H^W, причем |gn|2=l, l^nkCl/n- Следовательно, ^>\gn — f*gn\l = J \gnW-4*gn)(x)\2dx>

R

> [\gn(x) — (f*gn)(x)\2dx> Un

> inf {|gn(*)~ (/*ga) W|2}M^)-

По лемме 1 (d) | (/*gn) (x) |< | /I» n'1 для любого x из R, и потому из предыдущей цепочки неравенств мы заключаем, что

т> №Г1Ч1Н"?Ш

Поскольку правая часть стремится к 1, получаем противоречие. Таким образом, замыкание алгебры Яо в равномерной операторной топологии не содержит единичного оператора.

Допустим, что Т(/) = 0 для некоторой функции / из L^kRY так что для каждой функции g из Л2(/?) имеем (/*g)(x) = 6 для почти всех х. Пусть h — какая-нибудь функция из LxARY обращающаяся в 0 вне некоторого бикомпактного множества С; тогда h принадлежит АД/?) f) L^kRY Так как h^L^kRY то (f*h)kx) = = 0 почти всюду, а поскольку h^LookRY из леммы 1 (d) вытекает, что функция f*h непрерывна. Следовательно,

0 = (/*А)(0)= § fk-yWyWс

Далее, функция й, определенная соотношениями hky)^O, У^С, и h ky) = I/ к"У) \kfk — yY"x. У 6 С, принадлежит, очевидно^ Loo kRY Приведенное выше рассуждение позволяет нам заключить, что

| fkx) | dx = 0с

для любого бикомпактного множества С; итак, | /14 = 0. Это доказывает, >что отображение f—>Tkh взаимно однозначно, ч. т. д.

Сейчас мы введем некоторые определения и обозначения, которые будут играть важную роль на протяжении оставшейся части этого параграфа. Поскольку многие из последующих результатов будут сформулированы в терминах, введенных в следующем абзаце, читатель должен изучить его особенно тщательно

В оставшейся части данного параграфа Я будет обозначать В*-алгебру операторов Я0©{а/}, где / — тождественный оператор

в гильбертовом пространстве L2(RY а й0 — замыкание алгебры й0 в равномерной операторной топологии. Буквой оМ обозначим пространство максимальных идеалов алгебры й, а т: й—>С(а^) будет обозначать изометрический изоморфизм алгебры й на СИ), существование которого утверждается в следствии IX.3.8. Для / из L\ (R) мы обычно пишем т/ вместо т(Т/). Буква Е будет обозначать спектральную меру, определенную на борелевских подмножествах пространства о<, отвечающую в силу теоремы Х.2.1 изоморфизму т. Таким образом, для / из ^(7?) и g из С2(^) имеем

f*g =

м

Так как А (/) = 1 для каждого (комплекснозначного) нетривиального мультипликативного линейного функционала А и так как всякий такой функционал, согласно IX.2.3, непрерывен, то любой мультипликативный линейный функционал на й полностью определяется своим сужением на й0. Таким образом, в о< существует единственная точка роо, для которой (т/)(роо) = 0 при всех / из Lx (R)\ эта точка роо соответствует мультипликативному линейному функционалу А, определенному соотношениями А(/) = 0 при /6Йо и А (/)—!. Для любой другой точки р из о/Х в Ц^ найдется такая функция /, что (т/)(р)=#0. Точку роо мы впредь будем называть бесконечно удаленной точкой пространства (JL Для удобства положим еще -#^ - 7/ — ^PooY

Лемма. В обозначениях, введенных выше, мы имеем Е ({роо}) = 0.

Доказательство. Пусть g = E ({роо}) g, так что для борелев- ского множества 6, не содержащего точки роо, мы имеем £(6)^ = 0 и, таким образом, для / из Li (R)

[•g--=\^bWE№g = $ (V)(m)£(dm)g.

Так как (т/) (p.„) = 0 для всех / из Lj (£), то f*g = O для любой функции / из L^RY Если / принадлежит Lt (R) П L2(RY то функция f*g непрерывна (см. лемму 1 (е)), так что

О.^»ё^Ц Ц-уШуШ ret^R^^RYR

Так как L^ (7?) П С2(7?) всюду плотно в L^^RY то (g, А) = 0 для всех А из L^RY Таким образом, g=0, ч. т. д.

Лемма. Если е —такое борелевское подмножество пространства М, что е не содержит роо, то оператор Е^ огра-

ничей не только как отображение L^R) в L2(R), но и как отображение L2(R) в C(R),

Доказательство. Поскольку Li (R) f) U (R) является всюду плотным линейным подпространством в L^R), для каждой точки р из е можно выбрать в Lx (R) П Ц (R) такую функцию f, что (т/)(р) = 2. Так как по лемме 1 функция /*/ принадлежит L^R^L^R) и

^•Wiw^Tu.hHm)-

^(Tuminw- I (V) (m) |2,

то можно считать, что функция т/ неотрицательна на е^. Так как (т/) (р)*2< то найдется такая окрестность N (р) точки р, что (т/)(т)>1 для всех т из N (р). Поскольку множество е бикомпактно, существует конечный набор таких окрестностей V(pt), .... N (рц), покрывающий е, причем соответствующие функции /1, ..., /п обладают тем свойством, что для их суммы g = Д + ... ■ |- fn при всех т из е# справедливо неравенство (tg)(m)>l. Таким образом, (rg) (т)-1<1 на ^, и отсюда в силу теоремы Х.1.1 следует, что оператор

Р = § (xg) (т)"1 Е (dm),

действующий в L^R), ограничен, причем T(g)P = E(e). По лемме, 1(e) Т (g) является ограниченным оператором из L2(R) в C(R), а потому таким же является и оператор Е (е), ч. т. д.

Ввиду леммы 5 ясно, что для каждого функционала х* из C(R)* и каждого борелевского подмножества в пространства еМ, замыкание которого не содержит точки р», скаляр х*Е (е) g линейно и непрерывно зависит от функции g из L2(R). Тогда, согласно теореме IV.4.5, каждый функционал х* из С (R)* единственным образом определяет в L2(R) такую функцию h, что х*Е (е) g = (g, h) для всех g из L^RY Это замечание в применении к функционалу д из С (R)*, заданному равенством

6f=HO), feC(RY

мы используем в следующей лемме.

Лемма. Существует единственная неотрицательная регулярная мера р, определенная на семействе ^ всех борелевских подмножеств пространства &<0 и обладающая следующими свойствами:

р конечна на бикомпактных множествах;

Я Заказ № 134

если р(е)<оо, то е содержится в счетном объединении бикомпактных множеств из оМ^\

р положительна на непустых открытых множествах;

для всякого борелевского множества е, для которого Роо^е, справедливо равенство р (е) — 1 гр (е)р, где ^ (е) — функция из L2(R), однозначно определяемая соотношением,

6E(e)g = (g, ^(е)), gEL2(R);

через 8 здесь обозначен функционал из С (R)*, заданный формулой 6/= / (0).

Доказательство. Пусть ^0 состоит из всех таких множеств е из ^, для которых роо^е. В замечании, предшествовавшем формулировке леммы 6, было указано, что для всякого е из в L2(R) существует единственная функция ф(а), удовлетворяющая соотношению 8E(e)g=(g, гр (a)), g£L2(R). Пусть функция множества р0 определена на ^0 равенством р0 (а) = | гр (а) |а. Сначала мы покажем, что функция р0 счетно аддитивна на ^0, а затем установим, что она допускает продолжение на ^, обладающее нужными свойствами.

Если е^ е2 принадлежат ^0> то, поскольку оператор Е (а2) самосопряжен (Х.2.1), для всех g из L2(j?) мы имеем

(g, E(e2)^(el)) = (E(e2) g, Ф(еО) == 6Е (е^ Е (е2) g = §Е ^ П 62) g = (g, ф (6i П е2)).

Следовательно, Е (е2) ip (ej = ф (et р е2); таким образом, Е (е2) ф (е2) = = ф(е2), и если ev и е2 не пересекаются, то Е (е2) ф (ej = 0, т. е. тогда функции ip (ej и ф (е2) ортогональны, и

Ф (611) б2) = Е (et (J е2) ip (^ U е2) =

= [Е (в1) -г Е (б2)] ф (ei (J е2) =

= Е (еО 1р (б! U б2) + Е (е2) ip (ej U е2) = = ip(ei) + ip(e2),

так что векторнозначная функция 1р (•) аддитивна на ^0. Поэтому если eY?\e2= 0, то функция множества р0 удовлетворяет соотношениям

Но (61 и б2) = (Ф (61 и б2), Ф (61 и e2Y =

= (Ф (61) + ф (б2), ф (ei) + ф (е2)) =

= (Ф(в1), Ф(б1)) + (ф(е2), ф(б2)) =

= Но (е1) + Но (ег),

т. е. ро аддитивна на ^0.

Чтобы убедиться в том, что функция множества [л0 счетно аддитивна на ^0> допустим, что е^ п > 1, — непересекающиеся множества из ^0> объединение которых е также принадлежит ^0- Пусть rn = еп U ^+i U •• -1 так что Е (rn) g —> 0 для любой функции g из L2 (R), и, согласно лемме 5,

(5, Ф (rn)) = 6E(e)E(rn)g-+0.

Это рассуждение показывает, что векторнозначная аддитивная функция множества ф слабо счетно аддитивна на с-алгебре, состоящей из всех борелевских подмножеств множества е. В силу теоремы Петтиса (IV. 10.1) она счетно аддитивна в сильной топологии, т. е. I Ф (^п) |2 = Цо (^) —>0; этим доказано, что функция множества р0 счетно аддитивна на So.

Теперь мы продолжим ц0 до счетно аддитивной функции множества ц, определенной на всем Ж. Пусть е — множество из %. Если е содержится в объединении возрастающей последовательности ^е^ множеств из 99^ то положим

[*]p(e) = limp0(een),

п

а в противном случае пусть р,(е) — со. Так как функция р0 неотрицательна, то последовательность {р0(^п)} не убывает, так что предел (быть может, бесконечный), определяющий ^i(e), существует. Чтобы убедиться, что он зависит лишь от множества 5, а нс от выбора последовательности ^еп^ предположим, что {бгп} —другая возрастающая последовательность множеств из ^0? объединение которой содержит е. Пусть bn = enftan. Очевидно, достаточно показать, что lim р0 (ebn) = Игл р0 (ееп). Поскольку еЬЛ^ееП1 то |-1о(<?М>1М^п), так что для того чтобы доказать единственность предела, достаточно показать, что если Цо(^п)>& для некоторого гц то для любого е>0 найдется такое т, что р0(^т) > к — е. Так как U еет = е, то {еетЬп, т> 1} представляет собой возрастающую последовательность множеств с объединением еЬЛ. Поскольку функция р0 счетно аддитивна на ^0, то ро(б67г) = Ншро(^тМ> к, так что для некоторого т т

справедливы неравенства р0 (eem) > р0 (eemZ?n) > к — е. Это показывает, что наше определение р на $ корректно.

Докажем теперь счетную аддитивность функции р. Пусть {«„}— последовательность непересекающихся множеств из ®. Ясно, что р ( U «п) > Р («п), так что если р (а„) = со для какого- нибудь п, то справедливость равенства р (U йл) = 2 р («») тривиальна. Поэтому мы можем считать, что р (й„) <со для всех п. Следовательно, существует такое счетное семейство возрастающих последовательностей {enm} множеств из ^0, что an s U еит. m=i

Полагая ед = U етл, получаем такую возрастающую последо- m+n^

вательность {а*} множеств из ^0, что а = U^^ll^. Так как последовательность положительных чисел р0 (апел) с ростом к стремится, возрастая, к пределу р(ап), то (см. III.6.17) Нт У РоОМа)— У р(Оп). Таким образом, поскольку р0 счетно к п*1п=*1

аддитивна на ,#0, имеем

p(a) = limp0(aeft) = lim У Ро^а)» У р(а„).кк п=1п=1

Этим установлена счетная аддитивность функции р.

Теперь докажем, что мера р регулярна. Допустим, что е^^, р(е)<оо и (еп) —такая последовательность непересекающихся множеств из .^0, что е-= U5». Пусть задано е>0, и пусть N “~ n

столь велико, что У р(а»)<е/2. Положим е = и^п. Тогда е w+t~1

принадлежит .#0> так что ф(е) имеет смысл. Поскольку в силу Х.2.1 мера |Е(-)ф(е)|2 = (Е(-)ф(е), ф(е)) для фиксированного а регулярна, мы можем найти в е такое замкнутое, а следовательно, и бикомпактное подмножество d, что

|Е№ф(7)|2-|-|>|Е(7)ф(7)|2.

Как уже было отмечено, Е (е2) Ф (ei) — Ф (ei П с^ так что р0 (d) = = |ф(d)|2 = |E(d)ф(e)|2 и р0(ё) = |ф(ё)|2 = |Е(е)ф(?)|2. Таким образом,

р (d) + е > р (7) 4- у > р (е).

С другой стороны, поскольку еЖ бикомпактно, а значит, и нормально, найдется такая последовательность (ип) открытых множеств из .^о, что ensv„. Так как мера |Е(-)ф(оп) |2 регулярна, то для каждого л найдется такое открытое множество wn, что vn = фп г еп и

IЕ (и*») ф (vn) |2 =•• IФ (wn) I2 = Ро (Wn) = р (ton) С р (еп) + ^г .

Таким образом, открытое множество w = (J wn содержит е, причем П—1

р(ty)<р(е) + 8. Следовательно, мера р регулярна.

Если К—бикомпактное подмножество множества о#0> то по определению р(Ю = Ро(К)<°°- Чтобы закончить доказательство, рассмотрим какое-нибудь непустое открытое подмноже-

ство и множества а^о- Поскольку и содержит такое непустое открытое подмножество о множества е#0> что р» $ о, мы можем с самого начала считать, что р«^и. Достаточно показать, что в L2(R) существует такая функция g, что (£(u)g)(0)#=0. Если это не так, то А(0)«=0 для каждой функции h из L^(R), для которой £(и)А«А, Тик как все операторы S из Я коммутируют с £(«), то (А'А) (()) — (), если h- E(u)h. Если, кроме того, / принадлежит Li (Я) Л А» (#)■ то.

О-|7’(Л^1 (») ЧТ*1'Н^ t f(tj)h(y)dy = (h, П-

Поскольку l-tU^DI-vAR) всюду плотно в La(R), мы заключаем, что А» 0, и, следовательно, Е(и); 0. Пусть теперь F —непрерывная функция на е^, обращающаяся в 0 на дополнении множества и, но не равная 0 тождественно, и пусть So~-t-1(F) — оператор из 91, отвечающий функции F при изометрическом изоморфизме т:91—»С(<^). По теореме X.2.1(111)

So= ^ F (т) Е (dm) = ^ F (т) Е (dm),allи

Если Е(и) = 0, то Е(а) = 0 для всех аги, так что So = O. Противоречие, так как отображение т взаимно однозначно.

Замечание. В процессе доказательства регулярности меры р было показано, что если е принадлежит $ и р(е)<оо, то для всякого е>0 найдутся такое открытое множество и и такое бикомпактное множество с, что сгеги и р (и — с) < е.

В оставшейся части данного параграфа и в следующем параграфе буква р будет обозначать меру, существование которой мы только что установили.

Лемма. Если f принадлежит Lt (R) [\La(R) и если е — борелевское подмножество в aU, замыкание которого не содержит точки рос, то

(tf) (т) Р (dm) = 6 [£ (е) f] = (/, ф(е)),

е

где ^(е) —функция из LZ(R), определенная в лемме 6.

Доказательство. Будем вместо ф(е) писать просто ф. Тогда

(Л Ф)= § f(x)^(x)dx = f(x — 0) ф (х) dx =R- R

= $ 7'(0-x)ф(x)dx = (7♦Ф)(0) = 6(7»ф).

R

Поскольку оператор Т (/) свертки с 7 коммутирует с Е (е) и поскольку, как мы видели в доказательстве леммы 6, £ (е) 1р = хр, из определения ip следует, что

6 (7* ip) = б (£ (е) (7* Ф)) = (7* Ф, 1р).

Так как T(f) — T (/)*, то предыдущие вычисления показывают, что

б£(е)/ = (/, 1р) = б(7»1р) = (1р,7*^) = «

= (/*Ф» Ф) = ^ (V) (m) (£ (dm) ip, 1р). .<2#

С другой стороны, если а — борелевское подмножество в aft, то, как показано при доказательстве леммы 6, Е (a) ip (е) = ip (ае) и потому

(ip(ae), ip (е)) = (£ (a) ip, ip) = (£ (а)21р, ip) =

= (E (a) ip, £ (a) ip) = (ip (ae), ip (ae)) = p (ae). Следовательно,

J (V) (m) (£ (dm) ip, ip) = J (t/) (m) p (dm),.

'llв

что в сочетании с формулой (I) завершает доказательство.

Лемма. Если f принадлежит Lt(R) П^гС#), то

J I (V) Н I2 Р (dm) = $ I / to I2 dx.

Доказательство. Пусть е — борелевское подмножество в oftp с бикомпактным замыканием; тогда Е (е) (/*/) = £ (е) Т (f)f => — / *(Е (е) /). Применяя предыдущую лемму, получаем

Mf • E^ft МЕ(е^М)\ =

J (т (/ * Л) (m) р (dm) = J | (т/) (m) |2 р (dm).

Так как функция т/ непрерывна на dit и равна 0 в точке роо, то множество ап = {т 11 (т/) (m) | > I In} является борелевским подмножеством в о^0 с бикомпактным замыканием; кроме того, функция т/ обращается в 0 на дополнении к U^n- По лемме 4, Е(р1Ю)/ = 0, а так как мера |Е(^)/[2 регулярна, то существует такая возрастающая последовательность }Ьп} бикомпактных подмножеств в о^о» что Еф^1—>1 по норме пространства L2(RV

Полагая en = an\jbn, имеем

^ | (т/) (т) |2 p. (dm) = lim ^ | (т/) (т) |2 р (dm) =П~>ОО V

= Нт 6 [/ * Е (еп) Л = Нт 6 [Т (/) Е (еп) /]. П—>ооП->ОО

Так как, согласно лемме 1 (е), Т (/) представляет собой ограниченное отображение пространства L2(/?) в C^R^ то последнее выражение равно

б[Г(/)71 = б(/*7) = $ Цо-уШЖ^у-$ \rn\W RR

Это доказывает лемму.

Здесь мы остановимся, чтобы сделать обзор полученных результатов. Мы видели, что каждая функция / из Lt (R) порождает в гильбертовом пространстве L2(R) ограниченный линейный оператор, представляющий собой свертку с /. Привлекая к рассмотрению минимальную В*-алгебру 31 операторов, содержащую все указанные операторы свертывания, мы ввели бикомпактное топологическое пространство ^ максимальных идеалов алгебры 31, так что каждому элементу из 31 отвечает непрерывная функция на о/И. Отбросив бесконечно удаленную точку пространства о/И, мы получили локально бикомпактное пространство ^<0< Разложение единицы для алгебры 31 мы использовали для построения на классе 98 борелевских множеств пространства ©<0 счетно аддитивной регулярной меры р. Итак, каждой функции / из L^^R) соответствует некоторая непрерывная функция т/ на о^ обращающаяся в нуль на бесконечности, причем всегда |т/|оо = = I ^(/) 1^1 / |i- Однако если / принадлежит Lx (/?) Q L2 (R), то отображение т представляет собой изометрию в пространство £2(^0)- Далее будет показано, что отображение т единственным образом может быть продолжено до изометрического изоморфизма между L2(R) и L2(q^0) и что если множество е принадлежит ^, то применению к функции / из Ь2(Н) оператора проектирования Е (е) отвечает умножение соответствующей функции т/ из L2(q/#0) на характеристическую функцию множества е. Аналогично свертке в L^R) отвечает поточечное умножение в Л2И0).

Теорема, (а) (Планшерель.) Отображение f—>Tf, действующее из Li(R, 2, X^U^R, 2, Л) в U^^ $, р), допускает единственное продолжение до изометрии пространства L^R, 2, X) на пространство Ь2(М^ц).

(b) Если обозначить это продолжение тем же самым символом т, то тЕ (е) = ф (е) для каждого борелевского подмножества е пространства с^0, где 1ф (е)/] (т) = т/(т) при т^е и [ф(е)/1 (т) --0 при т^е. Таким образом, £ (е) = т-1ф (е) т.

Доказательство. Поскольку Lt (R) Q L2 (R) всюду плотно в L2(R), из предыдущей леммы и теоремы 1.6.17 немедленно следует, что т допускает единственное продолжение до изометрии пространства £2(7?) в £2(<^о)- Таким образом, установлена справедливость утверждения (а), за исключением того, что продолжение, которое мы также обозначим т, отображает £2(Р) на все пространство Ь2(®Й0).'

Докажем теперь утверждение (Ь). Напомним сначала, что если /Е£1(^), a g^MR)f\L2(R), то

■t(f»g)^-'thtg-

Поскольку т, рассматриваемое как отображение алгебры 91 вС(^),. непрерывно, мы заключаем, что r(Sg) = TS-Tg для S из 210 и g из Li (Z?) Q Дя (Л?). Но x(/g) rg Tl-Tg, и потому T(Sg) = rS-Tg для S из 91 и g из Lt(R)(\L2(R). Так как £1(£)П£г(£) всюду плотно в L2(R), а т является непрерывным отображением пространства L2(R) в £2(^о), то

тТ-Tg, Т^, g£U<RY

Если gt — какая-нибудь другая функция из L2(R), то

$ (тТ) (m) (Е (dm) g, gt) = (Tg, gt) =

==--WgY Tg,)= J (r (Tg)) (m) (xgv) (tn) p (dm) =

- - (tT) (m) (Tg) (m) (тЦЦт) p (dm) =

r- ^ (tT) (m) v (dm),T^,

где мы положили v(e)= ^ (Tg) (m)(Tgt) (m)v-(dm). Поскольку «-Poo

мера v абсолютно непрерывна относительно меры р, ее регулярность следует из регулярности р. Из полученного выше •равенства, регулярности меры (E(-)g, gx) и утверждения о единственности представляющей меры в теореме Рисса IV.6.2 еле-

дует, что

(5 ^ g, gi) = V (е)для любого борелевского множества е г (Mq. Используя ужедоказанную часть утверждения (а), получаем

(tE (е) g, rgi) = (Е (е) g, g^ = ^ (rg) (m) QtgO (m) p, (dm).e

Так как это равенство справедливо для любой функции gt из Л2(^), то x^E^g^m^xg^m) для почти всех относительно меры р точек т из е и т \Е (е) g) (m) = 0 для почти всех т из о^о — е* Если мы теперь покажем, что отображение т"1 определено всюду на с^о> то утверждение (Ь) будет доказано.

Итак, нам осталось доказать, что т отображает Л2(^) на все L^^o). Для этого достаточно показать, что tL2(7?) содержит характеристическую функцию любого множества, для которого конечна мера р; более того, как следует из замечания, сделанного после доказательства леммы 6, достаточно показать, что tL2(7?) содержит характеристическую функцию любого множества е из ^о- Как мы видели при доказательстве леммы 5Г в Lx (Я) Л А2 (/?) найдется такая функция g, что xg (р) > 1 > 0 для всех р из е. Пусть Q — такой ограниченный оператор из 91, что tQ совпадает с функцией из С(е<), обратной к функции xg на множестве е1). Из того, что уже было доказано, следует, что t(Qg) = xQ-xg, так что т (Qg) (р) = 1 для р из е. Из уже доказанной части утверждения (Ь) вытекает, что т[Е (e)Qg’] = <p(e) x^Qg^ так что х [Е (е) Qg] является характеристической функцией множества е, ч. т. д.

Следствие. Положим для каждой функции f из LX(R) и каждого борелевского подмножества а комплексной плоскости (xf)-1 (а) = {т £ о^о | xf (т) € aY и пусть М (а)—оператор умножения на характеристическую функцию множества (т/)-1 (а) в пространстве L^^oY Тогда спектральное разложение оператора свертки Т (f) в L2(R) может быть представлено в виде х-1М (•) т, а спектр оператора Т (/) совпадает с множеством значений функции xf. Комплексное число а принадлежит точечному спектру оператора Т (f) тогда и только тогда, когда р ((xf)-1 (а)) =# 0.

Доказательство. Первые два утверждения вытекают из предыдущей теоремы и следствий Х.2.10 и X.2.9 (III). Для дока-

х) Говоря точнее, функцию 1/rg, непрерывную на е, нужно продолжить до непрерывной функции на всем о< и взять оператор, соответствующий этому продолжению. — Прим, персе.

зательства утверждения, относящегося к точечному спектру, напомним, что если g принадлежит Г2(Я), то

tkhg^-thTg-

Если т/ (т) =• а для всех т из борелевского множества е s е<0, то g- t4x„ является собственной функцией оператора Г (f), соответствующей собственному значению а. Обратно, если f*g=--«g, то

(т/ — a)-rg = 0.

Так как но теореме 9 (а) отображение т изометрично, то из^^О следует, что Tg (m) =£ 0 на некотором множестве с положительной мерой |i, и потому на этом множестве t/(m)^a, ч. т. д.

В следующем разделе этого параграфа будет показано, что имеется взаимно однозначное соответствие между точками пространства о^о и непрерывными гомоморфизмами группы R в мультипликативную группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Множество всех таких гомоморфизмов образует абелеву группу. Так что пространство о<0 может быть естественным образом наделено структурой локально бикомпактной абелевой группы.

Доказательство следующей теоремы использует представление пространства L^(R) мк сопряженного к L^R). В случае когда мера Хаара X па R является а конечной, возможность такого представления следует из теоремы IV.8.5. Общий случай обсуждается в примечаниях, помещенных в конце настоящей главы1}

Теорема. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками т пространства оАЦ и непрерывными комплексными функциями hm на R, удовлетворяющими соотношениям \hm{x)\=\, hm^xJry") = hTn(xMtrn,y1 x,y£R. Это соответствие задается формулой ■

W \h„3xHWdx, U kRYW

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ГП — точка ИЗ c^ot ТО функция фщ, определенная равенством ф^(/) = (т/) (^mY f^L^R), представляет собой ненулевой линейный функционал на Li^R), удовлетворяющий тождеству ф™(/^^фпг^фт^). Так *ак |^|оо<|/|1, то норма функционала фщ нс превосходит 1, так что в силу тео-

!) Заметим, что из предположения о о-бикомпактности группы R, сделанного в начале данного параграфа, вытекает, что мера X является о-конечной. По поводу общего случая см. также замечание после доказательства теоремы IV.8.5.—Прим, перев.

ремы IV.8.5 в С», (R) найдется такая, в существенном единственная, функция йщ, ЧТО | Йт |« < 1 И

фт(/) * J Й,„ (х) f (X) йх.

По теореме Фубини для любой пары функций f, g из L^R} имеем $ (ffM^ hm^lb- l)WW = ^ {^W $ f(x~y)s(y)dy}dx = RRRR*

- Фт U • U) Wm (/) <pm (g) = J {g (y) J hm (x) йт (у) / (x) dx) ay.

R R

Из рйнспгтва крайних членов для всех g из L^R) заключаем, что

Г1^ hm(x) f (х — у) dx = Нт^ ^ hm (x)f(x)dx

RR

для почти всех у. При подходящем выборе функции / интеграл, стоящий в правой части равенства [*], отличен от нуля, а так как по лемме 1 (d) интеграл в левой части непрерывен, то hm почти всюду совпадает с непрерывной функцией. Изменяя функцию hm на множестве меры нуль, мы можем считать, что онд непрерывна. С помощью замены переменных в [*] получаем, что для всех / из L^R)

Нт (X + у) f (х) ах=^ hm (У) hm (х) / (х) dx, RR

откуда следует, что для любого у равенство hm (л: + у) = hm (у) hm (х) выполняется для почти всех х. Так как обе части последнего равенства непрерывны, то hm (х Д-у) = hm (х) hm^y) для всех х, y^R. Поскольку hm не обращается в нуль тождественно, из ^ш (^) ^т (б) —* ^тм (^) следует hm (б) — 1. Так как | /zт (оо -^ 1» то ]йт(х)К1 для всех х из R. Но | йт (х) hm ( — х) | = | hm (0) | = 1, так что |йт(х)| = 1 для всех x^R. Таким образом, описанная процедура сопоставляет каждой точке т из е<0 функцию hm) обладающую требуемыми свойствами. Очевидно, что функция йт определяется однозначно.

Мы закончим доказательство теоремы, показав, что если дана непрерывная функция Н, удовлетворяющая соотношениям | Н (х) | = 1 и Н (х + у) = Н (х) Н (у), то существует такая (очевидно, единственная) точка т из c/Zo, что (т/) (m) = ^ Н (х) f (х) dx R

для всех f из L^R). Пусть т0 — точка из е^0; воспользовавшись уже доказанным, найдем такую непрерывную на R функцию Но,

hm(y)hm(y)_ Wyllm)— WHm) '_ Wyllm)— WHm) '

hm(y)

hm(y)

_ Wyllm)

— WHm) '

_ Wyllm)

— WHm) '

что |Яой1=1» Но^х-\-у) —Н0(х>) Н0(у') и

(т/) (Ото) = ^HoW (х) dx, f^Lt (R). R

Положим Hi (x) = H (x) Ho (x) и определим отображение Ф равен

ством

(Ф/)(х) = Я!(х)/(х).

Тогда Ф можно рассматривать как сохраняющий норму линейный оператор как в L^R), так и в L^R). Так как Н^^ =

Н^ — х), то для всех / из Li(R^ и всех g из La(R') имеем {ФТ (/) Ф-1^} (х) = J Hi (х) / (х—у) Hi (y^g (у) dy = R

= J Я,(х—y)f(x—у)^(у)^у = {Т(Ф/)5}(х). R

Таким образом, ФТ(/)Ф-1=Т(Ф/), и, следовательно, ФТ(Li(R))Ф"1 s г Т (L> (R)). Так как Ф является унитарным отображением пространства La — L2(R) в себя, то А —»ФЛФ-1 есть сохраняющее норму отображение, действующее в пространстве ограниченных линейных операторов, переводящих L2(R) в себя. Из соображений непрерывности немедленно следует, что ФЭДФ-1 s Я. Таким образом, А — ^ФЛФ1 представляет собой сохраняющий норму изоморфизм алгебры 'Л на себя. Следовательно, отображение ф, определенное на С(«^) формулой ф/- т (Ф (т"1/) Ф-1), является изоморфизмом С (е^ на себя и сохраняет норму. Поскольку ФЛЛ,ф-1 = ФЛФ~1ФЛ1Ф~1, отображение ф в действительности является изоморфизмом алгебры С(с<) на себя и потому по теореме IV.6.26 имеет вид (ф/) (/и) = /(хщ), где % — некоторый гомеоморфизм &# на М. Положим m = x(m0).

Как мы видели выше, ФТ (/) Ф-1 = Т (Ф/) для / из L^R), так что для таких /

(V) (//г) = (фт/) (щ0) = (хТ (Ф/)) (щ0) = (тФ/) (^о) = ^ Яо (х) (Ф/) (х) dx = R

— Но (х) Hi (х) f(x)dx= \ Н (х) f (х) dx. ВR

Следствие. Функцию hm из теоремы И, соответствующую точке т^.о^о, можно получить по формуле

где f—какая-нибудь функция из L^R^ для которой (xf^ni) =#0, a fу —функция из LV(R), определенная равенством fy^ = =f<x—y^ x^R.

Доказательство. Это утверждение в точности представляет собой содержание формулы [*] из первой части доказательства теоремы 11.

Несколько следующих ниже предложений описывают топологию пространства о<о непосредственно в терминах функций hm, введенных в теореме 11.

Определение. Пусть R — множество всех непрерывных функций h, определенных на R и удовлетворяющих соотношениям h (х + у) = h (х) h (у), |А(х)| —1. Очевидно, что R является абелевой группой относительно естественно определенной операции умножения функций, причем единичным элементом этой группы служит функция, тождественно равная 1. Группа R называется группой характеров, или двойственной группой группы R. Мы топологизируем R, принимая за базис топологии множества вида

^(й,^,8) = {/l1C^| |/z! (х) —/z (х) | < 8, x^KY

где 8 —любое положительное число, а /<—произвольное бикомпактное подмножество группы R.

Лемма. Группа характеров R является топологической группой.

Доказательство. Проверку того, что множества N (h, К, е) образуют базис некоторой топологии, мы предоставляем читателю. Если hi £ N (h, К, е) и h^N Qio, К, 8), то h^ С N (Jih^KY ^Y так что умножение непрерывно. Если 1ц £N (h, К, е), то Л71 ^N (/г1, К, е), и потому отображение h—^h-1 также непрерывно, ч. т. д.

Теорема. Взаимно однозначное отображение m—>hnl, существование которого было установлено в теореме 11, представляет собой гомеоморфизм оМй на R.

Доказательство1). Сначала мы покажем, что отображение m—>hm непрерывно. Пусть т0 — произвольная точка в оЖо, 0<8< 1, и пусть N (hmQ, К, е)— окрестность функции hmo. Оче-

Э В переводе первая часть этого доказательства немного изменена.— Прим, перев.

видно, в Li (/?) найдется такая функция f, что | / |i < 1 и (т/) (/По) ^ 0. Пусть а = | (т/) (т0) |, так что 0<а<1, и пусть U—такая окрестность точки т0, что | (т/) (/и) — (т/) (m0) | < ае/2 для всех т из U.. Тогда (т/)(т)#=0 для всех т из U, и потому, согласно следствию 12, имеем

I ]hm^— (T^(m) . m^U.

По лемме I (f) y—*fy является непрерывным отображением R в UW- Следовательно, отображение у—>т^м группы R в С (о^) непрерывно. Из бикомпактности множества KeR и теоремы IV.6.7 вытекает, что {т/у | у £ Л) — равностепенно непрерывное множество в С^К). Пусть V = U- такая окрестность точки т0, что | (т/„) (/и) — (т/у) (/п0) | < ае/2 для всех т из V и всех у из К- Тогда для всех т из V и всех у из К

I ^т (//) hm6 (у) | ^

_ WyM"') (т/„)(щ) | | (T/y)(m)(Tfy)(m0) I

(т/)(//|) ' (т/)(»10)1 ’ Г(т7Г(то)(т/)(т0) I"

- 4 I /'m(V) 11 (V) ("0 - (tf) (fflo) I + 4* I (Vy) ("0 - (т/у) (m0) |<

_ I < ae , I ae< a.b.____=8.

Следовательно, если m^V, то A,n€V(/imo, К, e), так что отображение m—>hm непрерывно.

Обратно, пусть (/ — такая окрестность точки то, что pocAU. Тогда существует такая непрерывная на о# функция Н, что //(/и0) = 1 и //(m) = 0 при m^U. Так как Н принадлежит тйо, а операторы Т (/), соответствующие функциям / из Li(/?), образуют всюду плотное подмножество в ЭД0> то в LY (R) найдется такая функция /, что (т/) (щ0) > 3/4 и | (т/) (/и) | < 1/4 для всех m^.U. Пусть К —такое бикомпактное подмножество в R, что

$ Iftoldxc/g,

R-K

и пусть в (8 | / IJ”1, Тогда если hm принадлежит N (hmQ, К, е), то из теоремы 11 и неравенства Гёльдера следует, что

Следовательно, | (т/) (т) | > 1/2, так что m^U. Это показывает, что отображение hm—>m непрерывно и потому^ является гомеоморфизмом, ч. т. д.

Ввиду только что доказанной теоремы естественно определить в оЛЦ групповую операцию формулой

hmi-Vm^ (%) = hmi (%) hm^ ^У

При таком определении сложения множество с^0 становится локально бикомпактной абелевой группой, топологически и алгебраически изоморфной группе характеров R. Желательно было бы иметь более симметричное обозначение для hm (л;), и для упрощения некоторых формул следующего параграфа мы введем обозначение

[х, т\ ^hm^xy

Так как hm — гомоморфизм, то гомоморфизмом является и hm. (Для некоторых целей удобнее пользоваться вместо h комплексно сопряженной функцией К. Это соглашение имеет еще то дополнительное преимущество, что в случае, когда R является мультипликативной группой точек единичной окружности, наше обозначение согласуется с тем, которое используется обычно в теории рядов Фурье.) Ясно, что |[х, m]| = l, [%i + x2, т]--= [%i, m] [х2, т] и [х, mi + ш2] = [х, mJ [х, m2] для всех х, хь х2 из R и т, т^ т2 из R. Из этих соотношений следует также, что [ — х, т\^ = [х, — т] = [х, mV Кроме того, из определения 13 и теоремы 15 с очевидностью следует, что функция [z, т] непрерывна по каждому из аргументов1). В этих обозначениях формула теоремы И принимает вид

(V) (т) = ^ [х, т]/(х)dx, KUkRY т^<М0.

В

В теореме 9 отображение т было продолжено на L^^Ry, мы хотим получить для этого продолжения аналогичное интегральное представление. Пусть § — семейство всех борелевских подмножеств в R с конечной мерой; упорядочим § по включению.

9 Более того, нетрудно показать, что она непрерывна как функция на 7? X ^о, т* е- по совокупности аргументов. Это следует из ее непрерывности по каждому аргументу, если учесть локальную бикомпактность R, (xfy) W

формулу hm (у)=—-—— и то обстоятельство, что для любого бикомпакт- (Т/)

ного множества K^R семейство непрерывных на с^ функций {т/у | у £ К} равностепенно непрерывно. — Прим, перев.

Если х» обозначает характеристическую функцию множества е из $, a f принадлежит L2(R), то Хе/ принадлежит Lt (R)f| L2(R), причем f является пределом по норме пространства L2(^) обобщенной последовательности {х<Л- Следовательно, по теореме 9 функция т/ является пределом обобщенной последовательности (т(Хе/)} по норме пространства L2(®^o)- Поэтому

т/ — Игл ^ [х, -]f{x)dx, f^La^R), е J е

где предел понимается в смысле сходимости в Л2(еЖ0).

Теперь мы покажем, что при помощи аналогичной процедуры можно восстановить функцию / по т/.

Теорема. Обозначим через $ семейство бикомпактных подмножеств а/Я^ упорядоченное по включению. Тогда всякая функция f из L2(^) равна пределу по норме этого пространства обобщенной последовательности функций {Д, е £ g), определяемых формулой

МЧ J |х, m|(Tf)(m)p(dm), x^R. в

Доказательство. Из следствии 12 вытекает, что

Г1(т/,,)(ш) I//, Ш| (V)(m),

если J^LvYR'h yQR, т^-Ин и (т/)(/п)^0. Если (rf)(m) = 0, то должно быть и (т/у) (/п) •-- 0, ибо в противном случае, применяя следствие 12, мы получили бы

(т/) (т) = (т (/у) -у) (m) = Y-y, ml (т/у) (m) #= 0.

Таким образом, равенство [*] справедливо также и в случае (т/) (т) 0. Замена у на — х в равенстве [*] дает

I**]|х, т\ (Tf) (m) (т/_х) (m).

Если е борелевскос подмножество в о^о и / принадлежит Li (R) [] L2(R), то из соотношения [**] и теоремы, 9(b) следует, что

т [Е (е) /у] = хл в у) = I — У' • 1 vt = Т [(Е (е) /)у];

таким образом, Е (е) fy = (Е (е) f)y. Используя это равенство, лемму 7 и формулу [**], получаем

J [х, т] (т/) (т) р (dm) = б [Е (е) (f-^ = 6 [(Е ^ П-х\ = (Е (е) /) (х),

если f^ Ц (R) fl L2 (R). Интеграл в этом равенстве существует и в том случае, когда f £ L2 (R) и e C t. Так как Ц (R) f] L2 (R) всюду плотно в Т2(/?), то

§ [х, т] (т/) (т) р (dm) = (f (е) /) (х), e^t, KL2(R). е

Теорема доказана, поскольку обобщенная последовательность ^E^f, еС^} сходится к f по норме пространства L2(R\

Следствие. Если f^L^R"), то (т/у) (т) = \у, т\ (т/) (т) для всех т из М^. Если f^L^R^ то это равенство справедливо для почти всех относительно меры |i точек т из Мц.

Доказательство. Случай /СAt(7?) уже был рассмотрен в доказательстве предыдущей теоремы. Если ^L^RY то сформулированное утверждение следует из теоремы Планшереля, из того, что LY (R) П Е2 (7?) всюду плотно в L2(7?), и из того, что предел сходящейся последовательности функций изА2(А) определяется однозначно с точностью до его значений на множестве меры нуль.

Следующая лемма содержит аналогичный результат для L2 (о<о)-

Лемма. Если F^L^^oV а функция Fp определена равенством Fp(m) =F (т —р), т^о#о, то (т-1^) (х) = [х, р] (т-1/7) (х) для почти всех х из R. Если k^Li{R} и к^{х) = {х, p}k(x) для всех х из JR, то (тк^^т^^к^т — р) для всех т из ^0-

Доказательство. Чтобы доказать второе утверждение, заметим, что функция ki (х) также принадлежит LY (R), ибо модуль характера равен 1. Следовательно,

(т/ii) (т) = ^ [х, т\ kx (х) dx =

= ^ [х, т — p\k^dx — (т/z) (m —р), т^^10. R

Для доказательства первого утверждения1) воспользуемся тем, что существует такая последовательность функций {Е71}, сходящаяся к F по норме пространства L2 (<^0)» что x-1Fn С Lv (R) f| L2 (7?), п=1,2, ... . Функции кп, определенные для x^R равенством кп (х) = [х, р] (т"хЕп) (х), принадлежат ^ (R) fl L^ (7?) и образуют последовательность Коши в L2(7?). По доказанному

!) Изложение этой части доказательства в переводе изменено.— Прим, перев.

9 Заказ № 134

выше (т/гп) (m) -~ F" (т) для всех т из о<0, и потому в силу теоремы Планшереля последовательность {fp} сходится в L2(e<o) к некоторой функции G. С другой стороны, учитывая III.3.6 и III.6.13 (а), можно считать, что Fn(m) —>F (т) почти всюду на е^о, следовательно, Fp (т) = Fn (т— р)—> F (т—р) = Fp почти всюду на а^о- Поэтому G^m^Fp^m) почти всюду на ®^0, откуда следует, что последовательность ^Fp} сходится к Fp в £2(о<о)- Но тогда t^F" —* т-1^ в L2(Ry В то же время r~1Fp = hn = = [• • Р)(T-1fn) —>[•, р](x^F) в L2(R\ Так как предельная функция последовательности, сходящейся в £2(/?), определена однозначно с точностью до значений на множестве меры нуль, то (x^f р) (х) = [х, р] (r^f) (х) почти всюду на R, ч. т. д.

Теорема. Мера р на <M0~R инвариантна относительно сдвигов, т. е.

ц(еЧ р) ^р(е), е€^, р^е*0.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение тривиально, если ц (с | р) р(е) = оэ, так что мы должны рассмотреть лишь тот случай, когда по крайней мере одно из чисел р(е + р), р(е) конечно. Пусть р(е)<оо, и пусть для f£L2(e^0) функция fp определена равенством Fp (m) - F (т — ру, m,pL^o- Если %е обозначает характеристическую функцию множества е, то легко видеть, что (%е)р = - Хшр- Из предыдущей леммы следует, что

(т^Хе+р) W = I*. Р1 С^Хе) W, X^R.

Поскольку всякий характер по модулю равен 1, из теоремы Планшереля вытекает, что

{И (е + р)}2 = {р (е)}2.

Итак, мы доказали, что если р,(е)<оо, то величина р(е + р) также конечна и равна р (а). Если известно, что конечна величина р (е \ р^ то, заменяя в только что приведенном доказательстве е и р на е-Vp и — р, приходим к выводу, что величина р,(е)^ ^(c-l p —р) конечна и равна ц(е + р), ч. т. д.

Предположим теперь, что R обозначает группу вещественных чисел, и покажем, что тогда группа характеров R группы R алгебраически и топологически изоморфна R.

Теорема. Пусть R —аддитивная группа вещественных чисел, и пусть R — ee группа характеров. Тогда существует такое гомеоморфное и изоморфное отображение t группы R на

всю группу Rs что

[х, т] = е^т\ x^R, m^R,

2лр (е) = X (/ (е)), г С %,

где ® —семейство борелевских подмножеств в R1 а Х — мера Хаара на R.

Доказательство. Для фиксированной точки т из q/№q = R характер [х, mA, x^R, является непрерывной функцией от х, удовлетворяющей для всех х и у из R соотношениям | [х, mA | = 1 и [х, т] [у, т] = [х + у, т]. Хорошо известно (см. VIII. 1.2, где содержится более общая формулировка этого элементарного утверждения), что в этом случае существует такое вещественное число t ^m^ что

[х, mA = е^цт), x^R.

Если t (mt) = t (m2)i то [х, т^ = [х, т2А для всех х из R, поэтому в силу теоремы II отображение m—>t(m) взаимно однозначно. Так как функция /i(x) = ei;x* удовлетворяет соотношениям 1/г (х) | = 1 и h^xA-y^h^h^yY то т —>Цт) отображает R на все R. Чтобы убедиться, что отображение I есть гомеоморфизм, заметим, что

| [х, 0] — [х, mA | | I — eixtW [ = {(1 — cos xt (m))2 + (sin xt (m))*}^ и что эта величина тогда и только тогда будет малой для всех х из бикомпактного множества |х|<Х, когда мала величина |/(т)'. Таким образом, характер т тогда и только тогда близок к характеру, тождественно равному 1, когда величина t (т) близка к нулю. Так как

| [х, тП — [х, т2А I ^ | [х, 0] — [х, т2 — тЛ |,то отображение t: R—>R является гомеоморфизмом. Тождество^эсКт^т^ = [^ т1 _^ т^ = ^ т^ [^ т^ = eixV^HKmaH

показывает, . что / (m1 + m2)^/(m1) + /(m2), так что t является алгебраическим изоморфизмом.

Чтобы доказать заключительное утверждение теоремы, определим на семействе борелевских подмножеств е группы R функцию множества Х1? полагая Xi (е) = р (Г1 (е)). По теореме 19 функция множества Xi инвариантна относительно сдвигов, т. е. Xi (е) =^ Xt (е + х) для всех х из R, так что в силу единственности меры Хаара существует такая постоянная с, что Xi = сХ. Покажем, что с =1/2л, и тем самым закончим доказательство. Вычислим сначала образ при отображении т функции f^x^e-^^, x^R.

принадлежащей L^R) П L2(RY Обозначая Цт) просто через t, имеем

^l^m^ J е-^е~^с1х = е-^ ^е-тччх.

Выражение

J e-№t№ dx

определяет целую 'функцию от 2, которая при всех вещественных 2, а значит, и вообще при всех 2, равна

Следовательно, (т/)(т) = (2л)1/2е-<'(т)}2/2.

По теореме Планшереля

\е-хг^\Мх= J \f(x)\4dx= J ^tnMWdm). — ОО—ОО0^о

Заменяя в последнем интеграле переменную интегрирования т на t = t(m) и вспоминая, что ^ (е) = р(/"1(е)) = сХ(е) для любого борелевского множества е^®, получаем

J° |е-ж2/2|2^ = 2л ^ |e-,2/2|2X1(dZ) = 2nc J \е-^\М1, — ОО—ОО—ОО

так что 2лс = 1, и доказательство закончено.

Теорема 20 оправдывает отождествление пространств R и R при условии, что преобразование Фурье определяется таким образом, чтобы компенсировать множитель 2л. Это замечание позволяет нам переформулировать теорему Планшереля и теорему об обращении (теоремы 9 и 16) в более принятых обозначениях.

—>21. Теорема. Пусть R —аддитивная группа вещественных чисел. Тогда для любой функции f из L^R) существует предел

N

g (0 = W)(t) = —— lim f (х) e-ixt dx

в смысле сходимости по норме пространства L2(R). Отображение К представляет собой унитарный оператор, действующий

в гильбертовом пространстве Lz(R), и называется ^-преобразованием Фурье»1).

Обратный к К оператор задается формулой

N

Z(x) = (R-ig)(x) = -^ lim t gW^d/,

2 Л ]V-*oo

где предел существует в смырле сходимости по норме в L2(R).

Если h^L^R), то спектр оператора свертки, определенного на функциях f из L^ (R) по формуле Т (h)f = h*f, совпадает с замыканием множества значений «ЬГпреобразования Фурье» функции h, которое задается равенством

(Th) (t) = ^ h (х) dx.

Функция Th непрерывна, и точечный спектр оператора Т (h) совпадает с множеством всех чисел а, для которых множество {t £ R | а = (Th) (/)} имеет положительную меру.

Если h^L^R) и f^L2(R), то

T(h)f — h*f = ^М (т/0 К) f,

где через М (тК) обозначен оператор умножения на непрерывную функцию Th.

Аналогичным образом можно изучить случай локально бикомпактной аддитивной группы Rn вещественных n-мерных векторов ^ = [Xi, ..., хп]. Читатель, несколько модифицируя метод, использованный в доказательстве теоремы 20, легко докажет следующую теорему, дающую аналитическое представление характеров группы Rn.

Теорема. Пусть Rn — аддитивная группа вещественных п-мерных векторов, и пусть Rn — ee группа характеров. Тогда существует такое гомеоморфное и изоморфное отображение t группы Rn на всю группу Rn, что

[х, т] = е^’ ^У = exp {z (xYtY (m) + ... + xntK (m))} и

(2л)пр(е)-МЧе)),е£$п,

где &п —семейство борелевских подмножеств в Rn, а Х — мера Лебега на Rn.

х) Употребляется еще термин «преобразование Фурье — Планшереля».— Прим, перев.

В рассматриваемом случае также можно придать теореме Планшереля несколько более конкретную форму, если воспользоваться полученным выше представлением характеров группы Rn. Как легко видеть, в этой теореме утверждается, что если то предел

N$ /(^1.-NN$ /(^1.-N.., xn) X.., xn) XN

N

$ /(^1.

-N

N

$ /(^1.

-N

.., xn) X

.., xn) X

g (h,...Jn) = (2л)-,,/2Нш ? ...

N->oo V

X exp { — i (^x^ + ... + tHxH^ dx{ ... dxn

Ng^ ...Jn^X-NNg^ ...Jn^X-Nсуществует в смысле сходимости по норме в L^^R^ и определяет в этом пространстве унитарный оператор, обратный к которому задается формулой

N

g^ ...Jn^X

-N

N

g^ ...Jn^X

-N

N

f (х1? ..., xn) = (2л)”п/2 lim N-^ОО V

X exp {/ (t^ + ... + tnxn^ dtY ... dtn.

При этом последний предел также существует в смысле сходимости по норме в L2(R ).

Ясно, что и остальные утверждения теоремы 21 можно обобщить на случай нескольких переменных, но мы не будем здесь входить в детали. Вместо этого укажем, как можно использовать теорему Планшереля в случае двух переменных для того, чтобы получить некоторые сведения относительно преобразования Ганкеля. Воспользуемся полярными координатами г, 9 на плоскости и рассмотрим функции F из L2 (R2) специального вида F(x, у) = f (г) ^п6, где л —целое число. Так как

оо >| F (х, у) |2 dx dy =| / (г) |2 г dr d^ = 2л г | / (г) |2 dr,

— ОО — ОО0 00

то преобразование Un, определенное соотношением

(UnfHx, у) =(UnfHx, у) =1 КУхНу2) Т/2л ^х^у»1 КУхНу2) Т/2л ^х^у»Qin arctg^/x)Qin arctg^/x)

(UnfHx, у) =

(UnfHx, у) =

1 КУхНу2) Т/2л ^х^у»

1 КУхНу2) Т/2л ^х^у»

Qin arctg^/x)

Qin arctg^/x)

представляет собой изометрический изоморфизм пространства Л2(0, оо) на некоторое (необходимо замкнутое) подпространство Ж пространства L2(R2). Преобразование Фурье G функции F имеет вид

G (и, и) = lim И / (г) e<n9 e-^W dx dy, р хЧ-У^Р»

r■^V(r)rdr0r■^V(r)rdr0где предел берется в смысле сходимости по норме в L2(R^. Вводя полярные координаты u — s cos <р, y = ssin<p, получаем х^ + уу —rs cos (0 — ф), так что

r

■^V(r)rdr

0

r

■^V(r)rdr

0

2л

G(u, v) ~ limG(u, v) ~ lim^ ^—i{rs cos(0—ф)-п0} JQ, 0

G(u, v) ~ lim

G(u, v) ~ lim

R2л^ f (г) г dr ^ОоR2л^ f (г) г dr ^Оо^Цп^У-гз sin 0') JQ\^Цп^У-гз sin 0') JQ\После подстановки 9' —9— <р + (л/2) и упрощений имеем

R2л

^ f (г) г dr ^Оо

R2л

^ f (г) г dr ^Оо

^Цп^У-гз sin 0') JQ\

^Цп^У-гз sin 0') JQ\

G (и, у) =— ie^y1 lim

2ЯR-*oo

С помощью бесселевой функции Jn порядка п,

2л

Jn ^ = "^? 5 ei(n6-Z Sin 6) d0>

о

можно записать G(u, у) в виде

R

G (и, у) = lim (— ie^^ rf (г) Jn (rs) dr,

а применяя изометрический изоморфизм Un, введенный выше, получаем

G (и, у) = lim V2л Гп (UngR) (и, у),

где

R

gR (s) = s1.^ ^ rf (г) Jn (rs) dr.

0

Таким образом, полагая f(r) — rx^f(r) и

R

(Hnf) (s) = \im j (rs)1/2Jn(rs)/(^dr,

видим, что предел, определяющий Нп, существует в смысле сходимости по норме в Л2(0, оо) и что Нп^ i^U^KUn, где К обозначает преобразование Фурье. Далее, формулу обращения преобразования Фурье можно интерпретировать как утверждение, что Кй — М, где (Mf) (х, у) = f( — х, —у). Так как

М (f (г) е^) = f (г) ^(б+л) = (_ 1 )n I ^ ew^

то Un1MUn — ( — l)nI. Таким образом,

Н^ = (г)-2пU^KUnU^K^ = ^r2nUn 4мип = (- 1)"п( -1)"/ = /. Это доказывает следующую теорему.

Теорема. Пусть f принадлежит пространству L2(0, оо) функций, интегрируемых с квадратом по мере Лебега. Тогда предел

к

(Hnf) (s) = Hm (rs)1/2 Jn (rs) f (r) dr

существует в смысле сходимости по норме в L2(0, оо) и преобразование Ганкеля, определенное этой формулой, представляет собой изометрический изоморфизм пространства 12(0, оо) на себя, причем обратное к Н^ преобразование совпадает с Нп.

В гл. XIII мы обобщим этот результат на нецелые значения п и покажем, как можно получить более сложные унитарные преобразования такого типа.

Теоремы замкнутости

Как и в предыдущем параграфе, буквой R будем обозначать недискретную локально бикомпактную абелеву группу, а интегрировать всегда будем по мере Хаара на этой группе. В следствии 3.2 было отмечено, что комплексное В-пространство Lt(R) является коммутативной В-алгеброй1) с операцией свертки в качестве умножения. В настоящем параграфе мы изучим эту алгебру с целью дать представление о теоремах замкнутости, группирующихся вокруг знаменитой теоремы Норберта Винера (теорема 7), в которой утверждается, что необращение в нуль преобразования Фурье функции из Lt (R) есть необходимое и достаточное условие того, что линейные комбинации сдвигов этой функции всюду плотны в L^R). Эта теорема Винера о замкнутости приобретает особое значение, если ее интерпретировать как теорему тауберова типа; такого рода приложения можно найти в § 5. Более глубокое представление о теории замкнутости в Lt можно получить при изучении задачи Берлинга о возможности спектрального синтеза, которая также обсуждается в настоящем параграфе. Проблема спектрального синтеза состоит в том, чтобы узнать, содержится ли заданная ограниченная и измеримая на R функция ф в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства Loo(.R), порожденном теми характерами группы R, которые принадлежат Li-замкнутому подпространству пространства L«, (R), натянутому на всевозможные сдвиги функции ф. Анализ этой

!) Точнее, полной нормированной алгеброй; В-алгеброй Ц (R) становится после присоединения единицы.— Прим, перев.

задачи приводит к результатам, более общим, чем первоначальная теорема Винера о замкнутости; см. теорему 21.

Изучение свойств замкнутости в Lt(7?) будет основано на рассмотрении двух тесно связанных коммутативных алгебр операторов в гильбертовом пространстве L2(/?). С одной из этих алгебр—с алгеброй И предыдущего параграфа—мы уже встречались раньше. Для удобства мы повторим здесь ее определение и некоторые свойства. Дли каждой функции / из Lt(R) свертка

U^eXx^A f(x-iYg(y)dy, g^U(R), R

задает в гильбертовом пространстве L2(R) ограниченный линейный оператор Т ф;

Tmg = f*g. g<MRY

Свертка f*g определена также и тогда, когда обе функции /, g принадлежат Li (RY но в этом случае она . содержится в Lt (RY а не обязательно в L2(RY Комплексное В-пространство L^R) является коммутативной нормированной алгеброй с операцией свертки в качестве умножения, и отображение f—*T(f) представляет собой непрерывный изоморфизм алгебры Li(R) в алгебру В(£2(₽)) ограниченных линейных операторов, действующих в Ц (R). Ни алгебра Т (Lt (R)Y ни ее замыкание Т (Lt (R)) в равномерной операторной топологии не содержат единицы 7 алгебры В (Ьй (R)Y Алгебра §1 есть по определению В-алгебра, получающаяся присоединением единицы 7 к Т (Li (В)). Ее элементы имеют вид а7 4- А, где А принадлежит Т (Lt (R)Y Эта алгебра й является также В*-алгеброй, и для / из Lt(R) гильбертов сопряженный оператор к Т (f) задается соотношениями

T(n*-TGY

Если для каждой функции / из Lt (R) определить новую норму оператора Т(fY полагая |7'(/)|1 = |/|1, где |/|i — норма функции / в Lt (RY то алгебра Т (Lt (R)) с такой нормой изометрически изоморфна Lt(R) и, таким образом, удовлетворяет всем аксиомам В-алгебры, за исключением существования единицы. Единицу I можно присоединить, как это описано в § IX. 1, рассматривая все пары (а, Т (/)), где а принадлежит полю комплексных чисел Ф, а / — функция из Lt(RY Обозначим эту алгебру пар (а, Т (fY с нормой

|(а,Т(/))|1 = |«ЖЛ1

через Эр Поскольку подалгебры алгебры Эр состоящие из элементов вида (а, 0) или (0, Т (/)), эквивалентны соответственно

алгебрам Ф и Т (Li (7?)) с Li-нормой, то можно иногда вместо (а, Г (/)) писать al4-T(fY Таким образом, символу (а, Т (/)), или «/ + ?"(/), где / принадлежит Lt(RY можно сопоставить две нормы: одну как элементу алгебры 31, а другую как элементу алгебры 31Р Эти две нормы связаны неравенством

\aI + T(n\<\aHTUW, f^R).

Доказательства предыдущих утверждений можно найти в начале § 3. -

Буквы М, о/И^ мы будем употреблять для обозначения структурных пространств алгебр 3t, 311 соответственно. Буквой т будем обозначать естественное гомоморфное отображение коммутативной В-алгебры в пространство всех непрерывных функций, определенных на ее структурном пространстве (IX.2.9). Так как 31 является В*-алгеброй, то отображение т: 31—>С(^) представляет собой изометрический *-изоморфизм алгебры 31 на всю алгебру СИ) (IX.3.8). Напомним (IX.2.2), что для любой коммутативной В-алгебры 31 существует взаимно однозначное соответствие между ее максимальными идеалами и ненулевыми гомоморфизмами в поле комплексных чисел. Это соответствие задается равенством

Н (х) = (тх) (т), х С Я,

где В —гомоморфизм алгебры 31, отвечающий максимальному идеалу т. Такой гомоморфизм непрерывен (следствие IX.2.3). Поскольку как для 31, так и для 311 любой ненулевой гомоморфизм Н в поле комплексных чисел непрерывен, причем //(/)—!, то он полностью определяется своими значениями на элементах вида Т (/), где f^L^^RY Таким образом, каждое из пространств М, имеет бесконечно удаленную точку роо, соответствующую гомоморфизму Н, который определяется равенствами

Н(/) = 1, В(Г(П) = 0, t^MRY

Итак, если р — какая-нибудь точка, отличная от р^, то (тТ (/)) (р) ^ О для некоторой функции / из Li(RY Как и раньше, иногда нам будет удобно употреблять символ М^ для обозначения множества М — {роо}.

Теорема. Структурные пространства алгебр 31 и 311 гомео- морфны, причем этот гомеоморфизм задается отображением, сопоставляющим каждому максимальному идеалу алгебры 31 его пересечение с 811.

Доказательство. Это доказательство удобнее провести в терминах нетривиальных гомоморфизмов в поле комплексных чисел, а не на языке максимальных идеалов. Если Н — такой

гомоморфизм алгебры 91, то его сужение //! = //!?!! является нетривиальным гомоморфизмом алгебры 911 в Ф. Таким образом, отображение Н—> Hi определяет отображение М в М^ Поскольку оба эти гомоморфизма непрерывны (IX.2.3) и 911 всюду плотно в 91, это отображение взаимно однозначно. Чтобы убедиться в том, что множество его значений совпадает со всем М^ рассмотрим какой-нибудь ненулевой гомоморфизм HY алгебры Яр Если Hi(T(f)) = 0 для всех / из Ц(К), то HY является сужением гомоморфизма Н алгебры 91, определенного равенством //(а/ + Л) = а. Если Ht(T(f)) не обращается в нуль тождественно для всех / из Li^R), то, как было показано в первой части доказательства теоремы 3.11, существует такой непрерывный характер h группы R, что

Hi^T(f))^ $ h^f^dx, f^U(R). R

В той же теореме 3.11 показывается, что этот характер определяет гомоморфизм алгебры 91, сужение которого на 9lt совпадает с Hv Итак, Н —> Hi = Н\ 9Ii порождает взаимно однозначное отображение пространства &< на все Mv Далее, по определению (IX.2.7) базисы открытых множеств в М, Mi строятся при помощи всевозможных конечных множеств элементов из 91, 911 соответственно, так что непрерывность отображения M—^Mi вытекает непосредственно из определения топологии в М и Mv Поскольку эти пространства бикомпактны (IX.2.8), из леммы 1.5.8 следует, что отображение M—>Mi является гомеоморфизмом, ч. т. д.

В силу теорем 1 и 3.15 структурное пространство алгебры 911 гомеоморфно бикомпактному расширению R U {роо} группы характеров группы R. Обозначение R U {роо} оправдывается тем, что при указанных в теоремах 1 и 3.15 гомеоморфизмах пространств М, Mi и ^и{Роо} «бесконечно удаленные точки» этих пространств переходят друг в друга. Часто нам будет удобно считать эти пространства отождествленными посредством указанных гомеоморфизмов.

Если пространства М. Mi и R U {роо} отождествлены при помощи этих гомеоморфизмов, то функция (тТ (/)) (т), которая, как показано в предыдущем доказательстве, для некоторого непрерывного характера h группы R задается интегралом h(x)f(x)dx, принимает в точке т одно и то же значение неза-

висимо от того, рассматривается Т (/) как элемент алгебры 91 или 9Ii. Таким образом, в то время как в символе Т (/) все еще

заключена некоторая неопределенность, поскольку его норма может быть определена только после указания той из алгебр 91, 911, элементом которой мы его считаем, такое указание относительно символа тТ (/) не является больше необходимым. Так как тТ (/) зависит лишь от /, то нам будет иногда удобно обозначать эту функцию символом t/ или /. Таким образом, отображение f—^j является изоморфизмом между алгеброй Ly^Rl со сверткой в качестве умножения и некоторой подалгеброй алгебры С (®^) = = CW гС(^и{М).

Лемма. Пусть точка р^р«> принадлежит дополнению бикомпактного подмножества С пространства оМ. Тогда найдется такая функция f из Lt (R) П ^2 (R) “ такая окрестность N точки р, что■

0С/(т)С1, т^.®%;

f(m) = 0, т^С; f(m)=l, m^N.

Доказательство. Будем считать, что пространство е^ отождествлено с бикомпактным расширением R U {р*} группы характеров. Допустим сначала, что р = 0, и выберем окрестность W точки 0 так, что ее замыкание бикомпактно, не содержит роо и не пересекается с С. Пусть V—такая окрестность 0, что — V V и V | V | VsW'. Пусть gx, g2 — характеристические функции множеств V, V| V соответственно, а р—мера, введенная в лемме 3.6. Из этой леммы следует, что p(W,)<oo, и потому функции gv, gz принадлежат Lz(R, $, р), где ^ — семейство борелевских подмножеств в R. По теореме Планше- реля (3.9) функции hi = t~1gl, i=l, 2, принадлежат Lz (R), так что функция h, определенная на R равенством /г(х) = /г1(х)/г2(х), принадлежит Lt (R). Из теоремы 3.9 (Ь) вытекает, что E(W)hx = Нг, следовательно, по лемме 3.5 функция h непрерывна и ограничена и потому принадлежит tz^R). Далее,

1г (т) = ^ [х, т\ hx (х) h2 (х) dx.it

Пусть gi,m — сдвиг функции gx, определенный соотношением gt,mVh g\Vl + т\ Тогда, применяя лемму 3.18, находим, что

(т-1£1, m) (х) = [х, —ml (Т1^) (х) — [х, m] hx (х);

таким образом, поскольку отображение т"1 унитарно,

ft (//z) = J (т'^ц т) (х) (Г1^) (X) dx = J gx (q + т) g^q) р (dq).

RR

Если т G V, то gi (q + /и) g2 (g) — gt (q + m), так что из теоремы 3.19 следует, что (xh) ^т)-■ ^ (У) при m^V. Если т ^V + V- + V, то подинтегральное выражение обращается в нуль, поэтому h(m) = 0 для таких т; в частности, А(/и) = 0 для всех т из С. Для всех q и т имеем gt(q Vm^qKgito-tm). и так как мера р инвариантна, то,

А (т) <- ^gdq I "О И (dq) - р (V).

Беря в качестве / функцию Л/р(Е), получаем утверждение леммы для р — 0. Справедливость леммы в общем случае вытекает из предыдущего и из тождества

(V) (^- р) = (т {[ •, р] f (•)}) (Щ), которое было доказано в лемме 3.18.

Лемма. Пусть С^ С2 — непересекающиеся бикомпактные подмножества пространства М, причем роо^С2. Тогда в Ц (R) fl L2 (R) существует такая функция f, что

0</(/7г)<1, mG^;

f(m) = 0,- т^Су, f(m)=l, m^C2.

Доказательство. Согласно предыдущей лемме, для каждой точки р из С2 найдется такая окрестность Np и такая функция /р из Li (R) f| L2 (R), что /р обращается в нуль на С15 тождественно равняется 1 на Np и 0С/р(/п)<:1 для всех т. Так как С2 бикомпактно, то имеется такой конечный набор fb ..., fn функций из L^ (R) П L2 (R), что соответствующие этим функциям окрестности Nt, ..., Nn покрывают С2. Функция / = А + fa—А*/г принадлежит L^ (R) f| L2 (7?), причем

/ (m) = f4 (tri) + /2 (m) — A (m) /2 (m) = 1, m G Nt (J N2,/(m) = 0, m^Cf, 0</(m)<l, m^o/H.

Ясно, что, повторив этот процесс конечное число раз, мы получим функцию, обладающую желаемыми свойствами.

Теорема. Пусть функции fug интегрируемы на R, и пусть С —бикомпактное подмножество пространства оМ. не содержащее бесконечно удаленной точки. Если g обращается в нуль на дополнении к С, a f ни в одной точке множества С не равняется нулю, то существует такая интегрируемая функция h, что g = f^h.

Доказательство. Так как т является *-изоморфизмом между 91 и С^), то из леммы 3.1 (с) следует, что т/= т/, так что т(/*/) (т) = | / (т) [2. Таким образом, т(/*/)(т)>8 для некоторого положительного числа 8 и всех точек т из некоторой окрестности N множества С. Из предыдущей леммы вытекает, что в Li (R) П L2 (R) найдется такая функция к, что

О ^ к (m) < 1, т С ^;

(//г) = 1, т £ С; к(т) — 0, m^N.

Следовательно, к (т) g (т) = g(m) для всех т из o/W, а так как отображение /—>/ представляет собой изоморфизм, то k*g = g. Так как т(/ + Л~^+/:*/)(^)>0 для всех т из о#, то оператор I+ Т (—к+ / * /) не принадлежит ни одному максимальному идеалу алгебры З^, и потому по лемме IX. 1.12 (е) в 911 найдется обратный к нему элемент а1 + Т(а\ Таким образом, для всех пг ИЗ Л

gkm) = (a + akm)')a—k к^ + /(^А^))^^) == (а + й (m)) / (m) f(m) g (m),

откуда следует, что функция К, определенная равенством h^af * g 4Г a* f * g, обладает тем свойством, что g (m) = h (m) f (m) для всех m из о#. Так как отображение f—>f является изоморфизмом, то это означает, что g = h*f, ч. т. д.

Лемма. Множество функций f из L^R), для которых f обращается в нуль в окрестности бесконечно удаленной точки г всюду плотно в LY (R).

Доказательство. По лемме 3.6 множество всех функций из А2(Д ^, р), равных нулю вне бикомпактных множеств, всюду плотно в этом пространстве, а по теореме Планшереля множество всех функций / из L2(R), для которых / обращается в нуль всюду, за исключением некоторого бикомпактного подмножества в R, плотно в L2(R). Так как [/, g] —>fg является непрерывным отображением пространства L2(R)xL2(R) на все пространство L^R), то множество произведений fg, где / и g — такие функции из L^R), что их преобразования / и g обращаются в нуль вне некоторых бикомпактных подмножеств R, всюду плотно в Ly(R). Итак, для завершения доказательства достаточно показать, что если /, g£L2(R) и /, g обращаются в нуль вне бикомпактного множества Сей, для которого С——С, то r^g) равно нулю вне бикомпактного множества С-\-С. В силу

теоремы Планшереля отображение т унитарно, и потому из леммы 3.18 следует, что

т (fg) (™) = ^ Vx, ml f (x)g(x)dx = § / (p + ml g (p) p (dp).

R

Доказательство закончено, так как подинтегральная функция равна нулю, если только т нс принадлежит множеству С + С.

Напомним, что у-сдвиг fy функции f на R определяется равенством tyW^fVx — yY Говорят, что множество функций на R замкнуто относительно сдвигов, если для каждого у из R функция /у принадлежит этому множеству всякий раз, когда ему принадлежит функция /.

Лемма. Замкнутое линейное многообразие, порожденное всевозможными сдвигами функций из некоторого множества S ^ Lv (RY совпадает с замкнутым идеалом алгебры Lx (RY порожденным множеством S.

Доказательство. Заметим сначала, что если f,g^LY(R) и q)^Loo(RY то функция ф(х)/(х — y)g(y) является Л х^-интегри- русмой, так что

(I)(I)J Wl(j*gHxW = J Ф(х) {J Hx-y)gJ Wl(j*gHxW = J Ф(х) {J Hx-y)gdx=^dx=^RRRRRR

(I)

(I)

J Wl(j*gHxW = J Ф(х) {J Hx-y)g

J Wl(j*gHxW = J Ф(х) {J Hx-y)g

dx=^

dx=^

R

R

RR

RR

= J g(d) {^ ^Wf^x-y^dx^dy.

RRR

R

R

Пусть теперь £ —замкнутое линейное многообразие, порожденное сдвигами функций из S, а 3 — наименьший замкнутый идеал в Lx (RY содержащий S. Из инвариантности меры К относительно сдвигов следует, что £ замкнуто относительно сдвигов. Пусть F — непрерывный линейный функционал на Lx(RY равный 0 на £, и пусть ф —ограниченная измеримая функция, представляющая F (IV.8.5); пусть f — какая-нибудь функция из £. Тогда, так как O = Ffy= ф (х) f (х — у) dx, из равенства (I) следует, что r .

F(f*g) = O для любой функции g из Lx(RY Отсюда в силу следствия II.3.13 получаем, что f*g^S> для любой функции g из LV(RY а это означает, что £ является идеалом; итак, £^Q. Обратно, пусть f принадлежит замкнутому идеалу Q алгебры Lx(RY a F — непрерывный линейный функционал, равный 0 на ^. Тогда если функция ф представляет F, то

ф(^)(/ *g)(x)dx = 0,R'ф(^)(/ *g)(x)dx = 0,R'g^Lx (RYg^Lx (RY

ф(^)(/ *g)(x)dx = 0,

R'

ф(^)(/ *g)(x)dx = 0,

R'

g^Lx (RY

g^Lx (RY

Из равенства (I) следует, что функция ф(х)/ (х — y)dx равна О

R

для почти всех у из R, а так как она непрерывна по у (лемма 3.1(d)), то равна 0 для всех у из R. Таким образом, в силу следствия II.3.13 все сдвиги функции f принадлежат 3» т- е- идеал 3 инвариантен относительно сдвигов. Это показывает, что 3 — S, и завершает доказательство леммы.

—> 7. Теорема (теорема Винера о Е^-замкнутости). Линейные комбинации сдвигов функции f из Li(R) всюду плотны в Ly(R) тогда и только тогда, когда ее преобразование f не равно нулю ни в одной точке группы характеров группы R.

Доказательство. Пусть 8 — замкнутое линейное подпространство, натянутое на сдвиги функции / из Li (Ry допустим, что f(m)^0 для каждой точки т из о<, отличной от роо. Тогда 2 замкнуто относительно сдвигов и по предыдущей лемме является идеалом. Если g — такая функция из Lv(Ry что g обращается в нуль на дополнении некоторого бикомпактного подмножества в ^0, то по теореме 4 в Li (R) найдется такая функция h, что g^*h. Это показывает, что 2 содержит любую такую функцию g. Из леммы 5 следует, что & = Li(Ry

Обратно, предположим, что линейные комбинации сдвигов функции / из Lv (R) всюду плотны в Li (Ry и допустим, что /(т) = 0 для некоторой точки т^роо. По лемме 6 функции вида h=.f*g, где g^Lv(Ry всюду плотны в Lv(Ry ибо они образуют идеал, который в силу очевидного соотношения fy*g = f*gy содержит все сдвиги функции f. Для такой функции h имеем h(m) = f (т) g(m) = 0, откуда в силу непрерывности отображения h —>h следует, что h(m) = 0 для всех h из Lv(Ry Поскольку т^рсо, это противоречит лемме 2; доказательство закончено.

Теорема. Если S —собственное замкнутое линейное подпространство в Ly (Ry инвариантное относительно сдвигов, то в R найдется такая точка т, для которой f(m) — 0 для всех f из 8.

Доказательство. Допустим противное. Пусть С —бикомпактное подмножество в R, a g — функция из LY(Ry преобразование которой g равно нулю на дополнении к С. По предположению для каждой точки р из С в 2 найдется такая функция fp, что fp(p)=^=O. Так как 2 —идеал (лемма 6), то fp*fp принадлежит 2, а поскольку ^(fP*fP) (т) = | fp(т) |2, можно считать, что функции /р выбраны таким образом, что )р(т)>0 для всех

т из R. Пусть Np — окрестность точки р, на которой функция fp положительна. Так как С бикомпактно, то конечное число этих окрестностей Np^ ..., NPn покрывает С. Функция f = fp^...

• • • +/рп принадлежит В и /(т)>0 на С. По теореме 4 в LV(R) существует такая функция h, что g = f*h. Из леммы 6 следует, что g принадлежит В. Так как g и С были взяты произвольно, то по лемме 5 S = Li(/?), что противоречит условию теоремы.

Следующий результат можно рассматривать как двойственный к только что доказанному.

Теорема. Ненулевое линейное подпространство пространства Loo(R), инвариантное относительно сдвигов и Li(R)-3aMKHy- тое в L^R), содержит по крайней мере один характер группы R.

Доказательство. Пусть ® —подпространство в Loo(RY обладающее указанными свойствами, и пусть В —сопряженно-ортогональное дополнение к ®, т. е. множество всех h из Lv (RY для которых

(1)^ h (х) ф (х) dx = О

в

при всех ф из й. Так как Й содержит ненулевые векторы, то В —собственное подпространство пространства LV(RY Из инвариантности й следует, что если h^S и ф£Й, то ф_уСЙ и

О = ^ h (х) ф-у (х) dx = ^ h (х) ф (х + у) dx = вв

= h (х — у) q) (х) dx^\ hy (х) ф (х) dx, вв

а это означает, что hy принадлежит В, и доказывает инвариантность В относительно сдвигов. В предыдущей теореме доказывается, что в R найдется такая точка т0, что й(т0) —О для всех h из В. Кроме того, так как $ замкнуто в Loo(R) относительно ^ (/^-топологии, то из следствия V.3.12 вытекает, что Й является сопряженно-ортогональным дополнением к В, т. е. если равенство (I) справедливо для некоторой функции ф из Loo (R) и всех h из В, то ф принадлежит ®. Таким образом, если hmo = [ •, m0] — характер, соответствующий точке т0 (теорема 3.11), то для любой функции h из В

О = h (т0) = ^ h(x) [х, /тг0] dx = ^ h (х) [х, m0] dx,вв

откуда следует, что характер [*,т01 принадлежит й, ч. т. д.

10 Заказ № 134

Только что доказанная теорема показывает, что если ограниченная и измеримая на R функция ф отлична от нуля на неко-. тором множестве положительной меры, то в £гзамкнутом линейном подпространстве Й(ф) пространства Loo (R), порожденном сдвигами функции ф, содержится по крайней мере один характер группы R. Проблема спектрального синтеза для -функции, поставленная А. Берлингом, состоит в определении того, содержится ли функция ф в £1-замкнутом линейном подпространстве пространства Loo (К), натянутом на характеры, принадлежащие й(ф). Хотя это не всегда имеет место, мы увидим, что иногда это справедливо. В определении 10 вводится основное понятие, которым пользуются при изучении проблемы спектрального синтеза.

Определение. Спектральным множеством ст(ф) ограниченной измеримой функции ф на R называется множество всех характеров группы R, содержащихся в £гзамкнутом подпространстве й(ф) пространства Loo(R'), порожденном сдвигами функции ф.

Следующая лемма содержит некоторые элементарные свойства спектральных множеств, которыми мы будем пользоваться при изучении спектрального синтеза.

Лемма. Пусть ф и ^ — функции из Lx(R), а—комплексное число, фу (х) - ф (х--//) и ф(х) — ф( — х) при х, y^R. Тогда

спектральное множество а (ф) является замкнутым подмножеством в R, причем оно пусто тогда и только тогда, когда ф = 0;

а(аф) = ст(ф), а=#0;

»(фу) = or (ф), о(ф) = а(ф);

если [•, т]—характер группы R, то

о([-, т]ф(-)) = а(ф) + т;

о(ф + Ф) = ог(ф)1)о(Ф).

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что а(ф) пусто тогда и только тогда, когда ф — 0. Чтобы убедиться в том, что о(ф) замкнуто, рассмотрим в Lt (R) сопряженно-ортогональное дополнение £(ф) к й(ф). По следствию V.3.12 характер т из R тогда и только тогда принадлежит ст(ф), когда

/ (т) = [х, ml f(x)dx = 0, / € 2 (ф).

R

Так как функция^/ непрерывна, то множество ^т \т£R, f(m) = 0} замкнуто; поэтому множество о’(ф), представляющее собой пересечение таких множеств по всем /С2(ф), также замкнуто. Это

доказывает (а). Утверждения (Ь) и а(фу) = а(ф) очевидны, так как они следуют непосредственно из определения подпространства Я(ф), согласно которому $(ф) = й(аф) = $(фу). G помощью простой выкладки получаем, что /^В(ф) тогда и только тогда, когда f^^Y а так как нули функций т/ и т/ совпадают, то, учитывая равенство (I), убеждаемся в справедливости утверждения (с). Положим теперь ф (х) = [х, т] ф (х^ так что

тогда и только тогда, когда [•, т]/(-) принадлежит £(ф). Таким образом, используя условие (I), получаем, что т^ принадлежит а(ф) тогда и только тогда, когда

^ [я, Wi] [*, rn\ f (x)dx = 0, /££№• R

Очевидно, что это равносильно тому, что т1 + т£а(ф), т. е. а(ф) + т = а(ф). Утверждение (d) доказано.

Пункт (е) мы докажем от противного, предполагая, что в о^ф + ф) имеется точка т, не принадлежащая ни одному из спектральных множеств о*(ф), а(ф). Из условия (I) следует, что найдутся такие функции /, g из В(ф) и £(ф) соответственно, что /(m)=£0, g(tn)V=0- Положим h — f*g, так что h^m))^

И g И^О. Так как /С £(ф), то

h (х) ф (х — у) dx =/ (х —- z) g (z) ф (х — z/) dx dz =

RRR

= ^ /(x) ф(х + г-у)g(z) dxdz =

R R

= 0-g(z')dz = 0.к

Итак, йС8(ф). Аналогичным образом убеждаемся в том, что /1^№; следовательно, /t^S(q>-j-xp). Так как т принадлежит ст(ф + 'Ф). то из условия (I) получаем, что й (ги) = 0. Противоречие.

Лемма 12 связывает понятие спектрального множества с операцией свертки.

Лемма. Пусть qQL^R) и f^Li(R).

Характер т принадлежит о(ф) тогда и только тогда, когда g^m^O для тех g из Li(R), для которых ^*ф = 0.

ст(/*ф)ест(ф).

Спектральное множество о (f ♦ ф) не пересекается ни с одним открытым множеством в R, на котором f обращается в нуль).

Доказательство. Функция /*ф ограничена и непрерывна (лемма 3.1 (d)), так что утверждения, которые должны быть доказаны, имеют смысл. Чтобы доказать (а), заметим сначала, что S’* Ф " 0 тогда и только тогда, когда функция g принадлежит подпространству 2(ф), представляющему собой сопряженноортогональное дополнение к ®(ф) в пространстве Lt(R). При доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что характер т принадлежит а(ф) тогда и только тогда, когда g(m) = 0 для всех g из 2 (ф). Утверждение же пункта (а) состоит в том, что т принадлежит а(ф) тогда и только тогда, когда g(m) = 0 для тех g из Lx^R), для которых #С2(ф). Легко видеть, что эти два утверждения равносильны, ибо (rg) (.nr) — g^m).

Пусть теперь gC^AwY Тогда, как показано в предыдущем абзаце, #*ф 0. Следовательно, £*/*ф —О, так что ё’Сй^ф). Это доказывает, что 2(ф) ^ 2(/*ф). Отсюда немедленно следует справедливость (Ь), ибо /^^^(ф) тогда и только тогда, когда g(т) 0 для всех g из 2(ф), и m^cAf*^) в том и только том случае, когда gA^ 0 для всех g из 2(/*ф).

Наконец, пусть f (jn) О для всех т из открытого множества' N. Пусть p^N. Применяя лемму 3, выберем в Lx (R) такую функцию h, для которой h(p)^ 1 и К(т) -=0 на дополнении к N. Тогда т(й*/) = й/= 0, и так как т —изоморфизм, то /z*/ = 0. Таким образом, й*(/*ф) = О. Так как Я(р)^О, то из пункта (а) следует, что р^о'(/*ф)» ч. т. д.

Теорема. Если ^ — ограниченная и измеримая функция на R, а^ — ее спектральное множество, a N — какая-нибудь его окрестность, то ф содержится в Lx-замкнутом линейном подпространстве пространства L™ (R), порожденном характерами из N. Обратно, если ф принадлежит Lx-замкнутому линейному многообразию, порожденному характерами из некоторого замкнутого множества F, то а (ф) ^ F.

Доказательство. Допустим, что ф не принадлежит Л^замкну- тому подпространству, порожденному характерами из N. По следствию V.3.12 в Lx (R) найдется такая функция /, что /(т) = 0

для всех т из N и ^ f (х) ф (х) dx Ф 0. Так как (т/) (т) = /(т), то (т/)(т) = 0 для всех т из N; таким образом, из леммы 12 (с) следует, что пересечение <у (7* ф) fl W пусто. По леммме 12 (Ь) ст (7* ф) е сг(ф) S N, так что с(7*ф) пусто, и по лемме 11 (а) имеем 7*ф = 0. В силу леммы 3.1 (d) функция /*ф непрерывна и потому равна 0 тождественно; в частности,

0а-(7*ф)(0)- J Т(х)ц>( — x)dx - J 7^Ф(х)^х,Яя'

что противоречит выбору функции f.

Для того чтобы доказать обратное утверждение, допустим, что в о ((р) имеется характер р, не принадлежащий множеству F. По лемме 2 в L^/?) найдется такая функция f, что /(р)—1 и /(т) = 0 для всех т из F. Тогда

^ /(я) к, m\dx~f (т) = 0, m^F, R

и потому/ (х) ф (х) dx = 0 для всех ф из Li-замкнутого под-

R

пространства Я, порожденного характерами из F. Так как [% + у. т] = [х, т\ [у, /тг], то Li-замкнутое линейное многообразие Я, порожденное характерами из F, инвариантно относительно сдвигов. Таким образом, поскольку ф по предположению лежит в Я, все ее сдвиги также принадлежат Я. Так как Я является Li-замкнутым, то из определения 10 следует, что [-,р] принадлежит Я. Но тогда Нр^ — ^ fW I*, pAdx = 0. и мы получаем про-

R тиворечие.

В дальнейшем теорема 13 будет усилена, а именно, в теореме 20 мы покажем, что функция ф принадлежит подпространству, порожденному характерами из а(ф), если граница ее спектрального множества не содержит непустых совершенных подмножеств. Перед тем как доказывать это, полезно получить некоторую предварительную информацию. С этой целью мы вводим, как это указано ниже, линейное отображение Ф пространства L2(/?) в L2(/?). Пусть (p^Loo^R), так что для любой функции / из L2(R) функция ф/ также принадлежит L2 (7?), причем | ф/|2^|ф|оо|/|2- Отображение Ф определяется для f^L^R)

равенством Ф(/) = т(ф/). По теореме Планшереля Ф непрерывно. Из леммы 3.18 следует, что если ф —характер т0 из R, т. е. ф(х) = [х, пцД, x^R, то Ф(/) представляет собой сдвиг (т/)то функции т/, который задается формулой (Ф/)(т) = /(m —т0). В следующих леммах нас будет интересовать тот частный случай, когда функция ф из Loo (R) такова, что а(ф) = {0}.

Лемма. Пусть ^Loo(RY а(ф) = {0} и f ^Li(R)[\L2(R)- Тогда функция Ф(/) равна нулю на каждом открытом подмножестве в R, на котором f обращается в нуль. »

Доказательство. Пусть I т — произвольная точка открытого множества N, на котором / обращается в нуль, и пусть V — такая окрестность нуля в R, что V =—V и m-VV г N. По теореме 13 найдется такая обобщенная последовательность, элемен- г

тами которой являются линейные комбинации фа (х) = 2 ct [х, mJ г=1

характеров [•, Ш/], mi£V, что

^ Ф to 8f to dx = lim t (pa (x) g (x) dx, g G Lt (R).

itа r

Так как тЦ-V •- -m — V^ N, то m — mt^N, откуда следует, что для линейного оператора Фа, соответствующего функции фа, равенство (Фа/) (т) -- 0 выполняется при всех а. Из равенства (I) получаем

(Ф/) (т) = ^ [х, /п] ф (х) / (х) dx =

= lim \ [х, пг\ фа (х) f (х) dx = lim (Фа/) (m) = О, “ н“

т. е. Ф/ обращается в нуль в произвольной точке т из N, ч. т. д.

Лемма. Пусть функция ф из L«, (R) такова, что ст(ф) = {0}. Тогда существует такое комплексное число а, что

Ф (T^v) = «Xv

для любого открытого в R множества V, замыкание которого бикомпактно.

Доказательство. Из леммы 3.6(1) вытекает, что p.(V)< со; таким образом, как было отмечено в замечании, следующем за доказательством этой леммы, для каждого целого положительного п найдется такое открытое множество Un S V, что UncV и р(УП^п)< 1/п- Можно считать, что UncUn+11

л=1, 2, .... По лемме 3 в L^ (R) Q ^2 (R) существуют такие функции /п, что fn обращаются в 0 на дополнении к V, fn (m) = 1 для m^Un и все значения /п заключены между 0 и 1. Ясно, что последовательность {/п} стремится к % у по норме в L2(R), так что {Ф (/п)} сходится в этом же пространстве к Ф^ху). По следствию III.6.13 (а) некоторая подпоследовательность этой последовательности сходится почти всюду, и потому можно считать, ЧТО {Ф/n} сходится почти всюду к Ф(т-1%у).

Так как /п обращается в 0 на дополнении к V, то из предыдущей леммы следует, что Ф/п также обладает этим свойством (нужно учесть, что V бикомпактно, а функция Ф/„ непрерывна, ибо fn^L^R)). Покажем, что функция Ф/п постоянна на Un« Пусть т^ m2^Un- По лемме 3.18 функции gn и g^ определенные на R соотношениями gn (х) = [х, mJ /п (х) и gn (х) = [х, т^ fn (х), имеют преобразования gn (tn) ^fK(tn-Y т^ и gn (m) = /п (m + m2). Из той же леммы и из замечания, предшествующего лемме 14, следует, что (®gn) (tn) = (Ф/п) (т + т^ и (Ф^) (т) = (Ф/п) (т + т2) для всех т. Таким образом,

т (gn — gn) (т) = fn (т + mJ — fn (tn + т2) = О,

если только пг принадлежит пересечению IF множеств Un—-пн и Un — m2. Понятно, что IF — окрестность нуля в R. Таким образом, из леммы 14 следует, что (Ф^п) (tn) = (^gn) (т) для всех т из IF, а это означает, что (Ф/п) (tn + mJ = (Ф/n) (tn + т2) при mg IF, и, следовательно, a fortiori, (Ф/n) (mJ = (Ф/n) (m2). Итак, доказано, что функция Ф/п равна 0 на дополнении к V и постоянна на Un.

Так как разность /п+1 —/п равна 0 на Uni то Ф/п+^Ф/п на ип (лемма 14). Таким образом, существует такое комплексное число ау, зависящее, быть может, от V, но не зависящее от п, что (Ф/n) (т) ~ ау для каждого m из \j Un при всех достаточно п=1

больших п. Итак, для почти всех т

' (Ф^^Хг) (т) = Иш (Ф/п) (т) = аг%у (т).п

Осталось доказать, что число «у на самом деле не зависит от открытого множества F. Если f ^Ц (R) П L2 (R), a f^Ona дополнении к V и / (т) = 1 для всех т из открытого подмножества Fo множества V, то приведенное выше рассуждение показывает, что (Ф/)(т) = ау для всех tn из Vo, а потому ау0 = ау. Пусть теперь Fi~ произвольное открытое подмножество в R

с бикомпактным замыканием. Тогда из только что доказанного утверждения следует, что аУ1 = аУиУ1 = ау, т. е. ау не зависит от V, ч. т. д.

Теорема. Если спектральное множество ограниченной измеримой функции ср состоит из единственной точки т, то существует такое комплексное число а, что ф(х) = а[х, т] для почти всех х из R.

Доказательство. В силу леммы 11 (d) достаточно доказать теорему для т = 0. В этом случае предыдущая лемма дает такое а, что

т<рт-1хг = аХу

для каждого открытого множества V = Й с бикомпактным замыканием. Поскольку всякое бикомпактное подмножество в R содержится в некотором открытом множестве с бикомпактным замыканием, то из замечания, сделанного после доказательства леммы 3.6, следует, что равенство (I) справедливо для любого открытого множества конечной меры. Тогда из регулярности меры р вытекает справедливость его для любого борелевского подмножества в $ конечной меры. Так как тфт"1/ линейно и непрерывно зависит от f^L^R^p то тфт'У^а/ и фт"1/ = ат"1/ для всех / из L2(R). Следовательно, ф(х)^а для почти всех х из R, ч. т. д.

Следствие. Если преобразование xf функции f из Lt(R) равно 0 в точке mOl то f представима как предел в Li (R) такой последовательности {/п}, что каждая из функций xfn равна 0 в какой-нибудь окрестности точки т^.

Доказательство. Пусть 8 —замыкание множества всех таких функций h из Li (R), для которых преобразование xh равно 0 в какой-нибудь окрестности точки т0. Покажем, что / содержится в 8.

Если g^^ то найдется такая сходящаяся к g последовательность {gn}, что каждая из функций gn равна 0 в какой- нибудь окрестности точки т0. Тогда h*gn —> h*g для любой функции h из Li^R), а так как x(h * gn) = hgni то h*g принадлежит 8, так что 8 является идеалом. Из леммы 6 следует, что идеал 8 замкнут относительно сдвигов. Поэтому Ж, сопряженноортогональное дополнение кЗв Lao (R), также замкнуто относительно сдвигов. Далее, [•, т0] — единственный характер, принадлежащий Ж, так как если т^т^ то по лемме 3 в Li (R) найдется такая функция g, что ее преобразование g равно О

в окрестности т01 а в точке т отлично от 0. Но тогда [•, т] не принадлежит Ж, так что [•, т0] —действительно единственный характер из Ж. Из предыдущей теоремы следует, что Ж состоит из функций, отличающихся от [•, т0] лишь скалярным множителем. Так как /(то) = О, то / принадлежит сопряженно-ортогональному дополнению к Ж, которое по следствию V.3.12 совпадает с й, ч. т. д.

Следствие. Пусть т0 —точка множества R. Тогда в Li{R} существует такая обобщенная последовательность {Аа}, что Aa(m0)=l, |Aa|i=l для всех а и ha*f —> 0 в Li(R) для тех функций f из Li^R), для которых f^mo^^O.

Доказательство. Пусть V — окрестность нуля в R с бикомпактным замыканием, и пусть W — такая окрестность нуля, что W — —W и W + W ^ V. Тогда характеристическая функция Хиг принадлежит £2(^) и имеет норму | Xw I2 = И (^)1/2- Из теоремы Планшереля следует, что неотрицательная функция pv = = (^Xw) C^Xw) И (^Г1 имеет в и kR норму I Pv 11 = 1. Поскольку отображение т унитарно, то по лемме 3.18

Pv ^ 7^) $ Xw (m + mi) Хи, (т) И (dm),К

так что ру(0)=1 и ру(т) = 0 при m^V. Положим hv^ = = [х, т^ру^ для x^R. Тогда hy^L^R), | /г^ |i = 1 и ку(т0) = = pv (0) = 1. В качестве направленного множества ^Е, <^} индексов а, используемого при построении нужной нам обобщенной последовательности, возьмем семейство окрестностей нуля в R с бикомпактным замыканием, упорядоченное таким, образом, что У<£ означает, что U^V. Тогда искомая обобщенная последовательность есть {Ау}, где функции hv определены выше. Нам осталось лишь показать, что hv *f —> 0 в Li (R)r если f^L^R) и f(mo) — O. Из леммы 3.18 следует, что Ау(т) = 0, если m^m0 + V. Далее, если е>0, то по предыдущему следствию в Li (R) найдется такая функция g, что g равняется О в некоторой окрестности U точки т0 и \f — g\i<_s. В {£, <} найдется такая окрестность V£) что m0 + V^U для каждой окрестности V из {£, <}, для которой Уе<К Следовательно,, если Vg^V, то функция т (hv * g) = hvg равна 0 тождественно, и потому hv * g = 0. Отсюда, учитывая лемму 3.1(b), имеем

\hv */|i = | Ay */ — hv*g\1<\f — ^|i< е, Ve<V.

Доказательство закончено.

Лемма. Если ф С Loo (7?), f^L^R) и f(m)^0 для всех т из спектрального множества о(ф), то множество су(/*ф) не имеет изолированных точек. '

. ‘ Доказательство. Будем доказывать эту лемму от противного, предположив, что т0 — изолированная точка множества о^ф). Так как по лемме 12 о(/*ф) ^ о(ф), то /(т0) —0. Пусть h — такая функция из L^R), что й(т0) = 1 и h^m^O для т из некоторого открытого множества, содержащего ^(/♦ф) —{ш0}. Из леммы 12 следует, что множество а(А*/*ф) содержит не более одной точки т0, а тогда по теоремам 9, 16 и лемме 3.1(d) существует такое число а, что (h*f*q) (х) = а[х, т0] для всех х из R. Чтобы показать, что а = 0, рассмотрим обобщенную последовательность {/iy}, о которой говорится в следствии 18. Тогда, поскольку f (/zz0) = 0, из этого следствия вытекает, что hv*f —> 0 в tM и потому /iy * (/z * / * ф) —> 0. С другой стороны,

hv *(h*I*g)W -а ^ [х — у, т0А hv (у) dy =R

^а[х, /z?ol Vh m^hv^dy^aXx, т^. п

Так как а[х, ш0] не зависит от V, то а = 0 и (Л*/*ф)(х) = = а [х, т0А = 0 для всех х из R. Поскольку A (m0) = 1, из леммы 12(a) следует, что т0^о (/ *ф), а это противоречит нашему предположению. %

Используя эти предварительные результаты, покажем теперь, что если спектральное множество ограниченной измеримой функции ф таково, что всякое непустое замкнутое подмножество его границы содержит изолированную точку, то ф является пределом в Li-топологии пространства Loo^R) некоторой обобщенной последовательности линейных комбинаций характеров из а(ф).

Теорема. Если граница спектрального множества ограниченной измеримой функции ф не содержит непустых совершенных подмножеств, то ф принадлежит Ь^-замкнутому подпространству пространства Loo^RY порожденному характерами из о (ф).

Доказательство. Если ф не принадлежит Lt-замкнутому подпространству, натянутому на характеры из о(ф), то по следствию V.3.12 в Li(7?) найдется такая функция /, для которой

f(m) = O при всех т из о(ф), причем

/ W Ф (х) dx = 1.

Так как по лемме 3.1(d) функция /*ф непрерывна, то из этого равенства следует, что /*ф^0. Из леммы 12(b) получаем, что и(/*ф)га(ф), а из леммы 12(c) и соотношения т/ = т/следует, что а^Фф) не содержит внутренних точек множества сг(ф). Следовательно, о(/*ф)- замкнутое подмножество границы множества а(ф). Так как /*ф=/С(), то по лемме 11(a) множество а(/*ф) непусто. Таким образом, по предположению o(f*^)) содержит изолированную точку, что противоречит лемме 19.

Следующий результат устанавливает поразительную связь между проблемой спектрального синтеза и первоначальной теоремой Винера о ^-замкнутости. •

Теорема. Пусть f, gtmRY и пусть / = 0 в каждой точке, в которой £ = 0. Если при этом граница множества нулей функции g не содержит непустых совершенных подмножеств, то f принадлежит замкнутому линейному подпространству пространства L^RY порожденному сдвигами функции g.

Доказательство. Пусть 2 —замкнутое линейное подпространство пространства Ц (^), натянутое на сдвиги функции g, и пусть S —сопряженно-ортогональное дополнение к 2 в пространстве Loo^RY Тогда $ замкнуто относительно сдвигов. Кроме того, множество характеров, принадлежащих Ж, состоит в точности из тех характеров [•, mj, для которых т является элементом множества о нулей функции g. Если / не содержится в 2, то по следствию II.3.13 найдется такой функционал х*, равный О на 2, что х*/= 1. Если ф —ограниченная измеримая функция, представляющая этот функционал, как в теореме IV.8.5, то ф принадлежит Ж и ^ / (х) ф (х) dx— 1, поскольку х*2 = 0. Так как

R

свертка /*ф является непрерывной функцией (лемма ЗД (d)), то ^*ф^0. Далее из определения 10 следует включение о(ф)^а, ибо ф^Ж. Так как т/ — т/, то т/ = 0 на су. Тогда из леммы 12 следует, что о (/*ф) — замкнутое подмножество границы множества о, которая по предположению нс содержит непустых совершенных подмножеств. Поэтому, поскольку /*^=/=0,

из леммы 11(a) получаем, что c(f*g) имеет изолированные точки, что противоречит лемме 19.

Теорема. Если спектральное множество о(ф) ограниченной измеримой функции ф конечно, то ф является линейной комбинацией характеров из о(ф).

Доказательство. Пусть сг(ф) состоит из характеров [•, mJ, ... ...,[•, тД. Согласно теореме 20, ф содержится в Li-замкнутом линейном многообразии в Loo(7?), натянутом на эти характеры. Из следствия V.3.12 вытекает, что если f^L^R^ и

/ (х) [х, тД dx = 0,i = 1, ..., г,

я '

то ^ / (х) ф (х) с/х = 0. Но тогда по лемме V.3.10 ф является я

линейной комбинацией характеров [•, mi], ...,[•, тД, ч. т. д.

Следующий результат, дающий описание спектрального множества ограниченной измеримой функции, особенно интересен, поскольку его можно обобщить на случай неограниченной функции. Мы будем употреблять обозначение, введенное перед леммой 14, связывающее с каждой функцией ф из £= (R) линейное отображение Ф пространства L2(R) в £2 (R), определенное равенством Ф (/) = т (ф/). Так как ф/Е L, (R) П U(R), если f^L^R^L^R), то Ф преобразует каждую функцию из Li (R) П L2 (R) в непрерывную функцию на ^и{р<»}> равную нулю в точке роо.

Теорема. Пусть ф—ограниченная измеримая .функция на R. Точка т0 из R тогда и только тогда принадлежит дополнению спектрального множества функции ф, когда в R существует такая окрестность нуля V и такая окрестность V точки т0, что т (ф/) — 0 на U для всякой функции f из L^ (R) (1£2 (R), преобразование которой xf равно 0 на дополнении к V.

Доказательство. Если тофа(ф), то в R найдутся такая окрестность нуля V и такая окрестность U точки т0, что множество U П (а (ф) -| V J V) пусто. Пусть / —такая функция из Li (7?) () £2 (/?), что т/ 0 на дополнении к V, и пусть 9 —линейное многообразие «в Loo (R), состоящее из функций вида

^(х) = ^С1 [х, тД,i=l.

где тг £ а (ф) + V. Для каждой такой функции фу определим отображение Фу : £2 (R) —> £2 (R) по формуле Фу(/) = т(фу/),

и пусть Ф(/) = т(ф/). Тогда пп

(Фу/) (т) = 2 СД [хГт —mJ / (х) dx = 2 cd (т—^i)- '1—1 Яt=l

Это означает, что Фу/ 0 на I/, так как если m^U, то т — mt принадлежит дополнению к V. Согласно теореме 13, ф является пределом в £,-топологии пространства Loo^R) некоторой обобщенной последовательности {ф«} функций из У. Таким образом, для т из U

(Ф/)(т)—^ |х, т|<р(х) /(х)dx

~ liin \ [х, т\ фа (х) / (х) dx = lim (Фа/) (m) = О, ° яа

т. е. т(ф/) = 0 на U.

Обратно, пусть /—такая функция из L^ (R) f| L2(R), что /(0)^=0 и f(m) = 0 на дополнении к V (существование такой функции утверждается в лемме 2), и пусть g = fy — сдвиг функции /. Тогда по следствию 3.17 g(0)^0 и g(m) = 0 для всех т из дополнения к V. Таким образом, по предположению функция Ф (g) = т (ф^) обращается в нуль на U. Следовательно, для всех т из U

0 = ly, т] (Ф^) (т) = [у, т] ^ [х, щ] / (х — у) ф (х) dx =к

= ^ \х—у, mj / (х — у) Ф (х) dx. я

Положим теперь Л(х) = [х, т0] /( —х), x^R. Тогда, так как m0^U, то из предыдущего равенства следует, что й*ф = 0. Но

Цт-о)=^ [х, то\ h (х) dx = ^ [х, т0Пх, mo]f( — x)dx = яя

= 5 /(x)dx = /(0)^ 0, R

и по лемме 12(a) т0 $ су (ф), ч» т. д.

В случае когда /? —аддитивная группа ( — оо, оо) вещественных чисел, спектральное множество ограниченной измеримой функции можно описать в терминах теории аналитических функций. Такое описание позволяет распространить понятие спект-

рального множества ограниченной измеримой функции на некоторые неограниченные функции. Ниже буквой t мы будем обозначать общий элемент группы характеров £ = ( —оо, оо) и будем считать, что группа R естественным образом вложена в плоскость комплексного переменного z.

Теорема. Пусть ^ — комплексная измеримая существенно ограниченная функция вещественного переменного, a f—комплексная функция комплексного переменного г, определенная формулой

Г(г) =Г(г) =e~iz^(x)dx, оо— ^ е-<«<р (х) dx,e~iz^(x)dx, оо— ^ е-<«<р (х) dx,Im z < О,Im z < О,Imz>0.Imz>0.

Г(г) =

Г(г) =

e~iz^(x)dx, о

о

— ^ е-<«<р (х) dx,

e~iz^(x)dx, о

о

— ^ е-<«<р (х) dx,

Im z < О,

Im z < О,

Imz>0.

Imz>0.

Тогда спектральное множество функции ср состоит из всех таких вещественных чисел t, для которых не существует аналитического продолжения функции f в окрестность точки t.

Доказательство. Предположим, что функция / допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность точки 1й вещественной оси. Для е>0 положим

<ре(х) —ф(х)с-е1”1, x^R, так что ф8(х) ограниченно сходится) к ф (х), когда е —* 0. Тогда

фе (/) = ^ е-^е-е 1 * । ф (х) dx = — ОО

0оо

= ^ е-МЖе)ф (х) dx-V ^(х) dx—

— оо0

= — f(t + ie)[-f(t — ie).

Так как функция / аналитична вблизи /0, то она равномерно непрерывна на некоторой бикомпактной окрестности U точки /0, и потому <ре(О сходится к 0 равномерно по t^U при е —> 0. По лемме 2 в Ц (R) Q L2 (R) найдется такая функция й, что й (/о) ¥= 0 и й (/) = 0 для всех t из дополнения к U. Поскольку

ФеМ ограниченно сходится к ф (х).

ОО

= lim \ h (х — у) фе (х) dx.= lim \ h (х — у) фе (х) dx.(А*ф)(t/) = J Цх-у^ф(х)dx , —ОО

= lim \ h (х — у) фе (х) dx.

= lim \ h (х — у) фе (х) dx.

Согласно следствию 3.17, hyUW*ivW» где hy (х) = h (х — у). Таким образом, так как й^ О на дополнении к U, а ф6 при е —> 0 стремится к 0 равномерно на U и фе£Ц(К), то по теореме Планшереля

(£*Ф)(у) - ^ е^ (тй)(/)(тфг)(/)^^0.

Поскольку й * ср 0, а (тй) (/0) — (тй) (^0) =# О, из леммы 12 следует, что /о не принадлежит спектральному множеству а(ф).

Обратно, допустим, что ^^(ф)- Пусть U — такая окрестность точки /0, что ее замыкание не пересекается с о(ф). Тогда по теореме 13 функция ф содержится в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства Loo( —оо, оо), натянутом на такие характеры еНх, для которых t принадлежит дополнению к 1Л Для каждой функции гр из Loo ( — со, оо) определим функцию ^ соотношениями [*] с заменой ф на гр, и пусть S (t/) —линейное многообразие всех таких функций гр из Loo( —оо, оо), для которых Д допускает аналитическое продолжение на открытое множество W^ комплексной плоскости, содержащее U. С помощью элементарной выкладки можно показать, что функция Др, соответствующая гр (х) = еи\ имеет вид /^ (г) ==/(/ — г)"1. Следовательно, если t лежит в дополнении к 0, то эта специальная функция гр принадлежит © (17). Поскольку ф содержится в Li-замкнутом линейном подпространстве пространства Loo( —оо, оо), натянутом на функции eUxs t^U, и так как эти функции принадлежат ©(С7), то, для того чтобы показать, что ФС®(^)> достаточно доказать, что S(U) является Li-замкнутым. Теорема Крейна —Шмульяна (V.5.7) показывает, что достаточно проверить Li-замкнутость пересечения © (V) с каждым положительным кратным единичного шара в Loo( — оо, оо). Так как пространство Li(—оо, оо) сепарабельно, то в силу теоремы V.5.1 достаточно показать, что предел сходящейся в Li-топо- логии ограниченной последовательности функций из © (U) также принадлежит ©(ГУ).

Для этого рассмотрим ограниченную последовательность {грп} функций из © ((У), сходящуюся в Li-топологии к функции ф, и пусть fn^f^ ^ЪУ должны доказать, что Др допускает аналитическое продолжение на некоторое открытое множество, содер-

жащее U. Для каждого фиксированного числа 2, для которого Imz<0, функция к, определенная соотношениями

принадлежит L^ — оо, оо); таким образом, поскольку фп стремится к ф в Li-топологии пространства Loo(—оо, оо), можно утверждать, что fn(z) —> Д(2) равномерно на каждом бикомпактном подмножестве полуплоскости 1ш2<0. Аналогичные доводы показывают, что fn (z) —> /ф (2) равномерно на каждом бикомпактном подмножестве полуплоскости Im2>0. Если бы было известно, что последовательность f/n) равномерно сходится в некоторой окрестности множества [7, то аналитичность ее предела /ф была бы очевидна. К сожалению, пока не ясно, сходится ли последовательность {/п} равномерно в какой-нибудь области, содержащей интервал вещественной оси, так что необходимо дополнительное рассмотрение.

Пусть 17—открытый интервал (а, Ь) и Q —контур прямоугольника с вершинами a±i, b±i. Ясно, что последовательность {Д} равномерно сходится на любой части контура Q, замыкание которой не содержит точек а и Ь. Пусть М — мажоранта последовательности фл, так что

| А («-1 - ls) IС М {| с-^х I с’* dx, -1 с S < 0.

оИ

деленная формулой gn (2) -равномерно сходится£ (?) =деленная формулой gn (2) -равномерно сходится£ (?) =Аналогичным образом получаем, что |/n(a + is)|<Al|s|_1, когда 0<«<1- Подобные оценки величины |/п(2)| можно получить и при z = b~yis. Следовательно, последовательность {gn}, опре-

деленная формулой gn (2) -

равномерно сходится

£ (?) =

деленная формулой gn (2) -

равномерно сходится

£ (?) =

/п (г) (г — a)2 (z — by, г=^а, Ь,

0,г = а, Ь,

на Q и ее предел равен ^(z^z — ay^z — by, z^a, b, 0,z = a, b.

Из принципа максимума модуля следует, что последовательность {gn} сходится равномерно в области, ограниченной контуром Q, к аналитической функции G, которая в каждой точке этой области, не лежащей на вещественной оси, удовлетворяет соотношению

G^-U^z-ay^z-by.

Таким образом, функция G (г) (г — я)-2 (г — 6)~2 является аналитическим продолжением функции /^ в открытую область, ограниченную контуром Q. Это показывает, что гр содержится в 0(17). Теорема доказана.

Упражнения

Упражнения по почти периодическим функциям

Показать, что если F^AP и inf ]F(x)|>0, то функ-

—оо<х<оо

ция MF (•) также принадлежит АР.

Если F^AP, то существует предел

т

УИ^^Нш F(x)dx.

г

Кроме того, lim(l/2T) \ F (х + а) dx = М (F) равномерно по а.

Пусть F^AP; определим для — оо<Х<оо функцию Fx равенством Fx(x) = eiXxF (х), и пусть g(x) = F (х) F (х). Положим а (9i) = М (Fx), где М определяется так же, как в упражнении 2. Показать, что а (X) = 0 всюду, за исключением, быть может, счетного

числа значений Хг, /=1, 2, ..., и что М (g) = 2 Iа (М |2-

1=1

Если / — неотрицательная функция из АР и Л1 (/) = О (в обозначениях упражнения 2), то / = 0.

Непрерывная функция / двух вещественных переменных х — (х\, х2) называется почти периодической, если для каждого е>0 существует такое число L(^), что в каждом круге радиуса £(е) на плоскости переменных (хь х^ найдется вектор у, для которого \f(x) — f(x + //)]< е. Показать, что каждая такая функция может быть равномерно аппроксимирована линейными комбинациями функций вида exp i (t^ + t^x^).

Непрерывная функция / на топологической группе G называется почти периодической, если для каждого е>0 существует такое бикомпактное множество К (е) ^ G, что для всякого элемента g^G в множестве K(s)g найдется элемент h, для которого | f(x) — f(xh) | < е. Показать, что множество всех непрерывных функций х(-), для которых линейное пространство, натянутое на всевозможные сдвиги x(-g), конечномерно, фундаментально в пространстве почти периодических функций; это последнее пространство является нормированным, норма задается равенством

1 /| = sup |/(X) |.

11 Заказ № 131

Показать, что если группа G абелева, то всякая почти периодическая функция может быть равномерно аппроксимирована линейными комбинациями непрерывных функций х, для которых

к (5)1 = 1. х^^ = х^х^У

Две задачи о мере Хаара

Обозначим через 1/2 группу унитарных преобразований двумерного комплексного гильбертова пространства с определителем 1. Показать, что матрица и из 1/2 имеет вид

Xi + rz/i*2 + 4/2

*2—^2— *1 + ^1

где xX-VtiXA-xX-V уХ”^- Показать, что отображение ф:и—> —> (хь уь х2, у^ является гомеоморфизмом группы (/2 на поверхность S единичного шара в четырехмерном пространстве. Показать, что существует такая постоянная К, что мера Хаара любого борелевского множества е <= U2 равна Ко (ф (е)), где о (ф (е)) — гиперплощадь подмножества ф (е) поверхности S; вычислить абсолютную постоянную К.

Пусть Un обозначает группу всех унитарных преобразований n-мерного комплексного гильбертова пространства Еп. Показать, что мера Хаара множества F всех и из Un, для которых det(u + /) = 0, равна 0. Показать, что отображение

. и — /ти + 1

является гомеоморфизмом между Un — F и множеством S всех эрмитовых операторов в Еп. Построить взаимно однозначный линейный гомеоморфизм ф пространства S на п2-мерное вещественное евклидово пространство Еи\ Найти явное выражение для меры у, определенной для каждого борелевского подмножества е пространства Е1^ формулой у (е) = р ((фф)-1е), где р —мера Хаара на группе Un.

Теорема Винера о замкнутости как теорема тауберова типа

(Тауберова теорема Винера.) Пусть f —функция из Loo ( — 00, оо), а ф —функция из Li( — 00, 00), преобразование Фурье которой нигде не обращается в 0. Допустим, что для

некоторой постоянной а

Нт (ф * f) (х) = а \ tp^dt. Х~>ООУ

— оо

Тогда

Пт(ф*/)(х) = а (Г) dt

для любой функции ф из Ар

Пусть ф^^1(0, оо), /ELx>(0, оо), и предположим, что

ср(Г)1гх dt=^O, — оо < х< + ОО. о

Допустим, что для некоторой постоянной а

Hm -^ f ф (-^Л f (0 dt = a f ф (t) dt.

Тогда

Нт^- ф('^-')/(0^ = а \^^dt

для любой функции ф из Lx (0, со). (Указание: воспользоваться упражнением 9.)

(Обобщение теоремы Таубера, принадлежащее Харди и Литлвуду; непрерывный случай.) Пусть /££«>(0, оо) и

Hm- t e-vxf^dt = A.

Тогда

Hm — ^ f(f)dt = A.х о

Пусть функция / измерима, ограничена на каждом ограниченном подмножестве положительной полуоси и неотрицательна. Тогда если интеграл ^ e~t/xf{t)dt существует для всех х>0 и о

Hm - f e-^f^dt^A,х 8

ТО

х

функция у ^ f(t)dt ограничена при х>0,

о

(И)(И)lim- t -e-^F^dt-A, Х~ЮО Х V Х

(И)

(И)

где

F^t"1^ f (s) ds,о

Кроме того,

х

lim -V ? t^F (t) dt = A, в > О,

Х—^оо X v

1

lim—Ц- t (\—te~i)f(xt)dt = A, е>0,

ПпЛ/(хО^ = Л,

о

(VI)(VI)Пт --Пт --f^dt — A.f^dt — A.

(VI)

(VI)

Пт --

Пт --

f^dt — A.

f^dt — A.

Пусть / — вещественная измеримая ограниченная снизу функция, ограниченная на каждом ограниченном подмножестве положительной полуоси. Тогда если интеграл ^ e-^f^dt суще- о

ствует при всех х>0 и

lim - j e-t/xf(<t)dt = A,

Х-*оо Х V

то

х

lim-1- ^ f^dt = A.

Х-*оо Х V

(Указание: воспользоваться упражнением 12. Сравнить посылки и заключение с упражнением 11.)

Пусть /СLoo(0, оо). Если t

lim ( H5-dx = A log-^- , i = l,2,

c.t

для двух таких чисел clt с2, что 0<С1<с2<1 и что logct не является рациональным кратным logc2, то

t

lim — f (х) dx = А.

Заключение перестает быть справедливым, если logci является рациональным кратным logc2.

Пусть b (х) — измеримая неотрицательная функция, ограниченная на каждом ограниченном подмножестве полуоси (0, со). Предположим, что при х —> оо

b^(^ — Y)^ = a1logx + u2 + o(l).

Тогда

функция у ^ b(y)dy ограничена при х>2;

х/2

х

(И) функция В(х) = 4" ^ b^dy ограничена при х>1;

dz/ = a1logx + a2 + o(l), х->со;

1

lim 4- f t6-^B (t) dt = a„ s > 0;

a»oo Xе J

1

lim -Ц- ( (1 -/=-*) b (xt) dt = ab e > 0;

1

lim b(_xt)dt = a1;

X->OO J

lim — b^dt = av

x i

(Указание: воспользоваться упражнением 14.)

Пусть b — вещественная измеримая ограниченная функция на (0, оо). Тогда если

lim ( b^fl--^Ady = a1 х->ооX У л У

ТО

lim \ —-— аи = а. х->оо У

(Указание: воспользоваться упражнением 15.)

(Харди —Литлвуд.) Пусть Ь — измеримая вещественная функция на [0, оо). Предположим, что она ограничена на каждом ограниченном [подмножестве полуоси [0, со), а функция xb(x) ограничена при 0<х<оо. Тогда если

lim 6 (s) ds j- dt = a,о 0

TO

lim \ b(s)ds -a. ‘-0° 0

(Указание: воспользоваться упражнением 16.)

(Харди— Литлвуд.) Пусть Ь — измеримая вещественная функция на [0, оо). Предположим, что она ограничена на каждом ограниченном подмножестве полуоси [0, оо), а функция xb^ ограничена при 0<х<оо. Пусть, кроме того, интеграл

e-vlxb ^ dt о

существует для всех л>0. Тогда если

lim \ e~t/xb (t) dt = а,

то

lim b^dt = a.Х-*оо

^Указание: показать, пользуясь методом упражнения II.4.53, что

X

функция b(t)dt ограничена, и воспользоваться упражнениями 13 о

и 17.)

(Харди — Литлвуд.) Пусть последовательность вещественных чисел аа ограничена снизу, и пусть ряд

2 апхп

71=0

сходится при |х[< 1. Тогда если

lim (1—х) 2 апХи = А,х->1 —071=0

ТО

71—1

(Указание: положить f^ = an при n<.t<.n + l и воспользоваться упражнением 13.)

(Харди —Литлвуд.) Пусть ^ — последовательность вещественных чисел, и пусть последовательность пак ограничена. Пусть

ряд 2 апхП сходится при |х|<1. Тогда если

71=0

Игл 2 апхп = А,

Х->1 — 0 71=0

ТО-

71

Игл 2 °т = А.п->оо т=0

(Указание: положить Ц^ = ан при п^/<п4-1 и воспользоваться упражнением 18. Это знаменитая теорема Харди и Литлвуда, обобщающая теорему Таубера из упражнения И.4.54. Сравнить предпосылки и методы доказательства этих теорем.)

Пусть / — вещественная измеримая и ограниченная функция на [0, оо). Предположим, что для каждого $>0 существует интеграл

ттdt.dt.

т

т

dt.

dt.

оо

о

о

Тогда если

тотоj (s + <)2 “‘ S 0j (s + <)2 “‘ S 0при s—> 0 + ,при s—> 0 + ,

то

то

j (s + <)2 “‘ S 0

j (s + <)2 “‘ S 0

при s—> 0 + ,

при s—> 0 + ,

J / ^ dt ~ As оJ / ^ dt ~ As опри s—>0 + ,при s—>0 + ,

J / ^ dt ~ As о

J / ^ dt ~ As о

при s—>0 + ,

при s—>0 + ,

а еслиа еслитIsWтIsWdt~-' sdt~-' sПри S —> co,При S —> co,

а если

а если

тIsW

тIsW

dt~-

' s

dt~-

' s

При S —> co,

При S —> co,

TO

^ /(/) dt— 4sпри s —> oo.

0

22ЛПусть rf —-измеримая вещественная функция на [0, оо), a xf (х) ограничена при 0<х<оо. Предположим, что / ограничена на каждом ограниченном подмножестве полуоси [0, со) и что интеграл

при S—> ОО,при S—> ОО,существует для всех s >0. Тогда если

при S—> ОО,

при S—> ОО,

0

TO

8

ini t /(/) dt - a.

(Указание: приспособить метод доказательства упражнения 18.) 23. Пусть функция / определена на [0, оо) и обладает двумя непрерывными производными. Предположим, что /" (х) = О (х-3) при х—> оо и что х/(х)—>4 при х—>оо. Тогда x^f^^ — A при х—>оо. (Указание: положить р(/) = t3f"(/) при t>\ и применить результат упражнения 10 к ограниченной функции р.)

Пусть функция / определена на [0, оо) и имеет две непрерывные производные. Пусть a >2, /"(x) = O(x~a) при х—>со и ха”2/ (х)—> А при х- > со. Тогда xa— V' (х)—> (2 — а) А при х—> оо.

Операторы Гильберта — Шмидта

В этом параграфе развивается теория операторов Гильберта — Шмидта и доказываются довольно глубокие фундаментальные теоремы о полноте системы собственных функций таких операторов и связанных с ними неограниченных операторов. Эти результаты основаны на одном сильном неравенстве, принадлежащем Карле- ману, которое также выводится в настоящем параграфе. Некоторые из этих результатов используются в последующих главах.

В качестве приложения упомянутых результатов в ряде упражнений § 8 развивается в общей форме классическая теория Фредгольма интегральных операторов.

Формальное определение класса операторов Гильберта — Шмидта в гильбертовом пространстве будет дано ниже; однако в порядке введения укажем здесь, что если гильбертово пространство представлено как пространство L2(S, S, ц) с положительной мерой р,, то операторами Гильберта —Шмидта являются такие операторы КТ которые допускают представление вида

(КП (s) = J k (s, 0 / (t) И №, f £ U (S, 2, р),

8

где

| к (s, t) |2 р, (ds) р, (dt) < оо. 8 8

Эти операторы вполне непрерывны, однако они обладают некоторыми важными свойствами, не присущими произвольным вполне непрерывным операторам. В некоторых изложениях теории Гильберта-Шмидта предполагается, что ядро к эрмитово-симметрично, так что оператор К является самосопряженным. Мы не накладываем здесь никаких ограничений такого рода, и потому полученные теоремы о полноте применимы к некоторым классам несамосопряженных краевых задач.

В большинстве последующих рассмотрений удобнее работать с абстрактным гильбертовым пространством, а не с каким-нибудь его представлением в виде пространства L^ в связи с этим дадим общее определение класса операторов Гильберта —Шмидта.

Определение. Пусть {ха1 а ^Д} —полное ортонормальное множество в гильбертовом пространстве jg. Ограниченный линейный оператор Т называется оператором Гильберта — Шмидта^ если величина \\Т\\, определенная равенством

1171=12 1ад)1/2.

аЕА

конечна. Число ||Т|| иногда называется нормой Гильберта — Шмидта или дубль-нормой оператора Т. Класс всех операторов- Гильберта —Шмидта на § будет обозначаться HS.

В этом определении класса HS участвует некоторая ортонормальная система. Следующая лемма показывает, что класс HS зависит лишь от самого гильбертова пространства, а не от выбранного в нем базиса.

Лемма. Норма Гильберта — Шмидта не зависит от выбора ортонормального базиса, участвующего в ее определении. Если Т

принадлежит HS, a U —унитарный оператор в fa, то оператор U^TU принадлежит HS и || Т\\ = ||U"VTU ||. Кроме того, |Т|< < 11^11 и ||Т|Н|Г*Н-

Доказательство. Пусть ||Т||А и || Т ||в —дубль-нормы оператора Т, определенные при помощи полных ортонормальных систем {ха, а ЕЛ) и {t/р, РЕ В} соответственно. Используя тождество .|xp = 2l(^ #з)12> которое было доказано в теореме IV.4.13, Р получаем.

imil=Sl7W=3Sl(7Xc. у^=аа 3

= 221 (ха, т*у^ р=21 т*у. р = || т* |рв. За3

Если в качестве двух полных ортонормальных систем взять одну и ту же систему, то это тождество показывает, что ||Т*||В = = ||Т||В; таким образом, || Т ||А = || Т* ||в = || Т ||в, что доказывает первое и последнее утверждения леммы.

Если 17 —унитарный оператор, то множество {17ха, а ЕЛ} также является полной ортонормальной системой в ^, а так как jx| = 1 £7-1х|, то

WIMTU^- 2 [[/^П/хар- 2 ITt/Xa^lir^;а£АаЕА

это означает, что и~гТи есть оператор Гильберта — Шмидта, «если таковым является Т.

Наконец, если е>0, найдем такой элемент х0, что |х0| = 1 и ITpClTxoP + s. Так как существует полная ортонормальная система, содержащая элемент х0, то ясно, что |Тр<:||Т|р + 8, и потому |Т|С||Т||, ч. т. д.

Следствие. Если T^HS и {ха, а Е Л} — какая-нибудь полная ортонормальная система в ^, то

ПЫ 2 |(^а, ^)|2)1/2.а, ЗЕА

Доказательство. Это следует из того, что | Тха р = — 2 |(Гха, ^з)12> двойная сумма существует, так как все члены ЗЕА неотрицательны.

Теорема. Множество HS всех операторов Гильберта- Шмидта с дубль-нормой представляет собой В-пространство. Кроме того, HS является алгеброй, причем ||TS||^||T||-||S|| 5ля любых S и Т из HS.

Доказательство. Очевидно, что если Т ^HS, а а — скаляр, то |||| =) а | • || |{. Пусть T,S£HS и {ха, а £ Л} —полная орто

нормальная система в ^. Из следствия 3 и неравенства Минковского вытекает, что

ЦТ + В|| = {2 |((T + S)xa, х₽)И1/2<

а, Р

<12 К^, x₽)H1/2 + {S i(Sxa, XP)H1/2 = I|T|| + ||S||, а, 3а, р

так что Т-V S ^HS. Чтобы доказать полноту пространства HS, рассмотрим последовательность {Т^} операторов из HS, для которой ||Тп—-7’т|| —>0. Из леммы 2 следует, что \Тп — Тт|—>0, и потому существует такой линейный ограниченный оператор Т, что \Т — Тп\—>0. Чтобы убедиться в том, что Т принадлежит HS, обозначим через к верхнюю грань последовательности {||ТП||}. Если Аг — какое-нибудь конечное подмножество множества Л, то

2 |7xa|2 = lim 2 |Пха|2<^,

a£Aiп->оо а£А1

и потому || ТН^ 2 IT'Xal2^/?2, откуда следует, что T^HS.

а£А

Пусть т(е) выбрано так, что || Тп — Тт || < е при n, m>m(e). Тогда при m>m(e)

2 |(T-Tm)xa|2 = lim 2 | (7n -Tm) xa |2<HS || Tn-Tm ||2<е2;

<jlEA\n-»-oo a£Ain->oo

поэтому ЦТ — Tw||<8 при m>m(e). Итак, HS с нормой Гильберта-Шмидта является В-пространством.

Наконец, пусть T^HS, и пусть В — какой-нибудь ограниченный линейный оператор в ^. Тогда

||ВТ||2= 2 |ВТха|2С|В|2 2 |Тха|2 = |В|2||Т||2,

ЦТВЦ = ц ^тву ц = цв*тк|вц|тц.

В частности, если S £HS, то || ST ||< | S 11| Т ||< || S || • || Т ||, поскольку |S|C||S||, ч. т. д.

Следствие. Множество операторов Гильберта —Шмидта является двусторонним идеалом в В-алгебре всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве ^. Кроме того, если Т принадлежит HS, а В —ограниченный оператор, то ||ТВ||<||Т|НВ| и ||ВТ||<|ВН|Т||.

Доказательство. В ходе доказательства предыдущей теоремы мы видели, что HS является подалгеброй алгебры В(§), а последний абзац этого доказательства показывает, что HS — двусторонний идеал и что неравенства, приведенные в формулировке следствия, справедливы.

Теорема. Каждый оператор Гильберта —Шмидта вполне непрерывен и представим в виде предела по норме Гильберта — Шмидта последовательности конечномерных операторов (т. е. операторов с конечномерными областями значений?).

Доказательство. Пусть (ха, а £ Л} — полная ортонормальная система в £, и пусть T^HS. Так как

НП2= 3 I^I^OD,

a£A

то лишь счетное число слагаемых |Тха|2 может быть отлично от нуля. По этой же причине для каждого натурального п найдется такое конечное множество Лп ^ А, что

V I Тх 12<^ —

ZJ НП2 •

а^Ап

Пусть для каждого п линейный оператор Тп определен соотношениями Тпха = Тха при а^Ап и Tnxa = 0 при а^Лп. Тогда область значений оператора Тп конечномерна.

Кроме того,

||Т-Т„||2= 2

а^Ап

так что \Т — Тп | <: || Г — Тп || < — . Следовательно, оператор Т является пределом последовательности {Тп} как в HS, так и в равномерной операторной топологии. Из леммы VI.5.3 следует, что оператор Т вполне непрерывен.

Однако не всякий вполне непрерывный оператор принадлежит HS. Например, пусть {хп} —полная ортонормальная система в сепарабельном гильбертовом пространстве, и пусть Т — оператор, определенный соотношениями Тх^^п-^^Хр,. п—\, 2, .... Этот оператор вполне непрерывен (см. упражнение Х.8.5), но не принадлежит HS.

Выше было отмечено, что класс операторов Гильберта — Шмидта с нормой ||-|| представляет собой банахову алгебру (без единицы, если ^ бесконечномерно). Легко показать, что если в этой алгебре определить скалярное произведение

((S, T)) = 2(Sxa,Txa),a

где {xa} —полная ортонормальная система, то оно удовлетворяет всем требованиям, накладываемым обычно на скалярное произведение в гильбертовом пространстве, причем ((Г, Г)) = ||Т||2.

Таким образом, алгебра HS является гильбертовым пространством, в котором имеется еще инволюция S—>S*, удовлетворяющая отношению

((ST, /?)) = ((Т, S*j?)).

Такие алгебры, известные под названием //*-алгебр, изучал Амброз [1], который показал, что всякая //*-алгебра топологически и алгебраически изоморфна алгебре операторов Гильберта —Шмидта в некотором гильбертовом пространстве.

Теорема. Если Т —оператор Гильберта —Шмидта, a f — однозначная аналитическая функция, определенная в окрестности его спектра и равная 0 в нуле, то ЦТ^ —также оператор Гильберта-Шмидта, и отображение T—>f(T) пространства HS в себя непрерывно. Кроме того, если {/п} — последовательность таких функций, имеющих в качестве общей области определения некоторую окрестность N спектра оператора Т, и если fn^—^ —>f^ равномерно для X из N, то fn(T)—>f(T) в HS.

Доказательство. Если гильбертово пространство ^ конечномерно, то результат тривиален, так что мы предположим, что § бесконечномерно. По теореме 4 HS является В-пространством и алгеброй, в которой || TS |К|| Т || || S ||. Способом, описанным в § IX. 1, к HS можно присоединить единицу, в результате чего получается В-алгебра, состоящая из всех пар вида [а, Т\, где а —скаляр, а Т — оператор из HS. Норма в этой алгебре определяется равенством | [а, Т\ | ~ | а | +1| Т ||. Алгебру, полученную присоединением единицы к HS, мы будем обозначать HS+.

Поскольку пространство § бесконечномерно, из теорем 6 и IV.3.5 следует, что единичный оператор не принадлежит HS, так что HS — алгебра без единицы.

Заметим сначала, что элемент [а, Т] из HS+ обладает обратным тогда и только тогда, когда оператор al -\-Т обратим в алгебре В (3g) всех ограниченных операторов в Зд. Действительно, если [р, S] = [a, ТГ1, то [1, 0] = [а, Т] [Р, S] = [ар, aS + pT + TS], и потому р = а"1 и aS + Р7 + TS = 0. С помощью простой выкладки получаем, что тогда р/ + S = (а/ Л-Т)”1. Обратно, пусть В = = (а/ 4-7У1. Так как оператор Т вполне непрерывен, а пространство бесконечномерно, то а не может быть равно нулю, ибо если а = 0, то из следствия 5 и теоремы 6 следует, что единичный оператор I — BT вполне непрерывен, что противоречит теореме IV.3.5. Пусть S = В — а"1/. Тогда а-1ВТ = а“хВ(Т + а/ — а/) = = а"1 (/ —аВ) = — S. Поэтому S— — а"1 ВТ и по следствию 5 S принадлежит HS. Этим доказано, что если оператор (а/ + 7)-1 существует и ограничен, то [а, Т]"1 существует в HS+ и совпадает с [a-1, SJ.

Следовательно, спектр оператора Т из HS, если рассматривать Т как элемент В-алгебры HS+, совпадает со спектром оператора Т, если его рассматривать как элемент алгебры В(^) всех ограниченных операторов в ^. Поскольку в любой В-алгебре операция перехода к обратному элементу непрерывна (IX. 1.3), отображение X—> [X, — Г]"1 непрерывно при Х^о^Т). Если 9 — отображение алгебры HS* в В(^), переводящее [а, Г] в al-VT, то 0 непрерывно и 0 {[X, — 71]"1} = /?(Х; Т).

Так как [X,—ТГ1 является непрерывной функцией от X на дополнении спектра о(Т), то интеграл 1*14й^жж -тгмх,

с

где С — положительно ориентированная спрямляемая жорданова кривая, содержащаяся в области определения функции f и охватывающая спектр <т(Т), существует в смысле нормы пространства HS¥. Если |р, U\ — элемент из HS\ равный интегралу [*], то по теореме III.2.19

pN U- 0{|р, (Л}=2^$/(М№ П^ = /(Л.

с

Покажем, что ц —0. Пусть ц— мультипликативный линейный функционал на HS\ ^определенный равенством т) {[а, Т]} = а. Так как т) является гомоморфизмом, то т, {[X, Г]-1} = X"1, а так как т] непрерывен, то из теоремы III.2.19 (с) следует, что

P = W« ^1)= 2^7 $ /(^)^^Х = /(0).с

По предположению / (0) = 0, так что / (Г) = U, и потому / (Г) принадлежит HS.

Если lim Тп = Т по норме пространства HS, то из леммы VII.6.5 следует, что для всех достаточно больших п контур С, по которому берется интеграл [*], охватывает спектр ст(Тп)- Из следствия VII.6.3 получаем, что в смысле сходимости по норме в HS* lim IX, — ТПГ1 = [Х, — Т]"1 П-*ОО

равномерно относительно Х^С. Таким образом, по теореме Ш.2.19

lim f(Tn) = lim 0 (^М /(Х)[Х, -Wdx} =

П-юоTWoo V'

=Tw=fin

c

где предел понимается в смысле сходимости по норме в HS.

При доказательстве последней части настоящей теоремы мы, очевидно, можем предполагать, что контур С в интеграле [*) лежит целиком внутри множества N. Тогда

/(П=е{^$/(№.-Л"1^}-

- Um 0 { X ( /„ (X) |Л, - ТГ dll = lim к (Т)п-tee I и,) п-^оо

в смысле сходимости по норме в HS, ч. т. д.

Как было показано в предыдущей теореме, алгебра операторов ГильбсртИ-Шмидта возникает из алгебры конечномерных операторов при замыкании последней по норме более сильной, чем обычная норма в В(^). Поэтому естественно ожидать, что некоторые свойства конечномерных операторов, которые в случае общего линейного оператора в гильбертовом пространстве безвозвратно теряются, сохранятся для операторов Гильберта — Шмидта. Чтобы показать, что это в самом деле так, нам понадобится вывести ряд неравенств для операторов в конечномерном гильбертовом пространстве. Наиболее важными из них являются хорошо известное «детерминантное неравенство Адамара», открытие которого в начале этого века проложило путь к пониманию интегральных операторов, и замечательное неравенство Карлемана, приведенное в теореме 15.

В следующих нескольких теоремах мы будем иметь дело с конечномерными гильбертовыми пространствами и изложим некоторые элементарные факты, связанные с понятием следа оператора.

Определение. Пусть {х1? ..., хп} —базис в конечномерном комплексном гильбертовом пространстве Еп. Пусть А —оператор п

в £п, и пусть1) Axt= 2 atjXj, /=1, . п. След оператора А, обозначаемый символом tr(A), определяется равенством

tr (Л) = 2 «и г=1

х) Заметим, что такое определение матрицы, соответствующей оператору Л, отличается от того, которое обычно применяется. Это отличие приводит к тому, что если A—>(atj)1 B—^btjY то АВ —> (bij) (аи) вместо обычного АВ—> (аи) (btjY Это следует иметь в виду и при доказательстве леммы 6.21, где речь идет о приведении оператора к треугольному виду.— Прим, персе.

В лемме 9 будет показано, что след оператора А не зависит от выбора базиса {х/}, участвующего в его определении. Вполне очевидно, что след является линейной функцией от А.

Лемма. След оператора А в Еп не зависит от базиса, используемого при его определении. Кроме того, если А и В — какие-нибудь операторы в Еп, то tr (АВ) = tr (ВА).

Доказательство. Докажем сначала второе утверждение. Пусть it

Bxt 2 ЬИх3. Тогда

ABxt = 22 buajkXk, BAxt =22 at3b*xh.5=1 k—15=1 k=l

Следовательно,

к(ДВ)= 2 2 biAi = tr(BA).i=l ?=1

Чтобы установить справедливость первого утверждения, рассмотрим и Еп какой-нибудь другой базис ^yt, ..., упу Тогда оператор С, определенный соотношениями yt — Cxi, / = 1, ...,п, взаимно однозначно отображает Еи на себя. Вычислим след оператора А по отношению к базису Ууи ..., упу Заметим, что

ЛС"1^ = Axt = 2 “uxJ = С"1 2 “иУь5=15=1

так что

п

САС ^Уг = 2 ^ijtij-

5=1

Отсюда следует, что след оператора САС"1, вычисленный отно- п

сителыю базиса ^у3у равен 2 °и- По уже доказанному след опе- < 1

ратора САС' совпадает со следом оператора А = С-1СА при условии, что оба следа вычисляются относительно базиса ^у,, ..., упу Это доказывает справедливость первого утверждения.

Напомним, что характеристический многочлен Д (X) оператора А в Е" находят, представляя оператор А матрицей в каком-нибудь удобном базисе пространства Еп и вычисляя определитель матрицы X/— А, а именно

Д(X) = det(X/-Д).

Используя элементарные свойства определителей, легко пока^ зать, что А(Х) не зависит от выбора базиса.

Лемма, (а) След оператора А в Еп равен коэффициенту при V"1 его характеристического многочлена, взятому с обратным знаком.

След оператора в Еп равен сумме всех чисел, принадлежащих спектру оператора, причем каждое из этих чисел считается столько раз, какова его кратность как корня характеристического многочлена.

След нильпотентного оператора в Еп равен нулю.

Доказательство. Если ^х^ . .., хп} — базис в Еп и Axt«

= 2 аИхЬ т0

7=1

X— а^—а^••• —а^п

Д (X) = detД (X) = det— #21X — ^22•••— #2п

Д (X) = det

Д (X) = det

^nl^п2•••^ ^пп

Вычисляя этот определитель, мы видим, что он представляет собой многочлен А (X) = X” —^Х””1 + ... + сп, гдес! = tr (Л). Чтобы доказать утверждение (Ь), достаточно вспомнить, что спектр а (Л) состоит из всех чисел X, для которых матрица X/ —Л сингулярна, т. е. из всех X, для которых А (X) = 0. Так как сумма корней уравнения А(Х) = 0, если считать m-кратный корень т раз, равна щ, то утверждение (Ь) доказано. Наконец, если оператор А нильпотентен, то о(Л) = {0}, так что в силу (b), tr (Л) = 0, ч. т. д.

Лемма. Если А — линейный оператор в пространстве Еп, сг (Л) = {Х±, ..., ХА} и если mi = dim Е (Х^; А)Еп, /= 1, ..., к, к

то 1г(Л)= 2 mt^t-

г=1

Доказательство. Если Хг£<т(Л), то по теореме VII. 1.7 оператор A—Xtl нильпотентен на Е (Хг; Л) Еп. Следовательно, АЕ{Хг; Л) = = ХгЕ(Хг; Л) + М, где N, — нильпотентный оператор в Еп. Так к

как 1 = 2 £ (X;; -^)> то

г=1

кк

A=^kiE (Хг; Л)+ 2 Nt.

г=1г=1

След является линейной функцией оператора; кроме того, если Р — проектор, то, выбирая в качестве базиса в Еп теоретико-мно- 12^3аказ № 134

жественное объединение базиса в Р£" и базиса в (1 — Р)Еп, получаем немедленно, что tr (Р) = dim РЕп. Из этого замечания к

и леммы К) (с) следует, что tr (Л) = 2 тАь ч. т. д.

i=l

Замечание. Число dim£(m А)Еп равно кратности р как корня характеристического многочлена оператора А. Этот результат содержится в упражнении VII.2.3; учитывая это, заключаем, что

в формуле 1г(Л)=2/иАг леммы 11 число mt можно считать г=1

кратностью Xi как корня характеристического многочлена. Так определенная кратность точки спектра р отлична от размерности многообразия {х|х^£п, Ах = рх} собственных векторов оператора А, соответствующих собственному значению р. Для самосопряженных, или эрмитово-симметричных, матриц эти два понятия кратности совпадают. Если Л —оператор в £п, то мы будем говорить, что Ли ..., Хп — собственные значения оператора А с учетом их кратностей, если каждое Xt является собственным значением оператора А и каждое собственное значение р оператора А встречается в этом списке т раз, где т= dim# (р; Л) Еп. Аналогичная терминология будет в дальнейшем употребляться для операторов Гильберта — Шмидта.

Теорема. (Неравенство Адамара.) Если (а^ есть пхп-мат- . рица комплексных чисел, то

ИI det (аи)|с [ШМ)1'1.

j=l г=11

Заметим, что это неравенство можно интерпретировать как утверждение, что объем ^-мерного параллелепипеда никогда не превосходит объема прямоугольного параллелепипеда со сторонами той же длины.

Доказательство. Это неравенство очевидно для п—\ и легка может быть проверено для п--2. Предположим, что оно справедливо для п — 1, и продолжим по индукции. Пусть (а^ есть п х п- матрица. Рассмотрим в пространстве Еп множество, состоящее из п элементов и,= [а^, a2j, ..., апД, /= 1, ...^п. Если Ui = 0, то обе части неравенства [*] обращаются в нуль, и результат п

тривиален. Если | щ | = ( 2 I ах 12|1/2 ^ 0, то, поскольку обе части

неравенства [*] однородны по иь можно считать, что | | = 1. Пусть и1? у2? • • •» уп —ортонормальный базис в Еп, причем у^и^

и пусть W — унитарный оператор, определенный равенствами Wvt = = [1,0,0, ..., 0], Гу2 = [0, 1, 0, ..., 0], ..., W = [0,0,0, ..., 1]. Так как абсолютная величина определителя унитарного оператора в Еп равна 1, то

| det (ац)\ = | det (ub и2, ..., ип)| = | det (W) det (иъ u2, ..., u„)| = = | det №иь Wu2l ..., W«n)|.

Пусть [tylft, ..., шпй] — координаты вектора Wuh. Тогда, так как

! = [1, 0, 0, ..., 0], то

det№, Wu2l . .., Wun^det№, Wu2l . .., Wun^1010Wvz. . . . Wln^22 • • • ^2nWvz. . . . Wln^22 • • • ^2n®22 • • • Wto®22 • • • Wto

det№, Wu2l . .., Wun^

det№, Wu2l . .., Wun^

1

0

1

0

Wvz. . . . Wln

^22 • • • ^2n

Wvz. . . . Wln

^22 • • • ^2n

®22 • • • Wto

®22 • • • Wto

00^п2 • • • Wnn^п2 • • • WnnЮп2 • • • WHn

0

0

^п2 • • • Wnn

^п2 • • • Wnn

Используя предположение индукции, заключаем, что

|det(^)|< fl

;=2 г=2 Но так как

г=2'г=1

и |ui|=l, то это доказывает теорему.

Неравенство Адамара ниже будет применено в следующей ситуации. Пусть (а^) — матрица оператора А в Еп относительно ортонормального базиса 6i = [l, 0, ..., 0], ..., 6п = [0, ..., 0, 1]. Обозначим через А^ алгебраическое дополнение элемента ац, т. е. Ац представляет собой умноженный на (—l)1^ определитель (п — 1) х (и — 1)-матрицы, получающейся из матрицы (а^) вычеркиванием Z-й строки и /-го столбца. Тогда det (Л) = = 2 аиАИ Ъ 2 aijAik = 0 при j^=k. Если оператор А взаимно г=1г=1

однозначен, то из правила Крамера для вычисления А"1 получаем, что матрица оператора det (Л) Л"1 относительно базиса 6Ь ..., 6П совпадает с матрицей, транспонированной к матрице (Л^). Следовательно, если х = [|ь ..., ^] и y=[^i, ..., £nL то

det(4)(X’4//)= 2 АиШ

г, 5=1

G другой стороны,

det (Д) (А^х, у) — —

О £1

ац

^п

O^in

^п @п! . . . апп

в чем можно убедиться, разлагая определитель в правой части по первому столбцу и первой строке и учитывая предыдущее равенство. Неравенство Адамара будет применено для оценки этого определителя.

Лемма. Пусть (а^) — матрица”взаимно однозначного оператора А в Еп относительно базиса 6f = [1, О, ..., 0], ..., 6„ = ™[0, ..., 0, 1]. Тогда дубль-норма оператора А выражается формулой

ИII -I 5 |Ди12)1/е.

i -I

Кроме того, если х -1^, ..., £„] и ^ = [Б1, ..., ?п] —два вектора в К", то

0 Ci ... ^

। Ei аи аХп Iх|.|у 1-11 лII"-1

5п ОП1 • • * ^пп

Доказательство. Первое утверждение, которое справедливо и без предположения о взаимной однозначности оператора Д, вытекает из следствия 3. Если х = 0, то неравенство ['] тривиально. В силу однородности этого неравенства по х достаточно рассмотреть случай, когда |х| = 1. По аналогии с доказательством теоремы 12 рассмотрим такой унитарный оператор W, действующий в Е\ <jto х W6n. Из предыдущих замечаний следует, что последнее утверждение леммы равносильно неравенству

|det(Д)(Л-% //)|<|z/| ||Д||-х(п-1)-(п-‘>/2.

Так как оператор W унитарен, то det (Л) = det (№-1Л№) и (Л-1х, z/) = = (Л-’1Гб„, у) = (W-iA^WSn, W^y). Полагая B = W-1AW, имеем В"1 = W^A-1 W, а из леммы 2 следует, что ||В|| = ||Л||. Кроме того, поскольку оператор W унитарен, вектор z = W~xy имеет норму |z| = |z/|. Следовательно, утверждение, которое требуется доказать, может быть записано в виде

| det (В) (В-16„, 2)|<|z| HBr^-1)4"-072

Выписывая определитель, стоящий в левой части этого неравенства, видим, что достаточно доказать лемму в частном случае, когда 0 = ^= ... =^п_1 и 1=£п- Таким образом, определитель, который требуется оценить, имеет вид

£1• • • £п£1 ^11 • • • ап-1,1

^11• • • Clin

#n-l, 1 • • • #n-l,n £п ^1п • • • ^n-1, п

Пусть D обозначает абсолютную величину этого определителя. Тогда неравенство Адамара показывает, что

(*]жип1 (з 1«о-1з}1/а-

г= 1 j= 1

Так как среднее геометрическое конечного набора положительных чисел не превосходит их среднего арифметического (ср. VI. 11.34), то

ЯА1!/1—1ЯА1!/1—1П—1П—1n—1 пn—1 п

ЯА1!

/1—1

ЯА1!

/1—1

П—1

П—1

i=l j—1i=l j=l

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратный корень и комбинируя получающееся неравенство с [*], видим, что

.о / I у I 1МИ"-1

Лемма доказана.

Лемма. Пусть Л—оператор в п-мерном гильбертовом пространстве Еп; предположим, что 1г(Л) = 0. Тогда в Е" существует такой ортонормальный базис (ф^ ..., фп}, что (Лф;, ф;) = = 0, l^t‘C/2.

Доказательство. Если /2=1, то Л = 0, поскольку 1г(Л) = 0, и утверждение очевидно. Докажем по индукции, что в £" найдется такой ненулевой вектор ф, для которого (Лф, ф) = 0. Рассмотрим сначала случай /2 = 2 и предположим, что в £2 выбран такой ортонормальный базис, в котором матрица оператора Л имеет треугольный вид

/а 0N

\b —а) '

Пусть ф = [1, г), так что (Лф, ф) = о(1 — |z|2) + 6z. Если а = 0, мы полагаем z = 0. Если же а ^ 0, то пусть z = ret8, где 0 выби-

рается так, чтобы число с^Ьа^е"19 было вещественным, аг — положительный корень уравнения г2 — сг —1=0. Легко видеть, что в обоих случаях (Лф, ф) = 0.

Пусть теперь п >2. Допустим, что утверждение, которое мы должны доказать, неверно. Тогда

min | (y4q>, ф)|>0.

№i=i

Так как единичная сфера в Е" компактна, то на некотором векторе ф( этот минимум достигается. Пусть т = ^А^х, ф^. Выбирая ортонормальный базис {фь ..., фп}, имеем по предположению

tr (Л) = т + 3 Ифь фг) = °-£=2

Это равенство можно переписать в виде

2(£(л+ст,)ф" i-)=0' £=2

где Е — самосопряженный оператор проектирования пространства Еп па подпространство 3, порожденное векторами фг, ..., фп- Очевидно, что оператор Е ^Л V пгг\ 1^) отображает 3 в себя. Поэтому из предположения индукции следует, что в 3 найдется ■ единичный вектор ф, для которого

Поскольку £ф = ф, это означает, что

Иф, фН-^-

Таким образом,

I Иф, ф) I - - j£y < 1Ифь Ф1) I,

что противоречит определению вектора <рР Следовательно, Ифи фО -0.

Мы можем теперь закончить доказательство леммы по индукции. Пусть ф — такой вектор нормы 1, что (4ф, ф) = 0- Пусть So — ортогональное дополнение к одномерному подпространству, натянутому на ср, и пусть Ео — оператор ортогонального проектирования пространства Еп на So- Было отмечено, что лемма справедлива в случае п—\\ предположим теперь, что она справедлива для (п — 1)-мерного пространства. Тогда в So существует такой ортонормальный базис {ф2> • • • > %}» Для которого (Ео^фь ФО =

= И^» ^0 = °» 2<Z<n). Ясно, что {ср, ф2, ---^п} представляет собой искомый базис в Еп, ч. т. д.

Теорема. Пусть А —оператор в Еп и Хь Х2, ..., Хп — его собственные значения с учетом их кратностей; пусть Х^О — комплексное число, не принадлежащее спектру оператора А. Тогда

|f((l_^M(u_^|<|X|{expl(l+^ г=1

Доказательство. Пусть В = А(Х, так что по теоремам VII.3.11

и VII.3.19 а(В) = {Х1/Х, ..., Хп/Х} и E^/l; B) = E(Xf, А). Кроме п

того, tr (5) = 2 Х;/Х = tr (Л)/Х. Пусть N — какое-нибудь целое г=1

число больше |tr(B)|. Для каждого такого N определим в пространстве En@EN оператор BN соотношением BN\x, у] = = [Вх, (— 1/vV) tr (В) у\. Ясно, что 1г(В^) = 0 и что собственными значениями оператора I — BN являются числа

1Xi1Xn 1 I tr (В)1 I tr (В)

X ’ • •X ’1 N ' • • *’1 N •

Следовательно, определитель det (Z — BN) равен произведению этих чисел, т. е.

о) det(/-B^i=|(i + ^®yn(i-b)|. г=1

Так как (l/^) | tr (В) | < 1 и X ^ Хк, то обратный оператор (/ — В^"1 существует, и легко видеть, что

U-BNy4x, yA^I-B^x, Q+^tr(S)y\] .

Поэтому | (/ —В)-1| ^ | (/ —Вл)_] |, так что

| det (/ - BN) |.| (/ - B)-i | | det (/ - BN) | | (/ - BNyi |.

Из леммы 13 следует, что

| det (/- B1V) ■ | (, - B.,)- |'

Далее, так как tr (B^) = 0, то по лемме 14 в En@EN существует такой ортонормальный базис гь ..., 2n+N, что (BNzh, zk) = 0. На главной диагонали матрицы оператора I — BN относительно

базиса г^ ..., zn*N стоят единицы, а на остальных местах — соответствующие элементы матрицы BN, взятые с обратными знаками. Следовательно,

^l-B^-N + n^M^N + n + N-^tr^W

Комбинируя формулы (I) —(IV), получаем

K'+^XnO-^c'-^l*

г=1

(V+n+N-i| tr (В) I+ 11 В ||2)(W+n-n/2

/|tr(S)|2 , ||В||2 X (N+n-i )/2

_ < ’r7V^+n) ^N-Yn)

—/1X(lV+n-l)/2

V N-Vn)

Это неравенство выполняется для всех достаточно больших N, и потому п

|е'г<»оП(1-^) (/-В)-1|<ехр{1(1+||В||2)} .

Отсюда немедленно следует справедливость утверждения леммы, п

если вспомнить, что B -AJX и что tr(B) - У Xt/X.

Установив эти предварительные теоремы, относящиеся к случаю конечномерного пространства, вернемся теперь к изучению операторов в общем гильбертовом пространстве. Желательно было бы обобщить понятие следа на некоторые операторы в гильбертовом пространстве; на первый взгляд может показаться, что данное выше определение следа непосредственно применимо к операторам Гильберта —Шмидта. Однако, как показывает следующий пример, это неверно. Пусть {хп} —ортонормальный базис в гильбертовом пространстве §, и пусть Т — линейный оператор, определенный равенствами Тхп~-хп]п. Тогда ряд

П"1П=1

сходится, так что Т является оператором Гильберта —Шмидта, в то время как ряд

который мы могли бы надеяться использовать для определения следа tr(T), расходится. Итак, след не может быть определен таким способом для любого оператора из класса HS. Мы увидим, однако, что если Т = UV, где оба оператора UuV принадлежат классу HS, то ряд

2 (7Х, хп) = 2 (Vxn, ич^ П=1П=1

сходится и определяет полезное понятие «следа». Это незначительное изменение в подходе по сравнению с конечномерным случаем оказывается достаточным для того, чтобы можно была развить теорию вплоть до обобщения теоремы 15 на произвольные операторы Гильберта —Шмидта.

Лемма. Если S и Т — операторы Гильберта —Шмидта, в гильбертовом пространстве ^ и если {ха} —полный ортонормальный базис в ^, то ряд 2 (S^a> Т*ха) абсолютно сходится a

к пределу, не зависящему от базиса.

Доказательство. Пусть {ха} и {г/р} —два ортонормальных базиса в $. В силу неравенства Шварца и теоремы IV.4.13

2 I (Sxa, у^) (гч^) | < (2 I (Sxa, ур) Н1/2 (21 (ТЧа, У^ |2)1/а= а, ра, ра, р

= (21 sxa |2}1/а (21 тча Н1/а=|| s || • || т* и. аа

Таким образом, двойной ряд

[ ]2 ^Ха, у^ ^*ха1 у^

а, р

абсолютно сходится; поэтому соответствующие повторные ряды? сходятся и их суммы равны. По теореме IV.4.13

11 2 (Sxa, ТЧ^ = 23 (Sxa, г/р) (ТЧа, у^ = ava р

= 22 (Ту^, xa)(S*y^, xa) = 2(Tz/p, S*y^. paP

Таким образом, сходимость и равенство повторных рядов, соответствующих двойному ряду ['], влечет сходимость и равенство- только что выписанных одинарных рядов. Беря в качестве {г/р} тот же самый базис {ха}, видим, что 2 (Sxa, ТЧа) = 2 (Тха, S*xa), аа

так что это выражение симметрично относительно S и Т. Отсюда,.

«еще раз применяя ["], получаем, что это выражение не зависит от базиса, ч. т. д.

Определение. Если S и Т — операторы Гильберта —Шмидта в ф, то следом пары S, Т назовем выражение

tr(S, T) = S(Sxa, Т*ха), .а

где {ха} — какой-нибудь ортонормальный базис в ^.

Теорема. След является симметричной билинейной функцией, определенной на произведении пространства HS на себя. Кроме того, если S и Т принадлежат HS, то

|tr(S, T)|^||S||.||T||, tr(T, Т*) = \\Т\\2-

Доказательство. Симметрия следа и неравенство | tr (S, Т) | ^ ^ || S || • j| Т || были установлены в ходе доказательства предыдущей леммы. Билинейность и соотношение tr (Т, Т*) = || Т ||2 вытекают непосредственно из определений 1 и 17.

Из полученных выше результатов легко следует, что HS — гильбертово пространство относительно скалярного произведения jS, T]^tr(S, Г*). Хотя этот факт представляет определенный интерес, но он не найдет в дальнейшем изложении сколько- нибудь значительных применений. Однако сам по себе след является полезным инструментом.

Следствие. Функция tr(S, T)t рассматриваемая как ото- , бражение пространства HS ф HS в поле комплексных чисел, непрерывна.

Лемма. Пусть Т — ограниченный конечномерный линейный «оператор в гильбертовом пространстве & Пусть % — нуль-пространство оператора Т, а Е —оператор ортогонального проектирования на какое-нибудь конечномерное подпространство пространства §, содержащее 91 ^. Тогда

спектры операторов Т и ЕТ совпадают;

если f — аналитическая функция из класса ^ (Т) (ср. VII.3), такая, что ЦО)-—^ то f(ET) = Ef(T), ЦТ) = = ЦТ)Е, tr (ЦТ), Т)^1г(ЦЕТ), ET), a tr (ЦЕТ), ЕТ) совпадает co следом сужения оператора ЕТЦТ) на конечномерное подпространство Е^.

Доказательство, (а) Поскольку пространство § бесконечномерно, точка 0 принадлежит спектру каждого из операторов Т и ЕТ. Допустим, что число Х^О принадлежит спектру оператора Т. Так как оператор Т вполне непрерывен, то по теореме VII.4.5 X является его собственным значением, т. е. Тх=^Хх

для некоторого ненулевого вектора х из Sg, и потому (ЕТ) (Ех) = = ХЕх, ибо Т^ТЕ. Следовательно, X принадлежит спектру оператора ЕТ1). Обратно, предположим, что отличное от 0 число X принадлежит спектру оператора ЕТ. Тогда для некоторого ненулевого вектора х из Е^ имеем ЕТх^Хх. Поэтому Tx = Xx-Vy, где у принадлежит подпространству (/ —Е)^, а потому и нуль- пространству оператора Т. Положим и = Х-1у. Тогда Т(х^и) = = Х(х-уиУ следовательно, X является собственным значением оператора Т.

Пусть X принадлежит резольвентному множеству оператора Т. Легко проверить справедливость тождества

XI - Т = (XI - ЕТ) Г1 (I - Е) (XI - Г) + (XI -ЕТ^Е,

раскрывая скобки в правой части и учитывая, что Т = ТЕ. Умножим это тождество слева на (XI —ЕТ)-1 и справа на (Х1 — Ту\ получим

[*](XI - ЕТу1 = Г1 (I - Е) + Е (XI - ту1.

Предположим, что аналитическая функция f принадлежит классу ^ (Ту а значит, в силу (а) и классу ^ (ЕТ), и что /(0) = 0. Учитывая соотношение [*], выбирая подходящий контур интегрирования С и используя определение оператора f (Ту данное в § VII.3, получаем

№Т>4\№№- ЕТ^ dX = 2-Й { S Т ^U-EH сс

+ ^Е $ fW(M — T)"1dX = f(O)(l — E)-\-Ef(T) = Ef(T). с

Почти таким же способом можно доказать, что f (Г) Е = f (ТЕ), а это показывает, что f (Т) Е = f (Т), поскольку Т — ТЕ.

Пусть {ха, а£ Л} —ортонормальный базис в ^. Так как подпространство Е^ конечномерно, без ограничения общности можно предположить, что в А имеется такое конечное подмножество В, что (ха, agВ)— ортонормальный базис в Е^, а (ха, а^Л— В) — ортонормальный базис в (I —Е) ^. Тогда, поскольку Т = ТЕ, имеем Т* — ЕТ* и

I']tr(f(ET), ET) = tr(Ef(T),ET) =

= 2 (Ef(T)xa, (ЕТ)*ха) =

а^А

х) Вектор Ех не равен нулю, ибо в противном случае х ^^^ откуда Хх = Тх = 0.— Прим, перев.

= S W)x«, Т*Ха) = аЕВ

= ^ETf(T)xa, ха) =

= Ix(ETf(T)\E^).

Так как /(7)Е = /(7), то /(7)(/-£) = 0 и f(7)xa = 0 для а( А — В; и из третьей строки соотношений ['] следует, что

tr(/(T), T)=^f(T)xa, Т*Ха) =абА

= 3 (/(7) Ха, Т*Ха^ аев

= tr(f(E7), ЕТ).

Доказательство закончено.

Лемма. Пусть Т— линейный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве Е", и пусть Xi, . ..,Хп — его собственные значения с учетом кратностей. Тогда в Е" найдется такой ортонормальный базис {xj, для которого

(Txi, Xi) — Xt, i=l,...,n.

Доказательство. Покажем, что в Еп существует ортонормальный базис {х*}, в котором матрица (aij) оператора Т имеет треугольный вид, т. е. ац — 0 при j>i. Докажем это индукцией по п. Если п=1, то утверждение очевидно. Пусть п>1, и пусть Я— собственное значение оператора Т. Тогда оператор Т — XI отображает Е" в некоторое подпространство So ф Е". Пусть S —такое (п—1)-мерное подпространство в £п, что SsS0. Тогда поскольку подпространство S инвариантно относительно оператора Т— XI, в нем по предположению индукции найдется такой ортонормальный базис {xn ...,xn-i}, что ((Т— XI) xt, х,) = 0 при />/. Пусть хп —вектор с нормой 1, ортогональный к S, так что {xi, ..., хп)—ортонормальный базис в Е". Тогда матрица оператора Т — %.1 в базисе (xi, ..., хп} имеет своими элементами числа ((Т — XI) Хь Xj), причем ((7—Kl)xt, х,) = 0 при />1. Нужный ортонормальный базис построен.

Таким образом, определитель det (X/ — 7) можно вычислить по формуле

det (V - 7) = (Я - (7хп xt))... (Я— (7х„, хп)).

Следовательно, из замечания, предшествовавшего теореме 12, вытекает, что последовательность (7х;, х,), г = 1, ..., п, является

последовательностью собственных значений оператора Т с учетом их кратностей, ч. т. д.

Замечание. Пользуясь разложением в степенной ряд показательной функции от оператора, легко показать, что если матрица оператора А в Еп относительно базиса {xb ..., хД имеет треугольный вид с диагональными элементами Ль ..., Хп, то матрица оператора еА в том же самом базисе также имеет треугольный вид с диагональными элементами еХ1, ..., е^; таким образом, определитель этой последней матрицы равен

с^1... е^п = e(^i+ • • • +^n) = gtr (А)в

Это означает, что deteA = etr^AX Поскольку, согласно доказательству предыдущей леммы, для любого оператора найдется базис, в котором его матрица имеет треугольный вид, это тождество справедливо и в общем случае. Если 4 —такой оператор в Еп, для которого существует А"1, так что может быть определен оператор log А, то указанное тождество можно переписать в виде

det А = det е10^ А = еи <1ое А\

Это тождество будет нам полезно в дальнейшем.

В лемме 22 и в следствии из нее мы делаем существенный технический шаг, необходимый для перенесения результатов, полученных для конечномерного пространства, на бесконечномерный случай.

Лемма. Пусть X, г — комплексные числа, причем Хг^Л, и пусть

f (X, 2) = 2-1 [log(l— Xz)A-XzV

Пусть ^ха^ —ортонормальный базис в гильбертовом пространстве $, и пусть Т—оператор Гильберта —Шмидта, спектр которого не содержит точки X"1. Тогда для каждого конечного подмножества В а {ха} справедливо неравенство

|exp[tr(f(Л, Т), Т)]|<

<ехр{у 2 1^ха|2} [ехр{у 2 Ке(^а, ха)|] X жсЛВ«а^в

X П (l-2Re(ma, ха) + |МХ|2)1/2.

Доказательство. Уже было отмечено, что Тха = 0 для всех, кроме, быть может, счетного числа векторов ха. Пусть {ха.} — множество всех тех ха, для которых Тха^0; положим хг = ха{. Можно считать, что В = {хь .. .,хп}. Пусть Тд—линейный

оператор, определенный следующими равенствами:

ThXt = Тхьl<i<k,

Ткхг = 0,Ok,

Thxa = 0, xa$B.

Область значений оператора Th конечномерна, и последовательность {Тд} сходится к Т по норме Гильберта—Шмидта.

Если X" 0, то утверждение леммы тривиально. Пусть Х^=0; тогда /(X, 0) = 0. Пусть ^д —подпространство в §, натянутое на хх, ..., хи. Обозначим через Eh оператор ортогонального' проектирования $ на ^д, и пусть Th = EhTh\%h—сужение оператора EhTh на ^ь- По лемме 20

tr(f(X, Г»), Tft) = tr (fhf(X, th)).

Таким образом, используя теорему 12 и замечание, предшествующее формулировке доказываемой леммы, имеем

I euwx. тк). тк) | | ^ова-кР^+мХ) | =

= । etr(log(Z-Xfft))ek tr (З-д) । = -|det(/-%TA)||eMr(^)|<

С И I и — bth) Xi I eRc (X trc

< П I U - M'h) Xi I eRe (X tr=

1=1

к

= Д [1 -2 Re (XThXi, Xi) +1 XThXi |2]‘/2 eRe <x tr<™ = hк

- П |l-2Re(XTxif хг) + |ХТхг|2]1/2ехр15 Re(XTxb хг)Ь ^~^г=1

Задавшись натуральным числом п, выберем к^п. Тогда, применяя неравенство 1-| В<^ Для £= — 2Ке(ХТ^, ^) + |ХТ^|2, получаем, что последнее выражение в приведенной выше последовательности неравенств не превосходит

Д [ 1 -2 Re №i, Xi) +1 XTxt |2],/2 x

кAA

- 2 Re(XTx., xp (1/2) 2 |ХТхг|2 2 Re (Х.Тяг, x;)x g i=n+le i=n+l gi=l_

= п [ 1 -2 Re OTxi, Xi) +1 ХТх. (2]1/а х 1=1

П&

У Re(XTx;,x;) (1/2) У \ХТхдгХеi=1е i=n+*.

Таким образом, для каждого k>n

['] | exp [tr (/(X, Thy ТА)]|сП11-2Ке(№, хг) + № |2]1/2 X

1=1

X exp Q 2 Re ^Txi, -ti)) exp 0- 2 I ^Txt I2) • i=lj=n+l

По теореме 7, /(X, TA) сходится к /(X, T) по норме Гильберта — Шмидта. Следовательно, в силу непрерывности функции следа (см. следствие 19)

tr(/(X, ТА), 7\)-*tr(f(X, Т), ТУ

Устремляя в ['] к к бесконечности, получаем требуемое неравенство.

Следствие. Для любого е>0

lim e-£W21 exp [tr (f (X, Т), Т)]| = 0.

|Х|—юо

Доказательство. Выберем конечное множество В столь большим, чтобы выполнялось неравенство

2 |7Х|2<е.а^В

Обозначим для удобства М = 2|(Тха, ха)|. Из леммы 22 сле- аев дует, что

e-e№|exp[tr(f(X, Ту Т)1 К

< П [ 1 - 2 Re №а, ха) +1 ХТха |2]1/2 е<-£1х12+1ММ)/2. а£В

Выражение, стоящее в правой части неравенства, стремится^ очевидно, к нулю, ч. т. д.

Теперь мы можем пожинать плоды своих трудов, получая бесконечномерные обобщения основных конечномерных резуль-

татов. Эти обобщения даются в следующих двух теоремах и далее

в теореме 27.

На протяжении нескольких следующих страниц полезно помнить, что оператор N в гильбертовом пространстве квазиниль- потентен, если lim |7V"[1/” = 0 (см. VII.5.12 и IX.2.5). По лемме

VII.3.4 это равносильно условию o(V) = {0}.

Теорема. Пусть N—квазинильпотентный оператор Гильберта—Шмидта. Тогда tr(V, N) = 0.

Доказательство. Поскольку а(^ = {0}, функция f(X, N) из леммы 22 определена для любого комплексного числа X и по теореме 7 имеет своим значением оператор Гильберта — Шмидта. Так как для каждого X

.. /(Х + ДХ, z)—/(X, г) д/(Х, г)

равномерно по z в некоторой окрестности точки г = 0, то из теоремы 7 следует, что предел

,. ДХ+ДХ, ^-ДХ, N)

существует в смысле сходимости по норме в HS и равен df (X, N)ldX. Таким образом, ЦХ, N)— аналитическая функция со значениями в пространстве HS. Из следствия 19 вытекает, что функция g, определенная равенством

g(X) = tr(f(X, N), N),

ППаналитична для всех X. Ясно также (это следует из определения f(X, N)^, что g(0) = 0. Предыдущее следствие показывает, что jexp(g(X)) | = о(е®1^2) при X —> со для всякого положительного 8. Таким образом, для каждого е>0

П

П

Thn [Re(g(X))-8|X|2]C0.

|Х|->ОО

Теперь, применяя простую и хорошо известную теорему Кара- теодори из теории функций комплексного переменного (ее формулировка и доказательство даны ниже в лемме 32), из последнего неравенства получаем, что

Игл|Х|->ООИгл|Х|->ООI 8 (X) I _|Х|2 ~I 8 (X) I _|Х|2 ~0.0.

Игл

|Х|->ОО

Игл

|Х|->ОО

I 8 (X) I _

|Х|2 ~

I 8 (X) I _

|Х|2 ~

0.

0.

Таким образом, функция g(X)/X2 в точке Х = оо аналитична и равна нулю. Отсюда непосредственно следует, что g(X) в окре-

стности точки X = оо разлагается в ряд Лорана

g (X) = аХ + b + ^ + • • • •

Следовательно, функция g(X) — aX аналитична при любом X, конечном или бесконечном, и равна 0 при Х = 0. По теореме Лиувилля отсюда следует, что g (Х) — аХ = 0, т. е. g(X) = aX.

Далее, поскольку /(X, 2) = 2-1 [log(l — Х2) + ^2], ясно, что

h=2

причем этот ряд равномерно сходится для достаточно малых X и г» Таким образом, из теоремы 7 следует, что ряд

k=2

сходится по норме пространства HS для всех достаточно малых X. По следствию 19

аА = ^(Х)=-2 -^-tr^"1, N).

k=2

Отсюда немедленно следует, что tr(N, N) = 0, ч. т. д.

Теорема. Пусть Т— оператор Гильберта — Шмидта, пусть Аь Х2, ... —последовательность его ненулевых собственных значений с учетом их кратностей. Если f и g— функции, аналитические в окрестности спектра оператора Т и равные нулю в начале, то /(Г) и g (Т) —операторы Гильберта — Шмидта, и

г=1

причем ряд в правой части абсолютно сходится.

Доказательство. Покажем сначала, что

иsif(w<o°-

г-1

Из теоремы 7 и теоремы об отображении спектра (VII.3.19) следует, что достаточно рассмотреть случай f(z) = z и доказать, что

[**]2|^|2<оо.

1=1

13 Заказ № 134

Пусть f^; Т) — проектор, определенный в § VII.3, и пусть Тп — сужение оператора Т на подпространство

S Е^; Г) %.i=l

Ясно, что Ab ..., Хп являются собственными значениями оператора Тп в ^п. Так как, кроме того, ||ТП||С||Т||, а из леммы 21 и следствия 3 мы имеем-

31*гММ2,

то неравенство [**] справедливо.

Таким образом, абсолютная сходимость ряда S f (М g (М 1=1

следует из [*] и неравенства Шварца. Пусть $'—замыкание подпространства 2 Е(Хг, Т)^, и пусть $”—ортогональное дополнение к 6'. Пусть {ф„) — ортонормальный базис в $', выбранный так, что {фп .... <pnj— базис в $ь {фЬ ..., ф„2} —базис в g2 и т. д. Пусть {фа} — ортонормальный базис в ^". Тогда, очевидно, из определения 17 следует, что

М/(Л, 5(Л) = 3 Um^b g(T)^t) + ^(f(T)^a, g(T)*%).1=1a

По теоремам VII.3.20, VII.3.19 и лемме 10

ООnj•

2 (ЦТ)^, ^(Л*фО = Ит2 (/(Т)Фг, g(T)*^ = г=1з->оо г=1

-limtr((^)(T)|^)=§ g^f^.

j->ooг=1

Доказательство настоящей теоремы будет, следовательно, закончено, если мы покажем, что 2 (/ (Л Ф«> g ФТ фа) = 0.

Поскольку (/(Л Фа, 5(Т)*фа) = (8(Г)фа, КГ)*^ау справедливость нужного нам равенства следует, очевидно, из справедливости трех соотношений

2 (/(Л Фа, /(Т)*Фа) = 0,

142(^(ЛФа, й(Л*Фа) = 0,

а

2((Н5)(ЛФа, (/ + ^)(Л*Фа) = 0,

которые все имеют одну и ту же форму; поэтому достаточно привести доказательство первого из них. По теореме VII.3.20 оператор f (7) отображает пространство ^ в себя, а потому f (Т) отображает ^" в себя. Пусть /(7)*|^" = S. Тогда по теореме 7, лемме 2 и определению 1 S является оператором Гильберта-Шмидта. Имеем

(Pf (Т) х, ^ = у (О х, у) = (X, / (Т)* у), х, у € Г,

где Р — оператор ортогонального проектирования на §". Таким образом, Pf (Т) | У = S*. Следовательно, первое из соотношений ['1 равносильно утверждению

И tr(S, S)-0.

Из теоремы 24 следует, что для того чтобы доказать ["], достаточно показать, что оператор S квазинильпотентен. Если S не является квазинильпотентным оператором, то по теореме VII.4.5 существуют такое ненулевое комплексное число р и такой ненулевой вектор хС §", чю Sx = px. Поэтому снова по теореме VII.4.5 Е (р; ЦТУ^"=^\ОУ Из абзаца, следующего за определением VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 следует, что

Е^; ЦТП = Е&; ЦТ»*.

Тогда, согласно теореме VII.3.20, найдется такое ненулевое комплексное число v, что Е (v; 7)*^" =у{0}. Однако, поскольку по определению (§", Е (v; 7) ^) = 0 для любого ненулевого комплексного числа v, мы получаем противоречие, которое доказывает справедливость настоящей теоремы.

Теорема. Пусть Т — оператор Гильберта — Шмидта с ненулевыми собственными значениями Х1? Х2, • • • с учетом их кратностей. Тогда бесконечное произведение

2=1 "

сходится и определяет функцию, аналитическую при Ху 0. Для каждого фиксированного ХуО эта функция является непрерывной комплекснозначной функцией на В-пространстве всех операторов Гильберта —Шмидта.

Доказательство. Заметим сначала, что если £ —комплексное число и | ^|< 1, то

при £—>0. Пусть /(£) = £ 1 log{еЦ1—£)} и g^ = t>, так что функции fug аналитичны всюду, кроме £=1, и равны 0 при ^=0. Если Г —оператор Гильберта —Шмидта, все ненулевые собственные значения которого Хц Х2, ... отличны от 1, и если Х=#0, то, согласно VII.3.11, оператор Т/Х имеет собственные значения Xt/X, Хг/Х, ... . Применяя теорему 25, получаем

к=1_

причем ряд в правой части абсолютно сходится, если X Ф Хи для всех к.

Так как Хд—>0, то из оценки [*] следует, что ряд

2 log {Л« (,_**)}

сходится равномерно и абсолютно на каждом компактном множестве чисел X, не содержащем ни точки 0, ни никакой из точек Хд. Поэтому, потенцируя, получаем, что произведение

равномерно сходится на каждом таком компактном множестве. Так как это произведение, очевидно, сходится к нулю при X = Xhl то легко видеть, что функция <рх (7^) аналитична при Z=£0 и обращается в нуль лишь при Х^о(Г\

Осталось показать, что если Z=^0, то функция фх(Т) непрерывна по Т относительно нормы Гильберта —Шмидта в HS. Рассмотрим в HS такую последовательность {Тп}, что || Tn —Т ||—>0. Тогда если С — компактное подмножество множества q(T), то из неравенства | Тп — Т|<|| Тп — Т\\ и леммы VII.6.3 следует, что C^q(T71) для всех достаточно больших п. Если / — функция, введенная в начале доказательства, то для достаточно больших п операторы / (ТЛА) определены для всех X из С и по теореме 7 принадлежат HS. Из теоремы 7 следует, что

равномерно по X на компактном множестве С. Таким образом, по теореме 14 '

равномерно по X на С.

Далее, поскольку фЛ(Г) = ехр{1г (/(ГА), ТА)} для X из р(Т), из предыдущего соотношения следует, что

фх^Н Итфх^п)

равномерно по X на С. Но для каждого п функция фх(Тп) аналитична при Х=^0. Следовательно, если С —контур, не охватывающий точку Л = 0, то из равномерной сходимости последовательности {фх(Гп)} на С и принципа максимума модуля вытекает равномерная сходимость этой последовательности внутри контура С, даже если С охватывает ненулевые точки спектра о (Г). Поэтому фх (Тп) —хрх (?) Для всех Л=^0, что доказывает непрерывность на HS отображения Т —>фх(Т), ч. т. д.

Предыдущие результаты дают довольно много информации относительно распределения собственных значений оператора Гильберта —Шмидта. Мы видели, что такой оператор может иметь не более счетного числа собственных значений, причем они должны достаточно быстро сходиться к единственной предельной точке Х = 0, чтобы ряд 2IM2 сходился. Кроме того, существует такая аналитическая при Х^О функция фх(^), что ее нули в точности совпадают с ненулевыми собственными значениями оператора, причем эта аналитическая функция является довольно простой. Используя свойства функции фх(Г), изложенные в теореме 26, мы в состоянии теперь распространить фундаментальное неравенство Карлемана, полученное в теореме 15 для операторов в конечномерном пространстве, на произвольные операторы Гильберта —Шмидта.

При изложении следующего результата мы продолжаем пользоваться обозначением

фх(Л=П (1-^)^;

/1=1

напомним, что функция фх(Т) аналитична при Х^О и равна нулю на множестве о(Г) —{0}.

Теорема {Карлеман). Если X принадлежит резольвентному множеству оператора Гильберта —Шмидта Т, то

I <рх (Г) (V - Ту1 | < | х I exp {-1 ( 1 +.

Доказательство. Из теорем 26, 6 и леммы VII.6.1 следует, что достаточно рассмотреть случай, когда область значений 31 оператора Т конечномерна. Пусть ^ — область определения оператора Т, и пусть 91 — {х£ § | Тх^ 0}. Тогда оператор Т отображает 91"1" взаимно однозначно на 31. Таким образом, подпрост-

ранство JR'1’ должно быть конечномерным. Пусть ^ — одномерное подпространство в 91, 5011 = 91х + ^ + ® и % — 3Jti". Тогда ТЮ12 0 11 f^b s ЭЛ1. Положим 7\ = 7’|9Л1. Тогда ясно, что ЦТ,!! ||7’||, п(Т1) = о(Т), фя (Л) = <Рх (Л • Кроме того, если /И1 € 89^1 и /zz2 € 90^2, то (X/ —Г) 1(т1 + т2) = (Х/ —TJ^mt + X"^. Таким образом,

| (X/ - ТГ | = max (| X"11, | (X/ - Т^ |).

С другой стороны, неравенство

IXI-^kx/-^]

не может иметь места, поскольку тогда из леммы VII.6.1 следовало бы, что оператор Л обратим, что невозможно, ибо собственные векторы из <S принадлежат его области определения ШЬ- Итак,

|(Х/-л-1| = К^-Л)-1|.

Следовательно, настоящая теорема вытекает непосредственно из теоремы 15.,

Следствие. Пусть N — квазинильпотентный оператор ' Гильберта — Шмидта. Тогда для всякого Х^О

\R(M ?V)|<|X|exp{ * (1 | H^ID} 1

Эффективность неравенства Карлемана при изучении свойств полноты системы собственных функций операторов Гильберта — Шмидта станет ясной из следующей теоремы, в которой в весьма общем случае при помощи рассуждений теоретико-функционального характера, основанных на принципе Фрагмена —Линделефа, устанавливается важное свойство полноты.

В следующей теореме и в ее следствиях символом sp(T), где Т— ограниченный или неограниченный оператор в гильбертовом пространстве £, будет обозначаться замкнутое подпространство, порожденное всеми векторами х из гильбертова пространства ^, удовлетворяющими уравнению (М —Т^х^О для какого-нибудь комплексного X и какого-нибудь неотрицательного целого п.

Теорема. Пусть уп • • • Уз — непересекающиеся дифференцируемые дуги на комплексной плоскости, выходящие из начала координат. Предположим, что каждая из пяти областей, на которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе с углом раствора меньшим, чем л/2. Пусть N > 0 —целое число, и пусть Т — оператор Гильберта —Шмидта в гильбертовом

пространстве ^, резольвента которого допускает оценку \R(X', T)\^O^X\~NY

если X —>0 вдоль какой-нибудь из дуг -\f Тогда подпространство sp(T) содержит подпространство TN^.

Доказательство. По теореме Хана —Банаха (II.3.13) достаточно показать, что всякий элемент у из ^, удовлетворяющий соотношению (х, у) = 0 для всех х из sp (Г), удовлетворяет также соотношению (TNx, у) = 0 для всех х из §.

Пусть у —такой элемент. По теореме VII.4.5 функция у(Х) = — XNR(X; Т*)у аналитична всюду на комплексной плоскости, кроме, быть может, точки ^0 и счетного множества изолированных точек Хт, таких, что Хт —> 0; в точках Хт функция у(Х) может иметь полюсы. Если X содержится в малой окрестности точки Хт и Х^Хт1 то

у (А) = XNE (Am; Г*) R (Х^ Т») у х XNR (А; Т*) (1-Е(Am; Т*у у = =-XNE(Xm; TyR(X; ТУу^у^Ху

из теоремы VII.3.20 и леммы VII.3.2 следует, что функция yt (X) аналитична и при X = Хт. Покажем теперь, что функция у2 W = XnE (Хт; T^R^X; Ту у равна нулю; этим будет доказано, что функция у (Л) аналитична во всех точках Хт, так что может не быть аналитической лишь в точке Х = 0. Заметим, что

(у2(А), x) = (XNE(Xro;TyR(X; Ту у, х) == XN (у, Е(Хт; T)R(X; T^Y

Из теоремы VII.4.5 следует, что элемент Е(Хт; T)R(X; Т^х принадлежит sp (Г). Так как у принадлежит sp (Т^, то (у2 (А), х) = 0 для каждого х из §; таким образом (II.3.14), Уг(Х^ = О. Итак, функция XNR(X\ Т*)у аналитична на всей плоскости, кроме, быть может, начала координат. Допустим, что нам известно, что эта функция аналитична также и в начале. Тогда из тождества

T*nR(X; T*)y = XNR(X; Т*)y-XN~ly — XN'2T*y— ... — Т^-^у следует, что функция T*NR (X; Т*) у аналитична на всей плос- кости. Поскольку эта функция на бесконечности обращается в нуль, то из теоремы Лиувилля вытекает, что T*NR(X; Т*)у = = 0; поэтому, разлагая резольвенту в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, получаем, что T*Ny = 0 (ср. VII.3.4). Итак, (у, TNx)-=0 для всех х из §, что мы и собирались доказать.

Таким образом, доказательство основывается на утверждении, что функция у (X) = ^R (X; Г*) у аналитична в начале. Чтобы доказать справедливость этого утверждения, поступим следующим образом. Поскольку функция у(Х) имеет самое большее единственную изолированную особенность в точке Х = 0, она допускает разложение в ряд Лорана (ср. § III. 14)

У W= • • • + fl-sX-’ + .. •, справедливое при X Ф 0. Таким образом, для каждого х из § функция (у(Х), х) разлагается в ряд Лорана

(у(Х), х)= ... + (а-„ х)Х’в + ... .

Ниже мы покажем, что для всякого х из & эта последняя функция аналитична на всей плоскости. Отсюда будет следовать, что (а-а, х) = 0 для каждого s>0 и каждого х из ф; так что по теореме Хана —Банаха а_, — 0 для всякого s>0. Следовательно, функция у(Х) аналитична при X —0. Итак, чтобы закончить доказательство, мы должны лишь показать, что функция f(X) ~ (kNR(k‘, Т*)у, х) при всяком х из ^ аналитична в начале координат. Оператор Т* отображает ортогональное дополнение sp(T)-1- подпространства sp(T) в себя. Пусть S —сужение оператора Т* на sp(7')-L. Допустим, что оператор S не является ква- зинилыютентпым. Поскольку по лемме 2 и теореме 6 оператор S вполне непрерывен, то из теоремы VII.4.5 следует, что существуют такое ненулевое комплексное число р и такой ненулевой вектор х в sp(T)-1-, что Sx = px. Таким образом, снова по теореме VII.4.5 £(р; Т*) (sp(T)-L)=/={0). Из абзаца, следующего за определением VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 вытекает, что.

£(р; Т*) = £(р; Т)*.

Согласно теореме VII.4.5, £ (р; Т) § s sp (Г) и, таким образом, (sp(T)1, £(р;Т)$) = 0. Поэтому (£(р; T^sp^)-1, © = 0, а это противоречит тому, что Е (р; Т*) sp (Г)1 =# {0}. Полученное противоречие показывает, что оператор S квазинильпотентен. По следствию 28 резольвента оператора S допускает оценку

| R (X; S) | = О (eiisi|2/2l%|2)при х -> 0.

Итак, функция / обладает следующими двумя свойствами:

|/(Х)| = |(Х^(Х; Т*)у, x)| = O(eHSii2/2ix|2) при х->0;

/ ограничена на каждой из пяти дуг уг (по условию теоремы).

Из принципа Фрагмена — Линделефа следует, что функция / аналитична в начале координат, ч. т. д.

Для удобства читателя набросок доказательства принципа Фрагмена —Линделефа приложен в конце настоящего параграфа.

Следствие. Пусть дуги уь ..., у5 выбраны так же, как в предыдущей теореме*, предположим, что, когда X стремится к нулю вдоль какой-нибудь из этих дуг, резольвента R(X; Т) оператора Гильберта —Шмидта Т допускает оценку | (R (X; Т) | = = О (| X |-1). Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым пространством ^.

Доказательство. Так как из предыдущей теоремы следует, что подпространство sp (7) содержит замыкание области значений оператора Т, то достаточно показать, что совместная замкнутая линейная оболочка области значений 9ЦТ) и нуль-пространства 91 (Т) совпадает со всем пространством ^. Пусть {Хп} —сходящаяся к нулю последовательность комплексных чисел, лежащих на одной из двух у^, и пусть х — произвольный вектор из ^. Тогда по предположению последовательность {ХП7?(ХП; Т^х^ ограничена. Поэтому без ограничения общности можно считать (см. IV.4.7), что эта последовательность слабо сходится к некоторому элементу у. Доказательство будет закончено, если мы покажем, что (а) Ту = 0 и что (Ь) вектор х — у принадлежит подпространству ^^Ту Для того чтобы доказать (а), заметим, что для всякого г из §

| (Ту, г) | = | (у, T*z) Н Km (х, XR (Х„; Т*) T*z) | = THOO

= | lim [(x, Z^ (Z„; T*) z) - Zn (x, z)] | < THoo

<lim |Zn|-|x|-|z|-|ZJ?(Zn; T*)| + lim|Zn||x||z| = n-*oon->oo

= Иш|Ата|О(1) = 0.

Чтобы доказать (b), заметим, что для любого г из ортогонального дополнения к ЩТ)

(х — у, z) = lim (х — XnR (Z„; Т) х, z) = — lim (TR (Zn; T)x, z) = 0, n->oon->oo

и, следовательно, x — у принадлежит (^(Г^^- = ^(Гу ч. т. д.

Следствие. Пусть Т — неограниченный оператор в гильбертовом пространстве ^, определенный на всюду плотном под-

множестве и обладающий тем свойством, что для некоторого Ло из резольвентного множества q (Т) оператор R (Ло; Г) принадлежит классу Г ильберта — Шмидта. Пусть уо ..., у5 — непересекаю- щиеся дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет предельное направление на бесконечности, причем угол, образуемый на бесконечности любыми двумя соседними дугами, меньше чем л/2. Предположим, что резольвента R (Л; Т) допускает оценку ^(Xini^odx^), когда Л—> со вдоль какой-нибудь из дуг уг. Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым пространством ^.

Доказательство. Допустим определенности ради, что Ло = О, так что Т"1 является оператором Гильберта —Шмидта. Из тождества '

R^"1; T-1) = X/-X2R(X; Т)

следует, что при некотором целом положительном N оператор Т"1 удовлетворяет условиям теоремы 29. Из теоремы VII.9.8 легко следует, что множество всех векторов х, удовлетворяющих при каком-нибудь комплексном Л и каком-нибудь целом неотрицательном п уравнению (XI — Т^х -О, совпадает с множеством всех векторов х, удовлетворяющих при каком-нибудь комплексном и и каком-нибудь неотрицательном целом m уравнению (р!— Т"1У‘х = 0. Отсюда и из теоремы 30 мы заключаем, что существует такое целое положительное N, для которого sp(T) а (Т"1)^. Так как область определения оператора Т всюду плотна в ф, то Т-х^ = ^ и, следовательно, (Т^1^ <§ — <§, ч. т.д.

Закончим этот параграф доказательством двух хорошо известных теорем из теории функций комплексного переменного, которыми мы воспользовались выше.

Лемма (Rapameodopu). Пусть f —функция, аналитическая в круге |z|<R комплексной плоскости, и пусть /(0) = 0. Тогда, если Re/(z)CAf при |z|--R, то |/(z)|<2M при |z|<R/2.

Доказательство. Изменяя масштабы измерения зависимого и независимого переменного, можно, очевидно, предположить, что М =- R = 1. Пусть

Тогда, так как отображение £ —> £ (2 — £)-1 переводит полуплоскость Re£^l в единичный круг и оставляет точку £ = 0 на месте, | g (z) | <: 1 при | z | = 1, g (0) = 0. Применяя к функции

g^fz принцип максимума модуля, находим, что

_\Ж1_ /1 /^ I / ±

2 + 1ШП| 2 —/(z) Р 2

при |^| <1/2. Таким образом, 1 — | f(z) |/2 > 0 при | z |< 1/2, ч. т. д.

Лемма ^Фрагмен — Линделефу Пусть g —функция комплексного переменного z, аналитическая внутри замкнутого углового сектора о единичного круга, образованного парой непересекаю- щихся дифференцируемых жордановых дуг yi и 72» идущих из начала к единичной окружности и образующих в начале угол с раствором меньшим, чем zt!^. Предположим также, что функция g аналитична в окрестности каждой из полуоткрытых дуг yi— {0} и уз — {0}, ограничена на каждой из этих полуоткрытых дуг и допускает оценку

когда z —>0, оставаясь внутри о. Тогда

\g^\ = ow,

если 2—>0, оставаясь внутри сектора а.

Доказательство. Очевидно, что, поворачивая (если нужно) комплексную плоскость, мы можем без ограничения общности предположить, что о является подмножеством углового сектора

{?! И<1, |argz|<^-6} ,

где 6 —малое положительное число. Пусть М — верхняя грань для Igj на множестве, составленном из полуоткрытых дуг yi —{0}, у2 —{0} и дуги

Уз = < £ст |.

Для каждого е>0 рассмотрим функцию

he (z) = exp (— ez-2-6) g (z).

Так как -| arg (z-2-6) | < (2 + 6) (л/4 —6)Сл/2 —6 для всех z из <Tt, то

П|ехр( — ez-2-6) |< 1,z^,

и даже

{"]] exp (— ez-2-e) |<ехр( — е[z |—2—6sin6),z£av

Итак, поскольку |g(z) | = 0(е!212), из ["] следует, что |/i8(z)| сходится к нулю, когда z стремится к нулю, оставаясь в ст.

Поэтому из ['] вытекает, что величина |Ae(z) | ограничена постоянной М на всей границе области

о2= {z€<r| |z|<4} •

Применяя принцип максимума модуля, мы выводим отсюда, что величина | he (z) | ограничена постоянной М всюду на о2. Если е—♦ О, то /ie (z) —> g (z). Таким образом, полагая е—>0, получаем, что модуль функции g(z) ограничен внутри <т2 постоянной М, ч. т. д.

Преобразование Гильберта и неравенствоКальдерона — Зигмунда

В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые важные сингулярные интегральные операторы и некоторые неравенства для этих операторов, полученные в одномерном случае Гильбертом и М. Риссом, а в n-мерном случае — Кальдероном и Зигмундом. Эти операторы и неравенства, интересные и сами по себе, найдут также определенные применения в последующих главах1).

Мы будем рассматривать интеграл свертки

(k»f)W^^ k(x-y)f(y)dy'

как оператор в £Р(ЕП) и дадим условия, при которых можно утверждать, что линейное отображение TV f—>k»f является ограниченным оператором в Lp(En'). Если ^ \ к (if) \ dy << со, то из леммы 3.1 следует, что интеграл свертки (1) существует для почти всех х и определяет ограниченное отображение пространства £р(Еп), 1<р<оо, в себя. Для р=1, р=со и р = 2 норма этого отображения может быть точно вычислена. Если р = 2, то n-мерный аналог теоремы 3.21 (d) (см. обсуждение теоремы 3.22) дает |TA|2 = sup Ц е^х» v) к (х) dx |.

ve^gn1

Так как L*=LW то из теоремы IV.8.5 следует, что

|Тл|«>=^ \k(xVdx.

Еп

!) Особенно большие применения имеют эти неравенства в теории общих граничных задач эллиптических уравнений (Агмон, Дуглис, Ниренберг [1*]) и сингулярных уравнений (Михлин [2*]).— Прим. ред.

А так как |П| = |Тк|, то ясно также, что I Th |( - J | к (x) | dx.

Поскольку в некоторых случаях интегралу

с,(1Г' v) к (х) dx

можно придать смысл, даже гели ^ \k(x)\dx =od (например,

по теоремам Планшереля XI.3.9 и XI.3.22 это можно сделать, если ^ | к (х) |adx < оо^), это наводит на мысль попытаться определить оператор Th и тогда, когда ^ | к (х) | dx = со. В этих

Еп

случаях мы можем надеяться, что интеграл (1) существует в «среднем» или в смысле «главного значения» и определяет ограниченное отображение пространства L2(En) в себя, если только интеграл (2) существует в некотором аналогичном смысле и является ограниченной функцией от у.

Рассмотрим, например, случай п=1 и возьмем й(х)=1/х. Интеграл (1) принимает вид

Г -^-dy;

'J Х — у 3

этот интеграл изучался Гильбертом. Интеграл (2) можно интерпретировать в смысле главного значения Коши:'

F е’хУ ,,.( Г , F 1 е^У ,.. F ei«y_e-ixy

\ dx= lim 4 \ + \ ^dx=lim \ dx =

Iхе->о I j ) х е-0 « х

—оо—оо ее

= lim 2i dx = lim2i sgn (у) sin x dx =

e-»0^ xe-»0« x

e

= 21 sgn (z/) ^ -^-dx = л/ sgn (z/). 0

Это ограниченная функция. Таким образом, имеются причины ожидать, что интеграл Гильберта (3) определяет отображение пространства L2( —оо, оо) в себя и что норма этого отображения

равна в точности л. Вскоре будет показано, что это в самом деле так. Поскольку^ \х\-1 dx--= со, интеграл (3) не определяет ограниченного отображения в Lt( — оо, оо) (аналогично, он не определяет ограниченного отображения в 1оо( —со, оо)). М. Рисе показал, что этот интеграл определяет ограниченный оператор в пространствах Lp( —со, со), 1<р<оо. В этом параграфе мы приведем принадлежащее ему красивое доказательство этого факта. Неравенство М. Рисса является значительно более глубоким, чем рассматривавшееся как его прототип элементарное неравенство

| k(x — у)f(у)dpjP dx^. || & (x) | dx}P \f(x)\pdx,

— ОО —ОО—ОО—00

справедливое при ^ | A (x)|dx< со; об этом свидетельствует нару

шение неравенства М. Рисса в предельных случаях р=1 ир = оо.

В связи с рассмотрением интеграла Гильберта (3) следует подчеркнуть, что примененная здесь регуляризация интеграла пригодна лишь потому, что функция 1/х при отрицательных х принимает значения, равные по величине и противоположные по знаку значениям, принимаемым ею при положительных х. Это обстоятельство приводит, например, к тому, что

t — =0

J х

-1

(в смысле главного значения). Если мы попытались бы в качестве ядра в интеграле свертки взять функцию | х Г1, т. е. рассмотрели бы вместо (3) интеграл

J I*— У\

то все наши рассуждения оказались бы несостоятельными.

В многомерном случае мы рассмотрим интеграл свертки вида

\

- оо 11

изучавшийся Кальдероном и Зигмундом. Здесь Q —функция, задающая зависимость величины

Q (х)

Ип

от направления вектора х; следовательно, предполагается, что она удовлетворяет условию Q(x) = Q(/x), />0. Например, в частном случае интеграла Гильберта (3) Q (х) = sgn х. В случае когда Q является нечетной функцией, т. e. Q( — х)= — Q(x), используя неравенство М. Рисса, легко показать, что если поверхностный интеграл от Q по единичной сфере в Еп конечен, то интеграл (4) определяет ограниченное отображение пространства Lp (Еп) в себя при 1<р«<оо. Это будет сделано ниже. Однако, 'даже если Q( —х)=£ —£2 (х), может все же случиться (при п>1, но нс при п = 1), что поверхностный интеграл от Q по единичной сфере в Еп равен нулю. Примером этого при п = 2 является важный интеграл

оо ос ^оо ос ^du do.du do.

оо ос ^

оо ос ^

du do.

du do.

где z = x-\uj, w = u + iv. Этот интеграл имеет вид интеграла (4), где Q (г) = (| z |/г)2 — четная функция, а поверхностный интеграл от Q по единичной сфере в Е2 есть

2 л

e-2i0d0-O.

о

Если поверхностный интеграл от Q по единичной сфере равен нулю, то интеграл (4) определяет ограниченное отображение пространства Lp(En) в себя для 1<р<оо независимо от того, является функция Q нечетной или нет. Это утверждение, которое справедливо при слабых предположениях относительно гладкости функции Q, составляет содержание неравенства Кальдерона — Зигмунда. Большая часть настоящего параграфа посвящена его доказательству. Как было отмечено, трудности возникают для четной функции Q; эти трудности можно обойти сведением случая, когда Q четна, к случаю, когда Q нечетна.

Поскольку здесь будут рассматриваться ядра со свойством «радиальной» симметрии, мы имеем веские причины на протяжении этого параграфа производить вычисления в «сферических полярных координатах». Поэтому поясним способ, которым можно ввести эти координаты. Пусть Еп — евклидово n-мерное пространство, S —единичная сфера в Еп, Хп — лебегова мера в Еп, Е™ = = Еп — {0} и R — положительная вещественная полуось. Поскольку Е™ и Еп отличаются лишь на единственную точку, то с точки зрения теории меры их можно считать идентичными. Каждую точку х из Eq можно единственным образом представить в виде х = где r^R, to^S, и отображение [г, со]—>х = гсо является, очевидно,

гомеоморфизмом R х S на Е". Таким образом, ст-алгебра ^ боре- левских подмножеств в Е, является произведением о-алгебры ^н борелевских подмножеств в 7? и о-алгебры ®8 борелевских подмножеств в S в смысле определения III. 11.3. Имеем

jj /(/x)dx = |/rn J f^dx, t=/=0, /(^(Е"). Л”Е”

Таким образом, мера

обладает тем свойством, что

а(/е) = |/|а(е).

Определим меру р на 36 в< полагая

р(е)^а((1, 2] хе), е^$8.

Эта мера р, по причинам, которые станут ясны ниже, называется мерой гиперповерхности на S. Используя равенство (2), получаем 2~"р (е) - а ((2'п, 2"п+‘] хе),е^ 368, п>0,

и,.складывая все эти неравенства, имеем

2р (е) - о ((0, 2] х е),e^-^s.

Используя еще раз равенство (2), находим, что

7р(е) = а((0,/] х е),e£$s,t>0,

так что

(6 — а) р(е) = о ((а, 6] х е),е^®8,оо>6>а>0.

Отсюда при помощи стандартных рассуждений теории меры получаем, что

Xj (d) р (е) = a (d X е), d^SR, е^®8.

Таким образом, пространство с мерой (Е", -^п, а) является прямым произведением пространств с мерой (Е, ®R, Xi) х (S, %8, р). Применяя теорему Фубини III. 11.9, теоремы 111.11.14 и III. 10.4, находим, что для всякой Хп-интегрируемой функции /, а также для всякой неотрицательной Х„-измеримой функции /

^ / (х) dx = ^ ^ {/ (гео) гп-1} р (dm) dr.

Еп0 S

Применение этой формулы, и также связанного с ней частного случая теоремы Фубини мы будем называть «записью интеграла

Цх^йх в сферических полярных координатах». В оставшейся части этого параграфе мы будем свободно пользоваться такой заменой переменных, иногда нс оговаривая этого.

Мера р гиперповерхности на .S' удовлетворяет двум полезным тождествам

Н( d-M И. е^!»К1

МИ иО/с)1

где V—произвольное вритеннс* прострлистни /;". Кроме того,

м (Л),1х , <

I -чМ<2 1 Х 1

чем мы будем постоянно пользоваться.

Мы начнем формальное изложение с рассмотрения измеримых по Лебегу функций /, определенных на «-мерном евклидовом пространстве Еп и имеющих в конечном числе точек неинтегри- руемые по Лебегу особенности, и с определения для таких функций интеграла, аналогичного интегралу в смысле главного значения Коши.

Определение. Пусть /—измеримая по Лебегу функция, определенная на n-мерном евклидовом пространстве Еп. Предположим, что в Еп существует такое конечное множество точек pt, ..., ph, что для любых е>0 и /?>0 функция / интегрируема по Лебегу на множестве

S(R, е; рх, ..., Ph)=Vx^En\\x\<R’ \x — pi\>e, i = l,...,fe}.

Тогда если существует предел

lim\/ (х) dx = а,

е->0, Н-юо

S(R, е; pr ..., pft)

то будем говорить, что функция / интегрируема в смысле главного значения, и писать

cP f ^dx = a.

Еи

Если / неинтегрируема по Лебегу в окрестности каждой из точек Рх, ..., ph, то будем называть эти точки ее особенностями.

1'1 Заказ № 134

Лемма. Пусть f и g—измеримые функции на Е”; предположим, что fug интегрируемы в смысле главного значения. Тогда

если а и ^ — скаляры, то функция af+fig интегрируема в смысле главного значения и

ST ^ (а/ (х) + Pg (х)} dx = aS1 ^ f (х) dx + Р&Р ^ g (х) dx;

ЕпЕ1^Е11

для всякого ненулевого вещественного числа а функция h, определенная соотношением /i(x) —/(ах), интегрируема в смысле главного значения и

' ST ^ h (х) dx = | а | -nST ^ / (х) dx;

если U — однородное линейное изометрическое отображение пространства Еп в себя, то функция h, определенная соотношением h (х) - f(Ux), интегрируема в смысле главного значения и

ST ^ h (х) dx = ST / (х) dx;

ЕпЕп

если | / (х) | - - о (|х |1-п) при |х|—>оо, то для любого х0 из Еп функция К, определенная соотношением А(х) = /(х+х0), интегрируема в смысле главного значения и

ST ^ h (х) dx = ST ^ f (х) dx.

ЕпЕп

Доказательство. Утверждение (I) очевидно. Утверждения (II) и (III) являются очевидными следствиями определения 1 и формул

Ф (х) dx = ф (Ux) dx,

ЕпЕп

q> (ax) dx = | a |-n ^ cp (x) dx, EnEn

справедливых для всякой интегрируемой по Лебегу функции <р. Утверждение (IV) будет доказано таким же способом, как только мы покажем, что условие |/(х)| = о(|х|1-п) влечет за собой соотношение

lim ^/ (х) dx = О,

К"*°° S(0, R)AS(x0, R)

где 5 (у, R) = VX^EU\\X — y\^RV а b\e = (b J e) (b f| e)' обозначает симметрическую разность множеств b и е. Так как S(0, R)^(x0, 7?)<=(5(О,Я + |хо|))(5(О, Я-|х0|))' и |/(х)| = = о(|х|1-п) при |х| —»со, то ясно, что достаточно показать, что

«я = Xn [5 (0, R +1 х01) (5 (0, R-1 х01))'] = О (R^1)

при R—>со. Но переходя к сферическим полярным координатам и обозначая через юп меру у единичной сферы в Еп, имеем

^+1хо|

«я = юп 5 ^1^<2^|Хо1(^-|хо1)п'1=0(^п"1), K-|xoj

Ч. Т. Д.

В следующей лемме мы вводим один специальный класс сингулярных интегралов, с которым мы главным образом и будем иметь дело.

Лемма. Пусть g—измеримая функция, определенная на Еп. Предположим, что точки рь ..., Pk из Еи таковы, что для некоторого е>0 функция g интегрируема по Лебегу на множестве {х 11 х — р$ | > 8, t = 1, ..., k\. Предположим также, что в г-окрестности каждой из точек рь ..., pk функция g имеет вид

-^=$ЫХ),

I x-Pi Г

где Qi(x) — Q< (tx), t*>0, причем функция Q< интегрируема по единичной сфере в Еп и поверхностный интеграл от нее равен нулю, а функция ft непрерывно дифференцируема. Тогда интеграл в смысле главного значения

oP g (х) dx

Еп

существует.

Доказательство. Если р (е) означает гиперповерхностную меру борелевского подмножества е единичной сферы S в Еи, то для z = l, ..., к

д

е 5^^f.(p.>)dx = f.<Pi^d£eQi<to^^toy;=0i

6>|х-рг>61 Х Р‘618

Отсюда следует, что для некоторой постоянной К >и для достаточно малых 6>di>0

б

| J g(x)dx\< J -у- J |Йг(со)||Л(х-pt)— Л (р,) I М-(*М<

6>|Я-Р^|>61618

<.ЦЦЦ |йг(®)|И(^)= 618

= к(6-61) $ |йг(®)|и(^).

Таким образом,

lim ^ g(x)dx = 0, t = 1, ..,.,&.

6^0 6>|я-рг|>6<

Существование предела

lim\ g(x)dx

6-*0«>

{х6Е”!|х-рг|>С,i=lh}

следует теперь из критерия сходимости Коши.

Определение. Пусть О (х)—функция от х^Е", определенная при х#=0 и такая, что

й(х) = й(гу, х^О, х^Е";

поверхностный интеграл от Q по множеству S существует и равен нулю. Тогда выражение

'Кй (X, у) =, X ф у, х,у£Еп,

х—у\п

называется ядром типа Кальдерона —Зигмунда.

Лемма. Пусть Qt и Q2 — бесконечно дифференцируемые функции, обладающие свойствами (I) и (И) предыдущего определения. Предположим, что Ui — нечетная, a Q2 —четная функции. Тогда найдется такая нечетная функция Q3, обладающая свойствами (I) и (II), что интеграл

К)Jlx-ul" \и-у\"’-

существующий при х^у по лемме 3, может быть записан в виде-

^з(x—у)

|х-у|п "

Доказательство. Обозначим через К (х, у) функцию, определенную для х ч^ У> х, yQ Еп, интегралом в смысле главного значения (1). Тогда по лемме 2 К(х, у) = К(х — у, 0) = 7G(x—у), где через Ki мы обозначили функцию Кл (х) = К (х, 0). Так как Qi (ах) = Q/ (х), i = 1,2, а > 0, то по лемме 2 Кд (ах) = а-”/^ (х) при а>0, так что функция Q3 (х) = | х |n Ki (х) удовлетворяет условию (I) предыдущего определения, и

I*—у г

Из леммы 2 следует, что функция Q3 является нечетной, ибо

^ Г ОДх-НО 1 I ^+« ГQt (х— у)^ Г ОДх-НО 1 I ^+« ГQt (х— у)К^_х^ = дЛ 5kk^=2^i.5i^ldu =

^ Г ОДх-НО 1 I ^+« Г

Qt (х— у)

^ Г ОДх-НО 1 I ^+« Г

Qt (х— у)

^^du =

ып

^4dv = -Ki (X).

|у|п' '

Так как Q3 (х) = — Q3 ( —х), то ясно, что поверхностный интеграл от Q3 по единичной сфере равен нулю1); таким образом, лемма полностью доказана.

Определение. Если функции Qn Q2 и ^з связаны между собой так же, как в лемме 5, то ядро Kq3 называется сверткой ядер Kai и Kq2. При этом мы пишем Kq3 = К^ * К^ Аналогично символом Ku!*f обозначается функция g, определенная интегралом в смысле главного значения

g(x) = H ^=^f(y)dy,

если этот интеграл существует.

Лемма. Пусть К^ — ядро типа Кальдерона —Зигмунда в п-мерном евклидовом пространстве Еи; предположим, что функция Q бесконечно дифференцируема при х#=0. Пусть f — функция из С°°, равная нулю вне некоторого ограниченного подмножества пространства Еи. Тогда функция K&*f при-

х) Этот интеграл существует, так как функция Q3 ограничена на S, что легко показать, используя прием, примененный при доказательстве леммы 3. — Прим, перев.

надлежит Lp(Е") при р>1 и

FtKa-fito-Fmto-SA e^-^dy.

где F(g) обозначает Ь^-преобразование Фурье функции g из L2(En), т. е.

F(g)(x) = l.i.m. (2л)~п/2 t g (у) е{(х- ^ dy.

В частности, интеграл в смысле главного значения

^J Q(.y)\y\"ne4x.^dy

Еп

существует.

Доказательство. Допустим, что Hy) = O при |у|>2?о- Тогда если |х|>/?о (1, то

№*r)W\ = \fr\ ^rf(x-y)dy^

Еп

^М?- t \Hy)\dy,

(И-*о)п J

где М — верхняя грань функции |Щу)|. Итак, (Кв*/)(х) = = 0(|х|~п) при |х|—»оо. Так как

(Ка * Л (х) = lim t у^-/(х—y)dy,

то функция (Кв » /) (х) измерима.

Пусть ЛЬ —общая мажоранта для |/(у)| и

и пусть % —характеристическая функция шара радиуса 2(7?0+1).

Согласно определению 4 (И), ^ Q (®) р, (d®) = О, так что

s

х(у)^=°>

а потому при |х|<Ко+1

[*][*]\<KQ»nw\<^ \ I^i/(x-t/)-m%(y)i^i |yl

[*]

[*]

2(Ro+D

<ММд ^ dr =о

= 2ЛШ1юп(Я0+1),

где <on, как и выше, обозначает меру ц единичной сферы в Е". Таким образом, функция Ka * f ограничена. Заметим (мы воспользуемся этим ниже), что почти таким же рассуждением можно показать, что интегралы

^ —^r f(x~y) d-У

I J I у Г

|у|^г И1

равномерно ограничены при е > 0. Если положительные постоянные Со, Ci и а таковы, что | (Кв * /) (х) | < Со при х £ К” и | (Кв * /) (х) I ^ ^Cilxl-" при |х|>а, то

$ |(Кв*/)(х)|р^х<ю„С?а"+ J C?|xr”pdx =

Еи|х|^а

= ®nCoan + Cito„ ^г-^р-1)-1 dr =а

= юпСоап + conCi (и (р — 1 ))-1 а~п(Р-1) < оо.

Итак, Ka*f принадлежит пространству Lp(£n).

Из теоремы Планшереля 3.9 и теоремы 3.22 следует, что если VRA ~~ последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности, то

(1) F(K*/) (и) = (2л)~п/2(1) F(K*/) (и) = (2л)~п/2l.i.m.l.i.m.-/(x-y)dy}-/(x-y)dy}dx =dx =

(1) F(K*/) (и) = (2л)~п/2

(1) F(K*/) (и) = (2л)~п/2

l.i.m.

l.i.m.

-/(x-y)dy}

-/(x-y)dy}

dx =

dx =

= (2л) n/2 l.i.m. eiux-[ lim^ ^- f (x—y)dy\dx;

|Ur. 1e-*° Mle Ы 1

здесь и ниже мы употребляем запись их для скалярного произведения (и, х\ Поскольку, как было отмечено выше, интегралы, заключенные в последней формуле в фигурные скобки, ограничены равномерно по е, из теоремы Лебега об ограниченной сходи-

мости (III.6.16) и из теоремы Фубини IIL11.9 следует, что равенство (1) можно записать в виде

F(K*/)(«)=(2n)-n/2l.i.m. lim £ ?u4 t ^Lf(x-y)dy\dx=

= (2л)~"/2 l.i.m. lim Г .^A^ / f е^хцх_y)dx\ dy = I^R,.J

= (2л)"п/2 l.i.m. ^ ^ ^-{ ( e^Hx—y^dxXdy.

Переходя к подпоследовательности, мы без ограничения общности можем считать (см. III.6.3. и III.3.6), что для почти всех и из Е

Г(«./)(и) = |ш1(2я)-”'2^ f -1ЙМ ( ^"Hx—gldxXdv. 1иЦ1

Если / (х) ; 0 при | х | > Ro, то

IУI < Rj—Ro,IУI < Rj—Ro,I у I > Rj+Ro-I у I > Rj+Ro-' etu”/(x — y)dx, С1 их[ (X — у) dx ~е»

IУI < Rj—Ro,

IУI < Rj—Ro,

I у I > Rj+Ro-

I у I > Rj+Ro-

MjО,

Итак, если%; — характеристическаяфункция множества

(х| |х|<2?у + ^о}, то

к$ -у^-{ $ e^fkx-y^dx^dy-

-^^ Т^ХЙуИ\ e^(x-y)dx}dyU

< "^Дг'^уЛ \fU')\dx<

Rj-Ho^lvKeu

^Н j+Bo

RjA-Ro

Стах | й(х) | Л |/(х) |dx-p(S) —С

|Ж1=1в”Rj-Ro Г

^Я^п |A(S)max|Q(x)| t \fW\dx,

.Kj—Ko |ж1=1J

что, очевидно, стремится к нулю при /—>оо. Таким образом,, равенство (2) дает

^ (/<*/)(«) = (2л) п/2Дт^ $ -^i Xi (У) { J eiuVCr — y)dx}dy = Еп ‘Еп

Hm 5s t —^ Xj(//)(;b'"(/y} рШ (и), Н» J I .У Г1J

Еп

если только существует предел, заключенный в последнем равенстве в фигурные скобки. Итак, для завершения доказательства настоящей леммы достаточно показать, что

(3)(3)0 (u) = ^ V ЯМ giyu J» = lim Г Я М lv„d

(3)

(3)

е^» Vu> dxе^» Vu> dxсуществует при любом и. По лемме 2 интеграл 0 уй) существует,, если существует 0(м) и />0; по той же лемме интеграл 0(Vu)r где» V — вращение пространства Еп, существует и равен

е^» Vu> dx

е^» Vu> dx

е^' ^ dy,

если только существует интеграл

^ г fiO^_ei(y,U)d\ 1у1п

Таким образом, для того чтобы доказать существование интеграла (3) в общем случае, достаточно рассмотреть случаи и = О и u = [1, 0, ..., 0]. Если а ~0, то очевидно, что

dx — 0,dx — 0,

dx — 0,

dx — 0,

ибо Q (со) р (dto) = 0. Следовательно, достаточно показать, что- s

существует интеграл еР ^ eixiQ (х) | х |~n dx. Пусть хо — характери- Еп

стическая функция единичного шара. Тогда по лемме 3 существует интеграл

^ eixiXo (я) dx.

Поэтому достаточно доказать существование предела

R ггюд

{*] lim е1®1 ^%dx = lim Q(®) f ? -—-dr} p(dw),

где (Oi обозначает первую компоненту единичного вектора со. Так

R

как предел lim \ r^e^dr существует для всех со, для которых R->OO V

<Dt ^ 0, т. е. для почти всех относительно меры р значений со, то существование предела [*] будет следовать из теоремы Лебега об ограниченной сходимости, если мы сумеем найти такую р-инте- грируемую функцию ф(со), что

\—-—dr <ф(со), cogS, R>\.

Заметим, что при — l^co^l, сод =^= 0 и R>\

girsgnoi |

< — log I Wj I |■ r - — dr | < — log 16»! 1 + K,

i

где К — постоянная, ограничивающая | exp (± ir) dr!г | при 1

R>\; такая постоянная существует, поскольку существуют пре- R

делы lim \ ехр(± ir)dr!r. Итак, для завершения доказательства R->oo J

достаточно показать, что функция ф (го) = — log | а^ | является ^-интегрируемой на S. Теорема Фу бини дает 1

"'^-Т'1-^^ \ dr {$ (-logr-log|®1|)p(dw)} ,

1/2^[х|^1'*'1/2 S

так что 1

(p(®)p(d®) = 2^-^^}^-l-dx + 2p (S) ^ log(r)dr,

S1/2^|х|<1'Х'1/2

и достаточно доказать, что первый интеграл в правой части конечен. А это легко установить, ибо функция |х|1-п в области

1/2<|х|<1 ограничена, а

^( —log|xt|)dx<^( —log | Xi |) dx =

i/2^| х |^1max | х. |^1

1

= 2n-1 ^ ( —log|xi DdXi^ oo.

Следующая теорема содержит неравенство М. Рисса.

8. Теорема. Пусть 1 <р<оо, и пусть функция f принадлежит классу С°°( —оо, оо) и вне некоторого ограниченного множества обращается в нуль. Тогда существует такая конечная постоянная КР1 что интеграл Гильберта

(Я/)(Х) = ^ [ -^dy,

понимаемый в смысле главного значения, удовлетворяет неравенству \Hf\p^Kp\f\P-

Доказательство. Мы знаем из леммы 7, что ^F (Hf)} (у) = = ni sgn (у) ^F (/)} (у), где F (g) обозначает преобразование Фурье функции g. По теореме Планшереля (3.21) |///|2<л|/|2- Покажем сначала, что постоянную Кр, обладающую свойством, указанным в формулировке нашей теоремы, можно найти при р — 2п, а затем используем этот факт и некоторые вспомогательные соображения (теорему Рисса о выпуклости и рассуждение, привлекающее сопряженный к Н оператор) для того, чтобы получить этот же результат при других значениях р. Пусть J = л11 + Н1). Тогда ясно (см. лемму 7), что

[ О,У<0, /g£2(— °0, оо),

Пусть функция / принадлежит классу С°°( —оо, оо) и обращается в нуль вне некоторого ограниченного множества, и пусть g = F(Jf). Так как функция F (f) принадлежит Li(—оо, оо) и ограничена,

х) Оператор Н первоначально определен для функций f из класса С°° (— оо, оо), обращающихся в нуль вне ограниченного множества. Такие функции всюду плотны в L2( —оо, оо), и коль скоро для них доказано неравенство | Hf |2 ^ К2 | f |2, оператор Н можно продолжить по непрерывности на все L2 (—оо, оо); такое продолжение единственно, обозначается той же буквой Н и удовлетворяет неравенству | Hg |2<K2lg|2 Для всех g из ^2- Таким образом, оператор J — nil -\-Н можно считать определенным на всем пространстве L2 (— оо, оо).—Прим, перев.

то функция F^Jf) тоже принадлежит ЛД —оо, оо) и ограничена. Если положить gt^g, gn = g* gn-^ то из соображений индукции следует, что каждая функция gn равняется нулю для почти всех х<0. Кроме того, согласно 3.21,

gn-F^Jfn

Точно так же, как во втором абзаце доказательства леммы 7, можно показать, что функция (Я/) (х) равномерно ограничена и что | (Я/) (х) | = О (| х I'1) при |х|->оо. При п>1 функция (J/)n принадлежит Li( — оо, оо), так что по 3.21

у 2Л v

и функция gn непрерывна; таким образом, gn(0) = 0 при п>2. Следовательно, полагая х 0, находим, что

J (nif Ш^П W‘dy = 0, m>L

Пусть / вещественна, так что Hf также вещественна. Тогда, беря вещественную часть равенства (1), получаем

h=Q —оо

В силу неравенства Гёльдера это дает

т — 1

Hf ii”- 5 ( 22д ) Iя/ |!*। f li^co.h=0 4

Положим a = I Hf |2m/| f ,2m. Тогда

m— 1

h—0

Следовательно, a не превосходит наибольшего вещественного корня Гт уравнения

m—1

Таким образом, \Hf\2m^rm\f\2m. Поскольку комплексная функция может быть представлена как сумма своей вещественной и мнимой

частей, это доказывает нашу теорему для специального случая р = 2т.

Отсюда немедленно следует, что при р^2т оператор Н единственным способом может быть продолжен до ограниченного отображения пространства Lp( — оо, оо) в себя. Справедливость этого утверждения для всех р>2 сразу же следует из теоремы Рисса о выпуклости (VI. 10.11).

Теперь обратим внимание на область 1<р<2. Так как по лемме 7 FHF-1 представляет собой оператор умножения на функцию л^sgn(y), то (FHF"1)* = —FHF"1. Так как по теореме План- шереля (3.21) оператор F унитарен, то Н* = —Н и потому (Hhg)=-(hHgy hg^U

Таким образом, если 2<р<со и 1/р+ Мр' = 1, а функция / принадлежит С°° и равна 0 вне ограниченного множества, то по непрерывности получаем.

W) (x)g(x)dx = — ^ f (х) Hg(x) dx, g^Lp^—co, coy

Поэтому по теореме IV.8.1, по теореме Хана —Банаха (II.3.14) и неравенству Гёльдера имеем

| ///|p, = sup| J Hf (х) g(x) dx | < Kp | / |p',

и теорема доказана для всех р, 1<^<<оо.

Доказав основное неравенство М. Рисса, перейдем к доказательству общего неравенства Кальдерона —Зигмунда. Наш первый шаг состоит в том, что мы придадим результату М. Рисса эквивалентную прежней, но технически более удобную форму. Это делается в следующей лемме.

Лемма. Пусть 1<^<<оо. Существует такая конечная постоянная Кр, что если функция / из С°°(—оо, оо) равна нулю •вне ограниченного множества, то функция g, определенная равенством

lyisi

удовлетворяет неравенству | g |р < Ар | f |р.

Доказательство. Пусть ф —бесконечно дифференцируемая неотрицательная функция, равная нулю при 1t1 > 1 и удовлетворяю-

1

щая соотношению ^ ^^dt=\. Пусть

— 1

(Я/)(х) = ^ J l/(x_y)dy = ^ J т^У-

Тогда по леммам 7 и 3:1 <^*Hf = H<p*f.

Далее, из рассуждений, аналогичных приведенным во втором абзаце доказательства леммы 7, следует, что функция Н (<р) (//) ограничена. Таким образом, так как

|^(ф)(У)—j|< J |-7-у|ф(У-«)^и<

р-1

при lsH"'

то Н(ср) — ф££ь где функция ф определена равенствами ф(у) = у\ | у | > 1; ф (у) О, | у | < 1. (Следовательно, по теореме 8, лемме 3.1 и теореме Рисса о выпуклостиг) имеем

\н\р IWIp-|<р*//(/)—//(<рМ + Ф*Лр^ ^1ф*//(/)1р + ^(фН^

<ДКР V^MWk ч. т. д.

Теперь для нечетного ядра типа Кальдерона —Зигмунда легка получить неравенство, совершенно аналогичное установленному в лемме 9.

Лемма. Пусть Й —такая нечетная функция, определенная на Еп, что Я (tx) = Я (%) при t > 0; предположим, что Я бесконечно дифференцируема в окрестности единичной сферы) S пространства Еп. Пусть функция f принадлежит С°° (Еп) и равна нулю вне ограниченного множества. Тогда если 1<р<оо и Хр — постоянная из леммы 9, то LP^-норма функции g, определенной равенством

gW = $ ”5rf(x-u)du,

lul^l |U|

не превосходит 2-1 Хр [ f \р ^ | Я (co) | р (dco), где р — мера гиперповерх- в'

ности на S.

1) В силу этой теоремы из пунктов (Ь) и (d) леммы 3.1 следует, что если u£Lv v^Lp, то | и * и |р< | и It | у |р. Это используется при оценке |^|р.— Прим, перев.

Доказательство. Записывая интеграл в полярных координатах, видим, что1)

g(x) = ^ Q(со) |i(d<o) J /(х-cor)^- = = 4 $ Й I1 ^ $ fc^. dt

Из леммы III.11.16 (Ь) и теорем III.11.17 и 111.2.20(a) следует, что

(^|^|^ F(a, b)vt (da)|’’v2(^)} ^''^

В А

с^ |^ \F(a, b)|pv2(d6)|1/Pv(v1, da)

A k В

fl’^dt'^dxy^,fl’^dt'^dxy^,для всякой (Vi х v2)-H3MepHMoft функции F на произведении (Л, vj х (В, v2) пространств с мерой, если только мера v2 положительна. Поэтому

fl’^dt'^dxy^,

fl’^dt'^dxy^,

lg|p<4" $ |^(®)|p(d®) Н | J S£п |<|^1

и достаточно доказать, что

(2)(2)$| j Hxzz^Ldt\Pdx<Xpp\f^

(2)

(2)

Еп П1>1

Так как наружный интеграл в неравенстве (2) инвариантен относительно вращения системы координат, то можно, нс ограничивая общности, выбрать в Еп такую систему координат, в которой со = [ 1, 0, . ..,0]. Тогда неравенство, которое мы должны доказать, примет вид

^ |—М^^ХтУ dt ^dxi dx2... dxn

ЕП|<|^1

<A₽J \Hxb x2, ..., хп) \pdXi dx2... dxn. En

’) Это единственное место в доказательстве, где используется нечетность *||\нкнии £2.— Прим, перев»

Далее, неравенство

-oo |i|^l

СЛ^ If (хь ..., х„) |р</хь — co<x,<co, / = 2,..., n,

является очевидным следствием леммы 9. Интегрируя его по х^ ...,хП1 получаем неравенство (3).

Теперь мы в состоянии установить неравенство Кальдерона — Зигмунда для нечетного ядра.

Теорема. Пусть 1<<р<оо. Пусть й — такая нечетная измеримая ограниченная функция, определенная на Еп. что й (х) = = й (/х) при />0. Тогда для всякой функции f из Lp{En) предел

(Ко */) (х) = Нт ? "T^rf (X — u)du

существует в смысле сходимости в среднем порядка р, и если Ар — постоянная из предыдущей леммы, то

|Ка*/|р<Лр J |Q(co)|n(dto)-|f|p.8

Доказательство. Докажем сначала, что функция g. опреде* ленная равенством

5(х)=-^-f(x-u)du,

|u|^l

удовлетворяет неравенству |g|p</Ap| f |р, где / = ^ | Q (го) | p,(dto). s

Для этого рассмотрим такую последовательность {Qm} нечетных функций, бесконечно дифференцируемых в окрестности единичной сферы и удовлетворяющих соотношениям ^1т^х) = = Qm (х), / > О, /и > 1, что

lim \ |Qm(to) — й (го) | ц (d<o) = 0. m-юо

Допустим, что функция / бесконечно дифференцируема и равна нулю вне некоторого ограниченного множества. Пусть gm^ = \ 5^f(x-u)d«.

luii iu|

По предыдущей лемме ^g^ является последовательностью Коши в Lp ^E^ и, следовательно, сходится по норме в Lp(En) к некоторой функции ср из Lp^E^, которая по той же лемме удовлетворяет неравенству | ф |Р<ЛР/ | / |р. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что gm (х) —> ф (х) для почти всех х. Но ясно, что gm (х) g (х) для всех х. Следовательно, Ф = £; это доказывает, что | g \P<API | f \Р1 если f принадлежит С°° (Еп) и обращается в нуль вне ограниченного множества.

Пусть теперь / принадлежит Lp(En), и пусть {/т}—такая последовательность финитных функций из С°°(ЕП), что I f — fm \р —■> 0. Положим

hmW =— и) du.

По только что доказанному ^hm^ является последовательностью Коши в Lp(En) и, следовательно, сходится по норме в Ер(Еп) к некоторой функции ф из Lp(En), которая удовлетворяет неравенству | ф \р<_Ар11 f\p. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что hm (х) —> ф (х) для почти всех х. С другой стороны, поскольку для всякого q > 1

I Q ■ — |%fx<max I Q(x) |g=

= max | Q (x) \q.(n (q — I))-1 < oo,

то ясно, что hm (x) —> g (x) для любого x. Итак, интеграл (1) существует для любого х из Еп и любой / из Lp^E^, и функция g, определенная этим интегралом, удовлетворяет неравенству I g \р-^^р11 / |р.

Далее, для каждого е>0 определим следующим образом отображение Не пространства Lp(En) в себя:

t ^Цх-и^и, fCLp(E^.

Ясно, что, полагая и = еи, получаем

(Heb (*) =-vMr / (х - 6У) 6" du = (T^HJef) (X),

|у|

где Тк обозначает отображение пространства Lp (£п) в себя, определенное равенством (Tef)(x) = f (ex). Так как

ITJ |Р = { е-" J | f (и) |Мп})/Р = е-"/Р | / |р,/ £ Lp,

Еп

15 Заказ № 134

то из уже доказанного немедленно следует, что | Н6 |р = | Н^ |Р< <ЛР/. Покажем, что предел Нш//8/ существует в смысле схо- 8—>0

димости по норме в Lp(En) для всех / из некоторого фундаментального в Lp^) множества; тогда в силу II.3.6 наша теорема будет доказана. Предположим, что / принадлежит С°° (Еп) и обращается в нуль вне множества {х 11 х | </?}. Тогда, как было показано в начале доказательства леммы 7, интеграл в смысле главного значения

(2)(2)(Ka*/)W = lim (HefHx)

(2)

(2)

8—>0

существует и является ограниченной функцией1) от х. Так как /М^О при |т/|>/?, то при |х |>/?+1 и 0<е<1 имеем П Це^ так что достаточно доказать, что

Нт \| (НеП М - (Kg * f) ^ \^dx = 0.

е->0 |x|^R4-l

По следствию III.6.16 это будет вытекать из равенства (2), .если будет показано, что функции (H^f) (х), е>0, ограничены в сово- (п। 1/2

2 I (^/^0 f (у) I21t=i)

Тогда, пользуясь теоремой о среднем из дифференциального исчисления и определением 4(1), (II), получаем

= |$ ^^-Ukx-u^-fkx^du\<

е^|и|^2(Д+О

2(^+1)

< Цх, (S) шах | Q (и) | dr =

|U| = 1J

= 2Lpi (S) (R + 1) шах | Q (и) | < оо,М=1

что завершает доказательство.

Введем теперь полезную нечетную вспомогательную функцию.

Лемма. Существует такая ненулевая постоянная с, что

33-тт ег^> ^дх = с/ = 1, ..., п.

J Ixl^1\у\ ' 1

Еп

Доказательство. В эвристических рассуждениях относительно интеграла Гильберта в четвертом абзаце данного параграфа мы

уже вычислили искомый интеграл при п—\ и нашли, что с = л/. Поэтому здесь мы рассмотрим лишь случай n > I. При этом можно ограничиться случаем / = 1. Обозначим интеграл, стоящий в левой части рассматриваемой формулы, через ф(#). Тогда по лемме 2

ф№/) = ф(#),<>°>

(п)ф (У)=-ф(-у).

ф (Uy) = 4 (у),

если U— вращение в Еп, оставляющее точку [1,0,..., 0]наместе.

Любыедветочкии, у^£п, для которых t^ —t^ и|и| =| и|,могут

быть переведены одна в другую одним из вращений, описанных в (III). Следовательно, при у^О и /=1 функцию ^ф(у) можно записать в виде Ф (у) = Ф (^i/| ^ |, |#|)- В силу равенства (I) ф нс зависит от второго из своих аргументов, а в силу (II) является нечетной функцией. Таким образом, ф (у) = ф (у^у |).

Пусть Ф (у) обозначает интеграл

3 !x|n+1

Тогда ясно, что

Ф(у)=*(^т) + гч,(^г).

Пусть V —вращение в плоскости у^у2 (т. с. вращение в Еп, которое оставляет на месте все точки подпространства у31 .. .,упУ Тогда V переводит ^4- iy2 в eiQ (j/i-Hy^ и xt-V-1х2 в e^Xi-Vix^. По лемме 2

ф(уу) = е^Ф(у).

Пусть т] (yt + iy2) = Ф([^ь у21 0, .. .,0]). В силу (IV) и (V) имеем (VI)т] (ei6z) = ^ет] (z), z ^= 0,

(VII)ц (tz) = ц (z),/>0,г^=0.

В силу (VI) г| (rei6) — eiQr| (г), в силу (IV) и (II) величина т) (г)— чисто мнимая и наконец в силу (VII) tj (г) = с не зависит от г. Таким образом, г] (reie) = ceiQ, и потому

Сп/4т—2 ) = V ^ь ^2’ 0, .... °) = i Im Ф (у^ уг, 0, ..., 0) = ^Уг/г+г/!

= i Im ч (У1 + iy^ = 1 Im ч (ei6) = с cos 0 -= с- -~4=.

Vvi+sl

так что ф (х) = сх. и настоящая лемма будет доказана, если мы покажем, что с^=0.*

Если с = 0, то по лемме 7 KQ*/ = 0 для всякой функции f из С°° (Еп), обращающейся в нуль вне ограниченного множества; здесь мы положили

Q(x) = -£

Пусть функция f^O выбрана таким образом, что она неотрицательна, а при Xi>0 равна нулю. Тогда при z/i>0

tKQ*fW) = 3^ ^^rf(y-x)dx = J _JLfto-X)dx>0,

Х1>У1

что противоречит тому, что Kq^^O, ч. т. д.

Лемма. Пусть ар принадлежит L2(E'n), f принадлежит Ly^E^. и пусть Q удовлетворяет условиям теоремы 11. Тогда

(1)(1)Кй * (4 * /) = (Ka * if) * л

(1)

(1)

Доказательство. По теореме 11 и лемме 3.1 обе части этого равенства меняются непрерывно в топологии пространства L2 (Еп) при непрерывном изменении ар и / в топологиях пространств L2(JEn) и L^E1^ соответственно. Следовательно, соображения непрерывности показывают, что достаточно доказать равенство (1) для случая, когда обе функции / и ар принадлежат С°° (Еп) и равны 0 вне некоторого ограниченного множества. Пусть / и ар—преобразования Фурье от / и ар соответственно, и пусть.

Тогда по леммам 7 и 3.15 преобразование Фурье как левой, так и правой части формулы (1) равно Kf ар, так что настоящая лемма вытекает из теоремы Планшереля (3.9 и 3.22).

Лемма. Пусть Qb Q2 и Q3 связаны между собой так же, как в лемме 5 и определении 6. Положим

^2 W

"Ф 2 (х) ="Ф 2 (х) =О , |х|<1;О , |х|<1;^з W =^з W =О , |х|<2.О , |х|<2.

"Ф 2 (х) =

"Ф 2 (х) =

О , |х|<1;

О , |х|<1;

^з W =

^з W =

О , |х|<2.

О , |х|<2.

Пусть б>0, S —единичная сфера в Еп, а у —мера гиперповерх- кости на S. Тогда существует такая постоянная Ке^ завися-

щая лишь от е и Йь что

J I Йз (®) I и W<K, { jj I й2 (<о) |1+V (dw)} М1+е),

5 |Ф3(х)-(Ка1*Ф2)(х)|Лх<ке^

Е"S

Кроме того, функция й3 нечетна и ограничена.

Доказательство. При | х |. > 2

(О(.Kut»^W

Еп

где через % обозначена характеристическая функция множества {х| |х|<1}. Функции \и\ "^(и) бесконечно дифференцируема при ^u^l, и ее производная по щ равна

nut I и Г"-2^ (и) + (jL Qi) (u) I и Г”.

Так как Q1(/u) = Q1(u) при />0, то

'(^Qt^Cd^1)^)’ f=l, n;t>0, |u|>0.

Поэтому

"d^d"! ^(u)}= — nUi \и | Qj (и) I J ()u. й(^ |м| J| u\ = = 0(1^—*).

По теореме о среднем из дифференциального исчисления существует такая конечная постоянная L (зависящая лишь от Qi), что

I 1 J ^ (х—и) _ Qi (х) 1 I , । .-п-1

I 1«| 1 | X —« I”1 J

при |м|<;1, |х|>2. Поэтому при |х|>2 второй интеграл в формуле (1) оценивается следующим образом:

I f й2(“) Гй1(х—u)Qi(x) | , I ,

| j|и|” t |X-U|”|хГ J

IUK1(

< L | х |-n-1 ^ ) Q2 (®) | р (do) • ^ dr<

^{^(S^AWLIxr""1 ($ |Й2(<о)|1+8р(а<о))1/(1+’<

Следовательно,

(2)

|и|^2

I Фз (и) - (Кй1 * ^2) WI du С Кг { 5 I О2 (со) |1+V (do)}1/(1+8),

где

Кг = {И(S^L J г®dr = ^L^(S)}6

2

и 6 = е/(1+е), так что ясно, что Кг зависит лишь от е и Ор (В оставшейся части доказательства мы продолжаем пользоваться символом Кг для обозначения постоянной, зависящей только от е и QP) Тем же способом мы можем прийти к выводу, что существует другая постоянная Кг» такая, что

(3)$

I u |^28

Так как по теореме 11 существует такая постоянная Кг» что (4)| KQi * фг 114-е ^Кг | Фг 114-е “

= Кг^ drV^^ { $ | Q2 (О)= 18

= Ке{ J IQH^I^VW}^1^, 1 s

то из неравенства (3) следует существование такой постоянной Кг» что

I ^з !1+б - { $ | Qa (со) |^ (de»)}1/(1+е) { $dr}1/(1+6)<

С Кг { J |Q2(co)|1+V(dco)}1/(1+8).

k 8

Итак,

^(^(d^^tS)}6™^^^ |Q3((o)|1+^(da>)}1/(1+E)< 88

<ti(S)e/(1+e)/<E {^r-"s-idr^^ {J |Q2(a>)|,+V(<ico)}1/(1+e), 28

что доказывает справедливость неравенства (I).

Применяя соотношения (4) и неравенство Гёльдера, получаем

K^ai*^) Wl^<

I X 1^2

<[2"n(S)]e/(1+8){ J ^^Г^х}1^^|x(^2

C[2^(S)]e/(1+E)7<e { 5 I ^(co) |1+v (do))}1/(‘+e);

s

отсюда и из неравенства (2) вытекает справедливость утверждения (II). Нечетность функции Q3 следует из леммы 5. Наконец, для того чтобы доказать ограниченность функции Q3, заметим, что мы должны лишь показать, что функция /<^*^2 при |х|>2 ограничена, ибо, как уже было доказано, при |х|>2 второй интеграл в правой части равенства (1) ограничен. Если положить фх (х) = Qf (х) | х |“п при | х | > 1 и ^ (х) = О при | х | < 1, то ясно, что (5) (KBl * t|)2) (х) = (ч|)! * Ч|)2) (х) 4-cP ъЦД^^^!^йи-

ЕП

Точно так же, как мы сделали это для второго интеграла в правой части равенства- (1), можно показать, что второй интеграл в правой части соотношения (5) ограничен. Поскольку | (фх *ф2) (х) | < С IФ1,21 Ф2,2> лемма полностью доказана.

Лемма. Пусть 1 <Ср<с со, и пусть Q — четная функция, определенная на Еп, бесконечно дифференцируемая на поверхности единичного шара и удовлетворяющая соотношению Й(1х) = Й(х), />0. Пусть f— бесконечно дифференцируемая функция, определенная на Еп и равная нулю вне некоторого ограниченного множества. Пусть е>0 и

/£={ J IQ^I^h^)}170^,

8

где S —единичная сфера в Еп, а р, — мера гиперповерхности на S. Тогда существует такая конечная постоянная Л8)Р, зависящая лишь от р и е, что* Ер^Е^-норма функции g, определенной равенством

gW = $ tS du,

1« l^i

не превосходит Л8)Р/е|/|р.

Доказательство. Положим йг (%) — с TXt |х | х, где с — постоянная из леммы 12. Тогда по леммам 12 и 7

F (KQi * Ш = У11У Г1 F (Г) (у)

для всякой функции f из С°° (Еп). равной нулю вне ограниченного множества; здесь F (g") обозначает преобразование Фурье функции g. По теореме Планшереля (3.9) и теореме 11 обе части этого равенства являются непрерывными линейными операторами в пространстве L2(En) (точнее, результатами применения таких операторов к функции /), так что

F^h^^^F^h^yY Н^Ц^у

Следовательно,

^Ка.ЦКй*^^ h£L^Eny г=111

Пусть ф (и) = й (и) | и |“п при | и | > 1 и ф (ы) = О при | и | < 1. По лемме 13 и теореме 11

Шр = 1 2^йг*(А"йг*ФМ|р<

<ApnL max | (Kq * ф) * f |р,

где L^ | z/i | pt(dco), а Лр — постоянная, зависящая лишь от р 8

(поскольку постоянная Ар, фигурирующая в теореме 11,' совпадает с постоянной леммы 9). По лемме 14 Kq. *ф можно представить в виде

К^ *Ф = Ф^ + А^

где ф/ (и) = й<^ (и) | и |“n, \и\> 1; cpz(u) = O, |u|<l; Q^) (u)=tt^tu), ^>0; при этом функция й(3^ нечетна и ограничена;

J \^4^\^W<KJ£ 8

И

\ht (х) \dx^KJs-

Еп

Тогда по леммам 10 и 3.1

I (Кй. * Ф) * / |р ^ (1 + 2-хАр) Кгк | Яр.

ч. т. д.

Теперь мы можем доказать общую теорему Кальдерона — Зигмунда.

Теорема (Кальдерон—Зигмунду Пусть 1<р<оо и е-<0. Пусть Q — такая ограниченная измеримая функция, определенная на Еп, что Q (х) = Q(tx) при t>0 и

Q (со) р (dco) = О,

s

где S —единичная сфера в Еи, а р—мера гиперповерхности на S. Тогда для всякой функции f из Lp(En) предел

(Kq* Z)(x) = iim t ^^f^x — u^du

существует в смысле сходимости в среднем порядка' р, и существует такая конечная постоянная А^р^зависящая только от р и г, что

| Кй * / |р -Ке,р1г | / |р, где

^ = { 5 | Q (со) |1+8[Л (dm) |1/(1+Е> < оо.

Доказательство. Пусть <вп = р(8). Тогда в силу неравенства Гёльдера

J |Й(й)|р((йо)<й8/(1+8)/8. 8‘

Следовательно, по теореме 11 настоящая теорема справедлива, если функция Q нечетна. Поскольку Q можно представить в виде суммы ее четной и нечетной частей, достаточно рассмотреть случай четной функции1). Но в этом случае теорема выводится из леммы 15 точно так же, как теорема 11 выводится из леммы 10.

1Х гт п \ Q(x) + Q( — х), хQ(x) —Q( —х)

х) Пусть Q^x)^—-- и Q2(x) =————четная

и нечетная части функции Q. Если обозначить через 78(Q1)> Z8 (Q2) и Z8 (Q) интегралы /8, вычисленные для функций Qb Q2 и Q соответственно, то из инвариантности меры р относительно отображения со->—со и неравенства Минковского следует, что /8 (Q^-p/e (^гХ 2/8 (Q).— Прим, перев.

8. Упражнения

А. Упражнения на интегралы Фурьер

Пусть £t — подпространство пространства Li( —со, со), состоящее из функций от t, равных нулю при /<0. Показать, что £[ образует замкнутую подалгебру алгебры со сверткой Lx( — оо, со) и что если т — мультипликативный линейный функционал на алгебре £}, то существует такое комплексное число z с Imz>0, что

т^= ^ eizxf (х) dx, /€St.о

Пусть Д и /2 —функции из L2( —со, оо), и пусть / (х) = = Д(х)/2(х). Показать, что если F, Л, ^ — преобразования Фурье функций /, Д, fo соответственно, то

Г(х) F1 (х — y)Fz(y)dy.

Обобщить упражнение 2 на случай произвольной локально бикомпактной абелевой топологической группы.

Пусть р> 1, и пусть/ —функция из Li( —оо, оо), a g —функция из Lp( — со, оо). Показать, что свертка'

(Zg)W= $ f(x—y)g(y)dy

существует для почти всех х и принадлежит Lp( — оо, оо) и что\hg\p<\fU\g\p-

Показать, что если /, g £ Z,i( —co, co)f)Z,2(—оо, со) и

X

g^ = J f^dy,а

то преобразования Фурье F и G функций / и g соответственно связаны соотношением

— itG^ = F (Д.

Пусть 1-<р<:2, и пусть /—функция из Z,p(—оэ, оэ). Показать, что предел

А

/?(/) = Ит ^ eitxf(x)dx

А->оо V

—А

существует в смысле сходимости по норме в пространстве Lq( — оо, оо), где р-14-^-1=1. (Указание: см. VI. 11.43.)

Показать, что в предположениях и обозначениях упражнения 6

А

lim jL t F^e-^dt^f^

А->оо 2Л а

—А

в топологии пространства £р(— со, оо). (Указание: см. IV.4.19.)

Показать, что в предположениях и обозначениях упражнения 6

J \b^\^\F^\pdt<oo

для всякой функции b из Lp( — со, оо).

Пусть X —такая вещественная функция вещественного переменного, что X(-)F(-) является преобразованием Фурье функции из пространства £х(— оо, оо) всякий раз, когда F(-) является преобразованием Фурье функции из этого пространства. Показать, что если 1<р<2, то Х(-) F (•) является преобразованием Фурье функции из Lp( —-оо, оо) всякий раз, когда F(-) является преобразованием Фурье функции из Lp( —со, оо); преобразование Фурье определяется так же, как в упражнении 6.

Пусть X —такая функция, определенная на (—оо,оо), что ее полная вариация конечна. Показать, что если 1<р<2 и F — преобразование Фурье функции из Lp( — со, оо), то такова же функция X (•)£(•). Преобразование Фурье определяется так же, как в упражнении 6. (Указание: воспользоваться неравенством М. Рисса.)

Пусть Хп —числовая последовательность, определенная при — оо < п < оо и имеющая конечную полную вариацию. Показать, что если 3 апе1пх является рядом Фурье функции из П=—оо

оо

£р(0, 2л), то о ряде 2 ^Дп^^пх можно сказать то же самое.

П=—оо

Пусть / — функция из Щ — оо, оо), и пусть F — ee преобразование Фурье. Показать, что если функция / в окрестности

точки х имеет ограниченную вариацию, то

А

f(x) = limj- F^e-^dt.

А->оо J

—А

(Указание: см. IV. 14.17.)

Показать, что утверждение упражнения 12 остается справедливым, если условие f£Li(— со, со) заменить требованием / £ Lo(- • оо, со).

Показать, что в Л^—оо, оо) f]£2( — со, оо) найдется такая непрерывная функция /, что предел, фигурирующий в упражнении 12, нс существует при х = 0.

Показать, что в Lv( — со, со) существует функция/, для которой семейство функций

А ‘

л«=4 VWe"itxdt’

-А

где F обозначает преобразование Фурье функции /, нс удовлетворяет неравенству

sup \ |/А(х) |dx< оо.

Показать, что не всякая непрерывная функция, определенная при — оо < t < оо и стремящаяся к нулю, когда t стремится к + оо или к — оо, является преобразованием Фурье некоторой функции / ИЗ СО, оо).

Найти в ^( — 00,00) такую функцию f, что она является неопределенным интегралом некоторой другой функции из Ц( — оо, оо) и что преобразование Фурье F функции / удовлетворяет условию

\F(t) ]^ = оо.

Показать, что это невозможно, если / является интегралом функции из L2( —со, оо).

Пусть /-—функция из Li( — оо, оо), и пусть F — ee преобразование Фурье. Тогда

a(O)/(x) = lirn-A- [

если функция а ограничена, непрерывно дифференцируема в начале и принадлежит Щ — оо, оо) вместе со своим преобразованием Фурье. Предел понимается в смысле топологии простран-

€TBaLt(—оо, оо). Кроме того, если дополнительно предположить, что преобразование Фурье функции а ограничено сверху четной монотонно убывающей функцией из то

a(0)f(x) = Um J F Q^dt

(I) для почти всех х и (II) для каждого х, при котором функция / непрерывна. (Указание: см. VIII.9.5.)

Пусть f^Li( — оо, оо) и предположим, что преобразование Фурье F функции / также принадлежит Л^ —оо, оо). Показать, что почти всюду

(Указание: воспользоваться упражнением 18.)

Пусть 1Ср<2, и пусть Еп обозначает zi-мерное вещественное евклидово пространство, а / принадлежит Lp(Eny в качестве меры в Еп возьмем меру Лебега. Показать, что предел

e^kxi^...^tnx^ ..., x^dx^ ... dxne^kxi^...^tnx^ ..., x^dx^ ... dxnА

e^kxi^...^tnx^ ..., x^dx^ ... dxn

e^kxi^...^tnx^ ..., x^dx^ ... dxn

F (ti, ..., /п) = lim .

А->оо

—А

существует в смысле сходимости по норме в Lq (Епу где p-1-Vq-1= 1. Показать также, что

А = lim (2 л)...А->оо•А = lim (2 л)...А->оо•АА/№, ..., хп) =

А = lim (2 л)...

А->оо•

А = lim (2 л)...

А->оо•

А

А

e-t(fixi+...Ипхпр^t^dt^ .. .dtn

—A

в топологии пространства Lp(Eny (Указание: см. упражнения 6 и 7.) '

В. У применения на неравенства и сингулярные интегралы

(Харди и Литлвуд.) Пусть для функции / из ^(0, 2л)

2л

сп (/)=§/ W e-i«x dx = 0, п < 0.о

Показать, что

ОО2л

п=10

где К— некоторая абсолютная постоянная. (Указание: показать, используя упражнение IV. 14.88, что в L2(0, 2л) существуют такие две функции Д, /2, что сп(Д) = 0, n<0, Z = 1, 2, и что / = Д/2- Затем воспользоваться упражнением 3.)

(Сопряженный тригонометрический ряд.) Пусть /—функция из Lp(0, 2л), где 1<р<оо. Положим

2л

сп (/) = ^ / (*) e-inx dx, — оо < п < оо.

о

Показать, что ряд

оот

[*] У s6n Wcn У) einx= Vim V sgn (и) с„ (/) е™х п=—оот->оо п__т

сходится в среднем лярным интегралом/ =сходится в среднем лярным интегралом/ =порядка р к функции, определяемой сингу-порядка р к функции, определяемой сингу-2л1 ?2л/ JО2л1 ?2л/ JО—-Hx-y^dy.tg-v-—-Hx-y^dy.tg-v-

сходится в среднем лярным интегралом

/ =

сходится в среднем лярным интегралом

/ =

порядка р к функции, определяемой сингу-

порядка р к функции, определяемой сингу-

2л

1 ?

2л/ J

О

2л

1 ?

2л/ J

О

—-Hx-y^dy.

tg-v-

—-Hx-y^dy.

tg-v-

Здесь этот интеграл понимается как предел

Л-8 2Л

О л4-82

который существует в смысле сходимости в среднем порядка р. (Указание: воспользоваться методом упражнения IV. 14.19 для доказательства сходимости в среднем ряда и теоремой 7.8 для доказательства сходимости в среднем интеграла.)

(Кальдерон —Зигмунд.) Пусть 1<р<оо, и пусть Q — функция, определенная на £п и обладающая следующими свойствами:

Q(/x) = Q(x),/>0;

Q (со) [л (dco) = 0,

8

где S — единичная сфера в Еп, а р— мера гиперповерхности на S;

Q (х) — непрерывно дифференцируемая функция от х при х=^0.

Показать, что если f^Lp (Еп), то сингулярный интеграл lim(Jef) (у), 8—>0

ГДв

^fHy)= $ ^Hy-x^dx,

\х\>в

существует для почти всех у. (Указание: пусть ср —обращающаяся в нуль вне ограниченного множества неотрицательная функция из С°°(ЕП), интеграл от которой равен единице. Положим фе (х) = 8пф (8%) для каждой функции ф. Показать, что в Lx (Еп) найдется такая функция р, что

J6f — фе * (Кй * /) = Qe * Л

Затем воспользоваться подходящим обобщением упражнения VIII.9.6.)

Пусть 1<р<оо; тогда для всякой функции / из Lp предел ['] из упражнения 22 существует почти всюду.

С. Упражнения на локализацию собственных значений)

(А. Брауэр.)) Пусть Д^д^) есть (п х п)-матрица, рассматриваемая как линейное преобразование в комплексном и-мер- ном пространстве Еп. Для каждого к. \<.к<.п, обозначим через Ск круг радиуса

Гд = тт(3 |ал|> 21ам1)

с центром в точке а^. Показать, что каждое собственное значение матрицы А лежит в некотором круге С^. (Указание: пусть [дч, ..., хп] — собственный вектор, принадлежащий собственному значению X; показать, что если

]хд|= max |хг|, то | X — акк |<31 ajk |.)

(А. Брауэр.) Предположим, что все круги Ск из упражнения 25 попарно нс пересекаются. Показать, что каждый из них содержит в точности одно простое собственное значение матрицы А. Если, кроме того, предположить, что все элементы матрицы А вещественны, то все ее собственные значения вещественны. (Указание: пусть D — матрица, диагональные элементы которой

совпадают с соответствующими элементами матрицы А, а остальные элементы равны нулю; рассмотреть матрицы аЛ + (1—а) D, 0<а<1.)

Показать, что в обозначениях упражнения 25

|det(X)|> П ^акк — Гк),k-— 1

если все сомножители произведения положительны.

(Перрон.) Пусть А есть (их л)-матрица, и пусть сь .. .,сп — произвольные положительные числа. Тогда каждое собственное значение X матрицы А удовлетворяет неравенству

| Л | С max cj1 2 I aJk I Ch.

Для каждого п и каждого т-<п обозначим через Ет пространство всех кососимметрических функций а^ц. 1^ . . ., 1т) от т индексов, каждый из которых изменяется от 1 до п. (Это означает, что н(гн и. .. ., im) -u^b j^ ..., jm), если упорядоченные последовательности 1И ...^^ и jVl ..., jm отличаются единственной перестановкой.) Положим

(МО 5] a (it, .. .Jm)!)^, ..., UY

превратив тем самым Е1^ в гильбертово пространство. Если Л = (aj^ есть (и х и)-матрица, то через Л(,,,) обозначим преобразование в Emi определенное равенством

(А^ьни ...,U) =3 ,r ^ix3x • • • Climim^ (/1> - * • > jm)-

Показать, что (AB)^ = л(т)В(т) и что (Л*)(т) = (Л(т))*. Показать, что если Х1? ..., Хп — собственные значения матрицы А (каждое собственное значение повторено столько раз, какова размерность области значений оператора Е^А)), то собственными значениями преобразования Л(т) являются числа Х^Х^ ... Хгт, где ill *2, im — произвольная последовательность целых чисел, такая, что 1 < it << i2 < .. . < im л.

(Г. Вейль.) Пусть А и {XJ означают то же, что и в упражнении 29. Пусть В —единственный положительный квадратный корень из ЛЛ*, и пусть {pj — собственные значения матрицы В. Предположим, что {Xi} и {рг} расположены в порядке убывания их абсолютных величин. Показать, что

|Х1]-^р1, |Х1Х2|^Р1Р2? 1 Х1Х2Х3 | -^ Р1Р2Р3» И Т1 Д»

(Замечание: этот результат —наилучший из возможных (Горн).)

(Г. Вейль.) Пусть {А,} и {pj означают то же, что в упражнении 30. Показать, что из неравенств упражнения 30 следует, что

1=11=1

(Указание: ^i + ^Г1 + ^21 + • • • является возрастающей функцией каждой из своих переменных, пока

fe?>&2, ^>^3, fe|>^4. и т. д.)

(Г. Вейль.) Пусть {AJ и {рг} означают то же, что в упражнении 30. Показать, что

S.I^MP<S(^)P, p>l

2 щ^|Ч 2 (и^г, p>i.

i=£H=hгФзФк .

И Т. Д.

Пусть Л —оператор в n-мерном гильбертовом пространстве, и пусть В = (Л + Л*)/2. Пусть р_ и р+— соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения оператора В, и пусть А— собственное значение оператора Л. Тогда

P-<Re (А)<р+.

(Бендиксон.) Пусть Л —то же, что в упражнении 25; предположим также, что элементы матрицы Л вещественны. Пусть С = (Л —Л*), и пусть g — максимум абсолютных величин элементов матрицы С. Тогда

ПтЛК^^-)1'2.

(Указание: воспользоваться упражнением 33 и упражнением 31 для случая р = 2.)

(Пик.) Пусть С — вещественная кососимметрическая (п х п)- матрица с элементами (с^У рассмотрим С как отображение п-мер- ного гильбертова пространства в себя. Показать, что

|C|<gctg^,

где g —максимум абсолютных величин элементов матрицы С. Следовательно, неравенство упражнения 34 может быть усилено, а именно справедливо неравенство

16 Заказ № 134

(Указание: располагая компоненты Xi вектора х в таком порядке, что Im^XhXj — XjXk^O при k<J, показать, что

] (Сх, х)|< — lg 2 (vxkxJ — xjx^<.g\x\ctg-5L_ .) h<j2п '

(Паркер.) Пусть матрица А такова, как в упражнении 26. Показать, что если Л. —собственное значение матрицы А, то

п

|^|<ymax 2{|<М + |Й«1}-к i=l

(Фробениус.) Пусть А — матрица, все элементы которой положительны. Показать, что

наибольшее по модулю собственное значение X является простым и, кроме того, вещественным и положительным;

в собственном подпространстве, соответствующем собственному значению X, имеется вектор х с положительными компонентами;

всякий собственный вектор матрицы Л, имеющий положительные компоненты, пропорционален вектору х;

собственное значение X совпадает с наибольшим из чисел Хо, для которых существует такой вектор у с положительными компонентами, что каждая компонента вектора Ау не меньше соответствующей компоненты вектора Хоу. (Указание: воспользоваться теоремой Брауэра о неподвижной точке; еще лучше — рассмотреть итерации Л71.)).

Пусть р>\, и пусть (S, 2, ^ — пространство с положительной мерой, а Л —вполне непрерывный оператор в Lp (S, 2, ц). Предположим, что А переводит положительные функции в положительные. Показать, что существует такое положительное собственное значение X оператора Л, которое не меньше, чем модуль любого другого собственного значения, и которому соответствует неотрицательная собственная функция.

Пусть А и В являются (п х п)-матрицами, и пусть {XJ — последовательность собственных значений матрицы АВ. Показать, что

Sl^KIMII W

г=1

(Указание: привести матрицу АВ к треугольному виду; || А || — норма Гильберта—Шмидта оператора Л.)

(Лалеско.) Пусть А и В —операторы Гильберта—Шмидта.

Пусть {Хг} — последовательность собственных значений оператора АВ с учетом их кратностей. Показать, что

Sim- МПЦВЦ.

D. Упражнения по теории Фредгольмаоператоров / нльберта — Шмидта

В следующей группе упражнений Я —заданный оператор Гильберта —Шмидта, {X/} - последовательность его ненулевых собственных значений, каждое из которых повторяется столько раз, какова его кратность, 6(X)- функция, определенная сходящимся бесконечным произведением

6(Х) = Ц (1-ХХг)?Ч

г=1

а А(X) — аналитическая операторнозначная функция ^(Х"1; Л)б(Х)

(ср. теорему 6.26).

(Смитис.) Показать, что

если /(г, X) = z-1 [log(l — Xz)4-Xz], то

б(Х) = ехр{к(/(Л, X), Л)}, Х^Х"1;

6(Х) = ехр{-2 -^п}.

п=2

где

а„=5м п >2;

б'(Х) = (- § Хп-‘оп)б(Х);

п=2

(Ф 6(Х)=2 у^цр^,

П—Ъ

где Ро = 1, а если п > 1, то Рп есть (п х и)-матрица

/Оп-100\

о20п — 2О

„ а3 о2 0О

оп .... . <т3 сг2 О/

(Смитис.) Показать, что

(а) (/— ХЛ) Д (X) = Хб (X)/;

(Ь) если 6 (X) = 2 бдХ” ип=0(Ь) если 6 (X) = 2 бдХ” ип=0Д(Х)= 2 ДПХ”, то До = О и п=0Д(Х)= 2 ДПХ”, то До = О и п=0

(Ь) если 6 (X) = 2 бдХ” ип=0

(Ь) если 6 (X) = 2 бдХ” ип=0

Д(Х)= 2 ДПХ”, то До = О и п=0

Д(Х)= 2 ДПХ”, то До = О и п=0

Дп = 6П_(/ +Д6п-г+Л2бп-з+ 4-Лп *6о;

(с) оператор Дп может быть записан в виде символического (л х л)-определителя

л >2,

где Pn-t есть (л — 1) х (л — 1)-матрица из пункта (d) предыдущего упражнения.

(Смитис.) Функция Д(Х)~ Хб(Х)/ является аналитической функцией от X, даже если рассматривать ее как функцию со значениями в пространстве HS операторов Гильберта —Шмидта. Следовательно, ряд

Д (X) - Хб (X) / = 2 (Ад - Sn-J) хп,

п—2

где Дп и 6П определены так же, как в предыдущем упражнении, сходится по норме Гильберта —Шмидта.

Пусть (S, S, р) — пространство с положительной мерой. Оператор А, действующий в пространстве La(S, S, р), тогда и только тогда является оператором Гильберта —Шмидта, когда на S х S существует такая (р х р)-измеримая функция Л(-, •), что

(I){И ।и }1/2 < 00

S S и

(И) (AfHs) = ^A(s,t)f(t)Mdt), f^ms, 2, р),

S

почти всюду на S, т. е. тогда и только тогда, когда оператор А может быть представлен как интегральный оператор с ядром, удовлетворяющим условию (I). Если такое ядро Л(-, •) существует, то оно единственно (с точностью до значений на множестве

(р. х р.)-меры нуль) и норма || Л || в точности равна конечной величине (I). Следовательно, если Л (•, •) есть (р х р)-измеримая функция, определенная на 8 х S и удовлетворяющая условию (I), то формула (II) определяет оператор Л, действующий в L^S, 2, р) и принадлежащий классу Гильберта —Шмидта.

Допустим, что в качестве гильбертова пространства § упражнения 43 рассматривается пространство /^(S, 2, р) упражнения 44. Пусть An(s,/) —ядро, которое представляет в смысле упражнения 44 оператор А„ —6n-i/ из упражнения 42. Тогда степенной ряд

A (s, t\ Ц = 2 XnAn (s, /)п=2

сходится для почти всех относительно меры р х р точек [s, /] из 8 х 8, и A (s, t; Ц является ядром, представляющим оператор А (%)— Х6(Х)/ в смысле упражнения 44.

(Гильберт.) Допустим, что выполняются предположения предыдущего упражнения.

Показать, что постоянные 6„ и операторы А„ из упражнения 42 однозначно определяются равенствами б0 = 1, dt = 0, Ао = О, Ai = 60/ и рекуррентными соотношениями

Ап = 6n_j/ 4- ЛАП_!

и

бп=—l-trCAn-бд-!/, Л).

Пусть Л (•, •) — ядро, представляющее оператор Л в смысле упражнения 44. Пусть 6П — последовательность постоянных, определенная формулами 60 = 1,

А / |\П г»р

6п = У-щ j *" } Bn(st, • •5п)р№) . . . p(dsn), n> 1,

ss*

где Bn(sj, ..., sn) —определитель (n x п)-матрицы, общий элемент которой (т. е. элемент, стоящий в t-й строке и в /-м столбце) равен Л(зг, Sj), если i^j, и 0, если / -—/.Пусть An(s, ^ — функции, определенные формулами А2 (s, /) = Л (s, /) и

А»+2 (s, /) = пХ ■ j • • • ^ 5n (s, t; Si, ..., sn) p, (dsi) ... p, (dsn), s s

n> 1,

где Bn(s, t; st, ..., s„) — определитель (п + 1) X (п-г 1)-матрицы, общий элемент которой а^- задается равенствами

«и = A (s, /);«и = A (s, s,.,), a;i = A (Sj-i, /),atj^A^Si-i, Sj-O,«и = A (s, /);«и = A (s, s,.,), a;i = A (Sj-i, /),atj^A^Si-i, Sj-O,fl + 1j > 15ti 4~ 1j > I >n + 1 > i = j > 1;n + 1 > i ^ j > 1.fl + 1j > 15ti 4~ 1j > I >n + 1 > i = j > 1;n + 1 > i ^ j > 1.

«и = A (s, /);

«и = A (s, s,.,), a;i = A (Sj-i, /),

atj^A^Si-i, Sj-O,

«и = A (s, /);

«и = A (s, s,.,), a;i = A (Sj-i, /),

atj^A^Si-i, Sj-O,

fl + 1j > 15

ti 4~ 1j > I >

n + 1 > i = j > 1;

n + 1 > i ^ j > 1.

fl + 1j > 15

ti 4~ 1j > I >

n + 1 > i = j > 1;

n + 1 > i ^ j > 1.

Показать, что функция Дп (s, /) удовлетворяет условию (I) упражнения 44 и, следовательно, представляет некоторый оператор Ап типа Гильберта —Шмидта. Показать, наконец, что если An (s, t) — функции из предыдущего упражнения, то An (s, f) — A„ (s, t) для почти всех относительно меры р X ц точек [s, t\ и что

V 6,„ п >2.

Пусть П| — произвольное число и d (X) = 6 (X) exp (— Xoj). Показать, что ■)

d'(X) (- 5 Xn-‘<T„)d(X)n t

И ЧТО

^W = 2 det (/?„),

n==0

где Ro = 1, а если л > 1, то Rn есть (и х м)-матрица

Rn =

/01 п— 10... 0 \

ст201п — 2...0

ОзО2О1...0

V<Tn... . .<51*

Показать, что операторнозначная функция D (X) = d (X) (X-1/ — Л)"1аналитична по X и что О(Х)= 2 DnXn, где Do = O, Dt = I, а прип=0

х) Определение постоянных an, п^ 2, см. в упражнении 41.— Прим, перев.

п>2 оператор Dn представляется символическим определителем

п-1 0 ... 0\п-1 0 ... 0\//

п-1 0 ... 0\

п-1 0 ... 0\

А

\А

(Детерминантами ряд Фредгольма.) Пусть выполнены предпосылки предыдущего упражнения; предположим, что в качестве гильбертова пространства рассматривается £2(5, 5, р), где (S, 3, ^ — пространство с положительной мерой. Пусть Д(-, •) — ядро, представляющее оператор А в смысле упражнения 44. Предположим, что это ядро выбрано таким образом, что формула / (s) = = Д (s, s) определяет р-измеримую р-интегрируемую функцию1). Возьмем в качестве числа о^ из предыдущего упражнения

CTi= A (s, s) р (ds).

8

Тогда справедливы следующие утверждения:

Числа dn = det ^R^ можно вычислить по формулам d0 = 1 и

dn = ^ • • • § С (si, ..., sn) р (dsj... р (dsn),n > 1,

s s

где C(si, ...,sn) — определитель (n x п)-матрицы с общим элементом Л(5г, Sj).

Формулы O2 (s, t) = A (s, /) и

^n+2 (8,^n+2 (8,SSt; si,t; si,., sn)p(ds!).. ,p(ds„), n>l,., sn)p(ds!).. ,p(ds„), n>l,

^n+2 (8,

^n+2 (8,

S

S

t; si,

t; si,

., sn)p(ds!).. ,p(ds„), n>l,

., sn)p(ds!).. ,p(ds„), n>l,

x) Назовем множество E £2 точным атомом, если р, (Е) =£ 0 и если из того, что F £ S, F^E, вытекает, что либо F = E, либо F — 0. (Ср. с определением IV.9.6; заметим, кстати, что следующее за этим определением утверждение, что пространство с конечной положительной мерой может иметь не более чем счетное множество несовпадающих атомов, неверно; оно становится верным, если атомы заменить на точные атомы или если два атома считать совпадающими, когда мера их симметрической разности равна нулю. Если всякое одноточечное подмножество пространства S измеримо, то точными атомами являются все одноточечные подмножества ненулевой меры, и только они.) Заметим, что изменение функции A (s, /) на множестве (р, х ц)-меры нуль не меняет оператора А. Легко показать, что если S содержит не более конечного числа точных атомов, то, изменяя (если это необходимо) функцию A (s, /) на некотором множестве (р, х р,)-меры нуль, можно считать, что функция A (s, s) является реинтегрируемой. Если же число точных атомов бесконечно, то требование р,-интегрируемости функции A (s, s) является дополнительным ограничением на оператор А, даже если мера р, конечна.— Прим, перев.

где С* ($, t; slt ..., sn) — определитель (n+ 1) х (п + 1)-матрицы, элементы которой задаются равенствами

ап = Л(з, /);

at) = A (s, Sj-i), aji = A(Sj_i,t), /г+1>/>1;

«и = А (si-b Sj-O,n + 1 > /, j > 1;

определяют ядра, удовлетворяющие условию (I) упражнения 44 и представляющие операторы D„—)-—L-r-dn-J из предыдущего упражнения. Кроме того, для почти всех относительно меры р х и точек [s, /] ряд

D(s, /;Л) = 2 ^Ld^s, Оп=2

сходится при всех X, и D(s, t; X) является ядром, представляющим (в смысле упражнения 44) оператор D(X)—Xd(K)I из предыдущего упражнения.

Показать, наконец, что, выбирая Л(з, /) так, что Л(з, s) = 0 для всех s из S, мы получаем результат упражнения 46 как следствие результатов данного упражнения1). (Указание: обобщить метод упражнения 46.)

49. Говорят, что оператор Гильберта — Шмидта А обладает следом, если 2 |Х1|<оо. След tr (Л) такого оператора определи- 1=1

ею

ется по формуле tr (Л) = 2 ^t* Доказать следующие утверждения.

Если оператор А упражнения 47 обладает следом и постоянная О1 этого упражнения выбрана так, что О1 = 1г(Л), то d(X) = = П (1—ХгХ), причем это бесконечное произведение сходится 1=1

абсолютно и равномерно по А на всяком ограниченном множестве.

Произведение А двух операторов А^ и Л2 типа Гильберта — Шмидта обладает следом, причем 1г(Л) = 1г(Л1, Л2).

Пусть операторы Л, Ai и Л2 пункта (Ь) являются операторами, действующими в L2(S, 2, р), где (S, 2, р) —пространство с положительной мерой, и пусть Л1(-, •), Л2(-, •) —ядра, представляющие в смысле упражнения 44 операторы Ai и Л2 соответ-

х) Если EczS—точный атом (см. примечание на стр. 247), то функция f(s)=A(s1 s) постоянна на Е. причем величина этой постоянной однозначно определяется оператором Л и не может быть изменена без изменения оператора А. Поэтому в случае, когда в S имеются точные атомы (например, когда мера р дискретна), результаты упражнения 46 не являются, вообще говоря, следствиями результатов упражнения 48.—Прим, перев.

ственно. Тогда ядро Л(-, •), определенное формулой

A (s, 0 = $ Л Is’. г) Л2 (г, 0 р (dr)

для всех s и t, для которых интеграл в правой части существует, представляет оператор А в смысле упражнения 44. Кроме того,

tr (Л) * \ Л (s, s) р (ds).

Если оператор (ЛЛ*)^1 обладает следом, то оператор Л также обладает следом (Указание: воспользоваться неравенством Вейля из упражнения 30.)

Различные упражнения

(Хальберг.) Пусть (S, 2, р)— пространство с о-конечной мерой. Пусть Тр—однопараметрическое семейство ограниченных операторов, определенное на некотором подинтервалё I интервала 1Ср^оо, причем оператор Тр действует в пространстве LP(S, 2, р). Допустим, что для любых pi, р2 из / операторы Тр^ и Тр2 совпадают на пересечении пространств LP1(S, 2, р) и Lp^S, 2, р). Доказать, что log | а (Тр) | — выпуклая функция от р.

Пусть выполнены предположения упражнения 50. Показать, что'

o'(7p2)scr(7pi)Uo(7p3), если pi<p2<p3; Pi, Pa, pa^L

Пусть выполнены предположения упражнения 50. Показать, что если pi и р2 принадлежат /, то каждая компонента множества о^Тр^ пересекается с 0(7^).

Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предположим, что число 2 содержится в / и что оператор Т2 эрмитов. Показать, что o(T2)so(7p) для любого р из I.

Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предположим дополнительно, что мера р конечна. Пусть p,q^I, p<_q, и к 4 а (Тр). Тогда к 4 о (Tq) в том и только том случае, когда (LI 7р) (Lp Lq) S Lp Lq.

Пусть выполнены предпосылки упражнения 50; предположим дополнительно, что <S— множество целых чисел и что каждая точка из S имеет меру 1. Пусть p,q£l, p>q, и к^а(Тр). Тогда k^o(Tq) в том и только том случае, когда

(М Тр) (Lp Lq) £ Lp Lq.

■ 56. (Шмидт.) Пусть выполнены предпосылки упражнения 44; предположим, что оператор А эрмитов. Пусть {ф;}~ортонор-

мальная последовательность собственных функций оператора Л, а {^-последовательность соответствующих собственных значений. Показать, что

Л (з, 0 = 2 Н*Ф* (О Ф* (0»г

причем этот ряд сходится в топологии пространства ^2((^> ^, p) X (S, 2, р)).

Пусть S — бикомпактное пространство и (S, 2, р)— пространство с конечной регулярной мерой. Пусть K(s, /) — непрерывная функция на S X S; предположим, что

K(s, t) = KWH,■

так что формула

(Kf)(S) = ^К(s,

определяет вполне непрерывный эрмитов оператор К в 1^(5, 2, р). Пусть {ф|} — последовательность собственных функций оператора К, а Ш(} —последовательность соответствующих собственных значений. Показать, что если g -Kf для некоторой функции / из L3(S, 2, р), то функция g непрерывна и ее разложение в ряд по собственным функциям сходится равномерно и абсолютно.

(Мерсер.) Пусть выполнены предпосылки предыдущего упражнения; предположим, что оператор К неотрицателен. Показать, что

K(s, o=2tw(s^(O,

причем ряд в правой части равномерно сходится. (Указание: показать, что К (t. 0 = 2 ИгI ф/ (012» и отсюда вывести, что г

последний ряд равномерно сходится. Воспользоваться упражнениями 57 и 56.)

Пусть фп —такое ортонормальное множество функций в гильбертовом пространстве L3(S, 2, р), что | фп (з) | <М <оо при s^S и п— 1, 2, ... . Для каждой функции / из Lv положим сп = / (з) фп (s) р (ds). Показать, что для любого р, 1 < р ^ 2,

S

существует такая конечная постоянная Кр. что

( 2 | ^ !р/г^)1/р <Кр { $ I f (S) IРр (ds)}1/р.

n=lS

(Указание: воспользоваться интерполяционной теоремой Марцинкевича, приведенной в параграфе «Примечания ц дополнения», завершающем настоящую главу.)

Классы Ср вполне непрерывных операторов.Обобщенные неравенства Карлемана1)

Если Т — вполне непрерывный оператор в гильбертовом пространстве, то неотрицательный самосопряженный оператор Т*Т вполне непрерывен (следствие VI. 5.5); таким образом, по следствиям Х.3.5, VI.5.5 и Х.2.8 оператор А = (T*Tf/2 также является вполне непрерывным, неотрицательным и самосопряженным. Ненулевые собственные значения рь р2, ... оператора Л, расположенные в убывающем порядке и повторенные в соответствии с их кратностями, образуют по теореме VII.4.5 последовательность чисел, стремящуюся к нулю (если область значений оператора А бесконечномерна). Эти числа называются характеристическими числами оператора Т; через pn (Т) мы обозначаем п-е характеристическое число оператора Т.

В терминах характеристических чисел можно описать различные классы вполне непрерывных операторов, определяя для них различные нормы.

Определение, (а) |Т|р = (2 {Нп (Ту^1^,0<р<оо;

(b)l Т |оо = sup [ pn (Т) | = pi (Т) = | Т |; (с) класс Ср состоит из 15$П<оо

всех вполне непрерывных операторов, для которых величина | Т |р конечна.

Последнее равенство пункта (Ь) следует из теоремы Х.2.1 и леммы IX.3.2. В лемме 2 и ее следствиях устанавливаются основные свойства характеристических чисел.

Лемма. Характеристические числа |in(T) вполне непрерывного оператора можно найти по формуле

V-n+i^T^ min’max |7фЬ п>0.

Ф1,...,ф71|ф| = 1

(ф, ф1)=. . .=(ф, фд)=0

Доказательство. Эту формулу можно записать в виде

(Pn+i^))2^ minmax|Тф|2.

Ф1,...,Фп|ф[=1

•(Ф, Ф1)=. . .=(Ф, Фп)=о

Так как |Тф|2 —(Тф, Тф) = (Т*Тф, ф), то ясно, что наша лемма является частным случаем «минимаксной формулы» для собственных значений вполне непрерывного самосопряженного оператора, содержащейся в теореме Х.4.3.

В дальнейшем будет удобно принять формулу леммы 2 за определение характеристического числа pn (Т) в случае, когда

!) Более полно эти вопросы, а также и многие другие связанные с ними излагаются в книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна [2*].— Прим. ред.

оператор Т не является вполне непрерывным. Заметим, что при таком определении формула 17* | = pt (Т) приобретает совершенно общий характер.

Следствие. Характеристические числа вполне непрерывных (или просто ограниченных) операторов удовлетворяют неравенствам

Р-п+тп+1 (Т1 + Т2) < рп+1 (ТА) + Pm+1 (Тг)>

Hn+m+l (Т^Т^) ^ ^n+l (Тi) Hm+l (^2)*

Доказательство. В самом деле, имеем minmax I (Л+ ^2) ф I <

Ф1»« • •» фп+тп|ф|—1

(ф, Ф1)=. . .=(ф, фп+7п)=0

min max (I Лф I +1 TVp |Х

Ф1,..., Фп+тп|ф|«1.

(Ф, ф1)™... ^(ф, Фп+т)*^

minmax | ^ф |+

Ф1,....фп1Ф1^1

(Ф. Ф1)-. • .^(ф. ФпИО

minmax| Т2Ф |;

Фп+ь* • • । Фп+m|Ф|=1

(ф» Фп+1)“ • • -=(ф> Фп+тп)=0

это доказывает справедливость первого утверждения. Аналогично

minmax| Т^ф I <

Ф1,..., Фп+тп1ф|=1

(ф, Ф1)=. . .=(Ф, фП+Тп)=0

С minmax|7\7Vp| =

Ф1, • • • * фп+тп1ф|=1

(ф, Т*Ф1)=.. .=(ф, Т*фп)=0

(ф, Фп+1)=* • - =(ф, фп+тп)=0

= minФ1. • • •» фп+тп= minФ1. • • •» фп+тпmax <1М2ФН\<12^1А

= min

Ф1. • • •» фп+тп

= min

Ф1. • • •» фп+тп

(Т1Ф, Ф1)=.. .=(т2ф, Фп)=о V I ^гф I / k IФ I 7 (ф» Фп+1)=* • -=(ф, Фп+тп)=0

{ minФ1» . . . , Фп{ minФ1» . . . , Фп1ЛФ1} X1ЛФ1} Xmax

{ min

Ф1» . . . , Фп

{ min

Ф1» . . . , Фп

1ЛФ1} X

1ЛФ1} X

№1=1

(г|), Ф1)=.. ,=(тр, фП)=0

minmax|7’гф|}

фп+1»« Фп+тп|ф|=1

(ф» Фп+1)=.. .=(ф, фп+тп)=о

что доказывает справедливость второго утверждения.

Следствие, (а) | м-„ (ТО — |»n (Т2) I-С | Tt — Т2 [..

|лп(ТЛ)<|лп(Г)|Л|; цп(ЛТ)<|Л||лп(Т).

р-п (TU) = р,п (71), если | U | = | U-11 = 1, и, в частности, если oneparnop U унитарен. .,

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) являются частными случаями неравенств леммы 3; утверждение (с) сразу следует из (Ь).

Неравенство (а) предыдущего следствия дает возможность получить некоторые результаты относительно аппроксимации общих вполне непрерывных операторов вполне непрерывными операторами, имеющими конечномерную область значений. Такая аппроксимация является основным техническим приемом настоящего параграфа. Следующая лемма содержит полезное для приложений вспомогательное утверждение, показывающее, что происходит при этом с собственными значениями аппроксимирующих операторов.

Лемма. Пусть Тп,Т—вполне непрерывные операторы, и пусть Тп—*Т в равномерной операторной топологии. Пусть Хт (Т) — последовательность ненулевых собственных значений оператора Т, каждое из которых повторяется столько раз, какова его кратность. Тогда существует такая последовательность Хт (Тп) ненулевых собственных значений оператора Тп (с учетом их кратностей), что

Нт Хт (Тп) = Хт(Т), т>1, . П-юо

причем эта сходимость равномерна по т.

Доказательство. Выберем такую убывающую и стремящуюся к нулю последовательность чисел ед, что граница круга С8к радиуса eh с центром в начале лежит целиком в резольвентном множестве вполне непрерывного оператора Т. Найдем такую убывающую последовательность положительных чисел 6д<ед, что круги радиуса 6д с центрами в точках спектра о (Т), лежащих вне Сек, попарно не пересекаются. Тогда по леммам VII.6.4, VII.6.5 и VII.6.7 найдется такая возрастающая последова ель- ность натуральных чисел «д, что при п > Пд каждая точка из а (Тп) либо содержится в С6к, либо удалена не более чем на 6д от некоторой ненулевой точки из а(Т). Кроме того, если каждую точку из ст(Тп) считать столько раз, какова ее кратность, то число точек из а(Тп), удаленных не более чем на 6д от точки X £ ст (Т) — СЕк, в точности равно кратности X.

При пь<.п<_Пкн занумеруем точки из а(Тп) следующим образом.

Расположим точки Хх, ...,Xt из а(Т) — СЕк в том порядке, и котором они встречаются в последовательности Хт(Т). Пронумеруем сначала все точки из ст (Тп), лежащие в 6д-окрестности

точки Хь затем все точки из о(Тп), лежащие в 6^-окрестности точки Г2, и, наконец, все точки, лежащие в бд-окрестности точки X/. Во всех случаях мы повторяем каждую точку столько раз, какова ее кратность.

Перенумеруем точки из а (Т^ Q СЕд любым способом, но с учетом их кратностей.

Пусть теперь е>0; выберем такое натуральное М, что I Ху (У) | < в при ]>М. Легко видеть, что можно найти столь большое £, что едСе и все точки Xi (7), . ..,Хм(7) лежат вне Сед, в то время как [ХД7)1 + 6д<е при j>M. Пусть п^пь. По построению | Х^ (7П) — ХД7) | < 6А при j^M, в то время как | Ху (7П) | и | Ху (7) | не превосходят е при />Л1. Таким образом, лемма доказана.

6. Лемма. Пусть Т —вполне непрерывный оператор и Хп(Т) — расположенная в порядке убывания абсолютных величин последовательность его собственных значений, каждое из которых повторяется столько раз, какова его кратность. (Если имеется лишь конечное число N ненулевых собственных значений, полагаем Хп(Г) 0 при n>N.) Тогда для любого целого положительного т

\Xt(T) ... Х^(7)|С^(7) Рт(Ту, т т

^iMOMSWnF, Р>1;

j= 1 j= 1

МЛ = МТ*).

Доказательство. Мы объединили эти три слабо связанных друг с другом утверждения по причине сходства их доказательств. По лемме 5 и следствию 4, а также в силу того простого факта, что всякий вполне непрерывный оператор можно аппроксимировать по норме последовательностью {7П} конечномерных операторов, достаточно доказать лемму в частном случае, когда конечномерна область значений оператора Т.

Заметим, что если Т имеет конечномерную область значений, то Т^ЕТ, где Е— оператор ортогонального проектирования на область значений оператора Т. Поэтому Т* = Т*Е*, так что область значений оператора Т* также конечномерна. В дальнейшем мы будем время от времени пользоваться этим замечанием без особой оговорки.

Пусть 5 — конечномерное подпространство, содержащее области значений операторов Т и Т*; обозначим через d его размерность. Тогда ясно, что S инвариантно относительно Т и Т*, а так как (Т^, х) = (5х, Т*х)~0 для всех х, то 75х = {0}; аналогично

T*SJ- = {0}. Таким образом, легко видеть, что

Xt^-MTV^ l<n<d; А^Н n>d;

pn(T) = pn(T|S), \<n<d; цп(Т) = 0, n>d;

M'H^nlOW). Kn^d; МГ*) = 0, n>d.

Следовательно, достаточно доказать утверждения (а), (Ь) и (с) для операторов в конечномерном гильбертовом пространстве.

В этом случае (а) и (Ь) представляют собой известные неравенства Вейля, приведенные в § 8 в качестве упражнений 8.31 и 8.32. Для доказательства (с) заметим, что всякий оператор в конечномерном пространстве может быть сколь угодно точно аппроксимирован невырожденными операторами; таким образом, не ограничивая общности, мы можем считать, что оператор Т невырожден. Пусть и^^тУ^Т"1. Тогда ясно, что оператор U — невырожденный и U*U = (Т*у1Т*ТТ~1 = I, так что (7 —унитарный оператор. Имеем иТ = (Г*ТУ/е; поэтому UT^U"1 = Т*Т, так что U фГ-У'ЧГ1 = _ ^«уу/г Отсюда следует справедливость (с), ибо унитарно эквивалентные операторы имеют одинаковые собственные значения.

Следствие. Если Т £СР, 0 <</?■< со, то ряд 2 (^ СО)Р 1=1 абсолютно сходится и

г=1г=1М}”. 1=1М}”. 1=1

г=1

г=1

М}”. 1=1

М}”. 1=1

Доказательство. Это следует из пункта (Ь) предыдущей леммы.

Следствие. Если Т ^Ci, то ряд tr(T)= 2 h (Г) абсолютно

1=1 сходится и

|tr(T)l<|T|1.

Замечание. Величина tr (Г) называется следом оператора Т.

В следующей лемме доказываются полезные элементарные свойства пространств Ср. Приведенные в этой лемме неравенства для норм при 1 < р < со являются грубыми и будут улучшены несколько позже.

Лемма, (а) Если р<.р\ то СР^СР*; \Т\Р убывает с ростом р.

Если Ть Т2^СР, mo Tt + T2£Cp и |Л + Т2|Р<21/Р|Т1|Р +

I 2Vp\T2\p, р>1; |Т14-Т2^<2|Т1|р + 2|Т2|р, 0<р<1.

Если Т^Сп и Тг^СГу то TvT2^Ct, где \lrt-\-ljr2=1/r. Кроме того,

|Л7’2|Г^21/Г|Л|Г1|Т2|Г2, 0<г<со.

Если Т£СГ, а А —ограниченный оператор, то операторы АТ и ТА принадлежат Сг; кроме того,

|Л7|ГС|Л||7|Г;|7Л|ГС|7|Г|Л|.

С2 совпадает с классом операторов Гильберта —Шмидта и |7|2 = ||7|| при Т^С2.'

Доказательство. Часть (d) сразу следует из пункта (Ь) следствия 4. Если {фг} —ортонормированная система собственных векторов оператора Т*Т, отвечающих собственным значениям {(^m, ТО1)

1^1:= s ^w= 2 |ТфП|’=||7Ц’.

11^*1П~ 1

Это доказывает справедливость утверждения (е).

Утверждение (а) следует прямо из определения 1.

Чтобы доказать (Ь), положим 7 = 7i4-72 и заметим, что по следствию 3

Р-2п+1 (7*1 + 72) С Н«+1 О' 1) + Hn+i (7г),

Нгп+2 (7i + 72) С Pn+i (71) + рп+2 (72).

Пусть сначала р > 1. Тогда по неравенству Минковского

ОООООО

( 2 l^iCnn^cfS IgnH^oH^+f 2|Ип+1(72)р|}1/р< n=0n=0n=0

C| Ti ] у -f-1T2 |p.

Таким же способом получаем

(2 1Н2п+2(7)Г}1/₽<|71 |р + |72|р. п—О

Возводя эти неравенства в степень р и складывая, получаем первое из утверждений (Ь). Утверждение пункта (Ь), относящееся к области 0<р^1, доказывается точно так же с заменой неравенства Минковского на элементарное неравенство | х |р +1 у |р > >\x + yV\ справедливое в этой области значений р.

х) Последнее из следующих ниже равенств вытекает из того, что систему {фг} можно дополнить до ортонормального базиса в § таким образом, чтобы оператор Т переводил добавленные векторы в 0.— Прим, перев.

Аналогично, применяя следствие 3 и неравенство Гёльдера

справедливое, если г^1 + г~г = г1 и 0<Г1, г2, г«<со, получаем (с).

Некоторая неортодоксальность «неравенства треугольника», приведенного в пункте (Ь) предыдущей леммы, не мешает нам воспользоваться нашими «нормами» для определения топологии в Ср. Множество U с Ср называется открытым, если для каждого Т из U найдется такое е>0, что ^Т 11Т'— Т |р< е} ^ U. Из леммы 6 (с) сразу же следует, что отображение Т—>Т* пространства Ср в себя непрерывно. Из леммы 9 следует, что ото- бражёние Т-^Т пространства Ср в Ср* при р'">р, отображение [J1!, T2\—>T1-V-T2 пространства Ср х Ср в Ср, а также отображение [Л, Т2]—>TiT2 пространства Ср х Cq в Сг, где r1^ p^ + q"1, являются напрерывными. Из обычных свойств метрического пространства теряется пока лишь утверждение, что | Т |р является непрерывной функцией на Ср. Позднее, когда мы уточним (для случая 1<р<со) лемму 9(b), избавившись от лишнего множителя 21/р, мы сможем доказать и это.

Пространство Ср обладает свойством полноты, сформулированным в следующей лемме.

Лемма. Если Тп£Ср —такая последовательность операторов, что \Тп — Тт\р—>0 при т, п—>со, то существует такой вполне непрерывный оператор Т, что ТК—>Т (в топологии пространства Ср) при п—>со.

Доказательство. По лемме 9(a) и следствию VI.5.5, согласно которому семейство вполне непрерывных операторов замкнуто в равномерной операторной топологии, существует такой вполне непрерывный оператор Т, что Тр —>Т в равномерной топологии. Таким образом, по следствию 4(a) Нш ^(Тд — Tm)^yik(Tri,— Т).

Отсюда следует, что

Nоо

{ 22 l^(7'n-Tm)P')1/p=lirn|Tn-Tm|p.

h=lm->°° h=|m->oo

Поэтому, устремляя N к бесконечности, получаем

I Тп Т \р Пш | Тп Тт |Р,т->оотак что

lim|Tn — Т|р< lim \Тп — Тт'р = 0: п->оот, п—>оо

Ч. т. д.

Впоследствии нам будет полезна следующая простая лемма.

17 Заказ № 134

Лемма. Пусть Т —вполне непрерывный оператор. Тогда существует такая последовательность Тп вполне непрерывных операторов с конечномерными областями значений, что

Тп — >Т в равномерной топологии при п—>со;

если Т ^Ср, то \Тп — Т\р—*О при п—>оо;

если Т^Ср, то |ТП|Р —>|Т|Р при п—>со.

Доказательство1). Пусть £0 = {х| Т*Тх = 0}, ^оо = ^ и Ео — оператор ортогонального проектирования на ^0- Из спектральной теоремы для вполне непрерывного самосопряженного оператора Т*Т легко следует, что ортонормальная система фь ф2, ... собственных векторов этого оператора, соответствующих собственным значениям (pi(T))2, (^(Т1))2, ..., является базисом пространства §оо. Пусть Ек — оператор ортогонального проектирования на подпространство, порожденное векторами фЬ .. .,фд, а Еп = = Еп + Е0 и Е'п — 1—Ёп- Положим Тп ТЁп и TV^-TEV; тогда Т — Тп + Тп. Заметим, что ^х\Тх 0} {х|Т*Тх -0} — §0 (одно включение тривиально, другое следует из равенства (Т*Тх, х) = -\Тх |й). Поэтому Тп = ТЕп ^ТЕп + ТЕо = ТЕп, так что оператор Тп имеет конечномерную область значений.

Так как EV—>0 в сильной топологии, то Ifn-K,—>0 равномерно по х на всяком компактном множестве. Поэтому Е'пТ*х—>0 равномерно по х на всяком ограниченном множестве и, следовательно, |£'^Т*| = |Т^|—>0. Это доказывает пункт (а).,

Так как ТпТп = ЕпТ^ТЕп^=Т^ТЕп, то ясно, что

Цт(Тп) = р,т(Т), m^n; ytm^Tn^O, т>п.

Поэтому справедливость утверждения (с) очевидна* По тем же причинам

Pm (Тn) = Pm+n (Т), т ^> 1,

откуда следует справедливость утверждения (Ь).

В конце концов нам придется доказать непрерывность (или, что то же, аддитивность) функции tr(T), введенной в следствии 8. К сожалению, в этом доказательстве имеется одна тонкость, аналогичная уже доставившей нам трудности на пути к теоремам XI.6.24 и XI.6.25. Мы преодолеем это препятствие, используя методы теории функций комплексного переменного, почти совпадающие с примененными ранее в § 6.

В оригинале доказательство леммы 11 содержит неточности. Оно не проходит, если ядро оператора Т нетривиально. Кроме того, в нем неявно предполагается сепарабельность пространства §, что совсем не обязательно. В переводе доказательство исправлено.— Прим, перев.

Лемма. Если Т\ и Т2 —конечномерные операторы, то tr (T1 + 72) = tr (T^ + tr (Т2\ Следовательно, для таких операторов Itr^-tr^K \TV-T2\V

Доказательство. Пусть © — конечномерное подпространство гильбертова пространства, содержащее области значений операторов Тр Т2, Т* и Т*. Положим T3 = Ti + T2. Из соображений, аналогичных приведенным в третьем абзаце доказательства леммы 6, следует, что tr(T1) = tr(T1|S), tr (7^) = tr (Т21 S) и tr(T3) = = tr(T3|S). Поэтому первое утверждение нашей леммы вытекает из соответствующего утверждения для операторов в конечномерном пространстве (см. определение 6.8 и лемму 6.10). Второе утверждение следует из первого и из следствия 8, если учесть, что tr(aT) = atr(T).

Лемма 12 показывает, что функция tr(T) допускает единственное продолжение по непрерывности с плотного в Cj множества конечномерных операторов на все Ср Обозначим это продолжение через tr(T). Следующей основной вехой наших рассуждений будет доказательство того, что функции tr (Т) и tr (Т) совпадают на Ср Сначала установим некоторые легко доказываемые свойства функции tr(T).

Лемма1), (а) Функция tr(7) линейна и непрерывна на пространстве Ср

(Ь) Если {фа} — ортонормальный базис, то

tr (Г) = ^i (Тфа, фа)»а

причем ряд сходится абсолютно.

Доказательство. Утверждение (а) немедленно следует из предыдущей леммы и из определения tr(T).

Пусть ^^^х\^ТТ*^,йх^0^ и ^^^о'. Тогда ортонормальная система собственных векторов фр ф2, ... оператора (77*)1/2t соответствующих собственным значениям Ц1(Т), ^(Т), ..., является базисом в ^оо. Пусть {фр} —ортонормальный базис в ^0. Заметим, что если х £ §0> то | Т*х | = | (ТТ*^2 х |2 = 0; поэтому

Т*г|)р = О. Кроме того, ясно, что [ Т*^^ = р,Д7). Поэтому

1*1 2 I O^ai фа) | - 2 I S кТ^а, ^) ОЬ, фа) + 2 (?фа, ^р) (^р, фа) I < аа ;= 13

<2 2 К^, Фа)||(^, фа) < а j=l

< 2 121(7'*^, Фа)I2}1/2(2к^, Фа)|2Р/2 — 2 ^кт^т^. j=l аа5=1

Это доказывает абсолютную сходимость ряда в правой части соотношения (Ь); так как сумма этого ряда линейна по 7, то из неравенства [*] следует, что она зависит от 7 непрерывно. Поэтому в силу леммы 11 формула (Ь) будет доказана в общем случае, если мы сумеем обосновать ее для оператора 7 с конечномерной областью значений. Такой оператор является суммой конечного числа операторов с одномерными областями значений. Поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что область значений 7 одномерна, т. е. что Т имеет вид х—»(х, и)и. Для такого оператора след легко вычисляется: tr(7) = (u, о); таким образом, формула (Ь) сводится к формуле

ku, V)---^ku, фа) (фа, V),

которая является простым следствием полноты ортонормального базиса {фа}.

Следующая лемма позволяет уточнить неравенства леммы 9 для норм, относящиеся к случаю пространств Ср с 1<:р<со.

Лемма, (а) Пусть 1Ср<^со и q-1-\-p-1^\. Пусть С° обозначает множество всех ненулевых ограниченных операторов с конечномерными областями значений. Тогда если А£Ср) то

I лI tr (ЛВ) I

sup -'Хй-2-' .

ве<;о I ° 1g

(b) Если р и q такие же, как в пункте (а), А^СР и B^Cq, то АВ и В А принадлежат Сц

tr (ЛВ) = t7 (ВЛ)

и |Гг(ЛВ)|<|Л|р|В|9.

Если р, q, А и В такие же, как в пункте (Ь), то |ЛВ|1С|Л|Р|В|..

Пусть 1<р<оо, ц пусть Au At принадлежат Ср.

Тогда

I Л + Л1 |р<У А |р +1 Ai |р.

Доказательство. Ясно, что неравенство (d) следует из формулы (1) пункта (а). Аналогично, если (а) и (Ь) уже доказаны, то по лемме 9 (d)

I , , ,| tr (ЛЛ±В) | V IА 1рМ151з л I , Л I

| ЛЛ, 1 = sup -1—Уд ,1 71 < supгд,СIА |р I At |g.

Таким образом, в доказательстве нуждаются лишь пункты (а) и (Ь).

Допустим, что утверждение (а) доказано в частном случае, когда область значений оператора А конечномерна. Для любого А из Ср можно, согласно лемме 11, найти последовательность Ак конечномерных операторов, сходящуюся к оператору А в равномерной топологии и в топологии пространства Ср. Если В^О^С^ то из непрерывности отображения [Л, В]—>АВ пространства Coo X ^ в Ci и из непрерывности функции tr на Ci следует, что

\tT(AB)\ = VxxTx\tv^

П—юоП-хоо.

С другой стороны, найдется такая последовательность {Вп} операторов из С°, что |Bn|g=l и Цг(ЛпВп)|>|Лп|р — Un. Так как оператор АВп — АпВп принадлежит С°, то по леммам 12 и 9(c)

| Гг (ЛВп - АпВп) | I (Л - Ап) Вп li с 2 | А - Ап |р, так что

| tr (АВ^ | ^ | Лп |р 2 | Л Лд |p — —> | А \р.

Следовательно, из справедливости утверждения (а) для операторов с конечномерными областями значений вытекает его справедливость в общем случае. С помощью простых рассуждений, подобных примененным в третьем абзаце доказательства леммы 6 (детальное их проведение мы оставляем читателю), можно показать, что для обоснования утверждения (а) в общем случае достаточно рассмотреть случай, когда гильбертово пространство конечномерно.

В этом частном случае доказательство проводится так. Пусть р<оо. Поскольку обе части соотношения (1) непрерывны по Л, а всякая конечная матрица может быть сколь угодно точно аппроксимирована невырожденными матрицами, достаточно рассмотреть случай невырожденного преобразования А. При этом оператор Т = (ЛЛ*)1/2 также невырожден, и если U ^Т^А, то UU* = T~1T2T==I, так что оператор U унитарен и A = TU. Пусть Bq = U^T^1. Тогда ABQ = TP, так что tr (ЛВ0) = 2 {^г И)}Р-

С другой стороны, BttB* = U^T^^U, так что р,- (Во) = р, (Л)”-1 иI ^<>к, (S [^ (лг-9}1/<г = (2 [р{ (Д)]р}1/р.

Отсюда

и потому правая часть формулы. (1) не меньше ее левой части.

Для доказательства обратного неравенства достаточно показать, что

|1г(ЛВ)|С|Л|р|В|д;

как и выше, мы видим, что это неравенство достаточно доказать для случая, когда А и В невырождены. Поскольку, как было показано выше, невырожденная матрица имеет вид A^TU, где U—унитарная, а Т— положительно определенная эрмитова матрица, и так как по спектральной теореме Т можно представить в виде Т VDV*, где D - положительная диагональная матрица с теми же собственными значениями, что и Т, то неравенство (3) вытекает из неравенства

Hr №VWW^Wp\d.V

В силу тождества tr (SS') — tr (S'S) достаточно доказать, что для любой пары унитарных матриц U, U и любой пары положительных диагональных матриц D^ D2

\tT(D1UD^K\Di\p\D2\q.

Неравенство (4) можно записать в виде

12 WijUji (di)t (d2)j |<(2 №)0 (2 №)?) • г, 3

По теореме Рисса о выпуклости (VI. 10.7) последнее неравенство справедливо в общем случае, если оно справедливо в частных случаях р--1, q -оо и р = 1, р=оо; но в этих случаях оно вытекает из очевидных неравенств

2 I ^ij^ji2 I

3i

справедливых для любой пары унитарных матриц U, U. Таким образом, соотношение (1) доказано при р^оо. Несложное распространение этого доказательства на случай р = оо мы оставляем читателю.

Поскольку линейный функционал tr непрерывен на С\ и поскольку, как было отмечено в абзаце, следующем за леммой 9, отображение [Л, 6]—> АВ пространства Ср х Cq в Ci непре-

рывно, из леммы 11 следует, что для доказательства утверждений пункта (Ь) в общем случае достаточно доказать их в случае, когда операторы А и В конечномерны. Но для таких операторов неравенство пункта (Ь) является, очевидно, следствием формулы (1), а тождество (2) вытекает из соответствующего тождества для операторов в конечномерном пространстве. Это завершает доказательство настоящей леммы.

Из леммы 9(d), неравенства |Л|<|Л|Р, леммы 10 и предыдущей леммы немедленно следует, что при р>1 семейство операторов Ср с нормой | • |р является полной нормированной алгеброй; если гильбертово пространство бесконечномерно, то это алгебра без единицы. Поэтому соображения, использованные при доказательстве теоремы 6.7, с незначительными изменениями могут быть применены для доказательства следующей леммы.

Лемма. Если р> 1, Т ^Ср и f— однозначная аналитическая функция в окрестности спектра оператора Т. равная 0 в нуле, то f(T)^Cp и отображение T—>f(T) пространства Ср в себя непрерывно. Кроме того, если {fn}—последовательность таких функций, имеющих в качестве общей области определения некоторую окрестность N спектра оператора Т. и если fn (А) —> / (X) равномерно на N. то fn(T)—*f(T) в топологии пространства Ср.

Изменения, необходимые для распространения доказательства теоремы 6.7 с частного случая р = 2 на общий случай р>1, столь незначительны, что нс могут причинить читателю особого беспокойства. Поэтому мы их опустим.

Пусть Т £ Ср По лемме 15 отображение Т —> log (/ + zT) определено при — z"1^^^ и непрерывно по Т. Поэтому функция det(/ + 2T) = exp(tr(log(/ + zT))) определена и непрерывна по Т. если — z"1 лежит в резольвентном множестве оператора Т. Так как при — z-1^o(T) предел

ИтЛ£1(1±ММН1^^ /1->0

существует в смысле равномерной по £ сходимости в окрестности спектра о (Г). то из леммы 15 следует, что предел

lim log (/ + (2 4-Л Л-log (Z + zT)

существует в смысле сходимости в топологии пространства Ср Поэтому tr (log (/ + zT)) является аналитической функцией от z при всех z. для которых — 2"1^ог(Т'). Следующая лемма устанавливает для этой функции важное неравенство.

Лемма. Пусть Т ^Cv Тогда

| det (/-|-zT) | < f] (1+|г|Ип(Л);

П=1

функция det(/ + zT) имеет в точках z, для которых — z"1 С а (Г), устранимые особенности, и потому можно считать, что она аналитична по z при всех г.

Доказательство. Левая часть неравенства (а) непрерывна по Т. В ходе доказательства леммы И было показано, как построить такую последовательность конечномерных операторов Тп, что [Т'п —^11—>о, pm(Tn) = p.m(Т) при т<.п и Цт(Тп)^0 при т>п. Поэтому неравенство (а) будет доказано в общем случае, если мы установим его справедливость для операторов Т с конечномерными областями значений. Рассуждая так же, как в третьем абзаце доказательства леммы 6, мы можем даже, не ограничивая общности, считать, что Т—оператор в гильбертовом пространстве конечной размерности d.

Для конечной невырожденной матрицы А справедлива формула elr (ioe л» .^ det (И), ГдС jet (Л) обозначает определитель матрицы А. Поскольку определитель матрицы А равен произведению ее собственных значений, то из леммы 6 (а) следует, что

d

|det(/-|-zT)H П \XnUA-zT)\<n=ldd

^ П MI + zTX. II (l+|z|pn(T)), n=ln=l

что завершает доказательство пункта (а).

Если Тп — оператор в конечномерном пространстве или, более общо, оператор с конечномерной областью значений, то det (/ +zTn) является целой аналитической функцией (и даже полиномом) от z. Так как ограниченная сходящаяся последовательность аналитических функций сходится к аналитической функции, то функция det (/-j-zT) аналитична при —z-1^ct(T). Так как, согласно (а), функция det(/ + zT) ограничена (во всякой ограниченной области), то ее особенности устранимы1), и утверждение (Ь) доказано.

Замечание. По принципу максимума модуля ограниченная последовательность аналитических функций, сходящаяся вне некоторого множества, состоящего из изолированных точек, сходится всюду; поэтому det (/ + 7) является непрерывной функцией от Т для всех Т £ Ct независимо от того, принадлежит точка — 1

!) Напомним, что эта функция имеет особенности лишь в изолированных точках —Хп1, где Хп—ненулевые собственные значения оператора Т.— Прим, перев.

спектру а(Т) или нет. Столь же очевидно, что предыдущее рассуждение достаточно для доказательства следующей, несколько более общей леммы.

Лемма. Пусть Т.В^С^ Тогда функция det(/+ Т + zB) аналитична при всех г.

Теперь мы в состоянии доказать, что tr(T) = tr(T). В лемме 18 мы делаем первый шаг, доказывая это равенство для квазиниль- потентного оператора Т.

Лемма. Если оператор N ^Ct квазинильпотентен, то Гг(М) = 0.

Доказательство. Так как о (^) = {0}, то — 2"1 ^ a (N) для всех 2. Поэтому L(2) = tr(log(/ + 2jV)) —целая функция от 2. Выберем столь большое к, что 2 Нп(^)<е. Тогда из леммы 16(a) n=h4-l следует, что коо

|exp(L(z))|< П (1+ИМХ))ехр(|г| 2 HnW)< n=ln=k-Vi

к

< П (l + |z|pn(N))exp(e|z|); n=l

здесь мы воспользовались неравенством 1+«^ба при а>0. Следовательно, Re L (2) <; 2е |21 для достаточно больших |21. Тогда из леммы 6.32 следует, что | L (2) |<^8е 121 для достаточно больших 121, так что

lim JAM = 0.

|z|->oo I 2 I

Поэтому функция L^ / 2 аналитична и равна нулю при 2 = 00. Следовательно, ряд Лорана для L (z) в окрестности точки 2 = со имеет вид

L(2) = a + —+ ... ,

так что функция L ограничена на бесконечности и по теореме Лиувилля постоянна. Так как L(0) = tr (log/) = tr (0) =0, то L = 0. По лемме 15

log(/ + ziV) = 2

k=Y

откуда

k=i

Таким образом, tr(Л7Й) = 0 при &>1, ч. т. д.

Пусть теперь Т — произвольный оператор из СР Пусть Ei E(Ki(T); Т) —конечномерный проектор, соответствующий ненулевой изолированной точке ^(7) из о(Т\ Пусть

^п= 2 Е^Т); Т)&г=1

jg» — замыкание множества U6n> a ^ — ортогональное дополнение К §<».

Пусть (фп) — ортонормальный базис в &», выбранный таким образом, что {ф,, ..., фп,} —базис в $ь {ф^ ..., ф„2} —базис в $2. и т. д. Пусть {фа} —ортонормальный базис в ф-Ч Очевидно, из леммы 13(b) следует, что

1*1\Г(П 5 О Ч’Ь фО 1 2 (Тф», фа).

I 1а

С другой стороны, по лемме 6.10 и определению tr(T) ооnj

%(ТЧь ф{) = Пш 2 (гФь ф8) = Ит1г(Т|^) = г=1з~>ооj-yoo

nJ.

= Ит2^ (T) = tr(T).

3-уоо i=1

Таким образом, для доказательства равенства tr (Т) = tr (Т) мы должны лишь показать, что вторая сумма в формуле [*] равна нулю.

Так как подпространство ^оо инвариантно относительно Т, то подпространство £yL = (i§oo)'L инвариантно относительно Т*. По лемме 13(b) имеем-

2 фа) = 2 (Т^Гфа) = W*!^). аа

Если бы вполне непрерывный оператор Т* | ^-^ не был квазиниль- потентным, то по теореме VII.4.5 существовали бы такое ненулевое комплексное число р и такой ненулевой вектор х^^-, что Т*х = ^х. Поэтому снова по теореме VII.4.5 мы имели бы £ (р; Т*) jg-1-^= {0}. Из абзаца, следующего за определением

VII.3.17, леммы VI.2.10 и определения VII.3.9 вытекает, что Е^; 7'*) = £(р; Ту.

Следовательно, мы имели бы Е^; Т)*^_^^, т. е. (^^ Е^; Т)^=^0. Но это невозможно, ибо £(ц;=

= (^"L)J"- Отсюда следует, что оператор Т*\$^ квазинильпотен- тен; поэтому по предыдущей лемме tr (Т* | jg-1) = 0. Это завершает доказательство того, что tr(T) = tr(T) для всех Т ^Cv. Сформулируем этот важный результат в виде отдельной теоремы.

Теорема. Функционал tr(7) непрерывен и линеен на СХ1 Для всех Т ^Ct справедливо равенство tr (T) = tr (Т), где tr(T) — выражение из леммы 13(b).

Теперь мы остановимся на уточнении других неравенств леммы 9.

Лемма. Пусть Л^Сгр А^СГ^ А3^СГ^ где г^+г^ + г"^!. Тогда

| tr (Л^гЛз) | | Ai | Г11 Л21Г21 А31 Гз.

Если Н — г^ + Гз1, г^ г2, г>1, то | Л1Л2|ГС| Лх|Г1| Л2|Г2.

Доказательство. По лемме 11, а также в силу непрерывности tr(T) при Т^С^ непрерывности произведения TS, отмеченной в абзаце, следующем за леммой 9, и непрерывности нормы, следующей из неравенства треугольника леммы 14(d), можно, нс ограничивая общности, считать, что все рассматриваемые операторы имеют конечномерные области значений. По тем же соображениям, что и в третьем абзаце доказательства леммы 6, можно считать, что наше гильбертово пространство имеет конечную размерность d. Лемма 14(a) показывает, что (Ь) немедленно следует из (а). Таким образом, мы должны доказать лишь трилинейное неравенство (а) для операторов в d-мерном гильбертовом пространстве.

Рассуждая так же, как в абзаце доказательства леммы 14, следующем за формулой (3), где мы доказали билинейное неравенство, вполне аналогичное рассматриваемому здесь трилинейному, мы видим, что достаточно доказать неравенство < 1)| tr фФАиАЩ)\^\D1\ri\D2\T2\D3\^

где Ut — унитарные, а А —положительные диагональные матрицы. Из теоремы Рисса о выпуклости (точнее, из леммы VI. 10.7) следует, что для доказательства справедливости неравенства (1) достаточно доказать его в трех частных случаях: r± = 1, г2=оо, г3—оо; г^оо, r2—L г3=оо и r^oo, r2=oo, r3 = 1. Но

неравенство

| tr фУ^иМ^ | С \D, |41 О2 |оо | D. |oo

(и два другие, аналогичные ему) немедленно следует из леммы 9(d) и следствия 8.

Теперь можно приступить к главной цели настоящего параграфа— выводу неравенств для резольвенты оператора из Ср, обобщающих неравенство Карлемана, установленное в теореме 6.27. Сначала введем соответствующее семейство обобщенных определителей.

Определение. Пусть 0<.р<.к, где к — целое число нс меньше 1, и пусть Т^СР. Пусть Х^Х^Т), t>l. Тогда

detft (/ + Л = П {(J + М ехР ( + ^— • • • + ^Т"^'5) } ' г—1

Лемма. Пусть рак такие же, как в определении 21.

Произведение, определяющее deU (/ +71), абсолютно сходится.

deU (/ Н- Т) является непрерывной на Ср функцией от Т.

Если Т'£СР1 mo deU (/ + Т + гТ1') является целой аналитической функцией комплексного переменного z, причем все производные этой функции непрерывно зависят от Т и Т.

Если k—i^p^k, mo существует такая конечная постоянная Г, зависящая только от к и р, что

|detft(/ + T)|Cexp(r|T^).

Если k>2 и р^к — 1, то

de tft U+ Т) = ехр ( У Г"tr ^^ ) de^~i <' + Г)-

detj^ + T) совпадает с функцией det(/ + T) из леммы 16.

Доказательство. Очевидно, что

1ВД1+ц_1+_np"

2^ 1 I О (| X |k-1) при | X ! —> co.

Поэтому, используя элементарное неравенство | ez — 1 | < | z | ei2^ находим, что для некоторой достаточно большой постоянной Г

|(1+Лехр(-А+...+-Ц^^^-1)-1 |<

^Г 1 + 1 X I ехр(Г 1 + J X | )

как в окрестности Х~0, так и н окрестности Х^оо. Поскольку в ограниченной области, не содержащей точку Х = 0, правая часть этого неравенства не обращается в нуль, а функция, стоящая в левой части, ограничена, то можно, увеличивая Г, считать, что неравенство (1) имеет место для всех X.

Аналогично если /c i * р к, то можно найти такую постоянную Г, зависящую лишь от р, что

|(1+Х)ехр( - X | . . | ‘J^ ' X'- 1)|<ехр(Г|Х|Р).

Следовательно, абсолютная сходимость произведения, определяющего det* (/ \-Т), вытекает из сходимости ряда

П=1

Если ^ JA^^C °°, то все величины |ХП|, кроме, быть может, п=1

конечного числа, нс превосходят 1; значит, если ряд SI^1^ сходится, то сходится и ряд (3). Поэтому по следствию 7 произведение из определения 21 абсолютно сходится, если Т^Ср и р<.к. Это доказывает справедливость утверждения (а).

Справедливость оценки (d) при к — 1<р<£ следует из неравенства (2).

Если ^ | ^ (Т) |ь < оо, то по Уже Д°казанномУ произведения, г=1

определяющие deU(/ + 7) и det/ш (/ I Т), сходятся, и прямо из определения 21 получаем, что

detA (/ 4- 7) exp Щ1^ 2 X'1} = detft+1 (/ + 7).г=1

Отсюда сразу вытекает (с), ибо по теореме об отображении

спектра (VII.3.19) 2X-=tr(7h).

г = 1

Докажем теперь пункт (Ь). При |Х|<1, увеличивая, если необходимо, постоянную Г, неравенство (1) можно записать в виде

|(1+Х)ехр(-Х.|kr|X|\

Заметим, что из тождества

at ... tin — 1 = (til — 1)а2 ••• «П Т («2 — 1)«з ••• «П "I-.- + (an — 1)

и очевидного неравенства |1+#|<:е1х| следует, что

|П (!+«»)~1|^( 2 Ы)ехр(2 |аг|)- П=12=11—1

Поэтому если все числа |%j| меньше 1, то

|П |(1+Хг)ехр(-Хг+...+-У^1хГ1)}-1 | г=1

{Г2 ]Хг|^} ехр {г2 ]Х2|к} •2=12=1

Если Xt (т) — такое семейство последовательностей, зависящих от натурального параметра т, что

Xi (m) —> Xi равномерно по Z при т —> оо,

lim V | Xi (m) |h = 0 равномерно no m,

^°° Wr

ТО

суммы 2 [ Xi (т) \к ограничены постоянной, нс завися- 2=1

щей от т, и

Xi (т) —> 0 при Z —> оо равномерно по т.

Поэтому, в силу полученного выше неравенства, для такого семейства последовательностей

lim П {(МЛ(т))ехр(—Хг(тН-.. Л-^^^Х--1(т)^} = 1 2=г+1

равномерно по т, так что

Л -[(1 + Xi(w))ехр ( — Цт^ •

2=1

П {(1+М^))ехр(—Хг (/«)+...+-Щ^Х?^^ 2=1

равномерно по т при г—> оо. С другой стороны, в силу (I)

2™ П {(1+Mm))exp(—Хг(/п)4-... -г ^tj—^~‘ (m)) } =

2=1

= П {(1 + ^-i) еХР (^ — ^г + • • • +^ 0} ‘

1=1

Поскольку порядок двух последовательных предельных переходов можно изменить, если при одном из них. сходимость равномерна, из (I) и (II) следует, что

Hm U {(l+Ai^exp^—Хг(т) + ...-|- т->оо .*•х

"U ^(l+^z)exP^—^z + • • • 4

г=1

Так как

V | X; (т) \к ^ max | Хг (т) |Е У | ^ (т) |ft"E, z=r^гг=г

то свойства (I), (II) вытекают из следующих свойств (Г), (IT): (Г) Xi (т)—> Xt равномерно по I при т —> оо,

(IT) суммы у 1 Xi (m) |к—е ограничены постоянной, не завися- г=1

щей от т.

Поэтому, используя определение 21, лемму 5 и следствие 7, находим, что

det^Z + T^-^det, (/ + Т),если Тт, Т ^Сн-г и Тт—>Т в топологии пространства Ск-е* Этодоказывает утверждение (Ь) при р < к.

Для того чтобы справиться с предельным случаем p = k, заметим, что если Tm —> Т в топологии пространства Сд, то из уже доказанного следует, что

det^+x (/ + Tm) —> detд+l U 4" T).

Но, согласно (е),

detft+1 (/ + Tm) = exp Q=^ tr (7^)) detft (/ + Tm),det„+1 (/ + T) = exp ((-^ tr (T^ ) detfe <IA-TY

По замечанию, сделанному после доказательства леммы 9, Тт—>Тк в топологии пространства С^ но тогда по теореме 19 tr (Tm) —> 1г(Г1). Следовательно, (b) справедливо и при p = k.

Поскольку ограниченная сходящаяся последовательность аналитических функций сходится равномерно вместе со всеми производными, то из утверждения (Ь) и леммы 11 следует, что для доказательства утверждения (с) в общем случае достаточно рассмотреть частный случай, когда оба оператора Т, Т конечно-

мерны. Соображения, высказанные в третьем абзаце доказательства леммы 6, сводят этот случай к случаю, когда конечномерно гильбертово пространство. Так как определитель (в обычном смысле) матрицы Т в d-мерном гильбертовом пространстве равен произведению ее собственных значений, а след —сумме собственных значений, то

d

П {(1+МЛ)ехр(-МЛ+.--=

г—1

= det (/ + Т) exp ( - tr (Т) + • • • +1^± tr (Т^)) .

Ясно, что последнее выражение зависит от элементов конечной матрицы Т аналитически; таким образом, (с) доказано.

В ходе доказательства леммы 16 мы видели (см. замечание, следующее за этой леммой), что функция det (/ + 7) непрерывна по Т. Поэтому, согласно (Ь) и лемме 11, для доказательства утверждения (f) в общем случае достаточно проверить его справедливость в частном случае, когда оператор Т конечномерен. Рассуждения третьего абзаца доказательства леммы 6 позволяют свести этот случай к случаю оператора в конечномерном гильбертовом пространстве. Но в этом последнем случае каждая из функций deti(/ + 7) и det (/ + 7) совпадает с обычным определителем матрицы I-VT. Для deti(/ + 7) это было установлено только что, а для det (/4-7) это было показано в предпоследнем абзаце доказательства леммы 16. Таким образом, утверждение (f) справедливо, и лемма доказана.

В следующей лемме приводится формула дифференцирования, являющаяся ключом наших дальнейших построений.

Лемма. Пусть к —целое число, не меньшее 2, и пусть Т, B^Ch. Тогда если ( —1)^о(7), то

1-^ det, (/ + 7 + zB) |z=0 =

- det, (/ + 7) tr [{(/ + 7)"1 -/+...+(- 1 у'^-2} В].

Доказательство. Заметим сначала, что так как функция g^ — (1 +£)-1— ! + ...+(— l)/w^-2 имеет (& — 1)-кратный нуль при £ ~ 0 и аналитична на спектре оператора 7, то ее можно представить в виде g (Q = h (У ^"2, где функция h (9 аналитична на о (7), а в нуле равна 0. Следовательно,

g (7) = (/ + TY1-! +...+(- l)^"2 = Tk^h (7).

Согласно лемме 15 и замечаниям, следующим за леммой 9, отсюда вытекает, что если Тп—>Т и Вп—>В в топологии пространства

С^ то g (Тп) —> g (Г) в топологии пространства Ch/^-i^ в то время как g(Tn)Bn-^g(T)B в топологии пространства Cv Поэтому по теореме 19 след в правой части формулы [*] определен и непрерывен по Т и В. В силу утверждения (с) предыдущей леммы и по лемме 11 для доказательства справедливости формулы [*] в общем случае достаточно рассмотреть лишь частный случай, когда Т и В имеют конечномерные области значений. Рассуждая, как в третьем абзаце доказательства леммы 6, мы сводим этот случай к случаю гильбертова пространства конечной размерности п. В этом последнем случае, как мы видели в конце доказательства предыдущей леммы,

=det UW-zB) exp {tr [-(T + zB)+... Ч-^^ '(Г + zB^ ] } . Так как

A(t+zB)’|2=0=2 tW-^,

1=0 TO

^tr((T+zB/)|z=0=7tr(T^

Поэтому

n 4 Exp {tr [ - (7 + zS) + ... +(7 +] }'|„0 -

= exp {tr [ — T + ... + -^=1“ ^^ 1} x

xtr[(^-/+...+(-l),1-17''i-ii)B] .

С другой стороны, если (ац) и фг^™матрицы линейных преобразований Д и В в n-мерном пространстве, то, поскольку определитель является линейной функцией каждой своей строки, мы имеем#11#12... #щ#n-l, 1 #n-l, 2 • • • #n-l, n Ьп1ЬП2 • • • ЬП1гС другой стороны, если (ац) и фг^™матрицы линейных преобразований Д и В в n-мерном пространстве, то, поскольку определитель является линейной функцией каждой своей строки, мы имеем#11#12... #щ#n-l, 1 #n-l, 2 • • • #n-l, n Ьп1ЬП2 • • • ЬП1гA det (Л+zB) |z=0=A det (Л+zB) |z=0=6ц 612 .. . bvn6ц 612 .. . bvn#21 #22#21 #22#2n#2n#nl #n2 • • • #nn#nl #n2 • • • #nn

С другой стороны, если (ац) и фг^™матрицы линейных преобразований Д и В в n-мерном пространстве, то, поскольку определитель является линейной функцией каждой своей строки, мы имеем

#11#12... #щ

#n-l, 1 #n-l, 2 • • • #n-l, n Ьп1ЬП2 • • • ЬП1г

С другой стороны, если (ац) и фг^™матрицы линейных преобразований Д и В в n-мерном пространстве, то, поскольку определитель является линейной функцией каждой своей строки, мы имеем

#11#12... #щ

#n-l, 1 #n-l, 2 • • • #n-l, n Ьп1ЬП2 • • • ЬП1г

A det (Л+zB) |z=0=

A det (Л+zB) |z=0=

6ц 612 .. . bvn

6ц 612 .. . bvn

#21 #22

#21 #22

#2n

#2n

#nl #n2 • • • #nn

#nl #n2 • • • #nn

Таким образом, применяя формулу разложения Лагранжа и формулу Крамера для обратной матрицы, получаем

п п

-^ det (Л + zB) j2=o =22 ^Y^ = det (Л) tr (Л^В),

г—1 j=l

18 Заказ № 134

где ча обозначает алгебраическое дополнение элемента а^ матрицы Л. Подставляя A = I-^T и учитывая ['], мы сразу получаем формулу [*].

Замечание. Утверждение (с) леммы 22 показывает, что выражение в левой части формулы [*] непрерывно по Т и В. Таким образом, функция, стоящая в правой части формулы [*], может быть доопределена по непрерывности для всех Т независимо от того, принадлежит точка — 1 спектру оператора Т или нет. Это соответствует следующему факту: так как deU (/4-р7) имеет /г-кратный нуль в каждой точке р, для которой р-1£о(Т) является zz-кратным собственным значением, тогда как (/ + рТ)-1 в такой точке имеет полюс порядка не выше п (см. VII.3.20, VII.3.18), то функция

detfe (/ + Г) U + Г)"1 -/+...+(- 1 ^-i?k-2

может быть доопределена по непрерывности и для тех операторов 7, для которых (— 1)£сг(7). В дальнейшем мы будем свободно пользоваться этим замечанием, явно этого не оговаривая.

Теперь совсем легко вывести обобщенное неравенство Карле- мана.

Теорема. Пусть к —целое число не меньше 2, и пусть к—\^р<,к. Тогда существует такая постоянная Г, зависящая лишь от р, что

I detfe (/ + ?){(/ + TV -/+...+(_ 1 y-iT^ |д < ехр (Г (| Г £ +1)), где р"1 + 9"1 = 1.

Следствие. Если &>2— целое число и к—\<.р<.к, то существует такая постоянная Г, зависящая лишь от р, что

| detfe (/ + ?)(/ + ТГ |<ехр (Г (| Т |Н D).

Доказательство теоремы 24. Используя формулу леммы 23 и формулу дифференцирования

из теории функций комплексного переменного, получаем detk (/ + Т) tr [{(/ + ТГ -/+-..+(- 1У^Т^ В] =

= ~4 $ rdetft(/ + ^ + ^)^.

Таким образом, по лемме 22 (d) существуют такие постоянные Г и Г', зависящие лишь от р, что

| tr Idetfe (/ + Т) {(/ + TV -/+...+(- 1 V1^ S] | <

<exp {Г' (| T |p +1В |p)p}Cexp (Г (| T |P + 1))

при B^Cp и |B|P<1. Поэтому теорема 24 немедленно следует из леммы 14 (а).

Доказательство следствия 25. Справедливость этого следствия вытекает из теоремы 24 и леммы 9, ибо существует такая постоянная Г, зависящая лишь от р, что

|Г Х|Г|р<ехр(Г(|Т^ /=!,.„, к-2.

При 0<рС1 нельзя рассуждать точно так же, как выше, но некоторая модификация нашего метода доказательства позволяет и в этом случае без труда получить соответствующие результаты.

—> 26. Теорема. Пусть 0<рС1. Тогда существует такая постоянная Г, зависящая лишь от р, что

| det (/ + Т)(/ + ТГ1|<ехр(Г|Т|Р).

Доказательство. Из того что (1-VvlT)"x зависит от р аналитически, сразу следует, что достаточно доказать нашу теорему в случае, когда (~1)^о(Т). Если Тп—>Т в топологии пространства Ср, то по лемме 9 (а) и определению 1(b) Т^ —>Т равномерно, так что при условии (—l)^cr(T) выражение

|det(/ + Tn) №4

стремится к выражению, стоящему в левой части доказываемого неравенства. По леммам 11 и 9(b) достаточно доказать нашу теорему в частном случае, когда оператор Т имеет конечномерную область значений. Соображения, аналогичные изложенным в третьем абзаце доказательства леммы 6, показывают, что можно ограничиться случаем конечномерного гильбертова пространства. В действительности мы покажем, что для невырожденного оператора S в d-мерном гильбертовом пространстве

d-1

|(detS)S-i|< [J Иг(5).

i=l

Отсюда будет следовать справедливость нашей теоремы, так как по следствию 3 р^ (/+ ТХ 1 + р^ (Т) и так как при /X 1 существует такая постоянная Г, зависящая только от р, что

1+|р Х^Г1иР-

Поскольку в третьем абзаце доказательства леммы 14 мы показали, что S — UMU', где U и U' — унитарные, а М — диагональная матрица с элементами ^ (S), ..., pd (S), можно при доказательстве неравенства (1) без ограничения общности считать, что S = A4. Но тогда (det М) М”1 — также диагональная матрица, причем ее n-й диагональный элемент равен

d

П^(5).

i=l i^n

Так как числа Pi(S) занумерованы в порядке убывания, то наибольший из диагональных элементов матрицы (det М) М-1 совпадает с выражением, стоящим в правой части неравенства (1), что доказывает теорему.

В частном случае квазинильпотентного оператора из теорем 26 и 24 вытекает следующее следствие.

Следствие. Пусть N — квазинильпотентный оператор и N € С», где 0 < /; < оо. Тогда в окрестности точки X — 0 резольвента К(Х; N) допускает оценку

N)\<erWp,

где Г—некоторая конечная постоянная, зависящая от р и N.

Теперь доказательство теоремы 6.29 без труда может быть перенесено на случай вполне непрерывного оператора из класса Ср. Это доказательство основывалось на неравенстве из следствия ■6.28, непосредственным обобщением которого является неравенство из предыдущего следствия, и на теореме Фрагмена — Линделёфа (лемма 6.33). Нужная нам здесь общая формулировка теоремы Фрагмена —Линделёфа такова.

Лемма (Фрагмен — Линделёф). Пусть g —функция комплексного переменного г, аналитическая внутри углового сектора а, ограниченного двумя непересекающимися дифференцируемыми жордановыми дугами yi и у2, выходящими из начала координат и образующими угол, меньший л/р. Предположим, что функция g аналитична также в окрестности каждой из полуоткрытых дуг Yt — {0} иуг — {0}» ограничена на каждой из этих полуоткрытых дуг и |g(z) | = О (exp I г |_р), когда z—>0, оставаясь внутри сектора о. Тогда | g{z) | = 0(1), когда z—>0, оставаясь внутри о.

Доказательство. Применить лемму 6.33 к функции h(z) =

Теперь, имея следствия 27 и 28, можно воспользоваться доказательством теоремы 6.29, для того чтобы получить следующую

теорему.

Теорема. Пусть 0<.р<.со, и пусть Т£СР. Пусть уь ... ... ,Ys — семейство непересекающихся дифференцируемых дуг на. комплексной плоскости, выходящих из начала координат. Допустим, что каждая из s областей, на которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе с вершиной в начале и углом раствора, меньшим п/р. Пусть N > 0 — целое число, и пусть резольвента оператора Т допускает оценку

1№ Т)|-.О(|Х|-^),

когда X—>0 вдоль какой-нибудь издаешь Тогда подпространство sp(T) содержит подпространство Т^^.

Весьма незначительные изменения доказательства теоремы 6.29, необходимые для получения доказательства теоремы, сформулированной выше, мы оставляем читателю.

Заметим, что число дуг s должно быть не менее [2р] + 1.

Следствие. Предположим, что, когда X стремится к нулю вдоль какой-нибудь из дуг у, предыдущей теоремы, резольвента оператора Т допускает оценку |/?(Х; Т)| = О(|Х|-1). Тогда под» пространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым пространством ^.

Следствие. Пусть Т — неограниченный оператор в гильбертовом пространстве ^ со всюду плотной областью определения, и пусть ОсрСоо. Допустим, что для некоторого Ао из резольвентного множества оператора Т резольвента R (Хо; Т) принадлежит классу Ср. Пусть . .^ — цепересекающиеся дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет предельное направление на бесконечности; предположим, что угол, образованный в бесконечности любой парой соседних дуг, меньше л/р. Допустим, что, когда X—> оо вдоль какой-нибудь из дуг уь резольвента R^X; Т) допускает оценку |/?(Х; Т) | = О( | X |N). Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым пространством ^.

Доказательство следствия 30 слово в слово совпадает с доказательством следствия 6.30; доказательство следствия 31 отличается от доказательства следствия 6.31 лишь незначительными деталями; их мы оставляем читателю.

Для того чтобы применять предыдущие теоремы, необходимо иметь критерии, обеспечивающие принадлежность данного оператора классу Ср. Ниже приводится ряд простых условий такого рода.

Лемма. Пусть 0<рС2. Пусть {фа} — полное ортонормальное множество в ^ а Т — ограниченный оператор. Если

{S I |р}1/^<оо,

то Т^Ср.

Доказательство. При р = 2 справедливость леммы следует из определения 6.1. Пусть р^^ и пусть уа = | Тфа |. Определим оператор В равенствами 5фа = (Тфа) уа/2-1- Тогда ясно, что

2|Яфа|2 = ЖЛ2<~,аа

так что по определению 6.1 оператор В принадлежит классу С2 операторов Гильберта —Шмидта. Если положить Лфа = уа-Р/2фо7 то ясно, что оператор Л самосопряжен и принадлежит классу Сг, где г(1 — р!2) = р, т. е. г = р (1 — р12уг. Таким образом, по лемме 9 оператор Т = ВА принадлежит классу Cs, где s-1 = = 1/2+ (1 — р/2) р-1 = р"\ т. е. Т принадлежит Ср, ч. т. д.

А-е1пх_Д 1П^__Д(етхА-е1пх_Д 1П^__Д(етхххЕсли оператор А действует в пространстве L2(0, 2л) и отображает einx в (ш)"1 при п^О, а 1=^Ол в — х, то его область значений двумерна и

А-е1пх_Д 1П

^__Д(етх

А-е1пх_Д 1П

^__Д(етх

х

х

^^ п^О.

оо), п = 0.

о

о

Отсюда, очевидно, следует, что оператор интегрирования принадлежит каждому из классов С1+8 (но не классу СА)т). Поэтому, например, если К(х, у) — такое ядро типа Гильберта —Шмидта, что

2л 2л

§ 5 |^^^’ y)^dxdy<co’ о о

то

$ к (х, у) / (у) dy =О

2лу2л

= — $ {(^^(х’ У)) $ Hf)dt^dy-VK(x, 2л) J f{y)dy,00о

так что по лемме 9 К^СГ, где г"1 = 2-1 + (1+е)-1; таким образом, К^Сг/з+е Для любого е. Аналогично, если

2л 2л

О О

то К принадлежит классу C2/(2A+i)+s- Если

2л

4Х^ {IGOK(x’ »А"\Ш’К^ ^|}^<“-

0^s</?,

то таким же образом можно показать, что К принадлежит классу С1/Н-8-

Аналогичные результаты легко получить прямой оценкой характеристических чисел Рп(Т). Предположим, например, что ядро К удовлетворяет условию Гёльдера

1f

(1)(1)А-а { ^ \К(х, yA-h^ — K^x, у) |2dxJ1/2 <Г, L о

(1)

(1)

ООX, у<X, у<1,1,>0.>0.

О

О

X, у<

X, у<

1,

1,

>0.

>0.

Тогда если / — функция из L^O, 1), удовлетворяющая п линейным условиям

ОЧ-1)/п

f(x)dx = 01 / = 0, п— 1,

то

ЦМШ =$ К(^ y)f{y)dy= J VK(x, у)-Кп{х, y)}f(y)dyt оо

где

Кп(х, у) = к(х, IV ^<У<^А~, 0<j<n — l.

Если рп —убывающая последовательность положительных чисел, то ясно, что

пу-Х С 3

;=1

поэтому рп(КХ«_1/2|К|2- Условия (2) можно записать в виде (Л Фа)=0, ^ = 1, ..., п, где фА(х) —характеристическая функция

отрезка £ "у” » " ] • В силу леммы 2

Р*2П (Л) ^Р*2П (Л) ^min'*Ф1, • • , ^П-1min'*Ф1, • • , ^П-1maxmax= minmax= minmax(/, Ф1)= (ЛФ1)=.(/, Ф1)= (ЛФ1)=.1/1=1...=(/, Фп)=0. .=(/Лп-1)=01/1=1...=(/, Фп)=0. .=(/Лп-1)=01^/1=1^/1=ФьФь. , Фп—1. , Фп—11(К—К„)/|1(К—К„)/|(/, ф1)=...=(/, Фп)=0(/, Ф1)=. . .=(/, Фп-1)=0(/, ф1)=...=(/, Фп)=0(/, Ф1)=. . .=(/, Фп-1)=0

Р*2П (Л) ^

Р*2П (Л) ^

min'

*Ф1, • • , ^П-1

min'

*Ф1, • • , ^П-1

max

max

= minmax

= minmax

(/, Ф1)= (ЛФ1)=.

(/, Ф1)= (ЛФ1)=.

1/1=1

...=(/, Фп)=0

. .=(/Лп-1)=0

1/1=1

...=(/, Фп)=0

. .=(/Лп-1)=0

1^/1=

1^/1=

Фь

Фь

. , Фп—1

. , Фп—1

1(К—К„)/|

1(К—К„)/|

(/, ф1)=...=(/, Фп)=0

(/, Ф1)=. . .=(/, Фп-1)=0

(/, ф1)=...=(/, Фп)=0

(/, Ф1)=. . .=(/, Фп-1)=0

1 1

<рп(К —КпХ«-1/2| ^ ^ \К(х, у) — Кп(х, y)\2dxdyy/2О о

1/п

сг{ J t2a dty/2 =Г'п-^-а,

О

т. е.

(4)(4)^n№<Vn-V2-a.

(4)

(4)

Поэтому К^Ср при р (1/2 + «)>!, т. е. при р> 2/(1+ 2а).

Много подобных результатов можно найти в работе Хилле и Тамаркина [1].

Аналогичные результаты такого типа для бесконечного интервала можно получить следующим образом. Так как отображение х •

1а*-?(х)—> ^ !(.У)^У^ действующее в пространстве L2(0, Л), после о

деления на Л связано с формально идентичным ему отображением Ц в пространстве Z2(0, 1) унитарным преобразованием /(%)—>/(Лх) Л1/2, то из проведенных ранее вычислений следует существование такой постоянной М, что ^ЦаХ-МАгГ1. Таким образом, если К — такое ядро на [0, со) х [О, оо), что

J $ {|К(^ z/) I2 +1 +"К (X, z/) |2} dxdy< со, о о

то K = Kb + KbIb, где Кв и Кв— интегральные операторы с ядрами Кв(х, у) = К(х, В), у<.В; Кв^х, У)=К(х, у), у>В; Кв(х, у) = 0, у>В; К'в(х, у)=—^-К(х, у), у^В.

Поэтому в силу следствия 3 и оценки для характеристических чисел оператора Гильберта —Шмидта, использованной выше, имеем ^(КХ-М'Вп-^ + п-1^ у ^|Кв(^ y)\^dxdyy/2.

О

Предположим теперь, что

^^в(*, Z/) \2dxdy = O(B~a).о о

Тогда полученное выше неравенство можно записать в виде

где М" — некоторая конечная постоянная. Поскольку В мы можем выбрать по своему усмотрению,

Нзп (KX^'n-d^-ba/Ca+D).

Поэтому К С Ср, если p>(2a + 2)/(3a + 1).

Рассуждения, основанные на формуле (3), легко приспособить к случаю, когда переменные х и у ядра К (х, у^ изменяются в ограниченной области d-мерного пространства. В этом случае область следует разделить на nd подобластей. Поэтому если К удовлетворяет условию Гёльдера (1), то результат, соответствующий неравенству (4), имеет вид

^(КХГп-^п-а.

Это неравенство можно записать в форме

Аналогично если производные по у ядра К до порядка s включительно квадратично интегрируемы, то

Ип (K)<rwn-(1/2+s/d).

Поэтому К ССр при р >2d/(d + 2a) в первом случае и К£СР при p>2d/(d + 2s) во втором случае.

Субдиагонализация1) вполне непрерывных операторов

Всякий эрмитов оператор в конечномерном пространстве может быть приведен к диагональному виду унитарным преобразованием. Как показывает теорема о приведении к жордановой нормальной форме, это утверждение становится неверным, если опустить слово «эрмитов». Неверно даже, что всякая конечная матрица может быть приведена к диагональному виду невырожденным преобразованием. С другой стороны, как показывает доказательство леммы 6.21, каждая конечная матрица может быть приведена унитарным преобразованием к треугольному виду. В этом

х) В русской литературе чаще употребляется термин «приведение к треугольному виду». В переводе мы пользуемся и тем и другим.— Прим, перев.

параграфе мы рассмотрим аналог этого результата для произвольного вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве. Наше исследование приведет к ряду интересных неравенств, которые позволят получить полезное обобщение результатов предыдущего параграфа. На протяжении данного параграфа мы для простоты изложения предполагаем, что гильбертово пространство сепарабельно1).

Представление оператора в треугольном виде связано с изучением его инвариантных подпространств. Таким образом, ключом к ситуации, которую мы хотим исследовать, является следующая общая, интересная и важная теорема Ароншайна и Смита.

—>1. Теорема. Пусть Т— вполне непрерывный оператор в В-пространстве Ж размерности больше 1. Тогда в U существует такое собственное ненулевое замкнутое подпространство ^), что

Доказательство. Если Ж конечномерно, то результат тривиален, так как в этом случае существует собственный вектор. Поэтому будем считать, что Ж бесконечномерно и не содержит собственных векторов оператора Т. Выберем вектора с |л:| = 1. Поскольку замкнутое подпространство Жо, порожденное векторами Тгх, />1, инвариантно, мы можем предполагать, что Ж0 = Ж. Если бы вектор Тнх линейно выражался через векторы множества А = — {Тп-1л:, ..., х^ то вектор Т11*^ также выражался бы через векторы из А, равно как и все векторы Т^х, так что Ж было бы конечномерным. Резюмируя вышеизложенное, мы можем, без ограничения общности, считать, что

векторы х, Тх, ... линейно независимы;

замкнутое линейное подпространство, порожденное векторами х, Тх, ..., совпадает с Ж.

Пусть Ж(Л) для каждого натурального к означает (/? +^-мерное подпространство, порожденное векторами х, Тх, ..., Ткх.

х) Это предположение не слишком обременительно, ибо если § — произвольное гильбертово пространство, а Т — вполне непрерывный оператор в § (именно такие операторы изучаются в основном в этом параграфе), то пространство § можно разложить в прямую сумму §=§1ф§о Двух таких ортогональных подпространств §ь §0, что (1) §А сепарабельно, инвариантно относительно операторов Т, Т* и содержит все векторы вида Тх, Т*х (х £ §); (2) если х£§о, то Тх=Т*х = 0. Для доказательства этого утверждения достаточно положить §0={х | Тх=Т*х=0}, §1=§о", и заметить, что тогда §1 = = sp ^Tmxn | m *> 0, n > 1}, где xv x2, ... —ортонормальная последовательность собственных векторов вполне непрерывного самосопряженного оператора Т*Т, соответствующих всем ненулевым собственным значениям этого оператора. — Прим, перев.

Для каждого замкнутого подпространства 9) пространства Ж и всякого х^Х обозначим через р(х, ^)) величину

inf |х —у|.

Тогда легко проверить, что

е(х+х, W)^Q(^. 9)+е(£, ^,

е(ах, ^)) = |a|e(x, ?)),

q(x,

В силу (II) имеем

limp(x, Ж(й)) = 0, х£Ж. к->оо

Для каждой последовательности 9)^ подпространств пространства 36 положим

Нт $й = (х | lim q (х, ^А) = 0).

к-^оо

Из (III), (IV) и (V) легко следует, что lim^ является замкнутым подпространством в 36.

Пусть для всякого подпространства $ пространства 36 и всякого х символ $(х) обозначает некоторый вектор у£$, такой, что | 9) (%) —л: |С2р (%, $). Определим линейное преобразование Тк пространства 36(fe) в себя, полагая

Тк ^qX + ... + акТкх) = а0Тх + ... + ак-1Ткх + ссАЭ6(^) (Т'тху Ясно, что

|(Т-П)(а01+ ...+«^)|<

С 2 | а^ | q (Tk+1x, 3ew) = 2Q(aftT'1+1x, £wy

Таким образом, так как Q(x + z/, $) = q(x, ^)) для любого У^, то

\ir-TkVKMTx, ^у x^w.

Так как пространство 36(fe) конечномерно, то лемма 6.21 показывает, что в 36(fe) существует такая возрастающая цепочка подпространств

10} = ^к10) 36^’ ° ^... ^ ^к1 к} =10} = ^к10) 36^’ ° ^... ^ ^к1 к} =$(&)

10} = ^к10) 36^’ ° ^... ^ ^к1 к} =

10} = ^к10) 36^’ ° ^... ^ ^к1 к} =

что U<k,j) имеет размерность j и Тк^к,^^^к’^.

Теперь мы докажем, что если к^ /^какая-нибудь пара последовательностей, такая, что kt —-> оо и O^ji^kt, то 3 lim 36(/?i’5г) является инвариантным подпространством. В самом деле, пред-

положим, что г^З, так чт0 существует последовательность векторов хп из x<ftn'3n)( сходящаяся к вектору г при п—-»оэ. Положим Тг- и; тогда Тхп—»и. Кроме того, Тьпхп£ ^кп’ Зп\ тогда как в силу (III) —(VII)

|u —TAnx„K|u —Txn| + |(T —7hn)xn|<

<|и-Тхп1 + 2е(Тх„, ^И

<|u-7xn| + 2e(u-7xn, l^Wu, .V,n)<

<3|и-7хп| + 2е(и, ЗЕ^-^О,

что доказывает наше утверждение.

Заметим, что в действительности мы доказали несколько более сильное утверждение, а именно:

если 3—Пт ЗЕ(кп’,п) и и = lim Тхп, где хп £ $(hn’ Зп\ то и £ 3-

Осталось лишь построить такие последовательности &„, /п, для которых инвариантное подпространство 3 отлично от {0} и от Ж. Это делается так.

Выберем «>0 столь малым, что а<1и|7х|>а|7|. Поскольку х € $(к) -- Ж(к‘’^ для всех к, то числа q (х, ^к*0)), ..., q (х, ^к’ к)) убывают от 1 до 0. Таким образом, для каждого к существует единственное /(&), для которого

q(x, ^k>jW)'»a>Q(x, ^к’№+^.

Выберем такую последовательность xn ^ 3£(n’j(n)+1), что |хп — х|<а. Тогда найдется такая подпоследовательность х^., что Тхкг сильно сходится к некоторому элементу у (поскольку оператор Т вполне непрерывен). Положим Зг = ЭЕ , 3i = $, и пусть

3 = Пт Зь 3' = 1™ Зь Так как Зг — 3t Для всех z> т0 легко видеть, что 3-3- Из (VIII) следует, что у^З', а так как \у — Тх\ — Пт | T^Xht — х) |<а|7|и|7х’|>а|7|,тоу^=0и потому 3'^{0}. С другой стороны, согласно (IX), ни в одном из подпространств 3, нет точек, удаленных от х менее чем на а; поэтому нет таких точек и в подпространстве 3> так что 3^$-

Если предположить, что в $ нет собственного инвариантного подпространства, то должно быть 3 = {0} и 3' = {$}• Тогда из условия (IX) и из полной непрерывности оператора Т следует, что (X) Txi—>0, если {хг} —ограниченная последовательность И Xt^^i-

С другой стороны, поскольку dim (3i/30 = 1 > существует такой вектор UiQ3b что 3г + (и‘1 = 3«- Так как Зг конечномерно,

то можно даже считать, что вектор и, выбран таким образом, что | ы; | = 1 и

inf |z —иг| = |иг|= 1.

Тогда ясно, что

(XI) |2Н P«i|>|p| И 2|2/+₽иг|>|2г|, Zt^t. Поскольку $' = X, можно найти такие последовательности z^ ZiEBi и такие ^, рь что

2i + $lUi ->Х И Zi + рг^г ~> ТX.

Согласно (XI), последовательности 0,, 0f, г/, хг ограничены, а тогда, согласно (X), ^Тщ —>Тх и ^Тщ —>Т2х. Поэтому последовательность | 0i | должна быть ограничена снизу положительной постоянной, но тогда подпоследовательность ограниченной последовательности Pi/Pi сходится к некоторой постоянной у, и мы получаем -\Тх = Т2х, что противоречит свойству (I).

Определение. Пусть Г —оператор, а £ —проектор. Мы говорим, что Е является субдиагонализирующим проектором для Т, если область значений проектора Е инвариантна относительно Г, т. е. если ЕТЕ — ТЕ. *

Лемма. Для всякого оператора Т в гильбертовом пространстве существует максимальное линейно упорядоченное множество g ортогональных субдиагонализирующих проекторов, т. е. линейно упорядоченное множество субдиагонализирующих проекторов, не содержащееся ни в каком большем линейно упорядоченном множестве субдиагонализирующих проекторов1). Каждое такое семейство де содержит сильные пределы всех монотонно убывающих и всех монотонно возрастающих последовательностей проекторов из де.

Доказательство. Первое утверждение сразу следует из теоремы Хаусдорфа 1.2.6. Пусть {£п} —монотонно возрастающая последовательность проекторов из д, £оо —ее сильный предел и Е—- проектор из д. Если ЕпдЕ для всех п, то Еоо^Е; если ЕК>Е для некоторого п, то Е^^Е. Таким образом, если Еоо присоединить к д, то де останется линейно упорядоченным. С другой стороны, так как ЕпТЕп = ТЕп, то в пределе мы получаем ЕооТЕоо = = ТЕоо. Поэтому область значений проектора Еоо инвариантна

Поскольку общая проблема Банаха о существовании инвариантного подпространства у ограниченного оператора пока не решена, не исключен, быть может, случай, когда д состоит только из нулевого оператора 0 и из тождественного оператора /. Если Т вполне непрерывен, то теорема 1 избавляет нас от этой неприятности.— Прим, перев.

относительно Г. Из максимальности ^ следует, что Еоо^^7» Доказательство для случая монотонно убывающей последовательности проекторов из jF аналогично.

Если Е и F — операторы ортогонального проектирования и E>F^ то EF = FE = F. Поэтому все проекторы из максимального линейно упорядоченного семейства JT ортогональных проекторов коммутируют. Пусть {хп} — всюду плотное множество векторов в гильбертовом пространстве; положим

ф(£)=У

Тогда ясно, что функция ф(£) возрастает вместе с проектором Е. Если Е, Ei^^ и ф(£) = ф (£\), то E = EV Действительно, так как ер линейно упорядочено, мы можем, для определенности, считать, что £<.£<, тогда | Ехп |2 = | EiXn |2 для всех п, так что Ехп = Е1Хп и E — Ev Аналогично из неравенства ф(£)<ф(£,1) следует неравенство Е<ЕХ при условии, что Е, Е^^^. Если £n, £ Е JF и ф (Еку возрастая, стремится к пределу ф (£), то из уже доказанного следует, что {£п} —возрастающая последовательность проекторов, причем Еп^Е. Если £оо —ее сильный предел, то Еоо<.Е и ф (£оо) = ф (£). Отсюда следует, что Еоо = Е. Итак, доказано, что если ф(£п), возрастая, стремится к ф(£), то Еп возрастает и сильно сходится к Е. Точно таким же образом можно показать, что если Еп,Е^^ и ф(£п), убывая, стремится к ф(£)> то последовательность ^Е^ убывает и сильно сходится к Е. Поскольку всякая сходящаяся последовательность содержит монотонную сходящуюся подпоследовательность, из доказанного следует, что если ЕП1 E^jF и ф (£п)~»ф (£), то ЕК—>Е в сильной топологии. Следовательно, если выбрать такое счетное множество {£J^jF, что множество {ф(£г)} всюду плотно в.области значений функции ф на ^, то всякий проектор Е из jF будет сильным пределом некоторой монотонной последовательности проекторов из \Ег\ Ниже будет показано, что существует такой эрмитов оператор Я, что все проекторы Et принадлежат его спектральному семейству и что всякий проектор из спектрального семейства оператора Н является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Et. Предположим пока, что это уже доказано. Тогда ясно, что все проекторы Е из ^ принадлежат спектральному семейству оператора Н. Мы воспользуемся этим для того, чтобы при помощи результатов гл. X о спектральном представлении оператора Н получить спектральное представление для максимального линейно упорядоченного семейства ^ субдиагонализи- рующих ортогональных проекторов вполне непрерывного оператора Т. 1

Это можно осуществить следующим образом. По лемме Х.5.8 существует такая последовательность ^хп^ п>0, векторов нашего гильбертова пространства jg, что jg разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств jg (х^, где

^HptfMtCW,

и существует такая убывающая последовательность множеств eKV что (£(s)xn, хп) = (£ (ееп)х0, х0), п>0, для всех борелевских множеств е. (Здесь £(•) — спектральное семейство (разложение единицы) оператора Н.)

Кроме того, можно считать, что [ х01 = 1.

Положим X (£) — | Ех0|2. Тогда, как и выше, мы видим, что X (£) —возрастающая функция от £ и что если £ь £2€^, то X (Е^ — Х^Е^) влечет Ev — E^ a X(£iXX(£2) влечет Е^<.Е2. Кроме того, если Еп,Е^^ и Х(£п)—>Х(£), то ЕК—>Е в сильной топологии. С другой стороны, ясно, что из £п—>£ следует X (£п) —> X (£). Таким образом, в силу леммы 3 область значений С функции X на J^ является замкнутым подмножество^ отрезка [0,1]. Так как отображение Е —>Х(£) множества ^ на С взаимно однозначно, то его можно обратить и тем самым параметризовать максимальное множество ^ субдиагонализирующих проекторов, а именно jF =ЦЕх\Х^Су Как отмечалось выше, Ех непрерывно зависит от X и возрастает с ростом X; кроме того, | Ехх012 = X.

Пусть (а, &) —смежный интервал) замкнутого множества С. Тогда, поскольку ^ максимально, в гильбертовом пространстве § не существует замкнутого подпространства Ж, инвариантного относительно Т и удовлетворяющего условиям Еа^ <= Ж с Еь^ (оба включения строгие). Рассмотрим теперь отображение То = = (Еъ~Еа)Т | (Еь — Еа) ^. Если Жо—замкнутое собственное под- пространсто гильбертова пространства (£& —£a)jg, инвариантное относительно То, то ясно, что Ж = Жоф£а^ замкнуто, инвариантно относительно Т и удовлетворяет условиям Еа§ с Же Еъ^* Таким образом, То не имеет собственных замкнутых инвариантных подпространств. Поскольку оператор То вполне непрерывен, из теоремы 1 немедленно следует, что пространство (£& —£о)^д одномернц.

Пусть g —функция, определенная на отрезке [0, 1], непрерывная справа и принимающая лишь конечное число значений, причем каждое из них—-на некотором подинтервале отрезка [0, 1], и пусть все ее точки разрыва принадлежат замкнутому множеству С. Такая функция имеет вид

g(s) = az, at<s<am,

семейства ненересекающихся открытых множество [0, 1] — С.-— Прим, перев.

где

<3)0 = а^ < аг < ... < ап+1 = 1,

и числа «г попарно различны. Обозначим класс всех таких функций через 3- Пусть Um—-отображение, переводящее функцию g£3 в вектор

п

2 az (^az+i ^РХт*

Тогда

п1

l^og|2 = 2 1аИ2(йг+1—«0= ^ |g(s)l2ds;г—10

поэтому отображение Uo можно единственным образом расширить до изометрии между замыканием множества 3 в ^[0, 1] и замыканием в ^(л:0) множества векторов вида (4) (с т = 0). Легко видеть, что замыкание множества 3 в ^[0, 1] состоит из всех функций, постоянных на каждом смежном интервале замкнутого множества С; обозначим это подпространство пространства L2[0, 1] символом L^Cy Так как всякий проектор из спектрального семейства оператора Н, а потому и всякая непрерывная функция от И, является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Е^ то из (1) вытекает, что замыкание в ^(хт) векторов вида (4) совпадает с ^(хту Отсюда при т — 0 следует, что Uo можно расширить до изометрического изоморфизма между L2(C) и ^(хоу этот изоморфизм мы будем тоже обозначать через Uo.

Пусть S —ограниченный оператор в §(х0У коммутирующий с каждым проектором Ev Пусть 1 — функция из L^Cy тождественно равная 1. Если U^SO^^h^cy то ясно, что (U^SUog) (х) = = g (х) h (х) для всякой функции g^, так что, поскольку 3 плотно в U (Су имеем (U^SUog) (х) = g (x) h (х) для всех g^L^ (С). Для того чтобы оператор 3 был ограниченным, необходимо, очевидно, чтобы функция h была ограниченной, а для того чтобы S был проектором,, необходимо, чтобы й(л:) —0 или 1 почти всюду. В частности, для каждого проектора Е^ из спектрального семейства оператора Н должно существовать такое борелевское подмножество е -отрезка [0,1], что (и^Е(е)^)(х) = ъе(x)g(x), где хе —характеристическая функция множества е. Если £(/) —другой проектор из спектрального семейства оператора Н и / —^, то Е (е) Е (/) = = E(F), И потому (U^E^UogHx^XiWg^, где /ее. С другой стороны, из определения отображения Uo легко следует, что kU^ExUog^x^^X^, x)Wg(x). Из доказанного вытекает,

что должно существовать такое убывающее семейство ^ з е2 2 2s32... борелевских подмножеств отрезка [0, 1], что

(Еххго, xro) = (£x£(em)x0, xo) = p.([O, X)f|em), т>1,

где р, — мера Лебега на [0, 1].

Пусть (а, Ь')— смежный интервал замкнутого множества С. Тогда при т>\ векторы фъ — Е^х™. и (Еь— Еа)х0 ортогональны. Как было показано выше, область значений проектора Еь — Еа одномерна, и потому (Еъ — Еа)хт = 0. Таким образом, етП(а> Ь) = 01). Итак, множества е^ е2, ... содержатся в множестве С.

Из формулы (5) следует, что если т>\ и ^СЗ, то

п

I и mg |2 = 2 I “* IV (Vi, йМ\ П ет) = ^ I g (s) I2 ds.i=lem

Поэтому отображение Um можно расширить до изометрии между замыканием множества 3 в пространстве L2(emi р) и замыканием в ^g(xm) множества векторов вида (4). Так как каждый проектор из спектрального семейства оператора Н, а потому и всякая непрерывная функция от ЕЕ является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Е^ то из (1) следует, что замыкание множества векторов вида (4) совпадает с ^хт\ С другой стороны, поскольку ет г С, легко видеть, что замыкание множества 3 в пространстве L^emi р) совпадает со всем пространством L2(em, р). Таким образом, Um можно расширить до изометрического изоморфизма между L2(emi р) и ^(хту, это расширение мы будем обозначать также через Um. Из определения Um следует, что ^U^ExUmg^) (х) = %|-0, ^ (х) g (х), т 1.

Поскольку гильбертово пространство ^ разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств §(xty отображение

U: lgo(x), g^X), .З Umgm

m=0

является изометрическим изоморфизмом между пространствами и(С)@ L2(e^ p)@L2(e2, р)© ... и $. С другой стороны, ясно, что отображение U~rExU имеет вид

IgoW, giW, •••]-* Ixto,X) wgoМ, X[0>MWgiW»

Изложенное исследование приводит нас к следующей теореме.

х) Точнее, из доказанного вытекает, что р ((я, 6) f| ет)=0. Так как удаление из ет множества точек меры нуль не нарушает справедливости равенств (5) и так как число смежных интервалов множества С не более чем счетно, то можно считать, что (а, Ь) Q ^т = $2$.— Прим, перев.

19 Заказ № 134

Теорема Пусть $Г — максимальное линейно упорядоченное семейство субдиагонализирующих ортогональных проекторов вполне непрерывного оператора Т в гильбертовом пространстве & Тогда на отрезке |0, 1] существует такое замкнутое множество С и такая последовательность e^^e^^ ... борелевских подмножеств этого множества, что ^ изометрически эквивалентно семейству проекторов {Ех|Л,£С} в пространстве

©О — ^2 (С, |Х) © Е2 (^1, р,) © Е2 (^2» Iх) @ • • • > определяемых формулой

Ex\go(X), gi W, .. .] = [xxtogoto, XxMgi(^)>

где %}(x) —характеристическая функция полуинтервала [О, Z), а у, —мера Лебега на [0, 1].

Доказательство. Для завершения доказательства этой теоремы мы должны лишь показать, что если Ei — счетное линейно упорядоченное семейство ортогональных проекторов, то существует такой эрмитов оператор //, что

все операторы 1ц принадлежат спектральному семейству оператора //;

всякий проектор из спектрального семейства оператора Н является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Еь

Пусть 91 — коммутативная В*-алгебра операторов, порожденная проекторами Еь и пусть А —ее спектр. Если со —какой- нибудь элемент из А, т. е. какой-нибудь непрерывный гомоморфизм алгебры 91 в поле комплексных чисел, то обозначим через S (со) последовательность [«(EJ, 0, со(Е2), 0, о)(Е3), 0, . ..]. Так как El^Et, то последовательность S (со) состоит из нулей и единиц, и мы можем рассматривать ее как двоичное разложение некоторого вещественного числа г (со) из отрезка [0, 1].

Пусть Е(е) —спектральное разложение1) для алгебры 91, так что Е(е) —счетно аддитивная регулярная борелевская мера на А, значениями которой являются операторы ортогонального проектирования в § (см. теорему Х.2.1). По теореме Х.2.1

o)(En)E (do)) = En.

А

Определим оператор Н формулой

Н = J г(о))Е(Жо).

А

Точнее, Е (•) — спектральная мера, соответствующая каноническому *-изоморфизму Д-^со(А) алгебры 21 на алгебру С (А). Напомним (см. теорему Х.2.1), что каждому *-изоморфизму 21 на С (А) соответствует некоторая спектральная мера. Здесь нужна именно указанная мера.— Прим, перев.

Легко видеть, что

г(ю)=т2 4^1® (£»);

71= 1

этот ряд равномерно сходится на А, а так как все функции to(EK) непрерывны на А, то г (to)— непрерывная вещественная функция. Поэтому оператор Н эрмитов и принадлежит 91.

Если Е — спектральная мера на отрезке [0, 1], определенная формулой Е (е) = Е (г-1 (е)), е^[0, 1], то, применяя правило замены меры при интегрировании, получаем

1

Н = rE(dr\о

Поэтому, согласно следствию Х.2.7, Е (е) является разложением единицы для эрмитова оператора Н. Если dn(r) обозначает п-й двоичный знак в двоичном разложении вещественного числа г, то~

Е ({г | d^n-t (г)=1}) = Е ({го | d^ (г (го)) = 1}) =

= £({ю| го (£„)=!}) = ^ to(£n)£(d«>) = £n.л

Таким образом, каждый проектор Еп принадлежит спектральному семейству эрмитова оператора Н.

С другой стороны, пусть задано борелевское множество е г Л. Выберем в гильбертовом пространстве всюду плотное множество векторов хп. Поскольку мера Е (е) регулярна, то для каждого натурального т существуют такое замкнутое множество fm с е и такое открытое множество 0т ^ е, что

|£(e)x„|2-l<|£(fm)xn|2<

С | £ (0m) xn |2 С | £ (е) хп |2 + ^-, 1<п<т.

С помощью теоремы Урысона (1.5.2) можно найти такую непрерывную на Л функцию <рт (го), что 0<фт(®Х1, фт(ю) = 0 при © ^ 0т и фт (го) = 1 при го С /т- Тогда если

Фт = фт (to) £ (<fto),

ТО

|(£(е) — Фт)х„|2= ^ |Хе(ю) —фт(ю)|2|£((/(о)хп|2<^, 1<п<т.

Поэтому £* (<?) является сильным пределом операторов Фт. С другой стороны, из теоремы X.2.I следует, что оператор Фт принадлежит алгебре У, так что Ф,п является пределом линейных комбинаций произведений операторов Е^. Поскольку проекторы Ef образуют линейно упорядоченное семейство, произведение любого конечного набора этих проекторов равно наименьшему из Ен входящих в этот набор (т. е. проектору с наименьшей областью значений). Таким образом, Е(с) является сильным пределом линейных комбинаций проекторов Et.

Это доказывает справедливость утверждений (а) и (Ь) и завершает доказательство теоремы 4.

В частном случае операторов Гильберта — Шмидта мы не встречаем существенных технических трудностей при доказательстве теоремы о субдиагонализации, так как всегда существует представление таких операторов при помощи ядер. В лемме 5 описывается это представление и излагаются некоторые его простые свойства.

Лвммл. Пусть Т — оператор Гильберта —Шмидта в пространстве $0) введенном в теореме 4. Тогда существует един^ ственное семейство ядер KuU* О» определенных и квадратично интегрируемых на |0, 11х|0, 1], и таких, что

KiA$t /) = 0, если s^z-t, i >2, или если 1^е5-ь />2;

KvAs. U^Kи (s', Гр если s и s' лежат в одном и том же смежном интервале множества С;

(Ш) Ки(s, t} = KnU, Г), если tut' лежат в одном и том же смежном интервале множества С;г)

ОО 11.

|| КII2 = 2 $ $ |Km(s, Z) |2 ds d/< со;

i,j=l 0 О

TVh^ №, ...]-=l5i(s), 52(s). ...1.

Функции Ktj (s, /) определены с точностью до значений на множестве (р X р)-меры нуль, поэтому условия (I) —(III) нуждаются в некотором разъяснении. Поясним, например, как следует понимать (III). Пусть Iv /2, ...— совокупность всех смежных интервалов множества С; тогда множество

М = [0, 1] X U Un X 1п} можно рассматривать как подмножество куба п=1

(0,11X [0, 1] X [0, 1] в пространстве переменных s, t, V. Условие (III) означает; что функция К^ (s,/) —К^ (s, Г^ равна нулю почти всюду на М относительно меры р х р X р.— Прим, перев.

где

ОО 1

^(8) = 2 J Ki As, tHAhdt,3=1 b

причем этот ряд безусловно сходится в топологии пространства L2. Обратно, если семейство ядер KiAs, t) удовлетворяет условиям (I) —(IV), то формула (V) определяет оператор Гильберта— Шмидта в пространстве §0 и дубль-норма этого оператора может быть вычислена по формуле (IV).

Доказательство. Пусть Л = [0, 1]хМ где N—множество целых чисел /г > 1. Если рассматривать N как пространство с мерой, считая, что каждое натуральное число имеет меру 1, а на отрезке [0, 1] рассматривать обычную меру Бореля — Лебега, то можно считать, что Л — пространство с мерой v, равной произведению этих мер. Сначала мы установим, что каждый оператор Гильберта —Шмидта К в Г2(Л) представляется единственным ядром К (• , •) € L2 (Л х Л) таким образом, что

1Ю2= $ $ \К(а, 6) |2 v (da) v (d6) < со

А А

И

(Kf)(a)=^K(a, b)f(b)v(db).

А

Мы покажем также (это понадобится в дальнейшем), что если К представляется ядром К (а, bY то сопряженный оператор К* представляется ядром К (b, aY Обратно, если ядро /((-,-) удовлетворяет условию (1), то формула (2) определяет оператор Гильберта—Шмидта.

Для доказательства этих утверждений рассмотрим в L2 (Л) ортонормальный базис {фг}. Тогда из определения произведения пространств с мерой следует, что каждая функция из L2 (Л X Л) может быть аппроксимирована линейной комбинацией характеристических функций множеств вида exf, где е и / — измеримые подмножества в Л. Поэтому линейные комбинации функций вида ф (а) т] (6) всюду плотны в £2(ЛхЛ). Таким образом, функции {фг (я) W1 W) образуют ортонормальный базис пространства L2 (Лх Л). Пусть К— оператор Гильберта —Шмидта в £2(Л). Тогда если Cij = (Кфу, фг), ТО ПО следствию 6.3 2 I ^И I2 = II ^ II2 < ОО. Поэтому в L2 (Л X Л) существует функция К (я, bY коэффициенты Фурье которой относительно базиса {ф/ (а) ф7- (Ь)} равны Ctj. Очевидно, /<(-,-) удовлетворяет условию (1). Из теорем III.2.20, III.11.17

и неравенства Шварца вытекает, что

{ $ | $ ^ (й> 6) / (^) v W) Г v (da)} Vg< Л А

<{$ (S '^^ ^i2v<rfa)} v^)}x/2{$ wh^y12; ЛАA

поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства (2), задает ограниченный оператор К. Из определения ядра К(- , •) следует, что

(Кф;, ф/) = (Кфу, Фе)

для всех г и /. В силу линейности и непрерывности скалярного произведения

(Kh gW^h gY h g^U^Y

так что K^Ks и условие (2) выполняется.

Поскольку VK*Wb Ф/) (Кфо Ч^) С)^ то^ядро, представляющее оператор К*^ имеет коэффициенты Фурье С^ и потому совпадает с функцией KU^ <0 K*^ 1>VY

Если К (а, ^)~ядро, удовлетворяющее неравенству (1), то мы видели, что правая часть формулы (2) определяет ограниченный оператор К. Так как числа (.K^ji фО равны, очевидно, коэффициентам Фурье функции К (а, Ь) относительно ортонормального базиса {фг (я) фу (Ь)}, то из следствия 6.3 вытекает, что K^HS и дубль-норма оператора К определяется равенством (1). Следовательно, если ядро /((-,-) представляет оператор 0, то К^а, Ь) = 0 почти всюду по мере v х v. Таким образом, все сформулированные выше вспомогательные утверждения доказаны.

Так как А является произведением пространств с мерой [0, 1] хМ, то ясно, что всякий элемент из Ь2(Л) можно рассматривать как последовательность

/-(ЛМ, f2(s), -.J

функций из L2 [0, 1]; норма такой последовательности определяется формулой

ОО 1ш2=2 S iA«ds-г=1 0

!) Здесь используется доказываемая ниже единственность представляющего ядра.— Прим, перев.

Аналогично функцию /<(•,•)£ Л2 (Л X Л) можно рассматривать как бесконечную матрицу KiAs, t) функций из L2([0> 1] X [0, 1]). Поэтому наши предыдущие выводы можно переформулировать следующим образом.

Если К —оператор Гильберта — Шмидта в £2(Л), то существует единственное семейство ядер Кц (s, /), представляющее К в том смысле, что

^ l/l(s), /2(з), ...] = [§! (5), g2(s), ...],

где ею 1

gt^^^KiAs^Mj^dt,

2=1 о

причем ряд сходится безусловно в топологии пространства L2. Кроме того, выполняется соотношение (IV). Сопряженный оператор К* представляется семейством ядер

КШ t^Kjilt,^.

Наконец, если Ktj.(si 0 — какое-нибудь семейство ядер, удовлетворяющих неравенству в (IV), то формулы (3), (4) определяют оператор Гильберта —Шмидта К в Л2(Л), удовлетворяющий равенству в (IV).

Ясно, что гильбертово пространство ^0? введенное в теореме 4, является подпространством пространства Л2(Л). Легко проверить, что оператор Е ортогонального проектирования Л2(Л) на ^0 определяется формулой

EUAs), f2(s), ...] = [gi(s), g2(s), .

где gj(s) = ^ej (s) fj(s), j>2, a eb e2, ... — борелевские множе- ства из теоремы 4, и

gi(s) = /i($),s^C,

^i(s) = 777y $ А(0^,s^I,

где / — произвольный смежный интервал замкнутого множества С, a р,(/) —его мера Лебега.

Мы можем выбрать в Л2(Л) ортонормальный базис, являющийся объединением ортонормального базиса пространства ф0 и ортонормального базиса пространства ^о-; поэтому из определения 6.1 следует, что если Т — оператор Гильберта —Шмидта в §0, то К = ТЕ — оператор Гильберта— Шмидта в Л2(Л). Ясно, что

ЕКЕ = К.К^\^Т\

Кроме того, по определению 6.1 || К || = || Т ||. Таким образом, класс операторов Гильберта — Шмидта в ^0 состоит из сужений на §о операторов Гильберта — Шмидта в Л2(Л), удовлетворяющих условию ЕКЕ = К, или, что то же, EK = КЕ = К* Отображение класса таких операторов, действующих в Л2(Л), на множество их сужений на ^0 изометрично.

Так как очевидно, что оператор К тогда и только тогда удовлетворяет условиям ЕК = КЕ = К^ когда представляющие ядра KtAs. ^ удовлетворяют условиям (I), (II) и (III), то настоящая лемма полностью доказана.

Мы доказали также следующее следствие.

Следствие. Оператор, сопряженный к оператору Т предыдущей леммы, представляется семейством ядер Кг^ определенных формулой

Kt As. П = Кл^, s).

Теорема 7 показывает, что полученное представление оператора Гильберта —Шмидта ядрами Кц является треугольным.

Теорема. Пусть ^ и Т—такие же, как в теореме 4, и пусть Т—оператор Гильберта —Шмидта. Тогда ядра Кц. построенные в лемме 5, при s*>t удовлетворяют условию

Kt AS. 0 = 0,

кроме, быть может, случая, когда i = j=l, a su t принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С О- Обратно^ если семейство ядер Кц обладает этим свойством, то ер — максимальное семейство субдиагонализирующих ортогональных проекторов для Т ).

х) Точный смысл этого условия таков. Пусть /4, /2, •••—смежные интервалы множества С. Положим Ntj—^s, t) | s^t, Ktj (s, 0 #= 0} и N= (J {(s, tAs,t^InY Тогда (p, X p) (Nij) = Q при / + />2 и (p,X pj (Nh—W) = 0. Следует иметь в виду, что в доказательстве этой теоремы рассуждения ведутся «с точностью до множеств (р,хн)-меры нуль», что в тексте явно не оговорено.— Прим, перев.

Кроме того, для того чтобы оператор Т был квазинильпо- тентным, необходимо и достаточно, чтобы /<ц (s, /) = О всякий раз, когда s и t лежат в одном и том же смежном интервале множества С.

Доказательство. Поскольку область значений проектора Ех инвариантна относительно Т, то {1 — Ех)ТЕх = ^- Из найденного в теореме 4 представления проектора Ех следует, что ядра, представляющие оператор Ц — Ех)ТЕх, имеют вид

Xx(s)Ki;(S, 1ЗД,

где хх — характеристическая функция полуинтервала [О, А), а хх — характеристическая функция отрезка [X, 1]. Поэтому если существует такое А,^С, что s>X*>t, то Kt As, /) = 0. Другими словами, если s">t, то КгД$, 0 = 0, кроме, быть может, случая, когда s и t принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С. Так как по лемме 5 KtAs, /) = 0, если г+ />2 и s, I принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С, то наше первое утверждение доказано.

Обратно, допустим, что ядра Кц обладают свойством, описанным в формулировке настоящей теоремы. Тогда, обращая шаг за шагом предыдущее рассуждение, мы заключаем, что (/ — Ех)ТЕх = 0 для каждого Я из С. Поэтому область значений проектора Ех инвариантна относительно Т, т. е. Ех является субдиагонализирующим проектором для Т. Для доказательства второго утверждения теоремы мы должны лишь проверить, что если Е — такой субдиагонализирующий проектор, что для всякого X из С либо Е^Ех, либо Е^.Ех, то Е содержится в ^. Положим A0 = sup{A| А^С, E>ExVV Легко видеть, что Е>Ехй, тогда как Е-^Ех при Х">Х0. Поэтому если А4 = inf {А | А ^ С, А>А0}), то Е<.Ехг Ясно, что либо А^Ао, либо (Ао, AJ — смежный интервал замкнутого множества С. Если А^Ао, то Ех0<.Е<.Ех0, так что Е^^. Если же (Ао, AJ —смежный интервал замкнутого множества С, то нетрудно показать, что область значений проектора Exi — Exo одномерна). Так как Ех0<.Е<.ЕхР то отсюда

х) Если {А | А £ С, Е Ех\ = 0, то Е^Ех для всех А £ С. Так как О^С (см. второе примечание к формулировке теоремы), то E^Eq. Так как проектору Ех в пространстве §0 соответствует оператор покоординатного- умножения на %хкхУ то ^о—О и потому E^O^Eq^^.— Прим, перев.

следует, что либо Е = Ех01 либо Е = Ехг так что и в этом случае Е^^ и второе утверждение теоремы доказано.

Предположим теперь, что оператор Т квазинильпотентен. Пусть (а, Ь) — смежный интервал множества С, а % —его характеристическая функция. Пусть Кн (s, 0 с ПРИ > ^ € (а> ^) (см- утверждения (II) и (III) леммы 5). Тогда из уже доказанного следует, что если / — вектор

/=[Х, О, О, ...], то

Tf = [c(6—a)x + gi, g2, ...],

где [gi, g2, •••] принадлежит области значений проектора Еа. (Здесь пространства @0 и у считаются отождествленными при помощи изоморфизма U, и потому не делается различия между операторами в § и соответствующими им операторами в jg0-) Поскольку область значений проектора Еа инвариантна относительно Т, то по индукции мы получаем

T^ = Vcn(b-a^x + g^’ ё^’ ---Ь

где [^"^ g*^, . •. ] принадлежит области значений проектора Еа. Поэтому

(Г1/, П = сп(Ь — а)и+1.

Так как оператор Т квазинильпотентен, то для всякого положительного е имеем |Г| = О(е") при п—>оо. Поэтому с = 0, т. е. Ки (s, Z) = 0, если s и / принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С.

Обратно, предположим, что Ки (s, /) = 0, если s и / принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С. Докажем, что тогда оператор Т квазинильпотентен. По леммам 6.2, VII.6.7, VII.6.8 и теоремам 6.6, VII.4.5 предел по норме Гильберта —Шмидта последовательности квазинильпотентных операторов Гильберта —Шмидта является квазинильпотентным оператором. Поэтому из леммы 5 следует, что можно, не ограничивая общности, считать, что \KiAs, Z)|CzW для некоторого конечного числа М и что (для некоторого конечного d) Ktj (s, /) = О, если i>d или j>d. Очевидно, что п-я степень Тп оператора Т

представляется семейством ядер К^\ определенных формулами Kij^s,/) = 0,еслиl>dилиj>d,

а 11

=2 $ • • • $ Кт <s’ °i0 Khi2 <Gh’ а^ • • •KVti ^V^ ^ dan' •

чV-r100

если 1<T, j<d.

Следовательно, учитывая, что ядра Ки ограничены числом М и что Kt As, t) — 0 при s^t, можно получить ДЛЯ Kij^S, I) оценку

\KVj4s,t)\<Wn ^...^ dov.do^^e^.

0^ai^a2^.. .^a^^l

Таким образом, по леммам 5 и 6.2 \Ти\ = о(еп) для всякого е>0; поэтому оператор Т квазинильпотентен, ч. т. д.

Лемма. Пусть Н —такой вполне непрерывный самосопряженный оператор в пространстве ^ что область значений каждого из проекторов Е^, введенных в теореме 4, инвариантна относительно Н. Тогда

HYfi^ Uls\ ...} = [m(s)fi(s), 0, 0, .

где т^— ограниченная функция, равная нулю на С и постоян- . кая на каждом смежном интервале множества С.

Доказательство. Если Е^НЕ-х^ НЕ-к, то, переходя к сопряженным операторам, имеем Е-кН = ЕхНЕ-к = ПЕ^. Поэтому Н коммутирует со всяким ортогональным проектором, область значений которого инвариантна относительно Н. Пусть е— такое борелев- ское множество, что каждый смежный интервал множества С либо целиком содержится в е, либо не пересекается с е. Определим в пространстве ^0 проектор Е^ по формуле

^(вНА^), /2($), . . .] = [Хе(8)Л(з), Xe(s)f2(s), . . .],

где Хе —характеристическая функция множества е. Если Ij = = ^а, 6) — смежный интервал множества С, то Е (Ij) Н = НЕ (Ij) (ибо Е (Ij) = Еъ — Еа); поэтому НЕ(С) = Е(С)Н. Таким образом, область значений ЗЕ проектора Е^С) инвариантна относительно Н, а сужение Н оператора Н на ЗЕ является вполне непрерывным эрмитовым оператором в гильбертовом пространстве ЗЕ. Мы хотим показать, что Н^О.

Допустим, что это не так. Тогда, согласно следствиям Х.3.5 и Х.2.8, существует такое число X Ф 0, что подпространство- Хо~{х|Ех = Хх} нетривиально и конечномерно. По теореме X.2.1 в Хо должен существовать такой вектор хфО, что для всякого борелевского множества е, для которого определен оператор Е (е)т либо Е^х^х^ либо Е^х^О1). Поскольку Е(С)х = х, отсюда следует, что если С разложено в сумму 2П непересекающихся борелевских множеств е5 с диаметрами, не превосходящими 2“п, то для одного (и только для одного) из них Е(е^х = х. Таким образом, для каждого натурального п существует такое борелев- ское множество еп а С, что диаметр его не превосходит 2“п и Е(еп)х = х. Поскольку еп можно, сохраняя нужные нам свойства, заменить на еп= U ет, можно даже считать, что мно- m > п

жества еп образуют монотонно убывающую последовательность. Но тогда из определения проекторов Е^ легко следует, что Е^е^у—уО для любого у, Следовательно, мы получаем противоречие, которое показывает, что II 0, так что Н=НЕ(С')Г где С'—дополнение к С.

Если lj-смежный интервал множества С, то, как было показано при доказательстве теоремы 4, область значений проектора E(lj) одномерна. Поэтому существует такая постоянная mjT что |mj|-^|7"| и HE(Ij)~mjE(lj). Если определить функцию т^ равенствами т\$^т3 для s^Ij и m(s) = 0 для s^C и положить

M[/i(s), /2(5), ... ] = \т (s) Л (s), 0, 0, ...],

то ясно, что НЕ (Ij) = ME (Ij), так что НЕ(\0, 1] —С) = = МЕ([0, 1] —С). Отсюда, поскольку НЕ (С) = ME (С) = 0, следует, что Н — М, и лемма доказана.

х) Пусть 25—совокупность всех борелевских множеств, для которых выше был определен оператор Е (е). Если бы было доказано, что НЕ (е) = Е (е) Н для всех е^25, то отсюда легко следовало бы, что Жо инвариантно относительно Е (е), е£25. Тогда, применяя теорему Х.2.1 к Е*-алгебре 91 операторов, порожденной сужениями проекторов Е (е) (е £ ^) на пространство Жо» и учитывая, что $о конечномерно, мы получили бы, что в $о существует вектор х, собственный для всех операторов из 91. Так как Е (г) —проектор, то либо Е^х—х, либо Е(е)х = 0. Для доказательства равенства НЕ(е) = — Е^е)Н можно сначала рассмотреть случай открытого множества е из 25 (концы интервалов, составляющих открытое множество е £ 25, принадлежат 0, а затем применить предельный переход, учитывая, 4то если е, еп^25, еп^)е и р ^еп — е) —>- 0, то Е^е^-^-Е^ в сильной топологии. (Заметим, что при этом, быть может, придется аппроксимировать открытыми множествами еп С 25 не само множество е, так как это не всегда возможно, а некоторое другое множество е1 ^25, такое, что е’ С е и р (е— е') = 0.)—Прим, перее.

Напомним, что если Т — оператор в гильбертовом пространстве, то (7 + 7*)/2 называется его вещественной, или эрмитовой, частью, а ^Т— Т*^1 —мнимой. или антиэрмитовой. частью.

Заметим, что, как было показано, квазинильпотентный оператор 'х

f^dy

О

в L2[0, 1] принадлежит классу С1+8 для каждого положительного *8, но не принадлежит классу Cv С другой стороны, сопряженный к J оператор имеет вид

1

—i J f(y)dy.

X

Поэтому

r^dy,

0

т. e. мнимая часть оператора J является одномерным оператором. Отсюда ясно, что лишь в случае р>1 можно надеяться вывести принадлежность оператора N классу Ср из предположения, что «го мнимая часть принадлежит Ср. Следующая теорема показывает, что это действительно можно сделать для р >> 1.

Теорема. Если 1<р<оо и Т — вполне непрерывный квази- нильпотентный оператор, мнимая часть которого принадлежит классу Ср. то сам оператор Т принадлежит классу Ср.

Докажем сначала несколько предварительных лемм и теорем. Начнем с теоремы о выпуклости для классов Ср. которая во многом аналогична теореме Рисса о выпуклости из § VI. 10 и даже тесно связана с этой теоремой.

Теорема. Пусть 1<р, г. р'. г'^со. р>р'- Пусть <У — ограниченное линейное преобразование, отображающее класс вполне непрерывных операторов Ср в класс вполне непрерывных операторов СТ. Предположим, что if является также ограниченным линейным преобразованием подкласса Ср» класса Ср в класс СТ*. Тогда если 0<а<1, 1/р" = а/р + (1 — а)/р', Ur" = a/r-V + (1—а)/г', то if является ограниченным линейным преобразова- ванием класса Ср» в СТ».

Доказательство. Для каждого Т из Ср и каждого вполне непрерывного оператора В с конечномерной областью значений положим

Ф(Т. B^tx^iPT^BY

Лемма 9.14 показывает, что для того чтобы получить желаемый результат, достаточно установить существование такой постоянной Г, что

|Ф(Л В)|<Г|ТНВ1д„, где

_ а 1—а 1 . 1 ।1 . 1.

^q” " q ‘ д’ 1 q * г ’ q' * г’ — *

Так как по лемме 9.14 при каждом операторе В с конечномерной областью значений Ф(Т, В) непрерывно зависит от Т, то из леммы 9.11 следует, что можно без ограничения общности считать, что и Т конечномерен.

Далее, с помощью рассуждений третьего абзаца доказательства леммы 9.6 можно свести нашу теорему к следующему предложению.

Если Ф(Т, В) —билинейная форма, определенная на семействе всех матриц в d-мерном гильбертовом пространстве, и если

|Ф(Т, В)|<Г|Т|Р|В|„, |Ф(Т,В)|<Г|Т|Р'№,

то

|Ф(Т,В)|<Г|ТНВ|д„,

где р, р', р" и q, q', q" связаны приведенными выше соотношениями. Так как множество невырожденных матриц всюду плотно в множестве всех конечных матриц, то при доказательстве неравенства (1) можно считать, что Т и В невырождены. Для этого случая в четвертом абзаце доказательства леммы 9.14 было показано, что T = UJ)JJ2l B = VxD2V2l где Ub U2, Vu V2 — унитарные, a Db D2—диагональные матрицы. Таким образом, наша теорема вытекает из следующего утверждения.

Если Ф(7\ В) —билинейная форма на множестве всех матриц в d-мерном гильбертовом пространстве и если

| Ф ([/,№, VxD2V2^ I с Г I Dv |р ID2|9,

| Ф (UM, VxD^ I < ГID, |р- ID2

для любых унитарных матриц U^, U2, Vlt V2 и диагональных матриц Dt, D2, to

| ф (№и21 V^v^ I < Г ID, |p-1D21,..

Из определения 9.1 нормы в классе Ср видно, что это утверждение является непосредственным следствием теоремы Рисса о выпуклости (лемма VI. 1017), ч. т. д.

Следствие. Если 1<р<оо, Т^Ср и {(pj — ортонормальное множество векторов, то

Ш(Гфь ФО Г)^<|Т|р.г=1

Доказательство. Ясно, что отображение ^, переводящее Т в оператор ^Т, определенный формулой

(<^г) (Ж) = 2 (ТфЬ ф2) фг (ж, фО,

г=1

ограничено, если его рассматривать как отображение класса Со» в себя (его норма не больше 1). Лемма 9.13 показывает, что если Т ^Сь то ряд ^(Т^, фг) абсолютно сходится и

г=1

2=1

Поэтому преобразование сУ\ рассматриваемое как отображение класса С^ в себя, ограничено. Теперь наше утверждение сразу следует из предыдущей теоремы.

Пусть Kij — семейство ядер, представляющих оператор Гильберта-Шмидта К в смысле леммы 51). Положим

q (s, /) = 0, если s и t принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С;

q(s, /) = sgn(/ — s) в противном случае;

4(s. 0 = (е(з, О)2-

Пусть qK — оператор Гильберта — Шмидта, представляемый ядрами Kij (s, /) Q (s, /), а т\К — оператор Гильберта — Шмидта, представляемый ядрами Ktj^s, /)t](s, /). Из леммы 5 следует, что

х) Ниже (до конца доказательства теоремы 9) рассматривается следующая ситуация: С — фиксированное замкнутое подмножество (положительной меры «Лебега) отрезка [0,1], содержащее точки 0 и 1; e4^e25 • • •—фиксированные борелевские подмножества в С; §0 = Е2 (С) ф L2 (еь И) Ф ^2 (е2, ^)ф...; фиксированный изометрический изоморфизм бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства § на пространство^ {Ex | X € С}— семейство проекторов в §0, действующих по формуле, указанной в формулировке теоремы 4. Каждому оператору в § при изоморфизме U соответствует некоторый оператор в §0, и обратно (эти операторы обозначаются одним и тем же символом). Таким образом, определяемые ниже отображения q и ч классов Ср зависят от выбора множеств С, е^ е^ ... и изоморфизма U; непосредственно в доказательстве теоремы 9 в качестве множеств С, е^ е2, ... и изоморфизма U выбираются множества и изоморфизм, соответствующие (по теореме 4) рассматриваемому вполне непрерывному оператору Т. — Прим, перев.

q и т] являются ограниченными линейными преобразованиями класса С2 операторов Гильберта —Шмидта в себя. Лемма 12 показывает, что соответствующее утверждение справедливо также при р^--2.

Лемма. Пусть 1<р<со. Тогда определенные выше линейные преобразования q и г] могут быть продолжены1') до линейных ограниченных отображений класса Ср в себя.

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство неравенства М. Рисса (теорема 7.8). Именно, мы

рассматриваем случай p = 2k, где к — натуральное число;

при помощи интерполяции распространяем результат пункта (а) на общий случай 2<.р<_ со;

используя соображения «двойственности», переходим от случая 2<р<оо к случаю 1<рС2.

Детали таковы (предполагается, что 1<р<оо и /<ЕСрПС2): если s и / не принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С, то T|(.s,/)1; поэтому из леммы 5 следует,

что оператор Гильберта —Шмидта К — чК представляется таким семейством ядер Кц, что Ки - 0, если i-\-j">2, Kn(s, t) = 0, если s и t не принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С, и ^l1 (s, f) = Kn(s, t), если s и t принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С.

Пусть Ij — последовательность всех смежных интервалов множества С, и пусть

фу (з) =фу (з) =s^Ij,sUhs^Ij,sUh1

фу (з) =

фу (з) =

s^Ij,sUh

s^Ij,sUh

(р(/у)1/2 ’О,

где р обозначает меру Лебега, так что {ф,} — ортонормальное множество функций. Положим

фу = [фу. О, 0, ...],

так что фу —ортонормальное множество векторов в гильбертовом пространстве ^0 теоремы 4. Из отмеченных выше свойств оператора К — чК и из леммы 5(11), (III) следует, что

(К—чК)х= (Кфу, ф,)ф,(х, фу).j=l

г) Если р<^2, то Срсс2, так что в этом случае Q и т) уже определены на Ср и нужно лишь доказать их ограниченность по норме | • |р. Если же р>2, то Q и т] определены на Ср^ДС^ и так как Ср^\С^ всюду плотно в Ср, то достаточно проверить, что q и т) ограничены по норме | • )р на Ср^Сз.— Прим, перев.

Таким образом, по предыдущей лемме К—>К—чК является ограниченным отображением класса Ср в себя, так что К—>чК — также ограниченное отображение класса Ср в себя, 1<р<оо.

По леммам 9.6(c), 9.14 и определению 9.1 оператор принадлежит Ср тогда и только тогда, когда его вещественная и мнимая части принадлежат Ср; поэтому для доказательства нашей леммы достаточно доказать существование такой постоянной Гр, что | qH |р С Гр | Н |р для всякого эрмитова оператора Н из Ср П С2.

Пусть Н — эрмитов оператор из С2. Тогда, согласно следствию 6, оператор qH антиэрмитов, а х\Н эрмитов. Кроме того, по теореме 7 оператор (д + т])Я квазинильпотентенf). Так как произведение коммутирующих квазинильпотентных операторов является квазинильпотентным оператором, то tr (((q Нт])//)2) = О для каждого целого ^>1. Поскольку вещественная часть следа оператора равна следу его эрмитовой части, имеем

к

2 о tr((etfRn^

.j=o I

Так как по лемме 9.14 и следствию 9.8

I tr «qh^ w^i) \<\QH M I чн |1Г2\

а по определению 9.1

tr((Q^) = |Q^|it

то из равенства (1) получаем

k—1

1еЯ|^-2 Q \QH&\4H\W~2i<.o.

Отсюда сразу следует, что

I QH I2A / „

\^Н

^ Пусть Hij — семейство ядер, представляющих оператор Н в пространстве §0; тогда оператор (q + т|)/7 представляется семейством ядер Hy^s, 1) = = (q(s, О + М5» ^Htj^s, /). Из определения функций q (s, Г) и г] (s, /) следует, что Н^^ /) = 0, если s>/ или если s и t принадлежат одному и тому же смежному интервалу множества С. Применяя обратное утверждение теоремы 7, заключаем, что семейство ^ = ^Ех | ^ ^ С} является максимальным семейством субдиагонализирующих проекторов для оператора ^-\-х^Н (см. примечание 1 на стр. 303 и второе примечание к формулировке теоремы 7). Поэтому к оператору (q-|-г|) 77 можно применить последнее утверждение теоремы 7.—Прим, перев.

20 Заказ № 134

где а —наибольший корень уравнения

к-1

5=0

Отсюда вытекает справедливость настоящей леммы при р = 2£, где к — натуральное число, ибо мы уже видели, что отображение Н—>1\Н ограничено в Ср. А тогда по теореме 10 данная лемма верна для любого р>2, р<со.

Теперь докажем тождество

tr ((qA) В) = tr (A (qB))

для операторов Л и В из класса С2. Это тождество сразу следовало бы из определения отображения р, если бы мы знали, что для любых А и В из С2

ОО 11

tr (АВ) — 2 $ $ Ац(.9, t)Bjt(t, s)dsdt,

i, j-1 о о

где {А;;} и (В/J— семейства ядер, представляющие в смысле леммы 5 операторы А и В соответственно. Равенство (4) можно записать в несколько более удобной эквивалентной форме

1 1

tr (АВ*) —2 ^ $ Л«Л«» t')B^srDdsdt = O.

г, з 0 0

Для того чтобы проверить соотношение (5), заметим, что его левая часть определяет в С2 такую эрмитову билинейную форму [Л, В], что (по лемме 5) [Л, Л] = 0 для каждого Л из С2. Поэтому

2Ке[Л, В] = [Л + В, Л + В] —[Л, Л] — [В, В] = 0

для всех Л, В из С2, и аналогично Im [Л, В] = 0, так что [Л, В] = 0; это доказывает тождества (5), (4) и (3).

Теперь справедливость настоящей леммы при 1</?С2 сразу следует из ее справедливости при 2<р<_со и из леммы 9.14.

Дальше мы будем пользоваться символами р и т] для обозначения непрерывных продолжений отображений р и т] леммы 12 на класс операторов Ср. Введем также обозначение т=Цр-\-к\\ Отметим следующее следствие.

Следствие, (а) Отображение т является ограниченным отображением класса Ср в себя, 1</?<оо.

(Ь) Если оператор Н эрмитов, то антиэрмитова часть оператора тН равна ч\Н.

■ (с) Область значений каждого из проекторов Е\ теоремы 4 инвариантна относительно оператора хН. .

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) были доказаны раньше. Для доказательства (с) достаточно заметить, что обе части равенства Ех (т/7) Ех = (тЯ) Ех зависят от оператора Н непрерывно. Таким образом, по лемме 9.11 достаточно проверить утверждение (с) для операторов Н с конечномерной областью значений. Так как по теореме 7 оно справедливо для всякого оператора Н типа Гильберта —Шмидта, то наше следствие доказано.

Следствие. Если А ^Ср —оператор в пространстве jg0 теоремы 4 и (Лф, ф) = 0 для характеристической функции1) Ф любого смежного интервала множества С, то А = *цА.

Доказательство. Пусть {/Д — последовательность всех смежных интервалов множества С, и пусть ф7 —векторы, введенные в третьем абзаце доказательства леммы 12. Тогда

(Л-т]Л)х=3 (>1ф>» Ф>)<Р/(^, ФАj=l

ерли А^С2. Согласно следствию 11 и лемме 12, обе части этого равенства непрерывны по А^СР; поэтому из. леммы 9.11 следует, что оно справедливо для всех А^СР. Отсюда немедленно вытекает справедливость данного следствия.

Перейдем теперь к доказательству теоремы 9.

Доказательство теоремы 9. Используя теорему 4, можно, не ограничивая общности, считать, что область значений каждого из проекторов Ех инвариантна относительно Т. Пусть (а, Ь) — смежный интервал множества С, а % —его характеристическая функция. Тогда если / — вектор

/=[%, О, О, ...],

то Tf можно представить в виде

Tf=lcx + gi, gz, • • Л,

где [gi, g2l ...] принадлежит области значений проектора Еа. Отсюда по индукции

где [g’in), g^i •••! принадлежит области значений проектора Еа. Поэтому

П = сЧЬ-а\

х) Точнее, ф—вектор в §0, первая компонента которого равна характеристической функции некоторого смежного интервала, а остальные компоненты равны 0.— Прим, перев.

Поскольку оператор Т квазинильпотентен, для всякого положительного в имеем |Тп| = о(еп) при п —> оо. Следовательно, с = 0. Поэтому (Тфь фО^О, ГД6 фг —ортонормальные векторы, введенные в третьем абзаце доказательства леммы 12. Пусть Н— мнимая часть оператора Т. Тогда (//фь фг) = 0 для всех I, так что по следствию 14 Н = х\Н. Согласно следствию 13, оператор х\Н равен мнимой части оператора т//; поэтому Т и хН имеют одинаковые мнимые части, так что оператор S = T — xH эрмитов. По тому же следствию 13 области значений проекторов Ех инвариантны относительно оператора S. Из определения преобразования т и его непрерывности следует, что ((т//)ф;, ф0 = 0 для всех t, так что (5фь ф?) = 0 для всех i. Но оператор S имеет специальный вид, указанный в лемме 8. Поэтому 5 = 0. Следовательно, Т = хН, и теорема 9 следует из леммы 12.

Теперь совсем просто получить полезное усиление теорем полноты из § 6 и 9. Из первых трех абзацев доказательства теоремы 6.29 легко усмотреть, что справедливость теоремы о полноте (6.29) для любого вполне непрерывного оператора Т следует из аналитичности функции ^^(Х; Т*|Х) в начале координат; здесь X — такое инвариантное относительно Т* подпространство гильбертова пространства, что сужение оператора Т* на X является квазинильпотентным оператором. Если предположить, что мнимая часть оператора Т принадлежит классу Ср, то ясно, что мнимая часть Н^ оператора Т* также принадлежит классу Ср. Пусть Е — оператор ортогонального проектирования на X. Тогда легко видеть, что мнимая часть оператора Т* | X совпадает с сужением на X оператора ЕНДД поэтому мнимая часть оператора Т* | X принадлежит Ср. По теореме 9 сам оператор Т* | X должен принадлежать Ср. Как только установлен этот основной факт, можно продолжить рассуждение так же, как при доказательстве теоремы 6.29. Таким образом, учитывая обобщение, отмеченное в теореме 9.29, мы получаем следующий результат.

Теорема. Пусть 1<р<;оо, и пусть мнимая часть вполне непрерывного оператора Т в гильбертовом пространстве ^ принадлежит классу Ср. Пусть уь . ..,ys — непересекающиеся дифференцируемые дуги на комплексной плоскости, выходящие из начала координат. Допустим, что каждая из s областей, на которые эти дуги делят плоскость, содержится в секторе с вершиной в начале и углом раствора, меньшим п!р. Пусть N >0 — целое число, и пусть резольвента оператора Т допускает оценку

W; T)|=O(|xrN),

когда Л—>0 вдоль какой-нибудь из дуг yi. Тогда подпространство sp(T) содержит подпространство TN^.

Рассуждая, как при доказательстве следствий 6.30 и 6.31, мы получаем следующие утверждения, обобщающие следствия 9.30 и 9.31.

Следствие. Пусть дуги уь ..., ys выбраны так же, как в предыдущей теореме, и предположим, что, когда X стремится к нулю вдоль какой-нибудь из этих дуг, резольвента вполне непрерывного оператора Т (Im Т С Ср, 1</?<со) допускает оценку |/?(А; Г) | = О (| X |-1). Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым пространством ^.

—> 17. Следствие. Пусть 1<р<оо, и пусть Т — неограниченный оператор в гильбертовом пространстве ^, имеющий всюду плотную область определения. Допустим, что для некоторого Хо из резольвентного множества оператора Т оператор R (Хо; Т) вполне непрерывен, а его мнимая часть принадлежит классу Ср. Пусть у!, ..., ^ — непересекающиеся дифференцируемые дуги, каждая из которых имеет предельное направление на бесконечности, а угол, образованный в бесконечности любой парой соседних дуг, меньше п/р. Допустим, что, когда X—>оэ вдоль какой-нибудь из этих дуг,- резольвента R^X; Т) допускает оценку |/?(Х; Т) | = О (| A |N). Тогда подпространство sp(T) совпадает со всем гильбертовым пространством ^.

11. Примечания и дополнения

Бикомпактные группы. Теорема 1.1 является частным случаем сформулированной ниже теоремы 3. Простое доказательство существования меры Хаара на бикомпактной группе со счетной базой было дано фон Нейманом [12] и повторено у Понтрягина [1; § 29]. Фундаментальная теорема Петера —Вейля [1] сначала была доказана для бикомпактных групп Ли; см. также Люмис [1; § 38], Понтрягин [1; § 33] и А. Вейль [1; § 21].

Теорема Петера —Вейля 1.4 является основной в теории представлений бикомпактных групп. Мы приведем наиболее важные определения и теоремы этой теории.

Определение. Пусть G — топологическая группа, а Ж —банахово пространство. Тогда представлением R группы G в Ж называется сильно непрерывный гомоморфизм g —>R(g) группы G в группу ограниченных обратимых линейных операторов, действующих в Ж. Если Ж —конечномерное комплексное евклидово пространство, то представление R называется конечномерным.

Если Ж — гильбертово пространство и R(g) для каждого g^G является унитарным оператором, то представление R называется унитарным.

Определение. Пусть G — топологическая группа, а 7?! и R2 — два ее представления, действующие в пространстве Ж. Тогда Rt и R2 называются эквивалентными, если существует такое ограниченное и обладающее ограниченным обратным линейное преобразование Т пространства Ж, что /?i (g) = Т~Щ2 (g) Т для всякого g^G.

Используя существование на бикомпактной группе инвариантной меры, легко доказать следующую теорему.

Теорема. Всякое конечномерное представление бикомпактной группы G эквивалентно конечномерному унитарному представлению.

Определение. Пусть G — топологическая группа, aR — ее представление в В-пространстве Ж. Тогда R называется неприводимым. если Ж не содержит собственного замкнутого подпространства, инвариантного относительно всех операторов R^gY g^G.

Определение. Пусть G — топологическая группа, a R — ее представление в В-пространстве Ж. Пусть Ж разлагается в прямую сумму Ж ^Ж1©...©ЖП замкнутых подпространств, инвариантных относительно всех операторов R(g\ Положим R^g^^ ^R(g)\^h i = V .... п. так что Д— представления группы G. Тогда пишут R = fa ©.. .© Rn и говорят, что R является прямой суммой представлений Rv. .... Rn.

Следующую теорему легко доказать по индукции в случае, когда представление R унитарно, а в силу сформулированной выше теоремы она будет справедлива и в общем случае.

Теорема. Всякое конечномерное представление бикомпактной группы G разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.

Эта теорема показывает, что при изучении конечномерных представлений бикомпактной группы G можно, не теряя общности, ограничиться рассмотрением неприводимых конечномерных унитарных представлений. Если такое представление действует в конечномерном пространстве Еп. то, вводя в Еи базис, можно описать это представление семейством унитарных матриц VUiAgW Функции Utj (g^ называются матричными элементами представ- п

ления; они непрерывно зависят от g. Сумма 2 Un (g) = tr (R (g)) i=l

называется следом представления.

Теорема. Пусть R и R — два неприводимых конечномерных унитарных представления бикомпактной группы G, а ц — мера Хаара на G. Пусть {Uij(g)} и ^Оы (§■)} — матричные элементы этих представлений. Тогда если R и R не эквивалентны, то

’\>UiAg')Uhl(,g')p,(idg') = O для всех I, j, k, I. о

Кроме того,

G

если k^i или l ^ b

Символом L2(G) мы обозначаем гильбертово пространство всех квадратично интегрируемых по мере Хаара функций на G. Из предыдущей теоремы и теоремы Петера —Вейля 1.4 вытекает следующая теорема.

Теорема. Пусть G — бикомпактная топологическая группа, и пусть ^^ — максимальное множество её попарно не эквивалентных унитарных представлений. Пусть {U^ {g)} — соответствующее семейство матричных элементов. Тогда {G^t*)} — полная ортогональная система функций в L2(G).

Определение. Множество {/?(а)} конечномерных неприводимых унитарных представлений бикомпактной группы G называется полной системой представлений группы G, если

никакие два из представлений R^ не являются эквивалентными;

всякое неприводимое представление группы G эквивалентно одному из представлений Rw.

Следствие. Если G — бесконечная бикомпактная топологическая группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности, то всякая полная система представлений группы G счетна. Полная система представлений конечной группы конечна.

Определение. Пусть.С — бикомпактная группа; функция/£L2(G) называется инвариантной относительно внутренних автоморфизмов1), или, для краткости, просто инвариантной, если fW=f(ghg-1) для любого g С G и для почти всех h из G. Классом сопряженных элементов элемента h из G называется множество Vghg-1\g^Gy

Инвариантные функции образуют замкнутое подпространство в L2^G). След любого конечномерного представления группы G является инвариантной функцией.

В оригинале «class function» — функция класса.— Прим, перев.

Теорема, Два неприводимых представления бикомпактной группы G эквивалентны тогда и только тогда, когда их следы совпадают, и не эквивалентны тогда и только тогда, когда их следы ортогональны. Следы полной системы представлений группы G образуют полный ортогональный базис в подпространстве пространства L2 (G), состоящем из всех инвариантных функций. *

Следствие. Если группа G конечна, то число представлений^ входящих в полную систему ее представлений, равно числу различных классов в G.

Главная цель теории представлений бикомпактных групп состоит в точном описании полной системы представлений для заданной группы.

Это было сделано для многих конечных групп. По поводу вычисления представлений группы л (я) всех перестановок из п объектов см. Литлвуд 11 ]. Вычисление представлений знакопеременной подгруппы (Цп") груши,। л (п) можно найти у Фробениуса [4].

Представления бесконечных бикомпактных групп наиболее исчерпывающим образом изучены для связных бикомпактных групп Ли. Это такие' связные бикомпактные группы со счетной базой, которые обладают окрестностью единицы, гомеоморфной области конечномерного евклидова пространства. Этот гомеоморфизм может быть выбран таким образом, что в «координатах», вводимых с его помощью в окрестности единицы, основные групповые операции h —>h-1 и [g, h^—>gh описываются функциями, которые не только непрерывны, но и бесконечно дифференцируемы. Структура связных бикомпактных групп Ли хорошо изучена. Пусть G — такая группа. Тогда существуют такая связная топологическая группа Н и такой гомоморфизм h группы Н на G, что множество hr1 (е) не имеет в Н предельных точек. При этом Н является прямой суммой конечного числа групп Ht, каждая из которых изоморфна либо

аддитивной группе вещественных чисел, либо

группе SU (ц) всех комплексных унитарных матриц порядка п с определителем 1, либо

группе SpU (2п) всех комплексных унитарных матриц V порядка 2п, для которых [Vx, Vy\ = [х, у\, где [х, у]| — невырожденная билинейная форма, определяемая равенством [х, у] ^xvy2 — — ^/1-^2 + ХъУь + • • • + ^2п-1У2п — У2п-1-^2п) Либо

группе UR (/г), допускающей гомоморфизм типа два-один1) на группу UR^ всех вещественных унитарных матриц порядка п с определителем 1, либо

х) То есть такой гомоморфизм, ядро которого (прообраз единичной матрицы) изоморфно циклической группе второго порядка.— Прим, перев.

одной из пяти других бикомпактных групп, известных под названием особых простых бикомпактных групп (см. Э. Картан [1]).

Сформулированная выше теорема о структуре связных бикомпактных групп Ли показывает, что можно найти неприводимые представления таких групп, если известны все неприводимые унитарные представления перечисленных типов (1) —(5) основных групп Ли. Поскольку аддитивная группа вещественных чисел коммутативна, все ее неприводимые унитарные представления одномерны и имеют вид х —>ехр(fax), где —оо<а<<оо. Полная система представлений {/?(а)} для каждой из групп SU (п) и SpU (2п) описана в известной книге Г. Вейля [10]. Пространства, в которых действуют операторы R^a\ являются неприводимыми пространствами тензоров; для каждого тензора % и каждого элемента g группы SU (п) или SpU (2/г) тензор Rw(g))i определяется естественным для тензорного анализа способом. Вейль описал также полную систему представлений для группы вращений RU (п); эти представления тоже реализуются в неприводимых пространствах тензоров. Группа RU (м) имеет еще и другие представления,' которые, если бы мы попытались описать их через представления группы вращений, оказались бы двузначными. Это так называемые. спинорные представления группы RU (п) (или, допуская вольность речи, группы вращений RU (п)). По поводу описания этих представлений см. работу Брауэра и Г. Вейля [1], а также обзорную статью П. К- Рашевского [1]. Полная классификация неприводимых конечномерных унитарных представлений пяти особых простых бикомпактных групп содержится в статье Г. Вейля [11].

Теория представлений групп, которые не являются ни бикомпактными, ни коммутативными, несравненно сложнее и до сих пор полностью не разработана. Однако для некоторых важных небикомпактных некоммутативных групп полностью классицифированы неприводимые унитарные представления в гильбертовом пространстве и получены некоммутативные обобщения различных важных теорем гармонического анализа (например, обобщение теоремы Планшереля). Для ознакомления с теорией представлений таких групп рекомендуем работу И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [3]. Важный частный случай представлений группы Лоренца изложен в статье Наймарка [14]. .

Почти периодические функции. Основная теорема теории почти периодических функций принадлежит Г. Бору (см. Бор [2; § 84], где изложено другое доказательство). Другие доказательства этой теоремы и дополнительные результаты можно найти у Люмиса [1; § 41] и А. Вейля [1; § 33—35], а также в литературе, указанной в разделе § IV. 16, относящемся к пространству АР.

Алгебры со сверткой. В рассуждениях § 3 мы свободно пользовались свойствами меры Лебега на вещественной прямой. Здесь будут доказаны соответствующие свойства меры Хаара, необходимые в различных доказательствах. Таким образом, читатель получит замкнутое изложение этой темы (за исключением доказательства существования меры Хаара на локально бикомпактной а-бикомпактной абелевой группе). Как было отмечено в тексте, развитая в этом параграфе теория справедлива для произвольной недискретной локально бикомпактной о-бикомпактной абелевой группы. Однако мы хотели бы сделать несколько замечаний относительно общего некоммутативного случая. Прежде всего в теореме 2 мы докажем, что локально бикомпактная группа автоматически является нормальным топологическим пространством; этот факт иногда использовался в тексте. Далее мы сформулируем фундаментальную теорему относительно существования меры Хаара и докажем некоторые из наиболее важных элементарных свойств этой меры, которые достаточно убедительно показывают, что эта мера весьма похожа на меру Лебега на вещественной прямой.

Следует отметить, что группы, при изучении которых мы пользуемся мерой Хаара, не только локально бикомпактны, но и о-биком- пактны, т. е. они являются счетным объединением бикомпактных множеств. Мы кратко рассмотрим частный случай бикомпактной группы R, а также случай, когда группа R дискретна, исключенный в § 3. Наконец, мы докажем знаменитую теорему двойственности Понтрягина.

В дальнейшем мы будем записывать групповую операцию в виде сложения, поскольку в § 3 и 4 рассматривались абелевы группы.

Лемма. Если R — локально бикомпактное пространство, a F —замкнутое подмножество в R, не содержащее точку р, то найдется такая вещественная непрерывная на R функция f, что /(р) = 0, f^F^l и 0С/(х)С1 при x^R.

Замечание. Эта лемма утверждает, что локально бикомпактное пространство является вполне регулярным (IV.6.21) топологическим пространством.

Доказательство. Присоединим к пространству R точку оо и будем считать ее окрестностями в /?U{°°) дополнения бикомпактных подмножеств R. Тогда 7?U{°°} станет бикомпактным хаусдорфовым пространством и потому (1.5.9) нормальным. Множество jF1 = jF|J{oo} замкнуто в 7?U{°°}- Пусть Д— такая вещественная непрерывная на 7? U {оо} функция, что Д(р)=0, /1(F1) = 1 и 0<Д(х)С1 при x£R\j^co\. Тогда сужение функции Д на R является, искомой функцией, ч. т. д.

Теорема. Локально бикомпактное с-бикомпактное топологическое пространство R нормально.

Доказательство. Пусть Кп" такая возрастающая последова

тельность бикомпактных множеств, что R = U Кп- Заметим, что

п=1

если Д и В — непересекающиеся замкнутые подмножества в R и п — натуральное число, то найдется такое открытое множество U ^R, что А П Кп s U и U П 5 = 0. Действительно, для любого p£Af\Kn найдется такое открытое множество (7 (р), что р£Щр) и U (р) f)S= 0; в силу бикомпактности A f\Kn в качестве U можно взять объединение конечного числа множеств U(p). Для доказательства нормальности пространства R воспользуемся этим замечанием и принципом индукции.

Пусть F, и £2—непересекающиеся замкнутые множества в R. Выберем в R такое открытое множество Gb что

Л П Kt GbGx П F2 = 0,

и такое открытое множество Н^ что

/ЛП(Лиё1)=0.

Применяя индукцию, построим такие открытые множества Gn и Нк, что

F^Kn^G^ ^n^U/AU U^n-i) = 0,

F 2 Г! Кп — Нп,#Л П (^ J Gi Q ... U G^ = 0 •

Это построение гарантирует, что GnV\Hm= 0 для всех натураль

ных п и т. Положим G = J Gn и Н = Q НП1 так что G и Н — 71=171=1

непересекающиеся открытые множества. Так как yKn^Ri то F^G, F2^H и теорема доказана.

Теперь перейдем к теории меры на локально бикомпактной группе.

Теорема (Хаар). Если локально бикомпактная топологическая группа R является объединением счетного числа бикомпактных множеств, то существует такая неотрицательная счетно аддитивная мера X, определенная на о-алгебре S боре- левских подмножеств R, что Х([7)>0 для всякого открытого множества U, X (/()«< оо для всякого бикомпактного множества К и X(х + Е) = X(£) для всех x^R и Е^. Мера X обладает свойством регулярности

sup X (f) = X (£) = inf X (G),Е С S,

FC.EО^Е

где F— замкнутое, a G —открытое множества. Кроме того^ мера X единственная в том смысле, что всякая другая мера^ удовлетворяющая перечисленным условиям, отличается от X положительным множителем.

Отметим, что мы пользовались этой теоремой только для случая абелевой или бикомпактной группы, причем для бикомпактных групп она была доказана в теореме 1.1. Мы не будем доказывать эту теорему, а отошлем читателя к книге Халмоша [5; стр. 244—248].

Существование инвариантной меры на группе, удовлетворяющей второй аксиоме счетности, впервые было доказано Хааром [1], а вопрос единственности впервые рассматривался фон Нейманом [17]. Другие доказательства существования или единственности были предложены А. Картаном [1], Какутани [17], Какутани и Кодаира [1], Люмисом [1, 3], фон Нейманом [12], Райковым [1,2) и А. Вейлем [1, 2]. Другие результаты о мерах, инвариантных относительно преобразований, можно найти у Окстоби и Улама [1].

Теперь мы изложим некоторые полезные свойства меры Хаара, хотя и простые, но не являющиеся совсем уж очевидными следствиями свойства инвариантности.

Лемма. Пусть R— локально бикомпактная ^-бикомпакт- ная) абелева топологическая группа, 2 есть с-алгебра ее боре- левских подмножеств, а Х — мера Хаара на R. Тогда X (Е+х)=Х (£) и Х( — Е) — X (£) для любых Е из 2 и х из R.

Доказательство. Инвариантность меры Хаара относительно правых сдвигов немедленно следует из коммутативности группы R. Тот факт, что Х( —£) = Х(Е), является простым следствием единственности меры Хаара.

Следствие. Пусть R, 2 и X —такие же), как в лемме 4. Тогда X(R)<<co в том и только том случае, когда группа R бикомпактна. Точки из R тогда и только тогда имеют положительную меру, когда группа R дискретна.

Доказательство. Если группа R бикомпактна, то из теоремы 3 следует, что X(R)*< со. Обратно, допустим, что R небикомпактна, и пусть V — окрестность нуля с бикомпактным замыканием. Поскольку никакой конечный набор сдвигов окрестности V не покрывает R, можно выбрать такую последовательность {хп}, п

что хп+1 5 U C^ + V). Пусть U = —U есть такая непустая окрест- г=1

ность нуля, что U 4-U ^Е. Тогда открытые множества ^Хп-¥Щ попарно не пересекаются, так что

00ОО

оэ= 2 м*»+^)=л( и ^+ижмк) n —1п=1

И

Х(/?)=оо.

Если группа R дискретна, то множество, состоящее из единственной точки, открыто и потому имеет положительную меру. Обратно, если точки имеют положительную меру а, то каждую точку р можно заключить в открытое множество Up с мерой, меньшей За/2, откуда следует, что Up не может содержать точек, отличных от р. Поэтому одноточечные множества одновременно открыты и замкнуты, ч. т. д.

Поскольку (R, 2, X) — пространство с cr-конечной мерой, теория интегрирования, развитая в гл. III, может служить основой для построений § 3 и 4. Отметим, в частности, что произведение групп Rx R является локально бикомпактной о-бикомпактной (абелевой) группой, если такой является группа R. Поэтому это произведение групп обладает мерой Хаара Х(2), определенной на о-алгебре 2(2) его борелевских множеств. Естественно ожидать, что произведение мер ХхХ совпадает, с точностью до постоянного множителя, с Х(2). Этот факт устанавливается в теореме 7.

Лемма. Пусть локально бикомпактная абелева) группа R является счетным объединением бикомпактных множеств. Пусть К —мера Хаара на Rs а 5 естьа-алгебра борелевских подмножеств R. Тогда если функция f является Х-измеримой, то функция g, определенная равенством g (х, y) = f(x — у), будет (X х ^-измеримой.

Доказательство). Для произвольного локально бикомпактного о-бикомпактного пространства X обозначим через Ко^Х) класс

всех бикомпактных подмножеств в X типа G6, и пусть 50(Х) — минимальная а-алгебра, содержащая класс Ко (X). Множества, принадлежащие So М' будем называть бэровскими. Ясно, что всякое бэровское множество является борелевским, т. е. 20 (X) s 2 (X). Если X и У — локально бикомпактные а-бикомпактные пространства, то So (X х У) = 2о (X) X 2о (У) (Халмош [5; §51,теорема 5]; определение произведения а-алгебр см. в III. 11.3).

Пусть S —отображение группы R X R на R, определяемое формулой 5 ([х, у]) = х — у; для всякого множества Е s R положим p(E) — S-1(E) = {[x, у]|х — y^EY Докажем, что если E£SoU?), то р (Е) С So (Я) X So kR)- Так какр( U £i) = U PkEt), Р(Е’) = г=1г=1

= (р кЕ))' и р (0) = 0, то достаточно доказать, что если K^KokRY то р (К) 6 So kR X R). Итак, пусть K^KokRY Так как К — бикомпактное множество типа Go, a R нормально (теорема 2), то, применяя теорему Урысона (1.5.3), нетрудно построить такую непрерывную на R вещественную функцию g, что {хЕ^ |g(x) = 0}=X. Положим hklx, yX)m 8kS klx< //!))• Так как отображение S непрерывно, то h - вещественная непрерывная функция на R х R, причем (|х, //| | h (|х, //I) - 0j - S"x kK)": р kRY Так как RxR локально бикомпактно и п-бикомпактно, то функция /г измерима относительно а-алгебры XokR X R) (Халмош [5; § 51, теорема 2]), и потому PkK№«kR X R). Таким образом, из того, что Е ^okRY следует, что р kE) Е So kR) х So kR) г S x S.

Пусть теперь £ E So kR) и ^ kE) = 0. По теореме Фубини (III. 11.9) '

$ XP№ks,t)k^xX)kdVs,n) = $ xE(s-/)(XxX)(d[sJ]) = RXRRXR

= $ { J %Eks-t)Xkds)\Xkdt) = J O-Xkdt) = O.

‘В RR

Таким образом, если E^^oW и X(E) = 0, то (Xx X)(p(E)) = 0. Отсюда и из доказанного выше следует, что если Е принадлежит Х-пополнению а-алгебры 20(/?) (т. е. если существуют такие Е^ Ей Е So (RY что Е с Eh Е{ — Е с £2 и X (Е2) = 0), то р (Е) принадлежит (X х ^-пополнению а-алгебры 2о(^)х2о(^)» а потому и (X х Х)-пополнению более широкой а-алгебры S х 2. Но из регулярности меры X (точнее, из ее регулярной пополнимости; см. Халмош [5; стр. 224—225 и § 64, теорема 9]) следует, что Х-пополнение а-алгебры 20(/?) совпадает с Х-пополнением а-алгебры 2. Таким образом, если Е принадлежит Х-пополнению 2, то р(Е) принадлежит (X X Х)-пополнению 2x2.

Пусть, наконец, f есть ^-измеримая функция, U—открытое множество комплексных чисел, Е = {х | f(x) и D={[s, yHf^-y^UY

Тогда О = р(Е^ и измеримость функции /(х— у) немедленно следует из теоремы III.6.10.

Первостепенное значение при работе с мерой Хаара имеет следующий результат.

Теорема1). Пусть 2 есть а-алгебра борелевских множеств локально бикомпактной о-бикомпактной группы R, и пусть X — мера Хаара на R. Тогда мера ХхХ (определенная первоначально нао-алгебре 2x2) допускает единственное продолжение ХхХ на а-алгебру 2(2) всех борелевских подмножеств Rx R, причем это продолжение является мерой Хаара на R х R.

Доказательство. Пусть V2> — мера Хаара на R х R. Докажем сначала существование такой постоянной с>0, что

Хт(Е') = с(Хх.Х^(Е'Х £€2x2.

Для этого в силу следствия III. 11.6 достаточно показать, что (И)Х№(А хВ) = сХ(А)Х(В), А, 5 €2.

Для каждого множества £€2<2) положим р(£) = V2)(/i£), где /г — гомеоморфный гомоморфизм группы R х R на себя, определяемый формулой

А([х, у]) = [у, х],[х, y]£RxR.

Легко проверить, что р, является мерой Хаара на R х R, и потому существует такая постоянная с, что р (£) = сХ№ (Е) для всех Е € 2<2). Отсюда следует, что V2) (А х 5) = cXw (В х Л) для любой пары множеств А, В из 2. На самом деле с=1. Это можно заметить, выбирая в качестве А и В открытые множества с бикомпактными замыканиями, так что 0<Х<2)(Л х £)< оо. Поэтому

Хт (Л х В) = Хт (В х Л), Л, 5€ 2.

Пусть теперь В — такое фиксированное множество из 2, что 0<Х(5)<оэ; рассмотрим меру на 2, которая на множестве А принимает значение Х^(АхВу Легко видеть, что эта мера является мерой Хаара на R, и потому для некоторой постоянной с (В), йе зависящей от Л,

№ЦАхВ)=с(В)Х(А), Л €2.

Если и множество А удовлетворяет условию, наложенному на 5, т. е. 0<Х(Л)<оо, то, меняя ролями Л и 5 и используя равенства (III) и (IV), получаем с (В) X (Л) = с (Л) X (5). Таким образом, для множеств Л и 5 из 2, имеющих конечную положи-

х) Формулировка теоремы 7 в оригинале содержит неточность. В переводе формулировка и доказательство теоремы изменены.— Прим, перев.

тельную меру X, отношение

_ с (В)X (Д) X (В)

равно некоторой постоянной с, не зависящей ни от Л, ни от В, т. е. с (В) сХ^В\ а это ввиду (IV) означает, что равенство (II) справедливо, если О <Х (В) < со. Используя счетную аддитивность мер Х(2) и X, а также а-бикомпактность группы R, немедленно получаем, что (II) имеет место для всех В из 2. Поэтому (I) справедливо для всех Е^х^. Так как мера Хаара Х<2> определена на а-алгебре 2<2>, то в силу (I) равенство

(V)(V)(^ W) = -U<2)(£))(^ W) = -U<2)(£))Е62<2),Е62<2),

(V)

(V)

(^ W) = -U<2)(£))

(^ W) = -U<2)(£))

Е62<2),

Е62<2),

определяет продолжение ХхХ меры ХхХс2х2на 2<2>. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что любое другое продолжение v меры X х X на а-алгебру 2<2> сов

падает с X : X.

Покажем сначала, что у — борелевская мера, т. е. чтоу(К) < со для всякого бикомпактного множества K^Rx R. Пусть v0 и Х<2> — сужения мер v и Х<2> на а-алгебру бэровских множеств 20(/? X R). Так как 20 (Я X /?) - 20 (/?) х 20 № с 2 х 2, то v (Е) = (X х X) (Е) - = : б^Х^ (Е) для любого бэровского множества Е, откуда следует, что v0 —с"^2). Для всякого бикомпактного множества К найдется такое бикомпактное множество Ко типа G6, что К^-Ко (Халмош [5; § 50, теорема 4]). Но тогда v (K)<v (Ко) = -^^(КоХ оо.

Заметим теперь, что мера v регулярна. Действительно, мера с^ХС2) как мера Хаара регулярно пополнима ) (Халмош [5; § 64, теорема 9]). Отсюда в силу доказанного равенства v0 = c-1X<2> вытекает, что мера v регулярно пополнима, а потому регулярна.

Итак, меры v и с-1Х(2> регулярны и совпадают на всех бэровских множествах; но тогда (Халмош [5; § 52, теорема 8]) они совпадают и на всех борелевских множествах. Так как по опре

делению X х Xс-1 Х^2^, то v^-XxX, ч. т. д.

Это единственное продолжение X х X меры X х X на а-алгебру 2<2> мы будем обозначать тем же символом X х X.

Если рассматривается группа R с мерой Хаара X, то доказанная теорема позволяет закрепить название «мера Хаара на R х R» за однозначно определенной мерой X X X.

Выясним, какую форму принимают результаты § 3 и 4, когда R — бикомпактная абелева группа; этот случай рассматривался в § 1.

Теорема. Если R —бикомпактная абелева группа, то ее группа характеров R дискретна.

Доказательство. Рассмотрим в R окрестность нуля N (О, R, 1) = ^{mgR||[x, т] — [х, 0]|<1, x^Ry Если m^N (О, R, 1) и если х — такой элемент в R, что [х, т]=#1, то легко видеть, что Re[rzx, m] = Re([x, /гг]п)<0 для некоторого натурального п. Это показывает, что N (О, R, 1) содержит лишь нуль группы R; следовательно, группа R дискретна, ч. т. д.

В этом случае всякое-подмножество группы ^измеримо относительно меры |i, построенной в лемме 3.6, и его мера, с точностью до постоянного множителя, равна числу его точек, если оно конечно, и оо в противном случае. Теорема Планшереля утверждает, что множество всех характеров образует полную ортонормальную систему в L2(R); это утверждение было также доказано в теореме 1.6. Предоставляем читателю доказать, что если R— бикомпактная абелева группа вещественных чисел, приведенных по модулю 2л, то группа R алгебраически и топологически изоморфна аддитивной группе целых чисел и можно писать [х, тХ — е^^. В этом случае точка роо — это точка оо(=—оо), бикомпактифицирующая группу целых чисел, и утверждение, что (т/)(/7оо) = 0 для всех /^ЛДО, 2л), есть хорошо известная лемма Римана —Лебега. Значение функции г/на характере (целом числе) т равно т-му коэффициенту Фурье функции /, т. е.

2л

(V) (/и) = ст = ^-\ e~imxf (х) dx,О

а утверждение об изометрий в теореме Планшереля сводится к классическому равенству Парсеваля

2лОО

А- 5 |/(х)|Мх=2Ы2’О—ОО

справедливому при /£L2(0, 2л). Поскольку группа R дискретна и потому не содержит совершенных множеств, теорема 4.21 утверждает, что если / и g принадлежат Lv (0, 2л) и если для 21 Заказ № 134

всех равных нулю коэффициентов Фурье функции g равны нулю и соответствующие коэффициенты функции f, то / содержится в замкнутом линейном пространстве, порожденном сдвигами функции g.

Рассмотрим теперь случай, когда R — дискретная абелева группа. При этом любое подмножество группы 7? измеримо, и, с точностью до постоянного множителя, мера Хаара любого множества равна числу содержащихся в нем точек, если оно конечно, и равна оо в противном случае. Для такой группы операция свертки с функцией / (0) = 1, / (х) = 0, х ^ 0, является тождественным оператором в пространстве Ь2^. и потому последнее утверждение леммы 3.3 неверно. В этом случае ситуация существенно проще, поскольку нет больше нужды присоединять к алгебре й0 единицу, и в качестве алгебры й можно взять просто алгебру Йо вместо й0+{а/}. Поэтому нет необходимости выбрасывать точку ре», так что можно считать, что о<0 совпадает с &<. Таким образом, мы получили следующий результат, двойственный к теореме 8.

Творпма. Если R —дискретная абелева группа. то ее группа характеров R бикомпактна.

Результаты § 3 и 4 переносятся на случай дискретных групп, причем многие из них, например теорема 3.16, до некоторой степени упрощаются. Особый интерес представляет аддитивная группа целых чисел. Мы предоставляем читателю доказать, что группа характеров этой группы топологически и алгебраически изоморфна аддитивной группе вещественных чисел, приведенных по модулю 2л, или, что то же, мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных 1. Используя вторую реализацию группы R. имеем \п. Х] = ХП, где n^R (так что п— положительное или отрицательное целое число) и X^R. Сформулируем результат, который соответствует теореме 4.24 в случае, когда 7? —группа целых чисел; этот результат может быть получен подходящей модификацией доказательства теоремы 4.24. Детали мы оставляем читателю.

Теорема. Предположим, что ср = {ап}, — со <п< + оо,— ограниченная последовательность комплексных чисел. Пусть f — функция комплексного переменного г. определенная формулой

И>1,И<1-И>1,И<1-2 n>

И>1,

И<1-

И>1,

И<1-

Нг)^Нг)^n=l

Нг)^

Нг)^

n=o

Комплексное число t с | /1 = 1 тогда и только тогда не принадлежит о (ф), когда существует такая аналитическая в окрест-. ности точки t функция g. что в этой окрестности g^^f^z) при |z|=# 1.

Используя эту теорему и аналог теоремы 4.22 для группы целых чисел, получаем следующий интересный результат относительно аналитических функций.

Теорема. Пусть функция f определена и аналитична во всех точках комплексной плоскости, за исключением конечного числа точек £ь • ••, ^, лежащих на единичной окружности. Предположим, что • коэффициенты ряда Тейлора функции f в области | z | < 1 и коэффициенты ее ряда Лорана в области | z | > 1 ограничены. Тогда существуют такие комплексные числа сь. что

- h=l

Эта теорема имеет* много приложений в теории операторов; некоторые из них приведены в § 5 в качестве упражнений.

• Мы уже отмечали, что аддитивная группа целых чисел и мультипликативная группа комплексных чисел, по модулю равных 1 (или, что то же, аддитивная группа вещественных чисел, приведенных по модулю 2л), обладают тем свойством, что каждая из них алгебраически и топологически изоморфна группе характеров другой. Это частный случай хорошо известной теоремы двойственности Понтрягина, утверждающей, что если R — локально бикомпактная абелева группа и если R обозначает группу характеров группы R. то между R и ^существует естественный алгебраический и топологический изоморфизм. Мы дадим сейчас доказательство этой теоремы, но сначала нам будет удобно доказать предварительную лемму, показывающую, каким образом группа R может быть гомоморфно вложена в R.•

Лемма. Отображение х группы R в группу R. определенное формулой [т. хх] = [х. т]. m^R. является непрерывным гомоморфизмом.

Доказательство. Ясно, что х(0) — 0, а так как

[/тг, н(х14-х2)] = к1 + ^2, m\ = \xv. тЦх2. т] =

.=[т. xXi][m. хх2] = [т, xxL-\-xx2],

то отображение х является гомоморфизмом. По лемме II. 1.6 достаточно доказать, что х непрерывно в точке 0. Рассмотрим

21*

окрестность к (О, К, е) точки 0 £ £, определенную равенством АЦО, К, е) = {Х G^| I [т, Х)-(т. 0]|<е, т^К),

где /^ — бикомпактное подмножество в Л и е>0. Пусть U— окрестность точки O^R, имеющая бикомпактное замыкание; для каждого mt из к рассмотрим окрестность.

NQmXl U, у^) = |т$/?| Цх, m] —[х, md |<у, x^U} .

Поскольку к бикомпактно, в нем найдется такое конечное множество точек тХ1 ...,тн, что окрестности N (т^ U, е/3), ... ..., N (ть, U, е/3) покрывают К- Каждый из характеров пц непрерывен; поэтому можно найти такую окрестность Ис У точки О £ R, что если х 6 V и I — 1, ..., к, то

|[х, т(]—[О, mi]|<у.

Следовательно, если х С V и т С к» то при подходящем выборе ЦК<<6)

|(т, хх] — [m, 0]| = |[х, т] — [0, т] |<

<|[х, т] — [х, mJ | + | [х, тЛ — [0, тг]| + | [0t тг] — [0, т] К

'- е , е , е

<у+-з+т = е- ’

Этим доказано, что если x^V, то хх£N(0, к, е), так что гомоморфизм х непрерывен, ч. т. д.'

Теорема (Понтрягин). Отображение х является алгебраическим и топологическим изоморфизмом группы R на группу к.'

Доказательство. Покажем сначала, что х является алгебраическим изоморфизмом. Если ххо = О, то для всех m^R должно быть [х0, т] = Г; таким образом, чтобы показать, что х —алгебраический изоморфизм, достаточно показать, что для всякого х0 у= 0 найдется по крайней мере один такой характер т0 £ R, что [х0, m0]=# 1. Допустим, что для некоторого х0 это не так, и пусть V — такая окрестность точки 0 £7?, что ее замыкание бикомпактно и (x0 + V) f) V = 0. Пусть f —такая непрерывная функция, равная нулю вне Xo + V, что f (хо)+=О. Тогда f£Lx(R) fl L2(R), и потому функция т/ непрерывна и принадлежит La(R). По предположе-

нию, что [х0, m] = 1 для всех т С R, и по теореме Планшереля имеем

[х0< т] т/ (т) т/ (m) р (dm) = ^ | т/ (m) |2 р (dm) =# 0. в.й

С другой стороны, согласно следствию 3.17 и теореме Планшереля,

^ [х0, т] т/ (т) т/ (т) р. (dm) = ^ т/^ (т) V (m) р (dm) =

RR

= ^ /(х —х0)f(x)dx.

R

Но последний интеграл равен нулю, поскольку /=0 вне x0 + V И (Xo + V)AV= 0. Следовательно, гоморфизм х взаимно однозначен и потому является алгебраическим изоморфизмом R в R.

Покажем, что множество х (7?) всюду плотно в пространстве R. Если это не так, то, применяя к R лемму 4.2, получаем, что существует такая функция /7 £ Li (7?) f) L2 (7?), что |//|2^0, а тЯ^О на х(7?). Если h^x^H, то h^L^RY и из теоремы 3.16 следует, что h = 0 почти всюду на R; поэтому | h |2 = 0, что противоречит теореме Планшереля.

Присоединим к каждому из пространств R, R по бесконечно удаленной точке и положим х (оо) = оо, т. е. рассмотрим х как отображение пространства 7?U{°°} в пространство J?U{°°}- Каждое из пространств» R J {оо}, 7?U{°°} бикомпактно и хаусдорфово, а х —взаимно однозначное отображение 7?U{°°} на всюду плотное подмножество пространства ^U{°°}- Если мы сможем показать, что х непрерывно на 7?U{°°}> то его образ в пространстве Ли{°°} окажется бикомпактным и потому будет совпадать со всем пространством ^U{°°}- Тогда из леммы 1.5.8 будет следовать, что отображение х"1 непрерывно. В предыдущей лемме было доказано, что х непрерывно в каждой точке пространства R. Поэтому остается лишь показать, что х непрерывно в точке со.

Пусть {ха} — обобщенная последовательность в R, сходящаяся к точке со. По лемме 4.3 для любой окрестности U точки со ^R существует такая функция Fo^L^R"), что (т/70)(х) — 1 при x^U. Если мы покажем, что (tF0) (хха) —> 0, то отсюда будет следовать, что, начиная с некоторого а0, все точки хха принадлежат U,

и тем самым будет доказана непрерывность х в бесконечности. Таким образом, достаточно доказать, что для каждой функции F^U^ мы имеем хр (хха)—>0, где

хр (хха) = ^ [ха, т\ F (т) р ^dm\ R

xF (xxa) -xF (xxa) -Для каждого а отображение F -^хР ^х^ является линейным функционалом на Li(j?) с нормой, не превосходящей 1; поэтому в силу теоремы II.3.6 достаточно показать, что rF(xxa) —> 0 для функций F, принадлежащих некоторому всюду плотному в L^R) множеству. Поскольку мера Хаара на R регулярна, множество Ж функций из Li (7?) П ^2 (RY равных нулю вне бикомпактных подмножеств R, всюду плотно в L2 (R). По теореме Планшереля множество {т/|/^} всюду плотно в L2(RY и, следовательно, множество {т/*т^|Д gG^*) всюду плотно в L^RY Пусть теперь /, g принадлежат Л* и равны 0 вне такого бикомпактного множества С, что С — С. Тогда если F^xf-xg, то по следствию 3.17 и теореме Планшереля

xF (xxa) -

xF (xxa) -

|xa, m\xf (m)xg(m)ii(dm) = \ Цх — xa)g(x) dx;

но последний интеграл обращается в нуль, если ха^С + С. Дока- ' зательство закончено.

Эта теорема впервые была доказана (в сепарабельном случае} Понтрягиным и обобщена ван Кампеном [1]. Другие доказательства этой теоремы можно найти у Картана Д. и Родмана [1; стр. 95], Люмиса [1; стр. 191], Понтрягина [1; гл. VI], Райкова [1] и А. Вейля [1; § 28].

Как мы видели, результаты § 3 представляют собой обобщение теории рядов Фурье и теории интегралов Фурье. С классическими результатами этих тесно связанных теорий читатель может ознакомиться по книге Зигмунда [1] (ряды Фурье) и Бохнера [6], Титчмарша [3] и Винера [4] (интегралы Фурье). Изложение абстрактной теории дано также в трактатах Люмиса [1 ] и А. Вейля [1 ] и в работах Картана А. и Родмана [1], Райкова [1] и Сигала [2]. Имеется также много другого материала, относящегося, например, к положительно определенным функциям, почти периодическим функциям и некоммутативным группам. Значительную помощь читателю может оказать обзорная статья Макки [5] и гл. IX книги Люмиса [1]. В дополнение к указанным выше работам, мы сошлемся еще на следующие: Амброз [1], Берлинг [1, 2], Гельфанд

и Райков [1, 2], Родман [2, 3, 4], Крейн [6], Наймарк [13] и Сигал [3, 4]х).

Тауберовы теоремы и теоремы замкнутости. Основные результаты этого параграфа имеют корни в работах Винера [4, 5], который рассматривал случай вещественной прямой, хотя многие его доказательства справедливы и в более общей ситуации. Распространение на случай локально бикомпактной абелевой группы было получено независимо Сигалом [2] и Родманом [1]. Изложенное в 4.14 — 4.20 представляет собой незначительное видоизменение метода, примененного Хельсоном [1] для доказательства теоремы 4.20. Доказательства этих результатов для случая вещественной прямой были даны Диткиным [1], Сигалом [2] и Мандельбройтом и Агмоном [1, 2], а для широкого класса групп-—Капланским [5]; другое доказательство было предложено Риссом [1]; доказательство, изложенное в тексте, принадлежит Хельсону [1]. То, что для некоторых функций из Loo спектральный синтез невозможен, было показано Л. Шварцем [2] для трехмерного евклидова пространства. Малявен [1] показал, что спектральный синтез невозможен для некоторых функций на вещественной оси. По поводу родственных результатов см. Коосис [1], Малявен [2] и Кахан [1]. Поллард [2] показал, что спектральный синтез возможен для всех функций из Lb удовлетворяющих условию Гёльдера порядка не менее V2. Близкие результаты имеются в работах Хельсона и Кахана [1], Кахана [2], Кацнельсона [1]. О спектральном синтезе в топологии более слабой, чем ^-топология в Loo, см. Берлинг [3].

В § 4 внимание было направлено на изучение подпространств в Lt (R) (или в Loo (7?)), инвариантных относительно сдвигов функции. В лемме 4.6 было отмечено, что это по существу то же, что изучать идеалы в L^R). Аспект, связанный с рассмотрением идеалов, часто оказывается удобным и многообещающим; так поступают, например, Люмис [1], Макки [4], Шилов [4] и Меркил [1]. Мы не останавливались на этих вопросах, поскольку нашли удобным присоединить к алгебре Lv (R) единицу и применить результаты гл. IX, а при таком присоединении изменяется структура идеалов. Однако будет уместно сделать по этому поводу несколько замечаний. В коммутативной алгебре 95 над полем комплексных чисел, не обладающей единицей, особый интерес представляют регулярные идеалы, т. е. такие идеалы 7, что факторалгебра 95/7 имеет единицу. Ясно, что I является регулярным максимальным идеалом тогда и только тогда, когда факторалгебра 95/7 изоморфна полю комплексных чисел. Оказывается, что регулярные максимальные идеалы алгебры Lv (R) находятся во взаимно однозначном

т) См. также книгу Гельфанда, Райкова и Шилова [1*].— Прим, перев.

соответствии с точками пространства оМ^ т. е. со всеми максимальными идеалами алгебры, полученной присоединением единицы к Lx^RY за исключением идеала, соответствующего бесконечно удаленной точке пространства ©<. В алгебре с единицей всякий идеал содержится в некотором максимальном идеале, но если единица отсутствует, то это неверно, и задача состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях замкнутый идеал содержится в регулярном максимальном идеале. Теорема 4.8 решает этот вопрос для алгебры Lx^RY

По аналогии с разложением целого числа на простые множители в алгебре изучают представление идеалов в виде пересечения примарных идеалов. Для наших целей удобно следующее определение примарного идеала: замкнутый идеал называется при- марным, если он содержится в одном и только в одном регулярном максимальном идеале. Теорему 4.16 можно интерпретировать как утверждение, что всякий примарный идеал в Lx ЦТ) является регулярным максимальным идеалом. Следовательно, в алгебре Lx (R) задача сводится к выяснению того, когда замкнутый идеал является пересечением регулярных максимальных идеалов, его содержащих. Эту задачу иногда называют проблемой спектрального синтеза для идеалов. Хотя пример Л. Шварца, на который мы ссылались выше, показывает, что в Lv (R) это не всегда возможно, но теорема 4.20 дает условно утвердительный результат. Уэрмер [8] дал абстрактное описание класса В-алгебр, для которых каждый примарный идеал является регулярным максимальным идеалом и в которых всякий замкнутый идел является пересечением содержащих его регулярных максимальных идеалов. Л. Шварц [3] и Уитни [1] также привели примеры В-алгебр, в которых каждый замкнутый идеал является пересечением примарных идеалов. В 1938 г. Берлинг [1) ввел некоторые классы подалгебр алгебры В^ —оо, со), в которых каждый замкнутый идеал содержится в регулярном максимальном ' идеале. Аналогичные результаты для более общих классов функциональных алгебр были получены Уэрмером [7], который описал в некоторых из этих алгебр примарные идеалы. Другие результаты того же типа получил Берлинг [2, 3].

Теория Фредгольма. Локализация собственных значений. Представленная в § 6 теория операторов Гильберта —Шмидта принад- , лежит Карлеману [2], Хилле и Тамаркину [1] и Смитису [1]. Хилле и Тамаркин получили, кроме того, ряд теорем относительно асимптотического распределения собственных значений интегрального оператора при различных аналитических условиях, наложенных на его ядро. Они доказали также теорему Лалеско о том, что

2 | Xi |< оо, если {Zj — последовательность собственных значений г=1

произведения двух операторов Гильберта —Шмидта. Чан [1,2} дает родственные результаты, относящиеся к произведению любого конечного числа операторов Гильберта—‘Шмидта. Никович [1) приводит теоремы для класса интегральных операторов, определенного требованием конечности некоторого интегрального выражения более общего вида, чем требование Гильберта — Шмидта § |/<(х, у)|2 dxdz/< co. В упражнениях 25 — 36 перечислены наиболее известные неравенства для собственных значений конечных матриц. В этой связи можно упомянуть о следующих работах. Фарнель [1] показал, что каждое собственное значение X матрицы Л удовлетворяет неравенству

Ша<2 Мй| |Л*бг|,г=1

где 6Ь ..., 6П —ортонормальный базис в n-мерном гильбертовом пространстве. Баранкин [1, 2] показал, что

|X|2<max (2 I «/а I) (3 I «Ai |).к г=1г=1

где аы — элементы матрицы Л, и дал ряд обобщений этого неравенства.'

Пространства Ср из § 9 были введены фон Нейманом и Шаттеном [1; III]. Теоремы полноты в § 9 и 10 обобщают ранние работы Карлемана и Келдыша и связаны с теоремами, полученными в работах советских математиков по теории вполне непрерывных операторов; см. Крейн [20, 21], Гохберг и Крейн [1]. Теория, представленная в § 10, тесно связана с теорией, развитой в цитированных выше работах Гохберга и Крейна. В этих работах особое внимание уделяется диссипативным операторам, т. е. операторам, мнимая часть которых неотрицательна. Такие операторы являются в некоторых отношениях особенно простыми. В цитированных работах можно найти анализ особых свойств диссипативных операторов, а также библиографию других работ советских математиков по несамосопряженным вполне непрерывным операторам.

Теория субдиагонализации, изложенная в § 10, была весьма интересно развита М. С. Лившицем. Он предложил теорию субдиагонализации для произвольного ограниченного оператора, мнимая часть которого принадлежит классу СА операторов, обладающих следом; см. его работу [6], а также обзорную статью Бродского и Лившица [1]. Метод Лившица основан на рассмотрении характеристической операторной функции оператора Т ^НА-1Н\ определяемой равенством Wx (Т; Г, G) = I + 21F (X/ — T^G, где Н' = = GF — разложение мнимой части Нг оператора Т в произведение

двух операторов Гильберта —Шмидта. Как приложение этой теории, Бродский и Лившиц получили очень интересный результат, состоя- х

щий в том, что оператор /(х)—» Hy)dy в пространстве L2 [О, 1] О'

не имеет инвариантных подпространств, отличных от очевидных инвариантных подпространств L2[n, 1], 0<я<1. Таким образом, этот оператор является одноклеточным в том смысле, что структура (lattice) его инвариантных подпространств линейно упорядочена. По поводу всего сказанного см. цитированные выше работы Лившица и Бродского; в этих статьях приводится также обширная библиография работ по несамосопряженным операторам.

Сингулярные интегралы и неравенства. Общие неравенства § 7 принадлежат Кальдерону и Зигмунду [1, 5]; частный случай п=1 (преобразование Гильберта) —М. Риссу. Кальдерон и Зигмунд [1] показывают, что если функция Й удовлетворяет соответствующим (довольно слабым) условиям непрерывности, то сингулярный интеграл

ч>«= ( twig

существует для почти всех х, если / принадлежит L^E”) или Lp(En), оо>р>1 (ср. упражнение 8.23);

удовлетворяет неравенству ^ | ф (х) j1”8^ < со, если 'А

f£Li(En), е>0 и Л— ограниченное множество;

удовлетворяет неравенству ^ |ф(х) |dx< оо, если Л огра- А

ничено и

$ |/W[{l+log+|/(x)|}dx<oo;

Еп

удовлетворяет неравенству ^ | ф (х) | dx < со, если Еи

$ l/(x)|log+{l+|/(x)| + ^ri/WI}^<^- Еи

В случаях (И) — (IV) сингулярный интеграл Нт ^ ^ ^ f (у—x)dx

сходится в топологии пространств £!-е(Л), ^(Л) и L^E1^

соответственно. Эти результаты позволяют ослабить условие { $ 162 (8) Гн (ds)}1/(1+8) < со

теоремы 7.11, заменив его неравенством

^ |Q(s)|log+|Q(s)|n(ds)<oo. S

Кальдерон и Зигмунд дают также приложения своих результатов к некоторым «потенциальным» ядрам, возникающим в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Впоследствии их неравенство нашло многочисленные важные приложения в этой теории.

В работе [5] Кальдерон и Зигмунд приводят аналогичные результаты для родственного, но несколько более общего класса интегральных операторов в Lp, 1 <р< оо, а в [6] рассматривают теорию алгебр, состоящих из сингулярных операторов свертки, изученных в § 7, в частности максимальные идеалы и вопрос о существовании обратных элементов.

Хорошо известно, что, применяя стандартные неравенства к функциям со значениями в соответствующем банаховом пространстве, часто можно получить полезное расширение области применения этих неравенств. По этой причине заслуживает внимания следующее обстоятельство. Первоначальное доказательство хорошо известного неравенства для преобразования Гильберта, предложенное М. Риссом, использует методы комплексного переменного и потому нс может быть распространено на векторнозначные функции; однако доказательство, данное Кальдероном и Зигмундом [1], носит вещественный характер и допускает такое распространение. Мы покажем здесь, как можно систематически использовать этот факт. Мы увидим, что таким образом получаются достаточно общие неравенства типа Кальдерона —Зигмунда—Рисса, так что неравенства Пэли, Литлвуда и Зигмунда можно получить в качестве следствий. Наше изложение следует недавней элегантной работе Хермандсра [1], где он приводит также обширную библиографию предшествующих работ.

Одним из наших инструментов будет следующая важная интерполяционная теорема Марцинкевича, обобщенная на векторнозначные функции. Формулировка и доказательство этой теоремы нс изменяются при переходе от скалярных функций к векторным.

Теорема. Пусть (S, 5, р) и (Si, 5Ь ^ — пространства с положительными мерами, X и XY —банаховы пространства.

и пусть 1 <p<cq <Cr, l<Pi<9i<ri, причем р<.р^ г^г^ \!q~ajp | (1—а)/г и Xlqi^alpi + ^X—^Iri для некоторого а, 0<а<1. Пусть Т —линейное преобразование пространства Lq, всех ограниченных измеримых функций, определенных на S, равных нулю вне множеств конечной меры и принимающих значения в X, в пространство всех измеримых функций на 8^ со значениями в Xv Предположим, что существует такая конечная постоянная К, что

[И1 ({s,| I (ТП (5,) | > а})]1^ < ^ { $ |/ (5) |^ (ds)}1/p,

/ € Lo, а > О,.

а также что

[И1 «51| | (П) ($,) | > а})]1^ < -^ { $ IШ Гн (ds)}1/г,

f^L0, а>0. Тогда существует такая конечная постоянная К', что

{$ I 'П С-1) Г'н I (^D} 1/,,,■< К' { \* | / (S) г- н (ds)}*А'.

Доказательство. Для каждой измеримой функции g на пространстве с мерой (S, 2, р) и каждого а>0 положим

(g)« = H({s| k () !>«})•

Соответствующим образом зададим величину (g)a для функции gT определенной на (Si, 2^ pj. Если |g|t —норма функции g в Lt^ то, возводя ее в степень t, получаем

Кроме того, так как / =/<°>+ /(“), то 7'/=(Т/<а>)4-(7'/<а>); следовательно, если Ь>0, то по предположению

kThb«n^W+№W<K' кГ4 I/(а) I?+b"^\> |^);

здесь и далее К' обозначает конечную постоянную, зависящую лишь от р, q, г, р^ qi, ri и К. Положим теперь а = а(Ь^ где а (Ь) — некоторая монотонно возрастающая функция, а b = b(a") — обратная к ней функция (точный вид функции Ь(^ будет указан ниже). Применяя (5), (7) и (8), получаем

1’1 < Л J {b9i-ri~11 /<а(Ь)) 1^1 + Ь91-р1-11 /(a(b)> |P1} db о

ооа(Ь)ооооа(Ь)оо1 TVrde J db-\-1 TVrde J db-\-

ооа(Ь)

оо

ооа(Ь)

оо

1 TVr

de J db-\-

1 TVr

de J db-\-

+ J fc^i-Pi-iО+ J fc^i-Pi-iО[ 5 (Ле+ас^сР-1 dcyi/Pdb^ = о[ 5 (Ле+ас^сР-1 dcyi/Pdb^ = о

+ J fc^i-Pi-iО

+ J fc^i-Pi-iО

[ 5 (Ле+ас^сР-1 dcyi/Pdb^ = о

[ 5 (Ле+ас^сР-1 dcyi/Pdb^ = о

= К' { И Г bWr^"ri"n кПс ст-1 de ] Г*/Г db +

1 b о

0 1 atb)

Непрерывная форма неравенства Минковского может быть записана в виде

J dp U <р(а, p)da}fe<[ J |^ |<р(а, р) |kdp} ^da]6;

это неравенство справедливо при &>1. Используя его и неравенство (9), получаем

ОООО

|Г/|’1<К'{[$ kf)cC^ [■ bti-^dbpdc'p' 0Ь(с)

ООЬ(с)

+ [ J (/)с [(с-а(Ь^Х»-П ь91-Р1-1 db-y/pidc^1 Р

о о

= К'Ш kheC'-Wf^^dc^^ О

ООС

+ [ ^ khc [ (с—tz)(pi/p><p""1)b (я)9!-^""1.(/ (a) da J *dc^ 1 |. оо'

Теперь мы полагаем 6^ = ^, так что (11) сводится к неравенствам

| Tf ^<К' { [ [ ^с с'-^Ч-Ч^гч deр/Г+

О

ООС

+ [ 5 (/)с [ $(c-a^w^™--day^dep XС оо

<К' { [ ^ V)e Cr-Wql-riy/tldcpr -V

Из соотношений

± = _1 + 1=£,_L = A + k^

7q р гqi Pi ri

следует, что если мы определим £ из уравнения (!4)^A-l).^-!,

то будут выполняться также равенства (15)

г + ^-г^-^р-Н^-ра-^- =q.

Таким образом, теорема Марцинкевича доказана1).

Следует заметить,, что если Т — ограниченное отображение пространства ЛР(Х) в ^(Х^, то оно удовлетворяет условию (1).

Далее, следуя Хермандеру, выделим некоторый класс ядер,, удовлетворяющих условию (1) при р=1. Эти ядра описываются в следующей теореме.

Теорема. Пусть X и Х^ —банаховы пространства. Пусть К (х)— функция^ определенная на Еп и принимающая значения

*) Из неравенства (12) и соотношений (16) и (5) вытекает, что для некоторых положительных постоянных К'Y, б выполняется неравенство | 77 l^1^ <К' (] / |q +1 / |д)- Так как преобразование Т линейно, то отсюда следует, что для некоторой постоянной К' имеет место неравенство | Т/] < К' | / |Q.— Прим, перев. '

в В-пространстве ограниченных линейных отображений пространства X в Х1Ф Предположим, что функция К (я) интегрируема по любой ограниченной области. Пусть заданы числа q> 1 и Л>0; допустим, что существует такая постоянная С<оо, что для каждого t вида1) 2;

{ ^ \Kktkx-y^-KWdxV,q<.Ct-^, \y\<U |xJ^A

Положим

W)W = $ Kkx-yHkyW KUkXY

Еп

Допустим также, что для некоторых риг, таких, что со>>р>1, оо>г>1 и Up—Нг =1 — Uq, выполняется нера

венство

{$ \ k^hkxHT dxY'T<С ^ |/(х)|Мх}1/₽.

ЕиЕн

Тогда для некоторой постоянной С'

|г{хб£"||(^/)(х)|>а}1/9<-^^ \fkx)\dx, f£L0.

Е"

Доказательство теоремы 15 основано на следующей лемме.

Лемма. Пусть задано число s>0, и пусть и — интегрируемая функция на Еп со значениями в В-пространстве X. Тогда её можно представить в виде "

(21) где(22 а)(22b)(21) где(22 а)(22b)« = и+ 2 ф6.

(21) где

(22 а)

(22b)

(21) где

(22 а)

(22b)

6=1

|о|+Д|Юа|<3|14

|v(x)|<2ns, xQEn,

(22с) каждая функция Wh равна нулю вне некоторого куба /^ с ребром длины 2-пь, где пи — некоторая последовательность

!) В этой теореме удобно считать, что | х]—это Loo-норма вектора х£Еп, т. е. если х = (хь ..., хп), то | х |—max {| х^ |, ..., | хп |}. Ясно, что выбор той или иной нормы в Еп не меняет существа дела.— Прим, перев.

положительных или отрицательных целых чисел, причем кубы Ik попарно не пересекаются, 2 т U^ < s"11 и | и ^ w^ (z) dx = 0.

k=iik

Мы пользуемся обозначением т^ для меры Лебега множества е и обозначением | и | для Агнормы интегрируемой функции и. Лемма 16 доказана Хермандером [1] для скалярных функций. Доказательство для векторнозначных функций мало чем отличается; поэтому мы опустим его и перейдем непосредственно к доказательству теоремы 15.

Доказательство теоремы 15. Заметим сначала, что число А можно увеличить, не нарушая ни одного из предположений леммы. Таким образом, можно считать, что А имеет вид А = 2М. Допустим, что w — функция с равным нулю интегралом, обращающаяся в нуль вне куба I с центром в начале и. ребром длины А"1. Тогда

(о№) (х) = ^ (K(x — y) — K(x))w (у) dy,

I

так что, применяя (10) и (17), получаем

{^ \W^\Mgy/q<C\wV,

где 11^ |i обозначает Т^-норму. Поскольку условие (17) инвариантно относительно сдвигов и деления в отношении 1:2\ отсюда следует, что если ну' —функция с равным нулю интегралом, обращающаяся в нуль вне куба Г с ребром длины 2\ то куб Г можно заключить в такой куб I" с ребром длины 2WM, что (25){ J \(^w'')^\'ldyy/9<C\w'V.

Пусть функции и, v и Wk—-такие же, как в предыдущей лемме, и пусть w" = 2 wk- Из (25) и (22с) сразу следует, что существует такое множество е, что его мера нс превосходит 22nMs-11 и |i и (26) {J |(W')(y)|My},/9<C|w"!1<3C|u|1.

Так как (№)< <t-4 | W |’ для любой функции W (см. (4)), то при />0

^w-^C^r^uHs-^uVy,

здесь и далее С' — любая конечная постоянная, a |№|д есть Lg-норма функции W. Поскольку u = u-\-w", имеем

(^u)f<(e^v)l/2 + (8^cy")i/2.

Так как Ivloo^C's и Ivli^C7 |«|lt то из неравенства Гёльдера следует, что | v ]p^C's1—1/р | и |i/p для каждого р>1. Так как мы предположили, что l^/IrCC'|/|р для каждой функции / из LOl то

\^У\т<С'81-^\и\\1р.

Поэтому

(^о)( <C's^-t/p) | и \ЧРГТ = C's^-i | и\\,1т>Г.

Таким образом, учитывая (27), (30) и (28), находим, что

(^u)t <С' (Г’ | и |Н s'11 и |t + s1^-11 и \Т1"ТУ

Выбирая s>0 так, чтобы минимизировать выражение, стоящее в правой части неравенства (31), получаем

№)tCC7-9Hi,

и теорема 15 доказана.

Следствие. В предположениях теоремы. 15

WfV<-C'\fV

для любых г>г'>1, р">р'>\ при условии, что Ир' — Мг' = = 1 - Mq.

Доказательство. Это сразу следует из интерполяционной теоремы Марцинкевича и теоремы 15.

Следствие. Если ядро К теоремы 15 для каждого t, равного положительной или отрицательной целой степени числа 2, удовлетворяет условиям

(S I^^Wp^^^CC1,

|х|^А/

то оно обязательно удовлетворяет условию (17).

Доказательство. Неравенство (34) можно записать в виде

{ \^КА1х^хуч <Ct-^.

Интегрирование этого неравенства по подходящим образом выбранному пути приводит к неравенству (17).

22 Заказ №134

Следствие. Пусть ядро К теоремы 15 удовлетворяет соотношению

О1К(2х)О2 = 2-п/^(х), х^Еи,

где Oi и 02— такие операторы в XY и X соответственно, что все их целые степени, положительные и отрицательные, ограничены. Тогда неравенство (17) теоремы 15 вытекает из предположения

J |^-K(x)|’dx<<», 1 = 1, .... п.

2^|я|>11

Доказательство. Если / = 2’, где / — положительное или отрицательное целое число, то из (36) и (37) следует, что

<38>$ \^гкЦ’<1хсс 5 /-|-^[к(^)]|>_

2^|х|^2^1х|^^'

-Crl S l[w«](T)i''-”^»

21^1х|^

2^|x|^l

Поэтому

J (^К^рхСС^^- $ |<£^(х)|^= oo^|x|^ln=02^jx|^l

2C 5 I I

2^|x|^l

откуда легко вытекает справедливость данного следствия.

Если п=\, q=\, то условие (34) сводится к условию var (/<(*)) = О (Г1).

ixl^

Неравенство Пэли и Литлвуда нетрудно вывести из следствия 19. Но сначала мы докажем следующее обобщение теоремы Кальдерона —Зигмунда на векторнозначные функции.

Теорема. Пусть (S, 5, ^ — пространство с положительной мерой. Пусть Q(x) — комплекснозначное ядро, определенное на Еп, положительно однородное порядка 0 и гладкое всюду, кроме точки х = 0, и пусть поверхностный интеграл от Q по единичной сфере равен нулю. Пусть Lp(Lq) обозначает Ьр-простран- ство функций на Е71 со значениями в Lq^SY Тогда для любых

1 < р < оо и 1 с q < оо операция свертки

/М->^$ y^yf^dy

определяет ограниченное преобразование пространства Lp (Lq) в себя.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай p = q. Пространство LP(LP) может быть очевидным образом отождествлено с Lp-пространством на прэизведении Рх S, и неравенство, которое должно быть доказано, сводится к неравенству

ИН tS^’ ^dyfdxds^

S Е71 Еп

<С' J J \Цх, s)\pdxds.

8 Еп

Это нс что инос, как обычное неравенство Кальдерона — Зигмунда, примененное к функции g^^f^x, s) и проинтегрированное по s.

Из справедливости этой теоремы для p^q и из следствий 17 и 19 следует, что данная теорема должна быть справедлива, если 1<р<^<оо. Поэтому ясно, что справедливость нашей теоремы при 1 < q < р < оо вытекает из следующей леммы и из того очевидного факта, что оператор, сопряженный к оператору вида (38), имеет такую же форму.

Лемма. Пусть X —банахово пространство, а X* —сопряженное к нему пространство. Пусть 1<р, q«<co, p-1 + ^-i=i. Пусть (S, 2, ^ — пространство с положительной мерой. Тогда1) (42) sup I \ g(s)/(s)p(ds)U|^ KLP(X).

Доказательство. To, что левая часть в (42) не превосходит правой, сразу следует из неравенства Гёльдера, тривиальным образом обобщенного на векторнозначные функции. Обратное неравенство достаточно доказать для всюду плотного подмножества в Lp (X), так что можно, не ограничивая общности, считать, что / — простая функция, т. с. что f(s) = xt на каждом из непере- секающихся множеств еь I = 1, ..., п, и что / = 0 вне объединения этих множеств. В X* существуют такие элементы х*, что x*U0 = l^l ПРИ * = 1» • ••, п и |^*| = 1. Пусть h — скалярная функция на S; положим g (s) = h (s) х* при s£^ и g(s) = 0, если

х) Здесь g (s) / (s) при каждом s £ S есть значение функционала g (s) £ X* в точке / (s) С X, т. е. g (s) f (s) — скалярная функция. — Прим, перев.

s не принадлежит ни одному из множеств ег. Тогда

J g (s) f (s) и (ds) = J й (s) | / (s) | |Л (ds);

следовательно, равенство (42) вытекает из хорошо известного аналогичного соотношения для скалярных функций. Этим завершается доказательство леммы 21, а вместе с ней и теоремы 20.

Следствие. Пусть (S, S, ^ — пространство с положительной мерой, и пусть \ <<q<<co, 1 <<р<<со. Пусть С — конечная постоянная, и пусть f(x, $) — такая измеримая функция, определенная на произведении пространств Er х S, что

^ { ^ ] f (х, s)|Xds)}’/Pdx<C.

—оо S

Пусть /(£, s) — преобразование Фурье функции f^x, s) по переменному х, и пусть g(x, s) — функция, преобразование Фурье которой определено равенствами g^„ s^f^, s) при £>0; g(^, s) = 0 при £<0. Тогда существует такая постоянная С', зависящая лить от р и q, что

J {5 IgU, s)|Xds)p/Pdx^C'C.

-ОО V S

Доказательство. Это просто частный случай X = LP(S), п=1 и Q(x) = sgnx теоремы 20.

Следующее утверждение является обобщением предыдущего.

Следствие. Пусть (S, S, ^ — пространство с положительной мерой, и пусть 1<р<<оо, 1<9<оо. Пусть Т ^ для всякого вещественного £ есть ограниченный оператор в пространстве LP(S). Предположим, что операторнозначная функция Т^ равномерно ограничена и имеет ограниченную вариацию. Пусть f^ —функция вещественного переменного х со значениями в пространстве LP(S), и пусть Ц^ — ее преобразование Фурье по переменному х. Пусть Ж { —отображение, определенное формулой

W)=T*.

Тогда Жy —ограниченное отображение пространства Lq(Lp(S)) в себя.

Доказательство. Определим для каждого вещественного £0 отображение ^g0 пространства Lg(Lp(S)) в себя по формуле (47)(W)®^^’ если^0’

[ 0, если ё<ёо-

Из следствия 22 вытекает, что существует такая конечная постоянная С', что

ШгМС.

В левой части стоит, разумеется, норма оператора <2^0 как преобразования пространства Lg(Lp(S)) в себя.

С другой стороны, из (46) и (47) следует, что

(49)(49)^1 = J Жо^(^о) + ^(~оо),^1 = J Жо^(^о) + ^(~оо),

(49)

(49)

^1 = J Жо^(^о) + ^(~оо),

^1 = J Жо^(^о) + ^(~оо),

где У* (— со) обозначает отображение / (х) —> Т (— со) / (х). Из (48) и (49) сразу следует справедливость данного предложения.

Если оператор Т ^ из следствия 23 является оператором умножения, то установленный результат может быть значительно улучшен; при этом получается обобщение теоремы Зигмунда, которая потребуется нам в дальнейшем изложении. Для простоты обозначений ограничимся рассмотрением частного случая, когда S счетно, так что пространство Lp предыдущего следствия сводится к пространству последовательностей /р.

24. Лемма. Пусть Х^р^со^ 1<(/<оо. Пусть кк (£) —последовательность ограниченных функций. Предположим, что эти функции и их полные вариации равномерно ограничены. Пусть Ж -— преобразование в Lq^lp), переводящее векторную функцию, п-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию fu^Y в векторную функцию, п-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию kn^fn^Y Тогда Ж— ограниченное отображение пространства Lq (1Р) в себя.

Вместо того чтобы дать прямое доказательство леммы 24, рассмотрим се как предельный случай сформулированной ниже леммы 24'. Вывод леммы 24 из леммы 24' тривиален, и потому мы его опустим.

24'. Лемма. Пусть р, q и кп — такие же, как в предыдущей лемме*, рассмотрим для каждого N преобразование Ж^в Lp(lq), переводящее вектор, п-я компонента которого имеет преобразованием Фурье функцию fn^Y в вектор, п-я компонента которого имеет преобразованием Фурье функцию kn^fK^Y если

n<.N, и функцию UAV если n>N. Тогда существует такая не зависящая от N конечная постоянная С', что норма оператора e^N как преобразования пространства Lq (1Р) в себя не превосходит С.

Доказательство леммы 24'. Вычитая из каждой функции кп подходящую постоянную сп, можно, не ограничивая общности, считать, что &п( —оо) = 0 для каждого п; здесь мы воспользовались равномерной ограниченностью функций кп и их полных вариаций, позволяющей утверждать, что постоянные сп ограничены в совокупности. Аналогичным образом, умножая каждую из функций кп на подходящую положительную постоянную с'и, можно, не ограничивая общности, считать, что полная вариация каждой из этих функций равна 1; здесь мы также пользуемся равномерной ограниченностью вариаций var (&п) для того, чтобы сделать заключение об ограниченности снизу постоянных с'и.

Пусть $6 (Еь ..., En) —оператор в LqKl^, переводящий векторную функцию Л п-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию /,, (?), в векторную функцию g, n-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию gn (£), определенную формулой

(50)(50)gn (Е) =gn (Е) =/п(Е),АДЕ), , о,/п(Е),АДЕ), , о,n>N, Kir, n<N l>lr, n<N.n>N, Kir, n<N l>lr, n<N.

(50)

(50)

gn (Е) =

gn (Е) =

/п(Е),

АДЕ), , о,

/п(Е),

АДЕ), , о,

n>N, Kir, n<N l>lr, n<N.

n>N, Kir, n<N l>lr, n<N.

Тогда ясно, что

(51)<^(Ei, ...AnK*^ ...AnW<^ ...,0)^(-gi, ...,-K где o^(|i, ..., |w) — изометрия в Lg(/P), а именно

(^, ..., ^): VU (х)} -> КЧЪ (х)};

в (52) мы для простоты обозначений считаем, что ^ = 0 при n>N. Поэтому из следствия 23 вытекает, что преобразование e%?(£i, . .., £n) ограничено по норме постоянной С\ нс зависящей от N и от .., ^.

Из формулы (50) и определения преобразования S^N легко следует, что

t^jv =* * * \ ^^ ^’ * * * ’ ^п) ^1 (S1) * * * ^п ^n^*

Поскольку var(£n) = l, преобразование Жк ограничено той же постоянной С'. Это доказывает лемму 24', из которой, как было отмечено, сразу следует лемма 24.

Теперь мы можем приступить к доказательству неравенства Пэли и Литлвуда.

Теорема. Пусть 1<р<2, и пусть f ^ — произвольная функция из Lp^ — co, оо), а ЬЛх) — функция, преобразование Фурье которой в области 2™ < | g | < 2714"1 совпадает с преобразованием Фурье функции f, а вне этой области равно нулю. Тогда существуют такие конечные постоянные С и С', что

ОООО00

С И 2 \fnW\»)P/2dx< \Цх)\рс1х< — ОО П=—ОО—ОО

— ОО п=—ОО

Доказательство. Пусть ф(£) —четная функция из С°°, тождественно равная 1 при 1 ^| ^ |^2 и тождественно равная 0 при 1 g|^ 1/2 или |||>3, выбранная таким образом, что ее интеграл и несколько первых моментов равны нулю. Пусть К (£) — вектор, п-я компонента которого равна ф(2и^); тогда К — векторная функция со значениями в гильбертовом пространстве /2 двусторонних последовательностей. Пусть

К^ = 4? ^e^K^d^.

Так как 17”К (6) = ^(2-п£), где U — оператор единичного сдвига в /2, то К (2nx) = Un2~nK(x). Если ip — преобразование Фурье функции <р, то ip(x) и несколько первых ее производных равны нулю при х = 0, тогда как |ip (х) | = 0 (|x|-lv) при |х|—>оо для любого конечного положительного N. Далее, п-я компонента вектора К (х) равна 2-nip(2-nx); поэтому

|K'W|2 = § |2V(2nx)|2.

Поскольку

^'(х)|<Л(_М_у, Л>0,

ряд (56) мажорируется рядом

4-00О

А-(2 1+;„|1+3 2”.22Чх|*),

и потому его сумма ограничена на каждом ограниченном интервале значений х. Определим преобразование ^ равенством

mMi*

или, что равносильно,

W) W = [ K(x-y)f(y)dy.

Тогда 30 переводит скалярные функции в функции со значениями в пространстве /2. Из теоремы Планшереля следует, что 30 является ограниченным отображением пространства L2 скалярных функций в пространство L2(/2) квадратично интегрируемых векторных функций со значениями в /2. Далее, из следствий 19 и 17 вытекает, что 30 является ограниченным отображением пространства скалярных функций Lp в пространство Lp(/2) векторных функций (при \<^р<2).

Пусть а# — преобразование в Lp(l2), переводящее векторную функцию, п-н компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию Й,Д^У в векторную функцию, преобразование Фурье и-й компоненты которой hn^) определяется формулой

(61)

(0 в противном случае.

Согласно следствию 24, линейное преобразование ЗИ ограничено. С другой стороны, из определения К (&) и соотношений (59) и (61) следует, что ЗИЗО переводит функцию / в векторную функцию, n-я компонента которой равна функции /п из (54). Поэтому левое неравенство в (54) доказано.

Правое неравенство доказывается аналогично. Пусть G — функция со значениями в гильбертовом пространстве последовательностей /2, преобразование Фурье n-й компоненты которой равно gn®- Положим

OTW- J Mx-yWyW

это равносильно тому, что

3G^=%Kn^i^Y

По теореме Планшереля X является ограниченным отображением пространства £2 (У в пространство скалярных функций £2. Таким

образом, согласно следствиям 19 и 17, X является ограниченным отображением пространства Lp(/2) в Lp. Из (63) и (61) следует, что Хо/И переводит функцию G в скалярную функцию /, преобразование Фурье которой удовлетворяет соотношениям (64)К^=^.2^< |^| <2^+1.

Отсюда следует справедливость правого неравенства в (54).

Следствие. Теорема 25 остается справедливой во всей области 1 -< р -< оо.

Доказательство. В ходе доказательства теоремы 25 мы видели, что при 1<р<2 отображение М, переводящее скалярную функцию с преобразованием Фурье /(g) в векторную функцию, n-я компонента которой имеет преобразованием Фурье функцию /n(g), определяемую формулой

(65)/„(£) =(65)/„(£) =/(g), если 2nC| g|<2П+1, О в противном случае,

(65)/„(£) =

(65)/„(£) =

является ограниченным отображением пространства Lp в Lp(l^. Сопряженным к этому отображению будет, очевидно, отображение Xq# из теоремы 25, рассматриваемое как отображение пространства Вд(/2) в Lqi где 1/р + 1/<7=1. Поэтому отображение Хо^ ограничено и при 2<9<оо. Используя аналогичные «двойственные» соображения, можно показать, что отображение. Мо% ограничено в расширенной области, ч. т. д.

Следствие. Теорема 25 остается справедливой во всей области 1 < р < со для функций f со значениями в произвольном гильбертовом пространстве.

Доказательство. Заметим, что доказательство теоремы 20 с тривиальными изменениями проходит для функций со значениями в произвольном гильбертовом пространстве (и даже в произвольном ^-пространстве); в частности, лемма 21 почти без изменений в доказательстве обобщается на любую пару В-про- странств X, У*, для которых

sup l//*W| = |x|; х£Х;

поэтому следствие 22 справедливо для функций /(х, s) со значениями в гильбертовом пространстве, а следствие 23 почти без изменений в доказательстве переносится на пространство функций / со значениями в любом пространстве типа Lp(tg), где^ — произвольное гильбертово пространство. Далее, можно заметить, что лемма 24 без изменения доказательства обобщается на про-

странство Lp(lq(^ функций, значения которых принадлежат пространству последовательностей lq^Y состоящему из всевозможных последовательностей векторов из ^, для которых сходится ряд из q-x степеней норм. Эти замечания позволяют легко получить обобщение теоремы 25 на функции / со значениями в гильбертовом пространстве ^. Обобщенную теорему 25 можно распространить с области 1<р<2 на всю область 1<р<оо при помощи сформулированного выше обобщения леммы 21, ч. т. д.

Теперь мы готовы к доказательству теоремы Марцинкевича и даже некоторого ее обобщения.

Теорема. Пусть \«<р<_со. Пусть Lp^ обозначает Lp-пространство функций со значениями в гильбертовом пространстве ^. Пусть Т (^ для всякого вещественного £ является ограниченным оператором в ^; предположим, что функция Т (£) ограничена и что вариации

var <г\^

2П- 6*'

U

var ^Т^

2П Ч - - 2П ।

ограничены в совокупности, когда п пробегает все положительные и отрицательные целые числа. Пусть функция f принадлежит Lp^), и пусть f^) —ее преобразование Фурье по переменному х. Пусть отображение 9CV определено формулой

WH^-T^Vf^Y KLP^Y

Тогда ^ — ограниченное отображение пространства Lp^ в себя.

Доказательство. Пусть ,§+ обозначает гильбертово пространство всех (двусторонних) квадратично суммируемых последовательностей векторов из £. Пусть Т+(£)— отображение, которое переводит вектор ^Хп} из §+ в вектор, п-я компонента которого равна Т(^хп, если 2П<|£|<2П+1, и равна 0 в противном случае. Как было отмечено в ходе доказательства следствия 27, следствие 24 обобщается на функции со значениями в пространстве/2(®)=$+- Таким образом, мы можем заключить, что отображение Ж\ в пространстве LP^Y определенное формулой

№) а)=т^ a) f^y f с Lp

ограничено. Пусть ^ и ^ — отображения пространства Lp^) в Lp^^Y и пространства Lp^^Y в Lp(£) соответственно,

определенные формулами

(71)И(72)(71)И(72)ОТ)(п)(£) = {ОТ)(п)(£) = {Uk^YОUk^YОесли 2"<|^|<2П+1,если 2"<|^|<2П+1,в противном случаев противном случае^F)^) = Fn^ 2"<\^\<2Л^.^F)^) = Fn^ 2"<\^\<2Л^.

(71)

И

(72)

(71)

И

(72)

ОТ)(п)(£) = {

ОТ)(п)(£) = {

Uk^Y

О

Uk^Y

О

если 2"<|^|<2П+1,

если 2"<|^|<2П+1,

в противном случае

в противном случае

^F)^) = Fn^ 2"<\^\<2Л^.

^F)^) = Fn^ 2"<\^\<2Л^.

Тогда по следствию 27 преобразования ^+ и $ ограничены. С другой стороны, из (69), (70), (71) и (72) следует, что 5§ЖХА* = ^1- Поэтому преобразование 9£v ограничено, ч. т. д.

Следствие. В теореме 28 предположение об ограниченности в совокупности вариаций (67) и (68) можно заменить условием

(73) IT'^K-^.

Это следствие дает обобщение на векторные функции одной полезной теоремы Михлина.

Террема 25 была доказана в несколько более общей форме Пэли и Литлвудом [1]. Они доказали дискретный аналог теоремы, которую в непрерывном случае можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Пусть р>а>0—положительные постоянные. Пусть {Хт} — такая возрастающая последовательность неотрицательных вещественных чисел, что Хо =0 и

(1 + а) Xn<^ Xn+i^ (1 + Р) Хп.

Пусть % есть о-алгебра подмножеств вещественной оси, порожденная множествами вида [ ± Хт, ± Хп]. Для каждой функции f^L^-co, °°)> и каждого e^S положим Е (e)f = F'1 ^J7 (/)), где Хе — характеристическая функция множества е, a F : L2—> L2— преобразование Фурье. Тогда если 1<р<со, то существует такая постоянная К.=К(р, а, Р), что

|£(е)/|р<7<(А а, p)|f|p, е^®, f^UV\Lp.

Марцинкевич [1] улучшил этот результат в различных направлениях, прийдя к некоторому обобщенному дискретному аналогу теоремы 30. В непрерывном случае его результат можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Пусть а, $, р и {Хп} — такие же, как в предыдущей теореме, и пусть М<со. Пусть ф — такая функция, определенная на вещественной оси и непрерывно дифференци-

руемая при х /- ± Хь что

Xf I i-xt

^* | ф' (x)|dx + ^ | ф' (х) | dx<M, i>0,

kl"Xi+1

|ф(х)|<Л4,—co <x< co.

Пусть Hvf = F~1((pF(f)) для f^L2. Тогда существует такая постоянная К (М, р, а, 0), что

\Н4\Р<.К(М, р, а, 0)|/|р, KURLp.

Марцинкевич приводит также /n-мерный вариант своей теоремы.

В двумерном случае условия (I) и (II) заменяются условиями

5$ } I ^^х, x2)|dxldx2CM, 0<i, /;

-хШ~хЛи’

Xi+1 "Xi

ип (S + S Itl^v^м,+|тт(^^|+

Xi “^i+l

|-^Ф(х> — ^| + |^V(—bp ^)|} dx<.M, 0<i, p,

(ПГ)|ф(^1, х2)|<Л1,— со<хь x2<co.

Отсюда ясно, как формулируется /n-мерный вариант теоремы Марцинкевича, хотя ввиду сложности записи т+1 условия, заменяющего в этом случае условия (Г), (1Г) и (ПГ), мы воздерживаемся от приведения его в явном виде.

Из теоремы Марцинкевича легко следует, что если у вещественно и если ф (/) = 1t pv при t £ Em, то существует такая конечная постоянная Крппн зависящая лишь от р и т, что

\р-^Рф\р<.Кр,т\Г\р, f^L2V\Lp.

Торин [1] при помощи этого факта получил следующее /п-мерное обобщение результата, принадлежащего в одномерном случае Харди и Литл вуду [1].

Теорема. Пусть f£Lp(Em) и р<г. Тогда интеграл

UH Wdy

существует для почти всех х из Ет и определяет ограниченное отображение пространства Lp(Em) в пространство Lr(Em).

Торин доказал эту теорему при помощи соображений выпуклости, аналогичных примененным нм для доказательства теоремы Рисса о выпуклости. Таким образом ему удалось упростить (даже в случае т^Л) первоначальное доказательство Харди и Литл- вуда, которое было основано па их методе «перестановки в убывающем порядке». Этот общий метод изложен у Харди, Литлвуда и Пойа [I; гл. Н)|.

Следует заметить, что ввиду положительности ядра, фигурирующего в предыдущей теореме Харди —Литлвуда —Торина, эта теорема может быть немедленно перенесена на сингулярные интегралы вида

где К — произвольная измеримая ограниченная функция.

Марцинкевич [ 1 ] показывает также, как можно ослабить условие (1+а)Хп^Хп+1<^(1+Р)ХП в фундаментальной теореме Литлвуда и Пэли.

Хиршман [1] рассматривает ряд интересных неравенств, связанных с неравенством Марцинкевича и с родственными неравенствами Литлвуда — Пэли и Бабенко. В его работе можно ознакомиться с подробным описанием этих неравенств и с библиографией.

Говорят, что функция /, определенная на подмножестве А пространства Ет, удовлетворяет условию Гёльдера с показателем е и постоянной К, если

l/W — f^\<.K\x—у\8, X, у^А.

Множество ограниченных функций, удовлетворяющих такому . условию для фиксированного е и какого-нибудь К, образует В-пространство относительно нормы

1/1= sup '-^^A^ + supl/MI.х, уЕАI х— у |8Х^А

Это пространство широко изучалось в связи с теорией сингулярных интегралов. Можно показать, что при соответствующих

предположениях сингулярные интегралы типа Гильберта — Кальдерона-Зигмунда переводят функции, удовлетворяющие условию Гёльдера с показателем 0<е< 1, в функции того же класса. Можно показать также, что при соответствующих предположениях сингулярные интегралы типа Харди — Литлвуда — Пэли переводят функции, удовлетворяющие условию Гёльдера с некоторым показа гелем 0 < е < 1, в функции, удовлетворяющие условии? Гёльдера с большим показателем. Такие теоремы полезны, в частности, в теории дифференциальных уравнений с частными производными. По поводу различных теорем такого типа см. Зигмунд [1], Фридрихе [1] и [11; стр. 101 —121, особенно теорема 9.7 на стр. 116], Харди и Литлвуд [1].

Многие из доказанных нами неравенств имеют «дискретные» аналоги в виде неравенств для некоторых сумм, сингулярных интегралов для периодических функций и т. д. Их можно найти в некоторых из цитированных работ. В частности, см. Зигмунд. [1, гл. 7 и 9].

ГЛАВА XII

Неограниченные операторыв гильбертовом пространстве

Внедение

В предыдущей глине мы видели, как можно применить спектральную теорию, развитую в гл. 9 и 10, к различным задачам математического анализа. Однако до сих пор мы еще не применяли эту теорию к важному классу задач, известных как граничные задачи. Это объясняется тем, что операторы, возникающие в граничных задачах, являются дифференциальными и * потому они определены не на всем гильбертовом пространстве. В настоящей главе закладываются основы расширения спектральной теории, изложенной в гл. 10, расширения, достаточно общего, чтобы охватить многообразные применения этой теории к самосопряженным граничным задачам. Сами граничные задачи будут рассмотрены в следующих главах, а сейчас будут даны только основы абстрактной техники.

Новые трудности возникают не только потому, что дифференциальные операторы определены не всюду, но и потому, что они не являются непрерывными на своей области определения, т. е. эти операторы неограниченные. Так как многие из понятий, используемых в гл. 10, a priori не имеют смысла для неограниченных операторов, то мы дадим более общие определения. Термин оператор будет использоваться для линейного отображения линейных пространств. Символы © (Т) и 9i (Т) используются для обозначения области определения и области значений оператора Т соответственно. Два оператора Т и U называются равными (обозначается Т =- U) тогда и только тогда, когда Ф (Т) =

©(£/) и Tx — Ux для всех х из © (Г); Т называется расширением U (обозначается Т OU) тогда и только тогда, когда ©(Т)5 }©([/) и Tx = Ux для всех х из ^(Uy Иногда вместо T^U используется обозначение U^T. Если не оговорено противное, io будет предполагаться, что область определения и область значений каждого из рассматриваемых операторов — это подмножества некоторого гильбертова пространства, которое будет обозначаться буквой ^. Как обычно, оператор называется огра-

ничейным, если верхняя грань sup|Tx|, взятая по всем х из ®(Т) с нормой |х| = 1, конечна; в противном случае Т называется неограниченным. Таким образом, оператор неограничен тогда и только тогда, когда он разрывен в одной точке (и, следовательно, в каждой точке) своей области определения. График Г (7) оператора Т есть подмножество в^@^, состоящее из всех точек вида [х, 7х], где х£®(7). Оператор Т называется замкнутым, если его график замкнут в §@§. Прямая сумма гильбертовых пространств всегда понимается в смысле § IV.4, стр. 278, так что § © ® есть гильбертово пространство со скалярным произведением.

(1^1, Х2], 1У1, у2]) = (^1, У1) + (хг, Уг).

Это скалярное произведение можно использовать для определения нового скалярного произведения на Ф (7) с помощью формулы

(х, //)i (|х, Тх\, \у, ТуХу-^х, У) I <Тх' ТУ^ Х1 У^(Т).

Пространство Ф (7’) со скалярным произведением (х, у\ не обязательно гильбертово, так как оно может оказаться не полным относительно нормы (х, х)1/1, но если Т — замкнутый оператор, то линейное пространство Ф (7’) со скалярным произведением (х, y)t полно и, следовательно, является гильбертовым пространством. Более того, замкнутый оператор Т, рассматриваемый как оператор, действующий из гильбертова пространства ®(7) со скалярным произведением (х, уУ в пространство ^ со скалярным произведением (х, у), непрерывен.

Используя элементарные алгебраические операции сложения и умножения для операторов, определенных не всюду, нужно быть осторожным; так мы приходим к следующему формальному определению.

Определение. Пусть Т и U — линейные операторы и а — комплексное число. Тогда операторы T-\-U, TU, аТ и 7"1 определяются следующим образом:

Ф(74-^) = Ф(7) f| Ф (I/),(Т-VU) x = Tx-\-Ux;

Ф(ТО) = {х|хбФ(1/), Ux^O» (TU)x = T(Ux);

если а = 0, то а7 = 0; в противном случае ф (а7) = ф (7) и (а7)х = а(7х);

если оператор Т взаимно однозначен, то Ф (Т*-1) = 31 (7) и Т-1у = х, где у = Тх.

Обычные законы ассоциативности (А 4* В) 4- С = А 4- (В 4- С) .и (ЛВ)С = Л(ВС) выполнены, так что суммы и произведения

нескольких операторов могут записываться без использования скобок. Что касается законов дистрибутивности, то один из них имеет обычную форму (Л + В)С = ЛС-|-ВС; однако, поскольку может случиться, что вектор (В + С)х принадлежит области определения оператора Л, в то время как Вх или Сх ей не принадлежат, во втором случае вместо равенства мы имеем лишь включение Л (В + С)5^ + АС.

Точно так же, как в случае ограниченного оператора, резольвентное множество q (7) оператора Т определяется как множество всех комплексных чисел X, таких, что (XI —Ту1 существует как всюду определенный ограниченный оператор. Если X^q(T), то символ R(X; Т) будет использоваться для обозначения резольвенты (XI —Ту1. Спектр о (Т) оператора Т — это дополнение резольвентного множества q(T). Точечный спектр ор(Т\ непрерывный спектр ос(Т) и остаточный спектр ог(Т) определяются точно так же, как это было сделано в определении Х.3.1 для ограниченных операторов. Одно из свойств, которым неограниченные операторы отличаются от ограниченных, состоит в том, что спектром неограниченного оператора может быть вся плоскость.

Лемма. Оператор, обратный к замкнутому, замкнут. Ограниченный оператор замкнут тогда и только тогда, когда замкнута его область определения.

Доказательство. Если ЛА — изометрический автоморфизм в &©§, переводящий [х, у] в [у, х], то Г (7’1) = Л^ (Т); это показывает, что Т замкнут тогда и только тогда, когда замкнут Т"1. Если В —ограниченный замкнутый оператор и {хп}— последовательность Коши в ©(B), то {[хл, Вхп]) — последовательность Коши в замкнутом множестве Г (В) и, следовательно, она имеет предел [х, Вх] в Г (В). Таким образом, последовательность (хп) сходится к точке х в Ф (В), что доказывает замкнутость ©(B). Обратно, если область определения ограниченного оператора В замкнута и если {[хп, Вхп]} —последовательность Коши в Г (В), то предел х = Игл хк существует в © (В), и, так как В непрерывен, [хп, Вхп] —> —>[х, Вх], что доказывает замкнутость множества Г (В), ч. т. д.

Лемма. Пусть Т—замкнутый оператор. Тогда множества q(T), ор(Т), ос(Т) и ог(Т) не пересекаются, и их объединение есть вся плоскость. Резольвентное множество q (7) открыто, а резольвента R (X; Т) есть аналитическая функция от X, удовлетворяющая резольвентному уравнению

R(Xe, 7)-Я(р;7) = (р-Х)7?(Х;7)2?^ Х,^^(Ту

Доказательство. Из определений ясно, что Q(Ty оР(Ту ос(7) и ог (7) — непересекающиеся множества и что если точка X 23 Заказ № 134

не лежит ни в одном из этих множеств, то обратный (V —Т)"1 должен существовать как всюду определенный и неограниченный оператор. Таким образом, для доказательства первого заключения достаточно показать, что если (М — Ту1 существует и имеет областью определения все ^, то % лежит в q (Т). Из леммы 2 вытекает, что (XI — Ту1 замкнут, но тогда из теоремы о замкнутом графике (11.2.4) следует, что оператор (XI — Ту1 ограничен, поскольку он определен всюду. Анализируя доказательство леммы VII.3.2, в которой утверждается, что множество q(T) открыто, а функция R (X; Т) аналитическая в случае ограниченных операторов, мы замечаем, что те же утверждения верны и для неограниченных операторов. Наконец, резольвентное уравнение получается вычитанием первого из двух следующих уравнений из второго:

(XI-T)R(X; T)R(pi; T) = R(^ Г),

(р/ - Т) R (X; Т) R (р; Т) - R (X; Т).

Сопряженный Т* к ограниченному оператору Т в гильбертовом пространстве был определен тождеством (Тх, уУ^Лх, Т*уУ В дальнейшем нам потребуется понятие сопряженного (в смысле гильбертова пространства) к оператору, который не обязательно ограничен; это понятие определяется следующим образом.

Определение. Если область определения ф (Т) оператора Т плотна в §, то область определения Ф (Т*) состоит из всех векторов у^^, для которых (Тх, у) как функция от х непрерывна в %угу Так как ф (Т) плотно в §, то существует (IV.4.5) однозначно определенная точка у* в ^, такая, что (Тх, у) = (х, у*) для всех х^угу Сопряженный в смысле гильбертова пространства или просто сопряженный Т* определяется на Ф (Г*) равенством Т*у = у*. Другими словами,

(Тх, у) - (х, Т*уУ х^(ТУ у^ (Т*у

В этом определении требуется, чтобы область определения ф (Т) была плотна в §, тогда точка у*, соответствующая точке у из Ф (Т*у будет однозначно определена. Поэтому, говоря о сопряженном к оператору Т, мы всегда предполагаем, что множество Ф (Т) всюду плотно. Точно так же если речь идет об обратном Т'1, то молчаливо предполагается, что оператор Т взаимно однозначен.

Напомним, что ортогональное дополнение множества 91 в § определяется как множество {х|х£§, (х, 91) = 0}. Это ортогональное дополнение обозначается через §©91 или через 91х.,Очевидно, множество 9Г-1- является замкнутым линейным многообра-

зием, а если 31 само является замкнутым линейным многообразием, то 31 и ЗТ1- —взаимно дополнительные многообразия, т. е.

<§ = 91©^ (IV.4.4).

Лемма. Пусть изометрические автоморфизмы Л1 и Л2 в ®фф определены равенствами

Ailx, у] = 1у, х], Л2[х, у] —[у, — х].

Тогда

г (Г1) = лд (Т), г (т*) = (Л2г (Г))1,Л1Л2=-Л2Л1, Л* = /, А^-1.

Доказательство. Заметим, что [у, #*] £Г (71*) тогда и только тогда, когда

0 = (Тх, у) —(х, у*) = ([Тх, —х], [у, у*]), х6®(Т).

Следовательно, Г (Г*) = (Л2Г (ГУ)3-. Доказательство остальных утверждений представляется читателю.

Лемма. Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве. Тогда

если ® (Т) всюду плотно, то Т* —замкнутый линейный оператор;

если существует Т"1 с всюду плотной областью определения, то существует (Г*)-1 и (Т*)"1 = (Т"1)*;

если В —всюду определенный ограниченный оператор, то

(Т + В)* = Т* + В*, (ВТ)* = Т*В*;

91(7)± = {у|у€®(7*), Т*у = 0у

Доказательство. Так как ортогональное дополнение замкнуто, то утверждение (а) вытекает из леммы 5.

Для доказательства (Ь) заметим сначала, что из Т*у = 0 вытекает равенство (Тх, у) = 0 для всех х^® (Г). Так как многообразие 91 (Т) = ф (Т"1) всюду плотно, то это означает, что у = 0, и, следовательно, оператор (71*)"1 существует. Тогда по лемме 5

Г((7*)-1) = Л1Г(7*) = Л1(Л2Г(7))± =

= (Л4Л2Г (ГУ)3- = (- Л2ЛД (ГУ)3- =

= (Л2ЛД (Т))1 = (Л2Г (Т-^3- = Г ((Г© *),

и потому (71*)"1 —(Т-1) *.

Докажем теперь (с). Так как В всюду определен, мы имеем Ф (Т-уВ) = ® (Т). Поскольку В непрерывен и ((Т-^В) х, у) =

23*

= (Тх, у)-\ (Вх, у), ясно, что W^-MT + B)*). Таким образом, для хе®(Т) = Ф(Т-ЬВ) и у^^^^^Т + В)*) мы имеем

(х, (Т -| S')* у) = ((7 + В) х, у) = ^Тх, у) + (Вх, у) =

= (х, Т*у) + (X, В*у) = (X, (7* + В») у);

тем самым равенство (7^ +В)* — T*-VB* доказано.

Чтобы доказать соотношение (ВТ)* = Т*В*. предположим, что х^(Т) и у^^((ВТ)*). Тогда (л;, (ВТ) * у) - (ВТх, у) = (Тх, В*у); это показывает, что В*у^^(Т*) и, следовательно, у^5)(7*В*). Из этого равенства также следует, что для у^^^ВТ)*) имеет место равенство Т*В*у = (ВТ)*у. откуда Т*В*"^(ВТ)*. Аналогично если % С® (Г) и уС®(Т*В*), то (х. Т*В*у)г=(Тх. В*у) = = (ВТх,у); это показывает, что у(^((ВТ)*) и (ВТ)* у = Т*В* у. Тем самым доказано соотношение (ВТ)*5?*В*, и доказательство пункта (с) закончено.

Наконец, заметим, что утверждение (<1) вытекает непосредственно из тождества

(Тх.у) (х/Ру). x(W), yWP)' и это завершает доказательство леммы.

Большинство рассмотрений этой и следующих глав будет посвящено операторам, которые являются либо симметрическими, либо самосопряженными в соответствии со следующим определением.

Определение. Оператор Т называется симметрическим. если (Тх. у) = (х. Ту) для всех пар х. у точек из %(Т). и самосопряженным. если Т^Т*.

Оператор Т может быть симметрическим, даже если его область определения не является всюду плотной, но если область определения ® (Т) всюду плотна, так что Т* определен, то понятие симметричности эквивалентно включению Т*^Т. Конечно, если Г —ограниченный всюду определенный оператор, то утверждения TDT и Т* Т эквивалентны. Таким образом, ограниченный оператор симметричен тогда и только тогда, когда он самосопряжен. Если Т —всюду определенный симметрический оператор, то Т*^Т и, следовательно, Т* = Т. По лемме 6(a) Т замкнут и по теореме о замкнутом графике (II.2.4) ограничен. Таким образом, всюду определенный симметрический оператор ограничен и самосопряжен.

Хотя понятия симметричности и самосопряженности для ограниченных операторов совпадают, неограниченный симметрический оператор не обязан быть самосопряженным. В качестве примера

рассмотрим оператор idldt с областью определения ® (idldt) в L2(0, 1), состоящей из всех функций /, имеющих непрерывную производную, и таких, что / (0) = /(1) = 0. Так как

1

Ш\ ^)= $ if V)gfi) dt = О 1

= $ f (О "W) dt + if (1) ^Д) - if (0)^0) = о

Лге®(<4).

то ясно, что Idldt на плотной области определения 2) (idldt) симметричен. Однако этот оператор не является самосопряженным, так как из приведенных выше равенств видно, что любая функция g с непрерывной первой производной обладает тем свойством, что

и тем самым любая такая функция g, даже если она не обращается в нуль в одной из граничных точек отрезка [0,1], лежит в области определения оператора, сопряженного к idldt.

Задача нахождения самосопряженных расширений данного симметрического оператора, намеченная в предыдущем примере, будет систематически изучена в § 4.

Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов

В этом параграфе спектральная теория, развитая в § Х.2 для ограниченных самосопряженных операторов, будет распространена на случай неограниченных самосопряженных операторов. В частности, будет показано, что каждый самосопряженный оператор имеет единственное самосопряженное регулярное счетно аддитивное разложение единицы, в терминах которого может быть построено операционное исчисление. Для этого мы прежде всего докажем, что резольвента R(a; T) = (al — Т)~1 самосопряженного оператора Т определена для всех невещественных а и сама является нормальным оператором, к которому может быть применена теория § Х.2.

Лемма. Пусть Т — симметрический оператор и а —невежественное число. Тогда оператор (al —Ту1 существует и

ИИI (az—Т) * [| Im а |I (az—Т) * [| Im а |xGW)-xGW)-

И

И

I (az—Т) * [| Im а |

I (az—Т) * [| Im а |

xGW)-

xGW)-

Доказательство. Если Ima и Rea —мнимая и вещественная части числа а и x^tj^^al — Т), то

| (а/ - 7') х |2 ((а/-7) х^а!— Т)х) =

(Im а • х,1m а • х) + ((Re а • I—7) х, (Re а • I — 7) х) > > (Im а • х, Im а • х) = | Im а |21 х |2,

откуда непосредственно вытекает нужное нам заключение.

Лемма. Спектр самосопряженного оператора 7 веществен, а его резольвента —нормальный оператор, причем R(a; 7)* = -R^T^u‘

| R (а; 7) | С | Im a I”1, Im а 0.

Доказательство. Пусть а —невещественное число. Предыдущая лемма показывает, что (a/—-7)"1 существует как ограниченный оператор. Для доказательства того, что а лежит в q(T), достаточно, следовательно, доказать, что его область определения замкнута, а ортогональное к ней дополнение состоит из нуля. Так как Т Т*, то из леммы 1.6(a) вытекает, что 7 замкнут и тем самым оператор а/ Т замкнут. Из леммы 1.2 следует, что оператор (а/ -Т) ' замкнут и, так как он ограничен, его область определения должна быть замкнутой (лемма 1.2). По лемме 1.6(d),

(© ((а/ - Т)"1))1=(9? (а/-Л)1 = <у I («' -ТУу= 0}.

Далее, (а/ — 7)* = al — Т, и так как Ima^O, то мы видим (лемма 1), что оператор al — T взаимно однозначен. Таким образом, {у | (а/ — 7)*у = 0} = {0). Таким образом, доказано, что а£е(7), а следовательно, и то, что спектр веществен. Так как (а/ —7)*^ а/ —7, то из леммы 1.6(b) вытекает, что R (а; 7) = ~R(a; Т)*. Тем самым показано, что оператор R (а; 7) нормальный. Заключительное неравенство является следствием предыдущей леммы.

Теорема. Пусть Т — самосопряженный оператор. Тогда его спектр веществен и существует однозначно определенная регулярная счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера Е, определенная на борелевских множествах плоскости, обращающаяся в нуль на дополнении спектра и связанная с оператором Т соотношениями

^Т^-Гх! х^^, J X2 (£ (dk) х, х) < оо |

«(Т)'

и

Тх = lim (ХЕ^х, %6®(Т).

П->ОО — п

Доказательство. Вещественность спектра была установлена в лемме 2. Рассмотрим гомеоморфизм р = А(Х) компактной комплексной сферы, задаваемый уравнением p = (z —X)"1. Покажем сначала, что h отображает a(T)U{°°} на о(7?(z; Г)). Пусть X^z —точка из $(Т) и A — (i — X)2 Z? (X; T) + (z — X)/. Из резольвентного уравнения (лемма 1.3) вытекает, что (р/— R(i; Т))А = Ц и, таким образом, р лежит в ^Н^цТУ). Если Х = /, то р = оо, и, следовательно, в этом случае р не принадлежит спектру ограниченного оператора R (i; Т). Обратно, пусть O=^p£e(/?(z; ТУ; положим Л = (р/ — R(i; Т))"1 и B^piR^i; Т)А. Тогда В взаимно однозначен, и его область значений есть ® (Т). Поэтому равенства

(X/-T)B = [(X-z)/ + G7-T)]B =

-l-R(i; т^ПА = 1

показывают, что X лежит в q(T). С другой стороны, не может быть, чтобы р = 0 ^ q (jR (z; Т)), так как отсюда вытекало бы, что R(i; T)-1 = t7—Т есть ограниченный всюду определенный оператор; этот случай мы из рассмотрения исключаем, так как теорема для ограниченных операторов уже установлена в гл. X. Итак, показано, что гомеоморфизм h отображает q (Т) на q (В (z; 71)) J {со} и тем самым отображает <т (7") U {°0} на сг(^(Л’ Ту.

Для всякого борелевского множества 6 комплексной плоскости положим Е (6) = Е^ (А (6)), где Ev — разложение единицы для нормального оператора R^i; Т\ Заметим, что В1({0}) = 0, так как если 0^x=^Ei({0})x, то /?(/; Т)х = ХЕД^х^О, что <о}

противоречит существованию обратного у оператора R(i; Т). Это показывает, что если 6 —конечная комплексная плоскость, то Е(8) = 1 и, таким образом, В —спектральная мера. Спектральная мера Е самосопряжена, счетно аддитивна и регулярна, так как этими свойствами обладает Е^ (следствие Х.2.4). Более того, ясно, что Е(о(ТУ) = 1 и, таким образом, Е(6) = 0 для 6^q(T). Так как спектр Т веществен, то интеграл по вещественной оси относительно меры Е совпадает с интегралом, взятым по спектру о^Ту

Положим теперь

®о={-^| X2 (Е (dX) х, х) < оо | .

а(Г)

Ясно, что Е (6) $ ^ Фо для ограниченных борелевских множеств 6. Для ограниченного множества 6 мы имеем также | %E(dX)x| = — ^ КЦЕ (dX)x, %) и, таким образом,

п

Ф0={х|Нт \ XE^dX^x существует]-.

С П->СО V/

— П

Далее будет показано, что Ф(Т)еФ0. Если х принадлежит Ф(Т), то, так как ф(Т) = R(i; Т)^, х имеет вид x = R(i; Т)у и

J ХЕ^Х)х= J XE(dX)R(i; Т)у.—п—п

Заменяя меру, приходим к соотношению

R di Г) // - J Н/а W у - J -,

где оба интеграла берутся но всей плоскости; тем самым

пП<х>

^Xl^dXV - J -Д E^dX^y—* J -^Е^д.

Это показывает, что х лежит в Фо и, следовательно, Ф (Т) г Фо В силу соотношения (II) и теоремы Х.1.1 мы имеем

R^r, Т) J (i-X)E(dX) = E(l—n, nJ).

—n

Отсюда следует, что £([ — п, п^) ^ г ^ ^Т). Далее,

ТЕк\-п, n]) = [H-(iI — T)]R(i; Т) j (i-X)£(dX) =

- J XE (dX),

и из (I) вытекает, что для х^Ф0 последовательность {ДЕД — п, п])х} сходится. Так как Т замкнут и £([ — п, п})х—>х, п

то х принадлежит Ф(Т) и Tx = lifn \ XE^dX^x. Этим доказано П —п

что Фо^Ф(Т) и, таким образом, ФО = Ф(Т).

Для проверки единственности меры Е предположим, что F — другая спектральная мера с теми же свойствами, что и Е. Из (а) вытекает, что F([ — т, т^х лежит в ©(Т), и в силу (Ь)

(il — T)F(1 — ^ т^х= lim(/ —Z)F(dZ)F([—/тг,/п])х =

П->оо J—п

п

= lim \ (i — X)/7(dXf] [— т, т^х =п->оо V— П

-F (dk'yx.

Так как по теореме Х.1.1 мы имеем тт

F(l-m, /п])=[ ^ (i-X)F(dk^ [ $ ^],—т—т

ТО тт

F^-m^A^kil-T^kV-m^m^ J ^- = (i/-T) J ^,—т—т

так что т

R(i; T)F([-m,m])~ J ^г.

—т

Полагая т—»со, мы видим, что

^(<; т) = 5 У^Г'

Таким образом, заменяя меру, получаем

R(i; Т)= J XF(.h74dX)\

Следствие Х.2.7 [показывает, что F (hr1 (6)) = Ех (6) для любого борелевского множества д. Таким образом, F (д) = Et (h (6)) = Е (6), и мера Е единственна, ч. т. д.

Определение. Единственная спектральная мера, связанная с самосопряженным оператором Т так, как описано в предыдущей теореме, называется разложением единицы для оператора Т.

Очевидно, что для ограниченных самосопряженных операторов это понятие совпадает с тем, которое было дано в определении Х.2.5. *

Для всякой ограниченной борелевской функции /, определенной на вещественной оси или на спектре самосопряженного оператора Т, мы можем определить ограниченный нормальный оператор /(7) равенством

/(п= $ тв^уа(Т)

где Е — разложение единицы для оператора Т. По теореме Х.1.1 отображение /—>/(7) есть *-гомоморфизм алгебры ограниченных борелевских функций в алгебру нормальных операторов в гильбертовом пространстве, и, таким образом, приведенная выше формула определяет операционное исчисление. Теорема 3 наводит на мысль, как это операционное исчисление можно распространить до исчисления неограниченных операторов ЦТ^ соответствующих неограниченным функциям / на о(7). Формальное определение состоит в следующем.

()прг,д|:л1:11111:. Пусть Е разложение единицы для самосопряженного оператора 7*, / -комплексная борелевская функция, определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда оператор / (Т) определяется соотношениями

® (/ (^)) = Vх 11™ fn (^)х существует},

где

Ш=/(Х), l/WK^; /п(М-о, |/(М|>^

и

/(7)x = lim/n(7)x, x£W(7)).

В силу теоремы 3 ясно, что если /(X) =5 X, то f(T)^T, но совсем не очевидно, что если /—многочлен и0 ТиД-f- ... + «ПХП, то /(7) есть многочлен а0/ | atT \ ...-[ апТп в определении 1.1 или в определении VII.9.6. Именно это будет показано ниже в следствии 8, так что смысл символа /(7) для многочлена / определен совершенно однозначно.

Теорема. Пусть Е —разложение единицы для самосопряженного оператора Т и f — комплексная борелевская функция, определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда f (Т) — замкнутый оператор со всюду плотной областью опреде-

ления. Более того,

©(/(Т)) = {х| [\Г^\ЦЕ^х, х)<оо};

U^T)x,y)=/(X)(£(dX)x, у), х^ЦТ», у^^;

|/(Т)х|2 = [ Ш№, х), х€®(/(П);

/(Т)*=/(Л;

R(a; Т) = J ^, а£е(Л.

Доказательство. Удобно воспользоваться обозначением fn(T), введенным в определении 5, и положить еп = {Х| |/(Х)|<п}. Тогда для хС®^?)) в силу следствия Х.2.9 (IV) имеем

|/(7')x|2 = lim|/n(T)x|2 = lim ( | / (X) |2 (£ (dX) х, х) = ПП "

еп

= J |/(X)|2(£(dX)x, х).

Этим доказано (с), а также то, что область определения ^WT)) содержится в многообразии |х | ^ | / (X) |2 (£ (dX) х, х) < оо} . С другой стороны, если х лежит в этом многообразии и m>n, то

MV"№\2- J |/(X)|2(£(dX)x, х)->0,етп—е-п,

и (а) тем самым установлено.

Ясно, что для каждого п=1, 2, ... мы имеем Е(еп)^ s s©(/(?)), и так как £(еп)х—»х для всех х из ^, то область определения © (/ (Т)) плотна в jg. Для проверки замкнутости /(Т) положим {xn} s Ф (/(Т)), хп—>х0 и / (Т) хп -^ у0. Тогда для всякого натурального числа m

fm (Л х0 = Нт /т (Т) х„ = lim Е (ет) / (Т) хп = Е (ет) у0.

П-*ООП->оо

Таким образом,

Уо = lim Е (ет) у0 = Пт /т (Т) х0 = / (Т) х0. тт

Отсюда вытекает, что х0 € ® (/ (D) и что / (£) замкнут.

Докажем теперь (Ь). Пусть х £©(/(£)), у^^, р(е) —полная вариация функции множества (Е (•) х, у') на множестве е. В силу комплексной формы теоремы Радона — Никодима (III. 10.7) существует такая борелевская измеримая функция ф, что р (е) = = ^ ф (X) (£ (dX) х, z/) для всех борелевских множеств е. Из теоремы III.2.20 вытекает, что | ф (X) | — 1 для почти всех по р-мере X, и мы, таким образом, можем и будем далее считать, что | ф (X) | = 1 для всех X. Положим Л (X) = |/(Х) |ф(X), так что в силу (а) мы имеем ©(/!(£)) = ©(/(£)). Из следствий III.10.6. и III.6.17 вытекает, что для любых х ^ © (/t (£)) и у g ^ выполнены соотношения

(Л(Лх, z/) = lim f | /„ (X) | ф (X) (Е (dX) х, у) =

П—>оо v— ОО= Шп J |/„(X)|p(dX) = f |/(X)|p(dX).

Этим доказано существование интеграла в (Ь), откуда вытекает, что

(/(Т)х, z/) = lim f fn (X) (£ (dX) x, y) =

П J — oo

= lim ^ /(X)(£(dX)x, y)= ^ / (X) (£ (dX) x, z/), n V"

en,—oo

чем завершается доказательство (b).-

Для доказательства (d) возьмем векторы х,у С ® (/ (Т*)) = = ®(/(Л)- Тогда

Cf^x, у)= [ /(X)(£(dX)x, z/)= [ /(X)(£(dX)z/, x) = (x,/(T)z/).

Таким образом, / (Т) ^ / (Т)*, и чтобы доказать (d), достаточно показать, что % (f (Т)*) ^ % у (Т)). Если у^% (f (Т)*), то для любых xQ^ и натурального m

(х, 7m(T)^) = (/:m(T)x, z/) = (/(T)£(em)x, z/) == (х, ЕЫГкТУу^

и потому fm (Т)у = Е (em) / (7)* у —> f (7)* у, тем самым установлено соотношение у £ © (/ (7)) и доказано (d).

Наконец, для доказательства (е) заметим, что в силу следствия Х.2.7 спектральная мера Еп, определенная равенством Еп (е) = Е (епе), является разложением единицы для сужения оператора Т на гильбертово пространство §n = Е (еп) ^. Так как R(a; Т) (al — Т) Е (еп)=Е (еп), то также ясно, что сужение резольвенты на-^п есть резольвента сужения Т на ^п. Таким образом, в силу следствия Х.2.8

R (а; Т) х = lim R (а; Т)Е(ет)х = т

fЕ (dX) хVЕ (dX) хкг,грХ

= lim \- ; =\ —,% go (Т),

тJа —XJа —X’

ет—оо

что завершает доказательство теоремы.

Следствие. Пусть Т — самосопряженный оператор и f, g — комплексные борелевские функции, определенные почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда .для любого числа а и любого борелевского множества е вещественных чисел операторы f^ и g^T), понимаемые в смысле определения 5, обладают следующими свойствами:

(а/) (7) = af (ТУ,

<ь) (f+gHT^Hrng^y

$ (/ (7) g (Ту = © ((/g) (Ту А ® (g (ТУ, (fg^ (Т) =-mg (Ту,

f(T^E(e^E(eH(T\

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) вытекают непосредственно из определения 5 и теоремы 6(b). Для доказательства (с) положим хС5) ^g (Т)) и g {Т) хС® (f (Т)). Так как

$ \mgQy\a(E(dX)x, х) =

= lim lim Гх) =

n->oo т->оо v

= Ит Пт | fn (Т) gm (Т) х |2 = Пт | /п (7) g (7) х |2 = п->оо т->ОО71->ОО

= |/(7)5(7)хР<оо,

то ясно, что WlT^T^WgHTymWlTY). С другой стороны, если хС®(g(Л) и ^ |/(X)g(X)|2(£(с(Х)х, х)<оо, то из приведенных соображений следует, что

lim |/п(Л£(ЛЛ2<о°-

По теореме 6(c)

И»(Л^(Л^12 = $ |fn(X)|2(£(dX)gGOx, g^xy

так что ^ | f (X) |2 (£ (z/X) g (Л x, g (T) x) < oo. Из теоремы 6(a) вытекает, что g(T)x£©(/(Л)- Таким образом,

® (/ (Л g (Л) = ® № (Л) П ® (g (Л).

По теореме 6(b) интеграл

WgHT)x, у^ J /(X)g(X)(£(dX)x, у)

существует для всех z/^^. Следовательно, по теореме Лебега (Ш.6.16)

(/ (Л g (Л X, Л = Ит lim F fn (X) gm (X) (£ (dX) х, у) =п—>оо т->оо v

= №<ЛхГуУ у£&

Наконец, для доказательства утверждения (d) заметим, что если х^^^Т)), то E(e)f(T)x = lmE(e)fn(T)x=lm^это

показывает, что Е (е) х С ® (/ (Т)) и / (Т) Е (е) х = Е (е) / (Т) х, ч. т. д.

Следствие. Если Т — самосопряженный оператор и f —многочлен f (X) = «о + ... + cim^^ то оператор f (Т) определения 5 совпадает с оператором f(T) определения VII.9.6. Оператор f(T) совпадает также с оператором а01 + ... + ат^,п, описанным в определении 1.1.

Доказательство. Ясно, что сумма а0/ + • • • + ^тТ1^, понимаемая в смысле определения 1.1, есть не что иное, как оператор / (Г), описанный в определении VII.9.6. Обозначим через ft(T) этот оператор, а через /2(Т) —оператор, соответствующий / согласно определению 5. Следствие 7 показывает, что

МТ^глту

Пусть е — ограниченное борелевское множество вещественных чисел, так что по теореме 3 Е (е) = ® (Т) и ТЕ^ = j XE^dXy Таким образом, ТЕ^е^^Е(е) ^ s ЪТ, и потому Е^е')^^% (Р). Аналогично можно показать, что Е (е) § г ® (Г") для всех натуральных п, откуда мы заключаем, что Е^^е^У^^Ту. Таким образом, если en=(X||/(X)Kn), тоиз[*] вытекает, что f2(T) Е ^еп) г гГЦГ)Е(еп). Но так как £ (еп) $ <= ® (Д (Ж то f^T)E(en) = ^/1(Л£(^п). Пусть теперь хС®(Д(Т)), так что Е(,еп)х—>х и h (Т) Е ^х-Н (П Е (en)x->f2 (Т) х.

Но по теореме VIL9.7 оператор /ДТ) замкнут, и потому x^^^fi^T)). Тем самым доказано, что ® (/2 (Т)) ^ ® (Д (Т)), а в силу [*] —и соотношение Д (Т) =Д (Т1), ч. т. д.

Теорема. Пусть Е —разложение единицы для самосопряженного оператора Т и f — комплексная борелевская функция, определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда

)/(T)| = vrai sup |/(Х)|;

Е Ьеа(Т)

спектр а(/(Т)) есть пересечение множеств вида f^Y где 6 пробегает такие борелевские подмножества спектра ЦТ), что Е (6) = /;

если функция f вещественна, то f (Т) —самосопряженный оператор и его разложение единицы задается при помощи разложения единицы для оператора Т формулой

Е(6; [(Т)) = Е(ГЧ^У

где 6 — произвольное борелевское множество.

Доказательство. Пусть еп — {X 11 / (X) | <: п), так что vrai sup | / (X) | —> vrai sup | / (X) |.

E KEenE KEO(T)

Таким образом, в силу следствия Х.2.9 ясно, что |/(T)|>|/(T)£(e,O| = vraisup|/(X)H^ sup |/(Х)|,

Е КЕ^тьЕ ^Е^(Т)

и, следовательно, |/(T)|>vrai sup |/(Х)|.

’•е КЕвт

Обратно, для х^^У^Т)) мы имеем \ЦТ)х\ = Г1т\ЦГ)Е(е^х\<

< lim (vrai sup |/(Х) |) | х | < (vrai sup |f(X)|)|x|, n E keenE X£a(T)

и потому | f (T) | < vrai sup | / (X) |. Этим установлено равенство (a).

E K£O<T)

Пусть g^^^a-t W)-1, где а таково, что множество /-1 (а) = = {X | / (X) = а} имеет £-меру нуль. В силу (а)

|g(T)| = vrai sup |а —/(Х)]"1,

.Е Хеа(Т)

и, таким образом, g(T) ограничен тогда и только тогда, когда функция (а—/(X))"1 существенно ограничена по мере Е. Поскольку оператор g^ замкнут и имеет плотную область определения, он ограничен тогда и только тогда, когда определен всюду (лемма 1.2). Таким образом, если g существенно ограничена по мере Е, то «(^(/(Т)). Обратно, если a^Q^f^T^, то

(а/-/(Т))£(ЛЧ«))= $ (а —/(X)) £(dX) = 0;

этим показано, что £(/"1(а)) = 0 и, следовательно, функция g определена почти всюду по мере Е. Поскольку а принадлежит Q ЦЧТУЬ то | g (Т) | < со, и из приведенного выше равенства следует, что g существенно ограничена по мере Е. Итак, a^Q^f^T)) тогда и только тогда, когда g существенно ограничена по мере Е. Утверждение (Ь) может быть теперь доказано точно так же, как был доказан в следствии Х.2.9 соответствующий факт для ограниченных операторов.

Для доказательства (с) заметим, что самосопряженность /(Т) вытекает из теоремы 6(d). Положим теперь £1(б) = £(/"1(б)). Заменяя меру интегрирования и используя обозначение fn определения 5, мы получаем

ПОО

^ p£i (dp) = ^ m-п, п] (р) ^i (dp.) =

—п—ОО

ОО

= $ /(X)X[_„,n](/(X))£(dX) = /n(T).

Аналогично

J p2£,(dp) = ^ / (X)2 X[_n, n] (/(X)) £ (dX), —П—ОО

так что для всякого вектора х

J p2(£i(dp)x, х) = J / (X)2 (£ (dX) х, х).

Из (II) и теоремы 6(a) вытекает, что

х| ^ p.2 (£j (dp) х, х)<оо|.

В силу (I) и определения 5 для х£®(/(Т)) мы имеем

/ (Т) х = lim f p£j (dp) х.П->оо V—n

Таким образом, из теоремы 3 видно, что £1 = £(-; /(Т)), ч. т. д.

Точно так же, как в случае ограниченного самосопряженного оператора, разложение единицы может быть явно вычислено через резольвенту оператора Т.

Теорема. Если Е —разложение единицы для самосопряженного оператора Т и (а, Ь) — открытый интервал а<_Х<<Ь, то в сильной операторной топологии

Ъ-б

Е^а, Ьу^ lim lim [/?(ц —ez; T^ — R^A-s^ T^dy,. -б->0+ е->0+ Дб

Доказательство очень близко к доказательству соответствующей теоремы (Х.6.1) для ограниченных операторов. Вместо следствия X.2.8(111) надо воспользоваться следствием X.2.9(V), а вместо ссылки на IX.3.15 — тем фактом, что g(T) = R^a; Т), если g QA^^a — Xy1 рассматривается в том же смысле, что и в теореме 6.

Теорема. Если Е — разложение единицы для самосопряженного оператора Т и F—непрерывная числовая функция, определенная на вещественной прямой, то в сильной операторной топологии

Ъ-б

iF^E^a, 6))=lim lim ^. ^ £(p)[£(p—si; Т)—£(p+ei; T)]dp 6-0+е->0+

для любого конечного открытого интервала (а, Ь\

Доказательство. Метод доказательства, использованный в предыдущей теореме, можно применить и при доказательстве этой теоремы, если показать, что функция

Ь-б 'Ь-6

а-|-б«4-6

равномерно ограничена по X при малых положительных 6 и е и что

[*] * lim lim G(6, е, X) = F(X)X(«, b)W, — oo<X<oo, 6->0+ 8—>04~

24 Заказ № 134

гДе Х(а, ь) — характеристическая функция интервала (а, 6). Если М— верхняя грань для |Е(р)| на интервале а<р<&, то

|6(6, г, Х)|<М-Г [arctg|6(6, г, Х)|<М-Г [arctg6—6—X86—6—X8arc tg ^У—— J <Л1,arc tg ^У—— J <Л1,

|6(6, г, Х)|<М-Г [arctg

|6(6, г, Х)|<М-Г [arctg

6—6—X

8

6—6—X

8

arc tg ^У—— J <Л1,

arc tg ^У—— J <Л1,

и потому G равномерно ограничена при малых положительных 6 и к. Пусть 0< 6< (6 — я)/2. Предположим сначала, что X не лежит в интервале (а, Ь\ Тогда подинтегральная функция стремится к нулю равномерно, когда 8—>0, и тем самым соотношение I*] выполнено на дополнении к (я, 6). Пусть теперь X — точка интервала (я, 6); выберем 6 и 8 так, чтобы выполнялось неравенство я + 6<< X—"j/^eCX + VeCЬ — 6. Тогда

F (ц) е <ф (р-Х)2 + е2 *F (ц) е <ф (р-Х)2 + е2 *X- Те Н-/еЬ—6

F (ц) е <ф (р-Х)2 + е2 *

F (ц) е <ф (р-Х)2 + е2 *

G (6, е, X) =-1-[ J + J + J

° I й X-Vi Х+ Vb

Элементарные вычисления показывают, что

X Г г 1>-Л

1'1 Гл Г 1 Z<hWp_|I л I. '.) J (р-Х^ + в® |

“Iй X+Vb

М Г , Ь — 6 — X . а+5—X о ,1 1

< л Larctgёarctg—2arctgy-J •

и, следовательно, сумма двух этих интегралов стремится к нулю вместе с е. Пусть теперь М (е) есть верхняя грань функции | F(p) —f(X) | на интервале X — ]/'е<р,<Х + ]/’8. Так как F непрерывна, то М (е) стремится к нулю вместе с 8 и мы имеем

Х+ Ve

С F (|л) е dp, л ,)(р, — X)2-|f2

X- Ve

X | VeX-yVe

_ F (X) C 8 dp . 1 C (F (p)— F (X)) e dp, ■ л J (p — X)2 + e2 ‘ л J(p — X)2 + e2

X- VeX-Ve

И

Ve

|i $ y^-f(X)>ctg:^M(e)Aa7Ctg-L.

X- Ve

Тем самым показано, что

Пт — ( r-^v4 = F W-е->о я ' (р —Х)2 + е2v ’

Доказательство соотношения [*] закончено.

В заключение этого параграфа мы приведем одну интересную теорему, которая без труда выводится из результатов § XI.6.

12. Теорема. Пусть Т —неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ^. Предположим, что его спектр о (Т) есть счетное множество точек без предельных точек в конечной плоскости, {Хп} — перечисление точек спектра а (Т), где каждая точка встречается столько раз, какова размерность пространства Е (Т, Хп) ^, и пусть выполнено условие

^п 2 < ОО .п=1

Тогда для любого ограниченного оператора В множество всех векторов х, удовлетворяющих уравнению (Т-YB—^I^x — Q при некотором натуральном v и некотором комплексном числе р, есть фундаментальное множество в гильбертовом пространстве.

Доказательство. По теореме 6 и следствию 7 в гильбертовом пространстве существует такой ортонормированный базис {<рп}, что Тфп = Хпфп- (Чтобы получить множество (фп), надо лишь собрать вместе семейство ортонормированных базисов в каждом из отдельных пространств Е(Т, Хт)§.) Из определения XI.6.1 вытекает, что (Т —X/)-1 — оператор класса Гильберта — Шмидта при всех X£q(T). В силу леммы 2.2 существует такая конечная постоянная К, что | R(X; Т) |< 1/2, | BR(X; Т) |< 1/2 и | R (X; Т) В | < 1/2 для | Im X | > К. Тогда если | Im X | >К, то из. леммы VII.6.1 вытекает, что оператор I— BR(X;T) имеет ограниченный всюду определенный обратный Л(Х), норма которого не больше 2. Мы имеем

.(XI—T—B)R(X; Т)А(Х) — 1.

Таким образом,

(XI — Т — В) R (X; Т)Л(Х) (XI — Т — В) x = (XI — Т— В) х для всех x^*ib(T') = <$)(T-\-B'). Если положить

y — R(X; Г)А(ЖХ1-Т-В>х-х,

то (XI — Т — В)у = 0, так что, умножая слева на R(X;T), получаем (I — R(X; Т)В)у = 0. Поскольку |7?(Х; 7')В|<1/2 при

| Im X | >К, то у = 0, если | Im X | > К. Таким образом, для | Im X | > К мы имеем

(Х/-Т-В)/?(Х; Т)Д(Х)х = х, х^,

R^TyAtXHM — T—B'tx-x, х£Ф(Т + В).

Отсюда следует, что если | Im X | > К, то X ^ о (Т+В) и R (X; ТД-В) = = R (X; Т) А (X). Следовательно,'

|Я(Х; Т + В)|<-1-2 ПРИ |1тХ|Ж,

и теорема вытекает непосредственно из следствия XI.6.31.

. Спектральное представление неограниченных самосопряженных преобразований

Цель настоящего параграфа —распространить понятия спектрального представления и упорядоченного представления § Х.5 на случай неограниченного самосопряженного оператора. Вполне удовлетворительное расширение теории будет дано ниже, в теореме 5. Затем будет проведено более детальное исследование того важного случая, когда гильбертово пространство $ имеет вид L2(S, 5, v), где v есть о-конечная положительная мера. Мы покажем, что при некоторых условиях линейная изометрия U, определяющая спектральное представление, может быть задана в простой форме. Более точно, существуют такие измеримые ядра Wai что в смысле нормы в L2(pa)

(t//)a(X) = lim tf6U(S, 2, v),

^Sn

где {Sn} — возрастающая последовательность множеств конечной v-меры, покрывающая все S. Эта частная форма теоремы о спектральном представлении будет иметь важные приложения в последующих главах, где мерой v будет лебеговская мера на открытых подмножествах евклидова пространства, а Т будет дифференциальным оператором. В этом последнем случае функции №а(-,Х) интерпретируются как собственные функции дифференциального оператора Т, и, таким образом, могут быть получены важные теоремы о разложении.

Чтобы коротко и ясно описать представление неограниченного самосопряженного оператора, мы собрали здесь некоторые обозначения и термины, которые будут использоваться в этом параграфе.

Символ Е будет обозначать разложение единицы для самосопряженного оператора Т в гильбертовом пространстве ^. Для вектора а из ^ символ ^а будет использоваться для обозначения

подпространства в §, состоящего из всех векторов вида F(T)a, где F пробегает все борелевские измеримые функции, для которых аЕ® (^(Т*)). Символ ца будет обозначать регулярную меру, определенную на семействе борелевских множеств плоскости равенством

ц„(6) = (Е(6)а, а),6Е^.

Обозначение 2 ^а будет использоваться, как обычно, для прямой а

суммы гильбертовых пространств ^о (ср. с IV.4.18 и IV.4.19).

Лемма. Пространство уа есть гильбертово пространство, эквивалентное при отображении F(T)a*-+F пространству L^aY

Доказательство. В силу теоремы 2.6 (а),(с) ясно, что

®(F (Т))={афЕ(1)|’Иа(^)<«>} и159

\F^a\»= J |F(X)|>a(dX), a^^^E^Y после чего лемма становится очевидной.

Лемма. Существует такое множество А в ^, что ^ =2&. а^А

Доказательство. По лемме Цорна существует максимальное множество Л в §, для которого подпространства ^а, а£А, взаимно ортогональны. Таким образом, для доказательства леммы достаточно заметить, что не существует вектора х^О, ортогонального ко всем пространствам §а. Действительно, если х^О ортогонален к пространству §а, то для ограниченной борелевской функции F и точки z/E& в силу теоремы 2.6(d) мы имеем (F (Т) х, у) = (х, F(T)y) = 0, так что F(T)x ортогонален к ^а. Отсюда вытекает, что если х ортогонален к каждому из пространств ^о, то и %х ортогонально к каждому из пространств ^а, а это противоречит максимальности семейства А. Тем самым доказано, что ^ = 2 &•

Если х£^, то через ха обозначается компонента х в подпространстве ^а. Таким образом, х= 2 ^а-

а^А

Лемма. Для всякой борелевской функции F ф (F (Т)) = = \x\xa^(F(T)Y а^А; ^\F(Т)ха\»< od\ u(F(T)x)a = F(T)xa для любых хЕФ(Е (Т)) и а^А.

Доказательство. Проверим сначала, что

(1)^та=м^р(т».

Ясно, что $а П © (F (Ту с (^ (F (Т)))а с ^а, и потому достаточно показать, что (^(F(Ty)a^. © (F (ЛУ Заметим, что так как | Е (6) х |2 = 3 | Е (6) ха |2, то (£(6)ха, ха)<(£ (б)х, х) и потому а

J | F (X) |2 (£ (dX) ха, ха) < J | F (X) |2 (£ (dX) х, х).

Тогда из теоремы 2.6 (а) вытекает, что (©(£(Т)))ас ©(£(£)), и равенство (1) проверено.

Пусть теперь Fn — срезанная функция определения 2.5, так что оператор Fn (7) ограничен и тем самым

\Fn(TV\a = '21\F,A'nxa\>, х£&а

Если х^ © (7 (Г)), то в силу (1) ха лежит также в ©(7(7)), и мы имеем

lim Fn (T)x = F (Т) х, lim Fn (Г) ха = F (Т) ха. п—юоп-^оо

Таким образом, для любого конечного множества леЛ и вектора х g © (7) выполнено неравенство 2 IF (Т) ха |2 < | F (7) х |2, откуда а£л

следует, что 2 l^(^)xa|2< °°- Далее будет показано, что

я £ © (7 (Ту при условии, что все xa^%(F (Ту и 2 IF (Т) ха |2 < оо. a

Пусть {ад} = А — такое подмножество, что ха = О для а ^ {ад} (ср. с 1У.4.10).Так как ха^^а, то существует такая борелевская функция g, что at^tg^Ty и xa = g(T^a. Следовательно, F (Т) ха = F (Т) g (Т) а, и потому F (Л xaE^ai это означает, что члены последовательности {F(T)xQft} взаимно ортогональны. Так как

| 2 F(T')Xah\2<Il\F(T)Xa\a<OD,k=lл а

то ряд 2 Р(Лхаь сходится. По теореме 2.6 оператор F (Т) к=1"

замкнут, и потому х £ © (F (Ту и

Р(Лх= 2 Р^ЛХа^^Е (ЛХа.

Так как F (Л хаЕ§а, то отсюда следует, что (F (Т) x)a = F (Т) ха, ч. т. д.

Определение. Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве ^ и {ра} — семейство конечных положи-

Спектральное представление самосопряженных преобразований 375 тельных мер, определенных на борелевских множествах плоскости и обращающихся в нуль на дополнении спектра Т. Пусть U — изоморфизм пространства ^ на все пространство S^^a), сохра- a

няющий скалярные произведения, а V —самосопряженный оператор JJTU^ в S^2(Ha)- Преобразование [7 называется спектраль- a

ным представлением ^ на ^L2 (Ha) относительно оператора Т, а

если выполнены следующие условия:

для всякой борелевской функции F, определенной на спектре оператора Т,

WO^I^E^M2 ^WMMPM^)<c»};

aa a (Т)

(F(V)U)(M^(A)U(A), ^^(f(V^ для почти всех А по ра-мере.

Замечание. Ясно, что если оператор Т самосопряжен, то таким же будет и V = UTU~X. Действительно, для ^ = Ux, r^Uy, где х, УЕ^ЫТ), мы имеем

(У^ ц) - (VUx, Uy^ = фТх, Uy^ =

= фх, у) = (х, Ту^ = фх. UTy) = фх, VUy) = ф Vn);

тем самым показано, что V — симметрический и что ® (V*) = ® (V).

Теорема. Каждое гильбертово пространство допускает спектральное представление относительно любого определенного на нем самосопряженного оператора.

Доказательство. Множество А и меры ра могут быть определены так же, как в леммах 1 и 2. Отображение U определяется естественным образом, т. е. компонента фх^а вектора Ux есть функция в L2(pa), соответствующая вектору ха при изоморфизме Uа леммы 1.

Так как U и U"1 имеют ограниченные всюду определенные обратные, то оператор XI — V = U (А/ — Т) U'1 имеет ограниченный всюду определенный обратный тогда и только тогда, когда его имеет оператор XI — Т, и

R (A; V) = UR (А; Г) U"1, X^q(T^q (У).

Если С, Е— разложения единицы для V и Т соответственно, то из теоремы 2.10 вытекает, что для открытого интервала 6 имеет место равенство С (6) = UE (6) U'1. Таким образом, это равенство выполнено для всех борелевских множеств 6, и, следовательно, для любой борелевской функции F и любого вектора

^, = Ux мы имеем

J |Т (X) I2 (С (dX) |, £) = J IF (X) I2 (£ (dX) X, х).

Из теоремы 2.6(a) вытекает, что ® (F (У)) = иЪ (F (Г)), и нужная нам форма для ®(F(V)) получается из леммы 3.

Для вектора £ = Ux £ ® (F (V)) мы имеем

(F (V) ^Л) = ^F (X) (С (dX) g, I) = J F (X) (E (dX) x, x) = <F (T) x, x^ откуда следует, что F (V") = UF (T^U-1. Это равенство вместе с соотношениями Uxa = (JJx")a и (F (Т) x)a = F (Т) ха, доказанными в лемме 3, показывает, что

<F (V) Da - (UF (Т) U^Da = UF (T) xa =

= UFlTHa^a-FHM*y

Следующий результат показывает, что любое спектральное представление пространства ^ может быть реализовано описанным выше способом; при этом используются обозначения ро и ^а, определенные в абзаце, предшествующем лемме 1.

Лемма. Пусть U — спектральное представление пространства ^ на 2 ^2 (va) относительно самосопряженного оператора Т.

av

отображает ^а на L2(va).Доказательство. Для каждого a 5 ^2 (^аУ определяемый уравнениями a(О,отображает ^а на L2(va).Доказательство. Для каждого a 5 ^2 (^аУ определяемый уравнениями a(О,примем за ga элемент изпримем за ga элемент изр = а.р = а.Тогда каждому а соответствует некоторый вектор а в ^, такой, что va = pa, ^ есть прямая сумма подпространств ^а и U

отображает ^а на L2(va).

Доказательство. Для каждого a 5 ^2 (^аУ определяемый уравнениями a

(О,

отображает ^а на L2(va).

Доказательство. Для каждого a 5 ^2 (^аУ определяемый уравнениями a

(О,

примем за ga элемент из

примем за ga элемент из

р = а.

р = а.

Пусть a = U 1|“. Для всякого борелевского множества 6 мы имеем va(6) = 5 %6Wva(^) = (x6ga, ^) = (ЩВ(б)а), Da^E^ay о(Т)

Остальные утверждения сразу же вытекают из лемм 1 и 2.

Теперь мы сосредоточим наше внимание на задаче нахождения аналитического представления отображения U. Эта задача будет рассмотрена в предположении, что Т —самосопряженный оператор в лебеговом пространстве L^S, S, v), подчиненном некоторым условиям; эти условия предполагаются выполненными в оставшейся части этого параграфа и для удобства они формулируются в виде отдельного предположения.

Предположение. Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве L2(S, S, v), где (3, S, v) —пространство с положительной мерой, а Е — разложение единицы для оператора Т. Мы предполагаем, что существует возрастающая последовательность {Зп} подмножеств, покрывающая все 3, каждый элемент которой имеет конечную меру, и что для ограниченных множеств е область значений Е (е) состоит только из функций,, которые существеннно ограничены по v-мере на каждом йз множеств Sn.

Лемма. Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве La^S, S, v), где (3, S, ^-пространство- с положительной мерой. Пусть всякий элемент из П ® (7™) 71=1

•у-существенно ограничен на каждом множестве из возрастающей последовательности множеств конечной меры, покрывающей все S. Тогда предположение 7 выполнено. .

Доказательство. Если е — ограниченное борелевское множество,, то из теоремы 2.6(a) вытекает, что

E^U(S, S, v)^ П ®(П- 71=1

В следующей главе будет рассмотрен случай, когда Т — самосопряженное расширение обыкновенного дифференциального оператора. В этом случае 3 —область в евклидовом пространстве, а V —мера Лебега. Мы увидим, что всякая функция из ®(Т) непрерывна и, таким образом, ограничена на всяком компактном подмножестве области 3, так что из леммы 8 будет следовать, что предположение 7 выполнено для таких дифференциальных операторов.

Лемма. При выполнении предположения 7 для каждой функции g из La (8, S, v) существует функция W, определенная на прямом произведении 3 и числовой прямой R, измеримая относительно произведения мер v и р = (Е (-)g, g), и такая, что для всякого ограниченного борелевского множества е вещественных чисел и любой функции F из L2(p)

vrai sup ? | W^ (s, X) |2p(dX)< oo,

v s£Sn v

(E ^ F ^ g)-(s) = ^W(s, X)F (X) ц(dX).

в

Доказательство. Если F лежит в Е2(^)1 то по теореме 2.6(a) g£® (Е(Г)). Положим еп = [ — п, п\, и пусть F обращается в нуль

вне е„. Тогда сужение F (Т) g = Е (е„) F (Т) g на S„ лежит в Loo (Sn, v) по предположению 7. Так как ’ F обращается в нуль вне еп, то из теоремы 2.6(c) вытекает, что отображение Ап: F —» F (Т) g ограничено как отображение L2(en, р) в L2^S, 2, v). Таким образом, оно замкнуто как отображение L2(en, р) в Loo(Sn, v). Следовательно, по теореме о замкнутом графике (II.2.4) Ап — непрерывное отображение L2 (еп, р) в Leo (Sn, v). Сопряженный А„ к Ап в банаховом смысле оператор отображает LJ>(Sn, v) = L**(Sn, v) в L2(en, р). Так как L^Sn, v) изометрически вложено в L**(Sn, v), мы можем рассматривать сужение Вп оператора Л„ на Lx (Sn, v) как линейное непрерывное отображение L4(S„, v) в L2(en, р). Поскольку L2(en, р) сепарабельно и рефлексивно, из теоремы VI.8.10 и замечания, непосредственно ей предшествующего, вытекает, что существует v-существенно единственная v-измеримая ограниченная функция Vn, определенная на Sn, со значениями в Ь2(еп, р), такая, что

Bnf=\ f(s)Vn(s)v(ds), f^i^, v).

Sn

По теореме III. 11.17 отсюда вытекает, что существует (v х р)- существенно единственная (v х р)-измеримая комплекснозначная функция Wn, определенная на S„ х еп, такая, что

(X) = J f (s) Wn (s, X) v (ds), / G U (Sn, v), X G en, Sn

и такая, что

vrai sup \ | Wn (s, X) |2 p (dX) = vrai sup | Vn (s) |2 < co. v s£Sn"v sgSn

en

Предположим теперь, что /GBi(Sn+i, v), /(s)=0 для s$Sn, а также, что BG^^n+i, p) и F(X) = 0 для X^en. Тогда

J (Bn+1/)(X)f(X)p(dX)= J /(s)Hn+1f)(s)v(ds) = en+ion+i

= $ / (s) <F (П s) (s) v (ds) = Jf (s) VW7) (S) V (ds) = SnSn

= $ (Bn/)(X)f(X)p(dX). en

Таким образом, (Bn+1/)(X) = (Bnf) (X) почти всюду по р-мере на еп. Следовательно,

(Bn/) (X) = J / (s) Wn+1 (s, X) v (ds), / € Lt (S„, v), X G e„. Sn '

Этот факт вместе с единственностью ядра Wn показывает, что Wn (s, X) = Wn+1 (s, X) для (v x р)-почти всех [s, X] в Snx еп. Таким образом, если положить W (s, X) = Wn (s, X) для [s, ХК Sn X еп, то мы получим корректно определенное (v х р)-измеримое ядро, заданное на S х R = U Sn х еп, со свойством (I). Если F лежит в Т2(р) и G = Fxe, где %е — характеристическая функция борелев- ского подмножества в еп, то для всякой функции / из Lt(Sn, v) в силу теоремы Фубини и свойства (I) мы имеем

$ (Е (е) F (Т) g) (s) / (s) v (ds) = J (G (T) g) (s) f (s) v (ds) =

SnSn

= J (Л„С) (s) f (s) V (ds) = J G (X) (BJ) (X) p (dX) = Snen

= J G (X) { J f(s) Wn (s, X)v(ds)} p(dX) = enSn

= S ^S4S Г<5’ ХИ(ММ^Х)} v(ds). Sne

Таким образом, почти всюду по мере v на Sn

(£ (е) В (Г) g) (s) — ^ U^ (s, X) F (X) p (dX),

а так как |J Sn = S, то это равенство должно выполняться почти всюду по мере v на S, ч. т. д.

Определение. Пусть W — измеримая функция на произведении S х А двух пространств (S, S, v) и (А, В, р) с мерами; и h является v-измеримой функцией на S. Будем говорить, что интеграл ^ h^W (s, X) v (ds) существует в Ь2 (А, В, p) в смысле s

среднего квадратического, если найдется возрастающая последовательность {Sn} множеств конечной v-меры, покрывающая все S, и такая, что h^^W^-, X) для каждого п есть v-измеримая функция на Sn для почти всех по р-мере X из А, а функции Fn, определяемые равенством

Fn^=^ h(s)W(s, K)v(ds),

Sn

лежат в L2(A, В, р) и сходятся в L2(A, В, р) при п—>со. Если Fn—>F в L2(A, В, р), то мы пишем

В(Х)=^ ft(s)^(s, X)v(ds).

s

Замечание. В тех приложениях к обыкновенным дифференциальным уравнениям и к уравнениям в частных производных, которые будут рассмотрены в гл. 13 и 14, 3 будет областью евклидова n-мерного пространства, S —полем борелевских подмножеств области 3, V —лебеговой мерой, a W для почти всех X — функцией с интегрируемым квадратом на любом компактном подмножестве в 3. В этом случае предел F предыдущего определения не зависит от последовательности {Зп} при условии, что все множества Зп компактны.

И. Теорема. Пусть (S, S, v) — пространство с положительной мерой и {Sn} — возрастающая последовательность множеств конечной меры, покрывающая S. Пусть U — спектральное представление пространства L2{S, S, v) на 2^2(^а) относительно а^А

самосопряженного оператора Т в L2{S, S, v) и Е — разложение единицы для оператора Т. Предположим, что для всякого ограниченного борелевского множества е вещественной прямой область значений проектора Е (е) состоит лишь из функций, которые существенно ограничены по мере v на каждом из множеств Sn- Тогда для каждого элемента а из Д существует функция Wa, определенная на прямом произведении S и вещественной прямой и обладающая следующими свойствами*.

№а измерима относительно прямого произведения мер v х |ла;

для всякого ограниченного борелевского множества е на веще7 ственной прямой

vrai sup £ | Wa (s, X) |2 pa (dX) < oo, n > 1;

v s£Sn "•'

(t7/)a (X) = $ / (s) ra(s, X) v (ds), / € L2 (S, 2, v),

s

где интеграл существует в L2(pa) в смысле среднего квадратического.•

Замечание. Приводимое доказательство показывает, что для / из L2(S, S, v) функция (1)Па является пределом в L2(pa) последовательности {^/(s)ro(s, .)v(ds)}, а потому этот предел Sn

не зависит от выбора последовательности {Sn}.

Доказательство. По лемме 6 пространство ^ = £2(S, 3, v) есть прямая сумма S$a> гДе А— подмножество из § и

аСД

U&a = UM, у^^Е^а, а), а^А, , для всякого борелевского множества е вещественных чисел.

За ядра №о возьмем те функции, которые в лемме 9 связываются с элементами а из А, так что утверждения (а) и (Ь) выполнены. Из (Ь) вытекает, что

I ^а (S> ^) I2 На (^) v (ds) <Z<X>, П > 1, Sn в

для всякого ограниченного борелевского множества е вещественной прямой. Таким образом, если функция / из ^ обращается в нуль вне 8п, то функция

/(^(S, X)v(ds)

Sn

в силу теоремы Фубини и неравенства Шварца удовлетворяет неравенству

$ WafH^MdX)^^ {J |Га(8, X) |2 V (ds) j- Ра (dX) < ОО. ее Sn

Отсюда вытекает, что, интеграл, определяющий VQf, существует почти всюду по мере ра и VQf лежит в L2(e, ро) для всякого ограниченного борелевского множества е вещественной прямой. Пусть теперь ^ — определенный в лемме 1 изоморфизм, отображающий §о на L2(po). Таким образом, а-е компоненты /о и (Uf)a векторов / и Uf в их. разложениях, определяемых прямыми суммами 2 & и 2 ^2 (На) соответственно, удовлетворяют уравнению (Uf)a = Uafa. Далее, если функция F из L2(po) обращается ц нуль вне ограниченного борелевского множества е, то в силу теоремы Фубини и леммы 9

(Vah F) = J (УаП (X) FW ро (dX) = е

= j f (s) { J Wa (s, X) F (X) Pa (dX)} V (ds) = Sne

= ^f(s) (E(e)F(T)a) (s) v (ds) = (f, F (T) a) = Sn'

= (J, U^F) = (fo, U^F) = (Uafa, F) = ((t/f)a, F).

Это показывает, что (Иа/) (^) = (U^a (X) для почти всех по ра-мере X в каждом ограниченном борелевском множестве е, так что (Vaf) (X) = = (t/f)a(X) для почти всех по Pa-мере X. Если f — произвольная функция из L2(S, 2, v) и fn = fXsn> то fn-^h и потому в силу

непрерывности

/ (8) №a(S, .) V (dS) = фк1)» -> ^Па- Sn

Таким образом, интеграл ^ / (s) Wa (s, Л) v (ds) существует в смысле 8

среднего квадратического и равен (17/)о(Л); тем самым доказано (с) и завершено доказательство теоремы.

Используя обозначения предыдущего доказательства, положим F = (Uf)a. так что по лемме 9

п

$ (UDa W W^.^» (dX^E^ - п, п]) F (Т) а—> F (Г) а = U^F = fa.

Таким образом, интеграл ^ ФЛа (A) Wa (s, Л) ро (dX) существует в смысле среднего квадратического и равен /o(s). Следовательно, разложение /= 2 /«> определяемое разложением в прямую сумму а^А

@ = 2&» принимает вид, описанный следствием 12.

Следствие. При предположениях и обозначениях предыдущей теоремы .

f^-^ 5 № W W« (S’ ^ Ha № f G U (S, 2, V), a£A —oo

причем интегралы существуют в L^ (S. 5, v) в смысле среднего квадратического и ряд сходится по норме L2 (S. 5, v).

Следствие. Предыдущие теорема и следствие остаются справедливыми, если предположение об области значений Е(е) заменить предположением о том. что всякая функция f из

П 5) (Тп) существенно ограничена по мере v на каждом из мно- жесте Sn.

Доказательство. Это вытекает из леммы 8.

Следствие. Пусть в дополнение к предположениям теоремы 11 пространство L2(S, 2, v) сепарабельно и прип> 1 множество ф(п) = (^ | ^ g ф (7), I (s)=0=(Tf) (s) почти всюду по мере м на £„}

плотно в L2(Sn, 2, v). Пусть Tw— сужение оператора Т на ^^ и

( О,S £

Тогда для почти всех по ра-мере X вектор W^(-,X) лежит в % ^Tw^ и

^rwfw^ (•, X) = W?

Доказательство. Из леммы 9 (I) и теоремы Фубини вытекает, что для почти всех Л функция W^ (-, А,) лежит в L2(S, 5, v) при каждом п>1. Так как L2(S, 2, v) сепарабельно, то существует счетное множество {[/;, Tfj^, плотное в графике оператора Т^\ Таким образом, по теореме 11

№ w^ (., X)) = 5 (Th) (s) W^X) V (ds) =

s

-(U(Th))a(X) = X(Uh)«(X) =

= X^h (s) wa(s, X) V (ds) = X (h> W™ (•, X)) s

для всех X, не принадлежащих некоторому множеству Nj нулевой ра-меры. Следовательно, для всех X, не принадлежащих множеству нулевой ра-меры W= U Nj, мы имеем (Tfj, W^i-, А)) = 3=1

— Wb W^ ('» ^))- Так как векторы [/;, Tf^ плотны в графике Г(п> оператора Т(п), то выполнено соотношение

(Twh W^-, А)) = МЛ ^ап)(‘, М^ f^(T(n)), X^N.

И мы получаем нужный результат, поскольку © (7<п)) плотно в L2(Sn, 2, v).

Теперь мы опишем теорию спектральных типов для неограниченных самосопряженных операторов. Так же, как в случае ограниченного нормального оператора (см. теорему Х.5.10), будет показано, что сепарабельное гильбертово пространство имеет упорядоченное представление относительно заданного в нем неограниченного самосопряженного оператора и что это представление определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Так же, как в случае ограниченного нормального оператора (см. теорему Х.5.12), упорядоченное представление определяет класс унитарной эквивалентности этого оператора. По существу теория спектральных

типов для неограниченных самосопряженных операторов может быть без труда выведена из соответствующей теории для ограниченных операторов.

Определение. Пусть р — положительная мера, определенная на семействе 38 борелевских множеств комплексной плоскости, и пусть {^ — возрастающая последовательность борелевских множеств, первый элемент ег которой есть вся плоскость. Положим

М^Н^ГЮ.п=1, 2, ....

Спектральное представление гильбертова пространства ^ на

2 £2 (Рп) относительно самосопряженного оператора Т в ^ назы- П=1

вается упорядоченным представлением пространства § относительно Т. Мера р называется мерой упорядоченного представления. Множества еп будут называться множествами кратности упорядоченного представления. Если р (еА) > 0 и р (е/ж) = 0, то говорят, что упорядоченное представление имеет кратность к. Если р (ед) > 0 для всех к. то говорят, что представление имеет бесконечную кратность. Два упорядоченных представления U и U пространства ^ относительно операторов Т и Т соответственно с мерами р и р и Множествами кратности {еп} и {еп} будем называть эквивалентными. если р^р и р (елДел) = 0 = р (елДел) для всех п=1, 2, ... .

Теорема. Сепарабельное гильбертово пространство ^обладает упорядоченным представлением U относительно данного самосопряженного оператора Т в ^. и всякое упорядоченное представление пространства ^ относительно Т эквивалентно U. Более того, два самосопряженных оператора в ^ унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие упорядоченные представления пространства ^ относительно этих операторов.

Доказательство. Пусть Е и Е\ —разложения единицы для Т и его резольвенты R (Z; Т) соответственно. Напомним (см. доказательство теоремы 2.3), что

£(6) = ^ (А (б)), 6^58.

где ^ — семейство борелевских множеств плоскости и й(Х) = = (/ — X);1. Отсюда вытекает, что

^{/^ (i; Т)) х | / 6 С (а № ТШ = ^№ (6) х | 6 G ^} =

= sp{£(6)x|6G^}-sp{F(T)x|£G£2((£(-)^ х))}.

Эти равенства показывают, что представление пространства § относительно R(i; Т) индуцирует представление относительно Т и обратно. Из леммы 6 следует, что пространство § отображается представлениями относительно Т и R(i;T) на пространства вида 2 ^2 ((Е ( ’ ) ^п» ^п)) и 2 ^^Е^^-) аП1 ап)) соответственно. Так как тождества

(Е (е) аП1 ап) = (Е (е П hr1 (еп)) аП1 ап^ е^^, (Ei (е) аП1 ап) = (Et (е П еп) ап, anY е^®, эквивалентны, то представление ^ относительно Т упорядочено тогда и только тогда, когда упорядочено соответствующее представление относительно R^i;T). Кроме того, соответствующие множества кратности суть /Г1^) и еп. Заметим, наконец, что два неограниченных самосопряженных оператора Т^ и Т2 унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда R^i;?^ и R(i;T2) унитарно эквивалентны. Таким образом, настоящая теорема вытекает из теорем Х.5.10 и Х.5.12.

Этот параграф мы заканчиваем рассмотрением того, как теория спектральных типов неограниченного самосопряженного оператора связана с представлением, данным в теореме И. Следующая лемма в случае числовых функций совпадает с хорошо известной теоремой Лузина.

Лемма. Пусть р— конечная положительная регулярная мера на борелевских множествах топологического пространства R. Тогда для всякой ^-измеримой функции f на R со значениями в В-пространстве и для всякого е > О существует такое боре- левское множество о в R с мерой р (о) <; е, что сужение функции f на дополнение к о непрерывно.

Доказательство. Если сужения f\o и ^16 непрерывны, то таким же будет и сужение (а/ + РЕ)1аГ|б, а потому класс измеримых функций, обладающих нужным нам свойством, есть линейное многообразие. Кроме того, характеристическая функция Хе борелевского множества е лежит в этом многообразии. Это вытекает из регулярности меры р; действительно, существуют открытое множество о, содержащее е. и замкнутое множество 6, содержащееся в е. такие, что р(о — 6) <8. Ясно, что сужение Хе на дополнение к о —6 непрерывно. Таким образом, всякая р-простая функция обладает желаемым свойством. Так как р(7?)<оо, то всякая р-измеримая функция / есть предел по р-мере последовательности {/п} р-простых функций. В силу следствия III.6.3 можно предполагать, что последовательность /п (X) сходится р-равномерно к /(X). Это означает, что /П(Х) сходится к /(X) равномерно на дополнении множества Si с мерой р(61)<е/2. Далее, для л>2 25 Заказ № 13'4

существуют множества Sn, такие, что У р (6П) < е/2, а сужение п=2

fn на 6п непрерывно. Таким образом, в силу следствия 1.7.7 сужение / на множестве 6' = П 6« является непрерывной функцией, П=1

а дополнение этого множества 6= J $п имеет меру р(6)<е, п=1

Ч. т. д.

Лемма. Пусть f^ .... fm — линейно независимые функции, определенные на объединении S возрастающей последовательности {Sn} множеств. Тогда для всех достаточно больших п совокупность /11 Sn. .... fm\Sn сужений этих функций линейно независима.

Доказательство. Предположим, напротив, что для некоторой последовательности nt —> оо существуют такие постоянные агЬ • • • ..., аип. что

т

(1)X«„J(»/|/| l■••••l <Wm) = 0, ^|<М = 1-

Выбирая новую подпоследовательность, которую ради простоты мы будем по-прежнему обозначать через щ. мы можем считать, что существуют пределы

aj — limaij, 1 ^/<^m.

Тогда в силу (I)

т

а1А + • • • + ^mfm = О, S I aJ I А

мы получили противоречие, и лемма доказана.

Теорема. Пусть в дополнение к предположениям теоремы 11 гильбертово пространство L2(S. 2, v) сепарабельно; U— упорядоченное представление L2(S. S, v) относительно самосопряженного оператора Т. р —-его мера; еп, \^n^k.—его множества кратности. a Wn. п 1, 2, ..., — ядра, описанные в теореме 11. Тогда для всякого натурального п. не превосходящего кратности упорядоченного представления, множество (ИА(-,Х), ..., ^(-,Х)} в пространстве ^-измеримых функций линейно независимо почти всюду по мере р на еп.

Доказательство. Пусть р^ (^) = р (е П е^) = (£^ (^ Q е^) 62^, ап\ Так как Wn измерима относительно произведения мер v и рп, то из леммы 9 (I) и теоремы Фубини вытекает, что для почти всех по рп-мере X функция НАД*, М v-измерима. Таким образом, для почти всех

по ц-мере X из еп функция №п (•, X) v-измерима. Удобно ввести пространство G(S, 2, v) всех v-измеримых функций / на 3, интегрируемых с квадратом на каждом из множеств Зп. Множество G(S, 2, v) есть линейное метрическое пространство относительно нормы

1/1 ^ 2" l + l(HSn)|2’n=l

где

K/|Sn)|2=( J |/(s)|2v(ds))1/2.

Sn

Ясно, что G(S, S, v) является линейным многообразием в пространстве М (S, 2, v) всех v-измеримых функций на S и что множество функций из G(S, S, v) линейно независимо в М (S, 5, v) тогда и только тогда, когда оно линейно независимо в G (S, 5, v).

Линейная независимость функций ^(^ X), ..., Wn (•, X) будет доказана индукцией по п. В случае п — \ это просто означает, что ^(^Xj^O почти всюду по мере р. Если это неверно, то существует такое ограниченное борелевское множество е, что р (е) = | Е (е) а^ |2 ^ 0 и ^ (•, X) = 0 для всех X из е. Тогда по теореме 11(c) ((7/)а1(Х) —О для всех и всех f£L2(S, 2, v). Так как U — спектральное представление относительно оператора Т, то из определения 4 вытекает, что (£ (е) /)а1 = 0 для всех / из L2 (S, S, v). В частности, если положить / = аъ ясно, что Е (е) ах = — — а это противоречит тому факту, что р(е)=^0; теорема в случае п=\ доказана.

Предположим теперь, что теорема доказана для п<р, где р — натуральное число, не превосходящее кратности упорядоченного представления. По предположению индукции функции Wt (•, X), ..., Wp-! (•, X) линейно независимы для почти всех по р-мере X из ep-t и, следовательно, для почти всех по р-мере X из ер. Для доказательства теоремы нам необходим следующий факт:

подмножество о0 в^р, состоящее из всех Х£ер1 для которых функции №i (•, А), ..., Wp (•, X) линейно зависимы, р-измеримо (см. Ш.2.10).

Для доказательства утверждения (I) обозначим через о™ множество всех Х£ер, таких, что сужения Wt (•, X), ..., Wp(-, X) функций Wi (•, X) на Sm линейно зависимы. Если X лежит в ер — gOi то по лемме 18 Х^^р —от при некотором т. С другой стороны. Оо^^т при всех т. Таким образом, or0= Q бт1 и поэтому достаточно доказать, что каждое из множеств ат р-измеримо.

Обозначим через Z счетное всюду плотное подмножество линейного многообразия в L2 (Sm, S, v), порожденного функциями U/t(-,X), .Wp(-, X), Х^вр. Существует самое большее счетное множество линейно независимых р-наборов [zb ..., zp] в Z, и для каждого такого р-набора можно выбрать непрерывные линейные функционалы р*, ..., р* на L2 (Sm, 2, v) так, чтобы det(p*z^) = l. Отсюда вытекает, что существует последовательность {х*} непрерывных линейных функционалов на L2(Sm, 2, v), такая, что если Х^ер и функции W^-, X), ..., Wp(-, X) линейно независимы, то det(х*WД-, X))^0 для некоторого р-набора [х*!, •x„p]s{x*}. С другой стороны, если Х£ер и функции И^ (•, X), ..., Wp(-, X) линейно зависимы, то существуют такие не равные нулю числа 0г (X), что

р

2 рг(Х)^г(., х) = о,1=1

и поэтому ясно, что каждый определитель det (х*.^; (•, X)) должен обратиться в нуль. Другими словами, от есть в точности множество тех Х^ер, для которых det (х*.Wj (•, Х)) = 0 для каждого р-набора [x*v ..., х£р] ^ {х*}. Таким образом, от есть пересечение последовательности измеримых множеств и потому оно p-измеримо, что завершает доказательство утверждения (I).

Чтобы закончить доказательство теоремы, предположим, что функции U/Д-, X), .... Wp(-, X) не являются линейно независимыми для p-почти всех X из ер. Из утверждения (I) вытекает, что существует такое р-измеримое подмножество о0 в е, что р (о0) #= О, и для всех ХСо0 множество {l^i(-,X), ..., l^p-i(-,X)} линейно независимо, но множество {№i(-, X), ..., Wp(-, X)} линейно зависимо. Пренебрегая множеством меры нуль, мы можем предположить, что о0 — борелевское множество. Таким образом, существуют комплекснозначные функции с^ на Оо, такие, что

Wp(., Х)^ а8(Х)^(., X), Хба0,

1=1

и эти функции единственны. Покажем, что функции-коэффициенты а/ р-измеримы, и этот факт приведет нас к противоречию.

Пусть е>0 и 81, 82, ... — последовательность положительных чисел, такая, что 28;<8- Используя лемму 17, мы можем для каждого / найти такое борелевское множество cj с q0, что р (о0 — Cj) < 87- и сужения функций II7i(-,X), ..., №Р(-,Х) на S,

непрерывны как функции на с, со значениями в L2(Sj, 2, v).

Положим с— Ц Cj. Тогда ц(о0— с) <.8, и из определения нормы j=i

в G(S, 2, v) ясно, что Wt (•, X), ..., Wp(-, X) непрерывны как функции на с со значениями в G(S, 2, v). Пусть Хо —фиксированная точка из с. Тогда по лемме 18 существует такое натуральное т, что сужения ^(-.Xq), ..., Wp-t(-, Хо) функций ^1(*, Хо), ..., Wp-t^-, Хо) на 8т являются линейно независимыми функциями в L2(Sm,, 2, v). Так как каждое конечномерное подпространство В-пространства в силу следствия IV.3.2 замкнуто, то из следствия 1.3.13 теоремы Хана — Банаха вытекает существование таких непрерывных линейных функционалов у*, ..., yp_t в L2(Sm, 2, v), что у* (IT, (•, Хо)) = 6Ul 1 = 1, ..., р — 1. Определим непрерывный линейный функционал F} на G (S, 2, v), полагая Fi^yUfW для /eG(S, 2, v), i= 1, ..., р-1. Тогда Ft (Wj (•, Хо)) = Ьи, i, /= 1,...-, р — 1. В силу непрерывности Ft существует такая окрестность N (Хо) точки Хо, что определитель det Ft (Wj (•, X)) не обращается в нуль в точках X £ N (Хо) П с. Таким образом, функции aj как решения уравнений

р-1

2 аДХ)^(^(.,Х)) = Л(Гр(-,Х)) 3=1

непрерывны по X при X £ V (Хо) П с- Так как f| N (Хо) = с, то функ- ХоЕс

ции aj непрерывны на с. Поскольку р(ог0 —с)<е не произвольно мало, функции aj р-измеримы на о0.

Теперь нетрудно прийти к противоречию. Пусть од —ограниченное борелевское подмножество в о0, такое, что р (од) #= О и функции at ограничены на од. Так как од с ер, то из уравнений (И), формулы (И) леммы 9 и того факта, что pz(e) = pp(e) для е с ер и г = 1, ..., р, вытекает, что

£ (од) ар = ^ Wp (•, Л) рр (dX) =ai

р-1

= $ 2

(У1 1=1

р-1

= 2 ai(X)W'i(.,X)pi(dX) =

1=1 ai

Р-1

= 2 «imE^at.

1=1

Так как многообразия §о. ортогональны, Е^^ар = 0. Однако ot ^ еР1 и мы приходим к противоречию:

О = (£ (оД ар, ар) = (Е ^ аъ а^ = р (aj =^ 0.

Теорема доказана*

Расширения симметрических преобразований1)

Чтобы применять спектральную теорему, мы должны во многих случаях найти сначала какое-либо самосопряженное расширение данного симметрического оператора. Задача нахождения такого расширения является не тривиальной и даже нс всегда разрешимой. В теории ограниченных операторов мы должны лишь проверить симметричность (Т* з Т^ так как если оператор всюду определен и симметричен, то Т* = Т. Но если Т неограничен, то картина совершенно иная. Рассмотрим, например, оператор, который будет подробно изучен в следующей главе: дифференциальный оператор iD = i(d/dt) в пространстве Л2(0, 1). Как мы должны выбрать его область определения? Первое естественное предположение —выбрать за область определения семейство ®4 всех функций с непрерывной первой производной. Если f и g — две любые такие функции, то

1

(jDf g)= § Ч'WTU)dt = о 1 о

=(А

Два дополнительных «граничных» члена справа нарушают симметричность. Чтобы устранить их, естественно выбрать теперь в качестве области определения оператора ID семейство ®2 всех функций / с непрерывной первой производной и таких, что /(0) = /(1) = 0. Этот выбор области определения делает оператор iD симметрическим, но все же не делает его самосопряженным. Легко, например, видеть, что множество ®i будет содержаться в области определения сопряженного (iD)* и в том случае, если принять ®2 за область определения оператора iD. Все эти трудности обнаруживаются, даже если сбросить со счета все широкое многообразие возможных «локальных патологий» (недифференцируемость и т. д.) функций из L2.

!) См. также прекрасное изложение теории расширений в гл. IV книги М. А. Наймарка [5]. —Прим. ред.

Столкнувшись с такими трудностями, разумно привлечь на помощь абстрактную теорию, которая может дать какой-то единый подход в тех конкретных случаях, которые нам предстоит рассмотреть. Наша общая абстрактная задача— найти все симметрические и, таким образом, все самосопряженные расширения данного симметрического оператора. В этом параграфе мы рассмотрим эту задачу, используя метод Калкина, приспособленный к нашим будущим приложениям к дифференциальным уравнениям.

Основная идея теории состоит в том, чтобы, отправляясь от симметрического оператора 7, найти самосопряженный оператор расширением области определения. Поле наших исследований сужается благодаря следующей лемме.

Лемма. Пусть ^ — оператор с плотной областью определения.

Если оператор Т^ является расширением оператора 7Ь то Т* —расширение оператора Т*.•

Если оператор Т^ симметричен, то всякое его симметрическое расширение Т2, в частности всякое его самосопряженное расширение, удовлетворяет соотношениям Т\ ^ Т2 ^ Т* <= Т*.

Доказательство. Если Т\^Т2 и У^^^Т*), то ^х,Т*у) = = ^Т2х, у) = (Тгх, у) для любого хС® (7J. Следовательно, //С® (7*) и (х, Т*у^ = (х, Т*уУ Отсюда вытекает, что Т*^Т*. Этим доказано (а), а (Ь) есть его непосредственное следствие.

Из леммы 1(b) следует, что для получения наиболее общего симметрического расширения симметрического оператора Т с плотной областью определения мы должны лишь сузить оператор Т* на некоторую надлежащим образом выбранную подобласть ® (7*). Помня, что следует придерживаться этого основного принципа, мы переходим к систематическому изучению линейных подпространств пространства %(Т*у

На протяжении всего этого параграфа под Т понимается неограниченный симметрический оператор с плотной областью определения. На линейном пространстве ®(7*) введем две вспомогательные билинейные формы.

Определение. Если х, у^^^Т*), то положим

(х, уУ = (х, у) + (Т*х, Т*уУ

{х, у) = — i {(Т*х, у) — (х, Т*иу.

Форма (х, уУ — это просто то скалярное произведение, которое переносится на ® (7*) из $ © §, если отождествить при помощи отображения х<> [х, Т*х] область ® (7*) с графиком Г (7*). Значение формы {х, у} выявляется следующей леммой и с наибольшей ясностью раскроется в следующей главе.

Лемма. Подпространство ® в ® (Т*), содержащее % (Ту есть область определения симметрического расширения Tv оператора Т тогда и только тогда, когда {х, у^ = 0 для всех х, у^^. В этом случае Tt однозначно определяется по формуле Трс = Т*х, х^.

Доказательство. Если Tt— симметрическое расширение оператора Т с областью определения ®, то по лемме 1 Т^гТ*, и, следовательно, {х, у^= — Ц(Т*х, у) — (х, Т*уУ = —i^T^x, у) — — (х, 7\//)} = 0 для х,у С® = ® (Г^. Очевидно, Ttx = T*x для xg®. Обратно, если {х, z/} = 0 для xg® и Tt определен равенством TiX = T*x для х£®, то (^х, у) — (х, Т^) = 1{х, у} = 0, так что оператор Tt симметричен, ч. т. д.

Определение. Подпространство ® в ® (Т*) называется симметрическим, если {х, у} = 0 для всех х, //С®.

А теперь лемму 3 можно переформулировать следующим образом.

3'. Лемма. Общий вид симметрического расширения 1\ оператора Т — это сужение оператора Т* на симметрическое подпространство % в ^(Т*у содержащее % (Ту

Для более глубокого понимания нашей задачи мы должны рассмотреть топологию, определяемую на ®(Т*) билинейной формой (х, уу.

Лемма, (а) С формой (х, уУ в качестве скалярного произведения ^(Т*") становится полным гильбертовым пространством.

Билинейная форма {х, у^ непрерывна в топологии пространства ® (Т*у порожденной скалярным произведением (х, у)*.

Сужение Т\ оператора Т* замкнуто тогда и только тогда, когда его область определения %(Т^ есть замкнутое подпространство пространства % (Т*) в топологии, порожденной скалярным произведением (х, у)*.

Доказательство. Мы уже отмечали, что (х, у)* есть то скалярное произведение, которое переносится на %(Т*) из §©§, если отождествить ® (Т*) при помощи отображения х<>[х, Т*х] с графиком Г (Т*У Так как Г (Г*) замкнут в §©§, то (а) вытекает из леммы 1.6; точно так же получается утверждение (с).

Для доказательства (Ь) мы должны лишь заметить, что

Ж ЛКК^ «/ЖК^ Ж)1<1Ж-Ы + И-1Ж1 =

= V(J*x, Т*х) I у I +1 х IV (Т*у, Т*у) с

с I у IV(х7хунт*хГт*х)+1 х | VСуГ^уГСг^Гл*^ <

<2 {(у, уУ^ xyf\

В оставшейся части этого параграфа будет предполагаться, что пространство ® (Т*) наделено топологией, порожденной нормой | х |* = {(х, х)*}1/2, если только явно не оговорено противное. Если же мы хотим подчеркнуть это обстоятельство, то будем употреблять выражения типа «гильбертово пространство © (Г*)».

Лемма, (а) Замыкание симметрического подпространства гильбертова пространства % (Т*) есть симметрическое подпространство.

(Ь) Всякое симметрическое расширение Т\ оператора Т имеет единственное минимальное замкнутое расширение, область определения которого есть просто замыкание пространства ^(.Т^ в гильбертовом пространстве ® (Т*).

Доказательство. Часть (а) вытекает непосредственно из леммы 5(b), а утверждение (Ь) —из (а) и леммы 5(c).

Из леммы 6(b) вытекает, что всякий симметрический оператор с плотной областью определения имеет единственное минимальное замкнутое симметрическое расширение. Этот факт приводит нас к следующему определению.

Определение. Минимальное замкнутое симметрическое расширение симметрического оператора Т с плотной областью определения называется его замыканием и обозначается через Т.

Лемма, (а) Замыкание Т оператора Т есть сужение оператора Т* на замыкание 5) (Т) в гильбертовом пространстве %<г*у

Оператор Т и его замыкание имеют одни и те же замкнутые расширения.

Оператор Т и его замыкание имеют один и тот же сопряженный. _

Оператор замкнут тогда и только тогда, когда Т^Т.

Самосопряженный оператор замкнут.

Доказательство. Часть (d) очевидна ввиду определения 7. Часть (е) вытекает непосредственно из леммы 1.6.

Для доказательства утверждения (с) заметим, что так как ТгТ, то Т*^Т* по лемме 1. С другой стороны, если х£®(Т*), то (Т*х, у) = (х, Ту") для всех Уу.ТуА^Г^Т) и, следовательно, для всех Yy. ТуА ЕГ(Т). Так как Г(Т) = Г(Т), то по лемме 6(b) и в силу замечания, следующего за определением 2(b), х^^^Т*У

Часть (а) вытекает непосредственно из леммы 6(b) и леммы 3» Из этого же и леммы 5(c) вытекает (Ь).,

Значение леммы 8 объясняется следующим: так как мы ищем самосопряженные расширения оператора Т, то достаточно в силу 8 (е) искать их среди замкнутых симметрических расширений оператора Т. По лемме 8(b) их нужно искать среди замкнутых симметрических расширений оператора Т. Таким образом, используя лемму 8 для замены любого незамкнутого оператора Т^ его замыканием Ть мы можем, не теряя в общности, ограничиться рассмотрением замкнутых операторов.'

А теперь мы перейдем к дальнейшему анализу пространства Э (Т*).

Определение. Положим

®+ = {х С ® (Т*) | Т*х = 1х\, ®_ - {х £ ® (Т*) | Т*х = - 1х\

Пространства ®+ и ®_ называются пространствами положительного и отрицательного дефекта оператора Т соответственно. Их размерности (конечные или бесконечные порядковые числа), обозначаемые через и+ и п_, называются соответственно положительным и отрицательным индексами дефекта оператора Т.

Лемма, (а) Ф(Т), ®+ и %_ — замкнутые взаимно ортогональные подпространства гильбертова пространства %^Т*\

(Ь)Ф (Т*) = ® (Т) © ®+ © ®_.

Доказательство. По лемме 8 (а) ® (Т) замкнуто. Пусть {хп} — последовательность элементов из ®+, сходящаяся к x^%YT*Y тогда {[xn, Т*хп]} = {[хп, ixn^ cz Г(Т*) сходится к [х, Zx] = [х, Т*х^ так как Т* замкнут. Следовательно, Т*х=1х, т. е. х£®+, тем самым 2)+ замкнуто. Аналогично проверяется замкнутость ®_. Так как ®+ и ®_ являются, очевидно, линейными подпространствами в 5) (Т*), то остается показать, что пространства ® (Т), ®+ и ®_ взаимно ортогональны и что их сумма есть ^Т*).

Пусть d^tSXjy d+E®+ и d-^^-. Покажем, что (d, d+)* = = (d, d-Y^d., d+)*==0. Прежде всего заметим, что так как Т*^Т, то

(d, d^Y = (d, d+) + (T*d, T*d+) = (d, d^ + (Td, T*d+) =

= (d, d^ + (Td, id^ = (d, d?) + (d, iT*d+) =

= ^ d+H^ iT*dV) = (d. d+) + (d, iM^ = 0. ‘

Аналогично устанавливается, что (d, d_)*=0. Далее,

(d., d^* = (d-, d^ + <T*d^ T*d^ = (d_, d+H( — id., id+) = 0.

Следовательно, пространства ® (7), ©+ и ©_ взаимно ортогональны и их прямая сумма ©(7)©ф+@©_ содержится в ©(7*).

Для проверки соотношения © (7*) = © (7) © ©+ © ©_ мы покажем, что нуль является единственным вектором, ортогональным ко всем этим трем пространствам. Допустим, что вектор у ортогонален к %(jy ©+ и ©_. Тогда 0 = (d, y)* = (d, y) + (7*d, T*v) для всех d^^^Ty Следовательно, (d, у) = —(T*d, T*v). Так как (•, у) — непрерывный линейный функционал на плотном в ^ подмножестве © (Ту то ясно, что Т*и лежит в Ф (7*) и Т* (7*v) = —у. Следовательно, (7 4-7*7*) у = (7 + ^7*) (7 — IT*) v = 0. Поэтому Т* [(7— IT*") у] = i (/— IT*) v, т. е. (7—t7*)y£©+. Точно так же, если d+ £ ©+, то

0 (у, d^* = (у, d^ + (Т*щ T*d^ = (у, d^ + (7*у, id^ = = (у, d^-ЦТ*^ d+) = ((J — iT*)v, d+y

Так как (7— t7*)y£©+, то мы получаем (7 — tT*)y = 0. Следовательно, Т*о = — io, т. е. yg©_. Но (©_, у)* = 0, поэтому у = 0. Итак, ©(7*) = © (Т) @©+@©_, ч. т. д.

Лемма. Между замкнутыми симметрическими подпространствами g гильбертова пространства ^(Г^У содержащими %^Ту и замкнутыми симметрическими подпространствами g1 в ©+@©_ существует взаимно однозначное соответствие, задаваемое формулой g = ф (7) © g1.

Доказательство. Если х£®(7) и уЕ^(Т*у то {х, у^ = = —i{(Tx, у^ — ^х, Т*уУ^ = 0; следовательно, если х£©(7) = = ®(7) и у^^^Т)*, то {х, #} = 0. Таким образом, если g1 симметрично, то таким же будет и ^^Ъ^Т^^®1. Для проверки замкнутости g в случае замкнутости g1 положим XH^dH-YsH^^, dnE^^T) и Sn^S1. Если хп —> х то, так как ®+@®_ ортогонально к © (Ту мы имеем (Xn — Xm^y^^dn — dm^y^ + (| sn — sm |*)2 —> 0, так что обе последовательности {dn} и {sn} являются сходящимися. Если dn —> d и sn —> s, то по лемме 8 (а) d^^^Ty а так как g1 замкнуто, то s^g1. Таким образом, x£©(T)©g1 = g, и g замкнуто.

Обратно, если g —замкнутое симметрическое подпространство в ©(Т*), содержащее ©(7), то положим g1 = g Q (©+ + ©-). Ясно, что g1 замкнуто и симметрично, и g ^© (7)©g1. Если x^g, то по лемме 10 х можно единственным способом представить

в виде x — d-Yy. где d^^^T) и у6®+©®- Так как ® (Т) ^ S, то d^S; следовательно, Уб®, откуда вытекает, что у 6 S () (®+ © ©-) = S1, и потому 0 с $ (Т)@ g1, ч. Те д.

Лемма 11 показывает, что ®(Т) играет нейтральную роль при нахождении самосопряженных расширений оператора Т и что нужно рассматривать лишь пространство ®+@®_. В следующей теореме делается решающий шаг в этом направлении. Стоит отметить, что для элементов d^, е+^^)+ имеет место равенство (d+, 6+)* = 2(d+, ^+), и потому | d+ |* = ]/2 | d^ |. Точно так же | d-1* = ]^ 2 | d-1 для d-^%— Эти замечания показывают, что преобразование утверждения (а) следующей теоремы изометрично в каждой из норм.■

Теорема. Пусть 5? —замкнутое подпространство в ®+©®- и ©^©(Г)©©1.

Пространство S симметрично тогда и только тогда, когда S1 является графиком изометрического преобразования, отображающего подпространство из ®+ на подпространство из ®—

Сужение Т* на © есть самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда ^ — график изометрического преобразования, отображающего ®+ на все

Доказательство. По лемме 11 © симметрично тогда и только тогда, когда симметрично ©т. Пусть два произвольных элемента s, t из S1 представлены в виде s^d+^d., t = e+-Ye_, где ^+,d+C®+, а е_, d-^®— При этом©1 симметрично тогда и только тогда, когда

{s, t^-i^T^-Yd-Y (e+ + e-))-^d+ + d-), Т* (е++ е_))} = = —l^ld^ — ld-Y ^e^eCy) — ^-Yd-Y (ie+ — ie-^ = = ~z{2z(d+, e+) — 2i(d_, e_)} = 2{(d+, e^-^d-, e_^ = 0,

т. e. тогда и только тогда, когда (d+, e^ = (d_, е_). Отсюда, очевидно, вытекает, что |d+|2 = |d_|2 для всех s = d+-Yd_^^Y т. е. S1 —график изометрического отображения подпространства из 2)+ на подпространство из ®—

С другой стороны, если |d+|2 = |d_|2 для s^d+4-d-ES1, то мы имеем |d+ + 6+|2^ |d- + s-|2 и | d+ — ev |2 = | d_ — е_ |2, так что

Re№, м_т2гИ^А=1^ =

Применяя те же рассуждения к вектору it^ie^-Vie-, мы получаем Im (tZ+, 5+) = Im(d_, е_у так что (d+, 5+) = (d_, €_). Из предыдущего абзаца вытекает, что S1 симметрично. Тем самым утверждение (а) доказано.

Чтобы доказать (Ь), предположим сначала, что S1 —график изометрического преобразования А подпространства из ®+ на подпространство в ®_, и обозначим через 7\ сужение Т* на S. Если область определения ®(Л) есть собственное подмножество в ®+, то существует такой ненулевой вектор у^^^, что (®(Л), у)* = 0. Если х£%<1\у то x^x^yd^yd-, где%1С®(Т), d+E®+ и d_^%_. Следовательно, (х, уу = 0, т. с.

0 = (х, у) + (Т*х, Т*у) = (х, у) — Ц7\х, уУ х^^Т^.

Этим доказано, что (Тре, у)= — Цх, у^ для всех хЕ® СЛ)» и тем самым у^^ТХУ Так как у(Ц1\у ясно, что если ®(Л)сз®+, то Tt не является самосопряженным. Аналогично если область значений Ж (Л) cz ®_, то существует такой ненулевой вектор 2 в ®_, что (Ж (Л), 2)* = 0; как и раньше, отсюда следует, что (х, 2)* = О для всех х^^у а потому z^%(T*y и оператор 7\ не является самосопряжен ным.

Для завершения доказательства утверждения (Ь) предположим, что Л— изометрическое преобразование ®+ на все ®_, a Т\ — сужение оператора Т* на подпространство g = ® (Т)©Г (Л). В силу (a) S симметрично, и, следовательно, 7^ ^ Т*. Остается показать, что ® (Т*) г® (TJ. Предполагая, что это не так и применяя лемму 10(b) к замкнутому симметрическому оператору 7\, мы видим, что существует такой ненулевой вектор s^tJXy что либо ТХ^^и, либо 7^= — и. По лемме 10(a) (®(7\), 2)* = 0. Так как ТХ ^ Г*, то отсюда вытекает, что или ^Е®+, или 2Е®— Если 2Е®+, то 24- Л2Е® (Л) и

0 = (г4-Лг, 2)* = (2, z^y^Az, 2)*.

Так как Л^Е®-, то это показывает, что 0 = (2, 2)* = 2 (2, 2), откуда 2 = 0. Аналогично если 2Е®-, то Л-1(2) + 2Е® (ТД, и, следовательно, 0 = (Л-1 (2) +2, 2) = (Л-1 (2), 2)*+ (2, 2)*. Поскольку Л-1(2)Е®+, мы снова приходим к выводу, что 2 = 0. Таким образом, оба случая приводят нас к противоречию.

Следствие, (а) Симметрический оператор Т имеет самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда его индексы дефекта п+ и п- равны.

(Ь) Если п+ = п- = 0, то единственным самосопряженным расширением оператора Т является его замыкание Т = Т*.

Доказательство. Эти предложения вытекают из теоремы IV.4.16 и лемм 8 и 10.

Доказав теорему 12 и следствие 13, мы достигли нашей основной цели, и оставшаяся часть этого параграфа посвящена переформулировкам и дальнейшим расширениям полученных до сих пор результатов.

Определение. Сопряженным подпространством g* к подпространству g гильбертова пространства ® (Т*) называется множество всех таких х£®(Т*), что {х, g} = 0. Подпространство ® в ® (Т*) называется самосопряженным, если g — g*.

Лемма. Если Т ^Tt^T*, то Т* есть сужение Т* на пространство ^(Т^*, т. е. 2)(Т1) = 2)(Т1)*.

Доказательство. Предположим, что у^^^Т^*, тогда {х, у} = 0 для всех х^^^Т^, т. е. — 1^Т*х, у^ — ^х, Т*у^ = 0. Так как ^(Л) плотно в ^ и Т*х = Т\х, то у^%(Т*у С другой стороны, если у^^^Т*), то (7\х, у^ — ^х, Т*у) для всех хС® (Л)- По лемме 1 (а) Т* г Т*. Следовательно, (Т*х, у) = (х, Т*у\ так что {х, у} = = 0. Таким образом, у^^^Т^*, ч. т. д.

Лемма, (а) Подпространство g в Ъ (Т*) симметрична тогда и только тогда, когда S ^ 3*.

Сужение оператора Т* на подпространство @5® (Т) в % (Т*) есть самосопряженное расширение оператора Т тогда и только тогда, когда самосопряжено @.

Если ©^^(Т*) имеет вид ^^^^^S1, где S1 ^ ^®+ф®-, то g* = (g1)*.

Доказательство. Утверждение (а) вытекает непосредственно из определений 14 и 4. Утверждение (Ь) вытекает из определения 14 и леммы 15. По лемме 8(c) {х, у}=0 для х^^^Т*^ и у£®(Г). Поэтому {х, Ф (Т) ©З1} = 0 тогда и только тогда, когда {х, g1} = 0, чем доказано (с).

В следующей теореме описан довольно часто встречающийся случай, когда симметрический оператор Т имеет равные индексы дефекта и тем самым допускает самосопряженные расширения.

Определение. Отображение U гильбертова пространства ^ в себя, удовлетворяющее соотношениям U (х + у) = Ux + Uy, U(ax) = a(7x, (JJx, Uy) —(у, х), х,у£^ и U2 = l, называется инволюцией.

Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с плотной областью определения, коммутирующий с инволюцией U, тогда Т имеет равные индексы дефекта.

Доказательство. Так как UT = TU, то f/Ф (7) s 2) (7). Поскольку U2 = I, имеем ф (Т) £ U% (Т) и тем самым Ф (7) = [/Ф (7). По лемме 1.6(d) Ф+ = {(Т+17)Ф(7)}± и Ф_ = {(Т-<7)Ф(Т)}±. Если х£®+, то

О-^Т + Щ^ГЬ x) = (Ux, U(T + H)®(T)) == (Ux, (T-iI)U®(T)) = (Ux, <Т-~П)Ъ^\

Таким образом, Ux^%_ и 17®+^ ®_. Аналогично [7®_ ^ ®+. Используя соотношение U2 = I, получаем, что ®+ ^ [7®_ и ®_ ^ ^ [7®+. Таким образом, L/®_ = ®+, [7®+ = ®_. Из свойств инволюции U вытекает, что U отображает всякий ортонормированный базис в ®+ на ортонормированный базис в ®— Следовательно, ®+ и ®_ имеют одну и ту же размерность, ч. т. д.

В качестве примера применения теоремы 18 рассмотрим гильбертово пространство L2(0, со) и оператор Т в нем, задаваемый следующим образом:

область определения ®(Т) есть множество всех функций, имеющих по крайней мере две непрерывные производные и обращающихся в нуль вне компактного подинтервала в (0, оо);

для f^^^T) полагаем Tf = f -Vqf, rji^ (/ — фиксированная вещественная непрерывная функция, определенная на (0, оо).

Ясно, что Т —неограниченный симметрический линейный оператор в L2(0, оо). Если для всех /£А2(0, оо) мы положим ([//)(/) — /(/), где / (Г) —комплексно сопряженная функция, то получим, что 17 —инволюция и UT^TU. Таким образом, Т имеет равные индексы дефекта и, следовательно, обладает самосопряженными расширениями.

Следующий результат показывает, что число

п+ = dim {х [ Т*х = ix^

на самом деле связано не с комплексным числом i, а с верхней полуплоскостью, и в то же время приводит нас к утверждению, которое будет существенно использоваться в теории дифференциальных уравнений, развиваемой в следующей главе.

Теорема. Пусть Т — симметрический оператор', определим для каждого комплексного числа X подпространство ЭЛ % = ^x\T*x = XxY Если Im(X)>0, то размерность 3Jk равна положительному индексу дефекта п^ оператора Т. Более того, если Пл- конечно, то существует семейство {ср/ (X)}, i = 1, ..., п^ векторнозначных функций, определенных и аналитических пра Im X > 0, таких, что для каждого X векторы ср^ (X), i = 1 ..,, п4,

образуют базис в ЭЛ^. Точно такие же результаты имеют место и для X в нижней полуплоскости.

Доказательство. Пусть Ti —сужение оператора Т* на многообразие Ф (Т^ = Ф_ @ 2) (Т). Если X = p + tv, где v>0, и х С® (Л), то

— ((Ji— ц/)х, i^x) — (ivx, (Ti — р/)х)>

> v21 х |2 +tv [(TV, х) —(х, T1x)] = v2|x|2 —v{x, х}.

Записав х в виде x = djd-, где d^J>(Ty d-^-, непосредственными вычислениями приходим к соотношениям {х, х} = (<L, dj = — 21 d_ |2. Таким образом, \(Ti — M) x |2 > v2 |x|2, и потому оператор (7\— X/)-1 ограничен и его норма не превосходит v-1 = = |ImX|-1. По лемме 5(c) TY замкнут. Если хп—»х и (7\ — X/) хп —» у, то Ttxn-^ у + Хх, так что x^^Ji) и Т\х = = yJXx, (Т1 — Х1)х = у. Тем самым оператор (7^ — X/) замкнут, и, следовательно, по лемме 1.2 замкнут и (7\— X/)-1. Из ограниченности (7^ —X/)-1 и леммы 1.2 вытекает замкнутость области определения Ф ((А — X/)-1).•

Мы хотим показать, что Ф((Л — X/)"1) есть все гильбертово пространство. Предположим, что это верно для некоторого Хо. Тогда (Ti — Хо/)-1 = R (Хо) — всюду определенный ограниченный оператор с нормой, не превосходящей | Im Хо |-1. Следовательно, ряд

Г]2 (Х —Х0)"7? (Хо)"+1

п=0

сходится, если | X — Хо [ < | 1шХ0|. Так как Tt замкнут, то для всех у мы имеем

(Ti-XI^^-^RVX^y^п=0

= (Ti - Хо/ - (X- Хо) /} 2 (X- Хо)" R (Хо)"+1у = у.

п=0

Таким образом, (Tj — X/) S) (Tj) = ^ Для 1 ^ — ^о | < | Im^o I-Очевидно, отсюда следует, что если ® ^Tt — X/)'1) = § для одного значения Хо, то это верно и для всех X в верхней полуплоскости. Мы покажем, что ^^Т^ — iI)'1^^, доказав тем самым, что ® ((Л — X/)'1) = § для всех X в верхней полуплоскости.

Так как пространство Ф^Л — Z/)'1) замкнуто, то достаточно проверить, что его ортогональное дополнение состоит лишь из нулевого вектора, или в силу леммы 1.6(d) проверить, что из

соотношения (T*4-i/)x = 0 вытекает х = 0. Но ^эТ, так что по лемме 1(a) Т* г Т*. Таким образом, если Т*х =—ix, то х С ©_ s © (Л). Следовательно,

О = (х, (TJ + П) x) = ((Ti—H)x, х) = ((Т* - И) х, х) = - 2t | х |2;

этим показано, что х = 0.

Для удобства обозначим через Д(Х) всюду определенный ограниченный оператор (Т\— V)-1, Im>0. Тогда (7\— Х1)А(Х) = = (Г* —XI) А (X) = /. Полагая К (а, р) = (Л - а/) А (0), Im а, Im 0 > 0, имеем /< (а, а) = / и К (а, 0) К (0, у)=/£(<*, У)- Таким образом, К(а,Р) —всюду определенный ограниченный оператор в ^ с ограниченным обратным. Кроме того, К (а, 0) = (7^ — ^1)А (0)+ + (0 — а) Л(Р) = / + (Р + а) Л(Р). Отсюда вытекает, что

(Г* — XI) К (i, X) й = (Т* — XI) и + (X—I) (Т*—XI) А(Х)и = (Т* — П)и для всех и £ © (Г*), и, таким образом, из соотношения (Т* — И) и = О вытекает, что (Т* —X/) КЦ< Х)« = 0. Следовательно, K(i; X) определяет взаимно однозначное отображение ЯЛ, в ЯЛх- По аналогичным соображениям обратный К (X, I) к К Ц' К) определяет взаимно однозначное отображение ЯЛх в ЯЛь Таким образом, К У, X) определяет непрерывное взаимно однозначное отображение ЯЛг- на ЯЛх с ограниченным обратным, и потому ясно, что ЗЛг и ЯЛх имеют одну и ту же размерность.

Из [*] видно, что K(i, X) — I + (Х—t) А (X) — аналитическая функция по X. Если ЯЛ, конечномерно и {ф,}, / = 1, ..., и+, — какой-либо базис в ЯЛь то ф,(X) = К(t, X)ф;, / = 1, ...,n*, определяют базис в ЯЛх, ч. т. д.

Обратимся, наконец, к подробному анализу наиболее часто встречающегося случая, когда оба индекса дефекта п+ и п_ оператора Т конечны.

Мы придадим нашим рассуждениям вид, удобный для приложений к теории дифференциальных операторов. Так будут введены абстрактные понятия граничных значений, граничных условий и т. д. В следующей главе, когда мы перейдем к изучению дифференциальных операторов, эти абстрактные понятия получат конкретную реализацию.

Определение. Граничное значение для оператора Т есть непрерывный линейный функционал на гильбертовом пространстве Ф (Т*), обращающийся в нуль на © (Т).

Лемма. Пусть Т — симметрический оператор с конечными индексами дефекта п+ и п— Пространство граничных значений для Т есть гильбертово пространство размерности р = п+ + п-. Множество At, ..., Ай граничных значений линейно независимо 26 Заказ № 134

402 Гл. XIL Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве тогда и только тогда, когда в Ф (Т*) существуют элементы Ф1, ..., <рл, такие, что det (At (ф,)) #= 0, или тогда и только тогда, когда для любого множества комплексных чисел щ, ..., ак в Ф+ Ф Ф- существует такой вектор х, что At (х) = щ, i = 1, . . ., к, или тогда и только тогда, когда матрица (At (ф,)) имеет ранг к, где фи ^р —любой базис в Ф+фФ_.

Доказательство. Все эти утверждения вытекают из леммы 10, леммы 8(a) и элементарных фактов о конечномерных векторных пространствах.‘

Определение. Пусть Т — симметрический оператор с конечными индексами дефекта и+ и п— Множество п+ + п- линейно независимых граничных значений для Т называется полным множеством граничных значений оператора Т. '

Лемма. Пусть Т — симметрический оператор с конечными индексами дефекта п* и п. и Av • • •, Ар —любое полное множество граничных значений для Т. Тогда билинейная форма {х, у} может быть единственным образом представлена в виде

Г1 U- У}^ 2 Щ)А1^А,\у^, x,y^(T»Y

причем коэффициенты а^ удовлетворяют соотношениям djt = dtj.

Доказательство. Используя лемму 21, выберем в ®+ф®_ элементы г^, ..., % так, что Аг (%) = 6^-, где 6^=1, если i='j, и Sjj = O, если i^j. Отсюда вытекает, что ^i линейно независимы и, следовательно, образуют базис в ®+ф®„. Положим аи = ^ь %); так как {х, у} = Vh х), то aZj = ajZ. Ясно, что равенство [*] выполнено, если за х и у взять какие-то из элементов ф1, ..., 1рр. Таким образом, 1*] выполнено для всех х и у из ®+@®_ в силу билинейности обеих сторон равенства [*]. Но по определению 20 и по определению 2(b) обе стороны этого равенства обращаются в нуль, если или х или у лежит в ^^Ту Нужное представление вытекает теперь из лемм 10 и 8(а), а его единственность очевидна.

Следствие. Если At, ..., Ар —полное множество граничных значений для Т и ф1, ..., фр— множество элементов из ® (Т*), такое, что det (Д (ф^^О, то коэффициенты а^ предыдущей леммы однозначно определяются системой уравнений

р

{фА, фг} = 2 «tjAt (фа) А, (фг),1<к<.1<р.

г. 3=1'

Доказательство. Пусть (bi}) — матрица, обратная к(Д(ф,)). Тогда элементарные вычисления, использующие формулу [*] и опре-

деление обратной матрицы, показывают, что

[**] «ц = 2 <Фа, фАМ^.

k, 1=1

Определение. Если В — граничное значение оператора Т, то уравнение В (х) = 0 называется граничным условием. Множество граничных условий В, (х) = 0, i = 1, ..., к, называется линейно независимым, если граничные значения Bt, ..., Ви линейно независимы. Говорят, что множество граничных условий СДх) = 0, / = 1, ..., т, сильнее, чем множество B;(x) = 0, i = l, ..., к, если все граничные значения В, являются линейными комбинациями значений Cj. Если каждое из двух множеств граничных условий сильнее, чем другое, то говорят, что эти множества эквивалентны. Множество граничных условий Вг (х) = 0, 1 = = 1, ..., к, называется симметричным, если из соотношений Bi (х) = Bt (у) = 0, 1 = 1, ..., к, вытекает равенство {х, у} = 0.

Лемма. Пусть Т — оператор с конечными индексами дефекта. Всякое замкнутое симметрическое расширение оператора Т есть сужение оператора Т* на подпространство в © (Т*), определяемое симметрическим семейством граничных условий Bt^ = 0, i=l, . ,.,k. Обратно, каждое такое сужение Tv оператора Т* есть замкнутое симметрическое расширение оператора Т.

Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Так как Bi — непрерывный линейный функционал на ©(Т*), обращающийся в нуль на ©(Т), то в силу леммы 5(c) ясно, что Tt — замкнутое расширение оператора Т. Так как множество граничных условий симметрично, то из определения 2 (Ь) вытекает, что У\х, у) = (х, Т^у) для всех х и у из %<Г^, и, следовательно, Tt симметрично.

Для проверки первого утверждения предположим, что Tt — замкнутое симметрическое расширение оператора Т и 95 —ортогональное дополнение ©(Л) в гильбертовом пространстве ©(Т*). Тогда ©(ТО—замкнутое подпространство в ©(Т*) и 95 конечномерно (ср. леммы 5(c) и 10). Если yt, ..., иА —базис в 95, то для Xg©(T*) определим функции Bt (х) = (х, у^*. Так как Вг(х) = 0 для х из © (Л) = © (Т), то ясно, что условие В^х^О является граничным. Более того, так как ©(7\) — ортогональное дополнение своего ортогонального дополнения, то семейство В, (х) = 0, 1 = 1, ..., к, граничных условий определяет подпространство ©(Т^ в ©(Т*). Из леммы 3' вытекает, что © (Л) — симметрическое подпространство в © (Т*), и, следовательно, множество граничных условий Bt (х) = 0 симметрично, ч.т. д.

Определение. Пусть Т — симметрический оператор с конечными индексами дефекта, А^ ..., Ар — полное множество гранич-

р

ных значений для Т и {х, у} = 2 aijAt (х) Aj (у), как в лемме 23.

;=i

р

ив,= 2Мь /=1,s,

г—1

— произвольное множество граничных значений для Т и ^^ m = 1, ..., t, — базис множества решений линейной системы р

3Pij5i=0» J = L • ••, 5. Тогда множество граничных условий i=l

р

2 а^Ч^О,1, г,

называется сопряженным множеством граничных условий к условиям |*].

Замечание. Следует отметить, что сопряженных множеств граничных условий существует так же много, как и базисов реше- р

ний уравнений 2 Pu6i 0, / - 1, . .., $. Однако любая пара таких различных сопряженных множеств граничных условий, очевидно, эквивалентна.

Теорема. Пусть Т—-симметрический оператор с конечными индексами дефекта и TY —сужение оператора Т* на подпространство в Ф(Т*), определяемое конечным множеством граничных условий Bj(x)=0, / = 1, .s. Тогда Т* есть сужение оператора Т* на подпространство в % ^T*Y определяемое сопряженным множеством граничных условий.

р

Доказательство. Пусть Bj = 2 РиЛ» / — 1, ..., s, и T2 —сужение оператора Т* на подпространство в S)(T*), определяемое сопряженным множеством граничных условийBj (х)=0, / = 1, ..., s. Если х^Ф^Т^ то х удовлетворяет уравнениям Bj^ = р

= 2 PzjAW = 0, / = 1, ..., s, и, таким образом, Д (х) является г=1

линейной комбинацией элементов ^\ - -i ^\ 1 = 1, . • .,р. Следовательно, если х^(Г^ и y^tT^, то из леммы 23 мы заклю- р

чаем, что {у, х}= 2 auAi {у) Д (^) = 0. Поэтому

г» j=i

(Тгу, х) — (г/, TiX) = I {у, х} = 0,

так что (Т^х, у) = (х, Т^у) для всех xg®^) и у^®(Т2); тем самым показано, что Т2 s Т*.

Предположим, что существует элемент z/g® (Г*) s® (Т*), но z/5®(T2). Тогда по определению 27 существует такое решер

ние [^, ...Др] системы уравнений 2 РгЛг = О, /=П s> что г=1

Р _

2 агЛзАг^ч^О- По лемме 21 существуют в ® (Г*) такие эле-

■Р

менты У), что At^yj) = bij, i, j=l, ..., р. Полагая х0=^^кУк, мы имеем х0С®(Т*) и Лг(х0) = ^, i = L . ••, Р- Следовательно, S>(xo) = O, /=1, ..., з, и тем самым ХоС®^). Однако

р

— Z \<Т*у, х0) — (у, ТiXo)] = ^у, х0} - 2 auAt (у) ^ ^= О, что невозможно.

Лемма. Пусть Т—симметрический оператор с конечными индексами дефекта, сумма которых равна р, Л^ ..., Лр— пол- р_

ное множество граничных значений для Т, а 2 atjAtAj — били'i, j=l

нейная форма леммы 23. Множество граничных условий

2 РиЛ, (х) = 0, /= 1, ..., s, симметрично тогда и только тогда, 1=1

РР

когда из соотношений 2РгЛ» = О и 2РгЛг — О, / = П •••• s> г=1г=1

Р

вытекает, что У «и^^^О- t,

Доказательство. При сделанных предположениях ясно, что р

если для векторов х и у справедливы уравнения 2 Ри А (я) — О г—1

р

и 2 Mi (У)=О, / = 1 s, и из них следует соотношение

г=1

{х, г/} = 0, то множество граничных условий симметрично. Обратно, предположим, что существует пара векторов [|lf ... Др] рр

и [Т]1, ..., Т]р], такая, что 2 Pi^i = 2 Pi^z = 0, / = 1, ..., s, в то г=1г==1

время как 2 Pij^i1l7#=0- По лемме 21 в ®(Т*) существуют i, j=l

такие элементы и и у, что Л; (и) = ^, Л;(у) = г]г, ( = 1, ..., р. Таким образом, оба вектора и и и удовлетворяют граничным р

условиям 2 РиА?' (я) = 0, /' = 1, ..., s, в то время как {ы, у} ^ 0. Следовательно, множество граничных условий не симметрично.

Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с равными конечными индексами дефекта п = п* = п_. Тогда сужение Т* на подпространство в © (Г*), определяемое любым симметрическим семейством п линейно независимых граничных условий, является самосопряженным расширением оператора Т. Более того, всякое самосопряженное расширение оператора Т имеет такой вид.

Доказательство. Пусть Д(х) = 0, i=l, ..., п,—симметрическое семейство линейно независимых граничных условий и ^— сужение оператора Т* на подпространство в ©(Т*), ими определяемое. Тогда по лемме 10 © (Т^ = © (Г) © SB, где 93 s ©+ © ©_. Так как граничные значения Bi обращаются в нуль на © (Т), то SB n-мерно. По лемме 26 оператор Tt симметричен, и потому по лемме 3' пространство ©(Т^ симметрично. Следовательно, в силу теоремы 12(a) SB есть график изометрического отображения U подпространства 501 в ©+ на подпространство 5R в ©_. Так как п = dim(^)<dim(501)<п, то 501 n-мерно и, следовательно, 501 = ©+- Так как U взаимно однозначно, то 5R также n-мерно и, следовательно, 5ft = ©— Таким образом, по теореме 12 (Ь) оператор Tt самосопряжен.

Обратно, пусть Tv— самосопряженное расширение оператора Т. Тогда по лемме 26 Tt есть сужение оператора Т* на подпространство 9В в ©(Т*), определяемое симметрическим семейством линейно независимых граничных условий В;(х)=0, i = l, ..., k, и мы должны лишь показать, что k — n. По лемме 11 ® = © (Т) © SB, так что по теореме 12 (Ь) пространство 95 и-мерно. Так как ©+© ©- 2п-мерно и SB есть множество элементов из ©+ © ©_, удовлетворяющих к линейно независимым условиям, то 95 является (2п —/г)-мерным. Таким образом, 2п — к = п и k = п, ч. т. д.

Наконец, мы даем явное описание общих самосопряженных расширений оператора Т.

Теорема. Пусть Т — симметрический оператор с равными конечными индексами дефекта п_ = п+ = п, <plt ..., фп— орто- нормированный базис в ©+ и фъ ..., фп—ортонормированный базис в ©_. Пусть Bi (х) = (х, ф,)* и Ct (х) = (х, ф,)* для х £ © (Г*) и \<.1<.п. Тогда всякое самосопряженное расширение Т есть

сужение Т* на подпространство % (Г*), определяемое граничными условиями

5=1

где (6г,)—произвольная матрица, удовлетворяющая равенствам п

2 ®15®м^^и- Более того, всякое такое сужение оператора Т* 5=1 есть самосопряженное расширение Т.

Доказательство. Ясно, что Вг и Ct — граничные значения. Заметим теперь, что теорема может быть эквивалентно сформулирована следующим образом. Оператор является самосопряженным расширением Т тогда и только тогда, когда он является сужением Т* на подпространство ®, состоящее из всех таких хС® (Г*), что {х, z)* = {x, Uz)*, z£%+, где U — изометрическое отображение $+ на ®— Для доказательства рассмотрим сужение Т* на такое подпространство ®. Записав х в виде x^d + d^ + d., d^{T), d^^^^, d-^%-, видим, что x^SB тогда и только тогда, когда (d+, г)* = (й_, (7г)* для всех 2 5®+, т. с. тогда и только тогда, когда d_ = Ud+. Таким, 'образом, ® есть прямая сумма 2) (Г) и графика изометрического отображения ®+ на ®_, и, следовательно, сужение оператора Т* на ® есть самосопряженное расширение оператора Т. Обратно, если Ж—область определения самосопряженного расширения Т, то по теореме 12 (b) ® = ® (Т) © ©Г (17), где U—изометрическое отображение ®+ на ®_. Элементарные вычисления показывают, что ® состоит из множества тех х^^Т*), для которых (х, 2)* = (x, Uz)* при всех 2^®+, ч. т. д.

Полуограниченные симметрические операторы

В этом параграфе мы изучаем самосопряженные расширения тех операторов в классе симметрических операторов, которые часто встречаются в граничных задачах математической физики.

Определение. Симметрический оператор Т называется ограниченным сверху {ограниченным снизу), если существует такое вещественное число с, что {Тх, х)^с{х, х) {{Тх, х)>с{х, х)) для всех х^%{Т). Если Т ограничен сверху или снизу, то говорят, что Т полуограничен. Число с называется гранью для Т, а наименьшее (наибольшее) из таких с называется верхней {нижней) гранью оператора Т. Если {Тх, х)>0 для всех х^{Т), то Т называется неотрицательным.

Этот параграф посвящен доказательству следующей теоремы фон Неймана и Фридрихса.

Теорема. Всякий полу ограниченный симметрический оператор с плотной областью определения имеет полуограниченное самосопряженное расширение с той же гранью.

Доказательство. Если Т полуограничен, то для некоторой постоянной а или Т-\-а1 или — Т4-а/ ограничен снизу единицей. В силу леммы 1.6 ясно, что без ограничения общности можно считать выполненным (Тх, х)>(х, х) для всех х£®(7).

Для х^у^СТ) положим (х, уУ = (Тх, у). Тогда (х, х)+> >(х, х)>0, и ® (Т) — линейное пространство с эрмитовым билинейным скалярным произведением (х, уУ. удовлетворяющим условиям (I) —(V) определения IV.2.26 скалярного произведения в абстрактном гильбертовом пространстве. Так как доказательство неравенства Шварца (теорема IV.4.1) нс требует аксиомы полноты IV.2.26 (VI), то ясно, что | (х, у)+|<|х|+ |у\+ для х, у £® (Т). Таким образом, ® (Т) с нормой | х |+ = ((х, х)+)1/2 становится нормированным линейным пространством, вообще говоря, нс полным.

Определим теперь ®0 как подпространство элементов х в §, обладающих следующим свойством: существует последовательность {xn} ^ ® (Т), такая, что хп—>х в § и lim \хт — хп|+ = 0. Мы т, п->оо

покажем, что эрмитова билинейная форма (х, уУ может быть распространена с ® (Т) на ®0, ПРИ этом ®0 станет гильбертовым пространством (т. е. полным) со скалярным произведением (х, уУ- Затем будет показано, что сужение Tt оператора Т* на ФоО®^*) есть самосопряженное расширение Т с той же гранью. Если lim |xm — xn|+= 0 и limxn = x0, то существует lim |хт|+, так т, п->ооп->оот->оо

как ||хт|+ —|хп|+|С|хт —хп|+. Если y^s^T), limz/m = Xo т->оо

и lim \ут—//п|+ = 0, то, полагая zn = xn —уп, мы имеем lim zn = 0 ТГЦ П->ООП->ОО

и lim |гт — zn ]+= 0. Следовательно, существует такое число М, ТГЦ п-^оо

что |zm|+CM, т = 1, 2, ... . Более того, для заданного е>0 найдется такое N, что \zm—zn|+<e длят, n^>N. Таким образом,

(| zH |+)2 С | (zn, zmy I 1 (zn, zn — zmy I I (zn, zmy I + Me.

Так как | (Zn, £тУ || (Zn, T*Zm) || zn 11 Tzm [, to lim (Zn, z^y — 0,

m=l, 2, ... . Следовательно, lim (|zn|+)2<Me и lim | zn |+= 0. Так как ||хпГ — |z/n|+|<|xn — УпУ = \2пУ, то ясно, что lim|z/n|+ = = lim | xn |+. Отсюда вытекает, что существует корректно определенное распространение нормы | </1+ с ©(Т) на ®0, получаемое

из соотношения | х |+ = lim [ хп |+ для любой последовательности {х„}, если limxn = x и Пт |хт — хп|+ = 0.

п->оот, п->оо

Далее будет показано, что из условий х„ —> х, хп g © (Т) и lim|xn —хт|+ = 0 вытекает lim |х„ —х|+ = 0. Заметим сначала, m, пп->оо

что из предыдущего абзаца следует, что lim |xm — xn|+ = |x—xn|+ m->oo

и lim |xm + xn|+ = |x + xn|+ для всех n. Вместе с тем тождество

(I Хт - Х„ |+)2 + (I хт + хп Г)2 = 2 [(I хт |+)2 + (IХП Г)2]

показывает, что lim | xm + хп |+ = 2 | х |+. Следовательно, т, п->оо

lim |х + хп|+ = lim lim |xm4-xn |+ = 2 |х|+. п->ооп->оо т->оо

Однако, полагая в предыдущем тождестве т—>оо, мы видим, что(IX - хп Г)2 + (I X + Хп |+)2 = 2 [(| X |+)2 + (| хп Г)2].

Отсюда следует, что lim |х —х„ |+ = 0. Из этого факта обычными рассуждениями, использующими предельный переход, получаются соотношения |х|<|х|+, |х + </|+С|х|+ + |у\+ и |ах|+ = |а | |х |+ для всех х, уС®0 и любого числа а. Таким образом, ©0— нормированное линейное пространство с нормой ] х |+, и ©(7) плотно в ©о-'

Более того, так как |(х, у)+|-<|х|+|у|+ на плотном подмножестве © (7) х © (7) в ©о х ®0, то форма (х, уУ может быть продолжена по непрерывности (ср. 1.6.17) до билинейной эрмитовой формы, определенной на ©0.

Можно показать, что ®0 полно, т. е. ©0 — гильбертово пространство со скалярным произведением (х, уу. Действительно, если {х„}—фундаментальная последовательность в ®0, то можно найти последовательность {//„} в плотном подмножестве © (7) s ©о, такую, что | Хп—уп |+< Un. Тогда lim \ут—Уп\* = 0 и, следова- т, п->оо

тельно, lim \ут — Уп\ = 0- Если х —такой элемент в ^, что т, п->оо

|//п —^|—*0, то по определению х есть элемент из ©0. Однако было показано, что при этих условиях lim | уп—х|+ = 0. Следовательно, lim | х„ — х |+ — 0 и ©о полно.

Определим теперь расширение Tt оператора Т, полагая ©(Tt) = = ©ofl©(7*), Ttx = T*x для xG©^). Ясно, что ТгТ^гТ* и 7\ —линейный оператор с плотной областью определения. Так как

{х, уУ = (х, Ту), х,у^<Г),

то из непрерывности вытекает, что такое же равенство выполнено для x^^tTt) и y^^tT). Однако, так как (х, z/)+= (Т*х, у) для х^^^Т^ и у^Я^Т), то из непрерывности следует, что

(х, у)+ = (Т*х, у) = (Лх, у), х.убФ^).

Из равенства (х, у)+ = (у, х)\ х, у g®0, видно, что Tv— симметрический оператор. Соотношение (Т^, х) — (х, х)+>(х, х) показывает, что Т^ имеет ту же нижнюю грань, что и Т. Для проверки самосопряженности Tt необходимо убедиться в том, что Т^^Т^ есть все гильбертово пространство g. Если х — произвольный элемент из g, то функция (*,х) непрерывна на гильбертовом пространстве ®0; действительно, если |уЛ|+“->0, то |уп| —>0 и, таким образом, lim (уп, х) = 0. Из теоремы IV.4.5 вытекает существование такого вектора 2gS)0, что (у, х) = (у, 2)+ для уЕ®о- Так как (у, 2)+= (Ту, г) для у^(Т), то 2С®(Т*) и T*z — x. Следовательно, 2С®оП®(Т*) = ®(Т1) и T^z^x. Таким образом, Т^^)^ = @. Из леммы 1.6(d) следует, что Т* взаимно однозначен. С другой стороны, так как Т^ симметричен, то Т^Т*. Таким образом, и Tt и Т* имеют областью значений g, а так как Т* взаимно однозначен, то ® (Т^ = ® (Т*). Этим показано, что Т^Т*, т. e. Tt — самосопряженное расширение Т, ч. т. д.

Следствие. Пусть Т — полуограниченный симметрический оператор и %0 — множество векторов х^^, для которых существует такая последовательность ^^^^(Т), что х^-^х и (Т(хт — хп), (Хт—хк^—>0. Тогда сужение Т* на ®0П®(Т*) есть самосопряженное расширение оператора Т с той же гранью,

Унитарные полугруппы

В первом параграфе гл. VIII была построена теория сильно непрерывных полугрупп ограниченных операторов (см. определение VIII.1.1). Цель настоящего параграфа —найти вид инфинитезимального оператора (определение VIII. 1.6) в том случае, когда элементами полугруппы являются унитарные операторы в гильбертовом пространстве.

Теорема (Стоун), Если ф (t), 1>0^ —сильно непрерывная полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве, то существует единственный (быть может неограниченный) само- сопряжецный оператор В, такой, что

и(1) = еив, />0.

Доказательство. Пусть Л— инфинитезимальный оператор полугруппы \U (t)Y В силу VIII.1.8 и VIII.1.11 Л— замкнутый оператор с плотной областью определения, причем его резольвентное мно-

жество содержит всю правую полуплоскость Re к > 0. Более того, мы имеем

I*]R(X;A)x=^e-MU(t)xdt, ReX>0.

о

Положим 8 (t) = и (t)* = {17 (О)-1 Для t>0. Ясно, что S (^) 8 (/2) = = S(/1 + /2). Для /1>/2 получаем | 8 (^) х —8 (4) х | = = | х—U (t}) S (/2) х | = | х—U (ti — /2) х |, и, следовательно, |S(^)x —S(/2)x| = |х —[7(1^ —/2|)х| для всех ^ЛХ). Таким образом, {5(0} является также сильно непрерывной полугруппой. Ясно, что S (0* = {S (О}-1 = U (0 Для ^ > 0. Если х С ® (Д), то

Нт= пт s (0 (х-ТиЛ^х \ =- Ах.

Таким образом, если At — инфинитезимальный оператор полугруппы {«§(/)}, то At^ — А. Точно так же получаем, что — A^AV Следовательно, At = — Д, и

[**] R (X; — Д) х — ( e-MU (ty xdt, Re к > 0.о

Положим теперь В = — iА. Используя равенства R (X; аВ) = = (M — aB)"1 = a"1R(ka"1; В) и формулу [*], мы видим, что

R (— ik; B)x = i ^ e~uU (t) х dt, Re к > 0, о

и если —/Х = р,, то

R (р,; В) х = /: ^ е-г^1и (t) х dt. Im pi< 0.о

Точно так же из [**] получаем

R (р,; В) х = i J eW (0* х dt, Im р, > 0.о

Таким образом, если Imp,>0, то

(R (р,; В) х, у) = — i eW (U (/)* х, у) dt =о

= — i ^ ег^ (х, U (/) у) dt = — i ^ (х, е-^-Ю (t) у) dt =оо

= ^х, i ^ e-^U (/) у dt^ = (х, R (р; В) у\ о

Следовательно, 7?(р; В)* = 7?(р; В). Используя лемму 1.6(b) и 1.6(c), находим р,1 — В* = \хД— В, и тем самым В* = В, т. с. В самосопряжен.

Если Е — разложение единицы для оператора В и V(V) = eUB, то по теореме 2.6

4-00

(У^х,у) = J ^ЧЕ^Х^УУ

Следовательно, для Re ц > 0 в силу теоремы Фубини и теоремы 2.6 (е) мы имеем

(V (/) х, у) dt =(Е (dX) х, у) dt =

ОО —ОО

= $ ^Ч^Х)х, y)==(R^; 1В)х, у).

Так как 7?(р; iB) = R (р; Л), то из [*] вытекает, что

^ е-^ (V (^) х, у) dt = ^ е-^ (U (t) х, у) dt, Re р > 0. оо

По лемме VIII. 1.15 e~et (V (t) х, у) = e-et (U (t) х, у) для t > 0 и произвольного е > 0. Следовательно, U (t) = V (t) для t > 0, и теорема доказана.

Каноническая факторизация

В этом параграфе будет доказано, что всякий замкнутый оператор Т с плотной областью определения в гильбертовом пространстве имеет единственное разложение Т = РА, где А — положительное (т. e. (Ах, х)>0, х£®(Л)) самосопряженное преобразование, а Р— частичная изометрия (см. определение 4 ниже). Этот результат можно рассматривать как обобщение того факта, что всякое комплексное число а имеет единственное представление а — ге^, где г>0, а | ei61 = 1. По аналогии с тем фактом, что г = (аа)1/2, мы прежде всего попытаемся получить самосопряженный оператор А из оператора Т*Т.

Т*Т самосопряжен и положителен*,

если Т — сужение оператора Т на^ (Т*Т), то Г (Т') = Г (Т).

Доказательство. По лемме 1.5 Г (Т*) = [Д2Г (Т)]1, где А2 — изометрический изоморфизм [х, у] —> [у, — х] пространства $©$ на себя. Таким образом, если х£[Ф(Т*)]1, то

[х, 0] С [Г (Т*)]1 - [Д2Г (Т)]11 = АДЦТ) = Л2Г (Т).

Здесь мы воспользовались тем фактом, что Т замкнут. Следовательно, [0, — х]£Г(Т), и, таким образом, х = 0. Этим показано, что ^(Т*) плотно в ^. Для доказательства равенства Т** = Т покажем, что Г (Т**) = р(Т). По лемме 1.5

Г (Т**) = [Д2Г (Т*)]1 - [Л2 [Л2Г (Т)]1]1 =

- [Л22Г (Т)]1 ± = [ - Г (Т)]11 = Г (Т).

Этим закончено доказательство утверждения (а).

Так как Т замкнут, то многообразие ® (Т) со скалярным произведением (х, у)^ = (х, у) +(Тх, Ту) есть гильбертово пространство, которое мы будем обозначать через ^t. Кроме того, в ^ функция (х, у) является эрмитовой билинейной формой. Неравенства | (х, у) К | х| | у | <| х |i | у |t показывают, что она непрерывна. Из леммы Х.2.2 вытекает существование такого ограниченного самосопряженного оператора А в ^ что (х, у) = (Ах, у)^ х,у^(Т).

Мы можем также рассматривать А как отображение из всюду плотного подпространства ®(Т) в ^ в пространство ^. В этом случае А все еще остается непрерывным, так как

| Ах I2 = (Ах, Ax)i = (Л2х, x)i = (Ах, х), х^^) (Т), и в силу приведенных выше неравенств

(Ах, х)< | Ах 11 х |С | Ах|i | х |,

и тем самым |Лх|1<|х|. По теореме 1.6.17 А может быть единственным образом продолжен до непрерывного отображения В из ^ в ^t. Из соображений непрерывности следует, что (Вх, y)i = = (х, у) для х£^, у^^(Т) и что | Вх|С| Bx|iC|x| для х^^. Таким образом, рассматривая В как отображение из ^ в плотное его подмножество, мы видим, что В является оператором в ^ с нормой, не превосходящей единицы. Так как для х,у, принадлежащих плотному множеству %(Т), мы имеем

(Вх, у) = (Ах, у) = (АЧ, у), = (Ах, Ау^ = (х, Ay) = (х, By), то оператор В самосопряженный. Далее, для х^^, у^^^Т) (х, у) = (Вх, у\ = (Вх, у) + (ТВх, Ту) =

= (Вх, у) + (Т*ТВх, у) = ((/ + Т*Т) Вх, у).

Так как ^)(Т) всюду плотно, то (I А-Т*Т) Вх = х для х£$§.

С другой стороны, если х€®(Т*Т) и у£^, то Ву^ф) и (В (I + Т*Т) х, у) = ((/ + Т*Т) х, By) =

= (х, By) + (Тх, ТВу) = (х, Ву\ = фх, y)i = (х, у).

Таким образом, В (7 + Т*Т) х = х для х £ ® (Г*Т) = ® (7 + Т*Т). Этим закончено доказательство утверждения (Ь).

По лемме 1.6 (7 + Т*Т)* = (В-1)* = (В*)-1 = В-1 = 7 + Т*Т, так что оператор 7 + Т*Т самосопряженный. Но так как ^т*Т)* = = (7 + 7*7)* — 7 = 7*7, то и 7*7 самосопряжен. Соотношение

<Г*Тх, х) = (7х, Тх) > 0, х £ ® (Т*Т).

показывает, что 7*7 положителен, и тем самым (с) доказано.

Пусть теперь 7' —сужение оператора 7 на ®(7*7) и $ —ортогональное дополнение к Г (7') в замкнутом многообразии Г (7) в § © $. При этом [х, 7х] £ $ тогда и только тогда, когда (х, y)t = — ([х, Тх^Ду. 7у]) = 0для всех у g® (7') = ® (7*7). Для проверки утверждения (d) докажем, чтб если [х, Тх^ К то х = 0. Так как В^=%(7+7*7) = ® (7*7), то из соотношения (х, y)i=0, у^®(7*7), вытекает, что (х, B2)i = (Bx, 2)t=0 для всех 2g^. Так как (Вх, z)t = = (х, z), то х = 0, ч. т. д.

Далее нам потребуются некоторые сведения о положительных самосопряженных преобразованиях и квадратных корнях из них.

Лемма. Самосопряженное преобразование 7 положительно тогда и только тогда. когда его спектр о^Т) является подмножеством интервала [0, оо).

Доказательство. Пусть В —разложение единицы для 7, так что по теореме 2.3 мы имеем

7n = 7E([-n, n]) = ^ ХЕ^-Е^ — п. п\)ТЕ^ — п. п]). —п

Тогда, также по теореме 2.3, Тпх-^-х для всех х^$)(71). По теореме 2.9(b)

[*]o(T)U{0}3 U о(Тп)эо(Т).

71=1

Таким образом, если о (Г) s [0, со), то из теоремы Х.4.2 вытекает, что Тп>0. Следовательно, (Тх, х) = lim(Тпх, х)>0, и преобразование Т положительно. Обратно, если Т>0, то (Тпх,х) = = (ТЕ ([ —n, п])х, Е ([—п, п])х)>0, т. е. Тп >0. Таким образом, по теореме Х.4.2 о (Тп) s [0, оо). Следовательно, [*] показывает, что о (Т) s [0, оо), ч. т. д.

В следующей лемме утверждается, что положительное самосопряженное преобразование имеет единственный положительный «квадратный корень».

Лемма. Если Т — положительное самосопряженное преобразование, то существует единственное самосопряженное преобразование Л, такое, что А^Т.

Доказательство. По лемме 2 о (Т) ^ [0, оо), и по теореме 2.6 (d) положительная функция /(%) = Х1/2на о(Т) определяет самосопряженный оператор A = f(T). В силу следствия 2.7(c) А^^Т и ® (Л2) = Ф (Г) П ® (Л). Но из теоремы 2.6 (а) вытекает, что ® (Т) ^®(Л), и потому ® (Л2) = ® (Т). Таким образом, А^^Т. Положительность А следует из теоремы 2.9(b) и леммы 2. Для проверки единственности А предположим, что В2 = Т, где В также самосопряжен и положителен. Пусть 6 — борелевское множество в [0, со), б^^Х^О, оо), Л,1/2£б}, и пусть Е^А), Е^В) и £(•; Т) — разложения единицы для операторов Л, В и Т соответственно. Тогда по теореме 2.9 (с) Е (6; Л) = Е (6^ Т)=Е (6^ В^ = = Е(6; В). Таким образом, Е (•; Л) = Е (•; В) и потому по теореме 2.3 А — В, ч. т. д.

Теперь мы введем в рассмотрение класс операторов, которые в нашем анализе будут соответствовать множителям е^ в числовом случае. На первый взгляд может показаться, что подходящим для этого классом являются унитарные операторы. Однако простой пример показывает, что такое предложение нс является приемлемым. Рассмотрим, например, двумерное гильбертово пространство и оператор, матрицей которого служит

/а 0\

\0 0/ *

Ясно, что соответствующее разложение должно иметь вид /а 0\!е^ 0\ 1г 0\

\0 О/ = \о е0/ \0 О/ ’

где а = rei6 —разложение числа а. Однако первая матрица в правой части есть нс изометрия, а лишь частичная изометрия; точный смысл этого понятия объясняется в следующем определении.

Определение. Ограниченный линейный оператор Р в гильбертовом пространстве ^ называется частичной изометрией, если существует такое замкнутое подпространство ЭЛ, что | Рх | = | х | для х £ ЭЛ и Р (ЭЛ1) = {0}. Подпространство ЭЛ называется начальной областью оператора Р, а Р9Л ( = Р^ — его конечной областью.

Лемма. Ограниченный линейный оператор Р в гильбертовом пространстве является частичной изометрией тогда и только тогда, когда Р*Р — проектор. В этом случае РР* также является проектором, и области значений операторов Р*Р и РР* служат соответственно начальной и конечной областями оператора Р.

Доказательство. Если Р*Р — проектор, положим ЗЛ = Р*Р^. Тогда для х^ЗЛ и г/^ЗЛ1 мы имеем

| х |2 = (х, х) = (Р*Рх, х) = (Рх, Рх) = | Рх |2,0 = (Р*Ру, у) = (Ру, Ру) = \Ру\2,

и, таким образом, Р —частичная изометрия с начальной областью ЗЛ. Для проверки того, что РР* — проектор, областью значений которого служит конечная область 91 = РЗЛ, примем за Q оператор, который равен Р"1 на 91 и нулю на SR^-. Если x£9t, то <2х£ЗЛ и, таким образом, Qx = P*PQx = Р*х и х = РР*х. Вместе с тем если у 191 = РЗЛ = Р^, то Р*у = 0 и РР*у = 0. Таким образом, РР* — проектор, областью значений которого является 91 = РЗЛ, конечная область оператора Р.

Чтобы завершить доказательство, достаточно проверить, что Р*Р является проектором, если Р —частичная изометрия. Пусть х, у £ЗЛ — начальной области оператора Р. Тогда тождество | х+^ |2= = | Рх+ Ро |2 показывает, что (х, у) + (у, х) = (Рх, Ру) + (Ру, Рх). Следовательно, Re(x, y) = Re(Px, Ру). Так как Im(x, y) = Re(x, w), то (х, у) = (Рх, Ру), если х, у^ЗЛ. Если х£ЗЛ и w£ ЗЛ1, то Pw=0, и тем самым 0 = (х, w) = (Рх, Рш). Таким образом, для любого вектора у в гильбертовом пространстве мы имеем (х, у) = (Рх, Ру), если х^ЗЛ. Это означает, что (х, у) = (Р*Рх, у) для всех у и, следовательно, Р*Рх = х для х^9Л. Так как Р обращается в нуль на ЗЛ1, то таким же будет и Р*Р. Тем самым Р*Р —ортогональный проектор на ЗЛ, ч. т. д.

Следствие. Р является частичной изометрией тогда и только тогда, когда Р* —частичная изометрия.

Теорема. Если Т —замкнутое преобразование с плотной областью определения, то оно может быть представлено и притом единственным способом в виде произведения Т^РА, где Р — частичная изометрия с начальной областью 91(7*), а А —такое самосопряженное преобразование, что ^^А) = ^^Т*).

Доказательство. Пусть А — положительный квадратный корень оператора Т*Т; его существование вытекает из леммы 3 и леммы 1 (с). Тогда (Лх, Лх) = (Л2х, х) = (Т*Тх, х) = (Тх, Тх) для х£ф(7*7). Если положить Р0Лх = Тх для х G ® (Т*Т), то Ро —корректно опре-

деленная изометрия с областью определения 91 (Д'), где Д' —сужение оператора Д на ® (РТ).

Так как Т*Т = Д*Д, то лемма 1 (d) показывает, что Г (Д') плотно в Г(Д). Таким образом, если [х, у]£Г(Д), то существует последовательность {[xn, z/n]} с Г (Д'), такая, что [хп, уп] —> [х, у]. Следовательно, Уп—> у и 91 (Д') плотно в 91 (Д). Пусть Р4 — изометрическое расширение оператора Ро на 91 (Д) и Е — перпендикулярная проекция § на 91 (Д). Если положить P = PiE. то Р —частичная изометрия с начальной областью 91 (Д). Более того, РАх^Тх для х£®(Т*Т).

Пусть {Уд} —последовательность элементов из ® (Д), такая, что уп—* У и РДуд—>2. Так как Р — изометрическое отображение 91 (Д), то Ауп сходится к некоторому элементу и. Поскольку А замкнут, уС®(Д) и Ау = и. Таким образом, у^Ф(РД) и РАу=г. Следовательно, РА замкнут.

Проверим теперь формулу Т = РА. Пусть Т — сужение Т на %(Т*Т). Тогда по лемме 1(d) Г (Р) плотно в Г(Т). Если х^^^Т^ то существует последовательность {[хп, Тхп]} а Г(Р), сходящаяся к [х, Тх]. Так как РАхк — Тхп и РА замкнут, то РАх = ИтРДхд = ИтТхд = Тх. Таким образом, Т^РА. С другой стороны, Г (Д') плотно в Г(Д). Таким образом, если х£®(Д), то существует последовательность {[хп, Ахп]} элементов из Г (Д'), сходящаяся к [х, Ах]. Так как РАхп — Тхп и Т замкнут, то РАх = = ИшРДхд=:ИтТхд = Тх. Таким образом, РА г Т и, следовательно, РА — Т.

Соотношение 91(Д) = 91(Р) является следствием лемм 1.6(d) и 1(a), ибо Д*х=Дх = 0 тогда и только тогда, когда Т**х — Тх = ^РАх = 0.

Покажем, наконец, что разложение Т — РА единственно. По лемме 1.6(c) АР* = Т*. Следовательно, РТ = ДР*РД. Так как по лемме 5 Р*Р есть проектор на 91 (Д), то Т*Т — А2. Единственность А вытекает теперь из леммы 3. Так как преобразование А единственно, то Р однозначно определяется на 91 (Д) уравнением Р (Ах) — Тх. Кроме того, продолжение Р по непрерывности с 91 (Д) на 91 (Д) единственно. Так как Р равен нулю на 91 (Д)1, то отсюда вытекает, что Р однозначно определяется по оператору Т. ч. т. д.

Теоремы о моментах

Термин момент. использованный в заголовке этого параграфа, был введен в математическую терминологию Стильтьесом, который в знаменитом мемуаре [ 1 ], 1894 г., сформулировал и решил то, что он назвал проблемой моментов. Терминология, заимствованная из тео- 27 Заказ № 134

ретической механики, связана со следующей ситуацией: если р, (6) — масса, распределенная на множестве 6 прямой, то интегралы tyi^dt^ ^ ^2р (dt) дают статический момент и момент инерции относительно начала отсчета. Вообще интеграл ^ /пр (dt) называется п-м моментом относительно начала отсчета на прямой, и задача, поставленная и‘решенная Стильтьесом, состоите нахождении распределения массы р, на полупрямой [0, оо) по предписанным ее моментам. Проблема моментов Гамбургера похожа на задачу Стильтьеса, но отличается от нее использованием всей вещественной оси ( — оо, оо) вместо полупрямой [0, оо). Проблема моментов Хаусдорфа также похожа на задачу Стильтьеса, но связана с конечным интервалом вещественной оси.

В этом параграфе мы покажем, как применить спектральную теорему для самосопряженных операторов при доказательстве многих результатов теории моментов. Мы начнем с решения проблемы моментов Гамбургера.

Теорема. Пусть тк.п — 0. 1; 2, .... — последовательность вещественных чисел. Для существования неотрицательной меры р,, определенной на борелевских множествах вещественной прямой.

такой, что | ^ Г р (Л) < оо и

тп- J tnVL(dt). п-0. 1, 2, ....

необходимо и достаточно, чтобы

п

2 тг+,агау>0г, j=0

для любого конечного множества а0, •.., ап комплексных чисел.

Доказательство. Заметим сначала, что это условие необходимо. Действительно, если {т^} имеет такое представление и а0, ..., а^ — * любое конечное множество комплексных чисел, то

пооп

2 т^№= $ ( 2 ^’а^^ =

г, j=0—00 i, 3=0

оо nitоо п ^

= J (2 /<ог)(2 t’a^ldt) — $ | 2 ^|

— оо г —О3=0—°0 3=0

Для доказательства достаточности обозначим через 21 линейное пространство всех последовательностей с^, п = 0, 1, 2, . комплексных чисел, все элементы которых при достаточно больших п являются нулями. Если £ = [ап] и г| = [р^] лежат в 21, то определим п

Я) = 2 rnuja^j.

г, j=0

Тогда (6, я) —эрмитова билинейная форма на 91, и по предположению (6, 6)>0, 6 €®- Если положить |6|=К(6, £), то отсюда вытекает (см. доказательство теоремы IV.4.1), что выполнено неравенство Шварца | (|, я) I < 1111Я | и|6 + я|<|^| + |я| Для всех В, Я691.

Пусть теперь 910— подпространство в 91, состоящее из всех таких последовательностей 6, что [ ^ | = 0. Если я = В + Во, где 1^91, Во€^о> то по неравенству Шварца (6, 910) = 0 и, таким образом, |я| = |^|- Поэтому если через % обозначено факторпространство 91/910 элементов х = 6 + 910, В €91, то мы можем положить |х| = |6|. Ясно, что при этом 95 становится нормированным пространством. Пусть ^ — замыкание в 95** подпространства х (95), где х —естественное изометрическое вложение $ в 95** (см. II.3.19). Ввиду леммы 1.6.7 ясно, что § полно. Покажем, что jg — гильбертово пространство. Так как (|, 910) = 0, В €91, то (В, Я) = (Во Я1)> если В — Bi и я — Я1 лежат в 910. Таким образом, мы можем определить на 95 билинейную форму, полагая (х, у) = (В, я), если х = В + 9[0, у = Я + $о- Если (х, у) продолжить по непрерывности с 95x95 на § х ^ (см. 1.6.17), то ясно, что ^ — гильбертово пространство.

Далее, для 6 = [«гКЯ положим TB = [pib где ро = О, рг+1 = аг, i>l. Если я = [7гК91, то

СП;, я)= 2 "гг+;ргу, = 2 mujCti-^j^г, з=0г=1, j=0

= 2 тги+1«;У,- = (6, Тк\у

г, j=0

Таким образом, |Т^|2 = (Т2^, £) = 0, если ^ С 2Г0. т. е. Т91о^®о. Полагая Sx^T^ если х^^ + ^о» мы получаем линейное отображение 95 в себя, удовлетворяющее соотношению (Sx, у) = (х, Sy\ х. у£%. Так как 95 плотно в ^, то S — симметрический оператор в ^.

Если V — отображение 21 в себя, определяемое равенствами V[az] —[aj,то, очевидно, V(g + r]) = V^4-Vt], V(a^) = aV^ (У^ Ут]) —(£, Л) и V2 = /. Следовательно, V2Io ^ 21о и отображение U : 95 —> ®, определяемое формулой Ux = V^ если х = ^ + 210, можно 27*

продолжить по непрерывности до отображения (которое мы также будем обозначать через Щ всего пространства в себя; это отображение является инволюцией (см. определение 4.17). Так как SUx = USx для хС®, то из теоремы 4.18 вытекает, что S имеет равные индексы дефекта. Таким образом, в силу следствия 4.13 S имеет самосопряженное расширение Si.

Пусть v — последовательность [1,0, 0, ...] из 91 и ^ = v + 4-9IoG®- Так как % — ®(S) и 595^95, то ^C®(Sn) для всех п. Следовательно, по теореме 2.6

t2n(E(dt)u, ^)<оо,п>0,

где Е(-) обозначает разложение единицы для SP Более того,

(Snu, J tn(E(dt)u, uY п>0.

Но ^и, и) = (Тпу, y^mns п = 0, 1,2, . . . . Таким образом,

тп = ^ tnyi(dtY

где pi(^) = (E ^и, uY ч. т. д.

Несложные рассуждения позволяют применить метод предыдущего доказательства к решению проблемы моментов Стильтьеса.

Теорема. Пусть тП1 п = 0, 1,2, ..., — последовательность вещественных чисел. Для существования неотрицательной меры pi, определенной на борелевских множествах полупрямой [0, оо), такой, что

тп — tnV- (dt), п = 0, 1,2 ...,о

необходимо и достаточно, чтобы

[*]2 тг+,ага/>0

, 5=0

U

[**]2 т;+;+1ага,>0

г, 5=0

для любого конечного множества а0, ..., ап комплексных чисел.

Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что условие [*] необходимо. Для доказательства необходимости условия [**] заметим, что если тп — /np(d/), то о

mt+^Uia^J ( 2 ^+,+1aia,) V-W =

i, 3=00 г, j=0

=J112 12^(<^)>о.О г=0

Для доказательства достаточности отметим, что в предположении [**] оператор Т из доказательства теоремы 1 удовлетворяет неравенству

(7^, |) = 2 тц-жачСЧ>0

г, з=0

для всех 6 = [«;]£91. Таким образом, (Sx, х)>0 для х5® и S- неотрицательный симметрический оператор в ^. По теореме 5.2 он имеет неотрицательное самосопряженное расширение Sp Если Е (•) — разложение единицы для Sp то из доказательства теоремы 1 вытекает, что

тп = ^ /пр(Л),п>0,

где р, (е) = (Е (е) и, и). Но по теореме 2.9 и лемме 7.2 Е(( —со, 0))=0. Таким образом, р(( —оо, 0)) = 0 и

тп = ^ /np,(d/),п>0,

о

т. д.

Несколько изменяя тот же метод, можно доказать следующую теорему Бохнера о моментах.

Теорема. Пусть т— комплекснозначная функция вещественной переменной t. Для существования конечной неотрицательной меры р, определенной на борелевских множествах вещественной прямой, такой, что

т^=e^^^ds"),

необходимо и достаточно, чтобы

т была непрерывна;

для всякого множества аь ..., ап комплексных чисел и всякого множества /п ..., tn вещественных чисел

mkti — t^a.iaj>0.i, 3=1

Доказательство. Если т допускает представление т(/) = = ^ ei/sp(ds), то непрерывность функции т вытекает из теоремы Лебега (IIL6.16). Более того,

ПОО-J-ОО пП

2 а^л § е1^-'^ (ds) =( У и/в1'^ Q У aAe-t'*s^ ц (ds) =

, h=l—оо—оо j= 1&= 1

4-0071

= $ |S а/*^ vAds)>0.

—оо 3= 1

Таким образом, необходимость условий (а) и (Ь) установлена.

Для доказательства достаточности примем за 91 множество всех комплекснозначных функций / вещественного переменного 1. для которых /(/) = 0 всюду, кроме конечного числа значений I. Если /,££$, положим (/, g^-^m^t — s)/(/)g(s); эта сумма опре- s, t

делена, так как она имеет лишь конечное число отличных от нуля слагаемых. Тогда (/, g) — эрмитова билинейная форма на 91 и по предположению (/,/)>0. Пусть | /1 = (/,/)1/2 для fQ И и

Я0 = {ШбЯ, |/|=0}.

Отсюда вытекает, так же как и при доказательстве теоремы 1, что Йо — линейное подпространство в 8 и (910, /) = (/, йо) = О для f^. Полагая (х, у) = (/, g) для элементов х = / + 910и у = ^ + 910 из 95 = 91/910, мы получаем эрмитову билинейную форму на 95. Как и в случае теоремы 1, 95—-плотное подпространство гильбертова пространства ^ и скалярное произведение в § есть непрерывное продолжение функции (х, у) в 95.

Для каждого t примем за V (/) отображение 91 в себя, определяемое по формуле (V (/) /) (s) = / (s — t). Тогда V (s) V (/) = V(s-\-t) для всех s и /, и

(V(/)A V(t)g)= 2 m(s1-s2)f(s1-t)g(s2 — t) =

Si, S2

= 2 ^(s^t — s2-t)f(Si)g^) = (f, g);

Si, S2

отсюда в силу неравенства Шварца вытекает, что V (t) Уо = ЭД0. Следовательно, мы можем определить отображение U (t): SB —> %, полагая (7(/)х = У(0/+ ^о> если x = f + §lo€®- Тогда ясно, что

{*1 t/(s + Г^Щз) U(t),(!/(/)%, (7(0 z/) = (x, у)

для —оо</<ео, х,у^%. Так как, в частности, |(7(/)х| = |х|, то отображение U (/) можно продолжить по непрерывности с 95 на пространство й, и тогда равенство [*] выполняется для всех t и х,у£^. (Это продолжение мы также обозначаем символом U (/).) Таким образом; семейство {(/(/)}, —оо </<со, представляет собой группу унитарных операторов на ^.

Далее мы покажем, что группа {(7 (•)} сильно непрерывна.

Пусть х = / + 31о€^, где f^SS.. Тогда

| U (^) x-U (t2) х |2 = | U (| tY-t21) х-х|2 =

H^i-^xM^^Retl/tl/,-^ х) =

= 2Re(|x|2 —(17(1^ —/2|)х, х)} =

= 2Re{ 2m(si-s2)/(si)/(s2)- 2 W(S!—s2)/(«!—[ ^—/г I)/(s2)) = Si, S2Si, S2

= 2Re{ 2 [т($! —s2)—m(Si—s2 + |^ —<2|)]f(si)flS)}. Si, S2

Так как по предположению функция m(/) непрерывна, то

|C7(/i)x-C7(/2)x|->0

при 1^ —/2|—>0 для всех х£Я5. По теореме II. 1.18 это выполнено не только для xg®, но и для х£^. Таким образом, [/(/) — сильно непрерывная группа унитарных операторов.

Из теоремы 6.1 теперь вытекает существование неограниченного (быть может, ограниченного) самосопряженного оператора Т, такого, что U(t)^eUT. Пусть Е— спектральное разложение оператора Т и у —функция, определяемая соотношениями у(/) = 0 для /=/=0, у(0) = 1. Если и —элемент и + $о С 95> то по теореме 2.3

m (0 = (V (0 у, у) = (17 (/) и, и) = ^ ^ (Е (dX) и, и).

Таким образом, полагая р (е) = (Е (е) и, и), мы имеем т(/) = = е^р (dZ), и достаточность условий (а) и (Ь) установлена.

Читателю теперь будет нетрудно применить метод предыдущей теоремы для доказательства следующего результата того же типа для полуинтервала [0, 2л).

Теорема. Пусть тп, n = 0, ± 1, ±2, ..., — последовательность комплексных чисел. Для существования конечной неотрицательной меры, определенной на борелевских множествах [0, 2л), такой, что

2Л

тп = ^ eins|i (ds), n = 0, ± 1, ±2, ..., о

необходимо и достаточно, чтобы

п

2 т^сца,- > О г, з=—п

для всех конечных последовательностей а^ — n<.i<.n, комплексных чисел.

Упражнения

Симметрическое преобразование, область значений которого— все гильбертово пространство, является самосопряженным.

Если операторы Т и Т* всюду определены, то Т ограничен.

Пусть оператор Т самосопряжен, а В ограничен. При этом ВТ гТВ тогда и только тогда, когда В коммутирует с разложением единицы для Т. Если ВТ г ТВ, то для всякой борелев- ской измеримой функции / оператор В/ (Т) имеет замыкание И Жп = !^в.

Точечный спектр симметрического оператора в сепарабельном пространстве является счетным подмножеством вещественной оси.

Если Т — симметрическое преобразование, определенное на всюду плотном множестве, то

ИV = (T-Z/)(T + Z/r1

— изометрическое преобразование, не обязательно всюду определенное. Показать, что оператор Т замкнут тогда и только тогда, когда замкнут V. Оператор I — V взаимно однозначен, имеет плотную область значений и

цт-iU + VHi-vr.

Обратно, если V —изометрический оператор, имеющий плотную область значений, и такой, что I — V взаимно однозначен, то уравнение ["] определяет симметрический оператор Т, для которого выполнено соотношение [']. Всякое изометрическое рас-

ширение Vt оператора V обладает тем свойством, что I — Vt взаимно однозначно; Т максимально среди симметрических преобразований тогда и только тогда, когда V [максимально среди изометрических преобразований.

Оператор Т является самосопряженным тогда и только тогда, когда V унитарен. Показать, наконец, как эта конструкция, принадлежащая фон Нейману, может быть использована для доказательства следствия 4.13.

Пусть дан максимальный симметрический оператор Т в гильбертовом пространстве g. Показать, что g может быть разложено в прямую сумму

®=®o©Se«а

ортогональных подпространств, инвариантных относительно Т и 7*, со следующими свойствами.

Сужение То оператора Т на g0, определяемое уравнениями *5) (То) = ® (Г) Q g0, TQx = Tx, х С® (То), самосопряжено.

Для каждого а существует изометрия Ua пространства ga на Т2(0, со), такая, что если Та —сужение оператора Т на ga (т. е. ® (Та) = ® (Т)П^а, Тах = Тх для xG®(Ta)), то иаТаиа совпадает с оператором ± /А, где А определяется соотношениями

®(А) =

= {/СТ2(0, оо)|/ абсолютно непрерывна, /'£L2(0, со), /(0) = 0}, А/ = /', /6®(А).

При этом мы имеем -Г ^А Для всех а, если положительный индекс дефекта оператора Т равен нулю, и — /А для всех а, если отрицательный индекс дефекта Т равен нулю. (Указание: см. теорему XIII.2.10 и следствие XIII.2.12; использовать конструкцию упражнения 5 и разложить максимальный изометрический оператор V.)

Если {Т^Д^о —сильно непрерывная полугруппа операторов в гильбертовом пространстве с инфинитезимальным оператором Д, то {Г* (/)}/^о— сильно непрерывная полугруппа с инфинитезимальным оператором Д*.

(Купер.) Инфинитезимальный оператор сильно непрерывной полугруппы {V (/)} частично изометрических операторов с начальной областью g имеет вид IT, где Т—максимальный симметрический оператор с положительным индексом дефекта нуль. Обратно, всякий такой максимальный симметрический оператор является инфинитезимальным оператором сильно непрерывной полугруппы частично изометрических операторов с начальной областью g.

Гильбертово пространство g может быть разложено в ортогональную прямую сумму g = go © S ga ТЗК, ЧТО

а) сужение оператора V (/) на §0 унитарно, / > 0;

Ь) для каждого а существует изометрия Ua пространства йа на Ф(0, оэ), такая, что

(0,0<х</,

Ф« (V (0 I ^а) №) / to = | f (х_ X>L

Установить соответствующий результат для сильно непрерывной полугруппы частично изометрических операторов с конечной областью jg.

Неограниченное преобразование Г в § называется нормальным, если Т замкнуто, всюду определено и ТТ* = Т*Т. Показать, что

если Т нормально, то нормально и Т*;

преобразование Т нормально тогда и только тогда, когда © (Т) = © (/*) и | Тх | = | Т* х | для всех х £ © (Т);

нормальное преобразование не имеет собственных нормальных расширений (см. Секефальви-Надь [3; стр. 33, 34]).

Если Т = UH г HU, где Я —самосопряженное, a U — унитарное преобразования, то Т нормально и UH = HU. Обратно, если Т нормально, то Т = UH =HU, где U унитарно, а Я —самосопряжено и положительно.

Замкнутый, определенный на плотном множестве оператор Т нормален тогда и только тогда, когда © (Т) = © (Г*), а операторы Т + ?* и ЦТ—-Т*) являются самосопряженными и имеют коммутирующие разложения единицы. Оператор Т нормален тогда и только тогда, когда T = A-VIB, где А и В — самосопряженные операторы, имеющие коммутирующие разложения единицы.

Т нормален тогда и только тогда, когда существует разложение единицы Е в комплексной плоскости Р, такое, что

©(T)={x|lim f XE^x©(T)={x|lim f XE^xсуществует |существует |

©(T)={x|lim f XE^x

©(T)={x|lim f XE^x

существует |

существует |

и

x^W).x^W).Тх= lim f XE(dX)x, П->оо v

x^W).

x^W).

Нормальное преобразование не имеет остаточного спектра.

Сильно непрерывная полугруппа ^Nt^ ограниченных нормальных операторов может быть представлена в виде

ППNt = J euE<dzYр

П

П

где £(•) —спектральная мера, определенная на борелевских множествах комплексной плоскости Р. Если ^Nt^ состоит из самосопряженных операторов, то Е(-) можно выбрать так, чтобы интеграл в [*] нужно было брать лишь по вещественной оси, и тогда полугруппа {NJ непрерывна в равномерной топологии при />0.

Пусть оператор Т замкнут. Операторы Т*Т и ТТ* унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда

dim {х | Тх = 0} = dim (х | Т*х = 0).

Более общо, пусть

^ = {х | Тх = 0)1,& = М Т*х = 0).

Тогда существует изометрическое отображение U подпространства ^ на ^2, такое, что UT*TU-1x = TT*x, х^^.

Показать, что равенство упражнения 15

dim {х | Тх = 0} = dim {х | Т*х = 0} выполнено не всегда.

(Шмидт.) Оператор Т*Т имеет те же ненулевые собственные значения, что и оператор ТТ*, даже с учетом кратностей (положительные квадратные корни этих собственных значений иногда называются характеристическими числами оператора Т).

Пусть Т — ограниченный оператор; Т вполне непрерывен тогда и только тогда, когда этим свойством обладает Т*Т, а это имеет место тогда и только тогда, когда вполне непрерывен ТТ*. Если оператор Т вполне непрерывен и {Аь А2, ...} —последовательность ненулевых характеристических чисел оператора Т, расположенных в убывающем порядке, причем каждое из них повторяется столько раз, какова кратность его квадрата как собственного числа оператора ТТ*, то

An = mm max •,- .

Фь.Фп-1 01’, Фг)=О, I I

г—1,.. ., п—1

Положительное вещественное число А является характеристическим числом оператора Т тогда и только тогда, когда существуют такие ненулевые векторы ф и гр, что

Тф = Агр, Т*1^ = Аф.

Пусть оператор Т вполне непрерывен и {AJ —последовательность ненулевых характеристических чисел оператора Т, расположенных в убывающем порядке, причем каждое из них повторяется

столько раз, какова кратность его квадрата как собственного числа оператора ТТ*. Пусть {ф?} — соответствующая последовательность ортонормированных собственных векторов оператора ТТ*. Тогда существует соответствующая последовательность {^} ортонормированных собственных векторов оператора Т*Т, такая, что для всякого / ряды

^7=2 kt у, <ро ч*4»г=1

Tf=i Mb ФОт*г=1

СХОДЯТСЯ В СИЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ.

(Наймарк.) Существует замкнутый определенный на плотном множестве симметрический оператор Т, такой, что © ^Т^ = 0.

Пусть Т = РА— каноническое разложение оператора Т. Оператор Т взаимно однозначен тогда и только тогда, когда А положительно определен; в этом случае Р — изометрия. Оператор Т* взаимно однозначен тогда и только тогда, когда Р унитарен.

Если оператор Т имеет какое-либо замкнутое линейное расширение, то существует единственное замкнутое линейное расширение Т, такое, что для любого другого замкнутого линейного расширения Tt оператора Т выполняется соотношение ТгТ^ Т называется замыканием Т. .

Существует определенный на плотном множестве оператор без замкнутого линейного расширения.

Оператор Т с плотной областью определения имеет замкнутое линейное расширение тогда и только тогда, когда его сопряженный определен на плотном множестве; в этом случае ^*=т*.

Дать примеры замкнутых симметрических операторов, имеющих заданную пару (т, п) порядковых чисел в качестве индексов дефекта.

(Наймарк.) Пусть Т — замкнутый симметрический оператор в гильбертовом пространстве ^. Существуют такие гильбертово пространство ^i^^ и самосопряженный оператор Т^ в ^ что

® (Т) = ® (Л) П ^ Т.х - Тх. х^ (Т).

(Указание: принять за ^v прямую сумму ^ и его «комплексно сопряженного»!)

(Наймарк.) Пусть оператор Т такой же, как в упражнении 25. Тогда существует функция множества F (•), определенная на борелевских подмножествах вещественной оси и имеющая

своими значениями положительные ограниченные эрмитовы операторы, такая, что

(a) F(-)x счетно аддитивна при каждом х£^;

(b)®(T)={x| ^|V|(F(dX) х, х)<оо|;

(с) Тх = J XF^dX^x, xG®(T),

причем интеграл по бесконечному интервалу сходится в сильной топологии в смысле главного значения.

(Наймарк.) Пусть F(-)—функция множества, определенная на о-поле 2 подмножеств множества S, значениями которой являются положительные ограниченные эрмитовы операторы с нормой, не превосходящей единицы, в гильбертовом пространстве ^, причем F(-)x счетно аддитивна при всяком х£§. Показать, что существует гильбертово пространство §t1 содержащее ^, и счетно аддитивная функция множества £(•), определенная на 2, значениями которой являются ортогональные проекции в §ъ такая, что

F (е) х = РЕ (е) х, е£2, х^§,

где через Р обозначен ортогональный проектор ^ на ^. (Указание: рассмотреть сначала случай, когда § одномерно, а затем обобщить найденное в этом случае решение.)

Пусть в гильбертовом пространстве § задан самосопряженный оператор Л, причем 0<^Л<:/. Тогда существуют гильбертово пространство §t ^ § и ортогональный проектор Q в ^, такой, что

Ax^PQx, х^^,

где Р — ортогональный проектор ^ на §.

Пусть {Т^}— последовательность ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ^. Существуют гильбертово пространство §i 3 § и последовательность {^n} коммутирующих нормальных операторов в ^ такая, что

T^x-PN^x, х^,

где Р — ортогональный проектор ^ на ^. (Указание: рассмотреть отдельно вещественные и мнимые части и использовать упражнение 27.)

Пусть {Дп} — последовательность ограниченных самосопряженных преобразований в гильбертовом пространстве ^. Предположим, что для некоторой постоянной М, 0<<Д4<оо,

а01 + о^А^ 4-... 4- апАп **> 0

для любого вещественного многочлена

я04-яА4- • • • 4-^^п>

неотрицательного на отрезке [ — М, М]. Тогда существуют такие гильбертово пространство §15 § и эрмитов оператор В в jg1? что

Апх = РВпх, х^^

где Р — ортогональный проектор ^ на jg. (Указание: представить м

Ап в виде ^ VFtdX) и воспользоваться упражнением 27.)

(Секефальви-Надь.) Пусть {Дп}, — оо <м<;4-оо, —равномерно ограниченная последовательность операторов в гильбертовом пространстве jg, такая, что .

"§ г^емАи>0, О<0<2л, 0Сг<1.

п=—ОО

Тогда существуют гильбертово пространство ^ a jg и унитарный оператор U в ^, такие, что

Апх = cPUnx, xQ^, — со < п < 4" °°,

где Р— ортогональный проектор ^ на ^, а с — положительная постоянная.

(Секефальви-Надь.) Пусть Т— оператор в гильбертовом пространстве jg и | Т | С 1. Тогда существуют гильбертово пространство §1 з jg и унитарный оператор U в ^, такие, что

Tnx = PUnx, х£&0<.п-<аэ,

где Р— ортогональный проектор jgt на ^.

(фон Нейман.) Пусть м(г) —аналитическая функция, определенная в круге |z|<r, г>1, и такая, что |и(г)|<1 при | г | < 1. Пусть Т — оператор в гильбертовом пространстве и | Т |< 1. Тогда |н(Т)|<1. Точно так же, если Reu(z)>0 при |z|<l, то и (Т) + (ы (71))* > 0. (Указание: воспользоваться упражнением 32.)

Существуют такие самосопряженные операторы А и В, что Ф(4) П ® (В) = {0}. Таким образом, для самосопряженных

операторов А и В ни А + В, ни АВ 4-ВА не обязаны быть самосопряженными. Может даже случиться так, что АВ определен только для {0}.

Множество {(Тх, х)| |х| = 1, х£®(Т)} выпукло.

(Секефальви-Надь.) Пусть Г —график замкнутого оператора Т, а Ер — ортогональный проектор ^©jg на Г. Тогда

Ер [х, 0] = [(/ + Т*7')-1х, TU-VTW-xV

(Секефальви-Надь.) Если операторы Ап самосопряжены для всех п>\, Апх—>ДоХ для всех х£®(Ах>) и замыкание А оператора А«> самосопряжено, то

(/ + А^У1 (7 + Л2)"1 сильно,

Л„ (7 + А»)-1 —> Л (/ + Л2)-1 сильно.

Если же

I АпХ — ДооАН2 Аhm sup " , . „ 2 = 0,П->ОО X^iA^ I X I

TO

(7 + Лн)-1 —> (7 + Л2)"1 равномерно,

AK (I + Лп)-1 —> Л (7 + Л2)’1 равномерно.

(Реллих.) Пусть операторы Ак самосопряжены при всех п>\ и А^х—^А^х для всех хС®(Лоо). Предположим, что замыкание А оператора Лоо самосопряжено и имеет разложение единицы E(-Y Тогда /(Лп)~>/(Л) сильно для всякой ограниченной функции / вещественной переменной, которая непрерывна всюду, кроме, быть может, замкнутого множества С, такого, что Е (С) = 0. Если-

lim sunI2 _ о

то g(A^—>^(Л) равномерно для всякой ограниченной непрерывной функции g вещественной переменной.

Нс существует двух ограниченных эрмитовых операторов Л и В, таких, что АВ — ВА = И. Но существуют неограниченные эрмитовы операторы, такие, что АВх — ВАх = ix для всех х из некоторого всюду плотного подмножества гильбертова пространства.

(Принцип неопределенности, Гейзенберг.) Пусть А и В — самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие, что ®0 = ® (ЛВ) П ® (ВЛ) всюду плотно. Пусть х С ®0; положим

В(С) = (Сх, xY оЧС) = \(С-Е(С)1)х\^

для всякого оператора С, для которого определено Сх. Тогда

о2 (А)ОЦВ)>1ЦЕ1АВ-ВА)) |2.

(Бодью.) В предположениях и обозначениях предыдущего упражнения

о2 (Л) о2 (В) > 11 (^ кАВ - В А)) I2 +11 £ (О) I2,

где

D - (А - Е (Л) /) (В - Е (В) 1)-у(В-Е (В) /) (А - Е (Л) /).

Обобщения теоремы Пэли —Винера

Пусть {xj и {z/J —последовательности элементов 6-пространства. Если для некоторого 0, О<0<1, для всех конечных числовых последовательностей аь . ..,ал выполнено неравенство

12 «г (х,— уг)[ <91 2 «А Iг=1i=l

и {xj фундаментальна, то и ^у^ фундаментальна. Если {xj — базис, то и {z/J —базис.

Пусть {xj и {z/J —последовательности элементов В-про- странства. Если для некоторой постоянной 0, О<;0<1/3, для всех конечных числовых последовательностей аь ..., ап выполнено неравенство

12 atUi — i/i^ <9{| 2 «-tx^ 4 I 2 «гУ;|Ь г=1г=1г=1

то {хг} фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна {у,}, и {xj является базисом тогда и только тогда, когда {у,} — базис.

(Поллард—Секефальви-Надь.) Пусть (хг) и {у,} —последовательности элементов ' в гильбертовом пространстве. Если существуют такие постоянные 0Ь 02, 93, что О<04< 1, О<03< 1, 0<92<(1—Qi) (1— 93), и для всех конечных числовых последовательностей аь ..., ап выполнены соотношения

| 2 аг kXt Z/z) Iг = 1'

01,2 ^-i^i I 4“ 202 I 2 az-^i I I 2 ^tyt I "Г ®3 I 2 ^-iUt f ’

1=11=1i=l1=1

то {xj фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна {z/J, и {xj является базисом тогда и только тогда, когда {z/J —базис.

(Поллард.) Пусть {xj и {z/J —ортонормированные последовательности элементов гильбертова пространства. Предположим, что при некотором ц>0 для всех конечных числовых последовательностей аь ..., ап выполнено неравенство

2 агаДхг, у,'» у. 2 I «i I2- i;/=j=lг=1

Последовательность {xj фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальна ^ytY (Указание: воспользоваться упражнением 44.)

(Даффин — Ичес.) Пусть {хп} и {z/n} — последовательности элементов гильбертова пространства и {хп} полна и ортонорми- рована. Предположим, что для всех числовых последовательностей {ап}, таких, что 2 1ап|2<оо, выполнено соотношение

п=1

| 2 ап (^п Уть) |2 < 2 I ап |2>71=1П=1

тогда ^у^ фундаментальна.

(Даффин— Ичес.) Пусть {хп} —полное ортонормированное множество в гильбертовом пространстве, {Тп} —последовательность ограниченных операторов, а «^ — двойная числовая последовательность, такая, что |ап^К^, п1к>Х. Пусть 2^|^|<1- Тогда соотношения

Уп ~2 ^InhTk^n

k=Y

определяют фундаментальную последовательность Y/nY

Пусть {z/J —последовательность элементов гильбертова пространства и О<0<1. Предположим, что для любой конечной числовой последовательности аь ..., ап выполнены неравенства

(1-9)2 2 Ы2< I 2 агг/г|2<(1 w 3 KI2-

г=1г=1г=1

Тогда существует ортонормированное множество {xj векторов, такое, что

7#/ П\ 1/2

I 2 atUh—^)|<е 2 1«=12г=1\г=1/

28 Заказ № 134

для любой конечной числовой последовательности аь ..., ап. (Указание: для соответствующего отображения воспользоваться теоремой о каноническом разложении.)

Пусть {Хл} — последовательность комплексных чисел, такая, что | Хп —-п |<л-1 log2, —оо <я<-г оо. Тогда ^^ фундаментальна в А2(0,2л). (Указание: записать е^пХ в виде егпх ^к'кп-п^ и разложить второй множитель в ряд Тейлора.) (Авторам нс известно, является ли л-1 log 2 наилучшей возможной постоянной. Левинсон [1; стр. 48, теорема 29] показал, что постоянная нс может быть больше или равняться 1/4.)г)

(Уолш —Боас.) Пусть gn (2) аналитичны в круге [ ^ | < 1 и

2 кп(г)-2”|2С0<1

п=0

для всех 2, 121С 1. Тогда всякая функция /, аналитическая при |2|<1 и непрерывная при 12 [ <^ 1, имеет единственное разложение

/(z)= 2 dngn (z),n=0

причем ряд сходится равномерно в каждом внутреннем круге.

Пусть (S, 2, ^ — пространство с мерой и Т — самосопряженный оператор в L2(S, 2, ц). Пусть eg2 —множество конечной меры, такое, что всякая функция / из области значений оператора Т существенно ограничена на е. Показать, что для каждого борелевского подмножества о вещественной оси, находящегося на положительном расстоянии от точки Х^=0, существует (ц х р-)-измеримая функция Е (о; s, /) переменной [s, /], определенная на е х S, удовлетворяющая следующему условию:

\Е(о; s, /) |2ц (d/) < оо, s^e,

и такая, что для почти всех sge

^(а; s, 0/(0н(^) = (£(*; Л/)(*)•

(Указание: воспользоваться методами теоремы XII.3.11.)

Отображение/—>/(Т), где/ — аналитическая функция на спектре оператора Т, в некоторых случаях может тать продолжено так, что /(Г) будет определено для вещественной гармонической функции. Такое продолжение было осуществлено

i) Кадец [1*] показал, что константа 1/4 является точной.— Прим. ред.

Фойашем [1]. В двух следующих упражнениях рассматривается частный случай продолжения Фойаша.

(Фойаш.) Пусть Т —-оператор в гильбертовом пространстве ^ |Т|<1, ^о —вещественная алгебра вещественных функций и. определенных и гармонических в области D (и), содержащей замкнутый единичный круг {Л, 11 X ] ^ 1}, и ^ — вещественная алгебра всех вещественных функций, непрерывных в этом круге и гармонических внутри него. Пусть обе алгебры ^?0 и S8 упорядочены: и>х) означает, что и(Х)>^(Х) для |ХК1. Пусть «#(£))-— вещественная упорядоченная алгебра всех ограниченных самосопряженных операторов в ^. Для оператора S в ^ положим ^ (S) = = (S + S*)/2. Показать, что для функции /, аналитической в области, содержащей единичный круг, оператор ^(/(Т)) зависит только от функции ^/(Х). Таким образом, для u^SBq мы можем определить и(Т) = ^№

Показать, что отображение и —> и (Т) является сохраняющим порядок линейным отображением вещественной алгебры <^0 в ^GS)» причем

| и (Г) l< max I и (X) I.

|М^1

(Указание: воспользоваться упражнением 32.)

Распространить гомоморфизм части (а) до сохраняющего порядок линейного отображения вещественной алгебры в А^, обладающего свойством

| и (Т) К max I и (X) |, иС^.

(Указание: воспользоваться тем фактом, что всякая функция и £ 36 является равномерным пределом'последовательности из <^8 в единичном круге. См. Брело [1].) "

(Фойаш.) Показать для гомоморфизма 36 —* <# (jg) упражнения 52, что

inf и ^ < inf (u (Т) х, х) С sup (и (Т) х, х) < sup и (X).

IM51 И51|х|=1|М51

Пусть X — комплексное число и (хп) — последовательность в ^, такая, что | х„ | = 1 и (X/ — Т) хп —> 0. Тогда

(^ (О "^71, ^n) U (X).

Если Х£ор(Т), хх — вектор с нормой |хх|=1 и Тхх = = Ххх, то

(«(Л^ъ хх) = и(Х).

10. Примечания и дополнения

Спектральная теорема. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве была по существу создана Гильбертом [1; IV], хотя, как мы уже отмечали в § Х.9, он излагал свои результаты в терминах квадратичных форм. По духу и терминологии к нашему изложению немного ближе книга Ф. Рисса [6]. Первый значительный шаг в анализе неограниченных симметрических операторов был сделан в 1923 г. Карлеманом в его исследованиях по сингулярным интегральным уравнениям. Однако лишь несколькими годами позже, в 1927 г., очевидно под влиянием развития квантовой механики, фон Нейман [8] обратил внимание на разложение неограниченных самосопряженных операторов. В своей поистине классической работе [7] фон Нейман систематически и полно развивает теорию неограниченных операторов. Вскоре к этой работе присоединился Стоун [3,10]. В 1930 г. Ф. Рисе [14] дал изящное элементарное доказательство спектральной теоремы для неограниченных самосопряженных операторов. В то же время было дано много различных доказательств спектральной теоремы. Соответствующие ссылки читатель найдет в § Х.9.

Работа Карлемана показала, что одна симметричность нс является достаточным условием для получения обобщения спектральной теоремы для неограниченных операторов.. По фон Нейману [7; стр. 72], понятие неограниченного самосопряженного оператора принадлежит Эрхарду Шмидту, заметившему (фон Нейман [7; стр. 62]), что для получения спектрального разложения необходимо сосредоточить внимание на таких операторах. Следует иметь в виду, что вместо терминов «симметрический» и «самосопряженный» фон Нейман и некоторые другие авторы используют термины «эрмитов» и «гипермаксимальный эрмитов».

График оператора впервые рассмотрел фон Нейман [16], хотя еще до этого он получил результаты, изложенные в § 1. Понятие графика оператора из одного гильбертова пространства в другое систематически использовалось Мерреем [4]. Тот результат, что всюду определенный симметрический оператор ограничен и самосопряжен, по существу принадлежит Хеллингеру и Тёп- лицу [1]; см. также Стоун [3; стр. 59], Стоун и Тамаркин [1] и фон Нейман [7; стр. 107].

Леммы 2.1 и 2.2 в явной форме были даны Стоуном [3; стр. 142, 145— 146]. Относительно теоремы 2.3 см. фон Нейман [7; стр. 92], Ф. Рисе [14; стр. 51] и Стоун [3; стр. 180] и ссылки, приведенные ранее. Операционное исчисление, описанное в теоремах 2.6 и 2.7, принадлежит Стоуну [3; гл. VI, § 2] и фон Нейману [16]. Теорема 2.10 восходит к работе Стильтьеса и была получена

для ограниченных операторов Хеллингером [1] и для неограниченных—Стоуном [3; стр. 163, 183].

Спектральное представление. Задача установления унитарной эквивалентности двух самосопряженных операторов тесно связана с теориями спектрального представления и спектральных типов. Первая часть § 3 тесно связана с результатами Стоуна [3; гл. VII], распространившего на неограниченные операторы теорию Келлингера [1] и Хана [5] об ограниченных формах. См. также Ахиезер и Глазман [1; § 69 — 73], Халмош [6], Накано [10, 11], Плеснер и Рохлин [I]), Сигал [5] и Веккен [2].

Аналитическое представление, описанное в § 3, получено Бейдом и Шварцем [1]. Они несколько улучшили результат Маут- нера [1] о разложениях по абстрактным собственным функциям.

Результат Маутнера был также уточнен и использован Гор- дингом [1] и Ф. Браудером [I]). Эти теории рассматриваются в следующих главах о дифференциальных уравнениях.

Расширение симметрических операторов. Задача о том, имеет ли данный симметрический оператор самосопряженное расширение, имеет первостепенное значение при решении вопроса о возможности применения спектральной теоремы. Если решение задачи положительно, то важно знать, какой вид имеют самосопряженные расширения и как они связаны с исходным оператором. Все эти сложные задачи рассмотрены в § 4. Основные теоремы первой половины этого параграфа принадлежат фон Нейману [7] и были также исследованы Стоуном [3; гл. IX]. Метод, использованный нами, однако, ближе к методу Калкина [1]. Он имеет то преимущество, что дает абстрактный подход к выбору самосопряженных расширений путем наложения соответствующих ограничений («граничных условий») на область определения самосопряженного оператора. Читатель увидит, однако, что развитие этого подхода, данное нами, в деталях существенно отличается от метода Калкина [1]. .

В § 4 мы рассмотрели симметрический оператор Т с плотной областью определения в § и нашли расширения Т, являющиеся самосопряженными операторами в ^. Существует по крайней мере два пути обобщения этой задачи. Первый из них —отказаться от требования плотности области определения Т и предполагать, что оператор Т симметричен в том смысле, что ^Тх, у)^^ Ту) для всех х,у^%(Т). Эта задача была рассмот-

рена для ограниченных операторов М. Крейном [9] и для неограниченных—Красносельским [1, 2, 4]. Другой возможный путь обобщения —искать самосопряженные расширения, но разрешить расширенному оператору действовать в гильбертовом пространстве, содержащем исходное. В § X.9 мы обсуждали некоторые связанные с этим задачи, рассмотренные Наймарком [3], Секефальви- Надем [11] и другими авторами. Можно показать, что любой симметрический оператор с произвольными индексами дефекта имеет самосопряженное расширение в некотором большем гильбертовом пространстве (см. Наймарк [7, 8] или Секефальви-Надь [11; § 2])1). Отсюда вытекает, что симметрический оператор может быть представлен в виде, напоминающем спектральную теорему, но • полной аналогии здесь, конечно, нет. За более подробным обсуждением этих вопросов читатель может обратиться к статьям, указанным в приложении I книги Ахиезера и Глазмана [1].

Расширение с помощью преобразования Кэли. Ввиду важности и частой применимости этого способа дадим краткую схему того, как можно использовать преобразование Кэли для установления существования самосопряженного расширения симметрического оператора. Пусть Т — симметрический оператор с областью определения ^(Т), плотной в jg. Если х^^^Т), то мы имеем

|(Т ± И)х\2 = (Тх, Tx)^i(x, Tx)±i(Tx, х) + (х, х^ == |Тх|2 + |х|2>|х|2.

Поэтому если (Т ± П^ х = О, то х = О, и, таким образом, операторы Т ± И имеют обратные. Пусть V— оператор с областью определения © (V) = (Т + i/) ® (Т) и

Уу=ЦТ-11Н1ЧПГу,

Оператор V называется преобразованием. Кэли оператора Т. Если у £.*5) (У), то пусть х — такой элемент в ф (Т), что у = (Т + г7)х; следовательно, х = (Т + П^у. Так как | (Т + И) х |2 = | (Т — И) х |2 для всех хС$(Т), то

\y\2 = \(Tynw = \<T-inxr=\Vy\2

для всех y^^tV). Тем самым показано, что преобразование Кэли симметрического оператора изометрично, но, вообще говоря, не является всюду определенным или обратимым. Обратно, если W — любой изометрический оператор, для которого (J — W)% (W) всюду плотно, и если S определен по формуле

Sx = i U + №) (/ - WY4, х^Ц-W)^ <wy

х) Этот результат полностью принадлежит М. А. Наймарку [7, 8]. — Прим. ред.

то S — симметрический оператор с областью определения (/ — №)® (W). Более того, если эту операцию применить к преобразованию Кэли V оператора Т, то S = Т. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между симметрическими операторами Т с плотной областью определения и изометрическими операторами V, для которых (I— V) 5) (V) плотно в @. Оператор Т замкнут тогда и только тогда, когда замкнут!/; аналогично если 7\ ^ Т2, то их преобразования Кэли связаны соотношением К4 с= У2, и обратно. Наконец, Т самосопряжен тогда и только тогда, когда V унитарен.

Поэтому ясно, что задачу нахождения самосопряженных расширений симметрического оператора Т можно рассматривать как задачу нахождения унитарных расширений преобразования Кэли для Т. Предположим для простоты, что Т замкнут, тогда ® (У) и 91 (!/) —замкнутые подпространства. Положим ®+= 35 © S) (V) и ®_ = ^ © 3t (У) и обозначим размерности этих подпространств через d+ и d_ соответственно. Можно доказать, что ®+ и ®_ совпадают с многообразиями, введенными в определении 4.9, и что изометрический оператор V унитарен тогда и только тогда, когда 5) (У) — ^ = 31 (У), т. с. если d+ = O = d„. Ясно также, что замкнутый изометрический оператор имеет унитарное расширение тогда и только тогда, когда существует изометрическое отображение Ф+ на ®_, а это может быть тогда и только тогда, когда d+ = d_.

Этот изящный процесс расширения оператора был предложен фон Нейманом [7] и использовался также Стоуном [3; гл. IX), Риссом и Секефальви-Надем [1; § 123] и Ахиезером и Глазманом [1; § 78 — 80].

Максимальные симметрические операторы. Если Т— симметрический оператор с плотной областью определения, то он имеет собственные симметрические расширения лишь при условии, что оба его индекса дефекта отличны от нуля. Максимальным симметрическим оператором называется оператор, нс имеющий собственных симметрических расширений; следовательно, замкнутый симметрический оператор максимален, если по крайней мерс один из его индексов дефекта равен нулю. Если оба индекса равны нулю, то оператор самосопряжен. Если же d+^=0, d_ = 0 или d+ = 0, d_ ^ 0, то оператор нс самосопряжен и не имеет самосопряженных расширений (в том же гильбертовом пространстве). Следует отметить один интересный принадлежащий фон Нейману результат о приведении симметрических операторов к стандартному виду [7; стр. 98] (см. также Стоун [3; стр. 351] и Ахиезер и Глазман [1; § 82]).

Пусть @ —сепарабельное гильбертово пространство, {Xt, х2. ...} —полная ортонормированная система в §, a yj —опера-

440 Гл. XI1. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве тор сдвига, определяемый в § по формуле V^ 2 с^)= = 2 ^a+i- Нетрудно видеть, что V^ изометричен, a ^(I-V^ k=l

плотно в @, так что Vt является преобразованием Кэли некоторого симметрического оператора 7\ с индексами дефекта d+ = 0 и d_=L Оператор Т\ называется элементарным симметрическим оператором. Можно доказать, что если Т — максимальный симметрический оператор с индексами d^^O, d_ = n (где п — любое порядковое число), то § можно разложить в прямую сумму попарно ортогональных подпространств @0? ^^...^т таких, что оператор Т самосопряжен в @0 и является элементарным симметрическим оператором в пространствах ^ ..., ^п. Случай d+ = n, d_ = 0 можно исследовать, рассмотрев оператор —Т с индексами 0, п или оператор сдвига в противоположном направлении.

Индексы дефекта. Из теоремы 4.19 следует, что понятие индексов дефекта нс зависит от чисел ± ц используемых в их определении. Г. Вейль [5] показал это в случае дифференциальных операторов. Если Т — линейный оператор с плотной областью определения, то через у(Т) обозначим множество всех комплексных чисел X, таких, что обратный оператор (Т — X/)-1 существует и ограничен на своей области определения. Множество у (Т) называется областью регулярности оператора (или множеством точек регулярного типа) и содержит резольвентное множество q (Т) и, быть может, часть остаточного спектра. Можно показать, что это —открытое множество; рассуждения, опирающиеся на идею непрерывного продолжения, приводят к выводу (см. Ахиезер и Глазман [1; § 78]), что размерность дефектных пространств @0(Г —Х/)5) постоянна в каждой связной компоненте у (Г). (Этот результат принадлежит Крейну и Красносельскому [2]. Он показывает, что если Т — симметрический оператор и по крайней мере одно вещественное число лежит в у(Т), то индексы дефекта равны. Последний результат был установлен Калкиным [3].)

Полу ограниченные операторы. Фон Нейман [7; стр. 103] доказал, что полуограниченный симметрический оператор может быть расширен до самосопряженного оператора со сколь угодно малым изменением границы. Он высказал предположение, что на самом деле нет необходимости в увеличении границы, и это предположение было доказано Стоуном [3; стр. 388] и Фридрихсом [3; I]. Упрощение доказательства Фридрихса, данное Фрейденталем [3], приведено в тексте. Другие доказательства теоремы см. Калкин [3]

и Эберлейн [2; стр. 699], а приложения к уравнениям в частных производных см. Фридрихе [3].

Расширение Фридрихса определяет специальное расширение симметрического полуограниченного оператора. Крейн [9] провел систематическое изучение всех расширений полуограниченного оператора, а также рассмотрел приложения к дифференциальным уравнениям. Подход Крейна близок к методу расширения с помощью преобразования Кэли и кратко рассмотрен Риссом и Секефальви- Надем [1; § 125].

Унитарные полугруппы (см. также замечания в § VIII. 10). Теорема 6.1 была сформулирована в 1930 г. Стоуном [10; III] для случая группы унитарных операторов. Были даны многочисленные доказательства этой знаменитой и важной теоремы; см., например, Стоун [I6h фон Нейман [10], Бохнер [7], Ф. Рисе [22], Секе- фальви-Надь [14], Накано [17] и Купер [3]. См. также Рисе и Секефальви-Надь [I; § 137—140], где дано два доказательства, в том числе доказательство Бохнера (основанное на его хорошо известной теореме о моментах), и Ахиезер и Глазман [I; § 62]. Дополнительные ссылки см. у Хилле [I; гл. IX]. Применения теоремы Стоуна к эргодической теории и квантовой механике см. фон Нейман [20] и Маеда [I]. Плеснер [1] получил аналог теоремы Стоуна для полугруппы операторов, удовлетворяющих условию U*U = /, но необязательно удовлетворяющих равенству UU* = I.

Теоремы, дающие представление групп и полугрупп самосопряженных, нормальных и изометрических операторов, можно найти у Хилле [I; гл. XIX], Рисса и Секефальви-Надя [I; § 141J и Секефальви-Надя [3; стр. 73—76], [14].

Теорема Стоуна была распространена на унитарные представления локально компактных абелевых групп Наймарком [1], Амброзом [4], Родманом [5], Арну [1] и Филлипсом [5]. (См. также Люмис [I; стр. 147].)

Каноническое разложение. Результаты и методы § 7 принадлежат фон Нейману [16]. Читатель может также обратиться к работам Рисса и Секефальви-Надя [I; § ПО] по поводу ограниченных операторов и Стоуна [3; стр. 329—333] и Секефальви-Надя [3; стр. 52—53] по поводу неограниченных операторов. Отметим, что лемма 7.1 показывает, что если Т — замкнутый оператор с плотной областью определения, то Т*Т имеет плотную область определения. Это утверждение контрастирует с примером Най- марка [6] замкнутого симметрического оператора Т с плотной областью определения, но такого, что областью определения Т^ является лишь {0}.

Теоремы о моментах. Детальное изучение различных теорем о моментах, исторические замечания и многочисленные ссылки читатель может найти в превосходной книге Шохата и Тамаркина [1]. Более сжатое изложение дано Уиддером [1; гл. III]. О связях .между теоремой Рисса о представлении функционалов в С [0, 1] и теоремой о моментах см. Гильдебрандт [8] и Гильдебранд и Шёнберг [1].

Теорема 8.3 принадлежит Бохнеру [6; § 20] и играет важную роль в гармоническом анализе. Она также доказана у Э. Хопфа [1; § 4] и Ахиезера и Глазмана [1; § 60]. Накано [18] доказал этот результат, используя теорему Стоуна. Тесно связанная с ним теорема 8.4 принадлежит Герглотцу [1]; Рисе и Секефальви-Надь (1; § 53] дали изящное доказательство этого результата, используя лемму Фейера и Ф. Рисса. Обобщения теоремы Бохнера на локально компактные группы были даны А. Вейлем [1; §30], Райковым [3], Картаном и Годманом [1, 2] и Люмисом [1; стр. 142]х).

Матрицы Якоби и проблема моментов. Исследование проблемы моментов, проведенное в § 8, может быть значительно углублено путем применения теории неограниченных симметрических операторов в гильбертовом пространстве к матрицам Якоби. Бесконечная матрица ^aj^, j,k>0, называется матрицей Якоби, если

apq = aqp для всех р, q;

<И)apq = 0 ,\p—q\>\.

Всякая такая матрица определяет неограниченный оператор А в гильбертовом пространстве последовательностей /2, если положить

{а)®(Л)={х = [хгК/2| 2 I Op.p-iXp-i+tZp.pXp+ap.p+iXp+i |2< оо},

‘(b)Ах = [аР)Р-1Хр-1 Н- ар,рХр -j- ар^р+^Хр.^].

В (а) и (Ь) мы принимаем €z0,-i = 0. При этом можно показать, что оператор А замкнут, его сопряженный А* симметричен, индексы дефекта А* равны (1, 1) или (0, 0). Последовательность многочленов Рп, определяемая по формулам

P-i(O = o, Po(O = h

Л/t, А+1Ра+1 (0 = —^А, А-1Ра-1 (0 + V — Uh, k) Pk (0>

Существенные обобщения проблемы моментов принадлежат М. С. Лившицу [6*], М. Г. Крейну [7, 11]; см. также работы Ю. М. Березанского J4*, 5*], А. Г. Костюченко и Б. С. Митягина [1*, 2*], Р. С. Исмагилова [1*], Г. И. Эскина [1*].— Прим. ред.

называется последовательностью многочленов, ассоциированной с матрицей V1^- Можно показать, что индексы дефекта А* равны (1, 1) тогда и только тогда, когда

2 |Pn(Z)|2<OO п=0

при всяком невещественном z, и равны (0, 0) тогда и только тогда, когда

2 |Pn(z)|2=co п=0

при всяком невещественном г.

Предположим теперь, что дана последовательность постоянных Cj, j>0, и что эта последовательность может быть представлена в виде

[*]cj^^t^^dt^ j>0,

где р — положительная борелевская мера на вещественной оси, такая, что все интегралы

$ \1\^^^j>0,

сходятся. Единственна ли мера р? Дать решение этой фундаментальной задачи теории моментов можно следующим образом. Пусть (Рп (/)} — последовательность многочленов, определяемых ортогонализацией последовательности элементарных многочленов 1, t, /2, ... относительно меры р. То есть, пусть Рп — последовательность многочленов, определяемая условиями

) Рп — многочлен порядка п с положительным старшим коэффициентом;

<11)(М)М)|‘№= ; пХ

При этом ясно, что матрица {я/Д, определяемая по формуле

ajk = J IP, (t) Рк ^ р (di), Л ^ > 0,

является матрицей Якоби, и легко видеть, что {РД — последовательность многочленов, ассоциированная с этой матрицей Якоби.

Можно показать, что уравнения [*] определяют положительную меру (i однозначно тогда и только тогда, когда оператор А* имеет индексы (0, 0). Если А* имеет индексы (1, 1), то семейство всех положительных мер р, удовлетворяющих [*], может быть построено при помощи множества всех самосопряженных расширений А*.

Очень сжатое и ясное изложение набросанной здесь теории см. в работе Ахиезера [1]. Более подробное и полное изложение можно найти у Стоуна [3; стр. 530—614]. Дополнительные результаты, обобщения, связи с теорией непрерывных дробей и т. п. можно найти в монографии Шохата и Тамаркина [I]1).

Разные замечания. Можно получить несколько специальных результатов для эрмитовых операторов, определяемых ядром К (х, у), удовлетворяющим неравенству

$ I к (X, у) I2 И (dy) < ОО 8

для почти всех по pi-мере х. Изложение этой теории, принадлежащей Карлеману, см. в работах Карлемана [1], Стоуна [3; стр. 397—424]; см. также упражнение 9.51.

Оператор К в гильбертовом пространстве называется симметри- зуемым относительно эрмитова оператора Н, если оператор НК является самосопряженным. Некоторые свойства симметрических преобразований можно распространить на симметризуемые преобразования. См., в частности, Заанен [5; особенно стр. 370—391].

Много результатов по проблеме моментов, в том числе и многомернойу содержится в книге Ю. М. Березанского [4*].— Прим. ред.

ГЛАВА XIII

Обыкновенные дифференциальныеоператоры

L Введение. Элементарные свойства формальныхдифференциальных операторов

Дифференциальные операторы образуют наиболее важный для приложений класс операторов. Исследование этих операторов затрудняется тем обстоятельством, что они всегда неограничены. Поэтому задача выбора области определения для дифференциальных операторов далеко не тривиальна; исследование симметрических неограниченных операторов в § XII.4 показывает, что выбор области определения для неограниченных операторов может быть решающим моментом в этой теории. Точнее, дело обстоит так: пусть нам задан «формальный дифференциальный оператор», т. е. выражение вида

т = Яп (/) Q-gf^ + an-i (О (jdT^ + • • • + я0 (/)•

Понятно, в каком смысле можно «применять» это выражение к /, если /, скажем, принадлежит С77; этим мы определим оператор о областью определения С71 (с областью значений, принадлежащей С); «применив» этот формальный дифференциальный оператор к более широким или более узким классам функций, мы можем получить операторы с более широкой или более узкой областью определения. Теперь нужно выбрать из этих определений самое выгодное.

При этом можно руководствоваться несколькими принципами. Прежде всего, для того чтобы применить абстрактную теорию гильбертова пространства из гл. XII, необходимо отнести все операторы к гильбертову пространству функций, интегрируемых в квадрате. И тогда, как следует из гл. XII, вопросом первостепенной важности будет вопрос о сопряженном операторе.

Это значит, что, выбрав предварительно некую область функций, к которым можно применить формальный дифференциальный оператор т, мы должны попытаться найти оператор, сопряженный полученному нами неограниченному оператору в гильбертовом пространстве. Далее показано, что все эти задачи допускают удовлетворительное решение.

Еще несколько слов об особенностях изложения в этой главе. В некоторых случаях основные трудности доказательства связаны с формальной стороной дела. Поэтому иногда мы будем давать лишь формальные детали доказательства, предоставляя читателю проведение подробного анализа.

Везде в этой главе буква I будет обозначать интервал действительной оси. Интервал I может быть открытым, полуоткрытым или замкнутым. Интервал [а, оо) считается полуоткрытым; интервал ( — оо, оо) — открытым. Таким образом, замкнутый интервал является компактным множеством. Конец t интервала /, не принадлежащий /, называется свободным концом интервала /. В этом определении мы допускаем, что t может равняться ± оо. Значит, действительная ось имеет два свободных конца, интервал [0, 1) — один свободный конец. Концевая точка интервала /, которая принадлежит /, называется фиксированным концом.■

Пространства Cn(J), где J — компактный интервал, были определены в гл. IV. Если /ЕСП(/), то мы условимся писать норму функции / в виде \f\W' всякий раз когда желательно выделить число п. Пространство

С°°(/) = Пп=0

всех бесконечно дифференцируемых функций будет играть большую роль в дальнейших рассуждениях. Если положить

I f |(°°) = V 9“п । 1(П)

то С°° (J) становится ^-пространством. Если I является некомпактным интервалом, то мы определим пространство Сп(/), где п может быть равно оо, как набор всех функций /, определенных на /, для которых сужение /|/ на любой компактный подинтервал J из I принадлежит Cn(J). Если {/д} —неубывающая последовательность компактных подинтервалов из I, объединение которых совпадает с /, то мы положим.

I г,(") = у о~к _АШ2ьУ^1—

По этому определению Сп (/) становится ^-пространством вообще и В-пространством в случае, когда л<оо и / — компакт.

Введенная так норма определяет топологию в Сп (/); в дальнейшем, говоря о топологии в Сп(/), мы будем иметь в виду

именно ее. Почти очевидно, что топология для Сп (/) не зависит от выбора последовательности {Л} компактных подинтервалов из /, примененных в определении топологии.

Определение. Выражение

п

т=йп(О("37-) + йп-1 (О 0^) + • • • +йо(О = 2 d?) г=0

называется формальным дифференциальным оператором порядка пт) на интервале /, если комплекснозначные функции аг принадлежат С°°(/) и функция ап отлична от нуля в любой точке из L Функции аг называются коэффициентами г, а функция ак — старшим коэффициентом.

Если коэффициенты оператора т принадлежат С°° (/), но старший коэффициент обращается в нуль в некоторой точке из /, то т называется иррегулярным формальным дифференциальным оператором. Чтобы подчеркнуть различие между случаем, когда коэффициенту ап разрешается обратиться в нуль, и противоположным случаем, иногда формальный дифференциальный оператор называется регулярным формальным дифференциальным оператором.

Почему в определении регулярного дифференциального оператора требуется, чтобы ^п(/)^=0, станет понятным дальше, при доказательстве теоремы 3.

Определение. Через Аи^ обозначим пространство всех функций /, которые имеют (п— I) непрерывных производных в / и для которых /^“^ абсолютно непрерывна в любом компактном подинтервале из I. Таким образом, /(п) существует почти всюду и интегрируема на каждом компактном подинтервале из /. Если с — фиксированная концевая точка интервала 1, то утверждение, что / имеет непрерывную производную в I или (в случае когда / — компакт) принадлежит С1 (/), означает, что f непрерывна слева (справа) в точке с.

Следует отметить, что если т — формальный дифференциальный оператор порядка п на интервале I и f^Au(I), -то выражение т/ определяется совершенно естественно: мы полагаем

(V) (0 = ап (О (^-)” f ^ + ... + а0 (t) f (/).

Функция т/ определена почти всюду и интегрируема на каждом замкнутом подинтервале из 1.

х) Часто называют формальный дифференциальный оператор дифференциальным выражением.— Прим. ред.

Когда оператор т записан в классических обозначениях, таких, как dnldtn, мы, следуя традиции, пишем {dn!dtn) f (Z) или {dldt)n f(t) вместо (dnf!dtn)(t). Часто вместо выражения (dn/d/n)/(O употребляется /(п)(0-

Следующая теорема дает основную информацию о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений.

Теорема. Пусть т —формальный дифференциальный оператор порядка п на интервале 1. Предположим, что g —измеримая комплекснозначная функция, интегрируемая на каждом компактном подинтервале из 1. Пусть t0^h а с0, с^ ..., сп-х — произвольная система п комплексных чисел. Тогда существует единственная функция f^An(I^ такая, что

(b)1 = 0,/г-1.

Доказательство. Мы дадим формальную часть доказательства, оставляя различные аналитические пробелы, которые должны быть заполнены читателем. Прежде всего рассмотрим случай, когда I замкнут. Введем пространство функций F (/) = [/0 (/), Л (0, • • • ... > fn-iO со значениями в n-мерном комплексном евклидовом пространстве Еп. Затем уравнение (а) заменим системой уравнений

4мо-л(о=о,

4/00—/г (0 = °,

(а')

4 /п-1 (0 + 4(0 {“"- ^(0 + ... + «о (0 /о (0} = 4(0 • 8

Простое исследование показывает, что существует взаимно однозначное соответствие между решениями уравнения (а) п-го порядка и решениями системы уравнений (а'). Система (а') может быть записана в более компактной форме так:

^F(/)+ 4 (^(0 = 0(0,

где F(0 = [/о(О, ...,/n-i(01,G(0 = [О, ....О,^^^)]

и А^— линейное преобразование в Е", определенное матрицей АДО,

АД0 = 6ж,у, 0Ct<n—1,0</<n— 1,

An-i, j <0 = V^ (t)]^ (0,0< i < n — 1.

Аналогично граничное условие (b) эквивалентно условию (b')Г^- С,

где С есть вектор С = [с0, <4, ..., cn-J. Далее, (а') и (Ь') вместе эквивалентны интегральному соотношению

(е)F(tH A^F^ds^C-V J G(s)ds.

toto

i

Если мы положим С+ ^ G(s)ds = H(t) и введем оператор Ф to в пространстве {Z^ (/)}п всех вектор-функций Y ^ = [у0 (0, • • • .yn-iWI с компонентами yt (t), интегрируемыми на I, полагая (ФУ) (Z) = ^ Л (s) Y (s) ds, то (е) может быть записано в виде to

(е')(/ + Ф)В = 7/.

По индукции имеем t

I (Ф^У) (0 I = | р ($) (Ф^У) (3) ds | < to to

где через |и| обозначена норма вектора и, а через | Л | —норма оператора Л в n-мерном евклидовом пространстве и где К = = шах|Л(/)|. Таким образом, если мы введем норму tEI

\Y\=^\Y^\dti

в В-пространстве ^Lt(I^n, то получим | Фк |<Ki/fe!, где Ki = = /<max| t — /0|,^так что уравнение (е') имеет единственное реше- tEI

ние (см. лемму VII.3.4)

В = (/ + Ф)-1// = § (—\уФ5Нез=о

29 Заказ №134

Так как все члены в уравнении (е), кроме первого, являются абсолютно непрерывными, то отсюда следует, что F— абсолютно непрерывная функция. Таким образом, в частном случае, когда / — замкнутый интервал, теорема 1 доказана.

Теперь предположим, что неизвестно, замкнут ли 1. Тем не менее из данного выше доказательства следует, что если J — любой замкнутый подинтервал интервала /, содержащий точку /0> то существует единственная функция fj^An(J), такая, что (a)^fjW^gW почти всюду в J,

(Ь)^1ЬМ = сь Z = О, п-1.

Из единственности /> следует, что fj^ — f^^) Для ^€ЛПЛ, так что, полагая

№=№ KJ,

для произвольного замкнутого подинтервала J из /, мы определяем единственным образом функцию f^An(I), удовлетворяющую (а) и (Ь). Единственность / следует непосредственно из соответствующего результата для замкнутых подинтервалов J интервала I.

Следствие. Если g имеет к непрерывных производных в I, то f имеет п-^-к непрерывных производных в I.

Доказательство. Очевидно, не уменьшая общности, мы можем предполагать, что / — ограниченный и замкнутый интервал. Тогда

п— 1

(^У?^ = ^п ЮГ1 2 а- ^ (iyf W+g(tY1=0

Поскольку /САп(1), все члены в правой части принадлежат С(7) и, следовательно, fQCn(I). Поэтому все члены в правой части принадлежат С1 (/), так что f^CnVi(I). Очевидно, что мы можем продолжить это рассуждение по индукции и получить окончательный вывод: /£Сп+к(7), ч. т. д.

Следствие. Пусть функции at (коэффициенты формального дифференциального оператора т), функция g и начальные величины Ci все непрерывно (или аналитически) зависят от одного дополнительного параметра*.

аг^аг(1. X), g = g(t, X), а = сг(Х).

Тогда решение f = f(t, X) уравнения if^g и его первые п—\ производных непрерывно (или аналитически) зависят от? параметра X равномерно по t в каждом компактном подинтервале интервала I.

Доказательство. Мы рассмотрим только случай, когда / — замкнутый интервал. Доказательство остальных случаев предоставляется читателю.

Применим обозначения теоремы 3. Из наших предположений легко следует, что элемент Н = Н ^ пространства ^L^I^n и оператор Ф — Ф(Х) непрерывно (аналитически) зависят от параметра X. Поэтому вектор F(X)g{A1(/)}n, который определяется уравнением

F (X) = (/ + Ф №Н (X) = 2 (- 1 у (Ф ^Н (X), j=0

также непрерывно (аналитически) зависит от X. Так как 't

F^t, Х)= — J Л(5, X)F (s, ^ds + HV, ^ to

то Е(/, X) непрерывно (аналитически) зависит от X равномерно по t ЕI. Пусть F (t, X) = [/о (/, X), .. ., f^ (t, X)]. Так как ft (t, X) = ^ (dl/dtl) f (/, X), i = 0, ..., n — 1, то /(/, X) и ее первые п — 1 производных являются непрерывными (аналитическими) функциями X равномерно по /£/, ч. т. д.

Если мы исследуем однородное уравнение т/ = 0, то ясно, что существует линейное взаимно однозначное соответствие между наборами п комплексных чисел [со, с17 ...,^-J и решениями уравнения т/ = 0, для которых= Z = 0, ..., п—\.

Таким образом, мы получаем: множество решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка образует п-мерное линейное векторное пространство.

Сопряженные операторы и граничные значениядифференциальных операторов

Везде в этом разделе т будет формальным дифференциальным оператором порядка п на интервале /. Если специально нс оговорено противное, то в дальнейшем мы предполагаем, что т является регулярным. Наша цель будет состоять в том, чтобы определить линейные операторы в пространстве Л2(/), которые соответствуют т, и изучить их сопряженные и расширения. Однако, прежде чем это сделать, необходимо определить понятие сопряженного оператора т* для формального дифференциального оператора т, регулярного или иррегулярного, и доказать фундаментальную формулу, известную под названием формулы Грина, которая связывает тит*.

Для простоты сначала предположим, что /—конечный замкнутый интервал [а, 6]. Пусть / и g — функции из Сл(/). Рас-

смотрим интеграл

$ WHt^dt=^ $ ak^(^k цо\1^ ak=0 а

Интегрируя fc-й член в правой части к раз по частям, мы получаем, что а Ъ

=- к (^тz (° ] t ш {йа ^} 1dt+

+ ак ^ gW ("St У"1 Я0£=---

•«^(-^VW^y Vak (О FW dt + а к

+2 < -1 )*- [ (£ у1от ?ОТ) ] (УТ f W I?

1=1

Таким образом,

Г1$ Ш№=\ Ш^<~^(^У ШОШ

aa k=0

+ Fb(f, g)-Fa(f, gV где n к

Ftih go=2 ^(-’^[(^^^^^^(ly’^^] • h=l i=l

Применяя правило Лейбница

мы видим, что интеграл в правой части [*] может быть записан ъ

в виде ^ fW^gWdt, где т* —оператор вида а 3=0

И

6ио=2 (-])"(

к=3

Заметим, что если т —регулярный формальный дифферснциаль- ный оператор, то 6П (/) = (—ir^TO^ °, поэтому т* —также (регулярный) формальный дифференциальный оператор.

Применяя теперь правило Лейбница к граничному члену, мы получаем формулу

Л(/, g)=2("О1--^1) [(£Г‘/т]х

0^3<i-^k^n

0< j^i<n

O^Z^n-i

n—1 n—3— 1 n —Z—1. .

= 5 2 2 l-W(j)^yaum^

3=0Z=0i=3

Если {FJ'(t)}—квадратная матрица порядка n (0<l, j^n—1), элементы которой определяются уравнениями

f4 w= 2 ^-^(^(-^У^м i+i<n-i,

1=3

г2(т) = 0,/ + />«-!,

то граничный член записывается в виде

Ft (f, g) = ”2 F? (^HOW).

з, z=o

После этих предварительных замечаний мы можем дать некоторые основные определения.

Определение. Пусть т —(регулярный или иррегулярный) формальный дифференциальный оператор на интервале I (нс обязательно замкнутом). Матрица {^(т)} называется граничной матрицей для т в точке t^I. Билинейное выражение

FtU, £)= 2* fV^PHOsW)

3> Z=o

называется граничной формой для т в точке t. Формальный дифференциальный оператор (регулярный или иррегулярный)

3=0 где

ь,^ = ^(-1^(к.)(Ау-^у

k=j

называется формально сопряженным оператором для т. Если т = т*, то говорят, что т формально самосопряжен или формально симметричен. Если все коэффициенты aj оператора т действительны, то говорят, что т действительный.

Лемма. Если т — {регулярный) формальный дифференциальный оператор, то граничная матрица для т неособенная.

Доказательство. Лемма следует из того, что

fV(T) = 0,y + />rt_i,

F^(T) = (-l)’a„(0, /

а, значит, определитель матрицы {F<'(т)} равен (± 1) {<?„(/)}" и, следовательно, нигде в нуль не обращается.

Определение. Пусть т — регулярный или иррегулярный формальный дифференциальный оператор порядка п на интервале 7; Нх (7) обозначает множество всех функций / из Лп (7), таких, что / и т/ принадлежат L^ ЦУ и пусть Нп (7) обозначает множество всех функций / из Лп(7), таких, что / и ^ принадлежат L2(7).

Если 1— замкнутый интервал и а^С^ЦУ ^Ь^ЦУ то af^L^.

Следовательно, если f£Hn (7), то т/ = 2 СЧ^ € Т-2, т. е. Нп (7) s

1=0

S Нх ЦУ Если т регулярный и f^H"Uy то fw = апЦтф— n—1

— 2 Qif^ € ^2, и поэтому Нх (7) и Ни (7) совпадают.

i=0

Теорема (формула Гринау Пусть т — регулярный или иррегулярный формальный дифференциальный оператор порядка п на конечном замкнутом интервале 7 = [а, 6]. Если f, g^Hx(iy то ьь

$ (т/) (0 gV) at = р (0 Wv^at+Fb (f, g) - Fa (f, gy

Доказательство. Из приведенных выше рассуждений следует, что эта формула справедлива в случае, когда /, g£Cn{I). Однако эти рассуждения верны, если /, g^H^U).

Для дальнейшего удобно перечислить другие случаи, в которых формула Грина справедлива без предположения замкнутости I.

Следствие. Если I — произвольный интервал, то формула Грина справедлива для любой пары функций /, g^H^U) {или даже f^Hn{l), g^An{I)) при условии, что либо f. либо g обращается в нуль вне компактного подинтервала из I.

Доказательство. Как и теорема 4, следствие 5 доказывается методом интегрирования по частям.

Дальше мы отмечаем одно важное свойство оператора т*, формально сопряженного дифференциальному оператору т, регулярному или иррегулярному.

Лемма. Пусть т — {регулярный или иррегулярный) формальный дифференциальный оператор на интервале I. Тогда т = (т*)*.

Доказательство. Если т —оператор порядка п. то коэффициент (dldt)1 в (т*)* равен

^-У-'УУуухУ-уу УТ- У - к=гз=к

3, к i^k-^j<n

3=1 k—i

Полагая х1={1 — (1 — х)У и применяя два раз» формулу бинома, мы видим, что

Таким образом, с^ (/) — at (/), откуда (т*)* = т, ч. т. д.

Стоит упомянуть о других утверждениях алгебры формальных дифференциальных операторов, хотя в дальнейшем мы ими пользоваться не будем, и поэтому они нс будут выделены в виде

теорем и лемм. Эти факты справедливы как для регулярных, так и для иррегулярных операторов, пп

Если Ti = 2 at (t) (d/dty и т2 = 2 bi (t) (d/dty — два формаль- 1=01=0

ных дифференциальных оператора, то мы можем определить их сумму как формальный дифференциальный оператор Ti + T2 = п

= 2 (at W + bi^ydjdty. Определим произведение операторов Tj 1=0

и т2 так: Ti (т2/) = (т^) f. Теперь, применяя правило Лейбница, имеем n n 1

^=22 2

1=0 5=0 /г=0

Нетрудно проверить, что это умножение ассоциативно и дистрибутивно, но нс коммутативно. Имеются еще два правила, которые нетрудно проверить:

(Т1 + т2)*^тТ + ^;(т^)*^^.

Таким образом, поскольку {dldty = — (d/dt), мы имеем ^d)dtyy = (— 1)* (d/dty. Так как сопряженный оператор формального дифференциального оператора то = ао(О нулевого порядка является оператором т*=<2(/) нулевого порядка, то получаем следующее: пп

.<„(2

1=01=0

Формула для т*, данная в определении 1, очевидно, является разложением формы в правой части этого уравнения по правилу Лейбница.

Используя понятия произведения и суммы формальных дифференциальных операторов, мы можем записывать эти операторы различными способами: (d/dt) р (0 (d/df)+ ? (0» п

2(-1Г (d/dty pt (t) (d/dty и т. д. Заметим, что, поскольку 1=0

т*т2 = (т2т0*, оператор

2(-»‘(4)‘««Ш‘

г=0

формально самосопряжен, если только коэффициенты pt действительны. Также и формальный дифференциальный оператор

(i/2) (d/dty {р (t) (d/dt) + (dldt) p (t)} (d/dty

самосопряжен, если только р (t) — вещественная функция. Действуя далее по индукции, мы можем указать вид наиболее общего формально симметрического дифференциального оператора порядка п. Действительно, пусть т является таким оператором, и пусть его старший коэффициент равен ап. Тогда старший коэффициент для т* есть (—\)пап(1У так что, если п — четное число, то ап — действительная функция, а если п — нечетное число, то ап—-чисто мнимая функция. Если п — четное число, то Ti = = (dldt)n/2 ап (Z) (dldt)nf2 — формально самосопряженный дифференциальный оператор с таким же старшим коэффициентом, как у г. Если п — нечетное число, то т2 = (z/2) (dldt){n~i}f2 ((dldt) an(t) ^~ + ^n (О {dldt)) (dldt^-^^ — формально самосопряженный дифференциальный оператор с таким же старшим коэффициентом, как у т. Таким образом, или т —т17 или т — т2— формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка п—\. Продолжая по индукции этот процесс уменьшения порядка, мы приходим к следующему результату:

любой формально самосопряженный оператор т порядка п может быть представлен в виде

[П/2]

I(n-l)/2].

3=0

где коэффициенты aj и bj действительны.

Можно показать, что это представление единственно. Обратно, любой такой формальный оператор формально самосопряжен.

Нетрудно показать, что если формальный дифференциальный оператор т действителен, то второй комплексный член в предыдущем выражении исчезает, так что действительный самосопряженный формальный дифференциальный оператор имеет четный порядок п = 2т и следующий общий вид

3 = 0

где коэффициенты а, действительны. Если я = 2, то мы получаем так называемый оператор Штурма—Лиувилля

t=-(4)pw (4)+^о,

где коэффициенты р и q действительны.

Наша ближайшая цель — определить линейные операторы в L2(/), соответствующие формальному дифференциальному оператору т, и исследовать их расширения и сопряженные операторы. Последующие разделы посвящены спектральным свойствам этих операторов.

Определение. Пусть Но (/) обозначает множество всех функций из Hn(jy которые обращаются в нуль вне некоторого внутреннего компактного подмножества интервала /. (Компактное подмножество может зависеть от функции.)

Определение. Если т — (регулярный или иррегулярный) дифференциальный оператор порядка п, то мы определим операторы Т0(т) и TY^ в L2(/) формулами

® (То (т)) - Но (/), То (т) / = тД f^ (То (т)),

■(b)WiW) = H^rh Т^Н^Ь /^(Ш

Заметим, что оба оператора Т0(т) и Т^х) являются неограниченными с областями определения, плотными в L2(/), и Т0(т) гТ^ту Наша ближайшая задача —доказать, что если т регулярный, то Тх (т) = Т0(т*)*. В случае когда т —формально самосопряженный оператор, отсюда следует, что То (т) ^ 7\ (т) = = Т0(т)*. Это показывает, что То (т)— симметрический оператор (см. лемму XII.4.3') и любое самосопряженное расширение оператора Т0(т) есть сужение оператора Т^т).

Лемма. Пусть квадрат функции f интегрируем на любом компактном подинтервале из I. Предположим, что

для всех g из Ho(iy Тогда (угосле изменения на множестве меры нуль) f^C°°(I) и т/ = 0.

Доказательство. В терминах операторов То и Т17 определенных в предыдущем пункте, в этой лемме устанавливается, что любая -функция, которая ортогональна области значений оператора Т0(т*), лежит в С°° и принадлежит нуль-пространству оператора Т^ту

Доказательство делится на следующие пять шагов:

Лемму достаточно доказать при предположении, что / — замкнутый интервал.

В самом деле, если сужение функции / на любой компактный подинтервал интервала I есть решение уравнения то^О, принадлежащее С°°, то / — такое же решение в полном интервале /.

Впредь мы будем считать, что/— компактный интервал [а, Ь], а функция / ортогональна области значений оператора Т0(т*).

Пусть 2 обозначает «-мерное пространство решений уравнения то = 0. Согласно следствию 1.4, 2 s С00. Следовательно, достаточно доказать, что /Е^. Заметим, что по 1V.3.2 конечномерное пространство 2 есть замкнутое подпространство пространства Л2 UY этот Факт будет использован ниже, в (Е). Для того чтобы доказать, что / Е 2, достаточно доказать, что любой функционал, обращающийся в нуль на 2sL2(/), обязательно обращается в нуль на /. Для этой цели нам нужны дополнительные сведения, содержащиеся в пунктах (С) и (D).

Пусть функция w из //о (/) ортогональна 2, рассматриваемому как подпространство пространства L2(/)> т. е.

[*]J а(/)й>(7М/ = 0, стЕ2.

Тогда существует функция g в //о(/), такая, что t*g = w.

Действительно, по следствию 1.3 существует единственная функция g в Сп(/), удовлетворяющая уравнению t*g = w и граничным условиям

(**]g(a)=g'^= ... =g(n-1)(a) = 0.

Из формулы Грина и из [*] мы имеем ь 0= gW (тоНМ^ =

ъ

= § ^*g) (0 ° (0 dt + FbU, a) — FaU, a) = Fblg, О') а

для всех 0'^5. Так как решения существуют для любых наперед заданных o' (6), о' (Ь), ..., о^-^ (6), то из невырожденности формы Ft (g^ o') (см. лемму 2) следует, что

1***1

Таким образом, g обращается в нуль в обеих концевых точках интервала /, тогда как w обращается в нуль на интервалах [a, 6Z + е] и [6 — 8, 6]. Тогда на каждом из этих двух интервалов g — единственное решение уравнения т*/ = ^ = 0 с граничными условиями [**] и [***] соответственно. Следовательно, функция g обязана равняться нулю на интервалах [^z, а-г 8] и [6 — 8, 6], т. е. (определение 8) g^H^iy

Отсюда следует, что любая функция w из //о(/)» которая ортогональна 2, также ортогональна /, т. с.

J f^w^dt^O.

Так как по (С) существует функция g из //о (/), такая, что- т*§- = ^, то это утверждение сводится к соотношению

ь

а

которое входит в условия леммы.

Теперь предположим, что некоторый линейный функционала <р на L2U) порождается функцией А(-) из L2(/) (см. теорему IV.8.1) и обращается в нуль на 2, т. с.

o^h (t^dt^O, о^2. i

Мы покажем, что ср обращается в нуль также на /. Этим) завершится доказательство леммы, потому что если / нс принадлежит 2, то по теореме Хана —Банаха мы можем найти линейный функционал ср на L2(/)7 обращающийся в нуль на 2, но* нс равный нулю на /.

Итак, нужно показать, что ^ f (t) h(t) dt = 0. Пусть сг17 ..., Gn.

i

образуют ортонормальный базис в 2 и каждая функция Gt приближена в топологии L2(/) функцией (рг^Н^Ц) так хорошо, что» матрица {^ij}=|^ (pi^oj^dt^ (которая аппроксимирует {6г;}); обратима. Пусть {/zm} —последовательность равномерно ограниченных в L2(/) функций из Н1^!), которая сходится почти всюду к h. Если ^bi^ есть матрица, обратная {^;}, то последовательность

I * ]gm = Нт - 2 b^i J hm (0 MO dt

i, 3=1 I

удовлетворяет соотношениям

n

^ gm (0 Ok (0 dt = ^ hm (0 Ok (0 dt — 2 btjttjh ^ hm (t) Gi (0 dt =

IIi, j=lI

= ^ hm (t) Ok (0 dt — ^ hm (t) ah (/) dt = 0, k = 1, ..., n.

II

Таким образом, gm ^ о (/) dt = O для о £ 2. Поскольку gm £ 7/q (7), 7

из (D) следует, что ^ gm(t) f (t)dt = 0. Когда m—>оо, инте- I

грал ^ Нт (/) Он (/) dt —> ^ Н (/) ок (/) dt = 0. Таким образом, из [*] следует, что {gm} —равномерно ограниченная последовательность функций, сходящаяся почти всюду к Н при т—>оо. Поэтому W(O77O^ = Hm ^gnWmdt-0.

Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный оператор порядка п, определенный на интервале I. Тогда Тх^ = -Т. (т*)*.

Замечание. Из теоремы XII. 1.5 непосредственно следует, что Т1 (т) — замкнутый оператор. Поэтому TQ (т) ^ Т^ (т) имеет по крайней мере одно замкнутое расширение и, следовательно, минимальное замкнутое расширение 70(т).

Доказательство теоремы. Если f^H^ и g^H1^ то по формуле Грина (следствие 5)

^fWWHJ)dt=^ Tf(t)^T)dt. II

Это равенство показывает, что /^ ® (Го (т*)*) и TY (т) f = То (т*)*Д т. е.

Т, (т)^Т0 (т*)*.

Для ‘завершения доказательства теоремы достаточно доказать, что

©(То(т*)*)^®(Л (т)).

Предположим, что / принадлежит $)(Г0(т*)*). Это означает, что существует функция g в 1^(1), такая, что для каждой функции h из H^I)

J / (0 (т*Л) (0 dt=^g (/) ЦТ) dt. II

Нам нужно доказать, что / принадлежит множеству Tt (т). По теореме 1.3 существует функция Ь^АпЦ'), такая, что r/0 = g.

Из формулы Грина (см. следствие 5) видно, что

$ /о (О (т*Л) (/) dt=^g (О ЦТ) dt, h^Ho (/), ii

и, следовательно,

$ (Ш-ЦО)С^ЭД)^^ i

Из леммы 9 следует, что f — fo^C°°{I), и поэтому / = = (/-/о) + /о принадлежит Лп, так что т/ определена почти всюду. По лемме 9 т(/ — /о) = О, откуда t/^t/oE^W, и тем самым доказано, что / принадлежит Н^ (/) = ® (7\ (т)).

Лемма. Если {регулярный или иррегулярный) формальный дифференциальный оператор т формально самосопряжен, та оператор 70(т) симметрический.

Доказательство. Очевидно, Т0{т) ^Т^т). Следствие 5 показывает, что Т^ (т) г То (т)*, ч. т. д.

Напомним (см. определение XII.4.9), что если т формально самосопряжен, то положительным и отрицательным дефектными пространствами оператора 70(т) являются множества

® + = {/ Е ® (Л (т)) | (Л (т) ^ //) / - 0}

и

®- = V € ® (Г, (т)) I (Tt (т) + П) f = 0}, соответственно.

Следствие. Если т формально самосопряжен, то положительное и отрицательное дефектные подпространства ®+ и $L оператора Т0{т) состоят из тех и только тех решений дифференциальных уравнений (т —i)/ = 0, (т +1) / = 0 соответственно, которые принадлежат Е^Ц).

Следствие. Если т — формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка п, то оба индекса дефекта оператора Т0{т) меньше или равны п.

В следствии XII.4.13 мы видели, что Т0(т) имеет самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда ®+ и ®_ имеют одинаковую размерность. Числа n+ = dim®+ и —dim©_ называются положительным и отрицательным индексами дефекта

оператора 70(т). Информация о п+ и п_ зависит в общем от того, будет ли интервал / замкнутым, полуоткрытым или открытым. Однако одно важное заключение можно сделать независимо от природы интервала.

Следствие. Если в формально самосопряженном дифференциальном операторе

т = 2 ai W (jd? )3=0

коэффициенты а, действительны, то соответствующий оператору т симметрический оператор 70(т) в L^^ имеет равные индексы дефекта, а любое максимальное симметрическое расширение оператора TQ^ самосопряжено.

Доказательство. При этих предположениях решения уравнения (т —/)а=Х) будут комплексно сопряженными к решениям уравнения (т-Н)а = 0, ч. т. д.

Если / — конечный замкнутый интервал, то любое решение уравнения (т±/)а = 0 будет лежать в С°°(/) и потому в L^W Поэтому из следствия 12 мы имеем

Следствие. Если I — конечный замкнутый интервал, а т — формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка п, то п^ = п- = п.

Лемма. Пусть т — формальный дифференциалъныиоператор порядка п, определенный на интервале I, и пусть J — компактный подинтервал интервала I.

Пространство Hn(J) полно по норме

п— 1

1/1=3 max I /(i> (О I + { j I Z(n) (0 |2 V2.

Если (fn) —последовательность в ^(^(т)), такая, что {/п} и {т/п} сходятся (слабо сходятся) в L2(I), то последовательность {fn} сходится (слабо сходится) в топологии Н" (J), определенной с помощью указанной выше нормы.

Доказательство, (а) Если {/т} —фундаментальная последовательность в Ни (J), то существуют функции /0 и g0, такие, что равномерно на J

lim/W(Z) = /W (t), i = 0, п — 1,

и f^—> go в L2(J). Таким образом, для c^J

tt

Z^"0 (0 —Л”-1’ (с) = lim f£> (s) ds --= ^ go (s) ds.m-*co vcc

Это показывает, что fW^g^ и /0 принадлежит Hn(J). Следовательно, Hn(J) полно.

Рассмотрим две нормы

1/11= [ ^ |/(0Р^]1/2+ [ $ I V(0l2а1р = \г\-Н1\^\

II

и п—1

1/ЫЛ1 + 2 max|/W(0| + (\ \^ЧП\мЛ1,\

заданные на ®(Л(т)). Из определения 8(b) вытекает, что обе нормы определены и конечны на ^(^(т)). Первая норма есть норма для пары [/, T^f^ как элемента графика оператора Т^т). Теперь Л (т) —сопряженный оператор (теорема 10). Поэтому (см. XII. 1.6) ^(^(т)) полно по норме |/|1- Так как два дополнительных члена в |/|2 определяют норму для / как элемента Hn(J), то очевидно, что ©(^(т)) полно также по норме |/|2. Так как |/|1<|/Ь» то из теоремы II.2.5 следует, что эти две нормы эквивалентны. Лемма следует непосредственно из этих рассуждений.

Теперь обратимся к исследованию особой формы, которую принимает в данном случае абстрактное «граничное значение», введенное в предыдущей главе. Мы увидим, что это исследование приводит к целому ряду результатов об индексах дефекта. В данном случае обсуждение будет более широким, чем в разделе XII.4, поскольку можно в основном иметь дело с дифференциальными операторами, не являющимися формально самосопряженными. Можно также сосредоточивать граничные значения в одной или в другой концевых точках интервала и представлять граничные значения в конкретной аналитической форме. Основные определения следующие.

Определение. Пусть т —формальный дифференциальный оператор на интервале / с концевыми точками а, Ь. Так как 7\ замкнут, то ® (Л (т)) становится гильбертовым пространством, если следующим образом вводится скалярное произведение:-

(А^)* = (А ^) + (Л(т)/, Л(Т)^).

Граничное значение для т есть непрерывный линейный функционал А на ^(Т^тУ), который обращается в нуль на ®(70(т)). Если Д (/) = О для каждой функции из области определения Т^т^ которая обращается в нуль в окрестности точки а, то А называется граничным значением в точке а; также определяется и граничное значение в точке Ь. По аналогии с определением XII.4.25 уравнение 6(/) = 0, где 6 —граничное значение для т, называется граничным условием для т. Говорят, что множество граничных условий Bi (f) = 0, i = l, ...,&, сильнее, чем множество Cj (/) = 0, / = 1, ..., т, если каждое Cj есть линейная комбинация В1е Два множества граничных условий называются эквивалентными, если каждое из них сильнее, чем другое. Полное множество граничных значений есть максимальное линейно независимое множество граничных значений. Полное множество граничных значений в точке а есть максимальное линейно независимое множество граничных значений в а.

Лвмма. Если т формально самосопряжен, то определение 17 граничного значения для т совпадает с определением XII.4.20 граничного значения для Т0(т).

Доказательство. Из теоремы 10 вытекает, что Т^^ сопряжен к Т0(т), ч. т. д.

Следующая теорема описывает основное свойство граничных значений дифференциальных операторов. Ради простоты иногда вместо ГДт) и Т0(т) мы будем писать Т^ и TQ соответственно.

Теорема. Пространство граничных значений для т совпадает с прямой суммой пространств граничных значений в точках а и b для т.

Доказательство. Прежде всего из предыдущего определения очевидно, что множество 9Ла (множество ЭЛь) граничных значений в точке а (в точке 6) есть подпространство пространства ЭЛ всех граничных значений. Пусть ft и /2 —Две функции из С°° (/), такие, что Д (/) + /2 (0 = 1 при / £ I, и такие, что ft обращается в нуль в окрестности точки Ь, а /2 —в окрестности точки а. Ясно, что если g принадлежит ® (ГД, то ftg и f2g также принадлежат © (Л). Поэтому отображение g—>kg пространства ® (Л) в себя, очевидно, замкнуто и, по теореме о замкнутом графике (II.2.4), непрерывно. Пусть В —граничное значение для т и

61 &) = В (flgy В2 (g) = В (f2g), ge® (ТА.

Если g принадлежит ^(Тоу то ftg и f2g принадлежат %(Тоу так что Bt (g) = В2 (g^ = 0. Более того, в силу непрерывности отображения g—>fig, BY — непрерывный линейный функцио-

30 Заказ № 134

нал на ® (Л)- Подобное рассуждение имеет силу и для В2. Таким образом, Bi и 62 будут граничными значениями для т. Если g(/) = 0 в окрестности точки а, то, по определению 8, fig g Э (То), и поэтому В (fig) Bi (g) = 0, откуда ясно, что Bi — граничное значение в точке а и что B^-Bi + В2. Таким образом, ЯЛ = ЯЛа + ЯЛь» и для доказательства теоремы достаточно показать, что ЯЛа П ЯЛь^ — {0}. Если 6 —граничное значение в обеих точках а и b и если g принадлежит ^(Ti), то fig обращается в нуль в окрестности точки Ь, поэтому В (fig) =-0, и аналогично В(^) = 0. Таким образом, В (g) = В (fig) + В (f2g) = 0 для каждой функции g^^ (Л), ч. т. д.'

Если т= 2 atW (£Ш/)г —формальный дифференциальный опе- г=0

ратор порядка п, определенный на интервале /, a J— подинтервал из /, то мы можем рассматривать сужение т' оператора т на J. Это просто формальный дифференциальный оператор

2 bt (t) (dUdt)\ где bi — сужение функции а^ из / на J.

г—О

С этим понятием связаны несколько следующих результатов.

Теорема. Пусть т — формальный дифференциальный оператор на интервале I с концевыми точками а, Ь. Пусть а<с<Ь, а V —сужение оператора т на T^l^VL с]. Тогда существует взаимно однозначное линейное отображение пространства граничных значений для т' в точке а на пространство граничных значений для т в точке а.

Доказательство. Выберем функцию h из С°° (/), которая тождественно равна единице в окрестности точки а и обращается в нуль в окрестности отрезка [с, 6]. Пусть Sj — линейный оператор, определенный равенством

‘ В формуле п п

(т № (0 = 1^ Ci) ak W ^ J ^ ^г=0 к—г

член ап (/) h ^ ^ (/) принадлежит Л2(Т), а остальные члены непрерывны, так что Si отображает ^(^(т)) в ® (^ (т')). Поэтому очевидно, что St —замкнутый оператор, определенный на всем гильбертовом пространстве ©(ТДт)) (см. определение 17), и, следовательно (см. П.2.4), St непрерывен. Пусть ЗЛ и ЗЛ' обозначают пространства граничных значений в точке а соответственно для т и т' и Ф1(Д') = Д'51 для Д' из ЗЛ'. Тогда Ф! —линей-

ное отображение из ЭЛ' в ЭЛ. Покажем, что Ф4 взаимно однозначно и что ФДЭЛ'^ЭЛ.

Пусть S2—отображение

определенное на ^(Г^х'У) и, следовательно, принимающее значения из $(7\(т)). Рассуждением, подобным примененному выше, можно показать, что S2 —линейный ограниченный^оператор. Пусть Ф2(Л) = Л32 для Л из ЭЛ, так что Ф2 —линейное отображение пространства ЭЛ в ЭЛ'.

Если f принадлежит ©(^(т)), то / и (S^S^f совпадают в окрестности точки а. Следовательно, для любого Л из ЭЛ и любой / ИЗ ^(ТДт))

(Ф1Ф2Л)/ = Л((5250^

Поэтому ФгФ2 — тождественное отображение, откуда следует, что ФДЭГ)-^. Этим же способом можно показать, что Ф2Ф4 тождественно отображает ЭЛ' в себя. Это показывает, что Ф! — взаимно однозначное отображение, ч. т. д.

Следствие. При условиях предыдущей теоремы т и т' имеют одинаковое число линейно независимых граничных условий в точке а.

Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный оператор порядка п, определенный на интервале 1 с концами ап Ь. Тогда т имеет не больше п линейно независимых граничных значений в точке а.

Доказательство. Пусть это утверждение неверно. Тогда, применяя обозначения и результаты предыдущей теоремы и следствия, можно получить, что т' имеет самое меньшее n-V 1 линейна независимых граничных значений в точке а. Таким образом, не уменьшая общности, мы можем предполагать, что Ь — фиксированная концевая точка для /.

Пусть © (Т2) — множество всех / из Э (TJ, которые обращаются в нуль в окрестности точки а. и пусть Т2 —сужение оператора Т^ на ® (Т2). По предположению существует самое меньшее n-V 1 линейно независимых непрерывных линейных функционалов на ®(Л), которые обращаются в нуль на ®(Т2), т. е. ортогональное дополнение 93 к ®(Т2) в ® (Л) имеет размерность не меньше n-Vl. Если и £93 и ^£®(72), то

[*] 0 = (у, ш)* = (у, w) + (Лу, T^w\

Следовательно, (72ку, T1v) = (w1 — v). Это означает, что Ttu принадлежит области определения оператора Т*. Из T0sT2 сле-

30*

дует, что ?2-^o=^i(T*) (см- теорему 10). Следовательно, [*] эквивалентно уравнению

t*w + о = 0.

Таким образом, о —решение дифференциального уравнения порядка 2/г, и по следствию 1.4 уЕС°°(/).

Из [*] мы имеем (ш, Т*Т<о^ = -—(w, и), и по формуле Грина ь

Fb (w, то) — Fa (w, то) = ^ (w) (0 то (/) dt — а•

ъ

— ^ w (/) т* (tv) (0 (dt) — (Т2w, Т,v) + (w, v) = 0.’

a

Так как w обращается в нуль в окрестности точки а, то Fa^w, то) = 0. Таким образом, Гь(ш, то) = 0. Так как ®(Т2) содержит каждую функцию из С°°(/), обращающуюся в нуль в окрестности точки а, то из обратимости матрицы ^ъ^ (см- лемму 2) следует, что то и ее первые п — 1 производных обращаются в нуль в точке Ь. Так как пространство S3 имеет размерность не меньше /г +1, то существует ненулевая функция о0Е^ которая удовлетворяет п линейным уравнениям о0 (6) = о' (6) = ... ... = Oq1"^ (6) = 0. Так как, более того, (то0) (6) = 0, то (то0) (6) = = 2 ак(Ь)и^ (6) = 0, an(b)V=0n, следовательно, о^(6) = 0. По- к=0

скольку (то0)' (6) = 0, аналогично доказывается, что о(оп+1)(6) = 0. Продолжая по индукции, мы видим, что и^(Ь)^О, 0<;&<2/г — 1. Так как и0 удовлетворяет уравнению порядка 2/г, то функция и0 должна быть тождественным нулем. Это противоречие завершает доказательство.

Следствие. Пусть т —формальный дифференциальный оператор порядка п на интервале I с концевыми точками а, Ь; предположим, что концевая точка а фиксирована. Тогда функционалы Ai (f) = f^ (a), i = 0, ..., п — 1, образуют полную систему граничных значений для т в точке а.

Доказательство. Из леммы 16 следует, что эти функционалы являются граничными значениями для т в точке а. Очевидно, они линейно независимы. Если бы утверждение следствия было неверным, то т имел бы граничное значение в точке а, линейно независимое от системы Ло, ..., An_v Тогда оператор т имел бы не меньше /г+1 независимых граничных значений в точке а. Но .по следствию 22 это невозможно.

Следствие {Вейль —Ко дайр а). Пусть т — формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка п, определенный на интервале I. Предположим, что по крайней мере один конец этого интервала фиксирован. Тогда сумма положительного и отрицательного индексов дефекта оператора т не меньше чем п.

Доказательство. По лемме XII.4.21 эта сумма равна числу линейно независимых граничных условий, и потому этот результат вытекает непосредственно из предыдущего следствия.

Следствие. Пусть % —формально самосопряженный формальный дифференциальный оператор порядка п, определенный на интервале I с концевыми точками а и Ь. Пусть a<Cc<Cb, а т' и V являются сужениями оператора т на интервалы Г = 1 Q \а, с] и Г' = I П [с, ЬА соответственно. Если d, d' и d" являются суммами положительных и отрицательных индексов дефекта операторов т, т' и х" соответственно, то d = d' + d" — 2п.

Доказательство. По теореме 19 число d равняется сумме числа независимых граничных значений в точке а и числа независимых граничных значений в точке Ь. Так как с —фиксированная концевая точка, то из следствия 23 и из теорем 19 и 20 следует, что d' и d" больше на п, чем число независимых граничных значений в точках а и b соответственно. Утверждение данного следствия очевидно.

Следствие {Кодаира). Пусть при предположениях предыдущего следствия d+, d'+ и d"+ являются положительными, a d-, d- и d- — отрицательными индексами дефекта операторов т, т' и т" соответственно. Тогда

d+ = d+ + d^ — n; d- = dl-\- d_ — n.

Доказательство. Пусть ®+— пространство решений уравнения xf = if, которые принадлежат ^{lY а ®+ и ®"—пространства решений уравнений x'f = if и т7=7» которые принадлежат L2 (/') и Е^Ц") соответственно. Таким образом,

d+ = dim®+, d+^dimSi^ d+ = dim®+ и S+^S+CI®!.

Если С — произвольное конечномерное пространство, а Л и В являются подпространствами пространства С и А + В = С, то известно и легко доказать, что

dim С + dim {А П В) = dim А + dim В.

В данном случае, применяя это правило, мы находим, что

d+ -(- dim (®+ 4- ®+) = d+ 4~ d+^

Таким образом, d^-V п> d'-v-V d+. Точно так же d- +п> d^ + d'L. Так как по следствию 25

d+ 4~ d- 4- 2п = d+ 4- d„ 4- d"^ 4- d'_,

то мы должны иметь равенство в обоих неравенствах выше, ч. т. д.

Теперь мы приведем один результат, который описывает конкретную форму абстрактного граничного значения для наиболее общего формального дифференциального оператора.

Теорема. Пусть т —формальный дифференциальный оператор, определенный на интервале I с концевыми точками а и Ь. Пусть w^ 1— 0, 1, ..., п— 1, — система функций, такая, что предел

в ф = limS Wi^pHnt->a i=0

существует для всех функций f из ^(Т{(х)). Тогда В —граничное значение для т в точке а. Обратно, каждое граничное значение для т в точке а имеет такой вид.

Доказательство. Из леммы 16 очевидно, что для любой точки П—1

/ внутри / Bt(f) = 2 wi (О f^ (0 — непрерывный линейный функ- г=0

ционал на гильбертовом пространстве ^(^(т)). Если Vim Bt(f) = t-^a

= B(f) существует для каждой функции / из ® (Ti (т)), то по теореме II. 1.17 В — непрерывный линейный функционал на S)(Ti(t)). Ясно, что В (f) — 0 для тех /, которые обращаются в нуль в окрестности точки а. Поэтому В—граничное значение для т в точке а.

Чтобы доказать обратное утверждение, допустим, что 6—'Граничное значение в точке а. Выберем функцию h из С°° (/), которая тождественно равна единице в окрестности точки а и нулю в окрестности точки Ь. Очевидно, что fh лежит в ^(^(т)) для каждой / из ^(ТДт)). Кроме того, значения fh и / совпадают в окрестности точки а и, следовательно, В (fh) = В (/) для любой функции / из ^(^(т)). Поэтому 6 —линейный функционал в гильбертовом пространстве ©(^(т)) (см. определение 17). Следовательно (см. теорему IV.4.5), существует элемент g в ортогональном дополнении пространства ®(Т0(т)), такой, что для всех/ из WA^

ВЩ = (Ь gf.

В частности, для / из ®(Т0(т)) мы имеем

1*10 = (/, g)* = (/, £) 4- (То (т) f, Т, (т) £).

Отсюда, как в следствии 22, вытекает, что g— решение уравнения т*т§- + £ = 0 и поэтому g— бесконечно дифференцируемая функция. Пусть и = —Tg. Тогда

В (/) = (Л т*и) — (т/, и) = (/А, т*и) — (т (/A), v) = В (fh).

{ - $ {[т(М)1 (0 о ^-^ (0 (Л) (0} dt^ ={ - $ {[т(М)1 (0 о ^-^ (0 (Л) (0} dt^ =Применяя формулу Грина и используя обращение функции h в нуль в окрестности точки 6, получаем, что

{ - $ {[т(М)1 (0 о ^-^ (0 (Л) (0} dt^ =

{ - $ {[т(М)1 (0 о ^-^ (0 (Л) (0} dt^ =

В (/) = lim

= lim Ft ^fh, и) = lim Ft {f, v). •t^-at^-a

Следствие. Если В —граничное значение для т в точке а, то существует бесконечное число раз дифференцируемая функция g в ортогональном дополнении пространства % (Т^т)) в гильбертовом пространстве ^(Т^т)), такая, что с^—Tg принадлежит ортогональному дополнению пространства ®(7*о(т*)) -в гильбертовом пространстве %^Tx(j*^ и

B^ = \\nxFAhoYt—>0/

Доказательство. Все, о чем говорится в этом следствии, было доказано по ходу доказательства теоремы 27, за исключением утверждения, что

для всех / из ®(То(т*)). Так как g принадлежит С°° (/), то из формулы Грина следует, что ['] эквивалентно уравнению

^g-V^xg, /) = 0,

и поскольку T*Tg + g = 0, то ['] очевидно.

Теоремой 27 заканчивается наше исследование граничных значений дифференциальных операторов. В теореме 19 мы показали, что каждое граничное значение есть сумма граничного значения в точке а и граничного значения в точке Ь. Мы также дали конкретное представление для граничных значений и получили основные сведения об индексах дефекта. Особый интерес представляет случай, когда т формально самосопряжен и, следовательно, оператор То (т) — То (т*) симметричен. Тогда лемма XII.4.26 и теоремы XII.4.28, 30 и 31 предыдущей главы дают в явном виде все симметрические расширения оператора Т0(т), сопряженные им операторы и все самосопряженные расширения оператора Т0(т).

Замечание. Для дальнейшего удобно расширить область определения граничного значения Л на более широкий класс функций, чем ©(^(т)). Из теоремы 27 видно, что если Л —граничное значение в точке а, то число A^g) однозначно определяется значением g в произвольно малой окрестности точки а. Таким образом, если / принадлежит L2(Z) и существует функция g в ® (^ (т)), такая, что f(t) = g(t) в окрестности точки а, то мы можем положить Л (/) = Л (g). Ясно, что это определение корректно. Когда А — граничное значение в точке Ь, можно сделать аналогичное замечание. Если Л —смешанное граничное значение, / принадлежит L2 (/) и существует функция g из ®(7\(т)), которая совпадает с / в окрестностях точек а и Ь, мы положим также A^f) = A^gY

Сужением оператора Т^т) на область, определенную системой граничных условий, где т —произвольный формальный дифференциальный оператор, будет называться оператор, полученный из оператора т наложением данной системы граничных условий.

Определение. Граничное условие вида В(/) = 0 для т называется граничным условием в точке а (в точке Ь), если В —граничное значение в точке а (в точке Ь) для т. Если В (/) = 0 не есть граничное условие в одной из двух точек а или b (так что по теореме 19 уравнение В^)^0 представимо в виде Bt (/) = В2(/), где Bt и В2 —ненулевые граничные значения в точках а и b соответственно), то В(/) = 0 называется смешанным граничным условием. Система граничных условий называется распадающейся, если она (или в общем виде системы, эквивалентные ей) содержит только несмешанные граничные условия. В любом другом случае система называется смешанной системой граничных условий. Если т —действительный формальный дифференциальный оператор, то множество ^(Т^т)) замкнуто по комплексному сопряжению. Граничное значение А для действительного оператора т называется действительным, если A(f) = = А(П для каждой функции / из ©(^(т)).

Мы заканчиваем раздел несколькими простыми примерами дифференциальных операторов. Простейший пример формально самосопряженного дифференциального оператора — оператор т = i (d/dt). Мы рассмотрим этот оператор в трех интервалах /.

Случай I: / = [0, 1]. Здесь, очевидно, d+ = d_ = l, и полная система граничных значений состоит из /(0) и /(1), а наиболее общая полная симметрическая система граничных условий (состоящая в этом случае из единственного условия) имеет вид /(0) = eie/(l), где 0<<9^2л.

Случай II: / = [0, оо). Тогда решение уравнения xf = if (уравнения т/ = — if) есть е1(е-1). Так как квадрат ег не интегрируем

в [0, со), то d_=l, и из т могут быть получены только несамосопряженные операторы.

Случай III: / = ( —оэ, со). Тогда из следствия 27, сравнивая со случаем II, получаем, что т не имеет граничных значений в точке +со. Таким образом, без наложения граничных условий т дает единственный самосопряженный оператор ^(т).

Теперь пусть нам задан формально самосопряженный оператор т вида (d/dt) [р (/) (dldt)} + ^ (/) на интервале I с концевыми точками а, Ь, где функции р и q действительны. Пусть а<.с<_Ь. Тогда по следствию 14 положительный и отрицательный индексы дефекта d'+ и d'_ сужения т' оператора т на IП [с, 6] равны и по следствию 24 их сумма не меньше чем 2, так что d'+ = = d'_>L Мы знаем (см. лемму XII.4.21), что d'^-VdL совпадает с числом линейно независимых граничных значений для т'. Так как d+ + dl<4, то или d^l, или d'+ = 2. Если ^=\у то т', и поэтому т не имеет граничных значений в точке ЬТ поскольку т' имеет два граничных значения в точке с. Если ^+ = 2, то т', и поэтому т имеет два граничных значения в точке Ь. Концевая точка а может быть исследована аналогично. Следующая таблица дает число линейно независимых решений уравнения (т —Х)а^О, которые имеют интегрируемые квадраты в окрестностях точек а или b при 1тЛ=#0. Как показывает проведенное выше исследование, возможны четыре случая.

Число линейно независимых решений, интегрируемых в квадрате:

В точке а

В точке b

(I)

2

2

(Ц)

1

2

(Ш)

2

1

(IV)

1

1

Следующая таблица дает число граничных значений для т в любом из указанных выше случаев (I) —(IV).

Число линейно независимых граничных значений для т;

В точке а

В точке b

(I)

2

2

(И)

0

2

(Ш)

2

0

(IV)

0

0

Следуя терминологии Г. Вейля, мы говорим, что конец а — точка типа предельной точки относительно действительного

оператора т второго порядка, если т не имеет граничных значений в точке а, и точка типа предельного круга, если т имеет два граничных значения в точке а.

В следующей теореме устанавливается важная нормальная форма граничных значений действительного формального самосопряженного дифференциального оператора второго порядка.

Теорема. Пусть формальный дифференциальный оператор т второго порядка определен на интервале 1 с концевыми точками а, Ь и имеет вид ^f = ^pffY-Vqf^ где р и q — действительные функции. Тогда в указанном выше случае (IV) мы имеем Wi g) = (Л Tg) для f, g^^tTt^Y В случаях (III) и (II) существует полная система граничных значений для т, содержащая два линейно независимых действительных граничных значения At и А^ таких, что

g) - (Л Tg) = А, (/) лйИ - А (/) W), h g^ (Л (т)).

В случае (I) существует полная линейно независимая система граничных значений для т, содержащая четыре линейно независимых действительных граничных значения Сх, С2, Dv, D^ где Ci, С2 — граничные значения в точке a, a D^ D2 —граничные значения в точке Ь, такие, что

(V, g) - (Л Tg)=с, (/) с^-с2 (/) cTteH

-VD^fWg^-D^hDTgY g^^^Y

Доказательство. Пусть А — любое граничное значение для т. Так как т действительный, то множество ©(ТДт)) замкнуто относительно операции комплексного сопряжения, поэтому функционал Доопределенный формулой Д(/) = Д(/), есть также граничное значение для т. Конечно, мы можем считать его комплексным сопряженным граничному значению А. Теперь граничное значение А может быть представлено в виде линейной комбинации действительных граничных значений следующим образом:

Таким образом, т имеет полную систему Д^ ..., Ар независимых действительных граничных значений. По лемме XIL4.23 билинейная форма (т/, g) — (/, т^) однозначно представима в виде

где Cij= — Cjt. Поскольку граничные значения А-г действительны и постоянные Ctj единственны, отсюда следует, что с^ действительны. Таким образом, с^= — сЙ, так что Сц = 0.

В случае (IV), рассмотренном ранее, граничные значения для т отсутствуют. Поэтому из [*] очевидно, что (т/, g) = (/, т^) при /, ^€®(Л(т)).

В случае (II) имеются два граничных значения в точке Ь, и, следовательно (после соответствующего преобразования и нормирования действительных граничных значений А^ А2), мы можем написать

(V, g) - (/, Tg) = Л, ЩМП - Аг (/) МП-

Аналогично в случае (I) можно выбрать полную систему {Ль А2, Лз, Л4} = {Сь С2, Di, D2} действительных независимых граничных значений, где Ci и С2 — граничные значения в точке а, a Dy и D2 — граничные значения в точке Ь. Если мы перепишем формулу [*] в терминах Ct и D^ то в правой части будут члены вида d^ {G (/) Dj ^—Ct (g) Dj (/)}. Покажем, что коэффициенты dij таких членов обязательно равны нулю. Например, пусть dn^0. Мы можем найти функцию f^^tji (т)), такую, что Ct (/) = 1, С2 (/) = 0 и / обращается в нуль в окрестности точки Ь. Аналогично этому существует функция g в®(7\(т)), такая, что D^g^l, D2(g) = 0 и g обращается в нуль в окрестности точки а. Тогда по формуле Грина мы имеем (ТЛ S’)-(Л ^^О- С другой стороны, по формуле [*] (т/, g) — — у, TS^ "^ du^O. Это противоречие доказывает наше утвержде- ниё. Очевидно, что подобные рассуждения проходят для любых значений индексов Z, / (1<J, /<^2).

Отсюда следует, что (после подходящих преобразований С1? С2, Dt и D2) имеет место равенство

W g) - (/, Tg) = С, (/) С2 (i) - С2 (/) С, (5) +

+ Dt (nD^-D^D^g).

Следствие. Пусть выполняются условия предыдущей*теоремы, а Т является самосопряженным расширением оператора TQ{x).

В случаях (II) и (III) система граничных условий, которые налагаются на т для получения Т, может быть записана в виде

aA(/) + M2(/) = 0, a2 + p2^0,

где At и А2 —действительные граничные значения в точке b в случае (II) и в точке а в случае (III).

В случае (I) если система граничных условий распадающаяся, то она может быть записана в виде

ад (/) -j- а2С2 (/) = 0, а* + а* #= о,

PiW) + p2W) = 0, РНР^о,

где Ct и D^ i=l, 2, —действительные граничные значения в точках а и b соответственно.

Доказательство. В случаях (II) и (III) из теоремы XIL4.3O следует, что оператор Т определяется одним граничным условием, и из теоремы 30 и определения XII.4.25 очевидно, что это условие имеет вид

аА (/) + М2 (/) — 0, а, Р действительные, а2 + р2#=0.

В случае (II) At и Д2—граничные значения в точке 6, тогда как в случае (III) это граничные значения в точке а. В том и в другом случае очевидно, что единственное граничное условие, определяющее Т. действительное.

Точно так же в случае (I) оператор Т, если он определяется распадающейся системой граничных условий, задается двумя граничными условиями, из которых одно для точки Ь, а другое для точки а. Применяя предыдущую теорему и определение XII.4.25, нетрудно показать, что эти граничные условия должны иметь вид

«А (/) + «2^2 (/) = 0,

РА (/) + р2о2 (/) = о

с действительными at и Р/, причем а*-)-ag^O, Pi + Pl^O. Эти формулы показывают, что в случае (I) симметрическая распадающаяся система граничных условий также обязательно является действительной.

Если а — фиксированная концевая точка интервала / и т не имеет граничных значений в точке Ь, то полная система граничных значений для т совпадает с В4 (/) = /(«), В2 (/) = /'(я). Тогда для /, g^^ (Л(т)) мы имеем (см. определение XII.4.2 и формулу Грина) ъ

{Л ^} = - MY № gW-rm kPg'Y W1 =

= i(Fa(f,g)-\mF,{f, g^.

s^b

Так как т не имеет граничных значений в точке Ь, то из теоремы 27 следует, что lim Fs (f, g) = 0. Таким образом,

s^b

(Л g)=— ip («) [/' Mf(aW№g' (a)].

По теореме XII.4.30 наиболее общее самосопряженное расширение оператора Т^Дт) есть сужение оператора ^(т) на подмножество области ©(^(т)), определенное одним симметрическим граничным условием, которое обязательно является граничным условием в точке а. Из предыдущего уравнения и определения XII.4.25 очевидно, что наиболее общее симметрическое граничное условие есть а/' (а) + Р/ (я) = 0 с действительными а и р. Таким образом, в случае одной свободной концевой точки и отсутствия граничных значений в другой концевой точке мы получаем простой явный вид для наиболее общего самосопряженного расширения оператора 7*0 (т).

Следующая теорема определяет важное свойство оператора второго порядка, которое будет применяться в § 3.

Теорема. Пусть т имеет вид tf^pf'Y + qh где р и q — действительные функции, а Т— самосопряженный оператор, полученный из т наложением распадающейся симметрической системы граничных условий. Пусть 1тХ=А0. Тогда эти граничные условия действительны и существует одно и только одно решение ф(/, X) уравнения (т —Х)ф = 0, интегрируемое в квадрате в точке а и удовлетворяющее граничным условиям в точке а, а также существует одно и только одно решение *^(1, X) уравнения (т —Х)ф = О, интегрируемое в квадрате в точке b и удовлетворяющее граничным условиям в точке Ь.

Доказательство. Мы покажем, что теорема верна в каждом из четырех рассмотренных выше случаев. Так как в случае (IV) нет граничных значений, то обязательно нет и граничных условий. Поэтому в этом случае теорема верна. В случае (III) обязательно есть одно граничное условие, поскольку по теореме XII.4.30 и лемме XII.4.21 число граничных условий в симметрической системе, которая определяет наш самосопряженный оператор Т, равно половине числа всех граничных значений. Так как нет граничных значений в точке Ь, то это условие задается в точке а. Поэтому из вышеприведенной таблицы видно, что существует точно одно решение ф уравнения (т—Х)ф = О, которое имеет интегрируемый квадрат в окрестности b и удовлетворяет всем граничным условиям в точке Ь, и существует по крайней мере одно решение ф уравнения (т — Х)ф = 0, интегрируемое в квадрате в окрестности а и удовлетворяющее всем граничным условиям в точке а. Если бы существовало второе решение, линейно независимое с функцией ф, имеющее интегрируемый квадрат в окрестности а и удовлетворяющее всем граничным условиям в точке а, то, так как пространство всех решений уравнения (т — Х)ф = 0 двумерно, все решения этого уравнения были бы интегрируемы в квадрате в окрестности а и удовлетворяли бы всем граничным

условиям в точке а. Значит, ф было бы интегрируемо в квадрате на всем интервале / и удовлетворяло бы всем граничным условиям, определяющим Т. Тогда X было бы собственным числом оператора Т. Однако, поскольку Т — самосопряженный оператор, a Im X Ф 0, это невозможно. Из симметрии очевидно, что случай (II) эквивалентен случаю (III).

Теорема XII.4.30 показывает, что в случае (I) симметрическая распадающаяся система граничных условий, определяющая оператор Т, содержит два элемента. Очевидно, что доказательство, данное для случая (III), проходит также в случае (I). Нужно только заметить, что оба условия нашей системы граничных условий не могут быть условиями в одной и той же концевой точке. Это, очевидно, вытекает из следствия 31.

Резольвенты дифференциальных операторов

В этом разделе символ т будет обозначать формальный дифференциальный оператор порядка п, который определен на интервале I с концевыми точками а, Ь. Оператор Т — Т (т) будет оператором, полученным из т наложением системы (которая может быть пустой) к линейно независимых граничных условий Д (/) = 0, i^h ..., k, т. е. Т — сужение оператора ТДт) (см. определение 2.8) на подмногообразие многообразия ©(^(т)), определенное условиями Bt (f)=0, t=l, ..., к. В этом разделе наша главная цель —получить конкретное представление резольвенты R (X; Т) для X из q (Т) в виде интегрального оператора

R (X; THW^ J KV, s; XH^ds.i

Нам нужны не только сведения теоретического характера, но и алгебраические алгоритмы для применения в некоторых частных случаях.

Для дальнейшего удобно предполагать, что число Л = 0 принадлежит q(T), т. е. что Т имеет ограниченный везде определенный обратный оператор. Это допущение эквивалентно тому, что оператор т заменяется на т — X.

Наш первый результат относится к числу к линейно независимых граничных условий, которые определяют Т. Заметим, что к может быть, вообще говоря, нулем.

Лемма. Пусть Т имеет ограниченный обратный. Тогда число линейно независимых граничных условий, определяющих Т, равно числу линейно независимых решений уравнения xf — O, которые принадлежат L^^Y

Доказательство. Пусть v —число линейно независимых решений уравнения т/ = 0, принадлежащих UUY Если v>&>0, то Tf = O для некоторой ненулевой функции f, и поэтому Т не имеет обратного. Таким образом, 1г>^. Пусть &>v. Тогда существуют по крайней мере v-f-1 линейно независимых линейных функционалов на ©(ТДт)), которые обращаются в нуль на ®(Т), и существуют по крайней мере v +1 линейно независимых линейных функционалов на факторпространстве ® (^ (т))/® (Т). Следовательно, это факторпространство по крайней мере (v+ 1)-мерное. Таким образом, имеется не меньше v+1 линейно независимых функционалов /0, Д, ..., Д, в ©(ТДт)), никакая ненулевая линейная комбинация которых не лежит в ® (Т). Поскольку Т имеет ограниченный всюду определенный обратный, Т отображает ® (7) на Е^Г). Следовательно, существуют функции g0, g{, .... gv в ®(Т), такие, что

Tgi^T^U z = 0, 1, ..., v.

Тогда т(^ — fOTgt — ТДт)Д =0, и функции gt — ft. Z = 0, 1, ..., v, являются v+ 1 линейно независимыми решениями уравнения то^О. Это противоречие заканчивает доказательство.

Следующий результат обобщает следствие 2.26.

Лемма. Пусть Т имеет ограниченный обратный, и пусть т' и х — сужения оператора т на интервалы Г — 1^^а,с^ и Г — = 1 П [с, by где а<_с<_Ь. Если v (v', v") обозначает число линейно независимых решений уравнения т/ = 0, которые принадлежат UWY UO. v' + v^v + zz.

Доказательство. Пусть 23 (23', 23") — линейное пространство всех решений уравнения т/ = 0, которые принадлежат Z,2W (^(/'Д U (/"))• Так как 23 = 23'^23", то в силу элементарных свойств конечномерных пространств

dim 23 + dim (23' + 23") = dim 23' + dim 23".

По теореме 1.3 dim(23' + 23"Xzi, откуда следует, что V-|-M> v' +v".

Пусть S3 — подпространство пространства UW образованное всеми функциями, сужения которых на интервалы Г и /" принадлежат 23' и 23" соответственно. Очевидно, что dim 2В = v' + v". Мы докажем, что v' + v">v + n, показав, что dim S3 > ч-\-п. Так как 23—подпространство пространства S3, то это можно сделать, построив в S3 п линейно независимых функций, никакие линейные комбинации которых не лежат в 23. По теореме 2.10 и лемме 2.6 Т* — сужение оператора ТДт*) (см. определение 2.8). Поэтому линейные функционалы 1*1 ' МОГЧсУ z = 0, 1, ..., zi—1,

непрерывны на ® (Т*). Так как существуют функции f в ® (То (т*)), для которых величины f(n (с) определяются произвольно, то функционалы в [*] линейно независимы на ®(Т0(т*)). По теореме 2.10 Т* г Тх (т)* = То (т*)** ^ То (т*), и поэтому ® (То (т*)) — подпространство пространства ^(Т*). Таким образом, функционалы Д линейно независимы на ^(Т*).

В ® (Т*) мы введем скалярное произведение

(Л gy-a. мп т-g).

По теореме XII. 1.6 (а) Т* замкнут, и по теореме XII. 1.6 (Ь) он имеет ограниченный всюду определенный обратный (Т*)"1.

Очевидно, что (^^ — ограниченный линейный оператор из L2(/) в ®(Т*). Поэтому функционалы At^T*^1^ непрерывны на Л2(/), и по теореме о представлении элемента пространства, сопряженного гильбертову пространству (см. теорему IV.4.5), существует п функций h0, ..., hn-i в L2(/), таких, что

Ai^TVg^^hd, 0М</г-1, 8Щ1).

Линейная независимость функционалов Ло, ..., Дп-1 означает, что функции h0, ..., hn-t линейно независимы. Для всех / из ^(^(т')) или из ©(^(т")) мы имеем

0 = Лг/ = kT*f, Нд= $т*/ (0 МО dt.

Г или I”•

По лемме 2.9 мы заключаем, что hi лежит в С°° (/') или в С°° (Г) и что (т/гг)(0 = 0, t=#c. Таким образом, п линейно независимых функций к0, ..., /гп-1 принадлежат ®. Для завершения доказательства достаточно проверить, что никакая ненулевая лип—1

нейная комбинация h = 2 ajhj функций ht не принадлежит S3. ;=о

Пусть h принадлежит 93. Тогда по формуле Грина мы имеем

0 = (/, т/г) = (Т7, А) = ^ ajAj (/) = ^(с)

j=0j=0

для каждой / из ^То^У). Тогда, очевидно, а; = 0 при / = 0, ..., п — 1, так что й = 0. Это противоречие завершает доказательство настоящей леммы.

Лемма. Сопряженный оператор Т* оператора Т есть сужение оператора ТДт*), определенного системой граничных условий 5?(Л = 0, /=1, ..., к*, наложенных на т*.

Доказательство. Из доказательства предыдущей леммы видно, что Т0(т*)^Т*^ ТДт*). Тогда ® (Т\ (т*)) —гильбертово простран-

ство со скалярным произведением (/, g)* = (/, g) + (т*Д т*^), и элементарные вычисления показывают, что ортогональное дополнение 33 пространства ®(7о(т*)) в ©(ГДт*)) есть множество функций /, удовлетворяющих уравнению / + Т0(т*)*71(т*)/ = = / + Л (^) Л(т*)/= 0 (см. теорему 2.10). Таким образом, каждая / из 33 удовлетворяет дифференциальному уравнению / + тт*/ = 0. Это показывает, что размерность пространства 33 нс больше чем 2м. Так как ® (7*) — замкнутое подпространство пространства ©^(т*)), содержащее ® (70(т*)), ортогональное дополнение пространства ® (7*) в 5) (^ (т*)) имеет конечный базис h^ ..., hp. Положим B*(f) = (f, hi)*. Очевидно, что В* —граничное значение для т*, и, следовательно, уравнения В* (/) = 0, г = 1, ..., р, определяют подпространство ® (7*) пространства ® (7\ (т*)), ч. т. д.

Замечание. Если Т —-самосопряженный оператор, определенный формально симметрическим оператором, или, в более общем виде, оператор вида Ti — X/, где 1\ г— самосопряженный оператор, описанный выше, то граничные условия В*(/) = 0, Z=l, ..., к*, эквивалентны граничным условиям ВД/) = 0, /=1, ..., к.

Лемма. Если R обозначает ограниченный обратный оператора Т, то существует функция К, определенная на 1x1 и такая, что Кк^ •) принадлежит L2(/) для каждого t£l, причем {Rf){t)^^K(t.s)f{s)ds, KUU).

Более того,

Для каждой точки св! функция К (с, •) принадлежит С°° U П[м, с]) и С°°(/П[с, 6]), и т*(К(с, s)) = 0 для s^c.

Если положить КлДс, s) = K(c, s) для s^c и К-Дс, s) = = К (с, s) для s«<c, то

lim К^Цс, s) = lim К^ (с, s), Z = 0, . ..,п — 2, s-»c+0s—>с—0

lim К^Цс, s) — lim К^Чс, ^(-^Щ^Г1.

s-»c+0s—>с—0

Равенства (Ь) эквивалентны соотношению

/М = /Ш КД-ЕДЬ КД. с^К /е Wi(t)).

Доказательство. Очевидно, что R—-непрерывное взаимно однозначное отображение пространства БД!) на гильбертово пространство ®(7), у которого скалярное произведение совпадает с (Л ^)* = (Л ё)ДДТ?, Tg). Так как Т— сужение оператора ТДт), то из леммы 2.16 следует, что функционал (Rf) (t) непрерывен на Е2Д) для каждой точки t из /. Поэтому теорема IV.4.5 пока- 31 Заказ № 134

зывает, что для каждой t из / существует функция /<(/,-) в L2(/), такая, что

<RD<0 = 5 к(i,s)f(s)ds, f^MY i

Пусть a<c<6. Предположим, что g лежит в ® (^(О), где Тс — сужение оператора т на / Q [a, d- Тогда

О = g (d = ^ К (с, s) (rg) (s) ds.

i

Из лемм 2.6 и 2.9 следует, что К (с, •) принадлежит С°°(/П[а, с]) и x*Kkci d = 0, a<^s<_c. Подобными рассуждениями мы находим, что К (с, •) принадлежит С“(/П [с, 6]) и что т*/<(с, s) = 0, c<s<6.

Теперь пусть К (t, s) — К- (7, s) для s<7 и К V, з) = К+ (7, s) для s>-t. Если a-<c«Cb, то по формуле Грина (2.4) мы имеем

/(d = ^ К (с, s)(tf)(s)ds =

I

сЪ

= ^ К- (с, s) (т/) (s) ds-V ^ К+ (с, s) (т/) (s) ds = ас

= Гс (Л к_) - Fc (f, К+) = Fc у, К--К^

для каждой функции / из ®(7'0(т)). Здесь производные в точке с от функций К* и К-, входящие в Fc (f, К+) и Fc (f, К-), берутся слева и справа соответственно.

Так как по лемме 2.2 ГС(Л g) есть невырожденная форма на векторах [/(с). • • •, /<п-1>(di и lg(c), • • •, £<n-1)(dL уравнение

f(d = fe(/, Г]).

если предполагать его справедливость для всех / из 2)(Т0(т)), однозначно определяет функцию г) и ее первые п— 1 производных. Это уравнение эквивалентно системе уравнений

[**] nS^’(dW) = 6o, <=о,...,«-1, j=0

где 6}= 1, если i = j, и 6} = 0, если i^j. Из формы, данной для матрицы Fc, во второй формуле, предшествовавшей определению 2.1, мы видим, что

F^VT^t-lf^an^c),F^"-1) (т) = ot если t 0.

Таким образом, система [**] имеет решение

г] (с) = ... = т)<”-2> (с) = 0, т1<”-1> (с) = ( — 1)п-‘ [ап (с)]"1.

Поэтому скачок функции К (с, s) в точке s = c описывается п уравнениями

К^Чс, с-)-К^(с, с + )=0, г = 0,—2,

К^Чс, с + ^-К^Чс, с-) = (-!)"Ю1.

Дальнейшие сведения о ядре ^ даются в следующей лемме.

Лемма. Функция К (с, • ), полученная из ядра, определенного в предыдущей лемме при фиксированном с из I, удовлетворяет граничным условиям В* (П — О, z = 1, ..., &*, определяющим Т*.

Доказательство. Здесь будет применяться система обозначений из доказательства предыдущей леммы. Пусть а<с<Ь, a g— функция из С°°(/), которая совпадает с К (с, •) в окрестностях точек а и b и такая, что g принадлежит ©(ТДт*)) (мы напоминаем, что по лемме 4 К (с, s) — бесконечное число раз дифференцируемая функция, за исключением точки s = c). Применение формулы Грина дает

с

5 (V) (s) (g (s)—K (С, s)) ds = J (V) (s) (g (s)—K- (C, s)) ds +

Ia

b-

+ ^ (V) (s) (g (s)—K+ (c, s)) ds =c

= $ / (s) № (s) ds - Fc U, K-> + Fc У, K^,f^ (Л (T)).

Вспоминая, что для / из ® (Т)

/ (с) = Fc (/, К-) - Fс (/, К+) = ^ (т/) (s) К (с, s) ds.

мы получаем уравнение

$ (V) (S)g(S) ds = $ f (s) (^) (s)ds,

II

Таким образом, g лежит в ®(T*), так что g удовлетворяет граничным условиям В?(/) = 0, 4 = 1, ..., к*, из леммы 3. Теперь g совпадает с ^(c, •) в окрестностях точек а и Ь, и, рассмотрев замечание к следствию 2.28, мы видим, что К (с, •) удовлетворяет этим же граничным условиям, ч. т. д.

Лемма, (а) Если s^t, то ядро К (s, Г) —бесконечно дифференцируемая функция по обеим переменным.

(Ь) Функции K^V-> е) и К-(*, •), встречавшиеся в формулировке леммы 4, непрерывны на своих областях определения.

Доказательство, (а) Пусть ф*, ..., фр* и ф*, ..., ф^* интегрируемы в квадрате в окрестностях а и b соответственно и образуют базис для решений уравнения т*а = 0. Из леммы 4 следует, что для с из I ядро К может быть представлено в виде

8<_С,

И

s>*c.

Теперь вычислим p*-\-q* постоянных величин аг (с) и Pi (с). Рассмотрим п линейных уравнений

Кц\с, c + 0)-KW(c, с —0) = 0, 0CtC«-2, ( К^Чс, с + 0)-К(п~1Чс, с-0) = (-1)п[^)]~1.

Формула ['] показывает, что уравнения (1) могут быть переписаны в виде

j^^Vt^-SMc)^7^)^. / = 0,п-2,

(1') ,-1 \ / р*q*

2 а; (с) ^Щ?) - 3 ₽г (с) ф^'^ to = ( - 1 )n IM^l"1 .

3=11=1

По лемме 5 функция К (с, •) удовлетворяет уравнениям

(2)ВЦК) = 0, i = Y,...,k*.

По теореме 2.19 мы можем написать В* = С* + В*, где С* и D* являются граничными значениями в точках а и b соответственно, и с применением ['] уравнения (2) могут быть переписаны в виде

(2')5 ^JMC?(<p?)+§М7)£>Г(Ф?) = 0,

j=ii=i

По леммам' 1 и 2, р* + q* = к* + п. Поэтому система, составленная из уравнений (Г) и (2'), имеет единственное решение аг (с), Pi (с), если соответствующая однородная система уравнений имеет только нулевое решение.

Пусть однородная система, полученная из уравнений (Г) и (2'), имеет ненулевое решение а? (с), Р”(с), и пусть Ко (•) —функция

(переменной s), полученная из ['] заменой сц и Pi на а? и р?. Функция Ко п раз дифференцируема для s#=c. Уравнения (Г) удовлетворяются функциями а? и р?. Это означает, что Ко является функцией, п—\ раз дифференцируемой в точке с. Таким образом, Ко €® (Л (т))- Тогда уравнения (2') показывают, что Ко лежит в области определения оператора Т*, а уравнения ['] показывают, что Т*Ко = О. Так как Т имеет ограниченный обратный, то Т* также имеет ограниченный обратный. Следовательно, Ко обязательно тождественно равняется нулю. Поэтому уравнения (Г) и (2') имеют единственные решения а/ (с) и Pi (с) соответственно.

Заметим, что все коэффициенты в (Г) и (2')— бесконечно дифференцируемые функции от с. Однородная система p*-Vq* уравнений для p*-\-q* неизвестных, полученная из (Г) и (2'), не имеет ненулевых решений. Следовательно, определитель системы (Г) — — (2') отличен от нуля, и решения этой системы можно выразить (по правилу Крамера) через некоторые определители из ее коэффициентов. Следовательно, аг- и рг- — бесконечное число раз дифференцируемые функции с. Теперь остальные утверждения леммы, очевидно, следуют из формулы ['].

Замечание. Уравнения (Г) часто будут упоминаться как «уравнения скачков».

Чтобы получить более точную формулу для К, мы изучим далее вид оператора, сопряженного к R..

Лемма. Пусть К —ядро, связанное с R, как в лемме 4. Тогда

для фиксированной точки с из I функция К (•, с) лежит в U<JY Сопряженный к R оператор R* может быть представлен в виде

т) (s) = ^K^g^dt;

для фиксированной точки с из I и для t^c имеет место равенство тК (t, с) = 0;

К (•, с) удовлетворяет граничным условиям, определяющим Т.

Доказательство. Пусть J — компактный подинтервал из /. Пусть Ki — ядро, связанное с R*, как в лемме 4. По лемме 6 ядра К и Kv ограничены на J. Если /, £б® (Го (т)) = Ф (То (т*)) и если / и g обращаются в нуль вне J, то из теоремы Фубини следует, что

J $ K(s, WtY^dtds = W, g) = i i

= № П=\ \ Ki (t, s)g(s)/(0dsdt.

I I

Система функций вида f^g^sY где /, g — функции из ®(Т0(т)), обращающиеся в нуль вне J, фундаментальна в Ь2^ X JY Поэтому К (5, ^) = Ki(^ s) для почти всех (s, t)^JxJ. Так как по лемме 6 оба эти ядра непрерывны для t#=s, то К (s, /) = Кл (t, s) для всех точек (s, t) из J х J, если только s#=t. Теперь из этого факта и из лемм 4 и 5 следует наша лемма.

Теорема. Пусть т—формальный дифференциальный оператор на интервале I, а Т — оператор, полученный из т наложением к линейно независимых граничных условий Bi{f) = O, /=1, ..., к.

Пусть {ф^}, /=1, ..., р ({ф*}, £= 1, ..., р*), является базисом для тех решений уравнения то = 0 (т*о = 0), которые интегрируемы в квадрате в окрестности точки а, и пусть {фг}, t = 1, \ .., q ({ф*}, i = 1, ..., q*), является базисом для решений уравнения то = 0 (т*о = 0), имеющих интегрируемые квадраты в окрестности точки Ь. Тогда существуют единственные скалярные матрицы Г = (у^), Z= 1, . qn / = 1, .р*, и Г' = (у^), 1=1, ..., р, j—1, ..., q*, такие, что функция Грина К, определенная в лемме 4, представляется в виде

K^t, s) =K^t, s) =q р*2 2 уоФ*(0ф*(8),4=1 3=12 .2 тЬф« (0 # (s),q р*2 2 уоФ*(0ф*(8),4=1 3=12 .2 тЬф« (0 # (s),7 i=l 3=1Доказательство. В доказательстве леммы ставлено в виде7 i=l 3=1Доказательство. В доказательстве леммы ставлено в видеss6 ядро К было пред-6 ядро К было пред-

K^t, s) =

K^t, s) =

q р*

2 2 уоФ*(0ф*(8),

4=1 3=1

2 .2 тЬф« (0 # (s),

q р*

2 2 уоФ*(0ф*(8),

4=1 3=1

2 .2 тЬф« (0 # (s),

7 i=l 3=1

Доказательство. В доказательстве леммы ставлено в виде

7 i=l 3=1

Доказательство. В доказательстве леммы ставлено в виде

s

s

6 ядро К было пред-

6 ядро К было пред-

I ЗаД0ф*(8), s<t,

ИK(^s) = l 7*1

ЗМОШ 8>/,

I

где функции а, (/), 0, (/) бесконечно дифференцируемы. Используя лемму 7 и применяя т к обеим частям этих равенств, мы получаем

2 (та,-) (0 фГ(8) = 0, s<t, 3=1

2 №•)(/)№) = о, s>t. i=i

Из линейной независимости функций <р* и ф* следует, что та, = т0, = 0.

Остается доказать, что функции а, и 0,- интегрируемы в квадрате в окрестностях точек b и а соответственно. Если Ф* — любой

другой базис для множества решений уравнения т*о = 0, интегрируемых в квадрате в окрестности точки а, то коэффициенты а; определенные соотношением

q*q*

K(t, s) = 2 ^(0Фт= 2 аД0№, s<t,5=15=1

будут связаны с коэффициентами af невырожденным линейным преобразованием, так что каждая функция а^ будет линейной комбинацией функций at с постоянными коэффициентами, и обратно. Таким образом, аг будут интегрируемы в квадрате в окрестности точки b тогда и только тогда, когда это верно для «ь Итак, если J = [с, d] — компактный интервал внутри /, то мы можем предполагать, не уменьшая общности, что ф* ортонормальны на J. Тогда из ['] следует, что

d

at (/) = ^ К (^ s) ф* (s) ds, t>s.с

Теперь для каждой точки s из 7 линейный функционал (7?*/) (s) непрерывен на Ц, и для каждой / функция (R*f^ (s) непрерывна по s. Поэтому sup | (7?*/) (s) | < оо Для каждой функции f^L^ (7), s£J

и из теоремы о равномерной ограниченности следует, что для5^ J функционалы f —> (R*f) (s) равномерно ограничены по норме. Так как

(R*n (s) = ^ К7м f W dt, к и (7),

то из теоремы IV.8.1 следует, что sup \ 17<(7, s) |2dZ < со. Поэтому sE«7 j

J § IК (/, s) |2d/ds< со, j i

и по неравенству Шварца и теореме Фубини ь

| at (t) |2 dt< | ^ К (t, s) q>* (s) ds Г dt < ai j

< J J |K(7, s)\Msdt =

i j

- ^ j |7<(^ s)\Mtds<oo.

j i

Таким образом, функции а/ интегрируемы в квадрате в окрестности точки Ь. Так же можно показать, что функции 0; интегрируемы в квадрате в окрестности точки а, ч. т. д.

Следующее утверждение дает нам возможность использовать теорему 8 как вычислительный алгоритм при рассмотрении частных примеров.

Следствие. Матрицы Г = (у^) и Г' = (у^) в предыдущей теореме однозначно определяются уравнениями скачков и граничными условиями, определяющими Т.

Доказательство. При выводе теоремы 8 мы видели, что функции а^ (0 и pf (0 однозначнО-Определяются уравнениями скачков и граничными условиями В* (/0 = 0, /=1, ..., £*, которым удовлетворяет К (с, •). Далее, в лемме 7 показано, что К (s, /) —ядро для R*. По симметрии К также однозначно определяется уравнениями скачков и граничными условиями, определяющими Т. Поэтому, поскольку функции фг образуют линейно независимую систему и такими же являются функции фь ф*, ф*, матрицы Г и Г' однозначно определяются уравнениями скачков и граничными условиями, определяющими Т, ч. т. д. '

Вычисление К при помощи следствия 9 может быть упрощено, если система граничных условий для Т или Т* распадается или содержит определенное число граничных условий в точке а или Ь. При описании этого упрощения стоит сделать некоторые замечания, которые будут использованы в следующих нескольких теоремах. Как и выше, пусть фь ..., фр —базис пространства ®а тех решений уравнения то = 0, которые имеют интегрируемые квадраты в окрестности точки а; аналогично пусть фь ..., ф9— базис пространства ®ь решений, интегрируемых в квадрате в окрестности точки Ь. Пусть система граничных условий для Т (или некоторая эквивалентная система) записана в виде [Вь ..., ВА] = = [Ci, ..., Ср,] J [Оь ..., DV]U [Bi, ..., Во], где Cf, Di и ^ — граничные условия в точках а, b и смешанные граничные условия соответственно. Пусть ф^ и ф^ выбраны так, что система фь ..., фи, и^р, образует базис подпространства 2Ва^ЗЗа, содержащего те элементы пространства 33а, которые удовлетворяют условиям С; (/) = О, 1, ..., ц, а фь ..., фр, u^q, есть базис подпространства 5Въ ^ ®ь, содержащего те элементы пространства ЭЗЬ, которые удовлетворяют условиям Dt (/) = 0, г = 1, ..., v. Символы С*, 53*, ф*, ц*, и* и т. д. будут обозначать соответственно целые числа, пространства решений и т. д., связанные с уравнением т*о = 0 и с граничными значениями В*, ..., В** для Т*.

Теорема. Пусть Т имеет ограниченный обратный R. Тогда в обозначениях предыдущего абзаца

и = р — р,, v = q — v, и* = р* — р*,и* = q* — v\

Более того, ядро К для R имеет представление

Г V и*

S S УиФ; (0 Ф* (s). 8<t,

К (/, s) = i u

S S -Y^'Tf(0Ф*(s), t<s,

. i=l j=l

где постоянные ^tj и ^tj однозначно определяются уравнениями скачков и оставшейся системой смешанных граничных уравнений

Ei^^O, i=l, ..., о), o) = ^~(|li + v).

Доказательство. Так как ®а — подпространство /7-мерного линейного многообразия 55а1 определенное р, линейными условиями, то очевидно, что и = dim9Ba>p — V'- Аналогично и = dim^ъ> > q — v. С другой стороны, если dim 9Ва + dim 9Bb > Р + Я — (И + v) = = п +&—-(|ы + v) (см. результат применения леммы 2 к оператору т*), то поскольку dim(2Ba + ®b)<^, равенство

dim (SBa + 3Bb) + dim (3Ba fl ®ь) = dim 3Ba + dim 3Bb

показывает, что dim (3Ba fl ®&) > k — (jll + v) = co. Следовательно, ®аП®ь содержит ненулевой вектор /, удовлетворяющий оставшимся смешанным граничным условиям ^(/^О, i=I, ..., со. Поэтому /С®(Т) и Tf = O вопреки тому факту, что Т имеет обратный. Поэтому и = р — у, и v = q — v. Соотношения и* = р* — |ы* и -u*^q*—-v* доказываются аналогично. •

Так как ядро К(/,-) удовлетворяет граничным условиям C*(f) = O и D*(/) = 0, то оно имеет представление

К(/, s) =К(/, s) =и* 2 а. (0 ф* (s), i=lи* 2 а. (0 ф* (s), i=lt,t,S ^(0^(5), s>t. i=lS ^(0^(5), s>t. i=l

К(/, s) =

К(/, s) =

и*

2 а. (0 ф* (s), i=l

и*

2 а. (0 ф* (s), i=l

t,

t,

S ^(0^(5), s>t. i=l

S ^(0^(5), s>t. i=l

подобное представлению ['], данному при доказательстве леммы 6. Чтобы определить и*+и* = (р* + 9*)— (Р* + v*) = (п + к*) — (р*+v*) неизвестных функций аг (^) и 0г (/), мы имеем п уравнений скачков и оставшиеся граничные условия

£*(7() = 0, i=l,.to* = k* — (p* + v*).

Путем рассуждений, аналогичных примененным при доказательстве леммы 6, устанавливается, что эти две системы условий

определяют функции az- (/) и рг (/) однозначно; тогда, как при доказательстве леммы 7, мы видим, что a^9Bb, p^®a. Таким образом, (yZJ) и (у^-) однозначно определяются условиями скачков и граничными условиями Е*(К) = 0, / = 1, ..., со*. По симметрии (Yu) и №5) также однозначно определяются условиями скачков и граничными условиями Et (Д') = 0, / = 1, ..., со (см. следствие 9),

ч.т. д.

Особенно важен случай, когда и Г, и Г* определяются распадающимися системами граничных условий. Тогда jll + v = &, |li*+v* = &* и коэффициенты yZJ- и у^- однозначно определяются уравнениями скачков. По леммам 1 и 2 p*-Vq* = n-vk*. Поэтому и* 4- у* = р* 4- q* — (р,* 4- v*) = п. Аналогично и 4- у = п. Если функция о является одновременно линейной комбинацией фь ..., фи и гр!, ..., гр0, то а лежит в L2(/), и мы имеем то = 0 и Bz(a) = 0, г — 1, ..., к. Таким образом, а будет лежать в области определения оператора Т и Та = 0. Отсюда следует, что о = 0. Поэтому системы (ф!, ..., фи) и {гр!, ..., гру) должны быть линейно независимыми. Так как иД-о^гц то они образуют базис для всех решений уравнения та = 0 на I. Аналогично {фТ, ..., Ф%*} U 1){ф*> •••> гр**} —базис для всех решений уравнения т*а = 0.

Если

и*

K(t, s) =K(t, s) =s<t.s<t.s>s>2 аг (OvT(s), г=1

K(t, s) =

K(t, s) =

s<t.

s<t.

s>

s>

у*

3₽г (ОТО, 1=1

то из леммы 4(c) видно, что уравнения скачков эквивалентны соотношению

и*V*

/(0=2 «I (0 Ft и, фТ) - 2 ^ (0 Ft и. фП. / 6 с”-1 (/). г=1;—1

Положим ai = at, i=l, ..., и*; at = ^t_u», i = u*+l, ..., п;

Л? = Фь i=L •••• “*; т)?=— Ф?-«*, i = u*+l, ..., n. Тогда это соотношение принимает более простой вид

(3)(3)/(0=2М0/Шп:), /есп-*(/). г=1

(3)

(3)

Поскольку Ft —форма, содержащая только функцию / и ее первые п—1 производных, уравнение (3) выполняется для всех / из Сп-1 (/), если оно выполняется для функций любого подпространства, содержащего функцию с любыми заданными значениями первых п— 1 производных в любой точке, в частности для подпространства решений уравнения та = 0. Мы видели (см. теорему 10),

что TOi = 0, 1 = 1, ..., п. Таким образом, выбирая базис {gj, /=1, ..., п, для решений уравнения то = 0 и определяя матрицу {Г^} уравнениями

#1=21=1, . . П,

3=1

мы видим, что уравнения скачков эквивалентны следующей системе уравнений:

2 TijFt £i, Tit) Ш = Ш>1 = 1, n.

i, 3=1

Теперь по формуле Грина

ГгЖ чТ) - Ft. ^, Tit) = J №) (0 W) - ^ (0 W)W} dt = 0.

Поэтому Ft (&, t]*) не зависит от t и система (4) эквивалентна системе уравнений

2ВД(^п?)=«л. !</,/<». 1=1

Другими словами, матрица {ГгД является обратной для матрицы {Ft (^г, т]*)}. В терминах матрицы {Г^} мы имеем

2 2 г^^та, s<t,

2 2W)tf-«»(s), s>t. i=u*+i j=i

Кроме того, если мы возьмем ^ = <р,-, / = 1, ..., и, и ^ = %-и, / = и+1, ..., п, то, поскольку постоянные Г,7 в выражении ядра К определены однозначно, из представления для К, данного в теореме 10, следует, что Г^ = 0, если одновременно 1<.и* и /<и или t>u* и j">u.

Далее все эти замечания формулируются в виде теоремы, в которой применяются введенные выше обозначения.

Теорема. Предположим, что Т и Т* определяются системами распадающихся граничных условий. Пусть |; = ф;, t = 1, ... .Щ ^ = фг-и, i = u-Vl, п\ T]i=<P*. t=l, ...,м*; Т]* = = — ф*_и*, i = и* +1, ..., п. Тогда

системы {^} и {ц*} образуют базис для пространств решений уравнений то = 0 и т*а = 0 соответственно; .

матрица {Ft {^t, T]j)} не зависит от t и невырожденна;

если {1\} обозначает обратную матрицы {Ft (£ь Л;)}, то Г^ = 0, когда одновременно i^u* и j<.u или i>u* и j^u;

ядро К обратного оператора R к оператору Т определяется формулой

, и* п

2 2 Гij-ф* (s) ipy-u (О» s < /, 2=1 ;=u+i

KU, s)= n u

22 Гij^i-u* (S) Ф; (/), S > t.

2=14*4-1 3=1

Когда теоремы 10 и 11 формулируются для резольвенты дифференциальных операторов, они принимают несколько другой вид. Для дальнейших ссылок мы выпишем соответствующие формулировки.

Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный оператор, а Т—оператор с плотной областью определения, полученный из т наложением системы ЦЗ^ граничных условий. Пусть системы граничных условий, определяющие Т и Т*, делятся на три подсистемы, как это описано в пункте, предшествовавшем теореме 10. Пусть для каждого числа X£q(T) системы (fiU,k), \<л<.и (ф* (•, X), ICi'Cu*), и ф;(',Х),1<1<О

№(-,Х), l<t<v*), образуют базис для всех решений уравнения (т—Х)ст = 0 ((т*— Х)о = 0), интегрируемых в квадрате в окрестностях точек а и b и удовлетворяющих граничным условиям в точках а и b соответственно. Тогда резольвента R (X; Т) = = (X/— Ту1 определяется выражением

(R (X; Г) П (0 = ^ / (з) К It, s; X) ds, f € U UY

i

где ядро К имеет представлениегде ядро К имеет представлениеК (t, s; Х) =К (t, s; Х) =V и*2 22 = 1 3=1и V*2 2 yo(^(/;W (*;*),2=1 з=1V и*2 22 = 1 3=1и V*2 2 yo(^(/;W (*;*),2=1 з=1s<zt,s<zt,S>S>t.t.

где ядро К имеет представление

где ядро К имеет представление

К (t, s; Х) =

К (t, s; Х) =

V и*

2 2

2 = 1 3=1

и V*

2 2 yo(^(/;W (*;*),

2=1 з=1

V и*

2 2

2 = 1 3=1

и V*

2 2 yo(^(/;W (*;*),

2=1 з=1

s<zt,

s<zt,

S>

S>

t.

t.

Функции ytj (•) и у1з(-) однозначно определяются смешанными граничными условиями, определяющими Т, и следующей системой уравнений скачков*.

К^и, с^-Щ-К^и, с-0) = 0, 0<i<n-2,К^Чс, с + 0)-К^-1Чс, с-О)^-!)"^)]'1.

Следствие. Пусть т — формальный дифференциальный оператор, а Т — оператор в гильбертовом пространстве, получен-

ный из т наложением распадающейся системы граничных условий» Пусть Т* также определяется распадающейся системой граничных условий. В обозначениях предыдущего следствия пусть & = Фь 1</См; ^ф^и, u+Ki<n; пТ^фь Ki<u*; ии*-у\<л^п, для X£q(T). Тогда при условиях

предыдущего следствия мы имеем

для каждого X из q(T) системы {gj и {г]*} образуют базис для пространств решений уравнений та = А,а и т*а = А,о соответственно;

матрица {Ft ^ Л;)} не зависит от t и невырожденна для каждого X из ^Т\,

если {Г/7 (Х)} — матрица, обратная для ^Ft^h^V то Г^ = 0, когда одновременно £<Щ* и 1<ш или i>u* и }>щ

ядро К резольвенты R (А,; Т) определяется формулой и* п

KV, s; Л) =KV, s; Л) =-2 2 ГгДЩД/, X)q>r(s;I), s<t, г=1 j=u4-l

KV, s; Л) =

KV, s; Л) =

-22 гг,- w ^ V, л) #^й^, $ > t. г=и*4~1 ;=1

Пусть т — действительный формально симметрический дифференциальный оператор. Граничное значение А для т называется действительным, если Л (/) = Л (/) для каждой функции / из ® (^(т)). Граничное условие Л(/) = 0 называется действительным, если граничное значение А действительное; система граничных условий называется действительной, если каждый ее элемент действительный. Если Т — самосопряженный оператор, полученный из т наложением действительной симметрической системы граничных условий, то нетрудно показать, что решения уравнения (т* — Х)о = 0 являются комплексно сопряженными к решениям уравнения (т — X) а = 0. Поэтому для каждого А, из р (Г) мы можем брать фг (•, X) = ф* (•, X) и ф; (•, А) = ф* (•, А). Тогда, поскольку Т самосопряжен (XII.2.2), для каждого X, не являющегося действительным, оператор T—XI имеет ограниченный обратный.

Следствие. В обозначениях следствия 12 предположим, что т —действительный формально самосопряженный дифференциальный оператор, а Т — самосопряженный оператор, полученный из т наложением действительной симметрической системы граничных условий. Тогда резольвента R(X; Т) оператора Т определяется формулой

{R (А,; Т) /) W-^f (s) К (t, s; X) ds, f G U ЦУr

где ядро К имеет представление

— 2 2 Vo W Фг V; А) Ф, (s; X), s < t,

— 2 2 yu W Vi № ^ ^j (s; M>$ > t.

Здесь функции yij и ^tj однозначно определяются смешанными граничными условиями для Т и следующей системой уравнений скачков:

К^Чс, сД-^-^Чс, с —0) = О, 0<г<п-2,

/(^(с, с + О)-^"-0^, с-О^-ПЧ^Г^КЮГ1.

Следствие. В предположениях и обозначениях следствия 14 и при дополнительном требовании, что граничные условия, наложенные на т, распадающиеся, ядро К имеет вид

-22 ГгДХ)фг(/;Х)ф;(8;Х),s<t,

V<+1\_J i=l 3=«+1

K(U, X)■ nu

- 22 Ги(Х)ф{(/;Х)^(8;Х),s>t

i=u4-l 3=1

Здесь матрица VFij (X)) —обратная к матрице VFtjV а ^гз™ = Ft^tA^ для i^u, Fij= —FtdiAj) для 1>и и ^ = фг, i = l, ..., и; h = ^i-u, i — u+1, ..., п.

Интересный и важный частный случай следствия 13 получается, когда /г = 2, Т и Т* определяются распадающимися граничными условиями, а оператор т имеет вид т/= (/?/')'+ <//. Далее, пусть существует только одно решение ф (ф*) уравнения та = 0 (т*а = 0), которое интегрируемо в квадрате в окрестности а и удовлетворяет граничным условиям в точке а для Т (Т*), а также существуют единственные решения гр и гр*, соответствующие концу Ь. Для оператора т

Ft (f, gW(0 [Г Wiw-f (0та = р(О^(A i),где Wt у, g)=f V^g^ — fW W — вронскиан функций f и g.В этом случае {Гг,} —матрица второго порядка с нулевыми диа-тональными элементами, и поэтому очевидно, что ее обратнаяVpt^ т]*)} (^1 = ф, £2 = /Ф, пГ = Ф*, ^2 = — ^*) тоже имеет нулевыедиагональные элементы. Элементарные вычисления показывают, что

12 ” Р (0 Wt W, ^) ’21 ” р (0 Wt (<р, -Г) *

Таким образом,Таким образом,

Таким образом,

Таким образом,

s< t.s">Ls< t.s">LФ (/, X) (р* (s, X)

s< t.

s">L

s< t.

s">L

К (Л s; X) =К (Л s; X) =pW WW^^ ’

К (Л s; X) =

К (Л s; X) =

ф (^ X) ф* (s, X)

. Р (О Wt (ф (X), ф* (X)) ’

Если мы дополнительно предположим, что т —формально симметрический (и поэтому действительный) и что система граничных условий является симметрической и действительной, то эти формулы переходят, как в следствии 15, в формулы

s < /,

s>L

Следующая теорема показывает, что по формуле [*] резольвента определяется для большого и важного класса дифференциальных операторов второго порядка.

Теорема. Пусть Т — самосопряженный оператор, полученный из действительного формального дифференциального оператора т = (dldt) [р (/) (d/dt^ + q (г) наложением распадающейся симметрической системы граничных условий. Пусть ImX=^0. Тогда граничные условия действительны, и существует в точности одно решение ф(/, X) уравнения (т — X) о = 0, интегрируемое в квадрате в окрестности а и удовлетворяющее граничным условиям в точке а. и в точности одно решение ф(/, Л) уравнения (т —Х)о = 0, интегрируемое в квадрате в окрестности b и удовлетворяющее граничным условиям в точке Ь. Резольвента R(X; Т) —интегральный оператор с ядром K^t^ s; X), заданным формулой [*].

Доказательство. Этот результат непосредственно следует из теоремы 2.32 и предыдущих рассуждений. *

В заключение необходимо заметить, что следствие 14 нс охватывает всех самосопряженных случаев. Например, если в формально симметрическом т встречаются комплексные коэффициенты, что возможно, то при вычислении резольвенты мы должны обратиться к следствию 12 или 13. Рассмотрим, например, формальный оператор x = i(dldt) в интервале ( —оо, со), введенный в § 2. Здесь, как показано в § 2, нс существует граничных значений. Поэтому для вычисления оператора, обратного к XI —Т. может быть применено следствие 12. Если ImX>*0, то то = Хо имеет единственное решение се-ш. интегрируемое в квадрате в окрестности точки —со, и не имеет решений, интегрируемых в квадрате в окре-

стности точки + оо. Уравнение (т* — Х)о = 0 имеет решение с'е-ш, интегрируемое в квадрате в окрестности точки + со, и не имеет решений, интегрируемых в квадрате в окрестности точки — со. Поэтому искомое ядро будет иметь вид

Л (Л s; X)Л (Л s; X)J сф (/) гр* (s) =s>t,

Л (Л s; X)

Л (Л s; X)

О,s</,

где с определяется при помощи условий скачка из следствия 12, т. с. с = —ц а значит, для ImX>0 мы имеем формулу

((М - T^f) (О = "z ^ e-^t-s^ (S) ds.t

Нетрудно показать, что для ImX<0 эта формула должна быть заменена формулой

t

e-^-^f^ds.

Спектральная теория: вполне непрерывные резольвенты

В § 2 мы видели, что с каждым формально самосопряженным дифференциальным оператором т может быть связан симметрический оператор Т0(т) в гильбертовом пространстве L2(/), и показали, как получить самосопряженные расширения Т оператора То (т) наложением граничных условий на ®(Т*). Настоящий раздел будет посвящен спектральной теории таких расширений в одном важном случае, в котором резольвента R(X; Г) является вполне непрерывным оператором для невещественных X. Мы проведем детальное исследование специальной аналитической формы, которую принимает спектральная теорема в случае такого самосопряженного расширения Т.

Сначала мы установим, что в двух важных случаях резольвента оператора Т — вполне непрерывный оператор, а затем получим аналоги результатов предыдущего параграфа.

Теорема. Пусть т —формально симметрический дифференциальный оператор, определенный на интервале I. Пусть Т — самосопряженное расширение симметрического оператора То^%\ Резольвента R (X; Т) является вполне непрерывным оператором для любого невещественного X, если

интервал I является компактным или

индексы дефекта оператора Т0(х) равны порядку дифференциального оператора т.

Доказательство. Так как в случае (1) любое решение уравнения та = Хо принадлежит С(/) и так как в этом случае С (J) ^ L2(J), то случай (1) содержится в случае (2).

Из следствия 3.12 вытекает, что для ImX=^=0 резольвента R (X; Т) может быть выражена в виде

(R(X; ТНШ=^ f^K^ s;X)ds.

i

Так как в случае (2) мы предполагаем, что для 1шХ=^0 любое решение уравнения то = Хо принадлежит L2(/), то из выражения для ядра К (/, s; X), определенного в следствии 3.12, видно, что

| К (t. s; X) | ds dt < оо. i i

Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что каждый интегральный оператор в L2(/), определенный ядром К, для которого

ЦК||2 = 5 5 IO, ) \2 dsdt< со,

I I

является вполне непрерывным. Хотя это утверждение — частный случай упражнения VI.9.52, мы дадим здесь его доказательство.

Сначала заметим, что по неравенству Шварца

I J К У, sH(s)ds\adt<^ J \КУ, S) I2dsdt^ -{ J |/(s) |2ds}

I IIII

Следовательно, норма оператора в L2(/), определенного ядром К, меньше или равна ||К||. Так как множество вполне непрерывных операторов замкнуто (см. VI.5.3), то для доказательства утверждения, что R (X; Т) — вполне непрерывный оператор, достаточно отмстить, что простые интегрируемые функции в L2(I X I) определяют вполне непрерывные операторы (поскольку такие операторы имеют конечномерные области значений) и что такие функции плотны в L2(J X I).

Следующая теорема описывает спектральные свойства неограниченного самосопряженного оператора с вполне непрерывной резольвентой.

каждая точка X спектра оператора Т принадлежит точечному спектру Т. Более того, dimE ({X}) L2 (I)^n;

существует полная ортонормальная система {ф™}, т = 0, 1, ..., собственных функций оператора Т. Если ф — собственная функция, соответствующая собственному числу X, то ф С С°° (/) и ^ — решение уравнения Тф —Хф = 0.

Доказательство. Если резольвента R (X; Т) вполне непрерывна, то (см. VII.4.5) ее спектр состоит из последовательности точек, сходящейся к нулю. По теореме о спектральном отображении (XII.2.9.(b)) o(T)^f(o(R(X;T))), где f^^X-^ для ^ 0. Так как оператор Т самосопряжен, то множество о(Т) состоит из действительных чисел. Из этих замечаний следует утверждение (а).

Если X принадлежит о(Т), то, поскольку X — изолированная точка множества о (Г), из XII.2.9(b) и X.3.3(1) следует, что Е (X)0.

Если XQo(T), то (Т— XI) Е (X) f = 0; поэтому спектр оператора Т точечный. Поскольку по теореме 2.10 Т = Т* с= т0 (т)* = ^ТДт), из теоремы 1.3 следует, что каждая функция из облает значений оператора Е (X) является С°°-решением уравнения то = Хо. Поэтому, согласно замечанию после следствия 1.5, область значений оператора Е (X) имеет размерность не больше п. Этим доказано (Ь).

Чтобы доказать (с), нам нужно только показать, что система собственных функций оператора Т полна. Это следует из того, что для каждого элемента / нашего гильбертова пространства

f = 2 E^f,

Леа(Т)

и из того, что Е (X) / является собственной функцией оператора Т, как было замечено выше.

Прежде чем перейти к следующему параграфу, в котором рассматривается теория спектрального представления оператора Т в тех случаях, когда Т не имеет вполне непрерывной резольвенты, стоит привести элементарный, но полезный результат о поточечной сходимости разложений по собственным функциям.

Теорема. Пусть т — формально симметрический дифференциальный оператор, определенный на интервале I. Пусть Т — самосопряженное расширение оператора Т^т). Предположим, что Т имеет полную ортонормальную систему собственных функций {<p7J. Тогда для f из 5) (Г) разложение по собственным функциям

/= 2 (А ф^ф»п=0

сходится равномерно и абсолютно на каждом конечном замкнутом подинтервале интервала I. Этот ряд может быть продифференцирован почленно п — 1 раз, причем после каждого дифференцирования ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство. Пусть f^^^T) и XQq(T). Тогда

/-2(Л фг)фг = № T)gn,

г=0

где gn = (M—/)/ — 2 ((М—7)/, ТОТ;- Так как gn —>0и TRp; Т)— г=0,

ограниченный оператор, то R(K; Т) gn и TR (X; T)gn стремятся

к нулю в L2(/). Поэтому по лемме 2.16 ряд 2 (Л ФО Фг сходится г=0

к / в топологии пространства Cn-1 (J) на каждом компактном интервале J из /. Так как этот ряд безусловно сходится в L2(/), то он сходится безусловно также в Cn-1 (J). Следовательно, каждый продифференцированный ряд абсолютно сходится, ч. т. д.

Спектральная теория: общий случай

В предыдущем параграфе обсуждалась спектральная теория самосопряженных операторов Т, полученных из формальных дифференциальных операторов, в случае, когда резольвента оператора Т вполне непрерывна. В этом параграфе мы обратимся к изучению общего случая, когда оператор Т может иметь непрерывный спектр. В основном здесь будут использованы развитые в § XII.3 методы теории спектрального представления и спектральных типов. Большая часть фактов, необходимых для доказательства основной теоремы разложения по собственным функциям, сформулированной ниже в качестве теоремы 1, уже установлена в теоремах ХП.3.11 и XII.3.19.

Теорема. Пусть т — формально самосопряженный дифференциальный оператор на интервале I, а Т — самосопряженное расширение оператора То (т). Пусть U — упорядоченное представление пространства Ь2{1) относительно Т с мерой р, множествами кратности et и кратностью т. Тогда т не превосходит порядка п оператора т. Существуют ядра Wt(f,X), 1 = 1, ..., т, измеримые относительно произведения лебеговых мер v и р, которые обращаются в нуль при X, лежащих в дополнении к е^ принадлежат С°° (/) при каждом фиксированном значении X и удовлетворяют дифференциальному уравнению (т — X) Wt (•, X) = 0 при каждом фиксированном значении X. Более того, ядра Wt обла-

дают следующими свойствами;

vrai sup \ | Wt (t, X) |2 p (dX) < oo

для каждого компактного подинтервала J интервала I и ограниченного борелевского множества е;

т W =ф (0 Wi и, X) dt, f g U UY

I

где интеграл существует в смысле среднего квадратического в Z.2(p., etY

для каждой борелевской "функции F •

т оо

£/2>(^(П)= {t/d | 3 $ IfWmWIWAX”}

г—1 —оо

U

(UF (Т) g\ (X) = F ^ (Ug\ (X), gGW (Т^- «э < X < оо.

Доказательство. Из следствий ХП.3.13 и ХП.3.14 получаем, что существуют нулевое по мере р множество N и ядра W^ z = l, .т, удовлетворяющие формулам (I) и (II) и такие, что (To^ — X^Wt^, Х) = 0 для X^ei — N. Таким образом, по теореме 2.10, если мы положим W7; (-, X) = О для X^N и изменим Wt (Z, X) на подходящем нулевом по мере Лебега множестве М (X) для каждого X^N, то получим функцию W^ такую, что

xWi(t, X) =X^(Z, X), t^L

для всех X. Если функция Wt измерима относительно произведения меры [1 и меры Лебега, то из теоремы Фубини следует, что мы можем брать Wt = Wt. Чтобы показать, что функция Wt измерима, заметим, что по фундаментальной теореме интегрального исчисления

Wi (/, X) = lim Л-tWt (s, X) ds

п [Z-1M <+1/п]

= lim-T-?WtU, ^ds

[XlM^+l/n]

для каждого t внутри интервала I и X^N. Это доказывает всю теорему, за исключением утверждения, что т^п. Однако так как по XIL3.19 функции И^Д-, X), ..., 1^т(-, X) линейно независимы для почти всех X ^т в смысле меры р, и уравнение тег = Хо имеет не больше п линейно независимых решений для любого X, то это утверждение также очевидно.

Следствие {формула обращения). Пусть I, Wt и т. д. определены так же, как в предыдущей теореме. Тогда для каждой функции f£L2{l) мы имеем

f (0 = lim \ У № (X) Wt (/, X) и №

причем предел существует в смысле среднего квадратического в Ц{1).

Доказательство. Следствие вытекает из предыдущей теоремы и из следствия XII.3.12.

Следствие. Пусть оператор Т и ядра IFb ..., Wm определены так же, как в теореме 1, и пусть F— ограниченная боре- левская измеримая функция, обращающаяся в нуль вне ограниченного борелевского множества е на действительной оси. Тогда ограниченный оператор F {Т) можно представить в виде

{F(T)f){t)=\f(S)K{F-,t,s)ds, KUkI),

i где

К (F; t.s)^ J F (X) Wi kt, X) Wt (s, X) p (dX),

2=1 e

U

sup ( \K{F; t, 8)\Ms<oo,

•tEJ у

где J —любой компактный подинтервал интервала I.

Доказательство. Из ограниченности оператора F (Т) и леммы 2.16 следует, что отображение / —> F {Т)— непрерывное отображение пространства Ь2{1) в С {J). Таким образом, существует постоянное число М {J), такое, что

sup I kF kTHHtMM kJ) 1/1, KUkI).

tEJ

Из теоремы 1(11) и следствия 2 вытекает, что

kF kT) f) kt) = У F (X) Wi kt, X) J f ks)Wi ks, X) ds p kdb), e i=lI

где интеграл ^ f {s) Wi {s, X) ds существует в смысле среднего кваде

ратического в L2(p). Пусть ^0 обозначает плотное множество функций f в Аг (/),'обращающихся в нуль вне компактного под-

интервала интервала /. Если f С^о? то мы можем переставить порядок интегрирования в предыдущей формуле и получить уравнение [*] ^(тннпЦтк^мш

и неравенство

sup I t f^K^F; t, s)ds|<M(J) |f|, /G§0,

где

К (F; t, s) = 2 J F (X) Wt (/, X) Wi (s, X) p (dX).

2=1 e

Из теоремы IV.8.1 следует, что

[ ^ |K(F; Л s)|2ds]1/2CM(J), t^J,

и равенство [*] имеет место для всех / из А2(/), ч. т. д.

В теореме 1, как и в определении XII.3.15, целое число т называется спектральной кратностью оператора Т. В некоторых случаях следующая теорема помогает найти спектральную кратность.

Теорема. Пусть оператор Т, ядра W\, ..., Wm и мера р определены так же, как в теореме 1. Пусть а — фиксированный конец интервала I, а В (f} = 0 — граничное условие в точке а, которому удовлетворяют все функции f из % (Т). Тогда В (Wi (•, X)) = О почти всюду в смысле меры р для каждого ядра Wt.

Доказательство. Как доказано в следствии 2.28, существует функция f в ©(Т^т)), такая, что В (§•)=. Пт Ft (g, f) = Fa (g, f) для всех g^^^^)). Очевидно, мы можем предполагать, нс уменьшая этим общности, что f обращается в нуль в окрестности точки Ь. По формуле Грина (следствие 2.5) мы имеем

[*]BQ) = (tf, g)-(J, Tg)

для gE® (Л (т)). Поэтому (т/, g) = (f, Tg') для всех g из %(JY Так как Т — самосопряженный оператор, то отсюда следует, что ^^(Д"). По теореме 1

ь

а

для почти всех по р-мере X, причем этот интеграл существует в смысле среднего квадратического в А2(р, е^. Болес того,

поскольку / обращается в нуль в точке b и Wt (t, X) интегрируемы в квадрате в точке а, этот интеграл существует в обычном смысле. Следовательно, поскольку (т — X)Wi (•, Х) = 0, из формулы [*] получаем

ъ

в (Гг (•, X)) = ^ {(т/) (о - х/ (О) гг (Л X) at=о а

для почти всех по р-мере X, ч. т. д.

Следствие. Пусть г — действительный оператор второго порядка, определенный на интервале 1, и пусть а — фиксированный конец интервала I. Если Т — самосопряженный оператор, полученный при наложении на т системы граничных условий, включающей хотя бы одно граничное условие в точке а, то спектральная кратность оператора Т равна единице.

Доказательство. Очевидно, что спектральная кратность т нс меньше единицы. С другой стороны, если B(J) = 0 есть любое ненулевое граничное условие в точке а, то очевидно, что множество общих решений уравнений (т — Х)о = 0 и В(о) = 0 одномерно. Так как на основании предыдущей теоремы функции Wt из теоремы 1 удовлетворяют этим двум уравнениям, то из их линейной независимости (см. теорему XII.3.19) следует, что т<Л, ч. т. д.

Доказывая теорему 1 и следствие 2, мы видели, что произвольный вектор / в Ь2(1) имеет разложение типа «интеграла Фурье» по собственным функциям Wi (t, X) дифференциального оператора т. К сожалению, теорема 1 имеет скорее теоретическое значение, чем практическое, поскольку построить функции Wt (/, X) в явном виде трудно. На практике удобнее выбрать некоторый подходящий базис Of (/, X), /=1, ...., п, для множества решений уравнения (т —Х)о = 0 и разлагать / по ог (/, X). В то время как поведение Wt в зависимости от Л может быть довольно сложным, новый базис может быть выбран так, чтобы функции о, (/, X) были непрерывными по совокупности (/, X) и даже аналитическими по X (см. следствие 1.5). Однако, когда теорема о разложении формулируется в терминах произвольного базиса аь ..., оп для системы решений уравнения (т —Х)о = 0, детальное исследование сходимости полученных рядов или интегральных разложений становится более сложным; при этом гильбертово пространство ^Е2^г) заменяется подходящим пространством L2, соответствующим положительно полуопределенной матрице функций множества. Перейдем теперь к изучению этих вопросов теории меры.

Определение. Пусть {pzj}, 1 <л, j<_п, — семейство комплекснозначных функций множества, определенных на ограниченных

борелевских подмножествах действительной оси. Семейство {р^} называется положительной (п х пуматричной мерой, если

матрица (pZJ- (е)} эрмитова и положительно полуопределена для каждого ограниченного борелевского множества е;

для каждой последовательности непересекающихся борелев- ских множеств с ограниченным объединением

ОО00

Hij ( U ^т) = 2 Ни ^тУт=1т—1

Лемма. Пусть ^^—положительная матричная мера, элементы pZJ- которой непрерывны относительно положительной c-конечной меры р. Если матрица плотностей {т^} определяется уравнениями,

Ри (е) = ^ тц (X) р (dXyе

где е —любое ограниченное борелевское множество, то матрица ^mtj (X)} положительно полуопределена для почти всех по yi-мере X.

Доказательство. Сначала заметим, что множество е0 всех X, для которых матрица {mZJ- (X)} положительно полуопределена, измеримо, потому что оно является множеством тех X, для которых

п

2 nttj (X) ^^j ^ о

г, з=1

для каждого вектора [£ь ..., £п] из Еп, элементы которого рациональны. Если лемма неверна, то легко доказать, что существуют вектор [^, ..., £rt] с рациональными элементами и множество е^е0 положительной меры р, такие, что

5 muW^<0

i, j=l

для X из е. Однако тогда выполняется неравенство пп

о< 2" H№=J { 2 ^WgjjH^XO,

г, з=1е г, j=l

вопреки предположению, что матрица (pZJ- (е)} положительно полуопределена.

Определение. Пусть {pZJ} — положительная (п х п)-матричная мера на действительной оси, и пусть р есть о-конечная положительная регулярная мера, относительно которой все функции множества pZJ- абсолютно непрерывны. Если {т^} обозначает матрицу плотностей для {pZJ} относительно р, то семейство наборов из п

измеримых по Борелю функций F = [Д, ..., fnL определенных на действительной оси, для которых

—ОО г,з=1

будет обозначаться через ^({ну}).

Элемент F^ Ц ({р,,}) будет называться ^^-нулевой функцией, если | У71 = 0. Множество всех классов эквивалентности элементов пространства ^({ргД) по модулю {р^}-нулевых функций будет обозначаться через £2({р,,}).

Заметим, что по лемме 7 подинтегральное выражение в предыдущем интеграле неотрицательно для почти всех в смысле р-меры X. Далее, если F, G принадлежат L^ ({р,,}), то мы можем рассматривать их значения [Д (X), ..., /„ (X)] и [^ (X), ..., gn (X)] для каждого фиксированного X как элементы «-мерного унитарного пространства Е\ Применяя неравенство Шварца для положительно п

полуопределенного скалярного произведения 2 ти W ^j в Е" г, з=1

(см. замечание после теоремы IV.4.1), получаем неравенство

г, 3=1

/- п1/2 Г п*\ 1/2

<{. 21 ти w ь w ь w} {. 21 ти w st wgj w}

для почти всех в смысле р-меры X. Из всего сказанного следует существование интеграла

ООП

[*](F,G)=\ {2 mtj^HiWg7W^W

— оо г, з=1

и неравенство

|(F, G)|<|F||G|.

Так как | F-VG |2 IF |2 + 2 (G, F^ +1G |2, то из этого неравенства следует, что сумма двух {рг/}-нулевых элементов есть {р^}-нулевой элемент. Поскольку произведение скаляра на {р^}-нулевой элемент, очевидно, также есть {р^-}-нулевой элемент, то W({pzj}) — семейство {р^}-нулевых элементов —образует линейное подпространство пространства ^({l1^})- В дальнейшем мы будем, как это делается обычно, применять один и тот же символ [Д, ..., /п] для обозначения элементов пространств ^({р//}) и L2({p^}).

Если F = lftl .. .,/nl и G = [gt, . ..,gn] принадлежат L2({pZj}) и а— ограниченное борелевское множество, то мы часто будем

писать

п

$ { з AWiW}Hu(^)

е i,j=l

вместо

п

$ { 2 та W fi W gj W} и W-

е г, з=1

Мы можем доказать, что интеграл [*] не зависит от меры р, следующим образом. Пусть р —другая о-конечная положительная регулярная мера, относительно которой функции р^ непрерывны. Пусть {mzj} —соответствующая матрица плотностей, и пусть {/г^} —матрица плотностей матрицы {pZJ} относительно (р4-р). Если т —плотность р относительно р + р, то

Рг, (г) = ^ т,ДХ) р (dX) = ^ т^ (X) т (X) (р (- р) (dX) е е

для любого ограниченного борелевского множества е. Поэтому mijm -^nij для почти всех по (р + р)-мере X. Пусть даны измеримые функции /^ и g^ Z=l, ..., п. Тогда из следствия IIL10.6 вытекает, что

—оо г, 3=1

—оо г, 3=1

Рассуждая точно так же, мы получаем аналогичную формулу, в которой в левой части р и mZj заменены на р и mtj. Таким образом,

ппWhWgj^^(dk) =WhWgj^^(dk) =WhWgjW^^.WhWgjW^^.

п

п

WhWgj^^(dk) =

WhWgj^^(dk) =

WhWgjW^^.

WhWgjW^^.

Лемма. Пространство Z,2({pZj}) — нормированное линейное пространство с положительно определенным эрмитовым скаляр-

ным произведением, заданным формулой

{2 m^h^^^dX)

— оо г, 3=1

для каждой пары /^[Д, .. .,/п] и G = [gi, ...,gn] из L^p^}).

Доказательство. Выше было показано, что ^({Мч.?}) — линейное пространство и

\(F1G)K\F\\G\,Е^Ц^}).

Отсюда l^ + Gj^l^l + IGI (см. замечание после теоремы IV.4.1).

Для того чтобы показать, что £2 ({р^-}) — гильбертово пространство, остается доказать, что оно полно.

Теорема. Если ^^ — положительная (п у пуматричная мера, определенная на действительной оси, то £2({ргД) — гильбертово пространство.

Доказательство этой теоремы будет основано на следующей лемме.'

Лемма. Пусть ^^ — положительная матричная мера, элементы которой непрерывны относительно положительной (^-конечной меры р. Если ^т^^ —матрица плотностей {pi;} относительно р, то существуют неотрицательные измеримые по мере р функции фь 1=1. ..., п, интегрируемые по мере р на каждом ограниченном интервале, и измеримые по мере р функции а^, 1 ^L i<Ln, такие, что для почти всех в смысле у,-меры X

2 аи W ал W = ^и

3 = 1

U

2 <Р; (Х)ац (Х)а^) = тц (X).

Прежде чем дать доказательство леммы И, докажем с ее помощью теорему 10.

Доказательство теоремы 10. Пусть функции ср^ и а^ обладают свойствами, указанными в лемме И, и пусть Vj для каждого / — положительная мера, определенная формулой

V; (е) = фг (А) р (dX).

е

Если ^ — прямая сумма гильбертовых пространств L2(v0> /=1, ..., п, то ^ — гильбертово пространство всех наборов

F = \Ь, .. .,/п] ^-измеримых функций, для которых

ПОО

If 1 = 2 {$ IAW|3yz(X)p(dX)}1/8<oo.г=1 —оо-

Пусть теперь Л— отображение, которое каждому вектору

G = [gi, ...-.giA из L2({Ho‘}) ставит в соответствие набор функций

Л = 2

3=1

Так как оо п

5 { 2 mi,(x)£HM£7(Aj} р-(<^) = — оо г, 3=1

ооП

= ^ { 2 ^ам W gt О Х^М W gj W) Фа W } Н W = —оо г, з, к=1

—оо к=1

то очевидно, что А определяет изометрический изоморфизм L2 ({Pij}) в jg. С другой стороны, пусть В — отображение, которое ставит в соответствие каждому вектору [Д, . ..,/п] из элемент [^ь • • •• £пЬ определенный формулой

gt 2 аи W fj-

3=1

Так как по лемме 11(a) матрица {я^ (X)} —обратная к матрице VHjQ^ для почти всех в смысле р-меры X, то В = А-1. Следовательно, А — изометрическое отображение пространства £2({ргД) на все jg, что и доказывает полноту £2({р^}).

Остается доказать лемму 11.

Доказательство леммы И. Сделаем сначала одно замечание, которое будет неоднократно применяться в доказательстве. Предположим, что для каждого множества еп мы можем найти измеримую по р-мере матрицу {^W} и функции {ф^п)}, такие, что

к

И

к

для почти всех в смысле ц-меры X. Тогда если мы положимМ^)=С W

И

ф= W = ф^п) W

п— 1

для Х^еп— J ер, то очевидно, что функции аи и <рг удовлетво- р=1

ряют требованиям (а) и (Ь) леммы 11 для всех X из множества U еп.

п=1

Так как мера р является о-конечной, то действительная ось является объединением последовательности множеств с конечной мерой р. По лемме Лузина (ХП.3.17) каждое множество конечной меры отличается от объединения последовательности измеримых множеств, на каждом из которых функции т^ непрерывны, множеством меры нуль. Таким образом, достаточно доказать, что можно построить функции at, и ф; на каждом измеримом множестве о0 конечной меры, на котором функции Шц непрерывны.

Мы можем еще более упростить задачу следующим образом. Пусть функции Шгз НСПрсрЫВНЫ На По, р(о'о)<00, пусть М (X) для X С оо —эрмитов оператор в n-мерном унитарном пространстве с матрицей ^ти(ЛУ} и Хо —точка из о0» So — собственное значение матрицы М(Х0), а (7 —окрестность точки £0, замыкание которой нс содержит других собственных значений матрицы М (Хо). По следствию Х.7.3

lim Е(М^; U) = E(M^

XEoq

где Е (М (X); •) — спектральное разложение матрицы M(Z). Так как £ (M(k); U) нс обращается в нуль для Л, близких к Хо, то ХСо^ и, следовательно, для X, достаточно близких к Хо, множество о (М (X)) П U не пусто. Таким образом, если п (X) обозначает число различных точек спектра матрицы М (X), то множество {X С Оо I л (X) > s} относительно открыто в о0> и поэтому множества bs = {X g о01 п (X) s} борелевские. Поэтому, чтобы доказать лемму, достаточно показать, что мы можем построить функции а^ и ф, на каждом множестве bs. С другой стороны, в силу регулярности меры р такое множество отличается от объединения пocлcдQвa- тельности компактных множеств множеством меры нуль. Таким образом, достаточно показать, что если е0— любое компактное подмножество множества bs и Хо —любая точка из eQl то точка Хо имеет в е0 окрестность, в которой существуют функции а^ и ф;, обладающие свойствами, указанными в лемме.

Пусть число е так мало, что разность любых двух различных собственных значений матрицы М (Хо) по модулю больше е. Выше мы заметили, что для Х^^о, достаточно близких к Хо, (е/2)-окрестность

каждой точки из о (Л4 (Хо)) содержит по крайней мере одну точку из о(Л1(Х)). Так как о(Л1(Х0)) и о(Л1(Х)) имеют одинаковое число точек (поскольку X, Х0С е^п то отсюда следует, что если ^ (Хо), .. ► ..., фА (Хо) —различные собственные значения матрицы М (Хо), то для каждой точки X £ е0, достаточно близкой к Хо, существует единственная точка ф^ (X) £ о (М (X)), такая, что

1ф4 (А) — фгМ|<-|-»t=l,

Более того, {ф/ (X), ..., ф& (X)} = о (Л4 (X)). Таким образом, функции фг (Х) = ф; (X) определены в окрестности Мх точки Хо в е0. Нетрудно доказать, рассуждая подобным образом, что ф^ (X) непрерывно зависит от X. Тогда, используя следствие Х.7.3, легко показать, что Ei (X) — £ (М (X); фг- (X)) непрерывно зависит от X, i — 1, ..., к. Пусть и^ ...,ип образуют ортонормальный базис для Еп И Ei (Хо) Vj^Vj, ni-v^j^nt, О = По<П1<П2< ... <Пк = П. Положим Dj (Х) = Ei^Uj, пг_х<< i <>nle Тогда Vj (X) непрерывно зависит от X при X С N^ и М (X) Vj (X) = фг (X) uj (X) для п^ < j Используя то, что определитель det ^Ui (X), и^ нс обращается в нуль для X, близких к Хо, легко показать, что Dj (X) образуют базис для Еп при каждом X в окрестности N2 г N^ точки Хо в е0. Так как Et (X) у7(Х) = уДХ) для и^1</<Пг, то uj (X) и Uj (X) ортогональны, если существует i^k, такое, что ]^ni<Zj'. Пусть ^ (X), ... ..., ^(Х) —ортонормальный базис в E\ полученный применением метода Грама —Шмидта к ^ (X), . .., vn (X), т. с. Ut определяются по индукции формулами

2i+i(X)— 2 Ан(Х), Uj (X)) Vj (X)»ж (X) =^.

»i+l(b)- 2 ("i+i W’ Ui ^ yj W I

Отсюда по индукции просто показать, что Ei (X) Vj (X) = Uj (X) для пг-х < j<.ni, так что M (X) Vj (X) = фг (X) и5 (X) для tii_x < j<.tii. Таким образом, мы построили непрерывно изменяющийся ортонормальный базис для Еп, определенный для X^N2l и систему фь .. .,фп непрерывных функций, определенных для X^N2l таких, что

М (X) Ui (X) = фг (X) Ui (X), г = 1, ..., п.

Если {uj —базис в Еп, у которого элемент щ совпадает с набором [6^], / = 1, ..., п, то функции ац определяются по формулам

(^)

Эти функции, очевидно, непрерывны на N (Ао). Так как (^ (А), У;(А)) = 6^-, то мы имеем

аг7 (X) alh (X) = (uy, uh) = ^h, X £ N (Xo).

= 1

Аналогично

mjh W = (M W ub Uh) =

= 2 аи (X)^(X) (M (X) vt (X), yt (X)) = 1= 1

= 2 Vi W an (X)"^T(X), X € N (Xo),

1=1

T. Д.'

Теорема 10 устанавливает эквивалентность теории пространств ^({Ни}) и теории гильбертовых пространств вида L2(|i). В дальнейшем мы будем часто пользоваться свойствами ^({Ни'}) как гильбертова пространства, указанными в лемме 9 и теореме 10, а также рядом других свойств элементарной теории меры, общих для этих пространств и Л2(н)- Однако здесь необходимо быть осторожными. Так, если [Д, ..., /J принадлежит Л2 ({|ш^-}), то отсюда еще не следует, что какой-нибудь из наборов [Д, 0, ..., 0], ... ..., [0, ..., 0, /п] принадлежит Ь^^иУ). Например, пусть р,— конечная положительная регулярная мера, п=2 и {р,^-(е)} —матрица

' ц(е) — ц(е)

. — Н(е) Н(е).'

Тогда плотность матрицы {ц.^} относительно р. равна

+ 1 -Г

+U’

так что

$ { 2 hWT7WmuQ.)^kd'k)= J

— СЮ 1, 3=1—оо

Таким образом, если [Д,/2] — любая пара функций, разность которых принадлежит Х2(р), то [Д, /2] £Z.2({pi;}), даже несмотря на то,

что [/1,0] и [0,/2] могут не принадлежать L2({H/j})- Это рассуждение ясно показывает, что если функции / неограничены, то из существования символического интеграла

к

$ { 2 awZ^^№)}е г,; = 1

еще не следует существование интеграла от каждого слагаемого. Поэтому этот интеграл не может быть, вообще говоря, представлен в виде суммы простых интегралов. Конечно, если каждый член ^ fl W fj W Но- (^) существует, то е

пи

$ { 2= 2 Vww&y

е г, з=1г, j= 1 е

Построив необходимые нам основы теории положительных матричных мер, мы вернемся к теории разложения дифференциальных операторов по собственным функциям.

Мы хотим теперь найти более удобный для вычислений вид формулы разложения, выведенной в теореме 1. При этом неизбежно возникает ряд технических трудностей. Чтобы разобраться в природе этих трудностей, мы предварительно сделаем эвристический обзор основных сведений, содержащихся в остальной части настоящего параграфа.

Ядра Wi (t, X) из теоремы 1 являются решениями уравнения (т —X)IF/(-Д) = 0, принадлежащими С°° для каждого фиксированного X, но как функции от Л они являются только измеримыми, так что они могут быть очень «плохими». Мы можем избавиться от некоторых из их «недостатков» следующим образом. Вместо того чтобы рассматривать вектор-функции IF/ (•, X) от X, возьмем базис dt (•,?«),..., оп (•, X) для пространства решений уравнения то = Х<т, выбрав этот базис непрерывным по txX или даже, может быть, из класса С°° по / и аналитическим по X. Например, такой базис может быть определен специальными начальными условиями, такими, как 0^1 (с, Х) = 6ь 0</, f^n— 1 (см. следствие 1.5). Тогда IF/(-, X) могут быть однозначно представлены в виде

IF/(-, X) = 2 aij W °j (* 1i=i

Здесь зависимость функции IF/ от X проще, чем раньше, поскольку теперь она выражается в терминах изменения конечной системы коэффициентов ац, зависящих от X.

Однако это упрощение приводит к новым трудностям. Например, формула из следствия 3, записанная в терминах функций Oi (•, X), имеет вид

т п

K(F;t,s)=^ J 2 г=1 g j, h—t

иначе ее можно записать в виде п

К (F; t, s) = J { 2 F W А (^ М ^А) Qjk W } ,е ], /г=1

где матричная мера Qjh определена формулой

Qjk (е) = 2 аИ W aik W Иг=1 е

Таким образом, в нашу теорию разложения неизбежно вводятся матричные меры.

Трудности появляются уже в самом процессе выбора базиса о^ (•, X), ..., оп (•, Z) для пространства решений уравнения то = Хо, хотя, конечно, мы можем всегда следовать указанному выше методу, т. е. выбрать точку с в интервале /, на котором определен оператор т, и определить базис Oi (•, X), ..., оп (•, X) требованием, чтобы oVli {с, X) = &L O^t, /^п—1.

Этот метод имеет то очевидное преимущество, что получающиеся Oi (•, X) — целые аналитические функции комплексного переменного X* но он имеет и недостатки, не столь очевидные, но имеющие решающее значение. Например, предположим, что мы изучаем самосопряженный оператор Т, полученный из формального дифференциального оператора — ^dldtY на интервале [0, оо) наложением граничного условия / (0) 4- f (0) — 0. Спрашивается, как лучше всего выбрать точку с из [0, оо)? Здесь с = 0, так как любой другой выбор точки с будет вводить излишнюю асимметрию во всех вычислениях. В этом случае элементарные вычисления показывают, что cos Хг/Ч и X 1/2 sin Хг/Ч есть решения а4 и о2 уравнения то = Ло, определенные граничными условиями Oi^i(0) = St Z, / = 0, 1, соответственно. Эти функции являются целыми функциями X. В области X > 0 они образуют вполне подходящий базис для решений уравнения то = Х<з. Однако в области X < 0 с аналитическими выражениями типа cos ^Ч трудно работать из-за двусмысленности в определении Х1/2. Анализ спектра оператора Т показывает, чтоХ—— 1 является единственным собственным значением опе-

33 Заказ № 134

ратора Т и что функция ср (выраженная через функции di и о2)

<PW = /2(isin it -V cos it)

является соответствующей ортонормированной собственной функцией оператора Т. Так как

git g— itgitj_g-it

sin t =^1 cos ^ =1

то функция cp(/) просто равна V^ еЛ. Это делает очевидным то, о чем можно было догадываться и раньше: на отрицательной части действительной оси лучше в качестве базиса для решений уравнения то = Хо выбрать функции

Oi ^Д)^ e~l \ о2 (/, X) = е1

Конечно, поскольку мы имеем дело с формальным оператором т0 = — {d/dty. где решениями уравнения т0о = Хо являются известные тригонометрические (или показательные) функции, трудности, возникающие от того, каким образом выбран базис, являются не очень значительными. Но если, например, рассматривается формальный дифференциальный оператор т4 = — ^dldx^ + (а/х2) на интервале (0, оо), так что решениями уравнения т^^Хо будут функции Бесселя (Ганкеля, Неймана, цилиндрические), то эти трудности могут стать значительными. Прежде всего, если мы намерены следовать указанному выше методу выбора базиса <Ji, о2 для решений уравнения то = Хо, то мы должны сначала выбрать некоторую произвольную точку с в (0, оо) и тем самым ввести ненужную асимметрию во все последующие вычисления. То, что наш выбор точки с приводит именно к этому результату, можно заключить из того, что соответствующий выбор для формального дифференциального оператора т0 = —^dldxy дал бы базис

<у1 (/) = Х“1/2 {sin ^Ч cos Х1/2с — cos Х1/21 sin Х1/2с},

о2 (/) = cos ^Ч cos Х1/2с + sin Хг/Ч sin Х1/2с.

Кроме того, аналогом соотношения

cos it -Vi sin it = e~l

для функций Бесселя является соотношение, которое выражает функцию Ганкеля через функции Бесселя и Неймана. Эти замечания иллюстрируют следующие принципы.

Для того чтобы избежать несущественных и запутывающих трудностей в вычислениях резольвент, спектральных разложений

и т. д. дифференциальных операторов, нужно подходить осторожно к выбору подходящего базиса для решений уравнения то = Хо.

Аналитическое продолжение базиса, удобного для изучения в некоторой области изменения параметра X, не обязательно является удобным для изучения базисом в другой области изменения X.

В силу вышесказанного мы оставляем за собой право исследовать отдельно различные области изменения X. Ниже даются определения, результаты и т. д., к которым нас приводит такое исследование. Заметим только, что необходимо сделать несколько незначительных обобщений теории положительных матричных мер, данной выше. Так, определение 6 должно быть обобщено следующим образом.

Определение. Пусть Л —открытый интервал действительной оси, и пусть {р/7}, 1 <3, i^tin является семейством комплекснозначных функций множества, определенных на семействе борелевских подмножеств из Л, замыкания которых компактны и содержатся в Л. Семейство {р^} будет называться положительной (п х пуматричной мерой на Л, если *

матрица {р^- (е)} является эрмитовой и положительно полу- определенной для каждого борелевского подмножества е множества х\, замыкание которого компактно и содержится в Л;

для каждой последовательности непересекающихся борелевских подмножеств из Л, объединение которых имеет компактное, замыкание в Л,

’ ОО 00

M^J ( U ^т) = 2 Нгу (^т)*т=1 т=1

Лемма 7, определение 8, лемма 9, теорема 10, лемма II также имеют соответствующие обобщения. Например, определение 8 нужно обобщить следующим образом: пусть Л —подинтервал действительной оси, пусть {pzv} — положительная (п х я)-матричная мера на Л, а р— положительная о-конечная регулярная борелевская мера на Л, по которой все функции {рг7} непрерывны; пусть lmtj^ — матрица плотностей матрицы {р^} относительно р. Семейство наборов F — [Д, ..., /п] измеримых по Борелю функций, определенных на Л, для которых

^12=$ { 2 mu^Hi ^7дХ)У^<оэ, Л г, 3=1

будет обозначаться через Л® (Л, {цгу}). Элемент F из Л® (Л, {рг,}) будет называться !х\ьцУ ну левой функцией, если |/7| = 0. Множество всех классов эквивалентности элементов пространства Л® (Л, {рг,}) по модулю {р.г;}-нулевых функций будет обозначаться через и (Л, М).

Рассуждая так же, как в лемме 9 и теореме 10, можно доказать, что L2 (Л, {р^}) — полное гильбертово пространство.

Следует отметить, что если {q^} является положительной (п х /г)-матричной мерой на действительной оси и {р^} является положительной (п х /г)-матричной мерой на Л, определенной соотношением р,^- (е) = Qu (е) для е^ Л, то Л2(Л, {р,^}) можно рассматривать как изометрически вложенное вЛ2({р^}), т. е. как множество наборов [А (•), ..., fn (•)] пространства La^QuYb элементы которых обращаются в нуль вне Л. (Ср. с § IIL8, в частности с пунктами, расположенными между леммами III.8.2 и III.8.3.) В дальнейшем подобные простые соображения из теории меры будут часто применяться, иногда неявным образом. В частности, последовательность элементов из Л2(Л, {р^}), сходящаяся в метрике пространства L2 (Л, {р,^}), будет иногда называться сходящейся в смысле среднего квадратического в L^A, {pzj}). Пусть / — интервал действительной оси, v — борелевская мера на /, о1? ..., оп — система измеримых по Борелю функций, определенных на I х Л, а /г —измеримая по мере v функция, определенная на I. Предположим, что для каждого компактного подинтервала J интервала I интегралы

HiW= J <т,(/, X)/i(/)v(^), 1 = 1, п,

J

существуют для всех X g Л и определяют элемент HJ из Л2 (Л, {pzj}) и что если Jp — любая неубывающая последовательность компактных подинтервалов интервала /, объединение которых есть /, то lim HJp существует в топологии пространства Л2(Л, {р^}). Тогда

р->ОО

мы иногда будем говорить, что семейство интегралов

J аг (/, X) h ^ V (d/)

существует в смысле среднего квадратического в ЬДХ, {Ри})-

Теорема (Вейль —Кодаира). Пусть т — формально самосопряженный дифференциальный оператор порядка п, определенный, на интервале / с концами а, Ь. Пусть Т — самосопряженное расширение оператора Т0(т). Пусть X —открытый интервал действительной оси, и предположим, что задана такая система функций ст,, ..., о„, определенных и непрерывных на / х Л, что для каждой фиксированной точки X из Л система ot(-, X), ... .Оп(-, X) образует базис для пространства решений уравнения хо = Ко. Тогда существует такая положительная (пхп)- матричная мера {q;,}, определенная на Л, что

предел

d

(Х)1=ИшГ ( ЦГ)5ДмИ 1c->a L v-I

d-^Ъ c

существует в топологии пространства L2(K, {Qu}) для каждой функции f^L2{l) и определяет изометрический изоморфизм V пространства E(X)L2(1) на L2(A, {q^});

для каждой борелевской функции G, определенной на действительной оси и обращающейся в нуль вне Л,

v® (G (Г)) = ш с U (л, {6и})| № с и (л, {еи})} и

Доказательство. Пусть W1? Wm, ц и е^ 7=1, ..., т, определены, как в теореме 1. Тогда мы можем найти функции а^ такие, что

[*] Wt(t. К)= 2 аи0^^ Л), t^L Л^Л, 7=1, т. 3=1

Сначала покажем, что функции а^ являются измеримыми по мере р. Пусть <7 —ограниченный замкнутый подинтервал интервала /. Если бы сужения функций оД-, Л), ..., o^V i ^) на ^ были линейно зависимыми при любом Л, т. е. существовала бы ненулевая система р

постоянных с^ ..., ср1 таких, что 2 c^i (^ X) = О для t^J, то г=1

из утверждения теоремы 1.3 о единственности следовало бы, что р.

2 CiOt у, Л) = 0 для всех t ^1. Поэтому система ^ (•, Л), ... г—1

..., аРА Л) была бы линейно зависима, что противоречит условиям. Это противоречие показывает, что сужения Gt (Л) функций оД-, Л) на интервал J линейно независимы, и поэтому уравнение [*] определяет коэффициенты а^ (X) однозначно, даже если мы требуем только, чтобы [*] имело силу для всех t из J. Так как функции а^^Х) непрерывны и поэтому ограничены, то сужения Wi (Л) и Gt (X) функций Wt(-A) и о А А) на интервал J принадлежат Ь2Ц\ Полагая, что Zo —фиксированная точка в Л, и применяя теорему Хана —Банаха (II.3.13), отбираем векторы hAL2UY такие, что

(<тг(Ло), hj) = 8ij, i, j=l, .п.

Тогда для любого фиксированного целого к, \<_к<.т, мы имеем

^h^Y H^=^akAXHQiO.Y hsY /--=1, п.

i=l

При X — Ло матрица ^bij (Л)} = {(<Гх (Л), hj)^ единичная. Очевидно, что матрица \btj (Л)} непрерывна по Л. Поэтому существует окрестность N точки Ло, такая, что определитель det{b^ (Л)} отличен от нуля в АрАЛ Следовательно, для Л^ЛП^ матрица ^bij (Л)} имеет обратную {^-(Л)}, непрерывную по Л при X^N. Таким образом,

ПahtW= 2 (WhW, h^W,

fe = l, m; 1=1, n; X^XftN.

Это равенство показывает, что сужение функции а^ на Л (Т 7V измеримо по мере р. По теореме 1 {hj, Wk (Л)) = (Uhj)k (Л) принадлежит L2(p) при k = 1, ..., т, j = 1,..., п; вместе с равенством ['] это доказывает, что

1йм (Л)|2 р (^Л) < оо, i = l, п, к=1, ..т, лпмп^

при условии, что М — компактное подмножество множества Л. Так как Л может быть покрыто последовательностью множеств вида AQA, то aki — измеримые по мере р функции на Л, а так как каждое борелевское множество е, замыкание которого компактно и содержится в Л, может быть покрыто конечной последовательностью множеств вида Л Q N, то

^I^Az (Л)|2р(^Л)< оо, к=1, .т, г = 1, п, е

для каждого борелевского множества е с компактным замыканием, содержащимся в Л.

Пусть QjK — комплекснозначные функции множества, заданные на каждом борелевском множестве е, замыкание которого замкнуто и содержится в Л, формулами

т

Qjh (^) “ 2 ^ ^’& (^) ^ij (^) И ^^)i j, к = 1, . . ., П. г= 1 е

Пусть [^1? ..., £п] —набор комплексных чисел. Тогда пт п

2 ^ ^ ^ = 2 $ 12 ^ № Г и W > 0.

Г k—iг= 1 е 5=1

Таким образом, {д,д (•)} удовлетворяет условию (I) определения 12. Ясно также, что (q;a(-)} удовлетворяет и условию (II) определе

ния 12, если только замыкание объединения U ei компактно и г=1

содержится в Л. Таким образом, {д^} есть положительная

{п х /?)-матричная мера, определенная на интервале Л. Очевидно, что все функции множества Qjk непрерывны по мере р, и плотностью Qjk относительно р является функция

т

1TLtj= 2 U-HjClki*

k=l

Пусть для каждого набора F^Vfh • • •, /п] измеримых по Борелю функций, заданных на Л, AF есть набор [gi, ....gmA функций, определенных равенствами

gtW = 2 ^X)fkW. i = \. .... т. Х^К.

Тогда, поскольку а1к(^Х) равно нулю при Ц^ и пт

$ { 2 т^Х)№Ш^к^= J {2 |^(<}нт

Л г, 3=1Л к=1

отображение А — изометрический изоморфизм L^X. {q^}) в под- тт

пространство 2 ^(р» Л^) пространства 2 ^(Щ ^)- Отсюда же г— 1г= 1

вытекает и следующее замечание.

["] Если F является набором п измеримых по Борелю функций, т

то AF^^ L^Xct. р) тогда и только тогда, когда F^L^X. {g^}). г= 1

Пусть [/ — изометрический изоморфизм пространства L2(/) на т

2 ^(Рг), полученный в теореме 1, и пусть {Jg} —возрастающая г=1'

последовательность компактных интервалов, объединение которых равно /. Из теоремы 1 следует, что для каждого целого q и каждой функции / из Е^Г) функции ^ f ^Wh^t.-) dt принадлежат

Jq

Б2 (р, е^. k=\. .... т. и предел

<UfM^ Нт V f^Wk (£, X)dt. k=\. .... т.

существует в топологии пространства L2(p, ek\ Более того, отображение

/-^[%л(-)$/(0^(Л -)^] , KEWUW,

I

является изометрическим изоморфизмом пространства Е (Л) L^ (/) т

на все 2 U (И, М).

г=1

Для каждой функции / из ЬДГ> определим

(VqHi (X) = J f (/) а; (Л X) dt, Л^Л, 9>1,1=1,

Jq

Равенства п

$ { 2 «uW(v^W(v№)}^W =

Л г, j=l п т

= $ {2 2 «у w ЖЖ) (УчГЪ w (К7)Ж} и w =

Л г, j=l k=l т п

= $ 2 12 Жм № (< и w=

л к= 1 г= 1 т

= 2 J WAVqf)h№W, к=1 Л

Иvqpk (X) - 2 ЖЖ) J ЖЖ / (0 dt= г= 1Jq

= J Wk(t, X^^dt,Х£А;

Jq

(AVqf)h(X) = O,МЛ,

(AVqfV (X) - Хд (^) J WTX) / (/) dt

показывают, что набор [(V^/)H принадлежит L2 (Л, {Qz;}), что набор интегралов

lOd=[ ^fWdU, -)dQ , Z = I, n,

существует в смысле среднего квадратического в гильбертовом пространстве L2(A, {q?;}) и (после применения теоремы 1(H)) что UE(AH = AVf, f^UUY

Из этого уравнения (поскольку UE (Л) = AV — отображение пространства Е (Л) L2 (I) на все подпространство 2 ^2 (р^ A^z) из 2=1 т

2 Е2 (р,, е/)) непосредственно следует, что V — изометрический 2=1

изоморфизм пространства £(Л)Л2(/) на Л2(Л, {q^}) и что А — изометрический изоморфизм пространства Л2 (Л, {q/j}) на подпро

странство 2 ^2 (и» Л^) ИЗ 2 ^2 (р, ^iY г= 1г= 1

Для доказательства утверждения (II) заметим, что поскольку G обращается в нуль вне Л, из XII.2.6(a) следует, что/С® (G(T)) тогда и только тогда, когда Е (Л) /^%(G (Т)). Это в свою очередь по теореме 1(11) имеет место тогда и только тогда, когда

[G (^(UE (Л) /)z (•)] принадлежит 2 ^(^ И)- Из самого опреде- г= 1~

ления Л следует, что [G(-) (AF^ (•)] = [(Л/7); (•)] для каждого набора F = [/1(-), ..., /п(-)1 измеримых по Борелю функций, определенных на А, где F — [G(-)А(-), ..., G(•)/„(•)]. Так как UE(A)f=AVf, то [G (-)(UE (А) /); (•)] = [(Л//)г (•)], где Н есть п- набор [G(-) (Vf)j (•)]. Таким образом, по замечанию ["], /£© (G (Т)) тогда и только тогда, когда [G (•) (Vf)j (•)] принадлежит Т2 (A, {ро})- Тем самым первая часть пункта (II) доказана.

Если /G©(G(T)), то по XII.2.7(d) E(A) G (Т) f = G (Т) f = = G(T)E ^t. Так как AV = UE (А) и по теореме 1 (II) UG (T) f = = [G(-) (UE(A)/); (•)], то из предыдущих замечаний следует, что UG(T)f является набором АН, где Н есть n-набор [G(-) (V/),(-)]. Так как t/G(T)/= t/E (A) G(T)/:= ЛЕО (T)f, то AVG(T)f = AH. Поскольку А — изометрическое отображение пространства Т2(Л, {Q;,}), имеем VG(T)f=H, ч.т.д.

Теорема (Вейль —Кодаира). Пусть Т, A, {р;,} и т. д. определены, как в теореме 13. Пусть Хо и t^—концы интервала А. Тогда

отображение, обратное к изометрическому изоморфизму V пространства E(A)L2(I') на L2(A, {р,,}), задается формулой

И1 п

(V^F)(t)= Иш t { 2 Fl(X)oj(tA)Qu(dX)\ ,Иво ^=1J

где F = [У7!, . .., F^ £ Е^ (Л, {q/;}), причем предел существует в топологии пространства Z2(/);

если G — ограниченная борелевская функция, обращающаяся в нуль вне борелевского множества е, замыкание которого компактно и содержится в Л, то G(T) имеет представление

(G(T)n(t)-^f(s)K№ t, s)ds,

где

K(G; t, s)= J 6 (X) a. (s, X) о, (t, X) Qu (dX).г, з=1 е

Более того, на любом компактном интервале J ^ I

sup I ^(G; t, s^ds<. со.tEJ у

Доказательство. Пусть / — функция из £2 U)^ такая, что (Uf)i (•) ограничены для 4 = 1,2, ...,п, и пусть g из £2(/) обращается в нуль вне компактного подинтервала J интервала /. Пусть А0 = (|х0, pi) —открытый подинтервал интервала Л с компактным замыканием. Тогда по теореме 13(1) и (II)

(£ (Ло) Д £) = (£ (Ло) /, Е (Л») ^ = УЕ (Ло) /, VE (Ло) g) =

п

= $ { 2 ОМ №<ХМХ^ =

Ло Л 3=1

= $ { 2 № W { J ^Ab X^dt"^ QiAdX^ . Ло tj=ij

Так как все меры q^-, I, /= 1, . .., п, имеют конечные сужения на Ло, функции Oj непрерывны и потому ограничены на компактном множестве Ло х J, то мы можем изменить порядок интегрирования и суммирования в последней формуле и найти

п

1*1 №^H,g)=\{J 2 vyntWoAt^QiAdx^i^dt. J Ло it i=i

Пусть /££2(/). Используя то, что семейство ограниченных п-набо- ров плотно в £2(Л, {q^}), предположим, что Д — последовательность функций из £2(/), такая, что Д-^ / в топологии пространства £2(/), и Vfk — ограниченный n-набор для к>\. Тогда из ограниченности Oj (t, X) в J х Ло следует, что

п

J { 2 yfkW)Oj(tA)QiAdX^^

Ло г, з=1 п

И 2 №WoAt, X)Qu(dx^ Ло г, j=l

при к—>со, причем предельное соотношение справедливо для каждого t из J и предел ограничен для t^J. Применяя [*] к каж-

дой функции Д и полагая й—>оо, получаем

[**](Е(Ло)/, g) = (SAoVf)(0"g(i)dt.

Здесь для каждого набора /^[^(J, ..., ^(J] из L^K, {q^}) мы полагаем п

(W) (0 = $ { 2 pt ^ °з ^х) Qu W} ’^ /.

Ло г, з=1

Из теоремы IV.8.1 следует, что ^ | (SAoV/) (/) |2d/ < со и [**] z

справедливо для всех g из L2(/). Таким образом,

(£(Ao)/)(O = (SaoV/) (О-

Теперь, если мы устремим концы р0 и щ интервала Ло к концам Хо и Xt интервала Л, то получим

m п

(£(Л)/)(0=Нш t { 2 (У^^оА!,^^^ ,

что и доказывает утверждение (I) нашей теоремы.

Чтобы доказать (II), мы рассуждаем следующим образом (ср. с доказательством следствия 3). Из ограниченности G (Т) и леммы 2.16 следует, что f—>G(T)f— непрерывное отображение La<J) в C(J). Таким образом, существует постоянное число М (J), такое, что

|(G(T)/)(0|CM(J)|/|, f^UUY

Из теоремы 13(11) и части (I) настоящей теоремы следует, что

п

(G (Г) П^= 5 2 GW^f (s) W) ds^ Oj V, X) Qu (dX), e г, з=1I

где интегралы ^ f(s)Gi(s, %) ds существуют в смысле среднего

квадратического в £2(Л, {q/j}). Пусть ^0 обозначает плотное множество функций f^LaU), каждая из которых обращается в нуль вне компактного подинтервала интервала /. Если /С^о? то все интегралы в приведенной выше формуле существуют, и мы можем изменить в ней порядок интегрирования и суммирования, чтобы получить равенство

П(G(T)/)(0=$/(s)^(G;^ s)ds, Г^01•

I

и неравенство

| ^/(s)/<(G;/, S)ds|<M(J)|/|-, К^ I

где

K(p;t.s) = ^ ^0(ХУоЦ^^

г, з=1 е

Из теоремы IV.8.1 следует, что

[ J\K(G; t, s)|Ms]1/2<M(J), t^J, I

и что уравнение ['] справедливо при всех / из L^U).

Следствие. Пусть Т. А и {р^} определены, как в теореме 14. Тогда дополнение множества ЦТ) в А есть наибольшее открытое подмножество е0 множества А, такое, что {р^ М) = 0 для каждого открытого подмножества множества eQ. у которого замыкание компактно и содержится в А.

Доказательство. Сначала заметим, что если е — борелевское множество, замыкание которого компактно и содержится в А, и {р^(е)} = 0, то {qzj (ei)} = 0 для каждого борелевского подмножества е^ с е. Чтобы доказать это, допустим, что ^, |2, • • •> ^п — любой набор из п комплексных чисел и F = \Ц. • ..1fiAi где Л = ^Хе, ^П «• Тогда V£(ei) V_1F = [xei/i, . ...Хя/п]- Так как {ргДе)} = 0, то

0= 2 QiAe^j = \F\^>\VE№-4V = г, 3=1

= 2 ^3кеШз>0.

г, з=1 п

Следовательно, 2 Qu (ei) ^j ~ 0 для каждого вектора

l^i, ...,£«] из Еп. Если [^, ..., ^П]^ЕП, то неравенство Шварца п

для скалярного произведения 2 QuM^j в Еп показывает, что i, 3=1

I 2 eu№W2 q^)U;H2 егЛ^Ш

i, 3=1^ 7 = 1г, з=1

для произвольных векторов [|J, [^] из Ё^ (см. замечание после п

теоремы IV.4.1). Отсюда следует, что 2 ^а (ei)^ = ^ / " 1 ’ • • п-> г=1

I^d €^> Поэтому ^Де^ = 0, 1 С/,/<«.

Теперь пусть е0~ объединение всех открытых подмножеств е, замыкание которых компактно и содержится в Л и для которых {Qi7(e)} = 0. Так как е0 — объединение последовательности таких множеств, то из теоремы 14(11) и предыдущего абзаца следует, что £(е) = 0, есе0. Таким образом, £(ео) = О. Поэтому по теореме X 11.2.9(b) ст (Т) П е0 = 0 • С другой стороны, если е0 П ст (Т) = 0, так что по теореме ХП.2.9(Ь) £(ео) = О, то по теореме 13(1) и (II)

$ { 2 AW^WeuW}=o, [Д], [£гкт2(Л, Ы),

— оо г, з=1

если только ft и gj обращаются в нуль вне е0. Если е — борелев- ское множество, замыкание которого компактно и содержится в е0, то, полагая F = Vli7ei --.ЛиХе! и G = [^xe, • ..ДпХеЬ мы ВИДИМ, ЧТО {Q^-(e)} = 0, И поэтому VQlj (^о)} = О, ч. т. д.

Следующая теорема дает полезную информацию о сходимости интегралов обращения, полученных в теореме 14. Это аналог теоремы 4.3 для случая непрерывного спектра.

Теорема. Пусть оператор Т, изоморфизм V и матричная мера {q^} определены, как в теоремах 13 и 14. Пусть р — положительная с-конечная мера, относительно которой все функции Qtj непрерывны, и пусть т^ —производная функции Qtj в смысле Радона — Никодима относительно р. Если f принадлежит ® (Г) с £2 (/), то интеграл

п

Л 1, 3=1

сходится абсолютно и равномерно на каждом конечном замкнутом подинтервале из I и может быть продифференцирован под знаком интеграла (п — 1) раз, причем каждый продифференцированный интеграл обладает свойством абсолютной и равномерной сходимости.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.3. Если {ЛА} —возрастающая последовательность компактных подинтервалов множества Л, объединение которых равно Л, и Хо принадлежит q(T), то

п

$ { 2 "^ (х) °i ^х) № W } и W=R (^о;Т) ёь

Л-Лд г, 3=1 где

gk = E(X-Nh) М-ТН.

Так как gu стремятся к нулю и TRAcA 71)—ограниченный оператор, то очевидно, что R^; T)gh и TRIA; Г) gh стремятся к нулю в Е^ЦУ Таким образом, по лемме 2.16 интегралы

П$ { 2 miA^^tAAVfW^ VW

сходятся к E(A.)g в топологии пространства Cn-1 (J) на каждом компактном интервале Jcl. Так как эти интегралы сходятся безусловно в LAEb то они сходятся безусловно и в Сп-1 (J). Функции о, непрерывны на I X Л и принадлежат С°° (/) при любом X из Л. Легко видеть, что при любом Х>0 предел

Ai->0+мv ’

существует равномерно по t в любом компактном подинтервале из / и по X в любом компактном подинтервале из Л. Таких образом, если

X, M} = J!^+^^SL^^a^ ц,

то очевидно, что

limД/->0limД/->0$ { 2 (Л К ^ т]; (/, X, AZ) Qu (dX)} =

lim

Д/->0

lim

Д/->0

Aft г, з=1

к> 1.к> 1.^>1,^>1,= Нт У t гр V' ^’ ^ Л; (^, ^ ДО Qu (^Х) = О, М->0. Y

к> 1.

к> 1.

^>1,

^>1,

г, 3=1 Ah

Поэтому в силу неравенства Шварца

НтД<-»0НтД<-»0$ { 2 ти w х’до (vn w} и w=о,

Нт

Д<-»0

Нт

Д<-»0

Ад i, 3=1

т. е. для всех к>\ интеграл в [*] можно дифференцировать сколько угодно раз под знаком интеграла. Следовательно, каждый продифференцированный интеграл сходится абсолютно, ч. т. д.

Заметим, что точка Хо из Л является собственным числом оператора Т тогда и только тогда, когда матрица {ег,({Х0})} отлична от нуля. По теореме 14(11) Е ({Хо}) — интегральный one-

ратор, у которого ядро равно

Е «Хо}, Л s) = 2 °i (Е Ч °j (s- М Qji ({М)-

, j—1

Так как функции о^-, Хо), ..., ап (•, %0) линейно независимы, то £({Х0}) = 0 тогда и только тогда, когда {р?; ({^о})} = 0. Однако, как и в доказательстве леммы X.3.3(11), очевидно, что £ ({Хо}) =# 0 тогда и только тогда, когда Хо является собственным значением оператора Т..

Теперь мы покажем, что когда матрица S (Хо) = {q^- ({Хо})} не равна нулю, можно построить методом диагонализации этой положительно полуопределенной эрмитовой матрицы полную систему ортогональных собственных функций, соответствующих Хо. Это замечание пригодится в дальнейшем. Из спектральной теоремы следует, что существуют матрицы U и Д, такие, что S (Хо) = — UALH^ где U = VutA “ унитарная матрица и А — матрица ^а^ = V^uV гАе М, •••’ Ад —собственные числа матрицы S(X0), взятые столько раз, какова их кратность. Таким образом, существуют величины и^, i^ij^n, такие, что

пп

^ik^jk = ^iji Qlj «М) = S ^k^ik^jk* k^ik=i

Поскольку собственные числа матрицы S (Хо) неотрицательны, можно считать, что ^ > Х2 > .. . > Хп > 0. Предположим, что %р>0, а Хр+1 = 0. Определим

фл(0 =2 Uik^i(i, Хо), &=1,

г=1

Тогда функции фд являются линейно независимыми решениями уравнения (т —Х0)о = 0 и

р

[*]£(Ws)=2M)W

к=1

Если J— любой компактный подинтервал интервала /, то ф17 ... . ,.,фр линейно независимы в L2(J). Таким образом, мы можем найти функции g^ ..., gp из L2 U)t обращающиеся в нуль вне / и такие, что

5 g'i(s)^-7s)ds= ^ gi (s) -фу (s) ds = 6ij, X<i,i<p. ij

По теореме 14(11) и формуле [*]

^Е^ёд№= $ ^(s)£((X0}, tlS)ds = ^W, t^I, i

Это показывает, что ф^ принадлежат ЦЦ) и, поскольку Е GM) Si = Фи они принадлежат ® (Г). Следовательно, T^t = Хоф^ 1 = 1, ..., р, и поэтому 2? ({Хо}) ф; = фг, £ = 1, • ., р. Итак, формула [*] показывает, что

41 (О = 2 % (О i 4'i (s) % (s) ds.

5 = 1 I

Отсюда, учитывая линейную независимость {фг}, получаем, что (фг, Фу) = Ьц, l<.i,j<.p. Поэтому векторы фь ..., фр образуют ортонормированную систему собственных векторов оператора Т, соответствующую собственному значению Хо. Если ф —любой другой такой собственный вектор, то мы имеем Е({Х0})ф = ф, так что в силу равенства [*]

4 = 2 (4. 4;) 4/-з=1

Таким образом, ф линейно зависит от векторов фу. Тем самым доказано, что {фь . .., фр} —полная ортонормальная система собственных функций оператора Т, соответствующая собственному значению Хо.

В теореме 13 мы доказали существование положительной матричной меры {qo}» связанной с. любым самосопряженным расширением оператора 7*0 (т) и базисом аь ..., оп решений уравнения (т —Х)о = 0, непрерывных на / X Л. Теперь мы рассмотрим задачу вычисления этой матрицы в явном виде при условии, что функции Ot^-.X) образуют базис, зависящий аналитически от X для всех X в окрестности U комплексной плоскости, содержащей Л. В § 3 было показано, что резольвента R (X; Т) оператора Т является интегральным оператором, ядро которого К (t, s* X) выражается в терминах произведения решений уравнений (т —Х)о = 0 и (т —Х)о = 0. Поэтому в силу следствия 3.12 существуют функции 0^-, такие, что для X из U П Q (Т)

К (t, s; X) —К (t, s; X) —^ 9^ (X) Oi (t, X) о} (s, X), i, 3=12 е+ (Х)аг (/, X)a,(s, X), г, 3=1^ 9^ (X) Oi (t, X) о} (s, X), i, 3=12 е+ (Х)аг (/, X)a,(s, X), г, 3=1t<t<S,S,t>s.t>s.

К (t, s; X) —

К (t, s; X) —

^ 9^ (X) Oi (t, X) о} (s, X), i, 3=1

2 е+ (Х)аг (/, X)a,(s, X), г, 3=1

^ 9^ (X) Oi (t, X) о} (s, X), i, 3=1

2 е+ (Х)аг (/, X)a,(s, X), г, 3=1

t<

t<

S,

S,

t>s.

t>s.

Мы покажем, что функции 9§ аналитические, и докажем, что

I**]I**]

I**]

I**]

е;Д(М, Х2)) = Ит Нт

6-ОЕ-*о+ 2ш de

[0§ (X — ie) — 9^ j(X + ie)] dX,

где (Хь Х2) —любой ограниченный интервал, содержащийся в Л. В теореме ХП.2.10 заложена основа этой формулы. Теорема утверждает, что оператор проектирования в разложении единицы для Т, соответствующий интервалу (Хь Х2), может быть найден по резольвенте с помощью формулы

Х2 —д

Е ((Х17 М)/=Ит Нт — t [R (X—te; T)-R(X + ie; T)]fdX. б-ое-»о+

Задача, которая стоит перед нами, заключается в том, чтобы перейти от последней формулы, включающей резольвенту, к другой формуле, включающей функции O^W и 6и(Х), как в формуле [**]. Многие технические трудности в следующем доказательстве вызваны тем, что функции аД,Х) не обязательно интегрируемы в квадрате на /. Следующая лемма будет очень важным средством для доказательства формулы [**].

Лемма. Пусть U —комплексное В-пространство и G — открытое множество в комплексной плоскости. Пусть V и Qi, QN —аналитические функции, определенные в G, принимающие значения в В (ЗЕ), a gt, ..., gN —скалярные функции,

N

определенные в G, такие, что V (X) = 2 gtWQtW для X из G. 1=1

Предположим, что Qi(X), ..., QnW линейно независимы для каждого X из G. Если & обозначает линейное пространство непрерывных линейных функционалов ср на В (ЗЕ) вида ф(Т) =

= 2 x*Txi, х* С ЗЕ*, Xj С ЗЕ, то для любой данной точки Хо в G г=1

существуют линейно независимые функционалы фг- в &, окрестность G (Хо) ^ G точки Хо и аналитические функции Рц, определенные в GQ^, такие, что

N

2 РАДХ)Ф^(Х) = 6Аг, XEGM 3=1

U N

Функции gi являются аналитическими по X^G.

Доказательство. Сначала заметим, что если Л £ 6 (ЗЕ) иф(Л) = 0 для всех ф из S, то очевидно, что Л = 0. Теперь будет доказано, что существует система ф1, ..., ф^З?, такая, что ф^^ (Хо) = ди. Конечно, существует элемент ф1? такой, что Ф^! (Хо) =1. Теперь предположим, что 1 <_ р <Д и построены 34 Заказ № 134

функционалы ф1, . .., фр, такие, что ф/Q; (Хо) = б^-, 1 < /,/ < р. Тогда обязательно существует элемент ф£$, такой, что

р

ф (Qp+i(X0)) — 2 Ф (Qi М фг (Qp (Хо))) + 0; в противном случае из г=1

предыдущего замечания следовало бы, что Qp+1 (Хо) =

р

= 2 Qi (Хо) фг (Qp(Xo)), вопреки линейной независимости операто- г=1

ров Qi(Хо), •Qp+iM- Выбрав такую функцию ф, определим р

Ф1 = ф — 2 Ф № (М) Ф< и Фр+< = Ф1/Ф1(2р+1(^о))- Затем положим

Ф1 = Ф/ — Ф; (Qp+i (М) фр+i, к / < Р-

Очевидно, что система фь ..., фр+1 удовлетворяет условию ^iQj (Хо) — ^iji 1<Срф-1. Далее по индукции мы можем

построить требуемые функционалы фь ..., фДг в К.

Теперь мы выбираем такую окрестность G(X0) точки Хо, что аналитическая матрица {ф^ (X)} имеет ненулевой определитель для X£G(X0). Можно легко'доказать, что {фгОДХ)} имеет обратную матрицу {ЛДХ)}, аналитическую при X£G(X0). Таким образом,

N

2 ри(X)фДк^ = 6ik, хес(Хо),

И

NN N

2 ри (X) <р^ (X) = 2 2 Ри ^ gk W фАк (х0) = у=1;=1 k=i

N

= 2 gk(X)dik=gi(k), х€б(хо).

Из последней формулы очевидно, что ^г—аналитическая функция в G.

Теорема ^Титчмарш — Кодаира\ Пусть Л — открытый интервал действительной оси и U — открытое множество в комплексной плоскости, содержащее Л. Пусть аь . .., с^ —система функций, которые образуют базис для решений уравнения (т —Х)о = 0 для X^U, непрерывны на IxU и аналитически зависят от X при X, лежащих в U. Предположим, что ядро K(t, s; X) резольвенты R^X; Т) имеет представление

K<t, s; Х) =

eywoty, X)Gdy, X),

9О- (X) at у, X) а, у, X),

t<

s,

t >s,

для всех X из q (Т) О U и что {Qz Д — положительная матричная мера на X, связанная с Т так же, как в теореме 13. Тогда функции 0^- (X) аналитичны в U Q Q (Т) и для любого заданного ограниченного открытого интервала (Хь Х2)^Л при l<z, j^n мы имеем х

бм ((Xi, X2)) = lim lim ^ 6-^0 8-^0+ Шбм ((Xi, X2)) = lim lim ^ 6-^0 8-^0+ ШХ2-6

бм ((Xi, X2)) = lim lim ^ 6-^0 8-^0+ Ш

бм ((Xi, X2)) = lim lim ^ 6-^0 8-^0+ Ш

^ [би (^ —^) — 6Ъ' (^ + Ze)] dk = Xi+d

Х2-6

= lim lim -к—- б_о 8~>0+ ^1= lim lim -к—- б_о 8~>0+ ^1^‘ 1@о (X — ie) — 0t;- (X -|- ie)] dX.

= lim lim -к—- б_о 8~>0+ ^1

= lim lim -к—- б_о 8~>0+ ^1

^14-6

Gj (/, X) Oz (S, X), o, 0,a At, X^Ot^s, A),Gj (/, X) Oz (S, X), o, 0,a At, X^Ot^s, A),S, s;s,s.S, s;s,s.Доказательство. Для X из U определим

Gj (/, X) Oz (S, X), o, 0,

a At, X^Ot^s, A),

Gj (/, X) Oz (S, X), o, 0,

a At, X^Ot^s, A),

S, s;

s,

s.

S, s;

s,

s.

Ш s; X)-

4>tj (/, s; X) =

Пусть J —любой фиксированный компактный подинтервал из /. Так как сужения {оД-, X) | J} линейно независимы в L2(J) для каждого X^U, то очевидно, что сужения {Ф$(-, •, X)\JxJ), l^ij^n, образуют линейно независимое семейство функций в Е2Ц х JY Следовательно, непрерывные операторы Q^(X) и QlA^ на L2(jy заданные уравнениями

(Q^W/)(0=$^^ s; x)/(S)ds,

f^uuy t^J, x^u,

линейно независимы для каждой точки X из U. Так как функции {оД-,Х)|/} аналитичны в L2(J) для X^U, то очевидно, что операторы Q^ — аналитические функции от X, X^U.

Предположим для удобства, что Aj — отображение пространства Л2(/) в Ь2уу которое ставит в соответствие каждой функции / из Ь2(Т) ее сужение f\J, и пусть Bj обозначает отображение пространства L2(J) в L2(J), которое ставит в соответствие каждой g из L2(J) функцию g-^j в L2(Z). Тогда из представления ядра резольвенты мы получим формулу

AaR(X; T)Bjf^ 2 9uWQzjW/+ 2 ^iWQtiWf.

Л 3=1i, 3=1

Kuw, x^Q^nu.

Пусть в лемме 17 G^q^T^U, V(K) = AjR(^ T)Bj. Кроме того, пусть Qi, ..., QN —обозначения функций Q±.,1</, j^n,

и §!•> • • •, ^ — соответствующие обозначения функций 9±. В таком случае очевидно, что 9£ —аналитические функции в UriQ(T).

Далее мы установим некоторые свойства оператора AjR (Л; Т) Bj. Сначала заметим, что

Klm^A^A; ад<1,Ш(Т).

Это следует из неравенства | R(X; Т) |< 1/1 Im Л | (см. лемму XII.2.1) и из того, что | Aj\ = | Bj\ = 1.

Далее, мы имеем

Пш8Л^(Л±/8; 7)SV = 0, KU^,

8->0

для почти всех Л из [Х17 Л2].

Чтобы доказать (Ь), заметим, что по теореме XII.2.9(V) 6R^±ie;TH= $ ^^-E№H-> + iE№f от

для каждой / из Ь2(1). Так как 2 I ^ ({М) /12^ I /12’ ГДС суммирование ведется по всем Л, для которых E^X^ f^O, то отсюда следует, что Ит8/?(Л±Г8; T)f = 0, за исключением, возможно, е->0

счетного множества значений Л. Утверждение (Ь) следует непосредственно из этого замечания.

Если F — любая непрерывная функция на [Л17 Л2], то

Х-2—д

lim lim -^— ( F (X) A, VR (X - ze; Т) - R (X + ze; T^BjfdX = 6^0 е->0+ 2я' х^6

= 2$ fWlQriW + QtjWl/ezyW, f^UUY

г, j=l (Xi, Хг)*

По теореме XII.2. И мы имеем

lim lim ^ F(X^R(X-U; T)-R(K+ie; T)>fdX = 6_0 Е-,о+kJ+6

= J F(X)E(dX)f, f£UU).

(Х1, х2)

По теореме 14(11)

^ F (X) Е (dX) /(<)=$ К (F- t, s) / (s) ds, (Xl, X2)I

где

s)= 2$ Г(Л)аДЛ Л)^ГХ)еи-(^).

г, j=l (Xi, Х2)

Вспоминая определение Q£, мы видим, что для / из L2(J)

Aj J FWE^Bjf- 2 F^WA^HQtiWMQijW

(Аъ X2)г, 3=1 (Хь X2)

Этим утверждение (с) установлено.

Доказав (а), (Ь) и (с), мы должны доказать еще лемму 19. Чтобы применить эту лемму к нашему случаю, нужно считать, что ^ = UW, W = U, VQ^-AjR^T^Bj, Qu — Qlj — Qtj и что Qn • • • > Qn^ gi^ • • • i §n и рь ..., pN —соответствующие обозначения матриц {Q^}, {9^.} и {q£} из доказательства теоремы 18.

Лемма. Пусть И—комплексное В-пространство и W — окрестность ограниченного интервала [Ль Л2] действительной оси в комплексной плоскости. Пусть g^ ..., gN и Qb ..., QN — аналитические функции, определенные на W, причем gt —скалярная величина, a Qi принимают значения из 6 (Ж). Пусть V — операторнозначная функция, определенная формулой

г=1

Предположим, что

существует постоянное число М, такое, что |Im^V(^)|<M, UW;

lim eV (Z ± ze)x = 0,x^X,

£->0

для почти всех Л из [Л^ Л2] и

для каждого z = L 2, ...,N существует ограниченная борелевская мера р,, такая, что

lim lim -^- {V (X— ze)x — V (Z + ze) х} F(Е) dX =

6^0 8->о+ ^яг хДб

N

= 2 J F(Z)Qi(Z)xpi(dZ), x^U,

г=1 (Xi, Х2)

для каждой непрерывной функции F, определенной на [Ль Л2]. Тогда

х2-б

lim lim Л—- ( [Я; (Л — (в)—gt (Л-! ze)] ^Х = цг ((X,, Х2)),

z = 1, .. N.

Доказательство. Пусть Ло —точка открытого интервала (Ль Л2) и Я обозначает линейное пространство всех функционалов на В (X) вида

к«НП-^хТТх;,3—1

где %*£$*, х>^Ж. Пусть с помощью леммы 17 функции ф17 ... ..., Ф^ выбраны из Й таким образом, что существует окрестность U (Ло) точки Ло, на которой скалярная матрица (фг<2./(Л)} имеет аналитическую обратную матрицу ^Ptj (Л)}. Тогда из предположения (с) следует, что

Х2 — б

lim lim \ фДУ(Л— i^ — V (Л-| i^F(X)dX =

6^0 8->о+ 2311 1 А А

Х1+6

N

= 2 $ F^jQtWMdX)

г=1 (Xi, Х2)

для каждого / —1, ..., N и всех непрерывных функций F, определенных на [Ль Л2]. Если в этой формуле мы заменим функцию F (Л) на F (Л) Рь; (Л) и просуммируем по всем /, то получим формулу

N Х2-д

lim lim У С р ^ ф, (V (Х-йл_у (Х4- ze)) Phj (X) dX =

6-»о е-*0+ , . 2т . 1А'

5=1^1+0

N N

= 22 $ рм СЛ Ф^,- W F W Hz (dA) = j=i i=i см, x2)

NN

= 2 S 2 phi W^QtWF^iL^dX)^ ^ F0M(dX} 1=1 (^1> ^2) .1=1(^11 ^2)

при условии, что F обращается в нуль вне U (Ло), поскольку N

^М W TjQiW --^ht только для Л^^(Л0). Тем не менее мы

можем написать

N Х2-б

2 J F(X)^(y(X-is)-V(X + ie))PhAX)dX== 3=1 Xi+б

N Х2—б

= 2 ^ F^\PM(X-ie)4>jV^—ie)-Phj^-Vie)^jV^--ie')\dk- 3=1 XiH-6

N Х2-б

-2 $ Р(ХНРы^-1е)-РкДХ^^У(Х-{е^Х + 3=1 Xi-|-6