Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
АННОТАЦИЯ
Этот выпуск посвящен дальнейшему углублению и развитию теории обобщенных функций, в частности перенесению техники действий с обобщенными функциями, развитой в первом выпуске, на широкие классы пространств. Базой для этого является изложенная в гл. I теория счетно-нормированных пространств.
Пространства, которые строятся и изучаются в следующих главах, используются в третьем выпуске, посвященном некоторым приложениям теории обобщенных функций к дифференциальным уравнениям. Настоящий выпуск рассчитан в первую очередь на математиков, хотя могут читать его и не только математики. Для его чтения желательно знакомство с началами функционального анализа. Этот выпуск в основном можно читать независимо от первого.
Израиль Моисеевич Гельфанд и Георгий Евгеньевич Шилов.Пространства основных и обобщенных функций.
Редакторы: М. С. Агранович и Л. А. Стебакова.
Техн, редактор С. С. Гаврилов.Корректор Е. А. Белицкая
Сдано в набор 30/XII 1957 г. Подписано к печати 28/IV 1958 г. Бумага 84x108/32.Физ. печ. л. 9,63 Условн. печ. л. 15,79. Уч.-изд. л. 16,14. Тираж 7000 экз.Т-03920. Цена книги 10 р. 05 к. Заказ № 2669.
Государственное издательство физико-математической литературы.Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Типография Ко 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 7
Глава I
ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение линейного топологического пространства 12
Система аксиом линейного топологического пространства (12). 2. Задание топологии с помощью окрестностей нуля (20). 3. Примеры (22).
Нормированные пространства. Сравнимость и согласованность норм . . 23
Основные определения (24). 2. Сравнимые и согласованные нормы (25).
Счетно-нормированные пространства 27
Определение (27). 2. Условие полноты (30). 3. Примеры (32). 4. Счетно-нормированное пространство как линейное метрическое пространство (34). 5. Условия нормируемости счетно-нормированных пространств (39). 6. Сравнимые и эквивалентные системы норм (42). 7. Ограниченные множества в счетно-нормированном пространстве (44).
Ограниченные множества в общих пространствах (45).
Линейные непрерывные функционалы и сопряженное пространство 47
Определение (48). 2. Вопрос о существовании линейных непрерывных функционалов (50). 3. Сопряженное пространство (50). 4. Связь между непрерывностью линейного функционала и его ограниченностью на ограниченных множествах (54). 5. Характеристика ограниченного множества в счетно-нормированном пространстве (56).
Топология в сопряженном пространстве 57
Сильная топология (58). 2. Сильно ограниченные множества (61). 3. Сильцо ограниченные множества в пространстве, сопряженном к счетно-нормированному (63).
Слабая топология (64). 5. Слабо ограниченные множества (66). 6. Теорема о полноте пространства, сопряженного к счетно-нормированному, относительно слабой
сходимости (67). 7. Слабая и сильная топологии в исходном пространстве (69).
Совершенные пространства
Основное определение (73). 2. Условие совершенства счетно-нормированного пространства (74). 3. Совпадение сильной и слабой сходимости (76). 4. Слабая и сильная сходимость в сопряженном пространстве (77). 5. Ограниченные множества в сопряженном пространстве (78).
Линейные непрерывные операторы
Определение (81). 2. Теорема об обратном операторе (83). 3. Действия с линейными операторами (85).
Последовательности операторов (86). 5. Сопряженный оператор (87).
Объединения счетно-нормированных пространств . .
Определение (89). 2. Ограниченные множества и линейные функционалы (90). 3. Линейные операторы (92).
Добавление 1. Элементы, функционалы, операторы, зависящие от параметра
Абстрактные функции (94). 2. Дифференцируемые абстрактные функции (96). 3. Операторы, зависящие от параметра (97). 4. Интегрирование непрерывных абстрактных функций по параметру (100).
Глава II
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Определение основных и обобщенных функций . . .
Основные функции (101). 2. Примеры (102). 3. Соотношения между сходимостями (104). 4. Дальнейшие примеры (105). 5. Определение обобщенной функции (107).
Топология в пространствах К<Мр> и Z^M^
Вводные замечания (112). 2. Пространство К {М^} как полное счетно-нормированное пространство (115). 3. Условие совершенства пространства/( {Л4^} (118). 4. Эквивалентные системы норм (122). 5. Финитные функции в пространстве К<Мр> (123). 6. Пространства Z <Мр> (124).
Действия с обобщенными функциями
Линейные операции и предельный переход (126). 2. Умножение на функцию (128). 3. Деление единицы на многочлен в пространстве Z' (130). 4. Дифференцирование (135).
Структура обобщенных функций
7381899410111212613873818994101112126138Структура обобщенных функций в пространстве Кк^р\ (138). 2. Упрощение записи в пространствах с условием (/V) (140). 3. Случаи пространств К и S (143). 4. Структура финитных функционалов (145). 5. Структура функционала, сосредоточенного в точке (149). 6. Пример: решение уравнения Лапласа со степенной особенностью (150).
73
81
89
94
101
112
126
138
73
81
89
94
101
112
126
138
Глава III
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Преобразования Фурье основных функций152
1. Операторы Фурье на пространстве 5 (153). 2. Операторы Фурье на пространствах /( и Z (156). 3. Общий случай (157).
Преобразования Фурье обобщенных функций . . . . 158
Основное определение (158). 2. Преобразование Фурье финитного функционала (161). 3, Структура обобщенных функций в пространстве Z (а) (163). 4. Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения (164).
Свертка обобщенных функций и ее связь с преобразованиями Фурье167
Операция сдвига (167). 2. Определение свертки (168).
Дифференцирование свертки (170). 4. Финитные функционалы как свертыватели (173). 5. Теорема о непрерывности свертки (175). 6. Гармонические функционалы (176).
Преобразование Фурье и свертка (179). 8. Преобразование Гильберта (183).
Преобразования Фурье целых аналитических функций 186
Основная теорема о преобразовании Фурье целой функции 1-го порядка (187). 2. Явное выражение преобразования Фурье целой функции 1-го порядка (189). 3. Обратная теорема (191). 4. Случай целой функции с интегрируемым квадратом (193). 5. Случай целой функции степен-
• ного роста (195).
Глава IV
ПРОСТРАНСТВА ТИПА 5
Введение199
Различные формы определения пространств типа $ 203
Пространство 5а (203). 2. Пространство 5^ (206). 3. Пространство 5^ (210).
Топологическая структура основных пространств . . 211
Пространство 5а как объединение счетно-нормированных пространств (211). 2. Пространство S^ как объединение счетно-нормированных пространств (214). 3. Пространство s£ как объединение счетно-нормированных пространств (217). 4. Пространства 5^ ^ и 5^’ 5 (220).
Простейшие ограниченные операции в пространствах типа 5220
1» Операция умножения на л (221). 2. Умножение на
бесконечно дифференцируемую функцию (222). 3. Операция сдвига (227). 4. Операция растяжения (229).
Дифференциальные операции230
Операция -^ (230). 2. Дифференциальные операторы
бесконечного порядка (231).-
Преобразования Фурье234
Общая теорема (235). 2. Преобразования Фурье пространств типа 5 (239).
Целые аналитические функции как элементы или мультипликаторы в пространствах типа 5246
Сводка результатов (246). 2. Теорема Фрагмена — Линде- лёфа (250). 3. Теорема о существовании области G^ (252).
Поведение целой функции в плоскости при р- > 0 (256).
Оценка производных целой функции на оси по ее поведению в плоскости (259). 6. Оценка производных на оси при р.^0. (264).
Вопрос о нетривиальности пространства типа 5 . . . 266
Случай пространств $£, S^. (267). 2. Случай пространств s£, а > 0, Р > 0. (268). 3. Случай пространств S^ д. (276).
запасе функций в пространствах типа S (278).
§ 9. Случай нескольких независимых переменных , ... 281
Добавление 1. Обобщения пространств типа S288
Добавление 2. Пространства типа W292
6. Преобразования Фурье (297).Примечания и литературные указания299Алфавитный указатель•304Оглавление выпусков 1, 3, 43076. Преобразования Фурье (297).Примечания и литературные указания299Алфавитный указатель•304Оглавление выпусков 1, 3, 43071. Пространство WM (292). 2. Пространство W^ (294). 3. Пространство W^ (295). 4. Вопрос о нетривиальности пространств типа W (296). 5. Ограниченные операторы (296).
6. Преобразования Фурье (297).
Примечания и литературные указания299
Алфавитный указатель•304
Оглавление выпусков 1, 3, 4307
6. Преобразования Фурье (297).
Примечания и литературные указания299
Алфавитный указатель•304
Оглавление выпусков 1, 3, 4307
ВВЕДЕНИЕ
Построения выпуска 1 проходили на базе использования немногих основных пространств: 1) пространства К финитных бесконечно дифференцируемых функций; 2) пространства S бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности, вместе со всеми производными, быстрее любой степени р^; 3) пространства Z аналитических функций ср (г), удовлетворяющих неравенствам вида | 2^<р (г) | ^ ^C^I^L Обобщенных функций — линейных непрерывных функционалов на этих пространствах—было достаточно для выяснения основных черт теории и для ряда простых, но важных применений ее к некоторым вопросам анализа .и, в частности, к теории дифференциальных уравнений.
С другой стороны, хотя мы стремились там свести число используемых пространств к минимуму, нам не удалось обойтись одной парой пространств К и К7: рассматривая обобщенные функции как линейные непрерывные функционалы на К» мы неизбежно должны были рассматривать их преобразования Фурье как линейные непрерывные функционалы на Z. Преимущества такой точки зрения будут особенно ясно видны в выпуске 5, где методы теории функций комплексного переменного будут оказывать существенную помощь в алгорифмических вопросах теории обобщенных функций. *
Значительно более широкий круг пространств понадобится нам в выпуске 3, посвященном более глубоким приложениям теории обобщенных функций к дифференциальным уравнениям, чем те, с которыми мы эпизодически встречались в выпуске 1 и встретимся кое-где в выпуске 2. А именно, в выпуске 3 будут изложены применения теории обобщенных функций к задаче Коши и к задаче о разложении
по собственным функциям. Здесь в полной мере выявится основная особенность теории обобщенных функций — в том ее виде, в каком мы ее понимаем в этой книге, — она состоит в том, что разные классы задач требуют разных классов пространств, причем именно классов пространств, а не отдельных пространств.
Так, теоремы единственности и существования решения задачи Коши для разных уравнений в частных производных требуют разных пространств, обладающих, однако, некоторыми общими свойствами. Задачи о разложениях по собственным функциям для разных дифференциальных операторов также требуют разных пространств, имеющих, тем не менее, ряд общих черт. И точно так же краевые задачи для эллиптических уравнений требуют своего класса основных пространств и пространств обобщенных функций.
На предыдущем этапе развития функционального анализа, связанном с теорией интегральных уравнений, общей базой для изучения различных встречавшихся функциональных пространств была теория линейных нормированных пространств ).
Для нужд теории обобщенных функций нормированных пространств оказалось уже недостаточно. Не надо думать, что при этом дело обстоит так, будто потребовались гораздо более сложные конструкции. Положение—прямо противоположное: среди нормированных пространств нет самых простых пространств, обладающих целым рядом существенных свойств, например пространств К и S.
В последние годы усиленно развивается общая теория линейных топологических пространств. Однако наиболее общие линейные топологические пространства — это довольно сложные образования, обладающие целым рядом «патологических» свойств и плохо приспособленные для нужд аналитика). Основой теории обобщенных функций является теория так называемых счетно-нормированных
пространств (с согласованными нормами), их объединений (индуктивных пределов), а также пространств, сопряженных к счетно-нормированным или к их объединениям. Этот круг пространств, с одной стороны, достаточно широк, с другой,—достаточно удобен для аналитика.
Теория этих пространств и излагается в гл. I. Отметим, что, поскольку счетно-нормированные пространства весьма близко стоят к нормированным, ряд важных теорем получается почти автоматическим перенесением их с нормированных пространств на счетно-нормированные ). При чтении этой главы следует иметь в виду, что некоторые из доказываемых здесь теорем справедливы на самом деле для более общих пространств.
Класс всех счетно-нормированных пространств в большинстве вопросов также оказывается слишком широким для теории обобщенных функций. Поэтому в гл. I мы изучаем так называемые совершенные пространства (полные счетно- нормированные пространства, в которых ограниченные множества компактны). Большой запас примеров таких пространств читатель встретит в следующих главах.
Материал, относящийся к общей теории счетно-нормированных пространств, читатель найдет также в первых трех параграфах гл. IV выпуска 3.
Изложенная точка зрения, конечно, исключает возможность априорного описания всех классов пространств, которые могут встретиться в связи с теми или иными задачами теории обобщенных функций: как мы уже говорили выше, каждый класс задач требует своего класса пространств. Поэтому в гл, II, IV вводятся и изучаются в основном два класса пространств: пространства типа К {VH^} в гл. II; пространства типа S и близкие к ним пространства типа W в гл. IV. Пространства типа S и W в основном удовлетворяют потребности гл. II и III выпуска 3 (задача Коши\ а пространства типа К{Мр}—потребности гл. IV выпуска 3
(задача о разложении по собственным функциям). Глава II и, отчасти, гл. III настоящего выпуска посвящены прежде всего перенесению на более общие пространства результатов гл. I и II выпуска 1, почти не встречающему затруднений. Здесь и появляются пространства K\Mp\t естественно иллюстрирующие общую теорию. С другой стороны, результаты гл. I позволяют заполнить целый ряд существенных пробелов, в частности доказать полноту пространства обобщенных функций на К» и установить ряд новых результатов, например, касающихся структуры обобщенных функций.
В последней, IV главе излагается теория пространств типа S. Эти пространства, которые, как мы уже говорили, используются в выпуске 3, обладают большой внутренней стройностью, и мы надеемся, что даже их самостоятельное изучение доставит некоторое удовольствие аналитику. Построение и использование этих пространств связано с результатами теории квазианалитических функций и теоремой Фрагмена — Линделёфа. Приложения этих пространств к задаче Коши в выпуске -3 иллюстрируют известное высказывание Адамара о связи между теоремами единственности в задаче Коши, с одной стороны, и теорией квазианалитических функций и общей теорией функций комплексного переменного, с другой. Пространства типа S дают естественные рамки для достаточно гибкой теории преобразований Фурье благодаря тому, что при преобразованиях Фурье эти пространства переходят друг в друга; поэтому гл. IV является естественным продолжением гл, III, посвященной преобразованиям Фурье. Кроме того, .над пространствами типа S строятся разнообразные операторы вида /(^)> гДе /(О—целая функция, приложимые и к обобщенным функциям. Преобразования Фурье обобщенных функций, рассматриваемых как линейные непрерывные функционалы над пространствами типа S и W, а также построение Операторов вида /(^)> приложимых к обобщенным функциям,— это и есть те основные средства, при помощи Которых мы будем в выпуске 3 изучать задачу Коши.
Чтобы не перегружать здесь изложение, мы вынесли в добавление резюме результатов, относящихся к простран-
ствам типа W; доказательства этих результатов собраны в гл. I выпуска 3. Читатель, интересующийся только задачей о разложении по собственным функциям, может перейти после глав I и II настоящего выпуска прямо к главе IV выпуска 3.
Авторы пользуются случаем принести сердечную благодарность всем товарищам, оказавшим в той или иной форме помощь при написании этого выпуска. Д. А. Райкову мы обязаны рядом существенных улучшений в первой главе. Б. Я. Левин по нашей просьбе построил доказательства некоторых необходимых теорем из теории целых функций (гл. IV), Г. Н, Золотарёв указал некоторые упрощения в изложении глав II и III. По идее Н. Я. Виленкина написан пункт о преобразовании Гильберта (гл. III). Наконец, множество улучшений введено по предложениям М. С. Аграновича, отредактировавшего весь текст этого выпуска.
Авторы
ГЛАВА I
ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГОПРОСТРАНСТВА )
Система аксиом линейного топологического пространства. Совокупность Ф элементов ср, ф, . . . называется линейным топологическим пространством, если выполняются следующие условия:
Ф есть линейное пространство с умножением на (вещественные или) комплексные числа.
Ф есть топологическое пространство.
Операции сложения и умножения на число непрерывны относительно топологии пространства Ф.
Рассмотрим все эти условия подробнее.
Совокупность Ф есть линейное пространство с умножением на комплексные числа.
Это означает, что в совокупности Ф заданы операции сложения элементов и умножения их на (комплексные) числа X, р, . . ., причем выполнены следующие аксиомы;
° ср4-ф = ф + <р (сложение коммутативно);
° ср 4~(Ф + X)= С? 4~Ф) + х (сложение ассоциативно);
° имеется элемент 0, такой, что ср 4-0 = ср для любого ср;
° для всякого элемента ср имеется элемент ф такой, что ср—|~ф = 0 (противоположный элементу
° 1 • ср = ср для любого ф^Ф;
° X (р-ф) = (Хр) ср;
° (X —|—р,) ф = Хер 4~ рср;
° Х(ф + ф) = Хср4-Хф.
Аксиома 1.6° означает ассоциативность умножения на число; аксиомы 1.7° и 1.8° выражают два дистрибутивных закона, связывающих сложение с умножением на число.
Из аксиом 1.1°—1.8° в свою очередь можно вывести, что произведение числа 0 на любой элемент ср есть элемент О и что произведение числа — 1 на любой элемент ср есть противоположный элемент к ср, который поэтому естественно обозначать через — ср.
Приведем некоторые простые определения, относящиеся к линейным пространствам.
Совокупность всех сумм ср-рф, где ср пробегает множество Л в линейном пространстве Ф, называется сдвигом множества А на вектор ф.
Совокупность всех сумм ср + ф, где ср пробегает множество Л, а ф пробегает множество В, называется суммой (точнее, арифметической суммой) множеств А и В и обозначается через Л-|-В. Аналогично определяется арифметическая разность А — В.
Совокупность всех произведений элементов ср множества А на число X называется \-кратным множества А и обозначается через ХЛ. (Заметим, что вообще 2Л + Л 4- Л.) В частности, —А есть совокупность всех элементов, противоположных к элементам множества А.
Совокупность Ф есть топологическое пространство.
Это означает, что в совокупности Ф выделена система подмножеств ^U^ называемых (открытыми) окрестностями, причем удовлетворяются следующие аксиомы:
° каждая точка ср^Ф принадлежит некоторой окрестности U — U (ср);
° если точка ср принадлежит окрестностям U и V, то она принадлежит окрестности W, целиком лежащей в пересечении U с V.
° для любой пары точек ср ^ ф можно указать окрестность U, содержащую точку ср, но не содержащую точки ф.
Все окрестности и все их объединения (конечные и бесконечные) образуют систему открытых множеств. Открытое множество характеризуется тем, что каждая его точка — внутренняя, т, е. входит в это множество вместе с некоторой окрестностью. Отсюда легко получить, что объединение открытых множеств в любом числе и пересечение в конечном числе снова суть открытые множества.
В дальнейшем под окрестностью данной точки мы понимаем любую окрестность, содержащую эту точку.
Точка (р0 называется точкой прикосновения множества Л, если в любой окрестности точки ф0 имеется точка множества А. £ частности, каждая точка множества А есть его точка прикосновения. Для точки прикосновения ф0 множества А имеются две возможности:
существует окрестность точки ф0, в которой имеется лишь конечное число различных точек множества Л;
в каждой окрестности точки ф0 имеется бесконечное множество точек множества А.
В первом случае, используя аксиомы IL2° и 11.3°, можно построить окрестность точки ф0, в которой нет вообще тойёк множества Л, кроме самой точки ф0. В этом случае ф0 называется изолированной точкой множества А.
Во втором случае ф0 называется предельной точкой множества А. Изолированная точка прикосновения всегда принадлежит множеству Л; предельная точка может принадлежать или не принадлежать множеству А.
Совокупность всех точек прикосновения образует замыкание А множества А; таким образом, замыкание множества А получается присоединением к множеству А тех его предельных точек, которые не принадлежат к нему.
Множество А называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Можно проверить, что таковым, в частности, является замыкание любого множества. Замкнутые множества могут быть охарактеризованы как дополнения к открытым (до всего Ф). Отсюда следует, что объединение замкнутых множеств в конечном числе и пересечение в любом числе суть снова замкнутые множества.
Множество А называется плотным в пространстве Ф (точнее, всюду плотным), если его замыкание совпадает с Ф. Пример: множество рациональных точек на прямой.
Множество А нигде не плотно, если его замыкание не содержит ни одной внутренней точки. Пример: канторово множество на прямой.
Совокупность всех открытых и всех замкнутых множеств пространства Ф образует его топологию.
К одной и той же топологии в пространстве (т. е. к одному и тому же запасу открытых и замкнутых множеств) можно прийти, исходя из двух различных систем окрестностей.
Например, для задания естественной топологии на числовой прямой можно использовать в качестве окрестностей, с одной стороны, все интервалы с рациональными концами, с другой стороны, все интервалы с иррациональными концами. Мы будем называть эквивалентными такие системы окрестностей, которые приводят к одной и той же топологии. Следующее простое условие необходимо и достаточно для того, чтобы две данные системы окрестностей {(7} и {У} были эквивалентны: внутри каждой окрестности U должна содержаться окрестность V и внутри каждой окрестности V должна содержаться окрестность U.
Сходящиеся последовательности. Последовательность фр ф2, . . ., ф^ . . . элементов топологического пространства Ф называется сходящейся к элементу ф, если в любую окрестность точки ф попадают все точки этой последовательности, начиная с некоторого номера. В этом случае пишут ф= lim ф^ На прямой (или в zz-мерном про
странстве) всякая предельная точка данного множества А является пределом некоторой сходящейся последовательности точек множества А. Естественное на первый взгляд предположение, что и в общем случае предельная точка множества А должна быть пределом некоторой (счетной) последовательности фу£Л (у=1, 2, ...), оказывается при ближайшем рассмотрении неверным.
Пример. Рассмотрим совокупность Ф (всех) ограниченных вещественных функций у (а:) на отрезке 0 <^ х <; 1 с обычными линейными операциями; окрестности U = U (у0; х^ .. *, хп; е) данного элемента ср = у0 (х) зададим указанием конечного числа точек хр ^2 • • •» хп и числа е > О, как совокупность всех у € Ф, дня которых | у (Xj)— уо ^х^ | < е, у*=1,2,..., п. Образуем множество А из функций у (х), каждая из которых всюду равна 1, кроме конечного числа точек, где она равна 0. Очевидно, что у0 (х) = 0 есть точка прикосновения множества А. В то же время никакая (счетная) последовательностъ элементов ф^ (х) множества А не может сходиться к нулю, так как в силу несчетности континуума O^^^l всегда можно указать точку х0, в которой все функции ^(а:) равны 1, а следовательно, ни одна из них не попадает
ГТ ( И
в окрестность и (у0; xQ; .
Разумеется, в анализе было бы весьма полезно, чтобы предельная точ::а ф0 всякого множества А всегда была
16 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1 пределом некоторой последовательности точек этого множества. В топологическом пространстве такое свойство будет иметь место, если в этом пространстве выполнено следующее дополнительное условие:
Первая аксиома счетности в точке ф0. У точки ф0 существует счетная определяющая система окрестностей.
При этом счетная система окрестностей Uv U2, . . ., U^, . .. называется определяющей, если каждая окрестность V точки ф0 содержит внутри себя хотя бы одну окрестность U^.
Покажем, что выполнение \-й аксиомы счетности в точке ср0 приводит к возможности выбрать из любого множества А, имеющего точку ф0 своей предельной точкой, последовательность фр ф2, •••> ?v> •••, сходящуюся к ф0.
Заметим вначале, что определяющую систему окрестностей всегда можно считать убывающей, так что U^U^td . . . . . . zdU^zd ...; действительно, если это условие не выполнено, то мы вместо окрестности U2 возьмем окрестность U^, содержащуюся в пересечении Ut и U2; вместо окрестности U3 возьмем окрестность U^, содержащуюся в пересечении и U^, и т. д. Предположим теперь, что ф0 есть точка прикосновения некоторого множества А. Выберем по точке фу£Л в каждой из окрестностей U^ точки ф0 (предполагая, что окрестности U^ уже упорядочены указанным образом). Можно утверждать, что
?о = Нт ср/,V > ОО
действительно, для любой окрестности V точки ф0 по условию можно указать окрестность U^czV, а так как U^4pczU^, то ^ApE^+p^^ciV при любом р; таким образом, в любую окрестность точки ф0 попадают все точки последовательности срр ф2, . .., начиная с некоторой, что и требуется,
Если 1-я аксиома счетности выполнена в каждой точке пространства Ф, то говорят, что она выполнена во всем пространстве Ф.
Переходим теперь к условию III.
Операции сложения и умножения на число непрерывны относительно топологии пространства Ф.
Условия I и II, которые мы подробно рассмотрели выше, описывали отдельно свойства линейных операций и операции
предельного перехода; условие III устанавливает связь между ними. Условие III распадается на следующие две аксиомы.
1 °. Непрерывность сложения и вычитания. Если имеет место какое-либо из равенств
^о±фо = Хо.
то для любой окрестности U точки^ можно указать такие окрестности V точки ф0 и W точки фо, что из ^^V и ф£№ всегда вытекает ф±ф£Е^ (или, короче, V ^U).
III.2°. Непрерывность умножения на число. Если имеет место равенство
^о^о =Х°’
то для любой окрестности U точки /0 можно указать такую окрестность V тожи ф0 и такое число е > 0, что из cp^V и |Х— Хо | < s всегда вытекает \^£U.
^ Рассмотрим сначала следствия аксиомы III. 1°.
; Отметим прежде всего, что сдвиги окрестностей нуля на любой вектор ф0 дают во всем пространстве Ф систему окрестностей, эквивалентную исходной. Действительно, обозначим V = ^Q-\-U. Так как ф0 —фо = О, то для заданной окрестности нуля U найдутся окрестности Wt и W2 точки ср0 такие, что Wt— U72cz[7, т. е. такие, что из ф^^, Ф2Е^2 следует ф1 — ^б^- В частности, можно взять ф2 = фо- Тогда для любой фх £ Wt мы будем иметь ф1 — фо 6 ^ или ф1 £ фо + U = V, так что для заданной V мы нашли окрестность Wv содержащуюся в V. Обратно, если задана окрестность U точки ф0, то, используя равенство фо + О = фо> мы найдем такие окрестности Wt (точки ф0) и W2 (нуля), что ^-р W^dU. В частности, Й = ф0+^2 содержится в заданной окрестности U, что и требуется.
Таким образом, топология в пространстве Ф может быть восстановлена по системе окрестностей нуля; совершая их всевозможные сдвиги, мы получаем полную систему окрестностей во всем пространстве. Это означает, что с топологической точки зрения во всех своих местах линейное топологическое пространство устроено одинаково; простой сдвиг (переводящий все пространство в себя) переводит любую точку в любую другую, причем всякая окрестность первой точки переходит в окрестность второй. Каковы локальные свойства топологии пространства в одной точке,
2 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
таковы они во всякой другой точке. В частности, если в одной точке, например в нуле, выполнена 1-я аксиома счетности, то она выполнена и во всякой другой точке, т. е. выполнена во всем пространстве.
Заметим, далее, что линейное топологическое пространство всегда регулярно, т. е. для всякой точки ср и ее окрестности U можно указать такую меньшую окрестность V, которая входит в U вместе со своим замыканием.
Для доказательства достаточно в силу однородности топологии в пространстве Ф рассмотреть случай ф = 0. В силу непрерывности вычитания для заданной окрестности нуля U можно указать такие окрестности нуля Wt и W2, что Wt—W2cz^ и, далее, если взять окрестность W, содержащуюся в пересечении Wt и W2, то мы будем иметь W—Wcz(7. Мы утверждаем, что замыкание W окрестности W содержится в окрестности U.
Действительно, пусть ф— точка прикосновения окрестности W; тогда в окрестности V точки ф, определяемой выражением У’ = ф4-1^, должны находиться точки окрестности W. Пусть, например, хЕ^П^, так что ^ = ф-|-ф, где ф£№\ Тогда ф = х— t^W—WaU, что и утверждается.
Перейдем теперь к свойствам линейных топологических пространств, связанным с непрерывностью умножения на число.
Покажем прежде всего, что вместе с открытым множеством U любое кратное XU также является открытым, если X ^ 0. Действительно, пусть ф = Хф, где фС^» тогда ф = у ф и для заданной окрестности V точки ф можно найти такую окрестность W точки ф, что yU/cV, или WczXV. Взяв VczL^, мы видим, что окрестность WaXVaXU, т. е. точка ф содержится в множестве XU вместе со своей окрестностью, что и требовалось.
В частности, вместе с окрестностью нуля U все кратные XU также образуют окрестности нуля. При этом, если X ^ 0 фиксировано, a U пробегает полную систему окрестностей нуля, то XU также пробегает полную систему окрестностей нуля. Достаточно показать, что внутри любой окрестности U можно найти окрестность
вида XV, где V— новая окрестность нуля, но это вытекает непосредственно из непрерывности умножения на X.
Мы можем использовать окрестности вида XU для построения некоторой специальной системы окрестностей нуля, называемых нормальными окрестностями.
Область V пространства Ф называется нормальной, если из фС^» |а1^1 вытекает, что a^>^V.
Покажем, что система окрестностей нуля всегда может быть задана с помощью нормальных окрестностей. Действительно, если V—любая окрестность нуля, то в силу непрерывности умножения числа на нуль существуют число е>0 и окрестность нуля W такие, что ac^^V при |а|^е и ^£W. Заменим теперь каждую окрестность V на открытое нормальное множество U— |J aUZcz1/; мы получим
| a | С е
при этом систему нормальных окрестностей нуля, очевидно, эквивалентную исходной системе окрестностей.
Отметим, далее, два предложения, относящихся к замкнутым множествам.
Если F— замкнутое множество, то при любом X множество XF также замкнуто.
Без ограничения общности можно считать, что X + 0. Если Х^Ои если множества F и О взаимно дополнительны в пространстве Ф, то, очевидно, множества XF и XG также взаимно дополнительны. Так как множество XG открыто вместе с G, то XF замкнуто вместе с F, что и утверждается.
Числовой множитель можно выносить за знак замыкания*. для любого ЛсФ и любого X
ХА = ХА.
Без ограничения общности можно считать, что X + 0. Если ср есть точка прикосновения множества ХА, то для любой окрестности нуля U найдутся такие ^^U и %£Л, что ср = Хх + ф, или уср^^у + фр где ф^убЛ Так как ^и есть снова любая окрестность нуля, то мы видим, что в любой окрестности точки у ср имеются точки множества А. Отсюда1__
уср^Л, ср^ХЛ;
итак,
\Acz\Ae
Проводя рассуждение в обратном порядке, приходим к выводу, что из ср^ХЛ следует ср^ХЛ. Отсюда ХЛ=ХЛ, что и требуется.
Задание топологии с помощью окрестностей нуля. Мы уже указывали, что топология в линейном топологическом пространстве однозначно определяется указанием системы окрестностей нуля. Возникает вопрос, какими свойствами должна обладать система множеств линейного пространства Ф, чтобы ее можно было принять за определяющую систему (открытых) окрестностей нуля и тем самым превратить пространство Ф из линейного в линейное топологическое пространство.
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.
Т е о р е м а. Предположим, что в линейном пространстве Ф задана система множеств @ = ^U, V, W, ...}, содержащих нуль, обладающая следующими свойствами*.
. 1 °. Пересечение любых двух множеств U, V из ^ содержит третье множество W из Зд.
.2°. Для любой точки у^О существует множество U из @, не содержащее точки у.
.3°. Для любого множества U из & найдется множество W из @ такое, что W±WcU.
.4°. Если ^ ^U cz^, то существует такое Vc @, что фА-vciU.
.5°. Для любого множества U из ^ и любого числа а=£0 существует такое множество V из <S, что aVcU.
.6°. Для любого множества U из @ и любой точки ср найдется такое число е > 0, что bcp ^U при | о | < е.
.7°. Для любого множества U из $ существует такое число е > 0, что W cz U при | о | < е.
Тогда существует топология в пространстве Ф, в которой пространство Ф является линейным топологическим пространством (т. е. удовлетворяются условия I — III), а система подмножеств U, V, W, ... — определяющей системой окрестностей нуля.
Доказательство. Будем считать окрестностями точки Ф С Ф все подмножества вида ф + ^7, U CZ @, содержащие у. Покажем, что выполнены все аксиомы линейного топологического пространства.
Заметим прежде всего, что если ср С Ф + U, то ср — ф £ U и из 4° следует, что существует V cz @ такое, что ср — ф -|~ V cz U, следовательно, <р + V’czф-|-^7. Таким образом, если точка ср лежит в окрестности ф + U, то она содержится в ней вместе с некоторой окрестностью вида <р + V, Vcz @. Поэтому при проверке аксиом линейного топологического пространства мы будем рассматривать
только те окрестности точки у, которые имеют вид
Аксиома 11.1°: «каждая точка у£Ф лежит в некоторой окрестности»— выполнена по построению. Рассмотрим аксиому 11.2°: «если точка у принадлежит окрестностям U (у) и V (у), то она принадлежит окрестности W (у) cz U (у) П УДУ)». Пусть точка у принадлежит окрестностям U (у) = у 4- U, V (у) = у + V. Возьмем подмножество WcUftV, существующее в силу аксиомы IV.1°, и рассмотрим окрестность W (у) = у + W; очевидно, что она лежит в пересечении окрестностей U (у) и Й(у). Рассмотрим аксиому 11.3°: «для любой пары точек у=^=ф можно указать окрестность U (у), которая не содержит ф». Имеется подмножество W, не содержащее точки ф— у¥=0; оно существует по аксиоме IV.2°. Тогда окрестность U (у) — у + W не содержит точки ф.
Рассмотрим аксиому III.1°: «если / = у-^ф, то для любой окрестности U (/) можно указать такие окрестности V* (у) и W (ф), что У (у) ± W (ф) cz U (/)». Пусть дана окрестность U (х) = X + Найдем, пользуясь аксиомой IV.3°, подмножество W так, чтобы иметь IT±ITcz77. Тогда можно положить V (у) = у + W, W (ф) = ф -[- W, и условие будет выполнено.
Проверим аксиому III.2. «если Хоуо = ф, то для любой окрестности U (ф) можно указать такую окрестность W (у0) и такое е > О, что из | X — Хо | < е следует \W (у0) cz U (ф)». Пусть дана окрестность U (ф) = ф + U. Рассмотрим сначала случай, когда Хо=£О. Пользуясь* несколько раз аксиомой IV.3°, найдем такое подмножество V, чтобы иметь V + V + V cz U. Далее, пользуясь аксиомой IV.5°, найдем подмножество W так, чтобы иметь X0U7 cz U затем, пользуясь аксиомами IV.6° и IV.7°, найдем такое е>0 чтобы при | б К е иметь бу0 £ V и X V cz V. Утверждается, что Ао
окрестность W (у0) = Уо + W и число е и являются искомыми. Действительно, если | X — Хо |< е, т. е. X = Хо —}- б, | б | < е, и У ^ U7(y0), т. е. у = у0 Д- w, w £ W, то Ху0 = ф -|- (kow + бу0 + ^WY> при этом по построению Xow С V, бу0 С К ow = Xow € Д Vcz V, .,Ао Ао
AУ€ф^-V’+V’^-V’czф + ^7, что и требуется.
В случае Хо = 0 поступим следующим образом. Нам нужно при заданной 77 cz <S найти е и V(у) = у + V так, чтобы из | б |< е и Ф С V (у) следовало бф £ U. Пользуясь аксиомой IV.5°, найдем такое У cz @, что V-\- V a U. По аксиоме IV.6° найдем такое е^ > 0, что ^У € V при | б | «< ер По аксиоме IV.7° найдем такое е2>0, что oVcz V при | б | < е2. Возьмем за е меньшее из чисел ет и е2. Тогда при | б | << е и ф С V (у) = у + V имеем
оф = бу -|- б (ф — у) cz V*+ б Vcz V -ф- V+ U.
Доказательство теоремы закончено.
Итак, топология в пространстве Ф построена. Множества системы (^ являются по построению окрестностями нуля пространства Ф.
Так как топология в линейном топологическом пространстве однозначно восстанавливается по системе окрестностей нуля, то мы можем заключить, что построенная топология — единственно возможная в пространстве Ф с заданной системой © окрестностей нуля.
Возможно, что условия IV.1°—IV.7° не независимы и могут быть сведены к меньшему числу условий. Во всяком случае, в любом линейном топологическом пространстве существует система окрестностей нуля, удовлетворяющая всем этим условиям (аксиомы IV.1°—IV.60 выполнены во всякой определяющей системе окрестностей нуля, аксиома IV.7° — в системе нормальных окрестностей), так что условия IV.1°—IV.7° необходимы.
Две различные системы множеств ®i и ®2 могут приводить к одной и той же топологии в пространстве Ф; они называются в этом случае эквивалентными системами. Критерий эквивалентности систем ®1 и ®2 следующий: для каждой окрестности U cz ©t должна найтись такая окрестность V cz ®2» чт0 VcU, и обратно, для каждой окрестности Йс®2 должна найтись такая окрестность (7 с ®х, что U cz V.
Примеры. Рассмотрим два примера линейных топологических пространств, образованных из функций.
Пространство' К (а) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср (х) на прямой — оо < х < оо, обращающихся в нуль вне отрезка |х|^а. Линейные операции задаются здесь естественным образом. Окрестности нуля строятся по следующему правилу: задаются число е > О и натуральное число т; окрестность V (т, е) по определению составляется из всех функций ср (х), для которых выполняются неравенства |cpW(x)|<s для к —О, 1, . .., щ.
Справедливость аксиом IV.1°— IV.7° проверяется без труда.
Последовательность cpv (х) сходится к функции ср (х) в смысле введенной топологии, если при любом &=0, 1,2,... последовательность ср^ (х) равномерно сходится к cpW (х) при v —► со. Так как в данном случае выполнена 1-я аксиома счетности (достаточно ограничиться окрестностями
Kfm.-V п=1, 2, tn = 0, 1, 2, .. .),\ п) ’
то все топологические соотношения в пространстве К(а) можно описать с помощью сходящихся (счетных) последовательностей.
Пространство 3(О) состоит из всех функций ср(г), определенных внутри области G={|z|<&) на плоскости комплексного переменного z и аналитических в этой обла*
сти. Линейные операции задаются обычным образом. Окрестности нуля задаются по следующему правилу: задается число s > 0 и замкнутое множество F, целиком лежащее внутри области G; окрестность V (е, F) состоит из всех функций ср (г), удовлетворяющих неравенству
max I у (z) | < s.
Выполнение аксиом IV.1°—IV.7° проверяется без труда.
Последовательность cpv(z) сходится к функции ср (z) в смысле введенной топологии, если функции yv (z) сходятся к функции ср (z) равномерно на каждом замкнутом множестве, лежащем внутри области G. Первая аксиома счетности также выполнена в пространстве 3№): в качестве счетной определяющей системы окрестностей нуля можно взять систему
v(fm, ^) (т, п=1, 2,
где Fm означаетгде Fm означаетмножество точек z, для которых
где Fm означает
где Fm означает
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
СРАВНИМОСТЬ И СОГЛАСОВАННОСТЬ НОРМ
Как уже отмечалось во введении, мы не будем рассматривать далее свойства самых общих линейных топологических пространств. Типичные примеры нужных нам пространств мы привели в конце § 1. Общая характеристика таких пространств состоит в том, что они являются счетно-нормированными пространствами, или объединениями счетно- нормированных пространств. Эти пространства сравнительно недалеко отстоят от классических нормированных (банаховских) пространств, и техника нормированных пространств в значительной степени переносится на этот более широкий класс пространств; с другой стороны, в этом классе пространств (гораздо более узком, чем класс всех линейных топологических пространств) уже проявляются характерные черты и качества, которыми не обладают
24 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [1 бесконечномерные нормированные пространства, например возможная компактность ограниченных множеств.
Определение счетно-нормированных пространств будет дано в § 3 (а объединения счетно-нормированных пространств— в § 8). Топология в этих пространствах будет задаваться счетным набором норм. Предварительно нам нужно изучить связи между несколькими нормами, введенными в одном и том же линейном пространстве. Этому и посвящен настоящий параграф.
Основные определения. Как известно, линейное пространство Ф называется нормированным, если в нем определена неотрицательная функция ||ср|| (норма), обладающая следующими свойствами:
1О- II? +ФНСII? 11+ИФII Для любы* ф, ф.
2°. ||аср|| = | а| || ср || для любого ср и любого (вещественного или комплексного) а. В частности, [|0||= 0. '
3°. Если || ср||= 0, то ср = О.
Имея норму, можно ввести соответствующую топологию. Именно, окрестность нуля £7е(0) в нормированном пространстве задается положительным числом е и состоит из всех ср, для которых ||ф|| < s (открытый шар радиуса s).
Выполнение аксиом IV.1°— IV.7° n. 2 § 1 проверяется элементарно.
Очевидно, кроме того, что в данном случае выполнена 1-я аксиома счетности, и поэтому топологические соотношения описываются на языке сходящихся последовательностей. При этом последовательность cpv (v=l, 2, . . .) сходится к элементу ср тогда и только тогда, когда при v —> оо 11?-?,1Н0.
Последовательность cpv (v=l, 2, . ..) элементов нормированного пространства называется фундаментальной, если для любого s>0 можно указать номер v0 = v0(s) так, что при v > v0, р > и0 всегда ||cpv— ср || < е. Всякая сходящаяся последовательность cpv -+ ср фундаментальна, поскольку
II ?»—т^ IK II ?,—? II+II ?—tv II •
Но обратное верно не всегда. Пространства, в которых всякая фундаментальная последовательность является сходя-
щейся к некоторому элементу того же пространства, называются полными. Неполное пространство всегда можно пополнить, присоединив формальные пределы несходящихся фундаментальных последовательностей и распространив на них естественным образом линейные операции и норму.
Сравнимые и согласованные нормы. Две нормы Цср^ и || ср || 2, определенные в одном и том же пространстве Ф, называются сравнимыми, причем первая считается более слабой, а вторая — более сильной, если для любого ср имеет место неравенство
llvlliCC |]<р|]2,
где С—фиксированная постоянная). Всякая фундаментальная последовательность по более сильной норме будет фундаментальной и по более слабой норме. Если пространство полно относительно обеих норм, то по известной теореме Банаха об ограниченности обратного оператора) сравнимость их приводит к эквивалентности*, существуют постоянные С' > 0 и С" > 0 такие, что
ll?lli<c'h||2< c^ilvll!.
Если же пространство Ф не полно (хотя бы относительно одной из норм), то сравнимость, вообще говоря, не влечет эквивалентности. Мы можем в этом случае рассмотреть два полных пространства Фг и Ф2, которые получаются пополнением пространства Ф соответственно по нормам || • || i и || • || 2. Если || • || 2 — более сильная норма, то можно установить естественное отображение пространства Ф2 в пространство Ф1: каждый элемент ср £ Ф2 определяется фундаментальной по норме |] • ||2 последовательностью ?v€$ (v=l, 2, . . .), а как уже было сказано, эта последовательность является фундаментальной по норме || • ||t и поэтому определяет элемент ф(ЕФ1- Легко проверить, что определение ср в зависимости от ср однозначно. Оно может
26 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [2 не быть взаимно однозначным; иначе говоря, разные элементы ф£Ф2 и ф£Ф2 могут переходить в один и тот же элемент <р£Фр Чтобы исключить эту возможность, мы потребуем, чтобы нормы || • Hi и || • ||2 были согласованными в следующем смысле.
Определение. Нормы Ц • || i и || • ||2, заданные в линейном пространстве Ф, называются согласованными, если всякая последовательность ср^Ф, v=l, 2, . .., фундаментальная по обеим нормам и по одной из них сходящаяся к нулю, по второй норме также сходится к нулю.
Примеры. В совокупности Ф непрерывно дифференцируемых функций /(х) на отрезке |х|Са нормы
11/114 = max |/(х)|,||/||2 = max {|/(х) |-р-IZ'^) |}
являются согласованными.
В той же совокупности нормы
11/11! = max |/(х)| и ||/||з = max |/(х) |4-|/(а) |
не являются согласованными: можно указать последовательность /^(х), равномерно сходящуюся к нулю, для которой /'(#)=!; она фундаментальна по обеим нормам, по первой стремится к нулю, а по второй не стремится к нулю, так как ||/||з>1.
Нетрудно видеть, что в случае сравнимых согласованных норм || • ||t и || • || 2 отображение пространства Ф2 в пространство Фр о котором шла речь выше, является взаимно однозначным ). Достаточно проверить, что ненулевой элемент ср£Ф2 не может перейти в нулевой элемент пространства Фр В предположении противного мы имели бы для фундаментальной последовательности ср^Ф, определяющей элемент ср, соотношения
.МШ12 = И?112>0, lim ]| cpv |] 4 = О,
что противоречило бы согласованности норм.
Итак, в случае согласованности норм, построенное отображение пространства Ф2 в пространство Ф! взаимно
однозначно. Поэтому, если отождествить элементы пространства Ф2 с соответствующими элементами пространства Фр то можно считать, что пространство Ф2 есть часть пространства Фр заметим, что при указанном отождествлении каждый элемент пространства Ф переходит в себя.
Резюмируем: если в пространстве Ф заданы две сравнимые согласованные нормы ||ф||1 СС||ф||2, то пополнения Ф! и Ф2 пространства Ф по этим нормам можно считать одно частью другого:
Ф^ФзюФ.
Если нормы ||с?||1 и ||ср||2 не сравнимы, но согласованы, то мы можем ввести третью норму
||?||з = тах{||<р||1,||<р||2}
(легко проверить, что аксиомы нормы выполнены для ЦфЦ3), которая, очевидно, сравнима с каждой из обеих заданных норм (именно, сильнее каждой из них). Норма ||ф||3 также согласована с каждой из заданных норм: действительно, если последовательность ф^Ф фундаментальна по норме Ц ф 13, то она фундаментальна по || • || i и || • ||2; если она по одной из них сходится к нулю, то в силу их согласованности сходится и по другой норме к нулю, а следовательно, сходится к нулю и по норме || • ||3; обратное очевидно. В данном случае пространство Ф3, полученное пополнением пространства Ф по норме || • ||3, взаимно однозначно отображается в Ф! и в Ф2, причем при этих отображениях Ф остается на месте.
СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение. Мы переходим теперь к определению и исследованию одного из наиболее важных в применениях к анализу классов линейных топологических пространств — класса счетно-нормированных пространств.
Представим себе, что в линейном пространстве Ф задана счетная система норм ЦфЦр ||фЦ ||?||р,• ••
Введем в пространство Ф с помощью этих норм топологию по следующему правилу. Окрестность нуля Up^O) задается натуральным числом р и положительным е ’ как
совокупность всех ср^Ф, для которых выполнено р неравенств.
IlvIliCe. II ? Иг < ®, • • • •'ll ? lip < s- (1)
Проверим выполнение аксиом IV. 1°—IV. 7° п. 2 § 1.
Аксиома IV. 1° утверждает, что пересечение любых двух окрестностей нуля содержит третью окрестность нуля; в нашем случае, если
Up2, e2 = <klll<=2. •••■ hllp2<e2>>
то в качестве окрестности, лежащей в их пересечении, можно взять ^,е = {11?111<е, ..., Ц?Ь<е},
где е = min (en е2), а р = max (pt, р^.
Аксиома IV. 2° требовала, чтобы для любой точки ф0 ф 0 существовала окрестность U, не содержащая этой точки. В нашем случае, по определению нормы, уже || ф0 ]|i >0; поэтому окрестность
^ = {11ф111<е = || Фо 111)
не содержит точки у0.
Аксиома IV. 3° требовала, чтобы для каждой окрестности U существовала такая окрестность W, что W ± W cz U. В нашем случае, если
t7 = {hK«,ЫР<е},
то можно положить
^(hlliC-J-, hll^Cy}-
Аксиома IV. 4° требовала, чтобы из фоС^ следовало существование такой окрестности V, что ф0 + V cz U. Очевидно, если
^ = {11*11! О1М„<0,
то из уд € U следует, что
max ||<р0^ = т)<е;
тогда в качестве V можно взять окрестность, определяемую неравенствами
11*1110 — ч. ••••— ч-
Аксиома IV. 5° требовала, чтобы для любой окрестности U и любого числа а=^0 существовала такая окрестность W, что aW (Z U, Если
t/ = {ll*lliO..... II*II„O}.
то мы положим
Аксиома IV. 6° требовала, чтобы для любой окрестности U и любой точки ср0 нашлось такое число а, что a^^U. Если
и = < IIУ 01< е,II ¥ llj» < е>
И
Йо11/ = л/ (У =1,2,
ТО можно положить е ~ шах (дщ ..., а^
Аксиома IV. 7° утверждала, что для любой окрестности U существует такое число е > 0, что W cz U при | б | << е. В данном случае можно взять е = 1: окрестности, указанные нами, нормальны.
Определение. Линейное пространство Ф, в котором введена указанным способом топология с помощью счетного числа согласованных норм, называется счетно-нормированным пространством.
Заметим, что в указанной системе окрестностей нуля Up 6 достаточно брать е = 1, —,-, . . ., и значит, эта система равносильна счетной системе U t (/n, р — 1, 2, . ..). Поэтому, р, —
как и во всяком пространстве с 1-й аксиомой счетности, предельный переход в счетно-нормированном пространстве можно задавать ) с помощью сходящихся последовательностей. В данном случае, как легко видеть, последовательность cpv сходится к нулю тогда и только тогда, когда ||с?Лр—>0 при любом фиксированном р и v—> оо; аналогично, tpv —> ср тогда и только тогда, когда ||ср— фуЦр—>0 при любом фиксированном р и v->oo.
Последовательность фр . . ., ф„, . .. называется фундаментальной, если для каждого р и любого е > 0 можно указать номер v0 = v0 (s) так, что || ф^ — фл \\р < е при v, ^ > v0.
Если всякая фундаментальная последовательность в пространстве Ф оказывается сходящейся к некоторому элементу пространства, то это пространство Ф называется полным.
Данную последовательность норм всегда можно считать неубывающей, так что
для каждого ср^Ф. В противном случае можно заменить каждую норму || <р |р на || <р ||^ = max {|| ср ||1( .... || ср ||р); очевидно, что последовательность норм ||ср||' не убывает и порождает на Ф ту же топологию, что и исходная последовательность. При этом окрестность Up е(0) теперь может быть задана одним неравенством ||ф||р<£. Вместе с исходными и новые нормы будут также попарно согласованы.
Условие полноты. Предположим теперь, что (согласованные) нормы ||?||i, ||ф||2’ • • • не убывают. Произведем для каждого р пополнение пространства Ф по норме || • Ц^; мы получим систему полных нормированных пространств Фр Ф2, . . ., Фр, . . . Поскольку все нормы сравнимы и согласованы, результаты § 2 приводят к системе включений
Ф^ФзЮ . . . =эФр=Э . . . ГЭФ. (1)
Можно дать простую характеристику полноты пространства Ф в терминах, связанных с пространствами Фр.
Теорема. Пространство Ф является полным тогда и только тогда, когда оно совпадает с пересечением всех пространств Фр:
ПФд=Ф- (2)
Доказательство. Пусть выполнено равенство (2) и последовательность у1, ср2, . . ., <pv, . . . фундаментальна в Ф. Согласно определению последовательность ср„ является фундаментальной в каждом Фр и имеет в нем, следовательно, предел ср(^. В силу установленного нами отображения Фр—>Фр-1 и соответствующего отождествления элементов этих пространств все элементы ф<^) (р= 1, 2, . . .) являются, по существу, одним и тем же элементом, который, таким
'образом, принадлежит всем Фр и по (2) принадлежит и к Ф. Обозначим этот элемент, как элемент Ф, через ср. Так как
II?,—?(?)||р->°
при каждом р, то
II?, — ?11Р-^0
при каждом р, откуда
cp = lim cpv
по топологии пространства Ф. Итак, Ф — полное пространство.
Обратно, пусть Ф—полное пространство и пересечение всех Фр содержит элемент ср; покажем, что он принадлежит Ф. Найдем в пространстве Ф элемент <рр, для которого
II?—?Р1>Р< j;
это можно сделать, так как Фр есть пополнение пространства Ф по норме || • ||р. Утверждается, что элементы <рр сходятся при р—>оо к элементу ср по любой из норм. Действительно; для любого к при р> к имеет место неравенство
II? — ?Д<11? — ?Р|1Р< j.
откуда вытекает, что
lim || ср — <рр[|Л = 0.
Р>ОО
Поэтому, в частности, последовательность ^р фундаментальна по каждой из норм и, следовательно, фундаментальна в Ф.
Пусть_
? = lim ср^р->оо
по топологии Ф. Так как для каждого к имеет место соотношение_
lim || <р — Фр||4 = 0
Р>СО
и ср, так же как и ср, принадлежит к ФА, то ср = ср. Таким образом, ср^Ф, что и требовалось доказать.
В дальнейшем под счетно-нормированным пространством мы будем без особых оговорок понимать полное счетно-нормированное пространство. (Подчеркнем, что в определение счетно-нормированного пространства включено условие согласованности норм.)
Примеры. Простым, но нетривиальным примером счетно-нормированного пространства является пространство К (а) всех бесконечно дифференцируемых функций ср(х) на прямой —оо < х < оо, обращающихся в нуль вне отрезка | х | ^ а (§ 1, п. 3). Введем в этом пространстве систему норм
1М1Р = max {[ у (а;) [, | <р'(■*) II ?(й W I} |а?|<а
(/> = 0, 1,2,
Окрестности
совпадают, очевидно, с окрестностями в этом же пространстве, указанными в п. 3 § 1, и определяют, следовательно, ту же топологию.
Нормы ||ср||р, очевидно, образуют неубывающую последовательность, так что || ср Ц^ || ср ||р+1 для любого ср. Проверим, что эти нормы попарно согласованы. Для этого достаточно проверить, что согласованы p-я и (р+1)-я нормы. Рассмотрим последовательность функций cpv(x), сходящуюся к'нулю по р-й норме и фундаментальную по норме || • ||^+1. Это означает, что функции cp^(x) сходятся равномерно к нулю при v —► оо, k = Q, 1, . .., р, и к некоторому пределу 6(х) при k = p-V\. Но тогда в силу известной теоремы классического анализа 9(х) = 0. Отсюда следует, что
II ?v 11р+1 —^ О* Обратно, если
II l|j)4-l -► О, ТО И
Таким образом, нормы ||ср||р и ЦсрЦ^ действительно согласованы.
Покажем, что пополнение К{а)р пространства К (а) по норме || • ||р представляет собой совокупность Кр{а) всех функций ср (х), обращающихся в нуль вне отрезка | х | ^ а и имеющих непрерывные производные до порядка р. Очевидно, что
К^сКДа)
и требует доказательства только обратное включение. Проверим сначала, что искомое пополнение К {а) содержат всякую функцию ф0(х)> имеющую непрерывные производные до порядка р и обращающуюся в нуль вне отрезка | х | ^ а — 8, внутреннего по отношению к отрезку | х | <; а. Можно построить последовательность многочленов Р^(х) (пользуясь теоремой Вейерштрасса), стремящуюся к функции <р0(х) равномерно на отрезке |х|^^ вместе с производными до порядка р. Пусть, далее, функция е (х) £ К(я) равна 1 на отрезке |х|^^ — 8. Тогда произведения ^(х)-^(х) принадлежат к пространству К^) и сходятся к функции ср0(х) по метрике пространства К^р, откуда следует, что функция ф0(х) принадлежит пространству К(а)р. Все остальные функции <?(х) пространства Кр(а) являются пределами указанных функций <р0(х) и поэтому также входят в пополнение К(а)р пространства К^а\ Таким образом,
Итак,
КР^ = ОДР.
что и утверждалось.
Пересечение пространств Кр(а) (р = ^, 1,2, ...), очевидно, совпадает с пространством К (а). Поэтому в силу критерия предыдущего пункта пространство К (а) полно. Впрочем, это легко показать и непосредственно.
Итак, К (а)—полное счетно-нормированное пространство.
Несколько более сложным по форме, но вполне аналогичным по существу примером служит пространство К(а) всех бесконечно дифференцируемых функций п переменных (p(x) = cp(xi, . .., х^, обращающихся в нуль вне области Ga={kiK«i|^»1О„).
3 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
В этом пространстве вводится совокупность норм
||<р||р = шах |<р(х)|,||<р||р = шах |<р(х)|,дпср (х)дхг... дхпдпср (х)дхг... дхпд^Р^ (х)дх^ ... дх^д^Р^ (х)дх^ ... дх^
||<р||р = шах |<р(х)|,
||<р||р = шах |<р(х)|,
дпср (х)дхг... дхп
дпср (х)дхг... дхп
д^Р^ (х)дх^ ... дх^
д^Р^ (х)дх^ ... дх^
Сходимость, соответствующая норме |1ф|1р, есть равномерная сходимость функций ср(х) и их производных до порядка (р, р, . .., р); сходимость, отвечающая набору всех норм || ср\\р—равномерная сходимость функций ср(х) и их производных любого порядка. Нормы ||ср||р не убывают и согласованы. Пополнение пространства К (а) по норме ||ср||р есть совокупность Кр(а) всех функций ср(х), обладающих производными до порядка (р, р, .. ., р) и обращающихся в нуль вне области Ga. Пересечение пространств Кр(а) совпадает с пространством К (а). Таким образом, К (а) и в случае п измерений есть полное счетно-нормированное пространство.
В качестве второго примера рассмотрим пространство 3 (О) целых аналитических функций ^zv х^ в области 0={|г|<а}. Для простоты ограничимся случаем одного независимого переменного х. изменяющегося в области \х\<<а. В пространстве З(^) вводится совокупность норм
II ? Up = max | <р (z) |, И<ар, (e,<spH, limop = o).
Сходимость, соответствующая норме ||<?||р, есть равномерная сходимость функций ср (г) в области |2г|^^р; сходимость, отвечающая набору всех норм, — равномерная сходимость функций ср (г) в любой замкнутой области, лежащей внутри области |г|<а. Нормы ||ср||р не убывают и согласованы. Пополнение пространства 3№) по норме ||ср||р есть совокупность всех аналитических функций в круге \х\<ар> непрерывных в замкнутом круге |г|^«р; пересечение этих совокупностей совпадает с пространством 3(^)- Таким образом, З(^) есть полное счетно-нормированное пространство.
Большое количество других примеров читатель встретит дальше, в частности в §§ 1—2 гл. II, §§ 1—3 гл. IV и в добавлении к гл. IV.
Счетно-нормированное пространство как линейное метрическое пространство. В счетно-нормированном пространстве Ф можно ввести метрику, т. е. определить
функцию р(ф, ф) от пары точек ср, ф (расстояние от ср до ф), обладающую свойствами
Г. р (ф, ф) = 0, р(ср, ф) > 0 при ф=^ф;
2°. р (ф, ф) = р (ф- ф);
3°. Р (фр Фз) < Р (?Р ф2) + Р (?2- ?з)’
Разумеется, произвольное введение метрики было бы бесплодным; взжю то, что расстояние р (ф, ф) можно взять инвариантным относительно сдвигов и непрерывным в топологии пространства:
4°. р(ф, Ф) = р(ф —ф- 0);
5°. если ^—>0, то р (cpv, 0) —> 0.
А именно, можно положить
P tP’ Y ^2*1+11?-^'>
Проверим выполнение условий 1°—5°. Выполнение первых двух очевидно. Для проверки условия 3° достаточно убедиться в справедливости неравенства
к + Ф11я Н11Р ПФИя
1+11«р + Ф11я<1+1кИя + 1 + ИФИ/u
Заметим для этого, что функция вещественного положительного аргумента /
^) = ГТ7
является монотонно возрастающей; поэтому
llv + ФИя1Ы1я + ИФ11я
1 + Ik Ия + IIФ Ия
к к11Ф11я, к ИяПФИя
<р Ия + IIФ И„ + 1 + 1к11я + ИФИя "Н+кИяН+ИФИя’
и условие 3° также выполнено.
Очевидно, выполнено и условие 4°:
Р (V, Ф) = Р (? — ^ 0).
Наконец, чтобы проверить условие 5°, достаточно заметить еле дующее. Если yv->0, т. е. II Tv II/э “^ 0 при каждом р, то в сумме
1 II blip pti 2^1+п каждый член стремится к нулю, и если при ч>^ сумма первых п членов меньше е, то вся сумма меньше
12^°2W *
p = n + l
Всякое метрическое пространство, как хорошо известно, является и топологическим; определяющей системой окрестностей в этой топологии служит система множеств вида
Р(<Р. То) < г.(3)
Оказывается, что метрика, определенная по формуле (1), определяет в пространстве Ф топологию, эквивалентную исходной.
Для доказательстя этого ввиду условия 4° достаточно рассмотреть окрестности нуля и множества р (ср, 0)<г (у0 = 0). Мы должны показать, что внутри каждой окрестности нуля содержится некоторое множество р (у, 0) < г и обратно.
Внутри каждой окрестности нуля *) {|| у Ц^ < э } содержится некоторое множество р (ср, 0) < б.
Действительно, есчи при некотором б
то, в частности, и
1||?||р
откуда
2^6
при достаточно малом б эта величина будет меньше е, что и требуется.
Внутри каждого множества р (у, 0) < е содержится некоторая окрестность нуля || у ||^ < б.
Действительно, в противном случае мы могли бы указать последовательность точек срДм=1, 2,...), для которых H^JK-L, не принадлежащих к шару р (у, 0) < е. Это означало бы, что у., стремятся к 0 по топологии и не стремятся к 0 по метрике; тем самым мы получили бы противоречие с доказанным свойством 5°.
Из условия 5° следует, что выполнено такое условие:
5Г Если Xv->0, то р (Xvcp, 0)—>0 при любом ср.
Из доказанной эквивалентности топологий и условия 5° вытекает, что справедливо следующее условие:
6°. Если p(cpv, 0) —>0, то p(Xcpv, 0)—>0 при любом X.
Линейное пространство, в котором введена метрика, удовлетворяющая, кроме трех обязательных для метрики условий Г—3°, также условиям 4°, 5° и 6°, называют линейным метрическим пространством или пространством типа (F) ).
Мы показали, таким образом, что аетно-нормирован- ное пространство является одновременно линейным метрическим пространством, причем топология, определяемая метрикой, эквивалентна исходной топологии.
Заметим, что в этом метрическом пространстве, согласно определению метрики, расстояние между любыми двумя элементами не превосходит постоянной 1.
Из доказанного предложения вытекает, что если счетно- нормированное пространство Ф полно в своей топологии, то оно является и полным метрическим пространством.
Известно, что в полном метрическом пространстве никакая счетная сумма нигде не плотных множеств не может дать всего пространства ). Отсюда следует, что никакая
счетная сумма множеств, нигде не плотных в счетно- нормированном пространстве Ф, не может дать всего Ф.
На этом свойстве основано доказательство полезного предложения, которое мы сейчас приведем. Примем следующее определение: множество F в линейном пространстве Ф называется поглощающим, если для любого элемента ф^Ф можно указать такое вещественное X, что Х^Р.
Лемма. Если F — выпуклое ) центрально-симметричное замкнутое поглощающее множество в полном счетно- нормированном пространстве Ф, то F содержит внутри себя окрестность нуля.
Доказательство. Замкнутое множество F или нигде не плотно или содержит окрестность. Вместе с F таким свойством обладают и все его кратные XF при X + 0. Но из условия леммы вытекает, что совокупность всех кратных mF, т= 1, 2, . .., покрывает пространство Ф* Поэтому в силу предыдущего замечания множество F не может быть нигде не плотным и содержит, следовательно, некоторую окрестность ср0 + U, где U =—U есть нормальная окрестность нуля. В силу центральной симметрии оно содержит противоположную окрестность —<р0 — U =— <р0 + ^- Выпуклая оболочка окрестностей фо + ^ и —фо + ^ также содержится в множестве F. Но эта выпуклая оболочка содержит
окрестность U, так как для любой точки ^U мы имеем: (?о+^) + (-?о+^)
2•
Тем самым лемма доказана.
С другим применением того, что счетно-нормированное пространство является линейным метрическим пространством, мы встретимся в § 7.
Условия нормируемости счетно-нормированных пространств. В п. 4 мы показали, что всякое счетно-нормированное пространство является линейным метрическим пространством и что исходная топология (определяемая счетным набором норм) совпадает с топологией, определяемой (одной) метрикой. Возникает вопрос: когда счетно-нормированное пространство не сводится к нормированному линейному пространству, т. е. когда действительно оправдано введение счетного числа норм? Что нормированные пространства содержатся среди счетно-нормированных — очевидно: можно взять счетное число норм, равных или эквивалентных одной норме.
В силу теоремы п. 2 счетно-нормированное пространство Ф всегда есть пересечение нормированных пространств
ф=П фр» фр+i фр*
причем Фр есть пополнение пространства. Ф по р-й норме.
Оказывается, что если среди пространств Фр имеются различные со сколь угодно далекими номерами (т. е. если в последовательности норм имеется подпоследовательность попарно не эквивалентных норм), то пространство Ф не сводится к нормированному; и лишь в том случае, когда все Фр, начиная с некоторого номера р0, совпадают, пространство Ф является нормированным (и совпадает с Фр0).
Во втором случае утверждение очевидно: мы имеем
Ф=ГК=Ф^
Р=1
далее, в силу равенства Ф^ = Ф^+1 и сравнимости нормЦср^ и hl’^+i нормы эти эквивалентны (см. § 2, п. 2); в частности, из
сходимости по норме Ц ср Ц^ следует сходимость по норме || У |1_р _ц, а отсюда таким же образом — сходимость по норме || ср ||^+2 и т. д., т. е. в конечном счете сходимость по каждой из норм; эта последняя сходимость есть схбдимость по топологии Ф. Обратно, если последовательность сру) сходится по топологии Ф, то она сходится по каждой норме и, в частности, по норме llyll^.
Рассмотрим первый случай. Без ограничения общности можно считать, что все пространства Ф^ различны. Мы утверждаем, что в этом случае не существует нормы, отвечающей исходной топологии пространства Ф. Прежде чем доказать это утверждение, докажем следующую лемму.
Лемма. Если все пространства Ф^, участвующие в построении счетно-нормированного пространства Ф, различны, то для любой последовательности положительных чисел пц, т^, ..., тр, ... можно указать элемент у £ Ф, для которого
Доказательство. Покажем сначала, что для любого р и любых Ср С^ можно найти элемент ср, удовлетворяющий неравенствам
II ? 11^ < Ср ||?||^+1>С2.(1)
Действительно, если бы такого ср не существовало, то это означало бы, что для любого у, для которого ЦуЦ^^Ср имеет место неравенство
II ? Iljp+i Q,
где Со — некоторая постоянная. А тогда вообще для любого ср выполнялось бы неравенство
Но так как, с другой стороны,
fl VИ,,СП у lljp+i.
то нормы 11*11^ и || • ||^+1 оказались бы эквивалентными, что привело бы к равенству
'фр = фр+1,
по условию, не имеющему места. Таким образом, существование элемента ср, удовлетворяющего неравенству (1), установлено.
Искомый элемент ср мы определим в форме ряда
? = 5 ?з-(2
3=1
В качестве элемента у1 возьмем любой элемент, удовлетворяю щий неравенству
.Ы11>т1+1-
В качестве второго элемента у2 мы возьмем такой элемент,, который удовлетворяет неравенствам
II У2 111 < у , И У2 „2 > m2 + 1 + II У1 112
существование такого элемента только что было установлено.
Далее, возьмем элемент у3, удовлетворяющий неравенствам
II Уз II2 < 2Г , II Уз Из > тз + 1 + IIУ1 Из + И У2 Из,
и т. д., так что элемент у^ удовлетворяет неравенствам
Ilyjollj9-l<-^ri, II У^ > ”5> + 1 + II У111/> + ••• + 11У^-111р-
Покажем, что ряд (2) сходится по любой норме (и, следовательно, сходится в пространстве Ф). Действительно, при заданном р и q Р мы имеем:
И У^ lljo ^ IIУ^ 11^-1 < ^„х >
так что остаток ряда мажорируется геометрической прогрессией, со знаменателем ^ Далее,
И у lljp ^ II у_р lljo2ll^^Hj° Sll^^"j°
q>Pq<P
^>mp-\- 1 -4- ||У1Н_р + • • • + ||У/>—11|/>— 1 —(II У1II/, + •••+11? jo-llljt?) — mp>
что и требуется.
Итак, лемма доказана.
Докажем теперь, что если все пространства Ф^, участвующие в построении (полного) счетно-нормированного пространства Ф, различны, то топология в нем не может быть задана никакой нормой.
Для этойДля этой^qвательно, ——^qвательно, ——Допустим противное: топология в пространстве Ф задается некоторой нормой || у ||. Рассмотрим единичный шар Е = {|| у ||<^ 1}. Мы утверждаем, что на этом шаре ограничена каждая из норм || у ||^ (разумеется, своей постоянной). Действительно, если бы норма || у ||^, не была ограниченной на шаре Е, то мы могли бы указать последовательность у$££, для которой |1 у^П/, = а^ -> со.
Для этой
Для этой
^q
вательно, ——
^q
вательно, ——
последовательности мы имеем>0 в Ф, и следо- стремится к нулю по каждой из норм. Но это про-
тиворечит тому, чтотиворечит тому, что^q^q= 1, Итак, на шаре Е каждая из норм= 1, Итак, на шаре Е каждая из нормп и' aqllylljo ограничена своей постоянной, например т^.п и' aqllylljo ограничена своей постоянной, например т^.рр
тиворечит тому, что
тиворечит тому, что
^q
^q
= 1, Итак, на шаре Е каждая из норм
= 1, Итак, на шаре Е каждая из норм
п и' aq
llylljo ограничена своей постоянной, например т^.
п и' aq
llylljo ограничена своей постоянной, например т^.
р
р
В силу леммы имеется элемент <р, для которого
Как и для любого элемента <р нормированного пространства Ф, некоторое кратное Хер, Х^=0, попадает в шар Е. Но мы имеем
Н? |1Р>1М/™гр
и ни при каком X не могут быть удовлетворены неравенства
11МР<«Р(/> = 1,2,...).
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Из этого предложения следует, в частности, что пространство К (а) не нормируемо, поскольку соответствующие пространства Фр в этих случаях заведомо различны. Таким образом, хотя на первый взгляд нормированные пространства наиболее просты, среди них не содержится уже такое простое и важное пространство, как К(я).
Сравнимые и эквивалентные системы норм. Полезно выяснить, когда две различные системы норм в счетно-нормированном пространстве приводят к одной и той же топологии.
Напомним, что из двух норм ||ср|| и НфЦ', определенных в линейном пространстве Ф, первая считается более слабой, а вторая—болзе сильной, если выполнено неравенство
Пф11 ^cilvir
с фиксированной (не зависящей от ср) постоянной С.
Пусть теперь в пространстве Ф заданы две системы норм:
im;<ii<pii;<...<ii<pii;<...
Мы будем говорить, что первая из этих систем более слабая, а вторая — более сильная, если каждая из норм первой системы является более слабой, чем некоторая норма второй системы).
Если вторая система норм сильнее первой, то всякая последовательность срр ср2, ..., cpw . . ., сходящаяся по всем
нормам второй системы, сходится и по всем нормам первой системы. Действительно, найдем для заданного р такое q^q{p\ что норма ||ф||р слабее нормы [|ф||д. Тогда мы имеем:
И?. —?,Лр<С||?. —?Х'
Так как по условию |] <pv — фЛ9 ->0 при любом q, то отсюда следует, что и ||ф.—?Лт> “* 0 при каждом р.
Покажем, что верно и обратное утверждение.
Лемма. Если всякая последовательность фр ф2, ••• . .., ф„, . . ., сходящаяся по всем нормам второй системы, сходится также и по каждой из норм первой системы, то первая система норм слабее второй системы.
Доказательство. Допустим противное. Тогда некоторая норма ЦсрЦр не является более слабой, чем любая из норм второй системы. Это значит, что для любого v мы сможем найти элемент ф^, удовлетворяющий неравенству
1Ы1Р > чшК-
Умножая каждый из элементов ф^ на некоторое число, можно считать, что ||фЛр=1, так что
1Ы1'<Л Wp<v-
Покажем, что последовательность ф7 стремится к нулю по каждой из норм второй системы. Действительно, при заданном q и v > q мы имеем
11?л;<И?Ж <4^0.
Но тогда согласно условию элементы ф^ должны стремиться к нулю и по всем нормам первой системы. А это заведомо не выполняется, поскольку ||фЛр=1. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы.
Если сходимость к нулю всегда имеет место одновременно по обеим системам норм, то эти системы называются эквивалентными. Из только что доказанного утверждения легко следует, что необходимым и достаточным условием эквивалентности является выполнение требования: каждая
норма первой системы слабее некоторой нормы второй системы, и обратно, каждая норма второй системы слабее некоторой нормы первой системы.
Ограниченные множества в счетно-нормированном пространстве. В нормированном пространстве множество Л называется ограниченным, если ограничены (фиксированной постоянной) нормы всех элементов множества Л. В счетно- нормированном пространстве Ф множество Л мы будем называть ограниченным, если каждая из норм пространства ограничена на множестве Л (своей постоянной):
И?11р<Ср (P=h 2, •••) Для всех ср^Л.
Так, в пространстве K(s) финитных бесконечно дифференцируемых функций (п. 3) множество Л = {ср(х)} ограничено тогда и только тогда, когда при любом р множество чисел
max | ^(х) |,^^А,
ос
ограничено (постоянной, зависящей от р).
Несмотря на внешнее сходство с соответствующим определением для нормированного пространства, на деле эти определения описывают глубоко различные многообразия. Например, в нормированном пространстве шар ||<?Ц^ 1 ограничен и его кратные покрывают все пространство; в противоположность этому в счетно-нормированном пространстве, не сводящемся к нормированному, не существует ограниченного множества, кратные которого покрывали бы все пространство. Действительно, если для элементов ср, принадлежащих ограниченному множеству Л, мы имеем
то, очевидно, никакое' кратное множества Л не может содержать элемента <р0, для которого
IlTollp > р^р»
существование такого элемента следует из леммы п. 5.
Отсюда вытекает, далее, что всякое ограниченное множество в счетно-нормированном пространстве, не сводящемся к нормированному, нигде не плотно. Действительно,
если бы ограниченное множество Л было плотно в шаре Л ф — Фо11р<^’ т0 замыкание Л множества Л —тоже, разумеется, ограниченное множество — содержало бы этот шар. Сдвиг Лх множества Л на вектор ср0— также ограниченное множество — содержал бы шар |]<рЦр < С. Но кратные шара ||cp|]p < С покрывают всё пространство Ф. Вместе с этим и кратные ограниченного множества Лх покрывали бы все пространство Ф, что, как мы видели, невозможно).
Отсюда и из доказанного в п. 4 мы можем заключить, что полное счетно-нормированное пространство Ф (не сводящееся к нормированному) не может быть представлено в виде счетной суммы своих ограниченных подмножеств.
Ограниченные множества в общих пространствах* В дальнейшем мы будем рассматривать и более общие линейные топологические пространства, чем счетно-нормированные; поэтому уместно здесь же дать определение ограниченных множеств, которое будет годиться и в более общих случаях.
Определение. Множество Л в линейном топологическом пространстве Ф называется ограниченным, если оно поглощается любой окрестностью нуля, т. е. если для любой окрестности нуля U найдется такое число X > 0, что XAczU.
Легко видеть, что для счетно-нормированного пространства это определение совпадает с предыдущим: множество Л ограничено, если любая из норм ||ф||р ограничена на множестве Л. Действительно, если С^ = {||ср||р < е), то включение XpAczUp равносильно тому, что НИР<^- на множестве А. Р
Одна точка ср всегда есть ограниченное множество: так как Хер —> 0 при Х->0, то для любой окрестности нуля U и при достаточно малом |Х| мы будем иметь X^^U.
Легко проверяются также следующие утверждения.
. Если At и Л2— ограниченные множества в линейном топологическом пространстве, то объединение
Л — Лх U ^2 и арифметическая сумма В.— Ах-\-А^ суть также ограниченные множества»
Действительно, если U — заданная окрестность нуля, то существуют Хг и Х2 такие, что ^A^U и Х2Л2с=6/. Полагая Х = min(X1} Х2), мы будем иметь \AczU. Далее, построим окрестность W такую, что W -\-WaU; найдутся Хг и Х2, для которых Х^сиР, X2t42czW; тогда, очевидно, при X^min^, Х2) мы будем иметь \BcU.
В частности, при Л2, сводящемся к одной точке, мы. получаем, что всякий сдвиг ограниченного множества на фиксированный элемент есть ограниченное множество.
Последовательность фр ср2, . . ., сходящаяся к элементу ср линейного топологического пространства Ф, всегда ограничена.
Для доказательства воспользуемся тем, что внутри любой окрестности нуля V можно указать нормальную- окрестность нуля U, т. е. такую, которая содержит все свои кратные aU с |а|<Д (§ 1, n. 1). (Отсюда следует, что всегда при проверке ограниченности того или иного множества достаточно рассматривать только нормальные окрестности нуля.)
Предположим сначала, что ср = О. Если U— некоторая нормальная окрестность нуля, то для некоторого номера ^ мы имеем ^^^U при v > v0. Найдем такое положительное Х<1, чтобы иметь Хср^С^, . .., X^o^U. Поскольку U нормальна, мы будем иметь также Xcpv£l/ при v > v0. Поэтому Xcpv£l/ при всех v, что и требуется. Поскольку сдвиг ограниченного множества на фиксированный элемент приводит снова к ограниченному множеству, мы получаем,, что и в общем случае последовательность cpv ограничена, что и утверждалось.
Замыкание ограниченного множества в линейном топологическом пространстве есть ограниченное множество»
При доказательстве мы используем свойство регулярности топологического пространства (§ 1, n. 1), т. е. то свойство, что внутри любой окрестности нуля U можно указать такую окрестность нуля V, которая содержится в U вместе со своим замыканием. Пусть А—ограниченное множество, А— его замыкание, U— заданная окрестность нуля и V — окрестность нуля, которая содержится в U
вместе со своим замыканием. Найдем число X, удовлетворяющее условию \AczV. Тогда ХЛ = ХАаVaU, откуда и следует, что А ограничено.
Ограниченные множества в любом линейном топологическом пространстве характеризуются следующим условием.
Теорема. В линейном топологическом пространстве Ф множество А ограничено тогда и только тогда, когда для любой последовательности cpv£ A (v = 1, 2, . . .) 1 элементы стремятся к нулю при >оо.
Доказательство. Пусть Л ограничено, с^£Л— любая последовательность элементов и U —фиксированная нормальная окрестность нуля. Найдем номер v0, начиная с которого выполняется включение — AcU (v^v0). В частности, для этих v мы имеем ~-cpv£-^-AclU. Следовательно, последовательность ~ ^ стремится к нулю в Ф.
Предположим теперь, что А не ограничено; тогда для некоторой окрестности нуля U и любого v найдется элемент <pv из Л, не принадлежащий mU; иными словами i <pv не входит в окрестность U ни при каком v. Но это означает, что последовательность y?v не стремится к нулю в Ф, что и утверждается.
4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫИ СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Вспомним, что обобщенные функции, введенные нами в первом выпуске, были определены как линейные непрерывные функционалы на некотором основном пространстве. Задача изучения обобщенных функций, таким образом, есть задача об изучении линейных непрерывных функционалов. Ве настоящем параграфе мы рассмотрим линейные непрерывные функционалы на общих линейных топологических пространствах и, в частности, на счетно-нормированных пространствах.
Определение. Числовая функция /(<?) = (/,<?), определенная в линейном топологическом пространстве Ф, называется линейным непрерывным функционалом, если удовлетворяются следующие условия:
для любых чисел at и а2
(Л ЗД + а2ср2) = о^ (/, (р^ + Ш Фг) (линейность);
в частности, (/, 0) = 0;
для любого s>0 можно указать такую окрестность нуля U, что при ^^U
I (Л ?) I < 8 (непрерывность )).
Последнее неравенство показывает, что всякий линейный непрерывный функционал ограничен на некоторой окрестности нуля. Обратно, можно утверждать, что любой линейный функционал, ограниченный на некоторой окрестности нуля, непрерывен. Действительно, если линейный функционал / на окрестности нуля U ограничен по модулю числом М, то для заданного е>0 легко указать окрестность нуля, в которой он не превосходит по модулю числа е: в качестве такой окрестности достаточно взять
М
Пример. Рассмотрим в пространстве К(а) бесконечно дифференцируемых функций <р(х), обращающихся в нуль вне отрезка |x|^s, функционал
а
(/,?)= /(1)
—а
где р(х)— функция с ограниченным изменением, т— фиксированное число. Функционал (1), очевидно, линеен.
Покажем, что функционал (1) непрерывен. Рассмотрим окрестность нуля
ll?U=max{|®(x)|, ..., |«<’»)(х)|} <е.
В пределах этой окрестности значения функционала / ограничены:
I (/, ?) I ^ max I ?(w) W I * var ^ (х) < е var р, (х);
отсюда, как мы видели, следует непрерывность функционала.
Несколько ниже (п. 3) мы покажем, что формула (1) дает общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве К (а).
В счетно-нормированном пространстве Ф, как мы знаем, определяющую систему окрестностей нуля образуют шары ||<?||р<е. Но ограниченность функционала на такой окрестности нуля равносильна его ограниченности по норме || . ||р, т. е. неравенству
к/, ^KCkllp-
Таким образом, каждый линейный непрерывный функционал / на счетно-нэрмированном пространстве Ф ограничен по некоторой норме ||.||р. Наименьшее р называется порядком функционала /. Очевидно, что и обратно, если линейный функционал / на Ф ограничен по некоторой норме, то он непрерывен.
В пространствах с 1-й аксиомой счетности, где топология описывается с помощью (счетных) сходящихся последовательностей, естественно дать определение непрерывности линейного функционала «по последовательностям». Возможность этого устанавливает следующая простая теорема.
Теорема. Для непрерывности линейного функционала / необходимо и (в пространствах с 1-й аксиомой счетности) достаточно, чтобы из lim ©v = 0 следовало Игл (/, ^) = 0.v>°°
V -> ОО
Доказательство. Необходимость. Пусть ф^->0и задано е > 0; пусть, далее, U — окрестность нуля пространства Ф, в которой | (/, у) | <^ е; начиная с некоторого v = v0, мы имеем фу € U, откуда | (/, cpv) | <Л, что и требуется.
Достаточность. Пусть из lim ^v = 0 всегда следует ^lim (/, <р^) = 0; покажем, что функционал / непрерывен. Если это
4 Зак. 2669 И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов
5050гл. 1. линейные топологические пространства
50
50
не так, то функционал / не ограничен ни в какой окрестности нуля. Рассмотрим счетную определяющую систему Uy ZD U^ ZD .. .о О U^ZD ... окрестностей нуля и найдем в окрестности Щ элемент у^, для которого |(/, у J | > L Последовательность ^^ стремится к нулю, но Иш (/, yJ^O, в противоречие с предположением. Значит, функционал / ограничен на некоторой окрестности нуля и, следовательно, непрерывен.
Вопрос о существовании линейных непрерывных функционалов. Вообще говоря, в произвольных линейных топологических пространствах может не существовать ни одного нетривиального (т. е. не тождественно равного нулю) линейного непрерывного функционала.
В нормированных пространствах существование нетривиального функционала (отличного от нуля на заданном элементе ср + 0) является следствием известной теоремы Хана—Банаха) о продолжении на все пространство ограниченного линейного функционала, заданного на произвольном подпространстве.
В счетно-нормированном пространстве Ф для каждого отличного от нуля элемента ср также существует линейный непрерывный функционал, отличный от нуля на ср. Это следует из того, что к счетно-нормированному пространству также может быть применен процесс Хана—Банаха. Действительно, пусть //сзФ — подпространство, на котором задан ограниченный линейный функционал /. Пространство Н, как часть счетно-нормированного пространства Ф, есть также счетно-нормированное пространство (с теми же нормами). Ограниченный функционал / ограничен в пространстве Н по некоторой его норме, например Цф||р (см. n. 1). Но эта норма задана и во всем пространстве Ф. Применяя здесь теорему Хана—Банаха, мы можем продолжить функционал / с подпространства Н на все пространство Ф так, что он останется ограниченным по р-й норме. Тем самым он будет ограниченным на Ф и, следовательно, непрерывным.
Сопряженное пространство. Линейные функционалы на линейном топологическом пространстве Ф можно в свою
очередь складывать и умножать на числа, по естественной формуле
(«1/1+ “2/г. ?) = “1(/1. ?) + «2(/2. ?)•(1)
Очевидно, что функционал 0.^14" a2f2» определенный равенством (1), является снова линейным непрерывным функционалом.
Таким образом, совокупность всех линейных непрерывных функционалов над пространством Ф снова образует линейное пространство. Мы будем его называть сопряженным к Ф и обозначать через Ф'.
Если Ф — нормированное пространство, то, как известно, Ф' — полное нормированное пространство с нормой
11/11 = sup К/, ф) 1-
П ф II С 1
Если Ф — не нормированное, но счетно-нормированное пространство, то структуру сопряженного пространства Ф можно описать следующим образом.
Как мы выяснили в n. 1, каждый линейный непрерывный функционал на пространстве Ф имеет конечный порядок, т. е. ограничен по некоторой норме |]. \\р;
К/. ?)1<с|мР.
Совокупность всех линейных непрерывных функционалов порядка ^ р, т. с. функционалов, непрерывных по норме пространства Ф^, образует в Ф подпространство Ф^; это подпространство является сопряженным к нормированному пространству Ф^ и поэтому представляет собой полное нормированное пространство. Мы, таким образом, имеем:
®'=U<<2)
p=i
Очевидно, что линейный функционал порядка р ограничен и на шарах ||<p|lp+i < 1 > ||?|1р+2 ^ * • • • • "• поэтому функционал порядка р принадлежит также пространствам Фр+i. Фр+2> • • • Мы получаем цепь включений
(3)(3)Ф^сФгС ... сФ^с ...сФ'.
(3)
(3)
Функционал / порядка р как элемент нормированных пространств Ф^, Ф^+ь • • • имеет в них соответственно нормы
11/11,,= sup |(/-?)|- ll/llp+i = sup К/, <р)|, ...; 11т11^<1 ll-pll^+i^ 1
очевидно, чтоочевидно, что11/1111/1111/11 р+111/11 р+1(4)(4)
очевидно, что
очевидно, что
11/11
11/11
11/11 р+1
11/11 р+1
(4)
(4)
Можно было бы начать эту цепь неравенств со значения р = 1, условно полагая ||/h= IlZlla = • • • = ll/ll p-i = схэ.
В итоге мы получаем: пространство Ф', сопряженное к счетно-нормированному пространству Ф, есть объединение расширяющейся последовательности полных нормированных пространств со все более слабыми нормами.
(р = 0, 1, 2, ...)•(р = 0, 1, 2, ...)•Пример. Найдем общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве К (а) всех бесконечно дифференцируемых функций ср(х) на прямой —оо < х < оо, обращающихся в нуль вне отрезка | х | <^ а. Как мы видели в п. 3 § 3, /С(я)— полное счетно-нормированное пространство с нормами
(р = 0, 1, 2, ...)•
(р = 0, 1, 2, ...)•
||?11р= max {|®(х)||?(P)W|}
1 ж I < а
По доказанному каждый линейный непрерывный функционал на пространстве К (а) одновременно является линейным непрерывным функционалом на нормированном пространстве Кр(а), полученном при пополнении пространства К (а) по некоторой норме ЦфИр. Поэтому задача сводится к определению общего вида линейного непрерывного функционала в пространстве Кр(ау Это пространство, как было показано в § 3, состоит из всех функций ф(х), обладающих непрерывными производными до порядка р и обращающихся в нуль вне отрезка |х|^л. Если мы поставим в соответствие каждому элементу ср(х) пространства Кр(а) непрерывную функцию ф (л) = ср(^ (л:), то мы получим отображение пространства Кр(а) на часть пространства С (а) всех непрерывных функций на отрезке | х | ^ а. Неравенство
ll?llp= max {| ® (х) ||<р№(л:)|} <
<^ С шах {|(х) |} = С шах | ф (х) | ^ С || ср || р
показывает, что это отображение взаимно однозначно и взаимно непрерывно и что образ пространства Кр(а) изоморфен некоторому замкнутому подпространству пространства С (а). Поэтому линейный непрерывный функционал (/, ср), определенный на пространстве Кр(а), порождает вместе с тем и линейный непрерывный функционал (g, ф) = (/, ср) на указанном подпространстве пространства С (а).
По теореме Хана — Банаха этот функционал может быть распространен на все пространство С (а). Применяя теперь теорему Рисса ), получаем, что рассматриваемый функционал может быть записан в виде
а
-а
где ^ (х)— некоторая функция с ограниченным изменением. Итак, мы получаем формулу
а
(Л ?) = (g. Ф) = J" СО (х),
-а
которая даст общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Кр(а). Эта же формула при различных р и |i(x) дает и общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве /С(я).
Используя представление пространства К(^) как пересечение нормированных пространств других типов, можно получить и другие формы линейных функционалов на этом пространстве. Мы вернемся к этому вопросу с более общих позиций в гл. II.
Для пространства К (а) всех бесконечно дифференцируемых функций п переменных xv ..., хн (§ 3, п. 3), обращающихся в нуль вне области Оа — { |xt | av . .. • • •»I хп | ^ ^п}» аналогичное рассуждение ) приводит
к следующей общей форме линейного непрерывного функционала:
o’ дх?...дх£ аo’ дх?...дх£ аdp,dp,
o’ дх?...дх£ а
o’ дх?...дх£ а
dp,
dp,
где р,— некоторая вполне аддитивная функция множеств в области Оа.
Связь между непрерывностью линейного функционала и его ограниченностью на ограниченных множествах. Как известно, в определении линейного непрерывного функционала в нормированном пространстве условие непрерывности можно заменить условием ограниченности значений функционала в единичном шаре. Иными словами, в нормированном пространстве линейный функционал непрерывен, если он ограничен в единичном шаре, и обратно.
Желая перенести это свойство на более общие пространства, мы прежде всего заметим, что здесь, вообще говоря, уже нельзя указать одного такого подмножества, ограниченность на котором гарантировала бы непрерывность линейного функционала. Вместо одного подмножества здесь следует рассматривать все семейство ограниченных подмножеств.
Напомним, что в общем линейном топологическом пространстве ограниченным называется всякое множество В, которое после умножения на некоторое число К > 0 попадает в любую наперед заданную окрестность нуля.
Теперь рассмотрим, как связаны линейные непрерывные функционалы с ограниченными множествами • пространства Ф.
Всякий линейный непрерывный функционал f ограничен на каждом ограниченном множестве В.
Действительно, функционал / ограничен на некоторой окрестности нуля U, так что
|(/, ?)1<С
при ^^U. Поскольку В ограничено, для некоторого Х>0 мы имеем:
McU, В<=1-и.
Поэтому для '1£Вс--И
К/, <?)1<|с,что и требовалось.
Если в пространстве Ф выполнена 1-я аксиома счетности (т. е. имеется счетная определяющая система), то всякий линейный функционал, ограниченный на каждом ограниченном множестве, непрерывен.
Действительно, пусть Uy^dU^td . .. tdUptd . . . —счетная определяющая система окрестностей нуля пространства Ф. Если функционал / нс непрерывен, то на каждой из этих окрестностей он не ограничен; в окрестности U^ можно указать точку cpv так, что | (/, срД | > v. Последовательность cpv стремится к нулю и потому ограничена; по предположению, последовательность чисел (/, срД должна быть ограниченной-, что по построению не имеет места. Полученное противоречие показывает, что функционал / непрерывен, что и требовалось.
Функционал, ограниченный на каждом ограниченном множестве, мы будем называть ограниченным. Таким образом, в пространстве с 1-й аксиомой счетности линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Пример. Рассмотрим вопрос о непрерывности прямого произведения функционалов /(л) и g (у) (выпуск 1, гл. I, § 4). Напомним относящиеся сюда определения. Рассматриваются пространства Кх (^), Ку (и), Кху (я) финитных бесконечно дифференцируемых функций, зависящих соответственно от аргументов х, у или от пары х, у, | х | <; а, | у | С а. Берется функционал / (х\ действующий в пространстве Кас (а), и функционал g (у), действующий в пространстве Ку (а). Функционал h (х, у), определенный в пространстве КЖу (а) по формуле
(й, ¥ (х, у)) = (/ (х), (g (у), ¥ ^, У) ) ), (1) называется прямым произведением функционалов f (х) и g (у)* Заметим, что формула (1) имеет смысл, поскольку функция (£■ (У), ср (.г, У) ) = Y W как функция от х, очевидно, финитна и бесконечно дифференцируема. Очевидно также, что функционал h, задаваемый формулой (1), есть линейный функционал. Покажем, что этот функционал является и непрерывным. Достаточно показать, что он ограничен, т. е. что он переводит ограниченное множество функций <р (х, у) в ограниченное множество чисел. Для этого достаточно показать, что ограничено в пространстве Кх (#) множество функций (^ (у), <р (х, у)) = Ф (х). В свою очередь это
56 ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5 означает, что при любом р ограничены равномерно по х выражения В^ф W — te(y)’ ^^ (х, у)). Но ограниченность множества функций ? (^ У) € Кху W означает ограниченность величин sup I Dp у (х, у) I ж, у
при любом р. Отсюда следует, что множество функций D^ (х, у) как элементов пространства Ку (я) ограничено в этом пространстве; поэтому оно переводится ограниченным функционалом g (у) в равномерно ограниченное (по х) множество чисел (^ (у), D^ (х, у)), что и требуется.
Характеристика ограниченного множества в счетно- нормированном пространстве. В предыдущем пункте мы видели, что в линейном топологическом пространстве линейный непрерывный функционал ограничен на каждом ограниченном множестве. В этом пункте для счетно-нормированных пространств мы докажем обратную теорему, которая даст нам тем самым новую характеристику ограниченных множеств в счетно-нормированном пространстве.
Покажем сначала, что в нормированном пространстве Ф множество В ограничено, если на нем ограничен каждый линейный непрерывный функционал.
Достаточно показать, что на В ограничены постоянной 1 все функционалы, по норме не превосходящие некоторого е > 0. Действительно, пользуясь теоремой Хана — Банаха, для любого элемента ф^В можно построить линейный непрерывный функционал / такой, что [|/|| =г, (/, ф) = з||ф||; если сформулированное выше утверждение доказано, то мы должны иметь (/, ф) = зЦсрЦ ^1, откуда IM<Y’ чт0 и требуется.
Рассмотрим совокупность F всех функционалов /, для которых имеет место неравенство
К/. ?)|<1
при всех ф^В.
Совокупность F обладает следующими свойствами:
F замкнута (по норме) в пространстве Ф';
F выпукла: если / = фсА+А)- /i^F, f^F, то К/. ?)| = |(|(/1+/2). ?)| =
=4l(/v ?)+(А, ?)|<||(/1. ?)|+4кА. ?)1<1;
каждый функционал /£Ф', будучи умножен на достаточно малую постоянную X > 0, попадает в совокупность F.
Действительно, по условию функция (/, ср) ограничена на множестве В; если, для определенности, | (/, ср) | <^ С на множестве В, то, очевидно, I 1 на В, откуда
Так как пространство Ф' нормировано, то можно применить лемму и. 4 § 3, которая приводит к выводу, что совокупность F содержит некоторую окрестность нуля пространства Ф\ Если F содержит, например, сферу ||/|| е, то это означает, что всякий функционал / с нормой, не превосходящей е, ограничен на множестве В единицей. Как мы видели, этого факта достаточно для доказательства справедливости теоремы.
Теперь покажем, что аналогичный факт справедлив и для счетно-нормированного пространства.
Если ни подмножестве В счетно-нормированного пространства Ф значения всякого линейного непрерывного функционала ограничены, то В ограничено в Ф.
Достаточно показать, что на В ограничена норма [|. [|р при любом фиксированном р. Можно рассматривать В как подмножество нормированного пространства Фр. По условию, на В ограничены все линейные непрерывные функционалы, в частности, все функционалы порядка р, которые составляют пространство Ф^, сопряженное к Ф^,. Но тогда множество В ограничено в Фу, это означает, что Ц <р П^, ограничены при ^£В, что нам и требовалось.
5. ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Одной из основных операций, которые мы производили с обобщенными функциями (выпуск 1), был предельный переход. Мы говорили, что последовательность обобщенных функций /v сходится к обобщенной функции /, если для любой основной функции ср имеет место соотношение
(/,
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об определении топологии, и в частности об определении предельного
перехода, в пространстве Ф' линейных непрерывных функционалов на линейном топологическом пространстве Ф.
Эта общая постановка, в частности, позволит получить доказательство теоремы о полноте пространства обобщенных функций относительно указанной выше сходимости — теоремы, которая неоднократно использовалась в выпуске 1, но не была там доказана. В этом параграфе мы получим доказательство аналогичной теоремы для пространств, сопряженных к счетно-нормированным; в § 8 мы докажем ее и для более общего случая объединений счетно-нормированных пространств; в частности, отсюда будет вытекать ее справедливость и для пространства К' обобщенных функций, рассмотренного в выпуске 1.
Итак, наша задача — ввести топологию в пространство Ф' линейных непрерывных функционалов на данном линейном пространстве Ф.
Оказывается, что в пространстве Ф' можно вводить топологию различными способами. Главнейшими являются сильная и слабая топология.
Сильная топология. Рассмотрим сначала случай пространства Ф', сопряженного к нормированному пространству Ф. Пространство Ф' в этом случае — также нормированное (полное) пространство с нормой
11/11= sup |(/, ф)|. (1)
||ф||<1
Норма (1) и задает в пространстве Ф' сильную топологию.
Каждая окрестность нуля в этой топологии может быть задана как совокупность всех/£ Ф', для которых | (/, ср) | < е, когда ср пробегает единичный шар {Цф||С1} в пространстве Ф.
В общем случае линейного топологического пространства Ф вместо единичного шара Цф||^1 следует рассматривать всевозможные ограниченные множества в пространстве Ф. Это, естественно, приводит нас к следующему определению системы окрестностей в пространстве Ф', задающей сильную топологию.
Определение. Сильная окрестность нулевого функционала 0 задается с помощью любого ограниченного множества Лс=Ф и ak)6o^q числа е<0 как совокупность
всех /^Ф\ для которых
suptp|(/, ср) | < е при всех ср^Л.
Проверим выполнение-аксиом IV.10—IV.7° окрестностей нуля линейного топологического пространства (§ 1, п. 2).
Аксиома IV.1° требует, чтобы пересечение двух окрестностей U и V содержало третью окрестность W. Пусть U определяется ограниченным множеством Л^сФ и числом £^>0 и, аналогично, V определяется множеством Лр с: Ф и числом £у>0. Построим ограниченное множество А как объединение АП и Ау и определим окрестность W как совокупность тех /СФ', Ддя которых
| (/, <р) | < min (е^, £у) для всех у С Л.
Очевидно, что W содержится в пересечении U и V.
Аксиома IV.2° требует, чтобы для любой точки /о^О нашлась окрестность, не содержащая функционала /0. Такую окрестность можно задать следующим образом: взять элемент <р0, для которого (/о, Фо)1?^ например (/0, уо) = а=^О, и определить окрестность С7 неравенством
к/. ^к^1.
Очевидно, что окрестность U удовлетворяет условию.
Аксиома IV.3° требует, чтобы для любой окрестности U нашлась окрестность V такая, что УзЬ^с^. Если U определяется ограниченным множеством Л^сФ и числом £>0, то окрестность V можно задать тем же множеством А^ и числом ™.
Аксиома IV.4° требует, чтобы для любой окрестности U и любого f^U существовала такая окрестность У, что j- -\-V cz U. Пусть U определяется ограниченным множеством Л^ и числом е^. Так как sup | (/, <р) | = tq <, то достаточно определить окрест
ность V тем же множеством А у и числом г у— тр
Аксиома IV.5° требует, чтобы для любой окрестности U и любого числа а существовала окрестность V такая, что aVczU. Если U определяется множеством Л^сФ и числом е > 0, то
V можно задать тем же множеством АТТ и числом —.
Аксиома IV.6° требует, чтобы для любой окрестности U и любого функционала / нашлось такое число т]>0, чтобы bf^U при | 6 | < ц. Пусть окрестность U задана ограниченным множеством Л^сФ и числом е > 0. Функционал /, как непрерывный функционал, ограничен на множестве А у некоторым числом С. Очевидно, что функционал -^/ ограничен на множестве А
ЧИСЛОМ Е. Поэтому При | 0 I < V] = ^ функционал о/ входит в окрестность U.
" Аксиома IV.7° требует, чтобы для любой окрестности U существовало такое число ^>0, что WaU при | о |< ?]. Эта аксиома выполняется в данном случае с ц = 1; очевидно, что все введенные нами окрестности нуля в пространстве Ф нормальны.
Сильная топология, вообще говоря, уже не может быть задана указанием счетного базиса окрестностей нуля, и поэтому описание предельного перехода с помощью счетных последовательностей не будет полным эквивалентом топологических соотношений*); тем не менее, счетные последовательности будут играть в дальнейшем важную роль.
Сходимость (счетных) последовательностей, определяемая сильной топологией в Ф', называется сильной сходимостью. Другими словами, последовательность функционалов fv f^ •••> J\> ••• сильно сходится к функционалу /, если (/v, ср) сходится к (/, ср) равномерно на каждом ограниченном множестве элементов ср из Ф.
Как известно, в случае пространства Ф', сопряженного к нормированному пространству Ф, имеет место полнота относительно сильной сходимости. Аналогичный факт справедлив и в случае пространства Ф', сопряженного к общему линейному топологическому пространству Ф, в предположении, что в Ф выполнена 1-я аксиома счетности. Естественно, что мы называем пространство Ф' полным относительно сильной сходимости, если всякая сильно фундаментальная (счетная) последовательность /п /2, . . ., f^,... сильно сходится к некоторому функционалу /. При этом последовательность /v называется сильно фундаментальной, если последовательность чисел (/v, ср) сходится для каждого элемента ср, и притом равномерно на каждом ограниченном множестве.
Теорема. Если в пространстве Ф выполнена 1-я аксиома счетности, то пространство Ф' полно относительно сильной сходимости.
Доказательство. Пусть fv f2, . . ., /v, . .. — сильно сходящаяся последовательность функционалов. Тогда, в частности, при каждом ср из Ф существует предел последовательности (/v, ср) (v=l, 2, ...); обозначим этот предел через (/, ср).
Величина (/, ср), очевидно, есть ллнейный функционал на Ф; проверим, что этот функционал непрерывен. Достаточно показать, что (/, ср) ограничен на каждом множестве ЛсФ. Но на каждом таком множестве А функции (/v, ср) ограничены и сходятся к (/, ср) равномерно; поэтому предельная функция (/, ср) также ограничена на А, что и требовалось.
Сильно ограниченные множества. Сильная топология в пространстве Ф' позволяет выделить в этом пространстве соответствующий класс ограниченных множеств, которые мы будем называть сильно ограниченными. Именно, в соответствии с общим определением ограниченного множества (§ 3, п. 8) мы будем называть множество ВсФ7 сильно ограниченным, если любая сильная окрестность нуля ОсФ' поглощает множество В, т. е. найдется X > 0, при котором YB^U.
Можно дать и несколько менее формальное определение сильно ограниченного множества. Для этого условимся, что множество функционалов В мы будем называть ограниченным на множестве А основных элементов, если числа К/, ?) I ограничены в совокупности, когда / пробегает множество В, а ср пробегает множество А.
Теперь покажем, что множество В сильно ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено на каждом ограниченном множестве А.
Действительно, пусть ВсФ7 сильно ограничено и пусть дано ограниченное множество ЛсФ. Рассмотрим сильную окрестность UсФ7, образованную из тех/£Ф', для которых
supv I (/, ?) I < 1
при ср£Д. По условию, найдется X > 0, при котором \BczU. Это означает, что для любого f^B мы имеем [(X/, SP) 1 < 1 • Но тогда для всех f^B, ср^Д
62 гл. i. линейные Топологические пространства [2 т. е. множество В ограничено на ограниченном множестве Л.
Обратно, пусть множество ВсФ7 ограничено на любом ограниченном множестве ЛсФ. Покажем, что В сильно ограничено. Пусть задана сильная окрестность нуля U в пространстве Ф7. Это значит, что заданы ограниченное множество ЛсФ и число е > 0; окрестность U состоит из тех /^Ф7, для которых при ф^Л
sup? I (/, <р) I < е.
На множестве Л числа |(/, ф) | для f^B, по условию, ограничены, например, постоянной С. Но тогда для f^B
I^C7’ ^2C — 2 •
Таким образом, при Х = ^ получаем XBcU, что и требуется.
Следующая лемма, справедливая при выполнении в пространстве Ф 1-й аксиомы счетности, весьма полезна; она показывает, что семейство функционалов /, входящих в сильно ограниченное множество ВаФ', ограничено не только на ограниченных множествах ЛсФ, но и на некоторой окрестности нуля в пространстве Ф (отнюдь не на всякой окрестности). Напомним, что окрестности нуля, — вообще говоря, неограниченные множества.
Лемма. Если Ф удовлетворяет \-й аксиоме счетности, то всякое сильно ограниченное множество ВсФ7 ограничено на некоторой окрестности нуля пространства Ф.
Доказательство. Пусть UxzdU^zd...—определяющая система окрестностей нуля в пространстве Ф. Если утверждение леммы не выполнено, то для каждого v мы сможем указать точку фv в окрестности U^ и функционал f^^B такие, что | (/v, фv)|>v. Последовательность фv (v=l, 2, . . .) стремится к нулю и потому ограничена. В силу полученной только что характеристики ограниченных множеств в пространстве Ф7 мы должны иметь | (/, фу) | ^ С для всех f^B, Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы.
Обращение этого утверждения справедливо без всяких предположений счетности: если множество ВаФ7 ограни-
чено на некоторой окрестности нуля U пространства Ф, то оно ограничено на любой области W, а следовательно, и на любом ограниченном множестве пространства Ф.
Сильно ограниченные множества в пространстве, сопряженном к счетно-нормированному. Полученные результаты позволяют, в частности, полностью описать сильно ограниченные множества в пространстве, сопряженном к счетно-нормированному пространству. Вспомним, что всякое (полное) счетно-нормированное пространство Ф есть пересечение убывающей последовательности нормированных пространств
Ф^ФзЗ). . . =)Фр=). . . =)Ф,
а сопряженное пространство Ф' есть объединение возрастающей последовательности полных нормированных пространств Фр, сопряженных к пространствам Фр:
Ф^ Ф2С . . . сФ^с . . . сФ7.
Структура сильно ограниченных множеств в пространстве Ф' описывается следующей теоремой.
Теорема. Если Ф — счетно-нормированное пространство, то множество ВаФ' сильно ограничено тогда и только тогда, когда В содержится в некотором Фр и ограничено по его норме. '
Доказательство. Пусть множество В удовлетворяет указанному условию, т. е. принадлежит пространству Фр, и ограничено по его норме. Рассмотрим окрестность U нуля пространства Ф, определяемую неравенством
kll^i.
Если В ограничено по норме Фр числом Af, то согласно определению нормы в пространстве, сопряженном к нормированному, имеет место неравенство
К/, ?)|<Л1(
если ^^U, f^B. Таким образом, В ограничено на некоторой окрестности нуля пространства Ф и поэтому сильно ограничено (п. 2).
Обратно, пусть В сильно ограничено. Тогда в силу леммы 1 имеется окрестность U нуля пространства Ф, определяемая, например, неравенством
llvllp <: в,
в которой функция sup | (/, ср) | ограничена, например, КВ
числом М. Это означает, что каждый функционал f^B ограничен на окрестности U числом М. Но тогда функционал / принадлежит к пространству Ф^ и имеет в нем норму < —» что нам и требовалось.
Слабая топология. Переходим теперь к определению слабой топологии в пространстве Ф'. Эта топология отвечает сходимости функционалов на каждом элементе основного пространства Ф.
Определение. Слабая окрестность нуля в пространстве Ф' задается с помощью любого конечного множества срп ф2, . . ., ф^ элементов пространства Ф и любого числа е>0 как совокупность всех /£ФХ, для которых
К/, ?1)1<еК/. ?т)1<е.
Проверка выполнения аксиом 1° — 7° п. 2 § 1 проводится так же, как и для сильной топологии, с заменой ограниченных подмножеств пространства Ф конечными подмножествами.
Всякое слабо открытое множество является открытым и в сильном смысле. Достаточно проверить это для слабой окрестности нуля. Если дано любое ограниченное множество А элементов ф£ Ф, то совокупность всех функционалов /, удовлетворяющих неравенствам
sup¥ К/, ®)| < е, ср^Л,(1)
согласно определению, есть сильная окрестность нуля в пространстве Ф'; в частности, если в качестве множества А мы берем конечное множество элементов фр ф2, . . ., ^т) то также получается некоторая сильная окрестность нуля; поэтому слабая окрестность нуля, выделяемая неравенствами (1), когда ф пробегает конечное множество элемен-
тов, является сильной окрестностью нуля, а потому и сильно открытым множеством.
И эта топология не удовлетворяет, за исключением тривиальных случаев, 1-й аксиоме счетности, так что в ней предельные соотношения не могут быть полностью описаны на языке последовательностей. Соответствующая сходимость (счетных) последовательностей все же играет большую роль; она называется слабой сходимостью. Очевидно, что слабая сходимость есть сходимость на каждом основном элементе; иначе говоря, последовательность функционалов Д слабо сходится к функционалу / тогда и только тогда, когда для любого <р^Ф имеет место предельное соотношение
(Л. ?)-+(/, ?)•
В нормированных пространствах справедлив следующий критерий слабой сходимости линейных функционалов: последовательность Д£ Ф' слабо сходится к нулю тогда и только тогда, когда функционалы Д (v=l, 2, . ..) ограничены по норме и соотношение lim (Д, ср) = 0 выполняется по крайней мере для элементов ср, принадлежащих к некоторому плотному в Ф множеству Л.
Оказывается, что аналогичный критерий справедлив и в счетно-нормированных пространствах. Достаточность соответствующих условий утверждается следующей леммой.
Лемма. Пусть дана сильно ограниченная последовательность линейных непрерывных функционалов j\, определенных в счетно-нормированном пространстве Ф. Пусть известно, что для всех элементов некоторого плотного множества ЛсФ числа (f^, ср) стремятся к нулю. Тогда числа (Д, ср) стремятся к нулю при любом ср£Ф.
Доказательство. Как мы показали в п. 3, сильно ограниченная последовательность Д содержится в некотором Ф^ и ограничена в нем по норме. Пусть, например, ЦДЦр^Ж. Множество А плотно в Ф по топологии Ф, в частности, по норме |]^||р; для заданного <р£Ф и е>0 всегда можно найти такое <р6£Л, что || ср— ^ellp^^-
Найдем номер м0 так, чтобы при v > v0 иметь |(Д, ?е)|
5 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
Тогда для v > v0 мы получим:
|(/„ ^^КЛ, ?е) + (А> ф— ?е)1<у+Л1 • 2^ = 5, откуда
lhnj/v, ?) = О, что и требовалось. Необходимость этих условий мы установим несколько позже.-
б. Слабо ограниченные множества. Слабая топология в пространстве Ф' позволяет выделить соответствующий класс «слабо ограниченных» множеств: множество ВсФ' называется слабо ограниченным, если для любой слабой окрестности нуля исФ' найдется X > 0, при котором \BczU.
Но оказывается, что для пространств, сопряженных к счетно-нор миро ванным, мы не получаем здесь нового класса множеств: класс слабо ограниченных множеств совпадает с классом сильно ограниченных множеств. Подобный факт имеет место и для нормированных пространств, где он играет фундаментальную роль при изучении сопряженного пространства.
Очевидно, что всегда всякое сильно ограниченное множество ВсФ' является и слабо ограниченным, поскольку каждая слабая окрестность нуля исФ', в которую нужно перевести множество В умножением на некоторое число, является и сильной. Докажем, что в случае счетно-нормированного пространства Ф справедливо обратное: всякое слабо ограниченное множество ВсФ' является сильно ограниченным.
Достаточно показать, что слабо ограниченное множество В ограничено на некоторой окрестности нуля пространства Ф. Рассмотрим множество А всех элементов ср^Ф, для которых
К/, ?)|<1 при /^в.
Множество А обладает следующими свойствами:
А замкнуто по топологии пространства Ф (как пересечение замкнутых множеств | (/, ?)|^1 по всем /^В);
А выпукло в Ф (как пересечение выпуклых множеств |(/, ?)|^1> /€^) и Центрально симметрично;
каждый элемент ср, будучи умножен на достаточно малое X > О, попадает в множество Л. Действительно, так как множество В слабо ограничено, то числа (/, ср) ограничены для любого фиксированного ср; пусть, например, при заданном ср и всех f^B
■ К/. ?)|<С; тогда
Теперь применим лемму п. 4 § 3; в силу этой леммы множество А содержит некоторую окрестность нуля пространства Ф.
Итак, существует окрестность нуля пространства Ф, на которой функционалы /, входящие в множество В, равномерно ограничены (числом 1). Отсюда следует, что В сильно ограничено, что и требуется.
Как следствие мы получаем необходимость сформулированного выше условия слабой сходимости функционалов.
Если последовательность функционалов fv f^... J^ • • • сходится на каждом элементе ср^Ф, то эта последовательность сильно ограничена.
Действительно, последовательность /ь /2, ...,/„..., сходящаяся на каждом элементе ср, тем самым слабо ограничена. Но, по доказанному, всякое слабо ограниченное множество в пространстве Ф' является и сильно ограниченным; таким образом, последовательность {/J сильно ограничена, что и утверждается.
Теорема о полноте пространства, сопряженного к счетно-нормированному, относительно слабой сходимости. Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы о полноте пространства, сопряженного к счетно-нормированному, относительно слабой сходимости.
Теорема. Если Ф счетно-нормированное пространство, то пространство Ф' полно относительно слабой сходимости.
Иными словами, если (счетная) последовательность линейных непрерывных функционалов /, £Ф' (v = 1, 2, . . .) такова, что величины (/,, ср) при любом ср £ Ф образуют
68 ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОСТРАНСТВА [6 сходящуюся последовательность, то существует линейный непрерывный функционал /, который является слабым пределом последовательности /v при v —> сю:
(/. ?) = Дт (/„ <р).
Доказательство. Множество {/J слабо ограничено и, по доказанному, является также сильно ограниченным; следовательно (см. лемму п. 2), все функционалы /v ограничены в совокупности на некоторой окрестности U нуля пространства Ф:
кд, ?)|<с, ?е^-(1)
Определим теперь функционал / равенством
(/> ср) = Нт (/,, <р).
Очевидно, что предельный функционал / линеен вместе н функционалами /,. Покажем, что он является и непрерыв- сым функционалом. Так как на окрестности U выполняется неравенство (1), то на этой же окрестности и
К/. ?)| = Д^К^’ ^К0*
т. с. на окрестности U функционал / ограничен. Но тогда, в соответствии с n. 1 § 4, функционал / является и непрерывным, что и требуется.
Так же как выше для сильной сходимости, можно установить следующий критерий слабой сходимости функционалов в пространстве Ф', сопряженном к счетно-нормированному пространству Ф.
Теорема. Последовательность функционалов f^ 0=1, 2, . . .) слабо сходится к функционалу f тогда и только тогда, когда все f^ суть функционалы над одним и тем же нормированным пространством Фр и сходятся слабо в этом пространстве, т. е. для любых ср £ Фр имеет место соотношение
и.. ?)-*(/. ?).
Доказательство. Если/, слабо сходится к функционалу /, то она сильно ограничена и по теореме п. 3
все /v лежат в одном и том же пространстве Ф^ и ограничены по его норме. Кроме того, на плотной части пространства Фр— именно, на элементах пространства Ф — имеет место сходимость (/v, ср) к (/, ср). Поскольку Фр — нормированное пространство, соотношение
(/. V)
справедливо для всех ф£Фр.
Обратно, если функционалы /v лежат в одном и том же пространстве Ф^ и для любого ф^Фр имеет место соотношение
(/. (/„ ср),
то оно имеет место, в частности, и для всех элементов пространства ФсФр; но это и означает, что последовательность /v слабо сходится к функционалу / в пространстве Ф'.
Слабая и сильная топологии в исходном пространстве. После того как мы рассмотрели два типа топологии в сопряженном пространстве, «наведенной» исходным пространством Ф, естественно, встает вопрос, что получится, если эту конструкцию «обернуть»: определить на основном пространстве Ф слабую и сильную топологию, используя ограниченные множества сопряженного пространства. (В случае счетно-нормированного пространства Ф нет разницы между сильно и слабо ограниченными множествами в Ф'; в общем случае под ограниченными множествами в Ф' мы будем иметь в виду сильно ограниченные множества.) Действуя по аналогии с n. 1, мы вводим следующие определения.
Сильная топология задается следующей системой окрестностей нуля. Каждая окрестность нуля определяется числом е > 0 и ограниченным множеством В в сопряженном пространстве, как совокупность основных элементов ср, для которых
supy>)(/, ср)| < е при всех f^B.
Слабая топология задается аналогично, но с заменой ограниченных множеств в сопряженном пространстве
конечными множествами. Иначе говоря, слабая окрестность нуля определяется числом е > 0 и фиксированными функционалами /р ..., fm как совокупность всех ср^Ф, для которых
I (/1. <р) 1У)|<$-
В общем случае три топологии в пространстве Ф—исходная, сильная и слабая — различны.
Покажем, что если Ф—счетно-нормированное пространство, то сильная топология в этом пространстве совпадает с исходной.
Напомним, что (полное) счетно-нормированное пространство представимо в виде пересечения нормированных пространств
Ф1=эФ22Э . . . =)Фр=) . . . =)Ф,
где Фр есть пополнение пространства Ф по р-й норме. В то же время сопряженное пространство Ф' есть объединение сопряженных пространств
Ф^сФгС . . . сФ^с . . . сФХ.
Каждое ограниченное множество ВсФ7 содержится целиком в одном из пространств Фр и ограничено в Фр по его норме.
Рассмотрим какую-нибудь из окрестностей нуля пространства Ф исходной топологии; она задается неравенством
1Ы1Р<г(1)
(нормы предположены упорядоченными Н||i <^Н||2 ^ • • • )• N ы утверждаем, что эта же окрестность может быть описана и неравенством
SUpf|(/, <р)| < 8,(2)
где функционал / пробегает единичный шар в пространстве Фр.
Действительно, если ПУЦр-^ 1> ||?11р<£, то и
supr|(/, <p)Ksup/.||/||p||<p||p<8;
с другой стороны, ДЛЯ ВСЯКОГО ср С нормой |М|р^>£ можно
построить по теореме Хана—Банаха функционал /£Ф^ с ll/llp=h для которого
К/, ?)l=ll/llpll?llp>B.
так что неравенством (2) описываются только элементы ср из взятой окрестности нуля (1). Итак, взятая окрестность нуля (1) в исходной топологии совпадает с окрестностью нуля (2) в сильной топологии.
Покажем теперь, что всякая сильная окрестность нуля содержит внутри себя окрестность нуля в исходной топологии. В самом деле, сильная окрестность нуля (7сФ задается неравенством
supr | (/, ср) | < е, (3)
где / пробегает ограниченное множество в Ф', т. е., как мы видели, ограниченное по норме, например числом Л4, множество в пространстве Ф^.
Мы можем только уменьшить множество, выделяемое неравенством (3), если заставим функционал / пробегать полный шар радиуса Л4 в пространстве Ф^. Обозначим через V множество основных элементов, выделяемое неравенством (3) при этом условии. Это же множество V получится, если функционал / будет пробегать единичный шар в пространстве Ф^, а неравенство (3) заменить неравенством
suPr I (Л ¥) I • (4)
Но, как мы уже видели, неравенство (4) определяет некоторую окрестность нуля пространства Ф в исходной топологии. Итак, внутри любой сильной окрестности нуля можно указать исходную окрестность нуля.
В силу критерия эквивалентности двух систем окрестностей нуля (§ 1, п. 2) сильная топология совпадает с исходной, что и утверждалось.
В частности, сильная сходимость последовательности элементов cpv (v=l, 2, ...) совпадает с исходной сходимостью. Иначе говоря, последовательность cpv элементов счетно-нормированного пространства Ф сходится к нулю тогда и только тогда, когда для каждого
ограниченного множества ВаФ' последовательность (J, cpj стремится к нулю равномерно на В. В следующем параграфе мы укажем класс пространств, в котором эта сходимость будет совпадать со сходимостью, соответствующей слабой топологии (т. е. со слабой сходимостью).
Каждая из топологий, введенных в пространстве Ф, приводит к своему определению ограниченных множеств: множество ЛсФ считается в соответствии с общим определением п. 8 § 3 ограниченным в некоторой топологии, если для любой окрестности нуля U (в этой топологии) существует такое число X > 0, что \AczU.
В случае счетно-нормированного пространства из доказанного совпадения сильной топологии с исходной следует, что и семейства ограниченных множеств в сильной и в исходной топологии совпадают.
Иногда удобно называть исходную топологию в линейном топологическом пространстве сильной топологией, противопоставляя ее слабой топологии. Для счетно-нормированных пространств это соответствует действительности, так как исходная топология совпадает с сильной; в других случаях такого неточного употребления названия «сильная топология» мы будем делать специальные оговорки.
Покажем, что в счетно-нормированном пространстве семейство слабо ограниченных множеств совпадает с семейством сильно ограниченных множеств.
Очевидно, что всякое сильно ограниченное множество А с: Ф является и слабо ограниченным, поскольку каждая слабая окрестность нуля {/сФ, в которую нужно перевести множество А умножением на X, является и сильной окрестностью нуля.
Обратно, пусть А — слабо ограниченное множество в счетно-нормированном пространстве Ф. Это означает, что для любой слабой окрестности нуля U, определяемой, например, неравенством
К/о. ?)!<=.
можно указать Х>0, при котором \AczU. Отсюда следует, что функционал /0 принимает на множестве А ограниченные значения (ограниченные числом у). Так как функционал /0 произволен, то мы можем сказать, что на множестве А
каждый функционал /£ Ф' принимает ограниченное множество значений. Но, как мы видели в п. 5 § 4, из этого следует, что множество А ограничено в пространстве Ф в его исходной топологии.
Тем самым наше утверждение полностью доказано.
СОВЕРШЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Основное определение. Как известно, множество F в топологическом пространстве Ф называется компактным в Ф, если каждое бесконечное подмножество AczF имеет в Ф предельную точку. Известно также, какую важную роль играет в анализе теорема Больцано — Вейерштрасса о компактности ограниченных множеств. Теорема Больцано— Вейерштрасса справедлива для конечномерных пространств. С другой стороны, в теории нормированных пространств имеется теорема Рисса, утверждающая, что если в некотором нормированном пространстве все ограниченные множества компактны, то это пространство конечномерно. Поэтому нормированные пространства с компактными ограниченными множествами не представляют интереса с точки зрения функционального анализа.
Но если от нормированных пространств мы перейдем к линейным топологическим пространствам, то здесь уже обнаруживаются важные для анализа классы пространств, все ограниченные множества в которых компактны.
Счетно-нормированные (полные) пространства, в которых все ограниченные множества компактны, мы будем называть совершенными.
Оказывается, что совершенные пространства обладают рядом замечательных свойств, которые, естественно, не имеют и не могут иметь места в бесконечномерных нормированных пространствах. Так, в совершенном пространстве сильная сходимость совпадает со слабой; ограниченные множества в пространстве Ф', сопряженном к совершенному пространству Ф, также компактны и слабая сходимость в пространстве Ф' совпадает с сильной сходимостью. Эти свойства будут ниже доказаны; можно также доказать, что совершенное пространство всегда рефлексивно (т. е. пространство Ф", сопряженное к пространству Ф', совпадает с пространством Ф).
Проверим сейчас, что в любом линейном топологическом пространстве всякое компактное множество ограничено.
Действительно, пусть множество А в линейном топологическом пространстве Ф не ограничено; покажем, что оно не компактно. Мы можем указать окрестность нуля U и последовательность элементов ^>^^А (v=l, 2, . . .), для которых <pv=:-l-cpv £ U. Очевидно, что ни сама последовательность cpv, ни любая ее подпоследовательность не являются ограниченными. Но в таком случае последовательность cpv не может иметь предельных точек. Действительно, пусть ср — предельная точка последовательности cpv и V — нормальная окрестность нуля пространства Ф такая, что V -\-VczU. В окрестности ср + У точки ср заведомо имеются точки последовательности cpv с произвольно большими номерами. С другой стороны, последователь- 1
ность —ср стремится к нулю, поэтому для достаточно больших v мы имеем ~^^^. Таким образом, имеются достаточно большие номера v, для которых фуЕф + У', т. е. cpv — ^^.V и 77?€^- Так как V—нормальная окрестность нуля, то и --(фу—ср)£У. Мы получаем, что
1 <р? = А (©? —ср) -|-А ср £ V -|-VaU,
в противоречие с построением. Таким образом, А некомпактно, что и требовалось доказать.
Условие совершенства счетно-нормированного пространства. Приведем простое достаточное условие, обеспечивающее совершенство данного счетно-нормированного пространства.
Теорема. Пусть дано счетно-нормированное (полное) пространство Ф с упорядоченными нормами*.
hlli<hll2< • • • <1МР< • • •
и последовательность индексов рг < р2 < . . . < Рк< • • *
Если из каждого множества A cz Ф, ограниченного
по норме || ср ||, можно выбрать последовательность,
фундаментальную по норме ЦсрЦ^., то пространство Ф совершенно.
Доказательство. Мы должны показать, что каждое ограниченное множество Л с Ф компактно. Множество А ограничено, в частности, по норме М^; в силу условия
оно содержит последовательность срп, <р12, .^1р> .
фундаментальную по норме ЦфЦ^. Эта последовательность
ограничена по нормеограничена по нормеllvll^llvll^и потому содержит подпослеи потому содержит подпосле
ограничена по норме
ограничена по норме
llvll^
llvll^
и потому содержит подпосле
и потому содержит подпосле
довательность <р21, ср22, . .., ср2р, . .., фундаментальную по норме ||<рН^. Продолжая так далее, мы получаем систему
последовательностей
?1Р ?12> • • - ?1р> • • -?21> ?22’ * • • > ^2р> • • * ’
?т1»^т^' • • • ’ ^mpi • • • ’
т-я из которых фундаментальна по норме ЦсрЦ^^. Диагональная последовательность ^пп фундаментальна по каждой из норм ||(p||^. (/= 1, 2, . . .), а следовательно, и вообще по каждой из норм ЦфЦ^. Тем самым она фундаментальна в пространстве Фив силу его полноты имеет некоторый предел фо€Ф- Итак, А компактно, что и утверждалось.
П р и м е р. Проверим, используя найденный признак, что счетно-нормированное пространство К (а) всех бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль вне отрезка | х | а, совершенно.
Пусть AczK(d)— множество, ограниченное по норме
||ср||р = тах{ |у(^)||<р№001},Р>^-
Покажем, что оно компактно по норме ЦсрЦ^-р Так как первые производные функций ср(Р_1) (х) (ср £ Л), по условию, ограничены, то в силу теоремы Арцела из этих функций можно выбрать равномерно сходящуюся последовательность
ср^-1^^), . .., ф^1^)’ ••• Так как все производные функций ф^(х) до порядка < р—1 получаются интегрированием последовательности ф^-1) (х), то все они также образуют равномерно сходящиеся последовательности. Тем самым последовательность фДх) сходится по норме ЦфЦ_р_1» что и требовалось. Отсюда согласно только что доказанной теореме следует, что К (а) совершенно.
Аналогичное предложение справедливо и для счетно- нормированного пространства К (а) всех бесконечно дифференцируемых функций ф(х1? . .., х^, обращающихся в нуль вне области Ga = {| хг | < av ...» |*n|<#n} (§ 3, n. 3). •
Совпадение сильной и слабой сходимости.
Теорема. В совершенном пространстве Ф сильная и слабая сходимости совпадают.
Доказательство. Достаточно рассмотреть последовательность фу^Ф, сходящуюся к нулю. Если фу сходится К нулю ПО ТОПОЛОГИИ, ТО (/, фу)—>0 при любом /^Ф' в силу непрерывности функционала /; таким образом, фу сходится к нулю и слабо.
Обратно, если последовательность фу сходится к нулю слабо, то для любого /£Ф' числа (/, фу), во всяком случае, ограничены. Множество Д = {фх, ф2, ...}, следовательно, слабо ограничено. Но тогда оно и сильно ограничено (§ 5, п. 7); наконец, поскольку пространство Ф совершенно, множество А компактно. Но любая сильно сходящаяся подпоследовательность элементов фу может иметь пределом лишь нуль, поскольку ее слабый предел равен нулю. Поэтому последовательность фу сходится сильно к нулю, что и требовалось.
Следствие. Совершенное пространство Ф полно относительно слабой сходимости.
Доказательство. Пусть последовательность фу^Ф слабо фундаментальна, т. е. для любого /^Ф' числа (/, фу) образуют сходящуюся последовательность. Это означает, во всяком случае, что множество А = {фх, ф2, ...} слабо ограничено.
Согласно п. 5 § 5 множество А сильно ограничено, а следовательно (поскольку Ф совершенно), компактно; так
как в пространстве Ф выполнена 1-я аксиома счетности, то оно содержит подпоследовательность фч, . .., ф^, . сильно сходящуюся к некоторому элементу ф^Ф. В силу непрерывности функционала / мы имеем
Так как (/, ф^) — сходящаяся последовательность, то (/, ф^) —> —►(/, ср), т. е. последовательность ф^ слабо сходится к ср; таким образом, Ф полно относительно слабой сходимости, что и утверждается.
Слабая и сил! ная сходимость в сопряженном пространстве.
Теорема. Если Ф — совершенное пространство, то в пространстве Ф' слабая и сильная сходимости совпадают.
Доказательство. Достаточно проверить, что последовательность А^ФА слабо сходящаяся к функционалу /, сходится к функционалу / также и сильно. Эта последовательность /v, очевидно, слабо ограничена; в силу п. 5 § 5 она и сильно ограничена. Далее, можно считать, что /=0 (заменяя в противном случае /v на /v—/). Нам нужно показать, что (/v, ср) —> 0 равномерно на каждом ограниченном множестве ЛсФ. Пусть это не выполняется для некоторого ограниченного множества А. Тогда для некоторого е > О найдутся ^^^.А такие, что [СА> фу)|>£. Поскольку А компактно, можно считать, чтоф„^ср0^Ф. Так как ^v = cpv — фо стремятся к нулю в исходной топологии пространства Ф и, следовательно, сильно стремятся к нулю, то для любого ограниченного множества ВсФ' мы имеем (ЛМ^О равномерно на множестве В. Возьмем в качестве В последовательность А,/2, • ••, А, ••• Тогда, в частности, (А, фД-^-О, а так как, с другой стороны, (А, ф0)—>0, то мы получаем:
?о)-+о,
что, по построению, не имеет места. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости теоремы.
Для совершенного пространства Ф, в котором выполнено условие п. 2, можно дать следующее более четкое описание последовательностей, сходящихся (сильно или слабо) в пространстве Ф'.
При выполнении условия п. 2 последовательность j\, f^ • • • , А, • • • сходится (сильно или слабо) в пространстве Ф' тогда и только тогда, когда все /^ принадлежат к некоторому фиксированному пространству Ф^ (объединением пространств Ф', как мы знаем, является все пространство Ф') и сходятся по норме Ф'.
Действительно, если Л^Ф^и ||А—AIр-^ 0, то для любого ф мы имеем | (/v—А ср) |< ||А — f\\p || ср ||р -► 0, так что последовательность А сходится (слабо, а следовательно, и сильно) в пространстве Ф'.
Пусть, с другой стороны, /v—►/ в пространстве Ф'. Без ограничения общности можно считать, что /=0. Так как последовательность /v ограничена в Ф', то она принадлежит целиком пространству Ф' при некотором г и ограничена по норме Ф' (§ 5, п. 3). Найдем индекс р > г такой, что ограниченность всякой последовательности cpv ^ Ф по норме || • ||р влечет ее компактность по норме || • ||г. Последовательность /v ограничена по норме || • ||г и тем более ограничена по норме || • ||р (так как при р> г всегда Ц/Цг> 11/ЦД Покажем, что по этой р-й норме А ^-О, иными словами, что (А»?)->0 равномерно на единичном шаре пространства Фр. Если бы этого не было, то можно было бы указать число е > 0 и последовательность cpv, ||фЛр<1, так, что |(А> ?Л>£ (v = 1, 2, . ..). Последовательность cpv компактна по r-й норме; можно считать, что по r-й норме cpv сходятся к некоторому элементу <р0. Но тогда
I (А. %) КI (А. ?, — ?о) I +
+1 (А. Фо) I < 11A1MI ?»— ¥о IL +1 (А. ¥о) I■
По условию и по построению оба слагаемых справа стремятся к нулю. Но тогда и (A, ?v) —► 0 в противоречие с определением cpv. Тем самым наше утверждение полностью доказано.
5* Ограниченные множества в сопряженном пространстве. П остранство Ф', сопряженное к совершенному пространству Ф, само не является совершенным прежде всего
потому, что оно не счетно-нормированное. Однако ограниченные множества в пространстве Ф', сопряженном к совершенному пространству Ф, также компактны относительно слабой и сильной сходимости.
Установим сначала компактность ограниченных множеств пространства Ф' относительно слабой сходимости. Оказывается, что эта компактность имеет место не только для пространства, сопряженного к совершенному пространству Ф, но и для сопряженного к любому сепарабельному счетно-нормированному пространству Ф. Напомним, что топологическое пространство называется сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество. Ниже мы покажем, что в совершенном пространстве всегда такое множество имеется.
Теорема. Если счетно-нормированное пространство Ф сепарабельно, то каждая ограниченная последовательность /х, /2, . . •, /v, . . . £ Ф' содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Используя диагональный процесс, можно выбрать подпоследовательность функционалов Д,Л2, • • •, Ьк» • которая сходится на каждом из элементов срт счетного всюду плотного множества. Так как последовательность /v слабо ограничена, а следовательно, и сильно ограничена (§ 5, п. 5), то все эти функционалы принадлежат к некоторому пространству Фр и в нем ограничены по норме (§ 5, п. 3). Известно, далее, что эти функционалы сходятся на множестве X = {(pw|, плотном в Ф и, следовательно, плотном в Фр. Отсюда, как уже отмечалось в п. 4 § 5, следует, что функционалы /Уд слабо сходятся к некоторому функционалу /С^г Это означает, что для любого ф£Фр, в частности для любого ср^Ф, имеет место предельное соотношение
V)- что и требуется.
Для установления слабой компактности ограниченных множеств в пространстве, сопряженном к совершенному, нам остается доказать следующую теорему.
Теорема. Совершенное пространство Ф сепарабельно.
Доказательство. Среди полных ноа мированных пространств Ф^ФзО..., дающих в пересечении простлан-
йб ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [5 ство Ф, или все сепарабельны или имеется хотя бы одно не сепарабельное.
В первом случае в пространстве Ф, как подмножестве сепарабельного пространства Фр можно указать счетное множество Sp плотное по норме ||cp||f, аналогично, можно указать второе счетное множество S2, плотное по норме ||ф||2, и т. д.; покажем, что объединение всех этих счетных множеств даст счетное множество S, плотное в Ф по любой метрике. Действительно, пусть ср — любая точка пространства Ф; найдем в множестве 8р точку срр такую, что
ll?-^IU<7 (/>=1,2,...);
тогда для любого & при /? > к мы будем иметь
II? —tA^II? —?А<7’
и следовательно, выбранная последовательность фр^З сходится к элементу ср по топологии пространства Ф.
Во втором случае можно предположить без ограничения общности, что несепарабельным является пространство ФР Используя аксиому Цермело ), в пространстве Ф можно построить несчетное множество Zx точек, ограниченное по норме || • || 1? взаимные расстояния между которыми (т. е. нормы разностей) превосходят положительную постоянную. Это множество по норме || • ||2 может уже оказаться неограниченным; но, во всяком случае, оно обладает несчетным подмножеством Z2, ограниченным по норме || • ||2 (так как Ф заключено в сумме шаров || • ||2 < п (n= 1, 2, . ..). Далее, Z2 обладает несчетным подмножеством, ограниченным по норме || • ||3, и т. д.; заметим, что взаимные расстояния между точками множества Zx при переходе к нормам || • ||2, || • ||3, . . . могут только увеличиваться.
Выберем из множества Zp произвольно точку ^р (р — 1, 2, .. .). Мы получим ограниченное множество в пространстве Ф. Однако оно не содержит ни одной фундаментальной последовательности, поскольку взаимные рас-
стояния между его точками по любой из норм || • ||р больше фиксированной постоянной. Таким образом, пространство Ф в этом случае не может быть совершенным.
Тем самым теорема полностью доказана.
Покажем теперь, что всякое ограниченное множество В в пространстве, сопряженном к совершенному, является не только слабо, но и сильно компактным, т. е. содержит сильно сходящуюся последовательность. Это теперь очевидно: мы доказали, что существует последовательность Л£В, слабо сходящаяся к некоторому функционалу /; но по п. 3 эта последовательность и сильно сходится к /, что и требуется.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1. Определение. Оператор Л, отображающий линейное топологическое пространство Ф в линейное топологическое пространство Ф (в частности, в себя, если Ф = Ф), называется линейным непрерывным оператором, если выполняются следующие условия:
1° А («1<Р1 + «2^2) — аИ?1 + ®2^?2 (линейность), в частности, Л(0) = 0;
2° для любой окрестности нуля VcT можно указать такую окрестность нуля 1/сФ, что Лср^1/ при ^^.U (непрерывность).
Если Ф есть плоскость комплексного переменного с ее обычной топологией, то оператор А будет просто функционалом.
В § 4 мы видели, что класс линейных непрерывных функционалов совпадает с классом линейных функционалов, ограниченных на каждом ограниченном множестве. Аналогичное предложение справедливо и для линейных операторов.
Всякий линейный непрерывный оператор переводит каждое ограниченное множество пространства Ф в ограниченное множество пространства Ф.
Доказательство. Пусть А — линейный непрерывный оператор, РаФ — заданное ограниченное множество, и пусть О = ЛВсФ—неограниченное множество. Найдется окрестность нуля VcT, в которой не содержится целиком никакое из множеств -i-G (v=l, 2, .. .). Это означает, что можно
6 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
[1
указать последовательность cpv^F так, что yXcpv = -^- ф9 не принадлежит окрестности V. Но-^ ^v->0 в Ф (§ 3, п. 8), 1
и поэтому элементы — cpv, начиная с некоторого номера v = v0, попадают в любую окрестность нуля ^сФ. Пользуясь непрерывностью оператора А, выберем U так, что ЛЕ^сУ. Получается противоречие, которое и показывает, что AF ограничено, что и требовалось.
Если в пространстве F выполнена 1-я аксиома счетности, то линейный оператор А, переводящий всякое ограниченное множество пространства Ф в ограниченное множество пространства Ф, непрерывен.
Доказательство. Если А— не непрерывный оператор, то для некоторой окрестности нуля УсФ и любой базисной окрестности нуля Ё^сФ можно указать такой элемент ч^^^Щ, для которого .4cpv не входит в окрестность У. Последовательность ^^^U^ (v=l, 2, . . .) ограничена в Ф (даже стремится к нулю), последовательность ф^ = Vv4cpv = = A (vyj не ограничена в Ф (так как никакое ее кратное не попадает в окрестность У), и мы приходим к противоречию с условием леммы. Таким образом, лемма доказана.
Линейный оператор А, переводящий всякое ограниченное множество пространства Ф в ограниченное множество пространства Ф, называется ограниченным. Леммы а) и б) показывают, что в пространствах с 1-й аксиомой счетности класс непрерывных операторов совпадает с классом ограниченных операторов.
Следствие. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен, необходимо, а в пространствах с 1-й аксиомой счетности и достаточно, чтобы из cpv —> 0 (в Ф) следовало ф^ = Лср^->0 (в Ф).
Доказательство. Необходимость. Пусть cpv —>О и задана окрестность нуля УсФ; пусть, далее, окрестность нуля Е^сФ такова, что AUczV; начиная с некоторого номера, yv входит в U, откуда A^^^V, следовательно, Xcpv —> О в Ф.
Достаточность. Пусть Рс:Ф—ограниченное множество; если бы G = AF было неограниченным множеством
в Ф, то мы смогли бы указать окрестность нуля УсФ и последовательность ^v = ^cpv^G, для которой -^-^Е^^ н0 "Vv^V^ и’ слеД°вательн0» “7^” О, чт0 противоречит условию.
Пример. В основном пространстве ^ (а) бесконечно дифференцируемых функций <р(х), обращающихся в нуль вне отрезка | х | <; а, операторы умножения на х и дифференцирования являются непрерывными операторами. Для доказательства применим только что установленный критерий.
Пусть cpv(x)->0 по топологии К (а); это. значит, что при любом ^ = 0, 1, 2, . . . функции cp^W равномерно сходятся к нулю при V—>0. Мы должны показать, что последовательности
и
X, (*) = <(*)
стремятся к нулю в этом же смысле. Но это очевидно, так как при любом q
Ф^ (*) = х^» (х) + q^-^ (х),
X^W = ??+1>W
и обе полученные последовательности равномерно сходятся к нулю при v —> оо, каково бы ни было q.
Теорема об обратном операторе. Для счетно-нормированных (полных) пространств имеет место следующая теорема об обратном операторе.
Теорема 1. Пусть линейный непрерывный оператор А взаимно однозначно отображает счетно-нормированное (полное) пространство Ф на счетно-нормированное (полное) пространство Ф. Тогда обратный оператор А-1 также непрерывен.
Эта теорема вытекает из следующей теоремы Банаха *):
Если линейный непрерывный оператор А взаимно однозначно отображает линейное метрическое полное пространство Ф на линейное метрическое полное пространство Ф, то обратный оператор А""1 также непрерывен.
Напомним, что счетно-нормированное пространство является линейным метрическим пространством (§ 3, п. 4), метрика в котором определяет топологию, эквивалентную исходной. Поэтому, если счетно-нормированное пространство Ф полно в своей топологии, то оно является полным и как метрическое пространство.
Следствие. Если в одном и том же пространстве Ф введены две счетные системы норм ||ф||Р . .., ||<р||р, . . . и llvlli’ • • •» II?Ир» • • •, превращающие Ф в полное счетно- нормированное пространство (каждая), и эти системы сравнимы (т. е. каждая из норм одной системы является более слабой, чем некоторая норма второй системы), то они эквивалентны.
Доказательство. Сохраним обозначение Ф для рассматриваемого пространства, топологизированного с помощью первой системы норм, и через Ф обозначим это же пространство с топологией, порожденной второй системой норм. Если первая система норм сильнее, чем вторая, то это означает непрерывность тождественного оператора, переводящего Ф в Ф. По теореме 1 обратный оператор непрерывен; следовательно, вторая система норм оказывается сильнее, чем первая. Таким образом, эти системы эквивалентны, что и требовалось.
Предположение о сравнимости систем норм в свою очередь можно ослабить, заменив его предположением об их согласованности. Представим себе, что нами заданы два линейных топологических пространства Ф и Ф, причем Ф является линейным подпространством пространства Ф. Будем говорить, что топологии в пространствах Ф и Ф согласованы, если для всякой последовательности <pv £ Ф, сходящейся к нулю по топологии Ф и одновременно сходящейся к элементу <Ро€^ по топологии Ф, мы имеем ср0 = 0.
Теорема 2. Если Ф и Ф cz Ф— (полные) счетно-нормированные пространства и топологии их согласованы, то из сходимости yv —> у по топологии Ф следует сходимость yv->y по топологии Ф.
Замечание. Эта теорема показывает, что вложение счетно- нормированных пространств с условием согласованности топологий есть вложение со сравнимостью топологий. В дальнейшем при рассмотрении основных пространств функций согласованность топологий будет фактом, легко проверяемым; эта теорема позволит делать полезные заключения о сравнимости топологий и об их эквивалентности. Кратко можно резюмировать так: чем уже пространство, тем сильнее его топология.
Доказательство. Пусть ||ф||р и ||ф||р— системы норм соответственно в пространствах Ф и Ф (р = 1, 2, . . .). Введем в пространстве Ф новую систему норм || <р Ц р = = шах (Цср!^, ||ф||р). Проверим, что пространство Ф полно и относительно новой системы норм. Если фу£Ф—последовательность, фундаментальная по новой системе норм, то, очевидно, она фундаментальна и по обеим старым системам; в силу полноты пространств Ф и Ф мы имеем (в W), (в Ф).
Разность фу— ф0 стремится к нулю в Ф и стремится к фо — Фо в Ф- По условию, фо — фо = О, так чт0 То = Фо> таким образом, ф^-^ф0 п0 обеим системам норм. Но тогда ?^~^Фо и по новой системе норм. Таким образом, Ф полно относительно новой системы норм.
Учитывая сравнимость систем норм ||фЦр и ||ф||р, определенных в пространстве Ф, мы получаем в силу доказанного выше их эквивалентность.
Пусть теперь фу —> ф0 по топологии Ф. Это означает, что ||ф^ — фо||^-^О (р = 1, 2,...). Но, по доказанному, и ||фv — фо||р—>0, а отсюда следует, что [[фv — Vollp-^0, т. е. фу —> фо по топологии Ф, и теорема доказана.
Итак, при условии согласованности систем норм из сходимости в более узком пространстве следует сходимость в более широком пространстве. Как следствие получаем: всякий линейный непрерывный функционал на более широком пространстве Ф является линейным непрерывным функционалом и на более узком пространстве Ф.
Действия с линейными операторами. Введем теперь для операторов действия сложения, умножения на число и умножения друг на друга.
Для любых двух линейных операторов А и В, переводящих пространство Ф в пространство Ф, естественно определяются сумма и произведение на число:
(А + В) ср = Лф + Вф,(ХЛ) ср = ХЛф,причем результаты снова представляют собой линейныеоператоры, переводящие пространство Ф в пространство Ф.Легко видеть, что непрерывность А влечет непрерыв-ность ХЛ, непрерывность А и В влечет непрерывность А-^-В
Если оператор А отображает пространство Ф в пространство Ф, а оператор В — пространство Ф в пространство X, то можно определить произведение ВА по формуле
(ВЛ) ф = В (Лф);
при этом полученный оператор ВА также линеен. Если А и В — непрерывные операторы, то ВА также непрерывен.
Последовательности операторов. Оператор А, отображающий пространство Ф на пространство Ф, называется сильным (слабым) пределом последовательности операторов А^ отображающих пространство Ф на то же пространство Ф (v = 1, 2, . ..), если для любого ф^Ф имеет место соотношение
Иш Л^ф = Лф
в сильном *) (слабом) смысле. В совершенных пространствах, где эти сходимости совпадают, совпадают и оба приведенных определения.
Теорема. Если линейный непрерывный оператор Лv, отображающий счетно-нормированное пространство Ф в счетно-нормированное пространство Ф, при v —> оо слабо сходится к некоторому оператору Л, то А — также линейный и непрерывный оператор.
Доказательство. Линейность оператора А тривиальна, существенно доказать его непрерывность. Функционал (/v, ф) = (^, Лvф) с фиксированным ^^Ф' непрерывен
по хр в силу предположенной непрерывности оператора Xv. При у—>оо этот функционал слабо сходится к функционалу (/, V) — (g» ^v)'» п0 теореме п. 6 § 5 функционал (/, ср) также непрерывен по ср. Поэтому он ограничен на каждом ограниченном множестве F пространства Ф (§ 4, п. 4). Таким образом, для любого функционала ^^Ф' и любого ограниченного множества РаФ множество чисел (g, Лер) ограничено, когда ср пробегает множество F. Мы видим, что множество {Лер}, ^^Р слабо ограничено в Ф. Отсюда следует, что множество {Лср}с:Ф сильно ограничено (§ 5, п. 7). Таким образом, оператор А переводит любое ограниченное множество РаФ снова в ограниченное множество /71={Лср}сФ и в силу леммы б) из n. 1 непрерывен.
Сопряженный оператор. Пусть дан линейный непрерывный оператор Л, отображающий пространство Ф в пространство Ф, и пусть Ф' и Ф'—соответствующие сопряженные пространства. Введем оператор Л*, переводящий пространство Ф' в пространство Ф' по формуле
kA*g, ^) = {g, Иф),
где ф£Ф, £Г£ЧГ'. Из непрерывности оператора А и функционала g следует, что Л* — непрерывный оператор; он называется сопряженным к оператору А.
Пример. Подсчитаем сопряженные операторы для операторов умножения на х и дифференцирования в пространстве К (а) бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль вне отрезка #<^л;<^. Согласно определению
(Х*/, ф)-(/, Хф).(1)
Если функционал / задается интегралом
а
V’ J/(x)v(x)<Zx,— а
то, как это видно из (1), функционал х*/ задается интегралом
а
^f, v) = V- х^ = f /м •х^ Wdx'
Таким образом, в данном случае операция х* состоит в умножении функции /(х) на х. Это дает нам право называть операцию х* в сопряженном пространстве К' (а) умножением на х.
Аналогично,
Но мы знаем из выпуска 1, что для функционалов / типа дифференцируемой функции f(x)
Таким образом, в этом случае оператор совпадает
d с оператором, который мы назвали в свое время —
Заметим, что оператор i-^— самосопряженный:
/ . dV. d
\ dx)1 dx *
Легко проверить формулы
(Д + В)* = Д*4-В*,(ХД)* = ХД*, (ВД)* = Д*В*. (2)
Последнее равенство имеет смысл, естественно, в том случае, когда определен оператор ВА, т. е. в случае, когда оператор В определен в том пространстве Ф, в которое оператор А отображает пространство Ф.
Все эти соотношения сохраняются, разумеется, и тогда, когда операторы А, В отображают пространство Ф в себя, так что можно принять Ф = Ф. В этом случае сопряженный оператор Д* определен в пространстве Ф' и переводит это пространство в себя. К формулам (2) в этом случае можно присоединить еще очевидную формулу
Е* = Е,
которая означает, что сопряженным к единичному (тождественному) оператору в пространстве Ф служит единичный оператор в пространстве Ф\ Далее, если оператор А в про*
страцстве Ф обладает обратным оператором А \ то сопряженный оператор А* также обладает обратным оператором; именно, этим обратным оператором служит оператор (Д1) .
Действительно, мы имеем для любых <?£Ф, /^Ф':
((^Т А Т)=(А Д
откуда (д~1)*Л* = Е, что и утверждается,
§ 8. ОБЪЕДИНЕНИЯ СЧЕТНО-НОРМИРОВАННЫХПРОСТРАНСТВ
Определение. Пусть дана расширяющаяся последовательность линейных топологических пространств
Ф^сФ^с . .. сФ^с . . .
Предполагается, что каждое вложение сохраняет сходимость последовательностей, т. е. если последовательность VvE^^ сходится к нулю, то, рассматриваемая в более широком пространстве ф(ш+1\ она также сходится к нулю.
Обозначим через Ф(ш) объединение всех пространств Ф(^ (/п=1, 2, ...). Совокупность Ф(и)) представляет собой линейное пространство с естественными линейными операциями.
Введем в Ф(ш) следующее определение сходимости последовательностей. Будем говорить, что последовательность ?р ?2» •••> ?*» ••• элементов Ф(ш) сходится к элементу ср^ф(ш\ если все элементы cpv и ср содержатся в некотором фиксированном пространстве Ф(т) и cpv —> ср по топологии этого пространства.
Пространство Ф(ш), полученное описанной конструкцией, называется объединением пространств Ф(1П). Это не топологическое пространство, поскольку в нем не задана система открытых или замкнутых множеств.
В качестве примера рассмотрим объединение счетно- нормированных пространств К (а). Пространство К (а), как мы уже говорили (§ 3, п. 3), состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср^, . .., х^, обращающихся в нуль вне области Ga = {| хх | <^ av ..., |xn|^^n}; будем считать, что ах = az = .., = а^ = а\ а = 1, 2, ...
Объединение пространств ^(a) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ф(х1$ . .., х^, обращающихся в нуль вне ограниченной области (своей для каждой функции ф).
Последовательность cpv (х) таких функций, согласно определению, сходится к нулю тогда и только тогда, когда, во-первых, все <pv(x) принадлежат к одному и тому же пространству К (а),— иными словами, все <pv(x) обращаются в нуль вне одной и той же области, — и, во-вторых, функции cpv(x) в этом пространстве К (а) сходятся к нулю по его топологии —в данном случае равномерно сходятся к нулю вместе с производными всех порядков.
Мы пришли, таким образом, к определению основного пространства К, которое играло главную роль в построениях выпуска 1.
Итак, основное пространство К есть объединение счетно-нормированных пространств К (а).
Ограниченные множества и линейные функционалы. Множество ВсФ((0) называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором Ф(1п) и ограничено по топологии Ф(гп).
Это определение фактически совпадает со вторым определением ограниченных множеств в линейном топологическом пространстве (§ 3, п. 8; о первом определении говорить не приходится, так как оно существенно использует топологию): множество В ограничено если для любой последовательности € В элементы -~ стремятся к нулю при v -> оо.
Линейный функционал /, заданный на пространстве Ф(<о), называется непрерывным, если он непрерывен на каждом Ф(^\ Легко видеть, что в случае, когда Ф(1П)—пространства, удовлетворяющие 1-й аксиоме счетности, это определение эквивалентно следующему: линейный функционал / непрерывен, если из cpv—>0 вытекает (/, <pj—>0.
Если в каждом из пространств Ф(ш) выполнена 1-я аксиома счетности, то определение линейного непрерывного функционала эквивалентно следующему: линейный функции
нал / непрерывен, если он ограничен на каждом ограниченном множестве в пространстве Ф(ш).
Если Ф(ш) есть пространство К—объединение пространств К (а) (см. выше), то линейные непрерывные функционалы на Ф(ш) — это обобщенные функции, введенные нами в выпуске 1. .
Совокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве Ф(ш) обозначим через Ф(ш). Эта совокупность есть, очевидно, линейное пространство. Введем в этом пространстве понятие сходимости. Мы будем говорить, что последовательность функционалов /v £ Ф(ш) сходится к функционалу /, если для любого ср^Ф(ш)
Именно такая сходимость была введена в выпуске 1 для функционалов на пространстве К.
Такую сходимость будем называть по-прежнему слабой (хотя мы не будем вводить никакой другой). Имеет место следующая важная теорема.
Теорема. Если Ф^ — счетно-нормированные пространства, то пространство Ф(ш) полно относительно (слабой) сходимости.
Доказательство. Пусть последовательность /v (v=l, 2, ...) обладает тем свойством, что для каждого ср^Ф(ш) существует предел (/, <р) = lim (/v, <р). Функционал (/, ср), рассматриваемый для <р£Ф(7И), является в силу теоремы п. 6 § 5 линейным непрерывным функционалом на Ф(ш\ но тогда, по определению, / есть линейный непрерывный функционал на всем Ф(ш), что и требуется.
В частности, пространство обобщенных функций (функционалов на пространстве К) полно относительно слабой сходимости. Этот факт лежал в основе многих построений выпуска 1,
Введем, далее, для пространства Ф(ш) понятие ограниченного множества. Множество ^Ф(<о> называется ограниченным, если для любого ср^ Ф(<у^ ограничено множество
чисел (/,<?), /Е^- Речь идет, таким образом, о слабой ограниченности. (Эквйвалентное определение: множество F ограничено, если для любой последовательности /1? /2, ... .. ., /v, . . . ^F функционалы ^-/v стремятся к нулю в Ф(ш).)
Покажем, что в случае счетно-нормированных пространств Ф(ш) для ограниченного множества Р^Ф(ш) числа (J, ср) ограничены не только на каждом элементе <р^ф(ш\ но ограничены {равномерно) и на любом ограниченном множестве ДсзФ(<о).
Действительно, если А— ограниченное множество в Ф(ш), то оно, согласно определению, целиком содержится в некотором Ф(ш) и ограничено по топологии Ф(ж). Функционалы f^F суть линейные непрерывные функционалы, в частности, на пространстве Ф(ж). Они ограничены на каждом элементе ср^ф^ и образуют, следовательно, слабо ограниченное множество в пространстве Ф(^. Но тогда (см. п. 5 §5) множество F и сильно ограничено в пространстве Ф(ж), т. е. числа (/, ср) равномерно ограничены на любом ограниченном множестве пространства Ф(ж). В частности, эти числа равномерно ограничены на множестве А, что и требовалось.
Линейные операторы. Линейный оператор А, определенный на пространстве Ф(ш) и переводящий Ф(ш) в себя или в другое аналогичное пространство W(<o), называется непрерывным, если из <pv —> О вытекает Дф^—>0, и ограниченным, если он переводит всякое ограниченное множество Рс:Ф(<о) снова в ограниченное множество ДРсЧ^.
Будем считать, что в каждом из пространств Ф(ж) выполнена 1-я аксиома счетности.
В этом случае можно утверждать, что линейный оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Для доказательства этого утверждения достаточно убедиться, что каждое из предположений приводит к тому, что оператор А переводит любое из пространств Ф(ж) в некоторое пространство ^^^ Тогда оператор А можно будет
3] § 8. ОБЪЕДИНЕНИЯ СЧЁТНО-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ 93 рассмотреть на счетно-нормированном пространстве Ф(ш); так как его значения лежат также в счетно-нормированном пространстве Ч^, то останется применить соответствующее предложение из n. 1 § 7.
Предварительно заметим, что в пространстве Ф с 1-й аксиомой счетности для любой последовательности элементов срр . . ., ф^, . . . всегда можно указать такую последовательность постоянных Хр . . ., Xv, . . ., что элементы Х^фр .. ., X^v, . . . будут стремиться к нулю. Действительно, если L^zd. . . tdU^td. . . —определяющая система окрестностей нуля в Ф, то число Xv достаточно взять таким, что X^£UV Теперь предположим, что линейный оператор Д, действующий в Ф(<°\ некоторое Ф(ш> не переводит целиком ни в одно Ф^) (р= 1, 2, .. .). Тогда для любого v мы сможем указать элемент ф^Ф(ш\ который оператором А переводится в ф^ £ Ф^-
Пусть Xv таковы, что Х^ф^ —> 0. Если оператор А непрерывен, то элементы А (Х^) = Х^Дф^ также должны стремиться к нулю и, в частности, должны принадлежать к одному и тому же Ф^, что противоречит предположению.
Если оператор А ограничен, то элементы Х^Дф^ должны составлять ограниченное множество и также должны принадлежать одному и тому же Ф^, что снова противоречит предположению.
Таким образом, в обоих случаях А переводит любое из пространств Ф(ш) в некоторое Ф(^\ Отсюда, как мы видели, следует, что линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Для линейного непрерывного оператора А, переводящего данное пространство Ф(1и) в аналогичное Ф(ш), можно определить сопряженный оператор А*, переводящий Ф(ш)' в Ф(1и)/ по формуле
№> ср) = ^ Дф),
где ф£Ф(ш), g^^. В силу непрерывности функционала g и оператора А оператор А* также оказывается непрерывным.
ДОБАВЛЕНИЕ 1
ЭЛЕМЕНТЫ, ФУНКЦИОНАЛЫ, ОПЕРАТОРЫ, ЗАВИСЯЩИЕОТ ПАРАМЕТРА)
Абстрактные функции. Элемент cpv линейного топологического пространства Ф или объединения линейных топологических пространств (§ 8), зависящий от численного параметра v, мы будем называть (абстрактной) функцией от v.
Если v пробегает целочисленный ряд значений 1, 2, ..., то мы имеем дело просто с последовательностью элементов <pv. В общем случае v пробегает некоторое множество значений в комплексной плоскости.
Элемент <р0 называется пределом (абстрактной) функции <?v при v->v0, если для любой окрестности нуля U можно указать такое 8 > 0, что |v— v0|<S влечет % — ?о€^• Имеется и эквивалентное определение: ср0 есть предел cpv при V—>v0, если для любой последовательности vn->v0 мы имеем Ф^->ср0. Вторым определением мы будем пользоваться в объединениях линейных топологических пространств (§ 8), где мы не вводили топологии, а ввели только понятие сходимости последовательностей.
Окрестности нуля, участвующие в первой формулировке, могут быть сильными или слабыми, и соответственно этому и сходимость ^л“><?о должна быть сильной или слабой; предел, который мы получаем, соответственно называется сильным или слабым). Для совершенных пространств и сопряженных к ним это различие снимается, поскольку, как мы знаем, там слабая и сильная сходимости совпадают.
В частности, абстрактная функция % называется сильно (слабо) непрерывной в точке v0, если % -> %>0 в сильном (слабом) смысле.
В этом добавлении мы будем рассматривать главным образом счетно-нормированные пространства и их объединения— те и другие мы для краткости будем называть основными пространствами ),— а также сопряженные к ним пространства.
Установим вначале некоторые свойства числовых функций вида (/v, c?v), где cpv — элементы основного пространства Ф, /v— линейные непрерывные функционалы на нем.
Лемма. Если в основном пространстве Ф при v—>\0 последовательность элементов <pv сильно сходится к элементу ^Ql а последовательность функционалов f^ слабо сходится к функционалу f0, то последовательность (J.., ?v) сходится к (/0, <р0).
Доказательство. Пусть сначала Ф — счетно-нормированное пространство. Мы имеем:
(Л, ?,) — (/о. ?o) = (/v. ?, — ?о) + (Л— /о> ?о)- Последовательность f^ как слабо сходящаяся, является слабо ограниченной и, следовательно (см. § 5, п. 5), сильно ограниченной. Последовательность <pv— ср0 стремится к нулю, поэтому (см. § 5, п. 7) мы имеем (/v, ©v— ^о)"^^* Второе слагаемое (/v—/0, ср0) также стремится к нулю по самому определению слабой сходимости функционалов. Отсюда
(/».?,) — (/». ?о)->О,
что и требуется.
Пусть теперь Ф = Ф(ш) — объединение счетно-нормированных пространств Ф(ш). В этом случае сходящаяся последовательность <pv -хро содержится в некотором Ф(т\ функционалы /v можно также рассматривать как функционалы над Ф(т); по доказанному, ^f^ ?у)~*(/о* ?о)> чт0 и утверждается.
Для слабо сходящейся т.оследовательности ^^->^о утверждение леммы теряет силу даже в нормированных пространствах. Например, в гильбертовом пространстве последовательность ортогональных и нормированных векторов е^ е^ ..., ^, ... слабо сходится к нулю, однако (е^, е?) = 1 не стремится к нулю.
Но если предположить, что пространство Ф совершенно или является объединением совершенных пространств, то при замене
сильной сходимости т^-^То на слабую утверждение леммы сохранится (поскольку в совершенном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной). Это — еще одно подтверждение целесообразности выделения совершенных пространств.
Дифференцируемые абстрактные функции. Абстрактная функция <pv называется сильно {слабо) дифференцируемой в точке v0, если существует сильный (слабый) предел
*= Нт
“^ v = vd7i->0
Этот предел, естественно, называется сильной (слабой) производной (по параметру).
Покажем, что слабая дифференцируемость в точке v0 функции <pv со значениями в основном пространстве или сопряженном к нему влечет ее сильную и слабую непрерывность в этой точке.
Действительно, при любых йп->0 последовательность
^У^”^/ гх
слабо сходится (к ) и поэтому слабо и сильно ограничена. Умножая эту последовательность на числа hH^^, получаем, что последовательность ^а-к— ?м0 слабо и сильно сходится к нулю; это и означает сильную непрерывность функции <pv в точке v0.
В свою очередь слабая непрерывность функции <pv в точке v0 влечет слабую и сильную ограниченность этой функции в некотором интервале, содержащем точку v0.
Лемма. Если элемент <pv основного пространства и линейный непрерывный функционал f на нем — слабо дифференцируемые функции параметра v, то (f^ <?J—- числовая дифференцируемая функция, причем
Доказательство. Мы имеем
Д(А- V,) _(А+д^ А+д.) — Ov tj _
AvAv
(/м+ Дм’ Tv + Дм) (/v’ Tv +Дм) I (/v’ Tv +Дм) (^y’ Tv) AvAv
В первом слагаемом отношение —^;—— слабо сходится к /', a %+Av сильно сходится к <pv (в силу доказанной сильной непрерывности слабо дифференцируемой функции); поэтому по лемме n. 1 первое слагаемое имеет предел (/', cpv). Второе слагаемое имеет предел (f^ ср') в силу предположения о слабой дифференцируемости функции cpv. Все полученное выражение имеет при Av->0 пределом правую часть формулы (1), что и требуется.
Операторы, зависящие от параметра. Оператор Л^, отображающий пространство Ф в пространство Ф, зависящий от параметра v, называется сильно (слабо) непрерывным (по параметру V) при v = v0, если для любого ср £ Ф
lim Л/р = Л^ср
в сильном (слабом) смысле.
Оператор А^ называется (сильно) слабо ограниченным (по параметру v) на множестве А значений v, если множество элементов А^ сильно (слабо) ограничено при v^A и любом фиксированном ср0.
Если оператор А^ слабо непрерывен в замкнутой области А, то он слабо ограничен в этой области. Действительно, числовая функция (/, Л^ср) при любом /£ Ф' непрерывна в области А и, следовательно, ограничена; множество элементов Ау^ таким образом, слабо ограничено в области А. Естественно, если Ф есть основное пространство или сопряженное к нему, то, так как в этом случае слабая ограниченность совпадает с сильной, слабая непрерывность оператора А^ влечет его сильную ограниченность.
Оператор В называется сильной (слабой) производной от оператора А^ при v = v0, если имеет место равенство в сильном (слабом) смысле
В? = Нт
Дм ->0 Л
7 Зак. 2669. И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов
для любого ср^Ф- Оператор А^ в этом случае называется сильно (слабо) дифференцируемым при ^ = v0.
Слабо дифференцируемый оператор является сильно и слабо непрерывным. (Доказательство аналогично приведенному выше для функционалов.)
Если оператор А = А^ переводящий пространство Ф в пространство Ф, зависит от параметра v, то сопряженный оператор А* = А*, переводящий Ф' в Ф', также зависит от параметра v.
Лемма 1. Если оператор А^, переводящий основное пространство Ф в основное пространство Ф, есть ограниченная (слабо непрерывная, слабо дифференцируемая) функция от v, то Л*— также ограниченная (слабо непрерывная, слабо дифференцируемая) функция от v, при этом
. * / . dA* zdA<
Д™ Л — ^hm А) ’ - (—) . (1)
Доказательство. Пусть А^ ограничен при ^^А. Пусть, далее, Л*— сопряженный оператор и /^Ф'; тогда (Л*/, ?) = (/, Л^ср) ограничено при любом ф£Ф. Таким образом, множество функционалов Л*/£ Ф' слабо ограничено при ^^Д; отсюда следует, что оно и сильно ограничено.
Пусть, далее, оператор А^ слабо сходится к оператору Лъ при ^->v0. Тогда для любого /^Ф и ф^Ф
w ?)=</. а?) -> </, л и?)=и:/, Т),
так что Л*о слабо сходится к А* при v -> v0.
Применяя этот результат к отношению " + ^при
ходим к справедливости и последнего утверждения леммы.
Лемма 2. Если А^— ограниченный оператор, переводящий основное пространство Ф в основное пространство Ф, ф^ — ограниченный элемент в пространстве Ф (при v£A), то элементы Л^ образуют ограниченное множество в пространстве Ф.
Доказательство. Для любого / £Ф' мы имеем
(Л =
полученная величина ограничена, поскольку ограничено множество {Л/}с:Ф'*).
Лемма 3. Если при v->v0 оператор Д,, переводящий основное пространство Ф в основное пространство Ф, слабо сходится к Л, а элемент yv в пространстве Ф сильно сходится к ср, то Л^ слабо сходится к Лер.
Доказательство. Пусть /£Ф' — произвольный функционал. Тогда
(/, л^ф; = (лу, ?; -> (ЛV, ср) = (/, Лер)
по лемме 1 и лемме n. 1; таким образом, Л^ слабо сходится к Лер. .
Лемма 4. Если оператор Л^, отображающий основное пространство Ф в основное пространство Ф, сильно непрерывен по v и оператор В^ отображающий Ф в основное пространство X, слабо непрерывен по n, то их произведение С^ = В^ слабо непрерывно по n.
Действительно, пусть А^ -> Ло сильно, В^ -> Во слабо при v-^ v0; проверим, что В^А^->В0А0 слабо. Положим ^ = Л^ф для любого фиксированного ср^Ф; по условию, ^-^Лоср сильно при v->v0. По лемме 3, величина (Д,л;ф = = В^ (Л^ф) = ВД, слабо сходится к Во (Лоср) = (В0Л0) ср, что и приводит к искомому предельному соотношению.
Теперь мы можем установить главный результат.
Теорема. Если при v = v0 оператор Л^, переводящий основное пространство Ф в основное пространство Ф, и элемент ф^ пространства Ф слабо дифференцируемы, то элемент Л^ср^ пространства Ф также слабо дифференцируем и
Доказательство. Для любого / Е ^» применяя Лемму 1, мы имеем:
Интегрирование непрерывных абстрактных функций по параметру. Пусть в совершенном пространстве Ф задана непрерывная абстрактная функция cpv для значений я^у^й. Мы утверждаем, что в пространстве Ф существует предел интегральной суммы
ъ
HmS?^^^ J?v^v-(О
а
Действительно, для любого функционала /£Ф' функция (/, cpj, как непрерывная функция от у, интегрируема, так ъ
что существует предел Нш^СЛ ? ./)^ = J U' ^^ч. а
В силу теоремы о полноте совершенного пространства относительно слабой сходимости последовательностей (§ 6, п. 3), существует и предел (1). Легко проверить, что для определенного таким образом интеграла выполняются все обычные свойства; упомянем, в частности, о теореме о среднем;
Нт J" f(2)
Ь>а о —a J а
Равенство (2) легко доказывается в слабом смысле, тогда оно превращается в классическую теорему; затем остается констатировать, что равенство (2) справедливо также и в сильном смысле, поскольку в совершенном пространстве слабая и сильная сходимости совпадают.
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХФУНКЦИЙ
Основные функции. Основным пространством называется линейное топологическое пространство Ф, образованное из функций ср(х), определенных на некотором множестве R»
Относительно топологической природы основного пространства мы будем предполагать, что оно представляет собой счетно-нормированное пространство (гл. I, § 3) или объединение таких пространств (гл. I, § 8).
Кроме того, мы предположим, что выполнено следующее естественное условие: из сходимости последовательности элементов cpv(x) этого пространства по топологии вытекает сходимость числовой последовательности cpv (х0) в любой фиксированной точке x^R.
Функции, входящие в основное пространство, называются основными функциями,
Множество R, как правило, будет n-мерным вещественным пространством Rn или n-мерным комплексным пространством Сп.
Через x = (xv . . ., х^ (или у, 5, ^) мы будем обозначать точку пространства Rn, через z = (zv ..., z^^x^-iy (или C = $ + Z7i)— точку пространства Сп, через q = = ^1, •• •> qn) (или & и т. п.) — набор целых чисел. Кроме того, мы систематически будем пользоваться следующими удобными обозначениями. Символ |^| будет обозначать сумму ^+ . .. +^п, символ Dq— дифференциальный оператор —-— , символ хк — прозиведение xxi.. ,хпп<
dxq\ ...» дхдп
По аналогии с этим под е2!2^ мы будем понимать (1^ ।+|zn|k^)e Читатель, который раньше не встре
чался с такими обозначениями, вскоре увидит, что они очень удобны и что их смысл всегда будет ясен из контекста.
Примеры. Рассмотрим некоторые примеры основных пространств, построенных из функций вещественных аргументов.
1°. Пространство К (а), состоящее из всех бесконечно дифференцируемых функций ф(х), определенных в n-мерном пространстве Rn и обращающихся в нуль вне области
Ga— {!-^1|^^1> I-^2 | ^ ^2» •••> l-^nl^^n}
(a = (av а2, . . ., ап)).
С этим пространством мы неоднократно встречались раньше. Топология задается так, чтобы сходимость последовательности ср, (х) £ К (а) по топологии совпадала с равномерной сходимостью функций cpv(x) и всех их производных в области Ga. Такую топологию можно указать заданием счетной совокупности норм
№ = supJD«?(*)l (р = 0, 1,2, ...), (1) 191
эквивалентной, как нетрудно проверить, системе норм, приведенной в п. 3 § 3 гл. I. Нормы (1) также согласованы. В п. 2 § 6 гл. I мы проверили, что К (а) является совершенным пространством.
2°. Пространство К, состоящее из всех бесконечно дифференцируемых функций ср(х), каждая из которых обращается в нуль вне некоторой конечной области, зависящей от ср(х). Это пространство представляет собой, как мы видели в § 8 гл. I, объединение пространств К (а), где а = (1, ..., 1), (2, . . ., 2), . . . Каждое К (а?) вложено в любое К (а') с а' > а с сохранением сходимости. Напомним, что согласно определению сходимости в объединении последовательность cpvWE^ сходится к нулю тогда и только тогда, когда все фДх) обращаются в нуль вне некоторой (не зависящей от ^) конечной области, а внутри нее
равномерно сходятся к нулю вместе со всеми производными. Именно так мы определили сходимость в пространстве К в выпуске 1.
3°. Пространство 5, образованное из всех бесконечно дифференцируемых функций ср (х), определенных в n-мерном пространстве Rn, которое при |х|->оо стремится к нулю, так же как и их производные любого порядка, быстрее любой степени
Для задания топологии в пространстве 5 введем счетную систему норм
kllP= sup, |xfcD3T(x)| (р = 0, 1,2, ...). (2) I\q\<p
Очевидно, сходимость последовательности cpv(x) по топологии, определяемой этими нормами, совпадает со сходимостью, определенной в 5 в выпуске 1 (см. гл. I, § 1, п. 10). Ниже, в § 2, мы покажем, в частности, что нормы (2) попарно согласованы и . что 5 — совершенное пространство.
4°. Следующий класс пространств, содержащий как частные случаи пространства К (а) и 5, является по своей общности удобным для многих приложений.
Пусть заданы функции 1 С Л10 (х) ^ Мг (х) ^ ... <i ^ Мр (х) < . . ., определенные для всех х£ Rn и принимающие конечные или бесконечные значения. Мы будем предполагать, что обращаться в бесконечность эти функции могут только одновременно для всех р и что во всех точках, где они конечны, они представляют собой непрерывные функции.
Основное пространство Ф^Д^лу определяется следующим образом: оно состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср(х), для которых произведения Мр(х) Dqy (х) при | ^ | ^ р (р = 0, 1, 2, . . .) непрерывны и ограничены во всем пространстве. Отсюда следует, в частности, что для каждой ф(х)^К{Л1р} все выражения
IMp= sup, Л1р(х)|о4<р (х)| 0 = 0, 1, 2, . ..) (3)
конечны и что там, где Л^(х) = оо, обязательно все Dq^(x) = 0.
- В § 2 будет показано, что пространство К{лу является полным счетно-нормированным пространством; далее, оно будет и совершенным пространством (т. е. ограниченные множества в этом пространстве будут компактными), если функции Л1р(х) удовлетворяют некоторому добавочному условию. Чтобы получить пространство К (а) как частный случай пространства К {Мр}, нужно положить
{
1 при | х| < а,
L ()
оо при | х | ^ а
(так что ^(х) фактически не зависит от р); при этом формулы (3) перейдут в формулы (1). Чтобы получить пространство 5 как частный случай пространства К {АГ^}, нужно положить
М(x)=sup | лгл ] (=sup )xi‘...x^|).(5)
Можно заменить эту систему норм эквивалентной системой, определяемой функциями .
^(х) = (1 + |х1|/...(1 + |хи|)Л(б)
см. по этому поводу § 2, п. 3.
Другие важные примеры пространств К {УИ^} будут рассмотрены в гл. IV.
ных (полных) пространств ТсФ, причем топология в них была согласована таким образом, что из соотношений cpv->0 в Ч;, <pv~><Po в Ф вытекало сро = О. Теорема утверждала, что в таком случае из сходимости последовательности cpv к нулю в Ф следует сходимость cpv к нулю в Ф. Проверим, что предпосылка этой теоремы в нашем случае выполнена; для этого рассмотрим последовательность cpv, сходящуюся к нулю в ^ (а). При этом функции cpv(x) сходятся к нулю, во всяком случае, в каждой точке х. Если функции cpv(x) сходятся к функции ср0(х) в Ф, то, следовательно, сро(.г) = О. Таким образом, можно применить теорему 2 гл. I, § 7, п. 2; применяя ее, получаем требуемое.
Доказанная теорема справедлива и для случая, когда пространство Ф само не счетно-нормировано, но является объединением счетно-нормированных пространств Ф^ ^т=\, 2, ...); нужно только потребовать, чтобы все пространства Ф^, начиная с некоторого номера, содержали пространство К (я), и применить только что доказанную теорему.
Дальнейшие примеры. Переходим к примерам основных пространств, построенных из функций комплексных аргументов.
Условимся говорить, что функция f^ имеет порядок роста ^р и тип^а, если известно, что при любом е>0 выполняется неравенство *)
(==С^(а+е)[|г'1Р+---+1гп1Р]. (1)
*) В теории функций*) В теории функцийкомплексного переменного порядком
*) В теории функций
*) В теории функций
целой функции f(z) называют обычно точную нижнюю границу чисел р, т. е. величину
In In max |/(г) |
v—|2|=Г
hm —,
2 -> OOIn Г
а типом целой функции f(z) порядка p — точную нижнюю границу чисел а + е, т. е. величину
In max |/(г) I
г -> оо гРНо так как мы все время будем иметь дело с неравенствами, то чтобы избежать постоянного повторения одинаковых оговорок мы и будем пользоваться определением, указанным в тексте.г -> оо гРНо так как мы все время будем иметь дело с неравенствами, то чтобы избежать постоянного повторения одинаковых оговорок мы и будем пользоваться определением, указанным в тексте.Л I z I = г hm ——!.
г -> оо гР
Но так как мы все время будем иметь дело с неравенствами, то чтобы избежать постоянного повторения одинаковых оговорок мы и будем пользоваться определением, указанным в тексте.
г -> оо гР
Но так как мы все время будем иметь дело с неравенствами, то чтобы избежать постоянного повторения одинаковых оговорок мы и будем пользоваться определением, указанным в тексте.
1°. Пространство Z(a) состоит из всех целых аналитических функций ф(^) от п комплексных переменных ^i = Xi + ^i> zn = xH-Viyn, удовлетворяющих неравенствам
(=Скйп(ф)еа(|»'1+-+1^1), ^ = 0, 1, 2, .(2)
Из неравенств (2) видно, что функции ^(z)^Z(a) имеют порядок роста ^ 1 и тип ^ а.
В пространстве Z (а) зададим топологию с помощью счетной системы норм
||ф||Р = sup3 |/ф(х + 1у)|е~а|гИ(р = о, 1, 2, . ..). (3)
1»1<р
Как мы получим в § 2 из общих соображений, пространство Z (а) в указанной топологии будет (полным счетно-нормированным) совершенным пространством.
2°. Пространство Z, по определению, состоит из всех целых функций ^(x-^-i^), удовлетворяющих неравенствам
|^(ЛН ZjOl^CHW^W1^(4)
с какой-либо постоянной а(ф) (зависящей от ф). Таким образом, пространство Z по запасу функций есть объединение всех пространств Z {а) (а=1, 2, . . .). При а < а' пространство Z(a) вложено в пространство Z (д') с сохранением сходимости последовательностей. Поэтому пространство Z можно рассматривать как объединение пространств Z(a) в смысле § 8 гл. I. Это означает, что последовательность ^^(x)^Z считается сходящейся к нулю тогда и только тогда, когда все фДг) принадлежат к одному и тому же Z (я) и в нем сходятся к нулю по его топологии.
3°. Дадим теперь общую конструкцию класса пространств функций комплексных аргументов, в который как частный случай будет входить и пространство Z(a).
Пусть заданы непрерывные функции Мр (х) 1> С (_у) > 0 (р = 0, 1,2, . . .), определенные для всех х = (^, г2> . . ., х^. Основное пространство Z {ТИ^}, по определению, состоит из всех целых аналитических функций ф(^), для которых
конечны все выражения
||<р||р = sup3 Al^Cz) | <p(z) |.(5)
Очевидно, что эти выражения удовлетворяют обычным аксиомам нормы. В § 2 мы покажем, что пространство Z (М^ является полным счетно-нормированным пространством и при выполнении некоторого дополнительного условия, наложенного на функции Л4^(^), также и совершенным пространством.
Чтобы получить пространство Z (а) как частный случай пространств Z {Лу, следует положить
AL(z) = e-aW max \zK\
l^K^
(=-H^l) max |^ ... ^|).
|M <P
Можно заменить эту систему норм эквивалентной системой, определяемой функциями
М;(г) = е-“1г'1П(1+Ы)1’-
Другие важные примеры пространств будут рассмотрены в гл. IV.
Определение обобщенной функции. Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал (/, ср) в некотором основном пространстве Ф.
Таким образом, в отличие от обычных функций обобщенные функции определяются нс сами по себе, а в зависимости от выбранного основного пространства Ф.
Совокупность всех обобщенных функций над некоторым основным пространством Ф, очевидно, совпадает с сопряженным пространством Ф'.
Многие обобщенные функции могут быть заданы формулой вида
(/. ?)= $ fW^^dx,(1)
R
где /(х)— фиксированная функция, интегрируемая в каждой конечной области OaR («локально интегрируемая»). Линейный
непрерывный функционал, заданный формулой (1), называется регулярным функционалом, или функционалом типа функции f^x\ Такой функционал мы будем просто отождествлять с соответствующей функцией f(x).
Интеграл (1), вообще говоря, несобственный: он распространен на бесконечную область; поэтому нужно условиться о способе его суммирования. Мы примем самое простое условие, а именно, потребуем, чтобы интеграл (1) абсолютно сходился для каждой ср(х)£Ф.
В пространстве К это условие автоматически выполняется для любой локально интегрируемой функции, так как в силу финит- ности основной функции ф(х) интеграл (1) распространяется на ограниченную область.
В пространстве S для абсолютной сходимости интеграла (1) при всякой основной функции ф (х) достаточно (и необходимо), чтобы локально интегрируемая функция / (х) имела на бесконечности рост не выше степенного, т. е. удовлетворяла неравенству
l/WKCO + H)*
при некотором ^^0. Если это условие выполнено, функционал (1) будет непрерывным.
В пространстве/< {М^} для абсолютной сходимости интеграла (1) при всякой основной функции ф (х) достаточно, чтобы локально интегрируемая функция / (х) обладала следующим свойством: при некотором р отношение
является суммируемой функцией от х. Проверим, что в этом случае равенство (1) определяет линейный непрерывный функционал на пространстве Ф.
Действительно, в силу оценки
J / W ? to dxJ / W ? to dxlltllp J 1^<х>1 м~^ = 11?1Ь f г (х) dx
J / W ? to dx
J / W ? to dx
для любой ф (х) С К {М^} интеграл абсолютно сходится. Далее, если функции фм (х) стремятся к нулю в пространстве К {А1^}, то, в частности, и || фЛ ^ -> 0, откуда и
.1 (/, Ум)! = [Jfto^-A^dx |<||<Ы1Р J г (х) dx-*0, •
так как функционал (1) непрерывен.
Отметим, что значения регулярного функционала (f, ср) на основных функциях однозначно (с точностью до значе-
ний на множестве меры нуль) определяют соответствующую функцию f(x); это имеет место для каждого основного пространства Ф, содержащего все финитные бесконечно дифференцируемые функции ).
Достаточно рассмотреть нулевой регулярный функционал
и. = /(л:)ф(х)</х = 0.
Рассмотрим вначале случай одного переменного х. Покажем, что функция /(х) почти всюду равна нулю в произвольно заданном промежутке а<^х<^6. Будем в качестве ср(х) брать основные функции, обращающиеся в нуль вне этого промежутка. Пусть, далее,
ос
а
есть первообразная функции /(х); это — непрерывная (даже абсолютно непрерывная) функция, и имеет место формула интегрирования по частям
j f(x)y(x)dx = — У F (х) ср' (х) dx = 0. аа
Так как F(x) непрерывна, то можно использовать обычное рассуждение вариационного исчисления (лемма дю-Буа-Рай- монда), которое приводит к выводу, что F(x) = const. Но тогда /(х) = F' (х) = 0 (почти всюду), что и требовалось установить.
В общем случае, когда х = (хр х2, . . ., хп), можно рассуждать следующим образом. Пусть имеет место равенство СА ф) ^^J* * * * J*^^^’ ♦ • • > х^ ср (хр ..., xn) dx^ • • • dxn 0 (2) для каждой финитной бесконечно дифференцируемой функции ср (х). Рассмотрим функции ср (х) вида cpt (xt)-cp2 (х2, . . . ,хп). Пусть, далее,
/1 (^1) === f f ^V • • • > Х^ <Р2 С^2» • • • » ^п) dx^ • • • dxn.
функция j\^x^ при интегрировании в произведении с каждой основной функцией cp^xj дает нуль; по доказанному, /^(х^ почти при всех хх равна нулю. Фиксируя в равенстве (2) любое значение xv мы приходим к аналогичному равенству в пространстве п—1 измерений, так что доказательство завершается простой индукцией. Итак, почти при всех xv х2, . .., хп функция /(xv ..., х^ равна нулю, что и требовалось.
В силу доказанного мы можем отождествить регулярные функционалы с соответствующими им функциями. Таким образом, совокупность тех обычных функций, которые определяют регулярные функционалы, можно считать частью всей совокупности обобщенных функций.
Разумеется, существуют обобщенные функции и не приводящиеся к виду
(/> V) = / /W ? () йх = (/, ср);
они называются сингулярными.
Например, дельта-функция
(8(х — х0), ф(х)) = ср(х0)(3)
является непрерывным линейным функционалом (поскольку, как мы предположили, из сходимости последовательности основных функций cpv £ Ф по топологии пространства Ф следует сходимость последовательности значений этих функций в любой фиксированной точке).
Подчеркнем, что в пространствах аналитических функций точка х0 может быть и комплексной.
Функционал (3), вообще говоря, не может быть записан по формуле (1)*). См. по этому поводу выпуск 1, гл. I, § 1, п. 3.
Другие примеры обобщенных функций, которые не могут быть записаны в форме (1), даются формулами вида
(/. <?)=/ /о№ ^dx
или, более общим образом,
(/> ?) = J/oW^(£»)?W^.(/> ?) = J/oW^(£»)?W^.(4)(4)
(/> ?) = J/oW^(£»)?W^.
(/> ?) = J/oW^(£»)?W^.
(4)
(4)
р
где P(D) — ^aaDq—дифференциальный оператор, а /0(х)— локально интегрируемая функция.
Выражение (4) в действительности определяет линейный непрерывный функционал, например, в пространстве К^Мр\ если все отношения
являются суммируемыми функциями от х. Доказательство этого факта аналогично приведенному выше для случая р = 0.
Если функция /(х) не является дифференцируемой в обычном смысле до порядка р (что дало бы возможность интегрированием по частям освободиться от применения к основной функции ср(х) оператора Р (£))), то функционал (4) не записывается в форме
(5)(5)J/(x)y(x)dx,
(5)
(5)
т. е. не сводится к обычной функции.
Так обстоит дело, например, с дельта-функцией В(х— х0), которая, вообще говоря, не может быть записана в форме (5), но всегда может быть записана в форме (4):
(8(х — х0), <р)= ф(х?, . . ., х^) =
дхг .дхг .dxx .. . dx^ =dxx .. . dx^ =
дхг .
дхг .
dxx .. . dx^ =
dxx .. . dx^ =
— J foW ^^^ dxt... dx
где/0(х) равна 1 при х^^х^ и равна нулю для остальных х.
Мы покажем далее (§ 4), что при широких предположениях выражения вида (4) дают общий вид линейного непрерывного функционала.
§ 2. ТОПОЛОГИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ К ^Мр^ И Z ^Мр^
1» Вводные замечания» Мы начнем этот параграф с краткого изложения результатов, которые в нем будут получены.
Напомним, что пространство К^Мр} определяется заданием последовательности функций Жр(х), удовлетворяющих неравенствам 1 <^ Мо(х) <^. Mt(x) ^. . . ., принимающих конечные или одновременно бесконечные значения и непрерывных всюду, где они конечны. Пространство ^{Лlp} состоит, по определению, из всех бесконечно дифференцируемых функций ф(х) = ф(хр . .., хп), для которых произведения Мр (х) Dq^ (х) (|#|<^р) всюду непрерывны и ограничены во всем пространстве. Нормы в нем, как мы уже знаем, определяются по формулам
11?Нр= sup^ Ж (х)|о9<р(х)| (р —0, 1, 2, .. .). (1)
Мы покажем, что с этими нормами пространство К^Л1р} является полным счетно-нормированным пространством.
Каждая последовательность функций {Mp(x)}, удовлетворяющая перечисленным выше условиям, определяет некоторое пространство ^{Лlp}. Естественно поставить вопрос, когда две разные последовательности {А1р(х}) и {m^(x)} определяют одно и то же пространство (по запасу элементов и по топологии); системы {Жр(х)} и {ж^(х)} мы условимся в этом случае называть эквивалентными. Можно доказать, что имеет место следующий интересный факт: если пространства К(Л1р) и ^{лlp} совпадают по запасу элементов, то они совпадают и по топологии, т. е. топология в пространстве ^{Л4р) однозначно определяется запасом функций. Для эквивалентности систем функций |Мр(х)} и Mto} достаточно, чтобы существовали положительные постоянные С (р) и С' (р), при которых
С^<чЙч<С'^ (Р = 0, 1, (2) если считать, что это неравенство выполнено и там, где Мр to ~ Мр (х) = оо.
Часто в различных рассуждениях удобно ограничиваться финитными функциями. Мы покажем, что в общем случае финитные бесконечно дифференцируемые функции образуют в пространстве ^{Лlp} плотную систему.
Среди счетно-нормированных пространств, как мы знаем, наиболее важны совершенные — полные счетно-нормированные пространства, в которых ограниченные множества компактны. Для совершенства пространства К {Л4р} достаточно выполнения следующего условия, которое мы обозначим (Р) ):
(Р) для заданного е > 0 и любого р можно указать такое р' > р и такое N, что для тех х, для которых выполнено хотя бы одно из неравенств
\x\>N, Mp^>N, справедливо неравенство
Мр^<гМр« (х).
Если, в частности, Мр(х) конечны в любой конечной области, то можно записать условие (Р) в форме
При помощи этого достаточного условия легко проверяется, в частности, что пространства К(а) и S совершенны.
Сформулируем критерий сходимости последовательности i?vto} в пространстве К{Мр}> удовлетворяющем условию (Р). Для этого введем следующее удобное определение: будем называть последовательность бесконечно дифференцируемых функций {<pv(x)} правильно сходящейся, если при любом q последовательность {£№срДх)} сходится равномерно в каждой конечной области.
Мы увидим, что в пространстве К^Мр^, удовлетворяющем условию (Р), последовательность {cpv(x)} сходится (по топологии) тогда и только тогда, когда она ограничена в этом пространстве (т. е. ||cpv[|р^ Ср) и правильно сходится.
Пространство Z{Mp), как мы знаем, определяется заданием последовательности функций Мр(х) (р = 0, 1,...), которые предполагаются всюду непрерывными и не меньшими 1. Оно состоит из всех целых аналитических функций ф(г) = ф(гр . .., гп), для которых конечны все выражения 11Ф11р = 8иргЛ4р(г)|<р(г)|.(4)
Эти выражения принимаются за нормы в пространстве Z {Ж^}. Ниже мы покажем, что с этими нормами пространство Z {Жр} является полным счетно-нормированным пространством.
Далее, две системы функций {^(г)} и {^(г)} эквивалентны, т. е. определяют совпадающие пространства Z {Лу и Z {Мр} (по запасу элементов и топологии), если выполняется условие, аналогичное (2):
(г) °<С(р)<—^4<С'(Р).(5)
(г)
Наконец, для того чтобы пространство Z {7Ир) было совершенным, достаточно, чтобы выполнялось условие, аналогичное (Р), а именно:
Для каждого р найдется р' такое, что
При помощи этого условия мы проверим, что Z(a) является совершенным пространством.
Сформулируем критерий сходимости в пространстве Z{^}, удовлетворяющем указанному условию.
Назовем последовательность аналитических функций {^v^)} правильно сходящейся, если она сходится равномерно в любой конечной области вещественных значений аргументов (хр . .,, х^). Как и в случае пространств ^{Лlp}, для того чтобы последовательность {фу (г)} элементов пространства Z {Д4р} сходилась (по его топологии), необходимо и достаточно, чтобы она пх авильно сходилась и была ограниченной в Z {Мр} (по нормам).
(Заметим, что для ограниченной последовательности фДг) правильная сходимость следует из равномерной сходимости в одной фиксированной области.)
Пространство К {Мр} как полное счетно-нормированное пространство» Переходим к доказательству изложенных в п. 1 результатов. В настоящем пункте мы покажем, что с нормами
ll< = sup^(x)|D*<p(x)| (р = 0, 1,2...) (1) 1з1<Р
^ {Л4р} становится полным счетно-нормированным пространством.
Обозначим через Фр совокупность всех функций ср(х), имеющих непрерывные производные до порядка р, для которых функции Мр(х) Dqy (х) непрерывны и ограничены во всем пространстве. Очевидно, что Фр есть нормированное линейное пространство, если норму в нем определить формулой (1). Пересечение пространств Фу по всем р совпадает, как легко видеть, с пространством Ф = /С{лу.
Нашей ближайшей целью является доказательство полноты пространства Ф^. Леммы, которые понадобятся для этой теоремы, будут использованы и в дальнейшем.
Пусть дана последовательность функций фу(х)£Фр такая, что сами функции cpv (х) и их производные до порядка р в каждой конечной области равномерно сходятся к некоторым предельным функциям. Если
<р0(х)= Иш cpv(x),
то в силу известной теоремы о дифференцировании равномерно сходящейся последовательности функция ср0(х) имеет также производные до порядка р и п;и любом q, |^|^р,
О9<р0 (х) = lim DV(x).
Пусть теперь cpv(x) (v = 1, 2, . . .) — последовательность, фундаментальная по норме пространства Фр. Тогда, как вытекает из определения нормы (1), эта последовательность сходится равномерно в каждой ограниченной области вместе со своими производными до порядка р. Мы покажем, что предельная функция <р0(х) принадлежит пространству Ф^ и является пределом последовательности cpv(x) по
норме Фр, т. е. при v -> оо
II ?о —?vllp->0.
Лемма 1. Предел <р0 (х) последовательности cpv (х) £ Фр, сходящейся при v -> оо равномерно в каждой конечной области вместе с производными до порядка р и ограниченной по норме (1) постоянной С, также принадлежит пространству Фр и имеет в нем норму, не превосходящую С.
Доказательство. Как было указано, функция ср0(х) обладает производными всех порядков q, |^|<^р. Покажем, что выражение (1) для функции <р0 (х) конечно.
Пусть х0— точка, в которой Мр(х0)<оо. Так как функция Мр(х) в такой точке непрерывна, то имеется окрестность точки х0, в которой функция Мр(х) отклоняется от Л4р(х0) не больше чем на ^, где е — любое наперед заданное положительное число. Поэтому для указанной окрестности можно найти номер v0 так, что при v > м0•
Мр (х) I ФЪ (х)| < Мр (х) ID^ (X) I + е.
Но, по условию,
SUPa. Мр (х) ID9^, (х) I = II т, II < С, поэтому в указанной окрестности
^(х)|ОЧМ|<С + е.
В точках х0, где Жр(х0) = оо, функции <pv(x) обращаются в нуль вместё со всеми производными порядков q, I^I^P- Поэтому и функция Фо(х) вместе со всеми соответствующими производными равна нулю в таких точках.
Мы видим, что для функции с?о(х) выражение (1) существует и не превосходит С + е- Так как е произвольно, то ll?o!L<C, что и утверждалось.
Лемма 2. Всякая фундаментальная по норме ||ср||р последовательность ?v(x)€^p> сходящаяся к нулю в каждой точке х, сходится по норме к функции сро(х) = Ое
Доказательство. Поскольку фу (х) фундаментальна, в соответствии со сказанным выше существует функция ф0(х), имеющая непрерывные производные до порядка р и такая, что при v -> оо равномерно в каждой конечной области
D4^ (х) -> D4^o (х)(| q |< р).
Из условия леммы вытекает, что фо(х) = О.
Для заданного е>0 найдем v0(e) так, чтобы при v^v0, ji^v0 иметь || <pv — ср^||р ^е. Последовательность разностей фу— ф^ при ji —> оо сходится к функции фу(х) равномерно в каждой конечной области вместе с производными до порядка р. По предыдущей лемме
откуда и вытекает требуемое.
Теорема 1. Пространство Фр полно относительно нормы IIflip._
Доказательство. Пусть фv (х) £ Фр — фундаментальная по норме || ф||р последовательность. Эта последовательность, как мы уже заметили, сходится при v->oo равномерно вместе с производными до порядка р в каждой конечной области к некоторой функции ф0(х). Так как нормы ЦфЛр ограничены, то согласно лемме 1 фоИЕ^р- Разность фv — ф0 снова фундаментальна и сходится в каждой точке к нулю; по лемме 2 Ц фу — Toll^ “^0, откуда
=Р0
по норме [|ф||р. Теорема доказана.
Следствие. Пополнение Фр пространства Ф = К {Мр} по норме ПфЦр есть подпространство пространства Фр. (Это — частный случай общеизвестного факта: пополнение метрического пространства, изоморфного части М' полного пространства М, изометрично замыканию М' в пространстве М.)
Отсюда, в частности, мы получаем, что пересечение пространств Фр по всем р = ^, 1, 2, . ., совпадает с пространством Ф = 7С{Л1^}.
В соединении с согласованностью норм ||<р||р, которую мы сейчас проверим, этот результат даст полноту пространства ^{Лfp}. Действительно, условием полноты счетно- нормированного пространства Ф, как было показано в п. 2 § 3 гл. I, является как раз выполнение равенства
ф=ПфР-
Покажем теперь, что всякие две нормы ||<р|| и Ц<р Ц' из тех, которые установлены в пространстве К\Мр\, попарно согласованы, т. е. что всякая фундаментальная по обеим нормам последовательность %£Ф, сходящаяся к нулю по одной из норм, сходится к нулю также и по второй норме.
Лемма 3. Пусть в пространстве Ф функций ср(х) заданы две нормы
11?П1= ^Psc Мх^уоЧ^, ||?||2= supa.M2(x)|D9cp(x)|.
IqKPiIqI<P2
Утверждается, что эти нормы взаимно согласованы.
Доказательство. Пусть последовательность ^vME^ фундаментальна по обеим нормам и по одной из них — для определенности по ЦсрЦ! — стремится к нулю:
1Ы11= sup^ ^(х^О^ДхД^-г-О,(2)
IqKPi
И?» —<Мг = sup^. M2(x)|D9[Tv(x) — ^(x)!!^-0. (3)
I Q I < ^2
Полагая в (2) ^ = 0, получаем, в частности, что в каждой точке функции cpv (х) равномерно стремятся к нулю. Применим теперь к норме || • ||2 лемму 2; мы получим, что 11 ?vII2"^ 0, что и требовалось.
■ Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Пространство ^{Лlp} является полным €четно-нормированным пространством.
Условие совершенства пространства K{VHP}. Переходим к рассмотрению вопроса о совершенстве пространства /С{Мр},
Докажем, что пространство ^ {Л1р} совершенно, если выполнено следующее условие.
(Р) Для заданного е > 0 и любого р найдется такое р' > р и такое N, что если х удовлетворяет хотя би одному из неравенств
\x\>N, Mp(x)>N, то*
Мр О) < £^V О)-
Из условия (Р) в первую очередь можно вывести, что все произведения Мр (х) DQ<? (х) (| q | <; р) не только ограничены во всем пространстве, но и стремятся к нулю при | х | —> оо или Мр^ —> ОО.
Действительно, допуская противное, мы найдем для некоторых индексов q и р, | q | <^ р, последовательность х^, уходящую в бесконечность или такую, что Mp(xv) —> оо, для которой
Mp^\D^^\>C>0.
Для индекса р', соответствующего индексу р по условию (Р), мы имеем:
Мр (xj < е.Мр, (х„),
где ev—>0. Отсюда
М»< (xj | Dq^ (х,) | оо, что противоречит принадлежности функции ср (х) пространству к{лу.
Основой доказательства совершенства пространства К^Лу является следующая лемма.
Лемма. Всякая ограниченная по каждой из норм ||<р[|р последовательность <pv (.к) Е Л^М^}, правильно сходящаяся к нулю, сходится к нулю и по каждой из норм Ц<р||р.
Доказательство. Фиксируя р, найдем индекс р' из условия (Р). Поскольку последовательность cpv ограничена, величины ||<рЛ^' не превосходят, например, величины С.
Для данного е > 0 найдем число N так, чтобы как при |x|>^, так и при Mp(x)>N иметь в тех точках, где ^(х) и Мрг(х) конечны
Мр^<^Мр<х\(1)
Тогда для указанных х и любого q, |^|<^р,
Мр (х) I D^ W | < ^ Мр. (х) I D4 (х) К -L II ?v II р- < е. (2)
В тех точках х, где Мр(х) = Мр, (х) = т, имеем:
Л4р(х)|ОЧМ1 = 0.
Для всех остальных х (образующих компактное множество) можно указать такое м0, что при м > ^0 и всех q, I я К р.
^pWI^’tvWK8-(3>
Используя (2), мы видим, что в действительности (3) выполнено при v > v0 для всех x^R. Отсюда при ^ > ^0
II ?, Пр = suPa; Мр (х) | ^ (х) | < е.
Таким образом, ЦфЛр->0, что и требовалось.
Следствие. Если последовательность ^^^К{Мр} ограничена по каждой из норм ||<р||р и при м—>оо правильно сходится к некоторой функции cpoto, то эта функция ф0(х) принадлежит к пространству ^{Лlp} и является пределом последовательности cpv(x) по топологии пространства К{Мр].
Действительно, в силу леммы 1 п. 2 функция ср0(^) принадлежит к каждому Фр и тем самым и пространству
Разность ср0—cpv ограничена по каждой из норм ||ф||р и правильно сходится к нулю. Применяя только что доказанную лемму, мы получаем, что при любом р
II ?v — SPollp —► 0>
откуда вытекает, что ф0 есть предел последовательности cpv по топологии пространства Ф, что и требуется.
Теперь мы в состоянии доказать основную теорему о совершенстве счетно-нормированного пространства АГ {Л!^} С системой норм, удовлетворяющих условию (Р).
Теорема. Если функции Мр(х) (р = 0, 1, 2, ...) удовлетворяют условию (Р), то пространство К{Мр\ совершенно.
Условие этой теоремы выполняется в пространствах К (#) и S. Для пространства К (и) это имеет место в силу того факта, что соответствующие функции Мр (х) вне некоторого шара обращаются в бесконечность. Для пространства S можно положить (см. следующий пункт) п
^(^)=П(1+|л;>|)Р’
и, очевидно, для выполнения условия (Р) достаточно принять р'=р-^\. Таким образом, из этой теоремы мы получим, в частности, что пространства К (я) и S совершенны. Впрочем, совершенство пространства К (я) мы установили еще в § 6 гл. I; совершенство пространства S также можно было бы проверить непосредственно.
Доказательство. Мы уже видели, что К {Мр} есть полное счетно-нормированное пространство. Докажем, что каждое ограниченное множество ЛсА^Лу компактно.
Пусть ф^Л (7=1, 2, . . .) — произвольная ограниченная последовательность; достаточно проверить, что она содержит правильно сходящуюся подпоследовательность.
В силу ограниченности нормы ЦфЛх функции | ^^^ | (7=1, 2, . .., п) равномерно ограничены. Поэтому в силу теоремы Арцела существует подпоследовательность ?и» ?12’--” которая равномерно сходится при |х|^1. У этой подпоследовательности в силу ограниченности норм II ?ь II2 ПРИ | * | < 2 ограничены значения | ^^~ | • Поэтому, по той же теореме Арцела, она содержит подпоследовательность ср21, ср22, . . ., у которой в области |х|^2 равномерно сходятся значения первых производных ^^” • Из сходимости функций ф2^ при | х | <; 1 и равномерной сходимости их производных при | х | <; 2 вытекает и равномерная сходимость этих функций при |х|^2. Продолжая таким образом далее и применяя затем диагональный процесс, мы получаем ограниченную подпоследовательность
фп, ?22’ • • •> равномерно сходящуюся вместе со всеми производными в любой конечной области к некоторому пределу ср0(х). Применяя следствие из леммы, мы получаем, что последовательность cpvv сходится к элементу ср0 по топологии пространства К{Мр), что и требуется.
В дальнейшем, говоря о пространствах К^Мр^ мы, как правило, будем предполагать выполненным условие (Р), не оговаривая этого явно ).
Эквивалентные системы норм. Пусть даны две системы функций Мр(х) и Мр(х) (р = 0, 1, 2, . ..), удовлетворяющие условиям
(х)0<С^<^7У<С(1)
Мр (х)v 7
где С(р) и С7 (р)— некоторые постоянные. Это неравенство будем считать выполненным и там, где Мр (х) = Мр (х) = оо. Покажем, что счетно-нормированные пространства К^Мр^ и К^Мр), построенные соответственно по функциям Мр(х) и Мр(х\ совпадают (по запасу элементов и по топологии). Действительно, если для некоторой функции ср (х) конечно выражение
11<р]|р = sup Mp(x)|D'/T(x)|,
то конечно и выражение
II ? IIр = sup^ Мр (х) | Z^cp(х) | <
<-^iSupa^(x)|DMx)|:=(2)
обратное также верно, поскольку
imp<c'(/,). |ы;.о)
Таким образом, пространства К ^Мр^ и ^{Л4^} состоят из одних и тех же функций. Неравенства (2)—(3) показывают, далее, что системы норм ||ср|| и || ср ||7 эквивалентны в смысле
п. 6 § 3 гл. I; отсюда и следует, что пространства ^{Л12)} и К ^Мр) совпадают по своей топологии. Как мы уже говорили в n. 1, мы будем называть эквивалентными и сами системы функций Мр(х) и Мр(х), удовлетворяющие условиям (1).
Пример. Пусть
(х) = sup I X*1 .. . х*« I |А|<Р и
=(1+1^1/... (1+|хй|/
(пространство 5). Тогда, очевидно,
Мр(х)<Мр(х).
С другой стороны, так как
... . ( 2 при К I < 1 >+ №КЬк при |ха>1,
ТО
Мр^С^Мр^х).
Таким образом, эти системы функций \Мр (х)} и {ТИ^(х)} эквивалентны.
Финитные функции в пространстве ^{Mp}. Покажем, что финитные функции образуют в любом пространстве К{Мр] плотную систему *\
Очевидно, что если функции Мр(х) всюду конечны, то пространство К{Л1р} содержит все финитные бесконечно дифференцируемые функции.
тр = тах^ \ОЧ(х)\.Очевидно, что при любом v= 1, 2, . .., венствошахж П7Ц- <^р.имеет место нера-тр = тах^ \ОЧ(х)\.Очевидно, что при любом v= 1, 2, . .., венствошахж П7Ц- <^р.имеет место нера-*) Мы предполагаем, что выполнено условие (Р).*) Мы предполагаем, что выполнено условие (Р).Построим произвольно бесконечно дифференцируемую функцию h^x^ равную 1 при | х | <; 1 и равную нулю при ' х|>>2. Положим
тр = тах^ \ОЧ(х)\.
Очевидно, что при любом v= 1, 2, . .., венство
шахж П7Ц- <^р.
имеет место нера-
тр = тах^ \ОЧ(х)\.
Очевидно, что при любом v= 1, 2, . .., венство
шахж П7Ц- <^р.
имеет место нера-
*) Мы предполагаем, что выполнено условие (Р).
*) Мы предполагаем, что выполнено условие (Р).
Для заданной ср (%) £ Ф = К (Alp) определим последовательность финитных бесконечно дифференцируемых функций (х \
~ j (v = 1, 2, . . .). Покажем, что при v —> оо эти функции сходятся к функции ср (%) по топологии пространства Ф. В соответствии с результатами п. 2 достаточно проверить, что функции ср Да:) правильно сходятся к ср (а:) и ограничены по каждой из норм ПуПр.
Правильная сходимость последовательности cpv (а:) вытекает из того факта, что в любой конечной области функции ср Да:), начиная с некоторого номера, совпадают с функцией ср (а:). Оценим теперь числа || cpv ||р. Мы имеем при | q | ^ р
Мр(х) | Dq^ (х) | = Мр (х) ^ С\^к к
< 2 сХтрМр (х) | Dq-\ (х) | < Сртр\\ ? Цр ), к
откуда вытекает, что числа ЦфД^ ограничены постоянной, не зависящей от v. Таким образом, последовательность ср Да:) ограничена в пространстве К^Мр}; этого, как мы видели, достаточно для утверждения о справедливости нашего результата.
Пространства Z^MP^. Переходим теперь к пространствам ЧГ = Z ^Л1р}.
Через Фр мы обозначим совокупность целых аналитических функций, для которых Цф|1р< оо при фиксированном р.
Лемма 1. Если последовательность фД^)С^р ограничена по норме П4> ||р постоянной С и правильно сходится, то ее предел ф0(г) также принадлежит пространству Фр и имеет в нем норму, не превосходящую С.
где С^где С^Доказательство. Последовательность фДг) ограничена по модулю в каждой конечной области. Так как при
где С^
где С^
§ 2. ТОПОЛОГЙЯ В ПРОСТРАНСТВАХ А* {лу И 2{Лу 125 вещественных z = x она сходится к некоторому пределу ф0 (г), то в силу основных теорем для аналитических функций она сходится к пределу ф0(2) в каждой конечной области, причем фо (*) является аналитическим продолжением функции ф0 (х).
Далее мы можем применить рассуждение, аналогичное проведенному при доказательстве леммы 1 п. 2; оно покажет, что величина ||ф0||р ограничена величиной С, что и требуется.
Повторяя теперь рассуждения п. 2, найдем, что пространство Фр полно относительно нормы ||фЦр и, следовательно, пополнение Фр пространства Ф по норме Пф |[р есть некоторое подпространство пространства Фр. Отсюда следует, далее, что пересечение всех Фр совпадает с самим Ф.
Так же как в п. 2, мы докажем, что нормы ||ф||р попарно согласованы. Следовательно, Z {Лу —полное счетно-нормированное пространство. Наложим на функции Mp(z) условие: для любого р существует р' > р, для которого
Иш| 2 1 > ооИш| 2 1 > оо0.0.(1)(1)
Иш| 2 1 > оо
Иш| 2 1 > оо
0.
0.
(1)
(1)
Тогда, так же как и в п. 3, мы придем к результату: если последовательность ф^ (г) £ Ф ограничена по каждой из норм Цф[|р и при этом правильно сходится к некоторой функции ф0 (z) (первоначально заданной только при вещественных z = x\ то фо(^)€^ и является пределом последовательности фо (г) по топологии пространства Ф.
Этот результат, так же как в п. 3, приводит нас к заключительной теореме.
Теорема При условии (1) пространство Z {Лу совершенно.
Так же как в п. 4, можно установить, что две системы функций Mp(z) и Mp(z), удовлетворяющие неравенствам (г)
о<С(р)<-2-<с 4pY(2)
Мр (г)
определяют совпадающие пространства Z (Лу и Z {Л4^| (по запасу элементов и по топологии); соответствующие системы норм ||ф||р и ЦфЦ^ и системы самих функций Mp(z) и Мр(г) называются эквивалентными.
Условие (1) заведомо выполнено в пространстве Z (а). Действительно, в этом случае можно положить в силу сказанного в предыдущем абзаце
Л4г,(г) = ^“1У1П(1+|^Ю;
очевидно, что для выполнения условия (1) достаточно принять р' = р-\-\. Таким образом, в силу последней теоремы пространство Z(&) совершенно.
ДЕЙСТВИЯ С ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Линейные операции и предельный переход. Мы определили обобщенные функции как линейные непрерывные функционалы над некоторым основным пространством. Таким образом, совокупность обобщенных функций над пространством Ф есть сопряженное пространство Ф\
Для обобщенных функций, как элементов сопряженного пространства, естественно определены линейные операции и предельный переход.
Линейные операции — сложение и умножение на число — задаются формулами )
(Л+/2. ?) = (А. ?) + (А. ?).
(а/, <р) = а(/, <р).
Что касается предельного перехода, то в этой главе мы будем пользоваться только «слабой» сходимостью, именно, будем говорить, что последовательность /v £ Ф' сходится к функционалу /£Ф', если для каждого ср имеет место соотношение .
(А. ?)->(/. ?)•
В гл. I (§§ 5 и 8) мы доказали, что сопряженное пространство полно относительно слабой сходимости последовательностей. Это означает, что пространство обобщенных функций обладает следующим свойством: если для каждого
ср£ф числовая последовательность (/v, ср) имеет предел /(ср), то /(ф) есть также линейный непрерывный функционал.
Укажем простое достаточное условие для сходимости последовательности функционалов Л^Ф7, соответствующих функциям /Дх) (v=l, 2, . ..) (такие функционалы мы назвали регулярными).
Теорема. Пусть известно, что последовательность функций fv(x) удовлетворяет следующим условиям*.
IА (х) I ^ ^(х)» г^е gW— локально интегрируемая функция, также определяющая функционал на пространстве Ф;
почти всюду имеет место предельное соотношение lim/v(X)=/0(x).
Тогда функция /0(х) также определяет линейный непрерывный функционал /0 на пространстве Ф и Нш /^ = /0 по слабой топологии пространства Ф'.
Доказательство. Применяя теорему Лебега к последовательности f^(x)^(x), мажорируемой в области | х | <^ а интегрируемой функцией g(х) | ср (х) |, мы получаем оценку
Г |/0 М у (х) | <Zx = lim Г l/v(x)<p(x)\dx <
JОО ।
а? | <а| х | < а
< / gWI?(x)|dx<Jg(x)|<p(x)|dx,
I x | < aR
которая гарантирует абсолютную сходимость интеграла
У /о (*) V (X) dx = (/0, ср). R
Как (слабый) предел непрерывных функционалов А, функционал /0 также является непрерывным, что и требовалось.
Заметим, что регулярные функционалы могут сходиться к сингулярным. Так, в § 2 гл. I выпуска 1 мы построили различные последовательности регулярных функционалов, сходящиеся к дельта-функции. Далее, в § 4, мы увидим, что в широком классе пространств регулярные функционалы образуют плотное множество среди всех функционалов.
Дальнейшие операции в пространстве Ф7 могут быть определены в зависимости от наличия операций в пространстве Ф как сопряженные к последним (гл. I, §§ 7 и 8).
Наименования операций в пространстве Ф', получаемых этим путем, даются в зависимости от того, какой (классической) операции анализа соответствует данная сопряженная операция, если ее применять к функционалам типа функции.
Умножение на функцию. Предположим, что умножение на некоторую функцию ^(х) является линейной непрерывной операцией в основном пространстве Ф. Это значит в соответствии с § 7 гл. I, что для любой <р £ Ф произведение g^ снова принадлежит Ф и что из <pv —>0 вытекает g^^ —>0 по топологии Ф. Такая функция g^ называется мультипликатором в пространстве Ф.
Операция в пространстве Ф', определяемая формулой
(&Л ?) = (/. СТ)>(!)
т. е. операция, сопряженная к операции умножения на g(x) в пространстве Ф, называется умножением на функцию *).
Проверим обоснованность такого названия. Если /—функционал типа функции /(х), то мы имеем:
(gf. ?)=(/- ^у) = / / to g to ? to dx =
=J [/to s"toi т to ^=(§■ to/to- ?).
t. e. gf есть действительно функционал типа функции — произведения g(x")f(x).
Примеры. В пространствах К (а) и К мультипликаторами служат любые бесконечно дифференцируемые функции (соответственно в области | х | <^ а или на всем пространстве).
В пространстве 5 мультипликатором служит любая бесконечно дифференцируемая функция gOO, каждая из
*) В комплексном случае умножение на функцию g^ в пространстве Ф' определяется формулой
(s/ ?) = V- g^.
в предположении, что g— мультипликатор в Ф.
производных которой имеет на бесконечности рост не выше степенного:
№(х)1 <Сд(1+|х|Л (kl = 0, 1, 2,
Для доказательства надо оценить выражения
^D[g-(x)y(x)] при 1^1 <Р- |*|О-
Ограничимся для простоты случаем одного независимого переменного. В этом случае
I X^gt? I < 5 | Xft 11 Z)^! I I C3q <
з
.<|х*|Е^сд1 + И)*Ф’~М<
3
< SC^.(1 +1 x|)Ъ+А I D^cpl <
3
^C^II^^ChLp.(2)
3
Таким образом, функция [V^g-cp, ограничена при |^|^р, \q |^ р. Это означает, что ^ср £ 5. Кроме того, неравенство (2) показывает, что оператор умножения на функцию g(x) переводит ограниченное множество в пространстве 5 снова в ограниченное множество; он, таким образом, ограничен, а следовательно, и непрерывен.
Аналогичное рассуждение можно провести и в общем пространстве /<{Л1^} при следующем условии: для каждых двух индексов риг, р^г, можно указать такой индекс s ^ р, что
МДху МДх^СС^МДху(3)
Тогда всякая бесконечно дифференцируемая функция g(x\ удовлетворяющая неравенствам
I D^gW | <^ С^М^^ (х) (для каждого q) будет мультипликатором в пространстве /<{Лу.
Доказательство проходит по схеме, приведенной для пространства 5.
В пространстве Z (а) мультипликаторами являются многочлены от z; в пространстве Z —целые аналитические
функции g^Y удовлетворяющие неравенствам вида |^(2)|<С(1+|^|)^ И(4)
при некоторых & > 0 и /п^>0.
Первое утверждение очевидно; докажем второе.
Легко видеть, что произведение целой функции g^), удовлетворяющей неравенству (4), на функцию <р (z) £ Z снова есть функция из пространства Z. Точнее, если ф(г) принадлежит Z(a)t то произведение g^ принадлежит Z(a-\-b). При этом, если Цф!!^ означает р-ю норму в пространстве Z (а), то мы получим
||g.v||(a+6)= SUp2 ^к g^ у (г)|е-(а+6)|У I ^
<; sups |z|fec(i4~|zmI)eb 1 y[I?(^)I^_(a+6)I
<C(M<,1m + ll?ll <,'>).
и следовательно, ограниченное множество в пространстве Z переходит при умножении на g снова в ограниченное множество; таким образом, умножение на g есть ограниченный— и поэтому непрерывный — оператор.
Умножение на функции соответствующих типов определено в соответствующих сопряженных пространствах К7 (а), К7, S', КЦМр^> Z'(a), Z'.
С рядом других примеров читатель познакомится в гл. IV.
Деление единицы на многочлен в пространстве Z'. Во многих вопросах оказывается необходимым решать в обобщенных функциях уравнение
Nf=^(О
где Р^ = P^zv z^ ..., z^— многочлен, а /—неизвестный функционал. Мы покажем здесь, что уравнение (1) всегда разрешимо в пространстве Z'.
Предположим сначала, что Р^ имеет несколько специальный вид
Р (z) = azT +2 Pk ^гz^ &, а * 0.(2)
А=0
5]
Рассмотрим пространство п-|-1 (вещественных) измерений, определяемых вещественными составляющими xr, . .., хп и мнимой составляющей yv В этом пространстве мы построим разрывное многообразие Г, которое будем называть «лестницей Хормандера». Для этого разобьем (я—^-мерное вещественное пространство х2, .. ., хп на локально
Рис. 1.
конечное (т. е. конечное в каждом шаре) число частей Др . Дг, . .. (п— 2)-мерными гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям, и части Ду сопоставим некоторое значение у1=уз\ Лестницей Хох мандера будем называть множество всех точек (xv . . ., хп, у^, где — оо < xt < оо, и если (х2, . . ., х^ £ Ду, то yv = у^ (/=1, 2, ...). На рис. 1 показана лестница для случая координат xv х2, yv Ниже мы докажем, что для данного многочлена P(z) всегда можно построить лестницу Тр, на которой | P(z) | ^ | а | и все [j/^ | ограничены одной и той же постоянной Со.
Имея такую лестницу, положим
(3)(3)(/, V) = / ^1±!Ml222^L dxx... dxn.
(3)
(3)
VJ J P (xt + iyx, X2, .... Xn) 1
T„
Этот тель как (дляЭтот тель как (дляинтеграл существует вследствие того, что знамена- по модулю превосходит |а|, а функция <р (агх —|—Zjzt, хпУ основная в пространстве Z, равномерно по j^ |_У11 ^ Со) стремится к нулю быстрее любой степени
Этот тель как (для
Этот тель как (для
-jiy (когда | аг | —^ оо) и, следовательно, интегрируема. Очевидно также, что функционал (3) непрерывен в пространстве Z.
Покажем, что этот функционал переходит в 1 при умножении на Р^У Действительно, мы имеем:
(P(z)/, т)-(/.^(^?(2)) =
., х^ dxx . . . dxn =
т.
^j (^2,^^j^j (^2,^^j'it *^2» * * * 1 ^п) dx^ X'it *^2» * * * 1 ^п) dx^ X2 • • • dxn.2 • • • dxn.
^j (^2,^^j
^j (^2,^^j
'it *^2» * * * 1 ^п) dx^ X
'it *^2» * * * 1 ^п) dx^ X
2 • • • dxn.
2 • • • dxn.
В силу формулы Коши внутренний интеграл, который вычисляется по прямой в плоскости zx = ххЦ- iyv параллельной вещественной оси и проходящей на расстоянии (.yi^l от нее, можно заменить, не изменяя его величины, интегралом по самой вещественной оси. При этом мы получаем:
(^(2)/, т)= 2 /••! ^<х;, x^dxx...dxn = Aj (жа, Х^^ -оо
= J<p(x) dx, откуда следует, что
P^f=X,
что и требовалось.
Покажем теперь, что лестница, на которой [P(^)|^[a|, существует.
Рассмотрим многочлен
т-1
Р(г) = «гГ + 5 Pk(z2z^z*к-0
при произвольно фиксированных значениях z2 = x2l... . zn = xn. На ^-плоскости он имеет не более чем иг корней ^zW и допускает разложение
р (z) = a (z — z^ (z — Zi2)) • . . . • (z — 4W)).(4)
В полосе |^i|<^^H-l ширины 2zn-|-2 всегда можно провести прямую -у1 = const, которая отстоит более чем на 1 от всех корней многочлена; из разложения (4) видно, что на этой прямой заведомо
|Р(г)|>|а|.
Так как корни многочлена с постоянным старшим коэффициентом непрерывно зависят от остальных коэффициентов, то для достаточно малой окрестности точки (z2z^ соответствующие корни z^z^ будут помещаться на ^-плоскости в как угодно малых кружках около их первоначальных положений. Поэтому вдоль найденной прямой ^ =const будет сохраняться неравенство
|Р(£)|>И
и в некоторой окрестности взятой точки z2 = x21... • • • > ^и ^^ хп*
Итак, каждой точке в пространстве (х2хп) мы можем сопоставить некоторую ее окрестность по указанному правилу. Можно считать, что эти окрестности ограничиваются гиперплоскостями, параллельными координатным. Применяя лемму Гейне—Бореля, можно из всего покрытия пространства (х2, . . ., х^ такими окрестностями выбрать локально конечное покрытие А1Э А2Ау, . ..; заменяя, далее, каждое Ау на Ау = Ау — At—. ..—Ay_b получим непересекающиеся участки, которые и определяют вместе с соответствующими значениями ^ соответствующую лестницу.
Мы доказали теорему о существовании функционала / для многочлена P(z) специального вида (2).
Пусть теперь Р^— произвольный многочлен. Покажем, что существует невырожденное линейное вещественное преобразование координат
п
Xj = 5 с^к, det II cjk II + 0,(5)
которое приводит многочлен Р(х) к виду
т-1
P(xv х„) = а^+5 Р^гUS?, а + 0. (2') к =0
Доказательство. Линейное преобразование (5) с неопределенной пока матрицей С=||с^|| переводит многочлен P(xv ..., х^ в некоторый новый многочлен т-й степени относительно величин ^, . .., Вп. Коэффициент при ^ получается из старших членов многочлена Р и представляет собой некоторый многочлен от элементов первого столбца матрицы С. Точнее, если
2 ах^х^г . . . . . х^гг
есть группа членов размерности т, то коэффициент при ^ имеет вид
с>-(6)
Г
Среди членов этого многочлена нет подобных; поэтому он не вырождается и способен принимать ненулевые значения. В качестве cxv . .., сп1 можно взять систему вещественных чисел, не всех равных нулю, обеспечивающую отличное от нуля значение а для (6). Остальные элементы матрицы выбираются произвольно, с тем чтобы det ||^|| был отличным от нуля.
Теперь ясно, как доказать существование функционала /, удовлетворяющего уравнению
■P^f=\,(7)
в общем случае.
- Произведем линейное преобразование аргументов z = Czf, приводящее многочлен P(z) к виду (7). При этом преоб-
разовании пространство Z перейдет в себя и, следовательно, останется инвариантным и пространство Z'.
Для преобразованного многочлена решим уравнение
Р(СИ^=1.
Существование функционала g = g(z') было доказано выше.
Далее, определим функционал / из условия
f^-=g<c-xzY
Мы будем иметь тогда
Р (г)/(г) = Ptpz'mCz^ = Р (Cz') g(z') = 1,
что и требовалось.
Тем самым существование функционала /, удовлетворяющего уравнению (7), доказано в общем случае.
Дифференцирование. Предположим, что операция
OXj определена и непрерывна в основном пространстве Ф: для любой функции ср(х)^Ф производная ^- также принадлежит Ф и из со (х)—>0 вытекает > 0 по топологии Ф.
Операцией в пространстве Ф' называется операция, производимая по формуле
(1)(1)
(1)
(1)
в простран-в простран-т. е. операция, сопряженная к операции стве Ф.т. е. операция, сопряженная к операции стве Ф.
в простран-
в простран-
т. е. операция, сопряженная к операции стве Ф.
т. е. операция, сопряженная к операции стве Ф.
Проверим обоснованность этого определения. Если /—регулярный функционал типа непрерывной дифференцируемой по х^ и финитной функции, то с помощью интегрирования по частям мы получим:
т. е. операция ^- переводит функцию /(х) в ее обычную производную ПО Xj.
Операция дифференцирования в пространстве Ф', как
сопряженная к непрерывной операции, сама является непрерывной операцией: если /v->/ по (слабой) топологии про-
странства Ф , то и— в том же смысле.
roxj дх3-
Поскольку процесс дифференцирования можно повторять, каждая обобщенная функция имеет производные всех порядков и каждый дифференциальный оператор конечного порядка (где aq(x)— мультипликаторы в Ф)
Р (О) 2 ач W D^^a9 w•
^^dx9l...dx*^
является непрерывным оператором в Ф'. Формула, по которой действует оператор РфУ следующая:
(Р(О)/, ^ = ^(х)X 9(Р(О)/, ^ = ^(х)X 9дх9' ... дх9"дх9' ... дх9"д»+- ип дх^ ... дх9”д»+- ип дх^ ... дх9”= U.P4D)^,(2)= U.P4D)^,(2)где Р* (D) означает сопряженный дифференциальныйгде Р* (D) означает сопряженный дифференциальныйратор: 1ратор: 1P*(D) ср = ^ (—I)'91P*(D) ср = ^ (—I)'91дх91 ... дх9” 'дх91 ... дх9” 'one-(3)one-(3)Если коэффициенты aq(x) = aq постоянны, то P*(D) = = Р(—D) и формула упрощается:Если коэффициенты aq(x) = aq постоянны, то P*(D) = = Р(—D) и формула упрощается:(Р(О)/,<р) = (/,Р(—О)?).(Р(О)/,<р) = (/,Р(—О)?).(4)(4)
(Р(О)/, ^ = ^(х)
X 9
(Р(О)/, ^ = ^(х)
X 9
дх9' ... дх9"
дх9' ... дх9"
д»+- ип дх^ ... дх9”
д»+- ип дх^ ... дх9”
= U.P4D)^,(2)
= U.P4D)^,(2)
где Р* (D) означает сопряженный дифференциальный
где Р* (D) означает сопряженный дифференциальный
ратор: 1
ратор: 1
P*(D) ср = ^ (—I)'91
P*(D) ср = ^ (—I)'91
дх91 ... дх9” '
дх91 ... дх9” '
one-
(3)
one-
(3)
Если коэффициенты aq(x) = aq постоянны, то P*(D) = = Р(—D) и формула упрощается:
Если коэффициенты aq(x) = aq постоянны, то P*(D) = = Р(—D) и формула упрощается:
(Р(О)/,<р) = (/,Р(—О)?).
(Р(О)/,<р) = (/,Р(—О)?).
(4)
(4)
В частности, формула (4) показывает, что для смешанных производных в пространстве Ф' имеет место независимость результата от порядка дифференцирования.
Примеры. В пространствах К (а) и К, очевидно, д
операции определены и непрерывны для любого
у=1,2, . .., п.
В пространстве S эти операции также определены и непрерывны. Действительно,
зирж L6D8^-|< sup^
IfcblSKp1 °Xj\ |fc|, |#|<;p-H
откуда вытекает ограниченность, а следовательно, и непре
рывность операциирывность операцииис
рывность операции
рывность операции
-5— в пространстве о.
Соответствующее предложение оказывается справедливым и для пространства K^Mp], если выполнено следующее условие: для любого индекса р можно указать индекс р' > р так, что имеет место неравенство
Мр(,х)Срр*мр* С^)*Мр(,х)Срр*мр* С^)*(5)(5)
Мр(,х)Срр*мр* С^)*
Мр(,х)Срр*мр* С^)*
(5)
(5)
Доказательство аналогично приведенному для пространства S.
Проверим, что операция ^- является непрерывной и в пространстве Z(a).3
Применяя формулу Коши в плоскости переменного ^, получаем (| к |<; р\.
"^ 1"^ 1 ^(^у(г)) ^(^у(г))dZjdZjкД . . . zk3 1 .. . zk» <? (z) =кД . . . zk3 1 .. . zk» <? (z) =
"^ 1
"^ 1
^(^у(г))
^(^у(г))
dZj
dZj
кД . . . zk3 1 .. . zk» <? (z) =
кД . . . zk3 1 .. . zk» <? (z) =
Г z^1 ...^3 ...z^^z,^,.... zj
^l J^j-Zj^^
|Е-з,|=1
откуда
следовательно,
что доказывает ограниченность и, значит, непрерывность операции ~- в пространстве Z (а). Вместе с тем мы получаем непрерывность операции -~- в пространстве Z.
Другие примеры читатель найдет в гл. IV.
СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Структура обобщенных функций в пространстве ЛГ{Мр}. Найдем сначала общий вид линейных непрерывных функционалов на пространстве Ф = /<[лу, определенном системой функций Мр(х), с нормами
11?!^ = sup® Mp^D*1^^.(1)
При этом, как и выше, мы будем предполагать выполненным условие (Р) § 2: для заданного г > 0 и любого номера р найдутся pf > р и N такие, что если
| х | > N или Мр (х) > N, то
Мр to<eMpi (х).
Из этого условия, в частности, как мы видели, следует, что для любого q
При | X | —> ОО ИЛИ Mp^-^OQ.
В силу теоремы о строении пространства, сопряженного к счетно-нормированному (гл. I, § 4), достаточно найти общий вид функционала на нормированном пространстве Фр, полученном путем пополнения пространства Ф по норме ||ф||р. Как мы видели в § 2, Ф^ есть замкнутое подпространство пространства Фр всех функций <р(х), имеющих производные до порядка р, для которых существует норма (1); поэтому, применяя теорему Хана — Банаха о продолжении линейного
функционала, можно продолжить всякий функционал /£ Ф^ на пространство Фр. Таким образом, достаточно описать функционалы на пространстве Фр.
Поставим в соответствие каждой функции ф(х)^Фр совокупность всех функций
^x^Mp^D^x},(| q |<р).
Мы получим отображение пространства Фр в прямую сумму Фр конечного числа пространств непрерывных функций ф^(^)( | #| <^ р). Очевидно, отображение ср (%)<—> {ф^(х)} взаимно однозначно. Определяя норму элемента {^(х)} как зир|ф (аг)|, мы получим, что при этом отображении 5, ж
сохраняется и норма. Поэтому можно считать, что Фр является замкнутым подпространством пространства Фр.
Применяя теорему Хана — Банаха, можно распространить функционал /£ Фр на все пространство Фр. После этого, по теореме Рисса — Радона), мы можем написать его общий вид:
с/. ?) = 2 JM»(x) D^ w da« (2) I al <p
где og(x)— мера в пространстве Rn, coc едоточенная на множестве тех точек, где функции Мр(х) конечны.
Норма этого функционала, как функционала над пространством Фр, равна сумме вариаций функций aq(x). Заметим, что функции aq(x), вообще говоря, не определены однозначно значениями функционала / на пространстве Фр. Но, поскольку теорема Хана — Банаха обеспечивает возможность распространения функционала без изменения его нормы, сумма вариаций этих функций в точности равна норме функционала / на Фр.
Итак, мы установили следующую теорему.
Теорема. В пространстве Ф = ^{Лlp} всякий линейный непрерывный функционал (/, ср) может быть
записан в форме
2 /Mp(x)D9<p(x)dag(x), IqK2>
причем норма функционала / (продолженного на нормированное пространство Фр) равна сумме вариаций функций aq(x).
Отметим, что наименьшее возможное р есть не что иное, как порядок функционала / (см. гл I, § 4).
Упрощение записи в пространствах с условием (ЛГ). При одном дополнительном ограничении на функции Мр(х) полученный результат может быть записан в несколько иной, более простой форме, с обычными интегралами вместо интегралов Стильтьеса.
Ограничение, о котором идет речь, следующее.
(N) Для каждого р можно указать такое рг > р, что отношение•
Мр(х) _ /XMX
—<)
стремится к нулю при | х | —> оо и есть суммируемая функция от х. (В тех местах, где Мр(х) = NV^(х) = оо, полагаем это отношение равным нулю *)).
Если условие (N) выполнено, то для каждого р существует величина
II ?||р= sup С Mp(x)lD^(x)[dx.(2)
Действительно, в силу условия (N)
Мр WI^Т (х) I < Шрр. (х) Мр- (х) I D\ (х) | < Шрр- (х) II ср ||р-, откуда вытекает существование интеграла (2), а кроме того, и неравенство
11<р||» = sup Г Л4р(х)|£)9<р(х)|б?х<Вр||ф||р,,
где Вр есть интеграл от суммируемой функции трр,(ху
Оценим теперь |]ср||р через ||ф||^+1. Пусть х0 и q0— те значения х и q (|^|^р), для которых достигается точная верхняя грань у выражения Мр (х) | Dq^ (х) | ). Тогда, обозначая Ср = Мр^х^ можно написать:
klb = ^(x0)|o<zMx0)| = cpklb = ^(x0)|o<zMx0)| = cpЖ0/ D«“+1?(0^Ж0/ D«“+1?(0^
klb = ^(x0)|o<zMx0)| = cp
klb = ^(x0)|o<zMx0)| = cp
Ж0
/ D«“+1?(0^
Ж0
/ D«“+1?(0^
< Ср / Мр+Х (91D-1^1 ? (91 ^ < ср II <р и ;+1.
Итак, имеют место неравенства м^с^м^ kii^^kii;^
Это означает, что система норм ПтП^ эквивалентна системе норм ||ср||р. Пространство Ф можно представить теперь как пересечение последовательности нормированных пространств Фр, каждое из которых получено пополнением пространства Ф по соответствующей норме ||ф||р. Каждый линейный непрерывный функционал на пространстве Ф есть, при некотором р, линейный непрерывный функционал на пространстве Фр. Поэтому нам достаточно найти общий вид линейного непрерывного функциональна пространстве Фр . Пространство Фр есть изометричная часть пространства Фр, образованного из всех функций <р(х), для которых существует величина
II ? IIР = sup f Му (х) I о9<р (х) I dx.
Пространство Фр в свою очередь есть замкнутое подпространство прямой суммы Т конечного числа (равного числу индексов q, |^|^р) пространств функций, интегрируемых с фиксированным весом Мр(х). Линейный непрерывный функционал / может быть продолжен с сохранением нормы
на все это пространство Ф. Общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Ф есть
<Х)(Х) fq (Х) dx>
\q\<p
где f^^ (| q\^.p)— ограниченная измеримая функция. Отсюда следует, что общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Фр таков*.
(/.?)= 2 § МР ^ °4<? ^р ^ dx •1^1 <р
Этим же выражением, при всевозможных р и fq(x), определяется и общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Ф = ^{Лlp} в предположении справедливости условия (N).
Норма функционала f^^' равна S^PaJAW | (ПРИ q
условии, что значениями функций fq(x) на множествах меры нуль пренебрегают). Так как теорема Хана—Банаха обеспечивает возможность распространения функционала с сохранением нормы, то для данного функционала /£ Ф' всегда можно выбрать эти функции так, чтобы норма этого функционала в пространстве Фр была равна 2 8иРж l/g (х) I
(кК^)-
Итак, мы получили вторую теорему о функционалах в пространстве /С{Мр}.
Теорема. В счетно-нормированном пространстве ф = 7<{Лу с условием (N)
Мр (х)Мр, (х) —Мр (х)Мр, (х) —mPp-(x)^Lt (/?„)mPp-(x)^Lt (/?„)
Мр (х)
Мр, (х) —
Мр (х)
Мр, (х) —
mPp-(x)^Lt (/?„)
mPp-(x)^Lt (/?„)
каждый линейный непрерывный функционал имеет вид
(/.<?) = ^ ^ Мр W (х) fq (х) dx>
где fq^- ограниченные измеримые функции. Норма этого функционала, продолженного на нормированное простран-
ство Фр, равна
5 sup^/jx)!.
Случаи пространств К и S. В пространстве К (а) бесконечно дифференцируемых функций ср (х), обращающихся в нуль вне области |х|^а, функции М^(х) равны 1 в области {|х|<;а}=Оа и равны оо вне этой области; поэтому общий вид функционала в пространстве К (а) следующий:
(/-?)= 2 Jf^D^dx,(1)
l9l<P
где fq(x)—ограниченные измеримые функции в области {|х | < а}.
Интегрируя по частям, можно производную по каждому Xj довести до порядка р; поэтому
(/, <Р) =Г / (х) Dp<o (x)dx(dp = - --,
J>1 дхрдх? ..дх»
\ос\<аX/
где /(х)— снова ограниченная измеримая функция. Наконец, еще одно интегрирование по частям приводит (1) к виду
(/, Т)= J F(x)Dp+\(x)dx,(2)
I ж к а
где F(x) — уже непрерывная функция в области Ga. Используя определение производной от функционала, можно выражение (2) записать в виде
(/, T) = ±(D?+1F(x), Т(х));
иными словами, каждая обобщенная функция в пространстве К (а) есть результат дифференцирования некоторой непрерывной функции.
Норму полученного функционала уже нелегко записать общей формулой. Во всяком случае, на основании результатов § 5 гл. 1 можно утверждать, что если последовательность функционалов Д стремится к нулю, то все они имеют один и тот же порядок, т. е. принадлежат к одному и тому же нормированному пространству Ф^, и в этом пространстве стремятся по норме к нулю; тогда соответствующие непрерывные функции ?\ (х) можно выбрать так, что они
будут равномерно стремиться к нулю в области Ga. Обратное очевидно: если функции F^ (х) равномерно стремятся к нулю в области Ga, то для любой основной функции
(A, у) = / Л W о^ч (х) dx -> о.
В пространстве S бесконечно дифференцируемых функ
ций, убывающих при |х|->оо быстрее любой степени Ду, функции Мр(х) имеют вид ]J (1-|-1 ^ | )Р- Поэтому в соот-
ветствии с теоремой п. 2 общий вид линейного непрерывного функционала дается формулой
п
п(l+lx^fD^ (х) dx.
UKpRn j=i
Это выражение также с помощью интегрирования по частям можно свести к интегралу только от производных порядка р;
(3)
Функция /(х) есть линейная комбинация функций
и их первообразных (до порядка р) и поэтому является, во всяком случае, измеримой функцией, возрастающей не быстрее | х \рн. Еще одно интегрирование по частям позволит, увеличив показатель производной функции ср(х) на 1, добиться непрерывности подынтегральной функции /(х).
Формулу (3) можно записать также в виде
(4)(4)(/, ?) = (/, O^ = ^W, ?):
(4)
(4)
иными словами, каждая обобщенная функция в простран* стве S есть результат дифференцирования непрерывной функции степенного рбста.
Структура финитных функционалов. В случае любого основного пространства Ф формулы
(/.?)= 2
ИЛИ
</.?)= 2 (х) dx\q\ <р
уже не дают общего вида линейного непрерывного функционала; вообще говоря, функционал / зависит от производных всех порядков. Но в широком классе пространств можно получить аналогичное представление для тех функционалов, которые сосредоточены в конечной области.
В соответствии с определениями, данными в выпуске 1 (гл. I, § 1, п. 4), мы условимся говорить, что функционал /£Ф' сосредоточен на замкнутом множестве F^R, если для любой функции ср £ Ф, обращающейся в нуль в окрестности множества F, имеет место равенство (/, ср)=О.
Так, если функционал / регулярен и порождается функцией /(х), обращающейся в нуль вне множества F, то, очевидно, функционал f сосредоточен на множестве F. •
Справедливость обратного утверждения имеет место, во всяком случае, в пространствах, содержащих все финитные бесконечно дифференцируемые функции.
Если в пространстве Ф ZD К задан функционал f типа (локально интегрируемой) функции f (х), сосредоточенный на множестве F, то функция f (х) почти всюду вне F равна нулю.
Для доказательства возьмем любую точку х0, внутреннюю для дополнения к F, и рассмотрим ее окрестность U, не имеющую общих точек с F. Так как для каждой ^(х)^К. обращающейся в нуль вне U, мы имеем по условию
(/л)= j* / (•*) V М dx = О,и
то функция /(х) почти всюду равна нулю в окрестности U. Таким образом, /(х) обращается в нуль почти во всех внутренних точках дополнения множества F. Но тогда /(х) = 0 почти всюду вне F, что и утверждалось.
Если имеется последовательность функционалов /^Ф^ сосредоточенных на множестве F, сходящаяся к функцио-
10 Зак 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
налу /£ Ф', то равенство
(Л
показывает, что функционал / также сосредоточен на множестве F; таким образом, совокупность всех функционалов /£ Ф', сосредоточенных на множестве F, замкнута в Ф.
Функционал, сосредоточенный на ограниченном множестве, мы называем финитным функционалом. В некоторых пространствах финитные функционалы образуют плотное множество в совокупности всех функционалов. Например, так обстоит дело в пространствах типа KJM^}. Действительно, рассмотрим формулу общего вида линейного функционала в пространстве К^Л4р}
</. ?> = 2 / ^(х) ^(x) ^
U\<P В
или, что то же,
(/. ?) = Иш У Г Mp^D^^do^xyr’>co 1g к р | | с г
Под знаком предела стоит выражение, определяющее линейный непрерывный функционал в пространстве Ф, очевидно, сосредоточенный в конечной области (в шаре радиуса г). Таким образом, всякий функционал /£КЦМр\ есть предел финитных функционалов, что мы и утверждали. .
Теорема. Предположим, что основное пространство Ф содержит все финитные бесконечно дифференцируемые функции ^{х). Пусть, далее, функционал /£Ф' сосредоточен в параллелепипеде
|^К^ (у = 1, 2, . .., п).
Тогда для любого е > 0 существуют такие непрерывные функции f^{x), q = (qv ..., q^, |9|^Р> обращающиеся в нуль при \хД^> aj-\-e, что функционал / можно представить в виде
5 о%8.(i)
Доказательство. Обозначим через Ga+e область, определяемую неравенствами |ху|^^ + е, «е-расширение
области Оа». Пусть 7ге(х)— бесконечно дифференцируемая функция, равная единице в области Ga+5 и нулю в дополнении к области Ga+e (8 < s). Разложение
?(*) = <? (х) ht (х) 4- <р (х) [ 1 — Л, (х) ]
позволяет каждую функцию ср ^ Ф представить в виде суммы, первое слагаемое которой обращается в нуль вне области Ga+e, второе — в области Ga+§. По условию, функционал / на втором слагаемом равен нулю, так что для любой ф£Ф
(Л ?) = (/, ^.
Функция ср/ге есть элемент пространства К(а-^г). Пространство К(аЦ-е), по условию, входит в пространство Ф. В силу теоремы п. 3 § 1 при этом вложении сохраняется сходимость последовательностей, сходящихся в К^а-\-г), поэтому / является линейным непрерывным функционалом и на пространстве К^а-\-г). Согласно п. 3 значение функционала на функции срАеЕ^(а + £) можно записать в форме
(/- ?Ае) = J /о (х) DP dx = ± (Dpf0, фА,),
где /0(х)— некоторая непрерывная функция в области GaAV Раскрывая Dp(yh^) по правилу Лейбница, мы находим:
(Л ?) = (/. <p^ = (/o. Dp^=(/0, 5 C^D^hA^ \ lgl<P/
= 5 С»а0, D^D^^^ 5 C^f^h,, ^ =
\q\<p\q I
= s с^ощ-!)^"^.], <?)=( 2 D^, ?\
IqKp\IqKp /
где /Qe(x) = (— l)Vo(x)Op~qhz{x)— непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне области Go+e. Этот результат совпадает с требуемым равенством (1).
Следствие. Если пространство Ф содержит все финитные бесконечно дифференцируемые функции, то каждая финитная обобщенная функция в пространстве Ф есть предел (в смысле слабой сходимости) обычных бесконечно дифференцируемых финитных функций.
Доказательство. Из доказанной теоремы следует, что обобщенная функция / представляется в форме
/= S D^x),
где fq^— непрерывные финитные функции. Можно образовать последовательность финитных бесконечно дифференцируемых функций g^x\ обращающихся в нуль вне одного и того же шара и равномерно сходящихся к /д(х) при каждом q. Сходимость g^ (х) -> /^ (х) имеет место в этом случае и по топологии обобщенных функций. Но тогда бесконечно дифференцируемые финитные функции
= 2 D4g,q^
также в смысле обобщенных функций сходятся к
5 Dq^xY
lQl<^
что и требуется.
Если, кроме того, в пространстве Ф финитные обобщенные функции всюду плотны в совокупности всех обобщенных функций,—последнее условие выполнено, например, в пространствах ^{Лlp} (§ 2),— то утверждение следствия можно усилить: в этом случае всякая обобщенная функция в пространстве Ф есть предел финитных бесконечно дифференцируемых функций.
Замечание. Пусть имеется последовательность функционалов Д, сосредоточенных в одном и том же ограниченном множестве F, стремящаяся к нулю в смысле обобщенных функций. Тогда можно для заданного е > 0 получить представление
где функции р (х) непрерывны, обращаются в нуль вне е-расши- рения множества F и равномерно стремятся к нулю при v->oo, а р фиксировано.
Для доказательства заметим, что функционалы Д слабо сходятся к нулю в пространстве, сопряженном к пространству К (а + е); поэтому, как было указано в п. 3, соответствующие функции F^ (х) можно выбрать равномерно сходящимися к нулю; вместе с ними будут равномерно стремиться к нулю и функции
fq. (X) = (- 1)» Л (х)(х),
что и требуется.
Структура функционала, сосредоточенного в точке. Особенно простую структуру имеет функционал, сосредоточенный в одной точке.
Теорема. Если основное пространство Ф содержит все финитные бесконечно дифференцируемые функции — по крайней мере в некоторой окрестности заданной точки х0,— то всякая обобщенная функция, сосредоточенная в точке х0, имеет вид
f= 2 а3О98(х—х0).(1)
ЦК»
Доказательство. По теореме п. 4 функционал / может быть представлен в форме
(/,?)= 2//3,(x)D«T(x)dx,(2)
\q\^p |ж-ж01<е
где /^(х)—непрерывные функции в области 0= {| jv—x0|^s}; здесь в качестве е можно взять любое положительное число.
Формула (2) позволяет распространить функционал / на пространство KP(G) всех функций, имеющих в G непрерывные производные до порядка р; очевидно, что при этом функционал / остается непрерывным функционалом.
По условию, функционал / равен нулю на всякой функции ср £ К, равной нулю в окрестности точки х0. По непрерывности функционал / будет равен нулю и на всякой функции ^^Кр(0), равной нулю в окрестности точки х0. Замыкание J этой совокупности функций <?(£KP(G) по топологии пространства KP(G), как легко проверить, содержит все функции <vEKp(G), равные нулю при х = х0 вместе с производными до порядка р; по непрерывности функционал / равен нулю и на всех функциях ср^Л
Всякая функция ф (х) £/С^ (О) может быть представлена в виде
где Q(x) имеет при х = х0 производные, до порядка р равные нулю, а
l$l<#
Умножая это разложение на функцию h (х) £ Кр (G), равную 1 в окрестности точки х0, мы получаем разложение, слагаемые которого принадлежат к классу Кр (О):
h (х) ф (х) = h (х) Р (х) + h (х) Q (х), при этом
(/, /г?) = (/, ср),поскольку разность /гср— ср равна нулю в окрестноститочки х0. По доказанному, (у, /zQ) = O и, следовательно,(Л ?) = (Л ИРУПоложим
Тогда (/, Ph) принимает вид
(/, ?) = (/, Р^= 52 ^(хо).
IqKpIqKp
что совпадает с (1), если обозначить aq = (— l)^g- Теорема доказана.
Пример: решение уравнения Лапласа со степенной особенностью. Речь идет о следующей хорошо известной теореме.
Т е о р е м а. Пусть известно, что функция f^x) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме начала координат, где она имеет особенность порядка не выше некоторой степени*.
(р фиксировано).(р фиксировано).
(р фиксировано).
(р фиксировано).
Тогда f(x) с точностью до гармонического слагаемого есть результат применения некоторого дифференциального оператора Р (D) к фундаментальному решению уравнения Лапласа.
Доказательство. Рассмотрим обобщенную функцию f^K', совпадающую с функцией У(х) всюду, кроме начала координат. Такую обобщенную функцию У можно построить, например, по формуле
(/, ?) = J / W [У W — Р^е (х)] dx,
где Р (х)—многочлен Тейлора для функции у (х):
а е^х^£.К—функция, равная 1 в шаре | х | ^ 1 и равная нулю, скажем, вне шара |х|>>2.
Применяя к функционалу / оператор Лапласа, мы получаем функционал, который всюду вне начала координат равен нулю. Отсюда следует, что А/есть функционал, сосредоточенный в начале координат; в силу теоремы п. 5 А/ можно записать в форме
M=^aqDqHx\q
Рассмотрим, далее, функционал g =t^ aqDqE, где Е— фундаментальное решение уравнения Лапласа. Так как ^Е = 6 (х), то
^ = 2 aq°Q д£ = S aq°Q 8 W = А^
Отсюда А (/—g) = 0, т. е. функционалы / и g отличаются на гармоническую функцию, что и утверждалось.
Точнее говоря, разность /—g есть обобщенная функция, являющаяся решением уравнения Лапласа. Но мы увидим скоро (гл. III, § 3, п. 6), что всякое решение уравнения Дм = 0 в обобщенных функциях есть обычная гармоническая функция.
Теорема, аналогичная доказанной, справедлива для любого уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами, поскольку для любого такого уравнения существует фундаментальное решение (выпуск 1, гл. I, § 4; выпуск 2, гл. II, § 3, п. 3 и гл. III, § 2, п. 4). Разумеется, гармоническая функция, фигурировавшая в формулировке этой теоремы, теперь должна быть заменена решением (в обобщенных функциях) соответствующего однородного уравнения.
ГЛАВА. Ill
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
В выпуске 1 мы рассматривали преобразования Фурье обобщенных функций над основным пространством К финитных бесконечно дифференцируемых функций. Теперь мы рассмотрим преобразования Фурье обобщенных функций над любым основным пространством. В выпуске 1 преобразованием Фурье обобщенной функции над пространством К был функционал над пространством Z, составленным из некоторых целых аналитических функций — преобразований Фурье основных функций пространства К. В общем случае также преобразованием Фурье обобщенной функции над некоторым пространством Ф будет функционал над пространством Ф преобразований Фурье функций пространства Ф. Поэтому вначале мы должны рассмотреть преобразования Фурье основных функций, входящих в пространство Ф; этому посвящен § 1. В § 2 рассматриваются преобразовния Фурье обобщенных функций и указываются некоторые применения преобразований Фурье к дифференциальным уравнениям. В § 3 изучается операция свертки; результаты используются для получения новых теорем о преобразованиях Фурье обобщенных функций. Наконец, в § 4 рассматриваются преобразования Фурье целых аналитических функций, рассматриваются обобщения классических теорем типа Палея — Винера и т. п.
Продолжением этой главы является глава IV, посвященная специальным основным пространствам— пространствам
типа S (и W). В рамках этих пространств, как уже указывалось во введении, аппарат преобразований Фурье становится чрезвычайно гибким благодаря тому, что преобразования Фурье переводят эти пространства друг в друга, и позволяют получить важные общие теоремы о классах единственности и корректности решений задачи Коши (гл. И и III выпуска 3).
В этой главе мы будем рассматривать комплексные пространства основных и обобщенных функций. Напомним, в частности, что функционалом типа функции /(х) называется функционал, действующий по формуле
(/. ?) = J Т^ <Р (*) dx,
и что умножение функционала g на число а или функцию а(х) производится по формуле
(а/, ср) = (/, аср) = а (/, ср).
Теоремы из предыдущей главы, которыми мы будем пользоваться, доказаны для вещественных пространств, но, как легко проверить, остаются справедливыми и в комплексном случае.
Операторы Фурье на пространстве S. Рассмотрим преобразование Фурье функции ср(х) комплексного пространства 5, т. е. дифференцируемой комплекснозначной функции, все производные которой при | х | —► оо стремятся
Мы покажем, что преМы покажем, что прек нулю быстрее любой степени q—г.
Мы покажем, что пре
Мы покажем, что пре
образование Фурье функции ср (х)
,_/п \
F [ср] = ф (о) = ср (х) = Г 2* <ж’ °)ф (х) dx ( (х, о) = 2 ^1аг ), (О J\1 = 1/
как функция от о, также принадлежит пространству S (функций от о), т. е. ф(о) бесконечно дифференцируема и каждая из ее производных стремится при |о|—>оо к нулю быстрее любой степени .
М
Интеграл в формуле (1) допускает дифференцирование по параметру оу, так как полученный после формального
дифференцирования интеграл остается абсолютно сходящимся:^^- = I iXje1 ^* a)cp (х) dx.
j R
Свойства функции ср (х) позволяют неограниченно продолжать это дифференцирование. Значит, функция ф(о) бесконечно дифференцируема. При этом имеет место формула *)
Рф^у^-Рф)^-
= J Р (ix) е* ^> a)cp (x) dx = F\P (ix) ф (х)] (2) R
для любого дифференциального оператора Р ф).
Теперь рассмотрим преобразование Фурье от частной производной :
L dxj J J dxj
Интегрирование по частям с учетом стремления к нулю ф(х) при | х | —> оо приводит к выражению
1 = — i<5j ср (х) ^ а> dx = — lOjF [ср (х)]. R
ПовторяяПовторяяэту операцию, получим:
Повторяя
Повторяя
ФункцияФункция(3)(3)F [Р (D) ср (х)] = Р (- и^ F [ср (х)].
Функция
Функция
(3)
(3)
Р(—^-) ^[ф (х)], как преобразование Фурье интегрируемой функции, ограничена. Поскольку Р— любой
многочлен, мы видим, что ^[ф (х)] = ф(о) при |о|—>оо стремится к нулю быстрее любой степени -~j. То же верно и для любой производной от ф (о), поскольку, например, выражение как мы видели, есть преобразование Фурье от функции ^’Хф (х), также принадлежащей 5.
Таким образом, любая производная от ф(о) стремится к нулю при |а|—►оо быстрее любой степени у~у> что и утверждалось.
Итак, если функция ср(х) принадлежит пространству S (функций от х\ то ф(о) = F[cp (х)] также принадлежит пространству S (функций от о).
Для обратного преобразования Фурье F~\ которое, как известно, определяется формулой
?W = f"1[ф (о)] = ^ / ^г^’^ (°) de, (4) таким же точно образом доказывается аналогичное утверждение: если ф(о) принадлежит пространству S (функций от о), то и <р (х) = Т^-1 [ф (а)] принадлежит пространству S (функций от х).
Отметим, что, применяя к формулам (2) — (3) оператор F-x и заменяя всюду F[cp] на ф, а ср на /^[фЬ мы получаем следующие формулы для оператора F~x:
р-1 [Р(D) ф (а)] = Р(lx) Р~1 [ф (а)]; (5)
Р (D) Р-1 [ф (а)] = Р-ЧР(-1=) ф(о)1 • (6)
Из доказанных предложений следует, что операторы F и Р~х взаимно однозначно отображают пространство S на себя. Очевидно, что эти операторы являются линейными.
Покажем, что при этом сходимость в 5, определенная как сходимость в двойственном пространстве, совпадает с исходной сходимостью в 5. Достаточно показать, что операторы F и F-1 ограничены. Проверим это для оператора F. Мы имеем при ^4- ... + An4"?i + • • • +?n^ Р
(— /о)&09ф (о) =fok [(ix)9<p (х)] е* е) dx =
В
= ^С^/ D^D^^xV^dx, В
откуда
| okD^ (<=) I С 2 А» / 1 хЧ"3[)к"^ М Idx =
dx ^ 2 ^i14 IIVII Р+2”
Отсюда
ИФИ^С^кИр+г.
что и доказывает ограниченность оператора Фурье в рассматриваемом случае.
Для оператора F”1 можно провести аналогичную выкладку; но в ней нет нужды, так как мы можем сослаться на теорему об обратном операторе (гл. I, § 7, п. 2).
Резюмируем: операторы Фурье F и F1 являются на пространстве S линейными непрерывными операторами, отображающими это пространство на себя.
Операторы Фурье на пространствах ЛГи Z. Напомним теперь связь между пространствами К и Z, рассмотренную в выпуске 1.
Преобразование Фурье функции ^(х)^К(а)
ф (о) = F [ср (х)] = J ср (х) е1 ^> а> dxGa
может быть продолжено в комплексную область $ = а-^1т по формуле
ф (s) = J ср (х) ег ^, 8) dx ~ $ ср (х) е^ ^ °Vk®> ^ dx. GaGa
При этом получается дифференцируемая, а следовательно, и целая аналитическая функция от s; она удовлетворяет при любом к неравенству
|s^(s)| =
= ЗД)^1
I* (Ж, 8) Дх
^ еа I' I J* | D^ (х) | dx =
(=сй(ф)^,|Х1|+-+а~|т»1).
Удовлетворяющие этому неравенству функции ф($) принадлежат пространству Z (а). Очевидно, что ограниченное множество пространства К (а) (ограничены |№ср|) переходит в ограниченное множество пространства Z (а) (ограничены С^(ф)). Таким образом, оператор Фурье является ограниченным, а следовательно, непрерывным оператором, взаимно однозначно переводящим К(а) в Z(o). Как было показано в выпуске 1, это отображение осуществляется на все пространство Z(^).
Итак, пространство К финитных бесконечно дифференцируемых функций преобразованием Фурье отображается на пространство Z целых аналитических функций ф($) (s=o+/t), удовлетворяющих условиям
| ^ф (S + /т) | ^ С^а
В силу общей теоремы об обратном операторе (гл. I, § 7, п. 2) оператор F”x есть непрерывный оператор, отображающий Z(o) на K^aY Таким образом, мы имеем*.
F\KW = Z<a\ F"x\Z^\ = Kk^, (1)
причем в обоих случаях операторы Фурье являются линейными и непрерывными. Далее, поскольку
K=\jK^, z = Vjzw,аа
мы имеем;
F\K\ = Z, F~X[Z] = K,(2)
причем и здесь операторы Фурье линейны и непрерывны.
Общий случай. Теперь рассмотрим любое основное пространство Ф, содержащееся в комплексном пространстве S. (В S содержатся, в частности, пространства К(а), К, Z(a) и Z.)
Совокупность всех преобразований Фурье функций ср(х)£Ф мы назовем двойственным пространством по отношению к Ф и обозначим через Ф = /7[Ф] = Ф. Очевидно, что Ф есть линейное пространство, линейно изоморфное с пространством Ф. Введем в Ф топологию в соответствии с этим изоморфизмом; будем, в частности,
считать, что последовательность ф^ (а) = F[cpv (х)] стремится к нулю в пространстве Ф, если последовательность cpv(x) стремится к нулю в Ф. Тем самым пространство ф = /^[Ф] также оказывается основным пространством. Оператор Фурье ^=F[cp] является непрерывным оператором, взаимно однозначно (и линейно изоморфно) отображающим Ф на Ф; в силу той же теоремы 1 п. 2 § 7 гл. I обратный оператор также непрерывен. Отметим, что формулы (2)—(3) и (5)—(6) n. 1, разумеется, сохраняются.
В заключение этого параграфа сделаем следующее общее замечание. Если в пространствах Ф и Ф вместе с каждой функцией ср(х) содержится функция ср(—х), то наряду с соотношением
F' [Ф] = Ф
имеет место и соотношение
/7-1[ф)=ЧГ.
Действительно, если прямым преобг азованием Фурье функции ср(х)^Ф служит функция ф(а), то обратным преобразованием Фурье той же функции ср (х) является функция
—-— ф (—а).
(2k)w Y V 7
Например, наряду с соотношениями (1) и (2) предыдущего пункта можно написать:
р-г1К(а)1 = 2(а\ FIZ (а)] = К (а),p-^KA = Z, F[Z] = K.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Основное определение. Рассмотрим какое-нибудь основное пространство Ф функций ф(х) и двойственное к нему пространство Ф преобразований Фурье ф(а) функций ср(х).
Преобразование Фурье F (/) обобщенной функции /£ Ф' определяется по формуле
<FUY Р^ = ^У) ?)•(О
Операции над обобщенными функциями мы всегда вводим как сопряженные к соответствующим операциям над основными функциями ).
В данном случае, полагая F(cp) = ^, ф = -Р-1(Ф)> мы видим, что построенный оператор является сопряженным к оператору обратного) преобразования Фурье в пространстве Ф и вместе с ним линеен и непрерывен.
Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функции на пространстве Ф является обобщенной функцией на пространстве Ф. Например, преобразование Фурье обобщенной функции на пространстве К является обобщенной функцией на пространстве Z. В последнем случае данное здесь определение преобразования Фурье обобщенной функции, разумеется, дословно совпадает с определением преобразования Фурье, данным в гл. II выпуска 1.
Как и там, определение (1) оправдывается следующим образом. Пусть /—функционал типа абсолютно интегрируемой функции f^x\ Далее, пусть g^— обычное преобразование Фурье функции /(х) и ф(о)— преобразование Фурье основной функции <р(х). Тогда имеет место равенство Парсеваля
(/- = f f(x)^(x) dx = Jf(x^f <|>(a)e-i<a,’,,>da|</x =
= (2^/dx^ da =
Поэтому, применяя наше определение преобразования Фурье для функционала /, мы получаем:
(^(Л, ^(?)) = (2л)"(/, ?)=&. ф).
откуда F^ = g\ таким образом, преобразование Фурье функции /(х) как функционала совпадает с ее обычным преобразованием Фурье.
Можно получить определениз обратного оператора F-1 (/), если заменить в формуле (1) F (/) на g и F(cp) на ф:
(g, ^-о^р"1^, f-1^
таким образом,
(.F-4g), F-4^ = -^(g,^.(2>
Если в пространстве Ф (о следовательно, и в ^ определены дифференцирование и умножение на х, то имеют место формулы
P^F<n = F\P(ixMV(3)
FVP(D)n=P(-ia)FVf\>(4)
аналогичные формулам (2) и (3) § 1, n. 1.
Доказательство. По основной формуле (1), используя формулы (2) и (3) § 1, имеем:
<р\р^п. р^АМШЬ ^ = WU, P(-ix^) =
= (Р(П, FVP(-ix)^) = (FVn. P(-D)F(^) =
= (P(D)F(f), F^)),
что дает формулу (3). Далее, аналогично,
(ПР^Д, Р(<?)) = (21г)" (Р(О)/, ?) = (2кГ(/, Р(_ад =
= (Р(П, F\P(-D^ = (F(n, P(ia)F^)) =
= (P(-Za)P(/)P(<p)), откуда следует (4).
Применяя к (3) и (4) оператор F~v и заменяя F(f) на g, получаем формулы
Р~1 [Р (О) g] = Р (ix) F-\g),(О
P(D)F-4g) = F-4P(-i^gV (6)
аналогичные формулам (5) и (6) § 1, n. 1.
Примеры. 1°. Найдем Г(8). Если ^ = F(^), то согласно определению
(Г (8), ф) = (2Ой(8, т) = (2гс)>(0) = J ф(о)^ = (1, ф), откуда
F(8)=l.(7)
Аналогично
Г' (8) =; <2^V ^ = ^ ^ = 8
2°. По формулам (3) и (7) находим:
F VP (х) ] = F1Р (х) • 1 ] = Р (— ID) • F (1) = Р (— ID) 8 (а).
В частности, Р^-Ц-Ю^Цо).(8)
Большое количество других примеров мы указали в гл. II выпуска 1.
Преобразование Фурье финитного функционала. Как известно, преобразование Фурье функции /(х), обращающейся в нуль вне области Ga = {| xt |< av I х21 ^ ^2’ • • •' I хп I ^ anV есть целая аналитическая функция переменного 8 = сЦ-к. Более точно, эта целая функция от 5 имеет порядок роста ^1 и тип <^а; это означает, что для комплексных значений 5 = с —|—/т функция f(s) при любом s > 0 удовлетворяет неравенству
| / (а 4- /т) | < С/" 'е) 1 т 1 (= С/"1+е) Ы + ’' ’ + (“п+е) Ы).
Оказывается, что аналогичная теорема справедлива и для функционалов, сосредоточенных на ограниченном множестве.
Теорема. Если обобщенная функция f на К*) сосредоточена в области Ga = {[ xt | ^ av ..., |xw|^an), то ее преобразование Фурье f есть функционал типа функции g(y), которая продолжается аналитически в комплексную область s = о —|—/т как целая функция 1-го порядка роста с типом а и возрастает при | о | -> оо и фиксированном т не быстрее [ а |9 при некотором q.
Доказательство. По теореме и. 4 § 4 гл. II для любого е > 0 . можно найти непрерывные функции Aeto (А=1, 2, . .., /п), обращающиеся в нуль вне области °а+в={|^1К«1Ч-е, •|хп|<а„ + е} и такие, что
К
Преобразование Фурье функции Ае(^) есть функционал типа функции
gk. (°) = J Л. (*) ^ ^>°> dx.
Ga+e
Функция ^е(а) аналитически продолжается в комплексную область по формуле
gk. (= + ^) = J/кЕ (х) ё ^ ’+«> dx,Ga+.
причем, очевидно
I ^в (= + ^) | < Се( +е> 1 14 ‘+ (V6) I т~ I.
Таким образом, g^s) есть целая функция не выше чем 1-го порядка роста и типа <^а-|-е при любом г > О или, что то же, типа ^ а. Применение к функционалу /кг дифференциального оператора Pkt(D) равносильно умножению функции g^^s) на многочлен P^Cis). Но хорошо известно, что умножение целой функции на многочлен не меняет ее порядка и типа. Таким образом, выражения P^^is)g^(s) суть также целые функции не выше 1-го порядка и типа а; следовательно, и их сумма
g(s) = 'Vpktas)gkAs)к
есть целая функция не выше 1-го порядка и типа <С а. Далее, функция ^е (а 4~/т) ПРИ фиксированном т ограничена как преобразование Фурье интегрируемой (финитной) функции fke(x) е-^ т\ поэтому произведение Рке(Ю gkAa) и их сумма g(a) возрастают при [а|->оо не быстрее некоторой степени | а |. Тем самым наша теорема полностью до* казана.
Заметим, что для финитного функционала /, как было показано в выпуске 1, имеет место следующая формула преобразования Фурье:
7=<7 ^-°>),(1)
где под g^^’^ следует понимать любую из основных функций (пространства К), совпадающих с функцией ^^ ^ в окрестности множества, на котором сосредоточен функционал /.
Формулу (1) также можно было бы положить в основу доказательства нашей теоремы.
Имеет место и обратная теорема.
Всякая целая функция не выше 1-го порядка и конечного типа, имеющая при вещественных s = а рост не выше степенного, если ее рассматривать как обобщенную функцию на Z, есть преобразование Фурье некоторого финитного функционала на К.
Доказательство этой теоремы будет дано в § 4.
Структура обобщенных функций в пространстве Z(a). Найдем при помощи преобразования Фурье общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве Z (а). Каждый линейный непрерывный функционал g^Z'(a) определяет и линейный непрерывный функционал / на К (а), действующий по формуле
(f,^ = ^T(g,^(Ф=^).
Но общий вид линейного функционала на пространстве К (а) известен (гл. II, § 4, п. 3). Таким образом, мы получаем, что
(g, Ф) = J / (х) Dw<¥ (х) dx,
где J(x)— непрерывная функция. Подставляя в эту формулу
D> (х) = J(- ЮГ ф (о) е"{^ о) doВ
и меняя порядок интегрирования, находим:
e-t^-^dx I da.e-t^-^dx I da.(g. ф)= J (— 'а)”ф(а)| /ВVGa
e-t^-^dx I da.
e-t^-^dx I da.
Функция
g(a) = J/(х)^"^^ °) dx
Ga продолжается в комплексную плоскость как целая аналитическая функция не выше 1-го порядка роста и типа <? я; при вещественных а она ограничена. Умножая ее на (—/о)ш, получим функцию 0(a), которая также продолжается в комплексную плоскость как целая аналитическая функция не выше 1-го порядка роста и типа <^а; при вещественных о она возрастает не быстрее С[о|ш.
Итак, общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве Z (а) дается формулой
В
где G(s)— целая функция не выше 1-го порядка роста и типа С^, возрастающая при вещественных s — a не быстрее некоторой степени |а|.
Заметим, что функция G(s) определена неоднозначно. Например, функционал типа функции е1^»^ на пространстве Z (а) совпадает с нулевым функционалом, если |^|>|^-| при каком-нибудь j. Действительно, обратное преобразование Фурье функции еИ^, а) есть $(х— Ь) — нулевой функционал на пространстве К (а).
Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения. Рассмотрим два примера применения преобразований Фурье к задачам дифференциальных уравнений.
1°. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений. Напомним, что фундаментальным решением дифференциального уравнения
P<D)u = g,(1)
называется решение Е = Е (х) уравнения
Р^Е = ^(ху(2)
В выпуске 1 были указаны явные выражения для фундаментальных решений нескольких типов уравнений (гл. I, § 4; гл. III, § 2; гл. IV, § 2). Здесь мы рассмотрим
в общем виде задачу о существовании фундаментальных решений и докажем, что в классе функционалов над пространством К существует .фундаментальное решение для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Уравнение (2) в функционалах над пространством К эквивалентно уравнению в функционалах над пространством Z, полученному из (2) преобразованием Фурье:
(3)(3)Р (1а) Ё=1.
(3)
(3)
Вопрос о разрешимости уравнения (3) в пространстве Z7
есть вопрос о1 ционалаесть вопрос о1 ционаласуществовании в этом пространстве функ-
есть вопрос о
1 ционала
есть вопрос о
1 ционала
В п. 3 § 3 гл. II этот вопрос был решен
положительно. Но тем самым положительно решается вопрос и о существовании решения уравнения (2); искомым решением является обратное преобразование Фурье
от функционалаот функционалаР (Za) 'Р (Za) '
от функционала
от функционала
Р (Za) '
Р (Za) '
2°. Назовем дифференциальный оператор Р (D) =
квазиэллиптическим, если многочлен Р (а) = ^ а^ не обращается в нуль ни в одной точке вне шара | а | <^ а. Покажем, что всякое решение уравнения
(4)(4)Р (D) и (л:) = О,
(4)
(4)
возрастающее при вещественных х не быстрее многочлена, представляет собой целую функцию от z = х + 1у порядка роста <, 1 и типа <, а. (Например, это верно для Р (D) = Д + 1.) Для доказательства построим с помощью указанного решения и С^) Уравнения (4) функционал на пространстве S:
(и, у) = J и (х) у (х) dx.
R
Покажем, что функционал и удовлетворяет уравнению Р (D) и = 0.
Действительно, для любой финитной функции ср (.г) £ S
(Р (£>) и, <р) = (ы, Р (— D) у) = J и (х) Р (— D) у (х) dx.В
Здесь можно произвести интегрирование по частям, причем граничные члены исчезнут в силу финитности функции ср (х). Поэтому
(Р^ЕУ) и,^ = J Р (D) и (х) у (х) йх = О,в
т. е. функционал Р (D) и обращается в нуль на каждой финитной функции ср (х). Так как этот функционал непрерывен на S, а финитные функции образуют в S плотное множество (гл. II, § 2), то Р (D) и есть нулевой функционал на всем S; таким образом, уравнение Р (D)u = 0 удовлетворяется и в смысле теории обобщенных функций.
Пусть и = и € S' есть преобразование Фурье функционала и. Применяя к уравнению (4) преобразование Фурье, получаем новое уравнение
Р (а) «и = 0. (5)
Так как многочлен Р (а), по условию, не обращается в нуль вне шара | а | ^ а, то функционал «и сосредоточен в пределах этого шара. Но тогда, по доказанному, функционал и (х) есть обычная функция, и притом целая аналитическая функция не выше 1-го порядка роста с типом <; а, что и утверждалось.
Замечание. Если многочлен Р (а) = ^ aqa<1 обращается в нуль только в одной точке а = 0 (оператор Р (Z)) в этом случае называют эллиптическим), то результат можно уточнить. Функционал «и в этом случае сосредоточен в одной точке а = 0. Применяя теорему п. 5 § 4 гл. II, заключаем, что и можно записать в виде
"6
где Ро—многочлен; отсюда по формуле (8) n. 1 и = Ро (х), т. е. и есть многочлен от х. Мы пришли к следующему результату: если Р (D) — эллиптический оператор, то всякое решение уравнения Р (D) и = 0, возрастающее при | х | -> оо не* быстрее некоторой степени | х | , есть многочлен от -х.
Если же многочлен Р (а) вообще не обращается в нуль при вещественных а (оператор Р (D) в этом случае называют гипо- эллиптическим), то функционал и, очевидно, должен быть равным нулю. Таким образом, если Р (D) — гипоэллиптический оператор, то все отличные от тождественного нуля решения уравнения PWи = 0 возрастают при |х|->оо быстрее любой степени | х |. Аналогичные результаты справедливы и для системы уравнений с векторной записью (4); роль многочлена Р (а) будет играть детерминант соответствующей матрицы.
§ 3. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ СВЯЗЬС ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ ФУРЬЕ
В выпуске 1 для обобщенных функций на основном пространстве К (финитных бесконечно дифференцируемых функций) мы ввели операцию свертки. Эта операция играла важную роль в применениях теории к дифференциальным уравнениям. В этом параграфе мы введем операцию свертки для обобщенных функций уже на любом основном пространстве Ф, с единственным условием, чтобы вместе с каждой функцией ^(х) к пространству Ф принадлежали все ее сдвиги.
Операция сдвига. Предположим, что в основном пространстве Ф определен для всех вещественных h оператор сдвига
ThW to = <P(^ + A).
Предположим также, что Тн является ограниченным оператором в пространстве Ф равномерно по всем h в любой ограниченной области |^|^/г0)-
Отсюда, прежде всего, следует, что при каждом фиксированном h оператор Th непрерывен*, если cpv —> 0 по топологии пространства Ф, то и Th^^Q по топологии пространства Ф.
Далее, можно утверждать, что в совершенном пространстве или в объединении таких пространств оператор Th непрерывен по h, т. е. для каждой у^Ф п и h—>hx имеет место соотношение Т^ -> Т^ по топологии пространства Ф. Действительно, семейство ^(x-Y-h,^) (hv->hx) ограничено в Ф и, следовательно, компактно; но, поскольку сходимость по топологии влечет сходимость функций в каждой точке х, единственной предельной точкой семейства cp(x-}-/zv) является ^(x + ^i). Отсюда следует, что
<p(x4-Ai)= ^ ?(^ + Av)
по топологии, что и требуется.
Примеры. 1°. В пространстве К(а) бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю при | х | > а, операции сдвига нет. В пространстве К всех финитных бесконечно дифференцируемых функций она имеется и обладает, очевидно, всеми нужными свойствами.
2°. Покажем, что оператор сдвига определен и ограничен в пространстве S. Для этого оценим величину 1 xkDq ср (х + ^)| при |А|^А0* &^Р> Ч^Р*-
sup^ I х^О» <р (х 4- Л) I = зирд, | (х — hf Dq у (х) К
<5 ck I x’h^D 4 <р (х) К
C2pA^'supa,|x,i:D9<p(x)| = 2ph-E |]®||р.
Отсюда следует, что функция <р (а:—|—/г) принадлежит пространству S вместе с функцией ^(х) и что оператор сдвига ограничен равномерно по h при |Л|^^0» чт0 и требуется.
3°. Аналогичное рассуждение можно провести и в пространстве К\Мр\ при следующем условии: для любого р существует такое р'^р, что при |А|^А0
А1р ^^) ^ ^phQMpf (*^)А1р ^^) ^ ^phQMpf (*^)(1)(1)
А1р ^^) ^ ^phQMpf (*^)
А1р ^^) ^ ^phQMpf (*^)
(1)
(1)
4°. Покажем, что оператор сдвига определен и ограничен в пространстве Z(a). Пусть cp(z)£Z(a); функция ф(гД-/г)— аналитическая функция вместе с ф(г)
sup21 z^^ (z-V-h)\ea^^ <. sup21 (г — h^ cp (z) | еа 1 ^ 1 ^
Отсюда вытекает, что ср ^х -|- К) £ Z (а) и || ср (х Д-/г) || Л <^ ^ С || ср Цд, так что оператор сдвига в Z (а) ограничен равномерно по h при | h |^ hQ.
Другие примеры читатель встретит в гл. IV.
Определение свертки. Так как в предположениях П, 1 функция ср (х-]=-£) непрерывна по х 9 смысле тополо-
гии Ф, то для любого /£Ф7 выражение
(/(9, т( + 9)
есть непрерывная функция от х.
Введем следующее определение.
Пусть для некоторой обобщенной функции /0£Ф7 мы имеем
/о* V = (/oG). ?(*+0) = 'H-O6 ф, (1)
какова бы ни была функция ср ^ Ф, и из соотношения cpv—>0 вытекает /0 * cpv —> 0 по топологии Ф; тогда функционал /0 называется свертывателем в пространстве Ф.
Например, о(х— а) и ее производные являются сверты- вателями в любом пространстве, в котором определен сдвиг:
Цх — а)* ср(х) = 0 (В — а), ср(х + У) = ср(х + а),
V (х — а) * ср (х) = (В7 (£ — а\ ср (х + У) = — ср7 (х + а), и т. д.
Рассмотрим теперь сопряженную операцию в пространстве Ф7, определяемую равенством
(/о*/, ?) = (/, /о* у)-
Выясним, что представляет собой операция /0 */, если / и /0 суть функционалы типа функций, обращающихся в нуль вне конечной области *). Мы имеем в этом случае
(/о*/, ?) = (/, /o*f) = /Tto{/O)v(^ + 9^)^ =
= //w{ J/oh — *) <Р(^)^ ^dx =
= J { J/W/o Ol — x) dx | у (7]) dt\,
причем перемена порядка интегрирования законна, поскольку все интегралы в действительности берутся в конечных пределах.
Таким образом, /0*/ есть функционал типа функции
J/(9/o(x-y^.(2)
В анализе эта функция называется сверткой функций /0 и /. Поэтому операцию /0 * в пространстве Ф' мы будем называть сверткой с функционалом fQ. Итак, мы определили новую линейную и непрерывную операцию в пространстве Ф', свертку со свертывателем /0, действующую по формуле
(Л* Л ^ = (/, /»*?)•
Операцию /0*<р в основном пространстве Ф мы будем называть сверткой функционала f^ с основной функцией ср. Подчеркнем, что если /0 — функционал типа функции /0(х), то в отличие от (2)
/0*? = J/oG—*)^Ж(3)
Многочисленные примеры свертки были даны в выпуске 1 в пространстве обобщенных функций над основным пространством К (гл. I, § 4). Как и там, в общем случае
Действительно,
(8*/, <р) = (/, 8*ср) = (/, ср).
Аналогично,
до „ f_ dfdXj J dxjДействительно,
Дифференцирование свертки. Мы выведем далее формулу дифференцирования свертки. При этом предположим, что операция сдвига не только непрерывна, но и дифференцируема в пространстве Ф, т. е. что для любой
основной функции ср(х) предельное соотношение
hjдхзhjдхз(^. = (0, ..., А, ..., 0)—>0)з
hjдхз
hjдхз
выполняется в смысле сходимости в пространстве Ф.
Представление о том, в каких пространствах выполняется это требование, дает следующая лемма.
Лемма. В совершенном пространстве Ф с непрерывными операциями сдвига и дифференцирования предельное соотношение
<Р (-г + Ay) — <Р W ^ср
^з^зdxj
^з
^з
для каждой основной функции ср (х) выполняется в смысле сходимости в пространстве Ф.
?U + ^) —<р(х)
Достаточно показать, что отношения ?
остаются при hj -> 0 ограниченными (по топологии Ф). Действительно, в этом предположении можно выбрать сходящуюся после-
? (а: + ^ ) — <р (х)
довательность^; ясно, что она может сходиться
дер (х^
только к —. Так как предел определен единственным образом, то указанное отношение имеет этот предел вообще при h^Q по любому закону.
Покажем, что в пространствах с указанными свойствами отно-
у^+А,-) — у(х)
шение в самом деле ограничено при hj -> 0.
Это отношение можно представить в форме
vU+Aj) — f(4 _ 1 Г <Мх + в,-)
hj- hj J dxj
пж <M-r + 6j)
По условию, функция чнепрерывно зависит от пара- ^хз
метра Oj. В силу теоремы о среднем (добавление к гл. I, п. 4) интеграл в правой части имеет по топологии пространства Ф при
hj-^Q предел -Л/; отсюда следует, что этот интеграл ограни-
^хз
чен при малых hj, что и требуется.
В частности, в пространствах К, S, КАМ^ (при условиях (5) п. 4 § 3 гл. II и (1) п. 1 настоящего параграфа) предположения
леммы выполнены; в этих пространствах, следовательно, имеет место и результат о сходимости
Ф (х + АД — ф (х)дер
hjdxj
по топологии соответствующего пространства.
В пространстве с дифференцируемым сдвигом для любого функционала / выражение (/(х), ср (х + 0) есть не только непрерывная, но и (бесконечно) дифференцируемая функция; она является основной функцией, если /—свертыватель.
Имеет место следующая теорема о дифференцировании свертки.
Теорема. Если функционал f^— свертыватель в основном пространстве Ф с дифференцируемым сдвигом, то любой функционал P{D)f^— также свертыватель в Ф и имеет место равенство
р W (/0 * п = Р Щ)/о ** Р(О)/.(1)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай опера- п/^ч д ^V (Ar+йу)—ч> W ду
тора Р(В) = ^-. Так как, по условию, >дх">
то в силу непрерывности оператора /0 * мы имеем:
/о */о *ф (х + АД — ф (х)ф (х + АД — ф (х)h3h3дф^7*дф^7*
/о *
/о *
ф (х + АД — ф (х)
ф (х + АД — ф (х)
h3
h3
дф
^7*
дф
^7*
(2)(2)Таким образом, функция /0*ф дифференцируема и дх г дэ
(2)
(2)
^7^>*<Р)=/о*^-
Покажем теперь, что функционал -^- также является свертывателем. Мы имеем:
последнее выражение, по (2), совпадает с — -^— (/0 * ф) и представляет, следовательно, основную функцию.
Далее,
откуда и вытекает первое из равенств (1) для P(D) = ^-.
С другой стороны, по (2),3
откуда получается второе из равенств (1) для P(D) = ^—.
Таким образом, формула (1) доказана * полностью для случая P(D)=-^-. Итерируя полученный результат, приходим к справедливости формулы (1) и в общем случае.
Финитные функционалы как свертыватели. Пользуясь теоремой о дифференцируемости свертки, мы укажем широкий класс функционалов-свертывателей.
Теорема. Если Ф —совершенное пространство с дифференцируемой операцией сдвига, то всякий функционал /£ФЛ, сосредоточенный в ограниченной области, является свертывателем.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функционал / отвечает некоторой обычной финитной функции f^xy
V. ?) = f f(x)^(x)dx.
В этом случае
/*? = (/(9, V(x + 9) = J/(9v(x + 9^ (1)
можно интерпретировать как интеграл от абстрактной функции /(У<р(^ + 9 параметра $ со значениями в Ф (см. добавление к гл. I, п. 4).
Эта функция непрерывна как произведение непрерывной (по условию) абстрактной функции ср(х + 9 на непрерывную числовую функцию /(0- Поэтому ее можно проинтегрировать по параметру $ в пределах конечной области, где /(9 + 0; результатом будет снова элемент пространства Ф. Сравнивая значения в каждой точке, нетрудно убедиться в совпадении результата интегрирования /($) ср (x + Q как абстрактной функции с функцией, представленной интегралом (1).
В общем случае, по теореме п. 4 § 4 гл. II, функционал / представляется в виде суммы производных некоторых порядков от финитных непрерывных функций А(х). Каждая из этих функций, по доказанному, является свертывателем. Поскольку в пространстве с дифференцируемым сдвигом производные свертывателей — также свертыватели, каждая из производных функций fk{x) будет свертывателем в Ф; вместе с ними будет свертывателем и их линейная комбинация— функционал /.
Одновременно мы получаем и формулу для свертки финитного функционала f =^Pk{D)fk с любой основной функцией ср (х):
/ * у = ^ pfc (О) А * <р = ^ А * р4 (О) v =
= 2 / А (9 Ф) <р А+9 ^- (2)
Отметим еще одно важное свойство свертки с финитным функционалом.
Если финитный функционал f^ отвечает бесконечно дифференцируемой функции /0(^), то свертка его с любым функционалом / есть функционал типа бесконечно дифференцируемой функции.
Действительно, для любой финитной основной функции
(/о */.?) = (/, /о * ?) = (/А). J/о (9 ? А + 9 d^ =
= (/А). ffoV—W^Wd^ — f VW. W — xY^Wdy. Функция (/(x), f0(y— x)) есть свертка функционала /(x) с основной функцией /0(—х) и поэтому бесконечно диф-.
ференцируема. Таким образом, свертка /0 * / действует на основную функцию ср(х), как бесконечно дифференцируемая функция, что и утверждалось.
Теорема о непрерывности свертки. Установим теперь полезную теорему о непрерывности операции свертки.
Теорема. Если Ф—основное пространство с дифференцируемой операцией сдвига, содержащее все финитные бесконечно дифференцируемые функции, и последовательность функционалов f^ (v=l, 2, . . .), сосредоточенных на ограниченном множестве F, сходится к функционалу / (также, очевидно, сосредоточенному на множестве F), то для любого функционала g
L*g-^f*g.(1)
Заметим, прежде всего, что в силу теоремы п. 4 /, и /— свертыватели, и выражения, входящие в соотношения (1), имеют смысл.
Для доказательства соотношения (1) покажем вначале, что для любой финитной основной функции ср (х) имеет место соотношение
/^ * ср —> / * ср.
Достаточно проверить это в случае, когда /=0.
Пусть сначала Ф—счетно-нормированное пространство. Функционалы /„ сосредоточенные на ограниченном множестве F и сходящиеся к нулю, согласно замечанию в конце п. 4 § 4 гл. II можно записать в форме
А= 5
где функции /а(х) непрерывны, обращаются в нуль вне фиксированного множества Ft и равномерно стремятся к нулю при v —> сю. По формуле (2) предыдущего пункта мы имеем:
1«1<Р
Отсюда получается оценка
IIA*?L< 5 max|/g($)|max||D4cp(x: + ^)|| • mes^,
J q |<р 5№^Fx
которая показывает, что при любом т норма элементов /v * ср в пространстве Ф^ стремится к нулю, когда v —> оо. Это означает, что f^*y стремится к нулю в счетно-нормированном пространстве Ф.
Пусть теперь Ф есть объединение счетно-нормирован*- ных пространств. Сходимость в объединении приводится к сходимости в самих счетно-нормированных пространствах; отсюда следует, что наше утверждение верно и в этом случае.
Теперь легко доказать утверждение теоремы. Для любой основной функции ср(х), по доказанному и в силу непрерывности функционала g,
(Mg. THteJ,*?)-^,/*?)^*?, ?)>
что и утверждалось.
Пример. Рассмотрим последовательность бесконечно дифференцируемых функций /Дх), обращающихся в нуль вне интервала (—1, 1), стремящуюся к 8(х) в смысле обобщенных функций («дельта-образная последовательность», см. выпуск 1, гл. I, § 2). Согласно теореме о непрерывности свертки для любого функционала g
Mx)*g^-Hx)*g=g-
Как было указано выше, свертка f^^x^g представляет собой бесконечно дифференцируемую функцию. Таким образом, мы заново получили доказательство возможности аппроксимации любой обобщенной функции с помощью бесконечно дифференцируемых функций (гл. II, § 4, п. 4); при этом мы получаем и явный вид аппроксимирующих бесконечно дифференцируемых функций.
Гармонические функционалы. В этом пункте мы будем рассматривать функционалы на пространстве К финитных бесконечно дифференцируемых функций. Функционал / называется гармоническим, если он удовлетворяет уравнению А/ = О (А — оператор Лапласа). Известно, что для классических гармонических функций справедлива теорема о среднем*, значение гармонической функции в центре любой сферы равно среднему арифметическому из значений на самой сфере. Теорему о среднем можно записать с помощью свертки таким образом: для любого R > О
(1)(1)/=6д */,
(1)
(1)
где бд означает функционал, отвечающий равномерному распреде
лению массы 1 на сфере радиуса R, т. е. бд
(см. выпуск 1, гл. Ill, § 1). Покажем, что равенство (1) справедливо для любого гармонического функционала f и, более того, что оно является характеристическим для гармонических функционалов, т. е. всякий функционал, удовлетворяющий уравнению (1), есть гармонический функционал. -
(2)(2)Рассмотрим сначала уравнение
(2)
(2)
д^ = 5в — 5>
где g — неизвестный функционал.
Так как функционал бд— б — финитный и, следовательно, является свертывателем в пространстве К, то уравнение (2) можно разрешить с помощью фундаментального решения Е уравнения Лапласа:
£ = (од-б)*£.
Так как вне начала координат фундаментальное решение Е заведомо есть гармоническая функция, то ее усреднение по сфере радиуса R с центром, отстоящим от начала больше чем на R, равно ее значению в центре сферы. Отсюда следует, что функционал g вне сферы радиуса R с центром в начале координат равен нулю и тем самым финитен. Но тогда для данного гармонического функционала /
. (®д —5)*/= ^*7=^*д/=°, т. е.
*/= 5 */ = /.
что и требовалось.
Обратно, пусть выполнена теорема о среднем (1). Тогда выполняется, очевидно, и уравнение
би —б
" в—*^=0-<3)
бд — бо
Найдем предел функционала —™— при /^->0. Для заданной основной функции Ф (х), используя формулу Пицетти (см. выпуск 1, гл. I, § 3, п. 9), мы имеем:
где многоточие заменяет члены, содержащие R? в положительных степенях.
Переходя к пределу, находим:
ИшИш/ бо б(т/ бо б(ту) = ^ Д? (°) = (^- Д8 (А У (*)),у) = ^ Д? (°) = (^- Д8 (А У (*)),
Иш
Иш
/ бо б
(т
/ бо б
(т
у) = ^ Д? (°) = (^- Д8 (А У (*)),
у) = ^ Д? (°) = (^- Д8 (А У (*)),
12 Зак 2669 И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
и, следовательно, Ьд —о 1
lim-V~=2^5(X)-
Переходя к пределу' в равенстве (3) (что допустимо в силу теоремы п. 5), получаем:
■^-Д6*/= ^-о*Д/=^-Д/ = О, 2/г2/г2/г
что и требуется.
Как следствие можно легко получить, что в действительности нет иных гармонических функционалов, кроме тех, которые соответствуют обычным гармоническим функциям*.
Теорема. Каждый гармонический функционал есть функционал типа бесконечно дифференцируемой функции, гармонической в обычном смысле.
Доказательство. Пусть а (К) означает неотрицательную бесконечно дифференцируемую функцию от R, обращающуюся в нуль вне интервала (1, 2) и имеющую интеграл, равный 1. Построим функционал
2
h = f а (Д) ЬД dR.
1
Согласно определению он действует на основную функцию ср ^ (финитную) по формуле
(
2\2
У a (R) од dR, у (х) 1 = У a (R) (од, <р (х)) dR =
1/ 1
2
= Ja(R) I у^^т У v (x) ds I dR = f at (R) <? (x) dx.
1l|®| = ЯJ Kla;|<2
Мы видим, что функционал h является регулярным; он отвечает сферически симметричной функции ^(1 х!), бесконечно дифференцируемой и финитной. Далее, мы имеем для гармонического функционала / вследствие непрерывности оператора свертки
22
k*f=j’a(R) 6RdR*f = fa(R) (5R*/)dR =
11
22
= У a (R)fdR = f У a^dR =/.
11
Таким образом, обобщенная функция / есть результат свертки двух обобщенных функций h и /, из которых первая — бесконечно дифференцируемая финитная функция. Но тогда в силу результата, полученного в конце п. 4, обобщенная функция / сама бесконечно дифференцируема в любой ограниченной области; оператор А применяется к такой функции в обычном смысле. Так как /—гармонический функционал, т. е. Д/=0 в смысле обобщенных функций, то А/=0 и в обычном смысле.
Преобразование Фурье и свертка. В анализе доказывается, что преобразование Фурье свертки интегрируемых функций /(х) и g(x) (которая также есть интегрируемая функция) равно произведению преобразований Фурье функ- ций /(х) и g(x) ).
Оказывается, что аналогичное утверждение можно сформулировать при некоторых условиях и для обобщенных функций.
Теорема 1. Рассмотрим основное пространство Ф с непрерывным сдвигом и двойственное пространство Ч₽’ = 7=’[Ф]. Если функционал g типа функции g(^ является мультипликатором в пространстве №', то функционал f—F ^kg) — свертывателъ в пространстве Ф' и имеет место формула
Flf^-F^.F^.(1)
Доказательство. По условию, в пространстве Ф определена и непрерывна операция сдвига. Мы утверждаем, что имеет место равенство
Р^^х — П^ = е^ °) F (ср (х)).(2)
Действительно, заменяя х— h на у, находим:
F (ср (х — h)) = J* <р (х — h) ег ^’ °) dx = J ср (у) е^ ^+ь> °) dy=
RR
= gi (h, о) J* <р ^) gi (У, о) dy = gi (h, а) р (ф у^ у
R
Таким образом, наличие (ограниченного) сдвига в пространстве Ф приводит к существованию мультипликатора ег^’ °) в пространстве /^[ФЬ
Теперь проверим, что функционал / = F 1 (g) является свертывателем в пространстве Ф. Применяя / к сдвинутой функции ф(х + Л) и используя определение преобразования Фурье функционала и формулу (2), мы получаем
= "(2^)” / g^ ^^' ^ ^ ^ d° =’
и поскольку ^ф^Ф, результат принадлежит пространству Ф ),
Далее, если ^->0 в Ф, то F[(pJ = ^->0 в Ф, а так как оператор умножения на g в Ф непрерывен, то ^ф^->0 в Ф, откуда в свою очередь следует, что F 1 [^J = = /* cpv —► 0 в Ф.
Таким образом, функционал /—свертыватель в пространстве Ф и имеет место формула
F[/* ф] = £ф.
Согласно определению свертки обобщенных функций (§ 5, п. 2) выражение f * j\ имеет смысл для любого
Найдем теперь F^f^/J. По основной формуле (1)
(F(/*/i), F(v)) = (2k)”(/*A, ф) = (2к)"(/1, /*?) =
= (^(Л), Fa*?))^^^). 1^ = №F(J^ рш, откуда и вытекает формула (1).
Обратную теорему мы докажем при более жестких предположениях.
Теорема 2. Если Ф — пространство с дифференцируемым сдвигом, содержащее все финитные бесконечно дифференцируемые функции, причем эти функции образуют в Ф плотное множество, a f—финитный функционал (и, следовательно, в силу теоремы п. 4 — свертыватель), то f~g есть мультипликатор в пространстве
Ф7 = Ф7 и имеет место формула
gi
при любом функционале j\ и gv = fv
Доказательство. Рассмотрим вначале преобразование Фурье от свертки У* ср, где ср (л:) — финитная основная функция. Мы имеем
F(/*?) = F(/(9, ?(х + 9) = $е^у^, ^(x + ^dx, поскольку, по условию, /*ср = (/($), ср(х-|-$)) есть основная функция. Полученный интеграл можно представить в виде
/ ^^»)<p(x + 9dx),
так как функцию е^^» ст> ср (х -|“ В) можно считать непрерывной абстрактной функцией от В (с значениями в Ф) и интегрирование ведется по ограниченному множеству (вне которого У*ф обращается в нуль).
Далее,
(/(9. / ^ ^ ’) ср (х + 9 dx) = (/(9, е-г <” ^ф (о)),
где ф(а) = ср(х)— преобразование Фурье функции ср(х). Но здесь числовой множитель ф(з) можно вынести, а оставшееся выражение есть функция у (а) (согласно формуле (1) п. 2 § 2). Итак,
У * ср =у * ср
для всякой финитной функции ср^Ф.
Если теперь ср(х)— любая основная функция, то, по условию, существует последовательность финитных функций cpv(x), сходящаяся к ср(х) по топологии пространства Ф. Мы имеем, по доказанному,
7* ^=7 •
далее, при v—>оо функции cpv (а) сходятся по топологии пространства Ф к функции ср (а); эта сходимость, в частности,
имеет место в каждой точке а, откуда следует, что в каждой точке
7 (а) • <рДа)->/(а) • <р (а);
с другой стороны, в силу непрерывности свертки /* фv —> .
—>/*Ф, откуда f*^ —>/*ф*, в итоге функция f*^ всюду совпадает с функцией / (о) • ср (о) и, следовательно, соотношение
справедливо для всех основных функций ^С®. В частности, функцию /(а) можно умножить на любую основную функцию ср^Ф; таким образом, /(а)— мультипликатор в пространстве Ф.
Пусть теперь Д^Ф— произвольный функционал. Для любой основной функции ф^Ф, по доказанному, мы имеем:
UMV ф) = (2^ (/ * Л, ф) = (2^ ^, / * ф) =
-(/1,/-?)=(7-Л, ?) откуда
7*а=7-Л,
что и утверждалось.
Пример. Функционал 8# =^у 8 (г — R\ отвечаю
щий равномерно распределенной массе 1 на сфере радиуса R, как было показано в выпуске 1 (гл. II, § 3, п. 4), имеет своим преобразованием Фурье функцию
/ e^^^dx = Qn_xR4 |о|^^(^igi).
| ac |-Д2
Функционал 8д * 8д * . .. * 8^ (т раз) в силу доказанной теоремы имеет преобразование Фурье
/Jn_2 (ЯН)тп / п1
2»-i/? 2■ 2 „ ■
X и2 1
При п^2 и при достаточно большом т эта функция на бесконечности обращается в нуль с любым степенным порядком убывания. Отсюда, в частности, следует, что функционал 8д...*8д (т раз) при достаточно большом т есть функционал типа непрерывной функции, имеющей произвольно большой порядок гладкости.
Преобразование Гильберта. Известно*), что для функций ср(х), определенных при —сю < х < сю и стремящихся к нулю при | х | -> сю вместе с первой производной нс медленнее, чем j-^j , имеет смысл преобразование Гильберта
А(9 = ГА(9 = Г^ — х^ — хdxdx(1)(1)
А(9 = Г
А(9 = Г
^ — х
^ — х
dx
dx
(1)
(1)
/ х 1/ х 1А (9 d^ х — 5А (9 d^ х — 5(интеграл понимается в смысле главного значения по Коши) с формулой обращения
/ х 1
/ х 1
А (9 d^ х — 5
А (9 d^ х — 5
(2)
Мы получим в настоящем пункте формулы (1) — (2) в естественной области их определения и распространим их на некоторый класс обобщенных функций.
Рассмотрим совокупность Ф всех функций ф($) (— оо < s < сю), обладающих следующими свойствами:
функция 5Лф(5) абсолютно интегрируема на прямой — ОО < 5 < оо при любом к.
ф($) непрерывна и имеет непрерывную производную У(s) на каждой из полупрямых —oo<s^0, 0^s<oo; в точке 5=0 функция ф(5) (и ф'(5)) может иметь разрыв 1-го рода.
5Лф'(5) абсолютно интегрируема на прямой —сю<5<оо при любом к.
В пространстве Ф можно ввести топологию указанием счетной совокупности норм
ИФОЖ = / |5йф(5)|£?$+ J I sY ($)!</$ +
+ max |ф(5)Ц- max | фх(s) |,(3)
— оо < 8 < оо—ОО < 8 < оо
причем, как легко проверить, Ф оказывается полным счетно- нормированным пространством. В пространстве Ф определен и, очевидно, ограничен оператор Л, состоящий в умножении каждой функции ф(^)^Ф на множитель '
— 1 при s < О,
1 при s > 0.
Выясним, из каких функций состоит двойственное к Ф пространство Ф. Для этого заметим, что каждую функцию ф($) можно превратить в непрерывную функцию ф0($) с непрерывной производной, абсолютно интегрируемую (вместе с производной) при умножении на любую степень |$|, если вычесть из 6(s) функцию
+(s > 0)
I о(s < 0)
с надлежащим образом подобранными С и Cv
Обозначим через У класс функций ср (лс), получающихся преобразованием Фурье из непрерывных абсолютно интегрируемых функций; класс У, во всяком случае, состоит из непрерывных ограниченных функций. Тогда класс Pj функций, получающихся преобразованием Фурье из абсолютно интегрируемых функций, имеющих непрерывную и абсолютно интегрируемую производную, состоит из функций ср(х), принадлежащих У и остающихся в У при умножении на х. Функции с непрерывной производной, абсолютно интегрируемые (вместе с производной) при умножении на любую степень |s|, переходят * при преобразовании Фурье в бесконечно дифференцируемые функции, все производные которых принадлежат классу У^ Таким образом, преобразование Фурье функции ф0($) принадлежит классу ¥<» это — бесконечно дифференцируемая функция ф0(х), убы.1
вающая на бесконечности не медленнее, чем -—р
Преобразование Фурье функции ^(s) легко вычислить до конца:
^(s) = С J e^e^ds-VC^ se"8eia;8 ds = оо
СCt — 1 + ix (— 1 + ^)3 *
Это также бесконечно дифференцируемая функция, убываю-
.1
щая на бесконечности нс медленнее ।—।
Поэтому и преобразование Фурье любой функции ф($)СФ есть бесконечно дифференцируемая функция, убы
вающаяДлявающаяДляна бесконечностина бесконечности1 нс медленнее -:—, I х\
вающая
Для
вающая
Для
на бесконечности
на бесконечности
каждой функции ср (л?) = ф (s) определен оператор
(4)(4)
(4)
(4)
причем интеграл в точке x = t понимается в смысле главного значения по Коши; на бесконечности интеграл, очевидно, абсолютно сходится.
Оператор Н есть, очевидно, оператор свертки с обобщенной функцией —^, определенной на пространстве Ф. Преобразованием Фурье от —является обобщенная функция p(s), равная + 1 при s<0 и —1 при s > 0, и операция свертки с —^ в Ф переходит в операцию умножения на P(s) в Ф. Так как эта последняя операция переводит пространство Ф в себя, то оператор Н переводит в себя пространство Ф; таким образом, функция h (У также принадлежит пространству Ф.
Применяя дважды к функции ф($)СФ операцию умножения на P(s), мы возвращаемся, очевидно, к исходной функции ф(5). Поэтому, применяя оператор Н к получившейся функции h^)» мы возвращаемся к исходной
функции ср(х):
Итак, в пространстве Ф справедливы формулы (1) — (2).
Теперь ясно, как можно обобщить эти формулы. Для обобщенных функций над пространством Ф определена со-
.
пряженная операция — *, которая в случае обычных достаточно хороших функций совпадает с обычной сверткой с функцией—. Так как исходная операция— * в пространстве Ф сама себе обратна, то и сопряженная операция в пространстве Ф' сама себе обратна; учитывая еще, что Ф вместе с каждой функцией ф(х) содержит ср(—х), мы можем заключить, что формулы (1) — (2) сохраняются и для обобщенных функций над пространством Ф (с соответствующим осмыслением интегралов). Заметим, что любая функция f{x), локально интегрируемая и растущая при | х | —> оо не быстрее, чем jxl1^, е > О, определяет функционал на пространстве Ф; для такой функции имеют смысл формула (1) (приводящая снова к функционалу над пространством Ф, может быть, и не регулярному) и формула обращения (2).
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕЦЕЛЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе будут рассмотрены преобразования Фурье целых аналитических функций 1-го порядка роста. В обычном смысле, разумеется, эти целые функции не имеют, вообще говоря, преобразований Фурье. Но если рассматривать эти функции как обобщенные, т. е. как функционалы, например, на пространстве К всех бесконечно дифференцируемых финитных функций, то преобразования Фурье будут уже существовать в соответствии с общей теорией как функционалы на пространстве Z, двойственном к К. Предположение о порядке роста позволит дать этим функционалам простую характеристику.
L Основная теорема о преобразовании Фурье целой функции 1-го порядка. Пусть f^ = / ^zv . . ., zn)—целая аналитическая функция не выше 1-го порядка роста с типом ^.b=(bv b^ •••> Ьп); это означает, что для любого е > 0 удовлетворяется неравенство
\f(z)\<c/bl+eU2'+""+tb»+eU2^.(1)
Функция /(г) определяет по формуле
(/, ?)= f fW<?(xWR
линейный непрерывный функционал в пространстве К.
Преобразование Фурье функционала / будет некоторым функционалом в пространстве Z; найдем его явный вид.
Ряд Тейлора для функции /(г)
5 а^^^а^. . . z^”(2)
v =0П
сходится равномерно в каждой конечной области и, следовательно, сходится по топологии пространства К'. Так как оператор преобразования Фурье непрерывен, то можно вычислить результат его применения к функционалу /, применяя этот оператор к каждому члену ряда (2) и складывая результаты. Используя формулу (8) n. 1 § 2, мы получаем:
F(/)= 2 <W = 2 «,(- ЮУ 8 (о) *).
v = 0v=0
Применяя к любой функции ^(o)^Z этот результат, находим:
(р (/У Ф) = 2 ^ ( (- iDy 8 (а), ф (о)) =
^+...+»„дх^1.. .дх^ ‘^+...+»„дх^1.. .дх^ ‘= 2 (8 («), (- ЮУ ф (а)) = 5 (- 1У a.D- ф (0). (3)
^+...+»„
дх^1.. .дх^ ‘
^+...+»„
дх^1.. .дх^ ‘
Ряд заведомо сходится для любой функции ^^Z. Но можно утверждать, что он сходится даже для любой функции ф($), аналитической в области | st |^ Ь^ ..., | sw ] Действительно, для любой такой функции, как следует из п-мер- ной формулы Коши *), выполняются неравенства .
а1 '^(О)д$1‘ ... ds^а1 '^(О)д$1‘ ... ds^
а1 '^(О)д$1‘ ... ds^
а1 '^(О)д$1‘ ... ds^
где bj > bj — параметры области, в которой функция ф(«) остается еще аналитической, а
С = шах |ф($)|.(5)
Vj\^j
С другой стороны, коэффициенты Тейлора функции /(s), как легко получить из (1) применением той же формулы Коши, удовлетворяют для любых 9у > 1 неравенствам **)
(6)(6)
(6)
(6)
*) Речь идет о формуле (| $i | < рр ... , | sn К рп)*) Речь идет о формуле (| $i | < рр ... , | sn К рп)д”Ф($1s^dst ... dsn"д”Ф($1s^dst ... dsn"- (2itZ)n *1! ’ ’- (2itZ)n *1! ’ ’к t /Г ^^ ^* ■ ■ ■ ^Пw JJ zt . Л + 1 z= _ А«!М = Р,|^»| = Р» 1^$п)к t /Г ^^ ^* ■ ■ ■ ^Пw JJ zt . Л + 1 z= _ А«!М = Р,|^»| = Р» 1^$п)**) В силу n-мерной формулы Коши**) В силу n-мерной формулы Коши1д'.4 • • +v« ф (0)\! • • • Ч! ds’1 ... ds’nn1д'.4 • • +v« ф (0)\! • • • Ч! ds’1 ... ds’nn
*) Речь идет о формуле (| $i | < рр ... , | sn К рп)
*) Речь идет о формуле (| $i | < рр ... , | sn К рп)
д”Ф($1s^dst ... dsn"
д”Ф($1s^dst ... dsn"
- (2itZ)n *1! ’ ’
- (2itZ)n *1! ’ ’
к t /Г ^^ ^* ■ ■ ■ ^П
w JJ zt . Л + 1 z= _ А«
!М = Р,|^»| = Р» 1^$п)
к t /Г ^^ ^* ■ ■ ■ ^П
w JJ zt . Л + 1 z= _ А«
!М = Р,|^»| = Р» 1^$п)
**) В силу n-мерной формулы Коши
**) В силу n-мерной формулы Коши
1д'.4 • • +v« ф (0)
\! • • • Ч! ds’1 ... ds’nn
1д'.4 • • +v« ф (0)
\! • • • Ч! ds’1 ... ds’nn
1 (2ти)п1 (2ти)п/(У d^...d^n^+1... evn + 1’1п/(У d^...d^n^+1... evn + 1’1п
1 (2ти)п
1 (2ти)п
/(У d^...d^n
^+1... evn + 1’
1п
/(У d^...d^n
^+1... evn + 1’
1п
откудаоткуда
откуда
откуда
Подставляя оценки (4) и (5) в (3), получаем мажорирующий ряд
который при 6^ < -у- сходится в силу простейших признаков СХОДИМОСТИ. J
Таким образом, формула (3) позволяет распространить функционал F{f) на все функции ф($), аналитические в области | ^ | ^ ^ (Z = 1, . . ., п). Для краткости мы иногда вместо этих неравенств будем писать одно | s | ^ Ь. Итак, мы установили следующую теорему.
Теорема. Преобразование Фурье целой функции /(х) 1-го порядка и типа ^.b = (bv ..., b^ есть функционал на пространстве Z, который может быть расширен на все функции ф(^), аналитические в области I^J^^, ... • • • > | 8п | ^ Ьи. ~
Функционал / на совокупности функций ф (s), аналитических в указанной области, будет также непрерывным в следующем смысле: если последовательность функций фД$) равномерно сходится к нулю в области |s|^^H-e, то числа (F (f\ <pv) стремятся к нулю. Действительно, в этом случае постоянная С = С, в неравенстве (4), написанном для ф = ф^, при у —> оо стремится к нулю, что при подстановке в ряд (3) и приводит к требуемому.
Явное выражение преобразования Фурье целой функции 1-го порядка. Можно дать явную формулу для преобразования Фурье функции /(г), удовлетворяющей неравенству (1) предыдущего пункта, именно, записать / (г) в форме
(1)(1)f<z^= I e^s d\x. (s),
(1)
(1)
где p (s) — комплексная мера, сосредоточенная в области |S;K^y + e.; (зависящая от е = (е1? ..., еп)).Для доказательства формулы (1) будем рассуждать следующим образом.
Пусть 3 — линейное пространство всех целых функций. Введем в 3 нормы по формулам
Ullm= шах |^(5)|.
| 8 } < Ш
Эти нормы являются предельными значениями норм в пространствах Z {Л4^} (гл. II, § 1), где нужно положить
M,(s) =M,(s) =I 1 l ОI 1 l Опри припри приlsl>p-lsl>p-
M,(s) =
M,(s) =
I 1 l О
I 1 l О
при при
при при
lsl>p-
lsl>p-
Легко проверить, что эти нормы согласованы, что пространство 3 полно и, наконец, что оно совершенно.
Найдем общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве 3- Достаточно найти общий линейный функционал (/, ^) на нормированном пространстве 3m — пополнении пространства 3 п0 норме || g || т. Пространство 3m состоит из некоторых непрерывных функций ^(s), определенных в области I51 •< т; оно замкнуто относительно равномерной сходимости. Продолжая по теореме Хана — Банаха функционал / на пространство всех непрерывных функций в области |s|-<^ и применяя теорему Рисса — Радона, получаем:
СА £) = J g (s) dw (s)-<2>
| s | < т
где р. (s) — комплексная вполне аддитивная мера в области | s | ^ ^. В силу теоремы п. 3 § 4 гл. I о структуре пространства, сопряженного к счетно-нормированному, формула (2) при всевозможных т дает общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве 3- Ряд Тейлора g (s) = 2 ^^ сходится по топологии пространства 3; поэтому
V, =(3)
где Д — (/, sv) — фиксированная последовательность постоянных. Обратно, всякая последовательность постоянных Д, обладающая тем свойством, что ряд (3) сходится для любой целой функции g (s) С 3 и определяет по формуле (3) линейный непрерывный функционал на пространстве 3» может быть представлена в форме
А = J s' ф (s),
| s] <m
которая получается из общей формулы (2) при g (s) = sv.
Пусть /(z) = 5 с^— целая функция не выше 1-го порядка и типа ^ Ь, т. е. удовлетворяющая неравенству вида (1) n. 1. Покажем, что числа /, = (— tyc^\ удовлетворяют поставленным условиям.
Действительно, мы имеем, согласно неравенству (6) n. 1
где 0 > 1 — постоянная. С другой стороны, если 2 а^ = g(s) — любая целая функция, то, применяя формулу Коши в области | s |<^ 010^, 01 >1, мы будем иметь:
1(6^/
где М = max | g (s) I. Поэтому ) | 81=9^6
где Е^ 1.где Е^ 1.^ = (7) V^E„^ = (7) V^E„
где Е^ 1.
где Е^ 1.
^ = (7) V^E„
^ = (7) V^E„
т. е. ряд (3) сходится. Одновременно мы получаем ограниченность функционала (3) по норме Ц • ||m с 7n>e16Z>, что означает и ограниченность функционала (3) во всем пространстве 3-
По доказанному, существует такая мера р. (s), что
Л = (— О” М = J s'* dp (s).
Отсюда
J dp (s);
умножая на г^ и складывая, мы получаем слева и справа сходящийся ряд, и следовательно,
/ (г) = ^= ^f ^77- dp (s) = J е^ dp (s),
что и утверждалось.
Формула (2), доказанная нами независимо от предыдущих построений, сама могла бы служить основой для доказательства теоремы n. 1. Ценность первого доказательства в том, что оно может быть перенесено и на случай целых функций более высокого порядка роста.
Обратная теорема. Обозначим через ^(G) линейное пространство всех аналитических функций в замкнутой области G (аналитических внутри и на границе области). Введем в эту совокупность следующее понятие предельного перехода: последовательность ^(sjEB^) называется
сходящейся к нулю, если существует область G'zdG, в которой все функции gv(s) остаются аналитическими и равномерно стремятся к нулю.
Всякий линейный непрерывный функционал на пространстве ^(G) мы будем называть «принадлежащим области G»..
Результат, полученный в n. 1, можно сформулировать следующим образом.
Теорема. Преобразование Фурье целой функции не выше \-го порядка роста и типа ^а есть функционал на пространстве Z, который можно продолжить до функционала, принадлежащего области
Ga = {| <^11 ^ а^, . . ., | sn | ^ ап^.
Оказывается, что справедлива и обратная теорема.
Теорема. Если функционал g£Z' может быть продолжен до функционала, принадлежащего области Gb, то его преобразование Фурье есть функционал на пространстве К типа целой аналитической функции f(z) 1-го порядка роста и типа^Ь.
Доказательство. Пусть функция ф($) аналитична в области |s|^6. Тогда она разлагается в ряд Тейлора, равномерно сходящийся в более широкой области:
ФО) = 2^;
где 0 < 1.
Если функционал g^Z' может быть продолжен наЗ(^6), то в силу его непрерывности
(£> Ф) = 5«Л^. s') = 5Xs;,(1)
где g^— некоторая фиксированная числовая последовательность 0 = 0!, . .., vn)).
Условие сходимости ряда (1) для всех ф(^)ЕЗ(^б) налагает определенные ограничения роста на последовательность а^.
Если, например, положить
где а^- < 1, то
Ф(5) = 2^€3(О6);
из сходимости ряда (1) вытекает, что
(2)
Двойственный функционал F 1(g) = f, определенный на пространстве К» действует по формуле
(F”4gY F-4^ = ^yn(g,
= (2^Г“ / 2 S' ^ v (x) dX1
Функция
/W^StO'^
— целая функция не выше 1-го порядка роста и типа <^&. Действительно, в силу (2)
с V (hV1 1^Г1 V (W 1^ у (bnVn\2пуп ,J^.'‘'^Vn)^п\
Поскольку можно выбрать произвольно а^<1, функция /(г) имеет тип^^, что и утверждается.
Случай целой функции с интегрируемым квадратом.
Теорема (Палея — Винера). Если целая аналитическая функция f (z)— f(zv ..., z^ не выше {-го порядка роста и типа ^ b интегрируема в квадрате в области R = {— оо < х^ < оо), то ее преобразование Фурье есть функция g^t интегрируемая в квадрате в области R = {— оо < о^ < оо) и обращающаяся в нуль почти всюду вне области Gb.
13 Зак 2669 И М Гельфанд и Г. Е. Шилов
Доказательство. Функционал на пространстве К
(/- ?) = J/WtW^
можно по этой формуле распространить на все функции ср (х) £ L2 (/?). Двойственный функционал F(J) действует по формуле
ф (/), F (ср)) = (2ic)” (/, ср) = (2кГ / / to Ф (х) dx =
=J ^шо^,
где g(^) и ф(о) суть соответственно преобразования Фурье функций /(х) и ср(х). Последнее равенство есть равенство Пар- севаля, имеющее место для функций, принадлежащих L2(R)). Функция g(a) принадлежит пространству L2(R), поэтому последнее выражение позволяет распространить функционал (F (f), ф) на все функции из L2(R). Покажем, что функция g(o) почти всюду равна нулю при |^|^^- Положим при фиксированном у
Ф. (s)Ф. (s)
Ф. (s)
Ф. (s)
где ^(s^L^R)—некоторая целая функция, е>0. При v —> оо последовательность функций фД^)
сходится к нулю равномерно в области | Sj | ^ ^ + у >
сходится в среднем при вещественных s = о к функции, равной нулю при |c/|<^j + s и равной ф0(а) при I I > ^ + s-
Функционал F(/) по теореме n. 1 распространяется на пространство 3(^&)- Так как он при этом остается непрерывным, а последовательность фД^) в силу а) стремится к нулю в этом пространстве, то мы имеем (F(/), фЭ—>0.
С другой стороны, в силу б)
(Ш). К^У^НЛ0)^-» у FC^ot3)^.
l^l^. + e
Отсюда
/^(з)^^)^0 =0
1ту|>6,+е
для любой целой функции ф0(°)€^2(^)- Система таких
функций содержит, например, все функции Эрмита P(^j) е з и поэтому полна в пространстве L2(R)), а также и в пространстве L2 {I Gj | > ^ + е}. Это приводит к выводу, что
^М = 0
почти всюду при |^*|>^ + е; поскольку е>0 произвольно, функция ^*(а) = 0 почти всюду при | ^ | > ^’, что и требовалось.
Случай целой функции степенного роста.
Теорема (Палея — Винера—Шварца). Если целая аналитическая функция f{z)—f{zv . . ., z^) \-го порядка роста и типа ^ b возрастает при | х | —> сю не быстрее | х |9 при некотором q, определяя тем самым функционал на пространстве Z
(/- ?)= y/Wyto^,
то преобразование Фурье) Е(Л£К' функционала / сосредоточено на области ^& = {| ^ | ^ Ь^\. Далее, при любом е>0 функционал F (Л может быть представлен как сумма конечного числа (зависящего только от q и п) слагаемых, каждое из которых есть результат применения дифференциального оператора порядка ^^ + (1) = = (91+1» •••> 9п+0 к некоторой функции е(у), интегрируемой в области Gb^e, а вне этой области обращающейся в нуль.
Доказательство. Пусть фе(о)— бесконечно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль вне области 6е={|з|<е}; ее обратное преобразование Фурье сре(х)
есть целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типаже, стремящаяся при |х|->сю к нулю быстрее любой степени j^j. Произведение фе(х)/(х)— снова целая функция
1-го порядка роста и типа^^-j-e, стремящаяся к нулю быстрее любой степени ”р^у • Преобразование Фурье этого произведения, согласно теореме и. 7 § 3, есть свертка
F [?eU)/U)l = F l?J * F 1/1 = фе (О * F(f)
и вместе с тем по теореме и. 4 есть функция, обращающаяся в нуль вне области Gb^v
Из функций фе(о) можно образовать последовательность, сходящуюся к В (□) по топологии пространства К'. В силу теоремы о непрерывности свертки (§ 3, и. 5) мы имеем:
№*F(n^4^^F(/) = F(n.
Поскольку функции ^UeUVU)] сосредоточены в области Gb+v их предел F (f) также сосредоточен в этой области. Наконец, поскольку е > 0 произвольно мало, функционал F{f) в действительности сосредоточен в области Gb.
Можно найти преобразование Фурье функции f^ и иным путем. Введем функцию
/о W = ",• (О
Ui —091+ • •• Un —0^+
Эта функция принадлежит к пространству L2(^) в СИЛУ условий роста /(х) при вещественных х. Пусть g0(°)€ L2(R) есть преобразование Фурье функции /0U)- Из (1) имеем
g^) = F (/00 ) = Р (iD) go (а),
Таким образом, функционал F (/) есть результат применения дифференциального оператора P(iD) порядка ^-|_(1) = (^1-|-1, ..., ^п-]-1) к интегрируемой в квадрате
функции g0(c). Если функция g0(с) вне области Gb обращается в нуль, то наша теорема доказана. Если got?) вне области Gb имеет отличные от нуля значения — вообще говоря, возможно, что go(c) отлична от нуля даже в неограниченной области,—то мы будем рассуждать следующим образом.
Поскольку известно, что функционал Р (ID) g0 (о) сосредоточен в области Gb, мы имеем:
(Р (iD) g0 (а), ф (о) ) = (Р (iD) g0 (a), h (а) Т (о) ),
где h(Q)^K—любая функция, равная 1 в области Gb. Выберем для заданного е>0 функцию h(о) так, чтобы она была равна 1 в области Gb и равна нулю вне области Съ^г. Тогда по формуле Лейбница
(P(iD)g0, w) = <P<iD)g0, h^) = (g0, P(iD)h<?) =
= (S-о. 5 Pji №) h • Pte (iD) cp) ,
где P^ и Pk2— некоторые новые дифференциальные операторы, сумма порядков которых не превосходит ^ + (1). Далее, это выражение преобразуется следующим образом:
(Р (iD) g0, ср) = 5 (g0, Pj! (ID) h • Pte (iD) cp) =
= 5 (Рц (iD) hg0, Pk2 (iD) ?) = 5 (Pk2 (iD) V^ (iD) h • g0L cp). d> fcj, к
Поскольку /г (о) бесконечно дифференцируема и обращается в нуль вне области Gb+e> произведение fj^P^iD^h-go также обращается в нуль вне области Gb+e. Так как go^L2(R), то и fj^L^RY причем, поскольку теперь все ограничивается конечной областью, можно утверждать, что функция Д(о) интегрируема и в первой степени. Окончательно мы имеем:
(P(iD)g0(a), <f(a)) = ^P1£2(iD)fj, ср),
где функции fj(a) и операторы Рк2(Ю) обладают всеми требуемыми свойствами.
Тем самым теорема доказана.
Обратная теорема — о том, что функционал, сосредоточенный в области |х|^о, имеет своим преобразованием Фурье целую аналитическую функцию 1-го порядка роста и типа а,—много элементарнее; она доказана в п. 2 § 2.
Соединение результатов этих двух теорем приводит к некоторым новым утверждениям относительно функций 1-го порядка роста. Именно, пусть целая функция g(s) удовлетворяет условиям только что доказанной теоремы, т. е. имеет нет выше чем 1-й порядок роста, тип^о и возрастает при s = о не быстрее | о |9 при некотором q. Применяя теорему, получаем, что преобразование Фурье функции g(s) есть функционал f^.K't сосредоточенный в области Ga, представимый в виде ^Pk^fkW, где Pk{D) — дифференциальный оператор порядка <^ 7 + 1, А(х)—непрерывная функция.
Используя затем обратную теорему, получаем для функции g(s) оценку вида
|£(° + *-<И<С(1 + И)4+1е(|а|+г)|т|.
Поскольку, далее,
и имеет место неравенство
| т |Q+1 ^(1 «1+е)|т1 ^ £ ^( |а | Ь2е) |т|
с любым е > 0, мы приходим к следующему результату. Всякая целая аналитическая функция g(s) = g(sv . . . ,sn) не выше 1-го порядка роста и типа ^ а, возрастающая при 8 = о, | а | —> оо не быстрее | о [3, при любом е>0 допускает оценку
(2)(2)k(=+^)l<ce(i + |o|)a+V|a|+e)|Tl.
(2)
(2)
ГЛАВА IV
ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
ВВЕДЕНИЕ
В этой главе будут введены и исследованы новые типы основных пространств; в выпуске 3 будут они использованы, в частности, при изучении проблемы Коши.
При определении этих пространств мы будем налагать условия не только на убывание основных функций на бесконечности, но и на рост их производных с увеличением порядка производной.
Наиболее естественно все эти условия формулируются с помощью неравенств, которые накладываются на выражения sup^ | хАср^)(х) | при различных к и q; эти неравенства имеют вид
зирж| (*, 9 = 0, 1, 2, .
где тк(1 — некоторая двойная последовательность чисел.
Если на эту последовательность не наложено никаких специальных условий, т. е. числа этой последовательности могут произвольно меняться вместе с функцией ср(х), то мы получаем совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности, вместе со всеми производными, быстрее любой степени г-Ц. Это и есть пространство S, введенное еще в выпуске 1 (гл. I, § 1, п. 10) и неоднократно встречавшееся в предыдущих главах.
Мы наложим на последовательность т^ некоторые специальные ограничения—в частности, будем считать, что эта последовательность зависит определенным образом от к, или от q, или от обоих индексов, и тем самым получим различные конкретные пространства. У всех этих пространств много
общих свойств. Очень важно, что в этих пространствах свободно можно пользоваться преобразованиями Фурье: при преобра
зованиях Фурье операторы ^ и умножения на х меняются ролями, и потому эти пространства переходят друг в друга. Отсюда следует, что преобразования Фурье обобщенных функций, определенных на фиксированном пространстве указанного типа, будут обобщенными функциями над другим фиксированным пространством того же типа. Напомним, в частности, что пространство 5 переводится преобразованием Фурье в себя (гл. Ill, § 1).
Далее, в этих пространствах (а следовательно, и в сопряженных к ним) можно строить разнообразные операторы — функции от оператора дифференцирования, причем количество таких допустимых функций зависит от вида пространства. Важность рассмотрения функций от оператора дифференцирования мы поясним следующим простым примером. Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности:
ди (х, О д^и (х, Оdtдх^ ’
и^х, О) = ио(х).
Решение формально записывается в виде
t9!
и^х, t)= е 9x2 uQ(x).
При расшифровке правой части получается известная формула Пуассона.
Эти два метода — метод преобразований Фурье и метод построения (целых) функций от оператора дифференцирования— будут для нас главными орудиями при построении классов единственности и классов корректности решений задачи Коши (выпуск 3, гл. II и III).
Хотя наше изучение пространств типа 5 подчинено цели их использования в задаче Коши, излагаемые ниже результаты представляют интерес и сами по себе. Об этом мы уже говорили во введении к настоящему выпуску. Впрочем, читатель, не интересующийся проблемой Коши, может отложить эту главу и перейти к чтению гл. IV выпуска 3.
Переходим к определению тех типов основных пространств, которые мы будет рассматривать далее. Мы ограничимся вначале случаем одного независимого переменного, оставляя общий случай до § 9.
Все описываемые ниже пространства будем называть «пространствами типа 8».
Пространство 8а (а^>0) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций у(х) (—оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
\хк^Ч^)\<СдАккка (^, ^ = 0, 1, 2, . . . )), (1) где постоянные А и Cq зависят от функции у.
Пространство Sp (Р^О) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций у (х) (— оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
I xk^4x)\<CkBqq* (k, q = 0, 1, 2, .. .), (2) где постоянные В и СК зависят от функции у.
Пространство 5« (а^О, Р^О) состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций у (х) (—оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
\xk^q\x^\<CAkB'1kkaq,1\\xk^q\x^\<CAkB'1kkaq,1\(3)(3)
\xk^q\x^\<CAkB'1kkaq,1\
\xk^q\x^\<CAkB'1kkaq,1\
(3)
(3)
где постоянные А, В, С зависят от функции у.
Сравним определения этих пространств. Определение пространства 8а по существу накладывает ограничения на убывание основных функций при | х | —► оо. В этом легко убедиться, если разделить обе части неравенства (1) на |х|Л и перейти в правой части к минимуму по к; в результате в правой части получится функция от х, убывающая при | х | -> оо заведомо быстрее любой функции вида р^, и тем быстрее, чем меньше число а. Несколько ниже мы вычислим эту функцию.
Определение пространства 3^ накладывает ограничения на рост производных функций <р(х). Эти ограничения тем сильнее, чем меньше значения р. Мы покажем, далее, что при р = 1 функция ср (х) уже может быть аналитически продолжена с вещественной оси в некоторую полосу на комплексной плоскости. При Р<1 функция ср(х) продолжается в комплексную плоскость уже как целая аналитическая функция; несколько ниже мы подсчитаем ее порядок роста в зависимости от числа р.
Определение пространства Sa накладывает ограничения и на убывание основных функций, и на рост их производных.
Основные функции, входящие в пространство За, убывают на бесконечности так же, как основные функции, входящие в пространство Sa, и их производные могут расти при q —> оо не быстрее, чем у функций, входящих в пространство Sp. Все эти ограничения тем сильнее, чем меньше числа аир.
Для достаточно малых а и р— мы ниже увидим, для каких именно, — пространство S» вырождается* в единственную функцию ср(х) = О. Нас будут, естественно, интересовать только нетривиальные пространства 3«.
С топологической точки зрения каждое из пространств Sa, S₽, Sa представляет собой объединение счетно-нормированных пространств. Например, пространство Sa есть объединение счетно-нормированных пространств Sa, а (Д = 1, 2, .. .); пространство Sa, д0 состоит из функций, удовлетворяющих неравенствам (1), где в качестве постоянной А годится любая постоянная, большая, чем До. Нормы в пространстве Stt, а ив других счетно-нормированных пространствах будут указаны в § 3; там же будет показано, что все эти пространства совершенны.
Пространства Sa, S^, S можно считать предельными случаями пространств Sa, именно
с с°° еЗ сЗ с с*00
О Осо.
Многие из дальнейших результатов, относящихся к пространствам Sa, переходят при правильном истолковании предельного перехода a —> оо, р —> оо в соответствующие [ езультаты для пространств Sa, Зр или S.
Несомненно, представляют интерес и более общие типы пространств, определения которых получаются заменой в определении Sa, S^, Sa последовательностей 1^а и д^ произвольными последовательностями ^ и bq (k, д = 0, 1,2, . . .). Более того, например, пространство Sa bq состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср(х), для которых выполнены неравенства:
\x^(x)\<CAkB<1akbq (^, ^ = 0, 1, 2, . . .).
Мы укажем в Добавлении, какие из свойств пространств типа S будут сохраняться для таких более общих пространств.
РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯПРОСТРАНСТВ ТИПА S
(1)(1)Пространство Sa. Как уже говорилось, пространство Sa (a^O) состоит из бесконечно дифференцируемых функций ср(х) (—оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
(1)
(1)
где постоянные Cq и А зависят от функции ср (х).
Это определение, как мы уже знаем, подчиняет функции ср(х) некоторым условиям убывания на бесконечности. Выясним, в чем состоят эти условия.
Разделим обе части неравенства (1) на [х^ и в правой части перейдем к нижней грани по к; мы получим, что
где положеногде положено^(9-inf^.^(9-inf^.(2)(2)
где положено
где положено
^(9-inf^.
^(9-inf^.
(2)
(2)
I 1 при |5| ^ 1,I 1 при |5| ^ 1,Найдем выражение для функции р.а(0 в явном виде. При а = 0 мы имеем:
I 1 при |5| ^ 1,
I 1 при |5| ^ 1,
।1 При |С|1,
^о(^) = ™^р^ = ( о при |?| >1
Отсюда следует, что функция P-o^^j равна 1 при |л:|^Д и равна нулю при |х|>Л. Поэтому функция cp(x) обращается в нуль при |х|>Л.
Обратно, если ср(х) — бесконечно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль при |х|>Л, то, очевидно, [jApW (х)|<С^, так что cp(x) принадлежит пространству So.
Так как постоянная А может быть выбрана произвольно, то пространство So состоит, следовательно, из всех финитных бесконечно дифференцируемых функций, т, е. совпадает с пространством К» введенным в выпуске 1.
Пусть теперь а > 0. Оказывается, в этом случае функция р.а(В) имеет порядок убывания е-а^^а. Точнее, имеет место неравенство
~^11/ае е~^11/ае еМ^)<СеМ^)<Се-yiai1^-yiai1^(3)(3)
~^11/а
е е
~^11/а
е е
М^)<Се
М^)<Се
-yiai1^
-yiai1^
(3)
(3)
где С — некоторая постоянная.
Для доказательства, считая временно к непрерывно меняю-
щимся переменным, мы найдем минимум функции —^= /(&) обыч
ек
ными средствами дифференциального исчисления. Логарифмируя, дифференцируя и приравнивая результат нулю, получаем:
(4)(4)[lnAW = v^r = -lne + «ln*o + a = O,
(4)
(4)
где к0 — значение к, на котором реализуется минимум функции/^). Из уравнения (4) находим: к0 = — ^а и, следовательно,
min^ In / (к) = — у g1/a,
minfe/(&)=£ е .
Так как в действительности к изменяется только по натуральным числам, то min^/(^) на самом деле несколько выше найденного. Мы имеем:
Iln/W]"=j
поэтому в целой точке к^ ближайшей справа к точке &0,
In / №) = in / (fe0) + ^ (А, - й0)2 < In / (Ад) + ^№, < й2 < А,)
и, следовательно,
m'ns In У (A) < In / №) < in/(A0) + “ = - Л £i/« + ^ g-i/« откуда
ae £ —1/a a ^1/amin^/(&)<£ 2 e eae
Первый множитель при 6 ^ 1 ограничен величиной Cj = е2 . Если же 0<£<1> то 7a a Л/a
mint-p-Cloe? е
Итак, при любых 6, 0<£<оо, a cl/aa ^1/a
е"' <МЕ)<С/7 , ae где С можно положить равным, например, е 2 .
Теперь для функции ср (х) мы получаем оценку
или, обозначая а
находим окончательно: | ^(х)^^-3^!^. (6)
Этот результат можно сформулировать таким образом: все функции ^W^Sa имеют на бесконечности вместе со всеми своими производными экспоненциальное убывание с порядком ) ^ ” м ишпом^ а, зависящими от функции ср.
Покажем, что всякая функция ср (х), удовлетворяющая этому условию убывания на бесконечности, входит в пространство Sa. Действительно, пусть выполнены условия
IV^WKC^-01®117"(9 = 0, 1, 2,
Определив число А из уравнения (5), мы можем записать эти условия в форме
а I Ж_ |Va
I ?(Q) to I < С^е" е I А I ;
далее, применяя основное неравенство (3), находим:
|Ф<е>(л:)1<Со. nV—^ = Сотть^^<Со^Д-, откуда
I XftCp^) (х) | -^ CqAKkKa, что и требуется.
Итак, мы получили второе определение пространства Sa (а + 0): оно состоит из тех и только из тех функций ср(х), которые удовлетворяют неравенствам вида
|cp№(jc)KC9e-"la’i1/'‘
с постоянными Cq и а, зависящими от функции ср.
Пространство $р. Как уже говорилось, пространство Sp (Р^О) состоит из бесконечно дифференцируемых функций ср (х) (— оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
(9 = 0, 1, 2,(1)
В этом определении наложены ограничения на рост производных основных функций ср (х), тем более жесткие, чем меньше число р. Если Р>1, то в числе основных функций ср (х) еще имеются финитные функции (см. далее, § 8). Если 8 ^ 1, то все функции ср (х) £ S^ являются уже аналитическими и финитных функций тем самым среди них уже нет. Действительно, остаточный член формулы Тейлора ^<р(8)(х + 0А) =
= <р (х + А) — <р (х) — А<р' (х) — . . . — (9_П[ ^’О (*)(2)
допускает в этом случае оценку
Из формулы Стирлинга
q\ = q^e-4V^Eq
следует, что этот остаточный член стремится к нулю при | ^ I < 5^ • Поэтому функция ср (х) в соответствующей окрестности точки х представляется рядом Тейлора
<р(х + Л) = У А%<в)(х).(3)
8=о
Так как ряд Тейлора остается сходящимся и для комплексных значений Н, удовлетворяющих неравенству |^|<^> то мы делаем вывод, что функция ср (х) может быть аналитически продолжена в полосу | _у | <^ комплексной плоскости z=x-\-iy. Ширина этой полосы, вообще говоря, зависит от функции Ср(х).
Но если р< 1, то из оценки
^Ф^ + бА)^Ф^ + бА)^^ С q\ 0 q^^ С q\ 0 q
^Ф^ + бА)
^Ф^ + бА)
^^ С q\ 0 q
^^ С q\ 0 q
в силу приведенной выше формулы Стирлинга следует, что остаточный член (2) стремится к нулю при любом h и функция ср(х) оказывается целой аналитической функцией. При этом для функции ср (г) = ср (х + iy) выполняется неравенство
I х^ (л: + Zy) | = ^ ^ х11^ (х)I х^ (л: + Zy) | = ^ ^ х11^ (х)9=09=0ПоложимПоложим<C^'^TBVP. (4)8=001 >0).(5)<C^'^TBVP. (4)8=001 >0).(5)
I х^ (л: + Zy) | = ^ ^ х11^ (х)
I х^ (л: + Zy) | = ^ ^ х11^ (х)
9=0
9=0
Положим
Положим
<C^'^TBVP. (4)
8=0
01 >0).(5)
<C^'^TBVP. (4)
8=0
01 >0).(5)
9 = 0
Тогда можно написать, что
I^^+^Kc^cb^I).
Оценим рост функции 7Ир(т}) при ^ —>оо. В силу формулы Стирлинга q\^- Cq^e-^ поэтому
ВеличинаВеличина3 = 0 43 = 0 4(6)(6)
Величина
Величина
3 = 0 4
3 = 0 4
(6)
(6)
1^Q(l-P)1^Q(l-P)supQsupQ7^^(i-P)7^^(i-P)^W1^ ье=еИ^W1^ ье=еИ
1
^Q(l-P)
1
^Q(l-P)
supQ
supQ
7^^(i-P)
7^^(i-P)
^W1^ ье=еИ
^W1^ ье=еИ
тДе^
SUPg g(l-p) =
4infg
называется максимальным членом ряда (6). Оценку этой величины мы уже производили в n. 1 (формула (3), где нужно заменить а на 1 — р и £ на ^е). В силу этой оценки
где Ь =-е и е
Так как члены ряда (6) с ремягся к нулю быстрее членов любой геометрической прогрессии, то, начиная с неко
торого номера, ^-й член ряда станет меньше, чем ~. Чтобы
найти этот номер, нужно разрешить относительно q неравенство
^1
Логарифмируя, легко получить решение этого неравенства; оно имеет вид
q> Чй = ^ет^.
Сумма всех членов ряда с номерами q*> q0 не превосходит 1. Сумма остальных членов в свою очередь не пре-
восходитвосходит11(2^)1-^6V-P11(2^)1-^6V-PС'е^^,С'е^^,
восходит
восходит
11
(2^)1-^6V-P
11
(2^)1-^6V-P
С'е^^,
С'е^^,
где Ь'— любое число, большее Ь.
Таким образом, для функции Л4рСф получается оценка
11M^iKC^C^'V^-11M^iKC^C^'V^-(7)(7)
11
M^iKC^C^'V^-
11
M^iKC^C^'V^-
(7)
(7)
Для функции A7^cp (а: —|—Zj/) в свою очередь получается оценка 1
|х*<р(х + (у)| <CfeAlp(B|j/|XCfceb'^'1 р,
где Ь'— любая постоянная, большая, чем
ЬВ1-» = ^-^-(Веу-^.
Мы получили следующий важный результат:
Каждая функция ср(х), удовлетворяющая неравенствам
\хк^(д-\х)\^СкВ^(р< 1, k, q = 0, 1, 2, .. .), (8)
11-р11-рможет быть аналитически продолжена в плоскость
1
1-р
1
1-р
точточz = x-\-iy, как целая функция порядка роста
точ
точ
нее говоря, полученная функция удовлетворяет неравен
ствам
1
1 x^^x-Vly^^cV'^ ₽>1 x^^x-Vly^^cV'^ ₽>(9)(9)
1 x^^x-Vly^^cV'^ ₽>
1 x^^x-Vly^^cV'^ ₽>
(9)
(9)
где Ь'— любая постоянная, ббльшая, чем —^(В^)1^.
Мы увидим в дальнейшем (§ 7), что оценкой (9) полностью характеризуются функции пространства S^ (b < 1), удовлетворяющие неравенствам (8) с заданным значением В.
14 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
Пространства Sa. Как было сказано, пространство Sa состоит из бесконечно дифференцируемых функций ср (х) (— оо < х < со), удовлетворяющих неравенствам
| xV^Wl^C^^V3 (А, 9 = 0, 1, 2, .
В этом определении накладываются ограничения и на убывание основных функций при |х| —>оо, и на рост их производных при #->оо. Очевидно, что пространство S« входит в пересечение пространств Sa и Sp ). Поэтому для всякой функции cp(x)^Sa выполняется оценка убывания на бесконечности
W^\<CBVVaXa:^. (1)
Если р С 1, то всякая функция <р (х) £ S„ продолжается в плоскость z = x-\-ty> причем для Р<1—во всю эту плоскость; при этом выполняется оценка
1
| х^ср (х + (у) К СА^е1* । У|1-Р. (2) Деля обе части этого неравенства на |х|\ переходя к нижней грани по к и используя неравенство (3) n. 1, находим:
~ | ф (х + iy К Се-а 1Ж l1/a+6 । У11/(1~р), (3) где коэффициенты а и b известным образом выражаются через А и В. - '
В дальнейшем (§ 7) мы покажем, что всякая целая функция ^(x + Z^y), удовлетворяющая неравенству (3), принадлежит к пространству Sa ).
Как будет показано в дальнейшем (§ 8), неравенство (3) накладывает на функцию ср (х) столь сильные ограничения, что при достаточно малых а и р — точнее, при а-Д-^ < 1 — пространство Sa содержит единственную функцию ср(х) = О.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ОСНОВНЫХПРОСТРАНСТВ
Пространство Sa как объединение счетно-нормированных пространств. Обозначим через Sa, совокупность функций ср(х) пространства 5а, для которых справедливы неравенства
где в качестве А можно взять любую постоянную, большую заданного числа А. Иначе говоря, Sa,A состоит из тех функций ср (х), которые при любом В > 0 удовлетворяют неравенствам
| х^ср ^ (х) I < С^ (А + 8)* Fa.(1)
Если перейти ко второму определению пространства 8а (§ 2, n. 1), то это определение можно сформулировать так: пространство 8а, а состоит из тех функций ф(х), которые при любом В > 0 удовлетворяют неравенствам
[(х)[
где, как и раньше, a
Это определение соответствует случаю a > 0. При a = 0 пространство So, а состоит из бесконечно дифференцируемых функций, которые обращаются в нуль вне отрезка | х | ^ А. Оно совпадает, как мы видим, с пространством К(Л), которое мы неоднократно рассматривали раньше; в частности, мы знаем, что оно совершенно (гл. II, § 2).
Положим
(р-2, 3.®
Функции Мр(х) образуют возрастающую последовательность (VMp(x) VMp+1(x)), и функции ф(х)^5а,д могут быть охарактеризованы как бесконечно дифференцируемые функции, для которых выражение
SUPa, Мр (х) | ф to) (х) | = || ? ||р(3)
конечно при любом р = 2, 3, . .. Пространства функций, подчиненных такого рода условиям, были нами введены в § 1
гл. II под названием пространств ^{Лlp}. Таким образом пространство Stt,A принадлежит к классу пространств K^MpV
В частности, как и всякое пространство К ^Мр\, пространство 8а, а является полным счетно-нормированным пространством. Проверим, что выполнено в данном случае и условие (Р) § 2 гл. II, обеспечивающее совершенство пространства К(Мр). Это условие состоит в том, что для каждого индекса р найдется индекс р' > р, при котором
11Ш; ■ = 0.
| я? I -> со ^р' (^
Действительно, в нашем случае
а (1 - —I a? I1/”
Мр(х) = е V рГ 1
и, следовательно, при любом р' > р
^L _ / О 4)1” '^"“О -у)1 ж |1/а _ / (у 4)1 *,1/а -^ о м^-6~еи>
что и требуется.
Выпишем также для данного случая критерий сходимости последовательности основных функций, полученный нами в § 2 гл. II. Этот критерий гласит: последовательность ^^Sa,A сходится к нулю тогда и только тогда, когда последовательность yv (х) правильно сходится к нулю (т. е. функции ф^(х) ПРИ любом q равномерно сходятся к нулю на любом отрезке |х|<^х0<оо) и нормы ||<pv||p ограничены при любом р.
Нам будет удобнее рассматривать в пространстве За, а другую систему норм, непосредственно связанную с исходным определением этого пространства. Именно, положим
suPa?,fc ^ _|_ ^kkk*W
Покажем, что эта система норм эквивалентна системе (3) норм ЦфЦр. Если в (4) сначала найти sup по индексу к, то мы
получим:
_11
SUPft (А + 6)* feka— (Л -|- 8)* кка —( \x\ \ *
где у,(9 = inf^y^ — функция, определенная в n. 1 §2.
В силу неравенства (3) n. 1 § 2 мы имеем:
1Р-а (5)1Р-а (5)л У/аее\А^) ^Мр(х)л У/аее\А^) ^Мр(х)
1
Р-а (5)
1
Р-а (5)
л У/а
ее\А^) ^Мр(х)
л У/а
ее\А^) ^Мр(х)
при некотором р. Таким образом,
II ? II д8 < 81фж Мр (х) | ф <«> (X) | < || Ф || р, аналогично доказывается и обратное неравенство.
В частности, и с нормами (4) пространство Sa,A— совершенное пространство.
При АХ<А2 пространство Sa,Av является частью пространства Sa, д^ причем всякая последовательность ^(х), сходящаяся в пространстве Sa, а^ сходится и в пространстве Sa, а2- Мы можем построить объединение счетно-нормированных пространств Sa, а по всем индексам Д=1, 2, . .. Так как каждая функция ^(x)^Sa входит в некоторое Sa, а, то объединение пространств Sa, а совпадает с пространством Sa. Итак, пространство Sa есть объединение счетно- нормированных пространств Sa, а- Это позволяет ввести определение сходимости последовательности ?v(x)£Sa, как это делается в таких объединениях (гл. I, § 8): последовательность <pv^Sa сходится к нулю, если все функции %(х) принадлежат к некоторому пространству Sa, а, где они сходятся к нулю по топологии Sa, а*, это означает, что последовательность cpv(x) правильно сходится к нулю (т. е. функции <р^(х) при любом q равномерно сходятся к нулю на любом отрезке | х | ^ х0 < оо) и для некоторых А и Сф не зависящих от v, выполняются неравенства
I xW^ (X) I < С^к^.
Можно дать определение сходимости последовательности ^^^x^S^ и в терминах второго определения этого
пространства. Именно, последовательность ф^(х) сходится к нулю, если она правильно сходится к нулю и при некотором а > О выполняются неравенства
|?®W|<C^-a,a,|1/a-
При а = 0 наши определения переходят в определение пространства К финитных бесконечно дифференцируемых функций как объединения счетно-нормированных пространств К (А) функций, обращающихся в нуль при |х|^Л.
Пространство S₽ как объединение счетно-нормированных пространств. Как уже говорилось, пространство S₽ (р^О) состоит из бесконечно дифференцируемых функций ф(х) (— оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
\xW44x')\<.CkB4q9$l 0м = ^, 1, 2, . ..).
где постоянные Сд и В зависят от функции ср. Обозначим через S^B совокупность функций <p(x)£Sp, для которых справедливы неравенства
W‘4xV\<Ck]SB4q* (k,q = ^ 1, 2,
где в качестве В можно взять любую постоянную, большую заданного числа В. Иначе говоря, S^,B состоит из тех функций ср(х), которые при любом р>0 удовлетворяют неравенствам
|Л<9)(х)|<Сйр(5 + р)9^ (*^ = 0.1.2,...). (1)
Пространство S^,B уже не принадлежит к классу пространств ^{Лlp}, как пространство 5а,д; поэтому топологическое строение пространства S^’B мы должны рассмотреть независимо. Введем в пространство о систему норм по формулам
Покажем, что при этом пространство S^,B становится полним счетно-нормированным совершенным пространством.
Доказательство распадается на несколько этапов.
Будем по-прежнему называть последовательность бесконечно дифференцируемых функций с^ (х) правильно сходящейся к функции <р ^х\ если для любого q функции ^ (х) равномерно сходятся к ср^ (х) на любом конечном отрезке.
Если последовательность ^ (л) правильно сходится к некоторой функции <р (л) и для некоторых кар нормы || <pv ||^р ограничены, || <pv fcp < С, то норма || • кр существует и у функции ср (х) и при этом || ср |kp -< С.
Действительно, на любом конечном отрезке —^^jr<^^
| ХК^ (^) | 8ирж жр (В + р)3^| ХК^ (^) | 8ирж жр (В + р)3^lim sup,,.v->oo q^plim sup,,.v->oo q^pI ^^ k) ICBAr^bqI ^^ k) ICBAr^bq< ^k, lkP<c;< ^k, lkP<c;
| ХК^ (^) | 8ирж жр (В + р)3^
| ХК^ (^) | 8ирж жр (В + р)3^
lim sup,,.
v->oo q^p
lim sup,,.
v->oo q^p
I ^^ k) I
CBAr^bq
I ^^ k) I
CBAr^bq
< ^k, lkP<c;
< ^k, lkP<c;
отсюда, переходя к пределу при я->со и р->оо, находим: | xk^ (?) (х) |
что и утверждается.
Если последовательность у^ (л) сходится к нулю в каждой точке и фундаментальна по норме || • ||др, то || ср^ ||Ло -> 0.
Действительно, поскольку последовательность ср^ (х) фундаментальна, она сходится к нулю правильно. Поэтому последовательность разностей ср^ (х) — у^, (х) при р. -> оо правильно сходится к <pv(x). По предыдущему/
hvhP< sup к,—?ц1кр<е
при достаточно большом ^, что и требуется.
Пространство S^ в полно.
В самом деле, если последовательность <р^ (л) € S^ в фундаментальна по каждой из норм || • Ьр, то согласно а) у предельной функции ср (х) существует каждая из норм || • ||^р; таким образом tWC^’5. Разность ср — ср^ правильно стремится к нулю и ограничена по каждой из норм; в силу б) мы имеем ||<р — ?vkp ^ 0 при любых к и р, что и означает полноту пространства S^в.
Нормы || • hp попарно согласованы.
Пусть <р^ С -$Р’В фундаментальна по нормам || • ||Л1Р1 и || • ||fe2p2 и по первой из них стремится к нулю. Тогда функции <р^ (л) заведомо стремятся к нулю в каждой точке. Согласно б) ||<р^ ||л -> 0, что и требуется.
Если последовательность <р^ (х) ограничена по каждой из норм || • |кр и правильно сходится к нулю, то она стремится к нулю по топологии пространства S^в (т. е. по каждой из норм).
В самом деле, пусть заданы к, р и произвольное 7]>0. Возьмем р'<1 р. Числа ||<М&Р', п0 условию, ограничены постоянной Ск,е Для достаточно больших q, например q ^ q^, имеет место неравенство
(5 + /)^ 71
(fi + p)8 <V
поэтому для q^q^ мы имеем:
| хк^ (х) | < С^. (В + рЭ« q^ < 7] (В +
Для ^<<^о и I х I > ~^^~ получаем:
| хк^$ С*)| = -|jj-1 хк+1<^ W | <
< IIV, 1Ь+1, р (в + Р)9 ^ < ч (В + Р)9
Наконец, если q<Zq^ и I х |< ^±М , то в СИЛу равномерной
(ах , х।1 Скдл, о
сходимости последовательности ^$ (х) к нулю при | х |<.-
неравенство
lA^Mk^s + p)9^(3)
также будет иметь место при достаточно большом ^, например при ^>^о- Итак, при ^>^0 неравенство (3) имеет место для всех х и q. Тем самым при ^>^0
IIЪ lifeр - 8ирж, g ———< ч,
откуда следует, что последовательность ^ (х) стремится к нулю по норме || • |кр; так как к и р произвольны, то <pv (х) -> 0 по топологии пространства S^’B, что и утверждалось.
Если последовательность <р^ (х) ограничена по каждой из норм || • |кр и правильно сходится к некоторой функции <р (х), то <р (х) принадлежит к S^в и является пределом последовательности ^ (х) по топологии пространства S^ в.
Действительно, в силу а) (р (х) С S^’5• Разность (р (х) — <pv (х) ограничена по всем нормам и правильно сходится к нулю; cq-
гласно д) эта разность сходится к нулю по топологии пространства S^5, что и утверждается.
Из е) тем же приемом, что и в § 2 гл. II для пространств типа К^Му}, легко вывести, что пространство S^,B совершенно.
Итак, пространство 8^’в является полным счетно-нормированным совершенным пространством.
При Вх < В2 Пространство Sp,B1 является частью пространства 8^’Вй и всякая последовательность cpv (х), сходящаяся в пространстве S₽’ в\ сходится и в пространстве S^"82. Поэтому мы можем построить объединение счетно-нормированных пространств Sp,B по всем индексам В=1, 2, . .. Так как каждая функция ^(х)^^ входит в некоторое SP'B> то объединение пространств Sp’в совпадает с пространством S₽. Итак, пространство 8^ есть объединение счетно- нормированных пространств S^’B. В соответствии с этим последовательность <pv(x)£Sp считается сходящейся к нулю, если все функции <pv (х) принадлежат к некоторому пространству S₽,B и сходятся к нулю по его топологии; это означает, что последовательность <pv (х) правильно сходится к нулю и выполняются неравенства
| xk^ (х) I < C^q^,
где С^ и В не зависят от v.
Пространство S« как объединение счетно-нормированных пространств. Как уже говорилось, пространство S« (a^O, Р^О) состоит из бесконечно дифференцируемых функций ср (х) (— оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
| хУ\я) | < СЛ^В9/?7^(й, 9 = 0, 1. 2-
где постоянные А, В, С зависят от функции ср.
Обозначим через S^f совокупность функций <?(x)£S«, для которых справедливы неравенства
| х\№(х)I < CAkB9fekaq9? (й, 9 = 0, 1,2,...)
при любых А > Л, В > В, где А и В — заданные числа. Иначе говоря, пространство £«’д состоит из тех функций ср(х), которые при любых В > О, р>0 удовлетворяют неравенствам
I^W^i^c (Л + 8)Ь(В + р)8^? <М = ». 1,2,...).
в
Введем в пространство 5^д систему норм
(2)
Мы утверждаем, что с этой системой норм пространен в
ство о», а становится полним счетно-нормированным совершенным пространством.
Доказательство этого факта можно провести аналогично тому, как это сделано для пространства S^*B (п. 2). Некоторое различие будет в доказательстве утверждений, аналогичных а) и д). Приведем здесь эти несколько измененные рассуждения.
В а) мы исходим теперь из неравенства
sup —=
$<Т (В + Р)« (А + V)k kkaq^
и совершаем предельный переход при а -> со, р -> со, I -> со; в результате мы получаем:
|(.к) |
что и требуется.
Для доказательства утверждения, аналогичного д), рассуждаем следующим образом. Пусть заданы т] > 0, 6 > 0 и р > 0; возьмем произвольно о' < о, р'<р. Так как ^Дх^— ограниченная последовательность, то, в частности, имеет место неравенство
II Tv Ир, 8' -С Cl,
*) Знак зирд., ^, q означает верхнюю грань по всем х, к и q (— со<х <со, 0<£<оо, 0<?<оо).
или, что то же, при любых к, q, х
| х^? (х) | < С, (Л + б')6 (5 + Р)9 ^q^-
При достаточно большом к, к^к^ имеет место неравенство
. (Л + У)^<А(л + ЬЯ
поэтому при любых q, хкк>кй
I xN ^ (X) | < 7] (Л + 8)й (В + р)3 ^eq*.(3)
Аналогично, используя ограниченность нормы || у^ ||,, 8, мы придем к справедливости неравенства (3) при любых к, х и q> д0.
Нам остается рассмотреть случай, когда к^к^, q^q^
Для & < &о> I -^ I > 1 мы имеем при любых q и х в силу (3)
I xS ^ (X) I = ■ L^ | ? (8) (X) I < -L 7] (Л + Ъ)к° (В + р)3 k^V9 •
При достаточно большом | х |, | х | > х0, мы получим:
I X IV 11
(^ = 0, 1, ..., £0—L ^ = 0, 1, ..., ^о—1)>
и следовательно, при q^q^ к < к0, | х | "> х0 неравенство (3) тоже выполнено.
Наконец, если к<<к0, q<qo> т0 ПРИ фиксированных р и о постоянные (A+®)fe (^ + р)9 kka^ ограничены некоторым числом С2. Так как на отрезке | х |< х0 последовательность ^ (х) равномерно стремится к нулю, то, каково бы ни было т)>0, для достаточно больших n, n^ nq, неравенство (3) на этом отрезке заведомо выполняется. Итак, при ^^>^о неравенство (3) выполняется для всех х, к и q. Но это означает, что при ^ >> ^0
II у. Пвр < ч.
откуда и вытекает, что по топологии пространства S^ д последовательность <р^ стремится к нулю при ^->со.
Таким образом, 8^д есть полное счетно-нормированное совершенное пространство.
Если А1<А2, Bt<B2, то пространство £«,’л является частью пространства S^a^ причем всякая последовательность <pv(x), сходящаяся в пространстве S«;^, сходится и
8 В
в пространстве S^ д^. Поэтому мы можем построить объединение счетно-нормированных пространств Sa, а по всем индексам Л, В = 1, 2, . . . Это объединение совпадает с исходным пространством S«. Мы видим, что пространство Sa есть объединение счетно-нормированных пространств Sa* а. В соответствии с этим последовательность cpv(x)£Sa считается сходящейся к нулю, если все функции cpv(x) принадлежат к некоторому пространству Sa, д и сходятся к нулю по его топологии; это означает, что последовательность cpv(x) правильно сходится к нулю и выполняются неравенства
W?4x)\<CAkB4kV\
где А, В, С не зависят от \.
Пространства Sa, а и S« в. Из пространств S^ а можно построить объединения и только по одному индексу А или В (а не по обоим сразу). Пространства, которые при этом получаются, естественно, обозначаются через S« и Sa,а* Мы предоставляем читателю сформулировать, какие функции входят в такие пространства и какая в этих пространствах сходимость.
ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИВ ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА S
гическими алгебрами} однако в этом аспекте мы не будем углубляться в их изучение. Кроме того, мы рассмотрим также операции сдвига и растяжения аргумента х.
Операция умножения на х. Покажем, что в пространствах Sa, Sp, Sa определена и ограничена операция умножения на х. Более того, мы покажем, что эта операция определена и ограничена даже в счетно-нормированных пространствах Sa, a, S^’b, Sa, а (§ 3).
Пусть функция ср(х) пробегает ограниченное множество F в пространстве Sa а- Это означает, что для всех допустимых ср(х) выполняются неравенства
|x^)(x)|<C^H + 8)&^(&, ^ = 0, 1, 2, . ..)
при любом 5 > 0 с постоянной С^5, не зависящей от функции ср. Положим ф(х) = хер (х). Тогда
[ х1^^ (х) |=| х^ [хер (х)]^ || х^+^С^) (х) |+^ | х^ср^-1) (х) |^
< с98 (Л + 8)fc+1 (А + l)(fc+1) " + qC^ 8 (Л + 8)fc ^а =
= (A + 8)fc ^” [Cg8 (Л + 8) ^ti^ + qC^ 8
Но при любом 8 > 0
=(* +?Г (&+i)a < г^+;
поэтому
c^ и+8) ■~^~+qCti11=<c^ ^+e>6
и, следовательно,
I * V* W |< C' 5e (1 + e)& (A + 8)fe ^ < Cg8 (Д + 28)& kHa
при достаточно малом e. Так как 28 — произвольно малая величина вместе с 8, то мы получаем, что образ ограниченного множества F при умножении на х есть снова ограниченное множество в пространстве Sa, а, что и требуется.
Аналогичная выкладка проводится в пространствах S^ в и Sa, а- Пусть ср (х) пробегает ограниченное множество F
в пространстве Sp’в. Это означает, что для всех допустимых ср(х) выполняется неравенство
lA(9)to|<Cfcp(B+P)V
при любом р > 0 с постоянной Cfcp, не зависящей от функции ср. Тогда для ф (х) = хер (х) мы имеем:
| ХЛфМ (х) | ^ | Xfc + 1Cp(9) (х) | + ^| Х^Ср^-1) (х) | С
< Ск^ р (В+р/ q^qC^ (В+р)9”1 (q-1 f^9 < (В + р)9 q* [Ск+1> р + qCkp (В + р)"1].
Но при любом 8 > О
BT7<Ced+^.
поэтому
С& + 1,р + ^Cfcp(B + p) 1 CCfcpe(l +s)9
и, следовательно,
I *V’ W I < ^ (1 + ^ (В + р)9 q^ < С*р (В + 2р)9 q"
при достаточно малом s. Так как 2р — произвольно малая величина вместе с р, то мы получаем, что образ ограниченного множества FclS^,b при умножении на х есть снова ограниченное множество в Sp’в.
Соответствующую выкладку для пространства £«,’5 мы предоставляем читателю.
Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию, а) Пространства Sa. Если а = 0, то все функции ср (х), входящие в пространство Sa х, финитны. Любая бесконечно дифференцируемая функция /(х) определяет в этом пространстве ограниченный (и непрерывный) оператор умножения на /(х).
Пусть теперь а > 0. В этом случае мы покажем, что мультипликатором в пространстве Sa является функция f{x), удовлетворяющая при любом е > 0 неравенствам вида
l/(9>tol< V»i,/a.
Для дальнейшего понадобится более точный результат, с которого мы и начнем. Рассмотрим функцию /(х), удовлетворяющую неравенствам
\f^4x')\<C,1e'a<»\lla.(1)
Мы утверждаем, что умножение на эту функцию является ограниченной операцией, переводящей пространство 5а>д при некоторых значениях А (которые будут ниже указаны) в пространство S«, д' с некоторыми другими значениями А'. Чтобы уточнить эту формулировку, напомним, что пространство Sa д может быть определено так же, как совокупность функций, удовлетворяющих неравенствам
|ф(3) (х)|<С^-(«-8)1^11/а
при любом 8 > 0; при этом постоянные Awa связаны соотношением (5) n. 1 § 2:
еА1,а *
Теорема. Умножение на функцию f{x), удовлетворяющую неравенствам (1), является ограниченной операцией в пространстве £а,л, где постоянная А такова, что для соответствующей постоянной а выполняется неравенство а > а^ при этом результат умножения на f(x) лежит в {более широком) пространстве 5«,д/, где А' соответствует постоянной а — av
Если для удобства обозначить пространство 5а,д через Ка>а) то наше утверждение сводится к тому, что умножение на функцию f{x), удовлетворяющую неравенствам (1), определено в пространстве К^ а с а> аг и переводит это Пространство В Пространство Ка,а-ас
Доказательство. Для произведения /ср справедлива оценка
переводит ограниченное множество в пространстве Ка а (с фиксированными постоянными С^) в ограниченное множество в пространстве К», а-а, (с фиксированными постоянными Сд^, * что и требуется.
В рассмотренном случае функция /(х) не была мультипликатором во всем пространстве Sa, так как на любую функцию <p(x)^Sa умножать функцию /(х) было нельзя (при условии, что результат должен лежать в этом же пространстве). Следует несколько усилить условия, накладываемые на функцию /(х), с тем чтобы она стала мультипликатором в Sa. Именно, имеет место результат, с формулировки которого мы начали: если функция /(х) удовлетворяет при любом е > 0 неравенству вида
(2)
то умножение на функцию /(х) есть ограниченная операция во всем пространстве Sa, причем каждое из пространств £а,д она переводит в себя.
где а — —^т- ^Л1/агде а — —^т- ^Л1/аДействительно, в этом случае мы имеем для <p(x)£Sa, д
где а — —^т- ^Л1/а
где а — —^т- ^Л1/а
Так как е можно выбрать произвольно, то
положим 8 = 8; тогда, так же как и выше, мы придем
к результату
I I/W ? (х)]№ I < С^^136 |1/а;
поскольку 28 произвольно мало вместе с 8, мы приходим к выводу, что при условиях (2) произведение /ср снова принадлежит £а,д* Очевидно также, что оператор умножения на /(х) ограничен в данном случае, что и утверждалось.
Пространства Sp. Рассмотрим функцию /(х), удовлетворяющую неравенствам
|/(^)KCB;^^(1+И,,)•(3)
Утверждается, что умножение на эту функцию есть огра-, ничейная операция в пространстве S^.
В дальнейшем нам понадобится следующее уточнение этого предложения: эта операция переводит любое счетно- нормированное пространство S^ в в пространство S^ в+в°,
2/$ 4. ПРОСТЕЙШИЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ 225
Доказательство. Для <p^S^в мы имеем: |Л(3М<^Р(В + р)вЛ отсюда
I xft [/(X) ? (х)]№ | < | X* | 2 ^ | /^ (X) | | ^ (X) I <
< 2 Ф СВ}/ (и* 4- IX |*+Л) | ^ (х) I <
<с 2 (W(<W+M)(B -НГЧд — j)to^ • j=0
Но
j^ ^q —j^-^ 3 ^ д^-& ₽ = q-6
и, следовательно, \хк [/(х)<р(х)1<3)|<
< С (Ckf + См, р) q* 2 Ф5О(В + р)9^' =
Мы видим, что результат принадлежит пространству 8^’в+в°. При этом ограниченное множество в пространстве S^’B (фиксированы постоянные Ск?) переходит в ограниченное множество в пространстве 5^’ в+в° (фиксированы постоянные Ск9 = С (С^р + Ск+к, Р)), что и требуется.
Можно, несколько- усилив условия на функцию f^x\ добиться того, чтобы умножение на эту функцию переводило каждое пространство Sp’в в себя. Именно, потребуем, чтобы для любого е > 0 удовлетворялось неравенство
\^Чх^\<С^ЧХА-\хП(4)
Тогда, полагая в только что проведенной выкладке В0==е = р, мы придем к оценке
I хк [/(х) ф (х)1<«> I < Ск^ (В + ^>
15 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
и так как 2р произвольно мало вместе с р, мы получаем, что результат принадлежит к пространству S^’B.
В качестве примера рассмотрим умножение на функцию /(х) = е^,
где о — вещественная постоянная. Мы имеем
и при любом Р > О
1/(5) (х)|<С6е^;
таким образом, умножение на функцию /(х)= eiaac переводит любое пространство Sp,5(B>0) в себя. При р = 0 этого утверждать уже нельзя. В силу общей теоремы умножение на эту функцию переводит пространство S°’B в *5°’ ^+1^1^ Но объединение
В
умножением на функцию eiooc переводится в себя.
В § 7 описываются другие типы операторов умножения в пространствах V .
Пространство S„. Рассмотрим функцию/(х), удовлетворяющую при любом е > О неравенствам
I f№ (^ I < Сег<1 ^е= । ж11/а (а > 0).(5)
Мы утверждаем, что умножение на эту функцию переводит пространство S« в себя. Более того, оно переводит в себя каждое S^f и при этом является ограниченным оператором.
Если /(х) удовлетворяет неравенствам
|/(8)(х)|<СВ5^ао1а,|1/а (а > 0),(6)
то умножение на эту функцию есть ограниченная операция, определенная в тех пространствах 5^д, для которых а0<^а = —-, и переводящая такое S^a в S»,a’»
где "^аГ^0-00’ В' = В^
Если функция /(х) удовлетворяет условию
| /(9) (л?) I < С,В^ее 1 ж |1/а(7)
при любом 8 > 0, то умножение на эту функцию переводит пространство S^f в 8^,а^В°.
При а = 0 имеет место более простая теорема.
Всякая функция f(x), удовлетворяющая при |х|<^Д неравенству
\f^(x)\<CB<iq4^(8)
определяет (ограниченный) оператор умножения в пространстве So’а, переводящий это пространство в So,’ a+Bq (и, в частности, переводящий пространство So, а в себя). Если В^ в неравенстве (8) можно взять как угодно малым, то умножение на функцию /(х) переводит пространство So,’ а 6 себя.
Доказательства этих предложений проходят по схеме а) — б), и мы можем их предоставить читателю.
В частности, функция
/(х) = е™*
удовлетворяет условию (8) при любом р > 0. Поэтому функция f(x) является мультипликатором в любом пространстве S^f с р > 0, переводя это пространство в себя.
При р = 0 функция J(x) = ei3a' уже не удовлетворяет условию (8), но удовлетворяет условию (7) с В0 = |а|. Поэтому умножение на функцию eiaoc переводит пространство S^a в Sa,д"^а‘> а объединение
5b = U5^впереводит в себя.
В § 7 описываются другие типы мультипликаторов в пространствах S£, д.
Операция сдвига. При а>0 операци^сдвига
<p(x)->V(x —А)
определена и ограничена в любом пространстве Sa а и переводит это пространство в себя.’
Доказательство. Пусть <p(x)^Sa а, так что
| Хк^ (х) | < С^ (А + ^кка.
Мы имеем, далее,
8ирж| хк<^М (х— h) | = sup^ | ^x-V-h^^ (х) |.
Выражение справа под знаком sup мы можем оценить следующим образом:
I (х + й)й ф<9) (X) К | ^ С1х3кк~} </ф (х) | <
< 2 Cj^sup | х3^ (х) | < 2 С^3^ (А + V? < зз
< С^ 2 ci (Л + ^к3аНк-3 = С^ ((А+ 8) ка + Л)й -
3'
= Саг (А + ^ккка (1 НУ .
При а > 0 величина ^"^^ ^« стремится к нулю, когда к->сю; поэтому при достаточно большом к
следовательно, при всех к
| (х 4- hf^a) (х) | < С^ (А + W^a
и, таким образом, ^^х —Л) принадлежит к пространству Sa а, что и требовалось *).
При а=0 пространство Sa,A состоит из финитных функций, обращающихся в нуль вне фиксированного отрезка, и
поэтому оператор сдвига не переводит в себя это пространство. Впрочем, очевидно, что в этом случае оператор сдвига переводит So, д в 5о,д+|Л| и в результате оставляет инвариантным пространство So.
Аналогичная выкладка показывает, что операция сдвига Ф (х) -» ф (х — /г) определена и ограничена также в любом пространстве S^В, S«, д (а > 0), So В и переводит эти пространства также в себя.
Операция растяжения. Покажем, что при X > 0 операция растяжения
(1)
определена и ограничена в любом пространстве 8а> д и переводит это пространство в S«, дд.
Действительно, если ф(х)£5а, д, так что
| хЛф^) (х) | <; С^ (Д + 8)Л кКа,
то для ф(х) = ср(Хх) мы имеем:
| хк^ (х) | = | хЛф(я) (Хх) | = | [хЛХ«ф(^ ©] ^^ | =
откуда ^(x)£Sa, д/х, что и требовалось.
Далее, операция (1) определена и ограничена в пространстве S^B и переводит это пространство В 8^,хВ.
В самом деле, если ф(х)£ 8^’в, так что 'W^ (x)|<Ctp(B + pM
то для ф(х) = ф(Хх) мы имеем таким же образом, как и выше,
| хк^ (х) | = | g XV» (91 < dp [К (В + р)1« V,
откуда ^(x)£Sp, xs, что и требовалось.
Наконец, операция (1) определена и ограничёйа в про- странстве S^, д и переводит это пространство в S£, д/>и Доказательство аналогично предыдущим и может быть предоставлено читателю.
Как следствие получаем: операция растяжения (1) определена и ограничена во всех пространствах Sa, Sp, S« и переводит каждое из этих пространств в себя.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Операция ^. Покажем, что в пространствах Sa, Sp, S« определена и ограничена операция дифференцирования. Более того, мы покажем, что эта операция определена и ограничена в счетно-нормированных пространенВЯ
ствах д, S , S;, д.
Пусть функция ср(х) пробегает ограниченное множество в пространстве Sa а- Это пространство, как мы помним, состоит из всех функций ср (х), удовлетворяющих при любом 8 > 0 неравенствам
|xVq)(x)KCq8(4 + 8^(&, ^ = 0, 1, 2, . . .)•
Ограниченное множество в этом пространстве в соответствии с определением норм в Sa д (§ 3) состоит из функций ср(х), удовлетворяющих этим неравенствам с постоянными С^, не зависящими от выбора функции ср(х).
Положим ф(х) = ^ (х). Тогда
| х^^д (х) | = | х^Ц^ (х) | С Сд+1> 8 (Л + ^^а, т. е. функция ф(х) принадлежит к ограниченному множеству пространства Sa а, что и требуется.
Проверим выполнение аналогичного свойства в пространстве S^’B. Пусть функция ср (х) пробегает ограниченное множество в пространстве S^’B; это означает, что выполняются неравенства
| х11^ (х) К С^ ф 4- р)» q*
при любом ^>0 с постоянной С^о, не зависящей от ср(х). Положим ф(х) = ср'(х); тогда *
| Х^(9) (х) | = | Х^ 1) (X) | < С^ ф + р)®+1 ф 4- 1)<9 + 1) ₽ << с^ фл pN'^ [(в+р) (?+1 )ф +у)^] < c'N фл-^Ч ■.
и следовательно, образ ограниченного множества простран- В
ства »у есть снова ограниченное множество в этом пространстве.
Соответствующую выкладку для пространства S^ д мы предоставляем читателю.
В силу результатов n. 1 § 4 мы заключаем, что в пространствах типа S ограничены {и непрерывны) все линейные дифференциальные операторы конечного порядка с постоянными или полиномиальными коэффициентами,
Дифференциальные операторы бесконечного порядка. Пусть
/(s) = S^о
— некоторая целая функция. Мы будем говорить, что в некотором основном пространстве Ф определен дифференциаль
ный оператореСли для лю^ой основной
о
функции с?(х)^Ф ряд
^^^(1)
о
снова представляет собой основную функцию (в пространстве Ф или в другом пространстве Ф). Оказывается, что при некоторых ограничениях роста функции / операторы /(^) определены и ограничены (следовательно, непрерывны) в пространствах типа S; дело зависит только от соотноше: ния между числами аир, определяющими пространства типа S, и порядком роста функции f(s). При этом мы говорим про целую функцию f(s)t что она имеет порядок роста
и тип < Ь, если выполняется неравенство
|/(s)|<CeMs|\
где bY < b— некоторая постоянная.
Тейлоровские коэффициенты с^ такой функции f(s); как доказывается в теории целых функций, удовлетворяют
неравенствам
|cj|cj(2)(2)
|cj
|cj
(2)
(2)
Приведем доказательство неравенства (2). По формуле Коши
откуда
|cJ<C—.(3)
Найдем минимум правой части по г. Логарифмируя, дифференцируя и приравнивая нулю, находим для искомого минимума г0
л —— = 0, откуда
/ . UAro=w) ;
подставляя полученное значение в правую часть (3), находим:
что и требуется.
Теорема, которую мы докажем, состоит в том, что в пространствах Sp и S„ с заданным р > 0 определены целые функции J у^^ порядка у при выполнении некоторого дополнительного условия, связывающего характеристики типа В (для основной функции ср(х)) и b (для целой функции /($)). Точно это выражается следующим образом.
ритор f^^ определенритор f^^ определенеР> в и ограничен в пространстве 5;еР> в и ограничен в пространстве 5;.р, ВеР.р, ВеРТеорема. Если f(s) — ^c^— целая аналитическая функция порядка роста и типа < ™--, то one-
ритор f^^ определен
ритор f^^ определен
еР> в и ограничен в пространстве 5;
еР> в и ограничен в пространстве 5;
.р, ВеР
.р, ВеР
он переводит это пространство в пространство S Доказательство. Пусть ср(х)£5^’Б, так что
|x»<p(9) toK^tB-bp)»^.
Положим, далее,
(х);v-0
покажем, что ф (х) ^ 5Р’^. Мы имеем:
। х*ф(^ WI 1
с С^ ф + р)3 2 I Cv | (В + р)' (V + qf^ р С
<Ск?ф^д^^В^^^
< Ск? Ф + р)« q^ | с, | Ф + р/ (v + qf (1 + ^ у3 <
< ск? ф+р)«^ ^ । Cv । ф+Р) W (i +1)’3 <
с Ск? ф + Р)9<^ 2 I сJ ф + p) V^.(4)
Предположение о порядке и типе роста функции /(s) приводит к следующему неравенству для коэффициентов с^ (см. (2)):
С КС
bW
где 9 — некоторая положительная постоянная, меньшая 1.
В силу этого неравенства ряд (4) сходится, если 1+5'<у> что заведомо имеет место при достаточно малом р. Обозначая сумму этого ряда через Ср, мы получаем оценку
| Х^ (х) I < Ск? . Ср (Ве^ + Р W^,
где р' = рЛ
Полученная оценка показывает, что функция ф(х) при- ,Ве^J d \
надлежит пространству S и что оператор fk^-Ь переводящий SP,J5 вограничен.
Замечание. Во всем пространстве S3 оператор вообще говоря, не определен при указанных ограничениях на функцию /(s); он не определен даже в S3’51 при Вх > В.
Можно, несколько усилив ограничения, налагаемые на функцию /(s), добиться того, чтобы оператор /(^) был определен и ограничен во всем 53. Именно, это будет иметь место, если функция /(s) имеет порядок роста -i с мини
мальным типом, т. е. удовлетворяет неравенству |/(s)|<Ce^I811/3 при любом г > 0.
Действительно, в этом случае оценка коэффициентов с„ может быть взята в форме (5) с любым значением В. Поэтому оператор /(J^ определен в любом пространстве S3’в. Как и выше, пространство S^’В переводится опе-
Рат°Р°м в 5•
Теорема и замечание после нее остаются справедливыми с8, ВВ сЗ, Ве^ сЗ, Ве^
при замене пространства д на да, д и д на да, а • Выкладка для этого случая проводится совершенно аналогично, и мы можем ее предоставить читателю.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Если дано некоторое основное пространство Ф, то мы можем построить двойственное пространство Ф = Ф, со* стоящее из преобразований Фурье
ф(а)= J* ср (х) ei$a dx = ср (х) = F [ср]
основных функций <р(х)£Ф.
Как мы уже говорили, пространства типа S тесно связаны друг с другом через преобразования Фурье; именно.
имеют место формулы
=
Ниже дается вывод этих (и более точных) формул ).
В основе их доказательства лежит следующая идея. Мы знаем, что операции дифференцирования и умножения на независимое переменное меняются ролями при переходе от основного пространства к двойственному. Поэтому, если бы в определении основных пространств, т. е. в неравенствах вида
| x*v<<z> (х) | < т.^, операции дифференцирования и умножения на независимое переменное можно было переставлять, то после преобразования Фурье мы получили бы пространство такого же типа, с той единственной разницей, что ограничения на рост производных и убывание основных функций на бесконечности поменялись бы ролями (т. е. последовательность mkq заменилась бы на т^. Но в этих неравенствах фактически умножение на х и дифференцирование входят не симметрично: сначала действует оператор дифференцирования, а затем умножение на х. При преобразовании Фурье изменится порядок этих операций и мы получим уже пространство формально иного типа. Поэтому мы вначале покажем, что в действительности в определении пространства типа S порядок операций умножения на х и дифференцирования не существенен, во всяком случае при достаточно быстром росте постоянных mkq.
После этого уже ясно, что преобразование Фурье будет приводить к пространствам такого же типа; нам останется только проверить, что постоянные mkq, участвующие в определении пространств Stt, S^, S«, удовлетворяют указанным ограничениям на рост.
Общая теорема. В соответствии со сказанным выше мы хотим прежде всего выяснить, при каких mkq из
неравенств
l^^ (*)| <CAkBqmkq (k, q = 0, 1, 2, .. .) следуют неравенства
I [х^ср (х)](«* | С С'4В^ти (k, q = 0, 1,2,...).
Ответ на этот вопрос дает следующая лемма, в которой устанавливаются и связи между константами А и В, с одной стороны, и и Bv—с другой.
Лемма 1. Если бесконечно дифференцируемая функция ср(х) удовлетворяет неравенствам
\x1t^{x)\^CAkBqmk<l (6, 9 = 0, 1, 2, ...),(1)
где числа mkq таковы, что
6<L(2)
то функция ср(х) удовлетворяет также и неравенствам
| [х^ (х)]№ I С С'AkxBqxmk(1 (А, 9 = 0, 1, 2, .. .),(3)
где С', Ах, Вх — новые постоянные; при 6=1
Y7
А1 — АеАВ, В^Ве^,(4)
а при 0 < 1 и любом е > 0 можно считать, что
A = X(l+e), В1 = В(1+8).(5)
Доказательство. Применяя формулу Лейбница, мы находим:
| [хлср(х)](3) || xk^ (yc^^kqx^-1^-^МН-
+ ^ 6 (6-1) 9 (9~ 1) x»-2<p«z-2) (х) + . .. | <
С [AkBqmkq + kqAk~xBq-lmk^Xt q_x +
+ ^6(6— \)q{q— 1)т6_2,д-г + • • •] <
CAkBqmkq [ 1 4- 4r M mk'-—— +
AB 4 mk
+ Г^2 Л^Ж ^ П1ъ ^) ^ ) тъ 11 “^ • • • ^
л оmkqmk—i, q—1J
< CAkB^mkq [ 1 4. -L T (fc + ^ + ^ ^2 T2 (/г+9)26+... ] <
<CAkB4mNe^k+Q>\
При 6 = 1 получаем оценку
I [xfccp (x)]№ I < CAiB^OTkq, где
At = Ae55, Bx = Ве^в.
При 6 < 1 и любом s > О мы имеем:
^^•WC^ + ^'nCl +е) + 1пС6; поэтому
и, следовательно,
I [х*ф (х)](9) | < С6А1В^Ш1сд, где
Л1_Л(1+е)> 51 = В(14-е),
что и утверждалось.
Замечание. Нам понадобится, кроме того, оценка
I х2 [Xfccp (х)]№ I < С"А?+2В]тк+2, д,(6)
которая получается тем же путем, что и предыдущая; по
стоянная С" равна СеАВ при 6 = 1 и зависит от г при 6 < 1; постоянные Вх и Ах сохраняют указанные выше значения.
В дальнейшем мы будем предполагать, что числа mkq удовлетворяют следующим условиям:
при любых Zs, q= 1, 2, ...
kqkqmk-l, q-1mkqmk-l, q-1mkqC^k^-q^ 6C^k^-q^ 6< 1< 1(7)(7)
kq
kq
mk-l, q-1mkq
mk-l, q-1mkq
C^k^-q^ 6
C^k^-q^ 6
< 1
< 1
(7)
(7)
(это условие ограничивает рост последовательности mkq с н и з у);
(8)(8)
(8)
(8)
при любых к, ^ = 0, 1, 2, ... и любом г>0
(Ю)(Ю)[х^ф (х)](9) ei3C0 dx[х^ф (х)](9) ei3C0 dx[х^ф (х)](9) | dx[х^ф (х)](9) | dx
(Ю)
(Ю)
[х^ф (х)](9) ei3C0 dx
[х^ф (х)](9) ei3C0 dx
[х^ф (х)](9) | dx
[х^ф (х)](9) | dx
(это условие ограничивает рост последовательности mkq сверху).
Сформулируем теперь нашу основную теорему.
Теорема. Если бесконечно дифференцируемая функция удовлетворяет неравенствам
\x^{x)\^.CAkBqmk<l (А, 9 = 0, 1, 2, ...)(9)
и числа mkq таковы, что выполнены условия а) — б), то преобразование Фурье ф(а) функции ф(х) удовлетворяет неравенствам
где при любом г>0 можно считать Д2 = ^i(1 + е)> В2 = Вх (1 + г); значения Ах и Вх были указаны в лемме.
Таким образом, при условиях а) — б) класс функций ^(х), удовлетворяющих неравенству (9), после преобразования Фурье переходит в аналогичный класс, но отвечающий последовательности mqk (с переставленными индексами к и q).
Доказательство. Применяя результат леммы 1 и замечания к ней, мы можем оценить выражение [х^ф (х)\^ следующим образом:
I [лг*<р (х)\№ I < min | C'AiB^mkq, ^ Ак+гВ1тк+2,3 j =
Это неравенство позволит нам оценить преобразование Фурье от функции [х^ф (х)](9):
| F {[^ф (х)]^} || a^W(o)] =
где
Л^Л^-Н), B^S^l+e), С2 = С'"(1+mD- что совпадает с требуемым результатом (10) с переменой местами индексов k и q.
Преобразования Фурье пространств типа 5. Переходим теперь к интересующим нас пространствам типа S. В этих пространствах постоянные mkq имеют специальный вид; мы должны проверить, что эти постоянные, с одной стороны, растут не слишком медленно,—так что выполняются условия (7) n. 1, с другой стороны, и не слишком быстро, — так что выполняются и неравенства (8) n. 1.
Установим вначале одну простую лемму.
Лемма 2. Если числа а^ и bq удовлетворяют условиям
(1)
ак-1
Ьа
-^->0^,(2)
X, Х>0, х + Х = 6<1,(3)
то последовательность mkq— akbq (к, q = 0, 1, 2, . . .) удовлетворяет неравенствам (7) n. 1 с тем же значением 6
“ 7= c^V
Доказательство. Мы имеем в данном случае
mk-i, 5-1ак-1 ^5-11, .
kq= kq ,— < 7^-7,- kxq\
mkqak bq
Воспользуемся, далее, неравенством
<Птах(&, ^)Г+Х (^ + ^A
имеющим место для всех неотрицательных к и q в силу (3); мы получим неравенство (7) n. 1, что и требуется.
Переходим к доказательству того, что постоянные т^ участвующие в Определении пространств типа S, удовлетворяют нужным условиям.
Рассмотрим сначала случай пространства Sa, д, a > 0. Функция ср(х), принадлежащая к этому пространству, удовлетворяют неравенствам
|х^>(*)|<Сд5И + 8)^*а (4)
при любом 8 > 0. Это неравенство совпадает с неравенством (9) n. 1, если там заменить С на 1, А на ЛЦ- 8, В на 1 и mkq на С^кка. Заметим, что вместе с постоянными С^ неравенствам (4) удовлетворяют и любые большие постоянные; поэтому, увеличив постоянные Cq8 в случае надобности, можно считать, что они удовлетворяют неравенствам
Cq^6*^-1, оCq^6*^-1, оq1-xq1-x(q=V Z ...),(q=V Z ...),(5)(5)
Cq^6*^-1, о
Cq^6*^-1, о
q1-x
q1-x
(q=V Z ...),
(q=V Z ...),
(5)
(5)
где выбор постоянной X будет уточнен ниже.
Положим ак = кк\ bq = Cq^ и применим лемму 2. Условие (2) этой леммы выполнено в силу неравенств (5). Проверим выполнение условия (1):
ак = ккаак-х кк-!^4ак = ккаак-х кк-!^4(6-1)“(6-1)“(6-1)“(6-1)“
ак = кка
ак-х кк-!^4
ак = кка
ак-х кк-!^4
(6-1)“
(6-1)“
(6-1)“
(6-1)“
где х=1—а, если 1—а^О, и х = 0 при 1—а < 0. В частности, в силу предположения а>0 мы имеем х< 1. Выберем теперь Х^О в неравенстве (5) так, чтобы иметь
х_]_Х = 0 < 1; .
тем самым будет выполнено условие (3).
Теперь все требования леммы 2 выполнены; вместе с тем справедливы результаты леммы 1 и общей теоремы n. 1.
^£ + 2, д
Оценим теперь отношение , фигурирующее в тео-
ткд
реме. Так как mkq = kkaCq^ то
mk-v^ д™кдmk-v^ д™кдка(6 4-2)2aка(6 4-2)2aе2“(6 + 2)2’.е2“(6 + 2)2’.
mk-v^ д™кд
mk-v^ д™кд
ка
(6 4-2)2a
ка
(6 4-2)2a
е2“(6 + 2)2’.
е2“(6 + 2)2’.
Последнее выражение при любом 8 > 0 допускает оценку
тк-¥% qтк-¥% q^kq^kq<С8(1+8Л<С8(1+8Л
тк-¥% q
тк-¥% q
^kq
^kq
<С8(1+8Л
<С8(1+8Л
Применяя теперь общую теорему и учитывая выражения (5) n. 1 для коэффициентов Лх и Bv получаем, что преобразование Фурье ф(з) функции ср(х) при любом 8 > 0 удовлетворяет неравенствам
I ^№ (=) | < ^ (Л + 8)« (В + 8)* q^C^ < С^ (Л + 8)" /“,
где
С^ = Сз(В + ^^-
Таким образом, функция ф(о) принадлежит пространству Sa,A. Итак, при а > О мы установили включение
S~czSaM.(6)
Оператор Фурье, переводящий пространство \ д в Sa’А, как видно из соотношения между постоянными, ограничен (а следовательно, и непрерывен) по топологии пространства 5а>д.
Случай a = 0 мы рассмотрим позднее.
Переходим к пространству S$’B, ^ > 0. Функции ср (х) £ S^ 5 удовлетворяют неравенствам
Ix^WK^o^ + p)^^
(^, ^ = 0, 1, 2, ...)
при любом р > 0. Это неравенство совпадает с неравенством (9) п. 1, если там заменить С на 1, Л на 1, В на В4“Р и mkq на ^р^- Так же как и выше для пространства \ д, можно считать, что постоянные т^ = С^ц^ при Р > 0 удовлетворяют условиям леммы 2; поэтому* можно применять основную теорему. Отношение к+% 4 , фигурирующее в основной теореме, имеет вид
mk+% qCk+ъ Р рГ
mkq^kp
где С&р— некоторая новая постоянная. В результате
для функции ф (<0 = Ф to ПРИ любом р>0 получается
16 Зак 2669. И. М Гельфанд и Г. Е. Шилов
неравенство
I о1^ (=) | < с; (Л + р)9 (В + р)* <4^ = <Р (В + S>? ^\
где
С^С^Л + р)9^.
Таким образом, преобразование Фурье функции ср (х)£ S^ в входит в пространство 5^ в, и соответствующий оператор ограничен и непрерывен. Итак, при р > О
^^S^b.(7)
Заменяя здесь р на а, В на А, применяя еще раз преобразование Фурье и используя включение (6), находим:
(8)
Но дважды произведенное преобразование Фурье каждую основную функцию ср(х) переводит в ср(—х) и, следовательно, пространство Sa,A переводит в себя самого. Поэтому
Sa,A = Sa’A и включение (8) имеет следствием равенство
(9) Аналогично,
^ = S^b.(Ю)
При этом оператор Фурье ограничен и непрерывен по топологии соответствующих пространств.
Наконец, рассмотрим пространство Sa*, а- Оно состоит из функций, удовлетворяющих неравенствам
| х»ф<«> (х) | < С8р (Л + 8/ (В + р)9
при любых 8 и р. Это неравенство совпадает с неравенством (9) n. 1, если заменить там С на С8р, А на Л 4-8, В на В-|-р и т^ на k^q^. Проверим выполнение условий леммы 2. Как мы уже видели раньше, для а14 = кка и b^^q^
выполняются неравенства
»k-i»k-iьа^5-1ьа^5-1д^-\д^-\
»k-i
»k-i
ьа^5-1
ьа^5-1
д^-\
д^-\
где x = max (1 —а, 0), Х = max (1—3, 0). Рассмотрим вначале случай а+ Р > 1, а > 0, р > 0. Тогда
х-|-Х = тах(1—а 4-1—^, 1—а, 1—р, 0) = 6< 1
и требования леммы выполнены. Вместе с тем справедливы результаты леммы 1 и основной теоремы. Оценим отноше- тк+% £ гм
ние —— , фигурирующее в основной теореме. Мы имеем, как и выше,
тк+% qт^тк+% qт^2 \ ка
тк+% qт^
тк+% qт^
*+т(^ + 2)2а<С8(1+8)\
к )
Теперь, применяя основную теорему, получаем, что функцияф(□) = ср(х) при любом В>0 удовлетворяет неравенствамI с V* (°) I < Сбр И + 8)9 (в + 8)6 q4akN.
Таким образом, функция ф(з) принадлежит пространству S^b-
Итак, справедливо включение
еЗ» В оа, А<>а,в-
Но точно так Же справедливо и включение
е«> АВ
А*
Поэтому окончательно для а > 0, р > 0, а —|—р > 1 (так же как и выше для пространств 5а>д) имеет место равенство 51=s^:l(н)
причем оператор преобразования Фурье, как и раньше, ограничен и непрерывен по топологии основного пространства 8^д.
Теперь вернемся к оставленным пока без внимания случ чаям а = О, или р = 0, или а-|- р ^ 1. Случай а-|- р < 1 мы не будем рассматривать здесь: в § 8 мы увидим, что в этом случае пространство S« состоит из единственной функции ср(х) = О. Во всех остальных случаях (т. е. а = 0, или р = О, или а4“Р= 1) лемма 2 удовлетворяется с показателем 0 = 1 и с у=1. Принимая во внимание значения постоянных Xt и Bv которые дает в этих случаях формула (4) и. 1, мы тем же путем, что и выше, приходим к следующим результатам:
1
So.xcS0’^, At = AeA,(12)
S°’scS0>B1, В1 = Вев,(13)
S^fcS^, At = AeAB. В^Ве^в.(14)
Для пространств So, а и ^’В результат может быть улучшен ): именно, имеют место формулы
QA qO, В Q
<>О, А —В»
как и в случаях, когда а =£ 0, р + 0.
Для доказательства найдем при заданном е > 0 число Ло 1
так, чтобы иметь еА« < 1 -|-s- Тогда, по доказанному,
ее°> Ло (1 I е)
<>0, Аи с <>•
Перейдем от функций <p(x)£S0, а к функциям срх (х) = ср (Хх), где \ = —. Согласно доказанному в п. 4 § 4 мы имеем:
?х (Х) = ? (^^ € So, А., откуда
7xW€S0,4"<1+e>.
Но легко показать непосредственным вычислением, что если ср(х) = ф(о), то ср(кх) = уф^у^; действительно,
<р(^) = J e^Q^dx^ J е х’? W у = у Ф (у) •
Таким образом, ф ^у^ S0* Ло(1'Ье). Отсюда, снова в силу результата п. 4 §4, мы имеем:
ф(о)С£°’Л(1+е).
Так как последнее включение справедливо при любом е > О, то ф(о)££0, А. Итак,
S^czS0M.
Аналогичное рассуждение, проведенное в обратном порядке, показывает, что справедливо и обратное включение
S°’BczS0,B.
Отсюда
Q оО, А В Q
А——<>0, Bi
что и утверждалось.
В заключение заметим, что во всех случаях можно перейти к объединениям по индексам А и В; в результате мы получим:
с еаеЗ есЗ еа
Оа О ,О Ор,Оа Ор,
причем оператор Фурье в каждой из этих формул непрерывен по топологии соответствующего основного пространства.
В частности, пространство S0, как двойственное к пространству So = ^ бесконечно дифференцируемых финитных функций, совпадает с пространством Z (выпуск 1, гл. II) целых аналитических функций ф(о —{—Zt), удовлетворяющих неравенствам
| ^ф (о-]-/т) | ^ C^ett '^L
Впрочем, без особого труда можно было бы получить равенство S° = Z и непосредственно из определений этих пространств.
Замечание. В § 4 мы указали, что пространства типа S являются топологическими алгебрами относительно обычного умножения. Так как при преобразовании Фурье семейство пространств типа S переходит в себя, а операция умножения— в операцию свертки, то мы можем заключить, что все пространства типа S являются топологическими алгебрами и относительно свертки.
ЦЕЛЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КАК ЭЛЕМЕНТЫ ИЛИ МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА $
Сводка результатов. В § 2 мы видели, что если функция ср(х) принадлежит пространству Sp, т. е. удовлетворяет неравенствам
| xWi> (х) I < C^q^ (q = 0, 1, • • •),
то при р < 1 она продолжается в комплексную плоскость
11-Г11-Гх = х-\-1у как целая аналитическая функция порядка роста
1
1-Г
1
1-Г
Точнее говоря, эта целая аналитическая функция
удовлетворяет неравенствам вида
(1)(1)I хкф (х + (у) К С^6 1 11-3.
(1)
(1)
Далее, мы видели, что если <р(х) принадлежит пространству S«, т. е. удовлетворяет неравенствам
1(Х) | < CA^k^q® (М = 0, 1, . . .),
то при a > 0 и р < 1 она продолжается в комплексную плоскость, как целая аналитическая функция, удовлетворяющая
неравенству
(2)(2)|<р(х + (у)|
(2)
(2)
ЗДССЬ а = ”^'
а b — любая постоянная,
большая
В настоящем параграфе будут получены обратные теоремы.
Как видно из сказанного, принадлежность целой функции к пространству S13 или S« связана с определенными условиями, которым должно удовлетворять поведение этой функции, во-первых, в плоскости и, во-вторых, на вещественной оси; такие условйя наиболее просто выражаются неравенствами, содержащими не |г|, а |х| и |_у|. Чтобы целая функция была мультипликатором в пространстве S^ или S«, достаточно, чтобы она удовлетворяла некоторым менее жестким условиям того же типа. Мы получим ниже, что если целая функция /(х) удовлетворяет неравенству
|/(^ + ^)|<^'1|а,|Й+!'1г/|Т(А<т),(3)
то она является мультипликатором в пространстве S1/h у (при а > 0, а при а <0 — даже элементом в этом пространстве). Далее,, если
|/(х + (У)|<С(1 + ИУ^|1Г,(4)
то функция / будет мультипликатором в пространстве S1 т. Еще один результат о мультипликаторах мы сформулируем несколько ниже.
Перечисленные результаты содержатся в следующей цепочке теорем, имеющих и самостоятельный интерес.
Теорема 1. Если целая функция f(z) удовлетворяет неравенствам
W\<Cxeb\<\f^\<C4e»\^(аф^, 0 < h-^p),
то существует область G^ вида
Ж^НИЛ ^>\-<р — К) (5)
(рис. 2), в которой выполняется неравенство
\/(.г)\-<.Съеа^х^, С3 = max (Ср С2);(6)
здесь а' того же знака, что и а, и может быть выбрано как угодно близким к а.
В условии теоремы оценку ^«1^1 можно заменить на (1 -4—| а: | )^; тогда в области (5) с |i=l—р будет выполнено неравенство
|/(z)|<C(l+|x|A
Теорема 2. Если целая функция /(z) удовлетворяет при всех z неравенству
и в области вида (1) с 0 < ц ^ 1—неравенству |/Сг)|<С2е“1^
Qi < р\ при я<0 допускается и h = p), то функция /(z) удовлетворяет также и неравенству
р
\/(z")\<C3ea\3C\h+b'\«\V'.(7)
В условии и в утверждении теоремы функцию е«1^1Л можно заменить на (1 -4—| ат|)л.
Теорема 3. Если целая функция f(z) удовлетворяет неравенству
|/(x + Ziy)|<C^l;B|A+6^|T(А<Т),(8)
то для любого # = О, 1,2, . . .
I /<«> (х) I < СВ^ t1I ” Iй,
причем ах как угодно мало отличается от а.
Вместо неравенства (8) можно рассмотреть неравенство
J^/(^ + ^)|^C^6iz/lY;(9)
тогда для функции /(х) будут выполнены неравенства
так что функция /(х) будет элементом пространства S1 т; если же неравенство (8) заменить неравенством
|/(х + г^)|<С(1+|х|)й^1?/1т)
то функция /(х) будет мультипликатором в этом пространстве.
Теорема 4. Если аналитическая функция /(z) в области (5) с ц ^ 0 удовлетворяет неравенству
|/(х + (у)|<Се»1®1А, то
I ^Чх'Д^e'eV^^e»'^'11,(10)
где af имеет тот же знак, что и а.
Таким образом, при я<0 функция /(х) оказывается i—£
элементом пространства Si ; при а> 0 она будет в этом h
пространстве мультипликатором. В условии можно заменить функцию еа1ж^ на (1 +1 х | )^; тогда вместо неравенства (10) будет иметь место неравенство
Во всех случаях даются оценки получающихся постоянных.
Теорема Фрагмена— Линделёфа. Переходим теперь к доказательствам. Фундаментом всех построений этого параграфа будет служить известная теорема Фрагмена — Линделефа, с изложения которой мы и начнем.
Теорема Фрагмена — Линделёфа основана на классическом свойстве максимума аналитических функций (если аналитическая функция не превосходит постоянной С на границе ограниченной области, то она не превосходит постоянной С и внутри этой области) и представляет собой обобщение этого свойства на области, уходящие в бесконечность.
Теорема Фрагмена — Линделефа. Если аналитическая функция f(z), определенная внутри и на сто
удовлетворяет неравенудовлетворяет неравенронах угла G^ раствора 6 < —,
удовлетворяет неравен
удовлетворяет неравен
ствуству\f^\<Ceb^\p\f^\<Ceb^\p(1)(1)
ству
ству
\f^\<Ceb^\p
\f^\<Ceb^\p
(1)
(1)
(т. е. имеет в пределах угла G^ экспоненциальное возрастание с порядком С р и типом С р) и ограничена на сторонах этого угла некоторой постоянной, например Cv то она ограничена этой же постоянной Сх и внутри угла G^.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что угол GQ ограничен лучами arg z = z±-^-. Найдем число pv удовлетворяющее неравенству
0<Л<Л>
Pi Р
Рассмотрим ту ветвь функции
Р^^е—^'Р^^е—^'
Р^^е—^'
Р^^е—^'
которая на вещественной оси принимает положительные значения.
Построим функцию
Покажем, что в пределах угла О9 функция /е(^) ограничена.
Действительно, на сторонах угла С9
I /• 9 \/. 9 \ I9
О . 71О
так как, по условию, Piy^y’ cosp1y>0. Внутри угла GB, на дуге окружности z = reito, |(о|^~ мы имеем:
| /, (ге«“) | = |/(reim) • Fe ^ге1^ | < CebrP-erPl 008р^ <
ЪгР-erPi cos 4-
<Се2
при г —► сю, поскольку рх > р. Поэтому для достаточно большого г мы имеем также
\fAre^\<Cv
Итак, на контуре, составленном из отрезков двух лучей со = — -^ и дуги окружности радиуса г, функция /еС?) ограничена постоянной СР Но тогда в силу классического принципа максимума функция fe(z) ограничена этой же константой и внутри контура.
Во всякой внутренней точке угла G^ таким образом, выполняется неравенство
\J^\ = \f^z)-F;4z)\<C1\e«p‘\.
Так как е > О произвольно, то
1/(2) К Ср
что и требовалось.
Замечание. В дальнейшем нам понадобится также следующее обобщение теоремы Фрагмена — Линделёфа.
Если аналитическая функция f^z\ определенная вну
три и на сторонах угла творяет неравенствамтри и на сторонах угла творяет неравенствамG^ раствора 0 < —, удовле-G^ раствора 0 < —, удовле-
три и на сторонах угла творяет неравенствам
три и на сторонах угла творяет неравенствам
G^ раствора 0 < —, удовле-
G^ раствора 0 < —, удовле-
|/(^)| ^Ce^VPвнутри угла GB,(1)
1/(2)| ^^i(l 44 ^) на сторонах угла G^ (2)
то
1/(2) | < с; (1 + 1 z р) при z^G„ (3)
Для доказательства рассмотрим многочлен Р (z) степени Л, не имеющий корней внутри и на границе угла Gq; функция
р^ =р^ =Р^)Р^)
р^ =
р^ =
Р^)
Р^)
удовлетворяет всем условиям теоремы Фрагмена — Динделёфа и, следовательно, ограничена в области G^. Отсюда в G^
1/(2) | = I F^ Р (?) К < (1 + | Z Iй).
что и требовалось.
Аналогично, если вместо неравенства (2) на .сторонах угла выполняемся неравенство
|/(2)|п<р,(4)
то, применяя тот же прием, мы получим, что во всей области G^ выполнено неравенство
1/(2)|<с;/|г|\(5)
Теорема о существовании области G^
Теорема 1. Если целая функция /(z) имеет порядок роста ^р с конечным типом, т. е. удовлетворяет при всех z неравенству‘
\1Ш<СхеМ^(1)
и, кроме того, при вещественных z = x удовлетворяет неравенству
\J(x)\<C^^1(a^Q,0<h^p),(2)
то существует область G^, определяемая неравенством ЫС^Ц + И)^, р>1— (р — К),(^
в которой
\f(x + iy)\^C3e^^ С3 = max (Cv С2),(4)
причем постоянная а' как угодно мало отличается от а.
Таким образом, функция конечного порядка роста, имеющая на вещественной оси более медленное возрастание, чем во всей плоскости (или экспоненциальное убывание), сохраняет это более медленное возрастание (или убывание) и в некоторой области вида (3).
Доказательство. Построим в правой полуплоскости аналитическую функцию
А(^)=/(г)е-^
с произвольно фиксированной ветвью второго множителя. Эта функция ограничена на полуоси х > 0 (постоянной С2). В правой полуплоскости она удовлетворяет неравенству
где можно принять ^1 = ^ + |^|. Введем, далее, функцию
аналитическую в первой четверти; эта функция также ограничена на полуоси х > 0 (постоянной С2). Кроме того, она
ограничена и на луче z = re , так как на этом луче
<Cteb’rP-b^rP<. Cv<Cteb’rP-b^rP<. Cv
<Cteb’rP-b^rP<. Cv
<Cteb’rP-b^rP<. Cv
Наконец, в пределах угла 0 <i arg z <^ ^ функция/2 (z) удовлетворяет неравенству
lAC^KC,^» b3 = 2bt4-s.
Поэтому в силу теоремы Фрагмена—Линделёфа функция /2 (z) ограничена и внутри указанного угла.
Отсюда следует, что в пределах этого угла (z = reiu>) О^03^"^") функция f(z) удовлетворяет неравенству
I Иге1"1'') | = | /(г) | = | А (г) е^ | = |/2 (г) е«К" ^ | <
^ Q^eaY^cos ^<о+ b*rP 9in рш (5)
Если при этом рассматривать лишь точки z = rei<o такие, что
аг1г cos Ы -|- b2rp sin рю ^ axrK cos71 (о(6)
(ах > а и того же знака), то функция /(г) будет удовлетворять и неравенству
|/(z) I < Саеа^ 008,8“ = Сав4^.(7)
Неравенство (6) можно записать в форме
axrK cos71 (о — arK cos Ню — b2rp sin рю ^ О, откуда следует, что оно выполняется в области, , границей которой служит кривая
р-Л axcosh со— a cos А<оQ
Г =7—:.(о)
02 SID ршх 7
Если h — р, то эта кривая есть луч ^cos^o)— acosZno = = b2 sin рю.
Если же h < p, то на этой кривой при г —► оо аргумент (о стремится к нулю, поскольку числитель справа в (8) ограничен. Поэтому можно положить
sin/xo = р — Ev cos71 (о = Е2, cos Ию—Е^ r — xEv
где Ei — переменные, стремящиеся к единице; подставляя в (5), получаем уравнение
откудаоткудаХр-А = КЕ.^_ УХр-А = КЕ.^_ УVVах — аах — ау = KEx14p-h);у = KEx14p-h);f(x)-^l при х-^оо.f(x)-^l при х-^оо.
откуда
откуда
Хр-А = КЕ.^_ У
Хр-А = КЕ.^_ У
V
V
ах — а
ах — а
у = KEx14p-h);
у = KEx14p-h);
f(x)-^l при х-^оо.
f(x)-^l при х-^оо.
Кривая (8), очевидно, имеет не более одной точки пересечения с каждым лучом (о = const.
При приближении к началу координат кривая (8) в не
которой точке пересекает луч (о = -5- (возможно, в начале координат). Итак, при h < р неравенство (7) будет удовлетворяться в области, ограниченной сверху, возможно, вна-
7Счале лучом (о = ^™ 2/77Счале лучом (о = ^™ 2/7, затем кривой (8)., затем кривой (8).
7С
чале лучом (о = ^™ 2/7
7С
чале лучом (о = ^™ 2/7
, затем кривой (8).
, затем кривой (8).
Очевидно, что в области, определяемой неравенствами
,y<min^tg^-, К^х1 (р ^,y<min^tg^-, К^х1 (р ^(9)(9)
,y<min^tg^-, К^х1 (р ^
,y<min^tg^-, К^х1 (р ^
(9)
(9)
при некотором Kv зависящем только от a, av b2, функция /(г) удовлетворяет неравенству (7). Заметим, что постоянная at может быть взята как угодно близкой к а.
Аналогичное построение можно провести и во всех остальных четвертях плоскости г; полученные неравенства будут отличаться от неравенства (9) тем, что вместо х и у в них будут фигурировать |х| и |j/|.
Из соображений непрерывности ясно, что и в области, определенной неравенством (см. рис. 2)
будет справедливо неравенство, аналогичное доказанному, именно
\f(vx-\-i^\<C'ea'\:c\K.
В качестве постоянной Сг можно взять С3, умноженную на еЪгР^\а’^гН, где г — радиус наименьшего круга, заключающего присоединяемую часть области; эта постоянная выражается через р, h, а, Ь. Тем самым теорема 1 полностью доказана.
Замечание. Возможно, что неравенство
\/(х + 1^ К Сеа'1 выполняется и в более широкой области, чем та, которая указана в формулировке теоремы 1, именно в области
|у|</<(1+1^1Л
где у.>1— ^р — Л). Но во всяком случае, если h<p и р— точный порядок роста функции f(z) в плоскости или если h = p и а<^ то число у. не может превосходить единицу.
Действительно, если бы мы имели у.> 1, то целая функция / (г) на каждом луче, исходящем из начала координат (за исключением, возможно, оси у), имела бы порядок роста меньший, чем ее общий порядок роста в плоскости. Но тогда в силу теоремы Фрагмена — Линделёфа (см. замечание после этой теоремы) функция /(г) имела бы при h<^p порядок роста <.h,<_p в противоречие
с предположением. А при h = р, я<0, в силу той же теоремы, функция / (г) оказалась бы ограниченной и, следовательно, тождественно равной нулю.
При ^ = 0 функцию экспоненциального роста еа1ж1\ стоящую в неравенстве (2), естественно заменить на функцию степенного роста (1 +1 х | )\ Формулировка теоремы изменится следующим образом.
Теорема 1. Если целая функция f^ удовлетворяет неравенствам
WY^C^», |/(х)1<С2(1 + |х|)\
то существует область G., определяемая неравенством
^|<^(1 + |х|Л ^>\-Р,(10)
в которой
|/(^ + ^)1<С3(1+|х|)\(И)
Доказательство проходит по схеме доказательства теоремы 1. Функция е-агК заменяется на (l-|-z)_\ неравенство (5) заменяется неравенством
|/(Г^)| <Cg(l + |z|)Msr^02)
Показатель ^2^sinp(i) под линией у<^х1-р ограничен; поэтому в области (10) неравенство (11) заведомо выполняется.
Так же как и в предыдущем случае, область (10) можно заменить областью
|j|<min(xtg^-, ^х1-^.(13)
Поведение целой функции в плоскости при р > 0.
Теорема 2. Рассмотрим целую аналитическую функцию f(z) порядка роста ^р и конечного типа, так что выполняется неравенство
[fOY^Ce^.(1)
Допустим, далее, что в некоторой области О, определенной неравенством
ЬК^а + И/ (0<н<1).(2)
функция /(z) удовлетворяет неравенству
(h < р; при я<0 допускается также и h — p).
Тогда функция f(z) удовлетворяет при всех z — x-{-iy неравенству
|/(x + Zy)| CC^I*|М'\у\*.(4)
где постоянная Ь' зависит только от a,bu Kv C2=max(C, CJ.
Доказательство. Положим
AfCy^supJ/^ + Zy)] e-al®l\(5)
Указанная верхняя грань существует, поскольку при р, > 0 каждая горизонтальная прямая почти вся, кроме конечного отрезка Ау> принадлежит области С, определяемой неравенством (2); в области G выражение под знаком sup ограничено постоянной СР
Возможно одно из двух: или при данном у указанная верхняя грань достигается на отрезке А^, или она не достигается на этом отрезке.
Рассмотрим сначала первый случай. Пусть верхняя грань в (4) при заданном у=у достигается вне области G, т. е. в точке х-\-1у, удовлетворяющей неравенству
|J| >К1(1+|х|)'
Отсюда, используя неравенство рь^ 1, получаем:
йскгй171*’
Поэтому, заменяя —а^х^ при а < 0 большей величиной
| а I К41у |А/л, или просто нулем при а^^, мы получаем:
М (y) = \/(x^y)\e~a^h <Сеь^^
и, далее,
УИ (у) < Cebi । у \р1^ I у \К1^ ^ СеЬа I у \р1\
- *) Здесь предположено, что |у|>1. Всегда можно считать, что область G содержит внутри себя полосу | у | ^ 1, заменяя в противном случае /(z) на /(az) с подходящим а.
17 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
поскольку h ^ р. Но тогда уже для любых х
I/(х + zj) 'ж Iй < Ж (ji) < Се^Iу ^ и, следовательно,
|/(х + 1у) К Се41 ® l^! у
Остается рассмотреть случай, когда при заданном у—у верхняя грань в (5) не достигается на отрезке А^. Это означает, что в области G найдется точка x-^ly, в которой величина |/(^ + ^) | е~а ^^ превзойдет ее максимум на отрезке Ау. Но, как следует из (3), всюду в области- G указанная величина ограничена постоянной СР Поэтому при всех х и данном у
\/(x4-iy)\e-a'a’^<Cv откуда
|дх-|-/у)| ^ C1eol®lft<C1eala’ift+6“|2'l1’/p'.
При этом, как видно из доказательства, ^з^^ + ^г^ С(|а| + #)^б, где К5 зависит только от Kv Тем самым теорема 2 полностью доказана.
Так же как и в теореме 1, при /г = О экспоненциальную оценку (11) естественно заменить на степенную оценку
|/(z)|<C2(l + kP).
В этом случае имеет место следующая теорема.
Теорема 2'. Если целая функция f(z) удовлетворяет неравенству
\f(z)\^Ceb^'^(6)
и в области |у | ^ К,(1 +1 х | / (0 < у < 1) выполняется неравенство
|/(г)|<С1(1 + |х|»),(7)
то при всех z
|/(г)|<С2(1 + |х|'-)е6'1^^,(8)
где V <^ЬВ3> причем В3 зависит только от bt и Kv
Доказательство проходит по схеме доказательства теоремы 2, с заменой всюду е®^11 на (1+|х|^).
Оценка производных целой функции на оси по ее поведению в плоскости.
Теорема 3. Если целая аналитическая функция f{z) удовлетворяет неравенству
I f(x + /у) К Се'11®1й+»1 у 1Т(й<7),(1)
то для любого ^ = 0, 1, 2, . . .
I f№ () I < CB^q1 (1-т)е^1®1л,(2)
где aY как угодно мало отличается от а.
Доказательство. Производные функции f(z) можно вычислять по формуле Коши
где Гд—окружность радиуса R с центром в точке х. Из (3) мы получаем, что
^Ч^С-^Се61^11'^ Iй,(4)
где хг— точка между значениями х— R и x-^R, в которой величина а\х^ достигает максимума*).
Выберем радиус R так, чтобы отношение ^ достигало минимума. Как легко можно проверить дифференцированием, это осуществляется при
так что (4) сведется к
|/(9)(jc)|<CB?^!9”Te«l^lh, В^^е^Ч <5)
Последний множитель можно оценить следующим образом.
Заменим xt на х + 6/?, где |6|^1; тогда
^а I ж. 1^ — ^11 ж-|ЛВ l*1, ^ ^сц | ав l*1 е°^11
где постоянную аА можно выбрать так, чтобы она как угодно мало отличалась от а. Далее,
поскольку, по условию, Л^у. Поэтому (5) приводится к виду
|/(9)(^)l <C25V ^"V 1®|\
что совпадает с требуемым неравенством (2).
Если а < 0 (т. е. at < 0), то это означает, что
Если а > 0 (т. е. ^ > 0) и может быть взято как угодно малым, то в силу результатов п. 2 § 4 функция /(х) является в пространстве 8\~п^ мультипликатором.
Рассмотрим для примера функцию
Так как
I е~*2| = е*0^^,
то неравенство (1) выполняется с показателями h = 7 = 2 и а < 0, поэтому в силу теоремы 3 функция е-^ принадлежит к пространству St^ и удовлетворяет, следовательно, неравенствам
I xk {е-^ I < СА^ВЧ^'1-
Если о некоторой функции /(z) известно только, что она имеет порядок роста р в плоскости z, а на оси х имеет экспоненциальное убывание порядка h (т. е. выполняется неравенство (1) с а <. 0), причем это экспоненциальное убывание сохраняется в области |_у | ^ К(1 + | х | /, 0<рь^1 (что, в частности, заведомо имеет место при ^* — Р— ^<3 в силу теоремы 1), то, комбинируя теоремы 2 и 3, мы получаем, что функция /(х) принадлежит к пространству S«, где а = ~, р = 1 — ~.
Замечание. Пусть дана целая функция /(z), удовлетворяющая неравенствам
l/(<H<o6|2|P.//(^кс^-"1®^ (р>1).(6)
Совокупность таких целых функций впервые была рассмотрена авторами и обозначена через Z^. В силу теоремы 1 для функции /(zJCZ^ число р. можно принять равным 1. Вместе с этим число Y = —, фигурирующее в теореме 2, оказывается равным р. Поэтому согласно теореме 3функция /(z) принадлежит к пространству S1^^* Итак, имеет место включение
С другой стороны, каждая функция у (х) из пространства 8^^ согласно § 2 удовлетворяет неравенству
так что для нее заведомо выполняются неравенства (6). Итак, пространство Z^ совпадает с пространством S^”1^.
Теорема, аналогичная теореме 3, может быть сформулирована и для того случая, когда функция /(z) на оси х подчинена не экспоненциальному, а иному, более медленному закону убывания.
Теорема 3'. Если целая аналитическая функция /(z) при любом к удовлетворяет неравенству
\хЧ^х^1^\<СкеМи\1(Т>1),(7)
то для любого ^ = 0, 1, 2, ...
\xkfq4x)\<C'kB?q4^"Y(8)
где В = ~(Jbfe*^xl4» Ьг — любая постоянная, большая Ь.
Доказательство. Положим A(^) = zV(^ функция Д(z) удовлетворяет неравенству
< 2кСкеь 1 у 1Т + 2*С01 у |* е61 у |Т < С'е6' ^ I7’
где Ь'— любая постоянная, большая Ь. Применим к функции fk(z) теорему 3, полагая в ней h = 0. Мы получим в результате
I/^WI^C^^’y),<9>
где В = ~(Ь'е^)1^. Но, с другой стороны,
J^4x) = \xW)^ = xVq4x)^^• • •
Будем доказывать неравенство (8) индукцией по к. При к = 0 оно совпадает с доказанным неравенством (9). В общем случае, полагая для краткости р = 1 , мы находим:
I xkf№ (х) | < | f^ (х) I + kq I x^f^ (x) I +
, *(*-1)9(9-!)1-2, *(*-1)9(9-!)1-2|хЛ-2/(«-2>(х)|+...|хЛ-2/(«-2>(х)|+...
, *(*-1)9(9-!)1-2
, *(*-1)9(9-!)1-2
|хЛ-2/(«-2>(х)|+...
|хЛ-2/(«-2>(х)|+...
^CkB^-^MCk-iB9-1^— l^"1)^
—£^12 c'k_2B9~2 (q — 2)(9~2) 3
<CkB9q^ (1+9 (-^-^-^ 4<CkB9q^ (1+9 (-^-^-^ 411-211-2qq(q- 1)«Z-D?q9^(q- 1)«Z-D?q9^
<CkB9q^ (1+9 (-^-^-^ 4
<CkB9q^ (1+9 (-^-^-^ 4
11-2
11-2
q
q
(q- 1)«Z-D?q9^
(q- 1)«Z-D?q9^
^-2)^9 Iq-l^-DS^-2)^9 Iq-l^-DSгде положеногде положено^ = ^^ = ^Но при q ^ 2 мыНо при q ^ 2 мыto l)(Q-D3q^to l)(Q-D3q^имеемимеем
^-2)^9 Iq-l^-DS
^-2)^9 Iq-l^-DS
где положено
где положено
^ = ^
^ = ^
Но при q ^ 2 мы
Но при q ^ 2 мы
to l)(Q-D3q^
to l)(Q-D3q^
имеем
имеем
X(q—V)
CftBV3(l+ + + y-T2+-+-i+•)>
^q) ^{q-^<2q’
поэтому
1 + ^ +jT^^A-i"^ • • • ^ 1 +2^1-р +
+ ^(291-^+... <^Л
Но, поскольку р < 1, при любом В > О
^91-Р СС8(1 4-8)®, откуда
что и требуется.
Теорема 3' показывает, что функция f^x^ удовлетворяющая неравенству (6), входит в пространство S$*Bt где
Напомним, что в § 3 было доказано обратное утверждение: всякая функция ср (х), входящая в пространство S53’ в(р< 1), удовлетворяет неравенствам вида (7). Таким образом, неравенство (7) дает полную характеристику основных функций,
В входящих в пространство о .
К теореме 3' теперь можно сделать следующее дополнение.
Теорема 3". Если целая аналитическая функция J(z) удовлетворяет неравенству
l/^ + (y)|<C(l + |4)MI<
то она является ограниченным оператором умножения в пространстве S^’B1 и переводит это пространство в S^,B , где
(В^ = Ь^,ф'е^ = (bx + b) ev
Доказательство. Пусть ф (л) £ S^’В1; тогда при любом к = 0, 1, 2, . . .
\х^кх^г1^\<С^\и\\
где Ьх и Вх связаны соотношением ^еВ^ = bxe^t bi> bi — любое. Поэтому
]^+y(x + Z4<p(x + z4| сс£ (1 4- [ л; I )А e<&+&') l^l7
и, следовательно, при любом к
I x^f^x + (у) ?(^ + ^)| < С^еФ-^д 1Л|Т.
Таким образом, в силу теоремы 3, произведение /ср принадлежит пространству S^’B'. В силу соотношения между постоянными оператор умножения на / является ограниченным оператором в S^’B1, что и утверждалось.
Оценка производных на оси при р <; 0.
Теорема 4. Если аналитическая функция /(z) определена в области G
Ы<К(1 + ИГ (Р-СО)(1)
и удовлетворяет в этой области неравенству
|/(л: + ^^)| С Се0!®^,(2)
то ее последовательные производные на вещественной оси удовлетворяют неравенствам
|(х) | < C'bV^V1 ж'\(3)
где постоянная а' имеет тот же знак, что и а.
Доказательство. Будем вычислять значения производных от функции /(х) по формуле Коши, используя окружности, лежащие целиком внутри области G. Прежде всего, мы утверждаем, что окружность с центром в х и радиусом R = ^2(l +1х | У при достаточно малом К^ целиком лежит в области G. Действительно, это утверждение очевидно при р = 0; при р<0 в силу монотонного убывания функции (1 —|—| а: ] ^ дело сводится к доказательству неравенства
К2(1 + И/<*1(1 + И + ЯЛ
Так как R ограничено (можно считать заранее /?^1), то это неравенство при достаточно малом К^ заведомо удовлетворяется.
Теперь применим формулу Коши
J {Х> 2ti J (S-x)^1’
где Гд—круг с центром в точке х и радиусом R. Подставляя оценку /(У в форме (2), мы находим:
l/<®)WKC9i^”®ea'a’‘|ft.
где xt— точка в интервале (х— R, x~\~R), в которой функция еа^Н достигает наибольшего значения. Поскольку R— ограниченная функция от х, можно считать, что
где а, — постоянная того же знака, что и а. При |х|>1 имеет место неравенство
/? = К2(1 + |х|Г>К3|хГ, так что
|/<8)(л:)|<С4?!|х|-'9е“-1а!1\(4)
Далее, легко показать дифференцированием, что
где а2— постоянная того же знака, что и аг (и а), В = ^-. Поэтому (4) преобразуется к виду
I /(9) (х) I < СдВ^" 6~£)е«= I = \\(5)
При |х|^1 можно считать, что /?>р>0, и поэтому
|Ж*)|<С6р-^!(6)
Оценки (5) и (6) можно объединить в одну общую оценку, справедливую при всех х:
|/(9)(х)| ^CiB^^^e^^,
что и доказывает нашу теорему.
В случае а < 0 (т. е. а^ < 0) полученное неравенство показывает, что функция /(х) принадлежит пространству S\7h,H.
В случае а > О (т. е. а^ > 0) и если а можно взять произвольно малым, функция /(х) в силу одной из теорем п. 2 § 4 является мультипликатором в пространстве S1^11- При а — 0 естественно заменить функцию еа^ф^ на степенную функцию 1 +1 х |\ Мы получаем здесь следующий результат.
Теорема 4'. Если аналитическая функция f(z) определена в области
М<С,(1 + |<ц<0,(7)
и удовлетворяет в этой области неравенству
|/(х + /^)|<С(1-Ых|й),(8)
то ее последовательные производные на вещественной оси удовлетворяют неравенствам
[/^л^С^Щ + И^).(9)
Доказательство проходит по схеме доказательства теоремы 4 (см. неравенства (4) и (6)).
ВОПРОС О НЕТРИВИАЛЬНОСТИ ПРОСТРАНСТВА ТИПА S
Речь идет сначала о следующем вопросе: имеется ли в данном пространстве типа S хотя бы одна функция ср (х), отличная от тождественного нуля^
Для пространства Sa, л ответ всегда положительный: всякая финитная бесконечно дифференцируемая функция заведомо принадлежит к такому пространству, если а > 0; при а = 0 пространству Sa, д (= So, д) принадлежит всякая бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю при | х | > А.
Далее, всякое пространство типа S^’B есть результат применения преобразования Фурье к пространству 5^,в и, значит, также содержит функции, отличные от тождественного нуля.
Наибольшую трудность представляет вопрос о нетри- виальности пространств S^. Мы покажем в nm 1 и 2, что
эти пространства нетривиальны при
а + Р> h а > 0, р > 0;
а = 0, р > 1;
р = 0, а>1),
а в остальных случаях тривиальны.
При доказательстве этого мы воспользуемся некоторыми результатами, полученными в § 6 и 7, а также известной теоремой Карлемана — Островского об условиях квазианалитичности.
Случай пространств Sa, So. Рассмотрим сначала случай, когда одно из чисел а, р равно нулю.
Теорема. Пространство So нетривиально (т. е. содержит функцию ср (х) ф 0) тогда и только тогда, когда РЖ
Доказательство. Функции ср (х) £ So характеризуются неравенствами
\xk^^\<CAKBclq1\\xk^^\<CAKBclq1\(1)(1)
\xk^^\<CAKBclq1\
\xk^^\<CAKBclq1\
(1)
(1)
Деля на | х ]fe и переходя в правой части к нижней грани по к, получаем:
(2)
Очевидно, что и, обратно, всякая бесконечно дифференцируемая функция ср(х), удовлетворяющая неравенствам (2), удовлетворяет и неравенствам (1), т. е. принадлежит к пространству So- Вопрос о нетривиальности So теперь сводится к классической проблеме квазианалитичности: какие условия нужно наложить на числа bq(= q^), чтобы существовала бесконечно дифференцируемая функция ср(х)фО, равная нулю вне конечного промежутка и удовлетворяющая неравенствам
|^>(х)|<СВ%
Ответ, как известно, дается следующей теоремой Карлемана— Островского: для существования искомой функции
необходимо и достаточно, чтобы функция Островского
Г(г) = тах5Т-(3)
обладала тем свойством, что
Г In Г (г) ,.
J - >2 dr < °0-(4)
1
Найдем оценку для функции Островского в случае, когда bq — q$, так что
Г(г) — maxg.
При р = 0 очевидно, что Г(г)=сю для г> 1 и интеграл (4) расходится. Поэтому можно ограничиться случаем р > 0.
В этом случае функция р-^ совпадает с функцией у^(г), построенной в п. 1 §2. Мы можем воспользоваться результатом проведенного там вычисления, который дается неравенством
е е С^^ХСе е .
Применяя этот результат, находим:
В силу этой оценки сходимость интеграла (3), очевидно, имеет место тогда и только тогда, когда р> 1. Теорема доказана.
Следствие. Поскольку So = Sp (§ 6), мы одновре- „ ха при а^1 и нетривиаль-
НОСТЬ Sa при а > 1.
Случай пространств S«, a > 0, р > 0. Переходим к случаю, когда оба числа а, р положительны. Здёсь имеет место следующая теорема.
Теорема. Пространство 5» при a > 0, р > 0 нетривиально (т. е. содержит функцию ср(х)ф 0) тогда и только тогда, когда a+p^l.
Доказательство. Рассмотрим сначала случайа+р< 1 и покажем, что в этом случае пространство £« содержит единственную функцию ф(х) = 0.
Как было показано в § 2, в рассматриваемом случае функции ф(х)^5а аналитически продолжаются в комплексную область z — x-\-iy как целые функции, и имеет место оценка
| <Р(х + iy)| <Се-“1ж11/а^1^11/(1 ~?). (1)
Для целой функции ^(iz) = ^(ix—у), очевидно, имеет место оценка
| ф (ZA7 — _у) ]
Для произведения ф(^)-ф(/г) получаем:
I ф(г) • ф(/;?)|<^С2£-а^|1/<ь&|ж|1/(1-3)£-а^^ (2) Неравенство а -|— р < 1 показывает, что — > j ^-^ . Поэтому оба множителя в правой части неравенства (2) стремятся к нулю при |х|—>оо, l^j-xx). Отсюда по теореме Лиувилля функция ф^’фОХ) тождественно равна нулю. Но тогда и ф(г) = 0, что и утверждается.
Нам остается рассмотреть случай a —|—р ^> 1, a > О, Р > 0, и показать, что соответствующее пространство S» нетривиально. Поскольку очевидно, что из неравенств a^a', р ^ р' следует S« cz S^, достаточно ограничиться случаем a —|—р = 1, a > 0, р > 0.
Рассмотрим вначале функцию
(3)
П = 1
Очевидно, что при р > 1 произведение (3) всюду сходится.
Покажем, что оно представляет собой целую функцию по
рядка ростарядка ростаР ’Р ’иными словами, для любого е > 0 выиными словами, для любого е > 0 выполняется неравенство|t(2:)|<cZIPполняется неравенство|t(2:)|<cZIP(4)(4)
рядка роста
рядка роста
Р ’
Р ’
иными словами, для любого е > 0 вы
иными словами, для любого е > 0 вы
полняется неравенство
|t(2:)|<cZIP
полняется неравенство
|t(2:)|<cZIP
(4)
(4)
Мы имеем, прежде всего, ОООО
П=1п-1
ОО
1п|<Нг)|<2,п(1 + "+-п —1
Воспользуемся двумя очевидными оценками для функции In (1+9:
1п(1+9С при 0< ^^ 1, In (1 + 9 < Ср.С1'' при ^+1 и любом у-> 0.
В соответствии с этими оценками мы находим:
=м S ^+са^г 2®
П? > | 2 (П? < \ 2 |
Оценим первую сумму в правой части. Поскольку
п
п- 1
мы имеем:
S
1 , Г dx _1< С I z IР
п» J (р— 1)[И1/р~ Ijr-1 1 1’
nP > I 2 || 2 | 1/Р — 1
причем постоянную С можно выбрать фиксированной для всех достаточно больших |г|. Последняя сумма в правой части соотношения (5) ограничена при любом у, > у:
В результате мы приходим к оценке
Гак как можно взять в виде у + у, то справедлива оценка
1
из которой и следует требуемое неравенство (4).
Далее мы построим индикатрису роста функции ф(^). Напомним, как определяется индикатриса роста целой функции порядка роста р. Фиксируем луч, исходящий из начала координат под углом 6 к оси х. Если существуют постоянные С и b такие, что выполняется неравенство
|/(г^9)|<С^,
то значением индикатрисы роста h^ считается нижняя грань чисел Ь, которые удовлетворяют этому неравенству.
Таким образом, для любого е > 0 можно найти постоянную С£ так, что
're^\<C^V^
Если таких постоянных С и b не существует, то полагают h (6) = оо.
В теории функций доказываются следующие свойства индикатрисы роста целой функции порядка р.
Если h (6) принимает конечные значения при 6 = 91
и 6 = 62, причем р^—02| <у> то ^^ ограничена сверху во всем промежутке 962-
Если h (0) ограничена в промежутке 0Х <^ 6 ^ 62, то она непрерывна в этом промежутке ).
Покажем, что индикатриса роста функции ф(г) дается
уравнениемh (0) = , cossin — гРуравнениемh (0) = , cossin — гР(О <6(О <6<2тг).<2тг).(6)(6)
уравнением
h (0) = , cos
sin — г
Р
уравнением
h (0) = , cos
sin — г
Р
(О <6
(О <6
<2тг).
<2тг).
(6)
(6)
График функции h (6) изображен на рис. 3.
Имея в .виду свойства индикатрисы а) — б), мы ограни* чимся при доказательстве случаем О Ф 0.
Далее, поскольку | ф(^) | = [ ф(^) |, функция h (6) — четная; поэтому достаточно рассмотреть случай 0 < 6 < к.
Функцию
Ln фО) = In | фО) | + / Arg | ФО) I
с некоторым фиксированным Arg|<p(z)| можно представить в форме
ОО00
Ьпф(г^)=^1п(1— ^ = f \n^_^dn(t), п=11-0
где функция п^ имеет в каждой точке t = п9 (п = 1, 2, . ..)
скачок -|- 1 и между этими точками постоянна. Интегрируя по частям, находим:
Функция n(f) имеет вид, изображенный на рис. 4. Очевидно, что ее можно представить в форме
п (f) = ?/р — о) (f).
где 0 < о) (0 < 1 •
Рассмотрим сначала внсинтсгральнос выражение в формуле (7). Множитель 1п ^1 —у) при больших t имеет порядок ^- и поэтому в произведении с п(^) — £1/р дает в пределе нуль. На нижнем пределе внеинтегральный член
Рис. 4.
равен нулю вместе с п(/). Итак, внеинтегральный член обращается в нуль, и мы имеем:
y,„(i-4)rf„(0=-z/^=
1-01
= _ Г di , Fs^dt
J tV — zV^J Ht-zY
11
Оба полученных интеграла преобразуем подстановкой t=ur;
ОООООО
f InO—4'Un(t) = —г1/?^9 f -Ol—du + e* Г ^£1^L.
J \ t)Ju — e^ J и (и —
1 -01/r1/r v 7
(8)
duи | и — е^ |duи | и — е^ |11duи | и — е^ |duи | и — е^ |0(1 и г).0(1 и г).Последнее слагаемое допускает оценку
du
и | и — е^ |
du
и | и — е^ |
1
1
du
и | и — е^ |
du
и | и — е^ |
0(1 и г).
0(1 и г).
^о Г 1W1 J и (и — ^*9) 1/г
В первом слагаемом справа в (8) замена нижнего предела 1/г на нуль приводит к ошибке, стремящейся к нулю при г —► со и поэтому несущественной. Получающийся
18 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
интегралх
У Г и^ duJ и — е^о
мы вычислим до конца с помощью теории вычетов. Рассмотрим замкнутый контур Г, изображенный на рис. 5. Так как подынтегральная функция однозначна внутри контура Г
и имеет единственную особую точку и = е^ — полюс первого порядка, то
1 Г“р *е(у-1)
J и — е^ г
|< С другой стороны, интегралы по дугам окружностей Ге и Гд, входящих в состав контура Г, в пределе (при е—>0 И /? -^ со) обращаются в нуль; поэтому при 0 < 6 < тс мы получаем: *
Ооо
00 Л_ 1. ^
_ l-^/p f цр~ du _. I sm? , 2tcZJ и — е^ тс -—
о^ Р
Отсюда
тс, тс
sin —sin —
рр
Таким образом,
In | ф(^) | = Re Ln ф(^) = Re j — егЧг^ J + О (In г) =
6 — тср6 — тсрО (In г).О (In г).р тс
6 — тср
6 — тср
О (In г).
О (In г).
= г COSтсsin —
Р
Полученное выражение показывает, что индикатриса роста функции ф(г) при 0 < 0 < к имеет вид
h (6) = lim г р In | ф (г^9) | = —^- cos -—-,sin — Р
Р что и требовалось.
Как видно из выражения индикатрисы, функция ф(^), имея экспоненциальный рост порядка у в плоскости z, на полуоси х > 0 имеет экспоненциальное убывание порядка также у. Рассмотрим теперь функцию
Ф(^) = ф(^).(9)
Очевидно, что функция ср (г) имеет экспоненциальный порядок роста в плоскости z, равный у, и на всей вещественной оси — при 1<р<2— экспоненциальное убыва- 2 н и е с порядком — .
Поэтому в силу теорем 1—3 § 7 функция ср (z) принадлежит к пространству Sa, где а = у = ^-, ^ = 1 —а = 1 —^-.
Так как р— любое число между 1 и 2, то тем самым мы получаем, что все пространства S« с -^- < а < 1, р=1—а
нетривиальны.
В силу формулы Sa = Sp являются нетривиальными и все пространства Sa с 0<а<-^-, р=1—а.
Нам остается рассмотреть лишь случай а = р = у. Но пространство Si^ также нетривиально: как мы видели в п. 4 § 7, оно содержит отличную от нуля функцию (z) = е-2\ Таким образом, наша теорема полностью доказана»
3. Случай пространств Sa’д. Уточняя предыдущие результаты, рассмотрим вопрос о нетривиальности пространств Sa, д; это понадобится нам в выпуске 3. Основные функции, входящие в пространство Sa’д, как мы помним, удовлетворяют неравенствам
| хк^ {Х) | < с8р (Л + 8)й (В + р)« k^q*.
Рассматривая это неравенство, мы замечаем, что при a^a',
Р <^', Л^Л', В^В' имеют место включения
(1)(1)е₽, В В qP, Вор', В'*^а, Д*— *^а', Д',^а, Д^-^а, Д ,
(1)
(1)
причем если а < а', то Л' можно взять любое (не обязательно большее Л) и аналогично при р < ^ можно взять любое В. •
Так как пространство Sa есть объединение пространств S^ а по всем Л, В, то нетривиальность пространства Sa равносильна нетривиальности пространства 5^д с некоторыми Л и В. Нетривиальность пространств Sa была доказана для случаев:
а = 0, р>1; а>1, р = 0; а > О, р > О, а + р>1.
Во всех этих случаях, следовательно, имеются и нетривиальные пространства S^ д.
В силу приведенного выше рассуждения мы можем утверждать, что нетривиальны все пространства Sa, д с a > О, Р > 0, a —|— р > 1 и любыми А и В. Нам остается рассмотреть крайние случаи, когда а = 0, или ^ = 0, или а -|- р = 1. -
Будем рассуждать следующим образом. Рассмотрим какое-нибудь нетривиальное пространство S» и отметим на плоскости Л, В точки, отвечающие нетривиальным пространствам Sa, д; соответствующие пары чисел Л, В и точки (Л, В) назовем «допустимыми». Изучим расположение допустимых точек (Л, В) на плоскости с координатами Л, В. Так как Л и В — неотрицательные числа, то достаточно рассмотреть первую четверть этой плоскости. Прежде всего, по доказанному, вместе со всякой допустимой парой (Ло, Во) являются допустимыми и все пары (Л, В), где Л^Л0, В^В0.
Далее, перейдем от функции ср(х), входящей в нетривиальное пространство Sa, д, к функции ср (Хх) = ф(х). Как мы уже знаем из п. 4 § 4, функция ф(х) принадлежит пространству Sa’ дд, которое, следовательно, также нетривиально. Таким образом, вместе с парой (Ло, Во) является допустимой и пара (^» ХВ0); обе соответствующие точки лежат на гиперболе АВ = Л0В0.
Поэтому полная область всех допустимых пар есть область, ограниченная снизу гиперболой
АВ = Ч (2) (причем сама эта гипербола может принадлежать области всех допустимых пар или не принадлежать). Очевидно, что при у = 0 все пары (Л, В) с Л, > 0, В>0 являются допустимыми.
Покажем, что именно так обстоит дело для пространств Sq’, а (Р > 1) и Sa, д (a > 1). Ограничимся рассмотрением первого случая. Пусть заданы числа Р > 1, Л>0 и В > 0. Если число Pi таково, что 1 < рх < Р, то в силу нетривиальности пространства S^ имеется нетривиальное пространство Sq^1 с некоторыми At и Bv В силу включений (1) пространство So^ является нетривиальным при любом как угодно малом В. Но тогда 7 = inf ВАХ (нижняя грань по всем допустимым парам), очевидно, равна нулю, что нам и требуется.
Можно показать, что для a > 0, Р > 0, a —|—р = 1 постоянная 7 уже не равна нулю. Можно было бы даже вычислить ее в зависимости от а и р, но это нам не понадобится.
19 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
Итак, мы установили нстривиальность следующих пространств:
Sa>^, Sp> 5 с любыми а, р, Л, В;
S°:a, $£а с любыми а > 1, р > 1, А. В;
Sa, а с любыми а + р > 1, А, В;
Sa, д с а + р = 1, АВ > у (или ^ у), где у — некоторое положительное число.
О запасе функций в пространствах типа S. С вопросом о нетривиальности основных пространств тесно связан вопрос о достаточном богатстве запаса функций в этих пространствах. Мы говорим, что основное пространство Ф достаточно богато функциями, если для любой локально интегрируемой функции /(х) из сходимости интеграла
J/(x)<p(x)dx(1)
для всех ф(х)СФ и равенства этого интеграла нулю для каждой ср£Ф вытекает, что /(х) = 0 почти всюду.
Пространства, достаточно богатые функциями, обладают следующим важным свойством: всякое пространство Ф, достаточно богатое функциями, располагается плотно во всяком нормированном пространстве функций Е, содержащем Ф внутри себя, если норма в Е задана формулой вида
1М = J Af(x)|<?(x)|dx,(2)
где 7И(х) — фиксированная положительная функция.
Действительно, в предположении противного мы смогли бы, используя процесс Хана — Банаха, построить линейный непрерывный функционал (/, ср) ф 0 в пространстве Е, обращающийся в нуль на каждом элементе ср£Ф. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве Е хорошо известен; он дается формулой
(А V) =(х) ср (х) dx,(3)
где /(х)— ограниченная измеримая функция. Таким обра-
зом, интеграл (3) обращается в нуль для всякой функции ф(х)ЕФ- Но, поскольку пространство Ф достаточно богато функциями, из этого факта вытекало бы, что f(x) М (х) = О, откуда и /(х) = 0 почти всюду, т. е. (/, ср) = 0 для любой ср^Е в противоречие с построением.
Можно установить следующий признак достаточности богатства функциями в основном пространстве Ф.
Лемма. Если
в пространстве Ф существует хотя бы одна функция ср (х) ф 0;
вместе со всякой функцией ср(х) в пространство Ф входят все сдвиги ср(х — /г), —оо < h < оо;
вместе со всякой функцией ф(х) в пространство Ф входят все произведения ср (х) ei3Ca,
то пространство Ф достаточно богато функциями. Доказательство. Пусть дана локально интегрируемая функция /(х), для которой имеет место равенство
У /to ? to dx = 0
при любой функции ф(х)ЕФ- Покажем, что /(х) почти всюду равна нулю. Рассмотрим функцию ^PotoE^» отличную от тождественного нуля; так как в пространстве Ф допустимы все сдвиги, то можно считать, что функция ср0(х) отлична от нуля в окрестности заданной точки х0). По предположению, при любом а произведение ср0(х)^жс^Ф; поэтому при любом о
У /to Toto ei3CO dx — 0.
Но это равенство означает, что преобразование Фурье функции /to^oto тождественно равно нулю. По теореме единственности преобразования Фурье) функция /(x)Toto почти всюду равна нулю. Так как в окрестности точки х0 функция сро(х)=£О, то функция /(х) почти всюду равна
нулю в этой окрестности. В силу произвольности х0 функция f(x) почти всюду равна нулю на прямой — оо < х < оо, что и требовалось.
Выясним теперь вопрос о достаточности запаса функций в пространствах типа aS.
Для пространств «Sa, а с а > 0, Р>0 мы доказали в своем месте (§ 4), что в этих пространствах определены операции сдвига и умножения на eiax. Применяя лемму, получаем, что каждое такое пространство, если оно нетривиально, обладает достаточным запасом функций. Пространства SQ д(а > 0), S₽’В(Р >0) всегда нетривиальны, и в них также определены операции сдвига и умножения на eiax; следовательно, эти пространства также обладают достаточным запасом функций.
Если же в нетривиальном пространстве Ф = £^д (или Sa,а. S^ одно из чисел а, ,3 равно нулю, то это пространство уже не является достаточно богатым функциями. При а = 0 в этом случае все функции ^(х)£Ф обращаются в нуль вне фиксированного промежутка и всякая функция /(х) ф 0, равная нулю в этом промежутке, приводит к нулевому значению интеграла (1) для всех ср£Ф. При р = 0 все ср(х)^Ф суть целые функции, преобразования Фурье предыдущих функций; если функция /(х) ф 0, участвовавшая в предыдущем построении, обладает классическим преобразованием Фурье g(x), -—например, если/(х) финитна, — то функция g(x), если ее подставить вместо /(х) в интеграл (1), будет обращать в нуль этот интеграл для всех ^^Ф. Но если не фиксировать постоянных А или В, а рассматривать объединения
cP. S II Q₽, В Q0 I I Q0, Во° = U Оо, А ,А = Оа, A i
АВ
то эти пространства уже достаточно богаты функциями. Действительно, в этих пространствах, как было показано в § 4, определены и операция сдвига и операция умножения на eixc при любом о, а этого, как мы видели, достаточно для справедливости нашего утверждения.
Точно так же обладают достаточным запасом функций и объединения aS0 = (J aS0, а , S° = (J S0, В, ав
Итак, следующие пространства типа S достаточно богаты функциями;
нетривиальные ЗЦ, а > 0, р > 0;
а > 0; S3’5, ₽ > 0;
sP, Р>1; 52м. а>1; So; S°.
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пусть даны неотрицательные числа ар а2, ..., ап, рр Р2, • • • > $п> через а обозначим совокупность (ар а2, . . ., ап) и через р — совокупность (рр р2, . .., рп).
Пространство 5а = 5а?а ап состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср (х) = ср (хр х2, . . ., хп), для которых удовлетворяются неравенства
дхх ... дх4^
<СА^ .. . Л^' • ■ • *> (^ ^2кп = 0Л. 2,...у Последовательность cpv(x)£Sa, по определению, сходится к нулю, если эта последовательность сходится равномерно к нулю в каждой ограниченной области вместе с производными любого порядка и если постоянные Av . .., АП) С в этих неравенствах, написанных для функции фДх), можно выбрать одними и теми же для всех v= 1, 2, . . .
Совокупность функций ^W^Sa, для которых постоянные Л1 = Л1, . . ., Ап = Ап можно брать любыми, большими, чем фиксированные Лр Л2,. . ., Лп, есть счетно-нормированное пространство; мы обозначим его через Sa, д=5а1, ..., «п; а^..., ап.
Нормы в этом пространстве вводятся по формулам
H<Pllg8 = SUPa,.»H<Pllg8 = SUPa,.»дх91 ... дх9"
H<Pllg8 = SUPa,.»
H<Pllg8 = SUPa,.»
(At + б^1 ... (А„ + Ч)41Ч4 • • • кУп'
где В есть совокупность ($Р , , ., Sn) и q—совокупность (91. . •9»)-
Пространство Sa,A— полное счетно-нормированное совершенное пространство. Доказательства всех этих фактов проводятся таким же образом, как и в случае одного независимого переменного.
Аналогичные изменения при переходе к п независимым переменным производятся и в остальных определениях пространств типа S. Пространство S^ = S^1’”” ^п состоит из всех бесконечно дифференцируемых функций ср (х), для которых
f lп дх9; ...дх9»
<СВ9' . . . B9nq^ . . . q^n.
Пространство S^ = ^” ” а” СОСТОИТ из функций ф(х), для
которых
|x4Z)9cp(x)|= хкх|x4Z)9cp(x)|= хкх” дх9‘ ... дх9™” дх9‘ ... дх9™
|x4Z)9cp(x)|= хкх
|x4Z)9cp(x)|= хкх
” дх9‘ ... дх9™
” дх9‘ ... дх9™
САТ ... А^В’" . . . В^к‘- .. . ky.qf. .. .
Эти пространства, так же как и Sa, представляются в виде объединений счетно-нормированных пространств
S^ = и s^
А, В
определяемых аналогично S«, а-
После того как даны определения, можно распространить на полученные пространства все результаты § 2—8, относящиеся к одному переменному. В частности, во всех этих пространствах определены и непрерывны операции умножения на независимые переменные (и на любые полиномы от них) и дифференцирования. Всякая функция /(х)=/(х1, . .., хп), удовлетворяющая неравенствам
11
|oW)l<c/'‘la!‘|ai4"■+а«1ж«| ”, .
определяет при достаточно малых ^ оператор умножения в пространстве 8а, а, переводя это пространство в 8», ач где составляющие X = (Л^ . .., Л^) связаны с соответствующими составляющими Л = (ЛР ..., Лп) по тем же формулам, что и в § 4. Всякая функция /(х) = /(х1, . .., хп), удовлетворяющая неравенствам
определяет оператор умножения в пространстве о , пере-
ОВ, В 4- В водя это пространство в , где
В + В^^ + В,в„ + ви).
Всякая функция /(х), удовлетворяющая неравенствам
| Dqf (х) | < СВ’1 . . . Bqnq^ . .. q4^ ।• +5„| ®„ | “n,
определяет при достаточно малом аЛа^Л —оператор еАкк)
ство в пространство о^д, , Если целая функция/(^=/(^1^п)‘=. 1имеет порядок ростаувыполняется неравенство1 /(^v . . . , £п) [ ^ С причемЬк< j_В^е^, как и в § 4. в и тип <— , т. е. еслиВе^ 11e6,|Z1|+...+Мг„|”>(&= 1, 2п),ство в пространство о^д, , Если целая функция/(^=/(^1^п)‘=. 1имеет порядок ростаувыполняется неравенство1 /(^v . . . , £п) [ ^ С причемЬк< j_В^е^, как и в § 4. в и тип <— , т. е. еслиВе^ 11e6,|Z1|+...+Мг„|”>(&= 1, 2п),умножения в пространстве S^ д, переводящий это простран-умножения в пространстве S^ д, переводящий это простран-
ство в пространство о^д, , Если целая функция
/(^=/(^1^п)‘=
. 1
имеет порядок ростау
выполняется неравенство
1 /(^v . . . , £п) [ ^ С причем
Ьк< j_
В^е^
, как и в § 4. в и тип <— , т. е. если
Ве^ 11
e6,|Z1|+...+Мг„|”>
(&= 1, 2п),
ство в пространство о^д, , Если целая функция
/(^=/(^1^п)‘=
. 1
имеет порядок ростау
выполняется неравенство
1 /(^v . . . , £п) [ ^ С причем
Ьк< j_
В^е^
, как и в § 4. в и тип <— , т. е. если
Ве^ 11
e6,|Z1|+...+Мг„|”>
(&= 1, 2п),
умножения в пространстве S^ д, переводящий это простран-
умножения в пространстве S^ д, переводящий это простран-
то в пространстве S^a определен оператор
f(A. _д^1А12А.
^Удх,’ дхн) ^ т""тпдх^...дх2п'
ВВе^
он переводит пространство oi, а в пространство о£ ^ , где Вер = (б/1, ..., ВПА).
Имеют место теоремы двойственности, вполне аналогичные теоремам, установленным в § 6:
еаеЗ есЗ са.а О ,О Ор,Оа Ор,
S
’~" А сЗ> В о ,
а, А = о 1 О = Op, Bi
Sa,A = S^B при а > 0 (т. е. все ау > 0), Р > 0, а —|— р > 1; S^czSp’,^ в остальных случаях;
при этом
1
К = (Ль ..., А^, где А^ = А^е АкВк (^ = 1, 2, ..., м);
аналогично определяется В^.
Все теоремы § 7 переносятся на случай п независимых переменных также без существенных изменений. Укажем здесь только основные идеи.
Теорема Фрагмена—Линделёфа для функций п переменных. Пусть задана аналитическая функция f(z)=f(zv ..., zn), определенная для значений переменных zv . . ., zu, каждое из которых пробегает в своей плоскости угол Gj раствора ^^ < — независимо от значений остальных переменных. Границу угла Gj обозначим через Гу. Пусть, далее, функция /(z) удовлетворяет неравенствам
|Ж^)|<С?-|г-|;Р‘+-+Мгп1Рп (.Zj^GjY
\f^zv . .., z^ | ^ Сг (21£Г1} . .., ^^^У^.
Тогда справедливо неравенство
1Ж>^)\<CX(z^G,, ..., zu^GnY (1)
Доказательство. Фиксируем произвольно z2 £ Г2,. . .
. .., zH^Vu\ получившаяся функция от zx в силу теоремы Фрагмена—Линделёфа удовлетворяет неравенству
1Ж- 22, .z^KCt ^^Gi, 22вГ2, .... 2„€Ги).
Фиксируем теперь zx^Gv z3£ Г3, .zn^rn; тогда таким же образом мы получим, что
|Ж, . . ., 2„)|<Ci (21^01, 22£02, 23^Г32„£Г„).
Продолжая таким же образом, через п шагов придем к искомому неравенству (1).
Теорема. Еслицелая функция f(zv ..., z^) имеет порядок роста ^ p = ^pv • • •, Рп) с конечным типом, т. е. удовлетворяет при всех z неравенству
I / (2) |121 ^'+ • • • ^V» Е
и, кроме того, при вещественных значениях z^ = x^ удовлетворяет неравенству
!/(%!,хи)|<с2г-13,11 "-^пЫ (й.^о, 0<Н,Ог\
то существует область G, определяемая неравенствами\уА<^О + \х)\Е(РгЬ^ (; = 1,П),
в которой
|/(*-Hj')|<G/1N +-+О»Ы(C3 = max(C!, C2)).
Доказательство проходит целиком по схеме доказательства, приведенного в § 7 для одного переменного. Вводятся Функциий[
доказывается, что функция /^(^ ограничена на «остовё» области
°<^<-^-(arg2,. = o>,.),
(т. е. когда при каждом j вместо этих неравенств имеет место равенство ю^ = 0 или ю^-=и применяется теорема
Фрагмена—Линделёфа в том виде, как она сформулирована выше; в результате мы получаем, что в пределах этой области
1/(^12П)|
^Cea1ri1oosAiroi + 61rf1sinP1«>1+ ... +«„^”cos h„">n+bnr^n sin рп«>п>
Если при этом z5=r5e 5 меняется лишь в пределах
a?J cos /г .ю. -I- sin р .w, a'.rp cos^j w, (2)
3 33 3'33 г3 33 J3 х '
(а'з > аз и того же знака), то функция /(z) будет удовлетворять неравенству '
\f^\<Cea^ + "+апхп
(а'^ того же знака, что и а^. Неравенство (2) выделяет в плоскости z5 область с границей
г Н .,
ъ аА cos з to. — си cos h. «v
как и в случае одного переменного, она может быть задана неравенством
|^|<min [l^ltg^- ^l^l1”^"^]-(4)
Покажем теперь, что полученную область можно заменить более простой областью
G^^I^K^d+l^l)1-^-^} (7=1, 2п). (5)
Если в случае одного переменного переход к новой области можно было мотивировать соображениями непрерывности, то теперь таких соображений недостаточно, так как присоединяемые точки не образуют уже компактного множества. Поэтому мы воспользуемся обходным путем.
Предыдущие рассуждения можно было применять не ко всем, а лишь к некоторым из переменных ^. Например, если их применять к переменным z^ ..., zu, то мы получим неравенство
|/(г)|< Се611311 е"21®21 + +ММ(6)
в области
|^.|Cmin j|x,-|tg 2^-, Л}|х/ (^' ^ )(7 = 2л).
Кроме того, было доказано, что в области (4) справедливо неравенство
|/(2) | Се11 ^1+°22-ь +ММ п.(7)
Теперь ясно, что в области
1з'11<^(1 + к11)1-И).
w<min {i^itg-^, ^i^i1 {Pj ftj)) и—^«) выполняется неравенство
| /(г) К Се”1 1 ^+а21• +°»I^\\
где С, как и в случае одного переменного, получается из предыдущей постоянной С умножением на число, определяемое лишь постоянными а и Ь.
Таким же образом доказывается неравенство
\f^\<Cea' ^ еМг^4 - +ъп\Ч\п в области
(8)
Теперь фиксируем координату zY в этой области и повторим приведенные выше рассуждения в применении к координате 2^2; в результате мы получим неравенство (7) в области
ItM^i + iW’^^ (7=1. 2);
I^Kminllx^tg-^-, ^l^l1"^'"^}(7 = 3,n).
Продолжая таким образом далее, через п шагов придем к требуемому результату.
Во всех остальных формулировках и доказательствах § 7 остается ввести изменения, состоящие в замене одной координаты на п координат. Все эти теоремы опираются
на теорему 1 § 7 и замечание к ней, справедливость которых в n-мерном пространстве мы сейчас установили. С учетом этого обстоятельства доказательства остающихся теорем переносятся на n-мерный случай очевидным образом.
Вопрос о нетривиальности пространства типа S решается при помощи следующего замечания: пространство
О^Ве^ °а, А °апО^Ве^ °а, А °ап^ в>ап' А„^ в>ап' А„пппп
О^Ве^ °а, А °ап
О^Ве^ °а, А °ап
^ в>ап' А„
^ в>ап' А„
п
п
п
п
нетривиально тогда и только тогда, когда нетривиальны все пространства S^ ^ (&= 1, 2, . . ., п).
Действительно, если функция ^k(xk) принадлежит Sa^ д^ и отлична от тождественного нуля, то cp(x) = Ti(xi)- • -^п^п) также отлична от тождественного нуля и принадлежит пространству S^a- Обратно, если некоторое Sa^A* тривиально, т. е. содержит только единственную функцию (p(xfc) = 0, то и Sa’а тривиально, так как любая функция ср(х) из S»,’а при любых фиксированных значениях xv..., xk„v ^k+v • • - ^п принадлежит к пространству Ьа^,д^ и, следовательно, тождественно равна нулю.
Легко видеть, что нетривиальные пространства da, а . (а > О, р > 0) и пространства Sa, a (a>0), S*3,5 (Р > 0), So’s (Р > 1), 5а, а (а > 1), So, S° достаточно богаты функциями, как и в случае одного переменного.
ДОБАВЛЕНИЕ 1
ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ ТИПА S
Можно значительно обобщить класс пространств типа S, если заменить фигурирующие в определениях этих пространств последовательности ^a (^ = 0, 1, 2, . . .,) и ^ (^ — 0, 1, 2, . . .) произвольными последовательностями ак b bq
и bq. Так мы получаем пространства Sak, S q, Sa^ опре-
деляемые следующими системами неравенств (^^^ = 0, 1, 2,
Sak-
| хк^ (х) 1 <
$ С/а..
(1)
sV
1 Хк<?№ (X) I <
С CHBqbq,
(2)
А.
ак
| Х&<р<9) (а:Х| «
ССАкВХЬ4.
(3)
Результаты теории пространств типа S, развитой в § 2—8, можно перенести и на случай обобщенных пространств (1)—(3), если только последовательности ак и bq удовлетворяют определенным условиям, которые приведены ниже.
Функции ^(x)^Sttfe могут быть охарактеризованы своим убыванием на бесконечности, в соответствии с формулой
I ?^ (х) I < Cql ^, где I (х) = inf, ^.(4)
У функций ^x^S^ по самому определению ограничен рост производных. При достаточно медленном возрастании Ьк функции ^(x)^S&fe— целые, удовлетворяющие оценке роста
условия достаточны для выполнения соответствующих опе- ъ
раций и в пространстве 8^.
Доказательства этих предложений проходят по тем же схемам, что и для пространств типа S.
Можно было бы сформулировать и некоторые условия выполнимости в 8ъа<1 дифференциальных операций бесконечного порядка. Вероятно, наиболее интересен вопрос о полном объеме топологического кольца операторов в 8%, по- d
рожденного операторами хи—; этот вопрос остается пока
открытым.
Теоремы двойственности сохраняются и в обобщенных пространствах в той форме, которая дана в общей теореме § 6, а именно: если функция у(х) удовлетворяет неравенствам
\xk^(x)\<CAkB,1akbq,(8)
где числа ак и bq таковы, что
^как—1^как—1Ck1^,Ck1^,акл-*2.&какл-*2.&к^о,^о,(9)(9)
^к
ак—1
^к
ак—1
Ck1^,
Ck1^,
акл-*2.&к
акл-*2.&к
^о,
^о,
(9)
(9)
то преобразование Фурье ф(о) функции ср(х) удовлетворяет неравенствам
V^H^^C'AlBXaj)!,(10)
и, следовательно, имеет место формула
ъ
, Проблема о нетривиальное™ пространств 8а9 значительно сложнее, чем для пространств S£. Классическая проблема о квазианалитичности является частным случаем этой проблемы, соответствующим значениям ак=\. Вместо условия обращения функции ср (х) в нуль (вместе со всеми производными) на концах заданного отрезка, в классической проблеме квазианалитичности,—в нашем случае налагается более естественное условие заданного порядка убывания при I X | —> СЮ. 1
К. И. Бабенко доказал следующую общую теорему. Положим
I X 1^ /1\
Л(„г) = $ир^—L ( = —— в наших обозначениях), (Г2)
Л1(^) = 8ир(13)
X(x) = ln J ™dt,(14)
О
^-Ч*'*'<|5>
о
Предположим, что выполнено одно из двух условий правильности роста функции L(x):
илиили.. In In L (х)ИШ :— In XЖ>со.. In In L (х)ИШ :— In XЖ>соlirnЖ>эоlirnЖ>эоIn In L (.r)In XIn In L (.r)In X3.3.(16)(17)(16)(17)
или
или
.. In In L (х)
ИШ :—
In X
Ж>со
.. In In L (х)
ИШ :—
In X
Ж>со
lirn
Ж>эо
lirn
Ж>эо
In In L (.r)In X
In In L (.r)In X
3.
3.
(16)
(17)
(16)
(17)
Если выполнено условие (16), то для нетривиальное™ ъ пространства S^ достаточно, чтобы было
Нт >0,(18)
„з Г toW d* у J г- ^ + у-
о и необходимо, чтобы было
Нт-—^ >0.(19)
У J -V- ^ + v2 о
Если выполнено условие (17), то в неравенствах (18) к (19) следует заменить л(_у) на р,(^) и р-(;) на £(;).
ДОБАВЛЕНИЕ 2
ПРОСТРАНСТВА ТИПА W
В этом добавлении излагается — без доказательств и довольно конспективно—-теория пространств типа W, составляющая содержание гл. I выпуска 3. Эти пространства аналогичны пространствам типа S, отвечающим значениям индексов а< 1 и р< 1; однако, благодаря привлечению произвольных выпуклых функций вместо степенных, пространства типа W способны точнее улавливать особенности роста или убывания функций на бесконечности.
Для простоты мы ограничимся в этом добавлении случаем одного независимого переменного.
. 1. Пространство Wjr. Пусть задана возрастающая непрерывная функция р.(У (0<^Е<оо) такая, что р,(0) = 0 и р.(оо) = оо. Определим, далее, функцию М(х) равенством
ЭС
М^ = У* р.(£Ж М (— х) = М (х). (1) О
Это — выпуклая книзу функция, возрастающая при х —>4-со йли —оо быстрее любой линейной функции. Тогда пространство Wm определяется как совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций о(х) (—оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам вида
I | < Cqe"M^ (q = 0, 1, . . .), (2) где положительные константы Cq и а зависят от функции ср (х). Из этих неравенств следует, что cpW (х) при любом q убывает быстрее любой экспоненты. Линейные операции в Wm определяются естественным образом. Последовательность элементов cpv называется сходящейся к нулю, если 1) она правильно сходится к нулю (т. е. ср^(х)—>0 при любом q равномерно в каждом конечном промежутке) и 2) cpv(x) удовлетворяют неравенствам
| (q, v = 0, 1, ...) (3) с константами Cq и а, не зависящими от у. Множество в пространстве WM называется ограниченным, если оно
состоит из функций, удовлетворяющих одному и тому же неравенству (2) с фиксированными Cq и а.
Пространство Wm является объединением (в смысле § 8 гл. I) счетно-нормированных пространств Wm,»- Пространство Wm, а определяется как совокупность функций ср(х), которые при любом В>0 удовлетворяют неравенствам
j(pW(x)|<CQ^(? = 0,(4)
Пространство Wm, а принадлежит к классу пространств К^Л^; функции Мр(х) в данном случае имеют вид
Mp(x) = eM^0^ ^^1 (р = 2,3,(5)
Топология в пространстве Wm, а. как и во всяком пространстве К^Мр^, определяется нормами
kllp= sup® ^ptolv^tol-(6)
Далее, пространство WM,» является полным; условие (Р) § 2 гл. II выполнено, так что Wm, а совершенно. Таким образом, Wm, а — объединение совершенных пространств.
Примерами пространств Wm могут служить пространства Sa с 0 < а < 1. В этом случае М^ — ха {х^ 0); ^^i^-1 а>о).
Пространство Wm» отличное от пространств Sa, получается, если взять
р,(Е) = 1п(Е+1) (Е>0).
Соответствующая функция Л1(х) записывается довольно громоздко:
Л4(х) = (х+ l)ln(x+ 1) — х.
Но так как пространство Wm формально можно строить по любой неотрицательной непрерывной функции, не обязательно выпуклой, то написанную функцию можно заменить следующей:
Л^ (х) = х!пх.
20 Зак. 2669 И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
Эти две функции эквивалентны в следующем смысле: существуют такие константы у^ у2 и Тз> что ПРИ достаточно больших х^О
-Mi (^ix) < Л4 (у2х) < ^ (Ъх\(7)
Эквивалентные функции определяют совпадающие пространства (как по запасу элементов, так и по сходимости).
Пространство W^. Пространство W2 строится из целых аналитических функций cp(z). Задается функция o)(iq), обладающая такими же свойствами, как функция р,(£) предыдущего пункта; по ней строится функция Q^y) так же, как М(х) строилась по р,(У:
2 (?) = f ш (Ч) ^ (У > °). 2(—?) = Q(?).(1)
6
Пространство №2 определяется как совокупность целых функций, удовлетворяющих неравенствам вида
I ^? (*) | < Скей ^,(2)
с обычными линейными операциями. Константы Ск и b положительны и зависят от функции. Последовательность cpv элементов пространства W2 называется сходящейся к нулю, если 1) cpv(z) правильно сходятся к нулю (т. е. срДг) —► О равномерно в любой ограниченной области плоскости z) и 2) справедливы оценки•
I ^Vv С?) | < Скей ^\
где Ск и b не зависят от м. Множество в пространстве U72 называется ограниченным, если элементы этого множества удовлетворяют одному и тому же неравенству (2) с фиксированными константами Ск и Ь.
Пространство W^ является объединением счетно-нормированных пространств Ws,b. Пространство W^ib выделяется неравенствами
|zfccp(z)| < СЛр^2Пь+р)?/1 (р > 0 — любое). (3)
Нормы в этом пространстве задаются формулами
IIУII ftp = sup21 zft<p (z) p-2 к»+p) y],(4)
С этими нормами W^*b является полным счетно-нормированным совершенным пространством.
При
QW = ^ (₽< О
пространство U72 совпадает с пространством Sp.
Можно также взять о)(^) = ^—1; соответствующая функция
й(у) = ^2/—у— 1
эквивалентна функции 21(jO = ^. Эквивалентные функции и здесь определяют совпадающие пространства.
Пространство Wm» Пространство Wm определяется заданием двух возрастающих от 0 к оо функций р-($) и ^Сч) (О ^ Е, ^ < оо); по ним, так же как и раньше, строятся выпуклые книзу растущие быстрее любой линейной функции при | х | —► оо функции М (х) и 2 (у). Пространство Wm определяется как совокупность целых аналитических функций cp(z), удовлетворяющих неравенствам вида
| ср (х + iy) | < Се~м^аф^й ^.(1)
Линейные операции — обычные. Последовательность ср^М^м сходится, по определению, к нулю, если 1) она правильно сходится к нулю, 2) ее элементы удовлетворяют одному и тому же неравенству (1) с не зависящими от v константами. Множество в пространстве W^ называется ограниченным, если его элементы удовлетворяют неравенству (1) с фиксированными константами.
Пространство Wm является объединением (полных счетно- нормированных) совершенных пространств Wm?»* Пространство WM,ba выделяется неравенствами
| ср (х 4~^) | ^ С^-мца-б^+а [(&+?)?,]($ > 0, р > 0—любые); (2) нормы в нем задаются формулами
|]ф||8р = suPzl ? Wl ^МИа-^)®1-21(6 + р)г/1.(3)
Примеры пространств Wm мы можем получить, комбинируя функции 1
Mt(x) = ха, М2(х) = х\пх, q^^T^; й2М = ^.
В частности, Wm\ совпадает с S« (0<а< 1, р< 1);
Вопрос о нетривиальности пространств типа W. Пространство Wm тривиально, если
lim [Q(^) — М(ах^ =— оо(1)
а? -> оо
при любых а и Ь.
Один класс нетривиальных пространств Wm мы уже знаем: это пространства S« при 0<а< 1, р< 1.
Укажем еще один класс нетривиальных пространств Wm.
Назовем непрерывную функцию / (х) (х > 0) медленной, если для любого е > 0 и достаточно больших х
с'6х"е <Цх)<С6х6.(2)
Пространство Wm нетривиально, если
М(х) = Цх) • хР, й(х^>1(х^ • хР,
где Цх)— медленная функция.
Если пространство Wm нетривиально, то заведомо существуют пары (а, Ь\ при которых нетривиально пространство Wm?»* Назовем такие пары «допустимыми». Область допустимых пар представляет собой на плоскости (а, Ь) угол в первой четверти, определяемый неравенством вида ^”-^1 (или tg|>T).
Все нетривиальные пространства типа W достаточно богаты функциями в смысле, указанном в конце § 8.
Ограниченные операторы. Простейшими ограниченными операторами в пространствах типа W являются операторы дифференцирования и умножения на независимое переменное.
Чтобы целая аналитическая функция /(z) была мультипликатором в пространстве U72, достаточно, чтобы она удовлетворяла неравенству вида
|/(2)|<(>2(М1+ИЙ)-(1)
При этом умножение на такую функцию переводит U72,6 в ^2»б+6ое £сли в качестве Ьо можно взять сколь угодно малое число (при этом С зависит от Ь^, то U72,6 переводится в себя.
Целая аналитическая функция f(z) будет определять ограниченный оператор умножения в пространстве Wm^ если она удовлетворяет неравенству
|/(z)|(2)
При ЭТОМ WmX переводится В Wm, Ьа^а^ Чтобы пространство WmX переводилось умножением на /(z) в себя, достаточно, чтобы в неравенстве (2) константы а0 и Ьо можно было взять сколь угодно малыми (при этом С = Сао,ъУ В этом случае /(z) будет мультипликатором и в пространстве Wm-
В частности, функция /(z) = ^as при любом вещественном о является мультипликатором в каждом пространстве W и Wm,»-
Преобразования Фурье. Подобно пространствам типа S' пространства типа W переводятся преобразованиями Фурье друг в друга. Чтобы объяснить имеющиеся здесь связи, приведем определение двойственности по Ю н г у. Пусть функции М(х) и Q(y) определены, как в пи. I и 2. Если фигурирующие в этих определениях функции p,(Q и о)(т]) взаимно обратны, так что-
^[(0^)] = ^, co^^i^e,(1)
то функции Л4(х) и Q (х) называются двойственными по Юнгу. В этом случае имеет место геометрически очевидное неравенство Юнга
ху <7И(х) + Й(^) (х>0, ^>0),(2)
причем для каждого х существует у = у (х), которое вместе с данным х обращает неравенство (1) в равенство.
Примеры пар взаимно двойственных функций:
М(Х) = ^, ВО) = ^-, где ^ + у = 1-
Ж(х) = (х-|-1)1п(х+0 —х, й^ = еУ—у — 1.
Оказывается, что имеют место следующие соотношения:
W^=WS, WS=WM,(3)
если М(х) и 2 (у)— двойственные по Юнгу функции. Эти соотношения уточняются следующим образом:
W^a = l/’ », U72:T= Wm(4)
Далее, справедливо соотношение
—(5)
где 2Х— функция, двойственная по Юнгу к М, а Л11 — функция, двойственная по Юнгу к 2. Более точно,
^Л = ^ “(6)
Во всех этих соотношениях под волной ~ можно понимать как оператор прямого, так и оператор обратного преобразования Фурье; во всех этих случаях операторы Фурье ограничены.
В этих соотношениях содержатся, в частности, соотношения
3« = 33, S=Sp
для случаев, когда аир заключены строго между 0 и 1.
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
К гл. I
Теория линейных метрических и нормированных пространств развивалась начиная с 20-х годов Ф. Риссом и школой С. Банаха. См. основополагающую книгу Банаха [26], а также работы Мазура и Орлича [17].
Первые работы по общим линейным топологическим пространствам (А. Н. Колмогоров [32], Дж. Нейман [18], А. Н. Тихонов [37]) относятся к середине 30-х годов. В работе Кёте и Теплица [13] впервые рассматриваются конкретные линейные топологические пространства, образованные из числовых последовательностей, и изучаются многообразия линейных непрерывных функционалов на этих пространствах. Многие авторы занимались построением сопряженных пространств в общем случае и проблемой рефлексивности: В. Л. Шмульян [39], Дьёдонне [5], Маккей [15], Аренс [1], Дьёдонне и Шварц [7]. В последней работе выделены и изучены, в частности, пространства с компактными ограниченными множествами, а также объединения (индуктивные пределы) метризуемых пространств. Продолжением этой работы была статья Бурбаки [3], где выделена роль «Г-пространств»— пространств, в которых выполнена лемма § 3, п. 5. Некоторые из проблем, поставленных в работе [7], получили решение у Гротендика [И]. Себастьян-и-Сильва [23] и Д. А. Райков [35] изучали индуктивные и проективные пределы нормированных пространств с вполне непрерывными отображениями (как в «условии совершенства» в § 6, п. 2). Кёте [14] и Гротендик [10] впервые рассматривали линейные топологические пространства аналитических функций.
Наиболее подробное изложение общей теории линейных топологических пространств имеется у Бурбаки [2]. См. также очень содержательный обзор Дьёдонне [6] с подробной библиографией. Пространства со счётным числом (полу) норм рассматривались многими авторами, в частности Мазуром и Орличем [17]; счетно-нормированные пространства с согласованными нормами, по-видимому, впервые введены авторами [30].
К гл. II
1—2. Обобщенные функции как линейные непрерывные функционалы на пространствах функций ввел впервые С. Л. Соболев [36]; он применил обобщенные функции к проблеме единствен’
ности решения задачи Коши для гиперболического уравнения. Пространства К№, Ki S как основные пространства использовал впервые Л. Шварц в своей «Теории распределений» [21]. Первые типы пространств с условиями сильного убывания основных функций (и их производных) на бесконечности (соехр(—| ^ 1^)) были предложены авторами в [28]. Из дальнейших работ укажем на работы Л. Шварца [22], А. Я. Лепина и А. Д. Мышкиса [33]. Теория счетно-нормированных пространств К^МрУ построена Г. Е. Шиловым при подготовке настоящего издания. В выпуске 4 будут рассмотрены и объединения пространств КУМрУ
Возможность деления единицы на многочлен в пространстве Zr была установлена впервые Мальгранжем [16] и Эренпрейсом [8]. Доказательство с «лестницей Хормандера» было указано Трэвом [24]; у нас оно приводится с упрощениями, предложенными Г. Н. Золотаревым.
Общий вид линейного непрерывного функционала на пространствах KW и 5 указан Шварцем [21]; им же получена теорема об общем виде функционала («распределения») с ограниченным и с одноточечным носителем. Схема определения линейных непрерывных функционалов в счетно-нормированных пространствах была предложена авторами [30].
К гл. III
—2. Определение преобразования Фурье для функционалов в пространстве S дал Шварц [21]; он определил тем самым преобразование Фурье для функций (и обобщенных функций), имеющих рост не выше степенного. Общая схема (функционал в одном пространстве, преобразование Фурье — в двойственном) построена авторами [28].
Необходимость рассмотрения многих типов основных пространств и их сопряженных с соответствующими преобразованиями Фурье в различных задачах анализа была четко сформулирована авторами в [28] и [30]. В [28] авторы ввели конкретные пространства А^, ZA Z^, отвечающие заданным условиям убывания на бесконечности для основных функций или их преобразований Фурье; в результате оказалось возможным описать преобразования Фурье для функций (и обобщенных функций) произвольного роста или с заданным порядком роста на бесконечности.
Приблизительно одновременно преобразование Фурье для частного случая пространства К было построено Мальгранжем [16] и Эренпрейсом [8].
Результаты п. 4,1° (фундаментальные решения) принадлежат Мальгранжу и Эренпрейсу, результаты п. 4,2° (решения квазиэл- липтических уравнений) — Шварцу [21].
Определение свертки, принятое в нашем изложении, является модификацией определения Шварца [21] (см. также вып. 1, гл, I, § 4), которое в первоначальном виде не могло служить с несб-
ходимой нам степенью общности. Теорема о гармонических функционалах— Шварц [21]. Теорема о переходе после преобразования Фурье свертки в произведение была доказана Шварцем [21] для функционалов на пространстве 5; доказательство в общем случае было проведено В. М. Борок [27]. Пункт 8 (преобразование Гильберта) написгн по идее Н. Я. Виленкина.
Классическая теорема Палея и Винера см. [19]. Ее обобщение на случай целых функций 1-го порядка со степенным ростом на оси было дано Шварцем [21]; в нашем изложении эта теорема сформулирована в более полном виде. Общая схема преобразований Фурье целых функций 1-го порядка без всяких ограничений роста на оси была построена авторами в [28] (для случая одного переменного). Теорема п. 2 принадлежит Эренпрейсу [9]; доказательство в нашем изложении приводится с упрощениями, предложенными Г. Н. Золотаревым.
К гл. IV
Как уже говорилось, авторы в [28] ввели пространства основных функций Кр. Zpi Z^ и применили их к выяснению вопроса о классах единственности решения задачи Коши для систем уравнений с частными производными. Пространства типа S, введенные и изученные позднее Г. Е. Шиловым [38], представляют собою более широкий и вместе с тем более естественный класс пространств. В [29] они были использованы авторами при построении оперативного метода в проблеме единственности решения задачи Коши. Идея рассмотрения еще более широкого класса обобщенных пространств типа 5 (с заменой последовательностей &&а и q^ на а^ и Ь^ принадлежит И. М. Гельфанду. Подробное изложение теории пространств типа S публикуется здесь впервые.
Классическая теорема Фрагмена и Линделёфа см. [20]. Теорема 1 первоначально доказывалась для целых функций специального вида, необходимых при исследовании решений задачи Коши; общее доказательство, приводимое здесь, было указано Б. Я. Левиным. у
Первоначальное доказательство нетривиальности пространств г^ = ^\7рР^ было дано авторами в [28] для плотного множества значений р^Х. Последующее доказательство Г. Е. Шилова [38], даюшее необходимые и достаточные условия нетривиальности пространств S^ основывалось на теореме В. Бернштейна [4] о су. ществовании целой функции заданного порядка роста с заданной индикатрисой. Приводимое здесь элементарное доказательство нетривиальности пространств 5^ (п. 2), основанное на пострбении и исследовании специальной функции ф (г), принадлежит Б. Я. Левину.
Теорема Карлемана — Островского: см. Мандельбройт [34].
Добавление 1. Идея рассмотрения обобщенных пространств типа 5 исходит от И. М. Гельфанда. Теорема К. И. Бабенко (о нетривиальности обобщенных пространств) см. [25].
Добавление 2. Пространства типа W построены Б. Л. Гуревичем [31]. Несколько более общая схема была предложена позднее Л. Хормандером.
БИБЛИОГРАФИЯ
Arens R., Duality in linear spaces, Duke Math. Journ., 14 (1947), 787—794.
Bourbaki N., Elements de mathematique, livre 5, Espaces vectoriels topologiques, Act. Sc. et industr., № 1189 (chap. 1 et 2), 1953, et № 1229 (chap. 3—5), 1955, Paris, Hermann et Cie. (Готовится русский перевод.)
Bourbaki N., Sur certains espaces vectoriels topologiques, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 2 (1951), 5—16 (русск. перевод в журн. Математика 2, № 2 (1958)).
Bernstein VL, Sulla proprieta caratteristiche delle indicat- rici di crescenza delle transcendenti intere d’ ordine finito, Mem. Reale Acc. d’Italia, 7 (1936), 131—189.
Dieudonne J., La dualite dans les espaces vectoriels topologiques, Ann. de 1’Ecole Norm., 59 (1942), 107—139.
D i e u d о n n e J., Recent developments in the theory of locally convex vector spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 59, № 6 (1953), 495—512.
Dieudonne J. et Schwartz L., La dualite dans les espaces F et LF, Ann, Inst. Fourier, Grenoble. 1 (1949), 61—101.
E h r e n p r e i s L., Division by a polynomial of derivation, Amer. J. Math., 76, № 4 (1954), 883—903.
Ehrenpreis L, Mean periodic functions, I, Amer. J. Math., 77, № 2 (1955), 293—328.
Grothendieck A., Sur certains espaces de fonctions holomorphes, I—II, Journ. reine und angew. Math., 192 (1953) 35—64, 77—95.
Grothendieck A., Sur les espaces (T7) et (DP), Summa Bras. Math., 33 (1954), 57—123.
Hormander L., La transformation de Legendre et le theoreme de Paley — Wiener, C. R. Acad Sci., 240, № 4 (1955), 392—395.
K6t he G. und Top 1 i t z O., Lineare Raume mit unend- liche viele Koordinaten, Journ. fur reine und angewandte Math., 171 (1934), 193—226.
Kot he G., Dualitat in der Funktionentheorie, Journ. reine und angew. Math., 191 (1953), 29—49.
Mackey G. W., On infinite-dimensional linear spaces, Trans, of Amer. Math. Soc., 57 (1945), 155—207; On convex topological linear spaces. 1. c., 60 (1946), 520—537.
Malgrange B., Equations aux derivees partielles a coefficients constants. 1. Solution elementaire, C. R. Acad, Set, 237, Ns 25 (1953), 1620—1622,
Mazur S. et Orlicz W., Sur les espaces metriques line- aires, Studia Math., 10 (1948), 184—208; 13 (1953), 137—179.
J. von Neumann, On complets topological spaces, Trans, of. Amer. Math. Soc., 37 (1935), 1—20.
Paley R. and Wiener N., Fourier transforms in the complex domain, New-York, 1934.
Phragmen E. et L i n d e 1 6 f E., Sur une extension d’un principe classique de 1’Analyse..., Acta Math. 31 (1908), 381—406.
Schwartz L., Theorie des distributions, Act. Sc. et in- dustr., № 1091 (t. I), 1950, et № 1122 (t. II), 1951, Paris, Hermann et C,e.
Schwartz L, Espaces des fonctions differentiables a valeurs vectorielles, Journ. d’Analyse Math., 4 (1954/55), 88—148.
S e b a s t i a о e S i 1 v a J., Su certe classi di spazi localmente convessi importanti per le applicazioni, Rend, di math., Roma, 14 (1955), 388—410. (Русск. перевод в журн. Математика 1, № 1 (1957), 60—77).
Т г ё v е F., Solution elementaire d’equation aux derivees par- tielles dependant d’un parametre, C. R. Acad. Sci., 242, № 10 (1956), 1250—1252.
Бабенко К. И., Об одной новой проблеме квазианалитичности и о преобразовании Фурье целых функций, Тр. Моск, матем. о-ва, 5 (1956), 523—542.
Банах С., Курс функционального анализа, Радянська школа, Кшв, 1948.
Борок В. М., Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных производных, ДАН СССР 97, № 6 (1954), 949—952.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Преобразования Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши, Успехи матем. наук 8, № 6 (1953), 3—54.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Об одном новом методе в теоремах единственности решения задачи Коши для систем линейных уравнений в частных производных, ДАН СССР, 102, № 6 (1955), 1065—1068.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Quelques applications de la theorie des fonctions generalisees, Journ. de Math, pure et appl., 35, № 4 (1956), 383—412.
Гуревич Б. Л., Новые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-разностных систем, ДАН СССР 99, № 6 (1954), 893—896; 108, № 6 (1956), 1001— 1003; Диссертация, Харьков, 1956.
Колмогоров А. Н., Zur normierbarkeit eines allge- meines topologischen linearen Raumes, Studia Math., 5 (1934), 29—33.
Л e п и н А. Я. и M ы ш к и с А. Д., Об определении обобщенных функций, ДАН СССР 116, № 2 (1957), 177—180.
Мандельбройт С., Квазианалитические классы функций, Гостехиздат, 1937; Примыкающие ряды и регуляризация последовательностей, ИЛ, 1955.
Райков Д. А., О двух классах локально выпуклых пространств, Тр. сем. по функц. анализу, Воронеж, вып. 5 (1957), 22—34.-
Соболев С. Л., Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy, Матем. сб. 1 (43) (1936), 39—72.
Тихонов A. H., Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., Ill (1935), 767—776.
Шилов Г. E., Об одной проблеме квазианалитичности, ДАН СССР 102, № 5 (1955), 893—896.
Шмульян В. Л., Ober lineare topologische Raume, Матем. сб. 7 (49) (1940), 425—448.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома счетности первая 16
Внутренняя точка 13
Двойственные по Юнгу функции 297
Дельта-функция ПО
Дифференцирование обобщенных функций 135
Достаточно богатое функциями пространство 278
Замыкание множества 14
Карлемана — Островского теорема 267
Кратное множества 13
Лестница Хормандера 131
Медленная функция 296
Множество выпуклое 38
— замкнутое 14
— компактное 73
— нигде не плотное 14
—, ограниченное в линейном топологическом пространстве 45
—,нормированном пространстве 44
—,счетно-нормированном пространстве 44
— открытое 13
— плотное 14
— поглощающее 38
— сильно ограниченное 61
— слабо ограниченное 66
Мультипликатор 128
Непрерывность прямого произведения функционалов 55
Нормы согласованные 26
— сравнимые 25
Обобщенная функция 107
, ее преобразование Фурье 158
, действия с обобщенными функциями 126
Объединение счетно-нормированных пространств 89 , непрерывный линейный функционал в нем 90 , — оператор в нем 92 , ограниченное множество в нем 90 , ограниченный оператор в нем 92
Окрестности 13
Окрестность нормальная 19
Оператор гипоэллиптический 166
— дифференциальный бесконечного порядка 231
—, зависящий от параметра 97
—,, его производная 97
— квазиэллиптический 165
— линейный непрерывный 81
— ограниченный 82
— растяжения 229
— сдвига 167
дифференцируемый 170
— сильно непрерывный по параметру 97
— слабо непрерывный по параметру 97
ограниченный по параметру 97
Оператор сопряженный 87
— эллиптический 166
Палея — Винера теорема 193
Палея — Винера — Шварца теорема 195
Полная система окрестностей 18
Последовательность операторов, предел сильный 86
, — слабый 86
— сильно фундаментальная 60
— сходящаяся 15
— фундаментальная в нормированном пространстве 24
счетно-нормированном пространстве 29
Преобразование Гильберта 183
— Фурье в пространствах типа 5 239
пространстве К№ 156
К157
5153
Z(л) 157
— Z 157
обобщенной функции 158
финитного функционала 161
целой функции 1-го порядка 187
Пространство К Ю2
— К№ 22, 102
— — как полное и счетно-нормированное пространство 32
совершенное пространство 75
, общий в нем 143
вид
функционала
— К^Мр') 103 , общий
вид
функционала
в нем 138, 142
— Z 106
— ZW 106
— —, общий вид
функционала
в нем 163
— Z(Mp) 107
- 3 189
, общий
вид
функционала
в нем 189
- 3(0 22
как полное счетно-норми
рованное пространство 34
Пространство 5 103
— 5а 201, 281
5а,л 211, 281
S3 201, 282
S₽’в 214, 282
Sg 201,'282
$£’ f 217, 282
SU 220
$£’B 220
SOfc 288
S% 288 ъ
S„« 288
ITjif 292
WM,a 293
IT2 294
— Ws’ b 294
IT^ 295
- W^ba 295
—, двойственное к данному 157
— линейное 12
метрическое 37
топологическое 12
регулярное 18
— нормированное 24
— основное 101
— полное 25
— совершенное 73
— сопряженное 51
— —, сильная сходимость в нем 60
— —, — топология в нем 58
— —, слабая сходимость в нем 65
— —, — топология в нем 64
— счетно-нормированное 29, 32
полное 30
— — как линейное метрическое 34
— типа 5 201
обобщенное 288
W 292
— топологическое 13
— — сепарабельное 79
Разность множеств арифметическая 13
Свертка с обобщенной функцией 170
, ее непрерывность 175
Свертыватель 169
Сдвиг множества на вектор 13
Системы норм сравнимые 42
эквивалентные 43
Сумма множеств арифметическая 13
Сходимость последовательности обобщенных функций 126
Топология в пространстве 14
Точка внутренняя 13
— изолированная 14
— предельная 14
— прикосновения 14
Умножение обобщенной функции на обычную 128
Уравнение Лапласа, его решения в обобщенных функциях 176 ,со степенной особенностью 150
Условие N 140
— Р 119
Фрагмена — Линделёфа теорема 250
для функции п переменных 284
Фундаментальное решение дифференциального уравнения 164
Функционал гармонический 176 — линейный непрерывный 48 в пространстве К (а) 52 , его порядок 49 — ограниченный 55 — регулярный 108 — сингулярный 110
— сосредоточенный в точк€ 149
на замкнутом множестве 145
— типа функции 108, 153
— финитный 146
как свертыватель 173
Функция абстрактная параметра 94
, ее интегрирование 100
, — предел 94 , — производная 96 сильно дифференци
руемая 96
непрерывная 94
слабо дифференцируемая 96
непрерывная 94
— обобщенная 107
— основная 101
Эквивалентные системы окрест- • ностей 15
функций Мр^ 123
Юнга неравенство 297
ОГЛАВЛЕНИЕ ВЫПУСКОВ 1, 3, 4
ВЫПУСК 1.
Обобщенные функции и действия над ними
Глава I. Определение и простейшие свойства обобщенных функций.
Глава II. Преобразования Фурье обобщенных функций.
Глава III. Обобщенные функции, сосредоточенные на поверхностях, и фундаментальные решения дифференциальных уравнений.
Глава IV. Однородные обобщенные функции.
ВЫПУСК 3.
Некоторые вопросы теории дифференциальныхуравнений
Глава I. Пространства типа W.
Глава II. Классы единственности решения задачи Коши.
Глава III. Классы корректности решения задачи Коши.
Глава IV. Разложения по обобщенным собственным функциям.
ВЫПУСК 4.
Некоторые применения гармонического анализа
Глава I. Положительно определенные обобщенные функции.
Глава II. Обобщенные случайные процессы.
Глава III. Обобщенные функции и представления вещественных групп Ли.
Глава IV. Обобщенные функции и представления комплексных групп Ли.
**) Доказательство. Рассмотрим |J Ар, где Ар нигде
не плотное множество. Замыкание Ар есть также нигде не плотное множество. Пусть cpt не входит в А^ существует шар
U1 = {Р (У, -Pi) < г,},
не пересекающийся с Av Внутри шара ^71 возьмем точку ?2, не
3. Соотношения между сходимостями. Имеют место следующие общие соотношения между сходимостью в пространстве К (а) бесконечно дифференцируемых функций, равных нулю при | х | ^ а, и сходимостью в любом более широком основном счетно-нормированном пространстве.
Теорема. Если основное счетно-нормированное пространство Ф содержит внутри себя пространство К (а) бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль вне тара | х | С а, то из сходимости последовательности функций cpv (х) к нулю в пространстве К (а) следует сходимость этой последовательности к нулю и в пространстве Ф.
***) Перемена порядка интегрирования, произведенная на четвертом этапе, законна в данном случае в силу абсолютной сходимости двойного интеграла
J J !/(•*) Ф (s) I dx da = J \f(x)\dx- J I ф (a) I da.
11 Зак. 2669. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов
1^Ь1+б->Г1 + -- + (6п+еп)гп
(2kZ)” С rj-+1 r’n+i
Переходя в правой части к минимуму по rlf ..., гп, получим
оценку (6),
< 5 ф,Сн 5еО11 ”। * 11/а = с'^-"^1 02|1/а,
которая и показывает, что функция /ср принадлежит к пространству К», а-ас Далее, оператор умножения на /(х)
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ИМ. ГЕЛЬфАНД и Г HAU 11 ЛОЗ
ПР ОСТ РА ИСТОСНОВНЫХи обобщенныхФу н Шм й
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ВЫПУСК 2
И. М. ГЕЛЬФАНД и Г. Е. ШИЛОВ
ПРОСТРАНСТВАОСНОВНЫХИ ОБОБЩЕННЫХФУНКЦИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВОФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958
11-5-4