Г Л А В A I. ТЕОРИЯ МЕРЫ

Общее понятие меры множества является абстрактным аналогом таких понятий, как длина, площадь, объем, масса, заряд и т. п. Возникнув в начале века в работах А. Лебега по теории интегрирования, понятие меры затем проникло в теорию вероятностей, математическую физику, функциональный анализ и другие разделы математики. В частности, существенно повлияла на дальнейшее развитие теории вероятностей трактовка А. Н. Колмогоровым вероятности события как меры множества. В этой главе изучается общая теория меры, рассматриваются различные конкретные меры, а также знакопеременные меры, или заряды.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

L Операции над множествами. Напомним основные определения, относящиеся к операциям над множествами, и свойства этих операций.

Множества будем обозначать прописными латинскими буквами; 0 — пустое множество. Знаком cz обозначим строгое включение.

Пусть А и В — произвольные множества. Их объединением называется множество Л U В, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Д, В (рис. 1). Пересечением множеств А и В называется множество A Q В, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств А, В (рис. 2). Аналогично определяются объединение и пересечение любого числа множеств: если {Да}— произвольная система множеств, где индекс а пробегает некоторое конечное или бесконечное множество, то IJ Аа состоит из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из Аа, a Q Аа — из элементов, принадлежащих каж- ос

дому Аа.

Рис, 2Рис, 2Разностью двух множеств Д и S называется множество Д\В, состоящее из тех элементов А, которые не входят в В (рис. 3) (при этом не предполагается, что В г Д).

Рис, 2

Рис, 2

Рис. 1

А\В

Рис. 3

дДв

Рис. 4

Часто рассматривают также симметричную разность А \ В двух произвольных множеств А, В (рис. 4):

ДДВ = (Д\В) U (В\Д).

Часто рассматривают системы множеств, являющихся подмножествами некоторого определенного множества R (например, рассматривают точечные множества на плоскости). В этом случае есте

ственно ввести понятие дополнения А множества А (рис. 5):

А = /?\Д.

(1.1)(1.1)С понятием дополнения связаны важные формулы двойственности, или законы де Моргана,

(1.1)

(1.1)

U Да— П Да! Л Да— U Да аааа

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать соотношения (1.1).

Показать, что :

А АВ = (Д U В)\(Д П В); Д П В = (Д U В)\(Д А В).

Показать, что:

Д U В = (ДАВ) А (Д п в); Д\В = ДА (Д П В).

Пусть (Дд)^! — некоторая последовательность подмножеств R. Обозначим через Д* множество всех x^R, которые принадлежат бесконечно многим Ап, а через Д*— множество всех x^R, которые принадлежат всем Ап, за исключением конечного числа. Доказать, что: а) Д* Е Д*; б) Д# = U П Ат;

/1*=1 т=п

а* = п и Ат.

л=1т=п

Обычно Д„ и А* называют соответственно нижним и верхним пределами последовательности (Дп),^ и обозначают

Д* = 11m Д„, А* = Нт Д„.

5. Доказать, что l*m Л„ = l*m Л„.

«-♦ лоП-* оо

Найти верхний и нижний пределы последовательности А, В, Д, В, Л, В, ... (Д, В — заданные множества).

Упорядоченные множества и лемма Цорна. Напомним также некоторые сведения об упорядоченных множествах.

Множество X называют частично упорядоченным, если для некоторых пар его элементов введено бинарное отношение с, обладающее следующими свойствами:

а < а (рефлексивность),

а с b Д b <с=*а с с (транзитивность),

а <6 Д 6 са=> а = 6 (антисимметричность). Отношение < называется отношением порядка.

Примерами отношения порядка могут служить отношение < для вещественных чисел, отношение включения g для подмножеств некоторого множества.

Элементы а, Ь^Х называются сравнимыми, если либо а <Ь, либо b < а. Множество X называется линейно упорядоченным, если любые два элемента из X сравнимы.

Пусть X — частично упорядоченное множество. Подмножество Kg х называется ограниченным сверху, если (Эй £ X) (Vy 6 Yy.y < < Ь. Элемент b в этом случае называется верхней гранью множества У.

Элемент с £ X называется максимальным элементом в X, если из того, что а > с, следует а = с.

В различных разделах математики используется следующее утверждение, которое доказываеся с помощью аксиомы выбора Цермело (см., например, [40, 65]).

Лемма (Цорна). Если в частично упорядоченном множестве X для всякого линейно упорядоченного подмножества существует верхняя грань, то в X существует максимальный элемент.

§ 2. СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ

Кольца и алгебры множеств. В этом параграфе рассматриваются различные системы множеств, являющихся подмножествами некоторого фиксированного множества R. Это множество называют пространством. Системы множеств обозначаются прописными готическими буквами. Мы будем рассматривать системы множеств, замкнутые относительно некоторых операций.

Определение 2.1. Непустая система множеств 91 называется кольцом, если из Д £ 9( и В £ 9( следует, что А[] В ^91 и А\В ^91.

Если 9? — кольцо, то для любых А, В £ 91 будет также А АВ £ ^91иДПВ^91. Это следует из равенств А А В = (Д \ В) U 1)(В\Д) И ДП В = (Д и В)\(Д АВ) (см. § 1). Далее, 0 £ 91, так как 0 = А \ А.

Упражнение 2.1, Пусть Л—система множеств, удовлетворяющая одному из условий: (VД, В С К): а) ДАВ, A Q В С Щ; б) A U В, ААВ С К; в) А АВ, А\В g К. Доказать, что W — кольцо.

Ясно, что кольцо замкнуто и относительно любых конечных объединений и пересечений, т. е. если Дп ...,ДП£ 91, то также

иД^91и ПД^Й. |=1z=i

Определение 2.2. Алгеброй множеств называется кольцо 91 подмножеств множества R, содержащее R.

Из этого определения, в частности, вытекает, что если 91 — алгебра, то из Д £ 91 следует, что Д £ 91 (так как Д = R \ Д).

Упражнение 2.2. Показать, что алгебра — это непустая система под- множеств Ж множества R, обладающая следующими свойствами: 1) если Л € то Л € К; 2) если Л, В Е К, то Л (J В Е 'Л.

ПРИМЕРЫ

Пусть R — произвольное множество. Тогда система jJI (У?) всех подмножеств R, очевидно, является алгеброй множеств. (Проверить!)

Система всех конечных множеств натуральных чисел — кольцо множеств (но не алгебра).

Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом (но не алгеброй).

Пусть А — произвольное множество; тогда система {0, Л} является алгеброй множеств.

В теории меры оказывается полезной следующая лемма.

Лемма 2.1. Пусть Аъ А2, ..., Ап, ...—произвольная последовательность множеств, принадлежащих кольцу 91. Тогда существуют множества Въ В2, ..., Вп, ...£$., обладающие следующими свойствами: 1) Bj^Aj У = 1, . . .); 2) В{У\Вь = 0

U^hy, 3) U S/= U Ар f=x y=i

Доказательство. Множества Bj построим так:

Si = Д1е

В2 = Д2\Д1,

Вз = А3 \(Д1 U А2),

п—1

5„ = Д„\и Аь

/=*

Поскольку Д/ принадлежат кольцу 91, то и В/ принадлежат этому кольцу и, очевидно, обладают требуемыми свойствами. ■

G-Кольца и сг-алгебры. В теории меры часто приходится рассматривать не только конечные, но и счетные объединения и пересечения. Поэтому естественно ввести следующие понятия.

Определение 2.3. Кольцо множеств называется а-кольцом, если оно вместе с любой последовательностью множеств Дъ Аг,...,

Ап, ... содержит и их объединение [J Д„.

м—1

Определение 2.4. Алгебра множеств называется а-алгеброй, если она вместе с любой последовательностью множеств Д1( А.2„..,

Д„, ... содержит и их объединение (J Ап.

П=1

Упражнение 2.3. Доказать, что a-кольцо (и, следовательно, а-алгебра) вместе с любой последовательностью множеств At, А2, .... А„, ... содержит

и их пересечение f] Ап. п=1

Примером а-алгебры может служить система Ж (/?) всех подмножеств произвольного множества У? (например, система всех подмножеств числовой прямой).

Порожденные кольца и алгебры. В теории меры часто требуется расширить произвольную систему множеств до кольца (алгебры) или до о-кольца (о-алгебры). Установим соответствующие утверждения.

Теорема 2.1. Для любой непустой системы 21 подмножеств множества R существует одно и только одно кольцо 91 (21), содержащее 21 и содержащееся в любом кольце, включающем 21.

Доказательство. Кольца, содержащие 21, существуют. Таким кольцом является, например, система €К (У?) всех подмножеств множества R. Рассмотрим пересечение всех колец, содержащих 21:

91(21) = п 91,

где S —множество всех колец, содержащих 21. Очевидно, 91(21) является кольцом, содержащим 21; поскольку кольцо 9$ (21) — пересечение всех колец, содержащих 21, то оно содержится в каждом из этих колец. Отсюда же следует и единственность такого кольца. ■

Построенное в этой теореме кольцо 91 (21) называют кольцом, порожденным 21, или кольцевой оболочкой системы 21.

Замечание 2.1. Приведенное доказательство теоремы 2.1 не является конструктивным. Однако можно указать способ построения 91(21). Так, нетрудно видеть, что 91(21) — это система множеств, получающихся из множеств системы 21 в результате применения конечного числа операций объединения и вычитания.

Упражнение 2.4. Доказать сформулированное в замечании утверждение о составе Я (21).

Аналогично доказывается существование порожденного о-коль- ца, порожденной алгебры, о-алгебры. Сформулируем, например, теорему о порожденной о-алгебре.

Теорема 2.2. Для любой непустой системы 21 подмножеств множества R существует одна и только одна о-алгебра, содержащая 21 и содержащаяся в любой о-алгебре, содержащей 21.

Предлагаем читателю доказать теорему самостоятельно.

ПРИМЕРЫ

Пусть R = IP—числовая прямая, 91 — система всех полуинтервалов вида [а, р). Ясно, что 91 не является кольцом— ни объединение, ни разность двух полуинтервалов, вообще говоря, не являются полуинтервалами. Построим кольцевую оболочку К (91). Нетрудно видеть, что опа состоит из множеств, являющихся объединениями конечного числа полуинтервалов из 91. Эю следует из того, что разность двух полуинтервалов вида [а, р) есть либо пустое множество, либо полуинтервал того же вида, либо объединение двух таких полуинтервалов. Заметим, что 91 (91) не является алгеброй, так как IR 91 (91).

Пусть 7? — [а, Ь) — фиксированный полуинтервал, 91 — система всех полуинтервалов [а, р) с [а, 6). В этом случае кольцевая оболочка 91 (91) также состоит из объединений конечного числа полуинтервалов вида [а, р) г [а, 6). Очевидно, теперь 91 (91) — алгебра (но не о-алгебра).

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что система множеств 91, обладающая одним из свойств: а) (V А, В^*И):А и в, А П S£9i; б) (V A, В £!R): А П В, А\В£91, не является, вообще говоря, кольцом.

Пусть f : Rx-*- R2— некоторое отображение и ^—кольцо подмножеств /?!• Показать, что система {/ (А) | А £ ^i} подмножеств Ra не является, вообще говоря, кольцом.

Пусть f : X Y — некоторое отображение, 9Л — система подмножеств Y. Доказать, что 91 ({f-1 (А): А С 9Л}) = {f-1 (S) 1 В ^ № (ЗЯ)}.

Индикатором множества А с R называется функция

7 fl. если х£ А, Ал 7]0, если х £ 7?\А,

Пусть ^ — некоторая система подмножеств R, 5 — совокупность индикаторов множеств из ^. Доказать, что ^ — кольцо множеств тогда и только тогда, когда 5 — алгебраическое кольцо относительно умножения и сложения по модулю 2.

Пусть 91 = {В с: R | одно из множеств В, В конечно}. Доказать, что 91 — алгебра, но не о-алгебра.

Пусть 91 = {В с: R | хотя бы одно из множеств В, В не более чем счетно}. Доказать, что 91 — о-алгебра.

Пусть f : X -> Y и ^ — о-кольцо подмножеств Y. Доказать, что система множеств f-1 (^) = {/-1 (А) | А Е ^} является о-кольцом подмножеств X.

Привести пример, показывающий, что объединение двух колец не является, вообще говоря, кольцом.

Доказать, что пересечение произвольной совокупности о-алгебр является о-алгеброй, а объединение двух о-алгебр не является, вообще говоря, о-алгеброй.

Найти 91 (91), если : а) 91 = {А}; б) 91 = {А, В}; в) 91 = {{х} I х С Е 7?}.

Пусть R = {а, Ь, с). Описать все кольца и все алгебры подмножеств R.

Пусть 9Л = {В Q (7 | В с: IR — замкнутое, GclR — открытое}. Доказать, что 9Л является алгеброй, но не о-алгеброй.

§ 3. ПОНЯТИЕ МЕРЫ МНОЖЕСТВА. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА МЕРЫ

Определение 3.1. Пусть в некотором пространстве* R задана алгебра множеств 91 и на 91 задана вещественнозначная функция

ц (Л) GIR-

* Напомним, что пространством называют произвольное множество.

, Функция р называется мерой, если выполняются следующие два : условия:

-1) VA^: р(А)>0; р(0) = О;

2) (счетная аддитивность, или а-аддитивность). Для любых ОО

Дп А^ ..., £ 9i, таких, что A, f] Ак = 0 (j’=# ^) ^^ А, £ 91, выпол

няется равенство

MU Ab - ^><Ab-м

Упражнение 3.1. Показать, что: а) мера р является аддитивной функцией множеств, т. е. для любых А, В Е 91, таких, что А П В = "V р (Л и В) = = р (Л) + р (6); б) равенство р (0) = 0 является следствием о-аддитив- ности р.

Установим простейшие свойства меры.

Монотонноеть меры. Если А, В Е^ и As В, то р (А) < р (В).

Доказательство. Поскольку В —A U (В\А), причем А, В\А £ 5R и А П (В\А) = &, то в силу аддитивности меры

р (В) — и (Л) + р (В\Л),р (В) — и (Л) + р (В\Л),(3.1)(3.1)

р (В) — и (Л) + р (В\Л),

р (В) — и (Л) + р (В\Л),

(3.1)

(3.1)

откуда р (В) > р (А). ■

Субтрактивность меры. Если А, ВЕ А = в, то р (В\А) = р (В) — р (А).

Доказательство следует из равенства (3.1). ■

Счетная полуаддитивность меры. Пусть Аъ

А„ .. .Е$» причемА„ .. .Е$» причем(] А/Е^- Тогда М(] А/Е^- Тогда М

А„ .. .Е$» причем

А„ .. .Е$» причем

(] А/Е^- Тогда М

(] А/Е^- Тогда М

Н( U ^/) « X РИ/) м /=1 (ряд в правой части может и расходиться к +°о)-о

Доказательство. Воспользовавшись леммой 2.1, построим множества Вг, Вг, ..-Е^ такие, что Bj(\Bfe=0 (j^k), В^А, и U В, = 5 А/. Тогда р (В/) < р (А^ и в силу а-аддитивности /=1/=1

меры получаем

ОО°®°°

р ( и А;) = р ( и В/) = £ р (В/) « У р (А/). ■ /=i/=1/=1/=1

УПРАЖНЕНИЯ

3.2. Пусть (1 — мера на алгебре 91 подмножеств R. Доказать, что для любых Л, 5, С Е 91 имеют место следующие равенства и неравенства:

а)а)ц (Л U В) С и (Л) + н (В) (полуаддитивность р);

а)

а)

б) I . - в) р- (Л АВ) г) 1 н (Л) —б) I . - в) р- (Л АВ) г) 1 н (Л) —р (Л U В) = р (Л) + Н (^) — Н И П ВУ>

б) I . - в) р- (Л АВ) г) 1 н (Л) —

б) I . - в) р- (Л АВ) г) 1 н (Л) —

• ") = р (Д) + р (В) - 2р (А П В):

. х — р (В) I С р (Л АВ);

р (ЛАВ) < р (ЛАС) + Р (ВАС);

е) р (A U В U С) = р (А) + р (5) + р (С) — р (А П В) — р (А О п С) — р (В л С) + Р (А л В л С);

Ж) I И И и В) X Ц (А л В) - ц (А) ц (В) I С 1ц= (А и В).

3. Зная меру множеств R, А, В, A f] В, найти меру следующих множеств: A U (А~ П В), А'п (A U В), А П В, A U В.

Пусть ц (А) и ц (В) не меньше чем 0,8ц (RY Доказать, что Ц (А П л В) > 0,6ц №.

5. Пусть цп ц2 — меры на алгебре К. Доказать, что у {ап а2} с: [0, + оо) функция множеств v = «j pj + а2 ц2 является мерой на К.

6. Являются ли мерами следующие функции множеств:

ц (0) = 0, ц (А) = 1, если А 0;

ц (А) = %л (х0), где х0 — фиксированная точка, Хд — индикатор множества А;

ц (А) = Хд (хД + Хд (х2)> где *1» х2 — фиксированные точки;

I* (0) = О, ц (А) = 5j(—l)^1 2-п Хд (хп), где („Гл)^, — фиксирован-

П=1 ная последовательность;

Д) v (0) = 0 и v (А) = 1 -|- ц (А) (ц из г)), если А непустое множество.

7. Пусть R = ^. На а-алгебре ЭЛ (R) определить меру ц так, чтобы мера каждого рационального числа была положительна, а ц (R1) = 1.

8. Пусть 5? — алгебра множеств и Э? Э А |^- 9 (А) С [0, + оо) — аддитивная функция множеств. Доказать, что 0 является мерой на 5? тогда и только тогда, когда 0 является а-полуаддитивной на Э?.

§ 4. ВНЕШНЯЯ МЕРА

Пусть R — произвольное пространство, 91 — алгебра подмножеств R, р — мера на алгебре 91. Естественно попытаться распространить меру р на более широкий класс подмножеств R, например на некоторую о-алгебру. Для этого используем понятие внешней меры.

Произвольное множество A s R всегда можно покрыть множествами из 9?, т. е. найти такие Ev Е2, ... £ 91, что U Е^ А. Например, можно положить Ev — R, Ег = Е3 = .. =,0. Для произвольного А с R положим

Н*И) = inf^p^/),Н*И) = inf^p^/),(4.1)(4.1)

Н*И) = inf^p^/),

Н*И) = inf^p^/),

(4.1)

(4.1)

где инфимум берется по всевозможным покрытиям А множествами Ej е 91.

Функция р* называется внешней мерой; она определена для любых подмножеств R:

R=> Ai^p*(A)eK.

Установим некоторые свойства внешней меры.

Теорема 4.1. Если А £ 91, то р* (А) = р (А).

Доказательство. Поскольку А £ 91, то А покрывается

одним множеством Ег = А, поэтому среди чисел 5 р (ЕЛ в (4.1 ./=1

есть число р (А), следовательно,

Кроме того, по определению точной нижней грани для любого е>0 найдется такое покрытие {£/} множества А множествами Ej £ 91, что

S р(Е,Хр*И) + =-(4-3)

Поскольку А = А Л ( Е^ = ^ (А П Е^, то, учитывая счетную полуаддитивность и монотонность меры, получаем

p(A)<sS p(A0£/)<S р(Е/),/=1/=1

и в силу (4.3) р (Л) < р* (Л) 4-®. Так как е произвольно, то отсюда следует, что

р(Л)<р*И).(4Л)

Из (4.2) и (4.4) получаем р*(Л) = р(А). ■

Теорема 4.2. Внешняя мера любого множества неотрицательна-. р* (Л) >0, причем р* (0) = 0.

Доказательство. Неотрицательность внешней меры следует непосредственно из формулы (4.1). Далее, поскольку 0 £ 91, то в силу теоремы 4.1 р* (0) = р (0) = 0. ■

Теорема 4.3. Внешняя мера монотонна, т. е.

А с В=* р* (А) «р* (В).

Доказательство. По определению внешней меры

р*(В)= inf 5 и Х/)>

М

поэтому р*(А) < inf 5 р(^/)> т- е-Мпоэтому р*(А) < inf 5 р(^/)> т- е-Мпокрытие множества А,покрытие множества А,где Е/С^ и U Fj а В, но тогда множества {Е/} образуют также

поэтому р*(А) < inf 5 р(^/)> т- е-М

поэтому р*(А) < inf 5 р(^/)> т- е-М

покрытие множества А,

покрытие множества А,

р*(АХр*(В). ■

Теорема 4.4. Внешняя мера счетно-полуаддитивна, т. е. Оля любых Ап Л2, ... s R имеет место неравенство

р* ( 5 А,Х S Р* (А/).

м /=1

Доказательство. Если ряд в правой части расходится, то требуемое неравенство имеет место. Пусть этот ряд сходится. Из определения внешней меры следует, что для любого е > 0 и фиксированного / можно найти последовательность множеств (E/^^i

такую, что Е/й€91, [J Е^аА], и при этом

Ур^ХрЧ^Л-А.(4.5)

6-12

Просуммировав неравенства (4.5) по / от 1 до оо, получим

Д Дн(^)<Др*(А) + е.(4.6)

Кроме того, очевидно, U Е,к 2 IJ 4, и по определению внешней меры

Н*( 0 Л,-) <5 5 ^Е*).(4.7)

/—1/—1 i—1

Из (4.6) и (4.7) получаем

Н*( О Л;.)<5 р* (Д,) + е,

откуда в силу произвольности е следует требуемое. ■

Замечание 4.1. Иногда оказывается удобным задавать внешнюю меру не с помощью меры, заданной на алгебре множеств, а аксиоматически. Вещественнозначную функцию р*, определенную на совокупности всех подмножеств R, называют внешней мерой, еслш 1) р* (Л) > О (V A s R), р* (0) = 0; 2) р* монотонна; 3) р* счетно- пол у аддитивна.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что внешняя мера полуаддитивна.

Пусть р* — внешняя мера на подмножествах R. Доказать, что (УЛ, В, С с: R) справедливы неравенства:

р* (ЛАВ) с р* (Л АС) + р* (ВАС);

| р* (Л) — р* (В) | С р* (ЛАВ).

Определим внутреннюю меру р* (Л) множества A czR, полегая р*(Л) = р (В) — р* (Л). Доказать, что:

для р„ справедливы утверждения теорем 4.1—4.4;

(уЛ с В) : р* (Л) < р* (Л).

Являются ли внешними мерами (в смысле определения, данного в замечании 4.1) следующие функции множеств:

р* (Л) = Хд М. где х0 — фиксированная точка R;

(УА с R) : р* (А) = 1;

R = (х, у), р* (0) = 0, р* «х» = р* ({у}) = 10, р* (R) - I;

R —множество, состоящее из 100 точек, размещенных в квадратной таблице из 10 столбцов по 10 точек в каждом; р* (Л) равняется числу столбцов, имеющих непустое пересечение с Л;

R = N, пусть vn (Л) равно числу элементов множества A Q (1,.е.,п) и р* (Л) = limn-1v„ (Л).

Привести пример немонотонной функции множеств, удовлетворяющей условиям 1), 3) замечания 4.1.

6. Доказать, что если pf, р2 — внешние меры, Т®

v* (Л) = max {р* (Л), р2 (Л)} (Л с R);

(V ai> аа > °) ai Hi + “а Рг также являются внешними мерами.

§ 5. ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА И ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ

В этом параграфе показано, как с помощью понятия внешней меры можно продолжить меру, заданную на алгебре множеств 91, на некоторую о-алгебру, содержащую 91. Пусть, как и в § 4, 7? — произвольное пространство, 91— некоторая алгебра подмножеств R, р — мера, заданная на 91, р* — внешняя мера, определяемая по формуле (4.1) для любого А г R.

Определение 5.1. Множество Аг R называется измеримым (или р*-измеримым, или измеримым по Каратеодори), если для любого множества Е г R имеет место равенство

р* (£) = р* (£ Q Д) + р* (£ Л Я).(5.1)

Совокупность всех измеримых множеств обозначим через К, а сужение внешней меры р* на 91 — через р:

р*^ = р.

Замечание 5.1. Поскольку Е = (Е Л А) 0 (Е П Д), то в силу полу аддитивности внешней меры

р*(Е) < р*(£ Л Д) + р*(£ Л А) (VEгR).

Поэтому для доказательства измеримости данного множества А достаточно проверить справедливость лишь противоположного неравенства.

Теорема 5.1 (о запасе измеримых множеств). Совокупность 91 измеримых множеств образует о-алгебру мно* жесте, содержащую исходную алгебру 91. Сужение р внешней^меры р* на измеримые множества является мерой нао-алгебре 91.

Доказательство проведем в несколько этапов. 1). Покажем сначала, что если Av Д2£ Й, то и Дх (J Аг£ 91. Действительно, поскольку множество Д2 измеримо, то для любого Е г R и А = Д2 выполняется равенство (5.1). Запишем это равенство, заменив Е на Е П Дi>

р* (Е Л Д1) = р* (Е Q Аг Л Д2) + р* (Е П Аг Q Да). (5.2)

. 'Аналогично, заменив в (5.1) Е на fDAi, получим

р*(£nAJ = р*(£лХпДг)+ Р*(£ЛД1ЛДа). (5.3)

Сложим (5.2) и (5.3); поскольку Аг — измеримое множество, то в левой части получится р* (Д). Следовательно,

р* (£) = р* (Е О А. Л А2) + Р* (ЕД Av Л Л) +

+ р^ДО^ЛД^+н’^лХлХ) №=К).(5.4)

Заменим в последнем равенстве Е на Е f] (Дх J Д2). Нетрудно видеть, что при этом первые три слагаемых правой части не изме-

нятся (проверьте это!), а четвертое слагаемое обратится в Р*(Е0(Лх UЛ2)О (Лд\)) = р*(0) = О

(мы здесь воспользовались законом де Моргана), поэтому

Р* (Е П (Лх U Л,)) = р* (ЕД Лх П Л,) +

+ р*(ЕПЛхПД2) + р*(ЕпЛхПЛ2) (VEsE). (5.5)

Сравнивая (5.4) и (5.5), получаем, что для любого Е s Е р*(Е)=р*(Е П (Л, U Л,)) + р* (Е О (^Л,)),

т. е. множество Лх U Л2 измеримо.

. Поскольку при замене А на Л равенство (5.1) не изменяется, то из измеримости А следует измеримость его дополнения А. Таким образом, мы показали, что Аъ Л2 £ ^=ф Дх U Л2£91 и Д£&=*

Л б т. е. — алгебра множеств.

. Пусть Лх, Л2£^» Лх Д Ла = 0. Тогда формула (5.5) при мет вид

р* (Е П (Лх U Л2)) = р* (Е П Лх) + р* (Е П Л2) (VE s Е).

По индукции эта формула распространяется на любое конечное число множеств: если Дп Л2, ..., ЛП£Й, Л/ Д Ак = 0 (/ т^^), то

p*(EQ ( U Л;))= ^ р*(£ПЛ/) (VEsE). (5.6) М /=1

. Покажем теперь, что ^ является о-алгеброй. Для этого достаточно доказать, что если А^ Л2, ...g^, то U Л;^^. Вос- /=1 пользовавшись в случае необходимости леммой 2.1, можем считать, что Л,ПЛ&= 0 (/=Д^). В силу замечания 5.1 для доказательства измеримости множества Ц А; достаточно показать, что /=1

р*(Е) > р*(Е Д ( U Л/)) + р*(Е Д ( U Л/)) (VE = Е). (5.7) /=1/=1

Так как 91 — алгебра, то Q Aj^tR (Vn^Rj), поэтому /-1

р* (Е) > р* (Е Д ( U Л/)) + Р* (Е Д ( U Л/)) (VE s Е)./=1Z-1

Воспользовавшись формулой (5.6) и монотонностью внешней меры (теорема 4.3), получим отсюда

/\

И*®*! (ПЕГМ/Н^ЕО ( и Л,» (VB=E) (5.8) /-1/=*

(так как, очевидно, Е f] ( U A/) s Е Q ( U Д/)). Перейдя в неравен-/=1/=1

стве (5.8) к пределу при n^-оо, найдем, что

р*(£)> E№A)Wn ( и A)) V^EsRy (5.9) /=1;=1

Но в силу счетной полуаддитивности внешней меры

Р*(Е£] ( и А)) = Р*( и (ЕМ))< 5 R*(EQA)/=1/=1/=1

и из (5.9) следует, что

Р* (Е) > р9 (Е 0 ( U А ^ + р* (Е n ( U А$,М/=1

поэтому (J Д/£$, т. е. Й является о-алгеброй.

. Покажем теперь, что сужение р внешней меры р* на 91 является на ^ мерой. Для этого достаточно показать, что внешняя мера р* счетно-аддитивна на ^. Пусть Дп Д2, . ..£91, Д/Q (]Д*= 0 Ц#=кУ Положив в (5.9) Е = U Д/, получим

М

Р*( U А^^ ^ЧАЬ.i=v м

Поскольку в силу счетной полуаддитивности внешней меры (теорема 4.4) имеет место противоположное неравенство, то

р*( и Д/) = 5 и* (А)./=1/=1

и счетная аддитивность доказана.

(5.10)(5.10). Остается доказать, что 91 g ^( т. е. что любое множество Д£^ измеримо. Достаточно установить для любого множества Л £91 неравенство

(5.10)

(5.10)

р* (Е) > y^J] /1) b-y*Q WiE^ R).

Из равенства (4.1), определяющего внешнюю меру, по определению точной нижней грани для любого е > 0 существуют мно

жества Ех, Е2, ... $ 91 такие, что О Е, 2 Е, причем /=1

р*(Е) + е>Е рЛЕ,\(5.11)

Каждое из множеств Е^ представим в виде

S/ = (S, п Л) и (£/П Л);

но в этом равенстве оба слагаемых в правой части входят в 91 и имеют пустое пересечение, поэтому

Р^/) = р(£/Л Л) + р(£/Л Л), и неравенство (5.11) примет вид

№) + е>6 р(£/ПЛ)+§ Р(£/1]Я).(5.12)

/=i/=i

Кроме того,

£ЛЛ = ( U Ej)nA= U (£/ДЛ),/=1/=1

Е О A G ( U Ej) Л А = 0 (Ej Л Л),/=|/=1

откуда в силу определения внешней меры

Е р(£/0Л)>р*(£ПЛ);Е р(£/ЛЛ)>р*(5 0Л).

/=1М

Теперь из (5.12) получаем

р*(Е) + е>и*(^0Л) + и*(£ЛЛ) CIEsR^

откуда в силу произвольности е следует (5.10). ■

Теорема 5.2 (о существовании продолжения мер ы). Пусть 91 — некоторая алгебра подмножеств пространства R, р — мера на 91. Тогда существует о-алгебра 9^ 2 91 ы мера Ц] на 91х такая, что р,^ = р.

Доказательство сразу следует из теоремы 5.1. Действительно, построим по мере р внешнюю меру р* и за 91t возьмем а-ал- гебру Й всех р*-измеримых множеств, а за рх — меру р. Очевидно, это и будет искомое продолжение меры на а-алгебру. ■

Замечание 5.2. Пусть снова р — мера на алгебре 91 подмножеств R. Обозначим через 91ст порожденную этой алгеброй а-алгебру, т. е. минимальную а-алгебру, содержащую 91, и построим продолжение Ра меры р на 91ст. Такое продолжение называют минимальным продолжением меры.

Поскольку $2%, то йст е^; поэтому можно положить рст= = р ^йст. Очевидно, р^ является мерой. При этом р0 [й = р ^й = =р, т, е. рст—минимальное продолжение меры р. Мы видим, что минимальное продолжение меры всегда существует. Единственность такого продолжения будет установлена в §7.

Замечание 5.3. Если р* — аксиоматически определенная внешняя мера (см. замечание 4.1), то для нее можно ввести, как и в определении 5.1, понятие измеримого множества. При этом остаются справедливыми все утверждения теоремы 5.1, кроме того, что 31 5 2 31 (так как алгебра 3? теперь вообще не вводится).

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть р* —внешняя мера. Доказать, что: а)

(УЛ, В ё R) : Р* (Л и В) + р* (Л П В) < р* (Л) + р* (В);

если хотя бы одно из множеств А, В измеримо, то имеет место равенство.

Пусть р — Мера на алгебре К, р* и р* —внешняя и внутренняя меры, построенные по р (см. упр. 4.3). Доказать, что множество А измеримо в том и только в том случае, когда р* (Л) = р* (Л).

Пусть р — мера на алгебре К, рт — ее минимальное продолжение. Доказать, что (уЛ с Ry.

р* (Л) = min {р^ (By А с В, В£ SRO),р* (Л) = max (рст (СуСсА, С£ ^у

В условиях упр. 5.3 доказать, что А с R измеримо тогда и только гогда, когда А = В (J С, где В g Ка, р* (С) = 0.

В условиях упр. 5.3 доказать, что множество А с R, удовлетворяющее условию (у е > 0) (3 Ct, С, g Лст): Сх с А с С2, рст (С2\С])<е, измеримо.

Найти совокупность р*-измеримых множеств для функций р* из упр. 4. 4, являющихся внешними мерами.

Пусть р — мера на алгебре К, р* — построенная по ней внешняя def

мера. Доказать, что отношение А~ В*> р* (Л Д В) = 0 является отношением эквивалентности на ЭЛ (Ry Пусть 9Л = ЭЛ (Ry~— соответствующее фактор-множество, Л, В — его элементы. Доказать, что функция d (Л, В) = = р*( Л Д В), где Л$ Л, В £ В, задает расстояние иа ЭЛ.

§ 6. СВОЙСТВА МЕР И ИЗМЕРИМЫХ МНОЖЕСТВ

Определение 6.1. Мера р, заданная на алгебре di, называется полной, если из A £9i, В с А и р (Д) = 0 следует, что В £ 31.

Теорема 6.1. Пусть р — мера на алгебре 31 подмножеств пространства R, р* — соответствующая внешняя мера. Если р* (Д) = О для некоторого A s R, то множество А измеримо и р (Д) = 0.

Доказательство. Для доказательства измеримости А достаточно установить (см. замечание 5.1), что

р*(Е)>р*(£[)Д) + Н*(^ПЛ) (VE = R).

Поскольку Е П A s А, то в силу монотонности и неотрицательности внешне й меры 0 < р* (Е П Д) < р* (Д) = 0 =* р* (Е Q Д) = 0.

Кроме того, Е Л A s Е, поэтому благодаря монотонности внешней меры получаем

Р* (Е) > р* (Е П Л) = р* (Е О Д) + р* (Е П А\

т. е. множество А измеримо. Но тогда р(Д) = р*(Д) = 0. ■

Следствие 6.1. Мера р, полученная сужением внешней меры р* на о-алгебру 91 измеримых множеств, является полной.

Доказательство. Пусть Д £ 31, ВаА и р(Д) = 0. Тогда и р* (Д) = 0 и в силу монотонности внешней меры р* (В) < р* (Д), поэтому р*(В)=0. Но тогда в силу теоремы 6.1 В £91 и р(В)= = 0. ■

Теорема 6.2 (о непрерывности для объединений). Пусть р — мера, заданная на о-алгебре 91 подмножеств R. Если задана возрастающая последовательность множеств; ДХЕ £ Л8 s ..., А / £ 91 (V/), то

р( U А) = Нтр(Д„)./=1п-***

Доказательство. Заметим, что

U Д/ = Д1U И2\ДХ) U (Д3 V2) IJ . . ., /=1

причем в правой части стоит объединение попарно не пересекающихся множеств. Поэтому, воспользовавшись счетной аддитивностью и субтрактивностью меры, получим

р (U Д/) = р Л) + S Р М/Х^м) = И Их) + /=1/=2

+ Нт 5 р (Д/ХД,-,) = Нт (р (Дх) + S (р (Д/) — р (Ду-i))) — П-*оо /=2n-f-oo/=2

= Нтр(Д„). ■

Теорема 6.3 (о непрерывности для пересечений). Пусть р — мера, заданная на о-алгебре 91 подмножеств R. Если задана убывающая последовательность множеств: Аг а Д2г ..., А, £ £ 91 (V/), то

р( 0 Д/) = Нтр(Д„).

/=1

Доказательство. Рассматривая Аг как пространство, содержащее все множества Д/, имеем по закону де Моргана,

^i\ 0 Aj = U ИЛЛ),/=1/=1

откуда

0 Aj = Дх\ U Л\Д/) /=1/=1

и в силу субтрактивности меры

Р ( й А/) = р(Лх) — р( U (Лх\Д/)). /=1/=1

Однако последовательность множеств (Лх\Л/)/=1 расширяющаяся, и по предыдущей теореме

Р ( 0^/) = р(Лх)—Ншр(Лх\Л„) = р(Лх) —— Нт(р(Лх) — р(Л„)) = Нтр(Л„). ■

Замечание 6.1. Возрастающие и убывающие последовательности множеств будем называть монотонными. Введем для таких последовательностей понятие предела-.

def *

Если Лх s Л2 = . . ., то Нги Лп = 0 Л/; если Лх 2 Л2 2 ...,П-*оо/=1

def °®

то НтАп = Л Л/. В этих обозначениях теоремы 6.2 и 6.3 можно П-*оо/=[

сформулировать в виде одного утверждения, а именно:

Теорема 6.4. Пусть р — мера, заданная на о-алгебре 91 подмножеств R. Если (Лп)„=1 cl R— монотонная последовательность множеств, то

p(lim Ап) = lira р(Л„). П-*ооП-*оо

Этим и объясняется название «теоремы о непрерывности».

Теорема6.5 (необходимое условие измеримости). Пусть р — мера на алгебре 91 подмножеств R, р — продолжение меры р на а-алгебру 91 измеримых множеств. Тогда для любого измеримого множества А и д ля любого е > 0 найдется такое множество Ле £ 9?, что

р(ЛДЛе)<е.(6.1)

Доказательство. По определению внешней меры для любого е>0 найдется такое покрытие {£/} множества А множествами Е;£&, что

Р*(Л) + |>5р(£/).(6.2)

М

Но р*(Д) = р(Д), поскольку ЛЕЙ и р(Е/) = р(Е/), поскольку Д;Е^. Поэтому (6.2) запишется так:

pG^-l^p^),

/=1

откуда в силу счетной полуаддитивности меры р(Л)+|>р( U Е,у(6.3)

z /=1

Далее, очевидно, [J Е; = £х U (Ег U Ea^ U (^ Ц Ег U Е3) □..., при- /=|

чем множества в правой части образуют возрастающую последовательность. Тогда по теореме 6.2

р( U Е^ = limp( U Ej\/=1n-f<*j=\

Выберем п настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

ji(U ^‘((ХХр(6.4)

/=i/=i z

и положим

Ле = U Е j ^ 91,

Покажем, что множество Ае является искомым, т. е. что имеет место неравенство (6.1), или, что то же самое, неравенство

р((Л\Ле)и(ЛЕ\Л))<е.

В силу аддитивности меры для этого достаточно установить два неравенства:

рИМеХу;(6.5)

р(Де\Д)<4.(6.6)

Поскольку Аг U Е,, то Л\ЛК s U f/ХЛе, откуда, учитывая м/=i

монотонность и субтрактивность меры и (6.4), получим

йИХЛ) < р« 5 е,.)\а6) = р( и ^-рИеХу./=1/=1

и неравенство (6.5) доказано. Далее, поскольку Аг U Ej и

Ак г U Е(, то, учитывая монотонность и субтрактивность меры, получим

Р (Д8\Д) < И (( О £/)\Д) = ■ Д Q Е^ - р (Л),/=1/=1

откуда в силу (6.3)

р(Ле\Л)<|, и неравенство (6.6) также установлено. ■'

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть р — мера на сг-алгебре К. Положим

defdef

«О = {Д и в М€ «, ВсС^ р (0 = 0}, р0 (Д и В)= р (Д).

Доказать, что SR0 — а-алгебра и р0— полная мера на SRe (меру р0 называют пополнением меры. р).

Пусть 'Л Э Д |->- <р (Д) Е [0, + оо) — аддитивная функция множеств на алгебре К. Доказать, что любое из следующих условий достаточно для а-аддитивности ф:

для каждой возрастающей последовательности (Дп)^=1 множеств из К такой, что Пт ДПЕ^,

Ф (Пт Д„) = Пт ф (Д„);П-*<»п-*оо

для каждой убывающей последовательности (Дп)^1 множеств из К такой, что Пт ДПЕЛ,

Ф (Ит Дп) = Пт ф (Дп);п-*ооп-*сс

для каждой убывающей последовательности (Дп)^| множеств из SR такой, что Пт Дп = 0,

Пт ф (Дп) = 0.

Пусть р— мера на а-алгебре К, (Дц)^! с К. Доказать, что

р ( Пт Д„) с Пт и (Д„), и ("Щп Д„) > р (Д„).

п-*ооП-»ООП-*ООП-*0О

Привести пример, когда выполняются строгие неравенства.

В условиях упр. 6.3 предположим, что У р (Дп) < оо. Доказать

П=1

что р ( Пт Ап) = 0.

Пусть АсР таково, что (ув>0) (ЯДеЕ!П)'р* (ДДДе)<е. Доказать, что А — измеримое множество.

Доказать, что метрическое пространство (ЭЛ, d), определенное в упр. 5. 7, является полным.

В условиях упр. 5.7 положим 9Л1 = Л/~, ЭЛ2 = Й/~. Доказать, что ЗЛ2 совпадает с замыканием множества Mj в (ЭЛ, d).

§ 7. МОНОТОННЫЕ КЛАССЫ МНОЖЕСТВ

И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕРЫ

При изучении вопроса о единственности продолжения меры (а также и в других случаях) удобно воспользоваться понятием монотонного класса множеств. В определении монотонного класса используется введенное в § 6 понятие предела монотонной последовательности множеств (см. замечание 6.1).

Определение 7.1. Система 5Л подмножеств пространства R называется монотонным классом, если вместе с любой монотон-

ной последовательностью множеств Л1( Л2, ... она содержит и ее предел Нт Лп.

ПРИМЕРЫ

Совокупность ЭЛ (R) всех подмножеств пространства R является монотонным классом.

Всякое a-кольцо ЭЛ является монотонным классом, так как оно содержит счетные объединения и пересечения любых последовательностей множеств из ЭЛ (а не только монотонных).

Лемма 7.1. Если кольцо множеств ЗЛ—монотонный класс, то 3)1 является о-кольцом.

Доказательство. Пусть задана любая последовательность множеств (Лп)„=1 с ЗЛ. Докажем, что тогда Q Л/^ЗЛ.

,=1

Положим Вп = U^/. Поскольку ЗЛ— кольцо, то В„^ЗЛ(Уп). Последовательность (Bn)^=i— монотонная (возрастающая), и так как ЗЛ — монотонный класс, то НтВп£ЗЛ. Остается заметить, что

U Л/= lim U Л/= Нт В„£ЗЛ. ■ /=1П-*оо /=1П-voo

Теорема 7.1. Пусть 91 — некоторое кольцо подмножеств пространства R. Обозначим через 91о порожденное кольцом 91 о-кольцо, а через 91т— минимальный монотонный класс, содержащий 91 Атакой класс, очевидно, существует). Тогда 91а = 9?т.

Доказательство. Поскольку 9ta содержит всевозможные счетные объединения, a 9im— лишь объединения монотонных последовательностей, то 9lmc9tCT. Если мы покажем, что 9im— кольцо множеств, отсюда в силу леммы 7.1 будет следовать, что 91,п является о-кольцом. Поскольку 9ta — минимальное о-кольцо, содержащее 91, то 9iCT с 9im, откуда 9iCT = 9im. Итак, достаточно показать, что 9im— кольцо. Проведем доказательство этого в несколько этапов.

. Зафиксируем множество В г R и рассмотрим класс множеств

Йв = [Л<=^]ЛиВ, Л\В, В\Лб91т). '

Из симметричности этого определения относительно Л и В следует, что если Л £ ^в, то В^&д.

. Покажем, что ^в— монотонный класс. Пусть дана возрастающая последовательность множеств Л1 s Л2 г .. ., Л/ £&в (Vj). Докажем, что Л = limАп£&в. Так как по определению

предела НтЛп=иЛ/, то A U В = ( U АЛ и В = U (Л,Д В) =

П-~/=1/=1/=1

/.= lim (A„ О В) E ^rn, поскольку (А; и 5)^,1 — возрастающая последовательность множеств из монотонного класса 91т. Аналогично

А\В = и Л\В = и (А/\В) = lim (А„\В)ЕЭ1т.

/=1/=.1

Далее,

В\Д = В\ и А, = n (В\А/) = Ит(В\Д„) € 9U/=1/=1п»~

так как (B\A/)/Li— убывающая последовательность множеств "из монотонного класса 9im. Следовательно, А Е Кв.

Аналогично устанавливается, что если А^А^..., Aj^Kb (Vj), то ИтА„Ейв. Итак, йв — монотонный класс.

. Пусть BQ&. Покажем, что тогда 9lmG^B. Для этого установим сначала, что 91 g $в. Пусть АЕ^- Так как 91—кольцо, то A U В, А\В, В\АЕ^ и тем более A U В, А\В, В\АЕЭЦ т. е. AE^s- Таким образом, 91 g $в, т. е. Кв— монотонный класс, содержащий 91. Поскольку 9im— минимальный монотонный класс, содержащий 91, то 9im g &в.

. Покажем, что если В^9^т, то 9imGgB. Для доказательства возьмем любое множество А Е 91, тогда по доказанному в п. 3) 91тс£л. Поскольку В^т, то ВЕ®д, и по доказанному в п. 1) АЕЙВ. Таким образом, 91g Кв и, следовательно, &msKB (см. конец п. 3)).

. Покажем теперь, что 9im —кольцо, что завершит доказательство теоремы. Пусть А, В Е Жт. Докажем, что A U В, А\В £ 9?т.

Поскольку В Е 91т, то по доказанному в п. 4) 91т £ Кв, в частности АЕЙв. Но тогда из определения Кв следует, что Л U В, , A\B£91m, т. е. Шт — кольцо. ■

Теорема 7.2 (о единственности минимального продолжения меры). Пусть 91 — некоторая алгебра подмножеств пространства R, Эдп—а-алгебра, порожденная алгеброй 91, и пусть на 91ст заданы дье меры — р и v. Если эти меры совпадают на 91, т. е. р ^ = v ^91, то р = v.

Доказательство. Надо доказать, что (VA Е^М'• Р(^) = = v(A). Если АЕ^, то это следует из условия теоремы. Пусть А ^ 91, тогда ДЕ^т, поскольку в силу теоремы 7.1 9?ст = 9?т. Поэтому А является пределом монотонной последовательности множеств (Ал)”=1 с 91, А = Um Ап. Воспользовавшись теоремой 6.4, получим

р (А) = р (li m А„) = Нш р (А„) = 1 im v (Д„) =п-* ООп-**1п-* <*

= v (lim Дп) = v (А). ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что пересечение любого числа монотонных классов является монотонным классом.

Пусть 21— система подмножеств Я, Иа — наименьшая о-алгебра, содержащая И, 2Im—наименьший монотонный класс, содержащий 21. Доказать, что 2Im s 21а.

Пусть 21 = (0, А, В, С), где А Л В = 0, A U В с: С.

Положим р (0) = 0, р (Л) = р (В) = р (С) = 1. Доказать, что: а) р — о-аддитивная на 21; б) р нельзя продолжить до меры на 'Л (21). Не противоречит ли этот результат теореме 5.2?

Пусть 21 = (0, А, В}, где множества А, В таковы, что Л Л В, Л\В, В\Л непусты. Положим р (0) = 0, р (Л) = р (В) = 1. Доказать, что: а) р — о-аддитивна на 21; б) существует бесконечно много продолжений р до меры на К (21). Не противоречит ли этот результат теореме 7.2?

Пусть R = (О, 1] X 10, 1], 21 —система всех прямоугольников Пей, у которых длина или ширина равна 1. Для произвольного П £ 21 положим р (II) равной площади прямоугольника II. Доказать, чтор о-аддитивна на 21. Указать два различных продолжения р на 210. Не противоречит ли этот результат теореме 7.2?

§ 8. МЕРЫ, ПРИНИМАЮЩИЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В определении 3.1 меры множества предполагалось, что всегда р (Л) < оо. Однако часто приходится рассматривать меры, которые могут принимать и бесконечные значения. Примеры таких мер рассматриваются в этом и последующих параграфах. В отличие от них меры, изученные в предыдущих параграфах, называют конечными. Приведем соответствующие определения.

Определение 8.1. Пусть 91 — некоторая алгебра подмножеств пространства R. Функция р, определенная на 91, называется мерой, еслих

(VA€9t)tO<p(AX+oo, р(0) = О;

(счетная аддитивность). Для любых A v Д2, ...£ 9?, таких, что A, Q Ак = 0 и^к) и 0 A, g 91, выполняется ра- i=i

венство

р( и ад = 2 р(АД.

/=1/=1

Нетрудно проверить, что для таких мер остаются справедливыми все утверждения § 3 и 4, а также теоремы 6.1—6.4; лишь в теореме 6.3 следует добавить условие, что хотя бы одно из множествА/ имеет конечную меру (соответствующий контрпример приведен в § 10).

Для справедливости остальных установленных выше утверждений о мерах приходится несколько сузить класс рассматриваемых мер, а именно! ограничиться лишь так называемыми о-конечными мерами.

Определение 8.2. Мера р, принимающая бесконечные значения, называется а-конечной, если существует последовательность множеств Alt А3,.. .£ 91 такая, что Аг s Д2 s Д8 е ..., нИ„)<+оо (Vn) и R = и А„.

п=1

ПРИМЕРЫ

Пусть /?= R. Введем меру р на а-алгебре ЗЛ (R) всех подмножеств R, полагая р (0) = 0, р (А) = + оо при 4^0. Ясно, что эта мера не является о-конечной.

Пусть R = М; Введем на а-алгебре ЗЛ (М) меру р, полагая р (А) = = п, если множество А состоит из п элементов, и р (А) = + оо, если А — бесконечное множество. Легко проверить, что р является о-конечной мерой; в качестве множеств Ап можно взять, например, {1, 2, ..., п).

Важный пример о-конечной меры рассмотрен в § 10.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что в определении 8.2 можно опустить условие Аг s S: Ay S Ag ^ ... .

Показать, что если мера ц, заданная на алгебре 31 подмножеств R, о-конечна, то R можно представить в виде объединения счетной системы попарно не пересекающихся множеств конечной меры.

Пусть R = М. Положим р (А) = 0, если А — конечное множество, и + оо, если А — бесконечно. Доказать, что р — аддитивная функция на ЗЛ (И). Является ли р мерой?

Пусть f: R ->- [0, + °о]. Положим р (0) = 0, р (А) = X f^, До- к^А (I

казать, что р — мера на ЗЛ (IR). Когда р является о-конечной мерой?

Пусть р —мера на а-алгебре Л. Доказать, что:

211 = И € М I р (^) < + °0} является кольцом;

У2 = (Ас 311 А = (J АП1 А„б31, р (A;i) <-|-оо, n£ М) является

П=1 о-кольцом.

Пусть р — мера на алгебре Л. Доказать, что для любых А, В 6 Л справедливы равенства:

р (А) = р (А \ S) + р (А Л 5); р (А) + р (В) = p(AUS) + + р (А П В); р (А АВ) + 2р (А Л В) = р (А) + р (В)

(ср. с упр. 3.2).

МЕРА ЛЕБЕГА

ОГРАНИЧЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ МНОЖЕСТВ

Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой. Эту меру ввел Лебег, стремясь расширить понятие интеграла на «очень разрывные» функции.

Пусть R = [а, 6) — некоторый фиксированный полуинтервал числовой прямой, алгебра множеств 9? — кольцевая оболочка множества всех полуинтервалов [а, р) = [а, Ь\ Таким образом, каждый элемент алгебры 9? имеет вид

а

Л-Д^а/, М,(9.1)

где полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются (так как объединение двух пересекающихся полуинтервалов — снова полуинтервал).

Длина полуинтервала 1а, р), как и отрезка [а, ^] и интервала (а, р), равна р — а. Длиной множества (9.1) называют суммарную

длину составляющих его полуинтервалов:

к

ДЛ. Л = Д(Р/ —а/).

Теорема 9.1. Введем на алгебре 91 функцию у, полагаяр(Л) = дл. Л (ЛС91, Л^0), р(0) = 0.

Функция (1 является мерой на алгебре 91.

Доказательство. Поскольку из определения непосредственно следует, что и (Л) > 0, р(0) = о, то остается лишь проверить, что р. обладает свойством счетной аддитивности.

Пусть Л1( Л2, . ..С91, Л/П Лб = 0 (j^k), причем Л = = U Л; С 91. Надо доказать, что

дл. Л = 5 дл. Aj.(9.2)

Поскольку Л как элемент 91 есть объединение конечного числа п

полуинтервалов и U А, г А при любом п, то

п

S дл. Aj с дл. А;

1=1

перейдя к пределу при п-^-оо, получим

S ДЛ- Л,<дл. А.(9.3)

Докажем противоположное неравенство. Зададим число е > 0. Множество А — это объединение полуинтервалов вида (9.1). Сдвинем правые концы полуинтервалов ^j влево настолько, чтобы для объединения Л8 получившихся замкнутых промежутков выполнялось условие

дл. А < дл. Ае 4- е.(9.4)

Далее, для каждого из множеств Aj сдвинем влево левые концы составляющих полуинтервалов и обозначим через А® объединение получившихся открытых промежутков. При этом сдвиги берутся настолько малыми, чтобы выполнялось условие

дл. Л/< дл. Л/-(-^:.(9.5)

Поскольку А — U^y, то, сузив множество А и расширив каждое из Л/, получим

Л8 с U А®.

1=1

Компакт Д8 (объединение конечного числа замкнутых промежутков) покрыт открытыми множествами Д/; поэтому по лемме Гейне— Бореля из этого покрытия можно выделить конечное покрытие, т. е. для некоторого п

Д8 с U Д/./=1

Поскольку здесь и в левой и в правой частях — объединения конечного числа промежутков, то

дл. Д8 с Е Дл- Д/-М

Отсюда, учитывая (9.4) и (9 5), получаем

дл. Д < дл. Д8 + е с 2 Дл- Д/ + 8 < Е ДЛ- + /=1/=1

+ Е —; + 8 < Е ДЛ- Д/ + 2е,/=1 2;/-1

откуда

дл. Д < Е ДЛ- Aj + 2е.

Поскольку в 2> О произвольно, то, переходя к пределу при в -> О, получаем

дл. Д < 5 ДЛ. А;,

М

что вместе с (9.3) доказывает требуемое равенство (9.2). ■

Определение 9.1. Пусть р*— внешняя мера, построенная по введенной в теореме 9.1 мере р; р*-измеримые множества называют измеримыми по Лебегу, а продолжение т меры р на о-алгебру $ = 31 ([о, Ь^ измеримых по Лебегу множеств называют мерой Лебега.

Упражнение 9.1. Показать, что мера Лебега ограниченного множества не зависит от выбора полуинтервала [а, 6). Точнее, пусть Д S [а, 6) и A s <^ 1а', Ь'); т и т' — меры Лебега, построенные соответственно для полуинтервалов [а, 6) и [o', b'Y Если А измеримо по мере т, то оно измеримо и по мере гп', и т (Д) = т* (Д).

Указание. Воспользоваться определением измеримости множества.

Установим некоторые свойства меры Лебега ограниченных линейных множеств.

Теорема 9.2. Множество, состоящее из одной точки, измеримо, и мера его равна нулю.

Доказательство. Пусть Д = [х] — множество, состоящее из одной точки. В силу теоремы 6.1 достаточно показать, что

tn* (Л) — 0, где т* — внешняя мера, по которой построена мера Лебега.

По определению внешней меры

О < /и* ({х}) - inf ^ /72 (Ej) (Ef € SR, U Е, =) {х}).

Однако в качестве покрытия точки всегда можно выбрать любой полуинтервал [а, Р), содержащий эту точку. Поэтому

Ос/и*((х})< inf от ([а, Р)) = inf (Р — а) = О,

(а. РВх[а, (3))х

откуда //г* ({х}) = 0. Следовательно, множество {х) измеримо И /72 ({х}) = 0. ■

Теорема 9.3. Всякое не более чем счетное ограниченное множество точек прямой измеримо и мера его равна нулю.

Доказательство. Пусть А — не более чем счетное множество, А = {хъ х2, ...], тогда Л = (J {х,-}. Измеримость множества А следует из того, что совокупность ^ измеримых множеств является о-алгеброй. Благодаря счетной аддитивности меры имеем

т(Л) = £ т((х;}) = 0. ■

Пример 9.1. Множество рациональных точек отрезка [0, 1] имеет меру нуль.

Теорема 9.4. Любой промежуток (открытый, замкнутый, полузамкнутый) измерим и его мера равна его длине:

т ((а, Р)) = т (la, pi) = т ((а, р]) = т ([а, Р)) = Р — а.

Доказательство. По определению меры т (la, Р)) = “ Р — а. Далее, fa, р] = fa, Р) (J (Р), поэтому

т ([а, PJ) = т ([а, Р)) + т ({р)) = р — а + 0 = р — а.

Аналогично рассматриваются остальные случаи. 18

Теорема 9.5. Любое ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо по Лебегу.

Доказательство. Как известно, всякое ограниченное открытое множество G cr IR является объединением не более чем счетного множества открытых промежутков!

G = U (а/, Р/У(9.6)

7=1

Поскольку (а/, P/)E^(V/), то и G^.

Пусть теперь F — ограниченное замкнутое множество. Возьмем любой интервал (а, Р) id F; тогда G = (a, p)\F — открытое множество, поэтому

F = ^, p)\G

измеримо как разность двух измеримых множеств. ■

Замечание 9.1. Как известно, промежутки в представлении (9.6) всегда можно выбрать попарно не пересекающимися. В этом случае, благодаря счетной аддитивности меры Лебега,

m(G) = 5ф/ —а,). (9.7)

В случае замкнутого множества F =Ца, P)\G получаем m^F) =^ — а — т (G),

где m(G) можно вычислить по формуле (9.7).

Определение 9. 2. Пусть R — произвольное топологическое пространство. Борелевской а-алгеброй называется а-алгебра ® (У?), по рожденная совокупностью всех открытых множеств из R. Элементы борелевской а-алгебры называются борелевскими множествами.

Борелевскими множествами являются, в частности, все открытые и замкнутые множества, множества типа Go (счетные пересечения открытых множеств), типа Fo (счетные объединения замкнутых множеств), типа Ge, и Fa& (соответственно счетные объединения множеств Ge и счетные пересечения множеств Fo) и т. д.

В частности, при R = [а, Ь) мы получим борелевскую а-алгеб- ру % (Га, Ь^. Множество В cl к будем называть ограниченным бо- релевским множеством на прямой, если оно входит в некоторую борелевскую а-алгебру S3 ([а, 6)).

Теорема 9.6. Любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.

Доказательство. Пусть В £ ® (Га, Ь)). Покажем, что множество В измеримо по Лебегу. Как установлено выше, все открытые множества полуинтервала [a, Ь) входят в а-алгебру Й (Га, 6)) измеримых множеств. Но тогда а-алгебра % ([а, Ь^, порожденная совокупностью всех этих открытых множеств, также входит в 31 ([а, 6)), т. е. всякое ограниченное борелевское множество измеримо по Лебегу.

Теорема 9.7. Если Е — ограниченное измеримое множество на прямой, то для любого е > О найдется такое ограниченное открытое множество G с: IR, что G дэ Е и т (G\F) < 8.

Доказательство. Поскольку Е измеримо, то т (F) — = т* {Е}, где т* — внешняя мера, по которой построена мера Лебега. Вспоминая определение внешней меры (см. формулу (4.1)), а также определение меры р в теореме 9.1, получим, что для любого • > 0 найдется такое множество А вида

Л = (J [«„ М

(объединение не более чем счетного множества полуинтервалов), для которого

Ес А, т(А)<т(Е) + ^. (9.8)

Далее, для каждого из полуинтервалов [afe, pfe) рассмотрим содержащий его открытый промежуток (a^, 0fe), где ад = а6— ^щ > и положим

G = U М-

Ясно, что G— открытое множество. Покажем, что оно является искомым. Действительно, очевидно, С^Д* Далее,

G\A = U (aA, ^)\lafe» Pfe)’/г

откуда, благодаря субтрактивности и полу аддитивности меры,

к

Отсюда и из (9.8) находим

tn (G) с т (Д) + у < т (Е) + е.

Следовательно, m(G\E)<e и GzdE, 0

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что множество, имеющее положительную меру Лебега, несчетно.

Пусть А а [а, Ь) — измеримое по Лебегу множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку. Доказать, что иг (А) > 0.

Чтобы построить на отрезке [0, 1] канторово множество D, сначала удаляют из этого отрезка интервал (1/3, 2/3). Затем каждый из двух оставшихся отрезков делят на три равные части и удаляют средние интервалы, т. е. (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9). На следующем шаге каждый из оставшихся отрезков опять делят на три равные части и удаляют средние интервалы. Множество D точек [0, 1], оставшихся после неограниченного продолжения этого процесса, называют канторовым. Доказать, что: a) D — борелевское множество и т. (D) — 0; б) D имеет мощность континуум; в) D — совершенное множество, т. е. каждая его точка является предельной; г) D — нигде не плотное множество.

Найти меру Лебега множества точек из [0, I], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь не участвует какая-либо одна цифра.

Доказать, что 5В (R) совпадает с a-алгеброй, порожденной любой из следующих систем множеств: а) всех замкнутых множеств; б) всех интервалов (а, 6); в) всех отрезков [а, 6]; г) всех полуинтервалов [а, Ь); д) всех полуинтервалов (а, ЬА; е) всех интервалов (сегментов, полуинтервалов) с рациональными концами.

Доказать, что множество А с: [а, 6) измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда А = В |J С, где В £ 58 ([а, Ь^, а т (С) = 0.

Доказать, что для любого A cz [а, Ь) справедливы равенства т* (А) = inf <та (6) | G A, G — открытое}, т* (А) = sup {ma (F) ] FcA, F — замкнутое), где mQ— минимальное продолжение меры tn.

Пусть A cz [а, 6) измеримо по Лебегу. Доказать, что: а) (Vе > > 0) QF cz A, F — замкнутое): т (А \ F) < е; б) т (А) = inf {m (G) |_Gzd => A, G — открытое} = sup {m (F) | F cz A, F — замкнутое}.

Доказать, что множество Д с [а, &) измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда (Vе > 0) QT, G : F с A cG, F — замкнутое, G — открытое) : т (G \ F) < в.

Доказать, что для каждого измеримого по Лебегу множества Д4с cz [а, 6) найдутся такие множества В и С типа Fn и Gk соответственно, что В а а А с С, т (С \ В) = 0.°

Доказать, что: а) а-алгебра 53 ([<2, Ь^) имеет мощность континуум; б) а-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств (а, Ь") равномощна ЭЛ ([я, &)).

Пусть А cz [а, Ь) измеримое по Лебегу множество, т (А) = р. Доказать, что для любого q Е [0, р] найдется измеримое по Лебегу Aq с А такое, что т (Ау) = q.

Пусть множество Д cz [a, £) измеримо. Положим f (х) = т (Д Q П [а, *)) (х 5> а). Доказать, что / Е С ([а, bp.

Доказать, что в каждом множестве А положительной меры Лебега найдется пара точек, расстояние между которыми: а) иррационально; б) рационально.

Для х, у Е Ю, I] положим х ~ у, если х — у Е Q- Доказать, что: а) ~ является отношением эквивалентности; б) множество Д, содержащее по одной точке каждого из классов смежности по отношению ~, неизмеримо по Лебегу.

МЕРА ЛЕБЕГА НА ПРЯМОЙ

В предыдущем параграфе была построена теория меры Лебега для ограниченных множеств на прямой. Однако совокупность всех ограниченных измеримых множеств прямой не является не только о-алгеброй, но даже о-кольцом (счетное объединение ограниченных множеств может быть неограниченным). В этом параграфе будет построена теория измеримости по Лебегу для произвольных (даже неограниченных) множеств на прямой. Эта мера, которая может принимать и бесконечные значения, о-конечна; при этом совокупность всех измеримых множеств является о-алгеброй.

Определение ЮЛ. Множество А г п^ называется измеримым по Лебегу, если Хп £ И измеримо по Лебегу ограниченное множество А П I—n, пУ

Совокупность всех измеримых подмножеств R обозначим через 9?. Из теоремы 9.6, в частности, следует, что любое борелев- ское множество В cz К измеримо по Лебегу.

Теорема ЮЛ. Совокупность 91 всех измеримых по Лебегу подмножеств R является о-алгеброй.

Доказательство. 1) R £ 91, так как Vn £ И множество RP [—п, п^ — (—п, п) — ограниченное измеримое множество.

Пусть А, В С 91, тогда Vn С И множество

U\S) п v-n, n^U П V—n, п))\(в П V-n, п))

является ограниченным измеримым множеством как разность двух ограниченных измеримых множеств. Следовательно, Л\5£Й.

Пусть Аг, Д2, . . . £&. Тогда множество

ОООО

( и 4) n 1-М, п) = и (Л/ п [-/г, п))

является ограниченным измеримым множеством как объединение множеств из о-алгсбры измеримых подмножеств полуинтервала

[—п, и). Поэтому U А, 6^, т. е. $ является о-алгеброй. в

Пусть А — произвольное измеримое множество на прямой. Рассмотрим числовую последовательность тп (Д) = m (Д [) [—п, п)).

Поскольку т (Д П I—я, п)) < т (Д П I—Vn + 1), и + I)) , то эта последовательность неубывающая; поэтому она имеет предел (конечный или бесконечный).

Определение 10.2. Пусть А^ St. Мерой Лебега множества

А называется предел (возможно, бесконечный)

т (Д) = lim т (А П [—а,

Построенную меру мы обозначаем той же буквой т, так как в том случае, когда А — ограниченное множество, получаем ту же меру, которая была изучена в предыдущем параграфе.

Покажем, что это определение правомерно, т. е. что функция множества т (Д) действительно является мерой (см. определение 8.1).

Теорема 10.2. Введенная в определении 10.2 функция т является a-конечной мерой на п-алгебре 81 измеримых множеств.

Доказательство. Покажем сначала, что т— мера.

То, что всегда т (Д) > 0 и т (0) — О, следует непосредственно из определения.

Установим счетную аддитивность функции т. Пусть Ду, А.^...

... £ Ж, Д/П ДА = 0 (/ ^ ^)- Тогда по определению

ОООООО

m( U Д/) = limm(( U Д^ГЦ—zi, п)) = limm( U (Д, ГЦ—п, п^,

/=1П->оо /=1П-*оо /--=1

откуда в силу счетной аддитивности меры Лебега для ограниченных множеств, лежащих па фиксированном полуинтервале [—п, п),

ОО°?

т( U Aj) = lim т(А, Q [—/г, n))./=1n-*oo j = [

Переходя к пределу почленно (что допустимо, так как члены ряда неотрицательны), получаем

ОО°°“

m( U Д/) = Г Нтт(А, ГП—п, п^ = ^т^А-^ /=1/=1 П-* ОО/=1

и счетная аддитивность доказана. Итак, zn—мера.

Поскольку К = U 1—п, п) и все слагаемые в этом пред- ставлении имеют конечную меру, то мера т является о-коиечной. у

Упражнение 10.1. Показать, что теорема 6.3 в случае меры, принимающей бесконечные значения <см. § 6). нерпа лишь ирн дополнительном условии, что хотя бы одно из мпожесп) А( имеет конечную меру.

Указание. В качестве контрпримера рассмотреть меру Лебега и по- елсдовательчость -.тожеств Лп = (я, + w) (л -= 1, 2, ...).

Замечание 10.1. Естественно поставить вопрос, существенно ли, что в определении 10.2 рассматриваются пересечения данного множества с полуинтервалами [—п, п\ Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 10.3. Измеримость множества и значение меры Лебега не зависят от выбора системы расширяющихся полуинтервалов. Иными словами, в определениях 10.1 и 10.2 вместо полуинтервалов [—п, п) можно взять любую систему полуинтервалов [а„, рл), такую, что [а^ Р^с [а2, рз) с . .. и J [а„, р„) = Щ; от этого запас измеримых множеств и их меры не изменятся.

Доказательство. Пусть’Jan, р,',)}, {[а", р")} — две системы полуинтервалов, обладающие указанными в теореме свойствами. Покажем сначала, что запас измеримых множеств не зависит от выбора системы полуинтервалов. Пусть Vn^ ^, множество А П [а„, РД измеримо. Покажем, что тогда и все множества А П [а", Р") измеримы. Взяв т достаточно большим, имеем [а", р") cz [а'т, рт). Тогда множество А П (а", р") = (Я Q [ат, pm)) 0 (а*, рД измеримо как пересечение двух измеримых множеств. Таким образом, выбор системы полуинтервалов пе влияет па запас измеримых множеств.

Покажем теперь, что этот выбор повлияет и на меру. Пусть А— любое измеримое множество. Положим

т'(Л) = Нт т(Л П «, р;,)),

т"(Л) = Ит/п(Л ГПа", р"))(10.1)

(эти пределы, очевидно, существуют). Надо показать, что т'(А) = ^т^А) (VА С^).

Положим

a"' =minK„ а"), р" = шах {р;,, р;'};

тогда, очевидно,

К, p„) S [а" Р"), (а:, р;;) = К, р") (Vn е И).

Если теперь положить аналогично (10.1), т"ДД) = Итт(4П[С> О

то для доказательства теоремы, в силу равноправия т' и т", очевидно, достаточно показать, что т' (/1) = т'" (Л) (УД^$К).

Поскольку ДП(а,'„ р„)еЛП[а", Р"') (Vn^^J), то в силу моно- кшиости меры

т (/1 П [а;р Р„)) < т (4 П [с/", Р")) (Vn Е И),

и в пределе при и -> оо получаем

т' (Л) < т'" (Л) (УЛ £ ^).(10.2)

Установим противоположное неравенство. Так как J [а„, РД = П=1

= R, то для любого пСИ найдется такое ^6 И. что [а”, РД) S = [а^, р;Д; поэтому Л П [<> Р") = Л П [а^, р^) и благодаря монотонности меры

т(АП[<, Р^ХтИПК., р;„)).

Поскольку в правой части стоит подпоследовательность сходящейся к т' (Л) последовательности, то, переходя к пределу при п->оо, получаем

т'” (Л) < т' (Л) (УЛ £ Й).(10.3)

Из (Ю.2) и (10.3) следует, что т' (Л) = т'"^. Аналогично т"(Л) = = тда(Л), следовательно, т' (Л) = т” (Л). ■

Теорема 10.4. Если Е ст IR — измеримое множество, то для любого е > 0 найдется такое открытое множество Gc R, что G гэ Е и т (G \ Е) <. е.

Доказательство. Если множество Е ограничено, то требуемое открытое множество G построено в теореме 9.7. В общем случае положим

Еп = Е^ [— п, п),

и для каждого Еп построим открытое множество Gn щ> Еп такое, что

m (G«\En) < yn •

Если теперь положить .

G = (J Gn,

П=1

то G — открытое множество, G о Е и

G\E = (J (G„\En).

Поэтому

m(G\E) <Л^ = е. ■

Теорема 10.5. Если Е с R измеримое множество, то для любого 8>0 найдется такое замкнутое множество FcE, что т (E\F) < 8.

Доказательство. Поскольку Е измеримо, то измеримо его дополнение Е. Тогда по теореме 10.4 для любого 8>0 най-

дется такое открытое множествоGс IR, что Gd Е и m(G\E)<<e.

Положим F = G. Тогда F — замкнутое множество, FcE и £\F = G\F> откуда m(F\F)<£e. а

УПРАЖНЕНИЯ

Привести пример неограниченного множества А с R, мера Лебега которого равна: а) нулю; б) а £ (0, + оо); в) + оо.

Построить пример убывающей последовательности (Afl)”=_1 с S3 (IR) такой, что m (A,J = -f- оо (n£ М) и В = lira А„ таково, что выполняется одно из следующих условий: а) т (В) = 0; б) т (В) = I; в) т (В) = -f- оо; г)Вэ(Л, m (В) = 0; д) B=>Q, m (В)= 1; е) В гз Q, т (В) = + оо.

Построить пример последовательности (А^)^, попарно пепересекаю- щихся борелевских множеств, удовлетворяющей одному из условий: a) m (А„) = = 1 (n£ N), U An = IR;

/1=1

т (А„) = + оо (п £ М); в) т (А„) = + оо (я £ И), и Ап = IR.

Доказать, что утверждения упражнений 9.7, 9.8, 9.10—9.13 останутся справедливыми, если заменить в их формулировках [а, Ь) на IR.

Пусть А с IR — множество положительной конечной меры Лебега. Доказать, что (уа £ (0,1)) (Д |а, 6)) : яг (А П |а, 6)) > а • яг (Л).

Пусть Л с IR — множество положительной меры Лебега. Доказать, что существует е> 0 такое, что (—е, е) с {х — у | х, у £ Л}.

МЕРА ЛЕБЕГА В W-MEPHOM ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Мера Лебега в ^ строится по, той же схеме, что и мера Лебега в IR. Поэтому построение меры Лебега в ^ будет лишь намечено. Читатель при желании легко восстановит все детали этого построения.

Пусть даны две точки a, b^^N, а = (а1, аг, ..., aN\ b = — (bv b2, . . . , Ьм\ причем а2<_Ь2, а2<Ьг, . . . , aN<_bN. Назовем М-мерным полуинтервалом, или полуоткрытым параллелепипедом (при N = 2—прямоугольником), множество

[а, Ь) = {х = (х1, . . . , x^R" Itii < xT<bv . . . , aN <xN<bN\.

Объемом полуинтервала [а, Ь) назовем число

У ([a, b^ = Vbv — av^b2—a^ ... ^bN — aNy

Нетрудно показать, что пересечение двух полуинтервалов"'— полуинтервал, а разность двух полуинтервалов — либо полуинтервал, либо объединение конечного числа полуинтервалов.

Зафиксируем теперь некоторый полуинтервал [а, 6) и рассмотрим множество полуинтервалов

М = ([а, р) |[а, р)Е[а, 6)}.

Если через 91 обозначить алгебру, порожденную множеством М, го каждое множество А £ 91 представимо в виде

/г

А= Ш [aft, Р6) Ца», РО ^ 1«, b)\(Н.1)

к=1

где полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются. Объемом V (Л) множества Л £ 9i назовем сумму объемов составляющих его полуинтервалов.

Теорема ILL Введем на алгебре 91 функцию р, полагаяр(Л)=Т(Л) (Л^91, Л=^0), р(0) = О.

Функция р является мерой на 91.

Доказательство практически ничем не отличается oi доказательства теоремы 9.1. К

Определение ILL Пусть р* —внешняя мера, построенная по введенной в теореме 11Л мере; уЛ-измеримые подмножества полуинтервала 1а, д') называются измеримыми по Лебегу, а продолжение т меры и на о-алгебру Ж — 91 ([а, Ь^ измеримых по Лебегу множеств называется мерой Лебега.

Как и в Щ, мера ограниченных множеств в ^л' не зависит от выбора исходного полуинтервала \а, Ь\ Теоремы 9.2 — 9.7 также непосредственно переносятся на случай R^.

Ограниченное многообразие Г с: Rv, dimr<;;V, назовем регулярным, если Ve > 0 существует конечная система Л полуинтервалов, покрывающая Г и такая, что ц (Л) < ь. Так, например, для регулярности (^ — 1)-мерного многообразия достаточно, чтобы его можно было задать уравнением вида

^к " / С^Ь • • • , ^к-г» ^kVH - * • » ^я^

где/ определена и непрерывна на некотором компакте.

Теорема 1L2. Если Г — ограниченное регулярное многообразие в R^, размерность которого меньше N, то Г измеримо по Лебегу и т (Г) — 0.

Доказательств о сразу следует из того, что р* (Г) = 0 в силу регулярности Г. g

Мера неограниченных множеств в [R-v определяется по тон же схеме, что и мера неограниченных множеств в R в § 10; теперь [—п, п) — полуоткрытый куб. Теоремы 10.1—10.5 также непосредственно переносятся па случай меры Лебега в IR^,

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть j^C ([а, Ь]) такова, что / (х) > 0 (х £ [а, 6]). Доказать, чю множество Л={(х3, х2) i а < хх с Ь, 0 с х., с / (xj) борелевское и //г (/1) =

~ § f (х) dx.

а

Найти меру Лебега следующих множеств:

a) A^Kxi, х2)£ IR2 | х^ + х^ < I}; б) {(xlf х2) € (iR \ (Q)2 i х[ + х^ 1};

в) подмножества А, состоящего из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.

Найти меру Лебега множества А, где

A = {(xlf x2)G[0,2] X [— 1>1] I sin л (xt + x2) | < ~ , cos л (хг — x2)G € IR\ ©};

А —{(хп x2, x3) G IR3 I Xx + x2 + x3 < 1, ^>0, x2>0, x3>0, x3 + + ^ + ^3 € iR \Q}*

Найти меру Лебега следующих подм ножеств^ единичного квадрата: а) «ковра Серпиньског о» А = 10,1] X [0,1] \ (D X Ь); б) «кладбища Сср- пиньского» В = D X D; в) «канторовой гребенки» Е = [0, 1] X D (D — кан- торово множество, см. упр. 9.4).

Построить пример убывающей последовательности (А,Р^ с 23 (1R2) такой, что т (AaJ ~. + со (/?G^) и В — Пт Ап таково, что выполняется одно /г ос

из следующих условий: а) т (Л) = 0; б) т (В) = 1; в) т (В) = + оо; г) 5 id (Г) X х Q, т ^ = 0; a) BoQxQ, т (S) = l; е) В => QXQ т (В) = + оо.

Н.6. Построить пример последовательности (Ап)^=1 попарно непересекаю- щнхся множеств из 23 (IR2), удовлсчворяющей одному из условий: а) т (Ап) — = 1 («G^), U A„ = IR2; б) т (Ап) = 4-оо (н^М); в) т (Ап) = + оо, 00 и Д,--=1К2.

Доказать, что утверждения упр. 9.7—9.13 останутся справедли- вымщ если в их формулировке заменить [а, 6) на R^.

Пусть a £ R^, Т : R'v R^ — невырожденное линейное преобразование. Доказать, что для произвольного борелевского множества A cR^, т ^ТА + о) = tn ({Гх^а | х б А}) — 1 det Т ; m (А). Вывести отсюда, что мера Лебега множества не меняется при параллельных переносах и ортогональных преобразованиях.

Доказать, что любая мера р на 23 (R^), принимающая конечные значения на компактах и такая, что р (А) не меняется при параллельных переносах, имеет вид р — ст, где с = р ([0, 1)).

ДИСКРЕТНАЯ МЕРА

Рассмотрим один из простейших способов построения меры в произвольном пространстве — построение дискретной меры. Эта мера имеет простой физический смысл —- она соответствует точечному распределению масс. Весьма важный способ построения меры во произвольной неубывающей функции изложен в § 14 после предварительного изучения свойств неубывающих функций.

Пусть R — произвольное пространство, (x^i — фиксированная последовательность различных точек R, (p,/)/Li — заданная последовательность неотрицательных чисел. На о-алгебре 91 = SR (R) всех подмножеств R зададим числовую функцию

И(Л)^' S И/) н(0)^О.(12.1)

Теорема 12.1. Функция ц, определенная равенствами (12.1), является мерой на о-алгебре 9L Ее называют дискретной мерой.

Доказательство. Доказательства требует лишь счетная аддитивность р. Пусть Д1, Д2, ...£9l, At(\Aj=0 (i Ф j). Тогда и U Л/€^, поскольку 91 является о-алгеброй; надо пока- зать, что ОО00

и( и Aj)= Ер(Д)./"=!/=1

Поскольку члены абсолютно сходящегося ряда можно переставлять и группировать, то из определения функции ц получаем

Н(иД/)=£ Ца = S Ра =S S На =

/=1ОООО/=1 6:ХЬ(Л г

/=100 /»1

= S рИ,). и

Из определения дискретной меры следует, что если множество А не содержит ни одной из точек хр то р(Д) = 0. Если ряд 5 р. сходящийся, то р(/?) = 2 р..< оо, поэтому в этом случае /=1 '/=1 '

мера р конечна. Если жемера р конечна. Если жеS Р//=1 'S Р//=1 '4* °°>4* °°>то мера р. может прини-то мера р. может прини-мать и бесконечные значения.мать и бесконечные значения.

мера р конечна. Если же

мера р конечна. Если же

S Р/

/=1 '

S Р/

/=1 '

4* °°>

4* °°>

то мера р. может прини-

то мера р. может прини-

мать и бесконечные значения.

мать и бесконечные значения.

УПРАЖНЕНИЯ

Докажите, чтоб последнем случае мера р является а-конечной.

Пусть р (Л) (Л с R) равно числу элементов множества А (\ 2, если оно конечно, и ~- оо в противном случае. Доказать, что р — а-конечная дискретная мера на ЭЛ (R).

12. 3. Построить пример дискретной меры на ЭЛ (IR) такой, что (V^^©): :р (^>0, p (!R) = 1, р (IR\©) = 0.

§ 13. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О НЕУБЫВАЮЩИХ ФУНКЦИЯХ

В этом параграфе будут изучены некоторые свойства неубывающих функций, которые понадобятся в дальнейшем. Все эти свойства (с понятными изменениями) имеют место и для невозрастающих функций.

Точки разрыва монотонной функции. Пусть задана неубывающая функция / : \а, 6] R, т. е. (а с хг < х2 < Ь) => (/ (х^с « / (х2)). Хорошо известно, что для неубывающей функции в любой точке х0 £ (я, ^) существуют односторонние пределы:

f(x0 —0)= lim f (х) = sup{/(x) |а < х<х0);(13.1)

/(x0 +0)^lim/(x) = inf{/(x)|x0<x<b},(13.2)

х>х0

а в точках а и b — соответственно правосторонний предел / (а + 0) и левосторонний / (6 — 0). Из равенств (13.1) и (13.2) и определения неубывающей функции, очевидно, следует, что

f(x„ —О)</(хо)</(хо + О) (Vx0E(a, 6)).

Определение 13.1. Скачком функции f в точке х £ (а, 6) называется число

Скачки в концах отрезка определяются так:

А, (а) = / (ц + 0) - / (а); А, ^ = М -Rb-^Y

Последние формулы становятся более естественными, если, как это обычно делают, продолжить функцию за пределы отрезка [а, Ы константами

fto = f^ (vx<ti), т = т Фх>ьу

Ясно, что скачок неубывающей функции в любой точке неотрицателен, причем функция / непрерывна в точке х тогда и только тогда, когда А/ (х) = 0. '

Теорема 13.1. Пусть f— неубывающая функция на отрезке [а, Ь] и сх, с2, .. . , сп — любые точки этого отрезка, тогда

^(c^f^-Ha).(13.3)

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что точки cv с2, ...,сп занумерованы в порядке возрастания. Кроме того, так как при отбрасывании некоторых точек с, левая часть (13.3) не увеличивается, то неравенство (13.3) достаточно доказать для того случая, когда концы отрезка входят в число точек е^ т. е. а = Су < с2 < • • • < сп = Ь. Тогда

S А/ ^ = / (а + 0) - / (а) + / (с2 + 0) - / (с2 -0) +

+ /(Cs + 0)-/(e3-0)+... +/|ф)-/(Ь-О).(13.4)

Сгруппируем слагаемые в правой части (13.4):

2 А/ (с^ = -/ (а) + (/ (О + 0) - / (с2 - 0)) + (/ (с2 + 0)-

- / (с3 - 0)) + • • • + (/ (cn-i + 0) - / ф - 0)) + / (6). (13.5)

Но поскольку / — неубывающая функция, то все разности в скобках неположительны, и из (13.5) непосредственно следует требуемое неравенство (13.3). ■

Упражнение 13.1. Выяснить геометрический смысл неравенства (13.3).

Теорема 13.2. Множество точек разрыва неубывающей на отрезке функции не более чем счетно.

Доказательство. Пусть D — множество точек разрыва функции f, неубывающей на отрезке [а, /?], т. е.

D = (х С [а, 6] | А/ (х) > 0}.

Тогда, очевидно, D = U Dk, где

*=1

Dk = |х€[а, 6]|Az(x)> j},

и для доказательства теоремы достаточно установить, что каждое из множеств Од конечно.

Рассмотрим некоторое Dk и пусть сг, . . . , сп 6 Dk\ тогда

У А/ (с.) > -^ • п, и в силу теоремы 13.1 получаем f(b) — / (я) > “, /=1

откуда п С к0(b)— /(я)); поэтому п не может быть как угодно большим, т. е. Dk конечно, и

Следствие 13.1. Если cv с2, ...— точки разрыва неубывающей на отрезке [а, Ь\ функции f, то ряд £ Af (с) сходится и

1>1(с;)<ЦЬ)-Ка).(13.6.)

/=1 '

Для доказательства достаточно записать неравенство (13.3) для точек разрыва сг, сг, ... , сп и перейти к пределу при п -> оо. э

Функция скачков и непрерывная часть неубывающей функции. Пусть /— неубывающая на отрезке [я, 61 функция. В дальнейшем всегда предполагается, что функция / нормирована условием непрерывности слева, т. е.

/(х —0) = /(х) (Vx£[a, 6]).(13.7)

Если это условие не выполнено, то всегда можно добиться его выполнения, изменив значения функции / в точках разрыва , т. е. положив / (с^) = / (ск — 0) в каждой из точек разрыва ск. Из условия (13.7) следует, что

А/ (х) == / (х 4- 0) — f (х) (VxE [а, 6]).

Определение 13.2. Функцией скачков данной функции f называется функция fd; [a, b] -> 1R, определяемая следующим образом;

Ма) = ММ = S ^f(ci), x^(a, b\, '(13.8)

где cp c2, . .. — точки разрыва функции f.

Теорема 13.3. Функция скачков неубывающей на отрезке непрерывной слева функции — также неубывающая и непрерывная слева функция.

Доказательство. То, что fd — неубывающая функция, сразу следует из (13.8), так как скачки А/ (с,) неотрицательны.

Покажем, что fd непрерывна слева, т. е. что lim fd (х) = fd (х0)

х -* х0—О

(Vx0C(a, 6]). Это означает, что для любого е>0 найдется такое 5>0, что (х0 — ^<x<xn)^(fd(x0)~ /Дх)<е), т. е.

SСГSСГ< 8.< 8.(13.9)(13.9)

S

СГ

S

СГ

< 8.

< 8.

(13.9)

(13.9)

Если левее х0 лежит лишь конечное число точек разрыва, то выбрав б так, чтобы в интервале (х0 — 6, х0) не было точек разрыва, получим fdfx^— fd^x^1^ (Vx£(x0— б, х0)). Пусть имеется бесконечное множество точек разрыва с. <х0. Обозначим эти точки qv q2, .... Тогда в силу следствия 13.1 ряд ^АД^) сходится, поэтому найдется такое п, что У А/(9.) < 8. Выбрав б так, чтобы точки qv q2, t/3, . . . , q„ лежали левее ха— б, получим, что при д„— 6<х<х0 выполняется (13.9). И

Определение 13.3. Пусть fd — функция скачков неубывающей на отрезке It?, б] функции f. Тогда функция fc = f — fd называется непрерывной частью Функции f.

Название «непрерывная часть» оправдывается следующей теоремой.

Теорема 13.4. Пусть f — неубывающая на отрезке [а, б] непрерывная слева функция. Тогда ее непрерывная часть fc — неубывающая и непрерывная на отрезке 1а, б] функция.

Доказательство. 1) Покажем сначала, что fc — неубывающая функция. Пусть а с х' <_х" < Ь, тогда

fc ^') - f. (V) = { (х") - fd (х"). - (/ (X') - fd (X')) =

= (/ (х") - f (x')) - (fd (x") - fd (x')).(13.10)

Но, как следует из определения функции скачков и из неравенства (13.6),

ГДх")-Ых')=5А,(с)</(х")-/(х'),

j:x'<Cj<x"

поэтому правая часть (13.10) неотрицательна, следовательно, fc(x")— — f, (х') > 0, т.. е. f — неубывающая функция.

Функция f, непрерывна слева как разность двух непрерывных слева функций; поэтому для доказательства непрерывности /0 достаточно показать, что она непрерывна и справа, т. е. что /С(хо+О) = ^/Дхо) (Хх0^\а, Ь)). Если х>х0, то

fd (х) — fd (х^ =-. У А/ (с ) > А; (хл) = f (х„ + 0) — f (х0). j-,Xn<Cf<X

Отсюда, переходя к пределу при х-»-х0, получим /d(xo + O)— — fM ^> / (Хо Т 0) — / (х0), откуда fr(x0 + 0) —fc<x0) ^ 0. Поскольку fc — неубывающая функция, то отсюда следует, что L(xo + O)— -/ (хо) = о. а

Замечание 13.1. Из равенства / = fd + fc сразу следует, что точки с. являются точками разрыва функции fd со скачками Д^(с;.)= = Аг (с^ и что во всех остальных точках отрезка [а, 6] функция скачков непрерывна.

Замечание 13.2. Если точки разрыва функции / можно занумеровать в порядке возрастания (или убывания), то функция скачков fd в интервалах между соседними точками разрыва постоянна и ее график представляет собой ступенчатую линию. Однако функция скачков может иметь и более сложную структуру. В частности, функция скачков может вовсе не иметь интервалов постоянства. Приведем пример такой функции. Пусть rt> га, .., тп, ...— последовательность всех рациональных чисел отрезка 1а, Ы и пусть скачок функции / в точке гк равен 2”*. Тогда функция скачков ^ (х) = = 5 2~* разрывна во всех рациональных точках отрезка [а, 6], непрерывна в иррациональных точках и строго возрастает на [а, 61.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть /—неубывающая на [а, Ь] непрерывная справа функция. Доказать, чю Jd (z) = ^ ^^ Д^ (ср (xg[a, bj) также неубывающая и непре

рывная справа функция.

Найти fd и fc для следующих функций:

a) f (х)=—[—х] ех; б) / (х) = —arctg [— х].

§ 14. ПОСТРОЕНИЕ МЕРЫ ПО НЕУБЫВАЮЩЕЙ

ФУНКЦИИ. МЕРА ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА

Пусть, как и при построении меры Лебега в § 9, R = [а, Ь) — фиксированный полуинтервал числовой прямой, 31 — алгебра,.порожденная системой всех полуинтервалов [а, р) g [а, 6), т. е. алгебра множеств вида

А = IJ [ар рД а;+1>рр(14.1)

причем полуинтервалы в правой части можно считать попарно не- пересекающимися.

На [а, 6) задана неубывающая, ограниченная и непрерывная слева функция f (х). Для такой функции, как известно, существует и / (6 — 0), поэтому можно считать, что функция задана на 1а, Ь]. Приращением функции f на полуинтервале [а, р) ед [а, 6) естественно назвать величину

А (а, Р)/= / (Р) —/(а).

Для любого множества Д Е 9? вида (14.1) положим кк

А (Д) / = £ A (ар PJ f = S (/ Фа - / №(14.2)

Если функция / непрерывна на [а, Ь\, то той же формулой (14.2) мы будем определять A (A)f для множества А, являющегося конечным объединением открытых (замкнутых) промежутков.

Заметим, что если / (х) = х, то А (Д) f совпадает с длиной А и все дальнейшие построения совпадают с построением меры Лебега в§ 9.

Теорема 14.1. Введем на алгебре 9? функцию р/, полагая р/ (Д) = = А (Д) / (Д Е 91, А Ф 0); р/ (0) = 0. Функция р/ является конечной мерой на 31.

Доказательство. Поскольку /— неубывающая функция, то р; (Д) > 0 (VД Е 9?). Поэтому надо проверить только счетную аддитивность р,. Если fd nfc — соответственно функция скачков и непрерывная часть функции /, то/ (х) = fd (х) + f* (х). Тогда в естественных обозначениях получим

р^ (Д) = р^ (Д) + р^ (Д),

и счетную аддитивность достаточно проверить для каждой из функций у^ и pff.

Обозначим, как и выше, (c;.)/Li — последовательность всех точек разрыва функции / на [а, Ь) и положим р. = А/ ^с^. Тогда для любого полуинтервала [а, Р) s [а, 6) получим

Ру ([«, Р)) =fd^ — М“) = S Af(c) = Pz,

поэтому для любого множества Л £ 91

р, (Д)= S и,-

р.с^А 1

причем ряд У р. сходится. Таким образом, р. —конечная дискрет- /=1 1

ная мера (см. § 12), поэтому, в частности, pf счетно аддитивна.

Покажем, что р^ также является счетно аддитивной (конечная аддитивность pf очевидна). Это доказательство совершенно аналогично проведенному в § 9 доказательству счетной аддитивности при построении меры Лебега. Пусть Av, Д2, . . . Е 31, At Q А]=

= 0 ^ ^ [) и А = U Д/Е31. Покажем, что тогда

/=1

PfcH)= 5р,г(Д/).(14.3)

Поскольку множество А как элемент 91 является объединением конечного числа полуинтервалов и U А,г А При любом п, то в силу конечной аддитивности p.f

5 И,)( и а,) < р (Л).

^ tyr (А/) < р.^ (Л).^ tyr (А/) < р.^ (Л).(14.4)(14.4)Отсюда, переходя к пределу при п->оо, получаем

^ tyr (А/) < р.^ (Л).

^ tyr (А/) < р.^ (Л).

(14.4)

(14.4)

Установим противоположное неравенство. Зададим произвольное число е > 0. Множество А — эго объединение конечного числа полуинтервалов вида (14.1). Поскольку))— непрерывная неубывающая на [а, Ь) функция, то для каждого из правых концов полуинтервалов (ф найдется такое Р), а, •< р, •< р;, что fc ф,) — fc (Р) )< < у. Если заменить правые концы р,- точками р;, то для объединения ЛЕ полученных замкнутых промежутков выполняется неравенство

Д(Д)/с<Д(Ле)/,+в. (14.5)

Аналогично для каждого из множеств Л/ сдвинем влево левые концы составляющих полуинтервалов и обозначим через Л/ объединение получившихся открытых промежутков. При этом, воспользовавшись непрерывностью )с, возьмем сдвиги столь малыми, чтобы выполнялись неравенства

^А^С<А^А^\А-1Г(14.6)

Поскольку АЕ с A, AjcAE, то нзЛ = U А, следует, что

Ае с

По лемме Гейне—Бореля из покрытия компакта АЕ открытыми множествами можно выбрать .конечное покрытие, т. е. при некотором п

ЛЕ с= U Л).

Тогда, учитывая (14.5) и (14.6), получаем

li/f (Л) = Д (Л) /, < Д(Ле) /г-1-8 < £ A (А^ fк < V а (д.) f( +

/-1/-1 .

откуда

H/fM)< S Р/сИ,) + 2s;

поскольку e>0 произвольно, то, переходя к пределу при е->0 получаем

Р/Д^) < 1л1/с (М

что вместе с (14.4) доказывает требуемое равенство (14.3). ■

Определение 14.1. Пусть р* — внешняя мера, построенная по мере р/, определенной равенством (14.2). Продолжение меры р/ на о-алгебру у*-измеримых множеств называют мерой Лебега — Стилтьеса, построенной по неубывающей функции (.

Очевидно, pf — конечная полная мера. Заметим, что, как уже указывалось выше, в случае функции / (х) — х мера Лебега — Стилтьеса совпадает с мерой Лебега.

Установим некоторые свойства меры Лебега — Стилтьеса; эту меру будем для упрощения записей также обозначать рр

Теорема 14.2. Всякое одноточечное множество { х) а [а, 6) измеримо, причем

р,({х}) = А,(х).(14.7)

Доказательство. Измеримость одноточечного множества (х} следует из того, что его можно представить как пересечение полуинтервалов:

М = П х, х +

где к выбрано таким, что х + у < Ь. Поскольку полуинтервалы в правой части образуют убывающую последовательность, то по теореме о непрерывности

= /(х-Н0) —/(х) = АДх). й

Теорема 14.3. Любой промежуток (открытый, замкнутый' полузамкнутый), лежащий на [а, 6), измерим.

Действительно, промежуток вида [а, (3) измерим по определению. Любой другой промежуток измерим как объединение или разность измеримых множеств:

[а, ₽] = [а, P)U{P), (а, Р1 = [а, Р1\{а},(а, р) = (а, р]\{р}. ■

Теорема 14.4. Любое борелевское подмножество полуинтервала [а, Ь) измеримо.

Действительно, система борелевских множеств 53 ([а, 6)), как минимальная о-алгебра, порожденная системой всех интервалов, входит в о-алгебру всех измеримых множеств. ■

Замечание 14.1. Пусть /? = 1R, 9? — алгебра, порожденная системой всех полуинтервалов [а, р), —оо ^ а < р с + оо. На 1R задана неубывающая, ограниченная и непрерывная слева функция / (х). Для такой функции, как известно, существуют пределы /(—оо) = Игл / (х), /(-|-оо) = Игл / (х). Проведя для этого слу- чая все предыдущие рассмотрения, мы получим конечную меру Лебега—Стилтьеса на всей числовой прямой IR.

Замечание 14.2. Пусть/ — неубывающая непрерывная слева на [а, 6) функция, для которой lim/(x) = + оо. В этом случае ж—&—О

по функции / также можно построить меру Лебега — Стилтьеса, но она уже не будет конечной. Для построения этой меры заметим, что для любого е > 0 функция / на /?е = [а, 6 — е) ограничена и по ней можно построить конечную меру Лебега — Стилтьеса pf на Re. Множество Л = [а, Ь) назовем измеримым, если для любого е > О множество A Q Va, Ь — е) измеримо в пространстве RK. В этом случае

(Л) = Нт р., (Л Д [а, 6 — е)).

Предел в правой части (конечный или бесконечный) существует, так как благодаря монотонности меры pf (Л Q Va, b — е)) — неубывающая функция от в.

” Г 1 \

Построенная мера о-конечна, поскольку [a, b) = U а, 6),

4=1 L п1 а множества ^cz, b— ^ имеют конечную меру.

Замечание 14.3. Аналогично строится мера Лебега — Стилтьеса на всей прямой IR по неубывающей на IR непрерывной слева неограниченной функции. Это построение проводится как и при построении меры Лебега на прямой (см. § 10) с помощью расширяющейся системы полуинтервалов. Полученная мера о-конечна.

Замечание 14.4. Все рассмотрения этого параграфа без существенных изменений переносятся на случай n-мерного пространства IR". Так, мера Лебега—Стилтьеса в IR" строится по функции / (х1( х2, .., х„), непрерывной слева по каждой из переменных и удовлетворяющей условию

Мйр 61)А2(а2, Ь^ ... \п{ап, Ьп^ ^ ...» х„)>0 kN а = (а,а^, b = Vbv ..., bn)£ IR", ак < bkY (14.8)

где А6— разностный оператор по к-и переменной — определяется формулой:

Aft («а> b^ f (xv ..., xn) = / (Xi, ... , xk_v bk, xk+1, ... , x„) —~ / k^v • • • > ^ft-i> as> ^-ft+i, • • • , xn).

В частности, мера Лебега ограниченных множеств в IR” (см. § И) строится по функции / (xv х2, ..., х„) = XjX2 ... хп. В общем случае мера «-мерного полуинтервала [а, 6) определяется равенством

И/([а, b^-k^Ov Ь1)\2(а2, Ь2) ... ^(ап, b^b

Полученная мера конечна, если функция / ограничена, и а-конечна в случае неограниченной функции /.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть / — неубывающая на IR непрерывная слева ограниченная функция, р^—построенная по ней мера Лебега—Стилтьеса. Найти меру р^ следующих множеств: (а, 6), (а, 6], [а, Ь], [Ь, +°°), (—°°, я], (—^ а), (6, +«>).

Доказать, что мера р^ построенная по функции f (х) =— [—х], совпадает с мерой из упр. 12.2.

Пусть / (х) = х — [—х], xgIR. Доказать, что р^ (Л) = т (Л) Д- р (Д), где Л с IR — измеримое по Лебегу, р—мера из упр. 14.2. Определить р^ (Л), если: а) Л = [—п, Щ (n g М); б) А = (—п, n)\Q (п g И); в) {xg IR | 1п х < 2}.

Пусть Д—неубывающая на 1R непрерывная слева функция (&=1, ...

... , п). Доказать, что / (хи .. . , хД = [f (б (хД удовлетворяет условию

Определить рД[а, 6]), где р^ — построенная по / мера Лебега—Стилтьеса в IR".

Пусть Цхг, х2)—дважды непрерывно дифференцируемая функция на IR2 такая, что (V (х,, х2) g IR2): fi2 (хь x2) > 0. Доказать, что: a) / удовлетворяет условию (14.8); б) р^ ([а, 6)) = ^ f"2 (х,, х2) dx, dx2.

Привести пример функции /(xltx2), неубывающей и непрерывной слева по каждой из переменных, но не удовлетворяющей условию (14.8).

§ 1$. ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПО МЕРЕ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА

В § 14 было показано, что каждая неубывающая непрерывная слева функция определяет на прямой конечную или о-конечную меру Лебега — Стилтьеса. Следующая теорема показывает, что этот способ построения мер на прямой является в определенном смысле единственным.

Теорема 15.1. Пусть задана a-конечна я мера р на а-алгебре 91 подмножеств IR, содержащей систему всех борелевских множеств % (IR). Тогда существует неубывающая непрерывная слева функция f: IR -»• IR, такая, что мера р совпадает на ® (IR) с мерой Лебега — Стилтьеса р/, построенной по функции f.

Доказательство. Для простоты ограничимся доказательством для того случая, когда мера р конечна. Положим

f(x) = p((-oo, х)) (x£IR)(15.1)

и покажем, что эта функция является искомой.

Покажем,' что функция / неубывающая. Если хх<.хй, то (—оо, хг) с; (—оо,х.2у и в силу монотонности меры

/ (х^ = и ((— оо, хО) с р ((—со, х2)) —/(х2).

Покажем, что функция / непрерывна слева, т. е. что Цх — 0) = / (х) (Ух£Ж). Пусть (х,г)7=1 — произвольная возрастаю

щая последовательность, такая, что Игл х(1 = х. Тогда (J (—оо, х„)=

— (—оо, х) и в силу теоремы о непрерывности для объединений lim / (х,) = Пт ц.((—оо, х,)) = р((—оо, х)) = /(х).

Пусть и^ — мера Лебега — Слилтьеса, построенная по функции /. Покажем, что р^ — р на ® (IR). Пусть [а, 6) S Ж — пго- изгольный полуинтервал. По определен ню меры Лебега — Стнлн.е- са имеем, учитывая субтрактивпость меры и:

р/ ([tz, Р)) = / (Р) — f (а) — и ((—со, р)) — р ((—оо, а)) == [I ((—оо, р)\(—со, а)) = р ([а, р)),

т. е. на любых полуинтервалах вида |а, р) меры pf и р совпадают. Отсюда следует, что они совпадают и нт алгебре 91, порожденной системой всех полуинтервалов [а, р) г Ж- Теперь из теоремы о единственности минимального продолжения меры следует, чю Р/ (/1) = р (Л) для любого А £ % (Ж). ■

Замечание 15.1. В случае а-конечной меры р функцию / нельзя определить формулой (15.1), так как может оказаться , что р ((—со, х)) = +оо. В этом случае функцию / можно определить, например, так:

р([0, х)), х>0,

/W/W0, х = 0,. —1* ([я, б)), х < 0.

/W

/W

Предлагаем читателю самостоятельно доказать теорему для этого случая.

УПРАЖНЕНИЯ

Определить функцию / из замечания 15.1 для меры Лебега.

Пусть р —конечная мера па ® (IR"). Доказать, что функция /(хъ ...

-(—ос, хД) (-г» < 1R): а) непрерывна слева по каждой пере

менной; б) удовлетворяет условию (14.8); в) мера Лебега—Стилтьеса р^ совпадает с р.

§ 16. ЗАРЯДЫ И ИХ СВОЙСТВА

Понятие заряда. Разложение в смысле Хана. В этом параграфе будет введено понятие заряда — простое и естественное обобщение понятия меры, и изучены свойства зарядов. Слово «заряд»

заимствовано из физики. Заряд в физике отличается от массы тем, что масса всегда неотрицательна, а заряд может быть любого знака. Таково же отличие заряда от меры.

Определение 16.1. Пусть ь пространстве R задана а-алгебра подмножеств 91 и на 91 задана вещественнозначная функция со:

91 ЭЛ 1*о)(Д)еК.

Функция, (о называется зарядом, если выполнены следующие условия-. 1)(о(0) = О;

функция го счетно аддитивна, т. е. если Лт, Л 2, ... ^ 91, Л; Q Л/ = 0 <1 5b ]^ ТО

®( и Лу) = У (О И/).

Подчеркнем, что мы рассматриваем заряды, принимающие лшиь конечные значения.

Из определения сразу следует конечная аддитивность и суб- грактивносгь заряда, а также теоремы о непрерывности для объединений и пересечений, совершенно аналогичные теоремам 6.2 и 6.3.

Пример 16.1. Пусть р, v — конечные меры, заданные на а-алгебре И подмножеств R. Положим

w(/l) р (Л)- v(4) (V^GiH).

Тогда со — заряд. Действительно, проверим выполнение условий 1), 2): 1) ®(0) = р (0)- v(0) = O;

<о (£ А^ = ц ( J ?),))— v (д Aj^ = У р (.Л;', - ^ v (А^ =

= 5 (И - v (Д,)^ \>(Л .).

Ниже будет показано, что этот пример имеет общий характер, т. е. что всякий заряд можно представить в виде разности двух мер’. Для этого понадобятся некоторые предварительные рассмотрения.

Теорема 16.1. Всякий заряд ограничен, т. е. существует такое С > О, что | со (£) | с С V^E g 91).

Доказательство. Покажем, что множество {о; (£)[ Е g С 9?} ограничено сверху; ограниченность снизу доказывается аиало- тично. Допустим противное, пусть sup го (£) = 4- оо. Назовем мно-

жество Л g 91 неограниченным для заряда <о, если

sup го(£) = 4-со.

ЕЕ А, Е^

Сделанное допущение означает, что все пространство R является неограниченным для со.

Возможны следующие два случая:

Всякое неограниченное множество из 91 содержит неограниченное подмножество, заряд которого как угодно велик.

Существует неограниченное множество Л £ St и такое число N > 0, что для любого неограниченного множества В г А выполняется условие со (В) с N.

Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

В первом случае рассмотрим произвольное неограниченное множество А (например, А = Р). Тогда существует такое неограниченное множество Av s А, что со (Лг) > 1. Аналогично построим неограниченное множество Л2е Л! чакое, что со (Л2) >2, и т. д. Мы получим убывающую последовательность множеств (Лп)^! такую, что со (Л„) > п. Тогда по теореме о непрерывности для пересечений получаем

со( Л Л„) = Птю(Лп) = Л-оо,

П=1П^ео

е. построено множество, заряд которого бесконечен, что невозможно .

Во втором случае рассмотрим неограниченное множество А, о котором говорится в условии 2). Поскольку А — неограниченное множество, то существует Л, с: А такое, что со (Л,) > N. Это неравенство показывает, что множество Ах не может быть неограниченным, поэтому неограниченным является Л\Л,.

Аналогично найдем такое множество В, с: А\ЛП что со (BJ >1. Поскольку Аг П Вх = 0, то со (Л। [J Si) = ю (Л^ + со (BJ > > N + 1, и, следовательно, Ах U Вх не является неограниченным. Поэтому Л\(Л! (J BJ — неограниченное множество. Аналогично строим В2 с: Л^ \(Л, у Sj) такое, что со (В2) з> 1, причем со (Лт (J U S, [J В2) = со (ЛЛ + со (BJ + со (В2) > N + 2, т. е. множество Л, U Вх (J В2 также не является неограниченным, значит, Л\(Л! U St U В2) — неограниченное множество. Продолжая этот процесс, мы получим последовательность попарно непересекающих- ся множеств Вх, В2, . . . , Вп, ... £ 9i таких, что со (В,) > 1. Тогда

ОООО00

и Bn g 9i и со( U В^ = У, со(В„) = 4-оо, что невозможно. Следо- П=ЛП = 1П“1

вательно, допущение о неограниченности заряда неверно. ■

Определение 16.2. Множество Е называется положительным (отрицательным, нулевым) для заряда to, если Е £91 и to{F)^ 0 (ю (В) с 0, со (В) = 0) для любого F G Е, F £91.

Пустое множество, очевидно, является и положительным, и отрицательным, и нулевым.

Лемма 16.1. Положительные (отрицательные, нулевые) множества образуют п-кольцо.

Доказательство проведем для положительных множеств; для отрицательных и нулевых оно совершенно аналогично.

. Пусть Ег, Е2—положительные-множества. Покажем, что и множество В^Дз также положительно. Пусть В £ 91, В г Е-(хЕ2,

тогда Fc ^ и по определению положительного множества со (F) > >0. Следовательно, Е^Ег положительно.

. Пусть Ev Е2, . .. — положительные множества. Покажем, что и U Et также положительно. По лемме 2.1 построим попарно непересекающиеся множества Bv В2, ... такие, что Bi £ 9i, B^Et и о Bt = U Ei. Пусть Fg9l, Ес ц Ei, тогда c=i i=i/=1

F = F 0 ( U Ei) = F П ( 5 В^ = U (F 0 В,)i=ii=ii=i

и в силу счетной аддитивности заряда

ш^Е)= ^ю(ЕаВ().(16.1)

i=i

Но F ft ВДЖ и F ft В, с E£i поэтому в силу определения 16.2 все слагаемые в правой части (16.1) неотрицательны. Следовательно,

со (F) > 0, т. е. (J. Е; — положительное множество. ■

Если электрический заряд распределен на некоторой поверхности, то эта поверхность естественным образом разбивается на две части, одна из которых песет положительный заряд, а другая — отрицательный. Следующая теорема дает математическое обоснование этого факта.

Теорема 16.2 (о разложении в смысле Хана). Для любого заряда со существуют такие непересекающиеся множества R+ и R_ , что

R = R+ U R-,

причем множество R+ — положительное, a R_ — отрицательное для заряда со.

Говорят, что R+ и R_ образуют разложение в смысле Хана пространства R относительно заряда со.

Доказательство. Поскольку в силу теоремы 16.1 заряд ограничен, то существует <z = inf о) (Е), где точная нижняя грань берется по всем отрицательным множествам Ее р. Покажем, что этот инфимум достигается на некотором отрицательном множестве. Пусть (E„)^=i — последовательность отрицательных множеств такая, что limco(E„) = а. Положим R_ = U Еп. В силу леммы 16.1

П-*ооП=1

R_ — отрицательное множество. Покажем, что со(Д_) = а. Очевидно, Об пп

R_ = U ( U Е*), причем множества Сп = (J Ек образуют возра- n=l k='k—1

стающую последовательность отрицательных множеств. Кроме того, функция множеств — со является, очевидно, конечной мерой на сг-кольце отрицательных множеств. Применив теорему о непрерывности и монотонность меры, получим

—ю(/?_) = —ro( U C,i) = lim(- 'o(C„)) — —lim m( Ц E^ >

Н=1Л-*»n^-oo A?=l

> —lim to (En) = —a,

откуда to(R_)<a. Так как a = inf ш(Е), то отсюда следует, что to(RJ) — а.

Покажем теперь, что множество R+ = J?\/?_ является положительным. Предположим, что R+ не является положительным, т. е. что R+ содержит подмножество Brt £ 9i такое, что го (Вп) < 0. Множество Во не может быть отрицательным, так как в противном слу- чае множество /К (J Bq также было бы отрицательным и при.этом от (R_ U В^ = го (R_) + го (В^ < го (R_ ) = а, ч то невозможно. Поэтому Во содержит подмножество, на котором го принимает положительное значение. Пусть пх -— наименьшее натуральное число, для которого множество Во содержит подмножество Вх £ Ш такое, чю го ^В^ > . В силу субтрактивности заряда

to(B0\5i) = го(В0)— to(Bt) < го(В0) —<0.

Как и Во, множество Во\ Вх не может оказаться отрицательным. Подобно предыдущему обозначим, через п2 наименьшее натуральное число, обладающее тем свойством, что существует подмножееню В2 с Ж множества ВП\В1, для которого го(В2)> —. Продолжив этот процесс неограниченно, получим поеледо’ ательпость множеств ^В^к=\ таких, что ВксВ,\ U В,-, ы(Вк)^> — и пк — наимень- шее натуральное число, обладающее этим свойством. При этом

<Уго(В1) = ю( U ВА)<-|-оо в силу конечности заряда, к—\к=\

поэтому lim — = 0. Положим

Fo = Во\ U Rkк=\

и покажем, что Кд— отрицательное множество. В противном случае существовало бы подмножество F a F^, F Э1, го (F) > 0.

Положим т = [(y^j + 1 и выберем настолько большое к, чтобы было пк ^> т. Тогда

6—1

Вк Cl F с. Во\ [J Вh го (Вк U К) = го (В*) -|- го (К) >

.1 , 1 _ 2'1

^ [- ГО \г) Д>— ^> — ^- ■,

пк' Пкт "6 «6—1

что противоречи т минимальности лА.

Итак, Ео — отрицательное множество, причем FQ [) R_ = 0 и

(О (Еэ) = со (Во) — 5 0) (Bfe) -< 0) (Во) < 0.

Тогда/?. U Вп — также отрицательное множество и со (/?_ (J Во)= = о) (/?_ ) + со (Вп) < со (/?_ ), что противоречит минимальности заряда R_ . Итак, сделанное допущение привело к противоречию, поэтому R+ — положительное множество. 8

Замечание 16.1. Легко видеть, что разложение в смысле Хана единственно с точностью до нулевых множеств для данного заряда.

Действительно, пусть имеются два разложения в смысле Хана: R = R,. (J R_, R = R+ у R_. Покажем, что тогда симметричные разности RAR+ и RJ\R'_— нулевые множества для заряда со. Пусть E£9i, E^RjMA- Поскольку

д+а r; = (/?+ \/?+) и (/?;\ r^ =,(/?+ n R'_) u(R;n R-Y

то Е s R+ U R’+ и Е г R_U R'_, поэтому со (Е) > 0 и одновременно со(Е)сО, т. е. со(Е)=0. Таким образом, R+kR+— нулевое множество. Аналогично доказывается, что и R_^R'_ является нулевым множеством. Н

2. Разложение в смысле Жордана. Пусть на о-алгебре 91 подмножеств пространства R задан заряд со и пусть

R = R+ U R-(16.2)

— разложение в смысле Хана пространства R. Для любого множества Е С 91 положим

со+ (Е) = со (Е П RJ, to- Ю = -®(Е П R-)-

Из замечания 16.1 следует, что функции со+ и со_ однозначно определены на о-алгебре 91 (т. е. не зависят от разложения (16.2)).

Определение 16.3. Функции множества со+ и со_ называют, соответственно положительной и отрицательной вариациями заряда со. П о лно й вариацией заряда со называют функцию множеств |со| , определяемую равенством

|со| (Е) = со+ (Е) + со_ (Е) (Е £ 91).

Из определения непосредственно следует, что положительная, отрицательная и полная вариации произвольного заряда являются конечными мерами. При этом имеет место следующая теорема.

Теорема 16.3. Всякий заряд можно представить в виде разности двух конечных мер:

со (Е) = со+ (Е) — со_ (Е).(16.3)

Доказательство. Воспользовавшись разложением в смысле Хана (16.2), получаем для любого Е £ 91:

Е = (Е П Д+) U (Е П R-V

причем множества в правой части не имеют общих точек. Отсюда в силу аддитивности заряда

CD (£) - 6) (Е Л Ra + CD (Е Л /?_) = ю+ (^)- to- (^)- Я

Представление заряда в виде разности его положительной и отрицательной вариаций называется разложением заряда в смысле Жордана.

Замечание 16.2. Представление заряда в виде разности двух мер неединственно. Действительно, пусть со = оц — со_ — разложение в смысле Жордана и пусть р — произвольная конечная мера. Тогда

со = (со+ + р) — (со_ + р)

— также представление заряда в виде разности двух конечных мер.

Отметим, что разложение в смысле Жордана является минимальным в следующем смысле: если со = со+ — со_ — разложение в смысле Жордана и со = р, — v — другое представление ю в виде разности конечных мер, то со+ (Е) < р, ^Е), со_ (Е) < v (Е) (VEg9t).

Действительно,

со+ (Е) = со (Е Л R+) = И (Е Л R+ ) — v (Е Л R+ ) «« р (Е Л R+) < и ^у

Аналогично

®- (Д) = _ю (Д л я.) = _ (ц (£ л Е_) - v (Е Л /?_))=

= v (Е Л /?-)-ц(Д Л R-) П R-)(Д). я

Замечание 16.3. Все рассмотрения этого параграфа нетрудно перенести на заряды, которые могут принимать и одно из бесконечных значений + оо или —оо.

Замечание 16.4. В некоторых случаях приходится рассматривать и заряды, принимающие комплексные значения. Если на ст-алгебре Ж подмножеств R заданы два заряда сот и со2, то функцию множеств со = сот + /со2 называют комплекснозначным зарядом. Таким образом, в этом случае

91 Э Л со (Л) (С .

Комплекснозначный заряд, как и вещественнозначный, счетно аддитивен и ограничен.

УПРАЖНЕНИЯ

Обозначим через V (R) совокупность всех зарядов на (R, К). Доказать, что W (R) является линейным пространством над полем R. Описать W (R) в случае, когда R = {1, 2, ..., /V}, К = ЭЛ (Ry

Пусть (I — мера на !R, 0 : !Н ->- R — аддитивная функция множеств» удовлетворяющая условию (Ve > 0) (36 > 0) (УЛ £ 91: р (Л) < 6): | 6 (Л) | < е. Доказать, что 9 — заряд.

Пусть р, v — конечные дискретные меры иа R. Найти разложение Хана для заряда со = р — v.

Доказать, что: а) (УЛ € ^): ®+ (Л) = sup {со (В) | В с А, В^^, ю. (Л) = sup {—со (5) | Я с: Л, 5 £ 91}; б) с < | со | (R) с 2с, где с = = sup {|со (Л) 11 Л £ 91}.

Для cOj, со2 g W (R) положим d (со,, соа) = | сог — со3 |(/?). Доказать, что (W (R), d) является метрическим пространством, сходимость со„->-со в котором равносильна тому, что sup { ] соп (Л) — со (Л) I | Л (ЛП -> 0 при п->оо.

Доказать, что ( W (R), d) — полное метрическое пространство.

Пусть р — конечная дискретная мера на IR. Найти разложение Хана для заряда со = т — ри разложение Жордана для со.

§ 17. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

С ЗАРЯДАМИ

В этом параграфе будет показано, что любая функция ограниченной вариации определяет некоторый заряд. Его построение совершенно аналогично построению меры Лебега — Стилтьеса по неубывающей функции.

Напомним сначала определение и основные свойства функций ограниченной вариации. Пусть задана функция / i la, 61 -> IR. Рассмотрим произвольное разбиение л отрезка [а, 61: а = х0 <хг < <х3 <... <X„_j <х„ = b и положим

n—1

Vn(/; К =|/(xw)-f(^)|.

4=0

Если множество (Ул(/; la, 6])} ограничено, то функция / называется функцией ограниченной вариации. Вариацией функции называется число

V(/; la, 61) = sup £ И(хА+1) — /(х„)|.л k=0

Нетрудно видеть, что ограниченную вариацию имеют функции следующих классов:

ограниченные монотонные функции; для таких функций

W, la, 6]) = |/(6)-/(я)|;

функции, удовлетворяющие условию Липшица, т. е. такие функции f, для которых

(3c>0)(Vx', х"61а, 61): | / (х ) — /(х")| <с|х'-х"|.

В частности, всякая функция / ( С1 [а, 6] является функцией ограниченной вариации.

Хорошо известны следующие свойства функций ограниченной вариации:

сумма и произведение двух функций ограниченной вариации являются также функциями ограниченной вариации-,

если с — любая точка интервала (а, 6), то

V (/; 1а, 61 ) = V (/; [а, cl) + V (/; [с, 61);

теорема Жордана. Функция f имает ограниченную вариацию на отрезкеХа, Ь\ тогда и только тогда, когда она представима на этом отрезке в виде разности двух неубывающих функций.

Указанное представление функции ограниченной вариации может быть построено, например, так:

/ to = Ф to — Ф to,

где <р (х) = V (/; [а, xl), ф (х) = ф (х) — / (х). При этом если / непрерывна слева (справа ) в точке х0 £ (a, bl, то и ф непрерывна слева (справа) в этой точке.

множество точек разрыва функции ограниченной вариации не более чем счетно.

в силу теоремы Жордана для функции ограниченной вариации, как и для неубывающей функции (см. §13), имеет место представ- ление

f to = fd to + fc to,

где fd (x) = 2 А/ (c/) — функция скачков, fc (x) — непрерывная l":cj<x

на [a, b\ функция (Cj — точки разрыва функции f).

Рассмотрим теперь вопрос о построении заряда по функции ограниченной вариации.

Пусть / — непрерывная слева функция ограниченной вариации на отрезке [a, bi. Тогда имеет место представление

f (х) = Ф (%)—ф(х),(ПЛ)

где Ф, ф — неубывающие ограниченные функции, непрерывные слева. Обозначим через цф и ц^ построенные по этим функциям меры Лебега — Стилтьеса, определенные, по крайней мере, на а-алгебре борелевских множеств 35 (la, 6)), и положим

со/^^р.Д^-р.ДЛ) (V£6®(la, b)).(17.2)

Поскольку цр и ц^ — конечные меры, то со/ — заряд. Покажем, что он не зависит от выбора функций ф иф в представлении (17.1). Действительно, если [<z, Р) s 1а, 6), то

«Г ([а, Р)) = Ир (la, Р)) — Иф ([а, Р)) = ф (Р) — Ф (а) — (ф (Р) — — ф (а)) = ф (Р) — ф (Р) — (ф (а) —ф (а)) = / (Р) — / (а),

т. е. со/ ([а, Р)) не зависит от вида представления (17.1). Отсюда следует, что и для любого Е £ 55 (la, 6)) значение от/ (Е) не зависит от выбора ф иф в представлении (17.1).

Теорема 17.1. Пусть со/ —заряд, построенный по функции f, имеющей ограниченную вариацию на la, М, | со/1 — его полная вариация. Тогда

1«И([«, Й)) = У(/; [а, Ы).

Доказательство. Построим для заряда со/ его разложение в смысле Жордана:

(ШЖ — to)-;

поскольку (о)Дь и (о>,)_ — конечные моры на ®([й, Ь)), они являются мерами Лебега — Стилтьеса для некоторых неубывающих функций: (оу)+ = ®f+, («v)_ = №f_, причем / (х) = /+ (х) — /_ (х).

Пусть я! й = х0 < xt < х2 < . . . < хп_г «<хп = Ь — произвольное разбиение отрезка [й, Ь\. Тогда

S* I / (Х*+1) - / (X*) 1 С S I Л (ХМ) - к М I + S I /- (ХА+1) - к=6/г-06=0

- к (xk) I = (к (Ь) - к (а)) + (I (Ь) - к (а)).

так как к и /_— неубывающие функции, откуда

V^f; [й, 6]) = sup £о |/(хл.+1) — /(x/d)| «

«к^-кт-к^-к^.(17.3)

Кроме того,

1®/!([й, ^)) = “/+([«> ь^ + сощ ([а, Ь^ = ^k(b)-k(a) + k(b)-kk).(17.4)

'Сравнивая (17.3) и (17.4), получаем

I ®, |([а, b)) > V (/; [й, ЬУ).(17.5)

Установим противоположное неравенство. Положим

a(x) = l(V(f;[a, х]) + /(х)),

P(x) = ~(V(f; [я, х])-/(х)).

Непосредственно проверяется, что а, р — неубывающие функции, причем

f (х) = a (х) — 0 (х).

Этому представлению / в виде разности двух неубывающих функций соответствует представление заряда «; в виде разности двух мер Лебега — Стилтьеса:

(О/ = рк — Цр.

Отсюда в силу минимальности разложения в смысле Жордана (см. замечание 16.2) получаем

I “>/ | ([а, />)) =-- юи ([й, 6)) + оу _ ( [й, ЬУ) < ц« ([й, 6)) ++ Рр (1а, Ь)) = (а (Ь) - с: ( й)) + ф (6) - р (й)) --^(VUkAby-yf^-H^-yk^y; [й, 6])-

-IkVVk^V- V(/; [а, bl).(17.6)

Из (17.5) и (17.6) получаем

[о)П([й, b)) = V(k [й, bW ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть св — заряд на [а, 6]. Положим f (х) = ш ([а, х)) (х > а), f (а) = 0. Доказать, что: a) f — непрерывная слева функция ограниченной вариации на [а, 6] (совокупность всех таких функций, равных нулю в точке а, обозначим V ([а, 6])); б) заряд со^, построенный по /, совпадает с со; в) соответствие U7 ([а, 6]) Э со i-> / g V ([а, 6]) является изоморфизмом линейных пространств W ([а, 6]) и V ([а, 6]).

Пусть fv }г — функции из V ([а, 6]), соответствующие зарядам cOj, со2 £ Ц7 ([а, 6]). Положим р (fj, f2) = d (cOj, co2). Доказать, что (V ([a, 6]), p) — метрическое пространство, и описать сходимость в ием. Доказать, что метрическое пространство (V (la, 6]), р) полно.

Множество /С в линейном пространстве X называется конусом, если (ух € К) (ya > 0) : ах € К. Доказать, что множество всех конечных мер иа ® ([а, 6]) (всех неубывающих функций из V ([а, 6])) является: а) конусом в U7 ([о, 6]) (в V ([а, 6])); б) замкнутым в (W ([а, 6]), d) (соответственно в (V ([а, 6]), р)) множеством.

ГЛАВА 11. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

Понятие измеримой функции ввел в математику А. Лебег в связи с построением теории интегрирования. Через некоторое время Н. Н. Лузин установил так называемое С-свойство измеримых функций, которое, нестрого говоря, заключается в том, что всякая измеримая функция «почти непрерывна». В этой главе изучаются свойства измеримых функций, а также различные виды сходимости последовательностей измеримых функций и связь между ними. В последнем параграфе доказано С-свойство.

ИЗМЕРИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА

С МЕРОЙ. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

В этом параграфе вводится ряд понятий, которые будут широко использоваться в дальнейшем.

Множество R, в котором задана некоторая а-алгебра подмножеств 91, называется измеримым пространством и обозначается <R, 91). Там, где нет опасности путаницы, мы будем обозначать измеримое пространство той же буквой R, что и само множество. Подмножества R, входящие в 91, называют измеримыми, или 91-измери- мыми. Подчеркнем, что это понятие измеримости никак не связано с понятием измеримости относительно внешней меры: 91-измеримость множества не означает, что это множество измеримо относительно некоторой внешней меры, заданной на R.

Пример 1.1. Пусть R = R — числовая прямая, У = У (R) — о-алгебра всех борелевских подмножеств R (см. § 1.9). В измеримом пространстве (R, У) измеримые множества — это все борелевские подмножества R; эти множества часто называют измеримыми по Борелю. Аналогичную конструкцию можно рассмотреть в К" и в любом топологическом пространстве.

Пространством с мерой называют измеримое пространство (R, 91), в котором на а-алгебре 91 подмножеств R задана мера щ Пространство с мерой обозначают (R. 91, р). Впрочем, и пространство с мерой мы часто будем обозначать одной буквой R.

В предыдущей главе (в частности, в § 5, 7, 14) получен ряд результатов, относящихся к превращению измеримых пространств в пространства с мерой.

Пусть, например, <IR, У)— измеримое пространство, рассмотренное в предыдущем примере, т — мера Лебега на числовой прямой. Тогда (1R, У, т) — пространство с полной a-конечной мерой т. Ясно, что пространством с мерой является- и (TR, У, т), где S а-алгебра всех подмножеств К, измеримых по Лебегу.

Упражнение 1.1. Пусть (R, У, ц) — пространство с полной а-копечной мерой р; р* — внешняя мера, построенная по мере щ Тогда всякое р*-нзме- римое подмножество R измеримо, т. е. входит в У. Таким образом, в случае полной a-конечной меры оба понятия измеримости эквивалентны.

В дальнейшем будут изучаться функции, определенные на измеримых пространствах. Введем основное понятие, относящееся к таким функциям,— понятие измеримой функции.

Определение 1.1. HycmMR, 9Ъ и (R^ ?Ji, >—■ измеримые пространства и пусть задана функция h R -> Rv Функцию f называют измеримой, если для нее прообраз любого Э1 ^измеримого множества ^-измерим, т. е. если для любого множества А, Р 91, его прообраз f-1 (Д^ £ 9t.

Особенно часто приходится рассматривать измеримые числовые функции. Остановимся подробнее на этом случае.

Пусть (R, 9i> — измеримое пространство, Ж = Ж U [ —оо,оо} — расширенная числовая прямая. Всюду в дальнейшем будут рассматриваться числовые функции / : R ->~Ж, т. е. функции, которые могут принимать не только конечные значения, но и значения + оо и — оо. Применим предыдущие определения, считая в Ж измеримыми боретевские множества. Тогда измеримость фун'кции / означает, что для любого борелевского множества В s Ж его прообраз измерим, т. е. /-1(В) £ 9L

Если такая функция задана in измеримом пространстве (Ж", ®), то ее называют измеримой по Борелю, а если она задана па <Ж'', 2>— измеримой по Лебегу. Измеримой по Борелю называют также измеримую числовую функцию, заданную на измеримом пространстве (Т, % (7) ), где Т — произвольное топологическое пространство, а 58 (Г) есть о-алгебра борелевских подмножеств Т.

Следующая теорема показывает, что определение измеримости в случае числовой функции допускает гораздо более простую формулировку При этом для сокращения записей мы будем в дальнейшем обозначать через {/(к) <о) или {/<«} множество {х £ G R |/ (х) <а}. Аналогичный смысл имеют обозначения И со), V — а}, {/ > а], {а <[ < Ь\ и т. п.

Теорема 1.1. Числовая функция f, заданная на измеримом пространстве < R, 9г \ измерима тогда и только тогда, когда для любого й $ Ж множество { / < а\ измеримо.

Доказательство. Необходимость следует из того, что интервал Af = (—сю, а) при любом а £ Ж является борелевским множеством, поэтому для измеримой функции f его прообраз р1 (И) = {/ <о| измерим.

Достаточность. Заметим, что для любой функции /: R -> Rv и любых подмножеств А, В, At s Rv имеют место равенства

в частности,в частности,(1.1)(1.2)(1.3)(1.1)(1.2)(1.3)гчи 4)= и ЧЧАфг (А\В) = ГЧА)\Г (В),

в частности,

в частности,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

ГЧА^ГЧАУ

Из этих равенств, в частности, следует, что для любой функции j, заданной на измеримом пространстве, множества, прообразы которых измеримы, образуют о-алгебру.

Пусть выполнено условие теоремы, т, е. {/(х) < а} g 9t (VagIR). Покажем, что функция / измерима. Для любых од, й2£П{, ах<^аг имеем в 'силу (1.2)

^<1<сди==ГЧ\<Н а2)) ^ [^ ((— оо, «2)\(— со, а^ —

-/^(t—со, a^XJ'1^—00, °i)) = U<«?s>

поэтому \.ах « f <а2^^.

Таким образом, система подмножеств IR, прообразы которых измеримы, является а-алгеброй, содержащей все полуинтервалы вида 'ar, а2), и поэтому содержит все борелевские множества. Н

Упражнение 1.2. Доказать формулы (1.1) -- (1.3).

Теорема 1.2. Утверждение теоремы 1.1 остается справедливым, если заменить множество {( <.а) любым из множеств \j >а}, 'J^aVkf^aV

Доказательство. Необходимость. Пусть функция / измерима. Тогда измеримость каждого из указанных множеств следует из того, чго они являются прообразами промежутков (й, -'г оо), (—оо.а], (а, -1-оо), являющихся борелевскими множествами. В этом можно убедиться и иначе. Измеримость множества {/ < й} при любом a g 1R следует из равенства

П |/<й + Д,

если использовать теорему 1.1. Измеримость двух других множеств следует из равенств

U>Q}=={f<'ab ^>й) = {^}.

Достаточность устанавливается такими же рассуждениями, как в теореме 1.1. И

Упражнение 1.3. Доказать, что если числовая функция / измерима, та при любом а € IR множество У = а) измеримо. Верно ли обратное?

Рассмотрим важный пример измеримой числовой функции. Напомним, что индикатором множества А с R называется функция Ха, определяемая следующим образом:

/ 1 при х^ А,Хл (х) — । о при х ^ А.

Теорема 1.3. Индикатор подмножества А измеримого пространства (R, Ш) измерим тогда и тотке тогда, когда множество А измеримо уи. е. А £ 51).

Доказательство сразу следует из того, что для любого а£ IR

0 при а с О,

{Хл <а} ={Хл <а} =А при 0 < а < 1, R при а > 1. И

{Хл <а} =

{Хл <а} =

Теорема 1.4. Пусть Т — топологическое пространство и функция / : Т -> К непрерывна на Т. Тогда } измерима по Борелю.

Доказательство сразу следует из того, что для непрерывной функции прообраз любого открытого множества открыт. Поэтому для любого а g 1R множество {/ <а} открыто, т. е. является борелевским подмножеством Т. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть /:R->IR— измеримая функция й 4^91. Доказать, что XAf— измеримая функция.

Пусть (R, 91), (Ru 9t,) — измеримые пространства. Функцию pR-t-R^ удовлетворяющую условиям определения 1.1, назовем (91, Э^-измеримой. Если а-алгебра ® с: 91, то всякая (©, ^х)-измеримая функция является (91, 9^)- измеримой, а обратное неверно. Если а-алгебра ©t с 91х, то всякая (9?, 9?J. измеримая функция является (9i, ©^-измеримой, а обратное неверно. Доказать.

Описать совокупность всех измеримых функций /: 7?->IR, если; а) 96= = ^;, R}- б) ^ = 9R(RP

Пусть (R, 9г)—измеримое пространство, Ип)л^1с”> U Ап = R, АпПАт = 0 (п^т). Положим / (х) = ап € IR для х^Ап. Доказать, что /— измеримая функция.

Доказать, что монотонная функция / : R -> IR измерима по Борелю.

Доказать, что числовая функция/, заданная на измеримом пространстве (R, К), измерима тогда и только тогда, когда измеримы множества {/ < 9) Для любого q € Q^

Пусть f : R IR измеримая функция. Доказать, что измерима функция | / j. Верно ли обратное?

ЕН. Пусть числовая функция / измерима. Доказать, что для любого М измерима функция (/)л1, совпадающая с f, если i/(x)| < М, и равная нулю в противном случае.

СВОЙСТВА ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть (R, 91) — измеримое пространство. Обозначим через -^(Д) множество всех измеримых числовых функций / ; R -> К. В этом параграфе изучаются свойства множества -М (Д); в частности, будет показано, что это множество замкнуто относительно арифметических операций, взятия модуля и поточечного перехода к пределу.

Теорема 2.1. Пусть / : R ->■ 1R — измеримая_ функция. Тогда для любой измеримой по Борелю функции g s IR -> IR их композиция. h W — 8 (f W) — также измеримая функция на R.

Доказательство. Согласно теореме 1.1 достаточно показать, что для любого agIR множество (й(х)<а} измеримо, т. е. принадлежит St. Однако {/i (х) <а) = й-1 ((—оо,а)) — = /"1 (g"’(—°°> «))■ Но поскольку g — измеримая по Борелю функция, то Е = g-1 ((— оо; а)) С® №), откуда,в силу измеримости/, находим, что

{/1(л) <а}-/'1 (Д)€ St,

т. е. функция h измерима. ■

Замечание 2.1. Ясно, что доказанная теорема применима, в частности, если функция g непрерывна, поскольку всякая непрерывная функция в силу теоремы 1.4 измерима по Борелю. Отметим, что если g измерима по Лебегу, то даже в случае непрерывной функции / композиция g (/ (х)) может оказаться неизмеримой функцией. Соответствующий пример см. в [18, 90].

Теорема 2.2. Если / (х) = с = const на R, то f — измеримая функция.

Доказательство сразу следует из того, что ,,. _ ( R при а > с,

U <а) — I 0 ПрИ а с g

Теорема 2.3. Пусть f, g^^^Ry с = const. Тогда следующие функции измеримы на R- 1) с/, 2) | /1, 3) /2, 4) / + g, 5) ^g, 6) L (при условии, что g(x)#0 на R), 7) тах{/, g] и min{/, g).

Доказательство. 1) Измеримость функции cf при с = 0 очевидна. При с#0 она следует из очевидного соотношения

{с/<а} ={с/<а} =при с > 0,при с > 0,{/>7} "Ри с<0.{/>7} "Ри с<0.

{с/<а} =

{с/<а} =

при с > 0,

при с > 0,

{/>7} "Ри с<0.

{/>7} "Ри с<0.

Измеримость | /1 следует из того, что

, , । I 0 при а < 0,

а Ilf <«} Q {/> — а} при а>0.

Измеримость функции /2 следует из соотношения ,/ 0 при а < 0,

<Й I II / 1<Кя} при а> 0,

поскольку последнее множество измеримо в силу измеримости |/|. Впрочем, измеримость /2 следует и из теоремы 2.1.

Докажем, что / + g g М (R). Пусть Q = (г^)^! — последовательность всех рациональных чисел. Покажем, что тогда VczgIR

I/ + £<«} = U ({/<гд} f) Kg<a-rk\Y (2.1) R=k

Пусть х£ {f + g<a^ Т. е. f (х) + gW<a, тогда Hx)<a — gtx\ и поэтому найдется такое число rfeE(Q, что f ^<.гк<_а— g^. Отсюда Цх")<гк1 g^<a-rk, и поэтому x£U<r^ П {g<« — — г^. Следовательно, х входит в правую часть (2,1).

Пусть теперь х входит в правую часть равенства (2.1). Тогда хотя бы при одном к будет xE{f<rfe}HU<^— ^L т. е. ito<Lrk и g(x)<a — rk, откуда Цх^<гк<<а — g(.xY Следовательно, /(х)<а— glx\ т. е. х£\f + g<o}. Тем самым доказано равенство (2.1) и вместе с тем измеримость f-Vg-

Измеримость jg следует из формулы

fg = V<f + ^-U-gn

в силу уже установленных свойств.

Так как — = / • —, то для доказательства того, что у £(£)i

достаточнодостаточноследует изследует изпоказать, что—£^(/?). Однако измеримость — сразу того, что

достаточно

достаточно

следует из

следует из

{g<a} при а = 0, g> Н U {^<01 при а >0, U<0} Г) к>У ПРИ а<°-

Для доказательства достаточно заметить, что max{f, g} =у^+^+ I/— g|), minff, g} = ^U-Vg — If — g|). ■

Теорема 2.4. Пусть последовательность (^)*=i измеримых функций в каждой точке x^R сходится к функции f. Тогда и функция ] измерима.

Доказательство. Пусть (Vx^ 7?) 1Нт^(х) = / (х). Пока- к-*оо

жем, что тогда для любого а^ IR

(2.2)(2.2)ОО ОО ОО |

(2.2)

(2.2)

и<^ = и и п /*<«-n=l к=п v

Действительно, пусть xg{/<a], т. е. /(х)<а. Тогда при некотором т^И f(x)<a—-, и поскольку ИтД(х) = f(х), то най- дется такое п£ ^), что при к > п fk(x)<Za — -^ . Это означает, что х принадлежит правой части равенства (2.2). Наоборот, пусть х входит в правую часть (2.2), Это означает, что найдутся такие т, м£ И, что при к>п fk(x)<za--^. Переходя в этом неравенстве к пределу при к-^-оо, получаем /(х)са—поэтому

Но <а — —Но <а — —^iK в силу измеримости^iK в силу измеримостиfk, а так как 91 яв-{/<o}EiK, т. е. / —fk, а так как 91 яв-{/<o}EiK, т. е. / —/(%)<о, т. е. х входит в левую часть равенства (2.2). Тем самым равенство (2.2) доказано.

Но <а — —

Но <а — —

^iK в силу измеримости

^iK в силу измеримости

fk, а так как 91 яв-{/<o}EiK, т. е. / —

fk, а так как 91 яв-{/<o}EiK, т. е. / —

измеримая функция, аизмеримая функция, аляется а-алгеброй, то из (2.2) следует, что

измеримая функция, а

измеримая функция, а

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть/!, .... fn — измеримые числовые функции, g рг, ..., /„) — непрерывная на IR” вещественнозначная функция. Доказать, что h (х) — = g (Л W» ...» MW) — измеримая функция на R.

Доказать, что числовая функция f измерима тогда и только тогда, когда измерима функция /3. Описать те числа п, при которых из измеримости функции 1п следует измеримость f.

Доказать, что функция / измерима тогда и только тогда, когда измерима функция a) arct^V; б) sin /. Показать, что измеримость каждой из следующих функций /2, е^1* cos / не влечет, вообще говоря, измеримости /.

Пусть f, g — измеримые числовые функции. Доказать, что множе- ства {/ (х) < g (х)}, {/ (х) > g (х)}, {/ (х) = g (х)) измеримы.

Пусть f : R ir, положим f+ (х) = max {/ (х), 0}, /_ (х) = = —min {/(х), 0}. Доказать, что функция / измерима в том и только в том случае, когда измеримы /+ и

Пусть / — функция ограниченной вариации на [а, 5]. Доказать, что f измерима по Борелю.

Комплекснозначная функция f (х) = и (х) + iv (х) называется измеримой, если измеримы ее вещественная часть и и мнимая часть v. Доказать измеримость модуля и аргумента /, если / измерима.

Доказать, что для измеримости комплекснозначной функции f необходима и достаточна измеримость всех множеств вида {’ / (х) — г\ С г}, где г € ©, г > 0.

Вектор-функция / со значениями в конечномерном пространстве X называется измеримой, если измеримы координаты вектора / (х) относительно некоторого базиса в X. Доказать, что это определение не зависит от выбора базиса.

Пусть f : IR -> IR такова, что (Vx € IR) существует р (х). Доказать, что функция р измерима по Борелю.

1. Пусть (/л)^=1 — последовательность измеримых функций. Доказать, что измеримы следующие функции: a) sup {fn | п G М}; б) inf {fn | п £ М}; в) lim fn; г) НтЛр

В условиях упражнения 2.11 доказать измеримость множества тех точек х, где существует limfrt(x).

Z1 -* оо

Пусть ftC([0, 1)). Индикатрисой, Банаха М^у) функции f называется число корней уравнения f (х) = у (если оно бесконечно, то полагаем i^/(^) = +°°)- Доказать, что /У^ измерима по Борелю.

Указание. Разобьем [0, 1] на 2й равных частей и для z/^ [min{f(x) | х^ б [0, 1]}, max {/(х) | х £ [0, 1])] определим М^Ру) как число тех частей, в которых имеется хотя бы один корень уравнения f (х) = у. Докажите, что N^— измеримая функция и (у) = lim^(//).

к оо

Пусть ^— несчетное семейство измеримых функций f : R IR. Показать, что функции P(x) = sup Ш^НК^Р UW-шЦНхШ^Р вообще говоря, неизмеримы.

Пусть ^ — произвольное семейство непрерывных на [а, 6] функций. Доказать, что определенные выше функции /*.и /* измеримы по Лебегу.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Начиная с этого параграфа мы будем изучать числовые функции заданные на пространстве с мерой (^, 9t, р). Меру р всюду считаем (если не указано противоположное) конечной.

Определение 3.1. Говорят, что некоторое свойство выполняется p-почти везде (или выполняется (mod р)), если это свойство выполняется на множестве R\N, где р (А) = 0.

Все числовые функции /: /?-э-К<, которые будут встречаться в дальнейшем, всегда предполагаются p-почти везде конечными. В соответствии с определением 3.1 это означает, что р ({/ (х) = = оо}) = 0.

Определение 3.2. Две функции fug называют эквивалентными, если они совпадают p-почти везде, т. е. если р ((f Д= ^ й)) = 0- Обозначают эквивалентность функций так-, f ~ g или f = g (mod р).

Теорема 3.1. Если р — полная мера, то функция, эквивалентная измеримой функции, также измерима.

Доказательство. Если g измерима и f = g (mod р), ю множество (g < а} измеримо при любом а £ IR. Но тогда измеримо и {/ <.aY поскольку множества {/ <а} и [g <п) отличаются на некоторое подмножество множества нулевой меры (f ^ gY измеримое в силу полноты меры. 9

Теорема 3.2. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве М (R) всех измеримых функций.

Доказательство. Рефлексивность (f— /) и симметрия (/~g=>g^-/) отношения эквивалентности очевидны. Установим его транзитивность. Пусть /, g, h £ -Al (RY f ~ g, g — h. Положим Nt = (f#=gY N2 = (gV=hy Из условия следует, что р (AJ = = И (^г) = 0- Но для любого х £ Л\(Л\ U ^2) имеем f (х) = g (х) и g(x^ = h(xY поэтому / (х) = h (х), причем р (Wi U ^2) < с р (Nf) + р (М3) = 0. А это означает, что f ~ h. 9

В силу этой теоремы можно рассматривать фактор-множество .АГ (RY~, т. е. множество классов, каждый из которых состоит из эквивалентных функций. При изучении теории измеримых функций и теории интегрирования часто можно пренебрегать значениями функций на множестве меры нуль. Это значит, что измеримую функцию можно заменить любой функцией, ей эквивалентной, т. е. любой функцией из одного с ней класса. Иными словами, при рассмотрении указанных вопросов мы, говоря о функции, имеем в виду не одну эту функцию, а класс эквивалентных функций. Эти замечания будут в дальнейшем конкретизированы.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть р — дискретная мера на (R, ЗЛ (R) ). При каких условиях f = g (mod р)?

Доказать, что любая измеримая по Лебегу функция на (IR, £, т) еквивалентна борелевской функции.

Построить на [0,1] измеримую по Лебегу функцию такую, что она сама и любая ей эквивалентная по мере Лебега функция разрывны в каждой точке.

Пусть f, g € С ([О, 1J) и / = g (mod m). Доказать, что (ух 6 [О, 1J) : Ж = g (х).

Пусть (fn)~=1 — последовательность измеримых по Лебегу функций таких, что (Vn g М) /п = 0 (mod т). Положим g (х) = sup {fn (х) | п g М], h (х) — = У /п (х)> если ряд сходится, и Л (х) =-у°° в противном случае. Доказать, п=!

что g ~ О, й ~ 0.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим различные виды сходимости последовательностей измеримых функций и изучим связи между ними. Все функции предполагаются заданными на пространстве (R, 9?, ц) с конечной мерой.

Напомним вначале известные из анализа понятия равномерной и поточечной сходимости.

Равномерная сходимость fn^f означает, что

(Vs > 0) (ЗУ) (Ун > /V) (Ух ^R): | fn (х) - / (х) | < в.

Поточечная сходимость fn^-f (сходимость в каждой точке) означает, что

(Ух Е Я) (Ve > 0) (H(V) (Vn > N^: [f„ (x) - {(x)| < e.

Очевидно, равномерно сходящаяся последовательность функций сходится и поточечно. Известно, что из поточечной сходимости, вообще говоря, не следует равномерная сходимость.

Выше было показано (теорема 2.4), что предельная функция для поточечно сходящейся (а следовательно, и для равномерно сходящейся) последовательности измеримых функций также измерима.

В теории измеримых функций часто приходится рассматривать также сходимость функциональной последовательности у.-почти везде, или по модулю ц. Сходимость fn-*- f (mod ц) означает, что существует такое множество Е с R, что ц (Е) = 0 и

^x£R\Ey.f,AxWW.

Пример 4.1. Рассмотрим на отрезке R = [0,1] последовательность функций fn (х) = хп (п = 1, 2, . . .). Ясно, что

ПтУ-/0 п₽и 0<*<>,

п->~ I 1 при X = 1 ,

поэтому можно записать, что Нтх” = 0(mod т), где т—мера Лебега.

Упражнение 4.1. Доказать, что если Qnf”=\— последовательность измеримых функций и fn f (mod р), где ц—полная мера, то функция f также измерима.

Указание. Воспользоваться теоремой 2.4 и полнотой меры.

Введем теперь еще один вид сходимости функциональных последовательностей, который имеет важное значение при изучении измеримых функций и в теории интеграла.

Определение 4.1. Последовательность конечных измеримых функций (fn)^i называется сходящейся по мере к измеримой функции f, если для любого а > О

l^mpdl/n —/ 1>о}) = 0.

Обозначают сходимость по мере так: f„ ^-/.

Установим сначала единственность предела по мере. Для этого потребуется простая лемма.

Лемма 4.1. Пусть h— измеримая функция и р({Л>0})>0.

Тогда найдется такое 8>0, что p ({/i > е}) > 0.

Доказательство. Очевидно,

(/.>0)Г),

откуда в силу счетной полуаддитивности меры

0<р({/1>0))<5 н({л>4)).п=1

поэтому хотя бы одно слагаемое в правой части положительно. Н Теорема 4.1. Если fn^f и fn-^g, то f = g(modp).

Доказательство. Допустим противное, пусть p({f #£})>

> 0, т. е. р({|/— g"|>0})> 0, тогда в силу леммы 4.1 найдется такое 8>0, что p((lf— g|>s})>0. Кроме того, при любом п

имеем

{|/-^[>8}s{|/-/J>|) и {|/„-£|>|}.(4.1)

Действительно, из очевидного неравенства |/ — .?!<!/ — /«1 + + I fn — g\ следует, что если точка х не входит в правую часть (4.1), то она не принадлежит и левой части.

Теперь из (4.1) в силу монотонности и полуаддитивности меры получаем

И Gl f — g I > в}) « р ({| f — f J > ^-}) + p ({| fn — gI > t}) •

Но при n -*- oo оба слагаемых правой части стремятся к нулю в силу определения сходимости по мере, поэтому pdlf — g| >е}) = 0, и мы приходим к противоречию. ■

Следующая теорема показывает целесообразность введения понятия сходимости по мере.

Теорема 4.2 (Лебега). Пусть последовательность (Зп)ы=1 конечных измеримых функций и-почти везде сходится к измеримой функции f. Тогда jn^-f.

Доказательство. Обозначим через А множество, на котором /„ (х) не стремится к f (х); по условию ц (А) = 0. Положим

£ft(o) = {lf» —fl>o}, R«W = U Ек^, М = л Rn(o\ к=пп= 1

Все эти множества, очевидно, измеримы. Далее,

Ri (а) 2 R2 (а) 2

Поэтому в силу теоремы о непрерывности (теорема 1.6.3)

Птр(7?п(о)) = ц(Л4).(4.2)

Покажем, что А4 г А. Действительно, пусть х ^ А. Это означает, что limfn(x) = f (х), поэтому для о>0 найдется такоеп, что при всех к>п |ffe(х) — /(х)|<о, т. е. х$£До) ^к>п\ Отсюда следует, что х^ £п(о) и, следовательно, х ^ М. Итак, М 2 А и поскольку ц(А) = 0, то н р(М) = 0. Теперь из (4.2) следует, что

Итр(7?п(о)) = 0,

и для завершения доказательства остается заметить, что £„(о)2

Замечание 4.1. Теорема Лебега не допускает обращения: сходящаяся по мере функциональная последовательность может не быть почти везде сходящейся. Приведем пример такой последователь

ности .

На полуинтервале R = [0, 1) с мерой Лебега т зададим для

каждого натурального к систему к функций f„, f62, fk3, .. . , fkk следующим образом:

fu W =fu W =1, если xg —т—, -т-I k k

fu W =

fu W =

Все эти функции занумеруем подряд в одну последовательность (фп)п=1- Ф1 = f11’Фз = fav Фз = /22’ Ф$ = /зр Фб = /з2> •• •

Нетрудно проверить, что ср^Л-О. Действительно, при о>> 1 все множества {|ф„|>а} пусты; если же а с 1 и ф„ =/6(, то

{[ фп | > о} — [-у- , у j

и щ({| % | г» о}) = у стремится к нулю при п^-оо.

Покажем теперь, что последовательность (ф„)”=1 не является ш-почти везде сходящейся к нулю. Более того, покажем, что пи в одной точке промежутка [0, 1) не выполняется соотношение

limq)„(x) = 0. Действительно, пусть хо^[О, 1). Тогда для любого П->со

й £ И найдется такое г < к, что

и, следовательно, fkl (х0) = 1. Таким образом, в числовой последовательности (tPn^J)^! есть члены с как угодно большими номерами, равные 1, поэтому эта последовательность не сходится к нулю. Я

Как показывает приведенный пример, из сходимости по мере, вообще говоря, не следует сходимость почти везде. Тем не менее, справедлива следующая теорема.

Теорема 4.3 (Рисе а). Пусть последовательность Q^”^ конечных измеримых функций сходится по мере к функции f. Тогда из этой последовательности можно выделить такую подпоследовательность (fn^=v для которой lim/„6 = f(m°d tO«

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность o1>oj> ... >0, для которой Нша„ = 0, и пусть (riJ^— последовательность положительных чисел, для которой сходится ряд

"П1 + "Из + •••(4-3)

Построим требуемую последовательность индексов nx < п4 < па <... Поскольку fn\f, то

Нт И ({!/« — Л >О1}) = 0,

поэтому найдется такое nv что

P({l/n. —Л хМХЛг

Аналогично найдется такое п2 > nv что

р({| Л,— /I х^ХПа-

Продолжая этот процесс, мы для любого к найдем «*>«*-1, для которого

X I ЛА — Л > <М) <

Покажем, что построенная последовательность индексов является искомой, т. е. что fn -> f (mod ц). Положим

^• = Аи,{1Лй-Л>^). Q= nt^.(4.4)

Ясно, что

R1 — Ra 3 R3 2 ... ,

поэтому в силу теоремы непрерывности р (R^ ->■ р (Q). Кроме того, Р№) < f р ({| fn — / | > оД) < £ ^ k=ik=i

и в силу сходимости ряда (4.3) р(/?г)^0 при i->oo. Поэтому Р (Q) = 0. Покажем, что

фх^ХйУ-^тк<^=Цх\к-*оо

Пусть x0E7?\Q, тогда х0 ^ Rlo при некотором 10. Но тогда из (4.4) следует, что (Vfe > i0): х0 ^ {| f„k — {| > а^, т. е. что

(V6 > г0): | кк (х0) — } (х0) | < oft.

Так как о^^-О, то последнее соотношение означает, что limfn (х0)=« к-*оо

Замечание 4.2. Теорема Рисса допускает усиление, а именно — она остается справедливой и в том случае, когда мера р не конечна, а лишь о-конечна.

Действительно, а-конечпость меры р означает, что существует последовательность множеств конечной меры AtcA2G ... <з с Л„с ... такая, что R = U Ап, но р(7?) = + оо.

Л —I

Поскольку fn^f на R, то fn^~f и на Av поэтому по теореме Рисса существует подпоследовательность (Д,)^ такая, что lim/tl = / (mod р) на AP Далее, последовательность (f^t)^!, очевидно, сходится к / по мере на Д2, поэтому из нее можно выделить подпоследовательность (/62)£Li такую, что lim/62 = / (mod р) на А2. Продолжая эти рассуждения, получим ряд последовательностей

(Z^aM^t/^... -(MLia ....

причем lim Д/ = /(mod р) на А,.

Рассмотрим теперь диагональную последовательность (/м)^г, также являющуюся подпоследовательностью данной последовательности (Д)Хг Ясно, что /^ ^ / (mod р) на каждом из множеств А,, поэтому lim/M =/(mod р) и на (J А/ = R. ■ к -* оо/= 1

Замечание 4.3, В отличие от теоремы Рисса, теорема Лебега не имеет места в случае о-конечной меры. Приведем соответствующие примеры.

ПРИМЕРЫ

Пусть R = N — множество натуральных чисел, К — система всех подмножеств R, р ({й}) = 1 (V^ € И). Ясно, что эта мера a-конечна. Выясним, что означает сходимость по мере в этом пространстве.

Поскольку ц принимает лишь целые неотрицательные значения, то условие

Cic > 0) Jim ц ({| fn — f | > a})= 0 означает, что

(Va > 0) (дяа) (Ул > ле) ^k € R): | tn W -IWI < a,

t. e. сходимость по мере в рассматриваемом пространстве является равномерной сходимостью.

Рассмотрим теперь последовательность (/„)”=i> где fn—индикатор множества {1,2я),т. е. fn (k) = 1 при к с п и $п^ = 0 при к > п. Ясно,

что fn -*f = I в каждой точке, но эта сходимость неравномерна, и поэтому /„ не сходится к / по мере. Л

Рассмотрим пространство с мерой (IR, £ (IR), т), где т — мера Лебега. Эта мера, как известно, полна и a-конечна. Зададим последовательность функций Un)n=\* где Д —индикатор отрезка [я, я 4-1]. Ясно, что (Vxg IR) : /п->-0, т. е. последовательность сходится к нулю в каждой точке и, тем более, почти везде. В то же время для любого ag(0, 1) имеем

т ({ | Д — 0 I > а}) = т Ц?п ф 0}) = т ([я, я + 1 ]) = 1

н, следовательно, fn не сходится по мере к нулю. ■

Теоремы Лебега и Риоса устанавливают связь между сходимостью почти везде и сходимостью по мере. Следующая теорема показывает, что тесная связь имеется также между сходимостью поч i и везде и равномерной сходимостью.

Теорема 4.4 (Егорова). Пусть (fn^=i — последовательность измеримых функций, и,-почти везде сходящаяся к измеримой функции f. Тогда для любого б>0 найдется такое измеримое множество Rs, что: 1) и (Р\ Рб)<8; 2) на Rs последовательность Уп^„=х сходится к / равномерно.

Доказательство. Для любого о>0 положим

U (|f6 —

h=n

При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что limp(7?„(o)) = 0.(4.5)

П-* 60

Возьмем теперь любую последовательность О1^>аг"> ... >0 такую, что limort = 0, и сходящийся ряд с положительными членами

■П1 + Л2 + • • • + тдЧ- ...(4.6)

В силу (4.5) для любого ХИ найдется такое «ХМ> что

н lRn( (р^ < -и,.

Далее, в силу сходимости ряда (4.6) найдем такое т, что

S ^<6.(4.7)

i=m

и положим

D= U RnM-t=m 1

Из (4.7) следует, что р(О)<8. Если положить

Re = fi\D,

то, очевидно, p(ft\Re) — p(D)<8.

Остается показать, что fn^f па Re. Для любого x^Re имеем х ^ D, т. е.

x^Rn^i) (Vi^m).

Выберем теперь 10>т так, чтобы было olo<s. Тогда

М RnJM следовательно,

М Ш» —Л >0^} (VA>/Zz„).

Это означает, что

(Vfe > nf,) (Vx Е Re): | fk (х) — Д (х0) | < а,„ < е,

что и доказывает равномерную сходимость Д к / на Re. ■

Замечание 4.3. Как и теорема Лебега, теорема Егорова не имеет места в случае меры, принимающей бесконечные значения, даже если эта мера а-конечна.

Действительно, последовательность (Д)Х1, построенная в примере 4.2, сходится в каждой точке и, тем более, почти везде. В то же время (fj”=i не сходится равномерно на R. Если взять 8 <1, то из условия р (7?\^«) <8 следует, что Re = R, и поэтому последовательность не может сходиться равномерно на Re- ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что следующие последовательности: а) /п Д) = sin” х; б) Д W = лХ(0,1/я] Д); в) Д Д) = VX^i, 1] Д) сходятся к нулю почти всюду по мере Лебега.

Пусть /„->-/(mod р) и gzj-*g (mod р). Доказать, что: а) для любой функции ф€ С (IR2): ф((п, gn)^- Ф(Л g) (mod р); б) если (Vn £ N): /„ ~ g„, то / ~ g; в) если (Ул g N): (n < gn (mod р), то fcg(modp); r)fn + gn-* f + g (mod р), fngn fg (mod p).

Пусть p—конечная мера. Доказать, что каждое из следующих условий необходимо и достаточно для того, чтобы последовательность (fn)”^ измеримых функций сходилась к измеримой функции / р-почтн везде: а)(Уе> > 0) : р ( Нт { | fn — f | с e}) = 0; 6) (Ve > 0) : Um p ( U { | h — f | > e}) = 0.

Если для последовательности (/п)“_; измеримых функций и измеримой функции / для любого е>0 выполняется условие ^j р ({ |/я — f|> п=1

> е}) < оо, то fn->-f (mod р). Доказать.

Если для последовательности Уп)п=д измеримых функций и измеримой функции f выполняется условие: (Ve>0) (ЭАа£Э1; ИМе) < е) (Vx С € Л6): Пт /п (х)/ (х), то fn -> / (mod р). Доказать.

П-* 60

Пусть fn^h gn^g* где р— конечная мера. Доказать сходимость по мере р следующих последозательностей: а) | /„ | к |/j; б) jn + gn к f+g*. в) если / = 0 (mod р), то ^ к 0; г) fng к fg; д) ^ к /2; е) fngn к fg.

Доказать, что в случае р (R) = ос первые три утверждения упр, 4.7 остаются справедливыми, а остальные, вообще говоря, неверны.

В условиях упр. 4.7 предположим, что (Vn^N): fn < gn (mod p). Доказать, что /C^(modp).

Пусть fn-^f, gn-^f, где p — конечная мера. Если р({/пС^г< И ГО. то hn£ f. Доказать.

Последовательность Уп^—х измеримых функций называется фундаментальной по мере р, если

(Vo >0) (Vs>0)(HV G И) (Ул, т > N): р({ \fn — /т | >о})< в.

Доказать следующие утверждения:

Пусть fn = /д^ (п^ N). Тогда (fn)^Lx фундаментальна по мере р в том и только в том случае, когда р(ЛпДЛт)->0 при л, т->со,

Если /Л-*А то (AD^i фундаментальна по мере.

Пусть (/n)^i — последовательность измеримых почти везде конечных функций, фундаментальная по мере р. Тогда существует измеримая конечная функция / такая, что

Сходятся ли по мере Лебега последовательности из упр. 4.2?

Пусть последовательность (/п)^1 измеримых функций удовлетворяет условиям: 1) (УлG М): 0 < !nvx -С fn (mod р); 2) fn^^- Доказать, что fn -> -*0(modp).ц

Пусть р— конечная дискретная мера. Доказать, что fn->f в том и только в том случае, когда fn f (mod р).

Пусть р — конечная мера. Доказать, что fn"* f (mod р) тогда и только тогда, когда sup {| fm —- / | | т > л} ->0, л оо.

Выделить сходящуюся m-почти везде подпоследовательность из последовательности (фп)^! замечания 4.1.

Доказать, что последовательность уп^_х измеримых функций сходится ио конечной мере р к измеримой функции f тогда и только тогда, когда каждая подпоследовательность Уп^к—х содержит в себе подпоследовательность, сходящуюся к / p-почти везде.

Рассмотрим т последовательностей ^f^”^ измеримых функций таких, что /^ Л- (j = 1, . .. , ту Пусть g : IRm->IR— непрерывная функция. Доказать, что последовательность (gy^, • • • * f^)) сходится по мере р к измеримой функции g У^\ . . . , f^y

Пусть fn / (mod р), где р — конечная мера. Доказать, что суще

ствует последовательность (Лл)^! с: ЭЯ такая, что: 1) р( U Л1) — 0; 2)(Ул£ € N): Л=£ / па Ап.

Пусть последовательность УпУ^Х измеримых функций удовлетворяет условиям теоремы Егорова. Доказать, что существуют измеримая р-почти всюду конечная функция F и монотонно убывающая к нулю последователь-

иость (е^)^! такие, чтф для всех п справедливо неравенство | f (х) — [п (х) | < С enF^x).

Перенести теорему Егорова на последовательность функций, сходящуюся к + ОО |Л-П0ЧТИ всюду.

ПРОСТЫЕ ФУНКЦИИ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТЫМИ. ТЕОРЕМА ЛУЗИНА

При построении геории интегрирования, а также при изучении некоторых свойств измеримых функций оказывается полезным рассмотрение простейших измеримых функций —так называемых простых функций.

Определение 5.1. Числовая функция f: R ->К, заданная на измеримом пространстве (R,^), называется простой, если она принимает лишь конечное число различных значений (подчеркнем, что все значения простой функции предполагаются конечными).

Примером простой функции может быть индикатор Хе (х) множества Е сс R — функция, принимающая лишь значения 0 и 1.

Легко видеть, что всякая простая функция является линейной комбинацией индикаторов попарно непересекающихся множеств. Действительно, пусть сп с2, ... , сп— все различные значения простой функции/. Положим

Ef = \x^R\j^ = c}Y, тогда

R = U, Еh Ej П Ek = 0 (/ bY(5.1)

При этом п

Ц^ = ^С1Хе;О\(5.2)

где Хе^— индикатор множества Е^

Ясно, что если имеет место (5.1), то функция (5.2) является простой функцией, принимающей значения cv с2, c3f ... , сп (даже если не все cL различны). Н

п

ТеоремабЛ. Простая функция f — ^ с?Хер построенная по разбиению (5Л), измерима тогда и только тогда, когда все множества Ej измеримы.

Доказательство. Необходимость. Если / измерима, то каждое из множеств Ej — (x^R\j ^ — с,) =/"1({С/}) измеримо как прообраз борелевского множества — одноточечного множества

Достаточность. Если все множества Ej измеримы, то по теореме 1.3 каждая из функций Хе5 измерима, и функция / измерима как линейная комбинация измеримых функций. ■

Следствие 5.1. Линейная комбинация и произведение простых измеримых функций также являются простыми измеримыми функциями.

Следующая теорема показывает целесообразность рассмотрения простых функций.

Теорема 5.2. Для любой измеримой функции f:/?^-jR, заданной на измеримом пространстве (R, 91), существует последовательность (Jn^Li простых измеримых функций, сходящаяся к j в каждой точке R. Если функция f ограничена на R, то последовательность U^n-i можно выбрать равномерно сходящейся к f на R. Если f (х) > О, то можно так выбрать функции fn > 0, чтобы последовательность (/J,7=1 была неубывающей .

Доказательство проведем вначале для неотрицательной функции. Пусть /(х)>0 на R. Для любого п^И положим ^(Х)= | "2^’ если ” < f^<y> k =2’2”, (53)

I п, если /(х) > п.

Ясно, что последовательность (f„(x))”=i—неубывающая и что /7— простая неотрицательная функция, так как она принимает не более 2п • п + 1 значений. Измеримость fn следует из измеримости / в силу теоремы 5.1.

Покажем, что

^x^RyaimUW^ftxy(5.4)

Если f(x)< + <x>, то для достаточно больших п будет f^^n, и поэтому из (5.3) следует, что

Таким образом, /„ (х)->/(х). Если же /(х) = -)- оо, то Д(х) = п и, следовательно, /„ (х)-*■ + 00 • Итак, равенство (5.4) установлено для неотрицательной функции.

Пусть дополнительно известно, что функция / ограничена, т. е. 0</(х)<Л4 (Vx^/?). Тогда при п"> М имеем в силу (5.3)

(Vx^):|/„(x)-/(x)|<l,

а это означает, что fn^f. Таким образом, в случае неотрицательной функции теорема доказана.

Пусть теперь ( — измеримая функция произвольного знака. Рассмотрим положительную и отрицательную части функции /:

Д(X) = шах {/(X), 0} = HWH±W ;

(х) = - min U (х), 0} = lfW .

Поскольку /+ и /_— измеримые неотрицательные функции, то для них теорема уже доказана. Остается воспользоваться тем, что /(х) = /+(х) — /_(х). ■

Если R s Kv, то, как было показано выше (теорема 1.4), всякая непрерывная функция f : R К измерима по Борелю (и тем более по Лебегу). Естественно поставить вопрос, насколько класс измеримых функций шире класса непрерывных функций. Следующая теорема, установленная Н. Н. Лузиным, показывает, что эти классы в определенном смысле очень близки. Свойство измеримых функций, установленное в этой теореме, Н. Н. Лузин назвал С-свой- ством .

Теорема 5.3 (Лузина). Пусть R cz IRA — измеримое по Лебегу множество конечной меры и пусть функция f : R -> IR измерима по Лебегу и почти везде конечна. Тогда для любого s > 0 существует такое замкнутое множество FKc: R, что сужение / f FE функции [ на Fr —непрерывная функция, и при этом т (^\Ее) <е (т — мера Лебега в IR-V).

Доказательство проведем в два этапа.

Пусть сначала /— простая измеримая функция,

/ = Д с}7.ег

где Ev Ev . . . , E,t — измеримые множества,

R = Д Eh Ej П Ek = 0 Ц^к).

Воспользовавшись теоремой 1.10.5 (или аналогичным утверждением для IR'V), построим для каждого из Е; замкнутое множество Fj а аЕ, такое, что т(Е/\ F/) < — , и положим FE = U Fj. Мно- ”/=i

п

жество FB замкнуто, FB cz R и ^\FEc j (E;-\E/), поэтому

m(R\ F^ < S ii (E, \ Fj) < e.

Кроме того, очевидно, сужение f ) Fe—непрерывная функция. Итак, для простых функций утверждение теоремы доказано.

Пусть теперь/ — произвольная измеримая функция, заданная на R. Согласно теореме 5.2 существует последовательность (/п)^=! простых измеримых функций, сходящаяся к / на R. По теореме Егорова существует такое измеримое множество Fo с R, чтот (R\F0) <-^- и /„ ^/ на Eg. При этом в силу теоремы 1.10.5 можно считать, что Fo — замкнутое множество. Теперь, благодаря

доказанному в пункте 1), можно для каждой функции fn найти такое замкнутое множество Fn cz R, что

р

т (R \ FJ < ^ (м = 1, 2, ...)

и сужение fn j* F„ — непрерывная функция. Положим

ео

Ге= П Fn.

Поскольку каждая из функций fn f F^ непрерывна и fn^f на Fei то и предельная функция HFe непрерывна. Кроме того,

tf\Fe = Fe = n Fn= и (Я\Х),п=0п=1.

поэтому

еосо

m(R\Fe) < ) , m(R\Fn)<2 2j =®

п=оа—О

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть /(х) = |х!, х £ !R. Построить последовательность простых функции, сходящуюся поточечно к / на IR. Будет ли сходимость равномерной на 1R?

Пусть функция f : R -> IR измерима п р-почтн всюду конечна. Построить последовательность (fn^=\ измеримых функций, таких, что множество значений каждой функции fn не более чем счетно и /^ l£ / на F.

Показать, что теорема Лузина остается справедливой и в том случае, когда т (/?) = +

Пусть Е — измеримое множество и функция / : Е ->■ IR такова, что для нее справедливо заключение теоремы Лузина. Доказать, что / — измеримая функция.

Доказать, что для измеримой и m-лочти всюду конечной на R ^ IR^ функции / существует последовательность (^^i Функций, непрерывных на R, такая, что fn^ f (mod m). Всегда ли можно эту последовательность выбрать монотонной?

Разрывную функцию Д представимую в виде поточечного предела последовательности непрерывных функций, называют функцией первого класса Бэра. Функции, не входящие в первый класс, но представимые во всех точках как пределы сходящихся последовательностей функций первого класса, относят ко второму классу Бэра. Доказать, что каждая измеримая почти всюду конечная функция эквивалентна некоторой функции второго класса Бэра.

ГЛАВА III. ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛА

Из курса математического анализа хорошо известно понятие интеграла Римана. Существенным его недостатком является то, что интегрируемы по Риману лишь функции, имеющие «не слишком много» точек разрыва (точный смысл этих слов выясняется в теореме 3.2). Во всяком случае, легко привести пример ограниченной измеримой функции, не интегрируемой по Риману (например, функция Дирихле, т. е. индикатор множества (Q рациональных чисел, не интегрируема по Риману ни на каком отрезке).

Идея построения интеграла Лебега заключается в том, что, в отличие от интеграла Римана, область интегрирования разбивается на части так, что в одну часть объединяются не близкие значения аргумента, а такие, для которых значения функции близки между собой. Такой подход позволяет распространить процесс интегрирования не только на сколь угодно разрывные измеримые функции, но и на измеримые функции, определенные на произвольном абстрактном пространстве с мерой.

В этой главе строится интеграл Лебега, изучаются его свойства, а также выясняется связь между интегралами Лебега и Римана.

Построение интеграла Лебега удобно начинать со случая простых измеримых функций.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть (R, 9?, |i) — пространство с конечной мерой, /:/?-► -> IR — простая измеримая функция, т. е.

п

U С^еДх^(1.1)

где

п

p^Ej — R, Ef П Е^ — 0(1.2)

причем все Е,— измеримые множества.

Определение LL Интеграл Лебега от функции f(x) по пространству R обозначается символом J f^dy-^x^ или fdy,,

RR

и иля простой функции (1.1) определяется равенством

п

$№ = S c^^jY(1.3)

R/=1

Покажем, что это определение корректно, т. е. что значение интеграла не зависит от того, каким образом простая функция записана в виде (1.1).

Очевидно, среди представлений данной функции / в виде (1.1) имеется такое, в котором все числа с/ различны. Для определенно-

сти предположим, что все числа с/ различны в записи (1.1), и пусть задано другое представление той же функции

/to = S ЬкХрДх\ и Fk = R, Fk п Ft = 0 Ik^iY к=\ R k=l

Ясно, что каждое из множеств Е; является объединением тех Fk, для которых Ьк = Cj. Поэтому, воспользовавшись аддитивностью меры, получаем

пппт

S С/р(Е/) = £ е7р( и Fk) = £ с, £ |ЛЛ) = S WF^,

i=\/=1k'.bk—cj i=i k'-^k=cjfc=*

что и доказывает корректность определения 1.1. Например, пусть Е cl R— измеримое множество, Хе — его индикатор. Тогда

У %E(x)dn(x) = и (Ер R

Пусть задано произвольное измеримое множество Е a R. Если f — простая измеримая функция, то произведение XEf— также простая измеримая функция. Это замечание дает возможность определить интеграл от простой измеримой функции по любому измеримому множеству:

$/(x)dp(x)^$/dp^$XB№.(1.4)

ЕЕR

Рассмотрим важный частный случай. Пусть R=la,bY Э1 — класс всех измеримых по Лебегу подмножеств [а, Ь], р = т — мера Лебега. Тогда интеграл по всему отрезку [а, 6] обозначают через ь

fU^dx, или \ f (х) dx, а интеграл по измеримому по Лебегу [аа

подмножеству Е ед [а, 6] — через У f (х) dx.

Е

Установим простейшие свойства интеграла от простых измеримых функций.

Теорема 1.1 (о линейности интеграла). Если f, g — измеримые простые функции, а, [3 £ К, то

$ (af + ₽gW = а $ /dp + р J gdp>.

ЯRR

Доказательство. Пусть

21п

f (х) = S ЬМ (X), и F, = R, Fi П /7 = 0 (i ^ /),

g 1.x) = L CkXc. ^xY (J Gh = R, Gk f| Gt = 0 Ik^bl).

4—1 R 4=1

Ясно, что функция а/ + (3g принимает значение аЬ/ + рск на множестве Ejh = Fj П Gk, т. е.

af М + Pg (-г) = X Д («6/ + Рс^ XEjk А

причем U Е,-к = R и множества Ejk попарно не пересекаются.

Поэтому, йспользуя (1.3), а затем аддитивность меры, имеем

f («7 + pg') dp =(«6, 4- рСб) р{Е, П Gk) =

R!=\ к=\

= « Е Ь,- S АГ; П6к) + р£ ^£ р(Е, Q Ск) = /—i а=[/г~ i /=i

= аЕ ^(ЕД + Р^ c^i(Gk) = (x^dp + p^ gdp. g/=1к=1RR

Теорема 1.2 (о неотрицательности интеграла).

Если f—простая измеримая функция и f > 0 (mod pi), то ^ fdp>0.

R

Доказательство. Пусть / (х) = £ с^е, А тогда неотрицательность j почти везде означает, что если С/ < О при некотором /, то p(Ei) = 0. Поэтому

^ W = 1] С/Р(Д/) > о. я

R/=1

Теорема 1.3 (о монотонности интеграла). Если Д у — простые измеримые функции и A g-(mod ц), то ^ fdp, > J gdp.

rrRR

Доказательство сразу следует из теоремы 1.2, примененной к функции / — g. g

Следствие 1.1. Если / — простая измеримая функция и а < /(х) < с 6 (mod р) на измеримом множестве AsR, то

ар (Л) с j fdp < bp(A).

А

Теорема 1.4 (об интеграле от функции, эквивалентной пулю). Если j — простая функция и / = 0(modii), то ^ jdp = о.

R

Доказательство непосредственно следует из формулы (1.3). Действительно, если Cj ^ 0 при некоторых /, то р (ЕЛ — О при этих /. S

1'sa

Следствие 1.2. Если f, g — простые измеримые функции и f = •= g (mod р), то

J fdy, = J gdp,.

RR

Теорема 1.5 (об оценкемодуля интеграла). Если f — простая измеримая функция, то

| $ f^p| с J If Мр.

RR

Доказательство. Пусть f — простая измеримая функция. Тогда, очевидно, |f|— также простая измеримая функция. При этом

(VxG R): — If (х)| С f (х) < |f (х) |,

откуда в силу теоремы 1.3

— J| f\dy.< J fdp< J If I dp,RRR

t. e.

| Jfdpj < J If |dp. ■

RR

Пусть / — некоторая фиксированная простая измеримая функция. Определим на о-алгебре 91 измеримых множеств числовую функцию v ! 9? IR по формуле

vH) = Jfdp (4^).(1-5)

А

Ясно, что v (0) = 0. В следующей теореме устанавливается важное свойство этой функции множеств.

Теорема 1.6 (о счетной аддитивности интеграла). Функция множеств v(4), определенная формулой (1.5), счетноаддитивна-. если Д = 0 4,., 4,- £ 91, Д(. [) 4/ = 0 (гф j), то 1=1

V (4) = s v (Д;),

причем ряд в правой части сходится абсолютно.

Доказательство. Пусть

f(x)=S№(x), (j Ek = R, Еь П Е/#0 (k^i). (1.6) h^-Лк=1

Тогда, воспользовавшись формулами (1.3) и (1.4) и счетной аддитивностью меры р, получим

п

v (Л) = ^ / dp = ^ /Хд dp = V с^р (Et П Л) =ARк=1

= £ с^Ек П (и Л,.)) = £ с6р(0 U4 П Л,.)) =4=11=14=11=1

= S Ч 5 р (Ek fl Л,.).

4= I 1=1

В правой части мы имеем линейную комбинацию сходящихся знакоположительных рядов, поэтому можно поменять порядок суммирования и полученный в результате руд будет сходиться абсолютно:

VM) = S X ЧУ-Цч П Л,) = ^ $/^= XvMi)- ■< = 1 4 = 11=1 А(i=l

Следствие 1.3. Функция множеств v (Л), определяемая формулой (1.6), является зарядом (см. § 1.1.16).

Определение 1.2. Функция множеств X ■ 91->-IR называется абсолютно непрерывной относительно меры р, если для любого 8 > О найдется такое 6 > 0, что для любого множества Е £ 91, удовлетворяющего условию р (Е) <2 6, выполняется неравенство | X (Е) | <2 8.

Теорема 1.7 (об абсолютной непрерывности интеграла). Заряд v, определяемый формулой (1.5), является абсолютно непрерывной функцией множеств относительно меры р.

Доказательство. Пусть / — простая измеримая функция и пусть с = sup I / (х) |. Для любого 8 > 0 положим 6 = — .

Тогда при р (Е) <6 имеем

|v(E)| =|v(E)| =J/dpЕJ/dpЕС | /1 dp -с ср (Е) < о • — = е.ЕС | /1 dp -с ср (Е) < о • — = е.ЕВВ

|v(E)| =

|v(E)| =

J/dp

Е

J/dp

Е

С | /1 dp -с ср (Е) < о • — = е.

Е

С | /1 dp -с ср (Е) < о • — = е.

Е

В

В

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть /: Ц -> IR— измеримая простая функция. Доказать следующие утверждения:

Если f > 0 (mod р) и j /dp = 0, то / = О (mod р).

R

Если (VX G Я): С /dp = 0, то / = 0 (mod р).

А

Если / > 0 (mod р) и ^ /dp = 0, то р (В) = 0.

в

Если f ~ g, то j /dp = j gdp.

R R

В условиях упр. 1.1 доказать, что (Ve>0): p({|/|>6})^ < ~ j I /(х) | dp (х) (неравенство Чебышева).

R

Пусть Л=[а, 6], m—мера Лебега. Вычислить: а) /_(x)dx;

^ ^R\Q W dx; в) ^ e—w dx.

RR,„

В условиях упр. 1.3 доказать, что, для неотрицательной на (а, 6]

простой функции / справедливо равенство \ f (х) dx = т ({(х1э х2) £ IR2 | Xi G

€ [а, 6]. О с х8 </ (xj}).

Пусть R = {1, 2, ..., Л'}. Проверить, что: а) всякая измеримая функция f : R -> IR является простой; б) все свойства интеграла /dp сводятся R к свойствам конечных сумм.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИЗМЕРИМЫХ

ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ

В этом параграфе будет введен интеграл Лебега на множестве всех измеримых ограниченных функций н установлены основные свойства интеграла.

Пусть, как и в § 1, (R, 9?, и) — пространство с конечной мерой, f i R -> ff< — измеримая ограниченная на R функция. Введем для такой функции понятие интеграла Лебега.

Согласно теореме II.5.2, существует последовательность простых измеримых функций (/n)£Li, равномерно сходящаяся к / на R. Рассмотрим последовательность соответствующих интегралов

= У fn ^

и покажем, что эта числовая последовательность фундаментальна. Действительно, из равномерной сходимости /„^f следует, что

(Уе > 0) (ЗУ) (Уш, п > АГ) (Ух 5 R): I f,n (х) - /„ (х) | < -^

Тогда при т, п^> N имеем

I U - 1 ч I = |5 fm ^В - S fn d^ 1 = | J Um - L) dp! <

RRR

<\\fm-fn\d^«^-^R) = e,

R

e. последовательность (/n)^=i фундаментальна. Поэтому существует предел

I = lim/„ = lim 5 Ldp..

n-*OQП-06 fl

Покажем, что этот предел не .НОСТИ (fn)”=l. ПуСТЬ (/п)п=1 иПокажем, что этот предел не .НОСТИ (fn)”=l. ПуСТЬ (/п)п=1 изависит от выбора последователь- (^„)“=i — две последовательностизависит от выбора последователь- (^„)“=i — две последовательности

Покажем, что этот предел не .НОСТИ (fn)”=l. ПуСТЬ (/п)п=1 и

Покажем, что этот предел не .НОСТИ (fn)”=l. ПуСТЬ (/п)п=1 и

зависит от выбора последователь- (^„)“=i — две последовательности

зависит от выбора последователь- (^„)“=i — две последовательности

простых измеримых функций, равномерно сходящиеся к / на R. Тогда для любого е>0 найдется такое N, что при п> N будет одновременно

(Ухе/?):)/л(х)-/(х)|<¥^, )^(х)-/(х)(<^.

Поэтому при n>N

\L^ — gnW\ С |f„(x) — /(Х)Ц-|/(х) — g«WI<y^y и, таким образом,

RRR

Отсюда следует, что lim j fndy = lim \ g„du, п-* 00 Rп~^ ои ^

т. е. предел интегралов не зависит от выбора последовательности простых измеримых функций, равномерно сходящейся к /.

Проведенными рассуждениями установлена корректность следующего определения.

Определение 2.1. Пусть f'.R-*^— измеримая ограниченная на R функция, (J,X^ — последовательность простых измеримых функций, равномерно на R сходящаяся к f. Интеграл Лебега функции f определяется равенством

$/(x)dp(x)^ J fdp.= lim J fnd[i.(2.1)

/гr n-~ r

Пусть / — измеримая ограниченная функция, А — измеримое множество, т. е. Л ( 91. Тогда индикатор Хд множества А — также измеримая ограниченная функция и, следовательно, таково же и их произведение /Хд. Поэтому естественно дать следующее определение.

Определение 2.2. Если / — измеримая ограниченная функция, А — измеримое множество, то интеграл Лебега от функции f по множеству А определяется формулой

$/dp = ^Хддц.(2.2)

ДR

Из этих определений видно, что всякая измеримая ограниченная функция интегрируема по Лебегу.

Установим основные свойства интеграла Лебега от измеримых ограниченных функций. Отметим, что эти свойства совершенно аналогичны соответствующим свойствам интегралов от простых измеримых функций, а их доказательства легко следуют из соответствующих утверждений для простых функций.

Теорема 2.1 (о линейности интеграла). Если f, g— измеримые ограниченные функции, a, pg IR, то

$ (“/ + ₽g) dp = а J/dp + ₽ J gdp.

RRR

Доказательство. Пусть (/„)”=I, (gn)”=i — последовательности простых измеримых функций, /„ц$/, gn^g. Тогда а/пф- + ^gnT5.aj + Pg. Воспользовавшись определением. (2.1) и теоремой 1.1, получаем

J (“/ + Pg) dp = Hm J (a/„ 4- PgJ dp =

RR

= lim (a J /„ dp Ц- p ^ gn dp) = a lim J /„dp +

R«R

+ P lim J g„ dp = a J /dp + р Jgdp. И n-“RRR

Теорема 2.2 (о неотрицательности интеграла). Если f — измеримая ограниченная функция и / > 0 (mod р), то J /dp > 0. R

Доказательство. Пусть (/„)„Д] — последовательность простых измеримых функций, равномерно сходящаяся к / на R. Из доказательства теоремы II.5.2 видно, что функции /„ можно выбрать так, чтобы выполнялось условие /„>0(modp). Тогда по теореме 1.2 имеем J/„dp>0 и остается перейти в этом нера-

R

венстве к пределу при п->оо. и

Теорема 2.3 (о монотонности интеграла). Если f, g— измеримые ограниченные функции и / > g (mod р), то j / d р > J g dp. RR

Доказательство. Достаточно применить теорему 2.2 к функции / — g. Ц

Следствие 2.1. Если / — измеримая ограниченная функция и а < /(.г) с ft (mod р) на измеримом множестве А Е R, то ср(Д) С с J / dp с ftp (Д).

А

Теорема 2.4 (об интеграле от функции, эквивалентной нулю). Если f — ограниченная функция и /=0 (mod р), то ^ / dp = 0.

R

Доказательство. Достаточно применить следствие 2.1 при а = ft = 0. И

Следствие 2.2. Если /, g—измеримые ограниченные функции и / = g (mod р), то

$fdp = Jgdp.

R R

Теорема 2.5 (об оценке модуля интеграла). Если f—измеримая ограниченная функция, то

| j / dp | j | / | dp.

RR

Доказательство. Пусть (fn)”=i — последовательность простых измеримых функций, fn^f. Тогда, очевидно, функции |fn| — также простые измеримые и l/„|zf|/|. В силу теоремы 1.5

I J fn dp I < J | /„ | dp;

RR

перейдя в этом неравенстве к пределу при л->- оо, получим требуемое. И

Пусть / — фиксированная измеримая ограниченная функция. Как и в § 1, определим на о-алгебре 3i всех измеримых множеств числовую функцию

vH) = J/dp (Д^).(2.3)

А

Из определений 2.1 и 2.2 следует, что v(0) = O.

Теорема 2.6 (о счетной аддитивности интеграла). Функция множеств v (Л), определенная формулой (2.3), счетно

аддитивна: если Д = [J At, ДдЭ?, А( f] Aj = 0 (i =/=/), то

(2.4)

причем ряд в правой части сходится абсолютно.

Доказательство. Установим сначала конечную аддитивность интеграла: при любом т €

тт

$ fdp= X If dp, т. е. v( U Д() = XVH<)- (2-5)

Пусть (/n)“=i — последовательность простых измеримых функций, fn^f- Тогда в силу теоремы 1.6

т

У fndy = X fn^W

т1=1 А,

переходя в этом равенстве к пределу при п->оо, получим (2.5). Далее, при любом т£Й имеем

66ТП60

А = U At = ( U АО U ( U Афi=l/=1f-m+l

воспользовавшись уже установленной конечной аддитивностью функции v, получим отсюда

т

(2.6)(2.6)v(A)= £ v(A() + v( и л,)./=1i=m4-I

(2.6)

(2.6)

Оценим последнее слагаемое в (2.6). Поскольку ShHz) = 1=1

= р(А)<оо, то для любого е>0 найдется такое ^€^> чт0 ПРИ

т> к V ^1(Л^)с —, где с = sup |/(*) I- Для таких т имеем

|v( U А)1 = | J fdp|< J |Л^кс|1( U Л) =

i=m+l«о«1^т-{-1

U л.U л.

i=m+l 1<=т+1 ‘

= о ^ nW<c • ~«=e,

г=т+1

т. е.

1 i m v ( J Л() = 0.

Г?2-*оо^=т+$

Переходя в равенстве (2.6) к пределу при т-> сю, получим требуемое равенство (2.4). Абсолютную сходимость ряда легко доказать, проведя аналогичные рассуждения для функции | / (х) |. И

Следствие 2.3. Функция множеств v (Л), определенная формулой (2.3), является зарядом.

Теорема 2.7 (об абсолютной непрерывности интеграла). Заряд v, определенный формулой (2.3), является абсолютно непрерывной функцией множеств относительно меры р.

Доказательствоничем не отличается от доказательства теоремы 1.7. И

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть/ — измеримая ограниченная функция. Доказать, что^/dp = = sup IJ gdii | g С /, g — простая| .

^ Доказать, что утверждения упр. 1.1, 1.2 справедливы для любой ограниченной измеримой функции.

Доказать, что утверждение упр. 1.4 справедливо для любой неотрицательной на [а, 6] ограниченной измеримой функции.

Пусть иа [а, д] задана измеримая ограниченная функция /. Если (Vc € [а, 6]): J / (х) dx = О, то / = 0 (mod т).

[а. с]

Вычислить j / (х) dx, если функция / равна х- в точках канторова Ю,_1] множества и равна 2 ” на удаляемых из [0, 1] интервалах, длина которых равна 3~n (см. упр. 1.9.4).

Вычислить ^ f (х) dx, если / (х) = 10 (х£ £>), а на удаляемых интер- [0.1]

валах графиком функции служат: а) верхние полуокружности, опирающиеся на эти интервалы, как на диаметры; б) равнобедренные треугольники с высотой!, основаниями коюрых являются эти интервалы.

Доказать о-аддитпвность интеграла Лебега, используя результат упр. 1.16.2 и теорему 2.7.

СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРАЛАМИ РИМАНА И ЛЕБЕГА

Для простоты изложения рассмотрим эту связь в одномерном случае.

Напомним сначала определение интеграла Римана. Пусть задана произвольная функция / > la, bl -> IR. Рассмотрим произвольное разбиение л отрезка [a, by

а = хй<хг<х^<..- < хп_х <хп = Ь

и положим ^xk = хк+1 — хк, | л | = шах (Ах61 к = 0, ... , п — 1}, тк = inf[/(х)| x^\xkt ^+il}, Л4Й = sup{/(х)|х€txA, x6+1]}.(3.1)

Суммы n—\n—1

skh «) = S nikkxk, s(f, л)= ^ M^xk (3.2) k=06=0

называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу. Согласно теореме Дарбу существуют пределы

ь I im s (/, л) = sup s (/, л) = I / dx,

Нт 5 (/, л) = inf s (/, л) = \ / dx, |л|-0Ла

называемые соответственно нижним и верхним интегралами данной функции. При этом, очевидно, для любого разбиения л

s(f, л) < ^ f dx с j f dx < s (f, л),a°

Функция / называется интегрируемой по Риману на отрезке [а, 6], если ее верхний и нижний интегралы равны; в этом случае их общее значение называется интегралом Римана от функции / по ъ отрезку [а, 6] и обозначается (в этом параграфе) через (R) ) f dx.

Для отличия от интеграла Римана интеграл Лебега по м ере Лебега ь

обозначается здесь через (L) j / dx. Как известно, ограниченность

функции / на отрезке [а, Ь\ является необходимым условием ее интегрируемости по Риману.

Теорема 3.1. Если функция f интегрируема по Риману на отрезке [а, Ы, то она интегрируема на этом отрезке и по Лебегу и при этом

bь

(L) ^ f dx = (R) ^ f dx.(3.3)

аа

Доказательство. Мы знаем, что всякая измеримая и ограниченная на [а, 61 функция интегрируема по Лебегу. Но ограниченность функции / сразу следует из ее интегрируемости по Риману; поэтому для доказательства интегрируемости / по Лебегу достаточно доказать ее измеримость.

Произведем разбиение лт отрезка [а, 6] на п — 2т равных частей точками а = х0 < хх <_ • • • < хп_х <.хп = Ь и положим

2т-1_2т-1

№> = S /«Л(х), /т(х) = 2 ^бХй(х), (3.4) 6=06=0

где mk, Мк определены по формулам (3.1), a %ft(x)— индикатор полуинтервала [х^, хк^. Ясно, что в каждой точке ^ (х) с fa (х) с • • • • • • < / (х) и Ji (х) > /а (х) > • • • > f (х), поэтому существуют пределы

/ (х) = 1 im fm (х), / (х) = 1 im ]т (х), f (х) < /(х) с / (х),

причем в силу теоремы II.2.4 функции / и / измеримы. Поскольку f и fm— простые измеримые функции, то в силу определения 2.1 имеем

bbbь

(L) [mdx < (L) f dx < (L) ^ ) dx < (L)^ Udx- <3-5) aaaa

Кроме того, из формул (3.4) и определения 1.1 интеграла Лебега от простой функции следует, с учетом (3.2), что

b2т—12m—I

(L) I fm dX = S т6Ш (tX&> XW1)) = X m^Xh = ^ (А Лт) a "6=06=0

и аналогично

ь(L)^fmdx==s(f, л^.a

Поэтому неравенство (3.5) запишется так: ьь

S (/, Лт) с (L) J / dx < (L) $ f dx < s (f, лт). (3.6)

Поскольку [ интегрируема по Риману, то при т->оо обе суммы Дарбу s(f, лт) и s(J, лт) стремятся к общему пределу, равному (R) (f dx. Переходя в неравенстве (3.6) к пределу при /;г->оо, получаем bььъ

(R) J f dx < (L) J [dx с (L) J "[ dx с (R) J f dx,аааа

откуда ььь

(L) ^ [ dx = (L) ^ } dx = (R) f dx.(3.7)

оаа

Из последнего равенства имеем ь

(L) $ й - П dx - О,

и поскольку / (х) — f (х) > О, то в силу теоремы 2.2 / — [ = = 0(mod/n), поэтому f (х) = [ (х) = ) (х) (mod т). Отсюда следует измеримость функции /. Теперь из равенства (3.7) получаем

ьь

(L) \ [ dx = (R) j [ dx. й

Доказанная теорема дает частичный ответ на вопрос о вычисле нни интеграла Лебега. Приведем еще без доказательства критерий интегрируемости по Риману. (Доказательство см., например, в [66].)

Теорема 3.2 (Лебега). Для того чтобы функция, ограниченная на отрезке (а, ЬА, была интегрируема по Риману на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множество ее точек разрыва имело меру Лебега, равную нулю.

Из этой теоремы, в частности, следует теорема об интегрируемости по Риману монотонной функции (так как множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно).

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть g—интегрируемая по Риману на [а, 6] функция. Если I ~ g (mod m), то (L) J f (x) dx = (R) J g (x) dx. Доказать. aa

л/2

Вычислить (I.) С /(х) Дг, где: ф / (x)=sin х; б) / (х) = Р^х, х € Q . JV lUo X, Х^1г\ \\L)

( sin cos x£ Q • r) f (x) = / x2' * ^ D . Интегрируемы ли } hin2x, cosxGIR\QUinnx, x£D

но Риману на [0, л/2] функции из примеров б) — г) ?

1

Чему равен (L) J /(х) dx, если / равна х2 во всех точках пересечения о

капторова множества и произвольного (даже и неизмеримого) множеств.: Е и равна х3 в остальных точках отрезка?

Следующие упражнения являются этапами доказательства теоремы 3.2.

Доказать, что / (х) = lim inf {/(х)' xG (х0 — 6, х0 + 6)}, Цх) =

6-+0

= lim sup ]/(х) | xG (х0 — б, х0-]-<5)} (функции /, /.введенные при доказала +о

тельстве теоремы 3.1, называют соответственно нижней и верхней функциями Бэра для /).

Доказать, что функция / : |а, 6] -» IR непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда J (х„) = / (х„) (теорема Бэра).

Ь

Доказать, что sup{s(/, л) | Vn] = (L) J / (х) dx, inf{s(/, n)|Vn} =

а b

= (L) J / (x) dx, t. e. нижний (верхний) интеграл Римана функции / совпадает а

с интегралом Лебега нижней (верхней) функции Бэра для /.

Доказать, что равенство / = / (mod /тг) является необходимым и достаточным условием интегрируемости / по Риману на [а, 6].

§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ

При распространении интеграла Лебега на случай неограниченных функций удобно сначала рассмотреть интегрирование неотрицательных функций и лишь после этого перейти и рассмотрению функций любого знака.

ь и = {ь и = {Пусть, как и выше, (R, 9i, ц)— пространство с конечной мерой, функция / измерима на R, ц-почти везде конечна и / (х) > 0 на R. Для любого натурального ^ обозначим через }n срезку функции /, определяемую равенством

ь и = {

ь и = {

/(х), если f^-CN, N, если Цх) > N.

Измеримость /v сразу следует из того, что

< , _ | U < а1 при « <• W)' 1R при а> N.

Лемма 4.1. Имеет место равенство

Нтр({/ > ^}) = 0.

Доказательство. Легко видеть, что

поэтому в силу теоремы о непрерывности для пересечений (теорема 1.6,3)

lim p(U N}) = р( П U > N^ = и({/ = Н-оо}) = О, N осД' —-1

поскольку функция / по условию p-почти везде конечна. И

Поскольку все срезки Av — измеримые ограниченные функции, то они интегрируемы по Лебегу. Так как

(Vx € R): Д (.v) < Д (х)<Д(х)< •

то в силу теоремы 2.3

^ f i ^Р ^ ^ Д ^Р ^ У /з ^р • • • •

RRR

Поэтому существует предел (конечный или бесконечный) limUwdp.(4.1)

N'~ R

Определение 4.1. Если предел (4.1) конечен, то функция f называется интесрируемой по Лебегу, или суммируемой, а ее интеграл Лебега определяется равенством

[ f (х) dp (х) = J / dp = lim Г fN dp.

Если же предел (4.1) бесконечен, то по определению полагают ^ f dp = 4-00.

R

Ясно, что интеграл — неотрицательное число (или + оо).

Если, в частности, / — измеримая ограниченная функция, то (к (х) = t (х) для всех достаточно больших N. Поэтому для ограниченных функций определение 4.1 дает то же значение интеграла, что и определение 2.1.

Лемма 4.2. Пусть f, g измеримы, 0 с / (х) <g (х) (mod р) на R и g суммируем'а. Тогда f также суммируема и

^/dpc^'gdp.(4.2)

R я

Доказательство. Из условия следует, что (n (х) с Cg.v(x) (mod р) при любом N. Воспользовавшись теоремой 2.3 и определением 4.1, получаем отсюда

j ^dp с ^ ^dp с ^ gdp< оо.(4.3)

RRR

Из этого неравенства следует конечность предела lim i ?N dp, т. е.

суммируемость f. Переходя в неравенстве (4.3) к пределу при N оо, получим требуемое неравенство (4.2). И

Пусть / — суммируемая на R функция, Л — измеримое подмножество R, хл — его индикатор. Тогда Хл/ — измеримая функция, причем О с Хл (х) f (х) « f^, и в силу леммы 4.2 функция Хл/ также суммируема. Эти рассуждения объясняют естественность следующего определения.

Определение 4.2. Если множество A a R измеримо и функция ?Хл суммируема на R, то функция { называется суммируемой на Л и ее интеграл по множеству А определяется равенством

j / (х) dyv (х) = j f dp = j Ха? dp,. ААR

Ясно, что если/суммируема на R, то она суммируема и на любом измеримом множестве А с: R.

Установим некоторые свойства интеграла от неотрицательных неограниченных функций.Часть свойств будет отнесена к упражнениям.

Теорема 4.1 (о линейности интеграла). Если ?, g— суммируемые функции, ? (х) > 0, g(x) > 0, а, р > 0, то функция а? + Pg также суммируема и

$ (“/ + Pg) dp = а j / dp Н- р ^ g dp. RRR

Доказательство проведем в два этапа.

. Установим сначала аддитивность. Легко видеть, что (/ + + E^n W ^ ?n (х? + Sn Vх? пРи Л1°бом натуральном N, поэтому в силу теоремы 2.3 и определения 4.1

\ U + g^N dp < § fN dp, + \ gN dp < j f dp + J g dp < CO. RRRRR

Отсюда следует, что функция / + g суммируема. Переходя в последнем неравенстве к пределу при N -у оо, получим

^ (/+ g)dp с ^/Ф +t^ g^P-(4.4)

RRR

С другой стороны,

?N to + gN to < f to + g to-

Поскольку суммируемость f + g уже установлена, то, применяя лемму 4.2 и теорему 2.1, получим

$ fN dp + $ gN dp < $ (/ 4- g) dp.

RRR

Перейдем в этом неравенстве к пределу при 1V->ooi

(4.5)(4.5)$ f dp + J g dp < J (f + g) dp. RRR

(4.5)

(4.5)

Сопоставляя (4.4) и (4.5), видим, что

j V + g) dp = $ f dp + j g dp.

RRR

. Остается установить однородность интеграла. Пусть / суммируема, / (х) > О, а > 0. Надо показать, что функция а/ также суммируема и

J af dp = a J f dp.(4.6)

RR

При а = 0 утверждение тривиально. Пусть а > 1. Тогда, (af)N (х) с afN (х) при любом N, откуда в силу теоремы 2.3 и определения 4.1 находим

J (а/)д, dp < J afN dp = а J fNdp С а j f dp.

RRRR

Отсюда следует суммируемость функции а/, а после перехода к пределу при N -^-оо — неравенство

(4.7)(4.7)j af dp с а j f dp. RR

(4.7)

(4.7)

Кроме того, а/д,(х) с а/(х). Поскольку суммируемость а/ уже установлена, то, применив лемму 4.2 и теорему 2.1, получим

аа) /д, dp с j а/ dp RR) /д, dp с j а/ dp RR

а

а

) /д, dp с j а/ dp RR

) /д, dp с j а/ dp RR

и после перехода к пределу при Nео

(4-8)(4-8)а ^ f dp С ^ а/ dp.RR

(4-8)

(4-8)

Сопоставляя (4.7) и (4.8), получаем требуемое равенство (4.6) в случае а > 1.

Пусть теперь 0 <а < 1. Так как а/ (х) <7 (х), то в силу леммы 4.2 функция а/ суммируема. Поскольку ^- > 1, то по уже доказанному

J f dp = J -^ • af dp = -L J af dp,R Rr

откуда следует равенство (4.6) и в этом случае. ■ 4 9-227

Пусть f — некоторая фиксированная неотрицательная суммируемая на 7? функция. Для любого измеримого множества Л положим

vM) = jfdp.(4.9)

А

Как и в § 1, 2, установим абсолютную непрерывность и счетную аддитивность функции множеств v t 9? ->• IR.

Теорема 4.2 (об абсолютной непрерывности интеграла). Если f — неотрицательная суммируемая функция, то неотрицательная функция множеств v, определенная по формуле (4.9), абсолютно непрерывна относительно и.

Доказательство. Из определения 4.1 следует, что для любого е > 0 найдется такое ^ С И, что

О с J (/ — (n) dp = J f dp — ^ jN dp < у. RRR

Положим 6 = ^. Тогда для любого измеримого множества EcR, удовлетворяющего условию р (£) < б. получим

О С v (Е) = ^ f dp = j (/ — /д,) dp + fN dp «ЕЕ"Е

«^Np(E)<^-VN .^ = е. ■

Теорема 4.3 (о счетной аддитивности интеграла). Функция множеств v, определенная формулой (4.9), счетно-ад

дитивна: если Л = [J Л,, Л^Э!, Л/ П ^ = 0 Ц^1^

V0)=S VHZ).(4.10)

Доказательство. Установим сначала конечную аддитивность функции v. Для любого m € И

ттттV(U А)= 2 v0z).V(U А)= 2 v0z).(4.П)(4.П)Действительно, для любого натурального N имеем в силу теоремы 2.6Действительно, для любого натурального N имеем в силу теоремы 2.6т$ fN dp = ^ J fN dp,т$ fN dp = ^ J fN dp,тUnтUni=l А^i=l А^откуда, переходя к пределу при N -*- оо, получим (4.11).откуда, переходя к пределу при N -*- оо, получим (4.11).

т

т

т

т

V(U А)= 2 v0z).

V(U А)= 2 v0z).

(4.П)

(4.П)

Действительно, для любого натурального N имеем в силу теоремы 2.6

Действительно, для любого натурального N имеем в силу теоремы 2.6

т

$ fN dp = ^ J fN dp,

т

$ fN dp = ^ J fN dp,

т

Un

т

Un

i=l А^

i=l А^

откуда, переходя к пределу при N -*- оо, получим (4.11).

откуда, переходя к пределу при N -*- оо, получим (4.11).

Докажем теперь счетную аддитивность функции v. В силу теоремы 4.2 для любого е > 0 найдется такое 6 > О, что р (5) <С 6 =* => v (£) <6. Поскольку мера р счетно-аддитивна, то

S нМ) = р(Л)<оо, ;=1

поэтому найдется такое mg И, что р( U А^ = S pMi)<6.

Z=m+1Z=m4-I

Тогда, воспользовавшись уже доказанной конечной аддитивностью V, получим

(4.12)(4.12)VM)= 2 гШ + г( и А^,/=1i=m+l

(4.12)

(4.12)

причем 0<v( U Лг)<е. Поэтому из (4.12) следует, что i=m-H

v(A) = lim 2 v (Л) = S НЛ)- ■

m -* * /= 1i= 1

Замечание 4.1. В отличие от рассмотрений §§ 1,2, функция множеств v в рассматриваемом случае является даже не зарядом, а мерой, поскольку v (Л) > О (V/l g 91).

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть /—измеримая функция, / (х) > О и / = О (mod р). Дока- вать, что / суммируема и /dp = 0.

R

Доказать, что неотрицательная измеримая функция может быть суммируема лишь в том случае, если она p-почти везде конечна.

Доказать, что утверждения упр. 1.1, 1.2 справедливы для любой неотрицательной измеримой функции.

Доказать, что утверждение упр. 1.4 справедливо для любой неотрицательной на [а, 6] измеримой функции.

Пусть /(х)=0 (х£О) и / (х) = и на удаляемых нз [0, 1] интервалах длины З-". Доказать, что ^ /(x)dx = 3.

4.6.тогда и4.6.тогда иГО, 1]

4.6.

тогда и

4.6.

тогда и

Доказать, что неотрицательная измеримая функция / суммируема только тогда, когда множество В = H gd^i\g<^, g—простая! огра-

R

ничено, причем ( /dp = sup В (см. упр. 2.1).

Доказать, что измеримая неотрицательная функция суммируема тогда и только тогда, когда ограничено множество |^ /dp | Л1 ^ JR, (3c)>0)(VxG

А

€ Д): / (х) с с| .

Пусть /, g—неотрицательные измеримые функции такие, что (Va^ С IR) : р ({/<«}) = р ({g < а}) (такие функции называют равпоизмеримыми).

Доказать, что равноизмеримые функции одновременно суммируемы или нет и

J gdp = J idV-

R R

Доказать, что неотрицательная измеримая функция суммируема тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

У /гр({/г«/< fe+ 1})< то;

Й=1

5 р({/ >fe})<oo;

к=1

5 2^({/>2^)<то.

Пусть /— неотрицательная измеримая функция. Доказать, что условие р ({/ > k}) = о (А-1), к-* оо необходимо, но недостаточно для суммируемости f.

Пусть /—суммируемая функция. Доказать, что

С /dp = lim У ккр ^Ыг < / < (6 + 1) h^.

Пусть л = {/0, /п ...} —разбиение [0, +°°)> Xk^Vb tk+d. k = 0, 1, , ,., | ц| = sup Vh+i — tk I к = °, 1, .,.} —диаметр разбиения. Доказать, что в условиях упр. 4.11

f /dp = lim V ^р ({/* < / < /*+1}).

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОГРАНИЧЕННЫХ

ФУНКЦИЙ ЛЮБОГО ЗНАКА

Пусть, как и выше, (R, 91, р) — пространство с конечной мерой, f — заданная на R вещественнозначная измеримая p-почти везде конечная функция. Как и в § II.5, рассмотрим положительную и отрицательную части функции f:

(х) = шах{/(х), 0} = HWI + IW .

(х) = -min {/ (х), 0} = _12М1_дШ-.

Ясно, что Д. и /_ — неотрицательные измеримые p-почти везде конечные функции, причем

R^=^^ — UVx\ 1 Дх)| = f+(x) -Н-(Д(5.1)

Поэтому для /+ и /_ имеет смысл понятие суммируемости, введенное в § 4. Учитывая (5.1), естественно дать следующее определение.

Определение 5.1. Функция f называется суммируемой (или интегрируемой по Лебегу) на R, если суммируемы обе функции ^ uf- • При этом интеграл Лебега функции f определяется равенством

J f(x)dp(x)s j fdy = У f^dp.— j f_dp,. (5.2)

RRRR

Теорема 5.1. Для суммируемости измеримой функции f необходимо и достаточно, чтобы была суммируема функция\П . При этом

|$1/Мр-(5-3)

RR

Доказательство. Необходимость. Пусть / суммируема, т. е. суммируемы неотрицательные функции 7+ и 7-. Тогда в силу теоремы 4.1 суммируема также функция |71 = 7+ +/- и при этом j | /| dp = j /+ dp + j f_ dp.(5.4)

RRR

Достаточность. Пусть | f | — суммируемая функция. Поскольку f+to^lftol, f- (х) < | f (x)|, то в силу леммы 4.2 функции 7+ и f_ суммируемы, следовательно, суммируема и функция f. При этом, учитывая (5.4), получаем

|j*7dp| = [ j*7+dp—j 7_ dp} СRRR

< $ f+dp + $ f-dp = $ |f |dp. ■RRR

Следствие 5.1. Если функция f измерима и [ 7 (x) | с gr(x)(mod р), где g > 0 — суммируемая функция, то и функция 7 суммируема.

Для доказательства достаточно применить лемму 4.2 и теорему 5.1. ■

Если f — суммируемая функция, Д с= /? — измеримое множество, Хл — его индикатор, то Xл7 также суммируема, поскольку | Хл (х) X X 7 (х) | < | / (х)|. Поэтому естественно дать следующее определение.

Определение 5.2. Если множество A a R измеримо и функция На суммируема на R, то функция f называется суммируемой на А и ее интеграл по множеству А определяется равенством

J 7 (х) dp (х) = j 7 dp = ^ XaI dp. AAR

Ясно, что если 7 суммируема на R, то она суммируема и на любом измеримом множестве А с R.

Теорема 5.2 (о линейности интеграла). Если функции f, g суммируемы, а, р g IR, mo функция «7+Pg также суммируема и при этом

j(af+ ₽g)dp = а ^7dp + ₽ j gdp.(5.5)

RRR

Доказательство проведем в несколько этапов.

. Докажем сначала суммируемость функции «7 + Pg. Имеем, очевидно,

l«fto + Pgtol <|а| -I7WI +|р| • lg(x)l- (5-G)

Поскольку fag суммируемы, то в силу теоремы 5.1 суммируемы также |/| и | g| и по теореме 4.1 суммируема правая часть неравенства (5.6). Но тогда из теоремы 5.1 следует суммируемость af + pg.

. Установим аддитивность интеграла: если/, g — суммируемые функции, то

$ (/ + g) dp = $ / dp 4- J g dp.(5-7)

RRR

Поскольку / + g = /+ — /- + g+ — g- И / 4- g = (/ + g)+ — (/ + g)_, TO (/ 4- gk - (/ + gk = /+ - /- + g+ - g- откуда (/ + gk + /- + -i_ g_ = (/ _|- g\_ 4- /+ 4- g+. Воспользовавшись теоремой 4.1, находим отсюда

((/ +gkdp +Jf- dyi +Jg- dp=5 (/+ gk dp +$ Mp +Jg*dp,

RRRRRR

ИЛИ

((/ +gkdp—$(/ + gkdp = J/+dp— J/_ dp +J g+ dp—Jg_dp,

яRRRRR

а это и есть требуемое равенство (5.7).

. Пусть / — суммируемая функция, а > 0. Тогда (а/)+ = а/*, (а/)_ = а/_, поэтому

а/ dp = ^ (а/)+ dp — ^ (а/L dp = ^ а/+ dp — ^ а/_ dp.

RRRRR

Применив теорему 4.1, получим

а/ dp = а /+ dp — а\ f- dp,

RRR

т. e.

f af dp = a J f dp.(5.8)

RR

. Для завершения доказательства достаточно установить равенство (5.8) для а=—1. Поскольку (—/)+=/_, (—/)_ = /+, то

( (—/) dp = J (—/)+ dp — J (—/)_ dp =

RRR

= j f_ dp — ^ f+dp, = — ^ / dp. ■

RRR

Пусть / — некоторая фиксированная суммируемая на R функция. Для любого измеримого множества Де/? положим

vH) = ^/dp.(5.9)

А

Как и в § 1, 2, 4, покажем, что функция множеств v> (R->1R является счетно-аддитивной и абсолютно непрерывной.

Теорема 5.3 (о счетной аддитивности интеграла).

Функция множеств v, определенная формулой (5.9), счетноаддитивна: если А = U Аг, Аг П А) = 0 (iN=i\ Л€^> то

v(4)=5v(4;),

причем ряд в правой части сходится абсолютно.

Доказательство. Введем в рассмотрение две неотрицательные функции множеств

Ясно, чтоЯсно, чтоv+ (Д) = j U dp. v- (^) = j A- d^-АА

Ясно, что

Ясно, что

(5.10)(5.10)v (Д) = v+ (Д) — v_ (Д).

(5.10)

(5.10)

Как было установлено в теореме 4.3, эти функции счетно аддитивны (т. е. являются мерами), поэтому

V+ И) = S V+ (Д;), V_ (Д) = S V. (Д;).i—1;=1

Отсюда получаем

v (Д) = v+ (Д) — v_ (Д) = S v+ (Д;) — f] V, (Д;) =;=1 ‘i=i

= S (v+ (Д;) — v_ (Д;)) = S ^(ДД (=1

причем ряд в правой части сходится абсолютно как разность двух положительных рядов. ■

Замечание 5.1. Доказанная теорема показывает, что функция множеств v (Д) является зарядом. Заметим, что равенство (5.10) — не что иное, как разложение заряда в смысле Жордана, т. е. представление заряда в виде разности двух конечных мер (см. теорему 1.16.2).

Теорема 5.4 (об абсолютной непрерывности интеграла). Если /— суммируемая функция, то функция множеств v, определенная формулой (5.9), абсолютно непрерывна Относительно р.

Доказательство. Воспользуемся обозначениями, введенными при доказательстве теоремы 5.3. В силу теоремы 4.2 функции множеств v+ и v_ абсолютно непрерывны, поэтому для любого е > 0 найдется такое б > 0, что для любого множества Е £ 91, удовлетворяющего условию р (Е) < 6, будет v+ (Е) < -^ и v_ (Е) < у.

Тогда, воспользовавшись оценкой (5.3) и равенством (5.4), получим

ЬИ)| = | рф| < f I/W = J /+Ф + $

АААА

^ДЛ) + ^Д)<^ + т = з. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что если f суммируема, f > 0 (mod р), то j fd^>0,

R

Доказать, что утверждение упр. 4.1 справедливо для измеримых функций любого знака.

Доказать, что утверждения упр. 1.1, 1.2 имеют место для любой измеримой функции.

Пусть f суммируема на R и (УД^^) J /dp>0. Доказать, что f > А

^ 0 (mod р).

Доказать, что утверждение упр. 4.8 справедливо для измеримых функций любого знака.

Доказать, что утверждения упр. 4.9—4.12 с заменой / на )/1 справедливы для измеримых функций любого знака.

Доказать, что для любой измеримой функции f существует измеримая функция ср, положительная для всех х Е R и такая, что / • ф суммируема па R.

Доказать, что для каждой суммируемой на R функции f существует такая возрастающая на [0, ©о) функция Ф, что НшФ(«) =оо И \ | / (х) I X

U-* СОJ

R

X Ф ( |/ (х) | ) ф (X) < ОО.

Пусть f — измеримая функция. Предположим, что существуют такие константы А > 0 и а > 1, что (VM > 0): |л, ({ | / | >< А • М”а. Доказать,

что / суммируема на R.

Пусть / — суммируемая на /? функция, (Дл)^1 ^ ^ — последовательность множеств такая, что р(Дп)->0. Доказать, что /dp->0.

Ап

Пусть (Д^)“^ с 91 — последовательность попарно непересекающихся множеств и функция f суммируема на любом А^. Доказать, что / суммируема

на Д = U Аь в том и только взать, что абсолютная сходимость мости f па А.5.12. Пусть f — измеримаяна Д = U Аь в том и только взать, что абсолютная сходимость мости f па А.5.12. Пусть f — измеримаяОО

на Д = U Аь в том и только в

зать, что абсолютная сходимость мости f па А.

5.12. Пусть f — измеримая

на Д = U Аь в том и только в

зать, что абсолютная сходимость мости f па А.

5.12. Пусть f — измеримая

том случае, когда ^, j lfl^P<°°« Пока- 6=1 Ак ОО

ряда > \ /dp недостаточна для суммируе- к=\ А &

функция. Доказать, что / суммируема на R

в том и только в том случае, когда существует и конечен один из пределов:

a) hm \ /dp; б) hm [7V3p ({/ < Nx^ +\ fdp +

W2-+~ VNx<f<N^W^H-ooiNt<f<N^

+ N2^ ({f>/V2})]

(^Vi, Na стремятся к своим пределам независимо). При этом если / суммируема, то I fdp, совпадает с общим значением этих пределов,

R

Доказать, что для каждой суммируемой на R функции / и (Ve>0) найдется такая простая функция р, что ^ | / (х) — р (х) | dp (х) < е.

§ 6. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД

ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА

Хорошо известна теорема о предельном переходе под знаком интеграла Римана: если последовательность ^п=4 равномерно сходится к / на [а, ЬА, то ьь

\ f (х) dx = lim \ fn (х) dx. ап^°°а

В то же время поточечная сходимость недостаточна для возможности предельного перехода не только для интеграла Римана, но, как показывает следующий пример, и для интеграла Лебега,

Пример 6.1. Пусть р — мера Лебега на и-алгебре 91 всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка R = [0, 1]. Рассмотрим последовательность функций

fn (х) = «Х[0, \)П\ W* Тогда 1 j fn (х) dx = ^ fn (х) dx— 1. [OJIо

Вместе с тем предельная функция [ (х) = lim fn (х) —0 при х^=0, поэтому П-* ОО

f = 0 (mod р) и, следовательно, f(x)dx = 0.

[0,1]

Рассмотрим ряд утверждений о предельном переходе под знаком интеграла Лебега в пространстве (R, 91, р) с конечной мерой.

Теорема 6.1 (Лебега об ограниченной сходимости). Пусть последовательность ^^=\ суммируемых функций сходится по мере к функции f и пусть существует такая суммируемая функция g > 0, что

^n^)^\fn(x)\<g(x).(6.1)

Тогда функция f суммируема и

{ f dp = lim J fndp.(6.2)

Функцию g естественно назвать суммируемой мажорантой последовательности ^п=д.

Доказательство. Поскольку fn^f, то по теореме Рисса существует подпоследовательность fnfe ->- f (mod р). В силу (6.1) имеем

(W)^WI<g(x).

Переходя в последнем неравенстве к пределу при ft-> оо, получим |f(x)l<g(x)(modp),

и в силу следствия 5.1 функция / суммируема.

Для доказательства равенства (6.2) положим для любого а > О

En^-k\fn-n>^, Fn^ = k\fn-f\<oV тогда

6П = |$ f Ми|< J I — Л<^ =

RR , R

= J \fn-IW+ J 1Л~Л^.(6.3)

EnWRn(a)

Поскольку

I fn to — f X) I с I fn (x) 1 + I f (x) I < 2g (x) (mod p), то из (6.3) получаем

&п<2 $ g dp. + аиДХ).(6.4)

Теперь для любого е>0 положим о =® -. Далее, восполь-

вовавшись абсолютной непрерывностью интеграла (теорема 4.2), найдем такое 6 > 0, чтобы из р(£)<б следовало

Е

Наконец, из того, что fn Л- f, следует существование такого номера п0, что при п> п0

V-(.En^ = 1Л{1Л—Л > о})<6.

Тогда при и>и0 получаем из (6.4), что

6п<2.^ + 4 = 8,

т. е. 6п->0 при и->-со. я

Замечание 6.1. Ясно, что утверждение теоремы Лебега остается справедливым, если (6.1) выполняется, начиная с некоторого номера п0.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что теорема Лебега остается справедливой, если (6.1) при каждом п выполняется лишь p-почти везде.

Вывести из теоремы Лебега следующее обобщение на интеграл Лебега теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана: пусть (/n)^=i> f — суммируемые функции, fn^f. Тогда имеет место равенство (6.2).

Пусть ф — измеримая ограниченная функция. Доказать, что если выполнены условия теоремы Лебега, то

\ <pfdp = lim ( qVn^p.

RR

Следующее утверждение часто оказывается весьма полезным.

Теорема 6.2 (лемма Фату). Пусть (f^n-i — последовательность неотрицательных измеримых функций, сходяицаяся по мере к функции f. Тогда

^f dp «б. 11m У fndp.(6.5)

Доказательство. Отметим прежде всего, что функции fn не предполагаются суммируемыми, так что интегралы в правой части (6.5) (и даже их нижний предел) могут равняться + «>• Доказательство проведем в два этапа.

. Докажем сначала неравенство

У f dp с sup У f„ dp.(6.6)

Rn R

Поскольку fn^f, то по теореме Рисса существует подпоследовательность fnfe-*f (mod p). Тогда, рассматривая срезки (см. § 4) для любого П>0, получим (fnfc)JV->-(/)jv(mod р). Но тогда (Vx£R) (V^ 6 И) 1 0 с (f^to^ с N. Применяя теорему Лебега об ограниченной сходимости, получаем

Нт У (fnANdp= V^Ndp.(6.7)

k-»« RR

Кроме того, для любых k, N

S (fnfe)N dp < 5 fnfe dp < sup ^ fnfe dp.RRk R

Переходя в этом неравенстве к пределу при к -> оо и учитывая (6.7), получаем

{ (f^dp^sup \fnkdp.

Rк R

Переходя в последнем неравенстве к пределу, найдем

У f dp « sup У fnfe dp. Rk R

Тем более справедливо неравенство (6.6).

. Докажем теперь неравенство (6.5). Если Нт У fndp = +°°, fi*w R

то доказательство не требуется. Пусть

Нт У fn dp = А < 4-оо.

п» «о R

По свойству нижнего предела для любого е > 0 найдется такая возрастающая последовательность индексов пх <^ <. ... , для которой

$^/^<л + 8 (/=1,2,...).

Поскольку fnl-^f при /->оо, то, применив доказанное в п. 1) неравенство (6.6), получим

j f dp с sup) f^dyKA + г. RR

Поскольку последнее неравенство верно при любом £>0, то, переходя к пределу при е->-0, получим требуемое неравенство У / dp с А. ■

Теорема 6.3 (Беппо Леви). Пусть (fn)n=i — неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций:

и пусть f(x) = lim/^x). Тогда

00

\ f dp = Нш\ U^- RR\ f dp = Нш\ U^- RR(6.8)(6.8)

\ f dp = Нш\ U^- RR

\ f dp = Нш\ U^- RR

(6.8)

(6.8)

Доказательство. Поскольку (^ fndp)rt==I — неубывающая числовая последовательность, то она имеет предел (конечный или бесконечный) и в силу леммы Фату

j / dp с lim fn dp = lim У fndp.(6.9)

Rn-^^ Rn-*oo R

Кроме того, поскольку fn(x)<f(x), то

У tndp< f dp.

RR

Отсюда, переходя к пределу при и-^оо, получаем

lim dp с У f dp.(6.10)

RR

Из (6.9) и (6,10) следует (6.8). ®

Замечание 6.2. Ясно, что в условиях доказанной теоремы функция f суммируема в том и только в том случае, когда последовательность интегралов (j fndy^n==v ограничена.

Следствие 6Л. Если (^)Г=1— последовательность неотрицательных измеримых функций, то

иЛ dP- X j ukdp..

R к=\R к=\к-Х R

R к=\

R к=\

Для доказательства достаточно применить теорему Леви к по

следовательности частичных сумм f = £ ик*

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть (/л)^!—невозрастающая последовательность неотрицательных суммируемых функций и / (х) = lim fn (х). Доказать, что

/1-* ОО

fd^ = Um \ [ndv..

П-* СО

Указание. Применить теорему Леви к последовательности функций

Пусть (fn)^\—последовательность суммируемых функций такая, что fn^f на А, где ц (Л) — 0. Доказать, что / — суммируемая функция и справедливо равенство (6.2).

-*j <Р(/)^Р*R-*j <Р(/)^Р*RПусть [п\R-*-R, п£ R1 — последовательность измеримых функций, сходящаяся по мере р к функции /:/?-*-IR, Доказать, что для любой непрерывной и ограниченной па 1R функции ср справедливо равенство ^ <р(/п)^->

-*j <Р(/)^Р*R

-*j <Р(/)^Р*R

Пусть Tc:lR, U V» ^UG^}— совокупность суммируемых функций, имеющая интегрируемую мажоранту. Если для р.-почти всех x^R функция f (*, х) £ С (Т), то / (/) = ^ / (/, х) dp (х) непрерывная ла Т функция. Доказать,

Пусть f, fn (л^И)—суммируемые функции. Если \ |/„— f | ф->0,

то справедливо равенство (6.2), а обратное неверно. Доказать.

Пусть (fn)^Lx — последовательность неотрицательных суммируемых функций, сходящаяся р-почги всюду к суммируемой функции f, Если fndv--> fd^t то | fn—f I dp-> 0. Доказать.

R RR

Указание: показать, что последовательность ((/„— П-)п=1 удовлетворяет условиям теоремы 6.1.

Построить последовательность (fn^^ суммируемых на [0, 1] по мере Лебега функций такую, что: a) fn -►- f (mod my где f—суммируемая функция; б) выполняется равенство (6.2); в) не существует суммируемой функции g такой, что (Vn^ И): | fn (х) |(х) (mod my

Пусть (/rt)“=i— последовательность суммируемых функций такая, что: a) fn>0(mod|i) (Vn^M); б) (ЯЛ! £ IR) (Vn€^): ^ fnd^.<M. Доказать,

что функция lim fn = h суммируема и справедливо неравенство (6.5) с заме- ион / на п.

Вывести теорему Лебега об ограниченной сходимости из результата упр. 6.1 1.

Показать, что в условиях упр. 6.11 функция g(x) = Пт fn(x) может

П-* оо оказаться весуммируемой.

Пусть (fn)^—последовательность измеримых функций, имеющая интегрируемую мажоранту. Доказать интегрируемость функций h и g из упр. 6.11, 6.13 и следующие оценки:

J hdpJ hdp< lim I jndu < lim< lim I jndu < limIndy. « j gdp.RIndy. « j gdp.R

J hdp

J hdp

< lim I jndu < lim

< lim I jndu < lim

Indy. « j gdp.R

Indy. « j gdp.R

Показать, что в каждой из оценок возможно строгое неравенство.

Последовательность (fn)”„y интегрируемых функций называется рав

номерно интегрируемой.номерно интегрируемой.если supесли sup(^ ^(|/ |>с) ^п'^ । п ^ ^} "*’ ^’ с-*+°°-

номерно интегрируемой.

номерно интегрируемой.

если sup

если sup

Доказать, что: а) последовательность, имеющая интегрируемую мажоранту, является равномерно интегрируемой; б) для равномерной интегрируемости

Уп^п=\ необходимо и достаточно выполнение условий: 1) (ЗЛ4>0)(Уп£

€ М): ^ I fn I dp с М; 2) функции fj, fa, ... имеют равностепенно абсолютно R

непрерывные интегралы, т, в. (Уе > 0) (36 > 0) (УД € И: р(Д)<6):

sup 11 ^ jndp И п G и} < в.

л

Доказать следующее обобщение теоремы Лебега об ограниченной сходимости: если последовательность Уп>п=1 суммируемых функций равномерно интегрируема и fnj^f, то /—интегрируемая функция и имеет место равенство (6.2) (теорема Витали).

ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ПО МНОЖЕСТВУ БЕСКОНЕЧНОЙ МЕРЫ

Пусть (R, 91, р) — пространство с о-конечной мерой (см. § 1.8), так что р (R) = + оо. В силу определения а-конечности существует неубывающая последовательность измеримых множеств

Ay s Л 2 s ..., для которой р (Лп) < + оо (Vn) и R — 0 Л„.

"п=1

Введем сначала понятие интеграла Лебега по множеству бесконечной меры в случае неотрицательной функции. Пусть f — измеримая функция, f (х) > 0 на R. Поскольку все Ап — измеримые множества конечной меры, то для них имеют смысл интегралы J f dp « -фоо. Очевидно,

J fdp< J f dp,«AiА,

поэтому существует предел lim \ /dpc +оо.

ОО д

Определение 7.1. Интеграл Лебега от неотрицательной измеримой функции f по множеству R с о-конечной мерой р определяется равенством

f / (х) dp (х) s Г / dp = I im j f dp.(7.1)

RRAn

Если jfdp<H-oo, то функцию f называют суммируемой, или

интегрируемой по Лебегу на R.

Покажем, что это определение корректно, т. е. не зависит от выбора расширяющейся системы (Дп)*=ь Пусть задана другая последовательность множеств В1гВ4Е-->, Вп(ЛК, р(Вп) < + «>,

U Вп = R. Покажем, что

Игл f fdp = lim ? f dp.(7.2)

Действительно, при любом m € И имеем

в,„ = в,п П (О Л.) - Вт П Их U (^MJ U ИМ) U • • •) = "=(W)U(WM))U

откуда в силу счетной аддитивности интеграла

f dp = j f dp + J f dp + • • • C f dp +

tintRmQA.Bm[\^\A0A‘

+ ( fdp-\= lim(f/dp + J / dp + • • • +

Д,\Аn*~ A,A,\At

+ f f dp) = lim ) f dp.An\An_t—ап

Переходя в полученном неравенстве к пределу при т-*-оо, получаем

lim j f dp < lim J f dp.

m»~ вn"*°° A„*

Поскольку последовательности (Дп)^=1 и (Bn)”=i равноправны, то имеет место и противоположное неравенство, что и доказывает равенство (7.2) и вместе с тем корректность определения 7.1. ■

Пусть теперь f — измеримая функция произвольного знака. Как и в § 5, вводим неотрицательные функции /+ и /_ так, что

f to = L W - f- (Д If (^) I = L М + f- to-

Тогда естественно дать следующее определение.

Определение 7.2. Функция f называется суммируемой, или интегрируемой по Лебегу на R, если суммируемы на R обе функции f* и f_ . При этом по определению

f (х) du. (х) = ^ f dy = j f^dy—^ f_ dy.

RRRR

Как и в § 5, нетрудно доказать, что для суммируемости измеримой функции / необходимо и достаточно, чтобы функция | /1 была суммируема.

Все свойства, установленные в § 5, остаются справедливыми и для интегралов по о-конечной мере. Теоремы о предельном переходе (Лебега, Фату и Леви) также верны и в этом случае. Читателю предлагается самостоятельно проверить справедливость этих утверждений.

Замечание 7.1. Нетрудно заметить, что в случае о-конечной меры ограниченная измеримая функция может не быть суммируемой. В частности, отличная от нуля константа не является суммируемой функцией.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что индикатор Хл суммируем тогда и только тогда, когда Р (Д) < + ОО.

Показать, что простая функция f = У С^-А] ^/т^ 0) суммируема тогда и только тогда, когда (Vj) : р (Др<фоо/

Вычислить ^ f (х) dx, где: а) / (х) = «““^Ь б) f (х) = ([х-f- 1 ] X [0, -(-оо)

X [х-Н2]Г; в) /(х) = ([х]1)-1.

Доказать, что в случае р (^) = + оо: а) утверждения упр. 4.6, 4.8 верны; б) утверждение упр. 4.7 верно при дополнительном ограничении р (Д) < оо; в) утверждение упр. 4.9 неверно.

Доказать, что неотрицательная измеримая ограниченная функция суммируема на множестве бесконечной меры в том и только в том случае, когда сходится ряд ^ 2~np ({f > 2*"}).

п=0

Доказать, что измеримая ограниченная функция / суммируема на R, если выполняется условие (НД>0)(Яа< 1)(Ve >0) : р ({| /1 > в}) < Д-в^.

Пусть (Jn)^_x — последовательность функций, суммируемых на R (р (R) = фоо) такая, что fn^f HaR. Всегда ли суммируема на R функция f?

СУММИРУЕМОСТЬ

И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА

Интегралы от неограниченных функций. Ограничимся для простоты интегралами по одномерному промежутку. Пусть функция f неограничена на полуинтервале 1а, Ь) и интегрируема по Риману на любом промежутке [а, b — е]. Тогда, как известно, она не инте- 112

грируема по Риману на la, 6] и интеграл Римана может существовать лишь как несобственный:

6Ь—е

(R) ( f (х) dx ^ 1 im (R) ( f (x) dx.(8.1)

aE-°«

b

Если этот предел существует и конечен, то интеграл (R) f (х) dx а

называют сходящимся. Несобственный интеграл Римана называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (R) j | f (х) | dx.

Интеграл Лебега по мере Лебега на [а, 6] в этом параграфе обозначается через (L) J f (х) dx.

Теорема 8.1. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла (R) j f(x)dx необходимо и достаточно, чтобы функция f была суммируема на [а, 6]. При выполнении любого из этих условий имеет место равенство

bь

(R)J f (х) dx = (L) J f (х) dx.(8.2)

аа

b

Доказательство. Необходимость. Пусть (R) j | f (х)| dx< <4-оо. Для любого «СИ положим f„(x) =/(х) Хг 6-j_-i(x). Ясно, что Ifni = \f|п. Поскольку последовательность (If ]„)”=!— неубывающая и Игл | /„ (х) | = I f (х) 1 (Vx £ [a, 6)), то, воспользовав- П*оо

шись теоремой Беппо Леви и теоремой 3.1, получаем

ь— — bbп

(L)( |f(x)|dx= lim(L) ? |f„(x)|dx = lim(L) ( |f(x)|dx = an-~ aa

b

e=lim(R) j |f(x)|dx = (R)J|f(x)|dx.(8.3)

n-=° aa

b

Отсюда следует, что (L) j |f |dx< +oo, t. e. f суммируема. a

Достаточность. Цепочка равенств (8.3) остается верной, если ваменить -^ любой убывающей последовательностью 8п->0. Читая

в обратном порядке, находим, что из суммируемости / сле

дует конечность интеграла (R) |f(х) | dx.

а

Остается доказать равенство (8.2). Поскольку limf„(x) = f (я)

П-* оо

(Vx^[«, 6)) и |fn(x) | < | f (x)|, a f суммируема, то, применяя теорему Лебега о предельном переходе, получаем

bbЬ—1/п

(L) ( f(x)dx = Hm(L) J fn(x)dx = lim(L) ( f(x")dx = аaa

b—l/nb

= lim(R) f f (x)dx = (R) f f (x) dx. ■aa

Совершенно аналогично проводится исследование в тех случаях» когда / (х) обращается в оо в точке а или в одной или нескольких точках внутри отрезка [а, 6].

Интегралы по множеству бесконечной меры. Здесь мы также ограничимся одномерным случаем. Пусть функция f определена на промежутке [а, + оо) и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, 6] (6 > а). Тогда несобственный интеграл по промежутку [а, + оо) определяют как предел

4-ооЬ

(R) U (х) dx = Нт (R)$ f(x)dx.(8.4)

аЬ»+~ Q

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся; его называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J |f(x)[dx.

Поскольку f интегрируема по Риману на каждом отрезке \а, 6] (6 > а), то она измерима (см. теорему 3.1), и поэтому интеграл Лебега по мере Лебега на [а, + °о) можно ввести по схеме § 7 (поскольку эта мера о-конечна).

Теорема 8.2. Для абсолютной сходимости несобственного интеграла (R) ^ / (х) dx необходимо и достаточно, чтобы функ- а

ция f была суммируема на [а, +°о). При выполнении любого из этих условий имеет место равенство

(R)^ f (х) dx = (L)"^ t (х) dx.(8.5)

аа

Доказательство. 1). Пусть сначала /(х)>0 на [а, -фоо).

При определении интеграла Лебега по схеме § 7 можно положить Ап = [а, bj, где фп)^ — произвольная неубывающая после-

довательность, для которой Ит6„ = +оо. Тогда, воспользовав- шись определением 7.1 и теоремой 3.1, получим

+“11 пЬп

(L) f f(x)dx = lim(L) С f^dx = lim(R) С f^x)dx =

t)n-* 00 JOO J

aaa

= ^f^dx.

что доказывает теорему в случае неотрицательной функции.

. Если f — функция произвольного знака, то по доказанному в п. 1) имеем

ОО-|-00

(L) j|/(x)|dx = (R)j|f(x)|dx,аа

т. е. суммируемость функции / эквивалентна абсолютной сходимости интеграла Римана. Тогда, воспользовавшись определением 7.2 и доказанным в п. 1) равенством интегралов Лебега и Римана от неотрицательных функций, получим

(L) ^ / (х) dx = (L) J Д (х) dx — (L) ^ f_ (х) dx ^ ааа

= (R)^ k(x)dx — (R) j f.^dx = (R) j f(x)dx. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Вычислить (b) j f (x) dx, если: о

0, x^D,, ,

a) I (x) = _1 бИи^Р" ‘ x^ Q’

При каких значениях параметров а и Р функция f(x) = x“sinx^ (х£(0, I]): а) интегрируема по Лебегу; б) несобственно интегрируема по Риману?

При каких значениях параметров а и Р функция /(x) = x“cos№ (х € [ 1, +°°))! а) интегрируема по Лебегу; б) несоботвенио интегрируема по Риману?

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть (R, 91» р> — пространство о мерой (конечной или о-ко- нечной), f — комплекснозначная функция, заданная на R, ft R -* ([). Тогда можно записать

f (х) = и {х) + to (х), и (х) = Re / (х), и (х) = Im / (х).

Определение 9.1. Комплекснозначная функция называется измеримой, если измеримы ее действительная и мнимая части.

Пусть задана измеримая функция /iR->(D, т. е. измеримы Re / и Im /. Естественно определить интеграл Лебега от комплекснозначной функции по формуле

def

У /dp = у Re /dp + Ц Im /dp.(9.1)

RRR

При этом каждое из слагаемых в правой части может быть как конечным, так и бесконечным.

Определение 9.2. Комплекснозначная функция называется суммируемой, если суммируемы ее действительная и мнимая части.

Ясно, что все основные свойства интеграла Лебега и суммируемых функций непосредственно переносятся на случай комплекснозначных функций. В частности, для суммируемости функции / необходимо и достаточно, чтобы была суммируема функция |/|. При этом

|J/dp|< J |/| dp.(9.2)

RR

Остановимся на доказательстве последнего неравенства. Положив а = —arg у /dp и воспользовавшись формулой (9.1), получим

R

| J /dp | = eta у /dp = J (е'“/) dp = J Re (ete/) dp +

RRRR

+ i у Imte^dp.

R

Поскольку выражение в правой части должно быть вещественным, то второе слагаемое равно нулю, поэтому

| у /dp | = J Re (eZa/) dp c у | Re (etaf) | dp <■ у | f | dp. ® RRRR

Упражнение 9.1. Доказать, что комплекснозиачная функция / суммируема тогда и только тогда, когда суммируема функция | / |.

ИНТЕГРАЛ ПО ЗАРЯДУ

Интеграл по заряду. Пусть на измеримом пространстве (R, 91) задан заряд со (см. § 1.16). Тогда, как известно, его можно представить в виде со = со+ — со_, где со+ (со_) — положительная (отрицательная) вариация заряда со. Если функция / • R ->^ суммируема по каждой из мер со+ и со_, то естественно назвать / суммируемой по заряду со и определить ее интеграл Лебега по заряду со следующим образом:

У /dco = у fdtot — у /dco_.(10.1)

R RR

Как известно, заряд можно представить в виде разности двух конечных мер различными способами. Легко видеть, что если со = = р — v, где р и v — конечные меры, и функция / суммируема по каждой из этих мер, то наряду е (10.1) имеет место формула

fdto = j /dp — j fdv.

R r R

Действительно, это следует из того, что (см. замечание 1.16.2) при таком представлении р = со+ + р, v = ю_ + р, где р — некоторая конечная мера.

Легко видеть, что интеграл по заряду обладает многими свойствами обычного интеграла Лебега по мере; в частности, он линеен, счетно аддитивен и абсолютно непрерывен. Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

Пример интеграла по заряду будет рассмотрен в следующем параграфе.

Пусть теперь задана комплекснозпачная функция /s R->(D, причем функции и = Re/ и и = 1т/ суммируемы по заряду со. Тогда естественно назвать функцию / суммируемой по заряду со и определить ее интеграл формулой

„defс

I fdto = I udm + i i ydto,i< R R

Интеграл по комплекснозначному заряду. Пусть cov со2 — заряды, определенные на измеримом пространстве (R, 91). Тогда, как известно, функцию множеств со = o)t + i®2 называют комплекснозначным зарядом. Если комплекснозначная функция / i R (С суммируема по каждому из зарядов со, и со2, то ее называют суммируемой по заряду со и соответствующий интеграл определяют по формуле

„ def

I /dm = 1 /do»! + i i /dco2.

RRR

Легко проверить, что так определенный интеграл линеен, счетно- аддитивен и абсолютно непрерывен.

§ 11. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА — СТИЛТЬЕСА.

СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ РИМАНА — СТИЛТЬЕСА

Пусть на отрезке 1а, 6] задана неубывающая непрерывная слева функция g. Тогда, как известно (см. § 1.14), эта функция определяет на о-алгебре борелевских множеств отрезка [а, Ы конечную меру pg — меру Лебега — Стилтьеса. Интеграл Лебега, построенный по этой мере, называют интегралом Лебега—Стилтьеса и обозначают так:

ьь ь

J / (х) dpg (х) = J /dp£ = { / (х) dg (х). ааа

Если, в частности, g — функция скачков, то pg— дискретная мера, и интеграл Лебега — Стилтьеса сводится к сумме

6

у/и^(х) = 2^^Аи^). (н.п ак

где суммирование проводится по всем точкам разрыва ok функции g, a Ag (сй) — скачки функции g в этих точках.

Пусть теперь g — непрерывная слева на [а, 6] функция ограниченной вариации. Тогда (см. § 1.17) ее можно представить в виде разности двух неубывающих на [a, Z)j непрерывных слева функций]

g И = ф (х) — ф (х).

Поэтому интеграл Лебега — Стилтьеса по функции g естественно определить равенством

6def ЬЬ

У f^dgW = у /(х)^ф(х) —J fix') d^(x).(11.2)

Ясно, что этот интеграл — не что иное, как интеграл Лебега по заряду tog, построенному по функции ограниченной вариации g (см. § 10 и § 1.17). Поэтому интеграл Лебега — Стилтьеса (11.2) не зависит от того, как функция g представлена в виде разности двух неубывающих функций.

Изучим связь между интегралом Лебега— Стилтьеса и известным из курса анализа интегралом Римана — Стилтьеса. Для этого напомним определение последнего.

Пусть на отрезке [а, bl заданы непрерывная слева функция ограниченной вариации g и некоторая функция f. Произведем разбиение л отрезка la, 61s

Я 1 а =z~ Хо <^ Х^ ^^ • • • <^ X^—t ^^ Хп ^ Ь, ^Х^ ^^ ^й-Щ ^к’ |л| = шахАхй,(П-3)

выберем произвольные точки ^ g [xft, x^t] и составим интегральную сумму Римана—Стилтьеса

П—1

S(A g, п) = ^t^g{xk^- g{xk}\(11.4)

й—0

Если эти интегральные суммы при I л|->0 имеют конечный предел1 не зависящий от способа разбиения отрезка и от выбора точек ^> то этот предел называют интегралом Римана — Стилтьеса от функции / по функции g

ь

limS^, g, л) = С f(x)dg(x).(11.5)

|Л|-0d

Чтобы отличать интеграл Римана — Стилтьеса от интеграла Лебега — Стилтьеса, мы в этом параграфе будем писать перед знаком интеграла соответствующие буквы.

Теорема ИЛ. Если функция f непрерывна на отрезке la, 61, то ее интеграл Римана — Стилтьеса по g существует и

ьь

(К - S) у / (х) dg (х) = (L - S) J f (X) dg (х). аа

Доказательство. Рассмотрим любую последовательность разбиений (л„)п=! вида (11.3) с |лп|-»0 при п-^оо, выберем для каждого разбиения точки ^g[xft, x*+i] и рассмотрим последовательность простых функций

fn (х) = \1 f (£б) ^х^Ккц.!) И*6=1к г

Согласно определению интеграла Лебега от простой функции (§ 1) получаем из (11.4) ь

su, g. n„) = (L-S)J/n(x)dg(x).(11.6)

а

Кроме того, из непрерывности функции / на отрезке [а, 61 следует, что последовательность (/„)”=! сходится к / равномерно на [a, 6J. Поэтому (см. уир. 6.2) в (11.6) можно перейти к пределу под знаком интеграла. Тогда, учитывая (11.5), получаем

ь

(К — s) У f W dg М = HmS у, g, л„) =

JП-*00

а bЪ

= lim (L - s) У fn (X) dg (х) = (L - S) C f (x) dg (x). ■ П~*-соJJ

oa

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть рф (Д) = Хд (с), где с — фиксированная точка IR. Построить пример функции: а) суммируемой по мере цф, но не суммируемой по мере Лебега; б) суммируемой по мере Лебега, но не суммируемой по рф.

В

Пусть на [0, 1] дана мера рф ([а, 0)) = J In ( * ^ dx (0 < а < 0 < 1). а

Построить пример функции: а) суммируемой по рф, но не суммируемой по ml б) суммируемой по т, но не суммируемой по цф.

§ 12. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ТЕОРИЯ РЯДОВ

Пусть Р = И, 91 — система всех подмножеств множества натуральных чисел. Зададим на измеримом пространстве(И, 91) дискретную меру ц с помощью условия

(V» € И): И (И}) = 1-

Ясно, что эта мера a-конечна: если положить Ак = {1, 2К\ (£ = 1, 2, ...), то p(4J = &> U Л = W-

6=1

Пусть задана любая функция / 1 И ->- IR, т. е. числовая последовательность. Ясно, что эта функция измерима.

Выясним, что представляет собой интеграл Лебега от функции f по этой мере. Если (Vn £ И) • / (п) > 0, то из определения интеграла по a-конечной мере сразу следует, что

^-^Цп),(12.1)

Дп=1

причем суммируемость функции / эквивалентна сходимости ряда в правой части. Поэтому в случае функции/любого знака ее суммируемость эквивалентна абсолютной сходимости указанного ряда. При этом для суммируемой функции сохраняется формула (12.1).

Таким образом, всякий абсолютно сходящийся ряд 5 / (п)мож- но рассматривать как интеграл Лебега по дискретной мере. Это позволяет применять к рядам факты, установленные для интегралов Лебега, в частности теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Так, например, теорема Леви в случае рядов превращается в следующее утверждение.

Пусть (amn)m,n=i — бесконечная матрица с неотрицательными Элементами. Если

(V« € И): йш <а2п<а3п< ... и Пт атп= ап,

то

^ап = lim ^атп.п=1т-* *• п=1

УПРАЖНЕНИЯ

Сформулировать в случае рядов теорему Лебега о предельном переходе н лемму Фату.

Сформулировать в случае рядов понятие равномерно интегрируемой последовательности функций, необходимое и достаточное условие равномерной интегрируемости и теорему Витали (см. упр. 6.15, 6.16).

ГЛАВА IV. МЕРЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЯХ ПРОСТРАНСТВ. ТЕОРЕМА ФУБИНИ

В этой главе показано, как снабдить мерой декартово произведение двух или нескольких пространств с мерой. Центральный результат этой главы — теорема Фубини о приведении двойного интеграла к повторному. Даны примеры, показывающие существенность условий теоремы Фубини.

ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ИЗМЕРИМЫХ ПРОСТРАНСТВ, СЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ И ФУНКЦИЙ

Пусть (X, ЭД) и (У, 91) — измеримые пространства (см. § II.1), т. е. два множества, в каждом из которых задана некоторая а-алгеб- ра подмножеств («измеримых множеств»). Как известно, прямым (декартовым) произведением множеств X и У называется множество упорядоченных пар (х, у), т. е.

X X У = {(х, у)1 xQX, yQ У}. ~

Введем в прямом произведении X X У структуру измеримого пространства. Пусть А и В — измеримые подмножества соответственно в X и У, т. е. Л £ ЭД, В £ 91 .

Прямоугольником со сторонами Л и В естественно назвать прямое произведение

Л X В = {<х, y)QX X Y\xQA, у QB}.

Обозначим через ЭД -^ 91 алгебру подмножеств X X У, порожденную системой всех таких прямоугольников (см. § 1.2). Эта алгебра не является, вообще говоря, а-алгеброй.

Легко видеть, что ЭД X 91 состоит из всевозможных конечных объединений попарно непересекающихся прямоугольников с измеримыми сторонами.

Обозначим а-алгебру подмножеств X % У, порожденную системой всех таких прямоугольников, через ЭД X 91. Эту а-алгебру назовем прямым произведением а-алгебр ЭД и 91, а входящие в ЭД Х91 подмножества X X У— измеримыми. Тем самым прямое произведение X X У снабжено структурой измеримого пространства. Это измеримое пространство назовем прямым (или декартовым) произведением данных измеримых пространств:

(X, ЭД) х (Y, 91) = (X X У, ЭД X 91).

Пример 1.1. Пусть X = У = IR — числовая прямая, ЯЛ = 31 = 23 — о- алгебра всех борелевских множеств на прямой. Легко видеть, что в этом случае

(IR, ®) X (IR, ») = (IR2, 23 (IR2)), где SB (IR2) — а-алгебра всех борелевских подмножеств плоскости.

'Определение 1.1. Пусть Е — произвольное подмножество прямого произведения X X Y, х^ X — произвольная точка. Сечением мяо ж е с те а Е посредством точки х или х-сечением Е называется множество Ехе У, определяемое равенством

Ex^{y^Y\{x, у}^Е\.

Аналогично для фиксированного y^Y определяется у-сечение Ем множества Е>

Е« = \х^Х\(х, y^EY

Заметим, что сечение множества £ с X X У не является подмножеством X X У, а является подмножеством соответственно Y или X.

Пример 1.2. Пусть A s X, В s¥, Е = А X В — прямоугольник. Тогда

Е = Г В при х С А, Е0 ( А при {/С В,х I 0 при х ^ А; ( 0 при у % В.

Лемма 1.1. Каждое сечение измеримого множества измеримо.

Доказательство. Пусть Е — любое измеримое подмножество X X У, т. е. £ £ ЭД X 91. Надо доказать, что при любых ха X, у G Y множества Ех и Е» измеримы, т. е. Ех £ 91, Е« £ ЭД. Докажем измеримость множества Ех, измеримость Еу доказывается аналогично.

Обозначим через 91 систему всех множеств EsX X У, все х-сечения которых измеримы. Легко видеть, что 91 является а-ал- геброй. Это следует из того, что

йxE^x”t^E^x ^‘£Хх^’ЙХ = ЕХ kEsXxT).

Пусть теперь Е = А X В — произвольный прямоугольник с измеримыми сторонами. Тогда (см. пример 1.2) Ех — это либо В, либо пустое множество, т. е. Ех измеримо при любом х£ X. Это означает, что ££91. Поскольку ЭД X 91 — минимальная а-алгебра, содержащая все прямоугольники с измеримыми сторонами, то ЭД X 91 s S 91. ■

Определение 1.2. Пусть на множестве Ее X X Y задана ве- щественнозначная функция f (х, у) и пусть х £ X — фиксированная точка. Сечением данной функции посредством точки х, или х-сечением, называется функция К» определенная на множестве Ех равенством

fx^ = f{x,y) ky^Ex\

Аналогично определяется у-сечение fy данной функции-.

14^ = ^^ (х^Е^.

Лемма 1.2. Каждое сечение измеримой функции есть измеримая функция-

Доказательство- Пусть f (л, у) — измеримая функция, т. е. это функция, измеримая относительно о-алгебры ЭД X 91. Надо доказать измеримость сечения fx относительно сг-алгебры 91 при любом х£ X п измеримость fv относительно о-алгебры ЭД при любом y^Y. Докажем, например, измеримость Д.

Измеримость данной функции / (х, у) означает, что при любом a^ К

«х, у)^Х х ¥\Цх, у)<а} £ЭД х 91.

Надо доказать, что при любом х £ X сечение fx измеримо, т. е. для любого я £ IR

\yEY\fx^<aW

Но последнее включение следует из равенства

{уЕИМу)<а} = {<х, у)^Х х У|/(х, y)<«V поскольку в силу леммы 1.1 х-сечение множества из ЭД X 91 входит в 91. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что непустой прямоугольник А X В измерим тогда и только тогда, когда его стороны измеримы.

Пусть х — индикатор прямоугольника А X В; Хд> Xs — индикаторы его сторон. Докажите, что х (х, р) = Хд W Хв№)-

Доказать, что любое сечение простой функции является простой функцией.

Пусть х — индикатор множества Е с X X Y. Докажите, что сечения Хх и ху являются индикаторами соответственно сечений Ех и Ен-

Пусть(Л, ЭД), (У, 91)— два измеримых пространства, 91 = [А х ХВ|А£ЭД, В £ 31} ~ система всех измеримых прямоугольников. Доказать, что: а) если о-алгебры ЭД, 91 состоят более чем из двух множеств, то 91 не является кольцом; б) 91 является полукольцом множеств, т. е. (уА, В £91); AQB £91, а разность А\В представима в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся множеств из 91; в) для любой последовательности (А„)~=1с91: п Лп£ 91.

Пусть X = У = [0,1], ЮТ = 31 — о-алгебра, порожденная не более чем счетными подмножествами [0,1]. Доказать, что каждое сечение диагонали d = {(х, у) | х = у) измеримо, тогда как само множество d ие измеримо (т. е. лемма 1.1 не обратима).

Пусть y=IR, hX^-Y— измеримая функция. Доказать, что следующие подмножества X X У измеримы: V* (/) = {(х, у) | х £ X, 0 <у< f (х)}; V»(h=\<x, у)|х£Л, 0<у</(х)}; Г(/) = «х, у)\х£Х, y~f(x)}.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ МЕР

Пусть (X, ЭД, ц) и (Y, 91, v) — пространства с мерой. Покажем, как можно ввести меру в прямом произведении (X X К, ЭД X 91). Эту меру X естественно подчинить условию, что для лю-

бого измеримого прямоугольника она определяется по формуле X (А X В) = р (Л) v (В).

Покажем, что этим условием мера X определяется однозначно. Для построения меры X можно определить ее вначале на алгебре ЭДХ-91, а затем продолжить ее на а-алгебру ЭД X 91. Однако такой способ оказывается довольно громоздким. Рассмотрим другой способ конструирования меры- X.

Теорема 2.1. Пусть <Х,9й, р) и (У, 91, v)— пространства о конечными мерами, Е — любое измеримое множество в X X Y (т.е. Е^ЭД х 91). Тогда функции f и g, заданные соответственно на X и Y равенствами Цх) = ч (Е^ и g(y) = р ЦУ), измеримы и при этом

^f(x)d^(x) = С g(y)dv(y).(2.1)

XY

Доказательство. Обозначим через 21 систему всех тех множеств Е s X х Y, для которых справедлива теорема. Покажем сначала, что 21 содержит все измеримые прямоугольники. Пусть Е = Ах В — непустой измеримый прямоугольник, т. е. Л € £ЭД, В£91. Тогда (см. пример 1.2) f — у(В)Хл и g = р(Л)Хв", поэтому fug измеримы. При этом ^ fd^ = ^ v(B)7„Adyi = v(8) р(Л); ^ gdv = ^ p(A)%Bdv = p(A)v(B), т. е. равенство (2.2) в этом слу- у У

чае выполняется, и поэтому А X В £ 21.

Покажем теперь, что ЭД ^ 91 = 21. Пусть Е £ ЭД -X- 91, т. е. Е — объединение конечного числа попарно непересекающихся измеримых прямоугольников, Е = U А] х Вк. Тогда

/Л

f W = v (ЕД = I v (ВД ХА (х), g (у) = р (ЕД = £ р (АД Хвк (у).

Поэтому fug измеримы и

J № = ^ gdv = ^ р (АД v (ВД.

XУj.k

Это означает, что Е £ 21, т. е. ЭД X- 91 = 21.

Заметим, что ЭД X 91 является а-алгеброй, порожденной алгеброй ЭД X 91, и в силу теоремы 1.7.1 ЭДх91 совпадает с минимальным монотонным классом, порожденным алгеброй ЭД -X- 91. Поэтому если покажем, что 21 — монотонный класс, то отсюда следует, что ЭД X 91 s 21, и тем самым теорема будет доказана.

Итак, остается доказать, что 21 — монотонный класс, т.е, что если (ЕД/Li — монотонная последовательность подмножеств 21, то и limEy£2L Пусть, например, задана неубывающая последова- /-~

тельность Ех = Е2е...; Et^. Покажем, что E=UE,^2l. /™i

Положим f/(x) = v(E/x), g/(l/) = P(£f). Поскольку E/€^> to fj и g( измеримы при всех / и

J tj^V- = J Й^м U = 1. 2, ...).(2.2)

XY

По теореме непрерывности

lim fj (x) = limv(£M) = v(U Eix) = v ((U Ej^ = v(£x) = f (x).

H~j^~j=ij=i

Аналогично Hmg/(y) = g(y) = p(£y), и функции fug измеримы как пределы измеримых функций. Поскольку последовательности (Ji^M 11 (&/)м — неубывающие, то, воспользовавшись теоремой Беппо Леви (теорема III.6.3) и перейдя к пределу в (2.2), получим ^ fdp = j gdv, х т

г. е. Ех £ 91. Аналогично доказывается, что 91 содержит предел невозрастающей последовательности множеств. При этом вместо теоремы Беппо Леви следует воспользоваться результатом упр. III.6.4.

Таким образом, 91 — монотонный класс. Н

Теорема 2.2. Пусть (X, Ж, р) и (У, 9?, v) — пространства с конечными мерами. Тогда функция множеств X, заданная на множествах £ £ SR X 9Z равенством

Х(Е) = ^Ex)dp(x)=^ p(Eti)dv(y), (2.3) X Y

ника А X Вника А X ВХ(А X В) = р (A) v (В).Х(А X В) = р (A) v (В).(2.4)(2.4)является конечной мерой, причем для любого измеримого прямоуголь

ника А X В

ника А X В

Х(А X В) = р (A) v (В).

Х(А X В) = р (A) v (В).

(2.4)

(2.4)

Условием (2.4) функция X определяется однозначно.

Доказательство. Для доказательства того, что X — мера, достаточно установить счетную аддитивность функции X (конечность и неотрицательность X и равенство ^(0) = О очевидны). Пусть Ev Е2, ... £ ©1X91, Ег П Ej = 0 (i #= /), тогда в силу счетной аддитивности меры v имеем

MU Е„) = fv((U En)x)dp(x) = f v(U (En)x) dp (x) =

= J ^^E^^djifx).X n=l

Воспользовавшись следствием III.6.1 из теоремы Беппо Леви, получаем

X(U£rt) = 2 Jv((£n)x)dp(x) = ^X(En)," 1 п=1Хп=1

т. е. функция X счетно-аддитивна и поэтому является конечной мерой.

Равенство (2.4) установлено в теореме 2.1. Покажем, что мера X определяется этим равенством однозначно. Пусть X' — другая мера на а-алгебре ЭД X 91, причем X' (А X В) = ц (A) v (В) для любого измеримого прямоугольника А X В. Отсюда следует, что X и X' совпадают на алгебре ЭД -X- 91, порожденной системой всех измеримых прямоугольников. Тогда из теоремы 1.7.2 о единственности минимального продолжения меры следует, что X и X' совпадают и на ЭД X 91. И

Замечание 2.1. Нетрудно проверить, что теоремы 2.1 и 2.2 остаются справедливыми и в том случае, когда меры р, и v являются а- конечными. В этом случае мера X, определяемая равенством (2.3), также a-конечна. Доказать это предлагаем читателю самостоятельно.

Определение 2.1. Пусть (X, ЭД, р) и (У, 91, v) — пространства с a-конечными мерами. Мера X, определяемая на а-алгебре ЭД X 91 равенствами (2.3), называется произведением мер р ы у и обозначается X = р X V. Пространство с мерой (X X У, ЭД X 91, р X v) называется прямым (декартовым) произведением пространств (X, ЭД, р) и (У, 91, V).

Пример 2.1. Пусть X = У = IR; т — мера Лебега на а-алгебре 33 всех борелевских подмножеств R. Легко видеть, что в этом случае произведение мер т X т — это обычная плоская мера Лебега иа множестве всех борелевских подмножеств IR2 (см. § 1.11).

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть (X, ЯЛ, р) — измеримое пространство с a-конечной мерой р, f : X -> IR — неотрицательная интегрируемая по р функция, мера X = = р X т. Доказать, что X (У* (/)) = X (V, (П) = ^ f d^i, где множества V* (/)

Ve(f) определены в упр. 1.8 (ср. упр. III.1.4, IIL2.3, III.4.4).

В условиях упр. 2.1 доказать, что график Г (/) любой измеримой функции имеет Х-меру, равную нулю.

Пусть р, v — дискретные меры иа X, У соответственно. Описать меру р X v.

Произведение двух полных мер может не быть полной мерой. Доказать.

Указа н’и е: пусть X = У = [0,1], р = v = т. Рассмотреть множество А X (у), где А — неизмеримое по Лебегу подмножество [0,1 ].

Показать, что утверждение теоремы 2.1, вообще говоря, неверно, если меры р и v не а-конечиы.

Указание: пусть X = У = [0, 1], ЯЛ = Я1 = SB ([0,1]), р = m, а v (В) равно числу точек множества В. Показать, что диагональ d квадрата [0,1] X [0,1] — измеримое множество, для которого не выполняется равенство (2.1).

§ 3. ТЕОРЕМА ФУБИНИ

Пусть (X, ЭД, р) и (У, 91,v) — пространства с о-конечными мерами. Тогда, как показано в предыдущем параграфе, на прямом произведении пространств (X X Y, ЭД X 91) определена а-конеч- 126

ная мера X = р X v. Рассмотрим функцию hi X X Y ->Щ, для которой имеет смысл интеграл по мере р X vi

f h(x, y)d(p X v)(x, у)^ j hd(p X v)(3.1)

ХХУxxy

(например, h может быть измеримой неотрицательной или суммируемой функцией). Интеграл (3.1) называют двойным.

Пусть теперь функция h такова, что для нее существует интеграл f(x) = Jhx(y)dv(y) (здесь hx — сечение функции h), при- чем интеграл j /(x)dp(x) также имеет смысл. В этом случае по- х

ложимложимхх(3.2)(3.2)

ложим

ложим

х

х

(3.2)

(3.2)

Аналогично, если имеют смысл интеграл g (у) — J h^ (х) dp (х) и х

интеграл Jg(y)dv(y), то можно положить у

С g (у) dv (у) = Ш h (х, у) dp (х)} dv (у) = ^ ^hdpdv. (3.3) VУ XY X

Интегралы (3.2) и (3.3) называют повторными. Возникает вопрос, при каких условиях имеет место равенство двойного и повторных интегралов. Ответ на этот вопрос дают следующие две теоремы.

Теорема 3.1 (Т о н е л л и). Если h = h (х, у) — измеримая на X X Y неотрицательная функция, то

С hd(p X v) = ^ ^ hdvdy = ^ ^ hdpdv.(3.4)

XXYХ^ Yу х

Доказательство. 1). Пусть h — индикатор измеримого множества, h (х, у) = Хе (х, у), где Е 9R X 91. Тогда

^ hd(p X v) = (р х v)(£).

XxY

Кроме того,

С hdv = С Хе^ У) dv (у) = ( Х£,(у) dv (у) » v(£J

УУY

и аналогично

J hdp = р^6)» к

Поэтому из теоремы 2.2 и определения 2.1 получаем

j j hdvdy, = ^ v (EJ dp (х) = (р X v) (Е), ХУх

j hdpdv = j р (Е^) dv (у) = (р х v) (Е). Y хУ

Следовательно, равенство (3.4) в этом случае доказано.

. Пусть h — произвольная измеримая неотрицательная функция. В силу теоремы II.5.2 существует неубывающая последовательность неотрицательных простых измеримых функций (/i„^Li, сходящаяся к h в каждой точке. Поскольку простая функция — это линейная комбинация индикаторов измеримых множеств, то для каждой из функций hn утверждение теоремы имеет место. При этом в силу теоремы Беппо Леви

lim С /i„d(p X v) = С /id(p X v).(3.5)

XxYXXY

Вычислим левую часть этого равенства другим способом. Поскольку для hn утверждение теоремы имеет место, то

{ E„d(p X v) = J (j hndv^ dp = J /„dp,(3.6)

ХхУX УX

где

LW = J ^ y)dv(y)

Y

— измеримые неотрицательные функции.

Поскольку последовательность (й„(х, y^”=\ при каждом фиксированном х — неубывающая и функции hn (х, у) измеримы относительно меры v как сечения измеримых функций, то ио теореме Беппо Леви

Нш/„(х) = /(х)= ( А(х, y)dv(y) (Vx^X).(3.7)

Отсюда, в частности, следует измеримость функции /. Вновь применив теорему Беппо Леви, получим

или, учитывая (3.6) и (3.7), lim С hnd (р х v) = С f /idvdp. ""“ХХУX3 Y

Сравнивая последнее равенство с (3.5), получаем j hd (р х v) = j j hdvdy,.

XXYx Y

Аналогично доказывается, что

xxj hd([n X v) = j j hd^dv. ■

x

x

XxY

Теорема 3.2 (Фу б и ни). Если функция h суммируема на XxY, то почти все ее сечения суммируемы. При этом функции fug, определяемые равенствами f(x) — ^ h (х, у) dv (у) и Y

g^y) = ^ h(x, y)dp(x~), суммируемы и X

lid (у. X v) = j j hdvdy, — j ^ lidyd».(3.8)

XXYx yy x

Доказательство. Пусть h (x, у) > 0. Тогда равенство (3.8) следует из предыдущей теоремы. Поскольку h суммируема, то левая часть конечна, поэтому конечны оба повторных интеграла, т. е. интегралы J fdvi и j gdv. Это означает, что функции f и g сум-

X Y

мируемы и поэтому почти везде конечны. Но последнее как раз и означает, что почти все сечения функции h суммируемы. Итак, для неотрицательной функции теорема доказана.

Пусть теперь h— суммируемая функция любого знака. Тогда ее можно представить в виде h = h+ — h_ , где /i+ и h_ — неотрицательные функции, причем суммируемость h эквивалентна суммируемости обеих функций h^ и Н_ . Поскольку для h+ и h_ утверждения теоремы имеют место, то они имеют место и для h. а

Замечание 3.1. Нетрудно показать, что теорема Фубини справедлива и для комплекснозначных функций. Читателю предлагается провести соответствующие рассуждения.

Замечание 3.2. Формулу (3.8) легко распространить и на тот случай, когда двойной интеграл берется не по всему пространству XX Y, а по его измеримому подмножеству А. А именно, если h суммируема на А, то почти все ее сечения суммируемы и имеет место формула

Y АУY АУ(3-9)(3-9)

Y АУ

Y АУ

(3-9)

(3-9)

Эта формула аналогична формуле сведения двойного интеграла Римана к повторному.

Действительно, суммируемость h на А означает суммируемость функции hXA на XxY. Применив теорему Фубини, получим

J hd (р X v) = • j Нт.лй (р X v) = j (j йХд^ dp = j ^ /idv^dp. AXxYX YX A,

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 3.3. Отметим, что условие суммируемости функции h является существенным: из конечности и даже равенства повторных интегралов не следует суммируемость функции. Об этом свидетельствует следующий пример.

Пример 3.1. Пусть X = Y = [—1, 1], р = v = т— мера Лебега. Рассмотрим ху

функцию h(x, у) — ^pq; ^^ при (х, у) 4 (0, 0), Л (0, 0) = 0. Ясно, что при любом фиксированном xg[—1, 1] эта функция непрерывна по у, и поскольку она нечетна, то

ху(Х2 + у2)2

Следовательно,

1

Г f ху

J ^J (х2 + у2)2 dy=Q 1-1-1

и аналогично

11

л Гл _сх

dy3 (ха + у2)2 ~ 01-1-1

Вместе с тем функция h (х, у) не является суммируемой на [—1, 1] X X [—1, 1]. Действительно, если бы она была суммируема на этом квадрате, то она была бы суммируема и на его части [0,1] X [0,1]. Но тогда по теореме Фубини был бы конечен и повторный интеграл

ху

j ах J 14 + У2)2 dy’ о и

но это не так, поскольку

1

Г ХУ а _ L х

J (х2 + у2)2 dz/~ 2х 2(х2+1)*

а последняя функция не суммируема на [0, I].

Отметим, что в рассмотренном примере повторные интегралы равны, хотя функция и не суммируема. Следующий пример показывает, что для несуммируемой функции повторные интегралы могут быть конечными и неравными.

Пример 3.2. Пусть X = Y = [0, I], n = v —мера Лебега, Рассмотрим в квадрате [0, 1] X [0, 1] функцию

х —у2

ПосколькуПосколькуh (х. у)h (х. у)' h ^ У^ = (X2 + у2)2

Поскольку

Поскольку

h (х. у)

h (х. у)

Таким образом, повторные интегралы не равны, хотя и конечны. Отсюда, очевидно, следует, что функция не суммируема,

УПРАЖНЕНИЯ

Если функции /(х) и g (у) суммируемы соответственно на X и Y, то функция h (х, у) = / (х) g (у) суммируема на X X Y и

hd ф х v) = 1 / dp I gdv.hd ф х v) = 1 / dp I gdv.

hd ф х v) = 1 / dp I gdv.

hd ф х v) = 1 / dp I gdv.

е~ху sin х sin у dx dy суе~ху sin х sin у dx dy су

е~ху sin х sin у dx dy су

е~ху sin х sin у dx dy су

Доказать, что для двойного интеграла

ществуют и равны повторные интегралы. Существует ли двойной интеграл?

Положим

f (х> У) J] (2 Х^_п, 2_n^_[jX|-2_n, 2_л^_^ (х, у)— 2 + \i-n-x, г^х^-’-1.2-»]^’^

Доказать, что повторные интегралы от /по [0, 1] X [0, 1] не совпадают.

Пусть Е, F—измеримые множества в XxY такие, что v (5Д = = v(Ex) (mod р). Доказать, что X (Е) = X (F).

Пусть / : X -* IR—измеримая функция. Доказать, что для любого р > 0 справедливо равенство

У |/|pdp(x)= ^ р1р—^Е^ dt, Xо

где F^ = p ({|/| >/}) (/>0).

§ 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА МЕР

Построения предыдущих параграфов нетрудно распространить на случай произведения конечного числа пространств с мерами. Это проще всего сделать по индукции. Наметим соответствующие рассуждения.

Пусть (Хь ^b р,> (i = 1, . . . ( п)— пространства с а-коиеч- пыми мерами. Рассмотрим декартово произведение X = Хх х х • • • х Хп и снабдим его структурой измеримого пространства. Прямоугольником в X назовем множество вида Ах х • • • хАп, где А( Е®;- Через $ = ®1х • • • x$tn = X®j обозначим а-алгебру, z=i

порожденную всеми такими прямоугольниками. Тем самым про-

странство X наделено структурой измеримого пространства, его естественно назвать прямым произведением данных пространств:

<Х, 9В) = (Xv 98^ X • • • X <Х„, 9В„>.

Пользуясь методом математической индукции, нетрудно доказать, что в измеримом пространстве (X, 9В) можно единственным образом ввести a-конечную меру р, которая на прямоугольниках определяется равенством

р (Л i X • • • X Л„) — Pi (Л i). . . цп (Лп).

Эту меру называют прямым (декартовым) произведением мер pv ... , р„ и обозначают р = рх X • • • X р„. Полученное пространство с мерой (X, 9В, р) называют прямым произведением данных пространств:

(X, SB, р) = (Х1, SBi, рт> X ••• х <Х„, 9ВЛ, ц„) =

- X (Х„ 9В,., р(>.

z=i

Теорема Фубини также легко обобщается на рассматриваемый случай, что позволяет заменить n-кратный интеграл (т. е. интеграл по мере и) любым из повторных интегралов.

ГЛАВА V. АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР, ЗАРЯДОВ И ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА РАДОНА — НИКОДИМА.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ ЛЕБЕГА

Если функция / суммируема по мере р, то согласно теореме III.5.4 заряд р (5) = S fd^ абсолютно непрерывен относительно меры р. Здесь дается более удобное, чем в главе III, определение абсолютной непрерывности и доказывается важная теорема Радона — Никодима, согласно которой всякий абсолютно непрерывный заряд может быть представлен в указанном виде. Эта теорема позволяет ввести понятие производной Радона — Никодима и при помощи этого понятия доказать теорему о замене переменной в интеграле Лебега. С помощью теоремы Радона — Никодима легко доказывается и теорема Лебега о представлении любого заряда в виде суммы абсолютно непрерывного и сингулярного зарядов. Затем эти результаты применяются к изучению функций ограниченной вариации.

АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ МЕРЫ

И ЗАРЯДЫ

С понятием абсолютной непрерывности функции множеств мы уже встречались в главе III (определение III. 1.2). Напомним здесь соответствующее определение.

Определение 1.1. Пусть (X, 9R, ц> — пространство с мерой. Мера (или заряд) р, определенная на множествах из ЭД, называется абсолютно непрерывной относительно меры р, если

(Ve>0)(36> 0)(VE £ ЭД): (р,(Е) <6) =*(] р(Е)| <б).(1.1)

В главе III было показано (теорема 5.4), что если функция / суммируема, то заряд р, определяемый формулой

р(Е) = j/(x)dp(x) (EG Ж).(1.2)

Е

абсолютно непрерывен относительно меры ц.

В следующем параграфе будет доказана важная теорема Радона— Никодима, согласно которой любой абсолютно непрерывный заряд может быть задан формулой (1.2). Таким образом, формула (1.2) дает общий вид всех абсолютно непрерывных относительно ц зарядов.

Для дальнейшего нам потребуется другое определение абсолютной непрерывности.

Определение 1.2. Мера (или заряд) р называется абсолюте о непрерывной относительно меры р (р с р), если

(VE £ЭД): (р(Е) = 0) => (р (Е) = 0).(1.3)

Упражнение 1.1. Пусть р+, р_—соответственно положительная и отрицательная вариации заряда р, р = р+ — р_ — разложение в смысле Жорда-

на (см. теорему 1.16.3). Показать, что р < р тогда и только тогда, когда Р* « р и р_ « р.

Указание. Воспользоваться определением положительной и отрицательной вариации заряда.

Теорема 1.1. Если р —конечная мера (или заряд), то определения 1.1 и 1.2 эквивалентны.

Доказательство. 1.1 => 1.2. Пусть р — абсолютно непрерывна относительно р в смысле определения 1.1 и пусть Е £ Ж и р (Е) = 0. Тогда при любом е > 0 будет | р (Е) | < е (поскольку р (Е) < 6) и, следовательно, р (Е) = 0, т. е. р < р в смысле определения 1.2 (отметим, что здесь конечность р не требовалась).

=> 1.1. Пусть р< рв смысле определения 1.2. Тогда (см. упр. 1.1) р+ < р и р_ <|1в смысле этого определения. Поскольку р+ и р_ — конечные меры, то доказательство достаточно провести для случая, когда р — конечная мера.

Допустим, что р не является абсолютно непрерывной в смысле определения 1.1, т. е. (1.1) не выполняется. Значит найдется такое ь0 > 0, что для любого 6 > 0 существует такое множество Е^ £ Ж, что р (Еб) < 6 и в то же время р (Ее) > е0.

Для любого натурального п положим 6 = 2^" и Ап = Е^-п и рассмотрим множество

А = П 0 Ак.

Н=1 keen

Оценим р(Д) и р(Д). Воспользовавшись счетной полуаддитивностью меры, получаем

p(U Ак) к=пp(U Ак) к=п. V 1 — 1

p(U Ак) к=п

p(U Ак) к=п

И \™к)2*2'‘-1 •

к=пк=.п

откуда в силу теоремы 1.6.3 (о непрерывности для пересечений) имеем

р(Д) = limp(U Дй) = 0.

П-* ОО к=п

С другой стороны, в силу монотонности р

Р ( и 4) > Р Ил) > ео>к=п

поэтому в силу конечности р имеем в силу теоремы 1.6.3 (см. также упражнение 1.10.1)

рИ) = limp(U А^>е0,к=п

и мы пришли к противоречию. ■

УПРАЖНЕНИЯ

. Пусть риу— две любые меры на измеримом пространстве (X, ЯЛ). Доказать, что v < р + V.

1.3. Показать, что в теореме 1.1 нельзя отбросить условие конечности р.

Указание. Пусть X = N, ЯЛ — система всех подмножеств М. Для любого £ s N положим

р(*)=£ 2-", p(£) = S 2".п^Еп^Е

Доказать транзитивность отношения абсолютной непрерывности мер: если X < v, v р, то Л < р.

Меры р и v называются эквивалентными (обозначение р ~ V), если р <v и v < р, Доказать, что «~» является отношением эквивалентности.

Пусть (fn)^t— последовательность измеримых функций. Если р < V, то из сходимости fn—^f или /п-+/ (mod v) вытекает, что fn-^ f или fn-* -*/(modp), а обратное, вообще говоря, неверно. Доказать.

Пусть р и V — две дискретные меры на X. Найти необходимые и достаточные условия того, что: а) р <, v; б) р ~ v.

Обозначим через H7V (X) совокупность всех зарядов, абсолютно непрерывных относительно меры v. Доказать, что Wv (X)—линейное пространство над полем IR.

Являются ли эквивалентными меры рф и р^ на [0, 1], порожденные следующими неубывающими функциями: а) ф (х) = х, ф (х) = х2; б) ф (х) = = х, ф (х) = 6х; в) ф (х) = х, ф (х) = [Зх]?

ТЕОРЕМА РАДОНА — НИКОДИМА

Лемма 2.1. Пусть р иг— конечные меры на (X, ЭД), причем < С р и т (X) > 0. Тогда существуют число в > 0 и множество Т £ ЭД такие, что р (7) > 0 и множество Т является положительным относительно заряда т — ер.

Доказательство. Для любого натурального п рассмотрим заряд ю„ = т^- р и пусть

X = Х„+ 0 х^

— разложение в смысле Хана относительно заряда со„ (см. § 1.16) Положим

Л^ОХ^, В=ПХ„_.(2.1)

П—1.1—1

Поскольку ВгХ^, то со(В)<О при любом п, т. е. т(В)— -^- X X р(В) <0, откуда

0ст(В)с1р(В).

Переходя к пределу при п -> оо, находим, что т(В)= 0. Поскольку Л = Х\В, то т (Л) > 0. Отсюда в силу абсолютной непрерывности t относительно р следует, что р (Л) >• 0. Но тогда из (2.1) следует, что р (Х„+)>0 хотя бы при одном п. Для этого значения п положим

Т = Х„+, б = 1. н

Теорема 2.1 (Р а дон а — Н и ко д и м а). Пусть (X, Ж, р) — пространство с а-конечной мерой. Если заряд р, заданный на9&, абсолютно непрерывен относительно р, то на X существует конечная суммируемая функция R (х) такая, что

р(Е) = J R^dyL^ (VEE®).(2.2)

£

При этом функция R определяется единственным образом с точностью до ее значений на множестве нулевой меры р.

Доказательство. 1). Докажем сначала единственность функции R. Если имеются две суммируемые функции R и Rt такие, что

р (Е) = ^ R (х) dp (х), р (х) = у Rt (х) dp (х) (VE Е ^. ЕЕ

ТО

У (R (х) - Rx (х)) dp (х) = О (V£ Е ^).

Е

Отсюда следует, что R (х) — Rt (х) = 0 (mod р) (см. упр. III.5.3).

Поскольку любой заряд можно представить в виде разности двух конечных мер, а для абсолютно непрерывного заряда эти меры можно выбирать абсолютно непрерывными (см. упр. 1.1), то теорему достаточно доказать лишь для того случая, когда р — конечная мера. Этим случаем мы и ограничимся.

Докажем теорему сначала для случая конечной меры р. Обозначим через К множество (очевидно, непустое) всех неотрицательных суммируемых по мере р функций f i X->IR, для которых

J f (х) dp (х) < р (Е) (VE Е ЯК),(2.3)

Е

Поскольку мера р конечна, то

а = sup С f(x)dp(x)<; + оо.(2.4)

Покажем, что эта точная верхняя грань достигается, т. е. что существует функция ф Е X, для которой

У ф(х) dp(x) = а.(2.5)

х

Из (2.4) следует, что существует последовательность (/„)«=! а с К, для которой

lim С fn(x)dp(x) = а.

Положим фп(х) = max(Д(х), . .. , fn(x)Y Каждая из этих функций измерима (см. теорему II.2.3) и неотрицательна. Покажем,

что ф„ЕХ (п=1, 2, . . .). Достаточно показать, что для этих функций выполняется неравенство (2.3).

Положим

Хх = {хЕХ| ф„(х) = h^\,Х2 = {хЕХ ] ф„(х) = /2 (x))\Xi,

Xrt = {xEX|T„U) = /nW}\(X1 U ••• U Х^). Тогда

X = Xj U • • • U Хп, Х£ f| X/ = 0 (i Ф j).

Теперь для любого £ Е ^ имеем

Е = Ег U • • • U Еп ^=EnXk,h = l, п),откуда, учитывая, что фп (.г) = fk (х) (Vx£Ek) и ДЕХ получаем

J Ф„ (х) dp(x) = £ J ф„ W dp(x) = 2 [ fk (х) dp (х) «

Еk=V Екк=\ Ек

к=\

т. е. ф„(х)ЕХ (п = 1, 2, ...).

Если ПОЛОЖИТЬ ф0(х) = sup {ft (х), /2 (х), • • • }' то> поскольку (ф„ (x))n„i — неубывающая последовательность, ф0 (х) = Нт ф„ (х) (VxEX). Поэтому ф0 измерима и по теореме Беппо Леви ^ Ф0(х) dp (х)= lim ^ фп(х) dp (х)< р(£), т. е. ф0ЕХ. Отсюда, в ЕЕ

частности, следует, что ф0 суммируема.

Поскольку ФоЕХ. то

^ Ф0(х)с!р(х) < а.(2.6)

х

С другой стороны,

J ф„ (х) dp (х) > pn (х) dp (х) (Vn Е И), XX

откуда, переходя к пределу при поо, получаем

^ Фо (х) ^Р- (х) > а-(2.7)

х

Из (2.6) и (2.7) следует, что j Фо (^) dp (х) = а. х

Поскольку ф0 суммируема, то она p-почти везде конечна, т, е. существует конечная функция ф такая, что ф = фв(то<1 р) и имеет

место равенство (2.5). Таким образом, супремум в (2.4) достигается на функции ф £ К.

Покажем теперь, что

р (X) = j Ф (х) dp (х) (V£ £ SR).(2.8)

Е

Этим будет завершено доказательство теоремы для случая конечной меры р. Рассмотрим на X меру т, определяемую формулой т (X) = р (X) — ^ ф (х) dp (х) (Х^Ю).

Е

Если допустить, что т (X) > О, то по лемме 2.1 найдутся такие е>-0 и Т £ Ж, что р (Т) >• О и множество Т является положительным для заряда т — ер.

Рассмотрим функцию ф = ф + еХт. Для любого Е^^ имеем j ф (х) dp (х) = J ф(x)dp(x)+ j ф(x)dp(x) =

ЕЕ\ТЕ^т

= ^ ф(x)dp(x)+ J ф(x)dp(x) + ер(Х Л Т).(2.9)

Е\ТДр Г

Поскольку Т — положительное множество для т — ер и Е Q Т S еТ, то т(Е Л Г) — Ер(ХдТ)>0, или

Р (Е ПТ)— j ф (х) dp (х) — ер (Е П Т) > О,

откуда*

ер (X Л Т) + J ф (х) dp (х) < р (Е П Т).

Теперь из (2.9), учитывая, что ф^Х, находим

J ф (х) dp (х) С j ф (х) dp (х) + р (X П Т) с

<р(£\Т) + р(Е П Т) = р(Д),

т. е. ф^Х. Кроме того,

j ф (х) dp (х) = j ф (х) dp (х) + ер (Т) = а ф- ер (Т) > а, хх

что противоречит определению а. Таким образом, т s 0, т. е. имеет место (2.8), и для конечной меры р теорема доказана.

Докажем теперь теорему для случая a-конечной меры р. По определению а-конечной меры существует последовательность множеств

Д^ЛзЕ..., р(Лп)<оо, Х= U Ап.

П=1

По доказанному в п. 3) для каждого из множеств Л„ существует единственная неотрицательная суммируемая функция Rnl равная нулю вне Ап и такая, что

р(Е) = J En(x)dp(x) (Е(91, £еЛ„).

Е

При этом из единственности Rn следует, что Rn (х) = Rn^.v (х) (mod и) в Ап, и без ограничения общности можно считать, что Rn(х) = 7?„+i(х) всюду в Ап. Функции R,,^ = 1, 2, . . .) образуют неубывающую последовательность. Положив R(x) = limRn(x) и

П-* 00 воспользовавшись теоремой о непрерывности и теоремой Беппо Леви, получим для любого множества E^9R

р (Е) = lim р (Е Л Ап) = lim С Rn (х) dp (х) = С R (х) dp (х). ■ ОО JJ

ЕЕ

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть (X, ЯЛ, р) — пространство с мерой, р (Е) = ^fd)i для любого Е

Е 6 ЯЛ. Показать, что

X = у > 0} U V < 0}

есть разложение в смысле Хана относительно р.

Показать, что теорема Радона — Никодима справедлива и в том случае, когда р является о-конечной мерой (в этом случае функция R может оказаться несуммируемой).

Показать, что теорема Радона — Никодима верна и в том случае, когда р — заряд.

Указание. Пусть X = Х¥ U Х_ — разложение в смысле Хана относительно р. Применить теорему Радона — Никодима отдельно к р+ на Х^ и к р_ на Х_.

В условиях упр. 1.7 в случае, когда р ^ V, найти функцию R из равенства (2.2).

Пусть со — заряд, со+, со_— его положительная и отрицательная вариации. Показать, что со+ и со_ абсолютно непрерывны как относительно | со |, так и относительно со, так что в силу теоремы Радона — Никодима

со± (Л) = j R± (х) dto (х) = ^ S± (х) d | со | (х) (Л G ®). лл

Определить функции Е±, S±.

Пусть /п /2—суммируемые относительно меры р функции. Положим ®, (Л) = J/z (х) dp (х) (с = 1,2). Указать условия на fb f2> необходимые и

А

достаточные для того, чтобы: а) со, < со2; б) со, ~ со2.

Пусть (X, ЯЛ, р) — пространство с о-конечной мерой, ЯЛ' —о -подалгебра ЯЛ. Доказать, что для любой ЯЛ-измеримой функции f, суммируемой относительно р, существует единственная (mod р) ЯЛ'-измеримая функция g, суммируемая относительно р и такая, что (УЛ £ ®?'): J g (х) dp (х) — J f (х) X

АА

Xdp(x). Функция g называется условным средним, функции f относительно о-подалгебры 9)?' (в теории вероятностей — условным математическим ожиданием) и обозначается М (/ | ® ) = g.

Доказать следующие свойства условного среднего:

М(/|9Я) = /;

если 9Я' = {0, X}, то М (/ | 9Я') = j f^dp^xy

х

если h — 9% -измеримая, суммируемая относительно р функция, то М (А | 9Я') = А;

если А — ЗЯ -измеримая, ограниченная функция, то М (А/ | 9Я') = = АМ (/ ] 9Я');

если f>0 (mod р), то М (/1 9Я') > О (mod р);

у М ([ । 9Я') dp < | /1 dp; хх

если 9Я" — а-подалгебра ЗЯ', то М (/1 9Я") = М(М(/| 9Я') 19Я") = = М (М (/ | 9Я")! 9Я');

если <р : R -> IR — непрерывная выпуклая вниз функция, то для любой суммируемой относительно р функции / из суммируемости ф (/) следует суммируемость ф(М(/|9Я)), при этом выполняется неравенство Йенсена М (ф (/) | 9Я') > ф (М (/ | 9Я')) (mod р).

ПРОИЗВОДНАЯ РАДОНА — НИКОДИМА.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ ЛЕБЕГА

Пусть (X, 9Я, р) — пространство с о-конечной мерой и р (5) = = j [dp для любого Е С 9Я, тогда совершенно естественно ввести

Е

обозначение

■ f = ^.dp = №-(3.1)

При этом функцию / называют производной Радона — Никодима заряда (меры) р по мере р.

Обозначения (3.1) оказываются весьма удобными, поскольку основные правила дифференцирования функций справедливы и для производных Радона—Никодима. В некоторых случаях такое обобщение тривиально, как, например,

d(fiPi + С2р2) dpt dp,dp1 dp '2 dp *

доказательство других требует определенных усилий. Здесь будут доказаны правило дифференцирования сложной функции и формула замены переменной в интеграле Лебега (точнее, формула «замены меры»).

Теорема 3.1. Пусть на измеримом пространстве (X, 9Я) заданы конечные меры X и р. и заряд р, причем р X и р <С р. Тогда

= (modX).(3.2)

Доказательство. Записав разложение в смысле Жордана, мы видим, что достаточно доказать теорему для того случая, ког-

да р — конечная мера. Положим ^ = /> ^ = g. Посколькуpdp = p(£)>0 (УЕ^ЭД),

Е

то / > О (mod р). Изменив в случае необходимости значения f на множестве нулевой меры р, можем считать, что / ^ О всюду в X. Точно так же и g > 0 в X.

В силу теоремы II.5.2 существует неубывающая последова

тельность (/„)“=i неотрицательных простых измеримых функций, сходящаяся к / в каждой точке X. Тогда Mmf„g = fg и по тео-

'реме Беппо Леви имеем для любого Е(^

НтНтJ /„dp = J /dp, ЕЕJ /„dp = J /dp, ЕЕlim I fngdX = I fgdX.lim I fngdX = I fgdX.(3.3)(3.3)

Нт

Нт

J /„dp = J /dp, ЕЕ

J /„dp = J /dp, ЕЕ

lim I fngdX = I fgdX.

lim I fngdX = I fgdX.

(3.3)

(3.3)

Пусть теперь А —■ любое измеримое множество, Ха — его индикатор. Тогда

j Xлdp = Р (Е 0 Л) = j gdX = j XAgdX,

ЕEQ ЛЕ

поэтому и для любой простой измеримой функции имеет место аналогичное равенство:

J /„dp = £ fngdX (n = 1, 2, ...).

ЕЕ

Но тогда из равенств (3.3) следует, что

р (Е) = J /dp = J fgdX фЕ € ЭД), EE

dp,do dii „

t. e. = fg =. И

dX'sdp dX

Теорема 3.2. Пусть X, p —конечные меры, причем р^Х и f —конечная суммируемая по мере р функция. Тогда

[ /dp = [ / $ dX.(3.4)

x x

Доказательство. Введем в рассмотрение заряд р по формуле

p(E) = ^dp (Е€ЭД).

Тогда по теореме 3.1 dp dp dp „ dp dX dp dX* dX’

откуда

Е

для любого множества Е ^ 9)1, в частности для Е = X. ■

Замечание 3.1. Естественность понятия производной Радона — Никодима и обозначения (3.1) становятся яснее, если рассмотреть одномерный случай. Пусть X = [о, 6), 9)1= % ([а, 6)) и на (X, 9)1) заданы конечная мера р и заряд р С р. Тогда

р(£) = J/(*W(*) (Vf^).

Е

Пусть, в частности, /— непрерывная функция, Е = [а, Р). Тогда Р«а» ₽)) = p(x)dp(xW(l)Mla, Р)),

[а.й

где |С[а, Р), откуда

Г= Р ([“. Р))

р ([«, Р)) *

Если теперь полуинтервал [а, Р) стягивается к точке х £[а, Ь), то £ -»х, и мы получаем

La,P)»jc И Ua>

Можно показать, что в обш,ем случае, когда функция / суммируема, предельное соотношение (3.5) выполняется р.-почти везде. Равенство (3.5) объясняет естественность обозначения ( = ' du

Отметим, что соотношение (3.5) непосредственно не обобщается на ц-мерный случай.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что теоремы 3.1 и 3.2 справедливы и в том случае, когда меры X и р являются о-конечными.

Пусть о-конечные меры Ир таковы, что X < р н р < X. Показать, что тогда

/dXV1dX — \dpj

Пусть р, р — конечные меры н р < р. Показать, что тогда /( dp ) \

РЦ*бХ du^ = 0() = °-

Пусть р6, хк — конечные меры на (Хк, УЛ^) такие, что рА <^v^, й = = 1, . .. , п. Рассмотрим на (Хг X ••• X Хп, ОТ. х ••’ X №„) меры р = = Pi X • • • X р„, v = V, X • • • X v,. Доказать, что р < v и dp/dv (.Xi, ...

• • • •= П d!'^dvft (^)-

Y42

Пусть p«v и f — производная Радона — Никодима меры р относительно р + V. Доказать, что 0 cf < 1 (mod v) и dp/dv = f (1 — f)-1 (mod v).

Пусть p0, p1( p3— конечные меры на (X, ЗЛ). Обозначим через f, ft, f2 производные Радона — Никодима меры р0 относительно р0 4* Pi + р2, Ро + йп Ро + Рг соответственно. Доказать, что (р0 + р, + р2)-почтн всюду f to = fi to h to (/i to + ft to ~ fi to fi to)> если /1 to Uto*0 и f (x) = 0. если /, (x) = /2 (x) = 0.

Пусть (p^^t— последовательность конечных мер на (X, ЗЛ) таких,

ОО

что: а) 5 р6 (х) < <»; б) (Hv): pft « v (6 = 1,2,..,). Положим р„ = £ р*.

6=1__к=\

dp dp.n , , р= L Pfe' Доказать, что р « v и ^-= hm ^-(modv).

6=i

ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ С МЕРОЙ.

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ ЛЕБЕГА

(ДРУГОЙ ПОДХОД)

Пусть X и Y — некоторые множества и задано отображение Ф: X -» У. Дополнительно предположим, что У снабжено структурой пространства с мерой: У = (К, 91, v). Покажем, что тогда X также можно наделить аналогичной структурой, причем так, что отображение ф окажется измеримым (см. определение II. 1.1).

Покажем сначала, как в X вводится структура измеримого пространства. Положим

Ж = {ф-1(^)| Е^ЗИ}

и покажем, что 9Л является о-алгеброй.

Действительно, У £91, поэтому X = ф-1 (У) £ 9Л. Пусть, далее, Е£9Л. Это означает, что Е = Ф-1(Е), где Е£91. Но тогда и F^^ и поэтому (ср. §11.1)

e = Af^ = ^^^-

Пусть, наконец, Ei^^i = \, 2, .. .). Это означает, что Е( = = Ф-1(Е1), гДе Е^'ЭЦ! = 1, 2, ...). Поскольку 91 является о-ал-

геброй, то U Fi£&. Но тогда (ср. §11. 1)

;=i

U Е{= U Ф’1 (Л) = Ф'1 ( U Е<)£5», z=t <=1/=1

т. е. Ж является о-алгеброй, а (X, 501) — измеримым пространством. Вместе с тем при таком способе определения о-алгебры 501 отображение ф оказывается измеримым (т. е. прообраз любого измеримого множества измерим).

Введем в (X, 9Л) меру р. Если Е^^Й, то Е = ф-1^), где Е ^ 91. При этом ф (Е) = ф (ф-1 (Е)) = Е. Положим теперь р (Е^ = v (Е), т. е.

р (Е) = v (ф (Е)), или v (Е) - р (ф-1 (Е)).

В связи с таким определеннем естественно ввести обозначение р = = vcp. Покажем, что р — мера. Достаточно проверить, что р счетно аддитивна. Пусть Ei £ ® (z = 1, 2, . . .), причем Е, Q Et = 0 (/ i\ Тогда и ф(Е/) П Ч^ЕГ) = 0 (/^О, и в силу счетной аддитивности v получаем

Р( О Е^ = у(Ф( и Е^ = v(. и ф№)) = S V (Ф (£,)) = s Р(^). z=lZ^I1=11=11=1

Итак, р — мера; ее называют отображением меры v. Легко видеть, что если v конечна (о-конечна), то и р конечна (a-конечна). Таким образом, множество X наделено структурой пространства с мерой: X = <Х, ®, р).

Пусть теперь задана произвольная вещественнозначная функция g; У --* IR. Эта функция естественным образом порождает функцию /: X -> Я которую мы определим для любого х^Х формулой fto = g(4>(x^

и обозначим / = gф.

Теорема 4.1. Если функция g 1 У П< измерима относительно о-алгебры 91, то функция f = gф измерима относительно о-ал- гебры ®.

Доказательство. Для доказательства достаточно убедиться в том, что для любого а g IR имеет место равенство

Д = (х|^ф)(х)<а] «Ф"1^! g^<a\^ = B.

Пусть х0£А. Это равносильно тому, что g (ф (х0)) <.а, или g (Уо) <а> гДе Уо = Ф М- Но последнее как раз и означает, что Ф to) € {У I g to < а}, т. е. х6 € В. ■

Теорема 4.2. Если функция g i У -» К суммируема по мере v, то имеет место формула замены переменной".

g(y)dv(y) = ^ g(4(x})d(vq)(x).(4.1)

УX

Доказательство достаточно провести для случая неотрицательной функции g. Пусть вначале g=X?— индикатор множества Е^ 91. Тогда g(ф(x)) = Хр(ф(х)) = Хф-Цр) to- и в эт°м случае

J g (У) dv (у) = $Xf (У) dv (у) =v(E) = (vф) (ф"1 (Е^ = УУ

= $ Хф-ЦР) (^) d (Уф) ^ = ^ g (ф to) d (Уф) (х). XX

Равенство (4.1) установлено. Отсюда следует, что равенство имеет место и для простых измеримых функций.

Пусть теперь g (у) — неотрицательная суммируемая функция, kgn (g))nLi — неубывающая последовательность неотрицательных простых измеримых функций, сходящаяся к g(y) в каждой точке.

Тогда, очевидно, последовательность (§•„ (<р (x)))”^!—также неубывающая последовательность неотрицательных простых измеримых функций, сходящаяся в каждой точке к g (ф (х)). Поскольку

J gAyW^ = j 5п(ф(х))с1(уф)(х) (n= 1, 2, .. .), YX

то, переходя в этом равенстве к пределу и воспользовавшись теоремой Беппо Леви, получим требуемое равенство (4.1). ■

Следствие 4.1. Если задано любое множество F G $. то, заменив в формуле (4.1) функцию g на X? g, мы получим формулу замены переменной в интеграле по любому измеримому множеству;

J g (У) dv (у) = $ g (ф (*)) d (уф) (х).

Еф-ЦБ)

Замечание 4.1. Пусть (X, 91, ц)— пространство с мерой и задано отображение ф : X ->- Y. Тогда, подобно предыдущему, можно наделить Y структурой пространства с мерой. Положим 91 = = {F с= К |ф-1 (F) ^ 91}. Ясно, что 91 является о-кольцом (а-алгеб- рой, если ф (X) = У). Как и выше, легко проверяется, что функция множеств v на (ф(Х), 91), заданная равенством v (F) = = ц (ф-1 (/-')) (Е £ 91), является мерой. Меру v называют образом меры р при отображении ф и обозначают v = рф-1.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть X = Y = [R^, р = т. Определить тф-1, если отображение ф имеет следующий вид: а) ф (х) = Lx + с, где L — невырожденное линейное преобразование IR^, с — фиксированный элемент IRW ; б) ф — взаимно однозначное отображение класса С1 (IR^) с отличным от нуля якобианом.

Пусть ф — измеримое отображение пространства с мерой (X, ЗЛ, р) в пространство с мерой (У, 91, v) такое, что рф-1 <К V. Доказать, что существует неотрицательная измеримая функция h на У такая, что j g (ф (х)) X х

X dp (х) = ^ g (у) h (у) dv (у) для любой измеримой функции g в том смысле, Y

что из существования одного из этих интегралов вытекает существование другого и оба интеграла равны.

Если ф — измеримое отображение пространства (X, ЗЛ) в пространство (У, 31) и меры р и v на (X, ЗЛ) таковы, что р < v (р ~ v), то рф-1 < Уф-1 (РФ-1 ~ уф-1). Доказать.

Пусть ф: X -* X — измеримое отображение пространства с мерой (X, ЗЛ, р). Если рф-1 = р, то мера р называется ф-инвариантной, а ф— сохраняющим меру р преобразованием. Если р — ф-иивариантная мера, то для любой суммируемой относительно р функции / справедливо равенство ^ /(ф(х))Х х

X dp (х) = j f (х) dp (х). Доказать, х

Пусть р—a-конечная мера на (IR^, В (IR^)), инвариантная относительно любого сдвига х/->х 4-у на y^lR^. Доказать, что; a) (Vx С IR^h р ({х}) = 0;

если р(1ЯЛ)>0, то мера р любого шара положительна; в) мера р любого компакта конечна.

Мера р на (X, №) называется ф-квазиинвариантной, если рф-1 < р. Доказать, что: а) ф-инвариантная мера является и ф-квазиинвариантной; б) мера, эквивалентная ф-инвариантной, является ф-квазиинвариантной; в) эквивалентные меры одновременно являются или не являются ф-квазиин- вариантными; г) утверждение упр. 4.5 верно для меры, квазиинвариантной относительно сдвига на любой элемент из R^.

СИНГУЛЯРНОСТЬ МЕР И ЗАРЯДОВ.

РАЗЛОЖЕНИЕ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА

Пусть р — произвольный заряд (или мера) на измеримом пространстве (X, 9%).

Определение 5.1. Говорят, что заряд р сосредоточен на множестве Д £ 9R, если

р(£) = р (£ Л Л) (VfW

Определение 5.2. Пусть на пространстве с мерой (X, 9R, р) задан заряд р. Говорят , что заряд р сингулярен относительно меры р (р ± р), если он сосредоточен на множестве нулевой меры р, т. е.

(Me®)(V£e^)ip(£) = p(E л Д)д р(Д) = о.

Пример 5.1. Пусть X = [а, 6), р — мера Лебега на системе 33 ([а, 6)) борелевских множеств; р—дискретная мера, сосредоточенная на конечном или счетном множестве А с [а, 6). Тогда р (Д) = 0, т. е. р л р.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть р, р — две меры, заданные на измеримом пространстве (X, ЗЛ). Докажите, что: а) если р]± р и р сосредоточена на Д, то р сосредоточена на Д = X \ Д; б) если р 1 р, то р 1 р.

Если заряд р и сингулярен, и абсолютно непрерывен относительно меры р, то р = 0. Доказать.

Доказать, что если pt x р, р2 X р, то рх + ра 1 р.

Теорема 5.1 (Лебег а^. Пусть на измеримом пространстве (X, ®) заданы конечная мера р и заряд р. Тогда этот заряд р можно всегда представить, причем единственным образом, в виде

Р = ра + ps, где ра < р, ps ± р.(5.1)

Доказательство. 1). Докажем сначала единственность представления (5.1). Предположим, что имеется еще одно такое представление:

Р = ра + ps (ра < р, Ps ± р).

Тогда Ра + ps = ра + ps, Откуда Ра — ра = Ps — ps. ОтСЮДЗ ВИДНО, что заряд со = рд — Ра = Ps — Р$ одновременно и абсолютно непрерывен, и сингулярен относительно р, поэтому со = 0 (см. упр. 5.2), и единственность доказана.

. Поскольку заряд р можно представить в виде разности двух конечных мер, р = р+ — р_ , то доказательство возможности пред-

ставления заряда в форме (5.1) достаточно провести для того случая, когда р — конечная мера.

Итак, пусть р и р — конечные меры; введем в рассмотрение меру т = р + р. Очевидно, р -С т, поэтому по теореме Радона — Никодима существует такая неотрицательная суммируемая по мере и функция 7?, что

р(£) = $ 7?(x)dr(x) (V£€3R).

Е

Поскольку для любого £ £ 3)1

j (1 — R (х)) dx (х) = т (£) — р (£) = р (£) > О,

то R (х) < 1 (mod т). Изменив в случае необходимости значение 7? (х) на множестве меры нуль, можно считать, что 7? (х) « 1 при всех х £ X.

Рассмотрим множество

А = [^Х|7?(х) = 1}

и для любого £ £ ЗЛ положим

Р« (5) = р (£ П А").

Покажем, что мера ps сингулярна относительно р. Действительно,, для любого Е^УЯ

ps(E П А) = р((£ П A) D А) = р(£ 0 А) = рД£),

т. е. мера ps сосредоточена на А. Кроме того,

Р (Д) = У R (х) dx (х) = ( dx (х) = т (А) = р (Д) + р (Д), АА

поэтому р(Д) = 0, т. е. ps _L р.

Рассмотрим теперь меру ра, определенную для любого Е^9Я. формулой

Ра (£) = Р (5 D А).

Поскольку

рД£) + Р«(£) = р(£ Л А) + р(£ 0 А) = р(Е),

то р = ps 4- ра, и остается показать, что р0 С р.

Пусть р (£) = 0. Надо доказать, что ра (£) = 0. Поскольку

У (1 —7?(х))с(т(х)==т(£ П Д) — р(£ Q Д) = р(£ fl Д) = 0, еП а

а 1—R^^O, то т(£ О А) = 0. Но тогда

ра (£) = р (£ Q Д) = т (£ f] Д) — р (£ Q Д) = 0,

т. е. ра<р. и

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что теорема 5.1 верна и в том случае, когда мера р является a-конечной, а также и тогда, когда р и р являются о-конечиыми мерами.

Пусть со—заряд, со+, <о_— его положительная и отрицательная вариации. Доказать, что <о+ х со_. Справедливо ли это утверждение для произвольного разложения заряда со в разность двух мер?

В условиях упр. 2.6 указать необходимые и достаточные условия сингулярности зарядов (^ и ю2.

В условиях упр. 4.3 показать, что из р ± v, вообще говоря, не следует РФ-1 1 Уф-1.

Пусть (р^)^! — последовательность конечных мер на (X, ЭЛ) таких, что р;. ± р4 (/ ^ к). Построить последовательность MJ^, попарно непересе- кающихся множеств из ЗЛ такую, что (V»€M): р„ сосредоточена на Ап. До

казать, что р = У р^ —конечная мера на (X, ЭЛ).

АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ.

ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА

Теорема 6.1. Для функции f; fa, 61 -> R следующие три условия эквивалентны.

Для любого е > 0 найдется такое 6 > О, что для любой конечной системы попарно не пересекающихся интервалов (ak, Ь^ (6 = 1,2, ...,п\ для которой

^{bk — a^C^,(6.1)

4=1

имеет место неравенство

(6.2)

4=1

Б. Для любого в>0 найдется такое 6>0, что для любой счетной системы попарно не пересекающихся интервалов (а^, b^ (6=1, 2, .. .), для которой

1ДЬк—а^<6,(6.3)

4=1

выполняется неравенство

2|№)-№)1<в-(6.4)

4=1

Для любого е > 0 найдется такое 6 >• 0, что для любой конечной системы попарно не пересекающихся интервалов (а6, Ь^ (6 = = 1, 2, .., п), для которой выполняется (6.1), имеет место неравенство

ТДЖ-Ца^ <е.

4=1

Доказательство проведем по схеме В **А**Б. Поскольку импликации А => В и Б =* А тривиальны, то остается проверить две импликации.

А =» Б. Пусть выполнено условие А. Зададим произвольное в >■ > 0 и найдем такое 6 > 0, чтобы из (6.1) следовало

п

^W-ft^K^.(6.5)

6=1

Пусть теперь для счетной системы попарно не пересекающихся интервалов (а6, Ь^ф = 1,2,...) имеет место (6.3), тогда при любом п выполнено неравенство (6.1) и, следовательно, имеет место (6.5) при любом л € И- Перейдя к пределу при « -> оо, получим

<В.

6=1

В => А. Пусть выполнено условие В. Возьмем произвольное е > 0 и найдем такое 6 > 0, чтобы из (6.1) следовало

|S№bf(M)l<|.

6=1

Покажем, что тогда выполняется и неравенство (6.2). Действительно, обозначим знаком S' сумму тех членов, для которых ЦЬ^— — $ («б) ^ 0, а знаком 2" — сумму тех членов, для которых / (6^) — —• / (аб) < 0. Тогда

п

S I f ФЛ - f фк)I = 2' I f ФЛ - f (ak)l + 2" | f фЛ - / фЛ | =

= 12' (/ фЛ - / (a0)l + I S" ф ФЛ - f ф^ | < 1 + | = в,

t. e. выполняется условие A. ■

Определение 6.1. Функцию / ■ [a, Ы -> iR называют, абсолютно непрерывной, если она удовлетворяет любому из условий А, Б, В, сформулированных в теореме 6.1.

Упражнение 6.1. Показать, что если функция f 1 [а, 6] -> R удовлетворяет условию Липшица

I / (И) — f (^2) I < К | xt — х21 (V^l х4 6 IR),

то она абсолютно непрерывна. В частности, если / имеет на [а, 6] ограниченную производную, то она абсолютно непрерывна.’'

Теорема 6.2. Если функция абсолютно непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке равномерно непрерывна.

До к а з ат ел ь с т в о. Достаточно записать условие А для п = 1. 6

Теорема 6.3. Всякая абсолютно непрерывная функция является функцией ограниченной вариации.

Доказательство. Пусть функция fi [а, 6] -> К абсолютно непрерывна. В условии А положим s = 1 и найдем соответствующее 6. Разобьем отрезок [а, 6] точками а = а^ <.аг <а2 < •■* < <2 tzw—I <а^ = b на N частичных отрезков так, чтобы выполнялось условие а/4-i—О/< 6 Q = О, 1, ..., N—1), и зафиксируем это разбиение.

Пусть теперь а, = х0 < хх < . .. <2 хп_\ <хп = a^i — произвольное разбиение отрезка [о/, о/+1]. Тогда

п-1

S (^+1 — х^ = 0/4-1 — aj < 6

*=о

и, следовательно,

Sl/(xfe+1)-/(xfe)|<l.

Перейдя в этом неравенстве к точной верхней грани, получим (см. §1.17)

V (/; [я7, я/+1]) С 1 (/ = О, 1, ..., ^), откуда

N—1

v (Л [я, &]) = s V (/; [Я/, я/+1]) С N. ■

Теорема 6.4. Пусть ^ g — абсолютно непрерывные на [о,6] функции, с = const. Тогда абсолютно непрерывны на [о, ЬА и функции f — g. fg, cf, (последняя — при дополнительнол! условии g (х) =#0).

Доказательство. Докажем абсолютную непрерывность произведения fg. Остальные утверждения предлагаем читателю доказать самостоятельно.

Поскольку / и g абсолютно непрерывны на [я, И, то они непрерывны и поэтому ограничены на [я, 6]. Пусть |f (х)| <s A, |g (х)| < В на [я, Ь\. Тогда

1Ж)£№)~ f ka^ g^\« 1Ж)1 • I g(bk) — g(a^\ ++1 йГ(ой)1 • |/(^й) —/Ы1 < А \ g(bfe) — g(afe)\ + В | f (М —/ (я&) Ь

откуда и следует абсолютная непрерывность fg. И

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что: а) если / — абсолютно непрерывная функция, то функция |/| абсолютно непрерывна; б) если f непрерывна на [а, Ь], а |/| абсолютно непрерывна на [а, 6], то f абсолютно непрерывна.

Пусть на отрезке [а, Ь\ задана последовательность (^)^»i неубываю- со

щих абсолютно непрерывных функций. Доказать, что если ряд ^ fkW схо-

дится для всех х£[а, 6] и f (х)— его сумма, то функция f абсолютно непрерывна.

Пусть функция f абсолютно непрерывна на [а, ЬК а функция ф : R-> -> 0? удовлетворяет условию Липшица. Доказать, что функция ф (/) абсолютно непрерывна на [а, 6].

Пусть функция ф : R -> R такова, что для каждой абсолютно непрерывной на [а, Ь\ функции / функция ф (/) абсолютно непрерывна на [а, Ь\- Доказать, что ф удовлетворяет условию Липшица.

Пусть / : [а, 6] -> R такова, что для каждого а > 0 найдется такое 6 > 0, что для произвольного набора интервалов (а£, Ьг) с [а, 6], / = 1, ..., п (а не только для попарно непересекающихся, как в определении абсолютной п

непрерывности), для которых У ф£— а^ < 6, справедливо неравенство

У \ЦЬ^— /*(^)|<8. Доказать, что / удовлетворяет на [а, 6] условию Г=1

Липшица.

Пусть f:lat &]->lR такова, что для произвольной счетной системы со

интервалов (а£, Ь£)с:[а, b}, t = 1, 2, . . . , такой, что У (Ь£— а^)<оо, ряд

ОО

У U М^) — Ца^ сходится. Доказать, что f удовлетворяет на [а, Ь] условию Липшица.

§ 7. СВЯЗЬ АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАРЯДАМИ

Лемма 7Л. Если функция f абсолютно непрерывна на [а, Ы, то и функция ср (х)= V (/; (а, х]) также абсолютно непрерывна на [а, Ы.

Доказательство. Поскольку ср — неубывающая на [а, Ь\ функция, то в соответствии с определением 6.1 (условие А) достаточно показать, что для любого 8 > О найдется такое б > О, что для любой системы попарно не пересекающихся интервалов (аА, b^ (k = 1, ... , я), удовлетворяющей условию

S $к — ^) < 6,

выполняется неравенство

п

Х(ф(М~ Ф («&))< 8,6=1

т. е. неравенство

п

(7.1)(7.1)£V(f; \аи, Ьк^<ь.к=\

(7.1)

(7.1)

Возьмем произвольное 8>0, Поскольку / абсолютно непрерывна, то найдется такое б>0, что из (6.1) будет следовать (6.2). Рассмотрим произвольные разбиения каждого из отрезков \ак, bk} на конечное число частей:

Uk ^ -Хо <С -Xi <С • • • < -Х/п^—1 <С Хщ^ ^ Ь^.

Поскольку при этом

mtШпп

2 ^ -х)_0 + ... + s (X/-Хм) = 5 фь - а^ < 6,

М/=16=1

то благодаря выбору числа 6 получим

Z72ttUn

S I f ^ - f (Х^) 1+ . . . + S I f ^ - t (X^l) I < 8.

/=1/=1

Перейдя в последнем неравенстве к точной верхней грани по всевозможным разбиениям отрезков Vak, bk\, получим требуемое неравенство (7.1). ■

Пусть / 1 [а, 6] ->- R — функция ограниченной вариации. В § 1.17 было показано, что любой функции ограниченной вариации можно сопоставить некоторый заряд. Обозначим его через <щ.

Теорема 7.1. Пусть h Va, 6] -» R — функция ограниченной вариации, со/ — соответствующий заряд. Для того чтобы функция / была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы заряд 6); был абсолютно непрерывен относительно меры Лебега т на 1а, 61.

Доказательство. 1). Докажем теорему вначале для неубывающей функции. Пусть ср (х) — заданная на [а, 61 неубывающая, ограниченная, непрерывная слева функция, рф — соответствующая ей мера Лебега — Стилтьеса (см. § 1.14). Мера цф определена на измеримом пространстве(X, 9)1), где X = 1а, Ь), а о-алгеб- ра 9)1 = $ ([а, 6)) — система борелевских подмножеств [а, 6). Эта о-алгебра порождена алгеброй 91 всех конечных объединений попарно не пересекающихся полуинтервалов. При этом на множествах из 91 мера рф определяется равенством,

МСНаб, bk^ = Е(ф(6б) —ФЫ. 6=i6=1

Покажем, что функция ср абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда цф т.

Достаточность. Пусть рф С т. Это значит, что

(Ve > 0) (Л6 > 0)! (/и (£) < 6) => (рф (£) < е).

Возьмем произвольное е > 0 и найдем соответствующее 6 >0. Пусть Е — конечное объединение попарно не пересекающихся полуинтервалов

Е = U [«б, Ь^ сз [а, 6),

6=1

причем /и(£)<6, т. е.

2(бб—«б)<б.

Тогда рф(Е)<8, т. е.

S (Ф Ф^ — Ф (%)) < 8.6=1

А это означает, что функция ф абсолютно непрерывна.

Необходимость. Пусть функция ср абсолютно непрерывна. Возьмем произвольное е > 0 и найдем соответствующее ему значение 6>0 по определению 6.1 (условие Б). Пусть теперь Е g SR, т (Е) < < у. Покажем, что тогда цф (Е) <8. Это значит, что рф <5 т.

Поскольку Е измеримо, то его мера Лебега совпадает с внешней мерой, и по определению внешней меры

m(E) = m* (Е) = inf m (А/) И/6^, U А, 2 Е).

/=1М

Но так как т (Е) < ^ , то существуют такие А/ £ 91 (/ = 1, 2, . . .), что

U фаЕ, 2т(Д/)<6. м М

Кроме того, U А, представляет собой объединение не более чем м

счетного числа попарно не пересекающихся полуинтервалов

U Aj = U \abl bk)j=l к=х

и в силу счетной полуаддитивности меры Лебега

°°соОО00

S <bfe — ак) = т(Ц \ак, Ьк^ = т( U А^ с ^т (А,) < 6, 6=i6=t/=1/=i

откуда благодаря выбору 6 из условия абсолютной непрерывности Ф получаем

2 (Ф (Ьк) — ф (а*)) < в.

6=1

Теперь имеем

(£) Иф ( U А^ = [А<р( U [я^, Ь^У) = Иф ([^^* ^)) /=1lt=\It—Y

= S (Ф (bk)—Ф (а»)) < 8,

6=i т. е. Рф^/т?.

Докажем теперь теорему для того случая, когда / — функция ограниченной вариации.

Достаточность. Пусть ®/ <^ т. Покажем, что функция f абсолютно непрерывна. Запишем для заряда со/ разложение в смысле Жордана

Ю/ = (®/)+ — ((0;)_,

и пусть ft (Д) — неубывающая функция, соответствующая мере (<0/)^ (соответственно (<о/)_). Поскольку ц -С т, то (<of)+ с т и (юф<и. Тогда, по доказанному в п. 1), функции /+ и /_ абсолютно непрерывны, следовательно, абсолютно непрерывна их разность /.

Необходимость. Пусть функция f абсолютно непрерывна. Запишем ее каноническое представление в виде разности двух неубывающих функций

f (х) = <р (х) — ф (х),

где <р(х) = V (/; [а, х]), ф(х) = <р(х)— / (х). В силу леммы 7.1 функция ср абсолютно непрерывна, поэтому и ф абсолютно непрерывна. Тогда по доказанному в п. 1) ц.Р<т, рф<т и, следовательно, заряд со/ = рф — р,ф абсолютно непрерывен относительно меры т. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что абсолютно непрерывная функция представима в виде разности неубывающих абсолютно непрерывных функций.

Доказать, что если функция h интегрируема на [а, 6] относительно X

меры Лебега, то ее неопределенный интеграл Лебега Н (х) = J h (х) dx + С является абсолютно непрерывной функцией на [а, 6].

Пусть функция / абсолютно непрерывна на [а, 6]. Доказать следующие утверждения: а) если А с [а, 6] таково, что т (Д) = 0, то и т (f (Д)) = = 0; б) если Д с [о, 6] измеримо по Лебегу, то и / (Д) измеримо по Лебегу.

§ 8. ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА.

СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ В СМЫСЛЕ ЛЕБЕГА

Теорема 8.1. Пусть функция f i la, bl -* R абсолютно непрерывна. Тогда почти в каждой точке х £ [a, Ь] (в смысле меры Лебега) существует производная У (х). При этом У суммируема по мере Лебега и имеет место формула Ньютона — Лейбница

ь

^ У (x)dx = f (b) — f (а).(8.1)

Доказательство. Построим по функции f соответствующий заряд tof. В силу теоремы 7.1 заряд со/ абсолютно непрерывен относительно меры Лебега т и по теореме Радона — Никодима существует такая суммируемая функция R (х), что для любого боре- левского подмножества Е отрезка [а, bl

со, ^Е) = ^ R (х) dx.в

Но тогда, как известно (см. замечание 3.1), почти для всех х£ [а, 6]

RИ -№±^ - f-to,

h->0 п

поэтому /' суммируема и

«у (Е) = ^ f (х) dx.

Е

В частности, при Е = [а, 6) получаем

ьf(b)-f(a) = $r(x)dx. ■

Следствие 8.1. Если функция / ’ [а, 61 ->• IR абсолютно непрерывна и /' (х) = 0 (mod m), то f (х) = const.

Действительно, применив формулу (8.1) к отрезку [а, х], где а с х с Ь, получим

X

/ И — f W = $ Г (*) dx = О,а

откуда f (х) = / (a) (Vx £ [а, 61). ■

Замечание 8.1. Естественно возникает вопрос, нельзя ли формулу (8.1) распространить на более широкий класс функций, поскольку требование абсолютной непрерывности является весьма ограничительным. Прежде всего для этого требуется существование суммируемой производной. В следующей теореме, которую мы принимаем без доказательства*, указан достаточно широкий класс таких функций.

Теорема 8.2 (Лебега). Если fi [а, 61 -* К — функция ограниченной вариации, то почти для всех х С 1а, 61 существует производная Г (х), причем f суммируема по мере Лебега на 1а, 6].

Вместе с тем, как показывают следующие примеры, для произвольной функции ограниченной вариации равенство (8.1) может и не выполняться.

ПРИМЕРЫ

Рассмотрим на отрезке [0,2] функцию f (х) = х^ о । (х). Очевидно, / — неубывающая функция (и, значит, имеет ограниченную вариацию) и Р (х) = 0 почти везде (кроме точки х = 1). В то же время

0=^f'(x)dx^/(2)-H0) = l. ■о

Может показаться, что едесь причина в том, что функция / разрывна. Следующий пример показывает, что это не так.

Приведем пример непрерывной неубывающей функции, производная которой почти везде равна нулю и для которой поэтому не имеет места фор-

Рис. 6Рис. 61 I 2/ W = f при g- < X < -g1 I 2/ W = f при g- < X < -gмула (8.1). График этой функции называют лестницей Кантора, а * саму функцию — функцией Кантора.

Рис. 6

Рис. 6

1 I 2

/ W = f при g- < X < -g

1 I 2

/ W = f при g- < X < -g

Функцию / (х) будем строить иа отрезке [0, 1] поэтапно.

Вначале положим / (0) = 0, f (1) = 1. Затем разобьем отрезок [0, 1] на три равные части и на средней части определим функцию

,112

lr f и = 2 при JJ ■

Каждый из двух оставшихся крайних отрезков снова разделим на три равные части и на средних частях определим / (х) так:

378

; / М = 4" при g- С х С д-.

Далее, каждый из оставшихся четырех отрезков снова разделим на три равные части и зададим f (х) иа средних частях, положив ее равной 1/8, 3/8, [121 [7 8 1 [19 201 [25 261

5/8, 7/8 соответственно на отрезках 27 > 271 > 27 • 27 ’ 27 ’ 27 ’ 27 ’ 27 (иа этом шаге процесс построения / (х) изображен на рис. 6). Продолжив этот процесс до бесконечности, мы получим функцию, определенную и неубывающую на множестве

(/ определена и на концах соответствующих интервалов). Множество открытое, и его мера Лебега равна

1 , 2 , 4 , 81/3

m (Go) = 3 + 9 +27'1'81 += 1 — 2/3 = 11

Поскольку составляющие интервалы множества 60 не имеют общих концов, то дополнение D = [0, 1] \ 60 — совершенное множество. Его называют канторовым совершенным множеством (см. упр. 1.9.4).

Осталось определить / (х) в точках D, не являющихся концами составляющих интервалов 60. Если х0 — такая точка, то положим

f (х0) = sup {/ (х) | х < х„, х 6 О0).

Теперь функция f определена на всем отрезке [0, 1) и монотонна. Непрерывность / (х) следует из того, что она монотонна и ее значения (даже на Go) плотны па [0, 1].

Вместе с тем f (х) = 0 на Go, т. е. почти везде на [0, 1]. Поэтому

1

O=jf' (х) dx< f (1) — / (0) = 1.1

о

Определение 8.1. Непрерывную отличную от константы функцию ограниченной вариации называют сингулярной, если ее производная равна нулю почти везде.

Примером сингулярной функции может служить функция Кантора, построенная в примере 8.2.

Сингулярная функция не может быть абсолютно непрерывной, так как в этом случае (см. следствие 8.1) она была бы постоянной.

Теорема 8.3. Всякую непрерывную функцию ограниченной вариации / Да, 61 ->• R можно единственным образом представить в виде

= (х) + Ф (х),(8.2)

где функция ср абсолютно непрерывна, ф — сингулярна и ср (н) = = / (а). При этом одно из слагаемых может отсутствовать.

Доказательство. Поскольку / — функция ограниченной вариации, то ее производная f существует почти везде и суммируема. Положим

X

ф (х) = / (а) + $ Г (О dt, Ф (х) = / (х) — ф (х).

Тогда f (х) = ф (х) +ф (х). При этом ср (а) = / (а) и ф абсолютно непрерывна, причем ф'(х) =/'(х) (mod т). Поэтому ф' (х) = = Г (х) — ф' (х) = 0 (mod m), т. е. функцияф сингулярна.

Докажем единственность представления (8.2). Пусть также

/ (х) = Ф1 (х) + Ф1 (х),

где cpt абсолютно непрерывна, фх сингулярна и cpt (а) = f (а}. Тогда ф (х) + Ф (х) = Ф! (х) + ф! (х), откуда

ср (х) — ФТ (х) = фх (х) — Ф (х).

Однако функция ср — ср£ абсолютно непрерывна и в то же время (ср — ф^' = 0 (mod m), поэтому ср — Ф1. = const. Поскольку ср (а) — — Фс (о) — О, то Ф — Ф1 ^ 0> т. е. ср = фъ и, таким образом, ф = фР В

Следствие 8.2. Всякую функцию ограниченной вариации f: [а, 61 ~» IR можно единственным образом представить в виде

f(x)=Mx) + A(x)+Mx),(8.3)

где функция fa абсолютно непрерывна, fs сингулярна, a fd — функция скачков, причем f„ (я) = f {а) (некоторые слагаемые в (8.3) могут отсутствовать).

Представление (8.3) называют разложением функции ограниченной вариации в смысле Лебега.

Действительно, функцию ограниченной вариации f можно единственным образом представить в виде (см. § 1.17): f (х) = fc (х) + ■VfdkxV где fc— непрерывная функция, fd— функция скачков, причем fc (а) = f (а). Применив к функции fc теорему 8.3, получим требуемое представление. В

Выведем некоторый аналог формулы Ньютона — Лейбница. Пусть f Да, 6]-» IR — произвольная функция ограниченной вариации. Записав для нее разложение в смысле Лебега (8.3) и продифференцировав полученное равенство, имеем

//(х) = /а(х) (mod m),

откудаоткудаbh

откуда

откуда

^ /' (x) dx = ^ fa (x) dx. aa

ь5 f ^dx = fa ^ — ta(aYь5 f ^dx = fa ^ — ta(aY(8.4)(8.4)Применив к функции fa теорему 8.1, получим окончательно

ь

5 f ^dx = fa ^ — ta(aY

ь

5 f ^dx = fa ^ — ta(aY

(8.4)

(8.4)

УПРАЖНЕНИЯ

Используя теорему 8.2, доказать следующие утверждения: а) если / интегрируема относительно меры Лебега иа [а, Ь], то для m-почти всех*

X

d Г

^ \f^dt = i (х); б) функция / удовлетворяет условию Липшица на [а, 6] в том и только в том случае, когда она является неопределенным интегралом от измеримой ограниченной функции.

Пусть функции / и g абсолютно непрерывны на [а, 6]. Доказать, что справедлива формула интегрирования по частям:

666

j / V0 6' VO dx = f (х) g (х) | —^f VO g (х) dx. ааа

Пусть функции f, flt flt ... имеют ограниченную вариацию на [а, 6] и V Ук — L Га> 61) -* 0 при к —> оо. Доказать, что: а) если /lt /2, ... являются функциями скачков, то / является функцией скачков; б) если fv f.2, ... — абсолютно непрерывные функции, то / абсолютно непрерывна; в) если fv к, •••— сингулярные функции, то f сингулярна.

Пусть f — неубывающая на [а, Ь) функция. Доказать, что если

У Р (х) dx = f У) — / (а), то / абсолютно непрерывна. а

^8.5. Доказать, что если / абсолютно непрерывна на [а, 6], то V У, [а, 6]) ^ = j I Р V0 | dx.

Доказать, что если ф— неубывающая сингулярная функция на [а, 6], то |]тМ«-^т+Ч)

h-o 2hт■

%Л. Рассмотрим функцию ф (х) = х + f (х), х € [0, 1], где f — функция Кантора. Проверить, что функция ф а) непрерывна; б) возрастает; в) устанавливает взаимно однозначное соответствие [0, 1] -> [0, 2]; г) р (ф (D)) = 1, где D — канторово множество. Из утверждения г) следует, что существует неизмеримое по Лебегу подмножество С с ф (О). Доказать, что ф-1 (С) — измеримое по Лебегу неборелевское множество (ср. § 1.9).

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

С этой главы по существу начинается изучение функционального анализа. Одним из основных объектов изучения в функциональном анализе являются линейные нормированные пространства, т. е. множества, наделенные структурой линейного пространства и нормой (аналогом понятия длины вектора). Особенно важный класс линейных нормированных пространств составляют банаховы пространства, или пространства типа В — пространства, полные относительно сходимости по норме. Эти пространства были введены в математику С. Банахом и Н. Винером. Важную роль в функциональном анализе играют и гильбертовы пространства — пространства, в которых норма определяется через скалярное произведение.

В этой главе приведены простейшие свойства банаховых и гильбертовых пространств и рассмотрены примеры таких пространств.

ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Для метрических пространств хорошо известны понятия внутренней и предельной точки множества, открытого и замкнутого множества, предела последовательности и др. Однако все эти понятия можно ввести, не используя понятия метрики. Такой подход приводит к понятию топологического пространства. Напомним соответствующие определения. Пусть Т — произвольное множество. Зададим в Т некоторую систему 2 его подмножеств, называемых окрестностями. Окрестность U £ 2 называют окрестностью точки х и обозначают через U (х), если xQ U. Пару (Т, 2) называют топологическим пространством (хаусдорфовым), если выполнены следующие условия;

(VxQ'r^UGEVxQ U-,

(Vx е Т) (V и (х), V (х) с 2) (ЛГ (х) б 2): W (х) = U (х) О V (х);

(аксиома отделимости Хаусдорфа)-.

фх, у^Т, хч^(А [/(х), (/(у)е2)!(/(х) Q U^=0.

Систему 2 называют базой окрестностей в Т. Говорят, что 2 задает в Т топологию. Вместо (Т, 2) пишут также Ту.

В топологическом пространстве естественным образом вводится понятие предельной точки множества, а именно: точка х^Т называется предельной точкой множества А, если любая окрестность U (х) ^ 2 содержит хотя бы одну точку а $ А, отличную от х. Совокупность всех предельных точек множества А называется производным множеством и обозначается через А'. Множество А = A (J А1 называется замыканием множества А. Множество A s Т называется замкнутым, если А = А. Множество G g Т называется открытым, если его дополнение G = T\G замкнуто. Легко видеть, что

множества Т и 0 являются одновременно и открытыми, и замкнутыми. Говорят, что базы Sj и S2 задают в Т эквивалентные топологии, если они определяют один и тот же запас открытых (замкнутых) множеств.

Множество^ А а Т называется плотным в открытом множестве В £ Т, если А —! В. В частности, А называется всюду плотным в Т, если А = Т, т. е. если в любой окрестности U^ любой точки х^Т имеются точки множества А. Пространство Т называется сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество. Множество А называется нигде не плотным в Т, если Т\Л всюду плотно в Т. Иными словами, это означает, что А не плотно ни в каком непустом открытом множестве Ge Т.

Топологическое пространство называется компактным, если всякое его покрытие открытыми множествами содержит конечное подпокрытие. Топологическое пространство называется счетно-компактным, если всякое его бесконечное подмножество имеет предельную точку. Для метрических пространств (а также для любых пространств со счетной базой) понятия компактности и счетной компактности совпадают.

Пусть (хп),^1 — некоторая последовательность точек топологического пространства Т. Точка х^Т называется ее пределом, х = = limx„, если

(W (х) £ 2) (HV = N<U (х)) (Vn >Nyxn^U (х).

ПРИМЕРЫ

Т = 1R, 2 = {(а, Ь') | a, b £ 1R, а < by Пространство (Т, 2) — это числовая прямая с обычной сходимостью, определяемой метрикой р (х, у) = = | х — у |, и обычным запасом открытых множеств.

Т = (Т, р)— метрическое пространство с метрикой р, 2 —совокупность всех открытых шаров Вг (а) = {х € Т | р (х, а) < г). Нетрудно проверить, что тот же запас открытых множеств мы получим, принимая за 2 совокупность всех открытых шаров с рациональными радиусами.

Пусть (Ть 2,) и (Тг, S2)— топологические пространства. Их декартово произведение Т = Тт х Тг с X = (б^ X U^ | U^y, б/2£22} является топологическим пространством.

Более подробные сведения о топологических пространствах можно найти, например, в [2, 4, 5, 40, 71]. См. также § XIV.2.

Упражнение 1.1. Проверить выполнение аксиом 1—3 в приведенных примерах.

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Напомним известное из алгебры определение линейного (или векторного) пространства над полем К- ПолеК (поле скаляров) всегда будет либо полем вещественных чисел 1R, либо полем комплексных чисел (D.

Определение 2.1. Множество Е называется линейным пространством, если в нем определены операции сложения и умножения на скаляр, обладающие следующими свойствами:

(Vx, y^E^ix + y — y + x (коммутативность);

(Vx, у, г $ Е)! х + (у + г) = (х + у) + г (ассоциативность)-,

(31 О Е Е) (Vx Е Е); х + 0 = х (существование нуля)-,

(Vx Е Е) (31 (—х) Е Е) i х + (—х) = О (существование противоположного влементаУ,

(Va, 0 Е К) (Vx Е Е)! a (fix) = (a0) х;

1 • х = х (1— единица поля К);

(Va, р Е К) (Vx Е Е): (a + Р) х = ax + рх;

(Va Е К) (Vx, у Е Е) ■ а (х + у) = ах + ау.

Отметим, что знаком 0 обозначается как нулевой элемент пространства Е, так и число нуль — элемент поля К- Это не при ведет к путанице, поскольку всегда ясно, о каком нуле идет речь.

Определение 2.2. Множество Е называется линейным топологическим пространством, если оно является как линейным, так и топологическим пространством, причем операции сложения и умножения на скаляр непрерывны , т. е.

(Vx, у Е Е) (XU (х + у)) (3/7 (х), U (у)): V (х + у) а гО (х) + U (у) = {х' + у' I х' ^U (х), у' Е U (у)}-, 2) (Vx Е Е) (VX Е К) ^U (Хх)) (3/7 (х)) ^U (X) =

ак): и (Хх) а и (X) и (х) = {Х'х' | X' Е /7 (X), х' Е U (х)}.

Ясно, что R" и С" являются линейными топологическими пространствами соответственно над IR и (С. Другие примеры рассмотрены в следующих параграфах.

Введем еще некоторые понятия, которые в дальнейшем будут часто использоваться.

Пусть Е — линейное топологическое пространство. Линейное подмножество L а Е называется подпространством, если оно замкнуто в топологии пространства Е.

Пусть М — произвольное подмножество линейного топологического пространства Е. Линейной оболочкой множества М называется множество

л. о. (М) = |V ХАх» | ХА Е К. хк^Е, пЕМ). fe=i

Замыкание множества л.о.(Л4) называется замкнутой линейной оболочкой множества М и обозначается з. л. о. (Л4).

Множество называется тотальным в Е, если л. о. (М) всюду плотна в Е или, что то же самое, если з. л. о. (Л4) = Е.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что л. о. (/И) совпадает с пересечением всех линейных подмножеств Е, содержащих М.

Доказать, что з. л. о. (М) совпадает с пересечением всех подпространств Е, содержащих М.

Пусть С ([а, 6]) — линейн ое пространство всех непрерывных на [а, 6] функций х : [а, 6] -*- IR с топологией, определяемой метрикой р (х, у) = =max | х (/) — у (О |. Рассмотрим множество Д = (х € С ([а, 6]) | х (/0) = 0), а<«6

где t0 — фиксированная точка отрезка 1а, 6]. Проверить, что Д — подпространство С ([а, 6]).

Доказать, что множество М = {1, t, i\ /3, ...} тотально в С ([а, 6]).

3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ И БАНАХОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

Определение 3.1. Пусть Е — линейное пространство над полем К- Числовую функцию

называют нормой, если она обладает следующими свойствами:

(Vx € Е): || х || > 0, причем J] х || = 0 =► х = 0;

(VXE0<) (VxE Е): || Хх || = | Х| • ||х|| (однородность);

3)(^х,у^Е):]\х + z/|| < II *11 + II УII (неравенство треугольника).

Линейное пространство Е, в котором задана норма, называют линейным нормированным пространством над полем К. Его называют вещественным линейным нормированным пространством при К = IR и комплексным при К = £- Норму в Е обозначают также ||х||£.

Легко видеть, что || 01| = 0. Действительно, при любых х £ Е имеем || 01| = || 0 • х || = 0 • || х || = 0. Докажем еще так называемое второе неравенство треугольника:

(Vx, уеЕ):||х-у||>||]х||-||у|||.(3.1)

Применяя неравенство треугольника, находим

ll^ll — II (х —у) + У|| II х —у|| + IIУII, откуда

Цх-у||>||х||-Цу||.(3.2)

Из этого неравенства получаем

1|х-у|)=||(-1)(у-х)|| =||у-х||>||у||-||х||.(3.3)

Из (3.2) и (3.3) следует (3.1). ■

Пусть Е — линейное нормированное пространство. Для любых х,у^Е положим

р(х, у) = ||х —у||.(3.4)

Легко проверить, что функция р удовлетворяет всем аксиомам метрики. Действительно, из 1) следует, что всегда р(х, у) > 0 и р(х, У)>0 при х^=у; р(х, х) = || х — х || = || 01| = 0. Проверим симметрию расстояния: в силу условия 2) р(у, х) = ||у— х|| = = ||(—0(х— У)|1 = НХ—УП = Р(Х, У)' Проверим, наконец, нера-

венство треугольника для метрики. Для любых х, у, z^E имеем в силу условия 3):

р(х, г) = ||х — г|| = ||(х — у) + (у — г)||<||х — УII + |1у — zЦ == р(х, уНр(у. zY ■

Итак, всякое нормированное пространство Е является метрическим с метрикой, определяемой формулой (3.4). Поэтому в линейном нормированном пространстве можно рассматривать все понятия и объекты, вводимые в метрических пространствах. В частности, можно рассматривать открытый шар и сферу радиуса г с центром в точке а:

Br(a) = {х € ^ III х — а||<r}, Sr(a) = {х£Е|||х — а|| = г}.

Легко видеть, что линейное нормированное пространство является и линейным топологическим пространством. Надо проверить, что операции сложения и умножения на скаляр непрерывны. Проверим непрерывность сложения. Очевидно, для этого достаточно показать, что

фх, yeE')^B>Oy.Be(x) + BL(y')GBe(x + y\ (3.5) 22

Если x'^Bg (х), у'^ВЛуУ то II л/— х||<-^, ||у'—у||<-|, и в 22ZZ

силу неравенства треугольника имеем

П(х' + у') —(х + у)|| = ||(х' —х) + (/ —у)||< ||х'—х|| + ||у* —~У1Ку +7 = 6>

т. е. х* + У* € Ве (х + у), что и доказывает включение (3.5). Аналогично доказывается непрерывность умножения на скаляр. ■

Упражнение 3.1. Пусть £— линейное пространство, снабженное метрикой р, обладающей следующими свойствами: а) (ух, у, г £ £) : р (х + z, у + г) = р (х, у); б) (Ух € £) (уХ е К) : р (0, Хх) = | X | • р (0, х). Показать, что £ является линейным нормированным пространством с нормой || х || = р (0, х).

Поскольку линейное нормированное пространство является метрическим, то в нем определено и понятие предела последовательности: хп-> х означает, что lim ||хп— х|| = 0. Из второго неравенства треугольника (3.1) сразу следует непрерывность нормы- Действительно, в силу (3.1) имеем

о< I ||Хл|| —||х||| < IIх„ — XII,

поэтому || Х„ — х II -*- 0 =*- II х„ II -* || X ||.

В теории метрических пространств важную роль играет понятие полноты. Напомним это понятие. Последовательность (xn)“=i элементов метрического пространства (X, р) называется фундамента- 6*.

мной, если limp(xm, х„) = 0, т. е. (Ve>O)(И^ = ^(e)) (Vm, п"> т, п-* «о

■>М):р(хт, х„)<8. Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу х£Х, т. е. limp(xn, х) = 0.

п -♦ со

Определение 3.2. Линейное нормированное пространство Е называется полным, если полно метрическое пространство (Е, р) с метрикой р (х, у) = ||х— у||. Полное вещественное (комплексное) линейное нормированное пространство называется вещественным (комплексным) банаховым пространством.

Ряд примеров банаховых пространств рассмотрен в § 7—9.

УПРАЖНЕНИЯ

Привести пример метрики на IR, не обладающей свойствами а), б) из упр. 3.1.

Пусть Е — линейное нормированное пространство. Доказать, что для любых элементов х, у£ Е выполняется неравенство i| х|| с max {j| х-(- у ||, II х — у !|4.

Пусть хп, х, уп, у^Е (n£ М). Доказать, что: а) если хп-* х, то || хп ||-> -*1И|; б) если хп-*х и || хп — уп || ->0, то уп->х; в) если хп-*х, уп-*у, то lk„ —УпН-*||х—у||.

Являются ли нормами в С ([а, 6]) следующие функции: а) ||х|| = Г a4-bl|

= max {| x(i) | 1tc [а, 6]}; б) || х || = max { | х (0 || / С р, —g—j J ; в) || х || =

b

-Црммом)122, где р — фиксированная положительная функция из

С ([а, 6])?

Являются ли нормами в линейном пространстве С1 ([а, Ь|) непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций следующие функции: а) 1| х || — max {| х(/)| |/G[a, 6]}; б) || х || = max {| х'(^) | [ / G [«. 6]}; в) || х || = | х (6) — х (а) | + 4-тах{ | х' (0 11 / £ [а, 6]}; г) || х [| = | х(а) | + max { | х* (t) 11К [а, 6]}; д) ||х||=

= | х (t) | dt + max { | х' (/) 11t £ [а, 6]}?

а

Пусть Е — линейное нормированное пространство. Расстоянием от точки х до множества А 02 Е называется число р (х, Л) = 1п1(||х— у|||уСА). Доказать, что: а) функция р (-, А) непрерывна на Е; б) р(х, Л) = р(х, Л); в) р(х, Л) = 0 в том и только в том случае, когда х£Л; г) если А — конечномерное подпространство, то расстояние от х до Л достигается, т. е. (Эу*€ G Л): р (х. Л) = || х — у* ||.

Доказать, что линейное нормированное пространство Е является бана- ховым тогда и только тогда, когда всякий ряд ^ хк, для которого ^ || xh || < t=ifc=l

< оо, сходится в Е.

Пусть Е — банахово пространство, ^Вгп^хпУ,”_х — последовательность замкнутых шаров, вложенных друг в друга, причем limr„ = 0. Доказать, что в Е существует, и притом единственная точка, принадлежащая всем шарам.

Пусть в линейном нормированном пространстве Е любая последовательность шаров, удовлетворяющих условиям упражнения 3.9, имеет непустое пересечение. Доказать, что Е — банахово пространство.

§ 4. ПОПОЛНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ

В курсе математического анализа доказывается важная теорема о пополнении метрического пространства. Напомним формулировку этой теоремы и основные этапы ее доказательства.

Теорема 4.1. Для любого метрического пространства (X, р) существует полное метрическое пространство (X, р) такое, что: 1) X с X; 2)(Vx, у^ X): р(х, у) = р(х, у); 3) X всюду плотно в X. Пространство X называют пополнением пространства X.

Доказательство состоит из нескольких этапов, которые здесь будут лишь намечены.

. Рассмотрим множество всех фундаментальных последовательностей в X. Две фундаментальные последовательности (x^TLi и ку^п=\ назовем эквивалентными ((х„) ~ (у„)), если lim р (х„, уп) = 0. Нетрудно проверить, что отношение — рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. действительно является отношением эквивалентности. Поэтому множество всех фундаментальных последовательностей распадается на классы эквивалентности. Множество этих классов обозначим через X.

. Пусть даны два класса х, у^Х и пусть (x„)”=iGx, (у„)”-1 Е Е у— некоторые последовательности из этих классов. Тогда полагаем

def

р(х, у) = Ишр(хл, у„).

П-* *>

Доказывается, что это определение корректно, т. е. что предел всегда существует и не зависит от выбора последовательностей №=Х, №-

. Проверяется, что р является метрикой.

. Доказывается, что (X, р) — полное метрическое пространство.

. Для любого х^Х обозначим через х класс, содержащий стационарную последовательность (х, х, ...). Доказывается, что образ пространства X при отображении /Y 3 х i-> х Е X является всюду плотным в X множеством. ■.

Аналогичные рассуждения позволяют доказать теорему о пополнении линейного нормированного пространства.

Теорема 4.2. Для любого линейного нормированного пространства Е существует банахово пространство Е такое, что 1) Е с: Е\ 2) (VxE £): || х||/; = || х Ц^; 3) Е всюду плотно в Е. Пространство Е называется пополнением пространства Е.

Д о каз а те л ьс т во. проведем в несколько этапов.

. Две фундаментальные последовательности (х„)"=| и (yrt)n=-i элементов Е назовем эквивалентными (и запишем (xn),Xi ~ (ул)”=1),

если lim || хп — уп || = 0. Проверим, что отношение ~ рефлексивно, симметрично и транзитивно. Очевидно, в проверке нуждается лишь транзитивность. Пусть (хп)-—(</„), (Уп) ~ (гп). Тогда Нт || хп— — Уп || = 0 и Нт || уп — zn II = 0. Но в силу неравенства треугольника

II Хп — 2п || =|| (Хп уп) + (Уп zn) || < || Хп Уп || "Г II Уп Z„ ||,

откуда Нт || хп — М = 0, т. е. (х„) ~ (гп). Транзитивность доказана.

Таким образом, множество всех фундаментальных последовательностей элементов Е распадается на классы эквивалентных последовательностей. Множество этих классов обозначим через Ё и покажем, что Е является искомым_банаховым пространством.

. Покажем прежде всего, что Ё можно наделить структурой линейного пространства. Для этого нужно определить в Е операции сложения и умножения на скаляр и проверить свойства этих операций. Пусть х, у Е Ё и пусть (xn)n=i €х, (Уп)п=1 ^у — некоторые последовательности из этих классов. Поскольку (x„)”=i, (yn)n=i — фундаментальные последовательности, то и последовательность (хп+уп)п=ь очевидно, также фундаментальна. Поэтому она входит в некоторый класс, который мы обозначим через х + у. Проверим корректность этого определения, т. е. его независимость от выбора представителей классов х и у. Пусть (xlj^i Е я, (yk)n=i ^у- Тогда по определению классов (хп)~(хп) и кУп)~<у’п), т. е. Цх„ — ХпЦ->-0 и || уп — z/n||-*0. Воспользовавшись неравенством треугольника получаем

II кхп 4* Уп) ^Хп + Уп) || = II (Хп Хп) ”4 кУп Уп) || ^ II Хп Хп || 4" || Уп Уп II ~* 0>

поэтому (Хп 4- Уп) ~ (4 4- Уп), Т. е. (х„ 4* y'n)n=i Е^4- У, что и доказывает корректность определения сложения.

Пусть к £ К, х £ Ё. Возьмем любую последовательность (хп)”=1 £ х. Поскольку (xn)n=i фундаментальна, то и последовательность (кхп)п=х также фундаментальна, так как || кхт—Ххп|| = |Х| || хт — х„||. Поэтому (Хх„)п”=1 принадлежит некоторому классу, который мы обозначим через кх. Проверим корректность этого определения. Еели (х;)~=1Ех, то (хп)~-(х„), т. е. ||х„ — х; ||-> 0. поэтому и || кхп — кх'п || -> 0, т. е. (kxn)~Vkx'n). Следовательно, (kx'n)n=i Е Хх, т. е. кх не зависит от выбора последовательности ^хп)п=\ Е х.

Выполнение перечисленных в определении 2.1 свойств операций в Ё непосредственно следует из того, что они выполняются в Е. Итак, Ё— линейное пространство.

Выясним, в частности, какой класс играет роль нулевого элемента б в Ё. Этот элемент определяется условием х 4~ 0 = х

(Vx£E). Взяв (х,,)+лЕх, получим отсюда, что класс б содержит стационарную последовательность (0, 0, . . .).

. Введем в пространстве Ё норму. Для заданного х^Ё выберем некоторую последовательность (xJ^iEx. В силу второго неравенства треугольника

I II хт II II Хп || | < || Хт Ха ||,

поэтому из фундаментальности последовательности (xn)”=1 с Е следует, что числовая последовательность (|| х„ Ц)п=1 фундаментальна, поэтому она сходится. Положим

def_

Цх]|^ = lim||x„||£ (х^Е\ (х„)”=+х).(4.1)

Независимость этого определения от выбора последовательности (хп)"=1 Е х следует из того, что если (xJn=i £ х, то в силу второго неравенства треугольника

III *п|||| Хл II | < || хпхп || —>0.

Проверим, что формула (4.1) действительно определяет норму на Е, т. е. что выполняются свойства 1) — 3), перечисленные в определении 3.1. Очевидно, ||х||г>0. Пусть ПхП^ = 0. Это означает, в силу (4.1), что

0 = Нт || х„ || = Нт||хл —0||, П-* ООП-* со

т. е. (хл)— (0, 0, . ..). Таким образом, класс х содержит стационарную последовательность (0, 0, . . .), т. е. х=б.

Переходя к пределу в соотношениях || Ххп || = | X | • || хп || и II Хп + Уп\\ <|| х„|| +11 Уп\\, получим || U|| = |Х| • ||х|| и II х + у|[ < <11^11 + 11^11.

. Покажем, что пространство Е можно рассматривать как часть Е. Каждому х £ Е можно постави ть в соответствие некоторый класс х^Ё, а именно тот класс, который состои т из последовательностей, сходящихся к х (и, в частности, содержит стационарную последовательность (х, х, ...)). При этом ио формуле (4.1)

||х]|5 = Hm||Xn||/;- = || X Цс.

Поэтому естественно отождествить элемент х^Е с классом хЭ(х, х, . . .). Тем самым Е можно рассматривать как часть Е.

. Покажем, что Е всюду плотно в Ё. Возьмем любой класс х^Ё и произвольное е>0. Нужно показать, что в шаре Ве(х) найдется хоть одна точка из Е. Возьмем некоторую последователь, ность (x„)n=i £ х. Поскольку она фундаментальна, то существует

такое N, что при п > N имеет место неравенство || хп—хт^Е<2‘ Тогда при п> N имеем

II1 Ic- = h'm || хп — хт ||£ < | < е,

т. е. хп£Вв(х) (Vn>Af).

. Покажем, наконец, что пространство Е полно. Пусть задана фундаментальная _ последовательность (xn),?=i с Ё. Поскольку Е всюду плотно в Е, то для каждого хп можно найти такой хп £ Е, что || Хп — хп || < \!п. Покажем, что последовательность (xn)n=i фундаментальна. Действительно,

II Хщ Хп II = II (х,п Хщ) + (хт Хп) + (Хп — Хп) II < II Хщ — Хт || +

4" II Хщ ^п || 4- || Хп ■ Хп || < |[ Xm — ^ II 4“ ~ "Г ” ,

и фундаментальность (xn)n=i следует из фундаментальности (Хп)”=г Обозначим через х класс, содержащий последовательность (Хп)4-ь Очевидно, limxn=x. Тогда имеем

II Хп Я || С || Хп Хп || + || Хп — X || < -^ -|- || Хп — X ||.

Поэтому Ига хп = х, т. е. (xn)4=i — сходящаяся последовательность . ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Е — банахово пространство, L с Е — линейное многообразие. Доказать, что пополнение L по норме Е совпадает с замыканием L.

Пусть в линейном нормированном пространстве Е имеется линейное многообразие Е, которое в норме Е является полным пространством. Доказать, что L — подпространство Е.

Дне нормы || • |li и || • ||2 в линейном пространстве £ называются эквивалентными, если (Н« >0) (ДР > 0) (VxG £): а Ц х |!t < ||х i|2 « Р || х l|v Доказать, что если на Е заданы две эквивалентные нормы, и в одной из них Е — банахово пространство, то Е является банаховым и в другой норме.

Доказать, чю если на Е заданы две эквивалентные нормы || • ||х и || • ||2 , то пополнения Е в || • ||j и || • П2 совпадают.

Доказать, что две нормы, введенные на одном линейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда, когда из сходимости последовательности по одной из этих норм вытекает ее сходимость по другой норме.

Являются ли эквивалентными а) на С ((а, 61) нормы из упр. 3.5 а) и 3.5 в); б) на С1 ([а, 6]) нормы из упр. 3.6 а) и 3.6 д)?

§ 5. ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Во многих случаях норму в линейных пространствах можно вводить, как в евклидовом пространстве, через скалярное произведение. Рассмотрим этот способ введения нормы.

Определение 5.1. Говорят, что в комплексном линейном пространстве Н задано скалярное произведение, если каждой паре элементов х, у £ Н поставлено в соответствие комплексное число (х, у) так, что выполнены следующие аксиомы-.

(Vx ^ Я): (х, х) > 0, причем (х, х) = О х = О;

(V^, Х2 £ С) (V^i, х2, у^Н): (Х^Н- Х2х2, у) = Xi (х!, у) + + Х2 (х2, у) (линейность по первому сомножителю);

(Vх, у ^ Ну. (х, у) = (у, х) (эрмитовость).

В вещественном линейном пространстве скалярное произведение (х, у) — вещественное число, удовлетворяющее условиям 1) и 2) (Хр Х2 Е R) и условию 3') (Vx, у ^ Ну. (х, у) = (у, х) (симметрия).

Определение 5.2. Линейное пространство, снабженное скалярным произведением, называется предгильбертовым.

Конечномерное вещественное предгильбертово пространство называют также евклидовым, а комплексное — унитарным.

Установим некоторые свойства скалярного произведения. Мы будем рассматривать комплексные пространства, поскольку всегда ясно, какие изменения происходят в случае вещественного пространства.

Антилинейность по второму сомножителю

(VXp Х2 £ С) (V х, ут, у2 G Н): (х, Ххуг 4* Х2у2) = Хг (х, yj + Х2 (х, у2).

Доказательство. Из аксиом 3 и 2 получаем

(х, Х^у^ 4- Х2у2) = (Х^у^ 4- Х2у2, х) = Xi (ух, х) 4~ Х2 (у2, х) =

= Хт (х, yj 4- Х2 (х, у2).

Ясно, что в вещественном пространстве скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. ■

Неравенство Коши — Буняковского

(Vx, у^Н)Ц(х, у)|2<(х, х) (у, у).(5.1)

Доказательство. В том случае, когда хотя бы один из элементов х, у равен нулю, неравенство очевидно. Пусть у ^ 0. Найдем такое X, чтобы (х — Ху, у) = 0. Из этого равенства находим (х, у) — X (у, у) = 0, откуда X = (х, у)/(у, у).

Теперь в силу аксиомы 1) имеем

0 с (х — Ху, х — Ху) = (х — Ху, х) — X (х — Ху, у) = = (х — Ху, х) = (х, х) — X (у, х) = (х, х) — |(х, у)|2/(у, у),

откуда Кх, у)|2 с (х, х) (у, у). ■

Теперь легко снабдить предгильбертово пространство структурой линейного нормированного пространства. Для любого х^Н определим его норму || х ]| формулой

def

||х|| = /(х, х).(5.2)

В этих обозначениях неравенство Коши — Буняковского принимает вид

(Vx, у^НУД^х, у) |с ||х|| • ||у||.(5.3)

Теорема 5.1. Предгильбертово пространство, в котором введена норма равенством (5.2), является линейным нормированным пространством.

Доказательство заключается в проверке аксиом нормы в определении 3.1. Первое свойство нормы непосредственно следует из аксиомы 1) скалярного произведения. Проверим однородность:

Хх || = КМ Хх) = ^"(х, х) = V | X |2(х, х) = | X | • || х ||.

Докажем неравенство треугольника. Для любых х, у Q Н имеем

II х + у ||2 = (х + у, х + у) = (х, х) + (х, у) + (у, х) + (у, у) = = II х||2 + 2Re(x, У) + ||у ||2 < || х ||2 + 21 (х, у)| + ||у||2, откуда, воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского, получаем

II х + у Н2 < || х Ц3 + 21| х || • || у || +1| у И2 = (|| х || + || у ||)2, т. е. ||х + у || <||х|| +||у ||. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что знак равенства в неравенстве Коши — Буняковского имеет место в том и только в том случае, когда х = Ху, где % 6 ©.

Доказать, что для любых х, у £ Н справедливо равенство параллелограмма

lix+y||2 + ||x-y||2 = 2(||x||2 + ||y||+(5.4)

Доказать формулу

(х, У) = y (II х + У II2 - II х - У II2 + П1 * + iy ||2 - i || х - iy И2).(5.5)

Пусть Е — линейное нормированное пространство, в котором для любых х, у выполняется равенство (5.4). Показать, что а) формула (5.5) задает иа Е скалярное произведение; б) Е — предгильбертово пространство <=> каждое двумерное подпространство Е является предгильбертовым.

Поскольку предгильбертово пространство является линейным нормированным пространством, то в нем можно рассматривать понятие полноты по норме, определенной скалярным произведением.

Определение 5.3. Предгильбертово пространство, полное относительно нормы ||х|| = V (х, х), называется гильберто вым пространством.

Примеры предгильбертовых и гильбертовых пространств приведены в следующих параграфах.

Теорема 5.2 (о пополнении предгильбертова пространства). Для любого предгильбертова пространства

ПО

Н существует гильбертово пространство Н (пополнение Н) такое, что Н а Н, Н всюду плотно в Н и (х, у)н = (*. у)н ^х, у £ Я).

Доказательство. По доказанному в теореме 5.1 Н является линейным нормированным пространством. Поэтому в силу теоремы 4.2 существует банахово пространство Н, являющееся пополнением Н. Введем в Н скалярное произведение и покажем, что Н является искомым гильбертовым пространством.

Пусть х, у ЕН, т. е. х, у—классы фундаментальных последовательностей. Выберем в этих классах некоторые последовательности (Х„)Х1 Е X, (Уп)п=1 ЕМ положим

def

(х, y)„ = lim(xn, у^н.(5.6)

Покажем, что это определение корректно, т. е. что предел в правой части (5. 6) существует и не зависит от выбора представителей классов х, у. Рассмотрим числовую последовательность ((х„, у„))п=л и покажем, что опа фундаментальна. Действительно,

К хт, Ут) — (Хт Уп) I С I (Хт, Ут) ^Хт> Уп) | 4" | (хт, Уп) (^п, Уп) I — — | (Хт. Ут — Уп) | "4" I (.Хщ — Хп, уп) | С || Хт || * || Ут Уп^ 4*

+ II Хщ Хп || • || уп ||.

Поскольку фундаментальная последовательность в метрическом пространстве ограничена, то существует такое с >0, что

| (Хщг Ут) (Хл, Уп) | ^ С ( || Хт : Хп || 4* [| Ут Уп 11 )>

и из фундаментальности последовательностей ^х^п=\ и Е,Уп)п=\ следует, что числовая последовательность ((хш у^)п=\ фундаментальна, поэтому предел в (5.6) существует. Покажем, что он не зависит от выбора представителей классов. Пусть также Ех’п)п=\ Ex, (Pn)£=iEy. тогда аналогично предыдущей оценке имеем

I (хп, Уп) — (^п> Уп) | ^ II ^п II ‘II Уп ■— Уп 11 "I" II хп Хп II • II Уп II С С ( || Хц — Хп II 'I || Уп Уп || ).

Поскольку (х„)~(х;) и (Уп)~(Уп), то последнее выражение стремится к нулю, поэтому lim(xn, уп) = Hm(Xn, у'„), и корректность

П-юоП-*оо

определения (5.6) доказана.

Проверим, что (х, у)^ удовлетворяет аксиомам скалярного произведения. Понятно, что (х, х)^ > 0 как предел последовательности неотрицательных чисел. Если х = 0, то (0, 0^...)£х и, следовательно, (х, х)„ = 0. Обратно, если 0 = (х, х)^ = 1 im (х„, хп) = = lim || х„||а, то (х„)~(0, 0, . . .), т. е. х = 0. Выполнение аксиом 2 и 3 очевидно.

Если теперь ввести в Н норму по скалярному произведению II х|| = У\х, х)„, то

|| X ||й = /lim(x„, х„) = НтТ/ЧкЛР = Нт || хп ||,fl-юоП-*ООп^-со

г. е. эта нор_ма совпадает с нормой в банаховом пространстве Н. Поэтому Н — гильбертово пространство.

Отождествим элемент х£Н с классом Зс^Н, содержащим ста. ционарную последовательность. Тогда можно считать, что НсгН. При этом для любых х, у^Н имеем

(^ У^н = (*- УУ = Hmtx, д')» = (х, уу.

Плотность Н в Я непосредственно следует из теоремы 4.2. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что в комплексном предгильбертовом пространстве Н справедливы равенства:

N

(х, у) = у 2 II х + e^Ny ||2 e^MN, N > 3.

к=1

2л

(х, у) = ^ j II X + et6y II2 el0dO.

О

Доказать, что в предгильбертовом пространстве: а) для любых элементов х, у, г имеет место тождество Аполлония

||г-х||2+||г-у||2 = 1||х-у||2 + 2||г-^||2;

для любых элементов х, у, г, и имеет место неравенство Птолемея

V.x-Z II- И J/ —V IK II х— г/Ц . II г-у |]+ || у-г II . |[ X—v ||.

Проверить выполнение аксиом скалярного произведения, если:

H = <DN, (х, у) — £ xkyfe-,

к=Л

b

Н^С ([а, 6]), (х, ,/)'= { х (ОТТО dt. а

Являются ли эти пространства гильбертовыми?

КВАЗИСКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

И ПОЛУНОРМЫ

Рассмотрим одно обобщение понятия скалярного произведения.

Определение 6.1. Пусть Н — комплексное линейное пространство и пусть каждой паре элементов х, у Q Н поставлено в соответствие комплексное число (х, у) таким образом, что выполняются все аксиомы скалярного произведения, за исключением условия (х, х) =

= 0 =♦ х = 0. Тогда (х, у) называют квазискалярным произведением.

Легко видеть, что квазискалярное произведение антилинейно по второму сомножителю и удовлетворяет неравенству Коши—Буня- ковского.

Рассмотрим множество L — (х£//|(х, х) = 0). Из неравенства Коши — Буняковского сразу следует, что если хотя бы один из векторов х, у входит в L, то (х, у) = 0. Покажем, что L — линейное множество. Действительно, пусть х, y_^L, X, у £ (С, тогда (Хх 4- цу, Хх + ру) = | Xj2 (х, х) + Хр (х, у) + Хр(у, х) + |р|2(у, у) = = 0, т. е. Хх + py£L.

Назовем элементы х, х' £ Н эквивалентными (х ~ х'), если х — х* £ L. Из линейности L сразу следует, что отношение ~ рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности. Рассмотрим совокупность классов смежности по этому отношению, т. е.фактор-пространство HIL. В HiL естественным образом вводятся операции сложения и умножения на скаляр: суммой X + У классов X, Y £ Л/L назовем класс, содержащий век- тор х + у (где х £ X, у £ У). Аналогично через XX обозначим класс, содержащий элемент Хх(х£Х). Из линейности L легко следует, что это определение операций корректно, т. е. не зависит от выбора представителей классов. Непосредственно проверяется также выполнение свойств этих операций. Отметим, в частности, что роль нулевого элемента в HiL играет класс L. Итак, HiL — линейное пространство.

Введем теперь в HIL скалярное произведение. Положим (X, YVijl = (х, у), где х£ X, у £ У. Проверим корректность этого определения. Пусть также х' £ X, у' £ Y. Тогда (х, у) — (х', у') = = (х, у) — (х', у) 4- (х', у) —■ (х', у') = (х — х', у) 4- (х', у —у') = = 0, поскольку х — х',у— y'^L. Следовательно, (х, у) — = (х', у'), т. е. приведенное определение корректно. Ясно, что (X, Y^HJL—квазискалярное произведение. Покажем, что оно является скалярным произведением. Пусть (X, Х^щь = 0. Это означает, что (Vx £ X): (х, х) = 0, т. е. х £ L. Таким образом, X = L, т. е. X — нулевой элемент в HiL.

Таким образом, по линейному пространству Н, снабженному квазискалярным произведением, всегда можно построить фактор- пространство HiL, явл.яюшееся предгильбертовым. ■

Определение 6.2. Функцию Е Э х i-* || х]| £R, заданную на линейном пространстве Е, называют полунормой, если она удовлетворяет всем аксиомам нормы (определение 3.1), за исключением условия ||х|| = 0 х = 0.

Легко видеть, что если (х, у) — квазискалярное произведение, то Цх|| = V(х, х) является полунормой. Примеры полунорм и квазискалярных произведений будут рассмотрены в последующих параграфах.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть || х || — полунорма на линейном пространстве Е. Доказать, что:

L = (х С Е 11| х11 = 0} — линейное множество;

отношение х ~ х', если х — x'^L, является отношением эквивалентности;

функция || X Weil = Их II (х6^) является нормой на фактор-прост- ранстве E(L.

Проверить выполнение аксиом квазискалярного произведения, определить множества L и H/L, если: a) H = <DN, (х, у) = £ а^пУп* гДе (“i- — П=1

.... а^} —фиксированный набор неотрицательных чисел; б) Я = С ([а, 6]), а+Ь

2 6

(х, у) = j х (0 у (?) di; в) Н = С ([а, У]), (х, у) = j р (/) х (0 7(0 dt, где р(0>0 (t G [а, 6]) — фиксированная функция из С ([а, 6]).

Проверить выполнение аксиом полунормы, определить множества L и E1L, если : а) Е = С1 ([а, 6]), ||х|| из упр. 3.6, б); б) Е = С1 ([а, 6]), || х|| из упр. 3.6, в).

Пусть Е — линейное нормированное пространство, не предполагаемое полным, и F — его подпространство. Доказать, что если F и EIF — банаховы пространства, то и Е — банахово.

ПРИМЕРЫ БАНАХОВЫХ

И ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Пространства ^w и IR^. Рассмотрим различные способы нормировки линейного пространства С" упорядоченных наборов (*i> х2, ... , хм), Х/^ф. Для IK" эти рассмотрения совершенно аналогичны.

для х = ^xv . .. , xn) и у = (t^у^ введем скалярное произведение по формуле

n —

(х, у) = £ Х,уь

Легко видеть, что аксиомы скалярного произведения выполнены. Это скалярное произведение порождает норму

N

введем в ф^ норму

N

IIX111= S |Х/|.

/=1

Аксиомы нормы здесь, очевидно, выполняются;

обобщая рассмотренные в а) и б) нормы, можно при любом р >■ 1 рассмотреть норму

N

11х||, = (£ |х/№

Первые две аксиомы нормы, очевидно, выполняются. Неравенство треугольника следует из неравенства Минковского для сумм:

NNN

(S I Xi + Ui Wp < (SI Xi № + (Ц | у/ Wp.

i=i/-i/-I

Это неравенство доказывается совершенно аналогично неравенству Минковского для интегралов, которое доказано в следующем параграфе. В частности, при р = 1 и р = 2 мы получаем нормы из п. а), б);

наконец, пространство (Dw можно снабдить нормой

||x||0 = max{|x/||/ = 1, ... , N).

Выполнение аксиом нормы здесь проверяется непосредственно.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что ||x||0=lim || х ||р.

Доказать, что сходимость в CN по любой из рассмотренных норм вквивалеитна покоординатной сходимости. Отсюда, в частности, следует, что пространство ©N полно по любой из этих норм.

Изобразить сферы Sj (0) в IR и IR в каждой из норм || х ||0, || х ||а, ||х|)2.

Доказать, что при любом р >• 1 существуют положительные постоянные ср и с’р такие, что

ср |! х ||0 < || х\\р<Ср П х ||0,

т. е. нормы || • По и || • ||р эквивалентны (см. упр. 4.3). Доказать, что все нормы в эквивалентны.

-+xn . .. , х^ЕС" и наоборот. Таким образом, в этом случае С (Q) = С" с нормой ||х||0, рассмотренной в и. 1г).

Пространство М (R). Пусть 7? — произвольное множество (вообще говоря, не наделенное топологией). Обозначим через М (R) совокупность всех ограниченных функций

R^q -*x(q^(£.

Очевидно, М (R) — линейное пространство. Введем в этом пространстве норму

||x|| = sup{|xto)||<7E^}.

Выполнение аксиом нормы проверяется непосредственно. Проверим, например, аксиому треугольника. Очевидно,

VMRy\xiqHyW< IxMl + |у(<?)1 <1ИЖ1у\1, поэтому

II х + у || = sup {| х(^) + у ((/) || q^R} <|| хII + 11 уЦ. ■

Теорема 7.1. Пространство М (R) полно, т. е. является банаховым пространством.

Доказательство. Пусть (x„)”=i— фундаментальная последовательность в М (R). Тогда при каждом фиксированном q^R числовая последовательность (xn(y))^°=i фундаментальна, поскольку (V т, п Е И) • | х„ (q) — хт (у) | < || хп — хт ||. Поэтому при каждом q^R существует предел x(q) = limx„ (q).

Покажем, что x^M^R") и x = limxn, т. е. ||х„— х||->-0. Пос

кольку последовательность (x„)“=i фундаментальна, то (Ve>0 (HN (e))(Vn, т > N ^ ! ||х„ — xm || <е, т. е. (VyE R) $ |х„ (<?) — — хт(у)|<е. Переходя в последнем неравенстве к пределу при zn-^oo, получим

(Vn>W (e))(V?Etf)i|My)-x(<7)l<8.(7.1)

Кроме того, поскольку последовательность (x„)”=i фундаментальна, то она ограничена по норме, поэтому (Зс> 0)(Vn) 1||хп||< < с, т. е. (VyE Ry. |х„(у) | < с. Тогда

(Vy Е R): | х (q) | < | х„ (q) | + | х (q) — хп (q) | < в + е, а это означает, что x^M^Ry Теперь из (7.1) следует, что

(Ve > 0) (Л^ (е)) (Vn > N (е)) • || х„ — х || с е,

т. е. х = limxn. ■

Замечание 7.2. Пусть Q — компакт. Рассмотрим пространства C(Q) и M(Q). В силу теоремы Вейерштрасса C(Q)^M(Q). Кроме toro, если xEC(Q), то Цх||лг(о) = || х||с(С). А поскольку C(Q) линейно и замкнуто (так как C(Q) полно), то C(Q) является подпространством М (Q).

Пространство Cm(G). Пусть G— ограниченная область пространства IR'V, G — ее замыкание. Обозначим через Cm(G) линейное множество всех функций

G3q^ x^Q^,

имеющих на компакте G непрерывные производные до порядка т включительно. Это означает, что каждая такая функция х является сужением на G функции у£Ст(5<№). Норма в этом пространстве определяется так:

||х|1 = max{|(Dax)(?)||7eG, |а| cm}.

Здесь используются обозначения

а = (ар . . . , ад?), | а | = аг + • • • + «м,

D“ = D?1 ... Da* Di =

N 1 dq.

Упражнение 7.6. Доказать, что Cm (G) с указанной нормой является банаховым пространством.

Пространство С” (G). Пусть, как и в предыдущем примере G— ограниченная область в IRV. Обозначим через С°° (G) множество всех бесконечно дифференцируемых в G комплекснозначных функций. Понятно, что это линейное пространство. Для x£C~iG^ определим серию норм

II -'-II т ~ II X Пст(С) (m = ®, L 2,...).

Ясно, что || х ||0 с || х||х с ... По этой серии норм в C”(G) можно выделить следующую систему окрестностей:

S = {^ (хо> т, е) | х0 £ С” (G); m = О, 1, ... ; е > 0}, где

Щх0, т, е) = {xgC“ (G)]|| х — x0||m<e}.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что (С°° (G), X)—линейное топологическое пространство.

Введем в С” (G) метрику по формуле

\Ч 1 Нх-Д1т

Р(Х, У) 2'"" 1 + Цх-уЦт’

/и=»0

Показать, что сходимость х,-> х по этой метрике эквивалентна сходимости в смысле топологии 2.

Доказать, что в С” (G) нельзя ввести норму ||х|| так, чтобы сходимость || хп—х||-*0 была эквивалентна р (хп, х)~+0 (т. е, С°° (G) не является линейным нормированным пространством).

N

Доказать, что при р< 1 и N > 2 ||хЦр = (У| I-^ |PWP ие является /=1

нормой в ©\

Обозначим через Lipa([a, 6]) линейное пространство функций, удовлетворяющих на [а, 6] условию Гельдера (или условию Липшица с показателем а): | х (^) — х (<?')| <M\q — q' |а, aG(0, 1]. Доказать, что: a) Lipa([a, 6]) является банаховым пространством относительно нормы || x||a = шах (| х(^) 11 q^Va, 6]} +$up ( I * (?) — к (q') | • | q — q* Г“ |^, q' G [a, 6], q + q’Y, 6) Lipa ([a, 61) является подпространством C ([a, 6]); в) ||. [[„ и || . |(С([а< ь]) на Lipa([a, 6]) не эквивалентны.

Положим для х G Ст (5): || х ||i = У max {l(Dax) (q)ll qG G, !«]=/}, /=о

ll*l|a“(S ™ах{|(О“х)(?)|2| qGG, |a| = /})1/2. Доказать, что |j . Ц^ || • 11»

являются нормами иа Ст (G), эквивалентными введенной в п. 4.

Какие из введенных в упр. 3.6 норм на С1 ([a, 6]) эквивалентны норме из п. 4?

§ 8. ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ. ПРОСТРАНСТВА 1Р

Неравенства Гельдера и Минковского. Определение пространств Lp. Пусть (R, 9$, р) — пространство с о-конечной мерой и р > 1. Измеримая функция xi R^q'^x^q^l^ называется суммируемой с p-и степенью, если

$i^toipdp(^ < оо.(8.1)

R

Совокупность всех таких функций обозначается Lp(/?,dp) или короче, Lp. Если, в частности, R с IR^ и ц — мера Лебега, то это пространство обычно обозначают через Lp (R). Ближайшая цель — показать, что Lp — линейное пространство (с естественными операциями сложения и умножения на числа), и снабдить это пространство нормой. Всюду в дальнейшем для р>1 мы будем через р' обоз-

условия 1/р + 1/р' = 1.условия 1/р + 1/р' = 1.начать так называемый сопряженный показатель, определяемый из

условия 1/р + 1/р' = 1.

условия 1/р + 1/р' = 1.

ар ьр*ар ьр*(8.2)(8.2)Лемма 8.1 (неравенство Юн- г а). Для любых а, 6 > 0 u р > 1 имеет место неравенство

ар ьр*

ар ьр*

(8.2)

(8.2)

Доказательство. Рассмотрим в первом квадранте плоскости gOq кривую ц = ^■1 (рис. 7) и вычислим площади Sj и S2 криволинейных треугольников, огра-

ниченных этой линией, осями координат и прямыми g = а, т] = Ьх

о

b ,b

S2 = J n^"1 d^ = J 'if'”1 dn = у .о0

Теперь (8.2) следует из очевидного неравенства ab с 5г + S2. ■ Теорема 8Л (неравенство Гельдера). Пусть р">\.

Тогда (yx^Lp^Vy^Lp-y-xy^Lt и имеет место неравенство

$ I х (<?) У G?) №(<?)<($ |x((/)|Pdpto))1/P(J |y(g)|P'dp^^ (8.3)

RRR

Доказательство. Положим в неравенстве Юнга (8.2)

а = |х|Ц | х |" dp)-I/P, b = \у |(J |у \р' dp)~V₽ RR

и проинтегрируем полученное неравенство. Получим

j l^ldpy |x|Pdp) (j|y|pdp) =± + - = 1, ЯRR

откуда и следует, что j |xy|dp<oo, т. е. xy£Lv и имеет место R

неравенство (8.3). ■

Теорема 8.2 (неравенство Минковского). Пусть р i> 1. Тогда Ух, y£Lpyx A- y£Lp и имеет место неравенство

(J \х(д^ А- у(дИрМяУУ'Р <(J l*(7)lpdp(^))1/₽ +RR

+ ($l^)lpdp(<7)y/P.(8.4)

R

Доказательство. При p — 1 утверждение теоремы тривиально. Пусть /?>1, тогда включение х-Vy^Lp, т. е. суммируемость |х + у|Р, следует из неравенства (а + Ь}р < с(ар + Ьр), где а, b — произвольные неотрицательные числа, с—некоторая константа, зависящая от р. Далее

J]x + ylpdp = J|x + y] • | х + ур-1^ С

RR

<фх|« Ix + yl"-1 dp + j|y| -Ix + yl^dp. (8.5) RR

Поскольку (р — V) р' = р, то, применив к каждому из слагаемых правой части (8.5) неравенство Гельдера, получим

j |x + y|pdp<(^ |x|pdp)1/P(j |х + у\М\1УР +

RRR

+ ($ 1у№)‘/р($ |x-f- y\Pdy.yp ,

RR

и для завершения доказательства достаточно разделить обе части полученного неравенства на (J |х + у\Н^,Р • ■

R

Вернемся к введенному в начале параграфа пространству Lp^R, dp). Из теоремы 8.2 следует, что это пространство линейно. Для x^Lp(R, dp) положим

1И1р = (j |x(<?)p’dp(<7))1/P.

R

Легко видеть, что ||х||р>0, ||Хх||р = | Х| • ||х||р, а из неравенства Минковского (8.4) следует, что ||х + у ||р с ||х||Р + II У\\р- Таким образом, || х ||р удовлетворяет всем аксиомам нормы, за исключением условия ||х ||р = 0=>х = 0. Действительно, из того, что j | х (q) |р dp (q) = 0, следует лишь, что x(q) = 0 (mod р). Итак, R

||х||р— это не норма, а полунорма (см. § 6).

Обозначим через L линейное множество {x£Lp(R, dp) ||| х ||р=0) и рассмотрим фактор-пространство Lp/L. Для X^LP/L положим ||Х \\LpiL = ||х||р <х^Ху Это определение корректно, и ||X||£p/L является нормой па LplL (см. упр. 6.1). Таким образом, Lp/L— линейное нормированное пространство, нулем этого пространства является класс функций, равных нулю p-почти везде. В дальнейшем пространство Lp/L будем обозначать через Lp, его элементы (т. е. классы) будем называть функциями, суммируемыми с р-й степенью. Сходимость по норме пространства Lp обычно называют сходимостью в среднем степени р (в частности, при р = 2— в среднем квадратичном, при р= 1—в среднем).

Теорема 8.3. Пространство Lp при любом р > 1 полно, т. е. является банаховым пространством.

Доказательство проведем в три этапа.

. Докажем сначала теорему для случая р = 1. Пусть задана фундаментальная последовательность ^хп^\ cl LX^R, dp). Нужно доказать, что существует такой элемент х^Ьг(Д, dp), что lim |1 х„ — х||! = 0. Поскольку последовательность (xn)X=i фундаментальна, то достаточно показать, что она содержит сходящуюся подпоследовательность. Эту подпоследовательность мы выберем следующим образом. Так как (х„),Г=1 фундаментальна, то lim||x,t—

— xm J], = 0, поэтому существует такая последовательность индексов пх < п2 < ... , что

(V/ € И): || xnw — хп. Ili= J IXnW (q) — xnj(q) \dp(q)<^. (8.6) R

Рассмотрим функциональный ряд

хпА^ + ^пАч)-x^(7)) + (xnAq) — xnAqD A- ...»(8.7)

для которого хП1 (<?), x„a (у), . .. — частные суммы, и составим ряд из модулей членов этого ряда

|Ч(7)1Ж(7)-М7)1Ж(?)-*Л1(7)1 + •••(8.8)

Члены этого ряда неотрицательны, и интегралы от его частичных сумм в силу (8.6) не превосходят ^ |хП1 |dp + ^= ^ | хП11 dp+l.

По следствию из теоремы Леви ряд (8.8) сходится p-почти везде к некоторой суммируемой функции у (<?) > 0. Следовательно, и ряд (8.7) сходится p-почти везде к некоторой функции x^q), т. е. хп/(<?)-> х(^) (mod р).

Остается показать, что x^Lx и \\xnj— х^-^О при j->oo. Поскольку последовательность (хД'Е] фундаментальна, то при фиксированном е>0 при достаточно больших I, j

I xnj хщ | dp = || хп. Х^ || ^ <^ 8. R

Воспользовавшись леммой Фату, перейдем в этом неравенстве к пределу под знаком интеграла при I ->оо. В результате получим

^ | х„. — х | dp с 8.

R

Отсюда следует, что хП(— x^Lv поэтому и х = xnj— (xnj— x)^Lx и lim||xn. — х||1 = 0, и полнота пространства Lx доказана.

. Пусть р> 1 и мера р конечна. Если (xn)“=i dLp^R, dp) — фундаментальная последовательность, т. е. Цх,,—хт||р->-0 при т, п-*оо, то в силу неравенства Гельдера имеем

II хп — xm||T = j |хп — xm|dp с (^| хп — xm\rdpYP XrR

x($dpy/P' = ||x„-xm||p(p(/?))'/p', R

и, следовательно, последовательность ^хп)п=\ фундаментальна и в норме Lv. По доказанному в п. 1) существует подпоследовательность (Ли^р сходящаяся p-почти везде к некоторой функции x^q).

Поскольку последовательность (z„)”=i фундаментальна в норме Lp, то для фиксированного е>0 при всех достаточно больших /", / имеем

j| xnj — хП[ р dp < е. R

Применив лемму Фату и перейдя в этом неравенстве к пределу при I оо получим

4$ I*”/ — xpdp е,

R

поэтому x^Lp и ||x„ — х||р->0 при /->оо.

Поскольку последовательность (xn)~=i фундаментальна, отсюда следует, что Игл || х„ — х||р = 0, и полнота Lp в случае конечной меры р доказана.

. Пусть теперь р > 1 и р является о-конечной мерой. Из определения о-конечной меры следует, что

R=^Ri ^Rt^Ri=® ^ i*b ^^<«>\(8.9)

Пусть (xn)~=i a LP(R, dp)— фундаментальная последовательность. Тогда ясно, что каждая из последовательностей (x^)~=i фундаментальна в норме Lp(Ri, dp) (здесь х„ — сужение функции хп на Rt). Воспользовавшись доказанным в п. 2), мы можем из последовательности ^хп)~=1 выделить подпоследовательность ^j)7=i, сходящуюся p-почти везде на Rt к некоторой функции х1. Далее, из последовательности (x,)/Li выделим подпоследовательность ^)7=х» сходящуюся p-почти везде на Ra к функции х1. Продолжая этот процесс, мы сможем затем построить диагональную последовательность (ху)^, которая будет сходиться p-почти везде на R к функции х, определяемой условием

х(д) = x‘(q) при q£Ru

Остается проверить, что x^Lp^R» dp) и что ||хП;.— х||р->0 при /-^-оо. Это доказывается точно так же, как в п. 2). ■

Всюду плотные множества в Lp. Условия сепарабельности. Напомним, что топологическое пространство называют сепарабельным, если в нем имеется счетное всюду плотное множество. Следующая теорема поможет изучить вопрос о сепарабельности пространств Lp в зависимости от свойств меры р.

Теорема 8.4. В пространстве Lp^R, dp) всюду плотно множество S простых функций вида

п

X (q) = 5^ (а/ + iM ^Bj (<?),

где ар Р/— рациональные числа, В^^, причем р(В/)<оо.

Доказательство. Из определения a-конечной меры следует, что имеет место представление (8.9). Пусть х g Lp (R, dp). Согласно определению интеграла по о-конечной мере,

1И|£= $ |хр^ц= 2$ ИР^- (8Л°)

Л4=1 Rk

Поскольку ряд в (8.10) сходится, то

(Ve>0)(a^ = V(s)): ^ J I*l4<(l)₽-(8.Н)

4=^+1 Rk

N

Положим /?' = U Rk. Ясно, что р(Д')<оо. Если теперь положить 4=1

/х(<?), если x^R',xi — | 0, если х $ R',

то из (8.11) следует, что Ц х— хт ||р <2 е/4. Далее, согласно определению интеграла от неограниченной функции, найдется такая «срезка» х2 функции xv что !|*i— *2 Пр <7- Воспользовавшись определением интеграла от измеримой ограниченной функции, п

найдем такую простую функцию х3 = 2 с^вр что || х2— х3 ||р < -^ .

/=1

Наконец, числа С/£(С можно приблизить числами а, + 1'Р/(а/, P/CQ) так, что || S (с, — a/ — 1"Р/) Хву Пр < е/4, т. е. ||х3 —х4||р<

<е/4, где х4 = 5 ^1 + Ф/) Xb^S. Тогда

1|х— х4||р с || х — хг ||р + Ц x1 — x2||P + |ix2—x3||P +-Н II хь — х4 Пр < в. ■

Определение 8.1. Мера ц, заданная на измеримом пространстве (R, 91), называется сепарабельной, если существует такой счетный набор 91 = [A^ А2, .. .} измеримых множеств, что

(Vs > 0) (VВ G 31) (HAft С Я): ц (AfcAB) < е

(напомним, что А — знак симметричной разности).

Иными словами, сепарабельность меры ц означает, что сепарабельно метрическое пространство <91, р) с метрикой

р(А, В) = p(AAS).(8.12)

Сепарабельную меру называют также мерой со счетным базисом 21.

Сепарабельной является, например, мера Лебега на [а, 6). Для этой меры можно положить, например,

W = {U [«/. ₽/)!«/. P/GQ Л [а, ЬУ, п^М} /=1

(см. теорему 1.6.5).

УПРАЖНЕНИЯ.

Показать, что функция р, определенная по формуле (8.12), удовлетворяет аксиомам метрики, кроме р (Д, В) = 0 => А = В (ср. упр. 1.5.7).

Показать, что мера Лебега на IR'V сепарабельна.

Пусть р — мера на счетной алгебре Д'. Доказать, что ее продол же- ние р на о-алгебру измеримых множеств является сепарабельной мерой.

Следующая теорема показывает целесообразность рассмотрения класса сепарабельных мер.

Теорема 8.5. Если р— сепарабельная мера на измеримом пространстве (R, 91), то пространство Lp (R, dp) сепарабельно.

Доказательство. Покажем, что счетное множество простых функций

S' = 1^ (?) =£(«/ + ф,) Ха , (q) | а,, Р/ € Q, Л € «, р И/) < ~} /=1

всюду плотно в LP(R, dp). Возьмем сначала произвольное множество В £ 91. Тогда, по определению сепарабельности меры, (Vs>0)(3A/GSl);p(A,AB)<8₽. Но

Р(Л/ AS) = J Хлудв dp = ( | хл, — Хв| dp =RR

= $ | Ха, — Хв |р dp = || Ха, — Хв |^. R

Следовательно,

(Ve > 0) (ХВ £ 91) (ЗА/ С 91)! || Ха, - Хв ||Р < в. (8.13)

Теперь нетрудно доказать плотность S' в Lp. По теореме 8.4 для любого x^Lp(R, dp) и для любого е>0 найдется простая функция x^S такая, что ||х — х, ||р<е/2. Далее, из (8.13) следует, что для x,^S найдется такая простая функция x3^S', что П-Ч — х3||р<е/2. Тогда ||х — х2 ||р<е. ■

Рассмотрим наиболее часто встречающийся на практике случай, когда R = (R, р) — метрическое пространство.

Определение 8.2. Пусть R — метрическое пространство и а- алгебра 91 его подмножеств содержит все открытые множества. Мера р, заданная на (R, 91), называется регулярной, если

(УД £ 91); р (А) = sup [р (F) ] F с A, F — замкнутое^ == inf {p(G)|Go A, G — открытое^.

Легко видеть, что это определение эквивалентно следующему: (УД С ^) (Vs > 0) №, Ge): Fe □ A cz Ge, p (G8\F8) < e

(Fa— замкнутое, GB — открытое). Из теорем 1.10.4 и 1.10.5 сразу следует, что мера Лебега регулярна.

Упражнение 8.4. Доказать, что теорема Лузина (С-свойство измеримых функций) справедлива в любом пространстве с регулярной мерой.

Обозначим через С (R) пространство всех непрерывных на R функций. Вообще говоря, С (А?) ф Lp <R, dp) (например, константа не суммируема по множеству бесконечной меры), но пересечение

этих пространств непусто.

Теорема 8.6. Если мера ц регулярна, то С (R) f) Lp (R, dp) всюду плотно в LP(R, dp).

Доказательство. В силу теоремы 8.4 достаточно проверить,что функциями из С (R) можно с произвольной точностью приблизить индикатор Хл любого множества Д С 91 (ц (Д) <С оо)). Поскольку мера р регулярна, то для любого е>0 найдутся замкнутое множество Ег и открытое множество Gg такие, что Fa с А с Ge и р (Gg\Fg) < е. Рассмотрим функцию

хе (<?) =хе (<?) =(8.14)(8.14)Pto, Ge)р(<?. g8) +р(ч. ^8)

хе (<?) =

хе (<?) =

(8.14)

(8.14)

Здесь Ge = /?\Gg, а расстояние от точки до множества, как обычно, определяется формулой р(</, В) = inf(p(<?, s)|s£B}.

Функция хв непрерывна, поскольку р(-, •) — непрерывная функция и знаменатель в (8.14) не обращается в нуль. При этом Xe^q) равна нулю па Gg, единице на Fe и принимает значения из интервала (0, 1) на G8\F8. Кроме того,

^ Xg dp С j Хе dp С р (Ge) С р (Д) + 8 < оо,

RR

так что xE^.Lp^R, dp). Наконец, учитывая, что | Хд (<?) — xg (q) | < С 1(Vq€/?) и Ха (q) — хе (<?) = 0 па FB и Gg, получим

1|Хд — хЕ ||р = j ]Хд —X8]pdp < p(Gg\Fe) <8. ■ R

Упражнение 8.5. Пусть метрическое пространство R является объединением не более чем счетного множества компактов и пусть р — регулярная мера на (R, Ж), принимающая на компактах конечные значения (примером такой меры является мера Лебега на IRW). Доказать, что в Lp (R, dp) всюду плотным является множество Со (В) всех финитных непрерывных на R функций (непрерывная функция х (?) называется финитной, если она равна нулю вне некоторого компакта).

Различные виды сходимости в Lp. Элементы пространства Lp (R, dy) — измеримые функции, а для последовательностей измеримых функций ранее (в гл. II) изучались различные виды сходи-

мости. Выясним, как эти виды сходимости соотносятся со сходимостью хп (q) -> х (7) в среднем степени р, т. е. со сходимостью в норме Lp (R, dp).

Покажем прежде всего, что из сходимости хп-> х в норме Lp следует сходимость по мере xnd^x. Это следует из того, что для любого ст > О имеет место неравенство

j|xa— xpdp> j ] xn — x\pdp > ap p([<7i ]x„—х}>о}).

R{!*„—xl>a}

Напротив, из сходимости Хц-^х в норме Lp, вообще говоря, не следует сходимость p-почти везде. Действительно, рассмотрим последовательность (ф„)п=1, построенную в замечании II.4.1. Эта последовательность сходится к нулю по мере Лебега, но не сходится почти везде. Кроме того, из ее построения сразу следует, что если <р., = [кь то || ф„ Цр — -|, поэтому <pn->-0 в норме Lp.

Из сходимости ха-^-х (mod р) (а значит, и из х?1 -^-х), вообще говоря, не следует сходимость в норме Lp. Действительно, рассмотрим в Lp([0, 1], dq) (с мерой Лебега) последовательность хп = = ^0!^- Очевидно, (Vq£\0> 11) s хп (q) 0.

Но в то же время J | х(<7) )р dq = пр-х > 1, и поэтому хп+* 0 о

в Lp.

Пусть мера р конечна н /?г>р1>1. Покажем, что тогда LPz(R, dp)<=LPl{R, dp) и из сходимости х„~^х в норме LPt следует сходимость и в норме Lp .

Действительно, пусть z£LPi(R, dp). Применяя неравенство Гельдера (8.3) при р = p2)pv x(q) = \z(q)]p^Lp(R, dp), y(q)^l, получим

J I 2^• 1. dp c ($| г |P£‘dp)Pl/P* -(pWp' = ||г ||£ • (p(.R^’ < 00, RR

t. e. z^LPv(R, dp). При этом из последней оценки, очевидно, следует, что

II2 ||р, С С (pv р3)||2||Р!!.

Заменяя здесь г на хп— х, получим утверждение относительно сходимости.

Пространство 1Р. Пусть R = ^, 31 — совокупность всех подмножеств И, р — дискретная мера на (R, 31) такая, что (Vn^^)i I p({n}) = 1. Пространство Lp (R, dp) в этом случае обозначается через 1Р, его элементы — это функции, заданные на И, т. е. последовательности комплексных чисел (xq)p=\, для которых (см. § III.1, III.2)

f |x(q) l^dpM^ ^|Хр|р<оо.

Rq=\

Норма элемента х = (xv х2, . . .^Ip определяется по формуле

ЦхЦР = (2 1^|р)1/р.(8.15)

«=1

Из доказанной в общем случае полноты пространства L„ (R, dp) следует полнота 1Р, т. е. /р — банахово пространство.

Отметим некоторые свойства пространств 1Р. Легко видеть, что пространство 1Р сепарабельно — в нем всюду плотно счетное множество

5 = Wiгп, 0, 0, ...) | га С ©. 6 = 1,..., n; nGM}.

Сопоставим различные виды сходимости в /р. Совершенно ясно, что из сходимости х^ -* х в норме /р следует покоординатная сходимость:

(V<7€Rj):Hmx^) =xq.

При этом ясно, что покоординатная сходимость совпадает со сходи- димостью х(") -^-х p-почти везде, но не по мере р (см. пример 1.4.2). Вместе с тем из покоординатной сходимости не следует сходимость в норме /р. Действительно, рассмотрим последовательность элементов

х^ = (1, 0, 0, . . . ), х<2> = (0, 1,0,.. .), х^ = (0, 0, 1,0,.. .), ...

Ясно, что эта последовательность покоординатно сходится к элементу х = (0, 0, 0, ...) g 1р. В то же время эта последовательность не является фундаментальной, поскольку || х(т) — х(”) || = 2*/р при т^п. ■

Упражнение 8.6. Пусть р2>р1Эь1. Показать, что a) lpi с 1р; б) это включение строгое; в) из сходимости х("’ -► х в норме lpi следует сходимость в норме I.

Пространства L2^R,dp). Завершим изучение пространств Lp (Д, dp) рассмотрением случая р = 2. Для любых х, у ^L2{R, dp) в силу неравенства

U (у) у ^)\ С | (| х (г/)]2 + | у (7)|2)определена комплекснозначная функция

(х, у) = {x(<?)y(q)dp(<?).(8.16)

R

Легко видеть, что (х,р) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения и что ||х||2 = К(х, х). Поэтому пространство L2(R, dp) (и, в частности, 1г) является гильбертовым.

Функции, в существенном ограниченные. Пространство L№(R, dp). Пусть (R, fR, р) — пространство с мерой. Измеримая функ-

ция x;R-^-(0 называется в существенном ограниченной, если существуют с>0 и множество Д^Э? нулевой меры ц такие, что (Vq ^. Ау. \ х ^\ < с. Точную нижнюю грань таких констант с называют существенной верхней гранью функции x^q) и обозначают ess sup | х ((/)| (иногда применяют также обозначение vraimax| x(g)|). Таким образом,

def

ess sup I x (q)| = inf sup |x (<?)[.(8.17)

ЩЛ)=0 ^

Понятно, что любая в существенном ограниченная функция почти везде конечна. Однако, обратное неверно. Действительно, в случае ст-конечности меры и из теоремы о непрерывности для пересечений (см. §18) следует, что для ц-почти везде конечной функции х(<?) мера множества (|х (q)| >с} либо стремится к нулю при с-*- -4- + оо, либо бесконечна при любом с > 0. (Приведите примеры таких функций.) Если же x(q) в существенном ограничена, то (Яс> 0)(Vc' > с): р ({| х (7)! > с')) = 0.

Упражнение 8.7. Обозначим через Lro = L^R, dp.) множество всех в существенном ограниченных функций, заданных на пространстве с мерой (R, 91, ц). Доказать, что

LCO(R, dji) — линейное пространство;

II х !|w = ess sup I x (<7) I является нормой на фактор-пространстве L^/L, где L = (х^ L^ \x(q) = 0 (mod ц)};

если мера р конечна, то (VP > О '• L„ a Lp и при этом (V*GZ-J:||x|L=^m Н^Нр.

В дальнейшем пространство LJL будем обозначать через Loo, а его элементы (т. е. классы) будем называть в существенном ограниченными функциями.

Теорема 8.7. Пространство Loo полно, т. е. является банаховым пространством.

Доказательство. Пусть задана фундаментальная последовательность (хп)^=1 с: А». Положим

An = {q^R\ k« (<?)|> || xJU},Апт = {<7 € 7? I I Хп (</) Хщ (ц)| /• || Хп Хщ ||~].

Из определения нормы Ц-IU сразу следует, что (Vm, п$И):

:|*(Ап) = 0, р.(Дшп) = 0. Если q ^ А'= U Апт, то числовая по- п,т=\

следовательность ^хп (q))n=A фундаментальна, поэтому существует предел х^)= limxn(q). В точках qC А' значения х(<?) доопреде- п— ~

ляются произвольно.

Поскольку последовательность (x„)~=i фундаментальна, то она ограничена, т. е. (Зс> 0)(Vzi £ И): || хп |j„ < с, поэтому и (Vq^ ^ Д" = и ^ч)'• | х„ (р)| « с. Отсюда следует, что (Vq ^ Д = Д'U (J Д"): |х(р)| « с. Так как р(Д) = 0, то x^q^L^.

Покажем, что хп-^-х в L„. Поскольку последовательность (x^)”=i фундаментальна, то

(Vs > 0)(3N)(Vn, т > N): || хп — хт ||< е.

Отсюда следует, что

(V^G^XVm, n>7V) :|x„(p) —хт(р)|<е.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при m-э-оо, получим (V7 € Д)(Уп > N): | хп (<?) — х (р)| < е,

а поскольку ц(Д) = 0, то это означает, что ||х„—х)/« се, т. е. хп-^-х в норме Lro. ■

Пространство U. Пусть, как и в п. 4 этого параграфа, 7? = Rj, н— дискретная мера, заданная на всех подмножествах И условием (Vng^): ц((п}) = 1. В этом случае пространство Ln(R, dp) обозначается через L. Элементами этого пространства являются ограниченные последовательности комплексных чисел х = = х(д) ^(хц х2, ...) с нормой

Il ^11~ = sup {|хЛ17ЕИ}.

Пространство и — банахово (это следует из теоремы 8.7, хотя непосредственно это доказывается проще, чем указанная теорема). Сходимость хО ~> х в норме 1Ю — это равномерная покоординатная сходимость.

Упражнение 8.8. Доказать, что а) (ур > 1): 1р с: /„; б) ^р > J) (Vх € ^р) • :1И1М < II * Нр.

Соболевские пространства. Пусть G— ограниченная область в IR", G — ее замыкание, С1 (G)— рассмотренное в п.4 §7 пространство I раз непрерывно дифференцируемых в G комплекснозначных функций x:G->i£ (в частности, C°(G) = C(G)). Кроме того, G можно наделить структурой измеримого пространства с мерой Лебега, поэтому можно рассмотреть пространство LP(G) = LP(G, dq) при любом р^1. Поскольку G — компакт, то непрерывные на G функции ограничены (и измеримы) и, следовательно, суммируемы на G с любой степенью р > 1 по мере Лебега. Поэтому

для любой функции x(z?)€Cz(G) при любом р>\ имеет смысл (и конечно) следующее выражение:

1ИЬ = (,? Н^П^Ч(8.18)

где ||-Пр —норма в LP(G\

Упражнение 8.9. Показать, что (8.18) задает норму иа С1 (G).

Линейное нормированное пространство СЦС) с нормой Ц-||/,р оказывается, как нетрудно показать, неполным. Соболевским пространством Wlp{G) называется пополнение С1 (G) по норме Ц-Hz.p, определенной формулой (8.18). В частности, ^(G) = LP^G). Ясно, что

(Vx£Cz (G)): || х||р с ||x||z,p.(8.19)

Поэтому из фундаментальности в Wlp(G) последовательности (x„)^i cz С1 (G) следует ее фундаментальность в Lp (G), и из полноты LP(G) — включение Wlp(G) cz LP(G). Таким образом, элементами №p(G) являются функции, во всяком случае принадлежащие Lp(Gy При этом неравенство (8.19) справедливо для всех x^WpkGY

Можно показать, что при определенных соотношениях между I, р и N функции из Wp^G1) обладают теми или иными свойствами гладкости. Соответствующие теоремы называются теоремами вложения. Приведем формулировку одной из них (см. например, [34]).

Теорема 8.8. Если l>N/p, то Wp(G)c^.C(G), причем (Нс> >O)(VxG^(G)):||x||c(~C)Cc||^I|z.p.

Доказательство этой теоремы (в общем случае довольно громоздкое) мы приведем лишь для простейшего случая: /=1, N= 1, G = (а, Ь). Докажем, что если р>1, то Wp((a, b^CL с: С ([а, Ь]), причем

(Яс> 0)(VxG ^ ((а, b^ : || х ||С([в,ь]) С с || х ||^1((а, Ь)). (8.20)

Пусть х^С1^, 6]). Зафиксируем произвольное q^a, b), тогда для любого ^(а, Ь) имеемл

х(<?) = х(£)—^x'^dt.(8.21)

Проинтегрировав это равенство по £ в пределах от q до b и изменив порядок интегрирования в повторном интеграле, получим ь " b £

(b-q)x(q) = $x(M-$^ х' (0 d/) d^ =

Qq q

bb

-{x^+Sct-tOx'WdC(8.22)

Аналогично, проинтегрировав (8.21) по £ от а до q, сложив результат с (8.22) и разделив на Ь— а, получим

ьь

(8.23)(8.23)х(<7) =^(^(0^+ [tf(?.WW

(8.23)

(8.23)

аа

где функция K(.q, t) ограничена в квадрате (а, Ь)Х(а, У). Из (8.23) при помощи неравенства Гельдера получаем

|х(<?)| С СгПхЦр + с2 Пх'Пр < шах{с1( с2}(|| х ||р + Ц/Цр) сccdlxl^ + llx'll^/p^cllxll^, W

откуда

(Vx € С1 ([а, Ь^ : || х ]|с([а. ь» с с |i х ||№а ((„, w. (8.24)

Если теперь последовательность (xn)^=i cz С1 ([а, Ь]) фундаментальна в норме Wp(^a, b)), то она фундаментальна и в норме С([а, Ь^, и поэтому предельная функция входит в С([а, У]). Неравенство (8.20) для хС^р((а, Ь^ выводится из (8.24) предельным переходом. ■

Замечание 8.1. Пространство ^(G) со скалярным произведением

(х, уф = 2 (О“х, О“у)лг(С)

1а1<1

является гильбертовым пространством. Действительно, справедливость аксиом скалярного произведения непосредственно проверяется, а полнота следует из совпадения К(х, хф с нормой (8.18) при Р = 2.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть f£ Lp (R, du), g € Lq (R, dp), h £ Lr (R, dp), где числа p, q, связаны соотношением p-v -f- 9-1+r-1=l. Доказать, что функция fgh £ Lx (R, dp) и что \\fgh Г,, c I; / llp • || g ||„ || h i'r

Построить в Lt (IR) бесконечномерное подпространство: а) состоящее из непрерывных функций; б) не содержащее ии одной ненулевой непрерывной функции.

Пусть р— конечная мера. Доказать, что если р2 + Pv то LP, (R, dp) = Lр, (R, dp) в том и только в том случае , когда мера р сосредоточена в конечном числе атомов (атомом меры р называется измеримое множество В положительной меры р, не имеющее измеримых подмножеств, кроме (Л и В).

Доказать, что при рг + р2 ии одно из пространств LP1 (IR), LP1 (IR) ие содержится в другом.

Доказать, что если Lt (R, dp) сепарабельно, то мера р имеет счетную базу.

Доказать, что пространство Lp (R, dp) (р > 1) сепарабельно тогда и только тогда, когда сепарабельно LT (R, dp).

Доказать, что конечная мера на борелевской а-алгебре SB (R) метрического пространства (R, р} регулярна.

Указание. Пусть 91 — совокупность всех борелевских множеств» для которых выполнено условие определения 8.2. Покажите, что 91 — монотонный класс, содержащий все замкнутые множества, и поэтому 21 = У (Я).

Пусть мера р на (Rt S (R)> удовлетворяет условию: (Й^о € R) (Vr> > 0) : р (Вг (х0)) < оо. Доказать, что р — регулярная мера.

Доказать, что любая функция fG^pCR^) непрерывна в среднем по-

р ядка р, т. е.

Нт

IR*

Указание. Докажите утверждение для f € Со (IR^) и примените результат упр. 8.5.

Обозначим через с0 (с) линейное пространство всех сходящихся к нулю (всех сходящихся) последовательностей комплексных чисел. Очевидно, что Cq ст с сс 1^. Доказать, что: а) с0, с — подпространства в 1^ б) с0, с— сепарабельные пространства; в) 1^ — несепарабельно.

Доказать, что пространство L^ (R, dp,) либо конечномерно, либо несепарабельно.

ГЛАВА VII. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

В этой главе продолжается изучение банаховых и гильбертовых пространств. Здесь рассматриваются главным образом линейные функционалы, т. е. аддитивные, однородные и непрерывные числовые функции, заданные па таких пространствах, Рассматриваемые здесь вопросы в основном группируются вокруг двух фундаментальных фактов — теоремы Хана — Банаха о продолжении линейных функционалов п теоремы Банаха — Штейнгауза (принципа равномерной ограниченности). Изучены также общий вид линейных непрерывных функционалов во многих важных пространствах и некоторые геометрические вопросы теории гильбертовых пространств.

ТЕОРЕМА О ПОЧТИ ОРТОГОНАЛЬНОМ ВЕКТОРЕ. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Теорема /./ (о почти ортогональном векторе). Пусть Е— линейное нормированное пространство, G— его правильное подпространство. Тогда

(Ve > 0)(JyE ^ G, |) у. || = l)(Vx £ G): ]| у, - х || > 1 - е.

Вектор уг называют почти ортогональным к G.

Доказательство. Пусть 2 ^ G. Тогда 6 — р(2, G) = inf (И 2 — x|||xgG}>0. Действительно, если р(2, G) = 0, то 2 —предельная точка G, не принадлежащая этому множеству, что противоречит замкнутости G. По определению точной нижней грани

(1.1)(1.1)(Vr| > 0)(Пхл С G): 6 || г — хп || < 6 + П-

(1.1)

(1.1)

Выберем т] так, чтобы тз (6 4- т])-1 = е, и покажем, что вектор у8 = = |2 — хп |-1(2— хп)— искомый. В самом деле, ясно, что уг ^ G и | уг || = . Далее, для любого x^G имеем

II Z/e — ^11 = II II 2 — Хи |Г1 (2 —Д^) —х|| =

= II 2 — ^И“1|1 2 — (Xn + X || 2 — Х71||)||.(1.2)

Поскольку хп4-х||2—х^Ц^С, то из (1.2) с учетом (1.1) следует, что

||уЕ-х||>||г-^Г6>^-1-^и

Замечание 1.1. Поясним название «почти ортогональный вектор». Если Е = R2 с евклидовой нормой, G — прямая, проходящая через начало координат, то существует единичный вектор у, ортогональный к G. Для пего, очевидно, Цу — х|| >1 (V/EG). При лоугих нормах и в других пространствах такого вектора может не

И/3И/37 9-227 4

И/3

И/3

существовать, но всегда существует вектор с близкими свойствами, о котором идет речь в теореме 1.1. Поэтому такой вектор естественно назвать почти ортогональным к G. И

Напомним некоторые известные из алгебры определения и факты. Пусть Е — линейное пространство над полем К вещественных или комплексных чисел. Векторы хх, ..., хп^Е называются линейно независимыми, если

^1-^1 + • • • + ^пХп = 0 (^/ € К) ^ч = ‘"" = ^« = О-

Пространство Е называют конечномерным (а именно, п-мерным), если в нем существуют п линейно независимых векторов, а любые т векторов при т > п линейно зависимы. Число п называют размерностью пространства Е и обозначают п = dim Е. Если же при любом п € И в Е существуют/? линейно независимых векторов, то пространство Е называют бесконечномерным.

Любая система п линейно независимых векторов (ехе„} в n-мерном пространстве Е называется базисом этого пространства.

п

Каждый вектор х^Е однозначно представим в виде х = ^ -^л,

Линейные пространства Ех и Е2 называются алгебраически изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции. Такое соответствие называется изоморфизмом. Конечномерные линейные пространства Ех и Е2 алгебраически изоморфны тогда и только тогда, когда dimE^ = dim Ea.

Определение 1.1. Линейные нормированные пространства Ех и Е2 называются изоморфными, если они алгебраически изоморфны и этот изоморфизм Uявляется гомеоморфизмом, т.е. оба отображения U 1 Ех-^- Е2 и U~4 Ег ->■ Ех непрерывны. Изоморфизм U называют изометрическим изоморфизмом, если (Vx£ Ех)! ИхЦе, = = II^IIe,.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что алгебраический изоморфизм U линейных нормированных пространств тогда и только тогда является гомеоморфизмом, когда (Hci> сг > 0) (Vх € ДО: ci II х ||^ С II Ux ||£j < сг || х ||£i.

Если линейное нормированное пространство полно, то и изоморфное ому пространство также полно. Доказать.

Теорема 1.2. Конечномерные линейные нормированные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Необходимость сразу следует из того, что алгебраически изоморфные конечномерные линейные пространства имеют одинаковую размерность.

Достаточность .Пусть, для определенности, Е— комплексное Л^-мерное линейное нормированное пространство. Покажем, что Е изоморфно пространству (С^ с нормой

■ 11^111 = 11(^1Ml, = (£ |Zt|2)'/2. 6=1

Для этого выберем в Е базис (eL, ... , е^ и рассмотрим соответствие

N

E^x-^x^^^Xv ••• . ^) = ^€(С".(1-3)

Ясно, что это соответствие является алгебраическим изоморфизмом.

Покажем, что это соответствие является гомеоморфизмом. Для этого достаточно показать (см. упр. 1.1), что

(Зср c2>0)(Vx€E):c1||x||e<||&||i<c2||x||e.(1.4)

Воспользовавшись аксиомами нормы и неравенством Коши — Буняковского для сумм, получаем

II*Ik = llX wa||£ « X |^|-ll^lk с6=16=1

NNN

с(£ |*б|2)^(£ М^^идХ 11^11^/2,(1.5)

6=16=16=1

откуда сразу следует левое неравенство в (1.4).

Поскольку соответствие (1.3) является алгебраическим изоморфизмом, то в силу однородности нормы достаточно доказать правое неравенство в (1.4) лишь для векторов £ из единичной сферы Si(0). Итак, надо доказать, что

(Зс2 > 0)(V= g Si (0)); 1 = |R Ik с с2 || х ||е.

Рассмотрим функцию

■$1 (0) Э £ н-f (£) = || * Ik € R-

Из неравенства (1.5) сразу следует, что эта функция непрерывна, поэтому в силу теоремы Вейерштрасса она достигает на компакте S] (0) своего минимума. Положим 6 — niiп {/ (£) | ^ Sj (0)}. Ясно, что 6 > 0. Покажем, что 6 > 0. Действительно, если бы было 6 = 0, то это означало бы, что существует вектор £0 £ 31 (0) такой, что Ikolk = 0 для соответствующего ему вектора х0 £ Е. Но тогда х0 = 0, а поскольку (1.3)—алгебраический изоморфизм, то £0 = = 0 и, следовательно, £0 ^ St (0). Полученное противоречие показывает, что 6 > 0, т. е. (Vg£ Sj (0)): || х||е > 6 = 6 || £ Ik. ■

Следствие 1.1. Всякое ограниченное подмножество конечномерного банахова пространства Е предкомпактно.

Действительно, по доказанному в теореме 1.2 ограниченное подмножество Е изоморфно ограниченному подмножеству ^Д (или Rv), а последнее предкомпактно в силу теоремы Больцано — Вейерштрасса. И

Покажем, что установленное свойство конечномерных пространств является их характеристическим свойством.

Теорема 1.3. Любое ограниченное подмножество линейного нормированного пространства Е предкомпактно тогда и только тогда, когда Е конечномерно.

Доказательство. Достаточность условия установлена в следствии 1.1.

Необходимость. Пусть линейное нормированное пространство Е над полем К бесконечномерно, т. е. для любого п £ Й в Е имеется система п линейно независимых векторов. Покажем, что замкнутый единичный шар Bv (0) = {xg £| II х|| с 1} не является компактом. Для этого достаточно построить последовательность (x^^Li cz Е, II хп || = 1, из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность.

В качестве xt возьмем любой вектор единичной сферы и положим GT= (Хх^ ХСК}- В силу теоремы 1.1 найдется вектор х2 = = ухр ^ G2 такой, что || х2|| = 1 и (Vx^C^: || х2 — х|| > 1/2, в частности, || х2—лгт ]| > 1/2. Положим G2 = з. л. о. {хь х2) и за х3 возьмем существующий в силу теоремы 1.1 вектор z/i/2, так что x33G2, 1|х3|| = 1 и (Vx£G2):||x3 —х||> 1/2. В частности, ||х3 — — xt||> 1/2 и ||х3—х2||> 1/2. Если уже построены векторы хп ... ... , хп, то полагаем G„ = з. л. о. {xv ... , х^. Поскольку d\xt\.Gn<.n, а пространство Е бесконечномерно, то G^^E, и поэтому, вновь применив теорему 1.1, найдем вектор x^i ^ G,t, ||xn+i|| = 1 и (Vx^ £G„): Цхл+i— х||>1/2. Таким образом, получаем бесконечную последовательность (x^i cz Bv (0) такую, что (Дт, п£ И) ■ || хт — — x,t || >1/2. Ясно, что из этой последовательности нельзя выделить фундаментальную подпоследовательность. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что следующие линейные пространства бесконечномерны; а) С ([а, 6J); б) Ыра ([а, b\y, в) GI ([а, 6]); г) lp (1 С р С оо); д) Lp (X, dp.) (1 С р <: оо) в том и только в том случае, когда мера р не сосредоточена в конечном числе атомов.

Не используя утверждение теоремы 1.3, показать, что замкнутый шар 51(0) не компактен в: а) С ([а, 6]); б) lp (1 <: р < оо).

Используя критерий Хаусдорфа компактности множества в метрическом пространстве, доказать, что: а) множество {х £ lp | (Vn£ ^): l*n I С 2-п^ компактно (р>1); б) множество Mslp предкомпактно тогда и только тогда, когда оно ограничено в 1р и выполнено условие: (Vе >0) (Эл (Ф) (Vх 5 /И):

: 5 I хП 1^ < г.

п—п(е>

Используя теорему Арцела, проверить, являются ли предкомпактными следующие подмножества С ([0, 1]): а) (Н, ngM); б) {sin nt I л g hJ}l в) ^"^а | a £ IR); г) {e^—а | а > 0}; д) шар в пространстве С1 ([0, 1J).

ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

И ИХ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО

Пусть Е — линейное нормированное пространство над полем [К вещественных или комплексных чисел. Отображение Е Э х i-* i-* / (х) Е К называют функционалом. Функционал I называется непрерывным, если отображение /: Е->^ непрерывно на Е. Функционал I называется линейным, если (VX, hEK)(Vx, У^Е) :ЦХх -г 4-цу) = Х/(х) + р,/(у). Линейный функционал / называется ограниченным, если (Пс> 0)(VxE Е): |/(х)| < с||х|| (т. е. если он ограничен в любом шаре).

Отметим, что из линейности функционала I следует, что I (0) = 0. Действительно, I (0) = I (0 • х) = 0 • I (х) = 0.

Лемма 2.1. Если линейный функционал непрерывен в одной точке, то он непрерывен всюду.

Доказательство. Пусть линейный функционал I непрерывен в точке х0. Покажем, что тогда он непрерывен в произвольной точке х т^ х0. Возьмем произвольную последовательность (x„)”=i, такую, что х„->х. Тогда хп — х + х0-^-х0, и поскольку I непрерывен в точке х0, то /(х„— х-|-х0)-^-/ (х0). Воспользовавшись линейностью функционала /, получаем /(х„)— I (х) + I (х0) I (х0), откуда Z (х„)-э-/ (х). ■

Теорема 2.1. Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Доказательство. Достаточность. Пусть линейный функционал ограничен, т. е. (Пс> 0)(VxE£) : 11 (х)| с с ||х||. Если хп->0, то | Z(xf[)| с с|| х„ ||, поэтому / (x/t)-э-0 = / (0), т. е. функционал / непрерывен в точке х = 0. В силу леммы 2.1/ — непрерывный функционал.

Необходимость. Пусть линейный функционал / непрерывен. Допустим, что он неограничен. Тогда (Vn Е И) (4xn Е £): П (*«)!> >н||хп||. Если теперь положить уп = (н || х„ ||)-1хл, то (VnE Е И): |/(у«)| > 1. Кроме того, ||/аП = 1/«, поэтому у„ч-0и так как функционал / непрерывен, то /(y,J ->0. Это противоречит тому, что ^п ЕМ) 4 Цу^\> 1. ■

Определение 2.1. Нормой линейного непрерывного функционала I (х) называется число

' llZll-^pf^^^-suptl/WlixE^^(2.1)

Из теоремы 2.1 сразу следует, что норма линейного непрерывного функционала конечна, причем

(Vxg Е): |/(х)| < ||/||-||х ||.(2.2)

Упражнение 2.1. Полазать, что || 11: равна наименьшему из значений с, для которых | / W | С с || х || (Ух £ Е).

Изучим линейные функционалы в конечномерных пространствах. Пусть Е — конечномерное банахово пространство , {ег, ..., е^—

базис в Е. Тогда любой вектор х С Е однозначно представим в виде х = У Хквк. Легко видеть, что функция

N

1^=^ IkXk (Zlt ... , ZjvdK)(2.3)

Z?=I

является линейным непрерывным функционалом на Е.

Покажем, что формула (2.3) дает общий вид линейного непрерывного функционала на конечномерном пространстве Е. Действительно, пусть / (х) — линейный функционал на Е. Тогда

NN

/(х) = /(У Хквк) = у Цвк^Хк,k=tк=1

и для получения представления (2.3) достаточно положить lh=l lehY Отсюда, в частности, следует, что всякий линейный функционал в конечномерном пространстве непрерывен. При этом представление (2.3), разумеется, зависит от выбора базиса в Е.

Упражнение 2.2. Определить норму функционала I на ©w с каждой из норм, рассмотренных в п. 1 § VI.7.

Пусть Е — линейное нормированное пространство (не обязательно полное) над полем [К вещественных или комплексных чисел. Обозначим через Е' совокупность всех линейных непрерывных функционалов на Е. В Е' естественным образом вводится структура линейного пространства: (V/, т £ £') (VX £ К) (Vx ^ f) : (Z 4* + m) (х) = I (х) -г т (х), (XZ) (х) = XZ (х). Ясно, что все аксиомы линейного пространства выполнены, причем нулем в Е' является нулевой функционал 0 (х) = О (Vx С Е).

Введем теперь в Е' норму поформуле (2.1). Первые две аксиомы нормы, очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника. Воспользовавшись неравенством (2.2), получаем для любых I, т € Е' и х С Е

l(Z + m)(x)| = 11 (x) + m (x)1 с |1 (x)| +

+ |m(x)| < (|| Z|| +1| m ||)||x||,

откуда |: Z + m|| с || 1|| + || m ||.

Итак, E' — линейное нормированное пространство. Его называют сопряженным к пространству Е.

Теорема 2.2. Сопряженное пространство Е' полно, т. е.является банаховым пространством.

Доказательство. Пусть задана фундаментальная последовательность Un^n=\CzE'. Выберем произвольный вектор х^Е и покажем, что числовая последовательность (Zn(x))^=i фундаментальна.

Действительно,

IU (х) - Zm(x)| = Wk - /«)(х)| с || Z„ - Zm||. || х||,(2.4)

поэтому из фундаментальности последовательности (/„)£=! следует фундаментальность числовой последовательности (1п(хУ)п=1. Поскольку поле К полно, то при любом х^Е существует предел lim 1п (х) = I (х). Функционал / линеен, поскольку для любых X, цGК. х, у^Е имеем /(Хх -|- цу) = limln (Хх -|- цу) = X lim /п(х) + + уИт/„(у) = Х/(х) -|- рЦу\

Покажем, что I— непрерывный функционал. Действительно, из фундаментальности последовательности (/„) следует, что она ограничена, т. е. (Эс> 0)(V«€ И): II Ц\ < с. Поэтому

фп € M)(VxС Е) • | к (х)| С || Ц ■ || х || с с || х ||.

Переходя в последнем неравенстве к пределу при п-^- оо, получаем, что (Vx£ Еу | /(х)| с с || х||, т. е. / — линейный непрерывный функционал.

Остается проверить, что || 1п — /||->0. Поскольку последовательность (/п)п=1 фундаментальна, то

(Ve> 0)(H/V)(Vm, п> N): || ln — /т|| <е.

Поэтому из (2.4) следует, что (Vx^ Е): |1п (х) — /т(х)| <е|| х||. Перейдя в этом неравенстве к пределу при m -> оо, получим

(Ух^):|/л(х)-/(х)|<6||х||,

а это означает, что || 1п— /||се. Следовательно, Hm || ln— /1| =0. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Е — вещественное линейное нормированное пространство. Доказать, что: а) линейный функционал / в Е непрерывен тогда и только тогда, когда для любого с £ 1R множества {/ (х) > с), {/ (х) < с) открыты; б) || /|| = sup {/(х) \х^Е, || х|| = 1).

Пусть /=/=0 линейный непрерывный функционал в Е. Доказать, что |UH-i = inf{||x|| |/(х) = 1}.

Пусть / — линейный функционал в Е такой, что для любой сходящейся к нулю последовательности (Хп)"^! с Е множество {/(хп)| п^М) ограничено. Доказать, что / непрерывен.

Доказать, что линейный функционал I в линейном нормированном пространстве над полем [^ непрерывен в том и только в том случае,когда образ единичного шара I (Вх (0)) не совпадает с [£.

Доказать, что на бесконечномерном нормированном пространстве существует разрывный линейный функционал.

Доказать, что линейный функционал в Е непрерывен тогда и только тогда, когда множество Ker I = {х € Е 11 (х) = 0), называемое ядром функционала I, замкнуто.

Пусть I £ Е', I ч^ 0. Доказать, что любой элемент х Е Е однозначно представим в виде х = хх + х„, где хх б Кег /, х„ 6 L, dim L = 1.

Пусть /х, /а g Е'. Если Кег 1Х = Кег /2, то (ДХ £ [^) : 1Х= \1г. Доказать.

Пусть / С Е’. Доказать, что для любого х^ Е р (х, Кег /) = | / (х)| / |j I [|.

Пусть I $ Е'. Если для некоторого х ^ Кег I найдется у £ Ker I такой, что р(х, Кег/) = ]|х — у [|, то I достигает своей нормы на Вх (0). Доказать.

Пусть Еъ Е2 —банаховы пространства такие, что Е,£Е, и из сходимости х^—>х в Е, следует сходимость хп^-х в Ег. Доказать, что Ej 2 Е2.

Проверить линейность, непрерывность и найти нормы следующих

1

tx (/) dt;tx (/) dt;функционалов в С ([0, 1]): а) I (х) = х (0) + х (1) — 2х (1/2); б) t (х) =

tx (/) dt;

tx (/) dt;

^ 1^= х (/) sign (/ — 1/2) dt; г) I (х) = j р (/) х (t) dt, где р — фиксированная оо

функция из С ([0, 1]); д) функционал из п. г), если р — фиксированная функция из Lj ([0, 1]).

Проверить линейность, непрерывность и найти нормы следующих I

функционалов: а) С ([0, 1)] Э х I-* х (О)-гх' (0); б) С1 ([0, 1 ]) Эх i^- х (/) р (t)dt+ о

1

+ У х’ (/) pv (f) dt, где р, pj — фиксированные функции из С ([0, 1]); в) L2 ([О,

О

ЧI

Эх /-*У х (t)dt; г) и, ([0,1]) э XI-* ( г'рх (t) dt; д) h Э х i-> ^, хк; е) /^хи- оо

|_*S fhXk,r№ (f^,...)—фиксированный элемент из ж) /2Эх1-*У^ хк/У"к (&~Н). к=1к™;

1

Пусть Е — С ([0, 1]) с нормой Ц х || = J | х (/)i dt. Является ли иепре- о

рывным функционал Е Э х I-* х (0)?

Линейный функционал /: С (]a,6])->IR называется неотрицательным, если для любого xgC ([а, 6]), х>0 выполняется неравенство /(х)>0. Доказать, что неотрицательный функционал непрерывен, причем Ц I;] = / (xj, где х, (0=1, t g [а, 6].

Доказать, что для любого I g С ([а, 6]) существуют неотрицательные Ц, ^ € С' ([а, 6]) такие, что I = I, — t2.

ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ

гут представиться два существенно различных случая. В этом пункте рассмотрим первый из них: продолжение по непрерывности линейного непрерывного функционала, заданного па всюду плотном множестве.

Теорема 3.1. Пусть Е — линейное нормированное пространство, G — линейное подмножество, всюду плотное в Е. Тогда для любого линейного непрерывного функционала I на G существует единственный функционал L £ Е* такой, что L\G = /. При этом ||Б|| = = 1|/||-

Доказательство. Поскольку G — Е, то для- любого х^Е существует последовательность ^=icG такая, что x = limgn, т. е. lim||grt — х|| = 0. Положим

= lim/(g„).

Существование этого предела следует из неравенства 1I (gn) — — I (gm)| < || 11| ■ II gn — gm II, поскольку последовательность (g^v сходящаяся и, следовательно, фундаментальная. Проверим корректность этого определения. Пусть gn^>-x, g'n^-x, тогда !/(§■«)— —/(gn)l <l|/||-l|gn —gnll->-0 при n^-oo, поэтому lim/(§•„) =

= lim/(§;,), т. e. определение L(x') корректно. Если x^G, то в качестве (grl)n=i можно выбрать стационарную последовательность: (V/i): gn = х, поэтому L (х) = lim L(^) = Цх^, т. е. L |- G=l.

Линейность функционала L сразу следует из определения. Покажем, что при продолжении функционала норма не изменяется. Переходя в неравенстве |/(g«)| < || /1|-|| gj| к пределу при п->оо, получим |L(x)| с ||/11-11x11, откуда ||L|| < || I||. Кроме того, как было отмечено выше, при любом продолжении ||L||>||/||. Следовательно, || L || = || /||.

Остается доказать единственность продолжения. Предположим, что Lv и L2—продолжения функционала /. Для любого х^Е найдем последовательность (g„),| icG, gn->x. Тогда в силу непрерывности функционалов L, и 1.., имеем

Lt(x)= limLJg,,) = lim l(gn) = liniL2 (g„) = La (x), n -► co Д -* X> n ♦ ~

т. e. Ег — L2.

Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Рассмотрим более сложный случай, когда требуется продолжить линейный непрерывный функционал, заданный на подпространстве G с Е. Теорема Хана — Банаха о существовании такого продолжения является одним из важнейших фактов функционального анализа и имеет многочисленные применения.

Теорема 3.2 (Хана — Банаха). Пусть Е — линейное нормированное пространство, G — подпространство Е. Тогда для

любого линейного непрерывного функционала I, заданного на G, существует такой функционал L^ Е', что L \ G — I и 1|L|| = ||/||.

Доказательство проведем в несколько этапов. Сначала докажем теорему для случая сепарабельного вещественного пространства, затем для произвольного вещественного пространства и, наконец, для комплексного пространства.

. Пусть G — подпространство вещественного пространства Е, причем G^E, и пусть у ^ G. Рассмотрим множество F = л. о. Ф U (//})• Легко видеть, что F — подпространство Е, причем каждый элемент х £ F единственным образом представляется в виде X = g + Ху (gE G, ХЕШ).

Покажем, что функционал l£G' можно продолжить без увеличения нормы на ^(отметим, что по непрерывности его продолжить нельзя, так как G = G + F). Поскольку продолженный функционал L должен быть линейным, то для любого х = g + Ху Е F должно быть L (х) = L (g + Ху) = L (g) + XL (у) = I (g) + XL (у), или, положив с = L (у),

L (х) = L (g + Ху) = I (g) + Хс.(3.1)

Покажем, что число с Е R можно выбрать так, чтобы выполнялось условие ||L|| = ||/|| (отсюда, в частности, получим, что линейный функционал L непрерывен). Поскольку, как отмечалось в начале параграфа, всегда ||L|| >||(||, то достаточно установить, что ||L|| <|[/||. Для этого надо доказать, что число c^R можно подобрать так, чтобы

(VgEG)(VXE Ш): | L(g 4-^У)| =

= |/(g) + bc|<||Z||4lg + Xy||.(3.2)

Поскольку g + Ху = — (—g -ф (—X) у), то при рассмотрении неравенства (3.2) достаточно ограничиться случаем Х>0. Перепишем (3.2) в виде

- ll/IHl£ + Xt/||-/(g)«:Xc< ||/||-||£ + ХуП^^

Разделив все члены этого неравенства на X и положив X-1g = h, придем к следующей задаче: доказать существование такого с Е Ш, чтобы

фН£0);-\\1ИМ-у\\-1(Л)<

хс с с || /1| • || h -}- у II — Цк)-(3.3)

Для доказательства воспользуемся следующим неравенством, имеющим место для любых /it, h2 Е G;

I (A2) - I (Ai) < 11 (h4 - M < [| 11| • И h2 - M =

= 1И1 ■ ll(A2 + y) - (Аг + y) || « || 11| • (|| ^ + у || + || h8 + у у).

Отсюда следует, что

№ A, Е G)! - II11|.||hx 4- у II -1^) < IIIII. II h. + У11 -/(A,)

и, таким образом,

«1 = Slip (—IU II • II ^! 4- У Н — / (О «•

h^G

= inf (II / II • II л2 + УII — / (й2)) = «2.

h^G

Если теперь выбрать с так, чтобы было а^ с с < а2, то выполняется (3.3) и, следовательно, (3.2), и функционал L, определенный по формуле (3.1), будет искомым продолжением на F без увеличения нормы.

. Пусть Е — вещественное сепарабельное пространство, G — подпространство Е, / Е G', и пусть А = {х„ х2, ...} — счетное всюду плотное в Е множество. Обозначим через x„v первый из элементов Л, не входящий в G. Подсказанному в п. 1) существует продолжение^ функционала / без увеличения нормы на GL = л. о. (G U {х,,,}). Далее, обозначим через хл, первый из элементов Л, не входящий в Gl и продолжим /, без увеличения нормы до функционала /2 на G2 = л. о. (Gj (J {xnJ).Продолжая этот процесс, получим возрастающую последовательность подпространств GcGtcGgC ...и последовательность линейных непрерывных функционалов 1г, la, ... таких, что

l^Gn, 1^0 = 1 и И |[ = ||Z l|(VnGM).

Положим М = U Gn. Очевидно, М — линейное множество. Опре- делим на М функционал Lo следующим образом. Пусть х £ М, тогда х Е 6„ для некоторого n Е И- Положим Lo (х) = 1п (х). Ясно, что функционал Lo линеен и непрерывен, причем ||L0|| = Ц/||. Поскольку М 2э А, то множество М всюду плотно в Е. Остается применить теорему 3.1 и продолжить Ео по непрерывности до функционала L^E'. При этом \\Ц\ = ЦЕ0|| = ||/||. Итак, в случае сепарабельного вещественного пространства Е теорема Хана — Банаха доказана.

. Пусть Е — произвольное вещественное линейное нормированное пространство (вообще говоря, несепарабельное). Обозначим через 1р продолжение функционала I с сохранением нормы на подпространство Р го G. Как было показано в и. 1), такие продолжения существуют. В множестве X всех продолжений / с сохранением нормы введем отношение <, полагая Ip < Iq, если Р a Q и Iq (х) = I? (х) (VxE PY Непосредственно проверяется, что отношение < является отношением порядка на X (см. § 1.1) и что множество X с этим отношением частично упорядочено.

Пусть Y = {//>а|аЕЛ} — произвольное линейно упорядоченное подмножество X. Покажем, что Y имеет верхнюю грань. Положим Р* = U Ра и зададим на Р* функционал /* следующим образом: если х^Р*, то х Е Р«о при некотором а0 ЕЛ; тогда положим /*(х)= —/а0 (х). Ясно, что функционал I* линеен и ||/*|| = ||/||. Продолжив I* по непрерывности на Р = Р*, получим функционал 1р, являющийся верхней гранью для Y;

Поскольку любое линейно у пор я дочстюе подмножество X имеет верхнюю грань, то по лемме Цорна (см. § 1.1) в X существует максимальный элемент L. Функционал L определен на всем пространстве, так как в противном случае его можно было бы продолжить и он не был бы максимальным элементом в X. Итак, в случае вещественного пространства Е теорема Хана — Банаха доказана.

Отметим, что рассмотрения п. 2) приведены лишь для того, чтобы показать, что в случае сепарабельного пространства можно доказать теорему без помощи леммы Цорна.

. Прежде чем доказать теорему Хана — Банаха для комплексного пространства, сделаем некоторые общие замечания. Пусть Е— комплексное линейное нормированное пространство. Отметим, что если в Е ограничиться умножением лишь на вещественные числа, то Е можно рассматривать как вещественное линейное нормированное пространство. Эго пространство мы будем обозначать через £ir и называть ассоциированным с Е веществе иным пространством. Подчеркнем, что Е и £,r как множества совпадают, по как линейные пространства различны.

Пусть 1^ Е'. Положим т (х) — Re / (х), п (х) — Im / (х) и покажем, что т, n^E(R. Действительно, пусть а, р g Ц, х, у ^Е, тогда

т (ах + Ру) + in (ах + Ру) = I (ах + Ру) = а I (х) + р/ (у) =

= а (т (х) + in (х)) + р (т (t^ + in (у}} = (ат (х) + Pm (у)) +

+ i (ап (х) + Р/г (у)),

откуда следует линейность функционалов т, п. Непрерывность т следует из неравенства

|т(х)| с |т(х) + in(x^\ --•= |Z(x)| < || ЦНМ (Vx^Ey

Аналогично доказывается непрерывность п.

Отметим также следующую связь между функционалами т и п

(Vх g Е): п (х) =— m(ix\(3.4)

Действительно, для любого х^Е имеем

т (ix) + in (Zx) = / (zx) = il(x') =

= i (m (x) -]- in (x)) = — n (x) + itn (x),

откуда и следует (3.4). Таким образом, функционал I можно восстановить, зная т:

I (х) — т (х) — hn (zx).(3.5)

. Докажем теперь теорему Хана — Банаха в случае комплексного пространства Е. Пусть £rm Gr—вещественные пространства, ассоциированные соответственно с £ и G. Функционал I, заданный наО, определяет вещественный функционал mg Gir. По доказанному функционал m можно продолжить с сохранением нормы до функционала М g £r. Положим теперь ио аналогии с (3.5)

(Vx^Ey.L(x) =M(x)-lM(ixy' (3.6)

Ясно, что функционал L аддитивен: (Vx, у £ Е): L (х + у) = = L (х) + L (у) (поскольку аддитивен функционал М). Покажем, что L однороден, т. е. что

(3.7)(3.7)(VX € (C)(Vx е Е): L (Ах) = XL (х).

(3.7)

(3.7)

Для X £ R равенство (3.7) выполняется, так как оно имеет место для функционала М. Поэтому достаточно проверить эго равенство для X — L Имеем

L (ix) = М (ix) — iM (—х) = М (ix) + iM (х) == i (М (х) — iM (ix)) = IL (х).

Итак, функционал L линеен.

Остается показать, что ||Е||=||/||. Для этого, как мы знаем, достаточно убедиться в том, что |[Е|| с ||Z||. Запишем L (х) в виде L(x) = | Е(х)|е‘а, где a = argE(x). Тогда

| L(x)| = e~‘aL (х) = L (e~iax) = M (e-‘ax) =

= | M (a-‘ax)| < || M || • || e-^x || = || m || • || x Ц < || 11| HI x ||,

t. e. || L ||c || l\\. Здесь мы воспользовались тем, что если E (у) £ R, то L (у) = М (у). ■

Замечание 3.1. Отметим, что если G— линейное множество, но не подпространство, то утверждение теоремы Хана — Банаха остается справедливым. Действительно, в этом случае G — подпространство Е и функционал I можно продолжить по непрерывности на G, а затем применить доказанную теорему.

УПРАЖНЕНИЯ

В пространстве IR2 на подпространстве G = {(х,, 0) i х1 g IR}- задан функционал /(x) = axt, где agIR фиксировано. Описать все продолжения L функционала I. Для каких из этих продолжений || L || = || I ||, если IR2 рассматрива ется с нормой: а) ','i• !i0; б) |!-|!j; в) i.-llz (см‘ § VI. 7).

Пусть G = {xgC([0, 1J) | х(0) =0}. Построить линейный непрерывный (функционал на С(|0, 1|), равный нулю на G и принимающий значение 2 на функции х (f) = i -f- 1. < £ |0, 1].

Пусть G = {лг G 7. (IR) | х - - 0 почти всюду на Л}, где Л— измеримое подмножество IR, р> 1, и пусть «^/.^(Л), где р"1 |- у"1 == 1. Описать все линейные непрерывные продолжения L па Lp (IR) (функционала I (х) = j а (7) х (t)di,

Л

x^Q. Для каких из этих продолжений |IL|| = l| 11|?

Пусть G = (х g L2 (|0,1|) | х = 0 почти всюду на Л), где Д — измеримое подмножество [0, 1]. Построить линейный непрерывный функционал I ня £2(|0,1]), равный нулю па G и принимающий значение 1 па функции х (Z) = t, t Е [0, 1].

Пусть G — подпространство гильбертова пространства II и I g G'. Описать все продолжения L функционала I на Н. Доказать, что существует единственное продолжение с сохранением нормы.

Пусть / — непрерывный линейный функционал, заданный на подпространстве сй с 1^. Доказать, что существует единственное продолжение 1 на все /^ с сохранением нормы.

Указание. Проверьте, что в этом случае числа а1 и а2 из этапа 1) до- ' казательства теоремы Хана — Банаха совпадают.

Рассмотрим с0 как подпространство с. Описать все продолжения функционала I 6 cd на с-

4. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ

ИЗ ТЕОРЕМЫ ХАНА — БАНАХА

Теорема 4.1. Пусть Е— линейное нормированное пространство над полем (К вещественных или комплексных чисел, G — его подпространство. Тогда для любого вектора у ^ G существует такой функционал 1^ Е', что || (|| = 1; Z (g) = р (у, G), I) G = 0.

Доказательство. Определим на подпространстве F = = л. о. (G U {у}) функционал /0, полагая

def

/о kg + Ху) = Ьр кУ> Q (Vg Е G, W К).

Легко видеть, что l0 G F, /0 (у) = р (у, G), /0 (g) = /0 kg + Оу) = О (VgEG). Вычислим ||/0Ц:

Il / II sun Н-^)!| - I чп г г) sun I iX । р Vy. С) I

g + Ху С F^ = р (у, G) sup {]| g' — у IMI g' € G} = 1

(здесь введено обозначение g' =—X-1g£G). В силу теоремы Хана— Бахана существует продолжение I ^ Е' функционала /0 с нормой || / [| = || /01| = 1. Функционал / является искомым. ■

Упражнение 4.1. Выяснить геометрический смысл доказанной теоремы в том случае, когда Е = IR3, a G — прямая, проходящая через начало координат.

Следствие 4.1. Для любого у^Е ку^ 0) существует такой функционал ( Е Е', что || I1| — 1 и I ky) = || у || •

Для доказательства достаточно в теореме 4.1 положить G = {0}.

Упражнение 4.2. Выяснить геометрический смысл этого следствия в IR2 и IR8.

Следствие 4.2. Линейные непрерывные функционалы разделяют точки линейного нормированного пространства Е, т. е. если xv xa^E, Xt^Xz, то существует функционал 1^Е’ такой, что I 0g) ^ I к^г)'

Доказательство. Согласно следствию 4.1, для элемента у = xv— х2 =7^ 0 существует функционал / g Е’ такой, что / ку) = = II УII Ф 0. Тогда

/(Xj)— 1<х^= lkxv — Х^ = Цу)=^0. ■

Замечание 4.1. Доказанное следствие дает ответ на важный вопрос о запасе множества линейных функционалов. Выше было показано (теорема 2.2), что пространство Е' всегда является бана-

ховым, однако неясно, не может ли оно в некоторых случаях оказаться пустым. Следствие 4.2 показывает, что запас линейных непрерывных функционалов достаточен для разделения элементов данного пространства.

Теорема4.2. Для того чтобы множество МеЕ было тотально в Е, необходимо и достаточно, чтобы из того, что функционал I С Е' обращается в нуль на всех элементах М, следовало 1 = 0.

Доказательство. Необходимость. Пусть множество М тотально и пусть (Vx С 714) : Z (х) = 0. В силу линейности I отсюда следует, что I (х) = 0 (Vx£ л. о. (714)). Поскольку з. л. о. (7W) = = Е, то, продолжая I по непрерывности, получим I (х) = 0 (Vx£E), т. е. / = 0.

Достаточность. Пусть любой функционал ?£ Е', равный нулю на 714, тождественно равен нулю. Предположим, что М не является тотальным множеством. Тогда з. л. о. (Л4) = G^E и поэтому 'Ey g Е \G. В силу теоремы 4.1 существует функционал IС Е' такой, что || Z|| = 1 и I f G = 0. Но это невозможно, так как по условию из ЦО = 0 следует I = 0. ■

Рассмотрим некоторые геометрические понятия, связанные с линейными непрерывными функционалами. Пусть Е — линейное нормированное пространство, ЦЕ'. Рассмотрим множество Го = = Ker I = {х С Е 1I (х) = 0}. Легко видеть, что это множество является подпространством Е. Покажем, что Го—гиперподпространство, т. е. подпространство коразмерности 1. Это означает, что если у £ Го, то л. о. (Го (J {у}) = Е.

Действительно, пусть у £ Го. Покажем, что любой элемент х € Е можно представить в виде х = g + Ху, где g С Го, ^ £ К- Положим X = IЦУ1 (у) и рассмотрим вектор g = х — Ху. Поскольку

/(g) = /W-W (у) =0,

то g С Го. Следовательно, х = g + Ху и есть искомое представление. ■

Пусть задан фиксированный функционал 1С Е. Для любого с £ [К пазовом множество Гс = {х £ Е | I (х) = с} гиперплоскостью. Покажем, что существует такое г £ Е, что Гс = Го + г в {g + + z|ggro). Действительно, пусть z — фиксированный вектор из Гс. Тогда для любого х £ Гс имеем Цх — z) — I (х) — I (г) = 0, т. е. g = х — г С Г„, следовательно, х = - g + z. ■

Пусть Е —вещественное линейное нормированное пространство, А с Е, х0 — точка, принадлежащая границе А, ЦЕ', с СК- Гиперплоскость Гг = (х С Е J I (х) = с} называется опорной гиперплоскостью множества А, проходящей через точку х0, если х0Е Гс (т. е. I (х0) = с) и множество А лежит по одну сторону от гиперплоскости Гс, т. е. / (х) — с не меняет знака на А.

Пусть, в частности, Л = Д(0) а {х£ Е | ||х || < г}— замкнутый шар с центром в нуле; его граница — сфера Sr (0) = (хС Е11| х|| = г}.

Теорема 4.3. Через любую точку х С S, (0) проходит опорная гиперплоскость шара В, (0).

Доказательство. В силу следствия 4.1 для любой точки х0 ^ Sr (0) существует / £ £' такой, что || I1| = 1 и / (х0) = || х0|[= г. Тогда гиперплоскость Гг является искомой. Действительно, х0С Г,, поскольку I (х0) = г. Далее

(Vx€Br(0)):/(x)<| Z(x)|<||x||<r,

т. е. весь шар лежит по одну сторону от Гг. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать следующие утверждения: 1) если линейное нормированное пространство Е бесконечномерно, то и Е* бесконечномерно; 2) если Е' сепарабельно, то и Е сепарабельно.

Доказать, чго существует ненулевой линейный непрерывный функционал Z на L„ ([«, &]) такой, что: a) (Vx g С ([а, 6))): / (х) = 0; б) ^х £ С ([а, 6])): /(х) = х(а).

Доказать, что в любом линейном нормированном пространстве Е для любого A g IR и любого ненулевого 1^Е' гиперплоскость (xg Е | / (х) = X) = = 1\—непустое множество.

Пусть £— линейное нормированное пространство, х^Е. Доказать, что И х |1 = sup (i / (х); i Z g Е', ;| Z || = 1}.

Пусть Ё — линейное нормированное пространство, х^ Е и для любого I Е’ такого, что ||Z|| = 1, выполняется неравенство |Z(x0).<l. Доказать, Что ||х0 II < 1.

Доказать, что для любой последовательности (хп)“=1 линейно независимых элементов Е существует последовательность (Zra)”=1 с: Е' такая, что (V", ^£И): ll/n;i = l, ^^4") =bnk (ее называют биорт огональной к последовательности (х„)”=1).'

Пусть [xj, ... , хп}— набор линейно независимых элементов из Е, (cjcn} £ (К- Доказать существование функционала I g Е* такого, что 114) = ck, k = 1, ... , п.

Пусть (х^),^! — последовательность элементов банахова пространства 5, (Сп)”=1 сК и /И — положительное число. Доказать, что для существования функционала Z g Е', удовлетворяющего условиям Z (xn) = cn (n g М) и || 1|| <£ М, необходимо и достаточно, чтобы для любого конечною набора (Л£, ... , Хт}ссПб mm

выполнялось неравенство . У ЧЧ | < м || У Xkxk ||. I6=16=1

Пусть (х„)”=1—фиксированная последовательность элементов линейного нормированного пространства Е, L—ее линейная оболочка. Доказать, что х g L тогда и только тогда, когда из l£ Е', ( (хА) = 0 (k g И) следует Z (х)=0.

Пусть Ех, Ег —линейные нормированные пространства, Е = Z?,4- Е2— их прямая сумма. Доказать, что всякий функционал т^Е' однозначно представим в виде m(x£, хг) = lv (xj) -}- Z2 (х2), где ^g Е', i = 1, 2.

Пусть E— линейное нормированное пространство, М с Е— произвольное множество. Положим Л41 = (Zg Е' , Z (х) = 0, xg М}. а) Доказать, что М1—подпространство в Е'. б) Что представляет собой М1, если Е—гильбертово пространство? в) Доказать, что если М — подпространство, то М = = {xg£|Z(x) = 0, l^M1^

Доказать, что всякий замкнутый шар в вещественном линейном нормированном пространстве является пересечением некоторого семейства полупространств вида {/(х) с с), где l^E', cgIR.

Представить шар Вх (0) в 1RW с нормой ||-||р в виде пересечения счетного числа полупространств.

ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ

ФУНКЦИОНАЛОВ В НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Понятие о базисе Шаудера. Пусть Е— банахово пространство над полем [К, (х„),7=. i — последовательность элементов Е. Ряд У] Хк называют сходящимся, если сходится последовательность ($«)”=[ его частичных сумм: Sj = xv s2=x1 + x2,...,sn=x1 + --- • • •-|-xzl, ... В этом случае элемент s = lim sn называют суммой

ряда и пишут s = X Хк.

Определение 5.1. Последовательность (ет, е2, ...)сЕ называется базисом Шаудера банахова пространства Е, если любой элемент х^Е можно представить (и притом единственным образом) в виде суммы ряда х= S хкр-к С^бЮ-

Легко видеть, что если в Е существует базис Шаудера, то пространство Е сепарабельно. Действительно, в этом случае всюду плотно в Е счетное множество конечных линейных комбинаций элементов базиса с рациональными коэффициентами (или, если К = (С, с коэффициентами вида Хк = а» + фь где а», Ps Е (Q).

Во многих банаховых пространствах построены базисы Шаудера (например, в /„, Lp ([а, 6]), С ([а, 6])). Еще в 1927 г. Ю. Шаудер сформулировал известную «проблему базиса»: выяснить, в любом ли сепарабельном банаховом пространстве существует базис. Эту проблему решил в 1972 г. П. Энфло, построив пример сепарабельного банахова пространства, в котором нет базиса Шаудера.

Приведем пример базиса Шаудера.

Теорема 5.1. В пространстве lp (1 с р «<оо) последовательность векторов ег =(1,0,0, ...),е2= (0, 1,0, ...),е3= (0,0, 1,0, ...), ... является базисом Шаудера. Точнее: любой элемент х — (х1г х2, ...)£1Р единственным образом представляется в виде суммы сходящегося в [р ряда по системе (екУк=\, а именно, в виде

X = X Хквк.

к=1

Доказательство. Положим s„=x1e1+ ••■ + хпе„ и покажем, что последовательность (sn)7=i фундаментальна. При п">т имеем

II $п "— Sm ||р — II X Хкбк Xi хквк ||p = *=Ife=l

= 11(0, ..., 0, xm+i, ... ,Xn, о, ...)||p = ( X I^lp)l/P,

A=m+1

и фундаментальность последовательности (sn)”=i следует из сходимости числового ряда У |х*|р. В силу полноты пространства 1Р

ряд У х^е* сходится к некоторому элементу 1Р. Покажем, что он 6=i

сходится к элементу х, т. е. что х — lim sn. Действительно,

П-* ОО

П

||% —8«||р = ||Х— У Х^б||р = ||(0О,

Х„+|, Xn+2, ...)||Р = ( S |Хб|р)*А

следовательно, lim Ц х— sn||p = 0. ■

Пространство, сопряженное к 1Р (1<р-<оо).

Теорема 5.2. Пусть р> 1 и 1/р + ifp' = 1. Тогда для любого функционала (£(1РУ существует такой элемент (f Hk=i € Ip', что для любого х = (хб)б=1 € 1Р

tW=^bxk." (5.1)

6=1

Обратно, для любого элемента (fk)k=i£lp’ формула (5.1) определяет функционал $GUpY- При этом ||/|| = (£ \fk\p'Y^'. Иными 6=i

словами, формула (5.1) устанавливает изометрический изоморфизм пространств (1Р)' и 1р. (обычно соответствующие элементы (1РУ и 1Р’ отождествляют и пишут (1РУ = 1р-\

Доказательство. Пусть у к)к^ £ 1р.. Покажем, что функционал Цх\ определяемый формулой (5.1), принадлежит (1РУ- Действительно, в силу неравенства Гельдера имеем

lf(*)(< (S |/бГ)'^(Е |хИр)[/р = с||х||р< + оо. (5.2) fe=i6=1

Отсюда следует ограниченность функционала f и неравенство || /|| с с. Линейность / очевидна. Тем самым показано, что 1Р- е(1ру.

Пусть теперь f£(lpy. Покажем, что этот функционал можно представить в виде (5.1). В силу теоремы 5.1 имеем

Цх) = f (У хке^ = f (Ит У Хббй) = Ит У х^(ей) =/г=1П-* во ^=1П-*ео fe=l

” def £

= L xkf (efc) = 2j fkXk-6=i6=i

Покажем, что (/б)б=1 € 1Р-; тем самым будет доказано обратное включение (lp)' s lp-. Для этого при любом фиксированном п^М

рассмотрим элемент у £ 1Р, определяемый следующим образом: у = ([fJP'-^-torgfi, ... , I^JP'-Ig-targf,,, Q; Q; )

Тогда

f(y) = £I^p'.(5.3)

k=\k-\

Из ограниченности / следует, что

1/(у)Ы1/ННН1/н£ ll/^'"1 X fc=l

X е-‘ "g f^py/P = || / IK S I h lpy/p.(5.4)

k=\

Здесь мы воспользовались тем, что р^р'— 1) = р*. Сравнивая (5.3) и (5.4), получаем

I 1ЛК< 11/11(1 IMW к=\к=\

откуда находим, что при любом ng И

(£ iMni/₽'<iifii.

Из последней оценки следует, что (/*)Г=1 € 1Р- и с = (^ I h |р'),/р'< < 11/||. Поскольку выше из (5.2) было получено неравенство 11/11 <с, то 11/11 = с. ■

Пространство, сопряженное к lv

Теорема 5.3. Иространство Q.^’ изометрически изоморфно пространству I». Соответствующий изоморфизм ViY 5 f **(fk)k=i € ^^устанавливается формулой (5.1) при любом x£lv Обычно пишут короче: ^YY = U.

Доказательство. Пусть УкУк=х — ограниченная последовательность комплексных чисел, т. е. f = (/НГ=1 Е 1~> ||/||~ = = sup || /&| | k £ И). Тогда функционал Цх), определенный по формуле (5.1) для x^lv линеен. Покажем, что он ограничен. Действительно,

IM=|S /^<sup{|W|AgN}fi Ы = ||/||Д|^ ft=ifc=i

т. e. функционал /(x) ограничен и ||/|| C||f||«,. Тем самым установлено и включение /„£(/])'.

Упражнение 5.1. Доказать обратное включение (О' GlM, т. е. показать, что для любого функционала f g (ZJ' существует такой элемент / = UOk=v € ^~> что (Vx g /J: / (х) = V [кхк, причем [| / || = || / Г^.

*=1

Пространство, сопряженное к U. Понятие о банаховом пределе. Нетрудно установить включение (ПУ з lv Действительно, пусть (Д)^-1 € к. тогда функционал Цху определенный по формуле (5.1) для х^1ю, очевидно, линеен. Его ограниченность следует из оценки

соОООО

l/WI<E IMJ < sup(|^|| AiC^lS |Д| = ||х|Д S IM-&=1&=IА=1

Таким образом, (Д)' э к и при этом ||Д| < Е I Д1- Полагая в (5.1)

Л=1

х = (хЛ.)Г=1, где хк = e-tагя(А СИ), получим /(х)=£ |М, т. е. к—\

n/ll = S IM = 11/111-

А-=1

Покажем, что (L)' ¥= Zj (полное описание пространства ^Uy можно найти, например, в [281). Приведем пример функционала из (Zoo)', не представимого в виде (5.1) пи при каком кЬУрк^к- Для этого рассмотрим линейное множество с, состоящее из сходящихся последовательностей комплексных чисел.

Определим на с линейный функционал /, полагая

(Vx = (xv хг, ...)£c):f (х) = limхк.(5.5)

Л~* СО

Так как | /(х)| = |Ншха] с sup {|х*| | к^ И} = || х||, то /Сс’, причем

||/|| <- 1. По теореме Хана — Банаха функционал / можно продолжить с сохранением нормы до функционала F^Ly. Легко видеть, что функционал F не может быть представлен в виде (5.1). Действительно, выражение (5.1) меняется при изменении конечного числа членов последовательности (x^fcLiEc, в то время как выражение (5.5) остается неизменным. ■

Отметим, что продолжение F функционала / определяется, конечно, не единственным образом. Можно показать (см., например, [7, с. 28]), что существует такое продолжение F£(Uy (его обозначают /’(x) = Limxt и называют банаховым пределом), которое обладает следующими свойствами:

если (Чк):хк > 0, то Limx/e > 0;

Lim хк = Lim х»+ь к сок

При этом всегда Ншх» сЫшхд с Итхь дТ^ к-~

Пространство, сопряженное к 1.г Цк dp) (1 < р < °°).

Теорема 5.4. Пусть \<р<ео, 1/р + \]р' = 1, <R, 91, р)— пространство с оконечной мерой. Пространство (LP(R, t/p))' изометрически изоморфно пространству Lp- (R, d^). Соответ-

ствующий изоморфизм (LP(R, dp))' Э I <■* к £ Lp. (R, dp) задается формулой

(Vx (7) 5 Lp (R, dp)) :Цх) = ^ h (7) x (7) dp (7).(5.6)

r

Обычно этот изоморфизм записывают как равенство (Lp (R, dp))' = = Lp.(R, dp).

Доказательство. Если h^ Lp- (R, dp), x^Lp(R,dp), to, определив линейный функционал / по формуле (5.6), получим в силу неравенства Гельдера

lzWI = U ^Wx(7) ^р(7)| с II h |[J| х||р.

R

Отсюда видно, что функционал / ограничен и || /1| < || h ||Р'; тем самым доказано включение LP’(R, dp) с ^LP(R, dp))'.

Остается проверить, что любой функционал IС (Lp (R, dp))' представим в виде (5.6) и что имеет место неравенство НМР'<||/||.

При доказательстве этого мы ограничимся случаем конечной меры, предоставив читателю провести соответствующие рассуждения для о-конечной меры.

Пусть /£ (Lp (R, dp))'. Если А— измеримое множество, то его индикатор Ха входит в Lp(R,dp), и поэтому имеет смысл 1(Хл). Тем самым определяется отображение со: Аг-*1(Ха). Покажем, что со — заряд на измеримом пространстве (R, 91). Достаточно проверить а-аддитивность м. Пусть Л = J Л6, Л* £ 9t, Ak fl А, = 0 к=л

^k^ j). Тогда Ха = У ^Ак, причем этот ряд сходится в норме Lp(R,dp). Поэтому в силу линейности и непрерывности функцио, нала / имеем

ю(Л) = Ц7.Д) - /(I Ха„)=У /(ХаД-У <о(ЛД, k=lк=\k—l

следовательно, «—заряд. Если р (Л) = 0, то Ха = 0 (mod р), т. е. Ха —пулевой элемент Lp(R, dp), и поэтому «(Л) = 0. Таким образом, заряд го абсолютно непрерывен относительно меры р и по теореме Радона — Никодима существует такая функция h£Lt(R, dp), что (УЛ С ^): ю (Л) = J h (7) dp (7).

А

Покажем, что h £ Lp. (R, dp) и что имеет место представление (5.6). Это представление непосредственно проверяется для индикаторов измеримых множеств:

I (Ха) — со (Л) = У h (q) dp (q) = J h (7) Xa (7) Ф (7)-ЛR

Отсюда следует справедливость представления (5.6) для простых измеримых функций.

Если х (,q)— ограниченная измеримая функция, то по теореме П.5.2 существует последовательность (хп (<?))”=! простых измеримых функций, равномерно на R сходящихся к х (</). В силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости (см. также упр. III.6.2) в равенстве

Цхп) = j h(q)xn^q)dp^q)

R

можно перейти к пределу. В результате получим представление (5.6) для ограниченной измеримой функции х (</).

Положим теперь для каждого п £ Й

Ь\Hq)\<n,

"10 при | h (q)| > п

и рассмотрим функции уп (q) = | hn (q)\p,'-le~i ^ №. Каждая из этих функций ограничена, измерима и

II у„ПР = Ц1^ Ш(р'-1)рДр(д)У,Р = (J I lirtWdy^yp. (5.7) RR

Далее, в силу (5.6), имеем

Цуп) =ЛЦд) \hn(q)\P'-le-iarehM dp(q) = J \Mq)\P'dpRi). (5.8) RR

Так как | / (y„)| С || 11| «IIУп ||Р, то из (5.7) и (5.8) получаем

{ I h„ (q)\p'dp (q) С || 11|(J | h„ (W^-

RR

откуда

(J | M?)K(5.9)

R

Поскольку последовательность \hn^q)\p' сходится в каждой точке к l^(Q)K> то> применив лемму Фату, получаем из (5.9)

$ I Ц<?)1р'^р(<?) С || ИК>

R

т. е. h^Lp.(R, dp) и ||й|1Р' с ||/||.

Таким образом, линейный непрерывный функционал I совпадает с линейным непрерывным функционалом J h(q)x(q) dp. (q) на плот-

R

ном в Lp^R, dp) множестве ограниченных функций. В силу теоремы 3.1 (о продолжении функционала по непрерывности) эти функционалы совпадают на всем Lp(R,dy), т. е. имеет место представление (5.6). ■

Пространства, сопряженные к L1(R, dp) и LM (R, dp).

Теорема 5.5. Пусть (R, ЭТ, р> — пространство с о-конечной мерой. Пространство (J^AR, dp))' изометрически изоморфно иро- 214

странству L«, (R, dp). Соответствующийизоморфизм (L^R,dy,))'9 Э l^h^L^ (R, dp) задается формулой

(Vx^L1(R) dp)):l(x) = j h(_q)x(q) dp(q). (5.10) R

Доказательство. Если hQ Lx (R, dp), то для любого xQ C Lt(R, dp) функция h(.q)x(q) суммируема, поэтому формула (5.10) определяет линейный функционал на L^R, dp).

При этом

|Z(x)| = | J h (q) х (q) dp (q)\ С j | h(q) х | (q) | dp(q)< RR

« ess sup | h (q)|- || x 11!= ||/i |k || x Hi-(5.11)

Отсюда видно, что функционал / ограничен, т. е l^L^R, dp))', следовательно, L„(R, dp) s (LJ/?, dp))' и || I1| с || h ||«,.

Обратное включение и неравенство || fo Цоо <||/|| доказываются примерно так же, как и в предыдущей теореме. Предлагаем читателю самостоятельно провести соответствующие рассуждения.

Замечание 5.1. Если hQ LT (R, dp), то из оценки, аналогичной (5.11), непосредственно следует, что формула

Цх) = J h(q)x(q)dp(q)

R

определяет линейный непрерывный функционал на Loo (R, dp). Таким образом, Lt (R, dp) с (L^ (R, dp))'. При этом включение строгое, если только мера р не сосредоточена в конечном числе точек (ср. п. 4). Полное описание пространства (Loo(Z?, dp))' можно найти в [28, 34].

Пространство, сопряженное к C(Q). Пусть Q — метрический компакт, SB (Q) — о-алгебра борелевских подмножеств Q. Заряд со, заданный на измеримом пространстве (Q, % (Q)), назовем регулярным, если его положительная и отрицательная вариации <я+ и со_— регулярные меры (см. определение VI.8.2). Ясно, что множество W (Q) таких зарядов является линейным пространством. Положим || со|| = | to| (Q), где |to| — полная вариация заряда со, | со| (£) = = <о+ (£) + со_ (L). Нетрудно проверить, что аксиомы нормы выполняются, причем пространство W (Q) полно относительно этой нормы, т. е. W (Q) — банахово пространство.

Пусть С (Q) — пространство вещественнозначных непрерывных на Q функций х: Q -> IR. Имеет место следующая теорема.

Теорема 5.6 (Маркова). Пространство {С (Q))' изометрически изоморфно пространству регулярных зарядов W VQY При этом соответствующий изоморфизм (С (Q))' Э I ш g Ц7 (Q) задается формулой

(VxeC(Q)):/(x) = jx^dco^).

Доказательство этой теоремы (даже в более общем случае) имеется в книге [28].

Здесь докажем частный случай приведенной теоремы, а именно теорему об общем виде линейного непрерывного функционала в вещественном пространстве С ([0, 11).

Теорема 5.7 (Рисе а). Для любого функционала 1£(С ([0, 11))' существует такая функция g ограниченной вариации, что функционал I представляется с помощью интеграла Римана — Стилтьеса

1

(Vx€ С ([0,1 ])): / (х) Цх^ dg ф,(5.12)

О

причем V (g; [0, 1]) = ||/||.

Доказательство. Как известно (см. замечание VI.7.2), пространство С ([0, 1]) можно рассматривать как подпространство пространства М ([0, 11) ограниченных на [0, 1] вещественных функций. По теореме Хана — Банаха функционал / можно продолжить с сохранением нормы до линейного непрерывного функционала L на /VI ([0, 1]).

Для любого / £ [0, 1] положим щ = Хр, /]. Поскольку ut£ М ([0,1]), то имеет смысл L^u^. Положим g(/) = L (tzz) и покажем, что функция g искомая.

Проверим вначале, что g— функция ограниченной вариации. Рассмотрим произвольное разбиение л отрезка [0, 1] точками О = /0</1< . . • <tn-\ <tn=X и положим e,-=sign (g(/1+i) — g (Л)). Тогда

n—1fl—I

V^g; [0,1]) = I Ig^+O-g^HS e,(g(/i+l)-g(/,)) = l=01=0

n—1n—1

= S St (C (tZ/-,,) P (ut z)) = L (\ еДщ^ щ.-)^ = i=01=0

n—1

= L (^срХщ,(5.13)

zz—I

Поскольку функция г= SezX«,,принимает лишь значения i—о

0,1 и — 1, то 1| г|| = sup [| г(/)||0 с / < 1} = 1, и из (5.13) получаемV„(g; [0,1]) с || Z,[|. |1 гц = ][ Z. ц= || /1|,

откуда следует, что g— функция ограниченной вариации и

V(g; [0, 1])<||/||.(5.14)

Докажем теперь представление (5.12). Пусть х£С([0, 1]). Для любого пЕМ положим

пппп

п

п

п

п

Тогда

/7—1

к—О

и поэтому в силу определения интеграла Римана — Стилтьеса lim L(xn^ = f x(f)dg(t\(5.15)

о

Кроме того, (x,,),^ — последовательность простых функций, равномерно сходящаяся к х, поэтому |]х„ — х||->0 и в силу непрерывности функционала L имеем L (х) = 11mL (хл). Отсюда в силу

получаем

1L(x)= ( x^dgV),О

а поскольку х Q С ([0, 1 ]), то L (х) = I (х), и формула (5.12) доказана. Наконец, из (5.12) имеем

11

|/«l IJ^WOHJ\x^\dg^\<

<шах|х(01 ■ V(g; [0, 1])=||х|| • V (g; [0, 1]),

откуда [I /|| с V (g; [0, 1]). Учитывая (5.14), получаем ||/|| = = V(g;[0, 1]). ■

Замечание 5.2. Ясно, что теорема остается справедливой, если заменить отрезок [0, 1] произвольным отрезком [а, 6].

Замечание 5.3. Если g (/) — произвольная функция ограниченной вариации на [0, 1], то формула (5.12) задает линейный непрерывный функционал на С ([0, 1]). Однако установленное в теореме 5.7 соответствие между (С ([0,1]))' и множеством функций ограниченной вариации не является взаимно однозначным. Действительно, если заменить g (/) на g (Z) + const или изменить значение g {i) на конечном или счетном множестве, то соответствующий функционал (5.12) не изменится. Поэтому функцию g (/) можно подчинить, например, условию g (0) = 0 и считать непрерывной слева. В этом случае соответствие становится взаимно однозначным, причем ||/|| = = V (g; [0,1]). Таким образом, пространство, сопряженное к С (1а, М), изометрически изоморфно пространству V (1а, 61) (см. упр. 1.17.1, 1.17.2).

УПРАЖНЕНИЯ

Найти сопплжешюе пространство Е', если Е— это ©w с нормой а) !'.;;„ 1 < р; 6)

Пусть р> 1 фиксировано. При каких о у IR следующие функционалы принадлежат соответствующим сопряженным пространствам: а) /рЭх|->

•*S ^V- 6) M0’ UDx'-^\taxWdt-, в) Lp([l, =о))Эх|-* G-^^d/;

г) Lp ([0, со))Эх1->у <“е~zx(/)d/? Найти нормы этих функционалов.

О

Доказать, что с' = lv

Указание. Рассмотреть при любом у ^Ц функционал

/ (х) = yt lim xk + £ yk Ххк (х g с).

к-~6=i

Описать пространство, сопряженное к пространству с0.

Пусть Л1 (IR")— совокупность всех ограниченных вещественных функций на IR" с нормой || х || = sup (| х (/)| | ZglR'1}. Доказать, что существует линейный непрерывный функционал Lim х (х g М. (1R")), обладающий свойствами: a) inf {х (f)|/£ IR"} < Lim х <. sup {х(/)[ t^ IR"}; б) если существует lim x(t) = a,

ШЦ-* OO

TO Lim X = a; в) (y$ g IR") : Lim x (Z) = Lim x V + s).

Доказать, что I g C* ([a, 5]) и найти ]j 1|], если: а) / (x) = ax (a)-}- + P^W (a, PgIR); б) I (x) = ^ x (t) p (Z) dt, где p— фиксированная функция a

b

из C([a, 6]); в) I (x) = J x (Z) dt - x ^-y^. '

a

Пусть Q — метрический компакт, I gC^Q) —положительный функционал. Положим для любого компакта KcQ р (/С) = inf {/(х) | 1 > х > Х^ и для борелевского множества А с Q р (Д) = sup {р (К) I К с: А, К — компакт}. Доказать, что р—мера.

Описать сопряженное пространство к С1 [0, 1].

ВЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО НОРМИРОВАННОГО ПРОСТРАНСТВА ВО ВТОРОЕ СОПРЯЖЕННОЕ.

РЕФЛЕКСИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Пусть Е — линейное нормированное пространство, Е' — сопряженное пространство, т.е. пространство линейных непрерывных функционалов на Е. Поскольку Е' — банахово пространство, то для него определено сопряженное пространство (Е'У = E"t которое естественно назвать вторым сопряженным для Е.

Теорема 6.1. Если Е —линейное нормированное пространство, то Ег Е". При этом

(Vx € ^) III х ||е = Н х ||£_(6.1)

Доказательство. Элементы пространства Е обозначим через х, у, ... , Е' — через I, тЕ" — через L, М Определим отображение

ср: Е Э х i-> Lx ^ Е",полагая Lx(/) =/(х)(У/^Д'). Покажем, что L, — линейный непре-

рывный функционал на Е'. Действительно, если Z, т^Е', X, yGK, т0 Lx (XZ 4- ym) = (X/ 4- ym) (х) = XI (х) 4- ym (х) = ХЪх (Z) 4- уХх (m), т. е. функционал Lx линеен. Далее,

|ЬД/)Н|/(х)|<||/||. ||х||,

т. е. функционал Ех непрерывен и при этом || Ех || с || х||. Покажем, что ф— линейное отображение. Для любых х, у^Е, X, уЕК имеем при любом 1^Е

Ехх+им (О = / (Хх 4- уу) = X/ (х) 4- р/ (у) = = ХЕх (Z) 4- рЕу (/) = ^ХЕ% + рЕу^ (/), поэтому Ех^у = ХЕх 4- рЕу, т. е. отображение ф линейно. Покажем, что оно инъективно. Для этого рассмотрим ядро этого отображения Кег ф = (хС Е | Ех = 0) и покажем, что Кегф—(0). Действительно, допустим, что это ядро содержит элемент х Ф 0. Тогда в силу следствия 4.1 (из теоремы Хана — Банаха) существует такой функционал 1£Е', что ||/|| = 1 и Z(x) = || х ||. Тогда LX(Z) = = Z(x) = |[ х || Ф 0, т. е. Ех Ф 0 и, следовательно, х^ Кег ф.

Остается доказать, что || х || = || Ех ||(Vx£Е). Выше было показано, что |[ Lx || С || х ||. Покажем, что ||х|| с ||ТХ||. При х = 0 это очевидно. Если ХФ^, то в силу того же следствия 4.1 существует 1£Е' такой, что ||Z|| —1, Z(x) = j)x||. Тогда

\\х\\ = Кх) = ЕхЦ)<\\Ех\\.\\1\\==\\Ех\\

и, следовательно, ||х|| = || Дх || (Vxg£).

Итак, ф ; Е -> Е" — линейное инъективное отображение, сохраняющее норму, т. е. Е изометрически изоморфно части (или всему) Е". Поэтому естественно отождествить каждый элемент х Е Е с соответствующим элементом Lx Е Е". Тогда мы получим вложение Е s Е" и равенство (6.1). В

Определение 6.1. Банахово пространство Е называют рефлексивным, если Е" = ф (Д).

Из результатов § 5 следует, что при 1 < р < оо пространства 1Р и Lp (R, dp) рефлексивны, а пространства lt и /„ нерефлексивны. Нерефлексивны также E^R, dy) и L^ (R, dp), если только мера р не сосредоточена в конечном числе точек. Нерефлексивно и пространство С (Q), если Q — бесконечное множество.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать рефлексивность конечномерного нормированного пространства.

Пусть Е — рефлексивное банахово пространство, F — его подпространство. Доказать, что (F1)1 = F (см. упр. 4.13). Справедливо ли это равенство для нерефлексивного Е?

В условиях упр. 6.2 доказать рефлексивность F и E/F.

Пусть Е — банахово пространство, F — его подпространство. Если F и ElF рефлексивны, то и Е рефлексивно. Доказать.

Пусть Е — рефлексивное банахово пространство. Доказать, что (V^ € E')QlX ^Е, хфоу.1 (х) = II X I! II /1|.

Доказать нерефлексивность с0.

1/2

Доказать, что функционал / (g) = j dg(f) является лилейным и не- о

прерывным функционалом на С'([0, 1]). Вывести отсюда нерефлексивность пространства С ([О, I]).

ТЕОРЕМА БАНАХА — ШТЕЙНГАУЗА.

СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ

Теорема Банаха — Штейнгауза. В функциональном анализе важную роль играет следующая теорема, которую часто называют принципом равномерной ограниченности.

Теорема 7.1 (Банаха —Штейнгауза). Пусть Е— банахово пространство, (l^nh — последовательность функционалов из Е'. Если эта последовательность ограничена в каждой точке, т. е.

(Vx £ Е) ^ > 0) (Vn € М): 11п (х) | с сх,(7.1)

то последовательность их норм ограничена, т. е.

(3c>0)(V«GRJ)i|[Z„H «с.(7.2)

Доказательство. Пусть последовательность (/„)”=t удовлетворяет условию (7.1). Покажем, что тогда существует замкнутый шар ВДа), в котором множество {/rt(x))”=i ограничено. Предположим противное, пусть множество {/rt(x)}”„i не ограничено ни в одном замкнутом шаре и, следовательно, ни в одном открытом шаре. Возьмем произвольный шар Д-, (хп). Так как в открытом шаре ВгДх^ множество {/,t(x))X=i не ограничено, то найдутся такие Х!^ВГо(х0) и п,^^, для которых \ln, (xt)|> 1. В силу непрерывности (функционала 1П1 неравенство |/„, (х) | > 1 выполняется п в некоторой окрестности точки xv поэтому оно будет выполняться в некотором замкнутом шаре Br, (xj ед Вг„ (хф. При этом можно считать, что гх <£ г0/2. Поскольку в шаре В^ (xj множество ^h^^ не ограничено, то найдутся такие хй^Вг^хх^ и помер п2>п1, что |/„г(х2)|>2, В силу непрерывности функционала 1П1 неравенство |/„г(х)| > 2 выполняется в некотором шаре Я-2(х2), причем можно считать, что г% < г0/22. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных замкнутых шаров Br,(x0)zD Вг^Ху)^ В,,^ ^ ...(г&->0 при /г-> со) и натуральные числа пу<п2<... такие, что I Z«6 (х) | >/г при x£Brfe(pCk). По теореме о пересечении вложенных замкнутых шаров в полном метрическом пространстве существует точка х*, принадлежащая всем указанным шарам (х* = Нтхй). Поэтому |/,1/г (х*) | >/г при всех 1г, что противоречит условию (7.1). Полученное противоречие доказы-

вает существование шара Вг(а), па котором множество {/Дх)}^! ограничено:

^d > 0)(Vx€ Вг (a)) (Vn Ш: | U (х) | с С. (7.3)

Поскольку для любого линейного непрерывного функционала || / II = sup (| I (х) 111| х || С 1}, то для доказательства теоремы достаточно показать, что множество {/л(х)},7=1 ограничено на единичном шаре ВДО). Для любого х^5т(0) положим х'—гх-\-а, тогда х = 1 (х' — а). Ясно, что х'^Вг^а\ поэтому (Vn): | ^(х')] < d. Тогда имеем

iMx) I = | к (у (X- - а)) | = ~ | In (х') - In (а) | < 7 (| In (х') 1+1 In (а)|).

Отсюда, учитывая (7.3) и (7.1), получаем |4(Х)|<^2 = С, что и доказывает ограниченность {/n-(x))”=i на единичном шаре, g

Упражнение 7.1. Привести пример, показывающий, что условие полноты пространства Е в теореме 7.1 нельзя отбросить.

Слабая сходимость линейных непрерывных функционалов.

Определение 7.1. Пусть Е—линейное нормированное пространство. Говорят, что последовательность функционалов (УлнС^' слабо сходится к функционалу КЕ', если

(Ух^Еу. 1п(х)-+1(х).

Слабую сходимость обозначают так: U** I или. / = w.lim/n.

Пусть пространство Е банахово и ln~* I. Тогда в силу определения 7.1 при любом х^Е последовательность ^(лУгка ограничена. Поэтому по теореме Банаха — Штейнгауза (ЯО 0) (Vn^ Й): I! UII < с.

В банаховом пространстве Е' можно рассматривать и другой вид сходимости, а именно, сходимость по норме этого пространства: к I, если Игл || 1п — /1| — 0. Из неравенства | Z,, (х) — /(х) | с || к— — /|| • ]| х|| следует, что сходимость по норме/,,->/ влечет слабую сходимость 1п ->-1. Однако обратное утверждение неверно.

Упражнение 7.2. Привести пример банахова пространства Е и последовательности функционалов (tfd”^ с Е', сходящейся слабо, ио не сходящейся по норме.

Теорема 7.2. Пусть Е— банахово пространство и пусть последовательность функционалов (/,+7=1 с Е' такова, что для любосо х^Е последовательность (/ZI(x))~=i фундаментальна. Тог-

да существует такой функционал КЕ, что In^l. Иными словами, пространство Е' слабо полно.

Доказательство. В силу условия теоремы при любом фиксированном х^Е существует предел lim/п(х) =/(х). Переходя к пределу при п оо в равенстве 1„ (Хх 4- ру) = Х/„ (х) 4- иД (у) (А, р€К, х, у^Е\ убеждаемся в линейности функционала /. Покажем,-что он ограничен. При каждом фиксированном х^Е последовательность (/„(x))”=i сходится и поэтому ограничена. В силу теоремы Банаха —Штейнгауза нормы ||/„|| ограничены одной константой с, т. е. ^п 6 И) (Vx £ Е): 11п (х) | < сЦ х 1|. Переходя в этом неравенстве к пределу при п-> эо, получим (Vx £ Е): | / (х) | < <с||х||, т. е. функционал / ограничен. Таким образом, 1 =

Теорема 7.3 (критерий слабой сходимости функционалов).Дусть Е—банахово пространство и множество М всюду плотно в Е. Для того чтобы последовательность (ЦД^а с Е’ слабо сходилась к 1^ Е', необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия; 1) (Vx ( М): /„ (х) ->-1 (х); 2) (Яс > >0) (Vn0):|0 «с.

Доказательство. Необходимость условий теоремы очевидна. Для доказательства достаточности нужно показать, что при выполнении условий теоремы

(Vy £ Е): lim 1п (у) = / (у). (7.4)

Если х^М, то

I 1П (у) — I (у) I < IU (у) — In (х) I 4-1 1п (х) — / (х) I 4- I / (х) — / (у) | <<11U\\ • 11у-хЦ + |/„(х)-/(х)|-Ц|/|| • \\Х-У\\<

<(c4-||/mix-y||4- Щх)- /(х)|. (7.5)

Поскольку М=Е, то (Vy 6 E)(Ve> 0)(Зх£Л4): ||х — у || < <е/2(с4- || Z||). Далее, в силу условия 1), (Ve>0)(3^ (Vn> >H);\ln(x) — Z(x)|<e/2. Тогда из (7.5) находим, что (Ve > 0) (ЯМ) (Vn > N): 11п (у) — Z(у) | С е, т. е. выполняется (7.4). ■

Замечание 7.1. Из доказательства видно, что условия 1), 2) остаются достаточными и в том случае, если Е — линейное нормированное пространство (не обязательно полное). Ясно также, что в формулировке теоремы достаточно требовать, чтобы множество М было тотально в Е.

Теорема 7.4. Пусть Е— сепарабельное линейное нормированное пространство. Тогда в сопряженном пространстве Е' любой шар Д (0) = { /£ Е' 11| /1| < г) предкомпактен в смысле слабой сходимости функционалов, т. е. любая последовательность функционалов Ц.фД=\ а В,^ содержит подпоследовательность (к^^, слабо сходящуюся к некоторому функционалу.

Доказательство. Пусть М = (xv х2, ...} — счетное множество, всюду плотное в Е. Рассмотрим числовую последователь- 222

ность (/„ (х^)^! . Поскольку 1 In (х,) | < II In II • || Xi II < r || Xi ||, эта последовательность ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность (lni (xj)^. Теперь рассмотрим числовую последовательность (/„i (x2))7=i. Опа также ограничена и поэтому содержит сходящуюся подпоследовательность (/„2 (х2))п=ь Продолжая этот процесс, построим диагональную последовательность (/n„)^=i такую, что для любого хи £ М существует предел lim/nn(x*) =/(х^,). Продолжив I на л. о. (7И), а затем по непрерывности на все Е, получим функционал 1£Е', к которому в силу теоремы 7.3 слабо сходится последовательность (Zm)7=i. ■

Следствие 7.1. В пространстве, сопряженном к сепарабельному линейному нормированному пространству, любое ограниченное множество слабо предкомпактно.

Слабая сходимость в (С (1а, 61))'. Теоремы Хелли. Применим рассмотренные вопросы к изучению слабой сходимости функционалов на пространстве непрерывных функций.

Обозначим через V (la, 6]) пространство всех непрерывных слева на [а, 6] вещественнозначных функций g (/), имеющих ограниченную вариацию на [а, 61 и удовлетворяющих условию g (а) = 0. Легко видеть, что || g|| = V (g; [а, 61) является нормой на V ([а, 61). Из § 5 (см. теорему 5.7 и замечание 5.3) следует, что (С (1а, Й))' = = V (la, bl), причем соответствие (С ([а, Ы))' Э I ° g € V (1а, 6]) задается формулой

(Vx £ С ([a, 6])): I (х) = $ х (Z) dg (t).

Теорема 7.5 (первая теорема Хелли). Пусть задана последовательность функционалов (1п)п=1 а (С ([а, 6]))'; (g„),7=i а сз V ([а, Ь]) — соответствующая ей последовательность функций ограниченной вариации. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) № Ya, Ы) $ gn ^ ~> g (Z)i 2) (Яс > 0) (Мп € И): II gn || = = V (gn; Ya, b])<o. Тогда g€ V ([а, 6]) и In-^l, где

ь

Цх^Цх^Цу(7.6)

а

Доказательство. В силу условия 1) для любого разбиения а = t0 <<!<... < Z0~i < tn = b отрезка [а, Ь] имеем

2 I g &+i) — g (tfe) I = Hm £ \gn (^+i) — gn (tk) | < c, k=0n-* *> k=0

поэтому функция g(t) входит в V([a, 6]) и, следовательно, определяет функционал I ^ (С(Ya. Ь\)У, действующий по формуле (7.6).

Покажем теперь, что I = w. lim/„. Положим

F = л. о. (С ([а, (?]) (J (Хщ, р) | а с а < р < 6})

и введем в этом линейном пространстве норму || x||F = sup {[ x(Z) 11 а < <t<b\. Для любой h^V (Да, Ь]) интеграл Лебега — Стилтьеса

^ x(t^dh(t^ определяет функционал из F'. Обозначим через Z„ [я, ь\

функционал из F', отвечающий функции gn 6 V ([а, 6]), а через V— функционал из F', отвечающий функции g. Ясно, что сужения этих функционалов на С ([а, 6]) совпадают соответственно с 1п и /. Поэтому для завершения доказательства достаточно убедиться в том, что Z,',-^ Z'. Воспользуемся теоремой 7.3. Ясно, что (V«GM): :|| 1„ || = || gn || с с. Далее, для любого полуинтервала [а, Р) с [а, Ь^ имеем

ь

Гп (Х[а, Р)) = { Х[а, Р) (0 dgn к^ = gn (Р) — gn («)

->g(P) —g(“) = Z'(X[a, Р)).

Остается заметить, что множество М = л. о. (xi«, р) | а < а < р < 6} всюду плотно в F. Н

■ Теорема 7.6 (вторая теорема Хелли). Пусть А —■ бесконечное множество функций из V (1а, 61) такое, что все функции из А и их полные вариации равномерно ограничены, т.е.

(З/С > 0) (VgG Л): sup {I g(t) | | ZG [a, 6]} с К, V(g; [а, Ь]) < K.

Тогда из А можно выбрать последовательность (g^)^, сходящуюся в каждой точке [а, Ь] к некоторой функции g^V([а, 6]).

Доказательство. Пусть F — пространство, введенное в доказательстве теоремы 7.5. Обозначим через В множество функционалов из F', построенных, согласно формуле (7.6), по функциям из А. Поскольку ВсВк^сР, то в силу теоремы 7.4 из В можно выделить такую последовательность функционалов (Z„)”=], что числовая последовательность (Jn (x)),?=i фундаментальна при любом x^F. Пусть (g,,)”=! —последовательность функций из А, соответствующих этим функционалам. Множество Сп точек разрыва функции gn не более чем счетно, поэтому все функции последовательности (gn)n=i непрерывны всюду па [а, 6]\С, где С = [)£„— не более чем счетное множество.

Зафиксируем произвольное a G [а, Ь]\С. Поскольку в силу условия теоремы числовая последовательность (g„ (а))”=1 ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (g„k (а))Г^л. Если теперь взять любое PG[a, Ь]\С и положить х(0 = %щ,Р) (Z), то

ьр

Uk(X) = V^d^ = $ dgnftW gnkk^ —gn^cc).аа

Однако тогда из фундаментальности числовой последовательности (Ц(х))Г=1 следует, что (§^ф))Г=1 — сходящаяся последовательность. Итак, последовательность функций (§Л4)Г=1 сходится во всех точках множества [tz, Ь]\С, где С — не более чем счетное множество. Применив к этой последовательности диагональный метод, выделим из нее подпоследовательность (glm)),”=i, сходящуюся в каждой точке отрезка [«,&]. Если теперь положить g(Z) = limg<m>(/), то

в силу теоремы 7.5 gV) £ V ([а, 6]). В

Слабая сходимость в линейном нормированном пространстве. Пусть Е— линейное нормированное пространство. Последовательность (х,^ с Е называют слабо сходящейся к элементу х^Е, если

(VZ££'): lim Цх^ = Цх\

Обозначают слабую сходимость в Е так: хп ->- х, или х = w. lim хп.

Из неравенства \l Vxr) — I (х) |< || 1\\ • || хп — х|| сразу следует, что из сходимости хп к х по норме вытекает слабая сходимость. Обратное утверждение неверно. Так, если рассмотреть пространство Ip (1 <р<оо), то в нем последовательность элементов %, = = (1,0, 0, ...), х2 = (0, 1,0,...), х:1 = (0, 0, 1, 0, ...), ... слабо сходится к нулевому элементу (0, 0, ...) (Почему?) Однако || хп || = 1 при всех п и поэтому (x„)“-=i по норме не сходится к нулю.

Выясним смысл слабой сходимости в Е, учитывая вложение Е G Е" (см. § 6). Напомним, что это вложение определяется следующим образом: Е Э х х-* Lx £ Е", где Lx (Z) = I (х) (V/£ Е'). Нетрудно показать, что слабая сходимость хпЕ^ х эквивалентна слабой сходимости последовательности функционалов LXn Л Ех. Действительно, по определению слабой сходимости функционалов сходимость LXn ^- Lx означает, что (VZ g Е') : ЕХп (Z) ->- Lx (/), т. е. Z (хп) -> / (х), а это значит, что х„ -* х. В силу отмеченной связи ряд утверждений, доказанных выше для слабо сходящихся последовательностей функционалов, можно переформулировать для слабо сходящихся последовательностей элементов исходного пространства. Так, имеет место следующее утверждение.

Теорема 7.7 (к р ите р и й с л а б о й сходимости в линейном нормированном пространстве). Пусть Е — линейное нормированное пространство, М — тотальное подмножество в сопряженном пространстве Е'. Для того чтобы последовательность (xJ^Li с Е слабо сходилась к элементу х £ Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия; 1) (VZ6M):Z(x„)->Z(x); 2) (?с> 0) (Vn £ И): || х„ Ц с с. В

Отметим, что теорема 7.2 о слабой полноте сопряженного пространства не переносится на случай слабой сходимости элементов исходного пространства (даже если оно банахово). Поясним это об-

стоятельство. Пусть последовательность (xn)£Li cz Е такова, что для любого 1^Е' числовая последовательность (/(xj)”=i фундаментальна. Отсюда в силу теоремы 7.2 следует, что последовательность (Lx^^s с Е" слабо сходится к некоторому функционалу L^ Е". Однако если Е не рефлексивно, то функционал L, вообще говоря, не порождается никаким элементом х £ Е. и

Хотя слабо сходящаяся последовательность может и не сходиться по норме, тем не менее имеет место следующая теорема.

Теорема 7.8. Если хп^-х, то существует последовательность конечных линейных комбинаций элементов хь х2, .... сходящаяся к х по норме.

Доказательство. Положим G = з. л. о. (хп\ Для доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что х £ G. Предположим противное. Тогда в силу теоремы 4.1 существует такой функционал / £ Е', что || /|| = 1, I (х) = р (х, G) и 11 G = 0. Отсюда следует, что / (х„) =0 при всех п и поэтому lim I (х„) Ф I (х), что

противоречит условию, н

УПРАЖНЕНИЯ

Для xg£3([—1, 1]) положим ln (х) = х (t) cos antdt. Доказать, что

—1

а) /„— линейный непрерывный функционал; б) in->-0. Сходится ли !п к нулю

ЧпU (*) = п \ х ^ dL Доказать, что послеЧпU (*) = п \ х ^ dL Доказать, что послепо норме?

Чп

U (*) = п \ х ^ dL Доказать, что после

Чп

U (*) = п \ х ^ dL Доказать, что после

Для хЕС(|0, 1 ]) положим

довательность Gn)n=\ слабо сходится. Сходится ли Оп)”^ по норме?

Для х Г С1 ([—1, 1]) положим ln (х) = ^(х^)— х(—-^У Дока" зать, что: а) 1п — линейный непрерывный функционал; б) последовательность (ti„—i слабо сходится. Сходится ли (ti)”=i по норме?

Пусть Е — банахово пространство, последовательность (ti”=l '— ^* такова, что lim/n(x) = (x) существует для всех х^Е. Доказать, что тогда I С Е* и-1| I i| <: lim 1| 1п |1.

Пусть L — подпространство банахова пространства Е. Если последовательность (х„)“=1 с L слабо сходится к х, то х £ L. Доказать.

Доказать, что в конечнсмерном нормированном пространстве <лаС«.я сходимость совпадает со сходимостью по норме.

Пусть (х<,!,)”=1 с: I ^р>-\\ Доказать, что: а) х^^-х в /р тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) sup {|| х^/^ | n С N} < <х>; 2) (V^E W limx^ = хк; б) хп-*х по норме в /р (р 5» 1) тогда и только тогда, когда выполнено условие 2 из а) и условие (Ve > 0)(Н^ (е) £ W) (Vn Е

6 И): У I х(^ 1Р < е.

fc=/i(e)

Доказать, что слабая сходимость в вещественном пространстве Ц совпадает со сходимостью по норме,

Пусть хп, x^Lp ([0, 1]) (п ?М, Р> 1)- Доказать, что хп ^ х в Lp([0, 1]) тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) sup {l| хп\\| п £ М} < оо;

(ут£[0, 1]): ^„(Mt-^xWdt. оо

Доказать, что: а) для хп-*х в С ([а, Ь]) необходимо и достаточно выполнения условий: 1) sup {'i х„ 'Л п? Г;11<и; 2) (у/ £ [а, 6|) : хп (/) -► х (/); б) пространство С ([а, 6]) не полно относительной слабой сходимости.

Пусть Е— банахово пространство, х,хп^Е, I, ln^ Е' tn^H). Доказать, что 1п (хп) -> / (х), если выполнено одно из следующих условий: а) хп^»-х и 1п->1 по норме; б) хп-^-х, in->i по норме; в) 1п->- /, хп-> х по норме.

Пусть Н — гильбертово пространство, хп, х, уп,у^Н (п£М). Если хп Д х, а Уп *- у по норме, то (хп, yj -> (х, у). Доказать. Построить пример последовательностей (хп)“=р кУ^Тх-Л таких> чт0 хп-*х, уп-»-у, а (хп, Унк+*

Пусть Н— гильбертово пространство, х,хп^Н (л£М) и хп -*х. Доказать, что хп->х по норме, если выполнено одно из следующих условий: - а) П И а: П; б) (yn€ftJ) || хп || С || х||; в) Нт || хп || С |[ х ||.

Какие из последовательностей (х(п))”==1 с Ц, (уп)”=1 с L2 ([0, 1]) сходятся по норме, а какие слабо: а) х^ =(1, 1/2, ... , 1/п, 0, ...); б) х^ = = (0, ... , 0, 1, 1/2, ...); в) х^ = (1, - , 1,, —2> ...); г) уп«) = ^;

Д) Уп (0 = eint; е) уп (0 = 2n (1 — nt) х^ ±^)?

§ 8. ПОНЯТИЕ ТИХОНОВСКОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

И СЛАБАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ

т. е. ограничения накладываются лишь на конечное число компонент, остальные же могут быть произвольными. Выбирая любые конечные системы индексов и соответствующие окрестности Uak, получим в Т систему окрестностей

S = {^ («1> • • • , “«; Uap ... , Ua,) \ак$А,Uak € Sa^, к = 1, . . . , п; п^ ^}.

Нетрудно проверить (см. например, [2,71]), что (Т, Е)— хаусдорфово топологическое пространство. Его называют тихоновским произведением пространств (Та, Sa).

Теорема Тихонова утверждает, что тихоновское произведение любого множества компактов есть компакт.

2. Слабая топология в сопряженном пространстве. Пусть Е — банахово пространство (для определенности комплексное). Рассмотрим тихоновское произведение (D£ = П (D*- гДе (D* = (D ПРИ всех х^Е. Поскольку 2,— это совокупность открытых кругов В (0, то топология 2 в (££ определяется окрестностями вида

U (хр..., хп; UXt, ..., UХп) = U (Хр ..., х„; Су, ... , сл; г у, ..., Гп) = = (а^^] |й(хй) —сй| <гй, & = 1, ... , /г} (c^(D,r6>0).

Выясним смысл сходимости последовательности в (0£. Пусть последовательность (ай(х))Г=1 с (D£ такова, что (Vx^E); Нтай(х) = = «(х). Ясно, что тогда а^-^-а в <([)£, 2). Обратно, пусть ak->a в смысле тихоновской топологии. Тогда для любой точки х0£Е и любой окрестности вида U (х0; а(хоу, е)£2 найдется такое М£И, что при любом n">N будет ап(х)6^(х0; а(х0); е), т. е. |ал(х0)— — а(х0)|<е. Таким образом, сходимость в тихоновской топологии совладает с поточечной сходимостью.

Пространство^ содержит, в частности, все линейные непрерывные на Е функции, т. е. Е' с (D£. Система окрестностей

задает на Е' топологию, называемую слабой топологией. Из сказанного выше следует, что сходимость 1п-* I в слабой топологии Е*

совпадает со слабой сходимостью ln I.

Теорема 8.1. Если Е — банахово пространство, то замкнутый единичный шар Bv^ = {/£Е' |||/|| < 1} является компактом в слабой топологии Е'.

Доказательство. Из определения нормы линейного функционала сразу следует, что

5^0)55 = П{2€(С| И <IHIL

х^Е

Поскольку в последнем произведении каждый из сомножителей — компакт, то по теореме Тихонова В — компакт. Поэтому для дока-

зательства теоремы достаточно убедиться в том, что Bv (0) — замкнутое множество в слабой топологии.

Пусть а^С^— предельная точка множества /^(О). Покажем, что а^Е'. Проверим сначала, что а — аддитивная функция, т. е. что а(х + у) = а(х) + а (у) (Ух, у £ Е). Зафиксируем х, у^Е и для произвольного е>0 рассмотрим окрестность U (х, у, х + у; а(х), а (у), а^х + у); е, е, е). По определению предельной точки в этой окрестности найдется функционал I = Цх^В^ОУ Тогда

|а(х+z/) —а(х) —а(у)| = | а (х + у) — I (х -{- у) + I (х) — а (х) ++ Цу) — а(1)У с |а(х+ у) — Цх + у)| + | Z(х) — а(х)| +

-ИЦу)— а (у) |< Зе.

В силу произвольности е отсюда следует, что а (х + у) = а (х) 4*' + а (у). Аналогично доказывается, что а (х)—однородная функция. Покажем теперь, что линейный функционал а (х) ограничен. При фиксированном х для любого е > 0 в окрестности U (х, а (х), с) найдется функционал /£ Вх (0). Таким образом,

| а (х) | < | а (х) — I (х) | + | / (х) | < в + || х ||,

откуда в силу произвольности в следует, что |а(х)| <5 || х||, т. е. функционал а ограничен и, более того, ЦаЦ^!, следовательно, a £ВХ (0).

Замечание 8.1. Пусть Е— сепарабельное банахово пространство. Рассмотрим в сопряженном пространстве Е' две системы окрестностей: систему 2, определяющую слабую топологию в Е', и ее счетную подсистему

Hi-Wly»,Уп^^-VbJац-^ЬкЦ qxдь)У

где (у,^^ — счетное всюду плотное в Е множество, a,, bf, q/ £ Q Нетрудно показать, что топология в Е', порожденная системой окрестностей 2,, совпадает на ограниченных множествах со слабой топологией. Таким образом, в пространстве Е', сопряженном к сепарабельному банахову пространству, слабая топология на ограниченных множествах имеет счетную базу; поэтому такая топология определяется заданием класса сходящихся последовательностей. Следовательно, эта топология задается слабой сходимостью функционалов. В этом смысле теорему 8.1 можно рассматривать как обобщение теоремы 7.4 на случай несепарабельного пространства Е.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что введенное в и.1 (Т, S) является хаусдорфовым топологическим пространством.

Доказать утверждение о совпадении топологий, сформулированное в замечании 8.1.

§ 9. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ОБЩИЙ ВИД

ЛИНЕЙНОГО НЕПРЕРЫВНОГО ФУНКЦИОНАЛА

Ортогональность. Теорема о проекции вектора на подпространство. Продолжим изучение гильбертовых пространств, определенных в § VI.5. Здесь будут изучены некоторые геометрические факты, относящиеся к этим пространствам. Всюду в этом и следующих параграфах И — гильбертово пространство (для определенности, комплексное) со скалярным произведением (х, у) — (х, у^ц.

Лемма9.1. Скалярное произведение является непрерывной функцией относительно сходимости по норме.

Доказательство. Пусть х„ ->• х, уч ■-* у. Тогда (||x„||)^=i и (IlyJD-^i —сходящиеся числовые последовательности, поэтому они ограничены некоторым числом М. Используя неравенство Коши — Буняковского, получаем

КХа, уф — (X, у)| < |(Х„, уф — (X, уф \ + | (X, уф — (X, у) | = = |(х„ —X, уф \ -|-| (х, уп — уН < II х„ — х|| • ||у„|| + + 11*11 • \\Уп — у\\^ М||х„-х|| + ||х|М|у,г-у||,•

откуда видно, что Нш (х„, уф = (х, у). ■

Определение 9.1. Два вектора х, у £ И называются ортогональными (х J. у), если (х, у) = 0.

Определение 9.2. Вектор х £ Н называется ортогональным множеству М <= Н (х I М), если (х, у) = 0 (Vy £ Af). Множество векторов, ортогональных множеству М, называется его ортогональным дополнением и обозначается через М1-.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что ортогональное дополнение к любому подмножеству И является подпространством Н.

Доказать, что если х ± у, то || х + У ||2 = || х i|2 + ||У !|2 (теорема Пифагора). Обобщить эту формулу на случай п попарно ортогональных векторов.

Определение 9.3. Пусть G — подпространство Н. Проекцией вектора х на G называется такой вектор у £ G, что х — у I G. Обозначать проекцию будем так: у = пр(,х.

Докажем теперь одну из основных теорем теории гильбертовых пространств.

ТеоремаЭЛ (о п рое к ци и на подп р остр ан ство). Если G — подпространство гильбертова пространства И, то для любого х^Н существует единственная проекция у = прцх.

Доказательство. Если x^G, то нр^х = х. Поэтому считаем, что x^G, тогда d = р (х, G) = inf || х— у||>0. Пусть после-

довательность (yn)n=i с G такова, что dn = ]| х— уп || d при п -> оо. Покажем, что последовательность (уфп=\ фундаментальна.

Пусть k^G— любой ненулевой вектор. Тогда yn-Vah^G при любом 8^(0, поэтому || х — (у» + e/i)||2 > d\ т. е.

l|x-t/„||2-s(x-i/n,/i)-8(/i, x-t/„)+|e|2 • ||/i||2 >d\

Полагая в этом неравенстве е = || к ||~а(х — уп, к\ получим

11 II или

Цх-уП1 /i)|2<p|l2 .(d^-d^, откуда

|(x-yn,/i)|c||/i|| Vd^-d».(9.1)

Поскольку последнее неравенство верно и при к = 0, то при любом k^G имеем

I (Уп — Ут, к) ] < | (уп — х, к) | 4-1 (х — ут, к} | с

С11А11 (/4 - d2 + /4- d2).

Положив в последнем неравенстве к = уп — ут, получим

II у,. - /А, II < |/ 4^ + /4-d2.

Из этого неравенства следует, что (y^n-v—(фундаментальная последовательность. Поскольку // полно, то существует предел у = = liniz/n, а так как множество G замкнуто, то y^G.

Переходя в неравенстве (9.1) к пределу при п->оо, получим, что (х— у, к) = 0 при любом k^G, т. е. х— у ± G. Это и означает, что у = прех.

Остается доказать единственность проекции. Пусть также у' — пр^х, т. е. /(Сих — у' ± G. Тогда для любого к £ G имеем

(У — У', /0 = U — У'- К) —- (х — у, к) = 0.

Положив здесь h = y— y'^G, получим || у — у' ||2 = 0, откуда У - У’■ ■

Следствие 9.1. Пусть G — подпространство гильбертова пространства Н, G1—его ортогональное дополнение (оно также является подпространством И, см. упр. 9.1). Тогда каждый вектор х^Н единственным образом представляется в виде х = у + г, где y^G, z^G1. При этом у = прах, z = пр0±х.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что (V^i> К € ©XV*!- хг € Щ : nPot^i + А.2х2) = ХщрдХ^ -{- Х2ПРдХг.

Доказать, что (V-tG Д): II прох||а +1| х— npGx Ца= || х ||2 (ср. упр. 9.2).

Доказать, что (Vх G Д): II прох || < || х ||.

Ортогональные суммы подпространств.

Определение 9.4. Два подпространства Gv, G2 гильбертова пространства Н называются ортогональными {G^ ± Gz\ если х ± у для любых векторов х € Glr у С G2.

Определение 9.5. Пусть Gn G2, .... G„ — попарно ортогональные подпространства гильбертова пространства Н, т. е. G, ± G,. при j #= k. Ортогональной суммой этих подпространств называется множество

G = \x^H\x = gx-V ... -V gn, gk ^ Gk).

Обозначается ортогональная сумма так: G = Gt ф G2 ф ... ф Gn, п

или G = ф Gk.

6=1

Например, из предыдущего следует, что если G — подпространство Н, то Н = G ф G-.

Теорема 9.2. Ортогональная сумма конечного числа попарно ортогональных подпространств гильбертова пространства также является его подпространством.

Доказательство. Пусть G = ф Gk, где подпространства

Gv .. . , Gn попарно ортогональны. Легко видеть, что G — линейное подмножество И. Покажем, что оно замкнуто. Пусть х = = gl + •• ■ + gn^G, ТОГДа X — gk = gi + ... + gk—t + gk-H + •• • + + gn 1 Gk, T. e. gk = npG^x и поэтому || gfe|| < || x|| (ft = 1п).

Пусть теперь х— предельная точка множества G, тогда существует последовательность (xm)m=i cG такая, что хт->-х. Положим хт = = gml + . • . + gmn, где gmk £ Gk, тогда || gmk — gik II = II пр t (xm — — хд II < II Um — хд ||. Отсюда следует, что последовательность (gu, gtk, . • .) фундаментальная, поэтому при каждом значении 6=1, 2,.... существует предел gk = Hm gmk£ Gk. Но тогда х =

= limхт = lim (gnti + ... + gmn) = gt + ... + gn^G, т. e. множе- ctbo G замкнуто и, следовательно, является подпространством Н. g

УПРАЖНЕНИЯ

п

Доказать, что для любого вектора /6 ф Gt имеется единственное 6=1

представление вида / = G + . •. -f- fn ^h Q G^.

Доказать, что если f = fT^ ... ^- f^ g = gj+g2 -|[-g^ — любые

векторы из ф Gk, то (/, g) =(L, gA

k=i

Линейные непрерывные функционалы в гильбертовом пространстве. Из результатов, полученных в § 5, следует, что (/2)' = /2 и (L2 ^.R, dp))' = L2 (R, dp). Оказывается, эти совпадения не случайны и имеют место для любого гильбертова пространства. Этот результат доказывается в следующей теореме.

Теорема 9.3 (Р и с с а). Пусть И — гильбертово пространство. Тойа для любого функционала I £ Н' существует единственный элемент и^ Н такой, что

(Vx £ Н) 1I (х) = (х , и).(9.2)

При этом || I1| = || мЦ. Обратно, для любого и^Н формула (9.2) определяет функционал 1^Н' с нормой || I|| = || и ||.

Доказательство. Из свойств скалярного произведения непосредственно следует, что при любом и^ Н формула (9.2) определяет линейный непрерывный функционал на И. При этом в силу неравенства Коши — Буняковского | Z (х) | = |(х, ы) | < Ц х || • || и ||у откуда || /1| < || и ||. Кроме того, из (9.2) при х = и получаем || и ||2= = /(и)<||/|| 'Цы ||, откуда || и || С || /||. Поэтому для функционала, определенного формулой (9.2), ||/||=||и||.

Пусть теперь задан произвольный функционал 1^Н'. Покажем, что он допускает представление по формуле (9.2). Положим G = = {х £ Н | I (х) = 0) В § 4 было показано, что G — гиперподпро- странство Н. В случае гильбертова пространства это, очевидно, означает, что dimGL = 1. Пусть e^GL, || е|| = 1. Тогда любой элемент х^Н можно представить в виде х = g + Хе, где g С G, X ^ (D. Отсюда получаем I (х) = I (g + Хе) = I (g) ф XI (е) = (х, е) I (е) = (х, I (е) е) и для получения представления (9.2) достаточно положить и = 1(е)е. При наличии представления (9.2) равенство ||/|| = ||«|| Уже было доказано.

Остается доказать единственность элемента и, соответствующего данному функционалу I. Пусть имеется также элемент и^Н такой, что (Vx 6 Н) ! I (х) = (х, и). Тогда при всех х £ И будет (х, и) = ■ (х, и), откуда (х, и — и) — 0. Взяв, в частности, х = и — и, получим || и — и|| = 0, т. е. и = о. И

Замечание 9.1. В силу теоремы Рисса существует сохраняющее норму взаимно однозначное соответствие Н' Э / 2» и £ И. Нетрудно проверить, что соответствие ср антилинейно, т. е.

(VX, |i С (С) (VZ, tn £ IT)! <р (XI |- ц/п) = Х<р(/) 4- ЦФ (т).

Эго позволяет отождествить // п //'. Отсюда, в частности, следует, чго теорему 4.2 в случае гильберюва пространства можно сформулировать так: для того чтобы множество М. а И было тотально в Н, необходимо и достаточно, чтобы из ортогональности вектора h к М следовало /г = 0.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть G — подпространство гильбертова пространства Н. Доказать, что вектор х Д G в том и только в том случае, когда (Vy С G): || х || < || х — у и.

Пусть М. N — такие множества в гильбертовом пространстве Н, что М s N. Доказать, что М1 э ^1.

Доказать, что для любого множества М.С.Н имеет место равенство (М-1-)1 = з. л. о. (М).

В Г2 ([—1, 1]) построить проекцию любой функции на подпространство: а) четных функций; б) нечетных функций.

Найти в L2 ([0, lj) ортогональное дополнение к следующим множествам: а) множеству Р([0, 1]) всех многочленов, рассматриваемых на [0, 11; б) U (0 = У (<2)- t $ [0, 1]|уСР([О, 1])}; в) {х€Р([0, 1])|х(0) = 0}.

^Пусть Н — пространство С ([—1, 1]) со скалярным произведением к> £/) = J x(t) у (t) di. Найти М1, если: а) М = [х G Н | х (I) = 0, /£[0, 1]};

—I

б) М = [х е Н | х (0) = 0}; в) М = [х $ II' х (t) = х {—t},[0, 1]}.

Привести пример такого подмножества Ме^, что Л14-Л11‘ = {х4- + y'iX£M, у СМ1} не совпадает с /2.

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

И ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Ортонормированные системы векторов. Неравенство Бесселя. Систему (<?б)б=1 = (<?!, е2, е3, ...) векторов гильбертова пространства Н называют ортонормированной, если для любых /, &^И

/ 1 при j = k, 'i’ ek) Ojk | q ирн &_

Примером такой системы может служить система векторов ev = (1, 0, 0, . ..), ег = (0, 1, 0, .. .), еа = (0, 0, 1, .. .), . .. в пространстве /2.

Упражнение 10.1. Доказать, что если в Н имеется счетная ортонормиро- ванная система, то пространство Н бесконечномерно.

Лемма 10.1. Пусть (ek)k^i — ортонормированная система вН.

Для сходимости в Н ряда 2 скеДсь(И£л необходимой достаточ-

6=1

но, чтобы сходился числовой ряд У |Сб|2.

Доказательство. Поскольку пространство Н полное, то

для сходимости ряда У скек необходимо и достаточно, чтобы по- 6=i

следователыюсть его частичных сумм была фундаментальна. Но при п > т имеем

|| У скек — У скек ||2 = || У скек||2 = S c~ck(eh ek) =

6=16=16=m+Ij, 6=m4-I

= S кб|2.

6=rn+l

Отсюда в силу критерия Коши сходимости числового ряда следует утверждение леммы, g

Теорема ЮЛ. Пусть (<?б)Г=1—ортонормированная система в Н. Тогда для любого вектора х^Н ряд £ (х, е^Ск сходится 6=1

8 Н и имеет место неравенство Бесселя

f |(х,^)|2<||х||2.(10.1)

ы

Доказательство. Поскольку в силу леммы сходимость ряда следует из неравенства (10.1), то достаточно доказать это неравенство. Используя свойства скалярного произведения и условие ортогональности, имеем при любом п£ Rj

0 с || х — ^ (х, е^ ек ||2 = (х — 5 (х, е^ еь, х — 5 (х, е^ е^ = 6=i6=i6=i

= II х II2 — 5 (х, eft) (ek, х) — 5 (х, ek) (х, е^ +fe=lfc=l

п п

+ 5 (X, е/) (х, вк) ^i, вк) = IIX II2 — £ I (х, вк) I2, /< 6=16=1

поэтому

£ |(х,аб)|2«||х||2 (Vn6W).

6=1

Перейдя в последнем неравенстве к пределу при п -> оо, получим требуемое неравенство (10.1). Я

Для любого вектора х^Н числа хк = (х, е^ называют коэффициентами Фурье вектора х по ортоиормироваиной системе (ей)7=ь а ряд 5 Хквк = 5 (х, е^вк — рядом Фурье по этой системе. Дока- 6=16=1

заипая теорема показывает, что ряд Фурье любого вектора сходится по норме. В следующем пункте будет рассмотрен вопрос о том, при каких условиях сумма ряда Фурье вектора х равна самому этому вектору.

Отметим также, что на неравенства (10.1) следует, что lim (х, вк) = 0 для любого х^Н. Это означает, что если (e^k-i— к-* оо ортонормированная система, то ^-+0. Вместе с тем по норме по- следователыюсть (еб)/7=1 не сходится, поскольку ||е„ — ет ||=|^2 при т#=.п.

Ортонормировапные базисы в Н. Равенство Парсеваля. Пусть (^)7=i— ортонормированная система в гильбертовом пространстве Н. Положим G = з. л. о. (екУк=4- Тогда для любого х^Н имеет место равенство

npGx = X (х, е^вк.(10.2)

6=1

Действительно, ясно, что £ (х, eft) efe G О и для любого /£И

(х ^ (*, е^вк, е/) = (х, в/) — 5ф0 е*) (еб, eh = (х, еЬ — (х, ?/) = 0.

Определение 10.1. Ортонор ми розанная система (ek)k=v с Н называется ортонормированиим базисом в гильбертовом Пространстве И, если она тотальна в И, т. е. если з. л о. №1 = Н- _

Если (ej£Li — ортонормированный базис в Н, то, поскольку в этом случае G = Н, из формулы (10.2) следует, что любой вектор х Е Н представим в виде

х = Sj (х, е*) ек = ^ хкек.(10.3)

Ясно, что при таком представлении скалярное произведение вычисляется так:

(х, у) = ^(х, е^^у, ек) = ^хкук (Ух,у$Н),(10.4)

в частности

1М2= j^f3 (Vx^H).(10.5)

Равенство (10.5) называют равенством Парсеваля, или уравнением замкнутости. Иногда равенством Парсеваля называют и равенство (10.4).

Упражнение 10.2. Доказать единственность представления (10.3).

Теорема 10.2. Ортонормированная система (e^kLi а Н является ортонормированный базисом в Н тогда и только тогда, когда для любого х^ Н имеет место равенство Парсеваля (10.5).

Доказательство. Необходимость условия теоремы была только что установлена. Докажем достаточность этого условия. При доказательстве теоремы 10.1 было показано, что при любом х(Н и любом п ^ И имеет место равенство

• II х— £ Х^||2 = ||х||2 — S | Хк I2.

6=16=1

Поэтому из (10.5) следует, что

Нт ||х— хкек\\ = 0.

П-»оо&—[

Но это означает, что х£з. л. о. (е*)Г=1. Следовательно, з. л. о. (ek)k=i = Н, т. е. (бй)б=1 — ортонормированный базис в Н. —

Пример 10.1. Пусть Я = L3 ([0, 2л]). Положим

еп = (2л)" 2 etnt (п £ Z).(10.6)

Легко видеть, что система векторов (10.6) ортонормироваиа. Покажем, что она является базисом в Н. В рассматриваемом случае л.о. (^^„^ —это совокупность всех тригонометрических полиномов на [0, 2л]. Согласно теореме Вейерштрасса, любая функция / (б 6 С ([0, 2л]), удовлетворяющая условию f (Q) = f (2л), может быть с любой точностью равномерно приближена тригонометрическими полиномами. Поскольку С ([0,2л]) плотно в Н (см. теорему VI.8.6) и из равномерной сходимости следует сходимость в Н (т. е. в среднем квадратичном), то л. о. (е,,)^^^ всюду плотна в Н, т. е. система (10.6) является ортонормированным базисом в Н. Таким образом, любой элемент / € 6 L4 ([0, 2л]) представим (в смысле сходимости в среднем квадратичном) в виде суммы ряда Фурье

ГД9

/„ = 2^ m^dt.о

При этом имеет место равенство Парсеваля 2л~

J |f(0R 2л ^ 1^ПГ (Vf€ia([O, 2л]). 0Н**— оо

Ортогонализация системы векторов. Пусть в гильбертовом пространстве Н задана счетная система («,0,7=1 ненулевых векторов. Ортогонализовать эту систему — это значит построить такую орто- нормированную систему (еп)^=ь что л. о. (иДДл — л. о. (en)n=i.

Рассмотрим один из возможных способов ортогонализации дайной системы (иДп=1- Вначале исключим из данной системы каждый вектор, который линейно зависим от предыдущих. Полученную систему обозначим через (и„). Ясно, что л. о. (нп) = л. о. (щ) (при этом система (и„) может оказаться конечной).

Положим ej. = UJ./H vL j] и построим вектор ёг = и2— Х^, гДе Хп выберем из условия ё2 1 ev Из .этого условия получаем 0 = = (е2, ^) = (о2 —Хцв,, ej = (u2, ev^ — Хи, откуда Хи = (о2, ^). Теперь полагаем е2 = е'2/|| ёг Ц-

Далее построим вектор вида ё3 = о3— Х^— Х22е2, ортогональный к ^ и е2. Из этих условий находим 0 = (е'3, е^ = (и3 — — Х21е! —Ха2е2, е1) = (и3, ^) —Х21, откуда Х21 = (о3, ej и аналогично Х22 = (у3, е2). Теперь полагаем е3 = e'a/llcJI-

Продолжая этот процесс, мы получаем не более чем счетную ортонормированную систему (е„). Из ее построения ясно, что л. о. (е„)Ел. о. (и„). Кроме того, каждый из векторов системы (щ) представляется в виде опИ = ёп+1 + Хп1ех + • • ■ + Хппеп, т. е. Оп+1€л- °- (ei> •••> ел+1)> поэтому л. о. (и„)ел. о. (е„). Следовательно, л. о.(е„) = л. о.(о„) = л. оДи^. у

Упражнение 10.3. Выяснить геометрический смысл процесса ортогонализации.

Теперь мы можем доказать один из фундаментальных фактов теории гильбертовых пространств.

Теорема 10.3. Всякое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство Н изометрически изоморфно пространству 1г.

Доказательство. Поскольку пространство Н сепарабельно, то в нем существует счетная система векторов («„)£=;, тотальная в Н. Ортогонализовав эту систему, мы получим ортонор- мированную систему ффп^, также тотальную в Н, т. е. ортонорми- ровапный базис. Поскольку пространство Н бесконечномерно, то этот базис является счетным.

Построим теперь требуемый изоморфизм. Любой вектор х^Н допускает однозначное представление в виде суммы ряда х = = S xkek- Установим соответствие между II и /2 следующим к=\

образом;

Н Э х о (Xk)k^i G /2-

Ясно, что это соответствие взаимно однозначно и сохраняет операции сложения векторов и умножения на скаляры. Из равенств (10.4) и (10.5) следует, что при соответствии и сохраняются и скалярное произведение и норма, т. е. и — изометрический изоморфизм. Я

Следствие 10.1. Все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны между собой.

Доказанная теорема особенно полезна благодаря тому, что по своей структуре пространство /2 гораздо проще других сепарабельных гильбертовых пространств (например, пространства L2 (la, 6])), поскольку /2 является бесконечномерным аналогом конечномерного координатного евклидова пространства.

Примеры ортогональных полиномов. Пусть R — некоторый промежуток па числовой прямой или вся числовая прямая и пусть на измеримом пространстве (R, ® (/?)> задана такая мера р, что У |/1" dp(t) < оо (/г = 0, 1, 2,...). Тогда tn бк2 (R, dp) при п = R

= 0, 1, 2, ... и мы получаем счетную систему (1, I, t2, t3, .. ,)с: clL2(R, dp). Ортогонализовав эту систему, получим ортонормй- ровапную систему (е0, ev е2, .. .), причем, как легко понять, en = Pn(t)—полином степени п. Полученную систему (Pn(t))^o называют системой полиномов, ортогональных относительно меры р.

Рассмотрим ряд примеров систем ортогональных полиномов.

Пример 10.2. Пусть 7? = [—1, 1]. Меру р зададим формулой

p(^) = J(l-Oa(l+Op^ (а, Р>-1, Л5УЦ-1, 1])).

А

Соответствующие ортогональные полиномы называют полиномами Якоби и обозначают Р^'^О)- В частности, при а = Р=0 получаем полиномы Лежандра dn „

Ln (О = сп д^п U *)п-

При а = Р = —1/2 — полиномы Чебышева первого рода

Тп (/) = dn cos (n arccos 0,

при a = P = l/2 — полиномы Чебышева второго рода

Un (/) = kn sin Цп + 1) arccos 0(sin arccos 0'1.

Поскольку C([—1, Ц) плотно n L2([—1, Ц, фл), то из теоремы Вейер- штрасса непосредственно следует, что полиномы Якоби образуют ортонормиро- вапный базис в Z,2 ([—1, 1], dp).

Упражнение 10.4. Вычислить коэффициенты сп, dn, кп в приведенных формулах для полиномов.

Пример 10.3. Пусть Z? = 1R, а мера ц задана формулой

р(Л) = р”/2Д (Л £»(«)).

А

Соответствующие ортогональные полиномы

Нп V) = сп ( 1)" е • ^п е

называют полиномами Эрмита.

Пример 10.4. Пусть R .= 1°, +00)» а мера р задана формулой

И (Л) -- ^ е~' dt (Л С » ([0, +=»))•л

Полученные в этом случае ортогональные полиномы называют полиномами Лагерра. Они с точностью до постоянных множителей равны

Более подробные сведения о полиномах Лежандра, Чебышева, Эрмита и Лагерра можно найти, например, в [40j. Там, в частности, доказано, что системы полиномов Эрмита и Лагерра образуют ортогональные базисы в соответствующих пространствах.

Ортонормированные системы векторов произвольной мощности. Пусть 21 — множество любой мощности. Систему векторов {еа | а 6 21} с Н назовем ортонормированной, если tea, ер) — 0 (а Р) и || еа||2 = 1 (а £ 21). Ясно, что если 21 несчетно, то пространство Н не может быть сепарабельным. Как и в случае счетной системы, назовем коэффициентами Фурье вектора х С Н числа ха= = (х, еа).

Лемма 10.2. Пусть в гильбертовом пространстве Н существует ортонормированная система{еа\ а $ 21}, где множество 21 несчетно. Тогда для любого х£ Н не более чем счетное число коэффициентов Фурье ха = (х, еа) отлично от нуля.

Доказательство. Для любого n С И положим

21„ = {ае21||(х,аа)|>1).

Покажем, что 91„-—конечное множество. Действительно, в противном случае из Ы„ можно выбрать счетное множество (а^)“=1. Тогда, с одной стороны, ^ 1 (М %)|2 = +°°> с другой стороны, в силу неравенства (10.1), SlU> еа,)|2 С|| х ||2< оо. Остается fe=i*

заметить, что

{a£9l|(x, еа)^0}= U 91п. ■П=1

Как и в случае счетной ортонормированиой системы, непосредственно доказывается, что если положить G = 3. л. о. {еа|а€91}, то для любого х^Н

^"а^а ~ Пр^Х.а(У

Систему {еа|а^91} называют ортонормированным базисом в Н» если G — И. В этом случае любой элемент х^Н можно представить в виде

X = 5 ^аеа>

причем множество 91 х = {а £ 911 ха =N 0) не более чем счетно. Равенства Парсеваля в этом случае имеют вид

(Х, t/) = 5j хаУа< И-К II 2 = 5 | Ха |2 (VX, у^Н).«(Иа(М

Пусть Н — несепарабелыюе гильбертово пространство. Выберем в Н всюду плотное множество векторов А минимальной мощности. Ортогонализовав множество А» получим орюнормированный базис {еа| а ^ 91} той же мощности, что и множество А. Мощность этого базиса называется размерностью пространства И.

Для несепарабельных пространств можно доказать следующее утверждение, аналогичное теореме 10.3. Для множества 91 любой мощности обозначим через /2(91) множество функций 9l9«i-»- -*х(а)СС, каждая из которых отлична от нуля лишь для счетного множества значений а и таких, что 5 |*(а)|2<оо. Скалярное а(Л

произведение в /3(91) определяется формулой (х, у) = S^^V^)-

, Нетрудно показать, что любое гильбертово пространство Н изометрически изоморфно пространству /2(Э1)> где мощность множества 91 равна размерности Н.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть И — гильбертово пространство, (хп)”=1— ортогональная система элементов. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: а) ^ х„ п=-1

сходится; б) ^ хп слабо сходится; в) У, ||хп ||2 < °°.

П=1»=1

Доказать, что з. л. о. ({е<,1,| n С Z}) =/.2 ([а, 6]) тогда и только тогда, когда 6 — а < 2л.

Доказать, что система функций Хаара {xkn 11 < к С 2", п^М}, где хкп (/) = г^х,^ 6_i^A 0 - З^Хг^ W является ортонормироваи-

L 2п * йп '*- 2rt ’ 2П'

ным базисом в 12 ([0, 1])._

Доказать, что функции хп (Д = ]/2 sin ^/sin ;in, где [^ — положительные корни уравнения ig р = р, образуют ортонормированпый базис в U ([0, 1]).

Система функций Радемахера {<рт 0 | т £ М) определяется формулой гр (Z) = (—1)^2т^, где [•] обозначает целую часть числа. Доказать, что система Радемахера ортонормирована, но не является базисом в £2 ([0, 1]).

Указание. Проверить, что функция х^) = Ц(— 1) + 1/6 ортогональна всем Фт.

Положим 0 = л. о. ({е | Х£ IR}) и определим для х, у^В скалярное произведение следующим образом:

г

(*1 1/)в=т11т 57 J xW"yWdt-

-.Т

Доказать, что а) (•, -)в —скалярное произведение; б) система {еш | X € IR} ортонормирована; в) пополнение В по заданному скалярному произведению — несепарабельное гильбертово пространство.

ГЛАВА УШ. ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Одним из важнейших и наиболее изученных классов отображений линейных нормированных пространств является класс линейных непрерывных операторов. В этой главе рассматриваются элементы теории таких операторов. Линейные непрерывные функционалы, т. е. отображения £ ^ Q<, рассмотренные в предыдущей главе, являются частным случаем линейных непрерывных операторов. Естественно, что часть свойств линейных непрерывных операторов аналогична соответствующим свойствам функционалов. Другой важный частный случай—это линейные отображения конечномерных пространств, изученные в курсе линейной алгебры. Многие понятия и результаты теории линейных непрерывных операторов являются обобщением соответствующих фактов линейной алгебры.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Пусть Ev Е2 — линейные нормированные пространства. Отображении ЕгЭ х ,->- Ах £ Е2 называется линейным оператором, если для любых X, р G К « х, у^ЕхА (Хх + цу) = ХАх + цАу. Если отображение A t Ег-^- Е2 непрерывно, то А называется непрерывным оператором.

Если Е2 = К, то линейное непрерывное отображение А : Ег -* ->К является линейным непрерывным функционалом. В § VII.2 были установлены простейшие свойства линейных непрерывных функционалов. Аналогично доказываются следующие свойства линейных непрерывных операторов.

УПРАЖНЕНИЯ

Если Л —линейный оператор, то /10 = 0. Доказать.

Доказать, что линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в одной точке.

Доказать, что линейный оператор непрерывен в том и только в том случае, когда он ограничен, т. е. когда выполнено условие

№>0)(Vx££1):||Aa:||,,<:c||x|II.(1.1)

Рассмотрим примеры линейных непрерывных операторов.

Примеры.

N

Пусть Ej = Е2 = С" с нормой || х || = £ I хк | и (е^ ... , е^ — ие-

который базис ортов в ©w. Если А— линейный оператор в ©w, то

Л'N

Лх = Л (5 хке^ = v хкАек =4=14=1

NNNN

= S MX W^ = X (V П х6) е(1.2)

4=11=11=14=1

где ajk — (Aek)j—j-я координата вектора Aefe. Как известно из курса линейной алгебры, посредством равенства (1.2) устанавливается взаимнооднозначное соответствие между пространством всех линейных операторов в ©^ и множеством всех матриц (а^ k=l ^а^ G ©). Покажем, что А ограничен. Действительно,

NNNN

II ^ II = ^ IS aik4 | < S (S । ajk 0 । <

i=\ 6=16=1 /—I

N

«пш|^ |aj6| |6 = 1,..., N\• || x ||.(1.3)

/=1

Заметим, что непрерывность оператора А вытекает из свойств непрерывных отображений конечномерных пространств, изученных в курсе математического анализа.

Пусть Ех = Е^ = С ([а, 6]) на — фиксированная непрерывная функция на [а, 6]. Положим (Ах) (I) = а (/) х (/) (I € [я, Ь]). Такой оператор называется оператором умножения на функцию а. Линейность оператора А очевидна, его ограниченность следует из неравенства

|а(/)х(/)|<||а|НМ1 ('С[а, »])•

Пусть Ej = E2 = C([a, b]) и К ((, $) —фиксированная функция из С ([а, 6|Х|п. Ь|). Положим для х^С(\а, 6])

ь

(Ax)(t)^ K(t, s)x(s)ds.(1.4)

Из свойств интеграла, зависящего от параметра, следует, что (V х £ С ([а, 6]) : Ах Е С ((а, 6]). Определенный посредством (1.4) оператор А называется интегральным оператором с ядром К. Линейность А следует нз линейности интеграла, а ограниченность — из такого неравенства:

6h

|(Лх)(0| < У I KV* s)l l*(s)l ds < max | j | К (t, s)| ds I1 G [a, 6]).||x||. (1.5)

a.a

Пусть E1 = E2 = L2(X, dp) и пусть К — фиксированная функция из L4(X X X, d(uXp)). Определим подобно (1.4) интегральный оператор с ядром К в L2 (X, dji), полагая для x£L2(X, dp)

(Ax)(t) = ^ К (t, s) х (s) dp (s). .x

Корректность этого определения^. е. принадлежность функции Ах пространству L4 (X, dp)) и ограниченность оператора А следуют из неравенства

j |(Лх)(/);в dp (/) = J | ^ К (t, s) х (s) dp (s)j' dp (t) c xxx

< j |Х(/,5)|М(рХр)(/,5)-||х|;2,(1.6)

XxX

а линейность — из линейности интеграла Лебега. К

Как и для линейных непрерывных функционалов (см. § VI 1.2), введем понятие нормы линейноги непрерывного оператора.

Определение 1,1. Нормой линейного непрерывного оператора А\Ех-> Ег называется число

|M|| = sup{l^-|xe£v x#=o} = sup{|Mx||a|||x||1 = l}. (1.7)

Поскольку А—ограниченный оператор, то, согласно (1.1), множество

II Ах ||2 . 11*111II Ах ||2 . 11*111x£Ev х=^о}(1.8)

II Ах ||2 . 11*111

II Ах ||2 . 11*111

ограничено и, следовательно, определение ||Д|| корректно. Удовлетворяющая условию (1.1) постоянная с является верхней гранью множества (1.8). Поэтому ||Д|| как точная верхняя грань множества (1.8) совпадает с наименьшей из постоянных, удовлетворяющих соотношению (1.1).

Подсчитаем нормы операторов из примеров 1.1—1.3.

Из неравенства (1.3) следует, что для нормы оператора из примера 1.1 справедлива оценка

II ли = sup{|M^n 111x11 = U

NN

< max { £ | М I & = 1, • • • . АП = 2 |a/fe, I-М1=1

N

Согласно (1.2) имеем, что || Де^П = 5 I«/»„ |, и поэтому /=1

N

II А || = max {JJ )а,к | |£ = 1, ... , Му

Из приведенного в примере 1.2 неравенства следует, что норма оператора умножения на функцию а не превосходит ||а||. Пусть у(0=1, тогда || Ау || = || а ||, откуда и следует ||Л || = ||а ||. ■

Отметим, что Ц Д ||— это точная верхняя грань множества значений непрерывной функции

Et3 х!->|| Ах ||2£IR(1.9)

на единичной сфере. В конечномерном пространстве Ех единичная сфера компактна и согласно теореме Вейерштрасса

(Эхе Ер 11^111= 1): 1|Лх||2 = ||Д||.

В бесконечномерном пространстве сфера не является компактом (см. § VII.I) и поэтому функция (1.9), вообще говоря, не достигает на ней наибольшего значения.

Найдем норму оператора из примера 1.3. Из неравенства (1.5) следует, что

ь

|| А || с max {^ | К V, s) | ds 11 £ [а, Ь]} = с.

В силу теоремы Вейерштрасса

ь

(Я/0€[а, г>]): j | К(t0, s)\ds = с.а

Если функция К^о> s) знакопостоянна на [а, Ь], то, полагая х(^) = 1, получим ||Лх||=с, т. е. ||Д||=с. Покажем, что последнее равенство справедливо и в случае, когда К (<0, s) — знакопеременная функция. Для этого рассмотрим функцию x(s) = = signK(/0, s) ($€[«, &])• Ясно, что x(s) = ^ки», s»0} (s) — — %(/<(/„, s)<o}($), т. e. x — измеримая по Борелю простая функция, и, следовательно, x^L^a, b]). Согласно теореме VI.8.6 для любого е>0 найдется непрерывная па [а, Ь] функция хЕ, ||хе|| = 1, такая, что в/е> У |x(s) — xe(s)|ds. Как легко видеть, ||ДхЕ||> а

> с — е, откуда и следует требуемое.

Отметим еще, что из неравенства (1.6) вытекает такая оценка для нормы интегрального оператора в L^X, du)• || А|| с || К||.

В заключение этого параграфа рассмотрим пример неограниченного линейного опера гора.

Пример 1.5. Пусть Ех -• С1 ([0, 11) с нормой || х [^ = max {| х (/)| | / £ [О, 1|}, Е2 = С ([О, 1]). Положим

(Ах)(/) = х'(0 (/£[0, 1]).(1.10)

Легко показать, что множество (|| Ах 1|2 I || х |li = 1} неограничено. Действительно, положим хп (/) = sin nnt (n£fM). Тогда ||х„||1 = 1, ||Дхп||2 = лп, т. е. множество [Ах | х£ 5ц (0)} неограничено.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что линейный непрерывный оператор А : Et^>- Ег останется непрерывным после замены норм в Ev Ег на эквивалентные (см. упр. VI.4.3).

Вычислить норму оператора А: Ег-^Ег, если Ej = Е2 = С™ с нор- N

мами: a) ||*lli = ll ^ Нг = max |х&|; б) || х ||ц = V |хА|, Ц х |'2 = max |xfc|; К=\N

N

В) il*|li = max l*6|, ||x||2=£ Ixk |. »=iN6=1

Найти норму оператора А, действующего в Lp(Va, 6]) но формуле (Дх)(б = а(1) х (0 (1 £ [а, 6]), где а — фиксированная функция из: а) С ([а, 6]); б) L^ ([а, 6]).

Пусть К^С^а, &]х[а, 6]), Х<1. Доказать, что оператор, определя- ь

емый равенством (Ax)(t) = К (/, s) | i—s ds (/£[a, 6]), является непре

рывным в С ([a, 6J).

Пусть К (1, s) (f, s€[a, 6]) измеримая по Лебегу функция, удовлетворяющая таким условиям: 1) (Дс > 0) (V/ € [а, 6]): j | К (t, Л| ds < с; 2) (у/^

С [а, 6)):С [а, 6)):s) — К (^, s)| ds = 0.s) — К (^, s)| ds = 0.Доказать,Доказать,что интегральныйчто интегральный

С [а, 6)):

С [а, 6)):

s) — К (^, s)| ds = 0.

s) — К (^, s)| ds = 0.

Доказать,

Доказать,

что интегральный

что интегральный

оператор с ядром К (I, s) непрерывен в С ([а, 6]).

Пусть f-i= С1 ([а, bj), Е?, = С ([а, 6]); а) найти норму тождественного оператора, действующего из Et в Е^; б) доказать, что оператор А : Ех -► -*Е4,. где (Ах) (t) = х' (/) (/ 6 [а, Ь|), является непрерывным.

Пусть /. — подпространство гильбертова пространства Н, а Р Lx — проекция на L элемента х^ Н. Доказать, что оператор И э xi^-PLx € Н линеен, непрерывен, и найти его норму.

. 1.11. Найти норму оператора А, задаваемого в L., ([0, 2л]) формулой

(AW) = J х (s) cos U — s') ds. о

Пусть К ё L^ ([а, 6] X |а, b]), X < 1. Доказать, что оператор А,

определенный в упр. 1.7, непрерывно действует в /,2 ([п, Ь|).

Пусть А : Ег ->- Е^ линейный непрерывный оператор. Доказать, что: а) ядро оператора A Ker А = (х £ Et I Ах = 0} является подпространством; б) область значений .% (Л) оператора А — линейное многообразие в Ег. Всегда ли (Л) — подпространство?

Пусть 5—банахово пространство, А : Е ^- Е такой линейный непрерывный оператор, .то ('[с> 0): || Ах || й> с || х || (х^Е). Доказать, что ER. (Л) является подпространством.

Пусть Е — банахово пространство, Л : Е Е линейный непрерывный оператор. Является ли нормой в Е: а) || х 1^= ]; Ах 1|; б) || х ||а= — II ^1+ II Лх||? Будет ли в этой норме Е банаховым пространством?

Доказать, что линейный оператор, действующий в линейном нор- миронанном пространстве Е, непрерывен в том и только в том случае, когда множество (х £ El || Лхр <; 1} имеет внутренние точки.

Пусть А—линейный оператор в банаховом пространстве такой, что для всякой сходящейся последовательности (Хп)Х,1 последовательность (Ахп)^х слабо сходится. Доказать, что А — непрерывный оператор.

§ 2. ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ "

Пусть Е1; Е2— линейные нормированные пространства. Обозначим символом S?^EV Е^ совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из Ех в Ей. В случае, когда ЕХ = Е2 — Е, вместо S’ (Е, Е) будем использовать символ 5Z(EY

Если E2 = Q<, то множество йЦЕ^ К) совпадает с сопряженным к Ег пространством Е\. В § VI 1.2 в Е\ была введена структура линейного пространства и норма || 11| и было показано, что Ё\ является банаховом пространством (см. теорему VII.2.2).

Действуя по аналогии, введем в j? (Ер Е2) структуру линейного пространства следующим естественным образом: для любых А, В^З’(Е1, Е2), Х^1К, х^Е положим

(Д + В) х ^ Ах + Вх, (kA) x = k (Лх). (2.1) Справедлив следующий результат.

Теорема 2.1. Множество 2МЕХ, Е^ в заданными посредством (2.1) операциями и нормой з? (Еп Е^ Э A i-> || А || £ IR является линейным нормированным пространством. Если Е» — банахово пространство, то и 3MEV Е^) — банахово.

Доказательство первого утверждения теоремы предлагаем читателю провести самостоятельно.

Второе утверждение доказывается по схеме доказательства теоремы VII.2.2. Именно, пусть задана фундаментальная последовательность (ЛД”=1 сй^, E2Y Возьмем произвольный вектор x^Ev и покажем, что последовательность (A^^iC Е2 фундаментальна. Действительно, это следует из неравенства || А^х — — Лтх||а с || Л„-^-Дт|| • Их^, справедливого для любого x^Ev Поскольку Е2— банахово пространство, то при любом x^Ev существует предел НтД„х = /1х. Оператор Ег3 xi— Ах ^ Ег линеен, поскольку А(Хх + ру) = КтЛ^Хх -ф ру) = X Нт Апх -ф р Кт Апу = = ХАх -ф рДу для любых X, р€К, я, y€^i- Покажем, что А — непрерывный оператор. Действительно, из фундаментальности последовательности Ип)”=1 следует ее ограниченность, так что найдется такая константа с, что || Д„х||2 « с • ||x||i («СМ, xQE^. Переходя здесь к пределу при п-*оо, получим || Дх||2 с сЦхЦ! (x^EJ, т. е. A^fT^Ev Е^.

Проверим, что ||Д„ —Д||-*0, п-*оо. Из фундаментальности последовательности (Д„)^=1 следует, что

(Vs > 0) (НМ ^Ш^п, т> N^x 5 Et): 11 Апх — Атх ||а с е || х | |Р Переходя здесь к пределу при т-*оо, получим, что !?(/!„ — — Д)х||2<8 • ЦхН,, т. е. НтПЛ„ —ЛЦ = 0. щ

Последовательность (А„■)”=! с: з? (Еп Е2) назовем сходящейся по норме к оператору А^З?^, Е^, если lim|| Ап— Л|| = 0. Поскольку ||Д^ —Л|| = 8ир{||(Д„ —Д)хЦ2| ||хЦ1 = 1], то сходимость Ап к А по норме называют также равномерной сходимостью и обозначают А„"£ А, п-->оо.

Рассмотрим несколько примеров сходящихся последовательностей операторов.

ПРИМЕРЫ

1. Пусть 52 = к, тогда S’ (^.К) = Е\ и сходимость по норме в 2 (Ev Ег совпадает со сходимостью по норме в Е^ последовательности линейных непрерывных функционалов.

2. Пусть Ei = Е2 = СН. Как отмечалось в примере 1. 1, каждому оператору А^2 ^>N) соответствует матрица ЩуА^^х- Легко понять, что это соответствие между 2 (С") и множеством матриц размера N xN является изоморфизмом линейных пространств. Предлагаем читателю убедиться в там, что равномерная сходимость последовательности операторов (Ai),7=, ^ 2 I®' )н

оператору A^S (CN) эквивалентна тому, что lim а^ = a/k Ppk = 1,..., Д'), где («^)^=p (а/б)дб=1—матрицы, отвечающие Ап и А соответственно,

3. Пусть Et = Е2 = С ([а, 6|) и Л„ — интегральный оператор вида (1. 4) с ядром Кп € С ([a, 6] х [a, 6j). Предположим, что KnZ; К на [о, 67 х |а, 6]. Тогда в силу неравенства (1.5) для всех xgC([a, 6]) имеем || (А-п —Л) х || с С(6 — а) - II Кп — К II • || х || . Отсюда следует, что последовательность Mn)£Li равномерно сходится к оператору А вида (1.4) с ядром К

4. Пусть Ег = Е2 = Z2. Положим Рпх равным проекции вектора х^1г иа подпространство, натянутое на первые п векторов ортонормироваиного базиса (ck)kLi в ^2> т- е- Pn* = ^ (х- t'k) tk (х С Z2, л g И). Легко проверить, что к=1

Рп— липейны, оператор в /3 (см. унр. 1.10). В силу неравенства Бесселя II Рп х || < II х || , так что Рп^ 3 у.^. Предлагаем читателю убедиться в том что при п^=т и Рп—Рт || -- 1. Таким образом, последовательность (Р„)^=1 <3 С. S’ У-А не является фундаментальной и поэтому не сходится по норме в 2 (/2)- Вместе с тем заметим, что для любого к g Z2

(2.2)(2.2)II Рп х — х || = ( £ I xk , 2У/2-*0,п->- =о. б=и+1

(2.2)

(2.2)

Последнее замечание дает основание для введения в аЦЕ^ ЕР) других видов сходимости последовательности линейных операторов. Последовательность (Д„)п=1 с SpE^ Е^ называют поточечно (ила сильно) сходящейся к A^sz^E^ Е,) и обозначают АпДА или A =s. Нт Ап, если для любого х^Ег Ц А„х— Лх||2-*0. В случае Е2 = К поточечная сходимость последовательности (Цп=1 с Е\ есть слабая сходимость последовательности линейных непрерывных функционалов. Напомним, что сходимость по норме в Ег влечет слабую сходимость в Еъ по не наоборот (см. §VII,7). Аналогичная ситуация имеет место и для общего пространства Е4.

Действительно, из неравенства ]| Апх — Ах ||2 < || А„ — Л || X X || ^ Ui следует, что равенство 1 im ]| Ап — А |] = 0 влечет стремление к нулю || А,,х— Лх||2 при любом x£Ev Таким образом, А„Д-А.

Последовательность (Р,г)п=\ из примера 2.4 сильно сходится к тождественному оператору ДЕзД^)- Это вытекает из равенства (2.2). Однако ЦР„ — ^II = 1 («ЕМ), так что равномерно (РДД к 41 не сходится.

В пространстве 2 (Ev Е2) рассматривают также слабую сходимость последовательности операторов. Именно, последовательность (An)n=v с 2”(Ех, Е2) называют слабо сходящейся к оператору A^S’^E-i, Е2) и обозначают АпД-А (или Л = w. lim А„), если

(Vx^E^i АпхДАх, п-*оо.

Упражнение 2.1. Доказать, что из Ап 4- А следует АпД А. Привести пример слабо сходящейся последовательности операторов, которая не сходится сильно.

Если Е, — банахово пространство, то Ei полно относительно слабой сходимости функционалов. Иными словами, пространство 2 (Еи Е2) в случае Е2 = К полно относительно поточечной сходимости операторов. Аналогичное утверждение справедливо и для общего банахова пространства Е2. Основную роль в доказательстве этого факта играет следующая теорема Банаха — Штейнгауза (или принцип равномерной ограниченности).

Теорема 2.2. Пусть Ev Е2 —банаховы пространства. Если последовательность (A„)”=\Cl g?(Ev Е^ ограничена в каждой точке, то последовательность норм (j| 4n||)^Li ограничена.

Упражнение 2.2. Доказать теорему 2.2, следуя схеме доказательства теоремы VII. 7.1.

Важным следствием теоремы Банаха — Штейнгауза является следующее утверждение — аналог теоремы VII.7.2.

Теорема 2.3. Пусть Ev> Ей — банаховы пространства. Тогда a^Ev Е2) полно относительно сильной сходимости операторов т. е. любая последовательность(А,д^=\С.З?(Ех, Е.^, для которой (Хх^Е^цА^х)^ —фундаментальная последовательность векторов из Ег, сильно сходится к некоторому оператору Аб;2'(Ех, Е^.

Доказательство аналогично доказательству теоремы VI 1.7.2.

УПРАЖНЕНИЯ

3. Доказать, что для последовательности (^nl^i с a (C'v) равномерная, сильная и слабая сходимости совпадают.

4. Пусть Ап^а(С([а, bj)) — оператор умножения на функцию ап € С С ([а, Ь]). Найти условия, обеспечивающие: а) равномерную; б) сильную; в) слабую сходимость <Ап)п=1 к оператору умножения на функцию а£С ([а, Ь]).

5. Для x£LD (IR) положим (Д, х) (/) = х (/ Ч-s) (s £ IR). Доказать, что Л$п сходится к Д, сильно, но не равномерно, если sn ->• s.

6. Исследовать в L2 ([— л, л]) и в С ([ — л, л]) на слабую, сильную л

и равномерную сходимости последовательность операторов (Л^х) (/) = ^ ®п (/ —л

— $) х (s) ds, где Эп (0 = (Sin — ^— /)/л sin //2 (n £ N).

I + —

7. Доказать, что последовательность (Апх) У) = х у n) (п £ М) в С (|0, 1]) сходится к Ц сильно, по не равномерно.

8. Доказать, что последовательность операторов, действующих в /а по формуле A (Хр х2, . . .) = (ОО, хъ х2, .. ,), сходится к нулевому оператору слабо, но не сильно.

Пусть Ех—пространство из примера 1.5. Положим (А„х) У) = = п (х у 4- -^) — X У)) (для 1 + " > 1 полагаем х у + - ) = х (!)). Доказать, что: а) последовательность A),^ сильно сходится, и найти ее предел; б) по-

следовательность (|| Ап |[ )^i неограничена.Как согласуются эти утверждения с принципом равномерной ограниченности?

Пусть Еъ Е2 —банаховы пространства, А, An£2(Elt ЕгА (и £ М), Доказать, что Ап->-А тогда и только тогда, когда выполняются условия: 1) последовательность (|| Ап || ^ ограничена; 2) Апх ->■ Ах для любого х из тотального в Ех множества.

Пусть A, Ап£2 (Ег, Ег) (л£М). Доказать, что (Лп)^=1 сходится к А равномерно на любом компакте Qc2Ev если АпД- А.

12. Пусть последовательность (.А^”=1 с 2 (Е^ Е2) удовлетворяет одному нз условий: 1) (3 А £ 2 (Ех, Е^у А^ А; 2) (V х £Е,) (V U Ег)'- V Ип *))^Li ограничена. Доказать ограниченность последовательности ( И Л„'|| ')"=!.

Пусть А, Ап £ 2 (Е^, Е2), х, хп £ Е^ (п £ И). Доказать, что Апхп-*Ах, если Ап->А и хп^>-х.

Пусть Н — гильбертово пространство, А, А„ £ 2 (Ну х,хп£Н (п£ RJ). Если Ап —#- А и хп — *-х, то Апхп —*-Ах. Доказать. Привести пример последовательностей (Лп)^ и (х^)^ такиХ| что дп 4- А, х„ Л1 х, но (А„хп)™=1 не сходится слабо к Ах.

Пусть Е — банахово пространство, EXE Э (х^ х2) В (xI( х2) £ £ К—билинейное (т. е. линейное по каждой переменной) отображение. Доказать, что билинейное отображение, непрерывное по- каждой переменной, непрерывно и по совокупности переменных.

§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ.

ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР

Произведение операторов. Пусть А; Е\ -* Еа, В i Е2->- Е3— линейные непрерывные операторы. Произведением операторов В и А называется оператор, действующий из Ех в Е3 по закону

{ВА)х = В{Ах) ^х^Ех\

Очевидно, что В А — линейный оператор. Отображение ВА\ EV->E3 является композицией непрерывных отображений В и А и поэтому ВА € 2 №., Е3).

Заметим, что непрерывность оператора ВА можно установить иначе. Именно, для любого х £ Ег справедливо неравенство

ЦВДх||з ЦВ|| II Дх||4<||В|| IIА11IIX ||lf

откуда следует ограниченность (а в силу упражнения 1.3 и непрерывность) оператора ВА и такая полезная оценка!

||ВД|| ЦВ|| - IIД ||.(3.1)

ПРИМЕРЫ

1. Пусть А, В £ 2 (Ф^), (a/4)^=i> (^/б)дб=1 — соответствующие этим операторам матрицы. Положим cjk = (ABek)j у, k=l,...,N). Так как, в

NN

одной стороны, (4B)efe= ^C/^., a c ДРУг°й— (Д5)ед = 4 ( S ^Zb ei) ^ /=1z=i

NNNN

= 2^5aji el = E( Saji fyt) e/> T0 произведению AB операторов А и В <=i'=l/=1 i=l

отвечает произведение соответствующих им матриц. Впрочем, этот факт известен из курса линейной алгебры.

2. Пусть At, А2 — интегральные операторы в С ([а, Ь]) с ядрами Кг, Ка соответственно. Для любой функции х^С ([а, 6]) имеем

ь

(Д^гх) (0 = ^ Ki (Л т) • (Д2 х) (т) d т =

t (t, т) Н Кг (т, s) x(s)ds) dT= ^ ^ Kt (б И К» (т, s) dt (t, т) Н Кг (т, s) x(s)ds) dT= ^ ^ Kt (б И К» (т, s) dhьь ь

t (t, т) Н Кг (т, s) x(s)ds) dT= ^ ^ Kt (б И К» (т, s) d

t (t, т) Н Кг (т, s) x(s)ds) dT= ^ ^ Kt (б И К» (т, s) d

= J К

ааа а

т. е. Л, Л2— интегральный оператор с ядром

h

X ((, s) = J Kt (/, т) К2 (т, S) dT.(3.2)

а

Заметим, что, полагая в (3.2) Kt = К2 = К, получим ядро квадрата интегрального оператора (1.4), которое называют итерацией ядра К и обозначают КС1). Последующие итерации ядра К, т. с. ядра степеней оператора (1.4), опре- делнются индуктивно. Для нахождения КС1) (п >2) следует положить в (3.2) Kt ■ К1”"'\ К, - К.

3. Пусть А, /3 — действующие в С ([«, Ь]) операторы умножения на функции а и Р соответственно. Понятно, что АВ является оператором умножения на функцию «Р.

Понятие нормированной алгебры. Рассмотрим линейное нормированное пространство .?(£). В 3 (Е) определено произведение его элементов. Предлагаем читателю убедиться в том, что для любых А, В, С^З(Е), «ЕК имеют место следующие равенства:

(ДВ) С = А (ВСУ,

(Д + В) С = АС + ВС, А (В А-С) = АВ + АС;

а (ДВ) = (аД) В = А (аВ);(3.3)

йА = Ай = А.

•Таким образом, 3 (Е) является алгеброй с единицей. (В случае Е = АН этот факт был установлен в курсе линейной алгебры.)

Дадим следующее общее определение. Пусть R — линейное нормированное пространство, в котором введена операция умножения его элементов так, что выполняются равенства 1) — 3) из (3.3) с заменой А, В, С Q 3 (Е) на х, у, г^ R. Если норма в R удовлетво- ряет условию

(Vx, у е R): II ху ]| < |]х|1 ■ II г/ П,

то R называется нормированной алгеброй. Если дополнительно R— банахово, то R называют банаховой алгеброй. Нормированная алгебра R, в которой существует элементе такой, что (Nx^ R): ex = хе =х, называется алгеброй с единицей.

Норма в $ (Е) удовлетворяет оценке (3.1), и поэтому а (Е) — нормированная (банахова, если Е — банахово) алгебра с единицей. Другие примеры нормированных алгебр приведены в упражнениях.

Обратный оператор. Пусть / : X -► Y — некоторое отображение, / (X) с У — область его значений. Для существования обратного отображения /-1: / (X) ->- X необходимо и достаточно, чтобы / являлось инъекцией. Если Л : Ег -*• Е2 — линейный оператор, то его инъективность эквивалентна выполнению условия

КегД == {0).(3.4)

Действительно, если А — инъекция, то из ДО — О следует, что Ах 5= 0, если л: =£ 0. Обратно, пусть Кег Л = (0). Предположив существование xv х2 £ Ег таких, что х^ ^ х2, Ахг = Ах2, получим в силу линейности A (xt — х2) = 0, т. е. (хг — х2) € Кег А. Таким образом, выполнение условия (3.4) необходимо и достаточно для существования обратного отображения А"х \Л (Л) = А (Е^-^- ->■ Ev Очевидно, что А~х — линейный оператор.

Дадим следующее определение.

Если А ^2 (Elt Е^д удовлетворяет условию (3.4), то оператор А-1: J? (4) Ех будем называть алгебраическим обратным к А.

ПРИМЕРЫ

1. Пусть Et = Е2.= ^. Предположим, что оператор Ау? (С^) удовлет-

N

воряет условию (3. 4), т. е. система однородных линейных уравнений ^ а^х^ = k=l

= 0(/ = 1X),где (a^fe)^fe=,t—матрица, отвечающая оператору А, имеет

только тривиальное решение xt = х2 = ... = xN=0. Как известно, это равносильно обратимости матрицы, отвечающей оператору А, а это в свою очередь эквивалентно равенству ^ (4)=©^. Итак, алгебраический обратный к А оператор действует из ©"в©", ему соответствует матрица, обратная к ka-^ k=v Отметим еще, что оператор А-1 непрерывен.

Пусть А 6 ЕВ (С ([а, 6])) —оператор умножения на положительную функцию а 6 С ([а, 6]). Понятно, что условие (3.4) выполнено, что алгебраический обратный к А является оператором умножения на а-1 ЕС ([а, 6]) и потому непрерывен. Предлагаем читателю проверить, что 51 (4) = С ([а, 6|), так что 4-1 ^SB (С ([а, 6])).

Пусть А ё (С ([0, 1])) действует по закону

GM (n=^x^ds GG[O,1]).о

Нетрудно проверить, что ^(4) = {х С С1 ([0,1]) | х (0) — 0} и что А удовлетворяет условию (3.4) (доказательство этих утверждений предоставляем читателю). Из свойств интеграла как функции верхнего предела следует, что алгебраический обратный к А действует на функцию у € 51 (4) по следующему закону: (4-1г/) (0 = у' (/) (/ С [0, 1]). Как было показано в § 1, этот оператор неограничен.

Итак, алгебраический обратный к оператору А ^ S’ (Еъ Е^ может быть определен как на всем Е2, так и на его части, может быть как ограниченным, так и неограниченным.

Определение 3.1. Оператор Д G-^ (.Ev Е^ назовем обратимым, если выполняются следующие условия; 1) S? (Д) = Е2, 2) существует алгебраический обратный Д -1; 3) Д -1 непрерывно действует из Ей в Ev При этом А -1 называется обратным к оператору Д.

Замечание 3.1. Выполнение условия (3.4) для оператора А £ £ 9? (Ец f2) равносильно существованию и единственности решения уравнения Ах = у для любого у £ 91 (Д). Если же Д — обратимый оператор, то это уравнение имеет единственное решение х= = Д ~Yy для любой правой части у £ Е2, и это решение непрерывно зависит от у. В таком случае говорят, что уравнение Ах = у корректно разрешимо па Е2.

Приведем ряд утверждений об условиях обратимости линейных непрерывных операторов.

Теорема 3.1. Оператор Д £ S’ (Ер Е2) с 91 (Д) = Е2 обратим тогда и только тогда, когда выполнено условие;

(Н/п> ОДУх^^): И Ах\\2 > т\\ х ||г(3.5)

Доказательство. Необходимость. Пусть А-1 ^^ф2, Е^, тогда для любого у ^ Е2

|| A"Yy ||г с || Д-Ml || у ||2.

Поскольку А — биекция, то (A\xQ Et); у = Ах. Подставляя это значение в последнее неравенство, получим, что справедливо (3.5) с т — || Д-1 II'1.

Достаточность. В силу (3.5) из Ах = 0 следует, что х = О, и поэтому условие (3.4) выполняется. Следовательно, существует алгебраический обратный Д"1: Е2 Ev Полагая в (3.5) х = А-1у, получим, что || Д'МП! cm-Mlt/l^t/EE^.T, е. A~y^9?\e2, Е^. g

Теорема 3.2. Пусть Е — банахово пространство. Если А^2’(Е) таков, что ||Д|| = 7<1, то оператор й— Д обратим и справедливо равенство

(Д-Д)-1 = д + Д +дз+...,(з.6)

где ряд сходится равномерно.

Доказательство. Покажем, что последовательность Sn = = А + Д + • • • + Ап (н £ И) частичных сумм ряда из правой части (3.6) фундаментальна в 9?\EY Действительно, с помощью неравенства (3.1) получаем, что для любых п, р^^ || 8пЛР— S„|[ с С||ДП+1|ЦЦ| Дп+'’||с^+1нYqn*p, откуда в силу q < 1 следует требуемое.

Поскольку Е — банахово пространство, то последовательность (ЕД^ равномерно сходится к некоторому оператору S^9f(EY Покажем, что 5 (fl — Д') = (-fl — Д) S = fl. Для этого заметим, что ||(А-Д)5П-(А-Д)5||<||А-Д ||.||S-S„||->0,n->oo. Поэтому достаточно доказать равномерную сходимость последовательности ((fl — Д) Sn)^=i к единичному оператору. Имеем (fl — — Д)5„=5„(А-Д) = А + Д+ ... ^A^-A-A8А"+1=

-fl-Д"*1, т. е. ]i(H —^>5,, —ДИ = ЦЛ'1+1 Ц < ^1+1, что стремится к пулю при п-*оо. Таким образом, 8 = (fl— Д)-1. ■

Упражнение 3. 1.<(1-||Л|| )"1.Упражнение 3. 1.<(1-||Л|| )"1.В условиях теоремы 3. 2 доказать, что || (fl— /I)-1 (| с

Упражнение 3. 1.

<(1-||Л|| )"1.

Упражнение 3. 1.

<(1-||Л|| )"1.

Замечание 3.2. Пусть А Е 3 (С), где Е — банахово пространство. Согласно теореме 3.2 при || Д || < 1 уравнение (fl — Д) х = у корректно разрешимо на Е и его решение х = (fl — Д)"1 у является пределом последовательности хп = Sny (п Е И). Иными словами, хп является приближенным решением уравнения (fl — А) х = у, и при этом погрешность допускает такую оценку: ||х— хЛ,|<- < qn(\ — qY11| у ||(я Е И). Это обстоятельство весьма часто используется в приложениях.

Теорема 3.3. Пусть Е}, Е2— банаховы пространства. Если А Е 3 (Ei, Е^ обратимый оператор, а оператор В Q 3 (Ех, Е^ удовлетворяет условию || В [| < || Д-ЦГ1, то оператор А + В обратим.

Доказательство. Рассмотрим оператор, действующий в Ег по закону Е^х^х 4- A~vBx£ Е^ Так как || А-1В || с || Д-11| х X ||В||< 1, то по теореме 3.2 оператор (fl 4- А^В) обратим и

(fl + Д^В)-1 = £ (-1)" (A^Bf.л=0

Заметим, что А 4- В = A (fl 4- А^В) \EX->E2, где операторы ДЕ3(Ех, Е2\ fl 4- А~1В^З (Ех) обратимы. Тогда обратим и оператор Д 4- 8, причем верно равенство (Д 4- BY1 = (fl 4- Д"^)'1 X х Д-1. ■

УПРАЖНЕНИЯ

2. Доказать утверждение, сформулированное в конце доказательства теоремы 3.3.

3. В условиях теоремы 3. 3 доказать, что II (А 4- Вг1 — А*1 с II А"1 II 2 X X II В || (1 - || Д-11| || В || г.

В заключение приведем один из важнейших результатов теории линейных операторов — теорему Банаха об обратном операторе.

Теорема 3.4. Пусть ЕХ,Е2— банаховы пространства. Если • оператор А Е 3 (Ех, Е^ является биективным, то он обратим.

Доказательство. Необходимо доказать лишь ограниченность оператора А-1 : Е2->- Ev Для этого рассмотрим множества Ег, п = \.УЕ Е-Д II А^У Ik < «II У П2}- Очевидно, что £3 = 0 Ег „. Действительно, всякий у £ Е^ у ^ 0, попадает в одно из множеств E2i „; для этого достаточно взять в качестве п наименьшее целое число, превосходящее || А-1у ||i || у I]”1. Нам понадобится такой результат: хотя бы одно из множеств Е2 „ всюду плотно в Еа (см. упр. 3.4).

Итак, пусть E2-nt всюду плотно в Е2. Возьмем любой элемент у^Ег, пусть ||у||2 —/. Так как ^,(0) Л Elt m —всюду плотное подмножество 5,(0), то найдется элемент у^Е^ т такой, что || у — yr ||2 < 2-1/, || ух || < L Найдем далее элемент у2 £Е21ГП такой, что II (У — у^ — у2\\2<2"2 • к II У2 ||2 < 2"1 • / „(такой элемент найдется, так как Е2-т Л В,/2(0) всюду плотно в 5,/2(0)). Продолжая этот процесс, построим последовательность (yn)n=v с Е2 т такую, что || у — (ух + • • • + у^ ||2 < ^"kl. IIУ к Ik < 2~к*11- Таким образом, получим у = Hm S ук. Положим хк = А"хук. Тогда »-* ее к=\ \\хк\\г<т\\ук ||2<т./.2^.

Последовательность ( V xj”=i сходится к некоторому пределу 4=1

х^Ер так как

п+Рfln-bP

HS^-S^lli^ S HXklh<mZ.2^

и Ei — банахово пространство. Следовательно, x=lim = л -> оо к=\

= 5 Далее, в силу A£^(EV Е.^ имеем пп.

Ах = lim S Ахь = Нт 5 Ук = У-П-* со ^=1к=1

Отсюда следует, что пп

II-4-1(/Hi = 11^111 = iimIIS^IIi <Hm S ll^lli^n-> 00 k=lП-* oc k=V

< У 21-kml = 2ml : 2m || y||2.4=1

Поскольку у — любой элемент из Ег, то ограниченность, а следовательно, и непрерывность оператора А -1 доказана. ■

Замечание 3.3. Согласно теореме Банаха выполнение условий 1) и 2) определения 3.1 влечет обратимость оператора А в случае, когда Ег, Е2— банаховы пространства.

УПРАЖНЕНИЯ

4. Пусть (X, р) — полное метрическое пространство. Доказать, что пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных подмножеств X всюду плотно в X. Получить отсюда результат, использованный в доказательстве теоремы 3.4.

5. Найти п-ю степень оператора А, действующего в С ([0,1]) по формуле: tt

п) (Лх) (/) = f х (s) ds; 6) (Ax) (t) = ^sx (s) ds. о0

Пусть Е—банахово пространство, А, В, Ап, Bn^S (5) (ngM). Доказать, что: а) если Ап 2? Л, Вп ^ В, то АпВп Т^АВ; б) если Ап Л Л, Вп -4- В, то А^Н^-» АН. Привести пример последовательностей (Л,,)^, (В^)^ таких, что Ап4а, Вп~*В, но АпВп+* АВ.

Доказать, что умножение в банаховой алгебре непрерывно справа, непрерывно слева и непрерывно по обоим аргументам.

Доказать, что С ([а, 6]) с естественной операцией умножения является коммутативной банаховой алгеброй с единицей.

Доказать, что Ц (IR) с умножением, задаваемым сверткой (х* у) (/) = = У х (/— s) у (s) ds, является коммутативной банаховой алгеброй без едини- IR

цы.

Доказать, что непрерывные функции ограниченной вариации на (0,1| с естественными операциями и нормой || х || = max {| х (/) ||t^ [0,1]} + -ф V (х, [0,1]) образуют банахову алгебру.

Доказать, что пространство Сп ([0,1]) с нормой

II х 11= max [ Vl£^W|/e[ai b]l

и естественными операциями образует банахову алгебру.

Определим покоординатное умножение в 1Х '. ху = (х^, х^, ...). Доказать, что 1г с обычной нормой и этим умножением является банаховой алгеброй без единицы.

Доказать, что множество двусторонних абсолютно суммируемых последовательностей с покоординатным сложением и умножением на элемент поля К, со сверткой (х X у)п = У, Xn_kyk (п 5 Z) и нормой || х || = У | xk |

Й=— ОО А— 1 ОО образует банахову алгебру.

Доказать, что множество абсолютно сходящихся тригонометрических рядов х (/) = У Xkeikt (t G [0,2 л]) с естественными операциями и

нормой || х || = У | хд ', образует коммутативную банахову алгебру, изометрически изоморфную алгебре из упр. 3. 13.

Пусть А С 9? (/р) (р > 1) действует по закону Ах = A (Xj, х2, ...) = = (а1х1, а2х2,,..), где (ап а2,...) — фиксированная последовательность из 1^. Доказать, что: а) А имеет алгебраический обратный тогда и только тогда, когда (VngM): ап V=0: б) А обратим в том и только в том случае, когда inf { | аА 11 й£ М}>0.

Доказать следующее обобщение теоремы 3.1: оператор А ^ S’(Ех, Е^ обратим тогда и только тогда, когда его область значений плотна в Ег и выполняется условие (3.5).

Доказать, что А ^ S (Е) обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор Л2.

Пусть А £ S (Lp (A, d р)) (р > 1) действует по закону (Лх) (f) = = а (1) х (/), где а — фиксированная функция из Ею (X, d р). Доказать, что А обратим тогда и только тогда, когда ess inf [|а (f)||/GX}>0.

Пусть Et = {х 6 С1 ([0, 1|) | х (0) = 0), В2 = С ([0, 1]). Доказать, что А^З (Ех, Е^, действующий по закону (Лх)(/)=х' (/)— х (/) (/£[0, 1]), обратим, и найти Л-1.

Пусть Л и В —операторы в С ([—1, 1]), определяемые формулами (Ах) (t) = х (/2), (Вх) (t) = х (/3), t € [—1,1]. Доказать, что: А ие имеет алгебраического обратного, В—обратим. Найти В-1.

21. Найти Л”1 для оператора А^ЗГ ^С ([0, 1])), действующего по закону (АхЦ1) = х (0- j х (s) ds (^ € [0, 1]).

о

СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР

Определение 4.1. Пусть Ev, Е2— линейные нормированные пространства, A^S?^EV, Е2). Оператор Л*, действующий из Е\ в Е\ по закону

(АЧ){х) = ЦАх) ^ЕДх^ЕД),(4.1)

называется сопряженным к оператору А.

Теорема 4.1. Данное определение корректно, т. е. соотношение (4.1) однозначно определяет оператор А*^.9ЦЕ’2, Е\), при этом || А* || = || Л ||.

Доказательство. Определенное посредством (4.1) соответствие Е'2 Э Ь-* А*1£ Е\ является отображением Е2 в ЕД

Действительно, предположим, что существует 1^ЕД которому поставлены в соответствие два различных функционала: mv т2 £ Q ЕД Так как тг#= т2, то найдется x^Ev такой, что mv (х) =# =#m2W- Но согласно (4.1) (Vx £ ЕД ; тх (х) = т2 (х) = I (Лх).

Проверим линейность отображения А*. Согласно (4.1) для любых Xv Х2ССК> ^i, UQE'2, х^Е, имеем (Л*(Х1/1 + Х2/2))(х) = = ^Дг-Д Х2/2) (Лх) = Х^Лх) + Х2/2(Лх) = Хх 1АНД W + Х2 (Л*/2) (х).

Далее, согласно (4.1) | (Л*/)(х) | < Ц 1|| || А || ]|хЦ (/£ Е\, х^ЕД, откуда вытекает неравенство || A*l || < || А || || I1| (/£ ЕД. Таким образом, А* — ограниченный оператор и его норма не превосходит || А ||.

Для доказательства равенства || Л* || = || Л || поступим следующим образом. Возьмем произвольный элемент х£ Ех, пусть у = Ах. Согласно следствию VII.4.1 из теоремы Хана—Банаха найдется такой элемент 1^ЕД, что ||/||=1, Цу) = || у ||. Тогда ЦАх) = = ЦЛх|| и в силу (4.1) || Лх || = | (Л*/) (х) | < || Л* || • ||/|| • || х || = = II Л* || || х||. Итак, для любого x^Et || Лх|| < || Л*|| ||х||, т. е. IIЛ || <|| А* ||.

ПРИМЕРЫ

1. Пусть Е^Е^^ и оператор А^5? ^N) задается матрицей (а^)^^!. Всякий линейный непрерывный функционал / па ©N представим в виде I Ц) =

N

= У IfeXfe, где (/!,..., lN)^N (см. § VII. 2). Тогда 6=1

N NNN

I (Ах)= у ( У ajkxk) 1]=-- У xk ( У а1к1Д = т (х), /=1 6=16=1/=1

IVN

т. е. функционал т = А*1 задается элементом ( У a^tp ..., У а^1Д. Таким /=1/=1

отрезом, действие оператора Л* задается матрицей (а^р^^р траиспонироваи- иой к матрице оператора Л.

2. Пусть Ех = Е2 = С ([а, 6]) и Л — оператор умножения па функцию а£С ([а, 6]). Согласно теореме Рисса (см. § VII. 5) всякий функционал Ig ь

6 С'([а, 6]) имеет вид Цх) = ^ х (0 dg (0, где g Е V ([а, 6]). Согласно (4. 1) имеем а

bbt

I (Лх) = ^ а (0 х (0 dg (0 = J х (t) d ^ а (т) dg (т)) = т (х), ааа

т, е.

(Л*е) (0=5® (т) d& (т> V 61“* й1)-а

3. Пусть Et = Е2 = Lp (X, dp) (р> 1) и Л — интегральный оператор, ядро которого К для простоты будем считать ограниченной измеримой функцией. Используя описание пространства Lp (X, dp) (см. § VII. 5), получим

I Их) - 5 К (t, s) х (s) dp (s)) h (0 dp (О,

X X

где h^Lp, (X, d p). После перемены порядка интегрирования (возможной в силу теоремы Фубнни) получим, что

I (Лх) = т (х) = 5 ( 5 К (t, s)h (0 dp (о) х (s) dp (s),

X X

т. e. Л* — интегральный оператор в Lp, (X, dp) с ядром K*(.t, s) = К (s, 0.

Замечание 4.1. В рассмотренных примерах для построения сопряженного оператора использовались теоремы об общем виде линейных непрерывных функционалов, которые позволяют рассматривать вместо Е' изоморфное ему пространство, более удобное для вычислений. Следует отметить, что вид сопряженного оператора зависит от способа реализации сопряженного пространства. Например, изоморфизм между ((DN)' и (£* можно задать так. Зафиксируем N равных по модулю единице комплексных чисел av ... , а^ и по-

N

ложим для / Е ((D'v)' и х Е D^ to = X а гДе (А, • • - » In) € ^N« При такой реализации пространства изоморфного ((С^)' вид оператора А* будет отличаться от установленного в примере 4.1.

Упражнение 4.1. Найти вид оператора А* для указанной в замечании 4.1 реализации (С^)'.

В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматриваются комплексные гильбертовы пространства.

Пример 4.4. Пусть Ег = Н^ Е2 = Н2, где Hv, Ha — гильбертовы пространства. В силу теоремы Рисса пространство Н; можно отождествить с

Ht (I = 1, 2). Поэтому сопряженный к А С 2 (Нх, Нг) оператор А* действует из Нг в Нх. При этом согласно (4.1) имеем для 1^.Н2, х g Нх

(A*l) (х) = (х, Л*/)1 = I (Ах) = (Ах, /)3.

Таким образом, для А^2(НХ, Н^ сопряженный оператор А* ^3” (Нх, //J определяется равенством

(Ах, у)г = (х, А* у), (х^ Н1Г у^На).(4.2)

Если, в частности, Вг = Д2 = Cw и оператор А задается матрицей (а/б)^=1, то, подобно примеру 4. 1, нетрудно показать, что сопряженному оператору А* соответствует матрица (аь^^_х, эрмитово сопряженная с (а^ к_х. Если же Нх = Н2 = La (X, d у), то, подобно примеру 4, 3, находим, что сопряженный к интегральному оператору А с ядром К оператор А* является интегральным с ядром К* (I, з) = К (s, t) (t, s g X).

Отметим некоторые свойства сопряженного оператора.

Упражнение 4.2. Пусть А, В g Z (Е^, Ег), X € К. Доказать, что: а) (Л + В)* = Л* + В*; б) если Ех, Ег —линейные нормированные пространства, то (ХА)* = ХА*; в) если Ех, Ег — гильбертовы пространства, то (ХА)* = ХД*

Теорема 4.2. Пусть А Е 2 (Ех, Е^, В Е 2 (Е„, ЕА. Тогда (ВАГ • А*В*.

До к а з а г е л ь с т в о. Для любых I Е Ея, х^Ех имеем согласно (4.1) ((ВАГ I) (х) I (ВЛх) = I (В (Ах)) = (ВД) (Ах). Обозначим через т функционал В*1^Е'.,. Тогда в силу (4.1) т (Ах) = (А*т) (х) (х Е Е^. Таким образом, получаем, что

((ВАУ I) (х) = (А*ВЧ^ (х) (I Е Е'3, х Е Ех\ в

Теорема 4.3. Предположим, что пространства Ех, Ег рефлексивны. Тогда (А*)* = А.

Доказательство. Поскольку А*Е'2->-Е\, то сопряженный к нему оператор (А*)* действует из Е" в Е"г, а в силу рефлексивности Е„ Ей получим, что (A*Y^3(EV, Е^. Напомним (см. § VII.6), что соответствие между Е и Е" устанавливается следующим образом: Е^хь* ЬХ£Е", где £,(/) = Z(x) (КЕ'\ Тогда для любых / Е Вз и х Е Ех имеем

((А*)* ВД (Ц=ЬХ (АЧ) = (АЧ) (х) = I (Ах) = (АВД (/), откуда и следует требуемое. ■

Замечание 4.2. Если Ех, Ег—гильбертовы пространства, то равенство А** = А устанавливается совсем просто. Согласно (4.2) (А*у, х)х = (у, А**х)2 (х Е Нх, у Q Н2\ Но, кроме того, (А*у, х\= = (х, А*у)х = (Ах, у)2 = (у, Ах)2. Таким образом, для любых х^ Нх, у Н г(у, А**х)2 = (у, Ах)2, что и означает равенство операторов А и А**. 1

В заключение приведем несколько общих определений, относящихся к рассмотрениям п. 2 предыдущего параграфа.

Пусть /? — алгебра над полем С. Инволюцией в R называется такое отображение R Э х i-> х* £ R, что для любых х, у £ R, X ^ С выполнены условия1. 1) ^х*У = х; 2) (х + у)* = х* + у*; 3) (Хх)* = = Lx*; 4) (ху)* = у*х*. Алгебра R над полем {}, в которой задана инволюция, называется инволютивной алгеброй. Банахова алгебра R, снабженная такой инволюцией х i-> х*, что (Vx G /?): || х || = — ||х*||, называется инволютивной банаховой алгеброй. Из теорем 4.1—4.3 и результата упражнения 4.2 вытекает, что банахова алгебра Я” (/7), где Н — гильбертово пространство над полем (Q, является инволютивной банаховой алгеброй. Другие примеры таких алгебр приведены в упражнениях.

УПРАЖНЕНИЯ

3. Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в 1р' а) А (х^, х2, . . .) = (0, Xl х2, . . .); б) А (хп х2,. ..) = (х2, х3, . ..); в) А (хн х2, . . .) = (ajXi, а2х2, ...), где (а^)^ — фиксированная последовательность из /„; г) А (хъ х2,...) = (0, 0, а^, а2 х2,...); д) А (хп х2,...) = (xlf х2, ,.., хт, 0,. . .'), tn С фиксировано; е) А (хп х2,...) = (0,..., 0, хи О, , . .); ж) А (х^ х2, .. .) = (сстхт, ctm^^xm+i,. •.).m

4. Найти сопряженные к следующим операторам, действующим в Ег (IR): а) (Ах) (/) = а (/) х (/), где а — фиксированная функция нз L„, (IR); б) (Ах) (/) = = a (f)x (/ + $), где s С IR фиксировано; в) (Ах) (/) = 2-1 (х (0 4~х (—/)); г) (Ах) (?) = 2"1 (х (0 — х (— 0).

Пусть Н — гильбертово пространство. Найти сопряженный к оператору А, действующему по закону Ах = (х, у) Z, где у, z — фиксированные элементы нз Н.

Пусть А^З (Дп Е^. Доказать, что сужение на Et оператора А** С ^3(ЕХ, Eji совпадает с А (ср. с теоремой 4,3).

Пусть А^З (Et, Д2) обратим. Доказать, что А* также обратим и справедливо равенство (А*)-1 — (А'1)*.

8. Пусть А С 3 (Ех, Е2). Доказать, что Ж (А) = {у С ^21 (V ^ Кег А*): :/(у)=0}.

9. Пусть А С Я (Я). Доказать соотношения: Кег А* = (^ (А))1, (Кег А)1 = = 51 (А*).

10. Доказать, что оператор А С 3 (Ех, Ед обратим в том и только в том случае, когда (Д с > 0): (V х С Ед II х || j < с • || Ах || 2, (V I € Е'^ IIIII < с • || А* 11|.

Пусть Н — гильбертово пространство и А, Ап^3 (Я) (пС^). Дока- аать, что: а) Ап^£А равносильно A*z$А*; б) Ап->- А равносильно А*-*- А*. Привести пример последовательности (A^^t такой, что нз Ап -> А не следует а; 4-А*.

Элемент х инволютивной алгебры R называется эрмитовым, если х* = х. Доказать, что: а) элементы х + х*, i (х —х*), хх* эрмитовы; б) всякий элемент х однозначно представим в виде х = и + iy, где и, у — эрмитовы элементы.

Какие из алгебр, введенных в упражнениях 3.8—3.14, являются инволютивными банаховыми алгебрами?

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Билинейные формы. При изучении операторов, действующих в гильбертовом пространстве //, оказывается полезным следующее понятие. Функция Н X Н Э <х, у) i-> b (х, у) ^ Е называется билинейной формой, если она линейна по первой переменной и антили- нейна по второй. Примером билинейной формы может служить скалярное произведение в Н. Более общим примером является форма Ьд (х, у) = (Лх, у), порожденная оператором А £ 2 (Я) (Ьд называют также формой, соответствующей оператору Л). Понятно, что форма (х, у) соответствует единичному оператору.

Билинейная форма b называется эрмитовой, если для любых х, у g Н b (х, у) = b Vy, х). Примером эрмитовой билинейной формы может служить скалярное произведение.

Упражнение 5.1. Доказать, что для всякой билинейной формы имеет место равенство

46(х,у) = 6(х + у,х + у) — 6(х—у,х—у) +

+ Z [6 (х + ig, х + /у) — 6 (х — ty, х — ty)J (х, у $ Я),(5.1)

называемое поляризационным тождеством (ср. упр. VI.5.3).

Значение билинейной ({юрмы b (х, х), х £ Н на диагонали декартова произведения Н X Н называется квадратичной формой. Заметим, что в силу поляризационного тождества (5.1) значения билинейной формы определяются через значения квадратичной формы. Это обстоятельство неоднократно используется в дальнейшем.

Билинейная форма называется ограниченной, если выполнено условие:

(3o>0)(Vx, у^Ну.\Ь^х, у)| Сс ■ ||х || . || у ||.(5.2)

Понятно, что билинейная форма, порожденная оператором Л £ 2 (Я), ограничена. Действительно, для любых х,у^Н \ЬА (х, у)| — = | (Лх, у) | < || Л || • || х || • || у 11. Интересно, что справедливо и обратное утверждение.

Теорема 5.1. Для всякой ограниченной билинейной формы b существует единственный оператор А ^ 2 (Н) такой, что b = Ьд.

Доказательство. При фиксированном x^Hby, у) = = / (у) является ограниченным линейным функционалом на Н, и в силу теоремы Рисса найдется, и иритом единственный, вектор ах 5 Н такой, что b (х, у) = (у, аД (у £ Я), т. е. b (х, у) = (ах, у). Тем самым определено отображение Н Э х i-> ах£ Н. Положим ах = Ах и покажем, что отображение А : Н -> Н является линейным и непрерывным.

Поскольку форма b линейна по первой переменной, то для любых av а2 ^ С, хъ х2 ^ Н имеем (А (а1х1 + а2х2), у) = b (а^ + + “2^2, у) = “1^ lxv у) + а26 (х2, у) = at (Лх,, у) + а2 (Лх2, у), откуда и следует линейность отображения А. Согласно (5.2) имеем

((Лх, у)| < с • || х|| • || у ||, откуда вытекает, что || Лх|| < с|| х || (x£H). Таким образом, оператор А принадлежит ^(^. Единственность оператора А очевидна. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что всякую билинейную форму 6 можно единственным образом представить в виде 6 (х, у) = (х, Су), где С € 2 (Н).

Пусть b — ограниченная билинейная форма. Ее нормой || b |! называется наименьшая из констант с, для которых выполняется условие (5.2). Доказать, что || 6 || совпадает с нормой порождающего 6 оператора Л.

Перейдем теперь к рассмотрению основных классов линейных непрерывных операторов, действующих в Н.

Самосопряженные операторы. Оператор А Е 2 (//) называется самосопряженным, если А* = А, т. е. согласно (4.2) (Лх, у) = = (х, Лу) (х, у^Ну

Используя пример 4.4, получим, что оператор А Е S (С^ самосопряжен в том и только в том случае, когда соответствующая ему матрица ia-ik'H, ^=i эрмитова, т. е. ajk = аь; (&,/ = !, . . . , N\ Аналогично, интегральный оператор в L2 (X, dp) самосопряжен в том и только в том случае, когда его ядро К удовлетворяет соотношению: К У, s)=K(s, t) (mod р X р). Такие ядра называют эрмитовыми.

Самосопряженные операторы имеют важное значение в функциональном анализе и его приложениях. Рассмотрим основные свойства этого класса операторов.

Теорема 5.2. Любой оператор А £ S (Н) единственным образом представим в виде РеЛ + ПтЛ = А, где РеЛ, 1тЛ —самосопряженные операторы.

Доказательство. Положим

Ре Л = 1/2 (Л + Л*), Im А = 1/2/ (Л — Л*).(5.3)

Используя свойства сопряженного оператора, получим

№Л). = (d + ^y _== Re Л.

/Т( а — а*\*а* — а** а — а* . .

Единственность разложения оператора А предлагаем проверить читателю. ■

Теорема 5.3. Следующие утверждения равносильны; 1) оператор А £ S (Я) самосопряжен; 2) билинейная форма Ьд, порожденная оператором А, эрмитова-, 3) порожденная оператором А квадратичная форма Ьд (х, х) (х Е Щ принимает только вещественные значения.

Доказательство. Докажем равносильность утверждений 1) и 2). Если А = А*, то для любых х, у £ Н согласно (4.2) имеем

Ьд (х, у) = (Лх, у) = (х, Лу) = (Лу, х) = Ьд (у, х),(5.4)

т. е. форма Ьд — эрмитова. Ясно, что из этой цепочки равенств следует и обратная импликация.

Покажем эквивалентность утверждений 2) и 3). Если форма Ьд эрмитова, то в силу (5.4) Ьд (х, х) вещественное число. Обратно, пусть Ьд (х, х) 6 IR(xE Н). Используя поляризационное тождество (5.1), получим 4Ьд(у, х) = ЬА(у + х, у + х) ~ ЬА(у — х, у — х)+ + ibA (у + ix, у + ix) — ib А {у — IX, у — ix) = Ьд (х + у, х + у) — — ЬА(х— у, х — yVV ibA^x — iy, х—iy)— ibA (x + iy, x + iy), откуда в силу вещественности Ьд^х, х) следует требуемое. ■

Замечание 5.1. Из теорем 5.1 и 5.3 следует, что ограниченная билинейная форма эрмитова в том и только в том случае, когда порождающий ее оператор самосопряжен.

Упражнение 5.4. Пусть А, В — самосопряженные операторы. Доказать, что: а) А + В — самосопряженный оператор; б) оператор АВ самосопряжен тогда и только тогда, когда операторы А и В коммутируют, т. е. АВ = В А.

Неотрицательные операторы. Оператор А Е ^ (//) называется неотрицательным, если порожденная им квадратичная форма неотрицательна, т. е. Ьд^х, х) > О (хЕ#). Неотрицательность оператора А обозначается следующим образом-; А > 0. Если А — В > 0, то говорят, что А >- В.

Упражнение 5.5. Доказать, что отношение «>» на 2 (Я) является отношением частичного порядка.

Введем также понятие полуограниченного оператора. Оператор А Е $ (Н) называется полуограниченным снизу числом с Е R, если (V х£ Н)-. ЬА (х, х) > с |]х||2. Преобразовав это неравенство к виду (Ах, х) — с (х, х) = ((А — cfl) х, х) > 0, получим, что полуограниченность снизу числом с оператора А равносильна тому, что А >сЦ. Ясно, что неотрицательный оператор — это оператор, полуограниченный снизу нулем. Аналогично вводится понятие полуограниченного сверху числом d оператора.

Квадратичная форма, порожденная полуограниченным оператором, принимает только вещественные значения, так что согласно теореме 5.3 полуограниченный оператор самосопряжен. Заметим еще, что самосопряженный оператор А Е 3? (//) полуограничен снизу числом—П А||, а сверху числом || А ||. Это вытекает из неравенства |(Ах, х)| с || А || 1[ х||а, справедливого для всех х^Н.

Упражнение 5.6. Доказать, что полуограниченный снизу положительным числом оператор обратим.

Проекционные операторы. Пусть G — некоторое подпространство Н, G1 — его ортогональное дополнение. Как было показано в § VII.9, каждый вектор х^Н единственным образом представляется в виде х = у -\- г, где у = пр6.х, г = пр^х. Проекционным оператором (или ортопроектором) в Н на G называется оператор Ру, действующий по закону Н^х i->PgX = npGx. Если (e^>i— ортонормированный базис в G, то Рух = S (х, е^е^ (см. § VII. 10).

Теорема 5.4. Пусть G — некоторое подпространство в Н. Ортопроектор на G обладает следующими свойствами: 1) РаЕ Е$(Н) и, если G Ф {0}, то ||Ре|| = 1; 2) Ра — идемпотентный оператор, т. е. Ра = Ра", 3) Ра — неотрицательный оператор.

Доказательство. Линейность оператора Ра следует из соответствующего свойства проекции вектора на подпространство (см. упр. VII.9.3). Из неравенства || прсх || с || х||, справедливого для всех х^Н, следует, что ||РС||<1. Если G = {0}, то Ра = 0. В противном случае (Vg £ G): Pag = g, откуда получаем, что || PG ||=1. Из этого же свойства проекции, следует, что (Vx£ ЕН) :(РсУх = Ро (Pax') = PGx, т. е. PG = Ра-

Наконец, для любого хЕН имеем (PGx, х) = (пр^х, прех -И + npcix) = || Рдх||2 > 0, что и означает неотрицательность PG. ц

Интересно, что самосопряженность и идемпотентность являются характеристическими свойствами ортопроектора. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.5. Пусть А Е 3? (Н)— самосопряженный идемпотентный оператор. Тогда существует подпространство G а Н такое, что А = PG.

Доказательство. Рассмотрим множество G = (gEH\ Ag = g). Так как G = Ker (А —-Д), то G является подпространством в Н (см. упр. 1.13). Покажем, что А = PG. Из идемпотентности А вытекает, что для любого х £ Н вектор Ах входит в G. Подпространству G принадлежит также и вектор PGx. Поэтому достаточно проверить, что для любого g g G (Ах, g) = (PGx, g). Но это следует из такой цепочки равенств: (Ах, g) = (х, Ag) = (х, g) = = (х, Pag) = (Pax, g) (здесь мы воспользовались самосопряженностью операторов А и PG и определением G).H

Нормальные операторы. Оператор А Ез? (Н) называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряженным, т. е. А*А = = АА*. Обозначим символом [А, В] = АВ — ВА коммутатор операторов А и В. Тогда определение приобретает такой вид: оператор А Е 9? (Н) — нормальный, если [А, А*] = 0. Описание класса нормальных операторов содержится в следующем утверждении.

Теорема 5.6. Оператор А ЕЗ? (Н) является нормальным в том и только в том случае, когда [Re A, 1mA] = 0.

Доказательство, основанное на использовании равенств (5.3), предлагаем выполнить читателю самостоятельно, у

Унитарные и изометрические операторы. Линейный оператор U : Н -> Н называется унитарным, если выполнены два условия: 1) оператор U сохраняет скалярное произведение, т. е.

(Vx, y^ny.(Ux, Uy) = (x, у); (5.5)

область значений ^(U) оператора U совпадает с Н. Из (5.5) следует, что оператор U сохраняет норму, т. е. ||t/x|| = ||х|| (хЕН), и поэтому UE^(H) и его норма || С/1| = 1.

Упражнение 5.7. Доказать, что сохраняющий норму линейный оператор удовлетворяет условию (5.5).

Замечание 5.2. Если dim^Coo, то равенство ^(U)~H является следствием (5.5). Действительно, пусть dim Н = п и (et, .. . , еп\ — ортонормированный базис в Н. Согласно (5.5) (Ue,, иеД = (ер e^ = bjk, т. е. (Ue^, ..., иеД — ортонормирован- ная система в Н, состоящая из п векторов. Это значит, что \Uev . .. , ЫеД— базис в Н, и

пп

(Vx £Н):х = У XjUe. = U^V'£1 х.-еА,

MI=v

т. е. $(U) = H. В бесконечномерном пространстве, как показывает следующий пример, равенство 3?(U) = H не является следствием (5.5). Пусть Н = 12, положим Т (х^ х2, . ..)= (О, хг, х2, .. .). Очевидно, что оператор Т сохраняет скалярное произведение. Ясно также, что Д^^^Н, так как вектор (1, 0, 0, . ..) ± ДДТ).

Теорема 5.7. Унитарный оператор U обратим, причем U-1 совпадает с U* и также является унитарным оператором.

Доказательство. Поскольку || (/х|| = [| х || (х^Д), то обратимость U следует из теоремы 3.1. Проверим унитарность U-1. Положим у = Ux, тогда У у || = II Ux || = || х || = ,| U-1y ||, т. е. (Л1 сохраняет норму. Условие ^?(Д-1) = Д, очевидно, выполняется.

Совпадение U-1 и U* является следствием такой цепочки равенств: (х, U*y) == (Ux, y^ = (Ux, UU-^ = (х, U^y) (х, у^Н). у

Упражнение 5.8. Доказать, что унитарный оператор является нормальным.

В заключение рассмотрим понятие изометрического оператора. Пусть Hv Н2 — гильбертовы пространства. Линейный оператор V, действующий из Нх в Нг, называется изометрическим, если для любых х, у £ Н (Vx, Vy)2 = (х, yV Из результата упражнения 5.7 следует, что это условие равносильно следующему: (Vx Е Н^ ’ ! ||Vx||2= IIxIIj. Подчеркнем, что область значений изометрического оператора, вообще говоря, не совпадает с Н2, и поэтому в случае Нх — Н2 — Н существуют изометрические операторы, не являющиеся унитарными. Примером такого оператора может служить оператор Т из замечания 5.2.

УПРАЖНЕНИЯ

9. Пусть 6 — эрмитова билинейная ^орма. Доказать, что справедливы следующие равенства: а) b (х, у) = N-1 У, b(x + e2aik^N у, х + Дя1к№ у)Х

2л

^inikiN ^^ у^Н; N > 3); б) b (х, у) = (2 л)"1 j 6 (х -|- е<ф у, х + eZtp у) е1ф d ф о

(х, y^HY,,

10. Пусть (аь а2, .. .) — фиксированный элемент 1^. Оператор A g 2 (/2) задается формулой Ах= (а^р а2х2, . . . ). Выразить в терминах чисел an (nG М) следующие свойства оператора А; а) А = А*; б) Д>0; в) А>-с Ц; г) А — унитарный оператор.

11. Пусть (an)”=1, (PJ^, (Tn)^! — фиксированные элементы Z„. Оператор А £ 2 (Z2) задается следующим образом: (A.v)1=alxJ + PjXa, (Аху = Yn-i X X xn_, + anxn -|- Р^Хпц (n 3» 2). При каких условиях на числа an, Р„, у„ (п £ И) А = А*?

Пусть А — оператор умножения в Lz (X, d р) на функцию а£ € MX, d р). Доказать, что: а) А = А* эквивалентно тому, что a = a (mod р); б) А>0 равносильно тому, что a 2» О (mod р); в) А —ортопроектор в том и только в том случае, когда a = %c (mod р), где С— измеримое подмножество X; г) А—унитарный оператор тогда и только тогда, когда | a | = 1 (mod р).

Пусть А с 2 (И) — обратимый самосопряженный оператор. Доказать, что А 1 самосопряжен.

14. Инволютивная банахова алгебра R называется С*-алгеброй, если для любого х С R справедливо равенство || х* х || = || х ||2. Доказать, что 2 (Д) является С*-алгеброй.

Пусть А<2 (Н)— неотрицательный оператор. Доказать что: а) (V х, У^Ну.\ (Ах, у) У С (Ах, х) (Ау, у\, б) (^х^ Н) : || Ах J 2 «■ 1| А || (Ах, х).

Пусть Gv G2—подпространства Н и Рк — ортопроектор на Gk (к = = 1,2). Доказать следующие утверждения: а) Pv > Р2 равносильно тому, что Gt 2 G2; б) РгР2 = 0 равносильно тому, что Gv ± О2; в) Рг — Ра — ортопроектор в том и только в том случае, когда Gt 2 G2; г) Р1 + Рг — ортопроектор в том и только в том случае, когда PJ\ = 0; д) РгР2 — ортопроектор в том и только в том случае, когда [Рх, Р2] = 0.

Пусть УгУ”=л — ортонормированный базис в И, о:М->М фиксированная биекция. Доказать, что оператор А, действующий в Н по формуле Ах = А ( ^ xke^ = У, хкео,к,, является унитарным.

ft—i »=1

Доказать, что U £ 2 (Н)—унитарный оператор в том и только в том случае, когда выполнены два условия: 1) U — нормальный; 2) (ReG)24- + (\mUy = fl.

Доказать, что: а) монотонно убывающая последовательность ограниченных положительных операторов сильно сходится; б) монотонная последовательность ортопроекторов сильно сходится к некоторому ортопроектору; в) если последовательность ортопроекторов (РА,^ слабо сходится к ортопроектору Р, то Рп -4- Р.

§ 6. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ

В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Линейный оператор в сепарабельном пространстве. Пусть Н— бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство, (en)^=i — некоторый ортонормированный базис в Н. Рассмотрим оператор А^2(НУ Раскладывая по базису (en)”=i вектор Ах(х£ Н), получим для любого /СИ

(Ах, ef) ■= ^ хк (Аеу, в;) — ^aihxk, (6.1)

где aik = (Aek, е^ (j, &€И). Так определенные числа а/* образуют бесконечную матрицу (а/ь)~ к^ь элементами к-то столбца которой являются координаты вектора Аек (fe£ И)- Из равенства (6.1) следует, что, подобно линейным операторам в конечномерных пространствах (см. пример 1.1), действие оператора AGS’(Я) задается матрицей

букУ,ь=л- Точнее говоря, по матрице (ауД)Д=1 и базису (еД,^ с помощью формулы (6.1) восстанавливается значение оператора Л на любом х^Н. В таком, случае говорят, что оператор А допускает матричное представление в базисе (^)Г=1. Числа ирг называют матричными элементами оператора А. Из вышесказанного следует, что каждый оператор А^я^ЬГ) допускает матричное представление в любом ортонормированием базисе в Н.

Как известно, каждому линейному оператору в ^-мepнoм пространстве отвечает матрица (о/б)^^ и, наоборот, каждой матрице размера NxN отвечает линейный непрерывный оператор в ^-мepнoм пространстве. В отличие от этого, далеко не каждой бесконечной матрице (й/б)ц *=i соответствует линейный непрерывный оператор в Н.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что матрица (а^уУ^ (а^С) определяет линейный непрерывный оператор в Н в том и только в том случае, когда выполнены уело-

ООО°

вия: 1) ряд 2 а^к сходится для любых / £ № и х = 2 хкеь^Н; 2) (^х^ к=л6=1

ну. £|3) (чоо) (Чх^ну 21 S^i 2«сьг.

/-л *=1/=i *=i

Для того чтобы матрица (a/^)”fe^1 определяла линейный непрерыв. ный оператор в Н, необходимо и достаточно выполнение условия: (Д М > 0) п т

(Ч п, tn G f^) (V (-^т» • * *» Хп, Ут.. • •. УпАс—• ^) • | 2 ^L ^^х^уь | <МХ 1=1 6=1

лт

X ( 2 I xi I 2)1/2 ( S I ^ 12)1/2. Доказать.

/=1/г=1

Пусть (a^)^^, (6^)дА=1 — матрицы, отвечающие в базисе (е*)^ операторам А, В ^Я (fl) соответственно. Определить матрицы, отвечающие операторам А У В, АВ.

11рипедем одно простое достаточное условие ограниченности определяемого матрицей оператора.

Теорема 6.1. Матрица ицкУк-л, удовлетворяющая условию

1,6=i1,6=iОО,ОО,(6.2)(6.2)

1,6=i

1,6=i

ОО,

ОО,

(6.2)

(6.2)

определяет линейный непрерывный оператор А в И.

Доказательство. В силу неравенства Коши—Буняковского имеем для любого х^Н

|(Дх, е/)|2 = | 2 О/бХбГ < S |а/б|2 II ^П2 (/^М)-

Суммируя по J, получим

ЦЛх||2 = f f (Лх, ez)|2< £ | а/Д]2 - II х [|2.

Таким образом, оператор А^2(Н) и его норма || А || не превосходит числа ( ^ la/sl2)1^, ■

Замечание 6.1. Условие (6.2) весьма ограничительно. Так, матрица единичного оператора atk = др U, ^ЕИ) ему не удовлетворяет (см. также упр. 5.10 и § 7). ■

В дальнейшем рассматриваются матрицы, удовлетворяющие условиям 1—3 из упражнения 6.1. Выясним характерные особенности матриц, отвечающих операторам из рассмотренных в § 5 классов.

Самосопряженные операторы. Пусть А^2(Н) самосопряженный оператор. Тогда из равенства (Аек, е,) = (е6, Ле/) = (Ле/, е^ следует, что ap = akj (j, А ЕМ)- Таким образом, отвечающая самосопряженному оператору в Н матрица является эрмитовой.

Справедливо и обратное утверждение. Пусть (а^Ур^— матрица, которой отвечает оператор А^2(Нр Если матрица эрмитова, то оператор А самосопряжен. Действительно, для любых х, у 6 Н имеем

(Ах, у) Xi ( X apXkj Уj = X ( X GlqX^ у, —

= 5 ХЛ X %У^ =(х, Ау).

Неотрицательные операторы. Пусть А £ 2 (Н) неотрицателен, т. е. (Хх£Н);(Ах, х) > 0. Полагая здесь х = X хкею получаем 4=1

(V«EM)(V(x1, . . . , xn)c:C): ^ ajkx^k > 0.(6.3)

i, 4=1

Таким образом, отвечающая неотрицательному оператору А эрмитова матрица (aj^pk^ удовлетворяет условию (6.3), т. е. для любого п Е М матрица (ajk)'j, k=i неотрицательно определена.

Легко видеть, что верно и обратное. Действительно, пусть х = еоп

= ^хкек^Н. Положим х^ = X хкек (и ЕМ)- Согласно (6.3) (Ах^, х^) >0 («СИ). Последовательность (х^))^,! сходится к х, и поэтому (АхИ, х^)-*(Ах. х). Таким образом, (Ах, х) > 0 (хЕ Н).

Используя известный критерий Сильвестра неотрицательной определенности матрицы, получим, что отвечающий эрмитовой матрице самосопряженный оператор А ^ 2(H) неотрицателен

в том и только в том случае, когда все главные миноры этой матрицы det (а^, 6=1 (пЕМ) неотрицательны.

Ортопроекторы. Пусть А; — ортопроектор на подпространство G clH, (р{^у k=i—отвечающая PG матрица. Так как PG самосопряжен, то матрица kPj^.k^ эрмитова. Из идемпотентности PG следует, что

Ptk=^ PyPik U. Ш (6Л)

(Здесь мы использовали результат упр. 6.3). Согласно теореме 5.5 любой самосопряженный идемпотентный оператор является ортопроектором. Поэтому отвечающий эрмитовой матрице ^рц^,к=у самосопряженный оператор Р^З? <Н^ является ортопроектором в Н тогда и только тогда, когда выполняется условие (6.4).

Пример 6. 1. Пусть G— конечномерное подпространство и eL, . . . , eN — ортонормировании# базис в G. Дополним его до ортонормнрованного базиса (е„)п” , в Н. В таком базисе отвечающая PG матрица имеет следующий простой вид: рп =.. .= pNN = 1, все прочие элементы pjk равны нулю.

Изометрические операторы. Пусть V— изометрический оператор в //. Из условия (5.5) следует, что для элементов ортонор- мированного базиса (с\)^.1 в // справедливо равенство

(Ve,. Vek) = 6ц Ц, к Е И). (6.5)

Используя линейность и непрерывность оператора V, легко убедиться в том, что верно и обратное. Действительно, для х, у^ И в силу (6.5) и непрерывности скалярного произведения имеем

п п п

(Ух, Уу) = Нт (У ( Е хкек\ У ( Е У^ = Ит Е хкук = (х, у).

Поскольку координаты вектора Vek являются элементами к-го столбца матрицы (оцУр »=ь отвечающей оператору У, то матрица УоцУ!,к=\ определяет изометрический оператор в Н в том и только в-том случае, когда ее столбцы являются координатами относительно базиса (еп)„=1 некоторой ортонор мированной системы векторов.

Замечание 6.2. Последнее утверждение справедливо и для оператора V:Hx-rH2. В этом случае матричные элементы иц оператора У определяются следующим естественным образом: и-ц — = (Vek, lj)2, где (en)^i, (Zm)m=i— ортонормированные базисы в Нг и Иг соответственно, формула (6.1) имеет вид

(Ух, Zy)2 ^ицхц (/ЕИ; хЕН^.

Якобиевы матрицы. Матрицу (ajk)"k=i называют якобие- вой, если а]ь = 0 npu\j— й|> 1, т. е. отличные от нуля элементы могут находиться только на трех диагоналях: главной (*M”=i и двух соседних (ап,п+\)п=ь (an+i, „)„=!. Матрицы такой структуры встречаются в различных задачах функционального анализа и его приложений (подробнее об этом см. [6, 9]). Мы рассмотрим лишь простейшие свойства якобиевых матриц.

Теорема 6.2. Якобиева матрица задает ограниченный оператор в И в том и только в том случае, когда ее элементы равномерно ограничены.

Доказательство. Достаточность. Пусть sup {| az& | |/, &£ GM} = c<oo. Положим а10 = О, х0 = 0. Тогда имеем для любого х^Н, что (Ах, e^aij^YXj-i-Vciipcj-Vai.j-^XiJrY. Поэтому

II Ах || = ( X I a/, j-iXj-i + аух, + аи wxi+i 12)!/2 с

< ( X К i-vxH1|2)1/2 4- ( X I аИХ) |2)1/2 + /=1 /=1

+ ( X I ah i+lxi+l I2)1 /2 с Зс II х II (х 6 Щ, /=1

откуда и следует требуемое.

Необходимость. Пусть AES’(Н). Тогда | aife | = | (Аек, ед I с <11 Ау <цдц (/,/=ш. ■

Замечание 6.3. Обобщенной якобиевой матрицей называют матрицу (ац,^,к=о удовлетворяющую условию: ajk = 0, если [/ — — k\>r, где г—некоторое фиксированное натуральное число. Ясно, что утверждение теоремы 6.2 справедливо и для обобщенных якобиевых матриц.

Замечание 6.4. Пусть A G 2 (//) — оператор, отвечающий якобиевой матрице, у которой отличны от нуля все элементы, стоящие вне главной диагонали. Рассмотрим уравнение Ах = zx (zE (С), т. е. такую бесконечную систему уравнений: (Ах)г = апХ! + А ^12^2 ZXV (Д%)2 ^21^1 А 0-22^2 А ^23-^3 ~ 2^2» (Ах)з == — Ц32Х2 А Ц33Х3 А П34Х3 = ZX3, ... Полагая хх — Pq (2) = 1, найдем из первого уравнения х2 = (г — а^) • а^ = Рг (г), из второго уравнения х3 = Р2 (г) и т. д. С помощью индукции легко убедиться в том, что Рп (г) — многочлен от z степени п — 1 (п Е И). Оказывается, что для эрмитовой матрицы (а,^, ь=1 многочлены РДг), ^i(z), ^У2)» • • • образуют ортонормированиую систему относительно некоторой меры. В частности, если апп = 0, а„, п+1 = а№Х, п = 1/2 (п 6 И), то эти многочлены совпадают с многочленами Чебышева второго рода (подробнее об этом см. [6, 9]).

В заключение отметим связь якобиевых матриц с разностными операциями. Пусть/ = (f;)/"Li—числовая последовательность. Напомним, что правой (соответственно левой) разностью / в точке /

называется (Anf)/ = fw —f/ (соответственно (Лл/)/= f, —/)_ь /СИ» fo = 0)- Рассмотрим две якобиевы матрицы:

—1100...

0—110...

00—10...

1000...

— 110 0...

0—1 1 о. . .

Понятно, что (ДпЛ/ — ^nhi- (Ал/)/ = (Ал/)/- Нетрудно указать якобиевы (или обобщенные якобиевы) матрицы, связанные с более сложными разностными операциями. Например, для ДЛДП/ имеем (ДЛДП/)/ = (Ап/)/

—(Ап/)м = //+1 — ft — Ui — //-i) = fw —

— 2// + //-ь т. е. ац = —2, aW)/ = cq, /+i = 1 (/ Е И).

УПРАЖНЕНИЯ

Указать условия, необходимые и достаточные для того, чтобы матрица (Uj^^i определяла унитарный оператор в Н.

Пусть г, д£М фиксированы. Найти обобщенную якобиеву матрицу, связанную с разностными выражениями Д' • Дл, Дл • Д„.

Доказать, что оператору умножения на независимую переменную (Лх) (/) = tx (I), х е£2([—1,1]) в базисе полиномов Лежандра (см. § VII. 10) отвечает якобиева матрица.

Указание. Для любых трех последовательных полиномов Лежандра справедливо следующее соотношение: (п + 1) Ln+1 (t)— (2n + 1) tLn (t) + + «^-i (0=0 (nG^. <€1— 1, И).

§ 7. ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА

Абсолютная норма. Пусть II — сепарабельное гильбертово пространство, (fn)~-i, (/„),?► i-• Два ортопормироваипых базиса в Я. Предположим, что оператор A^iZ'Ul1) удовлетворяет условию

S l(Afk, е/)|2<оо.(7.1)

/Д=1

Поскольку ^Afh, б/) (/ЕМ) суть коэффициенты Фурье вектора Afb

в базисе (ej^i, то S 1(А/а, б/)|2 = 5 II А/бП2 и- следовательно, /,ft=i*=i

левая часть (7.1) не изменяется при замене базиса (e„)n=i.

Кроме того, рассматривая скалярные произведения (Afh, е^ = «*Ufc, А*е/) как коэффициенты Фурье вектора Д*в/ в базисе (/„)"-.!,

получим, что 5 II Л*^/}]3 = 5 I (Afk, е-))2. Таким образом, левая /=1 м=1

часть (7.1) не зависит от выбора базисов (fn)n-i и (е„)“=1, а зависит лишь от оператора А. Вышесказанное влечет корректность следующего определения.

Оператор А^з?(Щ называется оператором Гильберта- Шмидта, если для некоторого (а значит, и для всякого) орто- нормированного базиса (en)^_i сходится такой ряд:

^ l| Ае,}|2 = Д | ajk |2 < оо. (7.2)

Совокупность всех операторов Гильберта—Шмидта, действующих в Н, обозначают S2(H). Величину (£ |[ Ае/||2)1/2 называ- ют абсолютной нормой (или нормой Гильберта—Шмидта) оператора А и обозначают |Л|.

Очевидно, что S2(//)=#0. Действительно, любой оператор, у которого лишь конечное число матричных элементов а,к отлично от пуля, принадлежит S2(H\ Ясно также, что S2(H) не совпадает с 2 (Ну Так как S U е, ||2 = <», то fl ^ S2 (Н). Другие примеры операторов Гильберта—Шмидта, свойства множества S2(H) и | • I приведены в упражнениях.

Отметим, что операторы Гильберта — Шмидта часто называют квазиядерными операторами.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы оператор, соответствующий а) диагональной; б) якобиевой матрице, являлся оператором Гильберта — Шмидта.

2. Доказать, что (V Д £ S2 (Я)): || А || < | Д |. Для каких операторов имеет место знак равенства?

3. Доказать, что Д £ S2 (Я) в том и только в том случае, когда А* g S2 (Я) и|Д| = |Д*|-

4. Доказать, что (V Д £ S2 (Я)) (V С g 2 (Я)): СА, AC g S2 (Я), причем верны неравенства | СД | < || С || • | Д |, | АС | < [| С || • | А |.

5. Доказать, что: a) S2 (Я) — линейное пространство; б) S2 (Я) 3 Д i^ | Д | является нормой; в) пространство S2 (Я) с нормой | • | изометрически изоморфно пространству /2.

6. Зафиксируем в Я ортонормированный базис (6n)^Li и положим для

A, B£Sa(H)(A, В) = ajkb/k’ гДе (а/*)м=р (6/ft)”ft=.i — матрицы, отвечающие операторам Д, В в базисе (еп)^р Доказать, что: а) (.,,) является скалярным произведением на Sa(H); б) S2 (Я)— гильбертово пространство; в) S2 (Я)—сепарабельно, ортонормированный базис в S2 (Я) образуют операторы А,Пп (т, п^М), действующие по формуле Атп х = (х, е^ fm, где (еп)^ь У т>^=1 — некоторые ортонормироваппые базисы в Я,

Замечание 7.1. Из результатов упр. 7.5, а) и 7.4 "'следует, что S2(H) является двусторонним идеалом в алгебре jZ (Я). (Напомним, что линейное множество У с. R называется двусторонним идеалом алгебры R, если (Vx Е R) (Vy Е У): ху, ух Е 5е.) Из результатов упр. 7.6 б) и 7.2 следует, что S2 (Я) — подпространство в .Z (Я).

Замечание 7.2. Можно ввести понятие абсолютной нормы для операторов, действующих из HL в Н2. Именно, пусть A^3?VHv Н^, (еп)”=ь (fn)n=i — ортонормированные базисы в Нг и Н2 соответственно. Абсолютной нормой оператора А называется величина

M|=(S|(4e6, f/)№_(£|a [2)1/2.

М-1М-1

Если 14J<oo, то А называется оператором Гильберта—Шмидта. Совокупность всех операторов Гильберта—Шмидта, действующих из Нг в Н2, обозначается символом S2^HX, Н^. Предлагаем читателю убедиться в том, что результаты упр. 7.2, 7.5, 7.6 имеют место и для множества S2(Hlt Н^.

Интегральные операторы Гильберта — Шмидта. Пусть Н = = L2 (R, dp) = L2, К (/, s) (Л s Е R) — измеримая функция двух переменных. Выясним сначала, при каких условиях интегральный оператор с ядром К (4/) (t) = j К (t, s) f (s) dp (s) непрерывно дей-

R

ствует в L2. В примере 1.4 было показано, что достаточным условием непрерывности А является принадлежность К пространству L2 (R X R, d (р X р)). В упражнении 6.1 сформированы необходимые и достаточные условия для случая R = {1,2, ...}, p({n}) = 1. Действительно, в этом случае Ь2 = 12 и интегральный оператор А с ядром К имеет такой вид:

~def

(4х)(/) = 1 К (j, kVk = L a-ikXk.

*=i»=i

По аналогии с доказательством результата упр. 6.1 нетрудно показать, что для непрерывности интегрального оператора с ядром К необходимо и достаточно выполнение следующих условий-.

для любой функции хЕ^2 интеграл ^ /((/, s)x(s)dp(s) =

R

~ у (t) сходится для у,-почти всех IQR;

(VxE L2): у Е L2;

(Hc>0)(VxE Ь2): || у || с с|| х ||.

Доказательство этого утверждения, равно как и доказательство аналога упр. 6.2, предоставляем читателю.

В дальнейшем предполагаем, что пространство Ег сепарабельно.

Лемма 7.1. Пусть ^еп^п=х, (fn(t))n=i — два ортонормиро- ванных базиса в пространстве L2(R, dp). Система {el(t)jk{s))°/‘>k=\ является ортонор мированным базисом в пространстве L2 (R х R, d(p х р)).

Доказательство. Из равенства

J в/ (О к (s) еп W fm (s) d (р X р) (t, s) = ^ е,(t) еп ^ X RxR R

х dp (/) ^(s) fm (s) dp (s) = bjnbhm

R

следует, что(е,(/) //; ($))”*=! — ортонормированная система функций.

Пусть функция h^L2(R х R, d(pX р)) такова, 4to(V/, &€И): ; h ± в; (/) fk (s). Покажем, что h = 0 (mod р X р), откуда и следует требуемое. Имеем

О = (h, е^ = $^h^’ ^(S) ^(S)) 6/ W d^ ^*О = (h, е^ = $^h^’ ^(S) ^(S)) 6/ W d^ ^*(7.3)(7.3)R RR R

О = (h, е^ = $^h^’ ^(S) ^(S)) 6/ W d^ ^*

О = (h, е^ = $^h^’ ^(S) ^(S)) 6/ W d^ ^*

(7.3)

(7.3)

R R

R R

Положим /ift(0 = j h(t, s)fk (s) dp (s) (&СИ). Функция hfe принад- r _

лежит L2 как значение на функции flt £ L2 интегрального оператора с ядром h, интегрируемым с квадратом по мере р х р (см. пример 1.4). Из (7.3) следует, что все коэффициенты Фурье hk в базисе (еД/))^ равны нулю. Поэтому (V&E И): hk (/) = 0 (modp).

Положим Rk = V^ ^1 ^(i) = °} (^Е И)- Тогда p(Z?\/?ft) = O (^ЕИ). Таким же свойством обладает множество /?0 = UE^| ^h^t, s) |2dp(s) <оо). Это следует из сходимости интеграла

R

J (J 1 b (^ s) |2dp (s) ^ dp (/) = || h И2. Рассмотрим множество Q = 0 ^. R R

Ясно, что |i(/?\Q) —0. Далее, для любого t^Q все h^f) равны нулю, т. е. коэффициенты Фурье функции h(t, -КЦ (R, dpi) в базисе (Д(5))Г=1 равны нулю. Таким образом, для t^O функция h(t, s) = 0 (mod р), т. е. h = 0 (mod р X р). ■

Теорема 7.1. Интегральный оператор в Ь2 является оператором Гильберта—Шмидта в том и только в том случае, когда его ядро K^L2(R х R, d (р X р)). При этом | А | = || К ||.

Доказательство. Пусть (e;(Z))/Li — ортонормированный базис в L2. Найдем матричные элементы оператора А. Имеем

й]к = (^Аек, eh^^^R <t, s) ек (s) dp (s)J е/ (/) dp (/) ==

R R

U, А 6 И).является ортонорми- Если К £ L2 VR X R,U, А 6 И).является ортонорми- Если К £ L2 VR X R,= ^K^t, s) e, (/) ek (s) d (p x p) (t, s) RXR

U, А 6 И).

является ортонорми- Если К £ L2 VR X R,

U, А 6 И).

является ортонорми- Если К £ L2 VR X R,

Согласно лемме 7.1 система (е/(0 eA (s))^=i рованным базисом в L2 (R х R, d(p X р)). d(p X р)), то в силу равенства Парсеваля

иК^=Д1а,Не«».

Обратно, если Л£52(£2), то | А |2 = S\ajk I2 < °°> откуда следует принадлежность К пространству L^R X R, d(p X р)). Н

Замечание 7.3. Оказывается, что интегральными операторами Гильберта—Шмидта исчерпывается весь класс S2 (L., (R, dp)). Действительно, пусть А — оператор Гильберта—Шмидта в L.t(R, dp).

Положим K(t, 5) = У1(1Аек, ej)ei(t)ek(s), где (^/(0)^=1 — ортонор- i.k=X

мированный базис в L2 (R, dp). Предлагаем читателю проверить, что а) этот ряд сходится по норме L2(R х R, d(p х р)); б) ||К|| = = |Л|; в) (VfGL2(fl, dp)):0/)(/) = JA(/, s)/(s)dp(s).

R

УПРАЖНЕНИЯ

7. Пусть Л G Sa (£a (JR, dp)), К.— его ядро. Доказать, что ядро Kw (s, /) оператора Ап удовлетворяет оценке || К№ || < || К II п.

8. Доказать, что: а) функции sh t, emt (п G Z) образуют ортогональный базия в соболевском пространстве W2 ([— л, л]) (см. § VI.8); б) оператор вложения 1^2 ([—л, л]) Э х i-> Ох = xG Ц ([—■ л, л]) является оператором Гильберта— Шмидта.

9. Оператор A G 2 (77) называется ядерным, если он имеет вид конечной суммы Л - ^ У, BkCk, где В,Вп, С],..., C„GS2 (77). Совокупность всех ядерпых операторов в // обозначим символом SL (77). Доказать утверждения: a) St (77) С2 Sa (Ну, б) .S'] (77) двусторонний идеал в S’ (Ну, в)ЛG G Si (Н)-<-*А* G Sj (Ну, г) если Л G Sj (И) и (сп)”=1 — некоторый ортопормнрован- иый базис в Н, то У, i (Aek, efe)|<co, причем выражение Тг (Л) = V (Аеп, 6=1п=1

епу называемое следом оператора А, не зависит от выбора базиса; д) ЛG G S, (77) тогда и только тогда, когда А = ВС, где В, CqS2 (Ну, е) если Л > 0, то A^S^H) тогда и только тогда, когда для некоторого ортонормнроваипого базиса (еп)”=1 ряд V (Аеп, еп) < оо.

П=1

§ 8. СПЕКТР И РЕЗОЛЬВЕНТА ЛИНЕЙНОГО НЕПРЕРЫВНОГО ОПЕРАТОРА

Напомним определения некоторых понятий линейной алгебры. Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве Е линейный оператор Л, пусть (a;^);^=i— его матрица. Ненулевой вектор <р £ £ называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению % g (D, если Лер = Хер. Совокупность всех собственных значений оператора А называется спектром оператора А. Спектр оператора А совпадаете множеством корней {XjXm) (m < п) характеристического уравнения det(a/i; — XS/a)/,^! = 0. Однородное уравнение (Л — ХД) ф = 0 имеет нетривиальное решение только для X = Xft (k = 1m). Если z ^ {XD ..., Xm), то

Ker (Л — 2^1) = {0} и оператор Л — z£ обратим.

Перейдем к обобщению этих понятий на случай бесконечномерных линейных пространств. Пусть Е— линейное нормированное пространство, Л — линейный непрерывный оператор в нем. Как и в случае конечномерного Е, ненулевой вектор ср g Е назовем собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению Х£ (Б, если Лф = Хф. Однако определение спектра оператора в конечномерном пространстве не допускает подобного прямого переноса на случай dim Е = оо. Как показывает следующий пример, в бесконечномерных пространствах существуют операторы, не имеющие собственных значений.

УПРАЖНЕНИЯ

Пример 8.1. Пусть Е — Ь2 ([а, 6]). Рассмотрим в Е оператор А умножения на независимую переменную: (Ах) (t) = tx(t). Покажем, что А не имеет собственных значений. Действительно, пусть ненулевая функция ф 5 Е Ег ([а, 6]) удовлетворяет уравнению Лф = Лф. Это означает, что для т - почти всех / € [а, 6] (t — X) ф (t) = 0. Так как первый миожитель отличен от нуля при t^= X, то с необходимостью ф = 0 (mod т). Следовательно, оператор А не имеет собственных значений.

Доказать, что рассмотренный в примере 1.2 оператор умножения на функцию а С С ([а, 6]) не имеет собственных значений, если а отлична от постоянной

Пусть А — оператор в /2, действующий по формуле (Ах)п = = п-1хп (п Е М). Найти собственные значения и собственные векторы оператора А. Показать, что нуль не является собственным значением оператора А, однако оператор А необратим.

Найти собственные значения и собственные функции оператора (Ах) (0 = xLo,i] (б х (б в L2 ([—1, 1]).

Определение 8.1. Пусть Е — линейное нормированное пространство, Л £:Z (£). Регулярной точкой оператора А называет- сяг^ 0 такая, что оператор А — гД обратим. Дополнение к множеству р (Л) всех регулярных точек оператора А называется спектром оператора А и обозначается S (Л).

Если Е — конечномерно, то обратимость оператора А — гД равносильна тому, что Ker (А — zfl) = {0}. Поэтому в случае dim Е < < оо точка X входит в S (Л) в том и только в том случае, когда имеет ненулевые решения уравнение (Л — Ml) ф = 0. Таким образом, в случае dim Е < оо определение 8.1 спектра оператора А совпадает с известным из линейной алгебры определением спектра как совокупности всех собственных значений оператора.

Пример 8.2. Найдем спектр оператора А из примера 8.1. Пусть z gf [а, й].

Тогда дляхЕДа имеем || (А — г fl) х ||2 = С |< — г |2 |х (I) | 2 dt > d3 |) х || 2,

где d> 0 — расстояние от z до [а, 6]. Очевидно, что функции х (I), х (t)/(t — г) одновременно принадлежат или не принадлежат L2 ([а, 6]). Поэтому 7% (А — — гИ) = Д2 ((а, 6]). Применяя теорему 3,1, получим, что оператор А — г й обратим, т. е. гЕр (Л). Если zE [а, 6], то .% (А —г fl) # L2 ([а, 6]). Действительно, х (б= 1 [<е входит в .58 (А —г fl), поскольку функция (t — z)-1 $ L2- Следовательно, S (А) = [а, 6].

Теорема 8.1. Спектр линейного непрерывного оператора А является замкнутым подмножеством круга (г£(Б | | г |<||Л||}=В|[дц(0).

Доказательство. Покажем, что внешность круга Вдлц (0) содержится в р (Л). Пусть | z | > || Л ||. Тогда Л — zfl =— г^Д — ^, где оператор у Л имеет норму меньше единицы. Согласно теореме 3.2 оператор fl—-Л, а следовательно, и Л — zfl обратим, т. е. z является регулярной точкой оператора Л.

Покажем, что р(Л)— открытое множество. Пусть z0— регулярная точка. Докажем, что она является внутренней точкой множества р(Л). Для г ЕЮ рассмотрим операторЛ — гА=Л — г0А — — (z —z0)fl. Оператор Л —zofl обратим, и если ||(z — z0)AH< <|| (Л — 20А)-11)"1 = г, то согласно теореме 3.3 обратим и оператор Л—zfl. Таким образом, шар Вг(г0) оз р (Л). Д

Замечание 8.1. Нормы операторов (Л— zfl)"1 равномерно ограничены при zGBr(z0). Действительно, из равенства (Л — г0А)(А— _(г — z0) (Л — z0А)"1) = Л — zfl следует в силу результата упр. 3.2 и неравенства (3.1), что ||(Л — zfl)"11| с ||(Л — ZqA)"11| ||(А — (z — — г0)(Л — ZoA)"1)'1!!. Отсюда, в силу результата упр. 3.1, следует, что

||< Л - 21)-|<Ц^^Т^ < тЬз(8.1)

Где с —|| (Л — zttA)-1 II- Подобную оценку можно получить и другим способом, используя результат упр. 3.3.

Определение 8.2. Пусть А^ЦГ), г — его регулярная точка. Оператор (Л — zfl)"1 называется резольвентой оператора Л и обозначается Rz или RZ(A).

Изучим свойства резольвенты.

Теорема 8.2. Пусть 2V г2 — две регулярные точки оператора А. Справедливо следующее тождество Гильберта для резольвенты оператора А:

RZ1-Rzt = ^t-z^RZ1RZt.(8.2)

Доказательство. Рассмотрим очевидное равенство (Л— — z2fl)— (^—z^)—(Zj — z2)A- Умножая его слева па RZ1, получим Rz, (Л — z2fl) — fl -= (гх — z2) Rz,. Умножая полученное равенство справа на Rz,, приходим к (8.2). ■

Следствие 8.1. В условиях теоремы 8.1 операторы RZ1 и RZt коммутируют. .

Действительно, из тождества Гильберта следует, что RZ1RZ, = = (Zx— Z2)"1(Z?21 — RzA = (Z2 —zl)-1(Rza — ^2,) = RZ,RZ1, т- e- l^zp ^zj - 0. ■

Теорема 8.3. Операторнозначная функция

p(A)^z^Rz(AK^(E)(8-3)

непрерывна на р(Л).

Доказательство. Из тождества Гильберта следует, что ||tfz-^ <:|2--20|11Яг111|Я2.1|. '

В силу (8.1) для г, достаточно близких к г0, справедлива оценка

II Rz — Rz6 II с |z — z0| • c2(l — |z — г0| c)-1.

Поэтому Rz 2? RZo при z -> z0. g

Теорема 8.4. Операторнозначная функция (8.3) имеет производную в каждой точке г£р(Д), т. е. существует предел по def

норме пространства 3(Е) lim /т1 (Rz+h — R^ = Rz (г £ р (Л)).

h-0

Доказательство. Из тождества Гильберта следует, что разностное отношение /г1 (Rz+h — R^ равно Rz+hRz. Последнее выражение в силу теоремы 8.3 стремится по норме 3(E) к R^ при h-» -»0. Таким образом, для любой регулярной точки г существует Rz = &- ■

Замечание 8.2. Как известно, числовая функция С о G Э г i->/ (г)£ 5 (С, имеющая производную в каждой точке области G, называется аналитической на G. Естественно назвать аналитической на G операторнозначную функцию (D =) G Э z F (г) £ 3 (Е), имеющую в каждой точке области G производную F' (z) = lim h~l (F (г + h-0

+ h) — F (z)) (предел по норме 3 (£)). Тогда утверждение теоремы 8.4 формулируется так; резольвента линейного непрерывного оператора является операторнозначной аналитической функцией на множестве регулярных точек оператора.

Замечание 8.3. Пусть G Э zi-- F (г) £ 3 (Е) — операторнозначная функция. Положим для х^ЕД^Е' FXil(z) = I (F (z) х). Если F аналитична на G, то таким же свойством обладает и числовая функция FXil (г) для любых х^Еи/^Е'. Действительно, для z, z + h g G имеем

у IFx.t (z + /г) — Fx (z)) = I ^y (E (z + h) — F (z))p^ Выражение в квадратных скобках при h 0 сходится по норме 3 (Е) к Е' (г). Так как / — непрерывен, то существует производная Е^ (•) = / (Е'(•) х). Интересно, что справедливо и обратное утверждение: если для всех х £ Е и / £ Е' функции ЕХ1Х (г) аналитичны в области G, то Е (г) — аналитическая в G операторнозначная функция (см. [28]).

Теорема 8.5. Спектр любого линейного непрерывного оператора непуст.

Доказательство. Предположим противное. Если S (Л) = = 0, то р (Д) == (0 и согласно теореме 8.4 Rz является аналитической на С, т. е. целой функцией. Покажем, что sup {||Ег (Д)|| | z £ 6 (С) <°°-

Поскольку /^(Л)— непрерывная функция на $, то такой же будет и функция $ Э z I-* || Rz ||. По теореме Вейерштрасса функция f(z) = |) Rz)| ограничена на круге В2цл||(0). Для z, лежащих вне этого круга, имеем

IIR. II - II - Дй - 7 Д* I - 121“ 11(4 - Д' II

^Mll)-^!-^"’^! Ду1.^Mll)-^!-^"’^! Ду1.(8.4)(8.4)

^Mll)-^!-^"’^! Ду1.

^Mll)-^!-^"’^! Ду1.

(8.4)

(8.4)

Таким образом, sup (|| Rz || | zQ ^} = d < оо. Заметим, что из (8.4) следует, что при | z | > 21| А || || Rz || < 2| г |-1, т. е. || Rz || 0 при [z| -» оо.

Пусть х£ Е, 1£Е'. Рассмотрим числовую функцию y,i(z) = = l(Rzx). Функция fx,i является целой. Кроме того, из неравенства | fx,t (z) | С || Z || || Rzx || C d • || 11| • || x || следует, что функция fx.t ограничена на j;. Согласно теореме Лиувилля любая ограниченная целая функция является постоянной, так что fx,i (z) = с (z£(D). Из lim||^2||==0 следует, что fx,i (z) = 0 (z£0). Таким образом, имеем р|-»~

(Vx е £) (V/ е Е') (Хг Е (С): ЦМ = 0. (8.5)

Это невозможно, поскольку из (8.5) следует, что (Л — z^^x = 0 (Хх^Е), т. е. (Л—zfl)'1 = 0, что абсурдно. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать следующие утверждения: а) если к — собственное значение оператора A g 2 (Е), то X"— собственное значение_оператора Д'1 (п^М); б) если X— собственное значение оператора А-, то УX или — У X является собственным значением оператора А; в) 8 (А2) = (X2 | X С 8 (Д)}.

Пл Гн п спектр и резольвенту операторов из упр. 8.1 — 8.3, 4.4 а),

Пусть (сс„)“=1— фиксированный элемент из 1^. Найти множество собственных значений, спектр и резольвенту оператора /2 5 х i-*Ax = (а^, а2х2, .. .).

Доказать, что любое непустое компактное множество может быть спектром некоторого оператора.

Пусть А? 2 (£) обратим. Доказать, что 8 (Д-1) = {X-11 X ^ 8 (Д)}.

Пусть А, В £ 2(E). Доказать, что ненулевые элементы 8 (ДВ) и 8 (ВА) совпадают,

Пусть А^2(Е), Х$ Си существует такая последовательность (xn)£Li сз£, что || хп || = 1 и Ахп — Хх„->0. Доказать, что X^S (Д).

Пусть Н—гильбертово пространство, А(^2(Н). Доказать, что: а) 8 (Д*) = {X | X е S (Д)}; б) если А = А», то 8 (Д) g [— || А || , || А 0 ]; в) если А > 0, то 8 (Л) G [0, || А || ].

Пусть U — унитарный оператор и П. Доказать, что 8 ({/)е{Х£©| |^1 = !}.,

13. Показать, что спектр ортопроектора /' в 11, отличного от 0 и Ц, совпадает с {0, 1}.

Пусть Hv И2— гильбертовы пространства и At^2 (Н,), 1 = 1,2. Операторы А, и А2 называются унитарно-эквивалентными, если А, = U lA2U, где U;Hx-»-H2— изометрический оператор с 34 (U) = H2. Доказать, что 8 (Да =8 (Д2).

15. Доказать, что спектр оператора /2 Э х 1->Дх = (0, хп х2, .. .) совпадает с (X $С | | Х| с 1}._

16. Доказать, что спектр оператора, действующего в L2 (IR) по закону (Дх)(/)=х (f + s)> гДе S€'R фиксировано, совпадает с {X С С 11 X | = 1).

17. Пусть А^.2 (Н) удовлетворяет соотношению Д'1-|-с1Дп-1 + . ..+ + спЦ. = 0, где ср .. ., сп — заданные комплексные числа. Если X £ 8 (А), то X" + qX”-1 +... + сп = 0. Доказать. Верно ли обратное утверждение?

ГЛАВА IX. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

УРАВНЕНИЯ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

В этой главе изучается важный класс линейных непрерывных операторов — компактные (или вполне непрерывные) операторы. С одной стороны, компактные операторы интересны тем, что оии наследуют многие свойства операторов в конечномерных пространствах. С другой стороны, компактными являются важные в приложениях операторы, в частности интегральные операторы с «достаточно хорошими» ядрами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Определение 1.1. Пусть ЕТ,Е<Л — линейные нормированные пространства. Линейный оператор Аг Е-^-^Е^ называется компактным, если он отображает всякое ограниченное множество пространства Ег в предкомпактное множество пространства Е2. Совокупность всех компактных операторов, действующих из Егв Ег, обозначается символом <6 ^Ец Е^ ^ (В) — в случае, когда Ег — Е2 = Еу

Замечание 1.1. В силу линейности оператора А предкомпакт- ность образа любого ограниченного множества следует из предком- пактностн образа единичного шара Вх (0) □ Ev

Замечание 1.2. Компактный оператор переводит единичный шар Вх (0) в предкомпактное, а следовательно, ограниченное множество. Поэтому любой компактный оператор ограничен, т. е. 8 (Е^ Е.^ сз с 2 (Ен Е2). Однако свойство компактности линейного оператора является, вообще говоря, более сильным, чем непрерывность, что отражено в другом названии компактных операторов — вполне непрерывные операторы. Примером непрерывного оператора, не являющегося компактным, может служить единичный оператор в бесконечномерном пространстве Е. Действительно, он отображает единичный шар на себя, а Вх (0) в случае dim Е = оо не предкомпактно.

Замечание 1.3. Пусть А £ ^ (Е^, Е^. Если (xjn=i а Ех — ограниченная последовательность, то из последовательности (Axnj”=i можно выделить сходящуюся в Е2 подпоследовательность. Предлагаем читателю проверить, что оператор А ’Ех -> Е2, переводящий любую ограниченную последовательность в последовательность, содержащую сходящуюся подпоследовательность, является компактным.

Рассмотрим несколько примеров компактных операторов.

ПРИМЕРЫ.

Пусть Е2 = ©М Так как любое ограниченное подмножество ©^ пред- Компактно, то каждый оператор из 2 (Elt ©W) является компактным.

Оператор Д^^, Еа) называется конечномерным, если dim ^ (А)< < оо. Из предыдущего примера следует, что любой конечномерный оператор компактен. Конкретным примером конечномерного оператора является интегральный оператор с вырожденным ядром, действующий в Lp (R, dp.) или в С (Q) (это пространство ниже обозначается символом Е). Ядро К называется вырожденным, если оно имеет вид конечной суммы

К (I, s) = 5 щ (О bt (s),(1.1)

где а(, 6,(i = 1, .... п) — некоторые фиксированные функции из Е. Ясно, что область значений интегрального оператора с ядром (1.1) содержится в линейной оболочке функций av ..., ап, т. е. этот оператор является конечномерным.

Пусть Ех = Ег = С ([а, 6]), А — интегральный оператор с непрерывным ядром К (см. пример VIII. 1.3). Покажем, что А компактный оператор. Согласно замечанию 1.1, достаточно проверить предкомпактность множества АВг (0). Из ограниченности оператора А следует, что функции из множества ABi (0) равномерно ограничены, так что первое условие теоремы Арцела выполняется. Установим равностепенную непрерывность функций из ABt (0). Поскольку функция К равномерно непрерывна на [а, 6] X [а, 6], то (V е>0) (Д 6 > 0) (V SGM, »1) (V 6, В2^1а, Ьу.у1-12\<буЛК (Т, s)— К (/2, s)|<s-(6 — а)-1. Поэтому для любой функции х£Вг (0) имеем | (Ах) (ti) — (Ах) (У I-< ^ I К Ун s) — К (I2, «) 11 * (s)|ds<e. Таким образом, а

ABt (0) — предкомпактное множество в С ([а, 6]) и компактность оператора А доказана.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что: a) r6 (Elt Е^ является линейным пространством; б) (V Ае® №v ЕЛ» « В1^2 (Ex)) (V (E^-.ABi, В,А^% (Ех, Е^.

Доказать, что оператор умножения на независимую переменную в С ([0, 11) не является компактным.

3. Пусть (ajt)jLi — фиксированная последовательность из 1^. Используя результат упр. VII.1.5, доказать, что оператор Zp5xi-«- Ах = (а1х1, а2х2, ...)€ £ 1р компактен тогда и только тогда, когда lim ап = 0.

Изучим основные свойства компактных операторов. Для упрощения записи рассматриваются операторы, действующие в одном пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Е— банахово пространство, (ЛДГ=1— сходящаяся по норме пространства ^(Е) к Л последовательность компактных операторов. Тогда оператор Л—компактный.

Доказательство. Пусть (х,,)„=i— ограниченная последовательность из Е. Согласно замечанию 1.3, нужно доказать, что из последовательности (Лх„)^1 можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Для доказательства этого факта применим диагональный метод.

Поскольку оператор Лх^Т (Е), то из последовательности (Л^),^ можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Л^п;)”,.!. Так как оператор Л2С^(£), то из последовательности (Л^^^ можно

выделить сходящуюся подпоследовательность (A.2Xn2)”=i и т. д. Рассмотрим диагональную подпоследовательность (x„„)n=i и покажем, 'что последовательность (Ах^),^ фундаментальна и поэтому сходится. Заметим, что для любого £ Е И последовательность (АдХ„п)”=1 сходится. Это следует из включения <хппу7=и с ^ХпА”-л и сходимости последовательности (,AkxnA”=i- Тогда для т, «ЕЙ имеем

II АХщт Ax,tri |1 ^- II АХщщ А^Хл1т || -|- || А^Хщщ А^Хцц || "Т"

+ II Ах,т — Акхт1 II < II А — Afe II (II хтт II + II хпп II) + II Afexnn —

-ЛЛ,п||<2с||Л-4|| + ПЛ^-Д^П, (1 .2) где с = sup {|| хл || | n Е Ml-

Пусть е>0 задано, выберем номер £0 такой, что ||Л — Д&0||< <s/3c. Последовательность (А^х^)^ сходится, поэтому, начиная с некоторого N, ||Абох,!Л— Акохтт^ <8/3. Тогда, согласно (1.2), || Ахпп—Axjron\l<s. Таким образом, ДЕ^^). И

Следствие 1.1. Пусть Е — банахово пространство. '6 (£) является подпространством в 2 (£).

Действительно, требуемое вытекает из теоремы 1.1 и результата упр. 1.1, а).

Замечание 1.4. Очевидно, что утверждения теоремы 1.1 и следствия 1.1 имеют место и для операторов, действующих из £,8 Ей, где Ег — банахово пространство.

Замечание 1.5. ^ (£) является двусторонним идеалом в алгебре 2 ф\ Это утверждение следует из результата упр. 1.1. Отметим еще одно следствие этого результата: компактный оператор, действующий в бесконечномерном пространстве Е, необратим. Действительно, в случае непрерывности A~Y оператор А X Д -1Е $ (£) как произведение компактного оператора А и ограниченного оператора А-1. Но А А-1 = Ц, а единичный оператор не является компактным в случае dim Е = оо.

Теорема 1.2. Если А^^Еу то А^ЧЦЕ'У

Доказательство. Пусть ЦАп=\ с Е'— ограниченная последовательность. Покажем, что из последовательности ^А*1^”=х можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Заметим, что

II АЧп Ц = sup (| (А*/„) (у) 111| у || = 1} = sup [| 1п (А,) | | у Е St (0)} = = sup {[ 1п (г)11 ZE ДЗД0)}. (1.3)

Поэтому для доказательства утверждения достаточно установить предкомпактность множества (/„)”=! a C(Q), где Q— компактное множество (ASX(O))~.

Проверим выполнение условий теоремы Арцела. Имеем для «Е 6NHI^(Z)I «Ш11И1 ^с ’ Ci, где c = sup{|] 1„|||пЕМ}, ci = = sup {(I z|| | zEQ}, так что функции /„ («Е^) равномерно ограничены. Равностепенная непрерывность следует из неравенства | — — 4(^)1 < c||zx —z21| (ЛЕИ: Д> A>EQT Таким образом, существует подпоследовательность (1Л6)Г=1 такая, что |]/л6— ^,„11 =

= max{|/п,;(2) — ^m(z)l |zgQ}-*0 при к, пг~*оо. Согласно (1.3), #то значит, что ||Л*/^—^*^„ 11 ~'^ ИРИ *’ пг-»оо. Таким обра- юм, Д* g $ (Е'У И

Теорема 1.3. Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство- Оператор Гильберта— Шмидта А, действующий вН, является компактным, т. е. 8г (Н) s $ (Д).

Доказательство. Покажем, что любой оператор Гильберта — Шмидта является пределом равномерно сходящейся последовательности конечномерных операторов, откуда в силу теоремы 1.1 следует требуемое.

Зафиксируем в Н ортонормированный базис (efe)SLi. Пусть 'rz,fe)71fe=i — матрица, отвечающая оператору А в этом базисе. Определим оператор Ап следующим образом: (Л,^ = (Ах)к при 1 с с k < п и (Апх)., — 0 при к > п + 1 (xg Н), т. е. первые п строк матрицы оператора Ап совпадают с соответствующими строками матрицы оператора А, а остальные состоят из пулей. Понятно, что .9? (АИ) Е л. о. (е,, ..., е„), поэтому А„£Г6(Н) (ng ЭД). Заметим, что А — АД = S S I а/ь I2 ^ О ПРИ п оо как остаток схо- /= »+1 А=1

дящегося двойного ряда Ц|яд|2. Но тогда и Hm)J А — Л„|| = 0, поскольку || А — А,, || < А — А„. g

Замечание 1.6. Если й\тН — ео, то S2 (//) с % (П). Это следует из сравнения условия компактности оператора, отвечающего диагональной матрице (аДАТл-Г- Нша6 = 0 (см. упр. 1.3), и условия конечности абсолютной нормы такого оператора: 5 Iа» I2 < »=i

< ОО, g

В заключение докажем одно утверждение о связи между ком

пактностью оператора и его степеней.

Теорема 1.4. Оператор A g % (Н) компактен тогда и только тогда, когда длянскоторого п С- И компактен оператор (А *Л)".

Доказательство. Необходимость. Если A g $ (Н), то, согласно теореме 1.2, А* Д6 (//). Используя результат упр. 1.16),

получаем требуемое.

Достаточность. Доказательство проведем в три этапа: для п= 1, для п = 2т и для произвольного п.

Предположим, что А*А£(6 (Н). Пусть (x^^Lx с Н— ограниченная последовательность, с = sup (|[х„ || \п g ЭД}. Используя неравенство К.оши—Буняковского, получим, что для п, /ngИ

(1.4)(1.4)IIА (хт — х„) ||‘2 — (А*Л (хт хДх„

(1.4)

(1.4)

Так как А*А^<6(Н\ то найдется сходяща'яся подпоследовательность (Д*Дхп )Г=]. В рилу (1.4) будет сходиться и (Ахп^к=д, так что A^rig(Hy

Из свойств сопряженного оператора (теоремы VIII,4.2, VIII.4.3) следует, что (А*А)2 = (А*А)* А*А. Поэтому

(Vm G И): (АМ)2"1 = ((ДМ)2"1^1)* (А* А)2"1-1.(1.5)

Предположим, что (AM^^tH). Тогда из (1.5) в силу доказанного на первом этапе следует компактность (Д*Д)2т-1. Применяя такой прием т раз, получим, .что А*А^<$ (Н). Поэтому по доказанному выше А £ ^ (//).

Пусть (AM)^1^//), где п — произвольное натуральное число. Обозначим через т наименьшее натуральное число, обладающее свойством n <2т, пусть I = 2т — п. Тогда (АМ)2"1 = ^A*AVx X (АМ/, где (А*Ау компактен по предположению, а (А*А)£ непрерывен. Поэтому (А*А)2т £*@(Н), откуда в силу доказанного на втором этапе следует А^^Н). g

УПРАЖНЕНИЯ

Может ли оператор умножения иа функцию (см. пример VIII.1.2 в С ([а, 6]) быть компактным?

Найти необходимое и достаточное условие компактности оператора из S’ (/2), задаваемого якобиевой матрицей.

Доказать, что интегральные операторы, введенные в упр. VIII.1.7, VIII. 1.8, VIII.1.11, VIII.1.12, компактны.

Доказать, что для любого / £ &+ оператор вложения С^1 ([а, 6]) Э Э х |-<- Ох = х $ С1 ([а, 6]) компактен,

Пусть Н — гильбертово пространство, А 6 2 (Н). Доказать следующие утверждения: а) операторы А, А* и А*А одновременно компактны или некомпактны; б) оператор А С ^ (//) тогда и только тогда, когда существует последовательность конечномерных операторов из 2 (//), равномерно сходящаяся к А; в) любой оператор А С 2 (И) является сильным пределом последовательности компактных операторов. -

Пусть А^2^Н\ {е^^—ортоиормированный базис в Н. Предположим, что sup {|) Ах || | х Д ек, k = 1 ||х || = 1} ->-0 при п -► оо. Дока

зать, что А rg (Н).

Л1ожет ли компактный оператор в бесконечномерном пространстве удовлетворять уравнению с0Ц + с3А + • • • + спАп = 0 (сп ... , с„ £ С)?

Пусть т= 2,3, ... , Привести пример оператора А ^2 ^Щ такого, что АAm-I^ « (Д), А"1 6 <g (Я).

Пусть £ —рефлексивное банахово пространство, А С 2 (£). Доказать, что А С ^ (£) тогда и только тогда, когда он переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

Пусть Н— гильбертово пространство, А^2(.Н'). Доказать, что A^'g(H) тогда и только тогда, когда для всякой слабо сходящейся к нулю последовательности М^сД выполняется условие lim (Ахп, хп) = 0.

Доказать, что множество М в банаховом пространстве £ предкомпактно тогда и только тогда, когда выполнены условия: а) М — ограничено; б) существует последовательность (A„)^_j с: ^ (£) такая, что АлД-Д и sup { || Апх — х || | х G Л1} -► 0 при п->- о°.

Пусть £— рефлексивное банахово пространство. Используя результат упр. VII.7.10, доказать, что 2 (Е, 1^ = с& (£, /J.

§ 2. ТЕОРИЯ РИССА — ШАУДЕРА РАЗРЕШИМОСТИ

УРАВНЕНИЙ С КОМПАКТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

Пусть А — компактный оператор в банаховом пространстве Е, толожим Т = А — fl. В этом параграфе рассматриваются следу- ощие линейные уравнения с оператором Т и сопряженным к нему итератором Т* — А* — fl:

Тх = у(х,у^Е),(2.1)

Тх = 0 (х^Е),(2.2)

T*l — m (I, m^E'Y(2.3)

T*l = 0 (/ ^Е').(2.4)

Пусть Е конечномерно. Из курса линейной алгебры известен следующий результат: уравнение (2.1) разрешимо для тех и только тех правых частей у, которые удовлетворяют условию: Z (у) = О для всех решений I уравнения (2.4). Аналогичный результат справедлив и для уравнения (2.3), соответствующее условие имеет вид пг (х) = 0 для всех решений х уравнения (2.2). (Это свойство уравнений (2.1) и (2.3) называется нормальной разрешимостью.) Известно также, что уравнение (2.1) разрешимо для любой правой части в том и только в том случае, когда уравнение (2.2) имеет только тривиальное решение и что число линейно независимых решений уравнений (2.2) и (2.4) одинаково.

Оказывается, что эти результаты линейной алгебры переносятся на случай уравнений (2.1)— (2.4) с компактным оператором А, действующим в произвольном банаховом пространстве. Для интегральных уравнений, т. е. уравнений (2.1) — (2.4) с интегральным оператором А, такие теоремы доказал И. Фредгольм. Как показал впоследствии Ф. Рисе, основные результаты теории линейных интегральных уравнений Фредгольма справедливы и для общих уравнений (2.1) — (2.4).

Докажем сначала два вспомогательных утверждения.

Лемма 2.1. Пусть Т — А — fl, где А £ $ (Е). Подпространство Ker Т конечномерно.

Доказательство. Пусть М a Ker Т — произвольное ограниченное множество. Для любого х £ Ker Т имеем Ах = х, так что оператор А переводит множество М в себя. С другой стороны, в силу компактности А множество АМ предкомпактно. Следовательно, всякое ограниченное множество М с Ker Т предкомпакт- но, откуда в силу теоремы VII.1.3 следует конечномерность подпространства Ker Т. В

Лемма 2.2. Область значений 5НТ) оператора Т является подпространством.

Доказательство. Очевидно, что 51 (Т)— линейное множество. Необходимо доказать лишь замкнутость 51 (Т).

Сначала покажем, что существует постоянная с, зависящая только от Т, такая, что всякий раз, когда уравнение (2.1) разрешимо,

по крайней мере для одного из его решений, х выполняется неравенство

П^п ^cilyll.(2.5)

Пусть х0 — одно из решений уравнения (2.1). Тогда любое решение этого уравнения имеет вид х = х0 + г, где г — решение однородного уравнения (2.2). Покажем, что среди этих решений имеется решение х с минимальной нормой и что именно для него имеет место (2.5).

Положим d = inf (|| х (К Тх = у\ = inf {||xQ + z |( (z £ Ker T\, пусть (z„)“=1 с Ker T такая, что || x0 + zn || -» d. Так как последовательность (|| x0 + zn ID^Lj имеет предел, то она ограничена. Но тогда ограничена и последовательность (|| z„ ||)Л1=1, поскольку || гп || = = 11 Vn + Ч) — *0П <II х01| + || х0 + гпЦ. Таким образом, (z„)“=i — ограниченная последовательность в конечномерном пространстве КегТ7 и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (гп ^х- Пусть z0 = limzv тогда ||x0 + z0|| = = lim || ха + гПк || = d. Но Zg^KerT и поэтому х = х0 + z0 является решением уравнения (2.1). Таким образом, в случае разрешимости уравнение (2.1) всегда имеет решение х с минимальной нормой. В дальнейшем х называется минимальным решением уравнения (2.1).

Покажем, что для минимального решения имеет место (2.5). Предполагая противное, получим, что

(Vn 6 И) (Иуп G а (Т)): || хп || > п || уп II,(2.6)

где хп— минимальное решение уравнения Тх = уп. Положим |„ == = 11^ II"1 • хп' Ч, =11^,1 Г1 • Уп- Очевидно, что ^ является минимальным решением уравнения ТВ, = т]„. Так как последовательность (|„)“=i ограничена, то последовательность (Д|п)£=1 содержит сходящуюся подпоследовательность (ЛЦ)^, пусть ^0 = НтЛ^п. Заметим, что ||т]„||-»0 в силу (2.6). Поэтому переходя к пределу в уравнении А^щ. — |П/, = т,^ при /г -> оо, получим, что £0 = lim^ , и в силу непрерывности А Л£о = ИтЛЦ. Итак, АВа = £0, т. е. |0£КегТ, и поэтому j^ — ^o является решением уравнения Поскольку ^ — минимальное решение этого уравнения, то || ink — So II > II Ц II = 1, что противоречит сходимости (^£=1 к |0. Таким образом, отношение || х|] /|| у || ограничено и неравенство (2.5) имеет место, если положить с = sup {||хЦ || z/Ц-1 | у^эг^П Пусть теперь дана последовательность (z/„)”„i с д? (Т), сходящаяся к уа. Переходя, если необходимо, к подпоследовательности, 286

можно считать, что Ц у„ —Уо|| <2-',-,, откуда || у„-н— уп || < 2-" (ng И). Пусть х0 — минимальное решение уравнения Тх = ух и хп— минимальное решение уравнения Тх = у,г н — уп (n g ^). Тогда в силу (2.5) ]|х„П <c||yn+i — уп || < с • 2-". Из этой оценки вы

текает, что ряд S х, сходится, причем для суммы х этого ряда 6=0 ”

имеем

Тх = Т (Нт £ х^ = Иш £ Тхк = Иш \yv +П-*ео k=0 П-*ьо ^ = 0 /2-»оо

П

+ 2 (№+1 — Ук)А = lim Уп*Х = Уо-£=1 П^-ео

Таким образом, уа£3?(Т). ц

Доказываемые ниже теоремы 2.1 и 2.2 называют обычно первой и второй теоремами Фредгольма о нормальной разрешимости.

Теорема2.1. Уравнение (2.1)разрешимо для тех и только тех у £ Е, которые обладают свойством; Z (у) = 0 для любого решения I сопряженного однородного уравнения (2.4).

Доказательство. Необходимость. Пусть у g Е таково, что уравнение Т х — у разрешимо. По определению сопряженного оператора имеем I (у) / (7’х) - - (7’*Z) (х). Поэтому Z (у) = 0 для любого решения уравнения Т*1 — 0.

Достаточность. Пусть у^Е таков, что I (у) = 0 для любого решения уравнения(2.4). Предположим, что уравнение Тх =у неразрешимо, т. е.у g Я (Т). В силу леммы 2.2 Я (Т) — подпространство. По следствию из теоремы Хана — Банаха (теорема VII.4.1) найдется функционал Zo g Е', равный нулю на Я (Т) и р (у, Я (Т)) на векторе у. Итак, (Vxg Е): (T*Z0) (х) = Zo (Тх) = 0, т. е. /0 является решением уравнения (2.4). Однако Zo (у) ^ 0, что невозможно. ■

Следствие 2.1. Уравнение Тх= у разрешимо для любой правой части у g Е в том и только в том случае, когда Ker Т* = {0}.

Теорема 2.2. Уравнение (2.3) разрешимо для тех и только тех т^Е', которые обладают свойством; т (х) = 0 для любого решения х однородного уравнения (2.2).

Доказательство. Необходимость. Пусть т g Е' таков, что уравнение Т*1 = т разрешимо и пусть х g Ker Т. Тогда т (х) = = (T*Z) (х) = I (Тх) = Z (0) = 0.

Достаточность. Пусть т£ Е' таков, что (Vxg Ker Т): т (х) = = 0. Построим решение I уравнения Т*1 = т. Для этого на подпространстве Я (Т) определим функционал Zo, полагая Zo (у) = = т (х}, где х — один из прообразов элемента у при отображении Т. Хотя х по у определяется неоднозначно, определение функционала Zo корректно. Действительно, если xt — другой прообраз элемента у, то Т (х — Xi) = 0 и поэтому т (xj = т (х + (х, — х)) — т (х).

Линейность функционала Zo следует из линейности т. Ограниченность /0 устанавливается так. Как было установлено при доказательстве леммы 2.2, для минимального решения х уравнения 7’х —у

имеет место оценка (2.5). Тогда получаем, что | /0 (у) | = |т(х) | с <]| т||||х|| <с • ||т|| • ||у||, т. е. /0 ограничен.

Применяя теорему Хана — Банаха, продолжим функционал /0, заданный на подпространстве Я (Т), и пусть l£ Е' — продолжение /0. Имеем тогда для х g Е : (Т*0 (х) = I (Тх) = 1й(Тх^ = m (х), т. е. I является решением уравнения (2.3). ■

Следствие 2.2. Уравнение T*l = m разрешимо для любой правой части m ^ Е' в том и только в том случае, когда Ker Т = {0}.

Замечание 2.1. Если Е — рефлексивное пространство, то в силу равенства (У*)* = Т утверждение теоремы 2.2 является прямым следствием теоремы 2.1. Щ

Следующая теорема показывает, что между разрешимостью однородного и неоднородного уравнений в одном и том же пространстве также существует тесная связь.

Теорема 2.3. Для того чтобы уравнение (2.1) было разрешимо при любой правой части у £ Е, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (2.2) имело лишь тривиальное решение. В этом случае решение уравнения (2.1) определяется однозначно и оператор Т обратим.

Доказательство. Необходимость. Положим Gn = К er Тп («СИ). Так как из Т"х — 0 следует, что Тп+1х = 0, ToGrtsG„+i.

Пусть уравнение (2.1) разрешимо при любом у. Предположим, что однородное уравнение (2.2) имеет ненулевое решение хр Пусть х2—решение уравнения Тх = хг и, вообще, x^+i— решение уравнения Тх = хк (^G И). Имеем Тхк = хк_\, Т2хк = хк_2, . . . , Tk~vxk = xt =#= 0, в то время как Ткхк = Тхг = 0. Поэтому xk^Gk\ \Gt-i, т. е. каждое подпространство Gk_\ является частью следующего подпространства Gk. Тогда по теореме VII. 1.1 (о почти ортогональном векторе) в Gk найдется элемент у к такой, что |1у&|| = = 1 и (Vx^ Gt_i): || уе — х|| > 1/2. Так как Пу^П — 1 (А € И) и Л € 5 $ (Е), то последовательность (Дуй)/7=| содержит сходящуюся подпоследовательность. Кроме того, рассмотрим два таких элемента уп и ут для п > т. Поскольку Т"-1 (ym + Туп — Ту^ = Т,1-Хут + + Тпуп — ТпУш = 0, то Ут-V Туп — Tym^Gn_^ и поэтому

II Ауп — Лут I] = || у« — (Уш + Туп — Тут) || 5> 1/2.

Таким образом, наше предположение о том, что разрешимость уравнения (2.1) для любой правой части совместима с наличием ненулевого решения у уравнения (2.2), неверно.

Достаточность. Пусть уравнение (2.2) имеет только тривиальное решение. Согласно следствию 2.2, уравнение Т*1 = т разрешимо для любой правой части т £ Е'. Так как A* ^Sg (Е'), то в силу необходимости условия доказываемой теоремы уравнение (2.4) имеет только тривиальное решение. Но тогда в силу следствия 2.1 уравнение (2.1) разрешимо для любой правой части и достаточность доказана.

Условие теоремы Ker Т = {0} обеспечивает существование алгебраического обратного 71"1 к оператору Т. Единственное решение 288

х = Т~гу уравнения (2.1) является в то же время и минимальным, так что в силу (2.5) || Т-1уЦ со||у||, т. е. Т"1^^ (Е). в

Теорема 2.4. Однородные уравнения (2.2) и (2.4) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений, т.е. dimKer Т= = dim Ker Т* <оо.

Доказательство. Конечномерность Ker Т и Ker Т* установлена в лемме 2.1. Если Ker Т = {0}, то в силу теоремы 2.3 уравнение (2.1) разрешимо для любой правой части, откуда, согласно следствию 2.1, Ker Т* = {0}. Так что в этом случае dim Ker Т = = dim Ker Т* = 0.

Рассмотрим общий случай. Пусть xv ..., хп — базис подпространства KerT, ^fp—базис подпространства КегТ*. Используя следствие теоремы Хана—Банаха (см. упр. VII.4.8), построим набор функционалов Фр ... , ф„, биортогональный к хп . . ., хп, т. е. ф; (х^ = 6^ (!, / = 1, ... , п), и набор элементов zlt . . . , zp пространства Е, биортогональный к /р ... , fp.

Предположим, что п <. р. Определим оператор В ^2 (Е) следующим образом:

Вх = Ах + 5 Ф* (х) zk (х^Еу(2.7)

Этот оператор компактен как сумма компактного и конечномерного операторов. Покажем, что уравнение Вх — х = 0 имеет только нулевое решение.

Действительно, пусть х0 — решение этого уравнения. Поскольку fk € Ker Т* и ^ (zz) = 8/6, то п

0 = h (Вха — х0) = fk (Jx0 + S Ф< (^о) zz) =

= (Т*/^ (х0) + f фг (х0) f6 (z,) = 2 8«фг (х0) (£=!,..., Ру (2.8)

откуда следует фй (х0) = 0 (fe = 1, . .. , пу Поэтому Вх0 = Ах0 и, значит, Хо^КегТ. Поскольку хъ .... хп — базис в Кег Т, тох0 = п

= 5 ^iXt’ где ^ ~ Фг М- Но фДх0) = 0 (i = 1, . .. , п) и потому хо = О.

Поскольку уравнение Вх — х = 0 имеет лишь нулевое решение, то, согласно теореме 2.3, уравнение Вх — х = у разрешимо для любой правой части, в частности для у = z„+1. Пусть х' — решение этого уравнения. Тогда, с одной стороны, подобно (2.8) имеем

fn+l (2n + i) = fn+i (Тх' + S Фг U') 20 =

= (Т*М (х') + S ф, (X') k+1 (ZZ) - О,

а с другой — по построению fn-н (zn+i) ^ 0. Полученное противоречие доказывает невозможность неравенства п-<р.

Предположим, что, наоборот, р <_п. Рассмотрим в пространстве В' оператор

р

B4 = A*l-V^l^^ IKE'y

1=1

Легко проверить (учитывая, что р <п), что этот оператор является сопряженным к В вида (2.7), где п заменено на р.

Покажем, что и уравнение В*1 — / = 0 имеет только тривиальное решение. Для всех к = 1, ..., п имеем подобно (2.8)

(В* / - /) (х.) = (T*Z) хк + £ / (г.) Ф, (х0 =

= 1{Тхк) + Цгк) = Цгку(2.9)

Поэтому если /0 — решение уравнения B*l — I = 0, то из равенства (2.9) получаем, что /о(г*) = О (k = 1и).Следователь

но, В*10 = АЧ0 и Zo является решением уравнения Т*1 = 0. Но тогда

^0 = X °-itl X ^о (ZJ 11 = ^. Z=l Z=1

Так как В*^^(В'), то по теореме 2.3 неоднородное уравнение В*/—1 = m разрешимо при любом пг, в частности при m = фр^-ь Если I'—решение такого уравнения, то, с одной стороны,

Фр+1 (хр+1) = (В*/' - Г) (хр+1) - (Т*Г) (хр+0 +

+ X V (2,) ф; (хр+1) = Z' (ТхР+1) = 0,

Z=l

а с другой —- по построению фр+1 (xp+i) = 1. Полученное противоречие доказывает невозможность неравенства р-<п. Таким образом, п = р. в

Объединяя результаты теорем 2.1—2.4, получим следующее предложение, являющееся обобщением на уравнения с компактными операторами альтернативы Фредгольма из теории интегральных уравнений.

Даны уравнения (2.1), (2.3), где A С (в ф\ А* ^^ (В'), Т = = Л — Ц, Т* = A* — Тогда:

либо уравнения (2.1), (2.3) разрешимы при любых правых частях и в этом случае однородные уравнения (2.2) и (2.4) имеют нулевые решения;

либо однородные уравнения (2.2), (2.4) имеют одинаковое конечное число линейно независимых решений xv ...,хп, lv ...,1п и в этом случае, чтобы уравнение (2.1) (соответственно (2.3)) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы Z, (у) = 0, I = 1 , п (соответ

ственно m (xz) = 0, i = 1, ..., nY

Общие решения уравнений (2.1) и (2.3) имеют вид х = х0 + пп

X atxi> I =1й + X ^Zt-, где х0, Zo— частные решения уравнений

и (2.3), соответственно, a av ...» ап, Xv . .. , Хп— произ- пп

вольные постоянные (т. е. ^а,х, и ^ Xtlt — общие решения одного/=i

родных уравнений (2.2) и (2.4) соответственно).

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть А Ег6 (£), Т = А — Ц. Доказать, что £ разлагается в прямую сумму £ = Ker Т 4- L, причем оператор Т биективно отображает L на 51 (Т).

Пусть ДЕ® (£), Т = А — Ц. Доказать, что в цепочке вложенных подпространств Gy с О2 с. ... (,Gk = Ker Т^, начиная с некоторого п, выполняются равенства G п= Gn+] = ... .

Пусть А Е Ж (£) и уравнение Ах— х = 0 имеет только тривиальное решение. Следует ли отсюда, что уравнение Ах — х = у имеет решение при любом у 6 £?

Привести пример банахова пространства £ и оператора А Е S (£) такого, что уравнение Ах — х = 0 имеет бесконечное число линейно независимых решений.

Пусть А — конечномерный оператор, Т = А — Ц. Провести независимое доказательство теорем 2.1—2.4 для уравнений (2.1) — (2.4) с таким Т. Записать условие, при выполнении которого имеет место первый случай альтернативы Фредгольма.

Доказать теоремы 2.1—2.4 для: а) уравнения Ах— Вх = у, где ДЕ® (S'), В — обратим; б) уравнения (Д! + Д2) х — х = у, где ПД^! < 1, Д2 — конечномерный оператор; в) уравнения (2.1), где А ^ Ж (£), но Qn > > 1) : Д" Е Ж (£)•

Оператор Т 6 SB (Е) называется нетеровым, если выполняются условия: 1) Ker Т, Ker Т * — конечномерны; 2) 51 (7) — подпространство, а) Проверить, что оператор А — Ц, где Д Е ® (£), нетеров. б) Для каких a Е С ([а, Ь]) нетеров оператор умножения на а из примера VIII.1.2? в) Найти необходимые и достаточные условия нетеровости оператора, действующего в С ([а, 6]) по формуле (Тх) (/) = а (б х (0 + (Дх) (/), где а £ Е С ([а, 51), А Е Ж (С ([а, 6])).

Доказать следующие утверждения: а) сумма нетерова и компактного операторов — нетеров оператор: б) произведение нетеровых операторов — нетеров оператор; в) если Т — нетеров, то и Т* — нетеров; г) множество нетеровых операгороп открыто в Ж (£).

Индексом шчеропн оператора Г называется целое число ind Т = • - dhn Ker Т dim К<т Т*. Найти индекс операторов из упр. 2.7.

Доказан, следующим утверждения: a) ind (Т VT ^ = ind Ту + + [nd 7’,; б) если Д С ® (/:), то Ind Г -я hid (7' И Д); в) ind Т + ind Т* = := 0; г) если Т — нетеров, то (Ии 0)(V7", : 117' — Г, 11 ■;( е) : ind Тj = ind Т.

Рассмотрим уравнение Дх = у, где А —компактный оператор в бесконечномерном банаховом пространстве Е. а) Доказать, что существует у Е Е такой, что уравнение не имеет решения, б) Предположим, что решение этого уравнения существует и единственно. Доказать, что для у Е 51 (Д) нет непрерывной зависимости решения от правой части.

Пусть АЕ^кЕг,Ег\ Доказать, что для нормальной разрешимости уравнения Ах = у необходима и достаточна замкнутость .% (Д).

Пусть А Е S (Еу, ЕА- Доказать, что условие (у/ Е Кег Д*): / (у) = = 0 необходимо для существования решения уравнения Ах = у. На при- мере оператора (Дх) (/) = ^ х (s) ds в Е^ ([0, 1]) показать, что оно не является о

достаточным для разрешимости этого уравнения.

§ 3. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА

Некоторые классы интегральных операторов. Выясним условия, обеспечивающие компактность интегральных операторов, действующих в пространствах С (Q) и Lp (.R, dp). Мы ограничимся рассмотрением просто доказываемых результатов, более полное изложение см. , например, в [34].

В § 1 была установлена компактность следующих трех классов интегральных операторов: операторов с вырожденными ядрами, операторов в С ([а, 6]) с ядрами К£С(\а, 6] X [щ Ь]), операторов Гильберта — Шмидта в L2(R, dp). Напомним, что доказательство компактности операторов из первых двух классов основывалось на использовании критериев компактности множеств из (С^и С (1а, Ь\У

Замечание 3.1. С помощью теоремы Арцела можно установить компактность интегрального оператора в С ([а, 6]) и при меньших ограничениях на ядро. Анализ доказательства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности в примере 1.3 показывает, что требование К £ С ([a, i>] х [а, £>]) можно заменить на более слабые условия, сформулированные в упр. VIII.1.8. Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

Для доказательства компактности оператора Гильберта — Шмидта строилась равномерно сходящаяся к нему последовательность компактных операторов. Заметим, что этот прием можно применить и для доказательства компактности интегрального оператора в С ([а, Ы) с ядром К 6 С (la, b\ X [a, &]).

Действительно, в силу теоремы Вейерштрасса существует последовательность многочленов (Р^^, сходящаяся к функции К равномерно на [а, Ь] X [а, Ь\. Как было показано в примере VIII.2.3, последовательность интегральных операторов с ядрами Рп (t, $) равномерно сходится к оператору с ядром К. Так как Рп (/, s) — вырожденное ядро, то отсюда получаем требуемое.

Такой же аппроксимационный прием применяется и при доказательстве следующего утверждения.

Теорема 3.1. Пусть р, <?> 1. Если функция К £ Lr- (la, Ых X \а, Ы), где г = min {р, q'Y то интегральный оператор А с ядром К принадлежит ^ ^Lp (la, dj), Lq ([a, 6])).

Доказательство. Если p = q = 2, то A—оператор Гильберта —Шмидта и требуемое следует из теоремы 1.3.

В общем случае, пользуясь неравенством Гельдера, имеем для х € Lp ([a, 6])

bb

|(Ax)(/) [ < (^ | К (/, s^ds)^ (J |x(s)|r ds)'7' caa

b

c ($]/((/, s)rdsy/r'. llxib.

a

Отсюда

b b

|| Ax |k < (J (J | К (t, s) Г ds f dt^*4 • 11 x ||p. a a

Учитывая, что r <q' и, следовательно, г' >- q, применим к внешнему интегралу неравенство Гельдера с показателем rt = r'jq. Это даст

||Дх||?«(Ь--я)(<ПК|И№(3.1)

е. А непрерывно действует из Lp(\a, b]) в ^([я, bj).

Ядро К — элемент пространства Lr- ([a, b] X [я, bj), поэтому найдется такая последовательность многочленов (Pn)n=i, что || Рп— — Лцг-->-0. Обозначим через Ап интегральный оператор с ядром РпП, s); А,, 5 ^ (LP ([я, Ь]), ЕрЦа, b])) как интегральный оператор с вырожденным ядром. Осталось заметить, что в силу (3.1) || Ап— — А || с с || Рп— К Ik, т. е. Ап^А. и

Для получения более тонких условий компактности интегральных операторов в пространствах суммируемых функций наряду с аппроксимационным приемом применяются критерии компактности множеств в пространствах Lp (R, dp). Мы приведем формулировку одного из таких результатов (доказательство см. [341).

Теорема 3.2. Пусть ядро КН, s) Н, s€la, Ь]) удовлетворяет условиям;

ь

1) (Яг > 0) (3^ > 0): У ] К V, s) |f ds «: сх (mod m);

ь

2)(За > 0)(3c2> 0)! У | КН> s)la ^ < ca(mod /и);

(Яр, q> X^q^p, q>o, (1 — ajq^p <r.

Тогда интегральный оператор с ядром К является компактным оператором из Lp (1я, М) в 1.,, (к/, bl).

Замечание 3.2. Утверждения теорем 3.1 и 3.2 сохраняются, если замети I. kz, М на ограниченную область М-мерного пространства.

Теория разрешимости интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Интегральным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида

j КН, s)x(s)dp(s) — хП) = y(t),(3.2)

где х — неизвестная функция из пространства Е, ядро К, мера у, и правая часть у ^ Е заданы.

Рассмотрим вопрос о разрешимости уравнения (3.2) в некоторых функциональных пространствах путем сведения его к разрешимости уравнения (2.1).

Пусть Е — L2 ^R, dp). Предположим, что ядро К € L2 (R X X R, d (р X р)). В силу теоремы 1.3 интегральный оператор А

с ядром К является компактным в L2 (R, dp), так что уравнение (3.2) имеет вид (2.1): (А — И) х = у, где А £ '£ (G). Поэтому для интегрального уравнения Фредгольма второго рода справедливы теоремы 2.1—2.4 и их следствия. Приведем их формулировки, предварительно напомнив, что сопряженное уравнение (2.3) имеет сейчас следующий вид:

^K^s, t)l(s)dp(s) —l(t) = m(t),(3.3)

R

где I, m£L2(R, dp) (см. пример VIII.4.4).

ТеоремаЗ.З. Интегральное уравнение (3.2) разрешимо для тех и только тех у^Ь2 (R, dp), которые удовлетворяют условию

$ у(0Л0^р(0 = 0,(3.4)

R

где I— любое решение сопряженного однородного уравнения (т. е. уравнения (3.3) с т = 0). Уравнение (3.2) разрешимо для любой правой части в том и только в том случае, когда сопряженное однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Теорема 3.4. Интегральное уравнение ^УХ) разрешимо для тех и только тех т^ L2 (R, dp), которые удовлетворяют условию

m(Z)x(/)dp(Z) = 0,(3.5)

R

где х — любое решение соответствующего (3.2) однородного уравнения. Уравнение (3.3) разрешимо для любой правой части в том и только в том случае, когда соответствующее (3.2) однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Теорема 3.5. Для того чтобы уравнение (3.2) было разрешимо при любой правой части, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее ему однородное уравнение имело только тривиальное решение. В этом случае решение уравнения (3.2) определяется однозначно и непрерывно зависит от правой части, т.е. уравнение (3.2) корректно разрешимо.

Теорема 3.6. Подпространства решений однородных уравнений, соответствующих уравнениям (3.2), (3.3), конечномерны и их размерности совпадают.

Пусть Е — Lp (G), гдеС с IR^ — ограниченная область, р > 1. Предположим, что ядро К таково, что оператор А с этим ядром компактен в Lp(G). Как и выше,-для уравнения (3.2) верны теоремы 2.1—2.4. Отметим, что сейчас сопряженное уравнение (3.3) рассматривается в пространстве Lp- (G) и при р ^ 2 имеет следующий вид:

j K(s, t)l(s)ds— Ц1)= m^t) G

(см. пример VIII. 4.3), условия (3.4), (3.5) приобретают при р #= 2 такой вид: j у (t)l(t) dt ~ 0, j m(t)x(t)dt = 0.

аg

5 в) Пусть Е = С (Q), где Q — метрический компакт, у— конечная мера на борелевских подмножествах Q (например, Q = [а, ЬА, р — мера Лебега). Предположим, что К € С (Q X Q). Подобно тому, как в примере 1.3 с помощью теоремы Арцела устанавливается компактность интегрального оператора А с ядром К- Как и выше, для уравнения (3.2) справедливы теоремы 2.1—2.4. При этом следует учитывать,что сопряженное к (3.2) уравнение рассматривается в пространстве С (Q), которое, согласно теореме VI 1.5.6, изоморфно пространству регулярных зарядов на % (Q). Напомним, что действие функционала / £ С' (Q) на х £ С(Q) задается формулой I {х} — = ^х (0 dl (/) (здесь буквой / обозначен также и соответствующий

Q

функционалу заряд).

Найдем сопряженный оператор. Имеем

(Л*/)(х) = /(Лх) = J (Лх)(0^/(0 = J (У Ш s)x(s)dp(s)) dl(t) = QQ Q

= У x(s) (У K(t, s)dl^ dp.(s) = У x(s) d (A*/) (s), Q QQ

где

(Л*/)(А)=( (У /C(s, tAdl^ dptW (A£$(Q)). A У

Поэтому сопряженное уравнение для зарядов 1, т имеет такой вид:

JJ/((s, Od/(s)dp(O —/(A) = m(A) (A G ® (Q)). A Q

Отметим еще, что условия (3.4), (3.5) в рассматриваемой ситуации выглядят так! У у (Z) dl (t) = О, У х (/) dm (t) = 0.

QQ

Интегральные уравнения с вырожденными ядрами. Решение интегрального уравнения (3.2) с вырожденным ядром сводится к решению системы линейных уравнений, что, естественно, упрощает рщчмо грсиия предыдущего пункта.

Пусть Kit, s) = ЦаДО • bjl&\ где (a/(Z))/=i и (6/(s))/-i — линей- /=i

но независимые наборы функций из La(R, d^- (Предлагаем читателю проверить, что предположение линейной независимости не ограничивает общность). Уравнение (3.2) с таким ядром К имеет вид £o/(0$^(s)x(s)dp(s) —х(0 = у(0.(3.6)

/-I R

Положим х/ — Ь^А x(s)dp,(s), ujk = У at(Z) b/(Z)dp(Z),

у/= J z/(Z)b/(Z)dp(Z) (/, к = 1, . . . , п\ Домножая (3.6) на btlt) R

(3.7)(3.7)я (0 = X xkak (О — у (Оя (0 = X xkak (О — у (О(3.8)(3.8)

(3.7)

(3.7)

я (0 = X xkak (О — у (О

я (0 = X xkak (О — у (О

(3.8)

(3.8)

и интегрируя по И, получим следующую систему п линейных уравнений:

^j CLiiXj х( — yt (i — 1, , ,, , га).

Пусть х(0 —решение уравнения (3.6). Очевидно, что (хР . .. , хп\ где х-; = j x(i)bi(t)dii(t) у = 1га), является решением

системы (3.7). Обратно, если (хр . .. , х,,)—решение системы (3.7), то функция

является решением уравнения (3.6). Действительно, подставляя

выражение (3.8) для х(() в (3.6), получим y(t) = £а/(0( ^а^Хк — i=i &=i

— xi — УО + уУ^ т- е. х(/)—решение уравнения (3.6). Таким образом, теория разрешимости интегральных уравнений Фредгольма второго рода с вырожденными ядрами содержится в известных теоремах линейной алгебры, формулировки которых приведены в начале §2.

Замечание 3.3. Интегральным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида

^KV, s)x(s)dp(s) = у (t).

Как следует из результатов упр. 2.11—2.13, теория разрешимости таких уравнений принципиально отличается от рассмотренной выше теории для уравнений второго рода. В частности, если интегральный оператор с ядром К компактен в соответствующем пространстве, то отсутствует непрерывная зависимость решения от правой части, т. е. уравнение первого рода не является корректно разрешимым.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть А — интегральный оператор с ядром K(L s) (/, s ^ [0, 11). Доказать следующие утверждения: а) Л ^-^ (^i ([О, I]), Lq^. Ц)/если выполнено условие 2) теоремы 3.2 co=q, при этом -'/IJ^^; б) A G £^LP(VO, П), Г~ ([О, 1])),если выполнено условие 1) теоремы 3.2 при некотором г^р', при этом IMp^q; в) /4^S7(Lp([01 1]), Lq ([0, 1])), если выполнены условия теоремы 3.2, при этом j! А |1 <: cj-^ х c^q.

Указание. Для доказательства а), б) применить неравенство Гельдера. Для доказательства в) в случае р ~ q применить неравенство Гельдера, а в случае р ^ q — его обобщение из упр. VL8.10 с показателями q, (р-1 — ~Р'-

Доказать, что утверждение теоремы 3.1 справедливо для оператора,

ядро которого удовлетворяет условию

а а

Пусть ядро К удовлетворяет условиям теоремы 3.2. Положим Кп = — (К^п™ (KJn» г^> как обычно, К+ = тах{К, 0}, К_= К+—К> (К±)п~ срезка по уровню п функции /<±. Доказать, что: а) оператор Ап с ядром Кп является компактным оператором из Lp ([а, 6]) в ^([а, 6]); б) Ап^А,

Пусть G— ограниченная область в IR^ и пусть К—слабополярное ядро, т. е. К имеет вид К (Z, s)=K0(/, s) || t — s |ра (Л s^G, t^s), где К0(7, s) — измеримая ограниченная функция, а <^/2. Доказать, что интегральный оператор с ядром К компактен в Л2 ($)•

Пусть KG^(IR). Определим в I2 (IR) оператор А следующим образом: (Лх) (0 = У К (t — s) х (s) ds. Доказать, что: а) Л ^ ^ (L2 (IR)); б) Л

IR

WMR)).

Решить интегральные уравиеиия с вырожденными ядрами:

Л/2

х (0 — 4 У sin2t х (s) ds = 2/—л; о

х (/) — X J cos (2/ + s) х (s) ds = sin / (X £ ©); о

x (/) — X У (Z2 — Is) x (s) ds = ^2 + /.

При какой праной части ^/£С([0, л]) разрешимо в пространстве л

С(|0, л]) уравнение у sin (/ -Н s) х (s) ds — х (/) = у (0? о

При каких Xg IR разрешимо в Lp ([а, Ь]) (р>1) уравнение х (0 — ь

— X у е1*5х (s) ds— 1 ? а

§ 4. СПЕКТР КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть А — компактный оператор в банаховом пространстве Е. Из общих теорем VIII.8.1 и VIII.8.5 следует, что спектр S (Л) оператора А -непустое замкнутое подмножество круга {Xg(D ||Х|с < ЦД||). 11рпмепян теоремы Фредгольма о разрешимости уравнений с компактными операторами, можно существенно уточнить эту информацию о S (Л).

ТеоремаЛ.К Пусть А—компактный оператор в бесконечномерном банаховом пространстве Е. Справедливы следующие утверждения*. 1) спектр S (Л) оператора А — не более чем счетное подмножество круги {Х^ (С | ||Х|| < ||ЛЦ}, содержащее точку 0; 2) отличные. от нуля точки S (Д) являются собственными значениями конечной кратности, т. с. отве*тю1цис им собственные подпространства конечномерных 3) если S (Д) бесконечное множество, то 0 является единственной предельной точкой S (Л).

Доказательство. Так к;.; компактный оператор в бесконечномерном пространстве необратим (см. замечание 1.5), то 0 G S (Л).

Пусть z^=0. Рассмотрим уравнение (Д—z-fl.) х = у. Записав его в виде (z'M — Я) х = z-1y, получим, согласно теореме 2.3, что при данном z либо уравнение (Л — хЦ) х = у разрешимо для любой правой части и решение непрерывно зависит от у, либо уравнение Ах — гх = 0 имеет ненулевое решение. Иными словами, каждая точка zg Ф\{0} либо регулярна, либо является собственным значением и других ненулевых точек спектра, кроме собственных значений, у оператора А нет.

Пусть Х^О— собственное значение оператора А. Оператор Х~М— Ц удовлетворяет условиям леммы 2.1, поэтому подпространство его решений, т. е. собственное подпространство оператора, соответствующее собственному значению X, конечномерно.

Для завершения доказательства достаточно показать, что вне круга Вг (0) a (D произвольного радиуса г > 0 лежит лишь конечное число точек из S (Д). Предположим противное. Пусть вне некоторого круга Вг (0) существует бесконечно много собственных значений оператора А. Тогда можно выделить последовательность (X„)^=i различных собственных значений оператора таких, что | Х„ | >г. Пусть (х^^х — последовательность собственных векторов, отвечающих этим собственным значениям.

Докажем, что элементы xv . .. , Хк при любом & £ И линейно независимы. Для к = 1 это тривиально: хг #= 0. Пусть х3 , . . . , Xk — к

линейно независимы. Если предположить, что Xk+i = X £/^/> то> подействовав на обе части этого равенства оператором А, получим, к

что Хк,цХк^ = X c^iXj. Так как Х^+1 #= 0, то из этих равенств следует, что

к

X (1 — Xy/X^+i) CjXj— 0 .

М

Но это невозможно, поскольку X/ #= X^+i (/ = 1, ...,&) и хъ . .. Хк — линейно независимы.

Положим Gk = л. о. (х3, . . . , Хк\ По доказанному Ок является собственным подпространством пространства Gk-v\. В силу теоремы VII. 1.1 найдется элемент Ук+х QGk+i, || ук^\ || = 1 такой, что || Ук^-х — — х|[>1/2 для любого x^Gk. Оценим ||Дуц— Дущ(1, считая для определенности, что m > я.

Заметим, что Аут — Ауп = Xmym — \Хпуп + (Д — Х„Ц) уп — (А — — Хт^Ут\» Далее, из Ут^О^ следует, что ут = S с^, и поэтому

(А — ХтЦ) у = ^j Ch (Xfe '—Хк = ^ Ch (^k ’ ^m) Xh £ Gm—I*

k=Xk—i

Отсюда Аут — Ауп = ЪпУт — Ъпу, где у = Х^1 (Хлу«+(Д — X„fl)y„— — (A — Xm-Q_)ym^Gm_i. Таким образом,

11 Аут — Ауп || “ || ^тУт ^тУ || — I Хщ (|| Ут У || > г/2

и, следовательно, ни последовательность (Ау^п=\, ни любая ее подпоследовательность не сходятся. Кроме того, так как (ynK=i — ограничена, то (Л Уп)"^ — предкомпактн ое множество в силу компактности оператора А. Полученное противоречие доказывает теорему. ■

Замечание 4.1. Пусть А — компактный интегральный оператор в La (R, dp). Собственные значения оператора А — эго такие X £ (0, для которых имеет нетривиальные решения интегральное уравнение ^ К (Z, s) ф (s) dp (s) = Хф (/). В теории линейных ин-

R

тегральных уравнений принято записывать это уравнение в такой форме:

о J K(t, s)ф(s)dp(s) = ф(0,(4.1)

R

а уравнение второго рода —

х^) — a j K^t, s)x(s)dp(s) — y(t).(4.2)

R

Число a G (D, для которого (4.1) имеет нетривиальное решение, называют характеристическим числом уравнения (4.1) (или ядра К), само решение ф — собственной функцией, отвечающей характеристическому числу о.

Понятно, что о G С является характеристическим числом (4.1) в том и только в том случае, когда X = ~ является собственным числом интегрального оператора с ядром К, и что соответствующие а и Х = 1/а собственные функции равны. Переформулируем теорему 4.1 в терминах характеристических чисел. Множество характеристических чисел уравнения (4.1) не более чем счетное подмножество внешности круга 5цлц (0). Если это множество счетно, то Нт|оп[ = сю, т. е. в любом круге может содержаться лишь копеч- П-*оо ное число характеристических чисел уравнения (4.1).

УПРАЖНЕНИЯ

Какое из следующих множеств может быть спектром компактного оператора; а) 10, I]; б) (0, 1}; в) (п'1)^; г) {0} UД) (• - ""^l

е) {I, 1+0?

Привести пример компактного оператора в /2, для которого: а) 0 не является собственным значением; б) 0 является собственным значением конечной кратности; в) 0 является собственным значением бесконечной кратности.

Доказать, что Л g'Й (£) и найти S (Л), если: а) £ = 12, Ах = (0, xt, х2^, х3/3, .. .); б) £ = £2 ([-1,11), (Лх) (/) - ^ 14 х (s) 4s; в) £ -- £2([0, 1]), —1

I

(Лх) ^s0 — t^ х (s} ds.

о

Как найти спектр интегрального оператора с вырожденным ядром?

Пусть А^'6(Щ, (Х^”^— все ненулевые собственные значения А, тп — кратность Хп. Доказать, что S (Д*) = {0} U (Хп),^ и кратность собственного значения Хп равна тп.

Пусть (еп)~_] — ортонормированный базис в Н, (Х^)”^,—сходящаяся к нулю последовательность действительных (комплексных) чисел. Пусть А: 11-+Н такой линейный оператор, что (VxG Д) : Ах = ^ Хп(х, еп) еп. Доказать, что П=1

А — компактный самосопряженный (нормальный) оператор.

Пусть Л — оператор, определенный в упражнении 4.6. Найти решения уравнения (Д — Х/Ц) х = у, если: а) X отлично от всех собственных значений Хп\ б) (3/ Е И) : X = X/. Для каких у разрешимо уравнение в случае б)?

Пусть А = Д*, А^^ (Д). Доказать, что: a) (3xj GS3 (0)): sup { | (Ах х) I I l| х II = 1} = I (Дхъ Л) I; б) xi является собственным вектором оператора А, а соответствующее собственное значение X.] удовлетворяет равенству IM = sup{ |(Дх, х) | | || х || = 1} = || А ||; в) (3>2 G Si (0)): sup {| (Дх, х) 11 |||х|| — 1, (х, Xj) = 0} = | (Дх2, х2)|; г) х2 является собственным вектором оператора А с собственным значением Х,2, | Х2 | <: | М |; д) описанным в а), в) процессом можно получить все отличные от нуля собственные значения с учетом их кратностей.

§ $. СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС ОПЕРАТОРА

Степенные ряды с операторными коэффициентами. Пусть Е— банахово пространство, (A„)~=i с S?(EY Рассмотрим степенной ряд с операторными коэффициентами

X ^Ак №(5-1)

Говорят, что этот ряд сходится в точке z0 £ С, если последовательность его частичных сумм сходится по норме пространства 2 (Е). Многие результаты о числовых степенных рядах допускают обобщение на степенные ряды с операторными коэффициентами. Мы докажем такие обобщения леммы Абеля и формулы Коши — Адамара.

Лемма 5.1. Предположим, что для z0 #= 0 последовательность (ZoAn)^=,i ограничена. Тогда при | z ] с | z0| сходится степенной ряд (5.1).

Доказательство. Из неравенства

п-Vpп+Р

ИХ zMdK X |2|Ч|ЛЛ(5.2)

следует, что достаточно установить сходимость при |z|C|z,|

числового ряда X I 2 РII Ai ||. Имеем, что | г р || Ап || с cqn, где с =

п=0

= sup {II z"An III п^ и), Я — |у|<1. в силу признака сравнения ряд X II гпАп || сходится. И

Доказанное утверждение является обобщением известной леммы Абеля. С его помощью, как и в случае числовых степенных рядов, вводятся понятия области сходимости и радиуса сходимости степенного ряда с операторными коэффициентами. Радиус сходимости ряда (5.1) находится по формуле, аналогичной формуле Коти —Адамара.

Лемма 5.2. Пусть дан степенной ряд (5.1). Положим р = = lim уД| Ап 1|. Радиус сходимости ряда (5.1) равен

О, если р = +°°, г =р-1, если 0<р<фоо,(5.3)

+оо, если р = 0.

Доказательство. Рассмотрим числовой ряд 2 2" || ли. Его радиус сходимости г определяется по формуле Коши — Адамара (5.3). Покажем, что таким же будет и радиус сходимости ряда (5.1). Из неравенства (5.2) следует, что это верно для г -— 0 и г — ф оо. Если 0 <г <+ оо, то из того же неравенства следует сходимость ряда (5.1) при |z| <г.

Пусть z0 Е (D таково, что | z01 > г. Если бы ряд (5.1) сходился в точке z„, то ряд 5 II ^Ап || сходился бы для z таких, что г < п=0

<lzl<lzol- Это следует из доказательства леммы 5.1. Последнее противоречит тому, что г — радиус сходимости ряда 2II ^Ап |j. В п=0

Докажем еще одно утверждение о числовых последовательностях, которое используется в доказательстве основного результата этого параграфа.

Лемма 5.3. Пусть (an)^Li — последовательность неотрицательных чисел, удовлетворяющая условию: ап+т С а-пО-т (п, тЕИ)- Тогда существует и конечен Итт/а^.

Доказательство. Последовательность (а^)”^ ограничена. Это следует из такой цепочки неравенств:

а„ < «]«„ t < aian~2 < .. . < а? (п Е И).

Поэтому если Игла,1/" существует, то он не превосходит av

Зафиксируем k Е И, тогда любое натуральное число представимо в виде п = тпк + 1п, где 0 с ln < k. Отсюда следует, что ап <

<a.*fena.in (а0 полагаем равным единице). Таким образом, имеем

а\,п <a^V/" = Рп («ЕМ)-(5.4)

Положим а = Нт а?„п = lim ах^1. Подпоследовательность (р.,; ^ сходится. Это следует из того, что при / —► оо

т^ /щ = mnj Kmnj к + Ц) -> к"1, а'^‘ -* 1

(ainj принимает конечное число значений: а0, . .. , а&_1). Тогда из (5.4) следует, что (V& С И): а с а!/6, а поэтому lim аУ" с Нт а1/", т. е. последовательность (ай/п)л=1 сходится, н '1"'°°

Спектральный радиус линейного непрерывного оператора. Пусть А^.2?^, 5(Д) — его спектр. Спектральным радиусом оператора А называется число

рд = max{ |z( | г£5(Л)}.(5.5)

Так как функция |z| непрерывна, а 5(Д) — компактное подмножество (С, то определение рд посредством равенства (5.5) корректно.

Теорема 5.1. Пусть A^rz^E'p Тогда

Рл = limy/]| Ап ||.(5.6)

Доказательство. Заметим сначала, что последовательность ап = ||Д"|| удовлетворяет условию леммы 5.3: «п+т = || Ап+т|| < < || А"1| || А"11| = а-пО-щ. Поэтому существует и конечен предел в правой части (5.6).

Рассмотрим резольвенту Rz = (Л —z-fl.)-1 оператора А. В силу (5.5) спектр оператора А содержится в круге ВРд (0). Поэтому, согласно теореме VIII.8.4, операторнозначная функция Rz аналитична вне этого круга (на окружности радиуса рд с центром в нуле имеются точки спектра, т. е. аналитичность нарушается). Положим / (?) = Ri/r. Операторнозначная функция f (?) аналитична внутри круга радиуса 1/рл, на его границе есть точки, где аналитичность нарушается.

Представим функцию / (?) в виде степенного ряда с операторными коэффициентами. Если | С | С || А Ц-1, то, согласно теореме VIII. 3.2, имеем

-№==-£ ^А-^.(5.7)

п=0

Радиус сходимости ряда в правой части (5.7), согласно лемме 5.2, равен (Нт || Ап || ’Ч'1 = (Нт || Ап |||/,г)"1. Кроме того, функция / (£)

П-» ооП-* оо

аналитична внутри круга радиуса рд, на границе этого круга аналитичность f(£) нарушается. Поэтому имеет место равенство (5.6). н

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть А^2? RA- Доказать, что рл < |[ Д ||.

Привести пример ненулевого оператора A £ 2 (С^) такого, что Рд = °-

Оператор TQS? (Е) называется квазинильпотентным, если lim]]7'n]]^n=0 (нильпотентным, если Q4 £ И) : Тк «= 0). Показать, что Т квазинильпотентен тогда и только тогда, когда S(T) ” (0).

Как найти спектральный радиус оператора: а) из ^((С^); б) из <8 (£), если известны псе его собственные значения?

Если А, В £ S' (Е) такие, что [Л, В] = 0, то Рл^_д< Рд+ Рд. Доказать, что если [А, В) 4= 0, то это неравенство, вообще говоря, не имеет места даже в случае Е = Ф2.

Пусть ^ — коммутативная подалгебра алгебры S’(В). Доказать, что функция ЗС ЭД|-*рл = || Д||г является полунормой на ЗА, удовлетворяющей условию]] АВ lit с (I A (It || В Цр Описать множество 1.=^АсЗС 11| Л, ||=0) и X/L.

Решение уравнений методом последовательных приближений. Пусть Е — банахово пространство. Рассмотрим уравнение второго рода х — Ах = у, где А € 2 (Е). Если || Л|| < 1, то, согласно теореме VIII.3.2, это уравнение корректно разрешимо на Е и его решение х = (fl — Ау^у имеет вид

х = § Аку = Нт (у + Ау + .. . + Апуу (5.8) fe=0 П-* 00

Этот результат можно получить и другим путем, используя теорему Банаха о сжимающих отображениях. Для этого преобразуем уравнение к виду х = F (х), где F (х) = Ах + у. Если ||Л|| = = q < 1, то отображение F г Е Е является сжимающим. Действительно,

||Е(х')-Е(х")||МЛ(х'-^||<^ (/, хЧЕ).

Поскольку Е — полное пространство, то, согласно теореме Банаха, уравнение х = F (х) имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений. Для хуЕ положим

Xi = F (х0) = у V Лх0,

х2 = E(xJ = у + Ау + А2х0, ^5д

хп = FCXn-O = у +Ау+... + An-'y+Апх3 (л€И).

Последовательность (х„)п=о сходится к решению х уравнения х— — Ах = у. Из неравенства || Апх01| < qn || х01| следует, что А"х0 -> О, т. е. выполняется соотношение (5.8).

Оказывается, уравнение х—Ах = у можно решать методом последовательных приближений при, вообще говоря, более слабых ограничениях на оператор А. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.2. Пусть А^^{Е). Если рд<1, то уравнение х — Ах = у корректно разрешимо на Е и его решение можно найти методом последовательных приближений.

Доказательство. Пусть рл < 1. Тогда I — регулярная точка оператора А, так что fl— А обратим. Таким образом, уравнение х — Ах = у корректно разрешимо на Е. Покажем, что решение х = (fl— АУ1 у можно найти методом последовательных приближений, т. е. х = Нт (у + Ау +... + А^у + Л%) (х0 б Е).

Заметим, что Д''х0->0, п-*оо. Действительно, из рд<1 следует, что (3V € И) (Vn > N): || Л" Ц1/'1 < (1 -L рд)/2 = q < 1. Тогда

II Д^П < I] Д'1 Ц||х0Ц<_qn ||х01|, что стремится к нулю при п-*оо.

Наконец, из рл < 1 следует, что степенной ряд X гпАп сходится п=0

в точке z = 1. Поэтому существует Нгп ^Аку = ^Аку = х, п-*« ^=06=0

который совпадает с пределом последовательности (5.9). ■

Замечание 5.1. Требование рл < 1 менее ограничительно, чем || Д ||<1. Это следует из результатов упр. 5.1—5.3 (см. также § 6).

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что спектральный радиус оператора А 6 2 (Е) ие изменится, если в Е перейти к эквивалентной норме.

Доказать, что рлв = рвл (А, В^2^.

Пусть AG 2 (Е). Доказать, что при ) г )>рл выполняется неравенство II Rz W |1<(И-||А||)Ч

Пусть Н— гильбертово пространство. Чему равен спектральный радиус: а) ортопроектора; б) унитарного оператора?

§ 6. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ВТОРОГО РОДА

МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Пусть А •— интегральный оператор с ядром К, непрерывно действующий в пространстве Lp (R, dp} или C(Q), которое ниже обозначается через Е. Применим для решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода в пространстве Е

^ — оА)х = у (стбО(6.1)

результаты п. 3 предыдущего параграфа. Ясно, что рстЛ=| о|рл. Если |о|рл < 1, то, согласно теореме 5.2, уравнение (6.1) корректно разрешимо на Е и его решение можно найти методом последовательных приближений.

В теории интегральных уравнений формулу типа (5.8) для решения уравнения (6.1) принято записывать в следующем виде:

х = X ^А^у = у + о X о^А^у = у + а^у. (6.2) ч=0п=1

Оператор ^ из правой части (6.2) называется резольвентой ядра К, или уравнения (6.1) (в упражнении 6.1 приведено соотношение, связывающее 9tCT и Ri/O (Д)).

Пусть Е = С (G), где G a Щ" — ограниченная область. Можно доказать, что 9?а — интегральный оператор с ядром

SHE s; о)= t;On_W4t. s) (t, s^G, |о|рл< 1), (6.3) 4=1

где7(("> (/, s) — п-я итерация ядра К (точная формулировка приве- 304

дена в упражнении 6.2). Поэтому решение уравнения (6.1) представляется в следующем виде:

x(t) = y(t)-V<5^ ^(t, s; a)y(s)ds (|о|рл<1).

G

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что Rl/O (Д) = о (Д — оДст) (| о | рл < 1).

Пусть К^ C(G X G). Доказать, что ряд в правой части (6,3) сходится (V<, $G 6) в круге В = {а£© ||° I Ра < И» а ег0 сумма ^(/, $; о) непрерывна на G X G х В н аналитична по а в круге В (если рд = 0, то В = ©).

В условиях упражнения 6.2 показать, что St (t, s; or) удовлетворяет при а^В каждому из следующих уравнений:

^8 (Z, s; о) = о j К (t, т) St (т, s; о) dx + К (t, а);

G

St (t, s; о) = а ^ К (т, s) St (4 т; о) dx 4- К (t, s);

G

^Ah^2_2) = ^ ^ (^ т; 0) gt, (T| S; а) dx.

Пусть К С /-2 (R X R, d(pXp)). Доказать сходимость ряда в правой части (6.3) по норме пространства L2(R X R, d (р X р)) в круге {og © | | о| < < !1 /< 1Г1).

Напомним, что квазинильпотентным называется оператор А £ £ S’ (Е) такой, что рл = 0, т. е. S (А) = {0} (см. упражнение 5.3) Уравнение (6.1) с таким оператором корректно разрешимо на Е для любого а € ([). Решение этого уравнения находится методом последовательных приближений и имеет вид (6.2). Оказывается, что свойством квазинильпотентности обладают интегральные операторы Вольтерра, т. е. операторы, ядра К (t, s) (t, s^G) которых обращаются в нуль при^ <sv ..., tN <_sn (по этой причинеквазинильпо- тентные операторы называют иногда вольтерровскими). Докажем соответствующую теорему, рассматривая для упрощения записи G = [а, Ь].

Теорема 6.1. Пусть К (t, s) (t € la, 61, a cs < 0 измеримая ограниченная функция. Интегральный оператор Вольтерра, действующий в Ь2 (1а, 61) по формуле

(Ах) (t) = ^K (t, s) х (s) ds (t G [а, 6]),(6.4)

является квазинильпотентным.

Доказательство. Функция K(t, s) определена на треугольнике {/, sGlR'^/Gfa, 6], a <s с(). Продолжим ее нулем на {/ <s с b, t^[a, 6]}. Полученную функцию обозначим символом К.

По условию теоремы (По>0)(V^, s£[a, b\y.\KU. s)|<o. Отсюда следует, что К € Ц ([а, Ь] х [а, Ь]) и поэтому оператор Л вида (6.4) является оператором Гильберта — Шмидта. Легко видеть, что для его абсолютной нормы справедлива оценка | Л | с сф-ау

Покажем, что для абсолютной нормы оператора Л" имеет место неравенство

МЧ<£^^-(6.5)

Из (6.5) следует требуемое, так как ||Л'1|||/'1 «■ с(Ь — а)((п — — 1)!)~1/"-»-0, п->оо.

Для п = 2 имеем

6 6

(Л2х) (/) = j (J К (t, т) К (т, s) dr) х (s) ds = а а

b t

= j (j K^t, x)K(j, s) dx) х (s) ds.(6.6)

Здесь мы воспользовались тем, что К (Л т) = 0 при т > t, а К (т, s) = О при x<_s, так что произведение этих функций отлично от нуля только для t£[s, /].

Из (6.6) следует такая оценка для ядра R^y, s) оператора Л21|Л(2) (^ $)|«б2(/ — s) (а <6 s «a t С Ь), откуда легко вывести (6.5) для п = 2.

С помощью индукции установим неравенство

| К^ «, $) | с d1^^ (а < s с t < by (6.7)

Действительно, если (6.7) справедливо при п = пг, то

| Kw^ (t, s) | = | J RW (t, т) К (т, s) dx | «

„m+l f*rm+l c\m

С т^—7T7 (/ — T)m-4T = ^L .

(m—1)1 J v 'ml

s

Из (6.7) следует, что || Kw || с сп (Ь — ау/^п—1)!, т. е. неравенство (6.5). и

УПРАЖНЕНИЯ

Провести доказательство теоремы 6.1 для оператора А, действующего в L^ (5), где Q с: IRN — ограниченная область.

Доказать, что в условиях теоремы 6.1 оператор, действующий в Lp ([а, Ь]) по формуле (6.4), является квазииильпотентиым.

Пусть К (<, s) — функция, непрерывная на треугольнике (а С s -S <. t, t ^ [а, 6]}. Доказать, что интегральный оператор, действующий в С ([а, 6]) по формуле (6.4), является квазиннльпотентным.

Найти резольвенту 5?ст интегрального уравнения Вольтерра х(/)— t

— о J K^t, s) х (s) ds = у (t) (t £ [0, 1]), если: а) К(/, s) = 1; б) /((/,$) = / — о

— $ (0 < s<;< 1).

Показать, что дифференциальное уравнение /п) + ай (/)х(,,—’* + • • • ,.. _[. ап (t) х = f (t) (t G [О, Л) c непрерывными на [О, Г] коэффициентами ак, 6=1, .,. , п при начальных условиях х^ (0) = xfe, k — 0, 1, .... л— 1 рав- t

посильно интегральному уравнению Вольтерра x\t) = у (t) + о ^ К (^, s) X о

Xx(s)ds (<€ [0, 7]), в котором п

(л — 1)1

fe=n

ГЛАВА X. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ДЛЯ КОМПАКТНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ

Известная теорема линейной алгебры о приведении эрмитовой матрицы к диагональному виду может быть переформулирована так: для любого самосопряженного оператора А, действующего в конечномерном гильбертовом пространстве ©w, существует ортонормированный базис (ф*)^=1, состоящий из собственных векторов А. Обобщение этого результата на случай оператора А — А*, действующего в бесконечномерном гильбертовом пространстве И, посредством «перехода к пределу при N оо», вообще говоря, невозможно, так как самосопряженный оператор в случае dim Н = оо может не иметь собственных векторов (см. пример VIII.8.1). Однако если А — компактный самосопряженный оператор, то такое непосредственное обобщение спектральной теоремы для А = Л* £ Д’ (С^) возможно. Доказательству этого посвящен § 1 этой главы. В § 2 изучается разложение по собственным функциям самосопряженных интегральных операторов.

Дальнейшее изучение спектральной теории самосопряженных операторов проводится в гл. XIII, XV. При этом используются интеграл Бохнера от векторнозначных функций, введенный в § 3 этой главы, и аналитические функции от операторов, рассмотренные в § 4.

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ДЛЯ КОМПАКТНОГО самосопряженного оператора

Одно свойство эрмитовой билинейной формы. Напомним (см. § VIII. 5), что билинейная форма называется эрмитовой, если (Vx, y^H^b^, y) — b(y, х). Согласно теореме Рисса (теорема VIII. 5.1) и теореме VIII. 5.3, ограниченная билинейная форма b является эрмитовой в том и только в том случае, когда (ИЛ £ S’ (//): Л = = Л*): b (х, у) = (Ах, у). Напомним также введенное в упр. VIII.5.3 понятие нормы ||Ь|| ограниченной билинейной формы b:||b||— это наименьшая из констант с, удовлетворяющих условию (Ух, y£H)i\b(x, у^ | с с || х || || у ||. Имеет место следующий результат (ср. упр. VIII. 5.3).

Лемма 1.1. Пусть b — ограниченная эрмитова билинейная форма. Утверждается, что

def

||b|| = sup{|b(x, х)||||х|| = 1} = ||b||1.(1.1)

Доказательство. Так как {|Ь(х, х) 11|| х|| = 1} = {| b (х, у)||||х|| = 11У11 = 1). то || t> || > II b ||х. Покажем, что ||Ь|| не превосходит || b ||1.

Для произвольной билинейной формы имеет место равенство 2 (Ь (х, у)4-Ь(у, х)) = Ь(х 4- у, х + у) — b (х — у, х — у). Из него следует, что

IЬ (х, y^-Vb(y, х)| <1(|Ь(х + У, х+у)| + |6(х — у, х — у) |) с

< у II b Ik (|| х + у ||2 + || х - у ||2) = || b ||1 (|| х ||2 + || у |р). (1.2)

(Здесь мы воспользовались равенством параллелограмма.) Полагая в (1.2) || х || = || у || = 1, придем к следующему неравенству:

№ У)+Ш *)1«:2||Ь|]1.(1.3)

Заменим в (1.3) у на Ху, где |Х|=1. Тогда левая часть (1.3) преобразуется так:

\Цх, Ху) + Ь(Ху, х)| = |6(х, у)||Хе^ + ^|,(1.4)

где a = argb(x, у), p = argb(y, х) (здесь использовано равенство \Ь(х, у)\=\Ь(у, х) |, имеющее место для эрмитовой формы Ь).

{ а—Р

Полагая в (1.4) X = е 2, получаем (Vx, у£//: || х|| = ||z/|| = 1): :|Ь(х, у)|<||Ь||1, откуда и следует требуемое, в

Замечание 1.1. Утверждение леммы 1.1 имеет место для любой ограниченной билинейной формы, удовлетворяющей условию (Vx, у^НудЬ^х, у)| = \Цу, х)|.

Теорема о существовании собственного вектора у самосопряженного компактного оператора. Как известно, ограниченный самосопряженный оператор может не иметь собственных векторов (см. пример VIII.8.1). Если же дополнительно потребовать компактность оператора, то ситуация изменится. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Всякий отличный от нуля компактный самосопряженный оператор А имеет собственный вектор, отвечающий собственному значению X такому, что |Х| — ||Д||.

Доказательство. В конечномерном гильбертовом пространстве утверждение теоремы следует из упоминавшейся уже теоремы о приведении эрмитовой матрицы к диагональному виду.

Рассмотрим общий случай. Поскольку А = А*, то форма ЬА, порожденная оператором А, является эрмитовой, и, согласно лем- ме 1.1, || А || = || Ьа II = sup (| (Ах, х) 111| х || = 1). Поэтому существует последовательность ортов (x„)”=i такая, что Игл | (Дхп, х„)1 = ||А||.

Так как А^ (//), то (Ax„)"=i содержит сходящуюся подпоследовательность VAxnk?)h=\. Для удобства записи обозначим xnk = yk. Так как |(Ах„, ^)|->||А||, то последовательность действительных чисел ^Ayk, ykAkLi содержит подпоследовательность ((Ау^, ykiAT=\i сходящуюся к числу X^IR:|X|c||A||. Покажем, что у kt -* ф, Aykt -► -*-Хф при 1-*<х>. Так как Ау^-*"^, то достаточно проверить, что

Нт || Лг/»г — ХуйЛ = 0.(1.5)

Имеем

II Ау^ — Xykt ||2 = || Ау^ II2 — ^ кАукь УкА — X (.yfel, AtjkA + X2 = = || Ayfei ||2 - 2Х VAyhl, у кА + X2 II ФII2- X2.

Кроме того, из неравенства || Aykt II < || А || = |Х| следует, что || ф || < | X |. Поэтому равенство (1.5) доказано. Из него в силу Aykt -►

-*Ф следует, что (Яф^ Н: || ф || = 1): ум -> ф. Так как Д С ^ (77), то Aykl->-A'v, т. е., согласно (1.5), Дф = Хф. ■

Замечание 1.2. Спектр самосопряженного оператора А является подмножеством сегмента [— ||Л|(, ||Д||] (см. упр. VIII.8.11). Согласно теореме 1.1, по крайней мере один из концов этого сегмента входит в спектр компактного самосопряженного оператора, откуда, в частности, следует, что спектральный радиус такого оператора совпадает с его нормой (ср. упр. IX.5.1).

Замечание 1.3. Условие Д £ $ W в теореме 1.1 отбросить нельзя, поскольку некомпактный самосопряженный оператор может не иметь собственных векторов. Нельзя отбросить и условие А = А*. Нетрудно привести пример несамосопряженного компактного оператора, не имеющего собственных векторов, которые отвечают ненулевым собственным значениям. В (0^ таким является, например, нильпотентный оператор. В бесконечномерном гильбертовом пространстве таким примером может служить любой квазинильпотент- ный компактный оператор. Например, в Л2 ([0, 1]) интегральный оператор Вольтерра (Дх) (О = j х (s) ds. Согласно теореме IX.6.1, о

А —квазинильпотентный оператор, т. е. S (Д) = (0). Поэтому А не имеет собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям. Ясно, что ядро этого оператора не является эрмитовым, поэтому Д =0= Д*. Ясно, что оператор А компактен как оператор Гильберта — Шмидта.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного оператора. Для доказательства основного результата этого параграфа нам понадобится два вспомогательных утверждения.

Лемма 1.2. ^Собственные значения самосопряженного оператора A ^S (Н) вещественны. 2) Различным собственным значениям оператора А = А* отвечают ортогональные собственные векторы.

Доказательство. 1) Пусть ф — собственный вектор самосопряженного оператора А, отвечающий собственному значению X. Тогда (Дф, ф) = X (ф, ф). Кроме того, (Дф, ф) = (ф, Дф) = = X (ф, ф). Поэтому X g IR.

Пусть X, ц — собственные значения оператора А, ф, ф — отвечающие им собственные векторы. Тогда имеем, что Х(ф,ф) = = (Дф,ф)-= (ф, Дф) = ц (ф,Ф), т. е. (X— ц) (ф,ф) = 0. Поскольку X ц, то ф J. ф. И

Для формулировки следующего утверждения нам понадобится понятие инвариантного подпространства. Подпространство G с Н называется инвариантным для оператора A^S (Н), если AG с G. Примером инвариантного подпространства для оператора А может служить собственное подпространство Ф (X) = [х g Н\ Ах = Хх) этого оператора, отвечающее собственному значению X (проверку того, что Ф (X) — подпространство, предоставляем читателю).

Лемма 1.3. Если G — инвариантное подпространство для оператора А ^ .Т (//), то G1 является инвариантным подпространством для оператора А*.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х £ G, У € G--. Тогда из инвариантности подпространства G для оператора Л следует, что (Дх, у) = 0. Кроме того, (Дх, у) = (х, Д*у). Поэтому (Vx £ G) i A*yJ_x, т. е. для любого у € G1 вектор Д *у принадлежит G L. И

Следствие U. Подпространства G и G1 одновременно являются или не являются инвариантными для самосопряженного оператора А^^ШУ ■

Переформулируем в удобных для дальнейшего терминах теорему о приведении эрмитовой матрицы к диагональному виду.

Рассмотрим самосопряженный оператор А, действующий в N- мерном гильбертовом пространстве Н. Пусть< ... <

<ХП (п < ^) — собственные значения оператора Д, Ф (к^ — собственное подпространство, отвечающее Х6, Р П^ — ортопроектор в Н на Ф ^к^ (& = 1, ..., /г). Тогда любой вектор х^Н представим в виде

х= ^Р (кк) х,(1.6)

а действие оператора А на вектор х имеет вид

Дх = ^ kkP (Xft) х.(1.7)

/<=1

Сформулированный результат называют теоремой о спектральном разложении самосопряженного оператора в конечномерном пространстве. Эта теорема допускает непосредственное обобщение на случай компактных самосопряженных операторов.

Теорема 1.2. Пусть А — компактный самосопряженный def

оператор в Н, {кп, п > 1} = S (Д)\(01 = s (Д) — совокупность всех ненулевых собственных значений А, Р(кп) — ортопроектор на собственное подпространство Ф(Х„). Для каждого вектора хб. Н справедливо представление

Х = S Р (М х + РКег АХ,(1.8)

Хп(5(Д)

где ряд сходится по норме Н. Действие оператора А на вектор х имеет вид

Ах = S knP(k„)x.(1.9)

Доказательство. Согласно теореме 1.1, у оператора А существует собственный вектор ф,, отвечающий собственному значению кг: |ХТ| = |[ Д ||. Иными словами, множество {2фг | г £ С} о с: Ф (к,}, так что отвечающее Xt собственное подпространство нетривиально.

Подпространство Нх = Ф (Х,)1 инвариантно для самосопряженного оператора Д. Поэтому, сузив оператор А па Hv получим самосопряженный компактный оператор Д^ действующий в Hv Если

Дх = 0, то теорема доказана. В противном случае в силу теоремы 1.1 оператор Дх имеет собственный вектор tp3, отвечающий собственному значению Х2 i|X2| = ||Д1||.

Заметим, что Х2 #= Хх. Действительно, из неравенства || Д, || = = sup {| (Лх, х) [ IxGSJO) П ДД <sup{ |(Дх, xJUxe^x^)} = Ц Д (| следует, что | Хх | >■ | Х21, Если Хх = Х2, то в Нг найдется последовательность ортов (xn)”=i такая, что Нт(Ахп, Хп) = Х1# Как и в доказательстве теоремы 1.1, отсюда вытекает существование в Нг собственного вектора оператора А, отвечающего собственному значению Х1( а это невозможно.

Согласно лемме 1.2, подпространства Ф (XJ и Ф (Х2) ортогональны. Положим Я2 = (Ф (XJ ф Ф (Х2))-*-, Нг является инвариантным подпространством для оператора А, поэтому Д2 = Д f Н2 — компактный самосопряженный оператор. Если Д2 = 0, то теорема доказана. В противном случае применим теорему 1.1 и т. д.

Положим Я' = фФ(Х„). Все собственные векторы оператора

A.n(;S(A)Г г г

А, отвечающие ненулевым собственным значениям, содержатся в Я. Отсюда следует, что Я ф Я' = Кег А. (Если это не так, то, согласно теореме 1.1, в Я Q Я' найдется собственный вектор оператора А, отвечающий ненулевому собственному значению.) Таким образом, для любого х £ Я имеет место разложение (1.8), откуда легко следует (1.9). Н|

Замечание 1.4. Спектральное разложение (1.6), (1.7) для оператора А в конечномерном пространстве можно детализировать, выбирая ортонормированный базис в Ф(Х„) (Х„е$(Д)). Аналогично можно поступить И с разложением (1.8), (1.9). Согласно теореме IX.4.1, каждое из подпространств Ф (Х„) (Х„ g s (Д)) конечномерно, пусть N (кп) = dim Ф (Х„). Если выбрать в Ф (Хл) ортонормированный базис (фа (Хл))а=1‘\ а в Кег Д — (wK>i, то (1.8), (1.9) приобретают такой вид;

ЛЩЛ)

х ~ X X Vе» Фа (Хл)) Фа (Хл) + XU, ю<0 юй, (1-10) Xflfs(^) а—|£>.1

W.,i)

Ах — X ^п X (^’ Фа (Хп)) фа (Хл).(1.11)

лп($(Л)а=1

УПРАЖНЕНИЯ

Привести пример неэрмитовой билинейной формы, удовлетворяющей условию замечания 1.1.

Пусть А компактный самосопряженный оператор в Н, спектральное разложение которого имеет вид (1.8), (1.9). Доказать, что: а) (VPG^MP= = X Чр М> где ряд сходится по норме 3? (Я); б) (Уг€р(Д)) ^n(s(/I)

Xх G Ну RZ(A) х = У (Хп — г)-1 Р(Хп^х, где ряд сходится по норме Н. Х/|^$(Л)

Пусть А — компактный самосопряженный оператор в Н. Используя спектральное разложение А, сформулировать альтернативу Фредгольма для уравнения второго рода (Д — оД) х = у (о G ©) и найтн его решение.

Пусть А— неотрицательный компактный оператор в Н. Используя спектральное разложение А. доказать, что (VP € И) (Ш 5 G ^ (Я), В > 0): Вр=А. (Оператор В обозначается символом у А и называется корнем p-и степени из оператора А).

Пусть А£®(Я). Тогда А*А — неотрицательный компактный оператор. Положим I А | = КА*А. Доказать, что A=V 1Д1, где V— частично изометрический оператор в //, т. е. V £ 2 (Я) и (V* 5 Я 9 Кег И): || Vx || = || х ||. Представление оператора А в виде Д = V | Д | называется полярным разложением оператора А.

Пусть AG'S (Я). Рассмотрим его полярное разложение А = V | А |. Пусть {$„, я 5» 1} = S(| А | )\{0) = s( | А |). Доказать, что оператор А представим в виде равномерно сходящегося ряда А= ^ snVP(sn>, называе-

s«(s(Ml)

мого рядом Шмидта. Числа s„, я>1, называются сингулярными числами оператора А.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

С ЭРМИТОВЫМИ ЯДРАМИ

Спектральное разложение самосопряженного интегрального оператора. Рассмотрим применение спектральной теоремы для компактных самосопряженных операторов к частному случаю интегральных операторов в L2(R, dp). Будем предполагать, что ядро К интегрального оператора А — р X p-почти везде отличная от нуля функция из L^ (R X R, d (р X р)), удовлетворяющая условию К (/, s) = К (s, /) (mod р X р). Тогда А — отличный от нуля самосопряженный оператор Гильберта — Шмидта в Ьг (R^d^. Приведем формулировку теоремы 1.2 о спектральном разложении для этого оператора.

Теорема 2.1. Пусть {Хп, п>1] = $(Л)— совокупность всех ненулевых собственных значений оператора Л. Выберем орто- нормированные базисы (фа(^; Оа^ « (ш(0)*>1 6 подпространствах Ф(Х„) (п^И) и Кег Л соответственно. Для любой функции х^Ц (R, dp) справедливо представление

N(Xn)

X (0 = 52 (^, Фа (М) Фа (^1 0 +

Xn ( s (Л) а = I

+ £ (х, tokW^(2.1)

k > 1

действие оператора А на функцию х имеет вид

NM

(Лх) «> = S К S (*, Фа(М)фа(^; ty (2.2) Х^ ( s (Д) а = 1

Ряды в (2.1), (2.2) сходятся в среднем квадратическом относительно меры р.

Замечание 2.1. Представления (2.1), (2.2) обычно называют разложением по собственным функциям оператора А и записывают в другой, более удобной форме. Для этого перенумеруем собственные значения и собственные функции оператора А следующим об-

разом. Каждое собственное значение Xrt повторим столько раз, def

какова его кратность: (Xlf ... , Xv Х2, ... , Х2, ...) = ^V, п > 1}.

N (X,)N (X,)

Все собственные значения Х„ однократны; собственную функцию, отвечающую Хк, обозначим фп(0- Тогда формулы (2.1), (2.2) приобретают следующий вид:

*(0 = 5 U. фп)фп(0 + 5 (х, <^)®40;(2.3)

n > 1А > 1

(Лх)(г)= X k'nkx, фп)ф»(0.(2.4)

Билинейное разложение эрмитова ядра. Дополним теорему 2.1 рядом результатов, справедливых только для операторов рассматриваемого сейчас вида.

Теорема 2.2. Пусть Д —самосопряженный оператор Гильберта— Шмидта в L2kR,dp), спектральное разложение которого имеет вид (2.3), (2.4). Ядро К этого оператора допускает следующее представление:

(2.5)(2.5)К kt, s) =^^^(0 фп(з) (modpxp),

(2.5)

(2.5)

называемое билинейным, разложением эрмитова ядра К. Ряд в (2.5) сходится по норме пространства L2 kR х R, d(p х р)).

Доказательство. Функции {ф„(/), w*(/)|n, &> 1} образуют ортонормированный базис в пространстве La kR, dp). Согласно леммеVIII.7.1, система функций (ф„(/) фт(5), фп(Z)®m(s), «л. (0 tom (s), и.Д/)фт(5)|/г, m > 1} образует ортонормированный базис в LakR X R, d(p x p)). Поэтому функцию KQL2kRxR, d(p X p)) можно разложить в ряд Фурье по этому базису. Подсчитаем коэффициенты Фурье функции К. Имеем

(К, фпфт) = £ О, S) ф„ (/) ф,„ (S) d (р X р) (t, $) =

RXR

= $($^^’ s)^(s)dp(s))M0dp(/) = R R

= (Дф,п> фп) = Хп6пт k^, /И ^ 1).

Покажем, что остальные коэффициенты Фурье функции К равны нулю. Действительно, для любой функции x^L^kR, dp) имеем

У kKkt, s) xkt)tomks)dkpXp)kt. s) = kAtom, x) = 0, RXR

откуда следует, что kR. Ф^т) = tK» ®мот) = 0 (n, m > 1). Наконец,

У К kt, s)to,1(Oфm(s)d(pXp)(/, s) = RXR

= I ^m <s) (J V>s)(0 41 w) ^ (s)e=

= ^«(^(J K(s, ?)io„(?)dp(?))dp(s) = (ф„„ Д<оп) — 0.

RR

Таким образом, для эрмитова ядра К имеет место билинейное разложение (2.5). И

Теорема Гильберта — Шмидта. В теории интегральных операторов функцию у (?) = (Дх) (?) называют истокообразно представимой (более полно: «истокообразно представимой через ядро К (t, s) при помощи функции х (?)»). Для всякой истокообразно представимой функции имеет место разложение (2.4) в ряд по собственным функциям оператора А, сходящийся в среднем квадратическом относительно меры р. Важно знать, когда ряд (2.4) сходится в обычном смысле или даже абсолютно и равномерно.

Лемма 2.1. Пусть р —конечная мера. Предположим, что эрмитово ядро К удовлетворяет условию

(Ac>^(Xt^Ry^\K(t, s) |2dp(s) < с.(2.6)

R

Тогда собственные функции (фп (?))„>! интегрального оператора А о ядром К ограничены на R.

Доказательство. Из условия (2.6) следует, что К^ ^L^R X R, d (у X р)). Поэтому А — самосопряженный оператор Гильберта — Шмидта и для него имеет место разложение (2.3), (2.4). Используя неравенство Коши т-Буняковского, получаем

| ^фп (?) I2 = | ^ К (?, S) ф„ (s) dp (s) j2 <

R

J \K(t, s)|2dp(s) || ф„|| < c (n>l),

R

откуда следует, что (V/ g R): | ф„ (?) | < Vc ) Уп Г1. ■

Теорема 2.3 (Г ильберта —Шмидта). Пусть эрмитово ядро К удовлетворяет условию (2.6). Тогда разложение в ряд (2.4) истокообразно представимой функции сходится абсолютно и равномерно на R.

Доказательство. Пусть у (Г) = (Дх) (?) — истокообразно представимая функция из L2(R, dy). Как элемент L^R, dp) функция у разлагается в ряд Фурье по ортонормированному базису {ф„(?), со* (?) | п, й>1}. При этом коэффициенты Фурье (у, ®») = (Ах, о^) — 0 (k > 1), так что

УМА = 5 (у, ф^фЛ?)-: S М*. ф.-И’ЛО, (2-7) п > 1а > 1

где ряд сходится по норме L% (R, dy).

Покажем, что ряд (2.7) сходится абсолютно и равномерно на R. Имеем

” + р» + р

2 1№М6(01<( S К*,к » п 4-1k = п 4-1

п 4- рп + Р

w S iwm2)l/2<( 2 к*,к = п + 1к = n + I

о2 s щыог2)1/2.(2.8)

Легко доказать, что второй множитель из правой части (2.8) не превышает числа с из условия (2.6), что, очевидно, влечет требуемое. Действительно, фиксируя t£R, получим

№(0 = ^KV« s)tyn(s)dp.(s)=(K(t, s), фп(8))£,(д, d)llWl R

откуда в силу неравенства Бесселя следует, что

У, №п(012 С $ I К^. s)|2dp(s)<c (t£R). ■ п> LR

Замечание 2.2. Пусть R — компакт, р — конечная мера на % (R). Предположим, что эрмитово ядро К ^C(RX R). Тогда К удовлетворяет условию (2.6) и для интегрального оператора А с таким ядром справедливы все доказанные выше теоремы. Непрерывность ядра К позволяет получить дополнительную информацию.

Оказывается, что собственные функции ф„ (/), отвечающие ненулевым собственным значениям Хп, можно переопределить на множестве нулевой меры р так, чтобы они стали непрерывными на R. Делается это следующим образом. Равенство

(Лфп)(0 = ^(1, s)^n(s) dp(s) = Х'пфДО

R

выполняется для p-почти всех t £ R. Переопределим функцию фп на множёстве нулевой меры так, чтобы это равенство выполнялось для всех t£ R. Функция фп непрерывна на R, это следует из свойств интеграла, зависящего от параметра (см. упр. III.6.7).

Отметим еще, что билинейное разложение непрерывного ядра по так переопределенным собственным функциям ф„ при фиксированном t сходится в L4 (R, dp ($)) и, наоборот, при фиксированном s — в L2 (R, dp (0). Действительно, в силу непрерывности К функция К (/0, s) £ L4 (R, dp (s)) для любого t0£ R, а функция К (/, s0) £ € La (R, dp (/)) (Vs0 £ R)» откуда в силу (2.5) и получаем требуемое. Заметим, что даже для непрерывных ядер ряд в разложении (2.5), вообще говоря, не сходится равномерно на R X R.

Интегральные операторы с положительно определенными ядрами. Теорема Мерсера, Напомним (см. § VIII.5), что оператор

Л E S’ (77) называется неотрицательным, если (VxE /7): (Лх, х) > >0, Неотрицательный оператор Д самосопряжен, его спектр содержится на сегменте [0, ||Д||] (см. упр. VIII.8.11). Отсюда следует, что все ненулевые собственные значения неотрицательного компактного оператора положительны.

Определение 2.1. Ядро К У, s) (Л $Е 7?) назовем положительно определенным {п. о.), если интегральный оператор Д с ядром К неотрицателен в La(R, dp), т. е.

^ix^L^R, dp))> У K(t, s)x(s)xy)d(pxp)y,s)^0.

RXR

Интегральный оператор с п. о. ядром К самосопряжен, поэтому п. о. ядро К является эрмитовым. Следовательно, в случае К £ £ La(R X R, d (р X р)) для оператора Д с п. о. ядром К справедливы все доказанные ранее теоремы. При этом дополнительно утверждается, что все ненулевые Xi положительны.

В дальнейшем рассматривается случай, когда R — компакт, р — конечная мера на S3 (7?), принимающая положительные значения на открытых множествах (например, R = [а, Ы, р = т), а п. о. ядро К Е С (R X R). В этом случае для оператора А с ядром К справедливы дополнительные результаты из замечания 2.2. Более того, условие положительной определенности ядра позволяет доказать равномерную сходимость билинейного разложения. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.4 (Мерсера). Пусть R — компакт, р — конечная мера на % (7?), положительная на открытых множествах. Билинейное разложение (2.5) п. о. ядра К ЕС (R X R) сходится абсолютно и равномерно на R X R.

Доказательство. Покажем, что (W Е 7?)! К У, t) ^* 0. Имеет место следующий общий факт. Если функция х непрерывна в точке т Е 7?, то

х(т) = Пт р(Вг(т))-1 ^ x(/)dp(7). (2.9) е-° BgVO

Действительно, легко видеть, что

х(т) р(Вв(т)) f xy)dpy)

(2.10)(2.10)ве <Т'

(2.10)

(2.10)

= Д7вП^Г J №)-x(0)dp(7).

ве W

Функция х непрерывна в точке т, т. е. (Ve, > 0)(2 6> 0)(V7E Е Во(т))*|х(т) — x(OI<Ri. Тогда из (2.10) следует, что при в< Д6 модуль левой части (2J0) меньше в^

Аналогично получаем

ЛДт, т) = limp(Вг(г))'2J К(Л s)d(pxp)(6 s) =

г 0Вг (Ц X Br (т)

= lim J КЦ, в^М^Ху^. s),(2.11)

г-ОRxR

где хг(.) = р(ВДт)) ^ВгсоМбМЯ. 40-

Поскольку К — п. о. ядро, то правая часть в (2.11), а следовательно и А(т, т), неотрицательна.

Пусть

К (/, s) = S ^пфп (t) ф„ (s) (modpXp) (2.12)

билинейное разложение ядра К. Собственные функции ^«(п^^) непрерывны на R и поэтому ядро

def

L/V V, S) = К У, 8) Xl Хпф/г (/) l])n (8) =

п = 1

(2.13)(2.13)= £ Мп (О Фп (0л -= ^ + 1

(2.13)

(2.13)

непрерывно на RxR- Покажем, что L^— п. о. ядро. Ряд в правой части (2.12) и (2.13) сходится по норме пространства L2(RxR, d(pxp)), поэтому для x^L^R, dp) получаем

J Lm^, s)x(/)x(s)d(pXp)(/, s) =

RXR

= S ^n| j ^n(0^(0dp(/)|2 > 0, n = N+ 1 R

t. e. Ln — п. о. ядро. Но тогда Nt. e. S ^|фп(/)|2с/<(/, t). Из n = 1что рядt. e. Ln — п. о. ядро. Но тогда Nt. e. S ^|фп(/)|2с/<(/, t). Из n = 1что ряд(V^P)(VAG^: Mt, 0>0, последнего неравенства следует,(V^P)(VAG^: Mt, 0>0, последнего неравенства следует,

t. e. Ln — п. о. ядро. Но тогда N

t. e. S ^|фп(/)|2с/<(/, t). Из n = 1

что ряд

t. e. Ln — п. о. ядро. Но тогда N

t. e. S ^|фп(/)|2с/<(/, t). Из n = 1

что ряд

(V^P)(VAG^: Mt, 0>0, последнего неравенства следует,

(V^P)(VAG^: Mt, 0>0, последнего неравенства следует,

(2.14)(2.14)s ш-жn=l

(2.14)

(2.14)

сходится на R и его сумма M (t, <) не превосходит К (t, t).

Покажем, что ряд в правой части (2.12) сходится на R X R и его сумма М (/, s) совпадает с К (t, s) для любых t, s^R. Отсюда, в частности, будет следовать, что М (t, t) — непрерывная на R функция. Члены ряда (2.14) суть непрерывные на R неотрицательные функции, поэтому непрерывность суммы ряда (2.14), согласно известной теореме Дини, влечет его равномерную на R сходимость.

В силу неравенства Коши — Буняковского имеем

S Хб|^(о^($)|с( Е ^(^(ОРх

к = п 4- 1к = п 4-1

п 4- Р

X Е WH$)I2)1/2,(2.15)

6 = п + 1

откуда вытекает равномерная на R X R и абсолютная сходимость ряда из (2.12). Таким образом, для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что равенство (2.12) имеет место для всех t, $ £ R-

Покажем, сначала, что ряд из (2.12) при фиксированном tQ R абсолютно и равномерно на R сходится. Используя неравенство (2.15) и оценку для суммы ряда (2.14), получаем, что

Е я.» I ■ф» (о ^ ($) । < к (s, s) Е ^ифнорс

к =* л 4~ 1к = п 4* 1

с II К\\ Е ^1Ш0Г2»

Й=п + 1

откуда в силу сходимости ряда (2.14) следует требуемое. Анало гично доказывается абсолютная и равномерная на R сходимость ряда из (2.12) при фиксированном s.

Таким образом, ряд из правой части (2.12) сходится абсолютно на R X R и его сумма М ((, s) непрерывна по каждой из переменных. Кроме того, М ((, s) = К. (t, s) (mod ц X ц), так что (V/ $ R) *. ц ({$ ^ R | М ((, з^ч^К V, «)}) = 0. Поскольку мера р принимает положительные значения на непустых открытых множествах, то (V1£ R) i {s $ R | M (t, s)=# K^t, s)} = 0. Отсюда следует, что (V/, s^Ry.KV» s)=M(t, s). ■

Замечание 2.3. В теории интегральных уравнений теоремы 2.1— 2.4 обычно формулируются в терминах характеристических чисел о„ ядра К, где о„ — (М-1 (см- замечание IX.4.1).

УПРАЖНЕНИЯ

В условиях теоремы 2.2 доказать следующие утверждения:

2 ^" I Фп (0 I2 = У I К (^ s) I2 Ф* (s) (mod и);

п>1R

2^’ = I |/<(^ s) I2 d (pi X 1г) (Л s); п>1 RxR

(Ах, х)= Е ^АI (*. ■Фп)!2 (Х^Ц(Я, dp));.

(V« € И): Kw (t, $) = Е ^Л'п (0 iln ($) (mod pXp);

Д) 2^"2m= ^ lRtm)«, s);2d(n x ;i)(f, s); 4>1RXR

(Vz€pH)):fiz(£ s)= ^I2-^^ФпМФпСз) (modpxp) (j ^zG.

n>lД

x (s) dp (s) = (fiz (Д) X) (/)} , где ряды в г), е) сходятся по норме Ц (R х R, d([iX р)).

В условиях теоремы 2.2 найти билинейное разложение для ядра 31 кС з; а) резольвенты ядра К (см. § IX.6).

Пусть К € La ([—л, л]) — четная 2л-периодическая вещественнозначная функция. Доказать, что интегральный оператор А с ядром К У, $) = = к У — з) самосопряжен в £2 ([—л, л]). Найти собственные значения и собственные функции оператора А и билинейное разложение ядра К.

Пусть ядро К € La (R X R, d (р X р)) удовлетворяет условию К (t, з) = —К (s, f). Доказать, что собственные значения интегрального оператора с таким ядром чисто мнимые. Построить билинейное разложение ядра К.

Пусть (fi, 51, р) такие же, как в теореме 2.4, K^C^R X fi)— эрмитово ядро. Доказать, что К® (t, з) = ^ £н'фп (0 фл (з), где ряд сходится аб-

солютно и равномерно на R X R.

Пусть выполнены условия упражнения 2.5 и пусть а б © не является характеристическим числом ядра К. Доказать, что (единственное) решение уравнения второго рода х^= ^ К ((, s) х (s) dp (з)-|-у (/) можно представить

R

в виде ряда х (t) = о У, Ч^пГ1 — ^У1 кУ, Фп) Фп (0 + У (0, равномерно схо- дящегося на R.

Найти собственные значения и собственные функции интегрального, оператора в £2 ([0, 1J), если его ядро К (£ з) задано в виде: a) t (0 < t < s <1), s (0 С s С / с 1); б) sin t sin (1 — s) (0 c t c s < 1), sin (1 — 0 sin s

2.8. Решить интегральное уравнение x(Z) = a^ К (t, s) х (s) ds + у кО, если о2.8. Решить интегральное уравнение x(Z) = a^ К (t, s) х (s) ds + у кО, если оy£C2([0, 1]), К kt, s) — из ynp. 2.7 a).

2.8. Решить интегральное уравнение x(Z) = a^ К (t, s) х (s) ds + у кО, если о

2.8. Решить интегральное уравнение x(Z) = a^ К (t, s) х (s) ds + у кО, если о

Пусть К ЯС kVa, 6] X [a, 6])—эрмитово ядро. Назовем величину aP — j K^kt, t)dt (pEM) — р-м следом ядра KU, s). Доказать, что: а) от- a

ношение a2n+2/a2n) ие убывает и ограничено; б) существует lira (a2n+2/a2n) и этот предел равен наименьшему характеристическому числу ядра К; в) У к^-пУ = «р кР^ 2), где к^п)п=Л — совокупность ненулевых собственных

П>1

2.10.что ядро2.10.что ядроД-*оер-*соПусть (fi, 51, р.) удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Доказать, К ЕС (fix fi) является п. о. в том и только в том случае, когдаД-*оер-*соПусть (fi, 51, р.) удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Доказать, К ЕС (fix fi) является п. о. в том и только в том случае, когда(V«€M) (VGt^RH^i,(V«€M) (VGt^RH^i,?«€©): 5 KVP t^fa^n. it 6=1?«€©): 5 KVP t^fa^n. it 6=1значений оператора А с ядром К; г) | £( | = lira p^a^^/a^ = lim (а2Р)1/,₽.

2.10.

что ядро

2.10.

что ядро

Д-*оер-*со

Пусть (fi, 51, р.) удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Доказать, К ЕС (fix fi) является п. о. в том и только в том случае, когда

Д-*оер-*со

Пусть (fi, 51, р.) удовлетворяют условиям теоремы 2.4. Доказать, К ЕС (fix fi) является п. о. в том и только в том случае, когда

(V«€M) (VGt^RH^i,

(V«€M) (VGt^RH^i,

?«€©): 5 KVP t^fa^n. it 6=1

?«€©): 5 KVP t^fa^n. it 6=1

ИНТЕГРАЛ БОХНЕРА

В дальнейшем (§ Х.4, гл. XIV, XV) нам понадобится понятие интеграла ^f(/)dp(f), где / : R X— функция, принимающая

R

значения в банаховом пространстве. Интегралы такого вида можно

вводить по-разному. Здесь мы рассмотрим метод введения интеграла от функции со значениями в банаховом пространстве, принадлежащий С. Бохнеру и являющийся естественным распространением на векторнозначные функции метода Лебега построения интеграла от вещественнозначных функций на R.

Пусть (R, 91, р)—измеримое пространство с a-конечной мерой р. Функцию f\R->X, где X — банахово пространство, назовем простой, если

/(0= S СаХдЛО (с^Х; &= 1, . . . , п),(3.1)

где множества Еъ . .. , Еп измеримы, имеют конечную меру и

Ej Q Ек=® при j=£k (ср. § II.5). Ясно, что ||/(/)|| = 5 II ||Х

ХХеа(/) — вещественнозначная простая функция па R.

Определение 3.1. Функцию f.iR-*X назовем сильно измеримой, если существует последовательность простых функций (Jrd”=\ такая, что

Jim || /„ (0 — / ^ || = 0 (mod р).(3.2)

Замечание 3.1. Пусть / — сильно измеримая функция. Тогда ||/(0П = Пт II fn (0 II (mod р), так что || / ||;/?-> К измерима как предел сходящейся (mod р) последовательности простых функций. Отметим еще, что линейная комбинация сильно измеримых функций, как легко видеть, является сильно измеримой функцией.

Определение 3.2. Интеграл Бохнера от функции /; R-*-X по пространству R обозначается символом J/(Odp(O и для R

простой функции (3.1) определяется равенством

$/(/)dp(/)= £ Cjip№)..(3.3)

R6 = 1

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что определение интеграла посредством (3.3) не зависит от того, каким образом простая функция / записана в виде (3.1).

Доказать следующие свойства интеграла Бохнера от простых функций: а) линейность; б) неравенство || ^ / (/) dp (/) || < ^ II / (0 И dp (0! ' в) / =

RR

= g(modp)=>^ /(0 dp(/) = J g(0 dp(0. RR

Пусть /:/?->-X— простая функция, fglH. Положим ^ / (/) dp (/) =

= ^ '^Е (0 / (0 dp (/). Доказать, что векторнозначная функция множества R

й ) £ i-+v (Е) * j f^d^t^X обладает следующими свойствами: а) (у (Е^^с: Е

о й : Еп Л Ет = 0): v( U Еп) = У v(£n), где ряд сходится по норме про- страиства X (счетная аддитивность); б) (уе > 0) Q6 > 0) (у£€ ^ : р (£)< <2 6): || v (-Е1) 11 <2 в (абсолютная непрерывность относительно меры р).

Пусть теперь f— произвольная сильно измеримая функция и (К)п = \— последовательность простых функций, удовлетворяющая условию (3.2). Тогда Ц/л(') —/(’)|| — неотрицательная измеримая функция и имеет смысл интеграл У||/п(О — /(011 dp.(0 < +°°.

R

Предположим, что j || fn (0 — / (0II dp (0 0* Тогда последователь- R

ность (j fn (0 dp (0)n = i c ^ — фундаментальна. Действительно, ис- R

пользуя результат упражнения 3.2 а), б), имеем

$^(0dp(0-$fm(0dp(0RR$^(0dp(0-$fm(0dp(0RR~M0)dp(0~M0)dp(0RR

$^(0dp(0-$fm(0dp(0

RR

$^(0dp(0-$fm(0dp(0

RR

~M0)dp(0

~M0)dp(0

R

R

< $ 11Л(0-/(01Ж0 + J II и (0-/(0 II dp (0-^0, RR

n, m-*-OO.

Так как X — банахово пространство, то последовательность ^faWM^-ч сходится, и поэтому корректно следующее оп-

ределение.

Определение 3.3. Функция f : R -^ X называется интегрируемой по Бохнеру на R, если она сильно измерима и для любой последовательности простых функций (jn)nZ\> удовлетворяющей условию (3.2), имеет место равенство

Ит $||^(O-f(Olldp(O = O.(3.4)

п 00 R

Тогда, как показано выше, существует предел

lim j fn(0dp(0= j/(Odp(O--(3.5)

n ** * RR

который называется интегралом Бохнера от функции f на R.

Предлагаем читателю убедиться в том, что предел (3.5) не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности простых функций, удовлетворяющей условиям (3.2), (3.4).

Теорема ЗЛ. Для того чтобы сильно измеримая функция f была интегрируема на R по Бохнеру, необходимо и достаточно, чтобы ее норма ||/|| была интегрируемой на R по мере р.

Доказательство. Необходимость. Пусть (fn)n^t — последовательность простых функций, удовлетворяющая условиям (3.2) и (3.4). Так как I)/«(011^(0<°°> а j 11/(0 —/4011 ^(0“*0, RR

и, следовательно, величина ограниченная, то из неравенства 11/(011<11/(0-/«(011 +11/4011 №; ^Ш следует, что Jll/(01l^(0<°°.

R

Достаточность. Пусть / — сильно измеримая функция такая, что ||/IKbi(^> dp). Для любой последовательности простых функций (^=.1, удовлетворяющей условию (3.2), построим вспомогательную последовательность (gn)n = b полагая

\fn^ если \\Гпт<Ит^+п-Ч, ®п^(0 в противном случае.

Понятно, что Иш 11/(0 — §4011 = 0 (modp). Кроме того, (V п£ € И) И1§40 II < 0/(011(1 l-n"1) < 21|/(0 II, так что последовательность (|| / (•) — gn (• )l I)z7—i имеет интегрируемую мажоранту 31| f (•) ||. Применяя теорему Лебега о предельном переходе, получим, что lim ( ||/(0—#4011 dp(O = 0, т. е. функция / интегрируема по « - 66 д

Бохнеру на R. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Е — измеримое подмножество R. Сильно измеримую функцию f назовем интегрируемой по Бохнеру на Е, если интегрируема по Бохнеру на R функция ХеЬ Доказать, что интегрируемая на R функция f интегрируема на любом измеримом подмножестве Е с: R.

Пусть / — интегрируемая по Бохнеру на R функция. Доказать, что интеграл Бохнера от функции f обладает свойствами, сформулированными в упр. 3.2, 3.3.

Пусть Unt/Y)^ последовательность интегрируемых по Бохиеру на R функций, удовлетворяющая следующим условиям: 1) || /п (t) — / (/) || -> 0(modp,); 2) существует интегрируемая на R функция ф такая, что (Ул^ С М) Hl fn (0II ^ II Ф (0 II (^CR). Доказать, что функция / также интегрируема иа R и

fim f tn (О d^ (0 = ( f (0 du (t).

Пусть J? = IR, p—мера Лебега. Используя результат упр, V.8.1, доказать, что для интегрируемой по Бохнеру на IR функции f справедливо равенство

/ (0 = s, Пт(2е)-1 С f(r)d/n(T) (modm),

8-*0. J

t—4

В заключение докажем утверждение об операторнозначных функциях, интегрируемых по Бохнеру.

Теорема 3.2. Пусть X = 2 Цн, Е^, где Ev Е2 — банаховы пространства. Если функция A:R-*2 (Е^ Е^ интегрируема по Бохнеру на R, то для любого х^Ех векторнозначная функция R £ t f U") = А ^ х ^ Е2 интегрируема по Бохнеру на R и

А (/) xdp (/) = (A (Q dp (/)) х.(3.6)

rk

Доказательство. Функция Д(<) (t^R) сильно измерима. Пусть (АИ (•)),?= 1 — последовательность простых операторнозначных функций, удовлетворяющая условию (3.2) (с заменой f„ и / на Ап и А соответственно). Тогда Ап(-)х (х£ Ех) является, очевидно, простой векторнозначной функцией, причем из неравенства ||Л(^)х— — Д,(/)х|| < р А (0 — Дп(/) || И х ]1 следует, что функция А (^) х сильно измерима на R для любого х^Ех. Далее, из интегрируемости А на R, согласно теореме 3.1, следует, что j || А (/)|| dp(t)<C °°.

R

Но тогда имеем для х£Ех

|| Д(/)х|| dy(/)< ^ || Л (/) || du (О II х|1 < оо RR

ив силу теоремы 3.1 функция А (•) х интегрируема на R. Равенство (3.6), очевидное для простых функций Ап, получается в общем случае с помощью предельного перехода. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть / : R -> X — интегрируемая по Бохнеру на R векторнознач- пая функция, А ^5? <Х, У), где У — банахово пространство. Доказать, что функция Af Б) : R->- У интегрируема по Бохнеру на R и справедливо равенство

А^ЦГ)фЦ^ = J Af^dp^t).r r

Операторнозначная функция Д:Д-*2’(Е1, Е2) называется слабо измеримой, если (yxg £,) (у/$ Е^ ) скалярная функция I (Л (t) х) = фх> , (/) измерима. Доказать, что: а) сильно измеримая функция является слабо измеримой, а обратное, вообще говоря, неверно; б) если последовательность (Л„(-))”=1 простых функций слабо в 2?VEX, Е2) сходится к /(•), то /(•) — слабо измерима; в) пусть Ех — Е2 — Н— гильбертово пространство, (еДД;— ортонормированный базис в И; если (У/, А^М) функция (X(-)efe, ер измерима, то операторнозначная функция А : R ->■ 2 (И) слабо измерима.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ

Пусть Е — банахово пространство, А — линейный оператор, действующий в Е, и пуср F (г) (z Е (О) — некоторая комплекснозначная функция. Возникает естественный вопрос: можно ли по-

Рис. 8Рис. 8строить функцию F (Л) от оператора Л? Ответ утвердителен, если п

Рис. 8

Рис. 8

F ^ = ^ Пь2к — ПОЛИНОМ. В этом fe=0

случае

^(Л) = аД + атЛ + . .. -;- апАп.

(4.1)

Ниже описывается построение F (Л) для функций F, являющихся ана-

литическими в некоторой окрест

ности спектра оператора Л. Дальнейшие результаты теории функций от операторов приводятся в гл. XIII.

Итак, пусть Л £ 2 (£), S (Л) — спектр оператора Л, являющийся, согласно теореме VIII-8.1, замкнутым подмножеством круга (г (0( | г| < || Л И}- Рассмотрим аналитическую функцию F (г), определенную в некоторой окрестности D (£) спектра оператора А (окрестность/) (£) не обязательно связна). Совокупность всех таких функций обозначим Л (S (Л)) или, короче, Л (если это не приведет к недоразумению).

Легко видеть, что Л является алгеброй относительно операций сложения и умножения. Действительно, если Р^Л аналитична в D (Р) и G С .^ ' аналитична в D (G), то их сумма F + G и произведение Р G аналитичны в области D (F) fl D (G), содержащей S (Л). Следовательно, (V£, G £ .Л): F + G , FG £ Л.

Определим отображение Л^к^^Р \^р(А^2^Еу полагая для Р^Л^^А^

P^ = -^F(z)Rz{A)dz,(4.2)

г

где замкнутый контур Г a D (£), состоящий из конечного числа спрямляемых жордановых кривых, ориентированных в положительном направлении, охватывает S (Л) (см. рис. 8). Проверим корректность данного определения.

Контур Г содержится во множестве р (Л) регулярных точек оператора А, поэтому операторнозначпая функция

D (F) 0 р (Л) Э г I- F (г) R, (Л) £ 2 (Е)(4.3)

аналитична на своей области определения (см. теорему VIII.8.4 и замечание VIII.8.2). Отсюда следует, что функция (4.3) сильно измерима по Борелю и ограничена. Поэтому интеграл в правой части (4.2) определен, во всяком случае, как интеграл Бохнера относительно меры Лебега на Г. Предоставляем читателю проверить, что этот интеграл является пределом по норме 2 (£) интегральных сумм п — 1

типа римановских: 5 Р^^А —-z^-i), где z„=zn, zv ... , zn_x к = О

образуют разбиение Г, U — точка дуги Zk-\Zk (k = 1, . . . , п — 1),

Далее, интеграл в правой части (4.2) не зависит от выбора контура Г cz D (F), охватывающего S (Л). Действительно, для любых х£ Е, К Е' комплекснозначная функция D (F) П р (Л) ^z i-*

I (F (z) Rz (Л) х) является аналитической. Из теории аналитических функций известно, что интеграл $ / (F (z) Rz (Л) х) dz не зависит от выбора контура указанного вида, откуда и следует требуемое.

Пример 4.1. Пусть Е = ©. Любой линейный непрерывный оператор в Е имеет вид Ах = ах (х £ С), где а — фиксированное комплексное число, его резольвента Rz (Л) х = (а — г)-1 х, где z ^ S (Л) = {а}. Пусть F (г) — аналитическая функция, определенная в некоторой окрестности точки а. Согласно формуле Коши, имеем

г

е. определение функции F (Л) от оператора А посредством (4.2) совпадает с естественным определением функции от оператора, действующего в одномерном пространстве.

Теорема 4.1. Отображение

^(5(Л))Э/?^ф(Г) = ^(Л)е^(£)(4.4)

является гомоморфизмом алгебры Л (S (Л)) в алгебру S^EF). При этом ф(1) = -Ц» ф(г) = Л.

Доказательство. Пусть F, С£Л(5(Л)), ГсР^П Q D (G) — контур, охватывающий 5(Л). Тогда имеем

Ф(^+G) = -Aj)(/7(z) + G(z))/?2dZGг

= - * Ф F (2) Rzdz — оф ф G (2) Rzdz = Ф (F) + ф (G).гГ

Для доказательства равенства ф (FG) = ф (F) X Ф(G)(F, О^Л) рассмотрим два контура Гц Г2 с D (Е) Q D (G), охватывающих S (Л) и не имеющих общих точек. Ясно, что тогда один из этих контуров охватывает другой. Пусть, для определенности, Г2 охватывает ГР Применяя тождество Гильберта для резольвенты, получим, что

Ф(^)Ф(С) = ^(Л)С(Л) = ^-У $F(z)x г,

X Rzdz ф G (9 R. dt - (- зУ2 ф ф F (z) G (0 X

г,7 г, г2

(

\ 2 Р Рр р

г* г«

Г! Г,

+Ш2 Ф № dz)G <4-5) г„ г,

Второе слагаемое в (4.5) равно нулю. Действительно, точка С £ Г2 не входит в область Dv, ограниченную контуром Г^ и поэтому функция (z— УF (z) аналитична на Dt (J ГР Согласно теореме Коши, внутренний интеграл во втором слагаемом из (4.5) равен нулю.

Рассмотрим внутренний интеграл в первом слагаемом. Точка г^Гг входит в область, ограниченную контуром Г2, и, согласно той же теореме Коши, этот интеграл равен G (г). Таким образом,

Ф (К) ф (С) = — ^ ф ^ (z) G (г) R2dz = ф (КС),г,

т. е. отображение ф : Л i-> S’(£) является гомоморфизмом.

Для доказательства равенства ф(1) = -Д рассмотрим контур Г, лежащий вне круга {z£$)| |г|<||А||}. Тогда для г^Г имеем

^И)--^ (д-1-4 + ^ + ...),

где ряд сходится по норме S’(К). Интегрируя в (4.2) почленно, получим

ГГГ

Согласно формуле Коши, при п > 2 ^ z-ndz = 0, а ^ z-1dz — 2ni. гг

Поэтому ф(1) = 'Ц. Проверить равенство ф(г) = А предлагаем читателю самостоятельно. ■

Замечание 4.1. Поскольку ф — гомоморфизм, то (V & £ И): ф ф) = = АЬ. Поэтому для полинома Р (г) = а0 + а^ + . .. + апгп получаем ф (К) = а0Ц + а^А + . . . + апАп. Таким образом, определение полинома К (А) от оператора А с помощью формулы (4.2) совпадает с обычным, т. е. посредством равенства (4.1).

Замечание 4.2. Для любых функций F, О^ЛЧ операторы К (А) и С (А) коммутируют: F (A) 6(A) = (FG) (А) = (GF) (А) = G (A) F (А).

Замечание 4.3. Отображение ф!^|-*5’(£), вообще говоря, не является изоморфизмом. Например, пусть А — нильпотентный оператор. Тогда, начиная с некоторого р>1, ф(гр) = Ар = 0, так что Кегф=Д{0}.

Замечание 4.4. Пусть функция Р^Л представима степенным рядом

K(z)=K(zo) + 4r-)(z~zo)+... ^D№(4.6)'

где z0 — регулярная точка оператора А. На контуре Г с О(й) ряд (4.6) сходится равномерно и поэтому

г

= - В $ (Е Й Г” М t - ^ КА -Г к = О

- Ё -й-^-^*. 6 = 0Г

Применяя теорему 4.1, получим следующее представление аналитической функции от оператора А в виде сходящегося по норме S’(F) степенного ряда:

FkA^ = S(4.7)

6 = 0

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть функции Fn^^ (S (А)) (ngN) аналитичны в некоторой фиксированной окрестности D спектра S (Л). Предположим, что Fn:^F на D. Доказать, что Fn (Л) т£ F (Л), п -* оо.

Пусть функция F б .?# такова, что \]F ^^-. Доказать, что оператор F (Л) обратим и F (Л)-1 = OlF) (Л).

Пусть х Е Е — собственный вектор оператора Л, отвечающий собственному значению X, и F Е <Уб (S (Л)). Доказать, чтох является собственным вектором оператора F (Л), отвечающим собственному значению F (X).

Пусть Н — гильбертово пространство, Л Е S (Д) — неотрицательный оператор. Доказать, что (ур Е И) (Д! В Е 2 (Н), В > 0) : Вр = Л. (Оператор В называется корнем р-й степени из оператора А и обозначается символом ^Л; ср. с упр. 1.4.)

Теорема 4.2 (Данфорда). Пусть F £ Л (S (Д)), оператор F (Д) определен посредством (4.2). Тогда

S(F kA^-F^S kA^Y

Доказательство. Пусть £ £ F (S (Д)). Покажем, что С является регулярной точкой оператора F (Д), т. е. S ^ 5 (F (Д)). Заметим, что G (z) = kF (?) — У-1 С Л, и поэтому определен линейный непрерывный оператор G (Д). Кроме того, ф ((F (г) — £) G (?)) = = ф (1) = Ц, откуда следует, что G (Д) = к? (Д) — ^)-1. Таким образом, доказано включение S (F (Д)) с F kS (Д)).

Установим включение F kS (Д)) s S kF (Д)). Пусть X £ S (Д); покажем, что F (X) g S kF (Д)). Рассмотрим функцию G (z) = = kF (г) — F (X)) (z — X)-1. Легко видеть, что функция G входит в Л (S (Д)). Применяя к равенству G (z) (г — X) = F (г) — F (X) отображение ф, получим, что

С(Д)(Д -Х^ = F кА1) - F кХ^й..

Поэтому если оператор F (Д) — F (X)fl имеет ограниченный обратный В, то G (Д) В будет ограниченным оператором, обратным А — Xfl, что невозможно. ■

Теорема 4.3. Предположим, что F £ Л (S (Д)), Gc Л (S (F (Д))). Тогда сложная функция Н (•) = G (F (•)) £ Л\8 (Д)) и И (А) = = G(F(A)).

Доказательство. Согласно теореме 4.2, S (F (Д)) — = F (S (Л)), так что функция G аналитична в некоторой окрестности F (S (Д)), а функция //(•) = G (F (•)) аналитична в некоторой окрестности S (Д).

Установим равенство Н (Д) = G (F (Д)). Пусть Г — контур из D (G), охватывающий S (F (Л)). Рассмотрим контур у с D (F) такой, что ограниченная им область D содержит S (Л), a F (D (J у) содержится в области, ограниченной контуром Г.

Тогда

Rz(F(Д)) = - ^ §(F (?) - z^R. (Д) d?(4.8)

для всех z ^ Г,так как оператор, стоящий в правой части (4.8) (обозначим его через В), удовлетворяет равенству (F (Д) — zfl) В = = В (F (Д) —- г^ = fl. Применяя формулу Коши, получаем -•

G (F (Л)) = - ^ ф G (?) Rz (F (Д)) dz =

г

“Й 2 Ф Ф G (Z) <Л (?) “ Z^Rz WZ =

Г V

= - Фi Ф ° ^ <F (У - z^ d^ R^ <Л) d^ =

?Г

= -^G^F ^ R^ d^ = H

что и требовалось доказать. ■

Пусть А^ЛЦ:Л таков, что S (Д) = Sj Ц ... U Sn, где Slt ..., 8,, — замкнутые попарно пепересекающиеся множества, и пусть функция F ^ Л(8 (Д)). Рассмотрим контур Г = 1\ U . • • U Г„ с D (F), где контур Г/ охватывает множество 8/, Г/ДГй^О при j=#h. Тогда имеем, что

FW = -^F^Rzdz =

Г

(4.9)

Г/

Изучим свойства слагаемых в правой части (4.9). С этой целью рассмотрим функцию (С € г(->Х/(г), равную единице в некоторой

окрестности множества 3/, непересекающейся с 3* при &#=/, и нулю в остальных точках (j = 1п). Ясно, что Х/£^(3(Д)).

Положим

Pi = Xi(A)=-^.^)Rldz (/=1, ...,п).(4.10)

г/

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.4. Пространство Е совпадает с прямой суммой подпространств Gj = ^(Р/):

£ = <71+... + G„.(4.11)

Каждое из подпространств Gv . . . , Gn является инвариантным подпространством для любой функции F (Д) (F^ Л(3(Д))).

Доказательство. Заметим сначала, что Х/(г)%Н2) = = 6/fcX/(z) (/, &=1, . .., п). Согласно теореме 4.1, получаем, что PjPk = PkPj = 6jkPj (j, k — 1, . . . , n). Таким образом, P2 = = Pj и Gj = ^^Pj) = {xg E | PjX = x} (/ = 1, . . . , и), откуда следует, что Gj — подпространство. Действительно, пусть x^-vx, где №=icGj. Переходя к пределу в равенстве хп = PjXn, получим, что х = Р,х, т. е. x^Gj.

Рассмотрим функцию X(z) = 2 Xj 00- Ясно, что X (г) равна единице в некоторой окрестности спектра оператора А и нулю в остальных точках. Применяя теорему 4.1 и равенство (4.9), по

лучим, что fl = X (А) = Xi (Л)+ .. . + Хп (Д) = Pi + • • • + Рп, откуда следует, что

(Vx£ Е): х = Xi 4-... 4-х„ Vxk = Pkx^Gfe-,

k= 1, . . . , nY(4.12)

Убедимся в единственности представления х в виде (4.12). Пусть х = Xi + ... 4- х^ — другое такое представление. Применяя к этому равенству оператор Рк, получим, что Ркх = Pkxv + . . . 4- Ркх'„ = = РкР^ 4-... 4- РкРпх'п = РкХк = Хк, т. е. Хк = Хк (& = 1, ..., п). Итак, равенство (4.11) доказано.

Докажем теперь, что Gj является инвариантным подпространством для оператора А и что спектр 3 (Д;) сужения Д/ = A f G( оператора А на подпространство Gj совпадает с 3/ (/ = 1, ... , nY

Пусть x^Gj. Тогда х = PjX = Х/(Д)х. Согласно замечанию 4.2, функции от оператора А коммутируют. Поэтому Дх = ДХ/(Д)х = = X/ (Д) Ах = PjAx, т. е. (Vx£ Gj): Ах^ Gj. Оператор Aj = A\Gj совпадает на Gj с оператором APj = Дх/(Д) = Ф/(Д), где ф/(г) — = 2Х/(г). Так как ф/6^/(3(Д)), то, согласно теореме Данфорда, 3(ф/(Д)) = ф/(3 (Д)) — Sj (J {0} Поскольку Д/ совпадает с фДД) только на Gj, то 3(Д;) = 3,- (/ = 1, . . . , п).

Предлагаем читателю проверить инвариантность подпространств Gj (/= 1, . . . , п) для F(A) и что F (Д)х = F (Д^Х! 4- . . . 4- 4" Р (^n)хп (F £ ^ (3 (Д)); х^Е, хк ^ Gk, k = 1, .. . , п). ■

ПРИМЕРЫ

Пусть Л —компактный оператор в Е, 5(Л) —его спектр. Согласно теореме IX.4.1, S(X)= {Х„, n>l)U{0}. Положим S1 = {X1], ... , Sm={Xm}, s/n+i = l^fiT л>т+Чи{0}. Согласно теореме 4.4,

(Vх € E) : x = Pxx + • • - + Pmx + Pm^(4.13)

причем подпространство ^.(Р^ = Gk (k = 1, .. . , m) совпадает с собственным подпространством Ф (X^) оператора Л, Поэтому

Ах = АРхх Лh АРтххх =^^х + АРт^х- (4-14)

Предположим, что дополнительно известно следующее: ^х £ Еу. Рт+1хО, т-* оо. Тогда в (4.13) и (4.14) можно перейти к пределу при т -> оо и получить для компактного оператора А представление, подобное спектральному разложению (1.8), (1.9) для компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

Пусть Е = С^, (ер^ — некоторый базис в Е. Оператору A £ 2? (С^) в этом базисе отвечает матрица (Oyfe)^=|. Спектр оператора А— это множество корней {Хп ... , Хл} (п с N') характеристического полинома det((ayfe — — Xbp^k=^ = ^N(X) матрицы (а^^. Ясно, что S (Л) = Sj U . .. USn, где Sk== (ХА1 (k — 1, .. . , п), и поэтому для построения функций от оператора А можно применить описанную выше схему. Поэтому для ^^^(^(Л)) получаем Г (Л) = F (ЛД + • - • + F (Лп), где А^ = АР ■ У = 1, . .. , и).

Разложим F (г) в степенной ряд в некотором круге с центром в точке

v»

^: f (г) = 2 1 —у— (г — \) . Согласно (4.7), получим, что

<г=о

F' (ХА

F(AI) = F(XI)PI+—v^Aj-XjPjVV ... (1=1п\,•

п

P^^F ^PjV-^lAj-W'V-"--^-(4-15)

м

Особенность рассматриваемой ситуации состоит в том, что (V/= L • •• » п) Omj ^ ^) : (Лу — ХуРу)т/= 0, т. е. в (4.15) ряды заменяются конечными суммами. Докажем эго утверждение.

Как известно из линейной алгебры, вС^ существует базис, в котором отвечающая оператору А матрица имеет каноническую жорданову форму. Если все собственные значения однократны, то эта каноническая форма — диаго- нальная матрица (\-^)д fe=r В этом случае (V/= 1л): т/= 1 и (4.15) имеет вид

F (А^ = F (Ху) Ps Ц=\NY, F(A)=^F (Ху) Рр

В противном случае в упомянутом базисе матрица оператора А имеет квазидиагональный вид

где |Х^|— канонический блок Жордана, отвечающий X#. Канонический блок Жордана — также квазидиагональпая матрица, диагональными блоками которой служат такие матрицы:

(т^ > 0, т^ > mW >...> mW) ^ 0; 5 т^ = N M) .

Таким образом, (у/=1, ... , пу.т.^т^ и формулы (4.15) приводятся к следующему виду:

F' (ХЛУ’!(Г)

F Ц,.) - Г (I,) Р/ +(Л, - W + . ■. + („<„_,),' X

_(1) tn mj -1

ХИ-^.Р) /;Р(Л)=^ V №Fto^UA >рлкЛ4Лб)

j=Y 6=^0

Напомним, что числа т^р, .... т^ находятся следующим образом. Пусть ^yv—I (X) — наибольший общий делитель всех миноров /V— 1-го порядка матрицы (^ — Х6^)^ ^р Отношение (— О^^у (Х)/^—1 (X) совпадает с произ-

ведением ) j (X — Х^) ^ .

Формулы (4.16) имеют смысл не только для аналитических в окрестности S (Я) = {Xv ..., Хп} функций, но н для функции, имеющей в точках Х1# ..., Хп производные достаточно высоких порядков. Поэтому посредством (4.16) можно определить неаналитические функции от матриц.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Д £ JZ (£) и пусть г0£©— изолированная особая точка операторнозначной аналитической функции р (Д) Э г i^- Rz (И) С 9? (Е). Доказать, что

ОО

RZ(A) можно разложить в ряд Лорана Rz (Д) = У (г — гоуСп. Коэффи-

П=— оо циеиты Сп^^^ определяются следующим образом:

— — 2л7 ^ (z — П ^2

Г

где Г — граница круга {2 € С | | z — 20 | ^ е} достаточно малого радиуса, ие содержащего других особых почек RZ(AY кроме 2 = 20, интегрирование выполняется в направлении положительного обхода Г.

В условиях предыдущего упражнения доказать, что коэффициенты Сп (n^Z) ряда Лорана для резольвенты обладают, следующими свойствами: а) (^п, m£Zy.CnCtn = CmCn; б) ^п G Z) : АСп = СпА; в) ^п^Ху^т^. € М): С„С_т = 0; г) ^п ^у.Сп = (-1)- С^1; д) (^т, п^Ну. С_т_п^х = = С_тС_п; е) (V« € 2+): С„ = (Л - z0H) С„+1; ж) ^п С М): (Л - г0Ц) С_п = = С_п_! = (Д — Zoflp С.р 3) С_т — D. (Д — гД) У.

ГЛАВА XI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

В этой главе излагаются начала теории обобщенных функций Соболева — Шварца. Рассматриваются классические пространства обобщенных функций ^' (IR^) и 4?' (IR^), т. е. пространства линейных непрерывных функционалов на финитных и соответственно быстро убывающих гладких функциях. Отбор материала продиктован в основном потребностями дальнейшего изложения (гл. XIV — XVI). Следует отметить, что имеется много книг, в которых теория н применение обобщенных функции рассмотрены подробно и доступно (см., например, [13, 14, 21, 22, 82, 96]).

§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Пространство основных функций ^ (IR'V). Напомним, что носителем непрерывной на R^ функции называется замыкание множества тех точек ^1RV, где /(/)^0; носитель f обозначается supp f, Функция / ^ C(1RV) называется финитной, если supp f — компактное множество. Совокупность всех финитных функций из C(IRV) обозначается Со(^).

Рассмотрим линейное пространство С” (Rv) финитных бесконечно дифференцируемых функций на R/V. Элементы этого пространства обозначим буквами ф, ф, , .. . Пространство основных функций ^(^v)— эт0 пространство С”(П<^), наделенное следующей сходимостью. Пусть ф, фпС^^) (п 5 И). Последовательность (фп)^! сходится к ф в ^([Rv), если выполнены условия:

носители фп равномерно ограничены, т. е. (Лг>0) (Vfi£ G М): supp <р„ Дг (0);

(V vL, .. . , vw G ^J : О'Чр,, = 2v^D^p на Br^ dt^...diNN

(здесь и далее используются обозначения из § VI.7).

Пример 1.1. Примером основной функции, отличной от пулевой, может служить «е-шапочка», т. е, функция

ое (/) =ое (/) =е2СеехР 82 —| / р0,| /1 > е,е2СеехР 82 —| / р0,| /1 > е,| < | < е»| < | < е»(1.1)(1.1)

ое (/) =

ое (/) =

е2

СеехР 82 —| / р0,| /1 > е,

е2

СеехР 82 —| / р0,| /1 > е,

| < | < е»

| < | < е»

(1.1)

(1.1)

где постоянная се такова, что ®e(l’)dt = 1.

р Д'

УПРАЖНЕНИЯ

Изобразить график функции wg (N = 1). Проверить, что (Ve>0):wgg C^dR").

Доказать, что (У^> 0) (V^G 1^) функция IRW Э П->- j %вг(а) (®) X

X cog(<— s) ds входит в (IR ).

Пусть <p£^(IRw). Сходятся ли в ® (IRW) следующие последовательности: а) (n'^)”=1; б) (л~1ф (пО)"„р в) (гГ1^ (л-1/))“=| ?

Доказать, что: а) Ф«-> Ф, фл-* Ф в ^(К^^фп-ффп-^ф + ф в В (RM); б) фп -> ф в ® (IR^ )=*(V^G С): ^фп ~* ^ф в ^(IR^), т. е. операции сложения и умножения на X £ © непрерывны в ® (IR^).

Доказать, что (Vn G С” (IR^)) из фп-> ф в ^ (IRW) следует, что цфп-^ ->т]Ф в ^(IR^), т. е. оператор умножения на г] g С00 (IR^) непрерывен в ^(IRW).

Доказать, что (VVE Z^) из фп->ф в ® (IR^) следует, что D^„->- -> ^ф в ^(IR^), т. е. оператор Dv непрерывен в ^(IR^).

Замечание 1.1. В пространстве ^(IR^) можно указать такую систему окрестностей 2» что сходимость ф„->ф в топологическом пространстве <@>(1RA'), 2) совпадает с введенной выше сходимостью Фл-^ф в ^(IR^ (см. § XIV.4). Поэтому из результата упражнения 1.4 следует, что пространство основных функций ^(IR") является линейным топологическим пространством (см. § VI.2).

Операторы осреднения. Выше приводился пример ненулевой основной функции. Покажем, что основных функций достаточно много. С этой целью введем и изучим понятие оператора осреднения.

Функцию f(i) (/£ IRW), удовлетворяющую условию ХА^Ьг^Н^ для любого ограниченного A g й (IR^), назовем локально суммируемой на IRW по мере Лебега. Совокупность всех таких функций обозначим символом Lv, ioc(IRw). Положим для f £ Llt 100 (IR^) и е> 0

(SJ) (0 = j ®е U — S)f (s) ds = (toe К /) (0. С1-2) IR*

где Mg — функция вида (1.1). (Функцию ®E^f называют сверткой функций tog и /.) Определенный посредством (1.2) линейный оператор Sg называют оператором осреднения, а функцию (Sef) (/) = = (юеХ/)(0—средней функцией / (или регуляризацией /).

Равенство (1.2) определяет оператор 38 и на функциях f^ £ LP(G) (р > 1), где Gc IRW— ограниченная область, нужно лишь предварительно продолжить / нулем на все 1RW. Ясно, что так продолженная функция f, т. е. Xof, входит в £-1, юсСИ^). Среднюю функцию 5в(%б/) назовем значением оператора Se на /£ € Lp (G).

Продолжение / нулем вне G излишне, если f£Lp((P) финитна, т. е. f обращается в нуль (mod m) вне открытого множества G' такого, что G' с: G (в таком случае говорят, что G' строго со- 334

держится в G). Совокупность всех финитных функций из LP(G) обозначим символом Lp,o(G).

Лемма 1.1. Пусть G сл ^ — ограниченная область, е>0. Оператор 8е обладает следующими свойствами: 1) (V / £ е^.юсМ^^СС”^); 2) фр> \y.SE^^^LP№ S^fS £C0(G)y.SEf ^of в C^-, 4) TOP*Sej -.J в L„(G).

Доказательство. 1) Подынтегральная функция в (1.2) бесконечно дифференцируема по Л Это следует из результата упр. 1.1. Включение Sef £ С°° (IR^) вытекает из свойств интеграла, зависящего от параметра.

Если f^Lp(G), то, как легко, видеть, функция SEf входит в С” (IRV). Применяя неравенство Гельдера, получим

J | (SEf) (t) |₽ dt = У |У f(s) toe (/ — $)<& [Pd/<

GG |RW

< ^ ^ | f (s) |p (oe (/ — s) ds ( ^ to8 (t — s) ds^ 1 dt =

6 IRWirat

= J $if(s)|Pto8(/-s)ds^<$]f(oip^ = im^. (i.3) G IRJVG

Отсюда следует, что Se непрерывно действует в Lp(Gy

Пусть f^Cg^Gy Тогда из оценки

|(Se/)(0-H0l = |{ Юе(^ —S)/(s)dS —

— j to^t — S^f^ds^ C j toe (^ — s) I/(/) — f (s) | ds c |RWIRW

< max (| f (t) — f (s) | It, s £ G, 11 — s | c e) и из равномерной непрерывности функции f на G следует, что fe2?/ на G при е->0.

Пусть f^Lp, o(G). Для всякого 6>0 найдется функция g^C0(G) такая, что ||/ — g||Р <6/ 3. Используя свойство 3), получим, что

(И е0 > 0) (V е < е0): || g - SEg ||„ < 6/3.

Отсюда с помощью неравенства (1.3) имеем для всех е<е0, чтоII f - SEf Пр < II f - g Пр + II g - SEg ||„ ++ II Se (g-h lip « 2 II f - gllp 4- |l g-SEg||p<< 26/3 + 6/3 = 6,

t. e. SEj ^of в LpkGY ■

Следствие 1.1. Пространство '^(IR'V) всюду плотно в Lp (IRN) <P > 0-

Пусть f^Lp^RN) и 6>0 заданы. Найдется такое ограниченное измеримое множество ДсК^, что Щ—/Хл||Р<6/2. Рас-

смотрим ограниченную область G = {х С ^ | о (х, Л) < е]. Так как Gz^/l, то ||f — fXc||p<6/2. Согласно свойству 4) оператора St, ( I е > 0): || fXG — SB (fXc) Пр < д'. При этом, как отмечалось выше, 5е(/Хб) £ @^\ откуда и следует требуемое. ■

Замечание 1.2. При определении оператора Se и изучении его свойств использовались не явный вид функции юЕ, а такие ее свой- с,ва> 1) toeEC“№v) (8>0); 2) юе ^ = 0 при |/|>е; 3) юе(0> > 0 (/g 1RW); 4) У соЕ (/) di = 1. Предлагаем читателю убедиться

IRW

в том, что для построенного о помощью (1.2) по удовлетворяющей условиям 1)—4) функции (Од оператора S8 справедливы утверждения леммы 1.1 и следствия 1.1.

УПРАЖНЕНИЯ

Провести подробное доказательство свойства 1) оператора 5g.

Пусть G с IR^ — ограниченная область, f — финитная функция из (°)- Доказать, что Sef в Lro (G).

Пусть G с 1Rn — ограниченная область с кусочно-гладкой границей 86, 6'— содержащаяся строго внутри G подобласть с кусочно-гладкой границей. Пусть / g Clv< (G) (v g Z^, | v | = Vj + ... + v^). Доказать, что

(Vn € 2" : | а | < | v |) v^SJ) (/) = (SgD°/) (/),

где 0<e<p(G', 5G) = inf{p(/, s)|<gG', sgdG).

Пусть GclR^— ограниченная область. Говорят, что функция f^ g Ск (IR^): а) входит в Cq(G), если она обращается в пуль вне открытого множества, лежащего строго внутри G; б) входит в Cq(G), если / обращается в нуль на 5G вместе со всеми производным** до порядка к включительно. Доказать, что замыкание С” (G) по норме Cfc(G) совпадает с Cq (Gj (6gZ+, C°(G)=C0(G)).

Пусть f g i^ Ioc (IRW). Положим для e>0 (Sg7)(/)=m(Sg(0))-* J f^ds se(0

(ср. § X.2, формула (2.9)). Доказать, что так определенный оператор осред- нен'-я Sg: а) обладает свойствами 2) — 4) оператора Sg; б) (у/g С (G)): SJ£ gC^G), S'J ^Qf в L2(G), (Ок5{/пП”=1 сходится в La(G), где G c IRW — ограниченная область, к = 1, . .. , N.

Разбиение единицы. Пусть G s ^ — некоторая область. Предположим, что имеется покрытие этой области не более чем счетной системой открытых множеств О = ^О,„ k > 1), лежащих строго внутри G. Говорят, что покрытие О локально-конечно, если всякая ограниченная подобласть G', лежащая строго внутри G, пересекается лишь с конечным числом множеств Ок. Справедлив следующий результат.

Теорема 1.1. Пусть О = (Ок, & > 1} — локально-конечное покрытие G. Существует система функций XkQC” (Ok) (6 > 1) такая, что 0 < Ха (0 « L S Ха (О = 1 (^ € G) (при каждом t £ G k > 1

в сумме лишь конечное число слагаемых отлично от нуля). Система функций {Ха, &> 1} называется разбиением единицы, построенным по локально-конечному покрытию О области G.

Доказательство. Докажем, что существует другое локально-конечное покрытие О' = (О’к, & > 1} множества G такое, что О’к лежит строго внутри Ok (к> 1). Построим О\. Для этого рассмотрим Кх = G\ U ©к- Множество КЛ содержится в 0lt лежащем строго внутри G, и замкнуто в G. Поэтому Кх содержится строго внутри Ov так что (Ле>0) :p(Kv дОху>г. В качестве О\ возьмем открытое множество {^g КЛ 1р(Л Д^Се). Ясно, что О\, Ог, .. . образуют локально-конечное покрытие множества G. Аналогичным способом построим и открытое множество О\, лежащее строго внутри Ог, и т. д. В результате получим требуемое покрытие О' = {Оф & > 1}.

Построим систему функций {т]а, к >■ 1} таких, что(У^>1)! ! т]а g С” (Ок), П» V) = 1 G е <%), 0 < На (0 < 1 (^ °а). Тогда (V t € gG): ShaW^H причем в этой сумме при каждом Z£G лишь А > 1

конечное число ненулевых слагаемых. Полагая

Ха (0 = Па (0 / S Па G) (к > 1),к > 1

получим требуемое разбиение единицы.

Функции Т]А (к > 1) строятся следующим образом. Пусть р(О'ь дОк) = ^к. Поскольку О’к лежит строго внутри Ок, то 8*>0 (к !> 1). Положим

Gk = {/£ IR" |р(t, O't)<Hx\k{t) = {SZkT(ik)(t) (к^\).

Понятно, что функция т]а обращается в нуль вне открытого множества VGIR.^ I р(^, ОкХ^гД, лежащего строго внутри 6а- С учетом леммы 1.1 получаем, что ца £ С” (О’к) (к > 1). Предлагаем читателю проверить выполнение остальных свойств функций т]а. ■

Замечание 1.2. Пусть задано любое (не обязательно счетное) локально-конечное покрытие О области G открытыми множествами бДа^Т), лежащими строго внутри G. Тогда при помощи леммы Гейне—Бореля из О можно выделить счетное подпокрытие 0а1, ба2> .. • , по которому строится разбиение единицы (ха/)^ г Таким образом, любому локально-конечному покрытию О отвечает разбиение единицы, строящееся описанным выше образом.

Пространство обобщенных функций ®' (IRV). Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций ^ (IR^). Обобщенные функ-

ции обозначим буквами а, р, ..., значение функционала (обобщенной функции) а на основной функции <р будем записывать в виде а (ф) или (а, ф). Совокупность всех обобщенных функций па пространстве основных функций a^W^ обозначим символом ^'(IRW).

Линейность функционала

^(^)ЭФ—а(ф) = <а, Ф>С(0(1-4)

означает, как обычно, выполнение условия

(V Хр Х2 € (С) (V ФГ, ф2 £ a (R^)):

а(Х1ф1 + Х2ф2) = Х1а(ф1) ф- Х2а(ф2).(1.5)

Непрерывность функционала (1.4) означает, что

(V ф G а (К^)) (V 1 с a (IR"):

Фп-*Ф в а^^: lim а(ф„) = а(ф).(1.6)

Как и для линейного непрерывного функционала на линейном нормированном пространстве Е, непрерывность функционала (1.4) на a (IRW) эквивалентна его непрерывности в нуле.

Как и в сопряженном к Е пространстве Е' в а' (IR^) естественно вводится структура линейного пространства:

(VXj, Х2 С С)(Уа1( а2 £ a' (!R^)) (V Ф £ a (Rw)):(Х^! 4- Х2а2) (ф) = Х^ (ф) + Х2а2 (ф).

Определим сходимость последовательности обобщенных функций (««)”.= i с a' (IRV) к а£^'(IR^) как слабую сходимость функционалов, т. е. в S’'(IR^), если (V q> ^ a (RN)): ап(ф)пТ^. “(ф). Предлагаем читателю убедиться в том, что операции сложения и умножения на X ^ (С непрерывны в a' (IR^), т. е. что a' (IRW) является линейным топологическим пространством.

Рассмотрим примеры обобщенных функций из a' (IR^).

ПРИМЕРЫ

2. Пусть f € Х^ loc (IR^). Положим

а,(ф) = $ НПФ(О^ (<pG®(IRw)).(1.7)

IRW

Очевидно, что функционал а^ линеен. Проверим его непрерывность. Пусть Ф„->Ф в @ (IR^), покажем, что

«/(фп)= J fV)4>nWdtn-^ J f!MlMt=<^. (1.8) IRWIRW

Согласно определению сходимости в ® (IRW), имеем, что интегрирование в левой части (1.8) ведется по некоторому шару 5 = {/ Е IR'V| I Н-^ г) и последовательность (фл)^., сходится к q> равномерно на В. Используя теорему

Лебега о предельном переходе (теорема III.6.1, см. также упр. III.6.5), получаем, что (1.8) имеет место. Таким образом, а/ g a' (IR^).

Обобщенные функции вида (1.7), порожденные функциями из Ц loc (IR^) называются регулярными обобщенными функциями. Остальные обобщенные функции называются сингулярными.

Отметим, что регулярные обобщенные функции а^ и ag совпадают в том и только в том случае, когда порождающие их функции fug эквивалентны, т. е. f = g (mod m).

Достаточность этого условия очевидна. Для доказательства необходимо- ети покажем, что для любого ограниченного множества Д $В (IR^) ^ | f (/)—

А

— g (/) | dt = 0. По лемме 1.1 существует последовательность функций (q>n)”_t с aiS'flR^, сходящаяся к функции e"~,arg^(,)—g(<^ Хд (0 m-почти везде, причем (Vn € N): I Фп (0 i < 1 (mod т). Пользуясь теоремой Лебега о предельном переходе, получим

$ I f У) - 8 (0 I dt = J У (0 - g (0) e-taT8WW№ dt =

ЛA

= lim f У W—g У)) Ф„ (/) dt = lira (a. — a ) (ф„) = 0.

П-юо <,П-*ОО ‘‘6

[RM

Ввиду произвольности множества А заключаем, что (1.8) имеет место, ■

Из доказанного утверждения следует, что всякая регулярная обобщенная функция из й)' (IRW) определяется единственным элементом из пространства L, !ос (IR^). Таким образом, формула (1.7) определяет вложение пространства Lx ,(R'v) в ®' (R^), т. е. можно отождествлять локально сумми

руемую функцию и порожденную ею обобщенную функцию.

3. Более широкий класс обобщенных функций, содержащий регулярные обобщенные функции, порождается комплекснозначными зарядами на (Rn, ® (IR^)), принимающими конечное значение на компактных множествах. Напомним (см. § 1.16), что каждый такой заряд со имеет вид со = (^ — р2) -f- + I (р3 — р4), где рь ..., р4 — меры на (IRW, S (IR^)), принимающие конечные значения на компактах. Поэтому достаточно определить обобщенную функцию, порожденную мерой. Положим

(УфС^Ч^))^^^ ^ Ф (0^(0-(I-9)

1RW

Ясно, что ац — линейный функционал на ^ (IR^). Непрерывность функционала ац доказывается, как и в предыдущем примере. Обобщенная функция а(|) определяется как соответствующая линейная комбинация ац^ (6=1, .. . , 4), т. е. О' =+ i)•

Pi1' Us Pt'

Предположим, что мера р абсолютно непрерывна относительно меры Лебега. Тогда обобщенная функция ац имеет вид

«ц(Ф)= [ ^W^dt (tWR")),

IR"

где производная Радона — Никодима ^g ^-i. loc ("^^) (см* § V’^)- Таким образом, в случае р < т обобщенная функция ag С ®* (IRW), порожденная мерой р, является регулярной.

Вместе с тем среди обобщенных функций atl вида (1.9) имеются и сингулярные. Простейшим примером сингулярной обобщенной функции, порожденной мерой-, является 60-функция Дирака, действующая по правилу

a (IR") Э ф ’-> 60 (ф) = ф (0) € С.

Очевидно, что 60 g @' (IR"). Покажем, что 60 — сингулярная обобщенная функция.

Предположим противное, т. е.

(HfG 7-ц ioc (IR^)) (Уфё^1 (1КЛ )): ^о (ф) = J НОчДМ^ (1.10) IR"

.v

Так как | Z |3 гр (/) = ^ /^ ф (/) £ ^ (V), то из (1.10) следует, что 6=1

(We^ (IRa’)): J /(Old2T(O^ = |/|24'(OUo=°-

IR"

Таким образом, обобщенная функция, порожденная локально суммируемой функцией | /|2/ (/), равна нулю. По доказанному в примере. 1.2 утверждению I V / W = ° (mod '")■ откуда следует, что / = 0 (mod tri). Но это противоречит равенству (1.10). Полученное противоречие и доказывает сингулярность оо. И

УПРАЖНЕНИЯ

• 1.12. Доказать, что условие ц < т является и необходимым для регулярности обобщенной функции ац.

Доказать, что для ац $ ®* (IR") вида (1.9) выполняется одна из трех взаимоисключающих возможностей: а) ац—регулярна; б) а^— сингулярна; в) с:^ = a + ф где а ф 0—регулярна, а р — сингулярна.

Пусть N = 1. Положим 6„ (ф) = — ф' (0) (фС^(^")). Доказать, что: а) 6„ (смысл обозначения прояснится в § 2) является сингулярной обобщенной функцией; б) не существует меры и на (IR, ® (IR)) такой, что 6,, = а^.

Порядок обобщенной функции. Линейные функционалы на @ (IR") не обязаны быть непрерывными в S’ (IR"). Используя аксиому выбора, можно доказать существование линейного разрывного функционала на ® (IR") (см., например, [37], [401). Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия непрерывности линейного функционала на S’ (IR")-

Теорема 1.2. Для того чтобы линейный функционал ана@ (IR") принадлежал ®' (IRN), необходимо и достаточно, чтобы для любой ограниченной области G с: IR" существовали числа /( = /( (G) > 0 и m = m (G) ( 2+ такие, что

(VV € с; (G)): | а (ф) | < К [| Ф 11^,.(1.11)

Доказательство. Достаточность условия очевидна.

Необходимость. Пусть a £ S’' (1R") и G с IR" — ограниченная область. Если неравенство (1.Н) несправедливо, то

(Vn € И) (ЯФ„ € СТ (G)): I a (ф„) 1 > n II Ф„ Нсщт.

Положим

Фл (О = фл (0/Кп II фп ||СП(О) (И С И).

Последовательность ф„->0 в ^(IR"), так как (Vn С И) t supp ф„сС и при п > | v |

‘(^ФД (/)|=| (DvVn) VtWn || Ф„ ||c«(G) <0.

В силу непрерывности a £ @' (IR") имеем, с одной стороны, а (ip„) -> 0. С другой стороны,

V ЛII фп 11с"(ё)

Полученное противоречие и доказывает теорему, н

Пусть а £ ®' (IR"). Если в неравенстве (1.11) можно выбрать число т£ 2+ не зависящим от G, то говорят, что обобщенная функция а имеет конечный порядок; наименьшее такое число т называется порядком обобщенной функции а. Легко видеть, что обобщенные функции, порожденные мерами, имеют порядок 0, обобщенная функция 6'„ из упражнения 1.14 имеет порядок 1, обобщенная функция а(<р) -- Х^(Еф<р) (и, . .. , и) не имеет конечного порядка-

Носитель обобщенной функции. Обобщенные функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции в открытом множестве. Говорят, что обобщенная функция а € ®' (К") обращается в нуль в открытом множестве G, если

^ф^С” (IR^): supp ф с G) ■ а(ф) = 0.

Пусть обобщенная функция а £ S’' (IR") обращается в нуль в открытом множестве G. Тогда она, очевидно, обращается в нуль и в некоторой окрестности каждой точки множества G. Справедливо и обратное утверждение.

Лемма 1.2. Если обобщенная функция сс £ S1' (IR^) обращается в нуль в некоторой окрестности U (/) каждой точки / открытого множества G, то она обращается в нуль и во всем множестве G.

Доказательство. Рассмотрим покрытие {U (I), /£0} мпо-^ жества G. Построим по этому покрытию локально-конечное покрытие О = {0/, / > 1) такое, что каждое О; содержится в некоторой окрестности U(/), Если (X/,/> 1} — разбиение единицы, соответствующее покрытию О, то

(V/ > 1) (Уф С C“(G)) (71/ е 6): зпррфХ/ с U (t).

Следовательно,

а(ф) = а (^ Х/ф) = ^а (Х/ф) = 0.i>Aj>}

Покрытие О строится следующим образом. Представим множество G в виде G = UOj, где 0/ (/ > 1) — открытые ограничен- ные множества, каждое из которых содержится строго внутри последующего. По лемме Гейне—Бореля компакт 02 покрывается конечным числом окрестностей (/ UY U к^» • • •, U ^ы )’» компакт 03\0i покрывается также конечным числом таких окрестностей; U (tN1+i), . .. , U (iN,+N^ и т. д. Положив Ок = U (tk) Л 02, £ = 1, •. . , Nv Ок = U (/^) Л ^Рл\Р1Ь ^ = ^i + 1, • • • > ^i + ^2 и т. д., получим требуемое покрытие О. ■

Пусть а £ @' (IR^). Объединение всех окрестностей, где а обращается в нуль, образует открытое множество Ga, которое называется нулевым множеством обобщенной функции а. По лемме 1.2 а обращается в нуль в Ga, причем Ga — это наибольшее открытое множество, в котором а обращается в нуль. Носителем обобщенной функции называется дополнение к множеству Ga, т. е. замкнутое множество supp a = Ga. Если множество supp а компактно, то обобщенная функция а называется финитной.

Из вышесказанного следует, что, во-первых, если носители a £ S’'(!!<") и ф^^") не имеют общих точек, то а(ф) = 0; во-вторых, точка / £ supp а в том и только в том случае, когда a не обращается в нуль ни в одной окрестности точки I.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что supp60 = {0}.

Пусть / g Со (IR^), a^—порожденная ею регулярная обобщенная функция. Доказать, что supp a^ = supp f.

Вычислить пределы в ®' (IR) при в-> 0 +: а) fe (f) = (2е)-1 Х[_8| gj (01 б) /8 (0 = 8 (л (/= + е=))-1; в) /а (0 = у= e^V8; г) f, (0=в"1 /(e-i0 №1 (|R)).

Доказать, что ряд ^ акЬк сходится в ®* (IR) при любых а6£© ЧХ

(6й (ф) = Ф (А). <Р G (IR)).

Понятие о регуляризации. Каждой локально суммируемой на IR функции отвечает регулярная обобщенная функция из ®* (IR) вида (1.7). Предположим, что функция / локально суммируема на G = lR\{/0}, а при t-^t6 tW~\t — t»V"m, где m^M- В этом случае интеграл в (1.7) сходится, если основная функция ф входит в S’ (G) = {ф^®(1Я)| /0 ^ supp ф}. Нетрудно проверить, что S’(G) — замкнутое линейное подмножество пространства S’ (IR). Таким образом, функция f^Ei, ioc(G) порождает линейный непрерывный функционал па подпространстве ^?(G) пространства основных функций ^(IR):

^(С)Эф-*а/(ф) =У/(/)ф(О^ -(1-12)

с

(непрерывность функционала а/ проверяется, как и в примере 1.2).

Для линейного непрерывного функционала, заданного на подпространстве линейного топологического пространства, справедлива теорема Хана — Банаха о продолжении (см., например, [34], 1401, [54]). Всякое продолжение функционала а/ вида (1.12) с S(IR\{/0}) на @ (IR), полученное с помощью теоремы Хана — Банаха, называется регуляризацией функции /. Ясно, что регуляризация определяется неоднозначно, поскольку продолжение функционала с подпространства, вообще говоря, неединственно.

ПРИМЕРЫ

Пусть fQ Ц, loc (IR \ {/0}) и при t-* t0 f(f)~\t — torm, где/п^И. Регуляризацией f с помощью отрезка ряда Тейлора называется следующий функционал на a (IR):

Гид 1

“Л Иф)=.) НО^фЮ-^^^ ('-V'^) ]Л.(1.13)

IR/=0

Здесь 6 5> m—1, функция aC®(IR) равна единице в некоторой окрестности точки /0. Выражение в квадратных скобках в (1.13) в окрестности точки /0 не превосходит с|/—(о!6"*"1- Поэтому интеграл в (1.13) схолшся.

Ясно, что для функций ф, обращающихся в нуль в некоторой окреп гости точки /0, значение а|Л(ф) совпадает с а^ (ф) вида (1.12). Регул я m -алия / с помощью отрезка ряда Тейлора, очевидно, зависит от к и функции а.

Пусть / (/) =/-1 (/^=0). Функционал (1.13) для к = 0 имеет вид

“/, о(ф)= J 7 1Ф W — Ф (°) а (01 & = J (<р (0 — ф (0) а (()) <7 In ! /1.

Интегрируя здесь по частям, получим

аЬо(ф)=“ j 1п1И1ф'(0—ф(0)а'(01^(1-14)

(внеинтегральный член отсутствует из-за финитности функций ф и а).

Функцию /(0 = <-1 можно регуляризовать иначе. Именно, положим

1—8-рое

^1)(ф)=21тJ ^Ц,(1.15)

т. е. значение обобщенной функции <^у- на основной функции ф равно глав-

v С Ф(0.

ному значению V. р. I —— dt расходящегося, вообще говоря, интеграла

У <р (t)ltdt. Ясно, что функционал д’ у линеен. Его непрерывность следует из такой оценки:

OOR

I / i \ I ,, f w mГ ф (0) + сг/ (n t !

<<|^Т/(ф)| = V. p. J= V. p. J I|

<

<

^4""/^

< j | ф' (/') | dt < ^R || ф |lci([—z?, «])(зиррфс=(— R, R)),

—R

здесь /' — некоторая точка из интервала (—R, R). Таким образом, ^у G € S>' (IR).

Интегрируя в (1.15) по частям, получим, что

1 \1 (ф) = 1*т‘ 1 /8-0 +1 \1 (ф) = 1*т‘ 1 /8-0 +—8

1 \

1 (ф) = 1*т

‘ 1 /8-0 +

1 \

1 (ф) = 1*т

‘ 1 /8-0 +

ф (0 d In | t\ + J ф (0 <i In | /1j =8

= lim [(ф (—8) — <p (e)) In e] — C In 1t1 ф' (/) dt.

8-0+J

Следовательно, на функциях из S (О) у Уу(ф) совпадает с j -Ц^ dt, и поэтому ^у является регуляризацией функции \ft. Ясно также, что 9°т" отличается от регуляризации вида (1.14).

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать,Доказать, ная функция.Доказать,Доказать,Доказать, ная функция.Доказать,что функционал S’у—сингулярная обобщенная функция, что функционал су 0 вида (1,14) — сингулярная обобщен-

Доказать,

Доказать, ная функция.

Доказать,

Доказать,

Доказать, ная функция.

Доказать,

1

что функционал 9" ^ , действующий по формуле

(ф G ^ (IR)).(ф G ^ (IR)).

(ф G ^ (IR)).

(ф G ^ (IR)).

— сингулярная обобщенная функция.

ОПЕРАЦИИ НАД ОБОБЩЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Определение операций в ©' (IR^). Структура линейного пространства и сходимость в пространстве обобщенных функций ®' (IR^) вводились по аналогии с пространством линейных непрерывных функционалов на линейном нормированном пространстве. Эта же аналогия используется для определения операций над обобщенными функциями.

Именно, пусть Л —линейный непрерывный оператор в линейном нормированном пространстве Е, Сопряженный к нему оператор А (см. § VIII.4) действует в Е* так:

(V/ £ Е'^ (Vx € 5) I (Л*/) (х) = I (Лх). (2.1)

Операции над обобщенными функциями определяются подобно (2.1). При этом, по существу, используются элементы теории линейных непрерывных отображений линейных топологических пространств (см., например, [16, 32, 34, 40, 54, 78, 94, 981).

Пусть Л : ^(IR^) ^(IR")— линейное непрерывное отображение. Определим сопряженное к А отображение А* г®' (IR'v)-> -^'(IR") следующим образом!

(Vex С @' (IR"))(Vcp С ® (IR")) I (Л*а)(ф) = а (Лф). (2.2)

Очевидно, что определенное посредством (2.2) отображение линейно. Нетрудно проверить и его непрерывность. Действительно, пусть ал->а в S'([R"), т. е. (Уф g ^(IR")); а„(ф)->а(ф). Полагая здесь

ф = Лф, получим требуемое.

Прежде чем перейти к реализации изложенной схемы для конкретных отображений А, отметим одно обстоятельство. Отображение Л* определено, в частности, па регулярных обобщенных функциях. Как отмечалось в § 1, можно отождествить регулярную

обобщенную функцию af, порожденную /^ЕщоДК"), с функцией /. Поэтому можно говорить, например, о производной ^- локально

суммируемой функции / в смысле обобщенных функций, понимая под ^ функционал ^^* а/^ ^'(IR") (Ze = 1^).

Умножение обобщенной функции на гладкую. Пусть а С

£C°°(IR"). Положим (Лф)(/) = а(/)ф(/) (ф£®^NX). Ясно, что функция Ач^Э^У Из результата упражнения 1.5 следует, что линейное,отображение Л!®1 (IR")->®(IR/V) непрерывно в ®(IR"). Применяя равенство (2.2), получим, что произведение обобщенной функции а на гладкую функцию а — это обобщенная функция aa^S' (IR") такая, что

(2.3)(2.3)(Уф € ® (1R")) 1 (aa, ф) = (а, аф).

(2.3)

(2.3)

Если а/— регулярная обобщенная функция, порожденная /£ С 1,100(1^"), то из (2.3) с учетом (1.7) следует, что асх/= сха,, т. е. асх/— это регулярная обобщенная функция, порожденная локально суммируемой функцией af.

ПРИМЕРЫ

Пусть a = 60, тогда (Уф € ^ (IR")): (аб0, ф) = (60, аф) = а (0) <р (0)= = ( а (0) 60, ф), т. е. а60 = а (0) 60.

Покажем, что произведение обобщенной функции 5е у из примера 1.6 на функцию a(f) = t совпадает с регулярной обобщенной функцией, порожденной /(!) = !, т. е. 1 = /^у. Действительно, для ф£^(|Ц") имеем

ФМ^ = (1. Ф>-ФМ^ = (1. Ф>-

ФМ^ = (1. Ф>-

ФМ^ = (1. Ф>-

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что (ya £ S' (IR^)) (У« $ С°° (IR^)): supp aassupp aQsuppa.

Пусть a £ S’'(IR^). Доказать, что справедливо равенство a = т;а, где r)^C“(IRw)—любая функция, равная единице в некоторой окрестности носителя а.

Замечание 2.1. Возникает вопрос: нельзя ли определить умножение для любых обобщенных функций из S' (IR^) так, чтобы это умножение было коммутативным и ассоциативным и совпадало бы с определенным в (2.3) умножением на гладкую функцию? Как показал Л. Шварц, такое умножение определить нельзя. Действительно, если бы такое умножение существовало, то, используя примеры 2.1 и 2.2, можно было бы получить такую противоречивую цепочку равенств: 0 = О^у = (ZdoJ^y = 60 ^ -Q = 60.

Замена переменных в обобщенных функциях. Пусть С £ ^(IR^) обратим; положим t = Cs-Va, гдеа^^—фиксирован. Определим обобщенную функцию a(Cs-j-a). Если f € Li, ]«; (IRW), то

(Уф £ ® (SR^)) • ^ ЦСб 4- а) Ф (s) ds = | det С |-1 X

IRW

X J Н0ф(С-!(< — a))dt.

IRW

Примем это равенство в качестве определения обобщенной функции а(С« + й) Для любой a (<) из @' (JRW):

(a (Cs + a), Ф (s)) = (a (/), | det С |-1 ф (C-1 (t — а))) (ф £ @ №*}}.

Предлагаем читателю проверить, что отображение (Аф)(() — =Ф (С-1 (/ — а)) линейно и непрерывно в S’ (IR^) и что равенство (2.4) есть не что иное, как равенство (2.2) для такого отображения А.

В частности, если С = Ц, то замена переменных t = s— а — сдвиг на фиксированный вектор a^IR^ и (2.4) имеет вид (a(s — — а), ф) = <a (/)> ф (( + «)>. Полагая здесь a = 60, получим (60 (s — — «), ф) = <60 (О- Ф (/ + «)> = Ф (а) = <6а, Ф).

Дифференцирование обобщенных функций. Пусть v £ 2+» положим (Дф)(/) = (Е^фД/) (ф^S’(IR^)). Из результата упр. 1.6 следует, что линейное отображение А непрерывно действует в S’(IR^). Найдем действие отображения А* на порожденную функцией ^СМ^") регулярную обобщенную функцию.

Интегрируя по частям, получим

(сх/, Аф) = J f(0(OW)^ = (-l)M J (D^)^ хIR#IRN

X ф(/)с(/= (A*ctf, ф) (ф£®(1Ям)),(2.5)

т. е. A*ccj—это регулярная обобщенная функция, порожденная локально суммируемой функцией (—l)M (Dv/)(0- Основываясь на

определим производную (в смысле обобщенных функций) Dva обобщенной функции a^^^IR") следующим образом:

<Dva, <р) =(—1)М<а, Z?v<p) (фС^К*)).(2.6)

Отображение D^ ;®^<N^-^-®'(J<N^ является сопряженным к непрерывному отображению (—l)lvl Dv — (—l)lvl Л: ® (IR")-* ^(IR") и поэтому непрерывно.

Предлагаем читателю проверить справедливость следующих утверждений.

Любая обобщенная функция a С ®' (К") (в частности, любая локально суммируемая функция) бесконечно дифференцируема в смысле обобщенных функций.

Если f£O’ltlRW), то производные О"/ (M<|v|) в смысле обобщенных функций совпадают с обычными производными функции /.

Если ag®'(IR'v), «^^(IR^), то справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения аа,.

Справедливо включение supp Dva s supp a.

ПРИМЕРЫ

Пусть У = 1. Рассмотрим кусочно-непрерывно дифференцируемую в (а, 6) функцию / (/). Пусть it ■< t4 < ... —точки из (а, Ь), в которых f или f имеют разрывы первого рода. Тогда производная в смысле обобщенных функций функции / равна

^ = 7™ + ^('* + 0)-/(/6-0))%,(2.7)

к>1

где /^(0— классическая производная функции /(0, равная /'(0 при t + tk, и не определена в точках tk (k>> 1).

Действительно, для любой ф € С” ((а, Ь)) имеем

f*+l<64-1

(D/, ф)=-<Лф'> = -2 J /Юф'Ю^Е j f'^^dt- к>1 t^k>l t^

b

- £ If (^+1 - 0) Ф Uk^ - f (^ + 0) Ф (#t)] = J ^л (0 Ф (0 dt +

+ X (/(^ + 0)-/(^-0))q>M fc>l

что и доказывает формулу (2.7).

В частности, если f— функция Хевисайда 6 (0 = Х^о, +«) (0> т0 Об = 60.

Рассмотрим тригонометрический ряд ^ аке1М> коэффициенты кото- рого удовлетворяют условию:

(Н/п G М) (Нс > 0) (V^E 2): | ак | < с (1 + | к 1)^.

Этот ряд сходится в S' (IR). Действительно, ряд

v^l, у аб

(т + 2)! +(/fe)m+2 '

сходится равномерно на IR, посколькусходится равномерно на IR, посколькуакак6 |/г|т+2<С1^‘ По‘этому ряд, представляющий его производную порядка т+2 (в смысле обоб-е. У, akelM, сходится в S' (IR).ряд (2л)-1 ^ e‘ti. Согласно предыдущему примеру, 406 |/г|т+2<С1^‘ По‘этому ряд, представляющий его производную порядка т+2 (в смысле обоб-е. У, akelM, сходится в S' (IR).ряд (2л)-1 ^ e‘ti. Согласно предыдущему примеру, 40щепных функций), т.щепных функций), т.2.5. Рассмотрим2.5. Рассмотримэтот ряд сходится в ^' (IR). Докажем, что его сумма равна ^ 8,,я6. Для 42этого разложим 2л-периодическую функцию /(/) = у— 4^ (0 < Z С 2л) в равномерно на IR сходящийся ряд Фурьеэтот ряд сходится в ^' (IR). Докажем, что его сумма равна ^ 8,,я6. Для 42этого разложим 2л-периодическую функцию /(/) = у— 4^ (0 < Z С 2л) в равномерно на IR сходящийся ряд Фурье

сходится равномерно на IR, поскольку

сходится равномерно на IR, поскольку

ак

ак

6 |/г|т+2<С1^‘ По‘

этому ряд, представляющий его производную порядка т+2 (в смысле обоб-е. У, akelM, сходится в S' (IR).

ряд (2л)-1 ^ e‘ti. Согласно предыдущему примеру, 40

6 |/г|т+2<С1^‘ По‘

этому ряд, представляющий его производную порядка т+2 (в смысле обоб-е. У, akelM, сходится в S' (IR).

ряд (2л)-1 ^ e‘ti. Согласно предыдущему примеру, 40

щепных функций), т.

щепных функций), т.

2.5. Рассмотрим

2.5. Рассмотрим

этот ряд сходится в ^' (IR). Докажем, что его сумма равна ^ 8,,я6. Для 42

этого разложим 2л-периодическую функцию /(/) = у— 4^ (0 < Z С 2л) в равномерно на IR сходящийся ряд Фурье

этот ряд сходится в ^' (IR). Докажем, что его сумма равна ^ 8,,я6. Для 42

этого разложим 2л-периодическую функцию /(/) = у— 4^ (0 < Z С 2л) в равномерно на IR сходящийся ряд Фурье

к+0

Этот ряд можно дифференцировать почленно в S' (IR) любое число раз. В результате получим

I 11 V 1 .ы

h-f-.O

W (0 = -1 + 2 626л = Й S 6 1°- 2л»>

42*^°

откуда и вытекает требуемое. При вычислении Д2/ использовалась формула

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что D In 111~- , Dd1 у- = 5” ^ (Z E IR).

Вычислить Dn9, Dn sign t, Dn 111, Dn [Z], где n $ N, [Zj— целая часть t.

Доказать равенство D2 | sin / ] + ] sin Z1 = 2 У (уя.

40

Пусть ряд У сь6^ сходится в ^'(IR). Доказать, что (Д4б^) к=0

(V^ ^ 4) • ск = 0.

Пусть a£S>'(IR) и suppa = {0}. Доказать, что а однозначно представима в виде а= У с&6*^.

§ 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Пространство основных функций ^(IR") (быстро убывающих). Пусть <р — основная функция из®(Е<л’). Поскольку основные функции из ®(1RW) финитны и, следовательно, суммируемы на IR", то определено преобразование Фурье

Ф(О = (2л)-"/2 J eW^^^dt (иЮ- (3.1)

IR"

Используя известные из анализа свойства преобразования Фурье, нетрудно убедиться в том, что функция ф^С~ (IR"), но не является финитной. Таким образом, операция преобразования Фурье выводит из пространства ^(IR"). Как будет показано ниже, этого недостатка не имеет пространство быстро убывающих основных функций §(!<").

Отнесем к пространству ^(IR") все функции из ^(^J, убывающие при |/1 -> оо вместе со всеми своими производными быстрее любой степени |Н-1. Ясно, что так определенное пространство 8 (IR") является линейным. Введем в нем последовательность норм (|| • ||Р)ДО, полагая для ф С § (IR")

р

II ФПр == max {(1 -|-|/|2)2 V KOv^i |/^}.(3.2)

М<р

Очевидно, что последовательность норм монотонна:

Цф|1о<1|ф|11«11ф|12<.- (<РЕ8№.(3.3)

Пусть ф, (фп)^1 <—^(IRW). Будем говорить, что последовательность Фп -> ф В $ (IR^), если (Чр € 2+) : II фп — Ф Пр0.

УПРАЖНЕНИЯ

Какие из функций е-'11*, е~,<|, (6 4- ■ ■ • + ^) e“|z|a. (1+ : П2)"1 принадлежат пространству S’ (IR^?

Пусть ф $ S’(IRN) и Р— полином. Доказать, что Pep 5 S’ (IRW).

Пусть ср g S’ (IR^). Какие из последовательностей (п-1Ф (Z))^,, (п^ф (n'J^p бг1ф (п"1/))^! сходятся в ^(IR")?

Доказать, что ф^—>0 в S’ (IR^) в том и только в том случае, когда выполнено одно нз следующих условий: 1) (\fp g 2Д) : Ц фп |ф = max {(1 + 4- 11 |2)Р/2 | ф-1^ ф | / е |RW, | v | с pl -+ 0; 2) (Vv. а £ Z^: Р1 ф^н) ф^ ^0 на R".

Доказать, что ^ (IR^) cz S’ (IR^ и что из сходимости фга -> ф в a (IR^) следует <р„-* ф в S’ (IR^).

Легко видеть, что S(IR^) шире, чем Эф?ф\ Например, функция е-И* принадлежит ^(IR"), но не принадлежит ®(IRA'), так как она финитна. Тем не менее ®(1R/V) плотно в ^(IR^), т. е. (УфЕ €S(IRW)) P№ с®(1Ям)):фп->ф в S (FRW).

Действительно, пусть ^^(IR") такова, что х\ф = 1 (|(|<1). Положим фДО = ФСОЛ^-^) (пСМ). Предлагаем читателю проверить, что последовательность (ф„)”^1 с йДП^) сходится к ф в $(IR'V).

Из определения сходимости в пространстве ^(iR") непосредственно вытекает непрерывность линейных отображений дифференцирования сДК^ЭФ1-»-y^CSRIR'V) (v£2+) и замены переменных

8(^)9 Ф(0'-^ Ф(С/4-a)€ §(IRA') (а С ^1 КегС = {0}). Однако, в отличие от пространства @(П^), умножение на a^G” (IR") может вывести за пределы ^(IR"), например e-MW2 = l^SflR^).

Пусть функция ^^“(IR") растет на бесконечности вместе со всеми своими производными не быстрее полинома, т. е.

(Vv€^+)(amv6M)(acv>0):

:|(Dva)(/)|<cv(l +|П)"Ч(3.5)

Функцию а, удовлетворяющую условию (3.5), называют мультипликатором в S(1RA'). Нетрудно проверить, что линейное отображение <$ (JRA') Э ф аф 5 S (RA')> гДе а — мультипликатор в S (IR^), непрерывно в S (IR^).

Действительно, если фЕ^П^), то «ф£ С” (IR"), и в силу (3.5)

||шр||р=тах{(1 + И2)р/2 X |(ОЧ«Ф))(0!|^^}<

М<р

<тах{(1+ |Z|2)p/2(X ДсУ4(О"ф)(0(Ох’-ра)(/)| |^IR") Сортах{(1+|/|2)p/2+W2 5 |(Оуф)(/)| |/£

с^}<Кр||ФНр+^ и^гл

где Np > max [mv | | v| с р}, о < v означает ог с vD . . . , aN с vN, коэффициенты cvo вычисляются по формуле Лейбница. ■

Замечание 3.1. Рассмотрим банахово пространство SP (IR^), являющееся пополнением §(!R'V) по норме || • ||р. Из (3.3) следует, что справедливы вложения

SoCR^^R"^^^) =э...,

причем из сходимости ф„-> ф в §p+i (1RV) следует сходимость ф„ -> ф В Spm (р€ 2+). Оказывается, что оператор вложения ^ОТЭ Эф'-^Фб^К") компактен для любого p^Zv (см., например, [14], § 1.5). Можно также доказать, что линейное топологическое пространство S(IR/V) совпадает с линейным множеством П §р (IR^), р>0

наделенным специальной топологией (см. по этому поводу § XIV. 4).

Пространство обобщенных функций §' (JRW) (медленного роста). Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве быстро убывающих основных функций S(IR'V). Совокупность всех обобщенных функций медленного роста обозначим §' (IR"). Подобно тому, как в ^' (IR^), в §'(IR^) вводятся структура линейного пространства и сходимость. Последовательность обобщенных функций (a„)~=i сз с $' (IR") сходится к обобщенной функции а £ S' (IR'V), если

(Уф€$т):ап(ф)^а(ф).(3.6)

Линейное пространство $' (IR") с так введенной сходимостью называется пространством обобщенных функций медленного роста.

Так как S(RA') с~ S (IR^), то любая обобщенная функция медленного роста является линейным функционалом на ®(IR^). Из результата упражнения 3.5 и определения сходимости в S'(^J следует, что всякая обобщенная функция из &' (D{y) является линейным непрерывным функционалом на ^(IR^). т. е. ^'(IR^Jcz c@'(IRA'). Кроме того, из сходимости ап-*а в ^Ч^) следует, что а„->а в ^^^J-

Рассмотрим примеры обобщенных функций медленного роста.

ПРИМЕРЫ

Рассмотрим измеримую функцию f, растущую при ]/[->. оо не быстрее некоторого полинома, т. е.

(П/п£М): J 1/(0 1(1 + И)"т^< оо.

irn

Ясно, что /tp £ Lj (IR^), если ф £ (S’ (IR^^), и поэтому равенство типа (1,7)

«,(ф) = J Н0ф(0^ (ф g (ir^))IR"

определяет регулярную обобщенную функцию «j из S1' (IR"). Понятно также, что не всякая / £ L, loc (IR") порождает регулярную обобщенную функцию медленного роста. Например, функции / (0 = е111 V € IR^) отвечает регулярная обобщенная функция из ®' (IR^jX^' (IR").

Пусть р— мера на (IR", ® (IR")), удовлетворяющая условию

(H/nG^Ui+PD-^G^iCR^ ФО

(такую меру называют мерой медленного роста). Подобно примеру 1.3 дока- вывается, что равенство

«ц(ф)= f ф(ОФЧ0 (ф 6 # (IR"))

IR"

определяет обобщенную функцию а^ $ #' (IR"). Ясно, что не всякая мера, принимающая конечные значения на компактах, порождает обобщенную функцию из S*' (IR"). Например, мере р (А) = ^ е' И dt (А € ® (IR")) отвечает об- д

общенная функция из S' (IR^XS”' (IR").

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что (yv g Z"): Dv60 £ S' (IR").

Доказать, что: а) ряд У, efc26t сходится в S' (IR), но расходится в S' (IR); б) ряд У ак6к сходится в S' (IR), если его коэффициенты удов- летворяют условию: (Дс > 0) (H« € ^+) (У& £ Z): | а6 | < с (1 + 1 к О'”.

Для множеств линейных непрерывных функционалов на S (IR") справедлива теорема, являющаяся аналогом принципа равномерной ограниченности (см. § VI 1.7).

Теорема 3.1 (Шварца). Пусть М' с S'(1R'V)— слабо ограниченное множество, т. е. (Уф € $ (^^(ИСф > 0) (Va £ М'): | а (ф)|< <;Сд.. Тогда существуют числа о-0 и т^2» такие, что

(Va € ЛГ)(¥ф€ §(«! | а(ф) | < с || фIk(3.7)

Доказательство. Предположим, что неравенство (3.7) неверно. Тогда найдутся последовательности (an)“=i а М' и (ф,1)”=1с сд^И^) такие, что

I а,, (ф„) | > п || ф„ ||„ (н€ И).

Положим ф,Д0 = (l^M ФнПп^флДО- Так как при к > п || ф» ||„ = = Цфл||п(К^|| Фи II»)'1 < к-^2, то ф*->0 в §'(IR^).

Последовательность обобщенных функций (a„)“=i сд ЛГ ограничена па каждой основной функции фЕ^П^) по условию. Можно доказать (см. [14], § 1.4), что отсюда следует а„(ф„)0.

Вместе с тем из свойств последовательностей (an)“=i и (<pfl)“=i вытекает, что

I «п (фп) | = (Vn II ф„ II „Р1 а (ф„) I > Уп.

Полученное противоречие и доказывает теорему. И

Следствие 3.1. Всякая обобщенная функция а медленного роста имеет конечный порядок, т. е. существует такое т £ ^+, что а допускает продолжение до линейного непрерывного функционала на ^(IR^. Неравенство (3.7) для а принимает вид

|а(ф)|<||а||_т||ф||т (ф€§(Нл')),

где ||а||-т — норма функционала в Sm(IR'v)> tn— порядок а.

Таким образом, справедливы соотношения §n(!R'v) сд ^(IR") сд сд... , §'(IR/V) = [J ^(IR^, двойственные к SotnV7) дэ S^IR") дэ ... , р>0

S (IR^) = П SpCIR^). р>0

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что любая .мера р,, порождающая обобщенную функцию из S*' (IR^), является мерой медленного роста.

Доказать, что оператор вложения <₽р+1 (IR^) —> $р (IR^) (р £ Z+) компактен.

Доказать, что оператор вложения <$”р (IR/V) -» S’ki (IRW) (р € ^+) компактен.

Доказать, что: а) всякая сходящаяся последовательность (а^~=1 с с <₽' (IRW) слабо сходится в некотором пространстве ^ (IR^) (р^ Z^); б) пространство S1' (IRW) полно.

Замечание 3.2. Операции умножения на функцию aEC°°(IRv), замены переменных и дифференцирования в пространстве S' (IR^) вводятся как и в § 2, с тем лишь отличием, что функция а должна быть мультипликатором в § (IR").

Преобразование Фурье. Рассмотрим сначала преобразование Фурье функций из §(IR'V). Поскольку основные функции из ^(IR^) суммируемы на П^', то на них определено классическое преобразование Фурье (см. (3.1))

Ф©=(2л)-Л'/2 J ^^e^’^dt (SER").(3.8)

При этом функция ф — преобразование Фурье основной функции Ф — ограничена и непрерывна па IR^.

Так как Ф Е S(IR^) убывает при |/|->оо быстрее любой степени |/Гх, то, используя известные свойства классического преобразования Фурье, получаем, что ф 6 С” (IR") и

(Vv Е 2+) I (Dv$)(^) = (2л # У ^ИУ Ф ^ ^ X IR"

X dt = №^A^Y(3.9)

Любая производная ^ф основной функции входит в LRIRN), поэтому определено ее классическое преобразование Фурье

(Dvф)л (у = (2л)-"/2 $ ф^)ец- () dt = (- i^y ф (g). (3.10) ir"

Из последнего соотношения, в частности, следует, что ф EM (IR"). Поэтому на функции ф определено обратное преобразование Фурье (ф)у, где

ф(/) = (2л)-"/2 J ^да1».^ (фЕМ№).(З.Н)

ir"

причем из свойств классического преобразования Фурье следует, что (УфЕ S (IR1V)): ф = (<p)v = (ф)л. Более того, справедлив следующий результат.

Теорема3.2. Преобразование Фурье (3.8) является линейным взаимно непрерывным биективным отображением S (IR") на $ (IR"). Обратным к нему отображением является обратное преобразование Фурье (3.11).

Доказательство Преобразование Фурье, очевидно, линейно. Из (3.9) и (3.10) вытекает, что

(Vv, а^^У ((- 1^У D^) ® = (D^ да Ф W (I). (3.12)

Действительно,

ti^ ® = (2^)-"/2 J £v (iff ^, 0 ф U) x

X dt = (2л)-"/2 f^ (it)° ф (0 dt =

= (— i)M (2л)-Л72 J e-"^ <> Di((iff ф(/)) dt,

IRA'

откуда и следует (3.12).

Пусть ЙЕИ таково, что (1 + | /12)~6 Е: ^(IR"). Используя (3.12), имеем

max{lgv(D^)(g)| |^К"}<(2л)-^х

X j |О<(/аФ(0)1 dt<^-N/2 $ (1+|/|2)-*^ X IRWIRAI

X max {(1 + И py ID? (Гф (0)1 UE^}.(3.13)

Из (3.13) следует, что (¥фЕ SCR")) •'ф Е S W"). Более того, используя формулу Лейбница, несложно вынести из (3.13), что

(Vp Е Z+)(3c> 0)(2<7Е ZJ(VVEW)): Й11Р С с|| Ф Ik- (3.14)

Соотношение (3.14) влечет непрерывность преобразования Фурье в 8 (IR'V). Доказательство непрерывности обратного преобразования Фурье аналогично.

Как уже отмечалось, из свойств классического преобразования Фурье следует, что Ф = (ф)у = (ф)л (фЕ §(0^)). Из равенства (ф)л = ф следует, что отображение § (1ЯЛ')Э ф|-> ф Е §(0^) сюръективно, а из (q>)v = ф — что это отображение инъективно, g

Определим теперь преобразование Фурье на S'(IRA). Следуя изложенной в § 2 схеме, зададим преобразование Фурье а обобщенной функции аЕ$' (IR") следующим равенством:

(УфЕ®^)):^, Ф> = (а, Ф).(3.15)

Так как по теореме J3.2 отображение ф i-> ф линейно и непрерывно, то функционал а, определенный правой частью равенства (3.15), представляет собой обобщенную функцию из S'(IRA') и отображение §'(IR") Э «а Е S'(IRA') линейно и непрерывно в S' (IRA ).

Используя равенство Парсеваля для классического преобразования Фурье, получим, что

j Ф(/)ф(7)Л= J Ф(£)ф(М (Ф,фЕ§(«.(3.16)

IR/V|RW

Подставляя вместо ф функцию 0 = 0, получим

% (Ф) = У 6(0 Ф (0 dt = J 9 (6) Ф(6)^ =

IRAZ|RM

= ае (ф) = а6 (ф) (ф Е S (IR")),

где ае, а0—регулярные обобщенные функции из S'C^), порожденные быстро убывающими функциями 0 и 0 соответственно. Отсюда следует, что преобразование Фурье на $' (R'v) есть продолжение преобразования, определенного ранее на & (Dt").

Можно доказать (см., например, [14], § 1.5, [72], § V.3), что 8(RV) всюду плотно в S'l^)- Это обстоятельство позволяет заключить, что преобразование Фурье (3.15) является линейным взаимно непрерывным биективным отображением 4' (IK") на S' (R"). Обратным к нему отображением является (сс(—/))Л = а. Предлагаем читателю убедиться в этом.

В заключение отметим важное свойство преобразования Фурье в S' (R'v):

(Va^S' (Rw)) (Vv€2+):

Dva = (W a).\ (О*а)А = (_ i^y(3.17)

Действительно, V<p£§(R'v) имеем

(Dva, ф> = (— 1)M (a, Dvv> = (— 1)M (a, (Dv(p)A), откуда с помощью (3.10) получаем

(Dva, ф> = (—l)|vl (a, (— /^)v<p) = (Wa- Ф> = <((z'0va)A, ф).

Доказательство второго из равенств (3.17) предоставляется читателю.

Пример 3.3. Вычислим преобразование Фурье 6-функции 6а (а 5 IR^). Имеем, согласно (3.15),

<Х- Ф>=<6а,^> = ^(а)==(2л)-Л,/2 j ф (0 е^а> ° dt =

IR#

= (рлГЫ,2еЦа> t\ Ф> (ф £ <^ (IR^)).

Таким образом, 6a — y,^Y"N^е^а* *\ В частности, 60 = (2л)—N^2. Применяя к этому равенству обратное преобразование Фурье, получаем, что а] = = Рл^^бо, где o’,- • регулярная обобщенная функция, порожденная 7 (/) =» - 1 OelR").

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать следующие свойства преобразования Фурье в S’' (IR'V): а) (V^o 6 IR") -^v- /о)) ~ = е^- '->«; б) (V Ео € «") = « (5 I So) = ^' ‘W ©•

Найти преобразование Фурье следующих обобщенных функций: а) />v60; б) af, где / (/) = lv (v £ Z").

Пусть ф, ф £ S’(IR^), (ф^ф)(0= ^ Ф U — s) ф (s) cfs—их свертка.

IR"

Доказать, что: а) для каждой функции ф отображение S’ (IR^) 3 ф '-*■ ф ^ Ф С £ ^ (IRW) непрерывно; б) (Уф, Ф, Ч € ® CR^)) • ф ^ Ф = Ф ^< ф. ф -1< (Ф ^ 6) = = (Ф>!<Ф1*6; в) (Уф, ф^^ (IRW)): (фф)" = (2л)—А'^ф X Ф, (ф^Ф)' = ■= (2л)л,/2фф.

Пусть ф £ (S' (IRW), «5 S1'(IR^). Определим свертку афсф как обобщенную функцию из S" (IR^, задаваемую равенством (сх^ф, ф) = (а, ф (—Офс 54 ф) для всех ф G ^ (IRW). Доказать, что: а) для каждой функции ф g £ (IR^) отображение ^'(IR^) Э« i->-а ф<ф 5 ^'(IR^) непрерывно; б) (V«€ ^'(IR")) (VT с ® (IR^)):a Ф' Ф€ С” (IR^), причем афсф растет не быстрее полинома; в) (Vv € Z^) : Dv (а ф< ф) = а ф< (D^:) = (Dva) X- Ф; д) пусть a>g — функция нз примера 1.1; аф<го8—>а в S' (IR^) при в-»Оф-.

ГЛАВА XII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Большинство операторов математической физики не являются ограниченными. Как правило, они строятся с использованием операции дифференцирования. В этой главе мы изложим ряд общих положений, касающихся не- бграниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА.

ГРАФИК ОПЕРАТОРА

Некоторые определения. Начнем с простейшего примера неограниченного оператора. Рассмотрим гильбертово пространство Н = L2 ((а, 6)) = Ьг суммируемых с квадратом функций / (л-) относительно лебеговой меры на конечном интервале (а, 6). На линейном множестве С1 ([л, il) s L2 определим оператор А в Ьг, полагая

C4\a,b\^f^Af = ^ = f. (1.1)

Он, разумеется, линеен. Однако ограниченным он не будет: положим Д (х) = einx (п £ И), тогда (Vn € И): 11 АД lka= II infn 1к2= п || fn |Д2. Поэтому неравенство I! Д/|Д2 < с|| / |Д2(/^С1 ([л:, Ь])) с некоторым с>0 невозможно.

В этом примере введенный оператор А был определен не на всем гильбертовом пространстве Н = L2, а лишь на плотном в нем линейном множестве С1 ([л, 61). Позже мы увидим, что такая ситуация в известном смысле общая: оператор, определенный на всем Н и удовлетворяющий некоторому достаточно общему требованию, будет автоматически ограниченным (см. теорему 3.4). Пусть Н— заданное гильбертово пространство. Рассмотрим некоторое линейное множество ^(А^еН и определим на нем линейное отображение & (Д) Э/ Af £ Н (т. е. такое отображение, что (Vf,gQH) (VX, р С): A (Xf + pg) = XAf + рД^). Это отображение называют линейным оператором с областью определения ®(А). Под равенством двух линейных операторов А и В понимается совпадение их областей определения и действия: Л - В, если ®^А^ = «©(.В) и Af = Bf(f£®(A)). Область определения оператора Д мы всегда будем обозначать ®(А) (часто применяется и обозначение йот(Д)). Она, вообще говоря, может быть и неплотной в Н. Ее плотность или неплотность либо будет ясна из контекста, либо будет оговариваться.

Пусть А и В — два оператора такие, что ®кА^г®кВ^ и Af = = вцк ® (Д)). В этом случае говорят, что оператор В является

расширением оператора А (или А — сужение В) и пишут) As В, В (■ S’(Л) = А.

Пример 1.1. Положим подобно (1.1) Н = L„ Ua, Ьр = L„, & (Ль) = = С к ([о, 6]), L2 zd а (Л*) Э /!-*/'$ l2 (k 6 Й). Ясно, что Аг г Л2 а ...; (V^ G € М) ®(А^ плотна в L2.

Операции над линейными операторами определяются естественным образом, нужно лишь следить за областями определения встречающихся операторов. Так, пусть А, В — два оператора, действующие в Н, X С. Положим

(ХЛ) / = X (Л/) (/ 6 S’ (ХЛ) = S (Л));

(Л + В) f = Af Л- Bf (f е ® (Л + В) = ® (Л) п @ ^Y

(AB)f = А ^ВГ^вЦАВ^ = {f£S(B)| ВК^(Л)}). (1.2) Иными словами, области определения в (1.2) строятся максимально возможным для данной операции образом. При этом, разумеется, ® (Л + В) и ® (ЛВ) могут оказаться неплотными в Н, хотя S (Л) и @ (В) плотны. Эту ситуацию всегда необходимо иметь в виду и, если это существенно, дополнительно требовать плотность S’ ( Л + + В) или S’ (ЛВ).

Напомним, что область значений оператора А, т. е. линейное множество векторов вида Af, где f^ а (Л), мы обозначаем 91 (Л) (или ran (Л)). Предположим, что А осуществляет взаимно однозначное соответствие между S (Л) и Si (Л). Тогда существует обратный оператор Л-1, определяемый равенством Л-1(Л/)=/: ^^(ЛУ). Таким образом, S’ (Л -1) = ^ (Л), ^ (Л -1) = ® (Л). Критерий существования взаимно однозначного соответствия: ядро оператора А равно нулю: Кег А = {/£ & (Л) | Af = 0} = {0}.

Определенный сейчас обратный оператор мы обычно будем называть алгебраическим обратным, так как под обратным к А принято понимать оператор Л -1 в том случае, когда S’ (Л -1) = ^ (Л) = = Н и А -1 ограничен.

Понятие графика. При рассмотрении неограниченных операторов возникают трудности, связанные с тем, что одновременно с действием А нужно следить за его областью определения S’ (Л). В связи с этим в теории неограниченных операторов весьма удобной является техника графиков операторов.

График оператора А, действующего в Н, вводится совершенно естественным образом. Так, рассмотрим ортогональную сумму Н ф Н пар </, g), где f, g^ Н. Напомним, что линейные операции для этих пар определяются «покоординатно», а скалярное произведение вводится равенством

«fi. gxY <М ё^НфН = (fl. Мн + (gl, g^H Ух, M gi, g^HY (1.3) Под графиком Гд оператора А понимается следующее множество

Гн =V<f.Af>^H^H\f^a№ (1.4)

Из этого определения и линейности А следует, что Гд — линейное множество в Н ф Н. Возникает естественный вопрос — всякое

ли линейное множество L в Н ф Н будет графиком некоторого оператора (возможно, с неплотной областью определения)? В случае одномерного вещественного пространства Н графиком оператора будет любая прямая, проходящая через начало координат плоскости 1R2 = Н ф Н, но не совпадающая с осью ординат.

Ясно, что подобное условие должно выполняться и в общем случае: линейное множество L а Н ф Н будет графиком некоторого оператора А, действующего в Н, тогда и только тогда, когда любое /, для которого (f, g) £ L, однозначно определяет координату g (т. е. для векторов из L «вторая координата однозначно определяется по первой»), В этом случае полагаем © (Д) = У^Н |(/, g>£ Ц, Af = g. Из линейности L следует линейность множества ® (Д) и оператора A; L = Гл. Можно также сказать, что линейное множество L а Н ф Н является графиком некоторого оператора, если из того, что (0, h) € L, следует h = 0. Если первые координаты векторов (/, g) € L образуют плотное множество в И, то А будет плотно определенным.

Подчеркнем, что задание оператора А в Н (т. е. задание его области определения и закона действия) эквивалентно заданию его графика Гд. Соотношение A s В и включение Гд s Гу эквивалентны,

При изучении онера горой при помощи их графиков удобно ввести следующие два оператора, действующие в Н ф Н. Положим

H^H^y.g^ > Uy,g)^(g,f^H®H,(1.5)

н ф Н э и, g) О (f, g) = (-g,fW н.

Эти операторы изометричны: согласно (1.3),

(17<А, gi>> UUг> ЙаАнфН = (<gi> fi>, (ga, 1У)н®н =— ^gi> gAu + (/i, t^H = «Д, gi), Уа, ga>)H©H,

(O(flt gi), C(A ga^H^H = (( gi> /i)> ( gg> fa))n@H —

■“ (— gi, —ga)n "b (/1> fa)n—((fi, gi^> Ui' gaAH®H (fi, fa, gv ge 6 H).

В силу (1.5) '.л(I/) = HфН, дг^ — Н^Н, поэтому U и О унитарны. Из определения (1.5) легко следует, что

U^-й., Оа = — Ц, OU = — UO.(1.6)

Для графиков операторов справедливо известное «школьное» правило построения графика обратной функции: нужно исходный график симметрично отобразить относительно биссектрисы первого координатного угла. Сейчас оно выглядит следующим образом.

Теорема 1.1. Пусть А — нскоторм! операторе, вообще говоря, неплотной областью определения. Для того чтобы существовал алгебраически обратный оператор А -1, необходимо и достаточно, чтобы множество UVA было графиком некоторого оператора. Справедливо равенство

rA-v = UVA.(1-7)

Доказательство. Пусть Л'1 существует и <f, g)£rA, т. е. /£0(Л) и g = Af. Тогда gP@(A_1) и / = A-1g, т. е. U(f,g) = " (g, />ЕГд-t. Иными словами, [yT’^cp.-i. Применяя к этому равенству оператор U и пользуясь первым из равенств (1.6), получаем противоположное включение. Итак, справедливость равенства (1.7) установлена.

Осталось убедиться, что если UPA~ график некоторого оператора, то УЛ -1. Но 17Гл состоит из векторов (g, f), где / £ ^ (Л) и g = = Af. Сказать, что первая координата g такого вектора однозначно определяет / — то же, что утверждать существование А -1. ■

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть А, В, С — линейные операторы в Н. Доказать, что: а) А + В = В + А; б) (А + В) + С = А + (В + С); в) ОА £ 0; г) (АВ) С = А (ВС); д) (А 4- В) С = АС + ВС; е) А (В + Q а АВ + + АС. Привести пример операторов А, В, С таких, что в е) имеет место строгое включение.

Если операторы А, В имеют алгебраические обратные А-1, В-1, то справедливо равенство (АВ)-1 = В^А-1. Доказать.

Пусть A £ 2 (Н). Говорят, что А перестановочен с оператором В, если AS G ВА (обозначение: A w В). Доказать следующие утверждения: а) А о В, AwB^A^fB^sa, А^ВД; б) А, В, Д2 о В ^(А^ А2) о В, А^^ В; в) если существует алгебраический обратный В-1 и А о В, то А о В-1.

Привести примеры операторов в Я таких, что: а) (а (А))~ = Н, ® (А2) = {0}; б) (0 (А))~ = //, (0 (В))~ = //, @ (А + В) = {0}.

Пусть (еп)”=1 — ортонормированный базис в Н и ф $ Я\л. о. ((еп)“_{).

Определим на а (Т) = л. о. (ф, (еп)*=1) оператор Т, полагая Т (Хф + У Xte£)= ,„i=-l

— Лф. Показать, что замыкание графика оператора Т не является графиком линейного оператора в И.

§ 2. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЗАМЫКАНИЕ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Введем два важных класса неограниченных операторов, для которых можно строить достаточно детальную теорию —без дополнительных ограничений понятие неограниченного оператора слишком широко.

Замкнутые операторы. Приведем прежде всего три эквивалентных определения замкнутого оператора А, действующего в Н.

. Оператор Л называется замкнутым, если его график Гд замкнут в Н QH.

. Оператор Л замкнут, если для любой последовательности {fn)n^\ г ® (Л) из сходимости при п -> 00 fn-*f^H и Afn-*g^H следует, что f(-@(A) и Af = g (таким образом, это определение можно воспринимать как некоторое ослабление понятия обычной непрерывности оператора: в случае непрерывности Afn-yg автоматически).

. На области определения ® (Л) оператора А введем т. н. скалярное произведение графика

^та=Ц?^н-НА1,А§^ U,g^®№(2.1)

Оператор А замкнут, если ® (Л) — полное пространство относительно скалярного произведения графика. Заметим также, что отвечающая (2Л) норма называется нормой графика, для нее имеем

||/Цгл = II Л1н + II ^/Ия (К^(Л)).(2.2)

Теорема 2.1. Приведенные три определения замкнутовти оператора эквивалентны.

Доказательство. 1)=> 2): сходимость в Н fn->f и Afn->-g означает, что «Л, Л/П))п=1 G Гд сходится в Н ф Н к точке (f, g), которая в силу предполагаемой замкнутости Гл в Н ф Н обязана принадлежать Гд. Это означает, что ^^(Л) и Л/= g.

=> 3): пусть (Л)п=1 = ^ (Л)— фундаментальная последовательность относительно || • [|гл. Из (2.2) следует, что (Л)п=1 и (Л/п)«=1— фундаментальные последовательности в Н, пусть f, g— пределы, к которым соответственно они сходятся. В силу 2) fE ® (Л) и Af—g. Нетрудно видеть, что ||/п— /Цгд^О ПРИ и->оо. В самом деле, (Ve "> О) (; I ^ -- N (к)) такое, что || А. — An II гл < е при п, m>N. Учитывая вид (2.2) нормы || • ||гл и переходя в последнем неравенстве к пределу при т->оо, получаем \\[п— /||гл<8 (и>М), что и требовалось доказать.

=* 1)1 пусть при п^ео rA3(fn, Af,!)^-^, gY, из (2.2) следует, что последовательность (АФ7=1 фундаментальна относительно нормы графика и, согласно 3), она сходится по этой норме к некоторому вектору h£@>(A\ Но тогда в силу (2.2) ||^ — h ||н-> О II IIЛЛ,—ЛЛ|[»^О. в силу единственности пределов h = / и Ah = g, откуда </, £)€Гд. ■

Пример 2.1. Каждый оператор Л^ (AgN), фигурирующий в примере 1.1, in* иилж'тся замкну или. Например, рассмотрим оператор Л3. Он не замкнут, Ик кик из тою, что последовательность fn € ® (Лг) = С* ([а, 6]) сходится и /., к/ (- /,а, а Г,! — в L2 к g£L2, еще не следует, что / С С1 ([а, 6]). Убедиться и последнем высказывании можно, например, так. Положим [а, Ь] = -1-1, 1], /(х)=|х| и fnW = (SJ\ (л:)(л:е[—1, 1], n € N), где оператор

V П )

осреднения Sp определяется формулой

х+е

(•V) М - ^, f !№<1^. (r>O;xCIR)(2.3)

(<|>уи к инн под липком интегрллп продолжена нулем вне [—1,1]). Требуемые свойства построенной последовательности вытекают из свойств операторов осреднепип (см. лемму XI.1.1, yup. XI.1.11).

Операторы, допускающие замыкание. Если оператор А, действующий в Н, незамкнут, то на первый взгляд его всегда легко

«замкнуть», т. е. расширить до замкнутого оператора А, добавив к области определения S’ (А) те векторы / G Н, для которых существует последовательность (fn)n=i G S’ (А) такая, что при и -> оо fn-^f и Я limA^^g. На добавляемом векторе /, естественно,

СО

полагаем Af = g. Однако эта процедура, вообще говоря, некорректна: Af может зависеть от аппроксимирующей / последовательности

. Говорят, что оператор А допускает замыкание А (или замыкаем), если приведенная процедура корректна (при каждом f^H, для которого существует требуемая последовательность Unti.

Вместо этого несколько описательного определения удобно пользоваться следующими двумя.

. Оператор А замыкаем, если из того, что последовательность (f^ сз S’ (А) такова, что lim fn = 0 и lim Afn = А € Н, еле- дует /i = 0.

. Оператор А замыкаем, если замыкание Гл его графика является графиком некоторого оператора.

Теорема 2.2. Приведенные три определения замыкаемости оператора эквивалентны.

Доказательство. 1) =* 2): это очевидно, так как, согласно определению 1), h = ДО = 0.

=* 1): пусть вектор f^H таков, что Afn, fnEf’(A) («ЕМ), для которых при п->оо fn^f, f-^f И Afn^-g'> Af^-g". Требуется показать, что g' = g". Но это следует из определения 2), если положить fn~fn— fh-

=* 3): Гл = ЯфД является линейным множеством; пусть (0,/г)£Гл. Последнее включение означает, что существует последовательность (fn)n=i, fn€®(A) такая, что при п->оо fn->0 и Af -> h. Но тогда в силу 2) h = 0, а это означает, что Гл — график.

3)=>2): очевидное обращение рассуждений предыдущего шага, g

Пусть оператор А допускает замыкание А. Еще раз подчеркнем, что значения Af подсчитываются следующим образом: рассматриваются все те f^H, для которых существуют последовательности (/n)n”=i, fG^fA) такие, что Игл /„ = / и Я lim Afn —g. Векторы / fl -♦ ООП-*- ОО

составляют область определения А и Af = g.

Из этой конструкции ясно, что А — линейный замкнутый оператор. Отметим, что

Гл ~ Гл.(2.4)

Если исходный оператор А был непрерывен, то А—непрерывный оператор, определенный на S’ (А) = {^ (А))~. В этом случае про-

Цедура замыкания—обычная процедура продолжения оператора по непрерывности.

Замечание 2.1. Пусть оператор Л допускает замыкание. Тогда ^(И) = (^(Л))~Гл, где ~ Гя обозначает замыкание по норме графика. Это немедленно вытекает из сопоставления определения Л и формулы (2.1).

Замечание 2.2. Пусть А е В и оператор В допускает замыкание. Тогда и А допускает замыкание, причем A Е В. В самом деле, Аг В а^Гв- Отсюда ГдеГд = Г~, т. е. Гд является частью некоторого графика Fg и поэтому будет графиком. Из последнего включения и (2.4) следует, что А г В. ■

Отметим, что в этом параграфе мы не предполагали плотность области определения оператора А в Н.

Перейдем к некоторым примерам.

Пример 2.2 (оператор, не допускающий замыкания). Пусть Н = L2 ((а, 6)) = = L2, ^(А) = С([д, Ь]) и (А/) (х) = / (а). Очевидно, всегда можно построить последовательность функций (У^,/л€С([я, 6]), fa (а) = 1 таких, чтобы |l fn il L, ~* ^ ПРИ 11 ""* °0, Таким образом, сейчас А/„ = hsl + 0 ^п 5. М) и fn~*W, согласно 2), оператор А не замыкаем.

Дифференциальные операторы. Введем целый класс операторов, допускающих замыкание — это важные для современной математической физики дифференциальные операторы. Пусть G — ограниченная область N -мерного пространства IR^ точек х = (х^... ..., XnY Для простоты ее граница 9G будет предполагаться гладкой, т. е. каждый достаточно малый участок границы задается уравнением вида X; = cp^Xj, ... , Х;_\, х/+ь . . . , XnY г№ 1 — свой для каждого участка номер выделенной переменной (/ = 1, . . . , N), а Ф/— I раз непрерывно дифференцируемая функция остальных переменных (I Е 2+ U °°)- О такой границе говорят, что она принадлежит классу С1. В дальнейшем I— достаточно большое число (достаточное для проведения соответствующих выкладок).

Мы будем рассмитршнт, дифференциальное выражение 3 вида

(.^(х)» V fla(x)(D«z/)(x) (х^О).(2.5)

l«|<r

Здесь использованы следующие обозначения (см. § VI. 7):

Da = Di‘ . . . Dnn, a = (a,. . .. , aNY av ... , aNQ Z+,

|a| = at + . . . + a„, Db = ^ (A =■ 1, . . . , N\ ^‘^

Таким образом, (2.5) —линейное дифференциальное выражение общего вида порядка г с комплекснозначными коэффициентами аа (х). Предполагается, что они достаточно гладкие, точнее aa $ Е C^l (G) (| a | <rY

Подчеркнем, что обозначения (2.6) будут постоянно использоваться в дальнейшем.

Дифференциальное выражение 3 вида (2.5) — это еще не оператор, так как не указаны классы (пространства) функций, к которым применяется 3. Просто функция и из (2.5) должна быть достаточно гладкой — выдерживать производные, фигурирующие в 3.

С 3 полезно связывать так называемое формально сопряженное к 3 (или сопряженное по Лагранжу) дифференциальное выражение 3*. Для его введения рассмотрим достаточно гладкие в G функции и, и, одна из которых аннулируется в окрестности границы области G. Путем интегрирования по частям получим (внеинтегральные члены не появятся благодаря аннуляции)

^ (Зи)(х)и(х)dx = У ^ aa(x)(D“w)(x)w(x)dx ==

G|«1<г G

— У (—1)1“'j u(x)(Daaa(-)v(-))(x)dx = § и (х)(зЧ))(х)dx, (2.7) !a|<rGG

(3+и)(х) — S (-1)№(^)У(.))(Х).(2.8)

|а|<г

Дифференцируя ааи по формуле Лейбница, можно, конечно, записать 3 в виде (2.5), однако такая запись нам не понадобится. Ясно, что в силу произвольности и, "V в (2.7) выражение 3* определяется из (2.7) однозначно.

Дифференциальное выражение 3 называется формально самосопряженным (или эрмитовым), если з = 3*. Важный пример такого выражения — выражение Шредингера

N

(Зи) (х) = — 2 (Dpi) (х) + q(x)u (х) = — (Ди) (х) + q(x)u (х) (2.9) с вещественнозначным коэффициентом q = я0 (он называется потенциалом). Другой пример: (Зи) (х) = —/ (Ь4«) (х) (k = 1N фиксировано).

Сказанное выше, разумеется, справедливо и для неограниченной области G(b частности, G = Щя).Нужно лишь требовать, чтобы одна из функций и, v из (2.7) дополнительно аннулировалась в окрестности ОО.

С выражением 3 вида (2.5) прежде всего связывается так называемый минимальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н — L^ (G) = La (G ограничена или нет). Для его ■ определения обозначим через С„ (G) (1^ 2+ U °0) линейную совокупность / раз непрерывно дифференцируемых финитных функций (т. е. функций и, каждая из которых аннулируется в некоторой зависящей от и окрестности границы G и оо, если область неогра- ничена). Очевидно, С1й (G) плотно в La. Введем в La оператор U по формуле

L^Crti(G) = @(U)^b^-3t^L2.(2.10)

Теорема 2.3. Оператор L' вида (2.10) допускает замыкание. Это замыкание L = L' называется минимальным оператором, отвечающим выражению 2 в области О.

Доказательство. Пусть fn £ & (L') = Cra (G) (n E И) таковы, что при n^-oo в L2 fn^-0 и L'fn — ^fn^>-h. Требуется доказать, что h — 0. Пусть u^Cq^G), в силу (2.7)

(A, vy, = lim^^, vy, = lim^, s^uy, = 0(2.11)

(ясно, что Э^о € L2). В силу произвольности и и плотности Co(G) в L2 из (2.11) заключаем, что h = 0. ■

Замечание 2.3. Из замечания 2.1 следует, что область определения минимального оператора L состоит из пополнения С^ (G) относительно скалярного произведения

(Л g)rL = (f, gktAA3?b 3?gK (f, g^C^G^.(2.12)

В некоторых случаях такое пополнение можно описать более явно — см. по этому поводу § XVI. 1.

Замечание 2.4. Обозначим через L’^ (А = г, г+1, оо) оператор, определяемый соотношением (2.10), но на S’О = Q(G) (таким образом, /У -- /^). Очевидно, L) 2LM2 ... . Вместе с тем (V/e г + 1, г + 2оо): Ь[ = Lr = L (поэтому при определении L в (2.10) можно заменить C'(G) на C£(G) с указанным А). В самом деле, так как LraLr+12 ... , то достаточно доказать, что ® (Lг^ г. ® ^L'»y Согласно замечанию 2.3, для этого достаточно убедиться, что (V/^Co(G))(Ve>0)(3<р^Со° (G)) ■ ||/ — ф||ья<е, US’/— — З’фП/2 <8. Но эти соотношения следуют из плотности Су (G) в C'(G) по норме пространства (/ (G). ■

//. Доказать, что: а) Кег А — В — замкнут. Верпы ли утверж-//. Верно ли, что: Щ 9 (Л) —//. Доказать, что: а) Кег А — В — замкнут. Верпы ли утверж-//. Верно ли, что: Щ 9 (Л) —УПРАЖНЕНИЯ

//. Доказать, что: а) Кег А — В — замкнут. Верпы ли утверж-

//. Верно ли, что: Щ 9 (Л) —

//. Доказать, что: а) Кег А — В — замкнут. Верпы ли утверж-

//. Верно ли, что: Щ 9 (Л) —

Пусть Л —япмкнутый оператор II полпроетрапотно; б) если В £ .Z (//), то А + дения и), б) для незамкнутого онерпторп Л?

Пусть А—замкнутый оператор в замкнутое множество; б) .% (Л) — замкнутое множество?

Пусть оператор А ограничен на 9 (Л). Доказать, что Л замкнут в том и только в том случае, когда (®> (Л))~ = 9 (Л).

Пусть А — линейный оператор в И, удовлетворяющий условиям: В (& (Л))~ = <%(А); 2) (Лш>0) (ух £ 9 (Л)): || Лл || > т || х ||. Доказать, что А замкнут.

Пусть А — линейный оператор в ZZ, удовлетворяющий условию Кег А = (0). Рассмотрим следующие дополнительные утверждения об А: 1) А — замкнутый оператор; 2) (.У? (Л))' --//; 3) .^ (Л) — замкнутое множество; 4) Qm > 0) (Ух £ ^ (Л)): 1| Ах || > т || х ||. Доказать, что: я) из 1) — 3) следует 4); б) из 2) — 4) следует 1; в) из 1) и 4) следует 3).

Замкнут ли оператор умножения на независимую переменную (Ах) (i) =» = tx (0, заданный в £2(IR), на: а) С” (IR); б) L3 (IR, (1+/2)Л)?

Обозначим через АС ([0, 1]) множество всех абсолютно непрерывных на (О, 1] функций, производные которых входят в L2 (10, 1]). Является ли замкнутым оператор дифференцирования (Ах) (/) = ix’ (0, заданный £2(|0, 1]) на: а)АС([0, Ц); б) {х $ АС ([0, 1]) . х(0) = 0}; в) {х € АС ([0, 1]) 1 х(0) = х(1) =0}; г) {х^АС([0, (]); х (1) = е,ах (0)}, где а £ IR фиксировано.

Доказать, что оператор умножения на функцию а £ С (IR), заданный в £2 (IR) па С” (IR), замыкаем и найти его замыкание.

§ 3. ПОНЯТИЕ СОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА

Определение и свойства сопряженного оператора. Напомним, что сопряженный оператор А* к ограниченному оператору А, действующему в гильбертовом пространстве Н, определяется из равенства (см. § VIII. 4)

ИА g)H = (A (AgW(3.1)

В случае неограниченного А определение А* более сложное, так как нужно следить за областями определения операторов. Итак, пусть А — некоторый оператор в Н с плотной областью определения ® (А). Рассмотрим вектор g £ //, для которого существует g* £ Н такой, что

ИА^НАА, (V/Е^И)).(3.2)

Из линейности скалярного произведения следует, что совокупность всех таких векторов g (которую мы сейчас несколько условно обозначим через ^(А*)) образует линейное множество, причем (Kg + ph)* = kg* + ph* (g, hc@(A*Y К, pC€). Вектор g* определяется no g однозначно: если наряду с (3.2) имеется второе представление (A?, g)H = (f, g*'^, (К®^. то (f, g*—g*')H = = 0 ^f^®(AY и в силу плотности ^(А) в Н g*' = g*.

Для g £ S (А*) положим A*g = g*. Так определенный оператор в силу сказанного выше линеен, он и называется сопряженным к А. Таким образом, и сейчас справедливо равенство (3.1), при этом @ (А*) состоит из всех тех g, для которых имеет место (3.2) (последнее соотношение еще выражают и так: g £ & (А*) ** функционал @(A^j i-> lg(h = (А/, gA/EtD непрерывен).

Замечание 3.1. Сопряженный оператор к оператору А корректно определен тогда и только тогда, когда @ (А) плотно в Н. Действительно, нам осталось лишь показать, что если существует оператор А*, связанный с А посредством равенства (3.1)(в котором f£® (A), g£^ (А*)) и однозначно по А определяемый, то ® (А) плотно в Н, Но это очевидно: если S (А) не плотна, то вектор A*g по g из (3.1) определяется неоднозначно, так как к нему можно добавить любой вектор h | & (А). ■

Мы пока ничего не говорим об области определения оператора А*, ясно лишь, что 0 в нее входит (однако может оказаться, что S'(A*)={0}, см. пример 3.2). Несколько ниже будет выяснена связь между плотностью S (А*) в Н и замыкаемостью А, но пока мы остановимся на важных разложениях Д ф Н, связанных с А*.

Лемма 3.1. Пусть ®(А) плотна в Н и поэтому А* существует. Справедливо равенство

гл. =№)x = (аде№),(3.3)

где оператор О определен в (1.5).

Доказ ательство. Пусть <g, А*§)ЕГд«. Это означает, что g^®kA*) и справедливо равенство (Л/, g)H=(f, A*g)H (f с® (А)), которое, в силу (1.5) и (1.3), дает

(<g, A*g), 0(f, ^»ИфН =«g, A*g), (—At, t^H^H”

= - (g- АПН + (A*g, hH = 0 (f € @ (A)).(3.4)

Поскольку (g, A*g) ± O(f, Af), то Гд.е(ОГд)1,

Обратно, если (g, /ффОГд)1, то прочитывая (3.4) в обратном порядке, получим (V/€^(Л)):0 = «g, h), O(t, А}))П($Н = — (g, Af)H + (Я, f)H. Иными словами, £С^(Л*) и h = g* = A*g, т. e. <g, Н)^Тд«. Итак, (ОГд^^Гд». Этим доказано (3.3). ■

Равенство (3.3) эквивалентно следующему ортогональному разложению:

Н® Д = Гд.ф(ОГд)~.(3.5)

Подчеркнем, что в (3.5) фигурирует замыкание (ОГд)" линейного множества ОГд. Однако если оператор А замкнут, то Гд, а значит, и ОГд замкнуты в Н ®Н (О—унитарный оператор) и поэтому (3.5) переходит в разложение

Н®Н = Гд.фОГд.(3.6)

Лемма 3.1 допускает следующее обращение.

Лемма 3.2. Пусть действующий в Н оператор А таков, что подпространство (Н ф Н) © (ОГд) = (ОГд)1 является графиком некоторого оператора. Тогда ЙЦА) плотна в Н, поэтому существует А* и справедливо равенство (3.3).

Доказательство. Вели [^Ф(А), то векторы из ОГд s гП®П имеют вид (—А(, {), а векторы (g, /ОС(ОГд)1 удовлетворяют соотношению

0=Ц(-А(, f), (g, h»H@H = U, h)H-(At, g)f, (tW). (3.7)

Предположим противное: пусть S’(Л) неплотна в Н и пусть 0=^/1 ± ® (Л). Вектор (0, h)^ Н ф Н удовлетворяет (3.7) и поэтому входит в (ОГд)1. Поскольку h^O, то этот вектор не может принадлежать какому-либо графику. Итак, (ОГд)1 не есть график, что противоречит допущению. И

Теорема 3.1. Пусть в Н действует оператор А с плотной областью определения, А* —сопряженный к нему оператор. Тогда!

Оператор Л* замкнут.

Если А допускает, замыкание, то (А)* = А* (замыкание не влияет на сопряженный оператор).

Предположим, что (5? (А))~= Н и существует алгебраически обратный А-1. Тогда существует (А*)-1 и справедливо равенство

(А-1)* = (А*)-1.(3.8)

Если оператор В такого же типа, как и А, то

В^А=*А*^В*.(3.9)

Пусть оператор В такой же, как и А, и дополнительно @ (А 4- В) плотна в Н. Тогда

(А + В)* 2 А* + В*.(3.10)

Пусть оператор В такой же, как и А, и дополнительно ® (ВА} плотна в Н. Тогда'

(ВА)*2А*В*.(3.11)

Доказательство

Замкнутость А* вытекает из (3.3), так как ортогональное дополнение — всегда замкнутое множество.

При помощи (3.3) и (2.4) получаем

ГМ). = (OrV = (ОГл)1 = ((ОГд)')1 = (ОГд)1 = Гд.

и поэтому (А)* = А*.

Оператор (А-1)* существует, так как ^(А-1) = ^(А) плотно в Н. Найдем его график, используя формулы (3.3), (1.7) и (1.5). Имеем:

Г(д-). = (ОГд-,)1 = (ООГд)1 = V-UOVAV = Ф 0 н^ е (ООГд) = = и ((Оф О) е (ОГд)) = ОГд..

Таким образом, ОГд. является графиком некоторого оператора, поэтому в силу теоремы 1.1 оператор (А*)-1 существует и Г(д.)-, = = ОГд* = Г(д-,)., а значит, и (А*)-1 = (А-1)*.

Так как В 2 А, то Гв 2 Гд, ОГв2ОГд и, согласно (3.3), Гв* = (ОГв)1 2 (ОГд)1 = Гд.. Следовательно, В* 2 А*.

Пусть g^®^A* ф В*) = ®(А*) fl ®(В*), тогда можно написать два равенства:

ИА g)H = (Л A*g')H у С ® (А)), (В/, g^н = у, B*g)H у £ ® (В)).

Беря здесь f £S> (А) П ® (В) = & (А + В) и складывая оба эти равенства, получаем

(И 9 В) f, g>H = (Л A*g + B*g)H = (Л ^-yB^g^ У^@(А+В^.

Но последнее равенство означает, что g^SH^A-y В^*1) и (А ф + В)* g = (А* + В*) g. Итак, А» + В* 2 (А + В)*.

Пусть gE^(4*B*)= {gE^(B*)|B*gE©(4*)}, тогда VfE G^(B4) = {f Е^И) |4/Е-^(В)} имеем

(BAf, g)„ = (Af, B*g)„ = (f, A*B*g)„(3.12)

(первое равенство в (3.12) написано па том основании, что Af Е ® (В) и gE®(B*), а второе — что f£®(A) и B*g^@(A*)). Соотношение (3.12) означает, что g£®((BA)*) и (BA)* g = A*B*g. Итак, А*В* s s(B4)*. ■

В случае, когда хотя бы один из операторов в соотношениях (3.10), (3.11) ограничен, они превращаются в равенства. Точнее, справедлив следующий результат.

Теорема 3.2. Пусть, как и ранее, А — оператор в Н о плотной областью определения, аВ<2 (//). Тогда

(А + В)* = А* + В*, (ВАУ = А*В*.(3.13)

Доказательство. Докажем первое из соотношений (3.13). В силу (3.10) достаточно убедиться, что (А + В)* = еА* + В*. Пусть g Е ® ((^ + В)*), т. е. ((4 + В) f, g^H = = (Л S^h с некоторым g4H (равным (4 + В)* g) для всех / Е ® (4 + В) = (4). Но ((4 + В) Л g)H = (Af, g)H + (L B*g^m поэтому предыдущее равенство дает

(Af. «L, - «А + В) L g)H - (f, B*g)H = (f, g* - B*g)H (f E ^ (4)).

Отсюда g E ® (4*), A*g = g* — B*g = (4 + B)* g — B*g и, значит, ( 4 + ВугА* + В*.

Второе из соотношений (3.13) следует из (3.11) и включения ( ВАУ s А*В*, которое мы сейчас докажем. Пусть gQ® ((ВА)*), т. е. (BAf, g)H = (f, g*)n с некоторым g*^H (равным (ВАУ g) для всех f Е ^ (В4) = ® (4). Но (BAf, gy = (Af, B*g')H, поэтому предыдущее равенство можно записать в виде

(Af, B*gLi = (BAf, g)H = (f, g*^ (f E ® U)).

Отсюда B*g^S>(A*L A*'B*g — g* — (BA)* g. Тем самым gE ES>(4*8*) =(g£H\ B*g£®\A*^ и (4*B*)g = (B4) * g. Таким образом, (ВАУ ^ А*В*. ■

Второй сопряженный оператор. Следующая теорема обобщает тривиальное для операторов А Е 2 (П) равенство (4*)* = А.

Теорема 3.3 (о втором сопряженном операторе). Пусть А —оператор в Н с плотной областью определения. Предположим, что А допускает замыкание. Тогда существует второй сопряженный (4*)* и справедливо равенство

(А*У = 4.(3.14)

Обратно, пусть 4 имеет плотную область определения и существует (4*)*. Тогда А допускает замыкание и верно (3.14).

Доказательство. Предположим сначала, что А замкнут! А = А. Тогда, согласно (3.6), Н ф Н = Гд. ф ОГд. Применяя

к этому равенству унитарный оператор О и пользуясь соотношением (р = — й (СМ. (1.6)), получим Н ®Н = ОГд. ф Гд. Отсюда

(ОГд.)1 = Гд, (3.15)

•г. е. это ортогональное дополнение является графиком некоторого оператора. Согласно лемме 3.2, ^(4*) плотна в Н и поэтому существует (4*)*. Поскольку 4* замкнут, то, согласно (3.6), Н ^Н = = Г(д.). ф ОГд., Сравнивая эту формулу с (3.15), заключаем, что Г(д.). = Гд. Отсюда следует (3.14) для замкнутого 4.

Пусть теперь 4 допускает замыкание 4. Применим доказанную часть теоремы, заменив в ней 4 на 4. Согласно (3.14), получим ((4)*)* = 4. Но (4)* = 4*, поэтому последнее равенство приводит к (3.14).

Докажем обратное утверждение теоремы: 2(4*)*=>замыкае- мость 4. Так как О — унитарный оператор в Н ф Н, то (ОГд)~ = = ОГд, и поэтому равенство (3.5) можно переписать в виде Н ф ф Н = Гд. ф ОГд. Применяя к этому равенству оператор О и пользуясь тем, что О2 = — Ц, найдем

Н^Н = ОГд.фГд. (3.16)

Кроме того, разложение (3.6), записанное для замкнутого оператора 4*, дает Н ф Н = Г(д.}* ф ОГд., В этом разложении и в (3.16) слагаемое ОГд. одинаковое, поэтому Гд = Г(д,).. Таким образом, замыкание графика оператора 4 является графиком, т. е. 4 замыкаем, у

ПРИМЕРЫ

Из теоремы 3.3 следует, что для оператора А, фигурирующего в при-, мере 2.2, второй сопряженный (А*)* не существует. Выясним, какова будет @ (А*). Равенство (3.2) сейчас означает, что (у/ С С ([а, 6])):

ьь

f («) ^ gW dx = J fWg* (x) dx(3.17)

aa

с некоторой g* g L2. Рассмотрим последовательность функций Д£С([а, 6]) (n^N) таких, чтобы (У«) :/„(«) = ! и \\fnV\L2~^® ПРИ п->оо. Заменяя в (3.17) f на fn и переходя к пределу, получаем, что (1, g)La =0. Но тогда из (3.17) следует, что (у/ $ С ([а, 61)): (/, g*^ = 0 и поэтому g* = 0. Таким образом, сейчас ^ (А*) неплотна в £2 и состоит из всех функций из £2, ортогональных к 1, а А* — нулевой оператор на такой ® (А*).

Нетрудно попять, как усовершенствовать пример 3.1 с тем, чтобы получить оператор А, для которого S’(А*) = (0). Как и в примерах 2.2 и 3.1, положим //=£2((а, 6)) = £а и зафиксируем некоторую тотальную в £2 последовательность функций (ср:)^!, ф; € С ([а, 6]), для которой ряд ^ IT/tol равномерно на [а, 6] сходится. Зафиксируем также последовательность (й/)/=1 370

точек а; € fa, b], плотную на [a, 6]. Положим a (A) = С ([a, 6]) и (A/)(x) =

= 5 / (a/^ Ф/ ^ W C ® M))- Этот РЯД равномерно сходится, поэтому А— кор- /=1

ректно определенный оператор в 1а с плотной областью определения. Равенство (3.2) сейчас подобно (3.17) означает, что (V/€C([a, ft])):

f (а/) ^ <Р/ (х) g(x) dx — ^f (х) g* (х) dx.(3.18)

/=1 aa

Зафиксируем / = /0 и рассмотрим последовательность равномерно ограниченных функций /„ € С (fa, 6]) (п 5 М) таких, чтобы (V»): fn (a/o) = 1 и /„ (х) = О при x^ajo—"п ’ ah т) • Вставляя tn в (3.18) вместо / и переходя к пределу при п —>оо, легко найдем, что (cppg)^^=0. В силу произвольности io € И, g = 0, т. е. а (Л*) = (0).

Для дифференциальных операторов, фигурирующих в конце § 2, сопряженный оператор, разумеется, существует. Однако выяснение характера его действия —достаточно сложная задача (так как g из (3.2) лишь входит в А2 и его гладкость априори нельзя предполагать). Ее мы коснемся в § XVI.2.

Теорема о замкнутом графике. К рассматриваемому сейчас кругу вопросов примыкает следующая важная теорема.

Теорема 3.4 (Банаха о замкнутом графике). Пусть в гильбертовом пространстве Н действует замкнутый оператор А, определенный на всем Н : ® (А) = Н. Тогда А обязательно ограничен..

Доказательство. Сперва докажем, что А* ограничен на & (А*) (он, разумеется, сейчас существует). Предположим противное. Тогда существует последовательность (g„)"al С S: (А*), 1|£п11н = 1 такая, что || A*gn ||„-^оо при п^-оо.

Рассмотрим Vngf^ функционалы

L (Г) = (/. A*gn^H ^ С НУ. || 1п || = || A*g„ ||н ^ оо. (3.19)

С другой стороны, в силу равенства (Af, g);/ = (/, A*g')ti (f£@(A) = = Н, gQ^AA*)) имеем: ln(/) = (Af, gn^H и поэтому |I„(/)|^ < II Af ||H = c (f £ H, n С №• В силу теоремы Банаха — Штейигауза (VII. 1) нормы ||/„|| ограничены по п. что противоречит (3.19).

Поскольку А замкнут, то в силу теоремы3.3 ® (А*) плотно в Н и поэтому А * £ $ (Н). В силу этой же теоремы

А = (Д*)* = (А*')*£2’(Иу ■

Таким образом, весьма часто встречающиеся неограниченные операторы (замкнутые или допускающие замыкание) не могут быть определены на всем Н — они должны иметь нетривиальные области определения. Об этом говорилось еще в § 1.

Замечание 3.2. Теорему Банаха о замкнутом графике можно вывести из теоремы Банаха об обратном операторе (теорема VIII. 3.4). Для этого на подпространстве Гдс^НфН определим оператор ГдЭ<Л Af)i->P^f, Af) = ft И. Это линейный непрерывный оператор, отображающий Гд на все Н взаимно однозначно. По теореме Банаха об обратном операторе существует обратный оператор Р^гН^Гд, являющийся линейным и непрерывным. Далее оператор P2<f, Af) = Af, действующий из Гд в Н, также линеен и непрерывен. Но тогда и А = Р^Р^ является линейным непрерывным оператором в Н.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть ^en)”_^ — ортонормированный базис в Н, (а,п)”_^ с © — фикси

рованная последовательность. Положим Ах = У, апхпеп для х € а (Л) = п=1

=л. о. ((еХ^). Найти А*.

a (А) = (х е taa (А) = (х е taНайти А* для следующих операторов, действующих в La ([О, 1]):

a (А) = (х е ta

a (А) = (х е ta

б) (Ах)(/) =б) (Ах)(/) =а) (Ах)(0=х(/2),

б) (Ах)(/) =

б) (Ах)(/) =

= tx^Y а (А) = с цо, 1]).

Найти сопряженные к операторам из упр. 2.6—2.8.

Пусть А — оператор дифференцирования (Ах) (/) = х' (Ц, заданный в La ([0, оо)) на: а) ^ = С” ([0, оо)); б) 0а = {х | х (0) = 0, Их' С La ([0, оо))}. Найти А*.

Найти сопряженный к оператору Лапласа Д = D± + ••• + DN, заданному в Ц (IR") на Со" (IR").

Пусть А плотно заданный линейный оператор в Н. Доказать, что ^ (А))1, = Кег А*. Верно ли соотношение (Кег А)1 = (^" (А*))~?

§ 4. ДЕФЕКТНЫЕ ЧИСЛА ОБЩИХ ОПЕРАТОРОВ

Рассмотрим некоторые конструкции для операторов, связанные с понятием обратимости.

Дефектные подпространства. Пусть в гильбертовом пространстве Н действует оператор А с некоторой областью определения S> (А) (возможно, и неплотной в Я; вместе с тем равенство ®(А) = Н и ограниченность А не исключаются). Точка 2^(0 называется точкой регулярного типа оператора А, если существует сг > 0 такое, что

ИИ-гИШ//»^! ЛЬ (/€®(Ж(4-1)

Обозначим (А — zHV= g, тогда (4.1) означает, что на 96 (А — z-fl) существует обратный оператор (А — zd)-1g, действующий в ^ (А) ЕЯ, и он непрерывен. В соответствии с определением в § VIII.8 точку г регулярного типа естественно назвать регуляр- 372

ной, если S? (Д — гЦ) = Н*, таким образом, точка регулярного типа — некоторое обобщение понятия регулярной точки.

Установим несколько простых фактов, касающихся точек регулярного типа.

. Для данного оператора А множество точек регулярного типа открыто.

В самом деле, пусть z0 — точка регулярного типа оператора А. Требуется доказать, что существует некоторая ее окрестность, состоящая из точек регулярного типа. Имеем для г £(£ и f£ ® (Д)

II И - 2Ц) f |[„ = || (Д - 2Д) / - (2 - 20) f [|н > || (Д - Z0H) f ([„ --|Z-Z0|||f||//>CzJ|niH-|Z-Z0|||f||// = (CZo-|2-20|)||ni//.

Отсюда для 2 из круга |2 —z0|<^ получаем: ||(А — гЦ)/|| > > -2?|| f ||н. Это означает, что каждое такое z является точкой регулярного типа. ■*

. Пусть А замкнут и точка z£([)— точка регулярного типа. Тогда 9$ (Д — г^ является подпространством im-е. замкнуто).

Действительно, пусть g.^^^A — гЦ) и при п->оо gn-^.g^H. Нужно доказать, что йС^(Л — гЦ). Рассмотрим /„^^(Д) такое, что (Д — гДИп — gn- Имеем Vn, m^W

II gn - gm II н = II ( A - г^ Un Чт) \\н > Сг II fn - fm ||„-

Отсюда следует, что последовательность (f„)”=1 фундаментальна. Пусть f = lim fn. Далее, Af„ = gn + zfn g -ф г/. В силу замкнутости A f£@>(A) и Af = g 4- zf, t. e. g^g?^A— 2Ц). g

. Пусть оператор А допускает замыкание А. Каждая точка 2 регулярного типа для оператора А является точкой регулярного типа и для Д, при этом справедливо равенство

Э?(А —z-fl.) = (.-%( А —гЦ))~. (4.2)

Действительно, г является точкой регулярного тина и для А — это непосредственно следует из определения Д путем предельного перехода в неравенстве (4.1). Так как As А и последний оператор замкнут, то, учитывая 2), ^(A — zH.)ss?(A — z4)=^(s?(A — — гЦ)ГЕ9?(А — г^.

Докажем обратное включение. Пусть g£9?(A — гЦ), g = (А — — zH)f UE® (А)). Согласно определению А, существует ^^Ч^ cz^(A) такая, что при п^-оо fn-^f и Afn->Af. Но тогда ^(Д —211)3 (Д —гЛ)/„-►§, поэтому g^^^A — 2-Ц))'. Таким образом, ^(Д —гЦ) с (^(Д —гЦ))~. ■

Пусть для рассматриваемого оператора А точка z ^ ([) является точкой регулярного типа. Подпространство Nz = И © ^ (А —

— zH)) = (^ И—гЦ))1 называется дефектным, подпространством оператора А, отвечающим г. Таким образом, можно написать разложение

Н = (4.3)

Если оператор А допускает замыкание или замкнут, то, согласно 3) и 2), разложение (4.3) можно переписать соответственно в виде

Я^Й-гЦ))®^, H-^A-z^N,. (4.4)

Опишем теперь дефектное подпространство несколько иным способом. Подобно сказанному в § VIII.8, будем говорить, что вектору является собственным для оператора В с областью определения ® (В), если 0 =£ <р g а (В) и Вф = Хф с некоторым X £ (£ — соответствующим собственным значением. Все собственные векторы, отвечающие данному собственному значению X, и О образуют линейное множество Ф (X). Если В замкнут, что легко видеть,то Ф (X) замкнуто; оно называется собственным подпространством, отвечающим X.

. Предположим, что А имеет плотную область определения и поэтому существует А*. Тогда дефектное подпространство N2 совпадает с собственным подпространством оператора А*, отвечающим собственному значению z.

В самом деле, пусть ф £ Nz, тогда (V/ G a (4)): ((4 — zfl) /, ф);/ = = 0=>(4/, ^н = (f, гф^^ФЕ^И*) и 4*ф = 5ф. Таким образом, Nz s Ф (г), где Ф (г) обозначает указанное собственное подпространство. Обратно, если 4*ф = гф, то (Vf (Е®(4)); (zf, ф)н = (f, A*^H = (Af, ф)„, откуда Ф±^(4 —г{[), т. е. Ф(г)£ДГ2. ■

Дефектные числа. Перейдем к формулировке основного результата параграфа. Пусть задан оператор А с некоторой (возможно, и неплотной) областью определения a (4), г — его точка регулярного типа. При изменении г дефектное подпространство N. будет, разумеется, изменяться. Однако замечательным обстоятельством является неизменность его размерности dim Nz (под dim М2 понимается обычная размерность, если Nz конечномерно, и оо в противном случае). Точнее, справедлива следующая теорема

Теорема 4.1 (Красносельского — Крейна). Пусть А — замкнутый оператор в Н, тогда nz= dim Nz остается постоянной при изменении z в связной компоненте множества точек г регулярного типа оператора А. Таким образом, каждой такой компоненте G можно сопоставить фиксированное число п2, где z^G. Это число называется дефектным числом оператора А (в компоненте G).

Доказательство. Прежде всего локализуем задачу. Несколько ниже будет показано, что для каждой точки z0 регулярного типа существует ее окрестность U (zo), состоящая из точек регулярного типа и такая, что (Vz £ U (z0)): dim Nz = dim NZo. Этого будет достаточно для доказательства теоремы. В самом деле, пусть zlf za £ G, где G — связная компонента открытого множества точек регулярного типа. Соединим гг и z2 замкнутой спрямляемой кривой

у сз G. Для каждой точки г^ч рассмотрим окрестность U (z) s G, существующую в силу нашего предположения, и из покрытия у этими окрестностями выберем конечное покрытие. Для z из каждой такой окрестности dim Nz сохраняется. Двигаясь шаг за шагом от точки zt к za, получим, что dim Nz, = dim VZa.

Перейдем к основной части доказательства — нахождению требуемой окрестности U ^. Предположим противное. Тогда найдется такая последовательность (г„)“„л точек zn регулярного типа, что Нтгп = г0 и вместе с тем dim ЛДп=^1тАД0 («ЕМ)- Здесь возможны две ситуации:

Из последовательности (z„)“„i можно выбрать такую ее подпоследовательность, которую мы по-прежнему обозначим (z„)”=1, что dimN <dimN2„ (и ЕМ);

(V/jE^H dimA0> dimA0

Рассмотрим сначала случай а). Обозначим через Pnz; (ортогональный) проектор на подпространство N2o. Соответствующий образ PN2NZn таков, что dim(P^/VZn) с dim NZn < dim Nz, (при проектировании размерность подпространства не может увеличиться). Поэтому можно выбрать 0^= gnЕNz„QPNz М2п («ЕМ)-

Нетрудно попять, что gn 1 N,n\ пусть ° h Е N,- и /i = /i1-|-/i3 (/i, - PnzJi) — разложение этого вектора при проектировании Pnz. Тогда (g„, h)„ (gn, к^и -|- (gn, h^,, = 0, так как первое слагаемое обращается в 0 ввиду того, что gn Е WZo 0 PNz N,n, а к E N?n, а второе — так как ha ± Nz„.

Для замкнутого А справедливо разложение вида (4.4) (вторая формула):

H = ^<A-zn^^NZn («ЕМ)-(4.5)

Так как gn ± NZn, то в соответствии с (4.5) gne^(A-znm т. е. можно написать: Af^^A), fn^G, такое, что gn = (А —гД) fn. Умножая Д, на скаляр, можем считать, что ||f„||H=l. Кроме того, g,,^Nz,, поэтому gn 1 эг^А— гД), в частности ^П±(Л — — гД) Дг Таким образом, можно написать

((Л-гД)Д,, (Л-гД)/„)„ = () (НЕМ). (4.6)

Левую часть (4.6) преобразуем следующим образом:

0 = (И - гп^ L, (А - гД) fn)H = ((Л - гД) fn - (zn - za) $п,(А -гД) fn)H = || (А -гД) fX-<4- 2о)(/„, (Л - гХ1.^Н’

откуда

НИ —2Д)/Д^<|гп —z0||(fn, (Л — zoiflL)/„)^ | < | z„ — z0| х .

х || L Ни || (A - гД) fn цн, || (Л - гД) fn ||н < | гп - z011| Д, ||н(|1/Лл= 1. «ем).

Поскольку при и->оо zn^-z0, то последнее неравенство противоречит тому, что z0— точка регулярного типа для А.

Случай б) рассматривается аналогично. Рассмотрим проектор Pnz уже на подпространство Nln, тогда dim(Pyv2 Nz^ с dim/ф < < dim Nz . Выберем 0 ^ gn £ Nz A PN, NZo, как и ранее, gn ± N^ («€И). Воспользуемся разложением Н=^^А— 2011))фЛф. Поскольку g(l^^(A— z^), то найдется fn£@(A) такое, что gn = = (Л — z0 j.) fn) при этом можно считать || f„ Цн = 1 (и £ И). Кроме того, gn С N2ft, поэтому gn ± ^ (Л — г„й). и, в частности, gn J. Л (Л — гпЦ)/п. Соотношение (4.6) приобретает вид

((Л - гД) /„, (Л - гД) ^н = 0, || /„ ||„ =1 (ПСИ).

Из него приходим к противоречию точно так же, как и в случае а) из (4.6).■

Замечание 4.1. Теорема 4.1 сохраняется в той же формулировке и для операторов А, допускающих замыкание. Точнее, в 3) мы убедились, что если точка г— регулярного типа для А, то она будет такой же и для А, причем справедливо равенство (4.2). Из этого равенства следует, что дефектные подпространства Nz для А и А совпадают, у них одинаковые связные компоненты множества точек регулярного типа и одинаковые соответствующие дефектные числа.

Замечание 4.2. Под dim Nz выше можно было бы понимать размерность подпространства Nz и в смысле § VII.10, т.е. как мощность ортонормированного базиса в этом подпространстве. При этом теорема 4.1 сохраняется, а ее доказательство лишь слегка усложняется. Разумеется, что замечание имеет смысл только для несепарабельных пространств.

Отметим также, что теорема 4.1 остается справедливой и для незамыкаемых операторов (на доказательстве мы не останавливаемся).

§ 5. ЭРМИТОВЫ И САМОСОПРЯЖЕННЫЕ

ОПЕРАТОРЫ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Как мы уже видели в гл. VIII, X, среди ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве Н, весьма важную роль играют самосопряженные операторы, т. е. такие операторы А, для которых (Л/, g)H = (f,Ag)H (f,g<zH), или, иными словами, А* — А. В случае неограниченных операторов подобные операторы играют столь же важную (если не большую) роль. Однако при соответствующем обобщении возникают уже два класса операторов в зависимости от того, какое из двух выписанных равенств принять за основу.

Понятие эрмитова оператора. Итак, пусть А — некоторый оператор в Н с плотной областью определения. Такой оператор называется эрмитовым, если справедливо равенство

(Af, g)H = (f, Ag)H V, g^®W (5.1)

Оператор А с плотной областью определения называется самосопряженным, если

4* = А.(5.2)

Пусть А эрмитов, т. е. выполняется (5.1). Эго равенство означает, что g входит в ® (4*) и A*g = Ag, т. е. A = 4*. Из последнего включения, разумеется, следует и (5.1). Итак, в случае А е плотной областью определения эрмитовость эквивалентна включению

А е 4*,(5.3)

а самосопряженность — равенству (5.2). Отметим, что именно на са- ■ мосопряженные операторы переносится теория спектральных разложений, которая излагалась в гл. X, теория более общих эрмитовых операторов значительно беднее. (Заметим также, что эрмитовость можно определить посредством (5.1) и в случае неплотной области определения, однако такие операторы мы изучать почти не будем).

Эрмитов оператор 4 всегда допускает замыкание — это следует из включения (5.3) и замкнутости А* (см. замечание 2.2). Его замыкание 4 также эрмитово: А г А*=>АеА* = 4* = (4)*, т. е. (5.3) выполнено.

Еще одно полезное определение — оператор А называется существенно самосопряженным (или в существенном самосопряженным), если его замыкание 4 самосопряжено.

Лемма 5.1. Любое г £ (C\IR является точкой регулярного типа для произвольного эрмитова оператора.;

Доказательство. Имеем Vf б ^(4) и г = х 4- iy (х, y^lR)

■ IIИ - ^ (I& = ((Д - ХД) f - iyf, (4 - хД) f - iyh„ =

'=11И-я11№+W-хШ nH-iy(f, (4-хД)^ +

+ У21№>(/21№(5.4)

(мы воспользовались эрмитовостыо оператора А — x-fl,). Из (5.4) следует

||(Д-2И№:>|1тгПШ1/,(5.5)

е. выполняется (4.1) с cz = |Imz|. ■

Таким образом, у эрмитова оператора имеются две связные компоненты множества точек регулярного типа: верхняя и нижняя полуплоскости. Согласно теореме 4.1, им отвечают дефектные числа т — dim N. (Im г > 0) и п = dim Nг (Im z <0); пара_(т, и) называется индексом дефекта оператора 4. Разумеется, 4 и 4 имеют одинаковые индексы дефекта.

Как и в случае ограниченных операторов, легко доказывается, что собственное значение эрмитова оператора всегда вещественно.

В самом деле, если Д эрмитов и при некотором 0#=ф£^(Д) Дф^Хф, то Мф, Ф)д = (Дф, ф)д = (ф, Дф)д = Х(ф, ф)^, откуда W ■

Критерий самосопряженности оператора. Справедлив следующий критерий самосопряженности оператора.

Теорема 5.1. Замкнутый эрмитов оператор самосопряжен тогда и только тогда, когдаего дефектные числа равны нулю; т = п = 0. Иными словами, эрмитов оператор Д самосопряжен, если при некоторых zv z2 £ (0, где Im z2 < 0, Imz, > 0, справедливы равенства

5? (Д — 2^) = Н, 91 (Д — z2H) = Н. (5.6)

Обратно, если Д самосопряжен, то равенства (5.6) имеют место для произвольных указанных г±, z2.

Доказательство. Необходимость. Пусть А = А*, требуется доказать, hto(Vz g (0\IR): N2 ={0}. Однако, в силу утверждения 4) из § 4 N2 совпадает с собственным подпространством оператора А*, отвечающим невещественному собственному значению г. Предположение N2 ^ {0} противоречит только что установленной вещественности собственных значений эрмитова оператора.

Достаточность. Докажем, что А* с А. Отсюда и из (5.3) будет следовать требуемое равенство Д* = А. Зафиксируем z€(p\|R, так как т = п = 0, то N^ = N- = {0}. Пусть §£^(Д*), тогда (Л* — z^DgrGT/ и в силу равенства Nz = {0} 3/£^(Д) такое, что (Д — гЦ) / = (Д* — z-fl.) g. Но Д с А*, поэтому Д/=Д*/ и последнее равенство можно переписать в виде (А*— г^.)/ = (Д*— гД) g или

Д*(/-5) = гД-5). (5.7)

Равенство (5.7) означает, что/— g—собственный вектор оператора Д*, отвечающий г. Согласно утверждения 4) из §4 / —g^ £NZ = {0}, откуда g = f £ ® (А). Итак, ^(Д*) s 9 (Д), откуда A* s А.

Осталось доказать последнюю часть теоремы, относящуюся к равенствам (5.6). Она является перефразировкой ее первой части, если только установить, что наличие хотя бы одного из соотношений (5.6) влечет замкнутость А. Это легко доказать непосредственно, но можно воспользоваться и теоремой 1.1. В самом деле, например, первое равенство (5.6) означает, что существует ограниченный определенный на всем Н (и поэтому замкнутый) оператор (Д —z^)-1. Тогда, согласно (1.7), график Гд_2 = ^Г z^)-t замкнут, т. е. оператор А — г^, а вместе с ним и оператор А замкнуты. ■

Следствие 5.1. Пусть А—эрмитов, вообще говоря, незамкнутый оператор. Если его дефектные числа равны нулю, то А существенно самосопряжен.

Полуограниченные операторы. Если для эрмитова оператора А известно, что на вещественной оси лежит по крайней мере одна точка регулярного типа, то множество всех точек регулярного типа у А становится связным и поэтому его дефектные числа равны!

т = п (заметим, что это — лишь достаточное условие их равенства). Существует важный класс подобных эрмитовых операторов — это полуограниченные операторы.

Пусть А — некоторый оператор с плотной областью определения ^ (Л), для которого J а £ 1R такое, что

(Af, hH>a\\f\VH кК®№ (5.8)

Такой оператор называется полуограниченным (снизу), а число а — его вершиной (а, разумеется, по А определяется неоднозначно). Аналогично определяется полуограничеиный сверху оператор — неравенство в (5.8) должно быть противоположным. Если А полу- ограничен, то — А полуограничен сверху. Полуограничеиный оператор с вершиной а = 0называется неотрицательным (ср. § VII 1.5, п. 3).

Из вещественности (Af, /)//и поляризационной формулы следует, что (Af, g)H = (/, Ag)H (hg£® (А)), т. e. A — эрмитов (по поводу этого равенства см. § VIII.5; в § XIV. 8 при изучении билинейных форм мы еще раз остановимся на этих вопросах). Если А полусгра- ничен и допускает замыкание А, то ясно, что А также полуограничен с прежней вершиной.

Лемма 5.2. Пусть А — полуограничеиный оператор с вершиной а £ R. Любое z g IR \ [а, + оо) является для него точкой регулярного типа.

Доказательство. Положив е = а — г>О, Nf^®(A\ имеем

II (А - гй) / ||^ = ((А - ай) f + е/, (А - ай) / + ^п =

= 11 (А-аД)/НИ 8(И-ай)Л Ьн + Щ. (А~ай)Пн +4-е211/ПИ 82II/11^.

Здесь мы воспользовались тем, что (5.8) эквивалентно неравенству ((А - ай) f, f) = (Л (А - ай) Пн > 0- ■

Теорема5.2. Пусть А —замкнутый полуограничеиный оператор с вершиной а £ П(. Он имеет равные дефектные числа. Для его самосопряженности достаточно, чтобы при некотором z £ (£ \[а, + оо) имело место равенство

^(А — г^ = Н. (5.9)

Доказательство. Равенство дефектных чисел т, п следует из леммы 5.2, из нее же и леммы 5.1 вытекает, что каждое z ^ (D \ 1а, +оо) является точкой регулярного типа. Поэтому (5.9) эквивалентно равенству т = п = 0, далее применяем теорему 5Л. ■

Пусть оператор А = А*. Напомним, что точка z£ (Б называется его регулярной точкой, если существует ограниченный обратный оператор Rz = (А — гй) "1. определенный на всем Н,— резольвента А. Таким образом, точка z— регулярная, если она регулярного типа и я (А — гй) = И. Как и в случае ограниченных операторов легко доказывается, что множество регулярных точек открыто в (С

и для любых двух таких точек г, £ справедливо тождество Гильберта

Rz-R.-^-^R^.Rz-R.-^-^R^.(5.10)(5.10)

Rz-R.-^-^R^.

Rz-R.-^-^R^.

(5.10)

(5.10)

Для доказательства нужно повторить выкладки § VIIL8.

Спектром самосопряженного оператора А называется дополнение в (С к его множеству регулярных точек. Таким образом, спектр 5(Л)— замкнутое, вообще говоря, неограниченное множество, расположенное на вещественной оси.Если оператор А дополнительно полуограничен с вершиной а, то S (Д) с [а, + оо) (см. леммы 5.1 и 5.2).

ПРИМЕРЫ

L Пусть G е IR^—ограниченная или нет область, фигурировавшая в § 2, Н = L2 (G) = L2, S —дифференциальное выражение (2.5) с коэффициентами аа £(О). Если S’ формально самосопряженное, т. е. S’* = S',

то минимальный оператор L, отвечающий S’, эрмитов. Действительно, для оператора U (см. (2.10)) это непосредственно следует из (2.7). Далее нужно вспомнить, что L = U. В частности, эрмитовым будет оператор Шредингера — минимальный оператор, порожденный выражением (2.9).

Вместе с тем этот оператор U как правило, не будет самосопряженным. Выяснение условий его самосопряженности пли самосопряженности его расширений (задаваемых теми или другими граничными условиями на dG^— сложная и вместе с тем весьма важная задача. О ней будет идти речь в § XVI.4. Сейчас мы лишь ограничимся приведением следующего примера.

Пусть б — ограниченная область в IRV и S’— S’4" — формально самосопряженное, отличное от тождественного 0, выражение (2.5) с постоянными коэффициентами аа. Тогда отвечающий ему минимальный оператор L будет эрмитовым, но не самосопряженным (заметим, что условие формальной самосопряженности сейчас выглядит так: (Va : ■ а | <: г) : ^а (—1)' а ^а, т. е. коэффициент аа вещественен, когда |а| четно, и чисто мнимый, когда |а| нечетно, см. (2.8)).

В самом деле, рассмотрим экспоненту IR^ Э х = (хп ... , д^)!-^ ф (х) = = exp (х, уК^ б ©» где £ = (у, . ., , ^) £ ©^ — заданный вектор. Так как G ограничена, то (УЙ<0^ф££2, Вместе с тем интегрированием по частям для /G^oW и zG©\R получаем'

((!'-?£)/. ф)£, = ((^ - ?Ц) /, Ф)£е = (А (Я'-И)фк.(5.11)

Но

(^ехр(., OIRNHx) = 2’K)exp(x, Q N.(5.12)

^ п = £ аАа к” = ?Г*... ^aNN\ ^\rn, и с").

|а|<гN

Поэтому если £ удовлетворяет уравнению S’[y = z, то (S’ — гЦ)ф = 0 и из (5.11) следует, что (I — zil) = (^ (L' — zfl))" неплотно в Ц, Поскольку S^ 0, то 21?€ ©^ такое, что Im (S’[£])=# 0. Положим z = S’ [£] € ©\IR, тогда Nz + {0} и оператор L несамосопряжен.

Это рассуждение ие проходит, если G неограничена (вообще говоря, теперь ф ^ La). Более того, если G = IR^, то позже будет доказано, что L всегда самосопряжен (см. § XVI.4).

В заключение отметим, что иногда применяется другая терминология для обозначения рассмотренных классов операторов. Так, эрмитовы операторы называют симметрическими, а самосопряженные— гипермаксимальными или эрмитовыми.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Л, В— эрмитовы операторы с общей областью определения ^, а, р £ IR. Доказать, что оператор аЛ -|- рВ эрмитов.-

Пусть Л — эрмитов оператор с областью значений ^ (Л), плотной в Н. Доказать, что: а) существует алгебраический обратный Л-1; б) оператор Л-1 эрмитов.

Являются ли эрмитовыми операторы из упр. 2.6, 2.7? Найти необходимые и достаточные условия эрмитовости операторов из упр. 2.8, 3.1.

Пусть Л — эрмитов оператор, (т, и) — его индекс дефекта. Доказать следующие утверждения: а) если т = 0, п > 0, то S (Л) — {z g g©|ImzcO}; 6) если т > 0, п = 0, то S (Л) = {г g С jlm г > 0}; в) если т > 0, /г > 0, то S (Л) = С.

Найти индекс дефекта: а) операторов из упр. 2.7; б) оператора (Лх) (/) = = Zx'(/), заданного в L2 ([0, оо)) на областях и ^2 из упр. 3.4; в) оператора из б), заданного в В2 ((— do, 0]) на С^ ((—оо, 0]).

Пусть Лп — эрмитов оператор в II п с областью определения ^ (Лл), Рассмотрим в ф Нп на области ^ векторов х — (хх, х2, .. .), где хп g п=1

g^0n) и все, кроме конечного числа, хп равны нулю. Доказать, что: a) one- ратор Л= V Ап на ^ (Л) = ^ эрмитов в ^; б) его дефектные числа т —

оооо

= V mfe, п = £ п^, где (т^., п^ — индекс дефекта Ак ^к^Ну fe=lfe=l

Используя результаты упр. 5.5 и 5.6, построить эрмитов оператор с любыми заданными дефектными числами т, п £ ^+.

Пусть А — эрмитов оператор. Показать, что следующие условия эквивалентны: 1) Л в существенном самосопряжен; 2) А* не имеет невещественных собственных значений; 3) (Vz g C\iR) : (^7 (Л— zH))' = Н; 4) (3?i'. : Im Zi > 0) (Hz2: Im z2 < 0): (3? И - Zifl))~= № (A — z2H))~ = H.

Являются ли: а) в существенном самосопряженными; б) самосопряженными операторы из упр. 2.6, 2.7, 5.5, б), в), 3.5?

Пусть выполняются условия эрмитовости операторов из упр. 2.8, 3.1 (см‘ упр. 5.3). Являются ли эти операторы: а) в существенном самосопряженными; б) самосопряженными?

Установить критерий существенной самосопряженности полуогра- ниченного оператора.

Пусть Л1( Д2 — операторы умножения на t в L2 (IR) с областями определения ^ (Л^, ^ (Л2). Известно, что Лп Л2 — в существенном самосопряжены, Возможно ли, что 0 (Лх) П (Л2) = {0}?

Найти два плотных в L2 (IR) линейных подмножества S^ и ^2, ^х р $.г = {0} такие, что оператор умножения па I в существенном самосопряжен па ^, а оператор умножения на /2 в существенном самосопряжен на .^2-

5.14. Пусть А — эрмитов оператор с областью определения ^ (Л). Пусть 95у^ 0 (Л) — плотное линейное подмножество в Н. Предположим, что оператор Лх = A f S)x в существенном самосопряжен. Доказать, что А также в существенном самосопряжен и Л = Av

§ 6. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЭЛИ

Дефектные числа изометрических операторов. Изометрические и унитарные операторы мы уже рассматривали в § VIII.5. Сейчас приведем некоторые дополнительные факты и установим связь с эрмитовыми и самосопряженными операторами. Как и ранее, все фигурирующие ниже операторы будут действовать в одном гильбертовом пространстве Н.

Оператор U, действующий из подпространства @кЩ г Н в подпространство 5? ((/) s Н называется изометрическим, если

ФЬ и^н = у, ^н у, gWuy(6.1)

Такой оператор называется унитарным, если @ ф) = a ф} = Н.

Подчеркнем, что изометрический оператор U обязательно непрерывен, поэтому рассматривать его на незамкнутом линейном множестве ® ф) особого смысла не имеет — путем замыкания по непрерывности всегда можно перейти к рассмотрению О на (^ фуу = — ® Фу Итак, у нас всегда © ((7), ^ ((7) — подпространства и U замкнут. Далее, напомним (см. § VIII.5), что для справедливости (6.1) достаточно это равенство требовать при g = f £ ® фу т. е. требовать сохранения нормы.

Выясним, где с гарантией будут лежать точки регулярного типа для изометрического оператора.

Лемма 6.1. Любое z ^ (С, |z| у= 1 является точкой регулярного типа изометрического оператора.

Доказательство. Пусть (7 — изометрический оператор, |г|< 1. Тогда

ll^-zdDHU^ Wf\\H-\ гПШ1я = (1-|г|)|Ш1/г

Аналогично при [ г [ > 1

II Ф - z£) / Ц„ > | г 11| / ||„ -1| Щ ||H = (| г |- 1) || f ||„. B

Таким образом, у изометрического оператора, как и у эрмитова, также имеются две связные компоненты множества точек регулярного типа: {? £ (С 1121 > 1} и {z С (D 11 г | < 1}. Им согласно теореме 4.1 отвечают дефектные числа соответственно т и п; (т, п) — индекс дефекта оператора (7.

Справедлив следующий результат, подобный теореме 5.1.

Теорема 6.1. Изометрический оператор U унитарен тогда и только тогда, когда его дефектные числа равны нулю1, т = п = 0.

Доказательство. Оно непосредственно вытекает из двух следующих полезных формул:

т = й\тф ^@ф)У n = 4\m(H9^(U)).(6.2)

Вторая из них очевидна: n = dimjV2 при |г|<1, в частности, n = dimvV0, Na = Н Q Жф).

Для доказательства первой рассмотрим оператор U"\ где ^(Д-1) = ^=(Z7) и ^(U-1) = a(U). Этот оператор, разумеется, существует и является изометрическим. Пусть nj —его второе дефектное число, тогда согласно второй из формул (6.2), примененной к U-1, можем написать (Vz £ (£): | z | < 1:

dim (Н Q9KU~l — ?{()) = пх = dim (Я @S> ((/)).

Осталось убедиться, что 5? (U-1 — z^Q) = ^ (Я — г-1Л) (0 < I г |< < 1). Имеем

a ^U"1 — г^ = ( У"1 — гЦ) ^ (Я*1) = (Я"1 — z Д) я (Я) =

= (д _ ?Я) а (Я) = (U — г~Ч1) ^ (Я) = ^ (Я — г-1^). ■

Прямое преобразование Кэли. Из сказанного в § 5 и изложенного выше просматривается аналогия между эрмитовыми и самосопряженными операторами, с одной стороны, и изометрическими и унитарными — с другой. Она не случайна. Существует некоторое преобразование — преобразование Кэли, переводящие соответствующие классы друг в друга. Перейдем к его изложению.

В тривиальном случае одномерного Н линейными операторами являются операторы умножения на комплексные числа. Сейчас преобразование Кэли — классическое дробно-линейное преобразование переменных яви, задающееся формулой (z £ (C\1R фиксировано)-.

(6.3)

Отображение (6.3) переводит Rb единичную окружность. Аналогом вещественных чисел служат эрмитовы операторы, а чисел на единичной окружности — изометрические. Поэтому можно ожидать переход классов операторов § 5 в классы операторов § 6 посредством соответствующего обобщения (6.3) (отметим, что такое обобщение .хорошо известно в теории матриц).

Итак, пусть Н — гильбертово пространство, А— замкнутый эрмитов оператор в Н с областью определения а (А), возможно, и неплотной в Н. Зафиксируем z £ (С, Im z > 0.

Рассмотрим вектор g g ^ (А — zfl), он имеет вид g = (А — zfl) f, где f £ а (А). Построим отображение g i-* (А — z£) / = Ug. Такое определение корректно, так как вектор f nog определяется однозначно благодаря оценке (5.5). Ясно также, что U — линейный оператор с областью определения ^ (А—гД) и областью значений Я (А — г£). Мы имеем формулы

g = (A-zflV, (/g = (A-zfl)f (f€^(A));(6.4)

@^ =— г£), 91^ = 9(А—?й).(6.5)

Конечно, вместо (6.4) можно было бы написать более компактную формулу, подобную (6.3):

Ug = ^A-zMA-z^g.(6.6)

Однако она менее удобна, так как нужно оговаривать, в каком смысле существует обратный оператор и следить за областями определения.

Оператор U называется преобразованием Кэли оператора А.

Установим его простые свойства.

. Преобразование Кэли замкнутого эрмитова оператора является изометрическим оператором.

В самом деле, из (6.4) следует: (УД, ДЕ^(Д)): №1. ^И = ((Д - ?й) Л, (Д - 21) Un = = (Д/i, Afa^H — 2(ДД, /2)z/ г(/п ДЛгД + I г I2 (/1, ^н*

tei, ^h = ^A-^U М-21ШЯ = МЛ, М^-— 2(ДД, /з)н 2 (Д, ДД)# Д j 2 |~ (Д, Ъ)н’

В силу эрмитовост и А правые части в этих равенствах совпадают, поэтому (Ug^ Ug^ = (g„ gJlg» g2c^(^))- ■

. Пусть m(A), n(A) и m(U), n(U) — дефектные числа операторов A и U соответственно. Тогда

т(А) = m(U), п(А) — n(U).(6.7)

Действительно, эти формулы вытекают из сравнения равенств (6.2) и (6.5) (напомним, что Im z > 0). ■

. Преобразование Кэли самосопряженного оператора является унитарным оператором.

Этот факт — следствие формул (6.7). ■

. Пусть В => А — замкнутое эрмитово расширение оператора А, тогда его преобразование Кэли V является изометрическим расширением оператора U.

Действительно, этот факт — непосредственное следствие формул (6.4) и 1). ■

3. Обратное преобразование Кэли. Рассмотрим теперь обратное преобразование Кэли. Для этого выразим из формул (6.4) оператор А через U. Вычитая из второго равенства в (6.4) первое, получим

((7—Dg = (z —z)/ (^(Д)).(6.8)

Далее, умножая второе (первое) равенство в (6.4) на z (z) и опять вычитая, получим

tU-2^g = t-^At У^®№(6.9)

Равенства (6.8) и (6.9) перепишем в виде

f--Ц^-Ц)^ Aj = _L__(ZU-z^g.(6.Ю)

г —z2—2

Предположим теперь, что имеется изометрический оператор U, действующий в Н. Тогда на векторах / вида / = (г — г)-1(у — l)g, где g£@(U), определим оператор А, полагая Д/= (г— грДгС/—

— zfl) g. Это определение будет корректным и приведет к линейному оператору Л, если

Ker(t/— fl) = {0}.(6.11)

Условие (6.11) будем предполагать выполненным. Построенный оператор Л называется обратным преобразованием Кэли оператора U, при этом

^(Л) = ^((/—fl), ^M) = ^(z[/ —zfl). (6Л2)

Опять на несколько формальном уровне оператор Л можно выразить через U посредством формулы типа (6.6) и являющейся ее обращением:

Af -(zU-z^(U-^K(6.13)

Отметим некоторые свойства обратного преобразования Кэли.

. Обратное преобразование Кэли изометрического оператора является замкнутым эрмитовым оператором.

В самом деле, из (6.10) вытекает 03 gA, g^ay^

(^fi> 1 а)н = (2_ 2 ^^^ Sv 2 ■ (^ Ф §^н ”

~ । 2 _ 214 (z ^21» Ug^Hz (Ugv g^Hz (gv Ug2)H + z (gi, §2)h)>

(fv A^H = (^_ ({/ - fl) gv ^zU- z^ g2)H =

= \ 2_"z^^gv ^S^H z(Ugx, g^n z(gv (7ga) + z (gn g2)H).

Из этих двух равенств в силу изометрии U следует, что (ЛА, fAH = — (fi. Af2)H (fi* fs^^fA)), т. e. А эрмитов.

Этот оператор замкнут: пусть (f„)”=v fn£®(A) = ^(U — fl) такова, что при п->оо fn-*f и A{n-*h. Имеем f„ = (z~z)-ix X VU — fl) g„, Af„ = (z — z)-1 (zU — zfl) g„, где gn 5 a (LT). Находя отсюда gn, в соответствии с (6.4) имеем gn = (Л — zfl) fn, Ugn = = (Л —zfl)/n. Переходя здесь к пределу, получим: 3g = limgn = = h — zj, Ug = h — zf, причем g^SOU\ (так как ®ДД замкнута). Выражая из последних двух уравнений f и h через g, придем к формулам (6.10), в которых Л/ заменено на Zi. Но это и означает, что / £^(Л) и h = Л/. Я

. Дефектные числа операторов U и А связаны прежними равенствами (6.7).

В самом деле, из (6.10) следует, что (Л — zfl) / = g и (Л — — zfl)f — Ug, поэтому а (Л — zfl) = & ((/) И а (A —zfl) = S? ((7). Отсюда и из равенств (6.2) следует (6.7) (напомним, что Im z > 0). я

. Обратное преобразование Кэли унитарного оператора является самосопряженным оператором, если только дополнительно известно, что ^(А) = 9?(U— fl) плотна в Н.

Это следствие формул (6.7). Плотность ® (Л) в Н, необходимую для существования Л*, нужно предполагать, я

Справедливо, разумеется, и утверждение, подобное 4): V 3 (/=* =* В а А. Однако при этом для изометрического оператора V нужно требовать выполнение условия (6.11). Поскольку мы будем иметь дело лишь с плотно заданными эрмитовыми операторами, то удобнее воспользоваться следующей леммой.

Лемма 6.2. Если g?(U — fl) плотно в Н, то Ker (U — fl) = {0}. Доказательство. Пусть h С Ker (U — fl), т. е. Uh = h.\h.<^ Тогда VgC®(^) в силу изометричности U имеем

№ — fl)g, ^H = kUg, ^н — ^ ^н = ^и§' и^н — и> А)н = °-

Так как (Я (U —- fl))~ = Н, то отсюда следует, что h = 0. ■ Теперь аналог 4) удобно сформулировать следующим образом. 8). Пусть V 3 U — изометрическое расширение изометрического оператора U, для которого ^{U—fl) плотна в Н. Тогда для V существует обратное преобразование Кэли В, являющееся замкнутым эрмитовым расширением замкнутого эрмитова оператора А.

В самом деле, согласно лемме 6.2 для U выполнено условие (6.11) и поэтому А можно построить. Но V з U, поэтому 5?(К—fl)3 з^?(Д—fl) также плотно в Н и опять согласно этой лемме можно построить и В. Соотношение В г А следует из (6.12) и 5).И

Наконец, сопоставляя конструкции (6.4), (6.10) прямого и обратного преобразований Кэли, приходим к следующему заключению.

. Построим по А его преобразование Кэли U и затем по U построим обратное преобразование Кэли, в результате получим А ; A \-*U I-* А. Аналогично Ui-*A i->- U.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти преобразование Кэли операторов из упр. 2.6.

Предположим, что выполнены условия эрмнтовости операторов из упр. 2.8, 3.1 (см. упр. 5.3). Найти преобразование Кэли этих операторов.

6.3. Пусть U — унитарный оператор, действующий в пространстве /2 последовательностей (х^)^_,_0О по правилу ((/х)^ = ха_1 ^h^Z). Найти обратное преобразование Кэли оператора U.

§ 7. ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ ЭРМИТОВЫХ ОПЕРАТОРОВ

ДО САМОСОПРЯЖЕННЫХ

В следующей главе мы убедимся, что обобщение важной теории разложения по собственным векторам самосопряженных компактных операторов (см. § X. 1) справедливо именно для самосопряженных, а не для эрмитовых операторов. В связи с этим возникает вопрос о возможности расширения данного эрмитова оператора до са-

мосопряженного. Для минимального оператора, порожденного формально самосопряженным дифференциальным выражением 3? (см. примеры 5.1, 5.2), этот вопрос будет сводиться, грубо говоря, к заданию оператора посредством формулы (2.10), но не на финитных функциях, а на большем запасе функций, удовлетворяющих на границе dG определенным однородным граничным условиям.

Конструкция расширения. Построение теории расширения эрмитовых операторов будет сведено посредством развитого в § 6 преобразования Кэли к теории расширения изометрических операторов, выглядящей геометрически очень простой.

Ниже под дефектными числами т, п оператора, действующего в гильбертовом пространстве Н, будут пониматься числа 0,1, ... или оо (см. § 4). Такое соглашение вполне достаточно, если Н сепарабельно. Для общих Н т, п будут уже кардинальными числами (см. замечание 4.2). Излагаемые ниже факты и в этом случае сохраняются, а их доказательства нужно лишь модернизировать в духе сказанного в § VII. 10.

Теорема 7.1. Пусть U — изометрический оператор в Н с областями определения и значений @(U)u 32 (U) и дефектными числами т = dim (HQ@>(U^> 0 и п = dim (Н Q 32 (U)) > 0. Зафиксируем k с min (т, п), выберем два подпространства F^HQ Q^(U) и G с И б) 9Ц11) каждое размерности k и построим некоторый изометрический оператор IV, действующий из всего F во все G, т. е. ® (IV) = F, 32 (IV) = G. Ортогональная сум- MaV = UFW, ^(Е) = ^((/)®^(Г), ^(V) = ^((/)0^(IV) будет изометрическим расширением оператора U. Всевозможные изометрические расширения этого оператора получаются указанной процедурой посредством перебора всевозможных к, F, G и W.

Доказательство. Оно непосредственно вытекает из понятия и свойств ортогональной суммы подпространств (см. § VII.9) и определений расширения оператора и его изометричности. ■

Следствие 7.1. Если, по крайней мере, одно из дефектных чисел т, п оператора U равно пулю, то этот оператор не допускает нетривиальных изометрических расширений.

Следствие 7.2. Для того чтобы оператор U имел унитарные расширения, необходимо и достаточно, чтобы его дефектные числа были равны: т = п. Для получения унитарного расширения нужно положить F = Н Q ® ((7), G — Н Q 32 (0 и взять некоторый изометрический оператор IV с ® (IV) = F, 32 (IV) = G.

В случае, если одно из чисел т, п равно 0, а второе больше нуля, оператор U естественно назвать максимальным. Унитарный оператор с этой точки зрения можно называть гипермаксимальным.

Перечисленные несколько простых фактов составляют теорию расширения изометрического оператора до изометрического или унитарного. Перейдем к рассмотрению эрмитовых операторов.

Пусть Л — замкнутый эрмитов оператор с плотной областью определения, В г А— его замкнутое эрмитово расширение. Поскольку В* г А* и А е А*, то получаем следующую цепочку;

А г В s В* 5 А*. (7.1)

В случае, если В самосопряжен, (7.1) переходит в цепочку

As Be А*. (7.2)

Нам предстоит выяснить, когда по заданному А можно построить В, удовлетворяющие (7.1) или (7.2), и описать такие В.

Теорема 7.2. Пусть А — замкнутый эрмитов оператор с плотной областью определения и дефектными числами т, п. Для того чтобы у А существовали нетривиальные замкнутые эрмитовы расширения В г А, необходимо и достаточно, чтобы т, п были положительны. Для того чтобы у А существовало самосопряженное расширение В = В* = А, необходимо и достаточно, чтобы его дефектные числа были равны-, т = п.

Эти расширения конструируются следующим образом. Зафиксируем точку г С С, 1тг>0. Выберем в дефектных псйпрост- ранствах Nz~ И Q ^(А— zfl), N- = HQ9HA— гЦ) размерностей т, п>0 соответственно подпространства FgNz, GeN-, одинаковой размерности и построим некоторый изометрический оператор W, переводящий все F = & (117) во все G = ^^W\ Пусть U — преобразование Кэли оператора A; S>(U) — ^(A— гД), g?(U') = S?(A — zfl). Рассмотрим изометрический оператор V — — U ф ^ ,@> (V) =@ ((/) ф^>(1^), 5? (У) = 91<ф_Д ^^(_WY Обратное преобразование Кэли В оператора V является замкнутым эрмитовым расширением оператора А. Перебирая всевозможным образом F, G и W (при фиксированном г), получим множество всех замкнутых эрмитовых расширений В оператора А.

Если т = п, то, в частности, можно положить F = Nz, G = = N-. В этом случае оператор В г А будет самосопряженным расширением А. Перебирая всевозможным образом W, получим множество всех самосопряженных расширений В оператора А.

Доказательство. Оно, по существу, приведено в сформулированной выше процедуре построения расширения В, если использовать свойства 1) — 9) из § 6 преобразования Кэли и теорему 7.1. При этом нужно учесть, что оператор А плотно задан, поэтому в силу первой из формул (6.10), примененной при переходе А (7, ^ (U — 4) будет плотным в Н. Поэтому предпосылка результата 8) выполняется и для оператора V = U ф W a U можно строить обратное преобразование Кэли В, расширяющее А. То, что описанная процедура дает все замкнутые эрмитовы расширения В г А, также понятно: любое такое расширение согласно 4) после перехода к его преобразованию Кэли К дает изометрическое расширение U, описываемое теоремой 7.1. ■

Разумеется, при изменении параметрической точки z £ (С, Im z >> О объекты Р, G, W, приводящие к одному и тому же расширению В а А, будут меняться. Не представляет большого труда вывести формулы, описывающие эти изменения. На этом мы останавливаться не будем.

Из теоремы 7.2 следует, что если одно из чисел т, п равно О, а второе положительно, то оператор А не имеет замкнутых эрмитовых расширений в Н. В этом случае он называется максимальным. Если т = п = 0, то он самосопряжен, или в теперь понятной терминологии— гипермаксимальный. Заметим также, что если В — эрмитово расширение А, то В — уже замкнутое эрмитово его расширение. Поэтому изложенная теория дает описание и незамкнутых эрмитовых расширений А.

Мы не будем касаться вопросов расширения А с выходом в более широкое пространство, чем Н. Заметим лишь, что если т Фп, то эти дефектные числа можно «выравнять», вложив Н должным образом в более широкое гильбертово пространство Н. Интерпретируя оператор А как действующий в Н, можно строить его расширения. Так, если положить И = Н ф Н, А = А ф (— Л), S'(Л) = S'(Л) ф ф®(А), то нетрудно убедиться, что А будет иметь уже равные дефектные числа т + п, т + п. Его расширения будут давать некоторые расширения исходного А.

Формулы Неймана. Изложенная выше теория расширений и результаты § 6 принадлежат в основном Нейману. Приведем теперь две «аналитические» формулы, связанные с этой теорией (см.ниже 1), 2)), которые называются соответственно первой и второй формулой Неймана.

. Приведем формулу, описывающую действие оператора А*. Предварительно напомним, что о линейном множестве L s Н говорят, что оно является прямой суммой линейных множеств Lv... ... , U = H, если V/ Е L представим в виде / = /1 + • • • + /л, где fj € Lp и это представление единственно (иными словами: 0 = = Л 4Н /« ^ /1 = • • • = /л = 0). Прямую сумму обозначим следующим образом:

L = Ly 4- L^ 4- • • • 4- Ln.(7.3)

Пусть А — замкнутый эрмитов оператор в Н с плотной областью определения, zE (£\1R фиксировано. Тогда справедлива формула

® (Л*) = S’(Л) 4- Мг4- N-.(7.4)

Таким образом, VgE^H*) согласно (7.4) справедливо единственное разложение

^ = / + /12 + /1-(/ = /(^)Е^(Л), hz = hz (g) Е Nz, h- = h-x(gXNiY

(7.5)

Действие оператора Л* па вектор (7.5) теперь подсчитывается весьма просто: так как А* ^ А, с учетом 4) из § 4 получим

A*g = Af + zhz + zh-.(7.6)

Доказательство формулы (7.4) сводится к доказательству существования разложения (7.5) и установлению его единственности. Установим существование.

Пусть g^®(A*), тогда согласно разложению Н = 5?(Л—гЦ)ф ®NZ вектор (A* — z^)g^H записывается следующим образом:

(A*-z^g=--(A-z4)f+(z-z)hz(7.7)

(нам удобно указанным образом обозначить компоненты (Л*— — zfl) g В соответствующих подпространствах). Оказывается, что векторы /, h2 из (7.7) и будут первыми двумя компонентами в (7.5). Для доказательства нам достаточно убедиться, что вектор g — / — — hz^3(A*) (где f и hz взяты из (7.7)) входит в N-, т. е. является собственным для А* с собственным значением г. Имеем в силу (7.7)

A4g-?~M = A*g-A*f-A*hz=(A*-z^g + 2g-Af- — zhz = (Л — zfl)/ 4- (z — 2)hz A-zg — Л/ — zhz = z(g — f — hz).

Докажем единственность разложения (7.5). Пусть имеем разложение

0 = НМ-Ь-hz^Nz, h-^N-).(7.8)

Подействуем оператором А* па (7.8):

О — Л*/ + A*hz + A*h- = Л/ + zhz 4- zh- = (A — zQ.)f 4- zhz ++ 2 (h- 4- f) — (A — z£) f A- zhz A- 2(—hz) = (A — z-fl) f A~

A-(z — z)hz.(7.9)

Ho (A — zfl)f^^(A — z4), (z — z)hz^Nz и 5?(Л — гЦ)фУ2 = H, поэтому из (7.9) следует, что (Л — z^Df = 0, (z — z)hz = O. Отсюда f = О (точка z — регулярного типа для Л) и hz = 0. Но тогда из (7.8) следует, что и h- = 0. ■

. Сейчас мы опишем действие замкнутого эрмитова расширения В оператора А, пользуясь разложением (7.4). Зафиксируем z^d), Imz>0 и пусть W — оператор, отвечающий расширению В согласно теореме 7.2; ®(W) = F s Nz, 98(W) = G г N-. Справедливо разложение

®(B)=®(A)-V(W — ^)F,(7.10)

т- е- Vg 5.35(В) G @ (А*) разложение (7.5) имеет вид

g = f-hzA-Whz (/е^(Л), hz^FsNz, Whz^WFsN-y (7.Ц) 390

Так как ВсА*, то действие В на векторе g задается посредством (7.6):

Bg = A*g — A{— zhz \-zWhz.(7.12)

Доказательство. Согласно первой из формул (6.12), примененной к V = U ф W, получим

@(В) = ^(У — fl) = ^((/ — fl) Д 9?(W — fl) =

= ^(Л) + Я(Г —fl) = ^(Л) + (1У —й)В (7.13) (поясним, что хотя ^ (У) = ^ ((/) ф Я (W). после вычитания единичного оператора в (7.13) можно писать лишь прямую сумму—■ множества ^ ((/ — fl) и 5? (1У — fl), вообще говоря, неортогональны). ■

В заключение этого параграфа приведем еще одну теорему Неймана, связанную с результатами § 3.5.

Теорема 7.3. Пусть в Н действует некоторый замкнутый плотно заданный оператор А. Тогда-оператор А*А самосопряжен и неотрицателен.

Доказательство. Напомним, что согласно определению произведения операторов @(Л*Л) = {/Е^( 71) [Л/Е & (Л*)}, поэтому при ^£^(Л*Л) (ЛМД [)н = (А[, ЛПн^0> т. е. оператор А*А неотрицателен.

Докажем его самосопряженность. В силу замкнутости А и теоремы 3.3 (Л*)* = А, поэтому формула (3.6), записанная для А* (вместо Л), дает

Я®Я = ГлфОГ^.(7.14)

Для Vh^H вектор (h, 0) разложится в соответствии с (7.14) следующим образом: Af£.®(A) и 3g £ S'(Л*), для которых (h, 0) = (f, Af) + <—A*g, g>~h=f- A*g, 0 = At + g. (7.15) Выразим из второго равенства в правой части (7.15) вектор g и подставим его в первое равенство. Получим fNh^HY

h = t + A*Af = (fl + A*A)f (fE®(A), AfWAHY (7Л6)

Ниже докажем, что ®^А*А) плотна в Н. Равенство (7.16) означает, что ^(Л*Л + fl) = Н, поэтому согласно теореме 5.2 этот оператор самосопряжен (сейчас а = 0, г = —1Е(С\[0, оо)).

Итак, осталось убедиться, что (@(А*А)) ~ — Н. Предположим противное: пусть (^(Л*Л))~ =У=Н. Тогда AQ^h^H такой, что h ± ^(Л*Л). В силу (7.16) Af£^(A*A), для которого f Д A*Af—h, и поэтому

о = (А, Пн = (Н A*At, Пн - || f Нй + (А*АП Пн = II f Il?y Д || At ||2„.

Отсюда следует, что f = 0=>/i — / + A*Af ~ 0, что абсурдно. В Заметим, что аналогичная теорема справедлива и для оператора

А А* . Для ее доказательства в теореме 7.3 нужно заменить А на А*.

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что самосопряженный оператор А не имеет эрмитовых расширений, отличных от А.

Пусть А — эрмитов оператор. Доказать, что любое эрмитово расширение А является сужением оператора Д*.

Пусть А — замкнутый эрмитов оператор, имеющий самосопряженное расширение. Возможно ли, чтобы А имел замкнутое эрмитово расширение В, у которого нет самосопряженных расширений?

Сохраняющее норму отображение I: Н-4-Н называется инволюцией, если 1 ашилинейно, т. е. (V X, р € С) (V х> У € 7/): / (Хх Д-ру) = = Х/х + р7у, и /2 = Д- Пусть А — эрмитов оператор такой, чю /:^(А)-> -^^(А) и AI =/А. Доказать, что дефектные числа оператора А равны.

Доказать утверждение о «выравнивании» дефектных чисел, сформулированное в конце п. 1.

Доказать, что все самосопряженные расширения оператора дифференцирования в La ([0, 1]) из упр. 2.7, в) описаны в упр. 2.7, г), где ос £ [О, 2л), при этом различным ос из [0, 2л) отвечают различные самосопряженные расширения.

Используя результат упр. 7.4, показать, что дифференциальный оператор с вещественнозначными коэффициентами имеет равные дефектные числа.

ГЛАВА XIII СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ, УНИТАРНЫХ И НОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ. КРИТЕРИИ САМОСОПРЯЖЕННОСТИ

Напомним в удобном для нас виде спектральную теорему для самосопряженного оператора, действующего в конечномерном гильбертовом пространстве Н, о ней мы уже говорили в § X.L

Итак, пусть Н—конечномерное гильбертово пространство размерности dim Н = п < оо, А — самосопряженный оператор, действующий в нем. Пусть ^ < ^2 < • ••< ^т (т < п) — собственные значения этого оператора. Каждому Х^ отвечает собственное подпространство Ф(Хд), состоящее из всех собственных векторов оператора А с собственным значением Х^: Ф(^) = {фG С Н । Дф = ^ф}; его размерность N (Х^ = dim Ф (Х^ с и. В Ф (Х^ можно выбрать (разумеется, неоднозначно) ортонормированный базис фх (Х^у ...,

Спектральная теорема для А состоит в том, что векторы фа(^) при различных k и а образуют ортонормированный базис в И. Таким образом, Vf€ ^Н справедливо разложение по этому базису:

f = S S (f’ ФоЛМ^Фа^)-(1)

к 1 а = !

Поскольку ^фа (^) ~ ^Фа (^)* то Действие оператора А в соответствии с (1) приобретает диагональный вид:

т ^ ^

Af = 2 S Mb ФаМ)нФаМ.(2)

к = 1 а =■ 1

Если через P(K^ обозначить (ортогональный) проектор на подпространство Ф М, то

N

Р {^k^ f 1*2 (f* Фа ^к^н Фа О^кЬ

и поэтому равенства (1), (2) можно переписать следующим образом: tnт

Я= s РМ. А= 2 Х6?М(3)

к -= 1к =э I

Естественно, возникает вопрос о возможности перенесения формул (1) , (2) или, в иных обозначениях, (3) на случай самосопряженных операторов, действующих в произвольном гильбертовом пространстве Н. Мы уже знаем, что даже у ограниченного самосопряженного оператора А спектр, как правило, ие дискретный и не обязательно существуют собственные векторы фа (X) (подробнее об этом см. в § VIII.8). Поэтому непосредственное обобщение этих формул «переходом к пределу при п ->• оо» невозможно.

Однако формулы (3) можно переписать в виде следующих «интегралов по операторнозначной мере» Е:

ОООО

-Д = У dE(X), Л = у XdE (Ху

— ОО— СТО

IR3a^£(a)= V P(X^S?(H).(4)

Оказывается, формулы (4) уже переносятся на общие самосопряженные, даже неограниченные, операторы и это основная цель настоящей главы. Мы ее начнем с рассмотрения операторнозначной меры Е, которая должна фигурировать в таком обобщении,— разложения едиинцы.

§ 1. ПОНЯТИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ И ЕГО СВОЙСТВА

Понятие разложения единицы. Разложение единицы — это некоторая проекторнозначная мера, поэтому мы начнем с доказательства одного свойства проекторов, дополняющего сказанное о них в § VIII.5.

Лемма 1.1. Пусть Рс„ Ра, — проекторы соответственно на подпространства Gv, G^cH. Сумма Р = Рс,4-Рс, будет проектором тогда и только тогда, когда Gj ± G2, т. е. Ра,Ра, = О (или, что то же, Ра,Ра, — 0). В этом случае Р — проектор на G1®G2;P = Pg1®g1.

Доказательство. Необходимость. Пусть Р = PG, + Pg,— проектор, тогда Р1 = Р или

Ра, + Ра,=(Ра, + Pg,)2 = Pg, + PgA, + Pg,Pg, + Pg, =

= Pg, + Pg,Pg, + Pg.Pq, + Pg,;(1-1)

Pg,Pg, + Pg,Pg, = 0.(1.2)

Рассмотрим /^H. Нужно доказать, что g = Pg,PgJ = 0. В силу (1.2) PGl g = Pg,Pg Pg. f = - Pgs (Pof f = -Pg,PgJ = -g. Итак,

g = — Pu.g- (I-3) Применяя к равенству (1.3) оператор PG,, найдем, что PG,g ='0. Следовательно, g = 0, т. е. Pg,Pg,=0.

Достаточность. Поскольку Pg,Pg, = 0 ->■ Gt J. G3 —► Pg,Pg,= 0, то в силу (1.1) Р2 = Р. Ясно также, что Р самосопряжен. Тогда этот оператор — проектор, причем на подпространство G = ([^ ^Н\Р? = П (см. § VI 11.5). Но равенство f = Pf = P0J фPGJ означает, что /£01ф03. Таким образом, G = G1®G2. ■

Перейдем к определению общего разложения единицы. Пусть R — абстрактное пространство, 91 — некоторая о -алгебра его множеств. Иными словами, задано измеримое пространство (R, 91). Кроме того, имеется гильбертово пространство Н. Операторнозначная функция 91Э а ,-*-Е (а)£ 2 (Н) называется разложением единицы (на R), если выполнены следующие требования'.

Vа £91): Е (а) — проектор в Н; Е (0) = 0, E(R)~ 41-

Имеет место счетная аддитивность, т.е. для любой последовательности (ос;),■“, состоящей из непересекающихся множеств из 91, справедливо равенство

ООЕ Ща/) = ^Е ^'ООЕ Ща/) = ^Е ^'(1.4)(1.4)

ОО

Е Ща/) = ^Е ^'

ОО

Е Ща/) = ^Е ^'

(1.4)

(1.4)

где ряд сходится в смысле сильной сходимости операторов (т. е. на каждом секторе [ ^Н по норме Н).

Теорема 1.1. Разложение единицы Е обладает свойством ортогональности’.

£(а)£ф) = £(а О) (а, Р 6 91).(1.5)

Разумеется, свойство типа (1.5) для обычной скалярной меры Е выполняется лишь в тривиальных случаях.

Доказательство. 11усть сперва ар Р — 0. Тогда согласно буЕ (a (J ^=Е (а) + Е ф) и в силу леммы 1.1 £ (а) Е ф) = = 0. Таким образом, свойство (1.5) выполнено, так как Е (ар Р) = = £(0) = О.

Рассмотрим общий случай. Положим у =а р р. Тогда а = = (а \у) у у, р = (Р \у) (J у — разложения а, р на непе- ресекающиеся множества из 91 и согласно уже доказанному Е (а \ \У) Е (у) = О, Е (Р \у) £ (у) = 0, Е (а \у) Е ф \у) - 0. Учитывая эти равенства и б), получим

Е (а) Е ф) = (£ (а \у) + £ (у)) (£ф \у) + £ (у)) ==£ (а \у) £ ф \у) + £ (а \у) £ (у) + £(у) £ ф \у) ++ £2(у) = £(у). ■

Следствие 1.1. Из (1.5) вытекает, что операторы"Е (а) (а £ 91) — коммутирующие.

Замечание 1.1. В требовании б) сильную сходимость ряда (1.4) можно заменить его слабой сходимостью.

Действительно, вне зависимости от характера сходимости ряда (1.4) из б) следует конечная аддитивность £(«/, за исключением конечного их числа, заменяем на 0). Как вытекает из доказательства теоремы 1.1, в нем использовалась лишь конечная аддитивность Е, поэтому если требовать в б) слабую сходимость ряда (1.4), то теорема 1.1 сохраняется. Но тогда V/ С Н векторы E(a/)f в (1.4) взаимно ортогональны, а мы знаем, что для рядов, составленных из взаимно ортогональных векторов, понятия сильной и слабой сходимости эквивалентны (см. упр. VII. 10.5). Я

Пусть 91 3 a I-* £ (а) — разложение единицы. Зафиксируем / £ 5 Н, тогда функция множеств

91Э а । р1Л (а) = (£ (а) /, ^н II Е (а) / Цй > 0,(1.6)

очевидно, является неотрицательной конечной мерой па 91 (в (1.6) мы воспользовались тем, что (Е (а))2 = Е (а), (Е (а))* = £ (а)). При фиксированных f, g^H функция множеств

9^Эсх1^р/,й(а) = (£(а)Д g)u^^(1.7)

будет комплекснозначной мерой (зарядом) на Ж — она является линейной комбинацией мер (1.6), что высекает из поляризационной формулы (см. § VIII.5). Меры (1.6), (1.7) будут в дальнейшем часто использоваться.

Приведем простейшие примеры разложения единицы.

ПРИМЕРЫ

Пусть 7? = 1R, (Х^”-^— некоторая последовательность точек из IR (возможно, и конечная), (Р^,, ] — последовательность проекторов в // такая, что ^ Р^ = Д. Возьмем в качестве 91 произвольную о-алгебру множеств к = 1

из IR, содержащую одноточечные множества (например, борелевскую о-алгебру 35 (IR)), и положим (Vcc£9l):

Е^= 2 Рк.(1.8)

Легко видеть, что построенное во введении разложение единицы (4) — пример такого разложения единицы.

Пусть (R, Л) — измеримое пространство, р — некоторая мера на нем, возможно, и бесконечная. Положим И = L2 (R, 94, dp) = La и рассмотрим в этом пространстве оператор умножения Е (а) на индикатор х (•) множества а € Л, т. е.“

(£ (а) /) (X) = ха (X) f (X) (f С L^.(] .9)

Из ограниченности Ха следует ограниченность оператора (1.9), из веще- ственнозначности ха—его самосопряженность, а из равенства (ха (X))2 = = Ха М (^ € Я) следует £2 (а) = Е (а). Таким образом, Е (а) — проектор. Он проектирует па подпространство тех f £ L2, для которых ха W / (X) = = / (X) р-почтп для всех X A R (т. е. таких / £ L2, которые аннулируются p-почти везде при X ^ а).

Функция множеств 31 3 а i-> Е (а) будет разложением единицы в L2. Единственное, что в этом утверждении не вполне очевидно, — счетная адди- тивность (1.4). Но если воспользоваться замечанием 1.1, то вопрос сводится к справедливости равенства (у/, g L2y.

j f^g (X) dp (X) = У у f (X) g (X) dp (X),

которое следует из того, что / (X) g (X) 6 Li (R, 91, dp). Отметим, что равенство (1.5) сейчас отражается в соотношении Ха М Хр (X) = Ха n р (X) (a, Pg G^;X£R).

Пример 1.2 по существу является общим видом разложения единицы — можно показать, что всякое разложение единицы близко к построенному в этом примере.

Отметим еще некоторые свойства разложения единицы Е. Из аддитивности легко следует монотонность Е : Va, Р £ 91

cz s [5 => Е (а) < Е ф),(1-Ю)

где неравенство между операторами понимается в смысле формы (т. е. (УЛ, ВЕ5?иПУ.А <B~(Af, Пн«№ М^Н); см. во этому поводу § VIII.5).

В самом деле, поскольку P-a(J(P\a), то Еф) = Е(а) + 4-Е ф\а), Е ф\сх) > 0-4-Е ф) > Е (а). Я

Как и для скалярной меры, справедлив следующий результат.

Теорема 1.2. Пусть (ап')”=ь (P„)T=i— убывающая и возрастающая последовательности множеств «,„ [1„ £ 91: cq з «2 э ... , pjap2S ... . Тогда в смысле сильной сходимости в И

lim Е («„) = Е (П ®n), limE(p„) = Е(U Рп). (1.11)

П-*-ооП®1П-*оо/2 — 1

Доказательство. Положим а = П а„ и у» = ал\а («€И)>

П=1

тогда у1 а у3 а ... , П ?,/ — 0 • Рассмотрим при фиксированном /2=1

f^H меру (1.6), тогда согласно известному результату для скалярных мер (§1.6) |1 Е (•£,) f ||н = рщ (?«)-> 0, т. е. сильно Е(у„)->0.

Но Е (у„) = Е (ап) — Е (а), откуда следует первое равенство в (1.11).

Второе доказывается аналогично, нужно лишь положить р =

= U Рп и у„ = Р\Р„ (н £ И)- ■ п=\

Теорема о продолжении. Отметим еще один результат относительно разложения единицы. Как и в случае скалярной меры, при конструировании разложения единицы часто удобно его задавать на некоторой алгебре множеств, а затем применять теорему о продолжении, подобную теореме 1.5.2, и с ее помощью доказывающуюся.

Итак, пусть R — некоторое пространство и 91 — алгебра множеств из R. Функция множеств 91 Э а Е (a) £ S (//), как и ранее, называется разложением единицы, если выполнены требования а) и б), однако в б) нужно дополнительно предполагать, что U «/£91. Теорема 1.1 и замечание 1.1 в случае, если 91 —алгебра, М очевидно сохраняются.

Теорема 1.3. Пусть Е — разложение единицы на алгебре 91, тогда существует его продолжение до разложения единицы Еа на ее о-оболочке 91,„ т. е. сужение Еа\^ = Е. Еа по Е определяется однозначно.

Доказательство. Фиксируем [£Н и рассмотрим конечную меру 91Э«1^рЛ/ (а) = (£(«)/. Пн > °- Согласно, обычной теории продолжения (§ 1.5) существует мера 91„ Э а 1-» Рщ (ос) > О такая, что pfj t^ = Pf,f- Заряд 91Эа й(а) = (£(«)/, р)и£<Ь благодаря поляризационной формуле выражается в виде линейной комбинации четырех мер вида p^h^k^HY Продолжая каждую из этих мер с 91 на 91„ и беря соответствующую линейную комбинацию, находим, что заряд pfi= также продолжается до заряда Э109«--* Н РнДа)€ID-

При фиксированном « £ 9ц отображение

нфн^сь g>-Moosic '(М2)

билинейно. В самом деле, мы знаем, что 91ст совпадает с монотонной оболочкой 91 (§ 1.7) и pfif, а значит, и p/,g строится путем последо-

нательных монотонных продолжений, начиная с множеств а £ 31. Так как при монотонных продолжениях билинейность сохраняется, то требуемое свойство вытекает из билинейности (1.12) при а £ 31.

Отображение (1.12) непрерывно: при a£3l„ pf,f(a) >0, поэтому в силу неравенства Коши — Буняковского

I Phs (“) I2 < PiJ (“) Pg.g («) < Pf ,f W Pg.g (Я) = II f Ия • UsIIh.

Обозначим через Ea (а) ограниченный оператор в Н, отвечающий непрерывной билинейной форме (1.12) (§ VIII.5). Таким образом,

Pf,g(«) = (£a(a)A Sf)H (A g^ Н; а £ 31а).(1.13)

При а £ 3? Ео (а) = Е (а) является проектором. Последовательные монотонные продолжения р^6 означают продолжения с а £31 с помощью слабых пределов монотонных последовательностей проекторов, поэтому и Еп^ — проектор при любом а£ Э?а (§ VIII.5). Разумеется, £а(0) —О, Е0(,Е') = 'й,. Функция множеств 3I(T3ai-> '-> Ео (а) счетно аддитивна в смысле слабой сходимости соответствующего ряда—это согласно (1.13) перефразировка счетной аддитивности заряда pf,g (A g^Hy Итак, Ео— разложение единицы, определенное на 3ta. В силу конструкции оно совпадает на 31 с Е. Последнее утверждение теоремы следует из однозначности продолжения заряда с 31 на 310. й

Замечание 1.2. В определении разложения единицы (как на а- алгебре, так и на алгебре) можно не требовать выполнения условия Ё (R) = fl. Для такого квазиразложения единицы все предыдущие результаты, очевидно, сохраняются.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть (R, й)— измеримое пространство. Рассмотрим аддитивную операторнозначпую функцию множеств й Э «- F (а) 6 2 (Н), удовлетворяющую условию а) из определения разложения единицы. Доказать, что F является разложением единицы в том и только в том случае, когда выполнено одно

из условий: 1) (Vx^H) (V («„)”_! ЕЙ): (Е ( U «„) х, х)н < У <Е ^ х,

П=1

х^н"’2) (V Фи^ЕЙ-.р, г Р2е. . .) : s. lim £(₽„) = £( Ц Рп);

И — сюП = 1

3) (V («п)п = 1 — й : а, а а2 = ...):£ ( f) ап) = s. lim Е (ап).

Пусть (R, й) — измеримое пространство, й Э a I-* F (а) g 2 (Н)— операторнозначная функция множеств, удовлетворяющая условиям: 1) (V ag € й): F (а) = (F (а))*; 2) (уа. Р € К): F (а) F (р) = F (а П р); 3) (V^, a2g € й : а, ("] а2 = 0): F (<Xj U а2) = F (at) + F (o:2). Доказать, что: a) F удовлетворяет требованию а) из определения разложения единицы; б) условия 1) — 3) эквивалентны условиям 1), 2) и 3)' F (0) = 0, (V а £ й): F (а) = Д — F (а); в) условие 2) следует из условия 1), 3) и 3) F (0) = 0, F (R) = Д.

Пусть Е — разложение единицы иа (IR, ®(!R)). Доказать, что проек- торнозначная функция IR ^ Л-»-8 (б = ВЦ—оо, /)) удовлетворяет условиям:

1) (V t, $G IR) : 8 (Z) 8 (s) = & (min (Z, s}); 2) (y/GIR):s. lim 8 (t) = 8 (Z);

s. lim S (Z) = 41, s. ■ lim 8 (Z)0; 4) (y Z, $G IR : / < s) : 8 (Z) < 8 (s). / ■* 4-00/ . - сю

Пусть 8 (Z) (Z G IR) — проект(>|>но.111ачпая функция, удовлетворяющая условиям 1)—3) упр. 1.3. Дока ипь, что на (IR, !В (IR)) существует единственное разложение единицы /: такое, что (у Z G IR) : 8 (Z) — Ё (( —оо, Z)).

Указание. Применяя теорему о построении меры по неубывающей функции, построить но функциям (8 (Z) х, у),; (х, у^Н) семейство зарядов {ш,, vl*. У$Щ. Докп.шть, что при фиксированном aG 93 (IR): Н X Н Э )(х, y)i-► o>Xi И (rz) С С является ограниченной билинейной формой. По теореме Рисса (уа t V (1^)) (И F (a) G S КЛ) (V *. У € И): ш^, у (а) = (F (а) х, у^. Проверить, что /'"(•) — разложение единицы. См. также теорему 6.4.

Пусть H = L2(R, SR, р), {SR/, Z > 0} — семейство a-алгебр множеств из R такое, что: 1) (У t, s G R : Z < s): SR/ s 5RS; 2) (y Z > 0): ( U Лт)ст = SR/.

т <t

Положим 8 (Z) = M (• | SR/) (ZG(O, «)) (cm. yup. V.2.7, V.2.8), Доказать, что 8 (Z) удовлетворяет условиям 1) — 4) упр. 1.3.

ПОСТРОЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Для доказательства формул типа (4) необходимо определить спектральные интегралы, т. е. интегралы, являющиеся операторами в Н, от комплекснозначных функций /? 4 '^ ^ М с (Е по разложению единицы:

^F^dE^.(2.1)

R

Приведем требуемую конструкцию. Она подобна обычной конструкции интеграла Лебега по скалярнозначной мере (см. гл. III) и проводится постепенно, начиная с наиболее простых классов функций. При этом некоторые сложности наступают лишь в случае неограниченных функций F. Итак, считается заданным измеримое пространство (R, 9?) и разложение единицы Е на R. Точки R обозначаются X, ц

Интеграл от простых функций. Напомним, что функция R 5 X :-> F (X) £ (С называется простой (или ступенчатой), если она является линейной комбинацией индикаторов уа(Х) множеств a £91. Совокупность всех простых функций обозначим 5 (R, 91) = 5; 5 является алгеброй относительно обычного сложения и умножения, содержащей все постоянные.

Каждая простая функция, очевидно, может быть записана в виде линейной комбинации индикаторов непересекающихся множеств:

F(X) = S F6Xab(X), (Fk^^, ак Л ^ = 0, k^ j; X^R). (2.2)

По определению полагаем

лп

$F(X)d£(X) = $(yK6Xaft(X))d5(X)^S ^Ыеа’^). (2.3)

RR 6=1«—1

В (2.2) можно, разумеется, считать, что множества ак образуют п

разбиение пространства R i (J ак = R. Представление (2.2) про- 6=1

стой функции F, ясно, не единственно — множества сх6не определяются по F однозначно (например, их можно подразбить на меньшие). Тем не менее интеграл (2.3) определен корректно и не зависит от представления (2.2).

Это следует из конечной аддитивности Е и доказывается как для обычного интеграла Лебега. Именно, берем два представления

отвечающие двум разбиениям пространства: R = U «6 =

т

= U Р/. Затем строим наложение этих разбиений, т. е. разбиение /=i

R = U U a-к П Р/, и показываем, что интеграл, построенный веоот- 6=i /=1

ветствии с каждым исходным разбиением, равен интегралу, отвечающему наложению разбиений. Построенный интеграл обладает рядом простых свойств.

. Линейность:

J kaF (X) + bG (X)) dE (X) = a J F (X) dE (X) + b J G (X) dE (Х)(2.4)

RRR

E.G^S).

В самом деле, для доказательства (2.4) нужно записать F и G в виде (2.2) с общим разбиением R, наложив имеющиеся разбиения для F и G. После этого равенство (2.4).следует из (2.3). в

. Следующее свойство необычно и называется мультипликативностью интеграла

$F(X) dE (X) • J G(X)dE(X) = J F(X)G(X)dE(X) (F, G^S); (2.5) RRR

оно влечет коммутируемость любых двух интегралов.

В самом деле, это свойство — простое следствие ортогональности меры Е (см. (1.5)). Для доказательства путем наложения разбиений R запишем F и G с помощью одного и того же разбиения:

лп

^(М = S МаДХ), G(X) = 2 Сй%а (Х).

;=1'6=1 k

Тогда в соответствии с (2.3) и соотношениями E’(a/)E(a*) = = 6^Е(а/) получим

пп

f F (X) dE (X) У G(X) dE (X) = (2 Fi Е (а,)) (^ Gk Е (а6)) =

RRМА=1

пп

= 5 E/Gft Е(а;)Е (аб) — ^j Е/G/E(az) = f E(X)G(X)ti?E(X). И

/.6=1/=1R

.(jF(X)dE(X))* = Jf(X)dE(X) (FES). (2.6)

RR

Действительно, в силу самосопряженности Е (а) имеем

^F(%) dE (X))* = (2^ Е (а»))* = 2 Fk Е (а6) = $ "F (X) dE (X). №

Л6=16=1R

.((У F (X) dE (X)) f, g^H = $ F (X) d (E (X) f, g)H

RR

№; f, g^H)(2.7)

(здесь d(£(X)f, g)w означает интегрирование по заряду (1.7)).

Доказательство непосредственно следует из (2.3). н

.|| (У F (X) dE (X)) / ||2Н = У | F (X) |2 d (Е (X) /,

RR

(2.8)

В самом деле, в силу (2.5) — (2.7) имеем

||( У F (X) dE (X)) /1| 2Я = ((У F (X) dE^ h ^ F (X) dE (X)) /)„ =

RRR

= ((У F (X) dE (X))* ($ F (X) dE (X)) h f)„ =

RR

= ^FlkaE^^F^dE^f, f)H = R' R

= ((y|F(X)|2dE(X))f,f)H = yiF(X)|^ f^. H

RR

.||$ F(X)dE(X)||<sup{|F(X)HXEF} (FES). (2.9)

R

В самом деле, согласно (2.8) получаем (Vf^Hy

II ($ F (X) dE (X)) f ||2 = $ I F (X) I2 d (E (X) f, Пн < RR

< sup {| F (X) I21 X E 7?) (F (F) f, fy, : sup {| F (X) |21 X C F} II f \\н. И

Интеграл от ограниченных измеримых функций. Обозначим совокупность всех ограниченных измеримых <|)упкцпй, связанных с измеримым пространством (R, SR>, через LtXl (R, i)i) -- LTO. Как и S, эта совокупность является алгеброй относительно обычных алгебраических операций.

Уже доказывалось (см. теорему II.5.2), что каждую функцию F^L» можно равномерно аппроксимировать должным образом подобранной последовательностью (F„)X=i простых функций Fn^Si ! sup {| F„ (X) — F (X) 11X Е F} -* 0 при n ->- oo. По определению положим (VFeF„):

9? (H) Э У F (X) dE (X) = lim J Fn (X) dE (X),(2.10)

Rn-~ R

где предел понимается по норме операторов.

Это определение корректно. Во-первых, предел в (2.10) суще- ствует, так как согласно (2.4) и (2.9)

|| J Fn (X) dE (X) - J Fm (X) dE (X) || = ||J(X) - Fm ^ dE (X) ||

RRR

csup{|E.(X)-Em(X)||X6^}-^0,(2.11)

а пространство операторов s’ (Я) полно. Далее, предел (2.10) не зависит от выбора последовательности ^Рф^х, аппроксимирующей F. Если (Е^ДД] — другая такая последовательность, то оценка типа (2.11) показывает, что соответствующие интегралы имеют одинаковые пределы.

. Свойства 1) — 6) сохраняются для интегралов от ограниченных измеримых функций F, G^ L^.

Для доказательства нужно записать соотношения (2.4) — (2.9) для аппроксимирующих функций из S, а затем перейти к пределу. Легко видеть, что всюду переход к пределу возможен. Д

3. Интеграл от неограниченных измеримых функций. Рассмотрим совокупность Lo (R, 91, Е) = Lo функций вида R Э Е i-* Е (X) £ € С U {оо), измеримых относительно 91 и почти везде конечных относительно операторнозначной меры Е. Последнее, естественно, означает, что

^({ХС Е? | Е(Х) = оо}) = 0.(2.12)

Как S и £«,, совокупность Ео в силу аддитивности меры Е образует алгебру относительно обычных операций сложения и умножения функций (с обычными формальными правилами опери- рованиясоо). Определение интеграла (2.1) для F £ Lo сейчас усложняется, так как такой интеграл уже будет, вообще говоря, неограниченным оператором с некоторой областью определения. Мы начнем именно с ее описания.

Лемма 2.1. Пусть F £ Ео, тогда множество

®f^KH^\FW\W^M, Пн<^ (2.13)

является линейным и всюду плотным в Н.

Доказательство. Очевидно, / g ®F => af g ®F (а^ $). Докажем аддитивность ®F: f, gE^r^f + g € ®f. Пусть a £ 91, согласно (1-6)

(E (a) (/ + g), / + g)« = II E (a) (f + g) ||2„ < (|| E^ } ||H +

+ IIE (a) g ||H)2 < 2 (|| E (a) f |& -Ц| E (a) g ||2H) =

= 2 ^E ^ f, Пн + (E (a) g, gW(2.14)

Отсюда следует, что существование интеграла в (2.13) для мер, фигурирующих в правой части (2.14), влечет его существование для

меры в левой части (2.14), т. е. / + g^ @Р. Итак, ^ — линейное множество.

Для доказательства плотности ®Р в // рассмотрим множества »п = (ХЕ 7? || F(X)|>n}GSi («ЕИ)- Очевидно, ат а а3 а ... и а = = П состоит из тех точек, где | F (X)| = оо. Поскольку функция' п=\

F почти везде конечна относительно меры Е, то Е (а) = 0. Легко заключить, что

9?^R\an^S@F («6 И).(2.15)

В самом деле, согласно (1.5) (VyE^) V^h^H1):

(E(y)E(R\a„)h, Е (R\a„) h)/f=(E (R\a„) Е (у) E(R\a„) h. h)H= :=(E(y П (R\a.))h, h)H^d(E(X)E(R\a„)h,

E VR\a^ h^ = %Rx% (X) d (E (X) h, h)H, (2.16)

где Х.чха— индикатор множества R\an. Поэтому при подстановке в интеграл из (2.13) вектора f из ^{Е (R\an)) интегрируется ограниченная функция ] F (Х)|2Хд\ап(Х). Интеграл конечен, т. е. (2.15) справедливо.

Из (2.15) и теоремы 1.2 легко следует, что ®Р плотно в Н;

(ЖНу.®рЭЕ^\апН^Е^Н-ЕИ1 = Г И

Перейдем к определению интеграла (2.1). Как обычно, для F£L0 и N > 0 обозначим через Fn ее срезку — ограниченную функцию вида Fn (X) = F (X) при X Е {X Е R11 F (X) | < N} и Fn (X) = = N для остальных ХЕ R. По определению для /Е^г положим в смысле сходимости в Н

gFf=^FW dE (X) / = lim J Fn (X) dE (X) f. (2.17)

Легко видеть, что этот предел существует. Так, (VM, N > 0) согласно (2.4), (2.8) (для функции из /.„) имеем при f£@P

|| J FM (X) dE FN^dE (X) f|| 2H = || j U'm (X) - Fn (X)) X RRR

XdE^f\\2H = (1Кл1(Х)-^(Х)№(Х)Л/);;^0.

Последнее соотношение следует из того, что интеграл в (2.13) существует.

Итак, интеграл 9Р (2.17) существует как, вообще говоря, неограниченный оператор с плотной в Н областью определения ® ^^ = = ®Р, задаваемой формулой (2.13).

Перейдем к выяснению свойств интеграла 9Р. Прежде всего заметим, что 6) не имеет смысла.

. Свойства 4), 5) сохраняются для интегралов от неограниченных функций F £ Lo, причем в (2.7) и (2.8) f £@ к^рУ

Для доказательства нужно записать (2.7), (2.8) для срезок и затем совершить предельный переход при N -> оо. и

Дальнейшие свойства спектрального интеграла. Сложнее выглядит перенесение свойств 1) — 3). Результаты мы сформулируем в виде двух теорем.

Теорема 2.1. Пусть F^La. Тогда оператор 3F вида (2.17) с плотной областью определения ®к^^ -—@F является замкнутым. Справедливо равенство k^eY = ^f, ®kk^FY^=®F, т- в. обобщающее свойство 3) равенство

^ F^dE^y = ^FWdEW (F^L0).(2.18)

rr

Сразу отметим, что если F^L0 вещественнозначная, то оператор 3? самосопряжен.

Доказательство. Пусть /, g^®?, в силу (2.6) (для функций из СД имеем (VM > 0):

^FN^dEkXH, g)H = {f, ^F^dE^g^. RR

Переходя здесь к пределу при N -> оо, что возможно на основании равенства @т. = @р, получим: (^Д, g)n = (Л ^-pg^H. Это означает, что ^ г к^М*.

Докажем противоположное включение. Имеем

k^t, g^kbg*^ UE@k^ = @F, gW^pYY

Е* = ^рГеУ(2.19)

Введем такие же обозначения, как и при доказательстве леммы 2.1, и подставим в (2.18) / = EkR\an)h к^Ну это возможно в силу (2.15). Тогда подобно (2.16) в силу (1.5) Е (у) Е (/?\ап) h = = Е (у П (/?\а„)) к, и поэтому

9Ff =( СF (X) dE (X)) кЕ {R\an) h) — ^F (X) Хд V„ (X) dE (X) h. (2.20) RЯ

Подставляя это выражение в (2.19) и пользуясь ограниченностью функции F VM Х/?\ап(Х) и (2.6), получим

($^(Х)Хд\а„(Х)^£(Х)/г, g^H = ^h, ^FY^XR^k^dEk^g)^

RR

= kE<R\^ h, g*Y = kh, E (7?\a„) g*^.

Отсюда вследствие произвольности h^H

J ГДТ) X«\a„(X) dE kXkg = E (7?\a„) g*.

R

Согласно (2.8) (для функций из Ео^ из этого равенства вытекает:

$ I F W ^\anw I2 d (£ (X) g, ^ = || Е (Я\а„) g* |& <c!lg*ll2fl («ЕМ).

Переходя здесь к пределу при п->-оо, получим, что g^@F = — ®^"fY Итак, g Ур, т. е. ^9F)* = 9 р.

Замкнутость оператора 9F следует из равенства 9F = (^)*. ■

Теорема 2.2. Пусть F, G^La; а, Ь^С. Справедливы следующие равенства, обобщающие свойства 1), 2):

J <aF (X) + bG (X)) dE (X) = (а $ F (X) dE (X) + b J G (X) dE (X))~;

RRR

(2.21)

J F(X)G(X)d£(X) = ^ F^dE^X^G^dE^y. (2.22) RRR

Доказательство. Установим (2.21), т. e. равенство 9Л+г; = = (9^- + 9cY (соотношение 9 ,F = a9F очевидно). Пусть /Е®(Ут+ A-3G) ^®(3F) Л ®^-d - -^Л^. Из оценки | F (%) + G(X)|2 < < 2 (| F (X) |2 -1-1 G (X) | 2) следует, что тогда f Е ®f+g — ® (3F+fl). В силу (2.4) (для ограниченных функций) при /V > О 9pN+GNf = = ^FNf + 9aNf. Переходя здесь к пределу при N-^-oo, получим, ЧТО 9F^G f = 9Fj А"3of (£7FN4-GN f 3F+ef, так как /Е^+g). Таким образом, 9F + 3G g 9f+g.

Для доказательства включения 9F+G g (3f + S^g)~ обозначим множества an, построенные при доказательстве леммы 2.1, для F, G, F + G соответственно через ап, рп, уп. Положим 6„ = а„ (J U Р„ U Уи (n Е И), «г 2 62 а . .. , П 6П = 0.

Пусть / Е ® ^f^ = ®f+c„ тогда /„ = Е (R\M f Е ® (^f+g) П л ® ^F> Л ®^>Й' причем при И->ОО в Hfn->f, 9f^g к->9^, f. Последнее соотношение вытекает из того, что (см. (2.20), (2.8) для F Е Lo, 8))

9F+Gfn=yF(KHG(Xy)XRX6,^(2.23)

R

II 9f+g к - ^+G f Пн = J IF ^ + G (X) I2 %Rx6n (X) XR

X d(E (X) f, })h -■> 0, n-> oo.

Кроме того, Л 1 im (9F + 9о) fn = Hm 9Р^о k^ так KaK 3 lim ^pk- Ц-*<юП-♦ cofl-*oo

aiimS^cfn в силу аргументов типа (2.23). Это показывает, что ^®((9р + (foY) и 9 f-v-g $ == (9 р А-Зак к Требуемое включение доказано. Итак, 9f+g = Фр + ^с)~.

Перейдем к доказательству равенства (2.22). Прежде всего заметим, что VygSR справедливо соотношение

(Е (у) 9а f, gof)H = ^G (X) |2 Xv (X) d (Е (X) /, /)„ (/ € ^ (^)). (2.24) R

Действительно, для G^Lm согласно 3), 2) (для ограниченных функций) имеем (Е(у)^о1, 9сПи = (9д97л;9сП Пн = wai^H Пн* а это и есть соотношение (2.24). В общем случае G^LQ запишем (2.24) для срезки Gn, а затем перейдем к пределу при N-*co. Этот предельный переход возможен слева, так как yGNf-*9cf в силу (2.17), а справа — в силу оценки |Gw(X)|2 с |О(Х)|2и включения f^®^)-

С помощью (2.24) нетрудно заметить, что

@ ^f 9с) = 0 (М" D ®(9сУ(2.25)

В самом деле, на основании (2.24)

@^e9g) = UW9g)\9gK®M = ^®(9g)\^ ^(Х),2 х R

Xd(E (X) 9 Gt 9g Пн < оо } = {/ е & $й 15 \F ^ Г2 х

X 16 (X) I2 d (Е (X) f, Пн < оо} = & ^eg) П ® №

Из (2.25) вытекает, что 9f9g^9Fg. Так, пусть ]£®(9е9с)'= ^®19Fch V\@<9gY

Для срезок можно, очевидно, написать: Jfn JgmI = ^fngmI- Перейдем в этом равенстве к пределу при Л4->оо. Поскольку Эд^-^цП a 9fn непрерывен, то слева получим 9fn9gH Справа получим 9FNabK@l9FNd) = ®fng из-за ограниченности FN. Далее нужно перейти к пределу при М —> оо под знаком интеграла в выражении || 9FngJ — 9pNGf \\2н (записанном как интеграл согласно 5), см. 8)). Итак, 9еы9с!—9емо1 (N >-0).

Теперь переходим к пределу при Х->оо в последнем равенстве. Это возможно, так как f^®(^Fc)- В результате получим, что на рассматриваемых / 9е9^ = 9еоП Включение 9f9g^9fg доказано.

Включение 9Fg G (9F9G)~ доказывается подобно включению 9f+g е ^9f + 9(;)~ в первой части теоремы. Именно, обозначаем множества <х,г, построенные при доказательстве леммы 2.1, для F, G, FG соответственно ап, рп, у„. Полагаем 6n = а„ Q Р« Д у,г (нЕИ); б^баЗ... , пб„=0. Далее, для f ^® {9Fg) = ®fg строим последовательность /л= Е (R\6n) f^® (9 eg) fl ® ^f) П ® ^gY Опа, как легко понять, и будет давать требуемую аппроксимацию. ■

Замечание 2.1. Если в теореме 2.2 одна из функций F, G ограничена, то в равенствах (2.21), (2.22) справа не нужно брать замыкание. Так, пусть, например, G^L„, тогда оператор 9С ограничен и (#f + 3G) = @ (yF), ® (9Fya) = a $v^ и тогда уже в первых частях доказательств формул (2.21) и (2.22) мы будем получать не включения ^f + ^gS^f+g- ^f^gS^fg, а равенства операторов. ■

Как и при интегрировании по скалярной мере, полагаем (Уа£Э1,

J F (X) dE W = ^F (X) Х« (X) dE (X). (2.26) а К

Интегралы вида (2.26) будут часто фигурировать. Область определения такого интеграла, разумеется, записывается формулой (2.13), в которой R заменено на а. Подчеркнем также, что интегралы (2.17), (2.13) не изменяются при изменении подынтегральной функции на множестве меры Е, равной нулю.

Введем следующее важное определение, обобщающее понятие ограниченного нормального оператора (см. § VIII.5). Оператор А, действующий в гильбертовом пространстве Н, называется нормальным,если он плотно задан и коммутирует со своим сопряженным;

ДД* = А* А. (2.27)

Ясно, что самосопряженные и унитарные операторы нормальны. Справедливо следующее важное утверждение: V F £ Lo оператор (2.17) является нормальным.

В самом деле, согласно теореме 2.1 оператор Вх = (S^f)* S^f = = 3C9f, а согласно теореме XII.7.3 он замкнут. Поэтому равенство (2.22) сейчас дает: Вх = BX = 9\F\=. Кроме того, аналогично в силу замечания после доказательства теоремы XII.7.3 получаем: В» = ^f 19 Fy = S^iFp. Таким образом, Вх = В^, т. е. оператор 9р нормальный. ■

Подчеркнем, что если F, G^L^ (или более обще: F£Lm, G^L0\ то операторы 9F, 91; коммутируют (см. 2) и замечание 2.1). Если Е,_О£Ц, то коммутация несколько условная: 19F9uy = = $g9fY". Это вытекает из (2.22).

ОБРАЗ РАЗЛОЖЕНИЯ ЕДИНИЦЫ И ЗАМЕНА

ПЕРЕМЕННЫХ В СПЕКТРАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛАХ.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЙ ЕДИНИЦЫ

Здесь будет пояснено, как делать замену переменных в спектральных интегралах и строить декартовы произведения разложений единицы. Конструкции эти аналогичны случаю скалярных мер (§§ IV.2, V.4).

Образ разложения единицы. Итак, пусть (R,^— измеримое пространство, R'—некоторое другое пространство точек X', р', .. и R Э А- <р (X) £ R' — фиксированное однозначное отобра-

женис /? в R'. Без ограничения общности можно считать, что ф (/?) = = R'. По 91 и ф на R' определяется стандартным образом о-алгебра 91', состоящая из всех множеств а' = R', для которых полный прообраз ф-1 (а') £ 91. В § V.4 было показано, что 91' действительно является о-алгеброй. Итак, построено измеримое пространство <R\ 91').

Предположим, что па <R, 91) задано некоторое разложение единицы Е. Существует стандартный способ построения по нему разложения единицы Е' па (R', &') — образа Е. Именно, положим

91' Э а' Е' (а') = £(дг' (а')).(3.1)

Нетрудно проверить, что операторнозиачная мера (3.1) является разложением единицы, т. е. удовлетворяет требованиям а), б) из § 1: а) совершенно очевидно, а б) следует из равенства

Е* (U а)) = Е (ф-1 (U а))) = £ ( Ц ср-1 (а/)) = /=1/=1i=\

= S Е (ср-1 («/))= s E'(a'i) (а) £91'; а) Л <4 = 0, j^k) (3.2) /=1/=1

(здесь мы воспользовались тем, что <р-1 (U «/) = U ф-1(а/) и мно-

жества ф"л(а;) взаимно не пересекаются (см. § V.4).

Пусть R' Э X' I-* F' (X') £ ^ U {оо)— некоторая функция, заданная на R'. Образуем функцию на R, полагая R^Xi-*?' (ф(Х)) = = (^'Оф) (1)€ С U{°°), т. е. беря суперпозицию двух отображений Ф и F'. Для любого борелевского множества 6^(0 включение (F')-1 (8) £ 91' эквивалентно тому, что (F' О ф)'1 (6) £ 91 (так как Ф-1 ((£')""* (z)) = (F'Оф)"1 (z) (zE О), поэтому функция F' будет измеримой относительно 9?' тогда и только тогда, когда £'Оф измерима относительно 91.

Следующая теорема дает правило замены переменных в спектральных интегралах.

Теорема 3.1. Пусть Lo (R’, 91', Е1') — совокупность измеримых относительно 91' Е'-почти везде конечных комплекснозначных функций на R'. Если F'^L^R'. 91', Е'), то Р'Офб^о^, 91, Е) и справедливы формулы замены переменных:

$ F' (<р (X)) dE (X) = J F' (X') dE' (X') =(3.3)

RR'

® ^F,) = {/ € Н | J | F' (ф (X)) |2 d VE^ h ^н < оо} =

R

= V € Н | J I F- (X') |2 d (£' (Г) f, Пн < оо} .(3.4)

R'

Доказательство. Пусть а' = {X' ^R' \F* (X’) = оо), тогда Ф-1 (а') = {Х£ R jF' (ф (X)) = оо). Поэтому равенство Е (ф-1 (а')) = 408

= £'(«') = 0 означает £-почти везде конечность функции 7'Оф. Первое утверждение теоремы доказано.

Равенство (3.3) в случае простых функции F'£S(R', 9?') сразу следует из определения интеграла (2.3) и разложения единицы Ее (3.1): для разбиения R' на непересекающиеся множества ад Е 9?'

п «

J F' (X') dE' (X') = J (£ Fl ^ (X')) dE' (X') -У^Е' (o^) =

Д' R* /3=1 1 6=1 п n

= £ FIE (v1 (al)) = J Щ Р1%ф-Ча^ dE (X) = $ F' (ф (X)) dE (X).

fe-Y R k=Y R

Здесь мы воспользовались тем, что для a's R': Ха'(ф (X)) = —1 %(р—1 (оС) (X).

На функции F' из класса L^ (R', 91') равенство (3.3) распространяется очевидным образом путем предельного перехода при равномерной аппроксимации F' Е L„ (R', 9i') посредством /ф Е GS(R', 91').

В случае F' Е Ц (R’, 9Т, Е') используется предельный переход (2.17), при этом нужно иметь в виду соотношение F^ (ср (X)) = = (F' О ф)л, (X) и равенство интегралов в (3.4). Такое равенство обеспечивается обычной заменой переменных в интеграле по скалярной мере. ■

Произведение разложений единицы. Остановимся еще на одной общей конструкции, связанной с разложением единицы,— на прямом произведении.

Пусть <RV 910, <^2, 91я> — два экземпляра измеримых пространств, на которых заданы соответственно разложения единиц Еъ Ей, значениями которых являются проекторы в одном и том же гильбертовом пространстве И. Предположим, что Ev Е2 коммутируют, т. е. Vc^E^x, Va2E9?2 коммутируют операторы Е1(а1), Ей (а2).

Можно, подобно случаю скалярных мер, пытаться строить на пространстве R = R, X R2 прямое произведение Е разложений единицы Ег и Е2. Точнее, обозначим через 91 прямое произведение 91, X 912 a-алгебр 91,, 912, составленное из всех множеств в RxXR2, входящих в a-оболочку всевозможных прямоугольников at X а2 («! Е 9tv a2 Е 912) (см. § IV.1). Требуется построить разложение единицы Е на измеримом пространстве (R, 91) такое, что

Е (at X a2) = Ег (ах) Ег (a2) (ax Е 9ti, a2 € 9?2) (3.5)

т. е. мера Е прямоугольника — произведение соответствующих мер его двух сторон). Отметим, что в силу коммутируемости Е^а^), Е2 (а2) оператор (3.5) — проектор. Такое Е называется прямым произведением Ev, Е2 и обозначается Е = Ev X Е.,.

Несколько неожиданным оказывается, что в отличие от скалярного случая прямое произведение Е существует не всегда. Тем не менее в «хороших» случаях оно существует.

Так, пусть R— полное метрическое сепарабельное пространство, 91 = 95 (7?) — 0-алгебра его борелевских множеств. Разложение единицы, определенное на % (Е), называется борелевским.

Теорема 3.2. Пусть Ev Ег — два коммутирующих борелевских разложения единицы в пространствах Rlf R2 соответственно. Тогда существует однозначно определяемое условием (3.5) разложение единицы Е = EtX Е2, заданное на 91 = % (Rt X R^.

Прежде чем доказывать эту теорему, напомним следующий факт (§ VL8): всякая скалярная конечная мера 85 (Е) Э « ,-»- р (а) > О автоматически является регулярной, т. е.

р(а) = inf ^р(о)} оз а, о — открыто} (а£58(Е)).(3.6)

Переходя к дополнениям, легко убеждаемся, что (3.6) эквивалентно соотношению

р(а) = sup(р(<р) |<р2а, <р —замкнуто} (а£95(7?)), (3.7) более того, в (3.7) sup можно распространять лишь по компактам Ф 2 а.

Доказательство. Обозначим через 91' алгебру, натянутую на совокупность всех прямоугольников <xtX а2 (ах € ® (7^), а2 € $ (R^- Функция Е (а, X а2) — Ег («Д Е2 (а2) по аддитивности однозначно распространяется до конечно аддитивной операторнозначной функции Ш' Э a i-> Е (а), что доказывается обычным рассуждением, как и в случае скалярной меры (§IV.2). Каждое значение Е (а) (а £ 91') — проектор, так как а представимо в виде объединения конечного числа непересекающихся прямоугольников ах X а2, и поэтому Е (а) равно конечной сумме проекторов Е (а^г), которые взаимно ортогональны в силу соотношения ортогональности для Ег и Е2. Таким образом, 91' Э а'-> Е (а) является проекторнозначной конечно аддитивной функцией множеств на алгебре 81', Е (0) = 0 и Е (Ei X R^ = й- Докажем, что она счетно аддитивна.

Заметим, что для каждого прямоугольника сх1Ха2 (ai£®№)> “аб5®!^)), f£H и е>0 можно найти два таких прямоугольника вида огхо2 и ф! х Ф2 (01 2 av о2 2 а2 — открыты, фх2 av ф2 s а2 — компакты), что

(Е (от X о2) (, ()н — (Е (аг X а2) f, f)н < е, (3.8) (Е(агх а2Н, Ьн—СЕ^ХЧаН, Ьн <8.

Установим, например, первое соотношение. Пользуясь сказанным относительно регулярности скалярных мер на ®(Ei) и 95 (Е2), подбираем по 6>0 открытые Oj 2 ап о2 2 а2 так, чтобы (Ег х X (оАлН, Пн<5, (Е2 (o2\a2)f, ))н<Ь. Поскольку (OtXo^X^x X a2) =((o1\al) X o2) й(ах X (o2 \a2)), to

(E(otXo2H, bH — UHa-vXa.^, [)h = (E ((о^а^ X o2)f,f)H +4- (E (a, X (o2\a2)) f, П» = (^i (^i\“i) E2 (o2) f, Пн ++ (^i(ai)52(o2\a3)/, Г)ц < Ц /||н(||Е1(о1\ос1)/|]н4-

+ II Ег (о2\а2) f Ин) = II f Ц„ ((Ех (01\«1) А П^ ++ (Е2 (о2\а2)/, /)/'/')< 21|/||н 6^.

Беря 6>0 достаточно малым, получаем требуемое.

Пусть теперь ап а2, . ..£94' взаимно не пересекаются и таковы, что а = У а*£94'. Для доказательства счетной аддитивности Е 6=1

достаточно убедиться, что при любом / £ Я

(E(a)f, Пн«^Е^{. Пн(3.9)

(противоположное неравенство следует из конечной аддитивности и монотонности функции 94'3 р1**^ (₽) А /)ц > О, поэтому (3.9) означает равенство этих выражений). Доказательство (3.9) подобно изложенному в § 1.9 и 1.11 и выглядит так.

Поскольку а равно объединению конечного числа непересекаю- щихся прямоугольников, то, применяя к каждому из них второе неравенство в (3.8), находим по заданному е>0 такой компакт 94' Э ср <= а, что (5 (а) f, Пн — (Е(<р)П Пн<е. Аналогично с помощью первого неравенства в (3.8) можно для каждого ££И найти открытое множество 9ГЭо*э а* такое, что (5 (о*) А Пн — — (£(«б)А f)n<e/2C Семейство (о*)^, покрывает ф. В силу

п

компактности ср (Зн € И); У Об 2 ф. Отсюда и из монотонности 6=1

и конечной полуаддитивности скалярной меры с помощью двух последних неравенств получаем

п

(Е (a) f, Пн «Е (ф) /, /)н + в < (Е (U о») П Пн + е < 6=1

< S (Е(Об) h Пн + гсЯ (Е(ak) И Пн + 2е.

6=16=1

Переходя здесь к пределу при 8 -> О, получаем (3.9). Счетная аддитивность Е доказана.

Таким образом, на алгебре 9Г построено разложение единицы Е, Продолжим его по теореме 1.3 до разложения единицы Еа па (9Т)0= = 94; это разложение единицы, очевидно, будет требуемым. Равенство 94 = S ^Rx X RH вытекает из определения топологии в Ri X R2. в

Разумеется, приведенный результат справедлив и для любого конечного числа разложений единицы. Он может быть обобщен и на случай их бесконечного числа.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Ех> Е^— разложения единицы на (IR, В (IR)) из примеров 1.1 и 1.2 соответственно. Найти образы этих разложений единицы при отображении: а) <рх (А) = А3; б) <р2 (А) — А2.

Пусть Д1( ,.. , Еп— попарно коммутирующие борелщ ские разложения единицы в пространствах RTRn соответственно. Доказать, что на п/ п \

( X R^, ® I X ЯД) Hi разложение единицы Е такое, что (Уаб€®№) ft = 1 \fe = 1/>

й = 1, ..., п):

Д (^ X ... X a„) = £i (aj .. . Еп(an) = ( X X aft |.

\fe = l /\6 = 1/

Пусть (Дп)”^,—последовательность попарно коммутирующих разложений единицы на (IR, 25 (IR)). Рассмотрим совокупность С множеств из IR” = IR х IR X ... вида (a X IR” | а £ 25 (IR"), п£ И} (такие множества называются цилиндрическими). Определим па (IR“, С) проекторнозначную функ- \

X ЯД (а). 6=1 /

Доказать, что: а) 6 — алгебра множеств; б) Е является разложением единицы па (IR“, С). Продолжение Д на йа называется произведением

X Е^ бесконечного числа разложений единицы Ev Е2, ... .

§ 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

ДЛЯ ОГРАНИЧЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Представляется целесообразным начать построение спектрального разложения для случая ограниченных самосопряженных операторов, где оно выглядит наиболее простым и естественным. Существуют различные доказательства спектральной теоремы. Приведем одно из наиболее поучительных: «спуск на спектр» в теории аналитических функций от операторов (§ Х.4). Начальные шаги конструкции полезно провести для общего ограниченного оператора с вещественным спектром.

Спектральная теорема. Пусть в гильбертовом пространстве Н действует ограниченный оператор Л, спектр 5 (Л) которого — множество (замкнутое) на конечном интервале (а, Ь) с: Щ. Обозначим через Rz = (Л — z{D-1 (z £ (С \S (Л)) его резольвенту.

Пусть К (г)— аналитическая функция, определенная в некоторой (комплексной) окрестности интервала [а, 6]. Совокупность всех таких функций обозначим через j3 ((a, 6)). Для любого замкнутого контура у, охватывающего спектр S (Л) и лежащего в области определения функции Р, можно построить интеграл

<4Л)

V

Как мы знаем (§ Х.4), этот интеграл не зависит от выбора кон- тура у указанного типа. Отображение

j/ ((а, 6)) Э F F (Л) € 3? (Д)(4.2)

является гомоморфизмом алгебры функций ^ ((я, 6)) в алгебру ^(Д) ограниченных операторов в Н, переводящим функцию F (z)= =s 1 в единичный оператор, а F (z) = z — в оператор А.

Рис. 9Рис- 10

Напомним, что ^' ((а, 6)) является алгеброй относительно обычных алгебраических операций: ^VF, G ^^ ((а, 6))) : (F + G) (г) = = F(z) + G(z), (FG) (г) = F (z) G (г), где функции F + G, FG определены на пересечении областей определения функций F и G (заметим, что постоянные входят в ^ ((а, 6))).

Таким образом, высказанное утверждение означает выполнение равенств

(F -VG)(A) = F(A)-FG(A),(FG)(A) = F(A)G(A),(4.3)

1(Л)-Ц, z(A) = А.

Лемма 4.1. Справедлива следующая формула, в которой предел понимается по норме операторов;

h

F^ ^^f F(X)(Rx^a-Rx-iAdX =

ь

= lim-- ^F(X)Rx+iaRx_ledX (F £Л ((a, b))).(4.4)

е->4-0 л J

Доказательство. Выберем в качестве контура -у в формуле (4.1) контур, указанный на рис. 9, с е > 0 достаточно малым, а затем разобьем его указанным способом на дуги ?i,...,?<• Пусть Ik— интеграл (4.1) по ул. Получаем

F (Л) =^ ф F (z) Rz dz = It +I2 4- I3 -|- It =

v bb

e= —2S J F^"- i^R-x-u.dX 4- 2HzJ^(^+ <e)Rx+tedX +

Qa

b

4* Л + Л ~ 2л7 J ^F (^\f-ZK) Rm-«i — (^ —ze) Rx—ie)dX 4-13 4" Л-

Оцепим интеграл /2. Так как точки на у2 находятся на положительном, не зависящем от е расстоянии от спектра 5 (А), то ||Fy|<£Ci для г£у2 равномерно по е. Так же |F(z)| С с2 Для z€y2 равномерно по е, где е>0 достаточно мало. Теперь ясно, что ||/2||с «ел'1^. Аналогично оценивается /4. Из этих оценок следует, что по норме операторов

ь

F (А) = Нт ^ J (F (X + Ze) Rx+£e — F (X — Ze) Rx_ie) dX. (4.5) а

Чтобы перейти от представления (4.5) к левому из равенств (4.4), нужно доказать, что

ь

Ф (в) = || $ (F (X + «8) — F (X)) Rx+ie dX || E-roO, (4.6)

и аналогичное соотношение с заменой X + ie на X — Ze. Докажем (4.6), второе соотношение устанавливается подобным образом.

Обозначим через 6И горизонтальный отрезок, соединяющий точки а 4-Ze, b 4- /е, а через хе— путь, соединяющий эти же точки и проходящий через a4-Ze0, b4-Ze0 (см. рис. 10); х0 = хе при 8 = 0. Благодаря аналитичности функции от z F (z) — F (г — Ze) (е£(0, е0], 80 > 0 достаточно малое фиксированное) и аналитичности Rz вне спектра S(A) получим требуемое:

J (F (X 4- is) - F (X)) Rx+ie dX = ^F (z) — F^z — is)) Rz dz =

°6e

= j (F (z) — F (z — Ze)) Rz dz; <p (e) = j| ^ (F (z) — F(z~ is)) x

X Rz dz || c 5 \F (z)~ F(Z— is) 11| Rz [| ds c j | F (z) — F(z —Ze) |X

X || Rz || ds с c max {| F (z) — F (z — is) 1| z £ x0} -> 0.

e--0

Здесь мы воспользовались тем, что путь х0 удален на положительное расстояние от S (А) и поэтому ||/?2|| (г£х0) ограничена.

Правое из равенств (4.4) непосредственно вытекает из формулы Гильберта Rz— R^ = (z— ^)RzRt (г, С — регулярные точки) (§ VIII.8). *

Формула (4.4) показывает, что функция F (А) от оператора А вычисляется при помощи скачка резольвенты на спектре. В зависимости от характера резольвенты, в частности ее поведения вблизи спектра, предел в (4.4) может существовать и для более широких классов Wфункций F (X), чем аналитические в окрестности спектра, и поэтому этот предел можно принять в качестве определения функции F (А) от А при F ^W. Если в W входили бы индикаторы х«(^) множеств a s IK, то операторнозначная функция множеств a i->-

Ха (А) = Е (а) была бы типа разложения единицы.

Именно так будет сейчас получено разложение единицы для самосопряженного оператора. Для других операторов при определенном поведении резольвен ты вблизи спектра в качестве W можно брать достаточно гладкие функции. Это также дает некоторые представления типа спектральных, но на этих вопросах мы останавливаться не будем.

Теорема 4.1. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор. Тогда на о-алгебре % (Щ) борелевских множеств на оси определено разложение единицы Е такое, что справедливо спектральное представление

A^XdE(X).(4.7)

'|R

Доказательство (4.7) приведет к мере Е, сосредоточенной на конечном интервале, охватывающем спектр А, поэтому пределы интегрирования в (4.7) в действительности конечны. Более того, позже будет доказано, что IR в (4.7) можно заменить на спектр S (Л) оператора А.

Итак, пусть оператор А самосопряжен. Тогда R* = ((/1—z^L)"1)* = = (Л*— zd)-1 = R- и формулу (4.4) можно переписать в виде

ь

FtA^Vnn F^Rt+ieRx+udk (Е^Л^а, Ь^.(4.8)