Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА I
ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВС ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ
Эта глава состоит из десяти параграфов. Основной ее массив (§§ 2—8, 10) посвящен геометрии пространств Крейна — главной арены действия линейных операторов, изучаемых в этой книге. При этом центральным является § 8, в котором подробно развит метод угловых операторов Гинзбурга — Филлипса и приведены некоторые (пока — чисто геометрические) его применения. Все изложение главы построено на базе § 1, где дан краткий очерк теории линейных пространств с произвольной индефипитпой метрикой (эрмитовой полуторалинейпой формой). Важнейший частный случай пространств Крейна — пространства Понтрягина Пх— изучаются в специальном § 9, однако в примерах они фактически встречаются уже гораздо раньше (начиная с § 4).
В более компактной, чем обычно, форме изложена теория ортогонального проектирования ■ и проекционной полноты подпространств до максимальных. Новым является также в § 10 вопрос о разложении подпространства относительно равномерной дуальной пары..'
Что касается некоторых обобщений пространств Крейна и Понтрягина, то они освещены в конце §§ 6 и 9 соответственно. При этом предпочтение здесь отдано тем из них (Ж-пространства, G-пространства), которые впоследствии используются в теории операторов в пространствах Крейна и Понтрягина.
Линейные пространства с эрмитовой формой
Пусть 6 —векторное пространство над полем С комплексных чисел и на б задана полуторалипейная эрмитова форма Q(х, у), т. е. отображение Q: 6X6-* С, линейное по первому аргументу:
Q ^Хг + Хах5, у) XxQ (xv у) + ^Q ^хг, у)
^xv хг, уе 6; Хп Х2еС) (1.1) и эрмитово симметричное:
Q(U, х) =Q(x, у) U,ye^. (1.2)
Из (1.2) и (1.1)’ следует
Q (^ Н1У1 + ^2Уг) = ^iQ & У^ + ^Q (ж, у^
(ж, yv уа (= К; Их, ц2 е С)
— так называемая полулинейность (или антилинейностъ^ формы Q (х, у) по второму аргументу.’
□ Пример 1.1. Пусть б — векторное пространство над полем С, состоящее из всех финитных бесконечных последовательностей х = (§ь §2, ..., §„, .. J комплексных чисел (£„ = 0 при п > N^ с естественным (покоординатным) определением линейных операций, a {ai, a2, ..., an, .. .1 — произвольная бесконечная последовательность вещественных чисел (an е 0?, п = 1, 2, ...). Зададим форму Q^x, у) на @ следующим образом: если х = {Ы”=1 е б, у = {т]п}п=1 е @, то
Q (^ У) = S «»^п.'(1.3)
П=1
Ясно, что Q^x, у) удовлетворяет условиям (1.1) и (1.2), поскольку для каждой конкретной пары х, у е б формально бесконечная сумма в правой части (1.3) превращается в конечную сумму, обладающую обычными свойствами полуторалинейной формы. ■
Континуальным аналогом приведенного примера является
□ Пример 1.2. Пусть б — линейное пространство всех финитных непрерывных комплекснозпачных функций, определенных на всей вещественной оси R. Форму Q введем формулой
Q^ У) = J х (t)~y(t) da (t)(ж,уеб), (1.4)
где- о(t) — произвольная фиксированная вещественная функция, заданная на R, с ограниченной вариацией на каждом конечном интервале. ■
Эрмитову форму Q(x, у) со свойствами (1.1) и (1.2) называют Q-метрикой. Нам удобно будет ввести для нее и более краткое обозначение
[^ у] = <Ж У^ (ж, уе@).(1.5)'
Всюду в дальнейшем в этом параграфе под 6 понимается векторное пространство с ^-метрикой [х, у]. Заметим, что форма Q(x, у), вообще говоря, индефинит-
на, т. е. (см. (1.5)) вещественное число [ж, a:] = ^(j;, я) может иметь любой знак. Это дает основание называть (7-метрику [ж, у] также индефинитной метрикой. Введем следующую классификацию векторов и линеалов (т. о. линейных подмножеств) пространства 6; при этом договоримся, что на протяжении всей книги прописная готическая буква й (возможно, с индексами: й+, й~, йь й°, ЙЛ(Л) и т. п.) всегда обозначает линеал.■
Определение 1.3. Вектор ж(е@) назовем положительным, отрицательным или нейтральным в зависимости от того, будет ли [ж, ж] > 0, [я, а:] < 0 или [ж, ж] = =0 соответственно.
Ясно, например, что для вектора х = 6 (нулевой вектор) имеем [6, 6] = 0, т. е. 0 — нейтральный вектор, однако обратная импликация, вообще говоря, неверна: из. нейтральности вектора х пе следует, что ж = 0. Наличие или отсутствие в @ ненулевых нейтральных векторов зависит от свойств ^-метрики, о чем речь пойдет ниже в п. 4.
Положительные (соответственно отрицательные) и нейтральные векторы объединяются общим термином неотрицательные (соответственно неположительные) векторы.
Замечание 1.4. Как следует из свойств ^-метрики, неотрицательные, неположительные и нейтральные векторы сохраняю^ соответственно свою неотрицательность, неположительность и нейтральность при умножении на произвольный скаляр % е С- Так же ведут себя положительные и отрицательные векторы при умпоже^ нии на ненулевой скаляр X.
Множества всех положительных, отрицательных и нейтральных векторов пространства б обозначим соответственно через ?++(@)^ф++, $ (6) = $ и ^’(б)^ ^ $°, т. е.■
ф++ = {ж|[а;, ж] > 0), $ = {ж|[ж, ж] < 0),
$° = {ж1к ж] = 0}.(1.6)
Обозначим также через
£+(($)= ф+Еф++иф°, £-(($) = ф~^ К" U£° (1.7) множества всех неотрицательных и неположительных векторов из 6 соответственно. Очевидно, что $+ П ф~ = $’, однако не следует забывать, что любое из этих трех множеств в зависимости от свойств (7-метрики может сводиться к (6), а множество ф++ или ф может быть даже пустым. .
Определение 1.5. Линеал 8(с=6) назовем неотрицательным, неположительным или нейтральным, если 8 с ф+, й с $- или 8 с ф° соответственно. Все эти три типа линеалов объединяются общим названием семидефинитные линеалы.
Ясно, что нейтральные 8 являются неотрицательными и неположительными одновременно.
Определение 1.6. Линеал 8 называется положительным (отрицательным), если 8 с ф++и {0}(8 с
СФ U {0}). Положительные и отрицательные линеалы объединяются общим названием «дефинитные линеалы». Напротив, линеал 8, содержащий как положительные, так и отрицательные векторы (8 П ф++ Ф 0, 8 Л ф ^0), называется индефинитным.
Пусть заданы два векторных пространства 61 и 62 с ^i-метрикой и ^2-метрикой соответственно:
[ж, У11 = <21 (ж, У)(ж, У е ©О;'
[и, п]2 = Q2 (и, и)(и, уе62).
Определение 1.7. Пространства @i и 62 называются (Qi, Q2)-изометрически изоморфными, если существует линейное биективное отображение1) Т". 61 -*■ 62 такое, что
[ж, у]. = [Тх, Ту]2 (х, уе б,).
Из этого определения, в частности, следует, что множества ^t, ФГ, Ф°, Фь+, Ф" (k = 1, 2) в пространствах ©! и 6t соответственно связаны соотношениями ф£ = т^, ф^ = Тф?, ф^ = Т^. Тот же оператор Т, именуемый (Qi, (^-изометрическим изоморфизмом, осуществляет взаимно однозначное соответствие между всеми неотрицательными (неположительными) и, в частности, положительными (отрицательными) линеалами пространств 6t и 62 соответственно.
Аналогичным образом вводится понятие (<2i, Q2)-косоизометрического изоморфизма S между теми же пространствами 61 и 62. Этот линейный биективный оператор S: 61 -*■ 62 действует так, что.
к уЪ = “[^, 8уК (х, ye@t).
’) На протяжении всей гл. I мы придерживаемся традицион- жой символики (ср., например, [XII]) для отображений, т. е. т-.ех-*е2 означает, что отображение Т задано на всем Si, а соответствующие образы лежат в S2. Ниже, начиная с гл. II, нам удобнее будет трактовать символ Т: Si ->- S2 несколько шире (см. гл. II, § 1, п. 1).
14.
Нам нередко придется пользоваться этим понятием в следующем частном случае:
Определение 1.8. Если 6 — пространство с Q- метрикой [ж, у], то для пего антипространством называется ((), Q^ -косоизометрическое пространству 6 пространство 6„ совпадающее с 6 как множество, но с 9i(= — 9)-метрикой:
91 (^, У) =-9(ж1 У) = -к у] (^ у^® = ®1).
Вернемся к вопросу о ненулевых нейтральных векторах.
1.9°. Если й (с@) индефинитен, то он содержит ненулевые нейтральные векторы.
□ Пусть х, у ей и [ж, ж] > О, а [у, у] < 0. Рассмотрим функцию ср вещественной переменной т (—00 < т <
ф(т) = ,[(1 — т)ж + ту, (1 — т)ж+ту],
(т. е. квадратный трехчлен).
Поскольку ср непрерывна всюду в R, ф(0) = [ж, ж] > 0, а ф(1) = [у, у] < 0, то существует т0 (0 < т0 < 1) такое, что ф(то)=О, т. е. вектор z = (1 — т0)ж + тоу (гй) нейтрален. При этом z ^ 9, ибо векторы х и у линейно независимы (см. замечание 1.4). ■
Предложение 1.9° не допускает обращения, поскольку ненулевые нейтральные векторы содержатся не только в индефинитном, по и в любом семидефипитном (но не дефинитном!) линеале. В этом случае они играют особую роль, которая будет выяснена ниже в п. 6.
Определение 1.10. Векторы ж, у (е^ называются Q-ортогоналъными, если [ж, у] = 0. Этот факт обозначается символом [-L]: х [-Е]у.
Из (1.2) и (1.5) ясно, что введенное отношение симметрично; ж[-Р]р <=> y[_L];r.
Q-ортогоналъностъ множеств ЭД, 91 (с@) естественно определяется требованием х [-Е]у (для всех х е ЭД и у ® 91) и обозначается ЭД[-1]91(-^91 [-ЦЭД). В частности, если 91 сводится к одному вектору ж(91 = {ж}), то пишут просто ж[-Е]ЭД.
Определение 1.11. Q-ортогоналъным дополнением множества ЭД^е^ называется множество
ЭДШ = {ж|ж[-Е]ЭД}.
□ Из свойства (1.1) ^-метрики [ж, у] вытекает, что 2ВШ — всегда линеал (даже если ЭД—не линеал). Для
.любых множеств £Ш, 91 (с@) очевидны импликация 9)1 с К => вдш о gt'^i •(1.8)
и соотношения
9Ли] (1 9lU] с (9)1 + 91)[±],(1.9)
(9R (] 9l)I±]^9)lU1 + К[±],(1.10)
эдшш ^(1Л1)
где знак + между множествами обозначает алгебраическую сумму множеств 9R и 91, т. е. результат поэлементного сложения всевозможных пар 9R + 91 ^ {ж + у\х г ЗИ, У ^ 91), а 9)1Ш1±| = (ЗИШ)lJJ. Заметим, что если 8Ь 82 (с@) — линеалы, то (1.9) можно уточнить:
Sl±] П ^^ = (^4-«2)ш. ■ (1.12)
Определение 1.12. Вектор ж0(е8) называется изотропным, вектором Эля 8 (с@), если ж0 ^ 6 и ж0 [-*-]8.
Из этого определения следует, что любая ненулевая линейная комбинация изотропных векторов линеала 8 есть снова его изотропный вектор.
Определение 1.13. Линейная оболочка Lin {ж01 всех изотропных векторов ж„(е8) называется изотропным Эля 8 линеалом и обозначается 8°. Иными словами, 8°^8П8Ш,(1.13)
причем равенство 8° = {0} означает отсутствие в 8 изотропных векторов. Допуская вольность речи, мы будем иногда называть 8° изотропной частью линеала 8.
Определение 1.14. В случае 8° = {0} линеал 8 называется невырожденным, в противном случае — вырожденным.
Легко видеть, что всякий дефинитный 8 иевырожден, однако и индефинитный 8 может быть невырожденным.
□ При м е р 1.15. Вернемся к примеру 1.1 и предположим дополнительно, что «1 = — 1, a an = 1 (к ^2). Тогда двумерный линеал 8 = йп(еи е2)(сб), где е, = = (1, 0, 0, ...}, а е2 = (0, 1, 0, ...}, индефинитен:-[е„ ej = = ~ 1, fe2, е2] = 1 (см. (1.3)). В то же время 8 певырож- дсн, так как из соотношения ж0 = ^е, + X2c2[-L]8 следовало бы (в силу (1.3)), что 0 = [ж„, ei]=Xi и О=(жо, е2]= = Х2, т. е. ж0 = 0. Предоставляем читателю проверить, что в этом примере все пространство 6 — также невы-
рожденный (и, как мы вйДеЛИ, индефинитный) линеал. ■
Примерами (но далеко не единственными) вырожденных линеалов являются все (=^{0}) семидефинитные линеалы, отличные от дефинитных. Чтобы в этом убедиться, заметим, что сужение (^-метрики [ж, у] па любой семидефипитпый й подчиняется неравенству Коши — Бупяковского:
°. Если й семидефинитен, то
1[ж, у]Р < [ж, ж][у, у] (ж, у ^ й). (1.14)
□ Доказательство немедленно следует (в .случае неотрицательности й) из рассмотрения неотрицательной при всех £, цеС эрмитовой формы
(0^) [^ж + цу, £ж + цу] =
= [ж, ж]|^1 + [ж, у]£ц + [у, ж]^ц + [у, у]IцI2, для которой неравенство (1.14) есть запись неотрицательности ее дискриминанта. В случае неположительности й к тому же выводу придем, рассматривая форму (-к у]). ■
Из 1.16° немедленно следует предложение
°. В семидефинитном й всякий нейтральный вектор жо(^0) является изотропным. В частности, на нейтральном й форма [ж, у] = 0.
□ Если (0¥=)жоей и Гж0, хо] = О, то для любого у ей в силу (1.14) имеем ][ж0, у]|2 =5 [ж0, ж0][у, у] = 0, т. е. ж0[Х]й. ■
Каждый из классов линеалов в @, описанных в предыдущих пунктах, содержит некоторые специальные линеалы, представляющие для нас в дальнейшем особый интерес.
Определение 1.18. Положительный й(с@) называется максимальным положительным, если для любого положительного й, = й имеем Й1 = й. Аналогично определяются максимальные неотрицательные, максимальные отрицательные, максимальные неположительные, максимальные нейтральные и максимальные невырожденные линеалы.
Для всех названных классов линеалов справедлив один важный принцип, который мы сформулируем и докажем для положительных линеалов (для остальных классов формулировки и доказательства совершенно аналогичны). .
Теорема 1.19 (принцип максимальности). Всякий положительный линеал й содержится в некотором максимальном положительном линеале ^max.
□ Рассмотрим множество Ж = (й) всех положительных линеалов й пространства 6, содержащих й. Это множество непусто: й еЖ. Введем в нем частичную упорядоченность (<) по включению, т. е. для й„ й2 е Ж положим й, ■< й2 тогда и только тогда, когда й, с й2. Покажем, что в Ж любая цепь (т. е. л ин е й п о упорядоченное подмножество) ограничена сверху. В самом деле, для такой цепи 25 верхнюю границу получим, объединив все элементы цени, т. е. все содержащие 25 положительные линеалы, входящие в 25. В силу линейной упорядоченности 25 это объединение снова будет положительным линеалом, содержащим й, т. с. элементом множества Ж, а по построению оно содержит все линеалы цепи 25, т. е. является для 25 верхней границей. На основании леммы Цорна множество Ж содержит хотя бы один максимальный элемент йтах, который, очевидно, и будет искомым максимальным положительным линеалом, содержащим й. ■
Замечание 1.20. В дальнейшем будет показано, что в наиболее важном для нас. частном случае, когда пространство б с индефинитной метрикой [ж, у] является так называемым пространством Крейна (см. § 2), реализация принципа максимальности для семидефинитпых линеалов не требует применения леммы Цорна, а конструкция соответствующего «максимального объекта» может быть осуществлена эффективно.
Заметим также, что любой линеал й (с@) можно рассматривать снова как пространство с ^-метрикой, содержащее поэтому, возможно, положительные, отрицательные и т. п. линеалы, для которых в свою очередь действует (локально, т. е. внутри й) принцип максимальности.
Рассмотрим произвольный вырожденный линеал й (с@) и его изотропный линеал й° (^{б0}). Как известно, существует бесконечное множество разложений й в прямую сумму
й = й0 + й„ (1.15)
где й, — какое-нибудь (алгебраическое) дополнение к й°. Из того, что сумма (1.15) прямая, т. е. й° П й, = (0), а в й" собраны все изотропные для й векторы (см. определение 1.13), следует, что при любом выборе дополнения Й1 этот линеал невырожден. Более того, имеет место
1.21°. Во всяком разложении (1.15) произвольного линеала й, где й° — его изотропный линеал, й, является максимальным (ей) невырожденным линеалом. ■
1.22°. Всякий максимальный в й семидефинитный линеал i' содержит изотропный линеал й° (см. (1.15)). ■
Разложение (1.15) наталкивает также на построение факторлинсала й = й/й°, элементы которого (классы смежности) будем обозначать х, у и т. д. Каждый класс а: (ей) определяется любым вектором х^х (ж eg), как обычно, по формуле х = х + Й° (т. с х ={х + y}ySgoj Канонический гомоморфизм й й можно обогатить дополнительным содержанием, если с его помощью индуцировать из й в й некоторую ^-метрику по правилу
Q^t У) = Q^x, у), где хех,уеу. (1.16)
Нетрудно проверить, что это определение корректно, т. с. не зависит от выбора векторов х е х и у — у.
Введя снова краткие обозначения Ух, у] = Q (х, у) и [5, vT-Q^yY для любых Xt е х, yt^y имеем Xt — х = х„ s й°, У1 — у = Уое 8°, так что в силу изотропности векторов х» и у» будет [ж, у]~ = [ж, у] = = Ух + х0, у + у0] = I^i, У11- Отсюда прямо следует
1.23°. Линеал it из разложения (1.15) (Q, ^-изометрически изоморфен факторлинеалу й = й/й0 с Q-метрикой (1.16). ■ ■
Разложение (1.15) произвольного линеала й (с б) на изотропный (й°) и невырожденный (й,) линеалы порождает естественный вопрос о возможности дальнейшего разложения невырожденного линеала й,, если он индефинитен, в прямую сумму положительного и отрицательного линеалов. Нс углубляясь здесь в эту трудную проблему, породившую обширную литературу (см. ниже § 6), установим пока лишь несколько сравнительно простых фактов.
Прежде всёго, хотя далеко не всякий невырожденный линеал й разложим в прямую сумму й = й+ + й~ положительного (й+) и отрицательного (й-) линеалов (см. ниже пример 1.33), справедливо обратное утверждение:
°. Если й(с($) допускает разложение
(1.17)19(1.17)19Й = й+ Ч- 8-
(1.17)
19
(1.17)
19
в прямую сумму линеалов й+ (с ф++ U {6}) и 9г (<= $ U U (6)), то й невырожден.
□ Если ж0 г й и Жо[-*-]й, то, разложив ж0 согласно (1.17) па составляющие: ж0 = ж^ + ж0 (ж^ е й^), получим О = [ж0, ж^] = [ж^, ж^] + [ж^, ж+]=>[ж^, ж0+] = -[ж0", ж+], О = [ж0, Жо ] = [ж^, Жо ] + [ж0 , Жо ] =>-[жо , ж0 ]= [ж0, ж0 ].
Отсюда видно, что [ж^, Ж0 ] (и {ж0 , ж^]) — вещественное число, т. е. [ж^, ж^] = [^о , хв L а потому [ж„ , ж^] = = [ж^, ж^],что возможно только при ж^ = ж0 = 6, т. е. Жо = 6. ■
Предложение 1.24° можно в известном смысле обратить, точнее, доказать даже несколько более сильное, чем обратное к 1.24°, утверждение.
°. Пусть невырожденный линеал й есть алгебраическая сумма й = й++ й~ = {ж++ ж-1Ж* е й*}, где й* с g^. Тогда й = й+ + й" и й* максимальны в ^(й) соответственно. В частности, если любой из ^ дефинитен, то он является максимальным дефинитным линеалом в й.
Предположив, например, что существуют й+ с с 5£+(й): й+ = й+ и ж+ г й+\й+, получим ж+ = ж+ + + ж* (х^ е й1), т. е. ж- = ж+ — ж+ г й+ с ф+, откуда [ж", ж-] = 0. Но тогда ж0 = х~ = ж+ — ж+ — изотропный вектор как в й_, так и в й+ (см. 1.17°), в частности, ж0 [-Чй*, т. е. Жо = ж+ — ж+ [-й]й, откуда ж+ = ж+ е й+, что противоречит выбору ж+. ■
В свою очередь, в свете предложения 1.25° результат 1.24° можно рассматривать как простое следствие более общего факта:
1.26°. Всякий й (с@), содержащий й+ <= $++ и {6} (й'с$ U {0}) и являющийся максимальным в 5£+(й) (в $-(й)), невырожден.
□ Если в й существует изотропный вектор ж0, то вследствие его нейтральности имеем ж0 ^ й+ (соответственно жоей_), и Lin {й+, ж0) (Lin(fi~, ж0}) есть содержащийся в й неотрицательный (неположительный) линеал, содержащий й+(й_) как собственное подмножество. Получили противоречие. ■
Разложение (1.17), в котором й± с $±, коль скоро оно существует, порождает два липейшых проектора Р^, относящих любому вектору ж г й его компоненты ж* =
= P^CeS*), где x* + ж- = х. Иными словами, Р* + Р~ = = 7 $—тождественный оператор в 8 и Р+Р~ = Р~Р* — оператор, аннулирующий 8.
Лемма 1.27. Если 8(с@) допускает разложение (1.17), в котором 8~(8+)—дефинитный линеал, а й'с <= SJJ+(8) (8' е ф- (8)), то отображение Р*: 8' %+(Р~: 8' -*■ -► 8-) инъективно. При произвольных 8* с ф* эти отображения инъективны также для 8'е S}J++(8) U {0} (8'е сф" (8) U {0}).
О Пусть, например, 8' е *р+ (8) и для некоторого х е 8' имеем Р+х = 0. Тогда х = Р*х + Р~х = Р"х е й-, откуда г = 0. В случае 8' <=$++(8) и (0), если для х е 8' име- )м Р*х = 0, то х — Р*х + Р~х = Р~х = 0, так как Р~х неположителен, а х положителен или равен нулю. ■
Следствие 1.28. В условиях леммы 1.27 для максимальной неотрицательности {максимальной неположительности') в 8 линеала 8' е !)3+ (8) (8' е $“(8)) достаточно, чтобы Р*й'= 8+ (Р~й' = 8“).
D Пусть, например, 8' с $+ (8) и Р^' = 8+. Если также 8tESp+(8) и 81 = 8', то 81 = 8', ибо иначе для любого ^ЕбЛб' имели бы P^xv = xt е 8+ и в то же время х^ = Р*х для некоторого х е 8' (е8,), т. е. P*{xi — х) = = 0. Но х^ — х е 8ц и поэтому в силу леммы 1.27 Ж1 = = х е 8' вопреки выбору xv ■
. К разложениям вида (1.17) мы вернемся ниже в п. 11, рассмотрев их с иных позиций, мотивированных вводимым в настоящем пункте понятием.
Определение 1.29. 8Ь 82 (с@) называются кососвязанными, если 8* Л S^-1 = 82 Л Si^1 = (0). Для обозначения кососвязанности 81 и 82 применим запись 81 # * 82.
30°. Для того чтобы 81 и 82, из которых хотя бы один нейтрален, были кососвязанными, необходимо — а в случае, когда оба они нейтральны, и достаточно,— чтобы выполнялись два условия:
а) 81 П 82 = (0), б) 81 4- 82 невырожден.
Пусть, например, 8( с Щ”. Если 81 # 82, то, поскольку (см. предложение 1.17°) 81С81/], из 82 Л б^1 = {0} следует а). Далее, если х0 е 81 4- 82, то х» = х, 4- х2 (а^^ k = i, 2). Если, к тому же, Жо[4-]8,4-82, то, в частности,х0 е 8[±] и л G 8, с 8^1, так что и х2 е 8111. Но хг е 82, так что хг = 0. Отсюда ж, = ж0[-1-]82, т. е. жг е 8t л S^1, и потому х<= 0. Итак, ж0 = 0 и б) доказано. ■ ■ .
Обратно, пусть 81? 82 <= ф° и выполнены условия а) и б). Заметим, что в атом случае условие а) автоматически следует из б), которое можно заменить даже более слабым условием: б') алгебраическая сумма 81 + 82 = = {^1 + жг|ж1 е 8h ^ге&.) невырождена. Так как теперь 8* с 8[±] и 82c82 L\ то любой ненулевой вектор из 8Г Г) ®2±] или f| 8р-] был бы изотропным для 81 + 82 вопреки условию б'). ■
Простейшим примером кососвязанных линеалов являются два любых одномерных линеала 8, = Lin{^J и 82 = LinLr2}, если [жь .ral^O (ж,, ж2е@). Тот факт, что в этом примере размерности 81 и 8г совпадают, неслучаен, о чем говорит следующая
Лемма 1.31. Если 81 # 82 и 0 < dim 8, = тп < <», то dim 8г = dim 8t и для любого базиса [е,)™ в 81 можно так выбрать базис (АЛ? в 8г, чтобы [ej, Al = 6№ У, к = = 1, 2, ..., тп) [{^-биортогональность»).
□ Выберем произвольный базис {е,}Г в 81 и допустим сначала, что dim 8г > тп. Пусть жь ..., жт, ^m+i — линейно независимые векторы из 82. Рассмотрим систему из тп линейных однородных уравнений
^1[^1, Cj] "Ь• •^m[^m, Cj] 4" ^n+l[^m+b вД = О
u = 1, 2, ..., тп) (1.18) относительно тп + 1 неизвестных ^, ..., |m, £m+i; она имеет нетривиальное решение £?, ..., ^» ^m+i’T. е. вектор (б^о= S SUa G ^а Г) ^i"11 вопреки условию. Стало А=1
быть, dim 8г =5 dim 81 = m, и в силу точно такого же рассуждения dim 8i =5 dim 8г, т. е. dim 8i = dim 8г = тп.
Далее, поскольку 81 (] S^-*-3 = {6}, то в 82 найдется вектор /1 со свойством [eb /i] = 1, и если тп = 1, то построение ^-биортогональпых базисов {ej и (А? завершено. Если же ттг > 1, то сначала выберем (б^) Ае8г так, чтобы [е2, /J = [е3, А] = ... = [em, /J = 0. Это возможно, поскольку m = dim 82 > dim Lin {е2, е3 ..., ет) = тп — 1 — построение А производится методом, использованным в начале доказательства. Поскольку 82 Q 8^* = (6), то [et, Al^O, и можно считать [е4, Al = 1- Затем выберем вектор (6^)/ге8г так, чтобы [е,, А] ~ [ез, А] = • • • ... = [ет, А] = 0, а [е2, /2] = 1 и т. д. до полного построения системы Ми)1?. Линейная независимость (т. е. базис- 22
ность в 82) этой системы легко следует из условия ^-биортогональности. ■
Следствие 1.32. Если 8, # 82 u Si, 82 конечномерны, то 8t 4- 8^Л1 = ®-
□ При 8, = 82 = ^0) утверждение следует из того, что e^ = б. Если же (см. лемму 1.31) dim 8, = dim 82 = = пг > 1, то, выбрав <2-биортогопальные (см. лемму 1.31) базисы {е,}™ и у^™ в 8, и 82 соответственно, для m
любого же@ положим #i = 2 I21» ЪА еР Тогда х^ е 8,, 3=1.
а ж — жф-ЦД (k = 1, 2, ..., тп), т. е. хг = х — х^ 8^ . ■
Доказательство совпадения (линейных) размерно- - стей кососвязанпых 81 и 8г в лемме 1.31 существенно опиралось па конечномерность последних. Что же касается бесконечномерных 8,, 8г, то из 8, # 82 не всегда следует их линейный изоморфизм.
Пример 1.33. Пусть б— линейное пространство бесконечномерных (в обе стороны) финитных слева последовательностей ж = {£3}JL-oo, ^ = 0 для 7^/о(ж). Индефинитную метрику в б введем формулой
1^У1= 2 fc-и(1Л9)
?=-ОО■.
где
ж = {^}з^=-=. У = {ПзУ^— S ®.
Рассмотрим теперь 8, (<=б), состоящий из векторов х с £-1 = g_2 = ... = 0. Из (1.19) следует, что для таких х имеем [х, х] = 0, т. е. 8, <= ф°. Аналогично определим 82 как совокупность всех у (е @) с т]0 = гр = ... = 0. Снова из (1.19) имеем [у, у] = 0, так что и 82 нейтрален. Очевидно, что а) 81 П 82 = (6) и б) 8, + 82 = б невырождено, так что в силу 1.30° 81 * 82. Между тем 8, и 82 не изоморфны, так как 8, изоморфен пространству всех последовательностей {^0, £,, .. J, а 82 — пространству всех финитных последовательностей (т]-,, т]-2, ...), имеющему, как известно, меньшую (а именно — счетную) линейную размерность.
Одновременно укажем, что б представляет собой пример невырожденного пространства, не допускающего разложения вида (1.17). В самом деле, допустим, что б = 8+ + 8“, где 8+ <=!₽++ U (0), а 8" <=ф” U (6).
Рассмотрим отображение Т2: й+ -* 82, отйобящее каждому вектору х = (№-„ (е 8+) вектор Тгх = {..., g_2, £-ъ 0, 0, ...} (е 82). Это линейное отображение инъективно, ибо в силу (1.19) равенство Тгх = 0 влечет равенство [х, х] = 0, и, стало быть, х = 0, (так как Й+ положителен). Аналогично доказывается инъективность так же определенного отображения Тг-. 8"" -* 82. Но это означает, что линейные размерности линеалов 8+ и 8"" не превышают линейной размерности линеала 82, а поэтому они не более чем счетны, что невозможно, ибо их прямая сумма §+ + 8“ = 6 = 8, + й2 изоморфна линеалу 81 более высокой размерности. ■
Заметим, что в проведенном только что рассуждении содержится, по существу, доказательство следующей (абстрактной) теоремы:
Теорема 1.34. Если невырожденное пространство 6 с индефинитной метрикой представляет собой прямую сумму ® = 81 + 82 двух неизоморфных линеалов 81, 82 с с Sp°, то оно не допускает разложения в прямую сумму 6 = 8+ + 8~ двух дефинитных линеалов 8+ и 8”.
Доказательство то же, что и в примере 1.33, если учесть, что разложение 6 = 81 + 82 порождает проекторы Рк: 6 -> St (k = 1, 2),Р2 + Р2 = /@,и снова воспользоваться тем из этих двух проекторов, который отвечает линеалу (скажем, 82) меньшей размерности (нежели размерность 8,). ■
12. В заключение вернемся к рассмотренной в п. 3 ситуации, когда имеются два комплексных линейных пространства 61 и б2 с заданными на них 91-метрикой и 9г-метрикой [., .]i и [., .]2 соответственно и линейным отображением Т" ®i -► 62. Однако в отличие от жестких требований изоморфизма и (9i, 9г)-изометричпости здесь па Т будет наложено более «либеральное» условие, которое в обозначениях п. 3 выглядит так: Г$? с $₽.^.
Лемма 1.35. Пусть Qt-метрика в пространстве 6, заведомо индефинитна, (^-метрика в 62 произвольна, а линейное отображение Т: 6t -► 62 обладает свойством Т^сдЩ^' Тогда для всех у и геф^
(1.20)(1.20)VTy, Ту][Tz, П]2
(1.20)
(1.20)
[У, У]т [г, г^ ’
Ограничиваясь «нормированными» векторами у. [у, УЪ = —1 и z: [z, z]i = 1, перепишем соотношение (1.20) так: —[Гу, Гу]2^[Гг, Гг]2 и предположим про-
тивное. Именно, пусть для некоторых уое®< с [у0, i/oli = = —1 и Zneg, с [z0, Zo], = 1 имеем — [7у0, ^Z/оЪ > >[Tz„, Tz0]2. Рассмотрим вектор z0 = eyn + z0, где е(1е|=1)—пока произвольный параметр. Имеем
ко, ж0]1 = 2Re (е[у0, zj), [7Х, 7ж0]г < 2 Re(e[7y0, Tz0]2).
Но поскольку е = е,ф(0 ^ ср <-2л), то, выбрав подходящим образом аргумент ср, всегда можно добиться того, чтобы Re(e[y„, z0L) = 0, a Re (е[7у0, Tz0]2) < 0. Для такого е получим ко, ж0]1 = 0, а [7ж0, 7ж0]3<0, что противоречит условию Уф” с: $₽к И
Следствие 1.36. В условиях леммы 1.35 сущест
УГх, Тх]2[^, ^!УГх, Тх]2[^, ^!(> — оо),(> — оо),вуют конечные грани
УГх, Тх]2[^, ^!
УГх, Тх]2[^, ^!
(> — оо),
(> — оо),
И+(Л = inf
,ГТж, ТхЛ„
И-(7) = snp ■-« + оо).
При этом р-кТ} ^ у+(7) и Эля любого у(у-(7) =5 у ^ ^ П+(7)) справедливо неравенство
\Тх, ТхЛ2 ^ Ик, 4(1-21)
для всех х е бь
В самом деле, конечность граней ц+(7), у-(Р) и неравенства у- (7) ^ У+(7) прямо вытекают из (1.20). Далее, для^еф” неравенство (1.21) следует из условия 7Ф1 с Фк В остальных же случаях, когда xE/^t+ [J U $Г~, оно легко усматривается из цепочки неравенств (см. (1.20))
\Тх, TxV
kv-k^^ sup ,,- <у<
infи
х_$++
Упражнения и задачи
Проверить, что для формы [х, у], определенной в п. 1, справедлива поляризационная формула:
11
[ст, у] =-£■ [ж +у, X 4- у] —[ж — у, х— у] 4
+ "4 I* + iy- х + iy] — "4 k — гУ, x — 1У]<x' У ^ @).
Рассмотрим линейное пространство @ = С[—1, 1] всех непрерывных па отрезке [—1, 1] комплекснозпачпых функций. Проверить, что форма
1
[я, У] = J ^ (О У (— О dt (я, уеб)(1.22)
эрмитова и определяет индефинитную метрику на @. Указать примеры положительных и отрицательных векторов в @.
Если пространство @ с ^-метрикой [я, у] содержит хотя бы один положительный (отрицательный) вектор, то @ = ф++ 4- 4- ф++(@ = ф— 4- Ф—), где символ 4- обозначает алгебраическую сумму множеств (ср. М. Крейн и Ш м у л ь я и [2]).
Указание. Для положительного (например) вектора ^е @ и произвольного же® рассмотреть квадратичную форму [я 4- ом+, к 4- аж+] при больших а е R.
Для того чтобы все @ (см. упражнение 3) было индефинитным, необходимо, чтобы пи одно из множеств ф++, Ф-'-, Ф+, Ф“ не было линеалом, и достаточно, чтобы хотя бы одно из множеств ф+, ф~ не было линеалом (ср. М. К р е й ir и III м улья и [2]).
Указание. Воспользоваться результатом упражнения 3.
Доказать, что для любого множества ЗИ (с ®) всегда тшшш=$1Ш (Шайбе [1]).
Проверить, что соотношение (1.12) справедливо пе только для линеалов, а для любых множеств ЗИЬ ЗЯ2(с:®), если только оба они содержат вектор 9.
Если 8 с ф°, то и 8Ш[±1 с фо ([V]).
Если 8 вырожден, то и 8[-*-]1Д1 вырожден ([V]). Аналогичное утверждение для певырождепных линеалов неверно" ([V]).
Если 8с:Ф+, то 8[±1[±1 может оказаться индефинитным (и даже совпадать со всем пространством) ([V]).
Доказать утверждение, обратное предложению 1.17°.
Указание. Воспользоваться разложением (1.15) и предложением 1.9°.
И. Обратить предложепие 1.21°.
Проверить, что неравенство (1.21) при ц ^ [ц_(Т), цДТ)] уже может нарушаться (построить пример).
Пространства Крейна (аксиоматика)
Рассмотрим линейное пространство б с (7-метрикой Q (ж, у) = [ж, у]. Допустим, что б допускает разложение в прямую сумму положительного (б+) и отрицательного (б-) линеалов: б = б+ + б_, откуда в силу 1.24° следует, что все пространство б певырождепо.
Сделаем следующий шаг и допустим, что 6+[-L]6~, и потому можно записать
б = б+[+]б-,(2.1)
где символ [+] означает Q-ортогоналъную прямую сумму.
26
Определение 2.1. Разложение (2.1) называется каноническим разложением пространства б.
Линеалы б+ и б" в (2.1) представляют собой предгильбертовы пространства: б+ — со скалярпым произведением (положительно определенной формой) [ж, у] (ж, уеб+Е б"" — со скалярным произведением (-[^, у]) ^ У^&~)-
Определение 2.2. Пространство б с ^-метрикой [ж, у], допускающее каноническое разложение (2.1), в котором б+ и б- являются полными, т. е. г и л ь б е р- товыми пространствами по отношению к нормам Пл:11 = [ж, ж]1/г (^еб+) и Ы = (— [ж, ж]1/г) (ж е б~) соответственно, называется пространством Крейна.
Замечание 2.3. Здесь не исключается тот случай, когда одно или оба пространства б* конечномерны. Изучению этого важного частного случая целиком посвящен § 9. Если же, в частности, б- = (6) (либо б+ = {0}), т. е. все б дефинитно, то это пространство Крейна есть просто гильбертово пространство со скалярпым произведением [я, у] (либо —[ж, у]).
Рассматривая пространство Кроппа б, мы будем на первых порах исходить из фигурирующего в его определении 2.2 фиксированного канонического разложения (2.1), хотя оно в случае ипдефинитности б, как легко попять (ср. ниже теорему 8.17), не единстве и и о.
Каноническое разложение (2.1) позволяет ввести во всем пространство Крейна, т. е. для всех ж, у ^ б, (положительно определенное) скалярное произведение по формуле .
(ж, у)=[ж+, у+]- [ж- у-],
х = х* + х-, у = у* + у~; х*, у+еб+; х~, у~^О.~.
(2-2)
В частности, для векторов м, и^®* имеем, очевидно, (и, р) = [и, у], и для и, реб~ имеем (ы, у)=—[и, у]. Если же м е б+, а у^б~, то из (2.2) следует (м, у) = = [п, 6] — [6, у] = 0, т. е. б+ -L б-, где символ -L, как обычно, обозначает ортогональность по отношению к скалярному произведению (2.2).
□ Таким образом, пространство со скалярпым произведением (2.2) можно рассматривать как ортогональную сумму двух гильбертовых пространств б+ и б-, откуда следует
.4°. Пространство 6 является полным, т. е. гильбертовым пространством по отношению к норме
1Ы1=(я, xY'\'(2.3)
порождаемой скалярным произведением (2.2). И
Замечание 2.5. Поскольку в дальнейшем нашей главной целью будет изучение линейных операторов, действующих в пространствах Крейна, топология этого пространства (а она определяется нормой (2.3), т. е. скалярным произведением (2.2)) является существенной для вопросов, связанных с ограниченностью, замкнутостью операторов, для их спектральной теории и т. п. Вместе с тем определения (2.2) и (2.3) могут создать впечатление, что топология, о которой идет речь, существенно зависит от конкретного выбора канонического разложения (2.1). Ниже (см. теорему 7.17) будет показано, что такое впечатление ошибочно: все нормы, определяемые различными каноническими разложениями вида (2.1), оказываются эквивалентными.
. В связи с введенными выше определениями целесообразно выделить пространства Крейна из всех пространств 6 с индефинитной метрикой с помощью специального обозначения. В качестве такового мы примем традиционное для гильбертовых пространств (а пространство Крейна, как мы видели в п. 2, есть гильбертово пространство) обозначение ф. В связи с этим фиксированное выше каноническое разложение (2.1) будем теперь записывать в виде
$ = 5Ч+16-,(2.4)
причем напомним, что по только ^[-L]^-, но и ф+ -L £г, т. е. разложение (2.4) можно было бы записывать и в виде
^ = ф+ ® ф-(2.5)
где © — знак (гильбертовой) ортогональной суммы.
Возвращаясь к формуле (2.2), мы можем ее в известном смысле обратить, т. е. выразить метрику («2-форму) [ж, у] в терминах скалярного произведения (2.2). Сохранив для произвольных векторов х, у е § обозначения х^, у* их составляющих, лежащих согласно (2.4) (или (2.5)) в 5* соответственно, имеем
[ж, у\ = [я+ + х", у* + у"\ = [ж+, у+] + [яг, у-] =
.= U+,у*'),
или окончательно
[ж, у]=(ж+, у+) - (ж~, у~).(2.6)
В частности,
[ж, ж] = k+lia - Иж-Л2.(2.7)
□ Из формулы (2.7) получаем
.6°. Положительность, отрицательность либо нейтральность вектора ж е ^ равносильны соотношениям Иж+П > НдтИ, Иж+11 < 11^'11 либо Иж+П = Иж~П соответственно. И
. Результаты п. 3 показывают, что на пространство КреИна можно смотреть как па произвольное гильбертово пространство ф, разложенное в обычную ортогональную сумму (2.5) двух подпространств ф+ и $~ (5>+ -L ф”) и снабженное помимо исходной гильбертовой метрики, т. е. скалярного произведения (ж, у), дополнительной индефинитной метрикой [ж, у], задаваемой соотношением (2.6). Предлагаем читателю в виде несложного упражнения убедиться, что при таком определении формы Q^x, у)=[ж, у] подпространства ф+ и ф~ окажутся но отношению к ней положительным и отрицательным соответственно, притом ^-ортогональными (5>+[-*-[^~), и, стало быть, разложение (2.5) является одновременно и каноническим разложением вида (2.4). При этом исходное скалярное произведение (ж, у), как легко подсчитать, снова выразится через форму [ж, у] с помощью соотношения (2.2).
В следующем параграфе будет показано (см. § 3, и. 5), что изложенная здесь точка зрения на пространства Крейна может быть еще модифицирована и этому понятию можно будет придать весьма гибкую и наиболее удобную для теории операторов форму.
Упражнения и задачи
Антипространство (см. определение 1.8) пространства Крейна есть снова пространство Крейна.
. 2. Пусть в каноническом разложении (2.1) пространства @ хотя бы одно из слагаемых @+ или @_ не является полным по отношению к норме ЦжЦ = | [х, х]!1^ пополним 6^ но этой иормо до гильбертовых пространств 6=*=. Показать, что ортогональная сумма 6+ Ф ®~ есть пространство Крейна, содержащее @ как плотную часть. Тот же результат получим, если сразу пополним все @ по норме (2.3).■
В упражнении 2 из § 1 пространство @ допускает каноническое разложение @ = @+ [+]@-, где @+ и 6“— пространства всех непрерывных четных и нечетных функций на [—1, 1] соответственно. Пополнение ого в соответствии с процедурой, рассмот-
ренной в предыдущем упражнении, приводит к пространству 6 = = L2[—1; 1] с индефинитной метрикой (1.22), в которой интеграл Римана следует заменить интегралом Лебега. Интервал (—1, 1) можно, разумеется, заменить любым симметричным интервалом (—а, а).
Пример 1,1 модифицируем, рассматривая пространство 6 бесконечных (в обе .стороны) и финитных (также в обе стороны) последовательностей а — {..., g_2, g-ь gb g2, ..-}с покоординатным определением линейных операций и введя для г, ? е @(у= = (nJ^L-oоХ^о индефинитную метрику
Q (г, У) = [®. У] = 2 ^к ~ 2 (2.8) к=1 к=1
Найти каноническое разложение пространства @ и показать, что пополнение @ по образцу упражнения 2 приводит к пространству Крейна, (Z-изометрически изоморфному Z2 Ф Z2, с индефинитной формой (2.8) ([XIV]).
В примере 1.2 ограничимся конечным отрезком [а, Ь] с R а через <o(Z) обозначим полную вариацию функции о(<) на от-, резке [a, Z] (а ^ Z ^ 6). Тогда индефинитная форма
Ь
[я, у] — j а (Z) у (t) da (Z) (я, у е Л2 (а, 6)) а
задает в пространстве ^(.а, Ь) всех о)-измеримых и ы-суммируе- мых с квадратом функций структуру пространства Крейна. Найти его каноническое разложение (И. Иохвидов и Эктов [2]).
Указание. Воспользоваться теоремой Хана о «разложении заряда» ,(см., папример, [XII], [VI], § 5, теорема 1).
Обобщить пример из предыдущего упражнения на произвольные пространства I? (S, 2, ц) (см. [XII]), где ц = ц+ — ц_ — мера с ограниченной вариацией ||л| = ц+ -]- ц_ ([XII]).
Моделью вещественного пространства Крейна (см. в конце гл. I примечания к § 1,-пп. 1, 2) являются ортогональная сумма 5 = ф+Фф- двух вещественных гильбертовых пространств ф+ и ф- с формой Q(a, у) = [я, у] = (ж+, у+)+ — (ж“, у-)-, где
ф(•, •)- — скалярные произведения в ф+ иф_ соответственно.&Wp Убедиться, что в частном случае, когда7ф+ = ф“ = Z2 (вещественное I2), та-ф(•, •)- — скалярные произведения в ф+ иф_ соответственно.&Wp Убедиться, что в частном случае, когда7ф+ = ф“ = Z2 (вещественное I2), та-$ = $+ + $-', У = У+ + у~, а (■, •)+,
ф(•, •)- — скалярные произведения в ф+ и
ф_ соответственно.
&Wp Убедиться, что в частном случае, когда
7ф+ = ф“ = Z2 (вещественное I2), та-
ф(•, •)- — скалярные произведения в ф+ и
ф_ соответственно.
&Wp Убедиться, что в частном случае, когда
7ф+ = ф“ = Z2 (вещественное I2), та-
। кое пространство Крейна (Z-изометрически ~дX ^+ изоморфно пополнению по норме Z2 анало
га пространства @ из упражнения 4 для Рис. 1.вещественных последовательностей с ве
щественной формой (2.8). Проверить, что этот аналог для случая dim ф+ = dim ф“ =. 1 (Z-изометрически изоморфен декартовой плоскости R2 (см. рис. 1) с прямоугольными декартовыми осями (ф+, ф-), векторами ai = {Si, ’Hi}, ж2 = = {ёг, Яг} и формами: индефинитной Q($i, $г) = [zi, z2] = = L^2—11142 и гильбертовой (^ь ^2) = 6162 + 4 142 (скалярное произведение).
В случае вещественных 5+, ф-, dim $+ = 1, dim 5- = 3, рассмотренное здесь пространство Крейна ф = $+ Ф ф- ^-изометрически изоморфно пространству Минковского специальной теории относительности с <2-метрикой (ср. (2.8))
з
Q ^, у) = k.yl = £0% - 2 Vh- h=l
8. Пусть 5 = ф+ ® ф- — пространство Крейна и я* е ф*. Тог
да эквивалентны условия а) ж* J_ у и б) ж-ь [J_] у для любого У е ф.
Указание. Воспользоваться формулой (2.2).
В условиях предыдущего упражнения
{^о I L1 *’ ж0А-^о {^+ J_ *+, ж~ J_ ж-}
для любых ж0 = z+ + ж~ и ж = ж+ + ж- из ф (я±, ж- е фТ).
Указание. Воспользоваться формулой (2.2).
Пусть 8 — подпространство пространства Крейна, а 8° — его изотропная часть. Пространство 8 = 8/8° будет пространством Крейна тогда и только тогда, когда 8 допускает разложение 8 = = 8° [+]87 в прямую сумму изотропного подпространства 8° и пространства Крейна 8'. При этом, если 8 = 8°[+]8"— другое прямое разложение, то и 8" — пространство Кройпа (Лангер [9])-
Указание. Воспользоваться определением 2.2 пространства Крейна и предложением 1.23°.
Канонические проекторы Р*и каноническая симметрия J
Пусть задано пространство Крейна § с каноническим разложением 5 = бЧ+Зб-- Это разложение порождает два взаимно дополнительных проектора Р+ и Р~ (Р++ Р~ = I— тождественный оператор в 5), отображающих 5 на 5+ и ф_ соответственно. Таким образом, в обозначениях § 2 для любого хе § имеем Р^х = х*. Проекторы Р+ и Р- назовем каноническими проекторами. Вспоминая соотношение (2.5), замечаем, что Р1 — ортопроекторы, т. е. ортогональные (самосопряженные) по отношению к скалярному произведению (2.2) проекционные операторы:’
^ = ^®^- = р^® Р~^.
Введем теперь в рассмотрение линейный оператор /•’ 6 -* 6, определенный формулой
j = p+_p->(3.1)
и назовем его канонической симметрией пространства Крейна ф. Оправданием такого названия служит то, что, во-первых, оператор J определяется каноническим разложением (2.4), а во-вторых, он является ограниченным
симметрическим (самосопряженным) оператором в ф, как разность двух самосопряженных операторов Р+ и Р-.
°. Каноническая симметрия / обладает следующими свойствами;
J* = J (самосопряженность),(3.2)
Р = I (J~* — /) (инволютивность), (3.3)
Р1 = J* (унитарность).(3.4)
□ Соотношение (3.2) установлено выше. Далее, для любого ж = ж+ + ж- е ^ в силу (3.1) имеем Jx = х* — х~, откуда Рх = J(x+ — х~) = х+ + х- = х, т. е. Г = I. Наконец, из (3.2) и (3.3) следует (3.4). ■
Проследим действие оператора J на подпространствах ^+ и ф~. Из (3.1) следует, что:
3.2°. 5+ естъ собственнное подпространство оператора J, отвечающее собственному значению X = 1. ■
3.3°. естъ собственное подпространство оператора J, отвечающее собственному значению X = — 1. ■
Поскольку оператор J является самосопряженным и унитарным одновременно (см. 3.1°), то весь его спектр лежит па пересечении вещественной оси и единичной окружности, т. е. в объединении точек Xt = 1 и Х2 = — 1. Как видим из 3.2° и 3.3°, он (если только ф+ ¥= {0} и $_=И={9}) в действительности содержит оба эти числа, являющихся собственными значениями оператора J" о (J) — op(J)= {—1, 1}. Напомним, что о(-) и оР(-) соответственно обозначают весь спектр и точечный спектр оператора.
Заметим еще, что определение J(x* + х~) = х+ — х~ канонической симметрии / позволяет трактовать результат ее действия как «зеркальное отражение» пространства $ в подпространстве ф+.
Введение оператора / дает возможность по-повому и более компактно переписать выведенные в § 2 основные соотношения между индефипитпой ([ж, z/]) и гильбертовой ((х, у)) метриками в пространстве Крейна, а именно:
3.4°.
х, у) =[Ь, уА, [ж, уА= (Jx, у) (х, уе§).(3.5)
Первое из этих соотношений есть эквивалент формулы (2.2), второе же равносильно формуле (2.6). ■
Из 3.4° следует, во-первых, что
Ы2 = [Jx, х], [х, х] — (Jx, х) (же^),(3.6)
и, во-вторых, что
". _ рма [ж, у] есть ограничь,„.^Ш \а потому непрерывный по совокупности переменных) эрмитово полуторалинейный функционал на §Х§ с оценкой (поскольку H/II = 1)
|[ж, z/JI ^ H/II Иж11 НрП = Пж11 llyll (ж, у е$). ■ (3.7)
□ Предложение 3.5° позволяет сделать важный вывод о замыканиях (по норме Нж11) семидефинитных линеалов пространства Крейна:
_°. Если 8 <=$+($-), то и й с $+($-). Если 8 с ф», то U 8 С ф°. ■
□ Отсюда, в свою очередь, следует
°. В пространстве Крейна всякий максимальный линеал 8(<=ф+) (8(сф”),_8(<=ф°)) замкнут, т. е. является подпространством-. 8 = 8. ■'
Заметим, что для максимальных дефинитных линеалов подобное утверждение уже неверно (см. ниже пример 4.12).
□ К симметричности ((/ж, у) — (х, Jy), х, уе§) л унитарности, а стало быть, изометричности ((Jx, Jy) = = (х, у), х, у е 5) оператора J, отражающим его свойства по отношению к скалярному произведению (х, у), ■ можно добавить совершенно аналогичные его свойства по отношению к индефинитной метрике [ж, у]:
IA уА = k, Jyh lA 1у\ = [ж, у] (ж, у е $), (3.8)
которые следуют из (3.5):
[/ж, у]. = (ж, У) = (У, ^ = (Jy, х] (х, уе^);
\Jx, Jy] = (х, Jy) = (Jx, у) = [х, у] (х, уе§). ■
Эти свойства получили название J-симметричности и J-илометричности оператора / соответственно, о чем подробно см. ниже в гл. II §§ 3, 5. Что же касается самой индефинитной метрики [ж, у], то в связи со второй из формул (3.5) ее называют также J-метрикой, а пространство Крейна называют (гильбертовым) пространством с J-метрикой или, короче, J-простраиством.
По той же причине (1-форму Q(x, у) = [^, у] = = (Jx, у) называют J-формой и соответственно говорят о J-ортогоналъности (х [~L]y) векторов х, у е ф, J-ортогональном дополнении ЯД1-11 к множеству ЗЛ(с:^) и т. п. Этой последней терминологии мы будем придерживаться во всем дальнейшем изложении, когда не оговорено противное (см., например, § 9, н. 4).
3 Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов33
В теории линейных операторов в пространствах Крейна (ср. гл. II и последующие) часто бывает удобно • рассматривать 5 как гильбертово пространство, в котором индефинитная метрика определяется не наперед заданным каноническим разложением 5 — 5+ ® 5“, т. е. каноническими ортопроекторами Р* ^Р* + Р~ = 1) (ср. § 2, п. 4), а некоторой наперед заданной симметрией J. С этой целью определение последней, а заодно и канонических проекторов и канонического разложения целесообразно видоизменить (как увидим сейчас— эквивалентным образом), положив в его основу не форму (3.1), а соотношения (3.2) — (3.4), из которых любые два влекут третье (ср. доказательство предложения 3.1°).
Определение 3.8. Канонической симметрией в гильбертовом пространстве 5 пазовом любой линейный оператор 7: 5 S, являющийся унитарным и самосопряженным одновременно: 7-1 = 7* = 7.
Каноническая симметрия 7 немедленно порождает взаимно ортогональные канонические ортопроекторы Р* ио формулам
Р+ = 1(7 + 7), Р- = ^Ц-^
и каноническое разложение
5 = 5+ ® 5-, ^ = Р±§,
а также J-метрику [ж, у\= Цх, у) (х, уе§), где. (ж, У) — исходное скалярное произведение в 5, а подпространства 5± по отношению к 7-метрике дефинитны (разных «знаков») и 7-ортогональны. Заметим, что здесь не исключены и «предельные» частные случаи, когда 7 = ± /, т. е. либо 5” = ^Ь либо 5+ = (б), а 7-метрика [ж, у] тождественна либо (ж, у), либо —(ж, у). ■
Как в общей теории, так (и в особенности) в приложениях каноническая симметрия 7 может задаваться в Гильбертовом пространстве 5 самыми различными способами. Проиллюстрируем это здесь двумя примерами (с некоторыми другими читатель встретится в последующих параграфах и главах).
Пример 3.9. Рассмотрим гильбертово пространство § = Si ® 5а, представляющее собой ортогональную сумму двух экземпляров гильбертова пространства 5(=5i = 5г) ив соответствии с этим зададим в 5 опера- 34
тор 7 в «опораторво-матричиой» форме
и* (z-G2)1^ -V*GV г'
где G — ограниченный самосопряженный оператор, а I — тождественный оператор в 5, причем О $S G ^ 7, а V — полуупитарпый оператор в 5, отображающий § па V^ = [Ker(7 — С2)р (конкретные примеры таких пар G и V встречаются ниже в примере 1.4 главы III и др.^ либо , произвольный унитарный оператор (И*1/ =
Поясним, что в матричной записи (3.9) операторы (_I — G2y,2V и V* (1 — G2y/2, стоящие на побочной диагонали, следует понимать как действующие — первый из 5г в Si, а второй из 51 и 5а- Таким образом, строго говоря, их нужно было бы записывать в виде (7 — G2y,2Vj^ и hiV* (7 — G2y/2, где /12 и /а1 — операторы «канонического вложения» (отождествления элементов) 5а в 51 и 51 в 5а соответственно. Чтобы не усложнять записей, мы и здесь и в дальнейшем этого не делаем, надеясь, что у читателя по возникнет недоразумений.
Поскольку, очевидно, J* = J, то остается проверить, что 72 = Т (тождественный оператор в 5)- Однако в этом легко убедиться возведением матрицы (3.9) в квадрат с учетом (7 — G2)5 с [Кег(7 — G2)]-1 и GV^c [Ker(7-G2)]±. ■
Важнейшими частными случаями канонической симметрии (3.9), наиболее часто применяемыми в приложениях, являются «крайние случаи»:
G = Z, ¥ = 1:1=^ ДЦ;(3.10а)
G = 0; ¥ = Г. J = ° J|.(3.106)
Заметим, что только для первого из них само исходное представление 5 = Si ® 5а является и каноническим разложением 5 = <6+[+lS~ (^+ —-61, 5~~ Ф2)- В прочих случаях это разложение нужно строить заново (ср. ниже теорему 8.17).
Пример 3.10. Пусть снова 5= 51 ® 5а (51 = 5а =-5), но на этот раз само 5 — гильбертово пространство с /-метрикой, т. е. пространство Крейна. Введем в 5 каноническую симметрию
/-|ё, J. Н-1.(3.U)
35353*
35
35
Здесь снова самосопряженность 7 в ^ очевидна, а формула Р = Т проверяется непосредственно. В частном случае, когда / = 7, е = 1, формула (3.11) переходит в (3.106). ■
Пример 3.11. Рассмотрим гильбертово пространство $ = Z2 всех бесконечных (в обе стороны) последовательностей ж = {^)^_ос, у = {гр}^_оо (ж, г/eZ2) с суммируемыми квадратами модулей, скалярным произведением (•, •) и индефинитной формой [-, -], заданными соответственно формулами (ср. пример 1.33)
(ж, У) = . 5 ?Ж [2,//]= 2 ^Л-7-i-
3= — ООJ =—ОО
Здесь оператор J {^}^_то = {^j-^^L-ao есть инволюция и /* = /.■
Упражнения и задачи
В упражнении 3 из § 2 построить каноническую симметрию / ио указанному там каноническому разложению.
Построить каноническую симметрию 1 для пространства из '§ 2, упражнение 4.
'Го же — для пространств из § 2, упражнения 5 и 6.
В пространстве Нрейпа линеалы 8 и 78 всегда кососвязаны: 8 * № (см. § 1, и. 10) ([V]) (ср. ниже упражнение 6, б)).
Найти канонические разложения пространств Крейна из примеров 3.10 и 3.11, отвечающие указанным там каноническим симметриям J.
1 Понятие канонической симметрии имеет смысл и в любом пространстве @ с эрмитовой формой Q(z, у) = [т, у] (ж, уе@), если @ допускает разложения @ = @+[+]@~, которое, очевидно, определяет проекторы Р* из @ на б1 соответственно (Р+ + Р~ = — /). Проверить, что (ср. Шайбе [1]):.
J = Р+ — р-' есть инволюция: 72 = I, 2-симметрия: [Уж, у] = = [я, 7у] (г, уе®) и Q-изометрия: [Ул, /у] = [я, у] (л, уе@);
для любого 8 (с ®) линеалы 8 и 78 кососвязаны (8 # 78) и 2-изомстричсски изоморфны (см. § 1, п. 3); здесь в 8 и 78 индуцируется 2-мстрнка из @;
J^ = ф^, 7ф° = ф°, J^ = ф±* (76) е-li = у8Ш (8 с @); в частности, если 8 — максимальный в классе неотрицательных (по-, ложительпых, нейтральных, неположительных, отрицательных) линеалов, то и 78 максимален в том же классе; аналогичное утверждение справедливо для невырожденных линеалов, и если у±1Ш — = 8, то (711) E-LMJ-] = дь
для нейтрального 8 линеал 8 + 78 допускает каноническое разложение 8 + 78 = Р+8[+]Р_8, причем Р+й 2-изомстрически изоморфно аптипростраиству для Р~8 (см. § 1, п. 3).
7. Если 5 = 8 ® 81- — ортогональная сумма двух подпространств гильбертова пространства ф, то для того чтобы матрица
с ограниченными элементами Задавала (относительно приведенного разложения 5) каноническую симметрию в ф, необходимо и достаточно, чтобы
а) У^—./и, ^22 = ^22; ®) ^ii +-^Лг ^й'
В) J2M + J*o/]2 = Z8±; г) JnJ12 + j12<2 - 0.
Указ а п и е. Проверить условие У2 = 1.
Семидефинитные и дефинитные линеалы и подпространства в пространстве Крейна
Пусть ^ — ^>+ [®] £г— каноническое разложение пространства Крейна и Р* — соответствующие канонические проекторы. Символ [®] здесь (впервые) употреблен для краткого напоминания о «двоякой ортогональности» (обычной и в /-метрике) фиксированного нами капони- ческого разложения. Рассмотрим произвольный семиде- фипитный, для определенности неотрицательный линеал 8(с$) и изучим отображение Р+: 8 ->"5+. Точнее говоря, мы здесь фактически изучаем сужение Р+!8 оператора Р+ на 8, а образом 8 в этом отображении является линеал Р+8(с ф+).
Теорема 4.1. Отображение Р+|8: 8Р+8 неотрицательного линеала 8 (с 5) есть линейный гомеоморфизм, т. е. оно биективно, непрерывно и обратное отображение (Р+|8)-1: Р+8 8 также непрерывно.
Линейность и непрерывность ортопроектора Р+, как и его сужения Р+|8, очевидны. Биективность следует из леммы 1.27. Далее, для .гей имеем (см. 2.6°) Пж+П 9= > ПяН1, откуда -
|(Р+18)..Г-Ь+Г>|(И‘ + РТ)-
-|ur (1SS). (4.1)
Обозначим (Р+|8)ж = у; имеем ж = (Р+1 fi)-1zy, и соотношение (4.1) _дает II (Р+|8)~‘</112 =5 2Hz/H2 ^еР+^, т. е. 11(Р+|8-‘)11 ^72. ■
Следствие 4.2. Линеалы 8 и Р+й в условиях теоремы 4.1 замкнуты или незамкнуты одновременно. ■
Следствие 4.3. Размерность любого неотрицательного подпространства 8(<=^> = ^>+[+] 6”) не превосходит размерность подпространства £)+: dim 8 С dim^+. ■
О Замечание 4.4. Виектйвйость отображения (Р+|8): 8-> Р+8 в теореме 4.1 в силу леммы 1.27 имеет место для любого линейного пространства 6 с ^-формой [ж, у] (см. § 1, п. 1), допускающего разложение в прямую (и даже не обязательно ^-ортогональную!) сумму @ = @+ + @- положительного (6+) и отрицательного (6”) линеалов, если Р~ — соответствующие этому разложению проекторы (Р' 4-Р"* = 1($— тождественный оператор в 6). Стало быть, в этом случае сохраняет силу и следствие 4.3, если в записи dim 8=^ dim @+ под символом dim понимать не гильбертову, а линейную размерность, т. е. мощность алгебраического базиса. Наконец, даже если @ вырождено, по все же допускает разложение в прямую сумму 6 = 6° + 6++ @~ изотропного (6°), положительного (<S+) и отрицательного (6_) линеалов (ср. 1.24°), то аналогичные рассуждения показывают, что линейная размерность любого положительного 8(с@) не превышает линейной размерности @+. ■
Завершая этот пункт, обратим внимание, что в нем лишь для определенности речь шла о неотрицательных и положительных линеалах. Читатель без труда сформулирует и докажет аналоги всех утверждений п. 1 для неположительных и отрицательных линеалов. Впрочем, повторные доказательства здесь, но существу, излишни, ибо простой переход от пространства 5 (соответственно 6) к аптипространству (см. определение 1.8) меняет ролями неотрицательные (положительные) и неположительные (отрицательные) линеалы, в частности, 5+(®+) и 5"(@”) и соответственно проекторы Р+ и Р~.
Результаты и. 1 открывают путь к установлению критериев максимальности семидефшштпых линеалов в пространстве Крейна.
Теорема 4.5. Для того чтобы 8(<=ф+) (8 (<=$”)) в пространстве Крейна ^> = 5+[®]5- был максимальным неотрицательным (максимальным неположительным) линеалом, необходимо и достаточно, чтобы Р+^ = ^ (Р~^ = = ^Y
Доказательство проведем для неотрицательного 8.
Необходимость. Пусть 8 — максимальный линеал из $+. Тогда (см. 3.5°) 8 замкнут, т. о. является подпространством, а значит (см. следствие 4.2), и Р+8(с5+) — подпространство. Допустим, что P^^Sq*. Поскольку па ф+ метрики (х, у) и [ж, у) идентичны (см. (2.2)), найдется вектор(9 ^=) z0 е ®g = §+ © Р+й, ортогональный и од- 38
повременно /-ортогональный Р+8. ®J называется дефектным подпространством для 8.
Итак, z0 -L Р*й и z0 [-L] Р+8. В то же время z0 [-L] 8, так как для любого ж е 8 имеем'
[z0, ж] = [z0, х* + ж-] = [z0, ж+] = (z0, ж+) = (z,, Р*х^ = 0.
Заметим еще, что z0 ^ 8, ибо в противном случае он был бы изотропным для 8 и потому нейтральным вектором, a z0 положителен (O^z.-.e^). Но тогда линейная оболочка Lin {8, z0} = 8cSP+, причем 8 = 8 и 8=^8, что противоречит максимальной неотрицательности 8.
Достаточность установлена выше в следствии 1.28. ■
Следствие 4.6. Если 8 — максимальное неотрицательное (максимальное неположительное) подпространство пространства Крейна 5 = 6+[®]'5-, то dim 8 = dim ^+ (dim 8 dim $“).
Это непосредственно вытекает из теорем 4.1 и 4.5. ■
Сложнее обстоит дело с максимальными положительными (максимальными отрицательными) линеалами, которые, как увцдим ниже (пример (4.12), могут быть и незамкнутыми. Мы начнем, однако, с простого факта:
Теорема 4.7. Для того ■чтобы 8<= ф++и (0) (8 = с$ U (6)) был максимальным положительным (максимальным отрицательным) линеалом, необходимо, а в случае замкнутости 8 и достаточно, чтобы Р+^ = ^ (Р-й = = 5").
Необходимость. Пусть для определенности 8 — максимальный положительный линеал. Если Р+8 #= ^^, то, снова выбрав в дефектном подпространстве ®8 = бб^в произвольный вектор z0 ¥= 0, мы, подобно тому, как в доказательстве теоремы 4.5, обнаружим, что 8 = Lin (8, z0} положителен, причем 8 = 8 и 8 ^ 8, что невозможно.
Достаточность. JlycTb Р+8 = $+. Если положительный 8 замкнут (8 = 8), то на основании следствия 4.2 замкнут и Р+8 = Р+8 = ^+. В силу теоремы 4.5 8 — максимальное неотрицательное подпространство, а тем самым и максимальное положительное подпространство. ■
В ходе доказательства «достаточной части» теоремы 4.7 попутно установлено
Следствие 4.8. Максимальный положительный линеал 8 в случае своей замкнутости является максимальным неотрицательным линеалом. ■
Замечание 4.9. В случае незамкнутости 8 с cSp+^UtO} (8с$Р U {0}) условие Р+8 = $+ (Р“8 = $_) уже пе достаточно для максимальности 8, так как возможно, что и8с!)?++и{0} (8 <= $ U{9}). Простейшим примером в случае, скажем, бесконечномерного 5+ может служить любой линеал в^ф*), плотный в ф+ (8 = = $+)- ■
Ввиду замечания 4.9 критерий (т. е. необходимые и достаточные условия) максимальности дефинитных линеалов приходится искать в иных терминах.
Теорема 4.10. Для того чтобы в пространстве Крейна .§ = ^+[®]5— линеал 8сф++и{0} (8<=ф U {0}) был максимальным положительным (максимальным отрицательным), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:
Замыкание 8 линеала 8 есть максимальное неотрицательное (неположительное) подпространство^
8 = 8 + (8)°, где (8)°— изотропный для 8 линеал (не исключено, что (8)° = {0)).
Необходимость. Пусть для определенности 8 — максимал ьный положительный линеал. В силу теоремы 4.7 имсем_Р+8 = 5+ и подавно Р*"й = §+, а потому (теорема 4.5) 8 — максимальное неотрицательное подпространство, т._е. доказано (I). Далее, 8<=8, (8)” с 8, и при этом 8П(8)° = {0}, так_как 8 положителен, а (8)° нейтрален. Но тогда 8 = 8 + (8)” + 8Ь где 8, положителен или равен (0). Л так как положительный линеал 8 + 8t=> 3 8, то в силу максимальности 8 имеем 8, = {0}, т. е. доказано (II).
Достаточность. Пусть для положительного 8 выполнены условия (I) — (II). Рассмотрим максимальный положительный линеал втаД^в), существующий в силу припципа_макс1шальпости (теорем_а 1.19). Тогда, с одной стороны, 8тах=>8 и в силу (I) 8^=8, а в силу (II)
8тах = 8 = 8 + (8)°. (4.2)
Пусть теперь существует z е 8maX\8(c: 8тах<= 8^). Тогда согласно (4.2) имеем я = ж + ж„ (же 8, ж0е(8)°) и ж0 = 40
= й — хе Йшах Л (8) °, т. е. х0 = 6 и z = х е 8 вопреки выбору z. Итак, 8Шах = 8. ■
Прежде чем привести пример незамкнутого максимального положительного линеала, напомним одну лемму общего характера, которой ниже придется неоднократно пользоваться.
Лемма 4.11. Пусть 91—бесконечномерное нормированное линейное пространство и е е 91, е 6. Тогда существует такой линеал 8(<=91), что
8 = 91, 91 = 8 +Lin {е). (4.3)
О Не ограничивая общности, будем считать Hell = 1. Как известно, существует пеограпиченный (разрывный) линейный функционал ф: 91^-С такой, что ф(е)=1. Пусть 8 = Кегф, т. е. множество нулей (ядро) функционала ф. Тогда (см., например, [XXIII]) 8 = 91. В то же время для любого х е 91, выбрав X = ф (ж), для хв = ~х — Хе имеем ф (жа) = ф (ж) — X = О, т. е. тае8 и х = = хЙ + Хе. ■
Пример 4.12. Рассмотрим пространство Крейпа $ = $+[®]$-, где dim^+ = °o и {eJ|a=A — полная орто- нормировапная система в $+, a dim$_ = l, т. е. $~ = = Lin{e-}, Не_Н = 1. Итак, '
[4, ер] = (4, 4) = 6а|1,
[4, е-] = (4, е-) = 0 (а, Ре А),
[е-,е-] = -Не-Н2 = -1, (4.4)
где Л — некоторое (бесконечное) множество индексов. Зафиксируем в А некоторый индекс а0 и рассмотрим подпространство 8 =С Lin (40 + е-; 4 }а=д,а^а0- Это подпространство в силу (4.4) неотрицательно и, более того, оно является максимальным неотрицательным, ибо Р^ 8 =G Lin (41а=л= ^ • Вектор е = 40 + е- ^ 0) нейтрален и, стало быть, Lin (е) =8“ — изотропное для 8 подпространство (см. 1.17° и аналог следствия 4.3 для неположительных подпространств). Применим теперь лемму 4.11 и представим 8 в виде 8 = 8 + Lin (е) = 8 + 8°, где 8 = 8. При этом 8 положителен, 8(= 8)_—максимальное неотрицательное подпространство, (8)и = 8° и 8 =
= 8 +(8) °. На основании теоремы 4.16 8 — максимальный положительный (и притом незамкнутый) линеал (ср. ниже упражнение 2). ■
Займемся теперь другим частным случаем семиде- фипитпых линеалов — нейтральными линеалами 8(<=ф°) в пространстве Крейна. Поскольку такой 8 неотрицателен и неположителен одновременно, то оба отображения Р+|8: 8 Р+8(<=$+) и Р~|8: 8 /^(с^-) являются линейными гомеоморфизмами (теорема 4.1).
Теорема 4.13. Для того чтобы линеал 8(<=ф°) был максимальным нейтральным {подпространством), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из двух условий-. (I) Р+8 = ф+; (II) Р~й = §Г.
Необходимость. Пусть 8 — максимальный линеал из ф° и потому (см. 3.5°) замкнут. Если нарушены оба условия (I) и (II), то в (ненулевых) дефектных подпространствах®^ = Ф+ © Р+й и S^T = 5~ © ^^8 выберем по вектору х* и х- (Иж+И = Нж-Н > 0) соответственно. Тогда (ср. с доказательством необходимости в теореме 4.5) ж+[-1-]8 и ж_[^]8, а стало быть, х = х+ + х~ [-L] [J-]8. При этом вектор х нейтрален, ибо (см. (2.7)) [ж, ж] = Нж+И2 — 11ж~И2 = 0. В то же время ж ^ 8, так как в противном случае (же 8) из соотношения, например, g+J-P+S (а х+ именно так выбран) следовало бы равенство Пж+Н2 = (ж+, х+) = {х*, Р+х) = 0 вопреки условию Пж+П > 0. Остается рассмотреть нейтральный линеал 8 = = Lin{8, ж) => 8 (8^8), чтобы прийти к противоречию с максимальной нейтральностью 8.
Достаточность. Если выполнено, например, условие (I), то нейтральное подпространство 8 в силу теоремы 4.5 является максимальным неотрицательным, а потому и максимальным нейтральным линеалом. ■
Следствие 4.14. Всякое максимальное нейтральное подпространство является либо максимальным неотрицательным, либо максимальным неположительным подпространством, либо тем и другим одновременно.
Это следует из условий (I), (II) теоремы 4.13 и теоремы 4.5. ■
Определение 4.15. Если максимальный нейтральный линеал 8 является максимальным неотрицательным и максимальным неположительным одновременно, то он называется гипермаксималъным нейтральным. '
Замечание 4.16. Из определения 4.15 и следствия 4.6 вытекает, что dim 8 = dim .gC, так что гипер- 42 .
максимальные нейтральные подпространства могут существовать только в таких пространствах Крейна ф = = $■*"[©]$-, в которых dim^+ = dim^-. ■
В заключение этого параграфа укажем иные критерии нейтральности, максимальной и гипермаксимальной нейтральности линеала й^^, которые можно сформулировать и доказать безотносительно к каноническому разложению ,$ = ^+[+]^_, т. е. в форме, справедливой для любых пространств 6 с индефинитной метрикой (см. § 1).
°. Для нейтральности 8 необходимо и достаточно, чтобы 8 с 8Ш.
□ Если 8 нейтрален, то все его ненулевые векторы изотропны (см. 1.17°), и потому 8<=8[Х1. Обратно, из этого включения следует, что изотропныйлинеал 8° — = 8 П 8[х1 для 8 совпадает с самим 8, т. е. 8 нейтрален. ■
°. Для того чтобы 8(<=ф°) был максимальным в ф°, необходимо и достаточно, чтобы 8Ш был семидефинитным и 8[J-HJ-1==8.
□ Если 8 — максимальный линеал в ф°, то по предложению 4.17° 8 <= 8Ш, и потому 8Ш не может быть индефинитным, так как в противном случае в любом разложении 8Ш = 84- 8, линеал 8i был бы тоже индефинитным (поскольку 8[-L]g]) и потому в силу 1.9° содержал бы не попавшие в 8 нейтральные векторы, а это противоречило бы максимальности 8(сф°). Итак, 8Ш семидефинитен. Далее, поскольку из предложения 1.17° имеем, что любой нейтральный вектор из 8Ш изотропен для 8[±1, в силу своей максимальности 8(<= ф°) "совпадает с изотропным линеалом (8Ш)4 т. о. 8 = 8Г±1 9 8ШШ. Но 8ШШ=>8 (См (1.11)), т. е. ушш = 8.
Обратно, пусть 8<=8Ш, 8Ш семидефинитеп и йшш = = 8. Пусть 8 => 8, где 8с $", и существует х» е 8\8. В силу предложения 1.17° вектор х0 изотропен для 8 и подавно х0 [-L] 8, т. е. х» ^ 8[J-i. Но в силу семидофинитпости 8Ш нейтральный вектор х» опять-таки изотропен для 8[XI, т. е. х0 е 8Ш 9 8ШШ = 81-1-1 9 8, и потому х0^й вопреки выбору х0. ■
°. Для гипермаксимальной нейтральности 8 необходимо и достаточно, чтобы 8 = 8Ш.
□ Из одной только максимальной нейтральности 8 в силу 4.18° следует,, что 8Ш(=>8) семидефинитен, а из гипермаксималыюй нейтральности 8 в силу Определения 4.15 вытекает, что 8 = 8Ш.
Обратно, если 8 = 8Ш, то в силу предложения 4.17е 8cSP°. Если теперь семидефинитный линеал 8 э8. то 8[-L]8, и потому бсб'^^б, т. е. 8 = 8. ■
Для нейтральных подпространств 8 в пространстве Крейна S = S+[®1S- предложение 4.19° позволяет получить любопытную формулу:
°. Если подпространство йсу, т0
, 8^ = 8 [4-] ©у [+] ©$ , (4.5) где ©$ = S1 © Р^ — дефектные подпространства для 8.
□ Включение 8 [Ц-] ©g [Ц-] ©g с 8[х'] очевидно (ср. предложение 4.17° и доказательство теоремы 4.13). Обратно, пусть z е 8[±1. Представив §- в виде S" = Р« [®] ©g» имеем S = S'[©l^g 1®1 ®б)’ где S' = Р'8[®]Р“8 есть, очевидно, снова пространство Крейна, а 8(с$') — ги- пермаксимальпое нейтральное подпространство в S'- Теперь для х = х* + х~ (^ е ^) имеем х~ = xt + ж?, где Ху е Р^й (gz S'), a xt е ©g. Но х = (я* + я?) + ^х^ + + ^Г) [_L 1 8 и xt + х^ [JJ 8. Стало быть, (S' э) xt + + ^£[J] 8, а так как 8 гипермаксимальпо в S\ то (ср. 4.19°) 4 + х^е 8. ■
С формулой (4.5) и приведённым только что рассуждением тесно связано такое весьма полезное в дальнейшем предложение:
°. Если в условиях предложения 4.20° 8' — максимальное неотрицательное (неположительное) подпространство в пространстве Крейна ©g[4-]®g, т0 8'+ 8— максимальное неотрицательное (максимальное неположительное) подпространство в S-
Ограничимся случаем 8' <= $+ и (см. теорему 4.5) Р+й' =$+.Тогда Р+(й' + 8) = Lin {Р+8', Р+8) = Lin{©£, P+8j = S+. Остается воспользоваться теоремой 4.5. ■
Упражнения и задачи
Если 8, и 82 — максимальные неотрицательные (максимальные неположительные) линеалы, а 8 = Lin(8b 82}, то для изотропного линеала 8° справедливо включение 8° <= 8, П 82 ([V]).
Доказать, что существует незамкнутый положительный линеал 8| (сф) с Р+8| = ф+, допускающий собствеппое расширепие до положительного, но снова незамкнутого 8(zD8t).
Указание. Использовать в качестве 8, например, максимальный положительный линеал из примера 4.12, а затем, снова применив лемму 4.11, построить 8, с С.
Рассмотрим для 81 (с 6) его дефектные подпространства ®8 = ^ © ^Р*^. Пусть 8 — максимальный линеал из ф+ и 8, с: 8. Тогда dim (8 © 8J = dim ®8 ([V]).
Указать примеры гипермаксимальных нейтральных линеалов 8 в пространстве 5 из примера 3.11.
В вещественном двумерном пространстве Крейна (см. упражнение 7 к § 2) па рис. 1 выделить штриховкой множества ф+ и ф-' (см. (1.7)) и указать положительные, отрицательные и нейтральные линеалы. Проверить, что все они максимальны (в своих классах), а нейтральные даже гипермаксимальны.
Убедиться, что в пространстве Крейна предложения 4.19е и 4.20° (т. е. формула (4.5)) эквивалентны.
§ 5. Равномерно дефинитные (регулярные) линеалы и подпространства. Подпространства классов h*
В этом параграфе речь пойдет главным образом о некоторых подклассах дефинитных линеалов и подпространств в пространстве Крейпа ф = ф+[®]$_. При этом основным понятием, с помощью которого будут выделены эти подклассы, является так называемая внутренняя метрика.
Пусть, для определенности, линеал 8 положителен. Поскольку форма [ж, г/] па 8 является положительно определенной ([ж, ж]>0 для всех (0^)же8), то ее можно принять -за новое скалярное произведение на 8, превратив этим самым 8 в (вообще говоря) предгильбертово пространство.
Определение 5.1. Сужение метрики [ж, у] па 8 будем, не вводя новых обозначений, называть внутренней метрикой на 8, а соответствующую норму
|ж|8 = [ж, ж]т/2 (же 8) (5.1)
назовем внутренней нормой на 8.
О Для введенной формулой (5.1) внутренней нормы | ж |8 па 8 из (3.7) следует оценка
Ие<ЧМ (же 8), (5.2) ni. е. |ж|8 подчинена на 8 основной («внешней») норме Пж11. ■
Иашей ближайшей целью является выделение того случая, когда эти две нормы эквивалентны.
Определение 5.2. Положительный линеал 8 назовем равномерно положительным, если существует постоянная а > О такая, что
И8>а||ж}| (же 8)(5.3)
или, что одно и то же,
(же 8).(же 8).(5.4)(5.4)[ж, ж] ^ а2Иж112
(же 8).
(же 8).
(5.4)
(5.4)
Ясно, что (5.3) в сочетании с (5.2) равносильно экви- валедтпости норм |ж|8 и Иж11 на 8.
Совершенно аналогично — а именно, тем же требованием (5.3) — вводится определение равномерно отрицательного 8, где на этот раз внутренняя норма |ж|8 па отрицательном линеале 8 определяется равенством
И8 = |[ж, ж]|1/2 = (-[ж, ж])’/2 (же 8).(5.5)
Соотношение (5.4) в этом случае переходит в
—[ж, ж] ^ а2Пж112 (же 8).(5.6)
Равномерно положительные и равномерно отрицательные 8 объединяются общим термином равномерно дефинитные линеалы.
□ Равномерно дефинитные линеалы обладают очевидным свойством «наследственности»:
°. Всякий линеал, содержащийся в равномерно положительном (равномерно отрицательном') линеале, сам равномерно положителен (равномерно отрицателен). ■
Простейшим примером равномерно дефинитных линеалов являются компоненты ф" канонического разложения ф = ф+[®]ф_, а также в силу предложения 5.3° все линеалы, содержащиеся в §+(§").
°. Все конечномерные дефинитные линеалы равномерно дефинитны.
□ Это следует из того, что в конечномерном пространстве 8 все нормы (в том числе II-II и I • 1е) эквивалентны. ■
°. 8 равномерно дефинитен только одновременно со своим замыканием — подпространством 8.
□ Это непосредственно следует из 5.3° и сохранения неравенств (5.4) и (5.6) при переходе от 8 к его замыканию 8 (см. предложение 3.5°). ■
. Особый йнТерёС представляет вопрос о связи Между замкнутостью дефинитного линеала 8(с$) относительно внешней нормы II-И и его полнотой относительно внутренней нормы | • Jg (внутренней полнотой^. В случае равномерной дефицитности 8, т. е. эквивалентности норм H-И и | • |g, ясно, что упомянутые два свойства могут иметь или не иметь место липгь одновременно. Это утверждение допускает частичное обращение^
.6°. Дефинитное подпространство 8(=8) равномерно дефинитно тогда и только тогда, когда оно внутренне полно.
□ Замкнутость 8 относительно П-ll в силу полноты 5 влечет полноту 8 в той же норме. Пусть теперь 8 также внутренне полно. Так как нормы II-II и | • |g связаны неравенством (5.2), то по известной теореме Банаха эти нормы эквивалентны.
Обратно, равномерная дефицитность 8 означает эквивалентность норм П-ll и | • |g па 8. Поэтому из полноты 8 в норме 11-И следует и его внутренняя полнота. ■
Что же касается незамкнутых дефинитных линеалов 8, то здесь дело обстоит сложнее — такой линеал 8 может оказаться как полным, так и неполным по отношению к внутренней норме | * |g. Первый из этих двух случаев нам фактически уже встретился в примере 4.12 (линеал 8) (см. ниже § 9, упражнение 11). Однако ясно, что в случае внутренней полноты такой (незамкнутый) линеал не может быть равномерно дефинитным.
Ниже, в § 6, среди прочих будут установлены критерии (необходимые и достаточные условия) равномерной дефицитности замкнутых линеалов (подпространств— см. предложение 6.11°), а в § 8 (лемма 8.4) указан способ описания всех таких подпространств. Здесь же мы пока вернемся к первым примерам равномерно дефинитных линеалов — подпространствам $+ и £г в каноническом разложении ^^ф4^®]^. Эти примеры можно назвать в некотором смысле модельными, о чем свидетельствует
Теорема 5.7. Для того чтобы линеал б^ (0)) пространства Крейна § (по отношению к исходной метрике [,г, г/]) был пространством Крейна, необходимо и достаточно, чтобы он допускал J-ортогоналъное разложение 8 = б4" [+] 8“ на два равномерно дефинитных подпространства-. положительное 8+ и отрицательное 8~. При этом не исключается, что 8+ = (0) или 8~ = (0).
□ Необходимость условия следует из определения 2.2 пространства Крейна, определений (2.2) и (2.3) скалярного произведения и нормы II-II в пространстве Крейна и определений (5.4) и (5.6).
Достаточность следует из предложения 5.6° и определения 2.2. ■
Следствие 5.8. Если 8 — нейтральное подпространство пространства Крейна, то факторпространство ^ = = 8IJ"V8 есть снова пространство Крейна (ср. с унра;к- нением 10 в § 2). _
□ Вспоминая формулу (3.5), имеем811]= 8 [+1®у[-Ц [+]®8, где ®g [4-]®$ в силу 5.3° и теоремы 5.7 есть пространство Крейпа. Остается применить 1.23°. ■
Понятие равномерно дефинитного подпространства допускает некоторое обобщение, играющее впоследствии важную роль в теории некоторых классов линейных операторов в пространстве Крейна (см. ниже гл. III, § 5).
Определение 5.9. Неотрицательное (неположительное) подпространство 8 пространства Крейпа § назовем подпространством класса ИЛ (класса h~), если оно допускает разложение 8 = 8°[4-]8+ (8 = 8° [+] 8_) в прямую /-ортогональную сумму конечномерного изотропного подпространства 8° (dim8°<<») и равномерно положительного (равномерно отрицательного) подпространства 8+(8_).
Здесь следует предостеречь, что из принадлежности подпространства 8, скажем, классу И* отнюдь не следует, что во всяком разложении 8= 8°[4-] 8^ положительная компонента (линеал 81) будет равномерно положительной. •
Пример 5.10. В примере 4.12 подпространство й^ЪЛ, так как допускает разложение 8 = Lin ^eJQ + е~) (4-1 [~t-]G Lin {1аеА,а Аа0» в котором (8)° Lin^^ + e j—одномерное изотропное подпространство, а С Lin [е« \а=х,а^а0 равномерно положительно па основании 5.3°.
С другой стороны, то же 8 представляется (см. пример 4.12) в виде 8 = (8)° [+] 8, где 8 отнюдь не равномерно положителен — в противном случае его замыкание 8 в силу 5.5° было бы также равномерно положительным, а в примере 4.12 оно вырождено!
■ ' ■ Упражнения й Задачи
Любое пространство Крейна ф = ф+[Ф]ф_ с бесконечномерными ф- содержит дефинитные подпространства, не являющиеся равномерно дефинитными (Гинзбург [4]).
еТ н ■ — к :еТ н ■ — к :В случае сепарабельных §~ с ортонормировапными базисами [e^l^, и {с/7}^-! соответственно рассмотрим, например, подпро-
еТ н ■ — к :
еТ н ■ — к :
—; с Г ] ; доказать, что оно положи- ■ 1 Jh—2
тельпо, по не равномерно положительно (И. И ох видов [13]). Модифицировать этот пример для отрицательных подпространств и для цесепарабельных ф*.
Пусть 8— произвольный линеал в пространстве Крейна, а ®$ =•■ et-1-^ П б1. Тогда ®$ —пространство Крейна (см. Р и line р [4]). _
Указание. Доказать, что ®а ~ ®g[-+-]®g, где ®д — дефектные подпространства для 8 (см. § 4), а затем применить 5.3° и теорему 5.7.
Доказать, что все максимальные равномерно дефинитные линеалы замкнуты, и получить для них принцип максимальности (ср. теорему 1.19).
Всякий максимальный равномерно дефинитный линеал 8 является максимальным семидефипитпым ([V]),
У к а з а и и е. Если 8, например, положителен, то, предположив противное, рассмотреть его дефектное подпространство ®^ и показать, что 8t = 8 [+] ®^ равномерно положителен.
Пусть 8(с6) — дефинитный линеал, а уое§. Для того чтобы функционалу (я) ~ [ж, у0]был непрерывен относительно внутренней нормы | • |д, необходимо и достаточно, чтобы
m (yQ) — inf [ж — yQ, ж —yQ] > — со (если 8 положителен), xs8 '
М (у0) — sup [ж — у0, ж — у0] < оо (если 8 отрицателен).
хе 8 .
При выполнении этих условий для (внутренней) нормы | <р n |д функционала qy имеем | qy || [yg, yj - т (уд) и | ФУо |а = = М (уд) — [уд, у0] соответственно (II. Иохвидов, см. [VI]).
Дефинитный линеал 8(с6) называется регулярным, если для всякого уе§ линейный функционал ср„(ж) = [ж, у] (ж е 8) непрерывен относительно внутренней нормы ] • |д, и сингулярным в противном случае (И. Иохвидов [7], см. также [VI]). Доказать, что регулярность дефинитного линеала равносильна его равномерной дефицитности ([VI]).
. У к а з а и и е. Продолжить по теореме Хана — Банаха всякий непрерывный (относительно внешней нормы II-II) на 8 линейный функционал до непрерывного во всем 5, применить затем теорему Ф. Рисса и таким образом доказать, что запас линейных функ-
4 Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов . 49
Цпопалов Па 8, непрерывных относительно норм Ц -1| и | • |$, одинаков, откуда и будет следовать эквивалентность этих норм.
Пусть подпространство 8 с ф0 и 6 = вш/й — соответствующее пространство Крейна (см. следствие 5.8). Тогда максимальная семидефицитность в 5 подпространства 8 эквивалентна соответствующей максимальной семидефипитиости в 5 линеала 1лп{ж|же;г, ж е 8}.
Указание. Воспользоваться (4.5), 1.23° и 4.21°.
Разложимость линеалов и подпространствпространства Крейна.
Оператор Грама подпространства.ТК-прострапства и G-пространства
В § 1, п. 9 был затронут, а в теореме 1.34 несколь- .о подробнее рассмотрен вопрос о существовании у произвольного невырожденного 8 разложения 8 = 8+ 4- 8~ в прямую сумму положительного и отрицательного 8^. Здесь мы несколько сузим постановку задачи, поскольку речь пойдет лишь о линеалах 8 в пространстве Крейна 5 и о разложениях вида
8 = 8+[+]8-,(6.1)
в которых S^t-LjS-.
Определение 6.1. Если для линеала 8(<=^) существует /-ортогональное разложение (6.1), то 8 называется разложимым линеалом; в противном случае 8 называется неразложимым линеалом.
Однако даже переход к пространствам Крейна не снимает проблемы разложимости невырожденных линеалов 8 (невырожденность — необходимое условие, ср. 1.24°).
□ В качестве примера рассмотрим в пространстве Крейна 6 из упражнения 3 к § 2 линеал 8, состоящий из всех тех функций <ps@, которые на отрезке [—1, 0] совпадают с многочленами. Ясно, что 8 — плотный в 6, а потому невырожденный линеал. С другой стороны, 8 = = 81 4- 82, где 8t состоит из всех функций ср s 8, равных пулю па [—1, 0], а 82 — из всех ср е 8, равных пулю па [О, 1]. 81 и 82 нейтральны (см. метрику (1.20)) и по построению не являются линейно изоморфными (линейная размерность 81 больше, чем у 82). Отсюда (см. теорему 1.34) следует вообще невозможность представления 8 в виде 8 — 8+ 4- 8", где У дефинитны, и подавно — неразложимость 8. ■ 50
Вместе с тем переход к пространствам Крейна позволяет полностью решить (и притом в положительном смысле) проблему разложимости его замкнутых линеалов, т. е. подпространств. Начнем с элементарного факта:
6.2°. Изотропный линеал. 8° любого подпространства 8 в пространстве Крейна замкнут, т. е. является изотропным подпространством.
О Это непосредственно следует из того, что при любом те8 предельный переход при п °° в равенстве [я®, z] = 0, справедливом для любой последовательности изотропных в 8 векторов я®-»-.г0 (е 8), в силу 3.5° дает [ж", я] = О, т. е. изотропность вектора т” в 8 (если £о=#0).
Далее в этом пункте (да и в ряде других вопросов) основным является понятие оператора Грама заданного подпространства. Пусть 8 — подпространство пространства Крейна <6 = 5+[®]^- с канонической симметрией J = P* — P~ и 7-метрикой [ж, у\ = Ух, у) (§ 3, п. 1).
Рассмотрим сужение этой 7-метрики па 8: [х, z/]8, т. е. просто форму [х, у], аргументы которой х, у пробегают только 8. Поскольку 8, как и все ^, есть гильбертово пространство со скалярным произведением (х, у) (х, у е 8) и нормой IW=(x, ж)1/2 (же 8), а [ж, z/]8 — полуторалинейпый и притом ограниченный (см. 3.5°) функционал в 8 (или, точнее, в 8X8), то существует единственный действующий в 8 ограниченный самосопряженный оператор С8 такой, что
(к, У\й = )к, У1 = У^х, У) (z.SE8).
■ Пусть Р8— (гильбертов) ортопроектор па 8. Тогда для любых X, у G 8.
(G6x, у) = [х, у] = Ух, у) = ух, Р^ = у й1х, у), так что G8 = Р8 (J | 8), где 7|8,— как обычно, сужение 7 па 8.
Определение 6.3. Линейный оператор G^ = Ру | 8 называется оператором Грама подпространства 8.
Заметив, что Ц^бЦ = 1^*8 V I 8)]^ 1, используем теперь спектральное разложение ограниченного самосопряженного оператора Gg в 8:
1
68 = J ХаЕуху(6.2)
где 5g (X)— спектральная функция (разложение единицы) оператора Gg, а интеграл в (6.2) понимается как предел соответствующих интегральных сумм в равномерной операторной топологии (т. е. ио операторной норме; см., например, [XXII]).
Для определенности предположим, что спектральная функция 5g (X) сильно непрерывна справа, т. е. 5 g (X + 0) = Eg (X), где Eg (X + 0) = s — lim Eg (ц) nix (сильный предел). Введем в рассмотрение три ортопро- ектора в гильбертовом пространстве 8:
-о
Pg = J dEg (X) = Eg (- 0), P"g = Eg (0) - Eg (- 0),
(6.3)
1
P^^dEg^-Ig-Eg^), 0 -o
где символ [ означает, что при составлении соответствующих интегральных сумм значение Eg (X) в пуле здесь считается равным Ед(— 0) (Ср [XXII]).
Из свойств спектральной функции следует, что три ортопроектора, определенные в (6.3), попарно ортогональны и в силу своего определения Рд + 5g + Рд = 1
= ^ dEg (Х)=1д, т. е. они порождают ортогональное -1
(в гильбертовой метрике) разложение 8:
г = а- © г» ф г+, ^± = Р±8, го = р°г).(6.4)
Теорема 6.4. В разложении (6.4) 8“ и &* суть попарно J-ортогональные отрицательное и положительное подпространства соответственно, д 8° — изотропное подпространство для 8.
□ Следует сразу уточнить, что даже при 8 * {0} любое (или даже два любых) из подпространств в правой части разложения (6.4) может сводиться к (6); в даль- иеншем мы этого не оговариваем.
Начнем с доказательства того, что 8° — изотропное подпространство для 8. По определению 8° = Рдй = 52
(^8 (0)— ^s(— 0))8, т. е. 8" — собственное подпространство оператора G8, отвечающее собственному значению Х = 0 (короче, 8° = KerG8), а это равносильно изотропности 8° в 8. В самом деле, для ж0 g 8 соотношение ж0 [-4 ^ эквивалентно тому, что для всех х — 8
([ж0, х] =) (Ggx0, х) = 0,
т. е. Ggxe = 0.
Теперь докажем неположительность 8“. Если (0=#)же е 8-= Р88, то согласно (6.1) — (6.3)
1
[х, х] = (Ggx, х^ = J М-^Ед (X) ж, х^ =
= fxd (Я8 (X) х, Рд х) = f Xd (Ед (X) X, £8(-0)ж) = -1
1■
= J X(/(S8.(—0) £8(Х) ж, ж). (6.5) -1
Но-
[ (Ед (X) х, ж)при Х<0,
(Ед (— 0) Едф)Х, ж) =j
(Ед (— 0) X, X) = const при Х^0.
Возвращаясь к (6.5), получаем•-
[ж, ж] = У Xd (Ед (— 0) Eg (X) ж, ж) =
-о
= У Х^(£8(Х)ж, ж)<0, (6.6)
поскольку — 1 < X < 0, а ^Ед (X), ж, ж) — неубывающая функция. '
Читатель без труда с помощью аналогичных вычислений проверит, что 81- неотрицательно и 8“ [-L] S+.
Из доказанного, в свою очередь, следует, что 8~ и 8+ дефинитны, ибо нейтральный вектор ж», содержащийся в любом из них, был бы для этого подпространства (при ж =/= 0) изотропным вектором и, стало быть, в силу доказанной уже 7-ортогональности 84-LJ81 и 8^[-L]8-
изотропным для всего 8 = 8-[®]8°[®]8+. Но тогда ^8° ив силу (6.4) я» = 6. ■
Заметим, что в ходе доказательства теоремы 6.4 попутно установлено предложение
6.5°. 8 невырождено тогда и только тогда, когда KerG8 = {e}.
□ Это следует из того, что 8° = KerG8. ■
По аналогии с определением 2.1 и несколько обобщая его, примем
Определение 6.6. Если 8 — подпространство пространства Крейна, то его каноническим разложением назовем любое представление 8 в виде /-ортогональной прямой суммы
8 = 8° [+] 8+ [+] 8-(6.7)
трех подпространств, из которых 8° изотропно для 8, а 8+(8~) положительно (отрицательно),.
Существование такого разложения (см. (6.4)) для любого подпространства 8 установлено в теореме 6.4. При этом ясно, что (изотропная) компонента 8° канонического разложения определяется единственным образом (см. 6.5°). Что же касается компонент 8А, то их построение в теореме 6.4 было осуществлено специальным образом с помощью спектрального разложения оператора Грама G8, т. е. опиралось на скалярное произведение (ж, у). Последнее же, как известно, определялось (см. (2.2)) фиксированным выбором канонического разложения ^ = 5'*'[+]<§” (или, эквивалентно, выбором канонической симметрии 7; см. § 3, п. 5). Отсюда уже a priori ясна возможность других канонических разложений для 8, например,
8 = 80[+)8+[+]8Г,(6.8)
в которых, вообще говоря, 8}" ^ 8+ и 8Г ^8~ (ср., например, ниже теорему 8.17). Тем больший интерес представляет
Теорема 6.7 (закон инерции). Каково бы ни было каноническое разложение (6.8) подпространства 8, всегда
dim 8^ = dim 8+, dim 8f = dim 8~,(6.9)
где под 8+ и 8~ понимаются соответствующие компоненты любого другого канонического разложения (6.7) того же подпространства 8.
54
' В Отправляясь, например, от капопйческого разложения (6.7), используем вывод, сделанный ранее в конце замечания 4.4, в силу которого для линейных размерностей, а, стало быть, в данном случае и для гильбертовых размерностей имеем dim 8^ ^ dim 8 1, dim 8t ^dim 8 . Но в этом рассуждении разложения (6.7) и (6.8) можно поменять ролями, откуда и следует (6.9). ■
Итак, пусть фиксировано некоторое каноническое разложение (6.7) подпространства 8.
Определение 6.8. Тройка (sig, v$, го8) кардинальных чисел
Mg = dim8+, v8 = dim8-, tog = dim 8°
называется индексом инерции подпространства 8 и обозначается In 8.
Из теоремы 6.7 следует, что In 8 есть инвариант подпространства 8 относительно всевозможных его канонических разложений (6.7).
Понятие индекса инерции дает возможность ввести для произвольного подпространства 8 пространства Крейна ^ еще одну важную характеристику, которая в особенности выступит на первый план ниже, в § 9.
Определение 6.9. Пусть 8 — подпространство пространства Крейна ^ и In 8 = (ле, v8, tog) — его индекс инерции. Тогда кардинальное число xs — min |л8’ v8}-ua" зывается рангом индефинитности подпространства 8. В частности, ранг индефинитности всего пространства <б = ^+[®]^~ обозначается кратко х, т. е. х = — min (dimф+, dim^-}.
□ Из результатов п. 3 (ср. (6.1) и (6.2)) следует очевидное предложение:
°. Подпространство 8 пространства Крейна неотрицательно (неположительно) тогда и только тогда, когда неотрицателен (неположителен) его оператор Грама G^, m.e. (G^x, ж) ^ 0 (^ 0) для всех хе й. Подпространство 8 положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда (Gg, ж, ж)>0 (<0) для всех ф^хе^, ■
Без труда получаем и критерий равномерной дефицитности подпространства 8 в терминах его оператора Грама G8:
°. Для того чтдбы подпространство 8 было равномерно положительным (равномерно отрицательным), необходимо и достаточно, чтобы его оператор Грама G^,
при некотором а>0 удовлетворял неравенству б8^а2/8 (G8< - аЧ%>
Поскольку [ж, у] = (G^x, у} ^х, у ей), неравенство С8 ^ a27g (^ — а2/) равносильно условию [ж, х] 5= >-а2(х, х) (^— а2(ж, ж)) (ятей) равномерной положительности (равномерной отрицательности) подпространства 8 (ср. (5.4)). ■
Следствие 6.12. Для того чтобы подпространство 8 пространства Крейна § само было по отношению к J-метрике [ат, у] пространством Крейна, достаточно, чтобы для его оператора Грама G6 точка Х = 0 была регулярной точкой: 0ер(68).
Условие Oep(Gg) равносильно существованию такого а > О, что
—а21
G^ = J" Xd^8 (X) + j XdEji (X)
(так называемый «спектральный люк» (—а2, а2) в нуле). Но тогда 8° = {9), и в данном теоремой 6.4 каноническом разложении 8 = й+[®]8~ для оператора Грама ^gt" = G8 J 81" выполнены условия предложения 6.11°, в силу которых-8* равномерно дефинитны. Остается применить теорему 5.7. ■
Ниже (см. теорему 7.16) выяснится, что условие 0Ep(G8) не только достаточно, по и необходимо для того, чтобы 8 было пространством Крейна.
Выше мы познакомились с понятием оператора Грама G^ произвольного подпространства 8 пространства Крейна ^. Отправляясь от этого понятия, можно рассмотреть более общие, нежели пространства Крейна, гильбертовы пространства с индефинитной метрикой.
Пусть § — гильбертово пространство со скалярным произведением (яг, у) (яг, уе^ и нормой Ня:1! = (я:, яг) 1/2 (яте^), a W—произвольный ограниченный самосопряженный оператор (И/* = И/), заданный в ф. Тогда эрмитова полуторалинейпая форма [яг, y]=(Wx, у) задает в § индефинитную метрику, которую мы будем называть W-метрикой, а само пространство ^ с ГГ-метрикой — W-пространством. W называется оператором Грама пространства %.
Ясно, что для PF-пространств справедливы все результаты § 1 (для @(£, y) = (VFa:, у)=[ж, у]). Однако можно утверждать, что и многие (хотя далеко не все) факты, доказанные для пространств Крейна, остаются справедливыми для РУ-прострапств.
□ Наиболее важным из них является неравенство
|[ж, у]| ^ ПWil Ы llyll,(6.10)
устанавливающее непрерывность относительно нормы II-II эрмитово полуторалинейного функционала [х, у] (W-метрики) по совокупности переменных (ср. предложение 3.5°). ■
Далее, легко видеть, что невырожденность W-пространства § (или невырожденность W-метрики) эквивалентна условию КегИ/=={0) или, что то же, 0^ap(PF) (ср. 6.5°). В этом частном случае будем обозначать оператор Грама W буквой G и говорить о G-метрике и G- пространстве ^.
Нетрудно попять, что если § — W-пространство, то факторпространство ф = ф/Кег W с индуцированной W- метрикой (см. 1.23°) есть G-пространство.
В свою очередь, G-метрика может быть регулярной (0 Ф o(G) •<=> 0 е р (G)) или сингулярной (Oeo(G)).
.13°. Гильбертово пространство § с регулярной G- метрикой есть пространство Крейна. Если ^— W-пространство, то 5 = ф/Кег W является_ пространством Крейна тогда и только тогда, когда g?w=9lw.
Первое утверждение, по существу, было установлено в следствии, 6.12. Второе утверждение следует из разложения 5 = 9l»r [®] Ker W и предложения 1.23°, в силу которого_ф ГУ-изометричсски изоморфно 8tw, а потому условие^ 9?w = 9tw эквивалентно регулярности G-метрики (т. е. lF-метрики) в 5- ■
Заметим, что и сингулярное G-пространство может быть путем пополнения превращено в некоторое пространство Крейна. Точный результат формулируется так:
. 6.14°. Пусть § — сингулярное G-пространство, м.
ml ^ G ^ MI, G = J МЕХ (Еха-о = Е^ — спектральное т-о
-0 разложение его оператора Грама G, а Р~ = J dEx и т—0
м
Р+ = ^ dEx — определяемые им ортопроекторы (Р* + 6
+ Р~ = I — ср. (6.3)). Для любого х е § обозначим х^ = = Р~х и введем в § новое скалярное произведение
(х, у) = [а:+, у+] - [ж-, у-](х, у в £)
и соответствующую норму 11^11" = ^х, хУ,г Уе§У
Тогда форма [х, у] может быть непрерывно^относительно нормы 11'11~ продолжена на пополнение 6 пространства § по этой норме* по отношению к продолженной форме [х, у] есть пространство Крейна.
О Заметим, что проекторы Р\ как и оператор Грама G, ограничены относительно исходной нормы И-II, откуда для новой нормы II -Н~ получаем оценку Ы~ ^ сЫ (с>0). Форма [ж, у] остается непрерывной и в повой норме 11-11~:
Ifc, у]| = Г[^+, у+] + [^, У~]1 = ЦаЛ У*^-^ У") । =
= Цх+— х-, у) | < lb* — zHl~l!yll~ =5 IWMz/ll~ (х, уе^
(6.11)'
(здесь использована G-ортогоналыюсть подпространств ^ _ рь^ _ ур теОрСму 6 4). Поскольку § плотно в своем пополнении § по норме II-И~, то форму [х, у] можно непрерывно продолжить^ на все § (сохранив прежнее ее обозначение). Через ^- обозначим замыкания линеалов 5±(с5) по норме 11Н~ соответственно. При этом в силу (6.11) £Р [-Ч^- относительно продолженной формы [х, у] и, очевидно, 45 ^ J- ф- относительно скалярного произведения (х, у), так что ^ = 5+[®]5~ есть пространство Крейна но отношению к форме [х, у] или, что то же самое, /-пространство, где 1 = Р* — Р~, а Р± — ортопроекторы из 5 на ф* соответственно. Очевидно также, что 7 есть расширение оператора Р* — Р- по непрерывности относительно нормы II-IH с ^ па все $ (непрерывность следует из (6.11)). ■
Разобранный в предложении 6.14° вопрос о вложении G-прострапств в пространство Крейна имеет и другой аспект, обнаруживающий, так сказать, универсальность пространств Крейна среди всех ТР-прост- ранств. В самом деле, если ^ — РР-пространство, то без 58
ограничения общности можно считать II ТУП < 1 (в противном случае можно ^ эквивалентно перенормировать, заменив исходное скалярное произведение (•, •) новым: (•, •)] = «(■, •), где а^ПТУП, и тогда для нового оператора Грама W\ = ^- W получим || ТУi||i = ^II^IK !). Теперь пространство § = § © 5 с помощью канонической симметрии (см. пример 3.9)
-у | W (/ - W2)1/2||
—1| (z - W2)1/3 —W ||
превращается в пространство Крейна, а 5 оказывается его подпространством (точнее, (ТУ, ^)-изометрически _ изоморфно некоторому его подпространству). Так как ф, в свою очередь, (7, /^-изометрически изоморфно некоторому подпространству любого /i-прострапства •&! = = §1 ф $7 с подпространствами $7 достаточно большой размерности, то и ф является (ТУ, /()-изометрически изоморфным некоторому подпространству пространства ^i. Таким образом, произвольное пространство Крейна ф, ^при условии достаточно большой размерности подпрост-' ранете 5>t в его каноническом разложении) содержит подпространство, (ТУ, J,)-изометрически изоморфное заданному W-пространству ^. ■
Теория семидефипитпых п дефинитных линеалов и подпространств (в частности, понятия внутренней метрики и равномерной дефицитности, регулярных и сингулярных линеалов), развитая в §§ 4—6 для пространств Крейна, в значительной степени сохраняет силу и для ТУ-пространств и, в особенности, для G-пространств.
Упражнения и задачи
Рассмотреть пространство Крейна ф из примера 3.11 и найти плотный в этом пространстве и неразложимый линеал. ■
Указание. Использовать идею примера 1.33.
Показать, что неразложимый линеал (пространство) @, построенный в примере 1.33, по только не является пространством Крейна, по (в отличие от ситуации в упражнении 1) вообще но может быть погружен пи в какое гильбертово пространство ф со скалярным произведением (•, •), «мажорирующим» форму [•, •] : I [ж, у] I2 < (^ ж) (у, У). т. е. | [z, у] | ^ Ikll ||у|| (х, у s @) [VI].
Указание. Рассуждая от противного, рассмотреть векторы ^{sJTL-oo с В-л=1 и L' =0 при j^—k (k = 1, 2, ...), а также вектор у = (..., 0, ..., 0, Цо, щ, ...), где цл_| = (т6, хй) +
4- к (к ^= 1, 2, ...), и получать противоречивое неравенство ^-1^' sg Ы2 для всех к = 1, 2, ... (Гинзбург).
Пусть Gg — оператор Грама подпространства 8(с$). Тогда 8 певырождепо в том и только в том случае, когда ||^||g = =||б^а:|| есть норма в 8 ([VI]; ср. пиже определение 7.13).
Последовательность {^„у^ называется асимптотически изотропной в линеале 8(<нф), если [т„, у] ->0 (п->оо) равномерно относительно всех у е 8 с ||у|| = 1. Пусть Gg —оператор Грама
подпространства 8. Последовательность {^„}” (с 8) асимптотически изотропна в 8 тогда и только тогда, когда Jim | СцяЦ•— О (Гинзбург, см. [VI]).
Дефинитное подпространство 8(с6) равномерно дефинитно тогда и только тогда, когда любая асимптотически изотропная последовательность в 8 сходится к нулю (Гинзбург, см. [VI], ср. ниже теорему 7.16).
Результат из упражнения 4 допускает существенное обобщение: замыкание 8 линеала 8(с^) является пространством Крейна тогда и только тогда, когда каждая асимптотически изотропная в 8 последовательность сходится к пулю. (И. Похвидов, см. [VI], предложение 5.5° и пиже теорему 7.16.)
Указание. Воспользоваться результатами упражнений 3 и 4.
Пусть 8 = 8+[ф]8-[ф]8°— каноническое разложение подпространства пространства Крейна, a G L — операторы Грама для
8* соответственно. Для того чтобы каждое равномерно положительное (равномерно отрицательное) в 8 подпространство было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы G + g®^ (G е®^!
(Азизов).Указание. В «необходимой» части воспользоваться тем, что(Азизов).Указание. В «необходимой» части воспользоваться тем, что, -*G 8+1, -*G 8+1операторной топологии, аоператорной топологии, а8 dim (I8 dim (Iпри (0 <) Х-*0 в равномернойпри (0 <) Х-*0 в равномерной' , -Е , 8+8+' , -Е , 8+8+
(Азизов).
Указание. В «необходимой» части воспользоваться тем, что
(Азизов).
Указание. В «необходимой» части воспользоваться тем, что
, -*G 8+1
, -*G 8+1
операторной топологии, а
операторной топологии, а
8 dim (I
8 dim (I
при (0 <) Х-*0 в равномерной
при (0 <) Х-*0 в равномерной
' , -Е , 8+8+
' , -Е , 8+8+
(здесь Е^+ (X) — спектральная функция оператора ^g+y ^ W- статочной» части воспользоваться инъективностью ортонроектора Р+ из 8 па 8+ на положительных подпространствах (см. лемму 1.27) и тем, что при я е Ж* (любому равномерно положительному подпространству из 8) ^G$+P+x, Р+^ > с||^||2, т. е. G^+ па Р^Ж* обратим.
/-ортогональные дополнения и проекции.Проекционная полнота
Напомним, что /-ортогональные (а еще раньше Q- ортогональпые) дополнения нам уже эпизодически встречались, начиная с § 1, п. 5 (см. также § 1, п. 10, § 3, п. 4, § 4, п. 5 и др.). Здесь же мы предпримем их си- 60
Тематическое изучение применительно к линеалам и, в частности, подпространствам пространства Крейна § с фиксированной в $ канонической симметрией 3 (см. § 3, п. 5).
Как и раньше, /-ортогональность (/-ортогональное дополнение) обозначается символом (соответственно — верхним индексом) [-*-], в то время как обычная (гильбертова) ортогональность (соответственно — ортогональное дополнение) по отношению к скалярному произведению (ж, у) = Ух, у] — символом (соответственно — верхним индексом) -L. Приведенные ниже предложения 7.1°— 7.5° несложно доказать непосредственной проверкой с применением соотношений (3.5) или предложений 3.5° и 3.7°, что мы и предоставляем читателю.
О 7.1°. Для произвольного подмножества ^(с^) его 3-ортогональное (2ЛШ) и ортогональное (ЗТН) дополнения суть подпространства, связанные формулами
здш = ]^(71а)
^± = /^±1. и(71б)
7.2°. Для любого множества ЗЛ(с^)
тш = йш = (Ы)Ш. я
D 7.3°. Для любого 2Л(с^)
(/К)'1^»11. ■(7.2)
7.4°. Для. любого множества ЗЯ^с^
2ЛШГ±1 = с Lin 2Л
(ср. (1,11)) и, в частности, для любого линеала 8 (с 5)
(7.3)(7.3)аши] = g
(7.3)
(7.3)
7.5°. Для подпространства 8 (=8) всегда 8[±H-L1 = 8, и потому изотропные подпространства 8° у 8 и 8(±1 совпадают-.
8" = 8 Л 8t±] = 8Ш Л 8ШШ. ■
Ограничимся в этом пункте рассмотренным в 7.5° случаем, когда 8 = 8 — подпространство пространства Крейна. Если но отношению к гильбертовой метрике всегда 8 Л 8х = {0} и 8г1- ® 8 =^, то по отношению к индефинитной метрике аналогичные равенства, вообще говоря, не верпы уже хотя бы потому, что 8 может быть вырожденным подпространством, и тогда 8 Л 8Ш =
= йп=5Мб). В этом случае алгебраическая сумма Й + йш, т. е. линеал й + йш = {х + у\х е й, угйш},- уже не является прямой суммой.
7.6°. Для любого подпространства й справедливо соотношение (Уй0)-1- = (й + йщ).
□ Учитывая (1.12) и 7.5°, имеем (& + йш)ш = = 8Ш Л й1±11х1 =8°, откуда в силу (7.16) (8 + 8tJj)-L = = 78° и (7й°)± = (й + й^’)^ = (й + йш). ■
Доказанный в 7.6° факт означает, что все пространство $ можно представить в виде ортогональной суммы:
$ = (Й + 8Ш) © 78°.(7.4)
Это позволяет заменить справедливое лишь в гильбертовой метрике соотношение й © й1- = $ следующим его уточнением:
Лемма 7.7. Для того чтобы■
8 + 8ш = &(7.5)
необходимо и достаточно, чтобы подпространство 8 было невырожденным.
О Доказательство прямо следует из формулы (7.4), если учесть, что вследствие унитарности оператора J (см. (3.4)) соотношения 78° = (6) и 8° = (0) равносильны. ■
Обращаясь к обсужденному в п. 2 вопросу, но с более общих позиций, введем следующее
Определение 7.8. Линеал й в пространстве Крей- па $ назовем проекционно полным, если
й + й[±1=£.-(7.6)
В поисках условий проекционной полноты мы прежде всего обнаруживаем, что, как и в аналогичном вопросе для случая дефинитной (гильбертовой) метрики, справедливо предложение
°. Для того чтобы линеал й(с^) был проекционно полным, необходимо, чтобы он был замкнутым: 8 = й> В частности, подпространства 8 и 8Ш могут быть проекционно полными только одновременно.
□ Пусть имеет место (7.6), по существует вектор уа е 8\8. Представим вектор у0 в соответствии с (7.6) в виде у0 = х0 + хй (тое8, z0 = 8txl). Таким образом, хв, У»^^, (у0~ ж0=)з0е й л й1-1-1 =yj-it±] fl jin Т- е z0[-L] [-1-]й + йш =£ и z0 = 9, откуда уо = хоеЯ; вопреки выбо-
py у0. Второе утверждение 7.9° вытекает из равенства 8шш = 80 (см. 7.5°). ■
Однако, если в «дефинитной» ситуации условие 8 = 8 не только необходимо, но и достаточно для наличия разложения ^ = 8 ® 8-1-, то, как уже отмечалось в начале п. 2, индефинитная метрика вносит здесь свою специфику. В частности, имеем
°. Для того чтобы подпространство &(<=$) было проекционно полным, необходимо, чтобы оно было невырожденным: 8 Л 8Ш = {0}.
□ Это — простое следствие леммы 7.7, так как из (7.6) подавно следует (7.5). ■ _
Однако даже оба условия 8 = 8 и 8 П 8Г±1 = {0} в совокупности пе достаточны для проекционной полноты 8. В этом мы вскоре убедимся, подойдя к обсуждаемой проблеме под несколько иным углом зрения.
Вектор х называется J-ортогональной проекцией вектора у(е^ па подпространство 8(с^), если
1) же 8; 2) у-ж[-Ь]8. (7.7)
Для каждого (так сказать «индивидуального») вектора i/o критерий существования его /-ортогональной проекции на заданное подпространство 8(с^) получается просто в терминах оператора Грама С8 подпространства 8 (см. определение 6.3).
Лемма 7.11. Пусть Ру— Агильбертов^ ортогональный проектор на подпространство 8(=/={0}) J-пространства $, а Gy = РуУ \ ^)— оператор Грама подпространства 8. Тогда, для того чтобы у вектора у0(е^) существовала J-ортогональная проекция х6 на 8, необходимо и достаточно, чтобы РуТу6е$сй.
Существование искомой /-ортогональной проекции ж6(е8) вектора у0 эквивалентно в силу (7.7) тому, что для всех ж е 8 выполняется
Уо — ж0, ж] = 0^ [у0, ж] = [ж0,ж] о (Jy0,Pyx) = (68ж0,ж) т. е. (Ру/уи, ж) = (Gyx0, ж), откуда PyJy0 = Gyx0 е 9ic8. Поскольку все рассуждения обратимы, лемма 7.11 доказана. ■ '
Лемма 7.11 не отвечает на вопрос о единственности /-ортогональной проекции в случае, если эта проекция существует.
Лемма 7,12. Для того чтобы хотя бы Эля одного вектора р0(е$) с ]-ортогональной проекцией х0 на подпространство 8(¥={0}) эта J-ортогональная проекция была единственной, необходимо, чтобы 8 было невырожденным. Это же условие достаточно, чтобы любой вектор р(е5) имел не более одной J-ортогональной проекции на 8.
Наличие изотропного вектора zo(¥=0) в 8 привело бы к тому, что для вектора уД^^, имеющего /-ортогональную проекцию ж0 па 8, вектор ж„ +го^Жо) также был бы J-ортогопалыюй проекцией па 8, так как х6 + z„ s G 8 и у„ — (ж„ + z0) [-L] 8.
Обратно, если для какого-то вектора у(еф) существуют две /-ортогональные проекции хх и хг на 8 и хх * хг, то вектор (0 ¥=)z0 = ж, — ж2(е 8) обладает свойством: zD = (у — хД — (у — ж1)[Л-]8, т. е. является изотропным вектором для 8. ■
Вернемся теперь к начатым в п. 3 поискам критериев проекционной полноты подпространства 8 (с 5) и введем с этой целью еще' некоторые определения.
Определение 7.13. В невырожденном подпространстве 8 с оператором Грама С8 введем норму || ж|18 = ==||^8^1 (же 8).
Определение 7.14. Невырожденное подпространство 8 называется правильным, если на нем нормы II-II и Ц • Pg эквивалентны.
7.15°. Подпространство .8 с оператором Грама Gy правильно тогда и только тогда, когда Ое р(С8).
□ Оценка |^ж|| = ||ж||8^с||ж|| для всех же 8 (с>0) равносильна непрерывной обратимости ограниченного самосопряженного оператора Gy. ■
Теперь мы можем установить основную теорему, содержащую набор критериев проекционной полноты.
Теорема 7.16. Для подпространства ((0)^)8 (<=^) с оператором Грама Gy следующие четыре утверждения эквивалентны:
8 проекционно полно;
8 правильно, т. е. Оер(Се) (см. 7.15°);
8 — пространство Крейна;
у любого вектора у^ф существует хотя бы'одна J-ортогональная проекция на 8.
□ а)^б). Так как 8 проекционно полно, то из 7.10° следует, что (7.6) представляет собой разложение в пря- .64
мую сумму: ^ — 8 [+]8Гл’. Этому разложению отвечают ограниченные проекторы Q и (I — Q) па 8 и 6Ш соответственно. Поэтому для любого (Q^ijeil и y=.^Jx имеем || я:|| = [ж, у) = [ж, <?у] =(G%x, Qy) < | Сйж1|Й'ц = = II *2II II ^ Не ^ | ^е || IIQIIIIх 1Ь т. е. 8 правильно.
=> в) Эта импликация была установлена выше в следствии 6.12.
в)=> г). В силу теоремы 5.7 8 = 8+ [4-] 8"", где 8 * равномерно дефинитны. Покажем, что у любого вектора у е ^ существует J-ортогопальпая проекция па 8*. Рассмотрим, например, линейный функционал ф„(.г) = [а, у] (ге8+). Так как 1фа(^) I = I (^, /у) I =5 Wl Hyll, то фу непрерывен относительно нормы II-II, а следовательно, и относительно эквивалентной ей (см. (5.2) и (5.3)) внутренней нормы | • |8+. Поскольку (см. 5.6°) 8+ полно относительно I • 1йг, то по теореме Ф. Рисса существует ж, е 8+ такой, что фу(^) = [ж, ^i] (хей*^ откуда [ж, у] = = [ж, ж,] для всех хей* и у — х [-L] 8+. Итак, ад — /-ортогональная проекция у на 8+, и аналогично находим, что х2 — /-ортогональная проекция у на 8-. Но тогда хв = х, + хг — /-ортогональная проекция у па 8.
г)=>а). Так как у любого у(е$) существует /-ортогональная проекция ж на 8, то y=a? + z (хе 8, ге8:11) и $ = 8 [+] S'-11, т. с. 8 ироекционпо полно. ■
Следствие 7.17. Для дефинитного подпространства 8 проекционная полнота равносильна равномерной дефицитности.
□ Это следует, например, из 7.10°, 6.11° и эквивалентности а) -^ б) в теореме 7.16. ■
Следствие 7.18. Всякое конечномерное невырожденное подпространство 8 проекционно полно.
О Это следует из утверждения б) теоремы 7.16 и эквивалентности всех норм в конечномерном пространстве 8. ■
В заключение настоящего параграфа снова обратимся к вопросу о различных канонических разложениях пространства Крейна 5 и определяемых ими гильбертовых топологиях (ср. выше замечание 2.4).
Рассмотрим помимо некоторого фиксированного канонического разложения
. £ = №!£- (7.8)
с каноническими проекторами Р*, канонической симмет- 5 Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов 65
рией J = Р* — Р~ и порожденными ими скалярным произведением (ж, у) = [/ж, у] и нормой Иж11=(ж, ж)1/2 (ж, у е ^5) (см. § 3) какое-нибудь другое каноническое разложение
5 = 5Ь+]5Г,Г (7.9)
т. е. произведем, так сказать, «поворот координатных осей». Ясно, что (7.9) снова порождает соответствующие канонические проекторы ^°^: ^i^S = ^i2. Pt + Ру = /, новую каноническую симметрию Jy = Pt — Р^, а также новые скалярное произведение (ж, у)4 — [Лж, у] и норму 1И3 = (ж, ж)1/2 (ж, уе$).-
Теорема 7.19. Нормы II-II и II-Hi, порождаемые различными каноническими разложениями (7.8) и (7.9) пространства Крейна ^, эквивалентны.
□ Будем исходить из того, что одно из канонических разложений, скажем (7.8), в соответствии с § 2, п. 2 породило в 5 структуру гильбертова пространства с нормой Пж11=(ж, ж)1/2 (же^). Наличие другого канонического разложения (7.9), где ^ — дефинитные линеалы, причем fit [J_l 57, свидетельствует об их проекционной ■ полноте, замкнутости в норме II-II (см. 7.9°), т. е. ограниченности проекторов Ру в этой норме, и, наконец, о равномерной дефицитности fiy в той же норме (см. следствие 7.17). Если теперь учесть, что норма II-Hi есть внутренняя норма па fit (ср. (5.1)), то ясно, что на 51 нормы II-H и Il-Hi эквивалентны. Поэтому 57, а с ними и все 5 (см. 2.3°), полны относительно нормы II-Н4.
Заметим, далее, что для жг е 5? нормы Цж1 ^ (как внутренние) просто подчинены исходной (внешней) норме: kki^kH- Поэтому для любого же^, ж = ж)1" + + ж7 (ж? G 5J), имеем
И11 = 1И + *7 Ik <|( xt ||i + ||жг||1<||ж7||+ ||ж7|| =
М^ММ^7Н<кЛИк1ЛкМ^
где Р = || Ру || + || Ру |> 0. Отсюда в силу полноты по обеим нормам II-II и II-Hi следует их эквивалентность. ■
Упражнения и задачи
Семидефинитный линеал 8 равномерно дефинитен тогда и только тогда, когда 8 является проекционно полным ([V]).
66
Пусть 8(cS) содержит максимальный равномерно положительный (равномерно отрицательный) линеал (см. упражнения 3 и 4 к § 5). Тогда 8 является проекционно полным и 8[±1 равномерно отрицательно (равномерно положительно) ([V]).
Указание. Использовать следствие 7.17, упражнение 4 к § 5, предложение 5.3°, а также 7.9° и 7.4°.
Линеал 8 является максимальным равномерно дефинитным тогда и только тогда, когда существует каноническое разложение 5 = 5^ [+1 $7 такое> что 8 = ф^ (либо 8 = $~) ([VI]).
Указание. Воспользоваться предыдущим упражнением и результатом упражнения 3 к § 5.
Линеал 8 является проекционно полным тогда и только тогда, когда а) 8 замкнут; б) 8 повырожден; в) для любого его разложения 8 = 8+[+]8~ (8* с ф** J {6}) найдется каноническое разложение 5 ~ ^ [+1 67 такое> чт0 8±с ^ ([V])-
Указание. В «необходимой» части воспользоваться 7.9°, 7.10°, теоремой 7.10, принципом максимальности для равномерно дефинитных линеалов (см. § 5, упражнение 3) и результатом упражнения 3.
В теореме 7.16 эквивалентность г) ч=>- б) вывести из леммы 7.11.
Доказать, не пользуясь теоремой 7.16, что для дефинитных подпространств 8 правильность равносильна равномерной дефицитности.
Указание. Сравнить нормы ]®||ц = |^g®^ и [я[^ = ||G1^2«|| (z е 8, 8 положительно).
Пусть 6 — пространство Крейна, 8 — его подпространство, допускающее разложение 8 = 80 [+] 8', где 8' является проекцион- но полным, а 80 — изотропная часть 8. Тогда при любом разложении 8Ш = 80 [+] (8[±1)' в прямую сумму подпространств второе слагаемое будет проекциоппо полным подпространством.
Указание. Воспользоваться результатом упражнения 10 из §2 с учетом того, что (в1-*-1)' /-изометрически изоморфно подпространству 8ш/8о-
Доказать, что сумма 81 [+] 82 проекционно полных подпространств проекционно полна.
Метод угловых операторов
Пусть $с!р+ в пространстве Крейна 5 = Ф+ [®]>б“» Если Р~ — канонические проекторы, то в силу теоремы 4.1 отображение Р+1й: й -► Р+й(с^+) есть линейный гомеоморфизм, причем 11 (Р+1S)— 41 =^ V 2. Рассмотрим теперь ограниченный линейный оператор
^ = Р-(Р+|а)-‘, К: Р+8-^ф-.(8.1)
Определение 8.1. Оператор К, заданный соотношением (8.1), называется угловым оператором для й относительно у.
5*67
Смысл этого названия выяснится несколько позднее (см. упражнения 1 и 2 к § 8).
□ Для произвольного вектора ж (ей) имеем ж = ж+ + + r(i±e§1)| х* = Р+х е Р+й, Кх* = Р-(Р+|й)-1Ж+ = = Р~х = х~. Таким образом, всякий вектор ж(ей) имеет вид х = х* + Кх* (х* s Р+й), причем в силу неотрицательности й для всех ж+ еР+й (см. предложение 2.5°) имеем Иж+Н Пж~П = 11Хж+11, т. е. ПАН 1 (К— сжатие).
Обратно, задавшись произвольным й+(с^+) и произвольным сжатием К: й+ -► £г (ПАП ^ 1), рассмотрим множество векторов
й = {ж++Аж+)к+ей+. (8.2)'
Поскольку К — линейный оператор, то й — линеал, причем йс$+, ибо для любого ж = ж+ + Аж+(ей) имеем х- = Кх+, откуда Иж~11 = П2^ж+11 =^ Иж+И. При этом очевидно, что Р+й = й+ и К — угловой оператор для й относительно ф+.-
В итоге мы получили полное описание всех неотрицательных линеалов пространства Крейна, а именно, доказана
Теорема 8.2. Формула (8.2), где й+ — произвольный линеал из ф+, а К; й+ £г — любое сжатие (ПАП ^ ^1), дает общий вид всех йсф1- пространства Крейна $ = $+ [®]ф“, причем Й+ = Р*Й, а К — угловой оператор для й относительно $+. ■
Аналогично описываются все неположительные S(=$).
Определение 8.Г. Если й — неположительный линеал в пространстве Крейна $ = ф+ [®]5-, то оператор
Q = P+(P-\SL')-\ Q-. Р~й-^+(8.3)
называется угловым оператором для й относительно ф-.
□ Читатель без труда самостоятельно установит следующий аналог теоремы 8.2:
Теорема 8.2'. Формула
й = {<2ж" + г-}ж_е8_,
в которой й_ — произвольный линеал из £г, a Q; й“ -^ ^+ (11^11 ^ 1) — произвольное сжатие, дает общий вид всех 8с$- в пространстве Крейна ф = $+[®]$_, причем й_ = Р~й, a Q — угловой оператор для й относительно ■
В дальнейшем (пп. 2 и 3) мы ограничимся случаем линеалов 8 <= $+ и их угловых операторов К, так как для 8 <= $~ вся теория вполне аналогична (соответствующие предложения 8.3°', лемму 8.4' и т. д. читатель сформулирует самостоятельно).
Несмотря па свою простую конструкцию, угловой оператор К для 8 (слова «относительно ^» мы будем часто ради краткости опускать) содержит достаточно большую информацию о свойствах самого линеала.
3°. Если К—угловой оператор для 8 <=$"*", то 8 = с $<"+ и {0)тогда и только тогда, когда НХж+Н < Иж+П для всех (0 ¥=)ж+еР+8, u 8cS|50 тогда и только тогда, когда К—изометрический оператор; ИЛж+И = Нж+П (ж+еР+8).
О Так как для жей имеем х = ж* + х~ = ж* + Кх*, то все утверждения непосредственно следуют из формулы (см. (2.7)) [ж, ж] = Нж+И2 — Нж~И2 = Нж+Н2 — НХж+Н2. ■
Заметим, что для 8 с ф° описание можно получить с помощью аналога 8.3°' предложения 8.3° в терминах изометрического оператора Q; Р-& ^ъ, являющегося угловым оператором 8 относительно ф- (см. (8.3)). При этом, очевидно, Q = К-1. '
Несколько более тонкий факт, нежели предложение 8.3°, вскрывает
Лемма 8.4. 8 (<=$''■) с угловым оператором К является равномерно положительным тогда и только тогда, когда НХН < 1.
□ Пусть 8 равномерно положителен, т. е. для всех ж е 8 -
11ж+П2 — Пж-!!2 = [ж, ж] > ааЫ2 — а2(Иж+Н2 + Нж~Н2)
(а>0), (8.4)
причем по смыслу определения 5.2 можно всегда выбрать а так, чтобы 0 < а < 1, что мы и сделаем. Соотношение (8.4) эквивалентно неравенству
(1 - а2) Пж+П2 > (1 + а2) Пж-П2, (8.5) откуда
Обратно, пусть И^Н = p < 1. Обозначим
ТогдаТогдар2 = *---—-, и для всех ж* е Р+8 ир2 = *---—-, и для всех ж* е Р+8 иж = х+ + х~ =ж = х+ + х~ =
Тогда
Тогда
р2 = *---—-, и для всех ж* е Р+8 и
р2 = *---—-, и для всех ж* е Р+8 и
ж = х+ + х~ =
ж = х+ + х~ =
= х+ + Кх* имеем
ММкг+Г<р’Ь+1-^И1’.
или (1 — a2)llx+H2 ^(1 + а2)Иж""П2, что, как мы видели (ср. (8.5)), эквивалентно (8.4). ■
Лемма 8.4 вместе с предложением 8.3° указывает эффективный способ построения как дефинитных, так и равномерно дефинитных линеалов.
Особенно полезным понятие углового оператора оказывается при работе с максимальными се ми дефинитны ми подпространствами. Во всем дальнейшем изложении для сокращения записей введем два следующих множества подпространств:
(2Я+(ф)=)2Я+— множество всех максимальных неотрицательных подпространств пространства Крейна(8.6)
(9Х-($)=)5Л~ — множество всех максимальных неположительных подпространств пространства Крейна £.(8.7)
°. Для того чтобы й(с$+) входил в 9Л+, необходимо и достаточно, чтобы его угловой оператор К был определен всюду в ^+(К; $+-)-$-).
□ Это прямо следует из теорем 4.5 и 8.2. ■
Естественно, что сложнее обстоит дело с максимальными положительными линеалами 8, так как мы уже видели (см. пример 4.12), что такой 8 может быть незамкнутым, и в этом случае 8 ^ Ш1+.
°. Для того чтобы 8(с $++ U (0}) с угловым оператором К был максимальным положительным, необходимо, а в случае замкнутости 8 (8 = 8) и достаточно, чтобы область определения ©к оператора К была плотной в $+: &к = §*.
□ Это — простая переформулировка теоремы 4.7. ■
Предложения 8.5° и 8.6° намечают пути построения расширений семидефипитных и дефинитных линеалов до максимальных линеалов соответствующих классов, более того — пути описания всех таких расширений.
°. Пусть 8 <=$"*", а его угловой оператор К определен на линеале ®к(с$+). Тогда; а) неотрицательные 70
расширения 8(=>8) описываются в соответствии с теоремой 8.2 всевозможными сжатиями К^К') (т. е. расширениями оператора К с 11^11^1), для которых ®~ с $+ и К: ®^-*i§-; б) в частности, все 8(=>8) из ®1+ описываются такими сжатиями К^К^, для которых ^^= 5+.
D Это следует из теоремы 8.2 и предложения 8.5°. я
□ Замечание 8.8. Процедура построения 8(s9R+) из утверждения б) предложения 8.7° начинается с замыкания 8, т. е. рассмотрения неотрицательного подпространства 8 с угловым оператором К (замыканием оператора X). Если $>- = 5^, то ясно, что 8еЭД+, и других 8ей+ таких, что 8^8, нет. Если же®^^1^’ т0 одно из расширений 8 (=> 8) класса 9Л+ можно построить, например (не прибегая к лемме Цорна — см. замечание 1.20)_, с помощью тривиального расширения К сжатия К на все S+, а именно, определив линейный оператор К формулами
( Кх+, х+ е ©-,
^^i'o, (818)
Что же касается утверждения а) предложения^ 8.7°, то здесь возможпы_и промежуточные между 8 и 8 расширения 8 (8 с 8 с 8) линеала 8. я
Замечание 8.9. Описанная в формуле (8.8) замечания 8.8 процедура применима и к построению максимального положительного расширения 8 по л о ж и- те ль по го 8 с угловым оператором К, по лишь в том, случае", когда и его замыкание 8 положительно.
4. При переходе к рассмотрению нейтральных расширений нейтральных линеалов нам (в соответствии со сказанным выше вслед за доказательством предложения 8.3°) понадобятся еще теорема 8.2', а также не сформулированный нами аналог 8.7°' предложения 8.7° для неположительных линеалов.
Теорема 8.10. Пусть ^= §*\®Д^~ — пространство Крейна, 8с$°, а К и Q — его угловые операторы относительно 5+ и $~ соответственно. Тогда;
все нейтральные расширения 8 линеала 8 описываются в соответствии с теоремами 8.2 и 8.2' всеми угловыми операторами из объединения {^} U {^} совокупно-
ста {^} всех изометрических расширений R^K^ изометрического оператора К ^^cz §+, К: ®~-*^-) и совокупности {^} всех изометрических расширений Q^Q^ изометрического оператора Q (®g- с: &VQ: ^-*^-,
в частности, все максимальные нейтральные расширения 8(^8) в случае dim $+< dim$~ описываются всеми максимальными изометрическими операторами ^^к~^^ описанного, в утверждении а) класса {R}, а в случае dim $+ > dim ^"— всеми максимальными изометрическими операторами 9 (®^ = ^~ j описанного в утверждении а) класса {(7);
в случае dim jp+ = dim ^r = °о описание всех максимальных нейтральных расширений 8(^8) получается рассмотрением всех максимальных изометрических расширений операторов снова из объединения {R} U {(7) в утверждении а); в случае же dim jp+ = dim§~ < °° достаточно использовать максимальные изометрические операторы только из {R} или только из {(7);
существующие лишь при dim Jp+ = dim §" гипермаксимальные нейтральные расширения 8(=> 8) описываются совокупностью всех унитарных расширений R^K} (либо, что эквивалентно, Q^Q)), т. е. таких изометрических расширений, что R^* = (Q^- = •§+).
О Утверждение а) следует из 8.3° и 8.3°'.
Если dim $+< dim £г, то всякое максимальное нейтральное подпространство 8(=> 8) принадлежит классу Ф1+. В противном случае в соответствии со следствием 4.14 имели бы 8&2R-? Р~8 = $~, и па основании аналога 8.7°' предложения 8.7° б) угловой оператор Q подпространства 8 относительно $“ был бы определенным всюду в ^" и изометрическим, причем Q: ф- -»- 5"*", что при dim^)+<dim^_ невозможно. Остается сослаться на 8.7° б). В случае dim^+>dim^“ рассуждения аналогичны.
Ввиду изометричности при dim Jp+ = dim 5Цт гильбертовых пространств 5+ и $“, в случае их конечномерности все максимальные изометрические (унитарные) расширения К". 6+^-5 оператора К и максимальные изометрические (унитарные) расширения Q". ф~ Д^. ф+ обратного оператора Q = К-1 могут быть полу-
чепы друг из друга по формулам Q ~ R~' (или R = Q-1Y Если же размерность dim jp+ = dim 6" бесконечна, то возможны максимальные изометрические расширения R: 6+6~,_для которых R^*^^, и аналогично Q; ^” ->
-* ф+ с ()jp-#= jp+. Поэтому полное описание всех максимальных нейтральных расширений й(=>й) достигается лишь перебором всех максимальных изометрических операторов из объединения VR^ U {0. Разумеется, в отношении тех из них, которые унитарны, в упомянутом переборе, как и в «конечномерном» случае, можно ограничиться одними унитарными операторами из {Ю (или обратными им из ((Я).
Справедливость последнего утверждения теоремы вытекает из 8.7° (либо из 8.7°') и следствия 4.14. ■
. В этом пункте мы рассматриваем только подпространства 8 классов ЭД+ и ЭД". Поэтому их угловые операторы К (соответственно (?) определены всюду в ф+ (соответственно 6г).
Нам понадобится сейчас известное понятие оператора Т*, сопряженного оператору Т: §i -* §21 действующему из одного гильбертова пространства (&) в другое (6>) (см., например, [XII]). Ниже (см. гл. II, § 1, и. 1) это понятие будет значительно обобщено, однако в нужном пам сейчас простейшем частном случае, когда оператор Т ограничен и задан всюду в Jpb сопряженный оператор Т*: jp2^-jpt естественно определяется на всех ?/2G& соотношением
(^1, Т*уг^1=^ТХ1, Уг^г (^iе >61),(8.9)
где (•, -)4 и (•, •)г — скалярные произведения в ^ и & соответственно. Из (8.9) ясно, что Т* также ограничен и обладает обычными свойствами: (S + Т)* = S* + Т*, ^ST') * = T*S*, Т** = Т.
Теорема 8.11. Пусть ge®+ и К—угловой оператор 8 относительно §*. Тогда й'^еЭД" и угловой оператор Q подпространства й'-11 относительно ^" есть К*:
Q = K*.(8.10)
Пусть у ей'-11. Тогда для всех ж ей имеем
0 = [ж, у] = [ж++ Кж+, у] = (ж+, у^-^Кх^, у~) =
= (^,у^-(х\К*у~), (8.11) т. е. для всех х* е ^+
(s+, У+) = (*+> К*Н(8.12)
73
(здесь роль пространств $t и фг из определения (8.9) играют ^+ и 5" соответственно). Но так как (ср. (8.9)) ^y-ejp+j то из (8.12) следует, что у+ = К*у~, и, стало быть, у = К*у~ + у.
Обратно, для всех у~е5у вектор у = К*у-V-у- (у+ = = К*у-) удовлетворяет соотношению (8.12), откуда (в обратном порядке) восстанавливается цепочка равенств (8.11). Таким образом, уей111.
Итак, S[xj=(^*y~ + у-^_^_, причем ИК*И == ИКИ =5 1, так что 8Ш е 2Ц- и его угловой оператор Q = К*. ■
Теорему 8.11' (двойственную теореме 8.11) читатель без труда сформулирует самостоятельно.
Замечание 8.12. Для любого подпространства 8 (=8), как известно (см. 7.5°), всегда 8[-LK-L1 = 8. В частном случае, когда 8 е 2R+(2R-), этому факту эквивалентны следующие из теорем 8.11 и 8.11' соотношения для соответствующих угловых операторов: К** = К (Q** = Q).
Следствие 8.13 (8.13'). Если 8 е $Dl+(ЭД-) и притом положительно (отрицательно), то подпространство 8Ш еЭД_(ЭД+) отрицательно (положительно).
Пусть, например, положительное 8 е ЭД+. Тогда по теореме 8.11 8шеЭД-_ Но при этом 8Ш певырождепо, ибо в противном случае любой его изотропный вектор ^(^О) был бы /-ортогонален 8 и тогда 8 = Lin (8, z0) (^8) был бы неотрицательным и более широким, чем 8 (z0^8, так как 8 поло’жительпо), что противоречит следствию 4.8). ■
Следствие 8.14 (8.14'). Если 8еЭД+(ЭД~) и равномерно дефинитно, то и 8Ш (еЭД-) (йш (е №)) равномерно дефинитно. При этом 8 [+] б^1 = ф.
D Это следует из того, что НК*П = ИКИ < 1 (11<2*И ” = ll^ll < 1) для угловых операторов К к К* (соответственно Q и Q*) подпространств 8 и 8Ш соответственно. Последнее утверждение вытекает из следствия 7.17. ■
6. Для пары подпространств 8± е ЭД* можно в терминах спектров произведений их угловых операторов К и Q соответственно получить любопытную и широко применяемую в дальнейшем характеризацию взаимного расположения этих подпространств. Предварительно напомним, что операторы QK и KQ действуют в гильбертовых пространствах ф* и Jp“ соответственно.
Теорема 8.15. Справедливы следующие импликации:
8+П8-^{0}^>1еог(К())иоР((2К);
8+ + 8_=$^ 1 ^о,(х:<?)и о,«?К);
8+ + 8_ = $^ lep(K0Up(^).
а) Для любого вектора ж® s 8+ А 8_ имеем два представления:
^о = ^ + ^^ = ^о + ^ (^^ ^ ^ + жо" = жо), из которых следует
Qxq = ^о", Кх» = Xq.(8.13)
Отсюда KQx^ = х„ и QKxt = т0*". При этом, если Яо^О, то из (8.13) следует, что и^=т^0, так что
е op {KQ) А о» (№ (с а„(KQ) U оР (QK)).(8.14)
Обратно, если, например, QKxt = т^ (=И=0), то (0=^) т0+ + Кх» = QKxt + Kxt е 8+ П 8_.
Неравенство б+Ч-б-^ф эквивалентно существованию вектора (0 ^) у0 -1- 8+ + 8- или, что то же, х» = = /^[Д.]^ + 8_. Так как Tn[-L]8+, то [т0, т0] ^ 0. а из t0[-L]8_ следует [т0, т0] > 0, т. е. т0 — нейтральный вектор. Из максимальной семидефинитности 8± следует, что То е 8+ А 8_, и вся эта цепочка рассуждений обратима. Таким образом, 8++ 8-=/=<58+А 8_ ^ {0} и оста
ется воспользоваться утверждением а) (в частности, «основной частью» соотношения (8.14)).
Пусть 8+ + 8_ = §. Тогда при каждом т+ е £+ существуют т^ е 6 h такие, что т+= т^ + Кх^ + Qxq + х^. Ясно, что т+ = т^” + ()т0 , а Кх^ + т0 = 0,и потому для любого т+е^+ разрешимо (относительно ж^ е ф+) уравнение 4— QKxt = x+. Стало быть, число Х = 1 пе может входить ни в непрерывный, ни в остаточный спектры оператора QK: 1 ^oP(QK) U p(QK). Но 8+А8_ = {0), так что из а) следует, что 1ер(^А). Аналогично доказывается, что 1ер(А(?), т. е. 1 е p(QK) A р(КО\с ^ptQK^piKQ).
Обратно, пусть, например, Isp(^). Так как произвольный вектор из 8+ + 8” записывается в виде х+ + Кх* + + х- + Qx-, где ж* е ^, т0 достаточно проверить, что при любых у* е 5* разрешима система х* + Qx- = у+, х~ + + Кх* = у-. Из второго уравнения х~ = у- — Кх*, а потому перепишем первое в виде х* — QKx* = у* — Qy- и, значит, х* = Ц* - QKVky*-Qy-Y Отсюда х" = у~- -KAj*-QKY"4y*-Qy-Y ■
Следствие 8.16. Если в паре 8±(е2)1±) хотя бы одно из подпространств равномерно дефинитно, то 8+ + । 4- й_ = ^.
О Утверждение следует из леммы 8.4 и утверждения в) теоремы 8.15. ■
Теперь мы продолжим начатое в § 7, п. 6 исследование вопроса о «повороте координатных осей» в пространстве Крейна 5, т. е. о переходе от одного его канонического разложения
Ф = 5+№.(8.15)
к другому разложению Ф = Фг [-МФГ- Разложение (8.15) с каноническими проекторами Р*^^ и 1 = = Р+ — Р~ будем считать фиксированным и определяющим скалярное произведение (ж, у^Ух, у] ((ж, у)еф) и поставим задачу вычисления новых канонических проекторов Р^: §~*§i> Напомним, что 51 равномерно дефинитны, и для их угловых операторов К и К* соответственно (см. следствие 8.14) имеем 11 jKII = НХ*11 < 1.
Теорема 8.17. Новые канонические ’проекторы Р* представляются в матричной форме по отношению к разложению (8.15) в виде'
р+ = (/+ - ^лг)-1- (Z+ - к*кУх К* |.
I к У+ — к*кух - к (7+ - к*кух к* И’ р- = |-^*(7- — кк*ухк я*(7--м*)-11|'
.1 \\—У- — кк*Ухк У- — кк*Ух
где 1^—тождественные операторы в ф* соответственно.
□ Существование представленных правыми частями формул (8.16) операторов очевидно. Их идемпотентность, т. е. соотношение W = P^ проверяется непосредственно возведением в квадрат соответствующих матриц. Далее, конструкция этих матриц такова, что для любого вектор-столбца
ж = ||ж I е $(ж* е 5^)
II II
имеем
р+ = р4Ъ+11|(7+-к*к)~Ч+-^ (/+-&•£)-^х- Г
1Ж Чх-)! 1к(7+-7С*^)-1х+-7Г(/+-К*К)-1К*х-|
где у* = у*-К*КуЧ*-у*-К*Ку'К*х-^^. Совершенно аналогично "i х = Рг I _ I = I I = z е 51, где z" = - (7" - КК^Кх* + (7- - КК*У'х~ е ^-. Остается проверить, что у и z суть /-ортогональные проекции вектора х на §i и 5Г соответственно. Имеем
— У
X — у =,
х — Ку+
|| х+ — (/+ ~ К*К^-1 =+ - (7+ - К*К)-1 К*х~ | ~ X- - К (/+ - К*КУХ х+ + К (/+ - К*^"1 К*х~ Г
так что для любого вектора и =, е 51, произведя
Кил
несложные вычисления, получаем
[х -у, и] = (х* - у*, и*)- (х- - Ку*, Ки^ =
= (ж+ - (7+ - К*К^-Ч* + (7+ - К*К) ~'К*х~, и+) - \ - (х- - К(I* - К*К^-Ч*А-К(7+ - К*К')-1К*х-, Ки*} = \ =({/+ _(/+ - К*КуЧх* + (7+ - К*Ку4К*х-, и+)- | - (-K*K(I* - K*^Vx* + {7+ + к*ку* - к*ку^ X - Хрж- и+) = ({7+ - (/+ - М') -‘ + K*K(I* - к*ку^х* +
V {(7+ - к*ку^ -I*- К*КЦ* - к*ку^к*х-, и*^ =
\=^и^.= ^
т. ел_ у [j_] 5+ и совершенно аналогично х — z [J_] *бГ-е 8\Укажем теперь некоторые полезные обобщения теоре\ использующих угловые операторы, а заодно не- которА обобщения самого понятия «угловой оператор».
Пу\, например, в невырожденном подпространстве 8 прос111Ства Крейна 5 оператор Грама Gg порождает каноничкое разложение (см. теорему 6.4)
V8 = 8+[®]8-," (8.17)'
причем с^оператор Gg относительно (8.17) представляется мятуцуц
\е=-|о -”]’<8-18)
где 7 ^= ^аА тождественный оператор в 8+, а Л (>0) — ограниченный хожительйый 0ПераТ0р в гильбертовом
пространстве 8", причем возможно Оео,(Л), так что 8- — отрицательное, но, вообще говоря, не равномерно отрицательное подпространство (ср. теорему 6.12).
8.18°. Если подпространство 8 удовлетворяет условиям (8.17), (8.18), то любой неположительный линеал 8, (с 8) представляется в виде ^1=|f i^~+^~) ж । sPg_e , где Р% ортопроектор на 8~, а Ft — линейный оператор., ^i: ^8- $i~>8+, Подпространство 8t является максимальным неположительным в 8 тогда и только тогда, когда Р^^г = 8~,
□ Заметим, что согласно (8.17), (8.18) для любого х = х* + X- е 8; (ж* е 8;*) имеем [х, х] = (Gg^, х^ = ^х+, ж+) — (Ах-, х~) = (х+, ж+) — (AY/2x-, AY/2x~), и потому, в частности, для х е gb где [я, х] =5 О,
Iх+ ^ = (я+, ж+) ^ (А1/2Х~, А1/2х~) =
^'M^'ePgA). (8.19)
Оператор Q\, относящий любому вектору Л1^ (е A'^Pj-Sjj вектор z+Eg+ корректно определен ibk линейный оператор, ибо согласно лемме 1.27° воктор/т+ восстанавливается по х- (е Pg-S^ однозначно, а/ из (8.19) следует, что при А1/2х~ = О имеем х+ = 6. Итак, ж+ = 91А1/2х-(х-eP^-^j, причем опять же в/силу (8.19) H@JI < 1, так что Р^^^*/2 и есть искомый оператор.1
Далее, при Р^-^х = 8 максимальная пеполуштель- пость 8! в 8“ вытекает из следствия 1.28. Обрату), пусть 8t — максимальное неположительное (в 8) пространство. Тогда, в силу доказанного, 8г = {ж- + QiA1,2x-lx-Gp%_tv Но заданное па Л1/2Р6_81(с 8") сжатие ^, допускает расширение до сжатия, определенного па Л1/28“ и отображающего Амгй- в 8+, что повлекло бы за собой неположительное расширение 8j в 8. Однако 8, максимально, и потому Qt определен на Л’/28~. Отсюда следует, что и Py^i = $”• В самом деле, рассмотрим 78'
теперь
?х = {ж" + Q^x^,.-^- {^ 8), который в силу (8.19) снова неположителен и содержит Й^т. е. 8^8! и = Р^ЗХ = й". ■
Ясно, что аналогичное 8.18° предложение можно установить для случая, когда ^8 = |о —/|’ -^^О, а Й1 (ей) неотрицательно.
О Заметим еще, что с помощью угловых операторов можно описывать пе только семидефинитные, а гораздо более общего типа линеалы пространства Крейна ^ = = ф+[+фр-. С этой целью рассмотрим, например, класс $+ всех линеалов й из §, которые проектором Р* отображаются инъективно в ^. Нетрудно сообразить, что $+ состоит в точности из тех й, для которых й П $~ = {6} (ср. с доказательством леммы 1.26). Ясно, что все такие й допускают следующее описание:.
й = [ж+ + Яж+}ж+ер+8,
где К = Р~(Р+|Й)-1, но на сей раз «угловой оператор» К, вообще говоря, уже не обязан быть сжатием. Именно, юн является сжатием тогда и только тогда, когда Й неотрицателен (очевидно, что все неотрицательные й содер- у;атся в $+).
\ Аналогично определяется класс %- всех й, для кото- IX й П 5+ = (9). Они описываются формулой.
Й = \Qx~ + ж“}х_ер_8,’
r1\Q = Р4" ^Р-Хй^-1. Класс 91"", в частности, содержит все положительные й. ■
торные6+)) всторные6+)) всВ заключение рассмотрим «в целом» совокупности ^^ех угловых операторов K^Q') подпространств классов ®1 ответственно..
торные
6+)) вс
торные
6+)) вс
з теорем 8.2, 8.2' и предложения 8.5° следует
($+, 5") ^)й+ = №1 A: 5+ -* ф", НАИ ^ 1),
^~, $+>)^ = <W: $--*$+, »<211^1}. ■
м образом, ^+(й"") представляют собой опера- ы в банаховом пространстве ^(jp+, ^H^OP-» граниченных операторов Т: ф+ -* $_ (Г: 5""-*
D В дальнейшем неоднократно используется следующий известный факт (см., например, [XII]):
°. Шары ^ бикомпактны в слабой операторной топологии. ■
Напомним, что система {ЭДа}аеА подмножеств некоторого множества называется центрированной, пели каждая ее конечная подсистема [^ajJLj имеет непустое пересечение: f) ^а.^=0. t=i
С Как известно (см., например, [XII]), предложение 8.20° эквивалентно следующему:
°. Каждая центрированная система 1^а1а=А замкнутых в слабой операторной топологии множеств &а G е $ 1 (а е А) имеет непустое пересечение. ■
Пусть 8+ (8_) — неотрицательный (неположительный) линеал с угловым оператором Хо(Уо), а^+(Х0) (^-(<?о)) — множество угловых операторов всех подпространств из 2Л+(Э1_), являющихся расширениями 8+(8-), т. е. (ср. 8.7°)
уК^ШКе^, К^К^,(8.20)
^-(Q»WQ\Q^^ Q^Q^.(8.21)
В частности, если 8+ = {0} (8- = (0)), то ^+(Х0) = = й+($_((>!,) = $-). Введем в рассмотрение множества, 1см. (8.9))
№*№„)= \K\K = Q\ QS8_ (Q^,(8.2^
^ (Xo) = {^ IQ = К*. К e ^+ ^Y (8.2^
°. Множество $1 (<20) (соответственно ®+(Kl)) совпадает с совокупностью всех угловых операторов подпространств из ВД+ (соответственно из $1~), J-ортогональных линеалу 8_(сф~) (соответственно 8+(сф+)) с узловым оператором Qa (соответственно K»YI
Эти утверждения прямо следуют из теорем/8.11 и 8.1Г. ■'
Теорема 8.23. Множества ®+ (K0Y ^_ (Q0Y ®- ((?0) и ^* (Кд1) выпуклы и бикомпактны в слабой операторной топологии.<
О Начнем с ^+(K#Y Пусть К^ Х2 е ^(Ag) .^ак как ®+(К0)с^+, то в силу выпуклости $+ при ае[| 1J имеем aXi,+ (1 — а)Х2 е ^+ для любых Kt, К2е;^. При этом, если х+ е®к0, a Kt, Кге§!+(Кй), то (ЬШ1 +(1 —
— а)К2)х+ = aRiX* + (1 — а)К2х+ = аКдЖ* ^(1 — а)Л0^ = Кяж\ т. е. а-Кх + (1 — а)К^ = Ко, и выпуклости $+(К0) доказана.
Пусть теперь обобщенная последовательность <Кт}ТеГ(с^+(Ко)), где Г — некоторое направленное множество (см. [XII]), сходится в слабой операторной топологии к некоторому оператору К^^(^*, 5"). В силу 8.20° тар $+ замкнут в этой топологии, так что ^е$+. Поскольку для любого е > 0 и любых х* е ^ найдется такое YoG Г, что для всех Y ^ Ч» будет I ((К — — К^х*п х~) | < е, то для всех 8 > 0, для всех х+е ®к0 и_для всех refy имеем I ((К — К^х*п х~)|<е, откуда ^К — Ко) х+ = 0 ^х+ е ^к^, т. е. К => Ко п Ке %+(А'о). Таким образом (см. [XII]), $+(j£0)— замкнутое в слабой операторной топологии подмножество бикомпактного шара 3?+ и потому само бикомпактно. Для ^_(<20), ^* ((?о) и $+(Aq)рассуждения аналогичны. ■
Следствие 8.24. Множества ® г (Ко) 0 ^-(Qo) u ®- kQo} П ^+ (Ко) выпуклы и бикомпактны в слабой операторной топологии. ■
Замечание 8.25. В следствии 8.24, вообще говоря, не исключается, что упомянутые в нем пересечения пусты. Пепустота любого из них в силу 8.22° влечет соотношение 8+[-L]8_. Ниже (см. теорему 10.2) будет показано, что это — не только необходимое, но и достаточное условие пенустоты обоих названных в следствии 8.24 множеств.
Упражнения и задачи
Рассмотрим двумерное вещественное пространство Крейна 5 из упражнения 7 к § 2 (см. там рис. 1). На рис. 2 изображено неотрицательное (даже положительное) подпространство 8(с$). Для любого ie8 имеем х = х*-V х- ^ е ^^ причем х~ = = Кх*, где К — оператор поворота вектора х+ на угол л/2 (в положительном направлении), а затем умножения па скаляр к = = |g q) — угловой коэффициент «прямой» 8. Сопоставить это с определением 8.1. Проверить, что ||Х|| = |Л|.
Если в упражнении 1 под гр понимать всегда минимальный угол между 8 и «осью 5+», то tg гр = ЦЛП1. Доказать, что и в общем случае (dim^^oo) для углового оператора К неотрицательного подпространства 8 имеем tg <р(8, ^+) = И-КЦ, если (минимальный) угол гр (8, 5+) определить равенством sin ср (8, ^+) = = sup ||е — Р+ё||, где 5(8) — единичная сфера линеала 8(|kll = 1) егб(8)
8181(М. Крейн [XVI]).
81
81
- Т. Я. АЗИЗОВ, И. С. ИОХВИДО1
Из результата упражнения 2 и леммы 8.4 следует, что рав
номерная положительность подпространства 8 эквивалентна неравенству ф < л/4. Отсюда можно вывести в терминах раствора O(8i, 82) = max{sin ф(8], 82), sinq>(82, 81)} двух подпространств 8! и 82 (см., например, [IV]) такой критерий: для того чтобы все подпространства 8' при достаточно ма
лом 0(8, 8') были неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы подпространство 8 было равномерно положительным (М. Крейн [XVI]).
Пусть 8 — неотрицательное под- прострапство с угловым оператором К
t>J^ и 0(8, s+) < 1. Тогда 0(8, 6+) =
' == (Шлякмап).
М+1|ЛТ
рИС- 2.' Указание. Воспользоваться свой
ствами раствора (см. [IV]) и результатом упражнения 2.
На множестве всех семидефинитпых линеалов 8 пространства Крейна 5 введем функционал
Ф (8) —Ф (8) —sup [е, е], ess(8)inf [е, е], e=s(8)sup [е, е], ess(8)inf [е, е], e=s(8)если 8 неотрицателен,
Ф (8) —
Ф (8) —
sup [е, е], ess(8)
inf [е, е], e=s(8)
sup [е, е], ess(8)
inf [е, е], e=s(8)
если 8 неположителен.
если К ограниченно обратим, в противном случаеесли К ограниченно обратим, в противном случаеПусть для определенности 8 неотрицателен и К — его угловой оператор. Очевидно, что О ^Ф (8) и (Ф(8) = 0} {8 нейтрален). Доказать, что
если К ограниченно обратим, в противном случае
если К ограниченно обратим, в противном случае
Ф (8) = || X-1 ||Ч 1 ’
I 1
(Шлякмап).
1 — ж®
Указание. Изучив функцию / (х) = -j па отрезке 0
1 -фх-
||К||, убедиться, чтоФ(8)=-^-х, где ц = inf ||Хе+||.
1 + Д',+es(p+8)
Доказать, что неотрицательный (неположительный) линеал
8 нейтрален тогда и только тогда, когда 0(8, ф-) = 1/У2 (соответственно 0(8, ^+) = 1/)2) (Шлякмап).
Указание. Сопоставив результаты упражнений 4 и 5, установить формулу Ф(8) — 1 —262(8, §-) (Ф(8) = 1 —202(8, $+)).
Пусть 8 — произвольное подпространство пространства Крейна 5 = £+[®]S- и 8е9+ (см. п. 8). Если К — угловой оператор линеала 8, то
8U] = ^KWX- + х'}х_ер_6 [ф] ®+ [Ф] ®8,(8.24)
и аналогичная формула справедлива для 8 е $~. Здесь ®^ — дефектные подпространства линеала 8 (Рицнер [4]).
Указали с. Под «обобщенным сопряженным оператором» TW длн линейного оператора Т: S3T$ (Sr с $) здесь следует понимать оператор, график которого Гг(*) задается формулой
Г (#) = |<и, р) г 5 X ®т | (Еж, «) = (г> у) Дли вссх х s ®г}
(ср. (8.10)). Для любого ограниченного Т такой TW существует и Ц7’<*>|] = |]71|.
Вывести формулу (4.5) и теорему 8.11 из формулы (8.24).
Пусть линейный оператор Е в пространстве Крейна 5 = = $+[Ф].§- удовлетворяет условиям ЕР* = Е, Р*Е = Р*. Тогда Е — проектор (Е2 = Е), и при этом Еф с $+ тогда и только тогда, когда ЦЕН <; У2. Аналогичный результат верен при замене Р* и ф+ па Р~ и Ф_ соответственно (Лангер [2]).
Доказать, что проектор Е из упражнения 9 и угловой оператор К линеала Е6(сф+) связаны формулой Е' = Р* + КР* (в случае Е^ с ф- соответственно Е = Р~ + QP~, где Q — угловой оператор линеала Еф) ([XVI]).
Доказать, что для проектора Е из упражнения 9 условие [|Е|| < У2 необходимо и достаточно, чтобы линеал Е^ был равпо- мерпо дефинитен.
Указание. Использовать результат упражнения 10 и лемму 8.4.
Доказать, что для подпространства 8+(еЯЙ+) класса Ь* (см. определение 5.9) имееем 8_ = 8^^ е Эй- f] А-.
Пусть 8 g ЭЙ-, К — соответствующий угловой оператор, а Pg — ортопроектор па 8. Доказать, что
_ | (z+ + К*КУг (l+ + К*^"1 к* | р& ~ И U+ + к*ку-1 к U + к*к> к* | (Азизов).
Указание. См. доказательство теоремы 8.17.
В условиях упражнения 13 доказать, что для оператора Т = Р*\й; 8->$+ сопряженный оператор Т*: ф+->8 имеет вид Т* = Т-Ц1+ + K*KVv (Азизов).
В условиях упражнения 13 доказать, что оператор Грама Cg(=Pgj|8) имеет вид Gg = У* (z+—Е*е)у, гД° V: 8-> ^+ — линейный гомеоморфизм, т. е. Gg и (7+ — К*^ «конгруэнтны» (Азизов).
Указание. Воспользоваться результатами упражнений 13 и 14.
Пусть 8-е Эй-, Q — его угловой оператор, a G^- — оператор Грама для 8-. Тогда операторы Gg- и 7 — Q*Q конгруэнтны, т. е. существует липейпый гомеоморфизм V: 8- -> ф- такой, что Gg = — У* (z+— Q*Q^V (Азизов).
Указание. В качестве V можно взять Р~ |8-.
Пусть в условиях предыдущей задачи 8+(8- =8+ш) не имеет бесконечномерных равпомерпо дефинитных подпространств. Тогда | Eg+| = i++ S ^j Eg-| = Г +51^, где 5(5i)e©«, (Азизов).
Указание. Воспользоваться результатом предыдущего уп ражнепия и упражнения 7 из § 6.
Пусть 8+сУ и Kg+S ©со. Тогда 8+ е к* (X е л- топ [2]).:
Пусть 8+ е 8М+ П Л+, а 8~ g ®~. Тогда 8+ П 8" = {8} <=*- -ti- 8+ 4- 8_ = 6 (Азизов).
Указание. Воспользоваться теоремой 8.15.
Пусть $ — пространство Крейна, 8+ с $+. Доказать, что 8+ е Э1* тогда и только тогда, когда 8+ш с: ф~.
У к а з а и и е. Воспользоваться теоремой 8.11.
Пусть 5— пространство Крейна, 8+с: ф+, 80 с. 8+ П 6+[±|, S — S^V^o' Доказать, что 8+е2Я+(^) тогда и только тогда, когда 8+/8oS=M+№).
Указание. Воспользоваться определением факторпрострап- ства $ и упражнением 20.
Пусть 5 — пространство Крейна, 8± с: ф±, 80 с: 8± П ф°. Доказать, что если dim 80 < °°, то 8± s Л* тогда и только тогда, когда 8±/80 е к- (Азизов).
Указание. Проверить, что подпространство 8± е к- тогда и только тогда, когда его угловой оператор представим в виде прямой суммы конечномерного изометрического оператора и равномерного сжатия, т. е. оператора Т с НУН < 1.
Введем на Ей+ функционал 0(8, 9!) = sup{0(£, у) | ж е 8, у е 91; 8, 91е€Я+), где 0(.т, у) = 1, если По2[ж, у] С [я, г] [У! У1; 6 (ж, у) = 262 + 26)'62— 1 — 1, если Не2[ж, у] ^ [л #] [У, у] > 0 и 6а = _5£_1£1_^1_;0 (z, у) = 0 в остальных случаях. Доказать, что [ж, ж] [у, у] •
отношение 8 ~ 91, выражаемое неравенством 0(8, Я) < оо, есть отношение эквивалентности на ®1+, па каждом классе эквивалентности функция р (8, 91) = In 6 (8, Я) — метрика и каждый класс эквивалентности — полное метрическое пространство. (А. С о б о- лев и Хацкевич [1], [2]).
Доказать, что множество 29^ максимальных равномерно положительных подпространств — класс эквивалентности (X а цк е в и ч [13], [14]).
Пользуясь связью между операторами из Я+ ($+, $~) и подпространствами из S91+, ввести отношение эквивалентности па ®+ №+, §~У К\ - Кг, если 0(8,, 82) < оо, где 8{ = {ж+ + ^+|х+е е $+}, i = 1, 2. Проверить, что внутренность шара А+ (ф+, 6 ) — класс эквивалентности (Хацкевич [13], [14]).
Пространства Понтрягина Пх.
W(x>- пространства и G (х)-пространства
Чрезвычайно важным в теории операторов являемся подкласс пространств Крейна.
Определение 9.1. Пространство Крейна ^ = = -б+[+]^_ с коночным рангом индефинитное™ х - = min (dim ^+, dim ф~} (см. определение 6.5) называете, пространством Понтрягина и обозначается Пх. Допуская 84
вольность речи, мы будем иногда называть х числом положительных или отрицательных квадратов.
В соответствии с этим определением фиксированное каноническое разложение пространства Понтрягина Пх будем обозначать
а = п+[+]п- (9.1)
и, не ограничивая общности, будем в дальнейшем, когда не оговорено противное, полагать, что (°°>)х = dim П+. В противном случае мы перешли бы к антипространству (см. определение 1.8). Таким образом, равенство х = О соответствует тому (тривиальному) случаю, когда Пк= П~ есть гильбертово пространство со скалярным произведением (х, у} = —[х, у] (х, у е Пк) (ср. замечание 2.3). Примеры пространств Пх приведены в упражнениях к данному параграфу.
Из определения 9.1 следует, что для пространства Пх справедливы все общие факты геометрии пространств Крейна. Однако дополнительное условие, а именно неравенство х < о°, естественно, порождает ряд дополнительных свойств у пространств Понтрягина. Этими свойствами мы сейчас и займемся. Простейшее из них охватывается следующим предложением.
9.2°. Все неотрицательные линеалы пространства Пх конечномерны.
Для любого неотрицательного 8(<=ПК) в силу следствия 4.3 имеем dim 8 ^ х (< °°). ■
Следствие 9.3. В пространстве Пх всякий положительный линеал равномерно положителен.
Это следует из 9.2° и 5.4°. ■
.4°. Неотрицательный (положительный, нейтральный} линеал 8 в пространстве Пк является максимальным неотрицательным (максимальным положительным, максимальным нейтральным} тогда и только тогда, когда dim 8 = х.
Это вытекает из следствий 4.6 и 4.8 и теоремы 4.13 (с учетом 9.2°). При применении следствия 4.8 следует также учесть, что в отличие от общего случая в пространстве Пх все максимальные положительные линеалы замкнуты (в силу своей конечномерности). ■
В заключение этого пункта установим лемму, которая часто будет применяться в теории операторов, действующих в прострапстве Пи. _
Лемма 9.5. Любой плотный в Пх линеал й (8 = ПХ) содержит максимальное (т. е. к-мерное} положительное подпространство.
Рассмотрим каноническое разложение (9.1), где dim П+ = х, и некоторый ортонормировапный базис {gj, е2, ..., ек) в П+. Ясно, что [е,-, ек] = (е,, ек) = 6,к (/, к = 1, 2, ..., х). Для любого е>0 в силу условия 8 = Пк найдутся векторы /ь /2, ..., /хе8 со свойством II/А — e Ji < е (к = 1, 2, ..., х). Поскольку все определители Грама системы {ei, е2, ..., ек) положительны: defj [ej, ek] ||™k=i = det I6,k Ц™к=1 = 1 > 0 (m = 1, 2, .. ^ x), то при достаточно малом e>0 и все det||[/j, fk]||j,k>0 (m = l, 2, ..., x) (cm. 3.5°), т. e. матрица Грама II (Л, //Жь=т подпространства 5" = Lin {fb f2, ..., fx) (c8) положительно определенная; таким образом, векторы Л, f2, ..., fx линейно независимы и JF — х-мерное положительное подпространство. ■
2, Условие х < °°, помимо своего естественного влияния па выявленный в п. 1 характер неотрицательных линеалов (подпространств) пространства Пх, оказывает влияние и па его отрицательные подпространства.
Теорема 9.6. Все отрицательные подпространства 8 пространства Пх равномерно отрицательны.
В силу очевидного аналога 8.9' замечания 8.9 существует максимальное отрицательное подпространство бтах^б. По следствию 8.13' 8^х — максимальное положительное и, более того (см. предложение 9.2° и следствие 9.3), равномерно положительное х-мерное подпространство. В силу следствия 7.15 оно проекционпо полно, и так как (см. предложение 7.9°) 8тах = 8^4х±] также проекционпо полно, то опо равномерно отрицательно. Стало быть (см. 5.3°), и 8 равномерно отрицательно. ■
Следствие 9.7. Все дефинитные подпространства 8 из Пх проекционпо полны.
Это вытекает из следствия 7.15 и следствия 9.3 (для положительных 8) и теоремы 9.6 (для отрицательных 8). ■ •
Замечание 9.8. Утверждение теоремы 9.6 отнюдь не распространяется па незамкнутые отрицательные линеалы. Об этом (с точностью до перехода к антипространству) свидетельствует уже несколько раз использованный нами пример 4.12. Рассмотренное в пем пространство § есть (с точностью до знака, т. е. до перехода к антипространству) пространство Пь а построенный в нем незамкнутый положительный линеал 8, как было
пояснено затем в примере 5.10, не является равномерно положительным, т. е. 8 сингулярен (ср. упражнение 6 к § 5). К анализу подобных ситуаций мы вернемся ниже в упражнениях 9—12.
Теорема 9.9. В пространстве Пк подпространство й^=^ проекционно полно тогда и только тогда, когда оно невырождено.
Напомним, что невырожденность подпространства 8 даже в общем случае пространства Крейна является необходимым условием его проекционной полноты (предложение 7.10°). Установим, что в пашем случае оно и достаточно. Если 8 невырождепо, то в любом его каноническом разложении 8 — 8+[+]8~, существующем в силу теоремы 6.4, дефйнитпые подпространства 8+ и 8~ равномерно дефинитны (следствие 9.3 и теорема 9.6), а потому (теоремы 7.16 и 5.7) 8 проекционно полно. ■
Следствие 9.10. Всякое невырожденное подпространство 8 в Пк само есть пространство Понтрягина ПХ' с некоторым рангом индефинитности х'; 0 ^ х' ^ х.
8 проекциоппо полно, и в его каноническом разложении 8 — 8+[+]8~ в силу предложепия 9.2° 0 =5dim8+^x, так что при dim8+^dim8~ имеем х' = = dim8+*Sx, а при dim8~<dim8+ подавно х'= = dim 8~ < х. ■
3. Сопоставляя некоторые обнаруженные в п. 2 факты, замечаем, что они являются характеристическими для выделения пространств Понтрягина в классе всех пространств Крейна.
Теорема 9.11. Для пространства Крейна ^ = = $+[+]ф- следующие три утверждения равносильны-.
пространство ф есть пространство Понтрягина № = Пх);
все дефинитные подпространства 8(сф) равномерно дефинитны (проекционно полны)-,
все невырожденные подпространства 8(с$) проекционно полны.
То, что а)=> б)=> в), установлено в п. 2. Остается доказать импликацию в) => а). Для этого достаточно привести пример невырожденного, но не проекционно полного подпространства 8 в любом пространстве Крейна ^ = ^t+l^- бесконечного ранга индефинитности: х = = min (dim ф+, dim<§_} = oo. Но таким примером может служить любое, скажем, положительное, но не равномерно положительное подпространство 8 (см. упражнение 1 к § 5),е
4. При изучении пространств П„ (а в дальнейшем и действующих в них операторов) вместо традиционных для пространств Крейна префиксов «J-» (./-ортогональность, J-изометрпя и т. п.) более выразительным является префикс «л-» или «лх-», так как они указывают па то, что все происходит в пространстве П о н т р я г и- н а, а второй из них уточняет рапг индефипитпости. В частности, в дальнейшем мы будем пользоваться эти- ми символами, именуя, например, векторы ж, г/(еПк), для которых ^[-L]//, и множества 8, 5Л(<=ПК), для которых 8[-L]5R, л-ортогональными, а линеал Ф1Ш называть л-ор- тогоналъным дополнением множества 2)1.
Напомним (см. предложение 9.2°), что изотропный линеал 8° = 8 П 8Ш линеала 8 в пространстве Пх всегда конечномерен (dim 8° =5 х). Для вырожденных подпространств 8(8 = 8, 8° = {0}) в Пх вместо теоремы 9.9 приходится довольствоваться порождаемым подпространством 8 более сложным разложением пространства II* в прямую сумму подпространств, нежели простая л-ортого- палытая сумма 8[4-]8и’.
Теорема 9.12. Пусть 8 — подпространство в Пк, ЭД = 8Ш — его л-ортогоналъное дополнение, 8 П ЭД = 8° — изотропная часть 8. Тогда справедливо разложение
Пх=8,[+Ж[+](8° + 91), (9.2) где 8 и 5)11 — невырожденные подпространства, связанные с 8 и ЭД соотношениями
8 = 8^4-] 8°, ЭД-ЭД^цДб0, (9.3)
а 91 — некоторое кососвязанное с 8° подпространство-. 91 # 8° (см. определение 1.29). При любом выборе 8, и ЭД, в (9.3) кососвязанное с 8° подпространство 91 может быть выбрано в подпространстве (8,[4-]ЭД1)ш произвольно.
С другой стороны, при любом выборе в Пх подпространства 91(#8°) удовлетворяющие условиям (9.3) подпространства 8, и ЭД, (9.2) определяются единственным образом;
= 8П91Ш, эд,=эдп91ш.
□ Подпространства 8, и ЭД,, удовлетворяющие условиям (9.3) (в силу предложения 7.5° 8° — общее для 8 и ЭД изотропное подпространство), певырождепы, а потому (теорема 9.11, в)) проекциопно полны, и это же, как легко попять (см. упражнение 8 к § 7), относится и к их л-ортогональной сумме 8,[+фШ, (напомним, что 8, с
eg. a Tlf с Ф1 = 8Ш). Таким образом, и 8Ф+1Ш11 rfi (8,[+]2R,)ш суть некоторые пространства Понтрягина (см. следствие 9.10). Соотношения (9.3) показывают, что второе из них содержит 8° (dim 8° ^ х).
Как во всяком пространстве Крейна, в пространстве (81[+]ЭД1)ш существуют (см. упражнение 4 к § 3) косо- связанные с 8° подпространства. Выберем любое из них, обозначив его 91: 91 # 8°. Тогда в силу леммы 1.31 и предложения 1.30° dim 91 = dim 8° и прямая сумма 8°+ 91 пе- вырождена, т. о. проекционно полна. Таким образом (см. упражнение 8 к § 7), подпространство
9? = 81[+]Э11[+](8° + 91)
также проекционно полно, т. е. невырождено.
Пусть теперь ;г[-1-19?. В частности, ж e(g° + Sj)1-1-1 = 8[±1 и х е(8° + Ф1,)ш = Ф1Ш = 8^,ш = 8, т. е. ^egM11^ = 8°. С другой стороны, 3rf-L]9t, следовательно, поскольку 91 # 8°, в силу определения 1.29 имеем х = 0. Таким образом, 9? = ПК и равенства (9.3) доказаны.
Перейдем к последнему утверждению теоремы. Зафиксируем в Пк произвольное 91 (#8°) и положим 8, = 8 П 91ш. Линеал 8,, очевидно, замкнут; 8°[-L]8! (так как 8°[-L]8) и 8° А 8, = {0}, так как 8° # 91. Далее, 8° + 9lt±] = Пк (см. следствие 1.32), 8” <= 8, и потому
8 = 8 А Пх = 8 А (8° + 91ш) = 8° + (8 А 91ш) = «"l+JS,. Аналогично проверяется, что для 9)11 = 2R А 91ш справедливо соотношение Ш1 = 8°[+]Ф11. Таким образом, для построенных подпространств 8, и ЭЛ, справедливы соотношения (9.3) и 81АЭ11 = {0}. Поскольку но построению Sp1 = (а П 9lr 1 ])rL] zd 9l[±][±1 = 91 И аналогично ^Л3 = = (®l Q gi^y1! zd 91, то 91 с (81 + ЭЛ,)ш и в силу доказанной первой части теоремы имеет место разложение (9.2).
Покажем теперь, что в построенном только что разложении (9.2) подпространства 8, и ЭЯ,, удовлетворяющие условиям (9.3), при фиксированном 91(4+8°) не могут быть выбраны по-другому. В самом деле, если 8, и ЯЛ, удовлетворяют условиям (9.2) и (9.3), то
с 8 А 91ш; Ф1, с да А 9гш.(9.4)
Однако выше мы видели, что подпространства 8 А 91ш и
А 91[±1 также удовлетворяют условиям вида (9.3): 8 = = (8А91ш)[+]8°; 2Л = (Ф1А91ш)[+]8°, поэтому из (9.4) и 1.21° следует 8! = 8 А 91ш и З)1?! = Ш1 А 91ш. ■
Приведем еще одно простое предложение, нередко применяемое в исследованиях:
9.13°. Если 8(сПх)—пространство с индексом инерции (л, v, со), а 8° — его изотропное подпространство (dim 8° = со), то'факторпростраиство й№, с индефинитной метрикой, индуцируемой из 8 по правилу (1.16), есть пространство Понтрягина Пх,, где х'= ппн{л, v).
□ Представим 8 в виде 8 = 8J+J80, где 8, — невырожденное подпространство. В силу 9.10 81 — пространство Поптрягипа Пх< 0 ^ х' ^ х. Пусть некоторое его капопи- ческое разложение имеет вид 83 = 87 [-р] 87’ где, очевидно, min|dim S^t, dim 87} = х'. Но 8 = 8j" [~j-] 87 [4-J 8°— каноническое разложение всего 8, так что у/ = = ппп{л, v) (теорема 6.7). Остается применить 1.23°. ■
Следствие 9.14. Пусть 8° — нейтральный линеал в Пх, dim8° = ю^х), а 8 = (8°)[±1. Тогда 8/8° есть пространство Пх,, где х' = х — ю.
□ Так как 8° — изотропное для 8 подпространство (см. предложение 7.5°), то In 8 = (л, v, со) с некоторыми л и v, и потому в силу 9.13° 8/80 = Пх,, где х' = = min (л, v). Но легко понять, что здесь л = йш1П+ —(о, так как 8 тз 3)^0 (дефектное подпространство для 8°) и dim ®$о= х — со, a v = dim П~, так что v > х > х — со = л и потому х' = х — (О. ■
Среди W-прострапств (см. § 6, п. 6) и, в частности, G-пространств особый интерес для теории операторов представляют собой аналоги и обобщения пространств Поптрягипа Пк. Будем через х обозначать максимальную размерность неотрицательных подпространств, содержащихся в W - п р о- страпстве ^. Если х < <», то назовем § W'v?1-прост ранете,ом, а в случае его невырожденности — Gw-npo- странством.
9.15°. W-пространство $ есть Ww-пространство тогда и только тогда, когда вся положительная часть спектра а (РЕ) оператора Грама W состоит из собственных значений и сумма кратностей всех неотрицательных собственных значений равна х. При этом 5 = ^/КегРЕ есть G -пространство, где х0 = dim Ker W.
О Если спектр о (РЕ) удовлетворяет указанному требованию, то (ср. теорему 6.4) в определяемом спектраль- м
ным разложением W = J X dE^E^ 0 = Ек) с помощью m-о.
-о м
проекторов Р- = J dEK, Ро = Ео — Е-о, Р+ = ^ dEK ка- —m О
ионическом разложении
ф = ф-[®]$°[®]^ № = Р^, &-Ра^) (9.5)
(изотропное) подпространство <5°(=KerWr) нейтрально, причем (см. предложение 6.5°) dim^° = x0 — кратность числа 0 е оу (W), а максимальная размерность содержащихся в <5“[®W+ неотрицательных подпространств в силу леммы 1.27 равна dim^+ = Xi — сумме кратностей положительных собственных значений оператора W. Таким образом, максимальная размерность неотрицательных подпространств в 5 равна х0 + xt = х.
Обратно, если 5 есть И^’-прострапство, то в его каноническом разложении (9.5) dim(^°[®]^+) = х (опять же в силу предложения 6.5° и леммы 1.27). Последнее утверждение относительно 5 следует из 1.23°. ■
Следствие 9.16. G-пространство 5 является пространством Пи в том и только в том случае, когда оно регулярно и dim 8+ (G) = х < °°, где 8+(G)—прямая (и ортогональная) сумма всех собственных подпространств оператора G, отвечающих его положительным собственным значениям. Если ^—Ww-пространство, то 5 = ^/Ker W№ есть пространство Пк_Хо(хо = dim КегЖ^') в том и только в том случае, когда ^w(z) — ^^(х)-
□ Условие регулярности (Oep(G)) связано с тем, что пространство Пх есть пространство Крейна (см. предложение 6.13°), остальное следует из 6.13°. ■
Если же G-прострапство § сингулярно и является С(х)-иространством, то его можно «плотно вложить» в пространство Пх с помощью процедуры, описанной в предложении 6.14°.
В заключение настоящего пункта укажем еще один полезный признак того, что G-пространство является G(K)- ирострапством.
9.17°. Пусть <5 = 8 4-91 есть G-пространство, & и 91 — его подпространства, причем 8с!р+ dim8 = x<°°, а 91 <= sp U (0). Тогда 5 — G^-пространство.
□ Из предложения 1.25° следует, что 8 —максимальное неотрицательное подпространство. Остается проверить, что неотрицательных подпространств 8' большей размерности, чем х = dim 8, <5 не содержит. Пусть Р* и
р- ^р+^_ р-_ j^ — проекторы, порожденные прямым разложением £ = 8 + 31, а 8'сф+. Тогда согласно лемме 1.27 отображение Р+: 8' -* 8 инъективно, откуда dim 8' ^ х. ■
Упражнения и задачи
Пусть © — липейпое пространство финитных последовательностей = {6^г ^ - 0, j > Nxy а А - || ajkl|^=1 - бесконечная эрмитова матрица, задающая на 6 эрмитову метрику [ж, у] — = 3 “заМ* (ж {^}^г У "= ШХг е 6У ПУ0™ матрица А j,h=l
такова, что 6 не содержит изотропных векторов (6° = {0}).
каждая из форм [т, т| — 2 “ja^a (® е 6) содержит не бо- 1
лес к и хотя бы одна — в точности и положительных квадратов. Проверить, что 6 после пополнения (ср. упражнение 4 к § 2) превращается в пространство Пх ([ХШ]).
Доказать, что при соблюдении условия о числе положительных квадратов для форм из упражнения 1 условие невырожденности метрики [г, у] на 6 (т. е. @° = {0}) эквивалентно требованию det ]| «jAj|J1 А_г ^= 0 при всех достаточно больших п. Без условия па число положительных квадратов приведенное требование только достаточно, ио не необходимо для невырожденности формы [г, у] (И. Иохвидов [19]).
Модифицировать пример из упражнения 1, рассмотрев линейное пространство 6 двусторонних и фипитпых (в обе стороны!) последовательностей £={.,., 6-ь so, £ь 62, .. } и бесконечную (во все четыре сторопы) эрмитову матрицу А || а^ ||j°fe=_ao, сформулировав для нее соответствующие условия, обеспечивающие превращение 6 (после пополнения) в пространство Пх ([XIV], ср. [V]).’
Проверить, что в примерах из упражнений 2 и 3, если не требовать невырожденности метрики [х, у] (т. с. допускать 6° ^ ¥= {0}), то факторпространство 6/6° после пополнения превращается в пространство Пи ([XIV], [V]).
Указание. Сравнить с предложением 9.13°.
Пусть ф — I2 — пространство всех последовательностей * ^{^й}^!' 2 Нй12 < “> а форма [+ у] Для т, ysZ2, у-- ^t^A^i задается формулой {.г, у] =- 2 ^a~ Е^А- сРав' ■А—1А=и + 1
пить с примером из упражнения 4 к § 2 и убедиться, что $ — пространство Пх (Понтрягин [1]).
Пусть © — абстрактное множество, на котором задано комплексное эрмитово ядро К(р, у) = Х(у, р) (j>, уеб) такое, что форма 2 ^ (/'j’ Ра) ^а^А пРп достаточно больших га содержит в точ- j,A=I
ности х положительных квадратов. Линеал, составленный из всех 92'
IlIl
Il
Il
функций вида Ф (p) = 2 ^зК кр' чзУ ^ ^ = 2 ^Л кр’ Я?) с $op" . 3=1 3=1
мой [ф, ф] = 2 А (?;> Ч^ ^Л’ nowe взятия факторпрострапства но изотропному линеалу и пополнения превращается в пространство Пх—коитипуальцый аналог пространства из упражнения 1 (М. Крейн, пример опубликован в докладе И. Иохвидова [4]).
В примере из упражнения 6 к § 2 пространство Л2 (5, 2, ц) будет пространством Пх, если в каноническом жордановом разложении ц = ц+ — ц_ меры на разность двух положительных мер составляющая ц+ сосредоточена в х точках множества 5,- не принадлежащих носителю меры ц_ (см. II. Иохвидов [2] и Азизов [8], где рассматривались частные случаи этой ситуации, аналогичные примеру из упражнения 5 к § 2, а также [II]).
В вещественном пространстве П1 для любых двух и е о т р н ц а т е л ь пых в е к т о р о в т, у (е ГК) установить неравенство [т, у]2^ [х, т] [у, у], в котором знак равенства имеет место только в случае коллинеарности векторов х, у (М. Крейп, см. [XIV], см. также М. Крейн и Рутмап [1]).
Рассмотрим Пх = П1 ® П~, где 0 < dim II- = х < оо, а П+ бесконечномерно. Пусть уо е Пх, а 8 — положительный линеал в Пх. Тогда для непрерывности функционала фуд($)=[$, у0] (те8) относительно внутренней нормы I • 1g необходимо и достаточно, чтобы уо[-Ц (8)° (И. И о х в и д о в [11].
Указание. При доказательстве воспользоваться каноническим разложением замыкания 8: 8 = 8t 4- (8)° и тем, что положительное подпространство 8, проекцпоино полно (теорема 0.11, б)).
Дефинитный линеал 8(с Их) сингулярен тогда и только тогда, когда его замыкание 8 вырождено (И. Иохвидов [11]; [VI]). п
У к а з а и и о. Воспользоваться результатом упражнения 9.
Пусть 8(сПх) — сингулярный линеал. Тогда для равенства 8 = 8[+] (8)° необходимо, чтобы 8 был полным (т. е. гильбертовым) пространством относительно виутреппей метрики (II. И о х- впдов [И]).
У к а з а п и о. Воспользоваться предложением 9.13°.
Условие полноты 8 по внутренней норме \ • |g является достаточным для представления 8 = 8[+] (8)° замыкания сингулярного линеала 8 в любом пространстве Крейна $ (И. И о х в и- дов [11]). _
Указапие. Доказать, что линеал 8[+] (8)° замкнут относительно П-11.
Рассмотрим пространство Понтрягина Пх = = П+ [Ф]П~(dim П+ < оо). Доказать, что последовательность {т„} сильно сходится при п ->- оо к вектору то, если [тп, тп] -> -♦ [то. т0] и [т„, у] -> [т0, у] при у, пробегающем плотное в П„ множество© (М. К р е н п и Лангер [3]).
Указ а п и е. Вез ограничения общности можно считать, что © — линеал и П+ с ®. Проверить сперва, что т+ -* т+, а затем воспользоваться обычным критерием сильной сходимости для [т~)”.
Пусть ST = S"j [ф] S~ —/-пространство, a S2™ = 52^[®]S® [® 1 — каноническое разложение JV-пространства &, где TV — T*JT, T: 52-*-5i — ограниченный оператор. ТогдасИш 5^^ ^ dim ^p, и потому, в частности, если §, — прострапство Понтрягина с и положительными (отрицательными) квадратами, то положительная (отрицательная) часть спектра оператора IV состоит не более чем из и (с учетом кратности) собственных значений (Азизов).
§ Ю. Дуальные пары. J-ортонормированные системыи базисы
Определение 10.1. Пара подпространств (8+, 8_) пространства Крейна ^ = £+[®]$~ называется дуальной парой, если й± с ^ и 8+[-L]£_. Если при этом 8± е ЗЯ*, то (8+, 8_) называется максимальной дуальной парой. Дуальная пара (8+, 8-) называется расширением дуальной пары (8+, 8_), если 8± zd 8^., и максимальным расширением пары (8+, 8_), если это расширение (8+, 8_) есть максимальная дуальная пара.
Теорема 10.2. Всякая дуальная пара (8+, 8-) имеет хотя бы одно максимальное расширение (8™ах, 8’"ах).
Более того, каждое максимальное в 8^^ неположительное расширение 8_ подпространства 8- принадлежит ЯЛ- и пары (8^], 8_) исчерпывают все максимальные расширения дуальной пары (8+, 8-).
□ Ясно, что достаточно доказать второе утверждение теоремы. Рассмотрим подпространство S^?3 (zd 8_) Пусть ^®у ^=) S)+= (Р+8 f] 8+ —дефектное подпространство для 8+ в ф+. Напомним (см. доказательство теоремы 4.5), что S)+[-L]8+ и 8+[+]S)+е 2%+. Поэтому 91^(8+[4-]©+)[х1 еУ1~ (см. теорему 8.11) и 9i = 9t°f®]911т где 91° — изотропное для 91, а 9^ — отрицательное подпространство. Ясно, что поскольку 91 cz 8^х3 и так как ©+cz8l4x3, то s^^^teigtj®] ©+.
Обратно, если z[-L]8+, то z = z+ + z~ (z±s^±), а z+ = z+ 4- zt, где z+ e ©\ a z+ e (©+)[x] f| $+ = P+8+. Таким образом, z = zt + (z^ + z~), t. e. z2+ + z~ = =z—z+[J_)8+, и в то же время z2' + z~e 8[+1] f| (©+)U1= =(^+ [4-]®+)[±1= 91 (см. (1.12)), так что z=(zj + z-)4-
+ z^s 91 [4-] ®+-Окончательно получаем для 8^*0 ка
ноническое разложение
80-1 = ©+[ф]911[ф]Э1».(10.1)
Пусть теперь 8- — максимальное в 8+ 1 неположительное расширение подпространства 8_ (с^1). Тогда (см. предложение 1.22°) 8_ = 91° и 8_ = 91° [ф]91_, где 8_ — максимальное в подпространстве ©+[Ф]91! (см. (10.1)) неположительное подпространство. Мы оказались в ситуации, рассмотренной в предложении 8.18°, в силу которого 8_ = {Fx + ж}я5$ , где линейный оператор F; 9lt -> ©+ определен на всем 9lt ввиду максимальной неположительности 8- в ®+[®]91ь Следовательно, Р~й_ = Lin {2> Эг°, P ^lj= Lin {P~9l°, Z^J = Z^{9t°[®J [ф] ^il = P~9l = 6~, т. е. 8_ е $t-, a (SL"*"1, 8_) есть одно из расширений дуальной пары (8+, 8-) вида (8г"ах), gmax^ Последнее же утверждение теоремы очевидно. ■
Определение 10.3. Пусть $ —пространство Крейна, (8+, 8_) — максимальная равномерно дефинитная дуальная пара (т. е. 8± равномерно дефинитны), а ©— подпространство в ф. Разложение © = ^[-i-jSJ-i-jSa подпространства © назовем его (8+, 8-) -разложением, если ©„ = ©П©Ш, ©1 =(© П 8+)[+](© П 8_), а ©2 — ортогональное дополнение к ©„[+]©, относительно скалярного произведения (ж, у) 4 = [ж+, уД — [х_, у_], где х = х+ + х_, у = у+ + у_, х*, у-t е g±, а потому и относительно формы [ж, у] (см. упражнение 8 к §2).
Заметим, что любое подпространство © допускает (8+, 8_) -разложение по любой равномерно дефинитной дуальной паре и оно единственно.
Теорема 10.4. Пусть © = ®о[+]©1[+]®2 — (8+, 8-)- разложение подпространства ©, а ®2 = ®2 [+1 ®2, где ®2 — проекг^ионно полное подпространство. Тогда суще
ствует такая максимальная равномерно дефинитная дуальная пара (й^в^, что разложение подпространства © = ©0 [-{-] (©! [4-j ©2) [4-] ®2 является его (8^, 8Х ) -разложением.
□ Пусть ®2 = ®+[4-]®_ —каноническое разложение. Докажем наше утверждение для случая ®2 = ®+ и тем самым сведем его к случаю ®2 = ®-, который
трактуется по той же схеме.
Итак, ®2 = ©+• Без ограничения общности будем считать, что ^± = ^±, и положим ^t = ©2 [4-] (£* Л П ®2Г±1)- По построению 8,+ —равномерно дефинитное подпространство и ©2 П ^г = {0}. Кроме того, ®i е ЗИ+: если бы это было не так, то в ф+ существовал бы вектор #« ^ 6, /-ортогональный 8"^ и потому ©2, т. е. ж» лежал бы в ^+ Л ©2Г±\ и, следовательно, (ж0*", ^?) = 0 — получаем противоречие.
Положим 8? = (8^)[Л. Тогда в силу (1.12) 8f = = ( ^“ + ©2) 0 ©2й1- Так как ©2 с© и © Л 5 ь сд ©, сд с©;1'1, то © Л 8^ = 8.И4-](© Г) 5Н) и ©Л8Г = ©П П [(Г + ©0 П ©^Ч == © Л Г, т. е. (© Л 8Г)[44 (© Л Л ®i ) = ©1 [4-1 ©2- Отсюда ©2 Л 8, = {0}. Поэтому осталось проверить, что ©2 ортогонально ©0 [44 ®i [44 ©2 в скалярном произведении (ж, у)ь указанном в определении 10.3.
Пусть же©2. Согласно упражнению 8 к § 2 (ж, у) 1 — = 0 при уе ©,[4-] ©2, и потому канонические проекции ж у вектора ж па 8у лежат в $L Л ©2^ соответственно. Следовательно, ©2 с ($+ Л ©2Г! ]) [44 ($- Л П ©з^Ч = St- Из упражнения 9 к § 2 заключаем, что ©«с^^ Остается заметить, что'па ^, скалярные произведения (ж, yV и (ж, у) совпадают, а потому и (ж, z)i — = (ж, z) = 0 при же©2, ze©0, т. е. ® = ©0(4-] [44(®1[44®2')Ш©2-(A,■, 8j )-разложение подпространства ©. ■
С дуальными парами и максимальными дуальными парами подпространств, инвариантных относительно тех или иных лилейных операторов или даже семейств операторов, мы будем неоднократно встречаться ниже в гл. III. В настоящем же параграфе дуальные пары естественным образом возникают при рассмотрении так называемых J-орто нормирован пых систем в пространстве Крейна.
Определение 10.5. Система векторов 6 = {еа}аеА (cjg), где А — произвольное множество индексов, называется J-ортонормированиой системой, если ^ар Са2] = = ±6а1а2 ддя всех аь аа е А, где 6се1а2 —символ Кронекера.
■ Простейшим примером 7-ортонормировапной системы ■б = -б+[®]-б- является объединение двух произвольных 96
•«лайках. -
ортонормировапных (в обычном смысле) систем из подпространств 5+ и ^“ соответственно.
10.6°. Любая J-ортонормированная система (5 = = {еа}аеА алгебраически свободна, т. е. не содержит линейно зависимых конечномерных подсистем; более того, она минимальна в том, смысле, что ни один вектор ер е ($ не принадлежит CLin { ба^аеЛ, а^р.
□ Ясно, что первое утверждение вытекает из второго. Второе же очевидно, так как (см. предложение 3.5°) для любого х е CLin {еа}аеЛ. а^р имеем [ж, еД = 0, а [ер, ер] = = ±1. ■
Определение 10.7. J-ортопормированпая система называется максимальной, если она не содержится пи в одной более широкой J-ортопормировапиой системе, и J-полной, если не существует ненулевого вектора, /-ортогонального этой системе (см. ниже замечание 10.11).
10.8°. Любая 3-ортонормиро ванная система содержится в некоторой максимальной З-ортонормированной системе.
О Доказательство получается стандартным путем с помощью леммы Цорна (см. теорему 1.19). ■
4. Каждая J-ортонормированная система б = (еа}аеА в пространстве Крейна $ порождает дуальную пару подпространств (8+, 8_), где
8± = CLin®±, 6± = {eJ[ea, еа] = ±1}аеЛ. (10.2)
10.9°. Если дуальная пара (8+, 8-) порождена J-полной J-ортонормированной системой ® (см. (10.2)), то подпространства 8± дефинитны.
□ Нужно доказать, что 8± небырождены. Но если бы в 8+ (или в 8_) нашелся изотропный вектор, то он был бы J-ортогонален всей системе 6, что противоречит ее J-иолноте. ■
В то же время максимальность и даже J-полнота системы 6 не влекут, вообще говоря, максимальности соответствующей дуальной пары (8+, 8-). Более того, справедливо следующее предложение:
10.10°. В любом отличном от Пх пространстве Крейна $ существуют J-полпые J-ортонормированные системы, порождающие дуальные пары (8+, 8-), не являющиеся максимальными дуальными парами.
□ Выберем в § произвольное положительное, по сингулярное, т. е. не равномерно положительное, подпространство 8+ е 2Л+ с угловым оператором К, llkll = 1 (см. лемму 8.4). Соответствующий оператор Грама G&^
7 Т- Я- Азизов, И. С. Иохвидов 97
обратим (0 ^= (Тр((т8 ^)), но G^1^ не ограничен и задан на плотной в 8+ области ^с8+ к^ $+) (см- предложения 6.5° и 6.11°). Рассмотрим произвольный вектор z0G ®+\^g+ и подпространство 8+= 8+G Lin {ж0}. Заметим сразу, что 6rg+8+= 8+, ибо из z0 е 8+ и z0J_Gg+8+ следовало бы, что (G8+z0, и) = (z0, G8 f п) = 0 для всех не е 8+, т. е. G8+z0 = Хж0, и так как z0 ^ ^са_, то X = О, откуда G8+z0 = 0 и z0 = 0.
Теперь в пространстве 8+ выберем какую-нибудь полную ортопормироваппую (относительно скалярного произведения (•, •)) систему (гильбертов базис) и орто- гонализируем ее по Шмидту относительно внутренней метрики [•, •], которая положительна па всем 8+ и, в частности, на &+• Утверждается, что полученная J-ортопормированная система 6+, для которой, очевидно, CLin6+ = 8+, /-полна, и поэтому максимальна в 8+.
В самом деле, если бы нашелся вектор у» s g+ такой, что г/и[й-Жн то (z/о, G8+m) = (^8+^о, ы) = [Z/o, М1 = О для всех meS+ и г/0 Ш G8+CLin @ t. = G& 8'р т. е. у0 I ±Gg+8'+ и у0 = 0.
Таким образом, CLin6+ = 8+ и §+ ^ ЗИ+. Теперь остается в подпространстве 8- = 8^ (е ЗИ-) выбрать произвольную полную ортопормироваппую систему и перестроить ее с помощью процесса Шмидта в /-ортопор- мироваииую систему ®_. Объединение ® = ®+ U ®_ есть /-ортопормироваппая система, причем /-полная, ибо ж[/-]® => ж[-Ц®_ => ж[-Ц CLin®_ (=8_), т. е. хе8+. Но ж[-Ц®_, откуда следует, что х = 0. В то же время порождаемая системой ® дуальная пара (8+, 8_) не максимальна. ■
Замечание 10.11. В ходе доказательства попутно обнаружилось различие (для подпространств!) между понятием /-полноты системы и полноты ее в обычном (гильбертовом) смысле: построенная нами в начале доказательства система ®+ /-полна в подпространстве 8+, по отнюдь не полна в нем: 0 ^ х0 е 8+ 6 CLin®+. Объясняется это в данном случае сингулярностью подпространства 8+, по отношению к которому мы (допуская вольность речи и расширительно толкуя определение 10.7) говорили о /- 98
полноте и полноте системы 6L. Что же касается Лорто- нормпроваииой'системы ио всем пространстве Крейна, то очевидно, что ее /-полнота и обычная полнота эквивалентны.
Рассмотрим теперь 7-ортовормированиые базисы в сепарабельном пространстве Крейна <6 = = ^+[®]6~, т. с. J-ортопормировапные системы, являющиеся базисами (Шаудера) в ф.
°. Если J-ортонормированная система 6 = {Ch}k=i есть базис в ^, то порождаемая ею пара (8+, £_) есть максимальная дуальная пара.
□ Докажем, например, максимальность 8+. Допустим противное: 8+Й2У1+. Тогда Р+8+^=^+, и в дефектном подпространстве й^1 Л Ф+ найдется ненулевой вектор ж0 =
= ^ ^жею Пусть {е/,;}^! — совокупность всех векторов
k=i
базиса {Ch}/T=i, для которых [eh, eft] = l. Тогда 0 = = [т0, ehi] = £/£i (i = l, 2, ...), откуда [z0, т0] ^ 0, т. е. ж» = 6 вопреки предположению. ■
Напомним, что система векторов {Д}к=1 в гильбертовом пространстве называется нормированной, если ИДИ = 1 (А: = 1, 2, ...), и почти нормированной, если существуют положительные постоянные р и М такие, что (0<)р ИДИ ^ М (& = 1, 2, ...). Системы {Д}“=1 и {^л}л^1 называются биортогоналъными, если (Д g^ = 6jk (j, k = 1, 2, ...). Известно (см., например, [IX]), что всякая система, биортогональная нормированной системе, почти нормирована.
°. Всякий J-ортонормированный базис почти нормирован.
□ Пусть {елД—1 — /-ортонормнроваппый базис. Тогда система [е" = \\ еь ||-1 ehb^=i нормирована, а система (Ак — = sign [е/£, е/,] (с/, ||/екД°=1, как легко проверить, ей биортогопальпа и, стало быть, почти пормировапа: 0 < < р ^ И/Д! ^ М (k — l, 2, ...). Но поскольку llejle,,= = sign \eh,_ehVhk, то HeJI2 = II/AJI = 11/гкП, и потому 0 < Ур ^ Heftll У (И. ■
Упражнения и задачи
1. Пусть (8+, соответствующие страиства для 8±1. Пусть (8+, соответствующие страиства для 8±8_) — дуальная пара подпространств, К и Q — угловые операторы, ®^ — дефектные подпро- соответствеппо (см. § 6, пп. 1, 2). Тогда Кт =
1. Пусть (8+, соответствующие страиства для 8±
1. Пусть (8+, соответствующие страиства для 8±
= Qt*T$-YW+V*— QQwyf4x для всех xeP+B+, Qy = KWy-у + W/_(/_—A/<l*))l/2y для всех i/eP"8_, где W*: U*— _QQWyH Р\-*^_ иУ¥~-ДГ - KK-Wyi4 Р~8_-*®++ — некоторые сжатия. При этом
Ит|| = 11x11 <^ IlW+^-Cf?1*’)^ = II (/+ — ^Q^’J^II, 1:<?у11 = llyll <> \\W-y-- KKwyj\\ = \\Ц- - КК<*^у\\-,
нац < i iiw+ii < 1, пен < 1 11^-ц < 1; .
(8+, 8_)—максимальная дуальная пара тогда и только тогда, когда W4": 8il+_QQ(e)c: Ker W н W-: 5К^__кк(,)сКегИЛ- (Рицп ер [4]).
Указание. Определение символа TW см. в упражнении 7 к § 8.
В пространство Крейна § = 6+[Ф]5- с бесконечномерными §± построить дуальную пару (8+, 8-), не являющуюся максимальной дуальной парой и такую, что 8+[-j-]8_ = § (Лангер [7]-).
Указание. См. 10.10.
Выбрать дуальную пару (8+, 8_) в упражнении 2 так, чтобы у нее существовали по меньшей мере два различных максимальных расширения (Лангер [7]).
Пусть © = »о[4-]®1[+]®2 И S-L (®х)о[4-] (©-41(4-] (©^2- — (5+, 5”)-разложения подпространств © и ©-1 /-пространства §. Тогда ©0Ф (©-Чо, ©ь (©x)i и ©2® (©Ч2 — попарно ортогональные и J-ортогопалыгые подпространства, вполне инвариантные относительно оператора /: /[©о Ф (©-Чо] = ©о ® (®±)о /©i = ©i и т. д.
Указание. Воспользоваться определением 10.3 (ФЧ %~У разложепия и свойствами (7.1).
В условиях упражнения 4 $ = [©o[4-]©i [4-]Ог] ® ® [(©^Jo] + [(©4d + [(©"Чз], а оператор /представляется матрицей /=^7^1®^. Доказать, что /*г=/14—изометрия, отображающая (©-Чо на ©0: JM= J22 ~ ^гг1’ ^зз " ^33’ ® < ^зз < ^’ ^63 ~ = /д6 — (/ — У33)1/2 Взв, где Взб— изометрия, отображающая (©-Чг на ®2; = z55 = - ^Зб^зз^зв’ Jti =° ПР0 остальных i, / (Азизов).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4 и свойствами оператора /: / = ]* = Г"1.
Онисать максимальные дуальные пары (8+, 8_) подпространств из h- соответственно.
Указание. Использовать результат упражнения 12 к §8.
Известно, что базис {сй}”^=1 сепарабельного гильбертова пространства § называется безусловным, если оп остается базисом при любой перестановке (т. е. перенумерации) его элементов, и условным в противном случае. Почти нормированный безусловный базис называется базисом Рисса (эквивалентное его определение см. ниже в гл. IV, § 2, п. 1).
Доказать, что /-ортоиормировапиая система б ~ {Ч;}а^=1 в сепарабельном пространстве Крейна § является базисом Рисса тогда и только тогда, когда порожденная ею дуальная пара (8+, 8-) является максимальной дуальной парой равномерно дефинитных подпространств (т. е. 8| [4-]8- = §) ([VI]).
На основании результата упражнения 7 дать полное описание всех У-ортопормироваиных базисов Рисса в сепарабельном пространстве Крейна.
Указание. С помощью леммы 8.4 и теоремы 8.17 описать все канонические разложения ф = Ф+[+]Ф- пространства Крейпа, а затем воспользоваться У-ортонормировапными базисами в ф+ Иф- ([VI]).
ПРИМЕЧАНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ГЛАВЕ I
1, пп. 1, 2. Впервые систематическое изучение бесконечномерных линейных пространств с эрмитовой <?-метрикой в столь общей постановке предпринял, по-видимому, Неванлипна [1] — [5]. Частные случаи таких пространств (пространств Пх) рассматривались раньше в основополагающей работе Понтрягина [1], статьях М. Крейпа [3], [4J, И. Иохвидова [1], [2] и их совместных статьях [ХШ], [XIV]. Общие комплексные пространства @ с ^-метрикой вслед за Певаплиппой рассматривали Песонеп [1], Лоухиваара [1] — [3], Шайбе [1], А р о п- шайп [1], Гинзбург и И. Иохвидов [VI], М. Крейн и Ши у лья н [1] — [4]. Подробное изложепие теории этих пространств вместе с обширной библиографией см. в книге [V]. Мы же здесь ограничились лишь необходимым минимумом сведений. Гильбертовы пространства с вещественной ()-формой в связи с конкретными приложениями встречаются у М. Крейпа [3] (см. [XIV], а также М. К р е й п и Р у т м а п [1]) ив работе X е с т е- неса [1].
§ 1, п. 3. Понятия (<2i, Qi) -изометрического изоморфизма и ап- типрострапства хорошо известны, по формально введены в [V].
§ 1, п. 4. Другое доказательство предложения 1.9° см. М. Крейн и Шмульян [2]. Доказательство в тексте предложено И. Иохвидовым.
§ 1, пп. 5, 6. Здесь мы в изложении следуем за [V].
§ 1, и. 7. Принцип максимальности (теорема 1.19) впервые, по- видимому, встречаем у Шайбе [1].
§ 1, п. 8. Предложения 1.21° и 1.22° находим у Шайбе [1], 1.23° —в [V| (а по существу уже в [VI]).
§ 1, и. 9. Предложения 1.24° и 1.25° относятся к «математическому фольклору», их доказательства в тексте принадлежат 11. Иохвидову и Азизову соответственно. Предложение 1.26° встречаем у П о п т р я г и п а [1],- а лемму 1.27 — у Гинзбурга [3].
§ 1, н. 10. Простейший случай конечномерных нейтральных кососвязанных линеалов и теорему существования в них <?-биортого- пальпых базисов (ср. лемму 1.31) паходим у Ион тряги па [1], а затем у И. И о х в и д о в а [1] ив [ХШ]. Там же (для этого случая) доказывается и систематически используется (ср. теорему 9.12) предложение 1.30°. Сам термин «кососвязапные» линеалы, получивший широкое распространение, предложен М. Крсйпом в [ХШ]. Паше изложепие следует за Богнаром [V], который, к сожалению, использует другое название «дуальные пары», имеющее в литературе (и в даппой книге — см. § 10) совсем ипой смысл. Из [V] заимствовано следствие 1.32 и обозначение 81 # 82.
§ 1, п. И. Пример 1.33, принадлежащий Макки, опубликовал Севидж [1]; теорема 1.34 принадлежит Овчинникову [1].
По этому поводу см. также Маркин [1] и Вогнар [4]. Пример невырожденного линеала, не допускающего разложения (1.17), принадлежащий М. Л. Бродскому и также построенный па различии размерностей, но использующий и другие идеи, оцубликован в [VI].
1, и. 12. Лемма 1.35, которая в столь общей формулировке приводится здесь впервые, имеет длинную предысторию, кратко освещенную в [XV]. Наше доказательство следует образцу из [V], где @i = @2 и Т = I.
2, пи. 1—3. По существу (хотя и в неявном виде) пространства Крейпа впервые рассматривали в 1954 г. Нсвапли н п а [4], а затем в 1956 г. Песонен [1], Лоухиваара [1] и (независимо) И. Иохвидов и М. Крейн (см. [XIII], конец § 13). Систематическое их изучение начал Гинзбург [1], [2] (ср. ниже примечание к п. 4). В изложении аксиоматики и простейших свойств пространств Крейна мы следуем за Ш а й б е [1J и Богпа- ром ([V]), последнему принадлежит и сам термин «пространство Крейпа». Следует лишь оговорить, что в книге [V] (как и в основополагающих работах: Понтрягин [1], а также [XIII], [XIV] и некоторых других — ср. [XV]) всюду роль квадратных скобок в обозначении индефинитной метрики [я, у] играют круглые скобки: (z, у). У пас же круглыми скобками обозначается (гильбертово) скалярное произведение. Такая символика общепринята в последние десятилетия, в особенности в советской литературе.
2, п. 4. Рассмотренный здесь подход к пространствам Крейпа был предложен впервые Гинзбургом [1], [2].
3. Все результаты этого параграфа, ставшие уже «фольклор- пыми», по существу, находим у Гинзбурга [1], [2]. Ему же принадлежит распространение термина «/-метрика», введенного ранее Потаповым [1] для конечномерных пространств, па общин случай. Пример 3.11 заимствован из [V].
4, пп. 1, 2. Результаты этих пунктов принадлежат Г и п з- бургу [3] (см. также [VI]). Дефектные подпространства®^ = = ф± © Р^й — ф^ f) (Р-й)^ рассматривал в столь общей постановке (для произвольных линеалов й) Рицпер [4]. 1Ио этому поводу см. упражнения 7 и 8 к § 8.
4, п. 3. Результаты этого пункта принадлежат И. Иохвидову, в частности, по поводу теоремы 4.10 см. И. Иохвидов [13]. Лемма 4.11 общеизвестна и широко применяется (см., например, [XIV], откуда заимствована конструкция примера 4.12, служившего там совсем другой цели; в пашем контексте пример 4.12 является в некотором смысле «универсальным» — упоминании о нем встречаются в §§ 5, 8, 9).
, § 4, пп. 4, 5. Результаты этих двух пунктов, причем в более общей форме (частично — для произвольных пространств ® с эрмитовой (/-метрикой, а «достаточная» часть теоремы 4.13 — для пространств 6 с каноническим разложением 6 = @+[+]@~; ср. упражнение 6 к § 3), были получены Шайбе [1] (см. также [VI]). Приведенное в тексте доказательство предложения 4.19°, пригодное для произвольных пространств @ с эрмитовой (/-метрикой, принадлежит И. Иохвидову [VI]. Для пространств Крейна это предложение следует из результатов Гинзбурга [3]. Формулу (4.5) опубликовал Ш м у л ь я п [4] со ссылкой на статью Пенневица [1].
5, пп. 1—3. Понятие равномерно дефинитного линеала (в первоначальной терминологии — «правильного дефинитного линеала») введено и исследовано Гинзбургом [4] (см. также [ VI]). Термин «равномерно дефинитный» введен М. Крейном ([XVI]). Наше изложение здесь следует книге [V]. Следствие 5.8 принадлежит Лангеру [9]. Заметим, что определения (5.1) и (5.5) внутренней нормы | • | g дефинитпого линеала 8 имеют смысл в любом пространстве 6 с (^-метрикой. Так опи и вводились (в другой терминологии) в [VI] (ср. [V]).
5, п. 4. Классы h- введены (без специальных названий) Азизовым [9] в связи с операторами класса 36, о которых см. ниже в § 5 гл. III. Более общие классы подпространств того же типа рассматривал ранее Лангер [9].
6, п. 1. Пример в конце п. 1 принадлежит Овчинникову [1]. Другие примеры см. М а р к и и [1].
6, пп. 2, 3. Систематическое исследование оператора Грама Gg предпринято впервые в [VI]. Там же введен и сам термин «оператор Грама» и дана историческая справка. Теорему 6.4 в полном объеме установил Гинзбург [4], указав, что он следует идеям Н е в а н л и п и ы [4].
6, н. 4. Закон инерции (теорема 6.7), правда, в не столь общей формулировке, находим уже у Гинзбурга [3]. Ранг ипде- фипитпости 2д формально введен в [V], хотя по существу он рассматривался значительно раньше многими авторами (главным образом — в частных случаях).
6, п. 5. Следствие 6.12 содержится в более общем предложении из [VI], принадлежащем Гинзбургу.
6, н. 6. Обширная библиография по Ш-прострапствам и G- пространствам содержится в [I] и [II]. Предложение 6.14° см. в [I]. Первую часть предложения 6.13° по существу установил Гинзбург [VI] (см. также Лангер [2]), вторая замечена Азизовым. Универсальность пространств Крейна впервые установлена Гинзбургом [VI], доказательство в тексте дано Азизовым.
Помимо приведенных в § 6 обобщений пространств Крейна, это понятие обобщалось и в двух других направлениях. Первое из них относится к банаховым пространствам с непрерывной в них формой ^(z, y)(|<2(z, у) | ^ Cllzll ||у||). Второе рассматривает нормированные (в частности банаховы) пространства 91 = 31+ 4- ^~, где 91± — произвольные замкнутые подпространства, Р- — соответствующие проекторы, а индефинитная метрика задается функционалом Jv(z) — llP+z||v — ||P~z||v (l^v<oo). Краткий обзор этих направлений и их библиографию (по 1979 г.) см. в [II].
7, п. 1. Материал п. 1 достаточно традиционен, паше изложение здесь следует лекциям М. Крейна [XVI] и Андо [Ш].
7, п. 2. Лемма 7.7 принадлежит Гинзбургу [4], однако доказательство ее в тексте, как и предложение 7.6°, взяты пами из [XVI]. ■
7, пп. 3, 4. Понятие проекционной полноты линеала введепо независимо Шайбе [1] и в частном случае И. Иохвидовым [21] (см. [VI]), которому принадлежит и термин «проекционная полнота». Лемму 7.11 см. уЛоухиваары [2], другие результаты п. 3 находим у Шайбе [1], а лемму 7.12 (п. 4)—у Нева п липпы [4]. /-ортогональные проекции, по лишь па невырожденные подпространства пространства Пх (см. § 9) рассматривал Понтрягин [1], а вслед за пим И. Иохвидов [21] (см.
также [VI]). Для пространств же более общего типа (G-пространств и даже Ш-пространств) разработку теории проектирования начал Неванлипна [4], а затем продолжил Лоухиваара [2]. Окончательные результаты получены Гинзбургом [4] (см. также [VI]).
7, п. 5. Правильные подпространства (в более общей чем у пас ситуации) введены и исследованы Гинзбургом [4] (см. также [VI]). Теорема 7.16, суммирующая многие исследования (ср. [V], [II] и библиографию в них), в столь общей формулировке появляется, ио-видимому, впервые. Отдельные се фрагменты в течение почти 30 лет передоказывались различными авторами.
7, п. 6. Теорема 7.19 (частный случай се для пространств Пх см. в [XIII]) по существу содержалась уже в более общем результате Шайбе [1] (ср. также теорему 2.1 в [VI]). Доказательство в тексте принадлежит И. Иохвидову.
8, пп. 1, 2. Понятие углового оператора было введено и исследовано почти одновременно и независимо в работах Ф и л л и п- са [1], [2] и Гинзбурга [3], [4]. Этим авторам принадлежат результаты пп. 1, 2. Сам термин «угловой оператор» впервые применен в [VI] но предложению М. Крейна вместо первоначально данного Гинзбургом [3] названия «угловой коэффициент» (ср. упражнение 1 к § 8). Изящный вариант доказательства леммы 8.4 заимствован нами из [V].
8, пп. 3, 4. Результаты этих пунктов широко применяются после упомянутых выше публикаций Филлипса и Гинзбурга, однако в связанном виде предложение 8.7° с сопутствующими ему замечаниями 8.8 и 8.9 и теорема 8.10 публикуются здесь, по-види- мому, впервые.
8, п. 5. При установлении теорем 8.11 и 8.11' Гинзбургу [3] не приходилось прибегать к определению (8.9) сопряженного оператора, поскольку угловой оператор К для 8 е $1+ (соответственно Q для 8 е SD1-) им сразу трактовался как заданный всюду в ф, отображающий ф+ в ф- (соответственно ф~ в ф+) и аннулирующий ф~ (соответственно ф+). Однако в дальнейшем (ср. пи. 6, 7) такая трактовка оказывается неудобной. Богпар ([V]) для перехода к сопряженному оператору заменяет определенный, как у пас, угловой оператор К оператором К = КР+, определенным всюду в ф, и затем рассматривает К*.
8, п. 6. Принадлежащая Азизову [3] теорема 8.15 установлена им для гораздо более общего "случая, о чем упоминалось (но тоже не в самой общей постановке) в [II]. Следствие 8.16 ранее доказано М. Крейном и Шмульяном [3]. Близкие результаты получены X а цк е в и ч е м [1].
8, пп. 7, 8. Результаты этих пунктов принадлежат Азизову, в частности, теорема 8.17 опубликована в депонированной статье Азизова и К он др а с [1]. Классы Я- впервые появились в лекциях М. Крейна [XVI]. Систематически их рассматривает Р и ц- п е р [4]. Ниже, в лемме 3.14 гл. III, читатель встретится с обобщением классов Я*.
9, и. 1. Исторически пространства Пх (0 < х < оо) были первыми бесконечномерными пространствами с индефинитной метрикой, изучавшимися математиками. В случае х = 1 опи рассматривались Соболевым [1] (первую ссылку па него см. Понтрягин [1]), а для произвольного целого х > 0 на примере «модельного» сепарабельного пространства Z2 (см. упражнепие 1 к § 9) их впервые изучал Поптрягии [1]. Там же ио существу содер- 104
ЖатСЯ все результаты п. 1, включая лемму 9.5. Ёе доказательство в тексте предложено И. Иохвидовым.
Таким образом, хотя в п. 1 (см. определение 9.1) пространства Пи рассматриваются как частный случай пространств Крейна, последние сами возникли в литературе как обобщение пространств Понтрягина (их аксиоматика и само обозначение Пх введены в [XIII], подробнее об этом см. [XV]).
9, п. 2. Теорема 9.6 установлена И. Иохвидовым (см. [VI]), ему же принадлежат ее повое доказательство, помещенное в тексте, и замечание 9.8. Теорема 9.9 по существу содержалась уже у Понтрягина [1].
9, н. 3. В теореме 9.11 новая по сравнению с теоремой 9.6 импликация б) => а) принадлежит Гинзбургу [4]. И. Иохвидовым [9] указана другая (менее эффективная) характеризация пространств Пх в классе пространств Крейна ф: необходимо и достаточно, чтобы любой незамкнутый дефицитный линеал 8 был полным относительно внутренней нормы | • [^ (ср. упражнения 11 и 12 к § 9).
9, п. 4. Формула (9.2) была устаповлепа И. Иохвидовым (см. [XIV], теорема 4.1). Уточнения к ней, сформулированные во второй части теоремы 9.12, как и все приводимое в тексте доказательство этой теоремы, принадлежат Вогпару [V].
9, и. 5. Предложение 9.13° принадлежит И. Иохвидову.
9, и. 6. И,(х)-прострапства рассматривались в статье Азизова [7]. Предложение 9.15° и первая часть следствия 9.16 по существу содержались уже в [II]; вторая часть следствия 9.16, как п предложение 9.17°, замечены Азизовым.
Упражнения к § 9. Толчком для получения результатов, приведенных в упражнениях 9—12, послужила работа Богпара [2].
10, пп. 1, 2. Дуальные пары были введены и изучались в работе Ф и л л и п с а [3].
Первая часть теоремы 10.2 принадлежит Филлипсу [3], вторая часть — Азизову. Другие подходы к описанию расширений дуальных пар до максимальных находим у Филлипса [3], Лангера (см. Лангер [7]; [V]) и Р и цп е р а [3], [4]. Теорема 10.4 принадлежит Азизову.
Некоторые приложения теории дуальных пар, не охваченные в данной монографии, см. в литературе, указанной в [V], гл. V.
10, п. 3. Первые исследования ф-ортопормироваппых систем находим у Неванлиппы [3], наиболее существенные его результаты воспроизведены в обзоре [VI]. Z-ортопормироваппые системы ввел и впервые исследовал Гинзбург в [VI], а затем — очень детально и в более общем плане G-ортопормировапных систем (см. § 6, п. 6) — В. Штраус [1], [2], которому, в частности, принадлежит предложение 10.6°. Все остальное изложепие в п. 2 принадлежит И. Иохвидову. Обращаем внимание на то, что паша терминология резко расходится с терминологией В. Штрауса [2] (точнее, едва ли не прямо ей противоположна).
10, п. 4. Предложение 10.9° принадлежит В. Ill т р а у с у [2]; там же опубликовано предложение 10.10° с указанием его принадлежности Азизову; замечание 10.11 и следующее за ним рассуждение авторов публикуются впервые.
Предложения 10.12° и 10.13° принадлежат В. Штраусу [2]. Доказательство предложения 10.12° в тексте предложено Азизовым.
К различным базисам в /-пространствах мы вернемся в гл. IV.
ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ
.В ПРОСТРАНСТВАХ
С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ
В этой главе определены основные классы линейных операторов и приведены их простейшие свойства. Как уже отмечалось, основная цель — наложение теории операторов, действующих в пространствах Крейпа и Понтрягина. Однако в процессе изучения свойств этих онераторов оказывается необходимым рассмотрение и более общих пространств с индефинитной метрикой: РГ-прост- ранств, G-прострапств и т. д. (см. гл. I, § 6). У большинства операторов, действующих в этих пространствах, имеются «дефинитные» аналоги. Соответствующие термины будем в индефинитном случае снабжать префиксами Щ-, G-, J-, л-, и т. д. в зависимости от того, действуют ли операторы в W-прострапстве, G-прострапст- ве, пространстве Крейпа (/-пространстве), пространстве Понтрягина и т. д. Если оператор действует из одного индефинитного пространства в другое, то это также отмечается соответствующим этому случаю префиксом, смысл которого будет ясен из текста.
Отметим, что как это видно и из объема параграфов, наибольшее внимание уделено нами операторам, специфическим для индефинитной метрики, а именно — плюс-операторам (§ 4).
§ 1. Сопряженный оператор Тс
Пусть 51 и 5г — (^-пространство и С2-прострапство соответственно' (см. гл. I, § 6, и. 6) с индефинитными формами [•, ^^(С,-, •)< (0^Ор(Сг), i = l, 2). Символ Т: 51 5г в дальнейшем будет означать, что линейный оператор Т действует из области определения Srс 51 в область значений 91т с 5г._
Определение 1.1. Пусть Т'. 51 ^ 5г, ®т = 5<- Оператор Г: 5z 5i, определенный па линеале ®тс = ^уе s5al существует zg§, такой, что [Гж, z/]2 = [ж, z], для всех же£г} формулой Tcy — z, назовем (Си С^-сопря- женным с оператором Т.
Из этого определения немедленно следует связь 7е с обычным сопряженным оператором Т*;
Тс = С;гТ*С2.(1.1)
В частности, если Gt = Ц — тождественный оператор в §t (i = l, 2), то ТС = Т*. Если же 51 = & = 5 — /-пространство, то
Te = JT*J,(1.2)
стало быть, Тс и Т* унитарно эквивалентны. Из соотношений (1.1) и, в частности, (1.2) следует, что многие свойства оператора Т* сохраняются и для Тс.
Дадим геометрическую интерпретацию понятия сопряженного оператора Гс, что в дальнейшем поможет нам достаточно легко доказывать ряд утверждений. При этом для простоты и краткости изложения будем предполагать всюду ниже в этом параграфе, что 5t = 5г = 5 — /-пространство с индефинитной формой [•, •].
Определение 1.2. Каждый линеал 8 в пространстве графиков 5г = 5 X 5 = Кж, уУ\х, yG^ называется линейным отношением, действующим в §, с областью определения ©g — {ж| существует у такое, что <х, у У ^й}, областью значений 9?g = (у | существует х такое, что <х, у>ей\ ядром Кег8 = {хКх, 0>g£} и неопределенностью Ind 8 = (у Кб, уУ еУ.
В частности, если из <0, у> е 8 следует у = 0, то соответствие Т: х -* у (<ж, у> е 8) является линейным оператором, а 8 — его графиком, который мы будем обозначать символом Гт (={<£, ТхУ\х г ST}).
В пространстве 5г введем скалярное произведение
(<xb yty, <ж2, z/2>)r = (x1, ж2) + (гл, z/2).(1.3)
Известно, что Гг является подпространством в 5г со скалярным произведением (1.3) тогда и только тогда, когда Т— замкнутый оператор, т. е. из х„-*х0, Тхи-*уй следует, что ж0 е ©г и у0 = Тх0.
Введем в 5г индефинитную метрику
[<xh у,У, <хг, у2>]г = i([xb z/2] — Гг/i, ж2]).(1.4)
Отсюда следует, что [-, ]г= (Jr-, -)г, где /г<ж, уУ = = <—Uy, ПхУ, и потому /г = /г = /г1»
Следовательно, пространство 5г допускает каноническое разложение
5г = 5г © 5г,(1.5)
107
где ^г = Рг^г, ^г = -^ (/г ± /г), и потому
^ = {<^, ±г/ж>|же^}.(1.6)
Пусть Т — линейный оператор, действующий в 5, а Г7— его график. Тогда
/^Тт == {<(/+ i/7) ж, ±г/(/т 1/7’)ж>|же®т}. (1.7)
В частности, если Гт — неотрицательный линеал, то его угловой оператор Кт можно символически записать в виде пары
KT = <V,-JVJ>,(1.8)
где
V = (I + UT) Ц-ШУ1;(1.9)
здесь имеется в виду, что оператор I — UT необходимо обратим и
КДх, y> = <Vx, -lV]y>(1.10)
для <ж, у> е ®кг.
□ Из определения 1.1 оператора Тс и определения 1.1.11 немедленно вытекает предложение _
1.3°. Пусть Т: 5^5— линейный оператор с ^т = ^. Тогда ГтС = Г^±]. ■
Следствие 1.4. Для того чтобы вектор хе принадлежал ®т П ®тс и Тх0 = Тсх0, необходимо и достаточно, чтобы вектор <хй, ТхД был изотропен в Гг.
□ Условия, наложенные на х0, эквивалентны тому, что <х0, Тх^е. Гт 0 Ггс = ГТП Гу-1, т. е. <хй, Тх0> изотропен в Гт по определению 1.1.12. ■
Из предложения 1.3° также следует
°. Оператор Тс замкнут.
°. Если у плотно определенного оператора Т существует плотно определенный обратный оператор, то
°. Если оператор Тг является расширением* оператора ТДР с Т^ и ®Г1 = $i, mo Т^ cz Tcv
°. Для того чтобы существовал оператор 1“=^*, необходимо и достаточно, чтобы $>т—§ и _линейный опе^ ратор Т допускал замыкание-, при этом Тс = Р, Рс = Т и, в частности, Т = Т**.
О Предложение 1.5° следует из того, что /г-ортого- нальное дополнение является подпространством (см. 108
предложение 7.1° гл. I). Предложение 1.6° вытекает из предложения 1.3°, если заметить, чтоГг-1 = {{Тх, ж>|же е ©т}. При доказательстве предложений 1.7° и 1.8° надо воспользоваться формулой (1.8) гл. I и предложением 7.4° гл. I соответственно. ■
Из (1.2) следует, что в пространстве Крейна оператор Тс ограничен только вместе с оператором Т. Отметим также ряд других свойств Тс.
°. Пусть Т„ 72:£-^ и ®Т1 П ®г3 = 6. Тогда VT, + Т2)с zd Т\ + Т^, и, если хотя бы один из операторов Ti или Т2 непрерывен и всюду определен, то ^Ту + 72)с = Гг + 7\t
°. Пусть Ту, Т^. §-^§, ®т2 = ®т2г1 = Ф- Тогда (^2^i)C 13 ТуТ^, и, если либо Т2 ограничен, либо существует, всюду задан и ограничен оператор Ту\ то (т.т^ = тХтХ.
Проверим лишь последнее утверждение — остальные проверяются аналогично. Итак, пусть Ту 1 — ограниченный оператор и ^Tj = ^. Так как мы считаем доказанным включение Ту То а (Т^Т^, то остается проверить, что (T2^i)C с ^1^2- Пусть ЖцеФ^с. Тогда [Г27\ж, ж0] = [ж, (^Га^о] = [Л-1^, (^ЛГ^о] = = [Тух, (Ту 1)с (7’27’1)сж0] при всех ке^т,- Так как ^т.=§, то®га = Т^То'Гр и потому жое® с и Г2ж0 = ^(т^Чт.т^ж0. Воспользовавшись предложением 1.6°, получим Ту Т^Жд = (Г2Т’1)сж0. ■
□ Из определения 1.1 /-сопряженного оператора Тс непосредственно следует
1.11°. Если подпространство й инвариантно относительно оператора Т, т. е. 8Г1®Т = 8 и Т(2)т 9 8) с 8, то
Тс^те П 8Ш)С 8[11, н
□ Так как для замкнутого оператора Т всегда Кег Т = Sty*, а соотношения Ку* = Й7* и 91т = 91т эквивалентны (см., например, [XVIII]), то из равенств 9trc =J3tr* и Ж^] Н^т^1 = М»1 = J-J9l^ = 9l^ (=КегТ), в которых использованы предложения 7.1° гл. I и 7.3° гл. I, следует
1.12°. Если Т — замкнутый оператор, 5)т = ^, то всегда Ker Т = Э?^1, a 9tlC = (Ker 7')["L1 тогда и только тогда,
когда 9lr = 9lj. ■
Пусть Т — линейный оператор, а X — его собственное значение. Напомним, что множеству тех векторов х из пространства, для которых существует натуральное число 7>(х) такое, что (Т — \I)pWx = 0, образует линеал я корневых векторов, соответствующих точке X» (коротко — корневой линеал), и обозначается символом
Следующая теорема характеризует расположение в пространстве 5 инвариантных подпространств операторов 7 и Г, а также их корневых линеалов.
Теорема 1.13. Пусть Т: § -* 5, SDr = & 8(cSr) — инвариантное подпространство оператора Т, 91(с©?.с) —
инвариантное подпространство оператора П о* (7-491) = 0. Тогда 8[-L]9l. Это влечет, 1-ортогональность 8^(7’) к ^(Тс) при Х^р.
т= и o(ria)п в частности,
О Пусть ж е 8, у е 91. Вводом в рассмотрение следующие функции комплексной переменной X: gx,y (X) = = [(Т | 8 - XI)"1 х, р] и g^, (X) = [т, (Г | 91 - X/)-1 р].
Первая из этих функций определена и голоморфна (в силу голоморфности резольвенты) на множестве р(748) регулярных точек оператора 748, а вторая — па р*(7’491).
Пусть = [(Г I
|Х| > шах {117'1811,8 — X/)-1 х, р] =
117-49111}. Тогда
£№ =
(-17-181 х,у
1—07
П=0
■^ Т\ 8J х, pl.
Аналогично получаем, что
g»M (А) = —
cl \п 1
Т 191) у\ . Поскольку
?1=0
X, у = ж,
при 1X1 >
-Arl^p], то g^^ = g®W
шах {1174811, 117-49?!!}, т. е. каждая из этих
функций допускает аналитическое продолжение gx, У(Х) на р(748) U р*(7'с|91). Из условия б(748) П о*(7-49?) = 0 заключаем, что р(738) U р* (7-491) = С и функция gx, »(Х) ограничена на С- Следовательно, в силу известной теоремы Лиувилля gx, V(X) = const. В сочетании с тем, что g^vW^- 0 при 1X1 -> оо, получаем gx,v(X) = 0. В частно
пости, при Хер(7|8) и произвольных я® 8 и уе91 имеем [ж, у] = g^। б-хДх^) = ^L е- ^М^--
Докажем теперь, что 8a(7)[-L]8h(7c) при Х^д. В силу непрерывности формы [•, •] достаточно проверить, что 8х(7')[-Ь]8ДГ).
Пусть ж е 8, (7), у е 8ц(7е). Положим 8 = Lin ((7— — Х1У'х\”, 91 = Lin [(7е — д/)?)у)”. Это конечномерные инвариантные подпространства операторов 7 и 7е соответственно, причем о(7|8) = {Х), а о(7с|91) = {д}. Так как по условию Х^д, то о(7|8) П о* (7С|91) = 0, и из доказанного _вьппе следует [ж, у] — 0, т. е. 8л(7)[-Ь]8ц(7с) при X ^ д. ■
Прежде чем переходить к следующему утверждению напомним некоторые определения и обозначения.
Определение 1.14. Пусть 7 — линейный замкнутый оператор в произвольном гильбертовом пространстве ф. Точка Хо называется его нормальной точкой (Хо е ер(7)), если опа является либо его регулярной точкой, либо нормальным собственным значением (XosoP(7)). Последнее означает, что существует такое разложение пространства $ = 8 + 91 на подпространства 8 и 91, что 8cSr, dim 8 < оо, 7: 8-* 8, 7: 91-^91, о(7|8) = (Х0} и Х0ер(7|91).
□ Отсюда, в частности, следует
1.15°. Нормальные собственные значения являются изолированными точками спектра, и потому в каждом открытом множестве они составляют не более чем счетное подмножество. ■
Символами_бР, 1 (7) и Ор,2(7) обозначим те Хеор(7), для которых Str-м ^ ^ и 9tr-xi = ^ соответственно. Ясно, что оР1 ,(7)П ор,2(7)= 0 и ор(7) = ор, ,(7) U оР,2(7).
Теорема 1.16. Пусть §— пространство Крейна и Т; $$ — замкнутый оператор, ®т = %. Тогда
Хер(7)^Гер(7!);
X е ог(7) о X г ор, 2(7С);
ХеОр1(7)*>/7еар1(7с);■
' г) ХеОр(7)^Хгор(7с)
и, как следствия из а)— г),
Хе0(7)^Хе0(7с);
X е ос (7) о X е ос (7е).. ■.
□ Доказательство этих утверждений непосредственно вытекает из формулы (1.2) и того, что аналогичные утверждения связывают спектры операторов Т и Т*. Для примера разберем доказательство импликаций _г) .В силу 1.8° достаточно проверить, что_Х^оР(7)=> ор(7е). Так как (см. [VIII]) Хеср(Т')=^Х1=Ор(Т*>), то тогда по определению 1.14 следует существование такого разложения 5 = 8+ 91, что 8 с: Sr*, dim 8 < оо, Т*: 88, Т*: 91-^91, о(7*|8) = Ш и Хер(7*|91). Отсюда без труда получаем, что ф = 1й + Ж, Тс78 <=-78, Тс: 791 -► 791, о(7178) = о(7*|8) (=Ш), р(7с|791) = р(7*|91), и потому Хе Ор(7е). ■
5. Пусть теперь 7 — лилейный оператор, действующий в ТУ-прострапстве $, а ф" — изотропное подпространство пространства ^, $° с ST и 7^0с40- Образуем факторпро- странство ^ = ^/^° (ср. гл. I, § 1, п. 8) и введем в рассмотрение оператор 7:
®f = I^I^GSrl, Тх = Тх.®f = I^I^GSrl, Тх = Тх.(1.11)(1.11)
®f = I^I^GSrl, Тх = Тх.
®f = I^I^GSrl, Тх = Тх.
(1.11)
(1.11)
Нетрудно проверить (см., например, [XVIII]), что оператор 7 корректно определен. При этом замкнутость (соответственно ограниченность) 7 в норме Пж11, порожденной скалярным произведением (я, у), влечет замкнутость (соответственно ограниченность) 7 в норме Ц| = = inf Ц х || | х е х 1, которая также порождена скалярным произведением: (я, у) = (ж, у), где хех, уеу и х, у ортогональны 80, a ST = 5 влечет ®^ = ^.
Пусть ф — пространство Крейна, 7 — линейный оператор, ST = ^, 8“ — нейтральное подпространство, содержащееся в П ®7с и 78“ с 8°, 7с8°с8°. Образуем пространство Крейла (см. гл. I, следствие 5.8) $ = 80Ш/8|> и рассмотрим в нем операторы 7 и 7е, порожденные соответственно операторами 7 и 7е по формуле (1.11). Справедлива следующая _
Теорема 1.17. ®? = ^, 7е = 7е.
О Плотность ®^ и 4 была отмечена выше. Следовательно, определен оператор 7е (см. определепие 1.1). Так как 8° с St, то ге ®^ тогда и только тогда, когда х е $г. 112
Отсюда, если же^, а уе^с, то-
[ж, Тсу^ = [^ж, у] = [^ж, у] = [ж, Iе у\ = [ж, Гу] , (1.12) т. е. Тсу = Тсу, и потому нам остается доказать, что ®^czd2>^c. В самом деле, если у^®.р, то, прочитав справа палево систему равенств (1.12), получим Й®?«- ■
Упражнения и задачи_
Проверить, что определение 1.1 корректно, если в нем условие Sy = 5i заменить условием «Gi-плотности» St". ®^'*={0}» и доказать, что
Тс — замкнутый оператор;
если йт С2-плотсн и.КегТ1 = {9}, то (Т-1)'" = (Т')-1 ([!]).
Доказать, что при S^ .^ . S^S^ - S^) и S^ - $2 имеет место соотношение (Tj-|-Г^)0 = Г^ + Г' ((Г^а)0 = ^2^1) ([И).
Доказать, что если для любого Т: 5i-*52 из Gi-нлотности Sr следует С2-плотпость ®уС, ToOep(Gi) ([!]).
Исследовать, какие из импликаций теоремы 1.10 сохраняются для случая G-пространств с 0^ p(G) ([!]).
Пусть Т — линейный оператор, ограниченный в Пх = = П+[-i-J II-. Доказать, что если пространство Пх несепарабельно, то существует сепарабельное подпространство Пх (с Пи), инвариантное относительно Т и Тс, так что Пи ~ Пх [Ц-] По, где По — гильбертово пространство относительно скалярного произведения— [ж, у], а оператор Т представляется по отношению к указанному разложению в виде матрицы
т' 0 II
Т = о([XV]).
Указание. Зафиксировав в П+ любой базис еь с2, ..., ек, выбрать в качестве Пи замкнутую линейную оболочку всех векторов вида т"1 (ус) п2 у^з тп2Р-^тсу>2Ре^ £ = 1,2,... ..., х; 0 $5 пр < оо, р = 1, 2, ....
Пусть 5i — ^-пространства (i = 1, 2), Т: 5i^-52. Определим пространство 53 — 5 ^" ф 5“ и операторы Р^ -\-P~T: 5Г-*53, Р+ + Р;ТР;: ф2 53, Р;ТР- ^ -> 52-’
Следующие условия эквивалентны:
Кегр-7-р-|57 =-(9);
Ker (р+ -VP^TP-) -- (9);
Ker (^++ />-?) ^{0}
(ср. И. И о х в и до в [14], [18]).
вания эквивалентны:вания эквивалентны:а)а)б)б)в)в)я _ _ = Ф?;р2 тр^ 2И + _ _ - 53;pt+Р2 ТР^3Р1 +Р2 Тя _ _ = Ф?;р2 тр^ 2И + _ _ - 53;pt+Р2 ТР^3Р1 +Р2 ТПроверить, что в условиях упражнения 6 следующие требо
вания эквивалентны:
вания эквивалентны:
а)
а)
б)
б)
в)
в)
я _ _ = Ф?;
р2 тр^ 2
И + _ _ - 53;
pt+Р2 ТР^3
Р1 +Р2 Т
я _ _ = Ф?;
р2 тр^ 2
И + _ _ - 53;
pt+Р2 ТР^3
Р1 +Р2 Т
(ср. И. Иохвидов [14], [18]).
Независимо от теоремы 1.13 проверить, что 8х(7') [Щ]8ц(7’с) при X #= ц (ср. П о н т р я ги н [1]).■
Указание. Рассмотреть минимальные неотрицательные целые числа р и q такие, что (Г — Х7)гх = 0 и (Тс—ц/)’//= 0, если х е 8х(7’), а у е вДГЦ, и применить индукцию ио р + q.
§ 2. Диссипативные операторы
Опре деление 2.1. Линейный оператор Л с произвольной областью . определения Sa, действующий в ГУ-прострапстве 6, называется W-диссипативным, если Im [Ля, ж] > 0 при всех а е SA) и максимальным W-duc- сипативным, если оп ТУ-диссипативеп и совпадает с любым своим ТУ-диссипативпым расширением.
В частности, при ТУ = I это определение возвращает нас к (обычным) диссипативным и максимальным диссипативным операторам в $ (см. [IX], [XVII]).
Из леммы Цорна легко следует предложение
°. Каждый W-диссипативный оператор допускает расширение до максимального. ■
Пусть теперь Л — J-диссипативный оператор. Из определения 2.1 имеем
°. J-диссипативностъ оператора А эквивалентна диссипативности каждого из операторов JA и AJ. Более того, максимальная J-диссипативностъ оператора А эквивалентна максимальной диссипативности каждого из операторов JA и AJ.
Доказательство второй части предложения 2.3° использует то, что оператор Т является расширением оператора S тогда и только тогда, когда операторы JT и TJ являются расширениями операторов JS и SJ соответственно. ■
Легко заметить, что J-диссипативностъ оператора А эквивалентна неотрицательности его графика Гл в $Хф в метрике (1.4).
2.4°. Пусть А — плотно заданный 1-диссипативный оператор, а линеал 8 — неотрицательное расширение его графика в ^ X ^. Тогда й — график J-диссипативного оператора, являющегося расширением оператора А.
О Здесь в доказательстве нуждается лишь утверждение о том, что й — график какого-то оператора, т. е. что из <0, у> е й следует у = 0. Так как й — неотрицательное подпространство и [<0, у>, <0, y>V = 0, то <0, у> — изотропный в й вектор, и потому он /г-ортогопалеп Га, т. е. [У, я] = 0 при всех х е $а. Из ©а = £ следует, что У = 0. ■
Следствие 2.5. Плотно определенный J-duccuna- тивный оператор А допускает замыкание, которое J-диссипативно, и потому, если А — максимальный J-duccuna- тивный оператор и ©а = ф, то А замкнут.
Это вытекает из предложения 3.6 гл. I. ■
Теорема 2.6. Замкнутый J-диссипативный оператор А допускает максимальные замкнутые J-диссипативные расширения. При этом последние плотно определены и их графики являются максимальными неотрицательными подпространствами в фХ^.
Поскольку неотрицательное подпространство в пространстве Крейна может быть расширено до максимального добавлением ортогонального ему (относительно индефинитной метрики) равномерно положительного подпространства (см. (8.8) гл. I), докажем, что такое расширение Г графика Г а в 5 X 5 является графиком J-диссипативного замкнутого расширения Л оператора А. В противном случае в Г нашелся бы вектор <0, у0> с у0^6. Так как такой вектор нейтрален по форме (1.4), то оп изотропен в Г, но по построению Г его изотропная часть совпадает с изотропной частью Га, а Га — график оператора А, и потому у0 = 0 — противоречие.
Итак, каждый замкнутый /-диссипативный оператор А допускает расширение до замкнутого /-диссипативного оператора Л, график которого является максимальным неотрицательным в ^ X ^ подпространством. Отсюда следует, что Л — максимальный /-диссипативный оператор. Осталось проверить, что оп плотно определен. Пусть у» /-ортогонален ®^- Тогда нейтральный вектор <0, у»> /г-ортогопалеп Г^. Следовательно, у» = 0. ■
Остановимся теперь па других критериях максимальности диссипативных операторов.
2.7°. Замкнутый J-диссипативный оператор А максимален тогда и только тогда, когда ®д = ^ и (—Лс) является J-диссипативным, и потому операторы А и (—Лс) могут быть лишь одновременно максимальными J-duccu- пативными.
С учетом предложения 1.3° и теоремы 2.6 это утверждение совйадает с теоремами 8.11 и 8.11' гл. I. ■
Прежде чем сформулировать следующий результат, напомним определение:
Точка Хе С называется точкой регулярного типа линейного оператора Т: ^ -* 5, если существует и непрерывен оператор ^T — XIV1. Множество всех точек регулярного тина оператора Т называется его полем регулярности.
Заметим, что здесь пи оператор Т, ни оператор (У —Х7)—1 не предполагаются заданными па всем ф.
Лемма 2.8. Пусть Т— замкнутый диссипативный оператор в гильбертовом пространстве ^. Тогда открытая нижняя полуплоскость С- принадлежит множеству точек регулярного типа оператора Т и ((Г — XZ) 1||^ ^П^ТТ (ХеС“). При этом оператор Т является максимальным диссипативным тогда и только тогда, когда С- П р(П^0 или, эквивалентно, С cz р (71).
Если Im X < 0, то непосредственно проверяется, что из диссипативности Т вытекает ЦТ — XI') х, (Т — Х1)х)^ ^Im2X(x, х), и потому || (71 — X/)-11| ^ । ^ ^ ^. Следовательно, X — точка регулярного типа оператора Т. Поэтому, если С” П p(Z”)^0, то Т — максимальный диссипативный оператор. В противном случае Хе С П р(Т) оказалось бы собственным значением диссипативного расширения Т = Т. Для завершения доказательства леммы проверим, что если Т — максимальный диссипативный оператор, то С"с:р(71). В самом деле, пусть х0 е 5tr-xi при некотором Хе С-- Если х0 ^ 0, то вектор <х0, Хж0> является положительным по форме (1.4) и Уг-ортотональным максимальному (в силу теоремы 2.6) неотрицательному подпространству Гт, что невозможно, а потому хв = 0, т. е. Яг-хг = %. Так как (Т — XZ)~* — ограниченный, а Т — замкнутый оператор, то Xе р(Т), т. е.С cz р(7’). ■
Предположим теперь, что в области определения оператора Т содержится максимальное равномерное положи- 116
тельное подпространство 8. В силу леммы 9.5 гл. I это предположение всегда выполнено, если 5— пространство Понтрягина П„. С учетом и. 6 § 7 гл. I без ограничения общности будем считать, что 8 = ^+. Тогда относительно канонического разложения £ = £+ ® $~ оператор Т представим в виде матрицы
Т =\\Т^=1,-(2.1)
где Tn = P+TPW, Т>2 = Р+ТР-\^~, T2l = P~TPW, Тгг = Р-ТР-\^-. Например, J = ||/^ Ци=1, 7н = Л /12 = 0, У21 = О, У22 = -I".'
Теорема 2.9. Пусть Л — замкнутый ]-диссипатив- ный оператор, ^+с®л. Тогда следующие условия эквивалентны:
Л — максимальный I-диссипативный оператор;
—Л22 — максимальный диссипативный оператор в ^-;
(XllmX > 2ИЛР+П} Пр(Л)¥=0;
{Х|1тХ>2НЛР+11}ср(Л).
При выполнении этих условий Ц (Л — ХУ)~А =
= О (1т Х->- оо).'
\1тХ/''
□ Пусть Л — максимальный J-диссипативный оператор. В силу предложения 2.3° оператор УЛ является максимальным диссипативным. Легко проверить, что из диссипативности УЛ следует диссипативпость (УЛ)22 = = —Л22. Докажем его максимальность, проверив, что С- П р(— ^22)^0 (см. лемму 2.8) . или, что то же, С+ П Р (Аг) ^ 0 • Так как УЛР~ + ХУ = (У — УЛР+(УЛ + + X/)-1) (УЛ + ХУ) при XeQ+, то при 1тХ>НЛР+11 имеем (см. лемму 2.8) — X е р(УЛР-) и, поскольку (—Л22 + + ХУ-)-1 = Р-(УЛР- + Х/)-‘Р-|^-, то Хер(Л22).
Пусть теперь (—Л22) — максимальный диссипативный в $- оператор. Так как ^+ с S^, то всякое нетривиальное У-диссипативное расширение оператора Л повлекло бы нетривиальное диссипативное расширение оператора (— Л22), и потому Л— максимальный У-диссипативный, а ЛУ— максимальный диссипативный оператор. Стало быть, из равенства Л — ХУ = — (У — 2ЛР+ (Л/ + ХУ)-1) (ЛУ + + ХУ) (корректного, так как У®л = SA) с учетом леммы 2.8 получаем, что если Im X > 2ИЛР+И, то Х^р(Л) и, более того, И (Л — ХУ) "‘И = O(l/Im X) при ImX-*00.
Итак, мы проверили следующие импликации: а) ■<=> *=>б)=>г). Импликация г) <=> в) тривиальна. Проверим,
что в) => а). Если Im X > 2ИЛР+Н и Хер(Л), то Л не может допускать замкнутых /-диссипативных расширений Л, так как иначе бы Х^оР(Л), что противоречило бы уже Доказанной импликации а) => г), я
Определение 2.10. Пусть Т: ^1-^62, S; &-* -»- 5i — Два линейных оператора. Оператор Т называется S-ограниченным (или S-непрерывным), если хотя бы для одной точки (а тогда, как это следует из тождества Гильберта для резольвент, и для всех точек) Х0^р(5) оператор Т (S — Хо7)-1 ограничен и всюду задав. Если при этом T(S — Х»/)-1— вполне непрерывный оператор (Т (S — Хо7)"‘ ^ @„), то оператор Т называют S-вполне непрерывным.
В частности, как легко видеть, ограниченные (соответственно вполне непрерывные') операторы А с ®a = 5i являются S-ограниченными (соответственно S-вполне непрерывными) при любом операторе S с p(S)=#0.
Замкнутый оператор Т; &->-&! называют Ф-операто- ром, если йг = Яг, dim Ker Т < °° и dimStj-Coo, а число ind Т = dim йу — dim Kpr Т — его индексом. В частности, если ind Т = 0, то такой оператор пазовом Ф0-оператором.
Пусть Л: ^ -* ф, Хо е С, а Т = Л — XJ—Ф0-оператор. Тогда Х„ будем называть Ф «-точкой оператора Л.
Заметим, что поскольку 91т = Ker Т* при ®т = &, то определение Ф-оператора может быть дано в этом случае формально по-другому: с заменой в определении S^ па Ker Т*. В дальнейшем будем пользоваться обоими определениями. ■
Отметим также, что если А: ^-*5, Хо — нормальная точка оператора А, то Хо — Ф0-точка этого оператора. В частности, Ф0-точки любого вполне непрерывного оператора заполняют множество С\{0}.
Приведем без доказательства теорему, составленную из некоторых результатов обзора [VIII] применительно к нашим интересам.
Теорема _2.11. Пусть Т,:^^^, Тг-.$2-+$3 — Ф-операторы, ^Т2 = ^2- Тогда ТЛ\\ $1->-$з— Ф-оператор и ind ТД\ = ind Т, + ind T2. Если при этом T3: 5i ~* &— вполне непрерывный оператор, то Tv + Т3: §2 — Ф-оператор и ind (Tt + Т3) = ind Tt.
Пусть Т: ^ -* ^ — Ф6-оператор. Если Т — S-вполне непрерывный оператор, то и Т + S — ФЙ-оператор. Множество Ф„-точек оператора Т открыто. Если Q — связная
компонента этого множества и & И р^)’^ 0, то Йе: ср(Г). ■
Следствие 2.12. Если Л— замкнутый максимальный J-диссипативный оператор ^+с©л, то А1г-Агг-не- прерывный оператор. Если при этом Аы — Ли ^0^, а А12, — А22-вполне непрерывный оператор, то С+ ср(Л).
Пусть Хер(Л)ПС+. Тогда ЛР~-М = \1- —ЛР^Л — Х7)-1] (Л — Х7), и так как в силу теоремы 2.9 II (Л — Х7)-|Н = O(l/Im X) при ImX-*°°, то С+ П П р(ЛР-)=/:0, Последнее с учетом леммы 2.8 влечет включение С+ с: р (ЛР-). Поскольку [(ЛР~ — Х/)~‘]12 = = -^Л12(Л22 — X/-)-1, то по определению 2.10 имеем, что Л12 — Л22-иепрерывпый оператор.
Пусть ХоеС\ Так как Ли —Хо7+ = ^ (Ли + Л^) — — М’) +"2(^11 — Ai) и ^os Р (у (Лп +Лц)), а Ли — Л^е^оо, то в силу теоремы 2.11 Хо — Ф0-точка оператора Ли. Более того, поскольку Ли — ограниченный оператор, то С+ П Р (^и) ¥= 0, и потому С+С2р(Лп). Теперь представим оператор А — Хо7 следующим выражением:
° +i°
\ Ли1° o' I;
-/+ 0
х ° ^2-м~1г
Первое слагаемое в круглых скобках и второй сомножитель — Ф0-операторы, а второе слагаемое в круглых скобках— вполне непрерывный оператор. Из теоремы 2.11 следует, что A — XJ — Ф0-оператор, а из теоремы 2.9 следует С4 П Р^#=0, и потому (см. теорему 2.11) С+ср~(Л). я
Следствие 2.13. Замкнутый ^.-диссипативный оператор А в Пх = П-. ® П- является максимальным тогда и только тогда, когда С+ П Р^^^^^, и в этом случае С+ с: р (Л).
□ Пусть А — замкнутый максимальный л-диссипатив- пый оператор. Из предложения 2.7° следует, что ©л = Пх,
119
и потому (см. лемму 9.5 гл. I) без ограничения общности можно считать, что П+ с®А, В силу следствия 2.12 имеем, что Л12 — Л22-ненрерывный оператор. В силу же конечномерности и непрерывности операторов Ли и Л12(Л22 — — Х»/")'1 (Х0ер(Л22)) они вполне непрерывны, и потому С+ср(Л).
Обратно, пусть Хо е С+ П Р (Л); тогда из равенства АР- — Хо/ = (7 — ЛР+ (Л — Хо7)-1) (Л — Хо7), конечномерности АР* (Л — Х07)-1 и того, что С1 П ор(Л7-* ) = 0, вытекает Хоер(ЛР-), а потому Х0ер(Л22). Остается воспользоваться леммой 2.8 и теоремой 2.9, Из которых следует максимальная л-диссипативпость Л. ■
3. В этом пункте основной целью является изучение структуры корневых линеалов диссипативных операторов в индефинитных пространствах.
Каждому плотно определенному линейному оператору Г: ^ -* ^ сопоставим пару операторов Т lt = у (F + Тс) и Т^^ДТ— Тс), которые будем называть .[-вещественной и J-мнимой частями этого оператора соответственно. Заметим, что ®тп = ®tz = ®т П ®тс, и если ЖЕ^г П ®гс, ТО
Im [Ра;, x] = [TjX, а;]. (2.2)
□ Следовательно, имеет место
2.14°. Если ®аС®ас, то оператор А является J-duc- сипативным тогда и только тогда, когда [Л^, а:]^0 (aje®A). В частности, это справедливо, если А — непрерывный заданный всюду в $ оператор. ■
Теорема 2.15. Пусть А — Г-диссипативный оператор, ®л = £. Тогда соотношения Im [Ла;0, а;0] = О и xQ^ еКегЛ7 (т. е. Ах0 = Асх0) эквивалентны.
Если а;оеКегЛ;, то 1т[Ла;0, aV] = 0 в силу (2.2).
Пусть теперь Im [Лх0, а;0] = 0. Тогда вектор <х», Лж0> неотрицательного подпространства Гл нейтрален по отношению к форме (1.4), а потому он изотропен в ГА (см. 1.17° гл. I). Остается воспользоваться следствием 1.4. ■
Теорема 2.15 дает основание для введения следующего обозначения в случае любого ТТ-диссипативпого оператора А:
Кег Л, = {хI Im [Ах, ж] = 0), (2.3)
хотя сам символ Л/ в столь общем случае смысла не имеет.
Из теоремы 2.15 получаем
Следствие 2.16. Пусть А— J-диссипативный оператор, ®д = $. Тогда Кет (Л — Х7) с Кет (Лс — Х7) П Ker At при всех X = X.
Если х е Кег(Л — Х7), то Im [Л ж, ж] = Im Х[ж, ж] = О, и потому наше утверждение следует из теоремы 2.15 и определения оператора Ль ■
Следствие 2.17. Если А—максимальный замкнутый J-диссипативный оператор, то Кет (Л — Х7) = Кег(Лс — — Х7) при X = X и потому остаточный спектр оператора А не содержит вещественных точек,
Операторы А и (—Лс) в силу предложения 2.7° являются максимальными 7-диссипативпыми одновременно. Так как ЛСС = Л (см. 1.8°), то из следствия 2.16 вытекает совпадение ядер: Кег(А — Х7)=Кег(Ас — Х7) при X = X, а из теоремы 1.16 б)—отсутствие остаточного вещественного спектра у оператора А. ■
Заметим, что множество, введенное формулой (2.3), совпадает, как легко видеть, с множеством (же е©л|[Лж, у] = [ж, Ау] при всех уе£,А Поэтому, проведя рассуждения, аналогичные приведенным в упражнении 8 к § 1, получим
Следствие 2.18. Пусть Л— W-диссипативный оператор, 8 с 8, (Л) П Кег Л7 и_Лйсй. Тогда линеал % W-орто- гонален всем ЙДЛ) с р^Х. ■
Лемма 2.19. Пусть $°— изотропное подпространство W-пространства ^, А — W-диссипативный оператор, ©А = = е и 5° с ©л. Тогда А^Р с $".
О Легко видеть, что ^0сКсгЛ7. Следовательно, [Лж, у] = [ж, А у] при любых жеф° и уе&А. Так как ©Л = §, то Лж еф°. ■
4. Прежде чем переходить к дальнейшему изложению свойств диссипативных операторов в пространствах с индефинитной метрикой, напомним определение проектора Рисса и некоторые его свойства.
Пусть Т — линейный оператор в произвольном гильбертовом пространстве 5, о — его ограниченное спектральное мно ж о ств о (в смысле [XII]), т.е. пзолироваппая часть спектра (пли, в частности, весь спектр) оператора Г, а Г, — жорданов замкнутый спрямляемый контур, лежащий в р(Г) и охватывающий о,
причем о(Г)\о лежит вне этого контура. Тогда оператор
р« - - aN - url^гар« - - aN - url^га(2.4)(2.4)
р« - - aN - url^
га
р« - - aN - url^
га
(2.4)
(2.4)
где интеграл понимается как сильный предел интегральных сумм, называется проектором Рисса.
Перечислим основные свойства интеграла (2.4).
Теорема 2.20. Справедливы следующие утверждения-. а) оператор Ра не зависит от выбора контура Го, выделяющего множество о, и является проектором; б) Р,6с®г; в) подпространства Ро^ и (J — P^fs? инвариантны относительно оператора Т, и при этом о(Т\Р„$) = о, о(Т| (I — Ра)§) = о(Т)\о. В частности, если о = {Хо} — нормальное собственное значение оператора Т, то Ра6 = 8х0 (Т); г) если Т — ограниченный оператор, а н = с(Г), то Ра = 1; д) если о, и о2— ограниченные спектральные множества оператора Т, о, П о2 = 0, то Рв^а^ = Рву + Ро2 и Р^Р^ = РуйРС1 = 0; с) если о — ограниченное спектральное множество оператора Т, 8— инвариантное подпространство этого оператора и а(Т|8)с С О, то 8 с Р^,
Доказательства этих утверждений можно найти, например, в [XI]. ■
Теорема 2.21. Пусть ^-W-пространство, А — замкнутый W-диссипативный оператор, о (с С+ (С-)) — его ограниченное спектральное множество, а Ро—соответствующий проектор Рисса. Тогда Р„&— неотрицательное (неположительное) подпространство, инвариантное относительно Л.
Доказательство будем проводить для случая ос: С+, так как случай о с: С- трактуется совершенно аналогично. Без ограничения общности в силу утверждений б) и в) теоремы 2.20 считаем, что Л: Ра& Р^ — ограниченный оператор и о(Л) = о. Тогда из утверждения г) этой же теоремы имеем Ра = I. Следовательно, [ж, ж] = = [Раж, ж], и нам достаточно проверить неравенство Re [Рож, ж] > 0. Для этого в качестве Га выберем контур, состоящий из сегмента вещественной оси [—а, а] и полуокружности {яе,ф]ф=0 при достаточно большом а > 0.
аЛ
Тогда Ра= - ^ J (А — а!) с/а-Ь-Д/- —A] dtp.
—ао
Поскольку Ра йе зависит от контура Гп, выделяющего о, то существует Ит Рс = Ра (= I). Так как
Л—гф
R*^AJ ^/— e-^-Aj d(p=~7, то существует и о
lim — A f (Л — a7VA da = Л- t (А — alV1 da = 4-1.
al) 1 dax, xal) 1 dax, xa-^o=2Л1'2lt A2
al) 1 dax, x
al) 1 dax, x
Поэтому Re \Рах, ж] = 2Re
Последнее нераПоследнее нера= — ^ J Im[ (Л — al) 1 ж, ж] da ^ 0.
Последнее нера
Последнее нера
венство следует из Ж-диссипативности оператора А. ■ Следствие 2.22. Пусть Л с: С+(С-) — некоторое множество собственных значений W-диссипативного оператора А. Тогда CLin {8Х(Л) ReA — неотрицательное ^неположительное) подпространство.
Как и при доказательстве теоремы 2.21, для определенности положим ЛсС+, и в силу 1.3.6° лам достаточно проверить, что Lin {8ДЛ )ReA— неотрицательный линеал. Пусть х е Lin {8ДЛ)}х<=А. Тогда существуют Х„ Х2, . •., Х„^Л, цельте положительные числа р„р2,... ..., рп и векторы ж,, ж2, ..., ж„ такие, что ж = =2 х^ (Л — XJ^'x^ — 0. Подпространство 8 =LinA, (Л— — WVn •• •. (Л —XJ) 1 ж^ является конечномерным, содержится в SA и инвариантно относительно оператора Л, причем о (Л | 8) = {XJi с С+.
В силу теоремы 2.21 подпространство 8 неотрицательно, и потому неотрицателен и вектор ж е 8. ■
Следствие 2.23. Пусть Л — максимальный л-дис- сипативный оператор в Пх, ©А = Пх. Тогда и (Л) Q Q+ состоит не более чем из х (с учетом алгебраической кратности) нормальных собственных значений.
Доказательство этого утверждения прямо следует из сопоставления следствий 2.13 и 2.22 с предложением 9.2° гл. I. ■
Теорема 2.24. Если А — замкнутый J-duccunarue- ный оператор, О” (сС*)— его ограниченные спектраль-
ные множества, Го± с= С1 и Га+= Г*_(=(Х) Хе Га_), то подпространство Ро\ иа-6 невырождено.
Пусть ф° — изотропное подпространство подпространства Ра+ист_'§. В силу теоремы 2.20 Рсд ио_.^с©д, и тем более 5° с ®Л, а потому (см. лемму 2.19) Л^° с ф°. Так накф0 с КегЛ/И, как легко видеть, Га+ист_ с р (Л]^°), то (Л-Х7)-,16° = [(Л-М)-,Г1Ф° приХеГа+иа_.(В самом деле, [Лж, у] = [ж, Л у] при любых ж^^0 п уе©А. Следовательно, [(Л — Х7)ж, у] = [ж, (Л —Х7)у]. Пусть теперь ж = (Л —X7)~'z (ze^°) и у = (Л — M^'w (w^^). Тогда [z, (Л — Х7)~*гу] = [(Л — X7)~*z, ю]. Так _как это справедливо при любом ю е ф, то [(Л — X7)~‘]cz = = (Л —Х/)"^ для любого ze^°.) Поскольку ^о+иа-^
Га+иа~
= ^W- Отсюда [ж, ж0] = [ж, 7,=+иа_ж0^ = [7’а+иа_ж, ж0] = = 0 при произвольных ж е $ и ж0 е ф°, т. е. 5° изотропно во всем 5- Поэтому ф° = {()}. ■
Следствие 2.25. Пусть Л— J-диссипативный оператор, невещественные X и X — его нормальные точки. Тогда 8 =Lin {8^ (Л), 8^(Л)} —проекционно полное подпространство.
О Доказательство немедленно следует из конечномерности 8 (по определению нормальной точки) и его невырожденности (в силу теорем 2.20 и 2.24) в сочетании со следствием 7.18 гл. I. Заметим, что в условиях следствия не исключается, что, например, X е р (Л), и тогда 8ДЛ) = {0). ■ '
5. Пусть теперь ф = Пх — пространство Понтрягина. Исследуем структуру корневых линеалов л-диссипативпых операторов.
Теорема 2.26. Если Л — замкнутый ^.-диссипативный оператор, а = аесгР(Л), то корневой линеал 8а(Л) представим в виде 8а (Л) = 91а[4-]2Яа, где diui9la<o°, Л^а^Ях, 9Яа а Кет (Л — сх7) и ЭДа — невырожденное подпространство или, в частности, ЗЛа = №). Волее того, если й,(а), йг (а), ..., йГа (а) —порядки элементарных делителей оператора Л l9ltt, ТО
2 2[^]+ 2 й1т^(Л)<х. (2.5) а=аеоу(А)i==1 Im%>o
D Прежде всего заметим, что в силу Теоремы 2.6 можно без ограничения общности считать, что А — максимальный замкнутый л-диссипативный оператор, и потому ©А = Пх-
Поскольку в Пх каждое неотрицательное подпространство имеет размерность, нс превышающую х (см. 9.2° гл. I), то для доказательства пашей теоремы достаточно проверить, что существует указанное в пей разложение 8а(Л) и в каждом йа существует нейтральное ипвариант- пое относительно Л подпространство размерности ra г
Г Д. (а)1
—2~ L а затем воспользоваться следствиями 2.18 и 2.22. i=iL J
Рассмотрим разложение Кег(Л — а^) на его изотропное подпространство 8„ и невырожденное подпространство 5йа: Кег(Л— а!) = 8„ [-4-] Жа. Из теоремы 9.9 гл. I следует, что 2Ж — проекциоппо полное подпространство, а потому Ни = 2Ла [-4-] ИИ1, где ПИ1 = К„±]— снова пространство Понтрягина с х( ^ х. Воспользовавшись следствием 2.16 и предложением 1.11°, получим, что ПК1 инвариантно относительно оператора Л, и, следовательно,
нам достаточно доказать теорему в предположении, что Кег (Л— al) = 8^, т. е. Кег(Л — al)—нейтральное (и потому конечномерное) подпространство. Введем обозна
чение ^а = Кег (Л — а!)р (р = 1, 2, ...). Из конечно
мерности 8« следует конечномерность всех 8Р (р = = 1, 2, ...). Проверим, что если ^р\ ^р\ ...,^V^^ ^^ при i ^ j) — порядки элементарных делителей оператора Л | 8Р, то в 8Р существует нейтральное подпро-
страпство размерности ^страпство размерности ^Из теоремы 2.15 прямо следует, что если (Л — а1)’х =Из теоремы 2.15 прямо следует, что если (Л — а1)’х == 0, то (Л — о'7)рже®(Дг= 0, то (Л — о'7)рже®(Дг— а!)р ж = 0 I р =— а!)р ж = 0 I р =I2 ’I2 ’-al)1-» и (Лс-а/)'-г’(Л- I — 1). Пусть векторы ж,- та--al)1-» и (Лс-а/)'-г’(Л- I — 1). Пусть векторы ж,- та-,(р)ковы, что (Л — al) ‘ жг = 9 . (i = 1, 2, .= Lin {ж,, (Л — а!) хг, .. .ДА — al)4'1 -1 ж;}/:,(р)ковы, что (Л — al) ‘ жг = 9 . (i = 1, 2, .= Lin {ж,, (Л — а!) хг, .. .ДА — al)4'1 -1 ж;}/:— Lin цЛ — «7)1 2— Lin цЛ — «7)1 2.,(Л-а^ 1.,(Л-а^ 1.., sp), 8^ —; тогда 8 = V рЖ1/1 — нейт-.., sp), 8^ —; тогда 8 = V рЖ1/1 — нейт-
страпство размерности ^
страпство размерности ^
Из теоремы 2.15 прямо следует, что если (Л — а1)’х =
Из теоремы 2.15 прямо следует, что если (Л — а1)’х =
= 0, то (Л — о'7)рже®(Дг
= 0, то (Л — о'7)рже®(Дг
— а!)р ж = 0 I р =
— а!)р ж = 0 I р =
I2 ’
I2 ’
-al)1-» и (Лс-а/)'-г’(Л- I — 1). Пусть векторы ж,- та-
-al)1-» и (Лс-а/)'-г’(Л- I — 1). Пусть векторы ж,- та-
,(р)
ковы, что (Л — al) ‘ жг = 9 . (i = 1, 2, .= Lin {ж,, (Л — а!) хг, .. .ДА — al)4'1 -1 ж;}/:
,(р)
ковы, что (Л — al) ‘ жг = 9 . (i = 1, 2, .= Lin {ж,, (Л — а!) хг, .. .ДА — al)4'1 -1 ж;}/:
— Lin цЛ — «7)1 2
— Lin цЛ — «7)1 2
.,(Л-а^ 1
.,(Л-а^ 1
.., sp), 8^ —
; тогда 8 = V р
Ж1/1 — нейт-
.., sp), 8^ —
; тогда 8 = V р
Ж1/1 — нейт-
ральноо подпространство. Действительно, предположим, что—_ < ^i < di’ — 1 и — < q5 < d?j — 1
(i^/). Тогда qj^d^— q^, и потому [(Л — а7)9=ж;, (Л —a7pa:J = [(Л - al)4' $i, (Л — alf^-^ (Л — - alf'^ ^Xi ] = [(лс - al)^*^ (Л - aZ)qi xb (Л -
— al)Xj] = 0. ■
□ Замечание 2.27. Разложение 8а(Л) = ^[4-]ЗЯа может быть выбрано различными способами, однако количество непростых элементарных делителей данного порядка г оператора Л|9?„ является инвариантом оператора Л и числа а при любом выборе йа, поскольку оно совпадает с количеством элементарных делителей порядка г — 1 оператора, порожденного оператором Л в фактор- прострапстве 8» (Л)/Кег(Л — al), а последнее конечномерно и пе зависит от выбора Ях. ■
Следствие 2.28. У замкнутого а-диссипативного оператора Л в Пх все корневые подпространства, отвечающие вещественным собственным значениям, за исключением нс более х из них, являются собственными отрицательными подпространствами.
Пусть (а) — множество тех вещественных собственных значений, для которых в Кег(Л — al) имеется хотя бы один неотрицательный вектор. Из теоремы 2.26 следует, что, в частности, в это множество входят все а, при которых 8а(Л)^ Кет (Л — al), а из следствия 2.18 — что множество {а} конечно и состоит пе более чем из х элементов. ■■
Следствие 2.29. Пусть ф—Ww-пространство (т.е. в соответствии с предложением 9.15° гл. I предполагается, что множество о(Ww) П [0, °°) содержит в точности х(<°°) (с учетом алгебраической кратности) собственных значений),9?^j = 9?w(x>, Л— определенный на ф ограниченный Ww-диссипативный оператор. Тогда для оператора Л справедливо утверждение теоремы 2.26.
Пусть dim Ксг И/(и) = Хо^х). В силу леммы 2.19 Л Ker Ww с Ker W(x>, и потому в пространстве Понтрягина Пи_Ио = £/Кег Ww (см. следствие 9.16 гл. I) по формуле (1.11) корректно определяется л-диссипативный оператор Л, порожденный оператором Л. Для оператора 126
Л справедлива теорема 2.26. Нетрудно видеть, что левая часть неравенства (2.5), составленная для оператора Л, не более чем на х0 единиц превышает соответствующую сумму для оператора Л, и потому утверждение теоремы 2.26 верно и для оператора Л. ■
6. Определение 2.30. Оператор Л называется строго J-диссипативным, если Im [Лж, ж] > 0 при (6^)же е©А, и, в частности, равномерно J-диссипативным, если существует постоянная ул > 0 такая, что Im [Лж, ж] > уА11ж112 (же$А).
Теорема 2.31. Каждый замкнутый строго или равномерно J-диссипативный оператор Л допускает расширение до максимального замкнутого J-диссипативного оператора Л, также являющегося соответственно строго или равномерно J-диссипативным, причем последний можно выбрать так, чтобы у^ = Ча-
□ Рассмотрим график ГА оператора Л. В обоих случаях он является положительным подпространством по форме (1.4), и потому ГА допускает (см. замечание 8.9 гл. I) расширение до максимального неотрицательного подпространства, являющегося положительным. Последнее в силу своей невырожденности является графиком максимального J-диссипативного оператора Л (см. теорему 2.6) и иритом строго /-диссипативного.
Пусть теперь Л — замкнутый равномерно /-диссипативный оператор. Это эквивалентно тому, что замкнутый оператор Л — щА1 является /-диссипативным. В силу теоремы 2.6 этот оператор допускает расширение до замкнутого максимального /-диссипативного оператора Л — Щл), и потому оператор Л = Л — щл1 + i^AJ является максимальным /-диссипативным и равномерным: 1т[Лж, Уд ||жII2 (же ©^). ■
В заключение этого пункта отметим
2.32°. Строгие J-диссипативные операторы не имеют вещественных собственных значений. Все вещественные точки являются точками регулярного типа замкнутых равномерно J-диссипативных операторов; они являются регулярными точками этих операторов тогда и только тогда, когда последние — максимальные J-диссипативные операторы. '
□ Если Л — строго /-диссипативный оператор и (Л — Х0/)ж0 = 0 при Хо = Хо, то Im [Лж0, ж0] = 0, что по определению возможно лишь при ж0 = 0, т. е. Х0^ор(Л).
Пусть теперь Л — равномерно /-диссипативный замкнутый оператор. Так как II (Л — Х07)жН > Im [(Л — Х07)ж, ж]/1Ы1 = Im [Лж, х]/11х11 >'удЫ при (0#=)же®л и Х0 = Х0, то Хо— точка регулярного типа оператора Л. Если при этом Л — максимальный J-диссипативный оператор, то из следствия 2.17 имеем Х0^р(Л). Обратно, если Л — равпо- - мерно /-диссипативный оператор и Хо = Хоер(Л), то Л — максимальный /-диссипативный оператор, так как в противном случае в силу теоремы 2.31 он допускал бы равномерно /-диссипативные расширения, для которых точка Хо уже была бы собственным значением,— получили противоречие. ■
Упражнения и задачи
Показать, что в теореме .2.9 условие ф+ с ®д существенно:
привести пример максимального /-диссипативного оператора с р (Л) = 0;
привести пример немаксималыюго /-диссипативного оператора с С+с:р(Л).
Пусть 5— С^’-проетрапство, т. е. (ср. предложение 9.15° гл. I) 0^6 op(G<x)), а o(G,x)) П(0, оо) состоит из х < оо собственных значений (с учетом кратности), Л—G(x,-диссипативный оператор. Доказать, что тогда dim Lin {8х(Л) I Im X > 0} sg х.
Привести пример максимального л-диссипативпого оператора Л с а (Л) П С *" ^ 0 и а (Л) n С- ^ 0.
Пусть ф — О(х>-пространство, а Л — С(х>-диссипативиый_в нем оператор. Доказать, что dim (Л—а/)8«(Л) < оо при а = а.
В условиях задачи 4 определить порядки 6, (а), 62(а), ... ..., 6г(а) элементарных делителей Л в (Л—а/)8а(Л), а числа
- 6*а) 4-1 (у = 1, 2, ..., г) назовем порядками непростых (dj ^ 2) элементарных делителей оператора Л, отвечающих а. Доказать справедливость для Л формулы (2.5) (ср. Усвяцова [1]).
Пусть WT = {[Ул^, х^ |^е©т}. Доказать, что либо WT— С, либо Wт — R, либо WT — некоторый угол с вершиной в начале координат и раствором 6Т ^ л.
Проверить, что если 0т ^ л, то существует такое число <ре R, что е^Т— /-диссипативный оператор (ср. [IX]).
Показать, что любой (максимальный) /-диссипативный оператор можно приблизить в равномерной операторной топологии (максимальными) равномерно /-диссипативными операторами.
Привести пример строго /-диссипативного оператора, не допускающего замыкания.
Доказать, что каждый (в том числе неплотно заданный и незамкнутый) равномерно /-диссипативный оператор допускает максимальные замкнутые равномерно /-диссппативные расширения.
Доказать, что если Л — замкнутый максимальный л-дисси- пативпый оператор, $+ а ©д, то Л12 является Л22 вполне непрерывным оператором,
И. Доказать, что если А — W-диссипативный оператор, X = ■ Хе ор(Л), Ах0 = Хж0, Axt = Ххг + х0, то х0— изотропный вектор в Кег (Л — X/).
Указание. Воспользоваться неотрицательностью формы I гп [Ах, ж] па векторах ж е ®А-
Доказать, что в следствии 2.28*трсбование замкнутости оператора А можно опустить.
Указание. Воспользоваться вместо теоремы 2.26 результатом упражнения И.
Пусть 5 = 5+ © 6~ — /-пространство, 8+ е Э1+, а ЯГ + — ого угловой оператор. Доказать, что если 8+ и 8+ш не имеют бес- копечпомерпых равномерно дефинитных подпространств, то ЯГ + является Ф-оператором, и если ^+ = Т | К^+ |— его полярное представление, то и Т — Ф-оператор, причем ind Т = ind K^v (Азизов).
Указание. Использовать результат упражнения 17 к § 8 гл. I, определение Ф-оператора из п. 2 и теорему 2.11.
Пусть 8+ е Э1+ и 8+[±1 не содержат бесконечномерных равномерно дефинитных подпространств. Пусть ^^+ = Т \^g+ | —по" лярное представление углового оператора ^^+ подпространства 8+ и |ЙГ^+ |= / + + S, 8^@„ (см. упражнение 17 к § 8 гл. I), а К , — угловой оператор равномерно положительного подпростран- ства Ж* е ®+. Тогда — К ^+ — Ф-оператор и ind ^g+ — — ^+j = ind ^g+ (Азизов).
Указание. Проверить, чтоА$+— А^. = TV + Sp где V: •6->■ ф+— линейный гомеоморфизм, a Sie©»; воспользоваться результатом упражнения 13 и теоремой 2.11.
3. Эрмитовы, симметрические и самосопряженныеоператоры
как оператор Лс замкнут (см. 1.5°), то G-симметрический оператор допускает замыкание.
Определение 3.2. G-симметрический оператор называется G-самосопряженным, если А = А6.
Обратимся теперь к изучению свойств И^-эрмитовых операторов. Из леммы Цорна следует
3.3°. Каждый W-симметрический оператор допускает расширение до максимального. ■
Прямо из определений 2.1 и 3.1 получаем
°. Оператор А W-эрмитов тогда и только тогда, когда А и (— Л) W-диссипативны одновременно. ■
Ниже для простоты рассуждений снова, как в §§ 1 и 2, будем вести речь в основном об операторах, действующих в /-пространстве ф, хотя многие из результатов справедливы и в случае более общих пространств.
' □ Из предложения 3.4° следует
°. Оператор А [-эрмитов тогда и только тогда, когда его график нейтрален в метрике (1.4). ■
□ Более того, имеет место
°. [-симметрический оператор А максимален тогда и только тогда, когда Гд — максимальное семидефинитное подпространство в ^г = ^ X ^. При этом .[-самосопряженность оператора А эквивалентна гипермаксималъности нейтрального подпространства Гд.
Это геометрическое предложение является следствием предложений 3.5°, 2.4° и предложения 4.19° гл. I и допускает следующую операторную перефразировку:
°. J-симметрический оператор А максимален тогда и только тогда, когда хотя бы один из операторов А или (—Л) является максимальным [-диссипативным. При этом [-самосопряженность оператора Л эквивалентна одновременной максимальной [-диссипативности этих операторов. ■
Предложения 3.4° — 3.7° позволяют уточнить для случая /-симметрических операторов ряд утверждений § 2. Так, например, имеем
Следствие 3.8 (ср. 2.3°). [-симметричность [максимальная [-симметричность, [-самосопряженность) оператора А эквивалентна симметричности (максимальной симметричности, самосопряженности) каждого из операторов [А и А[.
Следствие 3.9 (ср. с теоремой 2.9). Пусть А — /симметрический оператор, $+с$д. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Л — максимальный [-симметрический оператор;
Агг — максимальный симметрический в 5™ оператор;
{XI ПпШ >2ЫЛ} Пр(Л)#=0;
({ШтХ>2иР+11}ср(Л))У(а| -1тХ>2|ЛР+Н)с СР(^))-
Следствие 3.10 (ср. со следствием 2.12). Если А— максимальный J-симметрический J-самосопряженный оператор, $+с®л, Л12 является А^-вполне непрерывным оператором, то С+ с р (-4) или С~ с р (Л) (Q+ U О- с ср(Л)). При этом, если Q" с р(.4)(С" с р(4)), то С-(с+) состоит из точек регулярного типа и не болев чем счетного множества собственных значений оператора А конечной алгебраической кратности.
О В силу следствия 2.12 пояснения необходимо сделать только для последнего утверждения. Оно же следует из 7-симметричпости оператора А и теоремы 1.16. ■
Следствие 3.11 (ср. с теоремой 2.21). Пусть ф — W-пространство, А — W-симметрический оператор, а о — его ограниченное спектральное множество; о с С иди ас(Г. Тогда Р& — нейтральное подпространство. ■
Следствие 3.12 (ср. с теоремой 2.24). Пусть А — 7-самосопряженный оператор, о+ — его ограниченное спектральное множество,о+с. С+- Тогдао~ = а+*(с: О-)—также спектральное множество оператора А, проекторРс i ис- является J-самосопряженным (такой проектор будем также называть 7 -орт о зональным), и потому Р а+иа-5 — проекционно полное подпространство. При этом, если о* (с С+) — другое спектральное множество оператора А и а+ П о? = 0, а а? = о^*, mo Р +н ^[±]Р +
иUdi
□ В ■ силу теоремы 1.16 спектр 7-самосопря- женно г о оператора симметричен относительно вещественной оси, и потому о- = о+*— спектральное множество оператора А вместе с о+. Пусть ^а+иа- = Го+ и Га_, где Га- — контур, состоящий из регулярных точек оператора А и окружающий
аГ,_-Г^. Тогда
-(-^; $ <л - V)-1 <aY - j_ ф (л-мучх
Xa+ua'/a+lla-
= — 2тй ф (А — М) 1dX = Pc+uo_. Проекционная ra+ua-
же полпота подпространства Pc+UcJ6 следует из того,
что все пространство разлагается в сумму подпространств Ра+иа-ф и (7 — ^а+иа-) Ф, которые /-ортогональны друг другу: [Ра+иа-ж, (7 - ^а+иа-) У] = [я, Ра+иа_(7- ” Ра+иа-)У]= 01 /-ОртОГОНаЛЬНОСТЬ />а+иа-5 И ^+^-5
следует из теоремы 2.20. ■
Замечание 3.13. Мы могли бы формально в следствии 3.12 ослабить условия на оператор А, предположив, что он является не /-самосопряженным, а только /-симметрическим, и о+, о- удовлетворяют условиям теоремы 2.24. Но это ослабление только формальное, поскольку из этих условий на оператор А следует, что у пего существует хотя бы одна пара невещественных симмет
ричных относительно вещественной оси регулярных точек Ло и Ло. Если А^А1, то Ло, Ло^оДЛ0), но это противоречит утверждению б) теоремы 1.16 и потому А — /-самосопряженный оператор. ■
Следствие 3.14 (ср. со следствием 2.22). Пусть Л—набор собственных значений J-симметрического оператора А, Л 6 Л* = 0. Тогда CLin(8л(Л)Пел—нейтральное подпространство.
При доказательстве этого утверждения следует воспользоваться следствием 2.18. ■
Следствие 3.15 (ср. со следствием 2.23). Пусть А — it-самосопряженный оператор в Пх. Тогда его невещественный спектр состоит не более чем из 2х (с учетом кратности') нормальных собственных значений.
расположенных симметрично относительно вещественной оси.
Симметричность спектра /-самосопряженного и, в частности, л-самосопряженного оператора следует из теоремы 1.16 (ср. ниже упражнение 1). Остается воспользоваться предложением 3.7° и следствием 2.23. ■
Следствие 3.16. Пусть А — ^.-самосопряженный оператор. Тогда ог(А)=0.
Это утверждение вытекает из следствий 2.17 и 3.15. ■
2. Определение 3.17. Будем говорить, что /-симметрический оператор А полуограничен снизу, если ^А = = inf {[Ах, х]/(х, х) | (0=/=)ж е ®д} > —°о. В частности, оператор А называется ^неотрицательным (л^о), J-no- ложителъным (л >> о) или равномерно J-положительным
I i^>o), если соответственно [Лж, ж] > 0 при хе$л, \Лх, ж]>0 при 6 =#* х е©А (в обоих случаях ^а^О) или |/1ж, ж] >7(ж, ж) при же®д и некоторым ^>0 (т. е. ^>0).
В частности, если J = I, то определение 3.17 повторяет соответствующие определения для симметрических операторов и в этом случае значок «7» над знаками >, >, > будем опускать.
Определение 3.18. Пусть Л и В — 7-симметриче- ские операторы и ®Ас®в. Будем говорить, что Л^В, если Л — В 0.
Теорема 3.19. Каждый J-неотрицателъный оператор допускает расширение до J-самосопряженного J-не- отрицателъного оператора.
Прежде чем доказывать эту теорему, остановимся на вспомогательных предложениях и введем понятие «квазиобратного» оператора. Пусть Т — плотно определенный оператор. Тогда оператор
^^(Tl^pP, (3.1)
где Р — ортоироектор на 9tT, a Q — ортопроектор на Sr*, назовем квазиобратным к Т.
Лемма 3.20. Если Л и В — ограниченные операторы, ®А = £в = £, Л*Л^В*В, то А=КВ, где К-АВ^, и потому 11X11 ^ 1.
□ ХВ = ЛВ1-‘>В = ЛВ'-’’B = л. ■
Лемма 3.21. Пусть §—гильбертово пространство, У — его подпространство, 5 = 8® 8"1", и относительно этого разложения ограниченный оператор Т представлен в матричном виде Т = || PijKij^. Для того чтобы оператор Т был неотрицательным (соответственно положительным, равномерно положительным), необходимо и достаточно, чтобы операторы Т\х и ,Тгг были неотрицательными (соответственно положительными, равномерно положительными), Т1г = ТХг и существовал такой оператор В12: 8х-> 8, ©Sj2 = 8х, Н^^И С 1 (соответственно НВ12ж11 < < Нж11 при (0 ^) ж е 9? 1/2; ИВ12П < 1), КегГ22с КегВ12,
Г22
9?s12c9trn, что Т^Т^Т^-
□ Достаточность. Пусть Тп, Тгг и S)2 —указан ные в теореме операторы. Тогда□ Достаточность. Пусть Тп, Тгг и S)2 —указан ные в теореме операторы. Тогда. (3.2). (3.2)
□ Достаточность. Пусть Тп, Тгг и S)2 —указан ные в теореме операторы. Тогда
□ Достаточность. Пусть Тп, Тгг и S)2 —указан ные в теореме операторы. Тогда
. (3.2)
. (3.2)
Непосредственно проверяется, что средний множитель является неотрицательным оператором, если Н51211 ^ 1, и равномерно положительным, если II512!I < 1. Сделанное замечание позволяет легко доказать неотрицательность и равномерную положительность Т в случаях, указанных в теореме. Пусть теперь Гц > 0, Т’гг > 0 _и U-S^T1»^^ < || Т^яЦици всех (От^ей1. Так как S? 1/2 = ®\ то
Т22
11512И ^ 1, т. е. Т ^ 0. Если бы ж е Ker Т, х = ж, + ж2, где хх е ей, хге^^ то это с учетом (3.2) повлекло бы систему равенств'
'( ^’ll2^! + S12T^2X2 = 0,
15*2 7^+7^2 = 9.'
Отсюда получаем lISi^^ll = 1| Т^жД >||S12^
= || Т'^ ||, что возможно только при Хг = 9. Но тогда из первого равенства системы (3.3) заключаем, что Т^^ = 9, и в силу положительности Т^ имеем Х\ = 9, т. е. х = В. Следовательно, Т > 0.
Необходимость. Равенство 7’21 = Z’i2 следует из самосопряженности Т. Поскольку (TitXi, х^ = ^Тх4, х^, f—1, 2, ж,еЙ, ж2 s Й-, то заключение относительно Ти и Т22 справедливо. Пусть теперь Т > 0, Тогда очевидно, что оператор S^ = Т'й172?^?'^72 удовлетворяет нашим требованиям. Если же Т — произвольный пеотрицатель- ный оператор, то Т + — 13> 0, п = 1, 2, ..., и потому из
доказанного выше следует существование операторов £Й’: ||^Ч|<1, Л2=^и + ^ ^V^ + ^j • Без ограничения общности (см. 1.8.20°) можем считать, что последовательность S,^ при п ->- °° сходится в слабой операторной топологии к оператору 512 с Ц^хгЦ^!, и потому 7’12 = TXyiS'x2T^. В качестве оператора 512 возьмем
5,2 = OS^P = (^У-0 T^O^ где P - ортопроектор на9?г22, a Q— ортопроектор на $ти- Дальнейшая проверка свойств оператора St2 не составляет труда. ■
^12| . Этот оператор^12| . Этот оператор□ Пусть А — эрмитов оператор, определенный па подпространстве ®А гильбертова пространства § = ®i ф ф ® а, и относительно этого разложения он допускает
^12| . Этот оператор
^12| . Этот оператор
представление в виде «вектора» А =
будет сжатием тогда и только тогда, когда Л22 — сжатие и Л*2Л12^/2— Л22 (здесь /2 = /|®А), или, что эквивалентно в силу леммы 3.20, Л12 — К (/2 — Л22)1/2, где К — Аг [(Л — -^га)^2](—Т> и НХН 1. Эрмитов оператор Л всегда допускает самосопряженные расширения А на все пространство £, и эти расширения представимы в виде матрицы
2 = Хп = ^р (3.4)
■ Если Л — сжатие, то легко видеть^ что
лг^-л+л,, (/2 + л^-^лГ, = - /, + К (1г - А^К* <
С /г - К (Ц + Л22) £* = /,- Л12 (/2 - л22)(-1)л:2гл+,
(3.5)
где Z1 = Z|®a. При этом Л— самосопряженное сжатие, тогда и только тогда, когда — I С Л ^ I. В силу леммы
3.21 это эквивалентно системе
-Z1<X11<Z1,
Аг^^-Ат^^^-Аг)172,Л^^ + Х^АЖ + ААА
где S12 и S12 обладают свойствами, указанными в лемме 3.21. Так какЛ12 = х(/2— Л22)1/2, то эта система может быть переписана в эквивалентном виде ■
-А<хп<л,
Л(/2 +Л^АНА-ХиААг,
КЦ4 -Л22)^ = (/1 + Х11),/25;'2,
что в свою очередь эквивалентно неравенствам — h +
^12Л2^12Л2+ К(12 — А22)К* =5 Хн ^ Ц — КЦ2 + Л22)Х*. С учетом (3.5) нами доказана
^12Л2
^12Л2
.эрмитово.эрмитовоЛемма 3.22. Если оператор А =
.эрмитово
.эрмитово
сжатие, то он допускает расширение до самосопряженного оператора А вида (3.4), причем последний будет сжатием тогда и только тогда, когда ЛД ^ Хп ^ ЛД. g
Доказательство теоремы 3.19. В силу следствия 2.5 без ограничения общности можно считать, что А — замкнутый /-неотрицательный оператор. Так как 3- пецтрицательность /-симметрического оператора Л эквивалентна J-диссипативпости оператора 1А, то график Г(А
последнего является неотрицательным подпространством в пространстве 5г (см. § 1, п. 2), и его угловой оператор KiA = <V, -3V3>, где Г = (7-/Л) (7 +/Л)-1 (см. (1.8), (1.9)),— сжатие. Так как /Л > 0, то V — эрмитово сжатие. Согласно лемме 3.22 у V существует самосопряженное расширение V с ПРИ ^ 1, которое порождает угловой оператор <Р, — /Г/> некоторого максимального неотрицательного в 5Г подпространства — расширения Г1А, являющегося в силу предложения 2.4° графиком некоторого /-диссипативного оператора iA. Из (1.9) вновь следует, что V = (7 — /Л) (7 + /Л)_1, или, что эквивалентно, Л =/(7 —F) (7+И)-1 = 7 —2/(7+И)-1. Из предложений 1.6°, 1.9° и следствия 3.8 немедленно следует, что А — /-самосопряженный оператор, а это в сочетании с /-дис- сипативностью iA и доказывает теорему. ■
Следствие 3.23. Пусть А — 3-симметрический полу- ограниченный снизу оператор: [Ах, х]^Ча(х, х) (же®А). Тогда у него существуют такие полуограниченные снизу 3-самосопряженные расширения А, что у^ = Та- 77ри любом таком расширении Оео(Л — ЧдЗУ
Существование искомого А эквивалентно утверждению о существовании /-самосопряженных /-неотрицательных расширений Л — ЧаЗ у /-неотрицательного оператора Л — ЧаЗ. Такое расширение существует в силу
теоремы 3.19, и потому А = А — ЧдЗ + ЧаЗ — искомое расширение оператора А. Действительно, [Лж, ж] = = [Л — ЧаЗх + ЧаЗх, ж] = [Л — ^аЗх, х] + Ча (ж, ж) > Ча (+ ж) > И потому Ча^ Ча- С другой сторону, поскольку Л^Л, то Ча^Ча’ т-с- Та ~ Та- Проверим теперь, что 0Е е о (Л — ЧаЗ') . Предположим противное: 0 е р (Л — ЧаЗ) .
По тогда /-неотрицательный оператор A — ^aJ был бы равномерно /-положительным, и потому Y^>Ta, что невозможно. ■
Следствие 3.24. Пусть А— I-симметрический опе- jjj
ритор. Тогда А^О (Л>0, А^О) тогда и только тогда, когда iA — J-диссипативный {строго I-диссипативный, равномерно I-диссипативный) оператор. При этом iA — максимальный 1-диссипативный оператор тогда и только j
тогда, когда А — А ^ 0.
Первая часть утверждения тривиальна, и ею мы уже пользовались при доказательстве теоремы 3.19. Если Л = Лс^0, то (см. доказательство теоремы 3.19) Гм — максимальное неотрицательное подпространство в фг, и потому в силу 2.4° iA — максимальный /-диссипативный оператор. Обратно, если iA — максимальный /-диссипативный оператор, то Л не имеет нетривиальных /неотрицательных расширений, и потому из теоремы 3.19 с j
вытекает А = А ^ 0. ■
j
Следствие 3.25. Пусть А^О. Тогда ар(Л)П(С+ U U С ^) = 0. Если Л = {Л е ор(Л) IX > 0(<0)}, то 8л(Л) = — Кег(Л — V) и Ып{Кег(Л — V) |ХеД} <= $++ U (0}($— U U {8}). Если X = 0, то, вообгцв говоря, 80(Л)=/= КегЛ, но длины жордановых цепочек оператора Л|80(Л) не превышают 2.
j
В силу теоремы 3.19 будем считать, чтоЛ = Лс^0. Если Хе Ор (Л) Q (С+ U С~) и Ах0 = Хйх0 {х0 ^ 0), то из следствия 3.14 получаем, что [я0, я0]= 0, и потому [Ах0, я0] = 0. Воспользовавшись неравенством Коши — Вупяковского, получим Ах0 = 0 — противоречие. По существу мы доказали, что условие я0 е Кег(Л — Ха1) П ф“ влечет Хо = О. Следовательно, если (0¥=)Х е о${А) и Ах = = Хх, то [я, я] = [Ля, х"\!Х, откуда Кег(Л — М)с$++U U {0}(SP U {0}), если Х>0(<0), и потому (см. § 2, задачу И) 8л (Л)’ = Кет (Л — XI) при Хч^О. Утверждение относительно Lin(Кег(Л — Х1)}^а немедленно вытекает из следствия 2.18. Пусть теперь Ля2 = хх, Ля, = я0, Ах0 = = 0, т. е. Л3я2 = 0. Тогда 0 = [Л3я2, я2] = [ЛЛя2, Ля2], и потому я1 = Ля2 е КегЛ, т. е. я0 = 0. ■
j
Следствие 3.26. Если А = Ас^ 0, то о,(А) = 0.
О В силу следствия 2.17 в сочетании с предложением 3.7° у А (=ЛС) пет вещественных точек остаточного спектра. Если бы X * X е о, (Л), то по теореме 1.16 ХеоДЛ), что противоречит следствию 3.25. ■
Исследуем теперь спектр /-самосопряженного /-неотрицательного оператора.
Теорема 3.27. Пусть А = АС^О, р^А^^. Тогда С+иС"ср(^).
Предположим сперва, что А — непрерывный оператор. Пусть Хо * Хо <= о (Л). Из следствий 3.25 и 3.26 заключаем, что Х0еос(Л), и потому существует последовательность {ж,,}” нормированных векторов (ibjl =• 1, п = 1, 2, ...) таких, что
^A-XJ^xn-*^ при п-*~.(3.6)
Так как [(Л — Х01)хп, ж„] = [(А - ReXJ)х„, х„] — — i Im Х0[жп, ж„] и Im Хо ^ 0, то [хп, хД -* 0 при п -»- ”, что влечет ^]Ау,гхП1 ^Ау,2хД = ^]Ахп, хД=ДАхп, хД -> О (п->°°). Из непрерывности оператора Л, а с ним и (/Л)1/2, следует, что Ахп = ][]Ау12(]Ау1гхп ~* 0 (п-> ->-«>). С учетом (3.6) получаем хп -> 0 (n->°°)— противоречие.
Пусть теперь А — произвольный /-самосопряженный /-неотрицательный оператор, (Цо^) Цо s р(Л). Из следствия 3.12_вытекает, что цоер(Л), и потому оператор В = =-(Л — ц0/)"*Л (Л — ц0/)-1 является ограниченным, В = = вс^ 0. В силу доказанного выше о (В') П (С+ U С-) = 0. Известная теорема Данфорда об отображении спектра (см. [ХП]) утверждает, что о(В) = (ц|ц — Х/(Х — ц0) (X — — Цо), Х^о(Л)}. Так как из Х0^Х0 и iXol^lpol следует невещественность числа Хо/(Хо — Цо) (Хо — ц0), то Хоер(Л), т. е.
(С+иС-)\{ХЦХ| = |ц0|}с:р(Л).(3.7)
Выберем теперь (ц1#=)ц1 е р(Л) с |Ц11¥=|ц0| и, проведя аналогичные рассуждения, получим
(C+UC-)\{XHX| = |^|}cp(H).(3.8)
Из (3.7) и (3.8) следует С+1)С^ср(Л). ■
Следствие 3.28. Пусть А — л-самосопряженный л- неотрш^ательнъгй оператор в Пх. Тогда С+ U С- с р (Л), 138'■
и множество о(Л)П(0, °°) состоит не более чем, из х нормальных собственных значений (с учетом кратности}.
Из следствия 3.15 и теоремы 3.27 заключаем, что С1 U С- cz р (Л), Справедливость же утверждения относительно о(Л)Л(0, о°) вытекает из следствий 3.24 и 2.23. ■
Следствие 3.29. Пусть Л = Лс^>0. Тогда С4" U С- U II {01 ср (Л). Если о+ (соответственно о-) —ограниченное спектральное множество оператора Л, о+с(0, °°) (соответственно о~с(—°°, 0)), а Ра+ (соответственно Ра-}— соответствующий проектор Рисса (2.4), то Ро+^ (соответственно Ра_^ — равномерно положительное (соответственно равномерно отрицательное} подпространство. В част
ности, еслиА = А ^> 0— ограниченный оператор, то при о+ = о(Л)П(0, о°), о- = о(Л) П (—оо, 0) подпространства Р^ и Р^ являются J-орто зональными друг другу максимальными равномерно дефинитными и § =
Из следствия 3.24 и предложения 2.32° заключаем, что Оер(Л). Воспользуемся теоремой 3.27 и получим включение С+ U С- U {0} с: р (Л).
Из следствия 3.12 вытекает проекционная полнота подпространств Ро^ и Р^, а из теоремы 2.21 с учетом 3.24 — их равномерная дефинитность соответствующего знака. Если А — ограниченный оператор, то, так как о(Л) = о+ио~, о+ Л о~ = 0, в силу теоремы 2.20 имеем Рс+ + Ро- = I, т. е. с учетом следствия 3.12 $ = = Ро+§ [+1 Ра-^- Максимальная равномерная дефинит- пость Ро+& и Ра-^ вытекает теперь из предложения '1.25° гл. I. ■
Здесь мы приведем примеры, иллюстрирующие точность условий, налагаемых на операторы в теоремах §§ 2—3, и существенное отличие индефинитного случая от дефинитного.
Пример 3.30. Эрмитов оператор, не допускающий замкнутых диссипативных расширений (ср. с теоремами 2.6, 2.31, 3.19).'
□ Пусть § = $+ ® %- — бесконечномерное пространство, ^+ = Lin{e+}, Ие+И = 1, а <р — разрывный линейный функционал, заданный на Sy. Тогда оператор А: х- -►ф(ж-)е+ с ®д = ^- является эрмитовым, поскольку
(Ах-, х-) = 0. Если бы он допускал диссипативное расширение А, то ©^ = Ф» и потому (см. следствие 2.5) А — замкнутый оператор. В силу теоремы Банаха А будет непрерывным оператором, что противоречит разрывности ф.
Построенный оператор служит также примером эрмитова оператора, не допускающего замыкания, и потому замыкание Г а в $г его графика ГА не будет уже графиком оператора. ■
Пример 3.31. Оператор Л = Лс>0 са(Л)=С (ср. с леммой 2.8, теоремами 2.9 и 3.27).
Пусть $ — /-пространство, (8Ь 82) — максимальная дуальная пара (см. гл. I, § 10, п. 1) дефинитных (но не равномерно дефинитных) подпространств 81 и 82. Определим оператор Л: ©a = 8i[+]82, Л (а?г+ ж2) = х1 — хг, ^is8i, х2ей2. В силу леммы 7.7 гл. I и следствия 7.17 гл. I имеем ©л = 5, ©а =^5, и так как Л©ас©а, то о (Л) = С. Осталось проверить, что Л = Лс>0. Поскольку [Л (xt + х2^, xt + х2] = [а?!, ж^ - |/2, х2] > 0 при жх + х2 * =^9, то Л>0. Пусть теперь у е ©Ас и ([Л (xt + хА, у]=) [xt — х2, у] = [х, + х2, z] при всех xt + х2 е ®д и, в частности, [ад, у] = [ад, z], [—х2, у] = [х2, z], Следовательно, у + г^вь а у —z^82, и потому уе©д (^it+l^), т. о. ®асС:®а,что и доказывает /-самосопряженность Л. Отметим также, что Л2 = 7| ©а, а Рг = у (I + Л) и Р2 = — "2"(/ — Л)—/-ортогональные проекторы из ©а па 8, и jj
82 соответственно, причем Рг ^ 0, Р2 ^ 0 и а (Р^ — = а(Р2) = С- ■
Пример 3.32. ^.-самосопряженный оператор в конечномерном пространстве Понтрягина Пх, для которого неравенство (2.5) обращается в равенство (ср. 2.26).
Пусть ^ = Lm{e0, е(, еА— унитарное трехмерное пространство с ортонормированным базисом (е0, е15 е2). Каждый вектор хе% представляется в виде x = ’£>oeo-V + £iCi + £2e2. Пусть у = Лобо + Л^ + Лгбг- Введе_м в рассмотрение индефинитную форму [х, у] = —^оЛг ~ S1ЛI — — §2т1о. Опа порождается оператором /: /е0 = —е2, Jet — = —е(, /е2 = —е0, собственные значения которого X = —1 и X = 1 имеют кратности 2 и 1 соответственно, т. е. $ = = ПХ с х = 1. Определим линейный оператор А: Ле0 = 9,
А /.Л
A ri = е0, Аег = е^ Так как [Ля, ж] = [^ео + ^е^ £оео + -Ь ^Ct + £2е2] = ^i^2 + 5^2 — вещественное число, то А = Л °. Из определения оператора А следует, что у него есть единственное собственное значение X = 0 и единственная жорданова цепочка длины d = 2х + 1 (=3). Поэтому у| = х(=1). ■
Пример 3.33. Замкнутый положительный оператор Л, не допускающий положительных самосопряженных, расширений.
Предположим, что А — замкнутый несамосопряженный положительный оператор с конечномерными дефектными числами (т. e.dim 9i^_xj ■< оо и dim ^^_xj<^ 00 при X ^ X), X = О — его точка регулярного типа и Ча = 0. Согласно следствию 3.23 для любого самосопряженного неотрицательного расширения А этого оператора 0 s ео(Л). Из [IV] (см. также Азизов, И. Иохвидов и В. Штраус [1]) следует, что ^д = ^д> и потому, коль скоро О^р(Л), имеем 0^оР(Л), т. е. никакое неотрицательное самосопряженное расширение оператора А с указанными выше свойствами не будет положительным.
Приведем конкретный пример такого оператора А.
Пусть £ = Lin (е) ® Х2(0, 1), Hell = 1. Рассмотрим в L2(0, 1) самосопряженное сжатие У22: И22ж(i) = tx(t) (ж(<)е Х2(0, 1)) и сжатие К1. Ьг (0,1)-> Lin {е}, Кх (t) =
1
ооператор У =ооператор У == \ х^ dt-e. Тогда (см. доказательство леммы 3.22)
о
оператор У =
о
оператор У =
a-^a)Va|l .
Убудет эрмитовым сжатием.
Так как из (Д — V) х (Г) = В следует ж(£) = 0, то на ®А =
оо2— положительное чис-2— положительное чис-X\x^Vdt— ^(l-t2y/2x(t)dtX\x^Vdt— ^(l-t2y/2x(t)dt= kl-^Х/2(0, 1) ■ корректно определен оператор А: А (I — У)х(1) = (Г + V)x(t). Поскольку (Л (/—У)^), (7 - V) х (t)) = ((I + И) х (t), Ц-У^х (t)) = J (1 - ^) X
о
о
2
— положительное чис-
2
— положительное чис-
X\x^Vdt— ^(l-t2y/2x(t)dt
X\x^Vdt— ^(l-t2y/2x(t)dt
о
ло при xU^Q, то Л — эрмитов оператор. Если предположить, что вектор z(i) = Xe + z^) (zt(Z)e L2(0, 1)) ортогонален ©A, то получим, что J (1 — t) х (f) zx(t) dt— о
11— X f (1 — Z2)1/2 x(f) dt = 0, и потому zx (t) = ^ ^, e
1
1
J(1 —4
о
eL2(0, 1), что возможно при X = 0, т. e. z(£) = 0. Таким образом, SA = <§ и Л — положительный оператор. Замкнутость Л следует из замкнутости V и того, что Л = = 2(7- V)-1-/.
Из следствия 3.24 с учетом леммы 2.8 получаем, что Х = —1— точка регулярного типа оператора V, т. е. $А = = (7+7)£2(0, 1) — подпространство и потому 1 = 0 — точка регулярного типа оператора Л. Конечность дефектных чисел оператора следует из того, что 3?д = Lin (е + + ( jrp^) Ь и потому dim9?A = 1. Остается проверить, что "(а = 0. Для этого заметим, что если xn(t)^ L2(0, 1) выбрать так, чтобы последовательность {(1 — £2)1/2ж„(£)} сходилась в £2(0, 1) к ж0(<) = 1, то lim (Л (7 — 7) хп (t), (7-7)ж„(0) = 0, а 1ш1((/-Р)ж?дО-'ПМС)=2, п-юо
и потому
„ -(^^-7)^(0, (7-7)^(0)7 m ■
Ya — mt| ((/_ у^^ (j-v)x(ty) г(‘)еЬ2(0,1)}0. ■
Пример 3.34. J-самосопряженнъш дифференциальный оператор.
Пусть ф = 72(—1, 1). Введем в нем /-метрику с помощью оператора J: Jx(t) = х(—i) (ср. замечание 2.3 гл. I и упражнение 1 к § 3 гл. I). Рассмотрим дифферен- дйd
циальпый оператор Л = —- — 2 -^ + 1 с краевыми усло-
виями х(—1) = ж(1), ж'(—1) = ж'(1) и максимальной областью определения в L2(—1, 1). Так как для дважды дифференцируемых функций х^ и y(t) с указанными
краевыми условиями
[Ах, у] =
11
= J Ах (i) у [— 1) dt = [ [х" [t) — 2х’ (t) + х (t}) у (— t) dt = / -i-i
= х' (i) у[— t) — 2х [t) у (— t) |L1 + Ja: (t) у (— t) dt +
—1
11
+ У ж' (t) у' (— t) dt — 2 Уж [t') у' (— t) dt =
—i—i
= х ^ V \— t) |LX + J х (t) (у" (— 1) — 2y' (— t) +
+ y(—t) dt — X x(—t) Ay (t) dt = [x, Ay],
to A — /-симметрический оператор, /-самосопряженность этого оператора следует из независимости краевых условий. Непосредственно проверяется, что собственными значениями этого оператора являются невещественные при п + 0 числа Х„ = —л2п2 + 1 — 2nni при и — О, ±1, ±2, ..., а 8Хп (Л) = Кег (Л - W] = Lin (е№<). в
Пример . 3.35. Вполне непрерывный J-самосопряженный интегральный оператор.
Пусть о — вещественная функция ограниченной вариации на [а, 5], <й = Уага, K]s, t)—эрмитово неотрицательное ядро (см. ниже гл. IV, § 3, и. 3), непрерывное по каждой из переменных и ограниченное по совокупности переменных. Тогда оператор A: (Af)(s) = = J К (s, t) / (i) do (f)является вполне непрерывным
а
(см., например, И. Иохвидов [2], И. Иохвидов и Эктов [1]), а его /-неотрицательность в пространстве Крейна LX (а, Ь) следует из того, что [Л/, /] = = J j К (s, t) / (s)f (t) da (s) da (t) ^ 0. ■
В заключение укажем один прием построения /самосопряженных операторов с набором наперед заданных свойств.
Пример 3.36. Пусть ф — /-пространство, где фи/ те же, что и в примере 3.9 гл. I, G = 0, а V — унитарный оператор. Пусть теперь Л1 — замкнутый плотно определенный в ф1 оператор. Тогда оператор А: А (а^ + ж2) = = Л1ж1 + V*A*Vx2, где х, е ©д, ж2 г V*® * — /-самосо
пряженный оператор. В самом деле,
В этом примере по построению Л (©А П 5<)с &, ^ = 1, 2. Отметим также, что /-самосопряженным будет и оператор В, задаваемый матрицей
где Вг = В*, Вй = В*. При этом условии В{^ 0 (соответственно Вг >0, В;> 0) при i = 1, 2 эквивалентны условию
J J J \
В>0 (соответственно В > 0, В ~^> 0). Проверку этих утверждений предоставляем читателю. ■
Упражнения и задачи
Переформулировать теорему 1.16 для /-самосопряженного оператора и получить тем самым «теорему о симметрии спектра /-самосопряженного оператора» (Лангер [2]).
Доказать, что если А— 1г-эрмитов оператор, X, цещДЛ), X ф Ц, то 8х(Л) [Д_]8Ц(Л).
Указание. Проведите рассуждения, аналогичные использованным при решении упражнения 8 к § 1.
Привести примеры таких замкнутых плотно определенных операторов А и В в пространстве Крейна § из примера 3.36, что: а) оператор ААС пе допускает замыкания; б) ®SBc= {0}-
Доказать, что если Л--замкнутый оператор в пространстве Понтрягина, ®А = Пх, то ЛЛС — л-самосонряженпый оператор (Холево [1]). _
Пусть А — замкнутый оператор в /-пространстве ф, ®А = ф и выполнено хотя бы одно из условий а) ф+ с ®А; б) ф-' с ®А; в) А — Ф-оператор. Тогда (ЛЛС)С = ААС (Азизов).
Указание. В случаях а) и б) Л = АР+АС + АР~АС, где одно из слагаемых — ограниченный, а второе — /-самосопряженный оператор", в случае в) доказать, что ® ддС” § 11 ind ААС = 0.
Построить пример ограниченного G-самосопряженного оператора с несимметричным относительно вещественной оси спектром (ср. с упражнением 1) (Азизов [5]).
Доказать, что если А — G-самосонряженпый оператор, А = = BG, В = В*, GB — замкнутый оператор, то для оператора А в С\{0) справедлива «теорема о симметрии спектра», аналогичная теореме из упражнения 1 (ср. с упражнением 6) (Азизов [2]).
Привести пример л-иеотрицателыюго вполне непрерывного оператора, у которого имеются пе только собственные, но и присоединенные векторы.
Указание. Воспользоваться приемом, указанным в примере 3.36 (ср. с примером 3.32).
Воспользоваться приемом из примера 3.36 и построить /-самосопряженные операторы Аь А2, Лз, А4 такие, что: а) аг(Л1) ^ 0, Стр (Л^ П С+ у= 0 (напомним, что при А = А* всегда ог(Л) = 0); б)а(Л2) — С (ср. пример 3.31; напомним, что при А = А* всегда С+ (J С~ с р(Л)); в) ос (Л3) П ©+ =# 0; г) у оператора Л4 существует бесконечная цепочка собственных и присоединенных векторов.
Пусть ф — /-пространство, Р — Z-ортогопальный проектор на 1>инпомерно положительное подпространство. Тогда существует такое е = е(Р) > 0, что все /-ортогональные проекторы Р' такие, что II/'' — РН < е, будут отображать ф па равномерно положительное подпространство Р'§ ([XVI]).
Указание. Сперва проверить, что при достаточно малых 8 оператор Р' гомеоморфпо отображает Р^ на Р'^, а затем покапать, что \Р'Рх, Р'Рх\ is а||Рж||2 (5$ а/ll (P'|ZJ§)“4l2ilP'P«;|2 при некотором а > 0).
И. Пусть 9" = {Р} — коммутативное семейство /-ортопроекторов, Sip с ф+ при всех Р е .?", а подпространство 8+ с ф+ и Р8+ с с8+(Р е^"). Доказать, что CLin (Яр, 8+}р_^- с ф+ (Л а н- гор [9])..
Указание. Проверить, что оператор Р12 , „ = = st/r^-. а-й^ч^ ,,, рЧ (ift=0,i) _ /ч)рто.
проектор на I^in| ЭТ^|р_ (Рке9, &=1, 2, ..., пу Sip^ 2 ^с с Ф+ и Р1,2«8+с 8+. Затем воспользоваться соотношением
1^1,2,..„п^ + У' Р1,2ПЯТУ] = 1^,2,...,» (Ж+ У'’ Р1,2,...,п(Ж + -г У)] + [(/ — Р!,2т^У. у— Pj,2,...,?i) У]’ справедливым* при всех ж, » еф.
§ 4. Плюс-операторы, J-несжимающиеи J-бинесжимающие операторы
В этом параграфе объектом изучения будут «плюс- операторы» — операторы, существование которых обусловлено индефипитпостью пространств, в которых они действуют, а также некоторые подклассы класса плюс- операторов.
Определение 4.1. Пусть $i и 5г — ^-пространство и ИЛ-прострапство с W-метриками [•, ф и [•, ]2 соответственно. Лилейный оператор V: $i -’" 5г называется плюс-оператором, если его область определения содержит положительные векторы и неотрицательные векторы им переводятся в неотрицательные (Sy Л $++(<§i) + 0; ^(r^ansy)^^^)).
Определение 4.2. Оператор V: ^i -* & называется (ИЛ, ИЛ)-несжимающим, если [Уж, Уж]2 ^ [ж, ж]! при всех х g S)r.
Из определений 4.1 и 4.2 следует, что примером плюс-оператора может служить оператор V либо с пеот- рицательной областью значений 9?у, либо «коллинеарный» (И7!, ИЛ)-несжймающему оператору U, т. е. V = XU при Х=#0. Оказывается, этими примерами и исчерпывается весь класс плюс-операторов.
Теорема 4.3. Пусть 7: ф, -*- 5а — плюс-оператор. Тогда существует такое число ц ^ О, что [Va, Val2^ ^ ц[ж, ж], ^хе^уУ
Если ©у индефинитно, то мы находимся в условиях леммы 1.35 гл. I и следствия 1.36 гл. I (©у=®1, V — Т), из которых следует, что [Еж, Vx]2^p[x, а;], при р_(7)< ^р.^ц+(7). Поскольку из определения 4.1 плюс-опера'I [Уж, Уж] I
тора следует, что рц. (7) = inf :—1^0, то до-
[Х.Х^Х) IJ
статочно положить ц = ц+(7) ^ 0. Если же ©у семидефи- питио, т. е. в нашем случае неотрицательно (поскольку по определению плюс-оператора ©у Л ф++ (^t) Ф 0), то в качестве ц можно снова взять ц+(7) = inf {[Кг, 7ж]21же е ©у, [ж, ж], = 1} > 0. ■
Определи н и е 4.4. Плюс-оператор V называется строгим, если ц+(7)>0, и нестрогим, если ц+(7) = 0.
Отметим сразу, что область значений нестрогого плюс- оператора является неотрицательным линеалом. Однако это свойство не является характеристическим для данного класса операторов. В самом деле, пусть V = Р*— ортопроектор па подпространство $+ канонического разложения $ = $+®^“ пространства Крейна ф. Ясно, что ^p i- = ^+ cz ф^, но тем не менее ц+(Р+)= 1 > 0.
Следствие 4.5. Плюс-оператор V является строгим тогда и только тогда, когда он коллинеарен некоторому (V7t, W2^-несжимающему оператору Т: V = ХТ, и в этом случае 0 < IM2 ^ ц+ (7)..
Если V — строгий плюс-оператор, то оператор Т = — V (0 < Ш2 ц+(7)) по теореме 4.3 является (IKi, И^-песжимающим. Обратно, если V = XT, Х^О и Т—(IKi, W2)-несжимающий оператор, то [Vx, Vx]2^ ^ 1М2[ж, ж],. Следовательно, ц+(7)> |Х21 (>0), т. е. V — строгий плюс-оператор. ■
Следует заметить, что плюс-операторы могут быть неограниченными и, более того, не допускающими замыкания. В качестве примера такого оператора достаточно рассмотреть оператор 7 = ф(-)ж0, где ср — линейный разрывный функционал па 5ь (б^)^ е$+(&i).
В связи с этим представляют интерес критерии непрерывности плюс-операторов, действующих в пространствах Крейна. Напомним, что символами Р{ (i=l, 2) обозначаются канонические проекторы (см. гл. I, § 3, п. 1).
11 е о р е м a 4.6. Для того чтобы плюс-оператор V, действующий из 1гпространства 51 в ^-пространство 5г, был ограниченным (допускал замыкание), необходимо и достаточно, чтобы был ограниченным (допускал замыкание) оператор P^V.
О Из теоремы 4.3 вытекает, что для произвольных Z е Sr справедливо неравенство
l^^Hl + tikE^l^^Ht (4.1)
Пусть P^V— ограниченный оператор. Тогда ||Уж||2^ <1Ку4 + 1Ку4< (|рМ+/КПМ kik, и потому ограничен и плюс-оператор V. Обратно, если V — ограниченный оператор, то очевидно, что и P^V — ограниченный оператор.
Пусть теперь плюс-оператор V допускает замыкание, т. е. из Vxn у и хп -*- 9 следует у = 9. Проверим, что и Р^У допускает замыкание. Пусть P^Vx^-^y* и ж„ -* 9. Фундаментальность последовательностей (Р^Уя™! и {ж„} в силу (4.1) влечет фундаментальность (Vxn). Поскольку оператор. V допускает замыкание, то Vxn ->- 9, и потому Рг'Ухп-^0, т. с. у+ = 9, и оператор P^V допускает замыкание.
Обратно, пусть P^V допускает замыкание. Тогда зтим Mie свойством обладает и И. В самом деле, если Vxn у и хп -+• 9, то PtVx^Pty и «замыкаемость» P^V влечет Р^у = 9. Из (4.1) следует, что Р^Ужп->9, т. е. у = 9. ■
Следствие 4.7. Пусть в условиях теоремы 4.6 62 = Пх — пространство Понтрягина. Тогда следующие утверждения эквивалентны-, а) У — непрерывный оператор-, б) оператор V допускает замыкание.
D Эквивалентность утверждений а) и б) прямо следует из теоремы 4.6 с учетом того, что конечномерный оператор (в нашем случае Р^У) допускает замыкание тогда и только тогда, когда он ограничен. ■
Следствие 4.8. Пусть в условиях теоремы 4.6 $t = ^И^, ^2 = ПХ — пространство Понтрягина, ©у = ^ и ЧУ+ №i) Л Кег У = 0. Тогда У — непрерывный оператор.
□ В силу теоремы 4.6 достаточно проверить, что Рг У — ограниченный оператор. Пусть {е,}? — базис । Ф^. Тогда оператор P^V можно представить в виде
суммы
PtVx= 2 ^вь(4.2)
i=l
где ф,, ср2, ..., фх — линейные функционалы, определенные па Sy. Непрерывность P^V эквивалентна непрерывности всего набора функционалов {ф,}Т. Поэтому, если бы в условиях следствия оператор P^V оказался неограниченным, то неограниченным был бы по крайней мере один из функционалов фь ф2, ..., фх. Пусть для определенности неограниченным будет фь Как известно ([XXIII]), Кегф!=>®г, и так как Sr = 5i, то Кегф1 = 51- В силу леммы 9.5 гл. I в Кегф^сФу) есть хотя бы одно положительное х-мерпое подпространство 8+. Из (4.2), с одной стороны, имеем dimР^У8+ <х, по, с другой стороны, поскольку S|J++(5i) Л Кег У = 0, то й1тР^У8^ = = й1тУ8+ = dim8+= х; получаем противоречие. ■
. В этом пункте будем предполагать, если не оговорено противное, что У — непрерывный строгий плюс-оператор, определенный па всем .^-пространстве 51 = §t ф ф 5Г и действующий в Л-прострапство 52 = 5? Ф 5Г> где, как и прежде, Ji = Pi — Р?, Р^—ортопроекторы из 5< на 5^ (i = 1, 2).
Определение 4.9. Строгий плюс-оператор У называется двояко строгим, если строгим плюс-оператором будет и Vе..
Заметим, что не для всякого плюс-оператора (даже строгого!) оператор Ус является вообще плюс-оператором (см. ниже упражнение 32).
.10°. Строгий плюс-оператор У будет двояко строгим тогда и только тогда, когда строгим плюс-оператором будет оператор У*.
Достаточно воспользоваться определением 4.9 и формулой (1.1). ■
Теорема 4.11. Если У — строгий плюс-оператор, то существует такое 6 > 0, что для всех х е $+ (51) выполняется неравенство
НУЛ^бЫ,.- (4.3)
ц. (Л
В качестве 6 может быть взято число -,;г-т:.
(||У|12 + Н+ (П)1/2+11П
П Пусть .геф+(5,)1 Ы, = 1. Из строгости плюс-оператора У и следствия 4.5 заключаем, что форма [(УСУ — 148■■
ц+ (7)lv)x, z/]t неотрицательна в 5i, и потому из неравенства Коши—Бупяковского при произвольном Z/e5i, И//И1 = 1, получаем
| |(Г7 - и+ (7) Zj х, у], |2 < [(Г7 и+ (7) I.) х, d, X
X [(7'7 - и+ (7) 1МуАх< (|| 71|’ + ц+ (7)) || Ух|12. '
Отсюда вытекает, что
II (7С7 - и+ (7) /J 4 < (|| 7||’ + и+ (7))|| УхX
(в самом деле, если (7С7 — ц+(7)/1)а; = 0, то это очевидно, а в противном случае следует положить в приведенном выше неравенстве у = А (УСУ — p.+ (V)Ji)x/ll (УСУ — — ц+ (7)/1)ж111). С другой стороны, II (7С7 — ц+(7)/1)ж111 ^ >ц+(7)-1171П17:г11г, и потому ц+(7)—И71И17ж112:^(117112 + + ц+(7)) 1/2117жП2, что эквивалентно неравенству
ИУх«2 ^ ц+ (7) / ((II7П2 + ц+ (7))1/2 + II711). ■ '
Следствие 4.12. Пусть У—строгий плюс-оператор, ■ ©г = 51- Тогда || Pt7;r||2J>^=||х^ при любом ^sSp+^j).
Достаточно заметить, что в силу неотрицательности вектора Ух имеем || 7ж||2= ||^7ж|^ + || ^77ж||о ^ 2|| P^7x||l, и остается воспользоваться неравенством (4.3). ■
Из следствия 4.5 и теоремы 4.11 прямо получаем
Следствие 4.13. Непрерывный строгий плюс-оператор У отображает всякий неотрицательный (положительный, равномерно положительный') линеал 8(<=5i) гомео- морфно на неотрицательный (положительный, равномер
но положительный) линеал 78(с5г). ■
Одним из тривиальных следствий теоремы 4.11 является то, что Кег У — отрицательное подпространство. Оказывается справедливым и более точное утверждение.
4.14°. Если 7— строгий плюс-оператор, ©^ = 51. то подпространство Кег У равномерно отрицательно.
Ц+ (7)||ГУ^ц+ (V)/^!Ц+ (7)||ГУ^ц+ (V)/^!— к, ж11>— к, ж11>Mil,Mil,□ Из неотрицательности формы [(7С7— ц+(7)/!)ж, у], и неравенства Коши — Буняковского при х е Кег У и у = = Ех получаем | [(7е7 — ц+ (7) ij х, у ] i|2 = Ц2+(7) (х, ж)2< ^ — Н+ (7) [х, ж]11|(7с7 — ц+ (7) 71)||(ж, ж)г. Отсюда, если 7е7 = ц+ (7)/i, то Кег7={0}, а в противном случае
Ц+ (7)||ГУ^ц+ (V)/^!
Ц+ (7)||ГУ^ц+ (V)/^!
— к, ж11>
— к, ж11>
Mil,
Mil,
что и доказывает наше утверждение. ■
Пусть Т — произвольный линейный оператор, действующий из 7,-пространства 51 в ^-пространство 5г, и />+®т с ®г или, что.эквивалентно, P^Sy с ®т. Тогда оператор Т допускает представление в виде матрицы
^ = ИУ«иъ(4.4)
где Tlx = PtTPt | 6^, Т1г = Р^ТР;Х, T21 = P?TPt | 5i+, Т22 = Р2 TPi | 5i~. Заметим, что в случае совпадения .^-пространства 51 с .^-пространством ф2, т. е. $i = $2, Л = /2, матрица (4.4) совпадает с матрицей (2.1).
Теорема 4.15. Пусть V— строгий плюс-оператор, ©у =^f. Тогда для всех беЗЛ*^,) дефект def 78 = = dim 52^/7^78 подпространства Уй один и тот же.
□ Пусть 8 е 8Л+ и К — угловой оператор подпространства 8. Оператору V по формуле (4.4) соответствует матрица II Vyfl^=1. Поэтому 78 = |(7И + 712К) ж+ + (721 + + y^^+^+e^+l и />2^8 = |(7]1 + 712К)Ж1+|ж+е; e^l.i.e.
Р2+78 = (7п + 712К)$Л(4.5)
В силу следствия 4.12 имеем
11(^11 + ^12^) ^ Ца > 6/ Г2 8 xt + Kxt Ik (> 6/ /2 II xt II,), и поэтому■
Ker(7n+712K) = {0}, 9?y11+w< = ^r11+v12K (4.6)
и, более того, нормы операторов (VH + V12X)с-,> (см. (3.1)) равномерно ограничены по Ке Й^ (= $+ (^, 5Г)):
Ь^и +W^H^^.(4.7)
Из формулы (4.5) следует, что дефект 78 совпадает с коразмерностью подпространства (7n + V12К) 5k в 5k. Пусть Ко — угловой оператор подпространства 80s$7(5i), а К — такой угловой оператор, что НК —К0Н < 6/V2H712ll. Тогда из того, что (7n + 712К) §t ~ № + 712 (К — -^о)(7и + V12Ko)<-,))(711 + 712Ко)^+ и||712(К-К0)Х X (71Х + 712Ко)( ^|< 1, получаем, что размерности подпространств ((7n + V^K)^)^ П ^t и ((7и + 712К0)х Хб^)"*" П §t совпадают, т. е. совпадают дефекты подпространств 780 и 78. В силу линейной связности опе- 150
ношения с (4.6), заключаем, что оператор 7И непрерывно обратим на всем &£, т. е. г) справедливо при К» = 0. Непосредственно проверяется, что в этом случаеMWu V<l-infM|b^ ^=^=ek (4.8) . I Ж2 l!2 IИ потому^2 (7) 7^ — сжатие.в) => а). Сперва докажем, что 7е — плюс-оператор. Если это не так, то существует вектор (07=) ж0 е sp+ (^2) такой, что Усх6<=^—(^,). Пусть Q — угловой оператор какого-нибудь максимального отрицательного подпространства, содержащего V°xtt. Тогда K(=Q*) — угловойношения с (4.6), заключаем, что оператор 7И непрерывно обратим на всем &£, т. е. г) справедливо при К» = 0. Непосредственно проверяется, что в этом случаеMWu V<l-infM|b^ ^=^=ek (4.8) . I Ж2 l!2 IИ потому^2 (7) 7^ — сжатие.в) => а). Сперва докажем, что 7е — плюс-оператор. Если это не так, то существует вектор (07=) ж0 е sp+ (^2) такой, что Усх6<=^—(^,). Пусть Q — угловой оператор какого-нибудь максимального отрицательного подпространства, содержащего V°xtt. Тогда K(=Q*) — угловой
ношения с (4.6), заключаем, что оператор 7И непрерывно обратим на всем &£, т. е. г) справедливо при К» = 0. Непосредственно проверяется, что в этом случае
MWu V<l-infM|b^ ^=^=ek (4.8) . I Ж2 l!2 I
И потому^2 (7) 7^ — сжатие.
в) => а). Сперва докажем, что 7е — плюс-оператор. Если это не так, то существует вектор (07=) ж0 е sp+ (^2) такой, что Усх6<=^—(^,). Пусть Q — угловой оператор какого-нибудь максимального отрицательного подпространства, содержащего V°xtt. Тогда K(=Q*) — угловой
ношения с (4.6), заключаем, что оператор 7И непрерывно обратим на всем &£, т. е. г) справедливо при К» = 0. Непосредственно проверяется, что в этом случае
MWu V<l-infM|b^ ^=^=ek (4.8) . I Ж2 l!2 I
И потому^2 (7) 7^ — сжатие.
в) => а). Сперва докажем, что 7е — плюс-оператор. Если это не так, то существует вектор (07=) ж0 е sp+ (^2) такой, что Усх6<=^—(^,). Пусть Q — угловой оператор какого-нибудь максимального отрицательного подпространства, содержащего V°xtt. Тогда K(=Q*) — угловой
рпторного шара отсюда следует справедливость доказы- ниомой теоремы. ■
Установленная теорема обосновывает введение сле
дующего определения.
Определение 4.16. Число 6]. (7) = dim ^/Р2 78 (8еГ Ш) называется плюс-дефектом строгого непрерывного плюс-оператора 7 с Sy = £i.
Приведем теперь критерий двоякой строгости строгого
плюс-оператора.
Теорема 4.17. Следующие утверждения для строгого плюс-оператора 7 эквивалентных
7 является двояко строгим;
хотя бы при одном 80s2R+(Si) подпространство 780e5)t+(&);
. в) при любом 8е2Л+(51) имеем 78еЙЛ+(§2);
хотя бы при одном угловом операторе Ко е $+ существует оператор (7И + 712К0)-1, определенный на всем 5г ;■
при любом угловом операторе К е. Ж^ оператор (Еи + 712Л')-1 существует и определен на всем ф^.
□ Сразу заметим, что из (4.5) и (4.6) немедленно следуют импликации б) ^ г) и в)^-д). Далее, в) ^ -**6), поскольку плюс-дефект б+(7) не зависит в силу теоремы 4.15 от выбора 8еК+. Поэтому нам достаточно доказать а) => г) и в) => а).
а)=>г). Из предложения 4.10° следует, что 7* = = ||(^*М1и=1 ((^)v = V*; i, / = 1, 2) является строгим илюс-оператором вместе с 7, и поэтому из формулы (4.6), записанной для 7*, при _К = 0 (т. е. 8 = ^) имеем Кег7п|ф2Н ={9} и ^ * = $ *• Сравнив эти соот- уи У11
1441441-И'Г21-И'Г2infinfх е ф++ (£2)х е ф++ (£2)единицы, предложе-Х^ ёЕединицы, предложе-Х^ ёЕ144+^4)! 114 + ^4112144+^4)! 114 + ^4112infinfкН . ИкН . И
144
144
1-И'Г
2
1-И'Г
2
inf
inf
х е ф++ (£2)
х е ф++ (£2)
единицы, предложе-
Х^ ёЕ
единицы, предложе-
Х^ ёЕ
144+^4)! 114 + ^4112
144+^4)! 114 + ^4112
inf
inf
кН . И
кН . И
оператор максимального положительного подпространства, Д-ортогопальпого к Усж0 (см. теорему 8.11 гл. I). Следовательно, Усж0 [J_] (Р? A- K^t, и потому ж0 [ДJ V (Р^ + +К)^, т. е. ж0 (^ф+ (^2)) Д-ортогонален максимальному положительному (см. следствие 4.13) подпространству V (Р* + К) 5^ — получили противоречие, доказывающее, что Vе — плюс-оператор.
Проверим, что Vе — строгий плюс-оператор. В противном случае 91уС с ф+(5,), а так как Ker V = 91^, (см. 1.12°) и в силу 4.14° Кег У — равномерно отрицательное подпространство, то из предложения 7.4° гл. I, следствия 7.17 гл. I, предложения 1.25 гл. I следует, что ^ус —
максимальное равномерно положительное подпространство (с угловым оператором К' е Л2+= ^+ (^ , $Г), W ||< 1)- Оператор Vе действует из ^2 = ^ © %г в ^ = ^ ® £>7
и имеет, как нетрудно проверить, матричное предстаи- ление Ус= ||(Ус)у|Ь=1, где (Ус)н = У и (г = 1, 2),(Ус]у = = — У* (г #=/). Так как Vе ^ с ЯуС, то — У*2 = К'У^ и
^*2 = —K'V*v Отсюда имеем
inf {[Увж, Vex]L/[x, ж]2|жеф+|" ($г))>
Для установления строгости оператора У” достаточно проверить, что величина, стоящая справа, положительна. Для
этого заметим, что из строгости оператора У и следствия
4.13 следует, что угловой оператор подпространства У^г,
совпадающий с У21Уц1, имеет норму меньше а потому и ||У*Г1У*11| < 1,. Следовательно (см. пие 8.7 гл. I),
Определение 4.18. Непрерывный (Л, /2)-несжи- миющий оператор V с $v = 6i называется (Л, Л)-бине- сжимающим оператором, если Vе—(/2, /Д-несжимаю- щпн оператор.
Из приведенного определения прямо следует, что (Л, Л^-бипесжимающий оператор является двояко строгим плюс-оператором. Однако не каждый двояко строгий плюс-оператор является (Jt, J2)-биче сжимающим— в ка-
1 ПТ
честве примера можно рассмотреть оператор у i , являющийся двояко строгим плюс-оператором в /,-прострапст- ие ф,. Следующая теорема описывает все (Л, /2)-бипесжи- мающие операторы.
Теорема 4.19. Для того чтобы непрерывный (Zi,/2)- несжимающий оператор V cSv=%i был (J17 J^-бичесжимающим, необходимо и достаточно,"чтобы он был двояко строгим плюс-оператором.
Необходимость, как отмечалось выше, тривиальна. .
Достаточность. Рассмотрим пространство
^ = ^г® 61 (4.9) и введем в нем гильбертову метрику и индефинитную /^-метрику соответственно по формулам
«х4, х<>, <у2, У!»р = (х2, у2\ + (Ж1, у^, (4.10)
К^а, хт>, <у2, у^ = [х2, у2]2 — lxv yj17 (4.11) где xt, ytG§n (i = 1, 2). Непосредственно проверяется, что Jf-метрика порождается оператором
■ J^ = J2®-J1 (4.12) и этот оператор является самосопряженной инволюцией, а капоническое разложение 6f определяется по формулам , _
6р = б£ © 6f, 6^ = 6* © 6Г. (4.13)
Кроме того, из формулы (4.11) легко видеть, что если Т — плотно определенный в ф, оператор, действующий в 62, то Jf -ортогональное дополнение к его графику Гт = =Д<Тх, х'Лх^.&Д в 6р совпадает с графиком оператора Тс;
Г1/1 = Гг= = ^<у, Тсу> 1 у ^ $>гс}. (4.14)
Из той же формулы (4.11) следует, что график Гу оператора V — неотрицательное подпространство. Более того, оно является максимальным неотрицательным' подпространством. В самом деле, в противном случае согласно теореме 4.5 гл. I нашелся бы вектор <^,^7> из^, /^-ортогональный Гу, и потому из (4.14) следовало бы х7 = Vcx2. Так как V — двояко строгий плюс-оператор, то Ху = 0. Воспользуемся теперь предложением 4.14° и получим х2 = 0.Следовательно, Г^е5Ль(5р)’ и потому ГуСеЭГ(^) (см. (4.14) и теорему 8.11 гл. I), т. е. [Z/, J/L-[Tcy, У'уф^О при всех уе§2. ■
Следствие 4.20. Если V — двояко строгий плюс оператор, 2)у = ^ и [Vx, Vx]2 > рфг, x]i при р > 0 и всех хе.^,, то [Vcy, VcyV > ц[у, z/]2 при всех у^$2 (или, что
с
то же, VCV — цД^О влечет VV —[х/2^0), и потому Ю (^с)= Н+(^) ктах{0; ц_(Ус)} = max <0; ц_(Г)}.
Достаточно отметить, что —т= V—(/, /2)-несжи-
мающий оператор, и воспользоваться теоремой 4.19. ■
Замечание 4.21. Представляем читателю сопоставить теорему 4.19 и 4.17 и сформулировать ряд критериев того, что (Jt, J2)-несжимающий оператор является (Л.Л)- бипесжимающим.
3. Здесь мы исследуем взаимосвязь некоторых классов плюс-операторов V. При этом будем предполагать, как и выше, V непрерывным и Sv = ^(.
Определение 4.22. Плюс-оператор V называется фокусирующим, если существует такая постоянная т > 0, что [Vx, Vx[2 ^ у Ц УжЦг при всех х е ф+ (^().
Определение 4.23. Оператор V называется равномерно (J,, J2)-растягивающим, если существует такая постоянная б>0, что (Vx, Vx]2 ^ [z, ^Д + 6||x||i, т. е.
VV — 71^>0, и равномерно (Е, J2[-бирастягивающим, если аналогичным свойством обладает оператор Vе.
Теорема 4.24. Для плюс-оператора V следующие утверждения эквивалентны;
V коллинеарен некоторому равномерно (Е, J2)- растягивающему оператору;
У — фокусирующий строгий плюс-оператор;
ц+(У)>шах (0; ц_(У)};
существует v0 > О такое, что УСУ — \OIV 5> О.
а)=>б). Если У коллинеарен равномерно (Л, /2)-
растягивающему оператору, то У — строгий плюс-оператор (см. следствие 4.5) и существуют такие а>0 и б>0,
что [Уж, Уж]2^а [ж, жу + бЦж^. Следовательно, при же сф+(^|) имеем [Уж^^И^-Д^Уж!'2, т. е.
У — фокусирующий плюс-оператор.
б) => в). Пусть У — фокусирующий строгий плюс-оператор: [Уж, Уж]2^ у)/ж ||2 (ж^ У^б))). Если р-(У)^ 0, то импликация б) => в) следует из определения строгости плюс-оператора У: ц+(У)>0.
Пусть теперь ц_(У)>0. Рассмотрим операторы Уе = ^2)У, где 5g2)= (1 — е) Pt + Р^. При достаточно малых е>0 и жеф+(^,) имеем с учетом определения 4.22
[Уеж, Уеж]2 = [(У - еР2У) ж, (У - еР.+У) ж]2 =
= [Уж, Уж]2 + (е2 - 2е) \PtVx, PtVx^ >
Ху + е2 — 2е) К Уж [2 Ху + е2 — 2е) || Уеж ||2,
и потому Уе — фокусирующий плюс-оператор. Так как [Увж, УЕж] ХУж, У^Ь, то ц_(У)^ ц-(У6)^ ц+(У,)^ ^ц+(И). Теперь для завершения доказательства импликации б) ^ в) достаточно проверить, что ц+(УЕ) < ц+(У). Пусть [ж, ж]1 = 1. Тогда [УЁж, У8ж]2 = [Уж, Уж]2 + (е2 — — 2е)[Р.^Уж, PtV^2^, (1 — е)2 [Уж , Уж]2 (поскольку е2 — 2е < О при достаточно малом е > 0), и потому ц+(УЕ)^(1-е)2ц+(У)<ц+(У).
в)=>г). Предположим противное: ц+ (У) > max <0; ц-(У)}, но тем пе менее не существует такого v>0, что
с
У У— v/X Пусть положительные числа vh v2 и v3 удовлетворяют следующим неравенствам: ц-(У)<У1< < v2 < v3 < ц+(У). Тогда (см. следствие 1.36 гл. I) [Уж, Уж]2 > у,[ж, ж]( (i = 1, 2, 3). Из предположения относительно У имеем: существует такая последовательность векторов {жп} cz ^ь Пжп11 = 1, что [Ужп, Ужп]2 — — v2X жп]1 = [(Ус У — Уг/^Жп, жп](-> 0 при п->-оо. Поскольку оператор V*J2V — \J, неотрицателен, имеем
(У*72У-у271)жп^0.(4.15)
Пусть [ж„[ —подпоследовательность последовательности {ж„}, состоящая из семидефинитных векторов, для
<V*J2V - VgZJ ж„ -> 9.<V*J2V - VgZJ ж„ -> 9.(4.16)(4.17)(4.16)(4.17)определенности, из неотрицательных. Тогда [(УСУ — — v2Z1)жn, жп]1 ^ [(ТСУ —■ VyZj ж'г, ж^, и потому
<V*J2V - VgZJ ж„ -> 9.
<V*J2V - VgZJ ж„ -> 9.
(4.16)
(4.17)
(4.16)
(4.17)
Если {ж,J cz $ , то аналогично получаем (У^У-у^^в.
Сравнивая соотношение (4.15) и соотношение (4.16) или (4.17), получим жп -> 0 — противоречие.
Импликация г) => а) немедленно следует из того, что г— V — равномерно(Л, /2)-растягивающий опера-
V V0 тор. ■
□ Замечание 4.25. При доказательстве импликации в) => г) по существу установлено, что если V— строгий плюс-оператор и ц+ (И) > v > max (0; р.-(У)}, то существует 6v>0 такое, что iVx, Уж]2^v[ж, ж^ + 6V||ж||1. Более того, справедливо и обратное утверждение: если [Уж, Уж]2 ^ v [ж, ж]т+6V || ж^ для всех же^,, v > 0, то ц+( И) > v > max {(); р,_(У)}. В самом деле, p,+ (y)^v^ >ц~(У) в силу следствия 1.36 гл. I. Проверим, что v не может совпадать с ц±(У). Пусть, например, p.+ (y) = v. Тогда по определению числа ц+(Е) существует последовательность (жп} с$+(ф1) такая, что [жп, жп], = 1, [Еж„, Уж„]2 -> р+(У), т. е. [Уж„, Ужп]2—Ц+(У)[ж„, ж„]1-+0, что противоречит неравенству [Уж,!, Уж„]2— ^+(У)[ж,ц хп^ ^ 6V|| ж„ ||1 ^ 6v [жп, xn]t = 6v > 0. Аналогично проверяется, что |л-(У)т^.
Таким образом, для любого (в том числе и для нестрогого) плюс-оператора У
. Ji
УСУ - vA > 0 (шах {0, н- (V)}< v < ц+ (У)), (4.18)
и при шах (0, ц_(У)} ¥■ ц+(У)
УСУ - vZ, > 0 (max {0; ц_ (У)} < v < ц ь (У)). ■ (4-19)
Это замечание позволяет доказать предложение
4.26°. Для того чтобы равномерно {J^ J2)-растягивающий оператор У был равномерно Ц^ J2)-бирастягивающим, необходимо и достаточно, чтобы Ус был строгим плюс-оператором.
156
□ Необходимость тривиальна. Достаточность же следует из того, что в силу замечания 4.25 р+(У)>1> >р.(У), и потому из следствия 4.20 имеем д.+ (Ус)>Г> >д-(Р). Остается вновь воспользоваться замечанием 4,25. ■
Сформулированная ниже теорема характеризует «мощность» множества равномерно (7,, 72) -растягивающих операторов.
Теорема 4.27. Множество равномерно ^Jv, J-^-растягивающих ((/р Зг)-бирастягивающих) операторов открыто в равномерной операторной топологии в множестве всех непрерывных операторов, действующих из ф( в ф2, и его замыкание в этой топологии совпадает с множеством всех (/1, 72)-несжимающих ((Л, 1г)-бине сжимающих) операторов.
□ Пусть V — равномерно (7,, 72) -растягивающий оператор )Vx, Vx)2^ [х, х)у + б||х^ (6>0), а V таков, что 6 —2IIKZ — VlHirll — ПУ'— УН2 > 0. Тогда IV'x.V'x]^ = [(у + у'- У) х, (У + У' - У) ^J2 > IVx, Vx]2 - (21| У' - - V || || У || + || У' - У ||2) || х||? > [т, х), + (б - 21| У'-У || ||У || + + ||У' — Е ||2)||ж||2|, т. е. У'— равномерно (71? 72)-рас- тягивающий оператор. Если при этом У был равномерно (7р 72)-бирастягивающим оператором, то в силу теоремы 4.17 О^р(Уц), и потому для V из достаточно малой окрестности У имеем 0 е р (Уц)- Из теоремы 4.17 и предложения 4.26° следует тогда, что У' — равномерно (7\, 72)-бирастягивающий оператор.
Поскольку равномерный предел (7Ь 72)-несжимающих операторов есть (7р 72)-несжимающий оператор, то замыкание множества равномерно (Л, /2)-растягивающих ((7(, 72)-бирастягивающих) операторов вложено в множество (7,, 72)-песжимающих ((715 72)-бипесжимающпх) операторов. Остается проверить, что если У — (7Ъ 72)-не- сжимающий ((7Ь 72)-бипесжимающий) оператор, то его можно приблизить по норме равномерно (7,, 72)-растягивающими ((7,, 72)-бирастягивающими) операторами. Для этого введем в рассмотрение операторы
1^ = ]<Гм^+ + Vi^P?. (4.20)
Непосредственно проверяется, что операторы 1^ при О < е ^ 1 являются равномерно 71-бирастягивающими и при е ^ 0 сходятся но норме к единичному оператору в фи Так как [У/g1^, У/^^Ь > [Д0^, Ze’^Jj = [я, х^ +
+ ehilL то VI^ — равномерно (7lt 72)-растягивающие ((Л, Л)-бирастягивающие) операторы, аппроксимирующие при с-* О по норме (7И 72)-несжимающий ((7Ь 72)-бине- сжимающий) оператор V. ■
О Из теоремы 4.24 и 4.27 непосредственно вытекает
Следствие 4.28. Множество фокусирующих строгих {фокусирующих двояко строгих) плюс-операторов открыто в множестве всех непрерывных операторов, и его замыкание совпадает с множеством всех строгих {двояко строгих) плюс-операторов. ■
В заключение этого пункта приведем
Замечание 4.29. Плюс-операторы и подклассы плюс-операторов, действующих из антипространства к ^ в аитипространство к ^2, будем называть (как операторы, действующие из ^ в £2) минус-операторами и соответственно изменим название подклассов (например, (—71, —72)-несжимающие операторы будем называть (7„ 72) -нерастягивающими). Для минус-операторов естественным образом можно переформулировать все утверждения, приведенные выше для плюс-операторов. Предоставим это сделать читателю и в дальнейшем при использовании этих утверждений будем ссылаться на замечание 4.29.
. Если У — непрерывный плюс-оператор, действующий из 74-пространства ф( в 72-пространство ^2, 2+ = ^, то оператор VCV действует в ф,, и потому корректен вопрос об описании его спектра.
Теорема 4.30. Пусть У и Ус — непрерывные плюс- операторы. Тогда о(УсУ)>0.
Из (4.18) и теоремы 3.24 следует, что о(УсУ)с:[Р. Пусть —аео(УсУ), а > 0. Тогда существует последовательность {т,,}? "61, IWIi = 1, такая, что
(УСУ + al^x^Q {п-^оо). (4.21)
Без уменьшения общности можно считать, что ограниченные последовательности {[^п, ЯпМГ, 1[Ужп, Vxn]2^ и {[У'У^У'У^ЫГ сходятся и имеют соответственно пределы р, 7 и б. Из (4.21) получаем (умножив (УСУ + aZ,)^ скалярно на J4xn и перейдя к пределу при п -> оо) ч + оф = О и (умножив (УСУ + а/^Хд скалярно на JiVcVxn и перейдя к пределу при п ->- °°) б+ «7 = 0. Первое равенство влечет 7 ^ 0; в самом деле, если р > 0, то 7^0, так как У — плюс-оператор, а если ^ < 0, то 158
7^0, поскольку а > 0 по условию и у = —а^. Теперь из 6 + ау = 0 и того, что Vе — плюс-оператор, заключаем, что 6 > 0, т, е. 6 = 7 = 0, а потому и ^ = 0.. Отсюда
l^im [ (7С7 — р+ (7) / J жп, я^ = у — р+ (7)^ = 0,'
и потому (ср. с доказательством теоремы 3.24) (7С7— • р+(У)/1)т„ ^ 0 при п ^-оо. Сравнив последнее соотношение с (4.21), получаем хп 9 — противоречие, я
Ниже в этом пункте будем предполагать, что V — непрерывный оператор, действующий в /-пространстве ф, ®г = 5.
Теорема 4.31. Если 7— равномерно J-растягивающий оператор, то его поле регулярности содержит единичную окружность ТГ ={ 661 = 1} При этом 7 — равномерно J-бирастягивающий оператор тогда и только тогда, когда Т с р (У).
Пусть ;£ Т и § пе является точкой регулярного типа оператора 7. Тогда существует такая последовательность с Itanll — 1, что (7—£Z)zre->-9 при п -> °о. Поскольку 7 — равномерно /-растягивающий оператор, то при некотором 6 > 0
([Vxn, Vx„] - [хп, х„] =)§[жп, (7 — gZ)zn] + '
+ ШУ-£7К, ^] + [(7-^)л;п, (7-£ZK]>6W2,
и потому хп ->- 9 при п -* оо — получим противоречие.
Пусть теперь 7 — равномерно /-бирастягивающий оператор. Из доказанного выше и теоремы 1.16 заключаем, что Гетр (7).
Обратно, пусть 7 — равномерно /-растягивающий оператор и Тетр (7). Поскольку 77е — J = (V — Z)X X(7е — Z)-1 (7С7 — Z) (7 — Z)(7е — Z), то 7c7-Z»0 влечет 77е — I >■ 0. ■
Следствие 4.32. Пусть 7—фокусирующий строгий плюс-оператор в J-пространстве ^. Тогда все £ такие, что VmaxtO, р_(7)} < 1^1 < Vp+(7), являются точками регулярного типа оператора 7, а регулярны они тогда и только тогда, когда 7 — двояко строгий фокусирующий плюс-оператор.
Это утверждение прямо вытекает из теоремы 4.24, (4.19) и теоремы 4.31. я
Упражнения и задачи
Доказать, что для всякого строгого плюс-оператора V существует такое е = е(Г) > О, что для всех плюс-операторов из б-окре*стпостп (по норме) оператора V плюс-дефект один и тот же (М. К р о й н и Ш м у л ь я н [21).
Доказать, что если Vb Г2— строгие плюс-операторы и V,— И2е©оо, то 6+(У)) = 6+(F2) (М. Крейн и Шмульян [2]).
Проверить, что если V — строгий плюс-оператор, действующий из ^-пространства & в ^-пространство &, то Р2У — также строгий плюс-оператор.
Указание. Воспользоваться тем, что [p+fk, р+у«]2> 5ЦУ®, Кж]2.
Доказать, что если V — /-носжимающий непрерывный оператор, действующий в пространстве Крейна 5, ©у = 5, то круг = {X 11 X | < 1) принадлежит полю регулярности оператора Гц, De Р(УН) тогда и только тогда, когда V— /-бипесжимающий онератор (М. Крейн п Ш м у л ь я и [2]).
Указание. Воспользоваться формулой (4.8) и теоремой 4.17.
Доказать, что условия а)—д) теоремы 4.17 эквивалентны условию е) 0 ^ Op (У^).
Указание. Воспользоваться упражнением 4.
Пусть 5 = ф+ ф>5- — /-пространство, dim 5 = dim ф+, а У — полуупитарпый оператор, отображающий 5 в ф+. Проверить, что V — строгий, но не двояко строгий плюс-оператор.
Указание. Воспользоваться теоремой 4.17.
Доказать, что непрерывный (/i, /2)-несжимающий оператор V является (Л, .^-бипесжимающим тогда и только тогда, когда его график Гу является максимальным неотрицательным подпространством в/^.-пространстве 5р (4.5) (ср. Рицпер [4]).
Указание. Сравнить (4.14) с теоремой 8.11 гл. I.
Пазовом плюс-оператор V устойчивым, если все операторы из некоторой его окрестности являются плюс-операторами. Доказать, что утверждения а) — г) теоремы 4.24 эквивалентны устойчивости плюс-оператора V (М. Крейн и Шмульян [5]).
Пусть V = || Vy ||^3-=1 — непрерывный равномерно (Л,/2)- растягивающий оператор, ©у = 5,. Доказать, что оператор будет равномерно (/], /2)-бирастягпвающнм тогда и только тогда, когда
Указание. Ср. упражнение 5 и предложение 4.26°.
Доказать, что множество всех непрерывных строгих плюс- операторов, действующих в /-пространстве 5, образует полугруппу и ц+(71Т2)^ ц+(7,)[л+(Г2)^ ц_(7|72) (М. Крейн и Шмульян [5]).
Доказать, что если 7, и Т2— строгие плюс-операторы в /-пространстве 5, то 6+(7(72) = 6+(7() + 6+(72), где, напомним, 6+(7)—плюс-дефект оператора Т (см. теорему 4.15) (М. Крейн и Ш м у л ь я п [2]).’
Доказать, что каждый строгий плюс-оператор в пространстве Пх является двояко строгим (Гинзбург [2]).
Указание. Ср. упражнения 4 и 5, воспользоваться конечномерностью Щ..
Пусть V— (71, У2)-несжимающий оператор, действующий ил пространства Понтрягина Пи в пространство Понтрягина 1ГХ,, к' = к, ©V = Пи. Тогда V — непрерывный оператор (ср. И. И охни д о в [17]).
Указание. Проверить, что оператор V удовлетворяет условиям следствия 4.8.
Привести пример, показывающий существенность условия к' = и в задаче 13 (Азизов).
Пусть V—У-несжимающий оператор, 8+с ip+jS1^--8+ (] Г) S^ и dim 8^ < оо. Тогда F8+ = 8+ влечет И8Р|_ = 8^_ (Азизов).
Указание. Сначала проверить, что 8^. cz F8^, а затем воспользоваться конечномерностью 8^_.
Пусть ^ = 5+ Ф 5”’ — /-пространство, §- — сепарабельные бесконечномерные пространства с ортоиормировапными базисами ^l-oo и [еГ}-оо соответственно. Проверить, что линейный оператор V, определенный на базисе следующим образом: Ve^= e^j i 0, ± 1, ...; VeT — е^г, i : = — 1, — 2, ...; Fe~ - 0, является Убипесжимающим п8+ = CLin {{e^-f-erj^^, {e+J^j еЗИ+, F8+— — 8+, по тем не менее V8^ =£ 8^, где 8^. -- 8+ П в^^ (ср. с задачей 15) (Азизов).
Доказать, что если V — (Уь У2) -несжимающий оператор, ©г — 51 и [V^o, У^о] = [х0, х0] при некотором х0, то [Fx0, Fy] = = [хо, у] при всех у е ©у, и потому VxQ е ЭуС и VcVx0 = x0, т. о. хо е Ker (FCF — /|) (Азизов).
Указание. Использовать неотрицательность графика Гу = -= {<Fx, ж>|же©у} в /р-метрике (4.11) и изотропность вектора <Vx0, х0> (еГу) в ней.
Если V — У-бинесжимающий оператор, то <тг (F) Г1 Т — 0 (ср. со следствием 2.17) (Е. Иохвидов [1]).
Указание. Использовать результат упражнения 17 примс- пительпо к оператору F°.
Пусть F — /-нажимающий оператор, действующий в У пространстве 5, ©у = 5. Доказать, что Ker(F—£7)с ст Ker (Fc — |У) при ;еТ; в частности, если F — У-бинесжимаю- щпй оператор, £ е Т," то Ker (F — £7) = Ker (Fc — £7), и потому )tty_Ef = ^ при £ ^ Пр(Е) (Азизов).
Указание. Использовать упражнение 17.
Пусть F — У-бинесжимающий оператор, 80 — нейтральное подпространство и F80 = 80. Доказать, что оператор F, индуциро- ттпый оператором F в У-простраистве 5 ~ ^^V^o’ является У бииесжимающим (Азизов).
Указание. Использовать упражнение 17 и теорему 1.17.
Пусть F — У-песжпмающпй оператор с ©у = 5, 8c8i(V)f| П Ker (FCF — У),F8c8. Доказать, что при Хи =/= 1 будет
G[-L]8u(F) (Азизов).
Указание. Так же, как в упражнении 8 к § 1, воспользоваться индукцией по параметру р + д, где р, g — наименьшие целые неотрицательные числа, при которых для жей, уе8ц(У) имеют место равенства (V — V)рх = О, (У — уДУи = 0.
Доказать, что если для произвольного /-несжимающего оператора У имеем Уж = Хх, Уу = цу и |Х| = |ц[ = 1, X ф ц, то [у, ж] = 0.
Указание. Воспользоваться результатом упражпепия 17.
Доказать, что если У — ТУ-несжимающий (ТУ-нерастягива- ющий) оператор и Уж0 = Хж0, Уж, = /ж, + ж0 при |Х| = 1, те ж0[Л_] Кег (У — XZ) (ср. упражнение 11 к § 2).
Указание. Использовать неотрицательность (неположительность) [Уж, Уж] — [ж, ж] на ©г
24. Доказать, что у л-несжимающого оператора У все корневые подпространства 8^(У)(|Х| = 1), за исключением пе более чем к из пих, являются собственными отрицательными подпространствами (ср. со следствием 2.28) (Азизов).
Указание. Воспользоваться результатами упражнений 22 и 23.
У л-песжпмающего оператора У в сепарабельном пространстве Пх на окружности Т может быть не более чем счетное множество различных собственных значений (Азизов, ср. И. И о х- видов [1]).
Указание. Воспользоваться результатом упражнений 22 и 24.
Пусть ф1 — J,-пространства (i = 1, 2). Непрерывный оператор У: ^i->& с ©г =5i называется В-плюс-оператором,, если [ж, ж] i^O, ж 46= 0 =4- [Уж, Уж]2>0. Ясно, что У — плюс-оператор. Доказать, что в случае, когда 51 = Пх, всякий В-плюс-оператор является строгим плюс-оператором, однако обратное утверждение неверно ([XV]).
Проверить, что в первом утверждении упражнения 26 условие 51 = Пх существенно.
Указание. В /-пространстве, отличном от пространства Понтрягина, рассмотреть ортопроектор У па неправильное максимальное положительное подпространство и воспользоваться предложением 4.14° и теоремой 8.11 гл. I.
Очевидно, что всякий равномерно (Л, /2)-растягивающий оператор является В-плюс-оператором. Построить пример, показывающий, что даже для 51 = & = Пх это утверждение пе допускает обращения.
Пусть У — В-плюс-оператор, а Vе — плюс-оператор. Доказать, что Ус — также В-плюс-оператор. В частности (ср. унражпе- пис 12), при 51 = & = Пх для всякого В-плюс-оператора У оператор Ус — также В-плюс-оператор.
Указание. Рассмотреть произвольное 8е2й+(52), доказать отрпцательпость подпространства (Ус8)[±] и затем применить теорему 1.19 гл. I (ср. [XV]).
Доказать, что для плюс-оператора У с У($++(51) Л ©г) П П ¥°(5г) ¥= 0 всегда Sir с $+(5г) (Бро дек и'й [!])•
Доказать, что в условиях теоремы 4.6 из $++(5i) Л Кег У = — 0, ®угэ5+ и того, что оператор Уп (см. (4.4)) ограничен и ^1^ = ^. следует ограниченность У (Бродский [1], ср. И. Иохвидов [17]).
Проверить, что в /-пространстве 5 = 5+®5-' с dim5+ = 00
^и 0О I- ’^и 0О I- ’оператор V =оператор V =где Vn — полуунитарный оператор с
^и 0
О I- ’
^и 0
О I- ’
оператор V =
оператор V =
^||ф+¥= Ф+, является строгим плюс-оператором, а Vе не является даже плюс-оператором (И. И о х в и д о в , ср. [XV]).
Пусть V: Si-> ф2 — строгий минус-оператор. Тогда КегР^КР” |^7 = (0), и при Эг = $| равенство^ _ _ = Ф^ эк
вивалентно двоякой строгости минус-оператора V (ср. Гииэ- бург [2]).
Указание. При доказательстве первого утверждения воспользоваться результатами упражнения 3 и неравенством (4.3), при доказательстве второго утверждения — упражнением 7 к § 1 и теоремой 4.17. При этом следует учесть замечание 4.29. '
Пусть У:^-*&—(Л, 72)-биперастягивающий оператор, 8i(c^i)—равномерно положительные подпространства, Wt— операторы Грама подпространства в^, Р^— Jг-ортогональные проекторы па б^3 (1 = 1, 2). Тогда Л/Рг^-11 —(И\, WJ- Оинерастягивающий оператор (Азизов).
Указание. Без ограничения общности считать 8j с ^7 (1 = 1, 2), записать V в матричном виде относительно разложений ^i = 8Х [4-1 й/1, $2 = й2 [4-i й|-^ и вычислить матрицы W2V(^7i), V/iV*^^).
Изометрические, полуунитариыеи унитарные операторы
и только тогда, когда оп одновременно (FKi, 1У2)-песжи- мающий и (Wi, W2)-нерастягивающий (соответственно (Д, /2)-бинесжимающий и (Д, Д)-бинерастягивающий) оператор, и потому для таких операторов справедливы соответствующие утверждения из § 4.
5.2°. Для того чтобы линейный оператор V с индефинитной областью определения был. коллинеарен некоторому (Wi, W2)-изометрическому оператору U, т. е. V = KU (X + 0), необходимо и достаточно, чтобы У был плюс-опе- ратором и строгим минус-оператором (или минус-оператором и строгим плюс-оператором) одновременно.
Необходимость тривиальна. Теперь пусть, например, V — плюс-оператор и строгий минус-оператор. Тогда (см. теорему 4.3) существуют такие постоянные а>0 и Р > 0, что [Уж, Уж]2 > а[ж, ж], и —[Уж, Уж]2 > — р[ж, ж]1 при же©У( и потому (а —р)[ж, ж], ^ 0. Так как ©г индефи- питпо (по условию), тоа = р>0и(7 = —-^-У—(РУП Ж2)- изометрический оператор. ■
В дальнейшем мы будем пользоваться следующим простым предложением, немедленно вытекающим из поляризационной формулы (см. упражнение 1 к § 1 гл. I).
5.3°. Для того чтобы оператор U был (РУ,, ИД)-п.зо- метрическим, необходимо и достаточно, чтобы (Ux, Uy\z — = [х, y]f при всех х, у е ©у. ■
Замечание 5.4. Из предложения 5.3° следует, что если х, уе^ц, то (ж[-1-]у) {?7ж[-1.][/у}, и потому линеал 8(с©у) изотропен в ©^ тогда и только тогда, когда US4 изотропен в $Гг. g
Выше указывалось на .возможную неограниченность (РУ1, ИД)-изометрических операторов с нейтральной областью определения. Оказывается, последнее условие по является обязательным: существуют даже (Д, Д)-полу- унитарные неограниченные операторы.
Пример 5.5. Пусть ф = £)+®£)-— бесконечномерное /-пространство с бесконечномерными фД (8+, 8_)— максимальная дуальная пара семидефипитпых подпространств классов А± соответственно (см. упражнение 4 к § 10 гл. I), 8о = 8+П8-, dim80 = 1 и й± = й0 + й±, где 8+ — плотные в 8± дефинитные линеалы. Тогда по отношению к скалярному произведению ±[ж, у] (ж, уеД) линеалы SL являются гильбертовыми пространствами, причем dim8± = dim^i± (см. определение 5.9 гл. I и предложение 1.23° гл. I). Следовательно, существуют изометри-
чсскис операторы U*, отображающие $* па £±. Определим теперь оператор U на элементах х = х+ + х-, х± е фх, по формуле U (х+ + х-) = U*x* + U~x~. Легко видеть, что это Лполуунитарный оператор, причем образ подпространства 4j+ является (незамкнутым в ф) линеалом 8+. Из предложения 5.2° и следствия 4.13 заключаем, что 17— неограниченный оператор. ■
В этом примере достаточным условием для неограниченности оператора 17 оказалась п е з а м к и у- тость U^*. Оказывается, такого рода условия являются и необходимыми.
Теорема 5.6. Пусть U — (A, J^-полу унитарный оператор. Тогда следующие условия эквивалентны:
U — непрерывный оператор; •
U^— подпространства; ■
Я^ — подпространство.
а) => б) немедленно следует из предложения 5.2° и следствия 4.13.
■ б)=>в). Проверим, что U&T— равномерно дефинитные подпространства. Для этого достаточно (см. предложение 5.6° гл. I) показать, что подпространства U^ полны относительно внутренней нормы |[£7ж, 17ж]2|1/2 (ж е •б*). Последнее же немедленно вытекает из того, что
— гильбертовы пространства со скалярными произведениями ±[ж, у]!, ±[17ж, Пу^г — скалярные произведения в U^, а 17|^-изометрические операторы. Итак, U^- равномерно дефинитные подпространства. Остается воспользоваться теоремой 5.7 гл. I.
в)=>а). Так как \Ux, UyV^Y^, у], при всех х,уе^^ и ^! певырождено, то Кег 17 = (9). Следовательно, существует оператор U-1. Из этого же соотношения вытекает, что (А J2)-полуунитарпость оператора 17 эквивалентна включению
U-1 с Vе. (5.1)
Поэтому U-1 допускает замыкание и задан на подпространстве 9tcz, т. с. U~l — непрерывный оператор. Отсюда в силу теоремы Банаха вытекает непрерывность U. ■
Замечание 5.7. По существу, в импликациях а)=>б)=>в) доказано, что 1Л9Т, U^— правильные подпространства. ■
Следствие 5.8. Каждый (Ц, ^-унитарный оператор ограничен. ■ -
Замечание 5.9. Если &— ^.-пространства, т. е. 0^oP(Gi) (i = l, 2), то для (Gb G2) -полуунитарных операторов также справедливо соотношение (5.1), и потому, если $и — подпространство, то U-1 и U — ограниченные операторы. В частности, все (Gb G2)-унитарные операторы ограничены и условие (Gb G2)-унитарности оператора U переписывается в виде
U"1 = UC (=07^*0,), Sy-^, 9?у = 62. (5.2)
2. □ Пусть теперь §г — Л-пространства, i = 1, 2, a U = || Uц ||ij.-=i—матричное представление (/ь /^-полу- унитарного (/1, /2) -бипесжимающего оператора.
В силу замечания 4.21 и теоремы 4.17 оператор Uu непрерывно обратим па всем ' ^, U21U7i (= Г) — угловой оператор равномерно положительного подпространства U^, и потому НГИ < 1. Введем в рассмотрение действующий в пространстве %a=^t Ф ^Г оператор 17(Г) = Р(Г)1;||Ь=1 =
(/^-ПГ)-^ Г* (/- - ГГ*)"1^
г (/ + _ p*r)-V2 Qr- ГГ*)-1/2• V - 1
Непосредственно с помощью формулы (5.2) проверяется, что £7(Г) — /2-унитарный оператор, а из 3.21 также с помощью несложной проверки вытекает, что U(Г) — равномерно положительный оператор. По построению G(F) имеем, что У = G(r)-1G — (/ь /2)-полуунитарный (/ь /2)-бинесжиматощий оператор, преобразующий ^t в ■б^, а потому (см. замечание 5.4) и $Г в ^7 • Следовательно, V имеет матричное представление У=|| Уу||у)=1, где Уи : <б+->-$" — унитарный, У22: 6Г~>6Г — полу- упитарный оператор, а У12 = О, У21 = 0.
Обратно, пусть 8+ — произвольное максимальное равномерно положительное подпространство в & и Г — его угловой оператор. По формуле (5.3) введем /-.-унитарный оператор £7(Г). Пусть dim^^ = dim$2b, dim ^Г^ dim §7, а Уп : ^j1" ->б?— унитарный, Угг^Г-^^— полу- упитарпый оператор, У21 = 0,У12 = 0. Тогда У =
= ||Ууlii,i=i — одновременно полуунитарный и (/ь /2)- полуунитарпый оператор, а оператор U = U(r)V является (/и /2)-полуупитарпым (/,, /2)-бинесжимающим, пре- ■ образующим ^i в заданное пространство 8+ с §2.
Подытожим паши рассуждения:
Теорема 5.10. Между всеми тройками операторов (Г, V», V22), где Г:^-*"^' — равномерное сжатие, ^ii:*^i 5? — унитарный, V22 : $7£>Г — полу- унитарный оператор, и всеми (Л, /2) -полуунитарными (J), Jг)-бинесжимаюи^ими операторами устанавливается взаимно однозначное соответствие; (Г, Vh, V22) -* Z7 = = £7(Г)У, где ?7(Г) строится по формуле (5.3), а У = HlVtillUi’^-0, V]2 = 0;t/-4^^ гЭе Г = = иг№, vlt = Ptu ^up^ | ^, y22 = p;wr X xup;\§;. ■
Следствие 5.11. В условиях теоремы 5.10 опера-, тор U является {В, J 7)-унитарным тогда и только тогда, когда У22 — унитарный оператор. ■
Следствие 5.12. Если U = |l Uu ||щ^1 — (Л, Л)" полуунитарный (h, 1г)-бинесжимающий оператор, то (721е ©«,=>- L'12G@„.
Это следует из импликации 17е®» ^ Ге®«
Г*е©оо => 1721е©оо. 9 „
Следствие 5.13. Если U = U(P)V—J-унитарный ’оператор иТе®„, to С\Т ср (£7).
Так как Г е ©„, то it - (it - Г*Г)~1/2, 17 - (17— ГГ*)-1/2 е ©оо, и потому U— Уе©^. Поскольку V — унитарный оператор, то остается воспользоваться теоремой 2.11 с учетом того, что спектр унитарного оператора лежит на единичной окружности, в ■
Замечание 5.14. В §§ 4, 5 мы пока не углубляемся в изучение спектральных свойств /-песжимающих и /-изометрических операторов, поскольку ниже, в § 6, с помощью преобразования Кэли — Неймана мы установим связь этих классов операторов с классами /-диссипативных и /-симметрических операторов соответственно и тем самым — связь между их спектральными свойствами.
В этом пункте выделим и опишем специальный класс /-унитарных операторов — устойчивые /-унитарные операторы. Это описание получится как следствие более общего результата.
Определение 5.15. /-унитарный оператор U, действующий в /-пространстве ^, называется устойчивым, если Й£7ПН ^ с < °° при п = 0, 1, 2, . . .
Заметим сразу, что из формул (5.2) и (1.2) следует ■ lit/—’‘II = Пг7*"Н — 1;К”И, и потому для устойчивого U также 11 £7-и11 =5 с при п = 0, 1, 2, ...
Определение 5.16. Группа U = {77} называется аменабелъной, если на пространстве 5(U) ограниченных комплекснозначпых функций на U существует инвариантное среднее /ц, т. е. линейный непрерывный функционал /ц, обладающий свойствами
а) /и (1) = 1;
б)/ц(ф)^О при (peS(U), ф(77)^0 для любых 77еЦ;
в) /и (Ф Ф1)) = /и (ф (1 и>Ь = /и (ф) при любом U е U.
Из свойств а) и б) немедленно следует, что для ве- ществ.еппых функций ^eB(U) справедливы неравенства
inf {ф (77) | U е U} ^ /ц (ф) ^ sup {ф (77) | U е U}. (5.4)
Замечание 5.17. Примерами амепабельных групп являются (см., например, [X]) а) разрешимые и, в частности, коммутативные группы; б) компактные группы и, в частности, ограниченные группы операторов в конечномерном пространстве и др.
Теорема 5.18. Лменабельная группа И = {77} ]-унитарных операторов U ограничена (по норме) тогда и только тогда, когда существует дуальная пара (8+, 8~) максимальных равномерно дефинитных подпространств, инвариантная относительно U, т. е. U^ с g* при всех U еЦ.
Пусть U — ограниченная амепабельпая группа, 117711^ с <°° при U е U. Рассмотрим функцию фж-у:77^- -*(Ux, Uy)(x, у^^ UеИ). Эта функция ограничена па U: 1фк, У(Т7) | = I (Ux, Uy) | ^ с2Пж1111у11, и потому она входит в область определения инвариантного среднего /ц. Легко видеть, что функция <^, У>-*/и(фх,у)(^,y)i
является неотрицательной полуторалипейпой формой па $. Из формулы (5.4) получаем — ]|жЦ2 ^ inf {фж-ж (77) \U е eU}^(x, ^j^sup {фж,ж (77) |77eU}^c2 ||ж||2, т. о. (х, у), — скалярное произведение, эквивалентное исходному в смысле порождаемых ими норм. В силу свойства в) инвариантного среднего имеем (Ux, Uy)^ = /ц (<Рих,иу) = = /и (фх,у (-^)) = /и (фх,у) = (ж, у)г, т. е. группа U является группой унитарных операторов в новом скалярном произведении (х, y)t. Так как (х, y)i—(Wx, у), где W равномерно положителен, то (W1/2UW~1/2) — группа унитарных операторов (в исходном скалярном произведении), причем ГР^И7-172 коммутирует при любом UеЦ 168
с ограниченным оператором G = W-'^IW-1111, являющимся самосопряженным и непрерывно обратимым (0 ^ р (G)).
Следовательно, спектральные подпространства 8+, 8- оператора G, отвечающие его положительному и отрицательному спектрам соответственно, инвариантны относительно операторов jy1/2iLW-1/2, а потому подпространства 81'= РР-1/28± инвариантны относительно всех U е Ц. Так как 8+ ортогонально й- и 8+ ® L = £, то непосредственно проверяется, что 8+ J-ортогопальпо 8_, и из непрерывной обратимости И7-1/2 имеем § = 8+ [+] 8~. Кроме того, поскольку 8± — дефинитные подпространства в G-метрике, то 8* — дефинитные подпространства в /-метрике. Из следствия 7.17 гл. I следует, что 8* — равномерно дефинитные подпространства. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Теперь пусть у множества U = {(7} /-унитарных операторов (даже без предположения, что U —группа!) есть общая инвариантная дуальная пара максимальных равномерно дефинитных подпространств (8+, 8-), т. е. U^ с сЗ1 (G^U). Тогда :ф = 8+[+]8~. Введем в $ новое, эквивалентное исходному (см. теорему 7.19 гл. I) скалярное произведение (ж, у) i = [л^+, £/+] — [#-, У—L гДе х = = ж+ + х_, у = у+ + у_, х±, у± е й^. В этом скалярном произведении каждый оператор U е U является унитарным. Поэтому, если тп1Ы1 Itilt Л/IWI, то II С/ll М/т, т. с. множество U ограничено.
Замечание 5.19. При доказательстве теоремы 5.18 установлено, что ограниченная аменабелъная группа U = (G} операторов U (при этом мы не пользовались их /-унитарностью) подобна группе унитарных операторов Wl!2UW-4\ и потому спектр каждого из операторов этой группы унитарен, т. е. o(t/)cT. ■
Следствие 5.20. /-унитарный оператор U обладает инвариантной дуальной парой равномерно дефинитных подпространств тогда и только тогда, когда он устойчив.
Это немедленно вытекает из теоремы 5.18 с учетом того, что порождаемая /-унитарным оператором группа коммутативна и потому (см. замечание 5.17) амепа- бельпа. ■
Определение 5.21. Непрерывный оператор Т, действующий в пространстве Крейпа 5, называется нормально разложимым, если его спектр о(Т) можно разбить па такие два пепересекающихся спектральных множества а ( Г) = 01 (Т)U о2(Т), что подпространства Рарт$ и
Р<згт^1 Инвариантные относительно Т (см. теорему
2.20), равномерно дефинитны.
Определение 5.22. Устойчивый /-унитарный оператор называется сильно устойчивым, если все /-унитарные операторы из некоторой его окрестности устойчивы.
Следующая теорема связывает понятия нормальной разложимости для /-унитарных операторов с сильной устойчивостью.
Теорема 5.23. З-унитарный оператор сильно устойчив тогда и только тогда, когда он нормально разложим.
О Пусть /-унитарный оператор U сильно устойчив. В силу теоремы 5.18 и теоремы 7.19 гл. I без ограничения общности можно считать, что U^ = §±, и потому U — одновременно и (гильбертов) унитарный оператор. Проверим, что c(U\§+') П a(U\^-') = 0. Предположим, что это не так, и пусть go е о({7]^+) П о({7|ф~), а (е1Ф1, е1ф2)— открытая дуга единичной окружности, содержащая точку &о = е’Ф° : 0 ^ ф( < ф0 < ф2<2л. Обозначим через Е, спектральную функцию унитарного . оператора U. Определим оператор£7ф„<р2: ^фрф2| (#ф2 — Е^£ = 101\(Е<,2 — Еф,) 6, а ^фрф2 | (^— ^Фг + ^Ч>1) 5 = I (^— ^Ф2 + ^»i)^. ^3 построения С7ф11ф2 следует, что оп унитарен и /-унитарен одновременно, ^Ец,2— Е^^ 5 инвариантно относительно ^7Ф1,ф2, и, подходящим образом выбрав длину дуги (е , е ), оператор с/ф1,ф2 можно сделать сколь угодно близким по норме к оператору U. Так как U^ = ^ то ^Е^ — ЕФ1) Ь = (Е^ — Еф1) ^ ф ф (Еф2 — ЕФ1) 5-, и потому (Еф2 — ЕФ1)-6— /-пространство Крейна, где / = /|(Еф2— £Ф1)«б. Для завершения доказательства этой части теоремы достаточно показать, что в любой окрестности /-унитарного оператора gj можно найти неустойчивые /-унитарные операторы. Такими будут, например, операторы |0С7(Г), где С7(Г) определяется формулой (5.3), а Г^О. В самом деле, оператор Е7(Г) равномерно положителен, {7(Г)¥=7, и потому спектр ТЦГ) содержит хотя бы одну точку (0<)Х0^1» а тогда Aogoео(^»^(Г)) и Uogol^l. Отсюда следует (см. замечание 5.19), что got7(D не является устойчивым оператором. Выбрав норму оператора Г достаточно
малой, можно добиться того, чтобы операторы £0Е7(Г)’ были достаточно близкими к §07.
Пусть теперь /-унитарный оператор U нормально разложим, т. е. о (77) = aiUa2, о1Ло2 = 0, а подпространства 8+ = Ро^ и 8_ = Ра$ являются равномерно положительным и равномерно отрицательным соответственно. Так как Т78+=8+, то (ср. 1.11° с формулой (5.2)) 778!^ = 8[|?\ и потому [8+, 8У"]} — инвариантная относительно U дуальная пара равномерно дефинитных подпространств. В силу следствия 5.20 оператор U устойчив. Поэтому (см. замечание (5.19)) его спектр унитарен, т. е. о (77) с Т. Так же, как и в следствии 3.12, можно проверить, что РО1 и РОг— /-самосопряженные проекторы. Пусть Г4 и Г2 — соответствующие непересекаю- щиеся симметричные относительно единичной окружности контуры, окружающие Oi и о2. Тогда (см., например, [XI]) при достаточно малых по норме возмущениях V, оператора U спектр оператора V = U + Ve будет также разделяться на два пепересекающихся множества ог и а2, окруженные Г4 и Г2 соответственно. При этом, если V — /-унитарный оператор, то Р » — /-самосопряженные проекторы, достаточно близкие по норме (в силу близости V и U) к проекторам Рст. (7 = 1,2), и потому (см. задачу 10 к § 3) вместе с последними являются проекторами па равномерно дефинитные подпространства. Из следствия 5.20 вытекает, что V — устойчивый оператор, и потому U — сильно устойчивый оператор. ■
. В заключение введем еще один класс операторов, тесно связанный с /-изометрическими операторами.
Определение 5.24. Пусть §, — Л-пространства, i = = 1, 2. Ограниченный оператор U: ^i 5г с S>u = ^i называется частично (Ji, ^-изометрическим, если Ker U— правильное подпространство, а 77 I (Ker 77)[J-1— (/ь /2)- изометрический оператор.
Из определения 5.24 прямо следует, что непрерывные (Л, /2)-полуунитарные и, в частности, (/и /2)-унитарные операторы являются частично (Л, /2)-изометрическими.
.25°. Если U—частично (J^ J^ -изометрический оператор, то частично (/2, Л)-изометрическим будет и оператор Vе.
□ Так как (Кег 77)ш — правильное вместе с Кег 77 подпространство и оператор 77| (Кег Т7)ш непрерывен, то в силу замечания 5.7 Sy = ^ццкеги)!^ ^ правильное
подпространство, и потому Ker Uc (= St^1)— также правильное подпространство. Из (Л, /2)-изометричности <71 (Ker U)Г±1 следует, что 77с|9?ц- = (Ё7| (Ker U)ш)-1— (Л, Л)-изометрический оператор. Остается воспользоваться определением 5.24. ■ .
Следствие 5.26. Оператор U\ Ц^ ^-сопряженный непрерывному Цъ ]2)-полу унитарному оператору U, является частично (/2, ^-изометрическим оператором. ■
Следствие 5.27. Пусть U— частично (Ji, J2)-изометрический оператор. Тогда UCU — J\-орто зональный проектор на ^&м1]^ш. ■
Упражнения и задачи
Пусть У — (/1, /2)-полуунитарный (не обязательно ограниченный) оператор; тогда У-1— непрерывный оператор (ср. [I]).
Указание. Так как ©у = 61, то Ус — ограниченный оператор (ср. [XXI]). Остается воспользоваться включением (5.1).
_ 2. Доказать, что если U — (Ц, /2)-полуунитарный оператор с Э?п = Фг, то U — О\, /2)-упитарный оператор.
Указание. Использовать результат упражнения 1.
Доказать, что если V — (71г /2)-изометрический оператор, Эу — замкнутое, SRV — невырожденное подпространство, то V — непрерывный оператор (ср. И. Иохвидов [5]).
Привести примеры yb /2)-изометрических неограниченных плотно заданных операторов U: Si &, для которых U-1 = U®.
Указание. Использовать прием, изложенный в примере 3.36.
Доказать, что произвольный Пь /2)-унитарный оператор можно разложить в произведение U=U\Ub где ^ — /2-унитар- ный оператор и Uf = Z2, а П2—(Л, /2)-унитарный оператор с П25^ = 5^-- Указание. Положить U\ = U(Г)/2, а П2 = /27, где U(Г) и 7 те же, что и в теореме 5.10.
Доказать, что если и — ytl /2)-унитарный оператор, то |С7] = ([7*[7)i/2— /-унитарный оператор. Вывести, основываясь на этом, полярное разложение U = 7|[7| Оь /2)-унитарного оператора и доказать, что V — (/ь /2)-унитарный оператор и 7ф± = = 6*• Указание. Воспользоваться теоремой 5.10.
Доказать, что ограниченная группа л-унитарных операторов в конечномерном пространстве имеет инвариантную дуальную пару дефинитных подпространств (Азизов, Шульман).
Указание. Воспользоваться теоремой 5.18 с учетом замечания 5.17 б). '
Привести пример /-унитарного оператора с единственной инвариантной дуальной парой (S+, ф~), не являющегося сильно устойчивым
Указание. В качестве [7 взять, например, оператор [7; [7|ф+=/+, a U16~ — оператор сдвига по ортопормировапному базису {«f]”^ в S~.
Пусть U = Ц Uy ]]{,,■-.! — матричное представление /-унитарного оператора относительно канонического разложения ф =8 172
-^ 5+ ®Ф“ и пусть существуют такие открытые множества Я] и Я2, что ох= U {о(£711 + £712К)|Ке.Я'+}сЯ1, о2 = U {о (£7^4- ■I" ^12)I ^s №~1 с^’^ Л ^ = 0’ °^ ^ Я1 и Я2- Доказать, что если р(£7)П {§: ||| = 1} ^ 0, то U — сильно устойчивый /-унитарный оператор (Лангер [11]).
Пусть U = {£7}—группа /-унитарных операторов, действующих в /-пространстве ф, 8 — ее инвариантное подпространство, а 8° = 8 П 8™. Тогда £78° = 8°(£7 е U).
Указание. Использовать замечание 5.4.
Пусть V—непрерывный /-полуунитарный оператор, 8о— нейтральное подпространство и 780 = 80. Доказать, что 8^ также инвариантно относительно V и оператор V, индуцированный оператором V в /-пространство 3 — 80^/% (см- следствие 5.8 гл. I), является /-полуунитарный.
Указание. Использовать предложение 1.11°.
Пусть в условиях упражнения И V — /-унитарный оператор. Доказать, что тогда V—/-унитарный оператор (ср. [XIV]).
Указание. Воспользоваться упражнением 20 к § 4 и упражнением И.
Доказать, что если V — непрерывный /-полуунитарный оператор, то равномерная дефинитпость подпространства 8 эквивалентна равномерной дефинитпости подпространства 78.
Указание. Использовать определение /-изометрического оператора и непрерывность операторов V и У-1 (см. упражнение 1).
Спектр /-унитарного оператора £7 симметричен относительно единичной окружности, т. е. {Хеа(£7)} -<=> (Х^еа,?/)}.
Указание. Воспользоваться соотношением (5.2) и теоремой 1.16.
Пусть £7 — /-унитарный оператор в 5, щ — его ограничеп- пое спектральпое множество, | щ | > 1. Доказать, что тогда п2 = = (о*)-1 — также спектральное множество для £7, проектор Ра^ (!а2 '-самосопряжен и потому 8 = POi ^а2‘® — проекционное полное пространство, При этом, если а'(1^1>0 иа;=(а;*) !- другая пара таких же спектральпых множеств для £7,ах Л ах — 0 и 8' = Р г ,5, то 8 [J_] 8'.
K1U02
Указание. Воспользоваться упражнением 14. В остальном доказательство совершенно аналогично доказательству следствия 3.12.
Пусть 7—/-изометрический оператор, X, цеар(7) и Ху.^ 1. Тогда 8^(7) [_L] 8Р(7) (ср. [XIII]).
Указание. Ср. упражнения 21 и 22 к § 4.
Преобразования Кэли — Неймана
Указанные в заголовке преобразования нам удобно будет ввести не только для линейных операторов, но и в более общей постановке — для линейных отношений (см. определение 1.2).
Пусть задано гильбертово пространство ^. Рассмотрим множество $ всех линейных отношений 7, т. е. всевозможных линеалов пространства $Х4- Таким образом, Т = V<x, у>}— линейное множество упорядоченных пар <х, уУ (х, у^^), причем линейные операции в $Х$ (а стало быть, и в Т) над парами <х, уУ определяются естественным образом (покомпонентно). Напомним (см. § 1, п. 1), что линейное отношение Т является графиком Гл некоторого линейного оператора Л: ^-*^ в том и только в том случае, когда из <х, уУ^Т и х = 0 следует у = 0, так что Т = ГЛ = «ж, ^>}Х-©Д(®А а 6). Такие линейные отношения Т называются однозначными линейными отношениями. Множества
©г = (х е $ | существует у е^ такое, что <х, уУ е 7}, '- (6.1) ■
йг = (у е ^ | существует х ^ ^ такое, что <х, уУ @ 7} называют областью определения и областью значений линейного отношения Т соответственно. Для всех Т * 9? вводятся также следующие определения и обозначения:
KerT^Us^Kx, 0>^7}, Ind Г — {у ®^|<0, уУ»Т\
(6.2)
XT - «ж, Ху> | <х, уУ е 7} (X е С), - 7 = (- 1) Т, (6.3)
T-' = «y,z>Kz,y>en(6.4)
Ker 7 и Ind 7 называют (см. определение 1.2) соответственно ядром и неопределенностью линейного отношения 7. Ясно, что Х7, 7~‘ е $, Введем еще тождественное линейное отношение I = {(ж, a:>}xs§ и сумму•
Tt + Ti — Ux, У1А-угУ\<х, укУ^Тк, к = 1, 2} (6.5)
двух линейных отношений 7,, 72 s S’. Ясно, что 7, + 72 е е 2” и ®т1+т2 = ®г1 П ®г2. В частности, рассмотрим линейное отношение
Тх=Т—Х1 (7е^, ХеС) (6.6} и с его помощью введем для линейного отношения 7 резольвентное множество.'
р (7) = (X е С | Кег Тх = {0}, 9?Тк = $],(6.7)
спектр
(6.8)(6.8)а(7)^С\р(П
(6.8)
(6.8)
и, в частности, точечный спектр
стр (7) = {ХеС|Кег7х^{0}}.(6.9)
Точки Х(ер(7)) называются регулярными точками, а Х(еоР(7))— собственными значениями линейного отношения Т. Для последних линеал Ker 7\ = {.г е ф| <£, Хж)е е 7} называется собственным линеалом, а его ненулевые векторы — собственными векторами линейного отношения Т, отвечающими собственным значениям X1).
Можно ввести дальнейшую классификацию точек Х(еС) точечного спектра сР(Т) произвольного линейного отношения Т, разбив эти точки на два подкласса оР1 Д7) иоР, 2(Л (ср. теорему 1.16)
Ора (7) = {ХеЕар(7)|йГх^,(6.Ю)
Ор,2(Л = {ХеОр(Т)|^ = -бЬ(6.11)
Непрерывный ос(Т) и остаточный аг(Т) спектры линейного отношения Т определим формулами
ос (7) = |Хе о (7)\Ор (7) ^Гх ^= ^ = фj,(6.12)
щ(7) = [Xeo(7)\Op(7)|Srx^^j(6.13)
соответственно.
Из (6.7) — (6.9) и (6.12), (6.13) теперь следует, что о (7) есть объединение четырех попарно пепересекающих- ся частей:'
о(7) = <ур, Д7) U q,, 2(7) U oc(7)U ог(7). '
Полем регулярности г (7) линейного отношения 7 называется множество
г (Т) = [Хе С\Ор (Л 18?тх = *тх].(6.14)
Ясно, что р(7)сг(7) (поскольку $ = $) и г(7)\р(7)с сог(7).
Нетрудно убедиться, что введенные выше для линейного отношения 7 определения множеств р(7), о(7), Ор, Д7), Стр,г(7), ос(7), ог(7) и г(7) обобщают определения соответствующих множеств для замкнутых линейный операторов А. При 7 = ГА эти определения просто идентичны.■.
*) В дальнейшем удобно при Ind Т ^ {9} также считать по определению оо s' а,(Г) (са(Т)).
Для линейного отношения Т е 3/ введем теперь прямое (J^t) и обратное (ЖТ1) преобразования Кэли — Неймана, определяемые невещественным параметром £(#=£). G этой целью введем сначала соответствующие преобразования поэлементно, т. е. для всех пар <х, у>, <и, v> е § X §
&Е <Ж, у> = <у — ^, у — ^>,(6.15)
'к?1 <и,и'> = ^ 1 _ <п — и, t,v — £ы>.(6.16)
□ Непосредственным вычислением проверяется предложение
°. Преобразования kt и кЖ являются взаимно обратными биекциями jg X ф на ^ X ф. ■
Теперь для любых (^^) £^С и S, Т^З положим Ж^-Ц^у^^т,(6.17)
^(5) = {/^(a.^U^s.(6.18
°. Преобразование Ж^ (£ ^ £) биективно отображает 3 на 3, а Ж^1 осуществляет обратное отображение.
D Утверждение прямо следует из 6.1°. ■
°. Пусть Т^З и Б^Ж^^Т) (^ ^ S) или, эквивалентно, Т = Ж^х (S). Тогда
KerS = Кет 7^, IndS = Ker7\, (6.19) " KerT = Ker(^-^Z), Ind Т = Ker St, (6.20)
%b = ^tv 8ts = 9tT1, ®r = 9?S1.(6.21)
Формулы (6.19) и (6.20) прямо следуют из сопоставления оЯределепий (6.2), (6.3), (6.5) с (6.17). Это же относится к (6.21), для проверки которых нужно еще привлечь определения (6.1). ■
ц^Ф£(Х) =ц^Ф£(Х) =ОО ,ОО ,(Х-^(ХО’1, Х=#£, 1^=00,(Х-^(ХО’1, Х=#£, 1^=00,(6.22)(6.22)Проследим за тем, как преобразуется спектр линейного отношения Т(^3) и его части при переходе от линей- пого отношения Т к линейному отношению 8 = Ж1(7"). G этой целью введем для ^^ в расширенной комплексной плоскости С —С U {°°} отображение Ф^: С~>С:
ц^Ф£(Х) =
ц^Ф£(Х) =
ОО ,
ОО ,
(Х-^(ХО’1, Х=#£, 1^=00,
(Х-^(ХО’1, Х=#£, 1^=00,
(6.22)
(6.22)
X = оо.
Теорема 6.4. Функция ц = Фс(Х) биективно отображает ор, i^), оР,2(7), Ос(Т), ог(Т) г(Т) и р(Г) на Op, i(S), Ор, 2 (5), о„(5), ог(5), г (5) и р(5) соответственно.
При X ^ £, Хч^оо в силу (6.17), (6.15) и (6.22) имеем
5Ц = S — р/ =
= ^<у — ^х,у — Хх — р (у — ^> | <ж, у> е Т} =
= {^у - ^х, y-b- |Е| (У - ^)/1 <^ У>^^ =
(<(у — ^, 4^| ^ — М/1 <z’ ^ s г)’
откуда следует, что при (£=^) ХеС
Кег 5Ц = Ker Тх, 9iS|t = StTv (6.23)
Заметим, что с учетом (6.22) и предложения 6.3° соотношения (6.23) остаются справедливыми для всех Хе Се если для любого линейного отношения Т положить по определению) Кег Т^ = Ind Т. В соответствии с этим будем также считать (ср. (6.7) ))
Х = ооер(7’)^{®т = ^, Ind7 = {0}}.
Теперь все утверждения теоремы прямо следуют из сопоставления формул (6.23) с определениями (6.7) — (6.14). ■
□ Следствие 6.5. Функция
осуществляет для линейных отношений Su Т ==.7f71 (S') обратное отображение по отношению к отображению Ф; (см. теорему 6.4).
/
3. Обратимся к наиболее важниМ1, .. ас случаю, когда гильбертово пространство ф, порождающее множество S' (с ^ X ^) линейных отношении, есть РГ-прострап- ство, т. о. снабжено индефинитной ^-метрикой [ж, у] = = (Wx, у) (г, у е $) (см. гл. I, § G, п. 6).
Определение 6.6. Линейное отношение Т (е 3?^ называется W-не растягивающим (соответственно W-не- сжимающим, W-изометрическим^ в ф, если для всех <х, уУ^Т имеем [у, у] С [ж, ж] (соответственно [у, у] > 5s [я, ж], [у, у] = [ж, ж]).
Ясно, что определение 6.6 обобщает соответствующие определения (см. определения 4.2, 5.1) для линейных операторов V. Указанные определения получаются из определения 6.6, когда Т = ГУ — график оператора V. В случае, когда $— d-пространство, т. е. [ж, у] = (6ж, у) (0^op(G)), введем
Определение 6.7. Для Те^ G-сопряженным называется линейное отношение
Тс = «и, р>ефХф|[у, ы] = [ж, п] для всех <х, уУ^Т).
Замечание 6.8. Из этого определения видно, что ^(eS) существует для любого линейного отношения Т. Однако даже в том случае, когда Т = ГА — график линейного оператора И (©а, ^ас^), линейное отношение Тс не обязательно оказывается графиком (т. е. однозначным линейным отношением) — см. ниже упражнение 1. Вместе с тем сопоставлепие определений 6.7 и 1.1 показывает, что при Т = ГА и ©а = ф эти определения эквивалентны, т. е. Г = ГдС.
Определение 6.9. Линейное отношение Т называется С-симм.етрическим, если Т с Тс, и G-самосопряженным, если Тс = Т. Заметим, что условие ТсТ' очевидным образом эквивалентно требованию [у, ж] = [ж, у] для всех <ж, у У еТ и в таком виде мы его распространим на произвольные РГ-прострапства, назвав такие Т W-симметрическими.
При Т = Га с ©а = ф определения 6.9 переходят в определения (графика) G-симметрического и G-самосо- пряжеппого оператора Л соответственно (ср. с определениями 3.1 и 3.2 соответственно).
Возвращаясь к общему случаю РГ-пространства, при* ведем
Определение 6.10. Линейное отношение Т называется W-диссипативным, если Im [у, ж] > 0 для всех
<z, y> e T. При T = ГА это условие равносильно ТК-дис- сипативпости оператора А (ср. определение 2.1).
Посмотрим, как влияет преобразование Кэли — Неймана па те или иные свойства линейного отношения Т, приведенные в формулах (6.6) —(6.9). Простым вычислением устанавливается тождество
[у - U, у - U] - [у - U, у - 5®] = 4 Im glm [у, ж].
'(6.25)
Из него немедленно следует предложение
6.11°. Пусть линейные отношения 8, T^g”) связаны взаимно обратными преобразованиями (ср. (6.15) — (6.18)) 5 =(7) = «у -^у- ^> | <х,у> е 7},'
, Г 41 (6.26)
7 = J^t (5) = |——= {и — v,£u — ^и> | (и, v> е Sj.
Тогда следующие утверждения эквивалентны;
7 — W-диссипативное {соответственно W-симметрическое^ линейное отношение;
8— W-несжимающее при Im£>0 и W-нерастяги- вающее при Im £ < О {соответственно W-изометрическое при любом £^£) линейное отношение.
□ Достаточно сопоставить определения 6.6, 6.8 и 6.9 с формулами (6.25) — (6.26). ■
Замечание 6.12. Иногда бывает полезным рассмотрение так называемых W-аккумулятивных линейных отношений 7, выделяемых условием Im [у, а:] ^ О для всех <х, у У е Т, и соответствующих линейных операторов. Ясно, что они лишь множителем {—1) отличаются от диссипативных линейных отношений и операторов соответственно. В связи с этим и предложение 6.11° легко переформулировать в терминах И7-ак кумулятивных линейных отношений. Из (6.25) ясно, что при этом условия 1т^>0и1т^<0 теперь поменяются ролями.
Добавим еще, что естественным образом определяются максимальные W-аккумулятивные (в частности, J-аккумулятивные') операторы, теория которых вполне аналогична развитой в § 2 теории максимальных ТУ-диссипатив- ных (7-диссипативпых) операторов.
4. В этом и последующих пунктах мы, возвращаясь к основной цели нашей книги, еще более специализируем рассмотрения, ограничившись однозначными линейными отношениями 7(^2’), т. е. графиками линейных операторов. Применяя к 7 преобразование ЗС^ мы будем оза- 12е
бочены тем, чтобы S = X\(T) также было однозначным линейным отношением, т. е. графиком.^Для этого в свете первой из формул (6.26) необходимо и достаточно, чтобы ЕЙ о, (7) (см. (6.6) и (6.9)). В самом деле, если Т = = Гд = \<Х, Лж»х=S > то нарушение однозначности линейного отношения 5 = ^Е(7) эквивалентно (см. (6.26)) одновременному выполнению для некоторого же е©Л условий у — Еж = 0 и у —£ж ^0, где у = Ах, т. е. ж¥=0 и ЕеОр(Л) (=оР(7)),
Итак, при (Е^) Е е оР(Л) имеем S = У£^ (Т) = Гу, где У = Ус — линейный оператор, для которого
®у = {Лж-Е4х^®а; ^v = Va$-W^a, (6.27) что кратко можно записать в виде
У = Ц-Ё0М-Е/)-‘(6-28)
или (эквивалентно)
У = / + (Е-Ё)(Л-Е/)"1.(6.29)
Приэтом,очевидно, 1^ор(У). Простое вычисление
(ср.(6.26))показывает, что здесь
A=^V-XhkV-IV(6.30)
или (эквивалентно)
Л =Е7 + (Е-Ё) (И-Z)-1.(6.31)
Ясно, что можно действовать и в обратном порядке, начиная с линейного оператора У, для которого 1^оР(У), и по любому Е (^Е) формулой (6.30) (или (6.31)) задать оператор Л.'
При этом, очевидно,
®А = {^У .y}ye®y» ^А = {^у —Ёу}уе®у,
Е^Ор(И), а формула (6.28) (или (6.29)) является обращением преобразования (6.30) (или (6.31)). Именно так традиционно определяются прямые и обратные операторные преобразования Кэли — Неймана, и мы, допуская некоторую вольность, сохраним для них обозначения У-^И), A = ^(V).
Читатель без труда переформулирует для рассматриваемого частного случая предложение 6.11° и замечание 180'
2, сохраняющие, разумеется, силу при переходе от ратора Л к его преобразованию Кэли — Неймана, как мы для краткости будем именовать оператор V — о^ДЛ), и обратно.
Это предложение может быть еще развито в нескольких направлениях в том случае, когда параметр (5^) £ удается выбрать так, что ^еДЛ). В этом случае из (6.29) сразу следует, что У==<%^ДЛ)— ограниченный оператор с Sv = ^.
Теорема 6.13. Пусть Л— замкнутый максимальный J-диссипативный оператор в пространстве Крейна и (^) ^ер(Л). Тогда при Ini £ > 0 (Im^<0) оператор У = ^о^ДЛ) J-бинесжимающий (J-бинерастягивающий) и (V-I)$ = &
Обратно, если У — J-бинесжимающий (J-бинерастяги- вающий) оператор, 1^оР(У), то оператор А = Ж^1 (У) при Im£>0 (Im £ < 0)— замкнутый максимальный J-диссипативный оператор и ^ер(Л).
Если Л — замкнутый максимальный /-диссипативный оператор, то (см. предложение 2.7°) (У —Z)^ = SA = -^5 и (—Л)с —/-диссипативный оператор. Далее, в силу 6.11° У при Im£>0 (1т£<0) — /-песжимающий (/-пс- растягивающий) оператор. Из (6.29) с учетом 1.6° и 1.9° имеем Ус = Z + (£ — £) (Лс—£/) ^^^(Л0), и первая часть теоремы 6.13 теперь следует из замечания 6.12.
Обратно, при 1 ^Ор(У) в силу упражнений 18 и 19 к § 4 имеем (У —/)$ = $, и потому оператор А = J^f1 (У) (см. (6.31)) плотно задан и (точно так же, как оператор — Лс = J^^1 (Ус)) является в условиях теоремы 6.13 /-диссипативным оператором. При. этом (см. (6.31) и (6.29)) ^ер(Л), и в силу предложения 2.7° Л — замкнутый максимальный /-диссипативный оператор. ■
Замечание 6.14. Легко понять, что теорема 6.13 может быть переформулирована и доказана, если в пей термин «/-диссипативный» всюду заменить термином «/-аккумулятивный» (см. замечание 6.12), а условия Im ^ > 0 и Im £ < 0 поменять местами.
Следствие 6.15. Если А — J-самосопряженный оператор (Л=ЛС) и (g^) £ер(Л), то U = ^ДЛ) — J-унитарный оператор и 1 е др(У).
Обратно, если U — J-унитарный оператор, 1 ^ гЛпД[7) и 'С ^'С, то А = Ж^1 (U)— J-самосопряженный оператор.
Первое утверя^МГ^Ж™ т^о, что /-самосопряженный оператор Л является максимальным /-диссипативным и максимальным /-аккумулятивным одновременно, а потому в силу теоремы 6.13 и замечапия 6.14 Z7 = J^C(A) при любом £ ^ ^ — ограниченный /-биперас- тягивающий и /-бинесжимающий оператор одновременно, т. е. (см. § 5, п. 1) /-унитарный оператор.
Обратное рассуждение проводится совершенно аналогично. ■
Результат, содержащийся в следствии 6.15, нетрудно усмотреть и непосредственно, минуя теорему 6.13 (ср. ниже упражнение 2).
6.16°. В условиях теоремы 6.13 ограниченным равномерно J-диссипативным операторам A (Sa = 5) ПРЫ Im£>0 (Im^<0) отвечают ограниченные равномерно J-бирастягивающие (равномерно J-бисжимающие) операторы V = Ж^(А) и обратно.
□ Пусть, например, Im £ > 0. Поскольку Im [Ах, х] ^ ^ЧдЫ2 (хе 5), то из £6.25) (при у = Ах) и (6.28) при g = Ах — ^, Vg = Ах — Еж следует
[^g, Vg] > [g, g] + 4 Im E; • YaU - £7ll-=llgll=
и аналогично для Vе (с учетом того, что для ограниченного А имеем Im[—Асх, х] = 1т[Лж, х] для всех хеф), т. е. V—равномерно /-бирастягивающий ■ оператор. При обращении этого утверждения следует учесть, что для равномерно /-бирастягивающего оператора У имеем Т с: ср (У) (см. теорему 4.31) и, в частности, 1ср(У); в остальном рассуждения аналогичны. ■
. Возвращаясь к общей теории преобразований Кэли— Неймана V = o^t(A) и А = «й^1 (К) для линейных операторов А и V (Е^=£), прежде всего продолжим начатое выше (см. п. 2) изучение спектральных вопросов, связанных с этими преобразованиями. С этой целью выясним связь между инвариантными подпространствами операторов Л и У, а также корневыми линеалами этих операторов.
.17°. Пусть А—линейный оператор в 6, (£=/=) Е ^ ^бр(А) и У-^Л).
Если подпространство 8сфА, Л8с8 и £Ер(Л|8), то 8 с ®у, У8 с 8 и 1^о(У|8). Обратно, если 8 с Sy, У8с8 и 1^о(У|8)иоР(У), то 8сфА, Л8с8 и £ер(Л|8).
□ Поскольку (см. (6.29)) У = / + (£ — £) (А — £7)-*, а по условию ^ер(Д18), т. е. (Л-£7)8 = 8 и 8 = 182
-(.A — W1^ то S<=©r и 78 с 8. При этом 718 = — ^:(Л|8), Л|8 и 7|8— замкнутые (и ограниченные) операторы, и из условия £^р(Л|8) следует (см. теорему 6.4) 1 е р(7|8).
Обратная импликация проверяется аналогично с помощью формулы (6.31) и следствия 6.5. ■
Следствие 6.18. Пусть А и 7 те же, что в 6.17°, ££ар(Л) (^1^оР(7)). Тогда ХеОр(Л)-^Ь = (Х- — £) (X — S)""1 е 0р(7)} и корневые линеалы 8,(7) и 8Х(Л) совпадают. 1
Первое утверждение прямо следует из теоремы 6.4. Пусть теперь гейф!), т. о. существует р е IN такое, что (Л — Х7)р^ = 0. Тогда 8 = Lin {ж, Ах, . .., Арх) есть конечномерное инвариантное подпространство оператора А: 8 с®А, Л8с 8 и а(Л|8) = Ш, т. е. £ер(Л|8) (ибо ^*М- Стало быть (см. 6.17°), 8с$г, 78<=8 и (7|8) = ^(Л|8). В силу теоремы 6.4 число v = (X — £) (X — £)-1 является единственной точкой спектра конечномерного оператора И8, так что х е 8 с 8,(7|8)с 8,(7), т. е. 8Х(Л)с 8,(7). Совершенно аналогично проверяется обратное включение. ■
Замечание 6.19. Ясно, что в следствии 6.18 первое утверждение можно эквивалентно переформулировать так:
Ьеор(7)} «ЛН^-Ш*-!)"^,^)}. ■
К сожалению, наложенное в предложении 6.17° требование £ер(Л|8) (соответственно 1^р(7|8)) является весьма жестким. Ниже, в гл. III, мы увидим, что в частных случаях «сохранение» некоторых инвариантных подпространств при преобразованиях Кэли — Неймана удается обеспечить при менее обременительных условиях.
Замечание 6.20. Во всех рассуждениях пн. 4, 5 могло показаться, что в отличие от произвольного £ (^£), на которое налагалось то либо иное требование типа £ ^ ^оР(Л) или ^ер(Л), число 1, от которого всегда требовалось, чтобы 1^оР(7), играет какую-то особую роль. На самом же деле эту роль с успехом может выполнить любое е с lei = 1, если е^оР(7). Это приводит лишь к незначительной модификации формул самих взаимно обратных преобразований Кэли:
7 = е (Л - ll) (А - £7) "* - е7 + 6 (£ -£) (Л - £7) -*,
A = С V - Ь^ (V - гП -‘ = У + е (£ /у (V - в/) -*, ■(6.33)
а также к соответствующим модификациям в формулировках теорем и предложений 6.13—6.19, в частности, в формулах для преобразования точечных спектров в следствии 6.18 и замечании 6.19:
аеор(Л)} ^{ч = ЦХ-у (Х-у-^ауу^,
(v еоР(У)) (X = (£v — £е) (v — е)-1 ^ оР(Л)}.
6. В заключение рассмотрим преобразование Кэли — Неймана У = ^(Л) (£ Ф £ ^ оР(Л)), связывающее операторы Л и У, действующие в гильбертовом пространстве $ = $i®$2 (ситуация, типичная для пространства Крейна). Нас интересует тот случай, когда операторы Л и У допускают порожденные соответствующими ортопроекторами Pv и Рг {Р^ = &, X = 1, 2) матричные представления (ср. (4.4)) Л = || ЛуЦ?^,, У = ЦУ-Л?^! (для этого, например, достаточно, чтобы ^, с ®А и ^р(Л)). В этом случае следующее из (6.28) соотношение У (Л — У^ = Л — У в матричной форме переписывается в виде
У, I 'У, I '^2^22^2^22Ми-^I АтМи-^I Ат^12Д>2 ~ ^2^12Д>2 ~ ^2|| А1А2 ~ U2|| А1А2 ~ U2
У, I '
У, I '
^2^22
^2^22
Ми-^
I Ат
Ми-^
I Ат
^12
Д>2 ~ ^2
^12
Д>2 ~ ^2
|| А1А2 ~ U2
|| А1А2 ~ U2
Отсюда немедленно следуют соотношения
УиМи-^О+УиЛг^Ли-ёЛ,(6.34)
^иАг "К ^12 (Аг ^2) = Аг>
^(Ai + ^ + ^Ai = Аы(6135)
^21^12 4" К22 (Л22 У^ = Л22 У 2-
В частности, в важном для нас (впоследствии) случае, когда £ер(Л22), из (6.35) следует
V12 = - (Уи - 7.)Л12(Л22 - уу\ (6.36)
а если, кроме того, и ^ер(Лц), то искл’ 1 . чие из системы (6.34) — (6.35) оператора У12 дает
Кц[Лц ^71 Л12(Л22 £72) 1Л21] =
.= Ли — yt — А и (Л22 — £/2) *Л21
(^и Л)[Д ^12(^22 ~~ ^?г) ^ai (.4ц — £Д)“1] =
-^-^(Ли-^,)-1. (6.37)
Именно в таком виде соотношения (6.36) и (6.37) будут использованы ниже в гл. III (теорема 1.13).
Упражнения и задачи
Если Т — однозначное линейное отображение в ф, то Тс — однозначное линейное отображение в 5 тогда и только тогда, когда ®г " Ф-
Вывести следствие 6.15 неносредственно из формул (6.29) и (6.31).
Доказать, что следствие 6.15 допускает следующее обострение. Пусть А — максимальный /-диссипативный и максимальный /симметрический оператор одновременно и (£#=) ^ЕрД). Тогда V = о^сИ) при 1m £ > 0 (Im £ < 0) — ограниченный /-бипесжи- мающий (/-биперастягивающнй) и /-цолуупитарпый оператор одновременно и 1^ор(У). Справедливо и обратное предложение, а также аналоги прямого и обратного предложений с заменой слова «/-диссипативный» на «/-аккумулятивный» н условий hn ^ > 0 (Im £ < 0) на Im ^ < 0 (1т£>0).
Указан и с. Ср. теорему 6.13 и предложение 6.11°.
Пусть V — ИЧтесжимающий оператор в 5, о — его ограниченное спектральное множество, а Ро— соответствующий проектор Рнсса. Тогда при |о| >1 (соответственно |о| < 1) инвариантное относительно V подпространство 8 = Ро§ неотрицательно (неположительно). В частности, для ^-изометрического операто- ра подпространство 8 = Ра$ нейтрально (ср. с теоремой 2.21).
Указание. К графику сужения У|8 применить (при любом С =7^ £) предложение 6.11°, следствие 6.5 и формулу (6.31), а затем предложение 6.17° и теорему 2.21.
Пусть оператор V такой же, как и в упражнении 4, а Л с |Л| > 1 (|Л| < 1)—некоторое множество его собственных значений. Тогда С Lin {8т(У)}>.&л— неотрицательное (неположительное) подпространство. В случае РЕ-изомётрического V оба эти подпространства нейтральны.
Указание. Доказать, по аналогии со следствием 2.22, опираясь на результат упражнения 4.
Пусть V — ограниченный л-песжимающнй оператор с ®у = = Пи. Тогда о (И) fl W !М > 1} состоит не более чем из х (с учетом алгебраической кратности) нормальных собственных значений (ср. со следствием 2.23) (Броде к и й [1]) -
Указание. Воспользоваться результатами упражнения 5 к § 1, упражнением 22 к § 4, затем замечанием 6.19, предложением 6.17° и следствием 2.23.
Пусть Л — набор собственных зпачепий /-изометрического оператора V, Л П (Л*)-'1 = 0. Тогда С Lin {ВДТД^ел— нейтральное подпространство (ср. со следствием 3.14) ([XIII]).
Указание. Воспользоваться результатами упражнения 5, упражнения 16 к § 5.
Пусть U — л-унитарный оператор в Пх. Тогда его неунитарный спектр состоит не более чем из 2х (с учетом кратности) нормальных собственных значений, расположенных симметрично относительно единичной окружности Т (ср. со следствием 3.15) ([XIII])..
Указание. Воспользоваться результатами упражнения 5 к § 1, упражнением 22 к § 4, замечанием С.20, следствием 6.18 и следствием 3.15.
Если U — л-уннтарный оператор, то ог (17) — 0 (ср. со следствием 3.16).
Указание. Использовать результаты упражнения 8 к §4.
Если V — л-несжимающий оператор (®у = Пх), Хеор(Р) и ]%| = 1, то корневой линеал 8х(Р) представим в виде 8х(У) — — 91х[+]ЗИх, где dimSRx<oo, 7Э1Х с: Э1х, ЗИ^ cz Ker (F — X/) иЗИх — невырожденное подпространство (в частности, возможно $?х = = {0}).-
Если ^ (X), d2(X), ... dr^ (X) — порядки элементарных делителей оператора Е|Э1х, то
-гх
Х=ар(V),|К|=1 j=l L J IM>1
(Азизов [8]; ср. [XIII]).
Указание. Использовать результаты упражнения 5 к § 1, замечания 6.20, следствием 6.18 и теоремы 2.26.
И. Доказать, что /-симметрический оператор А /-неотрицателен тогда и только тогда, когда /-изометрический оператор V — = ^(А) (£ ?ь £) удовлетворяет условию Re [£(/—Р)х, х] ^ 0 при всех х g ®г (Азизов, Л. И. Сухочева).
Доказать, что если V — /-унитарный оператор и Re [£(/—И) х, х] ^ 0 при некотором leC и всех х е ф, то о(Е)сТ (Азизов, Сухочева)..
Пусть А и V те же, что в предложении 6.17°, а 8 —конечномерное подпространство. Тогда {8 с ®д, Л8 с 8} ■<=>- (V с ®г, У8 с 8) (ср. [I]).
Указание. Использовать следствие 6.18.
Пусть V — ТР-песжимающий оператор, Vx0 = ех0, Ух, = = ext + хо, |е| = 1. Тогда х0— изотропный вектор в Ker (V—-е/).
Указание. Применить к Р|8е(Р) преобразование /i!’^1 (£^ t) и воспользоваться результатами упражнения И к § 2.
Доказать, что если А с В, где А, В ^ 2?, то ^(А) с cZE(5) и ^^ (А) с ЛГ^1 (Д) при ^^.
ПРИМЕЧАНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ГЛАВЕ II
В §§ 1, 4, 5 изложение ведется сначала в наиболее общей форме — для операторов, действующих из одного пространства ф[ в другое фг (Г: ф|->фг), и лишь затем конкретизируется для случая операторов, действующих в одном пространстве. Сделало это (по 186
,мiiней мере столь систематически), по-видимому, впервые (ср. ографию [V] и наш обзор [II]) и главным образом в интере- ■ is теории расширения операторов (см. гл. V). В этой связи при чипии настоящих примечаний и, в особенности, библиографиче- । них указаний следует иметь в виду, что в них, за редким исключением, не учитываются сделан иые в г о к с т е по сравнению с первоисточниками обобщения па случай операторов Г: ф| -> ф2-
1, п. 1. Сопряженные (относительно индефинитной метрики) операторы впервые рассматривались в пространстве Пх П о и т р я- гииым [1], в /-пространствах — И. И ох видовым [5], [6] и Лангером [2], в G-пространствах — И. И ох видовым [12], н затем А з и з о в ы и и И. 11 о х в и д о в ы м [I].
1, п. 2. Идея использования индефинитной метрики (1.4) применительно к графикам линейных операторов для вскрытия свойств самих операторов впервые высказана и применена Ф и flan псом [1]. Позднее ее развивал Шмульян [4], [5] и др. Наше изложение следует здесь депонированной монографии Риццо р а [4]..
1, п. 3. Формула (1.10) установлена Азизовым. Весь остальной материал — см. [I].
1, п. 4. Предложения 1.11°, 1.12’ — «фольклор». Истоки теоремы 1.13 можно найти еще в статье Понтрягина [1]. Приведенные в тексте формулировка и доказательство принадлежат Ази- ш>ну, который опирался на идею Лангера из [XV]. Нормальные точки изучены в [VIII]. Теорема 1.16 представляет собой некоторое развитие результатов Лангера [2].
1, п. 5. Изложенный здесь прием перехода к факторпрост- рапству 5/6° впервые был применен в [XIV], теорему 1.17 по существу находим у Лангера [9].
2, и. 1. TV-диссипативные операторы введены в книге [XI]. л диссипативные операторы впервые в частном случае ввел К ужель [5], [6]; детально они рассматривались независимо А з и- ;i о в ы м [1], [4], [5], [8], а также М. Кре йи ом и Лангером |3], /-диссипативные операторы — А з и з о в ы м [5], [8], Е. Иох- пидо вым [1], Азизовым и Е. И ох видовым [1], где и установлены основные теоремы этого пункта. Геометрическое доказательство известной. леммы 2.8 (см. [XII]) принадлежит Азизову.
2, пп. 2, 3. Определение 2.10 и теорема 2.11 взяты из [VIII]. Следствия 2.12 и 2.13 принадлежат Азизову, как и весь материал и. 3 (см. Азизов [8]).
2, п. 4. Теорема 2.20 заимствована из [XI], [XXI]. Остальные материалы этого пункта получены Азизовым.
2, нп. 5, 6. Принадлежащая Азизову теорема 2.26 обобщает соответствующий результат Поптрягипа для л-эрмитовых операторов (см. также [XIII], [XV]). Остальные результаты этих пунктов также установлены Азизовым.
3, п. 1. В абстрактной постановке (по в другой терминологии) Я эрмитовы и л-самосопряжеппые операторы впервые изучал Понтрягин [1], который указывает, что его внимание к ним при- илек С. Л. Соболев (см. ниже примечания к гл. III). Вслед за Понтрягиным их изучал И. Иохвидов [1], [2] (в «конечномерном» случае ср. Потапов [1]), и более подробно см. [XIII]. /самосопряженные операторы рассматривали Гинзбург [2], И. Иохвидов [6]и затем (весьма обстоятельно) Лангер [1] —
[3]. G-симметрические и G-самосопряжепные операторы частично встречались уже у Лангера [2], а детально рассмотрены в [I]» куда мы и отсылаем читателя за подробностями.
Предложение 3.7° и его следствия 3.8, 3.9 находим в статье Азизова иЕ. Иохвидова [1]. По поводу следствия 3.12 см. И. Иохвидов [6], Лангер [2J. Замечание 3.13 принадлежит Азизову, следствия 3.14 и 3.15 восходят кПоптрягипу [1] (ср. [XIII]).
3, п. 2. При доказательстве теоремы 3.19 можно было бы использовать предложение 3.7° и сослаться па известный «дефинитный» результат. Однако мы решили привести простое, па наш взгляд, доказательство, принадлежащее Азизову. Леммы 3.20 и 3.21, используемые в нем, имеют столь запутанную предысторию, что мы склонны отнести их к «фольклору». Лемма 3.22 принадлежит Азизову.
Следствие 3.25 по существу находим у Потапова [1].
Теорема 3.27 в случае непрерывного Л принадлежит Гинзбургу [2], а в том виде, как опа сформулирована,— ЛангеРУ М-
3, п. 3. Все примеры, за исключением примера 3.35, приведены Азизовым.
4, п. 1. Плюс-операторы V в вещественном пространстве П| (©у = Пь V ограничен) впервые рассматривал М. Крейн (см. М. Крейн и Рутман [1]), а затем в произвольном (комплексном) Пх—Бродский [1]. У него, в отличие от нашего опре- - деления 4.1, Палагалось условие ©у = Пх (заметим, что отсюда уже следует наше условие ©у 0 $++ ^ 0— см. лемму 9.5 гл. 1). Определение плюс-оператора V в общем /-пространстве $ и сам термин «плюс-оператор» введены в работах М. К р е й п а и III му лья па [1], [2]. В отличие от Бродского у этих авторов ©у = 6 оператор V a priori ограничен. Для таких операторов ими сформулирована теорема 4.3 и приведено ее доказательство, сохраняющее силу и в более общем случае (о предыстории этой теоремы см. [XV]), а также установлена (возникавшая в частном случае еще у Бродского [1]) классификация плюс-онераторов на строгие и нестрогие, как и сама эта терминология.
/-песжимающие (/-нерастягивающие) операторы в пространстве Крейна ввел и изучал Гинзбург [1], [2], обобщая соответствующие рассмотрения Потапова [1] для конечномерных пространств. Ранее М. К р о й н [4] (см. также [ХШ]) рассматривал в Их так называемые неуменъшающие линейные операторы У: ©у = Пх, V ограничен и [Ух, Ух] ^ [х, х] дляхе$+. Заметим, что это неравенство даже в общих условиях определения 4.1 означает, что V — строгий плюс-онератор_с ц+(У) ^ 1 (ср. [XV]).
Для плюс-онераторов V в Пх с ©у = Пх Б р о д с к и й [1] обнаружил, что они либо конечномерны (и тогда, возможно, неогра- ничены), либо непрерывны (ср. с нашим следствием 4.8). Как указано И. И ох видовым [17], в той же статье Бродского неявно содержится по существу вся идейная часть доказательства теоремы 4.6 и ее следствий. Несколько полнее и в явном виде эти результаты см. у И. Иохвидова [17]. Т. Я. Азизов заметил, что налагавшееся в этих работах требование ©у Г1 ^+ ^ 0 можно в теореме 4.6 опустить. Следствие 4.7 см. у И. Иохвидова [17].
Любопытное обобщение плюс-онераторов V предложено и исследовано недавно в [XV]: [Ух, Ух] ^ ц[х, х] для некоторого р g К и всех х g Пх. Для таких У снова существуют конечные 188
. i) и p._(V) ^ ц ^ н+(^)> а также установлен ряд фактов, и, из которых, вероятно, имеют место и в более общей ситу- .01.1111, когда V: ф|->& (в духе наших определений 4.1 и 4.2).
4, п. 2. Понятие двояко строгого плюс-оператора и основные факты относительно таких операторов в /-пространствах установлены в работах М. Крейна и Шмульяна [2], [3], более позд- ния библиография этого вопроса имеется в [II]. Доказательство предложения 4.10° в тексте дано И. Иохвидовым [17J (там же указано па приоритет 10. II. Гинзбурга в этом вопросе).
/-бипесжимающие (У-биперастягивающие) операторы ввел и изучал Гинзбург [2]. Теорема 4.19, как и се следствие 4.20, принадлежат М. Крейпу и Шм ульяну [2], доказательство и тексте — Азизову (ср. Рицнер [4]). Опа охватывает большинство ранее известных критериев «/-бинесжимаемости» У-песжимаю- щих операторов V (см. Гинзбург [1], [2], И. И ох видов 114], [17], М. Крейн и Шмульян [1], [2]); по поводу отказа от априорного требования непрерывности V см. И. Иохвидов [17].
Обобщения понятия У-биперастягивающего оператора см. у Риднера [4], Е. И ох в и до в а [8] (ср. Шмульян [4]).
4, п. 3. Фокусирующие плюс-операторы рассматривались сначала Красносельским и А. Соболевым [1], затем А. С о- болевым и Хацкевичем [1], [2] и детально Хацкевичем [6], [7], [10], [И], [15]; равномерно У-растягивающие операторы — в книге [XI]. Теорема 4.24 установлена Азизовым [10] (см. Азизов иХорошавин [1]). Часть ее утверждений была получена независимо М. Крейном и Шмульяпом [5]. Теорема 4.27 по существу содержится в [XI].
4, и. 4. Теорему 4.30 в «конечномерном» случае установил Потапов [1], в общем случае — см. Гинзбург [2], М. К р е й и и Ш м у л ь я н [3]; доказательство в тексте предложено Азизовым. Теорема 4.31 заимствована из [XI], следствие 4.32 принадлежит А. С о б о л е в у и Хацкевичу [1], [2].
4, упражнение 12. В связи с замечанием 4.29 следует предостеречь от механического переноса результатов типа упражнения 12 с плюс-операторов на минус-операторы (соответственно с (Л, /у-песжимающих па (Л, У2)-нерастягивающие) — следует помнить о перемене ролями подпространств §^ и фГ (проекторов Р^и Рт), i = 1, 2.
4, упражнение 26. S-плюс-операторы в пространствах Пх были введены Бродским [1] (см. [XV], где и введен термин «В-плюс-оператор»).
В заключение укажем, что многие другие сведения об операторах, которым посвящен § 4, действующих в пространствах Пх, читатель найдет в монографии [XV].
5, п. 1. Изометрические (в частности, унитарные) операторы и бесконечномерных пространствах с индефинитной метрикой впервые рассматривали М. Крейп (см. М. Крейн и Рутман II]), И. Иохвидов [1], [2], И. Иохвидов и М. Крейп [XIII], [XIV]. Предложение 5.2° см. у М. К р е й п а и Шмульяна [2]. Пример 5.5 в тексте дан Азизовым. Другие примеры см. у И. Иох- Л и д о в а [12]. Теорема 5.6 принадлежит И. И ох видову [12].
5, п. 2. По поводу теоремы 5.10 см. [XIII], М. Крейн и III м у л ь я п [3], а также ср. Азизов [11]. Следствие 5.13 находим у М. К р е й н а [5].
5, п. 3. Теорема 5.18 (и следствия из нее) в случае коммутативных групп принадлежит Филлипсу [3]. В общем случае аменабельных групп мы склонны отнести ее к «фольклору», по-1 скольку помещенное в тексте доказательство ничем пе отличается от приведенного, например, в [XI] для одного оператора. Формально этот факт был замечен Азизовым и Шульманом, как и приведенное в этом же параграфе упражнение 7. Для групп в Hi без требования аменабельности этот результат доказан Шульманом [1].
Определения 5.21 и 5.22 даны М. Крейном [XVI]. Теорешг5.23 принадлежит М. Крейну [XVI] (подробности см. в [XI]), доказательство несколько модифицировано Азизовым. Аналогичные результаты для устойчивых и сильно устойчивых /-самосопряженных операторов см. у Лангера [1], Макенниса [1].
5, п. 4. Все результаты этого пункта см. у М. К р е й и а и Ш м у л ь я п а [3].
5, упражнения. Операторы из упражнения 4 Ш м у л ь я н [4] называет /-унитарными. Условие упражнения 9 впервые рассматривал М а с у д а [1].
6. Преобразования Кэли—Пеймапа к операторам в пространствах с индефинитной метрикой впервые применил И. И о'х- видов [1]. Затем они были детально рассмотрены в [XIII], [I] и широко применялись многими авторами. В пп. 1—3 мы в основном следуем заРицнером [4]
ГЛАВА III
ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМИДЕФИПИТНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА
В этой главе будут изложены результаты по одной из центральных проблем теории операторов в пространствах Крейна и, в частности, в пространствах Понтрягина — но проблеме существования максимальных семидефипитных инвариантных подпространств у операторов и множеств операторов, действующих в этих пространствах. При этом фигурирующие здесь /-несжимающие операторы будут предполагаться ограниченными и заданными на всем пространстве.
§ 1. Постановка задач
В предложении 1.11° гл. II мы уже встречались с понятием инвариантного подпространства. Остановимся па нем более подробно.
Определение 1.1. Пусть Т: 5 “^ 5— плотно определенный в гильбертовом пространстве 5 оператор. Будем говорить, что подпространство 8 инвариантно относительно Т, если Sr Л 8 = 8 и Т: 8 -* 8. В частности, подпространство 8 = (О) инвариантно относительно любого оператора Т. При этом по определению положим р (Г |{0})=С-
Заметим, что если Т — всюду заданный в § оператор, то условие Sr П 8 = 8 всегда выполнено и, более того, 8 с 2)г(=§). Можно было бы в определении 1.1 вместо условия плотности ST П 8 в 8 потребовать включение 8 с с ST, по тогда множество инвариантных подпространств сильно обеднилось бы. Напротив, можно было бы расширить этот класс, опустив требование Sr П 8 = 8 и оставив лишь условие T(STri8)c8, но тогда это привело бы к неестественной, на наш взгляд, ситуации, когда любое подпространство, пересекающееся с Sr только по вектору 0, оказалось бы инвариантным для Т. Поэтому мы остановились на определении 1.1.
В основополагающей работе Понтрягина [1] показано (в принятой нами терминологии), что каждый л-самосопряженный (в IL) оператор Л обладает х-мерпым неотрицательным инвариантным подпространством 8+, которое может быть выбрано так, чтобы 1то(Л|8+)>0 (1то(Л|8+)^ 0). Дальнейшее развитие этого результата привело к следующим задачам.
Задача 1.2. Существует ли у каждого замкнутого J-диссипативного {в частности, J-самосопряженного) оператора Л инвариантное подпространство 8+еВД+? Если да, то есть ли такое 8+, что 1то(Л|8+)>0 (а для J-самосопряженного А —также и такое, что 1т о(Л |8+) ^ 0)?
Задача 1.3. Пусть 51 = {Л}— множество максимальных J-диссипативных операторов Лер (Л)П С+^=0, резольвенты которых попарно коммутируют, а 8+(с$+) — их общее инвариантное подпространство и р (Л) 8+) [) П С+^ 0 (Л е= 51) • Существует ли у семейства 51 общее инвариантное подпространство б^еу?*, содержащее 8+ и такое, что р (Л | 8+) [) С+ ^ 0 (Л е 51)?
Сразу заметим, что задача 1.2 в столь общей постановке имеет отрицательное решение даже для /-самосопряженных /-положительных операторов (ср. ниже теорему 1.10 гл. IV).
□ Пример 1.4. Пусть 5 = Ын{е} ф 51— гильбертово пространство, Hell = 1, dim 5i = оо и е | <6, . Зададим относительно этого разложения в §i вполне непрерывный самосопряженный оператор G с помощью матрицы G = = || Gy ||ij=l, где Gn = 0, G13 =-а(-, /)е, G21 = a(-, е)/, Gto = aG.M, G^— отрицательный вполне непрерывный оператор в 5i,/e5i\9t ' , П/П = 1, а а>0 и таково,
G 22
что IIGII < 1, и введем в ^ G-метрику [я, у] = (Сж, у). Так как §, разложено в сумму нейтрального одномерного подпространства Lin(е) и отрицательного 5п а из включения /е51\91 / следует 0^oP(G), то 51— Gw- G22
пространство с х = 1 (см. гл. I, § 9, п. 6). Пусть Р— ортопроектор из $i на 5]. Тогда PG— вполне непрерывный G-самосопряженный оператор, у которого, как нетрудно проверить, нет пи одного неотрицательного собственного вектора.
В пространстве
5 = 51® $2,52 = 51,(1-1)
мдпм /-метрику [<xlt ж2>, <yi, у2>] = (-^ь ж2>, <У1, у2>) г помощью оператора (см. (3.9) гл. I): J = Ц Jy l|ij=i’ ,/H=G, Jti = ^-G^'\ J4=J*V^ J22 = —G. Пусть Л1— ортопроектор из 5 на 5i(c:5i), а линейный оператор Л2 таков, что КегЛ2 = 51, Л2152 = IGI-1. Следовательно, Л^ = Л* ^ О, Л2 = Л* ^ 0. Из ограниченности оператора Л t следует (см. предложение 1.9° гл. II и след- j
ствие 3.8 гл. II), что Л = Л^ +/Л2 = Лс ^ 0. Так как •61 с ®А, то Л можно представить в матричном виде относительно разложения (1.1):Л = || Лу ||2У==1. Непосред
ственно проверяется, что Лц = РС, Л12 = РЦ — G2y'2 + + (Z — G2)1/21GI—*, Л21=0, Л22 = — GIGI-1. Известно, что самосопряженность G влечет 9t|C| = Яо, и потому ©А = = 51 ® ^g. Из матричного представления оператора Л еле- * з
дует, что 0^Ор(Л), т. е. Л>0.
Так как Л21 = 0, a G|G|-19?g = Э?С, то Л©Ас©А. Отсюда вытекает равенство ©дП = ©д (м = 1, 2,3, ...). Следовательно, если бы 8+(еЭД+) было инвариантным подпространством относительно Л, то оно было бы инвариантным и относительно Л2 = ] (Л2)у Ц{У=1:
(Л2)п = ^PGf, (Л2)12 = PGP (I — G^M1 -VI- G^2 G-1,(H2)2i = 0, (И2)22 = 1г.
Поэтому, если х = <хи ж2> е 8+ (^ е §ь / = 1, 2), то и Л2^ = <VPGyxt + PGP VI - G2) ^2х^ -VI- G2) ‘'"G^x^ x^ е ей". Так как Кег (Л2-/)={<(/-G2) ^Х-Сж2> |ж2 е *= 5г) = /5г, то Кег(Л2 —Z) не содержит максимальных неотрицательных подпространств. Следовательно, и 8+ £ 0Кег(Л2 — I). Поскольку (Л2 — Z)©A с 5о то и (Л2 — Z)X X (8+Л ©А) с 5i- Из соотношений 8+Л ©А = 8+ и 8+<£ ^Кег(Л2 — I) заключаем, что (Л2 — Z) (8+ Л ©л)^ (6). Так как (Л2 — Z) (8+ Л ©л)с 8+ и в 51 все неотрицательные подпространства одномерны, то в 51 существует неотрицательный собственный вектор оператора Л, который будет , собственным и для PG — получили противоречие с тем, что у PG нет неотрицательных собственных векторов. ■
Заметим, что у оператора Л в приведенном примере р(Л)= 0, и потому (см. теорему 2Х9 гл. II) в ©А нет максимальных равномерно положительных подпространств. Между тем в упомянутой выше теореме Понтрягина, поскольку ©А = Пх, то в силу леммы 9.5 гл. I ©А такое под-
19319318 т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов
193
193
тативных алгебр и групп соответственно пока не решены. Ниже в §§ 4, 5 будут приведены некоторые достаточные условия для их положительной разрешимости (см. также теорему 5.18 гл. II).
О Заметим также, что в условиях задачи 1.10 алгебра % совпадает с линейной оболочкой своих /-самосопряженных элементов А (=ЛС) с ПЛИ < 1, а потому она содержится в линейной оболочке /-унитарных операторов U = = Ц-Агу;г + 1А, где(/- Л2)1/2 = - ^-ф /Х(1- Л2 -
_ Л£ г»
— XZ) 1 dX, контур Га содержит внутри себя o(Z —Л)2, симметричен относительно вещественной оси, лежит в открытой правой полуплоскости, и ReTX>0. Если теперь 8 — максимальное семидефипитное инвариантное подпространство оператора U, то (78 = 8 (см. замечание 4.21 гл. II), и потому (7_18 = 8. Следовательно, Л8 = = 1 (U - Vе) 8 = 1 (U - ZT1) 8 с: 8. Обратно, если Л8 с с 8, то из определения оператора . (Z — Л2)1/2 следует, что (Z — Л2) 1/28 с 8, и потому (78 с 8, а в силу замечания 4.21 гл. II (78 = 8. ■
Таким образом, это замечание подволяет нам остановиться только па исследовании задачи 1.11, а соответствующий пересказ для случая задачи 1.10 предоставляем читателю сделать самостоятельно.
В этом пункте укажем связь между задачами 1.2, 1.3 и 1.6, 1.7 соответственно.
Теорема 1.13. Пусть А ^ (L) — максимальный /диссипативный оператор. Тогда существует такая точка £ е Р (Л) П С+, что для 8+еФ1+ следующие условия эквивалентны-. а) 8+с$л и Л8+с 8+; б) Z7:8+c8+, где Ut = = J^t (Л) = (Л — £Z) (Л — ^Z)-1 — преобразование Кэли — Неймана оператора А в точке £ (см. гл. II, § 6, п. 4).
D Так как А^П), то (см. определение 1.5)' считаем, что ^+с®л, и потому все £ с Im ^ > 2ПЛР+!1 принадлежат р(Л) (см. теорему 2.9 гл. II).
Пусть 8+ с SA, 8+ е 2R+ и Л8+ <= 8+. Тогда все указанные выше £ принадлежат полю регулярности оператора Л|8+, а в силу непрерывности Л|8+ являются для пего регулярными. Поэтому (Л — ^Z)~‘8+= 8+ и (7£8+= = (Л — ^Z) (Л — ^Z) ~‘8+ с 8+. Таким образом, для импликации а)=>б) достаточно взять £ с Im ^ > 2НЛР+П.
Теперь докажем, что среди этих £ есть такие, для ко-
торых справедлива обратная импликация б)=> а). Пусть 8+^ЯЯ+ и и^й*сй+. Легко видеть (см. 6.16° гл. II), что из б) будет следовать а) тогда и только тогда, когда (^ — Z) 8+= 8+. Пусть К — угловой оператор подпространства 8+. Так как (Z7: — Z)8+с 8+, то совпадение этих линеалов эквивалентно максимальной неотрицательности (Z7E —7)8+ или (см. теорему 4.5 гл. I) равенству ^+ = = P+(Ut — 7) (Р+ + К)§*, которое, в свою очередь, эквивалентно тому, что Оер(77:и — Z+ + UWK), где UVi (i, 7 = = 1, 2) — блоки оператора Щ (см. (2.1) гл. II).
Так как из леммы 2.8 гл. II, теоремы 2.9 гл. II и формулы (6.36) гл. II следует, что Uw = — (Utll — Z+^f2 X X (Л22-^-)~‘, то Z7:ii—Z+ + Z7,12X = (Z7ci1—Z+)(Z+ — — Л12(Л22 —tZ"")-1^), и потому нам достаточно проверить, что 1ер(?7:и), и можно так выбрать £ с Im £ > 211ЛР+Н, что ПЛ12(Л22 — ^Z~)_1H < 1. Воспользуемся формулой (6.37) гл. II, считая без ограничения общности ^ ер(Ли):
(Utll - Z+) (7+ - Л12 (Л22 - :7-) -*Л21 (Л и - ^7+)-‘) =
с $'\ Пос $'\ По^^-^(Ли-^)-*.
с $'\ По
с $'\ По
Это равенство влечет совпадение 91^ _l+
скольку Ut — 7-бинесжимающий оператор (см. теорему 6.13 гл. II), то 0Ер(7Чп), И^ГпИ<1 (см. замечание 4.21 гл. II), и потому из 7+ — ZZ^i = U^t (77^п — 7+) имеем 91-1 = ^+, что влечет, как легко видеть, включение
1ер(77^п), и, следовательно, 1ер(7Дц).
Установим теперь существование такого £ с Im £ > > 2НЛР+Н, что 11Л12(Л22-:7-)-‘11<1.
Так как оператор Л /-диссипативен, то 0 =£ Im [Ли#*, ж+] + Im [Л12^~, л+] + Im [Л21^+, х_] + Im [Л22^_, я-] при всех т/е^, t~e$"PSa. В частности, при подстановке вместо х- вектора ^«(9= Im“C (Л22— у )-1ж~, а е R, для всех х~ с Ih-ll = 1 и х+ = г й—12 ™22——я
||А2(Л22-^ ) И (здесь предполагается Л12(Л22 — У-)-1х~ =# 6 — в противном случае ПЛ12(Л22 — £Z_)_1x~ll = 0 ^ q < 1 при любом
12(Л2 — и ) ^ <— - + + Im [л2]^+, (л22 —£7-)-1 дг] + Im“£Im [Л22 (Л22 — — У^-^х-, (Л22 — ^Z-)-1^-]. Из теоремы 2.9 гл. II и
леммы 2.8 гл. II получаем |(Л22 — Ц ) Ч^^п^ а при
Im £ 5s I Re £ I имеем НЛ22 (Аг — £/ ) 1Н^1 + У2, и потому
Ц..Ыг2-у-)-‘х-кЬ^ + Ь:Ц..Ыг2-у-)-‘х-кЬ^ + Ь:1±У2_1ш!-“£ '1±У2_1ш!-“£ '
Ц..Ыг2-у-)-‘х-кЬ^ + Ь:
Ц..Ыг2-у-)-‘х-кЬ^ + Ь:
1±У2_
1ш!-“£ '
1±У2_
1ш!-“£ '
Так как при 0 < а < 1 и достаточно больших Im £ имеем Ми 1| । Maij , 1 + V2 ^ Im“$ Im $ Iml-“ $’
то в силу произвольности х~ (Horii = 1) получаем
ПЛ12(Л2Е — е/-)-*Ч < 1. ■
1.14°. Если A^(L), &д = §, 8-еЭД- и Л: 8"-* 8", то 8~— инвариантное подпространство оператора Л.
О В соответствии с определением 1.1 надо проверить лишь, что ®л П8~ = 8-. Из условия 8.16 гл. I следует, что ф+ + 8~ = §. Так как ф+ с 5)д, то ®д = ф+ + (8~ П ®д), и потому Sа = 5 влечет ®д Л 8” = 8~. ■
Теорема 1ЛЗ и предложение 1.14° позволяют в дальнейшем исследовать только задачи 1.6 и 1.7, а соответствующие следствия для максимальных /-диссипативных операторов Ле(^) или их семейств 5le(L) читатель легко сформулирует сам, и потому в основном тексте мы на них останавливаться не будем. В заключение отметим, что исторически решение задач 1.6 и 1.7 не всегда предшествовало исследованию задач 1.2 и 1.3 — так, например, указанная в п. 1 теорема Понтрягина была получена раньше изложенного ниже в § 2 следствия 2.9, из которого мы предлагаем читателю в упражнении 10 к § 2 ее вывести.
В предыдущих пунктах этого параграфа мы договорились, что будем исследовать проблему инвариантных подпространств в основном для /-песжимающих и, в частности, /-полуунитарных и /-унитарных операторов. Для краткости дальнейшего изложения введем-
Определение 1.15. Будем говорить, что семейство U = {£7} /-несжимающих операторов обладает: а) свойством Ф+ (соответственно Ф-, Ф, Фш), если у него есть общие инвариантные подпространства 8+еЭД+ (соответственно 8-е5^-; б*^:®!*; 8*^®!*, 8+[J-]8_); б) свойством Ф+ (соответственно Ф-, Ф), если каждое его общее вполне инвариантное неотрицательное (соответственно 198 .
инвариантное неположительное, вполне инвариантное неотрицательное и инвариантное неположительное) подпространство (в том числе и {0}) допускает расширение до максимального семидефипитного (соответствующего знака) инвариантного относительно U подпространства; в) свойством Фш, если каждая его инвариантная дуальная пара (8+, 8“) с [78+ = 8+ (Ue^ допускает расширение до максимальной дуальной пары, инвариантной относительно U.
Из определения 1.15 ясно, что если семейство U обладает свойствами Ф±, Ф, Фш, то оно обладает и свойствами Ф±, Ф, Фш соответственно, а свойство Ф (Ф) равносильно одновременному наличию свойств Ф+ и Ф_ (Ф+ и Ф-). Отметим также, что определение 1.15, в частности, применимо к семейству 11, состоящему из единственного оператора U.
В заключение параграфа укажем один прием, который позволит в дальнейшем упростить доказательства наличия свойств Ф±, Ф±, Фш и Фш у некоторых J-несжи- мающих операторов (или семейств таких операторов) и избежать повторений в рассуждениях.
Определение 1.16. Пусть 11 = {17}— множество /-бипесжимающих операторов. Будем говорить, что комплекс J^ свойств множества U (комплекс может, в частности, состоять и из одного только свойства) ф-инвариантен относительно И, если этим же комплексом свойств обладает и каждое множество 11 = {[7} J-бинесжимающих операторов, действующих в факторпространстве 5 = = ^o'LV^o (см. (1.11) гл. II), где 80 (с$°) — произвольное вполне инвариантное относительно U подпространство.
Известно, что (в нашей терминологии) 56-и н в а р и- антиыми являются такие свойства семейств операторов, как свойство быть группой, коммутативность и др. Кроме того, справедливо и такое предложение:
°. Пусть 11 = {17}— семейство ]-бинесжимающих операторов. Свойство (8с$° и 8 с (78 влечет Сй с ф0} является ф-инвариантным, и, если U обладает этим свойством, 8+ — вполне инвариантное относительно U подпространство, 8^с$+, а 8+ = 8+ П S+"1, то 118^ = 8^.
О Пусть 80 — произвольное вполне инвариантное относительно U нейтральное подпространство, 5 = ^Е±3/8О,
a U = {?7) — семейство 7-бинесжимающих операторов, порожденное семейством И. Если 8 — нейтральное в 4 подпространство и 8 с (/8 для каждого U еЦ, то 8 = = Lin {ж е ж|ж е §) — нейтральное в § подпространство в .8 с Ui = Wx е Ux\x е 8:}. Следовательно, по предположению Ui — нейтральное подпространство, что влечет нейтральность Ui (=178).
Пусть теперь 8+ с ф+ и 178+ = 8+. Отсюда следует 8® с Ui°+ (с 8+). По условию 178^—нейтральное подпространство, и так как оно содержит 8^, то (см. 1.17° гл. I и определение 1.13 гл. I) U8^ = 8+. ■
Определение 1.18. Семидефинитное подпространство назовем максимальным инвариантным (соответственно максимальным вполне инвариантным) для семейства U, если оно не допускает нетривиальных семидефинитных расширений того же знака в множестве инвариантных (соответственно вполне инвариантных) относительно U подпространств. Аналогично определяется максимальная инвариантная дуальная пара.
О Из леммы Цорна прямо следует
°. Каждое семидефинитное инвариантное (соответственно вполне инвариантное) подпространство допускает расширение до максимального инвариантного (соответственно вполне инвариантного) семидефинитного подпространства того же знака. Аналогичное утверждение справедливо и для инвариантных дуальных пар *).■
Лемма 1.20. Пусть {фД — совокупность всех J- пространств, [^j,.^ ~ {U}}—совокупность всех семейств J-бинесжимающих операторов, которым присущ, некоторый комплекс Ж ф-инвариантных свойств, включающий свойство {8 с ф°, 8с Ui => Ui с: gj0}. Тогда либо каждое такое семейство обладает свойством Ф+, либо среди них существует семейство (U), не обладающее свойством Ф+ и такое, что каждое его вполне инвариантное неотрицательное подпространство положительно.
□ Пусть семейство 11 = (Ш удовлетворяет условию теоремы и тем не менее не обладает свойством Ф+. Пред-
’) Обращаем внимание читателя па то, что максимальное инвариантное семидефинитпое подпространство пе предполагается, вообще говоря, максимальным семидефинитным, а понятия «максимальная инвариантная дуальная пара» и «инвариантная максимальная дуальная пара» (ср. определение 10.1 гл. I), вообще говоря, пе тождественны.
положим, что й0 — максимальное вполне инвариантное относительно U (см. определение 1.18) нейтральное подпространство. Это позволяет нам перейти к семейству Ц = Ш} /-бинерастягивающих операторов, действующих в /-пространстве ^ = 8о±1/8о. Согласно условию этэ семейство обладает комплексом свойств J^ и вместе с U в силу упражнения 21 к § 8 гл. I не обладает свойством ф+. Покажем теперь, что все неотрицательные вполне инвариантные относительно И подпространства 8+ положительны. Пусть — изотропная часть такого подпространства 8+. Тогда в силу 1.17° 8+ является вполне инвариантным относительно каждого оператора V е U нейтральным подпространством, что влечет полную инвариантность 8 = Lin [же х \$ г 8^.) относительно LTeU. Так как 8«с 8 с $°, то из максимальности 80 как вполне инвариантного относительно 11 нейтрального подпространства следует совпадение 80 с 8, т. е. 8“ = {6}. ■
Замечание 1.21. Совершенно аналогично могут быть доказаны соответствующие утверждения о свойствах Ф_,Ф [±1, Ф±, ф[±]: (см. упражнения 4—6).
■ Упражнения и задачи
Построить /-положительный вполне непрерывный оператор А и проверить, что если /-пространство не является пространством Понтрягина, то у А-'1 пот инвариантных подпространств й* е ЭЯ*, содержащихся в ®Л-1 (Ларионов [9]).
Пусть U = {И} — группа /-унитарных операторов. Доказать, что для нее свойства: а) аменабельность; б) разрешимость; в) коммутативность; г) U е U => U* е U; д) равномерная ограниченность; е) Uc= U* = U"’1— являются дб-инвариаптпыми в смысле определения 1.16.
Указание. При доказательстве г) сначала проверить, что в условиях упражнения 2 U* = U*.
Пусть U — семейство /-бипесжимающих операторов. Проверить, что свойство ^каждое нейтральное инвариантное подпространство семейства U допускает расширение до его вполне инвариантного подпространства] является дб-ипвариантпым (Азизов).
Пусть Ж — некоторый дб-ипвариантный комплекс свойств, присущий семействам Uj^={t7} /-бипесжимающих операторов и содержащий свойство, дб-инвариантность которого утверждается в упражнении 3. Тогда либо каждое такое семейство обладает свойством Ф_, либо среди них существует семейство (U), не обладающее свойством Ф_ и такое, что каждое его инвариантное неположительное подпространство отрицательно( Азизов).
Доказать, что в условиях леммы 1.20 (соответственно упражнения 4) либо каждое упомянутое там семейство ^j,^ обла-
дает свойством Ф+ (соответственно Ф_), либо среди них существует семейство (U), не обладающее этим свойством и такое, что у него есть максимальное вполне инвариантное неотрицательное (соответственно максимальное инвариантное неположительное) подпространство 8+(8~), являющееся дефинитным и 8+ $1+ (8- ^ $1") (Азизов).
Если в условиях леммы 1.20 Uj ^> является группой 1- унитарпых операторов, то либо каждая такая группа обладает свойством Фш (соответственпо Ф1-*-1), либо среди них существует группа (U), не обладающая этим свойством и такая, что все ее максимальные инвариантные дуальные пары дефинитны (соответственно у которой существует максимальная инвариантная дефинитная дуальная пара (8+, 8-), 8* ^ ЗИ*) (Азизов).
Указание к упражнениям 4—6. Доказываются аналогично лемме 1.20.
§ 2. Инвариантные подпространства7-несжимающего оператора
■ 1. Пусть 5 = $+ ® 5- — каноническое разложение пространства Крейна, а V = || Vu )|-j=1 — матричное представление (см. (2.1) гл. II) /-несжимающего оператора V относительно этого разложения.
Теорема 2.1. Каждый равномерно З-растягиваю- щий оператор V обладает свойством Ф+. Если V — равномерно 3-бирастягивающий оператор, то он обладает свойством Ф и у него существует единственная пара 8+ с g)+ и 8~ с ф- максимальных семидефинитных инвариантных подпространств, причем они равномерно дефинитны, la( V|8+) I ^ Ур+(7) (>1), a |о(7|8-)|^ < Ушах {0; ц_(7)) (<1).
□ Начнем с утверждения относительно равномерно 7-бирастягивающего оператора V. В силу теоремы 4.31 тл. II единичная окружность свободна от спектра оператора V, и потому его преобразование Кэли Л = = Ж^1 (V) = ЦУ + I) (7 — I)-1 будет в силу 6.16° гл. II ограниченным равномерно /-диссипативным оператором, причем о(Л)П(—”, оо)=0 (см. 2.32° гл. II).
Обозначим 0^ = 0 (Л) П С^, Г± — жордановы контуры, лежащие в С^ П Р И) и окружающие о4". В силу теоремы 2.21 гл. II подпространства 8+ = Р^ и 8~ = = Р-^, где
^±=-2^$(^-V)-1^, (2.1)
являются соответственно неотрицательным и неположи
тельным инвариантными подпространствами оператора
Л. Так как Р+ + Р_ = I (см. теорему 2.20 гл. П), то
(2.2),(2.2),Й+ + 8- = $
(2.2),
(2.2),
и потому (см. 1.25° гл. I) й*^^. Из (2.2) и инвариантности й* относительно Л прямо следует, что 9^ инвариантны и относительно V (=^,(Л) = (Л + П) (Л — — iZ)-1). Так как V—равномерно /-бирастягивающий оператор, то: а) произвольный вектор у ^ £+ в силу теоремы 4.17 гл. II представим в виде у = Vx (же8+), и по определению 4.23 гл. II существует такое 6 > 0, что [У, У1>[ж, ж] + 6||жр>^||у||а, т. е. й+— равномерно положительное подпространство; б) для произвольного же й" справедливо неравенство —[х, ж] > — [Vx, Vx] + + бЫ2 > бПж112 (так как Иже ф-), и потому й~— равномерно отрицательное подпространство. Следовательно, й* — гильбертовы пространства относительно скалярных произведений ±[ж, у] (ж, уеб*), и потому в них VIй+ — растягивающий оператор, а V|S“ — сжатие, что влечет неравенства |о(7|й+)1>1 и |о(У|й-)|^1. Поскольку
равномерно /-бирастяги- XV где — < X <равномерно /-бирастяги- XV где — < X <же (см. замечание 4.25 гл. II) вающим будет любой оператор
равномерно /-бирастяги- XV где — < X <
равномерно /-бирастяги- XV где — < X <
что |o(XV|fi*) I > 1 иследуют неравенствачто |o(XV|fi*) I > 1 иследуют неравенства1-
что |o(XV|fi*) I > 1 и
следуют неравенства
что |o(XV|fi*) I > 1 и
следуют неравенства
<—7====,такой,
у max(0; р_ (У))■
I о (X VI й-) 1 =5 У откуда и'
lo(V|fi+)| > Vp+(V) и |о( Vlfi-) I ^ Ушах (0; p_(V)}.
Пусть теперь подпространства й^сф*) таковы, Что V9+ = й+ и V8_ с Й-. Как и выше, проверяется, что й± равномерно дефинитны, причем |o(V|fi+) I > Ур.+ (К), a |о (V! й_) I ^ Утах (0; p_(V)}. Из свойства проекторов Рисса (2.1) (см. теорему 2.20, е) гл. II) получаем й± с с й*, и потому оператор V обладает свойствами Ф±, т. е. свойством Ф. Одновременно мы проверили единственность максимальных семидефинитных инвариантных подпространств оператора V.
Пусть теперь V — произвольный ограниченный равномерно /-растягивающий оператор. Предположим, что нам удалось расширить /-пространство £ до /-пространства = 5+ ® -б (/ = 1+ ® /), а оператор V — до равномерно 7-бирастягивающего оператора V. Тогда у оператора V в силу доказанного выше существует единствен-
пространство содержит. Поэтому целесообразно ввести следующее
Определение 1.5. Будем говорить, что множество операторов 91 = {Л} в пространстве Крейна ^ = ^)+®^_ удовлетворяет условию (L), и писать ®e(L), если у любого Ае% в йА содержится хотя бы одно максимальное равномерно положительное подпространство 8+ (в общем случае различные 8+ для различных А е 91); в частности, если 91 будет состоять из единственного оператора А, то будем писать A е(Е). и предполагать, что ф+сФл.
Если в задачах 1.2 и 1.3 операторы А удовлетворяют условию (L), то естественно, как мы увидим ниже в теореме 1.13, неотрицательные инвариантные подпространства искать в самом линеале ®А- В такой постановке задачи 1.2 и 1.3 пока не решены. Ниже будут приведены дополнительные условия, при которых они имеют положительное решение.
Другой круг задач — для непрерывных J-несжимаю- щих операторов У с ®г = $ — берет начало в работах М. Крейна [4], [5].
Задача 1.6. Существует ли у каждого J-несжимаю- щего оператора У инвариантное подпространство 8+е5Я+? Если да, то есть ли такое 8+, что |а(У|8+) I > 1?
Задача 1.7. Пусть 11 = {£7}— коммутативное семейство J-несжимающих операторов, а 8+ — их общее инвариантное неотрицательное подпространство (сокращенно: U8+c8+). Существует ли 8+е2У1+ такое, что 8+с8+ и U8+ с 8+?
Покажем, что задача 1.7 в столь общей постановке имеет отрицательное решение даже для семейства U, состоящего из единственного оператора U.
□ Пример 1.8. Пусть $ = $+©,§-— /-пространство, {еМГ> кГ)Г~ ортонормированные базисы в ^+ и ф“ соответственно. Определим на базисе |е^}” J {е7)Г J-no- луупитарный оператор U: Ue^ = во + е^ + e7,Uep = е^ (i = l, 2, ...). Подпространство 8+= CLin {е^)^ (с: ■§+) является равномерно положительным инвариантным относительно U, причем не допускающим расширения до максимального неотрицательного инвариантного относительно U подпространства. В самом деле, пусть 8+ <= £+ (е$й+) и £78+с 8+. Так как Р+8+ = ^+ (см. теорему 4.5 гл. I), то в 8+ должен содержаться вектор вида е^ + х~ с х~ ¥= 6, х- е<ст и вместе с ним вектор U (е^" + ж~) = е^ + et +
+ ef + Ux~. Поскольку ef s 8+, то e^ + еГ -V Ux~ e 8+ и (e^ + $~) — (e^ + ef + Ux"^ e 8+. В силу неотрицательности 8+ имеем ef = (I — Щ х~, что, как легко видеть из определения U, невозможно,— получили противоречие. Заметим (ср. ниже с теоремой 2.8 и замечанием 2.4), что в этом примере «уголок» U12(=P+UP~\$~) = 0. ■
Определение 1.9. Подпространство 8 называется вполне инвариантным относительно семейства операторов Те^Т\ если 8с$г и 7’8 = 8 при всех Тед" (в этом случае будем писать также £7~8 = 8).
В заключение этого пункта отметим, что решения задач 1.6 и 1.7 в предположении, что 8+ — вполне инвариантное относительно U подпространство, еще не найдены. Ниже в §§ 2—5 будут указаны достаточные условия, при которых эти задачи имеют положительное решение.
Наконец, третье из основных направлений — направление, порожденное работой Филлипса [3].
Задача 1.10. При каких условиях на алгебру 91 = = {Л} непрерывных операторов, действующих „ во всем гильбертовом 3-пространстве .§, замкнутую относительно 3-сопряжения (т. е. Л еЯ => Лс е 91) и содержащую I, каждая дуальная пара (8+, 8~), инвариантная относительно Я (т. е. 918* с 8*, б^сф*, 8+[-L]8-), допускает эасширение до инвариантной максимальной дуальной пары"? Является ли коммутативность 91 достаточным для этого условием?
Задача 1.11. При каких условиях на группу U == = {[/} J-унитарных операторов каждая инвариантная относительно нее дуальная пара (8+, 8~) допускает расширение до максимальной дуальной пары, инвариантной относительно U? Является ли коммутативность .U достаточным для этого условием?
Замечание 1.12. В задаче 1.11 из инвариантности подпространств 8* следует их полная инвариантность, так как U — группа, и потому из [78±с8± и U-1^ с 8* следует С78± = 8±. Более того, если (8+, 8_)— инвариантная дуальная пара любого /-унитарного оператора U, то легко видеть, что (CLin (t7-ri8+}”, СЫп {£7~,!8-}”) — вполне инвариантна^ относительно U дуальная пара, расширяющая (8+, 8-) и, даже точнее, входящая в любое расширение (8+, 8~) до вполне инвариантной дуальной пары. ■
Отметим, как и по поводу предыдущих постановок, что задачи 1.10 и 1.11 для случая произвольных комму- 13* ■ ' 195
ное максимальное равномерно положительное инвариантное подпространство 8+ = Lin (ж+ + Кх* I х+ е $+ ® $+} (£е^+®$+, ^-), Ш<1), а потому 8+ (=8+Л^ = = Ьш{ж+ + ^ж+|ж+е^+})еф1+(5) и F8+с 8+. Теперь, если 8+ с $Р+(ф) и F8+ = 8+, то и F8+ = 8+. Отсюда 8+ <= с&+П^ = &+, что и доказывает наличие свойства Ф+ у оператора F. Следовательно, для завершения доказательства теоремы остается построить указанные выше расширения пространства ^ и оператора F.
Пусть V — равномерно /-растягивающий оператор. Тогда Л = VеV — I — равномерно /-положительный оператор (см. теорему 4.24 гл. II). В силу следствия 3.29 гл. II у оператора -Л существуют равномерно дефинитные инвариантные подпространств S^ е ЭЙ^, причем ®f[J_]8r> и. потому без ограничения общности (см. гл. I, § 7, и. 6) будем считать й^ = Фг. Так как {Л^ с с ^^ эквивалентно tV^V^ с ^\ то F^+[-L]F^_. Поскольку V — /-несжимающий оператор, то (см. следствие 4.13 гл. II) V^ — равномерно положительное подпространство с угловым оператором F21F7j\ определенным на 91 и ]| V„ .F?11 С 1. Пусть Г — расширение оператора F^Fy/ на все $+ и ПТП < 1.
Построим /-унитарный оператор V(Г) по формуле (5.3) гл. II. Тогда F=67(T)IF, где IF = U~l (Г) V - равномерно /-растягивающий оператор, причем IF^+ с £+ и IF^t-1-]^^- Теперь в качестве 5+ возьмем еще один экземпляр 5+ и продолжим /-унитарный оператор U(Г) до /-унитарного оператора У (Г) в ^ = 5+ ® 5, положив Г = Г, Г|^+ = 0, т. е. 77(f) 15+ = /+. После этого достаточно теперь построить продолжение оператора W до равномерно .Т-бирастягивающего оператора W, определенного на ф. Пусть [Wx, Wx] > [ж, х] + 6Ы2, 6 > 0. Определим оператор IF|^+, положив Wx* = Woo^* + + IF^ + W20x*, где z-e£+; TF00=JFn: ^+->^+; Wlo = ((1 + а) 7+ + W12W*2)1/2 Z710: £+-^Г, <7ю - частично изометрический оператор, отображающий 5+ на КегП^сГ) и Ker Ulo = 91 * ; W20 = W22W^ (1 +
•^00•
+ a)Z+ + W12Wi2)-1/2 t710: •б+->^~. Непосредственно проверяется, что при 0<a<i + ^-p оператор ^ бу_ дет равномерно 7-бирастягивающим. ■
. Пусть Т = || Ту ||?,j=i — матричное представление всюду заданного оператора Т относительно канонического разложения 5 = ф+ ® 5~ /-пространства 5- Введем в рассмотрение функции
Gt (КД = КДГ1г + К+Т12К+ - Т21 - ТИК+, (2.3)
G? (Я_) = К_ТМ + К_Тг1К_ — Т21 — ТТ1К_, (2.4) областями определения которых являются соответственно операторные шары ^^ (см. 8.19° гл. I).
Лемма 2.2. Для того чтобы подпространство S^ е е ЭД* с угловым оператором К± было инвариантным относительно оператора Т с 2>г = £, необходимо и достаточно, чтобы оператор К± был решением уравнения Gy (^±) = 0 соответственно.
О Пусть Т9Л с 8+ или, что эквивалентно, для каждого ж+ е ^+ найдется у* е ф+, являющийся решением уравнения Т(ж+ + К+хД — у* + К+у+, которое, в свою очередь, эквивалентно системе
(7\Х + Л^+г+ = ?Л
^ТмК+х+ =Кл,у+.
Подставим теперь значение у* из первого уравнения системы (2.5) во второе и в силу произвольности х* ^ ^+ получим, что Gt (КД = 0. Обратно, пусть Gt (КД = 0. Тогда в качестве искомого у* возьмем вектор, определяемый первым уравнением системы (2.5).
Утверждение Т 8~ с: 8~ -^ Gt (КД = 0 доказывается аналогично.
Определение 2.3. Скажем, что оператор Т удовлетворяет условию Л+(Л-), и будем писать rEA+f/e g Л_), если существует такой оператор Ке$+, 11^+II < 1 (К_е®-, 11КП<1), что Gt (КД (соответственно ОДК-Д —вполне непрерывный оператор.
Замечание 2.4. Используя теорему 8.17 гл. I, путем несложных вычислений можно убедиться, что Т е s Л+ (соответственно Т е Л-) тогда и только тогда, когда существует такое каноническое разложение £ = = £1"[ + ]£Г (соответственно 5 = 5г" [+]5"2 )>. что «уголок» PiTPt\ §i (соответственно Р^ТР^ | £Г)> гДе Р^— /-ортогональные проекторы на 5* (г = 1, 2), вполне непрерывен. Поэтому включения Т е Л+ или Т е Д_
не зависят от конкретного каноническогораз$9Кейия пространства, как могло показаться на первый взгляд из определения 2.3. Из теоремы 2.1 следует, что каждый равномерно J-бирастягивающий оператор удовлетворяет условиям Л+ и Л-. Однако не всегда даже для таких операторов существует единое разложение, при котором оба «уголка» вполне непрерывны одновременно, или, что эквивалентно, нет такого Ко е &+, 11А0Н < 1, что ОШо^®» и G?(^)e®- одновременно (см. ниже упражнение 2).
Тем не менее справедливо следующее утверждение:
.5°. Если U — J-бинесжимающий J-полуунитарный оператор, то W е Л+) => {U е Л_). В частности, если U — J-унитарный оператор, то Ш е Л+) -<=> Ш е Л_1.
Пусть иИе@я. Из следствия 5.12 гл. II следует, что Uue6«,, и отсюда Ш е Л-}. Аналогично доказывается утверящение относительно /-унитарного оператора. ■ . 3. Пусть V ~ /-бинесжимающий оператор. Введем обозначения
^+(Т)= {8+<sS)l+№ = 8+, |a(V|8+)| > Гц+(У)}, (2.6)
5<_(И)= {8-eS»l-|FS-cS-, |о(У|8")|^
Утах (0; ц-(И)}}.(2.7)
Для доказательства приведенной ниже теоремы 2.8 нам понадобится следующее простое утверждение:
2.6°. ПустьК*— их угловые операторы со
ответственно и ^ инвариантны относительно оператора Т с ®т = £. Тогда о(Т|8+) = о(Тп + Т1гК+) и о(Т|8") = = О^Тм + Т21К~').
Это утверждение является следствием того, что проекторы Р41 гомеоморфно отображают 8* на ^ (см. теорему 4.5 гл. I) и Т|8+= (Р+|8+)-1 (Гц + Т1аК^Р+\^, a 718" =(Р-|8-)-1(Т22 + Т21А-)Р-|8-. ■
Кроме того, мы неоднократно будем пользоваться следующей леммой, вытекающей, например, из [XII], теорема IV.5.6.
Лемма 2.7. Пусть Т — вполне непрерывный оператор, действующий из гильбертова пространства £, в гильбертово пространство 5г. Если {АД и VF^ — ограниченные обобщенные последовательности, состоящие и» операторов, действующих из & в 5и к сходящиеся в сла-
806
бой операторной топологии к К6 и F0 соответственн< ^Кь^К», Рь-^Е^, то {ТК,} сходится в сильной операторной топологии к ТК0 f^TKi, (8)-> ТКоу a Ft,TKs-^-
' - F0TK0.
Теорема 2.8. Если J-несжимающий оператор Те ' еЛ-, то он обладает свойством Ф+‘). Если V— J-бине- сжимающий оператор, то'
' а) УеЛ^5\(У)*0 и J^V^SS-,
V е \_=> 3_^= {31-е=ЭД-|91- = й+ш, й+е . е^+(У)} и УеЛ+=*^+(Ус) = {91+едл+|д1+=й-ш, Й~ е 3_ (У)};.,
' в) УеЛ1=^Ып{ах(У)|р.|>1}с П{8+|й+е^+(У)}
м У е Л+ => Lin {8Х (У) 11XI < 1} с n {8- | 8’е^_ (У)}.
□ Пусть У — J-несжимающий оператор, ■ /„ = = (1+ е„)Р++(1 — еп)Р~, где 0 < е„ < 1. Тогда У„ = = У/п — равномерно /-растягивающий оператор: [У7„ж, У7пж]^[7пж, 7пх]^[х, ж] + e^||a. ПосколькуУп11=- = (1 + 8„)Уц, то Уп будет равномерно /-бирастягивающим ■ тогда и только тогда, когда У — /-бинесжимающий опе- _ ратор (ср. замечание 4.21 гл. II). Из теоремы 2.1 сле- ■ дует, что у оператора Уп есть инвариантное подпростран- 1 ство 8™ G 3*1. +Обозиачим через Кп его угловой оператор. ;. В силу леммы 2.2 он удовлетворяет уравнению ’• G^n (Кп) = 0. Поскольку (см. 8.20° гл. I) шар ^+ явля- * ется бикомпактным в слабой операторной топологии, " / то из последовательности (Кп) (е„ -> 0 при п -»- <») можно выбрать подпоследовательность (^~), сходящуюся в ■этой топологии при п■ ->- оо к некоторому оператору Кй е
,^ ^+. Так как е~ -> 0 при п -> °°, то K~V~ = (1 + X
X ^п-^ы, ^21= (1 + е~) V21- V21, V-^ = (1 - — е~) V22K~-^ VMK6. Поскольку из замечания 2.4 следует, что можно без ограничения общности считать У12 е ©«,, то воспользуемся леммой 2.7 и получим К~V~12K^ = = (1 — е~^ K~V12K~ ^ KqV^Kq. Эти соотношения позволяют заключить, что Кй удовлетворяет уравнению Gv {Ко) = 0, т. е. в силу леммы 2.2 подпространство ^+ = {ж+ + Кож+|ж+ е ^+} (е9Л+) инвариантно относительно оператора У.
а) Пусть У — J-бипесжимающий оператор. Проверим, что тогда 1 о (Vly+) I > Уц+(У). Нам достаточно остановиться (с учетом теоремы 2.1 и замечания 4.25 гл. II) на случае, когда ц+(У)=1. В силу предложения 2.6е имеем р(У|8+)= р(Г0), где Го = У и + V12K6. Так как (см. замечание 4.21 гл. II) Ое р(Гц) и У8+ = 8+, то 0 е р(У,,) Л Лр(Г0). Поскольку (см. упражнение 4 к § 4 гл. II) D = {X11X | < 1} с р (У„), а У|2е®~, то из теоремы 2.11 гл. II следует D с р (^оУ Докажем, что Й+^5Х+(У), т. е. Oo=J) П о (Уо) = 0- Пусть Хер (^0) П D. Операторы Уп = У ~п + Уд 2&~ по лемме 2.7 сильно сходятся к оператору Го, а в силу теоремы 2.1 и предложения 2.6° имеем X е р (У~). Проверим теперь, что sup~ | ( У~ — Х7+)-11| < сю. Для этого по известной теореме Банаха — Штейнгауза достаточно установить ограниченность множества [(У~— Х7+)-1ж+} при каждом ж+^+. Пусть (У~ —XZ+)~3ж+ — я~. Перепишем это равенство в эквивалентном виде:
7+ - е~ [(У» - М+)-’У12 (К~ - К^ - Z+] х
х(У0-Х/+)-1(^1-^2^)-
-[(г0 - м+)-гг12 ^ - K^xt -
= ['+ - (^ - XI^V^ (j£~ - £„)] (Уо - хгу1^.
(2.8)
Так как ||[(У0 - XZ+)"1yi2 (Кп - TC0)]2j| < 2В(У0-XI^X xV1AK~-Ke^Vo-XI+yW12\\,K~-K6^O, а У12 е s ©„ и по лемме 2.7 (Уо - XZ^’X, (К~ - Ко) '^ 0, то (см., например, [XVII]) |(Уо — XZ+)-1yi2 (К~ — Ко) X X (Уо — XZ+)~1yi2||->0. Поэтому (2.8) принимает вид ^l+ + Т~^ ж^ = 8«ж+' где1Гп^0’ а (8~[—равномерно ограниченная последовательность. Отсюда при достаточно больших п получаем, что ж~ = (Z+ + T~^-1S~x+ и (ж~[ — ограниченная последовательность, и потому sup~||(r~-XZ+)-1||< оо.
Пусть теперь Хо е о0. Так как X» — изолироваппая точка спектра оператора Го, то существует открытый 208
круг D0(czD), граница которого Го состоит из регулярных точек этого оператора и такой, что Юо П °о — {Хо}. В силу компактности Го заключаем, что множество |(У~—Х7+)-11 Хо е Го] равномерно ограничено по X и и и, и потому последовательность проекторов Рисса Р~ = ■= — 2лгф ^« — X7+)-1<ZX сильно сходится к проектору
Ш г0
Ро = — 2к1 ^ ^° — ^+)-1^ на корневое подпространство- ~ Г°
8,о(Уо) (см. теорему 2.20 гл. II). Но Р~ = 0 при всех п* и потому Ро = 0, что влечет 8Хо (Уо) = {6}. Итак, la(Fo)I >1, т. е. ЗДУ^0.
Пусть теперь V е А+. Будем считать (ср. замечание- 2.4), что F2i G ©оо. Введём в рассмотрение по формуле (5.3) гл. II оператор 77(Г) с Г = Т^У^1 (е ©с»). Оператор U = U-1 (Г) V является вместе с V 7-бипесжимаю- щим и, как легко проверить, 11772211^1. Следовательно, Ум = [722 + Г(7+-Г*Г)-1/2(712 + ((7--ГГ*)-1/2 - !'№
есть сумма сжатия и вполне непрерывного оператора. Это позволяет по той же схеме, по которой доказано, что V е Л_ => 3 ^ (У) * 0, т. е. снова отправляясь от предложения 2.6° (на этот раз—второй его части), показать, что У е Л+ => З-(У') + 0. Заметим еще следующие очевидные импликации:
У е Л± -о Vе е Лт.У е Л± -о Vе е Лт.(2-9)(2-9)Поэтому, если У е Д_ (соответствеппо Л+), то ^_(УС)¥= ч^ 0 (соответственно ^+(УС)¥= 0). Итак, утверждение а)Поэтому, если У е Д_ (соответствеппо Л+), то ^_(УС)¥= ч^ 0 (соответственно ^+(УС)¥= 0). Итак, утверждение а)доказано.б) Пусть S+ е ^(У). Тогда ЭГ = й+ш еГ и УС9Г с с 91”. Поскольку (УС)22 = У*2, (УС)21 = — У12, ТО в силу 2.6° о(Ус | 91~) = о(У*2 — У^), где Q — угловой операдоказано.б) Пусть S+ е ^(У). Тогда ЭГ = й+ш еГ и УС9Г с с 91”. Поскольку (УС)22 = У*2, (УС)21 = — У12, ТО в силу 2.6° о(Ус | 91~) = о(У*2 — У^), где Q — угловой оператор подпространства 91~. Из У12 е ©„ заключаем (см. теорему 2.11 гл. II), что (XI1X1 > 1} с р(Ус|9У). Пустьтор подпространства 91~. Из У12 е ©„ заключаем (см. теорему 2.11 гл. II), что (XI1X1 > 1} с р(Ус|9У). Пусть|Х01 > 1 и У % = Хожо, 0 ^ ж0 е ЭУ. Так как вместе с тем|Х01 > 1 и У % = Хожо, 0 ^ ж0 е ЭУ. Так как вместе с темх0 е$+ (см. упражнение 5 к § 6 гл. II), то Жо е ф°, и пох0 е$+ (см. упражнение 5 к § 6 гл. II), то Жо е ф°, и потому i, ей+ П ЭУ, что влечет (см. упражнение 17 к § 4тому i, ей+ П ЭУ, что влечет (см. упражнение 17 к § 44гл. II) УУсж0 = х0, т. е.Уж0 = ^г- ж0 и Ло4гл. II) УУсж0 = х0, т. е.Уж0 = ^г- ж0 и Ло1^01^0< 1, — полу< 1, — получим противоречие с тем, что ^ еЗ+^Уу Следовательно, 91“ ^ 3- (Ус). Аналогично проверяется, что если 9У е-чим противоречие с тем, что ^ еЗ+^Уу Следовательно, 91“ ^ 3- (Ус). Аналогично проверяется, что если 9У е-14 Т. Я. Азизов. И. С. Иохвидов14 Т. Я. Азизов. И. С. Иохвидов20»20»
У е Л± -о Vе е Лт.
У е Л± -о Vе е Лт.
(2-9)
(2-9)
Поэтому, если У е Д_ (соответствеппо Л+), то ^_(УС)¥= ч^ 0 (соответственно ^+(УС)¥= 0). Итак, утверждение а)
Поэтому, если У е Д_ (соответствеппо Л+), то ^_(УС)¥= ч^ 0 (соответственно ^+(УС)¥= 0). Итак, утверждение а)
доказано.
б) Пусть S+ е ^(У). Тогда ЭГ = й+ш еГ и УС9Г с с 91”. Поскольку (УС)22 = У*2, (УС)21 = — У12, ТО в силу 2.6° о(Ус | 91~) = о(У*2 — У^), где Q — угловой опера
доказано.
б) Пусть S+ е ^(У). Тогда ЭГ = й+ш еГ и УС9Г с с 91”. Поскольку (УС)22 = У*2, (УС)21 = — У12, ТО в силу 2.6° о(Ус | 91~) = о(У*2 — У^), где Q — угловой опера
тор подпространства 91~. Из У12 е ©„ заключаем (см. теорему 2.11 гл. II), что (XI1X1 > 1} с р(Ус|9У). Пусть
тор подпространства 91~. Из У12 е ©„ заключаем (см. теорему 2.11 гл. II), что (XI1X1 > 1} с р(Ус|9У). Пусть
|Х01 > 1 и У % = Хожо, 0 ^ ж0 е ЭУ. Так как вместе с тем
|Х01 > 1 и У % = Хожо, 0 ^ ж0 е ЭУ. Так как вместе с тем
х0 е$+ (см. упражнение 5 к § 6 гл. II), то Жо е ф°, и по
х0 е$+ (см. упражнение 5 к § 6 гл. II), то Жо е ф°, и по
тому i, ей+ П ЭУ, что влечет (см. упражнение 17 к § 4
тому i, ей+ П ЭУ, что влечет (см. упражнение 17 к § 4
4
гл. II) УУсж0 = х0, т. е.Уж0 = ^г- ж0 и Ло
4
гл. II) УУсж0 = х0, т. е.Уж0 = ^г- ж0 и Ло
1
^0
1
^0
< 1, — полу
< 1, — полу
чим противоречие с тем, что ^ еЗ+^Уу Следовательно, 91“ ^ 3- (Ус). Аналогично проверяется, что если 9У е-
чим противоречие с тем, что ^ еЗ+^Уу Следовательно, 91“ ^ 3- (Ус). Аналогично проверяется, что если 9У е-
14 Т. Я. Азизов. И. С. Иохвидов
14 Т. Я. Азизов. И. С. Иохвидов
20»
20»
е^-^01), то 8+ — К-ш е у (У), а также имеет место вторая импликация из б).
) Пусть ХеоДУ), 1X1 =?М и жей^Р), Тогда спектр сужения оператора У па конечномерное инвариантное подпространство Lin {(У — Х/)’ж}“ состоит из одной точки {XI. В силу теоремы 1.13 гл. II имеем ж[-1-]91 для всех 91е^<+(Ус)) если |Xl < 1, или для всех 91 ^^„(У6), если |Л1 > 1. Воспользуемся уже доказанным утверждением б) и получим, что же П {| й" е^_ (У)) (| X| < 1) или соответственно же П }8+| 8+e'^+(У)) (|Х|>1). Поэтому включения, указанные в утверждении в), справедливы для каждого ^(V), а следовательно, и для их линейной оболочки. ■
Следствие 2.9. Если V— л-несжшиа/ощпй или л-бинерастягивающий оператор, то ^±(У)^=0 и для V справедливы заключения утверждений б) и в) теоремы 2.8. В частности, этими свойствами обладают л-полууни- тарные и л-унитарные операторы.
Это вытекает из того, что У21 и У|2 — конечномерные непрерывные операторы и потому У е Л+9. Л_. ■
Следствие 2.10. Если У(^Л+) — 3-полуунитарный 3-бинесжимающий оператор, то ^±(У)=#0 и для него справедливы утверждения б) и в) теоремы 2.8. В частности, этими свойствами обладают 3-унитарные операторы U е Д,+ П.Л-.
Достаточно сравнить предложение 2.5° с теоремой 2.8. ■
Замечание 2.11. В соответствии с замечанием 4.29 гл. II все постановки задач и результаты §§ 1, 2, как впрочем и §§ 3—5, для J-несжимающих и 7-бинесжима- ющих операторов нетрудно переформулировать в терминах J-нерастягивающих и J-бинерастягивающих операторов, что мы предоставляем читателю.
Упражнения и задачи
Привести пример равномерно /-растягивающего оператора, не обладающего свойством Ф- (и тем более свойством Ф_) (Азизов). ■
' Указание. Рассмотреть /-пространство 5 = ф+ ©I5Л dim 5 = dim§+, ^_ {0}, и в нем оператор XU, где |Х| > 1, a U — полуунитарный оператор, отображающий ф в ^+.
Пусть 6 = 6+ Ф'6-’—/-пространство,^4", ^“— два экземпляра одного и того же бесконечномерного гильбертова пространства. Проверить, что оператор У = Ц РуЦ^^, где Уп = ^/^"^>
V la = у I, 721 = О, 722 = у A. I, является равномерно /-бирастягивающим. Доказать, что нет такого Ко е й+ с ||Х011 < 1, что- Gy (К^ е ©^ и Gy (X*) е ©^одновременно (Азизов).
теоремой 1.13 гл. II и теоре-теоремой 1.13 гл. II и теоре-Пусть V— /-бинесжимающий оператор, 7еЛ_(Л+), Оо — спектральное множество оператора V, оос{А| ]Х| > 1} (соответственно о0 с ID), Ра — соответствующий проектор Рисса. Доказать, что тогда ^а06сП {8+ | 8+ е 3 _ (7)} (соответственно Рд^ с f| (8~ | 8~ е 3_ (7)} (Азизов).
теоремой 1.13 гл. II и теоре-
теоремой 1.13 гл. II и теоре-
оператор, | Хо] > 1, а 80— изо- (не исключена, что 8^ (7) =оператор, | Хо] > 1, а 80— изо- (не исключена, что 8^ (7) =Указание. Воспользоваться мой 2.8.
оператор, | Хо] > 1, а 80— изо- (не исключена, что 8^ (7) =
оператор, | Хо] > 1, а 80— изо- (не исключена, что 8^ (7) =
Пусть 7 — л-несжимающий тропная часть линеала 8--1 (7)
•= 8t (7) = 80 = (0)). Проверить, что .тогда dim 80 ^ dim 8Х (7}
^0■0
и подпространство 80 + 8Xq(7) невырождено (Азизов).
Указание. Использовать теорему 2.8, теорему 1.13 гл. II и упражнение 17 к § 4 гл. II.
Пусть 7 — л-несжимающий оператор, 81, 82 — его произвольные инвариантные подпространства из 2Я+. Доказать, что тогда, если |Х1 > 1, то dim(8x(7|81) + 8-_1(7|81))=dim (81(7|82) + + 8-_t (7 I 82)) = dim8x(7), если |Х| = 1, то dim8x(7|8j) = = dim8x(7|8s) (Азизов).
Указание. Использовать упражнение 4, теорему 2.8, теорему 1.13 гл. II и упражнение 17 к § 4 гл. II.
Пусть 7 — л-полуулитарпый оператор в Пх, 8+^5"+(7) и: | о(7|8+) ] > 1, ор(7) Л о*~1(7|8+) = 0. Тогда оператор 7е имеет, и притом единственное, х-мерное положительное и единственное х-мериое нейтральное инвариантное подпространства. При х = 1 других инвариантных подпространств из £й+ у оператора 7= нет, а при х > 1 мощность их множества либо не более 2*~2, либо не менее континуума (Азизов).
Указание. Использовать упражнение 5 и указание к нему.
Пусть П1 =П+ ф!П_, П+ = Lin {е+}, {еГ)”—ортонормиро- «анный базис в П_. Доказать, что линейный оператор 7, определенный на е+ U {*{"}” как ^е+ ~ 1/2е+ + е~, VeT = eT^j (i = = 1, 2, ...), ограничен и его замыкание — л-полуунитарный оператор, удовлетворяющий условиям упражнения 6 (Азизов).
Пусть А — ограниченный равномерно J-диссипативный оператор, ©А = 5. Доказать, что у оператора А существует, и притом единственная, пара инвариантных подпространств 8± е £Dl±, 8* равномерно дефинитны и Im о(А |8*) > 0, Imo(4|8_')<0 ([XI]).
Указание. Воспользоваться теоремами 1.13 и 2.1.
Пусть А — максимальный /-диссипативный оператор, A е (А), ©а = 5 и Ап — А22-вполне непрерывный оператор. Доказать, что у оператора А существует хотя бы одно инвариантное подпространство 8+ е ЗИ+, 8+ с ©а и Imo(A|8+)^0 (ср. Л а нге р [2], М. Кре йн [5], А зи з о в и Е. Иохвидов [1]).
Укаваиие. Воспользоваться теоремами 1.13 и 2.8.
Пусть Л — максимальный л-диссипативный оператор (в частности, л-самосопряженный) в Пх, ©л = Пх. Доказать, что у него существуют такие инвариантные подпространства 8* е ЭЯ*, что Im о (А 18+) ^ 0, Im о(Л |8~) ^ 0. При этом 1Лп{8а(Л) | Im X > > 0} с 8+ и С Lin {8х(Л) | Im X < 0} с 8-' (Понтрягин [1], Азизов [4], [8], М. К р е й л и Л а н г е р [3]).
Указание. Воспользоваться теоремой 1.13 и следствием 2.9.
И. Пусть в условиях упражнения 10 0л < л (символ 0л см. в упражнении 6 к § 2 гл. II) и правый (соответственно левый) граничный луч соответствующего угла образует с положительной (соответственно отрицательной) полуосью угол ф1 ^ 0 (соответственно фг^О). Доказать, что тогда внутри углов (—ф2, ф1)-и (—л + ф1, л — ф2) оператор А не имеет точек спектра и если, кроме того, Кег А дефинитно, то у оператора А имеется, и притом единственная, пара инвариантных подпространств 8* е ЭЯ*, 8* дефинитны и 8+ = Lin{8x(A), Кег Л Л ф+|1тХ > 0), а 8“' = = (Lin {8ц(Л=), Кег А П ф—'|1тр. > 0})[±] (Азизов [8]).
Неподвижные точки дробно-линейных преобразований и инвариантные подпространства
. Пусть -б = Ф+ ® ^- — /-пространство, V = = II ^ij lit,j=i— 7-бипесжимающий оператор. Из теоремы 4.17 гл. II следует корректность определения на шаре ^+ ^ = ^+(^+, Jp-) (см. 8.19° гл. I) дробно-линейного преобразования Крейна — Шмулъяна-.
Fv- К-+Е$(К) = (У21 + У22КуУг1 + V^Kf1 (3.1) или (в эквивалентной форме)
Ру (К) Уи + Еу (К) У12Я - У21 - УМК = 0. (3.2)
.1°. Пусть К — угловой оператор подпространства 8+ е 2Ц+. Тогда Еу (^) — угловой оператор подпространства V8+(e2R+), и потому функция Еу отображает шар S+ в й+.
Если х = х* + Кх* е 8+, то Ух = Уих+ + У21ж+ + + V12Kx++ V22Kx+ = (VU + V12K)x++(V2t + V22K)x+ = = у* + (У21 + У22К) (Уи + У^Ку^у*, где через у* обозначен вектор (Уи + Vi2Ky+. ■
Это предложение и запись функций Еу в неявной форме (3.2) позволяют ввести понятие обобщенного дробно-линейного преобразования Еу, определяемого ограниченным 7-несжимающим оператором У(©и = $), как отображение элементов шара ^+ в множество подмножеств 212 •
■ и, шара:
Fv {К) = [L'e^+ | LTn + L'V^K-V^ - V^K=ti\.
o (3.3)
Так же, как и 3.1°, доказывается
3.2°. Пусть V — J-несжимающий оператор, К — угловой оператор 8+ е 2R+, a L — угловой оператор подпространства V&+. Тогда Fy (К) =^+ (L), где ^+(L) определяется формулой (8.19) гл. I. ■
Определение 3.3. Подмножество 1? <= $+ называется инвариантным относительно обобщенного дробно-линейного преобразования Fy, если F у (7£) [) ^ ^ 0 при любом Ке®. При этом под сужением Fy | й понимается отображение Fy | Й : К (е $) -> Fy (К) П $• В частности, если $ состоит из одного оператора Ко, то Ко называется неподвижной точкой преобразования Fy.
□ Из предложения 3.2° немедленно вытекает
.4°. Подпространство й^ е ®1+ с угловым оператором Ко инвариантно относительно J-несжимающего оператора тогда и только тогда, когда Кое Fy(K0), т. е. Ка— неподвижная точка Fy. g
Заметим, что это предложение совпадает с леммой 2.2, если положить в ней Т = V — /-несжимающий оператор.
. Предложение 3.4° указывает еще один путь, на котором можно искать решение вопроса об инвариантных подпространствах. Этот путь состоит в том, чтобы исследовать, когда у. функции Fy существует неподвижная точка. Для реализации этой идеи нам потребуются некоторые топологические понятия и результаты. Последние приведем без доказательств.
Определение 3.5. Пусть Е — хаусдорфово линейное топологическое пространство, ^ — его подмножество. <)тображепие F, переводящее точки Ке$ в непустые выпуклые подмножества F^K^^E, называется замкнутым, если из того, что обобщенные последовательности IF6} и {F6) (F6 ^ F (F6)) сходятся к Ка и Fa соответственно, следует, что FQeF^KV).
Теорема 3.6 (Гликсберг [VII]). Пусть $— непустое бикомпактное выпуклое подмножество в локально выпуклом хаусдорфовом топологическом пространстве Е, F — замкнутое отображение точек Ке $ в непустые выпуклые подмножества F (Д) с ®. Тогда функция F имеет
в & хотя бы одну неподвижную точку, т. е. существует такая точка Ка е ^, что Ко ^ F^K^. ■
Легко видеть, что в условиях теоремы 3.6 справедливо утверждение.'
3.7°. Множество неподвижных точек отображения F замкнуто. ■
В пашем случае роль Е будет играть пространство линейных непрерывных операторов, действующих из одного гильбертова пространства в другое, а роль й — шар Я14" этого пространства или его замкнутые выпуклые под- MHOHtecTna. Топология является слабой операторном.
Перейдем теперь к ключевому результату этого параграфа."
Теорема 3.8. Пусть ^ = ^*®^-— J-пространетво^ У = О Уу ||щ=1— J-несжимающий оператор, У12 е ©„, Еу— обобщенное дробно-линейное преобразование, порожденное оператором У по формуле (3.3), a S:^^*^ —непустое выпуклое замкнутое в слабой операторной топологии подмножество, инвариантное относительно Еу. Тогда отображение Еу\® имеет хотя бы одну неподвижную точку. Множество неподвижных точек функции Еу | $ замкнуто ■ в той же топологии.
Проверим, что мы находимся в условиях теоремы 3.6. Пусть Хе S. Тогда из сравнения предложения 3.2® с теоремой 8.23 гл. I следует бикомпактпость и выпуклость непустого множества Еу^К), а с ним и непустого множества Еу (К) П ®. Таким образом, функция Fy^ переводит точки из й в его выпуклые непустые подмножества. Остается проверить, что Еу | $ — замкнутое отображение. Пусть {Fs} — обобщенная последовательности элементов из й, а Ей е Еу (А6) Q ® и Аб Ко, Е6 Е». Следовательно, по определению (3.3) имеем А«Уц + + FtV12K6 — У12 — У22А6 = 0. Поскольку FeVu -^FeVu, У22А6У22А0, а в силу леммы 2.7 F6V 1гК6-^-F0VцК», то Foe FV(KO). Замкнутость & влечет включение F, ^ й, т. е. Fee Fy(K0) f) ^- Теперь из теоремы 3.6 следует, что У Еу | й есть хотя бы одна неподвижная точка, а из предложения 3.7° — замкнутость множества всех таких точек. ■
3. В качестве следствия из теоремы 3.8 получается Теорема 3.9. J-несжимающий оператор У (^Л-) обладает свойством Ф+; J-бинесжимающий оператор
I (• =Л+) обладает свойством Ф-; J-унитарный опера- iop U(^Л+ U Л-) обладает свойством Фш.
Пусть V — /-несжимающий оператор и У е Д_. Кеа ограничения общности в силу замечания 2.4 считаем, что Via^®». Если неотрицательное подпространство tin с угловым оператором К» вполне инвариантно относительно V, то из предложения 3.2° следует инвариантность слабо замкнутого выпуклого множества ^+(Е0) (см. теорему. 8.23 гл. I) относительно обобщенного дробно-линейного преобразования Fy. Следовательно, в силу теоремы 3.8 у функции Fy | $+ (К^ есть хотя бы одна неподвижная точка ^0, которая по предложению 3.2° будет угловым оператором максимального неотрицательного инвариантного подпространства й0 оператора V и Йо с й0..
Пусть теперь V — /-бинесжимающий оператор, V е е Л+. В силу замечания 2.4 можно считать, что У21е е и потому (Ус)12 = — У2* ^ ®оо-Следовательно, из теоремы 3.8 заключаем, что у функции F^c существует неподвижная точка в любом инвариантном относительно Е^с выпуклом слабо замкнутом подмножестве из ^+. В частности, если 910 с Ф~, V9i0 с ^о и Qo — угловой оператор подпространства 910, то из инвариантности П^3 относительно Vе (см. 1.11° гл. II) и из 3.2° следует, что ■слабо замкнутое выпуклое подмножество ®- (Уо) (см. теорему 8.23 гл. I) инвариантно относительно FyC.
Пусть й» = {я+ + Еож+|ж+ ^ ф+}, где К» — неподвижная точка функции Е+с|^)* (@0). Тогда й0 инвариантно относительно Vе и 7-ортогонально (см. 8.22° гл. I) Последовательно, й^1 (е 9Я-) — инвариантное относительно V подпространство, содержащее 91g.
Заключительное утверждение относительно /-унитарного оператора U доказывается аналогично. Именно, в силу замечания 2.4 считаем, что Uto е ©„. Если (й+, Й-) — дуальная пара, [7Й± = й± и К± — угловые операторы подпространств й± соответственно, то в качестве выпуклого слабо замкнутого в Я14" подмножества Й, инвариантного относительно Fu , рассмотрим непустое под- мпожество ^ = ^+(Е+) П ®-(К-^ (см. теорему 8.23 гл. I). В силу теоремы 3.8 у Ец^ есть неподвижная точка К+, и потому й+ = {^+ + К+х* I х* е ф+} — инвари- -215
антное относительно U подпространство, содержащее 8+ и /-ортогональное 8_. Следовательно, (&+, 8+"1)— максимальная дуальная пара, инвариантная относительно U и содержащая (8+, 8-). ■
Следствие 3.10. Пусть V— я-несжимаюи^ий или, л-бинерастягивающий оператор. Тогда он обладает свойством Ф. Если У — д-унитарный оператор, то он обладает свойством Фш.
Так как У12 и У21— конечномерные операторы, то У е Д+ Г). Л-, и остается воспользоваться теоремой 3.9. ■
Следствие 3.11. Пусть Пх = П+® П-— пространство Понтрягина, a U — ^-унитарный оператор. Тогда U устойчив в том и только в том случае, когда все его собственные подпространства Y^er{U — 'KI) невырождены.
Пусть U — устойчивый оператор. Согласно следствию 5.20 гл. II без ограничения общности можно считать, что 77П± = Щ, и потому Ker(77 — V) = (Ker(77 — — V) 0 П+)[®](Кег(^7 — V) О П_). Это равенство влечет невырожденность Ker (U — XZ).
Обратно, пусть все Ker(77 —V) невырождепы. Следовательно, леор(У) влечет |Х| = 1 (см. упражнение 5 к § 6 гл. II). Стало быть (см. упражнение 22 к § 5 гл. II), Ker (U — V)[-L]Ker (U — д/) при X ^ ц, и потому существует ровно р (0<р^х) различных собственных значений Хц Х2, . .., Хр оператора U, которым соответствуют неотрицательные собственные векторы. Из невырожденности Кег(77 — X(Z) (i = 1, 2, ..., р) следует, что Пх = Ker(77 - X,Z)[+]Ker(77 - X2Z)[+]...[+] Ket(U - -XPZ)[+X где 91 = [Ker (tf - XJ)[+] Ker (77-X2Z) [+]... ...[+] Ker (77-Хр7)]ш и 7791 c gt согласно 1.11° гл. II, и по построению 77,91 не имеет неотрицательных собственных векторов. В силу следствия 3.10 91 — отрицательное подпространство, и потому 77,91— унитарный оператор относительно скалярного произведения —[ж, у},91. Следовательно, U — унитарный оператор по отношению к (эквивалентному исходному) скалярному произведению рр
(ж, У')! = S (*i, I/i) — [^, J/sr]’ где ж = 2 ^i + Ж9Ь У = р
= 2 Уг + У^ ^.^е Кет (77 — V) при i = l,2, ...,р, i=l
а х^, у^ е 91. Отсюда следует устойчивость U. ■
Теорема 3.9 позволяет уточнить теорему 2.8 для случая /-унитарных операторов.
Ie о рем a 3.12. Пусть Z7(eA+UA_)—J-унитарный туатар, Л — его неунитарный спектр, Л = Ai U Л2, Л4 П 11 Л2 = 0 и Л^1 = (X-11 X е Л2| = Л*. Тогда у оператора U существуют такие инвариантные подпространства 8+ s 1 : ЗИ*, что неунитарные спектры 17|8+ и 17|8- совпадают <• Ai и Л 2 соответственно. При этом Л ср ((7), и если XeAt (соответственно ХеЛ2), то корневое подпространство 8Х([7|8+) (соответственно 8Х(£7|8_)) совпадает с
Лср((7) в силу замечания 2.4 и следствия 5.13 гл. II. Пусть 8+ = CLin {8Х([7) lx s Aj, 8_ = = С Lin (йх(и') IX е Л2}. Так как по условию A-} П Л*=0, то в силу упражнения 7 к § 6 гл. II 8± с у. По построению 8± — вполне инвариантные подпространства оператора U и 8х(17|8+) = 8X(I7) (8x(i7|8_) = 8Х((7)) при X g Ai (соответствеппо ХеА,). В силу теоремы 3.9 существуют инвариантные относительно U подпространства 8+^3%=, содержащие 8± соответственно. Проведя рассуждение, аналогичное использованному при доказательстве теоремы 2.8, убеждаемся в том, что пеунитар- пые спектры операторов 17|8+ и U\й- состоят из нормальных собственных ^значений. По построению At с со((7|8+) и Л2 с о([/|8_), и соответствующие корневые линеалы удовлетворяют требованиям теоремы. Остается отметить, что кососвязапность 8Х(£7) и 8-_j (U) (ср. следствие 3.12 гл. II) влечет о((7|8+) П Л2 = 0 и о(С7|8_)П. П Л, = 0. ■
В этом пункте будет исследован вопрос о числе инвариантных подпространств у Лбинесжимающих операторов, имеющих хотя бы одпо инвариантное максимальное равномерно положительное подпространство (в дальнейшем множества равномерно дефинитных подпространств из Э1+ и Э1_ будем обозначать ®1^ и 9)1,7 соответственно). Но прежде докажем следующее утверждение:
Лемма 3.13. Пусть ^ = ^+ ® ^- — 3-пространство, Q— угловой оператор подпространства 91“ е 2R-. Тогда 5 — S+ + 91~ и справедливо следующее утверждение: если подпространство 8 = {ж+ + Кх*\х* е ^+, К; ^+ -> ф~, НАГИ < оо) и ^ep^QK\ то й = (у+ + Fy+\y+ е ^*, F: 5+
9l-, li/^i < оо) и —i^p(QP~F), причем F = (P~ + * Q')K(I+— QKV1. Обратно, если i = {y++ Fy+\y+^^+,
F: £+ -* 91', ИЛ < 00} и -1 e p (QP'F'), to 8 = k+ + + ^+|x+e$+, К- £+-^£г, Ш<оо) и 1ер^К)т причем . . -
К = Р~РЦ* A- QP-Fy\К = Р~РЦ* A- QP-Fy\(3.4)(3.4)
К = Р~РЦ* A- QP-Fy\
К = Р~РЦ* A- QP-Fy\
(3.4)
(3.4)
Равенство Jp = ф+ + 91~ получается из следствия 8.16 гл. 1. Пусть 8 = {ж+ + Кх*\х* е £+, К\ ^+-^^-, 1Ш< оо) и lep^). Тогда, если х = х* + Кх* е 8, то х = x*-QKx* + Кх* + QKx+ = (I+-QK)x+ + (Р~ + -VQ^Kx* = у++(Р- + Q)K(F - QKVy+ = y+ + Fy\ где y+=^I* -QK)x+, F =(P~ + Q)K(I+— QK)'^ Следовательно, 8 = (y+ +Fy*\y+ e jp+; F: $+->-9l~, ПРИ < «>}. Утверждение о том, что — 1 е p^QP-F), следует из равенства QP-F = QP-^P- + Q^K^I*-QKW = QK(I+— — QK')-1 = —/+ + (/+ — QK)-1. Остальные утверждения леммы проверяются аналогично. ■
Теорема 3.14. Пусть V—З-бинесжимаюи^ий оператор, 8+(е®1^)— его инвариантное подпространство. Тогда оператор V имеет инвариантное подпространство 91“ е 2R-. Если, кроме того, у V есть такое инвариантное подпространство (8+ =^) 91^" е 5Я+, что Sli4" + 91“ = $, то этот оператор имеет не менее континуума инвариантных подпространств в каждом из множеств ®1» и ®l+\Sl+.
Пусть К+ — угловой оператор подпространства 8+. Из леммы 8.4 гл. I вытекает, что ПК+Н < 1, а по лемме 2.2 Gy(K+) = 0. Следовательно, V ^ Л+, и потому по теореме 2.8 у V есть инвариантное подпространство 91- е SI-.
Воспользуемся теперь результатами из п. 6 § 7 гл. I и будем считать без ограничения общности, что 8+ = £+. Пусть Q — угловой оператор подпространства 91~, a Kt — угловой оператор подпространства 9lf (=#-&+). В силу утверждения в) теоремы 8.15 гл. I 1ер(<?Л), и потому из леммы 3.13 следует, что 91* = \.у+ + Р1У+\, где у* е $+, a Fi=i,P-"V Q^K^I* — QKP)-1. При этом ^ =/= 0. Поскольку Jp+ и 91“ инвариантны относительно V, a Ft: Jp+ -*• 91~, то инвариантными будут и подпространства 91а — = {у+ + а-Р^ | у+ е $+} при всех аеС. Заметим, что $« не обязательно семидефинитны. Однако при достаточно малых но модулю а имеем — 1 ^p(aQP~Ft), и потому, 218
, пмср, при |a | < у || Ft || в силу леммы 3.13
•'i.: = Vx^A-KaX^Xx^e^, Ka = a.P-Fx^-Vti.QP-FiYv\,
ллИЗ того,ИЗ того,ЧТО ||j?a$^ЧТО ||j?a$^1«1НЛ1-|«IFJ1«1НЛ1-|«IFJ< 1, следует< 1, следует(3.5)(3.5)равпо-равпо-мерпая положительность всех таких 91^. При этом мощмерпая положительность всех таких 91^. При этом мощ
л
л
ИЗ того,
ИЗ того,
ЧТО ||j?a$^
ЧТО ||j?a$^
1«1НЛ
1-|«IFJ
1«1НЛ
1-|«IFJ
< 1, следует
< 1, следует
(3.5)
(3.5)
равпо-
равпо-
мерпая положительность всех таких 91^. При этом мощ
мерпая положительность всех таких 91^. При этом мощ
ность их множества не менее континуума.
Без ограничения общности теперь можно считать, что 91^ e5tj, т. е. IIKJI < 1 (равенство 91^ + 91~ = 5 получается из следствия 8.16 гл. I). Рассмотрим множество тех a е С,при которых — 1 s p(aQP~Fi). Это открытое множество, в каждой связной компоненте которого функция а-* ^, голоморфна. Пусть В — связная компонента этого множества, содержащая точку a = 1 (см. лемму 3.13). Докажем существование такой точки ct, s В, что ||^a0J > > 1. Прежде всего заметим, что если Ву=С> то у В существует конечная граничная точка а'. Тогда, если an е 3, an-> а', то из вида оператора Ка (см. 3.5)) заключаем, что |[^an||-*°° («-*«>), и существование а, доказано. Если же 8 = С и вопреки предположению [|Ка$^1 (аеС), то в силу теоремы Лиувилля Ка = ж const. Следовательно, QKa = aQP~Fi(I+ + aQP'F^'1 = ~ /+ — (/+ + aQP-FiV1 — const, что влечет равенстве QP~Fi = 0, и потому Ка — aP~F^ const (так как F^ ^0) — получим противоречие.
Рассмотрим теперь непрерывные функции (а=)Д: |0, 1]'->В (0<т^1), причем /т (0) = 1, /т(1)=а0 при всех те [0, 1] и /ч (М ¥= /т2 (^2) ПРИ т, ^ т2 и <„ t^e е(0, 1). Так как все функции /г(£) непрерывны, то непрерывными по t будут при каждом т и функции ^^(0!, причем [[ KfxW || = || Кг ]| < 1, а J К/т(1)| = || KUq |] > 1, и потому существуют С*=(0, 1) такие, что || К/г^г) || — 1. По условию /г, (Сд)#1 /т2 (#т2) при Tt =# т2. Следовательно, оператор V
имеет не менее коптинуума различных инвариантных подпространств 91/^t^ е Ш1+\Э1^ с угловым оператором KW ■
В заключение покажем, как из результатов об ип- вариаптных подпространствах для J-несжимающих операторов получать близкие утверждения для операторов, действующих в G-пространствах.
В п. 6 § 6 гл. I была приведена конструкция вложения G-прострапства в /-пространство, при котором, в частности, С(х,-прострапство вкладывалось в Пх. Будем на
зывать такое вложение каноническим и проследим, что
происходит при этом с некоторыми свойствами операто
ров, действующих в соответствующих пространствах. Ниже нами будет использована следующая общая теорема, приводимая здесь без доказательства.
D Теорема 3.15 (М. Крейн [2]). Пусть банахово пространство 83 плотно и непрерывно вложено в гильбертово пространство ^. Если линейный оператор Л: S3-> ® с ©а = 53 непрерывен (соответственно вполне непрерывен') в SB, а также симметричен как оператор в ^, то он непрерывен (соответственно вполне непрерывен') в § и продолжается по непрерывности на всё ^ до самосопряженного оператора Д: $-* ф- ■
Как прямое следствие из этой теоремы получаем важное в дальнейшем утверждение.
Лемма 3.16. Пусть G-пространство ^ — ^+®^', G^ с ^^и ф канонически вложено в J-пространет во
^+ ® 5", причем ^ канонически вложено в $±. Если А с ©л=ф — G-самосопряженный непрерывный (соответственно вполне непрерывный) оператор, то он однозначно продолжается до непрерывного (соответственно вполне непрерывного) J-самосопряженного оператора
D Пусть 7(=|G| *G)—унитарная часть полярного разложения оператора G, в данном случае совпадающего с разностью ортопроекторов Р* и Р- на 5+ и ^- соответственно: J — P+ — P~. Тогда JA — IGI-самосопряженный оператор, а $ по построению (см. 6.14° гл. I) — пополнение $ по норме (|С|ж, .г)1/2. В соответствии с теоремой 3.15 оператор / продолжается до оператора J = = Р* — Р~ (Р- — ортопроекторы в $ на ф*), a JA — до самосопряженного в $ оператора JA, который будет одновременно с А непрерывным или вполне непрерывным. Поэтому А = / JA — искомый оператор. ■
Следствие 3.17. Если в условиях леммы 3.16 А —
= || Ay ^ j=i — непрерывный G-самосопряженный оператор.
Д,2, Д21 е ©„, операторов AtjД,2, Д21 е ©„, операторов Atjто А = || Ау |'|^,=1, где А{1 — продолжения
Д,2, Д21 е ©„, операторов Atj
Д,2, Д21 е ©„, операторов Atj
А.,А.,О^22О^22(I, 7 = 1, 2), причем А«, Я21е®«.
А.,
А.,
О^22
О^22
и Ои ОО Так как А = Л1 + А2, где Аг =
и О
и О
0Л12Л2!00Л12Л2!0, Л1 и Л 2 — G-самосопряженные операторы,
0Л12
Л2!0
0Л12
Л2!0
Ate6«,, то остается воспользоваться леммой 3.16. ■
Замечание 3.18. Пусть ^ = ^*®§г—G-пространство, G^c^, G± = G|^±, Qsp(G_), Тогда из Л =Ле, ®л = и Л12 G ®„ следует Л21 е©„.
Это вытекает из справедливого в этом случае равенства Л21 = G—'A^G^. ■
Замечание 3.19. Если 7е— непрерывный вместе а V оператор, Фу = Ф^с = ^, то V и 7е продолжаются до непрерывных операторов V и Vе в §, причем 7е = Vе.
Это немедленно следует из леммы 3.16 с учетом равенства V = -^ (7 + 7е) + I ^ ^ — ^ и G-самосопряженности операторов у (7 + 7е), y(V— 7е). ■
Теорема 3.20. Пусть ф = ^+ ® $- — G-пространство, G^c:^, G± = G\^±, 0ep(GJ. Если 7—G-бинесжи- мающий оператор (т. е. 7 и 7е — непрерывные G-не- сжимающие операторы, Фу = ФуС = -§), 712 е ©„, 8+ с ф^ 78+= 8+, то существует такое й+е 5R+ (^), содержащее 8+, что 78+ <= 8+.~
□ Пусть ф = ф+ ® ф~ канонически вложено в ф = = 5+® б-- Из того, что 0ep(G_), следует равенство ф- = ф_. Оператор 7 удовлетворяет условиям замечания 3.19 и потому продолжается до непрерывного оператора V, который является /-бппссжимающим. Так как 712 eg„. CiEp(G-), то Г12 е ©о„. Поэтому в силу теоремы 3.9 оператор 7 обладает свойством Ф+. Условие 78+ = 8+ влечет полную инвариантность замыкания 8+ в ^ относительно оператора 7. Следовательно, существует 8 = {ж+ -V Кх*\х+ е ^+}(еЩ1+(^)), содержащее 8+, и 78 = 8. Легко видеть, что 8+ = 8 П $(еЖ+ (5)) будет искомым подпространством. ■
Следствие 3.21. Если ^ — Gw-пространство и 7 — Gw-6uneсжимающий оператор, то любое его вполне инвариантное неположительное подпространство допускает расширение до максимального неположительного инвариантного подпространства.
Мы находимся в условиях теоремы 3.20 с точностью до перехода к антипрострапству и с учетом того, что 721 — конечномерный оператор. Значит 72iG©„. ■
Упражнении л задачи
Пусть V — /-несжимающий оператор. Определим обобщенное дробно-линейное преобразование Fy на непустом подмножестве Я (с Я+) : Fy (Я) — U (У^ (К) | К е Я}. Доказать, что если ® = { У} — полугруппа /-несжимающих операторов, те F ^ — = |Уу| Ре®]—также полугруппа по отношению к суперпозиции преобразований, и при этом Fy^ ° F^ =• Fy^y^, если $ — группа, то и fj- группа, (Р^)-1 = F^_v
Доказать, что если U — /-унитарный оператор, то K||<1^^+(X)J<1 и ||Х||-1^|/’+(Х)||=1 (М. Крейн и Шмулян [4], Потапов [1]).
Указание. Воспользоваться предложением 3.1°.
Пусть V — /-несжимающий оператор, a U — /-унитарный ■оператор, W=U-WU. Оператор КоеЯ+ является неподвижной точкой преобразования Ру тогда и только тогда, когда F^-^K^ — неподвижная точка преобразования F^.
Доказать, что функция Р^, порожденная /-несжимающим оператором 7 е А_, имеет в Я+ хотя бы одну неподвижную точку (И. И о х в и д о в [10]).
Указание. Использовать предложение 3.23 и теорему 3.9.
Пусть V—/-бинесжимающий оператор, Fy* имеет неподвижную точку Ко с ЦA^oll < 1. Тогда функция Ру либо имеет единственную неподвижную точку в Я+, либо таких точек не менее континуума, причем пе менее континуума на границе шара Я+ (Азизов; ср. Хацкевич [5]).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 3 и считать А'о = 0. Использовать теорему 3.14.
Пусть Т е А- — /-бинесжимающий оператор, (8+, 8_) — дуальная пара, 8+ вполне инвариантно относительно I, а 8_ инвариантно относительно Тс. Тогда существует расширение этой пары до ■ максимальной с сохранением указанных свойств (Азизов).
Указание. Считать Т^ е ©«., воспользоваться следствием 8.24 гл. I и теоремой 3.8.
Доказать, что если U — /-унитарный оператор, то функция Fy непрерывна в слабой операторной топологии тогда и только тогда, когда 17!2g©oo (Хелтон [3]).
Если У е А- — Дполуунитарный /-бинесжимающий оператор, то он обладает свойством Ф (Азизов)._
Указание. Использовать предложение 2.5° и теорему 3.9.
Пусть V — /-несжимающий оператор, 8+ (с ®+) — его вполне инвариантное подпространство с угловым оператором К+, def 8+ < оо. Тогда V — /-бинесжимающий оператор и существует вполне инвариантное относительно пего подпространство 8+ s SDI+, содержащее 8+ (Азизов).
Указание. Проверить, что Fy — замкнутое преобразование выпуклого непустого бикомпактного подмножества Я+(Х+), и воспользоваться теоремой 3.6.
Пусть Л е (7) — /-самосопряженный оператор, А — его не- иыщественный спектр, Л = Л( U Л2, Х^ = Л*, At (1 Л2 = 0. Донизать, что если Л12 — Л22-вполне непрерывный оператор, то у оператора Л существует такое максимальное неотрицательное инвариантное подпространство 8+ с: ©л, что невещественный спектр оператора А18+ совпадает с Ai (или с Л2) (Лангер [3], М. Крейн [5]).
Указание. Воспользоваться теоремами 1.13 и 3.12.
Инвариантные подпространства семейств операторов
С инвариантными подпространствами групп /-унитарных операторов мы уже встречались в и. 3 § 5 гл. II. Из теоремы 5.18 гл. II вытекает, в частности, что если U = Ш) — ограниченная аменабельная группа /-унитарных операторов, то эти операторы без ограничения общности можно считать и унитарными. Поэтому ниже вместо условия аменабельности и ограниченности будем сразу накладывать на группу /-ун.итар- иых операторов условие унитарности входящих в нее операторов, т. е. и§* = ^*. Следующая теорема уточняет теорему 5.18 гл. II.
Теорема 4.1. Если IX = {U} — группа J-унитарных и одновременно унитарных операторов, то она обладает свойством Фш. ■
□ Пусть (8+, 8-) — дуальная пара, инвариантная относительно группы U, а (8+, 8_) — ее расширение до максимальной инвариантной дуальной пары. Так как свойства /-унитарности и одновременной унитарности являются д5-инвариантными (см. упражнение 2 к § 1), то без ограничения общности можно считать, что (8+, 8_) —дефинитная пара (см. упражнение 6 к § 1). Так как U8+ = 8+, то из /-упитарности всех 17 е U следует, 4toU8c+^= й^11- Дуальность пары (8+, 8_) влечет включение 8- с 8+'^. Поскольку (см. (10.1) гл. I) 3[+]= ®+ [®]911 (в данном случае фигурирующее в (10.1) гл. I 91° = (01), а из одновременной /-унитарности и унитарности всех U е U следует U2)+ = 2)+, то U3lt = 9lt. В силу теоремы 10.2 гл. I, чтобы установить включение 8- е 9Л~, достаточно теперь проверить, что 8- — максимальное в 5V] неположительное подпространство. Пусть Р, — ортопроектор из 8^] па 9tj. Так как J78-=8_ и U^ = 9it, то UP^- = Р18-, и потому ?7[ (Р^-)-1 П 91,] = (PtS-)^ 0 9lt.
Подпространство ^Р^-У1 fl ^(с^1) отрицательно и /-ортогонально 8— Следовательно, 8 = Lin{8_, (Р&-)1- П riSM— максимальное отрицательное подпространство из 8+"\ инвариантное относительно всех U ell. Максимальность 8_ как инвариантного отрицательного подпространства из 8[А относительно группы U влечет совпадение 8- с 8. Аналогично проверяется, что 8+ е 9Л+. ■
2. В этом пункте исследуется вопрос об инвариантных подпространствах для групп нормальных /-унитарных операторов. По прежде докажем некоторые вспомо
гательные предложения.
Лемма 4.2. Пусть § — J-пространство, U — J-унитарный и одновременно положительный оператор, а Ех — его спектральная функция. Тогда
a) 8i = CLin tox^lX < 1) и 82 = CLin ((/ — 5ц)^|р > > 1} — нейтральные ортогональные друг другу подпро
странства;
б) ^ = Кег([7-/)[®](81 ®82);
в) /(8, ®82) = 8i®82, JKer^U-I^Ker^U-iy,
г) каждое дефинитное инвариантное подпространство оператора U лежит в Kcr(5 — I). ’
□ а) Так как Ек§ с Е^ф при X > X, (7 — Е-Л 5 с — (7 — 5ц) § при ц > ц, то для доказательства нейтральности 81 и 82 достаточно проверить нейтральность подпространств Ех§ при Х<1 и (/ — 5ц)5 при ц>1 соответственно. Из спектральной теории самосопряженных операторов следует, что о(5|5^)с: [Xmln, X], где Хтш = inf {(Ux, ж) 1 11x11 = 1); далее, 0^р(5) в силу /-унитарности положительного оператора U, и потому Xm!n > 0. Подпростран
ство Ех§ ие(=и~*у
инвариантно и
относительно
причем a (Uc | Ех^ с:
А 1
. ^ ’ ^min.
оператора
Так как по
условию X < 1, то [Xmin, X] Л [1/Х, 1/Xmln] = 0. Теперь
нейтральность Ех^ вытекает из теоремы 1.13 гл. II. Ана
логично проверяется и нейтральность (/ — Е^^ при ц > 1. Ортогональность 81 и 82 следует из свойства ортого
нальности спектральной функции: 5^(7 —5„) = 0 при X < 1 и ц > 1.
б) Ортогональность Кег(17 —7) к 8, и 82 следует из ортогональности Кег(5 —7) к Ех§ при Х<1 и к (7 — 5Ц) ^ при ц > 1.
Проверим теперь, что Кег(5 — 7) [-L]8t и Кег(?7 — — I) [3-]82. В силу непрерывности /-метрики достаточно
проверить, что Ker(I7—7)[-L]Ex§ при Х<1 и Кег(17 — — 7)[-L](/— S^)^ при ц > 1 соответственно, а это, в свою очередь, прямо следует из теоремы 1.13 гл. II с учетом того, что о (77е 1 Кег (77 — /))={!}.
Рассмотрим инвариантное относительно U подпространство £'= Кег((7 — 7) [®](8i ® 82) и докажем, что §' = §. В противном случае $ = $' ® ^,±, где ^'^(^б) — инвариантное относительно U подпространство, а V = = (7|5'± — положительный оператор. Пусть Ех — его спектральная функция. Легко видеть, что EV&'L с Ev§ при всех veR. Поэтому из ортогональности Ex §lL kS^cS, с £') при X < 1 и ортогональности (/—Е^ф'11 к (J — Е^^сДгС So'1) при ц > 1 следует, что Ех§'1‘ = = {0}(Х<1), (/ — ^ц) 6'1 = {6} (и > 0), так что о (У') =* ==Ш. Отсюда заключаем, что У'= Л^'^, что противоречит ортогональности ^/х к Кег ((/ — /). Следовательно, 5' = ^ -
Вытекает из б) в сочетании с формулой (7.1) гл. I.
Пусть 8 — инвариантное подпространство оператора U. Как известно (см., например, [XXI] и ср. ниже замечание 1.8 гл. IV), тогда и ЕД с 8. Так как ЕД— нейтральное подпространство при X < 1, то из дефипит- пости 8 получаем ЕД = {0}. Аналогично (7 — 7?ц)8 = {0} при ц.>1. Следовательно, 8-L(8i®82), т. е. 8 с <=Кег(77 — 7). ■
Следствие 4.3. Пусть оператор U удовлетворяет условиям леммы, 4.2, a S9r — алгебра всех непрерывных заданных на ^ операторов А:^-*^ коммутирующих с U. Тогда ©и имеет общее нетривиальное нейтральное инвариантное подпространство в том и только в том случае, когда U ^ 7. Каждое такое подпространство J-ортогональ- ноКетф-^.
Если U = I, то ®г/ совпадает с алгеброй всех непрерывных операторов А: ф -* 5, У которой, как легко видеть, нет никаких нетривиальных (в том числе и нейтральных) инвариантных подпространств.
Если же U * I, то, например, 8! и 82. фигурирующие в лемме 4.2, нейтральны и инвариантны относительно Эи, поскольку каждый из операторов этой алгебры коммутирует с Ех при всех XeR (см., например, [XXI] и ср. ниже теорему 1.5 гл. IV).
Пусть 8 — любое нетривиальное нейтральное подпространство, инвариантное относительно Эи. а Р — /-ортогональный проектор из $ на Кег (К —7). Тогда, как .5 т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов 225
нетрудно проверить, Рй — инвариантное подпространство алгебры Уи1Кег(У — 7), которая совпадает с алгеброй всех непрерывных операторов, действующих в Кег(77 — 7). Поэтому либо Р8 = {0}, либо Р8 = Кег(77 — 7). Так как (_РС=^Р eS&Ui то Р8с8, и, следовательно, Р8 —нейтральное подпространство. Из утверждения б) леммы 4.2 следует, что Кег(77 —7) —проскционно полное подпространство, и потому Р8={0}, т. е. 8[-L] Кег(77 — 7). ■
Следующая лемма имеет общий характер и, по-види- мому, хорошо известна.
Лемма 4.4. Если $= VV} — группа, состоящая из нормальных операторов, содержащая вместе с каждым V его сопряженный V*, то VU*U — U*UV при любых U, Те 93.
По условию оператор W = V*VU*U е 93 и потому является нормальным. Так как W —(77*7/)-самосопряженный оператор и скалярное произведение (77 * 77-, •) эквивалентно (в смысле эквивалентности соответствующих порм) исходному, то а(1У)с!Р, что с учетом нормальности W эквивалентно его самосопряженности: W = ЗУ*, т. е. V*VU*U = U*UV*V. Как известно (см., например, [XXI]), отсюда следует, что ( V* У) иги*и = U*U ^V*Vy*\ Пусть У = 5(У*У)1/2— полярное представление нормального оператора У; здесь S — унитарный коммутирующий с (У*У)‘/2 оператор. Так как 5(77*77)25-‘У*У = = (У*У)‘/25(Т7*77)25-1(У*У)1/2 = (У77* 77) (77* 77У) = = (77* 77У*) (У77*77) = (77* 77) (У*У) (77* 77) = (77 * 77 ) 2У*У, то S(U*Uy = (U*U)ZS. Как и выше, заключаем, что SU*U = U*US. Следовательно, У 77* 77 = 77* 77 У. В
Перейдем теперь к формулировке и доказательству основного результата этого пункта.
Теорема 4.5. Пусть 85 — 3-пространство, U = (77} — группа, состоящая из нормальных 3-унитариых операторов и содержащая вместе с каждым 77 оператор U*. Тогда U обладает свойством Фг±1.
Пусть (8+, 8-) — инвариантная дуальпая пара группы U, а (8х, 8-) — ее расширение до максимальной инвариантной дуальной пары. Воспользуемся упражнением 6 к § 1 и будем считать, что (8+, 8_) — дефинитная дуальная мара. В силу утверждения г) леммы 4.2 имеем 8± с П,{Кег (77*77 — I) | U е U}, Более того, максимальность 8± влечет равенство 77*77 = I при всех 77 е U. В самом деле, если-бы U^U^^I при некотором U% е U, то из леммы 4.4 и следствия 4.3 вытекало бы, что у груп- 226
пы U существует общее нетривиальное нейтральное подпространство, /-ортогональное Ker (,U*U6— f) и тем более 8±,— получим противоречие. Итак, U*U — I при всех U g Ц, т. е. U — группа, состоящая из /-унитарных и одновременно унитарных операторов. В силу теоремы 4.1 она обладает свойством Фш, и потому 8± е ЭЛ*. ■
Следствие 4.6. Если 11 = {<71— коммутативная группа, состоящая из нормальных J-унитарных операторов, то минимальная группа, содержащая U и U*, обладает свойством Ф[*].
Множество U* = {£7*1 U е Ш также является коммутативной группой, состоящей из нормальных /-унитарных операторов. При этом, если U, V s U, то UV = = VU, а потому в силу известной теоремы Фуглида U*V = VU*, т. е. элементы групп U и 11* коммутируют друг с другом. Следовательно, группа U, порожденная объединением U и U*, коммутативна и состоит из нормальных /-унитарных операторов. При этом, если U U, то U* е U. Остается воспользоваться теоремой 4.5. ■
3. О Операторный шар S'*, как указывалось в предложении 8.20° гл. I, является бикомпактом в слабой операторной топологии, а потому (см. 8.21° гл. I) центрированная система его замкнутых подмножеств имеет пепу- стое пересечение — на этом основано доказательство следующего ключевого утверждения.
Теор"ема 4.7. Пусть 93= {У)— семейство J-бине- сжимающих операторов, F^ = {Уу | У е 93) — соответствующие дробно-линейные преобразования шара S' (см. (.3.1)), a ^v — замкнутое подмножество множества неподвижных точек преобразования Fy. Тогда, если для каждого конечного набора {У,} с 93 имеем П $’у ^ 0, mo fl W'y\V ^W 0• ■
Следствие 4.8. Пусть 93 = {У}— семейство J-би- несжимающих операторов У с У12е®„ (соответственно CiE®,), Тогда, если каждое конечное подмножество из 93 обладает свойством Ф+ или Ф+ (соответственно Ф_ или Ф_), то этим же свойством обладает и все семейство 93. Если 93 — семейство J-унитарных операторов с У,2 е о ©„ (или, что эквивалентно, У21е®«,), то аналогичные утверждения справедливы и относительно свойств Ф[±] и Фш.
□ Пусть У — J-бинесжимающий операторШу—множество неподвижных точек функции Fy. Это множество при У12 ®„ в силу теоремы 5.8 замкнуто в слабой операторной топологии. В силу 3.4° каждое конечное подмножество S3' из S3 обладает свойством Ф+ тогда и только тогда, когда П Шу\VeS3'| ^ 0, а наличие свойства Ф|+ у S3 эквивалентно тому, что fl Шу | V е 8|=^0. Остается воспользоваться теоремой 4.7.
Аналогично доказываются остальные утверждения. ■
Следствие 4.9. Если U = {f7} — коммутативное семейство устойчивых J-унитарных операторов и U^ е ©„ для всех U е U, то U обладает свойством Фш.
□ Пусть Щ, U2, ..., Un — произвольный конечный набор операторов из U, a Un — группа, порожденная этими операторами. Из коммутативности группы U и устой. чивости операторов, входящих в нее, заключаем (см.
5.17—5.20 гл. II), что U„— ограниченная амена- бельная группа. Поэтому (см. и. 1) Un обладает свойством Ф^1. Остается воспользоваться следствием 4.8. ■
В условиях следствия 4.9 все семейство U не обязательно ограничено. Это подтверждается следующим примером.
□ Пример 4.10. Пусть П1 = П+ ® П_ — пространство Понтрягина, П+ = Ып{е+}, а П_ = CLin [e,~}”t (е^, ej) =6у (i, j = 1, 2, ...), и последовательность}^}” комплексных чисел такова, что 2 I ^ )а = 4, £$=#0 (i = l, 2, ...). Рассмотрим подпространства П}п) = (П1
е+ + 2 ^Г, е„+1, е^2, • • • .Это также про
странства Понтрягина сх = 1, П^зэ П1"+1), П^"1— отрицательные подпространства, a ^ = IIjn) [ + ] П^111 (п = 1, 2, ...). Определим операторы U„: Unx = x при х е IY^\Uny = — у при. уеП,1п,[11- Легко видеть, что это л-унитарные устойчивые (так как У,2 = 7) операторы и UnUm = UmUn ^п, m = 1, 2, ...). По построению операторов 77п видно, что все их неотрицательные собственные векторы лежат вП1"1, а потому неотрицательные собственные векторы семейства U = {?/„}” в П (П}^]” = =Lin(e+ + 2 Поэтому U имеет единственное неот-
рицательпое инвариантное подпространство Lin |е+ + + 2 ^iei j и оно нейтрально. Если бы семейство U было ограниченным, то ограниченной была бы и порожденная им группа. Согласно теореме 5.18 гл. II у этой группы, а потому и у семейства U, должно быть положительное инвариантное подпространство — противоречие. ■
. Перейдем теперь к исследованию вопроса об инвариантных подпространствах у л-несжимающих операторов.
Теорема 4.11. Пусть 93= {V}— коммутативное семейство л-несжимающих операторов в Пх. Тогда оно обладает свойством Ф.
Согласно следствию 4.8 достаточно проверить справедливость утверждения для семейства 93, состоящего из конечного набора операторов.
Проверим наличие у такого $ свойства Ф+. Пусть 8+ (с$+) — инвариантное подпространство этого семейства, а 8+ — его максимальное инвариантное неотрицательное подпространство, содержащее 8+. Воспользуемся упражнением 4 к § 1 и будем считать, что 8+ — положительное подпространство. Тогда Пх=^+ [ + ] 8У], где 8+""1 — вновь пространство Понтрягина ПХ[ с хх = х — — dim 8+. Докажем,, что х, = 0, т. е. 8+ е ЭД+.
Пусть х, > 0 и Р — л-ортогональный проектор на 8+"1, Тогда операторы Рх= PV | Sy1, как нетрудно проверить, образуют коммутативное семейство 93, = (FJ, причем У, — л-несжимающие (см. ниже более общую лемму 5.9) в &У1 операторы. Поскольку 8+ — максимальной инвариантное неотрицательное подпространство семейства 93, то, с одной стороны, у 93, нет неотрицательных инвариантных подпространств 8,=^{0}: в . противном случае Lin{8+, 8J было бы расширением 8+ до неотрицательного инвариантного подпространства семейства 93; с другой стороны, каждый из операторов У, по следствию 2.9 имеет в 8^* химерное неотрицательное инвариантное подпространство. При этом если ViX6 = ’kx6l (б^)^ s^+, то |Х| = 1. В самом деле, если !Xl > 1, то 8х(У,) в силу упражнения 5 к § 6 гл. II является неотрицательным подпространством, и оно инвариантно относительно 93,, что невозможно. Если бы было UI < 1, то (см. упраж-
нение 5 к § 6 гл. II) х0 е $-, т. е. ж0 е $’, и изотропная часть 8x(Vi) опять-таки была бы инвариантна относительно S3, что вновь невозможно. Следовательно, IXI = 1 и Kei^V, —Х7) певырождено. Поэтому (см. упражнение 23 к § 4 гл. Н) у оператора V, нет присоединенных векторов, соответствующих этому X. Пусть Х(, Х2, ..., Л? — все такие точки из оДУ)), которым отвечают неотрицательные собственные векторы. Очевидно, что $i = = Ып{Кег(У1— Х^Р'— некоторое пространство Понтрягина П~. Из следствия 2.9. заключаем, что х = х^ Кроме того, ф, инвариантно относительно 33ь Рассмотрим семейство S3p)=S311 ^ = {У j^}. Оно снова коммутативно и состоит из л-несжимающих операторов, один из которых является, как легко видеть, устойчивым л-упитар- пым. Проведя указанную выше процедуру столько раз, сколько в S3 операторов, получим семейство 33' = {У'}, состоящее из устойчивых л-унитарпых операторов, являющихся сужениями исходных операторов на инвариантное подпространство Пи, с х' = хь Согласно следствию 4.9 семейство S3' имеет химерное неотрицательное прдпространство — получили противоречие.
Проверим теперь свойство Ф_ семейства S3. Пусть 8- — максимальное инвариантное неположительное подпространство семейства, содержащее исходное. Опять- таки в силу результата упражнения 4 к § 1 считаем 8- отрицательным подпространством. Тогда 8[?3—пространство Понтрягина Пи, с х' = х и оно инвариантно относительно семейства S3C = {Ус| У е S3}, состоящего из л-пе- сжпмающих операторов. Согласно доказанному выше, S3C имеет х-мерпое неотрицательное инвариантное подпространство 8+ в 8Г*3, но тогда S^3 (е 9Л~) инвариантно относительно S3 и 8[+13дэ8_, что возможно лишь при совпадении 8^3 с 8_. ■
Следствие 4.12. Если U = {17}— семейство попарно коммутирующих я-унитармых операторов, то оно обладает свойством Фш.
Пусть (8+, 8-) — максимальная инвариантная дуальная пара семейства 11, содержащая исходную. Согласно упражнению 6 к § 1 можно считать, что (8+, 8-) — дефинитная пара, а потому [8+[+]8-]]ш — инвариантное относительно U пространство Понтрягина Пх, с х' =
= х — dim8+. По теореме 4.11 при х'>0 у семейства U в Пк, существуют х'-мерное неотрицательное инвариантное подпространство 8t и максимальное в ПХ' неположительное инвариантное подпространство 82 = S1/1 Q 0 Пх,. Следовательно, (Lin{8+, 8J, Lin {8, 82}) — расширение дуальной пары (8+, 8-) с сохранением инвариантности относительно U, что возможно только при 81 = 82 = {0}, т. е. ^е^. в
Следствие 4.13. Пусть $ — Gw-пространство, 11 = = {£7} — коммутативное семейство б^-унитарных операторов, 8- — его максимальное инвариантное неположительное подпространство. Тогда 8_ е ЭЙД
Воспользуемся результатами п. 5 § 3 и вложим канонически С(х)-прострапство ^ в Пх, а также продолжим семейство U по непрерывности до коммутативного семейства U = {£7} л-упитарпых операторов. Согласно следствию 4.12 U обладает свойством Ф_, и потому существует 8е$№-(Пх), содержащее 8- и инвариантное относительно 11. Тогда (ср. 8.18° гл. I) 8 П ^ е ЭД-(ф), 8 П $ => 8_ и 8 Л 5 инвариантно относительно 11. Из максимальности 8- следует совпадение 8- = 8 Л $. ■
Полученный результат позволяет доказать ряд утверждений о существовании инвариантных подпространств, одним из которых является
Теорема 4.14. Пусть U = {£7} — коммутативное семейство J-унитарных операторов, ' (8+, 8_) —его инвариантная дуальная пара, причем def8+<°° или def 8_ < < оо, а (8+, 8-) — ее расширение. до максимальной инвариантной дуальной пары. Тогда 8± е ЭД*.
Без ограничения общности будем считать def 8+ < < оо, а потому и def 8+ < °°. Согласно упражнению 6 к § 1 можно считать, что (8+, 8-) — дефинитная дуальная пара. Следовательно, б^"1—С(х)-пространство с х = = def 8+, U | б^-1 — С(х)-унитарные операторы, а 8 — их максимальное инвариантное неположительное подпространство. Из следствия 4.13 заключаем, что ^_ е еУГ(8^), а стало быть (ср. теорему 10.2 гл. I), 8_еЭД-(£). Поэтому (§11], 8_)— инвариантная дуальная лара, содержащая (8+, 8-), и из максимальности последней получаем ^+ = 8[?"J е £й+. ■
' У пражпйшя % ^№»
Исследовать, можно ли в теореме 4.5 опустить условие {f/sU} =^ {//*SU}? ■
Пусть $ = {И}—коммутативное семейство, состоящее из л-несжимающих и л-биперастягивающих операторов. Тогда оно обладает свойством Ф (А 3 И 3 о в [6]).
Обобщить следствие 4.13’па случай, когда U = {E7}—коммутативное семейство б(х)-песжимающих операторов ©и= = 2>ие"§ (Азизов).
Доказать, что если U = {<7} — коммутативное семейство /-бипесжимающих операторов, 8+ (соответственно 8_)—максимальное вполне инвариантное (соответственно максимальное инвариантное) неотрицательное (соответственно неположительное) подпространство семейства U и def 8+ < оо (соответственно def 8_ < оо), то 8+ е £Ю+ (соответственно 8- s ЗЯ") (Азизов).
Пусть § = Lin {е, /}, ||е|| = |j/|| = 1, (е, /) = 0. Введем в 5 /-метрику с помощью оператора /: /(ае + В/) = Jie + а/. Доказать, что группа, порожденная операторами ] и U; U (ае + В/) = = Хае + Х-1р/ (|Х|=^1), является разрешимой, состоит из л- унитарных операторов и не имеет общих нетривиальных инвариантных подпространств (ср. теорему 5.18 гл. И) (Азизов).
Пусть Й — коммутативная алгебра операторов, действующих в /-пространстве, замкнутая относительно операций сопряжения и /-сопряжения, т. о. А е й => А* е Й, Ас е Й. Доказать, что какова бы ни была максимальная инвариантная относительно Й дуальная пара (8+, 8~), имеем 8* е ЭЯ± (Филлипс [3]).
Указание. Воспользоваться теоремами 1.13 и 4.5.
§ 5. Операторы классов 31 и ЗС(Э1)
. В п. 8 § 5 гл. I были введены понятия классов А* семидефинптных подпространств, которыми мы будем оперировать в этом параграфе.■
Определение 5.1. Будем говорить, что ограниченный оператор Т- принадлежит классу 36 (Т е^), если у него есть хотя бы одна пара 8+ е 2R+ и Й~ е 2R- инвариантных подпространств и каждые инвариантные относительно Т максимальные семидефинитные 8* принадлежат соответственно.
Из этого определения и предложения 1.11° гл. II пе- медленно следует справедливость импликации
Т е36 Г е36.(5.1)
Исследуем теперь ряд других свойств операторов класса 36.
Теорема 5.2. Если оператор Т имеет инвариантное подпространство класса У?+ П h+ (соответственно 2)1" П ПЛ,-), то ГеЛ+ (соответственно ГеД.). В частности, Те=36=> 7 е Л+ П Л_.
Пусть К* — угловой оператор* инвариантного подпространства 8+ s 8И+ оператора Т. Если 8+ е h+, то К* можно представить в виде суммы К+ = Kt + К2 , где ЦК^ || < 1, a Kt—конечномерный частично изометриче- ’ ский оператор. В силу леммы 2.2 Gt (К+) = 0, а потому Gt (Kt) = (К+ - Kt) Tlt + (К+ - Kt) Т12 (К+ - -Kt) Т21-Т22 (K+-Kt) = -KtT11-KtT12K+- —К+ T12Kt —KtT12Kt + T22KtбЕ®» и по определению . 2.3 Т е Л+. Аналогично доказывается, что, если у оператора Т есть инвариантные подпространства 8“ е SR- П П hr, то Г е Д_.
Из определения 5.1 и доказанного следует, что Т е s 36 =>Т е А+ п А-. ■
Из этой теоремы вытекает, что для операторов класса 36 справедливы утверждения, доказанные ранее (см. §§ 2—3) для операторов класса Л±.
В частности, из теоремы 3.9 и упражнения 8 к § 3 получаем
Следствие 5.3. Если Т (^36)—J-бинесжимающий (соответственно J-полуунитарный J-бинесжимающий или, в частности, J-унитарный) оператор, то Т обладает свойством Ф (соответственно Ф[±]). ■
Следствие 5.4. Пусть Т(^36)— J-бинесжимаю- щий оператор. Тогда каждое его вполне инвариантное неотрицательное (соответственно инвариантное неположительное) подпространство принадлежит классу h+ (соответственно hr).
□ Достаточно воспользоваться следствием 5.3, опре
делением 5.1, а также тем простым фактом, что подпространство подпространства класса h^ принадлежит ЬЛ. ■ Следствие 5.5. Пусть Т — J-бинесжимающий оператор класса 36. Тогда существует такая постоянная
Хт < 00, что размерность каждого из нейтральных инва- , риантных подпространств, оператора Т не превосходит хт.
Пусть {8} — множество всех нейтральных инвариантных подпространств оператора Т. Из следствия 5.4 вытекает, что dim 8 < °о при всех 8 е {8}. Если предположить, что не существует постоянной хг < °°, ограничивающей размерность подпространств 8, то среди них нашлась бы последовательность|8n|” с dimfin->oo, dim 8n ^ dim 8п+1. Положим 8t = 8n 8n = Lin{8„_1, 8„Г| П 8^} (п = 2,3, .. .).По построению {8n}f — монотонно неубывающая последовательность нейтральных
инвариантных подпространств оператора Т, dim 8П ->- оо при п-*°°. Но тогда и CLin{8n}”— нейтральное инвариантное подпространство оператора Т, причем dimCLin {8„}” = оо,—получили противоречие. ■
Следствие 5.6. Пусть ^(е^)—J-бинесжимаю- щий оператор, Ker (7 — V) = 91х[ + ] ^х [ + 1 Six— каноническое разложение ядра оператора Т — XI на изотропную 9?х’ положительную 91^ и отрицательную Six" компоненты. Тогда ^х — равномерно дефинитные подпространства и
min {dim (Six [ + ]$%), dim(six[ + ] Six)) <°°.
D Из следствия 5.4 получаем, что dim Six < °°, ^ — равномерно дефинитные подпространства, а любые дефинитные подпространства в Six [ + ] $х равномерно дефинитны. Поэтому в силу теоремы 9.11 гл. Imin {dimSix, dim Six )< °°,что влечет неравенство min [dim(Slx[ + ] Six), dim(9lh + ] Six)) <oo. ■
Лемма 5.7. Пусть T (еЗб^ —Ебинесжимающий оператор. Если у Т нет нейтральных собственных векторов, то у него имеется единственная пара 8+еЗЛ+ и 8“ г е ЗЛ~ инвариантных подпространств и они равномерно дефинитны, $ = 8+ 4- 8~. В частности, если к тому же Т — J-полуунитарный или J-унитарный оператор, то 8- = = 8+ш и ^ = 8+[+]8-.'
Пусть S^^SR*)—инвариантное подпространство оператора Т. По определению 5.1 8* s ЬЛ, а потому его изотропная часть 8 о конечномерна и инвариантна относительно Т. Следовательно, если у Т нет нейтральных собственных векторов, то 8^ = {9}, т. е. подпространства 8* равномерно дефинитны. Из теоремы 3.14 и следствия 8.16 гл. I вытекает единственность 8*. Поэтому, если к тому же Т — 7-полуупитарпый оператор, то Тй* = 8+ влечет 7’с8+ = 8+, и потому 7'8+1±] <= 8+1±1. В силу единственности пары 8+ и 8~ получаем 8“ = 8+1±]. Из следствия 8.16 гл. I вытекает равенство ф = 8+ + 8_ или, если 8~ = 8+1±1, ^ = 8+[+]8_. ■
Лемма 5.8. Для J-бинесжимающих операторов принадлежность к классу 36 является ф-инвариантным свойством..
Пусть V — Z-бинесжимающий оператор, V е 36, 80 — его нейтральное инвариантное подпространство. 234
В силу следствия 5.4 dim 80 < °°, и потому в силу 4.14° гл. I У80 — 80. Из результата упражнения 20 к § 4 гл. II следует, что оператор У, индуцированный оператором У в факторпространстве ^ = S^1/^, является У-бипесжима- ющим. Надо доказать, что У s 36. Согласно следствию 5.3 существуют инвариантные подпространства 8± е е З^"11 П К41 оператора У, содержащие 80. Но тогда 8± = = &J%0 г 5Л±(§) 0 КЛ (ср. упражнения 21, 22 к § 8 гл. I), и 8± инвариантны относительно У. Пусть 51±еЭЛ±(§) — произвольные инвариантные подпространства оператора У. Тогда Э1± = {.r± е х±\х± е $±} — максимальные семидефинитные инвариантные подпространства оператора У, а потому 91± е ^^ что влечет принадлежность JL(=9L/8„) классам А± соответственно. По определению 5.1 У еЗб.ш
Пусть 8 — равномерно дефинитное инвариантное подпространство У-бинесжимающего оператора У, причем У8 = 8, если 8 с $+. Без ограничения общности считаем, что 8 <= §+ или 8 с £г в зависимости от знака 8. Тогда ф = 8[®]8Ш и относительно этого разложения операторы У и У представимы в матричном виде:У=|| Уу11щ^1, У21=0,0ер(Уп), а / = НуL=hЛ, - 0, У12 = 0, У„ = = 7|8, если 8 с и Уи = —У|8, если 8 <= $ , а У22 = = J* = J^.
Если 8 <= ф-, то из упражнения'34 к § 4 гл. II следует, что У22 — Аг-бинесжимающий оператор.
Пусть 8 с $+, х2 е 8Ш, хх = — У-1У12ж2. Тогда [У22^г, Угг^г] = [У(^1 + ^2), У(^ + ^г)] > [^1 +.^2, Ж, + ^2] = = [жь ^J + Нг, х2}^[х2, я2], т. е. У22 — Лг-песжимаю- щий оператор. Из инвариантности 8Ш относительно У-несжимающего оператора Ус следует, что (Угг)” (= (Ус) 22) — Угг-песжимающий оператор, Т. е. Угг— Угг-бипесжимающий оператор. Итак, в обоих случаях — 8 с $+ или 8 <= ф- — оператор У22 .является У-бипесжи- мающим.
Пусть теперь, кроме того, У ^36. Проверим, что тогда и У22 е 36. Пусть, например, 8<=ф+, а 8+(еЭД+) — существующее' в силу следствия 5.3 инвариантное подпространство оператора У, содержащее 8, и 8+ = = 8 [_}-] 8П Так как 8 вполне инвариантно относительно У, то У22&2 = 8П Из 8+eynfc+ следует 8* е е2Я+(8^]) П h+, т.е.у оператора У22 есть хотя бы одно
инвариантное подпространство из SR+ (8Ш) П h+. Предпо ложим теперь, что 91^ е 2Я+(8[±]) и 7229t^ = 9t2~, а 91 = Lin {8, 9lJ). Тогда 91 г 2R+ (^) и 791 = 91. По определению 5.1 91 е/г+, а потому и 91^ е/г+, т. е. все максимальные неотрицательные инвариантные подпространства оператора 722 принадлежат классу h*.
В силу теоремы 5.2 V22 е Д+) и потому у 722 существует хотя бы одно максимальное (в 8Ш, а стало быть, и в ^>) неположительное инвариантное подпространство. Пусть 8~— такое подпространство. Тогда 8+=8~ш П Г1 8Ш (е->№+8г±]) — инвариантное подпространство оператора 7е. Отсюда 8+ е /г+, что влечет (см. упражнение 12 к § 8 гл. I) 8“ е /г~, т. е. 722 s Ж
Аналогично доказывается утверждение в случае 8с$-.
Итак доказана
Лемма 5.9. Пусть 8 — равномерно дефинитное инвариантное подпространство J-бинесжимающего оператора V, причем 78 = 8, если 8 с ф+5 Р^ — ]-ортопроектор из £ на. 8, а 722 = (/ — Р^ 7 (7 — Р^ | (Z — Р8) ^. Тогда V22 — (^ — Pg)*/ (^ — Р^-бинесжимающий оператор, и если 7 е 36, то и 722 е 36. е
Определение 5.10. Будем говорить, что семейство операторов ^ = {X}, коммутирующих с 7-бинесжи- мающим оператором 70 класса 36 (т. е. XV^VqX), с р (X) П С+ ¥= 0 при каждом Хе^ принадлежит классу Зб(36), и писать 98 г Уб (36).
Заметим, что 98 может состоять из одного оператора X, и тогда будем говорить, что оператор X принадлежит классу^ (36) (Хе 36 (36)).
Наряду с обозначением 98 еЗб (36) будем применять символы 9В е 3£ (36, 70), уточняющие, с каким именно оператором класса 36 коммутирует ЗВ.
Лемма 5.11. Пусть 8= (7) — коммутативное семейство J-бинесжимающих операторов, ^е36(36, 70). Тогда при J ^ I (соответственно J ^ —1) семейство 80 = 2?и70 имеет нетривиальное вполне инвариантное неотрицательное подпространство 8+ (соответственно инвариантное неположительное подпространство 8_).
□ Рассмотрим сначала случай, когда у оператора 70 пет нейтральных собственных векторов. Тогда согласно лемме 5.7 существует единственная пара 8+ ^ 5^- и 8" е е SR" инвариантных относительно 70 подпространств, 236
причем У08+— 8+. Из единственности 8+ и 8~ следует, что У8+ — 8+, Ий- с 8_ при произвольном У е $, т. е. Йй8+ = 8+, 808- С 8".
Положим 8± = 8±.•
Предположим теперь, что у оператора Уо есть хотя бы один нейтральный собственный вектор ж0: Уожо = Хожо. Тогда Кег(У0 —Хо7) является инвариантным подпространством семейства S3. Если Кег(У0 —X0Z) вырождено, то согласно следствию 5.6 его изотропная часть 91ц конечномерна. Рассмотрим три возможных случая: a) |ЛО| < 1; б) iXol > 1; в) |Л01 = 1.
|Х01 < 1. Согласно упражнению 6 к § 6 гл. II Кег (У о — X0Z) — неположительное подпространство, и потому (см. упражнение 17 к § 4 гл. II) 91ц инвариантно относительно каждого из операторов У е $. Более того, в силу предложения 4.14° гл. II ^91ц = ^ц, поскольку dim 91ц < оо. Положим 8+ = 8_ = 91х0-
IXol > 1. Согласно упражнению 5 к § 6 гл. II Кег(У0 —Хо7) —неотрицательное подпространство. Из упражнения 17 к § 4 гл. II следует, что 91ц — изотропная часть Кег (Уд —j') и потому Ус91ц = 91ц при всех
У е S3. Воспользуемся опять упражнением 17 к § 4 гл. II и получим У 91ц = 91ц при всех Уе$, Вновь положим «+ = 8_ = 91^.
|Х01 = 1. Согласно упражнению 19 к § 4 гл. II Кег (Уо — X0Z) = Кег (Уд — X0Z), и потому Кег (Уо — X0Z) инвариантно как относительно У, так и относительно У° при всех У^83. Следовательно, еслирое91ц, то [Уу0,#] = = lz/o> ^ю Ж1 = 0 при всех х е Кег(У0 — X0Z), т. е.У91ц— подпространство в 91х0- Из предложения 4.14° гл. II и конечномерности 91ц получаем У91ц = 91ц при всех У е $. Вновь положим 8+ = 8_ = 91ц.
Пусть теперь Кег(У0 —X0Z) невырождено. Согласно следствию 5.6 Кег(У0 — X0Z)—пространство Понтрягина. Из рассмотрения случаев а) —в) видно, что |Х01 = 1, а семейство 8 индуцирует в Кег(У0 —X0Z) бинесжимаю- щие по форме [•, -]|Кег(Уо — X0Z) операторы. В силу упражнения 2 к § 4 получаем, что у этих операторов есть
общие нетривиальные семидефинитные инвариантные подпространства 8+ и 8-, причем (У|Кег (Уо — М) )8+= = 8+/ ■
Теорема 5.12. Пусть коммутативное семейство S3 = --{У} J-бинесжимающих операторов принадлежит классу Ж (Ж, Уо). Тогда семейство 53О = 8 U Уо обладает свойством Ф.
Поскольку дб-ипвариаптпым является свойство {семейство J-бинесжимающих операторов коммутативно}, то в силу леммы 5.8 принадлежность 8, классу Ж (5^) также является дб-инвариантпым свойством. Поэтому достаточно показать, что каждое максимальное вполне инвариантное подпространство 8+ <= $++ U {6} и максимальное инвариантное подпространство 8_ <= ф U {9} семейства $0 принадлежит 2Я+ и 5Я- соответственно. Пусть 8 — одно из таких подпространств. В силу следствия 5.4 8 равномерно дефинитно, и потому § = 8[+]8ш. Пусть
— Лортопроектор из $ на 8. Рассмотрим семейство- 802 = (Угг) U (У0)22(7 — Р^У^ {I — ^%У бинесжимающих операторов класса Ж {Ж, (У0)гг) (см. лемму 5.9), где ^22 = (/ - ^8) V (J - Р8)| 8^, (^0)22 = (1 - ^8) ^0 (' - — ^8)| 8[±]. Из максимальности 8 и леммы 5.11, примененной к семейству 802, заключаем, что 8[±1 имеет знак, противоположный знаку 8. Согласно предложению 1.25° гл. I 8 — максимальное семидефинитное подпространство. ■
Из теоремы 5.12 и теоремы 5.2 непосредственно вытекает
Следствие 5.13. J-бинесжимающий оператор V класса Ж (Ж) принадлежит Л+ П Л- и обладает свойством Ф. ■
3. Пусть J-бинесжимающий оператор V е Ж {Ж, Уо), 80— максимальное инвариантное нейтральное подпространство операторов Уо и У, а 8±(^ЗЯ±)—инвариантные подпространства этих операторов, содержащие 80. Пусть 8+ = 80[®]8+, 8“ = 8о[®]8- — разложения подпространств 8± в сумму нейтрального 80 и равномерно дефинитных 8± подпространств. Так как 8± е ЗЯ* П h1, то Sg3-^ = Lin (8 8~}, и потому в силу формулы (7.4) гл. I и следствия 8.16гл. I
"^ = 80 ф (8++ 8_) ® 780.(5.2)
Относительно этого разложения оператор У представля- 238
। с я матрицей। с я матрицейV =V =FuОооFuОооV12и22ооV12и22оо13ОV ззО13ОV ззОУ14 ^24 ^34 ^44У14 ^24 ^34 ^44(5.3)(5.3)
। с я матрицей
। с я матрицей
V =
V =
FuОоо
FuОоо
V12и22оо
V12и22оо
13
О
V зз
О
13
О
V зз
О
У14 ^24 ^34 ^44
У14 ^24 ^34 ^44
(5.3)
(5.3)
Заметим, чтоЗаметим, чтов дальнейшем в целом ряде случаев
Заметим, что
Заметим, что
(например, при доказательстве предложения 5.14°) условием V s УТ (5^) мы будем пользоваться ради получения разложения (5.3), а потому можно было бы вместо условия V s X (Эё^ требовать существование разложения (5.3). Однако во избежание громоздкости изложения
мы этого делать пе будем.
.14°. Пусть З-бинесжимающий оператор VeX^yg^ е °р (Ю П Г Тогда корневой линеал 8= (7)—подпространство, и оно разлагается в J-ортогоналъную сумму 8=(7) = 91=[+]2)1=, где dim 91= < ~, 791, = 91„ Ж <= Кег(7 — — eZ) ы $П16 — проекционно полное подпространство или, в частности, 9)1= = (6).
Рассмотрим разложение (5.3) оператора V. Подпро
странство $7 = 8= (7) Л Кег 712 + 8= (7) Л Кег 7(3 является правильным, причем 8= (7) А Кег 7и с 8=(7ц), i = 1, 2, 3. Оператор 722 является несжимающим в скалярном произведении [ж, у] (ж, ys8+), а 7зз — нерастягивающим в скалярном произведении — [ж, у] (ж, у е 8_). Поэтому (ср. упражнение 23 к § 4 гл. II) 8=(7н) = Кег(7«—eZ<), i = 2, 3, что эквивалентно в данном случае включению 9)1= с Ker(7 — eZ).
Так как в силу упражнения 19 к § 4 гл. II 2)1= с с Кег(7е —eZ), а 8,(7) = 91=[+Х, где 9ts = 5>lt±] Q 8е(7) то 91= инвариантно относительно оператора 7. По построению 91Е[-1]8=(7) Л Кег 7ц (t = 2, 3). Осталось проверить конечномерность 91=, откуда будет следовать также' его полная инвариантность. Предположим противное: 91= — бесконечномерное подпространство, 80, 8+ и 8- те же, что и в разложении (5.2). Так как dim(80®780) < °°, то 91= А (8+ + 8-)— бесконечномерное подпространство, а потому бесконечномерным будет хотя бы одно из подпространств 91= Л 8+ или 91= Л 8— Пусть, например, dim 91= Л, 8+= = 00. Поскольку dim 8+/Кег 712 < <», то 91= Л Кег 7и ¥= Ф {9},— получим противоречие с тем, что 9l=[-L]8= (7) Л Л Кег 712. ■
Из следствия 5.6 и предложения 5.14° получаем
Следствие 5.15. Если в условиях предложения 5.14° оператор 7еД то при dim8=(7) = o° 9)1=— про-
странство Понтрягина с конечным числом либо отрица-^. тельных, либо положительных квадратов. ■ " ’
. Рассмотрим теперь семейство Я = {Л} максимальных /-диссипативных операторов класса Ж (Ж) и исследуем для него вопросы существования максимальных семидефинитных инвариантных подпространств.
Теорема 5.16. Пусть 91 = {Л}— множество максимальных J-диссипативных операторов, %^Ж(Ж, 70), а 8± (<=$*)—инвариантные подпространства семейства Я U 70, причем 8+ вполне инвариантно относительно 70 и существует такая точка ХА е р (Л) Q С+, что ХА, Ха g ер(Л|8+) и Хдер(Л|8-). Тогда, если резольвенты операторов Л s 91 попарно коммутируют, то существуют расширения 8± s ЗЛ* подпространств 8±, обладающие теми, же свойствами.
Рассмотрим семейство операторов S3 = (7 = ^х(Л) I ЛеШ. Согласно теореме 6.13 гл. II V — /-бинесжима- ющие операторы. Из включения 91 <=Ж^Ж, 70) следует, что SBeJ^(5^, 70). Поскольку Ха, Хдер(Л18+), то 8+ вполне инвариантно относительно S3, а условие Ха s ер(Л|8_) влечет инвариантность 8- относительно S3. Следовательно, в силу теоремы 5.12 существуют такие 8± е 2Л" П А*, содержащие 8±, что 78+ = 8+, 78- с 8- при всех 7 е $е = S U 70. Докажем теперь, что 8± инвариантны относительно 91, Ха, Хдер(Л18+) и Хдер(Л|8-). Для этого заметим, что 80 = 8+ П 8- — инвариантное конечномерное нейтральное подпространство семейства S3, а потому в силу упражнения 13 к § 6 гл. II 80 сд { П ©А Ие е 91} и 9180 с 80. Введем в рассмотрение /-пространство ^ = 8^ ±]/80 и действующие в нем семейства операторов ^ = {Л}, 3o = {7}U7o, порожденные семействами 91 и 83О. При этом 3>2 (®а П ^оХЗ)Ао> ^а ее Р 0) и
Ж х^ ^ = ^^л (^)' Отметим, что из максимальной семи- дефинитности 8± следует равенство (8++8-) ш= 80, а так как 8± ^ Л*, то (см. упражнение 19 к § 8 гл. I) 8j±5 = = 8+ + 8_, и потому ^ = 8+/80 4- 8_/80. Относительно этого разложения § операторы 7 ^ S3, имеют диагональный вид: ■
F . О .
7= 11 _ , -
0 VM
I -томуI -тому2 = ^(У) =2 = ^(У) =^(^1)^(^1)оооо
I -тому
I -тому
2 = ^(У) =
2 = ^(У) =
^(^1)
^(^1)
о
о
о
о
что влечет инвариантность й±/й0 относительно §1 и принадлежность ХА и Ха к р(Л|й+/й0), а_Хд к р(Л|й-/й0). Остается воспользоваться тем, что ХА, Ха G р(Л 1й0). ■
Эта теорема позволяет доказать следующее полезное в дальнейшем утверждение.
Теорема 5.17. Пусть А ^36 к.36, Voy—максимальный I-диссипативный оператор, X = Х'^ оР(Л), ^> = = Кег (Л — Х/)/Кег0(Л — XZ) — J-пространства, где Кег0 (А — XI) — изотропная часть подпространства, Кег (А — XI), a Vo — J-бинесжимающий оператор, индуцированный в ^ оператором Уо. Тогда Уо ^ 36.
Согласно следствию 2.17 гл. II Кег (Л — XI) = ~ Кег (Лс— XI), и потому Кег (Л — XI)—общее инвариантное подпространство операторов Уо и Уо- Отсюда следует, в частности, что Кег0 (Л — XI) — также их общее- вполне инвариантное подпространство. Из теоремы 1.17 гл. II заключаем, что Уо — /-бипесжимающий оператор. Проверим теперь, что Уо е 36. Из того, что Уо G 36, следует, что достаточно обнаружить хотя бы одно максимальное неотрицательное инвариантное подпространство- оператора Уе. Пусть й+ — существующее по теореме 5.16 общее максимальное неотрицательное инвариантное подпространство операторов А и Уо. Рассмотрим подпространство й>, = й+И Кег (Л—XI). Сперва предположим, а потом докажем, что дефект (см. теорему 4.15 гл. II) def йх подпространства йх = Lin (йх, Кег0 (Л — XI))/ /Кег0(Л— XI) конечен. В силу упражнения 4 к § 4 у оператора Уо есть хотя бы одно максимальное неотрицательное инвариантное подпространство, и потому, как указано выше, Уо G 36.
Осталось проверить, что def йх < °°. Рассмотрим разложение корневого подпространства йх(Л) == 51х[+]®х, где Six и 2Ях инвариантны относительно A, dim Six < °°, а 2Ях с Кег(Л — XI). Существование такого разложения следует из предложения 5.14° и теоремы 6.13 гл. II. Предположим, что deffix=°°. Так как dim Six < 00, то существует ж0^Кег(Л—XI), /-ортогональный йх(Л)ПЙ+. Ю Т, Я. Азизов, И. С. Иохвидов 241
Согласно следствию 2.18 гл. II ж0 /-ортогонален и всем подпространствам 8И(Л)П8+. Пусть 8^ — изотропнаяк часть подпространства 8+. Так как dim йд < оо, то 8g с: с: Lin 1%(Л) П 8^iie о^Л)}, и потому хй [J_] 8^. Рассмотрим Л-пространство 4i = Lin {8+,а;0)/8^. Поскольку 8+ е h+ и х0 ^ 8+, то 4i — пространство Понтрягина с одним отрицательным квадратом. Из инвариантности 8^ и Lin [8+, ж0) относительно Л вытекает, что он индуцирует в 41 Л-Диссипативный оператор Л. Так как 8g —линейная оболочка изотропных частей подпространств 8ДЛ) П 8+ (ц е Ор (Л)), то корневые подпространства оператора Л положительны, что противоречит следствию 2.9 и теореме 1.13, согласно которым у оператора Л должен быть хотя бы один неположительный ненулевой собственный вектор. ■
Следствие 5.18. В условиях теоремы 5.17, если Кег(Л—V) не семидефинитно, то у оператора И01Кег(Л— XZ) существуют максимальные (в Ксг(Л— — X/)) семидефинитные инвариантные подпространства 8^ обоих знаков. При атом для всех X = X за исключением, быть может, конечного числа точек имеем 8^ + + 8^7 = Кег(Л— XZ), а для остальных XeR имеем а1тКег(Л-Х7)/8^ + 8х < оо.
Пусть Кег (Л — XZ) не семидефинитпо и 8^ — максимальные в 4 семидефинитные инвариантные подпространства оператора По, принадлежащего классу 36, а 8^— порождающие их подпространства из Кег(Л— XZ). Максимальность 8^ в 4 влечет максимальность 8^ в Кег (Л — XZ), а инвариантность 8^ относительно Ио влечет инвариантность 8^ относительно Ио. Поскольку 8^ е ^, то (ср. упражнение 19 к § 8 гл. I) dim4/8x + + 87" = dim§x ПЙГ<оо, что в свою очередь влечет (dim 4/^х + $7 =) dimКег (Л — XZ)/8^ + 8у < оо.
Из /-ортогональности Кег (Л—XZ) и Кег (Л — ц/) при X Ф ц, X, ц е R, и их инвариантности относительно И», Ио (s 36^ вытекает, что только конечное число подпространств Кег (Л — XZ) и 8^ может быть вырожденным. При этом снова из принадлежности 8^ е h^ получаем, что dim Кег (Л — XZ)/8j + 87" — dim 8^ П й^ — 242.
.нтКег0(Л—XI), а равенства Л1тКег(Л — Vj/fi^ + । V^' — 0 и 8^ + S% — Ker (Л — X/) равносильны. ■
□ Пусть U = {?7}— коммутативная группа /-упи- юрпых операторов, UeJHX у0). Если Уо — также ./-унитарный оператор, то, проводя рассуждения, аналогичные использованным при доказательстве теоремы 5.12Т убеждаемся, что семейство Uo = U U Уо обладает свойством Фш. Если же У о не является /-унитарным оператором, то мы можем пока утверждать только наличие свойства Ф у семейства Uo. Однако в любом случае группа U обладает свойством Фш. В самом деле, пусть £+ = = 80[+]8+ е ЭД+ Л Н* (^с:^0, а+ с ф++ и {0})— инвариантное подпространство группы U. Тогда 8~ = £+ш = = 80 [+] 8- G ®L П К- также является инвариаптпым подпространством этой группы. Без ограничения общности будем считать, что £± с ^ и £0-*-(8+[®]8-). Поэтому в разложении (5.2) пространства $ все компоненты попарно ортогональны друг другу и (£o®/8o)[-L](8+[®]8-). Пусть ^(с^)—произвольные максимальные инвариантные подпространства группы U, 9l+[-L]9L, т. е. (91+, 9L)—дуальная пара. Проверим, что 91± е №=. Для этого- рассмотрим подпространства 91-j- = 9tj- П S^5. Это также дуальная пара, инвариантная относительно U, dim9l±/9l'j. ^ dim 80 < оо. Вместе е (^+, 91-) инвариантной дуальной парой будет и ($+, 91-), где 91+ = Lin {80г 91+}. Рассмотрим /-пространство ^ = S^^/Sq и индуцированную в нем группой U группу U. Так как 8± с ^*, то Ф = 8+ [ф] 8~, № = §х, а потому U — группа /^унитарных и унитарных одновременно операторов. В силу теоремы 4.1 U обладает свойством Фш, а потому (см., упражнение 7 к § 5 гл. I) существует такое 91+ е ®+, что (9$+,91_) — инвариантная относительно U дуальная пара, причем 91+с91+.Подпространство 9lt = Lin (Э?+, 91+} инвариантно относительно U, /-ортогонально 91' и содержит хотя бы одно максимальное неотрицательное подпространство (91+). По построению оно является ^‘^-пространством с x(^dim£0) отрицательными квадратами. Следовательно (ср. теорему 10.2 гл. I и предложения 8.18° гл. I), каждое максимальное в 9lt неотрицательное подпространство является максимальным пеот- рицательным в $.
24»24»16е
24»
24»
проверим, что в 91, существует максимальное неотрицательное подпространство 91+, содержащее 91+ и инвариантное относительно U. Для этого достаточно заметить, что в С(х,-пространстве 91, = 91,/910 (910 — изотропная часть ^i) У группы Ц,, индуцированной группой UI91, в 91,, в силу следствия 4.13° есть максимальное неотрицательное инвариантное подпространство, содержащее Lin(9i+, 91—), и воспользоваться второй частью доказательства теоремы 10.2 гл. I.
Так как Э^+сЭ!'^1, a dim9i_/9ll<oo, то dim9l+/9t+ И П <оо. Поскольку (91+ Л Э!^1, 91_)—инвариантная дуальная пара группы U, содержащая (9l+,9L), то 91+ П Л 91^1 = 91+ и def 91+ < <». В силу теоремы 4.14 91± г
Итак, доказана
Теорема 5.19. Коммутативная группа J-унитарных операторов, принадлежащая классу ЗС(Э6^, обладает свойством Ф1-11. ■
В этом пункте опишем строение спектров /-унитарных и /-самосопряженных операторов класса 3f(36y
Теорема 5.20. Пусть U — J-унитарный оператор, Ue3f(36, Го), xvo = max{dim8o|®oc^0, ^о8о = 8оЬ Тогда неунитарный спектр оператора U состоит из конечного числа Xi (^ 0) зеркально расположенных относительно Т пар нормальных собственных значений, a op(U) Л Т содержит конечное число х2 (^ 0) точек, которым соответствуют непростые элементарные делители, причем xt + х2 ху0.
В силу следствия 5.13 U е X* П Л-, а из замечания 2.4 и следствия 5.13 гл. II заключаем, что неунитарпый спектр оператора U состоит из нормальных собственных значений. Воспользуемся упражнением 6 к § 6 гл. II и получим, что й, = Lin {йх(£7) | |М > 1} — нейтральный линеал. Так как ГОЙ1СЙ1, то dim й2 = хг ^ xV(). Поскольку же спектр /-унитарного оператора симметричен относительно единичной окружности, то первая часть теоремы тем самым доказана.
Пусть ^Г — (е е Т | £71 йе (£7) имеет непростые элементарные делители). Тогда в силу упражнения 14 к § 6 гл. II Кег(£7— eZ)—вырожденное подпространство. Обозначим через й® его изотропную часть. Так как Кег (17 — eZ) инвариантно относительно Гэ и Го» то 244
• 08® = 8®, а потому 82 = Lin {8®\e ^ e') — нейтральный линеал, инвариантный относительно У». Следовательно, dim 82 = х2 ^ Ху0, и потому 8 состоит из конечного числа Ха точек и х2^х2. Так как Lin(8,, й2)~ также нейтральное подпространство, инвариантное относительно У», то X, + X2<Xj + х2<хуо. ■
Следствие 5.21. Пусть А— J-самосопряженный оператор, А е.3£(36, Уо), а Ху0 то же, что и в теореме 5.20. Тогда невежественный спектр оператора А состоит из конечного числа х( (^ 0) симметричных относительно R пар нормальных собственных значений, а ор (Л) Q R содержит конечное число х2(3=0) точек, которым отвечают непростые элементарные делители, причем Xf + х2 ^ <Ху0.
□ Из определения класса ЗС (36) следует, что преобразование Кэли — Неймана 36х(А) оператора А при Х^ ^р(Л) принадлежит классу 36(36, Уо) вместе с А. Остается воспользоваться теоремой 5.20 и следствием 6.18 гл. II. ■_
Таким образом, если X*, Х^ Х2, Х2; ...; ХХ1, ХХ1 — различные невещественные собственные значения /-самосопряженного оператора А ^36 (36), то
б-ш^^ч-й^л))^',(5-4)
XI
где ф' — /-ортогональное дополнение 2[+](8ч(Л) + 4-8^ (Л)), а оператор А относительно (5.4) представляется диагональной матрицей, которую символически запишем так:
Л = [+](Л^ + ЛХ.)[+]Л',(5.5)
1=11
где Лм = Л |ЙЦ(Л), А’ = Л|^', причем спектр оператора А' вещественный, а ст (Лц) = {ц} (ц = Xt, Xf, Х2, Х2; ...; ХХь
Аналогичные разложения
,6=lii1(aei(t/)+Vi(Z7))m^’(5'6)
Z7 = [+1(Z7 +Z7„1W+]Z7'(5.7)
i=i \1 ei )
'245
cnpabv„„HBbi для /-унитарных операторов U класса 36(36), где {ei5 е^1} — все различные неунитарные собственные значения оператора U, a^U^= {^},^{е^е^1)!1^ а спектр o(U') унитарен.
В частности, разложения (5.6) и (5.7) справедливы и для /-унитарных операторов класса 36.
. В заключение приведем примеры операторов класса 36 и Ж (36).
Пример 5.22. Каждый /-несжиматощий или /-би- нерастягивающий оператор в Пх принадлежит классу 36 (ср. определение 5.1 со следствием 2.9). ■.
Пример 5.23. Пусть V— J-бинесжимающий оператор, V = V' + V", V = || Уу Hij=i — диагональный оператор по отношению к разложению ^ = ^+ ® ^~, р(Иц) П П р(^2) = 0, а V" е©^. Тогда У^Ж.
Из представления V = У'+ У" заключаем, что У е Д+ П Л— Следовательно, в силу теоремы 2.8 он имеет хотя бы одну пару й+ и й" максимальных семидефипит- ных инвариантных подпространств. Пусть ^ — угловые операторы этих подпространств. Согласно лемме 2.2 a VuK'-k-v^g;» (к-\
Так как р(Ун) О р(У22) = 0, то из [XI] получаем, что эти уравнения можно переписать в эквивалентном виде
(5-8)
4л Г , Г ,11
Кц v22
где Г / и Г , — непересекающиеся жордановы контуры, V11У22
окружающие о(Уи) и ст(У22) соответственно. Поскольку У" е0„, то Gy» (.К^ е ©оо, а потому из уравнений (5.8) и (5.9) получаем К^ е @„. Остается заметить (см. упражнение 18 к § 8 гл. I), что этого достаточно для включения й* е ИЛ. ■
Пример 5.24. Лменабельная равномерно ограниченная группа U J-унитарных операторов принадлежит классу Ж (36')
J3 качестве оператора Vo, с которым будут коммутировать все операторы U е U, можно взять (см. пиже упражнение 1) V» = P+— Р-, где Р± — Z-ортопроекторы па компоненты максимальной равпомерно дефинитной дуальной пары (8+, 8-), ипвариаптной относительно U (существование такой пары гарантировано теоремой 5.18 гл. II). ■ .
Упражнения и задачи
Проверять, что оператор I е 36.'
Доказать, что каждый равномерно Лбирастягивающий оператор принадлежит классу 36.
Указание. Воспользоваться теоремой 2.1.
Доказать, что /-унитарный оператор U принадлежит классу 36 тогда и только тогда, когда существует такое каноническое разложение ■§ = Ф^" [+1 Ф7’ чт0 Угловые операторы (по отношению к этому разложению) всех инвариантных подпространств 8±еЯ± оператора U вполне непрерывны (Азизов [9]).
Доказать, что если в условиях предложения 5.14° У е е36{36, V0),d {s), d {в), ..., dr (в) — порядки элементарных де
лителей операторалителей оператора<xVq,<xVq,где xVo тоже,где xVo тоже,
лителей оператора
лителей оператора
<xVq,
<xVq,
где xVo тоже,
где xVo тоже,
что и в следствии 5.5. В частности, если V — /-унитарный оператор,
тото(Азизов; ср. У с в я-(Азизов; ср. У с в я-
то
то
(Азизов; ср. У с в я-
(Азизов; ср. У с в я-
цова [2]).
Указание. Аналогично тому, как это было сделано при до
казательстве теоремы 2.26 гл. II, указать в
ное нейтральное подпространство, инвариантное относительно Ко. Воспользоваться в случае /-унитарного оператора теоремой 5.20. '
Сформулировать и доказать аналог предложения 5.14° и упражнения 4 для максимальных /-диссипативных операторов и, в частности, /-самосопряженных операторов класса 36 {36) (последнее с учетом следствия 5.21).
Доказать, что если Лбинесжимающий оператор Fo е 36, « Йо — его конечномерное невырожденное инвариантное подпространство, то оператор 7g | й^ е 36 (Азизов).
Указание. Воспользоваться леммами 5.8 и 5.9.
Доказать, что в разложении (5.7) U' е 36(36) (Азизов).
Указание. Проверить, что если U е 36 {36, 70), то УйУ с У, И воспользоваться результатом упражнения 6.
Доказать, что если Uo е Зв — /-унитарный оператор и все его корневые подпространства 8е([7) с |е| =1 невырождепы, то пространство ф' из разложения (5.6) допускает представление в виде /-ортогональной суммы подпространств, инвариантных относительно Uо и любого оператора, коммутирующего с ним:
£'=[+] 8» т[+1.б",■(5.10}
i=l 1
где ^ — собственные значения оператора Uo, которым соответствует хотя бы один нетривиальный нейтральный вектор (i = = 1, 2, ..., &), а 5"— /-ортогональное дополнение к первым к слагаемым разложения 5.10 (Азизов).
Указание. Воспользоваться теоремой 5.20 и следствием 5.15.
Пусть Я = {А} е Зв (Зв) — семейство максимальных /-диссипативных операторов, а Я е (L) и резольвенты операторов из этого семейства попарно коммутируют, а 8+ с$+ 0 { П ,®д А е Я} — инвариантное подпространство семейства Я. Доказать, что тогда существует подпространство 8+ => 8+ : 8+ е 2)1+, 8+ с { П ®д | АеЯ},Я8+с8+ (Азизов [9]).
Указание. Воспользоваться теоремой 1.13 и теоремой 5.12.
Пусть S = {5} — коммутативное семейство /-бинесжимаю- щих операторов, содержащее оператор So еЖ а семейство Я = = {Л} У-бинесжимающих операторов обладает тем свойством, что АВ = ВЛ для любых .4еЯ, В е8 и для произвольных Аь А2е еЯ существует 8i2e$ такой, что AtA2 = S^A^t. Доказать, что тогда семейство Я (J S3 обладает свойством Ф (Азизов и Драги л е в а [1]).'
Доказать, Что метабелева группа /-унитарных операторов, класса Зв (Зв) >• обладает свойством Ф[±] (Азизов; см. [II]).
Пусть S3 = {7} — скалярно коммутативное семейство (т. е. для каждых V\, У2е53 существует постоянная Х,2 такая, что У^г = ^чг^!7:) У-бинесжимающих операторов, содержащее оператор УоеЖ Тогда S3 обладает свойством Ф (Азизов [9]).
Указание. Воспользоваться схемой доказательства теоремы 5.12.
Доказать, что если в условиях упражнения 12 8 — группа У-унитарпых операторов, то опа обладает свойством Ф111 (Азизов [9|, X а ц к е в и ч [4], ср. X е л т о н [2]).
Доказать, что ограниченный /-самосопряженный оператор А принадлежит классу Зв (Зв) тогда и только тогда, когда у него существует хотя бы одно инвариантное подпространство 8+E2S+n/z+ (Азизов [13]).
Пусть Л е Зв (Зв) — ограниченный /-самосопряженный оператор, а 8 — конечномерное невырожденное подпространство, инвариантное относительно А. Доказать, что А |8[±] е Зв (Зв) (Азизов).
Указание. Пусть 8+ е 2S+ П й+, Ай+ с 8+. Проверить, что def (8+ Г1 8Ш) < оо, воспользоваться теоремой 4.14 и упражнением 14.
Доказать, что если V — /-бинесжимающий оператор класса Зв, 8 — его проекционно полное инвариантное подпространство 248
н оператор 7|8 имеет максимальное (в 8) вполне инвариантное неотрицательное подпространство 8+, то 7|8еЖ (Азизов).
Указание. Воспользоваться следствием 5.4, теоремами 5.2 я 2.8.
Пусть выполнены условия задачи 16 и Р — У-ортопроектор ИИ 8[±!. Доказать, что оператор Р7|8[±1 е Ж и является Р*УР-би- иесжимающим (Азизов).
Указание. Рассмотреть подпространство 8+ е 31+; 8+ с 8+,. 78+ = 8+ и доказать, что Р8+е/i+, (Р7|8[±,)Р8+ — Р8+ и ,yc|8i-i-l — Р*УР-бипесжимающий оператор. .
ПРИМЕЧАНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ГЛАВЕ III
1, пп. 1—3. При постановках задач 1.2, 1.3, 1.6, 1.7, 1.10 и 1.11 были указаны их истоки. К сказанному там следует добавить, что существование неотрицательного собственного вектора у л-са- мосопряженного оператора в П, установил С. Соболев [1]. Примеры 1.4 и 1.8 построены Азизовым. Впервые /-самосопряженные операторы А с 5+® л рассматривал Лангер [2], [3] (см. определение 1.5). Ему же принадлежит замечание 1.12 (см. Лангер [13]). Сведение задачи 1.10 к задаче 1.11 заимствовано у Ф и л- л и п с а [3].'
1, п. 4. Теорема 1.13 доказана Азизовым [9].
1, пп. 5—6. Определения и утверждения принадлежат Азизову. Отметим, что идея формулировки леммы 1.20 в терминах «комплекса Ж» (см. также ниже лемму 2.5 гл. IV) заимствована из [IX].
2, п. 1. Теорема 2.1 принадлежит Азизову (см. Азизов и Хорошавин [1]). Наличие свойства Ф для равномерно У-бира- стягивающего оператора было ранее другим способом доказано в [XI]. Аналогичные результаты для двояко строгих фокусирующих плюс-операторов (ср. § 4 гл. II) в случаях вещественных и ком- плекспых /-пространств методами сжатых отображений в метрике, упомянутой в упражнениях 23—25 к § 8 гл. I, получены Хацкевичем [6], [1.1], [15], А. Соболевым и Хацкевичем [1], [2], а в случае вещественных Пх ранее Красносельским и А. Соболевым [1].
2, п. 2. Лемма 2.2 установлена М. Крейном [4]. Определение 2.3 см. Азизов и Хорошавин [1], а также Азизов и Ко ндр ас [1]. В последней работе сделано и замечание 2.4, •толчком к которому послужила работа Ноэля [1].
2, п. 3. Предложение 2.60 заимствовано у Лангера (см. iXV]). Теорема 2.8 принадлежит Азизову и Хорошавииу 1]. Первая ее часть по существу доказана ранее И. Иохвидо- вым [10]. Остальные утверждения в частных случаях и по частям встречались ранее в работах М. Крейна [4], [5], [XIII], Бродского [1], Лангера [1] — [3], Азизова [4] — [8], Азизова и Е. Иохвидова [1], Азизова и У с в яцо- вой [1], И. Иохвидова. М. Крейна и Лангера [XV]. Это же относится и к следствию 2.9. Отметим, что паше доказательство этих утверждений основано па применении приема М. Крейна [4] приближения У-песжимающего оператора V равномерно У-растяги- иающями операторами 7/„. Следствие 2.10 сформулировано Азизовым.,
3, п. 1. Дробпо-липейные преобразования Крейна — Шмулья- па впервые ввел в рассмотрение М. Крейн [4]. Систематически изучены они и их обобщения в работах М. К р е й и а и Ш м у л ь- япа [4], Шмульяна [2], [6], [8], Ларионова [4], Хелтона [1] — [3], Ха цк е в и ч а [5], [13], [14] и др. Предложения 3.1° и 3.4° принадлежат М. Крейну [4], [5].
3, и. 2. Теорема 3.6 играет в пашем изложении ту же роль, что рапсе играл в этих же вопросах принцип Тихонова и его обобщение, данное И. Иохвидовым [10]. Теорема 3.8 является естественным обобщением соответствующих утверждений М. Крей- па [5] и И. И о х в и д о в а [10]. Простое ее доказательство, основанное па теореме Гликсберга, дано здесь Азизовым.
3, п. 3. Теорема 3.9 — прямое следствие теоремы 3.8 — сформулирована и доказана здесь Азизовым. В случае, когда T^eSoo, первая часть доказана Виттштоком [1] (а по существу, ранее И. Иохвидовым [10]); вторая и третья части получены М. Крейном [5] (ср. Лангер [3]). Следствие 3.10 см. М. Крейн [5], И. И охв идо в [10], Виттшток [1] и Бродский [1]. Следствие 3.11 отмечено Азизовым. Теорема 3.12 принадлежит Лангеру [3], М. Крейну [5]; короткое ее доказательство в тексте — Азизову.
3, и. 4. Лемма 3.13 и теорема 3.14 доказаны Азизовым. Ранее результаты, близкие к теореме 3.14, были опубликованы Ларионовым [4] и Хацкевичем [5].
3, п. 5. Теорема 3.20 и следствие 3.21 вытекают из результатов В и т т in т о к а [1]: доказательства в тексте дал Азизов.
4, п. 1. Теорема 4.1 принадлежит Филлипсу [3], а ее доказательство в тексте — Азпзову.
4, п. 2. Результаты этого пункта принадлежат Азизову. Лемма 4.4, по-видимому, известна. Теорема 4.5 в случае коммутативности 11 составляет основной результат работы Филлипса [3]. Как заметил Шульман, следствие 46 справедливо и без требования коммутативности И.
4, п. 3. Идея применепия теоремы 4.7 в изучаемых здесь вопросах принадлежит Найм ар ку [2]. По существу ему же принадлежит и следствие 4.8. Следствие 4.9 получено Ларионовым [2], [3]. Пример 4.10 построен Азизовым.
4, пп. 4—5. Теорема 4.11 доказала Азизовым [6]. Следствие 4.12 ранее доказано Най марком [2]. Следствие 4.13 принадлежит Азизову. Ему же принадлежит теорема 4.14.
5, пп. 1—4. В работе Хелтона [2] рассматривается коммутативная группа /-унитарных операторов, содержащая оператор Uo, который имеет хотя бы одно максимальное неотрицательное инвариантное подпространство и угловой оператор каждого такого подпространства вполне непрерывен. Это дало толчок для введения Азизовым [9] операторов класса Ж и э^(Ж). Все результаты этих пунктов, за исключением предложения 5.14°, принадлежат Азизову. Предложение 5.14° приведено в работе У с в я ц о- в о й [2]; доказательство в тексте дано Азизовым.
5, п. 5. Теорема 5.19 (см. также упражнение 13 к этому параграфу), принадлежащая Азизову [9] и Хацкевичу [4], обобщает соответствующий результат Хелтона. [2], где по-другому доказано свойство Ф[±].
5, пп. 6—7. Результаты этих пунктов принадлежат Азизову.
ГЛАВА IV
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И НЕКОТОРЫЕПРИЛОЖЕНИЯ
В § 1 вводится понятие /-спектральной функции и выделяются классы операторов, для которых она существует. Там же ука- шшы некоторые ее приложения к решению проблемы инвариапт- «ых подпространств для семейств «дефинизируемых» операторов и к построению (Л, /2) -полярного разложения (Л, /2)-бииерастя- гивающих операторов.
§ 2 посвящен вопросам полноты и базисности систем собственных и присоединенных векторов /-диссипативных и, в частности, /-самосопряженных операторов.
В § 3 приведены некоторые примеры и приложения.
Спектральная функция
Пусть Е — гомоморфизм, отображающий кольцо 91, порожденное некоторыми интервалами вещественной оси и содержащее интервал (—°°, °°), в множество /-самосопряженных проекторов Е(А), действующих в /-пространстве ф, и при этом Е(0) = О; Е^—°°, <»)) = /; Е(ДЛ аД') = Е(Л)Е(Д'); E(AU Д') = Е(Д) + Е(Д'), если АП П Д'= 0 (Д, д'еЭ?). Носитель этого гомоморфизма обозначим символом о(Е).
Точка А^о(Е) называется точкой дефинитного (положительного "или отрицательного') типа, если существует интервал А е JR, содержащий А и такой, что Е(,Д)^с^+ или /?(А)^сф- соответственно. Множества точек положительного и отрицательного типа обозначим о+(Е) и <?-(£) соответственно.
Пусть s = {«i)i— конечное множество вещественных точек, a 9l = 3i(s)—кольцо, порожденное интервалами, для которых точки из s не являются граничными.
Определение 1.1. Описанный выше гомоморфизм Е, определенный на 9l(s), называется J-спектралъ-
ной функцией с множеством s = s(E) критических точек,. если при Ло, Цо^$(£), Цо < Л» и ц + ц0 существует сильный предел операторов ЕЦц, Ло]) и он совпадает с ^((Цо, Ло]).
Определение 1.2. Точка aes(E) называется регулярной критической точкой J-спектральной функции Е, если существуют сильные пределы s-lim^((—оо,Л]) и
И«
s-lim Е ((Л, оо)). В противном случае а называется сингу- kla
лярной критической точкой. Если s^E^ не содержит сингулярных критических точек, то Е называется регулярной ]-спектральной функцией.
Определение 1.3. /-спектральная функция Е с множеством stE^ критических точек называется собственной спектральной функцией J-самосопряженного оператора А, если: 1) АЕ(Д) = Е(А)А; 2) с(А\Е(А)^)с с А; 3) при А е g? (s) и АО s(E) = 0 имеем АЕ {А) = = J £ dEt, где интеграл сходится по норме, если А
А
конечно, и сильно, если А бесконечно. Множество s(E) называют множеством критических точек оператора А и обозначают х(Л), т. е. s(E) = х(Л).
Укажем теперь классы /-самосопряженных операторов, имеющих /-спектральную функцию. Одним из них является класс операторов Ж (Ж) и, в частности, Ж (см. ниже упражнение 1).
Другой класс образуют «дефинизируемые операторы».
Определение 1.4. /-самосопряженный оператор А с р(А)=А0 называется дефинизируемым, если существует такой многочлен ^(Л), что [р(А)х, z] > 0 при х е ®ай, где к — степень многочлена р^. .
В частности, заметим, что J-неотрицателъный оператор А с р(Л)^0 дефинизируется многочленом />(Л) = Л.
Мы не будем здесь останавливаться па доказательстве того, что дефинизируемые /-самосопряженные операторы обладают /-спектральной функцией. Соответствующий результат сформулирован ниже в виде задачи.
Докажем ключевую теорему теории дефинизируемых операторов.
Теорема 1.5. Пусть А — ограниченный J-неотрицательный оператор. Тогда каждому вещественному числу Л ^ 0 можно поставить в соответствие один и только один такой J-самосопряженный проектор Ех, что функция Л ->- Ек удовлетворяет следующим условиям: 1) если
X =5 ц, то ЕхЕр = ЕуЕх = Ex; 2) если X < ц < 0, то (ЕхХ, ж] > [ЕцЯ, ж], а если ц > X > О, то [Екх, ж] *2 <2 [Е^х, ж] при всех ж е £; 3) если X < —ИЛИ, то Ех = О, а если Х^ИЛП, то Ех = 1; 4) если Х^О, то существует сильный предел s-\im Ер = Exv» и он совпадает с Ех;
если Т — ограниченный оператор, коммутирующий с А,'то ТЕх — ЕхТ; 6) спектр о(Л|Е^) лежит в (—°°, X], а а(Л,1 (7 — Ех^с [X, оо).
И
Более того, § v<ZEv сходится в сильной оператор- —ПАП—о
ной топологии как несобственный интеграл с сингуляр-
Ц1|
ной точкой X — 0, а оператор S=A— j vdEv явля- —BA!j-o
ется ограниченным J-неотрицательным, 8г — 0, SEx — = ExS = 0 при Х<0 и 8(^1 — Ех')==(,1 — EK)S = 0 при Х>0.
□ Положим В = JA. Это неотрицательный оператор, и потому корректно определен оператор С = Вмг]Виг — = С*, удовлетворяющий условию СВ1,г = В1,2А. Так как ПСП С Il51/2II2 = II5II = ИЛИ, то спектральное разложение самосопряженного оператора С может быть записано в
ЦА1)-
виде С =| ХДЕх, где {TY}”^ — непрерывная справа
—1IAIJ—о'
спектральная функция оператора С. Положим Ск = С|С^ при Х<0 и Сх = С\ (7— Fx^ при X > О, а Ех — = JB^Cx хЕхВш при Х<0 и I - Ех = JBA!-Cx1 (7 - — Ex') В1'2 при X > 0.
Операторы Ех являются ограниченными при каждом X =А 0. Далее, если Х<0 (соответственно Х>0), то Сх lFx (соответственно Сх1 (7 — Ех)') — самосопряженные операторы, а потому Ех при X ^ О являются /-самосопряженными. Так как ССх 1 Ех = Ех при Х<0 и ССх 1 (7 — Ех^ = I — Ех при X > 0, то ЕхЕ^ = Е^Ех = Ех при X С ц.
. Отсюда, в -частности, заключаем, что Ех — проекторы.
Если X < р < 0, то 1Е№х, х] — [Ехх, х^^р,1 Е^В^^х, в
В1^ _ ^с~'ЕхВ1/2х, Вшх^= J 4- dFx^B^x, Вх12х^ ^ О для каждого х е ^. Аналогично проверяется, что [Ехж,, *] ^ [Еил;, х] при 0 < X < ц.
Утверждение 3) прямо следует из определения функции X Ех.
Пусть X < ц < 0. Тогда $ Е^ х - Ехх ||2 = | JBV1 х и
X (С^Е^-СГЕх) В^х\\* ^B\S-Ld(FvB^x,B^x^
J V
^ || S ||3-^-[| (F^—.Е^В^х^, и так как по условию
{Fx}”oo—непрёрывная справа функция, Tos=limElx = Ех.
Аналогично проверяется это утверждение и при 0 < X < ц.
Пусть Т — непрерывный оператор, ТА = АТ. Проверим, что ТЕх = ЕхТ при X < 0. По определению х’
Ех = JB1/4 j’ -1- dFvBVi при X < 0. Пусть {pjf - -Й-о
последовательность многочленов, sup{pn (X) | X е[—||Л||,
|| Л||]}^М< оо, a lim pn(v) — —, если —|| Л Ц< v s^ X, Tl—*ооV
и lim Pn^) = 0, если Х<г^||Л||. Тогда s-lim ТВл!г x X Pn^ Bx'2 = Ex. Так как JB№CmBi;i = Am+Y (m = 0, 1, 2, ...), to FJB,/2pn(C)S,/2 = JS1/2pn(C)B1/2F, а потому и TEx = ExT. Аналогично проверяется, что ТЕх —ЕхТ при X > 0. В частности, АЕХ = ЕхА.
Заметим, что для любых ограниченных операторов Ti и Тг множества о(Г,Г2) U {0} и о^ТгТ^ U {0} совпадают. Это немедленно следует из формулы {Т2Тг— XI) 3 = = -у- (Т2 (ТгТ2 — XI)-хТг — 1), справедливой при 0 * /. е ер(Г1Г2). Следовательно, поскольку АЕх = IB^ExB1'2., а А<1-Ех) = 1Вх,2Ц-Ех)Вх,г (К^0), то оЦ^иЮ}- = о(51/2751/2Л)и{0} = о(СЛ)и{01, а о(Л (7-Ex)) U{0}= = о (В1'21Вхгг (I - Fx)) U {0} = о (С (I - Fx)) U {01. Отсюда о(А|ВДс{01 U(-oo, х], o^KZ-F^^ctOlU^, оо). Осталось проверить, что если X < 0, то 0^о(А|£'^), а если X > 0, то 0 ^ о(Л| {I — Ех)^). Проверим первое из этих положений. Второе проверяется аналогично. Пусть X < 0 и 0е о(Л|Е^). Так как AlSxjp — неотрицательный оператор относительно формы [•, -]1Е^ и Ех^ — пространство Крейна, то в силу следствия 3.26 гл. II ог(Л|Ь^)=0, а потому 0 е ос(Л |£х-§) U оР(Л |£х-§).
В обоих случаях существует последовательность {ж„} ^ ^ такая, что П^жпН = 1 и АЕхХп 6. Но тогда и В1/2АЕхХп= = СВ^ Ехх№ = CBxliJB^ С^1 FKBx,a хп = CxFxB',2xn^9. Следовательно, и JB'12 C^CxF^B '^Хп = Еххп->-9— получим противоречие.
Проверим теперь, что функция X -* Ех, удовлетворяющая условиям 1)—6), определяется однозначно. Пусть Х->- Ех —другая такая функция, X < р < О или 0 < X < < ц. Очевидно, что Ех = ЕхЕр + Е'хЦ — Ер). По условию 5) операторы Ех и Е^ коммутируют. Следовательно, Ек (I — Ер)— /-ортогональный проектор па инвариантное относительно А подпространство Ех^ Л (7 — Е^ $■ По условию 6) получаем о(Л | Е'х% Л (7 — Ер) 5) с: (— оо, X] Л Л [ц, оо) = 0, т. е. Е'х§ П (7 — Ер) 5 = {0}, и потому Ех = ЕхЕр. Аналогично Ех = ЕхЕр. При ц IX заключаем, что Ех = ЕкЕх = ЕхЕ'х = Ех, т. е. доказаны 1)—6).
— Е
Пусть теперь е > 0. Так как J -v dEx=J Вх,2С^Х X
_8- [|А||—О
X J xdF^Bxl2=JBx!2C”x£C_£F_£Bx!2 = jBxl2F_^ а
—1Й-11—о
DAII||А||||А||
j vdEv = — f vd(7 — Ev) =- JBX^C-X J vd(I—Fv) Bx/2= ееe
l|A!|
JBX^C";X J vdFvBxn = JBx,2C;xCe (7 - F£) вх/г =
= JB1'2 (I - Fe) Bxil = A— JBX,2FSBX,21
ЦН
то I vdEv = A — JBx!2 (Fe — F_o) B1/2. Положим H1AI1-0,
* 8 = JBV2 ^Fо — F_0)B1/2. Так как Fo — F_o — проектор па . Ker С, to S2 = JB1'2 (Fe - F_a)Bx'2JBx'2 {1\ - F-6)Bxl2 = = JB1'2 (Fo — F-^C^Fo — F„0)B1/2 = 0. Аналогично, SEX = — EKS = 0 при X<0 и S(I — Ex) = (7 — EK)S = 0 при X > 0. в
Следствие 1.6. Ограниченный J-неотрицателъный оператор А обладает J-спектральной функцией Е с единственной критической точкой X = 0. При этом о(В)\{0}= - o+(E)U о-(Е), а о+(Е) = (0, =^о^Е), 0_(Е) = (-оо, 0) П.о(Е).
D В качестве 5(Д) при Д = (а, £], а ^ О, р ^ О, nwu- жим Е(Д) = ЕР — Еа. То, что это определяет /-спектральную функцию оператора Л с единственной критической точкой X = 0, видно из свойств функции Ех, исследованных в теореме 1.5. В частности, из свойств 2) и 3) вытекает, что о(Е)\{0) = о+(Е) U о-(Е), а о+(Е) = (0, оо) П По(5), о_(Е) = (—оо, 0)П о(^). ■
Замечание 1.7. Из условия 5) теоремы 1.5 вытекает, что если Т — ограниченный оператор, коммутирующий с Л, то он коммутирует и с оператором S. ■
Замечание 1.8. Так как (см. доказательство условия 5) теоремы 1.5) операторы Ех (X ¥= 0) являются сильными пределами некоторых многочленов от Л, то каждое подпространство 8, инвариантное относительно Л, инвариантно относительно Ек и S. При этом 8 = Ех8[+] [+](7— Е^й, Екй и (7— Ех^й инвариантны относительно Л, о(Л |£\8)с (—оо, X], о(Л|(7— Вх)8)с[Х, °°). Если 8, кроме того, инвариантно относительно ограниченного оператора Т, коммутирующего с Л, то Екй, (7— Ех)8 и 8й также инвариантны относительно этого оператора. ■
Отметим также, что в силу условия 3) теоремы .1.5 ЦАЦ00
интеграл ^ v dEv может быть записан в виде J v dEv.
—ЦАЦ—О—оо
В дальнейшем там, где будет в этом необходимость, операторы Е„ и S, соответствующие оператору Л, будем обозначать символами Е^, SA.
Следствие 1.9. Если Л и D — коммутирующие ]-неотрицательные операторы, то Е^ Е^ = Е^ Е^; SaE^ = E^Sa = 0 при -k<OuSA<I-E^ = kl- — E^Sa = 0 при X > 0; SASD= SDSA= 0; DSA= SAD= 0.
D Перестановочность операторов E^\ E^, SAn SD вытекает из условия 5) теоремы 1.5 и замечания 1.7. Согласно упражнению И к § 2 гл. II ^ял— нейтральный линеал. С другой стороны, из коммутативности операторов SA и Е^ при К ^ 0 заключаем, что он инвариантен относительно Е^. Следовательно, ExD)9isA —• отрицательный линеал при X < О, а (1-еП^8Л —' положительный линеал при X > О (см. условие 2) теоремы 1.5). Отсюда вытекает, что E^^sA= {9} иРи ^<0 и (7 - Е^) $sA= {9} приХ>0, т. е. Е™\8Л = 0 при Х< <0 и (7 - ExD)) Sa=0 при Х>0.
В силу условия 5) теоремы 1.5 операторы D и SA коммутируют, а потому линеал $sA инвариантен относительно D. Так как Э?яЛ с: Ф°, то из неравенства |[Р5ая:, у]]2 С [DSa^, Sa^][Dz/, у] = 0 следует DSA = 0.
Осталось проверить равенство SASD = 0. Так как J vdE^= s-lim (DE^-VD^I-E^, то *f WE™\SA=0. - - oo® 1 0— oo
Воспользуемся теперь тем, что DSA = 0 и Sd — D — - j vdE{°\ н
Пусть % = (Л) — коммутативное семейство ограниченных /-самосопряженных операторов. Будем говорить, что оно обладает свойством Фш, если каждая инвариантная дуальная пара этого семейства допускает расширение до максимальной дуальной пары, инвариантной относительно 9L
Ниже в упражнении 8 будет указано, что свойством Фш обладает семейство дефинизируемых /-самосопряженных операторов, если это семейство либо конечно, либо у всех входящих в него операторов «уголки» р+ЛР~|$~ вполне непрерывны. Здесь же мы докажем справедливость следующего результата.
Теорема 1.10. Если 91 = (Л)— коммутативное семейство ограниченных ]-неотрицательных операторов, то 91 обладает свойством Фш.
□ Пусть (8+, 8-)—инвариантная дуальная пара семейства 91. Надо доказать, что существуют ^ е ЗЯ* такие, что 8* = 8±, 8+[-L]8- и 918^ с 8*.
Сперва проверим это утверждение для случая, когда 8t дефинитны. Пусть ®+ (Л) = CLin [(/ — Е^^ ^ | X 2> 0), 8 _(Л) = СЫп{Е(хл,5 | Х<01,@^(Я) = СБт{@±(Л)|Ле е;91}, а 91 = CLin [SSa | Л е 91}. Из следствия 1.9 вытекает, что 6+(®)[-L]6_(9() и 91 [-L] б± (91), а из замечания 1.8 — что 8± с (@т ($))ш. В силу того же замечания 1 8 8а%± с 8±(Л еЯ). Поскольку же 8± дефинитны и №,чл с $°, то 5а8± = {9} (Л G 91), а потому 8±[-L]9L
Рассмотрим подпространства 8± = CLin {8±, @± (91), 9?}. Иа доказанного выше следует, что 8+ [_]_] 8_. Проверим включения 8± с: ф-13. Согласно упражнению 11 к § 3 ГЛ. II подпространства CLin {8±, 6± (91)} с ф*. Остается Воспользоваться тем, что 91 [-L] CLin (8±, @±(9()}. Итак, 17 T. Я. Азизов, И. С. Иохвидов '257
(й+, 8-)— инвариантная дуальная пара семейства й, содержащая (й+, 8-).
Пусть (й+, 8_) — произвольная максимальная дуальная пара, содержащая (й+,8_). Докажем, что Лй* <= 8* при всех Лей. По построению йт с: 8^х] с: @_ (Л)*-3"1, и потому Л8+ с Л@-(Л)1-*-1. Так какЛ = SA + j \йЕ^, то Лб-^)1-"1"^ CLin(9tSA, @+(Л))с8+с:8+. Следовательно, Л8+ <= 8+. Аналогично, Л8_ с 8“ (Л е ^ .Итак, теорема доказана, когда 8± дефинитны.
Пусть (й+, Й-)—произвольная инвариантная относительно й дуальная пара, aS^CLinffiu.^ П ф°}. Тогда (й^, й2}) — расширение пары (й+, й_), й^ [ [ ] й£!\ й^ Л Л й^ = й$° Л й^^й*? Л й(2)[±] = й0 и йй(^ с й^.^
Перейдем к рассмотрению факторпространства § = = 8о±]/йо, индуцированного в нем семейством й семейства /-неотрицательных операторов й = {Л} и его инвариантной дуальной дефинитной пары (й^, й^’), где 8^ = й(.;9/й0. Согласно доказанному выше у семейства й существует инвариантная максимальная дуальная пара (й+, й-), содержащая (й^, й^’). В соответствии с упражнением 7 к § 5 гл. I подпространства 8* — = Vx± е хУх^ е й*} образуют максимальную дуальную пару в ^, причем йй* с 8* и 8* = 8±. в
В заключение покажем, как результаты п. 2 могут быть применены к получению (Д, /2)-полярного разложения Qt, /2)-бинерастягивающего оператора. Но прежде дадим
Определение 1.11. Ограниченный /^самосопряженный оператор R называется 3,-модулем ограниченного оператора Т, действующего из Д-прострапства ^i в ^-пространство ^2, если о(/?)<=[0, °°), R1 = ТСТ и Ker R = Кег ТСТ.
Теорема 1.12. Каждый (К, ЗгУбинерастягивающий оператор V имеет хотя бы один К-модулъ R и допускает «(/i, ЗгУполярное разложение» V = WR, где W — (3t, ЗгУбинерастягиватои^ий оператор, являющийся одновременно ^3,., Згуполуунитарным или сопряженным
с (32, З^-полуунитарным оператором.
□ Оператор A=L — Vе V является ограниченным /j-неотрицательным оператором. Так как из теоремы 4.30
гл. II и замечания 4.29 гл. II имеем о( VеV)^ [0, °°), то о(Л)с(—оо, 1]. Пусть Ао = ^у, 1], и Е(А0)—соответствующее значение Л-спектральной функции оператора А. Из определения Ji-спектральной функции следует, что j?(A0)6i и (Д —Е(А0))^1 инвариантны относительно оператора VCV, причем о (7С7 | Е (Ао) ^J с: ]о, у], а о (7С7 Wt-E (До)) ^) с [1 | 7С7 ||]. Согласно следствию 1.6 подпространство £(A0)^i равномерно положительно. Так как 7c7l/?(A0)Si — самосопряженный по отношению к форме [■, •]1|Е(А0)§1 оператор с неотрицательным спектром, то он неотрицателен и потому имеет неотрицательный квадратный король Rt. Пусть Г — жорданов контур, окружающий отрезок [1/2, II VеVII], симметричный относительно R и не содержащий внутри себя X = 0, a VX — аналитическая функция, принимающая положительные значения при положительных X. Тогда (см. [XXI]) оператор^ = --^т j) V^F^K/.-^Aon^-XZ^1^ огра- г_
пичен.Я2 =7С71(7,-Я (А,))^, a(R2) с Н/72, УИУСИ|, а в силу симметричности Г относительно R оператор Ri будет и Ji-эрмитовым. Так как Z^Ao^t+K/i— — Е(Ag))^t = &, то оператор R такой, что Rx = R\X^ если ze^fA,)^, и Rx = R2x, если х^^Е— £(A0))^i, является Ji-самосопряженным и ограниченным, R2 = VCV, Ker 7? = Кег 7е 7, о(7?)с[0, °°), т. е. R— Ji-модуль оператора V.
Рассмотрим теперь операторы 7t = 7l£(A0)5i и 72 = = 71(7, — ^(Ао))^!. Так как Д(Ав)^, равномерно положительно, то (7, — £(А0))^1 содержит максимальное в фь а потому V (Jt— £(А0))51 содержит максимальное в .ф2 равномерно отрицательное подпространство. Из следствия 8.14 гл. I заключаем, что ^г2(=ЯУ2) проек- ционно полно, причем Э?^1 равномерно положительно. Поскольку ^(Ао)^ и (71 — £(А0))^1 инвариантны относительно 7е7, то 7С9?^] с: Е (Ао) ^15 7c9?v2c: (7Х —Е (Ао)) ^ и 9?у с: St^1. Оператор 7t как оператор, действующий из гильбертова пространства £(A0)^i со скалярным произведением [•, -]i в гильбертово пространство 9?VV со скалярным произведением [■, -]2, допускает разложение
Vf = ЖЛ, где Wf : Е (Ао) ^i -* StVV — полуунитарный или сопряженный к полуунитарному оператор. Теперь достаточно положить Wx = WYx, если я: е E(A0)$i, и Wx = V2R^lx, если х^^К— 7?(A0))$i, и получим, что V = WR и W удовлетворяет указанным в теореме требованиям, в
Упражнения и задачи
Доказать, что /-самосопряженные операторы А класса ЛГ(З^) с вещественным спектром имеют, и притом единственную, /-спектральную функцию с конечным числом критических точек {Xi}, где X,- — собственные значения оператора А с вырожденным Кег (Л — Xi/) (Азизов).
Указание. Воспользоваться результатом упражнения 15 к § 5 гл. III и разложением, аналогичным (5.3) гл. III, для ограниченного /-самосопряженного оператора класса .Xе (2#).
Аналогично определению 1.3 ввести понятие собственной /-спектральной функции /-унитарного оператора и доказать, что /-унитарные операторы U е Ж КЖ'} имеют, и притом единственную, /-спектральную функцию (Азизов).
Пусть Пц—пространство с х отрицательными (соответст- вепно положительными) квадратами, 8—х-мерное неположительное (соответственно неотрицательпое) инвариантное подпространство л-самосопряженного оператора А, а Х|, Х2, ..., Хх— собственные значения (с учетом кратности) оператора Л|8. Показать, что х
многочлен Р (X) = JJ (X — Хк) (соответственно — р(Х)) дефи- визирует оператор А (И. Иохвидов и М. Крейн [XIV]).
Доказать, что если А — дефипизируемый /-самосопряженный оператор, а [Хр Х^—все невещественные корпи дефинизи- рующего многочлена р и|Хр XJJ с о (Л), то а (Л)\В = (Хр Xjp _{Хр TJ* с ар (Л), 8К. (Л) и 8- (Л) — подпространства (t = 1, 2, ..., к) и
А: ф' -»- ф' — дефипизируемый в ф' оператор с вещественным спектром (Лангер [4], [5]).
Доказать, что дефипизируемый /-самосопряженный оператор с вещественным спектром обладает, и притом единственной, /-спектральной функцией Е. При этом а (А) = а+(Е) Ц а-(A) U U s(£), операторы Е(А) при А П s(E) = 0 и конечных А являются сильными пределами многочленов от Л (Лангер [4], [5]).
Доказать, что операторы А класса Ж (Ж} или дефипизиру- емые операторы являются ограниченными тогда и только тогда, когда о (Л) — ограниченное множество (Азизов; Лангер [4], [5]).
Указание. Воспользоваться разложением (5.3) гл. III и результатами упражнений 1, 4 и 5 соответственно.
Доказать, что если Л г Ж (Ж} или А — дефинизируемый оператор, а о (Л) = {XJp то 5 = 8Х (Л) + 8к (Л) 4- ... 4- 8^ (Л), и длины жордановых цепочек операторов А |8к (Л) ограничены (Азизов; Л а и г е р [4], [5]).
Указание. Воспользоваться разложением (5.4) гл. III и результатами упражнений 1. 4 и 5 соответственно.
Доказать, что если % — коммутативное семейство ограниченных дефипизируемых /-самосопряженных операторов и либо Я конечно, либо «уголки» Р+АР~\^-' е ©<» при всех А е И, то 81 обладает свойством Фш (Лангер [9], [13]).
Доказать, что если Л — дефинизируемый /-самосопряженный оператор, a D — конечномерный /-самосопряженный оператор, то А 4-D— дефинизируемый оператор (Йонас и Лангер [I]).
Доказать, что /-самосопряженный оператор класса •%’ (X) является дефинизируемым тогда и только тогда, когда его /-спектральная функция Е (см. упражнение 1) такова, что о (А) =, — а+(Е) (J o-(S) (J s(5) (Азизов).
Указание. Воспользоваться упражнением 15 к § 5 гл. III, результатами упражнений 1,5 с учетом разложения, аналогичного (5.3) гл. III, для ограниченного /-самосопряженного оператора класса Ж (Ж).
И. Доказать, что /-спектральная функция /-самосопряженного оператора АеЖ(,Ж) с о (Л) с R регулярна тогда и только тогда, когда все 8л (Л) невырождены (Азизов).
Указание. Воспользоваться разлоя;епием (5.4) гл. Ш.
Доказать, что если /-самосопряженный оператор А удовлетворяет условию [Ля, я] ^ь О при [ж, я] = 0, то существует такая постоянная а, что либо А — а/, либо аГ— А — /-неотрицательный оператор с дефинитным ядром и Л = а/ + (ц — а) dE^
(Песопен [1],М. Крейп и Шмульян [3]).
Пусть Т—строгий плюс-оператор, действующий из /рпро- страиства 51 в /г-прострапство 5з, и о(7’с7’) ^ 0. Тогда у оператора Т существует, и притом единственный, Л-модуль (ср. М. Крейн и Ш м у л ь я и [3]).
У к а з а п и е. См. доказательство теоремы 1.14.
Доказать, что /-самосопряженный оператор Л дефинизи- руем тогда и только тогда, когда существует голоморфная в окрестности его спектра и точки X = оо функция / такая, что /(Л) — /-неотрицательный оператор (Л а п г е р [4], [5]).
Доказать, что если А — /-самосопряженный оператор класса Ж (Ж), то существует разложение 5 = Si [4-] S2, где Si с ®и, A^i с 51 (I = 1, 2), о(Л |5i) с: [т, М\, —оо < m <4 М < оо, а Л|5г подобен самосопряженному и о(Л|52)с(—оо, ™]и[Л/, оо) (Азизов, Гордиенко и И. Иохвидов [1]).
Указание. Воспользоваться результатами упражнения 1.
Пусть {CJ^ — однопараметрическая группа класса (Со) (т. е. Ut+, = UtU„ Ua = I и U.x^-Ufx при t-*t0 и для всех о
яен5). состоящая из /-унитарных операторов, a iA— производящий оператор этой группы. Доказать, что (Л= = )Ле1№) тог-
да и только тогда, когда {^7J”OO е .^ (^) и при этом Ut = = exp (НА) (Азизов, Гордиенко и И. Иохвидов [1]).
У к а з а п и е. Воспользоваться результатами упражнений 1, 2, 15, а также статьи Най марка [3].
Полнота и базиспость системы корневых векторовJ-диссипативных операторов
В этом параграфе, если пе оговорено противное, все операторы непрерывны и заданы на всем пространстве. Пространства же предполагаются, вообще говоря, несепарабельными. Наши ссылки на монографию [IX], где пространства считаются сепарабельными, справедливы в том отношении, что либо для конкретного результата сепарабельность несущественна, либо операторы у пас действуют в сепарабельном подпространстве.
Напомним, что система векторов {еа} называется полной в пространстве ^, если ^ = CLin VeA. Всюду подразумевается, что а е А, где А — некоторое множество индексов.
Базис {/а} пространства ^ называют ортонормированным, если (/а, /ц)=ба? (а, ^еЛ). Если Т— ограниченный и ограниченно обратимый оператор, то система {Т/а} также будет базисом в ^ и она называется базисом Рисса.
Здесь мы будем исследовать вопросы полноты и ба- зисности корневых (т. е. собственных и присоединенных) векторов /-диссипативных и, в частности, /-самосопряженных операторов класса ^ ^Зб') и /-самосопряженных дефинизируемых операторов. Введем обозначения
@(Л) = СЬт{^(Л)|ХеОр(Л)}, ■(2.1)
6о(Л) = CLin (Кег(Л — XZ) IX е ор(Л)}.(2.2)
По определению б1(Л)сб(Л) и потому dim^/@(A) ^dim^/60(A).
Остановимся сначала па исследовании поставленного вопроса в случае /-диссипативных операторов класса 1Ж(<3^). Отметим, что если А^3ё{3ё), Х = ХеоР(Л), то корневой линеал йх(А) замкнут и его невырожденность эквивалентна его проекционной полноте (упражнение 5 к § 5 гл. III). Поскольку А^Зё^Зб^, то существует не . более конечного числа вещественных точек X, которым соответствуют вырожденные ядра Кет (Л — X/) этого оператора. Множество таких точек, как и в случае /-самосопряженных операторов класса Ж(36) (см. упражнение 1
к § 1), назовем множеством критических точек'и .обозначим символом з (Л).
Лемма 2.1. Пусть А — ограниченный J-диссипатив- цый оператор класса Ж {Ж, Уо), невещественный спектр которого состоит из нормальных точек. Тогда невырожденность @(Л) и невырожденность Lin (8ДЛ) IX е к(Л)} эквивалентны. При этом если 6 (Л) невырождено, то оно и проекционно полно.
□ Так как (см. упражнение 5 к § 5 гл. III) 8Х(Л) при Х = Х можно представить в виде суммы инвариантных относительно Л подпространств: 6х(Л) = %[+•]%, где dim % < °°, a 9JL — проекционно полное подпространство и ®1хсКег(Л— XZ), то из следствий 2.16 и 2.18 гл. II заключаем, что Lin (8Л(Л) IX е з(Л)} — подпространство и его невырожденность эквивалентна его проекционной полпоте.
Пусть теперь Lin HL (Л) IX е з(Л)} вырождено, а 8 — его изотропная часть. Тогда 8 с Lin <91х|Х е s (Л)}, и потому 8 конечномерно. В силу леммы 2.19 гл. II имеем Л8с8. Следовательно, в 8 есть хотя бы один собственный вектор х0 оператора Л. По выбору х0 [-L] Lin (8Л(Л) I Х^з(Л)}, а в силу следствий 2.16 и 2.18 гл. II ЯоНбДЛ) при ц^8(Л), т. о. ж0[-*-]б(Л). Так как жое6(Л), то вырожденность Lin {8ДЛ) IX е $(Л)} влечет вырожденность 6 (Л).
Обратно, пусть 6(Л) вырождено, a 8t — его изотропная часть. В силу леммы 2.19 гл. II Л8! с 8Ь Сначала предположим, а потом докажем, что dim8t<°°. Раз так, то в 81 есть собственный вектор у0 оператора Л: Ау» = = Хог/о. Из следствия 2.25 гл. II и определения множества критических точек заключаем, что Хое«(Л), а потому Lin {8Х(Л) IX е з(Л) I — вырожденное подпространство. .
Проверим теперь, что 8t конечномерно, а заодно и то, что если 6 (Л) невырождоно, то оно проекционно полно. Для этого достаточно показать, что.в 6 (Л) существует такое проекционно полное подпространство 91, что dim 6 (Л)/91 < оо. Так как А ^Ж^Ж, Уо), то в силу следствия 5.18 гл. III в каждом подпространстве Кег(Л — XZ) при Х = Х существуют максимальные (в Кег(Л — XZ)) сомидефипитные инвариантные подпространства 8?; оператора Уо. Тогда 8+= CLin [8Ц (Л), 8х [ Im ц > О, X = =Х} — вполне инвариантное относительно Уо и инвариантное относительно А подпространство, а 8_ = = CLin {8ц (Л), 8х | Im р, <; О, X = X}— инвариантное
относительно Уо и Л подпространство. В силу следствий 2.18 и 2.22 гл. II следует, что первое из этих подпространств неотрицательно, а второе неположительно. С учетом следствия 5.4 гл. III это влечет включение 8± е Д^ Пусть 83 = й+ П 6— Тогда 8+ + 8- = 80[+]91, где 91 — про- екционно полное подпространство. Остается заметить, что 41т®(Л)/8++ 8-< о°, и потому, если ®(Л) вырождено, то его изотропная часть конечномерна, а если пе- вырождено, то оно проекционно полно. ■
□ Замечание 2.2. Условие леммы 2.1 о нормальности невещественных точек оператора А использовано только при доказательстве того, что вырожденность 6 (Л) влечет вырожденность Lin (8Х(Л) IX е к(Л)}. Поэтому остальные утверждения справедливы и без этого условия, причем, в частности, если 6 (Л) невырождено, а потому проекционно полно, то оператор УО|6(Л) принадлежит классу .Ж В самом деле, построенное при доказательстве леммы 2.1 подпространство 8+ обладает в (5(Л) свойством def8+<°°. Из упражнения 9 к § 3 гл. III заключаем, что У01®(Л) — бипесжимающий по отношению к форме [•, -]1®(Л) оператор, имеющий вполне инвариантное подпространство 8+ е ЭД+ (@(Л)). В сочетании с теоремой 5.2 гл. III и тем, что Уо е Ж этого достаточно для доказательства справедливости нашего утверждения. Кроме того, из упражнения 17 к § 5 гл. III следует, что если Р— J-ортопроектор на 6(Л)[Х1, то оператор РУ0|6(Л)ш е gg и является ^JP-бипесжимающим. ■
Следствие 2.3. Пусть Ле35^36^—вполне непрерывный J-диссипативный оператор. Тогда невырожден- ностьЩА) и 80(Л) эквивалентны.
□ Оператор А удовлетворяет условиям леммы 2.1. Кроме того, так как все X =А 0 являются нормальными точками оператора А, то в силу следствия 2.25 гл. II все % (Л) при X = X #= О невырождены. Следовательно, вырожденность 80(Л) и вырожденность Ьт{8х(Л) IX е $(Л)} эквивалентны. Остается воспользоваться леммой 2.1. ■
Следующие две леммы являются ключевыми при решении вопроса о полноте системы корневых векторов J-диссипативных операторов.
Лемма 2.4. Пусть оператор А удовлетворяет условиям леммы 2.1, ®(Л) невырождено, а Р — Т-ортопроек- тор на б (Л)1-1-'1. Тогда Л,= />Л|6(Л),±1 е X ^36^ и оР(Л,)=0.
Принадлежность оператора Л! классу J$f(<31?) следует из того, что если А Уо), то в силу упраж- 264
нения 17 к § 5 гл. III РУ0|®(Л)ш е 5#, и потому Л.е Ж {Ж, />У01<5(Л)ш).
Пусть теперь Ло = Ло е GP^t). Так как 6(Л)[±1 — Р*/Р-прострапство, а Л1 — Р*1Р-диссипативный оператор, то из Ло = Ло следует Ло е ор (Л”). Пусть Асххй = Лд. В силу следствия 2.17 гл. II А^хй—Хйх». С другой стороны, Л° = Лс | ® (Л)[±\ и опять-таки в силу следствия 2.17 гл. II Ахо = Лото, а это противоречит тому, что ж0[-1-]6(Л) и 6(Л) невырождено, а поэтому <тр (Л^ П К = = 0. _
Предположим, что Ло ^ Ло ^ с$ (Л,). В силу теоремы 1.16 гл. II Л0ЕОр(Л,) J аг(Л'). Воспользуемся опять тем, что Л= = ЛС|($(Л)[Ч Так как по условию все невещественные точки спектра оператора А (а значит, в силу теоремы 1Л6 гл. II и Лс) являются нормальными собственными значениями, то ЛоеоР(Лс), что влечет в данном случае включение Лo,^oP(ЛJ, т. е. Ло — нормальное собственное значение оператора А, а потому и оператора Л|@(Л1. Следовательно, существует такое разложение <5 (Л) = 8х0(Л) + 6', чт0 ^@' <= (У и Лоер(Л|@'). Тогда $ == 8Ч(Л) 4-(Г [-И @ (Л)[±3). Так как Ло е оР(Л,), то из Лоер(Л|@') следует, что Ло s еор(Л2), где Л2 = QAI (6' [+]6(Л)Ш), a Q — проектор на (S'[4-]® (Л)ш параллельно 8х0(Л). Пусть Л2ж0 = = Ло^о. Тогда (Л — Лд^т-дЕв^М), т. е. хй — корневой вектор оператора А, отвечающий Ло и не лежащий в 6Хо(Л),— получим противоречие. ■
Лемма 2.5. Пусть Ж — некоторый комплекс свойств, инвариантных относительно ограниченного проектирования и эквивалентной перенормировки пространства, и пусть каждый ограниченный диссипативный оператор, обладающий этим комплексом свойств, имеет полную систему корневых векторов. Тогда и каждый J-диссипативный оператор А ^ Ж (Ж) с невырожденным ®(Л) имеет полную в ^ систему корневых векторов.
Предположим противное. Так как свойства из комплекса Ж инвариантны относительно ограниченного проектирования, то, в частности, они инвариантны и относительно /-ортогонального проектирования. Из леммы 2.4 следует, что либо лемма 2.5 верна, либо существует такой ограниченный /-диссипативный оператор А е Ж {Ж}, обладающий этим комплексом свойств, что оР(Л1)=0.
Предположим, что выполнено последнее. Из теоремы 5.16 гл. III имеем, что у оператора А есть хотя бы одна пара ^ е №= 0 инвариантных подпространств. Так как ар(Л)=0, то S*— равномерно дефинитные подпространства, и потому $ = 6+ + 8~. Поскольку операторы ±Л l^ обладают свойствами комплекса Ж и диссипативны по отношению к скалярному произведению ±[-, •]!&*, эквивалентному исходному, то ио условию теоремы 6(Л|й±) = = 6*, а потому Ор (Л) ^ 0— получили противоречие. ■
Лемма 2.5 позволяет переносить на случай ограниченных /-диссипативных операторов класса ЖкЖ>^ целый ряд утверждений о полноте системы корневых векторов для обычных диссипативных операторов, поскольку, как правило, условия в этих утверждениях инвариантны относительно операций ограниченного проектирования и эквивалентной перенормировки пространства (см., например, [IX]). Мы не будем приводить все эти утверждения в основном тексте, но некоторые из них приведем ниже в виде упражнений. На примере теоремы 2.6 покажем, как выполнять эти упражнения. Кроме того, докажем также и теорему 2.8. Она интересна и тем, что не может быть обобщена даже па случай операторов класса 96 (см. ниже пример 3.3). Но прежде напомним некоторые известные термины и введем новые.
Пусть Л: ^i ->- & — вполне непрерывный оператор, а (аа(Л)} — множество собственных значений оператора (Л*Л)1/2 (с учетом кратности), или, иначе, {ка(Л)} — s-числа оператора А ([IX]). Говорят, что Л е ©р, если 2 s^ (Л) < ОО. В частности, если р = 1, то Л называют а
ядерным оператором, а при р = 2 — оператором Гильберта — Шмидта. Заметим, что если даже ^, несепарабельно, то все s-числа, за исключением, быть может, счетного подмножества, равны нулю. Поэтому нам удобно считать ниже, что 5Й(Л) 9= 0 при к = 1, 2, ..., v; v <». Обычно »-числа .^(Л) нумеруют в порядке невозрастания, и тогда справедлива ([IX]) формула sn+i = min (ИЛ — XIII dimX^n}. Отсюда, в частности, вытекает, что если {5„(Л)} — s-числа оператора А в другой, эквивалентной исходной, норме, то существует такое m > 0, что " ®п (Л) 6^ ЗгДЛ) <^ msn (Л) (п = 1, 2, . ..).
Пусть {еа} — ортонормированный базис, а {/„) — /-ор- тонормировапный базис Рисса /-пространства ф. Число врЛ =2Иба, еа), где Ае®, называют следом опера- а
тора А. Как известно (см., например, [IX]), sp4 = 2^a« a
где (XJ — множество собственных значений оператора А с учетом кратности, и потому spA не зависит от выбора ортонормированного базиса и эквивалентной перенормировки пространства. Это позволяет нам записать формулу следа и в эквивалентной форме: spA = 2М/«, /alx a
X sign [/a, /а]. Все три эти формулы будут ниже использованы.
Теорема 2.6. Пусть А е J^^)—вполне непрерывный ]-диссипативный оператор с ядерной . J-мнимой компонентой Ах и lim н(р; Ад)/р — О, где Ав— ]-ве-
щественная часть оператора А, п(р; Ав)—количество чисел вида l/sB(AB) (п=1, 2, ...), расположенных в сегменте [0, р]. Тогда 6(А) = $ в том и только в том случае, когда йе(А) невырождено.
Необходимость невырожденности вытекает из следствия 2.2.
Достаточность. Из следствия 2.2 получаем, что если йе(А) невырождено, то и 6(A) невырождено. Пусть Р—J-ортопроектор на ($(А)Ш, а At = РА1б(А)ш. Так как (см., например, [IX], II.2, п. 1) s„((A1)B)^
ILPll2sn(AB), то lim п (р; (А1)н)/р = 0. Поэтому, если
6(A) ^ф, то в силу леммы 2.4 без ограничения общности будем считать исходный оператор А вольтерровым (т. е. А е ©„ и о(А)=(0}) J-диссипативным оператором класса X (Эё) с 0^Ор(А) и докажем, что равенство Jim п (р; Ак)/р = 0 невозможно. В самом деле, из тео
ремы 5.16 гл. III следует, что у оператора А существуют инвариантные подпространства й* ^ ЭЛ* П /г*. Они невырождены: в противном случае из леммы 2.19 гл. II вытекало бы, что аР(А)ч^0. Следовательно, й* равномерно дефинитны и потому ^ = й+ + й-. Пусть, например, й+ Ф ¥= {0}. Рассмотрим оператор А+ = А|й+. Оп является вольтерровым диссипативным по отношению к (дефинитному) скалярному произведению [•, -]1й+, причем limn(p; Ад)/р = 0. Так как скалярное произведение
[•, -]|й+ эквивалентно на й+ исходному, то lim п (р; Ад) :
:р=0, гдеп(р;Дд) — количество чисел вида 1/зп(Ад) в интервале [0, р], а [зп(А+)} — s-числа оператора Ад
по отношению к скалярному произведению [•, -]|й+. Пусть п+ (р; Ад) — количество чисел вида 1/Х„ (А£) в интервале [О, р], где [Х„ (Ад)[ — положительные собственные значения самосопряженного оператора Ад. Так как 0 ^ п+ (р; Лд) ^ п (р; Лд), то lim п+ (р; Лд):
:р = 0. Из [IX], IV.7.2 в этом случае вытекает lim п+ (р; Лд)/р = sp Aj'. Следовательно, spA/=0. р-*оо^
Поскольку Л/ — неотрицательный оператор, TospAj = 0 влечет А^ = 0, т. е. Л+ = Лд— вполне непрерывный самосопряженный оператор, а потому aP(A+)V=0— получили противоречие. Аналогично приходим к противоречию, если 8“ ^ {0}. ■
В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться следующим простым утверждением.
Лемма 2.7. Если Л — самосопряженный оператор со спектром, имеющим не более счетного множества точек сгущения, то 60(Л) = 5, и в ^ существует ортонорми- рованный базис, составленный из собственных векторов оператора Л.
Так как ЙДЛ) = Кет (А— XZ) и Кег(Л — XZ)-L J-Ker(A— M-Z) при X Ф ц, то в 60(А) существует орто- нормированный базис, составленный из собственных векторов оператора А. Осталось проверить, что 6О(А)±=={0}. Пусть это не так. Поскольку о(Л|6о(Л)±) не'содержит собственных значений, а множество точек сгущения o(Al60(A)-L) может быть не более чем счетно, то существует хотя бы одна изолированная точка спектра оператора Л 160(A)-1-. Эта точка, как известно (см., например, [IV]), должна быть собственным значением — получим противоречие. ■
J-диссипативпый оператор А будем называть простым, если не существует подпространства, инвариант-1 ного относительно А и А°, на котором эти операторы совпадают."
Теорема 2.8. Если оператор А с ядерной J-мнимой компонентой Ai является простым л-диссипативным оператором или а (А) имеет не более счетного множества точек сгущения, то 6(A) = ПХ тогда и только тогда, когда линеал Lin (йх (А) IX е s (А)} невырожден и 2 Im ^а ₽ а
= sp Aj, где Ха пробегает множество всех собственных значений оператора А с учетом кратности.'
Так как A=AR-ViA,, а невещественный спектр л-самосопряженного оператора Ал состоит из нормальных собственных значений, то из Ai е g, следует, что невещественный спектр оператора А состоит из нормальных собственных значений. Поэтому все точки сгущения о (Л) лежат в К. Кроме того, в силу теоремы 2.26 гл. II йх(Л) = Э1х[+]9)1х, где лэгл <= Six, dim Six < °°, а Six с с Кег(Л — XZ) и Six невырождено, а потому Lin{йx(Л)| X е $ (Л)} — подпространство. Предположим, что 6 (Л) = = Пх. Из леммы 2.1 получаем тогда, что Lin (6х(Л) |Х г ез(Л)} невырождепо. Рассмотрим подпространство 8 = = CLin{Slx| Хе о (Л) П К}. Это невырожденное подпространство: в противном случае из леммы 2.19 гл. II следовало бы, что у оператора Л|й существует собственный вектор т0 Ф 9, изотропный в й, а в силу того, что 6 л-ортогональпо CLin {Six, йи(Л) |Х = X, р, =/= р}, следовало бы лт0[-1-]®(Л)—получим противоречие. Рассмотрим разложение Пх = й[+]йш. Поскольку Лй с$ и Лсй с й, то Лйш с йш, и оператор Л|йш удовлетворяет тем же условиям, что и Л, с тем различием, что все корневые подпространства оператора Л|йш конечномерны. Так как йсб(Л), то без ограничения общности будем считать, что й —{9}, Поскольку только при Хе «(Л) (по построению) Six * (О), то сгр (Л) П К имеет не более конечного числа точек, а потому у оператора не более чем счетное множество собственных значений. Следовательно, так же, как и в [IX], 1.4.1, можно построить в П, такой ортопор- мированный базис {е*}, что (Аек1 ех) = Хх и Хк пробегает множество собственных значений оператора А с учетом кратности. Отсюда ^ (Л —Л*) eh, ех) = Im Хх. Так как Л1е®1, а Л7-1 (Л-Л*)=А (-Лс +Л*) = 1х X (— JA*J + Л*) — конечномерный оператор, причем sp ^ (,JA*J - Л*)) = sp ^ У (Л* - JA*J) J^ = sp ^ X X (Л* - JA*J^ = — sp (1 (J A* J — Л*)) , то sp ^ X X (ДА*J — Л*)) = 0, ^ (Л — Л*) е ^ и sp Л/ = sp ^ X X (Л — Л*)). Следовательно, sp Л/ = 2 Im ^к-
/к
Обратно, пусть Lin {йх(Л) IX е $(Л)} невырождено и sp Л/= 2 Im Ха. Опять-таки в силу леммы 2.1 6(Л) а
невырождено. Вновь без ограничения общности считаем, что *6 = CLin {9Их|Х = X) = {0}. Рассмотрим операторы Л'=Л|®(Л) и Л, = РЛ|@(Л)Ш, где Р— л-ортопроектор на 6(Л)щ. Поскольку оператор Л' удовлетворяет тем же условиям, что оператор Л, то sp Лт = 2lmXa. Пусть j/V^ а
и {/а2)) — л-ортонормированные базисы в 6(Л) и 6(Л)[±1 соответственно. Тогда
sp Лт = SI^jA0» A0] sign[/h°, /^j + А
+ 2M\№gn^^^
А
+ 2[(A)z/^2)]si^^^
-Slm^ + StW,/®. Й>] sign [/«>, ffV ка
что в силу равенства sp Лт = 2 Ira Х& влечет равенство .к
а
Пусть для определенности Пх — пространство Понтрягина с х отрицательными квадратами. Тогда и ®(Л)— пространство Понтрягина с х отрицательными квадратами, а потому 6(Л)[±1 — положительное подпространство. Поэтому ИЗ 2 [(A)l/a2)> /а^ si§n 1/а\ /а^ = О следует, что ^t)i = 0, т. е. Av = Л”. Так как Л'— = Лс | @ (Л)[±\ то из теоремы 2.15 гл. II заключаем, что Л(5(Л)ш с 6(Л)ш и Л|<5(Л)Ш =ЛС1®(Л)Ш =Л,. Если А — простой л-диссипативный оператор, то отсюда вытекает, что 6(Л)ш = {9}. Если же А не простой, но о (Л) имеет не более счетного множества точек сгущения, то этим же свойством обладает и оператор Л„ самосопряженный относительно дефинитного скалярного произведения [•, -]|($(Л)ш. Поэтому в силу леммы 2.7 оР(Л1)=/= Ф 0, если 6(Л)ш ^ {9}; но по лемме 2.1 оР(Л1) = 0, что влечет 6(Л)ш = {9}. ■
Следствие 2.9. Если Л е J$f (5^) — яЭерный 1-диссипативный оператор, то невырожденность £0(Л) эквивалентна равенству ^.{А) = ^.
2.70
□ Из следствия 2.2 вытекает, что если @(Л) = $, то 80 (Л) певырождено.
Обратно, пусть 8о(Л) невырождено. Тогда опять-таки из следствия 2.2 получаем, что и ^(Л) невырождено. Воспользуемся леммой 2.1, в силу которой достаточно проверить, что при $ N= {6} не существует вольтерровых ядерных /-диссипативных операторов Л класса Ж {9€) с 0 ^ Ор (Л). Предположим противное. Как и при доказательстве теоремы 2.6, из оР(Л)=0 заключаем, что оператор Л имеет максимальное равномерно дефинитное инвариантное подпространство 8. Пусть для определенности 8 е Э1+ (случай 8 ^ Э1~ проверяется аналогично). Рассмотрим оператор Л|8. Это ядерный диссипативный оператор относительно формы [■, ^Гв. Так как зр(Л| 8) = = 2 Ха (Л | 8), то sp (Л 18)j = 2 Im Ха (Л | 8). По теореме
2.8 ор(Л|8)¥= 0 — получим противоречие. ■
3. Прежде чем излагать результаты о базисности системы корневых векторов /-самосопряженных операторов, введем
Определение 2.10. Базис {/«) /-пространства § назовем почти J-ортонормированным, если его можно представить как объединение конечного подмножества векторов и /-ортонормированпого подмножества, причем эти подмножества /-ортогональны друг другу.
■ Определение 2.11. Базис {/Л называется р-бази- сом, если существуют такой ортонормированный базис {еа) и оператор Т е ©Р) что /„ = (/ + 71) еа (а е А).
Теорема 2.12. Пусть Л— непрерывный J-самосопряженный оператор класса Ж {96) и о (Л) имеет не более счетного множества точек сгущения. Тогда: a) dim^/ <5(Л)^ й1т5/®о(Л)< °°; б) ^0(Л) = ^ тогда и только тогда, когда s{A)= 0 и8х(Л) = Кег(Л—V) при X ¥=Х; в) ^(Л) = ^ тогда и только тогда, когда Lin {8^(Л) |Х е е$(Л)}— невырожденное подпространство; г) если @0(Л) = 5 {соответственно @(Л)=5У, то в § существует почти J-ортонормированный базис Рисса, составленный из собственных {соответственно корневых') векторов оператора Л; д) если ^0(Л) = ^, то J-ортонормированный базис в 5, составленный из собственных векторов оператора Л, существует тогда и только тогда, когда ст (Л) a R; «) упомянутые выше базисы можно выбрать р-базисами тогда и только тогда, когда у оператора А существует инвариантное подпространство 8+ е ЭН с угловым оператором К^ е ®р.
+ 271
□ а) Так как ®о(Л) с @(Л), то dim §№(А)^ dim 5/ /@0(Л). Воспользуемся следствием 5.21 гл. III и аналогом предложения 5.14° гл. III для /-самосопряженных операторов класса 56^96^ и получим, что dim® (Л)/ М(Л)<оо. Следовательно, для доказательства неравенства dim ^/@о(Л) < оо достаточно установить, что dim ф/® (Л) < оо.
Пусть S+ е $W+ П /г+ — существующее в силу теоремы 5.16 гл. III инвариантное подпространство оператора Л, 8_ = й!^1, a 80 = 8+ С ^-. Так как й^3 = Lin {8+). 8_) и dim ^/80с±] = dim80< оо, то для доказательства обсуждаемого неравенства достаточно установить, что 4^ = ® (л 1 s^1) или, что эквивалентно, /-пространство S = 8^J/80 совпадает с ®(Л), где А— /-самосопряженный оператор, порожденный оператором А. Последнее же следует из того, что = 8+[+j8_, 8± = 8±/8д — равномерно дефинитные подпространства, инвариантные относительно А, а операторы Л|8± удовлетворяют условиям леммы 2.7.
Пусть ®0(Л) = ^. Из формулы (5.4) гл. III, определения множества е(Л) и /-ортогональности 8х(Л) к 8Ц(Л) при X N= р немедленно следует, что $(Л)=0 и 8^(Л) = Кег(Л — X/) при X Ф X.
Обратно, пусть s (Л) = 0 и 8х (Л) = Кег (Л — X/) при X N= X. Воспользуемся опять формулой (5.4) гл. III и без ограничения общности будем . считать, что о (Л) с: R. Так как $(Л)=0, то все ядра Кег(Л— X/) невырождены, и потому 81(Л) = Кег(Л — X/). Отсюда в силу леммы 2.1 и ®(Л) (=®0(Л)) невырождено. Поскольку же ЙПП®о(Л)Ш = ЙПП$/®о(Л)< оо и Л@о(Л)шс®о(Л)ш, то ®О(Л)Ш = (0), т. е. $ = ®0(Л).
Если ®(Л) = ^, то ®(Л) невырождено, и по лемме 2.1 Lin (81 (Л) |Хе «(Л)} — невырожденное подпространство.
Обратно, пусть Lin (8Х(Л) IX е «(Л)} — невырожденное подпространство. Опять в силу леммы 2.1 ®(Л) невырождено и ^ = ®(Л)[н-]®(Л)ш, причем Л®(Л)шс с®(Л)ш, Л|®(Л)Ш е^^, аР(АЖАУ^=0. Отсюда следует, что ® (Л)[х] = 8+[4-] 8_, где 8±— максимальные (в ®(Л)Ш) равномерно дефинитные подпространства, инвариантные относительно А. Так как п(Л|8±)со(Л), то множества о(Л|8,±) имеют не более счетного множества точек сгущения. По лемме 2.7 272
ар(Л| 8j.) = 0 — получим противоречие с тем, что ((оР (Л) | 8'+) J ар(Л|81)=)ар(Л|@(Л)^) = 0.
г), д) Прежде всего заметим, что если оператор Л е Ж (Ж) имеет невещественные собственные значения, то в силу нейтральности соответствующих им собственных векторов и формулы (5.4) гл. III в ^ не существует J-ортонормировапного базиса, составленного из собственных векторов оператора А.
Пусть теперь @(Л) = 5, а 8х(Л) = ©4+]% при Хе е $(Л), где Л% с gtX) dim < °°, а 31к с Кет (Л — XI) и $1х проекционно полно (см. упражнение 5 к § 5 гл. III). Так как «(-Л) состоит из конечного числа точек, и в силу леммы 2.1 все 8Х(Л) при Хе$(Л) невырождены, то с учетом (5.4) гл. Ill § = Si [+] Sz, где Si и & инвариантны относительно Л, Si = Lin {^(Л), 9?х|р¥=р, Xе «(Л)}. Следовательно, dimSi<°°, а ст(Л|^2)с1К, причем @о(Л^2) = @(Л|5г) — Sz- В силу упражнения 15 к § 5 гл. III оператор Л\§2 е Ж(Ж). Поэтому утверждения г) и д) теоремы будут доказаны, если мы покажем, что условия а(Л)с2К и @0(Л) = 5 влекут существование в S 1-ортонормированного базиса Рисса, составленного из собственных векторов оператора А. Проверим это.
Пусть (8+, 8-) — максимальная дуальная пара, инвариантная относительно А, причем 8± е Л*, а 8^ = = Кег(Л — XI) Г) 8±. Так же, как и при доказательстве утверждения а), проверяется, что @0(Л|8±) = 8±. Поскольку Кег(Л — XI) [-1-]Кег (Л — р.1) при X ^ р, а 8±е е Х*, то среди подпространств 8^ при различных X существует лишь конечное число вырожденных. Пусть таковыми будут 8^, 8ц, ..., 8^ и 8ц = 8оД. + 8^ц, где 80,ц—изотропная часть 8ц, т. е. 8оЛ.= 8^. Q 8ц, а подпространство 8уд. дефинитно и дополняет 80д. до й^. Так как Lin {80;ц)"— конечномерное- подпространство, то dim S/®i (Л) < оо, где @х (Л) = CLin (8+, 8~, б^цб^ц] p^Xt, i = 1, 2, ..., и} — невырожденное подпространство, инвариантное относительно Л, причем максимальные (в ®,(Л)) равномерно дефинитные подпространства (5 ^(Л) = CLin (8^, 8±ц|р^Х{, i = 1, 2, ...,н} инвариантны относительно А. Заметим теперь, что операторы Л | @^ (Л) удовлетворяют условиям леммы 2.7 по отношению к скалярным произведениям ± [•, •] (©^(Л)
273-273-18 т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов
273-
273-
соответственно, a dim ®, (Л)ш < °°, причем @1(Л)Ш = = @о(Л|@1(Л)и1) и ядра Кег(Л|@1(Л)ш — V) операторов Л161 (Л)1-11—X/ невырождены. Следовательно, в каждом из подпространств @+(Л), @f (Л) и 8x^!@1^)[-L1) существуют /-ортопормировапные базисы Рисса, составленные из собственных векторов оператора Л. Объединение этих базисов и будет искомым.
е) Прежде чем доказывать это утверждение, заметим, что если два базиса отличаются па конечное число элементов и один из базисов является р-базисом, то и второй будет р-базисом. При доказательстве утверждений г) и д) было по существу установлено, что если 6 (Л) (соответствепно 60(Л)) совпадает с & то в $ существует почти /-ортонормированный базис, составленный из корневых (соответственно собственных) векторов оператора Л, причем все эти векторы, за исключением, быть может, конечного числа, являются собственными для Л и лежат в наперед заданных инвариантных подпространствах 8± е gjp п Л* оператора Л. Пусть у этого оператора есть инвариантное подпространство 8+ е Ф1+ п Р с угловым оператором К^. е ®р, (fail— /-ортопормированпая часть базиса Рисса, составленного из корневых (или собственных) векторов оператора Л, причем {/„1^8^, где 8_ = 8+"1. Так как система {/al U {/al отличается от базиса в § на конечное число элементов, то ее можно достроить до /-ортонормированного базиса в ^, который будет отличаться от исходного па конечное число элементов. Поэтому без ограничения общности будем считать, что {/ai (J {/al — /-ортонормированный базис в ^, и докажем, что он является р-базисом. Поскольку |/a) U U 1/а) — базис, то 8± = CLin {/^], и потому |^6+|< 1. По формуле (5.3) гл. II построим оператор U (A^j, являющийся положительным, /-унитарным и таким, что U ^6+) —е ®р- Так как {/«} U {/^"1 — /-ортонормиро- ванпый базис, то и {eii U {е„}, где ё^ = U-1 ^K^^fa также /-ортонормированный базис. Но поскольку е„ по построению лежит в ф*, то {ej} |J ka) — ортонормированный базис. Остается заметить, что включение U ^й^ — ^G®p влечет включение U-1 ^&+) — Ig ®р, И ПОТОМУ {/„} (J {/„} — р-базИС.
Обратно, пусть существует почти /-ортопормирован- вый базис в 5, составленный из корневых (или собственных) векторов А и являющийся р-базисом. Докажем, что существует инвариантное подпространство 8+e5R+n/i+ оператора А с угловым оператором К 8 е ®р. Для этого выделим из базиса J-ортонормированную систему {/а) U
U 1/а1, составленную из дефинитных собственных векторов оператора А, причем {/а 1 с $ L±. Образуем подпространство 8^ = CLin {/£}. Опи равномерно дефинитны, инвариантны относительно А и таковы, что def 8^ < оо. По теореме 4.14 гл. III дуальная пара (8^, 8^) допускает расширение до максимальной дуальной пары (8+, 8-), инвариантпой относительно А. По построению ясно, что 8+ ^ 3R+ П h*. Проверим, что К&^ е ®р. Поскольку dim 8±/8У < оо, то без ограничения общности можно считать, что 8^ = 8^., т. е.. {/a) U {/а! —/-ортонормировадный /)-баЗИС. Пусть fa = = (I + T^ga , где {g„ j— ортонормированный базис в §г Т^^р, а ба = U~l ^б+) /а— ортонормированный базис в 5, составленный из векторов е$ е ^X Из формулы (5.3) гл. II видно, что ^й+ е ®? тогда и только тогда, когда U (^"е )—Iе ®р. Установим последнее. Так как ^ = и"1 (ZEg J (7 + 7) g^, то TZ"1 (^ 8 J(Z + Т)=¥- упитарный оператор, и потому I + Т = V ^¥*[7 ^8+) У) — полярное разложение оператора 7 + Т. Отсюда (7 + Т*)Х Х^+П = ¥ЧГ (^6 )У, а потому U* ^Кй^ -1г ©Рт что влечет включение '^U (^б+) + ^)-1 ^2 (^&+) — ^) = = U ^Кй^ - I г %. ■ + , +
Замечание 2.13. Поскольку вполне непрерывные /-самосопряженные операторы класса J^(5^) и все л-са- мосопряженные операторы со спектром, имеющим не более счетного множества точек сгущения, удовлетворяют условиям теоремы 2.12, то и для них справедливы приведенные в ней утверждения. При этом для вполне непрерывных операторов по следствию 2.3 в формулировке теоремы 2.12 вместо Lin {8^(Л) IX е s(Л)} можно писать 80(Л).
4. В заключение исследуем вопрос о полноте системы корневых векторов дефинизируемых /-самосопряженных операторов.
Лемма 2.14. Пусть А — ограниченный J-неотрицательный оператор, спектр которого имеет не более чем счетное множество точек сгущения. Тогда равенство @(Л) = 5 эквивалентно невырожденности 80(Л).■
О Поскольку 80(Л)[-1-]8ц(Л) при р ^ О, то ясно, что невырожденность ®(Л) (= 5) влечет невырожденность 80(Л).
Обратно, пусть 80(Л) невырождено. Тогда и 6(Л) невырождено. В самом деле, если 6 (Л) вырождено и xos ®(Л) П 6(Л)Ш, то [Лхо, Хо] = 0. Следовательно, Хо ^ КегЛ, что влечет вырожденность 80(Л).
Предположим, что @(Л)¥=5, т. е. @(Л)ш + {6}. Рассмотрим оператор Л'= Л|@(Л)ш. Этот оператор обладает следующими свойствами: он является положительным по отношению к G-метрике [•, -]|@:(Л)ш, оР(Л')=0 и а (Л') состоит не более чем из счетного множества точек. Первые два утверждения тривиальны, а потому проверим последнее. Для этого сначала заметим, что если Хер(Л), то Хер(Л'). Из следствия 3.25 гл. II и упражнения 7 к § 1 следует, что если Хо (^ 0) — изолированная точка спектра оператора Л, то область значений оператора Л— Хо/ замкнута, Кег(Л — Х07) проекционно полно и 5 = Кег(Л — Х07)[+]Кег(Л — Х07)CJ-1, причем Хое ер(Л|Кег(Л—Х0/)ш). Отсюда заключаем, что если Хо^О)— изолированная точка в о(Л), то Хоер(Л'). По условию о (Л) имеет не более счетного числа точек сгущения и потому о (Л') состоит не более чем из счетного
множества точек.
Пусть р0 — изолированная точка спектра оператора А', а у^ — окружность достаточно малого радиуса с центром в точке р0. Тогда Ру.о = — 2ni Ф ^' ~ ^0-1^Х —
G-ортогональный проектор на ^в0- пространство» ^ц® = Р^^ (Л)с±1, инвариантное относительно А', причем ст (Л' |5ц0) = {р0}- Оператор Л^ = Л'| ^о является Сц^положительным, р0 ^ стр (Л^). По лемме 3.16 гл. III продолжим Лцв до /-неотрицательного оператора ЯЦо, у которого р0 — единственная точка спектра. Согласно упражнению 7 к § 1 Л^ = Но Ai0 ПРИ Но^° и ^в0 = ° 276
при р0 = 0, т. е. ц0 е Ор (Л')—получили противоречие с тем, что ор(Л/) = 0. ■
Теорема 2.15. Пусть Л— ограниченный 3-самосо- пряженный оператор, дефинизируемый многочленом р^ с корнями {XJ", и о(Л) имеет не более счетного множества точек сгуи^ения. Тогда равенство (5(Л) = 5 эквивалентно невырожденности Lin {S^. (Л)}".'.
Поскольку ^(Л) = @(р(Л)), а 80 (р (Л)) = = Lin [8^(Л)]", то достаточно воспользоваться леммой 2.14. ■■
Замечание 2.16. Поскольку для /-неотрицательного оператора Л имеет место равенство 8ь(Л) = = Кег(Л —X/) при всех X N= 0, то, заменив в формулировках леммы 2.14 и теоремы 2.15 корневые подпространства на соответствующие ядра Ког(Л— X/) оператора А, получим критерий совпадения @0(Л) с 5- ■
В отличие от случая операторов класса Ж ^Ж^ полнота системы корневых или даже собственных векторов /-неотрицательного оператора не гарантирует существования базиса, составленного из таких векторов. Однако справедлива
Теорема 2.17. Пусть ограниченный ^неотрицательный оператор А удовлетворяет условиям леммы 2.14. Тогда А"х = 2 ^а [ж, /а] /а sign Ха, где п>2, {Ха} с" а
с 0,(Л), Ха ^ 0, {/„} — J-ортонормированная система, составленная из собственных векторов оператора A; Afa = - = Ха/а; если при этом А — 1-положительный оператор, то Ах = 2^а [$, /а] /а signXa (здесь ряды сходятся по
а
норме пространства .
Согласно теореме 1.5 Ах = Sx + [ vdEvx. Из лем
мы 2.7 заключаем, что I — Ех= 2 [-, /а] /а, Е_х = а>Х
= — 2 [ •, /al/а при X > 0, где {/а} — /-ортонормирован- а<—1
пая система собственных векторов оператора А, отвечающая собственным значениям {Ха1: Л/а = Ха/а, Ха^О.
Следовательно,Следовательно,^dE^x = 2 К [ж, /а] /а sign Ха, где ряд
Следовательно,
Следовательно,
сходится по норме § (сразу заметим, что если А — /-положительный оператор, то 8 = 0 и потому
Ar = 2 ^« [$, /а! /« sign ^аУ Воспользуемся теоремой 1.5: а /
А1гх = А^1 ^ + J v d£v^ х = Ап-1 J v dE^x =
= 2^a^./a]/aSignA,a при П = 2, 3, ■ а
Упражнения и задачи
Пусть А — вполне непрерывный J-диссипативный оператор класса Х(Ж}, Aie ®i и lim nsn (4) — 0. Доказать, что S(4) = ф тогда и только тогда, когда йо(4) невырождепо (Азизов [4], [8], Азизов иУсвяцова [2]).
Указание. Воспользоваться леммой 2.4 и дефинитным -аналогом этого утверждения ([IX], теорема V.4.2).
Пусть А г ®» П ^(Sg), 6д = “» р > 1 и s„(4) = о(п-'/р} при п -* оо. Доказать, что @ (А) = ф тогда и только тогда, когда 80(4) не вырождено (Азизов [4], [8], Азизов и Усвяцо- ва [2]).
Указание. Воспользоваться упражнением 6 к § 2 гл. II, леммой 2.4 и дефинитным аналогом этого утверждения ([IX], теорема V.64),
я
Пусть А е ®= П atf(SK), 9д = ~, р > 1 и при некотором а для оператора В = [e,a4]i: sn(B') = o(n~''^) при га-х». Доказать, что равенство 6(4) = ф эквивалентно невырожденности Йо (4) (Азизов [4], [8], А з и з о в и У с в я ц о в а [2]).
Указание: то же, что и к упражнению 2, с заменой [IX], V.6.1 па [IX], V.6.2.
Пусть ф — С(х,-пространство Понтрягина (т. е. 0ep(G<x>)). Доказать, что в ф существует хотя бы один «почти С,х,-ортонор- мированный р-базис» тогда и только тогда, когда ]G<X)|1/2—Ie@f (Азизов и Кузнецова [1]).
Доказать, что если в G ^-пространстве Поптрягипа ф существует хотя бы один почти С<х)-ортонормированный р-базис, то и любой другой почти С<х)-ортонормированный базис является р-ба- зисом. В частности, если Gw2 = I, то любой С<х)-ортопормирован- пый базис является р-базисом при любом р > 0 (Азизов и Кузнецова [1]).
Привести пример /-неотрицательного ограниченного оператора В ^ S„ такого, что В2 е ®р(0 < р ^ оо) (И. Иохвидое [8], А з и з о в и Ш л я к м а н [1]).
Указание. В примере 3.36 гл. II положить В, е ®р, а в качестве В2 взять линейный гомеоморфизм, отображающий ф1 на ф2, Вх > 0, В2 ^ 0.
Доказать, что если А +- ограниченный /-самосопряженный оператор, дефинизируемый многочленом р(Х) с корнями {/,}"> то следующие утверждения эквивалентны: а) С\ {XJ" с р (4): б) существует целое д > 0 такое, что 4«р(4) е®»; в) 4р(4) е е ®<» (В. Ш т р а у с [3], А з и з о в и Ш л як м а н [1]).
Пусть А е ®„ — С<х>-самосопряжеппый оператор в 5 (Ое$к<оо), ОещЦ). Доказать, что тогда @(А*) = %W и в 4,х) суп/ествует базис Рисса относительно нормы Iklli = HIGI/!!!, составленный из корневых векторов оператора А ([!]).
Пусть А е £„ — G-самосопряжеппый оператор в 5, ОещДА) и хотя бы одно из множеств (—°°, 0) П a(GA) или a(GA) П (0, оо) состоит из конечного числа нормальных собственных значений. Доказать, что тогда 6(Л*) = ^ и в 5 существует базис Рисса относительно нормы ||$lli = UI GA |1/2Л1, составленный из корневых векторов оператора А ([II).
Указание. Относительно индефинитной формы [ж, y]i = = [Az, у] пространство 5 является 6<х)-нрострапством с GW = = GA. Воспользоваться результатом упражнения 8.
Пусть 5 — ГР^-пространство 0ep(W(x)), ф/Ker WW — пространство Понтрягина, а Л — вполне непрерывный Ж<и>-само- сопряженный оператор. Доказать, что в § существует базис Рисса, составленный из корневых векторов оператора А, тогда и только тогда, когда 80(А) П СЫп(8х(А) |Л N= 0} = {0} (Азизов [7]).
Доказать, что, если Л е 8» — л-самосопряженшлй оператор и 6(A) ^ Пх, то в подпространстве 6(A) нельзя выбрать базис Рисса, составленный из корневых векторов оператора Л (Азизов [7]).
Указ а и и е. Доказать, что неравенство 6(A) =N Пх влечет неравенство 80(А) р CLin{8x(A) [Л ^ 0} +" {0}, и воспользоваться результатом упражнения 10. '
§ 3. Примеры и приложения
Г) (Кег Л)и] = Ker^ = Кег Л^ П ^аг Поскольку ЙЛ1 ст с: 9?Л, то Кег Л П 9?д с Щд.
Обратно, пусть Кег Л П 9tA с 91д. Если я0е80(Л)ГУ П80(Л)1-1-], то (Ля0, я0] = 0. Воспользуемся л-неотрица* тельностью Ля и А, и получим, что яоеКегЛ. Следовательно, так как_я0[-Е]80(Л), то я0[-С]КегЛ (= Кег Лс), и потому Яо е ЭТД, т. е. я0 <= Кег А П Кд. По условию. Кег А П Кд с йд, и потому существует такой вектор уОу что Хо = Ауо. Вектор у0е80(Л), и потому 0 = [я0, г/о] = = [Ау0, у0]. Опять воспользуемся л-неотрицательностью Ан и А, и получим, что (Лу0=)я0 = 6, т. е. So (Л) невырождено. ■
Доказанная теорема позволяет легко строить примеры, демонстрирующие, что в теоремах о полноте (см. § 2) условие невырожденности Lin (8^(Л) IX е s(Л,)} не вытекает ни из каких других. Приведем один из таких примеров — другие предоставляем построить читателю.
□ Пример 3.2 (ср. со следствием 2.9 и упражнением 3 к § 2 при р>2). Пусть В — ядерный оператор в бесконечномерном пространстве ф, КегВ¥={6}, а опе-
11
раторы -g- (Z? + В*) в -^г (В •— В*)неотрицательны. За
фиксируем в КегВ и 9ЬЛ9?в векторы я0(11ж011 = 1) и Уо(11уо11 = 1) соответственно. Так как В — диссипативный оператор, то x0-Ly0. Это влечет в свою очередь то, что оператор 3; /(оя0 + ^у0) = ря0 +ау0, /l(Lin{#0. y0^L=—I, является самосопряженным и унитарным. С помощью этого оператора введем форму [я, y\=(Jx, у), превращающую пространство $ в пространство Понтрягина с одним положительным квадратом. Оператор А — ЗВ явля- , гв + в* , . гв-в* ется ядерным, причем ar = J ——, а Ах = j —^—, а потому Ан и Ai — л-неотрицательные операторы. Так как КегЛ = Кег5, y0-*-KerS, то я0[-*-]КегЛ, т. е. Яо_— изотропный вектор в КегЛ, и потому я0 е Кег Л П ЯА. Но Яо ^ ЭТД — в противном случае у0 лежал бы в Э?в. Следовательно, в силу теоремы 3.1 80(Л) вырождено. ■
Следующий пример показывает, что в теореме 2.8 условие л-диссипативпости оператора А нельзя заменить па более общее: А — /-диссипативный оператор класса 96.
О Пример 3.3. Вольтерров /-диссипативный оператор А класса 96 с ядерной /-мнимой компонентой и зрЛ! = 0.
Пусть ^ ~ <§+®4г — /-пространство, где ^ = L2 (0,1).
11оложим А = || Ау |||j=1, Ау = 0 при i ^ у, Ан = — А22 =
■■2i^‘ds. Как известие (см., например, [IX], IV.7, о
п. 4), А,, — вольтерров диссипативный оператор и •^ (Лп — Л^) — одномерный оператор. Поэтому А — вольтерров /-диссипативный оператор с двумерной /-мнимой компонентой А, и sp Ai = sp (Ли)т + йр(Л22)т = 0. Осталось проверить, что А е gig. Для этого достаточно установить, что «§* — его единственные максимальные семидефипитные инвариантные подпространства. В данном случае последнее эквивалентно тому, что для любого ограниченного оператора В из ВАп = АггВ следует В = 0 (см. лемму 2.2 гл. III).
tt '
Пусть 2iB J f (s) ds = — 2i [ (S/) (s) ds. Продифферен- 90•
цируем обе части этого равенства по t и получим Bf = ■= — Bf, т. е. Bf = 0, и потому В = 0. ■
Напомним, что функция X(s, i) двух переменных, определенная на квадрате [а, Ь] X [а, Ь], называется эрмитово неотрицательным ядром, если для любого конечного набора {i{)i точек из [а, Ь] и любых комплексных п
чисел {6i)i сумма У, X (ij7 t^ 5t6j неотрицательна, i J=1
и эрмитово положительным ядром, если при этом п
У К (ti, tj) 5i6j = 0 тогда и только тогда, когда IJ=1
5i = 0, i = 1, 2, ..., п (более общее определение см. ниже в 3.11 гл. V). Функция K(s, t) называется диссипативным ядром, если ^- (X (s, f) — К (t, s)) — эрмитово не
отрицательное ядро, и строго диссипативным ядром, если •^т- (X (s, t) — К (t, s)) — эрмитово положительное ядро.
• Пусть ^ = Хщ(а, Ь) (ср. упражнение 5 к § 2 гл. I), т. е. пространства всех таких ©-измеримых функций ф,
что )что )где © — неубывающая или не
что )
что )
возрастающая на [а, Ь] функция, а скалярное произведение (ф, ф) задается с точностью до знака соотношением
ь
(ф, ф) = J ф(£)ф(£) c&o(£). При этом считаем ф = ф, если
J I ф (0 — ф (о |М® (О = О (ф, Ф е Ц, (а, Ь)\ а
Пусть o(f)—функция ограниченной вариации на [и, Ь]. В упражнениях 5 и 6 к § 2 гл. I указано, что- ЦДа, Ь), где ® (0= ®< (^) + со2(£), а о (?) = «>,(#) — со2(<) — каноническое представление о(£) в виде разности двух неубывающих функций, снабженное формой 1ф,ф] = — J ф (£)ф (t) da (f), является /-пространством. В часта
ности, если <01 (i) — кусочно постоянная функция с х точками роста, то L^^a,^— пространство Понтрягина с х положительными квадратами (см. упражнение 7 к § 9 гл. I).
В этом и следующем пунктах мы применим полученные в § 2 результаты к исследованию интегральных операторов А = j К (s, t)-da(t).
а
Теорема 3.4. Пусть K(s, f)—непрерывное на [а, Ь] X [а, Ь] диссипативное ядро, А и At — интегральные операторы, определяемые соотношениями А =
ьь ,
= ^K(s, t) da(t), At = J К (.s, t^ dt, a o^ = ы^Г) —
— (|)2(0 и (0,(0 —кусочно постоянная функция С X < ос точками роста. Тогда, если система корневых векторов оператора Л,, отвечакпцих его ненулевым собственным значениям, полна в С\а, Ь], то система корневых векторов оператора А, отвечакпцих его ненулевым собственным значениям, полна в Ещ^а,Ьу Если при этом а^ не имеет интервалов постоянства, то система указанных корневых векторов оператора А полна в С\а, Ь].
□ Из определения оператора А следует, что он является ядерпым л-диссипативным оператором. Поэтому в силу следствия 2.9 для полноты в L„(a,&) корневых векторов оператора Л, отвечающих ненулевым собственным значениям, необходимо и достаточно, чтобы 0^оР(Л). Докажем, что 0^оР(Л). Пусть фоеКегЛ. Тогда ф0 s е Кег Лс, т. е. J К (s,t) ф0($) do (s) = 0. Пусть ^(Z), а
£i(£), ...— корневые векторы оператора Л,, отвечающие ненулевым собственным значениям и образующие полную в Qa, Ь] систему. Из определения корневых векторов следует, что £;(<) е Э?А1, т. е. существуют такие функции gi(OeQa, Н ЧТО ^(0 = (^^0 (0 (i=l, 2, ...). Тогда
ъь
[Фо» Sil = J Фо (5) s?(s) to (s) = f Фо (s) ЙЖЙ to (s) = . aa
bb
= J Фо (s) У К (s> 0 Si (<) At da (s) =
? b
= J St (0 J К (s, 0 Фо (s) to (s) dt = 0.
'aa
Поскольку C[a, Ь] плотно в 1ЛДа,Ъ'), то <р0 = 0, т. е. 0^Ор(Л).
Пусть теперь о (Г) не имеет интервалов постоянства, а гц, ц2, ...— полная в L^^a, Ь) система корневых векторов оператора Л. Так как ц<е0?Д1 то щ— непрерывные функции и в ТД^аЛ') существуют такие функции ф<, что ri; = Ллр; (i = 1, 2, ...). Пусть Ф — такой непрерывный линейный функционал на С\а, Ь], что Ф(щ) = 0 (i = l, 2, ...). В силу теоремы Рисса об интегральном представлении линейного функционала на С[а, 6] существует такая комплексная функция ограниченной вариации со, что
ь
ф (ni) = ф (Лф^) = У (Лф{) (s) dto (s) =
b b
.= I* У К (s, t) Tpt (t) da (f) dto (s) =
'b6
’= f ф1 (<) [ К (s,t) dto (s) do (f) (i = l, 2,
Так как @(Л) = L^(a,b), а функция co = co, + со2 ne имеет интервалов постоянства вместе с а, то
j К (s, t) dm (s) = 0 при всех te^a, Ь]. Но тогда
b b
Ф (£0 = J Si (0 j К (s, <) ^’ (s) at = 0 (i = 1, 2, ...). В силу полноты {^J в С[а, 6] заключаем, что Ф = 0. Это эквивалентно полноте {тр} в С\а, Ь]. ■
□ Пусть теперь K(s, t) эрмитово положительное ядро,-а о(?)—произвольная функция ограниченной вариации на [а, Ь]. Введем в рассмотрение итерированные ядра:■.'
К1л\8,^ = К^,К(пЧм) = ъ
= J £(n-1) (s, Z) К {I, t)do{l) (га = 2,3, ...).
Кроме того, предположим, что ядро K^s, £) порождает ограниченный оператор А = j К (s, t)-do(t), имеющий а
но более счетного множества точек сгущения спектра. Например, если |AT(s, t) I < с < °° и функция ^(s, t) непрерывна ио каждой из переменных при фиксированной другой, то. (см., например, И. Иохвидов и Эктов [1], [2]) А — вполне непрерывный оператор и потому имеет одну точку сгущения спектра. Через ца обозначим собственные векторы оператора А, отвечающие Ха^О. Согласно теореме 2.17 для каждой функции хе Ly(a,b) имеем
А"х = 2 Х« [ж, Ца] Ла (0 Sign Ха = а
= 2 ХаПа W J Ж (Т) Ла (T)tZa(T) Sign Ха-
Функции №"’(3, Z) по каждой из переменных припадле-
жат L2to (а, Ь). Следовательно, АК (s, t) = 2 ХаЛа (0 J К U»
т) Ца (т) do (т) sign Ха = 2 Ха Ца (0 ^а (s) sign Ха. Апало- а
гично AKW (s, t) = 2 Ха^^а № Ла ($) sign Ха (и = 2,
а
3, ...). Здесь ряды сходятся по норме ^(а,Ь). Заметим также, что по определению К(п> = А^"-1’. Сле
довательно, нами доказана
Теорема 3.5. Если эрмитово положительное ядро К^s, i) и его итерации Kw ^s, t) принадлежат ТДДа, b) и оператор А =^ К (s,t)-da (t) является непрерывным с не более чем счетным множеством точек сгущения спектра, то при п^2
К(п) ($, t) = 2 Х„Л« (0 Ла ($) sign Ха, (3.1) а
где {ца} — J-ортонормированная система собственных векторов оператора А, отвечающих Ха^О, и ряд (3.1) сходится по норме пространства 1ДДа,Ъу ■
Теорема 3.5 получена как простое следствие теоремы 2.17. Применяя дополнительно и другие методы, выходящие за рамки пашей книги, для интегрального оператора и итераций порождаемых им ядер, можно получить более топкие результаты (см., например, ниже упражнения 3—5).
В работе С. Крейна [1] показано, что задача о колебаниях тяжелой вязкой жидкости в открытом неподвижном сосуде сводится к исследованию операторнозначной функции
L(X) = XG + X-^-7,(3.2)
. где G, II — вполне непрерывные самосопряженные опера- .^ торы конечного порядка, т. е. G е ©р, II е ©gi р, q<°°, причем G >0 и Я > 0. К спектральному анализу аналогичной функции сводится также и еще целый ряд общих , несамосопряжепных краевых задач, содержащих пара- метр X в уравнении и в граничных условиях. Здесь мы < приведем один из путей анализа уравнения (3.2), основанный па применении теоремы 2.13. Некоторые другие результаты в этом направлении см. ниже в упражнениях 6, 7.
Определение 3.6. Пусть в уравнении (3.2) G = = G*, И = II* — ограниченные операторы, действующие в гильбертовом пространстве <§'. Точка Хо е С называется регулярной, для функции L^kY если Оер(7(Хо))г в противном случае Х9— точка спектра функции L(kY Вектор хЙ называется собственным вектором функции Ь^Ц, если существует такое ХоеС (Хо—собственное значение), что 7/(Хо)жо = 0. Векторы ж,, хг, ..., х™ называются присоединенными к собственному вектору ж0, а на-
бор {zjo — жордановой цепочкой, если Лx^-j = 0 j=o
(k = 0,1, 2, ..., т/г).
□ Следуя М. Крейну и Лангеру [2], приведем схему рассуждений, сводящих спектральный анализ функции L(k) к спектральному анализу некоторого /-самосопряженного оператора. При этом будем считать G > 0. После замены переменных К = — р"1 — а функция 7-(Л) переходит в функцию Ьг (р) = — -(1 р • [ц2 ^G + + // + al) + р (2aG + 7) + GJ. Положим а > inf {Ь > > Q\F„ = №G + II + Ы » 0). Тогда Ц (р) = - ^Д—j X X FT ^Ч + pS« + Са) FT, где Ва = FT". (2aG + 7) X X FT1* >■ 0, Са = FT^GFT1* ■ Непосредственно проверяется, что Ло — собственное значение функции L(X) тогда и только тогда, когда р0 = —(Л0 + а)-1— собственное значение функции Ьг (р) = \FI + pS» + Са, называемой квадратичным пучком. При этом (ж6, хх, ..., хт) — жорданова цепочка функции L(Л) тогда и только тогда, когда (FT^ ^V^t, • • •, FT^m) — жорданова цепочка пучка Lz(p).
Введем в рассмотрение /-пространство 5 = ^+ ® 5 , ^ = §' и действующий в нем /-самосопряженный оператор
Аа—Аа—0-СТ0-СТгМг-вагМг-ва(3.3)(3.3)Легко видеть, что регулярные точки, спектр и, в частности, собственные значения пучка Ъг (р) и оператора Аа совпадают. При этом, если (z/0, У^, ..., у™) — жордановаЛегко видеть, что регулярные точки, спектр и, в частности, собственные значения пучка Ъг (р) и оператора Аа совпадают. При этом, если (z/0, У^, ..., у™) — жордановацепочка пучка Т,2(р), отвечающая собственному значениюцепочка пучка Т,2(р), отвечающая собственному значениюРо, ТОРо, ТОII векторы III векторы IИо ^0 ’Ио ^0 ’С 1/2 „ а ^Т^оС 1/2 „ а ^Т^оz-’l/2„РеУт + Ут-1z-’l/2„РеУт + Ут-1образуют жорданову цепочку оператора Аа, и обратно,образуют жорданову цепочку оператора Аа, и обратно,еслиеслижорданова цепочка опера-жорданова цепочка опера-
Аа—
Аа—
0
-СТ
0
-СТ
гМг
-ва
гМг
-ва
(3.3)
(3.3)
Легко видеть, что регулярные точки, спектр и, в частности, собственные значения пучка Ъг (р) и оператора Аа совпадают. При этом, если (z/0, У^, ..., у™) — жорданова
Легко видеть, что регулярные точки, спектр и, в частности, собственные значения пучка Ъг (р) и оператора Аа совпадают. При этом, если (z/0, У^, ..., у™) — жорданова
цепочка пучка Т,2(р), отвечающая собственному значению
цепочка пучка Т,2(р), отвечающая собственному значению
Ро, ТО
Ро, ТО
II векторы I
II векторы I
Ио ^0 ’
Ио ^0 ’
С 1/2 „ а ^Т^о
С 1/2 „ а ^Т^о
z-’l/2„
РеУт + Ут-1
z-’l/2„
РеУт + Ут-1
образуют жорданову цепочку оператора Аа, и обратно,
образуют жорданову цепочку оператора Аа, и обратно,
если
если
жорданова цепочка опера-
жорданова цепочка опера-
тора' Аа, то Уо =гТ,У1=4-(зТ— у0\ ..., ут =
= — Т’т “ Ут-i) — жорданова цепочка пучка £2(р).
Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между жордановыми цепочками функции L(X) и операторов Ла. ■_
Символами 91х и ЯЛх обозначим здесь КегЬ(Х)П П ((2XG — 2) Ker L(X) )"*" и KerL(x) П (Lin{(2XG-/)^ + + G^-,}™)"1" соответственно, где (ж0, ящ ..., ж™)—всевозможные жордановы цепочки пучка L(X), соответствующие собственному значению X, ж_1 = 9.
Теорема 3.7. Пусть задана функция (3.2), где G > 0, Ge ©„, Н = Н* — ограниченный оператор, и множество а(Н) не более чем счетно. Тогда-. 1) каждый из операторов (3.3), порожденный функцией L^, принадлежит классу 36; 2) dim^/@(Ла)^ dim§№» (Л„)< °°; 3) ©оМа)^^ тогда и только тогда, когда 91х = (О? при всех X таких, что (2HGII)-1 <' [XI ^ 2II72II; 4) @(Ла) = ^ тогда и только тогда, когда S?x = (9) при всех X таких, что (2IIGH)-1 =С |Х| < 2И27И; 5) если @0(Д«) = 5 (соответственно @(Ла) = ^), то в § существует почти J-ортонор- мированный базис Рисса, составленный из собственных (соответственно корневых) векторов оператора Ла. Если @о(Да) = ф, то I-ортонормированный базис Рисса в 5, составленный из собственных векторов оператора Ла, существует тогда и только тогда, когда у функции L(X) нет невещественных собственных значений. При этом упомянутые выше базисы можно выбрать р-базисами тогда и • только тогда, когда G е ©р/2.
,□ 1) Так как из Gegx следует СУ2 е ®ю, то (ср.
теорему 1.13 гл. III, замечание 6.14 гл. II и теорему 2.8 гл. III) у оператора Аа есть хотя бы одно максимальное , неотрицательное инвариантное подпространство й+ с угловым оператором 7^.. Согласно лемме 2.2 гл. III
■ K&+Ca2Ka+ + С„2 + ВаК%+ = 0, и поскольку Ва > 0, то 1 Ха+ = — Ваг ^СУ2 + К^СагКй2^ е ®оо. Следовательно (ср.упражпепие 3 к § 5 гл. III), А^Э€, причемК&+е е ©р тогда и только тогда, когда Са2 е ®р, что, в свою очередь, эквивалентно принадлежности G классу ©р/2 (см. [IX], 111.7.3°).
Утверждения 2)—5) теперь будут следовать из теоремы 2.13, если мы докажем, что множество о(Ла) не более чем счетно, невещественные собственные- значения оператора Аа и множество $(Ла) лежат в множестве {ц = -(Х + а)-,|(2О)-*^ 1X1 ^2117/11}, а 91х = {6) и
Ж = {0) эквивалентно невырожденности Кег(Ла—р/) + + Кег(Ла—ц7) и 8ц (Лп) + 8-(Ла) соответственно при ц = — (X + а)-1.
Не более-чем счетность множества о(Л„) вытекает из
того, что Ла есть сумма оператора
не непрерывного оператора
0
-с^
о о
0 -F;1 '
и впол
-2aF-1/2GF-1/2|’ при"
чем спектр первого из них состоит не более чем из счетного множества точек, поскольку этим свойством обладает оператор И, а потому и оператор Fa = a2G + al + Н (см. теорему 2.11 гл. II).
Проверим теперь, что все невещественные точки спектра функции L^ расположены в кольце (2HGII)-1 < |Х| ^ 2H77II. В самом деле, если //(Х0)ж0 =
= 0 И
■о, то, решая квадратное уравнение
Хо (Сж0, ж0) — Хо (х0, ж0) + (Нхй, ж0) = 0, получаем Хо =
= 0 1
-. Отсюда | Хо р =
Чс^^
(Пх.,хД ‘МНх.хХ (z. z\
= А = (т”т\‘мст rV Поскольку же дискрими- V0®»’1^(V^o) 2(Сжо’л:о)
(^n’^o)2(^n,a:n)
напт уравнения меньше нуля, то ^утг——г ^ —;———, и П0Т0МУ (цё^-) ^|ч|2<("К^г) • Отсюда за‘ ключаем, что Хо расположено в кольце (2HGH)-1 < 1X1 ^ ^ 211/711. Следовательно, невещественный спектр оператора
Ла совпадает с точками ц0 вида р0 = — (X® + «) '.
Покажем теперь, что там же расположено и множество «(Ла). Пусть ц, = щ е ор(Ла) и Кег(Ла — ц7) вырож-
дено. Как показано выше, это эквивалентно
в Ker L (Хг) (X, = — Hi
тому, что
— и) существует такой вектор хв,
что вектор
гШьЛЦII
Ga raИ
1 тзМ" /-ортогонален
~ Хх -г aI
С^уй
всем век-
торам вида
1
>ч -Н °
, где ysKerL(X1), т. е.
(с№»,с'М-
1
(\+й)2
(Fa2X0, Fa^y) = 0. Исходя
из определения операторов Са и Fa, получаем эк-
Бивалентную запись этого уравнения:
«X\G laX^G-I-H^Xg,y^ = Q. (3.4)
Подставим в это равенство вместо вектора Нх„ вектор Ххх0 — X\Gxg и после сокращения па Xt + а получим ((2XtG —/)ж0, у) = 0. В частности, при у = х0 имеем Хх = =Подставив же в (3.4) вместо XyGxg век-
тор Хл — Нхй и вместо XtGx0 вектор х0—^- Нх0 и сокра- тив (при у = ж0) на Xt + а, получим, что Xi = —т-—у • г о1
Как и выше', заключаем отсюда, что Xi лежит в кольце (ЗИСИ)-1^ IX! =5 2П/7И.
Совершенно аналогичными рассуждениями доказывается справедливость указанной выше интерпретации равенств $х = {0} и S?x = {0}. ■
Замечание 3.8. При доказательстве равенства @(Ла)==5 проверять тривиальность У1Х надо только для тех точек из s(Ha), которые являются точками сгущения спектра оператора Аа. Последние же совпадают с множеством точек вида ц = — (X + а)-1, где X пробегает множество точек сгущения спектра функции (3.2). Если G, ■>//£•©„, то из вида оператора А» следует, что у него две ^очки сгущения спектра: щ = 0 и р2 = —а-1. Следовательно, функция (3.2) имеет также только две точки сгущения спектра: Xi = °° и Х2 = 0 соответственно. Обе точки не лежат в кольце (2llGH)-1< 1X1 =5 211 ЯП, и потому при G, Я е ©„ всегда 6(Л) = ^. И}
О и р е д е л о пи е 3.9. Функция L (X) = XG + -у Я — I называется сильно демпфированным пучком, если (ж, ж)2 > 4(Сж, ж) (Яж, ж) при всех ж =/= 6.
Следствие 3.10. Если в условиях теоремы 3.7 функция (3.2) — сильно демпфированный пучок, то в ^ существует J-ортонормированный базис Рисса, составленный из собственных векторов оператора Ла, и он будет р-базисом, коль скоро G е ©р/2.
В силу теоремы 3.7 достаточно проверить, что у функции (3.2) пет невещественных собственных значений и 51х = {0} при всех X. Первое немедленно следует из того, что если Хо — собственное значение функции (3.2), а жи — соответствующий собственный вектор, то X» —
28928919 Т. Я. Азизов, И, С. Иохвидов
289
289
Предположим, что при некотором Хо подпространство 9tx^ (в). Тогда, в частности, ((2X0G — 7)ж0, жо) = О при (т , X ) некотором ж0 е Ker L(X0), и потому Хо =-, что,
в свою очередь влечет равенство (ж0, х0)2 = 4(Сж0, ж0)Х Х(77ж0, х0)—получаем противоречие с условием сильной демпфированное™ функции (3.2). ■"
Упражнения и задачи
Исследовать возможность обобщения теоремы 3.1 на случай пространства Крейна.
Пусть K^s, Z) — эрмитово положительное ядро, непрерывное на квадрате a <;s ^ t ^ Ъ, R(s, t)—ограниченная па этом же квадрате функция, непрерывная по каждой из переменных при фиксированной другой, R^s, t), = mi, s), o(t) порождает прост- ь
рапство Понтрягина по форме [tp, ф] = tp (t) ф (t) do (t), a A- = ь°
= ^ (Л (.s-, Z)-|- IK (s, Z))• do (Z). Доказать, что тогда равенства @(Л) = “ь
= Л2 (а, 6) и f К Ц, Z) do (Z) = ^ I™ Xj-где {X,} —множество собаЭ
ственпых значений оператора Л, эквивалентны. (Азизов [8]).
Рассмотрим па [а, 6] X [я, 6] эрмитово ограниченное ядро K(s, Z), непрерывное па каждой переменной при фиксированной другой, и функцию ограниченной вариации o(z) const. Будем говорить, что ядро К (s, Z) о-неотрицательпо, если f К (s, z) g (s) x
X g^ dots')dolt1) 55= 0 при всех g e 8, где 8Э — линеал тех функций из L^ta, b) (to=Varo), которые порождаются непрерывными функциями из С [а, Ь]. Доказать, что о-неотрицательность эквива- ь ь
лентна любому из двух условий: а) ^ К (s, Z) dx (s) dr (Z) ^0 для любой (комплексной) функции ограниченной вариации т па [а, 6] с Ет с Ео tEx и Еа—множества точек изменения функций тио соответственно); б) 2 ^ (tj,для всех п еМ, <ь <2, ■ •.
1,^=1'
..., Z„ g Еа и gi, 6г, ■ • ■, ?п ес (И. И о х в и д о ви Эк то в
[1], И)."
Пусть A(s, Z) — о-пеотрпцательпое ядро, удовлетворяющее условиям упражнения 3. Доказать, что утверждения «A(2^(s, Z) = = 0 на Ео X Eai> и «К^и (s, Z) = 0 па [а, 6] X [а, 6]» эквивалентны (И. Иохвидов и Эктов [1J, [2]).
Доказать, что интегралитое уравнение
ъT(s) = X j*X (s, t)XъT(s) = X j*X (s, t)XХ<р(0^о(0 с функцией ограниченной вариации о и о-положитель-
ъ
T(s) = X j*X (s, t)X
ъ
T(s) = X j*X (s, t)X
иым ядром имеет х < оо положительных характеристических точек тогда и только тогда, когда положительная вариация функции а имеет в точности х точек роста (М. Крейн [1], И. Иохвидов
и Экт ов [1]).
Пусть S = 8* е ©=, Т = Т* s ©„, — 1 s р (S), 0 ^ ор (Г) и А = (/ + 8)Т. Доказать, что @(Л) = $ и в jp существует базис Рисса, составленный из корневых векторов оператора А ([IX]); если 8 е ©р, то в 6 существует р-базис, составленный из корневых векторов оператора Л (Копаче векий [1]—[3]).
Указание. Оператор А является л-самосопряжепным относительно формы [•, •] = ((/ + S)-1., •). Остается воспользоваться замечанием 2.13 и упражнением 4 к § 2.
Доказать, что если Х(Х)—функция (3.2), G = G* е ©«о, Н = Н*е®=, Ker G = Кег И = {0}, то: 1) система
1
| «специальных векторов», где {х0(Х), ...
I j=o A
..., xs(X)}—жордановы цепочки функции Х(Х), соответствующие собственным значениям X, полна в § (Аскеров, С. Крейн и Лаптев [1]); 2) .в ф существует базис Рисса, составленный из векторов специального вида (Ларионов [6], [7]); 3) если G е ©р, Яе8,и г = max {р, д}, то в ф существует г-ба- зис, составленный из векторов специального вида (Копачев-
с к и й [1J — [3]).
ПРИМЕЧАНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ГЛАВЕ IV
■§ 1, п. 1. /-спектральная функция введена М. Крейном и
Лангером [1] для случая Пх, а затем Лангер [4], [5] перенес исследование на случай пространств Крейна. Определения в
; тексте, данные Азизовым, модифицируют определения Крейна и '• Лангера с тем, чтобы приспособить их и к операторам класса . Ж (Ж) (см. упражнения 1—2).
;§ 1, пи. 2—3. Дефипизируемые операторы введены в Пх
' И. Иохвидовым и М. Крейном [XIV], а в /-пространстве — f Лангером [4], [5], [9]. Ему же принадлежат все результаты этих пунктов. Изящное доказательство теоремы 1.5 заимствовано
* нами у Богпара [5]. Там же приведены библиографические ■ ссылки для других доказательств,, в частности, ссылка па доказательство М. Крейна и III мул ья па [3], основанное па сооб- ; ражспиях из проблемы моментов. По поводу критериев регуляр- ■ мости /-спектральной функции см. Лангер [4], [5], Йонас
[1]— I7J, Попас и Лангер [1], [2], Акоияп [1] — [3], Спит к о в с, к и й [ 1 ].
1, и. 4. Определение 1.11 и теорема 1.12 для случая операторов, действующих из одного пространства в другое, являются модификацией соответствующих результатов Потапова [1], Г и н з-
бурга [2], М. Крейна и Шмульяпа [3]. О квадратных корнях из /-самосопряженных операторов см. Богнар [1] и, более полно, Баясгалан [1]. '
2, п. 1. Результаты этого пункта принадлежат Азизову. Следствие 2.3 опубликовано в статье Азизова и Усвяцовой [2].
2, и. 2. Леммы 2.4 и 2.5, теорема 2.6 и следствие 2.9 в случае Ле8» опубликованы в статье Азизова и Усвяцовой [2]. Изложение в тексте принадлежит Азизову. Ему же принадлежит и теорема 2.8, являющаяся перенесением на Пх соответствующего результата из [IX]. Лемма 2.7, по-видимому, хорошо известна, хотя ее формулировку в печати .мы не нашли.
2, п. 3. Теорема 2.12 принадлежит Азизову [13]. Постановкой задач о р-базисности он обязан Копачевскому, который первым начал исследование этого вопроса для случая индефинитных пространств в связи с задачами гидродинамики (см., например, К о- пачевский [1] — [3]). Само понятие р-базисности ввел П р иг орский [1]. Отметим также, что впервые вопросы полноты системы корневых векторов л-самосопряженных операторов А е Soo с 0^пр(А) исследовал И, Иохвидов [2]; существование базиса Рисса из корневых векторов таких операторов по существу доказано в [IX]; критерий полноты и базиспости этих векторов без условия 0 ^ ор (А) дап Азизовым и И. Иохвидо- в ы м [1]. О других условиях полноты и базисности и исторический обзор см. в [II], а также в упражнениях.
2, п. 4. Результаты этого пункта в столь общей постановке принадлежат Азизову. В случае, когда множество а(А) имеет пе более конечного числа точек сгущения, теорема 2.15 и замечание 2.16 (даже в случае банаховых пространств с индефинитной формой) получены ранее Азизовым и Штраусом [1], а теорема 2.17 при A2gSoo принадлежит Кюне [1] (см. И. Иохвидов [8], Эк тов [1]). Как и выше, за исторической справкой и другими результатами отсылаем к обзору [II] и упражнениям настоящего параграфа.
3, пп. 1—3. Все результаты этих пунктов принадлежат Азизову. Часть из них опубликована в статье Азизова [8]. Теорему 3.4 для случая эрмитова ядра ранее получил И. И о х в и- дов [2]. '
3, п. 4. Теорему 3.5 в тексте доказал Азизов; для случая A g Soo см. М. Крейн [1], И. Иохвидов и Э к т о в [1].
3, п. 5. Теорему 3.7 и следствие 3.10 доказал Азизов [13] (ср. Аскеров, С. Крейн и Лаптев [1], М. Крейн и Лангер [2], Л а р и о п о в [6], [7], К о п а ч е в с к и й [1] — [3], Азизов и Усвяцова [2]). По поводу других исследований операторных пучков с применением индефинитной метрики см. Лапгер [4], [6], [10], [12], Костюченко и Ор азов [1] и др.
ГЛАВА V
ТЕОРИЯ РАСШИРЕНИЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
В ПРОСТРАНСТВАХС ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ
В § 1 развивается аппарат преобразований Потапова — Гинзбурга и демонстрируется его применение в теории расширений. Параграф 2 посвящен другому подходу к теории расширений изометрических операторов в пространствах Крейна.
В § 3 описываются обобщенные резольвенты Асимметрических операторов..
§ 1. Дробно-линейныепреобразования Потапова — Гинзбургаи расширения операторов
. Одним из методов, позволяющих строить расширения (Д, Д)-изометрических операторов, является применение преобразований Потапова — Г и и з б у р- га, или кратко — ПГ-преобразовапий.
Определение 1.1. Пусть ^^ = §t Ф 57, 52 = = 57 ® 57 — канонические разложения /^пространства 51 и Д-пространства 5г соответственно, а 53 = 57 ф 57, 54 = 57 Ф 57 — построенные по ним Д-прострапство и Д-пространство с J3 —It ф — Ц , J4 = It ® — /7- Преобразование со+: 51 ® 5г 5з ® 5«, переводящее вектор <xv хг> в вектор <xs, ж4>, где xt = xt + Д~, х2 = xt + + ^7, ха = xt + ^7,^4 = $t + x?, xt e 5f G = 1, 2), назовем ПГ-преобразованием.
Наряду с преобразованием ю+, имеющим вид ®+: 51 Ф 52->-53 Ф 5<, ®+<^1,х2> =
= <X£ + х^, xt + х7>,
можно рассматривать и другие ПГ-преобразования:
®“ : £х ® $2 -> £3 ® 04, ®~ <xv ж2> =
= <— xt + хР, хр — х7>,
<о± : 0х ф 02->04 ф 03, ®±<^i, хР =
= <хр ± жГ, ± хр + хР>.
□ Ниже будем изучать свойства преобразования со+. У ю”, со± они аналогичны, и предоставляем читателю самому их сформулировать и доказать по той же схеме, что и для и+, или опираясь па следующее очевидное предложение:
°. со” = со+/, со-= to+/, to*^, x2>=(to±<rr4, x2>)-1, где j<x, ip = <—x, y>, a (<x, yp-1 = <y, x). ■
Отметим также, что пространства Оз, 04 и Оь Ог можно поменять ролями, и к вектору <x8l хРе^Ф^^ применить преобразование со+. В дальнейшем определения и утверждения будем приводить для одного из этих вариантов, помня, что они симметричны.
°. Преобразование и+ взаимно однозначно отображает О, ® ф2 на Оз ® Он оно инволютивно: со+(со+<;г1, хР) = = <^1, хР, и если <xv хР, <у^ ?/2>e0i®02, а <х8, хР = = to+<z1, хР, <у3, уР = со+<у2, уР, то
[+1, Z/1L [^2, Т/2]2=(+>, Урз ^М УрЦ (!•!) где через р, -)3 и (•, -)4 обозначены, скалярные произведения в $р и $Р соответственно.
□ По паре <Xi, хР однозначно определяется вектор <^з, хР = to+<^i, хР в силу однозначности проекций xt па -Of’ р = 1, 2). Существование обратного преобразования, определение его па всем пространстве ^3 ® $4 и равенство ю+(и+<^1, xP)=<xt, хР очевидны. Остается проверить тождество (1.1):
[^1, У111 — 1^2* Z/2I2 =
= (xt, yt)1 — (жГ, у"?)i — (xt, ytX + (хР,уРХ =
= (xt + х2 , yt +7/2)3 — (xt + Xi , yt + У1Х =
= (x3, yp3— (x^, ypv ■
. Определим ПГ-преобразование w+ на множествах Slc^!®^:
to+ (91) = {to+<a:1, xP\<x,, a?2>e3l}.(1.2)
О Из определения 1.1 и формулы (1.2) прямо следует
1.4°. Если 8— линеал в Si ® Sz, то со+(8)—линеал в Ss ® Si- ■
Определение 1.5. Пусть Т: Si ^г — линейный оператор. Скажем, что Т^дг^ если Ker(Z’7^i I ST) = = {9}, и введем для таких операторов ПГ-преобразование «Л^Ту. SsSi по формуле
о)+ (7) = (Р? + Рут) (Pt + РУТУ1 (1.3)
(существование оператора (Pi + Р^ У) 1 следует из упражнения 6 к § 1 гл. II).
Теорема 1.6. Если оператор Т^ЗГ, а Ут — его график, то ю+ (Гу) = Ги+(г) и со4 (Т) е Г.
D Так как ®м+(Т) = {(^Г + Рг Т^ Ж11 жг ^ ©у}, а Гт = = {<£,, ТхУ Ixj е Sy), то воспользуемся (1.2) и определен нием 1.1:
со4" (Гу) = {со4-^, Тх^ | хх е©у} =
= «(^ + рут^Ар? + T^T^I^eSy} =
= {<Уз, (Р? УР^Т) (Pt + руту1 у3> | у3 =
= (Р^ + Р2 т} Хг, XY ©у) = ГИ4 (У).
Поскольку со+(Т) действует из Ss в Si, то согласно определению 1.5 и упражнению 6 к § 1 гл. II со+(Т)е^“, если Кег(Р3" + Р^со4 (7)) ={0). Пусть у3еКег(Р3 + . + Ру®+ (Т)), у3 = (Pt + РУ Т) хг е ©м+(у), хх е ©у. Тогда е = (Рз+ + р?®4 ky\y3 = Pt (Pt + Рут) X, + р; (ру + + PtT) xt = xt + xv =xv Следовательно, ys = 0, т. e.
: Ker^g1" + P4 co+ (7T)) = {q}, и потому <в+(7)^.7”. ■
Следствие 1.7. Преобразование (1.3) устанавливает взаимно однозначное соответствие между ^Е, 12}-не- растягивающими операторами V; Si' "^ ^г и сжатиями W: Ss St, We^gr. При этом JV— (Д, ]г)-бйнерастяги- вающий (соответственно (J^ J2)-изометрический; (J4, J2)- полуунитарный; (Jt, J2)-унитарный) оператор тогда и только тогда, когда W^w+fV)^—сжатие, ©w=Ss ^ ^p~wp~ ~ ^х ^соответственно ^ — изометрия; W — изо
метрия u^p-wp-. = ^;метрия u^p-wp-. = ^;W — унитарный оператор иW — унитарный оператор и
метрия u^p-wp-. = ^;
метрия u^p-wp-. = ^;
W — унитарный оператор и
W — унитарный оператор и
wp^
□ Из упражнения 33 к § 4 гл. II в сочетании с замечанием 4.29 гл. II следует, что строгие минус-операторы (в том числе и (7И 72)-иерастятивающие) VeJ, Остается воспользоваться теоремой 1.6, формулами (1.1) и (1.3), определениями соответствующих классов операторов и результатами упражнения 33 к § 4 гл. II и упражнения 7 к § 1 гл. II. В самом деле, проведем, например, соответствующие рассуждения для случая, когда У—(71; 72)- упитарпый оператор. Из теоремы 1.6 следует, что РУе^Т-. Из (1.1) заключаем, что W — изометрия, из (1.3) в сочетании с упражнением 33 к § 4 гл. II Siv = &. Аналогичные рассуждения показывают, что область определения оператора «х (У) = (Pt + p;v) (РГ + Ptvyi : ^ £3 совпадает с §4. Остается заметить, что (ср. предложение 1.2°) й)х(У) = ((о+(У))-1 = РУ-1, а потому И7 —унитарный оператор. Так как (см. ниже упражнение 1) P?WP;\^ = (Р2-УР1 | &")Л ТО 9? = ^г.
Р1 WP4
Обратно, пустьОбратно, пустьW — унитарный оператор и 9?W — унитарный оператор и 9?wp2wp2
Обратно, пусть
Обратно, пусть
W — унитарный оператор и 9?
W — унитарный оператор и 9?
wp2
wp2
= $Г- Вак и пыше для 1У, доказывается, что оператор У определен па фь У — (7,, 72)-изометрический оператор, т. е. У— (Ji, 72)-полуупитарпый оператор. Из унитарно
сти оператора РУе^Т- и из того, что 9? _- = Ф1,непо-
■Р1
средствеппо получается, что Ker (P^WPt I 6^ )2 = {9},
9? х + = ^7”, и.Р2 WPj9? х + = ^7”, и.Р2 WPjиспользуя те же соображения, что и
9? х + = ^7”, и.Р2 WPj
9? х + = ^7”, и.Р2 WPj
выше для W, получаем (7И 72)-полуупитарность оператора У-1, а потому У— (71, 72)-унитарный оператор. ■
. □ Пусть вновь Гт—график оператора Т; $!-^ $2. Напомним, что оператор Т является расширением оператора Т тогда и только тогда, когда Ггсз 1~. Поэтому из
теоремы 1.6 и следствия 1.7 вытекает
.8°. Оператор Т(е£Г) допускает расширения Т^0~ тогда и только тогда, когда у оператора ®+(T) есть расширения аЛ (Т)е 5Г, и при этом со+(21)= со+(7).
В частности, (J^ J2)-нерастягивающий ((7i, 72)-пзо- метрический) оператор У допускает (7lf 72)-нерастягивающие ((7,, 72) -изометрические') расширения V тогда и только тогда, когда сжатие (изометрия) со+(У) допускает сжимающие (изометрические) расширения <о+(У)е^-, и при этом ю+(У) = ®+(У). И
Перейдем теперь к описанию специальных расширений (Д, Л)-изометрических операторов.
Определение 1.9. Расширение Т (Ji, .^-изометрического оператора V: §i$2 назовем его (Д, J2)-бирасширением, если Pv изотропно в Гт по форме <Д,^2Х <Уи У^г = L^2, Угк — к У1] 1 (формулы (4.11) гл. II).
Из определения 1.9 и из того, что графики (Д, Д)- нсрастягивающих и (Д, Д)-пссжимающих операторов являются ссмидефипитными линеалами по форме (4.11) гл. II, а график (Д, Д)-изометрического оператора — нейтральным линеалом, с учетом предложения 1.17° гл.I получаем *
°. (Д, Д)-не/шслягпваю1^ие, (Д, З^-несжимакяцие и, в частности, (J^ J ^-изометрические расширения Uii ^-изометрического оператора являются его (Д, Д)- бирасширениями. ■
□ Прямо вытекает из определения 1.9 также предложение
°. Пусть Т — расширение (Д, Д) -изометрического оператора У. Если Т — его (Д, Д) -бирасширение, то Т (Sy (1 ©v^) cz ^У"^. Обратно, если Sv — проекционно полное подпространство и Т (ST п S^cz^y11, то Т— (Д, J Т)-бирасширение оператора V. ■
□ Из определения 1.9, из формулы (4.14) гл. II и из того, что графики Гг = {<ж, Ух>|хе©у) и Гу-1 = = 0^ гУ, У') \У s Sy-i) операторов V и У"1 соответственно, рассматриваемые как линеалы в Jp! ® §2, совпадают, следует справедливость предложения
°. Пусть У—(Д, /^-изометрический оператор, Ксг У = {0), а Т — плотно определенное в ^, расширение оператора У. Тогда оператор Т является (Jt, J2y6upac- ширением оператора У в том и только в том случае, когда V-^T", и потому 7е является (J2, ] ^-бирасширением оператора У-1. ■
Следующая теорема устанавливает связь между (Д, Д)-бирасширениями (Д, /2)-изометрического оператора и бирасширениями его ПГ-преобразовапия.
, Теорема 1.13. Расширение Т (J4, J^-изометрического оператора У является его (Jt, J^-бирасширением \ тогда и только тогда, когда со+(Гг) (^з ® &) изотропно ’ в со+(Гт) (ефз® &) ПО форме (х3, у3)3 - (х4, у,,)4. В частности, если Te.gr, то Т — (/,, /2) -бирасширение (Д, Д)- изометрического оператора У тогда и только тогда, когда
оператор <а*^Т^—бирасширение изометрического оператора w+(V):&.
□ Воспользуемся определением 1.9 и, кроме того, заметим, что левая часть формулы (1.1) совпадает с(—7~)-метрикой. Поэтому <хи х2>— изотропный вектор в Гт тогда и только тогда, когда со+<х1, х2>(=<^з, ж4>) —изотропный вектор в со+(Гт) по форме (х3, у3)з — — (ад, г/4)4. Отсюда и получается первое утверждение теоремы 1.13. Второе утверждение — его прямое следствие с учетом теоремы 1.6. ■
Следствие 1.7, предложение 1.8° и теорема 1.13 указывают нам путь описания специальных расширений (/,, 72)-изометрических операторов (см. упражне- вия 5—11).
4. Известно, что при расширении симметрических операторов в гильбертовом пространстве используется метод преобразований Кэли — Неймана, сводящий данную задачу к задаче расширения изометрических операторов. В /-пространствах такой метод не всегда применим, так как (ср. пример 3.36 гл. II) не исключено, что оР (И) = С- Однако и предложении 2.3° гл. II упоминался другой метод расширений /-диссипативных, а~ стал отбыть, и /-симметрических операторов: А -*■ JA ]Л -*- JJA. Наконец, в предыдущих пунктах указывался метод расширений с помощью ПГ-преобразований.
Оказывается, что три преобразования: преобразование Кэли — Неймана, умножение на / и преобразование Потапова — Гинзбурга — тесно связаны между собой.
Теорема 1.14. Пусть ^ — J-пространство, а ^Г = = ^9®§ — пространство графиков. Тогда Жi°[7, 7]о о 3f\x (а;, г/> = со+ <ж, г/> при всех <х, у> е ^Г1 где ![/, 7] ° ° <и, и> = <Ju, и> (<и, и) е фр) .
ЗТ, о [j, /]=^71 <ж^ = з^узд^/^Л ^^ = = ЗСХ(^Д^, хАХ\ = ^A-у-,х-^у^=«А<х,у'). ■
Отсюда прямо вытекает
Следствие 1.15. Пусть Т: $-+$— линейный оператор. Тогда;•
а)7е.Г,1^,(Г)^д,^^^^
Те^',1^ор(®+(Г))^1^<тр(Т);
1 ^ Стр (7), I ^ цр (З^ (Т) J>Te9".
298.
Если выполнены, посылки хотя бы одного из условий а), б) или В^ ТО'
Упражнения и задачи
1. Пусть Т :^1(=Ф1+©^1 )-*62(=Ф2+®62 ),®т=^, ТеТ, .
91 _ _ = ф„ . Доказать, что тогда © , Р2 ТР]<i>+(T)
, и
если У = I] Гу |!^-=1 — матричное представление оператора Г, то ы+(Г) : S3 -* S4 (— §2 ® Sf) имеет матричное представление
ю+ (Г) =|] (ю+(Т))у|;2
(«+ ^12 = t12t-\'
где
И (Г))21 = г~’ г21,
(«+(г))22 = г-г
(Шмульян [5]).
Доказать, что ПГ-преобразование в)+ устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми (Zb /2)-нерастягивающими линейными отношениями SI cz £i Ф ф2 (т. е. [х2, z2] ^ ^ [яь ад], если <гь ж2> е 51) и всеми сжатиями V; §3-*§4. Исследовать, что является прообразом изометрий, полуунитарпых и унитарных операторов (Ш м у л ь я и [5], Р и д и е р [4]).
Указание. Воспользоваться формулой (1.1).
Построить пример (Zb Z2)-бирасширения (Zb /2)-изометри- ческого оператора, не являющегося ни (Zb Z2)-нерастягивающим, ни (Zb Z2)-несжимающим оператором.
Указание. Воспользоваться предложением 1.11°.
Вывести формулы, связывающие преобразование Кэли — Неймана Ж\ при произвольном £ © $ и преобразования Потапова — Гипзбурга св© <о± (А з и з о в, Е. И о х в и д о в и И. И о х в и- Дов [1]).
Указание. Воспользоваться схемой доказательства теоремы 1.14.
Доказать с помощью ПГ-преобразований, что непрерывный непрерывно обратимый замкнутый (Zb Z2)-изометрический оператор с конечными дефектными числами p^sdimS^l, g = dimm^-* допускает (Zb Z2)-yniiTapnHe расширения тогда и только тогда, когда In©^ — ln£R^L3 (ср. Е. Иохвидов [4], [5]).
6. Пусть У
= dim Э ,,
®+(У)’
- ограниченный (Zb Z2)-ji3OMeTpn4ecKHfi оператор, р = dim ®^1], g^^dimSl^], г = dim Кег У, пг = п — dim ^щ+(У)- Тогда p + g = m-|-n + r (А з и-
зов. Е. И охв идо в и И. И охв идо в [1]; ор. Е.Иохвидо в [3]).
7. Привести примеры операторов, для которых в равенстве упражнения 6 числа р, q, та. п, г принимают все допустимые (этим равенством) значения (А з и з о в; ср. Е. И о х в и д о в [4]).
Указание. Рассмотреть /-пространство S = S+Ф1^-, ф+ = ф-— бесконечномерное пространство), действующий в § полуупитарный оператор У — II У, ■ 1|2 . где U = — K*U_. Ке
II */ II*»/ *• 11 21
е й+; У22 -АУ ; У SjS^KK^
21 — полуупи-
тарпый оператор, пеерводящий ф+ в ^-, U = У ^8*2К*Л"У12+
+ I ^ ^2, S12—полуупитарный оператор, переводящий $~ в ф+.
Для решения задачи достаточно варьировать операторами К, S12 и 6’2i, а также количеством экземпляров пространства § и положить V = w+(V). '
Пусть (т, п)—произвольная пара неотрицательных целых чисел. Привести пример неограниченного замкнутого (А, .^-изометрического оператора V с Sy = 5, Яу = $ и т = dim S^+ ,
п = dim Я-1, о>+(У)п = dim Я-1, о>+(У)(существенность условия ограниченности V в
п = dim Я-1, о>+(У)
п = dim Я-1, о>+(У)
упражнении 6).
Указание. Воспользоваться приемом, приведенным в указании к упражнению 7.
Пусть V—(/ь /2)-изометрическое линейное отношение: Sy = Sy, Sy = Sy, m, n, p, q, г те же, что и в упражнении 6, a s = dim Ker У-1. Тогда p + g = 7n + n + r+s (Азизов, Е. И о х в и до в и И. И о х в и д о в [1]).
Пусть 5 — /-пространство, Т — линейное отношение, п^ (Г) =
= dim9!^_?1. Доказать, что если Г —/-эрмитово линейное отношение, S^S, St-ci и Ят_-^— подпространства в 5, то п^(Г)4- + п- (Г) - n^JT) + п- (/Г) -|- dim Ker (Т - £Z) + dim Ker (T ~Уу В частности, если £ — точка регулярного типа для Т, то условие замкнутости91,- можно опустить (Азизов, Е. Иохви- дов и И. Иохвидов [1]).
Указание. Воспользоваться результатами задач 6 и 9, а также теоремой 1.14.
Пусть в условиях упражнения 10 Г — /-эрмитов оператор. Доказать, что Т = Т= тогда и только тогда, когда п^(Г) + тг- (Г) =
= dim Ker У — У) + dim Кег(Г — У) (Азизов, Е. Иохвидов и И. Иохвидов [1]).
Указание. Воспользоваться результатами задачи 10.
Доказать, что если Т — /-перастягивающий оператор, 1 ^ ор(Г), то ^ (Xf1 (Г) /) = Ю+ (Г).
Указание. Воспользоваться упражнением 33 к § 4 гл. II и следствием 1.15.
Пусть S = S0[+]Si [+]S2 и S1- = (S-L)o[4-] (S^ht-j-] [4.] (S-l)2—(ф+, $”)-разложения подпространств S и S-1, 5 = = So[4^®i[+]®2ffiWo[-^®±)i[-4(^ и /=руЦ^.=1 _ матричное представление / (см. упражнение 5 к § 10 гл. I). Проверить, что ограниченный оператор X с Sx = $, представленный матрицей X = ЦХу ||’у=1, будет /-бирасширепием оператора 1^ = = Z | S тогда и только тогда, когда 1 Ху ||® -=1 — 1^, Хц =0 при 1 = 4, 5, 6, 1=1, 2, 3; Хщ = 0 при у =4, 5, 6;
,cz9ir и = — J8rJ7JX ., 7=4, 5;Я1_Х е Sj и
Хвэ J6636 6663в 66 J6e
Х„„ = .КУТк (/ — Х,Л; X = /,а все остальные Xtj произвольны ОО vO ОО VОО/
(Азизов [14]).
Указание. Выписать матрицу Xе и использовать вытекающее из предложения 1.12° включение I^cX0-
Пусть ^ — /-пространство, © — его подпространство, а J = || Jy ||$ j=1 — матричное представление оператора J относительно разложения $ = ©©©-*-. Доказать, что оператор У (е^~) будет Z-бирасширелием оператора 1^ тогда и только тогда, когда
гайдется такой оператор Z22: ®^-*®£, что 0^ap(Z2 + Z22 + 7 Цг— ^22)^22) и У = ЦУу |||j = 1, где 1^ = Z<£; У21 = 0; У12 = = —2/i2(Z2 — Z22) (Z, + Z22 + (Z, — /22)Z22)-1; y22 = (Z2 — Z22 + + (Z2 + Z22)Z22) (Z2 + Z22 + (Z2— Z22)Z22)~ (Азизов [14]).
Указание. Проверить, что со+ ^©) --1$>‘> воспользоваться гредложением 1.11° и установить, что бирасширения изометрического оператора 1^ совпадают с множеством операторов, пред
ставимых матрицами Z = || Z^ ||?j=1, где Z^ ----- Z^;Z[2 = 0;
Z2i = 0; Z22: ©-- -► ©-1-; проверить, что" условие Z s 9" эквивалентно условию 0^ Op(Z2 + Z22+ (Z2 — /22)^22) и У = w+(Z).
Доказать, что в условиях упражнения 14 оператор У будет У-биперастяшвающим (соответственно Z-полуупитарным Z-биперас- тягивающим; У-упитарным) тогда и только тогда, когда Z22-cжимa- ющий (полуупитарный; унитарный) оператор с ©z = ©х и O^p(72-]-Z22-|- (/2 — У22) Z22) (А з и з о в [14])..
16. Пусть 7— (У1, У2)-изометрический оператор, у которого существует непрерывное (У1, У2)-бирасширепие 70 с ©у = Ф , проекциоппо полной областью значений и Кег 70 = {6}- Доказать, что оператор 7 с ©~ - ^ является (Zlt У2)-бирасширением оператора 7 тогда и только тогда, когда 7 — Z ^70 (7у7ц)“1, где У^—16. Пусть 7— (У1, У2)-изометрический оператор, у которого существует непрерывное (У1, У2)-бирасширепие 70 с ©у = Ф , проекциоппо полной областью значений и Кег 70 = {6}- Доказать, что оператор 7 с ©~ - ^ является (Zlt У2)-бирасширением оператора 7 тогда и только тогда, когда 7 — Z ^70 (7у7ц)“1, где У^—. Указание. Воспользоваться указанием к упражнению 14 и следствием 1.7.
16. Пусть 7— (У1, У2)-изометрический оператор, у которого существует непрерывное (У1, У2)-бирасширепие 70 с ©у = Ф , проекциоппо полной областью значений и Кег 70 = {6}- Доказать, что оператор 7 с ©~ - ^ является (Zlt У2)-бирасширением оператора 7 тогда и только тогда, когда 7 — Z ^70 (7у7ц)“1, где У^—
16. Пусть 7— (У1, У2)-изометрический оператор, у которого существует непрерывное (У1, У2)-бирасширепие 70 с ©у = Ф , проекциоппо полной областью значений и Кег 70 = {6}- Доказать, что оператор 7 с ©~ - ^ является (Zlt У2)-бирасширением оператора 7 тогда и только тогда, когда 7 — Z ^70 (7у7ц)“1, где У^—
оператораоператоранекоторое . Уг-бирасширепие
оператора
оператора
(Азизов [14]).
Указание. Использовать то, что 7д70 — линейный гомеоморфизм пространства &, являющийся Zi-бирасширепием оператора Z|©y.
Доказать, что если в условиях упражнения 16 оператор 70 является (У1, У2)-полуупитарпым, то приведенная там формула перепишется в виде 7 = Zgj7Q, а если 70— (Zb У2)-упитарный оператор, то 7 является (Уь У2)-унитарным (соответственно (Уь У2)-по- луунитарным; (Zb Z2)-бинepacтягивaющим; (Zb У2)-бинесжимаю- щим) оператором тогда и только тогда, когда Z^ принадлежит к аналогичному классу (Азизов [14]).
§ 2. Расширения стандартных изометрическихи симметрических операторов
/-симметрических операторов и описаны все их (/и /2)- бирасширения и соответственно /-бирасширения.
Определение 2.1. Будем называть оператор У: $1 -* ф2 стандартным и писать V е St(^i, ф2), если V — замкнутый непрерывный и непрерывно обратимый (А, /г)-изометрический оператор. В частности, если §t = = ^2 — $ — /-пространство, то будем писать V s St ф.
Заметим, что условие yeSt^, ф2) влечет замкнутость ©у и Э?г.
Пользуясь леммой Цорна, легко доказать, что каждый (/„ /2)-изометрический оператор У допускает расширение до максимального (/lt /2) -изометрического оператора У, т. е. У уже не имеет нетривиальных (Л, /2)-изометрических расширений. Менее очевидно утверждение о том, что если Уе St(^i, &), то среди его максимальных расширений найдется У е St(5>b ф2). Исследованию этого вопроса посвящена теорема 2.2, при доказательстве которой приведена конструкция соответствующего расширения, неоднократно используемая в дальнейшем изложении.
Теорема 2.2. Пусть У е St(^1( &>). Тогда у него существует максимальное (Jt, /^-изометрическое расширение У е St (^i, &).
□ Прежде всего заметим, что если ©^ и Яу±] — правильные подпространства, то у оператора У, как нетрудно проверить, существует такое расширение У s sSt(^i, ^г), что его дефектные подпространства ©^ и Э?^] правильны и либо хотя бы одно из них есть {,0}, либо они равномерно дефинитны и имеют разные знаки. Максимальность таких (Л, /2)-изометрических операторов очевидна. Следовательно, теорема будет доказана, если мы проверим, что каждый оператор yeSt(^t, ф2) допускает расширение до оператора У'sSt(^i, &) с правильными дефектными подпространствами ©U1 и 91^Л3.
Рассмотрим (Ф1\ 51 )-разложепие подпространства ©v (см. определение 10.3 гл. I): ■
_ ©F = ©„[+]©,[+]©, ' (2.1) и ($2 , ^2 )" разложение подпространства Э?г:
= (2.2)
Без ограничения общности будем считать, что (2.1) и (2.2) связаны соотношениями У©, = Э?„ i = 0, 1, 2. Б самом деле, 9?0 = У©0, поскольку (А, /2)-изометрический оператор отображает изотропную часть ©0 подпростран- 302
80S
‘° (т®) ф °® BaiOHBdioodntfon j tj ОТ § н ^ oihhoit -жвйпЛ оновкюэ -г(т1б)ф г18 = (г(т®)ф г®)/Л в ‘'К = ’®Л ‘“(tHs)® 016 = (0(т®)ф°®)Л№01G «dg ,г(тш)1+1
[+J °(TtG) ®гК t±] TtG [+]°Ш = MtG в ‘Чт®) 1+1 °(TS) ® ® 8® ЖT® Ж °® = M® ‘KHKBiBdgo OHandodnaH и ина -яноэйпэн вэ-ьэвкяв ^ doiBdong •AUt-^*^ = 9 л ‘аШДи G-G/iGAV aV) + aU) + tiV) Gt i-M(88^ x x.-GtiV - uU) + (')/)] = 6!Л ‘Чт№)э^л ‘^^«л ‘8(T®)^a; 1^Л + ^Л = ж9Л i8(Tifi) ® 8Ш*~г(т®) ;9Л = ^(т®)1 ,л -%iv№-ч ‘Чч-цМт®) ^л-ЧтаОЬл •Л = л® I /Л :ivOEBdgo ииЬжлХКэкэ д BdoiBdono /д onnod -jiniOBd KHiroVodno и (g ‘j ‘0 = ?) *®|Л = ,+?Л випоьвнеодо кэйаяд ,г$ вн e(T}g) вв!ио1вжв^до1о ‘BHdiawosH — ^д в *г<$ вн г кт^ BBtaoiB>KBdgoio ‘BndiaKoen — ^е^ эцд *еел Sr\ = osp р ‘оел ( ее/- е-А _ ое г
(г)Л г/ДгСг)7 UV)(тУ^г/тКгХО-' (тЛ/ (D^
‘dantBdnBH ‘mbj, д 'kj ОТ § н 9 HBH9ii®BdnX я икнинвявяХ ‘ИИВЯ1ЭИ0ЯЭ 1О1ВУВ1ГдО г/ И */ dadlBW IIHH91E0K8Bd 1Ч1.НЭН -опкод -(W^»/-^ ^f ОППЭЯ1Э1ОЯ1ООЭ) i=n|| (dy || = = Ty HhndiBK эКия я HoiOBEHBioyodii j чм oi § 51 g CHHHonmBdnX ohobejoo (г/ оннэяюхояыоэ) ’/ doiBclono (8 (tW) [+]’ (тЮ) [+1° (т!б) ф г4+]'#+]°1е=гФ ОНПЭЯ1О1ОЯ1ООЭ)
Чт®)[+1Чт®)[+]Чт®)ф г®[®]^5[^^
KHHomoreBd опчпохиэошо bWjoj, •оннэя1Э1.эя1ооэ 4jg и 4(g aioiiBdioodntioii эиножоггевгё ' _(_г§*‘+$) и 8MHalltoir™d-(jgf ‘^) — г(тда)[+]т(т^ [+]°(-гМ$) = ^ и 4-i®)W(tS) [ + ]0(т®)= т® ч1эХП • ig- = _1у ччижогоп nooiTBioQ ^(g BHiOHBdioodnKon KonnomoireBd-^ Jg ‘ ig) юИХд (£’s) oih ‘(Jg ‘^g) XdBn отХпчевХУ 01Хшиниф -эИ ondowoHHBd сяХнчевкиэявк mXhbi ихивн онжок I жя ^'Ot HKodooi Хгшэ g ^гбг-Л= г® atfl ‘8®[+J [+]8S = s(S В ‘8® f+J X® = Т«$г-Л ‘’Ш.-Л =• ’S «Vmaio ,(£'s)■и-л[+Гш1-л[+]°® = AS
ЭИИЭЖО1Г '
-EBd KndioKooBd и ‘.^ zd (^ J T(g) д oik ‘члвлип»- niooHingo BHiiohniiBdJO вод кэУХд ‘jj tj gf^ эияюКэи» ввян1иь^ ’KOEBdgo киЬклХкогэ ишХюоп oi ‘(^ *[ = ?) •*(gg = ’jg иинэшонюоэ ей ontfo нд biox BoiOBniXdBH ЭЯ1 ипэд -^^ BHioHBdioodntion "^ чхэвь OL&Hnodiosn вн ^ yaia
= [^ + xv= [^ + xv©1 и ©2®(©±)2 (соответственно J?o ® (^Оо, <^1, 9?2 ® ®(97)2) попарно /^ортогональны (соответственно /2-ор- тогональны), причем эти подпространства инвариантны относительно К (соответственно /2). Поэтому V' будет (/1, /2)-изометрическим оператором тогда и только тогда, когда таковыми будут операторы 7'|©0 ® (©-*-)„, 7'1©, и 7'|©2®(©±)2. Так как 7'1©,= 7|©„ то 7'1©,- (/„ /2)- изометрический оператор (по условию). Пусть ж, е ©0, х4е(©г)0. Тогда 7'(^ + ж4) = 7^ + J^^j-1/,1^, а J У (^i + ж4) = J4‘1)71z1 + У* ViV^. Следовательно, [7 (^Т^), У (.Г, + Ж4)]2 = («^14 ^11 ^4)1 + (/143'4i ^1)1 ”
= [^ + xv
= [^ + xv
:4]i, т. е. 7'|©0 ® (©±)0 — (Л, /2)-изомет-
рическии оператор.
Проверим, что таким же будет и оператор V |©2® ®(©±)2. Для этого без ограничения общности будем считать, что 5i = ©г ® (S"1") г, 5г = Э?2 ® (97) 2, и докажем, что 7' — (Л, /2)-унитарный оператор, т. е. V'*RV = 1X. Не-
посредственно проверяется,посредственно проверяется,что оператор Т = V'*J2V'
посредственно проверяется,
посредственно проверяется,
имеет матричное представление Т =имеет матричное представление Т =Т 7 1 3336„
имеет матричное представление Т =
имеет матричное представление Т =
6363m 7 I ’ гДе /зз— 1 6.31 66
63
63
— v Зл зз v 3, 1 вз — 1 зв — v з j33 v зо + v з ^у3 — j зз ) у 6, а
Т’№ = v'Mv'»» + у'ЖУ № - J^Y'^v^ + ^Л (I® - - Л2з)2)1/2^Х - 7?7^2^ силу (/„ /2)-изомет- ричности оператора 73 получаем T33 = Jaa- Подставим в выражения для 7736и Т№ значения операторов 736 и Ув и после элементарных преобразований найдем, что Tgg = Л’Ла Твв= JaW т. е. Т = /,. Таким образом, 7'|©2 ® ®(©±)2 —(/1, /2)-изометрический оператор и 7'sSt(5i, 5г). Кроме того, (©-Г), и (97), —его дефектные (правильные) подпространства и потому 7', а с ним и 7 имеет среди своих максимальных (/,, /2)-изометрических расширений и операторы V s St (5,, 5г)- ■
Следствие 2.3. Для того чтобы оператор 7е е St(5i, 5г) был .максимальным (Jt, 1^-и8ометрическим оператором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий: а) ©^^ = (0), т. е. 7 — (/,, /2)- полуунитарный оператор-, б) 9?у"] = {0}, т. е. 7-1 — (/2, /\)-полуунитарный оператор-, в) ©V±] и эг^1 — рав
номерно дефинитные подпространства разных знаков.
О Достаточность каждого из условий а) — в) для максимальности (/,, /2)-изометрического оператора У очевидна.
Пусть теперь У s St]^, ^«)—максимальный (Jt, J2)- изометрический оператор. Из хода доказательства теоремы 2.2 следует, что' ®у и ^U 1 —правильные подпространства. Предположим, что ни одно из условий а)—в) не ; выполнено. Тогда существуют б^я^е©1^1 и O#=z/oe Г^^] такие, что Гж0, ж0] = [у0, Уо]. Определим опера- Jjrop V': Lin {©г, ж0) Lin (9?v, yj, У с У', У'ж0 = уп. ‘4Пегко видеть, что У'eSt(£h ^2),— получили противоре- ,лие. ■
L Следствие 2.4. Каждый оператор VeSt^, 62) допускает такое (Ц, 3^-бирасширение У», что 9?v0 — про- •^екционно полное подпространство и хотя бы один из • операторов Уо или Уо имеет тривиальное ядро.
□ В силу теоремы 2.2 можно считать, что y(eSt(^t, ^2))—максимальный (Л, Л)-изометрический оператор. Воспользуемся теперь следствием 2.3 и предложением 1.11°. Если У удовлетворяет условию а), то положим У о = У; если У удовлетворяет условию б), то положим Уо = (У_1)с; если У удовлетворяет условию в) и dim©у11^ ^ dim Ш^1, то в качестве У» возьмем любое расширение .оператора У на $ь ипъективпо отображающее ©V-1 на подпространство в S^"1"1, а если dim S^1 > dim Я1/1, то положим Со — (С"1)с, где У-1 — произвольное расширение оператора У"1 па ^2, ипъективпо отображающее Э?,v1‘^ на подпространство в ©у11. ■
Таким образом, для описания всех ^3^ /2)-бирасширений оператора У е St (51, &) могут быть использованы результаты упражнений 13—17 к § 1.
2. Перейдем теперь к изучению вопроса о возможности Ui, /2)-унитарных расширений операторов У е St(^i, ^2). Приведенный ниже пример 2.8 оператора У ^ St^ с ©у = = Sy (и потому ©yL1 = Sy-1) показывает, что в отличие от гильбертова случая (см. панример, [IV]) и случая пространств Понтрягина (см. ниже упражнение 3) информация только о свойствах ©у1"1 и Sy1^ пе всегда достаточна для заключения о возможности расширения оператора У до (/1, Л)-унитарного оператора. Но прежде проведем подготовительную работу.
Определение 2.5. Пусть (S+, й~)—максимальная равномерно дефинитная дуальная пара в /-пространстве 5, подпространства й^еЗИ"1" и$- = 91+ (е 2Л ) не содержат бесконечномерных равномерно дефинитных подпро- 20 Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов3-05
'странств. Тогда число v(5l+) = dim(9i+ Л й+) — dim(9L Л й~) назовем индексом подпространства 91+.
Лемма 2.6. В определении 2.5 v(9l+) не зависит от выбора максимальной равномерно дефинитной дуальной пары (й+, й-).•
□ Пусть v1(9l+) = dim(3l+fl^+)-dim(9l_fl^-), a v2(9l+) = dim(9l+ fl й+) — dim(9L fl й-). Проверим, что v, (9l+) = v2(9l+).
Пусть К± — угловые операторы подпространств 31±, a Q+ — угловые операторы подпространств й*. Из упражнения 17 к § 8 гл. I и упражнения 13 к § 2 гл. II следует, что К^ — Ф-оператор, причем I К* I = 7+ + S, где Se®». Поэтому из упражнения 14 к § 2 гл. II вытекает, что К+ — <2+ — также Ф-оператор и ind К* = ind (К+ — — ()+). Осталось заметить, что 9L fl З^ = Ker К±, 9l± fl й* = = Кег(Л±-^±), а К+ = К*_, К^ — Q+= К*_ — Q*_, т. е. v, (й+) =—ind Af+, a v2(^+) = — ind(A”+ — QV). ■
Лемма 2.7. Если I’eSlfK ^2), ®veSl+(5,)i 3tF е eSW+(^2) и Sy, 9?v, Sv"1 и ^v"3 не содержат бесконечномерных равномерно дефинитных подпространств, то У допускает ^J^ Jг)-унитарное расширение тогда и только тогда, когда v(®v)==v(9iv). При этом каждое максимальное расширение У'sSt(^i, 5г) оператора У будет Uii Jг)-унитарным.
О Пусть У—(J(, J2)-унитарное расширение оператора У. Введем в ф2 эквивалентное исходному скалярное произведение (ж, у)г = (У-1#, У^)^’ Уг^гУ Так как [я, Z/ls = (А#, у)г, гДе J2 = VJ^ = J., \ то компонентами нового канонического разложения ^2 = Ф? Ф ^2 будут подпространства &у = У^Г- Следовательно, dim (®к П ^+) = dim (У^г П StY) = dim (9tv П Фа') и dim^/1 П ^Г) = dim (У ($[/] П $?)) = dim^/1 П &Г')г а потому v(Sv) = v(9?f) .
Пусть теперь v(®v) = v(3?r). Без ограничения общности будем считать (см. доказательство теоремы 2.2), что разложения (2.1) и (2.2) подпространств Sv и Э?г связаны соотношениями У©( = Э?,-, i = О, 1, 2. Так как 2\ = = S7 П 5i+, а ^ = Э?У П ^i то dim(S7n^) = = dim (Э?у П ^). Следовательно,dim (2)^ 0 £Г) =
= dim(SlyL1n ^Г)= — v(S7) + dim(Svn ^i")= — v(9?v) + + dim (9?к Q ^) = dim (9?с/3 П ^Г) = dim (9?£ Q ^Г)-
Следуя схеме доказательства теоремы 2.2, выведем, что оператор У допускает продолжение V г St(^t, ^2) 306
с'©^1 = ©у П 57 и ^V'] = 9?v П 57- Отсюда ©V' и^ c^1— отрицательные подпространства равной конечной размерности, и потому теперь легко построить (/(, /2) -унитарное расширение оператора V', которое будет расширением и для У.
Пусть y/sSt(5i, 5г) — произвольное максимальное (Л, /2)-изометрическое расширение оператора У, и предположим, что У' не является (/и /2) -унитарным оператором. Так как ®/L] и 91*^1 имеют один знак, то из следствия 2.3 заключаем, что без ограничения общности, можно считать оператор У' (J^ Л)-полуунитарным и dimSi^^O.
Рассмотрим /^-пространство ф2 = У'51- По доказанному v(©y) = v'(9M, гДе v'(9lv)—индекс SF в 52- Попо условию v(©y) = v(9?r), и легко видеть, что v(9lF) = = v (9tv) — dim 91^У 11— получили противоречие. ■
Перейдем теперь к построению оператора y^St^ с ©у = 9?г, но не имеющего /-унитарных расширений.
□ Пример 2.8. Пусть ©х, ®2, (®А)2—бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства. Образуем пространство 5 = ®х Ф ®2 Ф (^^г и введем в нем /-метрику (см. пример 3.9 гл. I) с помощью оператора
22О22ОООоО
22
О
22
О
О
О
00\ 3
v* (1 —W2 —v* j v К3в\ 3J337^Зб^ЗЗ^Зб
встроенного по этому разложению пространства ф, где- /22 = Л, Дзе®<», 0</33</3, У36 — изометрия, отображающая (2У-) 2 на ©2. Пусть Xt ^ Х2 ^ ...— собственные значения оператора /33: Пт =of>0, 1/^17— ортонормиро- ванный базис в ©2, составленный из собственных векторов оператора /3»: J3Sfk = Mk (^ = 1, 2, ...), а {ек}7 — {ортонормированпый базис в ©ь Определим на ©г = ©1® ; Ф ©2 оп_ератор У е St 5, положив Vek = ek+t (& = 1, 2, ...), V/i = VX1e1, Vfh+1 = "VXk^/Xhfk (& = !, 2, ...). По построению 9L = ©у. Оператор У не допускает /-унитарных расширений У, ибо в противном случае оператор У|©2 (eSt(^i, 5г)), действующий из Л-пространства 51 — ©2® ®(©г)2 в ^-пространство ^г = Lin {ej ® ©2 ® (©^г с Л = = /|^,-, s = 1, 2, имел бы (Л, /2)-унитарные расширения
:^0*307
У!^, что невозможно в силу леммы 2.7, поскольку v(©J = = 0, a v(V©2)=l. *
Приведенный пример показывает, что при решении вопроса о существовании (Ji, /2)-унитарных расширений у оператора V е St(^t, ^2) следует учитывать пе только характеристики пространств ©у-1 и Э?^], но и «действие» оператора V.
. Пусть (S£, 87) — максимальная равномерно дефинитная дуальная пара в бц ®у = ®014-J ®i (4-1 ®2 — — (S^, Sy )-разложение области определения оператора У е St(5i, -бг), a 9?у =9t0[+]y©1[-i-]y©2— разложение его области значений. Выберем в ^2 такую максимальную равномерно дефинитную дуальную пару (S^, S^)’ что V ^v П Sf) cz S2 , и введем в рассмотрение следующие постоянные v+ (У) и V- (У):
0, если в ©V-1 пли в Sy11 существует бесконечномерное равномерно отрицательное (соответствен- v^ (У)—Ino равномерно положительное) подпространство;
dim (©[у‘1 Л Sf) + dim (У©2 П 82 ) — dim^1 Л П Sf) в противном случае.(2.4)
Замечание 2.9. Если в Sy, 9ty, ©VL1 и ^у"1 нет бесконечномерных равномерно дефинитных подпространств, a ©ysSl+^i), 9?v е №*" (62), то у-(У) = 0, av+(y) = v(Sv)-v(©a.-
Нашей ближайшей целью будет доказательство независимости v±(y) от выбора дуальных пар (8*, St ), i = l, 2. Этому предпошлем следующее утверждение.
Лемма 2.10. Пусть ^— 1-пространство, ©— его подпространство, a U — 1-полуунитарное 1-бинесжимающее {1-бинерастягивающее') расширение оператора Л©. Тогда условие <ХМ{9) влечет существование в ©l±1 бесконечномерного равномерно отрицательного {равномерно положительного') подпространства.
□ Пусть © = ©„[+]©,[+]©,— («6^4 ^~) -разложение подпространства ©, a U — J-полуунитарный /-бинесжимаю- щий оператор. Так как ©0 и ®о±] инвариантны относительно операторов U и Uc, то согласно упражнению 20 к § 4 гл. II оператор U индуцирует в /-пространстве б = = ©^/©о J-бипесжимающий J-полуунитарпый оператор U, причем Л7]© = /]©, где © = ®/S0. При этом 9?^ 4={0}
тогда и только тогда, когда ^^^^{б}, а ©ш содержит бесконечномерное равномерно отрицательное подпространство тогда и только тогда, когда этим свойством обладает ©Ц1 = ©ш/©0. Поэтому без ограничения общности будем считать, что ©0 = {0}, т. е. ©, а с ним и ©ш и ©х — невырожденные подпространства.
Согласно предложению 4.14° гл. II для /-бипесжима- ющего оператора U имеем, что SRo"1 ( = Кег 17е) —равномерно отрицательное подпространство, и потому без ограничения общности будем считать, что З!^ <=6~. Предположим, что Э?^1 ¥= (0) и вопреки утверждению ©ш не содержит бесконечномерных равномерно отрицательных подпространств, т. е. (см. упражнение 7 к § 6 гл. I) оператор Грама каждого неположительного подпространства из ©ш является вполне непрерывным. Пусть U = = II Uц1|Ъ=1, J = II Jа 0,>=1 — матричные представления операторов U и J относительно разложения ^ = ©®©х. Так как йц"1 с ^“ и © ед 9?^, то Ж у11 cz ©х (= J©U]), причем Э?^ = 91ц22 П S^ = ^^П ®х- Непосредственными вычислениями с учетом упражнения 7 к § 3 гл. I проверяем, что /-полуупитарность оператора U эквивалентна .соотношениям: a) 91/^rj^ <= Sj22, Т/12 = —/21/^ (72— — U22); б) U22J22U22 J22 = 12.Так как Kert7* =
= Э?и22 П ®\ а условие б) — условие /22-полуунитарно- Сти оператора Ц^мУ = J22U22J22, то %, * у = Э?^ -22
^= (Ker t/^)1-"1"1). Пусть ©х = ©+ [-4-] ©1— каноническое разложение S1-, а Р±— проекторы на ©±, ^+ + Р- =
■ Из соотношения а) и полной непрерывности J22 ( ©_ . следует, что оператор Т = P-J^ Ц2 — U2^ J221 ©_ = = 1- — P-J2iU221 J 221 ©_ вполне непрерывен, а потому P'_J22U22J221 ©1 = 1_ — Т. Так как J22U22J22 — J22- -полуунитарный оператор, то Ker ^P_Ji2U22J221 ©_). = = {0} и потому SR z _^ = ©_. Отсюда заключаем, что J22 U22J22&-—максимальное в ©х отрицательное подпространство. Ио отрицательно и подпространство "Ker U22 (=/={0}), которое /-ортогонально 9?/ * у,— полу- \U22j
чили противоречие.
Утверждение леммы в случае, когда U — J-бинерастя- гивающин оператор, доказывается аналогично. ■
Лемма 2.11. В определении (2.4) v±(V) не зависит от выбора дуальных пар (8^, Sf), i = 1, 2.
□ Проверим, что v+(y.) не зависит от выбора (^1\ 8~), У= 1, 2. Для v-(E) рассуждения аналогичны. Если в ®yL1 есть бесконечномерное равномерно отрицательное подпространство, то v+(F) = 0 но определению не зависит от выбора дуальных пар. Пусть в ®[/^ все равномерно отрицательные подпространства конечномерны.
Без ограничения общности будем считать, что разложения (2.1) и (2.2) связаны соотношениями V©i = 8tj, i = 0, 1, 2, а потому вычисленная по дуальным парам ^t> ^i ), i = 1, 2,постоянная v+(E) = Vi совпадает с разностью dim (S^3 П ^i ) — dim (S1^1 n^2 )• Введем в рассмотрение 71-прострапство ^ и .^-пространство &, положив
$i[®]$+, /1|£н = ^+, если v^O, ^ДФ]^-!©]^^, Л|Фк = ±/±, если ^<0;
^2 —^2 —^(©l^ [Ф1$+, Л!^'2 = Ф^^, если ^>0,
^2 —
^2 —
$2[Ф1$+> Л|‘§+=^+, если v^O,
где dim^ =!vj, а ф+ — бесконечномерное пространство с dim $+> max {dim ^t, dim^2}. Ясно, что постоянная v+(V) = v1 (см. (2.4)), построенная no(£i\ ■§?), i = 1, 2, равна пулю, и нам достаточно проверить, что опа не изменится для любых максимальных равномерно дефинитных дуальных пар ^ti ^Г), i = 1, 2, содержащих (^+, £о ), гДе ^ = <6 , если ^- входит в рассматриваемое пространство ф< (i= 1, 2), и ф0 = 19} в противном случае. Так как v, = 0, то, повторяя рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 2.2, можно доказать, что у оператора V существует (Л, 72)-унитарное расширение Гь Пусть v2 — постоянная (2.4), вычисленная по некоторым другим дуальным парам (^i , ^i ), i = 1, 2, указанным выше. Опять обращаясь к доказательству теоремы 2.2 и используя лемму 2.7, можно показать, что у оператора V существует максимальное (А, 72)-изометрическое расширение У2е81(41, Фа), нричем один из
операторов Г2 или У?1 задан на всем пространстве, а ортогональное дополнение к его области значений отрицательно и имеет размерность |v2l. Пусть таким оператором будет Г2 (для УГ1 рассуждения аналогичны). Тогда оператор У? ч является /уполуунитарным ^-бипесжимающим расширением оператора 7|®у и ©V1 нс содержит бесконечномерных равномерно ^отрицательных подпространств. В силу леммы 2.10 ■ У1 :У2— J v унитарный оператор, а потому^ У,— (7), 72)-унитарный оператор, что влечет равенство v2= 0. в
Перейдем теперь к основному результату этого параграфа.
Теорема 2.12. Оператор У е St(6n 62) допускает (7,, 72) -унитарные расширения V тогда и только тогда, когда v+ (У) = v-(P) = 0 и существует оператор У, е eSt(^i, 62), отображающий ©V"1 на
□ Пусть У—(7,, 72)-унитарное расширение оператора У. Тогда положим УI ©у±] = У, е St (6lt б2) и ясно, что У1©|1Л1 = SU1/1- Равенства v+(У) = v-(y) = 0 вытекают из леммы 2.11 с учетом того, что это так для дуальных пар (б?, ^i ) и (Уб^, УбГ).
Обратное утверждение будем доказывать в несколько этапов.
Пусть сначала м+(У) = у~(У) = 0, а ©[/] и ^V1 пе содержат бесконечномерных равномерно дефинитных подпространств. Повторяя рассуждения, использованпые при доказательстве теоремы 2.2, получим, что оператор У допускает (7Ъ Л)-унитарные расширения.
Пусть ©у"1 содержит бесконечномерные равномерно дефинитные подпространства обоих знаков, Vt е gSI(6i, 62), Л®1/1 = ^yL1, а У' (sSt(6<, 62)) —максимальное (7„ 72)-изометрическое расширение .оператора У. Остановимся па случае, когда У'— (Д, 72)-полуунитар- пый (7,, 72)-бинесжимающий оператор, и покажем, что его можно «подправить» до (7f, 72)-унитарного расширения У оператора У. Остальные случаи проверяются (с учетом следствия 2.3) последовательным применением аналогичной процедуры. Так как ©у11 содержит бесконечномерные равномерно отрицательные подпространства, то и Я^"1 (= У^И1) обладает этим же свойством. Пусть 82 — такое подпространство из 91у±], содержащее
Si^1, a 8, = V?1^- Так как dim 8, = dim (7'8, [-j-] giVc3), a 8t и V'8i [Ц-] 9iV,] —равномерно отрицательные подпространства, то существует оператор Изе St $и ^2), отображающий 8, па 7 82 [-(-] Ш1^1. Осталось положить
Vx =Vx =V'x, же8[1±], 7^, is 8rV'x, же8[1±], 7^, is 8r
Vx =
Vx =
V'x, же8[1±], 7^, is 8r
V'x, же8[1±], 7^, is 8r
Пусть теперь S^ содержит бесконечномерные равномерно дефинитные подпространства одного знака и только конечномерные — другого злака, v+ (7) = v- (7) = = 0. В этом случае следует применить сочетание рассуждений этапов а) и б). ■
Замечание 2.13. На этапе а) в доказательстве обратного утверждения теоремы 2.12 существование оператора 71 не было использовано, а на этапах б) и в) в этом доказательстве оператор 7t использован лишь при отыскании в SV±] бесконечномерного равномерно дефинитного подпространства той же размерности, что и соответствующее выбранное подпространство в Я |Л\
Следствие 2.14. Если в условиях теоремы 2.12 ®[/] = ®8[+]®и1', где S0 = S7 П ®[/3, а ®[" ' - про- екционно полное в 5i подпространство, то существование (Е, J г)-унитарного расширения 7 эквивалентно равенству 1пЧ±] = ЬЯу±]. -
Из условия на ®V-3 следует, что Sr = S0[4-]S', где S' — проекционно полное подпространство (см. упражнение 7 к § 7 гл. I), а потому аналогичным свойством обладают 9?у и 9tV3 (=^о 1+1$U3')- пУСть ®[ 3' = = (&г±])+[ + 1(®Ш)-, а Э?^1' =(^1)+[+](Ши1)-. По условию dim So = dim Йо, dim(St±I)± = dim^gi1-1-1)^,, причем ^ш)±, (д1ш)± —равномерно дефинитные подпространства, а потому существует оператор 7t е St(5i, 52), отображающий ®V 3 на ^V"3- Взяв в качестве соответствующих максимальных дуальных пар (8^, 8^), i = 1, 2, пары пространств 8^ гэ (®[±3)±, 8у :э (д![±])±» получим, что v+(7) = v-(7) = 0. Осталось применить теорему 2.12.
Обратное утверждение очевидно. ■
. Введем понятие х-регулярпых расширений операторов 7eSt(^i, <62) и приведем критерий их существования. Но прежде докажем следующее простое предложение.
;"2.15°. Пусть Г — (7i, 72)-нерастягивающее или {Jt, Jz')- несжиматощее расширение оператора У е St(5i, 5г) на все 5ь допускающее Щ, З^-полярное разложение V = = WR, где оператор W (Jt, 12)-полуунитарен или сопряжен с (72, J s)-полу унитарным, а ],-самосопряженный оператор R удовлетворяет условиям П2 = 7С7 и g(R)^ с [О, оо). Тогда W — расширение оператора V.
Пусть хе Sy. Тогда R2x = VcVx = х, и так как — 1 е р(/?), то и Rx — x. Следовательно, W ^ У. н
Замечание 2.16. Если в условиях предложения 2.15° оператор W (7^ 72)-полуупитареп, то он есть (71, 72)-бирасширение оператора У (см. предложение 1.10°). Отметим также, что если Г — (7Ъ 72)-бинера- стягивающий оператор, то в силу теоремы 1.12 гл. IV он допускает указанное в предложении 2.15° разложение, причем W — (7,, 72)-биперастягивагощий оператор, и потому (см. предложение 1.10°) W— У, 72)-бираспшре- пие оператора V.
Определение 2.17. Будем говорить, что оператор yeSt(5i, 5г) допускает v.-регулярные (а при х = 0— регулярные') расширения, если существует такое лх-про- страпство Понтрягина П« с х(<°°) отрицательными квадратами, что оператор У допускает (7,, 72)-унитарные расширения Г: 5, © Пх -* 5г ® Пх, Jt = Jt® лх, Л = 72 © лх (здесь лх^7 в пространстве Пх).
Теорема 2.18. Пусть У е St(5i, 5г) • Тогда существует такое J-пространство 5, нто оператор У допускает У\, Jг)-унитарное расширение У: 5i ® S ^г ® 5>, 7,- = 71® 7, i = l, 2. При этом следующие условия эквивалентны: оператор У допускает а) регулярные; б) я-регу- лярные; в) (7Ь }2)-бинерастягивающие расширения.
Будем считать, что У *= St(5i, 5г)—максимальный (71, 72)-изометрический оператор. Из следствия 2.3 вытекает, что его дефектные подпространства ®[^] и 9? vJ проекциоино полны. Для доказательства первого утверждения достаточно в качестве 5 выбрать 7-пространство 5+ ® 5~ с бесконечномерными компонентами 5*, dim 5 ^ ^max (dim®VL], dim91^^, и воспользоваться следствием 2.14.
■ Перейдем к доказательству эквивалентности условий -а), б) ив).
б) Тривиально.
в) Пусть V: 51 ® Пх 5г ® Пх — х-регулярное рас- ширеиие оператора У, Пх = П+ ® П-, dim П_ = х < °°,
a Pi — У.-ортопроекторы из 5* на J-пространство ^, = = б, Ф H_, Ji = J ^ ® —1_, i = 1, 2.Из упражнения 34 к § 4 гл. II следует, что P^FPil^ — (Jj, У2)-бине- растягивающий оператор, и так как ®vr-c &К $г cz 5г, то он является расширением оператора V. Воспользуемся замечанием 2.16 и будем считать, что, например, оператор К~‘ имеет (J2, У i)-полуунитарное (Л, У^-бине- растягивающее расширение V' (если V имеет (J i, У2) полуунитарное (У1, У2)-биперастягпвающее расширение, то рассуждения аналогичны). Пусть V = j Ту ^j=i — его матричное представление относительно разложений ■6г = 5*2 ® И-, ^ = ^ ® И_, а х+ = dim9i~>]. Тогда оператор V' = V (КетТ21 является (У1? У2)-изометрическим расширением оператора V-1, и так как dim ф21 Кет ^21 < <оо, то SKz и 9?^ разлагаются в прямую сумму изотропных и проекционно полных подпространств. Пусть In ®V'] = (х0, х',, х'_). Тогда In 9lV^] = (х0, х'++ х+, xl). Так как П_ cz ©V'1 и П_ с Э1\А\ то1п№] П 5а) = (х0, х+, х_ —х), a In (fR^1 0 ^) = (х0, х7 + х.( , х'_ — х), причем dim (З)^'1 П $2) = х0 + х+ + х! — х < оо. Теперь, проводя рассуждения, аналогичные примененным при доказательстве следствия 2.14, получим, что у У"1 существует (Л, Л)-полуунитарное (У2, У^-бинерастягивающее расширение, (У2, 71)-сопряженное к которому и будет искомым расширением оператора V.
=> а) Воспользуемся вновь замечанием 2.16 и будем считать, что, например, у оператора У-1 существует (У2, У^-биперастягивающее (У2, У1)-полуунитарное расширение W. Так как (см. замечание 4.29 гл. II и предложение 4.14° гл. II) Slw1—равномерно положительное подпространство, то в силу следствия 2.14 оператор W имеет (72, 7f)-унитарные расширения W: ^2 ® 5 51 ® 5» Ji = J,®I, i = l, 2, где ^ — бесконечномерное пространство с dim 6 ^ dim 91 и^1. Следовательно, W-1 — регулярное расширение оператора V. м
В заключение введем некоторые определения, касающиеся У-эрмитовых операторов, а соответствующие результаты, получающиеся из изложенных выше применением преобразований Кэли — Неймана, сформулируем ниже в виде упражнений 6—13.
Определение 2.19. Оператор В назовем J-бирасширением /-эрмитова оператора Л, если Л с В и график Га изотропен в Гв по форме
[<^, х^, <yt, z/2>]r = f([^, Z/г]-[^2, 2/1])
(формула (1.4) тл. П).'
Множество замкнутых /-эрмитовых операторов А с точками регулярного типа (Хо, X») (Х0^Х0) будем называть ^-стандартным и обозначать символом St (5; М (=St(& Io))-
Определение 2.20. Будем говорить, что оператор Лез St (^; Хо) допускает х-регулярные (0 $2 и < °°) Хо- стандартные расширения, если существует такое лх-про- страпство Понтрягина Пх с и отрицательными квадратами, что в /-пространстве 5 — 5 ® 1U (7 = / © лх) /-эрмитов оператор Л имеет /-самосопряженное расширение Ле St (^; Хо). При и — 0 такие расширения будем называть регулярными.
Упражнения и задачи
Пусть У е St (^t, ф2). Доказать, что v±(F-1) = —v±(F) (Азл зов).
Указание. Воспользоваться формулой (2.4) и леммой 2.11.
Пусть V е St ($ь ф2), V имеет хотя бы одно (/,, /2)-унитар- пое расширение, ©^/1 и 9(1/1 не содержит бесконечномерных равномерно дефинитных подпространств. Доказать, что тогда каждое максимальное (/,, /2)-изометрическое расширение V (eSt(^b ф2)) оператора F является (/ь /2)-упитарпым (Азизов).
Указание. Доказать, что х±(Г) =0 для любого расширения Г е St (фь &) оператора V.
Пусть V г St (Пи , П.^).Доказать, что V допускает (/ь /2)- упитярные расширения тогда и только тогда, когда Xi = х2 и dim ©(/-I = dim Я1/1 (ср. [XIII]).
// Указание. Воспользоваться теоремой 9.11 гл. I и следствием 2.14.
V 4. Доказать, что в условиях следствия 2.14 проекционная пол- Хота S^d' существенна..
: • Указание. Воспользоваться примером 2.8.
■ '5. Пусть А — /-эрмитов оператор, В — его расширение, ©в =
== 5- Доказать, что В будет 7-бирасширением оператора А тогда в только тогда, когда А с Вс.
•■ Указание. Воспользоваться предложением 1.3° гл. II. _
Пусть А — /-эрмитов оператор, В — его расширение, X =^ X, Х^Ор(й). Доказать, что В является /-бирасши рением оператора А тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли — Пеймана Жк(В) является /-бирасшпреппем /-изометрического оператора ЗГх^А).
Указание. Воспользоваться определениями /-бирасширений /-симметрического и /-изометрического операторов, а также формулами (6.29) гл. II и (6.31) гл. II.
Доказать, что Л е St (ф; Хо) тогда и только тогда, когда Хо ^ Ср (Л) и 3£^ (Л) ее St ф.
У к а з а и и е. ■ Воспользоваться предложением 6.11° гл. II.
Пусть Л е St (5; Хо). Доказать, что среди его максимальных /-симметрических расширений существуют операторы А е St (^; Хо) (Азизов).
Указание. Сопоставить результаты упражнений 6, 7, теорему 2.2 и следствие 2.3. . '
Доказать, что /-симметрический оператор Л е St (ф; Хо) будет максимальным /-симметрическим оператором тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:
. — равномер- о1. — равномер- о1а) Хоер(Л); б) Хоер(Л); в) $д"2х01
. — равномер- о1
. — равномер- о1
но дефинитные подпространства разных знаков (Азизов [14]).
Указание. Использовать следствие 2.3, проверив предварительно, что /-симметрический оператор Л е St (ф; Хо) максимален тогда и только тогда, когда максимален /-изометрический оператор ^хй (Л)е81ф.
Доказать, что каждый /-симметрический оператор Л е St (ф; Хо) допускает такие /-бирасширения Ло, что одна из точек Хо или X» является для них регулярной, а другая — точкой регулярного типа и ^д х Г ^А—Xoz — проекционно полные под- иростраислва (Азизов).
Указание. Воспользоваться результатом упражнения 7 и следствием 2.4. .
И. Пусть Л g St (ф; Хо) и у пего существует максимальное 7-диссипативпое расширение Ло с Хоер(Л0). Доказать, что у оператора Л существуют максимальпые /-диссипативные расширения Л е St (ф; Хо) с Хо е р (Л) (Азизов [14]).
Указание. Воспользоваться результатом упражнения 6, замечанием 2.16, предложением 2.15 и предложением 6.11° гл. II. При необходимости учесть замечание 4.29 гл. II.
Пусть Л и Ло те же, что и в упражнении 10, Хоер(Ло), Im Хо <0, 17 0 = Х^ (Лц)- Доказать, что значения резольвент лх0 ® всех /-бирасширений А оператора Л с Хо е р(Л) описываются в точке Хо формулой Яц(л) = (^оu.wy1-1^ 1тХо» где 7^ пробегает множество всех /-бирасширений оператора I1 ^А-х Г еСЛИ прИ ЭТОМ ^° S S*1 ^’ ^°)’ Т0 ^Х» ^^ = ( ^„^о ~ — Z)/2i Im Хо, а при Л# = Л'оператор А будет /-симметрическим
(максимальным /-диссипативным, /-самосопряженным) тогда и только тогда, когда 7^ — /-полуунитарпый (/-биперастягивающий, /-унитарный) оператор (Азизов [14]).
Указание. Воспользоваться результатами упражнения 16 к § 1, упражнения 6 и формулой (6.29) гл. II.
Пусть Л е St (ф; Хо), Im Хо < 0. Доказать, что Л допускает расширения А = Ас е St (ф; Хо) с выходом в некоторое 7-прост-
ранство 5 zd 5- При этом следующие условия эквивалентны: а) Л допускает х-регулярные Хо-стапдартпые расширения Л = Лс; б) Л допускает регулярные Хд-стандартные расширения Л = Лс; в) Л допускает максимальные /-диссипативные расширения Л е St (5; Ко) с Хо е р (Л) (Азизов [14]).
Указание. Воспользоваться теоремой 2.18 и результатом упражнения 6.
Пусть - 5 — /-пространство, 5 ф, § — /-пространство, где / = / ф1/, а Л— /-симметрический оператор. Доказать, что Л до- . пускает /-самосопряженные расширения (ср. с задачей 13).
Указание. Воспользоваться схемой Л ->- /Л -> /Л ф — /Л ->- /Л ф1—/Л = / /Л © — /Л.
Пусть V g St (5i, 5z), а (ф,’, 5~)-разложение подпространства ©г = ©„[+]©, [+]©2 и ($+, 5”)-разложение подпространства Яг = 9?о[4-]9?|[+]9?2 обладают свойством V©,-= SR,-, 1 = = 0, 1, 2. Тогда следующие условия эквивалентны: а) у оператора V существует хотя бы одно (/ь /2)-унитарное расширение; б) существует такой (/i, /2)-унитарный оператор W, что W©r = = 9?г и И7©! = 8?i; в) существует такой (/,. /2)-упитарный оператор U, что US)V = $ч, ^©2 = Я?2; г) существует (/], /2)-изометрический оператор Уь отображающий ©^ на ^У^, и в ПРОСТ" ранстве Крейна У©2[4-] И (©[±1)2 есть такая максимальная (в нем) ■ дуальная пара (8+, С-), что 8=*= П Р©2 = {6} и 8* П Т^й^^г — = {0} (Азизов [14]).
§ 3. Обобщенные резольвентысимметрических операторов
Прежде чем описать обобщенные резольвенты /-симметрических операторов, приведем и докажем ряд вспомогательных утверждений, представляющих, впрочем, и самостоятельный интерес. Одним из понятий, обобщающих понятие «расширения» операторов, является понятие «дилатации» операторов. Если расширение — это процесс, который может происходить как в пределах за' данных пространств, так и с выходом из них, то дилата- . ция происходит непременно с выходом из пространств. ' Определение 3.1. Пусть & — гильбертовы пространства (i —1, 2, 3), Т\ & ~* &■ —ограниченный оператор с ®т = 51. Ограниченный оператор Т: 51 ® &> ~*-6г ® ® фз назовем дилатацией оператора Т, если Т = || Ту ||;д=1, где TU = T, a TV Т12 и Т22 — такие операторы, что Т1гТ^Т2х = О при п = 0, 1, 2, ... Если при этом &— Л-прострапства, а Т— Уа, j2)-унитарный оператор, 7,.= = J, ®J3, J2 = /2 ® /з, то Т назовем (Л, Jг)-унитарной дилатацией оператора Т. Такую дилатацию назовем , к-регулярной, если ^з = Пх с и отрицательными квадра-
тамп; О-регулярпые дилатации будем называть регулярными.
Замечание 3.2. Если в условиях определения 3.1 Т— расширение оператора Т (это эквивалентно равенству Т2, = 0), то очевидно, что Т — дилатация оператора Г.
Однако не всякая дилатация — расширение. В этом мы убедимся ниже, например в теореме 3.4.
Лемма 3.3. Пусть Т: 51 -> 5г — ограниченный оператор с ST = 51, Т; 51 ® 5з 5г ® 5з — его дилатация, а Т; 51 ® 5з ® 5а-*■ 5г ® 5з ®-5а — дилатация оператора Т. Тогда Т — дилатация оператора Т.
По условию операторы Г и 7 относительно соответствующих разложений допускают матричные представления: т = I) Л<;=1, Т = II FyllUi С Тп = Г, Т12ГИТ21 = = 0 и |]Ti3||?=iT”3||r3j|l^0 = ^ (и = 0, 1, 2, ...). Отсюда Ги'^ (l|7y|£^2)17\|ljL2 = Тг№21 + Т13Щ31 + 71—|
+ Лз У Л1зЛ12^220 при п = 0, 1, 2, ..., и оста-
ется воспользоваться определением 3.1. ■
Теорема 3.4. Пусть Т: 5i 5г— ограниченный оператор, действующий из J ^пространства 5, в ]2-простран- ство 52, ST = 5ь Тогда существуют J ^-пространство 5з и (Л ® Л, Л ® Л)-унитарный оператор Т: 51 ® 5з 5г ® 5з, являющийся дилатацией оператора Т.
П Пусть Jv — T*JZT = 7ol71 — T*JZT\—полярное разложение самосопряженного оператора J, — T*JZT, 50 = " $jv—t*j2Ti a Jo ™ То 15о* Отсюда J 0 = J 0 = J3 . Введем в рассмотрение /о-пространство 5о = ©So, гДе 5о — = 50, а = ё j»\= Т0 (к = 0, 1,2,...), И оп-
ределим оператор 7\: 51©5o_*Sa©5oформулой
Tt<x; ж», Xt, .. Л = <Тх; 17, — T*JzT\i,~x, х0, xt, .. .>. (3.1) По построению Т, — непрерывный оператор,®^ = St © 5о и он является (7t ф Jn, J2 ф/о)-изометрическим, т. е. Tj — (jj ф Jo, J2 ф 70)-полуунптарпый оператор. Подпространство 5о инвариантно относительно 7\, и потому Л —дилатация оператора Г. В силу теоремы 2.18 суще-
ствует такое J-прострапство 5, что оператор Т, допускает (/, ®/3, /2 ®/з)-унитарное расширение Г: 51®5з~*"
5г ® 5з, где5з = %0®§,J3 = J0®J. Остается воспользоваться леммой 3.3. ■
Следствие 3.5. Для того чтобы оператор Т в условиях теоремы 3.4 допускал регулярную дилатацию, необходимо и достаточно, чтобы он был (Л, /2)-бинерастя- гиваюи^им оператором.
Необходимость следует из упражнения 34 к § 4 гл. II. Доказательство достаточности можно провести по той же схеме, что и доказательство тооремы 3.4, с учетом того, что JQ = I1 $jv-t*j2t, а оператор 7\ является (А ф.7о, А ф А)-бинерастягивающим. Следовательно, в силу теоремы 2.18 можно положить J = I. ■
Здесь мы обобщим понятие дилатации. (см. ниже упражнение 4) и исследуем специальные классы голоморфных оператор-функций.
Определение 3.6. Пусть Т (р)—голоморфная в окрестности нуля функция со зпачепиями в множестве непрерывных операторов, действующих из пространства 51 в пространство 5г, 2)т(ю =51, а Т = || AjlA=i: А Ф ^s-* -> 52 © ^з — ограниченный оператор с ©г = 51 ® &>• Будем говорить, что функция Т(ц) порождается оператором Т (или оператор Т порождает функцию Т(ц)), если в некоторой окрестности нуля Т(р) = Т<_, + рТ12(/3 — рГ2у 1T2t.
Определение 3.7. Пусть в определении 3.G 5* — /.-пространства (i = l, 2, 3), а Г—(Л ®/3, /2®/3)-упи- тарнып оператор. Тогда будем говорить, что функция Т (р) принадлежит классу П($1, 5г). Если при этом 5з — пространство Понтрягина с х отрицательными квадратами, то будем говорить, что T(p) принадлежит классу Пх(51, 5г) (там, где это не будет вызывать недоразумений, символы 51, 5г в обозначениях классов будем опускать).'
~ Лемма 3.8. Пусть Т = || Тр^.р-г 5t Ф 53^" 62 Ф S3, Т = II ^til^j-p 5] Ф 53 Ф Si-*-б2 Ф 53 Ф 64 ■— ограниченные операторы, ®т = 51®5з, ®т = 5г Ф 53 + 54 и Т — дилатация оператора Т. Тогда Т и Т порождают одну и ту же оператор-функцию Т(р,у. 515г-
Согласно определению 3.6 следует проверить, что А1 + ^^12(АМ-^22) А1 =
= At + ^II Tti ||U ( А®4 - р 1] Ту ц^)"11| Тп Ц’=2- (3.2)
Условие «Т — дилатация оператора Т» в данном случае эквивалентно системе равенств Ti3T33T3j = 0 (1,7 = = 2, 3), а потому J TdU (II ЛЖ^)* II ^п ||U= TiA 72i (& = 0,1,2).
Остается заметить, что в достаточно малой окрестности пуля равенство (3.2) эквивалентно совпадению рядов 2 ^тгАт21 и S ц т„ц»=3 (|| тиt^ к t1v ци ■ k=0h—О
Лемма 3.9. Пусть Т(ц): ^-* ^г — голоморфная в окрестности нуля оператор-функция. Тогда существуют такие пространство 5з и оператор ^ — II ЛЖ/ $1 © ®-б3-*-У2 ® ^з- что 7(ц) порождается оператором Т.
Рассмотрим голоморфную в окрестности нуля функцию К(ц) = (7(ц) — 7(0))/ц при ц+=0 и К(0)= Т'(0). Для нее по формуле Коши имеем при достаточно малом г > 0
Я
„ , . г X К (.rQК(ге1ф) ,
I£|=i-л
Пусть & — гильбертово пространство1 слабо измеримых функций хДе^ на [—л, л] со значениями в & и с сум- мируемым квадратом нормы: Ц ^3Ц2 = ^ J || х3 (ei<p) ||2dcp< —л
оо, 722 — оператор умножения в & на т^е-^, Т^х^
= ТДге'Дадпри х1е^>1, T12xa =^ J ж3 (егф) <^ф при ж3е — Л
=5з, Ти = Т$у Тогда оператор Т = Ц Ту^у^ определен на & © ^з, ограничен, действует в $2 ® $3 и Т ^ = 7(0) + + цА(ц) = 7М + ц7)2(73 — ц722)~*721. ■
Подытожим изложенные результаты:
Теорема 3.10. Если Т(р); ^->-&— голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, то 7(ц)еП.
Достаточно сопоставить лемму 3.9, теорему 3.4 и лемму 3.8. Я
3. В этом пункте приведем ряд результатов и конструкций, на основе которых будет получен критерий принадлежности 7(ц) классу Пх.
Определение 3.11. Функция ^(Х, ц) двух переменных, определенная на A X А, где А = А* с С, и со значениями в множестве непрерывных операторов, дей-
СТВуЮЩИХ В ГИльиертивОМ Нрострииигвв <у и ииределеиимл на нем, называется эрмитовым ядром, если К(Х, ц) = = Х*(ц, X); говорят, что эрмитово ядро К^Х, ц) имеет х отрицательных квадратов, если для любых конечных наборов {Mi'^ Л,{^}^сС и {xjjс: ф квадратичная форма -
(3.3)(3.3)2 (F (^ь ^) ^i 1 ^ ^t^м-1
(3.3)
(3.3)
имеет не более ,х отрицательных квадратов, а хотя бы
для одного набора их ровно х. В частности, если х = О, то К(Х, ц) называется эрмитово неотрицательным ядром.
TFVCM-F«№1 — ХцTFVCM-F«№1 — Хц□ Пусть ф — /-пространство, F(X): ф-► ф — голоморфная в окрестности Up нуля функция со значениями в множестве непрерывных операторов сбед-ф, a F(X,n) =
TFVCM-F«№
1 — Хц
TFVCM-F«№
1 — Хц
— эрмитово ядро, имеющее х отрица
тельных квадратов. Ниже с помощью ядра поставим в соответствие функции F(X) некоторое пространство Понтрягина nx(F), введем непрерывный оператор Г: ф-* Пх(Г), некоторый я-полуунитарный оператор в nx(F) и выразим через них функцию F(X^.'
Пусть X е Пр, 61 — символ, хк — вектор из ф. Образуем линейное множество 8, состоящее из формальных сумм / = 2 ехжХ1 в которых лишь конечное число х». ¥• 0. Для х^и^
= 2 (F (X, ц) Xx, у^. По условию эта форма имеет х отрицательных квадратов, и если 8 вырождено, а 80 — его изотропная часть, то пополнение факторлинеала 8/8п будет пространством Понтрягина с х отрицательными квадратами (ср. упражнение 6 к § 9 гл. I),— обозначим его nx(F). В дальнейшем изложении отождествим эле^- менты из 8 с соответствующими элементами из 8/80. На= 2 (F (X, ц) Xx, у^. По условию эта форма имеет х отрицательных квадратов, и если 8 вырождено, а 80 — его изотропная часть, то пополнение факторлинеала 8/8п будет пространством Понтрягина с х отрицательными квадратами (ср. упражнение 6 к § 9 гл. I),— обозначим его nx(F). В дальнейшем изложении отождествим эле^- менты из 8 с соответствующими элементами из 8/80. Наэлементов / и g = 2 ekgk определим форму [f,g]0 = xsWp
= 2 (F (X, ц) Xx, у^. По условию эта форма имеет х отрицательных квадратов, и если 8 вырождено, а 80 — его изотропная часть, то пополнение факторлинеала 8/8п будет пространством Понтрягина с х отрицательными квадратами (ср. упражнение 6 к § 9 гл. I),— обозначим его nx(F). В дальнейшем изложении отождествим эле^- менты из 8 с соответствующими элементами из 8/80. На
= 2 (F (X, ц) Xx, у^. По условию эта форма имеет х отрицательных квадратов, и если 8 вырождено, а 80 — его изотропная часть, то пополнение факторлинеала 8/8п будет пространством Понтрягина с х отрицательными квадратами (ср. упражнение 6 к § 9 гл. I),— обозначим его nx(F). В дальнейшем изложении отождествим эле^- менты из 8 с соответствующими элементами из 8/80. На
множестве
®у = Н]/ = S eka?ke8, 2 ^ = 9'
определим оператор V: Vf = 2 ^еХ'гх-Так как
fF/,^/Jo= 2 (^(^t*)^x,№) =
X.nsU^
= 2 ^i= 2 ^i
= 2 ^i
= 2 ^i
= 2+
X,usllr
- 2km, 2
xsup [uSUJ 1 - ?^
ц€=Пр XG^j?ц€=Пр XG^j?1 — л|л1 — л|лX^^ pX^^ p2 tz^^2 tz^^JISJISp XG^y?p XG^y?7-Ц=^, ?№»1 — AJA7-Ц=^, ?№»1 — AJA= [/,/lo,= [/,/lo,
ц€=Пр XG^j?
ц€=Пр XG^j?
1 — л|л
1 — л|л
X^^ p
X^^ p
2 tz^^
2 tz^^
JIS
JIS
p XG^y?
p XG^y?
7-Ц=^, ?№»
1 — AJA
7-Ц=^, ?№»
1 — AJA
= [/,/lo,
= [/,/lo,
то V—л-изометрический оператор в ПХ(Е). Его область значений Шу состоит из векторов 5=2 6хУх^^ таких, XgUj,
что у0 = 9 и 2 УхА = 0. Это множество плотно в ПИ(Е).
В самом доле, если £ -* О, а х е ф, то, используя упражнение 13 к § 9 гл. I, получим etx -* еох, £etx -* 0, и потому любой элемент 2 ^х^х — ^ (^о = 9) приближается
элементами 2 ехжх—£Kt 2 ^хА^Шу, а так как
8 = ПХ(Е), то и Шу = IL(E). Из последнего соотношения следует невырожденность Шу, что влечет обратимость V, а потому (с учетом следствия 4.8 г. II) и непрерывность операторов V и 7-1. Сохраним те же обозначения за замыканиями этих операторов, второй из которых будет л- полуунитарным.
Введем в рассмотрение оператор Г: $ -* 8, положив Гх =-^^1еоХ, х е ^. Для любых х, у^§, ХеИг получаем [Гх, Г^ = [(Е(0))вж, у],[Г^, 8,у]0= А-[(Е(0) +
+m)^L и поэтому Г — непрерывный оператор (см. упражнение 6 к § 9 гл. I). Следовательно, существует оператор Р: nx(F)-*$, причем
ГСГ = (F(0))n, ree^=^(Fc(0) + F(X));r. (3.4)
Так как (см. определение 6.0 гл. II) спектр л-полу- упитарного оператора V 1 за исключенном не более х собственных значений расположен в круге 1^11^1 < 1), то всюду в круге (Xi IXl < 1), за исключением, возможно, не более х точек, существует резольвента (У —X/)-1. Поскольку (У — Х/)(ехЖ- 8o.t:) — Хр.„я:, то Рвця — Ре0;г = = ХР( У — Xi)-l80^, и потому из (3.4) получаем
F(X) = / (F(0)), + Р (У + XI) (V - XI) -Т.(3.5)
Подведем итог проведенным рассуждениям.
Теорема 3.12. Пусть $ — J-пространство, F(X) — голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, принимающая значения в множестве непрерывных заданных на ^ операторов и ядро К (X, ц) = J F ^ ^-^L" — имеет х отрицательных квадратов. Тогда*.
FI.X) продолжается с сохранением этих свойств на круг (Xi IX) < 1), ла. исключением, быть может, х точек;
существуют такие пространство Пн, ограниченный оператор Г: ^ ^ Пх, m-полуунитарный оператор У-1: Пх-*
IL, что справедливо равенство (3.5) при всех Х^а(У), 1X1 < 1. ■
□ Замечание 3.13. В теореме 3.12 оператор У можно считать л-унитарпым, поскольку в силу теоремы 2.18 он допускает регулярные расширения У и (У — ХТ)-1|9?г= = (У — Х/)-‘|Э?г.*
Доказательство основной в этом разделе теоремы 3.16 будет опираться на следующие две леммы, первая из которых является прямым следствием теоремы 3.12.
Лемма 3.14. Пусть Т{Х)*. ^-^ ^ — голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, ядро ЫХ, ц) =
J-TW14M
=—^= имеет к отрицательных квадратов и
1ер(Г(0)). Тогда Т(Х)^ПХ.
О Так как lGp(T(O)), то существует такая окрестность 1У_ пуля, что l^p^T^X)) при ХеЦ0. Положим F (X) = {al + аТ(Х)) (I — Т(Х))~‘ при ХеЦ0. Функция
Z'(X) голоморфна на Ио, и так как -'
1 — pX■
= 2 Re а (I - Т* (ц))-1 ^^Ш^^ Ц—Т (X))-1,
то при Rea>0 функция F^ удовлетворяет условиям теоремы 3.12. Пусть лх-пространство Пх, Г и V те же, что в теореме 3.12, причем (см. замечание 3.13) V — лх-унитарный оператор. Так как ^(Х) выражается через ^(Х) формулой 7’(X) = (Z'(^) — «Z)(Z,(X) + ctZ)-1=Z — — 2 Re a(Z’(X) + aZ)~‘, то, воспользовавшись (3.5), получим I'M = (F(0)—aZ) (F(0) +aZ)~*+X(2yRea(F(0) + + аУ^ТУ-') (Z - Х(У-‘ - 2T(F(0) + a/)-TT*))-‘ X X(2VRear(ZqO) + aZ)-1).
Определим в пространстве 5 ® Пх_ оператор Т = = II ТД.^и где T„ = 2’(0) = (F(0)-aZ)(F(0) + aZ)-‘, Z12 = 21Rea(Z'(0) + aZ)-Tcy-‘, 7^ = 2VRe a T(F(0) + + a/)_|, Тгг = У""1 — 2Г(/'’(0) + aZJ-'py-1. Этот оператор порождает функцию 7’(Х), и непосредственно проверяется (с учетом равенства ГТ= (^(О) )R), что ТСТ = ТТС = 1, т. е. Т — (J Ф лх)-унитарный оператор. ■
Лемма 3.15. Пусть Тв: 51 ^ 5г—непрерывный оператор, S)r0 = 5Х- Для того чтобы существовали такие •к-мерное пространство П- и {jlt J^) -бинерастягиваю- щий оператор Т = || Гу||;,^х» действующий из Ji -пространства 5| = ^1 ф П- в J2 -пространство 5г = 52 Ф ФП—, Ji=Ji ф— 1Д1 = 1, 2), что Тп = Т0, необходимо и достаточно, чтобы операторы J\— T*J2T0 и J^ — ТйТгТ0 имели одинаковое количество xt ^ х отрицательных собственных значений (с учетом кратности').
При этих условиях оператор Т, представим или в виде T6 = RW, где W — (Jj, ЗгУбинерастягивающий (Zlt J^- полуунитарный оператор, a Z?: 5г 5г — ограниченный оператор с Ker И ^ Ker Wc и множество [C\(iK (J iJ^)] П П о (Л) не более чем счетно, или в виде Та = WR', где W'— (/2, ]\)-сопряженный с (J2, J^-бинерастягивающим {h, ]^-полуунитарным оператором, a R': 5» “* 51 — ограниченный оператор с Ker R'c ^ Кег ТУ' и множество о^^ П [C\(R U i^)l не более чем счетно.
D Пусть существуют указанные в лемме подпространство П- и оператор Т. Согласно теореме 1.12 гл. IV опе-
ратор Тг допускает (72, Л)-полярпоо разложение Т'= = Уе5с, где без ограничения общности (в противном случае вместо оператора Т» будем рассматривать оператор То) можно считать V (7Ь 72)-полуунитарным (7Ь 72)-би- нерастягивающим оператором, а 8е обладает указанными в теореме 1.12 гл. IV свойствами 72-модуля. Отсюда Т = = SV. Пусть Pt— ортопроектор из ^х на So i = 1, 2. Тогда То = P^VP, 1$,. * Если 8 = || SdL=i: S2 Ф П_ -> -*S2 Ф И—» а V — || Vи||^;,_ ।: ^ фП_->^>2 ф П_— матричные представления операторов 8 и V, то Та = 5цУи ф + 5|2У2|. Так же, как и при доказательстве импликации б)=>в) теоремы 2.18, докажем, что оператор Уц|КегУ21 допускает (7,, /2)-полуупитнрпоо (7Ь 72)-бпнерастягива- ющее расширение W, и пусть /' — 72-ортопроектор из 5г на &w. Тогда Т„ = (8„Р I.SV (VUW - Р) + 512У211УГ) W = RW. По построению IV обладает свойствами, указанными в лемме, и Ker 11 zd Ker Wc ( = Mv1)- Проверим, что о (7?) П [С \ (У U iR)J состоит не более чем из счетного множества точек. Так как операторы 5ц(Уц1Ус — Р) и 512У211Ус конечномерны, то в силу теоремы 2.11 гл. II достаточно установить, что доказываемым свойством обладает множество а(8иР^ П |С\ (К U iR)l- Согласно следствию 3.5 J» -самосопряженный оператор 8, являющийся J2 -бинерастягнвающнм, допускает регулярную дилатацию S, являющуюся •/2 -унитарным оператором, действующим в J ч -пространство S2 ~ S2 Ф Н~ Ф.П+, Ji = -72 Ф — I- Ф 1+ • Пусть £2 = Яw [-4-1 ^иЛ а 8 = = Ц^цЦ^^— матричное представление оператора S относительно этого разложения S2- Так как a (SL1P)\{0) = = o(PSuP)\{0}, a Р8Р\^ = 8и(=8сп), то достаточно проверить, что множество о^'п) П [C\(R U U i'R)l пе более чем счетно. Из ^/2-унитарности оператора 8 следует, что 1Х — S,, =5о1>521. Пусть Хо — грапич- пая точка спектра оператора 1Х — S^11 Тогда существует такая последовательность {vrn} с 9?w, что 0 < inf Ия:„11 ^ ^ sup 1!жп11 < оо^и (^1 — 8Х1) хп—Хожп->0 при п-* 00 или, что то ^же, S2iSna;n — Xozn->O. Отсюда следует, что ® ^ inf || S^x^n || :^ sup I; |?21^Т| || <^оо И (|5211?21 —^о^г) S^Y^,—>0, а это влечет принадлежность комплексного числа %0 спектру оператора ^г^ю, являющегося(7 — Р^* J'^I — РУ самосопряженным оператором. Так как W — (7t, J^-
бинерастягивающий оператор, то J2-ортогональное дополнение Sty1 к 9?w является пространством Понтрягина с х отрицательными квадратами. Поэтому (см. следствие 3.15 гл. П) о(Л^"^и) П (C\R) состоит не более чем из 2х (с учетом кратности) собственных значений, а потому о ($ц) П |C\(R U iR)] состоит из конечного числа конечнократпых собственных значений. Таким образом, T0 = RW, где R ч. W обладают свойствами, указанными в лемме.
Поскольку Т— (Л,Л) -бинерастягивающий оператор, то в силу следствия 3.5 существуют такие гильбертово пространство П+ и (J}, J2) -унитарный оператор Т = = Il ^У It j=i, действующий из 7-прострапства $х = $х Ф ф (П_ ф П+) в J2 -пространство $2 = 62 ф(П- ф П'+), Ji = Ji Ф лх, ли = — Z_ + Z+, что Тц = То. Непосредственно проверяются равенства Jt—Т 0J 2Т й == ТмкуТ n и /2—TqJ^Tq = Т12тх.нТ12. Следовательно (см. упражнение 14 к § 9 гл. I), операторы Jx— T0JaT0 и J2 — — TqJ^o имеют х4 ^ х и х2 < х отрицательных собственных значений (с учетом кратности соответственно). Напомним, что х, и х2 совладают с количеством отрицательных квадратов форм [(Z,— ^о^о)*, "]i и 1(^2— — ^о^о)',']® соответственно. Поскольку Z,— ТЙТО = =1г- WcReRW = Wc (Z2 - RCR) W, Ker 7? = Ker Wc и Ker Wc — равномерно положительное подпространство, то х, совпадает с количеством отрицательных квадратов формы [(Z2 — RCR) •, ]2. Заметим также, что из условия Ker R Ker Wc следует равенство Z2 — TqTq = Iг — RRC.
Пусть X — линейный оператор. Символом Хф обозначим оператор ei(pX((p=R). Легко видеть, что Z2 — — (R,yR, = 1г — RCR и Z2 — R^R^y = Z2 — RRC. Так как множество а^ П \.C\(R U iR)l не более чем счетно, то существует такое число <р0, что 1 е p(fiq>0). Следовательно, Z2 - RCR = (Z2 - (R^ [(Z2 - R.^ +(Z2-(Z?(ro)c)-1- -/2](z2-z?,Po),z2-z?z?c= (i2-R^ [(Л-^оГ1 + + (Z2—(^R^yy1— Z2](Z2 — (RWoyy а потому Ia—RCR= = (Z2 - (V) (Z2 * M"1 (Z2 * RR4 (Z2 * (Ч)6)"1^ X(^2 — R(s>oy 4T0 11 влечет совпадение чисел Xi и x2.
Обратно, пусть оператор То таков, что каждый пз операторовА—T6J1T6nJ1 — TyJ\Ttt имеет ровно
Xi х отрицательных собственных значений (с учетом кратности). Будем сперва считать, что dim ф, = dim $2. Введем врассмотрение операторы T^ = T0Fn, где ^n = V^q Pt + У~^ р7 (п = 1, 2, ...). При достаточно больших п отрицательный спектр каждого из операторов /j — T^J./Ty^ и J2— Ty^J^^* состоит ровно из х, (с учетом кратности) собственных значений и эти операторы ограниченно обратимы. Обозначим соответственно через Д^ и J^ унитарные части полярных . I- ± Р"'
разложений этих операторов, а РД1 = 11 2", £ = 1,2,
и введем в рассмотрение J V^-J^oCTpaHCT'^ ^V0 = Si ® Si J^ = Л® ДД И операторы Tw - || Т^ |!b=i: ^Д ~> $Л положив Т^ = Т(о\Т^ = I J2 — Т^ДДД* Г/г ^п, т^ = = IЛ - т^*дт^ Г\ т^ - - ДД | j. - t^tVV1* X T^J21 J2 — 7'oZI)Zi71o")*|l/2 Fn, где V„ — унитарный оператор, отображающий $i на ф2 (его существование следует из того, что dim ф, = dim &,) и отображаю
щий при этом Pi,»Si па Р2,„^. Непосредственно провернется, что /—Vi ^ J а ) -унитарным оператор.
Следовательно (см. упражнение 34 к § 4 гл. II), оператор Tw ^ЗД^:где
mW /рС^)mW п— mW)7pW)mW п—т,mW
Ml —1 11 121— ^1,71-12117 12— ^НМ.ПИJ 22 —
“ Р 1,71^22 Рi,m является ^JJ ф -^1,П7 *^2 ®^i»^) -бипе-
растягивающим. Операторы Р^п сходятся по норме к Р^о при «-*оо, где Рцо =^— (i = 1, 2),
Pi, о — ортонроектор на Ker(J1 — T*J2Ttt\ Рг 0 — ортопроектор на Ker(J2 — TyJ^yX aJt,on.Ji,o — частично, изометрические части полярных разложений операторов д - т;дт0 nj2_ Tyjj; соответственно. Выберем
V„ так, чтобы операторы П(1Р1>П сходились по норме к I^Pi.o, где V; Pi.o^i-^ Р^.о^а —изометрия. Тогда оператор Т = || Тц ||-j=1: ^t ф Рцо^-*^ ® ^йо^г с Т^ = = Тй, Т12 = (Р-О (TyJJ* - Л) ^о)‘/2 VP"», Та1 = =(PJj*0J2Ty - J^P^yp, Тм = T^P?,yT*yJaTia и будет
искомым (Л, J^ -бинерастягивающим оператором (Л = ~Т г Ф ^l,0i t- — 1, 2).
Пусть теперь dim ^, ^ dim ф2, а ф — бесконечномерное гильбертово пространство с dim $ > max {dim $ь dim$2}. Рассмотрим оператор ^о1^ действующий из (7t®/^пространства $, ® $ в (J2® /)-пространство §2® § и являющийся расширением оператора То, причем /^'l^^/. Оператор Гц1' удовлетворяет тем же условиям, что и оператор То, и dim (■§, ® ф) = dim (ф2 ® ф), а потому для него справедливо Доказанное выше утверждение. Остается воспользоваться результатом упражнения 34 к § 4 гл. II. ■. .Дн,^^ ’
ОО
Теорема 3.16. Пусть sTl^—^VTt—голоморф- 1=0
ная в окрестности нуля оператор-функция. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
Т^еП’;.
отрицательные части спектров каждого из операторов J j —/./о / состоят не более чем из н от
рицательных собственных значений, а отрицательные часта спектров операторов «/i —1 uJ2 — — р^/гТ№* — из равного количества х4 < х отрицательных собственных значений (с учетом кратности), гдеТ^ = Тю TV' = 2 © Ть, Tw = || Ту |" р=0 — теплицевы k—0
матрицы, действующие из ^^-пространства ^^ в J^- пространство ф^, Ту = 0 при 1>], Ту = Т^ при i ^ Ь ^1^ — $ю Sh^ = &Ф • • • Ф ^л/i = 1, 2; i, j = 0,
n+l
1, 2, n;n = 0, 1,2,.
ядро —!=—= имеет не более x отрица
тельных квадратов, а отрицательные части спектров каждого из операторов J\ — Т0J2Тй и J2 — T0J\T0 состоят из xt =5 х2 собственных значений (с учетом кратности).
а)=>б). Пусть Т(Х)еПх, т. е. существуют такие л„-прострапство Понтрягина Пх = П_ ® П+ с dim П_ = = х < °о и (Jt ® лх, J2 ® лх)-унитарный оператор Т = = II Ту Hi.^i"- $i Ф Пи-> $2 Ф Их, что в окрестности нуля Т’(Х)=7111 + л7’12(7к-ХГ22)-1Л1. Отсюда T0 = Tlx,Tt = = TxJXTTw i = l, 2, .... и J^-TW*J^TW =
= W^., где ^ = 11 f у ||^=0: 6, Ф ... Ф 6^-* ^+1
-^-Щ ф ... ф Пи — диагональная матрица с Та = Т\йТйХ (i = О, 1,4, ...), J№ = || Jy Ц"^»: Пи ф ... ф Пи
п+1
->ПИ ф ... ф Пи, Л, = Ях, i, / = 0,1, 2,..., п\ п = 0,1,2,...
П+1
Так как самосопряженные операторы }(п) имеют по более х отрицательных собственных значений, то из упражнения 14 к § 9 гл. I следует, что и операторы J\"^— '['V'^j^tW имеют не более х отрицательных собственных значений (п = 0, 1, 2, ...).
Справедливость утверждении относительно равенства количества отрицательных собственных значений операторов Ji —P'J^l и J2 —1вытекает
из леммы 3.15 и упражнения 34 к § 4 гл. II.
б)^в). Так как о^!"’-^’0*/^^) П (~°о, 0) состоит не более чем из х отрицательных собственных значений (с учетом кратности), а это эквивалентно тому, ЧТО формы ((^1'') — fW*jWrpW^ ^(n), ^РО) имеют в 6х ф ... ф 61 не более х отрицательных квадратов, то
п+1
для любых конечных наборов векторов {.Т;}’" с 6, и комплексных чисел {XJ1 форма 2 WJ^—T^J^T^^x
X Kt,s , £p,q), ГДе Жт,8=^т, ^s^rs • • •, Xs3?r^ GE 61 Ф • • • Ф 6;, ■■(п+1)раз
s — 1, 2, ..., t; r = 1, 2, ..., m, имеет не более x отрицательных квадратов. Эту форму можно переписать в виде
2((1 — ^"^з) (^А, ^p)i +
T,s,ptq ^-s^q
+ 2 (I-i,j=0/
f f Л - (2 ЧТ1W 2
_ у \ \' i-О / /'f
T,s,p,q1^-s^*4
1 - k\
X (Xs^i) ^ri -Гр)! )•
329
Для доказательства нашего утверждения достаточно проверить, что вторая сумма по г, s, р, q при п -> °° стремится к нулю, если {Xi}i взять из достаточно малой окрестности нуля. Без ограничения общности будем считать Нжг11 = 1 (г = 1, 2, ..., тп), а |Х3|<е (s = 1, 2, ... ..., /) и eJ/2H77l < 1 (/ = 1, 2, ...) (последнее возможно в силу голоморфности Т (X) в окрестности пуля). Так как слагаемых по г, s, р, q конечное число, то проверим, что каждое из них стремится к пулю при п-* «>:
х:-Х" (/Л, ^ + 2 (хг(х^*) /2 (х^) *г> *рX iJ^O <
1 • XsXg
в)=^а). Согласно лемме 3.15 можно считать без ограничения общности, что T6 — RW, где R и W обладают указанными там свойствами. Пусть ере [О, 2л)—такое число, что 1 g р ^R^. Рассмотрим голоморфную в окрестности пуля функцию /?ф(Х)=7’(Х) (И7-,,)0. Эта функция удовлетворяет условиям леммы 3.14, и потому R^K)^ еПх(ф,), т. е. существуют такие лх-прострапство Пх и (Л ® лх)-унитарный оператор Rq> = || Яу.ф^у^: Фг ® Пх-> —^ Ф2 ® Их» что в окрестности пуля /?ф(Х) = 7?и,ф+ + Х/?12, ф(/х —Х/?22, ф)_1^21,ф- Отсюда 7’(Х) = /?ф(Х)И7_ф = = ^и,фИ^-ф + Х/?12.ф(7х — Х/?22, ф)-‘^2i, ф^-ф, и потому Т^ порождается матрицей Т' = | /у |||j=1: фг ф Пи->ф2 фПх, гДе ТXI = R»,ф И7—ф, ^12 — ^12,Ф1 ^21 — ^гКФ^-ф» Т22 = ^22,ф- По построению Т' — (J, ® л„, /2 ® лх)-полууни- тарный (Л ® лх, /2 ® лх)-биперастягивающий оператор. В силу следствия 3.5 оп допускает регулярные дилатации, а из леммы 3.8 следует, что каждая из этих дилатаций порождает функцию Т (X), и потому Т (X) ^ Пх. ■
Пусть теперь ^i = фг = ^ — /-пространство, 7’(ц); ^-* ->■ 5 — голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, фо — /^пространство, а Т —1| Ту lk,;=i: ФфФо~>
Ф Ф Фо — /-унитарный оператор, порождающий функцию /(ц), J = ] ® /0.
Определение 3.17. /-унитарный оператор Т = = 1/у^,2=1 будем называть простым, если у операторов 330
Т и Т^ нет общих вполне инвариантных подпространств.'
Теорема 3.18. Каждая голоморфная в нуле оператор-функция Т^рУ. ^-*^ порождается некоторым простым I-унитарным оператором 7’= ||7’у ||ij=1: $ф$0->- ~>^®^о' Кри этом, если 7*(^)еПх, то в качестве ^0 можно взять пространство Понтрягина с не более чем и отрицательными квадратами.
□ Пусть §3— существующее в силу леммы 3.9 78-пространство, а Т = || ТуЦуу.р б®^-^®^— (7®73)- унитарпый оператор, порождающий функцию Т(ц) (если 7’(ц)еЦх, то в качестве ^3 возьмем пространство Понт- -рягина с по более чем х отрицательными квадратами). Подпространство %’’ = CLin |7’ "-б)-',» является вполне инвариантным относительно оператора 7”, содержит 5, и оператор Т является дилатацией оператора Т" = 7т/|^", а потому (см. лемму 3.8) оператор Т" порождает ту же функцию /(ц), причем Т" является изометрическим оператором в индефинитной метрике, индуцированной (7 ® ® 73)-метрикой в ^". Пусть Р— ортопроектор из 5" на его изотропную часть. Тогда пространство ^о = (7— —Р^Усодержит $, является невырожденным (7 ® G)-
пространством: ^0 = ^®^'. а оператор Т" является (7 ® G)-унитарной дилатацией оператора То = (7— — 71) Т" |& и потому опять-таки в силу леммы 3.8 То порождает ту же функцию 7’(ц). 13 качество пространства ЗУ, возьмем пополнение ^' по норме (Ю1х, я)1/2 (ср. предложение 6.14° гл. 1); за 70 примем расширение изометрической части полярного разложения оператора G па ^0; в качестве Т = || /yllij—i возьмем продолжение оператора Т’о па ^ ® $0 по непрерывности. Ясно, что оператор Т порождает функцию Г(ц) и является /-унитарным, 7 = 7® 70, ^ ® ^о = CLin (Т1”^]^^. Проверим-теперь, что Т прост. Пусть 8 — общее'вполне инвариантное подпространство операторов Т и Тм. Тогда S^1 вполне инвариантно относительно Т, причем § с 8Ш, а потому CLin {Г^]”»cz 8[xl, т. e. 8ш = $®^0, и, следовательно, 8 = (0). Заметим, что если ^3 — пространство Понтрягина с не более чем х отрицательными квадратами, то этим же свойством обладает и ^0. ■
4. Определение 3.19. Голоморфную в окрестности точки Хо оператор-функцию Rx называют обобщенной резольвентой J-симметрического оператора Л, действую
щего в /-пространстве 5, если ^существует такое /^пространство 5п что /-эрмитов в /-пространстве 5 = 5 ® Фп 7 = /®/,, оператор Л допускает /-самосопряженное расширение Л с Х0^р(Л) и Rx = Р,(Л — Х7)~*15, где Р— ортопроектор из 5 на 5- Такую функцию Rx назовем х-регулярной обобщенной резольвентой, если в качестве 51 может быть взято некоторое пространство Понтрягина с % < оо отрицательными квадратами, и регулярной обобщенной резольвентой, если и = 0.
Определение 3.20. Символом Пх0(Л) обозначим
множество всех голоморфных в окрестности точки Хо оператор-фупкций F^: 5->-5, представимых в виде
Г (Л) —Гц + -т— •-=-^12 1^1 л •-22 I 211 гдс
ло X — л0 \ ла л — л0 )
F = || Fy ||ц;=1 — (J ф 7Т) -унитарное расширение оператора /| 91, - в (/© Л)-пространстве 5® Фо -51 —
I А—л-qIл,л0
некоторое /i-прострапство; если 51 — пространство Понт
рягина с х отрицательными квадратами, то это множество обозначим Пх0(Л).
□ Из определения множества Пх0(Л) немедленно следует, что при каждом X из некоторой окрестности точки Хо функция F (К) (^ Пх0 (Л)) является /-бирасширением оператора 7ад0 и голоморфная в окрестности р = 0 оператор-функция
g^ = f( W^-w ) G П.
Обратно, пусть при каждом X из некоторой окрестности точки Хо голоморфная в этой окрестности оператор- функция 7(Х) является /-бирасширением оператора 1дл0- Тогда она принадлежит множеству ПХй(Л). В самом деле, согласно теореме 3.10 С(ц)еП, и потому рмх Р ' ^°(т Хо >--Х0\-1с
' (X) = Гц + -г--— =• r^ r2i, при-
*о А — Ао \ л0 х — хо /
чем(/ ® /^-унитарный оператор F = ||FyЦг.^х: 5®5i~* -*-■6 ®i € в силу теоремы 3.18 можно считать простым. (Заметим, что в качестве 51 можно взять Пх тогда и только тогда, когда С(р)еПм.) Проверим, что F — расширение оператора 1ДХ или, что то же, F2iX = 0 при ^ е 81 A_^i. Пусть это не так. Тогда существует такой
вектор жое8?д_^1, что /-г^^б, и потому 8 s» s CLin^F^”- П Si =#{6} и является вполне инвариантным относительно F и Fto подпространством — получаем противоречие с простотой оператора F.
Таким образом, доказана
Теорема 3.21. Пусть F^K) - голоморфная в окрестности точки Хо функция. Тогда F (А) е П^ (Л) в том и только в том случае, когда при каждом значении А из некоторой окрестности точки Xtt /'(А)—J-бирасширение оператора 1АХ . При этом условия ^F (А) е Пх0 (Л) j и {«HW'^slAэквивалентны. Порожда-
\) I
ющий функцию F(X) оператор ^ “= H'ij 1н,^ч может быть выбран простым. ■
5. Пусть /-симметрический оператор As eSt(S;A0), Im А<, < О, a Ao e St(S; A„)—такое /-бирасширение оператора А, что Аоер(Ло) (существование такого Ло см. в упражнении 10 к § 2), a Un = ^х0 М)-
Теорема 3.22. Соотношения Rx = (Тк — А7)~‘, Тх = -h~^)Ut(U^1 + KJ описывают все
обобщенные резольвенты J-симметрического оператора А в окрестности точки Ао, когда Р(А) пробегает множество Пх„И). В окрестности точкиХ» имеем Иц =- [(Т^ — р/)-1]'-
□ Пусть А — /-самосопряженное расширение оператора А, действующее в /-пространство фы S ® S, и Аоер(Л). Из упражнения 12 к § 2 следует, что (Л - Ао/)-1 =-±^[7хД (Ж)-’ - Л» где и. - /-би- 0 А
расширение оператора U = 2#хД^Ь совпадающее па S
с U„, и Uo j S, = -т^- L а 7х —соответствующее /-бирас- Ао
ширение оператора 1лл0. Согласно тождеству Гильберта для резольвент Rx = ^-Р I —^ (7xot7o(^o^o)-1—
-^l-q/^oC^^-ZlIS. Пусть 7Хо = ЛР0^ - матричное представление оператора Ао. Тогда оператор U = Kx0Utt^UcJjJ)-1 имеет матричное представление U= = llAollt-^, где Uu-FuUMUoY^ Vi2=^- Fti, i^l,' 2-
333
Поэтому в окрестности точки Хо приведенное тождество Гильберта перепишется в виде
L\ Ло - \/.
где F^=Fti ^.2^h,F1ll-^.^LF2УХ- Ло X — Хо \\ X — Хо /
голоморфная в окрестности точки Х6 оператор-функция, являющаяся при каждом X из этой окрестности 1- бирасширепием оператора 1д,х0, т. е. в силу теоремы 3.21 F (X) е Пх0 0). В этой же окрестности точки Хо операторы F (X) Un (С7о^о)-1 являются 7-бирасширениями Оператора U = 3fx0 0)i а потому из 1еос(£7) следует 1е ас(Г (X) х X UMUoY1). Отсюда Rx = (7\— XZ)-\ где Тк = (Хо- - Ao) IF (X) Г7„ ШЖ - 'Г1 + V.
Обратно, пусть/'1 (X) е ПХ()0). Тогда F (X) U^UqU^ 1 — голоморфная в окрестности точки Хо оператор-функция, являющаяся в силу теоремы 3.21 7-бирасширением оператора U = 3fx0 0) при всех X из этой окрестности. Слет < \ v 0 ^о )2 ^ “ ^ \ ТТ (ттстт Vi
довательпо, 7 (ц) = г А=| и0 \иои 0) — голо-
\ Ч - V /
морфная в окрестности точки ц = 0 функция и потому существуют такие 7,-пространство ^ и простой / унитарный оператор U = ||?7^Hf,^!: 6 ф ^-»-^ ф ^и J = J ф!ц что О порождает функцию /(ц). Из результата, приведенного ниже в упражнении 11, следует, что в качестве О можно взять расширение оператора U. Поэтому в силу упражнения 16 к § 1 U = I xQU o^UoUoV1»где
Uо — /-бирасширепио оператора U, совпадающее на ф с
Uo, и U0\^1=-T2-Ii, а /х —соответствующие 7-бирасширения оператора 1а,х0- Так как U a U и 1 е ос([7), то из простоты оператора (7 следует, что 1е0с(С), т. е. существует такой /-самосопряженный оператор Л, что U = = ^Хо(л)- Из упражнения 15 к § 6 гл. II вытекает, что Ас Д, а из доказательства первой теоремы — что R\ =
[
/\ x —X \I-1
+
\ Л0 A — Aq /
+ XJ = (Xo - Xo) [F (X) Uo (C/^o)"1 - ^ГЧ HI- Из определения же обобщенной резольвенты следует, что Иц = = (Rii)c =[(7ji — Р-^)1]” в окрестности точки Хо. ■
. Следствие 3.23. Пусть в условиях теоремы 3.22 Ло — максимальный ]-диссипативный ]-симметрический оператор. Тогда функция ПМ^П^Л) порождает п-регулярную обобщенную резольвенту, и обратно, каждая я-регулярная обобщенная резольвента порождается некоторой функцией из П£0(Л).
□ Пусть функция F (X) е П£о(Л). Тогда 7'((О’™
С /I ^0 Г И Р)\ Г7 руи,7 ~- т
= г -=-! С/оеП , и оператор и, фигурирую-
\ ^о~ЧР /
щий во второй части доказательства теоремы 3.22, может быть выбран х-регулярным расширением оператора U = = ^х0И)- Следовательно, построенная там обобщенная резольвента будет х-регулярной.
Обратно, пусть R% — х-регулярная обобщенная резольвента, порожденная х-регулярным расширением Л: ^ ® Пх § ® Пх оператора Л. Тогда U= М\п (Л) = = IxJJ«i где О о — 7-биперастягивающоо 7-полуупитарпое расширение оператора U, совпадающее с Uo па ф, ж Uox = ^при геПк. Следовательно, IkoU^J^ — J -би- нерастягивающее расширение оператора /а,х0, а потому в силу следствия 3.5 и леммы 3.8 порождаемая этим оператором функция принадлежит Пц(Л). ■
Следствие 3.24. Пусть в условиях следствия 3.23 1 = 1, х = 0. Тогда функция (7\ —XZ)-1 допускает голоморфное продолжение из окрестности точки Хо ■ на С-* На С+ положим {Т^-ХТ}-1 = [(7\ — XZ)-1]C. Это продолжение совпадает в С+ U С с соответствующей регулярной обобщенной резольвентой оператора Л.
_□ В силу результата упражнения 12 к § 2 7\ = (Х0 — — Хо) (^(Х) U„ — Z)-1 + Хо^, а в силу следствия 3.23 можно считать, что F (X) е Пх0 (Л), т. е. существуют такое гильбертово пространство ^t и унитарное расширение
: ^©^i-*^®^ оператора IA-X
11 + ч
X ^0 F
- г1а
ь-ч
2^
и ч
X— X, х-х
Т Xn X Хд2 f _—. _
, Ч х-х0
_0, что F(^ = — 1
Так
допускает
морфное продолжение из окрестности точки Хо на
голо-
С".
При этом продолжение функции G (ц) = F ^ _° ^ ^— \е
г 11° (| р, | «< 1), а потому ^(Х) II < 1, что в силу замечания 6.13 гл. II влечет максимальную диссипативность
операторов Тх при всех X е С Следовательно, С- с: с Р(Л) (см. лемму 2.8 гл. II), и потому (Тх — Х7)~* допускает голоморфное продолжение из окрестности точки Хо на С~. На С+ положим ^Т^ — X/)”1 = [(7\ — Х7)-1]с.
С другой стороны, регулярная обобщенная резольвента Кл оператора А задана на С1" U С и совпадает в окрестности точки Хо с функцией (Л —Х7)-1, а потому Rx = “(Tx-XI)-1 приХеС- и Вц = [(Г- — р/)-1]с при цеС1'. ■
Упражнения н задачи
Пусть ф1 и фз — гильбертовы пространства, Т; ф1 -> ф] — ограниченный оператор с Фт = Фь Оператор Т; ф1Ф1фз ~> Ф1 ® Фз с ®~ = ф^фф3 называют ([XXII]) дилатацией оператора Г, если ЛТ'Чф! = Тп (п = 0, 1, 2, ...), где Pi — ортопроектор из Ф1 ф!фз на фь Доказать, что это определение и определение 3.1 при Ф1 = Фг эквивалентны.
Пусть Т и Т — те же операторы, что и в упражнении 1. Оператор Т будет дилатацией оператора Т тогда и только тогда, когда Z>,(T —ХГ)-'Чф1 = (Г —XZ)-”, п = 1, 2, ..., X е р(Г) П ПР(П (см. [XXII]).
Пусть F Q»^ — голоморфная в окрестности нуля функция со значениями в множестве непрерывных операторов, действующих в /-пространстве ф, и существуют такие пространство Пх с х отрицательными квадратами, непрерывный оператор Г: ф -> Пх, л-по- луунитарпый оператор V-1: ПХ->ПХ, /-самосопряженный оператор S, ®5 = ф, что F (Ч = i6’ + rc(^+X/)(^ — Х/)-‘Г, |Х| < 1, X ^ o(V). Тогда ядро К (X, ц) = J ^ ^А'^ /^ имеет не более
1 — Хц
х отрицательных квадратов (ср. М. Крейн и Лангер [4]).
Пусть Т (X) = 2'о: Ф1 -* ф2 — голоморфная в окрестности нуля оператор-функция. Доказать, что для того чтобы оператор Т; Ф1 Ф'фо~>ф2® Фо порождал функцию Т’(Х), необходимо и достаточно, чтобы он был дилатацией оператора Тй (Азизов).
Доказать, что оператор ?п допускает х-ретулярпые дпдата- ции тогда и только тогда, когда То— (Л, /2)-бинерасгягивающий оператор (Азизов [14]).
Указание. Использовать эквивалентность утверждений а) и б) теоремы 3.16 и результат упражнения 4.
Привести пример такой голоморфной в окрестности нуля J — Т* (р) J'T (X) оператор-фупкции Г(Х): ®i->®2, что ядро —1=—= име-
1— рХ
ет к отрицательных квадратов, по тем не мепее Т (X) ^ IIх.
Указание. Положить 7(Х) = То, где То— (/ь /Д-полуумя- тарный оператор, пе являющийся (А, ^-бинерастягишнощим, и воспользоваться либо результатами упражнений 4 и 5, либо эквивалентностью утверждений а) и в) теоремы 3.16.
Доказать, что в условиях теоремы 3.16 функции '/'"(X) сн 11", Указание. Проверить, что если оператор /' порождает (функцию 7'(Х), то 7'с порождает функцию /'' (X).
Пусть ^Ip) : ф, -> ф2 — голоморфная оператор функция а ок рестности точки р = 0 со значениями а множестве непрерывных операторов (££>тио = Ф1), дейст кующих мп /, и ростра не тип ф, я ^-пространство ф2. Доказать, что ('ледующие утверждении экая валентны:
J - Т* (р) JТ W ./ • 7'(X) Л Г* (И)
ядра —==—1 и —==Д пеотрица-
1 —ИХ. 1 —рХ
те льны;
в окрестности нуля 7’(Х) — (Л, /2)-бинерастягивающие операторы, функция о>+( У (X)) = ТДХ) допускает голоморфное продолжение на крут {Х||Х| < 1} и 17'1 (X) II sg 1;
— Т* (р) т (X)
ядро —1!—=—1 неотрицательно (ср. Л ров |lj).
рХ
У к а з а н и о. Проворят!,, что если Т I] 7"^ М ^_। : фирф-» Фг Ф Ф — (7|, 72)-унитарный оператор (/< ^ /( Ф I, I- I, 2), порождающий функцию 7'(Х), то (о* (О норождлат ТДХ) и обратно.
Пусть в условиях теоремы 3.16 /< = /<, I = 1, 2, а /'(р) удовлетворяет хотя бы одному из утверждений а) — в) этой тиоремы. Доказать, что тогда существует такое лх-прострапство ||н и (Л ® лх, /2 Ф лх)-унитарный оператор Т=Ц Т^ ,;=г: ^ ф 11и -* ->ф2Ф Пх, порождающий ТДр), что Т22 пе имеет нейтральных собственных значений (Азизов).
Указание. Воспользоваться теоремой, 3.18.
Пусть в условиях задачи 9 А = А, /2 = 12 и 7'(р)еП’<. Тогда Г(р) допускает голоморфное продолжение на круг (Х| |Х| < < 1} за исключением, быть может, пе более к точек, которые будут полюсами этого продоля;епия (М. Крейн и Лангер [6]).
Указание. Воспользоваться результатом упражнения 9 и доказать, что функция Т(р) представима в виде произведения 2'(р) = 711(р)Т2(ц), где ТДр) еП°, а Т’Др) еП”, и порождается отрицательным лх-пространством Пк с dim Пх = к.
Пусть 7’(ц) —голоморфная в окрестности точки н = 0 оператор-функция, являющаяся 7-бирасширением /-изометрического оператора U при каждом р из некоторой окрестности точки р — 0. Цоказать, что среди порождающих функцию Т^ простых 7-унй-
88788712 т. Я. Азизов, И, С. Иохвидов
887
887
тарных операторов существует хотя бы один, являющийся расширением оператора U (Азизов).
Указание. Воспользоваться методами доказательства леммы 3.9, теоремы 3.4 и леммы 3.8.
ПРИМЕЧАНИЯ И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК ГЛАВЕ V
Определение преобразования Потапова — Гинзбурга в столь общей постановке по существу ввел Ш м у л ь я и [5] (ср. Аров [1]). Традиционные ПГ-преобразования, когда Ф1 = $2, /1 =/а, впервые ввел и исследовал Потапов [1], а затем продолжил исследования Гинзбург [1]. ПГ-преобразованиям посвящены работы И. Иохвидова [14], [18], Е. Иохвидова и И. Иохвидова [1], Шмульяна [4], [5], Р и ц п е р а [4]. Изложение в тексте, иногда методически по-новому, принадлежит Азизову, однако почти все утверждения по частям можно найти у упомянутых выше авторов. Отметим, в частности, что теорема 1.14 получена независимо и одновременно Азизовым, Е. И о х- видовым и И. Иохвидовым [1] и Рицнером [4].
Вопросами /-изометрических расширений /-изометрических операторов в конечномерном случае занимался Потапов [1], и случве Пх—И. Иохвидов [15], [16] (см. [XIII]); затем М. К рей п и Ш му ль ян [3], Е. Иохвидов [2], [4], [5], Азизов [12], [14] изучали эти вопросы для операторов, действующих в пространствах Крейна. В работе М. Крейна и Шмульяна [3] Фу и йу — правильные подпространства, а в работах Е. Иохвидова [2], [4], [5] dim Я)^1<оо и dim й^^< оо. Последний построил свое исследование на систематическом использовании ПГ-прсобразований (см., например, упражнения 5,6 к $ 1). С учетом сделанных замечаний остальные результаты этого параграфа и методический подход принадлежат Азизову.
п. 1. Понятие дилатации па операторы, действующие из одного пространства в другое, впервые, по-видимому, перенесено и применено Азизовым [14] (определение 3.1). Остальные результаты этого пункта в случае, когда оператор действует в одном пространстве, известны (см. Девис [1], Девис и Фояш [1], Сахпович [1], Кужель [8], [9]). В нашем подходе эти результаты доказаны Азизовым [14], а следствие 3.5 по существу находим у А р о в а [1].
§ 3, п. 2. Функции /Др) из определения 3.6 находим, например, у А ров а [1], где опи называются «передаточными». Лемма 3.8 и теорема 3.10 доказаны Азизовым [14], а лемма 3.9 — Ар о- в ы м [1].
§ 3, п. 3. Исследования этого пункта, проведенные Азизовым [14], стимулированы серией работ М. Крейна и Лангера [3] — [6]. В столь общей постановке для пространств Крейна ни теоремы 3.12, ни леммы 3.14 у этих авторов пет, но наше изложение следует их основным идеям, а зачастую дословно повторяет их рассуждения. Лемма 3.15 принадлежит Азизову. Теорема 3.16 принадлежит Азизову [14]. Частично и в частных случаях она встречается и у других авторов. Отметим упомянутую выше серию работ Крейна, Лангера и статью Арова, которые инициировали по-
явление этого результата. Теорема 3,18 принадлежит Азизову [14].
3, н, 4. Множество 11^ (И) наедено и исследование Азизовым. Ему же принадлежит теорема 3.21 (см. Лаизов [14]).
3, п. 5. Теорема 3.22 принадлежит Лаизову [14]. Форму записи обобщенной резольвенты U^ (7'^ — Х7)~* впервые ввел А. Штраус [1]. Кроме тоги, нами исполыкшипп идеи М. Крейна (см. [IV]) описании всех (икпнцеипых реиольпент через фиксированное расширение оперпторв. Псе-колько подробнее о других подходах к описанию обобщенных резольвент и историческую (‘.правку см. в [II], а также в работах I) т к ина |1|, |2|. Следствие 3.23 принадлежит Азизову |14|, д слсдстпие 3.24 — A. Ill три усу [1]; отметим, что доказательство в тексте, данное Ааииовым, не опирается на результат А. Штрауса,
■ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Монографии, учебники, лекции, обзорные статьи
А з и з о в Т. Я. и ИохвидовИ. С. Лилейные операторы в гильбертовых пространствах с G-метрикой.—УМН, 1971, 26, № 4.
Азизов Т. Я. и Иохвидов И. С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения.— В кп.: Математический анализ, 17 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ). М., 1979, с. 113—205.
Андо (Ando Т.) Linear operators on Krein spaces.—Sapporo. Japan, 1979.
A x и e з e p H. И. и Г л а з м а н И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— М.: Паука, 1966.
Боги ар (Bognar J.). Indefinite inner product spaces.— Berlin: Springer, 1974.
Гинзбург IO. П. и Иохвидов И. С. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой,— УМН, 1962, 17, № 4, с. 3-56.
Гликсберг (Glicksberg I. L.). A further generalization of Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium points.— Pi-oc. Amer. Math. Soc., 1952, 3. [Русский перевод: Дальнейшее обобщение, теоремы Какутани о неподвижной точке г приложением к ситуациям равновесия в смысле Нэша,— В кн.: Бесконечные антагонистические игры. М., ИЛ, 1963.]
Гохберг И. Ц. и Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов.— УМН, 1957, 12, № 2, с. 43—118."
Г о х б е р г И. Ц. и К р е й н М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.— М.: Наука, 1965.
Гринлиф Ф. Инвариантное среднее на топологических группах и их приложения. М.: Мир, 1973.
Далецкий 10. Л. и Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1970.
Данфорд Н. и Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.— М.: ИЛ. 1962..
Иохвидов И. С. и Крейн М. Г. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, I.— Тр. Моск. мат. о-ва, 1965. 5, с. 367—432.
Иохвидов И. С. и К р е й н М. Г. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, II.— Тр. Моск. мат. о-ва, 1959, 8, с. 413—496..
Иохвидов И. С., Крейн М. Г. и Лангер (lohvi- dov I. S., Krein M. G., Langer IL). Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces with an Indefinite Metric.— Berlin: Aka- demie — Verlag, 1982.
Крейн M. Г. Введение в геометрию индефинитных J-прострапств и теорию операторов в этих пространствах,— В кн. Вторая летняя математическая школа, I. Киев, 1965, с. 15—92.
Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1968,
Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1971.
Л а п г e p (Langer Н.) Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces.— Lecture Notes in Mathematics, 1982, № 948, p. 1-46.
Надь К. Пространства состояний с индефинитной метрикой в квантовой теории поля.— М.: Мир, 1969. ‘
Рисе Ф. и С с к с ф а л ь в и - Н а д ь Б. Лекции по функциональному анализу.— М.: Мир, 1979.
С е к е ф а л ь в и-И а д ь Б. и Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве.— М.: Мир, 1970. .
Хилле Э. и Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: ИЛ, 1962.
Журнальные статьи
Азизов Т. Я.
Критерий невырожденности замкнутой линейной оболочки корневых векторов J-диссипативпых вполне непрерывных операторов в пространстве Понтрягина Пх.— Сб. тр. аспирантов, мат. фак. Воронеж, ун-та, 1971, вып. 1, с. 1—5.
О спектрах некоторых классов операторов в гильбертовом пространстве.— Мат. заметки, 1971, 9, № 3, с. 303—310.
О разложении нормированного пространства в прямую или аппроксимативную сумму специальных подпространств.— Тр. НИИ мат. Ворпсж. ун-та, 1971, вып. 3, с. 1—3.
Инвариантные подпространства и критерии полноты системы корневых векторов /-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина Пх,—ДАН СССР, 1971, 200, № 5, с. 1015—1017.
Диссипативные операторы в пространстве с индефинитной метрикой: капд. дисс.— Вороней;, 1972.
Об инвариантных нодпрострпнстппх семсйетив коммутирующих операторов в пространстве Пк.—Фуикциои, апплиа и его прил., 1972, 6, № 3, с. 59 - 60.
О вполне непрерывных операторах, епмоеоирижеяяых относительно вырожденной индефинитной метрики.— Мат. иеследоеа- ния, 7, № 4. Кишинев: АП МССР, 1972, с. 237--240.
Диссипативные операторы в гильбертовом ирп<”мтинтпг (1 индефинитной метрикой.— Изв. АН СССР. Сер. маг., 1973, 37, № 3.
Об инвариантных подпространствах коммутативных семейств операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— Укр. мат. журп., 1976, 28, № 3, с. 293—299.
О равномерно /-растягивающих операторах и фокусирующих плюс-операторах. В кп.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах (тезисы докладов). Минск, 1978.
И. Параметрическое представление операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой.— Ден. ВИНИТИ, 1979, № 1138-79.
О расширениях /-изометрических операторов.— В кн.: XVI Воронежская зимняя математическая школа. Деп. ВИНИТИ, 1981, № 5691-81, с. 21.
О полноте и базисности системы собственных и присоединенных векторов /-самосопряженных операторов класса К (Н).— ДАН СССР, 1980, 253, № 5, с. J 033-1036.
К теории расширений изометрических и симметрических операторов в пространствах с индефинитной метрикой.— Деп. ВИНИТИ, 1982, № 3420-82, 29.
Об одном классе аналитических оператор-функций.— В кп.: VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах. Рига, 1983, с. 7—8.
Азизов Т. Я., Гордиенко И. А. и Иохвидов И. С.
О /-унитарных группах, порожденных /-самосопряженными операторами классов (Я) и К(Я).—Деп. ВИНИТИ, 1980, № 4213-80.
Л в изо в Т. Я. иДрагилеваМ. Д.
0(5 инвариантных подпространствах операторно-коммутативных семейств операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— Тр. НИИ мат. Воронеж, ун-та, 1975. вып. 17, с. 3—7.
Азизов Т. Я. и Иохвидов Е. И.
Об инвариантных подпространствах максимальных /-диссипативных операторов,—Мат. заметки, 1972, 12, № 6, с. 747—754.
Азизов Т. Я., Иохвидов Е. И. и Иохвидов И. С.
О связи между преобразованиями Кэли — Пеймана и Потапова — Гинзбурга.— В кп.: Функциональный анализ. Лилейные пространства. Ульяновск, 1983, с. 3—8.
Азизов Т. Я. и Иохвидов И. С.
Критерий полноты и базисности корневых векторов вполне непрерывного /-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пх,— Мат. исследования, 6. Кишинев: АН Молд. ССР, 1971.
Повое в теории /-растягивающих операторов в Пх.— В кн.: Школа по теории операторов в функциональных пространствах (тезисы докладов). Минск, 1978, с. 5.
А з и а о в Т. Я., Иохвидов И. С. и Штраус В. А.
О нормально разрешимых расширениях замкнутого симметрического оператора.— Маг. исследования, 7, № 1. Кишинев: АН Молд. ССР, 1972.
Азизов Т. Я. и К о н д р а с Т. В.
Критерии существования максимальных дефинитных инвариантных подпространств у операторов в пространстве с индефинитной метрикой,— Деп. ВИНИТИ, 1977, К» 4207-77, 5.
Азизов Т. Я. и Кузнецова Н. Н.
О р-базисах в пространстве Понтрягина.— УМИ, 1983, 38, №1.
Азизов Т. Я. и Усвяцова Е. Б.
Существование специальных неотрицательных подпространств /-диссипативных операторов.—Сиб. мат. жури., 1977,18, № 1.
О полноте и базисности собственных и присоединенных векторов класса Я(Я).— Укр. мат. жури., 1978, 30, № 1, с. 86—88.
О базисности системы корневых векторов /-самосопряженного оператора, порожденного пучком £(Х) = I — XG — К~1Н,— Деп. ВИНИТИ. 1980, № 962-80, 6.
А з и з о в Т. Я. и X о р о ш а в и и С. А.
Об инвариантных подпространствах операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой.— Функцией, анализ и его прил., 1980, 14, № 4, с. 1—7.
Азизов Т. Я. и III л я к м а н М. Я.
.06 эффекте Кюпе — Иохвидова — Штрауса.— Укр. мат. журн., 35, 4, с. 484—485.
Азизов Т. Я. и Штраус В. А.
О полноте системы корневых векторов дефипизируемого оператора в банаховом пространстве с эрмитовой формой,— Тр. НИИ мат. Воронеж, ун-та, 1972, вып. 5, с. 1—6. '
Акопян Р. В.
О формуле следов в теории возмущения для /-неотрицательных операторов. Докл. АН АрмССР, 1973, 57, № 4, с. 193—199.
К теории возмущений /-положительного оператора.— Фупк- цион. анализ и его прил., 1975, 9, № 2, с. 61—62.
К теории спектральной функции /-неотрицательного оператора.— Изв. АН АрмССР. Сер. физ-мат. наук, 1978, 13, Ns 2.
О формуле следов для /-неотрицательных операторов при ядерных возмущениях.— Докл. АН АрмССР, 1983, 77, № 5.
Аров Д. 3.
Пассивные линейные стационарные динамические системы,—Сиб. мат. жури., 1979, 20, № 2, с. 211—228.
А р о п ш а й н (Aronszajn N.)
Quadratic forms on vector spaces.— Proc. Internal. Sympos. Linear Spaces, Jerusalem, 1960. Jerusalem: Acad. Press; Oxford; Loudon; N. Y.; Paris: Pergamon Press, 1961, p. 29—87. [Русский переводы; Квадратичные формы на векторных пространствах.- Маш мп тика (сб. переводов), 1964, 8, Ns 5, с. 102—155.]
А с к е р о в II. К., Крейн С. Г. и Лаптев Г. И.
Задача о колебаниях вязкой жидкости и свниппные с iieMi операторные уравнения.— Функциоп. анализ и его прил., 19(18, 2, № 1, с. 21—31.
Б а я с г а л а п Ц.
О существовании положительного квадратного корни из оператора, положительного относительно Индефинитной метрики.— Studia Sci. Math. Hung., 1980, 15, с. 367—379.
Бенневитц (Beimevilz Ch.)
Symmetric relations on a Hilbert spaces.— Leet. Noles Math., 1972, Ns 280, p. 212—218.
Б о г н a p (Bognar J.)
О существовании квадратного корня из оператора, самосопряженного относительно индефинитной метрики.— Magyar Tud. Acad. Kutato Ini. Kozl., 1961, 6, № 3, c. 351—363.
Об одном явлении разрывности скалпроого произведения в пространствах с индефинитной метрикой,— УМП, 1902, 17, № 1, с, 157—159.
Замечание о двояко-строгих плюс-онсрнторих,—Мат. исследования, 1973, 8, № 1 (27). Кишинев, с. 217—219.
Non-degencrale inner product spacos spanned by two neutral subspaces.— Studia Sci. Math. Hung., 1978, 13, p. 463—468.
A proof of the spectral theorem for /-positive operators.-— Acta sci. math., 1983, 15, № 1—2, p. 75—80.
Бродский M. JI.
О свойствах оператора, отображающего в себя неотрицательную часть пространства с индефинитной метрикой,— У МН, 1959, 14, № 1, с. 147—152.
Виттшток (Wittstock G.)'
Uber invariante Tcilraume zu posiliven Transformationen in Raumen mit indefiniter Metrik.— Math. Ann., 172, Ns 3, S. 167—175.
Гинзбург 10. П.
О /-нерастягивающих оператор-функциях.— ДАН СССР, 1957, 117, Ns 2, с. 171—173.
О /-нерастягивающих операторах в гильбертовом пространстве.— Науч. зап. физ.-мат. фак. Одес. гос. нед. ин-та, 1958, 22, Ns 1. .3. О проектировании в гильбертовом пространстве с билиней
ной метрикой.—ДАН СССР, 1961, 139, Ns 4, с. 775—778.
О подпространствах гильбертова пространства с индефинитной метрикой,— Науч. зап. кафедр, мат., физ. и естествозн. Одес. юс. пед. ин-та, 1961, 25, Ns 2, с. 3—9.
Деби с (Davis Ch.)~,
/-unitary dilation of general operators.— Acta sci. math., 1971, 32, № 1—2, p. 127-199.
Девис и Фояш (Davis Ch., Foias С.)
Operators with bounded characteristic function and their /-unitary dilation.—Acta sci. math., 1971, 32, № 1—2, p. 127—129.
Дергузов В. И.
Ou устойчивости решений уравнений Гамильтона с неограниченными периодическими операторными коэффициентами.— Мат. сб., 1964, 63, № 4, с. 591—619.
Необходимые условия сильной устойчивости гамильтоновых уравнений с неограниченными периодическими операторными коэффициентами,— Вестп. ЛГУ, 1964, № 19, с. 18—30.
Достаточные условия устойчивости гамильтоновых уравнений с ограниченными операторными коэффициентами.— Мат. сб., 1964, 64, № 3, с. 419—435.
Области устойчивости линейных гамильтоновых уравнений с периодическими операторными коэффициентами.— Вестп. ЛГУ, 1969, № 13, с. 20—30.
И о х в и д о в Е. И.
О максимальных /-диссипативных операторах.— Сб. сту- депч. науч, работ, вып. 5 (естественные пауки). Воронеж, 1972, с. 74—79.
О расширениях изометрических операторов в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой.— Тр. НИИ мат. Воронеж, уп тв, 1974, вып. 4, с. 21—31.
О свойствах одного дробно лиiiciinoro операторного преобра- повапия.— УМИ, 1975, 30, № 4, с. 243-244.
О /-унитарных расширениях /-изометрических операторов с равными и конечными дефектными числами.— Тр. НИИ мат. Воронеж. ун-та, 4975, вып. 17, с. 34—41.
Описание /-унитарных расширений /-изометрических операторов с равными и конечными дефектными числами.— ДАН СССР, 1976, 228, № 4, с. 783—786.•
О замыканиях и ограниченности линейных операторов некоторых классов.— УМН, 1979, 34, № 5, с. 217—218.
Критерий замыкаемости и ограниченности линейных операторов некоторых классов.— В кн.: Функциональный анализ. Ульяновск, 1980, вып. 15, с. 90—96. .
О линейных операторах, /-перастягивающих одновременно со своим сопряженным.— Деп. ВИНИТИ, 1983, № 3284-83.
О максимальных /-изометрических операторах,— В кн.: VIII школа по теории операторов в функциональных пространствах: тезисы докладов. Рига, 1983, с. 104—105.
И о х в и д о в Е. И. и И о х в и д о в И. С.
О глобальном обращении одного дробно-линейного операторного преобразования.— Тр. ПИИ мат. Вороник, ун-та, 1973, вып. 11, с. 64—70..
Иохвидов И. С.
Унитарные операторы в пространстве с индефинитной метрикой.— Зап. НИИ мат. и мех. Харьков, гос. ун-та мат. о-ва, 1949, № 21, с. 79-86.■
О спектрах эрмитовых и унитарных операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— ДАН СССР, 1950, 71, № 2.
Унитарные и самосопряженные операторы в пространстве с индефинитной метрикой: Диссертация.— Одесса, 1950.
л
Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой,—Тр. 3 го Всесоюзп. мат. съезда, 1958, 3, с. 254—201.
Об ограниченности /-изометрических операторов.— УМП, 1961, 16, № 4, с. 167-170.
О некоторых классах операторов в пространстве с общей индефинитной метрикой.— В ки.: Функциональный анализ и его применение. Баку: ЛИ ЛзССР, 1961, с. 90—95.
Сингулярные линеалы в пространствах с произвольной эрмитово-билинейной метрикой.— УМН, 1962, 17, № 4, с. 127—133.
Об операторах с вполне непрерывными итерациями.— ЛН СССР, 1963, 153, № 2, с. 258-261.
Новая характеризация пространств Пх — Тезисы науч. конф. Одес. ипж.-строит. ин-та. Одесса, 1964, с. 173.
Об одной лемме К. Фана, обобщающей принцип неподвижной точки Л. И. Тихонова,— ДАН СССР, 1964, 159, № 3, с. 501—504.
И. О сингулярных линеалах в Пространствах Пи — Укр. мат. журп., 1964, 16, № 3, с. 300—308.
G-изометрические и /-полуунитарпые операторы в гильбертовом пространстве.— УМН, 1965, 20, № 3, с. 175—181.
О максималь пых дефинитных линеалах в гильбертовом пространстве с G-метрикой.— Укр. мат. жури., 1965, 17, № 4.
Дробпо-липсмпыс преобразования /-перастягивающих операторов,— Докл. ЛИ ЛрмССР, 1966, 42, № 1, с. 3—8.
Унитарные расширения изометрических операторов в пространстве Понтрягина П] и продолжения в классе Sg, конечных последовательностей класса SpLn.— ДЛИ СССР, 1967, 173, №4.
О спектральных траекториях, порождаемых унитарными расширениями изометрических операторов сдвига п конечномерном пространстве П,.— ДЛИ СССР, 1967, 173,5, с. КШ2 1005.
О банаховых кроетртятяях с / метрикой и некоторых классах линейных опер»горой я ошх прог।рощ ।ши. Инн, ЛИ (1ССР. Сер. физ.-техн, и мят. ппущ 1968, № I, г. 6(1 НО,
06 одном классе дробно лшн Ипых опора горных lt|u>uh|IH- овапий.— В кп.: Сборник нитей по 1||уп1щиоца н.пым 11|Я)ГТ|1П11> твам и операторным уравнениям. Воронеж, 197(1, г. IH 44.
О пространствах финитных ши'ледошпе.иы|ос1гй С ЦеНМ' рожденной эрмитовой формой.— Тр. ПИИ мат. Воронеж, уи тв, 1(>7В, вып. 20, с. 30—38.
О некоторых новых идеях и результатах в теории линей пых операторов в пространствах Пх.— В шь: Теория операторных сравнений. Воронеж: Изд. Воронеж, ун-та, 1979, с. 33—43.
Регулярные и проекциоппо полные линеалы в пространствах с общей эрмитово-билинейной метрикой.— ДАН СССР, 1961, 139, № 4, с. 791—794.'-
И о х в и д о в И. С. и Э к т о в IO. С.
Интегральные /-неотрицательные операторы и нагруженные штегральпые уравнения.— Докл. ЛН УССР, 1981, № 6, с. 15—19.
Эквивалентность трех определений эрмитово-неотрицательных ядер и функциональная реализация порожденных ими гильбертовых пространств.— Ден. ВИНИТИ, 1983, № 2384-83.
И о п а с (Jonas Р.)
Bine Bedingung fur die Existonz einer Eigcnspektralfunktion hir gewisse Automorphismen lokalkonvexer Raume.— Math. Nachr., 1970, 45, S. 143-160.■
Uber die Erhaltung der Stabilitat /-positive Operaloron boi 'ositiven und /-negativen Storungen,— Math. Nachr., 1975, 65.
Zur Existenz von Eigenspcktralfunktioncn fur /-positive Ope- ratorcn, I.— Math. Nach., 1978’, 82, S. 241—254.
On the functional calculus and the spectral function for defi- nizablo operators in Krein space.— Beitrage Anal., 1981, 16, S. 121— 135.
Compact perturbations of definitiable operators, IL—J. Operator Theory, 1982, 8, p. 3—18.
On spectral distributions of definilizable operators.— Banach Centro Publications, 1982, 8, p. 301—311.
On a class of /-unitary operators in Krein space.— Preprint Akad. dor Wiss. dor DDR, Inst, fiir Matheinatik, Berlin, 1983.
Ио пас и Лангер (Jonas Р., Langer Н.)
Compact perturbations of definilizable operators.— J. Operator Theory, 1979, 2, p. 63—77.
Some questions on the perturbation theory of /-nonncgalive operators in Krein spaces.—Math. Nachr., 1983, 114, S. 205—226.
Копачевский H. Д.
Теория малых колебаний жидкости с учетом сил поверхностного натяжения и вращения: Диссертация,— Харьков, 1980.
О свойствах базиспости системы собственных и присоединенных векторов самосопряженного операторного пучка I — ХА— Х-1В.— Функцион. анализ и его прил., 1981, 15, № 2.
О р-базиспости системы корневых векторов самосопряженного операторного пучка I — ХА — Х~'В.— В кн.: Функциональный анализ и прикладная математика. Киев, 1982, с, 55—70.
Костюченко А. Г. и Ора зов М. Б.
О некоторых свойствах корней самогон ряженного квадратного пучка.— Функцион. анализ и его прил., 1975, 9, № 4, с. 28—40.
Красносельский М. А. и Соболев А. В.
О конусах конечного ранга.— ДАН СССР, 1975, 225, № 6.
К р с й п М. Г.
О нагруженных интегральных уравнениях, функции распределения которых не монотонны.— В кп.: Сборник памяти акад. Граве. Киев, 1940, с. 88—103.
Про jiiniiiHi щлком пеперервт оператори в функцюпаль- пих просторах з двома нормами.— Журп. In-та мат. АН УРСР, 1947, № 9, с. 104—129.
Винтовые линии в пространстве Лобачевского бесконечного числа измерений и лорепцовы преобразования.— УМН, 1948, 3, № 3.
Об одном применении принципа неподвижной точки в теории линейных преобразований с индефинитной метрикой,— УМН, 1950, 5, № 2, с. 180—190.
Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— ДАН СССР, 1964, 154, № 5, с. 1023—1026.
К теории нагруженных интегральных уравнений.— Изв. АН МССР, 1965, № 7, с. 40—46.'
Крейн М. Г. и Лангер Г. К.
О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой.— ДАН СССР, 1963, 152, № 1, с. 39—42.
О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуумов.— В кн.: Труды международного симпозиума по приложениям теории функций в механике сплошной среды, т. 2. М.: Наука, 1966, с. 283—322.
О дефинитных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве Пх,— Функцией, анализ и его прил., 1971, 5, № 2, с. 59—71; 1971, 5, № 3, с. 54—69.
Tiber die verallgemeinerten Resolven ten und die charakteris- tische Funktion eines isometrischen Operators in Raume Пх,—Collo- quia Math. Soc. Janos Bolyai, v. 5; Hilbert space operators and operator algebras. Amsterdam: London: North Holland, 1972, p. 353—399.
Uber die ^-Funktion eines n-hormiteschen Operators im Raume Hx.— Acta sci math., 1973, 34, S. 191—230.
Uber einige Forsetzungsproblcme die eng mit dor Theorio hermilescher Operatoren im Raume Пх zusammenhangen, I: Einige Funktionenklasson und ihre Darstellungcn.—Math. Nadir., 1977, 77, S. 187—236;* II: Vcrallgemeinerte Resolventeii, u-Resolventen und ganze Operatoren.— J. Fund Anal., 1978, 30, 3, p. 390—447.
On some extensions problems which are closely connected with the theory of hermitian operators in a space Jlx, 111: Indefinite analogue of the Hamburger and Stieltjes Moment problems.— Beilrage zur Analysis, 1979, 14, S. 25—40; 1981, 15, S. 27- 45.
К p e й n M. Г. и P у т м а и M. A.
Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха,— УМН, 1948, 3, 1, 3—95.
Крейн М. Г. и Ш м у л ь я п 10. Л.
Об одном классе операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— ДАН СССР, 1966, 170, № 1, с. 34—37.
О плюс-операторах в пространстве с индефинитной метрикой.— Мат. исследования, 1966, 1, вып. 1. Кишинев, с. 131—161.
/-полярное представление плюс-операторов,— Мат. исследования, 1966, 1, вып. 2. Кишинев, с. 172—210.
О дробно-линейпых преобразованиях с операторными коэффициентами.— Мат. исследования, 1967, 2, № 3. Кишинев, г. 64—96.
Об устойчивых илюс-опграгорих в J пространствах. В кп.: Линейные операторы. Kbiidiik-ii, Шпшпца, 1980, <■. 67-83.
Крейн С. Г.
О колебаниях вязкой жидкости в сосуде. ДАН СССР, 1964, 159, К» 2, с. 262—265.
Ку ж ель А. В.
Спектральний апал!з кваз!уп1тарпих onepuTopin иершого рангу в простор! с 1ндефш1тною метрикою.— Доп. АН УкрРСР, 1962, № 5, с. 572-574.
Спектральне розкладапия кваз! упитарпих onepaTopin довшьпого рангу в простор! з шдефйитною метрикою.— Дон. АН УкрРСР, 1963, № 4, с. 430—433.
Спектральный анализ ограниченных песамосопряженных операторов в пространстве с индефинитной Метрикой.— ДАН СССР, 1963, 151, № 4, с. 772-774.
Про один випадок гспувания 1пвар1аптпих 1пдпрост^р1в ква- з!уп!тарпих оператор!в в простор! з Птдсфшитпою метрикою.— Доп. АН Укр. РСР, 1966, № 5, с. 583—585.
Спектральный анализ квазиупитарпых операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— В кп.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, вып. 4. Харьков, 1967.
Спектральный анализ неограниченных несамосопряжеппых операторов в пространстве с индефинитной метрикой,— ДАН СССР, 1968, 178, № 1, с. 31—33.
Правильные расширения эрмитовых операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— ДАН СССР, 1982, 265, № 5.
Самосопряженные и /-самосопряженные дилатации линейных операторов.—13 кн.: Теория функции, функциональный анализ и их приложения, вып. 37. Харьков, 1982, с. 54—62.
/-самосопряженные и /-унитарные дилатации линейных операторов,— Функцион. анализ и его прил., 1983, 17, № 1, с. 75—76.
Krone (Kuhne R.)
Uber eine Klasse /-selbstadjungierter Operatoren.— Math. Ann., 1964, 154, № 1, S. 56—69. ■
JI a n rep (Langer II.)
О /-эрмитовых операторах.— ДАН СССР, 134, № 2, с. 263—266.
Zur Spektraltheorie /-selbstadjungierter Operatoren.— Math. Ann., 1962, 146, № 1, S. 60-85.
Eine Verailgemeinerung cincs Satzes von L. S. Pontrjagin.— Math. Ann., 1963, 152, № 5, S. 434—436.
Spektraltheorie linearer Operatoren in /-Raumen und einige Anwendungen auf die Schar 1Д1) = VI + XB + C: Habilitation- schrift.— Dresden, 1965.
SpeklraJIunklionen einer Klasse /-selbstadjungierter Operatoren.- -Math. Nadir., 1967, 33, № 1—2, S. 107-120.
Uber stark gedampfte Scbaron im llilberlraiim.— J. Math. Meeh., 1968, 17, i\ 7, S. 685—705.
О максимальных дуальных парах инвариантных подпространств /-самосопряженных операторов.— Мат. заметки, 1970, 7, № 4, с. 443-447.'
Verallgenicincrle Resolvenlcn nines /-nichtnegativen Operators mil ondlicheiu Did'ekL—J. Funcl. Anal., 1971, 8, p. 287—320.
hivarianto Teilraume definisierbaror /-selbstadjungierter Ope- raloren.— Ann. Acad. Sci. Fenn., 1971, Ser. AI, № 475.
Uber cine Klasse polynomialer Scharen selbstadjungierter Operatoren ini Hilbertraum.— J. Fund. Anal., 1973, 12, № 1, p. 13—29; 1974, 16, № 2, p. 221—234."
Invariant subspaces for a class of operators in spaces with indefinite metric.— J. Funcl. Anal., 1975, 19, № 3, p. 232—241.
Zur Spektraltheorie polynomialer Scharen selbstadjungierter Operatoren.— Math. Nachr., 1975, 65, S. 301—319.
Об инвариантных подпространствах линейных операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой.— ДАН СССР, 1966, 169, с. 12-15.
Лангер и Найман (Langer IL, Najman В.)
Perturbation theory for definitiable operators in Krein spaces.— J. Operator Theory, 1983, 9, p. 297—317.
Лангер и Сорьонеп (Langer IL, Sorjonen P.)
Verallgemeinerle ResolvenUm hcrmitescher nnd isomolrischer Operatoren in Pontrjaginraum.— Ann. Acad. Sci. Fenn., 1974, Ser. AI, № 561.
Ларионов В. A.
Расширение дуальных подпространств.— ДАН СССР, 1967, 176, № 3, с. 515—517.
Об одном коммутативном семействе операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— Мат. заметки, 1967, 1, JV° 5, с. 589-594.’
Расширение дуальных подпространств, инвариантных относительно алгебры.— Мат. заметки, 1968, 3, № 3, с. 253—260.
О числе неподвижных точек дробно-линейного преобразования операторного шара на себя.— Мат. сб., 1969, 78, № 2, с. 202— 213.
О самосопряженных квадратичных пучках,—Изв. АН СССР. Сер. матем., 1909, 33, № 1, с. 138—154.
О базисах, составленных из собственных векторов операторного пучка.— ДАН СССР, 1972, 206, № 2, с. 283-286.
Локализация спектра и двукратная полнота нормальных движений в задаче о движении вязкой жидкости, подверженной •илам поверхностного натяжения,— ДАН СССР, 1974, 217, № 3, 522—525.
О принципах локализации частот и принципе полноты и двукратной полноты корневых функций в задачах лиисИпоП тео- тии колебаний сплошных сред.—Тр. ЦНИИ строит, конструкций, -974, вып. 4, с. 11—20.
К теории линейных операторов, действующих в простраи- твах с индефинитной метрикой.— В кн.: Труды летней школы по •пектральной теории операторов и представлений г[>упн, 1968. Вагу: Элм, 1975, с. 140—148.'
Л о у х и в а а р a (Louhivaara I. S.)
Bemerkung zur Theorie der NevaiilinBnsehen Hauine.— Ann. Acad. Sci. Fenn., 1956, Ser. AI, № 232.
Zur Theorei der Unterriiume in liiionrcn Himnic.n mil iitdefini- 'er Metrik.— Ann. Acad. Sci. Fonn., 1958, Sen1. Al, № 252.
Uber verschiedone Molriken in linemen Jliiimicn.— Ann. Acad.
lei. Fenn., 1960, Ser. AI,№ 282.-
Мак-Енпис (McEnnis B. W.)
1. Fundamental reducibilily of selfadjoint operators on Krein .pace.— J., Operator Theory, 1982, 8, № 2, p. 219—225.
Маркин С. П.
О разложимости линейных пространств с полуторалинейпой формой.— Тр. мат. фак. Воронеж, унта, 1973, вып. 10, с. 107—112.
Масуда (Masuda К.)
On the existence of invariant snbspnce ; in spaces with indb- inite metric.— Proc. Amer. Malli. Sue,, 19/2, 32, A? 2, p. 410—444.
Ваймар к M. A.
О перестановочных унитарных операторах п пространстве Тх —ДАВ СССР, 1963, 149, As 6, с. 1261- 1263.
On commuting unitary operators in space wilh indefinite mel- ic.— Acta sci. Math., 1963, 24, № 3—4, p. 177—189.
Аналог теоремы Стоуна в пространстве с индефинитной детрикой.—ДАН СССР, 1966, 170, № 6, с. 1259-1261.
И е в а н л и п п a (Nevanlinna В.)
1. Erweilerunngcn der Theorie des Bilberlschen Haiimos.--Comm.
5em. Math. Univ. Lund, Tomo Supplement n i t'o, 1*952, S. 160—168.
Uber melrische lineare Hiiiime, II: Bilinear Formen und Ste- (igkeil.— Ann. Acad. Sci. Fenn., 1952, Sen-. AI, № 113.
13. Uber melrische lineare Jliinnie, III; Theorie der Orlhogonal-
systeme.— Ann. Acad. Sci. Fonn., 1952, Ser. Al, № 115.
Uber melrische liiumn1 lliiunie, IV: Znr Theorie der Unler- raume.— Ann. Acad. Sci. Fonn., 1954, Ser, Al, Ai 163.
Uber melrische Гннчие lliiunie, V: Helalionen zwischen ver- schiodenen Molriken.— Ann. Acad. Sci. Fenn., 1956, Ser. AI, N 222.
Ноэль (Noel G.)
Operateurs fortemenl (7) nornianx dans tin espace do type (7).— Bull. cl. sci. Acad. roy. Belg., 1965, 51, As 5, p. 570—585.
Овчинников В. И.
О разложении пространств с индефинитной метрикой.— Мат. исслед., 1968 (69), 3, вып. 4, Кишинев, с. 175—177.
П с с о п е н (Pesonen Е.)'
Uber die Spektraldarstellung quadratischer Formen in linea- ren Raumen mit indefinite! Metrik.—Ann. Acad. Sci. Fenn., 1956, Ser. AI, № 227.
Понтрягин Л. C. 1
Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой,— Изв. АН СССР. Сер. матем., 1944, 8, с. 243—280.
Потапов В. П.
Мультипликативная структура /-перастягивающих матриц- функций.— Тр. Москов. мат. о-ва, 1955, 4, с. 125—236.
Пригорский В. А.
О некоторых классах базисов гильбертова пространства.— УМП, 1965, 20, № 5, с. 231—236.
Р и ц и е р В. С.
Расширение J-эрмитовых операторов в /-пространствах.— В кн.: Исследование работы клееных деревянных конструкций. Хабаровск: ХПИ, 1975, с. 186—195.
Обобщенные резольвенты неплотно заданного аккретивпого оператора в гильбертовом пространстве с индефинитной метрикой.— В кн.: Материалы научно-технической конференции молодых ученых. Хабаровск, 1977, с. 128—129.
Расширение дуальных пар подпространств.— Функцион. анализ, Ульяновск, 1980, вып. 15, с. 135—139.
Теория линейных отношений.— Ден.ВИНИТИ, 1982,
№ 846-82.
С а х н о в и ч Л. Л.■
О /-унитарной дилатации ограниченного оператора.— Фупк- циоп. анализ и его прил., 1974, 8, № 3, с. 83—84.
Сени д ж (Savage L. J.)
The application of vectorial methods to metric geometry.— Duke Math, j., 1946, 13, p. 521-528.
Соболев А. В. и Хацкевич В. A.
Инвариантные подпространства и свойства спектра фокусирующего плюс-оператора.— Рукоп. деп. ВИНИТИ, 1980, № 1344-80.
О дефинитных инвариантных подпространствах и структуре спектра фокусирующего плюс-оператора.— Функцион. анализ и его прил., 1981, 15, Ns 1, с. 84—85.
Соболев С. Л.
О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью.— ЖПМТФ, 1960, 3, с. 20—55.
Спитковский И. М.
О блочной структуре /-унитарных операторов.— В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1978, с. 129—138.
У с в я ц о в а Е. В.
К спектральной теории G-изометрических операторов.— Сб. тр. аспирантов, Мат. фак. Воронеж, ун-т, 1972, с. 66—69.
О структуре корневых подпространств /-диссипативных операторов,— В' кн.: Методы решения операторных уравнений. Воронеж, 1978, с. 158—160.
Филлипс (Phillips R.)
Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations.— Trans. Amor. Math. Soc., 1959, 90, Ns 2, p. 193— 254. [Русский перевод: Диссипативные операторы и гиперболические системы дифференциальных уравнений в частных производных.— Математика (сб. переводов), 1962, 6, № 4, с. 11—70.]
Dissipative operators and parabolic partial differential equations.— Commons. Pure Appl. Math., 1959, 12, № 2, p. 249—276.
The extension of dual ниЬмршч'м invariant under an algebra.— Proc. Internat. SympOH. Linear Spnccs, Jerusalem, 1960.— Jerusalem; Jerusalem Acad. Press; Oxford; London; X. Y.; Paris: Pergamon Press, 1961, p. 366—398. | Русский перевод: Расширение дуальных подпространств, ипвириипiпых отпоектельно алгебры.— Математика (сб. переводов), 19114, 8, № (I, с. 81—108.]
Хацкевич В. А. _
ЧТО некоторых Гбёметрпческих и топологических свойствах нормированных ирострппстп с индефинитной метрикой,—Изв. вузов. Математика, 1973, М (I, с, 1)7—102.
Замечания о двояко плюс-операторах в гильбертовом / пространстве.— В кн.: Функциональный пналиа и его приложения, вып. 1. Воронеж, 1973, с. 27—37.■
0 плюс-онсряторах в гильбертовом /-пространстве.— Мат. исследования, 9, JVb 2(32). Ки|пип<*п: All МССР, 1974, с. 182—203.
О /-полуунитарпых операторах в гильбертовом /-пространстве,— Мат. заметки, 1975, 17, № 4, с. В39 -647.
О неподвижных точках обобщенных дробно-линейных прс- ^бразовапий.— Изо. ЛИ СССР. Сер. мат., 1975, 39, № 5, с. ИЗО— 141.
Об одном применении принципа (’.жатых отображений в тео- ии операторов в пространстве с индефинитной метрикой.— Фупк- ^ион. анализ и его прил., 1978, 12, № 1, с. 88—89.
Фокусирующие и строгие плюс-операторы в гильбертовом пространстве.— Деп. ВИНИТИ, 1980, № 1343-80.■
О симметрии свойств плюс-оператора и его сопряженного.— Фупкциоп. анализ, вып. 14. Ульяновск, 19Н0, с. 177—186.
О строгих плюс-операторах,—Деп. ВИНИТИ, 1980, А» 2440-80.
Равномерно дефинитные пштрпантпые дуальные пары плюс-онераторов с квалифокусирующей степенью. - Деп. ВИНИТИ, 1981, № 1917-81.
Об ипвариап i пых подпространствах фокусирующих плюс- операторов.— Мат. заметки, 1981, 30, № 5, с. 695—702.
Инвариантные подпространства плюс-онераторов с фокусирующей степенью.— Деп. ВИНИТИ, XV Воронен:, зимняя мат. школа..
Обобщенная метрика Пуанкаре па операторном шаре.— Фупкциоп, анализ и его прил., 1983. 17, № 4, с. 93—94.
Об одном обобщении метрики Пуанкаре для единичного операторного шара.— Дсп. ВИНИТИ, 1983, № 6913-83.
Инвариантные подпространства и свойства спектра плюс- онераторов с квазифокусирующей степенью.— Фупкциоп. анализ и его прил., 1984, 18, № 1.
Хелтон (Helton J. W.)
Invariant subspaces of certain commuting families of operators on linear spaces with an indefinite inner product: Doct. diss.— Stanford Univ., 1968. (Dissert. Abstrs., 1969, 29, № 11, p. 42—67.)
Unitary operators on a space with an indefinite inner product.— J. Funct. Anal., 1970, 6, № 3, p. 412—440.
Operators unitary in an indefinite metric and linear fractional transformations.—Acta sci. math., 1971, 32, № 3—4, p. 261—266.
Хестепес (Hestenes M. R.)
Applications of the theory of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations.—Pacific J. Math., 1951, 1, p. 525—581.
X о л е в о_ ... vj.
Обобщение теории Неймана об операторе Т*Т на пространства с индефинитной метрикой.— Учен. зап. Азерб. ун-та. Сер. физ.-мат. наук, 1965, № 2, с. 45—48.
Шайбе (Scheibe Е.)
Uber hermitische Formen in topologischen Verktorraumo, I.— Annal. Acad. sci. Fenn., 1960, ser. AI, № 294.
Ill м у л ь я п IO. JI.
О делении в классе /-нерастягивающих операторов.— Мат. сб, 1967, 74, с. 516-525.
О дробпо-линейпых преобразованиях с операторными коэффициентами и операторных шарах.— Мат. сб., 1968, 77, № 3.
О /-нерастягивающих операторах в /-пространствах.— Укр. мат. журп, 1968, 20, № 3, с. 352—362.
Теория расширений операторов и пространства с индефинитной метрикой.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, 38, № 4.
Теория линейных отношений и пространства с индефинитной метрикой,— Функциоп. анализ и его прил, 1976, 10, № 1.
Обобщенные дробно-линейные преобразования операторных шаров,—Сиб. мат. журн, 1978, 19, № 2, с, 418—425.
О трансформаторах линейных отношений в /-пространствах.— Функциоп. анализ и его прил.. 1980,-14, № 2, с. 39—44.
Обобщенные дробно-линейные преобразования операторных шаров,—Сиб. мат. журн., 1980, 21, № 5, с. 114—131.
III т р а у с А. В.
Расширения и обобщенные резольвенты неплотно заданного симметрического оператора.— Пап. АП СССР. Сер. мат., 1970,34, № 1.
Штраус В. А.
Оператор Грама и G-ортопормироваппыс спстемы в гильбертовом пространстве.— Сб. тр. аспирантов. Мат. фак. Воронеж, ун-та, 1971, вып. 1, с. 85—90.’
G-ортопормироваппые системы и базисы в гильбертовом пространстве.— Изв. вузов. Математика, 1973, № 9, с. 108—117.
К теории самосопряженных операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой.— Сиб. матем. журн., 1978, 19, № 3,
Об интегральном представлении /-самосопряженного оператора в П2.— Сборник научных трудов № 252; Прикладная математика. Челябинск, 1980, с. 114—118.
Штраус В. А. и Э к т о в Ю. С.
Аналог теоремы Дини и /-неотрицательные операторы.— Функциоп. анализ. Ульяновск, 1980, вып. 15, с. 188—191.
Ш у л ь м а и В. С.
О неподвижных точках дробпо-линейпых преобразований.— Функцион. анализ и его прил., 1980, 14, № 2, с. 93—94.
Э к т о в Ю. С.
/-неотрицательные вполне непрерывные операторы.— Тр. ПИИ мат. Воронен?, ун-та, 1975, вып. 17, с. 76—86.
Вполне непрерывные /-неотрицательные операторы в /-про етрапстве с двумя нормами.— Тр. НИИ мат. Воронеж, ун-та, 1975. вып. 20, с. 57—64.
Э т к и н А. Е.
Обобщенные резольвенты симметрического оператора в про етрапстве Пя.—Функциональный анализ. Ульяновск, 1981, вып. 16
Обобщенные резольвенты симметрического оператора в про етрапстве Пх,— В кн.: Функциональный анализ. Линейные про странства. Ульяновск, 1983, с. 149—157,
Т. Я. АЗИЗОВ, И. С. иохвидов
ОСНОВЫ ТЕОРИИЛИНЕЙНЫХОПЕРАТОРОВ
В ПРОСТРАНСТВАХ
С ИНДЕФИНИТНОЙМЕТРИКОЙ
МОСКВА «ПАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ББК-^Ш" V А35
УДО-517.98
Азизов Т. Я., И о х в и д о в И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой,— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986,— 352 с.
В кпиге на базе геометрии пространств с индефинитной метрикой — главным образом пространств Крейна и Понтрягина — развиты основы теории линейных операторов в этих пространствах, включая теорию инвариантных подпространств, спектральные вопросы и вопросы расширения операторов. Приведены также некоторые приложения.
Книга рассчитана на математиков — студентов старших курсов, аспирантов, научных работников, преподавателей, а также на физиков-теоретиков. '
Ил. 2. Библиогр. 255 назв.
Рецензент
кандидат физико-математических наук А. И. Логинов
Томас Яковлевич АЗИЗОВ, Иосиф Семенович ИОХВИДОВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВВ ПРОСТРАНСТВАХ С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ
Редактор В. В. Донченко
Художественный редактор Г. М. КоровинаТехнический редактор В. Н. КондаковаКорректоры Т. Г. Егорова, О. М. Березина
ИБ J6 12422
Сдано в набор 14.06.85. Подписано к печати 27.03.86. Формат 84х108'/з2. Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 18,48. Усл. кр.-отт. 18,48. Уч.-изд. л. 21,62. Тираж 3730 экз. Заказ М 789. Цена 3 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография-^®--
630077 г. Новосиб'—
1702050000-071А053(02)-861-851702050000-071А053(02)-861-85—льство «Наука», лавная редакция Физико-математической литературы, 1986—льство «Наука», лавная редакция Физико-математической литературы, 1986
1702050000-071
А053(02)-861-85
1702050000-071
А053(02)-861-85
—льство «Наука», лавная редакция Физико-математической литературы, 1986
—льство «Наука», лавная редакция Физико-математической литературы, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие5
Глава I. Геометрии пространств с индефинитной метрикой 11
Линейные пространства с эрмитовой формой11
Пространства Крейна (аксиоматика) . .. .26
Канонические проекторы Р* и каноническая симметрия ]............31
4. Семидефинитные и дефинитные линеалы и подпространства в пространстве Крейна37
Равномерно дефинитные (регулярные) линеалы и подпространства. Подпространства классов к1 45
Разложимость линеалов и подпространств пространства Крейна. Оператор Грама подпространства, ^-пространства и G-ирострапства50
/-ортогональные дополнения и проекции. Проекционная полнота60.
Метод угловых оцераторов67
Пространства Понтрягина Пх. Ww-пространстваи
GW-пространства84
Дуальные пары. У-ортопормированные системыи94
базисы '
Примечания и библиографические указания к главе I101
Глава II. Основные классы операторов в пространствах /—^ с индефинитной метрикой , . . ., . . ; . . (106’
Сопряженный оператор Тс106
Диссипативные операторы114
Эрмитовы, симметрическиеисамосопряженные
операторы129
Плтос-операторы, У-несжимающиеиУ-бинесжимаю-
щие операторы145
Изометрические, полуупитарпые и унитарные операторы 163
ПреобразованияКэли — Пеймана173
Примечания и библиографическиеуказания к главе II 186
Глава III. Инвариантные семидефинитные подпростран- / ^ ства'(191
Постановка задач191
Инвариантные подпространства 7-песжимающего оператора202
Неподвижные точки дробно-линейных преобразований и инвариантные подпространства ....212
Инвариантные подпространства семейств операторов 223
Операторы классов 36 и 36^36^2 3 2
Примечания и библиографические указания к главе III 249
Глава IV. Спектральные вопросы и некоторые приложения / 251
Спектральная функция251
Полнота и базисность системы корневых векторов
/-диссипативных операторов262
Примеры и приложения279
Примечания и библиографические указания к главе IV 291
Глава V. Теория расширений изометрических и симметрических операторов в пространствах с индефинитной /^ метрикой'..../ 293
Дробно-линейные преобразования Потапова—Гинзбурга и расширения операторов ...' ...293
Расширения стандартных изометрических и симметрических операторов301
Обобщенные резольвенты симметрических операторов 317
Примечания и библиографические указания к главе V 338
Список литературы340
ПРЕДИСЛОВИЕ
40 лет назад в «Известиях АН СССР» появилась статья Л. С. Понтрягина «Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой». Шли суровые военные годы, и, вероятно, поэтому лишь в маленькой сноске к статье упоминалось, что о значении таких операторов для решения некоторых механических задач автор узнал от С. Л. Соболева. Заметим, что работа самого Соболева [1] увидела свет лишь в 1960 г.
Итак, с 1944 г. берет начало новая ветвь функционального анализа — теория линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой, хотя физикам- теоретикам такие пространства встретились несколько раньше (см. [XX]). Подчеркнем, что речь идет о бесконечномерных пространствах, поскольку линейные преобразования в конечномерных пространствах с индефинитной метрикой изучались еще в конце прошлого века (Фробениус), хотя возрождение интереса к ним' и их приложениям снова наблюдается в наше время.
Эстафету от Л. С. Понтрягина приняли прежде всех М. Г. Крейн и И. С. Иохвидов. Ими был аксиоматизирован подход Понтрягина к комплексным пространствам с индефинитной метрикой, названным пространствами Пх, рассмотрены некоторые вопросы геометрии этих пространств и получен ряд новых фактов для линейных операторов в Пх. М. Г. Крейн изучал и вещественные пространства П1 в связи с так называемыми преобразованиями Лоренца, а также в связи с теорией винтовых линий в бесконечномерных пространствах Лобачевского (М. Крейн [3], см. также [XIV]). В работе М. Крейна [4] был развит совершенно новый, отличный от понтря- гипского, метод доказательства теорем об инвариантных подпространствах плюс-операторов (выражаясь совре-
менным языком), основанный на топологических теоремах о неподвижных точках. И. Иохвидов [1] предложил применение преобразований Кэли — Неймана для изучения связей между различными классами операторов в Пх. Все это впоследствии было суммировано сначала в кандидатской диссертации И. Иохвидова [3], а затем в большой статье [XIII], написанной совместно И. С. Иохвидовым и М. Г. Крейном и вышедшей в 1956 г. В 1959 г. вышла ее вторая часть [XIV], содержавшая различные приложения (в том числе , к индефинитной проблеме моментов).
К этому времени теория начинает расти уже не только вглубь, по и вширь. Ее конечномерным аналитическим аспектом заинтересовался В. П. Потапов, привлекший затем к разработке бесконечномерных аналогов своих результатов IO. II. Гинзбурга. В те же годы, поначалу, по-видимому, независимо от советских математиков, общие вопросы индефинитной метрики начали разрабатывать в Финляндии Р. Неванлинна, а вслед за ним Э. Песонен и И. С. Лоухиваара. На рубеже 50—60-х годов к исследованиям подключается Г. Лангер (ГДР), опиравшийся па работы как советских, так и финских математиков.
Примерно к этому же времени также относится публикация первого обзора по геометрии бесконечномерных пространств с индефинитной метрикспй выполненного Гинзбургом и И. Иохвидовым [У^/^й^этом обзоре уже частично были отражены некоторые результаты самого начала шестидесятых годов, ставших затем годами бурного роста всей теории. Одна за другой появляются работы Филлипса, Лангера, Гинзбурга, М. Крейна, И. Иохвидова, Наймарка, Шмульяна, Богнара, Кужеля и многих других математиков. Теория находит все новые приложения — к диссипативным гиперболическим и параболическим системам дифференциальных уравнений (Филлипс), к демпфированным колебаниям бесконечномерных упругих систем (М. Крейн, Лапгер), к каноническим системам дифференциальных уравнений (М. Крейн, Якубович, Дергузов), к теории представления групп (Наймарк) и др. Появляются замечательные лекции М. Крейна [XVI] по индефинитной метрике (к сожалению, весьма ограниченным тиражом), в 1970 году выходит книга Далецкого и М. Крейна [XI], в которой методы индефинитной метрики находят приложение и дальнейшее развитие. В конце этого периода публику-
ется обзор Азизова и И. Иохвидова [I] (1971 г.)' и, наконец, появляется первая книга Богнара [V], целиком по- священпая индефинитной метрике (1974 г.).
В семидесятые годы к существующим одесской (М. Г. Крейн) и московской (М. Л. Наймарк) школам, занимавшимся у нас проблемами индефинитной метрики, активно подключаются новые центры, среди которых в первую очередь следует назвать Воронеж, где исследования группируются вокруг семипара И. С. Иохвидова при Воронежском государственном университете им. Ленинского комсомола и Научно-исследовательском институте математики. Здесь возникает большой коллектив молодых математиков (Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Штраус, Е. И. Иохвидов, Е. Б. Усвяцова, 10. С. Эк- тов, В. С. Рицнер, С. А. Хорошавип и многие другие), часть результатов которых отражена в данной монографии.
Теперь же, когда проблемами индефинитной метрики занимаются буквально во всем мире, когда стали появляться курсы по отдельным вопросам этой теории ([Ш], [XIX]), когда обзор Азизова и И. Иохвидова [II], выполненный в 1979 г. по заказу ВИНИТИ, включил уже около 400 названий, возникает настоятельная потребность осмысления в виде монографии хотя бы чисто теоретического аспекта пакоплеиного материала. Прекрасная книга Богнара [V] осветила лишь часть теории (по состоянию па 1973 г.). Это же относится к обстоятельной монографии И. Иохвидова, Крейна и Лангера [XV], содержащей важный материал, но только по пространствам Пх и действующим в них операторам. Все это вызывает острую необходимость в книге, посвященной основам рассматриваемой теории.
Предлагаемая читателю монография по своему содержанию значительно отличается от первоначального замысла ее авторов, который состоял в том, чтобы подробно изложить с полными доказательствами основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложений примерно в том объеме, какой был намечен в их обзоре [II]. Однако на пути столь обширного замысла встал, как обычно, барьер в виде весьма ограниченного объема книги, заставивший нас пойти на неизбежные сокращения. И здесь встал вопрос: чем жертвовать?
. Мы никак пе могли пожертвовать довольно обширной вступительной первой главой, излагающей геомет-
рию пространств с индефинитной метрикой (заметим, что у Богнара [V] геометрия занимает примерно половину книги). Это лишило бы книгу значительного контингента читателей, в особенности из числа студентов, аспирантов, специалистов в области естественных наук, желающих вникнуть в данную тематику, по мало знакомых с ее основами. Ясно также, что узловые вопросы самой теории операторов, как это явствует уже из названия книги, полагалось осветить с достаточной полнотой. Хотя сразу заметим, что после «плавного разбега», взятого в гл. I (геометрической), в последующих главах (и чем дальше, тем больше) мы позволяли себе более сжатый стиль изложения, часто предоставляя читателю многие рассуждения и выкладки для самостоятельного продумывания. Этой же цели послужило отнесение многих вспомогательных (иногда очень важных) предложений в разряд упражнений и задач, которыми заканчивается каждый параграф книги. Диапазон их таков, что от первых довольно простых упражнений читатель должен будет переходить ко все более трудным упражнениям и задачам. Часто задачи являются важным логическим звеном в. тексте и без их решения нельзя будет понять некоторые доказательства. ■
В итоге «пострадавшей стороной» оказалась (ср. [II]) третья часть нашего замысла — приложения геометрии и теории операторов к конкретным задачам, которых мы касаемся лишь в гл. IV (§ 3) и то в очень малой степени, причем их выбор целиком подчинен вкусам авторов. ■
В качестве известного оправдания здесь может служить, с одной стороны, то, что все равно никак пе удалось бы сразу удовлетворить все обширные и очень разнообразные интересы специалистов по диссипативным гиперболическим и параболическим системам дифференциальных уравнений, гидромехапиков, специалистов по проблеме моментов, по проблеме демпфированных колебаний механических систем, по теории устойчивости канонических систем, по теории представлений групп, геометров,' физиков-теоретиков и др. С другой стороны, приложениям индефинитной метрики в названных (и не названных здесь) областях знания уже посвящен ряд монографий, крупных статей и обзоров. Достаточно назвать лекции М. Крейна [XVI], статьи Филлипса [1], [2], Соболева [1], книгу Далецкого и М. Крейна [XI], работы М. Крейна и Лангера [1], [2], И. Иохвидова и
И. Крейпа [ХШ], [XIV], Наймарка [2], Копачовского 1]—[3], большой цикл статей М. Крейна и Лангера 4]—[7], представляющий собой почти готовую монографию, книгу Надя [XX] и др.
Но даже при таком самоограничении далеко не все вопросы самой теории оказались у нас охваченными (в том числе и в виде задач). Сюда относятся прежде всего вопросы теории возмущений, различные реализации индефинитных пространств, многие подробности, относящиеся к пространствам Пх. Не касаемся мы, в частности, теории характеристических функций для операторов в Пх, а также вопросов, связанных с оснащенными пространствами, вариационной теорией собственных значений и др.
Вся теория изложена в рамках пространств Крейпа и Понтрягина, поэтому многочисленные обобщения на банаховы или просто нормированные пространства также опущены. Кратко о них сказано в [II].
Каждой главе предпослана небольшая аннотация, что избавляет нас от необходимости обозревать здесь строение книги. В конце каждой главы имеются примечания и библиографические указания, отнюдь не претендующие на полноту.
Большинство трудных задач сопровождается указаниями, иногда довольно подробными. В то же время многие задачи (в том числе и трудные) лишены указаний, вместо которых приводится источник, откуда они заимствованы. Такие задачи преследуют цель расширения кругозора читателя и введения его в современное состояние теории.
Пять глав книги разбиты па параграфы. Все специальные обозначения вводятся в виде определений.
При цитировании литературы римские цифры, например [XI], означают ссылку на монографию или обзор, помещенный в первой части общего списка. Остальные ссылки, например «Йона с» [3]», относятся ко второй части списка — русской и иностранной журнальной и др. библиографии, составленной в порядке русского алфавита. • Я#М
Книга писалась довольно быстро, и поэтому мы не смогли воспользоваться критическими замечаниями и советами заинтересованных лиц. Исключение составляет В. А. Хацкевич, прочитавший рукопись книги и сделавший ряд существенных замечаний, за что мы ему весьма признательны.
Мы благодарив! также М. Г. Крейну, Г. Лангеру, А. В. Кужелю, Я. Богнару, Н. Д. Копачевскому, В. С. Шульману и многим другим математикам за их интерес, проявленный к нашему замыслу, выразившийся, в частности, в систематическом обмене информацией.
Наконец, без терпения, понимания и поддержки, оказанной нам членами наших семей, книга эта не увидела бы свет.
Воронеж, март 1984 г. Авторы
На мою долю выпала печальная участь сообщить читателям этой книги, что 1 июля 1984 г. ушел из жизни мой дорогой учитель и соавтор, один из основателей теории пространств с индефинитной метрикой, видный математик и прекрасной души человек Иосиф Семенович Иохвидов. К этому времени рукопись уже была принята в производство и в дальнейшем ее лишь едва коснулась редакторская правка. Последнее объясняется глубоким педагогическим талантом и литературным мастерством Иосифа Семеновича, который был первым скрупулезным редактором всей рукописи.
Т. Я. Азизов