ВВЕДЕНИЕВ АЛГЕБРУ

ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ

Рекомендовано Государственным комитетом Российской федерациипо высшему образованию в качестве учебникадля студентов университетов, обучающихся по специальностям«Математика» и «Прикладная математика»

МОСКВАИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»ВО «НАУКА»1994

ББК 22.14 К 72

УДК 512(075.8)

Рецензенты:

кафедра алгебры и математической логики Киевского государственного университета;

доктор физико-математических наук А. Е. Залесский

Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры: Учебник для вузов.— М.: Физматлит. 1994 — 320 с,—ISBN 5-02-014644-7

Рассмотрены системы линейных уравнений, элементарная теория матриц, теория определителей, простейшие свойства групп, колец и полей, комплексные числа и корни многочленов. Помещено большое число упражнений различной степени трудности.

Для студенте» младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике.

Ил. 21.

34—9134—911602040000—012

34—91

34—91

К 053 (02)-94

ISBN 5-02-014644-7

© А. И. Кострикин, 1994

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие. 7

Советы читателю 9

Глава 1. Истокиалгебры 13

Алгебра вкратце14

Некоторыемодельные задачи18

Задача о разрешимости уравнений в радикалах (18).

Задача о состояниях многоатомной молекулы (20).

Задача о кодировании сообщения (21). 4. Задача о нагретой пластинке (22).

Системы линейных уравнений. Первые шаги . . . . 23

Терминология (23). 2. Эквивалентность линейных систем (26). 3. Приведение к ступенчатому виду (27).

Исследование системы линейных уравнений (29).

Отдельные замечания и примеры (32).

Определители небольших порядков . . 34

Упражнения (38).

Множества и отображения ...39

Множества (39). 2. Отображения (41). Упражнения (46).

Отношения эквивалентности. Факторизация отображений 47

Бинарные отношения (47). 2. Отношение эквивалентности (48). 3. Факторизация отображений (49).

Упорядоченные множества (51). Упражнения (53).

Принцип математической индукции53

Перестановки . . . •59

Стандартная запись перестановки (59). 2. Цикловая структура перестановки (61). 3. Знак перестановки (65). 4. Действие S„ на функциях (68). Упражнения (70).

Iе

§ 9. Арифметика целых чисел711. Основная теорема арифметики (71). 2. НОДиНОК в Z (73). 3. Алгоритм деления в Z (73). Упражне§ 9. Арифметика целых чисел711. Основная теорема арифметики (71). 2. НОДиНОК в Z (73). 3. Алгоритм деления в Z (73). Упражнения (75).

§ 9. Арифметика целых чисел71

1. Основная теорема арифметики (71). 2. НОДиНОК в Z (73). 3. Алгоритм деления в Z (73). Упражне

§ 9. Арифметика целых чисел71

1. Основная теорема арифметики (71). 2. НОДиНОК в Z (73). 3. Алгоритм деления в Z (73). Упражне

Глава 2. Матрицы76

Векторные пространства строк и столбцов76

Мотивировка (76). 2. Основные определения (77).

Линейные комбинации. Линейная оболочка (78).

Линейная зависимость (80). 5. Базис. Размерность (81). Упражнения (84).

Ранг матрицы85

Возвращение к уравнениям (85). 2. Ранг матрицы (87). 3. Критерий совместности (90). Упражнения (91).

Линейные отображения. Действия с матрицами . . 92

Матрицы и отображения (92). 2. Произведение матриц (95). 3. Траиспонироваиие матриц (98).

Ранг произведения матриц (99). 5. Квадратные матрицы (100). 6. Классы эквивалентных матриц (106).

Вычисление обратной матрицы (109). 8. Простран

ство решений (ИЗ). Упражнения (115).Глава 3. Определители119§ 1. Определители: построение и основные свойства . . .119ство решений (ИЗ). Упражнения (115).Глава 3. Определители119§ 1. Определители: построение и основные свойства . . .1191. Геометрическая мотивировка (119). 2. Комбинаторно-аналитический подход к определителям (122).

ство решений (ИЗ). Упражнения (115).

Глава 3. Определители119

§ 1. Определители: построение и основные свойства . . .119

ство решений (ИЗ). Упражнения (115).

Глава 3. Определители119

§ 1. Определители: построение и основные свойства . . .119

Основные свойства определителей-(123). Упражнения (132).

Дальнейшие свойства определителей132

Разложение определителя по элементам столбца или строки (132). 2. Определители специальных матриц (136). Упражнения (139).

Применения определителей141

Критерий невырожденности матрицы (141). 2. Формулы Крамера (144). 3. Метод окаймляющих миноров (145). Упражнения (148).

К построению теории определителей151

Упражнения (154).

Глава 4. Алгебраические структуры (группы, кбльца, поля) 155

Множества с алгебраическими операциями155

Бинарные операции (155). 2. Полугруппы и моноиды (156). 3. Обобщенная ассоциативность; степени (158). 4. Обратимые элементы (160). Упражнения (160).

Группы161

Определение и примеры (161). 2. Циклические группы (164). 3. Изоморфизмы (166). 4. Гомоморфизмы (170). 5. Словарик. Примеры (171). Упражнения (173).-

Кольца и поля175

Определение и общие свойства колец (175).

Сравнения. Кольцо классов вычетов (180). 3. Гомоморфизмы колец (182). 4. Типы колец. Поле (183).

Характеристика поля (187). 6. Замечание о линейных системах (190). Упражнения (192).

Глава 5. Комплексные числа и многочлены194

§ 1. Поле комплексных чисел194

1' Вспомогательная конструкция (194). 2. Плоскость комплексных чиоел (196). 3. Геометрическое истолкование действий с комплексными числами (197). 4. Возведение в степень и извлечение корня (201). 5. Теорема единственности (204). 6. Элементарная геометрия комплексных чисел (205). Упражнения (209).

Кольцо многочленов210

Многочлены от одной переменной (211). 2. Многочлены от многих переменных (216). 3. Алгоритм деления с остатком (219). Упражнения (220).

Разложение в кольце многочленов222

Элементарные свойства делимости (222). 2. НОД и НОК в кольцах (225). 3. Факториальиость евклидовых колец (228). 4. Неприводимые многочлены (231). Упражнения (235).

Поле отношений236

Построение поля отношений целостного кольца (236). 2. Поле рациональных дробей (239). 3. Простейшие дроби (241). Упражнения (243).

Глава 6. Корни многочленов245

Общие свойства корней245

Кории и линейные множители (245). 2. Полиномиальные функции (248). 3. Дифференцирования кольца многочленов (251).4. Кратные множи

тели (252). 5. Формулы Виета (255). Упражнения (257).

.§ 2. Симметрические многочлены 259

1, Кольцо симметрических многочленов (259).

Основная теорема о симметрических многочленах (261). 3. Метод неопределенных коэффициентов (264). 4. Дискриминант многочлена (268). 5. Результант (270). Упражнения (274).

Алгебраическая замкнутость поля С ....... . 275

Формулировка основной теоремы (275). 2. Доказательство основной теоремы (276), 3. Еще одно доказательство основной теоремы (281).

Многочлены с вещественными коэффициентами . . . 286

Разложение на неприводимые множители в R [X] (286). 2. Простейшие дроби над С и R (287).

Проблема локализации корней многочлена (289).

Вещественные многочлены с вещественными корнями (296). 5. Устойчивые многочлены (299). 6. Зависимость корней многочлена от коэффициенте в (300).

Вычисление корней многочлена (301). 8. Рациональные корни целочисленных многочленов (304). Упражнения (305).

Приложение. Нерешенные задачи о многочленах . . . 308

Проблема якобиана (308). 2. Задача о дискриминанте (310). 3. Задача о двух порождающих кольца многочленов (310). 4. Задачи о критических точках и критических значениях (311). 5. Задача о глобальной сходимости метода Ньютона (312).

Предметный указатель315

Жизнь красна двумя вещами: занятием математикой н ее преподаванием.

Пуассон

ПРЕДИСЛОВИЕ

Необходимость в едином изложении курсов алгебры, линейной алгебры н геометрии ощущалась давно. Во всяком случае, учебник «Введение в алгебру» (М.: Наука, 1977) почти 15-летней давности с самого начала рассматривался лишь как первый шаг к интегрированному подходу. Алгебра — живая ветвь математики, обладающая значительной притягательной силой я основывающаяся на небольшом числе ясных, интуитивных начал. Смысл алгебраического понятия может иметь теоретико-числовую или геометрическую природу, а зачастую его корни лежат в вычислительных аспектах математики и в решении уравнений. Возникающие из такого исторического понимания принципы н требования, предъявляемые к современному университетскому учебнику по алгебре, стали общепринятыми. Вся трудность падает на реализацию более или менее известных идей. Естественная эволюция стандартных программ — то в сторону объединения курсов линейной алгебры я многомерной аналитической геометрия, то в' сторону нх разделения я вкрапления элементов теории чисел в курс алгебры — нашла отражение на страницах предлагаемого «Введения в алгебру», написанного на базе упомянутого одноименного учебника, но сильно расширенного и разбитого для удобства читателя на три части. Само собой разумеется, объединение этих частей заведомо содержит устойчивое ядро указанных курсов — тот минимум, которому должен удовлетворять всякий учебник.

С другой стороны, распределение материала по частям соответствует реально сложившемуся за последние десятилетня порядку чтения курсов студентам механико-математического факультета Московского университета: первый семестр «Основы алгебры»; второй семестр «Линейная алгебра я геометрия»; третий семестр «Группы, кольца, поля» — алгебра на уровне элементарных, но довольно содержательных сведений об алгебраических системах, ставших принадлежностью каждого математика наших дней. Отметим, что третья часть содержит довольно много материала, отвечающего курсу «Алгебра и теория чисел». В дальнейшем для удобства ссылок на эти книги будут использоваться сокращения В А 1, В А 2, В А 3.

На этот порядок, равно как я на принцип подачи материала, наложили свой отпечаток не только здравый смысл, но я мудрый совет Горация: «Надо сегодня сказать лишь то, что уместно сегодня. Прочее все отложить и сказать в подходящее время». Другими словами, мы придерживаемся концентрического стиля изложения, не боясь возвращаться к одной я той же теме, к

одному и тому же примеру много раз.. Так, понятия группы, кольца, поля, изоморфизма возникают в' первой части и обсуждаются на уровне примеров, накапливаемых затем во второй части; более основательное изучение этих понятий проводится лишь в третьей части. Абстрактные векторные пространства и линейные операторы на них исследуются в третьей части, хотя их конкретные аналоги, сопровождающие теорию систем линейных уравнений, появляются на первых страницах настоящей книги. Разумеется, только читатель вправе судить, приближает ли такой подход то понимание предмета, о котором писал великий математик А. Пуанкаре в своем замечательном сочинении «Наука и метод» (гл. 2. Математические определения и преподавание).

Реально читаемым курсом (3 часа лекций в неделю в первом семестре, 4 — во втором и 2— в третьем), по опыту самого автора, заведомо невозможно охватить весь материал учебника, да к этому и не следует стремиться. По своему замыслу он рассчитан на свободное творчество лектора (разумеется, в известных рамках). Хотелось бы рассматривать его также как скромный справочник и как источник для дополнительного чтения студентами. Многообразие современной алгебры невозможно уложить в прокрустово ложе какого-либо «Введения в алгебру», однако импульсом к творческой работе мысли учебник послужить должен. Этому способствуют многочисленные упражнения, рассчитанные в какой-то мере на развитие основной темы. Кроме того, в каждой части имеется приложение, где перечислены, с необходимыми пояснениями, некоторые нерешенные или трудно решаемые задачи, непосредственно примыкающие (во всяком случае, по своей постановке) к программному материалу Интересно все-таки время от времени задумываться о проблемах нашего математического бытня, особенно когда эти проблемы почти что лежат на поверхности. Автор отдает себе отчет в том, что «учебная книга не роман, и если дурно составлена, то делает вреда не меньше чумы или холеры» (В. Г.- Белинский). Вряд лн задачи из приложения станут предметом повального увлечения, но если в ком-то они зажгут огонек самостоятельного мышления, это будет прекрасно.

Автор благодарен всем читателям старого учебника «Введение в алгебру» н его переводчикам на английский, болгарский, испанский, польский, французский, китайский языки, сообщившим свои замечания, а также членам кафедры высшей алгебры МГУ, где учебник продолжает подвергаться ежегодному испытанию.

1990 г. А. Кострикин

Согласно общему плану, изложенному в предисловии, схема зависимости глав в книге линейна. Фактически студенту-первокурснику полезно читать все подряд, обращая особое внимание на многочисленные примеры и на упражнения, значительная часть которых обычно предлагается во время экзамена.

Искушенному читателю (скажем, преподавателю или студенту второго курса) будет нетрудно начинать чтение практически с любого места, естественно — при наличи готовности обращаться время от времени к определениям в предыдущих параграфах и главах. Не все новые понятия вводятся в абзацах, начинающихся словом «О пределение». Подробное оглавление и предметный указатель помогут найти нужное место в книге.

Каждая глава разбита на несколько параграфов, а каждый параграф — на несколько пунктов с собственными названиями. Внутри параграфа теоремы, предложения, леммы, следствия имеют свою собственную нумерацию-, теорема 1, теорема 2, ...; лемма 1, лемма 2, ... С этой примитивной, но весьма наглядной и экономной нумерацией при ссылках на утверждения из другого параграфа приходится писать «теорема i § j> или даже «теорема i § / гл. к», однако это не вызывает больших неудобств.

Конец доказательства (или его отсутствие) отмечается знаком |.

Для сокращения используются простейшие логические символы. Знак импликации =ь- в записи А =*■ В имеет простую смысловую нагрузку, что «А влечет В» или «из А следует В», в то время как «А-фф-В» означает эквивалентность высказываний А и В (... тогда и только тогда, когда ...). Квантор всеобщности у служит заменой выражения «для всех». Остальные обозначения понятны из контекста.

Ниже приводится целиком греческий алфавит с указанием произношения букв. Наблюдаемая здесь путаница досадна, поскольку буквы греческого алфавита весьма употребительны в математике.

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ

Аа . Альфа

вр

Бета

Гу Гамма

Ад

Дельта

Ее Эпсилон

2$ Дзета

Нп

ее

II

Кх

АХ

Мц

Эта

Тэта

йота

Каппа

Ламбда

Мю

Nv

sg

Оо

Пл

Рр

So

Ню

Кен

Омикрон

Пн

Ро

Сигма

Тт

Гу

Ф<р

Хх

Уф

Qco

Тау

Ипсилон

Фи

Хи

Пси

Омега

Алгебра щедра — зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Даламбер

Эту книгу можно считать алгеброй в миниатюре. Фундаментальные понятия группы, кольца, поля, непривычные для начинающего студента, вводятся по возможности неформально и в минимальных дозах, хотя общее количество производных понятий получается довольно большим. Их не нужно запоминать: они станут привычными после самостоятельной работы над задачами и упражнениями. Для удобства выделяется несколько наиболее употребительных алгебраических систем (группы (Z, -}-), Sn, Л„, GLa, SLn; кольцо многочленов; поля Q, R, С и Zp), на фоне которых демонстрируется язык алгебры. По традиции и по соображениям преемственности между, школой и вузом вначале излагается техника матриц и определителей, используемая для отыскания и исследования решений систем линейных уравнений. На этом пути естественным образом возникают и основные алгебраические структуры. Их обстоятельному изучению посвящена ВА 3, а пока в нашу задачу входит лишь накоплеяне «живых» примеров. '"'"

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Кур ош А. Г. Курс высшей алгебры.—7-е—12-е изд.—М.: Наука.

Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. 3." Артамонов В. А., Бахтурин Ю. А и др. Сборник задач

по алгебре. — М.: Наука, 1987.

Фаддеев Д. К. и Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М.: Наука, 1977.

Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.— М.: Наука, 1984.

Глава 1

ИСТОКИ АЛГЕБРЫ

С чего начинается алгебра? С некоторым приближением можно сказать, что истоки алгебры кроются в искусстве складывать, умножать и возводить в степень целые числа. Формальная, но далеко не очевидная и не однозначная замена чисел буквами позволяет действовать по аналогичным правилам в пределах гораздо более общих алгебраических систем. Стало быть, попытка ответить исчерпывающим образом на поставленный вопрос увела бы нас не только в глубь веков, в тайны зарождения математической мысли. Более трудная часть ответа была бы связана с описанием основных структур алгебры наших дней: групп, колец, полей, модулей и т. п. Но этому как раз и посвящена значительная часть книги, так что цель главы 1 кажется пока недостижимой.

К счастью, под абстрактной оболочкой большинства аксиоматических теорий алгебры скрываются вполне конкретные задачи теоретического или практического характера, решение которых служило в свое время счастливым, а иногда и неизбежным поводом к далеко идущим обобщениям. В свою очередь, развитая теория давала импульс и средства к решению новых задач. Сложное взаимодействие теоретических и прикладных аспектов теории, присущее всей математике, в алгебре проступает весьма отчетливо и делает в какой-то мере оправданным принятый нами концентрический стиль изложения.

После кратких общих замечаний, связанных с историей предмета, мы сформулируем несколько задач, предваряющих содержание последующих глав. Одна из этих задач послужит отправной точкой для изучения систем линейных уравнений, теории матриц и теории определителей- Мы изложим метод Гаусса и получим первые сведения о решениях линейных систем.

Уже на этом этапе полезно ввести стандартные обозначения и терминологию, для чего мы дадим сжатый обзор теории множеств и отображений.

Будут введены важные понятия отношения эквивалентности и факторизации отображений. Далее, в связи с разъяснением Принципа математической индукции устанавливаются элементарные комбинаторные соотношения. Особое место отводится перестановкам, на которых базируется теория определителей.

Наконец, приводимые в последнем параграфе простейшие арифметические свойства системы целых чисел не только используются в дальнейшем, но и являются прототипом для построения аналогичной арифметики в более сложных алгебраических системах.

Материал этой главы не выходит далеко за пределы школьной программы. От читателя требуется лишь готовность встать на несколько более общую точку зрения. Чтение можно начинать с § 3.

Алгебра вкратце

В наши дни не без основания говорят об «алгеб- раизации» математики, т. е. о проникновении идей и методов алгебры как в теоретические, так и в прикладные разделы математики. Такое положение вещей, ставшее совершенно отчетливым к середине XX столетия, наблюдалось отнюдь не всегда.. Как всякая область человеческой деятельности, математика подвержена влиянию моды. Мода на алгебраические методы вызвана существом дела, хотя увлечение ею иногда переходит разумные границы. А так как алгебраическая оболочка, затмевающая содержание,— не меньшая беда, чем элементарное забвение алгебры, то не случайно достоинством той или иной книги уже считается (вполне резонно) умение ее автора избежать перегруженности алгебраическим формализмом.

Если отвлечься от крайностей, то алгебра ичдревле составляла существенную часть математики. То же самое следовало бы сказать и о геометрии, но мы скроемся за крылатой фразой Софи Жермен (XIX век): «Алгебра — не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах». С тех пор положение изменилось, но, кажется, «признано, что «природа»

математических объектов есть, в сущности, дело второстепенное и что довольно неважно, например, представили ли мы результат в виде теоремы «чистой» геометрии или при помощи аналитической геометрии в виде алгебраической теоремы» (Н. Бурбаки).

В соответствии с принципом «важны не математические объекты, а отношения между ними» алгебра определяется (несколько тавтологически и совершенно непонятно для непосвященного) как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь, на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих фактов из «высшей арифметики» — теории чисел.

Но значение алгебраических структур — множеств с алгебраическими операциями далеко выходит за рамки теоретико-числовых применений. Многие математические объекты (топологические пространства, дифференциальные уравнения, функции нескольких комплексных переменных и др.) изучаются путем построения надлежащих алгебраических структур, если и не адекватных изучаемым объектам, то, во всяком случае, отражающих их существенные стороны. Нечто подобное относится и в объектам реального мира.

. Определенное мнение на этот счет было высказано более 45-лет назад одним из творцов квантовой механики ,П. Дираком: «...Современная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ. Так, неевклидова геометрия и некоммутативная алгебра, считавшиеся одно время просто плодом воображения или увлечения логическими рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для описания общей картины физического мира».

Алгебраические средства весьма полезны при исследовании элементарных частиц в квантовой механике, свойств твердого тела и кристаллов (в этой связи особенно важна теория представлений групп), при анализе модельных задач экономики, при конструировании современных ЭВМ и т. д. и т. п.

В свою очередь, алгебра питается живительными соками других дисциплин, в том числе математических. Так, гомологические методы алгебры выросли из недр топологии и алгебраической теории чисел. ■ ■

Не удивительно поэтому, что облик алгебры и точка зрения на алгебру менялись в разные эпохи. Мы не имеем возможности проследить подробно за этими изменениями не только из-за недостатка места, но главным образом потому, что описание истории предмета должно быть конкретным, — требование, которому можно удовлетворить лишь при основательном знакомстве с самим предметом.

Ограничимся схематическим перечислением имен и периодов.

Древние цивилизации Вавилона и Египта. Греческая цивилизация. «Арифметика» Диофанта (III в. и.э.).

Восточная цивилизация средних веков. Сочинение уроженца Хивы Мухаммеда ибн Муса ал-хорезми (ок. 825г.) «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала».

Эпоха Возрождения.

Фибоначчи (Леонардо из Пизы)‘ (ок. 1170—1250)

С. Ферро Н. Тарталья И. Кардано Л. Феррари Ф. Виета Р. Бомбелли

(1465—1526) (1500—1557) (1501—1576) (1522—1565) (1540—1603) (1530—1572)

XVII—XVIII вв. Р. Декарт

(1596—1650)

П. Ферма

(1601—1665)

И. Ньютон

(1643—1727)

Г. Лейбниц

(1646—1716)

Л. Эйлер

(1707—1783)

Ж- Даламбер

(1717—1783)

Ж.-Л. Лагранж

(1736—1813)

Г. Крамер П. Лаплас

(1704—1752) (1749—1827)

Вандермонд

(1735—1796)

Арифметические действия на множестах целых и рациональных положительных чисел. Алгебраические формулы в геометрических и астрономических расчетах. Формулировка задач на построение (об удвоении куба и трисекции угла), занимавших алгебраические умы в гораздо более позднее время.

Алгебраические уравнения первой и второй степени. Возникновение самого термина «алгебра».

Решение общих алгебраических уравнений 3-й и 4-й .степени.

Создание современной алгебраической символики.

Возникновение аналитической геометрии — прочного мостика между геометрией и алгеброй. Оживление деятельности в теории чисел.

Развитие алгебры многочленов. Интенсивные поиски общих формул для решений алгебраических уравнений. Первые подходы к доказательству существования корня уравнения с числовыми коэффициентами.

Начала теории определителей.

XIX в. — начало XX в.

К- Ф. Гаусс(1777—1855)

П. Дирихле(1805—1859)

Э. Куммер(1810—1893)

Л. Кронекер(1823—1891)

Р. Дедекинд

Е. И. Золотарев

(1831—1916) (1847—1878)

Г. Ф. Вороной

(1868—1908)

А. А. Марков П. Л. Чебышев

(1856—1922)

(1821—1894)

Ш. Эрмит

(1822—1901)

Н. И. Лобачевский (1792—1856)

А. Гурвиц

(1859—1919)

А. Руффини

(1765—1822) ,

Н. X. Абель

(1802—1829)

К. Якоби

(1804—1851)

Э. Галуа

(1811—1832)

Б. Риман

(1826—1866)

О. Коши

(1789—1857)

К. Жордан

(1838—1922)'

Л. Сйлов

(1832—1918)

Г. Грассман

(1809—1877)

Д. Сильвестр

(1814—1897)

А. Кэли

(1821—1895)

У. Гамильтон

(1805—1865)

Дж. Буль

(1815—Г864)

С. Ли

(1842—1899)

Г. Фробениус

(1849—1918)

Ж. Серре

(1819—1885)

М. Нётер

(4844—1922)

Д. А. Граве

(1863—1939)

А. Пуанкаре

(1854—1912)

Ф. Клейн

(1849—1925)

У. Бернсайд

(1852—1927)

Ф. Э. Молин

(1861—1941)

И. Шур

(1875—1941)

Г. Вейль

(1885—1955)

Ф. Эириквес

(1871—1946)

Дж. Нейман

(1903—1957)

Д. Гильберт

(1862—1943)

Э. Картаи

(1869—1951)

К. Геизель

(1861—1941)

Э. Штейииц

(1871—1928)

Э. Нётер

(1882—1935)

Э. Артин

(1898—1962)

Н. Бурбаки «Элементы математики».

Доказательство основной теоремы о существовании корней уравнений с числовыми коэффициентами. Интенсивное развитие теории алгебраических чисел.

Поиски методов приближенного решения алгебраических уравнений. Условия на коэффициенты, обеспечивающие заданное расположение корней.

Решение проблемы о неразрешимости общих уравнений степени л 5 в радикалах. Развитие теории алгебраических функций. Создание теории Галуа. Начала теории конечных групп, преимущественно на базе групп перестановок.

Интенсивное развитие методов линейной алгебры.

Возникновение, после открытия кватернионов, теории гипер- комплексиых систем (такие системы теперь называются алгебрами). В частности, в связи с развитием теории непрерывных трупп (групп Ли) были заложены основы теории алгебр Ли. Важными главами математики стали алгебраическая геометрия и теория инвариантов. В XIX в. математика еще ие достигла тонкой дифференциации, и многие крупные ученые творчески работали в оазличиых ее областях.

Первая половина XX столетия была отмечена коренной перестройкой всего здания математики. Алгебра, отказавшаяся от привилегии быть наукой об алгебраических уравнениях, решительно встала на аксиоматический и гораздо более абстрактный путь развития.

Вошел в обиход язык теории колец, модулей, категорий, гомологий. Многие разрозненные теории уложены в общую схему

2 А. И. Косгряххн

универсальной алгебры. На стыке алгебры н математической логики родилась теория моделей. Старые теории обновились, расширив область своих применений. Примером здесь могут служить современная алгебраическая геометрия, алгебраическая топология, алгебраическая Я-теория, теория алгебраических групп. Несколько ярких взлетов испытала теория конечных групп.

Вся алгебра находится сейчас в состоянии динамического развития. Крупные заслуги в этом принадлежат советским математикам. Высокий уровень алгебраических исследований в нашей стране многим обязан таким ученым, как Н. Г. Чеботарев (1894—1947), О. Ю. Шмидт (1891—1956), А. И. Мальцев (1909— 1967), А. Г. Курош (1908—1971), П. С. Новиков (1901—1975).

Некоторые модельные задачи

Формулируемые ниже четыре задачи стоят на разных уровнях. Первые три, сами по себе тоже неравноценные, предназначены исключительно для мотивировки исследования полей разных типов, линейных пространств, групп и их представлений, т. е. тех алгебраических теорий, о которых речь будет ниже. «Решениям» этих задач посвящено много специальных монографий. Четвертую задачу, предваряющую изучение линейных систем, полезно попробовать тут же решить, не заглядывая в следующий параграф, где приводится нужное рассуждение.

Задача о разрешимости уравнений в радикалах.

Из элементарной алгебры известна формула

^1,2—2а

для решений хь х2 квадратного уравнения ax2-f-6x + -}- с = 0.

Уравнение третьей степени х3 + ах2 + Ьх + с = 0 подстановкой х*—*ху а приводится к виду х34- + рх+<7 = 0. Корни хь х2, х3 этого уравнения следующим образом выражаются через его коэффициен-

ты. Если положить

(2)(2)D = —4Р3 — 27<72, в

(2)

(2)

(кубические корни выбираются так, что до =—Зр), то можно показать, что

xv = j- (и + о), х2 = У (в2д + 80),

!(3)

х3 = У (ей + е^).

Формулы (2) и (3), называемые формулами Кардано (1545 г.) и ассоциирующиеся также с именами других итальянских математиков эпохи Возрождения (С. Ферро, Н. Тарталья), равно как и формула (1), справедливы при любых буквенных коэффициентах а, Ь, с, р, q, которым можно придать, например, произвольные рациональные значения. Аналогичные формулы были найдены для корней уравнения четвертой степени, и на протяжении почти трехсот лет предпринимались безуспешные попытки «решить в радикалах» общее уравнение пятой степени. Лишь в 1813 т. А. Руффини (в первом приближении) и в 1827 г. Н. Абель (независимо и совершенно строго) доказали теорему о том, что общее уравнение х"+six'1-1 + ... ... Н-ап = О при п >• 4 неразрешимо в радикалах. Фундаментальное открытие в этой области было сделано двадцатилетним Эваристом Галуа в 1831 г. (оно стало известным лишь в 1846 г.), когда он дал универсальный критерий для разрешимости в радикалах любого (например, с рациональными коэффициентами), а не только общего уравнения степени п.

Каждому многочлену (уравнению) степени п он сопоставил поле разложения и конечное семейство (мощности ие более л!) автоморфизмов этого поля, называемое теперь группой Галуа поля (или исходного многочлена). Хотя мы и лишены возможности останавливаться более подробно на теории Галуа, в ВАЗ будет выделен чисто внутренними свойствами

специальный класс так называемых разрешимых групп. Оказывается, что уравнение степени п с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах в точности тогда, когда разрешима соответствующая ему группа Галуа. Пусть, например, дано уравнение пятой степени х* — ах — 1=0, где а — некоторое целое число. Ему отвечает группа Галуа Ga, зависящая каким-то сложным образом от a. Go— циклическая группа порядка 4 (а все циклические группы разрешимы по определению) и уравнение х6— 1=0, конечно, разрешимо в радикалах. Напротив, Gi имеет то же строение, что и симметрическая группа Ss порядка 120, а последняя, как показано в ВАЗ, неразрешима. Следовательно, неразрешимо в радикалах и уравнение х6 — х— 1 =0.

Отметим в заключение, что для практических нужд возможность выразить корень алгебраического уравнения в явном виде через радикалы существенного значения не имеет; более актуальны разные приближенные методы вычисления корней. Но это обстоятельство не умаляет красоты достижения Галуа, оказавшего сильнейшее идейное воздействие на последующее развитие математики. Начать с того, что именно Галуа Заложил основы теории групп. Установленное 5. Галуа взаимно однозначное соответствие между подполя,ми поля разложения и подгруппами его группы Галуа в XX веке обогатилось новыми абстрактными конструкциями и стало незаменимым средством исследования математических объектов.

Задача о состояниях многоатомной молекулы. Каждую молекулу можно рассматривать как систему частиц — атомных ядер (окруженных электронами). Если в начальный момент времени конфигурация системы близка к равновесной, то при определенных условиях частицы, входящие в систему, всегда будут оставаться вблизи положений равновесия и не будут приобретать больших скоростей. Движения такого типа называются колебаниями относительно равновесной конфигурации, а система — устойчивой. Известно, что любое малое колебание молекулы вблизи положения устойчивого равновесия является суперпозицией так называемых нормальных колебаний. Во многих случаях удается определить потенциальную энергию молекулы и ее нормальные частоты, принимая во вни-

мание внутреннюю симметрию молекулы. Симметрия молекулярной структуры описывается точечной группой молекулы. Различные реализации этой конечной группы (ее неприводимые представления) и связанные с этими реализациями функции на группе (характеры представлений) определяют параметры колебаний молекулы.

Например, молекуле воды Н2О (рис. 1) отвечает четверная группа Клейна (прямое произведение двух циклических групп второго порядка), а молекуле

Рис. 2Рис. 2

Рис. 2

Рис. 2

фосфора Р< (рис. 2), имеющей вид правильного тетраэдра, в вершинах которого расположены атомы фосфора,— симметрическая группа S< порядка 24. Неприводимые представления этих групп будут изучены в ВАЗ. В настоящее время развитие структурной теории молекул трудно себе представить без помощи теории групп.

Гораздо более ранние применения теории групп относятся к кристаллографии. Еще в 1891 г. веЛикий русский кристаллограф Е. С. Федоров, а затем немецкий ученый А. Шёнфлис нашли 230 пространственных кристаллографических групп, описывающих все имеющиеся в природе симметрии кристаллов. С тех пор теория групп постоянно используется для исследования влияния симметрии на физические свойства кристалла.

Задача о кодировании сообщения. В конструировании автоматических систем связи, наземных или космических, обычно в качестве элементарного сообщения берется упорядоченная последовательность — строка (или слово) а=(аь а2, ..., ая) длины п, где щ = 0 или 1. Так как обычные операции сложения и умножения по модулю 2 хорошо приспособлены для выполнения на электронной машине, а сами символы 0, 1 удобны для передачи в виде электрических

сигналов (1 и 0 отличаются фазой разделенных по времени сигналов или их наличием и отсутствием), то неудивительно, что поле GF(2) (см. § 3 гл. 4) — необходимый атрибут специалиста по переработке информации. Иногда удобно использовать в качестве at элементы других конечных полей.

С целью исключения влияния помех (атмосферных разрядов, космических шумов и т. д.), способных превратить 0 в 1 и обратно, приходится брать а достаточно длинным и использовать специальную систему кодирования — выбор такого подмножества (кода) So передаваемых строк (кодовых слов) из всего их множества S, чтобы было возможно восстановить а по полученному искаженному слову а', при условии, что произошло не слишком много ошибок. Так возникают коды, исправляющие ошибки. Алгебраическая теория кодирования, сильно развившаяся за последние годы и предложившая много остроумных методов кодирования, имеет дело в основном со специальными линейными кодами, когда выбор So связан с построением специальных прямоугольных матриц и решением систем линейных уравнений, коэффициенты которых принадлежат заданному конечному полю. Простой пример такого кода будет приведен в гл. 4.

Задача о нагретой пластинке. Плоская прямоугольная пластинка с тремя отверстиями (рис. 3) -используется в качестве клапана одного фантастического устройства для получения низких температур.

Рис. 3

На клапан нанесена квадратная сетка (решетка). Ее вершины, лежащие на четырех контурах, называются граничными, а все остальные вершины — внутренними. Непосредственное измерение показывает, что при

любом нагревании или охлаждении температура в каждой внутренней вершине является средней арифметической величиной от температур ближайших четырех вершин — неважно, граничных или внутренних. Ожидается, что детали устройства, соприкасаясь с различными участками контуров, сообщат соответствующим граничным точкам указанную на рис. 3 температуру. Возможно ли это, а если возможно, то однозначно ли при этом распределение температуры во внутренних точках?

Системы линейных уравнений. Первые шаги

Линейные уравнения ах — Ь и системы вида ах4-6у = е, cx^dy — fШ

с вещественными (действительными) коэффициентами а, Ь, с, d, е, f «решаются» в средней школе. Наша цель — научиться оперировать с системой линейных алгебраических уравнений (или коротко: с линейной системой) самого общего вида:

«ХХ*Х + ^12^2 + • • • + а1пХп — ^ь

Ogi-^l 4~ ^^2*2 + • • - + ^n-^n — ^2»^2)

" amlxt 4- am2x2 4- ./. + amnx„=bm.

Здесь m и n— произвольные целые положительные числа. Будучи, казалось бы, чисто количественным, усложнение, получающееся при переходе от (1) к (2), имеет на самом деле принципиальное значение. Системы вида (2) встречаются буквально во всей математике, и так называемые линейные методы, конечным продуктом которых часто являются решения линейных систем, составляют ее наиболее развитую часть. Достаточно упомянуть, что теория систем вида (2) послужила в конце XIX века прототипом для создания теории интегральных уравнений, играющей исключительно важную роль в механике и физике. Решение большого числа практических задач на ЭВМ. также сводится к системам (2).

Терминология. Следует обратить внимание на весьма экономное и удобное обозначение коэффици-

ентов системы (2): коэффициент ац (читается а-и-жи; например, ai2 есть а-один-два, но никак не а-двена- дцать) стоит в i-m уравнении при /-й неизвестной х$. Число bi называется свободным членом 1-го уравнения. Система (2) называется однородной, если bi = О для t = 1, 2, ..., т. При любых bt линейную систему

^пХ! + «12^2 + .. - + а1пхп = О,

<121X1 + 022X2 + - • • + <4nxn ~ О,(20)

SmiXi + am2x2 + ... 4-am„x„ = 0

называют однородной системой, ассоциированной с системой (2), или еще — приведенной системой для системы (2).

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу

|

«11«12••• «|Я|

«21«22• • • «2П|

IW

°mi °ma • • • «mn I

называемую матрицей размера m^n (m X п-матри- цей или квадратной матрицей порядка п при m — п) и сокращенно обозначаемую символом (ai/) или просто буквой А. Естественно говорить об i-й строке Valx,al4, ,;....;. £in\ матрицы„(3) и о. j-m столбце

который в дальнейшем, ради экономии места, будет изображаться строкой, заключенной в квадратные скобки: [at/, а^, .... ami\. В случае квадратной матрицы говорят еще о главной диагонали, состоящей из элементов а\Х, а^, .... апп- Матрица (ay), у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, обозначается иногда символом diag(an, а22, <z«n) и называется диагональной матрицей, а при ац = = а22 = ... =апп = а—символом diagn(a) ^скалярная матрица). Для обозначения матрицы diagn(l).

называемой единичной матрицей, обычно используется символ Еп или буква Е, когда размер матрицы фиксирован.

Наряду с матрицей (3) рассматривают еще расширенную матрицу (ai;|6z) системы (2), получаемую из (3) добавлением столбца [6Ь 62, ..., Ьт\ свободных членов; для ясности он отделен от остальных столбцов вертикальной чертой.

Если каждое из уравнений системы (2) обращается в тождество после замены неизвестных xt числами х”, то упорядоченный набор из п чисел х°, х°, ..., х° называется решением системы (2), а х°— его i-$i компонентой. Говорят также, что набор х°, х°, .... х° удовлетворяет всем уравнениям системы (2). Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Если же у системы есть решения, то она называется совместной и притом—определенной, коль скоро решение единственно. Решений может быть и более одного: тогда система называется неопределенной. Совместна ли данная система линейных уравнений, а если совместна, то каковы все ее решения — вот ближайшие вопросы, на которые нужно получить ответ.

Посмотрим еще раз иа задачу п. 4 § 2. Пронумеруем все внутренние точки пластинки произвольным образом от 1 до 416 (ямеиио столько их на рис. 3), добавим к ним 204 номера граничных точек и, в соответствии с заданным правилом вычисления температуры h во внутренней точке с номером i, составим 416 соотношений типа

Пусть, скажем, о, Ь, с ^ 416, a d > 416. Тогда это соотношение можно переписать в виде линейного уравнения

— t „ — t. — t + 4/ = t.a b c 1 в a

с правой частью t» = —273, —100, —50, 0, 50, 100 или 300 (возможны и другие варианты). Взятые вместе эти уравнения составят квадратную линейную систему вида (2) с n = m — 416. Коэффициенты при неизвестных h равны 0 (нх большинство), —1 или 4. Является ли эта система совместной и определенной?

Мы получили иную, математически точную формулировку задачи качественного характера. Вопрос о существовании и единственности весьма типичен для многих разделов математики, связанных с изучением физических явлений.

Эквивалентность линейных систем. Пусть нам дана еще одна линейная система «того же размера»

°nxi “Ь °12х2 + • - • + а1пх„ — 6Р - . . (2')

^ml^l ”Ь ^«2^2 “Ь - • • “Ь ^тп^п === ^т-

Будем говорить, что система (2') получена из (2) при помощи элементарного преобразования типа (I), если в системе (2) все уравнения, кроме 1-то и Л-го, остались прежними, a i-e и А-е уравнения поменялись местами. Если же в (2') все уравнения, кроме i-ro, те же, что ив (2), а 1-е уравнение имеет вид

(an + сак1)хг -f- ... + (ain + сакп) хп — bi 4- cbk, (*) где с — какое-то число (т. е. а', = atj + сакр b't = bt-\- -Vcbk), то полагаем, что к системе (2) применено элементарное преобразование типа (II).

Линейные системы (2) и (2') называются эквивалентными, если обе они либо несовместны, либо совместны и обладают одними и теми же решениями.

Условившись обозначать эквивалентяосгь „систем (а) и (6) символом (а)-~(6), мы замечаем, что (а)~(а), из (а) ~ (6) следует (6) — (а), а из (а) ~ (6) и (6) — (с) следует (а) ~ (с).

Достаточный признак эквивалетности систем содержится в следующем утверждении.

Теорема 1. Две линейные системы эквивалентны, если одна получается из другой путем применения конечной последовательности элементарных преобразований.

Достаточно доказать эквивалентность системы (2) и системы (2'), полученной из (2) путем применения одного элементарного преобразования. Заметим, что система (2) получается из (2') также в результате применения одного элементарного преобразования, поскольку эти преобразования обратимы. Другими словами, в случае (I), переставив еще раз местами уравнения с номерами I и к, мы вернемся к первоначальной системе; аналогично в случае типа (II), прибавив

к i-му уравнению в (2') ^-е, умноженное на (—с), мы получим i-e уравнение системы (2).

Докажем теперь, что любое решение (х°, .... х°) системы (2) является также решением системы (2'). Если было произведено элементарное преобразование типа (I), то сами уравнения вообще не изменились (изменился только порядок их записи). Поэтому числа х°, х°, ..., х°, удовлетворявшие им ранее, будут удовлетворять им и после преобразования. В случае элементарного преобразования типа (II) уравнения, кроме i-ro, не изменились, и поэтому решение (х°, х°, .... х°) им по-прежнему удовлетворяет. Что касается i-ro уравнения, то оно приобрело вид (•). Так как наше решение удовлетворяет i-му и Л-му уравнениям системы (2), то

+ а..х?4- ... + <zb„x°=6b. I 1 1 I 1 1 AZ3 A

Умножив обе части последнего тождества на с и прибавив его к первому, мы получим, группируя члены, тождество вида (*) с х1=х°1.

В силу отмеченной выше обратимости элементарных преобразований проведенное рассуждение показывает также, что, обратно, любое решение системы (2') будет решением системы (2).

Осталось заметить, что несовместность одной системы влечет несовместность другой (рассуждение от противного). .

Приведение к ступенчатому виду. Путем последовательного применения элементарных преобразований можно перейти от заданной системы уравнений к системе более простого вида.

Во-первых, заметим, что среди коэффициентов сих имеется хотя бы один, отличный от нуля. В противном случае не имело смысла упоминать о неизвестной Хь Если ац — 0, поменяем местами (преобразование типа (I)) первое уравнение с таким /-м, что ад^О. Теперь коэффициент в первом уравнении при первой неизвестной отличен от нуля. Обозначим его- через а^. Вычтем из i-ro уравнения (i = 2, 3, ..., m) новой системы первое уравнение, обе части которого умножены на такой коэффициент Ct, чтобы после, вычитания коэффициент при Xi обратился в 0 (/п — 1 элементарных преобразований типа (II)). Очевидно,

что для этого нужно положить с, =ап/а,г В результате МЫ получим систему, В которой Xi входит только в первое уравнение. При этом может оказаться, что вторая неизвестная также не входит во все уравнения с номером i> 1. Пусть хк— неизвестная с наименьшим номером, которая входит в какое-нибудь уравнение, ие считая первого. Мы получим систему

«uxi ++ainxn — 6Р

^Л+ --• + а^хп==б'.

а<ьхь + •••к>\, of. О.

mit я 11 тп п hv*11

Не обращая теперь внимания на первое уравнение, применим ко всем оставшимся те же рассуждения, что и ранее. После ряда элементарных преобразований исходная система примет вид

4Х ++ <х„=б7,

<Х ++СХ™

<л + ... +^х„ =6",

^mZ^l + • • • + атпХп ^т»/>£> 1, а"=#0, а£к=#0.

Разумеется, здесь а"—а£/, й" = й', ибо первое уравнение не затрагивалось.

Будем применять этот процесс до тех пор, пока возможно. Ясно, что мы будем вынуждены остановиться, когда станут равными нулю не только коэффициенты при очередной неизвестной (скажем s-й), но и коэффициенты при всех следующих неизвестных вплоть до л-й. При этом система (2) примет вид

«11*1 ++ «!«*« = Ь1»

tkfcXfe ++ «2п*п — 52,

(4)(4)азр>^++53„х„ = 53,

(4)

(4)

^rs^s + • • • + ®гп^п ^Г»о = 6г+1»

0 = ь«.

Здесь аи52*а3/ ... а,$ #= О, 1 < к < I < ... < s. Может оказаться, что г = т, и поэтому уравнений вида 0 = 6i в системе (4) не будет. Про систему уравнений вида (4) говорят, что она имеет ступенчатый вид.

Это название не является общепринятым: здесь можно было бы говорить о трапецевидном или о ква- зитреугольном виде и т. п., что не так уж существенно.

Теорема 2. Всякая система линейных уравнений эквивалентна системе, имеющей ступенчатый вид.

Доказательство непосредственно вытекает из предшествующих рассуждений. ■

■Элементарные преобразования иногда удобно производить не над системой, а над ее расширенной матрицей (а</|6<). Точно так же, как и теорема 2, доказывается

.Теорема 2'. Всякую матрицу можно при помощи элементарных преобразований привести к ступенчатому виду. |

Исследование системы линейных уравнений. Ввиду теорем 1 и 2 вопросы совместности и определенности достаточно исследовать для систем ступенчатого вида (4).

Начнем с вопроса о совместности. Очевидно, что если система (4) содержит уравнение вида 0 = 6t с 5# ^ О, то эта..система несовместна, так как равенство 0 = 5t нельзя удовлетворить никакими значениями для неизвестных. Докажем, что если таких уравнений в системе (4) нет, то эта система совместна.

Итак, пусть Б* = 0 при t > г. Назовем неизвестные Xi, Xk, хц ..., xs, с которых начинаются первое, второе, ..., r-е уравнения, главными, а остальные неизвестные, если таковые имеются, — свободными. Главных неизвестных по определению всего г.

Придадим свободным неизвестным произвольные значения и подставим их в уравнения системы (4). Тогда для xs получится одно уравнение (r-е) вида axs = Ь с а = ctrs 0, которое имеет единственное решение. Подставляя найденное значение xs = x°b первые г—1 уравнений и поднимаясь так снизу вверх по системе (4), мы убедимся в том, что значения для

главных неизвестных определяются однозначно при любых заданных значениях для свободных неизвестных. Нами доказана

Теорема 3. Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы после приведения к ступенчатому виду в ней не оказалось уравнений вида 0 — bt с 5t =# 0. Если это условие выполнено, то свободным неизвестным можно придать произвольные значения; главные неизвестные — при заданных значениях для свободных — однозначно определяются из системы. |

Выясним теперь, когда система будет определенной, в предположении, что введенное нами условие совместности выполнено. Если в системе (4) имеются свободные неизвестные, то система заведомо неопределенна: мы можем придать свободным неизвестным любые значения, выражая через них (по теореме 3) главные неизвестные. Если же свободных неизвестных нет и все неизвестные, стало быть, главные, то по теореме 3 они определяются из системы однозначно, так что система является определенной. Остается заметить, что отсутствие свободных неизвестных равносильно условию г — п. Мы доказали следующее утверждение.

Теорема 4. Совместная линейная система (2) является определенной тогда и только тогда, когда в полученной из -нее ступенчатой системе (4) выполняется равенство г — п. в

При т — п линейную систему, приведенную к ступенчатому виду, можно записать еще и так {треугольный вид):

биХх 4- а12х2 4- ... + а1пхп — 6$,

+ - - - + О2Пх„ — Ь2, (кх

бпп^п Ьп, если не заботиться о том, чтобы выполнялось условие а„ ^ь 0 для всех L Действительно, запись (5) означает, что в системе k-е уравнение не содержит неизвестных X; с I < к, а это условие заведомо выполнено для систем ступенчатого вида.

Заметим на будущее, что матрица {ау) с элементами ац — 0 при 1 > /‘ называется верхней треуголь-

s з. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ. ПЕРВЫЕ ШАГИ 31 ной. Аналогично определяется нижняя треугольная матрица.

Из теорем 3 и 4 вытекает

Следствие 1. Линейная система (2) в случае пг = п является совместной и определенной тогда и только тогда, когда после приведения к ступенчатому виду получится система (5) с аИак ... апп #= 0. 8

Обратим внимание на тот факт, что это условие не зависит от правых частей системы. Поэтому при пг = п система (2) тогда и только тогда совместна и определенна, когда это верно для ассоциированной с ней однородной системы (2°). Но однородная система всегда совместна- она имеет, например, нулевое решение х° == 0, .. ., х* = 0.

Условие dii^22 •-• Цпп¥=0 означает, что однородная система обладает только нулевым решением. Мы приходим к иной форме следствия 1, не связанной с ее ступенчатым видом.

Следствие 1'. Линейная система (2) в случае пг = п является совместной и определенной тогда и только тогда, когда ассоциированная с ней однородная система (2°) имеет только нулевое решение. В

Специального внимания заслуживает случай л>т.

Следствие 2. Совместная система (2) при п"> пг является неопределенной. В частности, однородная система при п"> пг всегда имеет ненулевое решение.

Действительно, в любом случае г ^ пг, поскольку в системе (4) не больше уравнений, чем в системе (2) (уравнения с тождественно равными нулю левыми и правыми частями отброшены). Поэтому неравенство п > пг влечет п > г, что по теореме 4 означает неопределенность системы (2). Остается заметить, что неопределенность однородной системы равносильна существованию у нее ненулевого решения. 1

Часть полученных нами результатов отражена в следующей таблице.

Тип линейной системы

общая

однородная

n>m неоднородная

«> m однородная

Число решений

0, 1, ОО

1» 00

0, ОО

ОО '

Отдельные замечания и примеры. Изложенный нами метод решения систем линейных уравнений называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных. Весьма удобный при небольших п, он годится и для осуществления на ЭВМ, хотя по разным причинам более практичными зачастую оказываются другие способы решения, например итерационные. Это особенно относится к тому случаю, когда коэффициенты даны, а решения ищутся с определенной степенью точности. В теоретических исследованиях, однако, первостепенное значение приобретают формулировка условий совместности или определенности линейной системы, а также нахождение общих формул для решений в терминах коэффициентов и свободных членов — без приведения системы к ступенчатому виду. В какой-то мере одному из этих требований отвечает следствие 1'.

Пример 1. Вновь обратимся к задаче о нагретой пластинке из $ 2. Как мы видели в п. 1, интересующий нас вопрос выражается в свойствах вполне конкретной линейной системы (для определенности назовем ее НП) с довольно большим числом неизвестных it. Следуя критерию, сформулированному в следствии 1', рассмотрим однородную линейную систему ОНП, ассоциированную с НП. Другими словами, температура всех граничных точек пластинки принимается теперь равной нулю. Пусть е — номер внутренней точки с максимальным значением р«|. Тогда из условия

ta +-/6 + vtd te -

вытекает, что р«| = |fa| = |<е| = |fc| = |<а|. Сдвигаясь на одни шаг решетки в любом из четырех направлений, мы будем проходить через точки с тем же значением р<| — |f,|, пока не достигнем граничной точки с нулевой температурой. Значит, I te | = О, а поэтому н h = О для всех L Итак, система ОНП имеет лишь нулевое решение, и стало быть, НП —совместная н определенная линейная система. Задача о нагретой пластинке в первоначальной ее постановке тем самым решена.

= 1, = 1, = О,= 1, = 1, = О,Пример 2. Дана линейная система

= 1, = 1, = О,

= 1, = 1, = О,

*1

*2

— Х1 *2 + *3

*»—2 ХП — 1 Ч- ХП == О.

Очевидно, что это совместная определенная система, уже приведенная к ступенчатому (треугольному) виду. Только, решая ее.

нужно двигаться не снизу вверх, а сверху вниз. Решением является, по определению, последовательность первых п чисел Фибоначчи fi, ft, ..., fn. Эти числа связаны с одним ботаническим явлением, так называемым филлотаксисом (расположением листьев иа растениях). Однако при п = 1000 или даже при произвольном п хотелось бы указать общее выражение (аналитическую формулу) для n-го числа Фибоначчи. Вы можете возразить, сказав, что у вас хватит терпения указать и fiooo, следуя индуктивному определению этих чисел. Но это не будет математическим решением вопроса. В гл. 2 и 3 мы укажем два выражения для fB, хотя, конечно, эту конкретную задачу можно решить и более прямыми средствами.

Замечание 1. Иногда бывает удобнее находить решения линейной системы, не приводя ее к ступенчатому виду. Это особенно относится к тому случаю, когда матрица системы содержит много нулей. Небольшая практика здесь предпочтительнее длинных объяснений.

Замечание 2. Какое количество Гп арифметических операций необходимо выполнить для решения системы п линейных уравнений с п неизвестными методом Гаусса? Это не праздный вопрос, поскольку ставшему обыденным в наши дни использованию ЭВМ при больших п должны предшествовать априорные оценки машинного времени, требуемого для решения задачи. • . "

Так как умножение двух чисел более трудоемко, чем сложение, то рекомендуется подсчитывать только количество умножений и, разумеется, делений, называемых далее просто операциями. Без ограничения общности можно предполагать, что решение линейной системы единственно, т. е. все неизвестные — главные Правые части уравнений пока игнорируем. Тогда для исключения неизвестной хх из уравнения с номером i > 1 нужно заготовить число Ц = ац/ап (одно деление) и вычислить еще п — 1 произведений Цац, j = = 2, 3, ..., п, т. е. всего требуется п операций. Процедурой вычитания из i-то уравнения первого, умноженного на Ц, мы условились пренебречь. Так как I = = 2, 3, ..., п, то для исключения хх понадобилось л (л—1) операций. На втором шаге, когда мы имеем дело с системой порядка л — 1, понадобится (л — 1) (л — 2) операций, на третьем — соответственно (л — 2) (п — 3) и т. д. Общее число операций для приведения левых частей системы к треугольному

3 А И. Кострнюш

виду (5) равно сумме

Г (п) = п (п—1) + (л—1)(л — 2) + . ..

+ 2 (2 — 1) + 1 (1 — 1).

Нетрудно убедиться (докажите сами или загляните в § 7), что Г(л) = (л3 — л) /3.

Процесс нахождения компонент х°, х°_р ..., х” решения (движение снизу вверх по системе (5)) требует всего 14-2+3+ ... + л = л (л + 1) /2 операций. При больших л это не внесет существенного вклада в общую сумму операций. Итак, вполне удовлетворительной оценкой числа операций является (гауссова) величина Гп = л3/3.

В последнее время Штрассеном разработан метод (подробности см. в ВА 2), требующий только Ш№ = = С • nIogI 7 = Сл2-81 операций,—значительный выигрыш при очень больших л, полученный, правда, за счет увеличения числа операций сложения. Но константа С в Шп чрезвычайно велика, а программа реализации логически сложна, поэтому речь идет, скорее, о выигрыше в теоретическом плане.

Оба упомянутых нами метода являются типичными математическими алгоритмами, приспособленными для решения массовых задач. Позднее мы встретимся с другими примерами алгоритмов. Их роль в наш век сплошной компьютеризации весьма велика. При этом важны не только сами 'алгоритмы, но и оценки их сложности.

Определители небольших порядков

Излагая метод Гаусса, мы не слишком заботились о значениях коэффициентов при главных неизвестных. Важно было лишь то, что эти коэффициенты отличны от нуля. Проведем теперь более аккуратно процесс исключения неизвестных хотя бы в случае квадратных линейных систем небольших размеров. Это дает нам пищу для размышлений и исходный материал для построения общей теории определителей в гл. 3.

Как и в § 3, рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными

сцххх + а12х2 = Ьъ

и постараемся найти общие формулы для компонент х°, х® ее решения. Назовем определителем матрицы

|

«И «12 II «21 «22 |

выражение аца22— ^21^12 и обозначим его символом j““ ^|- Тем самым квадратной матрице сопоставляется число

I «М «22 I = °*1328 “ ®21®12* (^)

Если мы попытаемся исключить х2 из системы (1), умножив первое уравнение на 022 и прибавив к нему второе, умноженное на —а^, то получим

■ IS SlXi=6iZZ22—ь^'

Правую часть также можно рассматривать как определитель матрицы |*’ д’2|- Предположим, что «121^. q тогда мы имеем

I G2t ^22 }

I bi a12 [I att bt I

Jfi= ।^r и аналогично х2=т—-—~.(3)

1 «И «122«11«12' '

I «21 «22 II «21 «22 1

Имея формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, мы можем решать и некоторые другие системы (решать системы = находить их решения). Рассмотрим, например, систему двух однородных уравнений с тремя неизвестными:

(4)(4)<1цХ1 4~ ^12^2 + «13^3 — 0>О21Х1 -f- <222X2 -f- <<23X3 = 0.

(4)

(4)

Нас интересует ненулевое решение этой системы, в котором, следовательно, хоть одно из х,т^=0. Пусть, например, Хз ^ 0. Разделив обе части на —х3 и положив У1 = —xi/хз» уа = —х2/хз, запишем систему (4) в том же виде

а\1У1 + ^12^2 = а13>

°2i^i + a^Bi — ^23»

что и (1). При предположении ^‘ д^^О фор мулы (3) дают

018 023

012 ®22

Он «21

01-3 023

31 —

хз

«И

012

*^2 ~ ха " '

«И

012

*

021

022

«21

022

Неудивительно, что мы определили из системы (4) не сами хь х2, хз, а только их отношения: из однородности системы легко следует, что если (х°, х®, х“) — решение и с — любое число, то (сх“, сх”, сх°) тоже будет решением. Поэтому мы можем положить

1

013 Ot2 I„ |оПо1а|I Оц012I /КХ

О23 О22 jI “21О28 JJ О21О22'

и сказать, что любое решение получается из указанного умножением всех х< на некоторое число с. Чтобы придать ответу несколько более симметричный вид, заметим, что всегда

|

а 6 116 а I

с d II d с I *

как это непосредственно видно из формулы (2). Поэтому (5) можно записать в виде

ЭтиI 021ЭтиI 021фор^лы выведены в предположении, что а'4 =/= 0. Нетрудно проверить, что доказанное ут

Эти

I 021

Эти

I 021

верждение верно, если хоть один из входящих в выражения (6) определителей отличен от нуля. Если же все три определителя равны нулю, то, конечно, формулы (6) дают решение (а именно нулевое), но мы не можем утверждать, что все решения получаются "из него умножением на число (рассмотрите систему, состоящую из двух совпадающих уравнений xi + х2 + + хз = 0).

Перейдем теперь к случаю системы трех уравнений с тремя неизвестными:

°НХ1 + °12^2 4“ «13^3 = ^1,tiglXj + 022^2 4~ ^гз-^з ^^ 62,^31-^1 + #32^2 + ^33^3 = Ьз*

Мы хотим исключить из этой системы Х2 И Хз, чтобы получить значение для xt. С этой целью умножим первое уравнение на сь второе на с2, третье на с3 и сложим их. Подберем сь с2, Сз так, чтобы в получившемся уравнении члены с х2 и Хз обратились в 0. Приравнивая нулю соответствующие коэффициенты, мы получим для ci, с2 и сз систему уравнений

®12^l + ^22^2 Н~ ^2^30,

«13^1 + ^23^2 + ^зз^з — 0,

относящуюся к тому же типу, что и (4). Поэтому можно взять

1

022 «32 I _I «12 Ям II «12 «28 I

«23 «зз || а13 язз I 0| а13 а2з |

После очевидных изменений мы получаем для хх вы

ражение

«22«32«22«32ХХ = «is I «28 IХХ = «is I «28 I(7)(7)|Яц «21 «31|Яц «21 «31«12 «22 «82«12 «22 «82Оц«12«1з|«И «12«13«21«22«231 и обозначается«21«22«23«31«32«зз|«31 «М «S3Оц«12«1з|«И «12«13«21«22«231 и обозначается«21«22«23«31«32«зз|«31 «М «S3+ <*3i I «12 Я,з «82 Я33+ <*3i I «12 Я,з «82 Я33«12 «13 I А «22 «23 I X I I t. I °*2 | + 6з|я««12 «13 I А «22 «23 I X I I t. I °*2 | + 6з|я«Коэффициент при *i называется определителем матКоэффициент при *i называется определителем матрицырицыТаким образом, за мы берем выражениеТаким образом, за мы берем выражениеопределитель третьего порядкаопределитель третьего порядка«18 «23 «S3«18 «23 «S3«22 «М«22 «М«23 I I «12 «13 | I «12 «13«аз I1421 I я32 Язз | * “31 I а22 я2з«23 I I «12 «13 | I «12 «13«аз I1421 I я32 Язз | * “31 I а22 я2з

«22

«32

«22

«32

ХХ = «is I «28 I

ХХ = «is I «28 I

(7)

(7)

|Яц «21 «31

|Яц «21 «31

«12 «22 «82

«12 «22 «82

Оц

«12

«1з|

«И «12«13

«21

«22

«231 и обозначается

«21«22«23

«31

«32

«зз|

«31 «М «S3

Оц

«12

«1з|

«И «12«13

«21

«22

«231 и обозначается

«21«22«23

«31

«32

«зз|

«31 «М «S3

+ <*3i I «12 Я,з «82 Я33

+ <*3i I «12 Я,з «82 Я33

«12 «13 I А «22 «23 I X I I t. I °*2 | + 6з|я«

«12 «13 I А «22 «23 I X I I t. I °*2 | + 6з|я«

Коэффициент при *i называется определителем мат

Коэффициент при *i называется определителем мат

рицы

рицы

Таким образом, за мы берем выражение

Таким образом, за мы берем выражение

определитель третьего порядка

определитель третьего порядка

«18 «23 «S3

«18 «23 «S3

«22 «М

«22 «М

«23 I I «12 «13 | I «12 «13

«аз I1421 I я32 Язз | * “31 I а22 я2з

«23 I I «12 «13 | I «12 «13

«аз I1421 I я32 Язз | * “31 I а22 я2з

— Яц^га^ + °12°2з®з1 + ^13^21^32 — “и^гз^за — ОхАх^ —

— «хзЯгг^х, (8)

задаваемое при помощи определителей второго порядка. Легко заметить, что правая часть в равенстве (7) получается из коэффициента при хх заменой яц на 61, а21 на 62 и a3i на 63. Поэтому равенство (7), можно записать в виде

Ян «21Я31Ян «21Я31Я12 «22 «32Я12 «22 «32

Ян «21

Я31

Ян «21

Я31

Я12 «22 «32

Я12 «22 «32

Предположим, что коэффициент при Хх отличен от нуля. Тогда, проведя аналогичные вычисления для х2

Ь\ #12 #13

&2#22#23

6з #32#33

#11 b\ а^

#21^2®23

#3163#33

*1 — -

«И °I2«1S

«21 ам Иц

Ost «32 Ogg

, x2

«И «гг Cat См Cat аая

«и «2а Csa

Сц Cat Cat

«tz bt

#22^2

Я32 ^3

х3 —

ах г ац «13

и Хз, мы придем к формулам

^21<>22#23

Os f #32#33

(9)

Очевидно, что те же самые рассуждения применимы к системе из четырех, пяти и т. д. уравнений с тем же числом неизвестных. Для этого нам надо сначала вывести формулы, аналогичные (6), для решений однородной системы трех уравнений с четырьмя неизвестными; потом в системе четырех уравнений е четырьмя неизвестными исключить Хг, х3, х4, умножая уравнения на С\„ сг, с3, с4 и складывая их. Мы найдем значения е, (t = 1, 2, 3, 4) из системы трех однородных уравнений.

Коэффициент, получающийся при х( и строящийся из определителей третьего порядка по образцу (8), мы назовем определителем четвертого-порядка-. Проводя "те же рассуждения с х2,хз, х*. мы найдем для’х/ формулы, аналогичные (9). Так можно продолжать неограниченно. Уверенность в том, что мы когда-нибудь достигнем цели, нам дает общий принцип, широко используемый в математике, а именно, принцип математической индукции (см. § 7).

1. Формулу (8) дующим наглядным дений, входящих в1. Формулу (8) дующим наглядным дений, входящих вУПРАЖНЕНИЯ легче запомнить, если воспользоваться сле- правилом знаков для выписывания произве- разложенне определителя третьего порядка:

1. Формулу (8) дующим наглядным дений, входящих в

1. Формулу (8) дующим наглядным дений, входящих в

Найти аналогичное правило для определителя четвертого порядка.

2. Показать, что все шесть членов в разложении определите

ля третьего порядка не могут быть одновременно положитель

ными.

3. Проверить, что

«и а,2 «is«и «21 «st0а 6

«21«22«23 == «12 «22«32 И — «0 С = 0.

«31 «за «зз«13 «23 «зз— 6 — с 0

Множества и отображения

В предыдущих двух параграфах мы встретились с множествами элементов разной природы, равно как и с отображениями множеств. Множество решений данной системы линейных уравнений или правило, ставящее в соответствие каждой матрице второго порядка ее определитель, — это лишь частные проявления того круга формальных понятий, знакомство с которым, хотя бы на интуитивном уровне, полезно для дальнейшего.

Множества. Под множеством понимают любую совокупность объектов, называемых элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех их элементов; обычно эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, {1,2,4, 8} — множество степеней двойки, заключенных между 1 и- 10. - Как правило, множество обозначается прописной буквой какого-либо алфавита, а его элементы— строчными буквами того же или другого алфавита. Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться. Так, буквами N, Z, Q, R обозначают соответственно множество положительных целых чисел (натуральные числа), множество всех целых чисел, множество рациональных чисел и множество вещественных чисел. При заданном множестве S включение aeS указывает на то, что а — элемент множества S; в противном случае пишут a ^S. Говорят, что S — подмножество множества Т или S cz Г (S содержится в 7), когда имеет место импликация

ух x^S=^x^T.

(По поводу обозначений см. раздел «Советы читателю», с. 9—10.) Два множества S и Г совпадают (или

равны), если у них одни и те же элементы. Символически:

5 = Го5сТиТс5

(-<=?>«тогда и только тогда, когда» или «влечет в обе стороны»). Пустое множество 0, совсем не содержащее элементов, по определению входит в число подмножеств любого множества. Если S er Т, но S 0 и S ^ Т, то S ■— собственное подмножество в Т. Для выделения подмножества S czT часто используют какое-либо свойство, присущее только элементам из S. Например,

{n е Z | п = 2m для некоторого m е Z}

— множество всех четных целых чисел, а

N = {n ^ Z | п > 0}

— множество натуральных чисел.

Под пересечением двух множеств S и Г понимают множество

5ПГ = {х|хеЗ и хе Г}, а под их объединением — множество

SU7* = {x|xeS или хе Г}.

Пересечение S Л Т может быть пустым множеством. Тогда говорят, что $ и Г — непересекающиеся множества. Операции пересечения* иг объединения удовлетворяют тождествам типа’

/?n(SUT) = (^nS)U(/?nn,

/?U(Snn = (/?US)n(/?Un,

проверку которых мы оставляем читателю в качестве упражнения. Картинки

помогут провести несложное рассуждение.

Разностью S\T множеств $ и Г называется совокупность тех элементов из S, которые не содержатся в Т. При этом, вообще говоря, не предполагается, что Т c=-S. Вместо 3\Г пишут также S — Т.

Если Т — подмножество в S, то символ S\T обозначает еще дополнение к Т в S. Положив R = S\T, будем иметь: Rf\T = 0, R\jT = S. Обратим внимание на соответствие между операциями пересечения, объединения, дополнения и логическими связками «и», «или», «нет».

Пусть, далее, X и У — произвольные множества. Пару (х, у) элементов х г X, у еУ, взятых в данном порядке, будем называть упорядоченной парой, считая при этом, что (Х1,^1) = (х2, ^2) тогда и только тогда, когда Х1=х2, yi—уъ- Декартовым произведением двух множеств X и У называется множество всех упорядоченных пар (х, у):

ХХУ = {(х, уМхеХ, у^У}.

Пусть, например, R — множество всех вещественных чисел. Тогда декартов квадрат R2 = R X R есть просто множество всех декартовых координат точек на плоскости относительно заданных координатных осей. Аналогичным образом можно было бы ввести декартово произведение XiX^X-^s трех множеств (=(Х1Х Х^)Х^з = ^1Х№Х^з)). четырех и т. д. При Xi = Х2 = • •. = Хк пишут сокращенно Xk = X X XXXX X и говорят о Л-й декартовой степени множества X. Элементами Хк являются последовательности (или строки) (Хц Хг, ..., х*) длины Л.

Чтобы почувствовать различие между множествами X X V и X U У, возьмем за X и У множества конечной мощности (cardinality — англ.)

I X | = Card Х = л, |У| = СагдУ = т.

Тогда

\XXY\ = nm, а | XU У 1 = п + m — | X А У |.

Если это не ясно, то нужно перечитать заново все определения.

Отображения. Понятие отображения или функции играет центральную роль в математике. При заданных множествах X и У отображение f с областью определения X и областью значений У сопоставляет каждому элементу хеХ элемент f(x)s У, обозначаемый также символом fx или fx. В случае У = X говорят еще о преобразовании f множества X в себя. Символически отображение записывается в виде f: X—* У

или X —*• У. Образом при отображении f называется множество всех элементов вида f(x):

Imf = {f(x)lxeX) = f(Z)c:y

(Im— от image — англ.). Множество

f-4y^ = Vx^X\t^ = y^ называется прообразом элемента у е Y. Более общо, для Уо с У положим

Г1(Уо) = {хеЛ/(х)еУо}= U ГЧуУ«е¥.

Если у е У\1ш f, то очевидно, f-1 (р) = 0.

Отображение ft X—*-Y называется сюръективным (surjective—франц.) или отображением на, когда Imf=y; оно называется инъективным (injective — франц.), когда из x=#V следует f(x)=#f(x/). Наконец, f: X-*-Y— биективное (bijective— франц.) или взаимно однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно.

Равенство f~g двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают: X—^Y, X ~^Y, причем ух г X f(x) = g(x). Сопоставление «аргументу» х, т. е. элементу хе X, значения f(x)e У принято обозначать при помощи ограниченной стрелки: x'-^-j(x).

Пусть, например, f„— число Фибоначчи (см. § 3) с номером п. Соответствие n i—*- jn определяет отображение N -> N, не являющееся ни сюръективным, что очевидно, ни инъективным, поскольку ft = fz = 1. Если R +—множество положительных вещественных чисел, то отображения f: R -> R, g: R -*• R+ U {0}, h: R+ -»- R+, определенные одним и тем же правилом х »—>хг, все различны: f ни сюрьективио, ни инъективно, g сюръективно, ио не инъективно, а отображение ft биективно. Таким образам, задание области определения и области значения — существенная часть определении отображения (функции).

Единичным (или тождественным^ отображением ех: Х-»-Х называется отображение, переводящее каждый элемент хеХ в себя. Если X— подмножество в У; X cz У, то иногда бывает полезным специальное отображение — вложение I: X-^Y^ которое каждому элементу хеХ сопоставляет тот же самый элемент, но уже в множестве У. Отображение f: X-*-Y назы-

вается сужением (или ограничением) отображения g: X'-^Y', когда Хс^Х', ¥<^¥' и VxeX f(x) = g(x). В свою очередь g называется продолжением отображения f. Например, вложение /: X—*-¥ есть ограничение единичного отображения еу: Y—*-¥.

Нам представится также случай говорить о функциях многих переменных. Полезно уяснить себе, что введенное выше понятие декартовой степени X” множества X дает возможность говорить о функции f(xb .... хп) многих переменных х;еХ, 1=1, ...» п, как об обычном отображении /: X"-* Y.

Произведением (суперпозицией или композицией) двух отображений g: U—^V и f: И-*-U7 называется отображение f°g: U^-W, определенное условием

(/ ° g) (и) = f (g(u)), \#и е U.

То же самое наглядно изображается треугольной диаграммой

V

Про эту диаграмму говорят, что она «коммутирует* „(или коммутативна), т. е. результат, .перехода от L/ к W не зависит от того, сделаем ли мы это прямо при помощи fog или воспользуемся промежуточным этапом V. Заметим, что композиция определена не для любых отображений f и g. Надо, чтобы в предшествующих обозначениях у них было общим множество V. Но композиция двух преобразований множества X в себя всегда имеет смысл.

В дальнейшем вместо fog мы будем писать просто fg.

Ясно, что

fex = L eYf = f

для любого отображения /: X —► Y. Проверка этого свойства очевидна.

Важное свойство композиции (произведения) отображений выражает следующая

Теорема 1. Композиция отображений подчиняется закону ассоциативности. Это значит, что если

h: U -*-V, g: V —*-№', f: W -*-T — три отображения, тоf (gk) = (fg) к.

Доказательство. Наглядно все необходимые рассуждения содержатся в следующей диаграмме:

где а = gh, р = fg. В соответствии с формальным определением равенства отображений нужно просто сравнить значения отображений f(gh)-. U -*-Т и (fg)h: U -*-Т в произвольной «точке» и е U. Но, согласно определению композиции отображений, имеем

(f ^gh^ u = f ^gh.) u) = Ug (M) = tig} khu^ = ((fg) h) u. |

Композиция отображений X—*-X, вообще говоря, некоммутативна, т. е. fg^gf. В этом легко убедиться на примере, когда X = {а, 6} — множество из двух элементов, f(a) = b, f(b) — a, g(a)= a, g(b) — а. Другой пример: f и g— постоянные отображения из X в X, т.- е. значения Цху и g(x) не зависят от- х. Тогда f^g^fg^gf/ .

Некоторые функции имеют обратные. Предположим, что /: X —► Y и g; Y —► X — какие-то отображения, так что композиции fg и gf определены. Если fg = eY, то f называется левым обратным к g, a g— правым обратным к f. Когда произведения в любом порядке являются единичными отображениями:

tg = eY, gf = ex, (1)

то g называется двусторонним обратным (или просто обратным) отображением для f или к f (a f—обратным отображением к g) и обозначается символом f-1. Итак, / (и) = и <=>/-1 (и) = и.

Предположив существование еще одного отображения g'-. Y-^~X, для которого

tg^ = ex, g'f = ex.tg^ = ex, g'f = ex.(Г)(Г)

tg^ = ex, g'f = ex.

tg^ = ex, g'f = ex.

(Г)

(Г)

S 5. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ 45 мы, опираясь на равенства (1), (Г) и на теорему 1, получим

S< = exg' = (gf) g'=g (fg') = gey = g.

Таким образом, двустороннее обратное отображение к f, коль скоро оно существует, определено однозначно. Это и служит оправданием для обозначения Vх-

Теорема 2. Отображение f: X —» У тогда и только тогда имеет обратное, когда оно взаимно однозначно (биективно).

Доказательство теоремы опирается на следующую лемму, представляющую самостоятельный интерес.

Лемма. Если f: X—*-У, g: Y—*-Х— любые отображения, для которых gf = ех, то f инъективно, a g сюръективно.

В самом деле, пусть х,х'гХ и f(x) = f(x'). Тогда х = ех (х) = (gf) х= g (fx) = g (fx*) = (gf) x'^ex (x') =xr. Стало быть, f инъективно. Если, далее, х — любой элемент из X, то х = ex (х) = (gf)x = g(fx), а это доказывает сюръективность g.

Возвращаясь к теореме 2, предположим вначале, что f обладает обратным g — f-1. Тогда из равенств (1) и из леммы вытекает как сюръективность, так и инъективность f. Другими словами, f биективно. Обратно, предположив f биективным, мы для любого yeY найдем единственный элемент хеХ, для которого f(x) = y. Положив g(y) = x, мы определим отображение g: Y-*-X, обладающее свойствами (1). Значит, f~x — g. ■

Следствие. Из биективности отображения f: X —*-Y вытекает биективность f~l, причем

(ГТ^Г (2)

Пусть, далее, f: X-*-Y, h: Y^-Z— биективные отображения. Тогда биективна и их композиция hf, причем

(hf)-x = rxh-x. (3)

Доказательство. По теореме 2 биективность/ влечет существование f-1, что в силу той же теоремы эквивалентно биективности V1. Симметричность условий (1), переписанных в виде ff-1 — еу, ^f — ex, дает

равенство (2). Далее, по условию и по теореме 2 существуют отображения f~l: Y —>Х, h~l: Z-»-Y и их композиция /-‘A-1: Z —*-Х. Из равенств

(Af) (f"^"1) = ((Af) Г*) А"1 ^ (A (ff-1)) А-1 = АА-1 = ez, (Г‘А""*) (Af) = Г1 (A"* (Af)) = Г1 «А*1 A) f) = ГЧ = ех

вытекает, что f^A-1—обратное отображение к hf. ■ Отображение «следования» о: N—»-N, определенное правилом a(n) = n-J- 1, инъективно, но не сюръективно, поскольку первый элемент (единица) не принадлежит Ima. Интересно, что для конечных множеств подобная ситуация невозможна.

Теорема 3. Если X — конечное множество и преобразование f: Х-*-Х инъективно, то оно биективно.

Доказательство. Нужно лишь показать, что f сюръективно, т. е. для любого элемента х е X найдется х' с f(x') = x. Положим

ffe(x) = f(f ...(fx)...) = f(f*->x), А = 0, 1, 2, ...

В силу конечности X в этой последовательности элементов должны быть повторения. Пусть, скажем, fm (х) = f” (х), m > п. Если п > О, то из f(fm-,x) = = f(f"-*x) и из инъективности f следует равенство fm—1 £х) __ pi-i (х), Повторив достаточное число раз сокращение f, мы придем к равенству "fm~”(x).^jP(x)== . = е(х)=х. А в таком случае f(x/)=x, где х' =

Как легко понять, сюръективное преобразование конечного множества в себя также биективно.

Несколько слов о мощности. Считается, что два множества X и Y имеют одинаковую мощность тогда и только тогда, когда существует биективное отображение f: X —> У. Множества той же мощности, что и N (или Z), называются счетными.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть Q ^ {Ч-> —» Ч—I-» Ч—■> —Ь, — —■. Ч—1—1~> • • -) — множество всех конечных последовательностей плюсов и минусов, а /: Q -► О — преобразование, переводящее элемент to = = toitog ... ton е Q в <о' = tottojtogtoa ... tonton, где to* = —, если е»* = Ч~» и <о* = Ч-, если со* = —. Показать, что в f (fe>) любой отрезок длины >4 содержит Ч-Ч- или.

Имеет ли отображение f: N -> N, заданное правилом ш—* п2, правое обратное? Указать для / два левых обратных отображения.

Пусть f: X —► У — отображение и S, Т — подмножества в X. Показать, что

f(SUn = f(S)Uf(n. f(Snr)<=f(S)nf(D.

Привести пример, показывающий, что последнее включение нельзя, вообще говоря, заменить равенством.

Символом ^(S) = {Т|Т cz S} обозначается множество всех подмножеств множества S. Если, например, S = (si, Si ... ...,$»}—конечное множество из п элементов, то ^(S) состоит из пустого множества 0, п одноэлементных множеств (зЛ, {sz}, .... {sn}, n(n—l)/2 двухэлементных множеств (s<, s,-}» 1 ^ i < j ^ n, и т. д., вплоть до T = S. Какова мощность множества ^(S)?

Пусть f: Х->- У— отображение и b = f(a) для некоторого а е X. Прообраз

Г1 (6) =/"1 (f (а)) - {х I f (х) = f (а))

иногда называют еще слоем над элементом belmf. Показать, что все множество X является объединением непересекающихся слоев (разбиение множества X). Предупреждение: символ /~*(Ь) не следует ассоциировать с обратным отображением, которого может и не быть.

Показать, что конечная декартова степень счетного множества является счетным множеством.

7. Символом S А Г обозначается симметрическая разность двух множеств S и Г:

S ТS ТS ZX ТS ZX ТS AT = (S\T)U(r\S7.S AT = (S\T)U(r\S7.

S Т

S Т

S ZX Т

S ZX Т

S AT = (S\T)U(r\S7.

S AT = (S\T)U(r\S7.

Показать, что S А Г =- (S (J Г) \ (S П Т).

Отношения эквивалентности.Факторизация отображений

Эквивалентность систем линейных уравнений, введенная нами в § 3, наводит на мысль посмотреть на это понятие в общем плане, тем более что эквивалентностями разных типов мы пользуемся неосознанно как в логических рассуждениях, так и в обыденной жизни.

Бинарные отношения. Для любых двух множеств X и Y всякое подмножество ®с=ХХУ

называется бинарным отношением между X и Y (или просто на X, если Y = X). Для упорядоченной пары (х, t/)e<o используют обозначение х«>у и говорят, что х находится в отношении со к у. Это удобно, посколь-

Каждой функции фик — подмножествоКаждой функции фик — подмножествоку, например, упорядочение «О на множестве вещественных чисел R является бинарным отношением на R, состоящим из всех точек плоскости R2, которые лежат выше прямой х — у=0 (см. рис. 4); громоздкое включение

Каждой функции фик — подмножество

Каждой функции фик — подмножество

(х, у)е«>(а>=<)

заменяется обычным неравенством X < у.

f: X —*• Y сопоставляется ее гра-

Y(f) = ((x, у)\х^Х, y = f(x))cXXY,

являющееся отношением между X и Y. Изучение на R2 графиков функций R—*-R входит в курс математического анализа. Понятно, что не каждое отношение <в может служить графиком какого-либо отображения X—>-У. Необходимое и достаточное условие заключается в том, чтобы каждому хеХ отвечал, ровно один элемент у е.ха>у. Фактически задание X,.Y и графика r(f) восстанавливает f.

Отношение эквивалентности. Бинарное отношение — на X называется отношением эквивалентности, если для всех х, х', х" ^ X выполнены условия:

х — х (рефлексивность);

х — xf =*- xf— х (симметричность);

(Hi) х — х', xf— хГ =*- х — х" "(транзитивность).

Запись а * b выражает отрицание эквивалентности элементов a, b е X.

Подм ножество

х = {х' X | х' — х} ст X

всех элементов, эквивалентных данному х, называется классом эквивалентности, содержащим х.

Так как х— х (см. (i)), то действительно х^х. Любой элемент х' ^ х называется представителем класса х. Справедливо следующее утверждение.

Множество классов эквивалентности по отношению ~ является разбиением множества X в том смысле, что X является объединением непересекающихся подмножеств (это разбиение можно обозначить символом (X)).

В самом деле, так как х е х, то X = И х. Если хеХ

теперь х* П х" ^ 0 и х е х' П х", то х ~х' и х ~ х", откуда в силу транзитивности (Hi) имеем х'— х" и х' = х". Значит, различные классы не пересекаются. |

Пусть П = R2—вещественная плоскость с прямоугольной системой координат.

Взяв за свойство ■~ принадлежность точек Р, Р'еП одной горизонтальной прямой, мы получим, очевидно, отношение эквивалентности с классами — горизонтальными прямыми (рис. 5).

Гиперболы Гр (рис. 6) вида ху = р > 0 определяют отношение эквивалентности в области П+ с П точек Р(х, у) е координатами х > 0,- у->0. Эти геометрические примеры наглядно показывают, что верно следующее обратное утверждение.

Если имеется какое-то разбиение л(Х) множества X на непересекающиеся подмножества Сх, то Сх будут классами эквивалентности по некоторому отношению эквивалентности ~.

В самом деле, по условию каждый элемент х^Х содержится точно в одном подмножестве Са. Достаточно считать х — х' в том и только том случае, когда х и х' лежат в одном и том же подмножестве Са. Очевидно, это отношение ■— рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности. Далее, х е Са =*- х = Са по определению ■—. Стало быть, л(Х) = л~(Х). |

Факторизация отображений. Ввиду установленного выше взаимно однозначного соответствия между отношениями эквивалентности и разбиениями множе-

4 А. И. Кострикин

ства X принято разбиение, отвечающее отношению эквивалентности ~, обозначать символом X/~ и называть фактормножеством X относительно ~ (или по отношению —). Сюръективное отображение

р; х^р(х) = х(1)

называется естественным отображением (или канонической проекцией) X на фактормножество X/

Пусть X, У— два множества и f: X-*-Y— отображение. Бинарное отношение <о^:

VX, х' ^ XXtofx' <=> f (х) = f (х'),

очевидно, рефлексивно (f(x) = f(x)), симметрично (f(V) = /(х)=ф- f (х) = /(х7)) и транзитивно (f(x) = = t(x') и f (х') = f (х") => f(x) = f (х")). Таким образом, ti>f — отношение эквивалентности на X. Соответствующие классы эквивалентности х являются слоями (прообразами) в смысле упражнения 5 § 5. Другими словами,

х = (х' |/ (x') = f (х)}.

Отображение f: X^-Y индуцирует отображение f: X/(Of—»- У, определенное правилом

(2)(2)(2')(2')f(x^f(x),

(2)

(2)

(2')

(2')

или, что то Же самое;

fp(x)=f (х).

где р— естественное отображение (1). Так как х = х7 <=>- f (х) = f (х'), то соотношение (2), задающее f, не зависит от выбора представителя х класса х. В таких случаях говорят, что определение 7 является правильным или корректным. Коммутативная диа

грамма

(3)(3)

(3)

(3)

наглядно описывает факторизацию (разложение)

f = f*P

отображения f в произведение сюръективного отображения р и инъективного отображения f. Инъективность f вытекает из того, что

f (^1) = f (-^2) <=> f (-^J = f (^2) ^xx = x2.

Сюръективность f равносильна сюръективности f. Заметим, что если f': X/c»f—*-У — еще одно отображение, для которого выполнено соотношение (3): fp = f, то из f4x) = ТЧрх) = (Гр)х = f 00 = f(x) (см. (2)) следует на самом деле равенство f = f. Стало быть, отображение f, делающее указанную выше треугольную диаграмму коммутативной, единственно.

Упорядоченные множества. Упорядочением множества X (или порядком на X) называется бинарное отношение ^ на X, обладающее свойствами рефлексивности (х^х), антисимметричности (если х^у и у ^ х, то х = у) и транзитивности (если х ^ у и y^z, то x^z). При х^у и х^у пишут х < у. Вместо х ^ у используется также обозначение у ^ х. Пара элементов х, xf е X может и не находиться в отношении ^. Если, однако, х ^ х' или х' ^ х для каждой пары элементов из X, то X называется линейно упорядоченным множеством или цепью. В общем же случае говорят о частичном порядке на X.

Множество" X = ^(S) подмножеств, множества-S (см. упражнение 4 § 5) с обычным отношением включения RaT между подмножествами, а также множество N натуральных чисел с отношением d\n (п делится на d) являются примерами частично упорядоченных множеств.

Пусть X — произвольное частично упорядоченное множество, х и у — его элементы. Говорят, что у накрывает х, если х < у и не существует х с условием х < z < у. В случае Card X < 00 тогда и только тогда х < у (т. е. х и у сравнимы), когда найдется цепочка элементов х = хь х2, ..., хп-\, хп = у, в которой Xi+i накрывает Xi. Понятие накрытия удобно при изображении конечного частично упорядоченного множества X плоской диаграммой. Элементы множества X изображаются точками. Если у накрывает х, то у помещается выше х и х соединяется с у прямолинейным отрезком. Сравнимость у и х изображается

«понижающейся» ломаной, соединяющей у с х, причем таких ломаных может быть несколько. Несравнимые х и у не соединяются. На двух из приводимых диаграмм (см. рис. 7) изображены «отрезок» натурального ряда чисел и множество .^({а, b, с}) (N — естественное линейно упорядоченное множество, а упорядочение на ^*(5) было введено выше).

-5' >4■ '<7"2J > 1-5' >4■ '<7"2J > 1

-5

' >4

■ '<7

"2

J > 1

-5

' >4

■ '<7

"2

J > 1

Наибольшим элементом частично упорядоченного множества X называется элемент п^Х такой, что х ^ п для всех х ^ X, а максимальным — элемент m ^ X, для которого из m ^ х е X следует х = гп. Наибольший элемент всегда максимален, но не обратно. Максимальных элементов -может быть много, но наибольший элемент, если он существует, определен однозначно. Те же замечания относятся к наименьшему и минимальному элементам. На рис. 7 две диаграммы слева имеют наибольшие и наименьшие элементы. На диаграмме справа три максимальных элемента, один наименьший, но нет наибольшего элемента.

Теория частично упорядоченных алгебраических систем (булевы алгебры, решетки) насыщена содержательными результатами, занимает важное место в алгебре, но мы не имеем возможности ее касаться. Этот параграф преследует скромную цель: познакомить читателя с еще одним естественным бинарным отношением и дать представление о диаграммах, которые помогут в будущем понять взаимное расположение подгрупп в группах или, скажем, расположение подполей в полях.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что фактормножество R2/~, получающееся из геометрической картинки на рис. 5, и любая прямая I, пересекающая ось Ох, находятся в биективном соответствии.

Положить Р^х, у) — Р^х', у'^ для точек вещественной координатной плоскости R2 в точности тогда, когда х'— x^Z и у' — у е Z. Доказать, что — является отношением эквивалентности и что фактормножество R2/~ геометрически изображается точками на торе (поверхности кренделя; см. рис. 8).

(ОД)(ОД)ОО*^(1,1)*^(1,1)Рис. 8Рис. 8(1,0)(1,0)

(ОД)

(ОД)

О

О

*^(1,1)

*^(1,1)

Рис. 8

Рис. 8

(1,0)

(1,0)

Показать, что множества из двух, трех и четырех элементов имеют соответственно 2, 5 и 15 различных фактормножеств.

Пусть ~ —отношение эквивалентности на множестве X и f: X -► Y — отображение, для которого х ~ х' => f (х) = f (х'). Показать, что это условие совместимости f с — (более слабое, чем рассмотренное в п. 2) позволяет правильно определить индуцированное отображение f x-*-f(x) из Х[— в Y, приводящее к факторизации / = f-p, но 7 уже не обязано быть инъективным. В чем заключается условие инъективности f?

Изобразить диаграммами частично упорядоченные множества: 1) ^da, b, с, d)); 2) множество всех делителей целого числа 24 (отношения порядка указаны в тексте).

Принцип математической индукции

Считается, что нам известно множество N = = {1,2,3, ...} всех натуральных (или целых положительных) чисел. На самом деле отправной точкой для изучения N служит аксиоматика Пеано (1858—1932). Из его трех аксиом (мы их не приводим) вытекают свойства сложения, умножения и линейного упорядочения (см. п. 4 § 6) натуральных чисел, точнее, системы N U {0}. В частности, доказывается интуитивно ясное утверждение: в каждом непустом множестве S cr N имеется наименьший элемент, т. е. натуральное число seS, меньшее всех остальных чисел в S. С учетом этого утверждения из аксиом Пеано извлекается следующий

Принцип индукции. Предположим, что для каждого п е N мы имеем некоторое утверждение М(п}. Предположим также, что мы располагаем правилом, позволяющим установить истинность М(Г) для данного I при условии, что М (&) верно для всех k <Z I (в частности, подразумевается, что мы можем проверить истинность Л1(1)). Тогда М(п) верно для всех п <= N.

В самом деле, допустим, что подмножество

S = {s | s g N, М (s) неверно} с: N

непусто. Согласно вышесказанному 3 содержит наименьший элемент s0. Тогда утверждение М (s0) ложно, a M(s) истинно для каждого s < s0. Это, однако, противоречит нашему предполагаемому умению доказывать истинность M(s0).

Здесь не место для всестороннего обсуждения принципа математической индукции. Мы ограничимся замечанием, что он отражает, так сказать, суть натурального ряда, а познание последнего не сводится к чему-либо существенно более простому.

Стоит еще обратить внимание на одно обстоятельство. Именно, непременным моментом «доказательства методом полной индукции» является установление базиса индукции, т. е. проверка того, что свойство илц утверждение выполнено для небольших-л. Без такой проверки можно приходить к произвольным умозаключениям типа «все студенты — одинакового роста». Вот и рассуждение. Пустое множество студентов и множество из одного студента обладают этим свойством. Делаем предположение индукции, что им обладает любое множество из ^п студентов. В множестве из л + 1 студентов первые п и последние п студентов — одинакового роста по предположению индукции. Эти множества пересекаются по подмножеству из л— 1 студентов тоже одинакового роста. Значит, все п + 1 студентов одинакового роста. На самом деле первое содержательное утверждение относилось бы к множеству из любых двух студентов, а здесь-то оно как раз и неверно. Каким же длинным должно быть основание индукции? Обычно это ясно из доказательства. В нашем элементарном примере важным является условие непустоты пересечения двух мно-

жесте, т. е. выполнение неравенства п— 1^1, откуда п ^ 2.

В более сложных ситуациях, в особенности, когда приходится определять или строить объект по индукции при помощи рекуррентных соотношений, необходимо проявлять особую заботу о базисе индукции. Например, делимость на 5 числа Фибоначчи fsm (см. пример 2 § 3) при любом целом /п ^ 1 вытекает из равенства f5 = 5 и из соотношения fscm+o = 5fgm+i + + 3f5m, которое еще нужно получить. С другой стороны, нельзя впадать в иную крайность: убедившись в истинности М (k) для всех к из достаточно длинного отрезка 1 k I натурального ряда, делать необоснованный вывод (это будет так называемая неполная индукция) об истинности М^п) для всех neN.

Вот два обескураживающих примера.

П. Ферма полагал, что все числа вида Fn = 22 + 1, п = = О, 1, ... (числа Ферма) — простые. Первые пять чисел Ферма — простые, но для Fs Эйлер нашел разложение Fs = = 4 294 967 297 = 641-6 700 417. Настойчивые усилия получить при помощи новейших ЭВМ. хотя бы одно новое простое число Ферма пока не увенчались успехом. Одним из последних «достижений» в этом направлении является проверка того, что Fiets делится на 5-2ig47+ 1.

Исследование при п = 1, 2, ..., 40 чисел вида п?— л + 41 (многочлен, предложенный Эйлером) способно склонить к мысли о простоте этих чисел при любом п (о простых числах см. § 9). Однако 412 — 41 + 41 = 412.

Примеров такого рода можно приводить сколь угодно много.

В рассуждениях по индукции иногда самое важное— придать надлежащую форму доказываемому утверждению. Предположим, что нужно найти сумму

pfe(n)=lfe + 2fe + 3fe+ ... +(n-l)fe + nfe;

к = 1, 2, 3.

Задача значительно облегчится, когда вам скажут, что предполагаемый ответ содержится в выражениях , ,п(п+1), . п (п + 1) (2п + 1)

Р1 МЧ2* Р2 —6*

Рз (”) — [2 J '

Степенные суммы Рк^п) самого общего вида будут еще обсуждаться в связи с корнями многочленов (см.

гл. 6), а сейчас заметим, что встретившаяся нам в п. 5 § 3 сумма Г (п) имеет вид

Г(п) = п(п—1) + ... -}-£(£—1)+ ... +1(1 — 1) =

= Е fe2 — Е fe = р2(^) — pi(")

6-1£-1

(в дальнейшем знак суммирования 2 будет систематически использоваться). Опираясь на приведенные выше выражения для рг(п) и pi(n), получаем, что Г(п) = (п3— п)/3. Разумеется, к тому же результату нетрудно прийти, рассуждая по индукции непосредственно в Г(п).

Если до р\(п) нетрудно додуматься, то вид р2(п) и р3(п) уже не так тривиален, а соотношение

Ps(") + Р? («) = 2 [—^-^"-^j4

вообще нужно было бы искать по какому-то определенному плану. В данном случае такой план указать можно, но не в этом дело. Для обоснования всех указанных выше соотношений нужно провести прямыми вычислениями шаг индукции от п к п + 1. Оставим это читателю в качестве полезного упражнения.

Кстати, в этом упражнении пригодится так назы- ваема’я биномиальная формула

(а + Ь)п = ап + (; ) ^" ХЬ +

... +(")an"V++d".(1)

Здесь под а и b подразумеваются произвольные числа, а биномиальный коэффициент ( £ ) при одночлене а”~*д* имеет вид

( пХп\ п (п — I) ... (n — k + 1)

к * J kl(n — k)lЛ (Л —I)... 2-1*

где п\=п(п—1) ...2-1 (эн-факториал). Это быстро растущая величина: например, 6!=720, 101=3 628 800, а 100! > 10150. Полезно дополнить (2) соглашением 0! = 1 и ^ ” ^ = 0 при k < 0. Отметим еще, что

(+а-с)

(свойство симметричности биномиальных коэффициентов).

Формулу (1), очевидно, верную при п = 1, 2, мы докажем индукцией по п. Считая ее справедливой для всех показателей ^п, умножим обе части соотношения (1) на а + 6- Получим

(а+дУ1^ —(а+^)"(а + д) =

= а"(а + 6)+ ... + (£)a"~V(a + 6)+

. .. + 6"(а + 6) = а""*"'+ а"6 + -

. ( а X ra+2-fe,fe-i . / а X п+х_к к ■ ■ + U-1 b +U-1)° 6 + + (fe)an+1"febfe + (fe)“n"febfe+1 + . . . +a6n + 6n+1.

Приведение подобных членов показывает, что коэффициентом при одночлене ап+х-кЬк будет

(

п х , / п хп\. п!

fe — 1 7 ' k & 7 (А — 1)! (п — А + 1)! А! (п — А)! “

=ГI+ -L] =

(fe — l)I(n — *)! Ln — *+1 A J

п!п+1_(п+1)!_р+1Х

(*—1)!(п—*)! ’ *(п —Л+1) fe! (п + 1 — Л)! I к

т. * е. как раз биномиальный коэффициент вида (2) с верхним индексом, увеличенным на единицу. Тем самым справедливость формулы (1) доказана для всех ле N.

Если записать

(а 4- 6)" = (а 4- 6) (а + 6) ... (а 4- 6),

присвоив каждому множителю справа номер от 1 до п, и посмотреть на те подмножества номеров I ^ ^ Л < *2 < - - - < U ^ п, которые отвечают при умножении одночлену ап-кЬк, то мы придем к выводу, что ( ^ ) есть не что иное, как число всех подмножеств мощности k множества из п элементов. Несколько старомодный термин — число С* = ( ” ) сочетаний из п по k — выражает, по существу, то же самое.

В частности, мощность множества ^({$ь .... $я}) (см. упражнение 4 § 5) равна (” ) + ( " ) + ... ... + (я2.1) + (я)- Но, полагая а = 6 = 1 в формуле (1), получим

Таким образом, Card^({si, $2, -... sn}) = 2".

Биномиальные коэффициенты — почти непременный атрибут элементарных комбинаторных рассуждений. Вот наглядный геометрический

Пример (Amer. Math. Monthly.— 1977. — V. 84, № 6). Известна задача об определении числа Rn областей, образуемых в круге f у ) хордами, которые соединяют п фиксированных точек на окружности, при предположении, что никакие три хорды не пересекаются внутри круга (см. рис. 9). Результат при n = 1, 2, 3, 4 и 5 наводит на мысль, что Rn = 2Л-1, но на самом деле правильной будет формула R» = = * + ( 2 ) "+" С 4 )" ПопР°Уйте это доказать.

Доказательство теоремы или построение объекта иногда удобно проводить, опираясь на более сложные формы индукции. Например, принцип «двойной индукции» заключается в следую

щем. Пусть любым натуральным числам т и п отвечает некоторое утверждение У (т, п), причем: (i) У(/п, 1) и У(1, п) истинны для всех т и n; (ii) если У (А—1, Z) и У (А, I—1) истинны, то У (A, Z) также истинно (эквивалентно: (И)' если У(Л', Z') истинно при всех fcz ^ А, V Z, К + Г < А + Z, то У (A, Z) также истинно). Тогда утверждение У(/п, п) истинно для всех натуральных т и п.

УПРАЖНЕНИЯ

Положим

s (n) = sin ф + sin 2ф + ... + sin пф;с (п) = cos ф + cos 2ф + ... + cos Пф.Индукцией по п доказать формулы'

. Пф .(п+1)ф. Пф (п + 1) ф

Sin -у Sin ^ sin cos ' ^

Имеют место формулы:

а) ctg2 ("2пТт) + Ctg2'

X. Zn 1 /zn 1 /

+*’(йтт)-^т^:

X Zn + 1 /о

п

»>Z(»)(2:_?)-^

й-0

Убедиться в их справедливости хотя бы при п ^ 5.

Перестановки

Стандартная запись перестановки. Разовьем немного тему, начатую в § 5, применительно к биективным преобразованиям конечных множеств. На этой базе естественным образом возникают важные алгебраические понятия.

Пусть Q — конечное множество из п элементов. Поскольку природа его элементов для нас несущественна, удобно считать, что Q= {1,2, .... га}. Элементы множества Sn = S(Q) всех взаимно однозначных преобразований Q—>Q, обычно обозначаемые строчными буквами греческого алфавита, называются перестановками. Лишь за единичным преобразованием е — во сохранилась буква латинского алфавита.

В развернутой и наглядной форме перестановку л: tv—*-л(ч); i— 1, 2; ..., п, изображают двухрядным символом

л=(? 2 - пх 1] 11 . • • tn z

полностью указывая все образы:

12 ... п

1\ I» . . . in

где /й = л(£), ^=1, .... п — переставленные символы 1, 2, ..., п.

Перестановки а, те5п перемножаются в соответствии с общим правилом композиции отображений: (от) (t) = o(x(i)). Например, для перестановок

/ 1 2 3 4\/ 1 2 3 4\

°—<23417* Т ( 4 3 2 1 )

имеем

1234

V VvV

/ 1234W1234\_’ ’_,_ /1234\

- U341)L321)-*2*(1432)'

V VVV

1432

В то же время

/ 1 2 3 4W 1 2 3 4 X / 1 2 3 4\тсг — 4 3 2 1 Д 2 3 4 UI 3 2 1 4 ) ’

так что ат 5^ та.’

Согласно результатам § 5, умножение перестановок подчиняется следующим правилам.

Умножение ассоциативно, т. е. («Р)? = «(Ру) для всех а, р, у е Sn.

Sn обладает единичным элементом е: ле = = л = ел для всех л е Sn.

Для каждой перестановки л е Sn существует обратная л-1: пл-1 = л-1 л = е.

Эти три свойства, дополненные общими принципами, на которых мы не хотим сейчас останавливаться (см. гл. 4), дают основание говорить о группе Sn- Точнее, множество Sn, рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется -симметрической группой степени п (иначе: симметрической группой на п символах или на п точках}. Для нас пока это всего лишь удобное терминологическое соглашение, смещающее акценты с множества Sn как такового на мультипликативные свойства перестановок, т. е. на то, что может быть выявлено при композиции элементов из Sra. Симметрическая группа Sn лежала у истоков общей теории групп и теории Галуа более 150 лет тому назад, и можно только поражаться связанному с ней обилию математических идей.

Замечание. Иногда элементы группы Sn называют подстановками, используя термин «перестановка» в качестве синонима расположения чисел 1, 2, .... п в каком-то фиксированном порядке. Так как между такими упрядочениямн чисел и элементами группы Sn имеется взаимно однозначное соответствие, а слово «перестановка» ассоциируется в сознании скорее с действием, чем с застывшим упорядочением, то подстановки у нас из употребления исключены. Впрочем, ниже мы будем говорить.

например, о подстановке числа в многочлен, но это служит лишь дополнительным аргументом в пользу указанного терминологического соглашения.

Если нужны еще какие-то доводы, то их можно найти по меньшей мере в двух источниках: а) в научной литературе; б) в учебнике П. С. Александрова «Лекции по аналитической геометрии» («Наука», 1968, с. 767).

Найдем порядок |Sn| группы Sn. Символ 1 можно подходящей перестановкой ст перевести в любой другой символ ст (1), для чего существует в точности п различных возможностей. Но, зафиксировав сг(1), мы имеем право брать в качестве ст (2) лишь один из оставшихся п—1 символов (всего различных пар ст(1), ст(2) имеется (л—1)4-(л—1)4- ... 4*(л—1) = = л(л—1)), в качестве сг(3)— соответственно л — 2 символов и т. д. Всего возможностей выбора <т (1), ст(2), ..., ст(л), а стало быть, и всех различных перестановок получается л(л—1) ... 2-1= л! Таким образом,

Card S„ = | S„ | = л!

Цикловая структура перестановки. Разложим теперь перестановки из Sn в произведения более простых перестановок. Идею разложения поясним схематически на примере указанных выше перестановок ст, % s S<:

Перестановка ст, кратко записываемая в виде ст = = (1234), или, что то же самое, в виде ст = (2341) = = (3412) = (4123), носит название цикла длины 4, а перестановка т = (14)(23) — произведения двух независимых (непересекающихся) циклов (14) и (23) длины 2. Заметим, что ст2 =(13) (24), ст4=(ст2)2=е, т2=е.

Пусть теперь л — произвольная перестановка из S^. Ее степень л® определяется по индукции (см. доказательство теоремы 3 § 5):

s > О, s = 0, 5 < 0.s > О, s = 0, 5 < 0.л(л®~1), еслие, еслил-1 ((л-1)(-5-1)), если

s > О, s = 0, 5 < 0.

s > О, s = 0, 5 < 0.

При таком определении, очевидно,

л®л* = л®+< = л*л®, s, /е Z

(последовательное приписывание л или л-1 при s и t одинакового знака и замена пл-1, л-*л на е при s и / разных знаков). Так как |Q|< сю, то на самом деле для каждой перестановки ле Sn найдется однозначно определенное натуральное число ^ = <7(л) такое, что все различные степени содержатся в множестве <л>= (е, л, ..., л*7-1} и л*7 = е. Это число q называется еще порядком. перестановки л. Так, рассмотренные выше перестановки ст и т имеют соответственно порядки 4 и 2.

Две точки I, j g Q назовем л-эквивалентными, если J = ns(i) для некоторого sg'Z. Так как / = л°(/); / = л® (z) =»- i = л-® (/); j = л® (i), &=л7 (/) =*-k=ns+t (z), то, очевидно, мы имеем дело с рефлексивным, симметричным и транзитивным отношением на Q (см. п. 2 § 6). В соответствии с общим свойством отношений эквивалентности получаем разбиение

fi = fi1U UQp(1)

множества Q на попарно непересекающиеся классы Qi, ..., Др, которые принято называть еще л-орби- тами. Название это вполне обосновано. Каждая точка ie Q принадлежит в точности одной орбите, и если is Q*, то 62* состоит из образов точки i при действии степеней элемента л: z, л(0, л2(0, .... л1*”1^)- Здесь Z» = |Qa| — длина л-орбиты Q*. Очевидно, что U ^ q = Card <л> и кк (z) = i, причем К— наименьшее число, обладающее этим свойством. Положив

Лк = \1 Л . . . Л k (z)) = I9lb-1 J ’

V 7X л (i) л2 (Z) ... л * (i) /

мы придем как раз в перестановке, называемой циклом длины U.

Вопрос вкуса и удобства — писать (123 ... Z) или (1,2,3, ..., /), разделяя символы запятыми. Цикл лк оставляет на месте все точки из множества Q\Q*, а л(/) = л*(/) для любой точки j s Q*. Это свойство дает нам основание называть л®, л*, s ^= t, независимыми или непересекакнцимися циклами. Так как л1ь (z) = i для i s Qfe, то л^ = е.

(2)(2)Итак, с разбиением (1) ассоциируется разложение перестановки л в произведение

(2)

(2)

Л ■' Л1Л2 • - • ^^р»

где все циклы перестановочны: л = л,л2 ... лр = = л^л/2 - - • п1р.

Можно считать, например, что /1^/2^ -- ^ /т>,

/т+1 == • • - = Ip 1-

Если цикл л*=(/) имеет длину 1, то он действует как единичная перестановка; естественно такие циклы в произведении (2) опускать:

ЛЛ1Л2 • • • ^nvЛЛ1Л2 • • • ^nvU>VU>V1 ^ k ^ т.1 ^ k ^ т.(3)(3)

ЛЛ1Л2 • • • ^nv

ЛЛ1Л2 • • • ^nv

U>V

U>V

1 ^ k ^ т.

1 ^ k ^ т.

(3)

(3)

Например, перестановку

/I 2 3 4 5 6 7 8\„

V 2 3 4 5 1 7 6 8 J е 68

мы запишем в виде

л = (12345) (67) (8) = (12345) (67).(4)

Некоторую неловкость вызывает то обстоятельство, что (12345) (67) можно интепретировать как перестановку из Sn при любом п > 7, однако при фиксированном п никакой неоднозначности нет.

Более точно, пусть наряду с разложением (3) мы имеем еще одно разложение л-=040-2 — о, в произведение независимых циклов, и пусть i — символ, не остающийся на месте при действии л. Тогда л®^')^ i, а<(4)^=1' для одного (и только одного) из циклов ль .... Лщ и одного из аь .... аг. Имеем л5(/) = = л (t) = at (z). Если мы уже знаем, что

л*(0 = л* (z) = a* (z), (5)

то, применяя к этим равенствам перестановку л и используя перестановочность л с л* и с а^, получаем лл* (z) = л*+’ (z') = ла^ (О, откуда л*л (z) = л*+1 (z) = = a*n(z) и, наконец, л*+1 (z*) = л*+1 (z) = a^+1 (z). Значит, равенства (5) справедливы при любом к = = 0,1,2, ... Но цикл однозначно определяется действием его степеней на любой символ, который не остается на месте. Следовательно, л® = at. Далее применяется индукция по т или г.

Итак, нами доказана

Теорема 1. Каждая перестановка л=^е в S« является произведением независимых циклов длины ^2. Эго разложение в произведение определено однозначно с точностью до порядка следования циклов. ■

Обратим внимание на циклы длины 2.

Определение. Цикл длины 2 называется транспозицией.

Любая транспозиция имеет вид t = (i/') и оставляет на месте все символы, отличные от Z, j. Из теоремы 1 вытекает

Следствие. Каждая перестановка л^ Sn является произведением транспозиций.

В самом деле, в силу теоремы 1 достаточно записать в виде произведения транспозиций каждый из циклов. Но это можно сделать, например, так:

(1 2 ... Z-l Z) = (l Z)(l Z—1) ... (13)(12). ■

Формулировки теоремы 1 и ее следствия нуждаются в пояснении. Как следует из определения цикла ст = (iii2i3 ... h-\iiV

i‘i ।—> i2, 1'2*—* *з»Ч — \'—*11» И1 * *i

и

j1—* /, / s Q \ (ii, i2, . - -, ii_\, i^.

и потому ничто не "изменится, если мы запишем ст^ = {1213 - •• ii-iiiii), т. е. произведем циклический сдвиг номеров, входящих в ст. Таким образом, утверждение единственности в теореме I носит, по существу, абсолютный характер. С другой стороны, в следствии ни о какой единственности записи перестановки через транспозиции не может быть и речи. Скажем,

ct = (ZiZ2i"3 ... ii^\ii) = (ZiZ/)(Z1Z/_1) . .. (i‘ii3) (I1I2).

a = (i2i3 ... 1/-11/11) = (1211)(^1)(^1-1) ••• (W-

Эти две записи одной и той же перестановки ст содержат по одинаковому числу Z — 1 совершенно разных транспозиций (лишь (Z2I1) = (1'11'2)) • Более того, транспозиции, вообще говоря, не перестановочны, а их число не является инвариантом перестановки. Например, в 3< имеем

= (13)(12) = (23)(13) = (13)(24)(12)(14)_

Знак перестановки. Справедлива следующая важная

Теорема 2. Пусть л — перестановка из Sn,

Л = TjT2 ... %к(6)

— произвольное разложение л в произведение транспозиций. Тогда число

8Я = (-1Л(7)

называемое знаком л (иначе: сигнатурой или четностью^, полностью определяется перестановкой л и не зависит от способа разложения (6), т. е. четность целого числа k для данной перестановки л всегда

одна и та же. Кроме того,

8ор = 8о8р(8)

для всех а, Р Е Sn.

Доказательство. 1) Предположим, что наряду с (6) мы имеем также разложение

л = т[т' ... т'„(6')

причем четности k и k' различны. Это значит, что целое число k 4- k' нечетно. Так как (т')2 = е, то, последовательно умножая справа обе части равенства т,т2 — xk~TiT2 — хк'* вытекающего из (6) и (6'), на Тд Ту т', получим, . что т,т2 ... тктк,_.. т'т[ = е. Мы свели нашу задачу к следующей." Пусть-

е = crLcr2 ... ат_гат, т> 0,(9)

— запись единичной перестановки в виде произведения т > О транспозиций. Нужно показать, что обязательно т— четное число.

С этой целью будет установлено, что от записи (9) мы можем перейти к записи е в виде произведения т— 2 транспозиций. Продолжив этот спуск, мы пришли бы при нечетном т к одной транспозиции т. Но, очевидно, е#=х. Итак, нам нужно обосновать спуск в (9) от т к т— 2 множителям.

Пусть $, 1 ^ s ^ л, — любое фиксированное натуральное число, входящее в одну из транспозиций 02От- Для определенности считаем, что

в = <У1 . . . СГр_ j СГрСГр+j . . . от,

5 А И. Костржкин

где Ср = («О, а Стр+ь ..., ат не содержат s. Для Cp-Y имеются четыре возможности.

o,p_1 = (sf). Тогда отрезок Ср—Хар = (st) (st) из записи е удаляется, и мы приходим к т — 2 транспозициям.

Стр-i = (sr), r=^s,t. Здесь

Gp-xGp = (sr) (st) = (st) (ri), и мы сдвинули вхождение s на одну позицию влево, не изменив т.

Ср-х = (tr), г ч^з, t. Здесь

Ор-хОр = (tr) (st) = (sr) (tr),

и снова, как в случае б), произошел сдвиг s влево без изменения т.

Ср_х = (qr); (q, г}П К О = 0- Здесь

Ор-хОр = (qr) (st) = (st) (qr).

В случае а) наша цель достигнута. В случаях б)—г) повторяем процесс, сдвигая вхождение s на одну позицию левее. В конечном счете мы придем либо к случаю а), либо к экстремальному случаю, когда е = о'о^ ... а^, причем а\ = (st') и s не имеет вхождений в ст', . .., а^. Значит, ст^($) = $ при к> 1 и s = е (s) = ст[ (s) = t' #= s. Полученное противоречие доказывает утверждение об инвариантности е^.

Если а = Т! ... тА, Р = тл+1 ... тл+ъ то аР = = Т! ... тйтА+1 ... тй+/ и 8а = (—1)\ер=(—1)\

8a3 = (-l)*+Z = (-l)*(-l)Z=8a8p. ■

Определение. Перестановка ле5п называется четной, если ея= 1, и нечетной, если ея = —1.

Из определения вытекает, что все транспозиции — нечетные перестановки, а ее = 1.

Следствие. Пусть перестановка я е Зя разложена в произведение независимых циклов длин к, к, • • •, 1m. Тогда

Действительно, по теореме 2 имеем ея = 8л1... «т = = 8л! • • - 8лт. Кроме ТОГО, 8лл = (—l/**"1, поскольку лл

записывается в виде произведения 1к—1 транспозиций (см. доказательство следствия теоремы 1). Окончательно

т

8я = (-1/‘-*(—I)*"*-1 =(-!?-*■

„/123456789 10 ИХ

п Р и м е р. л ( 5 4 6 7 2 9 1 3 8 11 10

Имеем л = (1 5 2 4 7) (3 6 9 8) (10 11), откуда Zi=5, Z2 = 4, Zs = 2 и ея = (—1)4+3+* = 1.

Запишем Зя в виде объединения Sn = An\jAn, где Ап = {л еЗ„|ея = 1}

— множество всех четных перестановок, а А" = = Sn\An—множество нечетных перестановок. Пусть T = (t;)—любая транспозиция. Отображение Зя в себя, определенное правилом

L«^w л 1 ^ ч.иl,

биективно. (Оно инъективно: та = тр =♦- а = р; далее применить теорему 3 § 5. Можно просто заметить, что 1Л— единичное отображение и LV =LX^ Для наглядности изобразим Lx в виде перестановки степени N = л! на множестве Зя ={Л1 = е, лг, Лзл^}:

£ Г «1«2 Я3 --- *N Y(Ю)

Аналогично,

Rx = (”' ^ 2т 2'т)<10')

X Я1Т Я2Т Л3Т • ' • ^N^ /

— перестановка на Зя. Отображения (10) и (10') будут использоваться нами впоследствии, • причем даже в более общем контексте. А сейчас заметим, что 8-nt ®л> ПОЭТОМу

^т (Ая) Ап, L^ (Ая) Ап.

Значит, число четных перестановок в Зя совпадает с числом нечетных перестановок, откуда • m„i=4-’s«i=4--<п>

Действие S„ на функциях. К важному понятию знака перестановки ueSn можно подойти несколько иначе, подсчитывая число так называемых сг-инверсий (см. упражнение 5 в конце параграфа). Но вместо этого мы дадим сейчас альтернативное доказательство теоремы 2, которое опирается на понятие кососимметрической функции, важное само по себе и полезное для дальнейшего.

Определение. Пусть л е S„ и f — функция от любых п аргументов. Полагаем

(nof)(xjх„) = /(хя1, .... хяп). (12)

Говорят, что функция g = n°f получается действием л на f.

Лемма 1. Пусть а, р— любые перестановки из Sn. Тогда

(ар)»/==Oo(pof).

Доказательство. В соответствии с определяющим соотношением (12) имеем

(ao(pof))(X1x„) = (pof)(xalх^,

или, полагая ук = х»к и замечая, что y^t = х<ц^ц, (ao(pof))(Xjx„) = (pof)(^,Уп) =

= ^(.У»1^0n)== f (Xa(fll)» f» Xa(Pn)) —

= f(X^X^(aP)n)=(°PoD(^iO'-■

Определение. Функция f от n аргументов называется кососимметрической, если

f(..., xk, хй+1, ...)= — /(..., Xk+x, xk, ...),

т. е. при перестановке местами любых двух соседних аргументов значение f меняет знак на противоположный.

Лемма 2. При перестановке местами любых двух аргументов кососимметрическая функция меняет знак на противоположный.

Доказательство. Пусть переставлены i-й и /-й аргументы, причем I -С /. Проводим индукцию по числу l = j — i—1 аргументов между переставляемой парой. При / = О утверждение леммы совпадает с определением кососимметрической функции. Пусть

лемма верна при всех / — i— 1 < Z. Тогда /(..., хь xi+iх^, хь ...) =

Надо еще быть уверенным в том, что не все кососимметрические функции тождественно равны нулю. Простейшим является

Пример. Пусть

Ап = Д„(хь х2х„) = П ^Xi—XjY

Символ Ц при записи произведения играет ту же роль, что и У*, при записи суммы. Выделив любые два рядом стоящих аргумента Хк, Хк+х, будем иметь А» = (хЛ+1 — хк) [(хЛ+1 — хЛ_0 ...

• • • (*л+1 — -«1) • (хк — Хк,!) ... (xfe — хО] • А-В, где

А = П (xt — x,Y!</</<*

В = П [(xs—Xs-1) ... (xs—хй+1)(xs—xj ... (xs —Xi)]. s=A+2

При перестановке местами хк и 'X*+i множители' К-^ЛЧ-1 — Хк-Х) • • • (*Л+1 — -«1) • <хк — хк_х) ... <Хк— х,)]. А и В, очевидно, не меняют своих значений, в то время как (Хк — хл+1)— —(х*+1—Хк). Это и значит, что

Ая(..., хк, хк+х, --.) = — А„(..., Хк+х, хк, —),

1 ^ Л ^п — 1.

По лемме 2 имеем также

А„(..., х,X/, ...)=—Д„(..., х,xt, ...).

Кроме того, Д„(х,хя)=#0при попарно различных ХхХп.

Второе доказательство теоремы 2. Возьмем произвольную кососимметрическую функцию f от п аргументов хх, ...» хя. По лемме 1 действие л = Т1Т2 -.. Хк на f сводится к последовательному применению транспозиций %к, Хк-х« fi, т. е. к

fe-кратному умножению f на —1:

Ло/ = (Т1 ... ТА_1)о(т&о/) = —(Т1 ... -cfe_1)of= ... ... =(-1)^ = 8^.

Так как левая часть этого соотношения зависит от я, но не от какого-либо его разложения, то и отображение е: я*—*е„, заданное равенством (7), должно полностью определяться перестановкой я при условии, конечно, что f — не тождественно равная нулю функция. В качестве такой функции можно взять, например, только что рассмотренную функцию f = Дя.

Применение к такой функции f перестановки ар по правилу, изложенному в лемме 1, дает eopf = (ар) о f = а о (р о f) == а о (8pf) = 8р (а о f) =

= 8р (вд/) = (вдвр) f,

откуда получается соотношение (8). 1

Замечание. К действию Sn на функциях мы будем обращаться неоднократно, а в ВАЗ увидим, что это лишь частное проявление гораздо более общей закономерности. Пока наше маленькое достижение заключается в том, что словесное выражение «поменяем в f(xi, .... хя) местами Xi и Xj> сведено к символьной записи rof с транспозицией т = (</).

УПРАЖНЕНИЯ

В курсе математического анализа доказывается формула Стирлинга

п! — V2nra~ n"e~".

где е = 2,718281... — основание натуральных логарифмов, я = = 3,141592...; символ — означает, что отношение ^^п1^е~п1п.\ стремится к 1 при п—»-оо. При помощи формулы Стирлинга, дающей приближение с недостатком, проверить, что 100! 2> > (9,33...) 1015Т. Сколько в Sioo циклов длины 100?

Найти порядок перестановки (4) и перестановки

/1234567 8\

(3 6 8 2 1 4 5 7 )‘

Перестановка я вида (3) с тп независимыми циклами т.

оставляет т' — п— У Z& символов (или точек) на месте. Число d(i|) =п—(m-f-m') называется декрементом перестановки я. Проверить, что ея = (—1)^^.

Найти знак перестановки

/ 123... п — 1 п X

\ п л — 1 л — 2 —21 / *

Пусть Q = {1, 2л},QXQ—декартов квадрат. Бу

дем называть пару (Z, /)е £2 X £2 инверсией относительно перестановки aeS, (короче: о-инверсией), если i <. j, но <r(i) > > ff(7)- Положим

П

о (7) — О (Z)

”.'

!</</<«

Так как (ff(7)—<т(0)/(7—0—отличное от нуля рациональное число, являющееся отрицательным в точности тогда, когда (Z, /) будет <т-инверсией, и так как а: £2 —► Q — биективное отображение, то sgn а = (—1)*, где А — общее число а-инверсий. Еслит= = (ij)—транспозиция, то sgnr =—1. Как легко видеть,

(» (7) о (Z)) а =

( ... оф ... o(i) ...х ( ... i... j ... хk... аф ... аф ...)\... аф...аф ...)

= ( ... <r(7)... оф )’

так что ff-ииверсия (Z, 7) перестает быть инверсией относительно перестановки то, где т= (оф ff(Z))—транспозиция. Показать, что найдутся А транспозиций Tiт*, для которых т*т*-1Tiff = е—единичная перестановка. Стало быть, а = = Tjтд—1тд и sgn<r = (—1)* = ед —Два равноправных обозначения одного и того же инварианта перестановки; sgn — от signum, (лат.) —знак. Мы получили еще один удобный способ определения знака перестановки. Скажем, относительно перестановки (4) множество инверсий состоит из пяти пар (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 7), так что sgniT =—1. Практически дело сводится к подсчету в нижней строке перестановки л количества чисел /, больших I, но стоящих перед Z, для i = 1, 2п— 1.

Арифметика целых чисел

Задачей этого параграфа является краткое описание тех простейших свойств делимости целых чисел, на которые удобно по разным поводам ссылаться в дальнейшем. Дополнительные факты будут приведены в гл. 5, где теория делимости переносится на более общие алгебраические системы.

Основная теорема арифметики. Целое число s называется делителем (или множителем') целого числа п, если n = st для некоторого feZ. В свою очередь, п называется кратным s. Делимость л на s

обозначается символом s|n, а отрицание делимости — символом п. Делимость — транзитивное отношение на Z. Если, далее, т^п и л|т, то л = ±т, и целые числа л, т называются ассоциированными. Целое число р, делители которого исчерпываются числами ±р, ±1 (несобственные делители), называется простым. Обычно в качестве простых берутся положительные простые числа Ж

Фундаментальную роль простых чисел вскрывает так называемая

Основная теорема арифметики. Каждое положительное целое число л =^= 1 может быть записано в виде произведения простых чисел: п = ~pip2 . - - Р$. Эта запись единственна с точностью до порядка множителей.

Собрав вместе одинаковые простые множители и изменив обозначения, получим запись л в виде п = = р^р^2 .. - рв£, е, > О, 1<1<Л. Для любого рационального числа а = n/meQ имеет место аналогичное разложение, но с показателями st как положительными, так и отрицательными. Заметим, что множество

Р = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

всех простых чисел бесконечно (теорема Евклида). Действительно, если бы существовало лишь конечное число простых чисел, скажем pi, ps, —, pt, то по основной теореме число с = pip2 ... pt + 1 делилось бы по крайней мере на одно из р{. Без ограничения общности считаем c=pic'. Тогда pi(c'— р2 ... pt) = X, а это невозможно, поскольку делителями единицы в Z являются лишь ± 1. ■

Доказательство основной теоремы откладывается до гл. 5. На первый взгляд, ее вообще не надо доказывать, настолько она кажется очевидной. Между тем, хотя речь идет о мультипликативных свойствах (свойствах делимости) целых чисел, основную теорему невозможно доказать, не используя одновременно операций умножения и сложения в Z. В качестве иллюстрации этого утверждения рассмотрим в N подмножество S = (4А + 11 А = О, 1, 2, ... }. Оно замкнуто относительно умножения: (4А« + 1) (4AZ + 1) = 4AS + 1. Индукцией по neS нетрудно установить существование разложения (первая часть основной теоремы) n = qiqt, где qt—далее неразложимые элементы нз S. Мы назовем их квазипростыми числами. Выпишем несколько таких чисел: 5, 9, 13, 17, 21, 49. Вторая часть основной теоремы

для системы S не верна, поскольку, например, число 441 е S имеет два существенно разных разложения в произведение ква- зипростых чисел:

441 = 9-49 = 21=

НОД и НОК в Z. Любые два целых числа п и т можно записать в виде произведения степеней одних и тех же простых чисел

л = ±р“«Р2= ... р“*, m = ±p?1p^= ... р^.

если условиться допускать нулевые показатели (как всегда, считая р°=1). Введем в рассмотрение два целых числа

(1)(1)НОД (л, /л) = рУ‘р*= ... р1*,НОК(л, m)=pf«p®2р^,

(1)

(1)

где у;=тш(о,, pz), di=max(ai, РД х = 1, 2, ..., к. Так как d | л =>d = ± р™1 — р^, O^a^^az, то из (1) вытекают следующие утверждения.

НОД (л, /л)|л, НОД (л, /л) | т, и если d\n, d^m, то d I НОД (л, /и).

л|НОК(л,/и), /п|НОК(л, /и), и если л|ы, тп|ы, то НОК(л, /и) \и.

Свойства (i) и (Н) оправдывают сокращенные обозначения' НОД и НОК наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного целых чисел" л, т. При л > 0, т > 0 выполнено соотношение

(2)(2)НОД (л, /и) • НОК (л, т) = пт.

(2)

(2)

Целые числа л, т называются взаимно простыми, если НОД (л, /и) = 1. В этом случае соотношение (2) принимает вид НОК(л, /и) = пт. *

Алгоритм деления в Z. При заданных a, b eZ, b > 0, всегда найдутся q.reZ такие, что

a = bq -\- г, 0<2г < b

(если считать лишь b N= 0, то будет выполнено неравенство 0 ^ г < | b |).

В самом деле, множество S={a— bs\s^‘Z>, а — — bs ^0), очевидно, непусто (например, а — — Ь(—а2)>0). Стало быть, S содержит наименьший элемент; обозначим его г = а — bq. По условию г ^s 0.

Предположив г^Ь, мы получили бы элемент г — 6= = а— &(^+ 1)eS, меньший чем г. Это противоречие устраняется лишь при г < Ь. |

Проведенное несложное рассуждение дает также предписание, т. е. алгоритм (или алгорифм), для нахождения частного b и остатка г в конечное число шагов. Алгоритм деления в Z используется для иного определения НОД, а следовательно, и НОК, если принять во внимание соотношение (2).

Именно, при заданных целых числах п, пг, одновременно не равных нулю, положим

I — ^пи + то | и, о е Z}.(3)

Выберем в J наименьший положительный элемент d = пио + тио- Используя алгоритм деления, запишем п = dq + г, 0 ^r Cd. Ввиду выбора d включение г = п — dq = п — (ли0 + тх>о) q =

= л(1 — Мо<7) + т(— и^) е /

влечет равенство г = 0. Стало быть, d\n. Аналогично доказывается, что d\m. Пусть теперь d' — любой делитель чисел лит. Тогда

d' | п, d' | т =>d' | лпо, d' | то0 =>• d' | ^пщ + то0) => d' | d. Итак, d обладает всеми свойствами наибольшего общего делителя, и поэтому. _d = НОД (л, т). Мы приходим к следующему утверждению. -■

Наибольший общий делитель двух целых чисел п, т, не равных одновременно нулю, всегда записывается в виде

НОД (л, пг) = пи + то, и, s е Z. (4)

В частности, целые числа л, пг взаимно просты тогда и только тогда, когда

пи + mu = 1(4')

при некоторых и, v eZ.

Было проверено, что взаимная простота п, m влечет соотношение (4'). Обратно, если л, пг таковы, что имеет место (4'), то din, dlm=$-dlnu, d]mv=^-d] (nu-j~ 4-mu)=>dl 1 =5-d = ± 1. 1

Доказательство соотношений (4) и (4') довольно эффективно. Нужно взять любой положительный элемент из множества / (см. (3)), а затем уменьшать

его при помощи алгоритма деления до тех пор, пока не получится наименьший элемент, который и будет наибольшим общим делителем.

УПРАЖНЕНИЯ

Каждое простое число имеет вид 4А + 1 или 4А — 1. Используя мультипликативность множества S из п. 1, доказать бесконечность множества простых чисел вида 4А — 1.

Доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида 4А + 1, опираясь иа следующее нетривиальное утверждение. Если п, meZ, НОД (л, /п) = 1, и если р— простое число, делящее л2 + т2, то р = 4А + 1.

Если натуральное число п делится в точности иа г различных простых чисел pi, .... рг, то количество чисел, меньших л и взаимно простых с л, равно

’(п) — (,-^г)-(*—£■)-

Функция q>: N —> N называется функцией Эйлера. Проверить справедливость формулы для значений ф(л) при л ^ 25 и при п=р”.

Используя биномиальную формулу, индукцией по л доказать, что если р— простое число, то пР — л делится иа р при любом mZ.

Г л а в a 2

МАТРИЦЫ

Прямоугольные матрицы, введенные в § 3 гл. 1, встречаются настолько часто, что с течением времени возник самостоятельный раздел математики — теория матриц. Ее становление относят к середине прошлого века, но полноту и изящество она приобрела позднее, вместе с развитием линейной алгебры. До сих пор теория матриц остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным и к запросам практики, и к абстрактным конструкциям современной математики. Здесь будут изложены простейшие результаты теории матриц.

Матрицы являются естественными спутниками линейных отображений векторных пространств. В курсе линейной алгебры и геометрии (ВА2) этому утверждению будет придан точный смысл. В настоящей главе понятия пространства, вектора, линейной зависимости, ранга системы и т. п. развиваются в чисто алгебраическом аспекте и ровно настолько, насколько они .необходимы для наших непосредственных целей.

Векторные пространства строк и столбцов

Мотивировка. В связи с системами линейных уравнений нам приходилось рассматривать строки длины п, в которые вкладывался разный смысл. Это были строки ^ац, а^, ..., агп), l^i^m, матрицы A=(ai/) размера пг'Хп и решения (х° х°х“) линейной системы с матрицей А. Приведение в § 3 гл. 1 системы или матрицы к ступенчатому виду включало, помимо элементарного преобразования типа (I), два важных акта: умножение строки на число и сложение двух строк. Те же действия можно производить и с решениями однородной линейной системы. Действительно, если (Хр х'*') и (х", х"х")— два решения системы

a<iXi +0,2^2+ ••• + амхп = 0, i=l, 2т.

а а, р — два любых вещественных числа, то строка (ах; + рх" ах; + рх", ..., ах; + рх")

тоже будет решением нашей системы:

“л (ах; + pxf) +

+ аи(ах; + Р<)+ ... +»,-„(ах;+рх;,) =

= а(алх; + а/2х;+ ... + а,Х) +

+ р (апх, + ai2x2 + ... + az„xra) = 0.

С другой стороны, любая строка, что бы она ни выражала, является элементом «универсального» множества R", т. е. л-й декартовой степени множества R вещественных чисел. Поэтому желательно изучить общий объект, свойства которого автоматически переносились бы на матрицы и на решения однородных систем.

Основные определения. Пусть п — какое-то фиксированное натуральное число. Векторным пространством строк длины п над R называется множество R" (его элементами являются векторы-строки или просто векторы'), рассматриваемое вместе с операциями сложения векторов и умножением их на скаляры — вещественные числа. Скаляры обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавита, а век- - торы — заглавными латинскими буквами, как матрицы. По существу на вектор X = (xi,x2, .... хп) можно смотреть как на 1 X л-матрицу. Пусть У = (уь №> --- .... уп)—еще один вектор, X— скаляр. По определению

X + У = (xj + yv, х2 + у^, ..., хп + уп),

XX = (Хх1, Хх2, ..., Хх^).

Нулевой вектор (0,0, ..., 0) обозначается в дальнейшем обычным символом нуля 0. Далее, R1 принято отождествлять с R.

Формальные правила действий с вещественными числами, безусловно известные читателю, переносятся на R". Их перечисление, хотя и скучное, дает точное представление о том, что следует понимать под абстрактным векторным пространством, которое изучается в более позднем курсе линейной алгебры и геометрии:

Bib: X 4- У = У + X для любых векторов X, У е R" (закон коммутативности.);

ВП2: (X + У) + Z = Х+ (У 4- Z) для любых трех векторов X, У, ZeR" (закон ассоциативности);

ВПз: существует специальный (нулевой) вектор 0 такой, что X 4- 0 = X для всех X е R";

ВП4: каждому X е R* отвечает противоположный (или обратный) вектор —X такой, что X 4- (—X) = О;

ВПв: IX = X для всех Хе R”;

ВПв (а₽)Х = «(РХ) для всех а, ре R, Хе R”;

ВПт: (а + Р)Х = аХ 4-Р^;

ВП»: а(Х + У) = аХ 4- aY.

Единственность векторов 0 и —X, о которых говорится в ВП3 и ВП4, равно как и другие простые следствия из указанных правил (или аксиом» если имеется в виду абстрактное векторное пространство), мы ие будем выводить, считая их достаточно прозрачными.

Происхождение термина «векторное (или еще линейное^ пространство» разъясняется в курсе аналитической геометрии (читаемом также в первом семестре), где устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками (векторами) пространства — декартовой плоскости и их координатами (х, у). Сложению векторов по правилу параллелограмма и умножению их на числа соответствуют как раз действия с векторами-строками в R2.

Наряду с векторным пространством строк длины п рассматривается также векторное пространство столбцов высоты п

как мы их условились обозначать в § 3 гл. 1. Понятно, что различие между пространствами строк и столбцов чисто условное, но мы вскоре убедимся, что полезно иметь оба варианта пространства. Из контекста обычно ясно, о каких векторах, столбцах или строках идет речь, поэтому никаких специальных обозначений не вводится.

Линейные комбинации. Линейная оболочка. Пусть Хь Х2» --.» Хь—векторы пространства R" и «1,аг, .... а* — скаляры. Вектор X=aiXi4-O2X2+ • •• ... 4-одХ» называется линейной комбинацией векторов Xt с коэффициентами at. Например, (2, 3,5,5) —

— 3(1, 1, 1, 1)+2(1,0,—1,-1) = (1,0,0,0). Пусть, далее, Y = 01X1 + ^2Х2 + ... + ^кХм— линейная комбинация тех же векторов Xi с коэффициентами 0,, а а, 0 g R. Тогда

аХ + 0У = а («1X1 + азХг + . - - + алХ&) +

+ 0(01Х1 + 02Х2 + ... +0^fc) =

— (<“Ч + РРI) Х1 + (««2 + 002) Х2 + • • . + (““л + 00л) Хк

— снова линейная комбинация векторов Xi с коэффициентами aai -|- 00<. Мы видим, что множество V всех линейных комбинаций данной системы векторов Хх,Х21 ..., Хк обладает свойством

X, УеУ^аХ + 0УеУ(1)

для всех а, 0eR. В частности, нулевой вектор всегда содержится в V.

Обычно У обозначают символом <Хь Х2, ..., Хм> и называют линейной оболочкой (или просто оболочкой^ системы векторов Хх, Х2, .... Хм. Говорят еще, что оболочка <ХЬХ2, .... Xfe> натянута на ХЬХ2, ... ..., Хм или порождена векторами Хь Х2, .... Хм.

Можно определить линейную оболочку любого подмножества S cz R", понимая под <S> совокупность всех линейных комбинаций конечных систем векторов из S. Ясно, что если V—линейная оболочка в К", то <У>= V: любая линейная комбинация векторов из V принадлежит V. Властности, 5с=У=ф-<5>сгУ, т. е. линейную оболочку <S> можно определить как пересечение всех оболочек, содержащих данное множество S векторов из R":

<S>= П У.(2)

scv

На первый взгляд не очевидно, что стоящее в правой части (2) пересечение П V какого-то множества оболочек будет линейной оболочкой. Но если X, УеЛК то X, Уе У для каждой оболочки У, входящей в множество. Значит, «X + 0Уе У для всех а, 0 е R, а это и дает нужное включение аХ+0УеПУ- Напротив, объединение U U У оболочек U и У, вообще говоря, не является оболочкой, как показывает хотя бы пример (/ = {(Х,0) |Хе R}, У = {(0,Х) |Хе R} в R2. Рассмотрим два общих примера.

Пример 1. Пусть

Ч-о- - ЧЛаЧ=в'

^-№ -<14+MI^^Rl^R"

О < т < п. Непосредственно проверяется, что Um, Ут — линейные оболочки. Причем (Urn, Ут) = R" И Urn Л Ут = {0}.

Пример 2. В R* рассмотрим так называемые единичные векторы-строки

Ет — (1, 0, .... 0), Е^ — (0, 1, ..., 0), ..., Ew — (0, 0, ..., 1). (3)

Каждый вектор X = (Xi, х2, ..., х„) однозначно записывается в виде X — x«.Ew 4- х2Е(2) 4-... 4- x„Ew- Поэтому

R" — (Дп)» Е^, ...» Е^

Единичные векторы-столбцы будем обозначать символами

Е^ = [1, 0,..., 0], Е^ = [0, 1, ..., 0]Е^ — [0, о, ..., 1]. (3')

Линейная зависимость. Система векторов XiХк пространства R" называется линейно зависимой, если найдутся k чисел а1э а2, - • •» «к, одновременно не равных нулю и таких, что

а1^1 4“ «2^2 4“ • - • 4“ °-кХк = 0(4)

(справа стоит нулевой вектор). Будем говорить также, что линейная зависимость (4) нетривиальна. Если же С61Х] + О6гХ2 4“ • • • 4™ CLkXk = 0 =^* Oil == 06 2 = • - • = = afc = 0, то векторы Хь Х2, ..., Хк называются линейно независимыми.

Пример 2 в п. 3 показывает, что единичные векторы Ew,E(2b ---, Ew линейно независимы. Один вектор X #= 0, очевидно, всегда линейно независим, поскольку (КХ = 0, X 0) ^ К = 0. Далее, свойство системы Xi, .... Хк быть линейно независимой никак не связано с порядком векторов, так как слагаемые оцХ1 в равенстве (4) могут быть переставлены произвольным образом.

Теорема 1. Имеют место следующие утверждения*.

система векторов {XjХк^ с линейно зависимой подсистемой сама линейно зависима-,

любая часть линейно независимой системы, векторов (Хь ..., X*} линейно независима-,

среди линейно зависимых векторов Хь ...» Хк хотя бы один является линейной комбинацией остальных-,

если один из векторов Хь .... Хк линейно выражается через остальные, то векторы Ху, .... Хк линейно зависимы;

если векторы Хь ..., Xk линейна независимы, а векторы Ху, .... Xk, X линейно зависимы, то X — линейная комбинация векторов Ху,, Xk;

если векторы Ху, ..., Хк линейно независимы и вектор Хк+у нельзя через- них выразить, то система Ху, ... ‘ Xk, Xtew линейно независима. ‘

Доказательство, (i) Пусть, например, первые s векторов Хь ..., Xs, s <С к, линейно „зависимы, т. е.

а^! + ... + OgXg = О,

где не все а/ равны нулю. Положив тогда as+i = ... ... = ак — 0, получим нетривиальную линейную зависимость

+ а*Х* = О.+ а*Х* = О.а^! + ... + OgXg + Og+iXs+i + .. .

+ а*Х* = О.

+ а*Х* = О.

Утверждение (ii) непосредственно следует из (i) (рассуждение от противного).

Пусть, например, а*^0 в соотношении (4). Тогда

Пусть, например, Хк = ^уХх4- ... +Р*-1Х^Ь Положив оц = Рь .... ак-у = ^к-у, ак = — 1, придем к соотношению (4) с коэффициентом а^^О.

Нетривиальное соотношение

РА + ... + рйх* + рх=о

с р ^= 0 дает в силу (iii) то, что нужно. Если, однако, р = 0, то pi = ... = Р* = 0, поскольку Хх, ..., Хк по условию линейно независимы.

Утверждение (vi) непосредственно следует из (v). ■

. Базис. Размерность. Дадим теперь важное

Определение. Пусть У — ненулевая линейная оболочка в R". Система векторов Ху, ..., XreV называется базисом для V (или в У), если она линейно независима и ее линейная оболочка совпадает с V:

(Х„ ...» ХГ) = У.

А. И. Кострикии

Из определений базиса и линейной оболочки системы векторов следует, что каждый вектор X s V записывается единственным образом в виде X = = aIXi+ ... + агХг. Коэффициенты аь .... arsR называются координатами вектора X относительно базиса Хь ..., Хг.

Как мы уже видели, линейно независимые единичные векторы (3) порождают R”. Стало быть, ^Ew, Е№, ..., Е(п^ — базис пространства R". Но этот так называемый стандартный базис — далеко не единственный базис в R". Например, векторы

Em — Ew Е^ — Ew + EyV

■^(3) ~ ^w + -^(2) + ^(3)’ • • • > ^(я) ~ ^w 4" -^(2) 4- • • - 4- Ew

тоже составляют базис пространства R" (проверьте это аккуратно). С другой стороны, пока не ясно, каждая ли линейная оболочка в R" обладает базисом, а если да, то будет ли количество базисных векторов постоянным. Ответ на оба вопроса оказывается положительным. Наши рассуждения будут основаны на следующей лемме.

Лемма. Пусть V — линейная оболочка в R" с базисом Хх, ..., Хг и Уь У2, .... Ys — линейно независимая система векторов из V. Тогда s ^ г.

Доказательство. Как- и все векторы, из V, Уь .... ys являются линейными комбинациями базисных векторов. Пусть

^i — а^ + О21Х2 + ... + arlXr,

У2 — <212-^1 4- <222-^2 4- - - - 4- Or2Xr,

У5 — olsXx + 033X2 4- - • • 4~ orsXr, гд& оц— какие-то скаляры (являясь координатами векторов У/, они однозначно определены, но это пока несущественно для нас). Рассуждаем от противного. Предположим, что s > г.

Составим линейную комбинацию векторов У/ с коэффициентами Xf.

xxY 1 + ... + xsYs = (an*i 4- я 12*2 4- • • • 4- <2i$*s) -Xi 4- • • •

••• 4-(<zri*i + tZr2*24- - Ч-аГзХз)Хг

и рассмотрим систему из г линейных уравнений с s неизвестными:

аПХ1 + ^12^2 + • • • + ^Is^s — О,

аг1х, + а^х2 + ... 4-arsxs = 0.

Так как по предположению s > г, то применимо следствие 2 § 3 гл. 1, согласно которому наша система обладает ненулевым решением № х“ .... х^. Мы приходим к нетривиальной линейной зависимости

х”У,+х^У2+ ... +хХ = О, наличие которой, однако, противоречит условию леммы. Значит, s^r. |

Теорема 2. Каждая ненулевая линейная оболочка У с: R" обладает конечным базисом. Все базисы оболочки V состоят из одинакового числа г ^ п векторов (это число называется размерностью оболочки V и обозначается символом dimp V или просто dim У).

Доказательство. В соответствии с условием У содержит хотя бы один ненулевой вектор Xi (строку или столбец). Пусть мы нашли в У линейно независимую систему векторов Х\, .... Хь. Если линейная оболочка <Хх, ..., Xfc$ не совпадает с У, то выберем в У вектор Xk+1 ^ <Хх, ..., Хь>. Другими словами, X*+i не является линейной комбинацией векторов Хь .... Хк. По теореме 1 (vi) система Х\, ..., Хь, Xk+i линейно независима. Мы могли бы продолжать неограниченно процесс расширения линейно независимой системы, но все ее векторы Хг лежат в R" = =<£(i), £(2), .... £(п)>, а по только что доказанной лемме всякая линейно независимая система в R" содержит не более п векторов. Стало быть, при некотором натуральном г ^ л линейно независимая система Хь ..., Xfc, .... XreV станет максимальной, т. е. мы получим линейно зависимую систему Хь ..., Xr, X, каков бы ни был вектор X ^ 0 из У. По теореме 1 (v) будем иметь включение Хе <Ха, .... Хг). Значит, У= =<Xb ..., Хг>, и векторы Хь ..., Хг составляют базис для У.

Предположим теперь, что Уь .... У5 — еще один базис для У. По лемме мы имеем неравенство s г.

Поменяв местами системы Хь ..., Хг и Уь .... У», мы получим по той же лемме неравенство г ^s. Стало быть, s = г, и теорема доказана. |

Заметим, хотя в этом и нет большой необходимости, что все наши рассуждения одинаково относились как к пространству строк, так и к пространству столбцов.

Итак, с каждой линейной оболочкой У в R" ассоциируется целое положительное число г ^ л, которое мы назвали ее размерностью: г = dim У. В частности, dimRn = n. Этот важный числовой параметр пространства можно характеризовать разными другими способами. Один из вариантов определения размерности основан на понятии ранга системы векторов. Именно, если {Хь Х2, ...} — какая-то, возможно бесконечная, система векторов в пространстве R", то, как мы знаем, размерность линейной оболочки <Xi, Х2, .. .> не превосходит п. Ее называют рангом системы {Хь .... Х2, ...}:

rank {Хь Х2, ...} = dim <ХЬ Х2, ...).

В случае У = {0} принято считать dim У = 0.

УПРАЖНЕНИЯ

Линейная оболочка (t/ U У) называется суммой подпространств U и У:

U 4-V == <£7t) У> =“ {»+v I »^-У, » ^ УК

Если УПУ=0, то говорят, что сумма U4- V —прямая, и пишут U Ф V. Пусть V = Vx ф У2 и X =Xt 4- А2 = А, 4- А2 — два выражения вектора X е V в виде линейной комбинации векторов Xv A] s V, и А^ А2 s Уд- Тогда имеем А, — А, == А2 — А2 е У, Л Л У г» а так как У ] Л У2 = 0, то А] = Xi»X2 ” Х2. Доказать обратное: если запись А = А, 4- Хг, Xi^Vi, i= 1,2, единственна для каждого вектора АеУ, то сумма У= У^Уг— прямая. Более общо, сумма У подпространств Уь . ., У* cz R" называется прямой суммой У “ У1 Ф - • - ® У к, если каждый вектор Ае У имеет однозначное выражение вида А = Ai 4- .. - 4-А* с А; е Уг.

Пусть У, У, и У2—линейные оболочки в R", причем У с У1 + Уг. Всегда ли верно, что У = У Л У1 4- У Л Уг? Что можно сказать про это соотношение в частном случае У1 с: У?

Пусть У — линейная оболочка в R ". Если У = U ф W — разложение в прямую сумму, то оболочка W называется дополнением к U, а и — дополнением к W в V. Однозначно ли определено дополнение к U в У? Сравнить W с теоретико-множественным понятием дополнения V/U (см. § 5 гл. 1).

Показать, что векторы Xt = (1, 2, 3), Хг = (3, 2, 1) линейно независимы; рассмотреть линейную оболочку V = = (Xi, Х2) ; показать, что вектор X = (—5, 2, 9) содержится в V, и найти его координаты в базисе Xt, Х*; найти в R3 хотя бы одно дополнение к V.

Показать, что система векторов XtХп из R" тогда и только тогда порождает R", когда она линейно независима.

Показать, что всякую линейно независимую систему векторов Xt,, Хм из линейной оболочки Ус R" можно вложить в некоторую базисную систему для V.

Пусть U и V — линейные оболочки в R". Доказать, что если U П V = 0, то dim(t/ 4- V) = dim U 4- dim V.

Найти ранг системы векторов (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0).

Ранг матрицы

Возвращение к уравнениям. В векторном пространстве R1" столбцов высоты т рассмотрим п векторов

Л</> = [а,/, ау, ..., ат1"\, /=1, 2, ..., п,

и их линейную оболочку V=<Л<*>, А^, ..., Aw>. Пусть дан еще один вектор В=[6Ь Ь^ ..., 6т]. Спрашивается, принадлежит ли В линейной оболочке V с: R*, а если принадлежит, то каким образом его координаты 6ь ..., 6m (относительно стандартного базиса (3') § 1) выражаются через координаты векторов Аи\ В случае dim V = п вторая часть вопроса относится к значениям коррдинат вектора В в базисе Л<*>, ..., Л<">. Мы берем линейную-комбинацию векторов А^ с произвольными коэффициентами х$ и составляем уравнение Х1Л<1>+ ... -|-ХлЛ(п)= В. Наглядный вид этого уравнения

Пи 021Пи 021CmlCml012022012022Cm2Cm2(1)(1)

Пи 021

Пи 021

Cml

Cml

012

022

012

022

Cm2

Cm2

(1)

(1)

есть лишь иная запись системы из т линейных уравнений с п неизвестными:

°11х1 4“ #12^2 +°11х1 4“ #12^2 +-- + атХ„ = Ьь-- + атХ„ = Ьь

°11х1 4“ #12^2 +

°11х1 4“ #12^2 +

-- + атХ„ = Ьь

-- + атХ„ = Ьь

^l-^l + ^22^2 +^l-^l + ^22^2 +O^nX-n. 62,O^nX-n. 62,(2)(2)

^l-^l + ^22^2 +

^l-^l + ^22^2 +

O^nX-n. 62,

O^nX-n. 62,

(2)

(2)

^ml-^1 + ^m2^2 4“ • • • + ®тпХп ^т*

Именно такую систему мы и встретили впервые в § 3 гл. 1. Там же были введены простая и расширенная

матрицы

Л =

«11

«21

«12

«22

... ахп ... ащ

«ml

«m2

- • • «тл

«и

«12

- - • «т

61

(Л|В) =

«21

«22

- - • «2П

62 |

«mt

«m2

... атп'

Ьщ

линейной системы (2). Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.

В этом месте удобно еще раз остановиться на обозначениях. Для сокращения записи мы часто бу- дем обозначать сумму S1+S2+ ... +«п значком 52 sz- z=i При ЭТОМ Sb . .., Sn — величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила

52 ts-t=t52 sb 52 (st + ^) = 52 st + 52 ft

достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять.

Будут рассматриваться также двойные суммы

52 52^= 52 ( 52 ^) = 52 ( 52 ^)-52«</, /-1 <-!/-1Х1-1//-1 Х/-1/I.!

в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины ац в прямоугольную матрицу размера т X п: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.

Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.

Ранг матрицы. Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы А размера mXn (см. (3)) введенную выше линейную оболочку V =<Л<1), Л<2>, ..., AW>. Будем обозначать теперь V символом Ув(Л) или просто Ve (в — вертикальный). Размерность гв(Л) =dim Ve назовем рангом по столбцам матрицы А. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы Л: r3(A)=dim Уг, где Уг=<Л(1), Л(2), .... Л(т)>— пространство строк матрицы А, т. е. линейная оболочка в R", натянутая на векторы-строки А^ = = (ац, а12» . - •, <z,„), i = 1, 2, ..., пг (г — горизонтальный). Другими словами,

гв (Л) = rank {Л(,), АЮ, .... Л™},

гг(Л) = гапк{Л(1), Л(2), .... Л(т)}

— ранги систем векторов-столбцов и векторов-строк соответственно. По теореме 2 § 1 величины гв(Л) и гг(А) определены правильно.

Следуя терминологии, установившейся в § 3 гл. 1, будем говорить, что матрица А' получена из А при помощи элементарного преобразования типа (I), если А'^ = Л((), Л[0 = Л(5) для какой-то пары индексов s=^t и А'п = А для i =^ s, t. Если же А'^ = А^ для всех i^s и Л'5) = A(s) + ХА№ s^t, A^R, то говорим, что к А применено элементарное преобразование типа (II). Здесь имеются в виду элементарные преобразования над строками матрицы А.

Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица А', получающаяся из А при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в А путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.

Лемма. Если матрица А' получена из прямоугольной матрицы А путем применения конечной последовательности элементарных преобразований над строками, то имеют место равенства-.

rawy=гДАу,

. (н) г»(Л') = гв(Л). '

Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда А' получена из А путем применения одного элементарного преобразования (э. п.).

Так как <А^, .... Д(5>, .... Aw, .... Л(т)> = = <Д(1), .... Л(о, .... А(8^ .... А^, то э. п. типа (I) не меняет гг(Д). Далее, A's) = A(s) + ХА^ =► А^ = = А'^ — "^А^ и, следовательно, (Ду), •••» А*) + + хАф, —, Ау), —, А^) = (Ап» • • •»As)» —»Ао» - - • . ... Л(т>), так что га(Л) не меняется и при э. п. типа (II).

Пусть А'^, I ^/^п,— столбцы матрицы Д'. Докажем, что

Z XjAW = о £ XjAKn = 0. (4) /-1 Z-1

С этой целью рассмотрим две линейные однородные системы ЛОС и ЛОС' с матрицами А и А' соответственно, записанные в виде (1) (столбцы свободных членов — нулевые):

ЛОС: £х.Д<П = 0, ЛОС': ^.хгА^ — О. i-i /-1

Матрицы А и А' у нас таковы, что ЛОС' получается из ЛОС при помощи а. п. типа (Г) или (П)- По теореме 1 § 3 гл. 1 системы ЛОС и ЛОС' эквивалентны,, т. е. всякое решение (Хь Х2, ..., Хя) одной системы будет решением другой» а это и есть импликация (4).

Таким образом, всякой, в том числе и максимальной, независимой системе.столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми “же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство гв(Д') = гв(Д). 1

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

Теорема 1. Для любой прямоугольной тХп- матрицы А справедливо равенство гв(Д) = г»(Д) (эго число называется проста рангом матрицы А и обозначается Символом гапкД).

Доказательство. По теореме 2 § 3 гл. 1 конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками Ai, матрицу А можно приве-

сти к ступенчатому виду:

аиооо ооаиооо ооа\к•••а\1•"dIs •••“\п

аио

о

о о

о

аио

о

о о

о

аак...а21...а^ ...а2п

°' • •831• • •аз$ • • •азп

(5)(5)о...о...ars ...агп

(5)

(5)

о ... о ... о ... оо ... о ... о ... оо...о...о ...о

о ... о ... о ... о

о ... о ... о ... о

с 2ц a2fe a3i — ars ^= 0. Согласно лемме гв(Л) = гв(Л), гг(Л) = гг(Л),

так что нам достаточно доказать равенство гв(Л) = = г^АУ

Столбцы матриц Л и А с номерами !,£,/, ..., s, отвечающими главным неизвестным xi, хк, х/, .... xs линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

^AtD + ^AW + ^A^-b ... + XsA<s) = O,связывающего векторы-столбцы_А(1) = [ап, 00],

Л<*) = [а1к, Огл, 0 0]A<s> = [als, а^ars,

00] матрицы (5), получим последовательно:

^s4rs = Q, "М^ — О, ^^ = 0, Xjan = O, а так как ®Па2Л ars 5^ 0, то _Xx = Xk = Xt = ... ^Х^^О. Значит, гапк{Л<,,,_Л<*), Л(,)A<s)}= r и г„(Л)^г.

Но пространство Ve, порожденное столбцами матрицы Л, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из А удалением последних пг — г нулевых строк. Поэтому гв (Л) = dim Ve ^ ^dimRr = r. Сопоставление двух неравенств показывает, что гв(Л) = г (неравенство гв(Л)^г вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы А являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы Л линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

^чЛц) 4~ ХгЛ(2) 4~4~ Хг Д(г)— 0,Xi G R,

как и в случае со столбцами, дает последовательно Х1<2ц=0, X2a2*=0Xrars=0, откуда Х1=Х2= ...

... = Хг = 0. Стало быть, гг(Л) = г = гв(Л). |

Критерий совместности. Ступенчатый вид матрицы Л, дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем (см. § 3 гл. 1), содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

Следствие. Число главных неизвестных линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно rank Л, где Л—матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы Л (см. (5)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы Л. Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств. |

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы Л, устраняющее необходимость приведения Л к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы, речь о котором шла еще в гл. 1.

Теорема 2 (Кронекер — Капелли). Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы (см. (3)).

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать (с этого начинался настоящий параграф) как вопрос о представлении вектор а-столбца В свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов Л<^> матрицы А. Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то Ве(А<1>, ..., Л<">> и гапк{Л(1), Л<л)}= rank^W,, Л(">, В}, откуда

гапкД =гв(Д) = гв((Д|В)) = гапк(Д|В) (см. формулировку теоремы I).

Обратно, если ранги матриц Д и (Д|В) совпадают и UUlX -. - А^^ — какая-то максимальная линейно независимая система столбцов матрицы Д, то расширенная система {Д^*\ .... А^А, в} будет линейно зависимой, а это по теореме 1 (v) § 1 означает, что В — линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов Д'Д Стало быть, система (2) совместна. |

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать теорему 1, не приводя m X л-матрицу А = (щ/) к ступенчатому виду. (Указание. Пусть dim Уг(Л) = г, dim V«(A) = s. Выбрать г базисных строк; без ограничения общности можно считать, что ими являются первые г строк А^, Аед, —, Л(г). Рассмотреть укороченную г ч-матрицу А = = [^(i). А^, .... Л (г)], составленную из первых г строк матрицы А. Выбрать в Л t базисных столбцов, t = dim Ув(А). Пусть ими будут А(1), .Aw. Так как У«(Л)сРг, то t ^ г. Для каждого столбца Aw, к > t, нужно найти скаляры Xi, X/ е

t

е R, такие, что Л<е)=Х1Л(1> -f- . . . + XtAW, т. е. а-к = ^ Хра1р> р=1

1 ^ i ^ т. При х ^ г это наверное так, ибо имеется соотношение Л*6^ = X, Л*1* + + XtA^ для укороченных столбцов. При i > г использовать выражение Л<о = щЛ(1) -f- ... -f- цгА(Г> для i-й строки через первые г строк. Из него следует, что af& = гг tt гt

= Е ^taih — E ^ E xPaip = E XP E t4aiP = E xpaiP- i=ii=ip=ip=ii=ip=t

Установленная линейная зависимость столбцов показывает, что s ^ t, а так как t ^ г, то s ^ г. Рассмотреть, далее, так называемую транспонированную матрицу

*А =*А =Он Яг! ••• ami012 О22 ••• от2

*А =

*А =

ощ а2п ... атп

размера п X tn. Имеют место равенства г,('Л) = гв(Л), re(M) = = г,(Л), поэтому по доказанному г ^ s. Стало быть, г = s.)

Как и в случае строк, перестановку столбцов с номерами s и t матрицы А называют элементарным преобразованием (э. п.) типа (I), а прибавление к s-му столбцу f-ro столбца, умноженного на скаляр X, — э. п. типа (II). Указать ступенчатый вид матрицы А по столбцам. Элементарными преобразованиями

столбцов привести матрицу X (см. (5)) к виду

где 5П =ап, 522 = 5^, Ззз^азр ...» йгг = аг^ Д аи *= О. /■1

3. Показать, что при До ^ О квадратная матрица

10 О ...

1 О ... О 1

о о ... о о ... имеет ранг п.

4. Условие равенства рангов

О О а0

О О сц

О О а2

1 О а«—2 О 1 an-v

двух матриц

а-п Р» V»а-п Р» V»пУ! = Е <№»пУ! = Е <№»i = 1, 2т.i = 1, 2т.(Г)(Г)

а-п Р» V»

а-п Р» V»

п

У! = Е <№»

п

У! = Е <№»

i = 1, 2т.

i = 1, 2т.

(Г)

(Г)

Я а, а2 ... ап П

| Pi ^ ... ^п !’

выразить геометрическим свойством множества л прямых на пло- скости.

§ 3. Линейные отображения. Действия с матрицами

Матрицы и отображения. Пусть R" и Rm— векторные пространства столбцов высоты п и т соответственно. Пусть, далее, А=^ац^— матрица размера тХл. Определим отображение фл: R"—► Rm, полагая для любого X = [xi, х2хп] е R"

Фл(Х) = х1Л<» + х2Л<2) + ... + х„Л‘Ч (I)

где Л(*>А^— столбцы матрицы А (сравнить с (1) §2). Так как они имеют высоту т, то в правой части (1) стоит вектор-столбец Y = Vyi.y2Ут\ е s Rm. Более подробно (1) переписывается в виде

Если Х=Х' + Х"=1х'.+х" х'+х" ..., х;+х"Ъ то ФЛ (X' + хп = £ « + о Л<« -

— ^ ^ + £ х" дт - Фл (X') + Фл (X"). Аналогично

Фл (XX) = £ XxtA^ = X £ xtAW = Хфл (X), X е R. i-li-l

Обратно, предположим, что ф: R" —*-Rw— отображение множеств в смысле § 5 гл. I, обладающее следующими двумя свойствами:

ф (X'+ X") = Ф (X') + ф (Х")для всех X',

X" е Rn*

ф(ХХ) = Хф(Х) для всех XeR", XeR.

Как мы знаем (см. п. 3 § 1), R"=<E(1), .... EW>— линейная оболочка стандартных базисных столбцов, так что

X = [хь х21 ..., х„] = 52 х,ЕМК

Согласно свойствам (i), (ii), имеем

ф (X) = ф ( Е х^Л — £ х№ (Etn).(2)

Соотношение (2) показывает, что отображение ф полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив

Ф (у») = [alz, аг,, ..., атД = AW е R”,(3)

мы обнаруживаем, что задание ф равносильно заданию прямоугольной матрицы А =(ац) размера тХп со столбцами А(1), ..., А<п), а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить ф = фл.

Определение. Отображение ф = фд: R"—*-Rm. обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из R" в Rm. Часто, в особенности при п = т, говорят о линейном преобразовании. Матрица А называется матрицей линейного отображения фд.

Пусть фл, <рЛ' — два линейных отображения Ra-*RW с матрицами A = ^at?^ и Л' = (а^). Тогда равенство ФЛ = ФЛ' равносильно совпадению значений Фд(Х) = = ФЛ'(Х)для всех X <= R”. В частности, Л/(/)=фЛ'(£^>)= = фл (&1^ = А^\ l^j^n, откуда а?ц = аи и А' = А.

Резюмируем наши результаты:

Теорема 1. Между линейными отображениями R” в R* и матрицами размера тХо существует взаимно однозначное соответствие, g

Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях S—>-Т произвольных множеств S и Г. Условия (i), (И) предполагают, что S и Т — линейные оболочки в R" и Rm соответственно.

Обратим внимание на специальный случай т=1, когда линейное отображение ф: R” -*- R, обычно называемое линейной функцией от п переменных, задается п скалярами а^ а2, ..., ап:

ф(Х) = ф(хь х2х„) = а1х1 4-02X2 А- ... А-апхп. (4)

Наша терминология отличается от той, которая принята в средней школе, где (в случае одной переменной х) линейной называют функцию х ।—> ах + Ь.

Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения R"—^R"1 при фиксированных п и пг можно складывать и умножать на скаляры. В самом-деле, пусть фЛ, фВ: R"-^-R“— двалинейных. отображения. Отображение

Ф = офл -R Рфв: R” —*■ R”*,с, Р *= R,

определяется своими значениями:

Ф(Х) = афл(Х) + Рфв(Х).

В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

Так как

Ф (Xz + X") = аФл (X' + X") + рФв (X' + X") =

= « {фд (X") + Фд (X")} + Р {фв W + Фв (X")} =

= {«Фд m + РФв (Г)} + {афд (X") + рФв (X")} =

=ф(х/) + ф(Х");

ф (XX) = афд (XX) + рфв (XX) = аХфд (X) + рХФв (X) =

= X {афд (X) + рФв (X)} = Хф (X)

(здесь мы неявно пользовались правилами ВП1— ВП8 из § 1), то ф — линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице С: ф = фс. Чтобы найти С, выпишем, следуя (3), столбец с номером /":

[сц, с21, ..., ст/] = С</) = фс№) =

= афд (ЕЧ>) + рфв (£(/)) = aAU> + REW =

— [о12!/ + Р^ц, (Юг/ + Р62/, - - -, аат/ + Р^т/]-

Матрицу С — (сц) с элементами сц = аац + ^btj естественно назвать линейной комбинацией матриц А и В с коэффициентами аи^:

ааСиСи^ml^mlИтак,Итак,«Ш IIII Ьц . . . blnатп |||| bmi .. . Ьтпчац +РЬц •-• ааш +Р6щсм mi + $bmt ... аатп + &Ьтаафд + Рфв — ФаА+рВ-«Ш IIII Ьц . . . blnатп |||| bmi .. . Ьтпчац +РЬц •-• ааш +Р6щсм mi + $bmt ... аатп + &Ьтаафд + Рфв — ФаА+рВ-(5)(6)(5)(6)

а

а

Си

Си

^ml

^ml

Итак,

Итак,

«Ш IIII Ьц . . . bln

атп |||| bmi .. . Ьтп

чац +РЬц •-• ааш +Р6щ

см mi + $bmt ... аатп + &Ьта

афд + Рфв — ФаА+рВ-

«Ш IIII Ьц . . . bln

атп |||| bmi .. . Ьтп

чац +РЬц •-• ааш +Р6щ

см mi + $bmt ... аатп + &Ьта

афд + Рфв — ФаА+рВ-

(5)

(6)

(5)

(6)

Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

В заключение этого пункта отметим, что если правила ВП1 — ВП8 из § 1 для векторных пространств переписать, заменив всюду векторы-строки X, У, Z ла матрицы размера тХп/то в соответствии с определяющим соотношением (5) получатся правила BMi — ВМ8, которые дают основание говорить о векторном пространстве матриц размера тХп. Если угодно, его можно считать компактной записью векторного пространства Rm" строк длины тп (строки разбиты на отрезки длины п, расположенные друг под другом).

Произведение матриц. Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера тХп и отображений Rn—>Rm. В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений (см. п. 2 § 5 гл. 1). Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть фВ: R"—>-Rs, фд: Rs-*-Rm— линейные отображения, фс = Фа ° фв — их композиция:

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что ф = фд»фв— линейное отображение, но это довольно ясно:

ф(^ + X") = фд(фв(Х' + X")) = фд(фв(Г) + + Фв (Х"^ = фд (фв (X')) + Фд (Фв (X")) = Ф (X') + Ф (X");

Ф (XX) = фд (фв (XX)) = фд (Хфв (X)) = Хфд (фд (Х)= = Хф (X); поэтому по теореме 1 с ф ассоциируется вполне определенная матрица С.

Действие отображений на столбцы в цепочке фвфа

[хь ..., xjh-*[yb ..., уЛ^Ч^, . zm]

запишем в явном виде по формуле (1'): $S/1п Z SX

z/ = S а1кУк== 2 atk 52 ь^х/ — 52 (52 ^Ьк! )-к/.

6-1ь-1/=i/=i \fc-i/

С другой стороны,

z, = 52 Сцхъ i=l, 2, ..., т.

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что х/ (/=1,2, ..., л)—произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

сц= 52 Otkbkb Ki<т, Kj^n. (7) fe-i

Будем говорить, что матрица C = (ci/) получается в результате умножения матрицы А на матрицу В. Принято писать

С=АВ.

Таким образом, произведением прямоугольной матрицы (at-fe) размера mXs и прямоугольной матрицы (&*/) размера sXn называется прямоугольная матрица

(су) размера тХп с элементами сц, задающимися соотношением (7). Нами доказана

Теорема 2. Произведение Фдфв двух линейных отображений с матрицами А и В является линейным отображением с матрицей С = АВ. Другими словами,

ФаФв^Фав- 1(8)

Соотношение (8) — естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение АВ двух произвольных матриц А, В, имея в виду, однако, что символ АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице А совпадает с числом строк в матрице В. Именно при этом условии работает правило (7) «умножения z-й строки А(,) на /-й столбец В^>, согласно которому

сц = (дц, ..., azs)[&iy, -.-, 6s/] = A(i)B^.(9)

Число строк матрицы АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов — числу столбцов матрицы В. В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, АВ #= ВА, как показывает хотя бы следующий пример:

11 Ofl-ILO- Oil in 01 ,10 ail 110 ош on

Io olfi ol”|o oMi-oHi olio er

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно-.

А (ВС) ~ (АВ) С.

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а по теореме 1 § 5 гл. 1 произведение любых отображений ассоциативно. К тому же

7 А И. Кострякия

результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7). В

Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности-

(А 4-В) С = АС + ВС, D(A4-B)=DA4-DB, (10)

где А, В, С, D — произвольные матрицы размеров соответственно m X s, mXs* $Х п, пХ m.

Действительно, полагая А = (ац’), В = (Ьц), С = — (су), мы получим для любых I, I равенство (используя дистрибутивность в R)

ппп

S Vaik + bi^ Ckj = 2 CkkPki + 2 bikCkj, fe-1fe=lfe-1

левая часть которого дает элемент gn матрицы (Д + В)С, а правая — элементы ht} и h^ матриц А С и соответственно ВС. Второй закон дистрибутивности (10) проверяется совершенно аналогично.

Транспонирование матриц. Будем говорить, что матрицы

<211°12 ••• OlnОя О22 • - • °2«Omv Qm2 • • • атп<211°12 ••• OlnОя О22 • - • °2«Omv Qm2 • • • атп0,2Sin0,2Sin021 • • • smtO22 - • - azn2021 • • • smtO22 - • - azn2Лгп — • ОтаЛгп — • Ота

<211°12 ••• Oln

Оя О22 • - • °2«

Omv Qm2 • • • атп

<211°12 ••• Oln

Оя О22 • - • °2«

Omv Qm2 • • • атп

0,2

Sin

0,2

Sin

021 • • • smt

O22 - • - azn2

021 • • • smt

O22 - • - azn2

Лгп — • Ота

Лгп — • Ота

размеров т X а и п X т соответственно получаются друг из друга транспонированием — заменой строк на столбцы, а столбцов на строки (внимательный читатель заметит, что понятие транспонирования уже встречалось нам в упражнении 1 § 2). Непосредственно видно, что

#(*Д)=Д, ЧАД- 8^ = * А Д-1 В, \ХА^ = Х*А.

Транспонирование произведения матриц подчиняется более интересной закономерности. Если

«и

021

Ощх

Oi2 Ols 022- • • °2s

<*m2 • • • Ums

В =

Ьц 6l2Ь1« 621^22 - • • ban

bsl bs2 - • - bgn

И *Д = «г), 4В = (Ь^, то affe. = aife> b'}k=bkj. Вычисление коэффициентов матриц

Си

Ct2

- - - Cin

С21

С22

- - - С2п

С ml

стз

• - - Сщп

С = АВ =

I du

dia ... dim

п = *в - *А =

^21

d$z •- - dam

1 dni

dn2 - - - dnm

по формуле (7):

SSS

СЦ " 52 ai-k^M’ ^it ^ 52 ^ik^hi = 52. ati£kp

показывает, что dp = сц при всех 1 ^ i ^ т, 1 ^ ^ j ^ п. Значит, *С = D или, в исходных обозначениях.

#(ДВ) = *В . *А.

Более общо, если определено произведение матриц Ai, А2, .... Аг, то

ЧА^... А) = % tA2-tAl.

В силу теоремы 1 § 2, выполнено также свойство: rank *А = rank А.

Ранг произведения матриц. Пусть А и В — произвольные матрицы размеров m X s и s X л. Что можно сказать о величине rank ДВ?

Теорема 3. Справедливо неравенство

rank АВ ^ min {rank A, rank В}.

Доказательство. Для строк С^ и столбцов С^Ь матрицы С = АВ мы в соответствии с (7) имеем выражения

CW = AWB, CW = ABM\(11)

Интерпретируя теперь ранг матрицы А как л = rank А = dim (Др), Аед, - - -, Ат)>, считаем без ограничения общности базисными строками Д(1>,, Д(п), поскольку необходимая перестановка строк матрицы А будет сопровождаться точно такой же перестановкой строк матрицы С, а это

7е

преобразование (э. п. типа (I)) не меняет ни rank Л, ни rank С. Итак,

Л

Aw = 2 ^А<). ri < k^m,

i-l

откуда (использовать дистрибутивность (10)!):

а

пXпл

L ^ыА^ 1 В= 52 ^ы ^A(.t'1B^= 52 ХыС^,

и, стало быть,

(C(1), . ... C(m)) = (C(D, . ... C(r,)>.

Таким образом,

rank С = dim <C(d, ..., C(m)) ^ л = rank A.

Аналогично, интерпретируя ранг матрицы В как r2 = rank В = dim (ВО, В<2>, ..., В<">>

и считая без ограничения общности базисными столбцы В’п, .. ., В<^, будем иметь

В^-Е^ВШ,

CW = ABW = А ( 52 ^-В^) = У у^АВт =

Х7-1/ i”

= 52 V-ki^0.r2<k<.n,

i-i

отку л а

rank С = dim(C(l), .... С^ ^ г2 = rank В. |

Заметим, что в случае каких-то специальных матриц А, В доказанное неравенство может становиться строгим. Так будет, скажем, при А ^ 0, В ^ О, АВ = = 0 (см. пример в п. 2). В общем случае теорема 3 просто утверждает, что при умножении матриц ранг не может увеличиться.

Квадратные матрицы. Множество всех квадратных матриц (а,/) порядка п с вещественными коэффициентами ац обычно обозначается символом Mn(R) (или Rn). Как уже отмечалось в конце п. 1, можно говорить о векторном пространстве Mn(R).

Согласно п. 2, произведение любых двух матриц из Afn(R) снова принадлежит Afn(R). При этом выполнены свойства ассоциативности и дистрибутивности.

Определение. Говорят, что квадратные матрицы фиксированного порядка п образуют матричное (ассоциативное) кольцо, а с учетом легко проверяемых правил Х(АВ) = (ХА) В = А (ХВ) умножения на скаляры XeR множество Afn(R) называют также алгеброй матриц над R.

1, если0, если1, если0, еслиК этим наименованиям предстоит еще привыкнуть (см. гл. 4 по поводу систематизации терминологических новшеств), а сейчас мы обратим внимание на единичную матрицу Е = (б*/), где

1, если

0, если

1, если

0, если

Ь = Ьk ^ j.

— символ Кронекера. Очевидно, что гапк^ = п. Правило умножения матриц (7), в котором следует заменить Ьщ на б*/, показывает, что справедливы соотношения

ЕА = А = АЕ, АеМ^.

Более общо.

(12)(12)diag„ (X) = X А = A diag„ (X),

(12)

(12)

гдегдеdiag„ (X) = ХЕ =diag„ (X) = ХЕ =0 о0 о0 х о0 х о7.. 0 П ... о I ... х I7.. 0 П ... о I ... х I

где

где

diag„ (X) = ХЕ =

diag„ (X) = ХЕ =

0 о

0 о

0 х о

0 х о

7.. 0 П ... о I ... х I

7.. 0 П ... о I ... х I

— известная нам скалярная матрица (см. §3 гл. 1). Таким образом, умножение матрицы А на скаляр X равносильно умножению А на скалярную матрицу.

В равенстве (12) отражен легко проверяемый факт перестановочности diagn(X) с любой матрицей А. Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

Теорема 4. Матрица из Мп, перестановочная со всеми матрицами в Мп, должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу Ец, в которой на пересечении t-й строки и /-го столбца стоит 1, а все остальные элементы — нулевые. Если Z = (гц)—матрица, о которой идет речь в теореме.

то она перестановочна, в частности, со всеми Ец:

ZEtj — EtiZ, i, /= 1, 2, ..., п.

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

0 £ц 00 2ц 00 £ц 00 2ц 0о о2п 2по о2п 2поо-• 2In to-• 2In to0 ... zni ... 0{/}0 ... zni ... 0{/}оооо

0 £ц 0

0 2ц 0

0 £ц 0

0 2ц 0

о о

2п 2п

о о

2п 2п

о

о

-• 2In to

-• 2In to

0 ... zni ... 0

{/}

0 ... zni ... 0

{/}

о

о

о

о

с единственным ненулевым /-м столбцом и соответственно с единственной ненулевой t-й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям zfei = 0 при £ #= i и zu = zu- Меняя I и /, получаем требуемое. ■

Для данной матрицы ЛеМл(Р) можно попробовать найти такую матрицу Д'еМп(Р), чтобы выполнялись соотношения АА' — Е = А'А. Сразу же заметим, что

АА' = Е = А"А=> А" = А'. (13)

Действительно, А" = А"Е = А" (А А7) — (А"А)А7 = = ЕА, = А/. Таким образом, матрица А', коль скоро она существует, единственна. Ее называют матрицей, обратной к А, и обозначают символом Д™1:

АА-1 = Е= А-1А.(14)

При выполнении (14) говорят еще, что матрица А обратима.

Определение. Матрица ДеМп(Р) называется невырожденной, если система ее строк (а тем самым и столбцов) линейно независима, т. е. гапкД = = п. Если гапкД < п, то А называется вырожденной.

Теорема 5. Матрица A g Мп (R) обратима тогда и только тогда, когда она невырожденна.

Доказательство. 1) Если АВ = Е (или В А = Е), то по теореме 3 имеем

п = rank Е = rank АВ ^ min {rank A, rank В} ^ п, откуда гапкД = п.

Если rank А = л, то

<^\ ...» EW) = R" = (АЧ ..., AW), и, стало быть,

Е^п = £ a" AW, Kj^n,(15)

причем коэффициенты aftj, составляющие матрицу А? = (о^) е Мп (R), определены однозначно. Согласно п. 1 § 2 (см. там уравнения (1) и (2)), соотношения (15) переписываются в виде

EW = AA'w, X^i^n, откуда

Е = (£<’>, ..., Е^) = (ААлп, ..., AA'W) = АА'.

Здесь мы интерпретировали матрицы Е и АА' как объединения отвечающих им столбцов.

Заметим теперь (см. п. 3), что вместе с А невырожденной является и транспонированная матрица *А. Поэтому, в силу доказанного, найдется матрица В такая, что *А • В = Е. Снова обращаясь к п. 3 и полагая А" = *В, находим

Е = *Е = Ч* АВ) = *В Ч*А) = А" А.

Итак,

АА' = Е = А" А.

Остается заметить (см. (13)), что А" = А', а поэтому, в соответствии с (14), А' = А-1, т. е. матрица А обратима. ■

Следствие 1. Если В и С — невырожденные квадратные матрицы порядков тип соответственно, а А — произвольная m X п-матрица, то

rank ВАС = rank А.

Доказательство. В силу теорем 3 и 5 имеем: rank ВАС ^ rank В А = rank В А (СС-1) =

= rank (ВАС) С-1 ^ rank ВАС, откуда rank В А С = rank В А. Аналогично устанавливается равенство rank В А = rank А. |

Следствие 2. Если А, В е Afn(R) и АВ = Е или BA = Е, то В = А-1.

Доказательство. Как показано в части 1) доказательства теоремы 5, АВ = Е =*- rank А = п, т. е. А невырожденна и, следовательно, обратима. I

Следствие 3. Если А, В, ..., С, D — невырожденные пХп-матрицы, то произведение АВ ... CD также невырожденно и

{АВ ... CDY"1 = D^C-1 ... В~1А~\

Доказательство. Невырожденность матрицы G — АВ... CD видна из следствия I, а равенство (7—1 = D—1С-1... В—1А—1 проверяется непосредственно:

G(D-1C-1 ... В'{А"Х) = АВ ... C^DD-^C-1 ... , ... В~ХА~Х = АВ ... (СС-1) ... В~ХА~Х = ... =Е. 1

Удобный способ вычисления обратной матрицы, обычно используемый на практике, будет приведен в п. 7. Одновременно получится еще одно доказательство теоремы 5.

Явную формулу для Л-1 мы укажем в гл. 3. Сейчас лишь заметим, что фактическое вычисление Л-1 для матрицы Л с числовыми коэффициентами или вычисление произведения двух матриц обычно требует выполнения большого числа операций. На практике встречаются матрицы порядка л = 100 и более. Если А и В—две такие матрицы, то для вычисления С = АВ нужно найти л2 элементов сц по формуле (7) (или (9)), что в каждом случае требует 2л — 1 умножений и сложений чисел. Всего нужно произвести (2л—1)л2 операций, т. е. около двух миллионов операций при л = 100. Для современных ЭВМ это сравнительно легкая задача, но реальные трудности возникнут, если потребуется найти степень Ат матрицы А с показателем пг ^ 1000. Здесь по определению А™ = ААт~*; фактически А” = А*Ат—*, 0 ^ 6 ^ т, — легкое следствие ассоциативности (см. следствие теоремы 2), как это будет показано в гл. 4 в более общем кои- тексте. Для вычисления А” используют разные дополнительные приемы, либо основанные на специфике матрицы А, либо заимствованные из курса линейной алгебры. В качестве иллюстрации рассмотрим три примера.

Пример 1. Если

I

oi ... 0|

О ... ап

то, очевидно,

Ат = diag «, .... <) =

а{“ ... 00... а”а{“ ... 00... а”Пример 2. Пусть

а{“ ... 0

0... а”

а{“ ... 0

0... а”

Тогда индукция по т показывает, что

1Л^ с а с01Л^ с а с0ат_ьта — bьтат_ьта — bьт

1Л^ с а с

0

1Л^ с а с

0

ат_ьта — bьт

ат_ьта — bьт

- ат _ Ьтгде —г—а — Ь- ат _ Ьтгде —г—а — Ь= ат= аттт... + abm—2 + Ьт 1. В част-... + abm—2 + Ьт 1. В част-ности, при а = Ь имеемности, при а = Ь имеемат 0ат 0тат—*саттат—*сат

- ат _ Ьтгде —г—а — Ь

- ат _ Ьтгде —г—а — Ь

= ат

= ат

т

т

... + abm—2 + Ьт 1. В част-

... + abm—2 + Ьт 1. В част-

ности, при а = Ь имеем

ности, при а = Ь имеем

ат 0

ат 0

тат—*сат

тат—*сат

I 'm 'm+1 УI 'm 'm+1 УПример 3. Индукцией по т нетрудно убедиться в том, что m-я степень матрицы

I 'm 'm+1 У

I 'm 'm+1 У

имеет вид

(16)

где целые числа fo = 0, ft = 1, fa — 1, fa = 2,определяются рекуррентным соотношением fm+i = fm + f«-i- Это не что иное, как числа Фибоначчи (см. пример 2 в конце § 3 гл. 1).

Введем матрицу

|

Х2 1

55

— V5Vs

с определителем 1, (см. § 4 гл. 1), где

1 — Vs

2

Небольшое вычисление показывает, что

и А= В-1и А= В-1В.В.

и А= В-1

и А= В-1

В.

В.

Но если три произвольные n X n-матрицы Л, В, С, из коих В невырожденная, связаны соотношением Л = В—1СВ, то

Л” — В-1СВ - В-1СВ • В~ХСВ ... В-ХСВ = В~ХС*”В

(внутренние множители ВВ-1, замененные на Е, «сократились»). В нашем случае, с учетом примера 1 и соотношения (16), имеем

(звездочками отмечены не интересующие нас члены).

Сравнивая коэффициенты матриц в левой и правой частях этого равенства, получаем для числа Фибоначчи с номером m значение

Мы видим, что fm —Мы видим, что fm —при больших т (геометрическаяпри больших т (геометрическая

Мы видим, что fm —

Мы видим, что fm —

при больших т (геометрическая

при больших т (геометрическая

прогрессия), посколькупрогрессия), посколькуНт т-»<х>Нт т-»<х>

прогрессия), поскольку

прогрессия), поскольку

Нт т-»<х>

Нт т-»<х>

Классы эквивалентных матриц. Как и при доказательстве теоремы 4, обозначим через Est матрицу размера тХт, в которой на пересечении s-й строки и /-го столбца стоит 1, а все остальные элементы— нулевые (такие матрицы называются иногда

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ДЕЙСТВИЯ с МАТРИЦАМИ 107 матричными единицами). Рассмотрим, далее, в Afm(R) так называемые элементарные матрицы:

(!) Ps, t = Е — Е„ — Ett + Est + Et$ =

(III) FS(X) = E + (X- 1)ЕМ =

= diag{l, .... 1, X, 1, .... 1}, X^O.

Пусть A — произвольная tn X л-матрица. Тогда непосредственно проверяется, что матрица А' = FA получается из А посредством элементарного преобразования (э. п.) над строками типа (I) или (II) в зависимости от того, будет F = Fs,t или F = Fs,t (X). В случае F = F$(X) будем говорить об э. п. типа (III) (умножение s-й строки As на X). Аналогично, матрица А" = AF получается из А посредством э. и. столбцов. Мы уже знаем из п. 2 § 2 и из упражнейия 2 § 2, что э. п. типов (I) и (II), совершаемыми над строками и столбцами, А приводится к матрице с диагональной невырожденной подматрицей в левом верхнем углу размера гХг, где г == rank А (при г = 0

матрица А нулевая). Так как

В at

| а»0

«г=

О

О

1О1ОО1

1

О

1

О

1

= F, (аО F2 faz) - - • Fr (аг)

то привлечение э. п. типа (III) дает возможность получить из А матрицу вида

(17)

(здесь Ег — единичная матрица в Af,(R); нули* обозначают матрицы размеров гХ(л —г), (т — r)Xf и (т— г)Х(п — г). Таким образом,

РкРк_х ... PXAQXQ2 ... Qz = jor J|, (18)

где Pi (соответственно Q/) — элементарные матрицы порядка т. (соответственно л). Не раз отмечалось, что элементарные операции обратимы. Это согласуется с существованием обратных матриц

(Fs.trX=Fs>t, Fs.t(xyx=Fs,t(-X),f8m-1=fs(k-1\

В соответствии со следствием 3 теоремы 5 матрицы Р — PkPh-i — Pi и Q — QiQa — Qt тоже обратимы: Р-1 —РГ1 ... Pk-iPt \ Q-‘ ==Qrv .. - Q^Qf1. Заметим, что Р?1» Q?1 — элементарные матрицы.

Две матрицы А, В размера т X п назовем эквивалентными и запишем А ~ В, если найдутся невырожденные матрицы порядков т и п соответственно такие, что В — PAQ.

Как легко понять, ~ является отношением эквивалентности: (i) А~А ^Р = Ет, Q = Eny, (ii) А ~ .— В => В — А, поскольку В = PAQ =ф- А = P-'BQ-1; (iii) B = P,AQ', С = P"BQ" => С = PAQ, где Р = =Р"Р', Q = Q'Q". Согласно общим принципам (см. § 6 гл. 1), множество всех тХ л-матриц разбивается по отношению ~ на непересекающиеся классы эквивалентных матриц. Так как ранги эквивалентных матриц равны (см. следствие 1 теоремы 5), то рассуждение, приведшее нас к равенству (18), показывает, что в качестве представителей классов можно брать матрицы (17). Мы получаем следующее утверждение.

Теорема 6. Множество матриц размера пгХп разбивается на р = min(m, л) + 1 классов эквивалентности. Все матрицы ранга г попадают в один класс с представителем (17). ■

Следствие. Всякая невырожденная п X п-мат- рица записывается в виде произведения элементарных матриц.

Действительно, все невырожденные матрицы порядка п попадают в один класс с представителем — единичной, матрицей, поскольку их ранги равны л. Соотношение (18)

PkPk-x Р1^^2 ... Qi=E, переписанное в виде

A = P~V ... P^P^QT' - - - Q^QT1, (19) дает нужное утверждение. |

Не утверждается, что запись А в виде произведения элементарных матриц единственна, но сам факт существования такой записи весьма полезен. В частности, его можно использовать для отыскания обратной матрицы. В самом деле, из (19) мы находим:

A"1 =QiQ2 - • • QiPkPk-i ... Pl=QP.

Вычисление обратной матрицы. Если в рассуждениях предыдущего пункта ограничиться преобразо-

ваниями над строками и рассмотреть с самого начала расширенную матрицу (Л|£) размера пХ2п, то в случае невырожденной матрицы ЛеМ„(К) возникнет цепочка:

(Л \Е)-^(РХА\Р,Е)-^ U\PXA | Р^Е)-* ...

~^(Рк ... РгРхА\Рк ... РйРхЕ^ = 1Е\А'У

Она оборвется на А-м шаге, когда в левой половине расширенной матрицы место А заполнит единичная матрица Е. В правой половине при этом получится однозначный ответ: А' = Л-1. В случае вырожденной матрицы А процесс оборвется, возможно, раньше — приведением А к ступенчатому виду и вычислением ранга г = гапкЛ.

В матричной реализации, с которой начинался п. 6, при л = 3 имеем

1

1—301| 1 о о|

01 0 , ^з,2(4)= о 1 О I

00 1 Iо 4 1

10 ° 1 i0 1 °|.

1 0 О I

Реально элементарные лХ«~матрицы Pi слева не приписываются. На них следует смотреть как на предписания и выполнять соответствующие им э. п. над строками. Напомним еще раз о значении символов:

Pi = Fs, t — переставить местами строки с номерами s и t;

Pi = Fs, t (X) — прибавить к s-й строке /-ю строку, умноженную на X;

Pt = Fs (X) — умножить s-ю строку на X.

Пример 1. Пусть

1

0 20 1

1 1 —I

2 1 —1 I

Имеем:

10 1

2

2

1 1

О — 1 — 1

^3,1 (-2)

1 о о

1

о

1

о

Таким образом,

Для экономии

1 О О

II О о 1 1 —1 о 1 —1 о 1 о

О 1 О

0 I F

0 I

1 I

1

2 — 1 — 1

О

1

— 1

О

1

—1 о

1

—1 о

1 о 1/2

О ■ -1/2

1/2 О

-1/2 1/2 1/2

|о 1/2 1/2

однотипных преобразований.

Пример

Имеем:

1—1

1

1О2

1

2

1

— 1

О

—1

О 1 о

1 О О

О

1

о 1 о

1 о —2

1О

—2

О О 1

1 о —2

1О

—2

В 1

— 1

О

—2

0 I

о I F2(!/2>

1 I *"

Fl,2<-0

0 I

о I F3, 2 (О

1 I

о В

° |2^2

1 I *"

о

О 1 О

о о 1

о1/21/2

—1 о

-2

1 о

1

1 I

0 Г

1 1

места целесообразно

выполнять сразу серию

2. Пусть

— 1

1

1

1

1

—1 1 1

1

1

—1

1

1

1

1

—1

1

— 1

1

1

1 1

—1 1

2

1 1

1

2

— 1

1

1

1

1

. 1

. —1

2

1

—1

1

1 О О . о

2 1

1 — 1

о 1 о о

1 о о о

о о 1 о

1 1 о о

О 1'1, 4 (D

0 I *1, 2 (О

1 1 О 1 О

1 I

О 1^1 (1/2)

01 *

1 1

1 1

1 1

1

1 1 1

I 0 —2 °0

1 00

1 0

■* 0 0

1111/2 1/2 1/2 1/2^4. !(-')

— 1110100F3,1 < — 1)

1—110010f2.i (_[)

11—1 0001

111/21/21/21/2F4(_V2)

00—1/21/2—1/2—1/2Г, (-1/2)

—20—1/2—1/21/2—1/2F2(-i/2)*

0—2—1/2—1/2—1/21/2

1111/21/21/21/2Fi.4(-1)

10 01/4—1/41/41/4FI.3(-n

0 101/41/4—1/41/4f, 2(_,*

0 0 11/41/41/4 —1/4’

10 00—1/41/41/41/4

01001/4—1/41/41/4

^00101/41/4 —1/41/4 .

00 011/41/41/4—1/4

Таким образом, А 1 = -^ А.

Впрочем, в данном случае вычислений можно было избежать. Замечая, что произведение вырожденной матрицы и произвольной матрицы всегда вырожденно (теорема 3), в то время как

Аг =Аг =4 О О О4 О О ОО 4 О ОО 4 О ОО О 4 ОО О 4 ОО О О 4О О О 4= 4£,= 4£,

Аг =

Аг =

4 О О О

4 О О О

О 4 О О

О 4 О О

О О 4 О

О О 4 О

О О О 4

О О О 4

= 4£,

= 4£,

мы делаем заключение о невырожденности А и,~ следовательно, о существовании Л-1. Но коль скоро это так, то

Д= Л2Л~1=4Е-Л_1=4Л~,=^ А-1 = 1-А.

4

Замечание. При выполнении серии преобразований над строками следует избегать типичной ошибки — прибавлять в неизменном виде строку, изменившуюся в ходе предыдущих преобразований. Например, предписание

^2.1(0,

двусмысленно: в каком порядке действовать — сначала F(.2(l), потом F2,i(1); сначала F2,i(1), потом F*,2(l) или одновременно? Каждый раз будут получаться различные выражения для строк Л(!>, ^(2)- В примере 2 мы объединяли лишь однотипные преобразования, а если ставить своей целью программирование вычисления на ЭВМ. по указанному методу, то естественно всю последовательность элементарных преобразований линейно упорядочить.

Рассмотренный нами метод вычисления ранга, а также обратной матрицы называется иногда Р-при- ведением или, более общо, (Р, Q) -приведением, матриц к нормальному виду (17).

Пространство решений. Из вводных замечаний в начале § 2, 3 следует, что система линейных уравнений с матрицей А размера тХл и столбцом свободных членов В г R”1 может быть записана коротко в виде

АХ = В(20)

(X = [хь .... Хя]— столбец высоты л). Представив на минуту, что m = п и квадратная матрица А невы- рожденна (см. п. 5), мы получим, и притом единственное, решение системы (20), умножая обе части матричного соотношения слева на А-1: X = ЕХ = = (А~*А) X = А~' (АХ) = А-*В. Эта удобная символическая запись решений определенной системы не избавляет нас от вычислений, поскольку матрица А-1 заранее не дана. Но не откажем себе в удовольствии заметить, что матричный аппарат доставляет по меньшей мере эстетическое наслаждение. Воспользуемся им теперь для обозрения всех решений линейной однородной системы (ЛОС):

А¥ = 0.(21)

По существу мы уже знаем, что если АХ1*, ХЮ— решения нашей ЛОС, то и любая их линейная комбинация тоже будет решением:

A(atX^ + «цХ®) = щАХЮ + ^АХ^ = о.

Поэтому можно говорить о пространстве решений ЛОС —линейной оболочке

УА = (х е R" | АХ = 0) с= R".

Пусть s = dim Уд, г — rank А. По определению, s^n, г ^min(m, п). Какая связь существует между s и г?

Теорема 7. Имеет место равенство г -\- s = п.

Доказательство. Выберем базис Х(1), ...

..., ХЮ линейной оболочки УА и дополним его до базиса Х^1), ..., ХЮэ Xts+O, ,.., xw всего пространства R". Это всегда можно сделать, как показывает доказательство теоремы 2 § 1 (и упражнение 6 § 1).

8 А. И. Костршош

п

Для любого вектора Х=^ aiX^ е R" имеем: i-i

AX='£alAXW = as+vAX^^+ •- - + а„АХ^, i-1

так что в соответствии с § 2 линейная оболочка

Vв (4) = <4<d, ..., 4W) = <ххА^ + - - - + хпА^ \xt е R>= = <4X|Jf g R") с Rm, называемая пространством столбцов матрицы 4, совпадает с линейной оболочкой <А.Х^$+1\ ..., AXW>.

В частности, г = dim Ve (4) ^.п — s. Но векторы AX(s+1), .... AXW линейно независимы, поскольку из 0= Z PkAXW=A( £ Р*Х*А

*>s+l\*>s + lУ

следует, что 2 ^tXw gVa, а это в силу выбора *>s+l

X<s+D, . . . , XW ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО при Ps+I = ... = Рл= = 0. Значит, г = п — s. ■

Замечание. Если использовать язык линейных отображений (см. п. 1 § 3), то, очевидно,

VA = Ker фл, ¥в (Л) — Im фл

— ядро и образ-отображения фл: R"** R”, отвечающего А. Для нас, однако, этот подход служит Лишь' мотивировкой для введения матричных понятий.

Чтобы найти базис пространства VA, выберем в А г базисных столбцов одним из способов — приведением 4 к ступенчатому виду или так, как это указано в следующей главе. Перестановкой столбцов или, что равносильно, перенумерацией неизвестных можно добиться, чтобы базисными были г первых столбцов 4(1>, ..., 4(г). При этом в новой системе неизвестных х{, х', ..., х' главными неизвестными станут Хр, х’г. Любая система из г+1 столбцов 4(1>, ..., 4<г>, 4(г+*), к > 0, будет линейно зависимой, и на основании теоремы 1 (v) § 1 можно выписать систему соотношений

х<*>4«> + XW4<2> + ... + xWA^ + 4<r+*> = 0,

k — 1, 2, ..., п — г.

Векторы-столбцы ^0=^(1),Х^...,xv\1, 0,0],

^-И”» х®,...,х<Д О, 1,0], (22)

^(я-г) = ^я-r), j^-r^ ХЬ-П, 0, 0, . . 1]

в количестве п— г штук, очевидно, линейно независимы (из-за специального вида своих последних п— г компонент) и, будучи решениями ЛОС (21), составляют по теореме 7 базис пространства УА всех ее решений. Понятно, что решение ХЮ получается, если новым (штрихованным) свободным неизвестным придать значения х'+1=0, ..., x'+ft=l, ..., х'=0.

Любой базис пространства решений однородной системы АХ = 0 ранга г называется фундаментальной системой решений. Систему (22) называют еще нормальной фундаментальной системой. Согласно следствию теоремы 1 § 2 ее ранг s = dim Уд = п — г равен числу свободных неизвестных линейной системы.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Даиы отображения:

a) [хь х2, . - -, х„) •—* [хп, ..., х2, Xi];

б> for^ - • • х«] •“* [ХР 4.---. xnY

в) [хь Х2, . . ., Хп] I—* [X,, х( + Х2, . . ., х( + Х2 + .-. .' + Х„].

Какие из них являются линейными? 2. Доказать, чтоКакие из них являются линейными? 2. Доказать, чтоа 1 Оа 1 Ота1 0та1 0т (т — 1) 2 mb 1т (т — 1) 2 mb 1ab + тсab + тс

Какие из них являются линейными? 2. Доказать, что

Какие из них являются линейными? 2. Доказать, что

а 1 О

а 1 О

та

1 0

та

1 0

т (т — 1) 2 mb 1

т (т — 1) 2 mb 1

ab + тс

ab + тс

I

I а с |

0 1 6 Я обратную матрицу.

о о 1 |

Проверить, что

В приложениях большую роль играют марковские (или стохастические') матрицы:

Р^(М’ Ри>°- 1.РИ”Х-

8е

Линейные отображения фр, ассоциированные с марковскими матрицами, обычно применяют к специальным так называемым вероятностным векторам-столбцам

X^V-хД, ^>0,f>,-L

Z-1

Согласованность этих определений, диктуемых естественнонаучными задачами, видна из следующих утверждений, которые нужно доказать хотя бы при я = 2.

Матрица PeM„(R) является марковской в точности тогда, когда вместе с любым вероятностным вектором X вектор РХ также является вероятностным (здесь РХ = фР(Х)).

Если Р — положительная марковская матрица (у i, / рц > 0), то любому вероятностному вектору X отвечает положительный вероятностный вектор РХ (все компоненты строго больше нуля).

Если Р н Q — марковские матрицы, то марковской будет также матрица PQ. Это означает, в частности, что любая степень Р* марковской матрицы является марковской.

Найти ‘Н-Н, если

Н =Н =11111111111

Н =

Н =

1

1

1

1

1

1

1

1

—11—1

1 —1 —1

— 1 —11

Ассоциировав с циклом длины п в Sn (см. § 8 гл. 1) матрицу перестановки (строк единичной матрицы £„)

<

00...О1

1о...оо

. 01...оо

о о ... о о0 0 ... 1 о

проверить, что Р” = Е.

Показать, что

rank (Л + В)< rank Л + rank В

для любых двух m X я-мартиц Л и В.

Показать, что для любой m X s-матрицы Л и любой s X «-матрицы В имеет место неравенство

rank Л + rank В — s ^ rank АВ.

Показать, что если ЛВС = 0 для квадратных матриц А, В, С порядка я, то

rank А + rank В + rank С < 2я.

ГО. Найти ранг матрицы

А =А =Х\У\ ХгУа x2yi х2у2Х\У\ ХгУа x2yi х2у2Х\Уп х2у пХ\Уп х2у п

А =

А =

Х\У\ ХгУа x2yi х2у2

Х\У\ ХгУа x2yi х2у2

Х\Уп х2у п

Х\Уп х2у п

хпУ\ хпу2 . .. хпу№

(Указание. Показать, что А = [х*, ..., х„] (yt, .... у„).)

Показать, что если А = (ау)—невырожденная снимет рическая матрица (ау = ау), то и А-1—симметрическая.

Найти Д~* и если

1 54321486423696324684123451 54321486423696324684123451 2321П3642|48632.43211 2321П3642|48632.4321

1 54321

48642

36963

24684

12345

1 54321

48642

36963

24684

12345

1 2321П

3642|

4863

2.4321

1 2321П

3642|

4863

2.4321

Проверить, что

А = | В, ad — be 0 =*■ А * Нс аА = | В, ad — be 0 =*■ А * Нс а11d — bd — bad — bead — be— с— с

А = | В, ad — be 0 =*■ А * Нс а

А = | В, ad — be 0 =*■ А * Нс а

1

1

d — b

d — b

ad — be

ad — be

— с

— с

В частности, ad — be = 1 =*■ А *—|сли А-1 при ad — be = О?14. Доказать, что для любой матрицыВ частности, ad — be = 1 =*■ А *—|сли А-1 при ad — be = О?14. Доказать, что для любой матрицы^ |. Существует^ |. Существует

В частности, ad — be = 1 =*■ А *—|с

ли А-1 при ad — be = О?

14. Доказать, что для любой матрицы

В частности, ad — be = 1 =*■ А *—|с

ли А-1 при ad — be = О?

14. Доказать, что для любой матрицы

^ |. Существует

^ |. Существует

выполнено соотношение

А2 = (а + d) А — (ad — 6с) Е

(другими словами, А является «корнем» квадратного уравнения х2 — (а + d)x 4- (ad — 6с) = 0).

При ad — бс^О использовать соотношение упражнения 3 для нахождения обратной матрицы Л-*.

Доказать, что

Обосновать следующее рассуждение. Пусть tn X s-матрица X разбита горизонтальными и вертикальными прямыми иа блоки (или клетки), так что

^21^21^12^22^12^22^1»^1»2»2»

^21

^21

^12

^22

^12

^22

^1»

^1»

2»

2»

Хц хп...хи

где Хи,, Х»,— матрицы с одинаковым числом т, строк(mt ++т< = т),' а Х^, ..., Хц — матрицы с одинаковым

числом S/ столбцов (Si 4- - - - + s» = s)- Если теперь

— s X «-матрица с блоками Уу размеров s< X «/ («t + - -. + п,= = л), то имеет смысл говорить о произведении Z = XY, причем матрицу Z = (zy) тоже можно считать блочной с блоками Zu, вычисляемыми формально по правилу (7):

^/ = Wi/ +V2/ + + хиумг

По условию, размеры матриц Xt^, Y^j таковы, что произведение XisY^i имеет смысл. Прием разбиения матриц на блоки удобен даже в таком простейшем случае, как

И ЛВВ л 0 -I 0 ЛВВ

go е||-Е В| И-Е В И’

где А, В, Е, 0 s Af^R) (Е — единичная, а 0 — нулевая матрица).

Показать, что умножение матрицы X = (ху) s Af„(R) на Т = (#у) eAf„(R) слева равносильно линейному комбинированию строк ^f(i), .... Xw, а справа—линейному комбинированию столбцов .¥<‘>,, XW. в частности, обратить внимание на то, что если

I

I Лг /ц • • • tin I О 1#23 . . . #2Я I

00011

— верхняя унитреугольная матрица,, то _

I

^CD + ^Л) + - - - + tXnXw I Х<& + • - - + ^^я)

XW

— матрица, полученная нз X посредством цепочки элементарных преобразований типа (II) над строками.

Г л а в a 3

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Формулы (3) и (9) из § 4 гл. 1 для решений квадратных линейных систем порядков п = 2, 3 наводят на мысль о существовании подобных формул при любом п.

В конечном счете речь идет о правильной интерпретации в каждой из упомянутых формул числителя и знаменателя. Мы будем смотреть на них как на значения некоторой «универсальной» функции det: Af„(R)—>• R из множества квадратных матриц по- рядк п в R. Эффективное построение функции det (определителя) даст ответ также на многие другие вопросы о матрицах, поднятые в гл. 2. На самом деле роль теории определителей в математике гораздо шире затронутой нами темы, и каждое из применений этой теории подсказывает собственный путь ее построения. Один из наиболее естественных подходов— геометрический, основанный на аналогии «определители матриц — объемы многомерных фигур» и на внешних n-формах. Так как для этого нужно чуточку больше техники, то мы остановимся на «аналитическом» пути, апеллируя к геометрической интуиции лишь в самом начале.

§ 1. Определители: построение и основные свойства

Геометрическая мотивировка. Ничто сейчас не мешает ввести общее понятие определителя, но попытаемся на время забыть о нашей задаче, обратившись к вычислению объемов простейших геометрических фигур — параллелепипедов. Квадратной матрице А = (ау) порядка п поставим в соответствие параллелепипед

П(Д) = П(Дп), А№, ...» А№\

ребра которого задаются столбцами матрицы Д(1), А^, ...» Aw, т. е. векторами (или точками) А^ =

= [at;, а2ь а^еР". Под П(Л) нужно понимать подмножество в R", состоящее из всех точек вида

xtД(1) + .. . + xnAw, О < xt < 1

(мы незаметно перешли к отождествлению векторов- столбцов с их «концевыми точками» в пространстве с прямоугольной системой координат). При л — 1 параллелепипед называется отрезком, а при л — 2 —

параллелограммом.

Объем о(П(Л)) л-мерного параллелепипеда определяется по индукции как произведение объема v(n(A<4 ..., Д<”—Ч)) (л—1)-мерного основания в R”-1 и длины h перпендикуляра AWP, опущенного на гиперплоскость этого основания из точки А^. Под объемом отрезка (л=1) понимается, конечно, его длина, а под объемом параллелограмма (л = 2) — его площадь. В общую теорию измерений объемов мы сейчас не входим.

с точностьюс точностью«12022«12«13022«23«32«33«12022«12«13022«23«32«33(1)(1)Прямые вычисления показывают, что до знака

с точностью

с точностью

«12

022

«12«13

022«23

«32«33

«12

022

«12«13

022«23

«32«33

(1)

(1)

«и «21 «si«и «21 «siл = 2:о(п(ЛП), Л(2))) = |“2

«и «21 «si

«и «21 «si

л = 3: ц(п(Л0), Л(2), Л(3))) =

(определители матрицпорядков 2 м 3 вводятся. соответственно формулами (2) и (8) из § 4 гл. 1). Соблазнительно было бы сохранить формулы типа (1) без оговорок, т. е. при любом расположении точек А^, А^, ..., но это возможно только в том случае, если пользоваться понятием ориентированного объема параллелепипеда с допустимыми отрицательными значениями. В частности, для отрезка

аО

ориентированной длиной будет а < О. Площадь параллелограмма ЩЛ^), Л(2)) берется со знаком «плюс», если упорядоченная пара векторов (Л <*>, А^) задает ту же ориентацию плоскости R2, что и базисная пара векторов (вх, е2); в противном случае — со знаком «минус». При таком понимании естественно обратить формулу (1) и считать при любом п определителем

det Л матрицы Л ориентированный объем параллелепипеда, обозначаемый тем же символом:

det Л = о (П (Л)).

Базисный вектор в/ отвечает стандартному столбцу £</) = [0, ..., 1, ..., 0], так что

Л^ = Фл (Е^

— образ единичного вектора при линейном отображении <рл: Xi—*АХ (см. § 3 гл. 2). Образом единичного куба П(£) при отображении фл будет как раз параллелепипед П(Л), а поскольку и (П (£))=!, определитель detфд = detЛ равен коэффициенту изменения ориентированного объема. На самом деле при применении фЛ ориентированный объем любой фигуры, а не только единичного куба, меняется в det Л раз (см. ВА 2).

Обратим внимание на легко проверяемые свойства ориентированной площади параллелограмма:

^ПСЛ*”, Л(2,)) = -»(П(Л(2), Л(1)));

ц(п(л(1)+ал(2), Л(2))) = v (П (л(1), л<2’));

у (П (£))=!.

О свойствах 1) и 3) говорилось выше, а свой- ■ - с-тво-2)- проиллюстрировано (при п = 2) рисунком ШО свойствах 1) и 3) говорилось выше, а свой- ■ - с-тво-2)- проиллюстрировано (при п = 2) рисунком Ши основано на идее равносоставленности. При л>3 свойства 1)—3) объемов параллелепипедов уже менее наглядны, но совершенно очевидно, что при любом подходе к теории определителей отмеченные три свойства должны выполняться. Кроме того, должны быть получены и другие чтобы вычисление det А квадратной матрицы А,и основано на идее равносоставленности. При л>3 свойства 1)—3) объемов параллелепипедов уже менее наглядны, но совершенно очевидно, что при любом подходе к теории определителей отмеченные три свойства должны выполняться. Кроме того, должны быть получены и другие чтобы вычисление det А квадратной матрицы А,свойства определителей так, для любой фиксированной а следовательно и вычислесвойства определителей так, для любой фиксированной а следовательно и вычисление объема и(П(Л)), было алгоритмически реализуение объема и(П(Л)), было алгоритмически реализуемым и легко осуществимым актом.мым и легко осуществимым актом.

О свойствах 1) и 3) говорилось выше, а свой- ■ - с-тво-2)- проиллюстрировано (при п = 2) рисунком Ш

О свойствах 1) и 3) говорилось выше, а свой- ■ - с-тво-2)- проиллюстрировано (при п = 2) рисунком Ш

и основано на идее равносоставленности. При л>3 свойства 1)—3) объемов параллелепипедов уже менее наглядны, но совершенно очевидно, что при любом подходе к теории определителей отмеченные три свойства должны выполняться. Кроме того, должны быть получены и другие чтобы вычисление det А квадратной матрицы А,

и основано на идее равносоставленности. При л>3 свойства 1)—3) объемов параллелепипедов уже менее наглядны, но совершенно очевидно, что при любом подходе к теории определителей отмеченные три свойства должны выполняться. Кроме того, должны быть получены и другие чтобы вычисление det А квадратной матрицы А,

свойства определителей так, для любой фиксированной а следовательно и вычисле

свойства определителей так, для любой фиксированной а следовательно и вычисле

ние объема и(П(Л)), было алгоритмически реализуе

ние объема и(П(Л)), было алгоритмически реализуе

мым и легко осуществимым актом.

мым и легко осуществимым актом.

<*12 • - - Я1я<*22 • •• а2П<*12 • - - Я1я<*22 • •• а2ПОп» • • • СппОп» • • • Сппdet А =det А =Комбинаторно-аналитический подход к определителям. Близкие по начертанию символы

<*12 • - - Я1я

<*22 • •• а2П

<*12 • - - Я1я

<*22 • •• а2П

Оп» • • • Спп

Оп» • • • Спп

det А =

det А =

<*11<*12 • • • <*1Я

(2)(2)<*21<*22 • • - <*2Я

(2)

(2)

<*П1<*П2 • • • <*ПП

которые для нас не новы и которыми мы будем постоянно пользоваться в дальнейшем, существенно различны. Если А — квадратная таблица, заполненная своими коэффициентами (обычно числами), то определитель порядка п как та же таблица, но ограниченная вертикальными черточками, — это число (или выражение), приписываемое матрице А и определенное «формулой полного развертывания»-.

det А = £ e^ а1а2, а2 ... аП10№. (3)

Другими словами, определителем det Л матрицы А = — (ац) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов ац, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца. В каждом произведении сомножители записываются в порядке следования строк, а номера столбцов определяются образами al, a2, ..., on номеров строк при перестановке o^Sn. Всего под знаком суммы в (3) стоит л! слагаемых; -слагаемые, отвечающие-четным перестановкам, входят со знаком «плюс», а отвечающие нечетным перестановкам, — со знаком «минус». Тех и других, согласно соотношению (11) из § 8 гл. 1, — одинаковое число «1/2.

Как показывает несложная проверка, формула (3) при п = 2 и 3 приводит к известным нам выражениям. Пусть п = 4, и пусть a = (12) (34). Тогда еа = 1, а ct\, а\а2, a^cia, о^а^ а* = ах^а^азда^а- Это значит, что в определитель 4-го порядка слагаемое ai2a2i «34043 входит со знаком «плюс». В качестве полезного упражнения, рассчитанного на прочное владение материалом §8 гл. 1, стоит выписать все 24 члена этого определителя и .внимательно проследить за расстановкой знаков. Кстати, уже при п = 5 подобное задание с выписыванием 120 членов выглядело бы бессмысленным. Между тем, следуя наводящим соображениям из п. 1, мы хотели бы извлечь

из исходной формулы (3) все нужные нам свойства определителей любого порядка.

Основные свойства определителей. Этих свойств немного, но для формулировки и, главное, для их понимания нужно условиться о терминологии и обозначениях.

В дальнейшем, как и в гл. 2, символами

Ал = ("л, 0/2, - - -, "/«),1=1, 2п,

^ = \<Чь ^1“пД./= L 2",

будут обозначаться соответственно i-я строка и /-й столбец матрицы Л=(а,/). Сама матрица А представляется либо как объединение своих строк:

^ = [А1), Аг)А»)]

(столбец строк), либо как объединение своих столбцов:

A = (AW, Л(2)Aw)

(строка столбцов). Условимся впредь строки и столбцы п X «-матрицы А называть также строками и столбцами определителя | а,; | порядка п.

Согласно определению, | | = det (от англ, determinant)— функция, сопоставляющая квадратной матрице А некоторое число |Л|=detЛ. Наша задача — изучить поведение этой функции при изменении строк или столбцов матрицы А, рассматриваемых как элементы (векторы) линейного пространства R®. Если угодно, для нас det Л—сокращенное обозначение (в духе п. 2 § 5 гл. 1) функции

det [AnАп)] или det (л(|)Aw>)

п переменных, коими являются векторы из R".

Произвольную функцию 3): [AdАп)] *—* I—*S>(4(dАп)) мы будем называть полилиней

ной, если она. линейна по каждому аргументу Л(1), т. е.

^(Аоa^(i> + РА(<)Ап)) =

= а^>(Л(1)Л^Л(№)) +

+ Р^(Л{1)А"цЛ(п))

(ср. с. п. 1 § 3 гл. 2). Та же функция 35 называется кососимметрической (см. п. 4 § 8 гл. 1), если

^(АлАл» Алнь • • ■» А«)) =

=—3)(А(о, —, Л^+о» До, —, А^й,

I ^ i ^ п — 1.(4)

Замечание 1. Из определения линейных функций (см. (4) § 3 гл. 2) можно заключить, что функция S3 полилинейна ровно тогда, когда при фиксированных AwЛ(,-_1), Л(И-1), ..., Aw и при Л(.) = = X = (хь ..., хп) мы имеем

95 (Д1), - - - , Дга>) = «1^1 + ОгХ2 + • - • + О»*»»

где «ь ..., ап — скаляры, не зависящие от хь .... хп.

Замечание 2. Кососимметричность полилинейной функции 35 эквивалентна выполнению соотношений

S>(Ad, • ••»A*-d» X, X, Л(*+2>Дп)) = О,

l<i<n—1. (4')

В самом деле, положив Л(*> = Л(,+1) = X в (4), мы придем к (4'). Обратно, при X = Л(<) + Л(г+!) из (4') вытекает в силу полилинейности 35 соотношение 3)(. . A(i), Ац), ...) + 95 (. -., Дг+в, Л(; н), ...) + + 3)(..., A(t), Лц+i), —) + 35^..., Л^+ц, Ащ, . ..) =

= S5(- - -, Дл + А/*» Ал + A<+d» -••) = 0.

Первые два члена равны нулю (положить в (4') соответственно Х = Ат и Х = Л(1+1)), поэтому равна нулю сумма двух последних членов, что является лишь иной записью соотношения (4).

Те же определения и замечания относятся к функции ^(Л1*)Л<*>) векторов-столбцов. Более того,

условие (2) кососимметричности применимо к любой функции 35*. Мп—>R, где Мп— декартова степень некоторого множества М. Напомним еще, что согласно лемме 2 гл. 1 при перестановке местами любых двух аргументов кососимметрическая функция меняет знак на противоположный.

Обратим внимание на то обстоятельство, что в формулу (3) строки и столбцы матрицы А входят,

на первый взгляд, неравноправным образом. Но если в А поменять местами строки и столбцы, то получится транспонированная матрица ‘А (см. п. 3 § 3 гл. 2). Стало быть, речь идет о сравнении двух величин: det Л и det М. Ответ дает

Теорема 1. Определители любой квадратной матрицы А и транспонированной с ней матрицы *А совпадают:

■det# Л = det А.

Доказательство. Положив Л = (а//), *А = = (а'{1у где а'ц = а1Р и заметив, что & = л(л~*&) для любой перестановки ле5п и для любого номера k^ (I, 2, .... п}, мы видим, что упорядочение множителей произведения а' я1 •••«„, я» в соответствии с перестановкой л-1 дает

а ... а —— а, ,,.... а'.. । . —

1,л1га, яга я 1,я1я Uл га, я(л га)

= а' .... а'_.= а _. ... а _.

я 1. 1л га, га 1, я Iга. л га.

Если учесть еще, что ея = ея-1 (еяея-1 =еяя-1 = ев = = 1), а {л-11 л <= S„} = {л | л ^ S„} = S„ (поскольку ян-*-л~*— биективное отображение из S„ в S„), то по формуле (3) имеем:

det ^Л = X га' ... а' = л 1,л1га, лга

2j 8л“,а1,л- *1ап. л~ *га

ле5„

®О^1 а! • • • ^га, ага det А. 1 aes„

Замечание 3. Утверждение теоремы 1 интерпретируется так: если для определителей выполнено какое-то свойство относительно строк (столбцов'), то оно имеет место и относительно столбцов (строк).

Теорема 2. Функция det: А н—>det А на множестве Afn(R) обладает следующими свойствами:

DI. det Л—кососимметрическая функция строк матрицы А (другими словами, при перестановке местами любых двух строк определитель меняет знак на противоположный).

D2. det Л — полилинейная функция строк матрицы Л, т. е. определитель матрицы А является линейной функцией элементов любой ее строки Aw

D3. det£ = 1.

Доказательство. D1. Пусть А'— матрица, получающаяся из А перестановкой строк Л(5), Аур т. е. А^^Аур A^ = AW, А^=Ат при i^s, t. Тогда, записав любую перестановку л ^ S„ в виде л = стт с транспозицией т = (s, /) (см. в п. 3 § 8 гл. 1 выражение (10'), определяющее перестановку Rx), будем иметь:

detA'= У еХл1 - <яп =

_ 52 ®atai. ат! * • • as. ats ' * ' ^t. att * * • ^п. atn

52 ®aiai. al • * * ^C. at a@Sn52 ®aiai. al • * * ^C. at a@Sn.. cd. a' =t. asn, an.. cd. a' =t. asn, an

52 ®aiai. al • * * ^C. at a@Sn

52 ®aiai. al • * * ^C. at a@Sn

.. cd. a' =t. asn, an

.. cd. a' =t. asn, an

У ®ar^l, al • • • ^t, at • • * ^s, as • • • ^n, an oeS„

52 80^1,a\ - an,an= —det Д.

D2. Пусть A = (at}\ и пусть A(M) = k'A^ + X"A"kp где штрихи-указывают на вспомогательные матрицы

= [AdА»-о* ^W* A*+dАп)]«

^ = [А1)АгАп)]- По условию

a.. = К'а' + К”cd',j=l, 2п.

"1"I

Основываясь на замечании 1, свойство линейности det А относительно элементов Л-й строки Д(*> можно установить следующим образом. По определению.

det [Д(1)AwДп)] = det А =

jS ®a^l, al • • • ^*, а* • • • ^п. ап 2^ Рв®к, ак» аг8пa^sn

где р„, а е 8п, — коэффициенты, не зависящие от элементов строки Aw Собирая подобные члены, отвечающие тем сг8п, для которых ck — j, и полагая

О/ = У ра, ПОЛуЧИМ нужное СВОЙСТВО ЛИНеЙНОСТИ ak — j

det [..., Д*>, ..]=Ё«А,;

det [.... XM[„ + Х"А"ку .]-£<», (Х'^, + XX,) =

= V г =Х + Е Х"«х; - V det [..., Л',] +

+ X"det[...,x;].

Короче:

det Д = X' det А' 4- X" det А".

D3. Очевидно, detE= У, еаб, а1 ... 6п,оп = a@Sn

= ee6i, 1 .. - 6п, п = 1 • В

Из теоремы 2 вытекает несколько простых утверждений, которые мы сформулируем в виде свойств определителей, но доказывать их будем в более общей ситуации — для любой функции Ф: Afn(R)—>• -*-R, обладающей свойствами D1 — D2.

D4. Пусть XeAfn(R), XeR. Тогда det ХА = X" det А.

Действительно, в силу свойства D2, примененного последовательно к строкам с номерами 1, 2, ..., имеем

Ф (ХД) = Ф [ХЛ(1>, ХД(2>, . . - , ХД(„)] =

= ХФ[А(1), ХЛ(2>, . ..,ХЛ(П)] =

= 7?Ф [ Д(1), Д(2), • • • , АЛ(п)] = . . .

= Х"Ф[А(1), А(2), ...» А(П)] = Х№Ф(А). в

D5. Определитель с нулевой строкой равен нулю.

Пусть, например, Aw = (0, 0, .... 0). Тогда и 2Aw=(0, 0, .... 0). Следовательно, по D2:

Ф (Д) = Ф[Д(п, •. •, А^, ..., Д(п)] =

= Ф [Д(1>, ..., 2Д(*>, ..., Д(п>] =

= 2Ф [Д(1>, . - -, А(к), -. -, Д(п>] = 2^5 (Д)

откуда Ф(А) = 0. В

D6. Если в квадратной матрице А две строки совпадают, то ее определитель равен нулю.

Берем опять произвольную функцию Ф со свойствами D1—D2. Поменяв местами две совпадающие строки Л(з), Л(^) в А, мы получим ту же матрицу А. С другой стороны, согласно свойству D1 для Ф, Ф (А) примет противоположный знак. Таким образом, 35 (А) =—Ф(А), откуда 2Ф(А) = 0 и Ф(А) = О. ■

D7. Определитель не меняется, если над его строками совершать элементарные преобразования типа (II).

Достаточно рассмотреть случай применения одного элементарного преобразования. Пусть после прибавления к s-й строке матрицы А ее /-й строки, умноженной на X, получилась матрица А'. Тогда в соответствии со свойствами D1 и D6 для 35 имеем

35(А') = 35(^1^, ..., Дз) + ХА^До» —] =

= Ф(АщД5), - -., До, ...] +

. + 135 [ Дц, ..., А^Ащ, . .. ] =

= Ф[А(1)Дз)Д«)> - -.] = ^(Д). I

Замечание 4. Проведенные доказательства показывают, что любая функция 35*. Afn(R)—>-R со свойствами D1 — D2 обладает также свойствами D4 — D7 (заменить-символ det на Ф).

Предложение 1. Пусть

1

5ц 512 - • - 2щ Ц

О 5,2. б2„ В^

О 0 ... апп |

— верхняя треугольная матрица порядка п, Е — единичная матрица и Ф\ Af„(R) —>-R — любая функция, обладающая свойствами D1—D2. Тогда

Ф (А) = Ф (Е) Sj|S22 • • - ^пп-

Доказательство. Согласно замечанию 4, мы можем опираться на свойства D2, D7. На основании D2 вынесем апп за знак Ф-.

О(А) = аппФО(А) = аппФ5ц ... 5ц п_ 1 axn

О(А) = аппФ

О(А) = аппФ

О -.- <1п — 1, га— 1 5п_ц п

О ... О I

Применим теперь к А элементарное преобразование типа (II): вычтем из i-й строки стоящей под знаком 25 матрицы последнюю строку, умноженную предварительно иа а™- При этом элементы последнего столбца обратятся в нуль (кроме аяп=1), а все другие элементы матрицы останутся без изменения. Применим то же самое рассуждение к предпоследней строке вновь полученной матрицы и т. д. Каждый раз очередной элемент Иц выносится за знак 25 и рассуждение возобновляется. Проделав его п раз, мы убеждаемся в том, что

^>(Л) = а„„ ... аи -25l I В J,МО... 11/

а это и есть искомая формула. ■

Следствие. Если А— матрица вида (5), то

det А — ахуй^ ... апп.(6)

Доказательство непосредственно вытекает из предложения 1, если заметить, что det£ = 1 (свойство D3). I

Полезно привести еще один вывод формулы (6), опирающийся иа более общее утверждение, которым мы воспользуемся позднее. Предварительно дадим _ следующее

Определение. Определитель матрицы, получающейся из А = ^ai^ вычеркиванием i-й строки и s-ro столбца, обозначается символом Мц и называется минором матрицы А, соответствующим элементу а,,-. Величина Ац = (—ху-нМц называется алгебраическим дополнением элемента ац.

Предложение 2. Если

|

Сц 012Ощ I О 022 • • • О2п I

О О„2 • • • агап1 то

det А —— ац.Л4ц === ПцАц.

Доказательство. Так как det A — det *А (теорема 1) и так как ац—единственный отличный от

*9 А И. Кострикин

нуля элемент первого столбца Л<*\ то a„i, i = 0 при л! =# 1 и

det А — 52 ®л^я1,1^я2,2 • • • ^я«, п

— 52 enal,lan2, 2 - • • алга, ле5„

Л1-1

Совокупность всех перестановок я е 5Я, оставляющих на месте символ 1, отождествляется с множеством Sn-i перестановок, действующих на множестве {2, 3, .... п}. Таким образом.

det А = апdet А = ап®а^О2,®а^О2,2 . . • Оуп, га2 . . • Оуп, гааза .. - Canаза .. - Can— su— suСп2 • • - СппСп2 • • - Спп—аиЛ4п. |—аиЛ4п. |

det А = ап

det А = ап

®а^О2,

®а^О2,

2 . . • Оуп, га

2 . . • Оуп, га

аза .. - Can

аза .. - Can

— su

— su

Сп2 • • - Спп

Сп2 • • - Спп

—аиЛ4п. |

—аиЛ4п. |

В применении к верхней треугольной матрице А предложение 2 дает равенство det Л = ацА1п. где

622622ММ

622

622

М

М

ОО

О

О

Спп

— определитель того Же вида, но на единицу меньшего порядка. Очевидное рассуждение по индукции приводит к формуле (6).

Доказанные свойства дают возможность сравнительно просто вычислить определитель порядка п. Один из методов заключается в следующем. Матрицу А = (а,-;) следует привести элементарными преобразованиями к треугольному виду (см. § 3 гл. 1). Пусть мы получим матрицу А вида (5). Предположим, что в процессе приведения было совершено q элементарных преобразований типа (I) и какое-то количество преобразований типа (II). Так как последние не меняют определителя (свойство D7), а каждое преобразование типа (I) умножает его на —1, то det Л = (—1)^е1Л. По формуле (6) мы имеем

det А — 5^022 - • • ®пп-

В таком случае

detA = (-lfaua22 ... апп.(7)

Это и есть одна из формул для вычисления det А.

Теперь, опираясь на формулу (7), мы установим важный факт, касающийся роли свойств D1—D3 определителя. Именно, имеет место

Теорема 3. Пусть 25: Mn(R)^- R — функция, обладающая следующими свойствами-.

) При перестановке местами любых двух соседних строк матрицы AeM„(R) значение 25(A) меняет знак на противоположный;

) 2) (А) является линейной функцией элементов каждой строки матрицы А (другими словами, 25(A)— кососимметрическая полилинейная функция строк матрицы).

Тогда

2>(А) = 25(E)- det А.

Доказательство. Как мы знаем, свойство (i) эквивалентно тому, что 25(A) меняет знак на противоположный при перестановке любых двух строк, т. е. при любом элементарном преобразовании типа (I). Далее, согласно замечанию 4, 25(A) обладает также свойствами D4 — D7. В частности, 25(A) не меняется, если строки матрицы А подвергнуть эле. ментарлому преобразованию типа (II).

Приведем матрицу А при помощи элементарных преобразований к треугольному виду (5), где, конечно, некоторые из а» могут равняться нулю. С учетом вышесказанного мы имеем две формулы

detA = (— if det А = (—if ахха^ ... апп (см. (7)), 2(А) = (— if 25(A), где q — число элементарных преобразований типа (I), совершенных при переходе от А кА. Нужное нам соотношение 25(A) = 25(E) -det А вытекает теперь непосредственно из предложения 1. I

Итак, свойствами D1—D3 функция det характеризуется однозначно. По этой причине мы отнесли их к основным свойствам определителей. Можно было с самого начала назвать определителем функцию 25, обладающую свойствами D1 — D3, но в таком случае

нужно установить ее существование. У нас существование обеспечивается самой конструкцией функции det — формулой (3).

Имея в виду дальнейшие применения теоремы 3, мы не включили в ее формулировку нормировочное условие ^(£") = 1.

УПРАЖНЕНИЯ

Кососимметрическую функцию A: R3-*R трех переменных

А (х, у, z) = (y — х) (z — х) (z — у) записать в виде определителя третьего порядка.

Пусть A = (ai}y А' — ^а'^}— две л X «-матрицы, А, А* — их определители. Сравнить А и Az в случаях:

а^/ = 2,-/а,/;

aij = °n-t-l-C. р

■) aii = a№+x-i.n.+ X-p

Показать, что

111 ... 11

121 ... 11

113...11

1 1 1 ... л 1 1 1 1 ... 1 л-Н

Дальнейшие свойства определителей

Разложение определителя по элементам столбца или строки. Существует регулярный способ вычисления определителей, основанный на редукции к определителям меньшего порядка. При этом используются понятия минора Мц и алгебраического дополнения Ац (см. определение в § 1).

Теорема 1. Пусть А = (ац)^ Mn(R). Справедливы. следующие формулы*.

det А — Д (-1/+/ амМИ = Д амАИ(1)

(разложение определителя по элементам j-го столбца)’,

det А = Е (.-Х^ацМц = Е амАц(2)

/-1/-1

(разложение определителя по элементам i-й строки').

Словами: определитель матрицы Л равен сумме произведений всех элементов некоторого столбца (некоторой строки') на их алгебраические дополнения.

Доказательство. 1) Опираясь на основные свойства D1 и D2 определителей (сначала относительно столбцов, а затем относительно строк), выпишем цепочку равенств:

det Л =det Л =а„ ... ау ... аХп °21 - -" °2/ - ' ' а2п

det Л =

det Л =

а ,а .... а »1П/Iа ,а .... а »1П/I

а ,а .... а »1П/I

а ,а .... а »1П/I

а , ...а ,... а»1 п/ пп

аП---а1,/-10°1./ + 1- -°1п

0 а11••• "1, /-1а1, /+1 ••°lnaij ai\•"ata-x°<а+х ■*•°in=0 °nl• • • °n, 7-1ап, /+1 • •- °nnaH ал*"°ia-xа/,/+1--•°in0 °11•••°ха-ха1,/+10 e7-l,l---°i-\a-x°i-ia+x...at— 1, n0 а/ + 1,1•••°i+ia-xai+ia+x•••°i + l,n0 а11••• "1, /-1а1, /+1 ••°lnaij ai\•"ata-x°<а+х ■*•°in=0 °nl• • • °n, 7-1ап, /+1 • •- °nnaH ал*"°ia-xа/,/+1--•°in0 °11•••°ха-ха1,/+10 e7-l,l---°i-\a-x°i-ia+x...at— 1, n0 а/ + 1,1•••°i+ia-xai+ia+x•••°i + l,n= 2 “п ®<а-Х aH °ia+X - °in °nl * " " ап, /—1®°п, 7+1 * ‘ ' ®пп= 2 “п ®<а-Х aH °ia+X - °in °nl * " " ап, /—1®°п, 7+1 * ‘ ' ®пп0 а«1 "-апа-х °™а+\ •••°.0 а«1 "-апа-х °™а+\ •••°.

0 а11

••• "1, /-1

а1, /+1 ••

°ln

aij ai\

•"ata-x

°<а+х ■*

•°in

=

0 °nl

• • • °n, 7-1

ап, /+1 • •

- °nn

aH ал

*"°ia-x

а/,/+1

--•°in

0 °11

•••°ха-х

а1,/+1

0 e7-l,l

---°i-\a-x

°i-ia+x

...at

— 1, n

0 а/ + 1,1

•••°i+ia-x

ai+ia+x

•••°i + l,n

0 а11

••• "1, /-1

а1, /+1 ••

°ln

aij ai\

•"ata-x

°<а+х ■*

•°in

=

0 °nl

• • • °n, 7-1

ап, /+1 • •

- °nn

aH ал

*"°ia-x

а/,/+1

--•°in

0 °11

•••°ха-х

а1,/+1

0 e7-l,l

---°i-\a-x

°i-ia+x

...at

— 1, n

0 а/ + 1,1

•••°i+ia-x

ai+ia+x

•••°i + l,n

= 2 “п ®<а-Х aH °ia+X - °in °nl * " " ап, /—1®°п, 7+1 * ‘ ' ®пп

= 2 “п ®<а-Х aH °ia+X - °in °nl * " " ап, /—1®°п, 7+1 * ‘ ' ®пп

0 а«1 "-апа-х °™а+\ •••°.

0 а«1 "-апа-х °™а+\ •••°.

= £(-1)‘+,а,,М„.

i —1

Последнее равенство основано на предложении 2 § 1, примененном к матрице

1

°п а12 - - - а1п О а22 — а2п

О а'2 ... а'„

с a'u=aip <2 = аи, - .-.<„ = «,„. М'и=М1г Остается вспомнить, что по определению Д,;=(—Ip+Ml,/. Формула (1) доказана.

Положим tA = ^</(iy а'р=а1р Заметим еще, что минором, соответствующим элементу а'р в det tA1 будет M'.l = Mip Как было показано в 1), detД = = det^=E(-l)/+i a^.-EC-l)'^atjMlv т. е. мы пришли к формуле (2).

Можно было рассуждать проще, сославшись сразу на замечание 3 § 1. ■

Следующие два примера служат иллюстрацией полученных нами свойств определителей.

Пример 1. Определитель

1

1

... 1

Х1

Х2

-.- Х„

Ал —

х!

4

... х2

= Д (хь х2, . --,Х„),

л— 1

Х1

х2 1

связываемый с именем Вандермонда, вычисляется по формуле

А„ = П (х/-Х4),(3)

или, в более подробной записи, ^п (Х2 Хд (Х3 — Х1) ■ • ■ (Хп Xl) (Х3 "—Х2)“-

• - • (Х™ - Х2) • ■ ■ (Хп - Х™-1) (в связи с этой формулой полезно вернуться к упражнению 1 § 1). В частности, при попарно различных элементах хь .... х„ определитель Вандермонда отличен от нуля. Этим его свойством

часто пользуются. По теореме 1 § 1 имеем также

Для доказательства формулы (3) применим индукцию по п. Считая, что Ат, т <_ п, вычисляется по формуле (3) и опираясь на свойство D7, вычтем из каждой i-й строки определителя Ая (i— 1)-ю строку, умноженную на х4:

хп — хпх1хп — хпх111

хп — хпх1

хп — хпх1

А«А«О х2 — х, О х2 — Х^1

А«

А«

А у"-1 у«-2у"-1 у"~2у

и х2Х2 X, Х„Х„ х1

ражениюА„ = (х„ — х,) (х„_1 — х,) ... (х2 — х,)ражениюА„ = (х„ — х,) (х„_1 — х,) ... (х2 — х,)11... 1х2х3 ... х„11... 1х2х3 ... х„Напрашивается мысль разложить теперь Дя по первому столбцу, а в получившемся определителе порядка п — 1 вынести из /-го столбца (/= 1, 2п—1) за знак определителя общий множитель х/+1—х( (свойство ВГ для столбцов). Мы придем к вы

ражению

А„ = (х„ — х,) (х„_1 — х,) ... (х2 — х,)

ражению

А„ = (х„ — х,) (х„_1 — х,) ... (х2 — х,)

11... 1

х2х3 ... х„

11... 1

х2х3 ... х„

= (Хп — X,) (х„_1 — X,) ... (х2 — х1) • А (х2, х3, ..., х„), совпадающему с (3), поскольку по предположению индукции А (х2, ..., х„) = JI (х/ —х,). 2<i</<n

Пример 2. Матрица А = (а;;) вида

0

«12

«13

-.- «tn

«12

0

«23

••• «2п

А =

«13

— «23

0

••• «Зп

— «2П

— «Зп

... 0

называется кососимметрической (о ее определителе тоже говорят, что он кососимметрический'). Другими словами, ‘А = —А. С учетом теоремы 1 § 1 имеем

det А — det ‘A = det (— А) = ( —1)" det А,

откуда [1 + (—^""'Jde^ = О. При нечетном п получаем det А = О, т. е. определитель любой кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.

Определители специальных матриц. Чем больше нулей среди элементов матрицы А и «чем лучше» они расположены, тем легче вычислять определитель det А. Это интуитивное представление находит в некоторых случаях точное количественное выражение. Например, мы знаем (см. (6) из § 1), что определитель треугольной матрицы (верхней или нижней) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Другой важный частный случай содержит Теорема 2. Для определителя D порядка п-^-пг, у которого на пересечении первых п столбцов и последних пг строк стоят нули, имеет место формула

“иаш“1, п+1а1, п+та«!-•• аппап, п + 1" ‘ ' а», п+т0... 0ьп- • • Ь\т0... 0bml. . . Ьщт“иаш“1, п+1а1, п+та«!-•• аппап, п + 1" ‘ ' а», п+т0... 0ьп- • • Ь\т0... 0bml. . . Ьщт«I I . . . «ш«I I . . . «ш6ц - - - Ь1ш6ц - - - Ь1ш

“и

аш

“1, п+1

а1, п+т

а«!

-•• апп

ап, п + 1

" ‘ ' а», п+т

0

... 0

ьп

- • • Ь\т

0

... 0

bml

. . . Ьщт

“и

аш

“1, п+1

а1, п+т

а«!

-•• апп

ап, п + 1

" ‘ ' а», п+т

0

... 0

ьп

- • • Ь\т

0

... 0

bml

. . . Ьщт

«I I . . . «ш

«I I . . . «ш

6ц - - - Ь1ш

6ц - - - Ь1ш

a«i ... Яппa«i ... ЯппЬщ! - - - ЬпгтЬщ! - - - Ьпгт

a«i ... Япп

a«i ... Япп

Ьщ! - - - Ьпгт

Ьщ! - - - Ьпгт

(определитель в левой части этого равенства называется квазитреугольным или определителем с углом нулей).

Доказательство. Зафиксируем сначала n(«+ 4- m) элементов ац и рассмотрим определитель В как функцию "Элементов Ьы, которые образуют квадратную матрицу В порядка пг. На полученную функцию можно смотреть как на функцию матрицы В: D = 3)(B).

Ясно, что полилинейность и кососимметричность определителя D относительно последних пг строк эквивалентна тем же свойствам ^5 (В) относительно строк матрицы В. Значит, правомерно применить к 35(B) теорему 3 § 1, согласно которой 35 (В) = = 35(E) - det В. По определению функции 35 имеем

аИ ••• а1п а1, п+1а1, п+т

3)(Е) =

ап\Qnn °п,п+У **' ап, п+т

0... 010

0... 00... 1

Разложим 35(E) по последней строке (см. формулу

(2)), затем по предпоследней и т. д. Повторив эту операцию т раз, мы убедимся в том, что SD^E^ = = det А, где

Яш ... Опп

Окончательно получаем: D = 3> (В) = det А • det В. ■

В новых обозначениях формула из теоремы 2 принимает более компактный вид

(4)(4)detH „ | = det А • det В.п ° у й

(4)

(4)

Здесь А и В — квадратные матрицы, а нулевая матрица О и матрица С — прямоугольные. Опираясь на теоремы 1 § 1 и 2 или на рассуждения, использованные в ходе доказательства теоремы 2, мы без труда устанавливаем, что

det | ° | = det А • detB. ■

Иногда пытаются написать в точности такое же выражение 1С Л |

У g I, хотя сразу же напрашивается I О 1 I

простейший контрпример I ^ о I = —®Се дело в знаке- Правильный ответ получается путем перестановки строк или столб- |С Л D| В О II Л С1

в Q I к виду I | или| 0 в Более простые рассуждения основаны иа той же теореме 3

§ 1, которую мы неоднократно использовали. Действительно, Чв о|-“*|в Udets-

Далее по формуле (2), примененной т раз, находим

<*и — <*1П<*и — <*1ПdetdetСЕтСЕтА |О IА |О I«Ш«ЯП«Ш«ЯП1 ... О О ... О1 ... О О ... О

<*и — <*1П

<*и — <*1П

det

det

С

Ет

С

Ет

А |

О I

А |

О I

«Ш«ЯП

«Ш«ЯП

1 ... О О ... О

1 ... О О ... О

О ... 1 О ... О

= (_!)(*+»+»*+*>+ ••• +(«+2m) det д = (_\умп det д

Окончательно приходим к выводу, что если А, В—квадратные матрицы порядков пит соответственно, то

(5)(5)det И ^ | = (-1)""* det А • det В.

(5)

(5)

Формулы (4) и (5) охватываются общей теоремой Лапласа о разложении определителей. Эта теорема, однако, употребляется сравнительно редко, и мы на ней не останавливаемся, отсылая любознательного читателя к упражнениям в конце следующего параграфа.

Исключительно важное в теоретическом плане утверждение об определителях матриц содержит

Теорема 3. Пусть А и В — квадратные матрицы порядка п. Тогда

det АВ = det Д - det В.

Доказательство. Согласно формулам (7) и (9) § 3 гл. 2, выражающим коэффициенты сц матрицы (Cq) = АВ = (аг/) (6,;) через коэффициенты матриц А и В, 1-я строка (ЛВ)^ записывается в виде

ИВХо = (А<пвт Д^Аи^у

A^BW = 2 aifebfej.

*-i

Фиксируем матрицу В и для любой матрицы А положим

^)В(Д) = det АВ.

Докажем, что функция S> = 3>в удовлетворяет условиям „(О» (U1 теоремы 3 § 1. В самом деле, поменяем Д(5) и Д(<) местами. Так как &-я и./-я строки матрицы АВ имеют вид

кА^\ .... ^BW\

UwBW, .... ДЮВ(">),

то при этом они тоже поменяются местами и, значит, то теореме 1:

^(..., А»)> .... А^, ...) = ^(Д) =

= det ДВ = det [..., (AB\sy .... UB\ty ...] =

det[..., (AB)W ..., UB\sr ---] =

= — s> (..., д«), - - -, As) • • • )•

Далее, как известно, det AB — линейная функция элементов t-й строки (ДВ)^/-

det АВ = Х^дВА) + Л2Л(0В(2) + .. . + Л„Д(0В<Ч

Поэтому

ппппп

Ф(А) =ciikbki = 52 aife 52 ^ibkj = 52 Pfedife,

/-16-16-1/-16-1

где цй = 52 ^-ibki — скаляр, не зависящий от элемен- /-1

тов t-й строки Л (о матрицы А.

Мы видим, что Ф линейно зависит от элементов 1-й строки матрицы А.

Таким образом, выполнены оба условия теоремы 3 § 1, согласно которой Ф (Л) = Ф (Е) -det А. Но по определению Ф (Е) = det ЕВ = det В. Отсюда вытекает искомая формула. ■

Непосредственная проверка теоремы 3, сравнительно легко выполнимая при п = 2, уже при п = 3 сопряжена со значительными трудностями. Однако и в общем случае можно указать обходный маневр, основанный непосредственно на свойствах D1 —D2, а также на привлечении теорем 1 и 2 (см. упражнение 3).

УПРАЖНЕНИЯ

рядкарядкаЦелые числа 1798, 2139, 3255, 4867 делятся на 31. Без всяких вычислений показать, что определитель четвертого по

рядка

рядка

17 9 8*2139

3 2 5 54 8 6 7

также делится на 31.

Показать, что любой кососимметрический определитель (а?;] четвертого порядка ca^eZ является квадратом целого

числа. (Замечание. Это верно для кососимметрического определителя произвольного порядка.)

Доказать соотношение det АВ = det A-det В (теорема 3)

путем приведения элементарными преобразованиями типа (II)

IE В

Е В О АВЕ В О АВ2пХ2л к виду С' = |2пХ2л к виду С' = |к а з а н и е. Воспользоваться ра-к а з а н и е. Воспользоваться ра- д q I размера

Е В О АВ

Е В О АВ

2пХ2л к виду С' = |

2пХ2л к виду С' = |

к а з а н и е. Воспользоваться ра-

к а з а н и е. Воспользоваться ра-

венством det С = det С' и соотношениями (4), (5).) То же доказательство провести, основываясь на упражнениях 17, 18 § 3 гл. 2

и на замечании, что Hq ^ —верхняя унитреугольная мат

рица.

(Захаров В. И.—Тула, 1984). В задачах по моделированию случайных стационарных процессов возникают определители вида

где х*, ..., хт — любые переменные; Ль ..., кт — натуральные

числа с &! + &2 + ... + km = п; М^ (х) — к X л-матрица вида

Доказать, что

А„ (&Р Хр ...; кт, Хт) = П ^.xi- х^"Ki<i<m

(Указание. При к^ == кт = 1. т.е. при m = л, получается определитель Вандермонда.)

Показать, что

(Указание. Вынести последовательно з + к — 1 из fc-й строки при к = 1, 2,, л, а затем !/(/ + /—-1) из /-го столбца при / = 1, 2, .... л. Действовать так до тех пор, пока в первом столбце будут стоять только 1.)

6. Пусть6. Пусть

6. Пусть

6. Пусть

%1 1 о ...ооо

Сп (ХЬСп (ХЬ— 1Xs 1 ...ООО

Сп (ХЬ

Сп (ХЬ

ООО ...кп-а 1О

ООО ...— 1Xtt_x1

ООО... О— 1кп

Показать, что det Сп = к„ det Cn-i + det Сп-*. При Xi = X2 = ... ... = kn= 1 найти численное значение det Ся. (Указание. Вспомнить пример 3 из п. 3 § 3 гл. 2 и обратить внимание На тот факт, что detC„(l, .... 1) = (—l)"-detC„(—1, .... —1).)

Показать, что определитель п X л-матрнцы

Ап ^^

2—100...000

— 12—10...000

0—12—1...000

0000...—12—1

0000...0—12

равен л + 1.

Пусть А, В—любые квадратные матрицы порядка п. Показать, что

detM д I — det (Л + В) • det (Л — В).

Применения определителей

Критерий невырожденности матрицы. По теореме 5 § 3 гл; 2 условие невырожденности матрицы ЛеА<п(К) (т. е. равенство гапкЛ = п) эквивалентно ее обратимости. Применяя теорему 3 § 2 к соотношению ЛЛ—1 = Л~*Л = Е, мы получаем, что det Л-det (Л-1) = 1. Стало быть, определитель невырожденной матрицы отличен от нуля и

det^-1) = (det Л)-1.

Наряду с матрицей Л рассмотрим ее присоединенную (или взаимную^ матрицу

|

Лц — Лщ О

Аш - • • Апп 8

Чтобы получить АУ, надо поставить на место каждого элемента ац матрицы А его алгебраическое дополне-

ние Aij (i, / = 1» -•-. л), а затем перейти к транспонированной матрице.

дробной записи*.I _4н_—4а1_| а» ащ У-i | det Л *" det Лдробной записи*.I _4н_—4а1_| а» ащ У-i | det Л *" det ЛТеорема 1. Матрица А г Afn(R) невырожденна (обратима) тогда и только тогда, когда det Л =5^ 0. Если det Л ч^ 0, то Л-1 = (det Л)-1 А^, или, в более по

дробной записи*.

I _4н_—4а1_

| а» ащ У-i | det Л *" det Л

дробной записи*.

I _4н_—4а1_

| а» ащ У-i | det Л *" det Л

°П1 . . . Clnn 1 У Л} дЛдд

I det А " * det А

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма. Пусть ЛеЛ1п(Р). Имеют место соотношения

ацАц + ai2A/2 + ... + a^nAjn = бц det А,(1)

auAtl + О2/Л/+ ... + Qni Л„/ = 6ц det А,(2)

где 8ц — символ Кронекера (при I ^ j говорят о разложении определителя det Л по чужой строке или соответственно по чужому столбцу).

Доказательство. При i = j утверждение леммы совпадает с теоремой 1 § 2. Поэтому остается рассмотреть случай i #= j, когда 6,/ = 0. С этой целью введем матрицу

Л' = Мщ,Л' = Мщ,•_, Л:о. -••_, Л:о. -•A(i), .... Л(д)1 —'A(i), .... Л(д)1 —'

Л' = Мщ,

Л' = Мщ,

•_, Л:о. -•

•_, Л:о. -•

A(i), .... Л(д)1 —'

A(i), .... Л(д)1 —'

получающуюся из А = [..., A(i), .... А<п, ...] заменой /-й строки на i-ю (i-я строка остается на месте). Как и у всякой другой квадратной матрицы с двумя одинаковыми строками, det Л' = 0. С другой стороны, алгебраическое дополнение Л'А (6=1п) образуется путем зачеркивания /-й строки Л^ = А^ и Л-го столбца определителя, так что А'^ = A/k. Формальное разложение определителя матрицы

Ar= (а^ по /-й строке даст нам соотношение

о = det А' = Д а;е л;, = ^ altAw

совпадающее с соотношением (1) в формулировке леммы. Второе соотношение получается из аналогичных соображений, относящихся к столбцам. ■

Обращаясь к доказательству теоремы, мы просто замечаем, что левая часть соотношения (I) есть не что иное, как элемент с1$ матрицы С==ДД'/:

Согласно соотношению (1)(с^) = (5,/det Д) =

= (detД)£. Таким образом,

АА^ = (det Д)Е,

откуда при detД 0 получаем

(det Д)-1 (ДДУ) = A (det Д)"1 А^ = Е.

Левая часть соотношения (2) является выражением элемента с^ матрицы С, = АХ/А. Так как правые части в (1) и (2) совпадают, то в случае Де1Д #=0 мы приходим к соотношениям

A (det Д)"1 А^ = (det Д)“1 ДVД = Е,

означающим, что Д-1 = (det Д)— ^v. g

Следствие. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (и столбцы) линейно зависимы.

Доказательство. Линейная зависимость строк (или столбцов) матрицы ДеА4я(₽) эквивалентна неравенству гапкД<п, т. е. вырожденности матрицы Д, что по теореме 1 равносильно условию detД = O. 1

Замечание. Импликация rank А С п =>- det А = = 0 является, конечно, непосредственным следствием основных свойств определителей (см. D2, D6 в § 2).

Теорема 1 имеет, скорее, теоретическое значение. С вычислительной точки зрения, в особенности при

больших размерах матриц, для отыскания матрицы Д-* удобнее пользоваться методом (Р, Q)-приведения, описанным в п. 7 гл. 2.

Формулы Крамера. Выведем теперь формулы для решения системы из п линейных уравнений с п неизвестными, ради которых, в частности, и была первоначально развита теория определителей.

Теорема 2 (Крамер). Если линейная система

вц*1+ — + ai«Xn = bi.

a«i*i + ... + аппхп = Ьп

имеет отличный от нуля определитель (т. е. det(ay) =й =# 0), то ее единственное решение задается формулами

«11 --. 61 . .. «1Д

«ш - - - Ьп , , , Опп °11 а1к<Чп«ш - - - Ьп , , , Опп °11 а1к<Чпk— 1, 2, —, пk— 1, 2, —, п

«ш - - - Ьп , , , Опп °11 а1к<Чп

«ш - - - Ьп , , , Опп °11 а1к<Чп

k— 1, 2, —, п

k— 1, 2, —, п

= л-1 в =-А ° det Л= л-1 в =-А ° det ЛЬх babnЬх babn5^ ^ik^i i-i5^ ^ik^i i-i

= л-1 в =-

А ° det Л

= л-1 в =-

А ° det Л

Ьх ba

bn

Ьх ba

bn

5^ ^ik^i i-i

5^ ^ik^i i-i

°п\ •-• °пк ••■ °пп

(числитель Dk получается заменой к-го столбца в D = det (ay) столбцом свободных членов).

Доказательство. По теореме 1 матрица А = = (ay) обратима. Поэтому, записав нашу систему в виде АХ = В, мы, как и в п. 8 § 3 гл. 2, будем иметь

Ли Дз1 -•- Д«1

Л12 Ага ... Ana

Аш Агп -•• АПп

откуда

х° =1

Хк det А

“аЗл(М,* + М«+ ••• *ь„Ап». * = •• 2"•

Именно такое выражение в числителе мы получим, разложив определитель Dk по £-му столбцу (см. (2)).

Выполнение всех преобразований в обратном порядке показывает, что набор (Di/det.4, .... Dn/detA) действительно является решением нашей системы. ■

Заметим, что формулы (3), (9) из § 4 гл. 1 совпадают как раз с формулами Крамера при п = 2 и 3 соответственно. Удобные при небольших п, формулы Крамера несут, в общем, чисто теоретическую функцию. Например, их применение к линейной системе из примера 2 в п. 5 § 3 гл. 1 дает (с учетом равенства det Л = 1) выражение для числа Фибоначчи

1

0

0 ...

0

0

1

0

1

0 ...

0

0

1

/п

— 1

—1

1 ...

0

0

0

•

0

0

0 ...

—1

1

0

0

0

0 ...

— 1

— 1

0

Понятно, что оно весьма далеко от того явного выражения для /л, которое мы нашли в п. 5 § 3 гл. 2.

Надо сказать еще, что необходимое для применения формул Крамера условие det Л =^ 0 неустойчиво в следующем смысле. Для реальных квадратных линейных систем с приближенно вычисленными коэффициентами увеличение точности вычислений может радикально изменить картину. Если, например.

— 1 0

10

—1

0 ...

10 ...

0

0

0 0

^8

g Atm (R),

0

0

0 ...

—1

10

8

0

0 ...

0

—1

то det Л8 = 1 — в • 10е (разложить определитель по элементам первого столбца). При е= 10~9 имеем detЛ8 = O. В то же время, вычисляя коэффициенты матрицы всего лишь с точностью до одной миллионной, мы могли «не заметить 8» (т. е. посчитать е=0), а det^0 = 1. Таким образом, условия применимости формул Крамера чувствительны к малому «шевелению» коэффициентов системы.

Метод окаймляющих миноров. В § 3 гл. 2 содержится все необходимое для описания совокупности решений прямоугольной системы линейных уравнений. Важнейшая роль в этом описании принадлежит понятию ранга матрицы. Нам осталось лишь перевести его на язык теории определителей, чтобы получить в свое распоряжение еще один метод вычисления ранга и удобное средство для выражения факта линейной независимости системы векторов линейного пространства R*.

10 А И. Косгрикин

Итак, пусть

«и

. .. Я1Г «1л

Л =

«Г1

«ГГ «ГП

«ml - - - ^тг - - - «тл

— произвольная прямоугольная матрица размера /п X « с коэффициентами ац е R.

Определение. Элементы, стоящие на пересечении каких-то выделенных к строк и к столбцов m X «-матрицы Д (к ^ min (т, п)), составляют квадратную матрицу, определитель которой называется минором к-го порядка для Д. Иногда говорят о ми-

(и ... <" X

норе М I . . ), если z*i, ..., ite и /ь ..., jk — но- мера выделенных строк и столбцов. При к = п—1 мы приходим к ранее введенному понятию минора Мц для пХ «-матрицы Д.

Минор St называется окаймляющим для М, если М получается из М вычеркиванием одной крайней строки (первой или последней) и одного крайнего столбца.

Теорема (метод окаймляющих миноров). При вычислении ранга матрицы А следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков, _ Если для А .уже найден минор М ^ О по-- рядка г, то требуют вычисления лишь миноры порядка г + 1, окаймляющие минор М. Если все они равны нулю, то rank А = г.

Доказательство. Рассуждение основано на простом замечании, что если все миноры &-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков. Для этого, согласно теореме 1 § 2, достаточно рассмотреть разложение любого минора порядка k + 1 по элементам какого- нибудь столбца (например, первого или последнего, если ограничиться рассмотрением только миноров, полученных посредством окаймления), затем перейти к минорам порядка к + 2 и т. д.

Действуя теперь по схеме, указанной в формулировке теоремы, мы дойдем до какого-то минора М #= 0 порядка г. Без ограничения общности считаем, что М отвечает матрице, стоящей в левом верхнем

углу нашей матрицы:

Оц -•• С1г -•• а17 аШ

М

Ctrl - - • Orr • - - Ori - • • arn

°л ••• air■•■ ali ••• °in

Omi • • • Omr• • • Omf • • • Omn

Этого всегда можно достичь перестановкой строк и столбцов, не меняющей, как нам известно, ранга матрицы Л.

Выделим теперь в А строку А^ и столбец Л</> с совершенно произвольными номерами i, } (возможно, I г или / ^ г). Составим при помощи элементов из А^ и Л^> минор 7Й порядка г + 1, окаймляющий Л4:

аЛ ••• а1г аи

аП ••• arr ariа1х ... а1г а1}

Если № ^= 0, переходим к минорам, окаймляющим №. Критический момент наступит, когда все окаймляющие М миноры равны нулю.

Итак, пусть 7Й = 0 при любом выборе i, j. Разлагая № по элементам последней строки, придем- к соотношению

ДлМ, + я^М^ -}- ... -}- UirMr -}- йцМ = О с коэффициентами

Ms = (— l)r+1+sMs = (— l)r+1+saU ••• al,s-l aI,s+I ••• alr al/

Ms = (— l)r+1+s

Ms = (— l)r+1+s

arl ••• ar, s-I ar, s+I ••• arr ari

не зависящими от L Так как М =^ 0, то

о#/ = Х^ц + Х^а^ + ... + Х,а1г

для i=l, 2, .... т с одними и теми же коэффициентами Xs = —Ms/M, 1 ^ s ^ г. Стало быть,

Л</> = XiAW 4- Х^А^ + ... -\-ХгА^\

т. е. любой столбец А<^ является линейной комбинацией первых г столбцов. Это значит, что rank А ^ г.

Но из М #=0 вытекает линейная независимость столбцов в М и тем более — соответствующих более длинных столбцов в А. Мы приходим к заключению, что rank А = г. В

Следствие. Ранг всякой матрицы совпадает с наивысшим порядком ее отличных от нуля миноров.

Для следствия можно указать короткое независимое доказательство. Именно, пусть ранг матрицы Л равен г. Согласно теореме 1 § 2 гл.-2, это значит, что г—максимальное число линейно независимых строк и максимальное число линейно независимых столбцов матрицы А. Обращаясь к теореме 6 § 3 гл. 2, мы замечаем, что

л = в|^ о Iе- .

где В и С — невырожденные матрицы порядков пг и п соответственно, записываемые в виде произведения элементарных матриц. Так как у матрицы | ^r q | имеется отличный от нуля минор М = |Дг| = = 1 порядка г, но нет ненулевых миноров порядка >г, и так как это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов, то мы приходим к нужному утверждению. ■

Метод окаймляющих миноров достаточно практичен, ..особенно тогда, когда мы хотим зна'й» не только ранг, но и те столбцы или строки матрицы А, которые составляют максимальную линейно независимую систему. При элементарных преобразованиях эта информация, конечно, утрачивается.

УПРАЖНЕНИЯ

Показать, что выполнены следующие соотношения:

(AB)V = BVaV; (^)V = '(aV); (XA^^^-^V;

(Av)v = (det A)"-2A.

Выразить rank А^ через rank A.

Доказать, что квадратная система линейных однородных уравнений тогда н только тогда обладает нетривиальными решениями, когда определитель системы равен нулю.

Опираясь на результаты п. 8 § 3 гл. 2 н на теорему 2, показать, что фундаментальная система решений однородной

системысистемы

системы

системы

ацХ1 +ацХ1 +<ИпХп — О,

ацХ1 +

ацХ1 +

Лп—1, 1*1 + ••• + Сп— 1, пХп=О

ранга г = п — 1 будет состоять из одного вектора-столбца

Xе = [Db - Da, D»,..., (—I)"”1 D*],

где Di— определитель матрицы, получающейся из А = (а^) вычеркиванием ее t-го столбца. Любое решение системы имеет вид Х = XX.

Пусть Л = (az/) <= Мп (R) и (л — 1) | а^ | < | аи | для всех I =¥= ь Доказать, что det А =N 0. (Указание. Предположив противное, воспользоваться критерием, сформулированным в упраж- иенни 3. Именно, если [хр , х„] — нетривиальное решение линейной системы АХ=0 и х^ — его компонента, имеющая максимальный модуль, то нз й-го уравнения аккх^ + У, ак,х® = О следует оценка (л — 1) | акк j j хк | — (л — 1) У. ак1х°, I <

I / ^ а I

< (л — 1) | акк 11 хк [, дающая нужное противоречие.)

Доказать следующее утверждение ^теорема Бине — Коши). Пусть А = (ay), В = (Ьы) —матрицы размеров лХ^ и тХ я соответственно, и пусть С = АВ. Тогда

ным комбинациям по п элементов {/i, /2, В частности, det С = det А • det В при тным комбинациям по п элементов {/i, /2, В частности, det С = det А • det В при т/„} из 1, 2,/„} из 1, 2,п ип иdet Сdet С(Указания. Так как(Указания. Так как.., т.О при.., т.О примногократное§ 1) даетмногократное§ 1) даетприменение свойстваприменение свойстваС— (Су), Сц — ^“ife^fepС— (Су), Сц — ^“ife^fepD2D2определителей (теорема 2определителей (теорема 2mmdetC =кdetC =к- А„-1- А„-1°!*! °!А2 °2А1 °2А2°!*! °!А2 °2А1 °2А2a2fea2fe^.i6^-- - bfenn«^.i6^-- - bfenn«°пк1 апк2 • • • апк°пк1 апк2 • • • апк

ным комбинациям по п элементов {/i, /2, В частности, det С = det А • det В при т

ным комбинациям по п элементов {/i, /2, В частности, det С = det А • det В при т

/„} из 1, 2,

/„} из 1, 2,

п и

п и

det С

det С

(Указания. Так как

(Указания. Так как

.., т.

О при

.., т.

О при

многократное

§ 1) дает

многократное

§ 1) дает

применение свойства

применение свойства

С— (Су), Сц — ^“ife^fep

С— (Су), Сц — ^“ife^fep

D2

D2

определителей (теорема 2

определителей (теорема 2

m

m

detC =

к

detC =

к

- А„-1

- А„-1

°!*! °!А2 °2А1 °2А2

°!*! °!А2 °2А1 °2А2

a2fe

a2fe

^.i6^-- - bfenn«

^.i6^-- - bfenn«

°пк1 апк2 • • • апк

°пк1 апк2 • • • апк

“Чг

• °«/!

°М2

°2/2 ••

X

!</,< ... <

1п<т

••

аЧп

а2/« "

й/,1

bt^ ...

bixn

X

bjjl •••

b, л

•

bv

bln2 •••

binn

Суммирование в правой части проходит по всем

возмож-

где суммирование происходит по всем попарно различным At, ... ..., fen. При т с п таких индексов нет, и, следовательно, detC.= 0. Если же т ^ п, то &ь .... fen— выборка элементов {/1. •... /я}, взятых в каком-то порядке из 1, 2, ...,т. Следует собрать все члены, соответствующие фиксированной комбинации {/1. •••. /я}, н при помощи формулы (3) § 1 получить нужное выражение:

ГГalbt • • • °nkt °lfc„ • • • апкпalbt • • • °nkt °lfc„ • • • апкпЬ^Ь^Ьк-пЬк-п

Г

Г

albt • • • °nkt °lfc„ • • • апкп

albt • • • °nkt °lfc„ • • • апкп

Ь^

Ь^

Ьк-п

Ьк-п

7.Ш

Используя предыдущее упражнение, показать, что если Л — m X n-матрица над R, m ^ п, то

det <АА = ^ М»,

где М пробегает по всемгде М пробегает по всемминорам порядка п матрицы А.

где М пробегает по всем

где М пробегает по всем

Данному минору М ( J * ) порядка & для «Хп-мат- х Ji • • • ]к /

рицы А = (а^ ) (см. определение в п. 3) отвечает дополнительный

минор‘Л ) порядкап — fe, матрица которого "полу-

х J1 • • • Jk *

чается из А вычеркиванием строк с номерами к, ..., к и столбцов с номерами /1, ..., /*. Выражение

а(1? ••• ^) = (-1)»<м>л1Г^ ••• ^Y

Xh ... Ik)\h .. 1к)

8 (М) =(й + ... + J*) + (j'i + . . . + IkY

называется алгебраическим дополнением к М ( .* Y При

X Ji • • • 1k /

h = п — 1 мы возвращаемся к обычному определению. Используя последовательно разложение определителя по элементам строк с номерами к, ..., и, показать, что справедлива следующая

и>А (/:::: ^)-и>А (/:::: ^)-Теорема (Лаплас). Пусть в матрице А = (о#) е Af„(R) выбраны fe строк с номерами ц, ...., й. Тогда

и>А (/:::: ^)-

и>А (/:::: ^)-

d=tx- 2»('■

!</,< ... <ik<n

При произвольном п теорема Лапласа известна нам в двух частных случаях: 1) й = 1; 2) А— матрица с углом нулей размера (я — А) X £- В случае неудачи полезно убедиться в правильности теоремы Лапласа хотя бы при п = 4, й = 1, й = 2:

det А = I а**а11 I . I а**#34 | |#11#13 I | #32#34 I |

I #21#22 I | #43#44 II #21#23 I I #42#44 I

#11#21#11#21#14 _ #32#33।#12#13 _ #31#34

#11

#21

#11

#21

#24 I I #42#43|| #22#23I | #4 I#44

#12#14 . #31#22 #24 I | #41#12#14 . #31#22 #24 I | #41#33.#13#43 || #23#33.#13#43 || #23а14|.|#24 I Iа14|.|#24 I I#31#41#31#41#32 I#42 I#32 I#42 I

#12#14 . #31

#22 #24 I | #41

#12#14 . #31

#22 #24 I | #41

#33.#13

#43 || #23

#33.#13

#43 || #23

а14|.|

#24 I I

а14|.|

#24 I I

#31

#41

#31

#41

#32 I

#42 I

#32 I

#42 I

Пусть Де AMR), BeAfm(R)—невырожденные матрицы, С — произвольная п X wt-матрица. Используя прием блочного умножения матриц (см. упражнение 17 § 3 гл. 2), показать, что

«Д СГ1 II Л-1|о в| в|0«Д СГ1 II Л-1|о в| в|0— А~ХСВ~в~х— А~ХСВ~в~х

«Д СГ1 II Л-1

|о в| в|0

«Д СГ1 II Л-1

|о в| в|0

— А~ХСВ~в~х

— А~ХСВ~в~х

Показать, что если А, В, С, DeAf„(R), detД =/= 0, то det И ^1 = det (ДР — ЛСД-1В) = (det Д) - det (О — СА^В).

Кроме того.

| А ВII _ Г det (AD — СВ\ если АС = С А,1С О [I { det (DA — СВ), если АВ = ВА-

§ 4. К построению теории определителей

Теоремы 2 и 3 из § 1 дают по существу аксиоматическое описание функции det, хотя начинали мы с чисто конструктивного ее задания. Укажем еще несколько подходов к теории определителей, каждый раз ограничиваясь наброском канвы рассуждений. Полное их проведение является хорошим упражнением.

Первое аксиоматическое построение. Будем считать определителем любую функцию 2>: Af„(R)—>R, обладающую тремя свойствами:

5>(Д)— кососимметрическая функция строк матрицы А;

2>(А)—полилинейная функция строк матрицы А;

S)(£) = 1.

Мы видели, что свойствами 1.1—1.3 функция 2) однозначно характеризуется и совпадает с функцией

det, (3) этоdet, (3) этоопределенной формулой полного развертывания § 1. Единственное, о чем нужно позаботиться, дать независимое доказательство факту 2)(М) =

det, (3) это

det, (3) это

= 3D^AV Сама формула (3) § 1, если угодно, также нуждается в выводе.

Второе аксиоматическое построение. Определителем считаем любую функцию S>: A1„(R)—>-R, обладающую тремя свойствами:

2> (..., ХАф, - - ) = Х2> (..., Аф, ...), т. е. если одну из строк Аф матрицы А умножить на %, то значение 2) (А) также умножается на Л;

24-.-, Аф, ...» Ат, ...) = 2>(..., Аф + А~Аф, .... Аф, ...) ;

2)(Е) = 1.

Последовательно проверяется, что а) значение 2>(Д) не меняется при элементарных преобразованиях типа (II) над строками матрицы А; б) 5)(Д)— полилинейная функция строк матрицы А; в) ^)(Д) = = О при равенстве двух строк матрицы А и, следовательно, 2>(Д)—кососимметрическая функция строк. Мы вернулись, очевидно, к первому аксиоматическому простроению. Нормировочное свойство S>(E) = 1 в обоих случаях необходимо.

Построение методом полной индукции. Возьмем в качестве определителя матрицы (ац) порядка 1 число ац. Определители матриц порядков 2 и 3 вводятся соответственно формулами (2) и (8) из § 4 гл. 1. Пусть определители матриц порядков 1, 2, ... .... п—1 уже введены. Назовем определителем матрицы А = ^ац^ порядка п величину

<£(Д) = auMn-O2iAf2i+...+(-!)“-* а^^

где Мц — «минор» матрицы А, соответствующий элементу ап и являющийся определителем 2) (А) матрицы А порядка п— 1, которая получается из А вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером /. Таким образом, в качестве исходного свойства берется разложение определителя по элементам первого столбца (частный случай теоремы 1 § 2).

Используя индукцию по п, нужно установить свойства 1.1—1.3 функции 3) применительно к матрицам порядка п, памятуя, что для Мц эти свойства выполнены. Реализация этой программы, закрепляю-

щей навыки в грамотном применении метода индукции, не очень сложна. С деталями можно познакомиться по учебнику «Введение в алгебру» (1977 г.). Характеризация определителей мультипликативными свойствами. Пусть мы имеем функцию 5>: M,(R)—>-R, обладающую следующими свойствами:

3(АВ) = 3(А)3(В) для любых матриц A, BeM„(R);

2>(FS,/) =—1 для каждой элементарной матрицы Fs, t (см. п. 6 § 3 гл. 2);

(Ш) 2>(Д) = Х для верхних треугольных матриц вида

В самом деле, восВ самом деле, восВ частности, 3 (F\ (X)) = X.

В самом деле, вос

В самом деле, вос

Утверждается, что 3 = det.

пользовавшись свойствами (1) и (ii) в применении к матрице FS(X) = Fi, S-Fi (X) -Fi, s, мы получим 2>(FS(X)) = (—1)-Х-(—1) = X, причем это верно при любом XeR, а не только при X ^= 0, когда по определению матрица FS(X) элементарна. Отсюда для |оГ J| = Fr+i(°) F"^ имеем

Ег ОЕг ОО, если1, еслиО, если1, еслиг < п; г = п.

Ег О

Ег О

О, если

1, если

О, если

1, если

Согласно (iii), 2>(FS,/(Х))= 1 для элементарной матрицы Fs, # (X) cs< t Так как

Fs,tFs,t(X)FSit = Ft.s(X),

то и 3 (Ft, s(X)) = 1, а поэтому 3 (Fs, t (X)) = 1 при любых индексах s #= 1.

Итак, 3 (Fs,,) = — I = det Fs, t; 3 (Fs, t (X) ) = 1 = = det Fs, t (X); 3 (FS(X)) = X = det FS(X). Поскольку любая матрица AeM^R) записывается в виде Д = р|уГ q|Q, г^п, где Р и Q — произведения элементарных матриц (см. рассуждения перед теоремой 6 § 3 гл. 2), свойство (i) позволяет заключить, что 3(A) = det А.

УПРАЖНЕНИЯ

(J. Browkin, Poland). Пусть f: R —► R—произвольная функция с условием f(0) = О. Доказать, что существует, и притом только одна, функция Я>: Af„R —>-R, обладающая следующими свойствами:

если А содержит столбец нулей, то Ф(А) = О;

(п) если А' получается из А элементарным преобразованием типа (П) над столбцами, то ^(А') = Я>(А);

если А = diag(X, 1, 1,..., 1)—диагональная матрица, то 3>(А) = f(X).

При f (X) = X получаем Ф = det, но произвол в выборе f полезен в других приложениях.

Читателю предлагается выдвинуть и обосновать собственные варианты аксиоматического описания функции det.

Г л а в a 4

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ(группы, кольца, поля)

В предыдущих главах накопилось довольно много конкретного материала, который необходимо осмыслить с более общих позиций. С этой целью мы введем и изучим, пока на элементарном уровне, фундаментальные для всей алгебры понятия группы, кольца и поля.

Множества с алгебраическими операциями

Бннарные операции. Пусть X — произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией (или законом композиции) на X называется произвольное (но фиксированное) отображение т: Х>(,Х-»-Х декартова квадрата Ха = ХХХ в X. Таким' образом, любой упорядоченной паре (а, Ь) элементов а, Ь^Х ставится в соответствие однозначно определенный элемент т(а, Ь) того же множества X. Иногда вместо т(а, Ь) пишут атЬ, а еще чаще бинарную операцию на X обозначают каким-нибудь специальным символом: *, о, • или +. Последуем и мы по тому же пути, называя а-b (или просто ab без всякого значка между а и Ь) произведением, а а + 6 — суммой элементов а,ЬеХ. Понятно, что эти названия в большинстве случаев условны.

На X может быть задано, вообще говоря, много разных операций. Желая выделить одну из них, используют скобки (X, *) и говорят, что операция » определяет на X алгебраическую структуру, или что (X, *) — алгебраическая структура (алгебраическая система). Так, например, на множестве Z целых чисел, помимо естественных операций +, • (сложения и умножения), легко указать получающиеся при помощи + (или :—) и • «производные» операции: п оm = п + m — пт, п* т = —п — т и т. д. Мы приходим к различным алгебраическим структурам (Z, +), (Z, • ), (Z, о), (Z, »).

Наряду с бинарными алгебраическими операциями не лишены интереса гораздо более общие п-арные операции (унарные при п=1, тернарные при п = 3 и т. д.), равно как и их комбинации. Связанные с ними алгебраические структуры составляют специальную теорию универсальных алгебр. Впрочем, мы упоминаем об этом только для того, чтобы лишний раз подчеркнуть принципиальную важность для математики, казалось бы, частных разделов теории универсальных алгебр — алгебраических структур с бинарными операциями.

В направлении конструирования разных бинарных операций на множестве X также, очевидно, открывается неограниченный простор фантазии. Но задача изучения произвольных алгебраических структур слишком обща, чтобы она представляла реальную ценность. По этой причине ее рассматривают при различных естественных ограничениях.

Полугруппы и моноиды. Бинарная операция ♦ на множестве X называется ассоциативной, если (а*6)*с = а*(6*с) для всех а, Ь, сеХ; она называется коммутативной, если а * b = b * а. Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре (X, *). Требования ассоциативности и коммутативности независимы. В самом деле, операция * на Z, заданная правилом п * tn = —п—тп, очевидно, коммутативна, но (1*2)*3 = (—1—2)*3= = —(—1—2)—3 = 0 #= 4 = 1 *(2 *3), так что условие ассоциативности не выполняется. Далее, на множестве Af„(R) всех квадратных матриц порядка п 2> 1 определена операция умножения — ассоциативная, но некоммутативная (см. п. 2 § 3 гл. 2).

Элемент е е X называется единичным (или нейтральным) относительно рассматриваемой бинарной операции *, если е*х = х*е = х для всех хгХ. Если е'— еще один единичный элемент, то, как следует из определения, еХ = е' * е = е. Стало быть, в алгебраической структуре (X, *) может существовать не более одного единичного элемента.

Множество X с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть еще моноидом (или просто полугруппой с единицей).

Как и для всякого множества, мощность моноида М = (М, ») обозначается символом CardAf или |А4|. В случае конечности числа содержащихся в нем элементов говорят о конечном моноиде М порядка |Af|.

Приведем несколько примеров полугрупп и моноидов.

Пусть Q—произвольное множество и М (Q) —множество всех его преобразований (отображений Q в себя). Из свойств множеств и отображений, отмеченных в § 5 гл. 1, следует, что M(Q)—моноид. Имеется в виду, конечно, тройка (Af(Q), °, eQ), гДе ° —естественная композиция отображений, а ео — тождественное отображение.

Выделим тот частный случай, когда Q — конечное множество из |QJ=n элементов, обозначаемых просто натуральными числами 1, 2, —, п. Каждое преобразование f: Q —► м определяется указанием упорядоченной последовательности f(l), f(2), ..., Дл), где в качестве образа f(i) может стоять любой элемент из £2. Не исключаются совпадения ЦГ) = Цй при t ^ /. Выбирая всевозможные последовательности, мы получим ровно п" преобразований. Значит, |Af(Q) | = CardAf (£2) = п". Пусть, скажем, л = 2. Элементы е, f, g, h моноида M({1, 2}) и их попарные произведения полностью задаются двумя таблицами:

1 2е f g h1 22 11 12 21 2е f g h1 22 11 12 2•в f g hе f g he f g h. f e h g g g g g h h h h•в f g hе f g he f g h. f e h g g g g g h h h h

1 2

е f g h

1 2

2 1

1 1

2 2

1 2

е f g h

1 2

2 1

1 1

2 2

•

в f g h

е f g h

e f g h. f e h g g g g g h h h h

•

в f g h

е f g h

e f g h. f e h g g g g g h h h h

Непосредственна видно, что А4({1, 2})—некоммутативный моноид.

Пусть снова £2— произвольное множество и ^(£2)—множество всех его подмножеств (см."упражнение 4 § 5 гл. 1). Так как (Д А В) А С = Д А (В Л С) и (Д U B)UC = Д U (В U С), то на ^(Q) определены две естественные ассоциативные бинарные операции. Очевидно, что 0 U Д — А и Д A Q = Д. Мы имеем два коммутативных моноида (^(Q), А, 0) и (^(Q), U. Q)- Как известно, |S*(Q) | = 2я, если |Q| = л.

(A4„(R), +, 0)—коммутативный моноид с нейтральным элементом — нулевой матрицей, a (Af„(R), -, В) —некоммутативный моноид с нейтральным элементом — единичной матрицей Е. Это непосредственно вытекает из свойств сложения и умножения матриц, с которыми мы познакомились в гл. 2.

Пусть nZ = (пт | m е Z) — множество целых чисел, деля- пщхся на л. Ясно, что (nZ, +, 0) — коммутативный моноид, а (nZ, -) — коммутативная полугруппа без единицы (л > 1).

Множество P„(R) стохастических матриц порядка л (см. упражнение 4 § 3 гл. 2) является моноидом с обычной операцией умножения матриц.

Подмножество S' полугруппы S с операцией * называется подполугруппой, если х * у е S' для всех

х,уг S'. В этом случае говорят еще, что подмножество S' a S замкнуто относительно операции *. Если (Af, *)— моноид, а подмножество М' cz М не только замкнуто относительно операции *, но и содержит единичный элемент, то М' называется подмоноидом в М. Например, (nZ, -)—подполугруппа в (Z, -), a (nZ,+, 0) — подмоноид в (Z,+,0). Всякий подмоноид моноида Af(Q) называется моноидом преобразований (множества Q).

Обобщенная ассоциативность; степени. Пусть (X, •)—произвольная алгебраическая структура с бинарной операцией -, которую мы* ради простоты будем опускать, записывая ху вместо х-у. Пусть, далее, хь .... Хп— упорядоченная последовательность элементов из X. Не меняя порядка, мы можем многими разными способами составлять произведения длины п. Пусть 1п— число таких способов:

Z2= 1: xtx2;

Z3 = 2: (х,х2)х3, х^х^з);

14 = 5: ((х,Х2)хз)х4, (%! (х2х3))х4, х, ((х2х3)х4), х, (х2(ХзХ4)), (х^) (х3х4); и т. д.

Очевидно, что, перебирая всевозможные произведения Х1 . . . X*, Х*+1 ... Хп длин А и пk, 1 ^ А ^ ^п—1, а затем соединяя их нашей бинарной операцией в данном порядке, мы исчерпаем все 1п возможностей. Замечательно, что в моноидах (и полугруппах) расстановка- скобок- оказывается излишней.

Теорема 1. Если бинарная операция на X ассоциативна, то результат ее последовательного применения к п элементам множества X не зависит от расстановки скобок.

Доказательство. При п = 1, 2 доказывать нечего. При п = 3 утверждение теоремы совпадает с законом ассоциативности. Далее рассуждаем индукцией по п. Предположим, что п > 3 и что для числа элементов <п справедливость утверждения установлена. Нам нужно лишь показать, что

(xt ... х6) - (хА+1 ... х„) = (х, ... х^- (xz+1 ... хя) (1)

при любых k, I, 1 ^ k, I п—1. Мы выписали только внешние пары скобок, поскольку по предположению индукции расстановка внутренних скобок несущественна. В частности, xix2 ... х* = (...((xix2)x3)...

Хк—\)Хк— произведение, называемое левонормиро- ванным. Различаем два случая:

к = п— 1. Тогда (xi ... x„_0x„ = (.. .(xix2) ... х„-1)хл — левонормированное произведение.

k < п—1. Ввиду ассоциативности имеем

(Xj . . . Хк) (x^+j . . . Хя) — (Xj . . . Хк) ((-^fe+1 • • • ^л-1) -^я) = ((Х1 . . . ХкЦХк+1 . . . *„-!)) хя =

(• - • (( • - • (-^1-^2) • • • Хк) Хк+i) • • • хп—i) хя,

т. е. снова левонормированное произведение. К тому же виду приводится и правая часть доказываемого равенства (1). I

Ранее был введен знак суммирования 52 xz. Очевидно, его можно использовать и в любом аддитивном коммутативном моноиде. В мультипликативном моноиде аналогом служит знак кратного произведения:

23пzn—\ X

Ц X/ = ХХХ2, П Xi = (XjX2) х3, П Xi = ( П Xi ) хп. i-1i-1i-1Xi-1 /

В силу теоремы 1 при записи (или при вычислении) произведения элементов xix2 ... хп моноида скобки излишни. Единственная забота должна проявляться о порядке множителей, да и то лишь в случае, когда они не все перестановочны между собой. В частности, при xi = х2 = ... = xh = х произведение хх ... х обозначают, как и при действиях с числами, символом хя, называя его n-й степенью элемента х. Следствием теоремы 1 являются соотношения

xmx" = xm+", (xm)” = xm", m, neN. (2)

В моноиде (Af, -,е) для любого xgM полагают еще х° = е.

Степеням х"е(М, -,е) в моноиде (Af,+, 0) соответствуют кратные пх = х 4- х 4- ... + х элемента х. Правила (2) становятся правилами для кратных:

тх + пх = (/п 4- п) х, п (тх) = (пт) х. (2')

Отметим еще один полезный факт. Если ху = ух в моноиде Af, то

(ху)п = хпуп, n = 0, 1, 2, ...(3)

В частности, это всегда так в коммутативном моноиде. Соотношение (3) доказывается индукцией по л:

(х^)" = (xt/)"-*(xt/) =(х"-1^"-1) (xt/) = (x"~1t/"-1x)^ = = (x^-’xt/"-1) у = (х"-^) (z/"-1z/) = хпуп.

Более общо, при х,-х/ = XjXu I, / = 1, . - -, т, опираясь на соотношение (3) и используя индукцию по т, получаем'

(х. ...= х" . . . х" .(4)

Аналогично, если х + у = у + х и х, + yj = у, + х, при i, / = 1, ..., т, то.'

л(х + у) = пх + пу, л = 0, I, 2, ....(3')

л(Х1 + ... +хт) = ЛХ! + ... + лхт, л—0, 1,2, ... (4')

Обычно моноид (Af, -, е) называют мультипликативным, а (М,+, 0) — аддитивным. Аддитивная запись используется преимущественно в коммутативных моноидах.

Обратимые элементы. Элемент а моноида (Af, -, е) называется обратимым, если найдется элемент b еМ, для которого ab = е = Ьа (понятно, что элемент b тоже будет обратимым). Если еще и аЬ'= = е=Ь'а, то b'— eb'= (ba)b'= b(ab') — be = b. Это дает нам основание говорить просто об обратном элементе а-1 к (обратимому) элементу а г М; а~ха = е = аа-1.'

Разумеется, (а-1)-1 = а. Понятие обратимого элемента моноида служит, очевидно, естественным обобщением понятия обратимой матрицы в мультипликативном моноиде (Afn(R), -,Е).

Так как (xt/) (t/-1x-1) = x(t/y-1)x-1 = xex-1=xx~1 = = е и аналогично (z^x-1) (ху) = е, то (ху')-1=у-"1х-1. Стало быть, множество всех обратимых элементов моноида (М,-,е) замкнуто относительно операции и составляет подмоноид в М.

УПРАЖНЕНИЯ

В п. 2 в качестве примера на Z вводилась операция •: п* m = —п — т, коммутативная, но иеассоциативная. В алгебраической структуре (Z, ♦) выполняются соотношения: (п • т) * т = п, т*(т*п) = п. Пусть теперь нам дана произвольная алгебраическая структура (л, *), в которой (х*^) *д =

= x, у * (у • х) = х для любых х, у е X. Доказать, что х * у = = у * х, т. е. операция * коммутативна. (Никаких указаний к решению не дается, поскольку это одно из самых бесполезных упражнений в книге. Но все-таки!)

Показать, что множество

М°п (R) = < А = (aZj) е Мп (R)М°п (R) = < А = (aZj) е Мп (R)Е «ц — 0. ^=1. 2, /-1Е «ц — 0. ^=1. 2, /-1пп

М°п (R) = < А = (aZj) е Мп (R)

М°п (R) = < А = (aZj) е Мп (R)

Е «ц — 0. ^=1. 2, /-1

Е «ц — 0. ^=1. 2, /-1

п

п

с обычной операцией умножения матриц является полугруппой. Является ли (Л1® (R), -) моноидом? .

В мультипликативном моноиде М выбирается произвольный элемент / и вводится новая операция «: х * у = xty. Показать, что (М, •) — полугруппа и что обратимость элемента / в М — необходимое и достаточное условие, при выполнении которого (М, *) — моноид с нейтральным (единичным) элементом

Показать, что множество Z с операцией °: л°т = л + + т + лт = (1 + л) (1 + т) — 1 является коммутативным моноидом. Что служит в (Z, °) нейтральным элементом? Найти в (Z, °) все обратимые элементы.

§ 2. Группы

1. Определение и примеры. Рассмотрим множество GL« (R ) всех п X n-матриц с вещественными коэффициентами и с отличным от нуля определителем. Согласно теореме 3 § 2 гл. 3 det Л =# О, det В=#0=>- =>de^B#=O. Мы видим, что A, BgGLi(R)=*- ч^АВ е GLn(R); далее, (АВ) С = А (ВС) и существует выделенная матрица Е такая, что АЕ = = ЕА = А для всех ЛеСЬДР). Кроме того, у каждой матрицы ЛеСЬя(К) имеется «антипод» — обратная матрица Л-1, для которой ЛЛ-1 = Л-1 Л = Е.

Множество GL«(R), рассматриваемое вместе с законом композиции (бинарной операцией) (Л, В)*—> ।—*АВ и называемое полной линейной группой степени п над R, можно было бы коротко определить, следуя терминологии § 1, как подмоноид всех обратимых элементов моноида (Mn(R), •, Е). Но этот подмоноид настолько важен, что он заслуживает специального названия и дает веский повод ввести общее

Определение. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы:

11 А. И. Косярвжжн

(GO) на множестве G определена бинарная операция: (х,у)^ху\

(G1) операция ассоциативна: (xy)z = x(yz) для всех х, у, ze G;

(G2) G обладает нейтральным (единичным) элементом е: хе = ех — х для всех х е G;

(G3) для каждого элемента хе G существует обратный хтх: хх-х = х-хх = е.

Мы видели в § 8 гл. 1, что указанным аксиомам удовлетворяет алгебраическая система Sn, названная нами симметрической группой перестановок степени л. Фактически этим важнейшим примером мы предварили общее определение группы.

Удивительно, что одна из старейших и богатейших по результатам областей алгебры, играющая фундаментальную роль в геометрии и в приложениях математики к вопросам естествознания, основывается на столь простых аксиомах. Небольшой анализ показывает, что их можно еще упростить, но эта задача для нас не принципиальна.

Группа с коммутативной операцией называется, естественно, коммутативной, а еще чаще — абелевой (в честь норвежского математика Абеля). Самый термин «группа» принадлежит французскому математику Галуа — подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп «носились в воздухе» (как это часто бывает с основополагающими математическими идеями) задолго до Галуа, и некоторые из ее теорем в наивной форме были доказаны еще Лагранжем. Гениальные работы Галуа оказались непонятыми, и возрождение интереса к ним началось только после книги Жордана «Курс теории перестановок и алгебраических уравнений» (1870 г.). Лишь к концу XIX века в теории групп «совершенно отказываются от фантазии. Взамен этого тщательно препарируется логический скелет» (Ф. Клейн, «Лекции о развитии математики в XIX столетии»).

Для обозначения числа элементов в группе G (точнее, мощности группы) используются равноправные символы Card G, |G| и (G:e). Почти все сказанное в § 1 о моноидах переносится на группы. Следует лишь производить надлежащую замену слов. В частности, подмножество Н a G называется подгруппой в G, если ееН; hx, h2 е Н =^~ hxh2 е Н и

heH=^ h—t e H. Подгруппа H cl G — собственная, если H =/= {e} и H =/= G.

Приведем еще несколько примеров групп.

В уже известной нам полной линейной группе GL„(R) рассмотрим подмножество SL„(R) матриц с определителем 1:

SL„ (R) ={4 е= GL„ (R) | det А = 1}.

Очевидно, что £eSL„(R). Согласно общим результатам гл. 3 об определителях, det А = l,det В = 1 => det АВ = 1 и det А 1 = = (det А)-1 = 1. Поэтому SL„(R)—подгруппа в GL„(R); она иосит название специальной линейной группы степени п над R. Ее называют еще и унимодулярной группой, хотя к последней часто причисляют матрицы с определителем ±1.

ных задач.ных задач.Надо сказать, что группа GL„(R), будучи вместилищем многих интересных групп, является для математиков разных поколений как бы нескончаемым источником новых идей и нерешен

ных задач.

ных задач.

Используя рациональные числа вместо вещественных, мы придем к полной линейной группе GLn (Q) степени п над Q и к ее подгруппе SL„(Q). В свою очередь, SLn (Q) со держит интересную подгруп-6ЬД(К)

nySLn(Z) целочисленных матриц с оп-УЧ,

ределителем 1. Теорема 1 § 3 гл. 3, предлагающая явную формулу для коэф->SLn(R)

фициеитов обратной матрицы, показывает, что SLn(Z) действительно явля-(щ)

ется группой. Группы SLn (Q) и SLrt (Z

■ SLn(Z)< > е*Рис. 11■ SLn(Z)< > е*Рис. 11занимают почетное место в теории чисел. Частично упорядоченное множество (см. п. 4 § 6 гл. 1) рассмотренных подгрупп группы GL„(R) изображается помещенной здесь диаграммой (рис. 11).

■ SLn(Z)

< > е*

Рис. 11

■ SLn(Z)

< > е*

Рис. 11

Положив в примерах 1) и 2) п=1.

мы придем, во-первых, к мультипли

кативным группам R* = R \ {0} = GLi(R), Q*=Q\{0} = = GL! (Q) вещественных и рациональных чисел. Эти группы, очевидно, бесконечны. Так как в (Z, -, 1) обратимыми элементами являются только 1 и —1, то GLi(Z) = {± 1). Далее, SLi (R) = SL! (Q) = SLi(Z) = 1. Но уже при п = 2 группа SL2(Z) бесконечна: ей принадлежат, например, все матрицы

т е Z.т е Z.1 m | |Г 1 01| От т — 11

т е Z.

т е Z.

II0 1|| m 1Г И 11 |

Отметим еще бесконечные аддитивные группы:

'(R, +, 0), (Q, +, 0), (Z, +, 0).

Пусть й— произвольное множество, a £(й)—множество всех биективных (взаимно однозначных) преобразований /: й —»- й. Обратившись к результатам § 5 гл. 1 об отображениях множеств (теоремы 1, 2 и следствие теоремы 2), мы немедленно делаем заключение, что 5(й)—группа с естественной

бинарной операцией, являющейся композицией преобразований. Разумеется, 5 (£2)—подмоиоид всех обратимых элементов моноида M(Q) из примера 1) § 1, но это обстоятельство мы ие склонны подчеркивать. Сама по себе группа S(Q) и в особенности различные ее подгруппы, называемые группами преобразований, — стартовая площадка, с которой начинаются всевозможные применения теории групп. Достаточно упомянуть о знаменитой «Эрлаигеиской программе» Ф. Клейна (1872 г.), положившей понятие группы преобразований в основу классификации различных типов геометрий. Взяв за Q линейное пространство к", мы придем к «большой» и малообозримой группе S(R"). Но в S(R”) содержится подгруппа обратимых (биективных) линейных преобразований фд: R"->-R", находящихся во взаимно однозначном соответствии с невырожденными матрицами А порядка п (см. § 3 гл. 2).

Таким образом, получается вложение GL„(R) в S(R").

Смысл этого вложения станет яснее, когда будет введено важное понятие изоморфизма групп.

Циклические группы. Пусть G — мультипликативная группа (т. е. с операцией умножения), а — ее фиксированный элемент. Если любой элемент g^G записывается в виде g = а" для некоторого mZ, то говорят, что G = <а> — циклическая группа с образующим а (или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа определяется в аддитивном случае: <а> = (ла) л е Z}. Это, конечно, не означает, что все элементы а" или па попарно различны. Условимся в обозначении (а-1)* = а-А и убедимся в справедливости следующего утверждения.

Т е о р ё м а 11 Каковы, бы ни были пт,~ л eZ, amo" = am+",(am)" = am"

(соответственно ma4-na— (m-V-n) a, n (ma) = (nm) a). Доказательство. При неотрицательных m, n см. соотношения (2), (2') в п. 3 § 1. Если m < О, л С 0, то mz = —m > 0, п' = —л > О и

атап = (а-^)тГ (a~l)n' = (a-l)m'+n' = а-(т'+п') = ат+п

При т' = —т > 0, л > 0 имеем

aman=(a-t),n ^ = (й-1 ... a-1) (а ... a) = a"-m'

(или (a-1)m ~", если т' ^ п) = ат+п.

Аналогично рассматривается случай т > 0, л < 0.

Равенство (ат)* = атп вытекает из предыдущего и достаточно очевидно из определения степеней. ■

Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа целых чисел (Z, +, 0), порожденная обычной единицей 1 или —1. Легко проверить, далее, что матрица j^ J| порождает в SL2(Z) бесконечную циклическую подгруппу. Множество {I,—1} является по умножению циклической группой порядка 2.

Пример циклической группы порядка п получается, если рассмотреть все вращения на плоскости вокруг некоторой точки 0, совмещающие с собой правильный га-угольник Рп с центром в точке 0. Очевидно, что эти вращения образуют группу, под их произведением следует понимать последовательное выполнение преобразований. Наша группа С„ содержит вращения .„ 2л .

Фп, Фь - . Фа—1 против часовой стрелки на углыО,-^—,, (га — — !)■”•• При этом ф5 == ф|, а из геометрических соображений видно, что ф*1 =ф7~* и ф” = Фо (единичное преобразование). Итак, |С„| = га и С" = <ф[>- Заметим, что циклическая группа С„ является собственной подгруппой группы Dn всех преобразований симметрии га-угольиика Рп (т. е. совмещений Рп с собой).

Пусть снова G — произвольная группа, а — некоторый ее элемент. Имеются две возможности: 1) Все степени элемента а различны, л*, е. т^ п=^- ат ч^ а,п. В этом случае говорят, что элемент а е G имеет бесконечный порядок. 2) Имеются совпадения ат=а№ при т#= п. Если, например, т > п, то ат-п = е, т. е. существуют положительные степени элемента а е G, равные единичному элементу. Пусть q— наименьший положительный показатель, для которого aq = е. Тогда говорят, что а — элемент конечного порядка q. В конечной группе G (Card G < оо) все элементы, разумеется, будут конечного порядка.

Предостережение. Слово «порядок» в математике многозиачио. Мы говорили раньше о квадратных матрицах порядка га (матрицах размера пХ^, но невырожденная матрица А, рассматриваемая как элемент группы GL,,(R), имеет также порядок (возможно, бесконечный) в только что указанном смысле. Каждый раз будет ясно из контекста, о чем идет речь

На фоне приведенного выше примера циклической группы порядка п следующее утверждение почти очевидно.

Теорема 2. Порядок любого элемента а е G (G—абстрактная группа) равен Card <а>. Если а — элемент конечного порядка q, то

<а) = {е, а, .... а»-1} и аА = е <=> k = lq, leZ.

Доказательство. В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего. Если а — элемент порядка q, то по определению все элементы е, а, а2, ..., а’-1 различны. Любая другая степень ак совпадает с одним из этих элементов, т. е. <а> = {е, а, ..., а9-1}. В самом деле, воспользовавшись алгоритмом деления в Z (п. 3 § 9 гл. 1), запишем показатель к в виде

k = Zq4-r, 0<r^q — 1,

после чего, оперируя со степенями по правилам, изложенным в теореме 1, получим

ак = (а4)1 аг = еаг = а!\

3. Изоморфизмы.3. Изоморфизмы.В частности, ak = e=>r = Q=>k = lq. 1

3. Изоморфизмы.

3. Изоморфизмы.

Как уже отмечалось ранее, три вращения ф0, фь ф2 против часовой стрелки на углы 0°, 120°, 240° переводят правильный треугольник Р3 в себя. Но имеются еще три о&евых- преобразования, симметрии (отражения) фь -ф2, Фз с указанными на рис. 12 осями симметрии 1Г, 22',

33'. Всем шести преобразо

ваниям симметрии соответствуют перестановки на множестве вершин треугольника. Мы получаем

Фо~е, ф]~(123), ф2~(132),

Ф1~(23),^2~(13),фз~(12).

Так как других перестановок степени 3 нет, то можно утверждать, что группа D3 всех преобразований симметрии правильного треугольника обнаруживает большое сходство с симметрической группой S3.

В том же смысле близки друг другу циклические группы С„ (см. пример в п. 2) и <(12... п)> С2 Sn. Эти факты, а также общие размышления о группах

не могут не приводить к весьма естественному вопросу о наиболее существенных свойствах групп. На первый взгляд полная информация содержится в таблице умножения группы G, называемой таблицей Кэли*.

gi

g2 gn - • •

glglgl

glg2 - - - glgn - • •

g2g2gl

gngngl

g2g2 - - - g2gn - • •

gng2 • • • gngn • • •

Действительно, многие закономерности группы можно уловить из рассмотрения ее таблицы Кэли или, что то же самое, — матрицы Л1 = (т(/) (размера пХ^, если n = (G:e)) с элементами тц = = gigi*= G- Мы замечаем, например, что среди элементов каждой строки и каждого столбца матрицы М любой элемент группы G встречается ровно один раз (см. ниже доказательство теоремы 4). Группа G абелева тогда и только-тогда, когда матрица М — симметрическая, т. е. mij = m,ji. Этот список свойств можно было бы продолжить, но все-таки сравнивать две таблицы для групп G, G' одинакового порядка довольно затруднительно, потому что вид матрицы М зависит от нумерации (расположения) элементов группы, а уж в случае бесконечных групп ситуация еще более усложняется.

Самый правильный и самый радикальный подход к различению (или, напротив, к отождествлению) групп G и G' предлагает понятие изоморфизма.

Определение. Две группы G и G' с операциями * и ° называются изоморфными, если существует отображение f: G—* G' такое, что:

(i) f (а * 6) = f (a) °f (b) для всех a, beG;

(И) f биективно.

Факт изоморфизма групп часто обозначается символически G as G'.

Отметим простейшие свойства изоморфизма.

Единица переходит в единицу. Действительно, если е — единица группы G, то е*а = а*е=а, и, значит, f(е) »f(а) = f(а) »^(е) = f(а), откуда следует, что f(e)=e'— единица группы G'. В этом рассуждении использованы, хотя и частично, оба свойства f. Для (i) это очевидно, а свойство (п) обеспечивает сюръективность Д так что элементами f(g) исчерпывается вся группа Gz. 1

f(а-1) = f(а)-1. В самом деле, согласно 1), f(a) »f (а-1) = f(a * а-1) = f(e) = е'— единица в G', откуда

/ И"1 = f (а)"1 о е' = f (а)"' - (f (а)» f (а"1)) =

= О (а)"1 о f (а)) о f (а-1) = е'» f (а~^ = f (а"1). ■

Обратное отображение f~x-. G'-*-G (существующее в силу свойства (П)) тоже является изоморфизмом.

В силу следствия теоремы 2 § 5 гл. 1 надо убедиться лишь в справедливости свойства (i) для f”1. Пусть а', b'eG'. Тогда ввиду биективности f имеем a* = f(a), b'— f(b) для каких-то a, beG. Поскольку f — изоморфизм, а' • b' = f (а) •> f (b) = f (а * Ь). Отсюда имеем a*b = f~l (а' о Ь'), а так как, в свою очередь, a=f-1(az), b=f-x(b'), то f-1 (а' ° b') = «ГЧа'^ГЧ^. 1

Несложная проверка показывает, что установленное нами соответствие — между группами D$ и З3 является иа самом деле изоморфизмом.

В качестве изоморфного отображения f мультипликативной группы (R+, •) положительных вещественных чисел иа аддитивную группу (R, +) всех вещественных чисел может служить f = In. Известное свойство логарифма In ab = In а + In b как раз моделирует свойство (i) в определении изоморфизма. Обратным к f служит отображение х ь—» ех.

Докажем теперь две общие теоремы, иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп.

Теорема 3. Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного) изоморфны.

Доказательство. В самом деле, если <g>—■ бесконечная циклическая группа, то все степени g* образующего g различны, и мы получим изоморфизм f: <g>-*4Z,+). полагая gni—*f(gn) = n. Биектив-

ность f очевидна, а свойство f(^,n5")==/:(5")4-f(5,n) вытекает из теоремы 1.

Пусть теперь G = (е, g, ..., g^-1} и G' = (е', g*, .... (g'V^—Две циклические группы порядка q (операции в G и G' не различаем). Определим биективное отображение

h g*^*^,6 = 0, 1, ...» q—\.

Полагая п + т = lq + г, O^r^q—1, для любых п, т = 0, 1, .... q—1 и рассуждая как при доказательстве теоремы 2, будем иметь

t ^^^ = f (gr) = teT=W+m=W (^T =

= tkga>)tk^Y ■

Теорема 4 (Кэли). Любая конечная группа порядка п изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы Sn.

Доказательство. Пусть G — наша группа, n = |G|. Можно считать, что S№— группа всех биективных отображений множества G на себя, так как природа элементов, переставляемых элементами из Sn, несущественна.

Для любого элемента а е G рассмотрим отображение Lo" G-*G, определенное формулой

Utg^ag

(очевидно, мы повторяем определение из п. 5 § 8 гл. 1). Если е = g\, g2, .... gn — все элементы группы G, то a, aga, ..., ag„ будут те же элементы, но расположенные в каком-то другом порядке (вспомним таблицу Кэли!). Это и понятно, поскольку agi = agjа~^ ^ag^ = а~1 (ag^ =ф-

=$► (а~ *а) gt = (а~ la^ g}=^ gt = gb

Значит, Lo — биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет La1 = La-t. Единичным отображением является, естественно, Le.

Используя вновь ассоциативность умножения в G, получаем Lab (g) = (ab) g = a(bg)— La{Lbg), т. e. LabLa e Lb*

Итак, множество Le, Lg^ ..., Lg^ образует подгруппу, скажем H, в группе S(G) всех биективных

отображений множества G на себя, т. е. в Sn. Мы имеем включение HcSn и имеем соответствие L: at—>La^H, обладающее по вышесказанному всеми свойствами изоморфизма. 1

Теорема Кэли, несмотря на свою простоту, имеет важное значение в теории групп. Она выделяет некий универсальный объект (семейство {5„|л=1, 2, ...} симметрических групп) — вместилище всех вообще конечных групп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма. Фраза «с точностью до изоморфизма» отражает сущность не только теории групп, стремящейся объединить в один класс все изоморфные группы, но и математики в целом, которая без таких обобщений была бы лишена смысла.

Положив G' = G в определении изоморфизма, мы получим изоморфное отображение ф: G—G группы G на себя. Оно называется автоморфизмом группы G. Например, единичное отображение во", g'—*g (далее обозначаемое просто через 1)—автоморфизм, но, как правило, G обладает и нетривиальными автоморфизмами. Свойство 3) изоморфных отображений показывает, что отображение, обратное к автоморфизму, тоже будет автоморфизмом. Если, далее, ф, ф— автоморфизмы группы G, то (ф о ф) (ай) = ф (ф (ай)) = = ф(ф(а)ф (6)) = (ф °ф) (а) • (ф ° ф) (Ь) для любых a, beG. Стало быть, множество Aut(G) всех автоморфизмов группы G образует группу — подгруппу- группы S(G) всех биективных отображений G—^G.

Гомоморфизмы. В группе автоморфизмов Aut(G) группы G содержится одна особая подгруппа. Она обозначается символом Inn(G) и называется группой внутренних автоморфизмов. Ее элементами являются отображения

Za: g^aga~x.

Небольшое упражнение показывает, что 1а действительно удовлетворяет всем свойствам, требуемым от автоморфизмов, причем 1»Х = 1а-ч Ie = 1 —единичный автоморфизм, 1а«1ь = 1аЬ (ТЭК КЭК UaoIb)^g^ = = laGb^g^ = lakbgb-^ = abgb-xa-x = abg^ab^^ = = I«b^Y

f: G —Inn(G)f: G —Inn(G)Последнее соотношение показывает, что отображение

f: G —Inn(G)

f: G —Inn(G)

группы G на группу Inn(G) ее внутренних автоморфизмов, определенное формулой f(a) = Io, a^G, обладает свойством (i) изоморфного отображения: f(a) °tW = Haby Однако свойство (И) при этом не обязано выполняться. Если, например, G — абелева группа, то aga-1 = g для всех a, geG, так что 1а = 1е, и вся группа Inn(G) состоит из одного единичного элемента 1е. Это обстоятельство делает естественным следующее общее

Определение. Отображение f: G-*-G' группы (G, *) в (G', о) называется гомоморфизмом, если

Va, b ^G f (а * b) = f (а) о f (b)

(другими словами, выполняется только свойство (i) из определения изоморфизма).

Ядром гомоморфизма f называется множество

Ker f = {g г G[f (g) = e'— единица -руппы G'}.

Гомоморфное отображение группы в себя называется еще ее эндоморфизмом.

В этом определении от f не требуется не только биективности, но и сюръективности (т. е. быть отображением «на»), что, впрочем, не очень существенно, поскольку всегда можно ограничиться рассмотрением образа ImfczG', являющегося, очевидно, подгруппой b.GL Главное отличие гомоморфизма /от изоморфизма. заключается в наличии—нетривиального ядра Kerf,-- являющегося, так сказать, мерой неинъективности f. Если же Kerf ={е}, то f: G—►Imf— изоморфизм.

Заметим, что

f (a) = г', f(b) — e' => f (a* b) —f (а) ° f (b) = е'»г'=е'

Ца-i^f (a)-1 = (e')-i = e'.

Поэтому ядро Ker f — подгруппа в G.

Словарик. Примеры. Стоит отметить, что термины «сюръективное отображение» (отображение «на»), инъективное (отображение вложения), биективное (взаимно однозначное отображение), применимые к отображениям любых множеств (без операций), в случае групп (и в случае других алгебраических структур) заменяются соответственно терминами эпиморфизм (гомоморфизм «на»), мономорфизм

(гомоморфизм с единичным ядром), изоморфизм (взаимно однозначный гомоморфизм—эпиморфизм и мономорфизм одновременно). Имеется тенденция к замене гомоморфизма термином .морфизм. Этот словарик полезно иметь в виду при чтении математической литературы, но на первых порах желающие могут обойтись двумя терминами: изоморфизм и гомоморфизм с добавлениями «в» и «на».

В дополнение к рассмотренным выше приведем еще несколько примеров морфизмов групп.

Аддитивная группа целых чисел Z гомоморфно отображается на конечную циклическую группу (s) порядка q, если положить f: ль-* gR (см. теорему 2 § 2). В этом случае, очевидно, Ker f = Uq | / е Z}. В самом деле, ясно, что {/<?} cz Ker f. Обратное включение следует из теоремы 1.

Отображение f: R —► Г = SO (2) аддитивной группы вещественных чисел на группу Т вращений плоскости с неподвижной точкой 0, задаваемое формулой f (X) = Фх (Фх — вращение против часовой стрелки на угол 2лХ), гомоморфно, так как Фх “ Фр. = Фх+ц- Вращение на угол, целочисленно кратный 2л» совпадает с единичным вращением (на нулевой угол), поэтому Kerf = Z. Говорят также; что f — гомоморфизм R на окружность S1 единичного радиуса, поскольку имеется взаимно однозначное соответствие между Фх и точкой на S1 с полярными координатами (1, 2лХ), 0 ^ 1 <С 1.

Полная линейная группа GLm(R) вещественных матриц А (т. е. матриц с коэффициентами в R) с не равным нулю определителем det А гомоморфно отображается на мультипликативную группу R* отличных от нуля вещественных чисел, если положить f = det Условие гомоморфизма ЦАВ) = f(A)f{B) — лишь иная формулировка теоремы 3 § 2 гл. 3. По определению SL(n) = Ker f.

Рассмотрим циклическую группу С2 = (—1) = {1, —1} порядка 2. Если угодно, ее можно задать абстрактно таблицей Кэлн:

1 —1

Отображение 5„-*-Сг при помощи известной нам функции в = sgn: л I—* ея (знак перестановки л) является гомоморфизмом симметрической группы S„ на Сг- Ядро Кет е = Ап порядка п!/2 (см. п. 3 § 8 гл. 1) называется знакопеременной группой.

Бесконечная группа может быть изоморфна своей истинной (собственной) подгруппе. В самом деле, аддитивная группа (Z, +) содержит собственную подгруппу nZ = {nA [ k е Z), где n > 1 — фисированное натуральное число. Легко проверяется, что отображение yn: Z -* nZ, определенное соотношением gnW — nk, является изоморфизмом. Попутно заметим, что Z

и riZ — бесконечные циклические группы, в которых образующими служит соответственно 1 или —1 и п или —п; поэтому g№ н отображение А I—> — nk исчерпывают все изоморфизмы Z -> nZ.

Группа Aut(G) и даже отдельный неединичный элемент феАи1(О) могут служить источником важных сведений о группе G. Вот яркий пример такого рода. Пусть G — конечная группа, на которой действует автоморфизм ф порядка 2 (ф2 = 1) без неподвижных точек:

а ^ е =*• ф (а) ^ а.

Предположим, что ф(а)а~* = ф(6)6~1 для каких-то а, beG. Тогда после умножения этого равенства слева на ф(6)~* и справа на а получим ф(6)-1ф(а) = Ь-1а, т. е. ф(6~*а) = 6~*а, откуда Ь—1а = е и b = а. Итак, ф(а)а~1 пробегает вместе с а все элементы группы G, или, что равносильно, любой элемент geG записывается в виде g = ф(а)а~*. Но в таком случае ф(£) = ф(ф(а))ф(а~,)=ф2(а)ф(а-*) = аф(а)-1 = (ф^)^')"' = = g—l. Итак, ф совпадает с отображением g I—> g~ ’. Зная это, получаем ab = ф(а~1)ф(А~1) = ф(а-16-1) = (а-^-1)-* = Ьа, т. е. группа G оказывается абелевой! Кроме того, (О : е) — нечетное число, ибо G состоит из е и непересекающихся пар элементов g^ g71 = Ф (gty

Насколько можно изменить операцию на группе, не меняя, в смысле изоморфизма, самой группы, показывает следующий пример (см. также упражнение 3 § 1). Пусть G — произвольная группа, t — ее какой-то фиксированный элемент. Введем на множестве G новую операцию:

(ST, А) I—> g * А = gth.

Непосредственно проверяется, что (^i * g^ * gs = gi* (ga*gs)» т. e. операция * ассоциативна. Кроме того, g * t-1 = t-1 * g = g и g* (t~lg~lt~i) = (^‘g-1!-1) • g = tr1, а это значит, что (G, *) — группа с единичным элементом е» = /“*. Элементом, обратным к g в (G, *), служит g~X = t~xg~xt~x. Отображение f: g\—* gt — x устанавливает изоморфизм групп (G, -) и (G, *), т.е. /(gA) -/(g) еЦ^.

Все указанные примеры служат, между прочим, иллюстрацией к одному общему правилу: изучение морфизмов группы G дает значительную информацию о самой группе G.

' УПРАЖНЕНИЯ

Доказать, что пересечение Q Hi любого семейства iel

{Hi | t е Z} подгрупп группы G является подгруппой.

Говорят, что группа G порождается подмножеством 3 своих элементов, и пишут G = (8) , если пересечение всех подгрупп Н, содержащих 3, совпадает с G (другими словами, в G нет хотя бы одной собственной подгруппы, содержащей 3). Показать, что в случае G = (8) каждый элемент geG имеет вид

g = tdi.-.t», п = 1, 2,, где либо Z; eS, либо tT1 ^ 3, 1 ^ ^ Z ^ я.

Показать, что перестановочные элементы а, b произвольной группы G, имеющие взаимно простые порядки s, t, порождают в G циклическую подгруппу порядка st: <а, 6> = <а6>. (Указание. Включение (аб) с <а, 6> = {а'6' | 0 ^ Z ^ s — 1, О ^ / ^ Z— 1} очевидно. Вместе с тем, согласно п. 3 § 9 гл. 1, нз НОД (s, Z) = 1 следует, что tk 4- si = 1 для некоторых к, leZ. Поэтому, с учетом теоремы 1, а = al—sl = а** = = а<*6<* = (аб)'* е<а6>. Аналогично, 6е<а6), н, стало быть, (а, 6) с: <а6>.)

Показать, что если М = <3> — моноид, порожденный множеством S, н каждый элемент s еЗ обратим в М, то М — группа.

Группа — это моноид G, в котором уравнения вида ах = = b, ya = b однозначно разрешимы при любых a, b е G. Доказать это утверждение.

Показать, что множество A<(R) так называемых аффинных преобразований <ра, ь: х i—> ах 4- b (а, 6 е R; а ^ 0) вещественной прямой R образует группу с законом умножения фа, »фс, d = фас, ad+ь- В группе At(R) содержится подгруппа GLi(R), оставляющая точку х = 0 на месте, и подгруппа «чистых сдвигов» х ।—* х 4~ Ь.

Группа SL2(Z) содержит элементы А=|^ q|> В =

= | ^* | порядков 4 и 3 соответственно. Показать, что

(АВ) —бесконечная циклическая подгруппа в SL2(Z). Таким образом, пронзведенне двух элементов конечного порядка в группе G не обязано быть элементом конечного порядка. А как обстоит дело в абелевой группе?

Доказать, что группа G четного порядка [ <7 [ = 2п обязательно содержит элемент- g =Ае порядка 2. (Указа н-н е. Рассмотреть разбиение G на пары g, g~*.)

Доказать, что 3„ = <(12), (13), .... (1л)>.

Доказать, что Зл = ((12), (123...я))..

Доказать, что знакопеременная группа А„, я ^ 3, порождается циклами длины 3, причем на самом деле

А„=((123), (124), .... (12я)>.

Доказать, что Л-я степень л* цикла л = (12...я)е5„ является пронзведеннем d = НОД (л, А) независимых циклов, каждый из которых имеет длину q = n/d.

Показать, что порядок перестановки л е Зл ( = порядок циклической подгруппы (л) ) равен наименьшему общему кратному длин незавнснмых циклов, входящих в разложение л.

Пусть А, В eM„(R) и (AB)m = Е для некоторого целого числа т. Верно ли, что (BA)m = Е?

Доказать, что непустое подмножество Н конечной (мультипликативной) группы G является подгруппой, если Н замкнуто относительно умножения. Значит, в данном случае требования существования в Н единичного элемента е н обратного h~1 для каждого he Н излишни.

Какую систему образующих можно предложить для мультипликативной группы (Q+, -) положительных рациональных чисел? (Указание. Использовать основную теорему арифметики из § 9 гл. 1.) Существует ли b(Q+, -) конечная система образующих?

Доказать, что с точностью до изоморфизма существует лишь конечное число р(л) групп данного порядка л. (Указание. Оценить сверху число различных таблиц Кэли порядка п. Формальные рассуждения с использованием теоремы 4 ограничи-

вают р(л) числомвают р(л) числомразличных подмножеств в S, из л эле

вают р(л) числом

вают р(л) числом

но хорошейно хорошейментов. На самом деле р(л) значительно меньше.

но хорошей

но хорошей

оценки, приближающейся к точной, пока не найдено )

Используя упражнение 10, показать, что каждая конечная группа может быть вложена (т. е. для нее существует мономорфизм) в

А»А»<Ж23)<Ж23)Рис. 13Рис. 13конечную группу с дву- угЗ^С^ФфОЗФфС- мя образующими.

А»

А»

<Ж23)

<Ж23)

Рис. 13

Рис. 13

Попробуйте убедиться, что на диаграмме (рис. 13) изображены все подгруппы знакопеременной группы Л4 Символом У4 обозначена так называемая четверная группа (или группа Клейна) У4={е, (12) (34),

(13)(24), (14)(23), а во

зле других вершин, диаграммы поставлены образующие циклических подгрупп.

L\L\LaLaО — 1 1О — 1 1Ч I”1°| II-1 — 1 Г 0Ч I”1°| II-1 — 1 Г 0°1 Р-ill’ 1110 II II ~1 1 ’ о°1 Р-ill’ 1110 II II ~1 1 ’ о— 1 О О— I— 1 О О— IПоказать, что все группы порядка 4 абелевы и с точностью до изоморфизма исчерпываются группами перестановок U = <(1234)>, V4 или же группами матриц:

L\

L\

La

La

О — 1 1

О — 1 1

Ч I”1

°| II-1 — 1 Г 0

Ч I”1

°| II-1 — 1 Г 0

°1 Р

-ill’ 111

0 II II ~1 1 ’ о

°1 Р

-ill’ 111

0 II II ~1 1 ’ о

— 1 О О

— I

— 1 О О

— I

Выписать в явном виде изоморфизмы U —► Li, У* —► La. (Указание. Если х2 = е для любого элемента х g 6, то аЬаЬ = = в =*- аЬ = Ь—1а~х = b ttr^y1 ta-^a — beea = ba.)

Кольца и поля

Определение и общие свойства колец. Алгебраические структуры (Z,+), (Z, •) выступали у нас в качестве самых первых примеров моноидов, причем

на (Z, +) мы смотрели позднее как на аддитивную абелеву (фактически циклическую) группу. В повседневной жизни, однако, эти структуры чаще всего объединяются и получается то, что в математике называется кольцом. Важный элемент элементарной арифметики заключен в дистрибутивном (или распределительном) законе (а + Ь)с = ас 4- Ьс, кажущемся тривиальным только в силу приобретенной привычки. Попытавшись, например, объединить алгебраические структуры (Z,+), (Z, »), где п о т = п + т + пт, мы уже не заметим столь хорошей согласованности между двумя бинарными операциями. Прежде чем переходить к дальнейшим примерам, дадим точное определение кольца.

Определение. Пусть К — непустое множество, на котором заданы две (бинарные алгебраические) операции 4~ (сложение) и - (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:

(К1) (К,+)— абелева группа;

(К2) (К, •) — полугруппа;

" (КЗ) операции сложения и умножения связаны дистрибутивными законами (другими словами: умножение дистрибутивно по сложению):

(а 4- 6) с = ас + Ьс, с (а 4- 6) = са 4- cb

для всех a, bs с g К-

Тогда* (К, 4~. •) называется кольцом.

Структура (К, 4~) называется аддитивной группой кольца, а (К, •)—его мультипликативной полугруппой. Если (Л,-)— моноид, то говорят, что (К, 4~» *) — кольцо с единицей.

Единичный элемент кольца принято обозначать обычной единицей 1. Существование 1 часто вносится в определение кольца, но мы этого делать не будем.

В приложениях и в общей теории колец (а такая теория, и притом чрезвычайно развитая, существует) рассматриваются алгебраические структуры, в которых аксиома (К2) либо совсем устраняется, либо заменяется другой — в зависимости от конкретной задачи. В таких случаях говорят о неассоциативных кольцах. Пока у нас будут только обычные ^ассоциативные) кольца. Это значит, что мы можем опираться на теорему 1 § 1 и не заботиться о расстановке ско-

бок в произведении ахаг ... afe любого числа к элементов кольца.

Подмножество L кольца К называется подкольцом, если

х, yeL=^x— y^L и ху е L,

е. если L — подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца.

Ясно, что пересечение любого семейства подколец в К является подкольцом (рассуждения те же, что и в упражнении 1 § 2) и, стало быть, имеет смысл говорить о подкольце <Т> с: К, порожденном подмножеством Т а К. По определению <Т> — пересечение всех тех подколец в К, которые содержат Т. Если с самого начала Т было подкольцом, то <Т> = Т.

Кольцо называется коммутативным, если ху = ух для всехх,уеК (в отличие от групп, коммутативное кольцо не принято называть абелевым!)

Понятие кольца в том виде, как оно введено нами, является весьма широким. Более того, класс коммутативных колец, кажущийся на первый, взгляд довольно специальным, был предметом усиленного изучения в течение многих десятилетий, и в настоящее время теория коммутативных колец переплетается с алгебраической геометрией — красивой математической дисциплиной, пограничной между алгеброй, геометрией и топологией.

Примеры. 1) (Z, +, •) — кольцо целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Множество mZ целых чисел, делящихся на пг, будет в Z подкольцом (без единицы при m > 1). Диалогично кольцами с единицей являются Q и R, причем естественные включения Z cz Q cz R определяют цепочки подколец кольца R.

Свойства операций сложения и умножения в Af„(R), введенные и подробно изученные нами в гл. 2, позволяют утверждать, что М„(к)—кольцо с единицей 1 = Е. Ойо называется полным матричным кольцом над R, а также кольиом квадратных матриц порядка п (или размера л X л) над R. Это одни из самых важных примеров колец. Так как при л > 1 матрицы, как правило, неперестановочиы, то M„(R) — некоммутативное кольцо. Оно содержит в качестве подколец кольца Мп (Q) и М„ (Z) квадратных матриц того же порядка иад Q и иад Z соответственно. Вообще Mn(R) насыщено всевозможными подкольцами. Время от времени некоторые из них будут возникать у иас естественным образом. Заметим еще, что можно рассматривать кольцо квадратных матриц Мп(.К^ иад произвольным коммутативным кольцом К, поскольку при сложении и умиоже*

12 А. И. Кострежин

нии двух матриц Л, В е М„(К) будет снова получаться матрица с коэффициентами из К, а законы дистрибутивности в МЯ(К) являются следствиями аналогичных законов в К- Все это прямо вытекает из формальных правил действий с матрицами, подытоженных в пп. 2 и 5 § 3 гл. 2.

Наряду с кольцом матриц в различных разделах математики широко используется также кольцо функций. Именно, пусть X — произвольное множество, К — произвольное кольцо. Пусть, далее, Кх = {X —► К} — множество всех функций (или, что то же самое, отображений) /: X —► К. рассматриваемое вместе с двумя бинарными операциями — поточечной суммой f + g и поточечным произведением fg, определенными следующим образом:

(7 + g)W = f (х)ф^г(х),ag) w=fw©g(x)

(ф и О — операции сложения и умножения в К). Это, очевидно, не та композиция (суперпозиция) функций, которая привела нас в случае линейных отображений к Кольцу М„. Скорее, мы становимся здесь на точку зрения, принятую в математическом анализе, когда, например, при X = R, К = R, произведением функций tg и sin будет tg • sin; х i—> tg х • sin х, а не tg° sin: х ь-*- tg (sin x).

Без труда проверяется, что Кх удовлетворяет всем аксиомам кольца. Так, ввиду дистрибутивности операций в К имеем

[f (х) Ф g (х)] О h (х) = f (х) 0 h ^ Qg^)Qh (х) для любых трех функций f,g,h^Kxe любого хг X, а это по определению поточечных операций дает (f + g) h = fh + gh. Справедливость второго дистрибутивного закона устанавливается аналогично. Если 0, 1 — нулевой и единичный элементы в К, то

0^: х ।—> 0, 1 ^: х I—> 1

— постоянные функции, играющие роль нуля и единицы в Кх- В случае коммутативности К кольцо функций Xх также коммутативно.

Кольцо Xх содержит разнообразные подкольца, определяемые специальными свойствами функций. Пусть, например, X = = [0, 1] —замкнутый интервал в R и К = R. Тогда кольцо R|0. 1] всех вещественных функций, определенных на [0, 1], содержит в качестве подколец кольцо R^/p1* всех ограниченных функций, кольцо Кнепр всех непрерывных функций, кольцо Кднф* всех непрерывно дифференцируемых функций и т. д., поскольку все отмеченные свойства сохраняются при сложении (вычитании) и умножении функций.

Каждому числу а е R отвечает постоянная функция а*", х ।—* а, и отображение вложения a i—> ах позволяет рассматривать R как подкольцо в Rz. Словом, почти каждому естественному классу функций соответствует свое подкольцо в Rz. . 4) На любой аддитивной абелевой группе (А, +) соотношением ху = 0 для всех х, у е А устанавливается структура кольца с нулевым умножением.'

Многие свойства колец являются переформулировками соответствующих свойств групп и вообще — множеств с одной ассоциативной операцией. Например, атап = ат+в, (ат)в=атв для всех неотрицательных целых т, п и всех а г К (ср. с соотношением (2) § 1). Другие свойства, более специфические для колец и вытекающие прямо из аксиом кольца, моделируют, по существу, свойства Z. Отметим некоторые из них. Во-первых,

а-О = О-а = О для всех а s К. (1)

Действительно, а 4-0= а=Ф-а(а 4-0) = аа^а2 44- а - 0 = а2=>а2 4- а • 0 = а2 4- 0=> а • 0 = 0 (аналогично 0 • а = 0).

Теперь, предположив на момент, что 0=1, мы получим а = а-1 = а-0 = 0 для всех аеК, т. е. К состоит только из нуля. Стало быть, в нетривиальном кольце К всегда 0=^1. Далее,

(-а)-6 = а(-6)=-(аб),(2)

поскольку, например, из (1) и аксиомы дистрибутивности следует

0 = а • 0 = а(Ь — b) = ab 4- а(— 6) =>а(— 6) = — (об).

(3)

Так как —(—а) = а, то из (2) получаем равенства (—а) (—Ь\= ab (например, (—1) (—1)=1), —а = (—!)• а.

Аксиома дистрибутивности имеет своим следствием общий закон дистрибутивности

(aL 4- • • • 4~ ^я) (^1 4- ... 4- 6т) = 52 52 aibj, (4)

<>i/-1

в чем нетрудно убедиться рассуждением по индукции, сначала (при m = 1) по л, а затем по пг. Используя теперь (1), (2) и (3), получим

п (ab) = (па) b = a (nb)

для всех n s Z и а, b е К.

Наконец, отметим биномиальную формулу (бином Ньютона)

(a4-6)" = £(")a'6n-z,(5)

Z-0

справедливую для всех a, be К, но только в коммутативном кольце К- При доказательстве (5) нужно, опираясь на (4), действовать так же, как и в § 7 гл. 1, где рассмотрен частный случай К = Z.

Сравнения. Кольцо классов вычетов. Пусть т— фиксированное натуральное число, т > 1. Множество mZ, очевидно, замкнуто не только относительно операции сложения, но и относительно операции умножения, удовлетворяя всем трем аксиомам кольца.

Теперь, используя подкольцо mZ с= Z, построим ненулевое кольцо, состоящее из конечного числа элементов. С этой целью введем

Определение. Два целых числа п, п' называются сравнимыми по модулю т, если при делении на т они дают одинаковые остатки. При этом пишут п^ п* (т) или п = п* (mod/n), а число т называют модулем сравнения.

Получается разбиение Z на классы чисел, сравнимых между собой по модулю т и называемых классами вычетов по модулю т. Каждый класс вычетов имеет вид

{r}m = г + mZ — {г + тк ] к е Z}, так что

Z = {0}m U Шт U U (т - 1}т. (6)

По определению, п^п' (т)-ФФ-л— п' делится на т. Удобство записи п = п* (т) для отношения делимости тЦп—п') состоит в том, что с такими сравнениями можно оперировать совершенно так же, как с обычными равенствами. А именно, если кг к' (т) и 1г1' (т), то к ± I = к' ± V (т) и kl^k'l' (т).

В частности, к = k'(т)=^ ks — k's(m) для любого seZ.

Таким образом, каждым двум классам {&}т и {/}т, независимо от выбора в них представителей к, I, можно сопоставить классы, являющиеся их суммой или произведением, т. е. на множестве Zm — = Z/mZ классов вычетов по модулю т однозначным образом индуцируются операции ф и 0:

ШтФШЖ={НП.,

Шт О Шт = №т- ' '

Так как определения этих операций сводятся к соответствующим операциям над числами из классов вычетов, т. е. над элементами из Z, то {Zm, ф, ©} будет также коммутативным кольцом с единицей {!}« — 1 + mZ. Оно называется кольцом классов вычетов по модулю пг. При небольшом навыке (и фиксированном модуле) индекс пг опускают и пишут 5 вместо {А}т, так что

ке^м7!,к © I = М-

Высший этап освоения с Zm, кажущийся на первый взгляд кощунственным, но представляющий явные технические преимущества, заключается в том, что отказываются от черточек и кружочков и оперируют с каким-нибудь фиксированным множеством представителей по модулю пг, чаще всего — с множеством {О, 1, 2пг—1} (оно называется приведенной системой вычетов по модулю пг^. Скажем, в соответствии с этим соглашением, —к = т— к, 2(пг—1) = = —2 = m — 2. •

Итак, конечные кольца существуют. Приведем три простейших примера, указывая отдельно таблицы сложения и умножения:

+

0 1-

0 1

Z2:0

1

0 10

1 01

0 0

0 1

о

1 2

О 1 2

Zs:О0 12

112 0

22 0 1

000 0

1012

202 1

+0 12 3

-0123

2«: о 1 2 3

0 12 3 12 3 0

2 3 0 1 3Q12

о 1

2 3

0 0 0 0

0 0 2 3

0 2 0 2

0 3 2 1

Кольцо вычетов Zm издавна привлекало внимание теоретико-числовиков, а в алгебре служило отправным пунктом для разного рода обобщений.

Гомоморфизмы колец. Отображение f: л>—> {n}m обладает в силу (7) следующими свойствами: f(£ + /) = fW® f(l), f(kl) = f(k)Q f(l). Это даетнам основание говорить о гомоморфизме колец Z и Zm в соответствии с общим определением.

Определение. Пусть (К,+, •) и (К', ф, О)— кольца. Отображение f: К-^К' называется гомоморфизмом, если оно сохраняет все операции, т. е. если f(a + 6) = f(a)ef(»), f(a6) = f(a)Of(6).

При этом, конечно, f(0) = 0' и f(na) = nf(a), m.Z.

Ядром гомоморфизма f называется множество Kerf = {aeK]f(a) = O'}.

Ясно, что Kerf—подкольцо в К-

Как и в случае групп (см. словарик в. п. 5 § 2), гомоморфизм f: К*-^-К' называется мономорфизмом, если Ker f = 0; эпиморфизмом, если образ совпадает с К':

\mf = HK^ = {а' е К' I а' = f (а)} = К';

и изоморфизмом, если отображение f мономорфно и эпиморфно. Факт изоморфизма колец кратко записывают в виде К аг К'.

Рассмотренное выше отображение f: п*—>{n}m является, очевидно, эпиморфизмом Z—^Zm с ядром Kerf = mZ.

Если рассматривать только кольца с единицей, то в определение гомоморфизма f: К-*К' целесообразно внести условие

f(l)=l'.

При эпиморфизме это условие, конечно, автоматически выполняется.

Изоморфные кольца тождественны по своим алгебраическим свойствам, и только те свойства колец представляют подлинно математический интерес, которые сохраняются при изоморфных отображениях. Именно это обстоятельство имелось в виду, когда

кольцо Zm мыслилось то как множество классов вычетов по модулю т, то как множество произвольным образом выбранных представителей этих классов.

Типы колец. Поле. В хорошо известных нам числовых кольцах Z, <Q и R из ab = 0 следует, что либо а = 0, либо Ь = 0. Но кольцо квадратных матриц Мп над любым из этих колец этим свойством уже не обладает. Используя матрицы Е// (см. доказательство теоремы 4 § 3 гл. 2), мы приходим к равенствам EijEki = 0 при / =/= к, хотя, конечно, Ец #= 0 и Etei#=0. Заметим, что EifeEfei = Ei, =/= 0. Можно было бы приписать столь необычный для элементарной арифметики феномен некоммутативности кольца МП1 но это не так. Как мы видели в п. 2, в коммутативном кольце Z4 выполнено равенство 2 0 2 = 0, вопреки общеизвестной истине «дважды два — четыре».

Вот еще два примера.

Пример 1. Числовые пары (а, 6) (где а, beZ, Q или R) со сложением и умножением, определенными формулами

(яь ^1) + (^2, ^2) = (а1 + а2. by + 62).

(аь 6,) • (а2, 62) = (ata2, 6i»2),

образуют, очевидно, коммутативное кольцо с единицей (1, 1), в котором мы снова встречаемся с тем же явлением: (1,0) (0, 1) = = (0,0) == 0.

Пример 2. В кольце RR вещественных функций (см. пример 3 в п 1) функции /: х i—» | х | + х и g: х i—> | х | — х таковы, что f (х) = 0 для х ^ 0 и g(x) = 0 для х ^ 0, а поэтому их поточечным произведением fg будет нулевая функция, хотя / #= 0 и g #= 0.

Определение. Если ab = 0 при а #= 0 и Ь#=0 в кольце К, то а называется левым, а Ь — правым делителем нуля (в коммутативном кольце К говорят просто о делителях нуля). Сам нуль в кольце К #= #= 0 — тривиальный делитель нуля. Если других делителей нуля нет (кроме 0), то К называется кольцом без делителей нуля. Коммутативное кольцо с единицей 1 =# 0 и без делителей нуля называют целостным кольцом (кольцом целостности или областью целостности).

Теорема 1. Нетривиальное коммутативное кольцо К с единицей является целостным тогда и только

тогда, когда в нем выполнен закон сокращения-.

ab = ac, а =#= О =►• b = с

для всех а, Ь, се К.

В самом деле, если в К имеет место закон сокращения, то из ab = O — а-0 следует, что либо а — О, либо а=^й, но 6 = 0. Обратно, если К — область целостности, то ab = ас, а ^= 0 => а(Ь — с) = 0 => Ь — — с = 0 =>- b = с. I

В кольце К с единицей естественно рассматривать множество обратимых элементов: элемент а называется обратимым (или делителем единицы), если существует элемент а-1, для которого аа-1 = 1 = а~ха. Точнее, следовало бы говорить об элементах, обратимых справа или слева (ab — 1 или ba = I), но в коммутативных кольцах, а также в кольцах без делителей нуля эти понятия совпадают. Действительно, из ab — \ следует aba = a, откуда а (Ь а — — 1) = 0. Так как а =^= 0, то Ьа — 1=0, т. е. ba = 1.

Нам известно, например, что в кольце Мп обратимые элементы — это в точности матрицы с отличным от нуля определителем. Обратимый элемент а не может быть делителем нуля: ab = 0 =>- a-1 (ab) = = 0 => (дНа)Ь = 0=^- 1 • 6 = 0 =»- 6 = 0 (аналогично Ьа = 0 =$>- Ь = 0). Неудивительно поэтому, что имеет место

Теорема 2. Все обратимые элементы кольца К с единицей составляют группу U^K) по умножению.

В самом деле, так как множество U (К) содержит единицу, ае U (/С) ^- а-1 е U (/С) и ассоциативность по умножению в К выполнена, то нам нужно только убедиться в замкнутости множества U(К), т. е. проверить, что произведение ab любых двух элементов а и Ъ из U^К.) будет снова принадлежать U^K)- Но это очевидно, поскольку (аб)-1 = b-xa~x (ab-b~1a~1 = = a(bb~l) а-1 = а-1 • а-1 = аа~х = 1), и, значит, ab обратим. ■

Нетрудно видеть, что L/(Z)={±1}— циклическая группа порядка 2.

Мы получим весьма интересный класс колец — так называемые кольца с делением, или тела, заменив в определении кольца аксиому (К2) на существенно более сильное условие (К2'): относительно операции умножения множество К* = /С\{0} являет-

ся группой. Кольцо с делением, стало быть, всегда без делителей нуля и каждый ненулевой элемент в нем обратим. Операции сложения и умножения становятся почти полностью симметричными в коммутативном кольце с делением, которое называется полем. Итак, дадим еще раз

Определение. Поле Р — это коммутативное кольцо с единицей 1 ^ 0, в котором каждый элемент а 0 обратим. Группа Р* = U (Р) называется мультипликативной группой поля.

Поле представляет собой гибрид двух абелевых групп — аддитивной и мультипликативной, связанных законом дистрибутивности (теперь уже одним ввиду коммутативности). Произведение ab~1 записывается обычно в виде дроби (или отношения, частного) -^-, которую для экономии места на бумаге изображают еще посредством косой черты а/b. Следовательно, дробь а/b, имеющая смысл только при Ь^ 0, является единственным решением уравнения Ьх = а. Действия с дробями подчиняются нескольким правилам:'

-т- = Л- <=^ ad = be, b, d^O, t> a

a , c ad + be Ln

T + ~d=bd—' b-d^°-

a - «— a a b = —b" = ’^ba - «— a a b = —b" = ’^bb^Q,(8)b^Q,(8)

a - «— a a b = —b" = ’^b

a - «— a a b = —b" = ’^b

b^Q,(8)

b^Q,(8)

b.d^O,

Это обычные «школьные» правила, но их надо не запоминать, а выводить из аксиом поля, что, впрочем, не представляет никаких трудностей. Вот рассуждения, достаточные для получения второго из правил (8). Пусть х — а/Ь и y—c/d— решения уравнений Ьх — а и dy = с. Из этих уравнений следует: dbx — = da, bdy = bc=>- bd(x -f- y) = da -f- be => t = x -f- y= = (da -f- be)/bd — единственное решение уравнения bdt = da -V be.

Подполем F поля P называется подкольцо в P, само являющееся полем. Например, поле рациональ-

ных чисел Q—подполе поля вещественных чисел R.

В случае F cz Р говорят также, что поле Р является расширением своего подполя F. Из определения подполя следует, что нуль и единица поля Р будут содержаться также и в F и служить для F нулем и единицей. Если взять в Р пересечение Fi всех подполей, содержащих F и некоторый элемент а е Р, не принадлежащий F, то F\ будет минимальным полем, содержащим множество {Р, а} (рассуждение такое же, как для групп в упражнении 1 § 2). Говорят, что расширение F\ поля F получено присоединением к F элемента а, и отражают этот факт в записи Fi = F(a'). Аналогично можно говорить о подполе Fi = F(ab ..., art) поля Р, полученном присоединением к F п элементов at, ..., ап поля Р.

Небольшая проверка показывает, что Q(V2) совпадает с множеством чисел а + 6 V2 , где a, b е Q, поскольку (V2 )2 = 2 и -—■=-■— - V2 при аА-Ь^й ^ О.

а + 6 V2 а2 — 262 а2 — 262 _

То же самое относится к Q(V3), Q(V5) и т. д.

Поля Р и Р' называются изоморфными, если они изоморфны как кольца. По определению f(0)=0' и f(l) = Г для любого изоморфного отображения f. Не имеет смысла говорить о гомоморфизмах полей, так как Ker f #= 0 => f(a) = 0, a^4=0^f(l) = = f(aa-1) = f(a)f(a^) = O-f(a-‘)=^O =ф- V6^) = = f(bZ>)= f(l)f(Z>)= 0-f(Z>) = 0=^ Kerf = P. Напротив, автоморфизмы, т. e. изоморфные отображения поля Р на себя связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств в рамках так называемой теории Галуа.

Понятие расширения полей вполне созвучно известному стремлению человечества увеличивать запас используемых чисел. Довольно медленный процесс, который условно изображается диаграммой: {один} -w*- -w*- {один да один есть два} N {N, 0} Z -w*- •w>Q-w*»Q (д/2) R и который продолжался вплоть до наших дней, привел к чрезвычайно разветвленной сети полей, весьма далеких от привычных числовых. Не все этапы этого процесса были чисто алгебраическими. Скажем, переход от рациональных

чисел к вещественным (или действительным), основывающийся на понятии непрерывности и полноты (существование пределов у последовательностей Коши), и поныне разбирается в курсах математического анализа. В то же время совершенно аналогичная конструкция полей р-адических чисел, которой мы здесь не касаемся, и выросший на ее основе современный р-адический анализ—достойные детища трех областей — теории чисел, алгебры и анализа.

Характеристика поля. В п. 2 было построено конечное кольцо классов вычетов Zm с элементами

О, I, 2, , m — 1

и операциями к + I = к + I, k-l=kl сложения и умножения (мы отказываемся от значков ф и ф). Если т — st, s > 1, t > 1, то s • t = in = 0, т. е. s и t — делители нуля в Zm.

Пусть теперь т = р— простое число. Утверждается, что Zp — поле (из р элементов). Для р = 2, 3 это прямо видно из таблиц умножения, выписанных в п. 2. В общем случае достаточно установить существование для каждого s е Z* обратного элемента s' (целые числа s и s' не должны, очевидно, делиться на р).

Рассмотрим элементы

s, 2s, ..., (р—l)s. (9)

Они все отличны от нуля, так как s^O(modp)=>- => ks ^ O(modp) при к = 1, 2, .... р—1. Здесь используется простота р. По той же причине элементы (9) все различны: из ks = ls, к<1, следовало бы (/ — k)s=Q, что неверно. Итак, последовательность элементов (9) совпадает с последовательностью переставленных каким-то образом элементов

К 2, . .

В частности, найдется s', 1 ^ s' ^ р — 1,_для которого s's = 1. Но этой значит, что s' • s = 1, т. е. s'— обратный к s элемент. Нами доказана

Теорема 3. Кольцо классов вычетов Zm является полем тогда и только тогда, когда пг = р — простое число. ■

Следствие (малая теорема Ферма). Для любого целого числа т, не делящегося на простое число р, имеет место сравнение

тр~'г 1 (mod р).

Доказательство. Как мы видели,

{m, 2m(р — 1) т} = {1, 2р — 1}

(заменить в (9) s на m и принять во внимание равенства km —km, k = 1р—1. Поэтому, перемножая по отдельности все элементы в левой и правой части, получим

Ш

1Р-1 -

k I mp-t = Ц k .

Поскольку Zp — кольцо без делителей нуля, по теореме 1 множитель Ц k =/= 0 можно сократить: mp-I = = 1. На языке сравнений имеем то, что нужно. ■

Справедлива более общая теорема Эйлера, но необходимость в ней возникает лишь в ВАЗ.

Поля Z^, Z3, Z3столь не похожие на известные нам поля Q, Q(V2)» R» заняли в алгебраической иерархии полей место, вполне сопоставимое по своему значению с местом, давно отведенным_для Q. Дело здесь вот в чем. Пусть Р— поле. Как мы уже отмечали, пересечение П Pt любого семейства подполей {Pi | i е /} будет подполем в Р.

Определение. Поле, не обладающее никаким собственным подполем, называется простым.

Теорема 4. В каждом поле Р содержится одно и только одно простое поле Ра. Это простое поле изоморфно либо Q, либо Zp для некоторого простого р.

Доказательство. Допустив существование двух различных простых подполей Р', Р" cz Р, мы неизбежно придем к выводу, что их пересечение Р'П П Р" (очевидно, непустое, поскольку 0 и 1 содержатся как в Р', так и в Р") будет полем, отличным от Р' и Р". Это, однако, невозможно ввиду их простоты. Стало быть, простое подполе PQ cz Р единственно.

В Ра наряду с единичным элементом 1 содержатся все его кратные л* 1 = 1 4- ... + 1- Из общих свойств

операций сложения и умножения элементов в кольцах (см. конец п. 1) следует, что

s-1+/- 1 =($+0-1, («■ 1)(<- 1) = ($0 - 1; s, teZ.

Поэтому отображение / кольца Z в Р, определенное правилом f(n)=nl, является гомоморфизмом, ядро которого имеет вид Kerf = mZ. Если пт = 0, то f—изоморфизм, и дроби (sl)/(M), имеющие смысл в Р (поскольку Р— поле), образуют поле Ро, изоморфное <3. Оно и будет простым подполем в Р.

Если же m > 0, то, очевидно, отображение /*, определенное по правилу

f*: k = {k}m^f(k).

будет изоморфным вложением Zm—^P- По теореме3 это возможно только тогда, когда пт = р — простое число. Стало быть, f*(Zp)— простое подполе в Р. ■ Определение. Говорят, что поле Р имеет характеристику нуль, если его простое подполе Ро изоморфно Q; Р— поле простой (или конечной) характеристики р, если Ро = Zp. Соответственно пишут char Р = О или char Р = р > 0.

Вместо Zp обозначением «абстрактного» поля из р элементов служит обычно Fp или GF(p) (Galois Field — поле Галуа). Следует иметь в виду, что существует конечное поле GF (q) с q = рп элементами, где р— простое, а п— любое целое положительное число. К этому интересному вопросу мы вернемся в ВА 3, а сейчас ограничимся лишь примером поля из четырех элементов {0, 1, а, р}:

+

0 1 а р -

0 1 а р

0

0 1 а р 0

0 0 0 0

GE (4):1

1 0 Р а 1

0 1 а Р

а

а р 0 1 а

0 а р 1

р

Р а 1 0 Р

0 Р 1 а

Чем являются аир, нас пока не интересует. Рекомендуется проверить выполнение закона дистрибутивности.

Иногда нулевую характеристику называют бесконечной в соответствии с ее интерпретацией как порядка элемента 1 в аддитивной группе поля Р. Аналогично конечная характеристика р— общий порядок

любого ненулевого элемента в аддитивной группе: рх = х + — + х = 1 - х 4* - - - + 1 ■ х =

= (1+ ... + 1)х = (р-1)х = 0.

Замечание о линейных системах. Настала пора окинуть мысленным взором изложенную в предыдущих главах теорию систем линейных уравнений и выросшую из нее теорию определителей. Коэффициентами в линейных уравнениях и элементами матриц у нас были числа — рациональные или вещественные, но специфика этих чисел никак не использовалась. Нет никаких препятствий к тому, чтобы взять теперь вместо чисел элементы фиксированного поля Р. При этом и результаты должны формулироваться в терминах поля Р: компоненты решения линейной системы и значения функции det будут лежать в Р. Метод Гаусса решений систем линейных уравнений, теория определителей, правило Крамера остаются справедливыми (без существенных изменений) для произвольного поля Р.

Пример 1. Пусть нам дана однородная система линейных уравнений АХ = 0 с квадратной матрицей

1234

л х —101314 15

А=Ы =12 _9 М 15

1213 —8 15

и столбцом неизвестных X = [xj, хг, хз, х*]. Прямые вычисления показывают, что бе1Л = 2’-11’. Следовательно, при az,-, х»еР, где Р— любое поле характеристики нуль или характеристики р #= 2, 11 (в этом случае целые числа 1, 2, 3, 4, —10, .... 15 заменяются иа соответствующие классы вычетов), система является определенной и имеет только тривиальное решение Х=0.

Если char Р = 2 (скажем, Р = Zg), то из сравнения

1

2

3

4

1

0

1

о

—10

13

14

15

0

1

0

1

(mod 2)

12

—9

14

15

0

1

0

1

12

13

—8

15

0

1

0

1

мы заключаем, что ранг системы равен двум и система допускает два независимых решения Xt = [1, 0, 1, 0], Хг = [0, 1, 0, 1]. Во избежание недоразумений следовало бы писать Xi = [1, 0, 1, 0], X» = [0, 1, 0, 1], но мы считаем себя достаточно подготовленными к восприятию упрощенной записи.

Бел»

char Р =

11, то из сравнения

12

3412 3 4

— 1013

14 151 2 3 4.....

12 —9

14 15 “ 1 2 3 4 (m°d П)

1213

—8 1512 3 4

вытекает, что система имеет три независимых решения

X, = [9, 1, 0, 0], Х2 = [8, 0, 1, 0], Х3 = [7, 0, О, 1J.

Как мы видим, ответ существенно зависит от рассматриваемого поля Р, но анализ системы ничем не отличается от обычного. Стало быть, одно из преимуществ перехода от R и Q к произвольному полю заключается в устранении дублирования сходных рассуждений. Но имеются к тому и более веские причины.

Говоря о полной линейной группе, мы до сих пор считали ее группой всех невырожденных матриц с коэффициентами из Q или R. Совокупность квадратных матриц порядка п с коэффициентами в произвольном поле Р составляет кольцо матриц Af„(P), а подмножество всех невырожденных матриц А е еМп^Р) (матриц с detA#=O) приводит к понятию полной линейной группы GL„(P) над полем Р. Е1арьи- руя поле Р, например, полагая Р = Гр, можно естественным путем получить ряд важных групп (см. ВАЗ).

Поля типа R, Q, Q(V^) и пР- называются обычно числовыми полями. Поле Гр — пример нечислового поля: было бы неправильным называть его элементы числами лишь на том основании, что они часто отождествляются с элементами множества {0, 1, ... .... р — 1}.

В § 2 гл. 1 ставилась задача (под номером 3) по использованию конечных полей в теории кодирования. Мы приведем сейчас маленький пример на эту тему.

Пример 2. Для передачи призыва МИРУ МИР в принципе достаточно повторения четырех элементарных сообщений М = = (0,0), И = (1,0), Р = (0, 1), У = (1, 1), интерпретируемых как векторы-строки двумерного линейного пространства F2 над полем F2 — ^2= t®» О нз двух элементов. Но во время передачи в канале связи возникают помехи (замены символа 0 на 1 или 1 на 0), в результате которых на приемный конец канала может прийти, например, сообщение РИМУ РИМ. Согласно фундаментальной теореме Шеннона, за счет увеличения длины элементарных сообщений (т. е. за счет скорости передачи) влияние

помех устранимо. Пусть, скажем, из условий передачи известно, что в каждом элементарном сообщении длины пять происходит не более одного искажения. Возьмем тогда в линейном пространстве S = F® подмножество So = {М = (О, О, 1, 1, О), И = = (1, О, О, 1, 1), Р = (О, 1, 1, О, 1), У = (1, 1, О, О, О)} так называемых кодовых векторов. Из таблицы

Кодовые векторы

00110

10011

01101

11000

Векторы, получаемые

00010

00011

00101

01000

из кодовых векторов в

00100

10001

01001

10000

результате искажения

00111

10010

01100

11100

01110

10111

ОПП

11001

10110

поп

11101

пою

видно, что множества искаженных векторов нз разных столбцов не пересекаются, и, стало быть, возможно правильное декодирование, т. е. восстановление истинного сообщения.

Мы получили код So, исправляющий одну ошибку. Переходя к пространствам F" достаточно большой размерности п, можно сконструировать аналогичный код, способный безошибочно передать весь русский алфавит, т. е. любой текст. Чтобы декодирование не свелось к длительному н очень медленному перебору, So приходится выбирать специальным образом. Для этого существует множество приемов, в том числе и чисто алгебраических, основанных на использовании конечных полей Fq.

УПРАЖНЕНИЯ

Развивая идею примера 2) нз § 1, показать, что множество ^(Q) с операциями

А + В = (Л U В) \ (Л П В), АВ = А П В, А, Вей, является кольцом с единицей, все элементы аддитивной группы которого имеют порядок два.

Установить коммутативность произвольного кольца, в котором каждый элемент х удовлетворяет уравнению хг = х. Верно ли это при условии х8 = х?

Изоморфны ли поля Q(V2), Q(V^)?

Показать, что эпиморфный образ коммутативного кольца является коммутативным кольцом.

Любое конечное целостное кольцо К является полем.

Пусть р — простое число и К — коммутативное кольцо с единицей такое, что рх = О для всех хе К- Показать, что тогда

(х + уУт = хРт + уРт, т = 1, 2,....

(Указание. Использовать индукцию по т и то обстоятельство, что биномиальный коэффициент (д)» О < А < р, делится на р.)

Доказать, что кольцо К» состоящее из пяти элементов, либо изоморфно Zs, либо является кольцом с нулевым умножением.

Элемент х ^ О кольца К называется нильпотентным, если х" = О для некоторого mN. Показать, что:

(i) нильпотентность элемента х влечет обратимость элемента 1—х в любом кольце с единицей;

(И) кольцо Zm = Z[mZ содержит нильпотентные элементы в точности тогда, когда m делится на квадрат натурального числа > 1.

Доказать, что в кольце К с единицей и бесконечной мощности |К| не может быть конечного числа л ^ 1 необратимых элементов =5^0. (Указание. Использовать рассуждение от противного. Пусть N = (at, ..., ая} — множество всех ^0 необратимых элементов кольца К. Отображение рх: a. i—*xat является биекцией N-*-N для любого xeK\(#U{0}). Ядро Кегр отображения р: х i—> рх бесконечно.)

Пусть К — произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1 и а, b — его элементы. Показать, что

(1 — а6)с=1=с(1 — а6)=Н1 — 6a)d=l=d(l — 6а),

где d = 1 + bca, т. е. обратимость 1 — ab в К влечет обратимость 1 — Ьа. Чему равен элемент 1 -|- adb?

Показать, что матрицы | ° * |, где b s Z3, образуют поле нз 9 элементов и что мультипликативная группа этого поля — циклическая, порядка 8.

Способен лн код So (нэ примера 2 в конце параграфа) исправить две ошибки?

Глава 5

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ

В этой главе будут рассмотрены вполне конкретные алгебраические системы, частично известные из школьной математики, но заслуживающие того, чтобы остановиться на них несколько подробнее. Точка зрения, выработанная в предыдущей главе, позволит нам бросить свежий взгляд на традиционное «поле деятельности» алгебры прошлых веков. В то же время на примере многочленов станут более понятными и осязаемыми такие проблемы, как расширение колец и однозначность разложения на простые множители в целостных кольцах (областях целостности).

Поле комплексных чисел

История математики отмечена длительной борьбой сторонников и противников «мнимых» чисел, источником которых служит алгебраическое уравнение х2+1=0.(1)

Можно занять упрощенную позицию и ограничиться формальной записью решений уравнения (1) в виде ± V—1. Но такое немудрено было сделать и в более далекие времена; оставалось лишь придать смысл указанной записи. Мы будем решать эту задачу на разных уровнях. Вначале приведем некоторые эвристические соображения.

Вспомогательная конструкция. Нам хочется расширить поле вещественных чисел R так, чтобы в новом поле уравнение (1) обладало решением. Моделью такого расширения может служить множество Р всех квадратных матриц

1-2 ЬЛ = М>№. (2)

Утверждается, что Р— поле (сравнить с упражнением 11 § 3 гл. 4).

В самом деле, в Р содержатся нуль 0 и единица Е кольца M2(R).

Далее, из соотношений

^H-U) ^1-<з>

Ц а 6 с d II II ас — bd ad + be II —b a —d c | | —{ad + be) ac—bd | вытекает замкнутость P относительно операций сложения и умножения. Ассоциативность этих операций является следствием их ассоциативности в A12(R). То же самое относится к законам дистрибутивности и коммутативности сложения. Таким образом, Р— подкольцо в 2M2(R). Коммутативность умножения в Р вытекает из третьей формулы (3), и остается доказать лишь существование в Р матрицы, обратной к любой матрице (2) с определителем а2 + 62^0. Прямо по формуле для коэффициентов обратной матрицы (см. теорему 1 § 3 гл. 3) или путем решения линейной системы

ах — by = 1, Ъх + ау = О, возникающей из условия

(4)(4)|_: ;ii-; п- находим, что

(4)

(4)

-Ь° а2 + № *

Используя правило (5) § 3 гл. 2 умножения матриц на числа, мы любой элемент поля Р запишем в виде _; Д-аЕ-^Ы, где a, b е R, / = | _° J |. (5)

Поле Р содержит подполе {a£|aeR}^R, а соотношение

Р4-Е = 0

показывает, что элемент JeP <с точностью до изоморфизма» является решением уравнения (1). Ни о какой мистике вокруг «мнимой величины /» здесь не может быть и речи.

Не поле Р, однако, называется полем комплексных чисел, а некий изоморфный ему объект, элементы которого изображаются точками плоскости. Желание иметь геометрическую реализацию поля Р не случайно, если вспомнить, что и поле R для нас не отделимо от «вещественной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и фиксированным масштабом, определяемым положением числа 1.

Плоскость комплексных чисел. Итак, мы хотим построить поле С, элементы которого были бы точками плоскости R2, а сложение и умножение точек, подчиняясь всем правилам операций в поле, решали бы нашу задачу. Выберем на декартовой плоскости прямоугольную систему координат с осью абсцисс х и осью ординат у. Будем писать (а, 6) для точки с абсциссой а и ординатой 6. Для точек (а, 6) и (с, d) определим сумму и произведение по правилам

(а, 6) + (с, d) = (a+c, 6 + d),

(а, 6) (с, d) = {ас — bd, ad + 6с) ' '

(использование тех же знаков 4-, -, что и в поле R, не должно приводить к путанйце). Прямая, но довольно утомительная проверка убедила бы нас в том, что так определенные операции наделяют множество пар (точек плоскости) строением поля с нужными свойствами. В этой проверке, к счастью, нет необходимости. Сопоставление

точкам плоскости С элементов построенного ранее поля Р и беглый взгляд на формулы (3) и (6) убеждают нас в том, что мы имеем дело с изоморфизмом и что, следовательно, множество С является полем. Оно и называется обычно полем комплексных чисел. Имея в виду геометрическую реализацию этого поля, С называют еще плоскостью комплексных чисел (а чаще, хотя и несколько двусмысленно, — комплексной плоскостью').

Выбранная нами ось абсцисс, т. е. множество точек (а, 0), ничем не отличается по своим свойствам от вещественной прямой, и мы полагаем (а, 0) = а. Нуль (0,0) и единица (1,0) поля становятся при этом обычными вещественными числами. Для точки (0, 1) на оси ординат вводится, со времен Эйлера и Гаусса, обозначение i «мнимой единицы», являющейся корнем уравнения (1): i2 = (0, 1) (0, 1) = = (—1,0) = —1. Произвольное комплексное число z = (x, у) = (х, 0) + (0, 1) (у, 0) запишется теперь в традиционном виде

z = x-Hy, х, yeR, (7)

весьма близком к виду (5) элементов поля Р. Заметим, что Qcz R cz С. Поэтому С —поле нулевой характеристики (см. п. 5 § 3 гл. 4).

первоначальный смысл. ^1первоначальный смысл. ^1Рис. 14Рис. 14Геометрическое истолкование действий с комплексными числами. Ось абсцисс плоскости С обычно называется вещественной (или действительной) осью, ось ординат — мнимой осью, а числа iy, лежащие на ней, — чисто мнимыми числами, хотя слово

первоначальный смысл. ^1

первоначальный смысл. ^1

Рис. 14

Рис. 14

«мнимое» и утратило свой Соответственно в записи (7) х = Re z — вещественная часть, a y=Imz—мни-

мая часть комплексного числа z. Рассмотрим отображение, которое сопоставляет каждому комплексному числу z = х + iy комплексно сопряженное с ним число z — х — iy ^операция комплексного сопряжения). Гео- метрически оно сводится

к отражению плоскости С относительно вещественной оси (см. рис. 14). Весьма примечательно, что спра

ведлива

Теорема 1. Отображение z'—*z является автоморфизмом порядка 2 поля С, оставляющим на месте все вещественные числа. Сумма и произведение комплексно сопряженных чисел являются вещественными

числами.

Доказательство. Утверждение х = х, xeR, очевидно из определения комплексно сопряженного

числа. В частности, 0 = 0 и 1 = 1. Столь же очевидно утверждение о порядке: (z) = z. Нам остается проверить соотношения

z, + z2 = z, + z2, Z1Z2 = z, - z2, (8) но они следуют прямо из формул (6), которые нужно только переписать в виде

Ui + 1У1) + (х2 + ^Уг) = Ui + Хг) + < (^1 + Уг\

Ui + гуО • (х2 + iy^ = (х,х2 — уху<^ + i (хху2 + х^. '

Частным случаем формул (9) является утверждение о сумме и произведении числа z = х + iy и комплексно сопряженного с ним числа z: z + z = 2х, zz = х2 + у1. 1

Замечание. Автоморфизм z I—* 5 выделяется среди многих других автоморфизмов поля С тем, что он — единственный непрерывный автоморфизм (переводящий близкие точки плоскости С в близкие). Мы ие уточняем и не доказываем это утверждение.

Модулем комплексного числа z = х 4- iy называется неотрицательное вещественное число | z | = *Jzi = = ^хг-\- уг. Положение точки z на плоскости, как известно, вполне определяется заданием ее полярных координат: расстояния r = |z| от начала координат до z и угла ф между положительным направлением оси абсцисс и направлением из-начала координат наг (см. рис. 14). Угол ф называется аргументом числа z и обозначается символом аг§г = ф. По определению argz может принимать любые положительные и отрицательные значения, но при заданном г углы, отличающиеся на целое кратное 2л, соответствуют одному и тому же числу. Аргумент не определен для числа 0 с модулем ) 01 = 0. Отношения «больше» или «меньше» бессмысленны в применении к комплексным числам, т. е. их нельзя соединять знаком неравенства: в отличие от вещественных чисел, аргумент которых принимает лишь два главных значения 0 (положительные числа) и л (отрицательные числа), комплексные числа не упорядочены. Более точно, на С не существует отношения > со свойствами:

если zeC, то z>0, z = 0 или —z > 0;

из и > 0, о > 0 следует, что и + и > 0 и ии > 0.

Действительно, в противном случае из z =# О следовало бы (как и в R) z2 > 0. В частности, I2 > 0, ? > 0 и, согласно (И)' 0 = z2 + 1 > 0 — противоречие.

Полярные координаты г и ф определяют х и у по известным формулам

х = гсозф, у = г sin ф.х = гсозф, у = г sin ф.z = г (cos ф + z sin ф). (10)z = г (cos ф + z sin ф). (10)

х = гсозф, у = г sin ф.

х = гсозф, у = г sin ф.

z = г (cos ф + z sin ф). (10)

z = г (cos ф + z sin ф). (10)

Это так называемая тригонометрическая форма числа z.Это так называемая тригонометрическая форма числа z.Операция сложения комплексных чисел z, 2? проОперация сложения комплексных чисел z, 2? просто выражается в декартовых координатах, а именсто выражается в декартовых координатах, а именно— по правилу параллелограмма, или, что равносильно, по правилу сложения направленных отрезков (векторов), выходящих из начала координат и соответствующих числам z, z' (см. рис. 15). Из этой же картинки, сравнивая стороны треугольника с вершинами в точках 0, z и z + z' (и отождествляя модули комплексных чисел с соно— по правилу параллелограмма, или, что равносильно, по правилу сложения направленных отрезков (векторов), выходящих из начала координат и соответствующих числам z, z' (см. рис. 15). Из этой же картинки, сравнивая стороны треугольника с вершинами в точках 0, z и z + z' (и отождествляя модули комплексных чисел с соответствующими геометрическими длинами), получаем важное неравенствоответствующими геометрическими длинами), получаем важное неравенство

Это так называемая тригонометрическая форма числа z.

Это так называемая тригонометрическая форма числа z.

Операция сложения комплексных чисел z, 2? про

Операция сложения комплексных чисел z, 2? про

сто выражается в декартовых координатах, а имен

сто выражается в декартовых координатах, а имен

но— по правилу параллелограмма, или, что равносильно, по правилу сложения направленных отрезков (векторов), выходящих из начала координат и соответствующих числам z, z' (см. рис. 15). Из этой же картинки, сравнивая стороны треугольника с вершинами в точках 0, z и z + z' (и отождествляя модули комплексных чисел с со

но— по правилу параллелограмма, или, что равносильно, по правилу сложения направленных отрезков (векторов), выходящих из начала координат и соответствующих числам z, z' (см. рис. 15). Из этой же картинки, сравнивая стороны треугольника с вершинами в точках 0, z и z + z' (и отождествляя модули комплексных чисел с со

ответствующими геомет

рическими длинами), получаем важное неравенство

ответствующими геомет

рическими длинами), получаем важное неравенство

|z + z'|<|z| + |z'|.|z + z'|<|z| + |z'|.(П)(П)

|z + z'|<|z| + |z'|.

|z + z'|<|z| + |z'|.

(П)

(П)

Заметим, что неравенство (11), которое можно было бы записать в более общей форме

|z|-|z'|<|z±z'K|z| + |z' I,

совершенно аналогично соответствующему неравенству для вещественных чисел.

Операция умножения комплексных чисел удобно выражается в полярных координатах.

Теорема 2. Модуль произведения комплексных чисел z, z7 равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов множителей

| zz71 = | z | • | z71,argzz'= argz + argz7. (12)

Аналогично | z/z' I = I z |/| z' |, arg z/z' = arg z — argz7.

Доказательство, гонометрической формойz = г (cos ф + 1 sin ф),Доказательство, гонометрической формойz = г (cos ф + 1 sin ф),Действительно, пусть три- (10) для z и zz будетz' = г' (cos ф' + 1 sin ф')-Действительно, пусть три- (10) для z и zz будетz' = г' (cos ф' + 1 sin ф')-

Доказательство, гонометрической формой

z = г (cos ф + 1 sin ф),

Доказательство, гонометрической формой

z = г (cos ф + 1 sin ф),

Действительно, пусть три- (10) для z и zz будет

z' = г' (cos ф' + 1 sin ф')-

Действительно, пусть три- (10) для z и zz будет

z' = г' (cos ф' + 1 sin ф')-

Непосредственным умножением или же по формуле (9) получаем

zz' = rr' [(cos ф cos ф' — sin ф sin ф') +

+ I (cos ф sin ф' + sin ф cos ф')].

а это соотношение при помощи известных формул приводит к тригонометрической форме числа zz'-.

zz'= | z | • | z' | - [соз(ф + ф') + I sin (ф + ф')].

Если, далее, z" = z/z', то z = z'z". Поэтому, используя доказанные формулы (12) для произведения

zz, мы получим из них формулы для дроби zjz'. ■

В частности, z-1 = = |z|~1[cos(—ф)4-4 sin(—ф)]. Чтобы получить z-1 на комплексной плоскости (см. рис. 16), надо, следовательно, применить к z инверсию относительно окружности единичного радиуса с центром в 0 (это даст точку z?^, а_ затем — бтражё ние относительно вещественной оси (или автомор-

Фактычески утверждения о модуле произведения и модуле суммы легко вытекают без обращения к геометрической интуиции из теоремы 1. В самом деле, во-первых,

| zzz |2 = zz'zz' = zz'2%' = zz - zzZz = | z |2 | zz |2,

откуда | zzz | = | z | • | z' |. Далее, заметив, что | z | = V *2 + У2 ^ ^ ->fiS = [ х |, мы получаем

I 1+z I2 = (1 + Z) (1+Z) = 1 + (Z + Z) + ZZ =

= l+2x + |zl2< 1 + 2|z| + lz|2 = (l +|z|)2.

откуда | 1 + z| ^ 1 + |z|. Если теперь Zt#=0 и Z^O, то

z + zz | = | z (1 + z~’zz) | = | z f • | 1 + z~*zz | ^

< I z | - (1 + |z-*zz | ) = | z|(l -Hz]-1 |zz| ) = lz| + |zz|.

Из полученных результатов мы можем извлечь некий общий принцип: обычная форма (7) комплексных чисел приспособлена к выражению их аддитивных свойств, а тригонометрическая форма (10) — к выражению мультипликативных свойств. Нарушение этого принципа приводит к чрезвычайно сложным формулам, затуманивающим суть дела.

Возведение в степень и извлечение корня. Из формулы (12) для умножения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, вытекает формула Муаврсг.

[г (cos ф + i sin ф)]" = г" (cos лф + z‘ sin Лф), (13) справедливая для всех neZ (в иной записи: |z"| — = |z|", argz" = л-argz). Частный случай формулы (13) при r — 1, биномиальная формула (1) §7 гл. 1 и соотношения

z2 = — 1, z3 = — i, 1* = 1, l*^1 = I1 дают возможность получить выражения синусов и косинусов кратного угла:

cos лф = ^ (— 1 )* ( 2& ) cos"-2*ф - sin2* ф,

к>°(14)

sin Лф = ^ (—1)*26^_ 1 ) СОЗ"-|-2*ф • 8т2*+1ф.

&>0

Справедливости ради стоит заметить, что частным случаем формул (14) при л = 2 мы воспользовались ранее — в ходе доказательства теоремы 2.

Замечание. Пусть еа = Пт ( 1 + —— ) . В анализе до- п—>оо VЛ у

называется, путем разложения функций комплексной переменной в степенные ряды, формула Эйлера

е£ф = cos ф + z sin ф,(15)

из которой вытекают все полученные нами результаты. Стоит только заметить, что

е*Фе*ф' _ ei ro+qH, (егФ)" = е*"Ф.

Тригонометрическая форма комплексного числа z сводится к записи

z = I z J - е

Далее, мы хотели бы научиться извлекать корни произвольной степени из комплексных чисел, и основной вопрос, который здесь возникает, — а всегда ли это можно делать? Оказывается, что всегда, и формула Муавра дает, по существу, полное решение этого вопроса. Пусть нам дано комплексное число z = г (cos ф + i sin ф), а мы хотим найти число zf = = г* (cos ф' + i sin ф') такое, что (z7) п= z. Выражая (z7)" по формуле Муавра, а затем сравнивая в обеих частях равенства (^)" = z модули и аргументы, мы находим (г7)" = г и лфх = ф + 2л^ (слагаемое 2л& — плата за неполную определенность аргумента). Итак,

п

(под Vr подразумевается арифметическое значение корня л-й степени из положительного вещественного п

числа). Корень aJz, стало быть, существует, но определен неоднозначно. При к = 0, 1, ..., л—1 для z' будет получено л различных значений, причем ими исчерпываются все корни, поскольку из к = nq + г, 0 г л — 1, следует

z Ф + 2лг ф =z Ф + 2лг ф =+ 2л<у.+ 2л<у.

z Ф + 2лг ф =

z Ф + 2лг ф =

+ 2л<у.

+ 2л<у.

Нами доказана-

Теорема 3. Извлечение корня п-й степени из комплексного числа z = |z| (cosф + isinф) всегда возможно. Все л значений корня п-й степени из z расположены в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса п

Vl^k^ *

——Г / Ф + 2л& I - - Ф + 2л& X ,, _.

Z = V I Z I ^cos Н I sin ) , (16)

& = 0, 1, .... л—1. |

Следствие. Корни п-й степени из 1 выражаются формулой

пп= Bk = cos= Bk = cos2nfeп2nfeп+ i sin+ i sin2л& n *2л& n *(17)(17)

п

п

= Bk = cos

= Bk = cos

2nfeп

2nfeп

+ i sin

+ i sin

2л& n *

2л& n *

(17)

(17)

k = 0, 1, ..., л— 1.

Они расположены в вершинах правильного п-уголь-

ника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса 1. ■

пственных корней л/г будет ноль, один или два, ппственных корней л/г будет ноль, один или два, пИз (16) и (17) непосредственно видно, что веще-

п

ственных корней л/г будет ноль, один или два, п

п

ственных корней л/г будет ноль, один или два, п

Рис. 17Рис. 17а корней л/Т — один или два (на рис. 17 показаны корни из 1 степени 5).

Рис. 17

Рис. 17

Корень л-й степени из 1 называется примитивным (или первообразным), если он не является корнем из 1 никакой меньшей степени. Таковыми будут, например, 2л , . . 2л 8 = 81= COSГ I Sin

И 8„_1.

Любой другой ‘ корень в* является степенью примитивного

«к = «?•

что опять-таки видно из формулы Муавра. Более того, 8k8t = 8*+z, если k +I брать по модулю п. В частности, е~1=вп_А, е0 = L Уже «скушенные в теории групп, мы замечаем, таким образом, что корни п-й степени из 1 составляют циклическую группу <е> порядка п.

Тем самым получена еще одна реализация циклической группы порядка п. Для каждого d|n в <е> имеется ровно одна подгруппа (етг) порядка d. Корень вт будет примитивным тогда и только тогда, когда <ет> = <е>, т. е. Card <е"*> = п, а это возможно только при т, взаимно простом с п. Например, при л = 12 примитивными корнями будут е, е5, е7, в*1. В случае простого л = р все корни из единицы, отличные от 1, — примитивные. С алгебраической точки зрения, без учета геометрического изображения, все примитивные корни данной степени л равноправны.

Возвращаясь к вопросу об извлечении корня степени п из произвольного комплексного числа г #= 0,

заметим, что если zf— какой-нибудь фиксированный корень (скажем, z' = Vl z I (cos"~ + * sin "^")) > TO все другие корни имеют вид z'ek, к = 0, 1, ...., п — 1. Это утверждение находится в соответствии с формулой (16).

Теорема единственности. Преимущество поля С перед R мы сможем оценить полностью лишь впоследствии, но уже один тот факт, что С содержит все корни из 1, оправдывает повышенный интерес к комплексным числам. Заметим, что по построению С — двумерное векторное пространство над R (в смысле определения из п. 2 § 1 гл. 2) с базисными элементами 1, i; С = <1, z)R.

Возникает естественный вопрос, насколько широко семейство полей, обладающих аналогичными свойствами. Оказывается, что справедлива следующая теорема единственности поля комплексных чисел.

Теорема 4. Каждое ассоциативное коммутативное кольцо К с единицей 1 без делителей нуля, являющееся двумерным векторным пространством над R, изоморфно полю С.

Доказательство. Без ограничения общности отождествим 1 • R с R и считаем R вложенным в К. Так как dimRA" = 2, то существует e^KXR такой, что 1 и е составляют базис пространства К над R. Очевйдно, е2 = а -1 + 2р-е с а, peR. Для элемента f = е — Р ^ R имеем f2 = у, где у = а + р2 е R. Очевидно, у <0, поскольку иначе Vv^R, и мы имели бы f = ±V¥- Таким образом, существует 6eR, для которого б2——у~*. Теперь /2=—1 для /=6/, и легко проверяется (как при построении С), что каждый ненулевой элемент из К обратим, т. е. К — поле. Отображение <р: С—*-К, определенное соответствием х + iy•—*■ х + jy, является искомым изоморфизмом полей. ■

Где в этом доказательстве мы использовали условие, что К — кольцо без делителей нуля? Во-первых, могло бы случиться так, что е2 = 0, и тогда а = р = 0=»-у = 0. Далее, фактически утверждается, что у ^ 0 =>f = ± W- Это действительно так, поскольку 0 = Р — у = (f — V7) (f + Vy)=> f — Vy = = 0 или f4-^Y=0.

В поле С, кроме Q и R, содержится много других подполей. Особенно интересны расширения поля Q, получающиеся присоединением какого-либо элемента из С, не содержащегося в Q.

Пример (.квадратичное поле). Пусть d— отличное от нуля целое число, возможно отрицательное, такое, что Vd & Q. Поле Q (Vd) s С называется вещественным квадратичным при d > 0 и мнимым квадратичным полем при d < 0. О поле Q(V2") упоминалось в § 3 гл. 4. Рассуждение, дословно повторяющее ход доказательства теоремы 4, если заменить там / на Vd, а соотношение р = —I — на (Vd)2 = d, показывает, что

Q (Vd) = {а + b V d | a, b ^ Q}.

В частности,

(at + 6i Vd) + (aj + 62 Vd) = (Qi + а2) + (6, + 62) Vd»

(ai + 61 Vd) (a2 + ^2 Vd) —(IS)

= (aiC2 -f- bib^d) -f- (0162 -f- C261) Vd- Далее,

(a + b -yd) a4 _ dt>il + a2 _ d62 V*

при a + 6 Vd ^ 0 (т. e. при a и 6, одновременно не равных нулю).

Пользуясь (18), легко проверить, что отображение

f: a + 6 Vd 1—> а — 6 Vd

является автоморфизмом поля Q (Vd) (аналог комплексного сопряжения). Нормой числа а. = а -V b Vd называется число

N (а) = а2 — d62 = а/ (а).

Очевидно, что N (а) = 0 -«=> а = 0. Далее, так как / — автоморфизм, ТЬ

N (ap) = apf (ар) = apf (a) f (р) = af (а) - pf (р) = АГ (а) - ^ (р).

В частности, N(a,)-N(arl) =N(aa— *) = ^(l) = 1. Поэтому норма обладает существенными свойствами (квадрата) модуля в поле С.

Элементарная геометрия комплексных чисел. Вещественное векторное пространство С = (1, z)r является евклидовым: оно снабжено положительно определенным скалярным произведением

(zt 122) = Re 2,22 = х,х2 + ухуг.

где Zk = xk + iyk\ А = 1, 2. Справедливо неравенство Коши — Буняковского — Шварца

l(zi |z2)K|z1 |-|z2|, поскольку I (zi |z2) I = I Re zxz3 | |ztz2| = |zi | • |z21 = = [zi| • |z21. Два вектора (комплексных числа) zx, z^ называются ортогональными или перпендикулярными друг другу, если (zi|z2) = 0. Из соотношения (12) непосредственно вытекает, что два вектора z, cze С* ортогональны в точности тогда, когда с — чисто мнимое число.

Прямая, проходящая через точки и, иеС, задается параметрически

to = u + (u — и)/, /eR.

Z» — Zi za — ziZ» — Zi za — ziПоэтому ортогональность двух прямых w = и-\- + (и—u)t, w7 = и7 4-(и7— и')/ выражается соотношением (и — и\и7 — и')=0. Ясно также, что три точки zi, z2, z3 е С, z\ ^ z2, лежат на одной прямой в точности тогда, когда

Z» — Zi za — zi

Z» — Zi za — zi

т. е. z3z2 — z3zx — 2,22 g R' (19)

Вот маленькое рассуждение на тему ортогональности. Если расположить произвольный треугольник

так, чтобы его две вершины а, р оказались на вещественной- оси, а третья вершина Zy — на мнимой, то легко проверяется, что три высоты треугольника пересекаются в общей точке Z6, где ё = = —«Р/у. Например, (—a-f-Z6|—p-|-Zy)=O (см. рис. 18).

Важную роль во мно

гих геометрических вопросах играет понятие двойного отношения [zi, z^, z3,2«Г четырех точек zx, z2, z3,2teC c zx ^ z4, z2 #= z3. По

определению,

(zi — z2) (z3 —z«) (Z| — z^ (z3 — z2)(zi — z2) (z3 —z«) (Z| — z^ (z3 — z2)(Z| — z2) (z3 — z^ (Zi — z4)(z3 — z2)| Z1 — z< I2 • I z3 — z2 I2

(zi — z2) (z3 —z«) (Z| — z^ (z3 — z2)

(zi — z2) (z3 —z«) (Z| — z^ (z3 — z2)

— комплексное число, зависящее от порядка в последовательности Zi, z2, z3, z4. При циклической перестановке имеем:

[z2, z3, z4, Zi] = [zb z2, z3, zj-’.

Заметим, что в соответствии с (20) двойное отношение не меняется при сдвигах То: z<—>z-|-a. Представим себе, что три точки zi, z2, z3 не лежат на одной прямой. Это свойство тоже инвариантно относительно сдвигов. Поэтому центр окружности, в которую вписан треугольник с заданными вершинами zi, z2, z3, можно считать (при вычислении [zb z2, z3, z4]) расположенным в начале координат. Но тогда |zi| = = |z2| = |z3|, и легко убедиться в том, что

(Z] — z2) (z3 — z4) (z, — z4) (z3 — z2) —

— z (I z312 — I z4 j2) • Im (z3z2 — z3z, —• z,z2) e R

(рекомендуем проделать это читателю в качестве упражнения). Согласно (19) должно выполняться условие Im(z3z2 — z3zi—Ziz2)=/=0, а в таком случае произведение (zi — z2) (z3 — z4) (zi — z4) (z3—z2) будет вещественно, или, что эквивалентно (см. (20)), [zb z2, z3, z4] e R тогда и только тогда, когда, |z3|2— — |z4|2 = 0, т. е. |z31 — |z4|. Значит, z*, 1 ^ k ^ 4,— числа, равные по модулю и, стало быть, лежащие на одной окружности. То же рассуждение действует и тогда, когда на одной прямой не лежат какие-то другие три точки из четырех. Достаточно заметить, что вещественность [zi, z2, z3, z4] сохраняется при циклической перестановке. Мы доказали следующее утверждение.

Теорема 5. Четыре точки Zi, z2, z3, z4eC с z, ^= z4, z2 =/= z3, не лежащие на одной прямой, лежат на одной окружности в точности тогда, когда их двойное отношение вещественно.

Это лишь одна из многих конфигураций, свойства которых выражаются на языке двойных отношений.

В заключение мы построим геометрическими средствами новые числовые поля, занимающие видное место в истории математики.

Пример {конструктивные числовые поля\ На декартовой плоскости R2 считаем заданными точки (0,0) и (1,0). Все последующие конструкции осуществ-

ляются только при помощи циркуля и линейки. Построив точки Р и Q, мы, естественно, можем считать построенным и соединяющий их отрезок PQ. Если построены точка Р и отрезок г, то строится также окружность радиуса г с центром в точке Р. Попарные пересечения уже построенных прямых (отрезков) и окружностей конструктивны в том же смысле.

Комплексное число а + ib называется конструктивным, если при помощи конечной последовательности указанных выше (допустимых) конструкций мы можем построить, отправляясь от (0,0) и (1,0), точку Р — (а, Ь). Нетрудно видеть, что конструктивность а + lb эквивалентна конструктивности | а | и | b |. Множество точек плоскости, которые строятся при помощи циркуля и линейки, а следовательно, и множество всех конструктивных комплексных чисел обозначим символом CS.

Теорема 6. Множество CS является подполем поля С.

Доказательство. Непосредственно из определения конструктивности чисел следует замкнутость CS относительно операции сложения (точка z + z7 строится как пересечение двух окружностей: радиуса |z| с центром в z7 и радиуса jz7, с центром в z) и перехода от z = х + iy е CS к —z = —х — iy.

Откладывая на осях координат отрезки конструктивных длин 1, а, р и рассматривая подобные треугольники, изображенные на рис. 19 а, б (штрихами показаны новые конструктивные отрезки), мы убеждаемся в конструктивности произведения у = ар и частного б = а/р. Так как построение

zz/ = (х + iy) (х' + iy') = (хх' — уу^ + I (ху' + х'у) и 1X.у

— = / 2 .—sr — 1 г 2 ,—sr сводится в конечном счете к 2(х2 + у2)(Х2 + у2)~

построению величин типа у и 5, то конструктивность произведения zz' и частного 1/z также установлена. Вместе с тем доказана замкнутость множества CS относительно всех операций в поле С. 1

Замечание. 1) CS инвариантно относительно автоморфизма сопряжения z*—*z.

2) На рис. 19, в показано, что извлечение квадратного корня -Vа из конструктивного вещественного числа а ^ 0 конструктивно. На самом деле это высказывание относится к любому конструктивному числу z.

Всякое подполе Р cl CS принято называть конструктивным числовым полем. Понятно, что Q cl CS и что любое конструктивное поле является полем нулевой характеристики. Согласно замечанию 2) всякое квадратичное поле (см. пример в п. 5) конструктивно.

УПРАЖНЕНИЯ

Найти все комплексные числа г, по модулю равные 1, при которых z2 + (l+i)z принимает чисто мнимые значения. Изобразить соответствующее геометрическое место точек на плоскости С.

Что можно сказать о поле R (б), которое получено из R присоединением комплексного числа б, удовлетворяющего равенству б4 = —1?

Пусть А. В е Afn(R). Опираясь на теорему 1, доказать, что det(A + /B) = det (А — iB) (черта означает сопряжение).

Пусть A, BsM„(R),

C-|-S ®|s^(R>.

Применяя к вещественной матрице С элементарные преобразования первого и второго типа над полем комплексных чисел С. показать, что

det С = | det (А + IB) |2.

(Г. Полна и Г. Сеге.) Используя упражнения 3 и 4, дать объяснение следующему «странному» факту. Однородная квадратная линейная система

dnZt + ... + dtaza = 0, (*) dnlZi + . . . + dnn2n = о

с комплексными коэффициентами du = а« + У>ы и неизвестными

z< = х{ 4- iyt имеет нетривиальное решение (zi, ..., z») в точности тогда, когда det(dM) = a-^-ib = 0 (см. общие замечания по этому поводу в п. 6 § 3 гл. 4). Это условие приводит к двум уравнениям а = 0, b = 0, связывающим 2л2 вещественных величин аы, Ьы. С другой стороны, систему (♦) можно представить в виде системы 2л линейных однородных уравнений с 2л вещественными неизвестными х,, уь Теперь условие нетривиальности решения запишется в виде равенства нулю одного вещественного определителя размера 2л X 2л, что даст лишь одно уравнение между akt, bkt. Как согласовать между собой эти два результата?

Имея в виду, что автоморфизмы квадратичного поля Q(V^) Должны оставлять на месте рациональные числа, найти автоморфизмы этого поля. (Ответ. Единичное отображение и а 4- b л/d ।—> а — b Vd.)

Чему равна сумма всех корней степени л > 1 из 1? Что можно сказать о сумме примитивных корней степени 12 и степени 15 из 1?

2 4-х

Показать, что I= 2 Л~/~ ие является корнем из 1, хотя | § I = 1. (Указание: ^" = 1 =»- (2 — х)" = (24-х)"=(2—х-4-2х)" = = (2 — x)h 4- - - - 4- (2х)" => (2 — х) (а 4-1^ = (2х)" =► 5 (а2 4- »2)= = 22" =*- 5 | 22" — противоречие.)

Множество S1 = {ei<p | ф е R} (окружность единичного радиуса) образует относительно умножения в С подгруппу группы (С*, •). Всякое R -линейное отображение f:C->C называется ортогональным, если (f(z) | Hz^ = (z | z'), т. е. если оно сохраняет длины векторов (расстояния между точками). Доказать, что отображение f: С -> С в точности тогда ортогонально, когда f(z) = cz нли cz, где ceS*.

' Показать, что

Хох,*2...Хп-Х

Хп-хХ0X,. ..Х„_2

хп-1Х№_хХ0...Хп_»—•

Хх*2ХЭ. . .Хо

п— 1

= JJ Uo4-£14-E26*2 4- --- 4-E<B-n*x„_I), 6=0

где £ — примитивный корень степени л из 1.

стве универсальности кольца многочленов, на чем мы коротко остановимся в п. 1.

Пусть К—коммутативное (и, как обычно, ассоциативное) кольцо с единицей 1, А— некоторое его подкольцо, содержащее 1. Если t^K, то наименьшее подкольцо в К, содержащее А и t, будет, очевидно, состоять из элементов вида

а (^) = Oq + axt + а^2 + ... + antn, (*) где aseA, neZ, п^О. 1Аы обозначим его символом А [^] и назовем кольцом, полученным из А присоединением элемента t, а выражение (*) — многочленом от t с коэффициентами в А. Что понимать под суммой и произведением многочленов, видно из простейших примеров:

а(0 + 6 (0 = (а» + axt + а^2) + (60 + bxt + b^ =

= (ц> + Ь^ + (**1 + bx) t + («2 + ^2) t2»

<1 (0 • b (f) = Oq&o + (#0^1 4~ a\b<^ t +

4- (<ZqZ>2 4- ^i^i 4“ a^b^ ^ 4~ (ai^2 4~ ^ab^ t3 4~ CLabjL*. Очевидно, что приведение подобных членов основано на попарной перестановочности всех элементов аь bb tk.

Теперь самое время вспомнить, что t — наугад взятый элемент кольца К, и поэтому внешне различные выражения (*) могут на самом деле совпадать. Если, скажем, А = Q, f=V2, то /2 = 2 и ^ = 21— соотношения, которые никоим образом не вытекают из формальных правил. Чтобы прийти к привычному понятию многочлена, необходимо освободиться от всех таких побочных соотношений, для чего под t следует понимать произвольный символ, не обязательно содержащийся в К. Он призван играть чисто вспомогательную роль. Гораздо большее значение имеют правила, по которым составляются коэффициенты выражений a (t) 4-^(0» а(0^(0- Имея в виду эти предварительные замечания, перейдем к точному определению алгебраического объекта, называемого многочленом, и собрания таких объектов — кольца многочленов.

Многочлены от одной переменной. Пусть А — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Построим новое кольцо В, элементами которого явля-

ются бесконечные упорядоченные последовательности f=(fo, fi, f2, • --), he а,(1)

такие, что все fi, кроме конечного их числа, равны нулю. Определим на множестве В операции сложения и умножения, полагая

f + g" = (fo, fi. f2, —) + (go, gh ga, ---) = = (fo + go, h~bgi, fa + ga» —), f ■ g = h = (h0, hv, Кг, ...), где

hk= 2 hgbA = 0, 1, 2, ...

l*i-k

Ясно, что в результате сложения и умножения получаются снова последовательности вида (1) с конечным числом отличных от нуля членов, т. е. элементы из В. Проверка всех аксиом кольца (см. § 3 гл. 4), кроме, разве, аксиомы ассоциативности, очевидна. В самом деле, поскольку сложение двух элементов из В сводится к сложению конечного числа элементов из кольца А, (В, +) является коммутативной группой с нулевым элементом (0, 0, 0, ...) и элементом —f = (—fo. —fi, —f2. - --), обратным к произвольному f = (f0, fb fi, ...). Далее, коммутативность умножения следует непосредственно из симметричности выражения элементов hk через fi и gj. Это же выражение показывает, что в В выполнен закон дистрибутивности (f + g) h = fh + gh. Что касается ассоциативности операции умножения, то пусть

f = (fo, fi, f2, • - ■), g = (go, gi, ga, - - ■), A = (Ao, Ab A2, .. .) — три произвольных элемента множества В. Тогда fg = d = (d0, dx, d2, ...), где dt= ^ figb 1 = 0, 1, i*i-l

2,..., a (fg)h = dh = e = (eQ, ev, e2, ...), где es = = 2 dthk = S ( E hgA hk = £ hg^k- Вы- i+k=sl+k=s\i+j—l /i-¥t*k—s

числение f(gh) дает тот же результат. Итак, В — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей (1, 0, 0, ...).

Последовательности (а. О, 0, ...) складываются и умножаются так же, как элементы кольца А. Это

позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из А, т. е. положить а = (а, 0, 0, ...) для всех а г А. Тем самым А становится подкольцом кольца В. Обозначим далее (О, 1, 0, 0, ...) через X и назовем X переменной (или неизвестной') над А. Используя введенную на В операцию умножения, находим, что

Х = (0, 1, 0, 0, ...),

Х2 = (0, 0, 1, 0, ...),(2)

Х" = (0, 0, ..., О, 1, 0, ...).

Кроме того, ввиду (2) и ввиду включения А cz В имеем

(О, 0, О, а, 0, . ..) = аХп = Хпа.

Итак, если fn— последний отличный от нуля член последовательности / = (/о, /1, -... fn, 0, 0, ...), то в новых обозначениях

/ = (fo, ...Лп-1, О, О, ...) + fnXn =

=Uo, ...Лп-^ 0, о, ...)-^fn_xXn"1 4-fnXn =

= ?04-ГхХ4-№+ +fnxn. (3)

Такое представление элемента f однозначно, поскольку fo, •... fn в правой части (3) — это члены последовательности (f0, • ••> fn, 0, ...), которая равна нулю тогда и только тогда, когда fo = • • • = fn = 0.

Определение. Введенное выше кольцо В обозначается через А [X] и называется кольцом многочленов над А от одной переменной X, а его элементы— многочленами (или полиномами).

Конечно, присвоение фиксированной букве X названия переменной или неизвестной — не очень удачное терминологическое изобретение, но оно привилось, поскольку не приводит к недоразумениям.

Мы намеренно ввели заглавную букву X, чтобы отличить наш специально выделенный многочлен f = X от теоретико-функциональной переменной х, пробегающей какое-то множество значений (чисто временное соглашение, придерживаться которого в будущем не обязательно). Более привычной является запись многочлена f в виде

fU') = a»Xn 4- ахХ""1 4- ... 4- ап.

е. по убывающим степеням X. В дальнейшем мы будем писать так, как это представится удобным. Элементы f, (и а,) называются коэффициентами многочлена f. Многочлен f— нулевой, когда все его коэффициенты равны нулю. Коэффициент fo при X в нулевой степени называется еще постоянным членом. Если fn^O, то fn называют старшим коэффициентом, а п— степенью многочлена и пишут n = degf. Нулевому многочлену приписывается степень —оо (—оо + (—оо) = —оо, —оо -|- п = —оо, —оо < п для каждого neN). Многочлены степени 1, 2, 3, ... называются соответственно линейными, квадратичными (или квадратными), кубичными и т. д.

Роль единицы кольца Л [X] играет единичный элемент 1 кольца Л, рассматриваемый как многочлен нулевой степени. Непосредственно из определения операций сложения и умножения в Л [X] следует, что для любых двух многочленов

f = fo + fiX + ... + 7„Г\ g = g0-bgiX4- ... Ч-gmX"1

(4)

степеней п и m соответственно имеют место неравенства

deg(f + ^)^max(degf, degg), deg(fg)<degf + deg5.

-(5)

Второе из неравенств (5) на самом деле заменяется равенством

deg (fg) = deg f + deg g

всякий раз, когда произведение fngm старших коэффициентов многочленов (4) отлично от нуля, поскольку

fg = Togo + Uogi + figo) X + ... + (f„g^ Xn+m. (6)

Но это значит, что верна

Теорема 1. Если Л—целостное кольцо, то и кольцо Л [X] является целостным. ■

Место кольца многочленов среди коммутативных колец отчасти поясняет следующая

Теорема 2. Пусть коммутативное кольцо К содержит Л в качестве подкольца. Для каждого элемента 1g К существует единственный гомоморфизм

колец П<: Л[Х]->-К такой, что

VaeA Ilt(a) = a,Ht(X) = L(7)

Доказательство. Предположим сначала, что такой гомоморфизм П/ существует. Так как П< (/;) = = ft для каждого коэффициента многочлена f, записанного в стандартном виде (3), и П<(Х*) = = (П< (X) )* = tk (свойство гомоморфизма и условие (7)), то

n/(f) = n/(fo + f^+ - -. + LX") =

= /о + ^+---+^, (8)

т. е. П<(/) определен однозначно и выражается формулой (8). Обратно, задав отображение П< формулой (8), мы, очевидно, удовлетворим условию (7) и получим гомоморфизм колец. Это ясно для отображения аддитивных групп колец, а что касается умножения, то применение П< к произведению (6), а затем использование (общего) закона дистрибутивности дает

П/ (fg) = fogo + (fogl + flg"oV + - • - + (Ingm)^*"1 = / "\ / mX

= ( £ f/J( £ ^^пдп-пд^). ■ \<-o/ x f-o/

Результат применения отображения IL, определенного формулой (8), к многочлену f—f(X) называется подстановкой t в f вместо X или (с некоторой натяжкой) просто значением f при X = t, так что П<(/) = f(t). Знать II<(f) — значит уметь вычислить значение f при X = t. Гомоморфизмы Пх, хе А, служат связующим звеном между функциональной и алгебраической точками зрения на многочлен. По определению линейный многочлен X— с = (—с, 1, 0, ...) никогда не равен нулю, но ассоциированная с ним функция х»—>х— с принимает нулевое значение при х = с. Другой пример: отличный от нуля многочлен J^ + Xc коэффициентами из поля р2 (где 1 + 1=0) представляет нулевую функцию f: р2->- Га» поскольку О2 + 0 = 0 и I2 + 1 = 0.

Элемент teK называется алгебраическим над А, если П<(/) = 0 для некоторого /еЛ[Х]. Если же

П<: Л[Х] —»-К—изоморфное вложение (мономорфизм), то t— трансцендентный над Л элемент. В случае Л = Q и К = С говорят просто об алгебраических и трансцендентных числах. Например, числа е и л, определяемые в_ анализе, являются трансцендентными, а числа V2, V3, V2 + V3—алгебраическими.

Гомоморфизм П(, собственно говоря, служит выражением универсального свойства кольца многочленов Л[Х]. Более полным образом универсальность кольца многочленов видна из следующего утверждения, обобщающего теорему 2.

Теорема 3. Пусть А и К — произвольные коммутативные кольца, t— элемент из К и ф: Л—*-К — гомоморфизм. Тогда существует, и притом единственное, продолжение ф до гомоморфизма фс Л[Х]^-К кольца многочленов А [X] в К, переводящего переменную X в t.

Доказательство является незначительным видоизменением доказательства теоремы 2 и оставляется читателю в качестве упражнения. ■

Многочлены от многих переменных. Если в ситуации А <= К, рассматривавшейся в начале параграфа, взять произвольные п элементов 6, • • -, tn^ К и рассмотреть в К пересечение всех подколец, содержащих А, ^, . ... tn, ТО МЫ получим КОЛЬЦО Л [fb . ... tn}. Формальная запись его элементов подсказывает, как и в случае п = 1, необходимость введения в обиход кольца многочленов от п переменных. Делается это очень просто. Вспомним, что конструкция кольца В = А [X] включала произвольное коммутативное кольцо А с единицей. Мы можем теперь заменить в нашей конструкции кольцо Л на В и построить кольцо С = В [У], где У—новая независимая переменная, играющая по отношению к В ту же роль, что и X по отношению к А. Элементы из С однозначно записываются в виде 22 bjY’, bj е В, причем В отождествляется с подкольцом в С, а именно — с множеством элементов 6У° = 6-1. Так как, в свою очередь, bj=^, OtjX1 — однозначная запись элементов Ь,^В, то любой элемент из С имеет вид

* i

2 22 а^Х1, А, 1-0 1—0

причем подразумевается (по смыслу конструкции), что ац перестановочны с X и У, а переменная X перестановочна с У. Кольцо С называется кольцом многочленов над А от двух независимых переменных (от двух неизвестных) X и У.

Повторив достаточное число раз эту конструкцию, мы получим кольцо A [Хь ..., Хл] многочленов (полиномов) над А от п независимых переменных (или неизвестных) Хъ ..., Х„.

Набор (й, .... u)gN” из п целых неотрицательных чисел ц, .... 1п (N —NU{0}) условимся сокращенно обозначать символом (I). Тогда любой элемент f g Л [Хь ..., Хп1 запишется в виде

а^е А, (9)

(О

где Xю—X,1 ... X*"— одночлен (или моном), так что f — линейная комбинация одночленов с коэффициентами из А. В соответствии с определением многочленов все коэффициенты aw в (9), за исключением конечного их числа, равны нулю. Единственность записи (9) непосредственно вытекает из следующего утверждения.

Многочлен f равен нулю тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты а{^... t . При п = 1 это уже отмечалось в ходе построения кольца А [X], а при п > 1 проще всего использовать индукцию по п. Именно, мы можем записать

гдегде

где

где

— многочлены от меньшего числа переменных. Утверждение для п = 1 и предположение индукции показывают, что

f = O<^VZ„ bi^O^^UviR) a4.„in_iln = 0.

Теперь естественно считать два многочлена f, ge е А [Хь ..., Хл] равными, если совпадают их коэффициенты при одинаковых одночленах (согласно вы-

шесказанному,^, ...,/„) ^ (1Ъ —, jn)=^-xV — Х»п #= =#= Xi1 ... Хпп). Под степенью многочлена f относительно Хк понимается наибольшее целое число, обозначаемое deg*f, которое встречается в качестве показателя при Хц в а^Х^ с а^ #= 0. Например, многочлен 1 + л + ХУ3 + X3Y2 имеет степень 2 относительно X и степень 3 относительно У. Целое число ^ + - - - + й называется (полной) степенью одночлена X,1 ... Х1^. Степенью degf (или полной степенью') многочлена f будет максимальная из полных степеней его одночленов. Полагаем degO = —со. О старшем по степени члене многочлена f не имеет смысла говорить, поскольку таких членов (одночленов) может быть несколько.

На кольцо А [Хь ..., Хп) переносятся многие результаты, полученные нами в п. 1 для Л[Х]. Например, опираясь на теорему 1 и используя индукцию по п, мы сразу же убеждаемся в том, что справедлива

Теорема 1'. Если А — целостное кольцо, то и кольцо Л[ХЬ .... Х„] является целостным. В частности, кольцо многочленов от п переменных над любым полем Р целостно. ■

Полезным уточнением теоремы V служит

Теорема 4. Пусть fug — произвольные многочлены от п переменных над целостным кольцом А. Тогда ‘ -

deg (fg) = deg f + deg g.

Доказательство. Назовем однородным многочленом или формой степени пг многочлен А(ХЬ ... , Хп), все члены которого имеют одну и ту же полную степень пг. Формы степеней 1, 2, 3 называются соответственно линейными, квадратичными и кубичными формами. Объединяя вместе все входящие в f (или, как еще говорят, встречающиеся, имеющие ненулевые коэффициенты) одночлены одной и той же степени, мы однозначно представим многочлен f—T.<4i^ в виде суммы нескольких форм fm различных степеней

f = fo + fi + • - • + fk» k = degf.

Если теперь

g —go + gi + • • • + gz» I — degg, то, очевидно,

fg — fogo + (fo5i + fi5o) + — + tkgi

(это похоже на соотношение (6), но /г, g$ имеют там другой смысл), откуда degfg^^ + Z. По теореме 1' из f* #= О, gz #= О следует fkgi О, т. е. deg (fg) = = deg(f*gz) = £+/ = deg f +degg. ■

Алгоритм деления с остатком. В п. 3 § 9 гл. 1 для целых чисел был введен алгоритм деления с остатком. Оказывается, что совершенно аналогичный алгоритм имеет место и в кольце А [X] над целостным кольцом А (для Л = R это известно фактически из курса элементарной алгебры: вспомните деление уголком!).

Теорема 5. Пусть А — целостное кольцо и g — многочлен в А [X] со старшим коэффициентом, обратимым в А. Тогда каждому многочлену f^A [X] сопоставляется одна и только одна пара многочленов q,r е А (X), для которых

f = 4g + r, degr<degg.(10)

Доказательство. Пусть

/^ЦоГ + ^Х""^ ... +zz„,

g — 60Xm + б^”-1 + ... + 6m,-

где а060 ^ О и 6о| 1. Применим индукцию по п. Если п = 0 и m = degg > degf = О, то положим q — О, r — f, а если п = пг = 0, то г = 0 и q = aobox. Допустим, что теорема доказана для всех многочленов степени <п (п>0). Без ограничения общности считаем /п ^ п, поскольку в противном случае возьмем q = 0 и r — f. Раз это так, то

f = o06o1X" m-g + f,

где degf<n. По индукции мы можем найти q и г, для которых f = qg А- г, причем degr<Cm. Положив

Ч = а^ЬоХХп'т8^д, мы придем к паре многочленов с нужными свойствами.

Обращаясь к свойству единственности частного q и остатка г, предположим, что

qg + r = f = q'g + r'.

Тогда ^q'— q)g=r— г*. По теореме 1 имеем: deg (г — r/)=deg(<7/ — <7)+degg, что в наших условиях возможно только при / = г и q' — q (напомним, что degO =—оо и что —оо -|- щ =—оо).

Наконец, приведенные рассуждения показывают, что коэффициенты частного q и остатка г принадлежат тому же целостному кольцу Д, т. е. /, g е Д [X] =ф- =^ q, г е А [X]. ■

Замечание. Многочлены со старшим коэффициентом 1 часто называют нормализованными (еще: нормированными, унитарными). Указанный выше процесс деления многочлена f на g, называемый евклидовым, несколько упрощается, если g—нормализованный многочлен. Говорят, что f делится на g, если остаток г равен нулю (см. (10) ) : f = qg.

УПРАЖНЕНИЯ

Многочлены f (X) = %s + ЗХ4 + X2 + 4Х2 — ЗХ — 1, g(X) = = Х24-Х4-1 можно считать принадлежащими кольцу Z [X] или, скажем, кольцу Zs[X] в зависимости от того, как интерпретировать, их коэффициенты. Применяя алгоритм деления с остатком, показать, что в первом случае f(X) ие делится иа g(X), а во. втором—делится. Возможна ли реализация противоположного варианта? •-

Доказать при помощи теоремы 3, что если F—поле, то группа всех автоморфизмов кольца Р[Х], тождественных иа F, изоморфна группе преобразований X i—> аХ + Ь, где a, beF и а ^ 0.

Показать, что многочлен f G F[Xi, ..., Хп] является формой степени m (см. доказательство теоремы 4) тогда и только тогда, когда f(tXu .... tXn) = t^^Xx, .... Х„), где /— новая перемеииая.

Показать, что число различных одночленов от п иезави- .( m + п — IX

симых переменных полной степени m равно II.

Указание. Использовать принцип двойной индукции по п и ш, опираясь иа соотношение

Возвращаясь к определениям п. 1, рассмотрим совокупность А[[Х]] так называемых формальных степенных рядов

f (X) = 2 а^Х1 от переменной (неизвестной) X или, если i >о

угодно, последовательностей (ао, at, а2> ...) с любым, возможно бесконечным, числом коэффициентов а< =И= 0, принадлежащих коммутативному кольцу А. Действия с формальными степенными рядами из Л[[Х]] проводятся по тем же правилам, что и действия с многочленами:

(Е + (Е = Z (а/ + М xl*

(Еа^НЕ ь/^') = Ес^6- ^= Е aibr i+i-fe

Показать, что множество Л [ [X] ], рассматриваемое вместе с этими операциями, является ассоциативным и коммутативным кольцом с единицей 1 = (1, 0, 0,)-

Так как в степенной ряд / — Е “^ входят сколь угодно высокие степени X1 переменной X, то вместо степени degf, ие имеющей теперь смысла, естественно рассматривать порядок to (f) — целое число, равное наименьшему индексу п, для которого ал =# 0 (полагают еще ш(0) = -}-оо).

Показать, что

со U — у) > min {со (f), со (g)};

(»)® (fg) > ® (f) + ® (g)-

Если Л— целостное кольцо, то co(fg) =со(/) +co(g). В частности, вместе с Л целостным является и кольцо Л[[ХТ|.

Показать также, что Л[Х] — подкольцо в Л[[Х]].

в. Многочлены и степенные ряды часто используются в качестве производящих функций различных числовых величии. Смысл оперирования с ними поясним на двух простых при- мерах._

Установить соотношение

к

Z(7)G"-, )-(”Г)- Z-0

исходя из биномиальной формулы EG) Х‘ =(1 +%)« в Z [X] и очевидного разложения (1 4-Х)”(1 + X)" = (1 + Х)”+”.

Найти число /„ всевозможных расстановок скобок в произведении длины п элементов множества с одной бинарной операцией. С этой целью удобно ввести производящую функцию — формальный степенной ряд

Z (X) = 2 UXn = X + Х= + 2Х» + ...,п ^ I

начальные коэффициенты которого были вычислены еще в п. 3 § 1 гл. 4. Из очевидного рекуррентного соотношения

п— 1

ние, находимние, находимf№=Hf№=H(XX)fe А!(XX)fe А!

ние, находим

ние, находим

f№=H

f№=H

(XX)fe А!

(XX)fe А!

вытекает, что /(ЛГ)8 = Z(X)—ЛГ. Решая это квадратное уравне

(знак перед радикалом определяется условием Z„ > О). Но если степенной ряд f(X) таков, что fr — 1 4-XX", reN, то

(«разложение в ряд Тейлора», которое можно принять пока на веру). В нашем случае г = 2, X = —4, и простая подстановка дает окончательное выражение

1 ( 2п — 2 п \ п — 1

(заметим, что U = C„—i — классическое число Каталана). Предлагается провести все промежуточные выкладки.

Разложение в кольце многочленов

Элементарные свойства делимости. В разных местах, начиная с гл. 1, мы затрагивали вопросы делимости в кольце Z целых чисел, но так называемая основная теорема арифметики у нас оставалась пока недоказанной. Теперь настала пора не только заполнить этот пробел, но и распространить соответствующие утверждения -не более широкий класс колец. В первую' очередь нас интересует кольцо многочленов Р[Х] над полем Р.

Начнем с произвольного целостного кольца К. Обратимые элементы в К были названы нами делителями единицы. Часто их именуют еще регулярными элементами. Совершенно очевидно, что многочлен /еЛ[Х] обратим (регулярен) в точности тогда, когда degf = O и f = fo — обратимый элемент кольца А, поскольку fg = 1 ^- deg f + deg g = deg 1=0.

Говорят, что элемент be К делится нааеК (или b кратен а), если существует такой элемент се К, что b = ас (это обозначается а|6). Если а\Ь и Ь\а, то а и b называются ассоциированными элементами. Тогда Ь = иа, где и|1. В силу сделанного выше замечания ассоциированность многочленов f, ^еЛ[Х] означает, что они отличаются лишь обратимым множителем из А.

Элемент реК называется простым (или неразложимым), если р необратим и его нельзя представить в виде р = ab, где а, b — необратимые элементы. В поле Р каждый ненулевой элемент обратим и в Р нет простых элементов. Простой элемент кольца Л [X] называется чаще неприводимым многочленом.

Отметим следующие основные свойства отношения делимости в целостном кольце К.

Если а\Ь, Ь\с, то ale. Действительно, мы имеем b = ab', с = be', где Ь', с е К. Поэтому с = ^ab') с'= = a Vb'd).

Если с\а и с\Ь, то с|(а±6). В самом деле, по условию а = са', b = cb' для некоторых а', V е К и ввиду дистрибутивности а ± b = с^а' ± Ь').

Если а\Ь, то а|be. Ясно, что b = ab' =*-Ьс = = (аУ) с = а (Ь'с).

Комбинируя 2) и 3), получаем

Если каждый из элементов bx, 62, ..., bm^K делится на а г К, то на а будет делиться также элемент ЬХСх-}-Ь2С2 + ... +bmCm, где Сх, С2, ...» Ст произвольные элементы. |

Определение. Говорят, что целостное кольцо К— кольцо с однозначным разложением на простые множители (или К — факториальное кольцо), если любой элемент а #= 0 из К можно представить в виде а = ирхр2 pr,(1)

где и — обратимый элемент, а рх, ри, ..., рг— простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения а = vqxq2 ... qs следует, что г = $ и при надлежащей нумерации элементов рх и q, будет

Qv=“XPX* • • - > qr = urpr, где их, ..., иг — обратимые элементы.

Допуская в равенстве (1) значение г = 0, мы принимаем соглашение, что обратимые элементы в К тоже имеют разложение на простые множители. Ясно, что если р— простой, а и — обратимый элемент, то ассоциированный с р элемент up тоже простой. В кольце Z с обратимыми элементами 1 и —1 отношение порядка (а < Ь) дает возможность выделить положительное простое число р из двух возможных

простых элементов ±р. В кольце Р[Х] удобно рассматривать нормализованные (см. замечание в конце § 2) неприводимые многочлены.

Справедлива следующая общая

Теорема 1. Пусть К — произвольное целостное кольцо с разложением на простые множители. Однозначность разложения в К (факториальность К) имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент реК, делящий произведение ab е К, делит по крайней мере один из множителей а, Ь.

Доказательство. Пусть К факториально, и пусть ab = рс. Если

а = Цаь 6=11^, с = Пса

— разложения а, Ь, с на простые множители, то из равенства JJ а, Ц bt = р Ц ск следует, что элемент р ассоциирован с одним из а, или Ъь т. е. р делит а или Ь.

Обратно, установим однозначность разложения в К, где р | ab =^- р | а или р {Ь. Рассуждая по индукции, допустим, что разложение всех элементов из К с числом ^п простых множителей единственно (конечно, с точностью до порядка множителей и их ассоциированности). Докажем теперь это для любого элемента a N= 0, который может быть разложен на п +1 простых множителей. Именно, пусть

п+1т+1

а=Пр<=Пг/(2)

i-i/-1

— два разложения элемента а с m ^ п. Условие теоремы, примененное к р = р«+ь дает нам, что рп+\ должен делить один из элементов л, .... rm+i. Без ограничения общности (ибо это вопрос нумерации) считаем, что pn+i|rm+i. Но rm+i — простой элемент, поэтому rm+i =ир„+ь где и — обратимый элемент. Опираясь на закон сокращения в К (теорема 1 § 3 гл. 4), пm

получаем из (2) равенство Ц pt = и Ц г,. В левой i-i/-i

его части стоит произведение п простых множителей. По предположению индукции tn = п и оба разложения отличаются лишь порядком простых элементов, снабженных, возможно, какими-то обратимыми множителями. ■

В произвольном целостном кольце К элемент а #= О вообще не обязан допускать разложение типа (1). Что более интересно, имеются целостные кольца, в которых разложение на простые множители хотя и возможно, но не является однозначным, т. е. условие теоремы 1, кажущееся тривиальным, не всегда выполняется.

Пример. Рассмотрим мнимое квадратичное поле Q (V—5) (см. пример в п. 5 § 1), а в нем — целостное кольцо К = V«-V b V—5 \ a, b^zY Норма N (а + Ь лЛ^) = аа + 5Ьа каждого отличного от нуля элемента аг К — целое положительное число. Если а обратим в К, то (N (а))-1 =s= N (а- *) е Z, откуда АГ (а) = 1. Это возможно лишь при b = О, а = ±1. Таким образом, в К, как и в Z, обратимыми элементами являются только ±1. Если а = eata2.. .а, =#= 0, 8 = ±1, то jV(o) = = jV(oi)... jV(or). Так как 1 < N (а,) е N, то при заданном о число множителей г не может иеограиичеиио расти. Стало быть, разложение на простые множители в К возможно.

Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два существенно различных разложения на простые множители:

9 = 3 - 3 = (2 + V^5) (2 — V^)-

Неассоцнироваииость элементов 3 и 2 ± V—5 очевидна. Далее, N (3) = N (2 ± V—б) = 9, Поэтому из разложения а = ai«2 для а = 3 или 2 ± V—5 с необратимыми ai, аг следовало бы 9 = ^(a) = jV(ai)jV(a2), т. е. N\a^ = 3, t = 1, 2, что невозможно, поскольку уравнение хг + 5уг = 3 с х, у г Z неразрешимо. Этим доказана простота элемёитов 3 и 2 ± -V—5.

Рассмотренный пример содержит в зародыше большой крут вопросов, частично остающихся пока нерешенными, о квадратичных полях Q(^d). Их изучение входит в круг обязанностей алгебраической теории чисел.

Прежде чем устанавливать при помощи теоремы 1 факториальность тех или иных колец, мы введем важные вспомогательные понятия, представляющие независимый интерес.

НОД и НОК в кольцах. Пусть К — целостное кольцо. Под наибольшим общим делителем двух элементов а, ЬеК мы будем понимать элемент deK, обозначаемый символом НОД(а, 6) и обладающий двумя свойствами:

d\a, dlb;

c|a, c\b =► c\d.

Ясно, что вместе c d свойствами (i), (ii) обладает любой ассоциированный с ним элемент. Обратно, если с и d — два наибольших делителя элементов а и 6,

15 А. И. Костршаш

то будем иметь c|d, d|c, так что с и d ассоциированы. Обозначение НОД (а, б) относится к любому из них, т. е. в этой записи ассоциированные элементы не различаются. С учетом такого соглашения к определяющим свойствам (i), (ii) наибольшего общего делителя добавятся следующие:

(Hi) НОД (а, Ь) = а-*=^-а\Ь*,

НОД (а, 0) = а;

НОД(ta, tb) = /НОД(а, б);

НОД (НОД (а, б), с) = НОД (а, НОД (Ь, с)). Проверка их не вызывает никаких трудностей и оставляется читателю. Свойство (vi) позволяет также распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов.

По аналогии с НОД (а, Ь) вводится дуальное понятие наименьшего общего кратного m = НОК(а, Ь) элементов а, ЬеК, также определенного с точностью до ассоциированности двумя свойствами:

(i') a\m, blm;

(ii') а|с, b\c => т^с.

В частности, полагая c = ab, получаем, что m^ab.

Теорема 2. Пусть для элементов а, b целостного кольца К существуют НОД (а, б) и НОК(а, б). Тогда*.

НОК(а, Ь) = 0<=>- а = 0 или Ь = й.

a, b^O, m = HOK(a, б), ab = dm=^d = = НОД(а, б).

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения НОК(я, Ь). Для доказательства б) нам нужно убедиться, что элемент d, определенный равенством ab = dm, обладает свойствами (i), (ii). В самом деле, (i') => m = а'а, т = = b'b. Значит, ab = dm = da'a, откуда после сокращения на а, допустимого в любом целостном кольце, имеем b = da', т. е. dl b. Аналогично ab = dm = = db'b => а = db', т. е. ala. Мы пришли к (i).

Далее, пусть а = fa, b = fb. Положим с = = fa"b". Тогда c = ab"=ba"— общее кратное а и б. Согласно свойству (ii'), с = с/т для некоторого с' г К, откуда fc'm = fc = ^a"b" = ab = dm, т. e. d = fc' и f\d. Мы пришли к (ii). I

Определение. Элементы a, b целостного кольца, в котором существует НОД, называются взаимно простыми, если НОД (a, б) = 1.

Из свойств (i), (ii), (К), (iiz) или из теоремы 2 нельзя извлечь ни способа вычисления, ни доказательства существования НОД(а, Ь) и НОК(а, Ь). Теоремой 2,6), устанавливается лишь соотношение между ними.

Предположим теперь на время, что К — факториальное кольцо. Обозначим через 5* множество простых элементов в К такое, что всякий простой элемент из К ассоциирован с одним и только с одним элементом из 9*. Рассматривая разложения двух элементов а, ЬеК, удобно считать, что в них входят одинаковые элементы из ^*, но некоторые, возможно, с нулевыми показателями, т. е.

а = ир^ ... рк/, b = ур^ ... р1/,

и| 1, о|1; fez^O, li^O; pi^^-, l^Z^r.

При помощи теоремы 1 получается легко запоминающийся

Признак делимости. Пусть а, b — элементы факториального кольца К, записанные в виде (3). Справедливы утверждения:

а\Ь тогда и только тогда, когда ki^.lt, Z= 1, 2г;

НОД (а, Ь^ = р^1 — р®г, где sz= min {&z, Zz), i = = 1, 2r;

НОК(а, b) = ptl р*т, где Zz = max{fez, Zj, i = = 1,2r. ■

Таким образом, в качестве s, нужно брать наименьший из двух показателей kt, It, а в качестве Z,— наибольший. В частности, элементы а, b е К взаимно просты в точности тогда, когда простые множители, входящие в разложение одного элемента, не входят в разложение другого. Недостаток этого признака делимости заключается, конечно, в том, что на практике бывает весьма трудно получить разложение вида (3). Даже в случае К = Z (этим не предвосхищается факториальность Z) приходится довольствоваться незначительными вариациями метода прямого перебора простых чисел, меньших данного числа п. Тем более приятно, что в факториальных кольцах, о которых пойдет речь ниже, имеется эффективный способ вычисления НОД(а, 6) и НОК(а, Ь).

Факториальность евклидовых колец. Алгоритм деления с остатком в Z и Р[Х] (см. п. 3 § 9 гл. 1 и п. 3 § 2) делает естественным рассмотрение целостного кольца К, в котором каждому элементу a N= О поставлено в соответствие неотрицательное целое число б (а), т. е. определено отображение

б* д-\{0} = 7Г-^ми{0}

так, что при этом выполняются условия:

6(аб)^6(а) для всех а, Ь^О из К;

Каковы бы ни были а, ЬеК, 6 #= О, найдутся q, геК (q— «частное», г — «остаток»), для которых

а = qb + г; б (г) < б (б) или г = 0.(4)

Целостное кольцо К с этими свойствами называется евклидовым кольцом. Полагая б(а) = |а| для aeZ и 6 (а) = deg а для а = а(Х)^Р\Х), мы приходим к выводу, что Z и Р[Х]— евклидовы кольца.

В евклидовых кольцах существует способ нахождения НОД (а, Ь), называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида и заключающийся в следующем. Пусть даны ненулевые элементы а, b евклидова кольца К- Применяя достаточно большое (но конечное) число раз предписание (Е2), мы получим систему равенств типа (4) с последним нулевым остатком;

а = qxb + гх,б (rj< б (6),

b = q^ + г2,б (г2)< б (г,),

Г\ = <73^2 + Гз,б (г3)< б (г2),/г.

r &—2 ЧкГk-Y + rk> rk—Y = 4k+Yrk>r &—2 ЧкГk-Y + rk> rk—Y = 4k+Yrk>6 (rfe) < 6 (rfc_x),6 (rfe) < 6 (rfc_x),rk+Y 0.rk+Y 0.

r &—2 ЧкГk-Y + rk> rk—Y = 4k+Yrk>

r &—2 ЧкГk-Y + rk> rk—Y = 4k+Yrk>

6 (rfe) < 6 (rfc_x),

6 (rfe) < 6 (rfc_x),

rk+Y 0.

rk+Y 0.

Это действительно так, поскольку строго убывающая цепочка неотрицательных целых чисел 6(b) >> б (и) > >б(гг)>— должна оборваться, а обрыв может произойти только за счет обращения в нуль одного из остатков.

Утверждается, что последний отличный от нуля остаток гь является как раз наибольшим общим делителем элементов а и b в смысле определения, данного в п. 2. В самом деле, по условию Гк\гц_х. Двигаясь

в системе (5) снизу вверх и используя свойство 4) отношения делимости, сформулированное в п. 1, получим цепочку rfe|rft-i, rft|r*-2rft|r2, rft|ri и, наконец, г*|6, Гй^а. Стало быть, гк — общий делитель элементов а и Ь. Обратно, пусть с — любой другой делитель тех же элементов. Тогда с|гь и, двигаясь теперь в системе (5) сверху вниз, мы получим цепочку отношений делимости с|г2, с|г3с|г*. Последнее из них окончательно убеждает нас в том, что НОД (а, 6) существует, причем имеет место равенство

гй = НОД(а, 6).(6)

Обратим, далее, внимание на то обстоятельство, что каждый остаток ri в системе (5) выражается в виде линейной комбинации с коэффициентами в К двух предыдущих остатков п-i и гг_2. При этом л выражается через а и Ь: и = а — qib, а г^ выражаясь через b и гь тем самым является опять линейной комбинацией а и Ь. Последовательная подстановка в Г[ выражений rt—\ и г.-г через а и b даст нам при i = 6 выражение

rk = аи + Ьо(7)

с какими-то элементами и, о е К.

Сопоставляя (6) и (7) и принимая во внимание теорему 2, б), получаем следующее утверждение. .

Теорема 3. В евклидовом кольце К любые два элемента а, b имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. При помощи алгоритма Евклида можно найти такие и, о еК, что будет выполнено соотношение

НОД (a, b^ = au-V bo.

В частности, элементы а, b е К взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют элементы и, о е К, для которых

au + bv=\. 1

Следствие. Пусть а, Ь, с — элементы евклидова кольца К.

Если НОД(а, 6)=1 и НОД(а, с)=1, то НОД (а, 6с) = 1.

Если а\Ьс и НОД(а,Ь)=1, то а}с.

Если Ь\а, с\а и НОД(6, с) = 1, то Ьс\а.

Доказательство, (i). Согласно теореме 3, имеем равенства аи\ + Ьу\ = 1, аи2 + с»2 = 1- Перемножая соответственно их левые и правые части, находим а(аи1И2 + &U2»i + СН1»2)+6c(did2) = 1» что и дает нужное утверждение.

Имеем au-VbD=\, откуда ac-u~\-(bc)v = с. Но be = aw, поэтому с = а(си + wv), т. е. а\с.

Согласно свойству (ii') НОК,

Ь\а, с|а=Ф-НОК(6, с)\а=>Ьс \а,

поскольку Ьс = НОД (Ь, с) НОК (6, с) и НОД (Ь, с) = = 1 по условию. ■

Читатель легко распространит утверждение теоремы 3 на случай произвольного конечного числа элементов евклидова кольца.

Непосредственным шагом к установлению факто- риальности евклидова кольца служит

Лемма. Всякое евклидово кольцо К является кольцом с разложением (т. е. любой элемент а 0 из К записывается в виде (1)).

Доказательство. Пусть элемент а е К обладает собственным делителем b: а = Ьс, где b и с — необратимые элементы (другими словами, а и b не ассоциированы). Докажем, что 6(b) < 6(a).

В самом деле, согласно (Е1), непосредственно имеем 6(b) ^6(bc) = 6(a). Предположив выполнение равенства 6(b) =6 (а), мы воспользуемся условием (Е2) и найдем q, г с b = qa 4-г, где 6(r)< 6(a) или же г = 0. Случай г = 0 отпадает ввиду неассоции- рованности а и Ь. По той же причине 1 — </с #= 0. Стало быть, снова по (Е2) (поменять местами а и Ь) имеем

6 (а) = 6 (Ь) ^ 6 (b (1 — qc)) = 6(b — qa) = 6 (г) < 6 (а)

— противоречие. Итак, 6(b) < 6(a).

Если теперь a = aia2 ... ап» где все а/ необратимы, то am+iam+2 ... ап — собственный делитель amam+i ... ап, и по доказанному

(a) = 6(a1<z2 ... ап) > d(Og ... a„) > ... > 6(a„) > 6(1).

Эта строго убывающая цепочка неотрицательных целых чисел имеет длину п^6(а). Значит, для элемента а е К имеется разложение максимальной длит

ны, которое и будет разложением на простые множители. ■

Теорема 4. Всякое евклидово кольцо К факториально (т. е. обладает свойством однозначности разложения на простые множители).

Доказательство. С учетом леммы и критерия факториальности, содержащегося в теореме 1, нам остается показать, что если р— простой элемент кольца К, делящий произведение Ьс каких-то элементов Ь, с е К, то р делит либо Ь, либо с.

Действительно, при Ь = 0 или с = 0 доказывать нечего. Если же Ьс #= 0 и d = НОД (6, р), то d, будучи делителем простого элемента р, либо равен 1 (точнее, является делителем 1), либо ассоциирован с р. В первом случае Ь и р оказываются взаимно простыми, и утверждение (И) следствия теоремы 3 позволяет заключить, что р|с. Во втором случае d = = up, и 11 и, значит, р | Ь. ■

Следствие. Кольца Z и Р[X] факториальны (Р — произвольное поле).

Доказательство. Как отмечалось непосредственно после определения евклидовости, на каждом из колец Z, Р[Х] задана естественная функция 6 с нужными свойствами (El), (Е2), так что остается сослаться на теорему 4. ■

Очень рекомендуется провести отдельно для Z и для Р[Х] доказательство факториальности, чтобы устранить всякую видимость какого-либо наукообразия в этом вопросе.

Факториальность кольца многочленов Р [Хь ... .... Х„], л > 1, уже не являющегося евклидовым, устанавливается в ВА 3. Там же приводятся дополнительные примеры евклидовых колец.

Неприводимые многочлены. Специализируя данное ранее определение простого элемента, еще раз подчеркнем, что многочлен f ненулевой степени из кольца Р[Х] называется неприводимым в Р[Х] (или неприводимым над полем Р), если он не делится ни на какой многочлен geP[X], у которого OCdeggC ■С deg f. В частности, всякий многочлен первой степени неприводим. Совершенно очевидно, что неприводимость многочлена степени > 1 или разложение его на неприводимые множители — понятия, тесно связанные с основным полем Р, как это показывает

уже известный нам по построению комплексных чисел многочлен X2 + 1 = (X + О (X — О- Многочлен Х4 + 4 приводим над Q, хотя об этом и нелегко догадаться:

X4 + 4 = (X2 — 2Х + 2)(Х2 + 2Х + 2).

Оба множителя справа неприводимы не только над Q, но и над R, будучи приводимыми, однако, над С

Как простых чисел в Z (см. § 9 гл. 1), так и нормализованных неприводимых многочленов над произвольным полем Р бесконечно много.

В случае бесконечного поля Р это ясно: достаточно рассмотреть неприводимые многочлены вида Х — с, сеР.

Если же поле Р конечно, то годится рассуждение Евклида. Именно, пусть уже найдены п неприводимых многочленов рь .... р„. Многочлен f = pip2 ... ... ря + 1 имеет хотя бы один нормализованный простой делитель, поскольку degf^n. Обозначим его через pn+v Он отличен от рь .... р„, поскольку из pn+i = р для какого-то s ^ п следовало бы ps\(f — pi • • ■ Рп), т. е. ps|l. 1

Так как многочленов заданной степени над конечным полем — конечное число, то можно сделать следующее полезное заключение.

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколь угодно" высокой степени. ■

Это утверждение качественного характера будет уточнено в В А 3.

Неприводимые многочлены над полем Q играют особую роль в теории полей алгебраических чисел. Так как умножением на подходящее натуральное число от многочлена из Q [X] всегда можно перейти к многочлену из Z [X], то естественно уточнить сначала связь между свойствами приводимости над Q и над Z. Имея в виду другие приложения, мы докажем одно общее утверждение о многочленах над факториальным кольцом К. Назовем содержанием многочлена / = а0 + а^Х + ... + а„Х" е К [X] наибольший общий делитель d = d (f) всех его коэффициентов. До сих пор мы говорили о НОД (а, Ь) двух элементов, но свойства (i)— (vi) НОД позволяют без труда распространить это понятие на любое ко-

нечное число элементов целостного кольца. Если d(f)— обратимый элемент в К, то многочлен f называют примитивным.

Лемма Гаусса. Пусть К — факториальное кольцо и f, g е KVX\- Тогда

d(f5) ** d(f) • d(g).

В частности, произведение двух примитивных многочленов снова будет примитивным многочленом (здесь и ниже « означает равенство с точностью до ассоциированности) .

Доказательство. Начнем с последнего утверждения. Пусть'

f — a<s + ахХ + ... + а„Хп, g = bo4- bvX + .. - + bmXm

— примитивные многочлены из Х[Х], произведение fg которых не является примитивным. Существует, стало быть, простой элемент реК, делящий d(fg). Выберем наименьшие индексы s, t, для которых р as, р bt. Такие индексы найдутся ввиду примитивности f и g. Коэффициентом при Xs+V в fg будет

cs*t = аФ1 + (as+xbt_x + Os+lbt-i + —) +

+ (as_xbt+x + as_2bt+2 + —)•

Так как as_i и bt—t при t > О делятся на p по условию и p|cs+i по предположению, то мы имеем соотношение

ри = a3bt + ри,

из которого следует, что p\asbt- Ввиду факториально- сти К имеем p}as или p\bt— противоречие, доказывающее наше утверждение.

Переходя к общему случаю, запишем произвольные многочлены f, g^ Х[Х] в виде

f = d(f)f0, g = d(g)g0,

где f0, go — примитивные многочлены. Так как fg = — d(f)d(g)-fogo и по доказанному d(fogo)~l, то, стало быть, d (fg) « d(f)d (g). ■

Следствие. Многочлен feZ [X], неприводимый над Z, продолжает оставаться неприводимым и HadQ (degf >0).

Доказательство. Согласно следствию теоремы 4 Z—факториальное кольцо, поэтому к Z [X]

применима лемма Гаусса. Предположим, что f = gh, где f е Z [X], a g, h е Q [X]. Умножая обе части этого равенства на наименьшее общее кратное знаменателей всех коэффициентов у g и h, мы перепишем его в виде af = bgoho, где a, b е Z и go, ho — примитивные многочлены над Z. По лемме Гаусса a d(/) = Ь (в данном случае без ограничения общности ассоциированность заменяется на равенство), так что получается разложение f=d(f)goho над £. Остается вспомнить о неприводимости / в Z [X]. ■

Критерий неприводимости (Эйзенштейн). Пусть

f(X) = Xn + a1X"-1+ ... +an_1X + an

— нормализованный многочлен над Z, все коэффициенты аь .... ап которого делятся на некоторое простое число р, но ап не делится на р2. Тогда f(X) неприводим над Q.

В самом деле, предположив противное и воспользовавшись следствием леммы Гаусса, мы запишем f в виде произведения двух многочленов над Z:

f (X) = (Xs + ^х8"1 + ... + bs) <Х* + ^Х*-1 + -.. + с^, st > О.

Это разложение сохранится и в кольце ZP[X], элементы которого -получаютея из целочисленных многочленов взятием их коэффициентов по модулю р. По условию ai = 0, где а» — класс вычетов по модулю р, соответствующий целому числу at. Но кольцо ZP[X] факториально (следствие теоремы 4). Сравнивая два разложения:

Х8Х* = (Xs + ЬуХ8^ + ...) (х* + г^-1 +...),з +t = п,

мы неизбежно приходим к заключению, что bi = 0 = = сь т. е. все коэффициенты bi, Cj делятся на р. В таком случае ап = bsct делится на р2— противоречие, устанавливающее справедливость критерия Эйзенштейна. ■

Примечание. Критерий действует и в том случае, когда старший коэффициент а» отличен от 1, но не делится на р.

Пример. Многочлен f(X) = X»-1 -|- Х»—г + + X + 1 неприводим над Q при любом простом р;-

Достаточно заметить, что вопрос о неприводимости 7(Х) эквивалентен вопросу о неприводимости многочлена

7 (х +1) = -^± ^у” / - -к**1 + ( ' ) х»-2 + ...

- + (p-2)Jr+(₽-1)-

все коэффициенты которого, кроме старшего, делятся на р в первой степени (свойство биномиальных коэффициентов, отмеченное в упражнении 6 § 3 гл. 4) и к которому, следовательно, применим критерий Эйзенштейна.

УПРАЖНЕНИЯ.

Показать, что

nZ + mZ = Z • НОД (л, m),nZ f] mZ = Z • HOK (л, /л).

Пусть f, g — нормализованные многочлены из Z [X]. Показать, что в выражении НОД(/, g) = fu-\- go с и, о е Z [X] можно считать deg и < deg g, deg о < deg 7

Являются ли кольца Z[V—3] и Ze [X] факториальными?

Разложить на неприводимые множители в Z [X] многочлены Xя — 1 при 5 ^ л 12.

Доказать, что неприводимые множители однородного многочлена

7 (X, У) — ОоХ" + ахХп-ХУ + - - - + ап-1ХУп-1 + anYn е Q [X, У] однородны и 7(Х, У) неприводимы тогда и только тогда, когда неприводим многочлен 7 (X, 1) = а0Хп + агХп-х + ... + ап_\Х+ + an^Q[X].

Пусть Р— поле н 7(Х) = ^ aiX1— формальный степенной ряд из Р[[Х]] (см. упражнение 5 § 2). Условие во 0 или, что эквивалентно, о (7) = 0 необходимо и достаточно для существования степенного ряда g(X)e Р[[Х]], обратного к 7: tg=V. Например, (1—Х)-,=X1. С точностью до ассоцииро

ванности X— единственный простой элемент в Р[[Х]]. Кольцо Р[[Х]] факториально. Обосновать эти утверждения.

Показать, что det(xz/) = £ 8лхл(1). 1 - - • ^Жл). л~ не" лез, приводимый однородный степени л многочлен от л2 независимых переменных Хц. (Указание. Рассуждая от противного» предположить, что det(x^) = gi (..., хц, .. .)gz (. - -, хц, ...). Так как det(xy) — линейный однородный многочлен от переменных.

стоящих в одном фиксированном столбце, то одни из множителей gi, gz является линейным однородным многочленом от х*/< I ^ i^ п, при фиксированном /, в то время как другой совсем не зависит от х</, 1 i п. Аналогичные рассуждения сохраняются при замене столбцов иа строки. Пусть, скажем, хц входит в gi. Тогда gz не содержит xq, 1 ^ / ^ л, откуда следует что gz не содержит хц, 1 ^ i, j ^ л, т. е. gz — константа.)

Поле отношений

Построение поля отношений целостного кольца. В предыдущих двух параграфах было установлено много свойств, общих для Z и Р[Х]. Наша ближайшая цель — вложить Р [X] в поле, причем сделать это нужно самым экономным способом, образцом для которого может служить вложение Z в Q. Фактически нисколько не сложнее решать точно такую же задачу для произвольного целостного кольца А.

Рассмотрим множество А ХА* (А* = Л\{0}) всех пар (а, Ь^ элементов а, b е А с b #= 0. Это множество разобьем на классы, полагая пары (а, 6) и (с, d) принадлежащими одному и тому же классу, как только ad = be; в записи: (a, b^ ~ (с, d). Ясно, что всегда (а, Ь)— (a,by Далее, (а, Ь)— (с, d)<=> ~^-(c,d)— (а, b) и, наконец, (а, b) ~ (с, d), (c,d)~ ~ (^» Л =*" (а, ^) — (е, f) - Действительно, имеют место равенства ad = be, of = de, откуда ad/ = bef = bde, t. e. d(af— be^ = 0. Ho d =/= 0, и в силу целостности кольца А получаем af = be, что и означает (а, 6) ~ — (е, f). Итак, отношение — рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. (см. § 6 гл. 1) оно является отношением эквивалентности на множестве А ХА* и, следовательно, определяет разбиение АХ А* на непересекающиеся классы.

Пусть Q(A)—множество всех классов эквивалентности или, что то же самое, Q(A) есть фактормножество А ХА*/— множества А ХА* по отношению эквивалентности —•. Будем обозначать символом [а, 6] класс, в котором лежит упорядоченная пара (а, Ь). По определению

[а, b] = [c, d\-^>ad = be. (1)

Если на множестве АХ А* задать операции сложения и умножения формулами

(a, b} + (с, d) = (ad + be, bd); (a, b) (c, d) = (ас, bd)

(а это возможно, поскольку в А из b N= 0, d ^ 0 следует М#=0), то эти бинарные операции можно перенести на Q[A). В самом деле, нам нужно показать, что

, , _ , ( ка, b)-]-kc, d)~k<f, b')-Hc, d), kka, bVkc, d^~ (а , b) • (с, d).

То же самое выражается соотношениями [ad -|- be) b'd = [a'd + b'c) bd, ac • b'd = a'c- bd.

истинность которых прямо вытекает из условия а'Ь = = ab’. Аналогичный результат получим, заменяя (с, d) на (</, d'), где cd' = c'd. Мы приходим к заключению, что на Q(A) операциями сложения и умножения, не зависящими от выбора представителей в классах эквивалентности, будут

[a, b] + k, d] = [ad + be, bd]-, [а, 6] [c, d) = [ас, bd].

(2)

Здесь следовало бы писать [а, 6] Ф [с, d] и [а, 6] 0 0 [с, d], но без ущерба для ясности Ф и 0 заменены обычными знаками суммы и произведения.

Убедимся теперь в том, что Q(A), рассматриваемое вместе с операциями (2), есть поле. Действительно, например, из соотношений

[а, 6] + (k, d] + k, Л) = к> Ь] + [cf + de, df] =

= [adf + bef + bde, bdf],

([a, Ц + k, <Л) + к. H = [ad4-bc, bd] + [e, f] = = [adf + bef + bde, bdf]

вытекает закон ассоциативности для операции сложения. Ассоциативность умножения очевидна. Далее, соотношения

([а, ^] + [с, ^]) • [е, f] = [ade + bee, bdf],[a, b][e, fJ + k. dHe, f] = [adefA-bcef, bfdf] =

= Rode + bee) f, [bdf)f]

и условия (1) равенства классов эквивалентности показывают, что выполняется закон дистрибутивности.

Столь же просто проверяется коммутативность операций сложения и умножения. Нулем для сложения является класс [0,1] ([0, 1] + [а, 6] = [а, 6}), а единицей для умножения — класс [1, 1].Далее, — [а,6] = = [—а, 6], поскольку[а, 6] + [—а, 6] = [0, 62] =

= [0, 1]. Все это вместе взятое означает, что Q(A) — коммутативное кольцо с единицей. Если [а, 6] #= [0, 1], то а #= 0 в Л, стало быть, [6, а] е Q(X) и [а, 6] [6, а] = [1, 1], так что мультипликативным обратным к [а, 6][0, 1] служит [6, а]. Тем самым

показано, что Q(X) —поле.

Сопоставление а*—*-[а, 1] определяет инъективное отображение f: X-^Q(X), которое на самом деле является (моно) морфизмом колец (f(а + b) = f (а) + + f(*), КаЬ) = ЦаШЬУ, a^b^Ra^Rb^. Для любого элемента х = [a, b\e Q(X) имеем

[6, 1]х = [а, 1],

так что х есть «отношение» Ra)/Rb) элементов из /(Л). По этой причине Q(A) называется полем отношений кольца А.

Удобно отождествить каждый элемент а еЛ с его образом Ra) = [а, 1]е Q(A), т. е. заменить А на /(Л). Можно поступить несколько иначе: заменить каждый из элементов [a, l]eQ(^) на а г А, оставив без изменения все другие элементы поля Q(A), и произвести надлежащие замены в - формулах (2). Именно, следует положить

а + [6, с] = [ас + Ь, с); а [6, с] = [ab, с].

В результате целостное кольцо А окажется с самого начала подкольцом поля, изоморфного Q(A) и изображаемого обычно тем же символом Q(A). После такого отождествления разумно называть элементы [а, Ь] дробями и писать короче и в привычной форме

[а, Ь\ = ^.

Введенные выше правила действий с классами [а, 6] повторяют, как нетрудно догадаться, правила действий с дробями в поле (см. (8) в п. 4 § 3 гл. 4). Нами доказана

Теорема 1. Для каждого целостного кольца А существует поле отношений [или поле частных, поле

дробей) Q^A), элементы которого имеют вид а/Ь, а^А, 0 ^ b еА. Действия с дробями подчиняются правилам (1), (2), где следует положить [а, 6] = = а /Ь. ■

Конструкция полей отношений довольно часто используется в математике. Ее естественность оправдывается хотя бы тем, что поле Q есть не что иное, как поле отношений Q(Z) кольца Z. Легко видеть (проверьте это!), что Q(A)^A, если А — поле.

Замечание. Можно доказать, что если целостное кольцо А есть подкольцо поля Р и каждый элемент хеР записывается в виде отношения а/Ь элементов а г А, О#=ЬеА, то PasQ(A). Например, Q(VS) = Q(Z[V5D-

Поле рациональных дробей. Пусть Р — поле, ^№ — кольцо многочленов над Р. Поле отношений Q(P[X}) кольца Р[Х] обозначается символом Р(Х) (смена квадратных скобок на круглые) и называется полем рациональных дробей от переменной X с коэффициентами в Р.

Следует заметить, что поле рациональных дробей Р(Х) всегда содержит бесконечное число элементов, а его характеристика совпадает с характеристикой поля Р. Поле Fp(X) доставляет пример бесконечного поля характеристики р > 0.

Каждая рациональная дробь поля Р(Х) записывается (притом многими способами) в виде f/g (или ^-, если не стремиться к экономии бумаги}, где f, g— многочлены из кольца Р[А], g=#=0- По Определению f/g = fi/gi <=>• fgi = fig. Естественно назвать f числителем, a g— знаменателем дроби f/g. Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножаются на один и тот же ненулевой многочлен или сокращаются на любой общий множитель. В частности, целое число (положительное или отрицательное) degf — deg g не зависит от представления ненулевой рациональной дроби в виде отношения (частного) f/g двух многочленов. Это число называется степенью дроби. Рациональная дробь от переменной X называется несократимой, если ее числитель взаимно прост со знаменателем. С точностью до множителя из Р, общего для числителя и знаменателя, любая рациональная дробь f/g однозначно

определяется некоторой несократимой дробью. В самом деле, деление f и g на НОД(Д g) приводит к несократимой дроби, а равенство f/g = fi/gi двух несократимых дробей, выраженное в виде fgi = fig, дает f = cfi, сеР, g = cgi (использовать следствие теоремы 4 § 3).

Если deg (f/g) = deg f — deg g <: 0, то (несократимая) дробь f/g называется правильной (нулевой многочлен причисляется к правильным дробям, поскольку мы условились считать degO = —оо).

Теорема 2. Каждая рациональная дробь из Р^Х) однозначно представима в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Доказательство. Алгоритм деления с остатком, примененный к числителю и знаменателю дроби f/g, дает равенство f = qg + г, где deg г < deg g. Теперь -£■ = q + -^ есть искомая запись, сравнение которой с любой другой записью того же типа -^- = q + ^(q, г, ^еРЩ, deg г < deg g) приводит к соотношению

q — q = 2—_ 4 = ^-^=^-.

4 4 g g gg

Так как q — q e P[X], a

deg ((rg — fg)[gg) = deg (rg — rg) — deg g -^ deg g. < 0,

то это возможно лишь в случае q— ^ = 0 и r/g = = r/g- ■

Замечание. Множество Р»(X) всех правильных дробей, рассматриваемое вместе с операциями сложения и умножения в Р(Х), является кольцом без единицы 1. Действительно, пусть fi/gi, fa/ga е е Ро(Х). Так как degfif2 = degfi + deg fa < deggi + + deg g2 = deg g,g2. to (fi/gi) Xh/gi) = (fifa) /(gig2) €= sP0(X). Далее,

fl I fz gl gzfl I fz gl gzfigs ± fzgiglglfigs ± fzgiglgle Po (X),e Po (X),

fl I fz gl gz

fl I fz gl gz

figs ± fzgiglgl

figs ± fzgiglgl

e Po (X),

e Po (X),

поскольку степени каждого из слагаемых fxg2 и f^gi строго меньше степени знаменателя gig2. Как мы

условились перед формулировкой теоремы 2, Ое еР0(Х). В то же время l^Po^X). ■

До сих пор мы все время подчеркивали, насколько похожи кольца Z и Р[Х]. При переходе к их полям отношений появляется существенное различие: правильные дроби в Q не образуют кольцо. Например, 2 . 3 19 3 ■" 515 •

Простейшие дроби. Правильная рациональная дробь f/g е Р (X) называется простейшей, если g = = pR, n ^ 1, где р = р(Х)—неприводимый многочлен, причем degf < degp.

Основной теоремой о рациональных дробях является

Теорема 3. Каждая правильная рациональная дробь может быть разложена, и притом единственным образом, в сумму простейших дробей.

Доказательство. Пусть f/g е Р (X) — данная нам правильная рациональная дробь, в которой без ограничения общности многочлен g можно считать нормализованным (если Х=#0— старший коэффициент многочлена g, то следует перейти от f/g к равной ей дроби X"*f/X-1g). Дальнейшие рассуждения распадаются на ряд этапов.

Этап 1. Предположим, что g = gxga— произведение двух взаимно простых нормализованных многочленов. Тогда

—L_ = A4-A,(з)

Sign gx gnx ’

причем обе дроби в правой части правильные, а сама запись в виде суммы единственна.

В самом деле, из взаимной простоты gi, ga еле дует (теорема 3 § 3), что 1 = uxgx + uaga для некоторых их, U2sP[X]. Умножив обе части этого соотношения на f, получим f = fuigi + fuaga- Если теперь fua = qgx+fx, degfxCdeggx (деление fua на gx с остатком), то f = fxga + fagx, где fa = fux + qga. Разделив обе части этого соотношения на gxgi, т. е. рассмотрев дроби со знаменателем gxga. мы придем к искомому разложению (3), поскольку по построению fx/gx е Ро(Х) (множество правильных дробей) и, в соответствии с замечанием в конце п. 2, ^—4—£-=^W- 52 в®1

16 А. И. Косгрехжн

Пусть теперь, наряду с (3), имеется еще разло- жение —=— +— в сумму правильных дробен.

fff'f'

Тогда из равенства — Ч—— — —-4—— будем иметь

51gigigi

Из делимости (^ — f') g2 на g, и из взаимной простоты gp g2 следует, что разность fx — f, должна делиться на gv Но deg(ft— f()<degg1 и, стало быть, ft —11= 0. Единственность разложения (3) установлена.

Этап 2. Пусть в правильной рациональной дроби f/g для (нормализованного) знаменателя g имеется каноническое разложение

g = р"гр£ • • • РП«<4)

в произведение степеней попарно различных нормализованных неприводимых над Р многочленов pi (X), Р» (X), ..., рот (X). Тогда существует однозначно определенное разложение

8 к ^

в сумму правильных дробей fjp"1 (эти дроби называются еще примерными).

Наше утверждение легко получается индукцией по т, базу для которой дает этап 1:

fm Лn„ I *Рт1 /

Так как fi и f» определены однозначно, то по предположению индукции это верно и относительно fl* • • - > fm*

Э т а п 3. Всякая правильная примарная дробь afp^ представляется, притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей.

Действительно, так как по условию deg а ■< С п deg р, то евклидов алгоритм деления с остатком

приведет нас к системе равенств

0 = ^,^-! 4-П,deg г, <(n — l)degp,

И = ЧарР^ + ra,deg r2 < (п — 2) deg р,

гп-а — Чп-хР + гп_ъ deg rn_v < deg р,

^п—Х Чп*

где degpzC degp для всех однозначно определенных частных q\, ..., qn- Мы видим, что

а = ЧхР""х + ЧаР""1 + - - - + Чп-хР + Чп,

откуда

Так как deg ^ < deg р, то дроби qxfp^ являются простейшими. По построению они однозначно определены (аналог разложения целого числа в 2-адическую или в десятичную дробь).

Этап 4. Рассуждения этапов 1—3, соединенные вместе, дают все, что нужно. ■

Из доказательства теоремы 3 видно, что если f/g—правильная рациональная дробь, то знаменателями соответствующих простейших дробей, при заданном каноническом разложении (4) для g, будут

Рх » - • • » рр • • Рт * Р т * • • • » Р tn

Тема простейших дробей, не очень актуальная для алгебры (хотя и дающая новые примеры колец), находит важные приложения в анализе. Это обусловлено специальным видом неприводимых многочленов над полями С и R, о чем более подробно будет говориться в главе 6.

УПРАЖНЕНИЯ

Построить поле отношений R((X)) кольца R[[X]1 формальных степенных рядов от X с коэффициентами в поле R. Опираясь на упражнение 6 § 3, показать, что каждый элемент ноля R((X)) имеет вид так называемого мероморфного степенного ряда

Ф W - а_тХ-” + а.^Х-”1^ + - - -

• - - + a_vX * -j- Oq + ахХ 4- а^Х? 4- ..., а^ е R,

в котором допускается конечное число отрицательных показателей. Другими словами, ф(Х) = X-”f(X), где f(X) —обычный степенной ряд из R[MJ.

Пусть бесконечная последовательность вещественных чисел о», at, о*. ... периодична, начиная с некоторого члена. Показать, что степенной ряд f (X) = оо + atX + ахХ2 +... записывается в виде рациональной дроби из R (X).

Показать, что множество простейших дробей вида ffp", л 1 (н их линейных комбинаций) является подкольцом кольца Ро(Х} (см. замечание в конце п. 2).

Показать, что, в соответствии с упражнением 3, простейшие дроби над Р ■■ Zx:

atX + bt , а^Х + 6i ,_ i. „ т

X2 + 1 "г" (Xs + I)2 +

образуют кольцо К с бесконечно убывающей цепью

X ^* X, ^^ Х2 ~^ ■ • • ^^ ^ N "^ * * *

подколец Кн» натянутых на дроби (яХ + 6)/(Х2 + 1)”, л ^^

Г л а в a 6

КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ

Займемся тем, ради чего в прошлом изучали алгебру, — корнями многочленов. Эта область перестала быть доминирующей в алгебре, но ее важность никем не оспаривается. Дело в том, что многие задачи математики в конечном счете сводятся к вычислению отдельных корней конкретных многочленов или к качественному описанию их совокупности. Нам удастся затронуть лишь простейшие свойства корней, но их, во всяком случае, будет достаточно, чтобы в полной мере оценить особое место, занимаемое полем С комплексных чисел.

Общие свойства корней

Корни и линейные множители. Пусть коммутативное кольцо А с единицей содержится в целостном кольце К.

Определение. Элемент с е К называется корнем (или нулем^ многочлена feA[X], если f(c) = O. Говорят также, что с — корень уравнения f(x) = O.

Необходимость рассмотрения колец, содержащих А собственным образом, станет понятной, если вспомнить, что многочлен f(X) = X2+l над R не имеет нулей в R, но f(Z)=O, ZeC = R[Z]. Сначала мы рассмотрим, однако, случай К = А.

Теорема 1 (теорема Безу). Элемент сеА является корнем многочлена f е А [X] тогда и только тогда, когда X— с делит f в кольце А[Х]."

Доказательство. Эта теорема — часть более общего утверждения, которое мы могли бы доказать давно. А именно, алгоритм деления с остатком (теорема 5 § 2 гл. 5) гласит, что f(X) = (X — с)<7(Х) + 4- г (X), где deg г (X) < deg (X — с) = 1. Значит, г(Х)—константа. Подстановка с вместо X (т. е. применение отображения Пс из теоремы 2 § 2 гл. 5) дает

f (с) = г, так что всегда

f(X) = (X-c)<7(X) + f(c).(1)

В частности, f (с) = 0 <=► f (X) = (X — с) q (X). 1

Деление многочлена f(X) с коэффициентами в целостном кольце А на линейный многочлен X— с удобно осуществлять по так называемой схеме Горнера, более простой, чем общий алгоритм деления с остатком. Именно, пусть

f(X) = a0Xn + a1Xn-1 + ... + а»,сц е А.

Согласно формуле (1)

+ »„_,, Ь,еА.

, (2), (2)Подставляя теперь в (1) эти выражения для ЦХ) и ^(Х) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X (начиная со старших), мы после небольшого преобразования получим

, (2)

, (2)

ьо=°о

• • •

bk-bk-\c*«k

в А кратностей соответственно kx, кг. Тогда KXHX-cxf ... <X-c,t'g№

gQC^AVXl, g{cf)^O, Z=l, .... r.

В частности, число корней многочлена feA [X], рассматриваемых вместе с их кратностями, не превосходит степени многочлена

A. + ^+ --. +A,<degf.(3)

Доказательство. Достаточно перейти к полю отношений Q(A) (если кольцо А не было полем с самого начала) и воспользоваться однозначностью разложения на простые множители (в данном случае на X— сх, .... X— сг) в кольце Q(/l) [X] (результаты §§ 3 и 4 гл. 5). Однако необходимости в столь мощном оружии сейчас нет. Будем рассуждать прямо.

Так как degf = (Ai+ ... + &r) + degg, то неравенство (3)—следствие делимости f на (X — cj*1 (X — cr>fr, которую мы установим индукцией по г. При г = 1 доказывать нечего. Пусть мы уже знаем, что

f (Х) = (Х - с,)** ... (X - сг_,Л-. Л(Х).

Так как у нас сг — сх=^0, .... сг—Cr-i^O и А — целостное кольцо, то элемент сг не является корнем многочлена (X — ci)*1 ... (X — cr_^*-i. Но сг — к,- кратный корень многочлена f, т. е. f(X) = (X— — cr)*r-u(X). Поэтому h^cr^ = O. Соответственно h (X) = (X — cr) »v (X), s < к,. Имеем

(X — cr)*r «(X) = f (X) =

= (X - с,)** ... (X - cr_,)*r-i (x _ Cr)s „ (x)

Используя закон сокращения в целостном кольце А [X], приходим к заключению, что s = кг. ■

Без предположения о целостности кольца А теорема 2 перестает быть верной, как показывает пример многочлена f(X)=- X3. яад кольцом Ze*. f(0) = = f(2) = f(4) =f(6) = О.-Разложение f иа простые множители в Za(X) также неоднозначно: f = X3 = = Х(Х —4)2 = (Х —2)(Х? + 2Х + 4) = (Х — 6) (X2— — 2Х + 4).*

Из теоремы 2 вытекает

Следствие. Два многочлена f, geA [X] степени ^п, принимающие одинаковые значения при подстановке п + 1 различных элементов из целостного кольца Д, равны-, f — g.

Доказательство. Положим h = f— g, так что degh^n. По условию h(ci) = ... = A(c„+i)=O для попарно различных элементов сь .... сп+1еА, т. е. многочлен А степени ^п имеет не менее п + 1 корней. Полученное противоречие с неравенством (3) можно устранить, лишь признав, что А = 0. ■

Полиномиальные функции. Следствие теоремы 2 позволяет решить затрагиваемый ранее (см. п. 1 § 2 гл. 5) вопрос о соотношении теоретико-функциональной н алгебраической точек зрения на многочлены. Каждому многочлену feA [X] ставится в соответствие функция

f: А-*А, a>—^f{a).

Множество всех таких функций составляет кольцо Дро1 полиномиальных (или целых рациональных) функций, являющееся подкольцом кольца функций АА = {А —»-А) с поточечным сложением и умножением (см. пример 3 в п. 1 § 3 гл. 4 и теорему 2 § 2 гл. 5). Совершенно аналогичным образом вводятся полиномиальные функции от нескольких независимых переменных,.

Как уже отмечалось ранее, отличный от нуля многочлен № + ^ е Fa [-Х] определяет нулевую функцию. Вообще, если f(X) = (Xp— X)g(X)—многочлен над конечным полем нз р элементов, то f — нулевая функция, поскольку х» — х = = х^-*—1) = О для всех xeFp. Лишь в случае degf ^ ^р—1 многочлен feFp[X] определяется своей функцией /. Произвольный многочлен fsFp[X] можно заменить однозначно определенным редуцированным многочленом f* степени ^р—1, взяв в качестве /* остаток от деления f на X»—X. Тогда, очевидно, Т = f

В случае бесконечных полей или целостных колец ситуация значительно проще.

Теорема 3. Если А — целостное кольцо с бесконечным числом элементов, то отображение кольца многочленов А [X] на кольцо полиномиальных функций Дроь определяемое соответствием f«—*•!, является изоморфизмом.

Собственно говоря, это есть переформулировка следствия теоремы 2, поскольку речь идет лишь о том, что многочлену f 0 сопоставляется ненулевая функция /, т. е. f(a) ^ 0 хотя бы для одного ае А. На самом же деле f имеет не более чем п нулей в А, если degf = п. I

На основании теоремы 3 кольцо многочленов над бесконечным полем Р отождествляют с кольцом полиномиальных функций (обозначаемых f(x) с малой латинской буквой х), и остается только решить вопрос о том, как по 7 (а фактически по нескольким значениям многочлена f) восстановить в явном виде сам многочлен.

Точная постановка задачи «интерполяции» заключается в следующем. Пусть Ьо, Ьц ..., Ь„ — произвольные элементы, а с0, Ci,, сп — попарно различные элементы поля Р. Требуется найти многочлен fePVQ степени ^п такой, что f(Ci) —bi, i — 0, 1, .... п. Согласно следствию теоремы 2 решение задачи, если оно существует, единственно. Но один многочлен / с заданными свойствами всегда существует, как показывает интерполяционная формула Лагранжа

“ 1 (Cl — со) * * • (С< — С<-1) (с< — с< + 1) • • • {С1 — Сл)"(4)

Впрочем, существование и единственность решения сразу усматриваются из линейной системы

а^ + а^-* + - - - + ап = Ьо,

ОдС" 4- а.с"~1 4- ... + a = b„U fl • I fl •1 fl л

для коэффициентов а о, .... ап искомого многочлена f. Определитель этой системы, являющийся определителем Вандермонда, отличен от нуля, и а, находятся по правилу Крамера. Удобство формулы (4) заключается в ее простоте и легкости запоминания. Некоторые преимущества иногда имеет интерполяционная формула Ньютона

700 = «о4-«1СГ-Со)4- ...

... 4- ип (X - с0) (X - с,) ... (X - сп_х\ (5)

где коэффициенты «о, «ь - - •, ип определяются путем последовательной подстановки значений X = с0, X — = СуX = сп. Интерполяционные формулы (4), (5) находят практическое применение при вычислении и графическом изображении функции <р: R-*-R, заданной таблично или полученной из опыта. Зная из каких-нибудь косвенных соображений, что функция ф ведет себя на интервале I вещественной прямой К «достаточно хорошо», стараются приближенно изобразить ф на 7 такой «гладкой» функцией, как

полиномиальная. При этом используют в качестве так называемых «узлов интерполяции» часть точек с0. С]Сп внутри интервала 7, в которых (и только в них) известны значения ср (с^ = Ьь Тонким вопросам выбора узлов интерполяции и разработке общих методов приближения функций посвящены .целые разделы математики. Стоит отметить, что применение интерполяционных процессов сыграло большую роль в развитии теории трансцендентных чисел (определение алгебраических и трансцендентных чисел см. в § 2 гл. 5), так что здесь смыкаются интересы теории функций, теории чисел и алгебры.

Отметим в заключение, что каждой рациональной несократимой дроби f/g^P(X) (см. § 4 гл. 5) и каждому расширению F тз Р с бесконечным числом элементов сопоставляется рациональная функция f/g: Pif/gy—^F с областью определения F^/gy, получающейся из F удалением конечного числа элементов— нулей многочлена g в F. Можно доказать, что при указанных условиях отображение flg*-^flg взаимно однозначно. Нам это утверждение не потребуется. Интуитивно оно ясно. Несмотря на это

соответствие, нужно делать четкое различие между рациональными функциями и рациональными дробями. Рациональная функция х»—»1/х не определена в точке х = 0, в то время как вопрос об определимости рациональной дроби \/Х вообще не возникает.

Дифференцирования кольца многочленов. Функциональная точка зрения на многочлены делает естественным следующее определение. Пусть

7(Х) = аоХ" + а1Х"-1+ ... +а„_1Х + а„

— многочлен степени п над полем Р. Его производной называется многочлен

rW»»^""1*^-!)»!^-8* ... +^_!.(6)

Если Р = R — поле вещественных чисел, а 7 —■ связанная с / полиномиальная функция, то определение (6) производной совпадает с обычным ее определением как предела

Um 1<£±ьь[иАх->0^*

В случае же произвольного поля Р говорить о каких- либо свойствах непрерывности полиномиальной функции бессмысленно (что такое сходящаяся последовательность в Zp?) и нужно исходить из формального определения (6).

Имеют место хорошо известные из анализа соотношения

(at + Р^У — «Г + ^. а, Р е Р, (7)

(иУ-ГеЛ-!^(8)

Соотношение (7) прямо вытекает из (6) и из определения суммы многочленов. Используя (7) и определение произведения многочленов, проверку (8) можно свести к тому случаю, когда / = Xм, g = X1: (Хк+1У = (6 + О Хк*1"х = (№"*) Xi + Хк (IX1-1) =

= (Хк)' Xl-VXk(Xl)'_

Обобщением (8) служит легко доказываемая индукцией по к формула

к

ttf,... f*r — Е Л • • • twhiw -h-

<-1

В частности.В частности.

В частности.

В частности.

(9)(9)Соотношения (7), (8), переписанные в терминах отображения -^-: f н^- f' (говорят также, что -^ оператор дифференцирования), наводят на мысль ввести в рассмотрение для произвольного кольца К отображение 2D-. К^К, обладающее свойствами

(9)

(9)

3) (u + v) = 2Du + 2Do,2D (ио) = (2Du) о + «(3)о).

(Г)(8х)(Г)(8х)Такого рода отображения кольца К в Себя, называемые дифференцированиями, весьма полезны для изучения К, а их множество Der(K) оказывается интереснейшим объектом, вводящим в обширную область математики (группы и алгебры Ли).

(Г)(8х)

(Г)(8х)

Обобщением (8х) служит формула Лейбница

ЗУ" (ио) = £ ( ” ) 3?u2Dm~ko,(8")

4—0

получаемая индукцией по m ^ I (применение 3) к (8"), использование (8') и соотношение (6”1) + + (”) = (”V1) Дадут (8") при /и 4-1).

В случае К = Р\Х) из соотношений (7х), (8х), дополненных правилом

S>(Xf) = X3>f, ХеР,

непосредственно вытекает, что

3)t(X) = t'(X)M.

Стало быть, любое дифференцирование кольца многочленов Р[Х] определяется заданием единственного многочлена 2DX. При 3>Х = 1 мы получаем обычный оператор дифференцирования -^.

Кратные множители. Результат m-кратного применения отображения -^ к f(X) обычно обозначает-

ся символом /<да>(Х). Очевидно, что

f(X) = o0^" + ai^"'1++а„=*

=> fW (X) = л! Оо, Р"+ ° (X) = 0.

Если Р — поле нулевой характеристики, то

deg Г = deg f — 1.

Однако для полей конечной характеристики р это уже не так, поскольку

QCkpy=hpXkP-x = O.

Все же некоторую пользу из рассмотрения производной можно извлечь и в общем случае. Разделив произвольный многочлен fePVM на кХ— с)2, ceF, F zd Р, а затем записав (линейный) остаток в виде (X — с) s + г, где s, reF, мы придем к соотношениям f = (X — c)^t + (Х — c)s + г, f = (X — с) [2/ + (X — —с) ^] +s- Подставив в них значение X = с, получим г = f(c), $ = ГХс)» т. е.

f (X) = (X - с)2 / (X) + (X - с) Г (с) + f (с).

Мы пришли к следующему утверждению.

Теорема 4. Пусть Р — произвольное поле и F — любое его расширение. Многочлен f^P[X] имеет кратный корень ceF тогда и только тогда, когда f(c) = f4c) = 0. ■

Пример 1. В любом поле характеристики р многочлен X*— 1 имеет лишь простые корни, если п не делится на р. Действительно, корни производной пХ“-1 не могут быть корнями X" — 1.

Далее предполагается, что Р— поле нулевой характеристики, и без ограничения общности под Р можно понимать одно из полей Q, R или С. Нормализованный неприводимый многочлен Pi(X) в разложении

f (X) = Хрх (Хр ... Pl (X)*1 ... pr (х^г, ХеР, (10) многочлена f(X)eP[X] называется (по аналогии с определением кратного корня) ki-кратным множителем для f. Ранее уже говорилось о том, что получить разложение (10) на практике довольно сложно. Опишем вкратце метод, основанный на понятии

производной и дающий возможность узнать, содержит ли f(X) над данным полем Р (или над его расширением) кратные множители.

Теорема 5. Пусть р (X) есть к-кратный неприводимый множитель многочлена f^P[X] (k ^ 1, degp(X)2> 1). Тогда р(Х) будет (к—1)-кратным множителем производной f'(X). В частности, при к = 1 f не делится на р (X).

Доказательство. По условию имеем f(X) = =PWW. где НОД(р(Х), g(X))= 1, т. е. g^X) не делится на р(Х). Применяя правила (8) и (9), находим

г (X) = pW-^ [kp' (X) g (X) + р (X) g' (X)].

Достаточно показать, что многочлен, стоящий в квадратных скобках, не делится на р(Х). Если бы это было не так, то на р(Х) делился бы многочлен kp' (X)g(X), что, однако, невозможно (см. следствия теорем 3 и 4 § 3 гл. 5), поскольку g(X) не делится на р(Х), a deg Ар'(X) с degp(X). I

Понятно, что в ходе доказательства существенно использованы и неприводимость р(Х), и условие char Р = О.

Следствие 1. Для многочлена f(X) с коэффициентами в поле Р характеристики нуль следующие два условия эквивалентны-.

f имеет в некотором расширении Г td Р поля Р корень.с, кратности к;

f(/)(c) = O, O^j^k— 1, но РЧс^О.

Для доказательства нужно к раз применить теорему 5, имея в виду линейный множитель р(Х) = = X — с и с самого начала заменяя, в случае необходимости, Р на его расширение F, содержащее корень с. ■

Следствие 2. Если многочлен f^P[X] степени имеет разложение (10), то разложением для наибольшего общего делителя f и его производной f будет

нод(/, Г)=р1(х)‘«-1р2(Х)^-1 ... pAxfr^ (11)

(НОД всегда можно считать нормализованным многочленом) .

Действительно, по теореме 5 каждый из простых делителей рДХ) многочлена /(X) с каноническим

разложением (10) входит в разложение Р(Х) с показателем kt— 1, т. е.

Г W^p^X)**"1 р2(х№ ... рДХЛ"1 - и (X), где НОД (и, р/)= 1, l^i^r (предполагается, что pi(X)°=l). Поэтому по известному нам признаку делимости (см. п. 2 § 3 гл. 5) мы заключаем, что НОД (f, ^^ вычисляется по формуле (11). 1

Используя выражение (11) для НОД(/, f), мы получаем средство освободиться от кратных множителей, входящих в разложение f(X). Именно, многочлен

8 Ю ” нод^ В = Рх W Рй W " рЛХ)

содержит те же простые делители, что и /(X), но с единичной кратностью. Важно отметить, что многочлен g(X) можно найти, не зная фактически разложений для f и В а лишь используя алгоритм Евклида.

П р и и е р 2. Многочлен f (X) =ХЬ — ЗХ4 + 2Х3 + 2Х= — ЗХ + + 1 и его производная /' (X)—5Х4 — 12Х3 + 6Х2 + 4Х — 3 имеют в качестве НОД нормализованный многочлен Xs — ЗХ2 + ЗХ — —1= (X—I)3. «Свободный от квадратов» многочлен g(X) = =/(Х)/(Х—I)3 = Xs—1 = (X—1)(Х+1) имеет два корня ±1. Таким образом, f(X) = (X—1)*(Х+1) обладает корнем 4-1 кратности 4 и простым корнем —1.

5.-Формулы Виета. В связи с теорией систем линейных уравнений мы уже имели случай упомянуть о благотворном влиянии иа ее развитие хорошей системы обозначений, приведшей, в частности, к определителям. Это заслуга математиков XVIII и начала XIX вв. Но гораздо раньше, когда алгебра еще отождествлялась с «анализом уравнений», решающее усовершенствование алгебраических обозначений у Ф. Виета и у Р. Декарта коснулось теории многочленов и алгебраических уравнений. От частных типов уравнений с числовыми коэффициентами, скрывавшими общие закоиомериости, был совершен смелый переход к уравнениям с буквенными коэффициентами. Новый способ записи нередко порождает новые результаты. У Декарта это завершилось революционным применением алгебры к геометрии. Мы остановимся иа более скромном достижении его предшественника Виета.

Предположим, что иормалиэоваииый многочлен f^P [X] степени п имеет в поле Р или в некотором его расширении а корней ci, с2, ..., ся, средн которых, возможно, есть и одинаковые. Тогда в соответствии с теоремой 2 справедливо разложение

f(X) = (X — cl)(X — c2) ... (X — с„у

Запишем ЦХ) в обычном виде по степеням X:

f(X) = Xn + alXn~l + ... + акХ""м + ... 4-a„, для чего перемножим все двучлены X — с,- и приведем подобные члены. Тогда для коэффициентов аь ... ..., ая получатся выражения через корни сь ..., ся:

П1 — — (С( + с2 + ... + ся),

а* = (—D*X с1хс1г... с1к> (12)

a№ = <—XTС\С2 ... сп.

Формулы (12) называются формулами Виета.

Если бы многочлен f не был нормализованным, т. е. имел старший коэффициент аоч^ I, то формулы, аналогичные (12), давали бы выражения для отношений aifa^.

Формулы Виета, устанавливающие явную связь между корнями и коэффициентами произвольного многочлена, замечательны тем, что их правые части не меняются при любых перестановках корней сх, ... ..., сп. Это дает нам повод ввести понятие симметрической функции, подобно тому как в связи с определителями оказалось удобным рассматривать общие кососимметрические функции. Согласно определению, приведенному в п. 4 § 8 гл. 1, элемент л симметрической группы Sn действует йа функцию 7(хь .... хя) от п аргументов по правилу

(ло/)(Х1xre> = t<xeWx„wY

Функция 7 называется симметрической, если n»f = f для всех ле5„. Примером симметрических функций служат так называемые элементарные симмет-

рическим функции Sk*

s*(xb ..., х„) =52 xixx12 ... xlk. (13)

l<i,<i2< ... <ik<n

Они позволяют переписать формулы (12) в виде а* = (-1)*»Ис„ .... сп\ к = \, 2, .... л, (12') так что с точностью до знака коэффициент а* многочлена / есть значение функции Sk на множестве корней многочлена Д Обратим внимание на тот факт, что по определению а» g Р, хотя корни сь ..., сп, вообще говоря, лежат в некотором расширении F тэ Р. Вопрос о существовании F мы сейчас не затрагиваем. Но иногда разложение многочлена на линейные множители является прямым следствием свойств поля Р.

Пример. Рассмотрим многочлен Хр—1 — 1 над конечным полем Рр (см. п. 6 § 4 гл. 4). Мы знаем, что хр-1 = 1 для всех х е Fp, т. е. все ненулевые элементы — корни многочлена Хр-1 — 1. Стало быть, имеет место разложение

Хр-1—1=(Х —1)(Х —2) ... (Х(р —1)).(14)

Предполагается, что мы уже настолько освоились с полем Fp, что без труда различаем двойственную природу чисел 1, 2, .... р— 1 как обычных элементов из Z и как элементов поля Fp as Z/pZ (представителей классов вычетов (Од)- Из (12') и (14) при р > 2 получаем

sk (1Г 2,, р — 1) ^ 0 (mod р), к = 1, 2, —, р — 2, ®р—1 (1. 2, р — l)^—1 (mod р).

Последнее соотношение, переписанное в виде

(р — 1)! + 1 ^ 0 (mod р)(15)

и как таковое известное по названием теоремы Вильсона, выражает фактически необходимый и достаточный признак простоты целого числа р. Действительно, выполнение (15) для простых р мы только что доказали. С другой стороны, р = pip2=>- (р— 1)! = = Pit **• (р — 1)! + 10 (mod pi) => (р — 1)1 4- 1 ч* 0 (mod р). |

УПРАЖНЕНИЯ

Будет ли кольцо полиномиальных функций над полем изр элементов целостным?

Пусть Р — бесконечное поле и f — ненулевой многочлен из P[Xi, .... Х„]. Опираясь на теорему 3 и используя индукцию по п, доказать существование а*, ап е Р, для которых f(ai, .... a„) ^= 0. Это дает изоморфизм Р(Х1, ... , Х„] с кольцом полиномиальных функций от п переменных над Р.

Ненулевой многочлен f е Zp [Хь —, Хп] степени Ср по каждой переменной обладает сформулированным в упражнении 2 свойством: f(ab ..., ап)^0 для некоторых аха„е е Zp. Показать, что любой многочлен f г Zp^Xb —. X»] можно записать в виде

f №Х„)- £ gt(Xv ...,ха)(X? -хл) + r<xv... -, Хя),

1-Х

где f* — редуцированный многочлен ^deg^ f*^ р — 1, t = 1, 2, л) степени (degf* < deg Л -Сделать обоснованное заключе

ние, что отображение f i—> ? = f* является эпиморфизмом кольца ZptXb .... Хп\ на кольцо полиномиальных функций от п вере-

менных над Zp с ядром L =L^-Xi^p^i-*--^- i-x

Теорема (Шевалле). Пусть f(XiХп} —однородный многочлен (форма) над Zp степени г С п. Тогда уравнение f(xi, .... хл)=0 имеет хотя бы одно нетривиальное решение. (Указание. Так как f — форма, то, очевидно, f,(0, 0) = 0. Рассуждая от противного, предположить, что (-Ль—, о») =^=,(6,—. ..., 0) => f (at, ап) ч^ 0. При помощи упражнения 3 и малой теоремы Ферма вывести отсюда, что редуцированным многочленом для<(Х1X^=\-HXi. .... Xay~v будет g*^,. ...

X»)=(l-Xf-1) ... (1 — Х£-1). Но

degg = (p — l)degf=(p — 1) г < (p — 1) n = degg*.

Полученное противоречие доказывает теорему.)

Несколько изменив рассуждение (вычислив сумму 52 g (*i. • - - г х^ двумя способами), доказать, что об

щее число решений всегда делится на р.

Пусть f(xi, хп)—целочисленная квадратичная форма. Теорема Шевалле (см. упражнение 4), -сформулированная на языке теории сравнений, утверждает, что при л ^ 3 сравнение

f (*i*») — О (mod р)

имеет ненулевое решение. Проверить, что все решения сравнения х®— 2у® = 0 (modS) тривиальны и, следовательно, условие г-<п существенно.

Показать, что НОД(/', /) = 1, если charP = 0, f—неприводимый над полем Р многочлен н f — его производная.

Доказать, что ^ = 0 =»•/= const для многочлена f(X) над полем нулевой характеристики и /' = О =>- f (X) = g (Хр) для многочлена f(X) над полем характеристики р > 0 (g — некоторый другой многочлен).

Из п. 3 мы знаем, что каждое дифференцирование кольца многочленов Р[Х] имеет вид Ти: ft—»- up, ueP^Xl- Установить справедливость утверждений:

(i) множество констант (то, что переходит при дифференцированиях в нуль) —подкольцо в Р[Х];

(it) произведение ТеТ,, вообще говоря, не является дифференцированием, но если charP = р > 0, то степень (Тя)*—дифференцирование;

(Hi) коммутатор [7Я, 7„] = Т„ТЯ — Т,ТЯ всегда является дифференцированием вида 7*, где да = ни' — и'р.

В случае кольца многочленов Р[Хь, X*] от я переменных естественно ввести оператор частного дифференцирования по t-й переменной:

. т*1 у^Ж у^в . ? у *1х1^1х*№

<3дХк<3дХкЭХк * А* •"л* ---Ап. *^1кА1 •••-*»--А«-

<3дХк

<3дХк

служитслужит(i) Показать, что множеством констант для

служит

служит

кольцо многочленов PLXU .. .. Хк, —, Хо] от я— 1 переменной.

(Н) Пусть /(Xi, .... Хл)—форма (однородный многочлен) степени т. Убедиться в справедливости тождества Эйлера

п

2 Х*-Д—"*/№» ...» ХА). Л-1

Обратно, если char Р = О, то тождеству Эйлера удовлетворяют только формы степени m = 1, 2, 3,

Показать, что отсутствие линейных множителей у многочлена X" + щХ®”1 4-+ aaeZ] [X] равносильно выполнению условна ап^1 + ^О{^ =#0. При л^З неприводимые многочлены над Z2 исчерпываются следующими: X, X +1. Xе + X 4- 1, Xs 4- X 4- 1» X3 4- X2 4- 1. Выписать все неприводимые многочлены над Z2 ври п = 4 и 5 (их будет соответственно 3 и 6 ).

Исходя из сравнения

Xs — X — 1 3= (X3 4- Xs 4- 1) (X2 4- х 4-1) (mod 2),

установить неприводимость многочлена Xs — X — 1 надQ. (Указание. Применить следствие леммы Гаусса {-§ 3 гл. 5) и предыдущее упражнение, а также сослаться на факториальность кольца Z2 (XJ.)

Аналогично, доказать неприводимость многочлена Xs — X — 1 над Q, перейдя к сравнению по модулю 3 (это гораздо проще!).

Симметрические многочлены

Кольцо симметрических многочленов. Следуя определению симметрических функций, которое было дано в конце предыдущего параграфа, мы введем аналогичное понятие в кольце Л(Х<, .... Х^ многочленов над целостным кольцом А. Теорема 3 § 1, распространенная на многочлены и функции многих переменных, как будто делает такое перенесение

излишним. Но следует учесть, что в этой теореме целостное кольцо А коэффициентов бесконечно, а нам хочется иметь универсальную конструкцию.

Итак, полагаем

(«"MX,X^ = f(X„u>, .... Хщ^.

Многочлен f называется симметрическим, если л • /= = f для всех л е Sn. Как и для функций, вводятся элементарные симметрические многочлены Sk*- sk(Xx, ...» Х„) = S Х1хХ1% ...Х1к. (1)

к = 1, 2п.

Строго говоря, следовало бы рассмотреть многочлен t^ = kY-Xx^Y-X^ .,AY-X^ =

= rn-s1y"-,+s2rn"2+ ... +(-!)"»„ (2) над А [XiХ„] от новой переменной У и заметить, что 8к — симметрический многочлен, поскольку левая часть тождества (2) не меняется при любых перестановках линейных множителей У—Хх, ...; У—Хп.

Обратим внимание на то обстоятельство, что после подстановки нуля вместо Хп в обе части тождества (2) мы получим (У — Xi) ... (У— X№_x)Y=Y"— — (аОоУ"-1 + --- +(—I)"”1 («л-1)оУ, где (а*)0 — результат подстановки Хп = 0 в ®к- Сокращая обе части на У (на основании теоремы 1 § 3 гл. 4, примененной к Л [XiХп, У]), приходим к тождеству

(У —Х,)(У —Х^) ... (У-Х„_,) =

= y"-1-(s,)0y"-2+ ... -м-if1 (»„_1)о. (3)

Сравнивая (2) и (3), мы приходим к выводу, что (»1)о(sn-i)o — элементарные симметрические многочлены от п — 1 переменных ХхХп_х.

Так как, далее, л: / •—^ло/ — автоморфизм кольца A [XjХ„], то любые линейные комбинации симметрических многочленов и их произведения будут снова симметрическими многочленами. Это значит, что множество всех симметрических многочленов образует кольцо, являющееся подкольцом кольца Л[ХЬ .... Х„]. Наша ближайшая цель — разобраться, как устроено это подкольцо.

Основная теорема о симметрических многочленах. Оказывается, что наиболее общим способом получения симметрических многочленов является следующий. Нужно взять произвольный многочлен ge еЛ[Уь .Yn\ и подставить вместо Уь .... Уп соответственно Si, .... sn. Получившийся в результате многочлен

№Xtt)^=g(s1(X1Х„) Xn))

будет, конечно, симметрическим.

Заметим еще, что одночлен У'1, У^л, входящий в g, переходит при подстановке У* = а*(Х1, ... .... Хп) в однородный многочлен от ХгХп степени А + 242 + - - - + Шп, поскольку deg s* = к. Сумму t*i + 242 + • - - 4* nU называют обычно весом одночлена У*1Уд». Весом многочлена g^YiУя) естественно считать максимум весов одночленов, входящих в g.

Основное утверждение о симметрических многочленах выражает

Теорема 1. Пусть feA [XjХп) — симметри

ческий многочлен полной степени m над целостным кольцом А. Тогда существует, и притом единственный, .многочлен у^Ау¥\Ул] веса т, для которого

НХъ .... X„) = g(s1, .... sttY

Коэффициенты многочлена g являются целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного многочлена f.

Доказательство. В свое время (см. гл. 5 § 2) мы отмечали, что любой многочлен f = f(Xb ... .... Хп) можно записать в виде однородных форм fm различных степеней: / = f0 + /1 + * • • + fx- Очевидно, что эта запись единственна. Если теперь f— симметрический многочлен, то симметрическими будут и формы fm, поскольку я о f — 2 я ° fm» а действие Я: fm*—*nefm на степень m формы fm не влияет. Таким образом, без ограничения общности симметрический многочлен / можно считать однородным. Дальнейшие рассуждения разобьем на несколько частей.

Условимся располагать одночлены в f лексикографически (по принципу построения словаря), т. е.

таким образом, что одночлен п = аХ’^Х*2 ... X*" предшествует одночлену о = бХ^Х^2X1* (или больше одночлена о: и "> о) в точности тогда, когда последовательность i 1 — /ь & — /2, ..., itt — jn имеет вид О, ..., 0, t, ..., где / > О. Справа от t могут стоять и отрицательные разности it—ju Одночлен, входящий в f и занимающий первое место при лексикографическом упорядочении, называется высшим членом многочлена f. Обозначим его символом ВЧ(/).

Лемма 1. Высшим членом произведения к = — h\h2 - - - hr является произведение высших членов сомножителей кь кг» ...» кг-

Действительно, при п = 1 утверждение верно, а если

А = А(Х„ X», ...» Xn>=goiX2ХЯ)ХЦ-

+ Л .... ХП)ХГ' + ...,

то ВЧ(А)=Х? - ВЧ(^0). Взяв теперь разложение по степеням Xi каждого сомножителя А, и обратив внимание на то, как получается коэффициент gb(X2, .... X»), мы при помощи естественной математической индукции по п придем к нужному выражению ВЧ(А) = ПВЧ(А,). i—t

" Одночлен и == аХ^'Х*2 ..". Х^« условимся назы-- вать монотонным, если it ^s i4 ^ — ^ in.

Лемма 2. Высший член симметрического многочлена всегда монотонен.

В самом деле, пусть B4(f)=n = оХ{*Х22— X*". Допустим, что t*<t*+i при некотором к^п—1. Переставив в и = аХ\х ... Х**Х^+‘ — X1* местами переменные Хк и Х6+1, мы получим одночлен и' — «saXj* ... Х‘*+1Х^, ... X1*, из-за симметричности f тоже входящий в f. Но, очевидно, и' > и, поскольку показатели при Хь, X*-i в и, и' одинаковые, а показатель при Хк в и' и больше показателя при X* в и. Полученное противоречие доказывает лемму.

Существование многочлена g^Yi» ..., Уп). Предположим снова, что и = аХ^’Х^2Х^* = «ВЧ(Л. В силу леммы 2, in ^s <*+ь 1 ^5 А ^S п—1.

Поэтому мы можем ввести в рассмотрение симметрический многочлен

Ь^х*--- *«) = f(Xv Х^ - а»\х-Ч$Ч-Ч ... s^

отвечающий одночлену aY^-1^^2-1»У^" веса Vt — ^4" (®2 — *а) 4~ — + (” — О Gn-i — *») 4* nin = = it + it 4~ - - • 4- in = degf. Так как высшими членами элементарных симметрических многочленов si,s2,..., s№ являются, очевидно, Xi, XiX2, - - -, XiX2 . - - Хп> то по лемме I высшим членом в аз1^-12»^2*"13 — s1^ будет aX^^CX^-^ (XrX2 Х^у—^Х

X (XtX2 ... Х„У" = аХ^Х1» ... Х^

т. е. в точности ы = ВЧ(/)_ Стало быть, он сокращается, в fu) не входит и B4(f)> B4(f(I)). Отметим еще, что коэффициенты многочлена /(о имеют вид с — qa, где с, a — коэффициенты многочлена f, qeZ.

Пусть о = аХ^х!2 ... X1" = ВЧ (ful), be А. Снова по лемме 2 имеем ji ^ /я ^ ... ^ jn и, по изложенным выше соображениям, для симметрического многочлена

М*^-fro(^

получаем B4(f(i>) > ВЧ(Д2>). Кроме' того, коэффициенты многочлена Д2> имеют вид сх— qxb, где ^eZ, а сь b— коэффициенты многочлена f<t).

Продолжая этот процесс, мы придем к последовательности однородных симметрических многочленов:

степени deg f^ = deg f, для которых

ВЧ a) > ВЧ (Ао) > ВЧ (Ь) > ... > ВЧ tfw) > ..., (4) причем коэффициенты у f(*> будут Z-линейными комбинациями коэффициентов многочлена f. Так как одночленов фиксированной степени (и тем более монотонных) конечное число, то цепочка неравенств (4) должна оборваться Qw = 0 при некотором ^), мы получим требуемое выражение f(Xi, .... Х„) =

= g(Sl....,»„), где g^Yb^Yn^aY1!-1^-1»... У>4- + bY^Y^-11 - - - У'п 4- ...

Единственность. В случае существования двух различных представлений f — gi (si, ..., sn) = — ga(si,..., sn) мы имели бы отличный от нуля многочлен g(Yi, .... Y^=gi(Yi, .... Y^—g2(Yi, .... У„) веса deg f, для которого g(si, .... s„) = 0. Если ay**y*2 — у*п — одночлен, входящий в g, то, как мы видели, ВЧ(яэ*« ... s*") = «X*1 (X,X2)*Z ... (X, ... Х^» — аХ*«+*2+ — +*"Х*1+ +*« ... X*"- Ясно поэтому, что различным одночленам, входящим в g, отвечают различные высшие члены. Среди них один будет самым высшим, и, стало быть, B4(g(si, ... ..., sn)) ^ 0 вопреки предположению. ■

На другом языке утверждение о единственности означает, что si, ..., s„ алгебраически независимы над А, а кольца A [si, ..., sn] и А [Xi, .... Хп] изоморфны (хотя, разумеется, A [si (Xi, Xn), — —, кДХх, .... A"»)] —собственное подмножество в Л]ХЬ .... Хп]). Между прочим, при Л = Z коэффициентами многочленов f и g будут целые числа. Из теоремы 1 вытекает еще полезное

Следствие. Пусть f(X) = Хп + щХ"-1 4- ... ... -J-an-iX4-ап — нормализованный многочлен сте- пенип отодной переменной X над полем Р, имеющий п корней Сь-..., ctt в некотором большем поле Ftz>P. Пусть, далее, h(Xi, .... Хп)—произвольный симметрический многочлен из Р[ХЬ .... Хп]. Тогда его значение h(ci, .... Сп), получающееся при подстановке ct вместо Х{, i = 1, ..., п, будет принадлежать полю Р.

Доказательство. В самом деле, по основной теореме о симметрических многочленах найдется многочлен g^Yv, .... Уп)еР[Уь .... Уп] такой, что Л(ХЬ .... X^ = g^Xx, .... Х„), .... «„(Х,, .... Х„)). Поэтому h(cx, .... Cn) = g(Si(Ci, .... Cn)1...,stt(c1,... .... Сп)), а так как в соответствии с формулами Виета (12) § 1 st(ci, ..., Сп) = (— 1)*а* е Р, то и g(—оь .... (—1)"а„)е= Р. ■

Метод неопределенных коэффициентов. Существует несколько различных доказательств основной теоремы о симметрических многочленах, а соответственно— и методов выражения заданного многочле-

на f через элементарные симметрические многочлены. Чтобы описать один из таких наиболее употребительных методов, введем новый тип симметрических многочленов. Для определенности будем брать в качестве А кольцо Z или поле R. Пусть о--ДГ**.Х'2 ... ^" — какой-то одночлен. Обозначим через S(v) сумму всех различных одночленов, получающихся из о перестановкой независимых переменных. Например, s^Xb .... X„) = S(X1X2 ... Хм)

— jfe-й элементарный симметрический многочлен. Далее,

Р»№Х.)-3(2Г‘)-Л? + Х* + ... + Х‘,к>0,

(5)

есть так называемая ^-я степенная сумма. Понятно, что всегда 5(»)—однородный симметрический многочлен (называемый еще моногенным') той же полной степени, что и а. Так как S(»)=S(oe») для всех aeSn, то естественно рассматривать лишь многочлены S(v), отвечающие монотонным одночленам». По смыслу ясно также, что любой симметрический многочлен f над А является линейной комбинацией с коэффициентами из А многочленов типа S(»):

f = £0=3(0).

Обычно такая запись получается моментально («на глазок»). Таким образом, задача сводится к выражению S(o) через элементарные симметрические многочлены.

С каждым монотонным одночленом о = Х,1^2 • • • ... Х^п ассоциируется симметрический многочлен

g = g (X.Г ) =~ ^sf1» ... s1”(6)

высшим членом которого как раз и является о. В соответствии со схемой доказательства теоремы I вырисовывается следующий метод выражения 3(») через элементарные симметрические многочлены. Пусть deg х) = m. Берутся все «монотонные» разбиения

w = /1 + /2 + — + J»»/1 > /2 > — ^in^ О,

целого числа пг такие, что w = Х^Х^2 — Х!“ < и.

Рассматривается множество М» всех таких одночленов w. Для каждого w е М„ составляется одночлен g* (см. (6)). Мы уже знаем, что

5 = Я«,+ X n^w,(7)

где Ле, — какие-то целые числа. Неопределенные коэффициенты п* (отсюда и название: метод неопределенных коэффициентов} находятся путем последовательных подстановок в (7) вместо Xi, .... Х„ каких-нибудь целых чисел, обычно нулей и единиц. Значения go, g* и S(u} при этом известны, и для п* получается заведомо совместная система линейных уравнений.

Пр я мер. о = Л^ S(o)=»pa(XfХ^ tt>3, ge = ^.

м„8*м„8*Х=Хз Х^зХ=Хз Х^з*t«**t«*

м„

8*

м„

8*

Х=Хз Х^з

Х=Хз Х^з

*t«*

*t«*

Уравнение (7) в данном случае имеет вид р3 = »® + а*,»2 4- &в3.

Если X» = X* = 1, Хе = О при Z >* 2. то р& = 2, »t — 2, <z = 1, »а — О. Если же Xt = Хг — X* = 1, Хе = О при i > 3, то pg ^ 3, «I = 3, »х — 3, в* = 1. Из получившейся системы

2=23 + а-2-14-6-0,

З^ЗЧа-З-З + б-1

находим а ^ —3, 6 =* 3, т. е. р3 => а, — ^eve3 4- З»3.

Для выражения степенных сумм р»№, ...» Хя} в виде многочленов от »i, »2, ...» 8Я имеются более удобные формулы, называемые формулами Ньютона*.

Pk — Pk-i»i + Рк-2»г + - - -

-b^O^Pi^ + C-ir^^O (8)

яри 1 ^ к ^ п;

Рк — Pk-tSt + Рк^2 +

... + (-1)""1 Рь-п^вп^ + (-1)" Рм^ = 0(9)

при fe> п.

Чтобы их доказать, воспользуемся очевидными соотношениями

XI — ахХГх А- ... + (—l)""1»»-^ + (—])"»„ = О, получающимися при подстановке Y = X, в (3). Умножая каждое из этих соотношений на Х*~п (.к^п): X* — »1ХГ*+-K-i)"-1^,,^-"*1+

и производя затем суммирование по I от 1 до п, мы получим не только формулу (9), но и формулу (8) при к = п (р0 = Х® 4- ... + X® = л). Рассмотрим, далее, симметрический однородный многочлен f^.n степени к ^ п (или —оо, если f*. п — 0):

th.nkXx,, Хп) = Рк— Рм-181 + —

+(-!)*"’ PiSm-хЦ- ... +(-1)*^».

Используя индукцию по г = п — к, докажем, что /*, „ тождественно равен нулю. Для г = 0 этот факт был только что установлен. Полагая Хп ^ 0 и замечая, что получающиеся при этом симметрические многочлены (»,)о, (рОо совпадают с многочленами Si и pt, определенными для л — 1 переменных Xt, Хп-х (см. (3) и (5)), мы приходим к равенству

^,„(Х„ .... Хп^, 0) =

= (P*)o-(p*-i)o(ei)o+ ... + (-1)*” (ЛЪ^-.Ъ+ + (-1)* A (s^ - к, tt-x (Хь ..., Хп—х) = 0, ибо п—1—k — r—1 < г, и применимо предположение индукции.

Соотношение ^и.пкХх, .... Хл—i, 0)=0 показывает, что многочлен /*, п делится на X#; f», п — Xnft. Используя симметричность /*, п, приходим к выводу, что этот многочлен содержит в качестве множителей Хх, Х2, .... Хп, а значит, и их произведение *„ = = XjX2 • • - Хя. Другими словами, ^„(Хх, .... X„) = Sn(Xx, ...» Xn^hkXx, .... Хп). (Ю) Разложение (10) возможно, однако, лишь при й=0, поскольку degsn — п, a deg f», п — ^ < л. Итак, /А,„ = 0, и доказательство формулы (8) завершено. ■

Дискриминант многочлена. Рассмотрим в кольце P[XiХп\ многочлен

А„ = П (^-ХДl</<f<n

который, очевидно, можно представить в виде определителя Вандермонда.

(И)(И)

(И)

(И)

Так как определитель является кососимметрической функцией своих столбцов, то л°Ап=елАп— знак перестановки л е Stt. Но в таком случае А^ — симметрический многочлен, и по основной теореме его можно выразить в виде многочлена от элементарных симметрических функций

A^IK^-^^Dis^, ..., s„).

Многочлен Dis от sy^Xy, .... Хп), ..., Sr^XyХ^ называется дискриминантом семейства Х1г .... X*. Его коэффициенты, очевидно, лежат в Z. При подстановке xi^F вместо Xt, i = 1, 2п (F — какое-то расширение поля Р), можно говорить о дискриминанте семейства любых п элементов поля F. Если не все xixn^F различны, то дискриминант этого семейства обращается в нуль, поскольку хотя бы один из множителей xt — х$ будет равен нулю. Способностью Dis выделять этот случай и объясняется сам термин дискриминант.

Удобный способ получения дискриминанта основан на интерпретации А„ как произведения определителя (11) на транспонированный определитель: Д^ = АП<АП (вспомним, что det М = det Л для любой квадратной матрицы Л). Действуя по правилу умножения матриц, мы сразу же находим

(12)(12)Dis (sb

(12)

(12)

где рк — известные нам степенные суммы (5). Вычислив рк по рекуррентным формулам (8) и (9), мы придем к явному выражению для Dis(siа„). В частности, px = sv P2 = s^— 2s2, так что

Dis(sp »2) = |,i(13)

Пусть нам дан теперь нормализованный многочлен

. /(Х) = Г‘ + а1Г-, + ...+ап_1Х + апеР[П имеющий в Р или в некотором его расширении F п корней сь .... Сп, Как мы знаем из формул Виета, Ок =(— l)*s*(cu .... сп).‘

Определение. Дискриминант семейства корней схсп многочлена f, или, что равносильно, значение дискриминанта Dis(si, .... sn^, получающееся при подстановке (—1)*а* вместо вк, называется дискриминантом многочлена f и обозначается символом D(f). Он называется также дискриминантом алгебраического уравнения

f {х) = хп -\- аххп-1 + ... +ап_!х + ап = О. (14) Ясно, что D (f) е Р (вспомним в этой связи следствие теоремы 1). Как видно из определения дискриминанта, справедливо также

Предложение. D(f) = O тогда и только тогда, когда уравнение (14) имеет кратные корни (хотя бы один корень кратности к > 1). ■

С учетом следствия 2 теоремы 5 § 1 мы имеем теперь два способа, не требующих выхода за пределы основного поля Р, решить, обладает или иет многочлен f^P[X] кратными корнями. Но значение дискриминанта заключается не только в этом. Скажем, формула (13), примененная к квадратному трехчлену f (X) = X2 + аX + b с вещественными коэффициентами а, Ь, дает D(f) = а2— 4b—выражение, известное из элементарной алгебры. В частности, от знака D (f) зависит вещественность или комплексная сопряженность корней уравнения х2 + ах + b = 0.

В качестве примера вычислим еще дискриминант так называемого неполного кубического уравнения

Цх) = х3 + ах 4-6—0.(15)

В данном случае ж* = 0 и вычисление р* по рекуррентным формулам дает pjS-ejeO, р, = «^ — 2<2 = —2а, Рз = ^ —Зж^-Ь 4- Зж3 = —36, р4 =■ ж, — 4ж,<2 4- *»1*з 4" 2^ = 2а2. Следовательно, по формуле (12) имеем

D(f) —D(f) —3О—2а3О—2аО—2а—36О—2а—36—2а—36 2а2—2а—36 2а2= —4а* — 276s.= —4а* — 276s.(16)(16)

D(f) —

D(f) —

3О—2а

3О—2а

О—2а—36

О—2а—36

—2а

—36 2а2

—2а

—36 2а2

= —4а* — 276s.

= —4а* — 276s.

(16)

(16)

Выражение D(f) приобретает более сложный вид (по сравнению с (16)) в случае полного кубического уравнения х34-а|х24- 4- a2x 4- a, = 0, однако от его рассмотрения можно избавиться, как показывает следующее общее рассуждение.

Перейдем от аргумента х к у = х 4- -2L. Подставляя х = = у— в уравнение (14) и используя биномиальную формулу, мы находим, что

g<g)-f(g —^—у» + ау»-»+...=0,(17)

т. е. в новом уравнении коэффициент при и*—* равен нулю. Зная корень у» уравнения (17), мы легко найдем также н корень

*е = Уо'—— исходного уравнения (14). Поэтому без ограничения общности можно считать at = О.

Если пытаться найти общую формулу для решения уравнения (15) (в чем преуспели средневековые математики Сципион дель Ферро, Кардано н др.), то неизбежно в игру будет вводиться дискриминант . (16)- (см.-формулы (2) § 2-гл.-4),

—два многочлена с коэффициентами в поле Р. Здесь л > О, m > О, но не исключается возможность того, что а» = 0 или Ьо == О.

Определение. Результантом Res(f,g) многочленов f и g называется однородный многочлен (однородная полиномиальная функция) от их коэффициентов (степени m относительно а» .... а» и степени л относительно До,..., Ь»^ вида

ResO. g) =

<1^. Д] . * , Ид. До at • ь - ап

у, т Г сгодьж

1 л

г строе;

щ «хе»

be Ьх ...bm

be Ьх . . . Ьщ,

Ь» Ьх . . . Ь«

В этом определении результанта содержится некое утверждение о его степенях как многочлена. Но оно непосредственно вытекает из свойств определителей: если заменить в первых tn строках at на tai, то Res(Xf,g) = t"Res<f, g), после чего остается сослаться «а упражнение 3 § 2 гл. 5.

Выведем теперь основные свойства результанта.

Rest Res(f, g)=0 тогда и только тогда, когда Oq = Q = bti или же fug имеют общий множитель в Р(Х] степени X).

Убедимся сначала в том, что условие <а0 — О = Ь» или же fug имеют общий множитель в Р[Х] степени >0» выполняется тогда и только тогда, когда найдутся многочлены fi, gi, одновременно не равные нулю, для которых

/^1 + fig = 0. deg h < ль deg gx < m. (18)

Действительно, пусть A = НОД(/, g), deg A > 0. Тогда f = А/ь g = —hgi и, следовательно, fg\ + 4-gfi = 0. Кроме того, deg fi < n, deggi <: m, так что (18) имеет место. При «е = 0 = 6q мы можем положить fi = f, gi = —g.

Обратно, предположив при выполнении (18), что НОД(Д g) = 1, мы ввиду факториальности Р[Х] (см. § 3 гл. 5) придем к импликации fgx = —gfi =*■ ^Л/b^l^i- Стало быть, degf<«, deggCm, откуда ад — б = Ао-

Мы докажем теперь эквивалентность условий (18) и Res (f, g^ = О. Положив

fi=CoX,t I-f-c1X* 2 + — + сп_ь

gt =d0X'n"1 + ^X”"2 + -.. + dm_i и вычислив по формальным правилам коэффициенты многочлена fgt + fig степени ^л + /п—1, мы запишем условие (18) в виде квадратной однородной системы линейных уравнений с (п + /п) неизвестными do, di, —, dm—ь Со, Ci, —, Cn—t:

Оо4о ++ ЬоРо=О,

а1<4 + ^b^t +4- btc0 -f- boPt . . . = О,

fltgdo + a^d^ -f- a^d^ . . . -f- b^po + biCt -f- boCa = 0,

Определитель матрицы системы (19) (точнее, определитель транспонированной матрицы) совпадает как раз с Res(f, g^. Стало быть, система (19) имеет ненулевое решение в точности тогда, когда Res(f, g^ = = 0, а всякое ненулевое решение приводит к паре многочленов ft, gt, удовлетворяющих условию (18). ■

Res 2. Пусть многочлены fug полностью расщепляются на линейные множители в Р [X]:

f(X) = ab(X-a1)...(X-a„),^(Х) = Ь0(Х -Р0 .... (Х~ Рт).

Тогда

Res(f, g) = aStngM = (-DmnbSnf(P/) = i-tj-1

Доказательство. Ясно, что указанные здесь формулы, если они верны, должны носить универсальный характер, не зависящий от частных типов многочленов f, g. Эта несложная «философия», в природу которой мы не хотим здесь вдаваться, позволяет нам ограничиться рассмотрением «общего случая», когда, скажем, все #(«0» --•» ^(«п) и все /(РО, --- ---, f(Pm) попарно различны.

Далее, так как Res(^, f) = (—l)***Res(f,^) (см. определение), то достаточно убедиться в справедли-

вости соотношения Res (f, g) = Oq1 Ц g (a;). С этой целью введем новую переменную Y и над полем рациональных дробей Р(У) рассмотрим многочлены /(-Х), g^X^—Y. Из определения результанта, где следует заменить Ьт на Ьт — Y, получается, что

Res(f, 5-^) = (-1)"о^Уп+ ... +Res(f, g)

— многочлен степени п относительно Y со старшим коэффициентом (—1)" do и с постоянным членом Res(f, g). Многочлены ЦХ) и g(X)— g(ou) с общим корнем си делятся на X — а,-. Ввиду свойства Res 1 имеем Res (f, g — g (a.) ) = 0.

По теореме Безу многочлен Res (f, g — У) должен делиться на ^(а,)—Y, 1 ^ i ^ п. Так как все g^a^ п

у нас различны, то Res(f, g— У) = 00* U(g(ai) — У).

1

При У = 0 получаем нужное выражение. ■

Данное в п. 4 определение дискриминанта перенесем на случай ненормализованных многочленов, полагая

D(/) = do-1 П k«i — <*jf = Гао-1 П (a* — az)l2, ^^О.

Res 3. Имеет место формула

п (п-1)

D(f) = (—1)^Res(f, Г).(20)

Действительно, согласно Res 2,

Res(f, П = ^",ПГ(ое).i-1

Но

Г(<ч) = Оо И (az— a,).

что является простым следствием подстановки Х=аг в общее выражение

ГЦХ) = Оо1. П^-ау),*-1 /**

18 А. И. Кссгрикин

получаемое дифференцированием произведения f(X) = ft

— CqII(-K— ai\ Таким образом, /-1

Res(f, Г) = ^"-1Й П (0,-^) = t-i 1^.1 4

п (я— 1)

= а0(—1) ’ <-«д («,-«,)= =

п (Я— 1)

= Оо(-1) 2 D(D- ■

Формула (20) дает явное выражение для дискриминанта.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть р— простое число. При помощи формул Ньютона (9), (10) показать, что

Рст _т ( —1 (mod р), если т делится на р — 1, ( 0 (mod р), если т не делится р — 1.

Используя систему рекуррентных формул Ньютона и формулы Крамера, получить следующие явные выражения р* через вь и »* через р*:

1 О О1 О Орк =рк =.. О .. о .. о

1 О О

1 О О

рк =

рк =

(й l)«w afc_2 »fe_3 »fc_4-.- 1fc®k ®k-l ®k—2 ®к—3"**®1

pi100 ... О

Pspi1О ... О

Рэ Рз Pl 1... О

рк—1 рк—2 рк-3 рк-4 — 1рк рк-1 рк-2 рк-3-"р1

s. ПуСТЬ Ci,

са.

X* — X + 1- Что можно + ^)?

с» — комплексные корни многочлена

сказать о расширении Q (cj9 + с|® +

4. Многочлен f(Xi, .... Х„) над полем Р характеристики ^2 называется кососимметрическим (или знакопеременным'), если VneS, (л °f) (Хь ..., Хп) =■ enf (Хь ... , Хп) (как всегда вл — знак перестановки). Примером кососимметрического много-

члена может служить An = JJ (Xf — Ху). Показать, что любой /«

кососимметрический многочлен feP[Xb .... Х„] имеет вид f = kn-g, где g— симметрический многочлен. (Указание. Рассмотреть f как многочлен относительно Х„ с коэффициентами в P[XtХл_1]. Обратить внимание, что в силу кососимметричности f = 0 при Ап = XK_i и, стало быть, f делится на Х„ — Хп_^

Используя свойство Res 2 и факт существования поля разложения многочлена (см. следующий параграф), показать, что

Res (fg, A) = Res(f, A)-Res(g, А).

Из упражнения 5 и из Res 3 вывести формулу:

D Ug^ = D (f) D (g) [Res (f, g)]».

Чему равен результант Res(f(X),X— о? n (n— 1)

Показать, что D(x"+a) = (—1) 2 п*’ап—х.

Пусть f (X) = Xя-1 + Xя-1 ++ 1. Используя соотношение X"—1= (X—l)f(^) и предыдущие упражнения, показать,

(Я—1)(Я—2)

что D(f) = (—1)2лп~2-

Алгебраическая замкнутость поля С

Формулировка основной теоремы. Пусть Р—■ поле и /— произвольный многочлен над Р. Как уже отмечалось в п. 2 § Ч, поведение полиномиальной функции 7- Р-^-Р; ассоциированной с f, существенно зависит от поля Р. В частности, Im/ = Р, коль скоро deg f > О, и к Р применимо следующее

Определение. Поле Р называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен из кольца Р[ЛП разлагается на линейные множители.

То же самое можно выразить другими словами: поле Р алгебраически замкнуто, если неприводимыми над Р являются лишь многочлены степени 1 (линейные многочлены).

Если любой многочлен f^P [АС] обладает в Р по крайней мере одним корнем, то поле Р алгебраически замкнуто. Действительно, тогда f(X) = (X— a)h(X), а е Р, h е Р [АС], но по условию для многочлена h в Р тоже существует хотя бы один корень, т. е. h(X) = (X— b)r(X), ЬеР, г^Р[Х]. Продолжая этот процесс, мы придем в конце концов к полному разложению / на линейные множители. Так как

f — произвольный многочлен, то поле Р удовлетворяет определению алгебраической замкнутости.

Хотя и справедливо утверждение о том, что для всякого поля Р существует расширение Ptd Р, являющееся алгебраически замкнутым полем {теорема Штейница), на первых порах все же трудно воспринять не только конструкцию алгебраически замкнутого расширения, но и саму идею такого расширения. Тем более приятно, что мы фактически располагаем ярким и очень важным примером алгебраически замкнутого поля, как об этом гласит так называемая «основная теорема алгебры». Именно, справедлива

Теорема 1. Поле комплексных чисел С алгебраически замкнуто.

Сформулируем еще раз это фундаментальное утверждение, теперь уже в терминах корней:

Произвольный многочлен f{X) степени n ^ 1 с комплексными {или вещественными') коэффициентами имеет ровно п комплексных корней, считаемых со своими кратностями.

Громкий титул «основной» теорема 1 приобрела еще в те времена, когда решение алгебраических уравнений было одним из главных занятий алгебраистов. В наши дни теорема 1 относится к числу рядовых, хотя и важных утверждений.

Впервые строгое доказательство «основной теоремы» было предложено Гауссом в 1779 г. С тех пор явилось * много вариантов Доказательства, различающихся между собой, так сказать, степенью алгебраич- ности. Необходимость опираться на свойства непрерывности полей R и С (иначе: на их топологию) проявляется в той или иной форме; есть даже совсем не алгебраическое и совсем короткое доказательство, основывающееся на довольно глубоком понятии аналитической функции комплексной переменной. Сейчас будет приведено доказательство, основанное на элементарных сведениях из математического анализа и восходящее к идеям Даламбера, Эйлера, Гаусса, Коши, Аргана. Именно последнему (Argand R., 1814 г.) принадлежит наиболее прозрачное изложение, которому с тех пор следуют почти все учебники по алгебре.

Доказательство основной теоремы. Его неал- гебраичность начинается с двух вспомогательных

утверждений, которые можно найти в любом курсе анализа.

Каждый комплексный многочлен

f(z) = aozn + a1z"-1 + ...+an_1z + an,n> 1, (1)

является непрерывной функцией в любой точке плоскости С (функция f: С —>- С непрерывна в точке zoeC, если lim f(z) = f(z0); другими словами, для Z->Zo

любой окрестности V(f(zo)) найдется окрестность U(zo) такая, что при любом z^t/(z0) будет f(z)s SK(f(z0)).

Каждая непрерывная функция f: К—>-R на компакте К a R2 достигает своего минимума в К (компакт— замкнутое ограниченное множество).

Заметим, что следовало бы говорить о непрерывности полиномиальной функции р С —С, но мы следуем упрощенному языку, принятому в анализе. Компактом у нас будет круг |z|^r некоторого достаточно большого радиуса г, определенного ниже. Тривиальный случай многочлена f со свободным членом ап = О исключается из рассмотрения, поскольку тогда f имеет корень Zo = 0.

Чтобы пояснить геометрически идею доказательства, вообразим себе поверхность в R3, отвечающую уравнению zy = |f(z)|: значения z изображаются на горизонтальной плоскости R2, а значения |f(z)| откладываются вверх, в направлении оси w, перпендикулярной к R2. Из непрерывности f(z) следует непрерывность функции |f(z)j на всей плоскости С. Нужно убедиться в том, что хотя бы одной точкой наша поверхность «опирается» на горизонтальную плоскость R2 (w = О). Последующие рассуждения разобьем на несколько шагов.

Лемма 1. Существует положительное число rsR такое, что |f(z) I >If(О) | для всех zeC с |zl > г.

Действительно, для z ^ 0 имеем |f(z) | = |z|n| До+ + ^(г-,)|. где g(u) = ахи + а2и2 + ... + апипе г С [и]. Из непрерывности g в точке О следует существование такого вещественного 6 > О, что |g(a)|^ ^~-[ао1при | и] < 6. Таким образом,

1ГИ1>|гГ(|оо1-1я(г'*) 1)>^-|ао1|гГ

при |z|>6—L Следовательно, осталось выбрать любое вещественное число г > б”1, для которого было бы выполнено неравенство | ао| г" > 2| ал|. •

Следствие (лемма Коши о минимуме). Для каждого многочлена f е С [z] существует z0 ^ С такое, что | f (z0) | = inf | f (z) |.•

zeC

В самом деле, ввиду утверждения 2) непрерывная функция |f(z) | принимает в кругеDr— {zeC||z|^ ^ г} минимальное значение, т. е. существует Zo g Dr такое, что lf(z0)l = inf |f(z)|. Но так как |f(zo)|^ z s Dr

^|f(0)|, а по лемме 1 имеет место неравенство If (О) К inf | / (z) I, то | f (zq) I = inf | f (z) |. |

zeC\DrzeC

Лемма 2. Пусть k— любое целое число ^1, и пусть /ieC[z] — многочлен с кф^=^О. Тогда для каждого а&С* найдется такое be С, что

| а + bfeh (6) | < I а |.

Доказательство леммы исходит из факта непрерывности многочлена h: существует 5 2> О такое, что при |z|<6 имеет место неравенство | h (z) — А (О) | < -у | А (О) |. Это позволяет нам получить оценку для a+zfcA(z) = а + A(O)z* + z*(A(z)— — Л(0)):

|a + z*A(z)|<|a + A(0)z*| + 4-|A(0)|-|zf(*)

из круга |z| < б.

Выберем теперь комплексное число be С, для которого

А(0)6* = —to, 0</<1

(ниже на вещественное число t будут наложены дополнительные ограничения). В качестве b достаточно взять, следуя теореме 3 § 1 гл. 5, любой корень степени к из —toA(O)-1=^O. Получаем |а-|-А(0)6*| = = (1—01а1 и -§■! А (О) | • | b |* = -у/| а |, что в соединении с (») приведет к нужному неравенству, коль скоро |6|<б. Мы обеспечим выполнение этого условия, наложив на t = —h^a-Ybk ограничение t <

< IА (0) а—116*. Итак, подставив в (*) значение' z=b, 161 < б, получаем окончательно

|а + А*Л(6)К(1 -0|а| + ±/|а| =

=0 —4-0|а|<|ц|- ■

Следствие (лемма Даламбера—Аргана). Пусть f(z) — многочлен положительной степени над С. Тогда каждой точке сеС такой, что f(c) ^=0, отвечает точка с' Е С, для которой

1/(И1<1/(с)|.

Для доказательства многочлен f(z+c), подобно f(z) не являющийся константой, разложим по степеням z:

f(z+c) = f(c) + bkzk + 6»+1г»+1 + ... + bnzn, bk * 0.

Другими словами, '

f(z + c) = f(c) + zfcA(z), где

h (z) = bk + bk+iz + ... + b^-\ h (0) ^ 0.

Подставив в формулировку леммы 2 значение а = = /(^^=0, мы можем утверждать существование такого 6 Е С, что. при d = b + с будет выполнено требуемое неравенство

f (с') — f(b + c) = \f(c) + bkh (ЬН<Г (с). ■

Геометрический смысл: если на поверхности zy = f(z) взята точка, расположенная строго выше плоскости w = 0, то обязательно найдется другая точка на поверхности с более низким расположением.

Окончание доказательства основной теоремы (теоремы 1). Согласно следствию леммы 1 существует такая точка zoeC, что |f (zo) | ^ |f(z) | для всех zeC. Если f(zo)^=O, то, как утверждает следствие леммы 2, найдется такая точка z' е С, что 1 f (О | < | f (zo) | — противоречие. ■

Воздерживаясь пока от каких-либо комментариев по поводу проведенного доказательства, заметим, что явным аналогом леммы 1 служит, очевидно,

Лемма 3 (лемма о модуле старшего члена). Пусть f(z)—многочлен вида (1) с произвольными комплексными коэффициентами ао, atа», п"^\. Положим А = max (| at ||ап |), г = y^j + 1. Тог

да при jzj > г будет выполнено неравенство

I сщ^11 > 1012"-* + ... + an_xz + ап |.

Доказательство.Доказательство.получим | Oq | >получим | Oq | >Если взять |z| > г ^ 1, то

Доказательство.

Доказательство.

получим | Oq | >

получим | Oq | >

откуда, согласно правилам

гл. 5), будем иметьгл. 5), будем иметьдействий с модулями комплексных чисел (см. § 1

гл. 5), будем иметь

гл. 5), будем иметь

|aoZn| = | ОоЦаТ >|aoZn| = | ОоЦаТ >^izp _ Л(|г|"-1)

|aoZn| = | ОоЦаТ >

|aoZn| = | ОоЦаТ >

|z|-l|z|—1—

= Л(|гГ* + ... + |г|+1)>|а,||г|п-*+ ...

+ |an |^| a^^'1 + -- - + an-iz + a„|. ■

Следствие 1. Пусть многочлен (1) степени n ^ 1 имеет вещественные коэффициенты. Тогда для всех хе R, достаточно больших по абсолютной величине, знак (вещественного числа) f(x) совпадает со знаком «.старшего члена* аохп. ■

Следствие 2. Многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.

Доказательство. Ввиду нечетности п старший член aQxn полиномиального отображения f: R—>■ —>-R будет принимать при положительных и отрицательных хе R разные знаки. Взяв эти значения х достаточно большими по абсолютной величине, мы согласно следствию 1 можем утверждать, что и f(x) будет иметь разные знаки. Если, например, ао > О, та К—г) < О, a f (г) > О, где г — вещественное число, взятое из леммы 3. По теореме Больцано — Коши о промежуточном значении функция f, непрерывная на отрезке [—г, г] и принимающая на его концах значения разных знаков, должна обращаться в нуль в некоторой точке рассматриваемого отрезка: Эсе е[—г, г], f(c) = O (на самом деле f(x) принимает любое промежуточное значение между f(—г) и f(r)). То же рассуждение годится и для ао < О. ■

Еще одно доказательство основной теоремы. От геометрически наглядного доказательства теоремы 1, приведенного в п. 2, остается чувство неудовлетворенности не только у читателя — поклонника алгебры; это чувство было присуще и математикам прошлого века. Недаром Гаусс неоднократно возвращался к основной теореме и дал для нее целых четыре доказательства. Естественно попытаться свести к минимуму атрибутику математического анализа и максимально алгебраизировать все рассуждения. Такое «алгебраическое» доказательство, восходящее к Эйлеру, Лагранжу, Гауссу и Лапласу, приобрело со временем каноническую форму, согласующуюся с общей теорией Галуа. Ни в коей мере не касаясь последней, мы хотели бы только дать почувствовать аромат известной нам техники. Все доказательство распадается на две части.

Для всякого многочлена feP[z] степени п^1 существует хотя бы одно поле разложения — такое минимальное расширение F поля Р, в котором содержатся все корни многочлена f. Можно записать F = P(uit .... ип) и f(z)=a0(z— ui)(z — и2) ... . .. (ZUn).

Для удобства считаем далее f нормализованным (а0=1). Существование и единственность, с точностью до изоморфизма, поля разложения F о Р для каждого многочлена JeP [z] — это следствие общеалгебраической конструкции, иа которой мы остановимся в ВА 3. Эта конструкция, напоминающая построение кольца классов вычетов Zm в п. 2 § 3 гл. 4, никак не связана со спецификой основного поля Р. Утверждение о единственности нам вообще не понадобится. В качестве примера отметим, что полем разложения многочлена z2 + 1 над R является поле С.

Если часть 1) мы фактически приняли на веру, чтобы не отягощать изложение, то часть 2), являющуюся замечательной иллюстрацией уже усвоенных нами общих принципов (принципа математической индукции и Принципа перехода к симметрическим функциям), мы приведем со всеми деталями.

В соответствии с замечанием, сделанным непосредственно после определения алгебраически замкнутого поля, необходимо установить существование хотя бы одного комплексного корня у многочлена (1).

Предположим сначала, что все его коэффициенты вещественные, причем без ограничения общности будем считать а0 = 1, ап N= 0. Пусть

deg f = 2^,

где п0 — нечетное целое число. Если т = 0, то по лемме 2 многочлен f имеет корень — даже вещественный. Применяя индукцию- по т, будем считать теорему доказанной для всех многочленов с вещественными коэффициентами, степень которых имеет вид ^ по с т' ^т— 1 (на нечетный множитель л' никаких ограничений не накладывается). Заметим, что по следствию 2 леммы 3 основание индукции, отвечающее значению т = 0, у нас имеется (единственный фрагмент неалгебраической природы).

Рассмотрим поле разложения F многочлена (z2 + 1) f (г), существующее в силу 1) и содержащее С в качестве подполя. Пусть их, ua, .... ип — корни многочлена f и F. Рассмотрим в F элементы

yz/ = utUj + a (ut + Uy),1 ^ i < / ^ л, (2)

где а — какое-то фиксированное вещественное число. Следовало бы писать иц(а), но мы этого делать не будем, чтобы не усложнять обозначения. Число п' элементов вида (2) равно

( №\ п(п—1) 2тп0 ^тпв — 1) —m—x , yqx

" — \ 2 У —2—2"o'

где л' — нечетное целое число.

Многочлен

fa (z) =П (z — uif) = Zn' + b^'-1 + . . . + bn'

из кольца F[z] имеет степень п', а его корнями по определению являются все элементы (2). В соответствии с формулами Виета (12) § 1 коэффициентами 6], . --,ЬП' многочлена fa(z) будут с точностью до знака элементарные симметрические функции sA от utj. Подставив в sfe(uxa, и13, ..., un-x,n) выражения элементов vtj через «ь - - -, ип, мы получим функцию

hiAux,Un) = sfe(---, UiUj-^-aiui + uj), ...),

к=\.

которая тоже является симметрической. В самом деле, для любой перестановки леЗл (Sn— симметрическая группа степени п) имеем

Л ° О;у = «я ^^ их + а («я Ц) + Ы„ (/>) = »я (О. я (/)

(или иЯ(/).я(»), если л(О>л(/)), так что л индуцирует перестановку л на множестве элементов вида (2). В силу симметричности Sa(ui2, uu, .... un-i,n) не меняется при перестановке аргументов, поэтому

(Л о hfe^Utu„) = sk (л о и12, л о и13л» ип_х> „) = = «к ("12, «13«п- 1, л) = hk (ихип\

Заметим, что hk^ux, .... un) есть значение при Xt = = Ui, i — 1, .... п, симметрического многочлена hk (Хь ..., Хп) с вещественными коэффициентами, зависящими только от а е R.

По основной теореме о симметрических многочленах (теорема 1 § 2) найдется многочлен ^(Уь ... ..., Уп) с вещественными коэффициентами такой, что hk^Xx, .... Х„) = gk (Si №, .... Хп), ...» Sn№, ••• .... Хп)). Стало быть, (—!)*&* = М“1“л)=

= gk (»1 («1«л)«л («I«л» =

= giA—ai, - ..,(—l)"a„)sR (напомним, что at — коэффициенты рассматриваемого унитарного многочлена f е R [г]).

Итак, коэффициенты Ьк многочлена fa(z) оказались вещественными при любом а е R. Так как deg fa — п'= ^П~ * ло (см- (3))» то по предположению индукции f0 имеет хотя бы один комплексный корень, который, конечно, должен совпадать с одним из vtj. Меняя находящийся в нашем распоряжении параметр ае R, мы будем получать другие многочлены fa (г) с вещественными коэффициентами. По каждому из них соответствует пара индексов i < / (зависящая от а) такая, что элемент оц = UiU, -R -V-а^щ 4-Uj'te F содержится в подполе С поля F. Так как различных пар индексов i < / всего (2)’ а вещественных чисел a е R бесконечно много, то найдутся два различных вещественных числа а, а'

с одной и той же отвечающей им парой индексов, скажем i = 1, / = 2 (это вопрос нумерации корней «ь ..., ип), для которых

uxiu> + а (их + м2) = с,

uxu^ + o' (Mi + Мз) = с\a#=af,

будут комплексными числами. Из этой системы уравнений следует, что и

«1 + «2 = С ~ % , и^ = с — а с — с,-

принадлежат полю С- Коль скоро это так, элементы «ь «2 будут корнями крадратного многочлена

(z — их) (г — и^ = ^ — (их + u^z + /^«2

с комплексными коэффициентами. По известным формулам

..„ “I + “2 I( «I + «2 \2

иЬ и2—2у X 27^1^2»

так что их, м2 тоже оказываются комплексными числами. Таким образом, для рассматриваемого многочлена f(z) с вещественными коэффициентами найдены даже два комплексных корня.

Пусть теперь f^z)—многочлен вида (1) с произвольными комплексными коэффициентами (можно считать а0 = I, но это неважно). Заменяя все at комплексно сопряженными числами, мы получим многочлен

f (z) = doz" + dizn-1 + ...+а„_!г + а„.

Введем многочлен

e(z) = f (z)f (z^ — eoz2" + е^2"-1 + ... + е2л степени 2п с коэффициентами

е* = ^ аД,k = О, 12п.

i+l=k■

Так как операция сопряжения zv—*z является автоморфизмом порядка 2 поля С (теорема 1 § 1 гл. 5), то ёк = ^ dza, = ек, а это означает, что ек е R. По /+/=*

доказанному многочлен e^z) с вещественными коэф-

фициентами имеет хотя бы один комплексный корень с:

f(c) - f (с) = е(с) = О.

Отсюда вытекает, что либо f(c) = O, и теорема доказана, либо 7(c) = О, т. е. аос" + aic"-1 + ... 4-а^с+ + ап = 0. Применяя к обеим частям этого равенства автоморфизм комплексного сопряжения, получим аос" + а1с'1-1 + ■■■ +а„_1с + а„ = 0, т. е. f(c) = O. ■

Алгебраической замкнутостью поля С (а также фактом существования поля разложения многочлена) удобно пользоваться при решении различных задач.

Пример. Пусть S0(f)—множество всех различных корней многочлена feC[2T], a St(f)—множество всех его «единиц»: d eSt (/) -с=> f (d) = 1. Пусть теперь f, g— какне-то многочлены из С \Ху Требуется показать, что

So Ф — So (g). S, ф — Si (я) =* f to — g to-

Так как, очевидно, 80ф (\81ф = 0, то согласно результатам § 1 достаточно показать, что |S0(D USi(f) | ^«+1, где п = aegf. По теореме 1

vut

НХ^ав JJ (X-с,) l, fW-l=a0 y£(X-djV, d.djeC i-1/-1

где

£Si==n==£Z/, v-m = |S0(f)US1(f)l.

В соответствии с теоремой 5 § 1 имеем

f (ху - (f (X) - ir = П (^ ~ cifl"* П <х ~ Д^1'1'А W*i-i/-1

так что (n — v)+ (л — ц) — ^ (s/ — О + £ ф — 0<degf(ХУ = = п — 1. Стало быть,

v +р>п + 1.

Время от времени появляются новые доказательства «основной теоремы алгебры» как иллюстрации передовых идей математики. Обратим внимание на топологические доказательства, использующие понятия гомотопии, степени отображения, порядка кривой, критической точки и пр. С ними можно познакомиться по элементарным вводным курсам:

С т и н р о д Н., Чинн У. Первые понятия топологии.— М.: Мир, 1967.

Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. — М.: Мир, 1972.

Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1982 г.

4. Многочлены с вещественными коэффициентами

1» Разложение на неприводимые множители в R[X]. Из теоремы 1 § 3 следует, что каждый многочлен f степени п в С [X] может быть записан, и притом единственным образом (с точностью до перестановки множителей), в виде

f(X) = a(X-Ci)(X-c2) ... (X — сп),

где а =# 0, ci, .... сп — комплексные числа. Пусть теперь f (X) = Х" + а1Хп~1 + ... +ап-1Х+а„ — нормализованный многочлен с вещественными коэффициентами аь .... ап и с — какой-то его комплексный корень: с =^ и + iv, и =# 0. Применяя к соотношению f(c) = O автоморфизм комплексного сопряжения, как мы это делали во втором доказательстве теоремы 1 § 3, получим, что и f(c) = 0, поскольку а» = а». Стало быть, f(X) делится на многочлен второй степени

gUC) = (X — с)(Х — с) = Х2 — (с + с) X + сс =

= Х2 — 2иХ + (и2 + и2)

с отрицательным дискриминантом D(gf)=4u2—4(u2+ + и2) = —4и2 -С 0. Условие D (g) -С 0 необходимо и достаточно для неприводимости над R квадратного многочлена g е R [X].

Если, далее, к— кратность корня с многочлена f(X) и I ^ к — кратность корня с, то f(X) делится на /-ю степень многочлена g(X):

f(X) = g(X)z<7(X).

Частное д(Х) двух многочленов из R [X] будет тоже многочленом из R[X], причем при k>l элемент се С будет его корнем кратности к — Z, в то время как с корнем не является. Мы видели, однако, что это не так. Значит, к = I (предположение I ^ k рассматривается аналогично), т. е. комплексные корни всякого многочлена из R [X] попарно сопряжены. Мы приходим к заключению, что для элементов факто-

риального кольца R [X] справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Любой нормализованный многочлен М[Х] степени п разлагается единственным образом (с точностью до порядка множителей) в произведение m ^ п линейных многочленов X — с^ соответствующих его вещественным корням сь ..., ст, и (п— т)/2 квадратных многочленов, неприводимых над R и соответствующих парам комплексно сопряженных корней. ■

Замечания. 1) Неприводимый многочлен из R [X] либо линеен, либо квадратичен, с отрицательным дискриминантом.

В обозначениях теоремы 1 имеет место соотношение п — т

D(f) = (-1) 2 |D(ni,

т. е. знак дискриминанта определяется числом пар комплексно сопряженных корней. Это соотношение получается либо непосредственно из определения дискриминанта, либо при помощи формулы, содержащейся в упражнении 6 § 2.

Пример. ^(Х) = X2” + 1. Так как g(X) вещественных (26 — 1) л корней не имеет, а комплексные корни сц — cos-^Ь + i sin^, 1 $5 к 2га (определенные по формуле (16)

1 гл. 5),—все простые, то вещественные неприводимые множители входят в ^(Х) с показателями 1. Очевидно, с* = С2Я+1-* при к = 1, 2,..., п и (X — с*) (X — с*) = X2 — — ^2 cos —^ 2п^ ™) X + 1, так что

X2" + 1 = JJ [х2 — ^2 cos-^^^^-) X + 1],(1)

к-1

. Простейшие дроби над С и R. Теперь, когда мы знаем общий вид неприводимых многочленов над .Ci и R, естественно вернуться к теме простейших дробей (п. 3 § 4 гл. 5), поскольку именно эти случаи важны в теории интегрирования. Мы знаем, что нормализованные неприводимые многочлены имеют вид X— с над С и X2 4- аХ 4- Ь или X— с над R. Поэтому простейшими дробями над С будут у/(Х — с)”1;

у е С, а в случае R к ним добавятся дроби вида (аХ + Р)/(Х2 4- аХ + Ь)т. Практически удобным методом разложения правильной дроби f/g в сумму простейших над С и R, при известном каноническом разложении знаменателя g(X), является метод неопределенных коэффициентов. Проиллюстрируем его парой примеров.

Пример 1. Если #(Х) = (X + 1)8(Х* + 1)—каноническое разложение над R, то для дроби X/g(X) имеем

1 а , Р , У^ + б

(X + I)2 (X2 + 1) (X + I)2 X + 1 X2 + 1

с не определенными пока коэффициентами a, g, у, бе R. Умножив обе части этого равенства на g(X), получим

=а (X2 + 1) + р (X + 1) (X2 + 1) + (уХ + 6) (X + I)2. (*)

Сравнивая теперь коэффициенты при 1, X, X2, Xs, придем к неоднородной линейной системе из четырех уравнений с четырьмя неизвестными

® + Р ++ 6 = 1,

Р+ у 4-26= О, а-Ьр4-2у-Ь 6 = 0, Р 4- У = 0,

которая, конечно же, совместна и определенна, как это следует из теоремы 3 § 4 гл. 5. Решая ее, приходим к заключению, что

11X

(X 4- I)2 (X2 4- О — 2(Х+ I)2 + 2 (X + 1)2 (X2 4- 1) "

Можно поступить более разумно, подставляя непосредственно в (*) вместо X конкретные числовые значения —1, i (корни неприводимых множителей). Это сразу даст а= 1/2, (iy + 6)2i = 1, или у = —1/2, 6 = 0. При X = О получится соотношение для р.

Пример 2. Пусть degf(X) < п; g(X) = (X — с^Х X (X — с2)... (X — с„) с попарно различными элементами сь с2, .... с„ нз С или R. Тогда

f (X) Qiа2

(X — с,)(Х — с2) ... (X — сп) X —с, "*■ X —с2

... 4---- Х-С№ •

откуда

/ (X) = £ ak (X - с,) ... (X - с*.,) (X - cfe+1) ... (X - с,). й-1

§ 4. МНОГОЧЛЕНЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 289 При X = с*, 1 ^ 6 ^ я, имеем:

f (с>) = “* (С*с1) * * * (с*С*-1) (с* — с*+1) * - * (с* Сп)»

а так как

^(Х)- £ (X - с,) ...(X-^(Х-Сд+1) ...(X-с„> 1-1

то

a*”/(cfc)/g'(cjfc). !<&<«.

Получающаяся в результате формула Лагранжа

Л (X) — g' (c*) (X - СДw

имеет прямое отношение к интерполяционной формуле Лагранжа (4) $ 1. Действительно, если умножить об£ части в (2) на g(X) и положить f(c») = 6*. то получится формула 44) § 1.

В применении к дроби l/g(X) с g(X)‘= Х*“ + 1 рассуждения из примера п. 1 и формула (2) показывают, чтс<

2п

X^+l” 2«Д^-сд

— разложение на простейшие дроби над С, поскольку gf (X) * = 2яХ2л—*, g [с^ = 2лс^'1 • с^ = —2ясд *. Объединение слагаемых с комплексно сопряженными коэффициентами даст нам разложение на простейшие дроби над R:

1Х^Ч-11Х^Ч-1J_yf_«_ + 2п^-Д*-«1J_yf_«_ + 2п^-Д*-«1Х-сьХ-сь

1

Х^Ч-1

1

Х^Ч-1

J_yf_«_ + 2п^-Д*-«1

J_yf_«_ + 2п^-Д*-«1

Х-сь

Х-сь

1 А 1 — (cos (2*« ^"Лх JLy*S' п £-1 и /_(2» — 1) Я X „ , . *

Проблема локализации корней многочлена. Будем смотреть на многочлен fsR [X] как на вещественнозначную функцию *f(x) вещественного аргумента х, изображая последнюю графиком на плоскости с прямоугольной системой координат хОу. Вещественным корням многочлена /(-Х) (или нулям

19 АЖ Кооражиа

функции f(x)) отвечают абсциссы точек пересечения графика с осью х.

Корни алгебраического уравнения f (х) = 0 следует ожидать между экстремальными точками (или в экстремальных точках), являющимися, в свою очередь, корнями алгебраического уравнения f'(x) = 0 более низкой степени.

Первый важный вопрос, с которым обычно сталкиваются на практике, — это вопрос о границах вещественных корней, т. е. об интервале а <х< 6, внутри которого должны содержаться все вещественные корни заданного многочлена f. Собственно говоря, из леммы 3 § 3 мы уже знаем, что при [ х | > । -J- + 1 (^— старший коэффициент, А = = шах{|а1], ..., ]а„|) функция f(x) не обращается в нуль, даже если бы мы вышли на комплексную пло- екость. Белее точные границы корней указаны- в упражнениях 1—4.

Общая проблема локализации (отделения) корней многочлена заключается в том, чтобы для каждого из вещественных корней указать интервал, внутри которого находится только один этот корень, а для каждого интервала указать число находящихся на нем вещественных корней.

Впервые удовлетворительное,, хотя и несколько громоздкое решение этой задачи было достигнуто Штурмом в 1829 г. Прежде чем переходить к формулировке соответствующей теоремы и ее доказательству, введем необходимые определения.

Определение 1. Пусть S = (ci, с^, ..., сот} — конечная последовательность отличных от нуля вещественных чисел, и пусть K(S) — число индексов i, 1 ^ 1'^ m—1, для которых c,c,+t < 0. Тогда V(S) называется числом перемен знаков в последователь-

ности S. Если S содержит нули, то под V(S) следует понимать число перемен знаков в укороченной последовательности S', получающейся из S вычеркиванием нулей.

Например, И({1, 0, 2, 0, —3, 4, 0, 0, —2}) = 3. В дальнейшем без ограничения общности будем предполагать, что интересующий нас многочлен f(x) с вещественными коэффициентами не имеет кратных корней, чего, как мы знаем (см. конец п. 4 § 1), всегда можно добиться.

Определение 2. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами -

foW = f^ Мх),...,Мх)(3)

называется системой Штурма (или рядом Штурма) для многочлена f(x) на отрезке [а, Ь] (а^х^Ь), если выполнены следующие условия:

последний многочлен fs^x) не имеет корней на [а, Ь\ ;

(п) fo(a)fo(6)^O;

если f*(с) = 0 для се [а, 6] и 1 ^ А ^ s — 1, то f*_i (с) f*+i (с) < 0;

если f(c) = O для се [а, 6], то произведение H^x)t\^x) меняет знак с минуса на плюс, когда х, возрастая, проходит через точку с. Другими словами, существует такое 6 > 0, что /о (х) fi (х) < 0 для х е е]с— 6, с[ и fo(х)f 1 (х) > 0 для хе] с, с + 6[.

Заметим, что соседние многочлены системы (3) не имеют на [а, 6] общих корней: если ffe_x(c) = = Мс) = 0, А ^ 1, то /й-1(с)/а+1(с) = 0, что противоречит условию (iii).

Положим для краткости

Vc=Vc^) = V^c\ Мс), ...» Me)»,с^[а, 6].

Теорема 2 (Штурм). Число корней вещественного многочлена Цх) степени n ^ 1 на интервале ] а, Ь { равно разности Va — Vb, где величины Ka, Vb отвечают какой-то фиксированной системе Штурма (3).

Доказательство. Совокупность всех различных вещественных корней на [а, 6] многочленов 19е

системы Штурма (3) разбивает отрезок [а, 6] на подынтервалы ] а/, а/+1 [ с а = а0 <2 ai < ... < ат = 6, в которых ни один из многочленов fz, 0 ^ z" ^2 s, не имеет корней. Мы собираемся сравнить значения Ус для различных точек с е] а/, а/+1 (.

Для начала пусть с е] ао, ai [, так что /о, • • •» fs не имеют корней в ]ао, с[. По теореме Больцано — Коши о промежуточном значении должно выполняться условие /«(яо)Л (с) 0 для 0 i s. В случае fz(c)^O для всех i имеем fz(a0)fz(c) > 0, откуда Уа«=Ис. В случае же f*(ao) = O для некоторого к обязательно к ^ 0, s из-за свойств (i), (ii) системы Штурма. По свойству (Hi) имеем fk—i(ao)f*+i(ao)< 0. В то же время fk-i^x1) и f*+1(x) не имеют корней в ] ао, с [, так что по. теореме Больцано — Коши Za-i (a0) fa—i (с) > 0 и f*+i (a0) f*+i (с) > 0. Значит, что ffe_i (с) f*+i (с) <2 0. Мы приходим к выводу, что при вычислении УОе и Кс подпоследовательности f*-i(ao), 0, f*+i(a0) и /а-i (с), f*(c), f*+i(c), независимо от значения /а(с), вносят одинаковый вклад (по одной перемене знака). Это верно для всех к с f*(ao) = O, поэтому Ve.— Кс- Аналогичное рассуждение годится для точки из другого крайнего интервала: с е e]am_b ат[=*Ус = Увж.

Пусть теперь с е] a/-i, а/ [, с7 е] а/, a/+i [— точки из двух соседних интервалов, 1</<т—1. Действуют те же соображения. Именно, соединение уже проведенных рассуждений показывает, что Vc = УС', если только f(a/) =^ 0:

а.На.НaJaJ-е— оСUj*T-е— оСUj*T

а.Н

а.Н

aJ

aJ

-е— о

СUj*T

-е— о

СUj*T

В случае fo(ci/)= f(a/)= 0 впервые наступает разница. По условию (iv) имеем fo(c)fi(c)<2 0 и fof^fi^) >0, т. е. у подпоследовательности /о(с), Л (с) будет одно изменение знака, а у /о(с7), ^(с7)— ни одного. В то же время наши предыдущие рассуждения показывают, что при к > 1 у подпоследовательностей /а-i(с), f*(c), f*+i(c) и fa-i (с7), f*(c7), Za+^c7) число перемен знаков одинаково. Все это означает, что если f(a/) = O, то Ус — ¥>=1.

Фиксируем точки Ск е] a*—ь а*(, 1 ^ ^ ^ т, и записываем тождество:

V. - V„=(V. - У.,) + "^V., - V^) + (У„„ - v„y

Мы знаем, что выражения в крайних скобках равны нулю, в то время как

„ _(О, если f^*0*

см с k+i 1, если f(a*) = O.

Других корней на отрезке [а, 6] у многочлена f (х) нет (по построению все корни многочленов системы Штурма сосредоточены в точках a0, ai, а», .... ат). Суммируя, получаем окончательно, что разность Va—Уь равна числу корней многочлена f^ на интервале 1 а» 6 [. ■

Чтобы применять доказанную теорему, надо научиться строить системы Штурма для каждого конкретного вещественного многочлена /(х). Чаще всего используется стандартная система Штурма, получающаяся небольшим видоизменением известного нам из гл. 5 алгоритма Евклида. Именно, в последовательности (5) § 3 гл. 5, начинающейся с fo(x) = f(x), ^ (х) = f'(x) (производная многочлена), остаток, взятый с обратным знаком, принимаем за очередной многочлен строящейся системы. Более точно, полагаем:

fo(x) = f(x), h^ = f^

fo (х) = qx (х) fx (х) — f2 (х), deg f2 < deg fx;

fk-\(x) = qk (x) f*(x) — fk+x (x), deg fk+x < deg fk; ^

L-i(x) = qs(x)fs(x).

По определению f$ (x) = НОД (f, f*)— отличная от нуля константа, поскольку мы предполагаем, что f(x) не имеет кратных корней (если мы этого заранее не знали, то, получив систему (4), перешли бы к системе g* (х) = f* (х) /fs (х), 0 ^ k ^ s).

Только что построенная система

fo^-f^, h^-f^, LW, .... fAx) (5) является системой Штурма.

Действительно, свойство (ii) выполнено по предположению, а свойство (i) входит в определение fs(x) = const ^ 0. Если Мс)=0, то из (4) видно, что fk—i (c)fk+i (с) ^ 0, причем f*-i(c)==O в точности тогда, когда f*+1 (с) = 0. Но если это так, то 0 = = /л-i (с) = fk (с) = fk+i (с) = fk+2(c) = ..., вопреки тому, что fs(c)^O. Стало быть, fk—i (c)fk+i (с) < 0, а это есть свойство (ш). Наконец, предположим, что fo(c) = О для некоторой точки с е [а, 6]. Тогда fo(x) = = (х —с)<^(х), q^^=0 и fo(x)Mx) = (х —с) [<?2(x)4- + (х — с)<7(х)<7,(х)] = (х — c)g(x), где g(х) = q1 (х)4- + (х — c^q(x)q,(x^. Имеем g(c) = q2(c) > 0 и, следовательно, g(x) принимает положительные значения в малой окрестности ] с — б, с 4- б [ точки с. Множитель х — с, однако, способствует тому, что произведение fo (х) fi (х) меняет знак с минуса на плюс при возрастании х и прохождении его через с. Таким образом, система (5) обладает свойством (iv) ■

Замечания. 1. Система

^>ofo(x)» ^-lfl(x)» •-•? ^sfs(x)>(5')

получающаяся из (5) умножением ее членов на положительные константы Хо, Xi, ..., Xs, также будет системой Штурма. Будем называть ее почти стандартной системой Штурма. Это полезно иметь в виду при вычислениях.

Условие отсутствия кратных корней у f(x) не является существенным при подсчете числа различных вещественных корней, как показывает конструкция стандартной системы Штурма: следует перейти от fk (х) к gk (х) = fk (х) /fs (х) и заметить, что Vc (g) = = v=m-

Согласно лемме 3 § 3 для каждого многочлена fi(x) системы Штурма существует такое число г., что вещественные корни этого многочлена лежат между —rt и г{. Пусть М — любое достаточно большое число, скажем М = max rt. Тогда вещественные кории 0<i<4

всех многочленов ft (х) = ац^х*1 4- • • • расположены Между —М и М. Более того, при х = М знак hW совпадает со знаком его старшего члена а^М*1. Конкретное значение величины М совершенно несущественно для нашей процедуры, поэтому при разыс-

кании общего числа различных вещественных корней многочлена f(x) мы полагаем чисто символически х — —М и х = М.

По преданию, сам Штурм так гордился своим (действительно замечательным) достижением, что обычно, изложив доказательство студентам, добавлял: «Вот теорема, имя которой я ношу».

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. f(x) = xs4-3x—1. Находим fi (х) — f* (х) ■— — Зх2 + 3; далее, f (х) = (Зх2 + 3) - -у х + 2х — 1 и /2 (х) — 2х+1; Зх2 4-3 = (—2х 4- О (~ ^ х ~ 4)+"Т" И Ь(.х) —

15

= —. Согласно замечанию 1 в качестве системы Штурма можно взять х*4-3х—1, х24-1. —2x4-1, —1- Составим таблицу знаков для старших членов:

I ха Зх2 —2х —1 V

х = —М—4-4-—2

х = М4-4-——1

Получаем У-м — Ум = 1, т. е. х3 4- Зх — 1 имеет один вещественный корень. ' .

Пример 2. f (х) = х3 4- Зх2—1. Легко видеть, что стандартная система Штурма для f(x) имеет вид х®4-3х2—1, Зх2 4- 6х, 2х 4* 1, 1» а таблицей знаков для старших членов будет

х3 Зх2 2х 1 I У

х = — М х = М

-4--4-3

4-4-4-4-0

Приходим к выводу, что )(х) имеет три вещественных корня: У-м — Ум = 3.•„„

X2хл

Пример 3. f (х) = 1 4-х 4-+ ... 4- -^р (.срезанная экспонента). Очевидно, что вещественные корни этого многочлена, если они есть, находятся в интервале ]—М, —8[, где 8 > > 0 — достаточно малое вещественное число (как всегда, М — большое положительное число). В качестве нестандартной системы Штурма на отрезке [—М, —8] можно взять тройку у2у” *

fo (х) = f (х), f : (х) — f * (х) — 1 4- X 4- -^р 4г ... 4- ^ _-^р и — =— Нх) + Г (х) (проверить, что все свойства (1)—(iv)

выполнены). Из таблицы знаков

—М—б—М—б/о • fifa(-1)" (-I)"-1 (-1)"-1+ +(-1)"-1/о • fifa(-1)" (-I)"-1 (-1)"-1+ +(-1)"-1УУ1(1+(_1)«)/21(1+(_1)«)/2

—М

—б

—М

—б

/о • fifa

(-1)" (-I)"-1 (-1)"-1

+ +(-1)"-1

/о • fifa

(-1)" (-I)"-1 (-1)"-1

+ +(-1)"-1

У

У

1(1+(_1)«)/2

1(1+(_1)«)/2

видно, что f(x) при четном л не имеет вещественных корней, а при нечетном я имеет одни отрицательный корень (как легко понять, стремящийся к —ею при возрастании п = 2m + 1).

Пример 4. f(х) = х* + рх + q. Почти стандартной системой Штурма (см. замечание 1) для f(x) на любом отрезке Га, 6] может служить /о = f, fi = Зх2 + р, fa = —2рх — 3q, р = = —4ps—27^* с естественным ограничением f (a)f (6)=^= О. Полезно отметить, что fa = D (f) — дискриминант многочлена f (см. (16) § 2, где следует заменить а и 6 на более традиционные коэффициенты р н q). Из общих соображений ясно, что f(x) иееет либо одни вещественный корень, либо три. Если рассмотреть три варианта для пары (sgn р, sgn D У)) с учетом импликации р "^ 0«* D(f) О, то из таблицы для знаков

Xs

X2

—2рх

D(f)

—м

—-

+

sgn р

Sgn D (/)

м

+

+

—Sgn Р

sgn D (f)

легко извлекается правило, согласно которому один корень будет при D(f)< О, а три — при Р(/)> О.

Вещественные многочлены с вещественными корнями. Мы остановимся, еще. иа практически важном случае, когда из каких-либо соображений изве- п

стно, что все кории многочлена f (х) = У. а^~к е Д-0

eR(x) вещественные. Для удобства введем два символа:

"*(Л — число положительных корней многочлена f (с учетом кратностей);

WQ) = У({а0, аь .... а„})—число перемен знаков в упорядоченной последовательности коэффициентов многочлейа f.

Ясно, что всегда 0 ^ W(f) ^ п = deg f, причем W(—f) = W(ft. Заметим также, что W (f) = W (аХ* + -|-а<1Х”-<|+ ...), где показатель & удовлетворяет единственному условию к > п — ii (коэффициенты аь Оц-!—нулевые)и аа0 >0. Если W(J) = 0i то, очевидно, f не имеет положительных корней. С дру-

S 4. МНОГОЧЛЕНЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 297 гой стороны, у f может не быть положительных корней и в том случае, когда W4f)= deg f. Пример: f(X) = X2— X-f-L Все же, как мы увидим, символ W^n имеет прямое отношение к числу положительных корней многочлена Д Справедливо, например» следующее правило знаков Декарта-. W(f)^e m^f), причем m(f)s HZ(f) mod 2. He останавливаясь на его доказательстве, перейдем к интересующему нас случаю.

Теорема 3. Пусть все корни многочлена f е е Rm вещественные. Тогда пг(П = V (f).

Доказательство. Будем исходить из наглядных соображений. По известной теореме Ролля из анализа (или по теореме о среднем между корнями а' и Ь' нашего многочлена f(X) найдется число ceR, а' < с -с Ь', для которого f'(c) =0. Отсюда следует, что все корни производной ^(Х) вещественны и m(f') = m(D или m(f)—1. В самом деле, пусть ci < с2 -С<сг— корни многочлена f кратностей пх, п2, ..., пг, так что пх + п» -f- ... 4- Hr = degf = а. По теореме 5 § 1 производная ^ имеет корни ci, с2, .... с, кратностей /ii— 1, п2—1, .... пг—1, а в промежутках между ними по теореме Ролля еще хотя бы по одному корню Ср Су .... с'г_г Всего получается (ni — 1)4- ... +(«г—1) + ^—1=п—1 вещественных корней. Так как degf'=n—1, то других корней у f и нет. Пусть, далее, ci—i <0, а ci, ..., сг— все положительные корни кратностей пц ..., пг. nt -f- ... 4~ fir = m = m (f). Положительными корнями производной Р(Х) будут корни ci, .... с, кратностей п<1, .... Пг1, корни Ср, с'_, и, возможно, еще корень с^р т. е. число их m^ = m^—1 или m(f). как и утверждалось. Аналитическим выражением этого факта служит почти тавтологическая формула

т(П = т(П + в, е = ±(1-(-1)'»<»+'»<^). (6) Заметим еще, что если

f (X) = а^" 4- *. • + ап_„Х\(7)

где an^v — последний отличный от нуля коэффициент, то

f<X)==<X-Clfi ... (X-c^g^.

Здесь

£(Х) = аьЯ'п~т+ - А-ЬХ\ Од > О, Ь>0 (v>0).

Таким образом, an_v=(—l)mc”z — c"rb, причем с"1 — c"rb > О. Другими словами,

(-1)”('Ч-,>0.(8)

При л = 1, 2 утверждение теоремы очевидно. Рассуждая теперь по индукции относительно л — degf, допустим, что теорема доказана для всех многочленов степени <л. Если в (7) v > О, т. е. а„ = О, то f(X) = X-fx(X), причем т(П=т(Л)=^(П (т(А) = = «^(fi)—по индукции). Остается рассмотреть случай ап =/= 0. Пусть

Г W = лаоХ"-1 4- ... 4- ц^.^-1,а,.* ^ 0.

Тогда

W(h==W(n + b. 6 = т(1 -тт^т)^0 или 1.

Z X 1 апап-ц I V

Но мы знаем (см. (8)), что (—l)”I(f)on >0и (—l)m(f,)X Х^-ц>0. Поэтому б = ^-(1 — (— ^“^“(П) и> ста_ ло быть, 6 = е. Так как по предположению индукции 1^ (^) = zn (f), то окончательно имеем W(f) = т(^) + 4-е или, сравнивая с (6), m(f) = Wif)- ■

Следствие (частный случай теоремы Бюдана — Фурье). Пусть все корни многочлена f вещественны. Тогда число его корней, лежащих в интервале ] а, b [, равно W(fa) — W (fb), где

fakX) = f(X*a)=£ ^^-Xk,

0<fc<n

№)=f(x-t-b) = £ -^^-^

0<k<n

—разложения в ряд Тейлора (см. упражнение 3).

Доказательство. По определению число m(fa) положительных корней многочлена fa равно числу корней заданного многочлена f, больших чем а. То же замечание относится к fb- Следовательно, число корней многочлена f, заключенных между а

$ 4. МНОГОЧЛЕНЫ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 299 и b (а<Ь), равно разности т^а)— ”i(fa). которая по теореме 3 выражается в виде TF(fa)—W(fby ■

Устойчивые многочлены. Нормализованный многочлен fW = Xn + alX”-,+ ... -Van_vX-ban

с вещественными коэффициентами называется устойчивым, если все его корни лежат в левой полуплоскости:

f(A)=O, X = a + iP=>a<0

оо о о -ооРис. 20оо о о -ооРис. 20(см. рис. 20). Терминология ведет свое происхождение из теории дифференциальных уравнений. Получаемые там критерии асимптотически устойчивого поведения физической (а в более широком смысле — механической, технической или экономической) системы в окрестности положения равновесия требуют, чтобы

о

о о о -

о

о

Рис. 20

о

о о о -

о

о

Рис. 20

lim ew = 0,(9)

где X — произвольный корень многочлена t. ассоциированного с дифференциальным уравнением порядка п с постоянными коэф

фициентами. Так как по формуле Эйлера (см. (15) § 1 гл. 5) ew = е^е1® = eat (cos p# +1 sin p#), то доминирующим членом является eat, и условие (9) эквивалентно неравенству a -< 0. Возникает своеобразная проблема локализации — проблема Рауса — Гурвица*), когда непосредственно по коэффициентам многочлена-f надлежит выяснить, является ли он устойчивым. Эта алгебраическая задача была решена еще в 1895 году. Критерий Рауса — Гурвица гласит: многочлен f устойчив тогда и только тогда, когда выполнены неравенства

где

Г! >

0, Г2 > 0, ...

, Г„ > 0.

Oi

1

0

0

00

... 0

Да

Да

Д1

1

00

;.. о

Г4 =

Да

д«

Да

Д2

Д11

... 0

Ду

Де

Да

д«

ДаДа

... 0

°2к-1

°2к-2

°2к-3

а2к-4

a2i-S а2к-6

... ак

(Ю)

(предполагается, что а* = 0 при s ">• п).

Не пытаясь доказать теорему Рауса — Гурвица (это более уместно делать в других курсах), мы обратим внимание на то обстоятельство, что ее формулировка своим изяществом целиком обязана теории определителей. Далее, согласно теореме 1, при выполнении условий (10) многочлен /(X) представляется в виде произведения множителей вида X + и, Xя + иХ + w с « > 0, о > 0, w > 0, а это значит, что все коэффициенты устойчивого многочлена /(X) положительны:

Oi > 0, а2 > 0ая > 0.(11)

Таким образом, условия (11) необходимы для устойчивости многочлена f(X). Не являясь в общем случае достаточными, они позволяют, однако, приблизительно вдвое понизить число детермн- нантных неравенств (10). Это удобно, так как вычисление определителей— трудоемкое дело.

Пример. При л = 2 система неравенств Г* > 0, Га > 0 эквивалентна более простой: at > 0, az > 0, что, между прочим, видно из формул для корней квадратного уравнения.

При л = 3 все сводится к неравенствам at > 0, a2 > 0, а$ > О, ata2 > аз, поскольку Гз — O3(ata2— аз).

Наконец отметим, что критерий Рауса — Гурвица не решает всех вопросов, связанных с устойчивостью, поскольку на практике речь идет о многочленах и о дифференциальных уравнениях, коэффициенты которых зависят от параметра. В терминах самого параметра должны формулироваться и условия устойчивости, что представляет собой задачу совсем иной природы.

Зависимость корней многочлена от коэффициентов. Понятно, что корни многочлена являются функциями его коэффициентов. Мы хотим теперь подчеркнуть, что эти функции непрерывны, т. е. при достаточно малом изменении коэффициентов изменение корней пренебрежимо мало. Кратные корни, впрочем, могут распадаться, и геометрически динамика изменения зачастую приобретает причудливые формы. Достаточно сравнить многочлены z" и z"4-e при е—*-0, чтобы почувствовать эту сложность. Качественному и количественному сравнению многочленов способствует

Теорема 4 (Руше). Если для двух многочленов fo(z) и fi(z) имеет место неравенство jfi(z) |<|fo(z) | для всех z на границе замкнутой области Dez С, то многочлен f0(z)4- fi(z) имеет внутри D столько же корней, сколько и многочлен fo(z).

Доказательство этой теоремы, причем в более общем контексте, получается элементарными средствами теории функций комплексной переменной, поэтому мы его опускаем. I

Пусть теперь zo— корень кратности к многочлена /o(z) = aoz"+ aiz"-1 + ... + ап. Рассмотрим многочлен

f(z) = (ab+60)z" + (ai Ч-бО^Ч- --- +(а„ + 6„) =

= fo(z) + f«(z)

с |б/|< б, где 6 > О — сколь угодно малое вещественное число. Рассмотрим круг D={zeC||z—z0|^ ^ в} с центром в zo и столь малого радиуса в > О, что zo — единственный корень многочлена fo(z) в замкнутой области Л. Функция |f(z) | непрерывна и не обращается в нуль на окружности ]z — z0| = e— границе круга D, поэтому ц = ini | /о (z) | > 0.

,2-2. [—8

Возьмем 6 столь малым, чтобы при |z — zo| = e имело место неравенство |/i(z) |< ц. Тогда будут выполнены условия теоремы Руше, и мы приходим к выводу, что f(z) и fo(z) имеют внутри D по одинаковому числу к корней. В частности, простой корень (£—1) при малом шевелении коэффициентов остается простым, лишь чуть смещаясь.

Фактически мы обеспечили ту локализацию корней многочлена f(z), которая гарантирует их непрерывную зависимость от коэффициентов многочлена fo(z).

Доказанный результат формулируется также' в следующей форме.

Теорема 5. Пусть fo (z) = z" + aiz"-1 + ... ... + an — нормализованный комплексный многочлен, Сь .... сп — его корни. Для любого seR, в > 0, существует 6 е R, 6 >► 0, такое, что для каждого нормализованного многочлена Цг) = z"+a^z"-1 -|- ... + a„ такого, что | a' — а; | < б, 1 ^ / ^ п, имеет место раз- Л

ложение f (z) = Ц (z — с'), причем | с' — с, | < в, 1 ^ </<л.

Можно привести доказательство этой теоремы, не опирающееся на теорему Руше (см., например, Amer. Math. Monthly. — 1989. — V. 96, №4), но нам важнее обратить внимание на суть дела.

Вычисление корней многочлена. Полное решение проблемы локализации (особенно если учитывать все корни, включая комплексные, когда речь идет не

об интервалах, а об областях на плоскости С) дается дорогой ценой. Остановимся вкратце на методах вычисления «локализованного корня» с заданной степенью точности.

Пусть мы уже знаем достаточно узкий интервал ] а, b [ вещественной оси, содержащий единственный интересующий нас простой корень многочлена f(x). Тогда f(a)f(6)<0. Разделим интервал ]а,Ь[ на 10 равных частей. Одна из этих частей ] ab 6i [cz] а, Ь [ (и только одна) обладает свойством f (ai)f (6i) < 0. Значит, с ej at> b^ [. Интервал ] ai, bx [ делим снова на 10 равных частей и выбираем ту часть ]а2, &г[<= cz] ai,Ai Г, для которой f (a2)f (b^) <t). Так как с г е] ai,6i[, то процесс можно продолжить, получая приближение к истинному значению корня с точностью до 0,1, до 0,01 и т. д. Этот метод испытаний (десятичных, если делят интервал на 10 частей; двоичных, если делят интервал пополам) удобен, если мы не претендуем на вычисления с большой точно

стью и располагаем простейшими вычислительными средствами.

Универсальным, но весьма трудоемким является метод Лобачевского, позволяющий* находить приближенные значения всех корней одновременно, в том числе и комплексных, причем без предварительной процедуры их отделения. Широкое хождение

получил метод линейной интерполяции (или метод ложного положения). Он заключается в том, что в ка

честве приближения к корню берется число с(1), делящее интервал J а, b [ на части, пропорциональные 1/(а)| и |f(6) |. Другими словами.

с(1> —° _/(«)6f(a) —af(6)

b-cw — W> “ C(I)— f(«)-/W

Кусочек кривой у = f (х) при этом заменяется хордой (см. рис. 21). Процесс можно повторить, аналогичным образом получая приближение с(п и т. д.

В достаточно малой окрестности ] а, 6 [ корня с кусочек той же кривой можно заменить отрезком касательной в одной из точек. Если с0 — какое-то приближение к корню (с0 = а на рис. 21), то по теореме Лагранжа о конечном приращении

f to — f (с0) = f (с0) (х — с0),

откуда при х — с получим 0 — f(c)= f(c0) + + Л(со) (с — со). Поэтому в качестве следующего приближения естественно взять ci = со— /(со)/Г(со). Положим

с6+1 = с6--р^, А = 0, 1, 2, ...(12)

Предположив сходимость рекуррентной последовательности (12), а именно с*—*-с при А>—»-оо, мы получим с = с—• откуда /(c) —0. При правиль

ном выборе исходной точки с0 все точки нашей последовательности будут лежать в интервале ]а, 6[ и с = с. На рис. 21 показана лишь одна из четырех возможных картинок, отвечающих поведению первых двух производных f(x), f" (х). на интервале ]а, 6[. Детали мы опускаем, предоставляя читателю самому рассмотреть оставшиеся случаи.

Только что описанный метод Ньютона относится к числу наиболее употребительных и быстро сходящихся. Элементарными методами анализа показывается, что если

l/'tol^A^ и I f" (х) | s^ Af2 при хе [а, &], то | с, — с | ^ -^^ | с0 — с |2. Поэтому выбрав точку с0 так, что

2Л4, I С° c\^q <1,

мы придем к оценке ^■ |ск— с[^д2*. Как говорят, имеет место квадратичная (или сверхэкспоненциальная') сходимость приближений к корню с. Метод

Ньютона хорош тем, что он годится без изменений для вычисления произвольных комплексных корней многочленов из C[z]. В основу кладется рекуррентная последовательность (12).

Разумеется, ограничившись наброском голой схемы вычислительных методов, мы не коснулись фактической организации вычислений. Современная вычислительная математика располагает для этой цели широким арсеналом средств. Входить в профессиональные тонкости математика-вычислителя у нас нет возможности.

Рациональные корни целочисленных многочленов. О многочленах над Q и над Z мы имели возможность поговорить в п. 4 § 3 гл. 5, где обсуждалась проблема разложения данного многочлена над Q на неприводимые множители. Сейчас мы остановимся на гораздо более простом вопросе о выделении рациональных линейных множителей многочлена f е eQ[X], т. е. фактически о рациональных корнях. Умножив f на общий знаменатель коэффициентов, мы перейдем к многочлену из Z[X], поэтому целесообразно с самого начала ограничиться рассмотрением целочисленных многочленов.

Теорема 6. Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена f^X') = а0Хл4- aiX"—1 4- ... ... +aneZ[X], aoan^O. Тогда p\an и qla0-

Д о к а з а т e л ь с т в.о. Действительно, по условию

^(■7) +а1(т")+ -- +ап-1 "-+«„ = 0.

После умножения обеих частей равенства на qn получаем

а^р-1 A-axpP-'q-V- ... + an-ipqn-x + anqn = 0 и

Оор" = <7(—а^-1 — ... — a№_xpqn-2 — а^-'}.

Таким образом, q\aop", а так как q и р взаимно просты, то qlao- Аналогично, из равенства

a„qn = p^—OqP»-1— a^-^q — ... — ап_^п~х)

вытекает, что pl ав. I

Следствие. Рациональные корни нормализованного многочлена должны быть целыми' числами. I

Итак, решение вопроса о наличии рациональных корней многочлена сводится к следующим действиям: 1) перебору всех делителей свободного члена и всех делителей старшего члена; 2) составлению из них несократимых дробей; 3) проверке посредством подстановки дроби в многочлен. На этом этапе можно воспользоваться методом Горнера. Если все испытания приведут к отрицательному результату, то это значит, что у многочлена нет рациональных корней.

Громоздкий перебор всех делителей полезно начинать с ±1. Вычисление f(l) и f(—1) не представляет затруднений. Если теперь целое число с является корнем многочлена f(X), то f(X) = (X—c^q^X^, где ^(л) = boXn~l + biX*1-2 + ... + bn-ь Из схемы Грр- нера непосредственно следует, что bi^Z, 0^<^

л— 1. Поэтому частные.

-H!L_ _,(!).(_п

С — 1ч хС + 14 ''

тоже должны быть целыми числами. А это значит, что если deZ и d|an, но хотя бы одно из чисел f(l)/(d—1) или f(—l)/(d+l) не является целым, то заведомо f(d)=#O. Разумеется, целостность /(l)/(d—1) и f(—l)/(d4-l) еще не является гарантией того, что f (d) = 0.

Пример. f(X) =Х5 + 2Х*—15Х3 —-2% +6. Имеем f(l) — = —8, f(—1) = 24. Делители d = ±6 сразу отпадают, поскольку d ± 1 не делит 24. С другой стороны, для d = 2 имеем f (1)/(2 — l)eZ и f (—1)/(2 + 1) е Z, но f (2) э^ 0. То же относится и к d = —3. Целым корнем на самом деле является делитель d = 3.

УПРАЖНЕНИЯ

Пусть f (X) = «оХ™ + а^Х"-1 ++ а„ — вещественный многочлен степени п. Показать, что значение верхних границ положительных корней многочленов f(X), Xnf (1)- н—X)» Xяf ^—-^-^дает нижние и верхние границы как положительных, так и отрицательных корней многочлена ЦХ).

В обозначениях упражнения 1 пусть а» > 0, т — наименьший индекс, для которого am < 0, В — максимум среди абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Показать, что

/:< 1 + VB/oq

20 А. И. Косгрикин

для всякого положительного вещественного корня многочлена f(X). (Указание. Прр х> 1 исходить из оценки f(x) ^

„п—т+1 । уП—т+1

> адх" — В——> —е _ t [аохт-1 (х — 1) — В].)

(формула Тейлора). Пусть Р — поле нулевой характеристики, а е Р. Для любого многочлена f е Р[Х| степени п имеет место формула

Г («)Г («)

f (X) = f (а) 4- —^—(X — а) +(X — а)8 + ...

(X - а)п.

(Указание. Продифференцировать & раз формальное выражение f (X) =&, (X — а)1 и положить X = а.)

Показать, что если / (а) > 0, f' (а) > 0, ..., /<"> (а) > 0 для вещественного многочлена f(X) степени п с положительным старшим коэффициентом до, то f (с) = 0, с > 0 =*■ с < а (Указание. Применить упражнение 3.)

Воспользовавшись правилом знаков Декарта, найтн знак дискриминанта многочленов Xs— Х2 + 1, X3— 6л—9 (см. замечание в конце п. 1).

Могут ли многочлены Xs — X — 1 н X3 + аХ + 6 е Q [X] иметь общие комплексные корни? Напомним (см. упражнение 11 § 1), что многочлен Xs — X—1 неприводим над Q.

Показать, что корни многочлена f(X) = Xs + иХ4 + оХ3 + + а» е R [X] со свободным членом о, 0 не могут быть все вещественными. (Указание. Удобно перейти к взаимному многочлену X3f ('^'^ н далее воспользоваться формулами (12) § 1 и (8) § 2.)

Любой многочлен f(X) с f(x)^ 0 для всех хе R можно представить в виде

f(X) = g(X») + h(X)8,

где g, AeR[X]. (Указание. При помощи теоремы 1 разложить f(X) на множители вида (X + а)2 + Ь3 и воспользоваться формальным тождеством (р3 + q3) (г3 + s2) = (pr + qs)1 -f- + (ps— qr)3, вытекающим из соотношения |p + ttf|2|r-i-fc|2 = = |(р + ^) (r + fc)|2)

Получить самостоятельно критерий устойчивости многочленов степеней 3 н 4. При п=4 записать его в виде неравенств: а1 > 0, а4 > 0, а,а2 > а3, а3 (аха2 — а3) > а,а4. (Указание. f(X) = Xх + аХ3 4-ЬХ + с = (Х2 + аХ + р)(Х + 0), где а = — а + 0, Ь = р + а0, с = ро, причем а, р, 0 е R. Устойчивость f (X) эквивалентна устойчивости пары многочленов X3 + <хХ + р, X + 0, т. е. выполнению неравенств а > 0, р > 0, 0 > 0. Легко проверяется, что эта система эквивалентна системе неравенств а > 0, Ь > 0, с > 0, ab — с > 0. Аналогичные соображения применить к вещественному многочлену четвертой степени.)

Имеет ли многочлен f(X), стоящий в числителе несократимой рациональной дроби

f(X) Э ,12 X —3

£ (X) ” X + 2 (X — I)2 X — 1 + X8 + 1 ' вещественные корни?

Показать, что все три корня неприводимого над Q многочлена f (z) = z® — 7z — 7 вещественные и лежат в интервале ]—2, 4[. Вычислить положительный корень методом Ньютона с точностью до третьего десятичного знака.

Опираясь на теорему Руше (теорема 4), показать, что многочлен f (z) = z5 + 5z® — 3 имеет два корня в единичном круге и три корня в кольце между окружностями |z| = 1 и |z| = 2.

Сколько вещественных корней имеет многочлен z* + 12z2 + 5z — 9?

Многочлены Лежандра Ра(Х} = 1, Pi(X) = X, , РЯ(Х),определяются рекуррентной формулой

тРт № — (2/п — 1) Pm-i (X) + (ш - 1) Рт_ г = 0.

Показать, что а) Ря(1) = 1, Ря(—1) =—1; б) {Ря, P„-i, ... Ро}—система Штурма для РЯ(Х) на отрезке [—1, 1]; в) РЯ(Х) имеет п различных корней на интервале ]—1, 1[.

20е

Приложение

НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ О МНОГОЧЛЕНАХ

Ниже звездочкой отмечены задачи, решений которых в математической литературе (по состоянию на 1990 год) действительно не существует. Остальные задачи, в принципе, решены, но либо неалгебранческнмн, либо неэлементарнымн средствами. Понятно, что для решения открытых проблем все средства хороши.

Формулировки задач сопровождаются небольшими комментариями, призванными способствовать пониманию существа дела и расширению кругозора. Дополняющий их список литературы — минимальный.

Проблема якобиана. Пусть fb .... f„eC[Xi, —, Хп^. Под 2) (ft = dfddXj понимается частная производная многочлена /г по /-й переменной Х( — результат применения оператора частного дифференцирования (см. упражнение 9 § 1 гл. 6). Будем считать, что ft (00)= 0, 1 ^ i ^ п. Введем новые перемен

ные Хр .... Х^ формулами

^=ЛИ,*„)<= fn№Х„У

Полиномиальное отображение F = (fp f„y X, 1—> Xp определяет эндоморфизм (гомоморфизм в себя) алгебры многочленов С [Xi, ..., Х„]. Его матрица Якбби

/ 2>ifi — 2>nft х

X 3>tfn . . . 3>nfn /

обратима в точности тогда, когда определитель

detJ(F) =detJ(F) =3>th ... ®nfx

detJ(F) =

detJ(F) =

®xfn ... 3)nfn

называемый якобианом н являющийся, вообще говоря, многочленом, будет отличной от нуля константой (элементом нз С*) Если F — автоморфизм, т. е. если найдутся многочлены gi, ..., gn такие, что

Xx=gx (х;х'п)— xn-gn(x;%;),

то, как легко убедиться, якобиан обратим. Верно ли обратное утверждение? Другими словами, верна ли импликация det I (F) е С =* F — автоморфизм?(е)

Это и есть проблема якобиана, сформулированная О. Келлером в 1939 г. и остающаяся не решенной при всех п ^ 2.

Две специальные группы автоморфизмов алгебры С [Xi, — Х„] видны сразу. Это группа GL„ всех линейных невырожденных преобразований и группа Вп, элементы которой получаются композицией «треугольных» полиномиальных отображений вида

X^X-A-t^X^, .... Хп> l<i<n,t.ecvxv .... XJ.

В том, что эти отображения обратимы, убедиться совсем несложно. Например, при п = 3 имеем

x^x^t^x, х3у Х'2^Х2 + ^Х3), Х'3-Х3.

Отсюда:

^=^-«! (Х'а-^х'з), Х'з),Х2 = X'- 12^, Х3 = Х3.

Каждый ли автоморфизм, оставляющий скаляры на месте, получается композицией элементов из GL„ и Вп? Предполагается, что при л ^ 3 это не так. Более того, гипотеза Ногаты гласит, что ответ должен быть отрицательным даже применительно к конкретному автоморфизму Рг Xi i—> Xt вида

Х\ = X, - 2Х2 (Х^з + X») - Х3 (х^з + Х^2.

х2 = х2а- Х3 (^ х3 + х*\ х3 — х3.

Отметим, что / (F) = 1, причем

Существует много разных подходов к проблеме якобиана (алгебро-геометрических и функциональных), комбинирование которых привело к частичному успеху. Положим deg F = = max deg f,. Если л = 2 и degF^ 150, то ответ на вопрос

точностью до GL„, достаточно рассматривать многочлены вида f< = ^ + M*iХ№> ККп,

где все компоненты А< — кубические однородные формы (degA/ = 3), а матрица Якоби /(Я) для Н = (Ль .... Л„) нильпотентна: (/(Я))” = 0. Правда, в процессе редукции число переменных п увеличивается по сравнению с исходным. Более подробно с имеющимися результатами относительно проблемы якобиана можно познакомиться по обзорной статье: Bass Н„ Connell Е. Н„ Wright D. Jacobian conjecture//Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 7, N 2. — P. 287—330.

2*. Задача о дискриминанте (E. А. Горин). Пусть /(X) = «= Xя + a2X”-2 + 4- ая — нормализованный многочлен, коэффициенты которого а$, 2 ^ i ^ п, суть рациональные функции на С (т. е. рациональные дроби из С (z)). Предположим, что дискриминант D(f) многочлена f тождественно равен 1. Возможно ли при этом, чтобы не все коэффициенты а, были константами'}

Известно следующее.

Если особенности (полюса) всех а< расположены в точках 0 и оо (либо знаменатель q несократимой дроби at = p/q делится на z, либо degp > deg q), то at, 2 ^ t ^ п,— константы.

Если п = 3 или п = 4, то все at — константы.

При п = 3 дело сводится к рациональным решениям уравнения и* + о3 = 1 (см. п. 4 § 2 гл. 6), которое, в свою очередь, редуцируется к уравнению Ферма степени 3. Но известно, что- если f" + g” = Л", где f, g, А е С [z] и НОД(Д g, Л) = 1, то при п > 2 многочлены f, g, h являются на самом деле константами. При л = 4 используется кубическая резольвента Феррари. Случай л = 5 остается без ответа.

Задача о двух порождающих кольца многочленов. Известная из математической литературы теорема Абъяикара — Моха утверждает, что если С [f (z), g (z)] = C [z], т. e. многочлены f, g порождают все кольцо многочленов, то:

пара f, g разделяет С. т. е. zt ^ z2=* f (zj N= f (z2) или gtef) ¥= gUnY.

производные ГЮ» g'(z) не имеют общих нулей.

Для этой теоремы пока иет простых доказательств. Требуется найти элементарные подходы. Решающее утверждение в одном из вариантов доказательства: если для пары f, z выполнены свойства (i),, (ii), то либо degf | degg, либо degg | degf.

Теорема Зайденберга — Лина (ДАН СССР.— 1983.— Т. 271, № 5) устанавливает, в свою очередь, что если пара f, g е С [zj

разделяет С, торазделяет С, тоmin6 е о^min6 е о^/(9)0/(9)01|Г (0) |1|Г (0) |п — 1пп — 1п

разделяет С, то

разделяет С, то

min6 е о^

min6 е о^

/(9)0

/(9)0

1

|Г (0) |

1

|Г (0) |

п — 1п

п — 1п

с [f (z), g (z)] = С [(z - с)\ (г - с)1).

где сеС, а НОД(£, Z) = 1. В частности, система f'(z) = О, g'(z) = 0 имеет не более одного решения. Это утверждение сильнее, чем теорема Абъянкара— Моха. /С теореме Зайденбер- га — Лина также требуется найти элементарный подход.

Следует отметить, что замена С на R невозможна. По-ви- димому, нет аналогов указанных теорем, где вместо пары f, g рассматривались бы тройки f, g, ki т. д.

4*. Задачи о критических точках и критических значениях (В. Sendov, S. Smale, А. И. Кострикин, Э. Б. Винберг). Пусть f(z)—комплексный многочлен, в/ = {6 е С f f' (6) =0}— множество его критических точек. Значения /(0), отвечающие критическим точкам в е 6f, иногда называют критическими.

Доказать, что если все нули (корни) многочлена f (z) = п

= JJ (z — сЛ степени п 2 лежат в единичном круге Di = a-i

= {z е С | | z | ^ 1), то для каждого с* круг {z еcl Iz ~’с*1^ < 1} содержит по крайней мере одну критическую точку.

С результатами в этом направлении можно познакомиться по статье Miller М. J.//Trans. AMS.— 1990. — V. 321, N 1.— Р. 285—303. Общая алгебро-геометрическая концепция, относя

щаяся к роли критических точек многочленов, изложена в книге Marden М. Geometry of polynomials. — Providence, R. I.: AMS, 1966. Проблема_ Сендова уточняет один известный .результат из этой книги, согласно которому любой круг Dr, содержащий все нули многочлена f(z), содержит также все нули его производной. В это очень легко поверить, предположив, что все нули f(z)—вещественные, н просмотрев еще раз доказательство теоремы 3 § 4 гл. 6.

Доказать, что если f— комплексный многочлен степени п такой, что f (0) = 0, f' (0) ^ 0, то

Смейл доказал существование критической точки 9, для которой If (9) l/|6f' (0) | ^4, т. е. дана требуемая оценка с худшей константой. Для многочленов степени п ^ 4 проблема решена. Константа (п—1)/л неулучшаема, как показывает пример многочлена f (z) = z"^—r z. n — 1

Обозначим символом C„ множество так называемых консервативных многочленов f (z) = 21 -f- щг"-1 +... + a„-tz, опре-

деляемых свойством, f' (0) = 0 =>f (0) = 0. Таким образом, консервативный многочлен, рассматриваемый как отображение f: С -> С, оставляет начало координат и все свои критические точки на месте. Известно (Tischler D.//Complexity.— 1989), что I I1, поэтому для консервативных многочле

нов степени л проблема Смейла, сводящаяся к доказательству неравенства | /' (0) | 5s ——— , решается, в принципе, конечным перебором. Но для этого нужно располагать явным описанием многочленов из С„, что известно пока лишь при л ^ 6. Более слабое неравенство |f'(0)| > 1 справедливо для любого f С„.

Было бы крайне интересно исследовать геометрию нулей и неподвижных точек консервативных многочленов.

Пусть / — многочлен степени л с вещественными коэффициентами и с вещественными критическими точками (6f cr R). Множество всех таких многочленов обозначим через ^„. Каждому fe^„ сопоставим вектор cr f е R"-1 по следующему правилу. Пусть 01, ..., 0„_1 — критические точки для / (с учетом кратностей), расположенные в порядке неубывания. Тогда ст f = = (/(®0> /(6™-0)—вектор критических значений. Очевидно, что вектор (cic„-i) g R"-1 может иметь вид сг/ для некоторого fe?„ только в том случае, когда (—1)*(с*—c*+i)^ ^ О для всех А или, наоборот, (—1)*(с*—c*+i)^ 0 для всех k, т. е. последовательность ci,, с„_t «пилообразна». Довольно сложным образом доказано, что всякому пилообразному вектору с = (ci, -c^-t) отвечает многочлен f г Уц такой, что сг f = ■ с. Многочлен f определен однозначно с точностью до линейной замены аргумента х i—> ах 4- Ь, где a, b е R, а > 0. Существует ли элементарное доказательство этого факта?

5. Задача о глобальной сходимости метода Ньютона (Smale S.//BuIL Amer. Math. Soc.— 1985. — V. 13, N 2). Будем понимать под римановой сферой S множество С комплексных чисел с присоединенным символом оо, а под рациональным эндоморфизмом S в себя — отображение zi—> Р (z)/Q (z), где Р и Q — многочлены.

Рациональный эндоморфизм Ньютона Nf. S-*-S, ассоциированный с комплексным многочленом f(z) степени л, определяется известной нам из п. 7 § 4 гл. 6 формулой (12):

Nf (z) = zNf (z) = zГ (Z) •Г (Z) •

Nf (z) = z

Nf (z) = z

Г (Z) •

Г (Z) •

Число $ e С c S является неподвижной точкой для N, (т. е.

Nf^ = 6) в точности тогда, когда £—нуль многочлена f.

В этом случае, кстати, значением производной Л/£ будет Nf(Q = = (л—1)/л— число, встретившееся нам в п. 4,6).

Метод Ньютона вычисления корня (нуля) многочлена f может рассматриваться как итерация отображения N^- N° (£Q) = ^ £m = Nf (Em-1) = N™ (£0). В математической литературе наших дней пару (Nj, S) считают динамической системой и применяют к ее изучению хорошо развитую технику.

Как уже отмечалось, | ^^ (S) | < 1, и значит, существует окрестность U точки £ такая, что lim NT (z) = £ для любой т->оо '

точки z е U. При этом £ называется стоком (или притягивающей неподвижной точкой для Nj), а открытое множество В = = (J N^m (U) — бассейном стока £. Точка а е С называется т>о

стоком периода к для Nj, если Nf (а) = а и | (М*)' (а) | < 1. При Л>1 точки а, Nf (а), , ^*_1 (а) различны, причем в некоторой окрестности U ^ а итерации N^ (z) для zeU будут приводить к асимптотическим циклам вокруг a, Nf (а), —, АГ*-1 (а), не давая в результате неподвижных точек. А это значит, что если Nj обладает стоком периода 6 > 2, то о глобальной сходимости Nj «для почти всех z г С» говорить не приходится. Построить многочлен f любой степени л > 3 с периодическим током для Nt довольно легко. Например, при л = 3 таковым является многочлен f0(z) = -^-z3— z + 1. Многочлены, достаточно близкие к f0, будут также обладать этим свойством.

При л = 2 ситуация совершенно иная. Именно, пусть многочлен f(z) =za + az+b обладает двумя различными корнями £, т), и пусть L — прямая, перпендикулярная отрезку [£, цЗ и проходящая через его середину. Тогда непосредственно проверяется (хорошее упражнение), что для любой точки zeC\L, т. е. почти всюду последовательность {^^ (z)^ сходится к £ или тр Пусть, например, f(z')=z1 — d, deR, d > 0. В этом случае L = iR — мнимая ось, проходящая через середину отрезка [— Vd , Vd ]. Так как Nj (/) s R для любого / е R и ^^ (//) = = it + (/2 + dM^it = i [t — --^ ^ ^ е ZR, то N™ (it) е /R. Значит, начав с чисто мнимого числа z = it, мы никогда ие сойдем с прямой L и, естественно, не получим методом Ньютона приближения к Vd или — V d. Наоборот, единственное условие Re z ^ 0 гарантирует такое приближение, хотя, возможно, и ие очень быстрое.

Еще одно замечание. Преобразованием z I—» az с достаточно большим по модулю ct многочлен /о степени л переводится в многочлен fi(z) = 60z" ++ 6Я такой, что |6»| ^ Р*| для всех к. Далее, нули и критические точки многочленов ft и Xfi для X Е С* одни и те же. Аналогично, ^xfi = ^f •• а это значит, что при обсуждении метода Ньютона / можно брать из множества S*n(l) нормализованных многочленов, коэффициенты которых по модулю не превосходят 1. По лемме 3 § 3 гл. 6 все нули многочлена fe^l) лежат в круге O2 = {zsC| |z|<2}. Пусть

Bf = {z е С ( Jim* N^ ^ = £ (z), f (£ (z)) - 0}

— объединение бассейнов всех стоков для N,. Попросту, В;— область сходимости метода Ньютона в применении к f.

Специфика множества 5*я(1) дает нам возможность ограничиться рассмотрением пересечения В; Л Da, площадь которого обозначается символом v(Bf Л^М- Тогда отношение

ЛГЛГ. ”(sfnn2) o(Bfno2). ”(sfnn2) o(Bfno2)О(О2)О(О2)4л4л

ЛГ

ЛГ

. ”(sfnn2) o(Bfno2)

. ”(sfnn2) o(Bfno2)

О(О2)

О(О2)

4л

4л

можно Интерпретировать как вероятность того, что метод Ньютона будет сходиться для случайно выбранной точки из Da. Мы вплотную подошли к формулировке главной задачи. Положим

А_ = min А..

Разумеется, 0 ^ А„ ^ 1. Согласно замечаниям, сделанным выше. Аг = 1, в то время как Ая < 1 при л ^ 3.

‘ Требуется доказать, что при любом п имеет место неравенство А» > 0. Хорошо бы также оценить Ап кан функцию от п.

Пока не доказано даже, что As > 0.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абелева группа 162

Автоморфизм группы 170, 173 — поля 186

Аддитивная группа кольца 176

Аксиомы векторного (линейного) пространства 78

— группы 162

— теории определителей 151

Алгебра как наука 13, 14, 17

— матриц 101

Алгебраическая структура (система) 155

Алгебраически замкнутое поле 275 — независимые элементы 215

Алгебраический элемент 215

Алгебраическое дополнение 129, 150

Алгоритм деления 74, 219

— Евклида 228

Аргумент комплексного числа 198

Ассоциативная бинарная операция 155

Ассоциативное кольцо 176

Ассоциированная однородная система 24

Ассоциированные элементы 72

Аффинные преобразовании вещест- иениой примой 174

Верхняя треугольная матрица 31

Вес многочлена 261

Вещественная ось 197

Взаимная (присоединенная) матрица 141

Взаимно простые числа 73

элементы целостного кольца 226. 229

Взаимный многочлен 306

Включение множеств 39

Вырожденная матрица 102

Высший член Многочлена 262

Гипотеза Нагаты 309

Главная диагональ квадратной матрицы 24

Главные неизвестные 29, 90

Гомоморфизм групп 170

— колец 182

График функции 48

Группа 161

— внутренних автоморфизмов 170

— симметрий правильного многоугольника 165

Базис векторного пространства строк 81

— индукции 54

Базисные столбцы 89

Биективное (взаимно однозначное) отображение 42, 45

Бинарная алгебраическая операции 155

Бинарное отношение 48

Биномиальная формула 56

Биномиальный коэффициент 56

Блоки (клетки) матрицы 117

Вектор критических значений 312

Векторное пространство строк (столбцов) 77

Векторы-строки 77

Вероятностный вектор-столбец 116

Вероятность 314

Двойная сумма 86

Двойное отношение четверок чисел 207

Декартова степень 41

Декартово произведение 41

Делимость в целостных кольцах 222. 225

Делитель единицы в кольце 184 — нуля в кольце 183 — целого числа 71 Диагональная матрица 24 Динамическая система 313

Дискриминант алгебраического уравнения 269

— многочлена 269

— семейства элементои 268

Дистрибутивные законы кольца 98

Дифференцирование кольца 252

Дополнение к подмножеству 41

— к подпространству 71

Дробь 185. 238

— несократимая 239

Евклидово кольцо 228

Единичная матрица 25

Единичное (тождественное) отображение 42

Единичный элемент 162

Естественное отображение 50

Закон сокращения в целостном кольце 184

Знак (сигнатура, четность) перестановки 65

Знакопеременная группа 172

Изоморфизм групп 167

— колец 182

Инверсия относительно перестановки 71

Интерполяционная формула Лагранжа 249

Ньютона 249

Каноническая проекция 50

Киадратичная (сверхэкспоненциальная) сходимость 303

Квадратичное поле 205

Квадратная матрица данного порядка 24, 100

Класс эквивалентности 48

Классы вычетов 180

Код, исправляющий ошибки 22, 192

Кольцо 176

— классов вычетов 181

— многочленов 213

— с делением 184

—-функций 178

—- целых чисел 177- - "

Коммутативнаи диаграмма 43

Коммутативное кольцо 177

Комплексное сопряжение 197

Комплексные числа 196

Композиция отображений 43

Компонента решения 25

Консервативный многочлен 311

Конструктивные числа и поли 208, 209

Координаты вектора-строки 82

Корень из единицы 202

Корень (нуль) многочлена 245

Кососимметрическая функция 68

Кососимметрический многочлен 274

— определитель 135

Коэффициенты многочлена 214

Кратные множители многочлена 253

Кратный корень 246

Критерий невырожденности матрицы 102. 142

— Рауса — Гурвица 299

— совместности линейной системы 90

— Эйзенштейна неприводимости многочлена 234

Критические значения 311

Критические (экстремальные) точки 290, 311

Левоиормированвое произведение 159

Лексикографическое упорядочение одночленов 262

Лемма Гаусса 233

— Даламбера — Аргана 279

— Коши о минимуме 278

Линейная зависимость векторов- строк 80

— оболочка 79

— однородная система 24

— система 23

— функция 94

Линейно зависимая (независимая) система 80

— упорядоченное множество 51

Линейное отображение 93

Линейные комбинации 78

— уравнения 22

Локализация корней многочлена 290

Максимальная линейно независимая система 70

Максимальный элемент 52

Марковская (стохастическая) матрица 115

Матрица линейного отображения 93

Матричное кольцо 101

Матричные единицы 107

Метод Гаусса 32

— испытаний 302

— линейной интерполяции 302

— неопределенных коэффициентов 265, 288

— Ньютона 303

— окаймляющих миноров 146

— последовательного исключения неизвестных 32

— Штрассена 34

Минимальный элемент 52

Минор матрицы 129

Мнимая ось 197

— часть комплексного числа 197

Многочлен (полином) 213

— Лежандра 307

Множество 39

Модуль комплексного числа 198

— сравнения 180

Моногенцый симметрический многочлен 265

Моноид 156

— преобразований 158

Мономорфизм 178, 182

Монотонный одночлен 262

Морфизм 172

Мощность множества 41, 46

Мультипликативная группа поля 185

— полугруппа кольца 176

Наибольший общий делитель 73, 225

— элемент 52

Наименьшее общее кратное 73,225

Наименьший элемент 52

Невырожденная матрица 102

Независимые (непересекающиеси) циклы 62

Нейтральный элемент 162

Неопределенная линейная система 25

Неподвижная притягивающая точка

— точка 312

Неприводимый многочлен 223, 232

Неравенство Коши — Буняковско- го — Шварца 206

Несобственный делитель 72

Нечетная перестановка 66

Нижняя треугольная матрица 31

Н2058 Числа в кв^Ратнчном поле

Нормализованный (нормированный, унитарный) многочлен 220

Нормальная фундаментальная система решений 115

Нуль (корень) многочлена 220

Область значений отображения 41 — определения отображения 41 Обобщенная ассоциативность 158 Обратимая матрица 102 Обратимый элемент кольца 184 моноида 160

Обратная матрица 102

Обратное отображение 44

Общий закон дистрибутивности 179 Объединение множеств 40 Ограниченная стрелка 42 Однородный многочлен 218 Одночлен (моном) 218 Окаймляющий минор 146

Оператор дифференцирования 252 — частного дифференцирования 259 Определенная линейная система 25 Определитель Вандермонда 134 — матрицы 34. 122 — произведения матриц 138 — с углом нулей 136 Орбита 62 Ориентированный объем 120 Основная теорема алгебры 276 арифметики 72

Основные свойства определителя 125, 131

Отделение корней (нулей) многочлена 290

Отношение эквивалентности 48 Отображение 41 — биективное 42 — инъективное 42 — сюръективное 42

Пересечение множеств 40

Перестановка 59

Плоскость комплексных чисел 196

Подгруппа 162

Подкольцо 177

Подмножество 39

—. замкнутое относительно операции 158

Подполе 185

Подстановка в многочлен 215

Поле 185

— Галуа 189

— комплексных чисел 196

— отношений (частных, дробей) 238

Поле разложения многочлена 281 — рациональных дробей 239 Полилинейная функция 123 Полиномиальная функция 248

Полная линейная группа 161. 163 — степень многочлена 218

Полное матричное кольцо 177

Положительная марковская матрица 116

Полугруппа 156

Порядок на множестве 51

— перестановки 62 — степенного ряда 221 — элемента 165

Постоянная функция 178

Постоянное отображение 44

Поточечная операция 178

Правило знаков Декарта 297

Правильная дробь 240

Представитель класса 48

Приведенная линейная система 24

Признак делимости 227

Примерная дробь 242

Примитивный (первообразный) корень из единицы 203

— многочлен 233

Принцип двойной индукции 58

— индукции 54

Присоединенная (взаимная) матрица 141

Проблема якобиана 309

Произведение матриц 96

Произведение (композиция) отображений 43

Производная многочлена 251

Производящая функция 221

Простейшая дробь 241

Простое поле 188

Простой корень 246

— элемент кольца 223

Пространство решений 113

— столбцов (строк) прямоугольной матрицы 87

Прямоугольная матрица 24

Пустое множество 39

Разложение определителя 132

Размерность векторного пространства 70

— линейной оболочки 84

Разность множеств 40

Ранг матрицы 88

по столбцам (по строкам) 87

— произведения матриц 99

— системы векторов 84

Расширение поля 186

Расширенная матрица линейной системы 25

Рациональная функция 250

Редуцированный многочлен 248,

258

Результант 271

Рефлексивность 48

Решение линейной системы 25

Свободные неизвестные 29

Свободный член уравнения 24

Символ Кронекера 101

Симметрическая группа 60

— разность множеств 47

— функции 256

Симметрический многочлен 260

Симметричность 48

Система линейных уравнений 23

— (рид) Штурма 291

Скаляриаи матрица 24, 101

Собственное подмножество 40

Совместная линейная система 25.

90

Содержание многочлена 232

Специальная линейная группа 163

Сравнение 180

Срезаннан экспонента 295

Стандартная система Штурма 293

Стандартный базис 82

Старший коэффициент 214

Степенная сумма 265

Степень многочлена 214

— элемента 159

Форма 218

Формальный степенной рид 221

Формула (интерполяционная) Лагранжа 249

Формула Лагранжа 289

— Лейбница 257

— Муавра 201

— (интерполяционная) Ньютона 249

— «полного развертывании» 122

— Стирлинга 70

— Тейлора 298. 306

— Эйлера 201

Формулы Виета 256

— Крамера 144

— Ньютона 266

Фундаментальна и система решений

Функции 41

— Эйлера 75

Столбец матрицы 24

1— определителя 123

Строка матрицы 24

— определителя 123

Ступенчатый вид линейной системы 29

матрицы 29

Суперпозиция отображений 43, 178

Схема Горнера 246

Сюръективное отображение 42

Характеристика поли 189

Целая рециональнаи функция 248

Целостное кольцо 183

Цепь 51

Цикл 61

Циклическая группа 164, 168

Таблица Кэли 167

Тело 184

Теорема Безу 245

— Бюдана — Фурье 298

— Вильсона 257

— Кронекера — Капелли 90

— Кэли 169

— Руше 300

— Ферма (малаи) 188

— Шевалле 258

— Штёйинца 276

«- Штурма 291

Тождество Эйлера 259

Транзитивность 48

Транспозиция 64

Транспонированная матрица 98

Трансцендентный элемент 216

Треугольная диаграмма 43

— матрица 30

Тригонометрическая форма комплексного числа 199

Частичный порядок 51

Частное 185

— дифференцирование 259

— от деления 74. 220

Четверная группа 175

Четная перестановка 66

Число церемеи знаков 290

— Ферма 55

— Фибоначчи 33

Чисто мнимое число 197

Эквивалентность линейных систем 26

Эквивалентные матрицы 109

Элемент кольца нильпотентный 193 — множества 39 Элементарные матрицы 107

Универсальное свойство кольца многочленов 216

Уиимодулириая группа 163

Упорядочение множества 51

Устойчивый многочлен 299

— преобразовании 26. 87

— симметрические многочлены 260 Эндоморфизм алгебры многочленов

Эпиморфизм 172. 182

Факториальное кольцо 223, 231

Факторизация отображений 50

Фактормножество 50

Ядро гомоморфизма 171, 182

— линейного отображения 114 Якобиан 308

Учебное издание

КОСТРИКИН Алексей ИвановичВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУОсновы алгебры

Заведующий редакцией С. И. ЗеленскийРедактор Ф. И. ПознерХудожественный редактор Г. М. КоровинаТехнический редактор С. Я. ШклярКорректор Е. Б. Тихонова

ИБ № 11675

ЛР № 020297 от 27 11.91

Сдано в набор 08 08 90 Подписано к печати 16 02 94

Формат 84Х108/зг Бумага тип № 2 Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16,8

Усл кр.-отт 16,8 Уч-над. л. 17,57. Тираж 10 000 экзЗаказ № 24 С-012

Издательская фирма«Физико-математическая литература»ВО «Наука»

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15-

Ордена Трудового Красного Знамени ГП «Техни-ческая книга» Мининформпечати РФ 198052,г Санкт-Петербург. Измайловский пр . 29

s (n) ; c (n) =.

. Ф. Ф

§ 2. Кольцо многочленов

•••6«-l = 6n-2C + °n-l f^ = bn-l6 + °n

так что заодно вычисляется значение f при X = с. Рекуррентные формулы 42), в которых и заключается «схема Горнера»; удобны при счете.

Ввиду теоремы 1 естественно ввести следующее более общее

Определение. Элемент се А называется к-кратным корнем (или к-кратным нулем) многочлена f е А [X], если f делится на (X — с) *, но не делится на (X — с)*+1. Корень кратности 1 называется простым корнем (соответственно при к = 2 и 3 говорят о двойном и тройном корне).

Итак, се А— корень кратности к многочлена ^еЛ[Х] тогда и только тогда, когда f(X) = (X — — cVgkX), где НОД(Х — с, g^X))=\. Последнее условие в силу формулы 1 выражается также неравенством g(c)^=O. Далее, ввиду теоремы 1 § 2 гл. 5 замечаем, что deg f = к + deg g, откуда к ^ deg f. Имеет место важная '

Теорема 2. Пусть А — целостное кольцо, f =# =?& О -— многочлен из А [X] и Сь сг — его корни

5. Результант. Основное свойство D(f), сформулированное в предложении из предыдущего пункта, интерпретируется также как признак наличия общих корней (или общих множителей) у многочлена f и его производной //. В основе этого признака лежит в конечном счете алгоритм Евклида. Это дает основание полагать, что имеется аналогичный критерий, позволяющий непосредственно по коэффициентам любых двух многочленов f, gePVQ решить вопрос о том, обладают они общим множителем или не обладают.

Итак, пусть.

f (X) = «вХ" + «хХ""1 + ... + ап_хХ + а,,S W = b^X” + ЬхХ"-1 + ... + Ъж_хХ + Ьж

А. И. КОСТРИКИН