Глава 1

ТЕОРИЯ ПЕРМАНЕНТОВ

В ЕЕ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ

Введение

Современные математики имеют склонность изобретать легкомысленные названия для вновь вводимых математических объектов и понятий. Они с удовольствием толкуют о мобах, радикалах, вырожденных матрицах, соприкасающихся плоскостях, несобственных идеалах и т. п. Может показаться, что термин 《перманент》также был изобретен шутником-алгебраистом. Действительно, несколько лет назад один благожелательный рецензент упрекал автора за дерзость ——выдумать столь нелепое название для функции, которую ввел сам Шур, не обозначив ее никаким специальным термином. На самом же деле функция перманента уже изучалась и называлась именно так еще до того, как Шур родился.

В своем знаменитом мемуаре 1812 г. Коши [2] развивал теорию детерминантов как специального вида знакопеременных симметрических функций, которые он отличал от обычных симметрических функций, называя последние «перманентными симметрическими функциями». Он ввел также некоторый подкласс симметрических функций, которые были позднее Мюиром названы перманентами [14] и теперь известны под этим названием. Эти функции в современных обозначениях можно определить следующим образом.

Пусть 4 = （а订）——матрица размера m X п над коммутативным кольцом, ш ^п. Перманент матрицы Л, обозначаемый Per （А） или просто Per А, определяется как

（1.1）（1.1）Per （4） = X a”（i）@2o ⑵…Q/no 恤）,

（1.1）

（1.1）

где суммирование распространяется на все взаимно однозначные отображения из {1, 2, ..., т} в {1, 2, ..., п}. Последовательность （agi）, ..., Qmo（m）） называется диагональю, а произведение aia（i）...仪小0（加）—диагональным произведением матрицы Л. Таким образом, Per Л есть сумма диагональных

произведений матрицы Л. Например, если / = [3 2 4],

8 =

га

-3 2 4-

С =

2 15

1 2 -2・

то Per 4 = 9, Per В = 44 и Per С = 18.

Особенно важен случай m = п. Перманент квадратной матрицы Л обозначается через per (А) вместо Per (А). Большинство авторов употребление термина《перманент》фактически ограничивает случаем квадратных матриц.

Основоположники: Бине и Коши

Перманенты были введены в 1812 г. почти одновременно Бине [1] и Коши [2]. В своем мемуаре Бине также дал формулы для вычисления перманентов матриц размера m X ^ при /nW

Перманент матрицы Л размера m X ^, m W 孔，есть сумма всех диагональных произведений матрицы А. Другими словами, Per Л есть сумма всех произведений т таких элементов А, что никакие два из них не находятся в одной строке или одном столбце. Отсюда следует, что все члены Per д наряду с другими содержатся в множестве членов, получающихся при перемножении сумм по строке матрицы А. Например, если Л есть матрица размера 2 X то

Per 4 = £ %@f,

в то время как произведение строчных сумм матрицы 力 есть

Л ea"=e a1*2, = У a1#2f + e 的$a26.

/■«1 / = 1s, i™ls抄力s= 1

Следовательно,

nn

Рег4 = Ц £a〃一 £。曲2s(2.1)

i = 1 /7s«l

—формула Бине для 团=2.

Пусть Q厶々 обозначает множество всех строго возрастающих последовательностей целых чисел з =(①卜 …з。, для которых 1 & он ＜； о)2 V • •・ V st V 瓦 Для матрицы 4 = (@〃) раз-

мера m X 九 и последовательности (&, ..., is) ® Qs, m определяем

п

ri^ = ^а^1а121 ' * ' aisC В частности,

п

обозначает сумму элементов в 1й строке матрицы А. Формулу Бине (2.1) можно записать в виде

Per4 = rj2-a.

Рассмотрим теперь матрицу 4 =(。订) размера 3 X п,九》3. Произведение “2「з содержит все члены Per% и, кроме того, 扛з ——n(n——1) (n ——2) «нежелательных» членов, таких, как ^11^21^3/» @12a22@3/,@11@2/。31, • • • , ^1/^21^31, ...(/= 1, . •.,孔),

т. е. члены произведений rU2r3, гх # /2 и ^^г^ Поэтому кажется, что если мы вычтем「.「з + G *з「2 +「2*з「1 из ”2「з, то оставшиеся члены дадут как раз Per Д. К сожалению, это не так. Получается, что, хотя мы и удаляем все «нежелательные» члены, некоторые из них мы вычитаем более одного раза, а именно члены вида @1/。2/@3/, / = 1, ..., п, появляются в каждом из трех произведений 仆*3广2 и 与*3「1,小 следовательно, каждый из них вычитается три раза вместо одного. Но сумма всех таких 仪1/。2心3『есть г1#2 + 3) и мы получаем вторую формулу Бине:

Per 4 = qqq —(厶 *2% + г】*з7 + G" J + 2丁 2*з.(2.2)

Введем теперь следующие упрощающие обозначения. Для матриц размера 2 X 九 пусть

5(1, 1) = 32,

S ⑵=「1 * 2；

для матриц размера 3 X

S(l, 1, 1)=="2г3,

S(l, 2) = r1r2,3 + r2rU3 + r3ri*2,

S⑶=「1*2*3；

для матриц размера 4 X п

5(1, 1, 1, 1)=小行4,

S(l, 1, 2) = r,r2r3.4 + r,r3r2.4 + Г1г4г2,3 +

+Г2%人.4+小q八*3+%74八.2,

S ⑵ 2) = 口*2%.4十г"2*4-；一好，心.3,

S(l, 3) = r1r2,3.44-r/1.3t4 + r3r1,2,4 + r4ru2*3,

S(4) = q*2*3*4

и т. д. Вообще, если A — матрица размера m X 孔 н 九,...,/й — целые числа, 1《介《 ••・ W/也,厶 + 友 + •・・+ 厶=团, то S(Л, tk} есть симметрнзованная сумма всех различных произведений величин г^ф _ * z , s = 4， ..., &, такая, что для каждого произведения последовательности (и, •…，is)wQ§,叭 s =九,...,勿,образуют разбиение множества {1, 2,/п}.

В этих обозначениях равенства (2.1) и (2.2) принимают вид:

PerA = S(l, 1)-3 (2),(2.Г)

Pe『4 = S(l, 1, 1)-S(1, 2) + 2S⑶.(2・2‘)

Обе эти формулы были доказаны Бине весьма сложным способом. Он также дал без доказательства формулу для перманента матрицы размера 4 Хм:

Pe『4 = S(l, 1, I, 1)-S(1, 1, 2)+ 3(2, 2) + 2S(l, 3)-6S⑷.

(2.3)

Эту формулу можно установить с помощью принципа включения——исключения, использованного при доказательстве формул (2.1) и (2.2).

Пусть А есть матрица размера 4Х 儿 Функция S(l} 1, 1, I) есть сумма всех членов Per 4 и нескольких «излишних» членов, которые все входят в 5(1, 1, 2). Поэтому вычтем S(l, 1, 2) из 5(1, 1, 1, 1). Однако мы «перестарались». Некоторые из членов, такие, как ан&^з2a42, @口〃21仪31〃42 и awa^a^a^ появляются в 5(1, 1, 2) с кратностью, большей 1. Например, @11@21@32a42 входит как в q^JM， так и в r//3j(：4. Для компенсации при^ бавим 5(2, 2).Теперь подсчитаем число членов вида aig^a3gh в

S(l, 1, 1, 1)-S(1, 1, 2)+ 3(2, 2).

Каждый из них встречается один раз в S(l, 1, 1, 1), трижды в 5(1,1,2) (например, @"仪22仪32a42 появляется по одному разу в 厂1「2厂3*4，厂1厂3厂2*4 и г//2»з)и не встречается в 5(2, 2). Для ком*

пенсации мы должны поэтому прибавить 2S (1, 3):

S(l, 1, 1, 1)-S(1, 1, 2)iS(2, 2) + 2S(l, 3).(2.4)

Остается сбалансировать члены а”а*аз；а小 / = 1, ..., п. Каждый из них появляется один раз в S(l, 1,1,1), шесть раз в 5(1,1,2), трижды в S(2, 2) и восемь раз в 25(1, 3). Следовательно, мы должны 1 — 6 + 3 + 8 = 6 раз вычесть S(4) из (2.4), и тогда придем к формуле (2.3).

Пример 2.1. Подсчитаем перманент матрицы

Ч 1 0 1 1~

，0 1111

_1 1 0 1 0_ Вычисляя, получим

S(l, 1, 1, 1)=144, S(l, 1, 2)=151,

S(2, 2) = 13, S(l, 3)=13, S(4) = 0・

Следовательно,

Per 4= 144 - 151 + 13 + 2 X 13-6 X0 = 32.

Бине не объяснил, как он вывел коэффициенты в (2.3); не дал он также общей формулы для перманента матрицы размера т\п при m > 4.

Недавно формула Бине была обобщена на любые матрицы размера mX% 孔[301]. Эту формулу и более эффективную формулу Райзера [87] мы приведем в главе о вычислении перманентов.

1.3. Продолжатели: Борхарт, Кэли и Мастер из Эдинбурга — сэр Томас Мюир

В течение столетия, последовавшего за появлением мемуаров Бине и Коши, было опубликовано около 20 работ по перманентам. В большинстве из них речь шла о тождествах, включающих детерминанты и перманенты. Результаты, представляющие наибольший интерес,——это тождества Борхарта [4], Кэли [6] и Мюира [14]. Все они представляют собой формулы для произведения перманента на детерминант матрицы.

Пусть Л = (а〃)一 матрица порядка п. Тогда

(3.1)(3.1)per ⑷ det(Q =(区 n 一(己 Й 勺。⑵

(3.1)

(3.1)

где Е и F — множества всех четных и нечетных перестановок соответственно. Проблема состоит в том, как в более привлекательном виде выразить разность в правой части (3.1); ясно, например, что она равна

⑷(3.2)

где 4⑵=4 — матрица с элементом @修 на месте (i, /), а f(A)——сумма остальных членов. Если 咒=2, то f(A) = 0. При /г = 3 Кэли выразил /(Л) в терминах детерминанта некоторой родственной матрицы.

Теорема, 3.1 (Кэли [6]). Пусть / = (а〃・)——матрица 3-го порядка, ац =т^ О, А(-^ ——матрица порядка 3, у которой на месте (I, /) стоит а/1 Тогда

perper(3.3)(3.3)

per

per

(3.3)

(3.3)

Доказательство непосредственно следует из (3.1) и (3.2).

Следствие. Если 8 = (Ь〃)——вырожденная матрица, Ь” 声 О, то

per(В(" ") det(8(- D) = det(В("2)).(3.4)

Здесь В(-2)обозначает матрицу(6/?) порядка 3.

Борхарт получил формулу, подобную (3.4), для любого п, но лишь для матриц специального вида.

Теорема. 3.2 (Борхарт [4]). Пусть А——матрица порядка п, у которой на месте (i, /) стоит (s» ——力)~L Тогда

per A det A = det (”)•(3.5)

Мы не предлагаем отдельного доказательства результата Борхарта, так как он есть непосредственное следствие обобщения теоремы Кэли, данного Карлицем и Левином [63], — оно будет приведено в конце раздела.

Сэру Томасу Мюиру принадлежит особое место не только в истории перманентов, но также и в истории детерминантов. В своей монументальной «Теории детерминантов в ее историческом развитии» [25, 26, 35, 36, 40] он наряду с другим материалом приводит обзор всех работ о перманентах, опубликованных до 1920 г.; треть из них — его собственные. Работы Мюира посвящены главным образом различным тождествам, включающим перманенты и детерминанты. Мы приводим ниже один результат такого рода из его первой работы о перманентах»

Теорема. 3.3 (Мюир [14]). Пусть 4 = (@订)и X =(修力一 квадратные матрицы порядка п. Тогда

per (4) det (X) = £ £(o)det(4*X)(3.6)

где X(j ——матрица, i-я строка которой есть о(/)-я строка матрицы X, Л 若X(j ——произведение Адамара, а е(о) обозначает знак подстановки о из симметрической группы Sn.

(Произведение Адамара двух матриц Р = (р〃) и Q =(夕〃) порядка п есть матрица (р订夕订).)

Каждая часть (3.6) содержит (п!)2 членов; паре перестановок (屮，屮)мы можем сопоставить член

е 仲)JIai,^(i) H%f，W(f)i=lW=1

из левой части, а паре перестановок (ср, о)——член

е(°)伯(屮)口 (4 * X)单⑴)=8 (шр) П^,Ф ")% (i), Ф (产

=e (ера-1) П«г,Ф(г)П^

из правой части. Замена 屮-*-> 屮о-* устанавливает теперь взаимно однозначное соответствие между одинаковыми членами справа и слева.

Через 100 лет после появления работы Кэли Левин [61] обобщил тождество (3.4) на матрицы 4-го порядка, а годом позже Карлиц и Левин [63] получили следующее обобщение на матрицы порядка 孔：

Теорема, 3.4. Если В = (6〃) есть матрица порядка и без нулевых элементов 〃 ее ранг не превосходит 2, то

per (В’т) det(В<-°) = det(B(-2)).(3.7)

(Напомним, что В~)и В') обозначают соответственно матрицы (^1) И (/).)

Доказательство. В тождестве Мюира (3.6) заменим а订 и %订 на b》L Тогда левая часть (3.6) переходит в левую часть (3.7), а член справа, соответствующий тождественной перестановке, есть правая часть (3.7). Остается показать, что все остальные члены справа обращаются в нуль. Рассмотрим разложение перестановки о в произведение непересекающихся циклов. Если любой цикл длины, большей 1, есть транспозиция,

то правая часть (3.6) имеет две одинаковые строки; следовательно, соответствующий детерминант обращается в нуль.

Предположим (без ограничения общности), что строки В можно представить как линейные комбинации первых двух строк и что наибольший из циклов в разложении о есть (1 2 ... Л), где 3 & 力 & 儿

Пусть С = (сг/)——матрица размера 力Х〃, состоящая из первых h строк матрицы 5f~n * Тогда

где ，= j + 1 при 1=1, ..., Л ——1 н У = 1, если i = h. Пусть k= diag(瓦瓦)，где

s=l

= 1, ..., n. Тогда D = (dG = CK — матрица размера 力义孔, у которой на месте (i, /) стоит

必， = п如，5=1

= 1,й; / — 1, ..., п. Ранг D, очевидно, равен рангу С. Но строки В — линейные комбинации первых двух строк, т. е.

生/ =九仇7十出方2〃

, ] = 1, п. Таким образом, 丄ft—2

dij = П (九sb“・ + 阳的)=2 Vitbi^^h， s=lf=0

так что пространство, определяемое строками D, натянуто на h——1 векторов, и, следовательно, ранг С меньше h. Отсюда следует, что матрица, соответствующая о, вырождена. Теорема доказана.■

Тождество Борхарта есть непосредственное следствие теоремы 3.4, так как ранг 小Т не превосходит 2.

Ренессанс теории перманентов: теорема Мюирхеда, проблема Пойа, неравенство Шура

и гипотеза Ван дер Вардена

Результаты о перманентах Борхарта, Кэли, Мюира и других авторов в девятнадцатом столетии суть тождества, содержащие перманенты и детерминанты. Все эти результаты прямоли-

нейны и элементарны, хотя некоторые из них доказать нелегко ввиду сложности, присущей любой полилинейной функции. Поворотный пункт в истории перманентов наступил в начале этого столетия ——с появлением красивой теоремы Мюирхеда. Другие выдающиеся явления, ознаменовавшие новую эру,——это проблема, поставленная Пойа, понятие обобщенной матричной функции, введенное Шуром, и гипотеза, выдвинутая Ван дер Варденом.

Пусть а = (з,…，а〃)есть n-выборка действительных чисел, а* = (а[, ..., а：) — те же числа, расположенные в порядке невозрастания, а；> …

Определение 4.1. Говорят, что неотрицательная л-выборка а — («1, ..., сел) мажорируется неотрицательной м-выборкой ₽ = (₽ьесли

а1 + • •-十呜忘 6： + ♦ • • +6；

для 々=1, ..., п — 1 и

«1 + …+ ап ^Pi + …+ Рп；

это обозначается

Теорема, 4.1. (Мюирхед [24]). Пусть с = (гь ..., с〃)—положительная п-выборка, 〃 пусть а =(仪卜...,аи) " 0 =(向,... ...,р/г) — некоторые n-выборки неотрицательных целых чисел. Пусть далее 4 = (с?), 8 = (с?) Тогда необходимым и достаточным условием для того, чтобы

per (Л)<рег (В),(4.1)

является

а < 0.(4.2)

Равенство в (4.1) достигается тогда и только тогда, когда либо а = 3 либо Ci =...=以.

Харди, Литлвуд и Пойа [44] распространили теорему Мюирхеда на произвольные неотрицательные n-выборки а н 0 口 показали, что (4.2) эквивалентно следующему условию： существует такая дважды стохастическая матрица S порядка /г, что

а = Sp.(4.3)

Доказательство теоремы Мюирхеда см. в [44]. Набросок доказательства эквивалентности условий (4.2) и (4.3) можно найти также в [92].

Интересные сами по себе элегантный результат Мюирхеда и его обобщение Харди ——Литлвудом — Пойа имели многочисленные важные приложения во многих областях математики.

Следующий вехой в истории перманентов явился вопрос, поставленный Пойа [29]. Как мы увидим в следующих главах, большинство задач о перманентах значительно сложнее, чем соответствующие проблемы для детерминантов. Поэтому было бы интересно найти преобразование, которое превращало бы перманенты в детерминанты; точнее, для заданного множества S матриц порядка п нужно найти такое линейное преобразование Т на S, чтобы

per (Г (Л)) = det (Л) (4.4)

для любой 4 三 S. В проблеме Пойа речь идет о преобразованиях, заключающихся лишь в приписывании знаков + или — каждому из элементов матрицы. Например, если S есть М2 (множество матриц 2-го порядка) и

Тогда вновь per (7(4) )= det (А) для всех 力 из S.

Пойа [29] утверждал, что если S есть множество всех матриц порядка п, то при /г》3 не существует такого преобразования Т, заключающегося в одновременном приписывании знаков 士 элементам матриц, что рег(Г(Л))= det(X).

Доказательство этого утверждения совсем простое. Заметим прежде всего, что достаточно доказать утверждение для п =・3; если п 2> 3, то рассмотрим прямые суммы матриц 3-го порядка и единичной матрицы 1п^ Предположим теперь, что п = 3 и такое преобразование существует. Тогда число минусов, приписываемых элементам каждой диагонали, соответствующей четной перестановке, должно быть четным, и тем самым общее число минусов должно быть четным. С другой стороны, число минусов на каждой диагонали, соответствующей нечетной перестановке, должно быть нечетным, и, следовательно, общее число минусов, равное сумме трех нечетных чисел, должно быть нечетным ——противоречие.

Результат Пойа был существенно обобщен Маркусом и Минком [70], которые показали, что при 孔》3 не существует такого линейного преобразования Т множества всех матриц порядка 九，что рег(7(Л))= det(A). Этот результат окончательно

и бесповоротно разрушает надежду, что проблемы о перманентах могут быть легко решены с помощью детерминантов.

Как мы видели выше в одном из примеров, в некоторых множествах матриц перманент может быть обращен в детерминант путем одновременного приписывания знаков 土 одинаково расположенным элементам матриц. Гибсон [192] показал, что если (0, 1)-матрица Л порядка п имеет положительный перманент и если перманент Л можно обратить в детерминант, приписывая элементам А знаки 士，то число единиц в Л не превосходит (п2 + Зп — 2)/2.

Инициатором совершенно нового подхода к перманентам н детерминантам был Шур, который в 1918 г. ввел понятие обобщенных матричных функций (часто называемых функциями Шура) на квадратных матрицах (см. [34]). Пусть А = (ац) принадлежит Ж(С) — множеству комплексных матриц порядка п (или матриц над произвольным коммутативным кольцом с единицей). Пусть " — подгруппа симметрической группы S〃, а " f С — функция на Н. Определим функцию 戏：Мп (С) -> С соотношением-

唄用=£ %(。)立%,).(4方)

Особенно интересен случай, когда % есть характер степени 1, т. е. нетривиальный гомоморфизм " в С. Именно в этом случае мы будем называть d^ функцией Шура, В частности, если “ 二二 — Sn и % = £ (функция знака), то d^ — просто детерминант. Если же Н = S% % м 1, то приходим к перманенту.

В последние десять лет достигнут значительный прогресс в изучении функций Шура. Сам Шур получил следующий элегантный результат, который приводится здесь в его специализации для перманентов.

Теорема, 4.2 (Шур [34]). Если А ——положительно полуопре- деленная эрмитова матрица, то

det (Л)式 per (Л).(4.6)

Равенство выполняется в (4.6) тогда " только тогда, когда А диагональна или имеет строку из нулей.

Этот результат мы докажем в следующей главе.

Основной причиной существующего в настоящее время большого интереса к теории перманентов является так называемая гипотеза Вандер Вардена. Начало этому было положено «невинной» проблемой, поставленной Ван дер Варденом [37]: каково минимальное значение функции перманента на Йп — множестве всех дважды стохастических матриц (т. е. неотрицательных

матриц с суммами по строке и столбцу, равными 1)? Предположительный ответ на этот вопрос известен как гипотеза Ван dep Вардена. Пусть Jn ——матрица, все элементы которой равны 1/п. Если S е Qn и S #： Zn, то предполагается, что

per (S) > per (〃) = п\/пп.

Эта гипотеза до сих пор не доказана. Современное состояние проблемы мы обсудим в гл. 5.

Новая эра: Марвин Маркус и К0

Годы с 1926-го по 1959-й для теории перманентов были периодом «спячки^. Правда, многие комбинаторные результаты, полученные в это время, можно выразить в терминах перманентов, однако их авторы неизменно использовали комбинаторные методы, не упоминая о перманентах.

Интерес к теории перманентов вновь проявился в 1959 г., когда почти одновременно были получены следующие результаты: Бреннер [58] показал, что перманенты матриц с доминирующей диагональю не могут обращаться в нуль, Каяньелло [59], [60] использовал перманенты, чтобы выразить разложения пертурбаций (perturbation expansions) в компактной алгебраической форме, Левин [61] распространил тождество Кэли (теорема 3.1) на матрицы 4-го порядка, а Маркус и Ньюмен [62] опубликовали свою историческую работу о гипотезе Ван дер Вардена. Последняя работа, несомненно, явилась первопричиной наблюдающейся в настоящее время в облаои теории перманентов той удивительной вспышки активности, в результате которой в этой области математики появилось свыше 200 работ более чем 100 авторов. Существенная часть этой работы была проделана Маркусом, его сотрудниками, учениками и бывшими учениками 】).

Что касается гипотезы Ван дер Вардена, то Маркус и Ньюмен, помимо своей первой работы [62] (содержание которой мы обсудим в гл. 5), доказали эту гипотезу для положительно полуопределенных матриц [79]. Сассер и Слейтер [134] распространили этот результат на нормальные матрицы некоторого типа. Результат Сассера и Слейтера был затем несколько улучшен Маркусом и Минком [144] и распространен Фридлендом [243] на более широкий класс матриц.

Маркус и Ньюмен [62] также доказали гипотезу Ван дер Вардена для всех дважды стохастических матриц 3-го порядка. Эберлейну и Мудхолкару [139] удалось доказать ее для мат-

Гипотеза Ван дер Вардена доказана. См. стр. 210. — Прим, перев.

риц порядка 4. Этот результат был также установлен Глисоном [177]. Затем Эберлейн [152] доказал гипотезу для матриц 5-го порядка, и на этом дело пока приостановилось.

Для Q" — множества всех дважды стохастических матриц порядка п — Маркус и Минк [77] показали, что перманент любой матрицы из Q” не меньше, чем L. Ротхаусом [253] эта граница была улучшена до п1-п, а Фридленд [319] получил существенно лучшую оценку \/п\. Недавно Банг [274] объявил о существовании границы, имеющей фактически тот же порядок, что и граница Ван дер Вардена.

Значителен прогресс также во многих других направлениях теории перманентов. В направлении, относящемся к подперманентам )» наибольший интерес вызвала функция 0/(4)——сумма всех подперманентов А порядка 九 Тверберг [88] доказал, что для дважды стохастической матрицы А порядка п справедливо ⑺⑷力。〃〃)при / = 2 и 3, где Jn обозначает матрицу порядка п с элементами \/п. Джекович [123] выдвинул предположение о нижней границе отношения а/ (Д) /ш-i (X) для дважды стохастической А и доказал его при / = 3. Маркус и Минк [144] доказали это предположение при любом t, однако лишь для некоторых нормальных дважды стохастических матриц (разд. 8.1).

Как упоминалось в разд. 1.3, Маркус и Минк [70] показали, что не существует такого линейного преобразования Т на множестве Мп всех матриц порядка п, что per(7(/l))— det(^). Маркус и Мэй [76] определили вид линейных преобразований, оставляющих перманент без изменения. Оба этих результата были передоказаны Ботта [122, 137], а к результату Маркуса — Минка было сделано Гибсоном [192] интересное добавление. Минк [279] нашел вид линейных преобразований М% оставляющих перманент без изменения и сохраняющих либо след, либо вторую элементарную симметрическую функцию собственных значений.

Начиная с 1935 г. во многих комбинаторных исследованиях стали появляться перманенты (0, 1)-матриц, однако часто под другим названием. Фронт исследований перманентов (0, 1)-маг- риц был открыт в 1960 г. Райзером [67,68], Николаи [66] и Тинсли [69], изучавшими главным образом перманенты матриц инцидентности комбинаторных конфигураций. Мендельсон [73], Минк [94] и Метрополис, Стейн и Стейн [160] получили формулы для перманентов (0, 1)-циркулянтов. В 1963 г. Минк [84] сделал предположение о верхней границе для перманента (0, 1)-матрицы в терминах ее строчных сумм и доказал более слабый вариант этого предположения. Юркат и Райзер [112]

210210一 12一 1213130101

2

1

0

2

1

0

一 1

2

一 1

2

1

3

1

3

0

1

0

1

использовали свое замечательное выражение перманента через произведение матриц для улучшения верхней границы Минка. Другие усиления были предложены Минком [132] и Ниенюи- сом и Уилфом [182, 183]. Наконец, Брэгману [219] удалось доказать гипотезу Минка.

Синкхорн и Кнопп [170] нашли каноническую форму для почти разложимых матриц. Это дало возможность Синкхорну [169], Минку [162], Гибсону [206], Хартфилу [229] и другим получить нижние границы перманентов (0, 1)-матриц.

Много интересных неравенств для функции перманента было получено Маркусом [89, 100], Маркусом и Гордоном [91], Маркусом и Минком [93, 101], Перфект [95], Бруальди и Ньюменом [97], Бруальди [107], Либом [114], Баумом и Игоном [120], Бреннером и Бруальди [121], Джёковичем [124] и другими. О некоторых из них будет идти речь в последующих главах.

Одним из наиболее важных явлений в теории перманентов было привлечение методов полилинейной алгебры к изучению функций Шура. Действительно, доказательство гипотезы Ван дер Вардена для положительно полуопределенных матриц [79], теорема Адамара для перманентов [89], верхняя граница для перманентов нормальных матриц [93] и многие другие неравенства были получены этими методами. Полилинейная алгебра и даже общая теория функций Шура выходят за пределы этой книги. Мы сообщим в следующей главе лишь некоторые сведения из полилинейной алгебры, достаточные для того, чтобы дать представление об использовании ее техники в теории перманентов.

Задачи

Покажите, что если А — неотрицательная матрица порядка п, то

Ме1(Л)|<рег(Л)<П^

Справедливо ли это неравенство для всех действительных матриц порядка п?

Пусть一_

Вычислите per ⑷，используя формулу Бине.

Пусть %,.…,勿—целые числа, 1工力工 .一 Wt^ t\ + .., + /л： — m. Пусть кратность 力 есть т^ i — 1; 2,...,財 mi + ... + m^ = ^. Покажите, что число членов в S(fi, ..., fQ равно

т\1^1\{т^1т1.

Используйте комбинаторные соображения для получения формулы типа Бине для перманентов матриц размера 5 X п.

Используя теорему Мюирхеда, докажите, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического. Вывести условие равенства.

Покажите, что неверно следующее обобщение теоремы Гибсона [192] (см. разд. 1.4): пусть Л — вещественная квадратная матрица порядка п с ненулевым перманентом. Если перманент А можно обратить в детерминант, приписывая знаки 土 элементам %, то у 4 не больше (п2 + Зп — 2)/2 неотрицательных членов.

Покажите, что условие per (Л) ^ 0 в теореме Гибсона [192] существенно.

Покажите, что обращение теоремы Гибсона [192] неверно.

Докажите, что если / — характер на // и f/ = Snf то либо % = &, либо % ^ 1. Другими словами, покажите, что функция Шура, определенная на всех перестановках в 5八,一либо детер^ минант, либо перманент.

Глава 2

СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ

Элементарные свойства

Ввиду сходства в определении перманентов и детерминантов многие свойства детерминантов имеют свои аналоги для перманентов. Иногда свойства перманентов устанавливаются легче, чем аналогичные свойства детерминантов, как это нмеет место для первых из следующих ниже теорем. К сожалению, перманентами не наследуются два ключевых свойства детерминантов: мультипликативное свойство и инвариантность при некоторых элементарных операциях над матрицами. Это существенный дефект, который сказывается в том, что доказательство теорем о перманентах и их вычисление — задачи существенно более сложные, чем соответствующие задачи для детерминантов.

Нам потребуются следующие упрощающие обозначения. Пусть I； п ——множество всех IV последовательностей ①=(⑴卜... ...,to,) целых чисел, I 工 ①力 W /г, i = 1, 2, ..., п. Пусть Gr, « —— подмножество Гг, п, состоящее из всех неубывающих последовательностей:

Gr, " = {(铀，…，峭三 Г, " I W 9 V ... & 叫 & ft},

a Qr,n ——множество всех возрастающих последовательностей:

Q，“ = {(①1, - 吗)三「…|1а①1 < •-V①，《九}.

Пусть m/((o)——число появлений t в последовательности ⑴口 wl\, * Например, mi ((2,4,4,4,5,5)) == 0, m2( (2,4,4Д,5,5)) = 1, тз((2,4,4,4,5,5)) = 0, m4( (2,4,4,4,5,5)) = 3 н 打儿((2,4,4,4,5,5)) = 2. Далее, пусть ^t(a)) есть произведение факториалов кратностей различных целых чисел в со, т. е.

卩(З) = П S (з)!・

Например,(1((2,4,4,4,5,5)) = 3!2! = 12.

Нам потребуются следующие матричные обозначения (см. [92]). Пусть Mm,n(S), или просто Мт,%, обозначает множество всех матриц размера 团乂孔 с элементами из S. Если m = п, то

вместо Мп, и пишем М& Пусть теперь Л = (a〃)wM佗小 aw Gn, m, P e Gk,«. Тогда через %[a|§] обозначим матрицу (〃％%) размера h X k. Если a 三 Qh m и § 三 Q电％ то 4[a|B] есть подматрица Л, При a = В мы просто пишем Л [а]. Если снова a 三 Qh, m и p ^ Qk, n, to 力(a]§) обозначает подматрицу Л размера (т ——h) X (п —— 々)，дополнительную к %[a|B], т. е. подматрицу, полученную из Л вычеркиванием строк а и столбцов & В частности, подматрица размера (т ——Л)Х ^, полученная из А вычеркиванием строк а, обозначается через 4(а|—); аналогично А (——IР) есть подматрица размера m X (^ —— 尼)，полученная из 4 удалением столбцов р.

Теорема 1.1. (а) Функция перманента на матрицах размера m X при m W 孔 есть полилинейная функция строк каждой из матриц. При m-п она также полилинейная функция столбцов.

Если А — размера mXn, а Р, Q ——матрица перестановки порядков соответственно m и п, то

Per (PAQ) = Per (Л).

Для квадратной матрицы Л порядка п

per(Лт) = per (Л).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения перманента.

Следующая теорема есть аналог теоремы Лапласа о разложении детерминантов:

Теорема, 1.2. Если А есть матрица размера тХп, 2 工 m W ^ п и a w Qr,加,то

Per (Л) = £ Per (Л [a |<o])Per(X(a |co)).(1.1)

В частности, для любого 厶 1 W i 工 m,

Per (Л) = £ ait Per (Л (i | /)).(1.2)

Если m — n a Qr, nt то также

per (Л) = Z per (Л [a»|₽]) per (A (co |p))(1.3)

〃 для любого 1 n,

per (A)= £ atI per (Л (/1/)).(1.4)

Доказательство (1.1) получается непосредственно из определений; оно намного легче, чем соответствующая теорема для детерминантов. Мы оставляем его читателю в качестве упражнения (задача 2). Формула (1.3) есть следствие теоремы 1.1 (в).

Прежде чем формулировать следующую теорему, которая представляет собой аналог теоремы Бине ——Коши для детерминантов, докажем одну комбинаторную лемму.

Лемма 1. Пусть / ——скалярная функция на m-выборках целых чисел. Тогда

^2 f (①и ①抬J = ^2 p,⑹ ^2 f(%1, …，SuQ， (L5) ①曰%5 3RG优汽 u号Sg

E0e 6)二二二(G)I, . « • }①m).

Доказательство. Разобьем множество Гт,« на классы экви* валентности; две m-выборки эквивалентны, если они содержат одни и те же целые числа. Тогда каждый класс содержит в точности одну m-выборку из 小 Переставляя ©ь ...,(от в т- выборке з = (о)1, ..., 3m)wGg" всеми возможными т! способами, мы получаем все m-выборки из класса эквивалентности, которому принадлежит з, и каждая m-выборка появляется в точности 卩⑹ раз. Используем это замечание для суммирования в правой части (1.5). Оно осуществляется путем суммирования /(ом, ..., 3fп) в каждом классе эквивалентности отдельно и затем сложением этих частичных сумм.Щ

Теорема, 1.3 (Теорема Бине — Коши для перманентов). Если В и С суть матрицы размеров тХп 儿 пХ пг соответственно, m & то

рег(8С)= £ -ц-^-рег(А[1, ..m |со]) per (С[(о 11, mJ).

3叫，"

Доказательство. Удобно рассматривать перманент как функцию на совокупностях m векторов. Если А^, ..., 4(团)—строки матрицы А порядка т, то определяем

СправедливоСправедливорег(Д(1), ..., Л(т)) = рег(Л).

Справедливо

Справедливо

(ВС)⑵=X 〃R),

поэтому по теореме 1.1 (а)

per (ВС) = per ((ВС)⑴，…，(Be%.)=

=2 II per(С®), ..., (?(%)) =

т

и 2 tW 2 П bi^i per (Сз“ •..，с%)

(последнее равенство справедливо ввиду леммы). Но по теореме 1.1 (б)

Per (С%C(%m)) = per (С, С^т))=

=per (С [ю 11, •. •,优D； следовательно,

per (ВС) =2_^_рег(С[з|1, 加])£ Ц bi%i=

^°т,пo^smi=\

= 2 7Г^у-Рег(^[1> ..., m |и])рег (C[w 11, ..., m]).屬 3吟,"

Наше следующее тождество для перманентов менее известно, чем предыдущие результаты. Впервые оно было отмечено, как будто, Каяньелло [59] как аналог тождества для детерминантов, принадлежащего, по-видимому, Арнальди (см. также [144] и [156]).

Теорему 1,4. Пусть 4 = (а”) и В = (Ь〃)一матрицы порядка 儿 Тогда

per (А + 8) = Z X per (4 [а I ₽]) per一(8 (а | Р)),，=0 а, в三Qr, n

где рег(Д[а|р]) = 1 и det (В (а | р)) = det (В), если 厂=0 工 det(J8(a|p))== 1, если г =儿

Следующее ниже доказательство было предложено Марвином Маркусом. Справедливо, во-первых, тождество

匕 + 力)=Z ? II У，’(L6)

где а = (ар .. .,ar) е Qr п, а а，=(。；十],・・・,а；) есть последовательность, дополнительная к а в (1, ..., п). Следовательно,

per (4 + 8)= £ П(а；,о； + bt, oi) =

=X 玄 X ft®叫 П =o^Sn r = 0 a^Qr n i = i ”" i = r + l at' oat

X ПЯа oa n b >

Далее, выражение в скобках — это перманент такой матрицы, у которой /-я строка есть строка а； матрицы А при t= 1,…，г и строка а^ матрицы В при Z = г + 1, ..., п. Разлагая перманент этой матрицы, согласно теореме 1.2, по строкам с индексами из а, получаем, что он равен

Z per (Л [a 13]) per (В (а |р)),

откуда следует утверждение теоремы.'.

Функция перманента как скалярное произведение

Большим событием в теории неравенств, включающих перманенты, был развитый Маркусом и Ньюменом [72,79] в 1961 г. новый подход к функции перманента, при котором она рассматривается как скалярное произведение на классе симметрии вполне симметрических тензоров и к ней применяется неравенство Коши — Шварца. Мы не намереваемся давать здесь полного изложения теории тензорных пространств; ее мохно найти во многих стандартных руководствах (см., например, [233]). Но в целях удобства мы остановимся на некоторых основополагающих принципах.

Пусть V есть м-мерное унитарное пространство со скалярным произведением (% и); ^^(了)——пространство т-полилиней- ных функционалов на V. Другими словами, Mm(V) есть пространство комплекснозначных функций <р на VX VX ・•・ X V—■* множестве совокупностей т векторов из И, удовлетворяющих условию:

ф(4“ ・・・，％一1，Ctlj ~(~ С И j,况》+ 1，U/n) == C ①(辽1, • • •

• , ? 况 j .1，乙，儿j十1，• * • J 我 m) + C ①('1,a £-1，况 f,况£十况Тn) для любых цр ・・•，况“ %, • •.,儿团 из V, любого i и любых комплексных чисел с и с'. Например, если V есть УЛ(С), т. е.

пространство /i-выборок комплексных чисел, а "，• = (&“,...,。切)， 1=1, ..., /п, то полилинейный функционал 屮

(p("i, •・.，〃『〃)=Per ((ai}))

принадлежит Л1т(V). Если 小= % у=%мС), то 巾，определяемый как

屮(修，^) = det(@/))

для всех n-выборок 辽卜...,卫外 принадлежит Mn(V).

Определение 2.1. Если V есть n-мерное унитарное пространство, то двойственное пространство для Mm(V) называется пространством m-контра8clpt1сштных тензоров (или просто тензоров). Оно обозначается через V^. Другими словами, V^ есть пространство всех комплекснозначных линейных функционалов на Mm(V). Если щ е V, i = 1, ..., m, то определяем f = ="i ® ... 0 ит как элемент V(m\ значение которого на любом 屮三 Мт#) есть

f (中)=屮(〃1,«J.

Тензор «10 ... 0 Um называется разложимым. Он также называется тензорным произведением wb ..., um-

Не все тензоры в 卩⑺ разложимы, но все они представляются как линейные комбинации разложимых тензоров. Действительно, легко показать, что если &,…，еп — базис V, то пт тензорных произведений

(где 3j независимо пробегают числа 1, ..., м) образуют базис

Введем теперь скалярное произведение в V^, индуцированное скалярным произведением в V. Определим его через значение на парах разложимых тензоров:

(修㊁ …8〃m, V1® - . . 8 Um) = □(〃£, Vi). (2.1)

Пример 2.1. Пусть Д и В ——матрицы порядка т. Полагаем в (2.1) ui = А(/), Vi = В^\ 1=1, ..., m (здесь 8(" обозначает f-й столбец В). Тогда

(41)8 ... ®4m)，月⑴®@ 豆 т)) = И(&), /) = IlG48)".

(2.2)

Применяя к (2.2) неравенство Коши — Шварца, получаем

Определение 2.2. Пусть ст ——перестановка из Sm- Определим линейный оператор Р(о) на 了旧)：

Р⑹("1® ... ®ит) = м0-1(1)® •.. 8 aLi(〃)•(2.3)

Вполне симметрический оператор на У(^)определяется как

2 P(°)・(24)

Область значений Тт обозначается через 了(忆)и называется классом симметрии вполне симметрических тензоров. Введем также следующее обозначение:，

e1 * . • ■ *江m =7m(比18®um).

Тензор 〃i 柒...玲〃酬 называется симметрическим произведением

Теорема, 2.1. Если «/ е И, Z = 1, ..., т、то

Р(а) («1 *跋・〃m) = 〃i* ...柒"足；

fm = Tm\

Tm = Tg г 仇 Tm эрмитов по отношению к скалярному произведению (2.1).

Доказательство, (а) Справедливо

Р (а) щ * ...= Р (о) Тm 3 ® ... ® ит)=

=方 P(。)2 V(D® ®『(m) =

=―:V' W J j^ U I J =

①f

=――У^ W t ® . . . ® U 1=

="^ 2 P (七)3㊁…® 2%)=况1 *…熱"卅 tn

Достаточно доказать, что Tm идемпотентен, когда действует на разложимых тензорах. Если 辽卜...,um ——любые век-

торы в 匕 ТО

Тт (Wj ® . . . ® 証俏)=Тт (l/j * . . . * 况壮)—

=* Z 尸(0)("1* …* "m) = ± 2 "1* "m =

Снова достаточно показать эрмитовость для разложимых тензоров:

(丁加(％ N ・• • ® 况/ S ㊁...® Vm) =

=% X (%т(1)@ ■ • • 8 aL (m)' W® ■ ■ • ®% =

=5 2 П(%-%)，吟=春 2 П(%，％，))=

=77 Z(%8…公"加气⑴傢…@ %(①))=

=(〃1 g …g 辽仲 Tm(Vx ® . . . ® Ут)).■

Теорема, 2.2. Пусть 辽卜...,〃m, s, ..., vm — векторы из 匕 况 пусть А = (а〃)=((也，у；)). Тогда

(% * …* %, S * …* 0加)=& per 3 哂=春 per ⑷(2.5)

Доказательство. Используя теорему 2.1 и формулу (2.1), вьь числяем

(况1 * …* %)=

= (Tm(〃[g㊁辽壮)，T加(U] g . . . g 0加))=

(TmTгл ("1 ㊁• • •㊁ 〃m，0]㊁• • •㊁ У/п))

=二(Tm (况 1 ㊁■ • •㊁"m ОI ㊁• ■ •㊁ 0/n))

=』£ (尸⑹况18 …® 况m, S(g) . . . ®Vm} =

=32(^-'(0®@"。-‘(向，q ® ••• *%)=

tnm

=煮 2 П(^-'(<•)>。')=皆 2 □(%，

tn

=煮 £ ПЛо(，) = %Рег ⑷И

Теорему 2.3. [79].

Симметрическое произведение «1 * ... * um равно нулю, если и только если 〃/ = 0 для некоторого L

Пусть "ь ..., Um, th, ..., Um ——ненулевые векторы в 匕 Тогда

если и только если

£=i, • • •» 加，

где а ——перестановка из SWJ a di, ..., dm — скалярные вели- quubt、di ( • • dm .

Доказательство, (а) Предположим, что щ * ..(察〃加=О, т. е. Tm(41® ■ • ■ 0 ^m) = 0. Если теперь w w 丿 ——произвольный вектор, то

(Т3g ... ®〃/J, w® ...㊁効=

(我 1 ^S» * . . ^S» Em，T (侬 ^^ • ■« ^» 侬))~~~

==(我10 ...㊁比加,如㊁= □(〃/,如).(2.6)

Следовательно,

П (%，侬)=0(2.7)

для любого w ^W. Но тогда 我；=0 для некоторого Г. В самом деле, если 以，0, i = 1, •, /л, то dim〈勿〉丄=门一1 i — 1, .. „ ...,m, т. е.

u〈4〉丄片力

но тогда для любого ^ ^ U〈况»丄 произведение (2.7) не было бы равно нулю.

Если 〃1 % ... ^пщ — v\^* Um, то для любого W ^ V

ло (2.6)

口("“ ®) = П (и{, ®).(2.8)

i=lf=l

Пусть теперь w ——произвольный вектор в 〈况i〉工.Полагаем также v( = X/ + y力 %j 三〈〃1〉, yt 三(〃)〉丄， тогда

mm

0==П(^/> 汕= ТТ(勿，W).

Следовательно, тогда v\ = Х[ ~

("1,

какой-либо 山况 1, и (2.8)

®) ( П («；.

из 勿，скажем у、, равен нулю, Но записывается как

w) — di П(У/, з)) = 0

для всех w ^V. Так как 〃】抬 0, отсюда получается, что

.т

П(«/> да) = ^1П(У;> @) = ®1U2, 3)®з, W)... (vm, w) £==2i = 2

для всех w ^ V. Индукция по т завершает доказательство.

Мы теперь в состоянии доказать фундаментальное неравенство Маркуса и Ньюмена [79], которое приведем в двух формулировках, фактически эквивалентных одна другой.

Теорема, 2.4 (Маркус — Ньюмен).

Если 况 1, ..., Um, s, ..., Vm — векторы 8 унитарном пространстве V, то

I per ((и;, и» |2&рег((%, %) per ((и,・，и；)).(2.9)

Равенство в (2.9) получается в том и только том случае, когда либо один из «1, ..., ит, s, ..., vm равен нулю, либо существует такая перестановка о, что щ = ^u0(o> i= 1,…，m, где %, ..., dm — скалярные величины.

Если А есть матрица размера тХ 九，а В — матрица размера tiX т, то

I per (АВ) |2 ^ per (ЛЛ*) per (ВВ*).(2.10)

Равенство в (2.10) достигается в том и только том случае, когда либо у А найдется нулевая строка или у В ——нулевой столбец либо Л = DPB* для некоторой диагональной матрицы D и матрицы перестановки Р,

Доказательство, (а) Из неравенства Коши — Шварца получаем

I ("1 第…* 辽力,S * •・・ * 勿J Р<||«1 * ■ ■ ■电 ^m INI S * - ■ - * Vm 俨,

(2.11) и по теореме 2.2

l(«l* • ■ • * 〃m 5 * • . . * Og)产=-^yrl per ((«,-, U/)) E,

II 〃1 * …* 〃m 俨=2 per (("〃 "/)),

ll^i* * Um 俨=± per (W，U/)),

что вместе с (2.11) приводит к неравенству (2.9). Равенство в (2.11) справедливо тогда и только тогда, когда тензоры U\^ ... ^ит и vi ^ ... *vm линейно зависимы. Поэтому условия для равенства в (2.9) получаются по теореме 2.3. _

Полагаем 弘= А⑴，i = 1, ..., m, 力= 后⑺，j = 1, … ...,т. Результат теперь следует из (а).

Следствие 1. Если Л — квадратная матрица порядка п, то

I per (Л) р & per (ЛЛ*)«(2.12)

Равенство 8 (2.12) получается s том и только том случае, когда Л имеет нулевую строку или А есть обобщенная матрица перестановки.

Доказательство. Полагаем в (2.10) 8 = /*.■

Следствие 2. Если U ——унитарная матрица, то

|per(U)|《L(2.13)

Неравенство из теоремы 2.4 позволяет очень просто доказать классическую теорему Шура [34] (см. теорему 4.2 в гл. 1).

Теорема, 2.5. (Шур). Если А — положительно полуопределен- ная эрмитова матрица, то

per (Л) > det (Л)(2.14)

с равенством в том и только том случае, когда А диагональна или имеет нулевую строку.

Доказательство. Так как Л положительно полуопределена, существует такая треугольная матрица Т, что Л = ТТ*. Тогда

det (4) = det (ТГ) = det (Г) det (Г).

Но так как матрица Т треугольная, det (Г) = per (Г) и det(T*) = =per (Г*). Следовательно,

det (Д) — per (Т) per Г*.

Но по теореме 2.4

per (7) <I per (77") |< “per (7T*) = per (4,

per (Г) & I per (7*/“)I & д/рег(7Г) = V^W，

откуда легко получается утверждение теоремы.■

Задачи

Пусть

Используя теорему Бине—Коши, вычислите перманент АВ.

Докажите теорему 12

Пусть Л есть матрица размера тХп, D и О — диагональные матрицы порядков тип соответственно. Покажите, что, вообще говоря,

Per (DAG)抬 Per (D) Per ⑷ Per(G).

Пусть A = (aij)^ Mn есть (0, 1)-матрица, т. e. матрица, составленная из 0 и 1. Пусть В = (Ь订)—матрица «перманентных дополнений» для. Л, т. е.匕订=рет(4(/]。). Покажите, что (per (4))2 忘 a tr (88*),

где а = £ а〃/九2.

Докажите, что для Л 三 Мп

per (Л/п — Л) = V + X с#Т

где ck = (— l)k £ per (Л [со]). (Замечание-, per (V« — Л) на

зывается перманентным характеристическим многочленом А.)

Дана С ^ А -}- iB, где А и В — действительные матрицы 3-го порядка. Используйте теорему 1.4 для вычисления действительной и мнимой частей рег(С).

Пусть 4 三 Мгг(С), А = Ни, где U — унитарная, а "— положительно полуопределенная эрмитова матрица. Покажите, что

I per(4)|《(per (环严.

Для комплексной матрицы А со строчными суммами ..., покажите, что

per (44*)》子卩旧F.

Докажите следствие 2 теоремы 2.4.

Глава 3

(О, 1)-МАТРИЦЫ

Матрицы инцидентности

Матрицы с элементами 0 и 1, т. е. (0,1)-матрицы, играют важную роль в линейной алгебре, комбинаторике и теории графов. В некоторых приложениях бывает иногда удобно рассматривать 1 как максимальный элемент булевой алгебры или единичный элемент в поле из двух элементов. Мы, однако, под символом 1 понимаем целое положительное число 1, так как будем главным образом заниматься перечислением систем различных представителей и связанными с этим задачами в теории перманентов.

Для многих проблем в теории неотрицательных матриц существенно лишь распределение нулевых элементов. В таких случаях речь идет лишь о свойстве элемента быть или не быть нулем, и проблема часто упрощается путем замены данной матрицы (0, 1)-матрицей с точно таким же расположением нулей.

Определение 1.1. Говорят, что две матрицы Л =伍订)н 5 = r (Ь〃) размера 优义九 имеют одинаковое расположение нулей, если из а订=0 следует, что b订=0, и обратно.

Предположим, что Л, В, С и D — неотрицательные матрицы порядка п и что А имеет одинаковое расположение нулей с В, а С — с D. Ясно, что тогда Л + С имеет одинаковое расположение нулей с fi + О, а А * С ——с 5 % С.

Многие проблемы комбинаторного характера можно представить как проблемы о конфигурациях подмножеств конечного множества, которые в свою очередь удобно формулируются с помощью (0, 1)-матриц.

Определение 1.2. Пусть Xi, Х2, ..., Х^ суть подмножества (не обязательно различные) n-множества S= {xb л2, 一.,力幫}. Определим (0, 1)-матрицу А = (а〃):

(1, если 同 w Xh

°" ( 0, если %/ 柒 ХР

Матрица А называется матрицей инцидентности для подмножеств Xi, Х2, ..., Хт п-множества S.

Понятие матрицы инцидентности в различных частных случаях позволяет получить представления для разнообразных отношений, функций, графов, пересечений множеств и т. д. (см. далее задачи 1—9 и《проблему танцев》).

Определение 1.3. Вновь пусть Xi, .. ь, Хт суть подмножества n-множества S. Последовательность (s】,S2, ..., s^) из т различных элементов S называется системой различных представителей (сокращенно СРП), если s,・ w X», t= 1, ..., m.

Конфигурация подмножеств может не иметь СРП. Весьма интересна комбинаторная задача: определить, имеет ли данная конфигурация СРП, и если имеет, то сколько.

Например, в известной «проблеме танцев》 требуется ответить на следующий вопрос. Пусть на танцевальном вечере в школе присутствует п юношей и п девушек и каждый юноша знаком точно с 女 девушками, а каждая девушка в точности с k юношами. Можно ли составить пары для танца так, чтобы партнеры были уже ранее представлены друг другу? Сколькими способами это можно сделать?

Пусть X» — подмножество девушек, которые знакомы с Lm юношей, /= 1, ..., п. Нам фактически надо знать, имеет ли эта конфигурация СРП, и если имеет, то сколько. В терминах матриц инцидентности конфигурацию можно описать с помощью квадратной (0, 1)-матрицы порядка п, имеющей в точности k единиц в каждой строке и каждом столбце, где 1 стоит на месте (t, j), если t-й юноша знаком с /-й девушкой. Вопрос состоит в том, можно ли выбрать п мест, на которых стоит 1, так, чтобы никакие два из них не лежали в одной строке или одном столбце. Мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен. Второй вопрос: сколькими способами это можно сделать? Ответ на него неизвестен. Нет даже разумной гипотезы о нижней границе этого числа.

Пусть Л = (а# есть матрица инцидентности для подмножеств Xi, Х2, ..., Хт n-множества {尤卜...,尤抬}. Если эта конфигурация имеет СРП, то ясно, что m ^ л и существует такая взаимно однозначная функция а: {1, ..., т}->{1, ..., п}, что

f = 1, ..., m. Из определение матрицы инцидентности тогда получается, что

i= 1, ..., m. Следовательно, конфигурация имеет СРП тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначная функ-

цня ст, такая, что 6Ziq(i)= &2仃(2)■— .. ■ = ^то(т)~—■ 1, т. е.

Пa2(力=(1」)

Число СРП равно числу взаимно однозначных отображений о, для которых выполняется (1.1). Поэтому оно равно

т

Per(4) = § J*

Пример 1.1. Найти число СРП в следующей конфигурации подмножеств {尤卜打，％з, м}：丛={修，心}, Х2 — {ль 尤?}, ^з = ={尤2,尢3, хд}. Матрица инцидентности этой конфигурации есть

「1 о 1()1

Л= 1100.

_ О 1 1 1_

Число СРП есть Рег(/) = 5. Фактически СРП — это {ль 私 ％з}, {%1, %2, %», {%3, %1，力2), {%3, %1,力4} И {%з, %2, Х»・

32 Теоремы Фробениуса и Кёнига

Наиболее важным результатом комбинаторной теории матриц и теории перманентов неот оицательных матриц является так называемая теорема Фробениуса ——Кёнига. Она была впервые получена Фробениусом, затем «передоказана» Кёнигом с помощью' элементарных теоретико-графовых методов и снова «пе- редоказана》Фробениусом одним элементарным методом. По поводу этой теоремы и ее связи с другими результатами Кёнига между Фробениусом и Кёнигом возникла полемика (см. [48]). Мы не намереваемся быть арбитрами в этом деле и будем ссылаться на этот результат как на теорему Фробениуса — Кёнига; это название общепринято.

Теорема, 2.1 (Фробениус — Кёниг). Пусть Л — матрица порядка п. Для того чтобы каждая диагональ матрицы А содержала нуль, необходимо и достаточно, чтобы 8 А существовала нулевая подматрица размера sXfcs +方=九十1.

Доказательство теоремы 2.1 можно найти во многих книгах (см., например, [117]). Здесь мы докажем результат, эквивалентный теореме 2.1.

Теорема, 2.2. Пусть А ——неотрицательная матрица порядка п. Тогда per (Л) — 0 8 том и только том случае, когда А содержит нулевую подматрицу размера s X ^ с 5 + f == n + 1.

Доказательство. Необходимость докажем индукцией по и. Пусть per (Л) — 0. Если 孔=1, то Л — [0]. Предположим, что условие необходимо для всех квадратных (0, 1)-матриц порядка, меньшего п. Если А составлена из нулей, то доказывать нечего. Предположим, что а九々 > 0. Тогда

0 = рег(Д)= X ahl per (Л (% | /));

так как все произведения а^ per (Л (Л|/)) неотрицательны, а 〃力冷 положительно, должно быть

per (Л (A I 々))=0.

Следовательно, по индуктивному предположению в A(h\k) можно найти нулевую подматрицу размера Si X 厶 с s】+ 九 = =(и—1)+ 1. Переставим строки и столбцы А так, чтобы эта нулевая подматрица заняла правый верхний угол:

В = Р4? =В = Р4? =及一"X I1Z 1及一"X I1Z 1

В = Р4? =

В = Р4? =

及一"

X I

1

Z 1

及一"

X I

1

Z 1

(Эта перестановка производится только лишь для удобства обозначений и не является существенной частью доказательства.) Ни п ——S], ни и ——/i не могут быть равны нулю, так как si и 厶 положительны и Si + 九=几 Так как и — s【=九 и п ——力=Si, то X, У — квадратные матрицы порядков соответственно Si,九. Таким образом,

0 = per (Л) = per (X) per (У),

и либо рег(Х), либо per (У) должен обратиться в нуль. Без ограничения общности предположим, что ре「(Х) = 0. Тогда по предположению индукции X содержит нулевую подматрицу размера u X у с 〃 + u = Si+l. Предположим, что Х[д,...

• • . > а/61, • • • , Ви] 0, т. е. B[ai,.о-ы | Рь • • • > 6&]—。・ Рассмотрим подматрицу

С = В[щ, . .аы |₽ь ..₽0, J + 1, §1 +2,…，川.

Это нулевая подматрица матрицы Аси строками и у + (и ——s】) столбцами. Более того,

〃斗 о + (/z — S0 = (〃 + о) + /г — S： = S] + 1 + /г — S[ = /г + 1.

Доказательство необходимости завершено. Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что Л содержит нулевую подматрицу размера s X / с s + / = /г + 1. Переставим строки

и столбцы Л так, чтобы

кк(2D(2Dмм

к

к

(2D

(2D

м

м

По теореме Лапласа о разложении (теорема 1.2 гл. 2)

per (Л) = per (В) = £ per (8 [1, .. ., s |础 per (8 (1, . .., s |з)).

8WQs, “

(2.2)

Но 8[1, ..., s|s]—подматрица порядка s матрицы В[1, ...,s| 1, ..., п], а эта последняя имеет не более

孔^? = $ + / — 1 — / = 5 — 1

ненулевых столбцов. Поэтому каждая подматрица вида 8[1,... ...,s|co] должна иметь по крайней мере один нулевой столбец; следовательно, per (5[1, ..., s|o)]) = 0 для любой з 三 Qs,小 Отсюда по (2.2) получается, что per (Л) = 0.■

Следующая теорема ——это несколько расширенный вариант теоремы 22

Теорема 2,3. Пусть Л ——неотрицательная матрица размера тХ/г, tn & п. Тогда Per (Л) = 0 в том 〃 только том случае, когда Л содержит нулевую подматрицу размера sX(m ——s+ I).

Доказательство. Если m < nf то пусть

где С~ матрица из единиц размера (п ——m)X п. Тогда по теореме 2.2 per (В) = 0 в том и только том случае, когда В (а значит, и Л) содержит нулевую подматрицу размера s X (^ ——s + + 1). Следовательно, per (В) = (и — m) I Per (Л) есть нуль тогда и только тогда, когда Per (Л) = 0. ■

Существенным понятием в комбинаторной теории матриц является понятие терм-ранга (0, 1) -матрицы.

Определение 2.1. Пусть Я есть (0, 1)-матрица размера m X м. Терм~рангом матрицы Л называется максимальный порядок ее квадратной подматрицы с ненулевым перманентом. Иными словами, терм-ранг — это максимальное число единиц в диагонали матрицы Л.

Второй вариант определения можно очевидным способом распространить на матрицы над любым полем.

Ключевой теоремой о терм-ранге является теорема Кёнига — Эгервари [41,42,48]. Напомним, что линией называется строка или столбец матрицы.

Теорема 2.4. (Кёниг — Эгервари). Пусть Л есть (0, ^-матрица размера m X и. Терм-ранг матрицы Л равен минимальному числу линий, содержащих все единицы А.

Доказательство этой классической теоремы совершенно прямолинейно (см., например, [87]).

Другой вариант этого результата представляет собой обобщение теоремы Фробениуса — Кёнига, принадлежащее Кёнигу [48].

Теорема, 2.5. Пусть А есть (0, \ )-матрица размера m X п, m п. Терм-ранг матрицы Л равен р s том и только том случае, когда Л содержит нулевую подматрицу размера s \ t с s -{-1 — п -{- m ——р, но не содержит нулевой подматрицы размера р 乂 qcp~\~q>n~\~m — р.

Структура квадратных (ОД)-матриц

Перманент (0, 1)-матрицы зависит от расположения нулей в матрице. В этом разделе мы изучим структурные свойства квадратных (0, 1)-матриц. Мы увидим, что одним из характерных свойств (0, 1)-матрицы является существование или несуществование дважды стохастической матрицы с тем же, что и у исходной матрицы, расположением нулей. Начнем с основных свойств дважды стохастических матриц.

Напомним, что неотрицательная матрица называется дважды стохастической, если все ее строчные и столбцевые суммы равны 1. Множество всех дважды стохастических матриц обозначается через Qn.

Определение 3.1. Неотрицательная матрица порядка п называется частично разложимой, если она содержит нулевую подматрицу размера 々Х(孔一归).Другими словами, матрица Л частично разложима, если существуют такие матрицы перестановки Р н Q, что

где В и'D — квадратные матрицы. Если матрица не содержит нулевой подматрицы размера k\(n ——й) ни при каком 々м = 1, ..., п—1, то она называется вполне неразложимой.

Теорема. 3.1. Если А ——частично разложимая, дважды стохастическая матрица, то существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что PAQ есть прямая сумма дважды стохастических матриц.

Действительно, предположим, что

PAQ =PAQ =' В С.0 D' В С.0 D

PAQ =

PAQ =

' В С

.0 D

' В С

.0 D

где D ——квадратная матрица порядка k. Так как PAQ -—дважды стохастическая матрица, то сумма элементов, находящихся в первых п ——А столбцах P4Q, равна 及——々,т. е.

s(B) = п — h,

где s(X) обозначает сумму элементов в матрице X, Аналогично, рассматривая элементы последних k строк в PAQ, заключаем, что

s (£)) = й.

Но

n = s(^Q) = s(B) + s(C) +5(Z)) = n-Aj + s(C) + ^ = n + s(C);

следовательно,

s(C) = 0.

Поскольку С неотрицательна, должно быть С = 0, и PAQ = =В + D; очевидно, что матрицы Вий дважды стохастические.

Теорема. 3.2. Перманент дважды стохастической матрицы положителен.

Действительно, если per (Л) — 0, то по теореме Фробениуса—Кёнига существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что

где нулевая подматрица в левом нижнем углу имеет размер /гХ^с/г + ^ = /г+1. Но если Л w то

п — s (P4Q)》s (В) + s (£)).

Все ненулевые элементы первых 々 столбцов содержатся в В, поэтому s(B)=乏 Аналогично s(D) — h. Следовательно,

n>s(B) + s(D)^k + ht

что невозможно, так как й + й = n + 1.

Следствие. Всякая дважды стохастическая матрица имев! положительную диагональ.

Заметим, что отсюда вытекает положительный ответ на вопрос, возникший в《проблеме танцев》(разд. 3.1). Если S = =(s〃‘) есть матрица инцидентности соответствующей конфигурации (т. е. S” = 1, если гй юноша знаком с /-й девушкой, и s订=0 в противном случае), то ^-S — дважды стохастическая матрица. Следовательно, в S имеется положительная диагональ, Иными словами, возможно составить требуемые пары юношей и девушек.

Мы перейдем теперь к одному из основных результатов теории дважды стохастических матриц.

Теорема, 3.3 (Биркгоф, 1946). Множество Q〃 всех дважды стохастических матриц образует выпуклый многогранник,, вершины которого ——матрицы перестановки. Иначе говоря, если Л 三 то

где Pi, ..., Ps ——матрицы перестановки, а 0ь ..., 8s ——неотри^ s

цательные числа, X 8/ = L ,

Доказательство. Применим индукцию по числу 冗⑷ положительных элементов в А. Если 冗(若)=门,то Л — матрица перестановки, и утверждение теоремы справедливо (s = 1). Предположим, что л(Л) > п и что теорема справедлива для всех матриц в Qr1c меньшим, чем л(Л), числом положительных элементов. В силу следствия теоремы 3.2 матрица 4 имеет положительную диагональ (aa(i), ь 。。(2), 2, ла(л), л). Пусть a^t), / = min^aafz), 0 = а и Р = (рц) есть матрица инцидентности перестановки о (т. е. Р — матрица перестановки с Pw，= =1, 2 = 1, ..., п). Ясно, что О V а V 1, так как 〃 = 1 означало бы, что a^iy i = 1 для всех t = 1, ..., /г, т. е. А была бы матрицей перестановки. Кроме того, Л ——аР неотрицательна (ввиду минимальности а). Мы утверждаем, что матрица

В = (6订)=j 二窃(X — qP)В = (6订)=j 二窃(X — qP)(3.1)(3.1)

В = (6订)=j 二窃(X — qP)

В = (6订)=j 二窃(X — qP)

(3.1)

(3.1)

дважды стохастическая. В самом деле,

2Ь订=2 ("订一因7订)= /=1

j = 1,...,孔,н так же можно показать, что

/ = 1, ..., п. Далее, л (5) ^ л (Л)—1, так как В имеет нули на всех тех местах, что и Л, а кроме того, 6。⑴,t = 0. По индуктивному предположению

где Pj ——матрицы перестановки, (р『》0, / = 1, s——1, и s—1

2 Ф/ — 1- Но тогда по (3.1)

/ = (1 — q) в + g =(戸(1 — а)屮『匕)+ " = Z ^j^h

где 0； = (1 — а)ф/( / = 1, ..., s — 1, 0S = а и Ps = Р. Ясно, что S

0/ неотрицательны. Остается показать, что £%•= 1. Действительно,

Z]% = ( 2 (1 — а)屮/丿 + а= (1 _ a) g <Р/ + а= 1 — а + а = 1.

Обозначим через Л„ множество всех (0, 1)-матриц порядка nek единицами в каждой строке и каждом столбце. Множество Л«, конечно, не выпуклое. Однако если Л 三 А* то 頁？1 w wQ/z； таким образом, матрицы из Л„ фактически обладают свойствами дважды стохастических матриц, поэтому их обычно называют дважды, стохастическими (0, 1)-матрицамп. Следующий результат аналогичен теореме 3.3, хотя исторически он пред^ шествовал теореме Биркгофа.

Теорема, ЗЛ [48]. Если A w А* то

где Р/ суть матрицы перестановки.

Доказательство этой теоремы в значительно упрощенном виде повторяет доказательство теоремы 3.3. Оставляем его как упражнение (задача 12).

Если Л матрица инцидентности некоторой конфигурации, то перестановки строк и столбцов матрицы соответствуют перенумерованию соответственно подмножеств и элементов. Перманент матрицы А не изменяется при перестановках строк и столбцов. Другими словами, существенные комбинаторные свойства конфигурации не изменяются при умножении Л справа или слева на матрицы перестановки.

Напомним, что неотрицательная матрица А порядка п вполне неразложима, если не существует таких матриц перестановки Р, Q, что

где размер нулевой матрицы ——sX (孔 ——s). Понятие вполне неразложимой матрицы играет в комбинаторной теории матриц роль, подобную понятию неприводимой матрицы в спектральной теории неотрицательных матриц.

Теорема. 3.5. Неотрицательная матрица Л порядка п, где /г》2, вполне неразложима s том и только том случае, когда

per (Л (г |/))> 0 для всех j и /.

Доказательство. По теореме 2.1 per (Л (ft | А)) — 0 при некоторых Лий, если и только если подматрица %(九| 汽)и, следовательно, матрица Л содержат нулевую подматрицу размера s X / с § + % = (九一1)+1. Другими словами, per (Л (h [^)) = 0 для некоторых 頁口々 тогда и только тогда, когда Л частично разложима. ■

Пусть £" обозначает матрицу порядка /г с 1 на месте (Z, /) и нулями на остальных местах. Следующий результат есть непосредственное следствие теоремы 3.5:

Теорема, 3.6, Если Л — вполне неразложимая матрица и с #= 0, то для любых，и /

per (Л + сЕц) > per (Л)

илиилиper (Л + сЕ订)< per (Л)per (Л + сЕ订)< per (Л)

или

или

per (Л + сЕ订)< per (Л)

per (Л + сЕ订)< per (Л)

при с > 0 〃 с V 0 соответственно.

Действительно, пег (Л + сЕ“)= per (4) + с per (Л (f|/)), а по теореме 3.5 рег(Д (/1/)) > 0.

В случае вполне неразложимой (0,1)-матрицы верно более сильное утверждение.

Теорема, 3.7. Если А ——вполне неразложимая (0,1)-матрица, то

per(4 + g 占山)per (4) + m.

Доказательство. Поскольку Л есть (0, 1)-матрица, теорема 3.5 показывает, что

per (/ (力 j))》1

для любых / и /. Поэтому

per (Л + 斗八)=per (Л) + per (Л (zt |Д))》per (Л) + 1.

Очевидно, что Д + Et^ вполне неразложима, и результат получается индукцией по /п.

Теорема, 3.8. Пусть

4 ву о0 力2 B》，4 ву о0 力2 B》，о о 与0о о 与0Л-： оЛ-： оОо314Оо314(3.2)(3.2)

4 ву о

0 力2 B》

，

4 ву о

0 力2 B》

，

о о 与0

о о 与0

Л-： о

Л-： о

О

о

31

4

О

о

31

4

(3.2)

(3.2)

есть неотрицательная матрица порядка п, причем 4『——вполне неразложимая матрица порядка tit, а В《・耍 0, i = 1, ..., г. Тогда Л вполне неразложима.

Доказательство (Эдгар (G. Edgar), не опубликовано). Предположим, что 4 частично разложима, т. е. d[a|§] = 0 для не-, которых a w Q$, % 0 w Q% 力 где s -{-1 = п. Пусть s, строк а и 力 столбцов р проходят через подматрицу Д；, / = 1, ...» г. Тогда S] + §2+ ... +s「= s>」, так что по крайней мере одно из S/

положительно. Аналогично по крайней мере одно из 力 должно быть не равно нулю. Поскольку каждая из Л； вполне неразложима и содержит нулевую подматрицу размера S/Х 力(если только s； или 力 не равны нулю), мы получаем, что » + 力 W 切， с равенством только в том случае, когда s； = 0 или 勿=0. Однако

гггг

n = s + t = ^Sj +^S 勺=尸1 ⑸ + ‘° & •自吃•=他

и тем самым s； + // = п/ для любого /. Отсюда следует, что либо S/ = 0, либо 力=0, / = 1,г. Однако не все s； и не

все t] равны нулю, поэтому найдется такое число 也 что Sk = /и и /；г+1 = п^\ (индексы складываются по модулю г). Отсюда следует, что 8左—— нулевая подматрица вопреки предположению.

Определение 3.2. Говорят, что неотрицательная матрица имеет дважды стохастическую модель, если расположение ее нулей совпадает с расположением нулей некоторой дважды стохастической матрицы.

Например, матрица

1 1 0

_1 о 1_

имеет дважды стохастическую модель, так как расположение нулей у нее и у дважды стохастической матрицы

одинаково. С другой стороны, матрица-

1 1 0(3.3)

.0 0 1.

не имеет дважды стохастической модели. Действительно, любая дважды стохастическая матрица с тем же расположением нулей, что у (3.3), должна была бы иметь 1 на месте (3, 3). Но тогда элемент на месте (1, 3) не мог бы быть положительным.

Теорема, 3.9. Вполне неразложимая матрица имеет дважды стохастическую модель.

Доказательство, Пусть А = (а〃)——вполне неразложимая матрица порядка п. Тогда по теореме 3.5 per (Л (i\j)) > 0 для любых I, /. Определим матрицу S = {$订)порядка п:

s订=а订 per (Л « |/))/рег (Л),

г, / = 1, ..., п. Ясно, что S неотрицательна и имеет одинаковое с Л расположение нулей. Тогда для i= 1, ..., п выполняется

Е s“ =£ а〃 per (4 (计 j)) = ^^ per (4) = 1

и для / = 1, ..., п

2 S" = ^57 £ %/ per (" (/| /)) = 1.

Итак, матрица S дважды стохастическая, и Л имеет дважды стохастическую модель.

Мы видели в теореме 3.7, что замена 0 на 1 во вполне неразложимой (0, 1)-матрице приводит к возрастанию ее перманента по крайней мере на 1. Ясно, что если обратное преобразование, т. е. замена 1 на 0, приводит ко вполне неразложимой матрице, то перманент уменьшается по крайней мере на 1. Мы рассмотрим (0,1)-матрицы, предельные относительно этого процесса. Такие матрицы имеют довольно простое строение, и с их помощью получаются оценки для перманента неразложимых (0,1)-матриц.

Определение 3.3. Неотрицательная матрица Л = (〃“) называется почти разложимой, если она вполне неразложима и имеет то свойство, что для каждого ее положительного элемента а” матрица Л — а〃Е" частично разложима.

Следующая фундаментальная теорема о строении почти разложимых матриц принадлежит Синкхорну и Кноппу [170].

Теорема, 3.10. Если А — почти разложимая неотрицательная матрица, то существуют такие матрицы перестановки Р и Q и

целое число尸 > 1, что、4々о…оо0A.Ez…0000л3• •Q0М0=00 Q4т 耳 7耳 0 0…04целое число尸 > 1, что、4々о…оо0A.Ez…0000л3• •Q0М0=00 Q4т 耳 7耳 0 0…04臼・4)臼・4)

целое число

尸 > 1, что

、4々о…оо

0A.Ez…00

00л3• •Q0

М0=

00 Q4т 耳 7

耳 0 0…04

целое число

尸 > 1, что

、4々о…оо

0A.Ez…00

00л3• •Q0

М0=

00 Q4т 耳 7

耳 0 0…04

臼・4)

臼・4)

где каждая £\ имеет в точности один положительный элемент, а каждый блок 4f почта разложим.

Доказательство. Пусть матрица А почти разложима. Тогда по теореме 3.9 существует дважды стохастическая матрица S = (s订)с тем же расположением нулей, что у матрицы Л. Пусть с = Shk ——наименьший положительный элемент в S. Так как S почти разложима, то S — ShkEhk частично разложима, т. е. существуют такие матрицы перестановки Р\ и Qi, что

■/■

s 0 I -Z

где нулевой блок имеет размер sXf с s -\-t — п. Иными словами,

X ： У

Л^1= ( —j~ -Н尸I z

尸 имеет в точности один ненулевой элемент, равный с По* скольку pSQi — дважды стохастическая матрица, получаем

几=s (RSQi) = s (X) + s(F) + s(Z) + s (У)-

=(s — с) + с + (/ — с)十 s (У) = /г — с + s (У),

где s(M) обозначает сумму элементов в матрице М Таким образом, s(y)=c, и ввиду минимальности с матрица У должна содержать лишь один положительный элемент. Если как X, так и Z вполне неразложимы, то доказательство окончено, так как PiSQi и PiXQi имеют одинаковое расположение нулей. Если же

X или Z частично разложима, то, переставляя строки м столбцы, матрицу S можно представить в виде

n^ п^- л^- 4 о Joon^ п^- л^- 4 о Jooооооооylyl6о о :・6о о :・'&0'&0r2r2+ + +巧%4+ + +巧%4+ + + 4%% …+ + + 4%% …L гТ 丄L гТ 丄

n^ п^- л^- 4 о Joo

n^ п^- л^- 4 о Joo

ооо

ооо

yl

yl

6о о :・

6о о :・

'&0

'&0

r2

r2

+ + +巧%4

+ + +巧%4

+ + + 4%% …

+ + + 4%% …

L гТ 丄

L гТ 丄

)о о о …4

где Р и Q — матрицы перестановки, 4 — почти разложимые матрицы порядка 孔才,каждая из У】и У? содержит один положительный элемент, равный с. Ясно, что положительный элемент матрицы У1 должен лежать в нижнем левом блоке размера пг X ^ь так как в противном случае либо первые п\ столбцов содержали бы нулевую подматрицу размера (п ——/?i)X ^i, либо последние пг строк содержали бы нулевую подматрицу размера Пг X (^ ——^г), и PSQ, а следовательно, и S были бы частично разложимыми. По той же причине единственный положительный элемент У2 Должен лежать в строках, содержащих АР) и столбцах, содержащих Ар^. Так как PSQ дважды стохастическая, то одна из столбцевых сумм матрицы А\ равна 1 — с* а другие равны 1. Но тогда ввиду минимальности с в точности одна строчная сумма А\ должна равняться 1——с, а остальные 1. Кроме того, из-за минимальности с все, кроме одного, блоки 812, 813， ・・・,&1 卩 суть нулевые подматрицы, а один содержит единственный положительный элемент, равный с. Легко видеть, что этим ненулевым блоком должен быть В⑵ так как иначе PSQ содержала бы нулевую подматрицу размера (п — rt2)X'rt2 и была бы частично разложимой. Рассуждая аналогично, полу* чаем, что 5гз содержит в точности один положительный элемент, а блоки В24, ..., В2P нулевые. Продолжая далее таким же образом, мы покажем, что PSQ, а следовательно, и PAQ имеют вид (3.4).■

Хартфил [178] показал, что Р н Q можно выбрать так, что Ai — матрицы порядка 1, i = 1, . ••，厂一1./

(О, 1)-циркулянты

Обозначим через Рп или просто Р матрицу перестановки порядка м с 1 на местах (1, 2), (2, 3), , (п ——1,九),(n, 1). Матрица

где с/= 0 или 1, а Р° =/% называется (0, \ )-циркулянтом. Такие циркулянты встречаются в некоторых классических комбинаторных задачах: «задаче о беспорядках» и 《задаче о супружеских парах》.

В первой из них спрашивается: сколькими способами можно организовать танец с участием п супружеских пар так, чтобы ни один из мужей не танцевал со своей собственной женой? Другими словами, мы интересуемся числом беспорядков на п элементах, т. е. перестановок без неподвижных элементов. Ясно, что это число равно перманенту / ——/п, где / ——матрица, составленная из единиц. Пусть Dn = J ——1п. Тогда

per (Dn) = £ pe『(D"(l| /)).

7=2

Каждая из матриц Dn(l\j) порядка 〃——1 содержит в точности п ——2 нулей, причем никакие два из них не лежат в одной строке или одном столбце. Следовательно,

per(D„(l |/)) = per (/)„_!)+ per (Z)n_2)

для j = 2, .. •, и. Отсюда следует, что

per (D^ = (п— 1) (per (£)„_!)+ per (On_2)).(4.1)

Можно доказать по индукции, используя (4.1), что

per(Z)J = /i! (1 —才+g —击 + …+(—1广$).(42)

Значительно более трудна «задача о супружеских парах»: сколькими способами можно рассадить за круглым столом п пар так, чтобы мужчины и женщины чередовались и ни один муж не сидел рядом со своей женой? Пусть жены уже заняли места. Тогда число способов рассаживания мужей равно

= per (J~/n — Р) = ре「( 2 р

Числа Un называются числами супружеских пар. Тутаром [45] получена следующая формула:

Рег(^Р') = |；(—以各 ^；)^-儿(4.3)

Доказательство см. в [50].

Единственные другие перманенты (0, 1)-циркулянтов, для которых найдены формулы,——это перманенты матриц

Q("»)=£p/(4.4)

/=0 для малых значений k.

Мы начнем с перманентов некоторых теплицевых (0, 1)-матриц, которые родственны циркулянтам вида (4.4). Пусть F(n. k) при п^ k——1》2 обозначает матрицу порядка п, в которой элемент на месте (t, /) равен 1, если j — У{—1, 0, 1, 2,... …，々一2}, и 0 в противном случае. Например, подматрица, полученная из Q(/?,§) вычеркиванием первого столбца и последней строки, есть F(n —— 1,3).

Легко видеть, что если п^ 2(k—1), то разложение перманента 尸(孔，改)по элементам первой строки приводит к формуле

per (F (п,々))=£ per (尸(几一厶 初.(4.5)

Все теперь готово для разбора случаев 力=3 и 4.

Лемма 1. При 孔》4

per (Q (п, 3)) = рег (尸仇一1, 3)) + 2 per (尸仇一2, 3)) + 2.

Доказательство. При 〃 2： 5 разлагаем перманент по первым двум столбцам:

per (Q 仇，3)) = 1 + per (F (n — 3, 3)) + 2 per (F (n — 2, 3)) +

+ per (尸(n — 4, 3)) + per (F (n — 3, 3)) + 1 =

=per (F (n~ 1, 3)) + 2 per (F (n — 2, 3)) + 2

(no (4,5)). При n — 4 формула проверяется непосредственно.电

Мы можем вывести следующие формулы [94]：

Теорема, 4.1. Для 5

per (Q (n, 3)) = per(Q(^ — 1, 3) + per (Q(az — 2, 3) — 2=(4.6)

=(匸”)"+ (12Z^y + 2.(4.7)

Доказательство. Для 〃》6 по лемме и формуле (4.5) получаем, что

per (Q(n~ 1, 3)) + per(Q(n — 2, 3)) — 2 =

=(per(F (n 一 2, 3)) + 2 per(F 仇 一 3, 3)) + 2) +

+ (per (F (n — 3, 3)) + 2 per (F ①一4, 3)) + 2) — 2 =

=per (F (n — 1, 3)) + 2 per(F (n — 2, 3)) + 2 =

= per (Q (n, 3)).

Непосредственно подсчитываем, что pe「(Q(3, 3)) — 6, per(Q(4, 3)) = 9, per(Q(5, 3)) = 13, и (4.6) выполняется также для п — 5.

Формула (4.7) получается путем решения линейного разностного уравнения (4.6) с использованием начальных значений для per (Q(n, 3)).■

Случай 々=4 получается аналогично.

Лемма 2. Для 九》6

per(Q(/t, 4)) =

= 2(per(F(/t— 1, 4))+ 2 per (F (n-2, 4)) + 3 per (F (/г-3, 4))+1).

Доказательство. При n ^ 10 разлагаем per (Q(n, 4)) no nep^ вым трем столбцам. После упрощений получаем

per(Q(n, 4)) =

=8 pel•(尸(〃 一3, 4)) + 12 per (戶(/? — 4, 4)) + 14 per (£ (n — 5, 4)) + + 8 per (尸(n — 6, 4)) + 2 per (F (/? — 7, 4))十 2 =

=2 per (F (n — 1, 4)) + 4 per (F (n — 2, 4)) + 6 per (F (n — 3, 4)) + 2.

Для n = 6, 7, 8 и 9 формула проверяется непосредственно. ■

Теорема, 4.2. При п^7

per (Q (п, 4))==

===per (Q (〃 一 1, 4)) + per (Q (м — 2, 4)) + per (Q (n — 3, 4)) — 4 =

(4.8)

=2(叫 + 侬 + 嘴+1),(4.9)

где

ai = (^19 + 3 733 + 卡 19 —3“5T + 1)/3 = 1,839286 .

а&, «в ——другие корни уравнения х3 ——х2 ——х——1=0.

Доказательство. Из предыдущей леммы и из (4.5) следует, что для /г》9

per (Q (九一1, 4) + per (Q (п — 2, 4)) + per (Q (n — 3, 4)) 一 4 = = 2per (F (n — 2, 4)) + 4 per (尸(拉一3, 4))+6 per (F (n — 4, 4))+2+ + 2 per (F (n — 3, 4)) + 4 per (F (n — 4, 4))+6 per (F (n — 5, 4))+2+ + 2pei•(尸(n- 4, 4))+4per(尸仇一5, 4))+6per(尸(拉一6, 4))+2 — 4 = ==2per(77 (n —2, 4))4- 12 per (F(n —3, 4)) +

+ 6 per (F (n — 4, 4)) + 4 per (F (n — 5, 4)) + 2 =

=6 per (F (n — 2, 4))+ 8 per (F (n — 3, 4))十 2 per (F (n — 4, 4))+2 = =2 per (F (n— 1, 4))+4 per (F (n — 2, 4))+6 per (F (n — 3, 4)) + 2 = = per (Q (n, 4)).

Случаи дг = 7 н 8 проверяются непосредственно (см. таблицу ниже).

Формула (4.9) получается обычным способом путем решения разностного уравнения (4.8).■

Казалось бы, в силу теорем 4.1 и 4.2, что справедлива формула вида

per (Q (п, й))= S per(Q(n — z, й)) + const (4.10)

для любого k. К сожалению, это не так. В работе [94] было показано, что формула (4.10) не может быть верна для любого й ^ 5. Метрополис, Стейн и Стейн [160] получили следующий результат:

Теорема, 4.3. Если п ^ 15, то

per (Q (/г, 5)) = 24 + £ a, per (Q (и —厶 5)),(4.11)

где в = & = 〃9 = —^4 = —а? = 2, «з = 〃8 = 0, 的=—8, 。6 =——6, аю = 1; если п》21, то

-15

per (Q (п, 6)) = 96 + X bt per (Q (n — /, 6)),(4.12)

X = 1

где 历=62 = 613 = 614 = 2, 63 = 615=1, 64 = 0,匕5 = 610 = ==-九]=--4,匕6 =-—18, b^ =--16,b8 — -12,匕9 =--10,历2 = 3.

Мы воспроизводим таблицу значений per(Q(n, k)) для 也 W 7 н 几 W 15 из [94]:

k = 345k = 34567673456789012345 -3456789012345 -1 2 3 5 g 31 2 3 5 g 326572a5791.8545 0401265473g148332783.12 07243 387620830818126,56513 90979J18369,32131-337204 4481081,31370 985528 9503 182.225161 5451 370,6749411 840369 0243 557 40827.888 13926572a5791.8545 0401265473g148332783.12 07243 387620830818126,56513 90979J18369,32131-337204 4481081,31370 985528 9503 182.225161 5451 370,6749411 840369 0243 557 40827.888 1394 依 044482Q646 2484 & 8g 3 原 145 1248625.516L & 5 о &4 依 044482Q646 2484 & 8g 3 原 145 1248625.516L & 5 о &

k = 345

k = 345

67

67

3456789012345 -

3456789012345 -

1 2 3 5 g 3

1 2 3 5 g 3

265

72a

579

1.854

5 040

1265

473g

14833

2783.

12 072

43 387

6208

30818

126,565

13 909

79J18

369,321

31-337

204 448

1081,313

70 985

528 950

3 182.225

161 545

1 370,674

9411 840

369 024

3 557 408

27.888 139

265

72a

579

1.854

5 040

1265

473g

14833

2783.

12 072

43 387

6208

30818

126,565

13 909

79J18

369,321

31-337

204 448

1081,313

70 985

528 950

3 182.225

161 545

1 370,674

9411 840

369 024

3 557 408

27.888 139

4 依 044482Q646 2484 & 8g 3 原 145 1248625.516

L & 5 о &

4 依 044482Q646 2484 & 8g 3 原 145 1248625.516

L & 5 о &

Более обширные таблицы можно найти в [160].

Мы приведем в конце этого раздела следующий замечательный результат Тинсли [69]. Пусть С есть (0, 1)-циркулянт Л» +

+ 尸 + 尸3 порядка 7. (0, 1)-матрица Л = X Q/, где Qt — мат

рицы перестановки, называется абелевой, если Q，Q/= Q/Q/Ал* каждой пары 厶

Теорема, 4.4. Пусть 4 есть абелева (0, \ )-матрица порядка п с s единицами s каждой строке 〃 каждом столбце, s》3. Тогда

per (Л) = | det (Л) |

8 том 〃 только том случае, когда s — 3, п ~ 7г 〃 существуют такие матрицы перестановки Si, S2, 4To Ji4s2 есть прямая сумма г раз взятой матрицы С.

Задачи

Пусть S — {sb ..., sj, Г = {九，・..,}} н R — отношение между S и Т. Определим матрицу инцидентности A (R) — (а(7) размера m X для R:

=[1, если ⑸，％)三 R,f 0, если (s〃 厶)g /?.

Постройте матрицу инцидентности для отношения

R={(s, /3),(S2,厶)，®,勾)，(5з> 厶)}

между S = {si, S2, S3} н 7 =仏，自勾，〃}•

Пусть S = {1,2,3,4}, Г = {1,4,6, 12}; скажем, что swS и f w 7’ находятся в отношении R, если s делит Л Постройте матрицу инцидентности для R.

Каково необходимое и достаточное условие того, чтобы (0,1)-матрица была матрицей инцидентности некоторого отношения эквивалентности?

Пусть X, У, Z — конечные множества и заданы функции f: Yf Z, g: Х-> У. Докажите, что матрица инцидентности jg есть произведение матриц инцидентности для fug:

A(fg) = A(f)A(g).

(Функция fg определяется как суперпозиция fug: fg(x) = =f (g (尤))Для всех х 三 X.)

Пусть S={%1, %2, %3, %4, %б}, и пусть Х1=“1,%2}, Х2 = = {%i, м,桃} и 兔={尤2,尤з, Х4)—подмножества S. Выпишите все СРП этой конфигурации.

Постройте матрицу инцидентности конфигурации из задачи 5 и вычислите ее перманент.

Интерпретируйте понятие вполне неразложимости в контексте матриц инцидентности для конфигурации подмножеств Si, ..., Sn /г-множества S.

Назовем неотрицательную матрицу Л размера m X ^ с m W 孔 вполне неразложимой, если Per(X(i|/)) > 0 для i = =1, ..., т, / = 1, ..., и. Интерпретируйте это определение в контексте матриц инцидентности для конфигураций подмножеств. Распространите результат теоремы 3.3 на прямоугольные неотрицательные матрицы.

Распространите определение почти разложимости на неотрицательные матрицы размера тУ^п с т^п. Обобщите теорему 3.10 на класс таких матриц.

Назовем неотрицательную матрицу Л порядка п й-не* разложимой, если рег(Л(а|р)) > 0 для всех а и р из Q丸小 Докажите, что если Л вполне неразложима (т. е. 1-неразложима), то ААТ 2-неразложима.

Покажите, что если 4 вполне неразложима, то АА7 и AS вполне неразложимы. Верно ли обратное?

Приведите подробное доказательство теоремы 3.4.

Покажите, что свойство неотрицательной матрицы А быть дважды стохастической равносильно тому, что Л и Лг имеют собственный вектор (1, 1, ..., 1) с характеристическим числом 1.

Используйте результат теоремы 3.1 для доказательства теоремы 3.2.

Пусть Л — {aij) есть положительно полуопределенная дважды стохастическая матрица. Покажите, что все строчные и столбцевые суммы матрицы 4"2 должны равняться 1. Всегда ли 4以2 дважды стохастическая?

Пусть Vn = (vij)——тёплицева (0, 1)-матрица порядка м с и” = 1, если I i — / |^2, и。订=0 в противном случае. Докажите, что если п > 5, то

per (乙)=2 per (乙_i) + 2 per(V„_3) — per (乙_§)

(см. [94, теорема 5]).

Глава 4

НИЖНИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПЕРМАНЕНТОВ

4.1. Теорема Маршалла Холла

Неравенства для детерминантов, перманентов и других скалярных функций действительных матриц представляют значительный интерес для линейной алгебры. Границы для перманентов, выражающиеся через такие легко вычислимые функции, как строчные суммы, чрезвычайно важны ввиду серьезных трудностей, возникающих при вычислении перманентов.

В этой главе речь будет идти о нижних границах главным образом для перманентов неотрицательных матриц. Вначале мы займемся перманентами (0, 1)-матриц. Перманент (0, 1)- матрицы равен числу СРП в соответствующей конфигурации (разд. 3.1), Следовательно, границы для таких перманентов имеют комбинаторное значение.

Теорема Фробениуса— Кёнига (разд. 3.2) дает некоторую нижнюю границу для перманентов (0,1)-матриц: если (0, 1)- матрица Л не содержит нулевой подматрицы размера sX(九 ——s + 1), то Per (Л) ^： 1. Первое существенное улучшение этой границы было получено Маршаллом Холлом [52].

Начнем с одного предварительного результата (см. [251]).

Теорема, 1.1. Если Л есть (0, \ )-матрица размера т\п с т^п и если каждая строчная сумма А больше или равна т, то

Per (Л) > 0.

Доказательство. Если каждая строчная сумма Л больше или равна т, т. е. каждая строка содержит не менее m положительных элементов, то число нулей в строке не превышает п ——m. Если при этом Л содержит нулевую подматрицу размера sXf, то тогда / ^ п ——m. Но общее число строк в Л равно т, поэтому s W т* Таким образом,

s + / ^ m + (п — т) = п.

Следовательно, по теореме Фробениуса — Кёнига Per (Л) не обращается в нуль.■

Следующая теорема была получена Маршаллом Холлом [52]. Способ доказательства и расширение на случай t> т принадлежат Манну и Райзеру [55].

Теорема, 1.2. Пусть Л есть (0, [)-матрица размера ш\п с ш ^ п, у которой в каждой строке не менее f единиц. Если t ^ т, то

Рег(Л)>Н/(/-т)!.(1.1)

Если t < m и Per (4) > 0, то* 1 г'

Рег(Л)>/!.(1.2)

Доказательство. Теорему доказываем индукцией по т. В силу теоремы 1.1 можно предположить, что Per (Л) L> 0 для всех значений f, 0 < / ^ п. Если m = 1, то / ^ m, a Per (Л)= =/ = /!/(/—1)!. Предположим теперь, что /и > 1 и что теорема справедлива для всех матриц с числом строк меньше т. Перманент Л положителен, поэтому по теореме 2.3 гл. 3 всякая подматрица Л [®, ..., со*| 1, ..., п], со w Q也的 k = I, ..., m, содержит не менее k ненулевых столбцов. Рассмотрим две альтернативы. Пусть сначала для некоторого h, 1 ^ Л ^ m——1, и некоторой последовательности со 三 Q储优 подматрица Л [соь ... ...,сой| 1, п] имеет в точности Л ненулевых столбцов; другими словами,亠

' о川 2=

С I D

для некоторых матриц перестановки Р н Q. В каждой из первых Л строк PAQ должно быть не меньше f положительных элементов; следовательно, в каждой строке В имеется не меньше / таких элементов 込 t & 1г W т — 1. Кроме того,

Per (Л) = Per(PXQ) = Per (В) Per (D) > 0,-

поэтому Per (В) > 0 и Per(D) > 0. Но матрица В порядка h удовлетворяет предположениям теоремы. Тогда по индукции Per (В)》/!. Следовательно,.

Per (Л) = Per 仍)Per (D) > t\ Per (0) >/!.

Если же Л не может быть преобразована к виду (1.3), то каждая ее подматрица размера 々Хм, 1 W 论 & 加——1, содержит не менее 々 + 1 ненулевых столбцов. Разложим перманент А по

первой строке:первой строке:

первой строке:

первой строке:

(1.4)(1.4)Рег(Л)=Х«1/ Рег(Л(1|/))./=1

(1.4)

(1.4)

Так как всякая подматрица размера 々Хм матрицы Л имеет не меньше 々 + 1 ненулевых столбцов, каждая ее подматрица размера 々Х(孔—1) имеет не меньше 々 ненулевых столбцов, и Per (Л (11/)) > 0, / = 1, ..., п, по теореме 2.3 из гл. 3. Каждая строка Л (11/) содержит не меньше t— 1 единиц; следовательно,

по индукцииper (Л(1 I /')) >по индукцииper (Л(1 I /')) >J (/ — 1)!, если / — 1 ^ /7? — 1,((/ — !)!/(/ — т)!, если / — 1》俏一J (/ — 1)!, если / — 1 ^ /7? — 1,((/ — !)!/(/ — т)!, если / — 1》俏一1.1.(1-5)(1-5)

по индукции

per (Л(1 I /')) >

по индукции

per (Л(1 I /')) >

J (/ — 1)!, если / — 1 ^ /7? — 1,

((/ — !)!/(/ — т)!, если / — 1》俏一

J (/ — 1)!, если / — 1 ^ /7? — 1,

((/ — !)!/(/ — т)!, если / — 1》俏一

1.

1.

(1-5)

(1-5)

Но t — 1 ^ m — 1, если t W т, и t — 1 ^ m — 1, если t^ т. Таким образом, если / ^ т, то по (1.4) н (1.5) имеем

Рег(4)》ХаиС— 1)! = (/— 1)1 £%/》/!,

■■так как X 仪廿》九 Аналогично при т

■

■

Per (Л) > У户У а” > J

i/ = 1

42 (0,1) -матрицы

Рассмотрим теперь перманенты квадратных (0, 1)-матриц. Всякий результат о перманентах квадратных (0, 1)-матриц можно распространить на прямоугольные матрицы, окаймляя матрицы строками из единиц. В предыдущем разделе мы показали, что перманент квадратной (0,1)-матрицы, имеющей не менее f единиц в каждой строке, больше или равен /!, если только этот перманент не равен нулю. Без такого дополнительного предположения нижние границы для (0, 1)-матриц в терминах строчных сумм или других простых функций нельзя указать достаточно точно, так как значение перманента (0, 1)-матрицы сильно зависит от расположения нулей, а не только от строчных сумм или числа единиц в матрице. Так, перманент (0,1)-матрицы порядка п может обратиться в нуль, даже если п2 ——п ее элементов равны единице. В разд. 4.3 мы получим границы для перманентов вполне неразложимых матриц. Для общего случая Юркат и Райзер [112] указали оценку снизу. Приведенное здесь ее доказательство и рассмотрение случая равенства были даны автором [131], Нам потребуются следующие определения.

Для лг-выборки действительных чисел a = (ai,...,。祖) пусть а* = (а；, . . ., а；) обозначает упорядоченные в порядке невозрастания элементы а: а* 》аа а’= (а；,

расположенырасположеныобозначает ту же а, в которой элементы

расположены

расположены

Если Л есть (0, 1)-Если Л есть (0, 1)-в порядке неубывания: 〃；&〃；& ... &а[

Если Л есть (0, 1)-

Если Л есть (0, 1)-

матрица порядка п со строчными суммами 门,...,尸％ то через А обозначим (0, 1)-матрицу, у которой в z-й строке первые 尸; элементов равны 1, а остальные ——0, £= 1, 2, ..., п. Матрица Дматрица порядка п со строчными суммами 门,...,尸％ то через А обозначим (0, 1)-матрицу, у которой в z-й строке первые 尸; элементов равны 1, а остальные ——0, £= 1, 2, ..., п. Матрица Дназывается максимальной матрицей. Если, например,называется максимальной матрицей. Если, например,соответствующей А [87].соответствующей А [87].тотоЛ =Л =~0 1 О1 1~0 1 О1 11 1 о о11 1 о о1о о 1 о оо о 1 о оО11О1111ГО 1 О 1ГО 1 О 1才=才=一]1111一]1111Теорема, 2.1. Если Л есть ними суммами л, ..., гп, тоТеорема, 2.1. Если Л есть ними суммами л, ..., гп, то11111111111 11 о о1 11 о о1 о о о о1 о о о оО'-О о о оО'-О о о о(0, \ )-матрица порядка п со строч-(0, \ )-матрица порядка п со строч-per (Л) > П 亿十£ —/г},per (Л) > П 亿十£ —/г},(2.1)(2.1)

матрица порядка п со строчными суммами 门,...,尸％ то через А обозначим (0, 1)-матрицу, у которой в z-й строке первые 尸; элементов равны 1, а остальные ——0, £= 1, 2, ..., п. Матрица Д

матрица порядка п со строчными суммами 门,...,尸％ то через А обозначим (0, 1)-матрицу, у которой в z-й строке первые 尸; элементов равны 1, а остальные ——0, £= 1, 2, ..., п. Матрица Д

называется максимальной матрицей. Если, например,

называется максимальной матрицей. Если, например,

соответствующей А [87].

соответствующей А [87].

то

то

Л =

Л =

~0 1 О

1 1

~0 1 О

1 1

1 1 о о

1

1 1 о о

1

о о 1 о о

о о 1 о о

О

1

1

О

1

1

1

1

Г

О 1 О 1

Г

О 1 О 1

才=

才=

一]

1

1

1

1

一]

1

1

1

1

Теорема, 2.1. Если Л есть ними суммами л, ..., гп, то

Теорема, 2.1. Если Л есть ними суммами л, ..., гп, то

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1 о о

1 1

1 о о

1 о о о о

1 о о о о

О'-

О о о о

О'-

О о о о

(0, \ )-матрица порядка п со строч-

(0, \ )-матрица порядка п со строч-

per (Л) > П 亿十£ —/г},

per (Л) > П 亿十£ —/г},

(2.1)

(2.1)

где {片+1—п}— max (0, гг- + 1—п)・ Если рег(5)#=0, то равенство в (2.1) выполнено s том w только том случае, когда существует така兄 матрица перестановки Р, что АР = А.

Доказательство, Если 尸界=0, то доказывать нечего. При /•几=/=0 мы можем предположить без ущерба для общности, что а^ = 1, / = 1, 2,・.・，厂仅 Применим индукцию по 忆 Разлагая перманент Л по последней строке, получаем

гп

per (Л) = £ per (.4 (们 j))》

/=1

(2.2)(2.2)гп

(2.2)

(2.2)

^ X n {(勺一a仃)+力一仇一1)})

j = l i = 1

Tn n-1

》X IT s z—唳

так как 1 —а订 ^ 0. Следовательно,

и— 1п

per (А)》％ Ц {〃 + 力一九} = JI S + 方一九}.

Рассмотрим теперь случай равенства. Предположим, что

per (Л) = П (г； + / — п) > 0(2.4)

(=1

и ап! = 1, j = 1,anj = 0, / = rn + 1, ..., п. Равенство

означает равенство в (2.3), т. е. что а〃=1, t= 1,…，n, j= 1,...,厂冷 Иначе говоря, если выполнено (2.4), то все элементы в первых гп столбцах А должны равняться 1. Отсюда следует, что А(п\\)= ... — А(п\гп). Поэтому

о < per (4) = £ per(X(n |/)) = r„ per (Л (n | 1)),

и- тем самым рег(Л (孔| 1)) > 0. Также по (2.4)

per (/) =「“ 口(〃 + i —九).

Следовательно,

九一1n-1

per (Л 仇丨 1)) = П 6 + 方一九)=П ^ri — !) + « — («— 1)), ，=]:=1

и по предположению индукции матрица Л (n| 1) есть максимальная матрица, в которой, быть может, переставлены последний п — гп столбцов, но все элементы первого столбца, а также первые Гп элементов последней строки равны 1 (остальные элементы этой строки ——нули). Следовательно, АР = А для надлежащей матрицы перестановки Р.

Получим обратное утверждение, показав, что

per (Л) = П <r； +z — ^}(2.5)

для А = А (предположение per (Л) > 0 здесь не нужно). Если гп = 0, то обе части (2.5) обращаются в нуль. Пусть гп > 0. Так как из Л = Д вытекает, что A(n] 1) = ... = А (п\г^у получаем

per (Л) = £ per (A(n\j)) = rn per (Л(П|1))==

m一1

=^П П {(ri — !) + / — («— 1)}

и по индукции — равенство (2.5).'■

Легко видеть, что теорема 2.1 не дает, вообще говоря, хорошей оценки снизу. Действительно, если в первой строке матрицы есть нуль или если в 力-百 строке не меньше г нулей, то оценка теоремы 2.1 становится совершенно тривиальной —— рег(4)》0. Однако границу в теореме 2.1 можно сделать более приемлемой с помощью следующего наблюдения. Ввиду инвариантности перманента относительно перестановок строк граница в (2.1) улучшается, если произвести надлежащую перестановку строк. Наилучшие границы фактически получаются при расстановке строк в порядке возрастания строчных сумм. Чтобы оправдать это утверждение, мы приведем формулировку теоремы об упорядочении из [202]:

Теорема, 2.2. Если а = (а】，...,а^ " 6 =(仇，,.., 儿)суть п~выборки действительных чисел, причем G + 瓦》0, i = ――=1,/2, ТО

n ® + a) 0 立 @十切)《立(a: + 吟. (2.6) /=11Z=1

几n

Более того, JJ (а； + &) = JI (&• + 6) =И= 0 s том и только том случае, когда а! + Ьг есть перестановка а + Ь, а II (◎, + 匕±) ^ =«(а； + 6；)* 0 в том 〃 только том случае, когда 〃 + 匕 есть перестановка а* + 6*.

Воспользуемся этим результатом для доказательства следующей теоремы:

Теорема, 2.3. Если гь ..., гп — положительные числа, не превосходящие п, то

耳{「； + " 〃} A U 匕 +，一畛(2・7)

Равенство в (2.7) достигается тогда и только тогда, когда либо левая часть (2.7) есть нуль, либо г； = г±, £ == 1, ..., п.

Доказательство. Если левая часть (2.7) положительна, то результат (вместе с условиями для равенства) справедлив по (2.6). Остается показать, что если {『；+ 胃—— 〃} = () для какого- либо /, то правая часть (2.7) обращается в нуль. Тем самым будет установлена необходимость условий равенства; их достаточность очевидна. Итак, предположим, что {尸Z+_/z ——n} = 0,

т. е. г； + /г —— 孔《0 для некоторого /г, 1 W /，W 乩 Тогда должно быть rk + k — п & 0 для некоторого 瓦 1 ^ Л ^ Л. Действительно, если rh + h — n > 0, то rh > г；, а потому существует целое число 也 1 & 々 V 九，для которого rk W Отсюда следует, что rk + h ——n ^ 0 и тем самым rk-\-k — n < 0. Таким образом, если {r^, + /z — nj == 0, то обе части (2.7) обращаются в нуль.■

Из теоремы 2.1 получается [202], что

per (/)》口 {『； + £ — 〃}・(2.8)

По теореме 2.3 граница в (2.8) лучше, чем в (2.1).

Вполне неразложимые (0, 1)-матрицы

В разд. 3.3 мы видели (теорема 3.5), что перманенты всех подматриц порядка 孔——1 вполне неразложимой матрицы порядка п положительны. Отсюда вытекает следующее неравенство [236]:

Теорема, 3.1. Если А — вполне неразложимая (0, \ )-матрица порядка п со строчными суммами 门，...,гщ то

per (Л)》max q.(3.1)

Равенство 6 (3.1) достигается в том и только том случае, когда не менее п— 1 строчных сумм равны 2.

Справедливо, конечно, вполне аналогичное утверждение для столбцевых сумм вместо строчных. Заметим, что условие равенства не налагает ограничений на расположение нулей в матрице (даже с точностью до перестановок строк и столбцов) или, например, на ее столбцевые суммы.

Доказательство. По теореме 3.5 из гл. 3 per(4(/|j))弄 1 для всех i и /, так как 1 есть наименьшее ненулевое значение пер манента (0, 1)-матрицы. Следовательно,

per (А)==石 a” per (А (/1 /)) > ^а{1 = г{

для любого 厶 Тем самым получаем (3.1). Доказательство уело* вия равенства мы отложим до тех пор, пока не установим следующий результат [162], дающий значительно более сильную оценку, чем (3.1) :

Теорема, 3.2. Если А = (а“) есть вполне неразложимая (0,1)- матрица порядка п, то

per(4)》s(/)-2M + 2,(3.2)

где s(4) обозначает сумму всех элементов А.

Доказательство. Предположим сначала, что Л почти разложима. Тогда по теореме 3.10 из гл. 3 существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что J

4Е]0• • •00

0匈/…00

00 *з**

取0h.，(33)

000…4Т 耳一[

耳 0 0…04

где каждая 4 почти разложима, а Е『содержит в точности один элемент, равный 1, и г ^ 2. Применим индукцию по п, Если п = 1 или 2, то (3.2) есть на самом деле равенство. Пусть (3.2) выполняется для всех почти разложимых матриц порядка 力 / V 〃. Порядок %» обозначим через 制,，=1, 2, ..., г. По теореме 3.5 из гл. 3 и индуктивному предположению получаем, что

per (Л) = per (P4Q)》立 per (4,) + 1》行(s ⑷一2& + 2)十 1.

(3.4)

Ясно, что если а^ ..., а〃 一 целые положительные числа, то

JI q■ (г — 1)JI q■ (г — 1)(3.5)(3.5)

JI q■ (г — 1)

JI q■ (г — 1)

(3.5)

(3.5)

(см, задачу 8). Полагаем at = s(Ai) — 2足 + 2, i=l, ..., % где очевидно, что $(4»)^2м『, если П/ ^ 2, и $(Л() = 1, если Mz = 1. Тогда из (3.4) и (3.5) следует, что

per (А)》Z (s (4) — 2勿 + 2) — г + 2 = £ s (4)—2九+2г—г+2= i=»lЛ

»= s (Л) — г — 2п + 2г — г + 2 = s (Л) — 2п + 2.

Предположим теперь, что Л ——любая вполне неразложимая матрица. Если Л не есть почти разложимая, то в Л должен

найтись такой положительный элемент (^小，что Л ——Е^ есть вполне неразложимая (0, 1)-матрица. Если 4——Е^九 не почти разложима, то в ней найдется такой положительный элемент °/“2，чт0 " — Е厶力—Е力〃 вполне неразложима. Продолжая так же далее, мы приходим к почти неразложимой матрице В:

По теореме 3.7 из гл. 3 справедливо неравенство per (Л) > per (В) + т9

откуда, применяя неравенство (3.2) к почти разложимой матрице В, получаем, что

per (Л) ^ s (В) — 2гг + 2 + т.

Но 5(В) + 优=s(/) и, таким образом, per (Л) > s (4) — 2/г + 2;

теорема 3.2 доказана.■

Необходимое и достаточное условие равенства в (3.2) было получено Бруальди и Гибсоном [283].

Доказательство теоремы 3.1 (продолжение). Установим теперь условие равенства в (3.1). Мы можем предположить без ущерба для общности, что ri^' гп； покажем, что

per (Л) = Г](3.6)

тогда и только тогда, когда 尸2 H ... =尸足==2.

По теореме 3.2

per (4) > s (А) — 2〃 + 2 = с + £ 仇—2).

Следовательно, если справедливо (3.6), то

п н per (Л) 2「1 + £ 亿一2}

и, так как 门——2^0 для любого i, должно быть

2.

более сильному заключению:рег(Л(1 |/))=1,более сильному заключению:рег(Л(1 |/))=1,Обратно, пусть Л — вполне неразложимая (0,1)-матрица и ri ^ г2 — ... 0% = 2. Нам нужно доказать, что per (Л (11/)) =^ =1, как только。仃=1. Фактически мы придем к несколько

более сильному заключению:

рег(Л(1 |/))=1,

более сильному заключению:

рег(Л(1 |/))=1,

/=1, ..., п. Покажем, что для этого достаточно установить (3.7) для почти разложимых матриц. Действительно, предположим, что Л вполне неразложима, но не почти разложима. Тогда в первой строке А обязательно найдется такой элемент а^^ равный 1, что 4 — £^厶 вполне неразложима. Снова, если Л -— fj^ не почти разложима, существует такой элемент д1Л= 1, что /1 —七力一£\八 вполне неразложима, и т. д. Таким образом, мы должны наконец получить почти разложимую (0, 1)- матрицу

В — А — £ Е{]

со строчными суммами /*1 — тг? = ... = гп = 2. Далее,

B(l|j) = /(l|j),

/ — 1, ..., п, поэтому условие (3.6) эквивалентно

per (5(1 ⑺)=1,

/ = 1, ,.., п. Итак, без ущерба для общности мы можем предположить, что Л почти разложима со строчными суммами г\ ^ 》「2 = ... = 「% = 2. Пусть Q н R — такие матрицы перестановки, что QAR есть матрица вида (3.3), где г ^ 2, 4 — почти разложимая матрица порядка /й, Ai = 1 при i = 2,・•・,г и каждая 田 имеет в точности один положительный элемент (см. уточнение Хартфила теоремы Синкхорна — Кноппа в разд. 3.3). Пусть Q и R выбраны так, что единицы в Е^ и Ег находятся соответственно на местах (1,勿 + 1) и (n, 1). Заметим вначале, что если 尸1 = 2, т. е. 〃i= 1, то QAR есть сумма единичной матрицы 1п и матрицы перестановки Рп с единицами над главной диагональю (разд. 3.4). Легко проверить, что в этом случае перманент каждой подматрицы порядка п——1 матрицы /祖斗尸值 равен 1. В случае 门 >2 мы применим индукцию по п. Ясно, что сумма элементов первой строки матрицы QAR равна 门； следовательно, у А\ она равна 门一1, а другие строчные суммы равны 2. По предположению индукции

рег(4(1 |/))=1,(3.8)

/ = 1, ...» Mi. Из строения матрицы QAR (даже не принимая во внимание структуры 4) легко усмотреть, что

per((QX/?)(l|/)) = per (А(1|/)),

per ((QX7?) (1.|/)) = per (Л: (1 11)),

/ =九1十1, ,.., п. Результат теперь следует из (3.8). В

Следствие [236]. Если Л ——вполне неразложимая (0,1)-мат~ рица с максимальным характеристическим числом г(Л), то

per (А)》г (4),

и равенство справедливо в том и только том случае, когда все строчные суммы Л равны 2.

Следствие вытекает непосредственно из теоремы 3.1 и классического результата Фробениуса г (A) ^maxr； с равенством в том и только том случае, когда все строчные суммы равны.

Гибсон [206] использовал неравенство Холла (теорема 1.2) для получения следующего результата, улучшающего теорему 3.2.

Теорема, 3.3. Если А ——вполне неразложимая матрица порядка п со строчными суммами 门,...,%, 〃 & ^ £ > i, i = =1,п, то

per (/)》s(/) — 2九 + 2 + X (m! — 1).

Неотрицательные матрицы

В этом разделе речь пойдет о нижних границах неотрицательных матриц общего вида.

Если матрица Л — (а订)порядка п положительна, т. е.

щ1па^ = а > 0, то

'per (А)^п\ап(4.1)

с равенством в том и только том случае, когда а订=а для любых i и /. При наличии дальнейшей информации оценку (4.1) можно улучшить. Очевидно, например, что

per (Л) > га! П(4.2)

с равенством в том и только том случае, когда каждая строка есть кратное (1, 1, ..., 1). (Напомним обозначения из разд.4.2: если 力⑴ есть i-я строка Л, то (硝，(〃詳，...,aQ обозначают A^, упорядоченную соответственно в порядке невозрастания и в порядке неубывания. Таким образом, а；几 есть наименьший элемент i-й строки.)

Следующий результат Юрката и Райзера [112] дает оценку, существенно лучшую, чем (4.2). Приведенное здесь доказа* тельство и часть теоремы, относящаяся к случаю равенства,

принадлежат автору [161]. В следующих ниже двух теоремах мы указываем как верхние, так и нижние границы; в силу их идентичности доказательства проводятся лишь для одной из границ.

Теорема, 4.1. Пусть Л = (а〃) есть неотрицательная матрица порядка п. Тогда

立 ix《per(4) &立 ix.(4.3)

Если А положительна, то равенство в (4.3) получается, если и только если первые п——1 строк матрицы Л кратны (1, 1,... • • • > 1) •

Теорема утверждает, что рег(Л) не меньше, чем произведение наименьшего элемента первой строки на сумму двух наименьших элементов второй, трех наименьших элементов третьей и т. д.; аналогично ——для верхней границы. Ясно, что подобный результат справедлив для столбцов матрицы Л.

Доказательство. Установим нижнюю границу в (4.3) индукцией по п. Легко видеть, что (4.3) и утверждение о равенстве справедливы при п — 2. Пусть п ^ 3, и предположим, что результат справедлив для всех матриц порядка п—1. Разложим перманент по последней строке и применим индуктивное предположение:

Пп 空口 Z

per (Л) = X anj per (Л (n | /)) > Z ап/ П Z (^(« !/))•(.(4.4)

/ = 1J = 1Z= 1 ^ = 1

Очевидно, что

Z(X(n|O(4.5)

i = 1, ..., n——1, / = 1,...,几;следовательно,

per (A)》XJI X aj = ( JI £ a； J ( £ ani ) = П £ aj.

/ = 1i = l f==l \ ( = 1 t = 1/ \ /= 1//= 1 / = 1

(4.6)

Оценка сверху доказывается аналогично.

Достаточность условия теоремы для равенства в обоих неравенствах (4.3) очевидна (см. задачу 10). Предположим теперь, что Л положительна и знак неравенства в левой части (4.3) заменен на равенство. Это может произойти только тогда, когда равенство выполнено как в (4.4), так и в (4.5). По предположению индукции в (4.4) равенство достигается только тогда,

когда каждая из первых п ——2 строк Л (м|/) кратна (п——1)・ выборке (1, 1,1). Поскольку м》3, это означает, что

а 订=а” = • •. = а^п(4.7)

для г = 1, ..., п — 2. Предположим далее, что равенство имеет место в (4.5). Тогда, в частности,

и—1

/ = 1,孔；таким образом, / "、n-l

(g 書J — an-\, /& %一1, t

для / = 1, ..., n. Следовательно,

^л-ь 1 = ^л-i. 2 = • • • = л?(4.8)

и результат теперь получается по (4.7) и (4,8).

Доказательство необходимости условия равенства в правой части (4.3) проводится совершенно аналогично.■

Так как per (Л) инвариантен при перестановках строк матрицы Л, каждую из оценок в (4.3) можно улучшить путем надлежащей перестановки строк 4

Следствие 1. Пусть Л ——неотрицательная матрица порядка п. Тогда.

n tл г

max Ц Z&min 口 2 成 (4.9)

o&Sn，= 1 1*1o^Sn с = 1 t= 1

Если Л положительна, то равенство в (4.9) получается в том и только том случае^ когда строки А кратны (1, 1, ..., 1).

Заметим, что условие достижимости равенства в теореме 4.1 (или в ее следствии) не является, вообще говоря, необходимым, если не предполагать А положительной. Например, если

"1111"

я 1110

1110，

0 0 0„

то нижняя граница по теореме 4.1 есть

1 Х(0 +1)X(0 +1 +1)X(0+ 0 + 0+ 2)=^4

и совпадает с per ⑷.Точно так же, если

'1 1 1 Г11110 0 1 — 22 10 0

то верхняя граница в теореме 4.1 есть

1Х(1 + 1)Х(2+1 +0)X(2+ 1+0+ 0)-18

и равна per (В). Однако ни А, ни В не имеют вида, требуемого условием равенства в теореме 4.1.'

Каждая из границ в теореме 4.1 зависит от единственного элемента в первой строке Л. В следующей теореме мы улучшим эти границы, введя поправочные члены, зависящие также от суммы элементов в первой строке матрицы:

Теорема, 4.2 [161]. Пусть 5 = (а订)есть неотрицательная матрица порядка п. Тогда

per (Д) > П Е <z + (r^na^'Q Ё ajs (4.10)

Z = 1 f = lj = 2 1

U

per (4) & П X—(罔1 —厶)И Ё 叽 (4.H)

l=\ f=l/=2 s=l

где 门 обозначает сумму элементов в первой строке матрицы, А, а；1 и а、——соответственно наименьший и наибольший элементы в первой строке А.

Доказательство, Докажем сначала (4.10). Определим мат” рицы В = (Ь订)и С = (с〃)порядка п:

(b{i = au — arn для 1, ..п, (力订=仪订 в остальных случаях;

,6]/ = &] ДЛЯ / = 1, • • •» ft, 1с" = а〃 в остальных случаях.

Тогда

per (Л) = per (В) + per (С).(4.12)

Далее, по теореме 4.1

Per(0口記产口金唯(4」3)

Разлагая перманент матрицы В по первой строке и применяя теорему 4.1 к В (“ f), получаем

per (В) = Е %, per (8(1 |/))=火(au —a„)per (Л(1 "))》

72Л—1 /ПП / — 1

<ЕЬ-<.)П Х(л(1 也》g(%,F)卫矛廿 =(l咻)也苦%

(4.14)

Неравенство (4.10) следует теперь из (4.12), (4.13) и (4.14), Оценка (4.11) доказывается аналогично индукцией по п (см. задачу 14).■

Следствие 2. Пусть Л — (о订)есть неотрицательная матрица порядка п со строчными суммами 门,...,г小 Тогда

per (用 >тах(^П E<⑷"+ (%⑴一曲;⑴,i) П X<(/), и

per ⑷《開(口 2 W n - (У(1). L %(D)П g % (/),

4.6. Положительно полуопределенные эрмитовы матрицы

В этом разделе мы сформулируем и докажем неравенства для перманентов положительно полуопределенных эрмитовых матриц, элементы которых не обязательно действительные числа. Эти результаты получены Маркусом и Минком [102].

Теорема, 5.1. Если 4 = (а订)есть положительно полуопреде- ленная эрмитова матрица со строчными суммами 门,...,尸力 то

per ⑷》謂严■[["#,(5.1)

Z = 1

если только 5 (Л) X гг =# 0・ Равенство в (5.1) получается тогда и только тогда, когда либо Л содержит нулевую строку, либо ранг Л равен 1.

Доказательство. Так как Л — положительно полуопределен- ная эрмитова матрица, то она есть матрица Грама для неко-

торыл векторов %, ...,加,т. е. а^ ==(X/, X/), i, j = l, ..., л. По теореме 2.2 из гл. 2

%per(4) = ||xi * 尤(5.2)

Полагаем u—^xJ^s^A), Тогда

т. е. и ——вектор единичной длины. Полагая v ~ и^ ...唸 и、замечаем, что по теореме 2.3 из гл. 2 口 ——не нулевой вектор. Применим неравенство Коши — Шварца:

I(X] * ... *%编 V)|2<||%1 * ・•・ * / II2 II и II2；(5.3)

из (5.2) тогда следует, что

4ррег (4)>-^|^* ... * 尤",况* ・・・ * «) P^y^jr J-^ per ((xh 〃))，

Ho

(/，丐) “S S)(/，丐) “S S)riVTWriVTW

(/，丐) “S S)

(/，丐) “S S)

ri

VTW

ri

VTW

/= 1, ..., n. Следовательно,

(5.4)(5.5)(5.4)(5.5)土Per⑷》击4гП,п V=fer| =击詰严口gА Далее,

(5.4)

(5.5)

(5.4)

(5.5)

||t>||2 = ||zz * ... *u\^ = ~ per ((«, ti^ = -^n\ = 1,

и, комбинируя (5.4) и (5.5), получаем неравенство (5.1).

Чтобы (5.1) обращалось в равенство, должно быть равенством (5.3), представляющее собой результат применения неравенства Коши ——Шварца, т. е. %i * ... *хл и v должны быть линейно зависимы. Так как 比=/= 0, то отсюда по теореме 2.3 из гл. 2 следует, что 1) либо X/ = 0 для некоторого 厶 2) либо %/ =з сил для некоторого ненулевого скалярного cz, t = 1, ..., п. Если справедливо утверждение 1, то ясно, что матрица имеет нулевую строку, а если — утверждение 2, то ранг матрицы А равен 1. Обратно, если А имеет нулевую строку, то очевидно, что обе части (5.1) обращаются в нуль. Если же А имеет ранг 1, то

厶 j = 1, .. . , п, И

per (Л) = п! ДI сг I2.

Далее,

Гj = Cj £ 内；

следовательно,

力"f=询%.[2如产 i=l£ = 1/ = 1

И

L = 1 /\i = lE /|/ = 1

Тем самым

П =献 UI Q 卩=per (4),(=1

и доказательство завершено.■

Следствие 1. Если А — дважды стохастическая положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то

per (Л) > nl/nrt.(5.6)

Равенство s (5.6) получается в том 〃 только том случае^ когда А == J„, где /п ——матрица порядка п, все элементы которой равны 1/п.

Условие на равенство следует из того факта, что Jn есть единственная дважды стохастическая матрица порядка п и ранга 1.

Теорема, 5.2. Если Л ——положительно полуопределенная эрмитова матрица с характеристическими числами Ль ...,九力 то

рег(А)》м£|&『％(6.7)

где 自力——произведение координат единичного собственного вектора, соответствующего 九九

Доказательство. Полагаем Л = U*DU, где U унитарна, а

D = diag(九 1,・•・, ХЛ). Используя теорему Бине ——Коши (тео-

рема 1.3 из гл. 2), получаем

per (Л)= Z 7^ Per °* U% 倒)per ((AU) [® 11«])=

3告 G& л

=2 志Чрег(иЗ|1,…，川)？П"、(5.8)

Если мы оставим только последовательности (力...,/), / = = 1, ..., п, и отбросим остальные со из G冷龍,то по (5.8) получается, что

л

per (А)》2 } I per (U ..., / (1п])『九；=

(=1

л и 2п

Т2>П%/ 九；=м! ，国2这. ■ / = 1 j==l/ = 1

Следствие 2. Если все строчные суммы положительно полу- определенной эрмитовой матрицы А порядка п равны 电 то

per(4)》献(^ )"•(5.9)

Границу в теореме 5.2 можно улучшить, оставляя еще один член в (5.8). В нашем следующем результате как бы сочетается граница из теоремы 5.2 с границей из теоремы 2.5 гл. 2.

Теорема, 5.3. Если U — унитарная матрица и А = = U*diag (九 1, ...} AQ U, где Ль Хп неотрицательны, то

per (4)》川 £ I &『А? +1 per (U)『det ⑷(5.10)

(gf определены в теореме 5.2).

Доказательство. В дополнение к последовательностям (/, ..., £), f= 1,...,他 мы оставим в правой части (5.8) последовательность (1, п); другие последовательности из Gn, п мы отбрасываем, как и в доказательстве теоремы 5.2. Тогда из (5.8) следует, что

per (4)戸献 £丿 ^ "?十 I per (U) |2 ft 儿，

и теорема доказана.

2522525005000250253412341212411241О6 оО6 о-3-37 о27 о2052052

2

5

2

2

5

2

50

0

50

0

0

25

0

25

34

12

34

12

12

41

12

41

О

6 о

О

6 о

-3

-3

7 о

2

7 о

2

0

5

2

0

5

2

Пример 5.1. Подсчитаем границы в (5.1), (5.7) и (5.10) для перманентов матриц

Границы для рег(Л):Границы для рег(Л):

Границы для рег(Л):

Границы для рег(Л):

■^Х 462 Х 532 « 1213,

2，((4х4)25о2+(4хП2 252)= 144°

1440 + (鳥『X 1250= 1538.

Фактически рег(А) = 1538.

Аналогично подсчитываем три границы для per (В) и получаем 〜136, 128 и 130. На самом деле перманент В равен 258.

Задачи

Не излишне ли условие Pei■⑷ > 0 в теореме 1.2 (случай t W т、?:

Покажите, что оценки в теореме 1.2, вообще говоря, наилучшие из возможных.

Пусть

0

0

Воспользуйтесь теоремой 2.1, чтобы получить нижнюю границу для per (Л) .

Пусть Л ——матрица из задачи 3. Примените формулу (2.7) для улучшения границы в задаче 3.

Пусть Л — матрица из задачи 3. Получите оценку снизу для рег(Л), применяя теорему 2.1 и формулу (2.7) к столб' цам Л.

Пусть

1* Ли 11 Ли 1*1* и и ии W с1 и и ии и 11 Ли ЛиJ и Ли и иI 11 1181* Ли 11 Ли 1*1* и и ии W с1 и и ии и 11 Ли ЛиJ и Ли и иI 11 118

1* Ли 11 Ли 1

*1* и и и

и W с1 и и ии и 11 Ли ЛиJ и Ли и иI 11 11

8

1* Ли 11 Ли 1

*1* и и и

и W с1 и и ии и 11 Ли ЛиJ и Ли и иI 11 11

8

Используйте теорему 3.2 для получения нижней границы для рег(В).

Пусть В -— матрица из задачи 6. Примените теорему 3.3 для улучшения границы в задаче 6. Какая оценка снизу получается по теореме 2.1?

Докажите неравенство (3.5).

Пусть Л = (а“) есть неотрицательная матрица порядка п и a = mina//. Предположим, что Л содержит подматрицу порядка 团 меньшего п, перманент которой равен р. Каково наименьшее возможное значение для per (Л)?

Покажите, что если каждая строка матрицы Л = (д^) порядка п кратна (1, 1, ..., 1), то левое неравенство (4.3) обращается в равенство, т. е.

per (Л) = П Еi«11

Воспользуйтесь теоремой 4.1 для нахождения нижней границы перманента матрицы

"2112"

一2 2 1 2_

Примените следствие 1 теоремы 4.1 к нахождению нижней границы для per (Л) из задачи 11

.13. Повторите упражнения 11 и 12ржиюльзуя результат теоремы 42

Докажите неравенство (4.11).

Пусть Л = U*DU, где U и D — соответственно унитарная и диагональная матрицы. Используйте метод доказательства

теоремы 5.2 для установления неравенства

per (Л)》I per (U) Р det (Л).

(Замечание： этот результат слабее, чем теорема 2.5 из гл. 2, так как | per ([/) | ^ 1 по следствию 2 теоремы 2.4 из гл. 2.)

Выведите из теоремы 5.2, что если Л — положительно определенная симметрическая дважды стохастическая матрица, то>

per (Л)》n!/nrt.

Объясните, почему в примере 5.1 граница из (5.10) дала точное значение per (Л).

Пусть Л^— множество всех (0, 1)-матриц порядка м, у которых в точности 々 единиц в каждой строке и каждом столбце. Примените теорему 3.2 к нахождению нижней границы для per (Л), Л w Л^.

Докажите, что если А е Л^, то

fe-i

per (Л)》(м — 1)(为一2)+2 ш!.

'П

Глава 5

ГИПОТЕЗА ВАН ДЕР ВАРДЕНА

Теория Маркуса — Ньюмена

Основной причиной недавнего оживления интереса к перманентам послужило появление в 1959 г. классической работы Маркуса и Ньюмена [62] о предположении Ван дер Вардена. Напомним эту гипотезу: если S — дважды стохастическая матрица порядка п, то

per (S)》川/*(1.1)

и равенство в (1.1) может выполняться в том и только том случае, когда S есть Jn ——матрица, все элементы которой равны 1/儿

Несмотря на многие попытки доказать это утверждение, оно все еще остается гипотезой !). В данной главе мы обрисуем современное состояние проблемы.

Маркус и Ньюмен надеялись доказать гипотезу Ван дер Вардена, устанавливая свойства матриц из Q母 с минимальным перманентом, а затем показав, что этими свойствами обладаёг лишь матрица J小 Хотя эта программа и не была выполнена, Маркус и Ньюмен своей работой значительно продвинули исследования, проведенные до настоящего времени в области гипотезы Ван дер Вардена. В данном разделе будут изложены наиболее существенные их результаты.

Назовем дважды стохастическую матрицу Л порядка 〃, для которой

per (X) = min per (S),(1.2)

s叫

минимизирующей матрицей.

Теорема. 1.1 [62]. Минимизирующая матрица вполне неразложима.

Доказательство. Пусть А е Qn 一 минимизирующая матрица, и предположим, что А частично разложима. Тогда по теореме 3.1 из гл. 3 найдутся такие матрицы перестановки Р и Q, что PAQ == В + С, где В 巨 启后 С w Q«-a. Мы покажем, что суще-

Гипотеза Ван дер Вардена доказана. См. стр. 2iQ. — Прим, перед.

ствует дважды стохастическая матрица с меньшим перманентом, чем рег(Д). Так как per (А) > 0, то мы без ущерба для общности можем предположить, что bkk per ((PXQ) (fe | fe)) > 0 и <^ii per((PAQ) (fe + 1 |fe + 1)) > 0. Пусть e — любое положительное число, меньшее min(方左丸,с“), и пусть

G (s) = PAQ ―• £ ©丸 + 以十1 й+1) + £ (" ft+i + 4+1, J・

Тогда G(8)e Qzi и

per (G (e))==per (P4Q)—e per ((/^XQ) (k | 什)+& per ((P4Q)(左 | fe+1))—

一 8 per ((P4Q)伍 + 1 I 力 + 1)) + e per ((P4Q)他 + 1 I 田)+。(喲=

=per(4) — 8[per((PAQ)(^ |期)+ ^r^PAQ)(k + l{k + l))] +

+0(喲,

поскольку per((PAQ) (^|^ + 1)) == per((PXQ) (^ + 11^)) = 0 no теореме Фробениуса — Кёнига. Но per((PAQ) {k\k)) + + per ((PAQ) (^ + 11^ + 1)) > 0； следовательно, для достаточно малого положительного е

per(G ⑻)V per (А).

и А не может быть минимизирующей матрицей.■

В следующей теореме будет доказано фундаментальное свойство минимизирующей матрицы:

Теорема, 1.2. [62]. Если А——минимизирующая матрица, то из ahk > 0 следует, что per (4 (用 | 々))=per (А).

Доказательство. Пусть С (А)——грань наименьшей размерности Qn, содержащая 4 в качестве внутренней точки. Другими словами,

С (Л) == {^ = (хИ) е Qn I xz/ = 0, если (/, /) w Z},

где Z= {(/, /) \ ац = 0}. Тогда С(А) определяется следующими условиями:

i 1 > • * • >

п

修/^：0, Л j = 1,・.•，九；

%订=0, 亿力w Z.

Так как 4 представляет собой абсолютный минимум функции перманента на всем ◎〃 и принадлежит внутренности С (А), она

должна давать относительный минимум для этой функции на С(4). Мы можем, следовательно, ввести множители Лагранжа и построить функцию на С⑷：

F (X) == per (X) — Z % ( £ 勺屯一1 ) — £ 旧(£ 办/ — 1/ = 1\ k=\//=1\ ft=l

(1.3)

Если теперь (г, /)吏 Z, то

dF (Х)/дхц = per (X (i ⑺)一儿一&•

Следовательно,

per (4 (/1 /))=九 + Ц/,(1.4)

поэтому

ппп

per (4)= £ а〃 per (4 (z | /)) = £ atj^i + &) = % + £ q卅八 /=1j=l

(1.6)

i = 1, ,.., п; аналогично

per (A)= Z a订 per (4(/1/))==同+ £ 九皿订， (16)

j ^2 1, . • •, az. Полоид им теперь X ——(九 i, • ♦ •,九母)， ц —(卩1, • ■ • ...,цп), e = (1, ..., 1). Из (1.5) и (1.6) мы получаем, что

per (А)е = К + Лц,(1.7)

per (А)е = Атк + ц.(1.8)

Умножим обе части (1.7) на Аг:

рег(А)е==Ла +АгЛц,(1.9)

так как Атв = е. Вычтем (1.8) из (L9)$

Л^Ац^ц.(1.10)

Аналогично 一

厶=%・(1.11)

Далее, как ATAt так и ААТ вполне неразложимы (см. задачу 11 из гл. 3) и 1 есть простое характеристическое число каждой из них. Следовательно, как Л, так и 出 кратны £； скажем, Л = се, 卩=ds. Из (1.4) получаем, что

рем (А (И /)) = ^ + ^

для всех (厶 j)吏 Z. Таким образом, пп

per (Л)=石 а〃 per (A (Z | /)) = ^аи (c + d) = c + d = per (A (t | /j)

для всех &/)吏 Z.■

Вооруженные теоремой 1.2, мы перейдем теперь к доказательству следующего крупного частного результата по гипотезе Ван дер Вардена, принадлежащего Маркусу и Ньюмену [62].

Теорема, 1.3. Если минимизирующая матрица А порядка и положительна, то

per (Л) = per (/^) = 〃!/胪.

' Доказательство. По теореме 1.2 per (A (z|/)) = per (А) для любых / и /. Полагаем G = /2+ Тогда

per (GA) = у per (Л) + 4 Per (Ad- Aw 4肌&г)) +

+ 彳 рег(42)，*⑵' 43)'4切)，

где per (yb 〃2, .. •, 〃母)обозначает перманент матрицы, строки которой составляют векторы и】,〃2, ..., vn. Но, разлагая per (A(i), А^, 4(з), …，才⑺)по второй строке, получаем

Per (%, 4(i), %4“))=gauPer(4(2|j)) = per(4),

так как per (4 (2|/)) = рег(А(11/)), / = 1, ..., 〃. Точно так же можно* показать, что рег(4⑵，Л(2), 厶⑶，…，A(n)) = per(Д). Отсюда следует, что per(GX) = per(Д). Тем самым GA есть минимизирующая матрица и per((GX) (г|/)) = рег(Д) для любых С и /.

Пусть теперь R, …，Рт — такие матрицы перестановки порядка 孔,что

PGPf = /1 + /2 + /„—3，

P2GP2 = /2 + /2 + /«-4.

Р/г —3G片-з = Лг—3 4~ 丄2 + 71, рП-2Gp工2 =厶_2 +厶，

Тогда легко видеть, что

м = р“-2Gp工2?一 3Gpzз' •• PzGPfP'GP^G

*=(^_2+j2)(jrt_3+J2+zl)---(z2+72+^_4)(/1+/2+4_3)(j2+4_2)

* i— ，•< ■ > • * I12“-242* i— ，•< ■ > • * I12“-242оо0о0Iо0о0I^0о0оо0о0Iо0о0I^0о02*7422*742(1.12)(1.12)

* i— ，•< ■ > • * I1

2“-242

* i— ，•< ■ > • * I1

2“-242

оо0о0

Iо0о0

I^0о0

оо0о0

Iо0о0

I^0о0

2*742

2*742

(1.12)

(1.12)

Матрица Mn дважды стохастическая и примитивная (она фактически вполне неразложима) с максимальным характеристическим числом, равным 1; модули остальных характеристических чисел строго меньше 1 *). Отсюда следует, что

так как Ln ——дважды сзохастическая матрица ранга 1.

Выше мы показали, что умножение слева положительной минимизирующей матрицы на матрицу G дает снова положительную минимизирующую матрицу. Ясно, что умножение на матрицу перестановки приводит к тому же результату. Отсюда получается, что МпА —— положительная минимизирующая мат

рица. Рассуждая таким же образом относительно матрицы МпА, мы убеждаемся, что

per (Af；4) = per (Л)

для любого натурального Л Следовательно,

per (4) = lim per (Af^X) = per (Qim M^ 4) = per (/母4)= =per (/n) = n!/nn.

Мы покажем далее, что может быть только одна положительная минимизирующая матрица. Для этого нужно предварительно доказать одно утверждение, интересное гакже само по себе.

】)Определение и свойства примитивной матрицы см., например, в книге Ф. Р. Гантмахера «Теория матриц» (М.,《Наука», 1967), гл. XIII, § 5. Утверждения о матрице Мп можно доказать индукцией по л, воспользовавшись теоремой 4 гл. XIII этого источника.——Прим, перев.

Теорема 1.4 [62]. Для любой положительной дважды стохастической матрицы 4 声 /„, достаточно близкой к Jn, справедливо

per (Л) > per (/J

Другими словами, функция перманента имеет в /„ строгий локальный минимум.

Доказательство. Пусть L(A) обозначает линейный отрезок, проходящий через Jn и А' и пересекающий границу й^ в В. Таким образом, если asi = minali и 0Q == 1 — nasi > 0, то

8=^(4 —(1-е。)/”)

есть дважды стохастическая матрица, содержащая нулевой элемент, и

LG4)= {S|s = eB —(i—e)〃，о<е<1}.

Ясно, что А = 0ОВ + (1—仇)/代三厶(4). Определим функцию р на отрезке [0, 1] следующим образом:

р0 = per (0В + (1 — 0)/я).

По теореме Маклорена

per ⑷=р(е0) = р(0)+ е°р' (0) + ^聯"(0) +。(喷=

1(1.13)

=per (幻 + 8/ (0) + 4 称"(°)+0(喷.

Мы покажем, что pz(0) = 0 и что р〃(0)> 0. Отсюда получится, что per (А) > per (Д) для достаточно малых 0О. Произведем вычисления по формуле

z, /

следовательно,

Р'(°)= 2 ® -1) Per / (И 力=2 G" - ；) = О- '〃в(1.15)

Из (1.14) получаем, что

p"(0) = 2 (瓦l/) е (b九论一3) per (/及亿们厶々))==

=合w-3)(一+瓦「中)=

= 写券2(仇/一^)2》m-2**(1.16)

так как по крайней мере одно из Ь” равно нулю и потому У (Ьц — 1/п)2^ 1/п2. Итак, р〃(0)>0, и результат следует из

(М3) и (1.15).■

Мы теперь используем теорему 1.4, чтобы получить утверждение о единственности положительной минимизирующей матрицы, если такая существует.

Теорема 1.5 [62]. Если А — положительная минимизирующая матрица, то А = Jn.

Доказательство. Пусть Мп — матрица (1.12). Рассмотрим последовательность матриц

4, МпА, М紹，・・・・(1.17)

Мы покажем, что если А 声 /母,то все члены последовательности (1.17) отличны от /小 Предположим, что КФ Jn и М^ = ]п, Пусть s — наименьшее из целых цоложительных чисел й с таким свойством. Положим ЛГ^1^ = В. Тогда МпВ = =7Л, и все строки МпВ равны (1/〃)е, т. е.

т %+4 %=4 %+z %+у %=

= £г% +詰Г%+ …+4"% = ^е・

Но отсюда вытекает, что

7 (综)+ 8⑵)=% = %=•••= B(*= =ё.

Далее, В — положительная минимизирующая матрица; следовательно, по теореме 1.2 все ее подперманенты порядка п—1 равны между собой. Имеем

per (fi(l|/))= £ b2kper (В(1, 2|/,粉)=

(n — 2)! V' r _ (n — 2)! z 1人、

=n-2 2j b2k —м-2 (1 —匕2/),

/ = 1, ..., n. Таким образом, &2i = &22 = ... = 62* = l/孔 и потому также Ьц = 612 = ... = Ъы = 1/и. Итак, 2 =/小 что

противоречит минимальности числа s. Отсюда заключаем, что все члены последовательности (1.17) отличны от

Тем самым (1.17) есть бесконечная последовательность положительных минимизирующих матриц, отличных от Jn. Из 〃)一>/" следует, что в любой сколь угодно малой окрестности /母=/母4 найдутся матрицы, отличные от /” перманент которых совпадает с per (//г), что противоречит теореме 1.4. Следовательно, предположение, что 4 牛 /母,ложно. Теорема доказана. ， ■

Сассер и Слейтер [168] показали, что на самом' деле Jn —— единственная внутренняя точка й«, в которой достигается относительный минимум функции перманента.

По общему мнению, гипотеза Ван дер Вардена справедлива, хотя и нет никаких сильных доводов в пользу такого заключения. Она не может рассматриваться как «интуитивно ясная》： совершенно не очевидно ни то, что абсолютный минимум не может достигаться на границе Q小 ни то, что такой минимум должен быть единственным. В самом деле, ни одно из этих утверждений не верно в некоторых многогранниках, содержащихся в Q/i. Например, пусть Pi,尸2,尸3 и Р4 суть четыре матрицы перестановки порядка 3, соответствующие перестановкам (1 2 3), (1 3 2),(1 2) и (13), и пусть

「={「={力m力m44 14=29咼，0/>0,44 14=29咼，0/>0,

「={

「={

力m

力m

4

4 14=29咼，0/>0,

4

4 14=29咼，0/>0,

Иными словами, Г состоит из всех дважды стохастических матриц порядка 3 с нулем на месте (1, 1). Легко показать (см. задачу 2), что ■

per (4)》^

для любой Д из Г и что минимум достигается на всех матрицах вида

04I

I9у-0(1.18)

4т-е6

0《е《 1/2, включая матрицы на границе (при 0 = 0 и 0 = = 1/2). Заметим, что все подперманенты порядка 2 матрицы (1.18) равны 1 /4, за исключением перманента подматрицы, об-

разованной последними двумя строками и последними дцумя столбцами, который может принимать все значения между 1/8 и 1/4.

52 Свойства минимизирующих матриц

Мы видели, что если A w Qn есть положительная минимизирующая матрица, то А = Jn (теорема 1.5). В этом разделе мы изучим свойства минимизирующих матриц, отличных от Jn (предполагая их существование). Есть надежда, что такого рода исследование приведет либо к построению минимизирующей матрицы, отличной от /п (что опровергло бы по крайней мере часть гипотезы Ван дер Вардена, утверждающую единственность минимизирующей матрицы), либо к доказательству того, что в минимизирующей матрице не может быть нулей (что доказало бы гипотезу). В настоящее время результаты слишком фрагментарны, чтобы надеяться на решение вопроса таким способом.

Теорему 1.2 и технику, развитую в предыдущем разделе, можно использовать для получения значимой информации о расположении нулей в минимизирующей матрице (если они в ней найдутся).

Теорема 2.1 [62]. рица, то все ее нули столбце).Теорема 2.1 [62]. рица, то все ее нули столбце).Если кф Jn есть минимизирующая мат- не могут лежать 6 одной строке (в одном

Теорема 2.1 [62]. рица, то все ее нули столбце).

Теорема 2.1 [62]. рица, то все ее нули столбце).

Доказательство. Покажем, что предположение о том, что все нули минимизирующей матрицы 4=(〃订)#=/九 лежат в одной строке (или в одном столбце), ведет к противоречию. Пусть 〃□ = 〃12 = ... — а1г 0 и ац > 0 в остальных случаях. Ясно, что г ^ и — 2, так как 4 вполне неразложима. Полагаем N = — /14- Мп-\, где Мп-\ — матрица (1.12), Тогда, поскольку рег(А(/1/)) — рег(Л), i = 2, …，忆 / = 1, ..., п, мы можем показать рассуждением, подобным проведенному при доказательстве теоремы 1.3, что

per (Л^Л) = per (Л),

так что NA — вновь минимизирующая матрица с той же первой строкой, что и у А. Таким образом, №А есть минимизирующая матрица с первой строкой, равной для всех целых положительных Л Так как iim N1 ^ 7П_Ь то же заключе-

ние справедливо для матрицы

i乜-惘

0• ■ •

0

…

1

.1

и-1

п~\』

力7

•

I

•1

1 л

п-1'

7/7

'л-i

Далее, per(厶(11/)) = per(L), / = г + 1, ..., п. Поэтому

(3；3』Ji) = per 亿).

Отсюда следует, что

т. е.Итак,т. е.Итак,1 一生门+1== 1 - a1,22=…. = i-%小的」+1 = 0"+2= ••• ^aln = -^7 -1 一生门+1== 1 - a1,22=…. = i-%小的」+1 = 0"+2= ••• ^aln = -^7 -Per(”7^HlPer(”7^Hl(2.1)(2.1)Функция f (s) = (1 — 1/s)®-1 монотонно убывает с ростом s* поФункция f (s) = (1 — 1/s)®-1 монотонно убывает с ростом s* поэтому占厂/(т「"этому占厂/(т「"

т. е.

Итак,

т. е.

Итак,

1 一生门+1== 1 - a1,22=…. = i-%小

的」+1 = 0"+2= ••• ^aln = -^7 -

1 一生门+1== 1 - a1,22=…. = i-%小

的」+1 = 0"+2= ••• ^aln = -^7 -

Per(”7^Hl

Per(”7^Hl

(2.1)

(2.1)

Функция f (s) = (1 — 1/s)®-1 монотонно убывает с ростом s* по

Функция f (s) = (1 — 1/s)®-1 монотонно убывает с ростом s* по

этому

占厂/(т「"

этому

占厂/(т「"

Из (2.1) теперь следует, что

per (厶)> рег(/“),

что невозможно, так как L — минимизирующая матрица. Отсюда заключаем, что у А все нули не могут лежать в одной строке или в одном столбце. ■

Пример 2.1 [62]. Применим теоремы 1.3 и 2.1 к доказательству гипотезы Ван дер Вардена для п = 3.

Пусть 4 ——минимизирующая матрица, отличная от 73. Она должна быть тогда вполне неразложима, и все ее нули не могут находиться в одной строке или одном столбце. Таким образом.

существуют такие матрицы перестановки Р и Q, что

0a1 — а

R4Q =

b01 —&

-1 — b 1—а а + 方一1-

где OVaVl, OVbVl и а + & ^ 1. По теореме 1.3 per {PAQ (2 13)) = per (PAQ (3 12)) = per (4).

Следовательно,

а (1 — b) = 6(1 — а) = per (Л),(2.2)

откуда а = Ь. Предположим, что а + 6 — 1 > 0. Тогда , per (P4Q (3 13)) = per (Л), т. в.

аЬ^=с^ = per (А).(2.3)

Из (2.2) и (2.3) мы заключаем, что а = b = 1/2, что противоречит предположению о том, что а + &—1 > 0. Но если а + + 6 — 1=0, то мы снова получаем, что а = Ь = 1/2. ТакимИз (2.2) и (2.3) мы заключаем, что а = b = 1/2, что противоречит предположению о том, что а + &—1 > 0. Но если а + + 6 — 1=0, то мы снова получаем, что а = Ь = 1/2. Такимобразом, если 4 — минимизирующая тообразом, если 4 — минимизирующая томатрица, отличная от /3,матрица, отличная от /3,P/Q =P/Q =。4。40011т11т(2.4)(2.4)1Г1Г00

Из (2.2) и (2.3) мы заключаем, что а = b = 1/2, что противоречит предположению о том, что а + &—1 > 0. Но если а + + 6 — 1=0, то мы снова получаем, что а = Ь = 1/2. Таким

Из (2.2) и (2.3) мы заключаем, что а = b = 1/2, что противоречит предположению о том, что а + &—1 > 0. Но если а + + 6 — 1=0, то мы снова получаем, что а = Ь = 1/2. Таким

образом, если 4 — минимизирующая то

образом, если 4 — минимизирующая то

матрица, отличная от /3,

матрица, отличная от /3,

P/Q =

P/Q =

。4

。4

0

0

1

1т

1

1т

(2.4)

(2.4)

1

Г

1

Г

0

0

==2/9, что противоречит==2/9, что противоречитОднако тогда per (X) = 1/4 > per J3

==2/9, что противоречит

==2/9, что противоречит

предположению о минимальности per (Л). Следовательно, /3 — единственная минимизирующая матрица в Q3.

Следующая теорема, принадлежащая Лондону [199], улучшает результат Эберлейна [152], который в свою очередь обобщал теорему 2.1. Установим сначала три предварительных результата.

Лемма 1 [199]. Пусть A^Qn есть минимизирующая матрица. Если строки A(i)и 4(2)имеют одинаковое расположение нулей, то

per⑷=per g(4⑴+4⑵)，^"(/⑴+4住))，4⑶，・.•，4切).

Это доказывается аналогично первой части теоремы 1.3.

Лемма 2 [199]. Пусть A^Qn есть минимизирующая матрица. Если строки A(i),...,力(尼)имеют одинаковое расположе-

ние нулей 〃 остальные строки 4(^+i), ,.., 4(喲 также имеют одинаковое расположение нулей, то

гдегдеper (Л) = per (В),per (Л) = per (В),(Ad +…十％)I k 'In — k(Ad +…十％)I k 'In — kZ = 1, ..., k,(2.5)i =々+ 1,・・.,n.Z = 1, ..., k,(2.5)i =々+ 1,・・.,n.

где

где

per (Л) = per (В),

per (Л) = per (В),

(Ad +…十％)

I k '

In — k

(Ad +…十％)

I k '

In — k

Z = 1, ..., k,

(2.5)

i =々+ 1,・・.,n.

Z = 1, ..., k,

(2.5)

i =々+ 1,・・.,n.

Доказательство. Лемму можно вывести из леммы 1 с помощью той же техники, что была использована при доказательстве теоремы 1.5, исходя из теоремы 1.2 (см. задачу 4).

Лемма 3 [152]. Пусть Е w Q母 есть матрица вида (2.5), т. & В⑴——■ . • * В(总)〃 В(走+i)— ... —■ В(母)* Toada В не мо^сет быть минимизирующей матрицей, если только она не совпадает

Доказательство. Лемму можно доказать почти тем же способом, как теорему 2.1 (см. задачи 5 и 6), или как доказывается теорема 7 в [139].

Теорема, 2.2 [199]. Если 力三 Q* есть минимизирующая матрица А 声 /% то нули 6 ее строках (столбцах) расположены не менее чем тремя различными способами.

Доказательство. Предположим, что имеется только два различных вида расположения нулей у строк (столбцов) А. Без ущерба для общности можно предположить, что 4⑴，4® имеют одинаковое расположение нулей, и то же самое имеет место для А(д+1), ..., 4(母). По лемме 2 рег(Л) = рег(В), где В — матрица из (2.5). Но тогда по лемме 3 Л не может быть минимизирующей матрицей. ■

В [62] было показано, что если А — минимизирующая матрица, то рег(Л(/|/))= per (А), если а订 > 0, и утверждалось, что per(A(i|/)) = рег(А)+ р, если а〃・=0, где р ——неотрицательная константа, не зависящая от i и /. (См. примечание в [128].) Следующий результат Лондона [199] является несколько более слабым вариантом этого недоказанного утверждения:

Теорема 2.3 [199]. Если Л ——минимизирующая матрица 6 £2% то per (力(斗/))^ per (А) для любых г и /.

Доказательство [269]. Для любой матрицы перестановки Р = (ро) и числа 0 из отрезка [0, 1] положим

% (8) = per ((1 — 0)Л + 0Р).

Так как А — минимизирующая матрица, то

%(0)》0

для любой матрицы перестановки Р. Однако

，Z(0) = sE( (- ast + ps^ per (Д (s |/))=

=£ Pst per (4 (s I /)) — 〃 per (Л)= s,

n

=£ per (Л(5 I or (s)))—几 per (Л), s= 1

где о — перестановка, соответствующая Р. Следовательно,

£ per (Д (s 1 a (s))) > n per (А)(2.6)

S==1

для любой перестановки о. Но матрица А вполне неразложима (см. теорему 1.1), и потому по теореме 3.5 из гл. 3 любой элемент матрицы А лежит на некоторой диагонали, все остальные элементы которой положительны. Иными словами, для любой пары (i, /) найдется такая перестановка о, что j = o(j) и а$, о(б)> 0 при s = 1,…，i — 1, i + 1,…，儿 Но это в силу теоремы 1.2 означает, что

per(X(s|o (s))) = per (Л)(2.7)

при s = 1, ..., i— 1, I + 1, ..., п. Из (2.6) и (2.7) теперь по лучается, что

per (Л « I /)) > per (Л), так как / = o(i)・

Некоторые частные результаты.

Теорема Фридленда

Маркус и Ньюмен [79] показали, что гипотеза Ван дер Вардена справедлива для положительно полуопределенных, дважды стохастических матриц (см. следствие 1 разд. 4.5). Этот результат был следующим образом улучшен Маркусом и Минком:

Теорема, 3.1 [144]. Если А — положительно определенная симметрическая дважды стохастическая матрица порядка п с наименьшим характеристическим числом Хп, то

per (А) > per {J^ + 簿(1 — per (〃))•

Результат Маркуса — Ньюмена был распространен Сассером и Слейтером на больший класс дважды стохастических матриц*

Теорема, 3.2 [134]. Если 4 ——нормальная дважды стохастическая матрица с характеристическими числами 储，...,knt для которых

-n/2%& arg儿Wn/2%，

t = 1, ..., n, и A ^= Jn)to

рег(Д) > per (7„).

Этот результат также был улучшен Маркусом и Минком.

Теорема, 3.3 [144], Если А удовлетворяет условиям теоремы 3.2, то

per (А)》per (/〃)+ |-^=^М-/„ II2,

где ||А — //| обозначает евклидову норму матрицы А ——Jn.

Теорема 3.2 была распространена Фридлендом [243] на множество всех дважды стохастических матриц порядка 孔，не обязательно нормальных, у которых числовая область1) содержится в замкнутом секторе [——л/2п, п/2п].

Доказательства теорем 3.1, 3.2 и 3.3 мы опускаем. Теоремы 3.1 и 3.3 требуют довольно изощренной техники, связанной с полилинейной алгеброй; в то же время теоремы Маркуса——Ньюмена и Сассера — Слейтера следуют непосредственно из результата Фридленда. В оставшейся части раздела мы подробно изложим работу Фридленда [243].

Определение 3.1. Если 4 三財也九(С) и 1 ^ г ^ min(m, м), то r-й индуцированной матрицей для Л, обозначаемой 尸厂(4), на- ,772 +尸—1 \/ /г + г — 1 \

зывается матрица размера I 尸 1X1 丁 I с элементами

per (Л [а |0] )/V^(a)[t(P),упорядоченными лексикографически по Gr)m и RwGr,几.

Если Л 三 Mg 〃 (С), а В 三〃小 * (С), то

РГ(АВ) = РГ(А)РГ(В)(3.1)

(см. [92]).

Числовой областью матрицы А е Мп(С) называется множество всех комплексных чисел вида 2 — (Лх, х), где х пробегает единичную сферу II 尤 II = 1 (см. книгу Маркуса и Минка «Обзор по теории матриц и матричных неравенству М»《Наука», 1972, ч. Ш, § 5). — Прим, перед.

Пусть 〃 = (〃ь ..., Un) есть ненулевая выборка комплексных чисел. Определим матрицу Ни условиями

Наи = и и

Н^ = 0 для всех V 三〈〃〉丄.

Ясно, что Ни ——положительно полуопределенная эрмитова матрица с характеристическими числами 1, 0, …，0. Верно также обратное: если А ——эрмитова матрица с характеристическими числами 1, 0, ..., 0, то 4 = Ни)где 〃 определяется однозначно, с точностью до скалярного множителя (см. задачу 7).

Пусть Мп{и) — подмножество Мп{С)'.

Мп (и) = {Л е Мп (С) I Ли = А*и =吟(3・2)

Лемма 1. Для А е Мп(и) полагаем 3 =(力+ 4*)/2. Если В положительно полуопределена, то тем же свойством обладает В —- Ни-

Доказательство. Ясно, что В е Мп(и), а также что (В~Ни)и = 0 и

《В — HJv, и) = (Ви, и)》0

для любого V 三〈优〉丄・ Следовательно, В — Ни положительно полуопределена.■

Если 〃i, ..., ип суть м-выборки, то их симметрическое произведение 犬1 师...柒优母(разд. 2.2) можно определить следующим образом. Пусть G — матрица размера гX ^ с z-й строкой 〃/, I = 1, ..., г. Симметрическое произведение 〃i 締...* иг есть f п + г ~ 1\

I г 1-выборка с п-й координатой per(G[l,г|а])/“й砌

упорядоченная лексикографически по а е Gr, л. Тогда для матрицы С размера т\п

Pr (С) ur = (C〃i) * ... * (С%) (см. [92]).

Лемма 2. Если А е Мп(и) 〃 Рг(Л) + Рг(А*) положительно полу определена, то тем же свойством обладает

Рг (』)+ Рг ①*)D /订、

2— РГ (〃*)•

4 X. Минк

Доказательство. Матрица Р，(4) принадлежит 7И& (и * ... * и), / 〃 + г — 1、

где Л = I г I. В самом деле,

Рг (Л) и * ... * и = (Ли) * ... * (4〃)= 〃东..•歩〃 и

Pг (Л*) 〃东东" =(Л*//)东* (4*况)=〃 * ...东".

Кроме того, Рг(Нц) имеет в точности одно ненулевое характеристическое число 1 и

Р「(Н J 〃 * ... * и~ (Huti)歩...* (Нии) = и * и.

Таким образом, Рг (//м) = //«♦„.*«, и результат следует из леммы 1.■

Пусть е = (1, ..., 1). Ясно, что Не = Jn и Ж(^) есть множество всех комплексных матриц порядка п, у которых все строчные и столбцевые суммы равны 1. В частности, Мп(е) содержит все дважды стохастические матрицы. Из леммы 2 вытекает следующий результат:

Теорема, 3.4. Пусть s матрице 4 порядка п все строчные 〃 столбцевые суммы равны 1 〃 а ——некоторая последовательность из Gr, m Если Рг(Л) + Рг(А^) эрмитова и положительно полуопределена, то

Re (per (Л [а | а])) > r!/nr.(3.3)

Доказательство. Так матрица Рг (4) + Рг (Л*)——2РГ (/„) по лемме 2 положительно полуопределена, элементы ее главной диагонали неотрицательны. Следовательно,

per (Л [а |а]) + рёг'СД [а |а]) — 2 (г\/пг) >0..

Следствие 1 [124]. Если Л——положительно полуопределен- ная симметрическая дважды стохастическая матрица порядка л 〃 а w G「，也,то

per (А [а |cc])^r!/nr.

Введем в рассмотрение более широкий класс матриц, удовлетворяющих предположению теоремы 3.4.

Для положительного числа г пусть Хг и X； означают множества комплексных матриц порядка 〃, числовые области которых лежат соответственно в секторах [—л/2г, л/2г] и (—л/2г, л/2г), т. е.

Xr = {A^ Мп (С) I Re (Лх, %)》| Im (Ах, х) | ctg л/2г} и

X； = {4 三 Мп (С) I Re (Дх, %) > |Im (Ах,尤)| ctg л/2г}.

Очевидно, что Хг и X% можно описать следующим образом: Хг есть множество всех таких комплексных матриц Л порядка п, что Л -|- А* ± i(A — 4*)ctgn/2r положительно полуопределена; X% есть подмножество Х〃 состоящее из таких матриц А, что A-\-A*±i{A — X*)ctgл/2г положительно определена.

Теорема, 3.5. Пусть А ^Мп(С}. Тогда РГ(Л)+ Рг(А*) положительно определена s том 〃 только том случае, когда ①4 巨 X： для некоторого корня(о степени г из единицы.

Доказательство. Пусть КеМг(С); через D(K) обозначим числовую область К, т. е.

D(K) = {nrC|n = (K招 Д f|x ||=1}.

Пусть далее

/У(К)= {2]% =乙之三。(К)}・

Заметим, что О(К) компактна и связна. . Имеем О(К)и и D (Рг (К)), так как■

(匕(к) 尤 * 爲 % * …* %) = (k%,%)二

Предположим теперь, что В⑷+2(4*) положительно определена. Это означает, что 0r(%) содержится в открытой правой полуплоскости, а так как 0(4) связна, она должна содержаться в секторе

{之 | — п/2г < arg <2①)< nj2r),

где ю — корень степени г из 1. Таким образом,

Re (®4尤，х) > I Im (^Ах, %) ] ctg(n/2r)

для любого х #= 0, т. е. (оД 三 Х；・

Чтобы доказать достаточность, положим

В =①力 + шА* и С — Z (соЛ 一 ④力)

Поскольку ①/ w X；, матрица В эрмитова и положительно определена. Следовательно (см. задачу 9), существует такая невырожденная матрица У, что

5 =『У и С = Х”，

где D = diag(di, ..., dQ. Так как В ± ctg(n/2r) С положительно определена, получаем, что

tg (n/2r)>|dz|

для / = 1, п. Полагаем G = diag(gi, ..., gQ =；(厶一也). Тогда .

©Л = УОК

И

I arg(g/) |< л/2г,

/ — 1, ..., п. Следовательно, если а = (аь .»., аг)е Gr, nt то

гаг&П^〈务

I£ = 1

Отсюда следует, что Pr(G) + Pr(G*) положительно определена. Но тогда тем же свойством обладает

匕(з4) + Р,⑥衣)=? (У*) (2 (G) + PAG*))办(У),и потому положительно определена РГ(Д) + РГ{А*) = Рг(юА) +：+2 ®А*)・■

Следствие 2. Если А принадлежит множеству X- то Р「(4) + + Рг(Д*) эрмитова и положительно полуопределена.

Утверждение получается по теореме 3.5 из соображений непрерывности. Непосредственно из теоремы 3.4 и следствия 2 вытекает следующий результат:，

Теорема, 3.6. Если 4 — дважды стохастическая матрица порядка п, числовая область которой содержится 6 замкнутом секторе [——汽/2尸,n/2r], и если ам G，，厶,то

per (Л [а, а]) > г\/пг.

В частности, если г = и и а = (1, ..., п), то per (Л)^п!/ип.

Рассмотрение случая равенства мы опускаем.

Гипотеза Маркуса и Минка

В этом разделе мы сформулируем гипотезу Маркуса и Минка [128] и докажем ее для двух классов дважды стохастических матриц, в которых справедлива гипотеза Ван дер Вардена.

Гипотеза. Если S — дважды стохастическая матрица порядка п 2, то

per (S)> per (空二;).(4.1)

При 〃》4 равенство в (4.1) получается в том 〃 только том случае, когда S =丿小

Для 孔=3 это условие единственности не выполняется (см. задачу 19).

Заметим, что из этой гипотезы следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена. В самом деле, определим отображение из Qn в 0:

f(s)= /“ —君

Если S 抬 /% то по (4.1)

pe『(S) > per (f (S)), и потому

per(S)>per(f(S))>per，(S))

для 左=2, 3, ..., Таким образом,

per (S) >，史 per (产(S)) = per [出n (九十(-1 产 / 三))]==per (/“)=加〃产.

Покажем теперь, что гипотеза верна для дважды стохастических матриц в достаточно малой окрестности /母 и для всех положительно полуопределенных симметрических дважды стохаотических матриц порядка п (ср. с теоремой 1.4 и следствием 1 из разд. 4.5). Но сначала установим один предварительный результат [128]：

Теорема, 4.1. Сумма всех подперманентов порядка 2 действительной матрицы А порядка и, у которой все строчные и столбцевые суммы равны нулю, положительна〉если 4*0.

Доказательство. Обозначим через и& сумму всех подгтерма- нентов А порядка k. Тогда

'3 /) w Q2, л(& ')® Q?, п

Е £ a?s £ 0/7 =-/) R Q2 “ S=11Е £ a?s £ 0/7 =-/) R Q2 “ S=11^^^^alsals,^^^^alsals,

Е £ a?s £ 0/7 =-

/) R Q2 “ S=11

Е £ a?s £ 0/7 =-

/) R Q2 “ S=11

^^^^alsals,

^^^^alsals,

так кактак как£ ait = 0,1, ..., n. Таким образом,i= 1£ ait = 0,1, ..., n. Таким образом,i= 1

так как

так как

£ ait = 0,1, ..., n. Таким образом,

i= 1

£ ait = 0,1, ..., n. Таким образом,

i= 1

/:n n n

%T 2 а65a/S , EEE&№/§s«l (i, /) e Q2^ ns=i( = 1 /=^1^

^-jEEais(~~ ^Zs) = y 2 诡 >0,s=l j=ii, $=■】

и равенство выполнено, если и только если все 仪氾 равны нулю, что эквивалентно А = 0,

Следующие две теоремы получены Маркусом и Минком [128].

Теорема, 4.2. Если S = ($订)есть дважды стохастическая матрица 6 достаточно малой окрестности Jn, то

per (S)》per ( “"J ) •(4.2)

Если м = 2, то (4.2) — равенство. При 〃乡 3 равенство 8 (4.2) получается, если 〃 только если S = Л.

Доказательство. Пусть 4=(a〃) = S ——Л. Тогда А удовлетворяет условиям теоремы 4.1, Поэтому 仃2 > 0, если 4 m 0, т. е. при S 总 Jz Далее, s = 0; следовательно,

per (S) = per (〃 + 4) =*

n! . m—l)l . (n - 2)!.. 2!. 1!,

=疋+-^_6 + -^_°2++正0“-2 + ^0"1 + %=

m! I (八-2)!(〃 一 /)1

^ = 3

С другой стороны,

Per (^^Ft1) = per(4 -击)=

n

/?十 宀2 (n-1)2 十白4t (九一1)'

Поэтому, если n ^ 3, Л ^= 0 и все элементы 4 настолько малы по абсолютной величине, что

"(J占)。? +却-寻5〉…

ТО

per (S) - per (“"J) > o.

Если S 用 In есть дважды стохастическая матрица в столь малой окрестности /母,что выполняется (4.3), то (4.2) не может быть равенством. Конечно, если S = Л, то

S 孔 〃 一s

и (4.2) — просто тождество.

Теорема 4.3. Если S — положительно полуопределенная симметрическая дважды стохастическая матрица, то

per (S)> per (^^jf )•per (S)> per (^^jf )•(4.4)(4.4)

per (S)> per (^^jf )•

per (S)> per (^^jf )•

(4.4)

(4.4)

При 枕 N 3 равенство s (4.4) равносильно тому, что S = /л.

Доказательство. Пусть 1 =厶】^ 九2 N ... ^ Хл ^ 0 суть характеристические числа матрицы S. Так как S и /л перестановочны друг с другом, то характеристические числа (几厶一 —S)/(/z—1) равны

n — 1

Пусть ^! — (1, ..., 1)/Vn，^2,・•・,vn есть ортонормальное множество собственных векторов, общих для S и (п/„——S)/(n—1) и пусть U ——унитарная матрица с Z-й строкой s, i = 1, ..., п. По формуле (5.8) из разд. 4.5

Рег(§= £ 品出”

Y 叫,% I И

/ nJ п — S

Рег(~НГ

где cv ==| per (t/[y 11, ..n]) P,卩(丫)=耳％(丫)！ и 恤(丫)обоз- начает число появлений / в у. Ясно, что

^Дл^^^-д^Д^^у)(4.5)

для любой 丫； следовательно, (4.4) выполняется.

Если (4.4) обращается в равенство, то и (4.5) — равенство при любой р Мы покажем путем надлежащего выбора у, что отсюда вытекают равенства 九2= ... =九冷=0. Пусть U2 = = (%i, ..., xrt), и предположим, что все х^, ..., xt^ не равны нулю, а х/ = 0 при /在{瓦...» /*}. Полагаем 丫 = (丫厶•一, yQ,

где yi = ... = yn~k = 1, а 丫吟总十1 = ... = уя = 2. Тогда

j二麻г(叩"/2-“2乩3"])『

11пп~кпп~кperper(4.6)(4.6)1

1

1

пп~к

пп~к

per

per

(4.6)

(4.6)

(4.6), разлагая его по последним k(4.6), разлагая его по последним k22k\仇一左）!k\仇一左）!Подсчитаем перманент в строкам:

(4.6), разлагая его по последним k

(4.6), разлагая его по последним k

2

2

k\仇一左）!

k\仇一左）!

%=尸

Следовательно, t\ # 0, и равенство в (4.5) означает, что

т. е.入2 = 0. Но тогда 入2 =.…=ХЛ = 0 и дважды стохастическая матрица S имеет ранг 1, поэтому S = Jn. Обратное утверждение очевидно. ■

几J"+ sп + 1几J"+ sп + 1))Уонг [287] доказал неравенство (4.1) для всех дважды стохастических матриц 3-го порядка и сделал предположение:

几J"+ sп + 1

几J"+ sп + 1

)

)

per (S)》per для всех S w йп.

Нижние границы для перманентов дважды стохастических матриц

Маркус и Ньюмен [62] показали, что гипотеза Ван дер Вардена верна при /г = 3 (см. пример 2.1). Эберлейн и Мудхолкар [139] другим методом получили утверждение гипотезы для /г = 3 и 4. Затем Эберлейн [152] установил ее справедливость при п = 5. Глисон [177] передоказал этот результат для случаев и = 3 и /г = 4, использовав совершенно новый подход, который, как он полагает, может решить вопрос о гипотезе Ван дер Вар^ дена с помощью ЭВМ. для /г = 5, а также, вероятно, и больших размеров матриц. Для произвольного п полученные границы значительно меньше, чем 枕！/九".

Всякую дважды стохастическую матрицу А порядка п можно представить (теорема 3.3 гл. 3) в виде

где Pi, ..., Ps суть матрицы перестановки, а 0ь ..., 05 — положительные числа, 2»=1. Следовательно,

per (А)》шах 8；》l/s"・(5.1)

На самом деле, как легко видеть, неравенство в (5.1) строгое (см. задачу 16). Далее, размерность полиэдра Qn равна (м—I)2 (см. задачу ⑺；тем самым каждую дважды стохастическую матрицу можно представить как выпуклую линейную комбинацию не более, чем (м—I)2 + 1, матриц перестановки. Таким образом,

рег(А)>1/((п-1)2+1Г(5.2)

для любой А из ◎力枕？ 2.

П. Эрдёш заметил: если гипотеза Ван дер Вардена справедлива, то для любой 4 w Q"

рег(А)= 2 П«(- а(/)>«!К；

следовательно,

Другими словами, из гипотезы Ван дер Вардена вытекает, что каждая дважды стохастическая матрица порядка п содержит диагональ, у которой произведение элементов не меньше, чем \/пп. Этот факт доказывается в следующей теореме:

Теорема, 5.1 [77]. Для любой дважды стохастической матрицы S = (s“) порядка п найдется такая перестановка о, что

IJsj,。©》方，(5.3)

Равенство s (5.3) равносильно тому, что S = /外

Доказательство. Полагаем

f 伍)= /log/,

если f > 0 и /(0) = 0. Функция f строго выпуклая на отрезке [0, 1]. Поэтому функция 尸 на Qn：

尸(S) = £ f(s“)

строго выпукла на Qn, т. е.

F(OS + (l-0) T}<QF (S) + (1—H)F(T),

0 < 0 < 1, при S #= Т. Для матрицы перестановки Р с единицами на местах (1,2), ..., (л — 1, л), (и, 1) и S ^ й« мы имеем 户(PS) = F(S), и тогда

=尸(〃s)=尸(4)=孔 log (1/脸 причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда 尸5 = S для любого 力 т. е. S = /л.

По теореме 3.2 из гл. 3 в матрице S найдется положительная диагональ. Пусть X — множество всех перестановок а, для которых диагонали (ai, 0(i), ..., ап, а(п)) положительны, и пусть У — соответствующее множество матриц перестановки. Обозна、 чим через Н выпуклую оболочку У. Тогда

max £ log* =max £ p”ogs〃 = max £ log>

》：帛丿 ®i)= F(S)^n log (l/n).

Отсюда следует, что'

maxJJsjoBNr(5.4)

с равенством в том и только том случае, когда S = 7П. Действительно, если в (5.4) — равенство, то F(S) = п log (1 /п) и S — /& Обратное утверждение очевидно.■

Как следует из [101], теорему 5.1 можно улучшить.

Теорема, 5.2. Пусть S = ($胃)есть дважды стохастическая матрица порядка п с h характеристическими числами, равными по модулю 1. Тогда

工^ 0年。田.("一 +；"+r(5・5)

с равенством в том и только том случае, когда 尸SQ =/九一i-i- 4- Jn-h-^x для некоторых матриц перестановки Р и Q, Если S оказывается неприводимой, то

需力电Q伐广需力电Q伐广(6.6)(6.6)

需力电Q伐广

需力电Q伐广

(6.6)

(6.6)

Доказательство мы не приводим.

Очевидно, неравенства (5.3), (5.5) и (5.6) дают оценки снизу для per (S). Эти оценки были фактически наилучшими до тех пор, пока Ротхаус [216] не анонсировал в 1972 г. следующую границу:

Теорема, 5.3. Для дважды стохастической матриц* S порядка п справедливо

per (S) > l/№"・(5.7)

Фридленд предложил простое доказательство (не опубликовано) теоремы 5.3 путем применения неравенства (5.3) к минимизирующей матрице. Пусть

per (А) — min per (S)・

Без ущерба для общности мы можем предположить, что по теореме 5.1

Па*》％・

Далее по теореме 1.2

per (А (/| г)) = per (Л),

X = 1, . . . , п. Ясно, что

per (А (г I г))》口 а” =吋 П &•

Следовательно,

(регИ))п = Прег(Л(г|/))> /=1.

＞也（以苗，）=（*，广＞ 1/俨d）・

Недавно Фридлендом [311] была получена существенно более сильная оценка:

per(S)》l/〃！(5.8)

ствостводля любой S в R磔 В 1976 г. Банг [274] анонсировал неравен*

ство

ство

(5.9)(5.9)per(S)> 1/еп-1

(5.9)

(5.9)

для любой SmC小 Эта граница имеет фактически тот же норя， док величины, что и граница Ван дер Вардена. К моменту выхода книги в свет доказательство (5.9) не было опубликовано.

Задачи

Назовем A ^ Qn локально минимизирующей матрицей, если per (4) W per (S) для любой дважды стохастической матрицы S порядка п в некоторой окрестности А. Покажите, что теоремы 1.1, 1.2 и 2.3 справедливы для локально минимизирующих матриц.

Пусть Г — подполиэдр Q4, описанный в конце разд. 5.1, Покажите, что

per (4)》}

для любой А из Г.,

Пусть А — подполиэдр Q«, состоящий из матриц А = (@订) с S3 = «14 = %2 — 〃24 = @31 =。41 = 0. Покажите, что

per (А) >4(*)

для любой А из Д и найдите все матрицы в А, для которых (弟) обращается в равенство.

Приведите подробное доказательство леммы 2 из разд. 5.2.

Пусть В ——дважды стохастическая матрица порядка п\ предположим, что у В равны между собой k первых строк и равны между собой п —— 左 последних строк. Не используя леммы 3 из разд. 5.2, покажите, что либо ненулевые элементы пер* вых k строк равны между собой, либо ненулевые элементы по следних п ——А строк равны между собой. {Указание, Если В* 耍 /л, мы можем без ущерба для общности предположить, что B(i):=(尤 I, • • •,尤 s, 0,…, 0),力 1, 电 где Xf ^> 0, j = 1,... ...,s. С помощью результата теоремы 1.2 докажите, что Xi = —...==尤§.)

Пусть В ^ fin и В⑴=...=В(尼)=(；,…，3 0,…，0), 5他+i)= ... = В(„). Покажите, что per (В) > per (7rt).

Пусть А — эрмитова матрица с характеристическими чиС" лами 1, 0, ..., 0. Покажите, что А = HUt где Ни — матрица, оп*

ределенная в разд. 5.3, для некоторого вектора и, определенного однозначно, с точностью до скалярного множителя.

Докажите, что если Н эрмитова и положительно определена, то теми же свойствами обладает РГ(Н).

Пусть Н и К эрмитовы матрицы. Покажите, что если Н положительно определена, т。" и К одним унитарным преобразованием приводятся соответственно к /〃 и диагональной матрице.

Пусть

ХГ = {А^ Мп (С) |Re (Ах, х) ^ | Im (4% 尤)| ctg л/2г}

(разд. 5.3). Покажите, что Хг — множество всех таких комплексных матриц А порядка 枕，что 4 + 4* 士» (4——Z*)ctg л/2г положительно полуопределена.

Дайте подробное доказательство следствия 2 из разд. 5.3.

Покажите, что теорема 3.6 влечет за собой теорему 3.2.

Исследуйте гипотезу Маркуса — Минка из разд. 5.4 в случае п = 2.

Докажите гипотезу Маркуса — Минка для дважды стохастических матриц вида

Г 0 а 1 — а"

1 — а 0 а *

-а 1 — а 0 -

Докажите гипотезу Маркуса—Минка для дважды сто хаотических матриц вида

-0а1 — а -

601 - b .

_ 1 — 6 1—а а + & — 1 _

Докажите, что если Л = ^ 力匕，где 匕一матрицы пере-

S

становки, а 0； — такие положительные числа, что £б/ = 1, то per (4)》l/s『i.

Докажите, что размерность % равна (п—1)4

Докажите, что если верно следующее предположение, то справедлива и гипотеза Ван дер Вардена:

Гипотеза. Если Л е Qn есть минимизирующая матрица, то per(4(，|/)) = per (А) для любых 厶 /.

Найдите отличную от 73 матрицу S w Сз, для которой per (S) = per (处 *S).

Глава 6

ВЕРХНИЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ПЕРМАНЕНТОВ

. От Мюира к Юркату и Райзеру

Мюир [14] заметил, что если 4 = (а“)есть матрица 3-го порядка, то-

3

per (А) = П Ssdi + as2i2 + &3/3)，

где /1/2/з — 1 и ii, ，2, ，з суть «символы, подчиняющиеся обычным алгебраическим законам, за исключением того, чтоz^=f^= = 2^ = 0》. Далее он поясняет: с Это почти то же самое, что сказать: per (А) есть коэффициент при xyz в произведении

з

П SsiX + as2y + &3Z).»

S=1

Нет ни малейшего сомнения в том, что Мюир взял матрицу 3-го порядка лишь в качестве иллюстрации, но при этом знал, что его формулу можно обобщить на любую квадратную матрицу. Действительно, пусть 厶,..,,in ——базис ассоциативной линейной алгебры над полем 尸，такой, что.

'也…厶声a 4" = м и胃=。

для всех s и /; если А ——матрица порядка и с элементами из F, то

per (А) /,/2 • • • /га = П Е ад.(1.1)

S=1f=l

Юркат и Райзер [112] предложили следующую реализацию равенства (1.1) в терминах матриц порядка 2". Пусть

Т X Т： о]

Е/ =/区...®/g£g/g ... ®7

есть кронекерово произведение п матриц 2-го порядка с Е на ，-м месте. Ясно, что Е/ —EiEi и £j = 0 для любых i, /, а также что Е、Е? ... Еп — £2» 】есть матрица порядка 2〃 с единицей на месте (2% 1) и нулями на остальных местах. Таким образом, если А ——произвольная матрица порядка 几,то

п п

per ⑷ £\ …斗=П X а〃Е/.(1.2)

Х = 1 /=1

Пусть по определению п

Х(%)) = Х(а“，.. a.t^ = S аиЕ..(1.3)

Тогда

Х(а〃，.air!) = ацЁ[ -|- 2。订£/ =

=а“£®/® …®/ + /®X(。⑵％),

где Х(а，2, ..., агп) —матрица порядка 2"一* определенная, как в (1.3). Следовательно,

「00]

х(e

и для 几? 2

где / и 0 обозначают соответственно тождественную и нулевую матрицу порядка 2^-1. Ясно, что матрица Х(а小...,@切)нижняя треугольная, а также что■

per ⑷E2"j = Ux(4,)(1.4)

Пример 1.1. Если п = 2, то

Если и = 3, то

per ⑷品产 X(4 ⑴)Х (&2))Х (/(з))

О О

%з °々2 О'°а12%1 ОО /]-(Г ~ о-о о%з °々2 О'°а12%1 ОО /]-(Г ~ о-о ооо ~ ~6оо ~ ~6ооо о~~оо о~~о«и0 1al2О I О°々Н ] °"12 ； а13«и0 1al2О I О°々Н ] °"12 ； а13ОООО•х(&2))х(4з))・•х(&2))х(4з))・

%з °

々2 О'°а12

%1 О

О /]

-(Г ~ о-о о

%з °

々2 О'°а12

%1 О

О /]

-(Г ~ о-о о

о

о ~ ~6

о

о ~ ~6

о

о

о о~~о

о о~~о

«и0 1al2О I О

°々Н ] °"12 ； а13

«и0 1al2О I О

°々Н ] °"12 ； а13

О

О

О

О

•х(&2))х(4з))・

•х(&2))х(4з))・

Из (1.4) следует, что при любой матричной норме

丨 per ⑷ I &由 X ⑷))||.(1.5)

t 1

Уилф (не опубликовано) использовал неравенство (1.5) и (спектральную) норму Гильберта для того, чтобы несколько улучшить оценку Минка [84] для перманентов (0,1)-матриц. Юркат и Райзер [112] путем хитроумных комбинаторных манипуляций вывели из (1.4) следующее ниже «экономное равенство», которое выражает per(Д) — элемент на месте (2“，1) в матрице из левой части (1.4)——через произведение матриц, составленных из надлежащим образом размещенных блоков матриц Х(4⑴) из правой части (1.4).

Теорема 1.1 [112]. Если 4 = (а“) есть матрица порядка и, то

per Л = Ц В (4⑴),(1.6)

где Pi(А^) — матрица размера (/_〔) X (；), определенная следующим образом:

片(4m)) Н[%1 …%], 吃(4»))=[。5…&iF

и для 2 WI W 枕一1

Доказательство теоремы опускаем, но проиллюстрируем ее

следующим примером:

021」021」q22产Г⑷= [%1*%3]力二 0q22产Г⑷= [%1*%3]力二 0%з 432 %】%з 432 %】Пример 1.2. Пусть 4 = (а订)есть матрица порядка п. Если и = 2, то

021」

021」

q22

产Г⑷= [%1*%3]力二 0

q22

产Г⑷= [%1*%3]力二 0

%з 432 %】

%з 432 %】

При 孔=3

При 九=4

«22乌3“24[0°°

рег(/) = [%]%2郁％"рег(/) = [%]%2郁％"电1001出34240

рег(/) = [%]%2郁％"

рег(/) = [%]%2郁％"

。“210'%20С%

°°〃2II0%2“23

%%40 ； 0

能2 °434 i °「。44 ，

°"32"33 [ 023

*— - i — —* — I 丄 _1.

"3100 1 %442

О “3[ О【°33 - 4’ *

°° %1[。32

«Экономное равенство》 (1.6) дает следующую оценку сверху:

丨 per ⑷ W 立 II Pt ⑷))||.(1.7)

Юркат и Райзер при помощи (1.7) получили верхние границы для перманентов (0,1)-матриц, неотрицательных матриц и т. д. Некоторые из этих результатов мы приведем в следующих разделах этой главы.

. (0,1)-матрицы

В 1960 г. Райзер [68] предположил, что в классе (0, I)-матриц порядка vk со строчными и столбцевыми суммами, равными А, максимум перманента достигается на прямой сумме матриц порядка 应，составленных из единиц. Минк в 1963 г. [84] сделал

предположение о том, что если А есть (0, 1)-матрица порядка л со строчными суммами г：,,..,厂切 то

рег(Л)<П(гг!)1/Гг,(2.1)

и доказал, что

регИХЦ-^—(2.2)

(см. задачи 3 и 4). Ясно, что предположение Райзера является следствием предположения Минка. Из последнего следует также (2,2), поскольку (ql) ' есть среднее геометрическое первых г，натуральных чисел, в то время как (г± + 1)/2 ——их среднее арифметическое.

Юркат и Райзер [112], Минк [132], Уилф [147], Ниенюис и Уилф [182, 183] получили различные оценки, представляющие собой ослабленные варианты (2J), но более сильные, чем (2.2).

Минк [84,250] доказал (2.1) для всех матриц, строчные суммы которых не превосходят 8. Наконец, в 1973 г. Брэгману [219] удалось доказать предположение Минка и гем самым предположение Райзера. Ниже мы приводим доказательство (2.1)； принадлежащее Шриверу [360], которое проще, чем доказательство Брэгмана. Нам потребуются следующие вспомогательные результаты.

Лемма 1. Если /ь ..., /г суть неотрицательные действительные числа, то

(&+...+ /,)/r)Y …+亏 &小…々 (2.3)

(в этой формуле 0° полагаем равным 1).

Лемма следует непосредственно из выпуклости функции xlogx. Действительно,

九 + … +" ]0g 八十 … +tr v 介log力 + .… +еr log tf.

умножая на г и беря экспоненту обеих частей, приходим к (2.3).

Лемма 2. Пусть А = (а“) есть (0, I)-матрица порядка n>S — множество всех таких перестановок о, что П^/аг = I- Тогда

П П (per A (z I /?))рег А <г 1У = п ,Г1 per (A (Z | az))(2.4)

a；rl

u

中*』旦巾•⑵5)

Доказательство. Для данных i и 力 число сомножителей per(A(i\k) в левой части (2.4) равно per(A(z|/?)), если Фй == 1, и нулю в противном случае, Число таких сомножителей в правой части (2.4) равняется числу перестановок а из S, для которых ы = k, оно есть рег(4(“^)) или нуль при а^ == 1 или 0 соответственно..

Легко видеть также, что при данном ，число сомножителей в обеих частях (2.5) равно per (А).

Теорема 2.1. Пусть 4 = (а决)есть (0, \)-матрица порядка л со строчными суммами 门,...,厂期 Тогда

per (4)《II г,! ".(2.6)

Доказательство [303]. Применим индукцию по и. По лемме 1

(per A)n per Л=П (per Л)рег "=g“优 Per A(z I 期丿&

&也(岁rП per4 (方间2

и, таким образом, по лемме 2

(per Д)" Р" У g ((JIj J (g per A «⑺)).

Применим теперь предположение индукции к каждой из 4(斗亩)：

ПрегД(/|ш)<П/ £ г严)(Пг (О -、匕0严О' '%0广1

=近!(f)/%1卢7)/(L)./=1=近!(f)/%1卢7)/(L)./=1(…"S‘(…"S‘

=近!(f)/%1卢7)/(L).

/=1

=近!(f)/%1卢7)/(L).

/=1

(…"S‘

(…"S‘

Первое из равенств ——результат изменения порядка умножения, а второе получается путем подсчета сомножителей г^г^ и (勺一1)『“" °. Ясно, что при фиксированных си / число индексов

厶 для которых i#=/ и а/, ог- = 0, равно и ——〃，а число тех 厶 для которых /#= / и @/,6 =1, равно г/ — 1 (так как @/,仃/=1)・ Следовательно, 一

(per А)"侬у njfftrz)(串/!("Р仍(0-1)!)] =

=11小产）=（亿产了i

и теорема доказана.■

Из неравенства (2.6) следует справедливость предположения Райзера, Однако неизвестно, каков максимум перманента в классе (0,1)-матриц порядка nek единицами в каждой строке и каждом столбце, когда и не делится на k.

Очевидно, что граница из (2.6) не действительна для произвольных матриц с целыми неотрицательными элементами. Фо- реггер [262] получил следующую оценку для перманентов таких матриц:

Теорема, 2.2. Если А — вполне неразложимая матрица порядка п с неотрицательными целыми элементами, то

рег(Л)<25(Л)~2га+ 1,(2.7)

где s(4) обозначает сумму элементов 8 А.

За доказательством отсылаем читателя к [262], где даются также условия равенства в (2.7).

Границы в (2.6) и (2.7) не сравнимы. Если все строчные суммы вполне неразложимой (0,1)-матрицы больше чем 2, то теорема 2.1 дает лучшую оценку; если же некоторые из строчных сумм равны 2, то лучшую оценку может дать теорема 2.2 (см. задачу 6).

. Неотрицательные матрицы

В разд. 4.4 мы указали нижние и верхние границы для перманентов неотрицательных матриц (теоремы 4.1 и 4.2). Для удобства ссылок приведем здесь эти верхние границы. Их можно доказать, применяя с надлежащими изменениями метод, использованный в разд. 4.4.

Если а = (аь ..., ал) есть n-выборка действительных чисел, то пусть а；》а；》•…> а； и а： &必忘.• •《* суть те же числа, расположенные соответственно в порядке невозрастания и неубывания.

Теорема 3.1 [112, 161]. Пусть А = (а^) есть неотрицательная матрица порядка п. Тогда

per (Л) Е min立力*(3.1)

Если Л положительна, то равенство 6 (3.1) получается в том и только том случае, когда Л содержит подматрицу размера (п——1 )Х^, все строки которой кратны (1, 1,1).

Доказательство условия равенства см. в [161].

Теорема 3.2 [161]. Если А = (а〃) есть неотрицательная матрица порядка п, то

per ⑷ ^П E aik-(nan -г^Д E 喩

1 = 1 fe= 111=2 k= 1

Пример 3.1. Пусть

Г2 11"

Л = 1 2 1 .

-1 1 2 -

Тогда границы теорем 3.1 и 3.2 равны соответственно 24 и 20, а перманент 4 равен 16.

Если 4 = (а〃)есть неотрицательная матрица со строчными суммами 门,...,гп и столбцевыми суммами 仃,・••, с办 то очевидно, что

per (А) <П^

i = 1

(3⑵

и аналогично

per (ЛХПс；.

(3.3)

Следовательно,

per (Л)《min (岁』)

(3.4)

Юркат и Райзер [126] получили следующий результат, улучшающий оценку (3.4):

Теорема 3.3. Если Л ——неотрицательная матрица со строчными суммами п &「2 W . •・• W「门 〃 столбцевыми суммами С1 ^^ С? ^^ . • • ^^ Сц, то

рег(А)Птш(Гр 哈.(3.5)

Нам нужна следующая лемма: если а】,...,а# и 仇,...,&л суть неотрицательные действительные числа, то

文 min @,分)《U min (а；,砲.(3.6)

Лемма без труда доказывается индукцией по и.

Переходим к доказательству теоремы. Без ущерба для общности можем предположить, что 厂1 W W 厂门,CiW ・・・ … ^ сп и 门 W % Для любого /, 1 W j W 枕，через %/ обозначим 4(11/), а строчные и столбцевые суммы А/ ——соответственно через 厂2(4), •••, %(4) и 仃(4)一.・，с」т(4), см(А,). ... ...,Cn(Aj). Пусть ($1,$2, •••, Sn-i) — такая перестановка (2,3,и), что

=" (%) 《分2("9一⑷)，

а (厶,%，・・・, ^-i)—такая перестановка (1, ..., j—I, j+1, -•

...孔)，口T0

% (4) wa2(4)《…а С%т ⑷)，

Применим индукцию по п. Разлагая перманент А по первой строке и используя тот факт, что rs (4/)&г$ и ct (/『)《с для любого /, получаем

per ⑷=斉旬 per (Лу) & 石 ％ П min (rSfe ⑷，с% ⑷)<

令"gminQ, %)

Но в силу леммы п-\/п

g min ("с% 尸悪 min&, *),乩 min(r“ q).

Так как min(〃，с；т)《min(&, d) для всех i, то отсюда следует, что,

п пп

per ⑷ < Е ai/П min 亿，q) = П min (r,・，q),

так как ^i/ = ri = min(rb %)・■

Теорема 3.3 улучшает границу в (3.4). Примечателен тот факт, что подобное улучшение невозможно при других оценках. Например, -

per(X)<min(n^，

(см, неравенство (2.2)). Однако оценка

'per (А) < Д min (-^―.'彳】),

вообще говоря, не верна (контрпример см. в [126]; см. также задачу 12).'

. Комплексные матрицы

Некоторые из полученных в предыдущем разделе верхних границ для перманентов неотрицательных матриц имеют свои аналоги для комплексных матриц. Действительно, из неравенства треугольника | per (А) ] & per (14 ]), что можно использовать для вывода верхних границ перманентов комплексных матриц. Например, из неравенства (3.4) получается, что

I per (А) I < min Рь П <7/ j •(4.1)

где 円=£ I а〃 I, %= Е I %/1, Л /= 1, • •«, а нз (3.5) еле-

s=lt=l

дует, что

I per (Л) К П min (“, 4).(4.2)

Аналогично из (3.1) вытекает, что

|per(4)|& min П £/*•(4.3)

guS“ i = l ^ = l 1

В этом разделе мы представим более интересные и менее прямолинейные неравенства: оценки сверху перманентов нормальных, а также общего вида комплексных матриц в терминах их характеристических чисел и сингулярных чисел соответственно. Все эти результаты принадлежат Маркусу и Минку [93, 102,116].

Теорема, 4.1. Если А — нормальная матрица порядка п с характеристическими числами Xi, ..., Х«, то

mг(4)1号虫儿匕(4.4)

Для п > 2 равенство 6 (4.4) может достигаться тогда и только тогда, когда Л — скалярное кратное унитарной матрицы, имею*

щей 6 точности один ненулевой элемент s каждой строке и каждом столбце.

Нам потребуются два предварительных результата. Первый из них нам уже встречался (см. формулу (5.8) в разд. 4.5).

Лемма 1. Если А = U*DU, где U — унитарная матрица порядка nt a D = diag(九 1,...,統)，т。

рег(4)= £ 出I per(t/[Yl 1，…，九]芥叮*")，(4.5)

где m/(v) обозначает число появлений / в последовательности

ywG…，a v(Y)= n^z(Y)!-

Формулу (4.5) можно использовать для вывода соотношения между перманентами некоторых матриц, конструируемых из строк унитарной матрицы. Рассматривая Хь ..., Кп как переменные, дифференцируя по Xs обе части (4.5) и подставляя в полученное равенство значения 九/ = 1, f= 1, ..., и, получаем следующий результат:

Лемма 2. Если U — унитарная матрица порядка n, a s — целое число, 1 s м, то

£ ^4per(U[Yll，•…»])12=1.(4.6)

Доказательство теоремы 4.1. Пусть А — U*DU, где U унитарна, a D = diag(Xi,...,入门). Для последовательности 丫 из Gn, п полагаем

^У = 1 per(t/[y 11, и]) I2.

Тогда по лемме 1

I per (%) 1 = X爲立中⑺kZ諮"立1儿")&

< 2蒜(42加№»儿I)工2語上％(»儿『

Y巨”,"' I' VeОn,nI

Первое неравенство — следствие неравенства треугольника, второе следует из соотношения между средним арифметическим и

средним геометрическим, а третье справедливо в силу более общей теоремы о взвешенном среднем (см. [44], теорема 16). Последнее равенство получается из леммы 2.

За доказательством случая равенства, который несколько сложнее, читатель отсылается к [116].■

Если Л—эрмитова положительно полуопределенная матрица с характеристическими числами 九i 注...力九也 н з w Q弘力 то из теоремы 4.1 и неравенств Коши (см., например, [92, гл. II, разд. 4.4.7]) следует, что

per⑷3|叫《^£冰(4.7)

С другой стороны, если Л — нормальная дважды стохастическая матрица, то теорема 4.1 показывает, что

per (a) 《 p (4)加.(4.8)

Это действительно так, потому что характеристические числа матрицы А по модулю не превосходят единицы и в точности р(4) из них отличны от нуля.

Можно расширить результат теоремы 4.1 на случай произвольных квадратных комплексных матриц. Напомним, что сингулярными числами комплексной квадратной матрицы А называются квадратные корни характеристических чисел матрицы ЛА*. Комбинируя теорему 4.1 и следствие 1 теоремы 2.4 из гл. 2, получаем следующую верхнюю границу для перманентов комплексных матриц, не обязательство нормальных.

Теорема, 4.2. Если А ——комплексная матрица порядка л с сингулярными числами аь ..,,仪办 то

|рег(Л) 12<^-£аГ-(4.9)

Равенство в (4.9) справедливо тогда “ только тогда, когда 4 = QP, где Q = diag(必，・…，或)，|必|= ... =\dn\) a P — матрица перестановки.

Рассмотрение случая равенства мы оставляем в качестве упражнения (задача 15).

Пример 4.1. Покажем, что если А — произвольная дважды стохастическая матрица порядка и, то

рег(А)<(р(А)/п)1/2.(4.10)

По следствию 1 теоремы 2.4 из гл. 2 и неравенству (4.8) получаем

(per (А))2 < per АЛ* < р(АА*)/п = р (Л)/п.

Задачи

Пусть 4f—.матрица размера 广％ X% для f ~ 1,..,,比 Покажите, что строчные суммы А： 0 .*. ®4克 равны

g %⑷，

где г% (А/ обозначает 〃-ю строчную сумму At, а индексы 〃 независимо пробегают все целые числа 1 W 厶 W m〃 i = 1, ..., й.

Пусть 4 = (а〃) есть матрица порядка и. Покажите, что из неравенства (1.5) следует неравенство

I per (Д) К П Е I。" I-

Пусть гь ..., гс 一 положительные целые числа. Покажите, что

z-l J I '

(см. [84]) с равенством в том и только том случае, когда с《2 и либо п, либо「2 равны 1.

Используя теорему 2.1, докажите, что если А есть (0, 1)^ матрица порядка п со строчными суммами 门,...,гп)то

(Указание： разложите перманент по первому столбцу, используйте индукцию по и и примените неравенство задачи 3.)

Покажите, что оценка в теореме 2.1 не справедлива для матриц с неотрицательными целыми элементами.

Найдите вполне неразложимую (0,1)-матрицу с перманентом, большим 2, для которой теорема 2.2 дает лучшую оцен* ку, чем теорема 2.1.

Покажите, что верхняя граница в теореме 2.2, вообще го* воря, не справедлива для частично разложимых матриц.

Покажите, что верхняя граница в теореме 2.2 не справед^ лива для произвольных неотрицательных матриц.

Докажите теорему 3.1 (см. теорему 4.1 из гл. 4).

Докажите теорему 3.2 (см. теорему 4.2 из гл. 4).

Докажите неравенство (3.6).

Пусть А обозначает (0, 1)-матрицу порядка л со строчными суммами 门,••・,гп и столбцевыми суммами з, ..., с* Покажите, что замечание, сделанное в конце разд. 6,3, приме*

нимо также к теореме 2.1, т. е. неравенство

per (4) & R min (%!忆，G”') ‘

вообще говоря, не выполняется.

「/ 7「10]

(Указание： рассмотрите матрицуЛ — I j 丿」，где / = ° J

а/=[1一

(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-2'11 -2'11 -Вычислите верхние границы риц /3, 4*(/з + Р),厶 н

(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-

(4.4), (4.8) и (4.9) для мат-

2'

1

1 -

2'

1

1 -

ГО 2

8 = } 2 1

L2 1

Сравните полученные границы со значениями перманентов матриц.

Пусть 4 — нормальная матрица второго порядка с характеристическими числами 入 1 и 入2・ Найдите необходимое и достаточное условие того, чтобы | per (Д) | = у (|A,I I2 + | Л212)*

Выведите условие равенства в теореме 4.2.

•16. Дайте подробное доказательство леммы 2 из разд. 6.4.

Глава 7

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРМАНЕНТОВ

Метод Бине — Минка

Вычисление перманента матрицы порядка п исходя просто из определения или с помощью разложения Лапласа требует °((九+ 1)!) умножений. Это большое число операций не может быть сокращено триангуляризацией (как в случае детерминантов), поскольку элементарные преобразования, оставляющие инвариантным детерминант матрицы, изменяют, вообще говоря, ее перманент. В этой главе мы изложим методы, требующие значительно меньшего числа умножений, чем。((九十 1)!). Сравнение достоинств этих методов будет произведено в конце главы.

Пусть А = (atj) есть матрица размера m X ^ над произвольным коммутативным кольцом. Через г^ обозначим сумму элементов в произведении Адамара строк 九,...,厶 матрицы Л, т. е.

%%=2产円6v

Определим G (m) как множество неубывающих последовательностей таких целых положительных чисел (£卜f尼),что 厶 + •. • + tk = ^. Для (厶,...,<й)^ G(m) назовем S-функцией симметризованную сумму 5(6» ..., %) всех различных произведений элементов г^ , s = /“ ・・・,人,так что вкаж- дом произведении последовательности (厶，…，is)^ Qs,m> s = =6, ..., tk, образуют разбиение множества {1, ，一, m} (разд. 1.2).

Бине [1] дал следующие формулы:

Если Л ——матрица размера 2X ^> то.

Per(4) = S(l, 1)-S(2);(1.1)

если 力一матрица размера 3 X м, то

Per(4) = S(l, 1, 1)-S(1, 2) + S⑶；(1.2)

если Л — матрица размера 4 X & то

Per (4) = S(1, 1, 1, 1)-S(1, 1, 2)十23(1, 3) + S(2, 2) — 6S(4)・

(1.3)

Мы выведем сейчас рекуррентную формулу для перманентов матриц размера m X ^, т ^ п. Эта формула найдена Минком [303] и основывается до некоторой степени на доказательстве Иоахимсталя [5] формул Бине.

Теорема, 1.1. Пусть 4 =(〃订)есть матрица размера m X и, 2 W m W п. Тогда

Рег(Л) = Per (A(m\—)) rm + ш-1

+ 2(-1产标 е рег(4(3,他 |一))%“，(1.4)

где Per (Л (со, m\—)) равен 1 при со = (1, ..., m—1) 〃小* 加― сокращенное обозначение ° 人兄『八*

Доказательство. Каждый из членов разложения Per (Л) появляется в первом слагаемом Per (Л (т|——))rm правой части (1.4) с коэффициентом 1 и не появляется ни в каком другом слагаемом. Остальные члены в различных слагаемых правой части (1.4) имеют вид

а1^1а1г1 • • • aisiami 工I 0山，(L5)

где 1 & s W/и—1,(瓦...,6n-i) есть перестановка (1,...

m — 1), a /, /叶卜...,/m-i — различные целые числа из {1, ..., л}. Остается показать, что сумма коэффигнк-итов при каждом члене (1.5) в слагаемых

(一及左兀》；nPerG4(s, т|—)),(1.6)

①三 Qh,mf 力=0, 1, .•・，m—1, равна нулю. [Для 々=0 выражение (1.6) интерпретируется как rm Рег(Л(т]——)).] Каждый член (1.5) появляется в точности один раз в r^^ Per (Л (со, m | ——)), где ^ = (iv .•・, 4)®Qs, шт， и по одному разу в каждом из s слагаемых r^$m Per (Л (o>, m |—)), если swQ$T,m_i есть подпоследовательность (厶,...,is). Итак, член (1.5) входит в правую часть (1.4) с коэффициентом

(-l)s s! + s ((- l)s-1 (s - 1)!)= 0.|

Формулу (1.4) можно использовать для вывода в явном Енде формулы для перманента матрицы А размера m X ^ че^

рез функции S((o). Коэффициенты в формуле, конечно, зависят от разбиений т.

Теорема 1.2 [341]. Пусть Л — матрица.размера тХ孔，2《 ^ т^п. Тогда

Рег(4)= £ c(s)S(s),(1.7)

где коэффициент с (①)для (о = (й)ь ….，①Q из G (/и) определяется как

с(з) = (—1 严哨(叫一1)!.(1.8)

Доказательство. Формула (1.7) утверждает, что Per (Л) есть линейная комбинация S-функций. Но это ——непосредственное следствие теоремы 1.1 в силу симметричности функции перманента относительно строк матрицы. Остается доказать формулу (1.8), которая дает коэффициенты c(s). Пусть 汾= (si,... •…sQwG(/n). Если ^ = 1, то 5(叫=厶一 .*团 и по (1.4) c(s)—(——l)^-1 (m ——1)!. Применим теперь индукцию по 加 Пусть a w Qs т m-i； рассмотрим члены % * m Per (A (a, m | —)) [или 尸加 Per (Д (m|——))в случае o)i = 1], принадлежащие S(со). Это —— члены %*^总(吗，•…，%) [или rmS ((02,...,①Q], и они появляются с коэффициентом (—1)佃 т (д — 1)! с (网，①点，который в силу симметрии есть коэффициент при S(s) в (1.7). Следовательно, по предположению индукции мы получаем

с (①) = (—1)"1 (со】—1)! с®2,…，sQ =

=(—炉1(3]一 1)!(—I)mf+Jli(g— 1)! =

=(—[严F®l1)!.

Пример 1.1. Мы получим тождество, связывающее коэффициенты c(s) с |S(s)| — числом членов в S(co) (см. задачу 3 из гл. 1).'

Рассмотрим матрицу 4/ порядка т, у которой все строки состоят из / единиц с последующими т — t нулями. Тогда по (1.7)

per ⑷= 2 c{3)S(s)= £ c(s)|S®)|/2,(ou G (m)(0 e G (m)

где |(o| обозначает число целых чисел в последовательности ①* Но per (At) обращается в нуль при f = 0, 1, ..., т ——1, поэтому

где Em—色 обозначает (т —— 力)・ю элементарную симметричную функцию от 1, 2, ..., m — 1, £0 = 1. Отсюда- следует, что

■ Z С(8)15(8)1 = (—1)』…

I s |=fe

■212-1-2*力=12020-11-1-11■212-1-2*力=12020-11-1-11Пример 1.2. Вычислим перманент матрицыПример 1.2. Вычислим перманент матрицы门=2, Q = 5,『3=1；r2*3= 1，外*3 = 0，r1 *2 = 2； 「1*2 *3 = 6.门=2, Q = 5,『3=1；r2*3= 1，外*3 = 0，r1 *2 = 2； 「1*2 *3 = 6.ЗдесьЗдесь

■2

1

2

-1

-2*

力=

1

2

0

2

0

-1

1

-1

-1

1

■2

1

2

-1

-2*

力=

1

2

0

2

0

-1

1

-1

-1

1

Пример 1.2. Вычислим перманент матрицы

Пример 1.2. Вычислим перманент матрицы

门=2, Q = 5,『3=1；

r2*3= 1，外*3 = 0，r1 *2 = 2； 「1*2 *3 = 6.

门=2, Q = 5,『3=1；

r2*3= 1，外*3 = 0，r1 *2 = 2； 「1*2 *3 = 6.

Здесь

Здесь

Следовательно,.

S(l, 1, 1)=10,

5(1, 2) = 4,

*^3) = 6, и

Рег(Л)=10 —44-2X6 = 13

Метод Райзера

Формула Райзера [87] для вычисления перманентов основывается на принципе включения ——исключения. По сути дела исходной точкой метода Райзера, как и метода Бине ——Минка, являются произведения строчных сумм матрицы, из которых затем отбрасываются лишние члены. Однако сами процедуры включения и исключения в этих двух методах различны.

Пусть Л — матрица размера т 乂 я, т W п, и пусть Л* обозначает совокупность всех подматриц Л размера m X й, т. е.

Afe = M(-|₽)|₽eQrt_fe,n}.

Формула Райзера утверждает [87]:

Per(4)= £ 也(X) —「一£ Й>(Х)十…

(2.1)(2.1)…+(—l)，「i + r) £ 也(X)+…+(-1尸卜二2也阳.

(2.1)

(2.1)

Доказательство (2.1) совершенно прямолинейно; мы переносим его в упражнения (см. задачу 1).

Формулу Райзера можно модифицировать так, чтобы первое слагаемое заменилось на произведение строчных сумм:

Рег(Л) = Пг/(Л)+Е cf £ 口々阳， (2.2) i = lЛ Л е Лт„^ i = l

11 L /孔一加 一 力、 7 CI

где q = —• I, a ct~ ~ \力=2,…，俏一L

t-r 丿

Докажем формулу (2.2). Первое слагаемое в правой части, П Г/ (Л), содержит все диагональные произведения, входящие в Per (Л), и, кроме того, произведения, включающие два и более элементов одного и того же столбца. Другие слагаемые, т

Ц rf (X), X е Л^_/, /=1, …，т — 1 содержат лишь произведения второго типа, Т. е. ^^С12^ • • ' ат^ С (Sl， .•.，Wm) из Gm, п — Qm,小 Покажем, что сумма коэффициентов при каждом таком произведении в правой части (2.2) равна нулю. Пусть ① =(о)ь ..., Sm)wGs, " есть неубывающая последовательность, в которой ①『принимают в точности 0 различных значений, 1《 W 力 Wm ——1. Произведение ^а2^ ... ^тФт появляется один ГП

раз в Ц г( (Л) и по одному разу в каждом из тех слагаемых т

II 力(X), для которых матрица X содержит k столбцов с номе-

рами ИЗ «1, ...» (От； число/ п 一 k 、1, f 1»1, ■ • • т\m — t — h )циентов при 〃必&耽・…%9n ]1十2( t=l 'Ho1 + 2= i + ‘£ \m-t-kJ= l+<по определению с? в (2,2).таких матриц Л в А*/ равно -k. Следовательно, сумма коэффи- в правой части (2.2) равна* A ]Ct'Ш - t — k /zn-fe-lСf n~m+(m-k)\рами ИЗ «1, ...» (От； число/ п 一 k 、1, f 1»1, ■ • • т\m — t — h )циентов при 〃必&耽・…%9n ]1十2( t=l 'Ho1 + 2= i + ‘£ \m-t-kJ= l+<по определению с? в (2,2).таких матриц Л в А*/ равно -k. Следовательно, сумма коэффи- в правой части (2.2) равна* A ]Ct'Ш - t — k /zn-fe-lСf n~m+(m-k)\

рами ИЗ «1, ...» (От； число

/ п 一 k 、

1, f 1»1, ■ • • т

\m — t — h )

циентов при 〃必&耽・…%9n ]

1十2( t=l '

Ho

1 + 2= i + ‘

£ \m-t-kJ

= l+<

по определению с? в (2,2).

таких матриц Л в А*/ равно -k. Следовательно, сумма коэффи- в правой части (2.2) равна

* A ]Ct'

Ш - t — k /

zn-fe-l

Сf n~m+(m-k)\

рами ИЗ «1, ...» (От； число

/ п 一 k 、

1, f 1»1, ■ • • т

\m — t — h )

циентов при 〃必&耽・…%9n ]

1十2( t=l '

Ho

1 + 2= i + ‘

£ \m-t-kJ

= l+<

по определению с? в (2,2).

таких матриц Л в А*/ равно -k. Следовательно, сумма коэффи- в правой части (2.2) равна

* A ]Ct'

Ш - t — k /

zn-fe-l

Сf n~m+(m-k)\

При т — п обе формулы (2.1) и (2.2) принимают вид

п—1п

per(4)=Z (—1)' £ П〃(Х).(2.3)

Пример 2.1. Возьмем матрицу Л из примера 1.2. Вычислим Per (Л), используя формулу (2.1):

2 П(Х)“(Х)，з(Х) = 12,

Хе Аз

£ П(Х)Г2(Х)，з(Х) = 10,

X号А?

£ а(Х"2(Х)Гз(Х) = 6.

Хе At

Следовательно,

рег(4)=12 —3* 10 + 6义6=18.

В то же время, применяя формулу (2.2), получаем

Per (Л) = 10 — 10 + 3 X 6 = 18.

Следует подчеркнуть, что ряды в формулах (2.1) и (2.2) не сходятся к Per (Л)： сумма первых m—1 членов не есть, вообще говоря, приближенное значение перманента Л. Например, для только что рассматривавшейся матрицы суммы первых двух членов равны соответственно ——18 и 0, в то время как пер^ манент равен 18.

Сравнение методов вычисления

Эффективность того или иного метода вычисления перманентов можно измерить числом требуемых умножений. Так, для вычисления перманента матрицы размера m X ^, исходя непосредственно из определения с использованием разложения Лапласа или без него, необходимо произвести (т——1)九！/(几一m) 1 умножений. Для квадратных матриц порядка л это число составляет (几 ——1) л!, т. е. чрезвычайно велико.

Вне всякого сомнения, наилучший метод вычисления перманента матрицы 4 порядка 孔——найти для нее такую матрицу А, что〜

per (Л) = det (Л).

Если такая матрица найдется, то для вычисления детерминанта 才 и тем самым перманента % требуется примерно п3 умножений. Однако Маркусом и Минком [70] было показано, что перманенты нельзя обратить в детерминанты посредством лнней-

5 X. Минк

ного преобразования, т. е. не существует такого линейного преобразования Т на множестве матриц порядка л, чтобы

per (4) = det (Т (4))

для всех Л е Mnt л ^ 3. Тем не менее этот метод для некоторых классов матриц оказывается действенным. Если, например, А = (а〃) есть матрица Гессенберга порядка п (т. е. а〃 = 0 при / ——/>2), то % = (&〃) строится следующим образом [153]: ац =——а订，если / —，= 1, и @订=а订 в противном случае. Легко видеть, что тогда рег(Д) = det(A) (см. задачу 3). Этот метод применим и к матрвдам Якоби (тридиагональным матрицам — см. задачу 4).

Алгоритм для решения задачи о совершенном паросочета- нии, построенный Гэлом и Брейтбартом [244], также можно использовать для вычисления перманентов (0, 1)-матриц. Этот метод требует О(К*) шагов, где К — перманент матрицы; таким образом, он эффективен при больших п, если перманент невелик, например если строчные суммы матрицы не превосходят 3.

Каммингс и Уоллис [285] предложили алгоритм для вычисления перманентов циркулянтов.

В общем случае мы имеем в своем распоряжении три метода наряду с их вариантами: разложение Юрката ——Райзера перманентов в произведение матриц (разд. 6.1), метод Бине — Минка (разд. 7.1) и метод Райзера (разд. 7.2).

Напомним «экономное равенство» Юрката — Райзера:

рег(4) =立巳⑷))，(3.1)

где А — матрица порядка л, а 戶“力⑶)一матрицы размера (二 1)x(；)’ 1 = 1, ..., ", определенные в теореме 1.1 из гл. 6. Общее число умножений в правой части (3.1) равно

2(乙)С)=СЛХ2(乙)С)=СЛХ(3.2)(3.2)

2(乙)С)=СЛХ

2(乙)С)=СЛХ

(3.2)

(3.2)

т. е. числу порядка 4". Вероятно, работу можно было бы несколько сократить, если принять во внимание специфическую структуру Р» (4(/)), имеющих много нулей на заданных местах. Однако этот метод совершенно неприемлем для ЭВМ ввиду больших размеров матриц В(/«)), требующих непомерно боль、 шого объема машинной памяти. Например, экономное уравнение для матрицы порядка 15 включает матрицы порядка 6435, а для порядка 25 — матрицы порядка 5 200 300.

Формула Бине — Минка (теорема 1.2) для перманента матрицы порядка л заключает в себе более, чем

(п-1) Z |S(s)|,

to s G (п)

умножений (см. обозначения разд. 7.1, в частности примера 1.1), так как на каждую S((o) приходится не менее л — 1 умножений. Далее,

X |S(8))(О е G (п)

равна числу разбиений множества {I, 2, ..., л} на подмножества, т. е. сумме чисел Стирлинга второго рода 2 (м, г), ко・ торая превышает (л/2)п/2. Таким образом, метод Бине — Минка требует большого числа умножений и не подходит для вычисления перманентов на ЭВМ.

Формула Райзера 1п

per (4) = 2 (—1)' £ Пг^W (3・3)

заключает в себе (几——1)(2"——1) умножений. Действительно, каждое из 2"——1 непустых подмножеств {厶,...,勿} множества {1, ..., /г} соответствует в точности одной матрице X в правой части (3.3), а именно 4[1, •・・,"|介,...,，丸],и для каждой такой матрицы требуется л—1 умножений с сомножителями 々(X). Ниенюис и Уилф [272] открыли метод, сокращающий вдвое число умножений и в м/2 раз число сложений. Они также дали подробную программу на ФОРТРАНе для вычисления перманентов по этому видоизмененному методу Райзера.

Подытожим: за исключением преобразования с самого начала перманентов в детерминанты и методов, применимых к специальным классам матриц, наиболее эффективным методом вычисления перманентов на ЭВМ является метод Райзера.

Задачи

Докажите формулу (2.1).

Оцените число умножений, требуемых для вычисления -перманента матрицы размера тХл по формуле (2*2).

Пусть Л = (а；/) есть матрица Гессенберга порядка л, и пусть 才=(&〃) определяется условиями: @厶『+1 = 一а厶 ли,，=

=1,・・.,п—1, и 左厅=а*/ в противном случае. Докажите, что per (Л) = det (А).

Пусть А — матрица Якоби (тридиагональная матрица) и Д = (б订)определяется условиями: d§f = iast, если s * t, d$s = =ass для всех s н / (i = “——1 ). Докажите, что per (Л) = det (А).

Пусть 4 = (az/) есть матрица порядка п, у которой все элементы вне первой строки, первого столбца и главной диагонали равны нулю (т. е. из ац =/= 0 вытекает, что либо i = 1, либо / = 1, либо / = /); пусть также ац =0. Покажите, что per (Л) = —det (Л).

Пусть А есть (0, 1)-матрица порядка 30 с тремя единицами в каждой строке. Используя теорему 2.1 из гл. 6, оцените число шагов, требуемых для вычисления per(4) по алгоритму Гэла ——Брейтбарта. Сравните с числом, требуемым методом Райзера.

Пусть

一3 -41 2 Г

4= 11032.

-12 —3 0 4・

Вычислите Per (Л), применяя: а) теорему 1.2; б) формулу 2.1; в) формулу 2.2.

Сколько операций (умножений и сложений) заключает в себе вычисление перманента матрицы размера 3义5 при использовании: а) определения перманента; б) теоремы 1.2; б) формулы 2.1; г) формулы (2.2)?

Глава 8

ЕЩЕ О ПЕРМАНЕНТАХ

Другие результаты

В этом разделе заключительной главы книги мы будем заниматься некоторыми вопросами из теории перманентов, которые не подпадают под рубрики предшествующих разделов, но породили значительный интерес к себе и были всесторонне изучены.

Примерно десятая часть всех работ, перечисленных в нашей библиографии, имеют своим предметом подперманенты, т. е. перманенты подматриц. Помимо непосредственного перенесения на перманенты классических результатов о детерминантах, таких, как разложение Лапласа и теорема Бине ——Коши для перманентов (теоремы 1.2 и 1.3 из гл. 2), подперманенты появляются главным образом в

результатах, связанных с множеством подперманентов данного порядка или, в частности, их суммой;

результатах, связанных с главными подперманеитами или их суммой;

результатах о расчлененных матрицах, индуцированных матрицах, перманентных дополнениях и т. п.

Сумма всех подперманентов порядка 々 матрицы 4 порядка и, обозначаемая через о^(А), впервые изучалась Твербергом [88], который предположил, что если 4 w Q% то

S(4)》S(JJ(1.1)

f= 1, ..., п, и доказал это для п = 2 и 3. Неравенства (1.1), обобщающие гипотезу Ван дер Вардена, были доказаны Сассером и Слейтером [134] для случая, когда А ——нормальная дважды стохастическая матрица, спектр которой лежит в секторе [——л/2/, л/2/] комплексной плоскости. Этот результат был усилен Маркусом и Минком, которые доказали также, что если Л — матрица, удовлетворяющая условиям теоремы Сассера — Слейтера, tq

S⑷》("一；尸片。I⑷,(1.2)

и в частности

⑷ & per (/)・(1.3)

Равенство в (1.2) может выполняться, если и только если Л = =/л. Неравенство (1.2) подтверждает для специального клао са матриц, описанного выше, предположение Джековича [123], утверждающее, что (1.2) справедливо для всякой Л е Qn с равенством в том и только том случае, когда Л = /〃.

Значение неравенства (1.2) состоит в том факте, что

备 S (б^л + (1 —• 0) Л) |ев.о^— ~^± "■ d-i И) — ® (4)・ Действительно,

备 S (8乙 + (1 — 8)4) le=o =

= 22 (3 — °") Per М[а 巾])(г,力)=

=4 X £ per М [a 囘)(川))-⑨⑷=

=№"。一⑷-a⑷.

Таким образом, неравенство (1.2) означает, что производная от et(QJn — (1—0)Л) отрицательна в точке 0 — 0, т. е. что функ^ ция at от 4 убывает на отрезке, соединяющем 4 с /出 Следова* тельно, из предположения Джековича следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена. По теореме 1.4 из гл. 5 предположение Джековича справедливо для всех 4 w Q^ в достаточно малой окрестности /п.

Интересный результат, родственный гипотезе Ван дер Вардена, был получен Сассером и Слейтером [168], которые доказали, что в Л, находится единственный локальный экстремум S ⑷ (следовательно, и per (Л)), принадлежащий внутренности

Другую вариацию на тему гипотезы Ван дер Вардена представляет собой проблема характеризации дважды стохастических матриц, у которых равны все подперманенты некоторого заданного порядка. Мы видели (задача 18 гл. 5), что если бы для каждой минимизирующей матрицы 4 удалось доказать равенство каждого ее перманентного минора ^ перманенту матрицы, то можно было бы сделать вывод о равенстве per (Л)^з

1) Здесь подперманента порядка п—1. —〃prut nepes.

=per (Jn), Это заключение не верно, если взять просто какую-

то дважды стохастическую матрицу. Например, все перманентные миноры матрицы 豆(，色+ Р) равны per (^(，计 十 Р))=

=l/2rt-1, что превышает per Jn при и ^ 3. Однако автор [270] получил следующий результат:

Теорема, 1.1. Пусть А 三 Qn. Если для некоторого 电 1 W 左 W W 孔——2, все подперманенты А порядка 々 равны между собой, то А = /д.

Доказательство. Покажем сначала, что если все рассматриваемые подперманенты Л равны с и 力 делит л, то

per(4) = f (他財 с) = м!(而).(1.4)

Применим индукцию по n/k. Разлагая перманент 4 по первым строкам, получаем

рег(Л)= 2 рег(Л[1, ..., ^ ]о)]) per (4 (1,^|о))) =

8叫，孤

=2 cf (п —財 k, с)=

8叫,冷

=献（音）=fd財c），

Далее полагаем л s /и (mod й), 2《從《宣+”1, и пусть a = (G, ..., im-i), ₽ = (/ь •一, /тт) суть последовательности из Qm-i, п. Если s ——любое целое число в отрезке [1, л], не при* надлежащее а, то

per (Л (а ) р)) = £ per (4 (厶，.• ♦, I/ь • • • > /m-ь 9)=

= f(zi —k, c) ^ast = f(n^m,財 c)(l— £%/) (1.5)

Если si и $2 — два различных числа из дополнения а в {1, ..., л}, то из формулы (1.5) вытекает, что

£ aSl/r = E aS2ir.

l , постоянна для всех s, 1《l , постоянна для всех s, 1《m-1r—1m-1r—1Но а произвольна, и поэтому Z a ^s^nt t・ e.

l , постоянна для всех s, 1《

l , постоянна для всех s, 1《

m-1

r—1

m-1

r—1

где с = (1,1, ..., 1), a d§ ——положительное число, зависящее лишь от р — (/ь ..., /от-1). Если мы теперь заменим одно из /г в р, скажем /ь на % где / 若 0, то получим

Г = 2 и, следовательно,

小)е.(1.6)

Поскольку р произвольна, равенство (1.6) справедливо для всех 力 t #= /ь Следовательно,

九处川- Z 4 (/) = de

для некоторого числа d. Но £ 4“)= с, поэтому 4“' есть кратное е, а так как 厶一любое целое число в отрезке [1, м] и 4 — дважды стохастическая матрица, то должно выполняться равенство

4=(.■

Подобный результат для (0, 1)-матриц размера mХ^ был получен Бруальди и Фореггером [260]. Они предположили также, что если перманентные миноры порядка п~ 1 (0,1)- матрицы Л порядка п имеют общее ненулевое значение, то либо А — Jt либо 4 = /门 + Р, и показали это в ряде случаев. Синк- хорн [286] выдвинул предположение: если 4 三 0^ и per (Л (i\j))^ per (Л) для всех，и /, то либо А = Jnf либо 力=}(/" + Р), Это предположение, из которого в силу теоремы 2.3 гл. 5 вытекает справедливость гипотезы Ван дер Вардена, кажется трудно доказуемым.

Бруальди и Ньюмен [97, 109] получили оценку сверху 0力(若) для субстохастической матрицы 4 порядка л (т. е. неотрицательной матрицы со строчными суммами, не превосходящими 1):

S (/)《；).(1.7)

Для комплексных матриц общего вида Маркусом и Гордоном [91] были получены верхние границы сумм квадратов модулей всех подперманентов порядка k.

Маркус [Пб] расширил неравенство Маркуса — Ньюмена (теорема 2.4 (б) гл. 2) на прямые произведения: если Л—матрица порядка п, а В — матрица порядка т, то

I per (Л ®3) |2< (рег(ЛД*))т (per (В*8))"・(L8)

Границы для per (Л ® В) в случае неотрицательных Л и В получены Бруальди [107]. Неравенство Маркуса ——Ньюмена было обобщено также следующим образом:

I S (4В) F < сгДЛЛ*) ” (3*3)(1.9)

(см. [158]).

Обратимся теперь к результатам о главных подматрицах. Маркус [82] получил границы для перманента положительно полуопределенной эрмитовой матрицы 4=(@修)порядка п в терминах ее главных подперманентов:

паи per (Л (力团)> per (Л) > аи per (Л (力 | Q),(1.10)

/ = 1, ..., n. Нижняя граница представляет собой на что иное, как перманентную копию теоремы Адамара для детерминантов:

рег(Л)> Па；г-(1-И)

Маркус [100] получил оценку снизу для перманента Л [со], где Л — положительно определенная эрмитова матрица и ①三 Gk,ti (не обязательно в Q比凡», а после он доказал [180], что если положительно определенные эрмитовы матрицы А и В порядка п коммутируют, а 三 Qjfe,凡〃 I W г W h W п, то

p, ((Л + B^lr\^ > Pr (評‘ [a]) + p「(3%a] ),(1.12)

где p「(X) обозначает сумму всех главных под перманентов X порядка г.

Джекович [124] обобщил классический результат Маркуса——Ньюмена (следствие 1 разд. 4.5): если A^Qn есть положительно полуопределенная матрица и G^,切 丁。

per (Д [a])>rl/nr.(1.13)

Фридленд [243] распространил неравенство (1.13) на все матрицы из Йп, числовая область которых лежит в секторе [——冗/2厂, 九/2〃 (теорема 3.6 гл. 5). Бруальди и Ньюмен [97] доказали, что если Л 巨 Q小 то

2(1- a〃) per (Л « I /))《1 — рег(Л). (1.14)

Маркус и Минк [102] получили следующие границы для главного подперманента положительно полуопределенной эрмитовой матрицы в терминах характеристических чисел:

Теорема 1.2. Если А——положительно полуопределенная эрмитова матрица с характеристическими числами 入i》 ... 》九衣

以 aS Qr,小 то

口統Т+Е per ⑷a] )《；£».(1.15)

/=1/и1

Доказательство. По теореме Шура (теорема 2.5 гл. 2)

per (Л [a] )^ det (Л [а]).(1.16)

Пусть с】，...,еп есть стандартный базис /г-мерного векторного пространства. Тогда (Л [а])订—(Леа/, е%) = (Леа/> еа/). Следовательно,

det (Л [ct]) = (& (Л) с% Д ... Л е”，е% Л • • • Л ^аг)》П ^п—/+1>

так как Ц ^rt-/+i есть наименьшее характеристическое число ассоциированной матрицы】)Сг(Л). Это доказывает нижнюю границу. Для доказательства оценки сверху применим к Л [а] теорему 4.1 из гл. 6:

per⑷а])《；2瓦，

где 卩 1 2：…》卩「суть характеристические числа матрицы Д[а]. Отсюда и следует оценка сверху, так как в силу неравенств Коши 读tW%/ (см., например, [92, гл. 2, разд. 4.4.7]), f=l, ..., г.■

Результаты о перманентах расчлененных матриц будут подробно рассмотрены в разд. 8.3 (гипотезы 8 и 9, теорема 3.2).

Мы завершаем этот раздел некоторыми результатами, включающими как детерминанты, так и перманенты. Мюир [14, 27, 30] получил ряд соотношений между детерминантами и перманентами. Приведем его результат из [18]： если Л—матрица порядка п, то

Z Z (—iypeFG4[s|s])detC4(s|s)) = 0,

где per (Д [со|со]) и det (Л (©|(о)) полагаем, равными соответственно 1 玄 det (Л) при г = 6 〃 per (Л) и 1 при г — п

Мюир [20] представил детерминант матрицы Л порядка шп как сумму перманентов матриц порядка т, элементами которых служат миноры Л. Маркус [74] получил оценку снизу для детерминанта положительно определенной эрмитовой матрицы в терминах произведения ее главных подперманентов,

См. [92* стр. 40]. — Прим, пере§,

Маркус и Меррис [234] показали, что если А — положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка л, D(A) 〃 Р(Л) — матрицы порядка & в которых элементы, на месте (i, /) равны соответственно per (Л (/|i)) и (—l)'+/det(4(/|Q),厶 / = =1,・•・,л, то матрица

”(det (4))т D (Л) - (per (编尸 Р (Л)

положительно полуопределена.

О применениях перманентов

В области приложений перманенты не могут состязаться с де* терминантами, которые совершенно незаменимы в теоретической и прикладной математике, а также в других науках. Перманенты не столь тесно связаны с фундаментальными свойствами матриц, но все же они имеют много применений, в частности в комбинаторике и прикладных задачах перечислительного характера. Даже перманенты дважды стохастических матриц и гипотеза Ван дер Вардена, которые, казалось бы, имеют чисто теоретический интерес, находят приложения в теории вероятностей, комбинаторике и статистической механике (см* ниже).

Харпер (см. [147] предложил следующую вероятностную интерпретацию перманента дважды стохастической матрицы порядка л. Пусть каждая из м урн содержит один шар, и пусть вероятность шара в i-й урне переместиться в j-ю урну равна а”. Тогда вероятность того, что после одновременного перемещения всех шаров в каждой урне вновь окажется по одному шару, равна per ((а；/)).

Некоторые применения перманентов в теории вероятностей были исследованы Дьирешем [227]. Он получил также ряд равенств и неравенств для перманентов, исходя из вероятностных моделей.

Перечисление латинских прямоугольников и квадратов и неизоморфных систем троек Штейнера данного порядка ——две из наиболее известных классических комбинаторных проблем. В обоих случаях справедливость гипотезы Ван дер Вардена или установление более сильных нижних границ для перманентов (0,1)-матриц в Ад привело бы к значительному улучшению известных оценок снизу.

Пусть L(r, л) обозначает число латинских прямоугольников размера г Хм,广《孔，базирующихся на п-множестве S. Пусть Л ——латинский прямоугольник размера /X 孔，базирующийся на S, 1 W f W г, н S/ обозначает множество элементов S, не ветре，

чающихся в его j-м столбце. Построим матрицу инцидентности А7 для подмножеств Si, ..., S& Ясно, что per (XQ равен числу способов, которыми 4 может быть расширен до латинского прямоугольника размера (/+ 1)Х^. Имеем 力‘已 人々一'・ Пусть т (瓦 п) и M(kf п) обозначают соответственно верхнюю и нижнюю границы функции перманента в Лп- Тогда

m 仇一力 п) ^ per (Xz) ^ Л4 (n — /» п),

f = 1, .,., г— 1； таким образом, г—1г— 1

加 Um 仇一/, n)^.L(r} n) ^n! Ц Л[ (n — 切・ (2.1) fas 1f ■ 1

Используя, например, теорему 2,1 из гл. 6, получаем

L(r, rt)<rtl П(«-3"/Sf.(2.2)

Аналогично мы можем применить оценки снизу из разд. 4.2 для нахождения нижней границы для £(尸,几).Наилучшая нижняя граница L(r, и) получается, конечно, с помощью гипотезы Ван дер Вардена:

г—1

L(r,力》-^h(九一/尸，(2.3)

так как матрица Af/ {п ——/) дважды стохастическая для любого 力 1 W f V 尸；применяя к ней гипотезу, имеем

^{A^^n-tf.

Границы в (2.1), (2.2) и (2.3) можно уточнить, беря вместо М(/г — 1, л) и m(n——1, п) известные значения рег(4‘) при / = 1. Тогда неравенство (2.1) обращается в

Г-1г-1

加 d"IJm 仇一乙 ti)《L(r, n) < nldn П Л4 (« — ^ 脸 (2.4) J2f»2

〕He ~佗=孔1 £ (——l)'/i! (см. формулу (4.2) в разд. 3.4). Границы для числа латинских квадратов находятся из приведенных выше неравенств, если положить г = п. Например, справедливость гипотезы Ван дер Вардена означала бы, что

"他也)》 (川产/£•(2.5)

Пример 2.1. Используя теорему 1.2 из гл. 4 и формулу (2.1), получаем следующую оценку снизу числа латинских квадратов

порядка /г：

乙(佐а)》П/!・(2.6)

Эту границу можно несколько упростить [259]. Так как

> 1 I 2L 1 2^ a.

° >丄十11十2! 1f! ' f! и, таким образом,

升 >「 то мы приходим к

乙仇，切 >立(蜻%‘)=尸川+2+м ё叱i=l

т. е.

L(n, fi)>^^~.(2.7)

Пример 22 С помощью того же технического приема, что и в предыдущем примере, упрощаем формулу (2.5):

L(n, п)戸川2"产 > (е~ппп/п/ппГ = (е~统严.(2*8)

Системой троек Штейнера порядка и, и 力 3, называется такое множество троек элементов из ^-множества S, что каждая пара элементов из S входит как подмножество в точности в одну из троек. Не трудно показать, что матрица инцидентности системы троек Штейнера есть (0, 1)-матрица А размера ЬХи с тремя единицами в каждой строке и г единицами в каждом столбце, где г = (и — 1)/2 и b — v(v — 1)/6, удовлетворяющая соотношению ААТ = 2In + J. Отсюда следует, что система троек Штейнера существует лишь тогда, когда у = 1 или 3 (mod6). Известно, что это условие также достаточно. Две системы троек Штейнера изоморфны, если их матрицы инцидентности совпадают с точностью до перестановок строк и столбцов. Обозначим через ^(v) число неизоморфных систем троек Штейнера порядка V. Уилсон [259] использовал оценку (2.7) для получения нижней границы числа неизоморфных троек Штейнера:

N(u)》(e-5u)。*竺(2.9)

Он показал также, что если справедлива гипотеза Ван дер Вардена (т. е. неравенство (2.7) можно заменить на (2.8)), то (2.9) улучшается до

N(u)>(ef 严.

К наиболее важным приложениям перманентов относятся их применения к теории графов. Эти применения сводятся фактически к перечислению некоторых подграфов графа или ориентированного графа (кратко — орграфа).

Пусть D ——орграф с п вершинами иь ..., ип< Линейным подграфом D называется такой его остовный подграф (т. е. под* граф, содержащий все л вершин), что каждая вершина имеет в нем полустепень захода и полустепень исхода, равные 1. Задача состоит в нахождении числа линейных подграфов в D. Построим для этой цели матрицу смежности D, т. е. (0,1)-матрицу порядка п, у которой элемент на месте (/, /) есть 1, если D содержит дугу из и/ в V/, и 0 в противном случае. Эту матрицу обозначим через 力(/)) = (〃〃•). Так как полустепень захода в вершину и, равна ее i-й столбцевой сумме, а полу степень исхода—i-й строчной сумме, то каждому линейному подграфу соответствует п положительных элементов A (D), по одному в

каждой строке и каждом столбце, т. е. положительная диаго

)авно J54], )нме- )афа.)авно J54], )нме- )афа.наль A (D). Следовательно, число линейных подграфов

)авно J54], )нме- )афа.

)авно J54], )нме- )афа.

числу положительных диагоналей, т. е. перманенту 4(。)

Более сложную проблему, имеющую многочисленные п

нения, представляет собой перечисление 1-факторов г

1-фактором графа G на 2m вершинах называется его остовный

2m2mподграф, в котором каждая вершина имеет степень 1. Пусть Д(G) = (ац) есть матрица смежности графа G и 读(G) обозначает число 1-факторов в G. Каждый 1-фактор представляется диагональю Л(G), соответствующей перестановке, разлагающейся в произведение m независимых транспозиций. Таким образом, число 1-факторов графа G равно

2m

2m

(2Л0)

где суммирование происходит по множеству Т всех (2m) !/(2mm!) перестановок, разлагающихся в произведение m независимых транспозиций. Функция в правой части (2.10) называется гаф~ нианом Л(G). Гафнианы ——полезные матричные функции, введенные Каяньелло [54,57]; их родство с пфаффианами такое же, как перманентов с детерминантами. Если, например, С = =(с订)есть матрица порядка 4, то

haf (С) = С[2c21&4c43 + ^13^24^31^42 +。14c23禽2«41 •

Если С — матрица смежности, т. е. симметрическая матрица, то имеем

haf (e)=呢唸+ e\^ +咬嗡・

По (2.10)

卩(G) = haf (4 (G)).(2.11)

К сожалению, эффективные методы вычисления гафнианов неизвестны. Гибсон [176] заметил, что квадрат гафниана симметрической неотрицательной матрицы не превосходит ее перма^

нента, поэтомунента, поэтому卩(G)&Vper(/(G)).卩(G)&Vper(/(G)).(2.12)(2.12)

нента, поэтому

нента, поэтому

卩(G)&Vper(/(G)).

卩(G)&Vper(/(G)).

(2.12)

(2.12)

Конечно, вычисление перманента большой матрицы представ^ ляет значительные трудности. Мы можем, однако, скомбинировать неравенство (2.12) с любой оценкой сверху перманента (О, 1)-матрицы и получить верхнюю границу 卩(G)・ Так, используя теорему 2.1 из гл. 6, приходим к

卩 9)《Пб!产， (2.13)

где г： есть Z-я строчная сумма Л(G), т. е. степень вершины s, /=1,…，2m.

Пример 2,3. Пусть G есть граф

Здесь 加=3, ri

=4 при i

=1,…，

6; следовательно, по фор-

муле (2.13)

т. е.

На самом деле так как

fx(G)& 10,84 p.(G)< 10.

卩(G) = 8,

• • • >

"0 1 1

0 1 1~

1 0 1

1 0 1

/(G) =

1 1 0

1 1 0

0 1 1

0 1 1

1 0 1

1 0 1

и

_ 1 1 0

1 1 0_

haf (4 (G))=第部；4嗚+片2碣5片6 + a；3/4确6 +酬3磅6a：5 +

十《5磕脸+ a15а2ба34 +*嗚唯+脸吟碌；

другие семь диагональных произведений гафниана равны нулю. Таким образом,

haf (Л (G)) = 8.

Заметим также, что

per (Л (G)) = 80;

следовательно, из неравенства (2.12)

卩(G) & “80 = 8,94

Рассмотрим теперь 1-факторы двудольного графа; так называется граф, множество вершин которого может быть разбито на два подмножества с тем свойством, что всякое ребро имеет один конец в одном из подмножеств, а другой — в другом. В контексте 1-факторов необходимо, чтобы каждое из подмножеств содержало половину вершин. Перечисление или построение в явном виде 1-факторов двудольных графов (или совершенных паросочетаний, как их иногда называют) имеет многочисленные приложения, например в проблеме максимального потока, в задачах о назначении и задаче о составлении расписания, возникающих в исследовании операций.

Пусть О — двудольный граф с 2m вершинами, и предположим, что нет ребер, соединяющих вершины из {^卜...,Vm}t а также из {。加+卜...,02加}. Тогда матрица смежности G имеет вид

где 8(G) — подматрица A (G) порядка т. Легко видеть (задача 13), что

haf (Л (G)) = per (8(G)),

и, таким образом (см. [154]),

卩(G) = per (В (G)) == Vper (Л (G))

(см. условие равенства в теореме 3 работы [176]). Гэл и Брейтбарт [244] построили алгоритм для конструктивного нахождения 1-факторов двудольного графа. Этот алгоритм дает также метод вычисления перманента (0, 1)-матрицы (разд. 7.3).

Пионером в использовании перманентов в физике явился Каяньелло (см. [59], [60] и ссылки в этих работах), применивший их к проблеме перенормирования в квантовой теории поля. Он использовал перманенты и гафнианы, чтобы выразить алгебраически разложения пертурбации теории поля, а именно для Описания бозонных пропагаторов таким же образом, каким при

разложениях, связанных с фермионными пропагаторами, используются детерминанты и пфаффианы.

Наиболее важны приложения перманентов в тех областях физики и химии, где статистические методы применяются для изучения явлений, представляющих собой результат совместного действия очень большого числа однородных агентов. Подобные проблемы в статистике порядка — беспорядка, в химии твердого состояния и в физической химии можно сформулировать как перечислительные задачи на решетках. Эти последние, в свою очередь, иногда допускают решение в терминах перманентов соответствующих матриц инцидентности. На этом месте чистый математик считает проблему, по существу, решенной, в то время как физик или химик сочтет, что такие формулы никоим образом не относятся к его проблеме до тех пор, пока не сможет эффективно вычислить перманенты матриц инцидентности. К сожалению, это редко удается, так как получающиеся матрицы, как правило, слишком велики. Правда, в некоторых случаях, например в проблеме димеров (см. ниже), искомая ключевая константа представляется как предел некоторой функции, включающей перманент, когда его порядок стремится к бесконечности. Так или иначе, но о прямом вычислении перманентов по методу Райзера речи нет. Иногда оказывается возможным так преобразовать матрицу, чтобы детерминант преобразованной матрицы оказался равным перманенту исходной матрицы. В противном случае задачу можно решать лишь приближенно, пользуясь оценками перманентов. Нам встретятся в дальнейшем оба случая.

Проблемы структурного типа, такие, как модель Изинга для ферромагнетизма, физическая теория кристаллов и адсорбция двухатомных молекул на различных решетках, можно выразить в терминах перечислений покрытий димерами. Проблема димеров имеет следующую математическую формулировку.

Рассмотрим ^-мерный прямоугольный решеточный граф G, т. е. граф, вершинами которого служат точки (хь ..., х^) d- мерного евклидова пространства с целочисленными координатами, удовлетворяющими условиям О W %t W Qg, i = 1, ..., d, где а( — целые положительные числа. Полагаем а = (а〔,... ...,de). Две вершины G соединяются ребром, если и только если оно имеет длину, равную единице. Задача состоит в определении fa — числа 1-факторов G. Димер, служащий моделью двухатомной молекулы, есть одномерный решеточный граф с двумя вершинами и одним ребром длины 1. В терминах димеров fa равно числу способов такого покрытия графа О димерами, что каждый димер покрывает две соседние вершины, а каждая вершина покрывается в точности одним димером.

Проблему можно сформулировать также следующим образом [142]. Под п-кирпичом будем понимать ^-мерный прямоугольный параллелепипед (d А 2) объема п с ребрами, равными 〃i， ..., «/ где а» — целые числа. Тогда димеру соответствует 2-кирпич. Если п четно, проблема состоит в нахождении числа способов расчленения n-кирпича на димеры. Сначала мы дадим общее решение Хаммерсли [142] в терминах перманентов. Так как, за исключением случая d = 2, мы не знаем, как вычислять эти перманенты, решение при d》3 следует рассматривать как приближенное.

Разобьем n-кирпич на п единичных кубиков, которые обозначим 九,...,/加 Раскрасим кубики поочередно в белый и черный цвета. Пусть /=(«〃•) есть матрица инцидентности для конфигурации кубиков: а幫=1 или 0, смотря по тому, имеют кубики U и 力 общие грани или нет. Все строчные и столбцевые суммы в этой матрице равны 2d, за исключением тех, что соответствуют кубикам на поверхности. Пусть о — перестановка, для которой '

H^/CT(Z)= 1.

Кубики ti и %(，) соседние, i = 1, ..., п. Ставим на кубик 力 и кубик %⑴ белый или черный димер в соответствии с цветом 九 Так как всего имеется п/2 белых кубиков, «белыми» димерами покрываются все п кубиков, и мы имеем тем самым расчленение на димеры. Аналогично «черное» покрытие также дает расчленение на димеры (см. ниже пример 2.4). Таким образом, каждая положительная диагональ приводит к двум расчленениям n-кирпича на димеры, одно из которых соответствует окраске в белый, а другое ——в черный цвет. Обратно, каждую пару расчленений можно рассмотреть как 《белое》и 《черное» раскрашивание и определить тем самым некоторую положительную диагональ Л. Итак, существует взаимно однозначное соответствие между парами расчленений n-кирпича и положительными диагоналями А. Отсюда следует, что

fa = per (Л). ⑵ 14)

Пример 2.4. Рассмотрим двумерный 12-кирпич размера 3*4:

厶

4

над буквами. Матрицейнад буквами. МатрицейЧерные кубики обозначим черточками

над буквами. Матрицей

над буквами. Матрицей

инцидентности этого кирпича служит

Мы находим непосредственно,Мы находим непосредственно,чточтодиагональ,диагональ,соответствующаясоответствующаяподстановкеподстановке22567891011П\I71141Q9128/567891011П\I71141Q9128/положительна. Соответствующимположительна. Соответствующим《белым》покрытием будет《белым》покрытием будет/1 3 6 89 п\\5 2 7 4 10 12 少/1 3 6 89 п\\5 2 7 4 10 12 少и соответствующим расчленением —и соответствующим расчленением —

Мы находим непосредственно,

Мы находим непосредственно,

что

что

диагональ,

диагональ,

соответствующая

соответствующая

подстановке

подстановке

2

2

567891011П\

I71141Q9128/

567891011П\

I71141Q9128/

положительна. Соответствующим

положительна. Соответствующим

《белым》покрытием будет

《белым》покрытием будет

/1 3 6 89 п\

\5 2 7 4 10 12 少

/1 3 6 89 п\

\5 2 7 4 10 12 少

и соответствующим расчленением —

и соответствующим расчленением —

0

1

0 1 I

0

O' 0

0

0

0

1

0

o' 0

1

0 1 0

0

0

0

0

1

1 ； 0

0

U t и

0

0

0

0

0

1

0 , 0

0

0

11 0

0

0

0

I

0

0

0|0

1

0

0 1 I

0

0

0

4 =(勺)=

0

0

1

0

0

1

°; I

0 0

0

1

I 0

0 ' 0

I； 0

I 0

0

1

0

0

0

0

0

11 0

0

1

0 [ 0

0

0

1

0

0

0

0 1 1

0

0 ' 0

I

0

0

0

0

о! о

0

°; 1

0

[

0

0

0

0 [ 0

0

I

0 1 0

1

0

1

Q

0

0 1 0

0

0

1 i 0

0

1

0

Расчленение, соответствующее верному》покрытию, задается с помощью подстановки

(2 4 57 10 12)

16 3 1H98丿

т. е. получаем

Обратно, если《белое》и «черное» расчленение

/12345678910И12\

^517362114109128 丿

и мы убеждаемся, что соответствующая диагональ положительна.

В общем двумерном случае n-кирпича со сторонами е и &, 。1&2 =九,матрица инцидентности имеет вид (см. задачу 15)

I вI 0

IВ I

4=•,(2-15)

где В — тридиагональная матрица порядка。2：

Го 1'

I о 10

Iо 1

О 101

1 о

а / — единичная матрица порядка «2. Перкус [165] показал, что per (Л) == det (Л), где

в п■

// 5 и о

О * В И

Таким образом,

力修,а» = Vper (』)=Vdet (Л).

Следовательно, число покрытий двумерного решеточного графа димерами можно выразить через легко вычисляющийся детерминант.

При d》3 мы не можем вычислить перманент матриц инцидентности, но можем лишь оценить значение % с помощью неравенств для перманентов (0, 1)-матриц. Известно, что для больших значений п функция，《 сростом п возрастает примерно экспоненциально. Хаммерсли [142] показал, что если а/-> оо, i = 1, ..., d, то n-1 logfa стремится к пределу Ad・ Как оценить 統？ Известно [142], что

入2 = 0,29156090 ...

и что

0&M&}logd.(2.16)

Точное значение 入d для d》3 неизвестно. В весьма важном трехмерном случае правое неравенство в (2.16) дает

九з《0,54931.(2.17)

Хаммерсли [142] получил для Аз оценку снизу

入з》0,418347(2.18)

как частный случай общей оценки

必》士曲2 ...，曲dbg]4 £ side；卜(2.19)

n о о о I /т 丿

九d》^ log (2d) — ^.九d》^ log (2d) — ^.(2.20)(2.20)Он заметил также, что если справедливо предположение Ван дер Вардена, то

九d》^ log (2d) — ^.

九d》^ log (2d) — ^.

(2.20)

(2.20)

Для d》4 граница в (2.20) точнее, чем в (2.19)). Вместе с (2.16) она дает

§logd —0,153&儿 w^logd.(2.21)

Ни одна из известных оценок снизу для перманентов (0, 1)-матриц (гл. 4) не приводит к нижней границе 九冉 как в (2.18) и (2.19).

Оценка сверху в (2.16) была недавно улучшена автором [342] путем соединения (2.14) с границей из теоремы 2.1 гл. 6. Упростим рассуждения, рассматривая вместо n-кирпича соответствующий тороидальный кирпич, который получается склеиванием противоположных граней исходного кирпича. Матрица инцидентности Af тороидального кирпича имеет 2d единиц в каждой строке и каждом столбце. Обозначим для Аг через /； константу, соответствующую fa. Из (2.14) получаем, что

九 & % = “per (&),

а по теореме 2.1 из гл. 6

per (&)^ (2d)!"/竺 Тогда

九4= lim log fa ^ lim n"1 \Qg(2d)^d = log(2d!)I/4d.

Таким образом, &&^log(2d!)"2d.(2.22)

При d = 3 неравенство (2.22) означает, что

%《0,548271,

что точнее, чем граница в (2.17). На самом деле оценка в (2,22) лучше, чем оценка сверху в (2.16) для d》3, так как

(2d)K" < d.

Основной трудностью в применениях перманентов является отсутствие эффективного метода вычисления перманентов матрицы инцидентности. Даже известные в настоящее время границы для перманентов, в частности оценки снизу, не имеют большой ценности, так как недостаточно точны. Но принимая во внимание особенности матриц инцидентности, встречающихся в проблеме димеров и родственных задачах, вычисление перманентов этих матриц или по крайней мере улучшение границ

не кажется столь же безнадежной задачей, как в общем случае. Это и есть направление, в котором должны будут развиваться исследования по перманентам.

Гипотезы и нерешенные проблемы — 《урожай》1965 г.

В 1965 г. Маркус и Минк [103] перечислили 13 гипотез и две нерешенные проблемы о перманентах. Список вызвал большой интерес, и некоторые из поднятых тогда вопросов были решены. Вот современное состояние каждой из гипотез и проблем.

Гипотеза 1 (гипотеза Ван дер Вардена). Если ▲三Q〃, то per (А)^п\/пп

с равенством 8 том 〃 только том случае, когда Л = /п. Вопрос не решен (см. гл. 5)).

Гипотеза 2, Если Л е йл, то

per (ЛЛГ)《per (Л).

Гипотеза не подтвердилась. Контрпример найден Ньюменом (М. Newman): если

~1100'

!0 1 1 0

2 о 0 I 1 *」0 0 1.

то per (Л) = у, a per (ЛЛГ) = — >—.

Гипотеза 3 (Райзер), Если Л есть (0,1)-матрица порядка mk.c k единицами 8 каждой строке и каждом столбце^ то рег(4)&рег( £'/)•

Гипотеза доказана — непосредственное следствие теоремы 2.1 гл. 6 (см. гипотезу 4).

Гипотеза 4 (Минк}. Если А — квадратная (0,1)-матрица порядка п со строчными суммами 门,...,гп, то

:per(4)EW(rJ)i/“.

Гипотеза доказана Брэгманом [219] (см. теорему 1 гл. 6).

Гипотеза 5 (Райзер). Если совокупность всех (0, \ )-матриц порядка V с k единицами 8 каждой строке и каждом столбце содержит матрицы, инцидентности (у,財 X)-конфигураций, то перманент достигает минимума в этой совокупности на одной из этих матриц инцидентности.

Вопрос не решен. Некоторые факты наводят на мысль, что гипотеза может быть не верна. С одной стороны, в Л15 существуют три (15, 7, 3)-конфигурации, матрицы инцидентности которых имеют неодинаковые перманенты. С другой стороны, в Л? есть матрицы, не представляющие никакой (7,3, ^-конфигурации, с перманентами, равными перманенту матрицы инцидентности некоторой (7, 3, 1)-конфигурации.

Гипотеза 6 (Минк). Пусть Л^ обозначает класс, состоящий из всех. (О, \ )-матриц порядка nek единицами 8 каждой строке и каждом столбце. Если п фиксировано, то

min per (4-

монотонно убывает с ростом

Вопрос не решен. Никакого прогресса не достигнуто.

Гипотеза 7 (Маркус и Ньюмен). Если Л ——дважды стохастическая матрица порядка и, то

per (厶—4) ^ О*

Гипотеза была доказана Бруальди и Ньюменом [ПО] для любой неотрицательной матрицы Л, у которой радиус спектра не превосходит единицы. Мы приведем простое доказательство частного случая этого утверждения, принадлежащее Гибсону

Теорема 3.1. Если А — субстохастическая!) матрица порядка и, то

рег(7п~Л)>0.(1.3)

Доказательство. По формуле Райзера (разд. 7.2, формула (2.3))

ft —1п

per (小 4) = 2 (—1)' £ Umx),

】)Напомним, что субстохастической называется матрица с неотрицательными элементами, все строчные суммы которой не превосходят единицы,—— Прим, перев.

где

A”_f = {(/ft — 4) (― I 叫 I s R Q力 ft},

t. e, Ai есть совокупность всех подматриц /л — Л, состоящих из п — t различных столбцов 7л ——А. Для (о е Q/, л обозначим (/я — А)(——|(о) через В% Здесь i-я строчная сумма матрицы В® неотрицательна или неположительна, смотря по тому, входит ли }й столбец /л ——А в 8g или нет. Следовательно, в Ви не менее п ——f строчных сумм неотрицательны и не менее / неположительны. Поэтому

п

(-1)'Н门仍心О,

;=1

и, таким образом,

per (/п Л) > 0.■

Гибсон доказал [141], что

рег(/п-Л)> det(乙-А)>0(3.2)

для субстохастической матрицы А,

Гипотеза 8 (Маркус и Ньюмен). Если А —— положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка и и 1 W р W 九, то

рег(/)》рег(/[1, ..., р])рег(/[р+ 1,…，«]).(3.3)

была доказана Либом замечательного резуль-была доказана Либом замечательного резуль-Эта гипотеза, представляющая собой перманентный аналог не-

была доказана Либом замечательного резуль-

была доказана Либом замечательного резуль-

равенства Фишера для детерминантов, [114] как следствие приведенного ниже тата.

есть положительно по-есть положительно по-Теорема 3.2. [114]. Пусть 4 = (а〃)

есть положительно по-

есть положительно по-

луопределенная эрмитова матрица порядка п, и пусть

аде порядок В равен р, а порядок D равен п — р. Полагаем

где % — неизвестная. Тогда все коэффициенты, полинома per (А(Х)) суть неотрицательные действительные числа.

Следующее ниже доказательство принадлежит Джековичу [151].

Доказательство. Пусть а и В — перестановки на множестве {1, ..., р}, а а и т —перестановки на множестве {р+ 1,・・•,/:}

Обозначим ««） и 0（i） через а： и 0% i = 1, ..., р, а a（f） и 工（i）——соответственно через аг-р и т/-р, t = р + 1, ..., п. Для целого числа 乙 1 W f W р* положим

a' = （（Xf+[,・・” a J0" = （Pi+i> • • •> ₽p）>。==（^p-i+b • • • > 6г—JT〃 =（Tp—f+1，.・•，T”p）.a' = （（Xf+[,・・” a J0" = （Pi+i> • • •> ₽p）>。==（^p-i+b • • • > 6г—JT〃 =（Tp—f+1，.・•，T”p）.а' =（5,％）, "（m，吼 『=（5,…，*方）,

a' = （（Xf+[,・・” a J

0" = （Pi+i> • • •> ₽p）>

。==（^p-i+b • • • > 6г—J

T〃 =（Tp—f+1，.・•，T”p）.

a' = （（Xf+[,・・” a J

0" = （Pi+i> • • •> ₽p）>

。==（^p-i+b • • • > 6г—J

T〃 =（Tp—f+1，.・•，T”p）.

Пусть

per ⑷九）） = £° H

Коэффициент Ct есть сумма всех диагональных произведений, включающих f элементов из В, р — / элементов из С» p — t зле， ментов из С* и п — 2р + f элементов из D. Тогда

mct ~2%他%屮%了产g〃俨，

a, В，а, т

где m~t\（p^t）I2（冷一2р + /）1 и

azai a a tn^-l~jT UJb "l^^gazai a a tn^-l~jT UJb "l^^gд.д.

azai a a tn^-l~jT UJb "l^^g

azai a a tn^-l~jT UJb "l^^g

д.

д.

Так как Л положительно полуопределена, то она — матрица Грама. Пусть

*=（修1, •一,修/г），

；=1, ,.., п, суть векторы, для которых

a订=（** *'） = £ X th元他、

/, / = 1, ..., п. Тогда

где Xg обозначает Цха f и т. п., а /, J, Я, К — соответственно последовательности / =（厶,..・,力）, / =（厶,...,厶一力）, " = =（力ь ...» 坛一力），K =（也，..., kn~2p^t）； каждый индекс пробегает значения 1, ...» и. Изменяя теперь порядок суммирования.

получаем

тС/==/^（ ? （ ?几，風"）（岁詳及〃к））ХХ（?（?Х^{Х^Н ）（? X^必丁氏））=

=岗w（ ?儿，冰川（§м及飞）「

теотеоСледовательно, ct вещественны и неотрицательны.

тео

тео

Гипотеза 8 является непосредственным следствием ремы 32 Действительно, полагая 入=1, имеем

per (Л) = X с田 = per (В) per (£)).

Маркус и Соулз [130] усилили результат Либа (гипотезу 8): если А — матрица в теореме 3.2, то

per (Л) > per (В) per (D) + а-21| С||2,(3.4)

где II "I—евклидова норма, а 仪幫 обозначает наименьшее характеристическое число А.

4i"12 •'Ai• ^2m^m2 ♦Д4i"12 •'Ai• ^2m^m2 ♦Д4=4=(3.5)(3.5)Гипотеза 9 (Маркус). Пусть А — положительно полуопре- деленная эрмитова матрица порядка znp, расчлененная на блоки:

4i

"12 •'

Ai

• ^2m

^m2 ♦

Д

4i

"12 •'

Ai

• ^2m

^m2 ♦

Д

4=

4=

(3.5)

(3.5)

и каждая 4修 имеет порядок р. Пусть далее G — матрица порядка m с per (Д；/) на месте (t, /). Тогда

per (Л)》per(G).(3.6)

Если А положительно определена, то равенство s (3.6) достигается тогда и только тогда, когда 4=2 4^.

Для /п > 2 вопрос все еще не решен. Для /п = 2 гипотеза доказана Либом [114] как следствие его теоремы 3.2. В обозначениях этой теоремы получим

per (Д) = 2 q》с?十 Cq = per (В) per (D)十 per (C) per (С*).

Джекович [151] показал, что для m = 2 равенство в (3.6) выполняется, если Ац и Л22 (т. е, В п D) положительно определены, даже в случае, когда сама А вырождена.

Гипотеза 10 (Маркус). Пусть 4=(а〃)и а订 > 0, /, / =

=1,.・.,п. Если п! членов Цa, [i} принимают не более г различных значений, то р(А) W г.

Эта гипотеза доказана Эллиотом [175].

Гипотеза 11 (Маркус и Ньюмен)). Не существует такой дважды стохастической матрицы А, что

per (A (z I /)) = per (Л), если а“ 崂 0,

per (А(II /)) ^ per (А), если 电了 = 0, со строгим неравенством по крайней мере для одной пары (t,/).

Эта гипотеза ——исправленный вариант первоначальной гипотезы 11 (см. примечание в [128] и теорему 2.3 гл. 5). Вопрос остается открытым.,

Гипотеза 12 (Маркус). Группа невырожденных обобщенных матриц перестановки (т. е. матриц вида PD, где Р ——матрица перестановки, a D ——диагональная матрица) есть максимальная группа, на которой функция перманента мультипликативна.

Бисли [150, 171] доказал гипотезу 12 для матриц с комплексными элементами. Бисли и Каммингс [218,289] распространили этот результат на другие поля и области целостности (с некоторыми ограничениями на характеристику и число элементов).

Гипотеза 13 (Маркус), Ес/〃 матрица А дважды стохастическая и /(г)= per(z/n — 4), то корни /(г) лежат внутри или на границе круга |z| W 1.

Для действительных корней гипотеза была доказана Бру* альди и Ньюменом [НО]. В общем случае она подтверждена Бреннером и Бруальди [121], доказавшими следующее утверждение:

Теорема, 3.3. Если А — субстохастическая матрица, т。корни уравнения per (之/ — 4) = 0 удовлетворяют соотношению 0 W

Доказательство основывается на результате Бреннера [58], утверждающем, что перманент матрицы с доминирующей диагональю не может обращаться в нуль. Если теперь 力 дважды

стохастическая и если [г]> 1, то матрица %/ — А имеет доминирующую главную диагональ и per (г/ — А) =/= 0, т. е. z не мо・ жет быть корнем per(z/ — А) = 0. Кстати, из той же теоремы Бреннера вытекает также теорема 3.1 (задача 19).

Проблема 1. Найти максимальное значение per (U*A U), когда U пробегает все унитарные матрицы порядка п. Здесь А — фиксированная положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п.

Никакого продвижения нет, помимо верхней границы Маркуса — Минка (теорема 4.1 гл. 6; см, [93, 102, 116]).

Проблема 2- Пусть Я — подгруппа Sn и у — характер степени 1 группы Н. При каких условиях на % и И неравенство

п

2 Х(сг)Па/а(г)^рег (Л)

справедливо для всех положительно полуопределенных эрмитовых А?

Проблема не решена.

Итог: из 15 гипотез и проблем семь гипотез подтвердились, одна опровергнута и семь вопросов остались открытыми. Новый список гипотез и не решенных к настоящему времени проблем о перманентах предлагается в следующем разделе.

8.4. Гипотезы и нерешенные проблемы — новый список

Чарльзу Ф. Кеттерингу принадлежит высказывание。том, что хорошо поставленная задача — уже наполовину решена. Это изречение, кажется, неприменимо к перманентам. В самом деле, как мы отмечали в 1965 г. [103], предположения о перманентах, похоже, разделяются на два совершенно неудовлетворительных класса: к одному принадлежат различные утверждения, которые звучат правдоподобно, но в данный момент находятся вне пределов досягаемости, а другой состоит из гипотез, казавшихся в течение некоторого времени, вне всякого сомнения, справедливыми, но для которых вдруг обнаружились контрпримеры. Как бы то ни было, мы чувствуем, что подобает завершить эту монографию новым списком хорошо поставленных гипотез и проблем, ни одна из которых не решена даже наполовину. Они расположены таким образом, что вопросы, унаследованные из списка 1965 г. (см. разд. 8.3), сохраняют свои первоначальные номера.

Гипотеза 1 (Ван дер Варден)1). Если Л — дважды стохастическая матрица порядка п, то

per (4)^ 献/胪(4.1)

с равенством в том и только том случае, когда А = Jn [103].

Гипотеза 2. Если Л е Л^, 3《月《几一1, то

per (Л) > n\(klnf,(4,2)

Гипотеза 3 (Маркус и Минк). Если S ——дважды стохастическая матрица порядка п и п^ 2, то

per (S» per (彳匸Е).(4.3)

При /г》4 равенство s (4.3) достигается s том 况 только том случае, когда S — Jn [128].

Гипотеза 4 (Уоне), Если S — дважды стохастическая матрица порядка п и п^ 2, то

per (S) >рег (-^芹■) •(4.4)

При /г》3 равенство в (4.4) выполняется 8 том и только том случае, когда S = Jn [287].

Гипотеза 5 (Райзер). Если множество (0, \)-матриц порядка V с k единицами 8 каждой строке и каждом столбце содержит матрицы инцидентности (и, k, К)-конфигурацийу то перманент на этом множестве достигает минимума на одной из этих матриц инцидентности [103].

Гипотеза 6 (Минк). Для фиксированного и min рет(^(/))

монотонно убывает с ростом k [ЮЗ].

Гипотеза 7 (Скотт)2). Пусть 办,...,хп и у、、…，у^ суть различные корни соответственно хл — 1 = 0 瓦乡找十 1 = 0. Пусть А——матрица порядка п, у которой на месте (/, /) стоит 1/(也一У/), i, / = 1, -.., п. Тогда [12]

,6(1・3・5 Iper ⑷ | = |,6(1・3・5 Iper ⑷ | = |…(дг — 2))2/2*…(дг — 2))2/2*если п нечетно, если п четно.если п нечетно, если п четно.(4.5)(4.5)

,6(1・3・5 Iper ⑷ | = |

,6(1・3・5 Iper ⑷ | = |

…(дг — 2))2/2*

…(дг — 2))2/2*

если п нечетно, если п четно.

если п нечетно, если п четно.

(4.5)

(4.5)

Гипотеза 8 (Эрдёш 况 Реньи), Если k ——фиксированное целое число, k^3t то

lim inf (per (А))'" > 1(4.6)

для Л из Л^ [140『.

Гипотеза 9 (Маркус). Пусть 4 ——положительно полуопре- деленная эрмитова матрица порядка тй, расчлененная на блоки:

4i4器…/

/21%…Лот

4H Г"*口* * *"mnt

где каждая из ▲订 имеет порядок k. Пусть G ——матрица, у которой на месте (i, /) стоит per (Ац). Тогда

per (Л) ^ per (G).(4.7)

Если Ац положительно определены, то равенство в (4.7) достигается тогда и только тогда, когда А = Ац 4- • •. -^Amm [103].

Первоначальное условие равенства включало предположение, что Л положительно определена. Теперь известно [151], что в случае m — 2 условие необходимо и тогда, когда положительно определены Ац и /22, а сама матрица может быть вырожденной. В соответствии с этим мы изменили предполагаемое условие равенства.

Гипотеза 10 (Тзербере), Для дважды стохастической матрицы Л порядка п, не равной Jn, справедливо

е ⑷ > е О,(4.8)

где 0/(4) обозначает сумму всех подперманентов А порядка f [88].

Гипотеза 11 (Маркус 〃 Ньюмен)?). Не существует такой дважды стохастической матрицы А, что

per (А(/ |/)) = рег (Л) для всех /, / с а订崂 О,

per (Л (/1/)) ^ per (Л) для всех 厶 j с о订=О

per (Д (s |/)) > per (Л)

для некоторых s, t с a§t = 0 [103].

При 也=3 это предположение доказано Ворхувом [365]. — Прим.

перев.

См. стр. 2H. — Прим, перев.

Гипотеза 12 (Джекович). Если А ~ дважды стохастическая матрица порядка п, А =^= Jn и 1 W h W п, то [123]

% (4) >9•二^十丫/」(/)•(4.9)

Гипотеза 13 (Синкхорн). Если А ——дважды стохастическая матрица и per(X(i|/))^s per (А) для всех i, j, то либо 4 =/& либо с точностью до перестановок строк 况 столбцов А = =景/" + Р)【286].

Гипотеза 14 (Бруальди и Фореггер). Если А есть (0, ^-матрица порядка п, у которой see подперманенты, порядка п——1 имеют одинаковое ненулевое значение, то А = J или /^ + Р [260].

Гипотеза 15 (Фореггер). Для почти разложимой дважды стохастической матрицы Л порядка п справедливо

рег(4)Ж

с равенством в том и только том случае, когда А = i/z(/^ + P), с точностью до перестановок строк 况 столбцов [242].

Гипотеза 16 (Минк). Если / 巨 Л^ 3 ^ k ^. п} то существует такое не зависящее от п положительное число 日=日(々),что per (Л) > (1 +&)".

Гипотеза 17 (Фореггер). Для любого л существует такое целое число k = k^), что

per (Лй) ^per (X) для всякой А из йл.

Гипотеза 18 (Меррис). Если А ——дважды стохастическая матрица порядка п, то [235] /г

nper(A)>min ^ per(X(j |/)).(4.10)

i /== 1

Гипотеза 19 (Уонг). Если перманенты двух матриц Адамара порядка л равны^ то каждая матрица может быть получена из другой с помощью: 1) перестановки строк 况 столбцов, 2) умножения строк или столбцов на —1 〃, быть может, 3) транспонирования матрицы [257].

Гипотеза 20 (Дьиреш). Пусть A w%; тогда

per ЛЛ* + per Л*Л + 2 per А2 пп '

Равенство 8 (4.11) достигается в том 况 только том случае, когда А — Jn [276]).

Проблема 1. Найти максимальное значение per(U*AU), когда А — фиксированная положительно полу определенная эрмитова матрица порядка п, a U пробегает все унитарные матрицы порядка и [103].

Проблема 2. Пусть Я — подгруппа S小 а х — характер степени 1 группы Н. При каких условиях на ^ и Н неравенство

2 %(сг)Ц%。")《рег(/)

выполняется для всех эрмитовых положительно полуопределен- ных матриц Л [103]?

Проблема 3. (Гринштейн), Найти все значения, которые per (Л) может принимать для А из Л^

Проблема 4. Найти максимальное значение per (Л) 8 Л^ когда п не делится на k.

Проблема 5 (Уонг). Может ли перманент матрицы Адам ара порядка п обращаться в нуль при и > 2 [257]?

Проблема 6 (Уонг), Найти нетривиальную верхнюю границу для [per (Л) I в множестве (——1, 1) -матриц порядка п [257].

Проблема 7 (Уонг). Для всякого ли п^ 4 существует такая невырожденная (—1, \ )-матрица Л порядка п, что |per(A)| = |det(/)| [257]?

Проблема 8 (Фридленд 况 Минк), Найти матрицы А на границе Q% отличные от матриц перестановки Р 〃 матриц (/ ——Р)/(п—1), для которых перманент монотонно возрастает на отрезке (1 — 0)Л + 64 0 W 6 W 1 [297].

Проблема 9. Найти такое положительное число b = b (п), что per (Л) > п\/пп для любой A^Qn с ||А — /л|| W 氏

Проблема 10. Найти такие числа ш и Mt что

2,31 V 疗久 рег(Я) ^Мп< 2,99”(4.12)

для всех Л е Л^ и достаточно больших п. Или найти m и М, удовлетворяющие (4.12) при достаточно больших и, для всех циркулянтов из А*.

Неравенства (4.12) улучшили бы известные оценки в трехмерной проблеме димеров [142, 302].

Задачи

Покажите, что теорема 2.3 гл. 5 вместе с неравенством (1.3) разд. 8,1 подтверждает гипотезу Ван дер Вардена для класса дважды стохастических матриц, удовлетворяющих (1.3).

Покажите, что если Л 三 R% то

^И) = 4(м-(п-2) + М||2),

где II 4 俨=2 % (Указание： примените технику, использован^ ную при доказательстве теоремы 4.1 гл. 5.)

Из результата задачи 2 вывести, что если Л ^ йл и А =?^ /〃，то

•(』)> 6 О・

Пусть А есть (0, 1)-матрица порядка л, у которой все подперманенты порядка п—1 имеют одинаковое ненулевое значение. Покажите, что А вполне неразложима и 4 w Л^ т. е. что Л — ненулевое кратное вполне неразложимой дважды сто* хаотической матрицы.

Докажите неравенство (1.13) в случае awQ电&

Докажите неравенство Холла

厶(Г, п)>П(п+1-/)1.

Найдите верхние границы для L(6,6), L(7,7) и L(8,8): а) используя формулу (2.2); б) используя формулу (2.4) совместно с теоремой 2.1 гл. 6. Сравните полученные оценки с истинными значениями [259]:

L(6,6) = 6!><5! (9408); L (7, 7) = 7!义 6! (16 942 080);

厶(8, 8) = 8!义 71 (535 281 401 856).

Найдите нижнюю границу для L(8,8), используя формулы (2.7) и (2.8).

Найдите нижние границы для L(6,6), L(7,7) и Л (8,8), используя формулы (2.5) и (2.6). Сравните найденные оценки и оценку, полученную в задаче 8, со значениями, указанными в задаче 7.

Пусть G ——полный граф с шестью вершинами. Примените неравенство (2.12) к вычислению верхней границы для числа g(G) 1-факторов G.

Пусть G — граф из задачи 10. Получите верхнюю границу для 卩(G) с помощью неравенства (2.13).

Пусть G — граф из задачи 10. Вычислите гафниан матрицы / — /в путем построения всех 1-факторов G.

Пусть

где В — квадратная матрица. Покажите, что haf (Д) — per (В).

Пусть G есть 12-кирпич из примера 2.4, а 屮一подстановка

/1234 56789101112)

I73 610845912ПГ

Убедитесь, что диагональ матрицы инцидентности G, соответствующая ф, положительна. Найдите пару расчленений G на димеры, определяемую подстановкой ф.

Пусть G есть двумерный /г-кирпич со сторонами длин а и. bt п — ab. Покажите, что матрица инцидентности G имеет вид, указанный в (2.15).

Пусть Ап есть (0, 1)-матрица порядка 九 с единицами на местах (厶/) при г = / + 1, / = / и / =/ + 力 для некоторого фиксированного k и нулями на остальных местах. Покажите, что

per ⑷=per (А—) + per (4亠i)

(см. [325]).

Пусть Ап — матрица, определенная в задаче 16. Покажите, что если 九 достаточно велико, то

рег(4“)> сп

для любого с, 1 V с V d, где d ——наибольший корень уравнения — xk — 1=0.

Покажите, что для каждого с, 1 V с V %, где h ——наибольший корень уравнения xf ——尤'-】——1 =0, имеет место

рег(/“ + Р + Ь)>с"

для достаточно больших п.

Бреннер [58] показал, что перманент матрицы с доми* пирующей диагональю не может равняться нулю. Докажите, что отсюда вытекает теорема 3.1.

Покажите, что из справедливости гипотезы 4 разд. 8.4 следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена.

М

Список литературы

1812

Бине (J. Р. М. Binet). Memoire sur un systeme de formules analytiques, et* leur application a des considerations geometriques, /. Be. Polyt. 9 (1812); Cah. 16, 280—302.

В работе содержатся тождества для перманентов матриц размера m X ^ при /и = 2, 3, 4. Доказательства не приводятся, общих формул нет.

Коши (A. L. Cauchy). Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs egales et de signes contraires par suite des transpositions operees entre les variables qu'elles renferment, J. Ec. Polyt. 10 (1812); Cah. 17, 29—112, Oeuvres (2)i.

Важная работа о детерминантах. Вводятся перманенты как класс «перманентных симметрических функций».

1843

Буль (G. Boole). On the transformation of multiple integrals, Cambridge Math, J. 4 (1843), 20—28.

Детерминант порядка п определяется через перманент матрицы (слова «детерминант» и «перманент» не употребляются) с изменением затем знаков у некоторых членов.

1855

Борхарт (С. W. Borchardt). Bestimmung der symmetrischen Verbindungen vermittelst ihrer erzeugenden Funktion, Monatsb. Akad. Wiss. Berlin (1855), 165-171; Cretins 丄 53 (1855), 193—198; Gesammelte Werke^ 97-105.

Пусть A = (%/) = (-^y) и В = (4) =((彳_%)2).

Тогда

per (Л) det (Л) == det (B),

1856

Иоахимсталь (F. Joachimstal). De aequationihus quarti et sexti gradus quae in theoria linearum et superficierum secundi gradus occurunt, Crellefs /, 53 (1856% 149-172,

Без точного доказательства устанавливается, что тождества Бине для матриц размера т^п порождаются теми же тождествами для матриц размера (т— 1)Х и. Перманент описывается указанием на то, что он «тем отличается от детерминанта, что его члены положительны».

1859

Кэли (A. Cayley), Note sur les normales d'une conique, Cretins J. 56, (1859), 182—18 5; Collected Mat. Papers IV, 74—77.

Пусть _4=(a〃), ay =/= 0 есть матрица 3-го порядка, В и С — матрицы 3-го порядка, у которых элементы на месте (г, j) равны соответственно @务 и а»】. Тогда

per (4) det (Д) — det (В) + 2 / JJ о”) det (С).

1865

Хорнер (J. Horner). Notes on determinants, Quart. /. Math. 8 (1865), 157—162.

Пусть заданы матрицы Д и В 3-го порядка. Тогда

det (4) det (В) = £ det (匕)per (Л * (匕В)),

где суммирование производится по всем матрицам перестановки Pi порядка 3, а * обозначает произведение Адамара. Перманенты называются 《контермннантамн》.

1872

Споттисвуд (W. Spottiswoode). On determinants of alternative numbers, Proc. London Math. Soc. 7 (1872), 100一112.

Соотношения между детерминантами и перманентами матриц 2-го и 3-го порядков, элементы которых суть «альтернирующие числа» (т. е. удовлетворяют условию ab = —Ьа}.

1876

Фаа ди Бруно (F. Faa Di Bruno). Theorie des formes binaires, Turin, 1876.

Содержит принадлежащее Кэли доказательство равенства Борхарта.

1879

Хэммонд (J. Hammond). Question 6001, Educ. Times 32 (1879), 179.

Коэффициенты многочлена П£。,/尤/внражаютса как «альтерни-

(=1 /=1 ''

рующие детерминанты» (т. е. перманенты).

Скотт (R. F. Scott). Notes on determinants, Messenger of Math. 8 (1879), 182—187.

Пусть Л и Л(л)— матрицы порядка п с элементами соответственно 5,—力 и (龜一力尸 на месте (/', /). Тогда

det(小叫=扌 Н ( ； ) 口 ® - S/) 口色per (4).

Г = 1 УУ

1881

Скотт (R. F. Scott). Mathematical notes, Messenger of Math. 10 (1881), 142—149.

Пусть 4=((M —У/)т), где Xi, ..., xn и yb .... yn суть различные корни уравнений xn — 1 — 0 и у"+ 1= 0 соответственно. Автор приводит без доказательства тождество

(1 • 3 • 5 ... (/г — 2))2, если п нечетно,

0,если п четно.

Мюир (Т. Muir) A Treatise。九 Determinants^ London, 1881.

См, издание, пересмотренное Мецлером [39].

1882

Мюир (Т. Muir). On a class of permanent symmetric functions, Proc. Roy. Soc, Edinburgh 11 (1882), 409—418.

Для квадратных матриц вводится термин «перманент» и устанавлн* ваются свойства перманентов, подобные свойствам детерминантов. Кроме того, показано, что детерминант произведения двух матриц порядка п выражается через совокупность п! перманентов того же порядка, а произведение перманента матрицы порядка п на детерминант матрицы порядка п выражается через совокупность п! детерминантов того же порядка.

Ржегоржовский (V. Rehofovsky). О vytvornjfci funkci Borchardt-ove, Casopis pro pestovdnl math, a fys, 11 (1882), 111—120.

Вывод тождества Борхарта и соответствующей производящей функции.

1890

Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. I, Part I, London, 1890.

Резюме публикаций по теории детерминантов до Кэли (но исключая его).

1893

Лерх (М. Lerch). Kratky diikaz Borchardtovy vety determinantni, Casopis pro p^stovdnl math, a fys. 2 3 (1893), 76—78.

Еще одно доказательство тождества Борхарта.

1897

Мюир (Т. Muir). A relation between permanents and determinants, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 22 (1897), 134—136.

Пусть Л — матрица порядка п. Тогда

n

££(-1)'per (4 [①]①])det (4(①]①))=0,

r=0s 三 Q/■，也

где рег(Д [со|со]) = 1 и det(-4 (ю |(о)) — det(/l), если г = 0, и рег(Д [со®]) = рег(Д) н det(_4® |о))) = 1, если г = п.

1899

①ербер (F. Ferber). Snr un symbole analogue aux determinants, Bull. Soc. Math. France 27 (1899), 285—288.

Рассматриваются перманенты матриц Вандермонда.

Мюир (Т. Muir). On a development of a determinant of the mnth order, Trans. Qoy. Soc Edinburgh 39 (1899), 623—628.

Детерминант матрицы Л порядка тп выражается как сумма перманентов матриц порядка т, элементы которых ——миноры А.

1900

Фербер (F. Ferber). Application du symbole des determinants uositifs, Bull. Soc. Math. France 28 (1900), 128—130.

Два примера использования перманентов.

Мюир (Т. Muir). On Jacobi's expansion for the difference-product when the number of elements is even, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 23 (1900), 133—141.

Разложение Якоби для произведений разностей (Werke III, 439——452) выводится с использованием пфаффианов и перманентов.

1903

Янг (A. Young). The expansion of the nth power of a determinant, Messenger of Math. 33 (1903), 113—116.

Выражение для общего члена (per Д)\ когда А ——матрица 3-го порядка.

Мюирхед (R. F. Muirhead). Some methods applicable to identities and inequalities of symmetric algebraic functions of n letters, Proc. Edinburgh Math. Soc 21 (1903), 144—157.

матрицы порядка п, где щ суть положи-матрицы порядка п, где щ суть положи-Пусть 4 = (。?) и 8 = (。?)一

матрицы порядка п, где щ суть положи-

матрицы порядка п, где щ суть положи-

тельные числа, hf и 財——неотрицательные целые числа. Имеем per (Л) ^ W рег(В) тогда и только тогда, когда последовательность (h(} .... kn) мажорирует (九外...,йл).

1906

Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. I (2nd ed.), London, 1906.

Включает часть I [16], опубликованную в 1890 г.

1011

Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development, Vol. II, London, 1911,

Содержит раздел о перманентах (стр. 445—448).

1912

Мюир (Т. Muir). Note on double alternants, Trans. Royt Soc. S. Africa 3 (1912), 177—185.

Одно соотношение между детерминантом и перманентом.

Мюир (Т. Muir). Question 6001, Educ. Times 65 (1912), 139, Math, from Educ. Times (2) 22 (1912), 49—50.

Коэффициенты разложенияКоэффициенты разложенияn nn n19131913выражаются через перманенты.выражаются через перманенты.

Коэффициенты разложения

Коэффициенты разложения

n n

n n

1913

1913

выражаются через перманенты.

выражаются через перманенты.

Пойа (G. Р61уа). Aufgabe 424, Arch. Math. Phys. (3) 20 (1913), 271.

He существует способа приписать одновременно элементам матрицы порядка п,力竺 3, знаки + и — так, чтобы ее йерманент обратился в детерминант.

1915

Мюир (Т. Muir). Question 18015, Educ. Times 68 (1915), 238; Math, from Eauc. Times (2) £9 (1915), 88—60； Math. Quest, and Sol. 1 (1915),

Одно неравенство между перманентом и детерминантом.

Мюир (Т. Muir). Determinants who^e elements are alternating numbers, Messenger of Math. 43 (1918), 21—^7.

Изложение следует работе Споттисвуда [8].

1916

Кёниг (D. Konig). Ober Graphen und ihre Anwendung auf Detenninanten- theorie und Mengelehre, Math. Ann. 77 (1916), 4区纟一465; Math. 6s Ter- mesz. Ertesltd 34 (1916), 164—119.

Перманент дважды стохастической матрицы положителен. Перманент (0,1)-матрицы с 上 единицами 9 цаждой строке и каждом столбце н@ может быть меньшим 瓦、

1917

Фробениус (G. Frobenius). Uber zerlegbare Determinanten, Sber. Preuss. Akad. Wiss. (1977), 274—277.

Перманент неотрицательной матрицы порядка п обращается в нуль тогда и только тогда, когда она содержит нулевую подматрицу размера fe Х(п — ft + 1). Перманент дважды стохастической матрицы положителен.

'1918

Шур (I. Schur). Uber endliche Gruppen und Hermitesche Formen, Math. Z. 1 (1918), 184—207.

Детерминант положительно полуопределенной матрицы не превосходит ее перманента.

1920

Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants in the Historical Order of Development^ Vol. Ill, London, 1920.

Содержит резюме статей [7], [8], [10], [11] и книги [9].

1923

Мюир (Т. Muir). The Theory of Determinants tn the Historical Order of Development^ Vol. IV, London, 1923.

Содержит резюме статей [12], [14], [15], [17], [18], [19], [20].

1926

Ван дер Варден (В. L. van der Waerden). Aufgabe 45, Jber. Deutsch. Math. Verein. 35 (1926), 117.

«Гипотеза Ван дер Вардена»: найти минимум функции перманента на множестве всех дважды стохастических матриц порядка п.

Тернбул (Н. W. Turnbull). The Theory of Determinants, Matrices, and Invariants, London, 1926.

Содержит определение функции перманента и формулу, включающую перманенты.

1928

Мюир (пересмотрено Мецлером) (Т. Muir). Л Treatise on the Theory " Determinants, London, 1928.

Пересмотренное и расширенное издание книги [13]. Содержит несколько формул, включающих детерминанты и перманенты. Вводятся перманенты трехмерных матриц.

1930

Мюир (Т. Muir). Contributions to the History of Determinants 1900—192% London, 1930.

Содержит резюме работ [21], [22], [23], [27], [28], [29], [30], [31], [32].

1931

Эгервари (Е. Egervary). Matrixok kombinatorius tulajdonsagairdl, Mat. Fiz. Lapok 38 (1931), 16—28.

Содержит теорему Кёнига ——Эгервари: минимальное число линий в (0, 1)-матрице, содержащих все ее единицы, равно терм-рангу матрицы.

Кёниг (D. Konig). Graphok es matrixok, Mat. Fiz. Lapok 38 (1931), 116—119.

Обобщение теоремы Фробениуса — Кёнига. Теорема Кёнига — Эгервари.

1933

Кёниг (D. Konig). Uber trennende Knotenpunkte in Graphen (nebst An- wendungen auf Determinanten und Matrizen), Acta Litt, ac Sci. (Sec. Set. Math.), Szeged 6 (1933), 155—179.

Продолжение [42] (см. книгу Кёнига [48]).

1934

Харди, Литлвуд и Пойа (G. Н. Hardy, J. Е. Littlewood, G. Polya). Inequalities, London, 1934. [Имеется перевод: Неравенства. — Л., Гос. изд-во иностр, лит., 1948.]

Содержит обобщение теоремы Мюирхеда [24] на любые неотрицательные действительные показатели и доказательство этой обобщенной теоремы.

Тушар (J. Touchard). Sur un probleme de permutations, C. R. Acadt Sci. Paris 198 (1934), 631—633.

Формула в явном виде для «чисел супружеских пар», т. е. для рег(п7л ■— /“ 一 Р).

Веддерберн (J. Н. М. Wedderburn). Lectures on Matrices, Providence, 1934.

Определяются перманенты, излагаются их свойства как полилинейных функций, вводится понятие индуцированной матрицы (стр. 75——76),

1935

Холл (Р. Hall). On representatives of subsets,丄 London Math. Soc 10 (1935), 26—30“

Дается необходимое и достаточное условие того, чтобы конфигурация конечных подмножеств имела СРП, или, равносильно, чтобы неотрицательная матрица имела положительный перманент.

1936

Кёниг (D. Konig). Theorte der endlichen 〃九d unendlichen Graphen. Leipzig, 1936.

В разделе, посвященном приложениям графов к матрицам и детерминантам (гл. XIV, § 3), речь идет фактически о перманентах. В частности, он содержит теорему Фробениуса — Кёнига, теорему Кённга — Эгер- варн и формулировку гипотезы Ван дер Вардена.

1939

Айткен (А. С. Aitken). Determinants and Matrices*、Edinburgh, 1939.

Определение и разложение перманентов. «Задача о встречах», г. е. вычисление рег(п/л — /л).

1943

Капланский (I. Kaplansky). Solution of the «probleme des menages», Bull. Amer. Math. Soc. 49 (1943), 7上4—785.

Решение задачи о супружеских парах, т. е. вычисление 2п! рег(п7л — —In — Р).

1945

Венкатарайуду (Т. Venkatarayudu). Immanents of a matrix associated with a finite abelian group, Proc. Indian Acad. Set., Sect. Л 21 (1945), 103—104.

Все имманенты некоторой матрицы, ассоциированной с конечной абелевой группой, обращаются в нуль, за исключением перманента.

1948

Маршалл Холл, мл. (Marshall Hall, Jr.). Distinct representatives of subsets, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 922—926.

Если Л есть (0,1)-матрица размера m X и с ненулевым перманентом и строчными суммами, не меньшими k, k ^ т, то Рег(Л) A k\.

1950

Халмош и Воган IP R. Halmos, Н. Е. Vaughan), The marriage problem, Amer. /. Math 72 (1950), 214—215.

Содержит простое комбинаторное доказательство теоремы Ф. Холла [47].

1953

Каяньелло (Е. R. Caianielio). On quantum field theory, I. Explicit solution of Dyson's equation in electrodynamics without use of Feynman graphs, Nuovo Cimento (9) 10 (1953), 1634—1652,

Вводятся гафнианы, используемые затем в алгоритме.

Манн и Райзер (Н. В. Mann, Н. J. Ryser). Systems of distinct representatives, Amer. Math. Monthly 60 (1953), 397—401.

Краткое доказательство теоремы М. Холла [52], основанное на методе из [53].

1954

Гарсиа (Р. J. Garcia). On properties and applications of permanents (Spanish), Gaseta Mat. (1) 6 (1954), 8—14.

Включает применение к выводу формулы для элементарных симметри* ческих функций.

1956

Каяиьелло (Е. R. Caianiello). Proprieta pfaffiani е hafniani, Ricerca, Napoli 7 (1956), 25—31.

Теорема о разложении для гафнианов, включающая перманенты.

1959

Бреннер (J. L. Brenner). Relations among the minors of a matrix with dominant principal diagonal, Duke Math. 7. 26 (1959), 563—568.

Матрица с доминирующей диагональю имеет ненулевой перманент.

Каяньелло (Е. R. Caianiello). Regularization and renormalization, I, Nuovo Cimento (10) 13 (1959), 637—661.

Гафнианы и перманенты используются для представления средних значений произведений свободных коммутирующих полей. Приводится формула разложения для перманентов.

Каяньелло (Е. R. Caianiello). Theory of coupled fields, Nuovo Cimento Suppl. 14 (1959), 177—191.

Перманенты и гафнианы используются в разложениях пертурбаций.

Левин (J. Levine). Note on an identity of Cayley, Amer. Math, Monthly 66 (1959), 290—292.

Тождество Кэли [6] расширяется на матрицы порядка 4 и ранга, меньшего трех.

Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). On the minimum of the permanent of a doubly stochastic matrix, Duke Math. J. 26 (1959), 61—72.

Важные частные результаты по гипотезе Ван дер Вардена. Основной результат: если А ——дважды стохастическая положительная матрица порядка п с минимальным перманентом, то Л =丿小

1960

Карлиц и Левин (L. Carlitz, J. Levine). Ап identity of Cayley, Amer, Math. МоипШу 67 (I960), 571—573.

Обобщение теоремы Кэли [6]: если А =(。订)есть матрица порядка и и ранга, меньшего 3, и если В = (а/) а С == (о；/2), то per (В) det (В)= в det (С).

Маркус (М. Marcus), Some properties and applications of doubly stochastic matrices. Amer. Math. Monthly 67 (I960), 215—221.

Содержит небольшой раздел, посвященный гипотезе Ван дер Вардена.

Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). Permanents of doubly stochastic matrices, Proc. Symp. A ppi. Math., Amer. Math. Soc. 10 (I960}, 169—174.

Краткое изложение результатов, полученных в [62].

Никола! (Р. J. Nikolai). Permanents of incidence matrices, Math. Comput. 14 (I960), 262—266.

Приводятся две матрицы инцидентности неизоморфных (15,7,3)-схем с неодинаковыми перманентами.

Райзер (Н. J. Ryser). Compound and induced matrices in combinatorial analysis. Proc. Symp. Appl. Math., Amer. Math. Soc. 10 (I960), 149—167.

Последняя страница содержит краткий обзор задач о перманентах неотрицательных матриц.

Райзер (Н. J. Ryser). Matrices of zeros and ones, Bull. Amer. Math. Soc. 66 (I960), 442—464.

Высказывается гипотеза： в классе (0, 1)-матриц порядка vk со строчными и столбцевыми суммами, равными k, функция перманента достигает максимума на прямой сумме матриц порядка k, составленных из единиц.

Тинсли (М. F. Tinsley). Permanents of cyclic matrices, Pacific /. Math. 10 (I960), 1067—1082.

Если Л есть (0, 1)-матрица, представляющаяся как сумма s попарно коммутирующих матриц перестановки, s >： 3, и если |det⑷ | = per•⑷, то Д с точностью до перестановок строк и столбцов равна прямой сумме циркулянтов 7-го порядка вида /7 + Р + РК

1961

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). On the relation between the determinant and the permanent, Illinois J. Math. 5 (1961), 376—381.

He существует линейного преобразования на множестве матриц порядка п,九 > 3, обращающего детерминант любой матрицы в ее перманент. Это ——обобщение результата Пойа [29].

Маркус, Минк и Мойлс (М. Marcus, Н. Mine, В. Moyls), Some results on nonnegative matrices,工 Res. Nat. Bur. Standards 65B (1961), 205— 209.

Оценки снизу для перманентов дважды стохастических матриц в терминах чисел Биркгофа.

Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). The permanent function as inner product, Bull. Amer. Math, Soc. 67 (1961). 223—224.

Анонсируются результаты из [79].

Мендельсон (N. S. Mendelson). Permutations with confined displacements. Canad. Math. Bull. 4 (1961), 29—38.

Формулы для перманентов (0, 1)-циркулянтов вида Р + Р? + ... + Р& для k — \, 2, 3, 4, п — 2, п—1, п. Формулы для k = 3, 4,几一2 неверны (см. [94]).

1962

Маркус (М. Marcus). An inequality connecting the P-condition number and the determinant, Numer. Math, 4 (1962), 350—353.

Неравенство дает нижнюю границу для детерминанта положительно определенной эрмитовой матрицы в терминах произведения ее главных подперманентов.

Маркус (М. Marcus). Linear operations on matrices, Amer. Math. Monthly 69 (1962), 837—847.

Содержит раздел о перманентах: формулировки результатов из [29], [70] и [76].

Маркус и Мэй (М. Marcus, F. С. May). The permanent function, Canad. 丄 Math. 14 (1962), 177—189.

Определяется вид линейных преобразований матриц порядка п, не изменяющих перманента каждой из матриц.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Some results on doubly stochastic matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 76 (1962), 571—579.

Если A — дважды стохастическая матрица порядка п, то рег(Д) >：

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). The Pythagorean theorem in certain symmetry classes of tensors, Trans. Amer. Math. Soc. 104 (1962), 510-515.

Если Л = 3“)есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то

Per (心亲立%

Маркус и Ньюмен (М. Marcus, Н. Newman). Inequalities for the permanent function, Лпп. Math. 675 (1962), 4 7—62.

Перманент выражается как скалярное произведение в подходящем классе симметрии тензоров. Показано, что гипотеза Ван дер Вардена справедлива для положительно полуопределенных дважды стохастических матриц.

Мойлс, Маркус и Минк (В. N. Moyls, М. Marcus, Н. Mine). Permanent preservers on the space of doubly stochastic matrices, Canad. J. Math. 14 (1962), 190—194.

Определяется вид отображений, описанных в заголовке.

1963

Эрдеш и Реньи (Р. Erdos, A. Renyi), On random matrices, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kdz厶 8 (1963), 455—461.

О вероятности того, что (0,1)-матрица с заданным числом единиц имеет положительный перманент.

Маркус (М. Marcus). The permanent analogue of the Hadamard determinant theorem, Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 494—496.

Если Л = (а；；) есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка % то

几忆 per (Л (/| 0) > per (Л) > аи per (Л (力 /)),

i ~ 1,...工 п, и, следовательно,

per⑷》口 ％t=i

Минк (H. Mine), A note on an inequality of M. Marcus and M. Newman, Proc Amer, Math. Soc. 14 (1963), 890—892.

Небольшое обобщение и новое доказательство результата из [79] (гипотеза Ван дер Вардена для положительно полуопределенных дважды стохастических матриц).

Минк (Н. Mine). Upper bounds for permanents of (0,1)-matrices, Bull, Amer, Math. Soc. 69 (1963), 789—791.

Если А есть (0, 1)-матрица co строчными суммами 门，…，г#, торегИхП^ф.

i=l

Гипотеза:

per(用4立(。产

Мирский (L. Mirsky). Results and problems in the theory of doubly stochastic matrices, Z. Wahrschein. 1 (1963), 319—334.

Содержит краткий обзор результатов о перманентах.

Резерфорд (D. Е. Rutherford). Inverses of Boolen matrices, Proc. Glasgow Math. Xsoc. 6 (1963), 49—53.

Вводится понятие булева перманента (под названием «булев детерминант»).

Райзер (Н. J. Ryser)* Combinatorial Mathematics, Math. Assoc. Amer., 1963. [Имеется перевод: Комбинаторная математика. — М.: Мир, 1966.] Содержит формулу Райзера для вычисления перманентов и, кроме того, материал по «задаче о встречах», «задаче о супружеских парах», гипотезе Ван дер Вардена, перманентам (0, 1)-матриц и т. д.

Тверберг (Н. Tverberg). On the permanent of a bistochastic matrix, Math. Scand. 12 (1963), 25—35.

Пусть Of (人)—сумма всех подперманентов порядка t матрицы Л порядка п. Если А — дважды стохастическая матрица и А ф Л, то О/(Д)耳 勿 о/(Ул) для / = 2 и 3.

1964

Маркус (М. Marcus). The Hadamard theorem for permanents, Proc. Amer. Math. Soc, 15 (1964), 967—973.

Доказывается результат, анонсированный в [82]: если Л == (а//) есть положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка п, то

Per (Л) > aiV

Маркус (М. Marcus), The use of multilinear algebra for proving matrix

inequalities, Recent Advances in Matrix Theory Wisconsin, 1964, pp. 61— 80.

Демонстрируется применение полилинейной алгебры к доказательству некоторых полученных ранее неравенств.

Маркус и Гордон (М. Marcus, W. R. Gordon). Inequalities for subpermanents, Illinois J. Math. 8 (1964). 607—614.

Оценки сверху для сумм квадратов абсолютных величин всех подперманентов порядка k некоторой матрицы.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Л Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, [Имеется перевод: Обзор по теории матриц и матричных неравенств. — М.: Наука, 1972.]

Содержит материал по элементарным свойствам перманентов и индуцированных матриц, различные неравенства, включающие перманенты, список частных результатов по гипотезе Ван дер Вардена и т. д.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Inequalities for general matrix functions, Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964), 308—313.

Если N — нормальная матрица порядка " с характеристическими числами Г1г% то

Приводятся также другие неравенства для перманентов, включая обобщение гипотезы Ван дер Вардена на множестве положительно полу- определенных эрмитовых матриц порядка п.

Минк (Н. Mine). Permanents of (0, IJ-circulants, Canad. Math. Bull. 7 (1964), 253—263.

Формулы для перманентов (0,1)-циркулянтов Л + ^ + ^2 и /〃 + + Р +平十Q.

Перфект (Н. Perfect). An inequality for the permanent function, Proc, Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 1030—1031.

Если Л—субстохастическая матрица, то

per (4'(/ + И))<4'(1 + рег (Л)),

Слейтер и Томпсон (М. L. Slater, R. J. Thompson). A permanent inequality for positive functions on the unit square, Pacific J. Math. 14 (1964), 1069—1078.

Упомянутое в заголовке неравенство применяется к доказательству неравенства для максимального диагонального произведения в дважды стохастической матрице, полученного в [77].

1965

Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Inequalities for permanents and permanental minors, Proc Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), 7 41—746.

Если Л = (а“) есть дважды стохастическая матрица порядка п и 0 ^ V а V 1, то

per (а/ + (1 — а) Д) < а + (1 — а) per (Д),

§ (1 — ао) Рег(Л (Л ОХ 1 — per ⑷，

£ per (Л (г ] /)) < п и т. д.

Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Some theorems on the permanent,丄 Res. Nat. Bur. Standards 69B (1965), 159—163.

Для целого положительного k пусть f(k) обзначает наименьший порядок (0, 1) -матрицы с перманентом, равным k. Тогда log/(片)〜log log 心. В работе содержатся также результаты о перманентах неотрицательных циркулянтов.

Эверетт (С. J. Everett). An inequality on doubly stochastic matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 16 (1965), 310—313.

Гипотеза Ван дер Вардена справедлива для дважды стохастических матриц порядка п с п — 1 одинаковыми строками.

Маркус (М. Marcus). Matrix applications of a quadratic identity for decomposable symmetrized tensors, Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965), 360—364.

Нижняя граница для рег(К[(о|(о]), где матрица К эрмитова и положительно определена, а(о е Gm,理,в терминах характеристических чисел К.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Diagonal products in doubly stochastic matrices, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 16 (1965), 32—34.

Если Л——дважды стохастическая матрица порядка п с h характеристическими числами, равными по модулю 1, то

per (A)^(n-h + i)-(«-A+D.

Если Л неприводима, то рег(Д) ^ (А/п)п.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Generalized matrix functions, Trans. Amer. Math. Soc. 116 (1965), 316—329.

Доказательства результатов, анонсированных в [93].

Маркус и Минк CM. Marcus, Н. Mine). Permanents, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 577—591.一 、

Подробный обзор теории перманентов, список из 13 гипотез и 2 проблем, библиография, состоящая из 16 книг и 56 статей.

Маркус и Ньюмен (М. Marcus, М. Newman). Generalized functions of symmetric matrices, Proc. Amer, Math. Soc. 16 (1965), 826—830.

Если S ——дважды стохастическая матрица и Л — такая положительно цолуопределенная симметрическая матрица, что А—S неотрицательна, tq

■ per (Т)》〃 /严・

1966

Бейнеке и Харари (W. Beineke, F. Harary). Binary matrices with equal determinant and permanent, Stadia Sci. Math. Hungar 1 (1966), 179—183.

Теоретико-графовые условия равенства детерминанта перманенту для бинарной матрицы.

Бруальди (R. A. Brualdi). On the permanent and maximal characteristic root of a nonnegative matrix, Proc. Amer, Math. Soc. 17 (1966), 1413— 1416.

Если Л — неотрицательная неприводимая матрица порядка п с максимальным характеристическим корнем г и если рег(Д) > 0, то

lim (per (Ат))[/1П =гп./ПТ 8

Бруальди (R. A. Brualdi). Permanent of the direct product of matrices, Pacific 丄 Math. 16 (1966), 471—482.

Пусть Л и В ——неотрицательные матрицы порядков тип соответственно. Тогда

(per (4)产(per (8)产 & per (Л ® В) < Kg 九(per (Л))« (per (B))m,

где Km, n — число, зависящее только от т ц п.

Бруальди (R. A. Brualdi). Permanent of the product of doubly stochastic matrices, Proc. Cambridge Philos. Soc. 62 (1966), 643—647.

На вопрос, когда рег(ДВ)— рег(Л)рег(В), ответ дается для дважды стохастических матриц и для неотрицательных матриц, одна из которых вполне неразложима и имеет положительный перманент.

Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Inequalities for the permanental minors of nonnegative matrices, Canad. J. Math. 18 (1966), 608—615.

Сумма всех подперманентов порядка г неотрицательной строчно субстохастической матрицы порядка п не превосходит ( ； ) •

НО. Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). Proof of a permanental inequality, Quart. J. Math, Oxford. Ser. (2) 17 (1966), 234—238.

Если радиус спектра неотрицательной матрицы А не превосходит 1, то рег(7 — А) 0.

Гибсон (Р. М. Gibson). A short proof of an inequality for the permanent function, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 535—536.

Краткое доказательство неравенства из [ПО] для субстохастических матриц, использующее разложение Райзера из [87].

Юркат и Райзер (W. В. Jurkat, Н. J. Ryster). Matrix factorizations of determinants and permanents,丄 Algebra 3 (1966), 1—27.

Замечательная формула, выражающая перманент матрицы как произведение матриц, каждая из которых образована с помощью лишь одной строки исходной матрицы. Формула используется для получения границ перманентов.

Лемпел и Седербаум (A. Lempel, I. Cederbaum). Minimum feedback arc and vertex sets of a directed graph, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-13 - (1966), 399—403.

Минимальные множества определяются с помощью разложения некоторого перманента.

Либ (Е. Н. Lieb). Proofs of some conjectures on permanents, /. Math. Meeh. 16 (1966), 127—134.

4

24H412 "1

где Лц, A22 — квадратные матрицы, то

per (Л) > per (Ли) per (Д22)

(гипотеза 8 [103]). Это доказывает также гипотезу 9 [103] в случае m = 2.

Маркус (М. Marcus). Permanents of direct products, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 226—231.

Если А и В суть комплексные матрицы порядков п п т соответственно, то

I per (Д ® В) |2< (per (力匣))^ (per (В*В))п.

Если 4HB эрмитовы и положительно полуопределены, то

per (Л ® ^) > (5) ($) (per (Л))^ (per (B))n.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). A permanental inequality — the case of equality, Canad, /. Math. 18 (1966), 1085—1090.

Необходимое и достаточное условие того, чтобы | per (Д) | = п~1 ^ | а, р

где А — нормальная матрица с характеристическими числами ...

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine), Modern University Algebra, New York, 1966.

Содержит некоторый материал по перманентам: элементарные свойства и «проблема танцев».

Мирский и Перфект (L. Mirsky, Н. Perfect). Systems of representatives, У. Math. Anal. Appl. 15 (1966), 520—568.

Подробный обзор результатов о системах представителей. Многие результаты в конечном случае можно сформулировать в терминах перманентов, которые в явном виде не упоминаются.

119.119.Уилф (Н. S. Wilf). On the permanent of a doubly stochastic matrix, Canad. J. Math. 18 (1966), 758—761.Уилф (Н. S. Wilf). On the permanent of a doubly stochastic matrix, Canad. J. Math. 18 (1966), 758—761.Оценки иОценки иасимптотическиеасимптотическиерезультаты для среднегорезультаты для среднего

119.

119.

Уилф (Н. S. Wilf). On the permanent of a doubly stochastic matrix, Canad. J. Math. 18 (1966), 758—761.

Уилф (Н. S. Wilf). On the permanent of a doubly stochastic matrix, Canad. J. Math. 18 (1966), 758—761.

Оценки и

Оценки и

асимптотические

асимптотические

результаты для среднего

результаты для среднего

когда Pi независимо пробегают множество матриц перестановки-

1967

Баум и Игон (L. Е. Baum, J. A. Eagon). An inequality with applications to statistical estimation for probabilistic functons of Markov processes and to a model for ecology, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 360—363.

Это неравенство в применении к перманентам дает следующий резуль- 一 тат. Пусть S — множество строчно стохастических матриц размера тХ п с ненулевым перманентом. Пусть f: Sf S есть функция

(〃4)%=%Рет(4 (/|/))/Рег (Л),

t = 1, ..., /п, / = 1, ..., п, для любой А = (а〃)三 S. Тогда Per(f (Л)) > > Рег(Л), если только /(Л) Ф А.

Вреннер и Бруальди (J. L. Brenner, R. A. Brualdi). Eigenschaften der Permanentefunktion, Arch. Math. 18 (1967), 585—586.

Если A — субстохастическая матрица, то все корни многочлена per (г/ — А) лежат в круге 0 W|a|W 1 (гипотеза 13 [103]).

Ботта (Р. Botta). Linear transformations that preserve the permanent, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 566—569.

Новое доказательство теоремы Маркуса и Мэя [76].

Джёкович (D. 2. DokoviC). On a conjecture by van der Waerden, Mat. Vesnik (19) 4 (1967), 272—276.

Пусть pk(Л) обозначает сумму всех подперманентов порядка 心 матрицы А. Гипотеза: если Л 曰1 й п, то

联(*)》 萩展-i(*)•

Эта гипотеза доказана для й — 3.

Джёкович (D. 2. Dokovic). Some permanental inequalities, Pub I. Inst. Math, (Beograd) (N. S.) (21) 7 (1967), 191—195,

Если Л и В ——матрицы размеров соответственно 爪义九 и n X ^ и a a Gr,的 В 三 G，，ft, то

рег((ДВ) [а |Р])2< per ((4Д*) [а! а]) per ((В*В) [р ] Р]).

Если А — положительно полуопределенная дважды стохастическая матрица порядка п и а е Gr> п, то per (Д [а|а]) > г\/пг.

Гройб (W. Н, Greub). Multilinear Algebra, Berlin, 1967.

Содержит формулу, выражающую перманент как скалярное произведение симметризованных тензоров.

Юркат и Райзер (W. В. Jurkat, Н. J. Ryser). Term ranks and permanents of nonnegative matrices, J. Algebra 5 (1967), 342—357.

Пусть Л — неотрицательная матрица, и пусть г：《…《г：, с； & . •.

...& % обозначают соответственно ее строчные и столбцевые суммы, расположенные в порядке неубывания. Тогда

per (Д) < П min (〃 Z).

Маркус (М. Marcus). Lengths of tensors, Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio 1965), 163—176, New York, 1967.

Если Л = (a〃) есть положительно определенная эрмитова матрица порядка "С минимальным характеристическим числом 九小 то

рег(Л)>ПОгг + ХГ2( £ 崎 I).

t = l\П>/>/>1 丿

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine), On a conjecture of В. L. van der Waerden, Proc. Cambridge Philos. Soc. 63 (1967), 305—309.

Гипотеза: если S — дважды стохастическая матрица порядка 孔力 2, то

per (S) > per (灰_ 1 丿.

Доказывается, что предположение справедливо в достаточно малой окрестности /% а также для положительно полуопределенной S. Из этой гипотезы следует справедливость гипотезы Ван дер Вардена.

Маркус и Мннк (М. Marcus, Н. Mine). Permutations on symmetry classes, 丄 Algebra 5 (1967), 59—71.

Матрица Л——обобщенная матрица перестановки порядка " в том и только том случае, когда каждой со 三 Gm,即 для некоторого m < п соответствует в точности одна 丫 三 Gm“，такая, что per (Л [(о |у]) Ф 0

Маркус и Соулз (М. Marcus, G. W. Soules). Some inequalities for combinatorial matrix functions,丄 Combinatorial Theory 2 (1967), 145—163.

Улучшаются неравенства Маркуса [82] и Либа [114].

Минк (Н. Mine). A lower bound for permanents of (0, 1)-matrices, Proc, Amer, Math. Soc. 18 (1967), 1128—1132.

Простое доказательство неравенства, полученного в [112]: если Л есть (0, 1)-матрица со строчными суммами 门力 …^ гл, то

per (心 R max (q + Z — n, 0).

Обсуждается случай равенства.

Минк (Н. Mine). An inequality for permanents of (0,1)-matrices, J. Combinatorial Theory 2 (1967), 321—326.

Улучшается результат из [84]: если Д есть (0, 1)-матрица со строчными суммами ri,・,・ 1 то

Arz + V2

Моцкин (Т. S. Motzkin). Sings of minors, Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio 1965) 225—240, New York, 1967tt Обобщаются результаты о матрицах с доминирующей главной днаго нальюа вк^ючдя сюда один результат о перманента达.

Сассер и Слейтер (D. W. Sasser, М. L. Slater). On the inequality £ 々力》(1/几)£ 打 £ 勿 and the van der Waerden conjecture, J. Combinatorial Theory 3 (1967), 25—33.

Если Л ——нормальная дважды стохастическая матрица порядка п и А 咗 Ул, причем все характеристические числа Л лежат в клине, определенном неравенством |arg z \ ^ л/2^ для некоторого k, 2《左《％ то сумма всех подперманентов порядка 也 матрицы А больше, чем такая же сумма для /小

1968

Баум и Селл (L. Е. Baum, G. R. Sell). Growth transformations for functions on manifolds, Pacific J. Math. 27 (1968), 211—227.

Улучшается результат из [120]:

Per (Л) & Per ((1 - О Л + // (Д))

для любого / из интервала (0, 1]. Равенство получается, если и только если f(4) — 4

Бисли и Бреннер (L. В. Beasley, J. L. Brenner). Bounds for permanents, determinants, and Schur functions, J. 人/ge匕厂a 10 (1968), 134—148.

Оценки сверху и снизу для перманента матрицы с доминирующей главной диагональю.

Ботта (Р. Botta), On the conversion of the determinant into the permanent, Canad. Math. Bull. 11 (1968), 31—34.

Передоказывается результат из [70].

Крапо (Н. Н. Сгаро). Permanents by Mobius inversion, J. Combinatorial Theory 4 (1968), 198—200.

Техника обращения Мёбиуса применяется для установления формулы Райзера вычисления перманентов, а также для получения другого метода вычисления.

Эберлейн и Мудхолкар (Р. J. Eberlein, G. S. Mudholkar). Some remarks on the van der Waerden conjecture,丄 Combinatorial Theory 5 (1968), 386—396.

Два элементарных доказательства гипотезы Ван дер Вардена в случае п = 3 и доказательство в случае п — 4.

НО. Эрдёш и Реньи (Р. Erdos, A. Renyi). On random matrices, П, Studia Sci. Math. Hungar. 3 (1968), 459—464.

Гипотеза: lim inf (рег(Д))1/л > 1 для 4 из A^ и фиксированного А》3・

Гибсон (Р. М. Gibson). An inequality between the permanent and the determinant, Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 971—972.

Если A — субстохастическая матрица, то

per (/ — 4)》det (/ — Л) > 0.

Хаммерсли (J. М. Hammersley). An improved lower』bound for the multidimensional dimer problem, Proa Cambridge Philos. Soc. 64 (1968)$

Перманенты используются для получения оценки снизу в проблеме димеров. Если справедлива гипотеза Ван дер Вардена, то получается более точная граница.

ИЗ. Хвал (V. Hval). On the permanent of a space matrix (Russian), Mat Vesnik (20) 5 (1968), 173-176.

Одно тождество для перманента пространственной матрицы.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). Extensions of classical matrix inequalities, Linear Algebra and A ppi. 1 (1968), 421—444.

Оценки снизу для перманентов и сумм всех подперманентов порядка т нормальных дважды стохастических матриц. В частности, улучшается один результат Сассера и Слейтера [134].

Маркус и Пирс (М. Marcus, S. Pierce). On a combinatorial result of R. A. Brualdi and M. Newman, Canad. /. Math,. 20 (1968), 1056—1067, Неравенство для перманентов Бруальди и Ньюмена [109] получается как частный случай одного неравенства для некоторых функций Шура.

Симоэш-Перейра (J. М. S. Simoes Pereira). Boolean permanents, permutation graphs and products, SIAM 丄 A ppi. Math. 16 (1968), 1251—1254.

Булевы перманенты используются для изучения вопроса о существовании перестановочных подграфов.

Уилф (Н. S. Wilf), A mechanical counting method and combinatorial applications, /. Combinatorial Theory 4 (1968), 246—258.

Производящая функция для принципа включения — исключения применяется к получению верхней границы для перманентов неотрицательных матриц и верхней границы для перманентов (0,1)-матриц.

Уилф (Н. S. Wilf). Divisibility properties of the permanent function, J. Combinatorial Theory 4 (1968), 194—197.

Устанавливается, что перманент матрицы инцидентности (v, k, ^-конфигурации, где 归 и 九 четны, ик3, делится на 2[("+3"4].

1969

Амир-Моэз (A. R. Amir-Moez). An Introduction to Elements of Multilinear Algebra, Lubbock, 1969.

Содержит материал о перманентах как скалярном произведении на симметрических пространствах.

Бисли (L. В. Beasley). Maximal groups on which the permanent is multiplicative, Canad. I. Math. 21 (1969), 495—497.

Положительный ответ на вопрос Маркуса и Минка [103]: множество всех обобщенных матриц перестановки порядка п есть максимальная группа невырожденных матриц порядка п, на которой перманент мультипликативен.

Джекович (D. 2. Ookovid). Simple proof of a theorem on permanents. Glasgow Math. J. 10 (1969), 52—54.

Доказательство теоремы Либа [114].

Эберлейн (Р. J. Eberlein). Remarks on the van der Waerden conjecture II, Linear Algebra and Appl. 2 (1969), 311—320.

Доказательство гипотезы Ван дер Вардена в случае п = 5. Помимо этого доказывается： если 4 三◎* н per (4) W per (S) для всех S 三◎$ то любые две строки (два столбца) в Л либо равны, либо имеют различное расположение нулей.

Гибсон (Р. М. Gibson). An identity between permanents and determinats, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 270—271.

Пусть Л = (ац), 8 = (b〃) суть матрицы порядка n. Если a〃 = 0 при j > £ + 1,瓦/ = a目 при i 乒 / и bij = —a^ при £ V j, to per(4)== =det (8).

Харари (F. Harary). Determinants, permanents and bipartite graphs, Math. Mag. 42 (1969), 146—148.

Перманенты используются для нахождения числа линейных подграфов ориентированного графа и числа 1-факторов двудольного графа.

Кинг и Паркер (В. W. King, F. D. Parker). A Fibonacci matrix and the permanent function, Fibonacci Quart. 7 (1969), 539——544.

Другое доказательство формулы для перманента циркулянта 厶 十 Р 十 Р® [94]. Доказывается также, что

侪図[(«-2)/21

рег(/〃 + Р +叫= 2 + £ (“；■')+ £ (”-：-2)・fe=0fe=0

Маркус (М. Marcus). Inequalities for matrix functions of combinatorial interest, S7AM /. Appl. Math. 17 (1969), 1023—1031.

Обзор, содержащий многие результаты о перманентах.

Маркус (М. Marcus). Spectral properties of higher derivations on symmetry classes of tensors, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1303—1307.

Пусть A — нормальная матрица порядка 枕 с характеристическими чис^ лами 九I,九п, а 8 ——главный минор порядка р в 4. Тогда сумма всех главных подперманентов порядка г матрицы В есть выпуклая оболочка чисел ег (九，九口 ) a 三 G",疗

Маркус (M. Marcus). Subpermanents, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 530—533.

Пусть P式X) обозначает сумму всех подперманентов порядка k матрицы X. Если 4 н 8 —— любые комплексные матрицы порядка 枕,то

\Pk (48) I《％ (A^)wPk (8*8 严.

Маркус и Николаи (М. Marcus, Р. J. Nikolai). Inequalities for some monotone functions, Canad. 7. Math. 21 (1969), 485—494.

Если 4 и В — положительно полуопределенные эрмитовы матрицы, то per (4 + В) > per (4).

Метрополис, Стейн и Стейн (N. Metropolis, М. L. Stein, Р. R. Stein). Permanents of cyclic (0, 1)-matrices, /. Combinatorial Theory 7 (1969), 291—321.

Рекуррентные формулы для перманентов циркулянтов / + Р + ... •…工 pi порядка л для 左 V 6 (для 左 W 4 см. [94]), а также некоторые результаты для 々=7, 8, 9. Числовые таблицы для значений 4 W 々 & 9, n W 80.

Минк (Н. Mine). Bounds for permanents of nonnegative matrices, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 16 (1968/69), 233—237.

Простым методом устанавливаются границы Юрката и Райзера для перманентов неотрицательных матриц [112]. Получены также более точные границы.

Минк (Н. Mine). On lower bounds for permanents of (0, l)-matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 22 (1969), 117—123.

Если A = (a〃・) есть вполне неразложимая (0, 1)-матрица, то

per (Л)》(£ а”)一 2/г + 2.

Николаи (Р. J. Nikolai). Mean value and limit theorems for generalized matrix functions, Canad, J. Math. 21 (1969), 982—991.

Отрицательный ответ на вопрос Маркуса и Ньюмена [79]: функция (per(4，) )|" при положительно определенной 4 не есть, вообще говоря, выпукло-вогнутая по отношению к произвольному значению /.

О'Нил (Р. Е. O'Neil). Asymptotics and random matrices with row-sum and column-sum restrictions, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 1276— 1282.

Асимптотические формулы для перманента разреженной (sparse) *) (0, 1)-матрицы и для среднего значения перманента на множестве разреженных (0, 1) -матриц, у которых все строчные и столбцевые суммы равны между собой.

Перкус (J. К. Percus). Combinatorial Methods, New York, 1969.

Производящие функции для перманентов. Использование перманентов в различных перечислительных задачах, включая проблему димеров.

Рохлиц (S. Rochlitz). Uber die Permanente des verallgemeinerten tenso- riellen Produkts der Matrizen, Publ. Math. Debrecen 16 (1969), 229—237.

Перманент обобщенного тензорного произведения двух множеств неотрицательных матриц не может быть меньше, чем произведение перманентов матриц.

Райзер (Н. J. Ryser). Permanents and systems of distinct representatives, Combinatorial Mathematics and Its Applications (Proc. Conf. University of North Carolina, 1967), Chapel Hill, 1969.

Обзор комбинаторных свойств перманентов с акцентом на нерешенные вопросы.

Сассер и Слейтер (D. W. Sasser, М. L. Slater). On a generalization of the van der Waerden conjecture, Portugal. Math. 28 (1969), 91—95.

Квадратная матрица называется разреженной, если число единиц в ней мало по сравнению с ее порядком (см. [356], стр. 83——84).——Прим, перев.

7 X. Минк

Пусть &⑷ обозначает сумму всех подперманентов порядка 々 матрицы 4. Единственный локальный экстремум Рп(А), 2&左& & находящийся во внутренности Q及，——это Jn.

Синкхорн (R. Sinkhorn). Concerning a conjecture of Marshall Hall, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 197—201.

Если Л есть (0, 1)-матрица с тремя единицами в каждой строке и каждом столбце, то per (Л) ^ и. Это доказывает предположение Маршалла Холла.

Синкхорн и Кнопп (R. Sinkhorn, Р. Knopp). Problems involving diagonal products in noniiegative matrices, Trans. Amer. Math. Soc. 136 (1969), 67—75.

Для почти разложимых неотрицательных матриц вводится некоторая каноническая форма.

1970

Бисли (L. В. Beasley). Maximal groups on which the permanent is multiplicative: corrigendum, Canad. /. Math. 22 (1970), 192.

Поправка к [150] в части, касающейся единственности группы.

Бруальди и Ньюмен (R. A. Brualdi, М. Newman). An enumeration problem for a congruence equation, 7. Res. Nat. Bur. Standards 74B (1970), 37—40.

Дается число различных членов в разложении перманента циркулянта с неизвестными (коммутирующими) членами.

Де Лука, Риччарди, Васудеван (A. de Luca, L. М. Ricciardi, R. Vasude- van). Note on relating pfaffians and hafnians with determinants and permanents, /. Mathematical Phys. 11 (1970), 530—53 5.

Выражение для перманента через сумму двух гафнианов.

Де Оливейра (G. N. de Oliveira). A conjecture and some problems on permanents, Pacific /. Math. 32 (1970), 495一499.

Доказывается существование матриц с заданными элементами на главной диагонали и заданными перманентными характеристическими числами. Гипотеза о перманентных характеристических числах неприводимой дважды стохастической матрицы.

Эллиот (J. Е. Н. Elliott). On matrices with a restricted number of diagonal values, Pacific /. Math. 35 (1970), 79—82.

Доказательство гипотезы Маркуса [103, гипотеза 10].

Гибсон (Р. М. Gibson). Combinatorial matrix functions and 1-factors of graphs, SIAM /. Appl. Math. 19 (1970), 330—333.

Одно неравенство между гафнианом и перманентом используется для получения оценки сверху числа 1-факторов графа.

Глисон (А, М. Gleason). Remarks on the van der Waerden permanent conjecture, /, Combinatorial Theory 8 (1970), 54一64.

Из теоретико-вероятностных соображений выдвигается гипотеза о стохастических матрицах размера 九 X г, которая эквивалентна гипотезе Ван дер Вардена. Последняя доказывается для п = 4.

Хартфил (D. J, Harfiel). A simplified form for nearly reducible and nearly decomposable matrices, Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 388—393.

Дается упрощенная каноническая форма для почти разложимых матриц. Если Л есть (0, 1)-матрица порядка п, имеющая в точности три единицы в каждой строке и каждом столбце, то per (Л) ^ и + 3.

Хедрик и Синкхорн (М. Hedrick, R. Sinkhorn). A special class of irreducible matrices — the nearly reducible matrices, J. Algebra 16 (1970), 143—150.

Ввводятся почти приводимые матрицы. Если 4 ——почти приводимая (0, 1)-матрица, то per (Л) ^ 1.

Маркус (М. Marcus). Inequalities for submatrices, Inequalities // (Proc. Second Sympos. U. S. Air Force Acad. Colo., 1967), 223—240, New York, 1970.

Пусть pr(X) обозначает сумму всех главных подперманентов порядка г матрицы X. Если Л и В суть коммутирующие между собой положительно определенные эрмитовы матрицы порядка n, а е Qm, л и ! W г & 《zn W /г, то

Рг ((Л + В)1"{а])》рг (不」а]) + р, (В1* [а]).

Даются также неравенства для рг(Л), когда А нормальна.

Маркус и Гордон (М. Marcus, W. R. Gordon). The structure of bases in tensor spaces, Amer. 7. Math. 92 (1970), 623—640.

Перманенты используются в доказательствах существования Л-нормаль- ных базисов.

Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S. Wilf). On a conjecture in the theory of permanents, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970), 738—739.

Анонсируется результат: если 4 есть (0, 1) -матрица порядка п со строчными суммами 门，…，гп, то

рег(Л)<П((гг!)1/г； + т),

1=1

где т = 0,1367 ... есть универсальная констан：

Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S. Wilf). On a conjecture of Ryser and Mine, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. Ser. 4 73 = Indag. Math. 32 (1970), 151 — 157.

Доказательство результата из [182].

О'Нил (Р. Е, O'Neil). Asymptotics in random (0,1)-matrices, Proc Amer. Math. Soc. 25 (1970), 290—296.

Асимптотическое поведение средней величины перманента (0, 1)-матрицы порядка п как функции от п.

Остренд (Р. A. Ostrand). Systems of distinct representatives II,丄 Math. Anal, AppL 32 (1970), 1—4.

Пусть 4 есть (0, 1)-матрица размера m X ^ со строчными суммами п W … W к и положительным перманентом. Тогда

Per (4) & JJ max (1, rf — / + 1).

/=1

Робертс (Е. J. Roberts), The fully indecomposable matrix and its associated bipartite graph — an investigation of combinatorial and structural properties. Ph. D. Dissertation, NASA Technical Memorandum, TM X-58037, 1970.

Даются оценка снизу для перманентов вполне неразложимых (0, 1)-мат- риц, а также частные результаты о верхних границах перманентов почти разложимых (0, 1)-матриц.

Шарп (Н. Sharp, Jr.). The permanent of a transitive relation, Proc. Amer. Math. Soc, 26 (1970), 153—157.

Перманенты матриц инцидентности транзитивных отношений.

1971

Абрамсон (М. Abramson). A note on permanents, Canad, Math. Bull. 14 (1971), 1-4.

Обобщение перманентов прямоугольных матриц и некоторые его комбинаторные приложения.

Ксима (J. Csima). A class of counterexamples on permanents, Pacific 丿. Math. 37 (1971), 655—656.

Контрпримеры к предположению де Оливейры [174] о перманентных характеристических числах дважды стохастической матрицы.

Де Оливейра (G. N. de Oliveira). Note on the function per (А/ — Л), Univ. Lisboa Reutsta Fac. Ci. 4 (2) 13 (1970/71), 199—201.

Простое доказательство результата из [174].

Эр>дёш (Р. Erdos). Problems and results in combinatorial analysis, Combinatorics, Proc. Sympos. in Pure Math., XIX, 77—89, 197L

Содержит формулировку гипотезы Ван дер Вардена.

Гибсон (Р. М. Gibson). Conversion of the permanent into the determinant, Proc. Amer. Math. Soc. 27 (1971), 471—4 76.

Пусть А есть (0,1)-матрица порядка п с положительным перманентом. Если перманент Л можно превратить в детерминант приписыванием элементам Д знаков 士，то Д имеет не более (п2 + Зп — 2)/2 положительных элементов.

Гирко В. Л. О неравенствах для случайных детерминанта и перманен* та. — Теория вероятн. и мат. стат., вып. 4, (1971), 48—57.

Неравенства, связывающие вероятностное распределение per (Л), где элементы Л — элементы независимые случайные величины, с некоторыми характеристическими функциями и преобразованиями Лапласа.

Граф (М. L. Graf), On the van der Waerden conjecture — an automated approach, M. S. thesis, Wright State University, 1971.

Определяются некоторые области в Qn, n =* 6, 7, 8, в которых справедлива гипотеза Ван дер Вардена.

Хартфил (D. J. Hartfiel). Counterexamples to a conjecture of G. N. de Oliveira, Pacific /. Math. 38 (1971), 67—68.

Контрпримеры к предположению де Оливейры [174].

Хартфил и Кросби (D. J. Hartfiel, J. W. Crosby). On the permanent of a certain class of (0, 1)-matrices, Canad. Math. Bull. 14 (1971), 507—511.

Если А есть (0, 1)-матрица порядка 九 с тремя единицами в каждой строке и каждом столбце, то рег(Д) ^ 3(п — 1).

Ливоу (R. В. Levow). A graph theoretic solution to a probleip of Marshall Hall, Proc. Second Louisiana Conf, on Combinatorics, Graph Theory and Computing (1971), 36 7—374,

Пусть A — матрица порядка и ^ 2 с неотрицательными целыми элементами. Если все ее строчные и столбцевые суммы равны kt то

рег(4)》(；)"/3 + 友

Лондон (D. London). On matrices with doubly stochastic pattern, /. Math. Anal. AppL 34 (1971), 648—652.

Пусть 4 ——неотрицательная матрица образца J) дважды стохастической матрицы, и ее строчные суммы равны 门，…，гп. Тогда существуют такие матрицы £>/== diag@” …,d()), £ = 1, 2, что DtADz дважды стохастическая и

Ml(=1

Лондон (D. London). Some notes on the van der Waerden conjecture, Linear Algebra and Appt. 4 (1971), 155—160.

Пусть per (4) = min (per (S)) Тогда: 1) per(4 (i\j)) ^ рег(Д); 2) если S w %

А не положительна, то строки (столбцы) 4 имеют не менее трех различных вариантов расположения нулей.

Маркус (М. Marcus). Linear transformations on matrices, J. Res. Nat. Bar. Standards, 75B (1971), 107—113.

Обзор. Приводятся результаты из [29], [70], [76] и [122].

Маршалл (С. W. Marshall). Applied Graph Theory, New York, 1971.

Содержит формулу Райзера для вы числения перманентов. Перманенты используются для перечисления СРП.

Т. е. существует дважды стохастическая матрица с тем же располо жением нулей, что к у 4* ——Прим, перев.

Минк (Н. Mine). Rearrangements, Trans. Amer. Math. Soc. 159 (1971), 497—504.

Уточняются границы для перманентов (0, 1)-матриц из [112].

Пирс (S. Pierce). Multilinear functions of row stochastic matrices, Canad. 丄 Math. 23 (1971), 833—843.

Неравенства Бруальди и Ньюмена [109] обобщаются на класс функций, включающих перманент, и определяются случаи равенства, которые прилагаются к результатам Бруальди — Ньюмена.

1972

Бисли и Каммингс (L. В. Beasley, L. Cummings). Permanent groups, Proc. Amer. Math. Soc. 34 (1972), 351—355.

Описываются группы невырожденных матриц, на которых функция перманента мультипликативна.

Де Оливейра (G. N. de Oliveira). On the multiplicative inverse eigenvalue problem, Canad. Math. Ball. (2) 15 (1972), 189—193.

Результаты по проблеме обратных перманентных характеристических чисел.

Гибсон (Р. М. Gibson). A lower bound for the permanent of a (0, 1)- ma+rix, Proc. Amer. Math. Soc. 33 (1972), 245—246.

Пусть A — вполне неразложимая (0, 1)-матрица порядка л, имеющая не менее k единиц в каждой строке. Тогда k

per (Д)》а (Л) — 2/г + 2 + £ (т! — 1),

где а(Д) обозначает сумму всех элементов А.

Гибсон (Р. М. Gibson). Localization of the zeros of the permanent of a characteristic matrix, Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 18—20.

Показывается, что многие границы для характеристических чисел комплексной матрицы 4 являются также границами корней ре「(А/ ——Д).

Хартфил и Кросби (D, J. Harfie!, J. W. Crosby). A lower bound for the permanent on〔乙仅，朽，/. Combinatorial Theory 12 (1972), 283一288.

Пусть 4 есть <0, 1)-матрица порядка п с точно 左 единицами в каждой строке и каждом столбце. Тогда

per (力)> 他一2)(々一1)几/2.

Ливоу (R. В. Levow). Lower bounds for permanents of incidence matrices, /. Combinatorial Theory (A) 12 (19 72), 29 7—303

Оценки снизу для per(Д) — |det(4) |, где 4 ——матрица инцидентности (и,归，X)-конфигурации.

Маркус и Гордон (М. Marcus, W. R. Gordon). On projections in the symmetric power space, Monatsh. Math. 76 (1972), 130—134.

В неравенстве

per (Л + В) > per (Л)

нз [159], где А н В — эрмитовы положительно полуопределенные матрицы, исследуется случай равенства.

Маркус и Минк (М. Marcus, Н. Mine). An inequality for Schur functions, Linear Algebra and Appl 5 (1972), 19—28.

Если 4i ——положительно определенная, а Аз — положительно полуопре- деленная матрица и p，i,卩2 — комплексные числа, то

I per(Ц141 + n2a2) I 《 per (丨从| | 4 + [山 I 小).

Меррис и Пирс (R. Merris, S. Pierce). Monotonicity of positive semidefinite hermitian matrices, Proc. Amer Math. Soc. 31 (1972), 437—440.

Если 4, В н 4—В суть положительно полуопределенные эрмитовы матрицы и рег(А) = рег(В) #： 0, то Л = Я

Минк (Н. Mine). On permanents of circulants, Pacific /. Math. 42 (1972), 477—484.

Формулы для перманента циркулянта а/п + 0Р + 丫尸，В множестве дважды стохастических циркулянтов вида а/п + Р^ + уР2 минимум перманента лежит в интервале (1/2", 1/2л-1).

Минк (Н. Mine). Nearly decomposable matrices, Linear Algebra and Appl. 5 (1972), 181 — 187.

Сумма элементов в почти разложимой (0, 1) -матрице порядка п не превосходит 3(п——1). Если 4 есть вполне неразложимая (0, 1)-матрица со строчными суммами ri, ..., гп и столбцевыми суммами Ci, сп, то

рег(А)>тах(гьсп).

Ниенюис и Уилф (A. Nijenhuis, Н. S Wilf). Induced Markov chains and the permanent functions, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 75-Indag. Math. 34 (1972), 93—99.

Одно обобщение перманентов в вероятностном контексте.

Ротхаус (О. S, Rothaus). Study of the peimanent conjecture and some generalizations, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 749—752.

Анонсируются следующие результаты: 1) если 4 е Qn, то рег(Д) ^ * 1/孔“т； 2) существует такое г, зависящее от п, что ре「(4「) для 4 w 巨 Q〃 достигает минимума только в Jn.

217： Синкхорн (R. Sinkhorn). Continuous dependence on 4 in the О]ДО2 theorems, Proc. Amer. Math. Soc. 32 (1972), 395—398.

Используется техника, связанная с перманентами.

1973

Бисли и Каммингс (L. В. Beasley, L. Cummings), Permanent groups II, Proc. Amer Math. Soc. 40 (1973), 358—364.

Результат Бисли [150] о матрицах порядка п обобщается на любое бесконечное поле характеристики 0 или большей, чем п.

Л. М. Брэгман. Некоторые свойства неотрицательных матриц и их перманентов. — ДАН СССР, 211, № 1 (1973), 27—30.

Доказывается гипотеза Минка [84] о верхней границе для перманентов (О, 1)-матриц.

Каммингс (L. J. Cummings). Elementary-maximal permanent semigroups, Proc. 4th S.-E, Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing (1973), 233—236.

О некоторых полугруппах треугольных матриц, на которых перманент мультипликативен.

Де Оливейра (G. N. de Oliveira). Generalized Matrix Functions, Oeiras, 1973.

Книга, составленная из записей лекций по обобщенным матричным функциям (функциям Шура). Включено несколько результатов о перманентах.

Энгель (G. М. Engel). Regular equimodular sets of matrices for generalized matrix functions, Linear Algebra and Appl. 7 (1973), 243一274.

Пусть 4 =(4") есть комплексная матрица порядка п и S(4) обозначает либо множество таких комплексных матриц 8=(匕订)，что |а(/| = =\bij\ для всех г, /, либо множество всех таких В =(匕订)，что Ьи = =ац и I bi, I I aij I для всех i, /. Тогда

min I det (В)| & min | per (В) |. BhS(#в ^S(A)

Энгель и Шнейдер (G. М. Engel, Н. Schneider). Cyclic and diagonal products on a matrix, Linear Algebra and Appl. 7 (1973), 301—335.

Неотрицательная матрица А вполне неразложима, если и только если из условий |В|&А и |рег(В) | = рег(Л) для комплексной матрицы В следует, что существуют такие диагональные комплексные матрицы Di, D2, что D1BD2 = А.

Энгель и Шнейдер (G. М. Engel, Н. Schneider), Inequalities for determinants and permanents, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973), 187—201.,

Пусть M = (m订)есть действительная матрица порядка п с та ^ 0, г = 1, ..., и, и ш// ^ 0, если t #= /. Тогда

det (М) + per (М) > 2 [[ т.^

Если 5 = (s〃) есть такая стохастическая матрица порядка п, что 汨 >^，' = 1，…，& т。per(S)》1/2—L

Эверетт и Стейн (С. J. Everett, Р. R. Stein). The asymptotic number of (0, 1)-matrices with zero permanent, Discrete Math. 6 (1973), 29—34.

Число (0, 1) -матриц с нулевым перманентом асимптотически равно 小 2/i+L

Гриффитс (R. С. Griffiths). An expansion for the permanent of a doubly stochastic matrix, J. Austral. Math. Soc. 15 (1973), 504—509.

Разложение в бесконечный ряд per(%А+(1 — %)/〃), где / w Q” и 0 < л 1.

Дьиреш (В. Gyires). Discrete distribution and permanents, Publ. Math. Debrecen 20 (1973), 93—106.

Некоторые приложения перманентов в теории вероятностей. Равенства и неравенства для перманентов, происходящие из вероятностных моделей. Метод приближенного нахождения характеристических чисел положительно полуопределенных матриц, основанный на вычислении перманентов.

Дьиреш (В. Gyires). On the permanent-derivatives of doubly stochastic matrices, Demonstration Math. 6 (19 73), 657—663.

Если гипотеза Ван дер Вардена справедлива и все подперманенты порядка гг ——2 дважды стохастической матрицы А порядка п равны между собой, то 4 = Jn.

Хартфил (D. J. Hartfiel). A lower bound on the permanent of a (0, 1)- matrix, Proc. Amer. Math. Soc. 39 (1973), 83—85.

Оценка снизу для перманента вполне неразложимой (0,1)-матрицы порядка и со строчными суммами, большими 2. Уточняются нижние границы из [162] и [206].

Джонсон (J. J. Johnson). The permanent function and the problem of Montfort, Math. Mag. 46 (1973), 80—83.

Элементарными матричными методами получена известная формула для рег(/ — Jn) (см., например, [87]).

Ливоу (R. В. Levow). Counterexamples tp conjectures of Ryser and de Oliveira, Pacific J. Math. 44 (1973), 603一606.

Контрпримеры к предположениям Райзера [68] (о том, что условие перестановочности в теореме Тинсли [69] может быть опущено) и де Оливейры [174].

Лондон (D. London). On a connection between the permanent function and polynomials, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973), 231—240.

Пусть он, ..., an суть комплексные числа, лежащие в круговой области С, а Зь .. •, рп принадлежат дополнению С, Положим Mn(m〃), где m订•==<%$ —阮 г, / = 1, ..., n. Тогда per(M)#=0. Пусть 4 w 0小 Тогда p(4 —厶)=p(4)—1, где p(X) обозначает ранг матрицы X.

Маркус (М. Marcus). Finite Dimensional Multilinear Algebra, Part I, New York, 1973.

Содержит изложение теории функций Шура. Специализация для перманентов по большей части отнесена в упражнения; некоторые из них сложны, но указываются решения.

Маркус и Меррис (М. Marcus, R. Merris). A relation between permanental and determinantal adjoints, /. Austral, Math. Soc. 15 (1973),幺，6—271.

Пусть Л — положительно полуопределенная эрмитова матрица порядка n, Р(4), D(4) обозначают матрицы, у которых элемент на месте (г, /) равен соответственно per (Д(/|0) и (一1)'+/ det (4(川)).Тогда мат* рица /г (det (4))т £> (4) — (per (4))т 尸(4) положительно полуопредв- лена.

Меррис (R. Merris). The permanent of a doubly stochastic matrix, 4加稣 Math. Monthly 80 (1973), 791—793.-

Выдвигается предположение: если 4 — дважды стохастическая матрица порядка п, то

n per (Л) > min У per (4 (/ | Z));

дается контрпример к аналогичному неравенству с max вместо min.

Минк (Н. Mine). (О, 1)-matrices with minimal permanents, Israel 丄 Math. 15 (1973), 27—30.

Перманент вполне неразложимой (0,1)-матрицы равен ее наибольшей строчной (столбцевой) сумме тогда и голько тогда, когда все ее остальные строчные (столбцевые) суммы равны 2.

Перфект (Н. Perfect). Positive diagonals of 土 1-matrices, Monatsh, Math 77 (1973), 225—240.

Результаты о существовании ±1-матрни порядка п, имеющих в точности k положительных диагональных произведений, т. е. с перманентом, равным 2左——rzL

Сенета (Е. Seneta). Nonnegative Matrices, New York, 1973.

Упоминается гипотеза Ван дер Вардена.

Синкхорн (R. Sinkhorn). Doubly stochastic matrices whose squares leave the permanent invariant, Linear and Multilinear Algebra 1 (1973), 103— 118.

Решаются уравнения 42 — P4Q?兄 4?=尸力丁。' для дважды стохастической матрицы 4 и матриц перестановки 尸 н Q. Это дает частичное решение вопроса об уравнении per (Л2) == рег(Д) для дважды стохастической матрицы А.

1974

Каяньелло (Е. R. Caianiello). Combinatorics and Renormalisation in Quantum Field Theory, New York, 1974

Обзор работ Каяньелло и его сотрудников. Перманенты и гафнианы применяются к бозонным полям.

241 Дюбуа (J. Dubois). A note of the van der Waerden permanent conjecture, Canad. /. Math. 6 (1974), 352—354.

Речь идет о невозможности некоторых видов расположения нулей для дважды стохастической матрицы с минимальным перманентом.

242 Фореггер (Т. Н. Foregger). On facial minimizing matrices for the permanent function, Notices AMS 21 (1974), A—434.

Пусть 尸一подполиэдр Ол> натянутый на некоторое множество матриц перестановки, и предположим, что F содержит вполне неразложимую матрицу. Если 总已尸 я per (Д) а 尸i* per (X), то 4 вполне неразло

жима.

Фридленд (S. Friedland). Matrices satisfying the van der Waerden conjecture, Linear Algebra and Appl. 8 (1974), 521—528.

Любая дважды стохастическая матрица порядка п, числовая область которой лежит в секторе, ограниченном —я/2п и я/2и, удовлетворяет гипотезе Ван дер Вардена. Тем самым улучшаются результаты Маркуса и Ньюмена [79] и Сассера и Слейтера [134].

Гэл и Брейтбарт (S. Gal, Y. Breitbart). A method for obtaining all the solutions of a perfect matching problem, IBM Israel Scientific Center Technical Report 016 (1974).

Эффективный метод вычисления перманента (0, 1)-матрицы в случае, когда перманент невелик.

Гордон, Моцкин и Уэлч (В. Gordon, Т. S. Motzkin, L. Welch). Permanents of 0,1-matrices, J. Combinatorial Theory Ser. Л17 (1974), 145—155.

Для любого целого положительного k существуют (0, 1)-матрицы с перманентом, равным k. Минимальный порядок (0, 1) -матрицы с перманентом, равным 电 не превосходит [log2(^—1)] + 2 для й = 2, 3,....

Гриффитс (R, С. Griffiths). Permanents of random doubly stochastic matrices, Canad. /. Math. 26 (1974), 600一607.

Гипотеза Ван дер Вардена и некоторое ее обобщение рассматриваются с вероятностной точки зрения.

Хартфил (D. J. Hartfiel). A lower bound for the permanent on a special class of matrices, Canad. Math. Bull. 17 (19 74), 529—530.

Если А есть (0, 1)-матрица порядка пег единицами в каждой строке и каждом столбце, то рег(Д) (г — 1)! + п(г — 2)! -f- • ■ - + ^(2!)+ и + 1.

Хедрик (М. В. Hedrick). The permanent at a minimum on certain classes of doubly stochastic matrices, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 836—838.

Передоказывается и несколько обобщается один результат из [62] и [199] (см. также [269]).

Джонсон (J. J. Johnson). Bounds for certain permanents and determinants, Linear Algebra and Appl. 8 (1974), 57—64.

Нижняя граница для перманентов действительных матриц с неотрицательной доминирующей главной диагональю.

Минк (Н. Mine). An unresolved conjecture on permanents of (0, l)-matri- ces, Linear and Multilinear Algebra 2 (1974), 115—121.

Если 4 есть (0,1)-матрица порядка 九 со строчными суммами г^ ..., 「％ 门 W 8, i = 1,& то

рег(4)《口(々!)忆.

Минк (H. Mine). A remark on a theorem of M. Hall, Canad. Math. Bull, 17 (1974), 547—548.

Есть 4 есть (0,1)-матрица размера m^nt где m ^ п, и если каждая строчная сумма Л больше или равна т, то перманент 4 положителен.

Нойбергер (J. W. Neuberger). Norm of symmetric product compared with norm of tensor product, Linear and Multilinear Algebra 2 (1974), 115— 121.

Неравенство между тензорным и симметрическим произведениями полилинейных функций. Это неравенство родственно результатам Либа [114] и Маркуса и Соулза [130].

Ротхаус (О. S. Rothaus). Study of the permanent conjecture and some of its generalizations, Israel 丄 Math. 18 (1974), 75—96.

Для любого выпуклого многогранника определяется функция, обобщающая перманент. Доказываются результаты, анонсированные в [216].

Ван Линт (J. Н. van Lint). Combinatorial Theory, Seminar El'dhoven University of Technology, Berlin, 1974.

Содержит материал по общим свойствам перманентов, и в частности по перманентам (0, 1)-матриц. Помимо этого, имеется материал по неравенствам, содержащим перманенты, включая подробное обсуждение состояния гипотезы Минка [84] (прежде доказательства Брэгмана [219]).

Уонг (Е. Tzu-Hsia Wang). A new class of finite cyclic permanent groups, J. Combinatorial Theory Ser. A 17 (1974), 261—264.

Циклические группы матриц порядка п, на которых функция перманента мультипликативна.

Уонг (Е. Tzu-Hsia Wang). Diagonal sums of doubly stochastic matrices, Linear Algebra and Appl. 8 (1974), 483—505.

Неравенства для перманента дважды стохастической матрицы, включающие максимальную и минимальную диагональные суммы матрицы.

Уонг (Е. Tzu-Hsia Wang). On permanents of (1, —l)-matrices, Israel 丄 Math. 18 (1974), 353—361.

Верхняя граница для |рег(Л) |, когда 4 есть (—1, 1)-матрица. Если Я —— матрица Адамара, то |рег(Я) | W |det(//) |.

Уоткинс (В. Watkins). Convex matrix functions, Proc. Amer. Math. Soc. 44 (1974), 31-34.

Если 4, В н 4——8 суть эрмитовы положительно полуопределенные матрицы и 0 & 九 & 1, то

per (ЛД + (1 — %) 5) & 九 per (Д)十(1 —九)per (В).

Уилсон (R. М. Wilson). Nonisomorphic Steinar triple systems, Math. Z. 135 (1974), 303—313.

Нижние границы для числа латинских квадратов и числа неизоморфных систем троек Штейнера могут быть существенно улучшены, если предположить справедливость гипотезы Ван дер Вардена.

1975

Бруальди и Фореггер (R. A. Brualdi, Т. Н. Foregger). Matrices with constant permanental minors, Linear and Multilinear Algebra 3 (1975), 227—243.

Свойства (0, 1)-матриц с постоянными перманентными минорами. Гипотеза: если Л есть (0,1)-матрица порядка и, у которой все перманентные миноры порядка 以—1 имеют общее ненулевое значение, то 4/ или

Л + R

Джёкович(Ь>. 2. Djokovic).On Neuberger's identity for symmetric tensors, Linear and Multilinear Algebra 2 (1975), 305—309.

Передоказывается тождество Нойбергера [252] для симметрических тензоров и выводится неравенство Либа [114].

Фореггер (Т. Н. Foregger). An upper bound for the permanent of a fully indecomposable matrix, Proc. Atner. Math. Soc. 49 (1975), 319—324.

Если A — вполне неразложимая матрица с целыми неотрицательными элементами, то

per (4)《2° (局-2“+1,

где о (Л) обозначает сумму всех элементов 4

Гордон, Моцкин и Уэлч (В. Gordon, Т. S. Motzkin, L. Welch). Errata: «Permanents of 0, 1-matrices» (/. Combinatorial Theory Ser A 17 (1974), 145—155), /. Combinatorial Theory Ser. 419 (1975), 367..

Сообщается, что некоторые из результатов в [245] не являются новыми.

Хартфил (D. J. Hartf iel). A canonical form for fully indecomposable (0, l)-matrices, Canad. Math. Bull. 18 (1975), 223—227.

Получена каноническая форма для вполне неразложимых (0,1)-матриц; она используется для доказательства одного результата из [196].

Хедрик (М. В. Hedrick), p-minors of a doubly stochastic matrix at which the permanent achieves a minimum, Linear Algebra and AppL 10 (1975), 177—179.

Комбинаторное доказательство результата Лондона [199].

Хендерсон (J. R. Henderson). Permanents of (0, 1)-matrices having at most two zeros per line, Canad. Math. Bull. 18 (1975), 353—358.

Минимальное значение перманента в множестве (0, 1)-матриц порядка п, имеющих не более двух нулей в каждой линии, равно Un, если 九 четно, и Un — 1, если п нечетно, где Un обозначает гг-е «число супружеских пар》.

Лихи, Херндон и Фан (W. J. Leahey, W. С. Herndon, V. Т. Phan). A note on permanents, Linear and Multilinear Algebra 3 (1975), 193—196.

Перманент симметрической матрицы, удовлетворяющей некоторым условиям, равен квадрату гафниана матрицы.

Меррис (R. Merris). Two problems involving Schur functions, Linear Algebra and AppL 10 (1975), 155—162.

Оценки сверху для перманентных характеристических чисел нормальных матриц. Если А эрмитова, то ее вещественные перманентные характеристические числа лежат между ее наибольшим и наименьшим характеристическими числами.

Минк (Н. Mine). Doubly stochastic matrices with minimal permanents, Pacific 丄 Math. 58 (1975), 155—157.

Простое доказательство результата Лондона [199].

Минк (Н. Mine). Subpermanents of doubly stochastic matrices, Linear and Multilinear AIgebra 3 (1975), 91—94.

Если все подперманенты порядка k дважды стохастической матрицы порядка 九 равны между собой при некотором 々 W 九一2, то все элементы матрицы должны равняться 1/и.

Николсон (V. A. Nicholson). Matrices with permanent equal to one, Linear Algebra and Appl. 12 (1975), 185—188.

Неотрицательная матрица M нильпотентна в том и только том случае, когда рег(М + /) = 1.

Ниенюис и Уилф (A. Niienhuis Н. S. Wilf). Combinatorial Algorithms, New York, 1975.

Содержит главу о функции перманента, включающую обзорную часть, вариант формулы Райзера [87] и программу на ФОРТРАНе для вычисления перманента квадратной матрицы.

Пай и Джитер (W. С. Руе, М. W. Jeter). A minimal permanent-like function. Linear Algebra and Appt. 12 (1975), 171—178.

Изучается матричная функция со свойствами, подобными свойствам перманента.

1976

Банг (Т. Bang). Matrixfunktioner som med et numerisk lille deficit viser v. d. Waerdens permanenthypothese, Proc. Scandinavian Congress, Turk- ku, 1976.

Набросок доказательства того, что per(S)A 1/е"-| для любой дважды стохастической матрицы S.

Грэхем и Лемер (R. L. Graham. D. Н. Lehmer). On the permanent of Schur's matrix, /. Austral. Math. Soc. Ser. A 21 (1976), 487—497.

Исследование перманента матрицы Шура Мп ~ (е5/), О W s, / V 九，где е — ехр(2этг/п).

Дьиреш (В. Gyires). On permanent inequalities, Coll. Math. Soc. /. Bolyai, 18 (1976), Combinatorics.

Если A e Qrt, to

(per (42) + Vper (ЛЛ*) per (Л*Л)/2 > n!/nn.

Кнопп и Синкхорн (P. J. Knopp, R. Sinkhorn). Permanents of special classes of nonnegative matrices, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 129—136.

Изучаются матрицы на границе Q$ наиболее близкие к /„ в смысле евклидовой нормы.

Лондон (D. London). On derivations arising in diiferential equations, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 179—189.

Решение У® матричного дифференциального уравнения yz(2)= AY (г) удовлетворяет аналогичному уравнению, включающему r-ю индуцированную матрицу для У (а) и первую производную, ассоциированную с А, действующей на г~м вполне симметрическом пространстве.

Минк (Н. Mine). The invariance of elementary symmetric functions, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 209—215.

Определяется вид линейных преобразований матриц, не изменяющих перманента каждой из матриц и сохраняющих либо ее след, либо вторую элементарную симметрическую функцию характеристических чисел.

Ниенюис (A. Nijenhuis). On permanents and the zeros of rook polynomials, J. Combinatorial Theory Ser. A 21 (1976), 240—244.

Изучаются корни ладейного многочлена матрицы 4 размера m X 九，

т. е. многочлена £ % (4) (—％)', где г*(Д) обозначает сумму всех fe=0

перманентных миноров порядка k матрицы 4, ro(/l)= 1.

Синкхорн (R. Sinkhorn). Doubly stochastic matrices whose squares decrease the permanent, Linear and Multilinear Algebra 4 (1976), 123—128.

Если 4 ——такая дважды стохастическая матрица, что PAQ = /п^ 亠 ...+/п для некоторых матриц перестановки 尸 и Q, то рег(42) ^ W per (А).

1977

Ашиль (Е. Achilles). Permanents of doubly stochastic matrices with fixed zero pattern, Linear and Multilinear Algebra 5 (1977), 63—70.

Перманент достигает локального минимума на множестве, описанном в заголовке, на матрицах, наиболее близких к /〃, при условии, что нули сосредоточены на одной линии.

Бруальди и Гибсон (R. A. Brualdi, Р. М. Gibson). The convex polyhedron of doubly stochastic matrices: I. Application of the permanent function, /. Combinatorial Theory Ser. 4 22 (1977), 194—230.

Функция перманента используется для нахождения геометрических свойств Q小

Ротхауз (О. S. Rothaus). Study of the permanent conjecture and some of its generalizations. II, Trans. Amer, Math. Soc. 232 (1977), 143—154.

Продолжение [253]. Изучаются свойства некоторой функции, обобщающей перманент.

Каммингс и Уоллис (L. J. Cummings, J. S. Wallis). An algorithm for the permanent of circulant matrices, Canad. Math. Bull. 20 (1977), 67—70.

Алгоритм для вычисления перманента циркулянта с элементами из произвольного поля.

Синкхорн (R. Sinkhorn). Doubly stochastic matrices with dominant p-mi- nors, Linear and Multilinear Algebra 5 (1977), 107—117.

Гипотеза. Если 4 w ◎〃 н per(4(i|j))》per(4) для всех I, /, то Л равна либо /", либо —(/« + 尸)с точностью по перестановки линий. Показано, что гипотеза справедлива при некоторых ограничениях на 4

Уонг (Е. Т. Н. Wang). On a conjecture of Marcus and Mine, Linear and Multilinear Algebra 5 (1977), 145 — 148.

Гипотеза Маркуса и Минка [128] доказывается для п = 3.

Дополнение

Айткен (Aitken А. С.). A note on the «problems des rencontres». — Edinburgh Math. Notes, 1949, № 37, p. 9—12.

Вычисляется перманент матрицы Х/л + nJn и выводятся формулы для «задачи о встречах» и ее обобщения.

Баласубраманиан (Balasubramanian К・). Determinant and permanent with respect to group complexes. — Pure Appl. Math. Sci., 1977, № 5, p. 13—18.

Изучается функция на матрицах порядка и:

п

рег^ (4) = £ Ц агв(г)>а е G г=1

где G — непустое подмножество S〃.

Баласубраманиан (Balasubramanian К.). Muir algebra and its applications.—Linear and Multilinear Algebra (to appear).

Алгебра, введенная Мюиром [14], используется для вывода известных формул для вычисления перманентов.

Банг (Bang Т.). On matrix-functions giving a good approximation to the v. d. Waerden permanent conjecture.—宜obenhavns Universitet Mate- matisk Institut. Preprint Series, № 30, 1979.

Исправленный вариант [274]. Доказывается, что per(S) >： е1-п для любой S w Q小

Бакстер (Baxter D. K-). The existence of matrices with prescribed characteristic and permanental polynomiais. — Linear Algebra Appl., 1978, № 22, p. 175—189.

Даются необходимые и достаточные условия существования матрицы с заданными характеристическим и перманентным характеристическим полиномами над алгебраически замкнутым или действительным полем.

Бисли и Каммингс (Beasly L. В., Cummings L. J.). Permanent semigroups.—Linear and Multilinear Algebra, 1978, № 5, p. 297—302.

Всякая перманентная полугруппа матриц над конечным полем (при некоторых ограничениях на характеристику) состоит из матриц, имеющих, самое большее, одну ненулевую диагональ.

Брениер и Уонг (Brenner J. L., Wang Т. Н.). Permanental pairs of doubly stochastic matrices. — Linear Algebra Appl., 1979, № 28, p. 39—41.

Продолжение [366]. Доказывается, что не существует перманентных пар дважды стохастических матриц, которые содержали бы матрицу вида

Бруальди (Brualdi R. A.). On 1-factors of cubic bipartite graphs (to appear).

Пусть Л =(〃订)w A^, n > 10. Из w n 1 следует, что per(4(Z|/))^ n.

Следовательно, per (4)3儿

Бруальди (Brualdi R. A.). Book review: Permanents by Henric Mine. — Bull. Amer. Math., 1979, № 1, p. 965—973.

Включает исторический обзор исследований по перманентам, аналогичный приведенному в гл. 1..

Кэрролл и Левин (Carroll С. L., Levine J.). A theory of permanents, Department of the Navy, Office of Naval Research, Contract No. Nonr. 870 (00).

Рассматриваются (I) основы теории перманентов, (II) перманенты циркулянтов, (Ш) вычисление перманентов специального вида с применением к теории перечисления, (IV) некоторые задачи о перестановках, связанные с перманентами циркулянтов, (V) тождества для чисел Стирлинга, полученные с помощью разложений перманентов циркулянтов.

Картье и Фоата (Cartier Р., Foata D.). Problemes combinatories de commutation et rearrangements. — Berlin, 1969.

Перманенты используются в главе о вероятностных приложениях.

Клаузен (Clausen М.). A straightening formula for bipermanents.— Linear and Multilinear Algebra (to appear).

С каждой битаблицей можно ассоциировать многочлен, названный биперманентом, который представляет собой произведение некоторых подперманентов. Биперманенты тесно связаны с главными характерами симметрических групп и аналогичны бидетерминантам. Доказывается главная теорема для биперманентов.

Крэмлет (Cramlett С. М.). Applications of the determinant and permanent tensors to determinants of general class and allied tensor functions.一 Amer. J. Math., 1927, № 49, p. 87—96.

Содержит теорию перманентных тензоров.

Маркес де Са (Marques de Sa). Multiple roots of a diagonal multiple of a square matrix (to appear).

Даются условия на квадратную матрицу А с элементами из поля характеристики, отличной от 2, чтобы DA имела кратный перманентный корень для любой диагональной матрицы D.

Дюбуа (DuBois J.). A note on the van der Waerden permanent conjecture. —Canad. J. Math., 1974, № 26, p. 352—354.

Егорычев Г. П. Полиномиальное тождество для перманентов. — Математические заметки, 1979, № 26, с. 961—964.

Выводится формула для перманента комплексной матрицы, полученная с помощью операций с формальными степенными рядами. Как частные случаи из нее получаются формулы Райзера [87] и Уилфа [147].

Егорычев Г. П. Семейство тождеств для перманента.——Докл. АН Арм.ССР, 1979, № 69, с. 3—7.

Приводится несколько формул для перманентов прямоугольных матриц. Для частных значений параметров они дают известные формулы включения-исключения Райзера [87] и Уилфа [147].

Егорычев Г. П. Новые формулы для перманента. — Докл. АН СССР, 1980, № 254, с. 784—787.

Если 4 и В ——комплексные матрицы размера m X 孔,п ^mt то

Per(4) = £per (В +

Даются также другие формулы полиномиального типа для перманентов.

Егорычей Г. П. Решение проблемы Ван дер Вардена для перманентов. —Институт физики им. Л. В. Киренского СО АН СССР, Препринт ИФСО—13М, Красноярск, 1980.

В этой исторической работе автор доказывает гипотезу Ван дер Вардена о перманентах (см. гл. V). Доказательство основывается на двух результатах: (а) теореме Лондона [199] и (б) следующем неравенстве, выведенном из теоремы А. Д. Александрова (Матем. сборник, 1938, 3(45), с. 227——251): если 4 ——есть действительная матрица, все столбцы которой, кроме одного (скажем, n-го), неотрицательны, то (per (A))?》per(4 ⑴，Д(2>,А{п~1},小”讣)per(4? 4 ⑵4叫 Aln}).

Если первые и — 1 столбцов положительны, то равенство достигается в том и голько том случае, когда и 45〉линейно зависимы.

Фореггер (Foregger Т. HJ. On the minimum value of the permanent of a nearly decomposable doubly stochastic matrix. — Linear Algebra Appl„ 1980, № 32, p. 75—85.

При 2 W 九 W 9 минимальное значение перманента почти разложимой матрицы в Q" равно 1/2"L

Фореггер (Foregger Т. Н.). Identities related to permanents of doubly stochastic matrices and series ——reduced trees. — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 37—41.

Для n《5 гипотеза Ван дер Вардена была доказана с помощью некоторых линейных тождеств. Доказывается, что при 九 W 9 известные сейчас линейные тождества порождают все возможные линейные тождества.

Фореггер (Foregger Т. Н.). A note on matrices with constant permanental minors. ~ Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 127 —128.

Если все перманентные миноры порядка / матрицы 4 размера m X имеют общее ненулевое значение, причем / ^ min(т — 2, п——1), то все элементы матрицы А равны между собой.

Фореггер (Foregger Т. HJ. Remarks on a conjecture of М. Marcus and H. Mine. — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 123—126.

Доказывается гипотеза Маркуса и Минка [128] для п = 4.

Фридленд (Friedland S.). A study of the van der Waerden conjecture and its generalisations.——Linear an Multilinear Algebra, 1978, № 6, p. 123—143.

Если А есть дважды стохастическая матрица порядка п, то рег(4)》 》1/п!

Фридленд (Friedland S.). A lower bound for permanent of a doubly stochastic matrix. — Ann. Math., 1979, № 110, p. 167—176-

Перманент дважды стохастической матрицы порядка п не меньше, чем

Фридленд (Friedland S.). A proof of a generalized van der Waerden conjecture on permanents (to appear).

Доказывается гипотеза Тверберга [88].

Фридленд и Мннк (Friedland S., Mine Н.). Monotonicaty of permanents of doubly stochastic matrices. — Linear and Multilinear Algebra, 1978, № 6, p. 227—231,

Для любой матрицы перестановки Р порядка п функция рег((1 — 0)/п + 0Р) строго убывает в интервале —1/(九一1)&В《0 и строго возрастает при 0 б 1.

Гибсон (Gibson Р) Real permanental roots of doubly stochastic matrices.—Linear Algebra Appl,, 1978, № 21, p. 289—291.

Для всякого n ^ 7 существует неприводимая дважды стохастическая матрица порядка псп действительными перманентными характеристическими числами.

Гибсон (Gibson Р.). Permanental polytopes of doubly stochastic matrices.—Linear Algebra Appl., 1980, № 32, p. 87—111.

Исследуются геометрические свойства выпуклых многогранников, содержащихся в Q〃, на которых функция перманента постоянна. Для каждого п》3 существуют такие многогранники размерности ,(几2 — 3计 + 4)/2.

Гирко В. Л. Теория случайных матриц. — Киев, 1975.

Перманенты используются в главе о случайных детерминантах.

Гуд (Good I. J.). A new formula for cumulants. — Math. Proc. Cambridge Phil. Soc„ 1975, № 78, p. 333—337.

Содержит неправильные формулы для перманента матрицы Шура (см. [25]) и ее обобщения.

Дьиреш (Gyires В.). On inequalities concerning the permanents of matrices,― J. Combinatorics, Information @ System Sci., 1977, № 2, p. 107-113.

Неравенства для перманентов типа Ван дер Вардена.

Дьиреш (Gyires В.). On permanent inequalities.——Combinatorics (Proc. Fifth Hungarian Colloq. Keszthely, 1976).

Если A = (a(；) есть действительная матрица порядка 小 а %, у —— действительные числа, то

х2 per(ЛЛГ) + д? (per 川4)+ 2%у per(Л2)》

(

n nn п 、2

^1Й=1/=1k=l /

Дьиреш (Gyires В.). On inequalities concerning matrices of permanents.— Linear and Multilinear Algebra, 1978, № 5, p. 279—282.

Тождества Маркуса и Ньюмена [79] обобщаются на матрицы порядка т, у которых элемент на месте (厶/) равен per (Л^Ду~), где Л1,... ...,Ат суть действительные матрицы со строчными и столбцевыми суммами, равными 1.

Хаммерсли, Фейервергер, Айзенман и Макани (Hammersley J. М.} Feuer- verger A., Izenman A., Makani К.). Negative finding for the threedimensional dimer problem. — J. Math. Physics, 1969, № 10, p. 443—446.

Проблему димеров можно решать путем вычисления перманента матрицы инцидентности Р = ("〃) решетки. Такое решение было найдено в двумерном случае построением матрицы Q = (д“)с тем свойством, что рц =\qn\ и per(Q) = |det(Q) |. Доказывается, что в трехмерном случае такой матрицы Q найти нельзя, как бы мы ни выбирали д〃 в области действительных чисел, комплексных чисел или кватернионов.

Джонсон и Ньюмен (Jonson С. R., Newman М.). A surprising determi- nantal inequalities for real matrices. — Math. Ann., 1980, № 247, p. 179—186.

Если Л—такая действительная матрица порядка и, что в каждой строке сумма положительных элементов, а также сумма отрицательных элементов не превосходят 1, то |per(A) W 2啖

Ким (Ki-Hang Butler Kim). On the van der Waerden conjecture.—J. Mat. Sci. (to appear).

Матрица А называется регулярной, если существует такая дважды стохастическая матрица X, что А = АХА. Показывается, что для множества регулярных дважды стохастических матриц справедлива гипотеза Ван дер Вардена. (Синкхорн (не опубликовано) показал, что регулярность матрицы равносильна соотношению РAQ= £"%, где Р и Q —— матрицы перестановки.)

Ким и Рауш (Ki-Hang Kim, Roush F. W.). On a conjecture of Erdos and Renyi. — Linear Algebra Apg, 1979, № 23, p. 179—189.

Частные результаты по гипотезе Эрдёша и Реньи [140].

Китаппа (Kittappa R.). Proof of a conjecture of 1881 on permanents.— Linear and Multilinear Algebra (to appear).

Доказывается гипотеза Скотта [12], первоначально доказанная автором [343],

Кнопп и Синкхорн (Knopp Р., Sinkhorn R.). Minimum permanents of nonpositive doubly stochastic matrices (to appear).

Минимальное значение функции перманента на множестве матриц из Ол, имеющих нулевой элемент, достигается на матрицах, ближайших к /% в смысле евклидовой нормы.

Кнут (Knuth D.). Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. — М.: Мир, 1977.

Содержит два упражнения с решениями на вычисление перманентов методом Райзера [87] и методом Юрката — Райзера [126].

Кононенко Л. М., Феденя О. А. О перманенте многомерных матриц.— Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н., 1978, № 4, с. 5—8.

Обобщение перманента на случай многомерных матриц.

Ли и Уонг (Lih K・-W., Wang Е. Т. Н.). Monotonicity conjecture on permanents of doubly stochastic matrices. — Proc. Amer. Math. Soc. (to appear).

Перманент 0Л +(1 — 0)Л строго проблему 8 разд. 8.4), если либоГ 0 У ]либо Л = г 卜 где У естьПерманент 0Л +(1 — 0)Л строго проблему 8 разд. 8.4), если либоГ 0 У ]либо Л = г 卜 где У естьвозрастает на интервале [0, 1] (см. 几=3, либо Л = Л 4- ^ь s 4- ^ — п.матрица размера s X % составленнаявозрастает на интервале [0, 1] (см. 几=3, либо Л = Л 4- ^ь s 4- ^ — п.матрица размера s X % составленная

Перманент 0Л +(1 — 0)Л строго проблему 8 разд. 8.4), если либо

Г 0 У ]

либо Л = г 卜 где У есть

Перманент 0Л +(1 — 0)Л строго проблему 8 разд. 8.4), если либо

Г 0 У ]

либо Л = г 卜 где У есть

возрастает на интервале [0, 1] (см. 几=3, либо Л = Л 4- ^ь s 4- ^ — п.

матрица размера s X % составленная

возрастает на интервале [0, 1] (см. 几=3, либо Л = Л 4- ^ь s 4- ^ — п.

матрица размера s X % составленная

КЗ 1/f, a Z ——матрица порядка /, составленная из (/ —s)/伊，0 V s W f, s + i =械

Ли и Уонг (Li K.-W., Wang E. T. H.). Permanental affine subspaces of generalized doubly stochastic matrices. — Bull. Inst. Acad. Sinica (to appear).

Строится семейство из (n — 2)-мерных аффинных пространств обобщенных дважды стохастических матриц порядка п, на каждом из которых функция перманента постоянна.

Лим (Lim М. Н.). A note on the relation between the determinant and permanent — Linear and Multilinear Algebra, 1979, № 7, p. 145—147,

Доказывается, что при п ^ 3 не существует линейного преобразования Т пространства симметрических матриц А порядка п над любым подполем поля действительных чисел со свойством det(X)= рег(Г(Д)) для всех Л.

Лим и Онг (Lim М. Н, Hock Ong), Linear transformation that preserve the permanent. — Linear Algebra Appl., 1978, № 21, p. 143—151,

Если линейное преобразование Г пространства симметрических матриц порядка п ^ 3 над любым подполем поля действительных чисел сохраняет перманент, то Г (Л) = ±РАРТ, где Р есть фиксированная обобщенная матрица перестановки с перманентом ±1.

Литтл (Little С. Н. С.). A characterization of convertible (0, l)-matri-. ces. — J. Combinatorial Theory (B), 1975, № 18, p. 187—208.

Характеризуется (0, 1)-матрица М которая может быть приписыванием знаков 士 ее элементом обращена в такую матрицу М', что det(M，)= =рег(М).

Лондон (London D.). On the van der Waerden conjecture for matrices of rank two. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 8, p. 281—289.

Доказывается, что если гипотеза Ван дер Вардена справедлива для всех дважды стохастических матриц порядка k и ранга 2 при каждом 々 W п, то для того же множества матриц справедлива гипотеза Тве^- берга [88].

Лондон (London D.). On the Dokovic conjecture for matrices of rank two. — Linear and Multilinear Algebra, 1981, № 9, p. 317一327.

Пусть p走(X) обозначает сумму подперманентов порядка k матрицы X. Если per(S) > pt-i(S)lt2 для всех S 巨 Q ранга 2, f = 2, ...» п — 1 с равенством тогда и только тогда, когда S ^ Л, то

"f—i(4)'"f—i(4)'

"f—i(4)'

"f—i(4)'

f = 2, ..., n — 1 для всех 4 w С^ ранга 2, с равенством в том и только том случае, когда Л = Л.

Макдональд (McDonald J. NJ. On some zero configurations associated with the van der Waerden conjecture. — Linear Algebra AppL, 1980, № 32, p, 137—165.

Обсуждается вопрос о максимальном числе нулей в строке или столбце минимизирующей матрицы. Полученные результаты используются для повторного подтверждения гипотезы Ван дер Вардена в случаях 几 W 4.

Макмагон (MacMahon Р. A.). Researches in the theory of determinants.— Trans. Cambridge Philos. Soc., 1924, № 23, p. 89—139.

Содержит параграф о связи детерминантов и перманентов с комбинаторным анализом. Обсуждается вопрос о выражении перманента через детерминанты и о разложении детерминанта с помощью перманентов.

Малек-Шахмирзади (Malek-Shahmirzadi М.). — On a conjecture by D. 2. Dokovifi. — Linear Algebra Appl., 1980, № 30, p. 177—182.

Если дважды стохастическая матрица А порядка 几 удовлетворяет гипотезе Джековича [123], то рег(0Л + (1 — 0)Ул) строго возрастает на интервале (0, I).

Мериэлл (Merriell D.). The maximum permanent in A^. Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 9, p. 81—91.

Максимум значений перманента для матриц в А%+^ есть 2* максимум в А^+] есть 6*1 максимум в Л^/+2 — [б^2 • 92], где / — целое положительное число.

Минк (Mine HJ. Evaluation of permanents. — Proc. Edinburgh Math. Soc., 1979, № 22, p. 27—32.

Формулы Бине [1] для перманентов матриц размеров 2 X 几,3 X ^ и 4 X 几 расширяются на перманенты матриц размера m X ^ при любом /п £几

Минк (Mine Н.). An upper bound for the multidimensional dimer problem.—Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1978, № 83, p. 461—462.

Комбинируя результат из [219] с оценкой из [242], автор получает более точную верхнюю границу для многомерной проблемы димеров.

Минк (Mine Н.). On a conjecture of R. F. Scott (1881). — Linear Algebra Appl., 1979, № 28, p. 141 —153.

Дается формула для перманента матрицы Коши ((汇/ —У/)~$). Доказывается формула, справедливость которой предполагал Скотт [12], для перманента матрицы Коши одного частного вида.

Минк (Mine Н.). An asymptotic solution of the multidimensional dimer problem. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 8, p. 235—239.

С помощью результата Фридленда [312] доказывается, что九d>

> у log (2d) — ^ и, фактически, % ~ ^ log (2d) — у.

Мюир (Muir Т.). The generating function of the reciprocal of a determinant.—Trans. Royal Soc. Edinburgh, 1902, № 40, p. 615—629.

Коэффициент при xp 尤2 • • •尤冷 в ппа們 есть per ((а〃)).

i==l /=*1

Нассау (Nassau J. J.). Some extensions of the generalized Kronecker symbol. — Annals of Math., 1925—1926, № 27, p. 465—470.

Перманент некоторой матрицы выражается с помощью обобщенного символа Кронекера, введенного Мурнаганом (Amer. Math. Monthly, 1925, 32, 233——241), и с применением этого представления доказываются две теоремы Мюира о перманентах [14].

Немет, Себери и Шу (Nemeth Е., Seberry J„ Shu М.). On the distribution of the permanent of cyclic (0, 1) matrices, Utilitas Math., 1979, № 16, p, 171—182.

Гипотеза: число различных значений, которые принимают перманенты циклических (т. е. циркулянтных) (0, 1)-матриц порядка р (р — простое число), есть величина порядка ". Гипотеза подкрепляется несколькими результатами.

Олдс (Olds Е. G.). A moment generating function which is useful in solving certain matching problems. — Bull. Amer. Math. Soc., 1928, № 44, p. 407—413.

Перманенты применяются в теоретико-вероятностной проблеме Фрая (Fry Т. С., Probability and Its Engineering Uses, 1928】 41—77) и в ее обобщении.

Фуонг (Vu Anh Phuong). Behavior of the permanent of a special class of doubly stochastic matrices. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 9, p. 227—229.

Если Л — матрица на границе Qn и находится на минимальном расстоянии от /л (в смысле евклидовой нормы), то перманент монотонно убывает на сегменте (1 — 6)4 + 6/小 0 £ 6 V L

Рагавахари (Raghavachari М.). A geometric programming approach to the van der Waerden conjecture on double stochastic matrices. — Math. Programming, 1977, № 13, p. 156—166.

Проблема нахождения минимума перманента дважды стохастической матрицы формулируется как реверсивная геометрическая программа с единственным ограничением, и дается эквивалентная двойственная программа.

Рейх (Reich S.). Another solution of an old problem of Polya. — Amer. Math. Monthly, 1971, № 78, p. 649—650.

Простое решение проблемы Пойа『29].

Райс (Rice L. Н.). Some determinat expansions. — Amer. J. Math., 1920, № 42, p. 237—242.

Теорема Мюира [335] обобщается с целью выразить детерминант в терминах миноров, образованных четырьмя блоками матрицы. Аналогичный результат устанавливается для перманентов.

353 Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1972.

Содержит определение перманента и краткий обзор некоторых его свойств.

Сачков В. Н. Системы различных представителей для случайных множеств. —Матем. сб., 1975, № 97 (139), с. 397—402.

Получены результаты, дающие вероятность того, что случайная система подмножеств обладает системой различных представителей.

Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики.——М.: Наука, 1977.

Содержит главу о трансверсалях (СРП) и перманентах. Приводятся основные свойства перманентов. Даются формулы для перманентов выпуклых комбинаций двух и трех матриц перестановки, матричная факторизация Юрката и Райзера [112], общая формула Райзера [87] для вычисления перманентов и некоторые их оценки.

Сачков В. Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. — Мл Наука, 1977.

Содержит главу, посвященную комбинаторным свойствам случайных неотрицательных матриц. Рассматриваются перманенты случайных (0, 1)-матриц, случайных (0, 1)-матриц с заданным числом единиц (асимптотические условия совпадения перманента с его средним значением [184] и вероятность отличия перманента от нуля), а также асимптотика среднего значения перманента в одном классе случайных дважды стохастических матриц [119].

357 Сачков В. Н. Комбинаторные свойства неотрицательных матриц.——Проблемы кибернетики, 1978, № 26, с. 37—50.

Обзор результатов по комбинаторным свойствам неотрицательных матриц. Рассматриваются вопросы, связанные с перманентами случайных (0,1)-матриц и случайных дважды стохастических матриц.

Сачков В. Н., Носов В. А. и Тараканов В. Е. Комбинаторный анализ (матричные проблемы, теория выбора). — М.： ВИНИТИ, серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика», 1981, т. 18, с. 53—93.

Обзорная статья. Содержит раздел о перманентах с рассмотрением результатов за последние 25 лет.

Шнейдер (Schneider Н.). The concepts of irreducibility and full indecomposability of a matrix in the works of Frobenius, K6nig and Markov.— Linear Algebra Appl., 1977, № 18, p. 139—162.

Квадратная матрица А приводима тогда и только тогда, когда (X + А) имеет собственную факторизацию, где X = diag(打，…，％Q и Xi,... ...,xn ——независимые неизвестные.

Шривер (Schrijver A.). A short proof of Mine's conjecture. — J. Combinatorial Theory, Ser. A 25, 1978, p. 80—81.

Краткое и элегантное доказательство гипотезы А1инка [84], впервые доказанной Брэгманом [219].

Шривер и Валиант (Schrijver A., Valiant W. G.). On lower bounds for permanents. — Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. A 83 = Indag. Math., 1980, № 42, p. 425—427.

Доказывается, что

幅(")=min {per (4) I 4 三 A* < 庐"/(片)

и делается предположение

"乎①（几）严="乎①（几）严=他一1уT标-2他一1уT标-2

"乎①（几）严=

"乎①（几）严=

他一1уT

标-2

他一1уT

标-2

Известно, что оно справедливо при 笈=3 (см. [365]).

Синкхорн (Sinkhorn R.). Concerning the question of monotonicity of the permanent on doubly stochastic matrices. — Linear and Multilinear Algebra, 1980, № 8, p. 323—328.

Доказывается, что per((l — 6)K〃 + Н/代) строго убывает на отрезке [0, 1], где Кп= %(〃 + &).

Синкхорн (Sinkhorn R.). A neighborhood in which the van der Waerden conjecture is valid. — Linear and Multilinear Algebra (to appear).

Решается проблема 9 разд. 8.4.

Вэлиант (Valiant L. G.). The complexity of computing the permanent.—— Theoret. Comput. Sci., 1979, № 8, p. 189—201.

Функция перманента (0, 1)-матриц ——полная проблема для класса вычислительных задач, которые связаны с вычислениями, не выполнимыми за полиномиальное время.

Ворхув (Voorhoeve М.). A lowerbound for the permanents of certain (0, 1)-matrices. — Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. A 82 = Indag. Math., 1979, № 41, p. 83—86.

Если Л 已 Л^, то per (Л) > 6 (~^~)•

Уонг (Wang Е. Т. Н.). Permanental pairs of doubly stochastic matrices,—Amer. Math. Monthly, 1978, № 8 5, p. 188—189,

Две различные матрицы 4 и В из Qrt образуют перманентную пару, если рег(0Л + (1 —6)8) постоянен, где 0 изменяется в отрезке 0, 1. Доказывается, что при любом 几》3 существует бесконечное множество перманентных пар и не существует перманентной пары, в которой одна из матриц есть матрица перестановки.

Уонг (Wang Е. Т. Н.). When is the permanent function convex on the set of doubly stochastic matrices? — Amer. Math. Monthly, 1979, № 86, p. 119—121.

Матрица В w Qn называется звездой, если per (В + (1 — а)Л) ^ a per(B) + (l — а)рег(Д) для любой Л s Q„ и любого а е [0, 1].

Было сделано предположение, что 8 при « ^ 3 есть звезда в том и только том случае, когда она — матрица перестановки (см. [97]). Доказывается, что если В — звезда, то рег(В) ^ */2п-1.

* Фаликман Д. И. Доказательство гипотезы Ван дер Вардена о перманенте дважды стохастической матрицы. — Матем. заметки, 1981, т. 29, вып. 6, с. 931—938.

Решается проблема Ван дер Вардена (без доказательства единственности минимизирующей матрицы /〃). Доказательство, как и в [306], основано на идеях геометрического характера.

Добавлено переводчиком.

Послесловие

После выхода английского оригинала теория перманентов претерпела существенные изменения. Так, например, автором книги [343] была доказана гипотеза 7 из списка нерешенных задач в § 8.4, остававшаяся недоказанной с 1881 г. Им же было получено [344] асимптотическое решение проблемы димеров. Интересные результаты, хотя еще и далекие от окончательных, были достигнуты при изучении гипотез 3 ([310]), 8 ([325], [361], [365]), 12 ([336]), 15 ([307]), а также проблемы 4 ([340]) из упомянутого списка. Появились сообщения о доказательстве гипотезы 10 ([313]) и решении проблемы 8 ([330]).

Но самое основное, наиболее впечатляющее недавнее достижение в теории перманентов — это доказательство знаменитой гипотезы Ван дер Вардена (гипотеза I § 8.4). Решение задачи, приковывавшей на протяжении нескольких десятилетий пристальное внимание многих математиков, само по себе представляет большой интерес. Кроме того, этот факт имеет многочисленные следствия в целом ряде комбинаторных задач, ведущие к известной перестройке связанной с ними теории. Правда, следует заметить, что такая перестройка иногда уже подготовлена и нужно в некоторых случаях условные высказывания типа «если справедлива гипотеза Ван дер Вардена》 просто заменить вполне категорическими предложениями. Это относится, в частности, к оценкам снизу чисел латинских прямоугольников и квадратов (неравенства (2.3), (2.5), (2.8) в § 8.2) и числа неизоморфных троек Штейнера (неравенство, следующее за (2.9) в § 8.2), к неравенству для константы 九& в проблеме димеров ((2.20) там же). Упомянем также, что доказательство гипотезы Ван дер Вардена делает излишними исследования по нескольким связанным с ней задачам, решение которых получается теперь автоматически. Таковы, например, гипотезы 2 и 16, проблема 9 из списка в § 8.4. Можно не сомневаться в том, что решение задачи Ван дер Вардена будет иметь также многие другие последствия для комбинаторной математики.

Гипотеза Ван дер Вардена в полном объеме была доказана советским математиком Г. П. Егорычевым в 1980 г. [306]. При доказательстве гипотезы решающую роль сыграло обращение к теории смешанных дискриминантов А. Д. Александрова, развитой им еще в 30-е годы и использованной для изучения объема выпуклых тел в евклидовом пространстве. Представление перманента в виде смешанного дискриминанта позволило применить к нему частный случай неравенства, полученного А. Д. Александровым для дискриминантов, что довольно быстро привело к решению поставленной задачи. Попутно в [306] была решена задача Маркуса и Ньюмена (гипотеза 11 § 8.4).

Следует отметить в заключение, что решение проблемы Ван дер Вардена в части, касающейся неравенства (без доказательства единственности матрицы /〃)，было независимо получено советским математиком Д. И. Фаликманом [368] также на основе соображений геометрического характера.

В. Е. Тараканов

Москва, сентябрь 1981 г.

Предисловие редактора перевода От редактора Энциклопедии Предисловие редактора серии Предисловие редактора перевода От редактора Энциклопедии Предисловие редактора серии ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода

От редактора Энциклопедии

Предисловие редактора серии

Предисловие редактора перевода

От редактора Энциклопедии

Предисловие редактора серии

Предисловие автора 11

Глава 1. Теория перманентов вееисторическом развитии13

Введение 13

Основоположники: БинеиКоши 14

Продолжатели： Борхарт, Кэли и Мастер из Эдинбурга — сэр Томас Мюир 17

Ренессанс теории перманентов: теорема Мюирхеда, проблема

Пойа, неравенство Шура и гипотеза Ваи дер Вардена . . . . 20

L5. Новая эра: Марвин Маркус и К°24

Задачи 26

Глава 2. Свойства перманентов28

Элементарные свойства28

Функция перманента как скалярное произведение32

Задачи 39

Глава 3. (0,1)-матрицы » < . . 40

Матрицы инцидентности40

Теоремы Фробениуса и Кёнига42

Структура квадратных (0, 1)-матриц45

(0, 1)-циркулянты55

Задачи 59

Глава 4. Нижние границы для перманентов 62

Теорема Маршалла Холла62

(0, 1)-матрицы 64

Вполне неразложимые (0, 1)-матрицы68

Неотрицательные матрицы . . . .72

Положительно полуопределенные эрмитовы матрицы . ... 76

Задачи 80

Глава 5・ Гипотеза Ван дер Вардена83

Теория Маркуса — Ньюмена83

Свойства минимизирующихматриц91

Некоторые частные результаты.Теорема Фридленда95

Гипотеза Маркуса и Минка100

Нижние границы для перманентов дважды стохастических

матриц 104

Задачи 108

Глава 6. Верхние границы для перманентов ПО

От Мюира к Юркату и РайзеруНО

(О, 1)-матрииЬ1 . ИЗ-

Неотрицательнье матрицы 116

Комплексные матрицы119

Задачи . . . 122

Глава 7. Вычисление перманентов . 124

Метод Бине ——Минка124

Метод Райзера . . 127

Сравнение методов вычисления 129

Задачи . . . . 131

Глава 8. Еще о перманентах 133

Другие результаты133

О применениях перманентов139

Гипотезы и нерешенные проблемы — «урожай» 1965 г151

Гипотезы и нерешенные проблемы — новый список157

Задачи 162

Список литературы , . . , 164

Послесловие . , 210

Х.Минк

ПЕРМАНЕНТЫ

В книге известного американского математика X. Минка впервые дано достаточно полное изложение теории перманентов ——развивающейся области комбинаторной математики. Приводится обзор результатов, связанных с

приложениями перманентов к решению теоретико-вероятностных, комбинаторных и физических задач. Включены упражнения, дополняющие излагаемый материал.

Для специалистов, использующих комбинаторику в практической деятельности, для студентов, изучающих эту область.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода5

От редактора Энциклопедии7

Предисловие редактора серии8

Предисловие автора11

Глава 1. Теория перманентов в ее историческом развитии13

1.1. Введение13

12 Основоположники: Бине и Коши14

1.3. Продолжатели: Борхарт, Кэли и Мастер из Эдинбурга — сэр Томас 17 Мюир

14 Ренессанс теории перманентов: теорема Мюирхеда, проблема Пойа, 20 неравенство Шура и гипотеза Ван дер Вардена

15 Новая эра: Марвин Маркус и К°24

Задачи26

Глава 2. Свойства перманентов28

Элементарные свойства28

22 Функция перманента как скалярное произведение32

Задачи39

Глава 3. (ОД)-матрицы40

Матрицы инцидентности40

32 Теоремы Фробениуса и Кёнига42

Структура квадратных (0, 1) -матриц45

34 (0, 1) -циркулянты55

Задачи59

Глава 4. Нижние границы для перманентов62

Теорема Маршалла Холла62

(0, 1) -матрицы64

Вполне неразложимые (0, 1) -матрицы68

Неотрицательные матрицы72

45 Положительно полуопределенные эрмитовы матрицы76

Задачи80

Глава 5. Гипотеза Ван дер Вардена83

Теория Маркуса ——Ньюмена83

52 Свойства минимизирующих матриц

91

5.3. Некоторые частные результаты. Теорема Фридленда

95

54 Гипотеза Маркуса и Минка

100

55 Нижние границы для перманентов дважды стохастических матриц

104

Задачи

108

Глава 6. Верхние границы для перманентов

110

6.1. От Мюира к Юркату и Райзер

ПО

62 (0, 1)-матрицы

113

6.3, Неотрицательные матрицы

116

6.4. Комплексные матрицы

119

Задачи

122

Глава 7. Вычисление перманентов

124

7.1. Метод Бине — Минка

124

72 Метод Райзера

127

7.3. Сравнение методов вычисления

129

Задачи

131

Глава 8. Еще о перманентах

133

8. 1 Другие результаты

133

82 О применениях перманентов

139

8.3. Гипотезы и нерешенные проблемы — «урожай» 1965 г.

151

8.4. Гипотезы и нерешенные проблемы ——новый список

157

Задачи

162

Список литературы

164

Послесловие

210

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Перманенты представляют собой объект математического исследования, в настоящее время весьма распространенный, прежде всего, в комбинаторике и линейной алгебре. Теория перманентов дважды стохастических матриц и (0,1)-матриц стала сейчас существенно访 и неотъемлемой частью комбинаторной математики, а именно того ее раздела, где рассматриваются матричные комбинаторные задачи. Интересные сами по себе проблемы, связанные с перманентами, приобрели актуальность также в связи с многообразными их приложениями ——как математическими (например, в алгебре и теории вероятностей), так и в других отраслях знания (в квантовой теории поля, физической химии, статистической физике).

Особенно интенсивно исследования по перманентам развивались в течение последних 20 лет. Был накоплен большой материал по самым разным вопросам, относящимся к перманентам, в первую очередь по оценкам сверху и снизу перманентов матриц разнообразных классов. Среди этих классов: (0,1)-мат- рицы, неотрицательные, дважды стохастические, комплексные эрмитовы матрицы, а также ряд их подклассов. Естественно встала задача упорядочения и систематизации накопленного материала; решению этой задачи и посвящена настоящая книга.

Написанная видным специалистом по теории матриц, она соединяет в себе черты подробного, обстоятельного обзора современного состояния теории перманентов и доступного введения в эту теорию. Такого сочетания автору удалось добиться продуманным и четким изложением, а также использованием исторического подхода, что позволяет представить всю картину развития теории перманентов от ее зарождения до самых последних достижений. Немаловажную роль играет приведенная в книге библиография, содержащая резюме всех работ по перманентам, опубликованных до конца 1977 г. (она дополнена также более поздними работами — как самим автором, так и переводчиком).

Касаясь содержания книги, следует отметить, что в центре внимания автора оказались действительно наиболее важные, узловые вопросы о перманентах, прежде всего задача нахождения их верхних и нижних границ. Несомненным достоинством является сочетание элементарных методов и подхода с точки зрения полилинейной алгебры, оказавшегося весьма эффективным при исследовании перманентов матриц с комплексными элементами. Вместе с тем следует заметить, что автор уделяет мало внимания задачам о перманентах случайных матриц (в этой связи см. книгу В, Н. Сачкова [317]). Изложение материала в книге весьма обстоятельное и сопровождается немногочисленными, но полезными примерами. Изучению перманентов будет способствовать решение задач, помещенных в конце каждой главы и тесно связанных с ее основным текстом.

Нельзя не пожалеть о том, что ряд важных и интересных теорем приводятся в книге без доказательства (например, теорема о разложении перманента в произведение матриц из разд. 6.1 или теорема Тинсли о перманенте (0,1) -циркулянта из разд. 3.4), Это лишь отчасти компенсируется всегда четкими ссылками на первоисточник каждой из таких теорем.

Эта книга вышла в серии «Энциклопедия математики и ее приложения», которую с 1976 г. выпускает издательство 《Addi・ son-Wesley». *) Характер издания и его направленность освещены в предисловиях редактора Энциклопедии Дж. К. Роты и редактора серии «Линейная алгебра» М. Маркуса.

Содержательная, ярко написанная книга Минка будет интересна многим читателям, в первую очередь всем тем, кто интересуется дискретной математикой и ее приложениями.

В. К. Захаров

Перевод этой серии осуществляют издательства 《Мир» и 《Наука». В настоящее время выпущены следующие книги: Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности.—М.:《Наука》，1981 (т. 1), Эндрюс Г. Теория разбиений. — М.,: «Наука», 1981 (т. 2), Миллер У. мл. — М.:《Мир》， 1981 (т. 4).

ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ

Математика состоит главным образом из фактов, которые можно представить и описать подобно любому явлению природы. Эти факты, иногда сформулированные явно в виде теорем, иногда употребляемые по ходу доказательств, составляют основную часть приложений математики и будут существовать всегда, несмотря на изменчивость направлений и интересов в данной науке.

Цель настоящей Энциклопедии——постараться осветить все области математики. От каждого автора требуется ясное и четкое изложение материала, доступное для понимания широкого круга читателей, а также подробная библиография. Тома Энциклопедии объединяются в серии, которые соответствуют различным областям современной математики; порядок выхода книг в отдельных сериях не устанавливается. Число томов и серий время от времени будет пересматриваться и корректироваться.

Мы надеемся, что наше смелое предприятие будет способствовать еще более широкому применению математики не только там, где без нее нельзя обойтись, но даже в тех областях, где ее следовало бы применять и где из-за недостатка информации это пока почти не делается.

Вполне естественно желание, чтобы столь специальной книге, как эта, предшествовала книга, посвященная детерминантам. Мы надеемся, что в свое время Энциклопедия пополнится соответствующим томом. А сейчас монография профессора Минка, исчерпывающим образом трактующая перманенты, по остроумному замечанию автора, так и останется, по всей вероятности, единственной.

Перманенты представляют собой довольно искусственную конструкцию, которая лет пятьдесят назад казалась почти нежизнеспособной. Однако многочисленные случаи их использования в физике и теории вероятностей показали удивительную (и загадочную) полезность понятия перманента. Оказалось, что к этому понятию приходится обращаться в самых разнообразных случаях, и благодаря усилиям профессора Минка все они теперь собраны воедино.

Джан-Карло Рота

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ

Говоря о сэре Томасе Мюире и его фундаментальном труде «Теория детерминантов в ее историческом развитии^, Минк называет его 《мастером из Эдинбурга». Будучи сам питомцем того же достойного учебного заведения, Минк своими «Перманентами» продолжает высокую традицию изложения, сочетающего мастерство и эрудицию. Функция перманента изучается уже более столетия. Слово 《перманент» впервые появилось в работе Коши 1812 г., хотя, как с иронией отмечает Минк в разд. 1.1, он получил от рецензента одной из своих ранних работ упрек в дерзости за изобретение столь нелепого термина.

В своей известной монографии 《Комбинаторная математика» Райзер говорит о том, что перманент «постоянно появляется в литературе по комбинаторике в связи с некоторыми перечислительными и экстремальными проблемами》. Например, если D ——матрица порядка п и имеет 0 на главной диагонали и 1 вне ее, то per(D) есть общее число беспорядков, т. е. перестановок множества {1,2, ..., 〃} без неподвижных точек. Теорема Лапласа о разложении работает одинаково хорошо как для детерминантов, так и для перманентов, а для последних она даже проще, так как не надо заботиться о знаках. Отсюда непосредственно следует, что

per (4 + В) = £ X per (А [а |田)per (В (а 10)), ⑴ г=0 а, В

где внутреннее суммирование производится по всем (г X И- подперманентам!) Д, лежащим в строках a = (“i, ④), столбцах 6 = (01, ..., 0尸)，и дополнительным подперманентам В. Если взять А = /, где / ——матрица, составленная из единиц, В =——/п, где /« ——единичная матрица порядка п, то D = А ^ + 5, и число беспорядков определяется замечательным соотно*

1) Подперманент для перманента определяется аналогично минору для детерминанта. — Прим, перев.

шением:

per (/ — /“)= 2 Z per (/ [а | а]) (— l)n-r =r=0 а

=2(-1尸』r=0

Пусть Un — число решений задачи об п супружеских парах, т. е. Un ——число таких перестановок о на {1, 2, ..., п}, что o(i)条 睢詳 i 4- 1 (modn), i=l, ..., n. Аналогично задаче о беспорядках имеем

乙=per (/ — /п — Р),

где Р имеет 1 на местах (1, 2), (2, 3), ..., (п — 1, п), (и, 1) и 0 — на всех других. Таким образом, как полагает Райзер, функция перманента есть «правильное^ средство рассмотрения многих сложных перечислительных задач о перестановках с ограничениями. Минк в самом деле мастер производить вычисления, требуемые для таких задач (см. разд. 3.4). Я лично наблюдал, как он буквально «штамповал» совершенно замечательные перманенты циркулянтов с помощью одного довольно примитивного арифмометра начала 60-х гг.

Хотя ряд глубоких н интересных результатов о перманентах был достигнут прямыми методами, существует еще и окольный подход к этой функции, оказавшийся довольно продуктивным в течение последних 20 лет. Пусть V есть м-мерное пространство со скалярным произведением. Тогда Z-градуированное контравариантное тензорное пространство над 匕 т. е. пространство Tq(V) = С + V + V V + V ® V0 V … наследует от V скалярное произведение, определяемое формулой

для однородных степени р разложимых элементов. Симметрическое пространство V есть область значений определенного на「。(丿)оператора симметрии

0 = 0

s产靑2。， и суммирование производится по элементам симметрической группы степени р (действие о на разложимом тензоре определяется как g(Xi 0 ...(8)%卩)=必⑴(8)... 0 хстСр)). Каждый Sp эрмитово идемпотентен, так что, если 尤1 ... хр =

— Sp%i ®® Хр, то

（打 …Хр, Ух ...勿）=（打区•.. ® хр, Spy： ® .. . ® г/р）=

=7! £П（^- %（“）=

= *рег （⑴，力））.

Таким образом, функция перманента естественно возникает как аналитическое выражение для скалярного произведения в y（p） = imSp точно таким же образом, как детерминант в р-м внешнем произведении ЛРУ. Это означает, что унитарную геометрию Р（р）можно применить для исследования per （А）, и это наблюдение привело к значительному прогрессу в обращении с этой функцией. Минк на протяжении всей книги искусно сочетает комбинаторный и полилинейный подходы.

«Перманенты», безусловно, являются исчерпывающим трактатом. История, теория и применения перманентов излагаются достаточно подробно, а библиография снабжена краткой аннотацией каждой книги или статьи, написанной об этом предмете. Нет сомнений в том, что настоящая книга привлечет еще больший интерес к этой сложной и привлекательной матричной функции.

Марвин Маркус, главный редактор серии «Линейная алгебра》

Моей жене Кэтрин

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Перманенты впервые появились в 1812 г. в знаменитых мемуарах Бине и Коши. С тех пор 155 других математиков опубликовали 301 работу по этому предмету, причем более трех четвертей публикаций появилось в последние 19 лет. Настоящая монография явилась результатом этого необычайного пробуждения интереса к функции перманента.

Цель книги ——дать полное изложение перманентов, их истории и применений в форме, доступной не только математикам, но также специалистам в различных прикладных областях и студентам, обучающимся чистой и прикладной математике. Это — первое полное изложение теории перманентов. По замыслу книга представляет собой обзор типа «Теории матрица Мак-Даффи и《Обзора теории матриц и матричных неравенств» Маркуса и Минка. Однако есть и много различий: стиль свободнее, больше теорем приводится с доказательствами, шире охват материала. Книга, по существу, исчерпывает предмет, с полнотой, на которую ни один обзор по теории матриц не может и претендовать.

Кроме многих детально доказанных теорем в книге имеется ряд результатов, приведенных без доказательства. Из-за ограниченности объема в тексте упоминаются далеко не все известные результаты. Выбор теорем, включенных в книгу, отражает, конечно, авторские предпочтения.

Первая глава содержит исторический обзор теории перманентов, начиная с ее возникновения в 1812 г. Здесь подробно разбираются лишь некоторые классические результаты. В главе 2 рассматриваются общие свойства перманентов. Глава 3 посвящена комбинаторным и структурным свойствам (ОД)-мат- риц. Следующие три главы составляют ядро книги. В них речь идет о неравенствах для перманентов и их оценках сверху и снизу. Последние особенно важны ввиду отсутствия эффективных методов вычисления перманентов. Одна из этих глав, глава 5-я, содержит обзор литературы по знаменитой гипотезе Ван дер Вардена, доведенный до наших дней. В главе 7 обсуждаются некоторые методы вычисления перманентов и сравнивается их эффективность. В заключительной главе один из разделов посвящен некоторым важным вопросам, не подпадающим под

рубрики предыдущих глав, другой — применениям перманентов к комбинаторике, теории графов и статистической механике; в двух остальных обсуждается современное состояние предположений и задач из списка Маркуса — Минка, составленного в 1965 г., и приводится новый список нерешенных задач и гипотез о перманентах.

Каждая глава завершается задачами различной трудности. Благодаря этому книга может быть использована как учебное пособие для студентов и аспирантов. Предварительные знания требуются в объеме стандартного учебного курса по теории матриц; необходима также некоторая математическая подготовка.

Специфической чертой монографии, а на самом деле ее фундаментом служит библиография, охватывающая все статьи и книги о перманентах, опубликованные до конца 1977 г. или подготовленные к публикации к тому времени. Библиография включает также некоторые работы по смежным вопросам, если есть возможность интерпретировать их в терминах перманентов (даже, когда о перманентах нет явного упоминания). Так, приведены некоторые классические работы по проблеме «супружеских пар》. Работы о функциях Шура включены в том случае, когда их специализация для перманентов дает новые значительные результаты. Статьи по графам и комбинаторным свойствам матриц не включены, если только они не связаны с перманентами или не используют их. В библиографии резюмируется, вообще говоря, лишь наиболее существенный результат каждой из работ. Если статья или книга относится к нескольким областям, то рассматривается лишь часть, относящаяся к перманентам.

В ссылках используется обычная двойная нумерация. Так, «раздел 3.2» означает раздел 2 в главе 3. На четвертую теорему в разделе 3.2 ссылаемся как на《теорему 2*4, глава 3》,на примеры и пронумерованные формулы — аналогичным образом. Внутри главы ссылка на главу опускается: например, в пределах главы 3 упомянутая выше теорема цитируется просто как 《теорема 2.4》.

Мне хотелось бы выразить свою признательность г-же Бар* баре Фидермен за помощь в создании книги, директору и сотрудникам Института по применениям алгебры и комбинаторики (U. С. S. В.) за организацию перепечатки и оформления рукописи, в частности г-же Мишель Данн за превосходную перепечатку. Работа по книге частично поддерживалась Научно-исследовательским управлением Военно-воздушных сил (по контрактам AFOSR-72-2164 и AFOSR-77-3166).

Хенрик Минк