Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Тот простейший факт, что бинарная операция соединения цепочек символов — равно как и операция последовательного выполнения преобразований произвольной системы — ассоциативна, служит одним из главнейших источников появления полугрупп в многочисленных ситуациях и предопределяет возможность разнообразных теоретико-полугрупповых приложений. В числе таковых — приложения, которые названы в предлагаемой книге комбинаторными. Термин комбинаторные указывает здесь на различные области, проблематика которых так или иначе связана с рассмотрением структуры слов. Если говорить несколько более конкретно, то речь идет в первую очередь о некоторых алгебраических аспектах теорий автоматов, формальных языков и кодов. Эти аспекты начали систематически разрабатываться с середины 50-х годов (упомянем пионерские работы С. К. Клини, М. О. Рабина и Д. Скотта, В. М. Глушкова, Н. Хомского, М. П. Шютценберже), будучи стимулируемы в определяющей степени задачами прикладной направленности, такими, например, как построение теоретических основ для разработки языков программирования.
Хотя исследования в указанных аспектах для каждой теории развиваются в значительной мере самостоятельно, между ними существуют органичные связи. Одна из причин, объясняющая наличие подобных связей и заключающая в себе предпосылки для унификации, состоит как раз в том, что многие феномены упомянутых теорий имеют в сущности полугруппо- вую природу. Подчас она выявляется сразу — на уровне исходных определений: так, например, (формальный) язык — это попросту произвольное подмножество свободного моноида, код (в терминологии, используемой в данной книге) — это любое подмножество свободного моноида, которое порождает свободный подмоноид и является в нем свободным базисом. Уже такой уровень доставляет естественную платформу для внедрения полугруппового подхода в соответствующие теории. Но это внедрение становится намного более глубоким и более плодотворным за счет появления важнейших «производных» полугрупп рассматриваемых объектов (моноид переходов автомата, синтаксический моноид языка и т. п.) и связанного с этим использования необходимых атрибутов — понятий, методов-, результатов— алгебраической теории полугрупп (отношения Грина и группа Шютценберже ^-класса, вполне простые полугруппы и теорема Риса — Сушкевича, сплетения и теорема Крона — Роудза о декомпозиции конечных моноидов и многое
другое). Теория полугрупп, следовательно, дает не только язык для описания тех или иных феноменов обсуждаемой области, но и метод для их изучения.
Полугрупповой подход к упомянутым теориям стал осуществляться, в большей или меньшей степени, фактически с самых первых относящихся сюда исследований. Отметим, что применительно к теории автоматов его постоянно пропагандировал В. М. Глушков, и в созданной им школе выполнено немало важных работ в этом направлении. Благодаря многолетней инициативе М. П. Шютценберже такой подход применительно к теории языков и кодов привел к значительным достижениям в работах созданной им школы. За прошедшие годы в этих направлениях накоплено много фактов, содержащихся в нескольких сотнях публикаций, разбросанных по разным журналам, сборникам, препринтам и т. п. Некоторые из них уже находили отражение в монографической литературе. Включение полугрупп в исследовательский обиход по вопросам, относящимся к обсуждаемой тематике, в соответствующих книгах1) осуществлялось с разной степенью насыщенности и последовательности: от сообщения определений и некоторых элементарных сведений-ориентиров до целых разделов или даже использования полугрупп в качестве одной из сквозных нитей.
Однако до появления монографии Лаллемана не было книг, где теоретико-полугрупповая методология применительно к комбинаторным областям демонстрировалась бы в столь последовательном и основательном виде. Представляемый сейчас советскому читателю труд заполнил ощутимый пробел в литературе, чем прежде всего и определяется его значение.
Автор монографии является воспитанником упомянутой выше известной французской алгебраической школы, руководимой М. П. Шютценберже; уже более пятнадцати лет он живет в США, работая профессором Пенсильванского университета. Профессор Ж. Лаллеман — один из ведущих в мире специали- стов-полугрупповиков; он известен своими работами и собственно по алгебраической теории полугрупп, и по вопросам, относящимся к тематике написанной им книги.
Как уже ясно из сказанного выше, основная концепция книги Лаллемана — полугруппы, выступающие как инструмент для описания, классификации и решения широкого круга проблем комбинаторного характера. Перед автором стояла заведомо нелегкая задача систематизации большого массива предше-
ствующих исследований, и выполнена она весьма удачно как с точки зрения отбора материала, так и с точки зрения его организации и изложения. В книгу включено немало существенных результатов о языках и кодах, не отражавшихся ранее в монографической литературе, в том числе, полученных в недавние годы; понятно, что содержание монографии в большой степени несет на себе отпечаток школы, из которой вышел автор *). Доказательства многих помещенных в книге результатов модифицированы Лаллеманом (иногда довольно значительно) и отличаются от оригинальных большей простотой, общностью или другими усовершенствованиями.
Построение книги в общих чертах таково. Основные объекты рассматриваемых приложений — автоматы, языки, коды — изучаются в гл. 6—9 и части гл. 5; это центральный раздел книги, занимающий около половины ее объема. Последующие главы 10 и 11, стоящие несколько особняком и не связанные между собой, посвящены интересным вопросам, охватываемым темой книги в ее широком понимании. В одиннадцатой главе рассматриваются комбинаторные в собственном смысле приложения, группирующиеся вокруг так называемой Главной теоремы Мак-Магона. Здесь вскрывается опять-таки полугрупповая природа этой старой теоремы комбинаторики, обобщаемой затем с помощью удобного для подобных комбинаторных приложений понятия факторизации свободного моноида. Что касается десятой главы, то ее содержание — вместе с частью содержания гл. 5 — точнее было бы отнести не к комбинаторным приложениям полугрупп, а собственно к комбинаторной теории полугрупп. Это направление в теории полугрупп, исследования в котором начались, по существу, в 30—40-х годах (работы А. И. Мальцева, А. А. Маркова, Э. Поста), самым тесным образом связано с алгоритмическими проблемами и проблематикой условий конечности, а в последнее время обогащается содержательными связями с теорией многообразий. Глава 10 представляет— впервые в монографической литературе — небольшой, но важный фрагмент данного направления, посвященный главным образом проблемам бернсайдовского типа, как для абстрактных, так и для линейных полугрупп). Наконец, материал гл. 1—4
Ч Могу обратить внимание заинтересованного читателя на довольно детальную рецензию на книгу Лаллемана, содержащую небезынтересные комментарии, касающиеся истоков основной ее проблематики: J. F. Perrot, Semigroup Forum, v. 24, № 4 (1982), р. 385—390.
представляет собой отличное введение в некоторые фундаментальные разделы теории полугрупп, причем с определенным (достигающим кульминации в четвертой главе) акцентом в сторону конечных полугрупп, что естественно объясняется направленностью книги. Этот материал, на котором базируется дальнейшее изложение, помимо служебной роли внутри данной монографии имеет и самостоятельную ценность, особенно если учесть, что, во-первых, ранее выходившие на русском языке книги по теории полугрупп давно разошлись, а во-вторых, и в указанных главах имеются новшества как в содержательном, так и в методическом плане.
Монография Лаллемана, отличаясь в целом глубокой теоретической проработкой исследуемых вопросов, демонстрирует ряд впечатляющих примеров консолидации различных теоретикополугрупповых результатов и методов. Используемый в ней математический аппарат включает также разнообразные средства из других разделов математики: необходимый арсенал теории алгоритмов, различные теоретико-групповые атрибуты, формальные степенные ряды, цепи Маркова и другие теоретиковероятностные мотивы, сведения из теории алгебр Ли и др.; это, несомненно, повышает математический интерес книги.
Дополнительную ценность книге придает то, что автор предусматривает использование ее в качестве учебного пособия и она может служить основой для спецкурсов и спецсеминаров. С этой целью в книгу включены иллюстрирующие примеры и некоторые алгоритмы, часть материала вынесена в упражнения (иногда с указаниями для решения). Впрочем, упражнения, как это нередко бывает в учебно-монографических книгах, играют двоякую роль, выполняя отчасти и справочную функцию: в некоторых из них формулируются дополнительные полезные факты, которые не вошли в основной текст и, кстати, на часть которых в самом тексте имеются неоднократные ссылки. Что касается «тренировочных» функций, то их с успехом могут также выполнить местами опущенные йли лишь намеченные автором выкладки в доказательствах, проведение каковых оставляется читателю; последовательное выполнение читателем такой работы будет несомненно способствовать овладению предметом. Кое-где в тексте отмечаются открытые проблемы, что может стимулировать дальнейшие изыскания в соответствующих направлениях.
Таким образом, монография Лаллемана .обладает целым рядом достоинств и представляет многоплановый интерес. Можно надеяться, что она будет интересна широкому кругу читателей: специалистам по алгебре, дискретной математике, теоретической кибернетике, математическому обеспечению ЭВМ, математической лингвистике и др. В частности, многие алгебраисты, вероятно, впервые ознакомятся по данной книге с
представленными в ней аспектами своей науки, имеющими прикладную ориентацию; специалистам в прикладных областях полезно будет познакомиться с некоторыми алгебраическими основами той научной дисциплины, название которой наиболее адекватно передается терминами computer science и информатика.
Автор проявил большой интерес к выходу своего труда в СССР. Он прислал несколько списков исправлений, изменений и добавлений, с готовностью откликался на различные просьбы и вопросы, возникавшие в процессе нашей работы над переводом. Можно сказать, что эта работа проходила в тесном сотрудничестве с автором, за что мы с переводчиком весьма ему признательны. При переводе, помимо указанных автором, были сделаны и другие исправления и модификации; в частности, в нескольких местах переводчик тем или иным образом модифицировал доказательства. Все эти изменения согласованы с автором, одобрены им и в переводе почти нигде не оговариваются. Автор пополнил библиографию работами, упоминаемыми в добавлениях, включенных в основной текст книги. Кроме того, некоторые дополнения к библиографии сделаны редактором перевода; соответствующие работы упоминаются в примечаниях: это в основном учебники и монографии на русском языке, перекликающиеся с материалом книги, а также примечательные в каком-либо отношении (большей частью недавние) статьи, относящиеся к затрагиваемым в книге вопросам.
Область, которой посвящена настоящая книга, развивается весьма динамично и довольно быстро обогащается новыми результатами и подходами. Только за пять лет, прошедших после выхода оригинального издания, по тематике, отраженной в книге, опубликовано более сотни работ, не считая многочисленных препринтов, и написаны четыре монографии, непосредственно примыкающие к монографии Лаллемана (см. перечень последних и их краткую характеристику в предисловии автора к русскому изданию). Актуальность книги Лаллемана на этом фоне подтверждается, кроме всего прочего, и тем, что число ссылок на ее оригинальное издание неуклонно растет. Думается, что эта книга — благодаря удачному отбору материала, включающего ряд основополагающих фактов из данной области,— не потеряет своего значения в течение достаточно долгого времени.
Свердловск, октябрь 1984Свердловск, октябрь 1984Л. Н. ШевринЛ. Н. Шеврин
Свердловск, октябрь 1984
Свердловск, октябрь 1984
Л. Н. Шеврин
Л. Н. Шеврин
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ
ИЗДАНИЮ
В 1963 г., когда я начинал работать над докторской диссертацией в Парижском университете и еще изучал основы алгебраической теории полугрупп, я обнаружил, что советские полу- групповые школы очень активны и в них ведутся плодотворные исследования, Я почувствовал тогда, что возможность читать публикации советских авторов, не ожидая перевода, была бы немалым преимуществом, и решил научиться читать по-русски, по крайней мере настолько, чтобы понимать статьи и книги в интересующих меня областях. Закончив самообучение, я начал— и продолжаю с тех пор — читать оригинальные труды советских исследователей всякий раз, когда это возможно. Как следствие, многие из соответствующих статей и книг оказали значительное влияние на мою собственную работу, и в частности, как заметит читатель, на настоящую книгу. Поэтому появление русского перевода книги делает мне честь и доставляет особое удовольствие, и я глубоко обязан профессору Л. Н. Шеврину, по инициативе которого была начата и под внимательным руководством которого доведена до успешного завершения работа над этим переводом.
По поводу содержания книги я отсылаю читателя к своему предисловию к американскому изданию. Благодаря ряду читателей этого издания, и в особенности Л. Н. Шеврину и И. О. Корякову, были устранены многие содержавшиеся в нем ошибки и неточности. Кроме того, отдельные места в русском издании модернизированы добавлением новых результатов и библиографических ссылок. Однако, учитывая, что главная цель книги — познакомить читателей с основами алгебраической теории полугрупп и ее избранными приложениями к формальным языкам и комбинаторике, я не ощутил необходимости отразить все достигнутые после 1979 г. продвижения в представленных здесь направлениях, тем более что недавно появилось несколько книг, всесторонне исчерпывающих темы, затронутые настоящей книгой. Мне хотелось бы упомянуть прежде всего следующие:
— «Комбинаторика на словах» Лотэра [1983°], где собраны воедино разрозненные результаты и методы, связанные с комбинаторными свойствами слов. Многие из них излагаются и используются здесь, в гл. 5—И.
— «Рациональные ряды и определяемые ими языки» Бер- стеля и Ройтенауэра [1984°], которая содержит систематическое изложение теории рациональных языков с точки зрения формальных степенных рядов над полукольцами (см. гл. 9, § 4 настоящей книги).
— «Многообразия формальных языков» Пэна [1984°], которая представляет собой весьма полное изложение недавних исследований, группирующихся вокруг теоремы Эйленберга о псевдомногообразиях (см. гл. 6, § 5, и гл. 7 настоящей книги).
— «Теория кодов» Берстеля, Перрена и Шютценберже [1985°], охватывающая практически все известные на сегодня результаты о кодах (см. гл. 8 настоящей книги).
Мне хочется выразить свою искреннюю признательность многим читателям американского издания, обратившим мое внимание на ошибки, опечатки и неточности в этом издании. Замечания, высказанные К. Ройтенауэром, И. Кобаяси, П. Хиггинсом и, конечно, И. О. Коряковым и Л. Н. Шевриным, были особенно полезны и помогли сделать русский перевод книги определенно более совершенным по сравнению с оригиналом.
Жерар ЛаллеманЖерар ЛаллеманПриняв в свое время участие в переводе на французский язык книги «Лекции по общей алгебре» А. Г. Куроша, я в состоянии в полной мере оценить количество труда, которого требует подобное предприятие. Из интенсивной переписки и обсуждений, продолжавшихся в течение всего периода работы над подготовкой русского издания настоящей книги, вполне очевидно, что И. О. Коряков и Л. Н. Шеврин выполнили перевод и соответственно редактирование превосходным образом. Я чрезвычайно благодарен им за этот труд, который, как мне представляется, вносит весьма ценный вклад в международное научное сотрудничество.
Жерар Лаллеман
Жерар Лаллеман
Юниверсити-Парк, Пенсильвания Июль 1984
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — изложить те разделы теории полугрупп, которые непосредственно связаны с теорией автоматов, алгебраической лингвистикой и комбинаторикой. Последние 20 лет все большее число публикаций по указанным математическим дисциплинам содержало результаты и методы, свойственные алгебраической теории полугрупп. Это привело к значительному обогащению и расширению границ самой теории, содействовало ее становлению в качестве важной области алгебры. В то же время это проявило способность теории полугрупп обеспечить удобный общий фундамент для унификации и прояснения целого ряда проблем в таких областях, которые на первый взгляд казались никак не связанными друг с другом.
Настоящая книга задумана как учебное пособие для студентов-старшекурсников и аспирантов, специализирующихся в математике и вычислительной науке1), а также как справочное пособие для исследователей, интересы которых связаны с ассоциативными структурами. Для чтения первой ее половины (гл. 1—4) достаточно знакомства с начальными сведениями из элементарной алгебры (определения группы, кольца, поля, решетки и т. п.). Во второй половине книги, где анализируются взаимосвязи между полугруппами, автоматами, языками и комбинаторикой, нередко приходится привлекать и другие разделы математики (например, логику, теорию вероятностей). В подобных случаях, побуждаемые желанием удержать изложение в разумных пределах, мы даем соответствующие определения или приводим в надлежащей форме нужные нам результаты, отсылая читателя за дальнейшими деталями к подходящей литера- ре. В конце каждой главы помещены дополнительные литературные ссылки и исторические комментарии, а также ряд упражнений с указаниями для решения.
Главы 1—4 вместе с разделами гл. 5, посвященными свободным полугруппам и моноидам, содержат фундаментальные понятия и результаты алгебраической теории полугрупп (отношения Грина, теорему Сушкевича — Риса, основную теорему
’) В оригинале — computer science; с конца 60-х годов в большинстве европейских языков, исключая английский, в этом же смысле употребляется термин «информатика»; см. Бауэр, Гооз [1973/74*], с. 5, 7 и особенно 437 (здесь и во всех аналогичных ситуациях ссылки иа страницы даются по русскому переводу, если таковой имеется). См. также соответствующие терминологические комментарии в начале статьи Кнута «Алгоритмы в современной математике и вычислительной науке», сб. под ред. А. П. Ершова и Кнута [1982*]. — Прим, перво, и ред.
декомпозиции для полугрупп преобразований). В гл. 5 помимо свободных полугрупп, языков и кодов кратко обсуждаются алгоритмы и понятие разрешимости, поскольку это постоянно возникающие в приложениях темы. В гл. 6 мы излагаем элементы теории автоматов, включая теорему Клини и недавнюю теорему Эйленберга о псевдомногообразиях. Основное внимание в этой главе уделяется моноидам преобразований и синтаксическим моноидам распознаваемых языков. Предмет обсуждения в гл. 7— операция порождения подмоноидов языками (итерация) и ее влияние на синтаксические моноиды. Здесь, в частности, показывается, что более глубокие результаты о языках, выразимых с использованием итерации, решающим образом зависят от исследования языков, порождаемых префиксными кодами. Такое исследование служит целью гл. 8, где излагаются основные результаты из этой области, тесно связанной с группами подстановок и комбинаторикой. Переходя в гл. 9 к контекстно-свободным языкам (они называются здесь алгебраическими), мы описываем наиболее простые их свойства, показываем их связь с алгебраическими степенными рядами от некоммутирующих переменных и характеризуем положение рациональных языков в этом большем классе. В последних двух главах мы рассматриваем дальнейшие связи между полугруппами и комбинаторными вопросами, касающимися соответственно проблемы Бернсайда и Главной теоремы Мак-Магона.
Эта книга не претендует на то, чтобы охватить все существующие приложения теории полугрупп. Я отобрал ряд вопросов, руководствуясь двумя связанными друг с другом соображениями. Во-первых, я хотел подчеркнуть генерические, «общеродовые», аспекты теории полугрупп, поскольку ее специфические, «видовые», аспекты (т. е. изучение полугрупп per se) представлены уже в нескольких книгах (например, в двухтомнике Клиффорда и Престона [1961, 1967] *)). Во-вторых, я хотел отчетливо показать, как изучение полугрупп, рассматриваемых в качестве представителей генерической структуры, вплетается в изучение «более комплексных» ветвей математики, наподобие теории автоматов, теории формальных языков и комбинаторики в целом.
Большая часть представленного здесь материала постепенно возникла из нескольких специальных курсов, которые я читал студентам второго года специализации на факультетах математики и вычислительной науки Пенсильванского университета в 1970—1975 гг., а также из многочисленных бесед с коллегами и студентами, затевавшихся мною на различных семинарах в
’) Из книг, появившихся в 70-х годах и трактующих те или иные вопросы алгебраической теории полугрупп, можно также указать монографии Петрича [1973, 1977*] и Хауи [1976], — Прим- ред.
течение того же периода времени. Критика и советы многих моих слушателей принесли немало пользы, и всем им я выражаю свою благодарность.
Ж. Ф. Перро пригласил меня на период 1975/76 академического года войти в состав группы лекторов для студентов третьего цикла обучения ’) в Университете Пьера и Марии Кюри (Париж VI). Прочитанный тогда мною курс охватывал широкий круг вопросов, содержащихся в гл. 2, 3 и 5—9. Это предоставило мне благоприятнейшие возможности для завершения окончательного плана данной книги, и я хочу поблагодарить Ж. Ф. Перро, Ж. Берстеля, Д. Перрена и Ж. Сакаровича за многие полезные советы и весьма ценные обсуждения, проходившие в очень дружеской атмосфере.
Мой бывший студент М. Кинан тщательно прочитал всю рукопись, и я глубоко благодарен ему за постоянную помощь в улучшении изложения. Я также очень признателен Ж. Ф. Перро, Д. Перрену и Ж. Жакобу за их многочисленные замечания и советы, касающиеся гл. 7, 8 и 10.
Почти 15 лет назад М. П. Шютценберже познакомил меня с автоматами, языками и комбинаторикой. Эта книга, в которой я попытался отразить его пионерские исследования и стимулирующее воздействие его идей, — лишь малая толика моей признательности и моего личного долга ему.
Юниверсити-Парк, Пенсильвания Жерар Лаллеман Январь 1979
*) Это 5-й и 6-й годы обучении. — Прим. ред.
1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
Цель этой главы—ввести основные понятия алгебраической теории полугрупп. Наряду с определениями и простейшими свойствами мы указываем два наиболее важных источника примеров: полугруппы преобразований на множестве и полугруппы, заданные образующими и определяющими соотношениями. Ряд утверждений в этой главе помещен без подробных доказательств. Читатель может найти собственные доказательства или обратиться к подходящей книге по алгебре (см., например, Бурбаки [1970, гл. 1 ] *)).
Полугруппы и моноиды
Определение 1.1. Полугруппой (3, •) называется непустое множество 3 вместе с бинарной операцией -, удовлетворяющей ассоциативному закону: х-^y-z) = (х-у}-z для любых х, у, zeS. Элемент 1еЗ называется единицей, если 1-х = х-1=х для любого хеЗ. Элемент ОеЗ называется нулем, если 0-х = = х-0 = 0 для любого хеЗ. Если 3 имеет единицу или нуль, то они единственны. Это не обязательно так для правых (или левых) нулей-, элемент zeS есть правый нуль, если x-z = z для любого хеЗ. Идемпотентом называется такой элемент ееЗ, что е-е = е. Полугруппа 3 называется коммутативной, если х-у = у-х для любых х, yeS.
Для обозначения бинарной операции на полугруппе используются также и другие символы, такие, как +, *, °. Например, множество N натуральных чисел является коммутативной полугруппой как относительно сложения +, так и относительно умножения -. В теоретических рассуждениях мы вместо х-у пишем просто ху, за исключением ситуаций, затрагивающих несколько бинарных операций.
Если xi, хг, ..., хп — элементы полугруппы 3, то мы определяем произведение х\хг...хп индуктивно, как (Х1Х2... xn-i)xn. Например, Х1Х2Х3Х4 есть ((Х1Хг)хз)х4. Доказательство с помощью
’) См. также соответствующие главы - книг, упомянутых в конце этой главы, — Прим. ред.
индукции по п показывает, что все произведения, полученные какой-либо расстановкой пар скобок в последовательности *12 . • • хп, равны уже определенному произведению х\х2 ... хп. В случае xi = х2 = ... = хп = х произведение xix2 ... хп обозначается посредством хп, причем справедливы обычные правила возведения в степень, а именно хтхп — хт+п, (хт}п = хтп для всех т, «eN. Если полугруппа S коммутативна, то можно показать, что Xi%2 • • ■ хп = хЯ(1)ХЛ(2) • • ■ х^ для любой перестановки л множества {1, 2пУ
Операцию, заданную на полугруппе S, можно распространить на подмножества из S следующим образом. Для любых двух подмножеств А, В из S определим А-В как множество всех произведений а -Ь, где а г А, Ь^В. Это задает структуру полугруппы на множестве ^(S) всех подмножеств из S; обозначения и соглашения, введенные выше для S, сохраняют силу и для ^(S).
Определение 1.2. Гомоморфизмом полугруппы (S, •) в полугруппу (S', *) называется отображение ф множества S в множество S', такое, что ф(х-//) = ф(х)*ф(у) для любых х, y^S. В этом случае используется запись ф: (S, •)->(£', *). Если гомоморфизм ср сюръективен, то мы называем его гомоморфизмом S на S', a S' называем гомоморфным образом полугруппы S. Изоморфизмом S на S' называется гомоморфизм, который одновременно инъективен и сюръективен. Гомоморфизм S в себя называется эндоморфизмом, а изоморфизм на себя — автоморфизмом.
Определение 1.3. Моноид (М, •, 1) — это множество М с такими бинарной операцией и выделенным элементом 1, что (М, •) есть полугруппа с единицей 1. Полугруппа (М, •) называется полугруппой моноида (М, •, I)1). Гомоморфизмом моноида (М, •, 1) в моноид (М', *, 1') называется полугрупповой гомоморфизм ф: (Af, •'^(М', *), для которого ф(1)= I'. Тот же смысл, что и в определении 1.2, имеют термины «гомоморфизм на», «эндоморфизм» и «автоморфизм».
Для произвольной полугруппы (S, •) следующим образом определим моноид этой полугруппы:
/ (S, •, 1), если S имеет единицу 1;
M^ = < <S и ^’ *’ !)’ где 1 ^S’ Х*У = Х‘У’ х * 1 = 1 * х — х, 1*1 = 1 для всех х, - yeS, если S не имеет единицы.
Полугруппа моноида М(3) обозначается обычно через S1. Поскольку любой моноид обладает иолугрупповой структурой, ряд понятий, определяемых для полугрупп, определяется тем самым и для моноидов. Таковы, в частности, понятия подполугруппы, подгруппы, идеала.
Определения 1.4. Подполугруппой полугруппы 3 называется такое подмножество Т из 3, что х,еТ и х^еТ влечет за собой xix2e Г. Эго равносильно включению Т2 s Т. Подгруппой полугруппы 3 называется подполугруппа из 3, являющаяся группой. Подчеркнем, что если 3 — моноид, то единица подгруппы не обязана совпадать с единицей 3.
Для произвольного непустого подмножества А полугруппы 3 существует наименьшая подполугруппа в 3, содержащая А. Она состоит из всех конечных произведений элементов из Л и обозначается через <А) или А+, если последнее обозначение более удобно (см. разд. 2.4). В случае, когда А содержит только один элемент х, мы пишем <х> и называем эту подполугруппу циклической. Любое подмножество А из 3, для которого <А)=3, называется множеством образующих *) полугруппы 3; такое множество всегда существует: можно взять, например, А = 3.
Множество всех подполугрупп из 3 частично упорядочено по включению, и любые две подполугруппы 7Ь 72 имеют наибольшую нижнюю границу inf(7b 72) = 71П72 и наименьшую верхнюю границу sup(7b 72) = <T]|J72>. Таким образом, подполугруппы произвольной полугруппы образуют решетку (см. Биркгоф [1967]).
Определения 1.5. Правым идеалом полугруппы 3 называется непустое подмножество R из 3, такое, что геК и х е S влечет за собой rxeR. Это равносильно включению RS г R. Аналогично, левым идеалом полугруппы 3 называется ее непустое подмножество L, удовлетворяющее условию SL s L. Двусторонний идеал (называемый просто идеалом, когда невозможна путаница) — это подмножество /, являющееся одновременно левым и правым идеалом. Он удовлетворяет условию /3 U Si = /.
Наименьший правый идеал, содержащий подмножество А из 3, есть AS1 = AJAS, а наименьший идеал, содержащий А, есть 3*АЗ* = A U AS U SA U ЗАЗ. Частично упорядоченное множество всех идеалов является дистрибутивной решеткой: в ней inf(/b l^^I^h, sup(/b /2) = /iU/2.
Подмоноидом (P, •, 1) моноида (M, •, 1) называется такое подмножество Р из М, что Р2 s Р и 1 еР. Таким образом, подполугруппа моноида не обязана быть подмоноидом. В частности, подгруппа моноида М тогда и только тогда является подмонои-
дом, когда она состоит из элементов, имеющих обратные относительно 1. Множество всех хеМ, допускающих обратные элементы х', такие, что хх' = х'х = 1, образует группу U обратимых элементов моноида М, и подгруппы из М, являющиеся подмоноидами, совпадают с подгруппами группы U. Аналогично, правый (левый двусторонний) идеал из М тогда и только тогда является подмоноидом, когда он совпадает с М.
Замечание 1.6. Некоторые авторы называют сюръективный гомоморфизм эпиморфизмом. Согласно обычному определению из теории категорий, эпиморфизмом полугруппы S в полугруппу S' называется такой гомоморфизм ф, что для любых гомоморфизмов 6j: S'^-T, 02: S'Т из 0!.оф = 02оф следует 01 = 02 (ф называется также сократимым справа). Следующий пример показывает, что эпиморфизмы в этом смысле не обязательно сюръективны. Пусть ф — естественное вложение полугруппы (N, •) в (Q+, •), где Q+ обозначает множество всех положительных рациональных чисел. Очевидно, гомоморфизм ф не сюръективен. Тем не менее если 01 (ф(п)) ~ 6г(ф(п)) для всех »gN, то 01 (1 ) = 01 (ф (1) ) = 02 (ф (1) ) = 02 (1) - Поэтому и 01: Q+->7, и 02: Q+-*T отображают группу (Q+, •) в подгруппу G из Т с единицей 0i(l) = 0г(1). Отсюда следует, что в группе О мы имеем 0i(p/q) = 0i(р) (0i(9))-1 = 02(p) ((02(^))-* = = 82(р/ф) Для всех p/qeQ+, т. e. 0j = 02. Таким образом, ф сократим справа, но не сюръективен.
Аналогично определяется мономорфизм, как гомоморфизм, сократимый слева. Упражнение 1.7 показывает, что мономорфизмы совпадают с инъективными гомоморфизмами.
Примеры: полугруппы преобразований, свободные полугруппы
Мы рассмотрим здесь ряд фундаментальных примеров полугрупп. Некоторые из них будут часто использоваться для иллюстрации результатов последующих глав. Полугруппы преобразований (разд. 2.3) и свободные полугруппы (разд. 2.4) играют центральную роль в приложениях.
Бинарные отношения на множестве
Бинарным отношением на множестве А называется произвольное подмножество р декартова произведения А ХА. На множестве ^(А) всех бинарных отношений на А определена операция °: для любых р, ое^(А)
р о о = {(х, у) @ А X А: (х, z)ep и (г,у)<=ст
для некоторого геА),
Множество ^(А) вместе с этой операцией является полугруппой. Последняя станет моноидом, если объявить выделенным отношение равенства е — {(х, х): хеД}. В ^^А') имеется также нуль — пустое отношение. Включение множеств определяет на ^(А) естественный частичный порядок, и этот частичный порядок двусторонне совместим с умножением) (р^а влечет за собой p=TSaT и т=р = т = а). Полугруппа ^(А) содержит много интересных подполугрупп. Например, определив р-1 равенством
Р-1= {(А У^АХА-. (у, х)ер), легко проверить, что идемпотенты р из ^(Д), удовлетворяющие условиям р — р-1 ие^р, т. е. отношения эквивалентности на А, образуют в ^(А) подполугруппу (см. разд. 3.1). Другие примеры подполугрупп ^(А) даны ниже.
Если множество Д конечно, каждое отношение ре^(Д) можно представить посредством квадратной матрицы ц(р), строки и столбцы которой индексированы элементами из А, а на пересечении х-й строки и у-го столбца стоит 1, если (х, у) ер, и 0, если (х, у)^р. Для получения матрицы р(р°(г) достаточно обычным способом перемножить матрицы ц(р) и ц(<т), если принять в качестве операций на множестве {О, 1} следующие ассоциативные сложение и умножение: 0 + 0 = 0, 0+1 = 1 + + 0=1 + 1 = 1, 0 • 0 = 0 -1 = 1 - 0 = 0, 1-1 = 1. Изоморфизм р^-р(р) называется представлением полугруппы ^(А) булевыми матрицами.
Преобразования и частичные преобразования на множестве
Полугруппой всех преобразований на множестве А ) называется подполугруппа £Гг(А) полугруппы ^(А), состоящая из всех бинарных отношений f, удовлетворяющих условиям
для любого х s Д существует такой у а А, что (х, у) a f;
если (х, у) a f и (х, у') г?, то у = у'.
Полугруппа ^'г(А) действует на множестве А справа); это действие обычно указывают, записывая (х)/ = у всякий раз, когда (х, y^ef. Группа ^(Д) обратимых элементов полугруппы
^(А) состоит из всех подстановок на множестве А и называется симметрической группой на множестве А. Полугруппа 3~Г^А^ является подполугруппой полугруппы 33",(А) частичных преобразований на множестве А, состоящей из всех бинарных отношений Д удовлетворяющих лишь условию (2) из указанных выше. Еще одна важная подполугруппа в ^(Д)— это полугруппа 3Г(А), которая состоит из всех частичных взаимно однозначных преобразований на множестве А. Бинарное отношение f тогда и только тогда принадлежит полугруппе ^(А), когда оно удовлетворяет условию (2) и двойственному условию
(2') если (х, у) е f и (х', у) е f, то х — х'.
Следующий рисунок иллюстрирует различные включения в ^(Д):
Все полугруппы на этом рисунке являются фактически подмоноидами моноида 3(A).
Полугруппа (S, *), двойственная к полугруппе (S, •), определяется операцией », где х*у — у-х для любых х, у е S. Полугруппы, двойственные к подполугруппам из ^(Д), введенным выше, обозначаются через £Г/(А), 33"/(А), ^/(А), ^(А). Они состоят из преобразований, действующих на А слева, и вместо (х, y)ef для fE3i(A), 33~i(A), ... мы пишем /(х) = у1). Булева матрица p.(f), представляющая (в случае конечного А) элемент f еЗЗг(А), содержит в каждой строке не более одного ненулевого элемента. Такая матрица называется мономиальной по строкам. При умножении таких матриц правило 1 + 1 = 1 никогда не используется, и его вполне можно заменить правилом 1 + 1=0. Отсюда вытекает, что отображение fi—>p.(f) при f е 33"Г(А) является представлением матрицами над двухэле-
') Часто буквы г и Z в обозначениях ^*Г(Д), ^(Д) и т. п. опускаются, так как из контекста бывает ясно, какая именно полугруппа рассматривается. Рисунок выше, таким образом, относится и к правым, и к левым полугруппам.— Прим. ред.
ментным полем {0, 1}. Имеется двойственное представление полугруппы 9*9" i^A) матрицами, мономиальными по столбцам, с элементами из {0, 1}.
Полугруппы и моноиды преобразований
Полугруппой преобразований на множестве А называется произвольная подполугруппа из 9~Г(А). Аналогично, моноид преобразований на А определяется как подмоноид моноида 9~Г(А). Для получения многочисленных примеров полугрупп (или моноидов) преобразований удобно просто указать их образующие. Например, при А = {1, 2, 3} преобразования
/ 1 2 3\/ 1 2 3 \
Х ~( 2 3 3 ) И — ( 1 1 2 )
порождают полугруппу преобразований, содержащую семь элементов:
/1 2 3\/ 1 23\
х. У, ху (122)’ ^х (223)
и три постоянных преобразования. Моноид преобразований, порожденный х и у, содержит еще один элемент — тождественное преобразование. Обычно полугруппу (или моноид) преобразований представляют ориентированным графом, вершинами которого служат элементы из А, а дуга i->-j (i, j е А) определена и помечена образующим g всякий раз, когда ig = j. Приведем, например, граф описанной выше полугруппы преобразований:
Полугруппы преобразований, задаваемые таким способом, играют важную роль в теории автоматов, где множество А называется множеством состояний автомата, а множество образующих полугруппы преобразований называется множеством входов (или входных сигналов). Граф из нашего примера представляет множество состояний лифта, обслуживающего три этажа, движения которого подчиняются входным сигналам х(= вверх) иу(=вниз).
Важность полугрупп и моноидов преобразований подчеркивается следующим результатом, аналогичным известной в теории групп теореме Кэли.
Предложение 2.3.1. Любая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе преобразований. Аналогично, любой моноид изоморфен моноиду преобразований.
Доказательство. Для данной полугруппы S определим отображение ф: S^Tr^, положив ф(«) = ра, где ра — внутренний правый сдвиг на S1, определяемый равенством хра = ха для всех хе S’. Легко проверить, что ф— инъективный гомоморфизм. Доказательство для моноидов аналогично. □
Наряду с полугруппами преобразований на абстрактном множестве А часто приходится изучать полугруппы, возникающие при рассмотрении на множестве А некоторой математической структуры и состоящие из преобразований, связанных с этой структурой. Так, например, множество А может быть векторным пространством над полем, и тогда рассматриваются полугруппы S линейных преобразований пространства А. Примеры таких полугрупп можно получить, фиксируя некоторый базис в А и представляя образующие полугруппы S матрицами над данным полем.
Полезная техника, использующая полугруппы преобразований, состоит в задании гомоморфизма ф какой-либо (вообще говоря, специальной) полугруппы S в полугруппу ^"Г(А) для некоторого множества А; тем самым преобразования из ф(5) «индексируются» элементами из S. Этот метод широко применяется в анализе, где в роли S обычно используется одна из аддитивных подполугрупп поля С комплексных чисел. Например, если А — банахово (= полное нормированное векторное) пространство и для каждого х е S s С определен эндоморфизм (= ограниченное линейное преобразование) ф(х) пространства А, то полугруппа преобразований ф(5) называется однопараметрической полугруппой эндоморфизмов. Книга Хилле и Филлипса [1957] целиком посвящена теории таких полугрупп преобразований в рамках банаховых пространств. В качестве другого примера возьмем полугруппу S = (N, +), пространство А с мерой и потребуем, чтобы образующий / = ф(1) полугруппы Ф(5) был преобразованием, сохраняющим меру (т. е. чтобы прообраз относительно t любого измеримого подмножества А* из А имел ту же меру, что и А7). Такие полугруппы преобразований являются предметом изучения в эргодической теории (конкретные примеры и дальнейшие понятия см. у Халмоша [1956, 1959]").
Свободные полугруппы и моноиды
Пусть А — непустое множество, называемое алфавитом, элементы которого будем называть буквами. Определим слово в алфавите А как непустую конечную последовательность xix2 ... ... хп элементов из А. Таким образом, два слова xix2 ... xm и У1У1 ... Уп равны тогда и только тогда, когда они совпадают как последовательности, т. е. когда пг = п и Xi = у\, х2 = уг, ...
..., хт = Цт. На множестве Д+ всех слов определим бинарную операцию:
XtX2 . .. Хт'УхУа ... Уп = Х\Х2 ... хту\у2 ... уп.
Эта операция на Д+, называемая ино'гда конкатенацией, очевидно, ассоциативна, и Д+ называется свободной полугруппой на множестве А. Поскольку мы не различаем буквы хе А и однобуквенные слова хеА+, импликация xix2 ... хт = ухуа ... ... уп т = п и Х1 = ух, хг — уг, ..., хт = ут выражает тот факт, что каждое слово w е Д+ допускает единственное разложение в произведение элементов из Д. Заметим, кроме того, что А является множеством образующих для Д+.
Рассмотрим отображение I из А в N, определенное равенством /(х)=1. Единственная возможность продолжить / до гомоморфизма из Д+ в аддитивную полугруппу N состоит в том, чтобы положить /(xix2 ••• хт) = т. Для произвольного w е А+ число /(tv) называется длиной слова w. Однозначная продолжаемость отображения / до гомоморфизма, определенного на всей полугруппе Д+, является частным случаем следующего результата.
Предложение 2.4.1. Для любого отображения ср множества А в полугруппу S существует единственный гомоморфизм ф свободной полугруппы Д+ в S, такой, что ф(х) = ф(х) для всех хе А. Далее, гомоморфизм ф сюръективен тогда и только тогда, когда ф(Д) есть множество образующих полугруппы S.
Доказательство. Для слова w = xix2 ... хп из Д+ равенство ф (tv) = ф(х1)ф(хг) ... ф(х„) реализует единственную возможность определения ф(tv). Ясно, что отображение ф) — гомоморфизм. Множество ф(Д) тогда и только тогда порождает S, когда для любого seS имеем s = ф(</1)ф(у2) ... ф(ут) = = ф(У1Уг • •• Ут) для некоторых ух, уг, ..., ут^А. Это равносильно сюръективности ф. □
Доказанное предложение можно применять к порождающему множеству А полугруппы S, взяв в качестве ф отображение включения Д в S. Это приводит к следствию, на котором базируется понятие копредставления полугруппы (§ 4).
Следствие 2.4.2. Любая полугруппа S является гомоморфным образом свободной полугруппы Д+ на произвольном множестве А, порождающем S.
Моноид свободной полугруппы на А называется свободным моноидом на множестве А и обозначается посредством Д*. Его можно определить непосредственно, как это было сделано для Дч. Единственное изменение касается определения слова: словом в свободном моноиде А* называется произвольная, воз-
можно пустая, конечная последовательность элементов из А. Пустая последовательность определяет пустое слово, обозначаемое символом 1, которое служит выделенным элементом в Л*. Предложение 2.4.1 и его следствие остаются истинными при замене слова «полугруппа» словом «моноид». Любое подмножество L свободного моноида А* называется языком над алфавитом А. В свободных полугруппе или моноиде слово w называется подсловом слова w', если w' = uwv t); слово w называется левым (соответственно правым) делителем слова w', если w' = wv (соответственно w' = uw). Число вхождений буквы а'еЛ в слово ю называется степенью слова w относительно х и обозначается через dx(w).
Эквивалентности на множествах. Конгруэнции на полугруппах
В этом параграфе мы напоминаем ряд элементарных результатов об отношениях эквивалентности и конгруэнциях. Большая часть доказательств оставляется читателю в качестве упражнения.
Эквивалентности
Отношением эквивалентности или просто эквивалентностью) на множестве S называется такое бинарное отношение р на S, что esp, р s р-1 и pop ер. Эти свойства отношения р называются соответственно рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью. Подмножество х = {ZeS: (х, /)ер} называется классом элемента х по модулю р или просто р-классом. Множество S является дизъюнктным объединением классов по модулю р, а множество всех этих классов, обозначаемое посредством S/p, называется фактормножеством множества S по модулю р. Подмножество Т из S, содержащее в точности один элемент из каждого p-класса, называется трансверсалом) множества S по модулю р. Любое отображение 9: S^S' определяет на S эквивалентность Кег 9 = {(х, у) г S X S: 9(х)=9(у)}. Если 9 сюръективно, то отображение 9: S/KerB^-S7, определяемое равенством 9(х) = 9(х) для любого xeS, является биек-
■) Определение подслова в свободной полугруппе — как и в моноиде — не исключает ситуации, когда и, и пусты. — Прим, перев.
цией (теорема об изоморфизме для множеств). Существует также биекция произвольного трансверсала множества S по модулю Кег 6 на S'.
Частичное упорядочение бинарных отношений индуцирует структуру решетки на множестве всех эквивалентностей на S. В самом деле, для произвольных эквивалентностей pi и р2 на S мы имеем
inf (pl, р2) = Pi П Р2, sup(p„ Рг)= и (Pi U р2)";
верхняя грань sup(ph р2) обозначается также через pi V р2. Таким образом, (х, y)epi V р2, если и только если существуют такие элементы г^ г2, ..., znES, что х — Zi, у — zn и (гь zi+i)e pi U р2 Для всех i = 1, 2, ..., п — 1. В случае pi°p2 = p2°pi можно доказать, что pi V р2 = pi ° р2 = р2 ° рь Для данного бинарного отношения 0 на S существует наименьшая эквивалентность р(6), содержащая 9: р(0) = е U(6 U 0—’)г, где (0 U 6—’) #, называемое транзитивным замыканием отношения 0 U 0—‘> дается формулой
(е и 0~‘^ = и (0 и о^Т-
Вместо записи (х, у) ер для эквивалентности р мы будем также писать хру, когда последнее обозначение более удобно.
Конгруэнции
Конгруэнция на полугруппе S определяется как отношение эквивалентности р на множестве S, устойчивое относительно умножения слева и справа, т. е. хру влечет за собой zxpzy и xzpyz для любых х, у, zeS. Правая (соответственно левая) конгруэнция на S— это эквивалентность, устойчивая относительно умножения лишь справа (соответственно слева). Множество всех конгруэнций (соответственно правых конгруэнций, левых конгруэнций) на полугруппе S является подрешеткой решетки эквивалентностей на S.
Для данной конгруэнции р на полугруппе S через х обозначим p-класс, которому принадлежит элемент xeS: х = = {/eS: хрх'}. На множестве S/p определяется полугруппо- вая структура, если положить х-у = ху для любых х, yES. Легко проверить, что приведенное определение произведения х-у не зависит от выбора элементов х, у в соответствующих классах и что S/p наследует свойство ассоциативности. Полугруппа S/p называется факторполугруппой полугруппы S по конгруэнции р. Из определения операции на S/p вытекает, что отображение хР: S^-S/p, заданное равенством Хр(х) = М есть гомоморфизм на S/p.
Обратно, если дан сюръективный гомоморфизм 0. S-t-S', определим на S конгруэнцию Кег0 (ядерную конгруэнцию отображения 9):
Ker9={(x,y)eSXS: 0(х) = 0(у)}.
Единственная возможность сделать диаграмму гомоморфизмов
$ —-—
^Кегб Д
S/KerO
коммутативной, т. е. удовлетворяющей равенству 6°ХКег& = 0, это положить 9 (х) = 9 (х) для любого xeS, где ^ = XKeroW- Этот результат является частным случаем следующей теоремы *).
Теорема об изоморфизмах. Пусть 9: S ->- S' — гомоморфизм полугруппы S на полугруппу S', р — конгруэнция на S, для которой Кег 9 s р. Определим бинарное отношение р' на S', положив р' = {(х', y')^S'XS'; существуют такие х, yeS, что
хру, 0(х) = х/, 0 (у) = у'У Тогда
отношение р' есть конгруэнция на S';
существует единственное отображение 0 из S/p в S'/p', такое, что 0оХр = %р/о6, причем 0— изоморфизм;
отображение р < р' определяет изоморфизм решетки всех конгруэнций на S, содержащих Кег 0, на решетку всех конгруэнций на S'.
Некоторые примеры
Рисовские конгруэнции. Для произвольного идеала I полугруппы S определим отношение р/ —eU(/XO- Это отношение является конгруэнцией, классы которой суть идеал / и одноэлементные множества. Она называется конгруэнцией Риса, а фак- торполугруппа S/pi обозначается также через S/I и называется факторполугруппой Риса полугруппы S по идеалу I.
Синтаксические (или главные) конгруэнции. Пусть L — произвольное подмножество полугруппы S. Для x^S определим множество всех контекстов элемента х относительно L;
Conti(х)= ((и, v)e S X S1: uxveL).
Синтаксическая конгруэнция Pl (называемая также двусторонней главной конгруэнцией), соответствующая множеству L, определяется условием: хРту, если и только если ContL(x) = = Conti (у).
Легко, проверить, что L есть объединение классов по модулю Pl. Более того, Pl — наибольшая конгруэнция на S, для которой L является объединением классов.
Правая (соответственно левая) главная эквивалентность, соответствующая множеству L, обозначается посредством рТ (соответственно Pl') и определяется аналогично с использованием правых (соответственно левых) контекстов данного элемента относительно L. Например,
P^L = {(Х, у) е S х Si XU Е L ■<=> уи G L для любого и s S1}.
Это наибольшая правая конгруэнция на S, для которой L является объединением классов.
Все понятия и утверждения этого параграфа без изменений переносятся на моноиды.
Копредставления полугрупп и моноидов
Копредставления ') полугрупп изучались уже на ранних этапах истории полугрупповых исследований, что обусловливалось их важностью для понятия разрешимости в логике (см. Туэ [1914], Пост [1947]). Здесь мы укажем обычную терминологию с единственной целью — обеспечить получение примеров.
Определение 4.1. Для данной полугруппы S множество А называется множеством порождающих символов относительно отображения ф: Д^-S, если продолжение ф отображения ф на свободную полугруппу Д+, определяемое равенством ф (Х1Хг... хп) = = ф(х|)ф(хг) ... ф(х„) для любого слова XjX2 ... хл е Д+, является гомоморфизмом Д+ на S.
Если Д — множество порождающих символов для S относительно ф и два слова хм, хм' е Д+ удовлетворяют равенству ф(ш)= = ф(о/), то говорят, что на S выполняется соотношение хм = хм' или что хм = хм' есть соотношение в S.
*) В оригинале «presentation». Для этого понятия — задания полугруппы с помощью образующих и определяющих соотношений — в русской литературе часто используется термин «представление». Однако оловом «представление» переводится и английское «representation», очень часто используемое в данной книге для представлений полугрупп матрицами и преобразованиями на множестве. Поэтому мы остановились на термине «копредставление», также употребляемом в рассматриваемом смысле, — Прим, пврев. и рвд.
Для данного множества соотношений ^w{ = w'p ze/J в S слово и'е.4г непосредственно выводимо из слова цеД+ относительно {®z = w'p i е /}, если либо и = runs и V = г®■«, либо y=rw's и Vх = rW;S для некоторых i е/, г, s е Д*. Словно и' г Д+ выводимо из слова и е А+ относительно {ш£ = w'p I е /}, если существуют слова ио, Щ, ..., Vn, и О, такие, что и = ио, о' = оп и va+i непосредственно выводимо из и к (0 ^ & < п) относительно ^wt = w^ i е iy Иными словами, и' выводимо из и, если и может быть переведено в слово и' применением конечного числа раз следующего правила: если данное слово содержит подслово Wi (или ш^) для некоторого t е /, заменить W; на w't (или w't на tyz).
Если и' выводимо из v относительно [®z = w'p i е Г}, то v — и' есть соотношение в S, поскольку равенство Ф(®;) = Ф (avz) влечет за собой ф (ro^s) = ф (rty's). Мы говорим в этом случае, что соотношение и = и’ есть следствие исходного множества соотношений (mz = w'p i е Гу Если же все соотношения в S являются следствиями из {зд; = ®р ieiy пара ^Д; \wt = w'p i^iy^ называется непредставлением полугруппы S, определенным отображением ф).
Любая полугруппа (S, •) имеет очевидное копредставление <S; ^ху = х-у для всех х,уЕ$}>,
определенное тождественным отображением на S, причем все соотношения имеют вид ху — х-у, где ху обозначает двухбуквенное слово из S+, а х-у— однобуквенное слово из S+, полученное вычислением произведения х-у в S. Это специальное копредставление называется таблицей умножения полугруппы S. Задавать полугруппы с помощью таблиц умножения обычно бывает трудно: для произвольных множества Д и отображения f: АХА^-А копредставление
; ху = f(x, у) для всех х, уеА>)
не является, вообще говоря, таблицей умножения полугруппы; например, для копредставления <а, b; аа = а, ab = а, ba — b, bb = а> следствием его соотношений будет равенство а — Ь, так как а = bb = bab = ba = b.
Чтобы построить копредставление данной полугруппы S, нужно
найти множество А образующих для S; затем взять в качестве ср: Д->5 естественное отображение включения;
найти множество пар (wp ш^ е Д+ X А+, таких, что наименьшая конгруэнция на Д+, содержащая эти пары, совпадает с ядерной конгруэнцией гомоморфизма ф: Л+—>S. (См. предложение 2.4.1.)
Следующее утверждение обосновывает часть (Ь) этого построения.
Предложение 4.2. Пусть ср — такое отображение множества А в полугруппу S, что продолжающий гомоморфизм ф: Д+->5 сюръективен, и пусть ^wp w'^, i г /} — подмножество в Д+ХЛ+. Следующие условия равносильны:
^А; W; = w'p I г 1^ есть копредставление полугруппы S, определенное отображением ср;
наименьшая конгруэнция на Д+, порожденная всеми парами (top w'^, i е I, совпадает с Кег ф.
Доказательство. Для слов и, и' еД+ будем писать и&о', если и только если и' непосредственно выводимо из и относительно ^wt = Wp ieiy Наименьшая конгруэнция на Д+, порожденная всеми парами (wt, w^), i е /, совпадает с транзитивным замыканием 6/ отношения 6(v6tv', если и только если и' выводимо из и). Пусть (Д; w^w'p iel^— копредставление полугруппы S, определенное отображением <р. Тогда ибо' означает, что и' = rw\s и V — rwts (или наоборот). Отсюда вытекает, что ф(и/) = ф(г)ф(а>,)ф(5) = ф(г)ф(йУ1)ф(5) = ф(о), т. е. d S Кег ф. Обратно, из ф(о) = ф(о') следует, что равенство и = и' есть соотношение в S. Тогда и = и' есть следствие из {о^ = w'p I е /}, что означает общ'. Завершив доказательство равенства 6/ = = Кегф, мы показали тем самым, что из (а) следует (Ь). Наконец, непосредственно видно, что из (Ь) следует (а).
Если полугруппа S допускает копредставление (Д; хы1 = w^ ieTy в котором А (соответственно /) конечно, то S называется конечно порожденной полугруппой (соответственно полугруппой с конечным числом соотношений^. Если конечны оба множества А, I, то S называется конечно копредставленной или конечно определенной.
Из предложения 4.2 выводим
Следствие 4.3. Пусть А — непустое множество, 9 — бинарное отношение на Д+, р(9)— наименьшая конгруэнция на Д+, содержащая 9. Тогда полугруппа S = Д+/р(9) имеет копредставление Р = <А; w — w' для всех (to, ш')е9>. Любая полугруппа, допускающая копредставление Р, изоморфна S.
Таким образом, чтобы задать полугруппу, достаточно выписать множество образующих А, множество соотношений {w{ = — w\, i g Ц (описание всех пар из указанного выше 9) и объявить искомой полугруппой S факторполугруппу полугруппы А+ по конгруэнции, порожденной всеми парами (w£, w^, i g I. Это описание резюмируется фразой: «Пусть S задана копредставлением (Л; w£ = Wp ieiy>. Два копредставления Pi и Рг с одним и тем же множеством образующих называются эквивалентными, если все соотношения из Рг являются следствиями соотношений из Pi, и наоборот.
Все понятия и результаты настоящего параграфа легко переносятся на моноиды. Но одна особенность заслуживает упоминания. В копредставлении моноида могут встретиться соотношения вида w = 1, каково бы ни было множество А; если же копредставление полугруппы S содержит соотношение вида ® = 1, это означает, что 1 gX, и если имеется в виду, что 1 есть единица в S, то соотношения al = а, 1а = а должны быть следствиями определяющих соотношений полугруппы S.
Примечание. Если полугруппа или моноид содержит нуль О, последний может быть добавлен к порождающему множеству А, а соотношения а0 = 0а = 00 = 0 для любого а^А могут быть добавлены к другим соотношениям. Когда нуль 0 появляется в определяющих соотношениях, мы будем предполагать, не отмечая этого явно, что 0 является образующим и что выполняются указанные выше соотношения (см. упр. 1.8).
Пример 4.4. Мы называем полугруппу с одним образующим циклической полугруппой. Свободная циклическая полугруппа имеет копредставление <х; 0). Она изоморфна полугруппе (N, +)• -Любая другая циклическая полугруппа задается копредставлением
(х; xrt = xri+nX ief\ rb g N.
Если r — наименьшее среди чисел ri (ie/), a m — наибольший общий делитель чисел mi Це!^, то копредставление (1) эквивалентно копредставлению
<х; хг = xr+m>.
Доказательство. Соотношение х“ = х^ является следствием соотношения xr = xr+m тогда и только тогда, когда а, р ^ г и a^P(modm). Отсюда вытекает, что все соотношения в (1) суть следствия из xr = xr+m. Обратно, соотношение из (1), содержащее в своей левой части хг, имеет для каждого i g / и некоторого целого h следствие xr=xr+tl, где г + ^^г;. Отсюда выводим, что хГ = xr+tt+mi = xr+mt для каждого 1^1. Поэтому
xr = xr+2^mz для любой положительной линейной комбинации 'Lktm.i с коэффициентами kteZ. В частности, поскольку m является такой линейной комбинацией, равенство xr = xr*m есть следствие соотношений (1). □
Циклическая полугруппа, имеющая копредставление <х; хг = = xr+m>, обозначается через Cr, т. Множество ее элементов есть (х, х2, ..., хг, хг+*хг+т~1}. Подмножество {xr, xr+1, ... . , . , Х^"1-1} ИЗ Сг, т является циклической группой, изоморфной аддитивной группе Zm = Z/mZ целых чисел по модулю т; изоморфизм устанавливается отображением xfci—>& + mZ. Мы называем число m периодом, а число г циклической глубиной *) элемента х. Полугруппа, все циклические подполугруппы которой конечны, называется периодической.
Пример 4.5. Бициклический моноид определяется как моноид преобразований на множестве № — {0, 1, 2, ...}, заданный следующим графом:
Бициклический моноид допускает копредставление <а, Ь; ab = l>, определенное отображением ср, для которого (р(а) = х, 4>W = y.
Доказательство. Ясно, что ху— тождественное преобразование на №; следовательно, равенство ab = 1 является соотношением в бициклическом моноиде. Из любого слова w в {а, Ь}* можно вывести относительно соотношения ab = 1 слово вида bman (m, пе№). Таким образом, любое соотношение в нашем моноиде, не являющееся следствием из ab=\, эквивалентно соотношению вида b‘a! = bman. Но равенство y‘xl = утхп влечет за собой j = n (так как 0 у‘х* = / и 0 утхп = п) и 1 = т (так как, взяв ^^max(z, m), получим kylxn = k — i + n и kymxn — k — m-\-nY Поэтому бициклический моноид не удовлетворяет никаким соотношениям, кроме следствий соотношения ab = 1. □
Обозначим через ^(а, 6) моноид, заданный копредставле- нием <а, b; ab = 1>. Он изоморфен моноиду всех пар неотрицательных целых чисел с умножением
гдегде(/, П^, l) = (i + (k^-j), / + (/-^)),
где
где
х — у — х — у, если х^у, и х —у = 0, если х < у.
’) В оригинале «cycle-depth»; употребителен также термин индекс. — Прим, перев.
Как полугруппа, бициклический моноид имеет более сложное копредставление
<а, b; aba = a2b = a, bab — ab2 = Ь).
Чтобы проиллюстрировать некоторые понятия, введенные в этой главе, мы укажем одно интересное свойство бициклического моноида: ^(а, 6) является фактормоноидом свободного моноида А*, где А — {а, 6}, по синтаксической конгруэнции Pl, соответствующей одному важному языку L Е А*, к описанию которого мы сейчас переходим. Предположим, что буква а представляет символ (— левую скобку, а буква b представляет символ ) — правую скобку. Тогда слова aababb и aababa представляют соответственно системы скобок (( )( )) и (( )( ) (. Первая система является правильной скобочной системой, т. е. может быть получена из алгебраического выражения удалением всех других символов, кроме скобок, тогда как вторая система неправильна. Определим язык L как множество всех слов из А*, представляющих правильные скобочные системы; L называется ограниченным языком Дика над двухбуквенным алфавитом или правильным скобочным языком. Справедливо равенство
Т = {ш е А*; для любого разложения w = ии имеет место da(u) ^ db(u'), da(v)^db(v)}.
Его доказательство с помощью индукции по длине слов оставляется читателю.
Свойство 4.6. Пусть А = (а, Ь} и L — правильный скобочный язык над А. Фактормоноид моноида А* по синтаксической конгруэнции Pl, соответствующей языку L, является бициклическим моноидом.
Доказательство. Для любых м.уеЛ* мы имеем uabu е L тогда и только тогда, когда ulv е L, откуда abPiA. Обозначив Рг-класс слова we А* через w, мы видим, что моноид_0 = = A*/Pl порождается классами а, Б и что равенство ab — 1 является соотношением в Q. Для доказательства того, что в Q не выполняются никакие соотношения, кроме следствий из аБ=1, достаточно показать, что из (ЬЩ', Ьта")^Рь следует i = пг и / = п. Предположим, что (b‘a!, bman^e Pl и, например, i ^ пг. Поскольку ambmanbn е L, получаем атЬ‘а!Ьп е L. Из определения языка L выводим пг + / = ; 4- п, причем I ^ т дает j ^ п. Однако условие на степени левых и правых делителей слов из L, примененное к делителям и = атЬ1 и и = а<Ьп, дает т ^ i, п^ j. Отсюда выводим i = пг, j = п, заканчивая доказательство того, что <а, b; ab = 1> есть копредставление моноида Q. □
Библиографические замечания
Различные аспекты алгебраической теории полугрупп представлены в нескольких книгах. Первая из них принадлежит А. К. Сушкевичу [1937]. Книги Е. С. Ляпина [1960] и Клиффорда и Престона [1961, 1967] являются стандартными книгами для ссылок. Более поздние книги не столь всеобъемлющи, как две предыдущие, ио делают упор на отдельных важных разделах алгебраической теории полугрупп (см. Петрич [1973], Хауи [1976]). Топологическим полугруппам посвящены книги Паалман-де-Миранды [1964] и Хофмана и Мостерта [1966]. Важный вклад в теорию полугрупп преобразований, принадлежащий Крону и Роудзу, представлен в книге под ред. Арбиба [1968]. Эти результаты также излагаются в значительно улучшенном виде Эйленбергом [1976].
Упражнения
Правым сдвигом иа полугруппе S называется преобразование р е еЕГДЗ), удовлетворяющее равенству (а6)р=а(6р) для любых a, beS. Множество Tr(S) всех правых сдвигов на S является подмоноидом в ^(S). Следующие свойства полугруппы S равносильны:
любое преобразование на S является правым сдвигом;
S — полугруппа правых нулей (т. е. ху = у для любых х, yeS).
На полугруппе S все преобразования будут эндоморфизмами тогда и только тогда, когда S — либо полугруппа правых нулей, либо полугруппа левых нулей.
Правые нули моноида 9"Г(А) всех преобразований на множестве А суть постоянные отображения. Они образуют идеал /, содержащийся во всех идеалах из SFr(A). Моноид всех правых сдвигов иа / изоморфен моноиду ^(А) (А. И. Мальцев [1952]).
Каждый правый сдвиг моноида М является внутренним правым сдвигом. Если элемент а е М обратим справа (т. е. существует такой ЬеМ, что ab = 1), то внутренний правый сдвиг ра инъективен. Если моноид М конечен, то равенства ab = 1 и 6а = 1 равносильны (т. е. обратимость справа влечет обратимость).
Пусть S —полугруппа и в— идемпотент из S. Группа Не обратимых элементов моноида е§е является максимальной (по включению) подгруппой в S. Если идемпотенты е и [ из 5 различны, то максимальные подгруппы EL и Н, не пересекаются.
Полугруппа S называется правой группой, если S проста справа (т. е. S является своим единственным правым идеалом, или, что равносильно, S = = aS для всех aeS) и является полугруппой с левым сокращением (т. е. равенство ах = ау влечет за собой х = у).
Множество Е идемпотентов правой группы непусто и является полугруппой правых нулей.
Для любого идемпотента е в правой группе S множество Se есть максимальная подгруппа, и S = UeEESe.
Полугруппа S тогда и только тогда является правой группой, когда S изоморфна прямому произведению G X Е, где О — группа, Е — полугруппа правых нулей (А. К. Сушкевич [1928, 1937]).
Пусть х, у е S, х + У, и А = (а, 6). Существуют два различных гомоморфизма fl'i, Фз свободной полугруппы А+ в S, такие, что ОДА) = (х, у\ Z = 1, 2. Отсюда следует, что любой мономорфизм (т. е. сократимый слева гомоморфизм) <р: S-»-T инъективен. Обратное утверждение тоже верно.
Произвольная полугруппа частичных преобразований на множестве А изоморфна полугруппе преобразований на множестве A UM, где s^A. Для моноидов справедливо аналогичное утверждение. Полугруппа частичных преобразований описывается графом, вершинами которого служат элементы из Д
а помеченная дуга i —►] указывается тогда, когда ix определено, причем ix = j у, jsA). Например, граф
описывает полугруппу 5, порожденную элементами
х =х =1 2 3 X- 1 1)1 2 3 X- 1 1)/ 1 2 3 X/ 1 2 3 X
х =
х =
1 2 3 X- 1 1)
1 2 3 X- 1 1)
/ 1 2 3 X
/ 1 2 3 X
Полугруппа 5 имеет копредставление
<х, у; Xs = 0, у2 = 0, уху = 0, ух2у = у, х2ух2 = х2>.
(а) Моноид, заданный копредставленнем (х, у; хух = 1), есть группа, изоморфная группе (Z, +).
(Ь) Полугруппа, заданная копредставленнем (х, у; уху = х, хух = у), изоморфна группе кватернионов при отображении х ।—> Z, у i—> j (Магнус, Каррас, Солитэр [1966] с. 18, упр. 7).
Свободный коммутативный моноид С(Д) на множестве А задается копредставленнем (Д; ху = ух для любых х. уеД). Любой коммутативный моноид является гомоморфным образом свободного коммутативного моноида. Свободный коммутативный моноид С(Д) на конечном или счетном множестве А изоморфен подмоиоиду моноида ( N, -, 1).
(а) Пусть конечный моноид М задан копредставленнем (Д; R), где R— бинарное отношение на свободном моноиде Д*, и пусть ^(Т?)—конгруэнция на Д*, порожденная отношением R. Существует такое число А е N, что любое слово щ еД* эквивалентно по модулю ^(R) слову длины <6.
(Ь) Пусть 6 — такое, как в (а), и Д^ = U?=o^ • Моноид М допускает копредставление <Д; О",(/?) А (Д* X Д)Х Таким образом, любое копредставление конечного моноида эквивалентно конечному копредставлению (Эйлеи- берг, Шютценберже [1976]).
Моноидом «однозначных» (unambiguous) отношений на множестве А называется произвольный подмоиоид М моноида ^(Д) всех бинарных отношений на А, удовлетворяющий условию: для любых pi, рг g М включение (a, b) g р! о р2 выполняется тогда и только тогда, когда существует единственный с е А, для которого (а, с) g pi и (с, 6) g р2. Любой моноид преобразований является моноидом «однозначных» отношений. Любой моноид М «однозначных» отношений на А изоморфен некоторому моноиду М', состоящему яз ДХД-матриц над кольцом Z (с обычным умножением матриц), элементы которых —0 и 1. Мы называем М' моноидом (0, 1)-матриц. Две матрицы
/0 1 0\/001 X
х = ( 10 1), у =| 1 0 1 )\0 0 0 /\1 о о/
порождают моноид (0, 1)-матриц из десяти элементов (Боэ [1976]).
Глава L ОТНОШЕНИЯ ГРИНА
Первый шаг в прояснении алгебраической структуры полугрупп был сделан А. К. Сушкевичем [1928]. Этот шаг состоял в точном определении природы минимального идеала конечной полугруппы. Позже Грин [1951] ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания строения полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. С локальной точки зрения отношения Грина ведут к понятию координатной системы для 0-класса, что позволит нам в гл. 3 получить результаты Сушкевича в качестве частного случая гриновской теории.
Общий облик гл. 2 следующий. Мы начинаем с изложения элементов общей теории идеалов, обсуждая главным образом понятия минимального идеала и простой полугруппы. Затем мы приступаем к детальному изучению отношений Грина, доводя его до понятия максимальной подгруппы 0-класса, рассмотрения локальных систем координат и определения ^-представлений, введенных Шютцеиберже [1957].
Элементарная теория идеалов
Двусторонний идеал / полугруппы S называется минимальным идеалом, если для любого идеала JeS из JeI следует 1 = 1. Если / — минимальный идеал и J — любой другой идеал, то пересечение / ()/ непусто, поскольку /•/ = /()/; кроме того, включение / П / G / влечет равенство I П $ = I и поэтому / s /. Таким образом, минимальный идеал является универсально минимальным (т. е. наименьшим) и, следовательно, единственным. По этой причине минимальный идеал полугруппы (если он существует) называют иногда ее ядром.
Любая конечная полугруппа обладает минимальным идеалом. С другой стороны, в полугруппе (N, +) любой идеал имеет вид п + N для некоторого n е N, и пг + N S п + N тогда и только тогда, когда пг ^ п; это показывает, что полугруппа (N, +) не имеет минимального идеала.
Полугруппа называется простой, если она не содержит идеалов, отличных от самой себя1). Если полугруппа S проста, то
*) Такне полугруппы называют также идеально простыми. — Прим. ред.
для любого qeS выполняется равенство SaS = S. Обратно, если SaS = S для любого aeS, то, взяв идеал / в S и элемент се/, получим S = SaS s I, т. е. S = l, и потому S проста. Следовательно, чтобы доказать простоту полугруппы S, достаточно предъявить по крайней мере одну пару х, у — решение уравнения хау = Ь— для любых a, b eS. Пользуясь этим, можно проверить простоту следующих полугрупп:
бициклический моноид ^(а, Ь) (см. гл. 1, пример 4.5);
полугруппа всех 2X 2-матриц ($i)> гДе г, seQ, г"> 0, s > 0, с обычным матричным умножением;
минимальный идеал произвольной полугруппы.
Понятия минимального правого (соответственно левого) идеала и простой справа (соответственно слева) полугруппы определяются очевидным образом. Следующее предложение, принадлежащее Клиффорду [1948], а для конечных полугрупп доказанное еще Сушкевичем, указывает связь между минимальным идеалом и минимальными односторонними идеалами.
Предложение 1.1. Если полугруппа S обладает минимальным правым (соответственно левым) идеалом, то объединение всех минимальных правых (соответственно левых) идеалов из S совпадает с минимальным идеалом I полугруппы S. Если R— минимальный правый, a L — минимальный левый идеалы, то множество R0L — R-L является максимальной подгруппой из S, содержащейся в I.
Доказательство. Если R — минимальный правый идеал полугруппы S, то для любого aeS множество aR будет правым идеалом. Покажем, что на самом деле правый идеал aR минимален. Пусть R' — какой-нибудь правый идеал, содержащийся в aR. Множество (yeR; ay е R') непусто, так как для любого х е R' найдется такой y^R, что х = ау. Это множество тоже является правым идеалом. В силу минимальности R, для любого y^R имеем ay е R', т. е. aR G R'. Отсюда вытекает равенство aR = R', которое устанавливает минимальность правого идеала aR и одновременно тот факт, что объединение / всех минимальных правых идеалов из о является левым (и потому двусторонним) идеалом. Если J — произвольный идеал в S, то R-J Е R П J ^ R- Из минимальности R следует R f| J = R, откуда R^J. Это доказывает, что / является минимальным идеалом в S. Наконец, для произвольного минимального левого идеала L рассмотрим множество G = RL, которое содержится в R0L. В силу минимальности R и L, для любого а е G мы имеем aR = R и La = L. Отсюда вытекают равенства aG = G = Ga, и аксиомы частных показывают, что G— группа. Единица е группы G является идемпотентом полугруппы S, Ле-
жащим в /? f| L. Из равенств eR = R и Le — L следует, что любой элемент xeR^\L удовлетворяет соотношениям х = ех = — хе = exe = (ex)e^R-L. Поэтому G = RL — R()L. Если О' — подгруппа из S с той же единицей е, то равенства G' = eG' = = G'e влекут за собой включение G'Е R f| L = G, доказывающее максимальность G. □
Чтобы проиллюстрировать предложение 1.1 путем вычисления минимальных идеалов полугруппы преобразований S = Е^ДЛ) на конечном множестве А, напомним некоторые хорошо известные факты об отображениях произвольного множества А в себя. Для преобразования хе^Д) множество Ах называется образом х и обозначается Imx, а эквивалентность Кегх, определенная на А условием (а, р)е Кегх, если и только если ах = рх, называется ядром х. Теорема об изоморфизме для множеств (см. гл. 1, разд. 3.1) говорит о существовании биекции из Л/Kerx на Imx. Общее кардинальное число множеств Л/Kerx и Imx называется рангом преобразования х и обозначается rankx.
Лемма 1.2. Для данных преобразований х, у из ^г(А) включение Imx Elm у (соответственно Кегх 2 Кегу) выполняется тогда и только тогда, когда существует такое преобразование zetTAA"), что x = zy (соответственно x = yzY Далее, rankx^ ^ rank у тогда и только тогда, когда существуют и, игТ, (Л), такие, что х = иуи.
Доказательство. Предположим, что Imx Elm у. Для каждого аеЛ элемент ах лежит в Imx и поэтому в Im у. Следовательно, для каждого аеЛ можно выбрать один элемент уеЛ, для которого ЧУ = ах, и положить аг = у. Отсюда следует, что агу = ах для любого а г Л, т. е. x — zy. Аналогично, если Кегх2 Кегу, определим преобразование г произвольным образом на дополнении множества Im у в Л, а для у г Im у выберем такое иеЛ, что ау = у, и положим уг = ах. Условие Кег хе э Кег у гарантирует корректность определения г. Ясно, что ауг = ах для любого аеЛ, т. е. x = yz. Обратные утверждения очевидны. Для доказательства последней части леммы заметим, что при условии rankx Cranky можно указать преобразование 1г2Г,(А^, такое, что Кег/= Кегх и Im ts Im у. Для этого в качестве 1т/ выберем произвольное подмножество из Im у, равномощное множеству Imx, и определим t, отобразив каждый класс отношения Кегх на некоторый элемент из 1т/ так, чтобы различные классы отображались на различные элементы из Im t. Это гарантирует, что Кег / = Кег х и Im / е Im у. В силу первой части леммы, х = tv и t = иу, что дает х = иуи для некоторых и, v s 3r,(A). □
Пусть З^ЕГДА)—полугруппа преобразований на конечном множестве А. Определим минимальный ранг полугруппы S как min (rank х). xes
Предложение 1.3. Пусть S— полугруппа преобразований на конечном множестве А и г — ее минимальный ранг. Минимальный идеал I полугруппы S совпадает с множеством всех х eS, для которых rank х = г. Минимальный правый (соответственно левый) идеал, содержащий преобразование xel, состоит из всех yeS, для которых Кегх—Кегу (соответственно Imx = = 1шу).
Доказательство. Множество 1 = {xeS: rankx = r}— идеал в S, поскольку rank (х- у) ^ min (rank х, rank у) для всех х, yeS. Покажем, что Sx есть минимальный левый идеал из S для любого хе/. Пусть L — левый идеал и L^Sx. По лемме 1.2 для любогоyeL имеем Imyslmx, откуда, в силу минимальности ранга х, Imx = Im у. В частности, Imx = Ime для идемпотента ее L (идемпотент существует, так как S конечна). По лемме 1.2 найдется такое ze^"r(A), что x = ze. Это влечет равенство х = хе, откуда х е L и потому Sx s L. Следовательно, для любого хе I левый идеал Sx минимален. Согласно предложению 1.1, идеал / будет минимальным идеалом в S. Мы уже доказали, что если yeSx, где xel, то Imy = Imx. Обратно, предположим, что для элемента yeS имеет место Imy = Imx. Используя идемпотент eeSx, мы, как и выше, из условия Imy= Ime выводим равенство у = уе, доказывающее, что у е Sx, откуда Sx = (у е S: Im у — Im х}. Доказательство равенства xS = = (у е S ; Кегу = Кегх} аналогично. □
Метод нахождения минимальных идеалов полугруппы преобразований S состоит в следующем.
Начиная с произвольного элемента xeS, вычисляем последовательно множества Im(xy) для всех yeS. Найдется такой элемент yoeS, что множество Im(xy0) имеет наименьшую мощность; при этом условии z = хуо е I.
Как только элемент ze / получен, различные множества Im(z/), t е S, определяют минимальные левые идеалы, а различные эквивалентности Ker(iz) определяют минимальные правые идеалы. Следующий простой пример иллюстрирует данный метод.
Пример 1.4. Пусть полугруппа S порождается циклом х =. = (1 23456) длины шесть и преобразованием
/ 1 2 3 4 5 6\
^кб 1 4 5 6 1Л
Поскольку л — подстановка, ясно, что rank zx = rank г для любого 2 е S. Следовательно, некоторая степень преобразования у будет элементом минимального идеала. В самом деле, такими элементами оказываются
з /1 2 3 4 5 6\ 4 /1 2 3 4 5 6\у = кб 16161/ и ^ = 11 6 1 6 1 67*
Минимальными образами служат следующие множества: {1, 6} = Im у3, {2, 1} = 1шу3х, {3, 2} = Imy3x, {4, 3} = Imy3x3, (1, 4}=Imy3x2y, {5, 4} = Imy3x4, {2, 5}=Imy3x2yx, {6, 5} = = Imy3x2y2, {3, 6} = Imy3x2yx2. Единственной максимальной эквивалентностью будет1) (1 3 512 4 6) = Ker у3 = Ker ху3 — = Ker у4. Минимальный идеал / содержит только один минимальный правый идеал (сам идеал /) и девять минимальных левых идеалов, каждый из которых есть циклическая группа порядка 2. Идеал / можно представить следующим образом:
tf
У1
уЧ уЧ
у3^ уЧ2
у3х3 уЧ3
уЧ2у У^У
уЧ4 уЧ4
уЧ2ух уЧ2ух
уЧ2у2
уЧ2у2
у3х2ух2 tf^yx2
В случае когда полугруппа S содержит нуль 0, она имеет тривиальный минимальный идеал 7 = {0}. Идеал I полугруппы S называется 0-минимальным, если 7 #= {0} и для любого идеала 7 в S из включений {0} G 7 £ 7 следует 7 = {0} или 7 = I. Полугруппа может иметь несколько 0-минимальных идеалов.
Пример 1.5. (а) Пусть Si и S2— непересекающиеся полугруппы с минимальными идеалами 7] и /2 соответственно; образуем множество S = SiUS2U{0}, где 0^SiUS2, и определим на S операцию, положив xi-x2 = x2-xi = 0 для XieSiU{0}, х2 eS2U {0} и сохранив умножение в Si и S2 (такая полугруппа S называется ^-объединением полугрупп Si и S2); 0-мини- мальными идеалами полугруппы S являются 7i U {0} и 72 U {0}.
Пусть S — множество мощности > 1 и 0 — выделенный в S элемент. Определим на S операцию равенством х-у = 0 для всех х, у е S. Полученная полугруппа называется полугруппой с нулевым умножением2). Для любого xeS, х #= 0, множество х=#0, множество (х, 0} является 0-минимальным идеалом.
Чтобы распространить понятие простоты на полугруппы S с нулем, можно рассматривать полугруппы лишь с двумя идеа-
Ниже здесь и в дальнейшем эквивалентность на множестве часто отождествляется с соответствующим разбиением множества и обозначается указанием классов. — Прим перев.
лами: S и {0}. Тривиальным примером такой полугруппы служит двухэлементная полугруппа с нулевым умножением. Удобно исключить ее из класса 0-простых полугрупп, которые определяются следующим образом.
Определение 1.6. Полугруппа S с нулем 0 называется 0-простой, если S2#= {0} и S имеет только два идеала: {0} и S.
Следствие из следующей леммы обеспечит нам характеризацию 0-простых полугрупп в терминах разрешимости уравнения хау = Ь.
Лемма 1.7. Если I есть 0-минимальный идеал полугруппы S, то либо Р = {0}, либо 1x1 = 1 для любого xgI, х^О.
Доказательство. Если /2=#{0}, то 0-минимальность I дает I = Р = Р. Множество J = {х е /: 1x1 = {0}} является идеалом в S, содержащимся в /. Из равенства 1 = 1 следовало бы /3={0}, что противоречит условию /=#{0}. Поэтому J = {0} и 1x1 = 1 для х е I, х =£ 0. □
Следствие 1.8. Полугруппа S с нулем 0 является 0-простой тогда и только тогда, .когда S =#{0} и SaS = S для любого а е S, а ^ 0.
Доказательство. Если S 0-проста, то S2=# {0} и, по лемме 1.7, SaS = S для любого а е S, а^О. Обратно, если SaS = S для некоторого п=#0, то S2 ^ {0}. Если / — ненулевой идеал в S и х е 7, х =# 0, то S = SxS = /, откуда S = /. □
Следствие 1.9. Если I есть 0-минимальный идеал полугруппы S, то либо И = {0}, либо I является 0-простой подполугруппой в S.
Полугруппа S, заданная копредставлением
<х, у, 2; х2 = х, ху = ух = z, xz = zx = у, yz = zy = z2 =
= у2 = 0>,
имеет 0-минимальный идеал /= {у, z, 0}. Заметим, что это ко- представление является таблицей умножения для S. Данный пример показывает, что 0-минимальный идеал может быть полугруппой с нулевым умножением и в этом случае он может иметь более двух элементов.
Не существует никакого удовлетворительного аналога предложения 1.1, который выражал бы связь между 0-минималь- ными правыми или левыми идеалами и 0-минимальными идеалами. Дальнейшие результаты в этом направлении см. в книге Клиффорда и Престона [1967, гл. 6].
Возвращаясь к классу полугрупп с минимальными идеалами, введем максимальные цепи идеалов.
Определение 1.10. Главным идеальным рядом полугруппы S называется конечная цепь Л с:/2 с: ... сГ = 5 идеалов из S, где /[ — минимальный идеал, а 7* является максимальным среди идеалов из S, содержащихся в П-н, А = 1, 2, ..., п— 1. Фактор- полугруппы Риса 1к+\/1к и идеал 1\ называются факторами этого ряда.
Полугруппами с главными идеальными рядами являются, например, конечные полугруппы и полугруппа End# V всех линейных преобразований конечномерного векторного пространства V над полем К (полугруппа End^ V рассматривается в разд. 4Ь). Вообще говоря, полугруппа может иметь несколько различных главных рядов. Однако, справедлива
Теорема 1.11 (теорема Жордана — Гёльдера для главных идеальных рядов). Если цепи Iv с: /2 с: ... с: Im = S и 7' с: 72 g с ... с I'n=S являются главными идеальными рядами полугруппы S, то пг = п, 7, = 7' и для некоторой подстановки л множества {1, 2, ..., т — 1} факторы Ik^[Ik и Гатх[1’п№ изоморфны при каждом k, 1 ^ k < пг.
Для доказательства можно использовать тот факт, что решетка идеалов полугруппы дистрибутивна и, следовательно, модулярна (определение модулярной решетки см. в следующем параграфе, формула (2.2.1)). Эта теорема прямо вытекает также из следующей леммы, которая иллюстрирует понятие ^"-класса, вводимое в следующем параграфе.
Лемма 1.12. Пусть 1 — идеал полугруппы S и J— максимальный идеал из S, строго содержащийся в I. Для произвольного а е/\J обозначим через 1(a) множество всех таких xeS'aS1, что S'xS1 с S^S1. Тогда 1(a) является идеалом в S и фактор полугруппы Риса SlaSl/I(a) и 7/7 изоморфны.
Доказательство. Поскольку множество /(а) содержит JQS'aS1, оно непусто и, очевидно, является идеалом в S. В силу максимальности 7 мы имеем JUS^S1 = I. Далее, хе! для любого х е SlaSl\/(a); если х е J, то S’aS1 = S^S1 Е J, что противоречит условию а ^ 7. Таким образом, условие хе eS'aS^X^a) влечет xeI\J. Обратно, xeI\J влечет хе eS'aS1; если хе 1(a), то S'xS1 с S'aS1 и 7 (J S’xS1 е 7; тогда из максимальности 7 вытекает равенство J U S'xS1 = 7, откуда х е J, что противоречит условию. Поэтому х е S1aSl\/(a). Это завершает доказательство изоморфности факторполугрупп S^aS'/^a) и 7/7. □
Главными факторами полугруппы S называются факторполу- группы Риса вида SxaS'/I(а) и минимальный идеал (если он
существует). Лемма 1.12 прямо показывает, что когда S обладает главным идеальным рядом, факторы этого ряда изоморфны главным факторам полугруппы S, откуда и вытекает доказательство теоремы 1.11. В следующем параграфе мы увидим, что множество S*aS1\/(a) есть /-класс элемента а. Заметим, что множество /(а), если оно непусто, является максимальным идеалом из S, содержащимся в S^S1. В самом деле, если I — такой идеал из S, что Ца^а I Е SxaSx, то, взяв хе/, х^/(а), получим S'aS1 = S'xS1 s I и, следовательно, / = S’aS1. Из этого замечания вытекает, что полугруппа SxaSx/IV^ является О-минимальным идеалом полугруппы S/I^aY Учитывая следствие 1.9, мы установили следующий результат:
Предложение 1.13. Главные факторы полугруппы либо просты, либо 0-просты, либо полугруппы с нулевым умножением.
Таким образом, исследование полугрупп, допускающих главные идеальные ряды, можно разбить на две части: (а) изучение строения 0-простых и простых полугрупп; (Ь) изучение всех идеальных расширений полугруппы S посредством полугруппы Т, т. е. изучение всех полугрупп 5, обладающих таким идеалом 5, изоморфным полугруппе S, что факторполугруппа S/S изоморфна полугруппе Т. Идеальные расширения обстоятельно изучаются в книге Петрича [1973].
Определения и свойства отношений Грина
Отношения Грина на полугруппе S определяются формулами a^b^aSx = bSx, a$b^Sxa = Sxb, a^b<^> SxaSx = SxbSx, 0 =96 = 91^3.
Следующая диаграмма показывает систему включений между этими эквивалентностями:
Из определения видно, что 91 (соответственно S’) есть левая (соответственно правая) конгруэнция. Остальные отношения являются, вообще говоря, просто эквивалентностями. Класс элемента asS обозначается прописной латинской буквой, cq-
ответствующей эквивалентности, с индексом a Ra обозначает 52-класс элемента a, La— соответственно S-класс и т. д. Отметим, что la = S1aS1\7(a), где идеал /(а) определен в лемме 1.12.
Предложение 2.1. Любая правая конгруэнция, содержащаяся в $, коммутирует с любой левой конгруэнцией, содержащейся в Я.
Доказательство. Пусть X S S и р Е 52— правая и левая конгруэнции соответственно. Допустим, что (а, Ь)еХ °р, или, что равносильно, (а, с)еХ и (с, Ь) Ер для некоторого ceS. Из включений (а, c)eS и (с, Ь)е9? выводим существование таких и, и е S1, что а = ис, b = си. Отсюда следуют равенства av = ucv = ub = d. Но (а, с)еХ влечет (аи, си^гХ, т. е. ^d, 6)еХ Аналогично (с, Ь)ер влечет (ис, иЬ)гр, т. е. (a, d)ep. Следовательно, (a, 6)epj>X и Х°р£р°Х. Доказательство включения роХЕХор двойственно приведенному выше. □
Следствие 2.2. S = 52VS = 52oS = S°52.
Доказательство. Так как (52°S) □ (52 oS) = 52°52 °S °S ^ S 52 ° S, отношение 52 ° S— эквивалентность на S. Учитывая включение 52 ° S'^52 US’ и определение отношения 91\/$ (см. гл. 1, разд. 3.1), получаем равенство 52VS = 52oS.
Другое следствие предложения 2.1, отмеченное Манном [1964] и представляющее независимый интерес, состоит в следующем. Предположим, что р и о — конгруэнции, содержащиеся в 36. Тогда конгруэнции рПо и р °о = о о р = р\/ о также содержатся в 36 и решетка всех конгруэнций, содержащихся в 36, в силу их перестановочности удовлетворяет условию
(2-2.1) если т £ р, то р П(о V т) = (р П о) V т.
Решетка, удовлетворяющая условию (2.2.1), называется модулярной. В любой группе отношение 36— универсальная конгруэнция, и поэтому решетка всех конгруэнций на группе, или, равносильно, решетка всех нормальных подгрупп модулярна.
Пусть R и L суть 52- и S-класс соответственно. Если R П L #= Ф 0, то R = Ra, L = La для любого а е R П L. Отсюда следует, что и R, и L содержатся в Da. Обратно, если R и L лежат в одном S-классе полугруппы S, то для xeR, yeL существует такой aeS, что хйа и а2?у, т. е. а е R П L. Следовательно, S-класс D полугруппы S можно изобразить с помощью следующей egg-box-диаграммы *), клетки которой являются Х-клас-
сами полугруппы S, лежащими в D:
Несложные вычисления показывают, что в полугруппе всех 2 X 2-матриц вида
(^ 1), а> b еQ, а > О, b > О,
с обычным умножением матриц выполняются равенства Й = = 2 = 36 = 2) и эти отношения совпадают с отношением равенства, тогда как отношение 7 является универсальной конгруэнцией. Этот пример показывает, что, вообще говоря, 2) 2 У- Однако в конечных полугруппах отношения 2) и ^ совпадают (более общо, 2) = ^ в устойчивой полугруппе; см. ниже определение 3.8 и предложение 3.9).
Предложение 2.3. Если полугруппа S конечна, то 2) = 3"-
Доказательство^. Предположим, что а^Ь, или, что равносильно, паи = b и xby = а для некоторых и, и, х, у = S1. Отсюда получаем (хи)а(иу) = а и, следовательно, (хи) па (ш/)п = а для любого иеМ. Поскольку S конечна, согласно примеру 4.4 из гл. 1 существуют такие k, I е N, что (хи) = е = е2, (иуУ = = f = f2. Это приводит к равенствам (xu)kla(vy)kl = а = еа[, откуда получаем (хи)*а = еа = а = af = а^иуу. Следовательно, иа$а и аийа. Первое соотношение влечет иаД2аи, т. е. имеем Ь3?аи и аи31а, что доказывает соотношение Ь2)а. Поэтому ^ г 2) и, так как обратное включение всегда справедливо, = 2). П
Существует естественный частичный порядок на множестве классов каждого из отношений 36, Я, $, ^. Например, частич-
ный порядок на множестве ^-классов определяется условием: Ra ^ Rb, если и только если aSx г bSx. Для глобального описания полугруппы S наиболее важен частичный порядок на множестве ^-классов, определяемый -условием: Ja^h, если и только если S'aS'sS'bS1. Частично упорядоченное множество ^-классов мы назовем остовом (frame) полугруппы S. Полугруппы, в которых Ф = ^, могут быть описаны в терминах их остова и локального строения различных ^-классов, что и является нашей главной целью в этой главе1).
Следующая лемма носит фундаментальный характер. Она показывает, что любые два .S’-класса (соответственно ^-класса), лежащие в одном и том же ^-классе, равномощны. Отсюда следует, что все клетки на egg-box-диаграмме (2.2.2) имеют одинаковые размеры.
Лемма 2.4 (лемма Грина). Предположим, что элементы а и b полугруппы S ^-эквивалентны, и пусть ри, Ро — внутренние правые сдвиги S, соответствующие таким элементам и, и е S1, что аи="Ь, Ьи = а. Тогда ри и рв — взаимно обратные биекции La на Ьъ и Lb на La соответственно. Они сохраняют 36-классы, т. е. для любых х, у из La (соответственно из Lb) соотношение хЗбу выполняется тогда и только тогда, когда хиЗбуи (соответственно хиЗбуи).
Доказательство. Из х$а следует хиФаи = Ь. Поэтому ри отображает La в Lb. Далее, существует такой элемент teS1, что х = ta и
xpupo = xuv = tauv = tbu = ta = x.
Это показывает, что преобразование рнр0 действует на La тождественно. Аналогичное рассуждение показывает, что р0 отображает Lb в La и что pDpu — тождественное преобразование на Lb, откуда вытекает первое утверждение леммы. Мы имеем хйхи для любого х е La. Поэтому хЗву влечет хиЗбуи. Аналогично хиЗбуи влечет х = хиоЗвуио = у. □
Замечание. Утверждение, двойственное лемме Грина, дает биекции Хы, Хо, являющиеся внутренними левыми сдвигами, между двумя ^-классами, лежащими в одном 0-классе.
Предложение 2.5. (Миллер и Клиффорд [1956]). Для произвольных элементов а, b в полугруппе S включение ab & Ra() Lb выполняется тогда и только тогда, когда Rb П La содержит идемпотент.
*) Не следует, конечно, эту формулировку воспринимать буквально и думать, что названная цель в данной главе достигнута; приведенное высказывание автора носит, можно сказать, методологический характер — ив действительности многочисленные теоретико-полугрупповые исследования посвящены конкретизации указанного подхода в различных ситуациях. — Прим. ред.
Доказательство. Пусть ab е Ra П Lb- По лемме 2.4 сдвиг р» задает биекцию La на Lb. Эта ситуация иллюстрируется следую-
Существует элемент се/?бП^а, такой, что ср» = cb = Ь. Так как с^Ь, существует такой и е S1, что с = Ьи. Отсюда следует, что bub = cb = b и поэтому с2 = bubu = bu = c. Обратно, если с = с2 е Rb П La, то cb = Ь и ас = а. Из соотношения с^Ь выводим а = ac^ab, а из с$а выводим b = cb$ab, откуда ab е s Ra П Ьь. □
Следствие 2,6. Для 36-класса Н полугруппы S следующие условия равносильны:
Н содержит идемпотент;
существуют элементы а, b еН, такие, что ab е Н;
Н— подгруппа в S;
Н — максимальная подгруппа в S.
Доказательство. Очевидно, (а) влечет (Ь). Обратно, (Ь) влечет (а) в силу предложения 2.5, так как Н = Ra П Lb = Rb П La. Ясно, что (d) влечет (с), а (с) влечет (а). Для доказательства того, что (а) влечет (d), воспользуемся тем свойством, что для любого xeS условие Нх^\Нчь0 влечет Нх — Н (см. ниже лемму 3.2) и, двойственно, хН f\H ч^ 0 влечет хН = Н. Пусть е — идемпотент из Н. Тогда х = хе=ех для любого х е Н. Следовательно, Нх П хН П Я N=0 и Нх = хН = Н, Согласно аксиомам частных для группы, Н— подгруппа в S. Легко проверить, что любая подгруппа из S, для которой е служит единицей, должна лежать в Н. □
Другим замечательным следствием леммы Грина является изоморфность всех максимальных подгрупп, лежащих в одном и том же 5)-классе.
Следствие 2.7. Любые две максимальные подгруппы, лежащие в одном 3)-классе полугруппы S, изоморфны.
Доказательство. Согласно следствию 2.6, две максимальные подгруппы из S имеют вид Не, Hf для некоторых идемпотентов е, feS. Так как Не и Hf лежат в одном 0-классе, существует элемент aeRef\Lf. Выполняются равенства еа = а и a'a — f для некоторого a'eS. Лемму Грина и двойственная к ней лем-
ма утверждают, что композиция сдвигов р0 и Ха' определяют биекцию из Не на Н; (см. диаграмму ниже), отображающую идемпотент е на а'еа = а'а = f.
м
VCL
е
Ра
Заметим, что аа'а = af = а, откуда видно, что аа' — идемпотент в Ra. Тогда для любого z г Ra получим aa'9lz и поэтому aa'z = z. В частности, аа'у = у для уеН8. Следовательно, для любых х,уЕНе
а'хуа = а'х^аа')уа = (а'ха) (а'уа).
Тем самым доказано, что отображение xi—>а'ха является изоморфизмом Нв на Н{. □
Ввиду следствия 2.7 существование идемпотента в ^-классе заслуживает специального исследования. С этой целью мы вводим понятие регулярного элемента.
Определение 2.8. Элемент а полугруппы S называется регулярным, если в S существует такой элемент х, что. аха = а. Полугруппа называется регулярной, если все ее элементы регулярны.
Если элемент а регулярен и аха = а, то элементы а и а' = = хах связаны равенствами аа'а = а и а'аа' = а'. Любые два элемента а и а', удовлетворяющие этим равенствам, называются инверсными друг к другу.
Примеры. Любой элемент из подгруппы является регулярным элементом полугруппы. Полугруййй ^г(А) и Eftdx V регулярны.
Следующий результат показывает, что регулярность является фактически свойством ^-класса.
Предложение 2.9. 9)-класс D полугруппы тогда и только тогда содержит регулярный элемент, когда все его элементы регулярны. Если класс D регулярен, то любой 91-класс и любой S-класс, лежащие в D, содержат хбтя бы один идемпотент.
Доказательство. Равенство а = аха равносильно соотношению aSe, где е = е2 — ха, а также соотношению a9lf, где f = =5= f2 =е= ах. Если aeD, то для произвольного beD найдется такой ceD. что aSс и с9£Ь. Когда а регулярен, мы имеем ct^eSc и поэтому с тоже регулярен. Аналогично, из регуляр-
ности с и соотношения с£ЙЬ следует регулярность элемента Ь. Вторая часть предложения очевидна. □
Если а' — инверсный к а элемент, то айаа' и аа'$а'. Это показывает, что все элементы, инверсные к а, лежат в ^-классе элемента а (см. диаграмму (2.9.1)).
Обратно, пусть beS— такой элемент, что /?аП^б содержит идемпотент е, а £ОП^6 содержит идемпотент f (см. диаграмму (2.9.2)). Тогда, в силу предложения 2.5, аЬгНе и Ьа^Нр По лемме Грина существует, и притом единственный, элемент хеНь, такой, что xa = f (поскольку р0 задает биекцию Ьь на La). Так как af = a, получаем аха = а. Но идемпотент ах лежит в Не (поскольку Ха задает биекцию Rb на RaY Отсюда вытекает, что ах = е, откуда хах = х; элемент х— единственный инверсный к а, лежащий в Нь. Мы доказали следующее предложение, принадлежащее Миллеру и Клиффорду [1956]:
Предложение 2.10. Зё-класс Нь тогда и только тогда содержит элемент х, инверсный к а, когда каждый из классов Ra П Ьь и La[\Rb содержит идемпотент. Далее, х— единственный в Нь элемент, инверсный к а.
Отсюда вытекает, что мощность множества всех инверсных к элементу aeS равна произведению cardfe: ейа\-cardff: fS’a).
Определение 2.11. Полугруппа называется инверсной, если каждый ее элемент имеет единственный инверсный. В этом случае элемент, инверсный к а, обозначается через а-1.
Из замечания о мощности множества инверсных элементов и предложения 2.9 вытекает, что полугруппа будет инверсной тогда и только тогда, когда любой ее 52-класс и любой S’-класс содержит в точности один идемпотент. Типичным1) примером инверсной полугруппы служит полугруппа Sr(X) всех взаимно однозначных частичных преобразований на множестве А.
Следующее предложение характеризует инверсные полугруппы в терминах их идемпотентов.
’) См. упр. 10 в конце главы. — Прим, пенса.
Предложение 2.12. Полугруппа тогда и только тогда инверсна, когда она регулярна и любые два ее идемпотента перестановочны.
Доказательство. Предположим, что полугруппа S регулярна и ее идемпотенты перестановочны. Пусть а', а" — два инверсных к элементу а. Из равенства аа'аа" = аа"аа' следует аа" — аа'. Аналогично, а'а = а"а. Отсюда непосредственно получаем а' = = а'аа' = а'аа" = а"аа" = а". Обратно, пусть S — инверсная полугруппа и е, f— два ее идемпотента. Чтобы упростить запись, положим x = (ef)-1. Несложная проверка показывает, что fxe— идемпотент, инверсный к элементу ef. Поскольку идемпотент является инверсным сам к себе, получаем fxe = ef. Это влечет ef = fef = efe. Меняя в предыдущем рассуждении ролями е и f, выводим fe = efe = fef, откуда ef = fe. □
Замечание. Правила вычисления инверсных элементов в инверсной полугруппе те же, что и в группе. Именно (а-1)-1 = а и (ab)-1 = Ь~1а~х (так как ab(b-xa-x)ab = a(bb~x) (а~ха)Ь = = a(a-1ti) (bb~x)b = ab и, аналогично, b~x а-х abb-x а-х = Ь~ха~х).
Группа Шютценберже .3)-класса
Регулярность 0-класса D полугруппы представляется необходимым условием выявления некоторых особенностей строения полугруппы, таких, в частности, как изоморфизм между максимальными подгруппами, лежащими в D. Однако аналог последнего результата имеет место и для произвольного 0-класса. Основополагающая работа Шютценберже [1957] показывает, как сопоставить произвольному 3@-классу Н группу подстановок на множестве Н таким образом, чтобы группы подстановок, сопоставленные любым двум ^-классам из одного 0-класса (регулярного или нет), были подобны в следующем смысле.
Определение 3.1. Пусть S и Т— полугруппы преобразований на множествах А и В соответственно (т. е. S Е^И), Те еЗГДВ)). Полугруппы S и Т называются подобными, если существует изоморфизм ср из S на Т и биекция 0 из А на В, такие, что (0(а))ф(х) = 6 (ах) для любых агА, xeS (т. е. диаграмма (3.1.1) коммутативна для любого хеЗ).
А —£-*- А
е 9
Подобные группы подстановок S и Т являются подгруппами симметрических групп ^г(А) и ^г(В) соответственно, которые подобны в смысле определения 3.1.
Напомним, что группа подстановок G на множестве А называется транзитивной (соответственно просто транзитивной (или регулярной)), если для любой пары элементов «ь а2еА Существует (соответственно существует единственная) подстановка х е G, такая, что ахх = а2.
Лемма 3.2. Пусть R и L— соответственно 31-класс и $-класс полугруппы S и И = R(\L. Тогда для любого xeS1, либо HxftR = 0, либо Их есть 36-класс R?\Lx. В частности, Нх Г\Н 3= 0 тогда и только тогда, когда Нх = И.
Доказательство. Предположим, что b е Нх Q R и b = ах для некоторого аеН. Так как а^Ь, по лемме Грина внутренний Правый сдвиг р* задает биекцию из La = L на Еъ = Lx, которая отображает Н на 5#-класс Нх = R^\Lx. □
Множество 51Г(Д) = {х е S1: Нх = Н} называется правым стабилизатором класса Н и, очевидно, является подмоноидом в S1. На St-(Я) определим отношение ~, положив х ~ у тогда И только тогда, когда Нх = Ну для некоторого (а значит, для любого) he Н. Это отношение является конгруэнцией на Str (Я). Обозначим через 6 канонический моноидный гомоморфизм 8Ь(Я) на St, (Я) /~ = ГГ(Я) и назовем ГГ(Я) моноидом Переходов (transition monoid) класса Н. -
Теорема 3.3. Моноид переходов ТДН) 36-класса Н полугруппы S является просто .транзитивной группой подстановок на Н. Если 36-классы Нх и Н2 содержатся в одном 2)-классе из S, то группы подстановок ТГ(НХ) и ТГ(Н2) подобны. Если Н— максимальная подгруппа в S, то ТГ(Н) и Н изоморфны.
Доказательство, (а) Для любого хеЗЪ(Я) и любого НеН мы имеем НхЗбН. Поэтому существует такой у е S1, что Нху = — Н = НЛ. Отсюда следует, что 6(x)6(z/) = 6(ху) = 6(1). Аналогично, из Нхух = Нх = Нх• 1 выводим 8 (у) б (х) = 8 (ух) — 6(1). Это показывает, что ГГ(Н)—группа подстановок на Н. Для данной пары Нх, Н2еН существует такой xeS1, что Нхх = Н2. Если Нхх = Нху = Н2 для некоторого yeSY, то 6(х)= 6(у) по определению 6. Поэтому группа подстановок ГГ(Н) просто транзитивна на Н..
Пусть Д1 = ^1П^1 и H2 = R20L2 — два 5^-класса, лежащих в одном 5)-классе полугруппы S. Взяв а е Нх и be е Rx П L2, найдем и, ее S1, такие, что а = bu, b = av. По лемме Грина ря и р0 —биекции L2 на Lx и Lx на L2 соответственно. Эти биекции переставляют 5^-классы из L2 и Lx, лежащие в одном ц том же 52-классе. Пусть хх G Str(Hx)^ или, раз*
посильно, Нххх=Нх. Тогда, положив Н = Lx(\Ri, покажем, что Нхх = Н. Эту ситуацию иллюстрирует диаграмма (3.3.1),
-.н'
Ri
—
*-х
Ри
^2
Ри
н
К2
Н2
Возьмем произвольный элемент сеН и найдем такой г е S1, что c = za. Так как ахх е Нх, имеем а91ахх, что дает za9lzaxx или с%схх. Отсюда получаем Hxx^\R2N=0 и, по лемме 3.2, Нхх = Ljx/n^ = Т1П^2 = Н. Определим отображение ф: Str(//i)->51г(//г) формулой ф(Х1) = uxxv. Если Нххх = Нх, то равенства Н2аххи = Нххи = Ни — Н2 показывают, что ф определено корректно. Наконец, определим ср: ГГ(Я1)^-Г, (//2) таким образом, чтобы диаграмма (3.3.2) была коммутативна:
81ДНХ^ 81ДН^
61 62
ГД/Д) ГДЯ2)
Должно иметь место q>(61 (xi)) =62(Ч>(xi)) для всех хх е Str(Hx). Это равенство, как показывает прямая проверка, полностью определяет изоморфизм Гг^Н^ на ГДНгУ Отображение 9: Нх—> Н2, заданное равенством 6(/ii) = zhxv, является биекцией, и для любых hxeHx, XieStr(^i) справедливы равенства z(/ii6(xi))u = zhxxxv и
(2/11о)б2(Ф(Х1)) = (г/11О)ф(Х1) = zhxuuxxv = zhxxxv.
Это показывает, что Q(h,8x (хх)) = (0(/ti))ф(61 (хх)) для любых hxeHx, xxeStr(Hx), т. е., согласно определению 3.1, группы подстановок Гг(/Л) и ГДНД подобны.
Если // — подгруппа в S, то // — подгруппа в 51Г(Я) и отображение б: Я->ГГ(Я) является, очевидно, изоморфизмом. □
Все понятия, представленные в данном параграфе, можно дуализировать. В частности, левый стабилизатор класса Н определяется равенством Stz(//) = (х е S1: хН = Н}, а конгруэнция « на Stz(//) — условием: х « у, если и только если xh=yh для некоторого heH. Фактормоноид Г/(//)= Stz(//)/« есть просто транзитивная группа подстановок, действующая на Н слева. Обозначим через у канонический гомоморфизм
у: 5^(Я)->-Г/(Я). Тождество ассоциативности (xhdy = x(hy) индуцирует равенство — для любых хе St/(Я), yeStr(//), heH. Это означает, что у(х) и б (у)— коммутирующие левая и правая подстановки на Н. Из этого замечания вытекает
Предложение 3.4. Левая и правая группы подстановок Г/(Н) и ГГ(Я) данного 36-класса Н изоморфны.
Доказательство. Зафиксируем элемент heH. Для данной подстановки у(х)еГ/(Я) существует единственная подстановка 6(у)еГг(Я), такая, что у (х) h= /гб (у). Определим Ф: Г/(Я)-> -*ТГ(Я), положив Ф [у (х) ] = б (у). Так как группы подстановок Г/(Я) и ГГ(Я) просто транзитивны, отображение Ф — биекция. Пусть у (Xi)h — h6(yt), t = 1, 2. Тогда
у (Х[Х2) h = у (xj [у (х2) А] = у (м) [Лб (у2)] =
= Iv (м) А] б Ш = №> (У1)1 б (у2) = йб (у1У2).
Отсюда вытекает, что Ф[у(Х1Х2)] = б(у1у2) = 6(yi)6(y2) = = Ф [у (xi) ] Ф [у (х2) ], т. е. Ф — изоморфизм. □
Изоморфность максимальных подгрупп, лежащих в одном регулярном 5)-классе (следствие 2.7), очевидным образом вытекает из теоремы 3.3. Преимущество прямого доказательства следствия 2.7 состоит в том, что оно дает требуемый изоморфизм явно.
Абстрактная группа Гг(Я) называется группой 2)-класса D, содержащего Н, или группой Шютценберже класса D. Мы свяжем группу Гг (Я) со стабилизатором ^-класса L, содержащего Я, следующим образом.
Определим правый стабилизатор Str(Д) ^-класса L равенством Str(L) = {х е S1: Lxsty Поскольку 3— правая конгруэнция, имеем также Str(L) — {xeS1: LxAL^0}, и лемма 3.2 показывает, что 51Г(Я) есть подмоноид моноида Str(A). Использованное для определения IV (Я) отношение ~ на Str(Я) естественным образом продолжается на Str(L). А именно, для х, у е Str(L) положим
х ~ у, если и только если /х — 1у для
некоторого (а значит, для любого) l^L.
Это отношение, как и раньше, является конгруэнцией на Str(L); канонический гомоморфизм из Str(A) на Str(A)/~ обозначим снова через б, а фактормоноид Sr(Z,) = Str(A)/~ назовем моноидом переходов класса L.
Предложение 3.5. Моноид переходов ^r(L) 3-класса L является моноидом с левым сокращением, а группа Шютценберже ГГ(Я) произвольного 36-класса HsL служит группой обратимых элементов в Sr(А).
Доказательство. Пусть х, у, zGStr(C) и ху ~ xz. Тогда Ixy = Ixz для некоторого SeL. Так как lx е L, получаем у ~ z. Это показывает, что Sr(Z.)— моноид с левым сокращением. Ясно, что для любого ^-класса Н, лежащего в .L, группа ГГ(Я) содержится в группе обратимых элементов моноида ЕДЕ). Обратно, предположим, что для 6(х)е2г(Е) найдется такой 8(у)^ Sr(T), что 6(х)6(у) = 6(у)6(х) = 1. Тогда для любого l^L выполняются равенства Ixy = lyx = I-1, показывающие, что 1x911 и, следовательно, 1x961. Отсюда вытекает включение 6(х)еГг(Я), завершая тем самым доказательство того, что Г, (Я) есть группа обратимых элементов в ^ДЬу □
Следствие 3.6. Для любого S-класса L и любого 96-класса HsL либо 15r{L) = rr(H), либо 2Г(Л) не имеет минимальных правых идеалов.
Доказательство. Поскольку Sr(E)— моноид с левым сокращением, единица 1 является его единственным идемпотентом (так как Ы = 1-\ влечет / = 1). Если Sr(E) имеет минимальный правый идеал R, то для любого reR будет rR=R, причем R— полугруппа с левым сокращением. В силу упр. 6 из гл. 1, R содержит идемпотент. Отсюда R = ГГ(Я) = ^r(L). □
Следствие 3.6 показывает, что наложение некоторых локальных условий конечности приводит к совпадению моноида Sr(L) с группой ГГ(Я) произвольного 5^-класса Н из L. Такие условия доставляет
Предложение 3.7. Следующие условия для ^-класса J произвольной полугруппы равносильны:
частично упорядоченное множество всех 91-классов, лежащих в I, имеет минимальный элемент;
существует qsL удовлетворяющий следующему так называемому условию правой устойчивости в точке q:
Sr^q): для любого xeS
q^qx, если и только если q9lqx;
условие Sr^q) выполняется для всех q^J;
любой 91-класс, лежащий в I, минимален в множестве всех 91-классов, лежащих в J.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Пусть R— минимальный 52-класс, содержащийся в J, и q е R. Если qx е I, то Rqx Rq = = R. Это дает Rqx = R, или, равносильно, q9lqx.
влечет (а). Предположим, что условие Уг^ выполняется для некоторого q^J. Если 52-класс ReJ таков, что R ^ Rq, то для любого peR существует такой xeS1, что р — qx, и условие 9, (q) влечет qx = р е Rq, откуда R = Rq, т. е. Rq — минимальный из 52-классов, лежащих в /.
Так как (а) и (Ь) равносильны, для доказательства их эквивалентности условиям (с) и (d) достаточно показать, что правая устойчивость в точке q^J не зависит от выбора q, т. е. условия Sr(^) и q^q' влекут за собой 9’r(q'). Допустим, что q = uq'v, q' = u'qv' для некоторых и, v, и', t/ES1, и q'^q'x, откуда q' = rq'xy для некоторых г, yeSV Из равенств q = = uq'v = urq'xyv = uru'qv'xyv выводим q^qv’x, и тогда Sr(<?) влечет q^tqv’x. Следовательно, q = qv'xt для некоторого t е S1, откуда в свою очередь получаем q' = u'qv' = u'qv'xtv' = q'xtv', т. e. q'&q'x. □
Определение 3.8. Х-класс I называется устойчивым справа (соответственно слева), если он удовлетворяет одному из условий (соответственно двойственных условий) предложения 3.7. Класс 7 называется устойчивым, если он устойчив и справа, и слева.
Замечание. Если класс 7 устойчив справа, то для любого S'-класса L S 7 и любых q^L, x^Str(L) мы имеем qxSq. Правая устойчивость в точке q дает тогда qx^q, т. е. q = qxy для некоторого yeS1. Это означает, что ху ~ 1 или б(х)б(у) = = 6(1) в Sr(L). Отсюда получаем 6(х)6(у)6(х) = б(х) и, сокращая слева на 6(х), 6(у)6(х) = 6(1). Следовательно, 6(х) обратим для любого xeStr(L). Это показывает, что правая устойчивость класса 7 влечет равенство Sr(L)=n(/7) для любого $-класса 1 = ! и любого 36-класса НгЕ.
Предложение 3.9. Если ^-класс 7 устойчив, то он содержит единственный 2)-класс.
Доказательство. Пусть q, q'el и q = uq'v, q' = u'qv'(и, v, и', v' eS1). Из равенства q = uu'qv'v, используя условия R’i(q) и ^(q), получим последовательно q = ru'q = qv's для некоторых r, s e S1. Отсюда вытекают соотношения q^u'q и q3iqv'. Учитывая, что S’ — правая конгруэнция, выводим qv'S’u'qv' = = q' и, наконец, (у, q') е 31 ° S = 2). О
Из предложения 3.7 вытекает, что все У-классы полугруппы S устойчивы справа тогда и только тогда, когда q^qx влечет q^.qx для любых q, xeS. В этом случае мы называем S устойчивой справа полугруппой. Это свойство можно выразить с помощью одного лишь отношения ^:
Предложение 3.10. Полугруппа S тогда и только тогда устойчива справа (соответственно слева), когда Ra^Rba (соответственно La ^ Lab) влечет Ra = Rba (соответственно La = Lab) для любых а, b г S.
Доказательство. Предположим, что S устойчива справа и Ra ^ Rba. Существует такой элемент ueS1, что а — Ьаи. От-
сюда следует, что а^аи и поэтому a9i.au, откуда baSlbau = а, т. е. Ra = Rba. Обратно, допустим, что Ra < Rba влечет Ra = Rba для любых a, b^S и пусть q^qx для некоторых q, х е S. Тогда существуют такие и, dgS\ что q = uqxv. Так как qxveqS1,. получаем Rqx= ^Rq = Rmqxvv Отсюда следует Rqxy = Rq, что дает qxvw = q для некоторого w е S1 и потому qSiqx. □
Следствие 3.11. Пусть полугруппа S устойчива справа. Для любых a.beS, если La = Lb и Ra Rb, то Ra = Rb.
Предложение 3.9 показывает, что в устойчивой (т. е. устойчивой и слева, и справа) полугруппе S справедливо равенство f = 5b. Это выполняется, в частности, если полугруппа 5 периодическая (заметим, что периодичность S равносильна тому, что для любого xgS найдется такое neN, что хп — идемпотент) .
Пример 3.12. Любая периодическая полугруппа устойчива,.
Доказательство. Предположим, что Ra ^ Rba, т. е. а = Ьах для некоторого xeS1. Отсюда следует, что а = bmaxm и Ьа = = bm+vaxm для всех me N. В частности, взяв п > 1, при котором хп = х2п, мы получим Ьа = Ь^ах" = Ьп+1ах2п = = bn+1axn+1xn-1 = ах"-1. Это показывает, что ba е aS1 и, следовательно, Rba ^ Ra, откуда Rba = Ra. Двойственные рассуж,- дения доказывают, что S устойчива также слева. □
Мы закончим данный параграф одним приложением.
Предложение 3.13. Пусть S— устойчивая полугруппа, порожденная п различными элементами а\, агап, п>1. Если atSiaj для всех I, j, 1 ^ I, j ^ п, то S проста справа.
Доказательство. Допустим, что х$а для некоторого xgS и некоторого образующего а. Поскольку x = atlatl ... atk, мы имеем хе 0,5* = aS1. Таким образом, Lx = La и Rx^Ra. В силу следствия 3.11 получаем xSia. Поэтому х2)а влечет xSia, а это означает, что 2>-класс, в котором лежат образующие, является на самом деле ^-классом, скажем R. Так как в устойчивой полугруппе S> = /, класс R будет также /-классом Jo, содержащим образующие, и, очевидно, Д ^ Ja = R для любого хе S. Далее, если множество S\7? непусто, то оно является идеалом в S. В самом деле, если х е S\/? и у е S, то S^yS1 U SxyxSx S S’xS1 cz S’aS1 и поэтому ху, ух eS\R. Зафиксируем г s R, и пусть seR, s=#r. Тогда s = ги и г = sv, где и, о gS. Отсюда г = гии, и, поскольку S\/? — идеал, получаем и, и, ии ^ R. Следовательно, s е rR и г е rR, откуда Rs rR. С другой стороны, множество rR содержите^ в
некотором ^-классе из S. Поэтому rR ^ R и rR =R для всех геК. Это доказывает, что R замкнуто относительно умножения, откуда R = S и S — rS для всех feS.
Примеры вычислений отношений Грина
Ниже, в п. а и d, мы обозначаем через ^"(Л) полугруппу всех преобразований на множестве А, действующую справа. Эта полугруппа в разд. 2.2 гл. 1 обозначалась посредством £ГГ(Л).
а. Отношения Грина в полугруппе 9~ (А) всех преобразований на множестве А
Предложение 4.1. (а) Два элемента х, geSHA) ^.-эквивалентны (соответственно S-, /-эквивалентны) тогда и только тогда, когда Кег х — Кег у (соответственно Imx = Imz/, гапкх = rank у).
В 9~(А) эквивалентности ^ и $ совпадают и остов полугруппы Т(Л) (т. е., напомним, частично упорядоченное множество ^-классов) есть цепь, длина1) которой равна мощности множества А.
Любой 36-класс Н(л, В) в 9" (А), лежащий в /-классе ранга г (г ^ card Л), бднозначно определяется эквивалентностью л на А, разбивающей А на г классов, и подмножеством В из А мощности г; Н (л, В) = {х е 9" (А): Кег х = л и Imx — В).
Класс Н(л, В) тогда и только тогда является максимальной подгруппой, когда В трансверсально л; в этом случае Н(л, В) изоморфна симметрической группе ^(В).
Полугруппа 9"(А) регулярна.
Доказательство. Утверждение (а) вытекает из леммы 1.2. Для доказательства равенства f = 2) предположим, что rank х = rank у, тогда Imx и Л/Kerz/ имеют одинаковую мощность и существует биекция р\ Л/Кег y-^Imx; если ^: Л-> ->-Л/Kerz/— факторотображение, то композиция z = q°p принадлежит 9” (А) и удовлетворяет равенствам 1тг = 1тх, Кегг = Кегу, тогда, согласно (a), xSz и г&у, откуда х®у. Последняя часть утверждения (Ь) вытекает из леммы 1.2, а (с) есть следствие из (а). Для доказательства (d) предположим, что Н(л, В) содержит идемпотент е. Тогда аее = ае для любого аЕ Л, откуда следует соотношение аела, показывающее, что множество В = Ime пересекается с каждым л-клас- сом. Далее, если р ЕЙ и рла, то Р = уе для некоторого у е Л
*) Здесь — кардинальное число элементов цепи. Обычно (см., например, ниже предложение 4.2) длиной цепи называют кардинальное число ее звеньев. — Прим, перев,
и ре = ае = уее = уе = [5. Это показывает, что множество В содержит в точности один элемент, а именно ае, из л-класса элемента а, т. е. В — трансверсал для л. Обратно, если В имеет с каждым л-классом А, точно один общий элемент а/, то преобразование е, определенное на каждом А, равенством Ate —щ, является идемпотентом. Доказательство того, что группа Д(л, 5) изоморфна симметрической группе ^(5), оставляется читателю в качестве упражнения. Наконец, чтобы доказать (е), заметим, что любая эквивалентность л на Л имеет трансверсал; поэтому любой 5>-класс в ^(А) содержит идемпотент; согласно предложению 2.9, полугруппа ^ (А) регулярна.
Отношения Грина в полугруппе Endx V эндоморфизмов векторного пространства V над телом К
Пусть V — правое векторное пространство над телом К. Множество всех эндоморфизмов (= линейных преобразований) пространства V вместе с операциями сложения + и композиции • образует кольцо, обозначаемое через Endx V. Мы рассматриваем только полугруппу (Endx V, •); образ вектора и е V при действии эндоморфизма f е End^ V обозначается посредством of. Напомним также, что для любого f е EndK V точная последовательность (см. Бурбаки [1970] )*)
0->Кег/->У Imf->0
расщепляется (здесь Kerf={neV: yf = O}, Imf—{yeV: и = wf для некоторого шеУ}). Это означает, что пространство V допускает разложение вида
V= Kerf®(Imf)',
где (Imf)'— прямое дополнение подпространства Kerf, изоморфное Im f. Рангом эндоморфизма f (обозначение: rank f) называется размерность подпространства Im f, или, что то же самое, размерность факторпространства V/Kerf. Следующее утверждение, доказательство которого мы опускаем, служит аналогом предложения 4.1.
Предложение 4.2. (а) Два элемента f, g е End# V ^-эквивалентны (соответственно 3?-, f -эквивалентны) тогда и только тогда, когда Ker f = Ker g (соответственно Im f = Im g, rank f — = rankg).
Первое издание книги Бурбаки, с которого сделан русский перевод, не Ф/-1 ф;
содержит требуемого определения. Последовательность... At-1*" At*■
*■ Л;+1 ... гомоморфизмов векторных пространств (или, более общо, модулей) называется точной, если Ker q>/ = Im ф<—i для любого I. — Прим, перев.
В Endx V эквивалентности ^ и ® совпадают и остов полугруппы Endx V есть цепь, длина которой равна размерности пространства V.
Любой 96-класс Н (А, В) в Endx V, лежащий в ^-классе ранга г (г ^ dim V), однозначно определяется подпространствами А и В из V, такими, что dim(V/A) = г = dim В: Н(А, В) = = {f е End^ V: Kerf = А и Imf = B}.
Класс Н(А, 5) тогда и только тогда является максимальной подгруппой, когда К = АФВ; в этом случае Н^А, В) изоморфна общей линейной группе GL^B, К).
Полугруппа End^ V регулярна.
Сужения отношений Грина на подполугруппы
Предположим, что данная полугруппа S является подполугруппой полугруппы Т. Если обозначить отношения Грина в полугруппе S посредством Я, $, ..., а в полугруппе Т — посредством Ят, Зт, ..., то сужения Я*, 3*, ... отношений Ят, Зт, ... на полугруппу S удовлетворяют включениям Яг9Г, ЗгЗ*, ..., которые, вообще говоря, являются строгими. Например, если Г = (Z, +) и S = (№, +), где № — множество неотрицательных целых чисел, то все отношения Я, 3, ... совпадают с равенством, а отношения 52*, 3*, ... — с универсальной эквивалентностью. В этом примере сужения отношений Я, 3, Ят, Зт на произвольный 25-класс в S совпадают, но в общем случае это не так. Докажем, следуя Андерсону, Хантеру и Коху [1965], .
Предложение 4.3. Пусть S — подполугруппа полугруппы Т и D— регулярный 3)-класс в S. Тогда сужения на D отношений Грина Я, 5, 96 из S и из Т совпадают.
Доказательство. Пусть х,уед и х^у. Поскольку D — регулярный 25-класс в S, в силу предложения 2.9 существуют идемпотенты е, f gS, такие, что хЯе и ^Яу; Из включения Я = 9Г вытекает, что еЯ*^ и потому e = fe, f = ef. Следовательно, еЯ^, откуда хЯу. Для 3 доказательство аналогично, а тогда получаем требуемое и для 96. □
Теперь можно было бы ожидать, что 5^-класс Нх и 5^*-класс Их для регулярного элемента х из S совпадают. Но это неверно без дополнительных предположений относительно S (в примере, указанном выше, Но =# Н"^. Если же полугруппа S конечна, то Не = Н*в для любого идемпотента е е S; это непосредственно вытекает из следующего предложения (при а = — b = 1) и предложения 4.3.
Предложение 4.4 (Перро [1972]). Пусть S — конечная подполугруппа полугруппы Т, x&S, а, b е S1 и е — идемпотент в Т.
Допустим, что еЙтЬх, ЬхФтХ, х91тха и ха$те, где ^.т и 9?т обозначают отношения Грина в Т. Тогда eeS и элементы е, ха, Ьх лежат в ©-классе элемента х в S.
Доказательство. Наши предположения иллюстрируются следующей картиной 2)г-класса из Т, содержащего х и е:
<г
ха-
Ьх
е
Пересечение Йт-класса элемента Ьх и ^г-класса элемента ха содержит идемпотент е. Согласно предложению 2.5, получаем хаЬх^тХ. По лемме 3.2 элемент {abx)k для любого k ^ 1 определяет правый сдвиг 5^г-класса элемента х. Так как S конечна, существует /, при котором {abx)‘ является идемпотентом, действующим на ^-классе элемента х как единица группы Шютцен- берже этого 5^г-класса. Отсюда следует, что x(abx)1 = х и поэтому хад^х, ЬхФх, xabxSBx. Как показывает предложение 2.5, примененное к S, из включения xabx е Rxo П Lbx вытекает, что Lxa П Дьх содержит идемпотент, и им должен быть е, так как Lxa fl Rbx содержится в 5^т-классе этого идемпотента. Следовательно, е Е S и eSxa, хаЯх, откуда е©х. □
Эти результаты мы используем в следующем пункте, где S будет подполугруппой полугруппы преобразований 9"(А) на конечном множестве А.
Регулярные ©-классы полугруппы преобразований на конечном множестве
Пусть S— подполугруппа в £Г(А), заданная множеством образующих. Последующие два предложения лежат ' в основе алгоритма систематического вычисления регулярных 55-классов из S. Этот метод более подробно объясняется в работе Перро [1972].
Предложение 4.5. Пусть S — подполугруппа в 9"(А), где множество А конечно. Для данного xeS построим множества
9° (х) = {Im ху: yeSx и card(Imxt/) = card(Imx)},
9£°(х) = {Ker ух: yeS1 и card (А/Кегух) = card (А/Ker х)}.
Тогда следующие условия равносильны:
©-класс элемента х регулярен;
существует подмножество В из А, Ве9°{х), трансверсальное к Кег х;
существует эквивалентность л на А, ле^°(х), трансверсальная к Imx.
Доказательство. Предположим, что 2)-класс Dx из S регулярен. В силу предложения 2.9, й-класс Rx элемента х содержит идемпотент е. Существует такой y^S*, что ху = е. Так как х и е лежат в одном 32-классе полугруппы 9" (А), по предложению 4.1 (а) имеем Ker е = Кег х и множество В = Im е имеет ту же мощность, что и Imx. Следовательно, 5е^°(х) и, согласно предложению 4.1(d), множество В трансверсально к Кег е = Кег х. Это доказывает, что (а) влечет (Ь). Обратно, пусть множество ВеУЧД трансверсально к Кегх. При этом В = 1тху для некоторого yeS1. Так как card(Imxy) = = card (Imx), элементы ху и х лежат в одном ^-классе полугруппы 9" (А). Отсюда вытекает, что число классов эквивалентностей Кег ху и Кег х одно и то же; но Кег х s Кег ху и А конечно; поэтому Кег ху= Кегх. Таким образом, множество В = Im ху трансверсально к Кег ху, откуда следует, что некоторая степень элемента ху, скажем (хуУ, есть идемпотент. Из равенств Кег(ху)k = Кегху = Кег х вытекает, что (ху)* и х ^-эквивалентны в 9" (А), откуда (ху)*х = х. Это доказывает, что х — регулярный в S элемент, т. е. выполняется (а). Доказательство равносильности условий (а) и (с) двойственно данному, и мы его опустим. □
Чтобы выяснить, является ли элемент xgS регулярным, можно использовать следующий метод: составляется список подмножеств из А, попадающих в ^°(х), путем вычисления множеств Imxg = (Imx)g для любого образующего g из S и повторения этого процесса до тех пор, пока вновь получаемые множества не будут повторениями уже найденных либо их мощность не станет меньше, чем у Imx. Затем проверяется, содержит ли ^(х) трансверсал для Кегх.
С точки зрения описанного метода важно заметить, что различные множества в ^(х) (соответственно различные эквивалентности в ^°(х)) не образуют индексирующего множества для ^-классов (соответственно 32-классов) из Dx.
Предложение 4.6. Пусть S — подполугруппа в 9"(Л), где А конечно, х — регулярный элемент из S, а множества ^(х), ЗИх) определены так же, как в предложении 4.5. Образуем множества
3(х) = {Be J0(х): В трансверсально некоторой л е Жй(х)}, ^(х) = {ле^°(х): л трансверсальна некоторому B^9Q(x)}.
Тогда 91-класс (соответственно S-класс) элемента х есть Rx = = {ху: yeS1 и \шхуеЗ(х)) (соответственно Lx=(yx; y^S'
и Кег ух G Ж (х)}), а множество Ж(х) (соответственно 9 (х)) служит индексирующим множеством для множества Й-классов (соответственно $-классов) из S, лежащих в 2)-классе элемента х.
Доказательство. Пусть элемент г = ху лежит в Rx. Тогда Im г е 3й (х). Существуют ZeS и идемпотент e^S, такие, что г$е, е%1, 13?х.
т = хут = ху
т = ху
т = ху
Поэтому Кег I е Ж°(х), Imr=Ime, Кег/ = Кеге, откуда следует трансверсальность Im г и Кег /, и поэтому Rx s (ху; y^S1 и Imxy G ^(х)}. Чтобы установить обратное включение, возьмем элемент г = ху(у е S1), для которого 1шге9(х). Тогда существует I = zx(z е S1), такой, что Im г трансверсально к Кег/Е^°(х). В силу предложения 4.1(d) существует такой идемпотент е^9"(А), что Кег I = Кег е, Imr=Ime. Снабдив отношения Грина в 9"(А) индексом Т, получим
e^rzx, гхЗтх, х^тху, хуЖте.
Согласно предложению 4.4, элементы е, г = ху, 1 = zx лежат в 0-классе элемента х, а по предложению 4.3 из хЖгг следует х91г, т. е. г G Rx. Двойственные соображения показывают, что Lx = (ух; yeS1 и Кегух G Ж(х)). Прочие 91- и S’-классы, лежащие в 0-классе элемента х, получаются из Rx и Lx подходящими левыми и правыми сдвигами. □
Пример. Пусть полугруппа S порождается преобразованиями х и у, где
_/ 1 234 567В91011124
\ 2 456 289И111216 J *
_/ 1 234 5678910И12 \
434472811011816 ) '
Ядру Кегх отвечает разбиение (1, 5|21314, 1216|7[8,9| 10[ 11), и 1тх = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12}, 1тх2 = {1, 2, 4, 6, 8, 11}, Im ху = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 10, 11}, Im хух = 1т х, Imxz/2 = {1, 3, 4, 7, 8, 10}.
Отсюда следует, что £/Q^ = {Imx, Imxz/} и, так как Imxy трансверсально к Кегх, 2>-класс элемента х регулярен согласно предложению 4.5. Последовательное вычисление разбиений Ker zx дает J^° (х) = {Ker х, Кег ух\, где
Кегух = (1 12, 3141516, 1017, 11 |819112).
Замечая, что Imx трансверсально к Кег ух, приходим к равенствам ^(х)=^°(х), ^(х)=^°(х). Таким образом, 5)-класс элемента х содержит два ^-класса и два ^-класса. Только два ^-класса содержат идемпотенты: идемпотент
■_/123456789 10 11 12\
V 1 2 3 4 1 6 7 8 8 10 11 4 )
лежит в 5^-классе, определяемом парой (Кегх, Imxz/); идемпотент
,/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12\
'“1122456 11 89 6 11 12)
лежит в 5^-классе, определяемом парой (Кегух, Imx).
Представления полугруппы,связанные с отношениями Грина
Определение 5.1. (а) Пусть даны полугруппа S и множество А. Гомоморфизм Р; S^-^^r^A) из S в полугруппу всех частичных преобразований на множестве А называется представлением полугруппы S частичными преобразованиями.
Бинарное отношение тр= U^es^M на ^ называется отношением транзитивности, а конгруэнция Ker Р = {(х, у) е gSXS: Р(х) = Р(у)} называется ядром представления Р. '
Два представления Р,; S ^-£Р£Гг(Аг) (i — 1, 2) называются эквивалентными, если существует такая биекция 6: Д^Дг, что следующая диаграмма коммутативна для любого xgS:
6 8.
Прокомментируем вкратце эти определения. Отношение тР транзитивно (т. е. тр °тр г тр); если отношение тр универсально, то Р называется транзитивным представлением. Если Кег Р совпадает с отношением равенства на S, то представление Р называется точным. Представления Pi и Р2 эквивалентны тогда и только тогда, когда полугруппы частичных преобразований Pi(S) и P2(S) подобны (см. определение 3.1, легко распространяемое на полугруппы частичных преобразований),
Данный параграф посвящен изучению некоторых полезных и, можно сказать, изящных представлений полугруппы S частичными преобразованиями на фиксированном 52-классе из S.
Предложение 5.2. Возьмем Й-класс R полугруппы S. Для любого xeS1 определим Pr(x), положив PR(x)= {(а, Ь)е eRXR: ах = ЬУ Тогда Pr является транзитивным представлением полугруппы S1 частичными преобразованиями на R. Если ^-классы Ri и Ra из S лежат в одном ©-классе, то представления Pr, и Pr, эквивалентны и поэтому имеют совпадающие ядра.
Доказательство. Тот факт, что Pr является гомоморфизмом S1 в ^©ДР), есть следствие ассоциативности умножения. Транзитивность представления Pr, означающая, что для любых a, beR найдется х е S1, такой, что ах = Ь, следует из определения 52-класса. Если Ri и Ra содержатся в одном 55-классе, то по лемме Грина 2.4, точнее, по ее двойственной версии существует биекция Хв: а<—*иа из Ri на R2. Коммутативность диаграммы (5.2.1) для любого xeS1
Ri
(5.2.1)(5.2.1)*К2*К2Ху
(5.2.1)
(5.2.1)
*К2
*К2
К2
вытекает из леммы Грина (сохранение 52-классов) и тождества (va)x — v(ax). То, что Pr, и Pr, имеют одно и то же ядро, следует непосредственно из определения эквивалентности предвытекает из леммы Грина (сохранение 52-классов) и тождества (va)x — v(ax). То, что Pr, и Pr, имеют одно и то же ядро, следует непосредственно из определения эквивалентности представлений. □В случае конечного класса наглядно представить в виде тами 0 и 1, причем элемент с равенствомma,b^ =ставлений. □В случае конечного класса наглядно представить в виде тами 0 и 1, причем элемент с равенствомma,b^ =R преобразование PrX) можно RX /^-матрицы пЦх) с элемен- индексами (а, Ь) определяется, если ах = Ь, если ах =# Ь.R преобразование PrX) можно RX /^-матрицы пЦх) с элемен- индексами (а, Ь) определяется, если ах = Ь, если ах =# Ь.
вытекает из леммы Грина (сохранение 52-классов) и тождества (va)x — v(ax). То, что Pr, и Pr, имеют одно и то же ядро, следует непосредственно из определения эквивалентности пред
вытекает из леммы Грина (сохранение 52-классов) и тождества (va)x — v(ax). То, что Pr, и Pr, имеют одно и то же ядро, следует непосредственно из определения эквивалентности пред
ставлений. □
В случае конечного класса наглядно представить в виде тами 0 и 1, причем элемент с равенством
ma,b^ =
ставлений. □
В случае конечного класса наглядно представить в виде тами 0 и 1, причем элемент с равенством
ma,b^ =
R преобразование PrX) можно RX /^-матрицы пЦх) с элемен- индексами (а, Ь) определяется
, если ах = Ь, если ах =# Ь.
R преобразование PrX) можно RX /^-матрицы пЦх) с элемен- индексами (а, Ь) определяется
, если ах = Ь, если ах =# Ь.
Можно получить представление полугруппы S матрицами меньших размеров, если позволить элементам матриц принимать значения в группе с нулем. С этой целью мы введем систему координат для данного 52-класса R из S.
Определение 5.3. Пусть R — произвольный 52-класс полугруппы S и Нх (Хе Л) — семейство всех 5^-классов из S, лежащих в R. Координатной системой для R называется набор, состоящий из выделенного «Ж-класса, скажем Hi, лежащего в R,
и элементов qx, qxeSv, КеХ, таких, что отображения хн-*xqx и y*—*yqx являются взаимно обратными биекциями Нх на Нх и Нх на Нх соответственно. Координатная система для R обозначается посредством R\HX; ^qx, qxy. ХеЛ)].
В силу леммы Грина, элементы qx, q'x координатной системы для R можно получить, выбрав по одному элементу hx в каждом Нх (X е Л) и взяв qx, q'x е S1, такие, что hx = hxqx, hx =hxqx.
Для произвольных X, це Л и xeS1, применяя лемму 3.2, получим либо Нхх П Ну = 0, либо Нкх = Ну. Равенство Нхх = Н^ дает ^^x^'eSt^Hj) = (zgS;: Нхе = НхУ так как НхУхху'№ = Hxxq'^ = Hyt(w=Hv Если ГДНх) обозначает группу Шютценберже класса Нх, а 6: Str^HxA^-rr(HxA— канонический моноидный гомоморфизм (см. определение 6 перед теоремой 3.3), то каждому х е S1 можно поставить в соответствие Л X Л-ма- трицу М^х) с элементами из полугруппы Pr(//i) U {0} = = [Гг(//1)]°, полученной из ГД/Д) формальным присоединением
если Нхх = Н^, если Нхх Г) Ну = 0.если Нхх = Н^, если Нхх Г) Ну = 0.нулевого элемента:
если Нхх = Н^, если Нхх Г) Ну = 0.
если Нхх = Н^, если Нхх Г) Ну = 0.
М^(х) = | 6(W)’
Здесь Мхр (х) обозначает элемент с индексами X, ц в матрице АР(х). Заметим, что матрица Л1Л(х) имеет не более одного ненулевого элемента в каждой строке (т. е. она мономиальна по строкам), так как по лемме 3.2 множество Нхх пересекает R, самое большее, в одном 5^-классе.
Теорема 5.4. Пусть R^HX; {^Л, qxy Хе Л}] — координатная система для 91-класса R полугруппы S. Для любого хе S1 определим MR(x) как АХ Х-матрицу над [Гг(/71)]°, элементы которой с индексами X, ц задаются формулой (5.3.1). Тогда отображение Xi—>Л4л(х) есть представление полугруппы S1 мономиальными по строкам матрицами над [Гг(/Д)]°. Для любых X, U.G Л и любого ^еГг(Нх) существует такой элемент xeS1, что < (х) = у.
Доказательство. Для проверки того, что МЛ — гомоморфизм, сравним МхДхуА с элементом, имеющим индексы X, ц в произведении MR(xAMR (уА. Если Нхху = Ну, то НхХ = Нх для некоторого v е Л и Н„у = Ну. Отсюда вытекает, что М^(ху) = =6 kW^Y мх^х^^кхч'^ Mw^=s(q^O в этом случае ЧУхХУУ^ = ЦУххУ^М^ = Ц^хУ^ЦуХрУ Если же Л!^ (хуА = О, то Нхху П Hw=0, а это влечет за собой либо Hxx(AR = 0, либо Hxx(]R — Hv для некоторого vgA и Hvy{\ Ну = 0; в обоих случаях элемент е индексами
X, р в произведении MR(x)MR(y) равен 0. Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, положим у — 6(/) е Гг (//]), где ^eStr(^i), и пусть К ре Л. Взяв x = q'xtq^, получим Нкх = =нЛ^у^Нjq^H^y = Ни. Поэтому б {qxxcf^=b Vk^Vv^ = 6(0- □
Представление З’-^ЛРДЗ1) полугруппы S1 мономиальными по строкам матрицами зависит от выбора координатной системы для R. Однако различные координатные системы приводят к изоморфным образам этой полугруппы.
Предложение 5.5. Пусть R — произвольный 91-класс полугруппы 3, Pr — представление полугруппы S1, определенное равенством РR(x) = {(a, Z?)e RXR: ах = Ь^ {см. предложение 5.2), a MR— представление полугруппы З1 мономиальными по строкам матрицами, определенное формулой (5.3.1). Тогда PR и MR имеют одно и то же ядро, т. е. Pr{x)= PR{y) тогда и только тогда, когда MR{x) = MR{y).
Доказательство. Если PR{x) = Рк{у), то равенства Нхх — = Ну и НхУ = Ну равносильны. Мы даже имеем h^x = hxy для любого hx^Hx, когда НххПП=#= 0. Отсюда вытекает, что б (<7хху') — 6 {q^yq'^ для любой пары X, р е Л, такой, что Нхх П ПНу=#0. Следовательно, М^(х) = MR (у). Обратно, предположим, что MR (х) = MR{yY и возьмем (а, 6) е RX R, чтобы ах — Ь. Тогда а е Нх, Ь е Ни для некоторых %, р е Л и Нкх = Ну. Это дает М^(х) = б(ухху') = М^(у) = б(^^ значит, Нху = Ну. Взяв элемент h е Нь для которого hqx = а, и умножив равенство hqxxq'^ = hqxyq'^ справа на q№, получим hqxX — hqxy, т. е. ах = = ау = Ь. Этим установлено включение Pr{x)e Pr^. Меняя ролями х и у, аналогично выводим Pr^e Pr{x), откуда PR{x)=PR{y) □.
Из предложений 5.5 и 5.2 получаем
Следствие 5.6. Пусть Ri и R2— два 91-класса полугруппы 3, лежаицие в одном ее ©-классе, и пусть MR1, MR — представления полугруппы З1 мономиальными по строкам матрицами над группой с нулем, определяемые произвольным выбором координатных систем для Ri и R2. Тогда полугруппы MR,{S) и MR1{S) изоморфны.
Это следствие показывает, что представление MR полугруппы S1 зависит не от Я-класса R, а лишь от 55-класса D, содержащего R. Мы называем MR правым 55-представлением полугруппы S1 (или 3) относительно класса D или правым представлением Шютценберже полугруппы S1 (или 3) относительно D.
Для всех понятий данного параграфа можно ввести двойственные понятия, рассматривая представления Q: 3->5*5"i(Д),
где ©©;(Д) обозначает полугруппу всех частичных преобразований, действующих на множестве А слева. Если L есть S-класс полугруппы S, то, определив Ql(x) формулой QL(x) = {(а, 6)е eLXL; ха = ЬУ мы получим представление полугруппы S1 частичными преобразованиями на L, причем Ql, и Ql2 будут эквивалентными представлениями, если Lx и Л2 лежат в одном 55-классе из S. Для координатизации данного S-класса L выберем произвольный 5^-класс Нх из L и элементы rt, r'^S1, ie.1, такие, что отображение х>—>г,х есть биекция Нх на Hi, а отображение у >—> г^у — обратная биекция1). Определим для S1 представление № посредством / X /-матриц с элементами из Г/(Я1)0 {0}, используя формулу
у(г',хг,), если хН,= Н„
(5.6.1)(5.6.1)Ш(л)= И11’
(5.6.1)
(5.6.1)
10, если xHi\\Hi= 0,
где у — канонический гомоморфизм у: St; (Я])-^-Г; (//]).
Заметим, что матрица ЛД(х) мономиальна по столбцам, т. е. она имеет не более одного ненулевого элемента в каждом столбце. С учетом этих модификаций утверждения 5.4, 5.5 и 5.6 имеют очевидные двойственные версии, которые мы не будем формулировать. Совокупность множеств Hv^qv у'ку. АеЛ), {(г,., г,): I е /} называется координатной системой для класса D. Представление ML называется левым D-представлением полугруппы S1 (или S) относительно D, а пара (ЛД, ЛД)— полным ©-представлением относительно D.
Следующая теорема играет существенную роль в доказательстве главной теоремы гл. 3. Она показывает, что полное 55-представление полугруппы S относительно регулярного 55-класса D дает точное «представление» самого класса D.
Теорема 5.7. Пусть D — регулярный ©-класс полугруппы S и (MR, ML)—ee полное ©-представление относительно D, полученное некоторым выбором 91-класса R и ©-класса L в D. Тогда сужение на класс D отображения xv->^NlR^, ЛД(х)) взаимно однозначно.
Доказательство. Возьмем элементы х, yeD, для которых MR (х) = MR (у) и МL (х) = ML (у). В силу предложений 5.5 и 5.2, для любого Я-класса Ro и любого S-класса Lo из S, лежащих в D, мы имеем Pr„ (х) = PR„ (у) и Ql0(x) = QuAyY В частности, взяв Я-класс, содержащий х, в качестве Ro и взяв инверсный к х элемент х', мы получим хх'х = х, причем хх', х е Ro. Поэтому (хх', х) е PRo (х) = PR, (у), откуда хх'у = х. В качестве
') Здесь и ниже / обозначает индексирующее множество для семейства всех 2^-классов, лежащих в L. Единственным общим элементом множеств I и Л служит 1. — Прим, перев.
следствия получаем х е Sy. Используя 52-класс элемента у, мы аналогично получим уу'х = у, откуда у е Sx и поэтому х$у. Двойственное рассуждение с использованием равенства Ql„(x) = = QuVy) дает хЯу и, значит, хх'Яу. Отсюда выводим хх'у = у. Подчеркнутые равенства дают х = у.'П
Следствие 5.8. Пусть S — полугруппа. Определим отображения Рй и Q2 из S в полугруппы правых и соответственно левых частичных,преобразований на S, положив
Рй (х) = {(«, 6) е S X S: ах = Ь и аЯЬ), Q#(x) = ((a, b)eSXS: xa = b и a$b).
Рй и Qs являются представлениями полугруппы S; Кег Рй = П а е д Ker PRa, Ker Qz = П а е л Ker Qta, где А — индексирующее множество для семейства Ф-классов из S, a Ra (соответственно La) — выделенный Я-класс (соответственно Ф- класс) в Ф-классе индекса а.
Если полугруппа S регулярна, то ее представление (Рй, Qz) парами частичных преобразований на S является точным.
Доказательство. Тот факт, что Рй и Qg суть представления полугруппы S, оставляется читателю в качестве упражнения. Если Рй (х) = Рй (у) и (а, Ь) е PRa (х) для некоторого а е А, то
ах = b влечет ау = Ь, т. е. (a, b) е PRa(y). Аналогично, (а, Ь)е е PRa (у) влечет (a, b) е PRa (х), что дает PRa (х) = PRa (у) и поэтому КегРй G ПаедКегР^. Обратно, допустим, что PRa(x) = PRa(y) для любого а е А. Если (а, Ь) е Рй(х), то (a, b)e PR(x), где R есть 52-класс элементов а и Ь. Если робо-
значает индекс 55-класса из S, содержащего R, то Pr^ (х) = = PR (у). Отсюда, согласно предложению 5.2, следует, что
PR(x) = PR(y) и потому (a, b) e PR (y) = Рй (у). Аналогично
проверяется включение Рй (у) g Рй (х); двойственное доказательство показывает, что KerQ^ = Пае д Ker Qlo. Предположим
теперь, что S регулярна и выполняются равенстваРй(х) = Рй(у), Qx(x) = Qz (у)- Из соотношений хх,х = х, уу'у — у выводим равенства хх'у = х, уу'х = у, откуда х$у и поэтому хФу. Требуемое равенство х — у вытекает из (а), предложения 5.5, а также двойственного к нему, и теоремы 5.7. □
Замечание 5.9. Для любого xeS имеем Рй(х)= UrPr(x), где объединение берется по всем 52-классам из S. С точки зрения этого равенства и предложения 5.5 представление Рй можно рассматривать (с точностью до изоморфизма) как сумму 55-представлений полугруппы S относительно всех ее 55-классов.
Следствие 5.8(b), выраженное в этой форме, принадлежит Престону [1958].
Замечание 5.10. При построении координатной системы Яь {(^, q'Ky Ле Л), {(г4, г'): z е/} для регулярного 55-класса D полугруппы S возникает ряд упрощающих факторов. Во-первых, в качестве ^-класса Hi = Rf\L можно выбрать максимальную подгруппу, содержащуюся в £>, с единицей е. Во-вторых, чтобы построить элементы qx (К Е Л) (соответственно п (I ^ Г) ), достаточно выбрать систему представителей S’-классов (соответственно ^-классов) так, чтобы эти представители лежали в R (соответственно в £). В самом деле, искомое построение равнозначно выбору элементов hx е Нх (Ле Л) (соответственно ht в Hi (z Е /)) вида hi = е и hx = eqx (соответственно hi = rie). Для построения ^(ЛеЛ) (соответственно г' (z е /)) заметим," что если для данных Л, z класс LqK П Rrt содержит идемпотент, то, в силу предложения 2.5, qxri е RqK f| П Lrt = Я]. Так как q'x должен удовлетворять равенству eqxq'K = е, можно выбрать такой z е /, что qvi е Hi (подберем z е / так, чтобы LqK(\Rri содержал идемпотент), и затем взять q'x = = ri^qxri)'Xi где (^Д<)-1 обозначает элемент, обратный к qxri в группе Hi, Аналогично, г[ должен удовлетворять равенству r'trte = e. Выберем Ле Л так, чтобы qxri^Hi, и возьмем г[ =
Пример. Проиллюстрируем замечание 5.10, вычислив 55-пред - ставление полугруппы S из примера в п. 4d относительно 55-класса Dx элемента х. Для получения системы координат нужно сначала выбрать подгруппу Hi из Dx. Очевидным кандидатом на роль Я, является 5^-класс элемента ху, содержащий идемпотент е. Затем мы выбираем qi = е, q2 = x, ri = e, г2 = = уху. Выбор элемента г2 обусловливается тем фактом, что элементы х, ху и ух расположены так, как показано, на рисунке
Соотношения х®ху, х^ух дают ух&уху, ху$уху. Заштрихованные на рисунке части соответствуют подгруппам в Dx. Поэтому q\ = ч^кчУ1 = е> Y^iYi^y^yxy^y^Y^y^yr''- Чтобы вычислить 55-представление полугруппы S, достаточно найти матрицы MR(x), MR(y), где R является ^-классом элемента х. Из соотношений Im уху = Im х и Imx2clmx выводим равенства HiX = H2, H2xV\Dx = 0, Аналогично, включение Inixz/2c
с: Im у показывает, что /Лу П D* = 0, тогда как Н2у = Ну. Получаем
Mf2W = 6 (7,^2) “ 6 (ехУ UyV') = б (е) = е,
^ (у) = б (q2yq'v) = б (хуе) = б (ху) = а, где е — единица группы Шютценберже класса Ну, а а обозначает сужение преобразования ху на Imxy = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11} и действует как произведение циклов (1, 4, 8) (2, 7, 11, 3) (6, 10). Таким образом,
Применение формулы (5.3.1) к элементам из Ну показывает, что Л4^ (Я,) = Гг (HJ. Отсюда следует, что Гг (Ну) порождается ненулевыми элементами матриц MR(x), MR(y). Это показывает, что в нашем примере группа Гг(Я]) (изоморфная группе Ну) является циклической, порожденной элементом а. Поэтому Hy^Zy2 и 0-класс элемента х содержит 4X12 = 48 элементов. Более точное и систематическое определение строения этого 0-класса будет проведено в гл. 3, § 4.
Дальнейшие библиографические замечания
С момента появления в 1951 г. отношений Грина многие работы по алгебраическим и топологическим полугруппам эффективно используют эти отношения, особенно в сочетании с теоремой Риса — Сушкевича, которая доказывается в следующей главе. Введение координатных систем для 55-класса и 55-представлений предоставило основные инструменты для исследования локальной структуры полугрупп. Мы будем использовать их главным образом в гл. 8. Класс регулярных полугрупп и различные его подклассы (инверсные полугруппы, объединения групп1), связки групп и т. д.) изучались, вероятно, наиболее интенсивно. Обзор результатов, полученных до 1972 г., см. у Лал- лемана [1972]. Многие из структурных теорем о регулярных полугруппах следуют образцам либо теоремы Риса — Сушкевича, либо теоремы Клиффорда о полурешетках групп (см. упр. 12), либо комбинации их обеих. Читатель может познакомиться с недавними продвижениями в этой области, обратившись К работам Т. Холла [1973], Грийе [1974], Намбурипада [1975], Клиффорда Й975]). Начиная с основополагающих работ В. В. Вагиера [1952, 1953] и Престона [1954], велись важные исследования инверсных полугрупп, значительный вклад в изучение которых сделали Манн [1966, 1970], Н. Райли [1968], Уорн [1966], Макалистер [1973, 1974]. Глава 5 книги Хауи [1976] содержит превосходное введение в-эту область). Некоторые интересные комбинаторные вопросы возникли в связи с изучением свободных инверсных полугрупп (см., например, Эберхарт, Селден [1972], Шайблих [1972, 1973],
Райли [1972], Манн [1974]. Шайн [1975]) '). Важность свойства устойчивости /-класса осознали Кох и Уоллес [1957]. Изложение материала в § 3 следует советам Шютценберже.
Упражнения
Минимальный правый идеал полугруппы является простой справа полугруппой (определение простой справа полугруппы дано в упр. 6 из гл. 1).
Если идеал К полугруппы S является подгруппой, то К — минимальный идеал в S; такая полугруппа называется гомогруппой. Полугруппа S тогда и только тогда является гомогруппой, когда существует элемент и е S, такой, что и е Sx Л xS для любого * е S. Если S — гомогруппа и е — единица минимального идеала К, то отображение <р(х) = ex, х е S, является гомоморфизмом на К, оставляющим неподвижными элементы из К (Тьеррен [1955]).
Пусть 5 = ^(А), где Л—конечное множество, или S = End^ V, где V — конечномерное векторное пространство над полем К. Любой идеал полугруппы S — главный (т. е. порождается одним элементом), S имеет только один главный идеальный ряд, и любой главный фактор полугруппы S прост либо 0-прост.
Конечная цепь Si cS2 с ... с S„ = S подполугрупп полугруппы S называется ее композиционным рядом, если Sk — максимальный идеал в S^i (1 С к < и), а полугруппа S] проста. Если S имеет композиционный ряд, то она имеет главный идеальный ряд, но обратное утверждение неверно, как показывает пример полугруппы, заданной копредставлением <а, а\ Ь; аа'а=а, а'аа' = а', аа' = a'a, ba = Ьа' = 62 = 0> (Манн).
(а) В свободном моноиде все отношения Грина совпадают с отношением равенства.
Полугруппа, порожденная двумя матрицами
/ 0 0 0\/001\
х = | 1 0 0 I и у = | 0 0 0 ],\0 1 0/ко 0 0/
имеет единственный ненулевой регулярный 55-класс.
Описать отношения Грина на полугруппе из упр. 4 и на полугруппе, заданной копредставлением (а, а'; аа'а = а, а'аа' = а').
Пусть полугруппа S регулярна. Если выполняется одно из следующих условий, то S — группа:
S имеет единственный идемпотент;
S — полугруппа с сокращением;
для любого а е 8 существует единственный элемент а' е S, такой, что аа'а = а.
Связкой называется полугруппа, состоящая только из идемпотентов. Связка В называется прямоугольной, если равенство хух = х выполняется для всех х, у еВ. В прямоугольной связке отношение Ф совпадает с универсальным, а любые два SZ-класса (соответственно S’-класса) суть изоморфные полугруппы правых (соответственно левых) нулей. Прямоугольная связка изоморфна декартову произведению RXL полугруппы правых нулей R и полугруппы левых нулей L.
Полугруппа называется бипростой, если она имеет только один 55-класс. Примеры: прямоугольные связки, бициклический моноид. Еще одним примером служит полугруппа Бэра — Леви на множестве N:
S = (х е 9" r (N): х взаимно однозначно, a Im х
имеет бесконечное Дополнение в N}.
На самом деле S — простая справа полугруппа с правым сокращением. Поэтому на данной полугруппе 91 — универсальное отношение, a S’ — отношение равенства (Бэр, Леви [1932]).
’) См. посвященную свободным инверсным полугруппам обзорную статью Н. Райли [1979*]. — Прим. ред.
В моноиде М с единицей 1 равенства Di = Ri = L\ = Hi выполняются тогда и только тогда, когда Di не содержит бициклической полугруппы. Моноид, имеющий копредставление <а, b, с; abc = 1>, являет собой пример, когда классы единицы 1 по модулю всех пяти отношений Грина попарно различны. Здесь ^-класс единицы содержит как регулярный, так и нерегулярный Ф классы. "
Теорема Кэли для инверсных полугрупп. Любая инверсная полугруппа S изоморфна подполугруппе полугруппы 3'r(S) всех взаимно однозначных частичных преобразований на S. Указание; Поставить в соответствие элементу a eS отображение ра, определенное на множестве Sa-1 равенством хр0 = ха (В. В. Вагнер [19521, Престон [1954]).
Пусть ср; S->5' — сюрьективный гомоморфизм. Если полугруппа S регулярна, то и S' регулярна. При этом для любого идемпотента е' е S' найдется такой идемпотент е е S, что ф(е) = е'. Поэтому если S — инверсная полугруппа, то и S' инверсна (Лаллеман [1967]) *).
Коммутативная связка называется полурешеткой. Причина в том, что на коммутативной связке можно определить частичный порядок, положив а ^ b тогда и только тогда, когда ab = Ьа = а), и относительно этого порядка произведение любых двух элементов является их нижней гранью. Полугруппа S называется полурешеткой групп, если S есть объединение групп и идемпотенты в S перестановочны). В полурешетке групп S все отношения Грина совпадают, а остов полугруппы S изоморфен как частично упорядоченное множество полурешетке Е идемпотентов из S, упорядоченных введенным выше отношением. Для любых е, f е Е, таких, что f ^ е, отображение фе, f: He—fHf, определенное равенством фе, f(x) = xf, является гомоморфизмом групп, и если g ^ f ^ е, то ф;, g ° ф«, f = фг, g. Обратно, если дано семейство групп Ge, индексированных элементами полурешетки Е, и гомоморфизмы фе, f: Ge^-Gf, когда f ^ е, удовлетворяющие написанному выше равенству и тождественные прн е = [, то множество 5= ие<=дОе становится полурешеткой групп, если определить произведение ху = фе, ef (х) -фг ef(z/) для любых х е Ge, ueGi (Клиффорд [1941]).
Построить полные представления относительно различных 55-классов для следующих полугрупп: (а) правая группа (гл. 1, упр. 6); (Ь) прямоугольная связка (упр. 7); (с) циклическая полугруппа; (d) бициклический моноид <а, b; ab = 1>; (е) декартово произведение группы и бициклического моноида; ([) полугруппа Ф’г(А) для конечного А (в первую очередь относительно 55-класса, образованного минимальным идеалом); (g) полугруппа из упр. 5 (b); (h) полугруппа преобразований, порожденная
/ 1 2 3 \ / 1 2 3\
x = k 1 3 2 Л I 1 1 3
"(Представления полугруппы всех п X n-матриц надполем см., например, в работе Ким, Рауш [1977].)
Бициклический моноид имеет единственный Z-класс, который не является устойчивым ни слева, ни справа. Однако Ф = ^.
Пусть М — моноид. Для любого теМ множество ИДт) = {х г М; т ^ МхМ} является наибольшим идеалом (если оно непусто), не содержащим т. Если моноид М конечен, то ^-класс элемента т есть Нт = ^Мт АтЛ4) \ \Ц7(т), и все подгруппы в М тривиальны тогда и только тогда, когда Нт = = {от} для любого шеМ (Шюгценберже [1965с]).
Приведенная библиографическая ссылка относится к первым двум утверждениям. Третье утверждение (вытекающее из них) содержалось в основополагающих работах В. В. Вагнера и Престона, указанных в предыдущем упражнении. — Прим. ред.
3
ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ. ТЕОРЕМА
РИСА —СУШКЕВИЧА
В 1928 г. А. К. Сушкевич описал строение минимального идеала / конечной полугруппы 3. Как было показано в гл. 2, этот минимальный идеал / является простой полугруппой и равен объединению всех минимальных правых (или левых) идеалов из 3 (гл. 2, предложение 1.1). Отсюда вытекает, что для любых х, уе! включение Sx s Sy влечет равенство Sx = Sy. В частности, если е, f — идемпотенты в I, то из равенства ef = е (равносильного включению Se £ Sf) следует равенство fe = f. Чтобы выразить это свойство идемпотентов удобным способом, введем отношение порядка на множестве Е всех идемпотентов из S, положив е ^ f, если ef — fe = e. Легко проверить тогда, что следующие два условия равносильны: (a) ef = е влечет fe = f и (b) е ^ f влечет е = f. Идемпотент f, удовлетворяющий условию (Ь), называют примитивным, и, как мы увидим, минимальный идеал конечной полугруппы может быть охарактеризован как простая полугруппа, содержащая примитивные идемпотенты. Полугруппа с этими свойствами называется вполне простой. Структурная теорема для несколько иного класса полугрупп, называемых вполне 0-простыми, была доказана Д. Рисом в. 1940 и 1941 гг.
После аксиоматического изучения вполне 0-простых полугрупп мы излагаем в § 2 доказательство теоремы Риса, основанное на понятии ^-представления из § 5 гл. 2. Третий и четвертый параграфы настоящей главы посвящены некоторым примерам вполне 0-простых полугрупп и вычислению их структурных параметров. В последнем параграфе мы рассматриваем конечные моноиды, у которых идеал необратимых элементов является вполне 0-простой полугруппой, и устанавливаем некоторые связи с комбинаторными проблемами. Всюду ниже мы используем символ 3° для обозначения полугруппы, полученной присоединением нулевого элемента 0 к полугруппе S, если 3 не имеет нуля, и совпадающей с S в противном случае.
1. Вполне простые и вполне 0-простые полугруппы
Пусть S — произвольная полугруппа, возможно с нулем 0, и Е— множество ее идемпотентов. Отношение ^, определяемое на Е условием «е ^ f, если и только если ef = fe = е», яв-
ляется частичным порядком. Очевидно, 0 ^ е для любого е е Е. Идемпотент е е Е называется примитивным, если он является минимальным (относительно только что введенного частичного порядка) в множестве ненулевых идемпотентов полугруппы.
Определение 1.1. Полугруппа называется вполне простой (соответственно вполне 0-простой), если она простая (соответственно 0-простая) и содержит примитивный идемпотент.
Из этих определений сразу же вытекает, что если полугруппа S вполне проста, то полугруппа S0 вполне 0-проста. Обратно, если S — вполне 0-простая полугруппа без делителей нуля (т. е. ab = 0 влечет а=0 или Ь = 0), то полугруппа S\{0} вполне проста. Как следствие получаем, что многие результаты о вполне простых полугруппах очевидным образом вытекают из результатов для вполне 0-простых полугрупп.
Примеры 1.2. (а) Любая конечная 0-простая полугруппа вполне 0-проста.
Пусть I — произвольное множество, a S = (/X/)U{0}. Определим на S умножение • с помощью формул
((z, I), если i = k, о, если/^,
и О-(б n = (j» /)-0 = 0-0 = 0. Тогда (S, •) есть полугруппа, причем 0-простая (любое уравнение (xb х2) (z, j) (уь у2) = ^к, I) имеет решение (хь х2) = (/г, z), (z/b У2)=Щ, 0) и любой ненулевой идемпотент (z, z) (/ е 1) примитивен.
Полугруппа В, в которой х2 = х и хух = х для любых х, у е В, называется прямоугольной связкой. В прямоугольной связке В любые два элемента ^-эквивалентны и поэтому полугруппа В проста. Далее, если ху = ух = х, то х = ух = уху = у, т. е. любой элемент из В является примитивным идемпотентом. Следовательно, В — вполне простая полугруппа.
Следующая серия лемм будет использована в § 2 для доказательства структурной теоремы (Риса — Сушкевича) о вполне 0-простых полугруппах.
Лемма 1.3. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа. Для любого ненулевого 31-класса R из S множество R j {0} есть 0-ми- нимальный правый идеал в S, а для любого 3?-класса L множество L U {0} есть 0-минимальный левый идеал.
Доказательство. Достаточно показать, что R (J {0} — правый идеал; 0-минимальность получается непосредственно, так как если R' — такой ненулевой правый идеал, что R' s7?U{0}, то, взяв а е R', а ^ 0, и х е R, мы видим, что хЯа и поэтому X = 9ueR', откуда /^ — 7?и{0}. Сначала мы докажем, что
для Я-класса Re примитивного идемпотента е из S множество Re U {0} совпадает с правым идеалом eS. Включение /?eU {0} s S eS очевидно. Пусть b е eS, 6 # 0. В силу 0-простоты полугруппы S имеем е = xby для некоторых х, у е S. Элемент f = = byexe является идемпотентом: f2 = byexebyexe = byexbyexe = = byexe = j. При этом ef = fe = f. Так как e примитивен, f = 0 или f = e. Но если f = 0, to xfby = xbyexeby = e = 0, что невозможно. Поэтому f = e = byexe. Это показывает, что e e bS, и, так как b e eS, получаем b e Re. Равенство Re U {0} = eS доказано. Так как S = SeS = S(Re U {0}), получаем, что любой элемент xeS лежит в множестве c(7?eU{0}) для некоторого с Е S. Докажем для произвольного х^0 равенство Rx U (0} = = c(^eU{0}), устанавливая включения с обеих сторон. Пусть х = сг для некоторого г е Re U (0). Если у Е Rx U {0}, то у —xt для некоторого ^eS1; отсюда следует, что y = crt и поэтому у Е c^Re U {0}). Если у е c^Re U {0}), то у = сП для некото- рого г' е Re U {0}; в случае г' = 0 будет у = 0 и у е Rx U {0}; если же г' =^ 0, имеем г'Яг, откуда cr'Slct или уЗ^х, т. е. у е Rx. Таким образом, Rx U {0} = с (Re U{0}) = ceS. Аналогичное доказательство показывает, что для ненулевого S-класса L множество L U {0} есть 0-минимальный левый идеал в S. □
В качестве следствия леммы 1.3 получаем для любого xeS равенства /?tU{0}=xS и A.tU{0} = Sx, а если х^=0, то SxS = S, откуда xS^{0} и Sx=#{0}. Заметим, что полугруппу S можно записать в виде объединения ее 0-минималь- ных правых идеалов или же 0-минимальных левых идеалов: S= U leHRt U {0}) = U хел (Ал U {0}), где / и Л обозначают соответственно индексирующие множества для ненулевых S3- и S-классов из S.
Лемма 1.4. Пусть S— вполне 0-простая полугруппа. Если aSb = {0} для некоторых a, beS, то а = 0 или b = 0.
Доказательство. Пусть а # 0 и b # 0. Тогда SaS = SbS = S. Отсюда следует, что SaSSbS = S2 = S = SaSbS. Поэтому aSb N= {0}.
Если воспользоваться терминологией из теории некоммутативных колец, то можно сказать, что лемма 1.4 утверждает, что идеал {0} вполне 0-простой полугруппы является первичным.
Лемма 1.5. Вполне 0-простая полугруппа имеет единственный ненулевой 3)-класс, и притом регулярный.
Доказательство. Пусть а и b— ненулевые элементы вполне 0-простой полугруппы S. По лемме 1.4 имеем aSb 3= {0}. Пусть ceaSb, с #= 0. Так как с е aSb Е aS, получаем с91а по лемме 1.3. Аналогично с е aSb г Sb влечет за робой с$Ь. Поэтому
аЗ)Ь, т. е. S имеет только один ненулевой 0-класс. Он регулярен, так как содержит идемпотент. □
Полугруппа, имеющая единственный (ненулевой) 0-класс, называется бипростой (соответственно 0-бипростой). Бициклическая полугруппа является примером бипростой регулярной, но не вполне простой полугруппы.
2.0-представление вполне 0-простой полугруппы.
Теорема Риса—Сушкевича
Напомним, что представление полугруппы, ядро которого есть отношение равенства, называется точным. В силу теоремы 5.7 гл. 2 и доказанной выше леммы 1.5 полное 0-представление вполне 0-простой полугруппы относительно ее единственного ненулевого 0-класса точно. Цель данного параграфа— проанализировать пары мономиальных по строкам и столбцам матриц, сопоставленных каждому элементу полным 0-представлением.
Координатные системы для вполне 0-простой полугруппы
Пусть S— вполне 0-простая полугруппа и Z) = S\{0}—ее ненулевой 0-класс. Обозначим лежащие в D 5?-классы через Ri, 1^1, 0-классы — через Lx, X е А, и ^-классы — через Нц — Ri ft Lx для всех z е I, X е А.
Выберем 5?-класс Ri и 0-класс L\ так, чтобы класс Ни был группой. Это возможно в силу леммы 1.5, и мы, чтобы не вводить лишние символы, предполагаем, что множества 7 и А имеют общий элемент 1. Определим координатную систему (2.1.1) для класса D (см. замечание 5.10 в гл. 2) следующим образом:■
Нп, ^(qv q'xy X е А}, {(г,., <): z е/}, где
qx^H\x для любого ХеА и rte.Hi\ для любого z е/;
qkeLv причем ^ = 6, <7^х = ^> W?x = ^ (е обозначает единицу в Ниу
r\eRv причем r'^ — e, r^r^r^ г\т.г\ = т\.
Выбрать q'x и г' так, как указано в (Ь) и (с), действительно можно. Например, для получения qx возьмем идемпотент ех в Lx (такой идемпотент существует, поскольку класс D регулярен) ; если b — произвольный элемент из Rex П ^ь то идемпо-
тенты е и ех принадлежат соответственно классам /?9лП^ь = ^ц и LqK Л Rb = Не; согласно предложению 2.10 из гл. 2 класс Hb = ReKf\L\ содержит единственный элемент <7^, инверсный к ?х- Очевидно, что (2.1.1) определяет координатную систему для В. Координатную систему, удовлетворяющую условиям (2.1.1), мы можем в действительности выбрать для любой 0-бипроетой регулярной полугруппы. Следующее же замечание справедливо только для вполне 0-простых полугрупп.
Замечание 2.2. Пусть дана вполне 0-простая полугруппа S и для класса В = S\ {0} выбрана координатная система, удовлетворяющая условиям (2.1.1). Тогда для любых X е Л, lei либо q^fi = 0, либо qxn е Н1Ь
Доказательство. Если qxr^O, то qxri G q^S П Sri. По лемме 1,3 имеем qi.S = /?i U {0}, Srt = Lx (j {0}. Отсюда следует, что qxrieRi^Li = Ни. □
. Представления MR1 и ML1
Возьмем ненулевой элемент a g Н^,. Тогда для любого XgA либо /Лхя = {0), либо НХха=Н\х,- В самом деле, если /Иха^О для некоторого h.\x^H\x, то, как и в замечании 2.2, получим h\xa G /^ П Lx, и поэтому /ЛхоП Н\х, Ф 0; из леммы 3.2 гл. 2 следует, что Нхха = Н\х„. Таким образом, матрица уИ^^) имеет разве что один ненулевой столбец — с индексом Хо (определение матрицы MR1 (а) см. перед теоремой 5.4 в гл. 2). Чтобы установить точно, какие из элементов Х0-го столбца равны 0, заметим (во всех обстоятельствах обращаясь к координатной системе), что /Лха={0}, если и только если qxri^O; это следует из соотношения а^п,, дающего qxa^qxri,, и того факта, что qxQ — 0, если и только если Яаа = {0}. Окончательно, элемент с индексами X, Хо в матрице MR1 (а) есть
„ С> если q, г. = 0,(а) - < х Л Хо
I 0 в противном случае.
Мы отождествляем здесь b^aq'^ с qKaqV' так как ^хх— группа.
Представление AfRi обладает замечательным свойством: для любого ненулевого элемента aeS матрицу АР1 (а) можно записать в виде произведения матрицы, не зависящей от а, на матрицу, имеющую в точности один ненулевой элемент из Нхх. Чтобы показать это, заметим сначала, что для любого a g S, а ^ 0, существует такой индекс <0 е /, что aS?rio, откуда
a = rtr'.a. Теперь заметим, что г^ау'^гН^ по лемме Грина. Поэтому М^ ^ (а) = qxaq'^ = (q.r^ ^cuQ для любого X е Л. Если ввести Л X /-матрицу Р с элементами рм ~qxri е Нйп, то для любого аг S, а 5^0,-
М^ ^ = Р- yr^aq^ Zo, Хо],
где [г'^х,'» го, Хо] обозначает /ХЛ-матрицу, в которой единственный ненулевой элемент ^aq'^ имеет индексы Zo, Хо. Покажем, что каждая строка и каждый столбец матрицы Р содержат ненулевые элементы. Для любого ХеЛ имеем qx^O и, в силу леммы 1.4, существует такой хг8, что qxx^O. Поэтому существует индекс j г I, для которого xS^rj, откуда qxx&lqxrj. Таким образом, элемент рх, = qxfj ненулевой. Аналогично, для любого i г I существует такой индекс ц е Л, что ptti #* 0.
Дуализируя все замечания данного раздела, для представления MLl полугруппы S и любого аг S, а =#0, получаем выражение
MLx^raV'uaclv ^ М'^
Мы имеем также MRv (0) = Р • 0/ х д и MLx (0) = 0/хд -Р, где 0/хЛ обозначает нулевую /ХЛ-матрицу. Отметим наконец, что отображение хь^-r^xq'^ есть биекция из Hix на Дц. Отсюда следует, что любая матрица [g; i, X], где gEHn, i&I, ХеЛ, представляет некоторый элемент из S. Тем самым доказано последнее утверждение следующего предложения.
Предложение 2.4. Пусть даны группа с нулем G0, множества I, Л и Л X 1-матрица Р над G0, каждая строка и каждый столбец которой содержат хотя бы один ненулевой элемент. Через [g; z, X] обозначим IX ^-матрицу над G0, у которой элемент с индексами I, X равен g г G, а остальные элементы равны 0. Тогда все пары матриц вида {P[g; z, X], [g; Z, X]P} вместе с парой {Одхд, 0/ х /} образуют относительно обычного умножения матриц вполне 0-простую полугруппу. Обратно, любая вполне Q-простая полугруппа изоморфна полугруппе пар матриц описанного выше типа.
Для доказательства достаточно показать, что описанная в утверждении полугруппа пар матриц 0-проста и содержит примитивный идемпотент. Сделать это будет очень легко после доказательства леммы 2.6.
Определение 2.5. Пусть даны группа с нулем G0, множества /, Л и Л X/-матрица Р над G0. Множество всех /ХЛ-матриц [g; z, X] вместе с 0/хд образуют относительно умножения [g; <, X] * [ft; /, ц] = [g; Z, X] Р \h; j, ц] полугруппу, которая обо-
значается через ^<°(G; I, Л; Р) и называется рисовской матричной полугруппой с сэндвич-матрицей Р над группой с нулем G01).
Мы имеем
1 f VgPxjh"- ^ N, если рм ^ О, g; i, X] * й; , ц] = 7
(О/хл в противном случае.
Легким упражнением является доказательство того, что полугруппа ЖНО; 7, Л; Р) регулярна тогда и только тогда, когда матрица Р в каждой строке и в каждом столбце содержит ненулевые элементы. Если не возникает двусмысленности, символ умножения * мы будем опускать.
Лемма 2.6. Полугруппа пар матриц, описанная в предложении 2.4, изоморфна рисовской матричной полугруппе Jt^G; 7, Л; Р).
Доказательство. Отобразить пару {P[g; t, X], [g; г, Х]Р} на матрицу [g; i, X] и проверить. □
Теперь легко проверяется, что регулярная полугруппа v<°(G; /, Л; Р) является 0-простой, ее ненулевые идемпотенты имеют вид [pju1; I, X] при р^^й и все они примитивны. Это завершает доказательство предложения 2.4. Резюмируем предыдущие результаты вместе с соответствующими результатами для вполне простых полугрупп).
Теорема 2.7 (Д. Рис [1940], А. К. Сушкевич [1928]). Полугруппа вполне 0-проста тогда и только тогда, когда она изоморфна регулярной рисовской матричной полугруппе ^{G\ I, Л; Р) над группой с нулем G0. Полугруппа тогда и только тогда вполне проста, когда она изоморфна рисовской матричной полугруппе ЖкО\ I, А; Р) над группой G.
Эта структурная теорема приводит к вопросу об инвариантах вполне 0-простой полугруппы S^^°(G; I, Л; Р): когда v<°(G; /, Л; Р) и ^(G'; I', Л'; Р'^ изоморфны? Очевидно, должны выполняться условия: G^G', I и Г равномощны, Л и Д' равномощны, и, конечно, требуется дополнительное условие для сэндвич-матриц Р и Р'.
Сначала мы выясним, что происходит с сэндвич-матрицей Р, когда в координатной системе Ни, ^qv q'^: XgA), ^r£, r[):
1еЦ, удовлетворяющей условиям (2.1.1), мы, не меняя Дп, I и Л, иначе выбираем qx, q'x, rt, г\ (X еЛ, ie I).
Допустим, что мы выбрали новые элементы qx, qx. ft, r'b также удовлетворяющие условиям (2.1.1). Тогда мы получаем новую матрицу Р=ЦРм), где PM=qx-rt. Но так как IxS'qx и у^гс справедливы равенствеqxqKqx= qK, fl = rir'ifl. Поэтому
Рм а ^й = qxq'xqkr/irl = ^№ pXi (r'^y
Заметим, что оба элемента qxq'K и г/; лежат в Нп (например qKq'x s R^(1 Lq- = R^L^ Д„). Следовательно,
р=Ммь) -р- А/ «Й)>
где Ал (q^V) (соответственно А; (Йй)) является диагональной Л X Л-матрицей (соответственно диагональной / X/-матрицей), у которой Х-й (соответственно z-й) элемент диагонали есть qxqx (соответственно Йй)'
Обратно, если даны два отображения /: Л^-Яц и g: 1-^Нц (или, что равносильно, два семейства элементов из Иц, индексированных множествами Л и I соответственно), то матрица
Р = Ад(/(*))РШ))
является сэндвич-матрицей для полугруппы S, соответствующей координатной системе
Нп> {(^х. Q- bsA). {(Й> Й): ieIY
где qx = HMqx и й = г/£(0 для любых Хе Л, ze/. Резюмируем сказанное.
Предложение 2.8. Две системы координат на вполне 0-простой полугруппе S, использующие одну и ту же структурную группу G и одни и те же-Множества индексов I и Л, приводят к сэндвич-матрицам Р и Р, связанным равенством Р = Ад РА/, где Ад и &i— диагональные Л X Л- и 1X 1-матрицы с диагональными элементами из группы G. Обратно, если Р — сэндвич- матрица для S, Ад и А/— произвольные диагональные матрицы, элементы диагоналей которых лежат в G, то матрица Р = = АдРА/ также является сэндвич-матрицей для S.
Следствие 2.9. Вполне ^-простую полугруппу S^Jla(G\ I, Л; Р) всегда можно координатизировать таким образом, что строка и столбец сэндвич-матрицы Р, имеющие данные индексы Хо и io соответственно, содержат только 0 и единицу е группы G. Такая сэндвич-матрица Р называется (Хо, io)-нормализованной.
Доказательство. Для фиксированных индексов Хо е Л и io el всегда можно найти такие два отображения f: Л->- О и g: I-> G, что для любых X г Л и i г I
f (Хо) PXolg (0= 1 0 fWP^(io) = { уf (Хо) PXolg (0= 1 0 fWP^(io) = { уесли рхл #= 0, в противном случае;если рхи ф О,в противном случае.если рхл #= 0, в противном случае;если рхи ф О,в противном случае.
f (Хо) PXolg (0= 1 0 fWP^(io) = { у
f (Хо) PXolg (0= 1 0 fWP^(io) = { у
если рхл #= 0, в противном случае;
если рхи ф О,
в противном случае.
если рхл #= 0, в противном случае;
если рхи ф О,
в противном случае.
Матрица Р = (рх<), где pXi=fWPxigW, обладает требуемыми свойствами и является сэндвич-матрицей для S в силу предложения 2.8.
Следующая лемма обобщает прямое утверждение предложения 2.8 и дает ключ к связи между сэндвич-матрицами изоморфных рисовских матричных полугрупп.
Лемма 2.10. Если две системы координат на вполне 0-простой полугруппе S используют одни и те же множества индексов I и Л, но, быть может, разные структурные группы G и G, то соответствующие сэндвич-матрицы Р и Р связаны равенством м(Р) = = ДдРА/, где ш: G°-*G° — изоморфизм, а Дд (соответственно А/) есть диагональная Л. X Д-(соответственно IXI-) матрица, диагональные элементы которой лежат в G.
Доказательство. Предположим, что G = Нц и_элементы qx, qx, rv r'i определены так же, как раньше. Взяв G^H^, мы должны выбрать элементы qx, q'x, rp r't так, чтобы они удовлетворяли условиям (2.1.1) относительно пары (/0, Хо) вместо пары (1, 1). Поскольку мы имеем некоторую свободу в выборе элемента q'x ^ Ц, выберем q'^eL^R^. Отображение ®: Ни -► -> Них., заданное формулой ® (х) = q'xxq ^ определяет изоморфизм (см. следствие 2.7 в гл. 2). Заметим, что из соотношений qxS’qx и гУЙХ следует, что qxn = 0, если и только если q^t = 0, и в случае qxn Ф 0 мы имеем ® (qxrt) = ЧхДхгДхг Записывая fi = nut для некоторого Ui е Ri, П Li и qx — vxqx для некоторого их ge Pi П Ех„ (это возможно, так как ft е Ri П Lx«, ^х е Ru П Lx), получаем to(qxn) = (я'х^х)ухг{(и^. Элементы q'xox и и^ зависят соответственно только от X и только от i и лежат в Ню... Взяв диагональную матрицу Ад, Х-й диагональный элемент которой равен q^vx, и диагональную матрицу А,, Z-й диагональный элемент которой равен utqx6, мы получим ®(Р) = = АдРА/, где а очевидным образом продолжен до изоморфизма G0 на G°.
Предложение 2.11 (Д. Рис [1940]). _Две вполне б-простые Полугруппы ^°(G; I, Л; Р) и ^(G; 7, Л; Р^ изоморфны тогда
и только тогда, когда существуют изморфизм со: G-*G и две мономиальные (т. е. имеющие точно по одному элементу в каждой строке и каждом столбце) матрицы V и U, множества индексов которых суть Л X Л и 1X1 соответственно, а ненулевые элементы лежат в G, удовлетворяющие равенству со(Р) = У~хРи.
Доказательство. Если 6: ^<°(G; /, Л; Р)^-^0(0; 7, Х\_Р)— изоморфизм, то он индуцирует биекции ср: 1^-1, ф: Л-*Л, поскольку два элемента, эквивалентные по модулю 91. (соответственно $), имеют 91- (соответственно 2?-) эквивалентные образы относительно 6. Ясности ради мы обозначим <р (z) через z, а ф(Х)— через X. Чтобы определить со: G ^-G, выберем подгруппу Ht»\, в ^0(G; /, Л; Р) и заметим, что ЦНил,,) есть подгруппа Ни, в ^°(5; Л Л; Р). Тогда формула 9[рЦг; *о’ Zo] = = [p^L ©(g); 70) Хо] Для каждого g е G однозначно определяет элемент ®(^)еС. Легкая проверка, которую мы опускаем, показывает, что отображение ю сюръективно и to(gg') = ®(g)to(g/) для любых g, g' г G. Следовательно, © — изоморфизм. Для любых g е G, i е I, X г Л имеем
[g; I, X] = [е; I, Хо] [РхЛ^* ^о> ^а] [Рл-М ^о» ^Ь
Пусть б[е; z, X0]=[uz; 7, Хо] и е[рм0; ^о, X] = [p^v"1; Х- Ч’ где ut, uxeG. Применяя 9 к обеим частям равенства (2.11.1), получаем
6 [g; i, X] —[uz; i, X0][p^©(g); z0, Xo] [p^v^ ; 70, X], (2.11.2)
0[g; i, X] = [uito^vx1; z, x].
Вводя в рассмотрение мономиальную матрицу U, в которой элемент с индексами I, Ц1<=1) есть щ, и мономиальную матрицу V, в которой элемент с индексами X, X (X е Л) есть гц, можно переписать (2.11.2) в виде
0 [g; I, X] = U [© (g); z, X] V*1.
В частности, ^р^; I, Х] = 9[р“’; I, X] = G[®(р^); I, Х]У-1 для любых iel, X е Л. Отсюда следует, что Рп = и1®^рх^охх, а переходя к обратным элементам, получим Р = Vm(P) U~v или ю(Р)=у-1р^
Обратно, если даны изоморфизм ® и две мономиальные матрицы U и V, связанные равенством ®(Р)= V~XPU, то формула ^2.11.3) определяет биекцию из X°(G; /, Л; Р) на J?°^G; 7, Л; Р),
Поскольку
e[g; i, Я]е[A; j, ^A^uv®^; t. *] Vw [© (Л); /, ц]1/-‘ =
= и\®^у, i, X] to (P) [to (/i); b NV-1 =
= 6 ([g; i, X] [ft; j, p,]),
в действительности формула (2.11.3) определяет изоморфизм.
Следствие 2.12. Пусть S = ^0(С; /, Л; Р) — вполне 0-простая полугруппа. На множестве HolS всех троек (U, V, со), в которых U ^соответственно V) есть мономиальная 1X1- ^соответ- ственно Л. X А--А матрица с элементами из G0, а го— автоморфизм группы G, удовлетворяющий равенству ®{P)=V~XPU, определим умножение формулой
(G, V,®KU', V',a') = (Ua>(U'), Усо (Р), «со').
Тогда HolS становится группой, называемой голоморфом полугруппы S. Группа Aut S автоморфизмов полугруппы S изоморфна факторгруппе Hol S/G', где G' — подгруппа в HolS, изоморфная G: G' = {(А/(х), Ад(х), го*): хеСу Матрицы А(х) диагональны, и все диагональные элементы равны х; ®х — внутренний автоморфизм, определяемый элементом х.
Доказательство. Проверку того, что (2.12.1) определяет групповую структуру на HolS, мы оставляем читателю. Фактически формула (2.12.1) получается, если рассмотреть композицию двух автоморфизмов 6, 6' полугруппы S, определяемых формулой (2.11.3). Отображение Ф: HolS^-AutS, заданное равенством Ф(У, V, ю) = 0, где 6 определен согласно (2.11.3), является сюръективным гомоморфизмом, причем
КегФ= {(У, V, го): и\вДёУ, i, X] ^‘^[g; I, X]
для любых z е I, X е Л, g е G}.
Таким образом, (G, V, го)еКегФ тогда и только тогда, когда для любых I, X, g выполняется равенство Щ® (g) ox* = g и матрицы U, V диагональны. Мы имеем UiVxV = e для любых I, X. Это означает, что щ = их и, если обозначить этот элемент через с, то ro(g) = c~'gc. Следовательно, КегФ есть группа G', состоящая из всех троек (А/(с), Ад (с), гос), где се G. □
Нормальная подгруппа Hs = {(G, V, ro)eHolS: го == 1} группы Hol S, изоморфная группе всех пар G, V, для которых VP = PU, играет важную роль в конструкции идеального расширения полугруппы S при помощи группы с нулем. Мы называем Hs стандартной группой обратимых элементов для S (см. ниже определение 5.9). Образ группы Hs в AutS при действии определенного выше гомоморфизма Ф можно назвать группой внутренних автоморфизмов полугруппы S, и мы обозначаем ее
посредством InnS. Так как Кег Ф П Н$ = {(А/(х), Ад(х), 1): х е G} и так как равенство юх = 1 справедливо тогда и только тогда, когда х лежит в центре группы G, мы видим, что InnS ^Hs/Z(G}, где Z(G) есть подгруппа в Hol S, изоморфная центру группы G.
3. Некоторые примеры
Правые группы
Правой группой называется простая справа полугруппа с левым сокращением (гл. 1, упр. 6). Легко проверить, что правая группа S является вполне простой полугруппой и S^J?^G; I, А; Р), где card 7 = 1, А равномощно множеству идемпотентов из S, а Р есть АХ{1}-матрица-столбец, элементы которого равны единице е группы G (см. следствие 2.9).
Прямоугольные связки
Это полугруппы, удовлетворяющие тождествам х2 — х и хух = х (см. пример 1.2(c)). В прямоугольной связке В соотношение а^Ь (соответственно aSb) выполняется тогда и только тогда, когда ab = b и Ьа = а (соответственно ab=a и ba=b), а 5^ совпадает с равенством. Если структурная группа Нп = {е} выбрана, то существует лишь одна возможность выбора элементов qx (X е А) и г, (i е 7) координатной системы для В. В силу замечания 2.2 мы имеем qxri — e для любых ХеА, i^I. Поэтому pxi = e и В ^ ^({е}; I, Л; Р), все элементы матрицы Р равны е. Отображение [е; i, Х]>—>(i, X) из ^((е); 7, Л; Р) в множество /ХА есть изоморфизм на декартово произведение полугруппы левых нулей на множестве 7 и полугруппы правых нулей на множестве Л.
Полугруппы Брандта
Полугруппа, которая одновременно вполне 0-проста и инверсна, называется полугруппой Брандта. В 1927 г. Брандт изучал множества с частично определенным умножением, удовлетворяющие некоторым аксиомам ). Если произведение элементов, ранее не определенное, объявить равным нулю 0, то получится то, что мы называем полугруппами Брандта.
Предложение. Полугруппа В тогда и только тогда является полугруппой Брандта, когда В ^ ^°(G; 7, 7; А/), где А/ есть диагональная IX 1-матрица, все диагональные элементы которой равны единице е группы G.
Доказательство. Если В — полугруппа Брандта, то В инверсна и потому каждый ее 5?-класс и каждый S-класс содержат в точности по одному идемпотенту. Если B^^°(G; /, А; Р), то для любого 1^1 существует только один индекс Х(г)еА, для которого рхщ,; #= 0, поскольку {%-класс с индексом г содержит единственный идемпотент, а именно [рхт, Г, I, Х(г)]. Отсюда и из двойственного рассуждения с S-классами следует, что I и А равномощны. Отождествляя X(i) с I и тем самым Ас/, мы получаем BsJt°(,G; I, I; Р), где Р — диагональная /X/-матрица. Далее, всегда можно найти функции f и g из I в G, такие, что
....(°, если i j,
f^PijgU) = A .
е, если i = /.
Применение обратного утверждения предложения 2.8 показывает, что В^Ж°(О; I, I; А,)1). □
Эндоморфизмы ранга ^ 1 правого векторного пространства V над телом К
Все эндоморфизмы ранга ^ I из полугруппы Endx V образуют вполне 0-простую полугруппу 5 (см. предложение 4.2 в гл. 2). Для двух эндоморфизмов f и g в полугруппе S, так же как и в ЕпсД V, соотношение f^g выполняется тогда и только тогда, когда Kerf=Kerg, a fS'g выполняется тогда и только тогда, когда Imf=Img. Далее, для f е S, f ^= 0, имеем dim Im f = 1 = codim Ker f. Отсюда вытекает, что в качестве индексирующего множества А для семейства ненулевых S-классов полугруппы S можно взять множество всех подпространств размерности 1 из V. Аналогично, в качестве индексирующего множества / для семейства ненулевых 5?-классов можно взять множество всех одномерных подпространств пространства V* (сопряженного к К). Следовательно, 8^Л°^О; I, А; Р), где G— полная линейная группа на векторном пространстве размерности 1, т. е. G s К* = К\ {0}. Чтобы определить Р, выберем базисный вектор ех для одномерного подпространства из V, отвечающего индексу X е А, и базисную форму ft для одномерного подпространства из V*, отвечающего индексу i е /. Мы предполагаем, что. множества Ли/ имеют общий индекс 1 и что е^\ = 1. Чтобы построить координатную систему для S, возьмем Hu = ^feS-. \mf = etK, Ker f =(Kfi)1} (для подпространства V* из V* множество (U7*)1 есть по определению (чеУ vf = 0 для всех feW*^Y Так как е^К © (Afi)1 = V, в силу предложения 4.2(с, d) из гл. 2 Нп является максимальной подгруппой в S. Заканчивая построение координатной си-
стемы-, выберем qx е Нхх и г^еНц следующим образом: еДх = ех и (М)1)?х = О,
vrt = ех (vfz) Для любых и е 1Л
При таком выборе qx и rt мы имеем exqxrt = ex(exft). Поэтому сужение на ехК линейного преобразования qxrx отображает eia на ex(exfi)a.. Отождествляя преобразование qxn со скаляром exft и, следовательно, группу Нхх— с К*, получаем
Предложение (Л. М. Глускин [1959]). Полугруппа всех эндоморфизмов ранга ^ 1 из правого векторного пространства V над телом К изоморфна рисовской матричной полугруппе J(°(K*: (М> е/. {елЬ^л; Р) где К* = К\{0}, {ex}xsA есть множество базисных векторов для одномерных подпространств из V, {f,}, ei есть множество базисных форм для одномерных подпространств пространства V* (сопряженного к V) и Р есть Л X 1-матрица над К с элементами рм = exfi.
4- Вычисление регулярных ^-классов в полугруппе преобразований на конечном множестве
Пусть S — подполугруппа полугруппы ^(Д) всех преобразований, действующих справа на конечном множестве Д. Мы предполагаем, что S задана своими образующими, как в разд. 4d гл. 2. Как мы видели, в S можно выявить регулярные ^-классы (гл. 2, предложение 4.5) и найти индексирующие множества для 5?- и S'-классов, содержащихся в каждом таком S’-классе D (гл. 2, предложение 4.6).
Так как S конечна, имеем Ф = У и поэтому для любого aeD получаем D = SxaSx\Ifa), где I(a)= {xeSxaSx: SxxSx =N S’aS1} (гл. 2, лемма 1.12). Обозначим через О0 главный фактор SxaSx]I{a). Согласно предложению 1.13 гл. 2, полугруппа Вй проста или 0-проста в случае регулярного класса О. Из конечности S следует, что D0 вполне проста или вполне 0-проста.
Мы намереваемся дать здесь метод определения структуры полугруппы D0 в виде рисовской матричной полугруппы. Напомним обозначения, введенные в разд. 4d гл. 2:
S°(ti) — {Im ay: yeS1 и card (Im ay) = card (Im a)},
^° (a) = {Ker xa: xeS4 card (Д/Кег xa) = card (Д/Кег a)},
3(a) = {BeS°(a): В трансверсально некоторой ле
е^а)),
^ {а) = {л е Х° (а): л трансверсальна некоторому
B^S°(a)}.
Построим для D координатную систему
(4.0.1) И, {^в, q'B\ В еЗ^, {(гя, г'^. л е Г (а)},
предполагая, что Н есть 5^-класс из Ra, содержащий идемпотент. Чтобы построить элементы qB, выберем для каждого Ве^^ один элемент у в е S1, такой, что Im аув = В, и возьмем дв = аув. Семейство элементов qB (В пробегает ЭДа)) образует систему представителей ^-классов из S, лежащих в Ra. В частности, мы имеем qr = аут е Н для некоторого Т е еЗДя). Сформировав -ЖД^г), выберем для каждой эквивалентности л е Ж {qi) один элемент хя е S1, такой, что Кегхя^г = л, и возьмем гя = x^qj. Это дает нам систему представителей 5^-классов из S, лежащих в S'-классе, содержащем Н. Два семейства qB (ВеЭДп)) и гл (леЖ^Цт^ — Ж {a)) удовлетворяют условию (2.1.1) (а) для координатных систем. Для каждого В е 3 (а) выберем трансверсальную ему эквивалентность ^еЖ^тУ Тогда ^-класс Т^рПЛе содержит идемпотент. Предложение 2.5 из гл. 2 утверждает, 4ToqBr^e.RqB^\Lr^= — Н. Обозначив через ^Явг^)~х элемент, обратный к qBr^, в группе Н, положим q'в = гр (qBr^)~l. Легко проверяется, что семейство {(9в> 9в): В Е S (а)} удовлетворяет условию ((2.1.1) (Ь). Можно было бы аналогично построить элементы г^((л е Ж(9Г)), удовлетворяющие условию (2.1.1) (с), но эти элементы не используются при нахождении рисовской матричной полугруппы, изоморфной D0.
Заметим, что полная информация о группе Н не была использована (и она на самом деле не нужна) при нахождении элементов qB, q'B, гя. Группа Н вычисляется в терминах образующих как группа подстановок на множестве Т с помощью правого ^-представления полугруппы S относительно класса D.
Лемма 4.1. Пусть S — полугруппа преобразований на конечном множестве Л и X— множество ее образующих. Пусть Н — максимальная подгруппа из S, лежащая в Ф-классе D и состоящая из преобразований, общим образом которых является подмножество Т из А. Тогда Н изоморфна группе подстановок Н на множестве Т, порожденной ненулевыми элементами матриц М(х), хеХ, где М обозначает правое ®-представление полугруппы S относительно класса D, использующее Н в качестве структурной группы.
Доказательство. Каждый элемент he Н индуцирует подстановку на Т, которую мы обозначим через 1г. Очевидно, множество Я всех таких подстановок является группой, изоморфной Н. Взяв 5?-класс R полугруппы S, содержащий Н, и единицу е группы Н, рассмотрим координатную систему R№ №«.»«):
Se.S'te)}] для R (гл. 2, определение 5.3). Правое ^-представление М полугруппы S относительно этой системы задается для любых seS, В, Се ^(е) формулой
Мв. с (s) —Мв. с (s) —Й(?Л)’ если HBs = Hc,
Мв. с (s) —
Мв. с (s) —
О, если HBs Г\Нс = 0.
Получаем полугруппу Л1(5) мономиальных по строкам матриц, порожденную множеством М(Х). Так как матрицы M(h), где h^ Н, порождают группу, изоморфную Н, ненулевые элементы матриц из М(Х) составляют множество образующих этой группы. Переписывая M(s) в виде матрицы над HU {0}, мы получим в качестве порождающего множества для Н множество^qBxqG'. хе X, В, С г 3 (е) и Вх = С}. □
Подытоживая все эти наблюдения, сформулируем следующий алгоритм, дающий строение регулярного ^-класса полугруппы S.
Алгоритм 4.2. Пусть S — полугруппа преобразований на конечном множестве, а X— множество ее образующих. Взяв элемент aeS, нужно выполнить следующие действия.
Выписать ядро Кег а и образовать совокупность 3й(а) множеств, определенную формулой (а) в начале параграфа. Для каждого Be 3й (а) отметить такой элемент цв = аув, что Im qB = В.
Проверить, допускает ли ядро Кег а какой-либо транс- версал Т еЗй(а). Если нет, то элемент а не регулярен и процесс останавливается. Если да, вычислить qi.
Образовать последовательно семейства Ж°^т), 3(a), Ж(qт), указывая такие элементы qB=ayE, что Im qв=В е 3 (а), и такие элементы гя = xnqT, что Кег гя = л г Ж (qT).
Для каждого ВеЗ(а) найти все трансверсальные ему эквивалентности пеЖ (qj) и вычислить соответствующие произведения qern как подстановки на множестве Т.
Для каждого В еЗ(а) выбрать одну трансверсальную ему эквивалентность Р е Ж (qr) и вычислить У'в = г^(Чвг^-х*
Для каждого В еЗ(а) и каждого х е X вычислить Вх. Если Вх е 3(a), вычислить ЯвхА'вх как подстановку на множестве Т.
Рисовская матричная полугруппа, описывающая структуру ©-класса элемента а, есть Jt°(G; I, Л; Р), где / = Ж (qT) и Л = = 3 (а) даются шагом (с), ненулевые элементы pB,n = qRrn матрицы Р даются шагом (d), а образующие группы G в виде подстановок даются шагом (I),
Чтобы проиллюстрировать этот алгоритм, мы снова рассмотрим пример из разд. 4d гл. 2. Полугруппа S порождается преобразованиями
_/1234567891011124
Х~"V24562891111121б)’
=/123456789101112\
У\34 4 7 2 8 1101181б)'
Мы вычислим структуру 55-класса элемента х, отсылая читателя за некоторыми деталями к разд. 4d гл. 2. Результаты (а) — (f) получаются применением инструкций к шагам (а) — (f) алгоритма 4.2.
Кегх=(1, б|2|3[4, 12[6|7|8, 9|10|11). ^°(х) = (Imх, Imxy}, где 1тх={1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12} и 1тху={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11 }.
^Im х —• X,^im ху — Ху.
Кегх трансверсальна Т = 1т ху, и
_/1 2 3 4 5 67891011 124
qT— ху=^ 7 2 8 4 10иt!63
5>-класс элемента х регулярен.
Кег ху = Кег х =(1, 5|2|3|4, 12|6|7|8, 9|10| 11) трансверсальна множеству Т. Ядро Кег уху = (112, 3141516, 10] 7, 11|8|9| 12) трансверсально Imx.
^° Ы = {Кег ху, Кег уху} = Г (уг),5^°(х) = <7(х) = {Im х, Imxy},
У1т х =я X, qimxy —Ху, Г^етху^Ху, Гкет уху = уху.
Множество Imx трансверсально только к Кегуху: У1тх-гкегЯх„=хуху = (1, 8, 4) (2, 11) (3, 7) (6) (10) на Т.
Множество Im ху трансверсально только к Кег xyt
yim ху • 7кег Ху — Хуху.
Ч\тх = Ч«уху {У1тх • '■кегуху) ‘ = УХУ кхухуУ' = / 123456789101112 \
’кН1 12348674810 )’
9to ху = ГКег ху (уIm ху * ГКег ху)"‘ = ХУ ^ухуТ" =
/ 1234 5 6 7 8 9101112 X
”(в3111 8 10 2 4 4671 J'
(Imx)x = {l, 2, 4, 6, 8, 11}; (Imх)у = Imxy.
(Imxy)x = Imx; (Imxy)у— {1, 3, 4, 7, 8f 10),
^Im xy4im ху = ХУХУ (ХУХУ) ’ тождественно на Т.
УхтхуХУхтх^ хУхУхУ^хУхУГХ = (L 4- 8)(2, 7, 11, 3)(6, 10) на Т.
Рисовская матричная полугруппа, ассоциированная с ^-классом элемента х, есть ^<°(G; /, Л; Р), где G— циклическая группа порядка 12, порожденная преобразованием а = = (1, 4, 8)(2, 7, 11, 3)(6, 10), /={Кегху, Кегуху}, Л = = {Imx, Imxy}, Р = ^2 о )• Это 2X2-полугруппа Брандта над G.
Малые моноиды и их связис комбинаторикой
Этот параграф посвящен изучению моноидов видаЛ! = S\J Н, где S — вполне 0-простой идеал в М, а Н— группа обратимых элементов из М. Мы называем их малыми (small) моноидами и рассматриваем два различных подхода к построению таких моноидов; оба подхода обеспечивают связи с интересными разделами комбинаторики.
Разложения абелевых групп
Пусть (Н, +)—абелева группа. Два подмножества А, В из Н составляют разложение группы Н, и мы пишем Н = А © В, если для любого he Н существует единственная пара а, Ь, где asA, b е В, для которой h = а + Ь. Например, подгруппа А из Н и множество В представителей смежных классов по этой подгруппе составляют разложение группы Н. Проблема нахождения всех возможных разложений данной конечной абелевой группы впервые рассматривалась Хайошем [1950]. И после ряда работ (см., например, Редей [1950], де Брейн [1953], Сэндз [1957, 1959, 1974], Фукс [1960, гл. 15]) эта проблема остается открытой даже в случае, когда Н — циклическая группа.-
Еще один аспект возникает в следующей ситуации.
Пусть Е = {0, 1п—1} и М — моноид преобразований на множестве Е, порожденный циклом х — (0, 1, ..., п—1) длины п и еще одним преобразованием у. При каких ограничениях на у моноид М имеет вид S\jH, где S — минимальный идеал в М, а Н— группа обратимых элементов?
Определение 5.1. Разбиение л множества Е = (0, 1, ... ..., п—1} называется совершенным, если л допускает такой трансверсал Т, что множество 7 + A(modn) при любом целом
к остается трансверсалом для л. Такой трансверсал также называется совершенным).
Например, при п = 6 разбиение (0, 2, 4|1, 3, 5) совершенно, имея совершенный трансверсал Т = {0, 1}, тогда как разбиение (0, 1, 3|2, 4, 5) не является совершенным.
Предложение 5.2. Моноид преобразований М на множестве Е = {0, 1, ..., п — 1}, порожденный циклом х =(0, 1 п— 1) длины п и другим преобразованием у, является клиффордовой полугруппой (и потому в случае rank у <_ п имеет вид М = = S U Н, где S — вполне простой идеал) тогда и только тогда, когда Кег у есть совершенное разбиение, для которого Im у служит совершенным трансверсалом.
Доказательство. Если моноид М клиффордов, то ухк для любого к е N лежит в некоторой подгруппе из М. Но Кег ухк = = Кегу и Im ухк = Im у 4- 6 (mod п). Из предложения 4.1(d) гл. 2 следует, что Кег у — совершенное разбиение, a Im у —его совершенный трансверсал. Обратно, предположим, что Кег у является совершенным разбиением множества Е с совершенным трансверсалом Im у. Тогда Im ух* трансверсально Кегу, откуда Im ухку = Im у. Это влечет равенство Im ywy = Im у для любого w е М, а потому множества Im у и Im yw и, следовательно, Im иуи равномощны для любых и, и еМ. Это означает, что ®-класс S элемента у является минимальным идеалом в М. Если rank у = п, то М — группа, а если rank у < п, то М = S U Н, где Н — циклическая группа, порожденная элементом х. □
Предложение 5.3. Если л — совершенное разбиение множества {0, 1, ..., п—1}, а Т— соответствующий совершенный трансверсал, то для любого t ^Т и-класс элемента t и множество Т составляют разложение группы Zn.
Доказательство. Предположим, простоты ради, что Т = = {/0 = 0, 6, t2, ..., tk-\) и что Z„ = А © Т, где А = (а0 = 0, аь а2, ..., П/-1} есть класс элемента 0 по модулю л.
Обозначим через 6(4) и ЦТ) множества разностей элементов из А и из Т соответственно, и пусть хе6(4)П6(Т). Допустим, что х = аг — as = ti — tj, где г #=s и i#= j. Отсюда получаем ar = as + ti — tj. Так как элементы 0, t\, t2, ..., tk-\ лежат в разных классах по модулю л, то же самое верно и для элементов, полученных прибавлением) числа as — tj. В частности, элементы tj + cis — tj = as и ti + as — tj = ar лежат в
различных л-классах, что невозможно. Следовательно, б(Л)П Л6(Т)={0}.
Рассмотрим список
ОЛt2 . ... th_\
1^+1/2+1 ... ^ + 1
n— 1 ^ + (n 1) /2 + (л— 1) • • • ^-l+(rt— 1)
Элементы каждой строки лежат в разных л-классах. Мы распределим эти элементы по классам С/0, СИХ, ..., Cltk-\, записывая их столько раз, в скольких строках они появляются. Каждый элемент будет записан в свой класс к раз, а общий список каждого класса содержит п элементов (поскольку каждый класс имеет по одному элементу в строке). Поэтому каждый л-класс содержит одно и то же число l = n/k элементов. С другой стороны, в списке
О t\^2^6-1
^101+^1а1 + ^2 ... й1 + ^-1
П;_1 Cii_xJrtx й/_1+^2... а/-1 + ^-1
никакие два элемента не равны согласно доказанному в (а). Но этот список содержит k-l = n элементов, откуда следует равенство Хп = А-уТ, а с учетом (а) получаем Z„ = АФТ. □
Следующее утверждение частично обращает предложение 5.3.
Предложение 5.4. Если множества А и Т составляют такое разложение группы Zn, что Л f] Т = {0}, то существует совершенное разбиение л множества {О, 1, ..., п—1}, для которого А является л-классом, а Т — совершенным трансверсалом.
Доказательство. Положив Т = {^0 = 0, tx, ..., /*_]}, заметим, что множества А, А + tx, ..., А + tk-x образуют разбиение л множества {О, 1, ..., п—1}, трансверсальное к Т. Предположим, что для некоторого хеми индексов I, j (0 ^ I, j < к) как х + ti, так и х + tj лежат в А + t, (0 ^ г < А). Тогда элементы х-V ti— t, и x^-tj — tf лежат в А. Отсюда выводим:
ti — tj^UA-ti — tr)—UA-tj — ^)еб(Л)Пб(Т) = {0}, и поэтому i = j. Следовательно, для любого xeN множество (х, х+6, ..., х + tk-x) является трансверсалом для л, и Т вместе с л совершенно. □
Замечание 5.5. Множества А = {0, 2, 4} и Т = {0, 5, 6, 11} образуют разложение группы Z12. Совершенное разбиение мно-
жества {О, 111}, получаемое в доказательстве предложе
ния 5.4, есть (0, 2, 415, 7, 916, 8, 10|11, 1, 3). Другое разбиение, для которого совершенным трансверсалом также служит Т, есть (0, 2, 415, 3, 1[6, 8, 10|11, 9, 7). Таким образом, проблема нахождения всех клиффордовых моноидов, порождаемых циклом х=(0, 1л — 1) и другим преобразованием у на множестве (О, 1, ..., и — 1}, сводится к
определению природы слагаемых в произвольном разложении 2„ = Л Ф 7;
нахождению для данного слагаемого Т группы Z„ всех совершенных разбиений, для которых Т служит совершенным трансверсалом.
Группы автоморфизмов систем инцидентности
Система инцидентности 9 = kV, &, /)— это тройка, состоящая из множества V элементов, называемых точками или многообразиями, множества ^ блоков и подмножества / декартова произведения VX^, называемого инцидентностью системы 9. Если (р,В)е! для р е V, Be 98, то мы говорим, что точка р и блок В инцидентны, или р принадлежит блоку В (или лежит на В), или В содержит (или проходит через) точку р. Всюду далее мы предполагаем, что V и 98 конечны, причем card V = и и card В = b. Матрица инцидентности М (^”) системы 9 определяется как у X 6-матрица с элементами тР1 в из {0, 1}, заданными формулой
( 1, если (р, B^el,р 0 в противном случае.
Пример 5.6. Пусть V = {0, 1, 2, 3} и ^ — множество всех двухэлементных подмножеств из V. Определим / следующим образом. Для любых р е V, ВеЙ положим (р, В)е 1 тогда и только тогда, когда р е В. Матрица инцидентности М (9) построенной системы 9 имеет размеры 4X6, каждая ее строка содержит три единицы, а каждый столбец — две единицы.
Система инцидентности, в которой каждый блок содержит одно и то же число к точек и каждая точка принадлежит одному и тому же числу г блоков, называется тактической (А, ^-конфигурацией. Если дана тактическая конфигурация 9 = (V, &, /), где ^={В[, ..., ВьУ то для любого i, 1 ^ i ^ Ь, определим множество Х;=\р eV: (р, В^еЦ. Тогда каждое Х{ является ^-элементным подмножеством из V, V = ULi Xt, и, подсчитывая двумя способами общее число единиц в М(9), мы получаем bk = иг. Для любой точки р е V имеется у — 1 двухэле-
ментных подмножеств из У, содержащих р. С другой стороны, р принадлежит г множествам из числа Хь Х^ ..., Хь, а каждое из последних содержит к — 1 двухэлементных подмножеств, содержащих р. Если предположить, что каждое двухэлементное подмножество из V принадлежит одному и тому же числу X множеств среди Хь Х2Хь, то г (к—1) = Х(у—1). Обратно, если V— множество из и элементов и ^ = ^Хх, Х2, ... ..., Хь) — совокупность его ^-элементных подмножеств, таких, что любое двухэлементное подмножество из У содержится в X множествах из числа Хь Х2Хь, то, как и выше, к—1 делит Х(у— 1) и частное г есть число множеств среди Хх, Х2, ... ..., Хь, содержащих произвольный данный элемент из У. Отсюда следует, что У = (У, &, /) (где / определяется условием: (р, Xi) г /, если и только если р е Xi) является специальной (А, г)-конфигурацией. В случае у^^ + 2 такая тактическая конфигурация ^ называется (уравновешенной неполной) блок- схемой, а указанные выше числа Ь, о, г, к, X называются ее параметрами. Здесь заслуживают упоминания два частных случая блок-схем.
Система троек Штейнера
Так называется блок-схема 9’ = ^У, %, I) с параметрами и > 3, к = 3 и Х= 1, т. е. совокупность ^ таких трехэлементных подмножеств из У, что каждое двухэлементное подмножество из У лежит точно в одном трехэлементном подмножестве, принадлежащем ^. Из равенств bk — vr и г^к—1) = Х(у— 1) мы получаем для системы троек Штейнера соотношения ЗЬ = иг и 2г = у— 1, откуда 6Ь = и(и—1). Таким образом, у = 1 или у = 3(mod6)).
Пример 5.7. На рис. (5.7.1) блоки системы троек Штейнера при у —7 наглядно изображаются линиями.
Конечная проективная плоскость
Так называется система инцидентности ^ = (1/, ^, /) (элементы из ^ называются прямыми), в которой (а) для любой пары точек рь pa е V, р\ р2, существует в точности одна прямая Ее$, такая, что (pi, L)e / и (р2, L)el; (b) для любой пары прямых Ьь L2e^, L\=^L2, существует в точности одна точка pel/, такая, что (р, Г\)^1 и (р, L2)el; (с) существуют по меньшей мере четыре различные точки pi, р2, р^ р4 е V, никакие три из которых не инцидентны одной прямой Le$. Система троек Штейнера из примера 5.7 является также примером конечной проективной плоскости. Непосредственно из аксиом следует, что для двух различных прямых L\ и L2 в проективной плоскости (см. диаграмму (5.7.2)) существует точка
р е V, не лежащая на L\ и L2, и с помощью прямых, проходящих через точку р, можно установить взаимно однозначное соответствие между точками <71, лежащими на L\, и точками q2, лежащими на L2. Поэтому каждая прямая из ^ содержит одно и то же число точек, скажем «+ 1, а каждая точка из V лежит в точности на п + 1 прямых. Отсюда вытекает, что ^ содержит п2 + п + 1 точек и п2 + п + 1 прямых. Число п называется порядком проективной плоскости, и известно, что для всех и = р“ (р — простое) существует плоскость порядка п. Однако теорема Брука — Райзера утверждает, что если п = 1 или n = 2(mod4) и свободная от квадратов часть числа п имеет простой делитель p = 3(mod4)1), то проективной плоскости порядка п не существует (например, для п = 6). Конечные проективные плоскости являются особыми примерами симметричных блок-схем (т. е. блок-схем, параметры которых удовлетворяют равенствам Ь = и и r = k). Дальнейшие детали см., например, в книге Райзера [1963, гл. 7, 8].
Гомоморфизмом системы инцидентности ^ = (1/, ^, I) в систему инцидентности ГР' = (V', ST, I') называется пара (ip, <р) отображений ip: V^-V', ф: ЗЕ-^ГУ, сохраняющая инцидентность,
е. (р, В) г! влечет (ф(р), ф(В))е/'. Соответствующим образом используется обычная терминология: изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм.
Предложение 5.8. Пусть ^ = (И, %, /)—система инцидентности с матрицей инцидентности М^). Группа автоморфизмов системы У изоморфна группе пар (Q, R) подстановочных матриц, удовлетворяющих равенству Q-М(^) = М(^)-R.
Доказательство. Пусть дан автоморфизм (ф, ф) системы 9\ Обозначим VX V-матрицу, определяемую подстановкой ф, через Q, а ^Х ^-матрицу, определяемую подстановкой ф— через R. Тот факт, что (р, В)е/ влечет (ф (р),ф(В))е I, на языке матриц означает, что М (S’) = QM R-x, или QM(95') = = ЩТ)Т. Отображение (ф, ф),—>(Q, R) и задает требуемый изоморфизм. □
Группа автоморфизмов системы инцидентности тесно связана с некоторой группой Н$, которая служит группой обратимых элементов моноида. М = Hs U В, где S — вполне 0-простая полугруппа.
Определение 5.9. Пусть S = ^0(G; /, Л; В)— регулярная ри- совская матричная полугруппа. Множество всех пар (Q, R) мономиальных ЛХЛ-.и /Х/-матриц с элементами из G0, удовлетворяющих равенству QP = PR, образует группу относительно обычного умножения матриц. Она обозначается через Hs и называется стандартной группой обратимых элементов для S.
Такое название группы Hs обусловлено тем, что на множестве BsUS можно следующим образом определить структуру моноида. Для любой пары /i = (Q, В) из Hs и любой матрицы [g; i, /.]eS определим h\g\ i, X] как произведение матриц R-\g;i, X], a [g; I, Х]/г — как произведение [g; i, X]-Q и положим /г-О = 0-/г = 0. Более общо, справедливо
Предложение 5.10. Пусть S = ^°(G; /, Л; Р)~ регулярная рисовская матричная полугруппа и Hs — ее стандартная группа обратимых элементов. Пусть даны группа Н и гомоморфизм 6: H->HS. Определим на множестве M = H\jS операцию, положив h-s = O(h)s и s-h = sO(h) для любых h еН, seS и сохранив умножение в Н и в S. Тогда М становится малым моноидом, в котором Н — группа обратимых элементов, aS — вполне 0-простой идеал. Обратно, любой малый моноид М = = H\jS, где S = Ж°^О\ L Л; Р), а Н — группа обратимых элементов, может быть получен таким способом.
Доказательство. Прямое утверждение, оставляемое в качестве упражнения, состоит в проверке ассоциативности. Для доказательства обратного утверждения предположим, что М —
= H\^S, где Н— группа обратимых элементов, a S — идеал. Если мы зафиксируем некоторые индексы Хо е Л и io Е I, то для любых he Н, lei, Хе Л
h [е; I, Хо] = [г,; <р(0, Хо], [е; i0, X] h = [^к; i0, Ф(Х)],
где е— единица структурной группы полугруппы S. Эти формулы определяют мономиальную по столбцам IX /-матрицу R и мономиальную по строкам Л X Л-матрицу Q: R содержит на пересечении /-го столбца и <р(/)-й строки элемент rt, a Q содержит на пересечении Х-й строки и ф(Х)-го столбца элемент qx. Далее, h [е; i, Хо] = R [е; I, Хо] и [е; i0, X] h = [е; /0, X] Q, откуда уже для любых [g; i, X]eS вытекают равенства h\g; I, X] = = /?[§■; i, X] и [g; i, X]/i = [g; i, X]Q. Так как правые и левые сдвиги, определяемые элементами h, являются подстановками на S, сохраняющими Жклассы, преобразования <р и ф на множествах I и Л соответственно также являются подстановками. Формула ([е; /0, X] Zi) [е; i, Хо] = [е; /0, X] (А [е; i, Хо]) переходит в матричное равенство QP = PR. Следовательно, соотношения (5.10.1) определяют отображение 6: hv-^Q, R) из Н в Hs. Легко проверяется, что 0 — гомоморфизм. □
Система инцидентности ^ = (V, %, I) называется невырожденной, если ее матрица инцидентности М (^) содержит по крайней мере одну единицу в каждой строке и в каждом столбце. Рисовская матричная полугруппа системы S’ определяется равенством Л> = .<'1({1}; ^, V; М (S’)).
Теорема 5.11. Пусть S’— невырожденная система инцидентности и Ж? — ее рисовская матричная полугруппа. Тогда следующие группы изоморфны:
группа автоморфизмов системы S’;
стандартная группа обратимых элементов для Ж^;
группа автоморфизмов полугруппы Ж^.
Доказательство. Изоморфность групп (а) и (Ь) вытекает из предложения 5.8 и определения 5.9. Изоморфность групп (Ь) и (с) обусловлена тем общим фактом, что для рисовской матричной полугруппы S = ^°({e}; /, Л; Р) мы имеем Hs^ sAutS. Это вытекает из следствия 2.12, так как в случае G = {е} голоморф полугруппы S совпадает с Hs и является группой автоморфизмов полугруппы S. Заметим также, что при G = {е} все эти автоморфизмы внутренние. □
Для системы S’ из примера 5.7 стандартная группа обратимых элементов для вполне 0-простой полугруппы Ж .у является фактически группой автоморфизмов (единственной) проективной плоскости порядка п = 2. Эта проективная плоскость служит проективным пространством трехмерного векторного про-
странства над полем Z2. Ее группа автоморфизмов совпадает с группой GL (3,2) всех обратимых ЗХ 3-матриц над Z2. Дальнейшую информацию об определении групп автоморфизмов блок-схем см. у М. Холла [1967а].
Библиографические замечания
Решетку конгруэнций вполне 0-простой полугруппы описывали несколько авторов: Л. М. Глускин [1956], Тамура [1960], Престон [1961]. Лаллеман [1967, 1974а], Капп, Шнайдер [1969]. Предпринимались также спорадические попытки обобщить теорему Риса — Сушкевича; см., например, Штейнфельд [1967], Лаллеман и Петрич [1969], Аллен [1971]. Группа автоморфизмов ри- совской матричной полугруппы S связана с полугруппой сдвигов на S; см. Петрич [1968, 1973]. Алгоритм из § 4 для вычисления рисовской матричной полугруппы, ассоциированной с регулярным 2)-классом полугруппы преобразований на конечном множестве, предложен Перро [1971] вместе с описанием соответствующей АПЛ-программы; см. также Кузино, Перро, Риффле [1973]. Этот алгоритм считается важным инструментом исследования, особенно при желании изучить природу максимальных подгрупп конечной полугруппы преобразований (см. гл. 8) В § 5 показано, что построение моноидов вида М = S U Н с вполне 0-простой полугруппой S и группой Н обратимых элементов является нетривиальной задачей. Дальнейшие детали и библиографические указания о разложениях абелевых групп можно найти в книге Фукса [1960, гл. 15]. Предложение 5.2 было использовано в недавней работе Лаллемана [1978] для построения класса клиффордовых полугрупп, связанных с конечными префиксными кодами. Связь между вполне 0-простыми полугруппами и системами инцидентности (или двудольными графами) изучали Грэхем [1968], Поллачек [1977] и Хаутон [1977].
Упражнения
Полугруппа S вполне проста тогда и только тогда, когда S — регулярная полугруппа со слабым сокращением (т. е. из равенств ах = Ьх и уа = = yb для некоторых х, у е S следует а = Ь).
Вполне 0-простая полугруппа с тривиальными максимальными подгруппами называется 0-прямоугольной связкой. Полугруппа S тогда и только тогда является 0-прямоугольной связкой, когда S имеет нуль 0, S ф {0} и выполняются два условия:
хух = х или хух = 0 для любых х, у е S;
xSy = {0} влечет х = 0 или у = 0.
0-простая полугруппа вполне 0-проста тогда и только тогда, когда она имеет 0-минимальный правый идеал и 0-минимальный левый идеал (Клиффорд [1949]).
Пусть S — простая, но не вполне простая полугруппа. Тогда любой идемпотент из S является единичным элементом некоторого бициклического моноида, содержащегося в S. (Приписывается Андерсену [1952]; см. Клиффорд и Престон [1961].)
Пусть ф: S->S' — сюръективный гомоморфизм и полугруппа S вполне 0-проста. Тогда полугруппа S' также вполне 0-проста (использовать упр. 11 из гл. 2).
Для вполне простой полугруппы S всегда можно выбрать координатную систему Нп, {(<7^, q'^: X е А}, {(гг, r'^: I g /}, удовлетворяющую условиям (2.1.1), в которой q^ и п — идемпотенты, a q^ = rl = e для любых X g A, I g I, где е — единица группы Нп. Тогда все элементы первой строки и первого столбца сэндвич-матрицы будут равны е. Когда S является
полугруппой преобразований на конечном множестве (или минимальным идеалом полугруппы преобразований), возможность выбора идемпотентов в качестве q^ и г, упрощает алгоритм 4.2 (заметим, например, что в этом случае ^’(я) = ^(а) и ^°(а) = ЗГШ-
Т. Полугруппа из примера в тексте, иллюстрирующего алгоритм 4.2, имеет еще один S-класс D, который является минимальным идеалом. Это можно быстро установить, проверив, что мощность множеств Im х2, Im хгу и Im х2ух одинакова. Далее, эти три множества являются единственно возможными образами элементов из S-класса D элемента х2. Взяв в качестве qB? qB1, qB1 соответствующие идемпотенты и положив qBf = qB, как указано в упр. 6, мы получим на шаге (I) алгоритма 4.2 образующие максимальной подгруппы из О. Ими будут преобразования (записанные в виде произведений циклов)
(1, 11) (2, 4, 6, 8), (1, 11, 4, 6) (2, 8).
Для идеала D мы получим card Л = 3, card/=11, card G = 72 (Перро [1972]). Следующее упражнение позволит читателю продуцировать другие примеры малых размеров.
Простейшие разложения циклический группы Z„ целых чисел по модулю п получим, записывая многочлен 1 + х + ... + х”-1 в виде произведения а(х)6(х) двух многочленов с коэффициентами 0 и 1 и разлагая множество (О, 1, .... п—1} как множество показателей степеней Пример: равенство (1—х12}/(1—х) = (1 + х2 + х4) (1 + х + х6 + х7) дает разложение А®В* =^7ць где Л = {0, 2, 4} и В = {0, 1, 6,7}—множества показателей. Разбиение
(О, 2, 4 | 1, 3, 5 | 6, 8, 10 | 7, 9, И)
является совершенным, имея (например) совершенный трансверсал {0, 1, 6, 7}. Полугруппа, порожденная циклом х = (0, 1, 211) длины 12 и преобра
зованием
_/024 13568 10 79 11 \У~ ко 0 0 1 1 1 6 6 6 7 7 7 Г
Является малым моноидом в силу предложения 5.2. В 1937 г. Краснер и Ра- нуляк показали, что любое разложение многочлена (1—хДД!—х) в произведение многочленов а (х) b (х) можно получить, взяв цепь делителей числа п вида kx ps| •.. pmp, записав
1 -хп = 1 -xftl . 1 -хЙ2 1 -хп
1 — X 1 — X .' " ' ,
1 — X 11 — X т
и отнеся множители (1—х г)/(1—хЙ,~‘) произвольным образом к а(х) и 6(х). Приведенный выше пример задается цепью делителей 216112, гдеа(х) = (1— — х8)/(1—х2) и 6(х) = [(1 — х2)/(1 — х)][(1 — х12)/(1 — х6)]. Постройте другие примеры и исследуйте минимальные идеалы соответствующих полугрупп преобразований.
Пусть S = ^(G; /, Л; Р), где / = Л = {1, 2, 3}, G — диэдральная группа порядка 10, задаваемая копредставлеиием G = (а 6; а5 = 62 = = (Ьа)2 = е), и
(
е е е \
е а а2 I е а' b / Группа AutS и стандартная группа обратимых элементов для S тривиальны (Хаутон .[1977]).
Пусть S — конечная вполне простая полугруппа. Тогда любая подполугруппа 8' из S вполне проста. Если S = ^(G; I, Л; Р), то S' = ^(G';
I', Л'; R'), где G' — подгруппа из G, Г = /, Л' £ А, а Р' — соответствующая подматрица в Р.
Пусть 8 = ^(0; /, Л; Р)—вполне простая полугруппа и первые строка и столбец матрицы Р содержат лишь единицу е из G (см. упр. 6). Для любого гомоморфизма ф из 8 в группу К обозначим через ф сужение ф на G = Нц. Тогда Кег ф содержит все элементы из Р.
Полугруппа 8 называется прямоугольной связкой групп, если на 8 имеется такая конгруэнция р, что S/р есть прямоугольная связка, а каждый p-класс является группой. В силу упр. 7 из гл. 2, S будет прямоугольной связкой групп тогда и только тогда, когда S — дизъюнктное объединение групп Gix, i е /, X е Л, причем GixGlvc G^ для любых t, j el, X, ре Л. Полугруппа 8 вполне проста тогда и только тогда, когда она является прямоугольной связкой (необходимо изоморфных) групп (Клиффорд [1954°]).
4
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ МОНОИДОВ
В этой главе мы обсудим наиболее элементарные аспекты важной теории конечных полугрупп преобразований, принадлежащей Крону и Роудзу [1965]. Результаты этой теории излагались уже в нескольких книгах и обзорных статьях, постепенно совершенствуясь и достигнув определенной кульминации в книге Эйленберга [1976]. В настоящее время эйленберговское изложение теории Крона — Роудза вместе с главами той же книги, написанными Тилсоном, несомненно, самое полное и элегантное. Несмотря на это, включение данной главы в настоящую книгу оправдывалось несколькими соображениями. Во- первых, основная теорема декомпозиции и последующие результаты о групповой сложности уже стали классическими, и недопустимо, чтобы книга о полугруппах и комбинаторике могла умолчать об этих вещах. Во-вторых, получение результатов в терминах полугрупп преобразований доставляет ряд технических трудностей, преодолеть которые легче, используя декомпозицию моноидов. Наконец, мы привлекаем теорему декомпозиции для изучения синтаксических моноидов в гл. 7.
Таковы причины, побудившие нас изложить краткое доказательство основной теоремы декомпозиции для конечных моноидов, а затем аналогичную теорему для моноидов преобразований. Подчеркнем также один аспект теории декомпозиции, родственный неизменно популярной деятельности в теории групп — отысканию конечных простых групп1). Заинтересованного читателя мы отсылаем к книге Эйленберга [1976] для ознакомления с этим наиболее глубоким разделом обсуждаемой тематики, посвященным изучению групповой сложности конечных полугрупп2).
') Как известно, сравнительно недавно объявлено об окончательном решении этой принципиальной задачи в теории конечных групп (см. М. Ашба- хер. Конечные простые группы и их классификация.—УМН, 1981, 36, № 2, с. 141—172). О действительном положении дел в этой области (на конец 1983 г.) см. обзор А. С. Кондратьева, А. А. Махнева, А. И. Старостина «Конечные группы» в кн.: Итоги науки. Алгебра, геометрия н топология, т. 24, 1986. См. также книгу Д. Горенстайна «Конечные простые группы. Введение в их классификацию», «Мир», 1985. — Прим. ред.
С теорией групповой сложности на русском языке можно ознакомиться по книге Арбиб [1968]. О теоремах декомпозиции (на языке полугрупп и авто-
Предварительные сведения из теории групп
Субнормальным рядом группы G называется такая конечная последовательность ее подгрупп Gt (0 ^ i ^ п), что
(1.0.1) {е} = Go г 61 s ... s Gt е G/+i = ... £ Gn = G и Gt является нормальной подгруппой в Gz+i для каждого I, 0 ^ i < п. Факторгруппы G,+i/G; называются факторами ряда (1.0.1). Если G имеет другой субнормальный ряд
(1.0.2) ^ = FoeFie ... = Fj £ Fw £ ... £ Fm = G, причем для каждого i, 0 ^ i ^ п, существует такой номер /■, 0 ^ j^ т, что Gt = Fj, то ряд (1.0.2) называется уплотнением ряда (1.0.1). Два субнормальных ряда (1.0.1), (1.0.2) называются изоморфными, если m = п и между факторами этих рядов существует взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы изоморфны. Справедлива следующая теорема об уплотнении.
Теорема 1.1 (Шрейер [1928]). Любые два субнормальных ряда произвольной группы допускают изоморфные уплотнения.
Дадим набросок доказательства. Чтобы уплотнить (1.0.1) и (1.0.2), построим группы Gt,/ = Gt(G(+i f] Л) и Рt,i = = Е/(Е/+1П Gt) для каждой пары I, j, 0 ^ К п, 0 ^ / < пг. Хорошо известная «лемма о бабочке», принадлежащая Г. Цас- сенхаузу, утверждает, что Gt, j — нормальная подгруппа в Gtjvi. Ftj— нормальная подгруппа в Fi+i,j и факторгруппы Gi,j+i/Gi,j, Fi+ui/Fij изоморфны. Вставляя все группы Gij между Gt и G,+i в (1.0.1), а группы Ft., — между Fj и Fjh в (1.0.2), мы получим два изоморфных уплотнения. (Полное доказательство см. в книге М. Холла [1959, гл. 8]1)).
Субнормальный ряд группы G, не имеющий собственных уплотнений, называется композиционным рядом. Факторы композиционных рядов суть простые группы, и эти простые группы определяются однозначно в следующем смысле.
Следствие 1.2 (Жордан [1869], Гёльдер [1889]). Если группа G обладает композиционным рядом (в частности, если О конечна'), то любые два ее композиционных ряда изоморфны.
Для группы G, удовлетворяющей условию этого следствия, простые группы, которые являются факторами ее композиционных матов) см. также Калман, Фалб, Арбиб [1969*]. Теорема Крона — Роудза рассматривается и в книге В. М. Глушкова, А. А. Летичевского и А. Б. Годлевского [1983*]. — Прим. ред.
■) Оно содержится также в книгах М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзлякова [1982*, гл. 2] и А. Г. Куроша [1967*, гл- 3, 5]. — Прим. ред.
рядов, мы будем называть простыми делителями G (в случае G = Zn факторы группы О суть циклические группы, порядки которых — простые делители числа п).
Чтобы восстановить группу по факторам некоторого субнормального ряда, нужно решить следующую задачу расширения'. для данных групп N и Н найти все группы G, содержащие нормальную подгруппу N', изоморфную N, с факторгруппой G/N', изоморфной Н. Любая такая группа G называется расширением группы N посредством Н. Поскольку нам будет нужна интерпретация решений этой задачи в терминах определяемого ниже сплетения, обрисуем неформально способ решения, предложенный Шрейером.
Пусть G — расширение группы N посредством Н. Тогда с точностью до изоморфизма G = N\jNu\3Nv\l ... \JNw, где й, v, ..., w вместе с единицей ё образуют систему 2 представителей смежных классов по подгруппе N. Отсюда вытекает, что каждый элемент geG может быть однозначно записан в виде g = ай, гдеaeN, й г 2. Замечая, что 2 находится во взаимно однозначном соответствии с Н, определим биекцию Ф: G-> ->NXH, положив Ф(^) = (а, и), где и обозначает элемент из Н, соответствующий элементу йе2. Возникает вопрос: как определить умножение на NXH, чтобы Ф оказалась изоморфизмом? Взяв h = Ьй, мы должны определить произведение Ф(£)Ф(й) так, чтобы оно совпало с Ф(£/г). Но Ф(£Й) мы получаем, выражая gh = айЬи в виде cw для некоторых cgN, w е 2. Ясно, что w должен быть равен элементу ши (представителю смежного класса, соответствующего элементу ииеН). Имеем
gh = айЬи = айЬ(й~*й) и = а(йЬй-^ й-и.
Заметим, что отображение Ь>—>йЬй~х есть автоморфизм группы N и что й-и = Vй, о} ии для некоторого элемента [и, у] из N. Обозначив йЬй~[ через иЬ, окончательно получим gh = = a(“b)[u, u]uu и Ф(§й) = (а (“b) [и, у], uy). Это и будет по определению произведением элементов (а, и) и (6, у) в NXH. Разумеется, умножение должно быть ассоциативным. Несложные вычисления сводят это требование к соотношениям
[и, у] (“°с) [ну, w] = “(°с)“[у, w] [и, уш]
для любых c^.N и и, v, w еН.
Так как представителем класса N выбрана единица ё, соответствующая единице е группы Н, мы должны иметь также
eb = Ь и [м, е] = [е, и] = ё для всех b е N, иеН.
Теорема 1.3 (Шрейер [1926]). Пусть даны группы N и Н. Каждому иеН поставим в соответствие некоторый автомор-
физм b и-> иЬ группы N, а каждой паре (и, у) элементов из Н поставим в соответствие элемент [и, и] е N так, чтобы выполнялись условия (1.2.1) и (1.2.2). Тогда множество NXH с умножением, определенным равенством
(а, и^Ь, и) = (а(“Ь) [а, и], ау),
есть группа, обозначаемая через N»H и являющаяся расширением группы N посредством группы Н. Обратно, любое расширение группы N посредством группы Н получается таким способом.
Последнее утверждение теоремы доказано выше. Остальное (проверку того, что NXH с умножением (1.3.1) есть группа с требуемыми свойствами) мы оставляем читателю.
Условие (1.2.1) обычно заменяют следующими двумя условиями:
[и, иН“”с)[и, up'-Vc),
[и, у] [иу, ty]=“[y, ну] [и, иш].
Для наших целей расширение группы N посредством Н полезно представить матрицами. Определим отображение ц расширения NXH в группу всех мономиальных Н X //-матриц над группой № с присоединенным нулем 0 по формуле
( (haHh, «1, если h' — hu, (1.3.4) [ц(а, «)]л,л' = ^ п ., ,.
I 0, если п пи.
(Указан элемент матрицы ц(а, и), позиция которого определена индексами h, h'.) Ниже (см. определение 1.5(a)) будет введено сплетение NwrH, которое в точности изоморфно упомянутой группе мономиальных матриц над №.
Предложение 1.4. Отображение ц, определенное в (1.3.4), является инъективным гомоморфизмом расширения NXH в сплетение N wr Н.
Проверку этого предложения мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Возвращаясь к формулам, определяющим N>^H, заметим, что когда все [и, у] лежат в центре группы N, условие (1.3.2)' принимает вид “°с = “(°с). Это означает, что отображение ин»“х из Н в группу автоморфизмов AutA есть групповой гомоморфизм. При этом условии N X Н называется центральным расширением группы N посредством Н. Важный частный случай центрального расширения получается, когда [и, у] = ё для всех и, у е Н. Тогда G называется расщепленным (или расщепляемым) расширением или полупрямым произведением групп N и Н со связывающим гомоморфизмом <р: ui—>“х из Н в Aut№
Полупрямое произведение обозначается через NXH, а ра- ф
венство (1.3.1) в этом случае превращается в равенство (а, и) (6, у) = (a (ub), иу), где “6 = ф(и)(6). Все эти расширения содержатся в группе NwtH, которую мы сейчас определим.
Определения 1.5. (а) Сплетение двух групп N и И, обозначаемое через NwrH, есть группа, состоящая из всех пар (f, т), где f — отображение из Н в N, m е Н, а умножение определено формулой (fi, mi)(f2, т2) = (/сз, mim2), где f3(m)= [,(т)[2(тт1) для любых m, mi, тге Н и любых fi, f2: H-+N.
Группа М делит группу N, если М является гомоморфным образом некоторой подгруппы из N; обозначение M\N. Соответствующий гомоморфизм называется гомоморфизмом деления. Если М^ и М не изоморфна N, то М называется собственным делителем группы N. Множество') всех собственных делителей группы М обозначается через DivM.
Пусть $ — произвольная совокупность групп. Замыканием совокупности ^—(относительно сплетений и делителей), обозначаемым через 3, называется наименьший класс групп, содержащий $ и удовлетворяющий условиям:
(cl)если М еЗ и N \М, то Ne3;
(с2)если Mi, М2еЗ, то MiWrM2e^.
Из следствия 1.2 и предложения 1.4 непосредственно вытекает, что любая группа, обладающая композиционным рядом (в том числе любая конечная группа), принадлежит замыканию множества всех своих простых делителей (Калужнин и Краснер [1951]). В частности, если G — конечная не простая группа, то G е Div G. Более точно, справедлива
Теорема 1.6. Для конечной группы G следующие утверждения равносильны:
группа G проста;
G ф Div G;
для любого полупрямого произведения Gy X G2, если ф
G | Gy X G2> г° G | Gi или G | G2. ф
Доказательство. Утверждение (Ь) влечет (а), согласно сказанному непосредственно перед теоремой. Для доказательства того, что (а) влечет (с), предположим, что существуют под-
*) Можно говорить, что все собственные делители образуют множество (а не класс), если рассматривать их с точностью до изоморфизма; но именно это достаточно предполагать всюду ниже. — Прим, перев.
группа Н в G, X G2 и сюръективный гомоморфизм 0: H-*-G. ф
Поскольку Н является подгруппой расщепленного расширения группы G] посредством G2, можно записать Н = GxX G'y где GJ = /7 П Gj, G2 = Н/Н Л Gx (вообще говоря, Н уже не будет расщепленным расширением группы G' посредством G2).
По второй теореме-об изоморфизмах для групп имеем G2 = = И(Н П Gi ^ G\H/Ох, где G\H/G\ — подгруппа BGjXG^G^ ф
^ G2. Следовательно, G'JGj и G^G^ В силу простоты группы G подгруппа А = Кег 6 является максимальной нормальной подгруппой в Н. Поэтому из включений N s G'XN = Н следует N = G'XN или G'XN = H. Равенство N = G\N дает G's N, и тогда 6 индуцирует гомоморфизм группы HjG'v изоморфной G2, на G, т. е. G|G2|G2. В случае G\N = Н сужение 6 на G' будет гомоморфизмом G' на G, т. е. G|G,|Gj.
Для доказательства того^ что (с) влечет (Ь), заметим прежде всего, что замыкание относительно сплетений и делителей произвольной совокупности S конечных групп совпадает с замыканием этой же совокупности относительно полупрямых произведений и делителей (определение последнего замыкания получается из определения 1.5(c) заменой символа wr на X)- ф В самом деле, полупрямое произведение двух групп делит их сплетение. С другой стороны, Gx wr G2 = Gf2 X G2, где Gf2 обо- ф
значает группу всех отображений G2 в Gi относительно поточечного умножения, а <р: G2 ->Aut (Gf2) определяется равенством <р(6) (f(x)) = 6(f(x)) = f(xb); так как группа G/2 изоморфна декартову произведению card G2 копий группы Gi, из конечности G2 вытекает принадлежность сплетения Gi wr G2 замыканию множества {Gi, G2) относительно полупрямых произведений. Учитывая эти замечания, мы опишем Div G с помощью полупрямых произведений. Рассмотрим следующие множества групп:
^о = Div G, и для k "^ 1
^26-1 = № X G2: Gj,чф
^211 = \Р'- G\H для некоторой Яе9й-1}.
Из определения замыкания сразу следует, что Div G — Umo^p причем ^о £ ^х £ . . . с^с <^;+1 G .,. .
Теперь, наконец, предположим, что G удовлетворяет условию (с) теоремы. Если G е Div G, то G е ^2» для некоторого к ^ 1. Следовательно, существуют такие Gx, Ga^^ik-i» что
GjGiXG2. В силу (с) имеем GjGj или G | G2, откуда Ge ф
е ^2^-2. Повторив это рассуждение к раз, получим G е Div G, что противоречит определению Div G как множества собственных делителей группы G. Таким образом, G ^ Div G. Теорема доказана. □
Следствие 1.7. Если конечная простая группа G делит Ci wr G2, где G2 конечна, то G делит Gi или G2.
Это вытекает из условия (с) теоремы 1.6 и равенства G^TG^QQ’-XGy
ф
В заключение этого параграфа мы проанализируем, в свете определений 1.5 и теоремы 1.6, вопрос о том, какие свойства можно распространить с категории групп на категорию моноидов. Все определения 1.5 могут быть дословно переформулированы для моноидов (с заменой слов «группа» на «моноид», «подгруппа» на «подмоноид»). Для обобщения теоремы 1.6 нужно понятие полупрямого произведения моноидов.
Определения 1.8. (а) Пусть даны два моноида N и Н и мо- ноидный гомоморфизм ф: ^->End^ из Н в моноид End N всех эндоморфизмов моноида N. Для произвольных и е Н, b е N обозначим ф(«)(&) через иЬ. Если на множестве NXH задать умножение формулой
(а, и) (6, и) = (о(“6), ии) для любых a, b е N; и, veH, то это множество становится моноидом, который обозначается через N X Н и называется полупрямым, произведением моно- ф
идов N и Н со связывающим гомоморфизмом ф.
Конечный моноид М называется неприводимым, если М DivM.
Конечный моноид М называется сильно неприводимым, если ЛЦМ1ХМ2 влечет Л1| Afi или М|М2.
ф
Введенная только что терминология оправдана (т. е. сильная неприводимость моноида влечет его неприводимость), поскольку доказательство того, что (с) влечет (Ь) в теореме 1.6, после очевидных модификаций, учитывающих определение 1.8(a), проходит и для моноидов.
В последующих параграфах мы увидим, что кроме конечных простых групп существуют только три сильно неприводимых моноида: Ui = (1), U2 = {0, 1} и моноид Ra = <Ui, а2, а,а, = а1,
2. Декомпозиции конечных моноидов
Декомпозицией моноида М называется такое конечное множество Ж моноидов, что М е Ж: Вот несколько важных примеров.
Примеры 2.1. (а) Пусть Rn = <хь хг, ..., хп-ь х/х/ = х/ для всех I, j, 1 ^ i < п, 1 ^ / < п). Это полугруппа правых нулей из п — 1 элементов с присоединенной единицей. При п ^ 3 имеем Rn {^з}-
Доказательство. В декартовом произведении R3 X Rn-i элементы (1, 1), («ь Xi), 1 ^ i ^ п— 2, и («2, *1) составляют подмоноид, изоморфный Rn. Следовательно, Rn\R3 X Rn-i, и по индукции получаем Rne {/?3}. □
Пусть Ln = <уь у2уп-у у .у, = yi для всех I, j, 1 ^ i < п, 1 ^ / < п>. Тогда Ln е {{/2} при п ^ 2, где U2 = — (0, 1} — единственный двухэлементный моноид, не являющийся группой.
Доказательство. В сплетении Ln-\ wr U2 множество мономиальных по строкам матриц
с ?)■ а п д™ к.<-2. ио
является подмоноидом, изоморфным Ln, Следовательно, Ln\Ln-iwr U2 и, по индукции, Lne {G2}. □
Пусть М— произвольный конечный моноид и G — группа его обратимых элементов. Тогда множество I = M\G есть наибольший собственный идеал в М. Образуем полупрямое произведение Iх X G, где ф задается равенством gx = gxg~x для <р
любых хе/1, geO. Отображение 9: ГХС^-М, определен-
<р
ное равенством 9(m, g^ = mg, есть сюръективный гомоморфизм. Следовательно, M\IxXG и М е {/’, G}.
Предположим, что М имеет идеал J и существует такой гомоморфизм ф: М-*Р, что ф(х) = х для каждого х е Г. Тогда М\1ХХ(М/Л, г№ М/J обозначает факторполугруппу Риса. В самом деле, отображение /ш—>(ф(т), т), где m есть образ элемента теМ в М/J, является инъективным гомоморфизмом. Таким образом, М е {/*, М/1\
Мы должны обратить внимание читателя на некоторую расплывчатость нашего определения декомпозиции. Подобающее определение декомпозиции должно:
налагать дополнительные ограничения на моноиды множества ^ (по меньшей мере, они должны иметь какое-то отношение к самому М);
налагать условие М | Afi wr М2 wr ... wr Мп, где Л1Ь М2,... ..., МпеЖ расположены в некотором порядке, отражающем (однозначно) способ построения моноида М из Mi, М2, ..., М.,;
допускать последующее изучение строения моноида М (т. е. в основном позволять доказывать теоремы о классах моноидов при помощи их декомпозиции).
Главной трудностью при обсуждении декомпозиции моноидов служит, вероятно, неассоциативность сплетения. Можно определить сплетение моноидов преобразований, которое оказывается ассоциативным, что упрощает выполнение требований (а) — (с) и позволяет немного улучшить определение декомпозиции (см. § 5).
Один из возможных алгоритмов получения декомпозиций использует понятие пополненного (augmented) моноида.
Определение 2.2. Пополненным моноидом Ма моноида М называется моноид преобразований множества М, состоящий из всех правых сдвигов на М и всех постоянных отображений М в себя.
Напомним, что правым сдвигом, соответствующим элементу аеМ, называется преобразование ра ей ^~Г(М), определенное равенством хра = ха для каждого х ge М. По теореме Кэли М изоморфен моноиду Т всех правых сдвигов на М. Если отождествить М с Т, то пополненный моноид запишется в виде Ма = = М{)См, где См обозначает множество всех постоянных преобразований на М. Элементы из См обозначаются посредством са (а^М), где са — постоянное отображение со значением а. Если геМПСм (что равносильно равенству xz = z для каждого хеМ), то z = Сг- Умножение в Ма выполняется следующим образом: СаХ = Сах, ХСа = Са, СаСь = Сь ДЛЯ Любых й, Ь, хеМ.
Лемма 2.3. Пусть Ж— конечное семейство моноидов, а Жа — семейство, состоящее из пополненных моноидов Ма для всех Me Ж. Тогда ^Ж^еЖ™.
Доказательство. Для описания семейства Ж рассмотрим, как в доказательстве теоремы 1.6, следующие множества моноидов:
^й = Ж, ^fe-i = {-Mi wr М2. Mi, М2 е ^fe-a}»
^ik = {Al; М]ЛГ и M'e^k-i}.
Тогда Ж = U7=o^r Чтобы доказать лемму, мы покажем, что Лf|^ влечет Л1“|№ и что (AI wr М)“ | ^Цма^ wr №, где ЦЛ1а обозначает декартово произведение-копий полугруппы Ма, индексированных элементами из А.
Предположим, что М|М. Если М — подмоноид в N, то, очевидно, М»—подмоноид в Na. Поэтому можно предположить, что имеется сюръективный гомоморфизм ср: N -> М. Тогда отображение ф“: №• —>Ма, определенное равенствами фа(х) = <p(x) для каждого хе N и ф“(сх) = с^) для каждого схе См, является сюръективным гомоморфизмом. Отсюда следует, что М“|№.
Определим отображение ф: М wr N (П Maywr Na формулой ф(Д ») = (/“, п), где fa(y) = fa(cy) = (f(xy))x GN для любого yeN. Проверим сначала, что ф— гомоморфизм. Прежде всего имеем ф[(Д a) (g, 6)] = ф(/г, ab), где h(y) = f(y)g(ya). Следовательно, ф[(Д a) (g, У)] = (/га, ab), где /ia(y) =/га(су) = = (f(xy)g(xya))^<=?/ для любого уЕМ. С другой стороны, Ф (f, а)Ф(£, &) = (f“> a) (ga, 6) = (6, ab), где
9 (у) = Г (у) ga kya) = У (ху))х ^N(g (хуа))х ^n =
= (f (xy)g (xya))x^N = ha(y).
Аналогично, e (cy) = Г (cy) gtt kcu^ = f (C,) ga (cva) = = f“ (y) ga kya) = У (xy) g (xya))x eN = ha (cy).
Таким образом, ф[(^a)(g, 6) ] = ф (f, a^Hg, b).
Докажем инъективность ф. Допустим, что ф^, а)=ф(5', Ь). Это влечет (/“, a) = (g“, b), откуда fa = ga и а = Ь. Но равенства fa(у) = ga(у) для всех yeN означают, что f(ху) = g(ху) для любых х, yeN. Взяв х=1, получим f(y) = g(y) для любого у е N, откуда f = g.
Продолжим теперь ф до отображения, обозначаемого той же буквой, H3(AfwrA)a в (Пуу Л1“) wr Na, определив ф[с(/, „>] как (f, с„), где f(y) = f (Су) = (Cf(X))x^ N. Заметим, что на самом деле f(y) не зависит от у. Можно проверить, что ф остается инъективным и после продолжения, показав, что ф [c(f, О)] = ф [C(g, б>] влечет (f, a) = (g, b), а ф [c(f, a)] = ф (g, b) влечет (g, b) = c^,ny Наконец, нужно проверить, что и после продолжения ф остается гомоморфизмом. Здесь приходится рассматривать три случая, когда ф отображает произведение элементов пополненного моноида (Mwr N)a, хотя бы один из которых — постоянное отображение. Например, ф[с(Г, ay(g, b) ] = ф [с(Л омя, Ь)] = ф [сг„. a»>], где h(y) = f(y)g(ya). Следовательно, ф [c(f,ау (g, Ь)\ — (1г, саь).
где Й определяется так, как сказано выше. Вычисляя Фкц, «)]Ф(^, Ь), получаем (Д са) (g“, й) = (0, саб), где 0 задается формулой
6 (у) = f (У) ga (УСа) = f (у) gtt (са) = f (у) 6й (й) == (с/ w)x е W ^ ^Х e«=(Cf (х) g (ха))х е N*
Но H(y) — (Ch(x)) X е N = (CiWg(xa'))xeN, ПОЭТОМУ 0(у) = Цу) И, аналогично, 0(су) = й(су), откуда и следует равенство Ф lc(f. =У (g, 6)] = Ф[с(Г, ю1Ф(£, Ь). Два других случая, касающиеся произведений с^.ayc^g, 6j и (/, а)-с^6, ь^, рассматриваются аналогично. Это завершает доказательство того, что (Mwr N)a делит (IIw-M^wr^. □
Следующая лемма показывает, как пополненные моноиды появляются в процессе декомпозиции.
Лемма 2.4. Пусть М— моноид, е — его единица, А—множество образующих. Для произвольного подмножества В г А пусть P = MB\j {е}, a Q — под моноид в М, порожденный множеством А\В. Тогда М делит Pwr Qa.
Доказательство. Мы должны построить подмоноид Mi в PwrQa, для которого М служит гомоморфным образом. Составим М] из всех пар (I, q), qeQ, где i(x) — e для каждого xeQa, и всех пар ЦР, cq), ре MB, q е Q, где fP(x) = fP(cx) = = хр для каждого х е Q. Единица (I, е) моноида Pwr Qa лежит в Мь Чтобы доказать замкнутость Mi относительно умножения, нужно проверить (используя определение умножения в Р wr Q® или представляя элементы из Mi в виде мономиальных по строкам матриц) следующие равенства для любых р, р'еМВ, q, q* eQ\
V» q) V, q') = (c. qq'Y ((, q) (fP, cq-) = (fqp, cq-y,
(tpi ^q) (C q ) == (fp’ ^qqX ifp’ ^qXfp'i ^q') = (fpqp’i Cq’).
Далее, отображение Ф: Mi->M, определенное равенствами Ф(г, q) = q н Ф([р, cq) = pq, является гомоморфизмом, для проверки чего достаточно беглого взгляда на предыдущие четыре равенства. Чтобы доказать сюръективность Ф, возьмем me М, m^Q. Тогда т = axai ... аГ, где ai, aiа, е А и хотя бы один элемент at принадлежит В (в противном случае meQ). Обозначив через йк последнее вхождение элемента из 5 в выражение aVa<z ... аг для т, получим а\й1 ... йк = реМВ и йк+х ... а, — q е Q. Отсюда следует, что Ф(fp, cq) = pq = т. Если же те Q, то Ф(1, т) = т. Таким образом, Ф сюръективно и М | Р wr Q“. □
Важность леммы 2.4 обусловлена тем, что для большинства моноидов М можно найти собственные делители Р и Q указанного вида. Следующее предложение описывает ситуацию, когда для любого множества А образующих моноида М и любого непустого подмножества 5 из Л выполняется равенство MB U (J {е} = М. Уточнение этого предложения см. в гл. 7, лемма 2.7.
Предложение 2.5. Пусть А— произвольное множество образующих моноида М. Если MB U {е} = М для каждого непустого подмножества В из. А, то либо М— циклический моноид, либо М = S1, где S — простая слева полугруппа.
Доказательство. Допустим, что моноид М не является циклическим. Тогда MaU {е} = Л1 для любого образующего as А. Если esMa для каждого аеЛ, то Ma = М для каждого а е М и поэтому Mx = М для каждого xsM (так как х является произведением элементов из Л). Отсюда следует, что каждый xsM имеет левый обратный, т. е. М— группа (условия ассоциативности, существования левой единицы и существования левого обратного для каждого элемента составляют одну из систем аксиом группы; см. М. Холл, [1959, с. 14]). Наконец, если е^Ма для некоторого as А, то множество Л4\{е} — Ма будет подполугруппой S моноида М. Так как Л^5 = Л1\{е} и MaU {е} = М для любого as А, получаем, что Sa = 8 для каждого as А, т. е., как и выше, Sx = 8 для каждого xsS. Это доказывает простоту слева полугруппы S и равенство М = S1. Конечно, последний случай включает и случай группы. □
Декомпозицию конечных циклических моноидов и конечных моноидов вида S1 для простой слева полугруппы S мы рассмотрим в следующем параграфе.
3. Основная теорема декомпозиции
Напомним, что Ux— одноэлементный моноид, U^— двухэлементный моноид, не являющийся группой, и R3 = (ах, а3, aiUj = = a/, i, j = 1, 2>.
Теорема 3.1. (а) Каждый конечный моноид М принадлежит замыканию {R3, Эм} относительно сплетений и делителей, где Эм— множество всех простых делителей всех максимальных подгрупп из М.
(Ь) Сильно неприводимые моноиды — это в точности конечные простые группы и моноиды U\, U3, R3.
Доказательство, (а) Если Л1 — группа, то она обладает композиционным рядом и М s Эм в силу предложения 1,4. Если М
является циклическим моноидом <а; am = ат+р>, то, согласно примеру 2.1(d), М делит 7!Х(Л1/7), где 7* — максимальная подгруппа из М, а моноид M/J изоморфен циклическому моноиду Ст = <а; ат = ат+1>. Но Ст делит Ст-\ wr U2, так как если b обозначает образующий моноида Ст-\, то элемент / 0 1 \~,
х = I 0 й 1 порождает в Cm-i wr и2 циклический подмоноид, изоморфный Ст. Индукция по т показывает, что Сте. ^U^ для каждого натурального т, откуда М г {7?3, SmY
Если М = 5*, где S — простая слева полугруппа, то М изоморфен моноиду (LXG)1, где L — полугруппа левых нулей, а G — группа (гл. 1, упр. 6). В силу примера 2.1(b)1) имеем Me (U2,SG) = ^R3,SmY
Пусть M не является ни циклическим моноидом, ни моноидом вида S1, где S — простая слева полугруппа. Рассмотрим минимальное множество А образующих моноида Л4. Согласно предложению 2.5, в А существует такое'непустое подмножество В, что моноид Р = MB U {е} строго содержится в М. В частности, это влечет В^А, так что в силу минимальности А тюд- моноид Q из М, порожденный множеством Д\В, тоже строго содержится в М. Далее, по лемме 2.4 моноид М делит PwrQ“. Применяя индукцию по мощности рассматриваемых моноидов, получаем Ре {R3, ^p}_^^R3, Sm) и аналогично Qe {R3, SmY По лемме 2.3 Qa е {/?3, SmY Но Рз изоморфен моноиду Ра, который делит Рз X Рз (пример 2.1 (а)). Для группы G примеры 2.1(c) и 3.1(a) показывают, что 6“ г {7?3, 6}. Отсюда следует Qae {R3, SmY и то же самое справедливо для М.
(Ь) Доказательство того, что U1YXZ влечет U\Y или
<р
U |Z, когда U — конечная простая группа или один из моноидов U\, U2, Рз, показывает некое замечательное сходство этих различных моноидов по отношению к операциям деления и образования полупрямых произведений.
(Ы) Случай И]. Он тривиален, так как 77] содержится в любом моноиде.
(Ь2) Случай U2. Если U2 делит конечный моноид М, то М содержит идемпотент, отличный от единицы (т. е. М содержит копию UY). В полупрямой произведении YXZ элемент (a, eY <р
отличный от единицы (Ь, lz), тогда и только тогда является идемпотентом, когда а(6а)=а и е2 = е. Если е= lz, то а2 = а (так как Да)=а) и U2 делит Y. Если e=# lz, то U2 делит Z.
’) И соотношения (S X All'IS1 X М для полугруппы S и моноида М. -^ Прим, перев.
(ЬЗ) Случай Ra. Сначала мы покажем, что если Ra делит конечный моноид М, то М содержит подмоноид, изоморфный Ra. Предположим, что имеется гомоморфизм 0 подмоноида из М на Ra = {1, Оь а^. Тогда существуют такие идемпотенты jiJa^M, что 9(/Д = щ (i = 1, 2). Некоторая степень произведения hfa будет идемпотентом g2, g2 = (.htom» и элемент g\ = g^ = = g2f\g2f\ также является идемпотентом. Очевидно, 9(§Д=а< для 7=1, 2. Далее,
glg2 = glhgl = g2^ (Ш m = g2 (fl^) m = g2
и, аналогично, g2g\ = gi.
Теперь допустим, что УХУ содержит изоморфную копию <р
моноида Ra, т. е. существуют элементы х, у е У, е, f е Z, (х, е) #= {у, f), такие, что (х, е)2 = (х, е) = (у, f) (х, е) и (у, f)2==(y, h = ^x> е)(У> h- Это равносильно условиям (3.1.1) и (3.1.2):
e2 = e = fe и f2 = f=ef;
х ^х) = х = у Сх) и у Су) = у = х Су)-
Если Ra не делит Z, то соотношения (3.1.1) дают e~f. Но тогда, применяя эндоморфизм ср(е) ко всем частям равенств (3.1.2), получаем
М (ех) = (ех) = Су) ^х) и (еу) Су) = (еУ) = Сх) Су) •
Если ех — еу, то из (3.1.2) следует х = у, что вместе с равенством е = f противоречит условию (х, е)^=^у, f). Поэтому ех, еу и единица Ь образуют подмоноид в У, изоморфный Ra, откуда R3\Y.
(Ь4) Случай простой группы. Предположим, что группа G (не обязательно простая) делит конечный моноид М. Тогда G делит некоторую подгруппу Н моноида М (см. упр. 1). Доказываемая ниже лемма 3.2 утверждает, что любая подгруппа Н полупрямого произведения УХУ моноидов является расшире- <р
нием подгруппы К из У посредством подгруппы L из Z\ Н = = К "XJL eKwr L. Следовательно, если конечная простая группа G делит УХ Z, то G делит Kwr L и, согласно следствию 1.7, <р
G12<| У или G\L\Z. Это завершает доказательство второй части теоремы. □
Лемма 3.2. Каждая подгруппа G полупрямого произведения YX.Z моноидов У и Z является расширением некоторой подгруппы К из У посредством некоторой подгруппы L из Z.
Доказательство. Обозначив через (а, е) единицу группы G, получим е2 = е, а^а^ — а. Образ группы G относительно проекции л на Z есть подгруппа L с единицей е. Определим К = = {у е У: у = (ех), где (х, е)е G}. Нетрудно проверить, что К является подгруппой в У с единицей (еа). Отображение ф: Кегл^->А, определенное равенством гр (х, ^) = (ех), является сюръективным гомоморфизмом. Если ф(х, е) = (еа), то (ех) = = (еа), откуда (х, е) = (а, е) (х, е) = (а(ех), е) = (а(са), е) = — (а, е). Это показывает, что гомоморфизм ф также инъективен, а следовательно, Кет л и К изоморфны и G есть расширение группы К посредством L. □
Конечная полугруппа называется комбинаторной (или апериодичной, или свободной от групп) (в оригинале «aperiodic». — Перее.), если все ее подгруппы тривиальны. Следствие 3.3 вместе с теоремой 3.1 наводит на мысль, что теорию конечных моноидов можно было бы считать состоящей в исследовании комбинаторных моноидов (деятельности до некоторой степени «комбинаторного» характера) вкупе с анализом вхождения нетривиальных групп в коноиды. Эта идея вновь появится в ином контексте в гл. 7.
Следствие 3.3. Конечный моноид М является комбинаторным тогда и только тогда, когда М е {/?3}.
Доказательство теоремы 3.1 фактически содержит алгоритм (существенную часть которого дает лемма 2.4) декомпозиции данного конечного моноида. Приведем конкретный пример.
Пример 3.4. Пусть М = <а, b; а2 = a, b2 = b, ab = Ьа — 0>. Множество образующих есть А = {а, 6}. Имеем Po=Mb (J {1}== = (1, Ь, 0}, Qo = {1, а}. Моноид Q“ — {1, а = са, cj изоморфен Rs, и М делит Ро wr R3. Повторим этот процесс для Ро: Pi- = = PoOU {1} = {1, 0), Qi = {1, Ь); тогда Ро делит U2wtR3, и мы получаем M| (t/2wr^3) wr/?3. Наилучший возможный результат декомпозиции моноида М из нашего примера: М ^ U2X U2.
Алгоритм, содержащийся в лемме 2.4, приводит к некой специфической декомпозиции из сильно неприводимых компонентов моноида М, не предоставляя какой-либо конкретной прямой информации, касающейся строения М. Фактически основная теорема декомпозиции, в отличие от теоремы Риса — Сушкевича, является глобальным результатом. Нельзя надеяться на получение с ее помощью структурной информации, если не усовершенствовать теорему наложением дополнительных условий на декомпозицию.
Неприводимые моноиды
В этом параграфе .мы покажем, что существуют неприводимые моноиды М (т. е. М ^fe DivAf), которые не являются сильно неприводимыми. Простейшим примером служит моноид В, полученный присоединением единицы 1 к 2Х2-полугруппе Брандта с тривиальными подгруппами. Его копредставление:
В = <а, b; aba = a, bab — Ь, Ь2 = а2 = 0).
Мы уже знаем (гл. 3, разд. 3.3), что В изоморфен моноиду, порожденному следующими двумя матрицами над U2 = (0, 1):
/0 ох /0 1\х к 1 о)’ ti ко
Для доказательства того, что В является копредставлением моноида М, порожденного х и у, достаточно заметить, что любое слово из {а, ЬУ эквивалентно одному из слов 1, a, ab, Ьа, Ь, 0 относительно конгруэнции, порожденной соотношениями из (4.1), а отображение at—*х, Ь*—>у продолжается до гомоморфизма В на М. Так как М содержит шесть различных элементов, слова 1, a, ab, Ьа, Ь, 0 не сводятся друг к Другу, т. е. гомоморфизм является изоморфизмом. Моноид В имеет с точностью до изоморфизма семь собственных делителей:
{1}, {1, 0}, (1, а, 0}, (1, ab, 0}, {1, a, ab, 0}, (1, а, Ьа, 0},
(1, ab, Ьа, 0}.
Легко проверить, что любой из этих делителей удовлетворяет квазитождеству
если иои = и, то и= ии.
Предложение 4. Моноид В, заданный копредставлением (4.1), неприводим.
Доказательство. Моноид В не удовлетворяет квазитождеству (4.2), потому что aba= а, но a^ab. Мы докажем, что (4.2) сохраняется при делении конечных моноидов и образовании полупрямых произведений. Отсюда будет следовать, что В ф ^DivB, поскольку все моноиды из Div В удовлетворяют (4.2).
Предположим, что М делит конечный моноид Р, удовлетворяющий квазитождеству (4.2), и возьмем элементы с, d е М, связанные равенством cdc = с. Тогда существуют такие у, и е Р, что 9(y)=d, 9(и) = с, где 6 — гомоморфизм деления. Пусть х^и^иУ, где к выбрано так, что (уи)2*+1 = (уиУ (см. замечание ниже). Тогда 9(х) — с (de)k = с и хух = v(yv)kyv(yv)k = = и(уц)26+* =v^yv)k — %. Отсюда получаем х = ху и, следовательно, 9(х) = 9(ху) или с = cd.
Замечание. Если и'^'" = и', то, взяв k — tm— 1, где / достаточно велико, чтобы гарантировать неравенство к^ г, получим Ы2^1 = иУт~Х = UtmUtm-x = utmuk = ик. .
Предположим, что моноиды Р и Q удовлетворяют квазитождеству (4.2), и пусть элементы (р, qY (р', q^e Р XQ свя-
ф
заны равенством (р, q^p’, q') (р, q) — (p, qY Последнее равносильно двум равенствам:
Р (V) ^'р') = Р и qq'q = q.
В силу (4.2) из второго равенства следует qq'— q (и поэтому р2 = qY Тогда первое равенство превращается в р^р') (<?р) = р, откуда в свою очередь следует (?р) (’р7) (’р) — (’р). Теперь, в силу (4.2), выполняющегося в Р, получаем (’р) V^ — ^PY Следовательно,
Р № = Р № (ЧР) ("Р') = Р ^р') (ЧР) = Р-
Из равенств р(‘7р,)=р и qq'— q выводим равенство (р, qSkp', P'^ — kPt PY показывающее справедливость (4.2) в моноиде Р X Q- □
ф
Подобными же рассуждениями можно доказать неприводимость моноида, порожденного пХ «-матрицами х и у, элементы которых задаются фомулами:
( 1, если t = / + 1,
10- в противном случае;
| 1, если i = 1, ] = п,^И | о в противном случае;
см. Лаллеман [1969] (моноид В получается при n — ^Y Предложение 4 принадлежит Нива и Шютценбёрже [1966].
Декомпозиции конечных моноидов преобразований
Уточняя прежнее определение (см. разд. 2.3 в гл. 1), назовем моноидом преобразований пару (Л, MY где М — подмоноид моноида всех преобразований 5Д(А) на множестве А. Для любых а е А, хеМ мы обозначаем через ах образ элемента а при действии преобразования х. Если не возникает путаницы, мы используем символ 1 для обозначения единицы в Л1. Пару Т = (А, Л4) мы также называем кратко t-моноидом.
Морфизм из Т = (Д, М) в Т =^А', ЛГ) есть пара (0, ср), где 0: А-*А' — отображение, а ср: М-^>-М' — моцоидный гомомор-
физм, удовлетворяющий условию
(5.0.1) [0(а)]ф(х) = 9(ах) для любых аеА,хеМ.
Морфизм (0, ф) называется сюръективным (соответственно инъективным), если и 0, и ф сюръективны (соответственно инъективны). Если 9 и ф— биекции, то Т и Т (или М и АГ) называются подобными (-моноидами. Наконец, если 0 и ф являются отображениями включения (т. е. А — подмножество в А' и М— подмоноид моноида ЛЕ), то мы называем Т t-подмо- ноидом (-моноида Т' и пишем Т s Т'.
Понятие (-моноида является частным случаем понятия моноида, действующего на множестве. В понятие (-моноида включено требование точности действия: ах = ax' для любого аеА влечет х = х' (по определению равенства преобразований). Поэтому, например, если в морфизме (9, ф): Т-*Т' отображение 9 сюръективно, то формула (5.9.1) однозначно определяет ф. Для любого моноида М определим (-моноид (М, Л1) как моноид правых сдвигов на М (теорема Кэли).
Цель этого параграфа — распространить теорему декомпозиции конечных моноидов на конечные (-моноиды. Понятие делимости обобщается легко: Т делит Т' (обозначение: Г]?'), если существуют (-подмоноид Т" в Т' и сюръективный морфизм (9, ф): Т"-*Т. Понятие сплетения модифицируется следующим образом.
Определение 5.1. Пусть даны (-моноиды (Л, (И) и (В, N). Их сплетением (А, Л1) г (В, N) называется моноид преобразований (А X В, Mwr^) на декартовом произведении А X В, где
MwrA(={(f, п): f— отображение В в М, neN}, (5.1.1) (a, b^f, n) = (af(b), bn) для любых аеА,
be В, neN и /: В->М.
Формула (5.1.1), определяющая действие моноида (WwrA7 на множестве АХ В, приводит к следующему закону умножения в MwrN:
U, п)^', n')=\g, пп'), где g(b) = f(b)J'(bn)
для любого b е В.
В силу определения 5.1 (-моноид ((И, (И) г (N, N) есть пара ^MXN, MwrN), и, сравнивая (5.1.2) с определением сплетения моноидов (определение 1.5(a)), мы видим, что MwrN (абстрактный моноид (-моноида (М, Л4) г (N,N)) совпадает с М wr N.
Следующие свойства сплетения /-моноидов наиболее полезны:
/-моноиды Т1г(Т2г7’3) и (7'1гТ2)г7’з подобны;
если rjrj и то ТхгТДТ\гТг.
Проверка свойства (5.1.3) довольна длинна. Ее можно несколько сократить, показав, что каждое из указанных двух сплетений подобно тройному сплетению ТхгТ2гТ3, которое определяется следующим образом: для Ti = (А/, М,), / = 1, 2, 3, положим ТхгТ2гТ3 = ^АхХА2ХА3, Mi wrМ2wrМ3), где Mi wrM2wrM3 = {(fi, f2, m3Y m3eM3, f2: A3->M2,
fv a2xa3->mxv
Действие на Ai X A2 X A3 задается формулой
(«1, a2, a3)(h, f2, m3) = (axfx(a2, a3), a2f2(a3), a3m3).
Доказательство свойства (5.1.4) также является рутинной процедурой и оставляется читателю в качестве упражнения.
Как и для моноидов (или групп), замыкание относительно сплетений и делителей совокупности 9" /-моноидов определяется как наименьшая совокупность 9" /-моноидов, замкнутая относительно операций | и г (см. определение 1.5(c)). Чтобы получить 9", образуем совокупности ^о = 9", Ч?2ь-\ = {Л г Т2: Тх, Т2 е Угб-г}, ^ik—\Т". Т\Т' для некоторого Т' Тогда 9~ — UZ=o'®V Из свойств (5.1.3) и (5.1.4) вытекает, что Те 9~ тогда и только тогда, когда существуют Тх, Т2, ..., Тпе е9, такие, что Т^еТ^е ... г Тп. Поэтому декомпозиция /-моноида Т определяется как соотношение вида Т\ТхгТ2г ... ... гТП.
Следующий результат модифицирует теорему 3.1(a) на случай /-моноидов.
Теорема 5.2. Любой конечный t-моноид (А, М) допускает декомпозицию
(А, МДТхгТ2г .. г Тп,
в которой для любого I, 1 ^ i ^ п, либо h = {G, G), где G — группа, делящая М, либо Тх совпадает с t-моноидом F3 = = ({0, 1}, Яз), где R3 состоит из трех преобразований:
loir U О J’ I 1 1 Г
Мы будем доказывать теорему 5.2 по образцу доказательства теоремы 3.1(a). Для данного /-моноида Т = (А, М) пополненный /-моноид есть Та = (А, Ма), где М“ = М U С, а С — полугруппа всех постоянных преобразований на множестве А. Сле-
дующие свойства служат тем же целям, что и аналогичные свойства из доказательства леммы 2.3:
Т | Г влечет Та | Га;
(ТаГ)" | ТагТ,а.
Их доказательства аналогичны доказательству леммы 2.3 (и даже проще). Чтобы доказать, например, (5.2.2), возьмем 7 — (А, Л1), 7' = (В, К); тогда (7г T')tt=(AXB, (Afwfy)a), ТагТ'а = (А X В, Ма wr №•). Если I; А X В -> А X В — тождественное отображение, а отображение ф: (МwrN)a-^MawrNa определяется равенствами
'Hf, п) = (А ге) для (f, n)eMwrN, К, Ml = (f«,’ СЬ.)’ ГД6 fa» ^ = Са^ для постоянного преобразования c(flaibo), принимающего на АХ В значение («о, Ьо), то пара (/, ф) определяет инъективный морфизм из (7г 7')а в 7а г 7/а. Следовательно, лемма 2.3 дословно выполняется для конечного семейства Ж /-моноидов. Аналогом леммы 2.4 служит
Лемма 5.3. Пусть даны t-моноид (S, Л1) и множество А образующих моноида М. Для произвольного подмножества В из А определим моноид Р = (МЁу и подмоноид Q моноида /И, порожденный множеством А\В. Тогда (S, М) делит (S, Р) г г (Q, Q“).
Доказательство. В /-моноиде (S X Q, PwrQa) рассмотрим /-подмоноид (SX Q, Mi), где
Mi = {(Z, q): q е Q и i (х) = 1 для любого х е Q) U
и {(fp. С,): реР, q^Q, у^х) = хр). Морфизм (6, Ф): (SX Q, Mi)->(S, Л1) задается формулами
9(s, q) = sq, $(,i,q)=q и Ф Up, cq) = pq.
Условие (5.0.1) проверяется легко, а то, что Ф — сюръективный моноидный гомоморфизм, доказывается так же, как в лемме 2.4. □
Переписывая доказательство теоремы 3.1(a) для /-моноидов, можно заметить, что все рассуждения переносятся на этот случай, если обеспечить должную декомпозицию /-моноидов следующих видов: (1) (А, М) с циклическим моноидом М; (2) (А, М) с моноидом М = S1, где S — простая слева полугруппа; (3) (G, Ga), где G — группа.
Случай 1. (а) Возьмем /-моноид (А, Л1), в котором М порождается элементом х, и пусть е — идемпотент (=# 1) из М,
а В = (A\Im e)U (so), где sQ^A. Тогда (А, М) делит произведение (Ime, G)X (B, М'), где G — максимальная подгруппа из М с единицей е, а М' порождается преобразованием У, которое определяется формулой
( ах, если а 7^ s0 и ах ^ Ime, ax' = S
s0 в противном случае.
В самом деле, морфизм (9, ф): (А, Af)->(Ime, О^Хф, М'), заданный равенствами
( (a, s0), если aelme,
6 (а) = s ..ф (^) = (ех, х'),
( (ае, а) в противном случае;
есть инъекция из (А, АГ) в декартово произведение /-группы (Ime, G) и /-моноида (В, М'), где М'— циклический комбинаторный моноид. Например, для /-моноида, порожденного преобразованием
_ / 1 2 3 4 5 6 7 \
4 2 2 2 3 U’
существует декомпозиция, состоящая из /-группы, порожденной преобразованием
и /-моноида, порожденного преобразованием
/ 1 3 5 6 7 So \X 6 Sg So 3 1 So J
(b) Взяв /-моноид (A, CnV где Cn = ^x; хп = хпЛА'>, « > 0, покажем, что
(А, Сп) | (В, Cm) e({0, 1}, G2),
где
Применяя затем индукцию по card А и предполагая, что (В, Ст) лежит в замыкании семейства {В3} для всех таких В, что cardB < card А, с помощью (5.2.3) мы получаем, что (А, С„) также лежит в {Вз} (рассматривая ниже случай 3, мы покажем, что (А, С0)е {Вз}) Для доказательства (5.2.3) зафиксируем deA\Imx и положим В = А\ {d}. Сужение х' преобразования х на множество В порождает циклический моноид Ст (т ^ «). В /-моноиде
(В, С^)г({0, 1}, t/2) = (BX{0, 1}, C^wr(/2)
рассмотрим /-подмоноид У = (5Х {0, !},<</>), где
y = U’ (2 i))’ H0)-x', tw = cdx-
Определим (9, ф): У-э-(Л, Сп), положив 9(6, 9) = Ь, 9(6, 1) = d, ф(//) = л:. Простая проверка показывает, что (9, ф) является сюръективным морфизмом.
Случай 2. Пусть /-моноид (Л, М) таков, что М = S1, где S — простая слева полугруппа. Тогда для всех seS образы Ims совпадают (см. гл. 2, предложения 4.1 и 4.3). Если Im s = = А, то (А, М) является /-группой (см. случай 3). Если Ims с Л, зафиксируем элемент (1ЕЛ\1т5 и образуем множество В = Л\{б/} и моноид М' — сужение моноида М на множество В.” Тогда (Л, X) | (В, М'а) г ({0, 1}, U^, что доказывается аналогично рассуждению из случая 1(b) (см. упр. 19).
Случай 3. Для любой /-группы (A, G) мы имеем (Л, G) | (Л, G“). Далее, (Л, G“) | (Л, {l}“)a(G, G). Это следует из обобщения примера 2.1(c) на /-моноиды. Именно, пусть G— группа обратимых элементов моноида М, а / = M\G— его максимальный идеал. Тогда (Л, М) | (Л, В) г (_G, G) = = (Л X G, Iх wr G). В самом деле, пусть для любого хе Iх отображение f: G-+B определяется равенством fx(g) = gxg~x. Простая проверка показывает, что М' — {(fx, g): хе Iх, g е G} является подмоноидом моноида /*wrG. Далее, если 9 (a, g) = = ag и q> Qx, g) = xg для любых а е A, g е G, хе Iх, то пара (9, ф) задает сюръективный морфизм из (Л X G, М') в (Л, М).
Если G— конечная группа, то повторным применением предложения 1.4 мы получим (G, G) | (Gn, Gn) г ... г (Gi, Gi), где Gj, ..., Gn — простые группы, входящие как факторы в (некоторый) композиционный ряд группы G1). Наконец, /-моноид (Л, {!}“) делит декартово произведение F3 X Вз X - • • X Вз (см. пример 2.1 (а) и упр. 11).
Расхождения в доказательствах теорем декомпозиции для моноидов и /-моноидов встречаются только в случаях 1 (Ь) и 2. Они свидетельствуют о том, что декомпозиции моноида М не обязательно дают декомпозиции /-моноида (А, М).
Назовем /-моноид Т сильно неприводимым (или простым), если 71 Ti г Т2 влечет 7|7i или Г|Та. Можно показать, что единственными сильно неприводимыми /-моноидами являются делители /-моноида В3 и циклические группы простого порядка (см. упр. 13).
Библиографические замечания
В дополнение к работам, уже упомянутым во введении к главе, еще несколько работ содержат доказательство основной теоремы декомпозиции: Зай- гер [1967], Крон, Роудз и Тилсон [1968], А. Гинзбург [1969], Мейер и Томпсон [1969]. Представленное здесь доказательство было намечено в работе Лаллемана [1971] (см. также исправление в заметке Лаллемана [1980°]) и проведено по образцу одного из доказательства Крона — Роудза — Тилсона из упомянутой их работы.
В любой декомпозиции моноида преобразований Т можно сплести соседние группы преобразований1), получив
Т | Ох wr Ci wr G2 wr Ci wr... wr Gn wr Cn,
где Gt — группы, a Ci— комбинаторные моноиды преобразований. Групповой сложностью /-моноида Т называется наименьшее возможное число групп во всех возможных декомпозициях для Т указанного типа. Наилучший с точки зрения групповой сложности алгоритм декомпозиции должен давать это число для любого моноида преобразований. Такой алгоритм неизвестен. Не известно даже, является ли вычисление групповой сложности разрешимым. Подробный обзор работ по групповой сложности вместе с многочисленными ссылками представлен Тилсоном в последних двух главах книги Эйленберга [1976]. Уэллс [1976] дал прямое обобщение на полугруппы преобразований большинства понятий и результатов, изложенных в этой главе. Его статья содержит также весьма обстоятельную библиографию по сплетениям.
Упражнения
Если <р: М -> G — гомоморфизм конечного моноида М на группу G, то для любой максимальной подгруппы Н из минимального идеала моноида М будет <p(W) = G. Отсюда следует, что если G делит М, то G делит некоторую подгруппу из М.
Если Mi делит Mi, то AfiwrP делит MiwrP для любого моноида Р. Будет ли при этом Р wr Mt делить Р wr Mi)
Если даны моноиды Мь М2, то будет ли (Mi wrA12)aAeflHTbAf“ wr М^ (Открытая проблема).
Моноид М называется подпрямым произведением моноидов M<(ieZ), если М изоморфен подмоноиду М' декартова произведения JJ( е у М;, такому, что ргг(М') = М( для любого iel (рг< обозначает отображение проекции на i-й сомножитель). Это равносильно существованию такого семейства конгруэнций р; (/ е 7) на М, что для любого i е I фактормоноид М/р; изоморфен Mt и Hze/P; = е, где е—отношение равенства. Моноид М называется подпрямо неразложимым, если М не является подпрямым произведением своих собственных гомоморфных образов, или, равносильно, П;е/Ру= = е влечет р/ = е для некоторого (е 1. Если М неприводим, то М подпрямо неразложим, но обратное не верно (чтобы убедиться в этом, достаточно использовать подходящую полугруппу Брандта с присоединенной единицей).
Любой конечный коммутативный моноид М является фактормоноидом декартова произведения своих циклических подмоноидов (достаточно взять все подмоноиды, каждый из которых порождается некоторым элементом из множества образующих для М"). Используя декомпозицию циклических моноидов, данную в тексте, можно доказать, что M|GXC, где G — группа, а
С — комбинаторный моноид. Это показывает, что групповая сложность коммутативных моноидов не превосходит 1.
Конечный моноид М, являющийся полурешеткой (т. е. хг = х и ху = = ух для любых х, уеМ), лежит в {//2}, но в {//2} имеются моноиды, которые не являются полурешетками.
Используя алгоритм декомпозиции, изложенный в тексте (§ 3), найти декомпозицию моноида В, заданного копредставлением (4.1). Показать также, что В делит полупрямое произведение М X Z2, где М — моноид из при- ф
мера 3.4, a Z2— циклическая группа порядка 2.
(а) Пусть М — конечный или счетный моноид с единицей е, порожденный множеством А = {a,: i s /}, где / — либо множество всех натуральных чисел, либо I = {1, 2, ..., d), а С — бесконечная циклическая группа, порожденная элементом t. В моноиде М° wr С рассмотрим подмоноид Р, порожденный элементами х = (й, /), У = (^ /-1)> = (A 1), где = е для любого nsZ, f(/2'-1) = щ для is/, f(l) =e и /(/") =0 для прочих n. Тогда отображение <р: а2>—> pi = zx2i~lzy2‘-1 продолжается до изоморфизма моноида М на подмоноид из Р, порожденный множеством ^Pi- i^A- Следовательно, любой конечный или счетный моноид можно вложить в моноид, порожденный тремя элементами1).
Если М порождается d элементами, то в п. (а) можно заменить бесконечную циклическую группу циклической группой порядка т ^ 4d—I. Тогда Р порождается элементами х и г и то же, что ив (а), доказательство показывает, что любой конечно порожденный моноид можно вложить в моноид, порожденный двумя элементами. Комбинируя это с результатом (а), получаем: любой конечный или счетный моноид вложим в моноид с двумя образующими (другое доказательство намечено в гл. 5, упр. 6).
Любой конечно порожденный периодический (соответственно конечный) моноид можно вложить в периодический (соответственно конечный) моноид с двумя образующими (Нейман [I960])2).
Полугруппа преобразований Г = (Д, S) определяется так же, как и /-моноид, но теперь S— подполугруппа в 9"Г(Д). Определение 5.1 переносится на i-полугруппы, вводя их сплетение Тх г Т2. Доказать, что если Тх и Г2суть /-группы, то Тх г Т2 также /-группа. Доказать для /-полугрупп формулы (5.1.3) и (5.1.4). Определяя очевидным образом понятие декартова произведения Л X Т2 двух /-полугрупп, показать, что ТхХТг является /-подполугруппой в Т1 г Тг.
Пусть дана такая /-полугруппа (Д, S), что множество AS=ImS строго содержится в А. Зафиксируем элемент d s А \ Im S и положим В = = Д \ {</}. Тогда сужение полугруппы S на множество В определяет /-полугруппу (В, S'), причем (Д, S) | (В, s'a г ({0, 1}, U^. (Эта декомпозиция использована при рассмотрении случаев 1(b) и 2 в доказательстве теоремы 5.2.)
Показать, что /-моноид (Д, {!}“) делит декартово произведение Ез X ЕзХ • ■ • Х^з- Найти число копий /-моноида F3, необходимое для декомпозиции /-моноида (Д, {1}“).
Найти декомпозицию моноида преобразований (Д, 9"г(Д)) при card Д = 2, 3.
(а) Для /-моноида (Д, М) существует инъективный морфизм (0, ф) из (М, М) в (Д, М) X И, M) X •. • X И, М) — декартово произведение /-мо-
*) Справедлива следующая более сильная версия последнего утверждения: любой счетный моноид можно вложить в моноид, порожденный тремя идемпотентами (см. Пастэн [1977*], Иваник [1978*]). — Прим. ред.
ноида (Д, Л4) на себя, взятого card А раз (для А = {а(, ..., аД определяем 6(m) = ^aYm, a^m, ..., akm), <p(m) = (m, m, .... m)).
Если (Д, G) — сильно неприводимая /-группа, то (Д, G) делит (G, G) и группа G проста. Применяя (а) к /-группе (аб, G), показать, что /-группа (Д, G) транзитивна.
Любая транзитивная /-группа (Д, G) подобна /-группе (G/S, G), где S — стабилизатор элемента а е A, a G/S — множество правых смежных классов группы G по подгруппе S. Если группа G проста, а Н — произвольная собственная подгруппа из G, то /-группа (G/H, G) транзитивна.
Если (В, G) и (Д, G)—транзитивные /-группы и (В, G) делит (Д, G), то cards делит card Д. Поэтому если /-группа (Д, G) сильно неприводима и (Д, G) подобна (G/S, G), то порядок любой подгруппы Н из G делит порядок подгруппы S. Отсюда следует, что (Д, G) подобна /-группе (Zp, Zp (Эйленберг [1976]).
5
СВОБОДНЫЕ МОНОИДЫ, ЯЗЫКИ и коды
Свободные полугруппы — это первые математические объекты, с которыми сталкивается любой человек. Еще до школы ребенок обучается «языку». Он овладевает «словами» (т. е. образующими некоторой свободной полугруппы) и «предложениями» (т. е. последовательностями образующих), которые получаются соединением «слов». Раннее обучение — в сильной степени опираясь на тот факт, что слова и предложения несут смысловое значение — обеспечивает цели общения, такие, как наименование предметов, выражение ощущений и, позднее — мыслей, их узнавание от других или другими членами социальной группы. Эта сторона языка, как носителя смысла, называется его семантическим аспектом. В систематических исследованиях языков семантический аспект языка обычно отделяется от его синтаксиса, т. е. совокупности правил, которые обеспечивают формирование или распознавание грамматически правильных предложений (см. де Соссюр [1931]). Это различение ведет к двум дополняющим друг друга математическим формализациям: математической теории связи, заложенной Шенноном (Галлагер [1968], Берлекэмп [1968]) и основанной на теории вероятностей, и алгебраической лингвистике (Хомский [1957], С. Гинзбург [1966]), где доминирующую роль играют комбинаторные свойства свободных моноидов1). Таким
образом, алгебраическую лингвистику можно рассматривать как раздел комбинаторной теории полугрупп, которую мы охарактеризуем— довольно неопределенно — как часть теории полугрупп, тесно связанную со свободными полугруппами. В этой и следующих главах излагается ряд вопросов, которые мы считаем сердцевиной комбинаторной теории полугрупп. Мы надеемся убедить читателя в том, что эти вопросы образуют необходимый мост между алгебраической теорией полугрупп и другими частями математики, такими, как теория чисел, логика и дискретная теория вероятностей.
В первом параграфе мы напоминаем ряд определений и свойств свободных моноидов, часть которых уже приводилась в гл. 1. Мы также указываем ряд конкретных ситуаций, где возникают свободные моноиды. В следующем параграфе изучаются свободные подмоноиды свободных моноидов и их порождающие множества, называемые кодами. Мы излагаем два алгоритма (Сардинас, Паттерсон [1953], Спенер [1975]), выясняющие, является ли данное конечное подмножество свободного моноида кодом, даем грубую классификацию кодов и устанавливаем их элементарные алгебраические свойства. Учитывая важность алгоритмов на протяжении всей этой книги, в § 4 мы неформально обсуждаем понятие разрешимости. Затем используем машины Тьюринга для доказательства неразрешимости проблемы равенства слов в полугруппах и моноидах.
Мы снова предпочитаем работать в категории моноидов, оставляя читателю переделку наших определений и результатов для случая категории полугрупп.
Общие сведения о свободных моноидах. Примеры
Напомним (см. гл. 1, разд. 2.4), что свободный моноид А* на множестве А есть множество всех конечных последовательностей элементов из А, включая пустую последовательность, вместе с операцией конкатенации: (хь х2, ..., хт)(уь у2Уп) — = (Х1, Х2хт, У\, у2, ..., Уп) ДЛЯ любых X]Хт, ух, .. ■ ..., уп G А. Множество А называется базисным множеством, а его элементы — базисными элементами моноида А*. Иногда вводят специальные графические символы (имена базисных элементов), не смешивая их с самими базисными элементами. Множество этих графических символов — букв — называется алфавитом моноида А*. Мы будем отождествлять алфавит с мно-
жеством А; кроме того, мы пишем х вместо последовательности (х) и, более общо, пишем Х{Х2 ... хт вместо (хь х^ ..., хт). Всякий элемент моноида Л* называется словом, а произвольное подмножество из А* называется языком (над Л)). Число вхождений буквы хе А в слово w обозначается через dx(w), а длина i(w) слова w определяется равенством /(®) = = ’^ye.Adx(w''). Отображение / является гомоморфизмом Л* в моноид (№, +, 0), переводящим пустое слово, которое обозначается символом 1 (иногда символом е, если возможна путаница), в 0. Через Л+ мы обозначаем свободную полугруппу на множестве А, т. е. А+= Л*\{1}.
Примеры 1.1. (а) Л={|}. Символ | называется палочкой. Элементами А* являются вереницы палочек. Этот свободный моноид помогает детям наглядно представить сложение натуральных чисел.
А = (г, п, д}, где г, п, д — имена объектов «гривенник», «пятиалтынный» и «двугривенный». Элемент из А* есть сумма денег в гривенниках, пятиалтынных и двугривенных, указанных в некотором порядке. Множество всех слов над А, представляющих фиксированные суммы денег $iSk, образует язык L автомата, продающего билеты на электропоезда.
Множество А состоит из обычных букв и знаков препинания вместе с пробелом (пустым символом). Элементами моноида А* служат последовательности этих символов наподобие «анжав арбегла». Реализацию алфавита А можно видеть на клавиатуре пишущей машинки.
Множество А состоит из всех слов французского языка, знаков препинания и пробела. Элементы из А* называются предложениями. Например, «interessante tres theorie n’est cette pas» есть предложение. Это предложение грамматически неправильно. Правильным предложением с теми же элементами из А будет «cette theorie n’est pas tres interessante». Подмножество в А*, состоящее из всех правильных предложений, называется французским языком.
А= {•, —, ]}. Свободный моноид на А использовался в телеграфной связи в рамках кода Морзе.
А — множество результатов элементарных экспериментов. Например, бросание игральной кости имеет своим результатом или исходом одно из чисел 1, 2, ..., 6. Элемент из А* (последовательность результатов элементарных экспериментов) называют, хотя и неправильно, экспериментом) (например, 6625434 есть составной результат семи последовательных броса-
ний кости). В теории вероятностей подмножество из А* называется событием.
А — множество элементарных высказываний вместе с символами (,), Л, V, П, =>, о, которые называются соответственно скобками и логическими связками «и», «или», «не», «влечет», «эквивалентно». Под элементарным высказыванием мы понимаем утверждение, которое может быть истинным или ложным; именами высказываний служат прописные латинские буквы. Напимер, слово ^PVQ^AR^AR^VS является элементом из Л*. Изучение этого свободного моноида составляет часть математической логики (именно, исчисление высказываний).
В последующих предложениях мы излагаем различные полезные характеризации свободных моноидов. Первый результат уточняет универсальное свойство свободных моноидов, уже высказанное в предложении 2.4.1 из гл. 1.
Предложение 1.2. Пусть даны множество А и инъекция г. А^М из А на множество образующих моноида М. Следующие условия равносильны-. .
М свободен на множестве 1(A);
для любого моноида М' и любого отображения ф: А-^М' существует такой гомоморфизм ф-. М-^-М', что Ф = фок
Доказательство. То, что (а) влечет (Ь), доказывается аналогично предложению 2.4.1 из гл. 1. Для доказательства того, что (Ь) влечет (а), возьмем М' = [ДЛ)]* и естественное вложение ф множества А в [ДЛ)]* (фактически ф совпадает с z). В силу первой части доказательства существует гомоморфизм Ф: [ДЛ)]*^-Л1, действующий тождественно на ДЛ). Согласно (Ь), существует гомоморфизм ф: М->[ДЛ)]*, также действующий тождественно на ДЛ). Поскольку ДЛ) порождает М, отображение фоф тождественно на [ДЛ)]*, а Ф°ф тождественно на М. Отсюда следует, что Ф сюръективен и М = [ДЛ)]*. □
Предложение 1.3. Моноид М свободен тогда и только тогда, когда любой элемент meS = ЛГ\{1} имеет единственное разложение в произведение элементов из А = S\S2.
Доказательство. Если М = А*, то Л=5\52; свойство единственности разложения следует из определения Л*. Обратно, для любого моноида М каноническое вложение ф множества А = S\S2 в М продолжается до гомоморфизма ф: А*-*М в силу предложения 1.2(b). Мы имеем ф (aia2 ... ап^ = = ф(а1)ф(аг) ... ф(ап) = а1П2 ... ап, и тот факт, что любой элемент meS допускает лишь единственное разложение в произведение элементов из А, показывает, что ф — изоморфизм, и поэтому М свободен. □
Следующая характеризация свободных моноидов использует одно важное свойство, обнаруженное Леви [1944].
Определение 1.4. Моноид М называется равноделимым (equi- divisible), если для любых a, b, с, de М из ab = cd следует либо а = си, ub = d для некоторого иеМ, либо av = с, b = vd для некоторого и е М.
По поводу общего исследования равноделимости см. работу Мак-Найта и Стори [1969].
Предложение 1.5. Пусть М — моноид и S=M\{1}. Моноид М свободен тогда и только тогда, когда он равноделим, S — подполугруппа в М и nn^Nsn — 0.
Доказательство. Прямая часть очевидна. Обратно, пусть S — подполугруппа в М и n„eNS"=0. Тогда последовательность S 2 S2 2 ... 2 S* 2 Sfc+* 2 ... есть убывающая цепь идеалов из М. Если эта цепь стабилизируется, т. е., например, Sk = S*+1, то Sk = 0, откуда S = 0, т. е. М — свободный моноид на пустом множестве. Если же цепь S дэ S2 дэ ... щ> Sk zd Sk+1 дэ ... строго убывает, то для любого m е S найдется такое целое к, что meS6\S6+' (в противном случае ms П^».,^, что не
возможно). Таким образом, m = S1S2 ... sk, где s/^X = S\S2 для всех i, 1 ^ I ^ к. Это доказывает существование разложения для любого meM, т^ 1. Для доказательства единствен
ности возьмем два произвольных разложения элемента т = = a.ai ... aik = a/aj^ ■ - ■ а^ в произведение элементов из А, положим n = min(&, /) и применим индукцию по п. Для п = 1 мы получим т = а^ = я/1 по определению множества А. При
= а, ...J2:'2= а, ...J2:'2п > 1 равноделимость дает либо а^ — а^и, иа^ ... at ■■ • •. а}( для некоторого и е М, либо atv = ajp ai2 • • • aik
= а, ...
J2:'2
= а, ...
J2:'2
• • • ajt для некоторого и е М. Из определения А следует, что элемент и или соответственно и равен 1, at =а,, и единствен-
ность разложения вытекает из предположения индукции, примененного к равенству а^ ... а^ — а^ ... а^. В силу предложения 1.3 моноид М свободен. □
Следствие 1.6 (Леви [1944]). Моноид М свободен тогда и только тогда, когда он равноделим и существует такой гомоморфизм I из М в моноид (№, +, 0), что /~*(0) состоит лишь из единицы моноида М.
Доказательство. В силу предложения 1.5 достаточно показать, что из существования указанного / следует, что S—под-
полугруппа и что fAneNSn= 0. Множество S — подполугруппа, так как /-1(0)={1}. В случае М={1} мы имеем 5 = 0 и поэтому Г| Sn — 0. Если же М Ф Щ, то для любого m е S существует такое целое к, что m^S*+‘, а именно к = Цт). Поэтому n„sNSrt=0 во всех случаях. □
Полугрупповая версия следующего результата принадлежит Дюбрей-Жакотэн [1947].
Следствие 1.7. Моноид М свободен тогда и только тогда, когда М — равноделимый моноид с сокращением, имеющий тривиальную группу обратимых элементов, а любой элемент иеМ, и^=1, имеет лишь конечное число нетривиальных (т. е. отличных от 1) левых делителей.
Доказательство. Опять, в одну сторону («только тогда») утверждение очевидно. Чтобы установить обратное («тогда»), мы снова покажем, что nneN^”=0’ гДе S = A1\{1}, и сошлемся на предложение 1.6. Допустим, «s(]ne^S". Тогда для любого ne N найдутся такие sb s2, ..., sn s S, что и = = Sis2 ... sn. Элементы sb S1S2, ..., Si$2 ... sn являются левыми делителями для и. Они различны, так как равенство js2 • • • sm = svs2 ... sm-, где, например, 1 <С m < m' ^ п, при сокращении слева дает l=sm+1 ... sm-; тогда sm+1/=l для некоторого t^M, откуда tsm+it = t и, после сокращения справа, tsm+i = 1; элемент sm+i е S оказывается обратимым, что противоречит тривиальности группы обратимых элементов моноида М. Следовательно, и имеет бесконечно много различных левых делителей. Это в свою очередь противоречит последнему предположению следствия. Поэтому n„eN'Sft=0- □
Пример 1.8. Пусть Е— произвольное непустое множество, а R+ — множество всех неотрицательных действительных чисел. Обозначим посредством F(R+ Е) множество всевозможных функций, определенных на интервалах ] 0, г] из R+ и принимающих значения в Е. Элемент из F(R+, Е) обозначается через (f, г), где первая буква указывает функцию, а вторая — длину интервала, на котором задана f. Операцию на B(R+, Е) определим как соединение графиков функций, т. е.
(f> г) (g, s) = (й, г + s), где
( f (х), если х е ] 0, г],
S U — г), если х е ] г, г + $].
Легко проверяется, что F(R+, В)— равноделимый моноид с сокращением, имеющий тривиальную группу обратимых элемен* тов, но любая непустая функция имеет бесконечно много левых
делителей. В силу следствия 1.7 моноид F(R+, Е) не является свободным *).
В качестве приложения следствия 1.7 мы покажем, почему конечность числа разложений слов'а weA+ в произведение w = ни, где и, о е Д+, существенна при определении структуры полукольца на множестве всех степенных рядов над А (см. ниже формулу (1.9.2)).
Определение 1.9. Полукольцо (R, +, •) есть множество R с двумя операциями +, • и двумя выделенными элементами 0, 1, 0¥= 1, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(R, +, 0) — коммутативный моноид с нейтральным элементом 0;
(R, •, 1)— моноид с нейтральным элементом 1;
х^у + г)— ху + xz, (у + г)х = ух А- ^х для любых х, у, zeR;
х0 = Ox = 0 для любого х г R.
Полукольцами являются, например, ассоциативные кольца с единицей. Другие примеры полуколец: тройка (№, +, •); булево полукольцо ^2, состоящее из двух элементов 0 и 1, причем 1 + 1 = 1, а в остальном операции определяются, как для чисел.
Пусть А — множество и R— полукольцо. (Формальный) степенной ряд над R с переменными из А определяется как отображение /: A*-*R. Альтернативным обозначением для / является Ц^еА- f (w) го. Определим сумму и произведение двух степенных рядов f и g формулами
(f + g)(ay) = f (ay) + g(w)для всех we A*,
(f-g)(w)== У, f(u)g(v) для всех w e A*.
uv=ty
В (1.9.2) символ Su0=w обозначает суммирование в полукольце R по всем разложениям ио слова ау из A*, a f(u)g(u) обозначает произведение f(«) и g(u) в R. Легким упражнением является
Предложение 1.10. Множество /? [ [Л] ] всех степенных рядов над R с переменными из А вместе с операциями + и •, определенными формулами (1.9.1) и (1.9.2), является полукольцом степенных рядов от некоммутируюицих переменных А с коэффициентами из R.
Нулевой и единичный степенные ряды будут обозначаться через 0 и 1 соответственно. Если R— кольцо, то 7?[[Л]] тоже
Заметим, что для демонстрации существенности последнего требования в следствии 1.7 можно взять более простой моноид (R+, +, 0), соответствующий одноэлементному Е. — Прим, перев.
кольцо, и на нем можно задать структуру Я-модуля, совместимую с умножением (1.9.2). Тогда /?[[Л]] становится алгеброй над R, называемой иногда расширенной алгеброй (large algebra) моноида Л*.
Любой язык L £ Л* можно представить его характеристическим степенным рядом х(£) из /?[[Л]]:
( 1, если w е L, X(L)(ty) = < „
I 0 в противном случае.
Обратно, если дан степенной ряд ^/^[[Л]], то определим его носитель, обозначаемый через supp(/), равенством supp(f) = = ^weA*: f(w)#=0). Ясно, что supp[%(L)J = L, но, вообще говоря, x[supp (/)]#=/■
Возможность удовлетворительного перехода от операций на языках к операциям на степенных рядах (или vice versa) существенным образом зависит от выбора полукольца R. Например, если R = S2i то x(^i U ^2) = %(^i) + х(^2) для любых Lb L2 S s А*. Однако это последнее равенство для произвольного R не выполняется. Связь между языками и степенными рядами мы изучим более детально на протяжении последующих параграфов и глав.
Подмоноиды свободных моноидов. Коды
Пусть М — подмоноид свободного моноида Л* над алфавитом А. Ёсли М+ обозначает полугруппу М\{1}, то из предложения 1.5 непосредственно следует равенство flnEN(Af+)" = 0, и тогда любой элемент m е М+ можно записать в виде произведения схс2 ... Ck, где Сг е ЛР\(М+)2 для i= 1, ..., й. Поэтому множество С = М+\^М+)2 есть множество образующих моноида М. Ёсли С s М+ — другое множество образующих для М, то любой сеС можно записать в виде с = с'хс'2 ... с'п, где с'е С' ^ М+. Отсюда необходимо п = 1 и се С',т. е. С г С'. Мы получили
Предложение 2.1. Любой подмоноид М свободного моноида имеет единственное минимальное множество образующих G = = М+\(М+)2, где М+ = Л1\{1}.
Указанное множество С называется базисом моноида М.
Пример. В свободном моноиде А* на множестве А = {а, о} множество слов (a1; ie№, i#=l} образует подмоноид М. Его базисом служит С = {а2, а3}. Заметим, что М не свободен в силу предложения 1.3: элемент а6еМ допускает два разложения а2 а1 а2 и а3а3 в произведения элементов из С,
Предложение 2.2. (Шютценберже [1956], Л. Н. Шеврин [1960], Кон [1962]). Пусть М —подмоноид свободного моноида Д*. Следующие условия равносильны:
М свободен;
для любого w s А* если Mw f| М ^ 0 и wM f| М + 0, то w G М;
для любого weA* если Mw П М П wM Ф 0, то w g М.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Допустим, что m\WGM и wm^GM для некоторых mi, m^GM. Тогда m\^wm^ = = (mtw)m2GM. Так как М по предложению 1.5 равноделим, из предыдущего равенства вытекает, что либо mi = m^wm для некоторого mGM, либо mxw = п-цт' для некоторого т'G М. Используя сокращение в А*, в первом случае мы получаем 1 = wm, откуда w = т = 1; во втором случае получим w = nV, и, таким образом, во всех случаях w g М.
То, что (Ь) влечет (с), очевидно. Для доказательства того, что (с) влечет (а), предположим, что М удовлетворяет условию (с), но не свободен. Если С — базис для М, то существует элемент w е М+, допускающий по меньшей мере два различных разложения в произведение элементов из С. Выберем такой w g М+ минимальной длины в А*:
w = c, с, ... с, = с, с, ... с, ,
Ч‘р Ч Ч ‘q
где с^ G С для k = 1, ..., р, c^G С для 1= 1, ..., q и ctv ^ ch. В силу равноделимости моноида Д* либо с^ — с^и для некоторого и G А*, либо с^у = с^ для некоторого у е А*. Мы обсудим только первый случай, поскольку второй аналогичен. Из с, = с, и и (2.2.1) следует ис, ...с, —с. ... с, . Отсюда
Ч ч2Р '2 *q
с, с, ... с. с,. =с, а. ... с, с, и = ис, с, ... с, с, .
/2 'з ‘q Ч Ч 'з iq h Ч *з *р h
Тогда ueM, согласно (с), и с^ — с^и влечет и =- 1, откуда с^ — с^. Сокращение в (2.2.1) на cti дает элемент w'= = ct .. • ct =с; ... Cj , имеющий два различных разложения в произведение элементов из С, причем Ц®')<< l(w); это противоречит выбору элемента w. Поэтому М свободен. □
Определение 2.3. Подмножество С свободного моноида Д* называется кодом над А, если С является базисом некоторого свободного подмоноида М из Д*. Мы пишем в этом случае М = С*.
Пусть С — произвольное подмножество из Д*, а В —множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с С,
задаваемом отображением у: В-+С. Отображение у продолжается до гомоморфизма у: В*->-М на подмоноид М в Д*, порожденный С. Согласно предложению 1.2 множество С является кодом тогда и только тогда, когда у — изоморфизм. В этом случае у называется кодированием ’) множества В в алфавите А. Следующий пример показывает, что, вообще говоря, решение вопроса, является ли кодом данное подмножество С из А*, не очевидно.
Пример 2.3.1. Пусть А = (а, 6}, а С = (a4, b, ba2, ab, aba2}. Заметим, что С = {a4} U {a‘ba!: i = О, 1 и / = 0, 2}. Степень буквы а, скажем ат, тогда и только тогда лежит в С*, когда m = 0(mod4). Если слово m содержит вхождения буквы Ь, то мы запишем его в виде w = a‘lbal2b ... a^ba1*^1, где й, i2, ... ..., Д+i ^ 0. Если w e С*, то легко видеть, что h = 0 или l(mod4) и ik+i = 0 или 2 (mod 4). Обратно, если для й и й-ы эти условия выполняются, то шеС. В самом деле, для любого /, 1 ^ / ^ 6, остаток от деления if на 4 единственным способом разлагается в сумму числа из (0, 1} и числа из (0, 2}, что позволяет записать if = 46/ + й + т;, где й е {0, 1}, Ш/G е (0, 2}, откуда
w= .. .^ali~xbam*^ (а4) 1 {a^ba”1^1} ... .
Единственность такого разложения слова w е С* означает, что С — код.
Замечание и определение 2.4. Равносильность условий (Ь) и (с) из предложения 2.2 имеет место для подмоноида М любого моноида F независимо от того, является F свободным или нет. Для доказательства того, что (с) влечет (Ь), достаточно заметить, что включения m\w е М и wm2eM дают w^m2m\w^ = = ^wm2mi')w е М и, следовательно, w^M согласно (с). Подмоноид М моноида F, удовлетворяющий условию (Ь) или (с), называется слабо унитарным в F.
Следующее предложение дает простой метод построения многочисленных примеров специальных кодов.
Предложение 2.5. Пусть М — подмоноид свободного моноида Л*, а С — его базис. Следующие условия равносильны:
для любого w г А* если Mw П М Ф 0, то w г М;
сл+пд«^.
‘) Такое кодирование называют алфавитным. Следует отметить, что термин «код» используется в литературе в разных смыслах. В частности, при рассмотрении алфавитного кодирования кодом часто называют (обычно упорядоченное) множество слов y(»i)Y(6m), где У = (61, ..., &m}. В этом
случае приятию крда в терминологии данной книги соответствует понятие взаимно Рднозначноео кодирований, -^- Прим. рвд.
Доказательство. Очевидно, (а) влечет (Ь). Допустим, что выполняется (Ь) и существуют такие meM, we А*, что mw е М. Докажем включение w s М индукцией по длине т как слова над А. Если т = 1, то w е М. Если /(ю) > 0, разложим т и mw в произведения элементов из С. Получим otcl2 ... ctw = cjvci2 • • • Сц (k, / ^ 1), и равенство СД+П С = 0 вместе с равноделимостью в А* дает 0^=6^, с^ ... ctw = ct ... ... Сц. Теперь индуктивное предположение показывает, что щеМ. 0
Определение 2.6. Код С над алфавитом А называется префиксным (соответственно суффиксным), если выполняется равенство СА+ПС=0 (соответственно А+С()С = 0). Код С называется бипрефиксным, если он является как префиксным, так и суффиксным. Подмоноид М произвольного моноида F, удовлетворяющий условию (а) предложения 2.5 (где А* заменяется на F), называется унитарным слева в F. Подмоноид М называется унитарным справа (соответственно унитарным) в F, если он удовлетворяет условию, двойственному к (а) (соответственно как условию (а), так и двойственному условию).
Условие (Ь) в предложении 2.5 означает, что никакое слово из С не является собственным левым делителем другого слова из С. Определяя отношение в А* условием: и^о, если у является левым делителем слова и, мы видим, что ^ есть частичный порядок из А*. Изобразим верхнюю часть моноида А*, частично упорядоченного отношением когда А содержит два или три элемента:
Подмножество С из А* является префиксным кодом тогда и только тогда, когда для любых с е С, w е А* соотношения
w^c и ш =/=с влекут го ^ С. Поэтому для получения примеров префиксных кодов достаточно выбирать подмножества С из А*. состоящие из концевых точек относительно ^- Например, следующие растущие вниз деревья
aba аЬг
(1) (2)
дают префиксные коды Ci = (a2, aba, ab2, 6} над {а, 6} и Сг — (а2, ab, ас, ba, b2, cb, с2} над {а, Ь, с}. Множество В = = ^anb: п е N} служит примером бесконечного префиксного кода над (a, Ь} и представляется бесконечным растущим вниз деревом с висячими вершинами anb, п е N.
Не существует никакой простой характеризации произвольных кодов, аналогичной условию (Ь) предложения 2.5 для префиксных кодов. Мы приведем следующий результат, принадлежащий Сардинасу и Паттерсону [1953] (см. также Бандио- падхиай [1963], В. И. Левенштейн [1964], Эш [1965], Дж. Райли [1967]).
Предложение 2.7. Пусть С— подмножество свободного моноида А*. Определим индуктивно последовательность множеств Di, положив Do — С и Di — {w е А+: Di-^w f\C #= 0 или Cw П П Di-i ^=0Y Множество С тогда и только тогда является кодом над А, когда С (]Di = 0 для любого i 1.
Замечание. Если С конечно, то длины слов в Di для любого I ограничены максимальной длиной слов из С. Следовательно, существует лишь конечное число различных Di, и это предложение дает алгоритм для решения вопроса, является ли С кодом.
Доказательство, (а) Предположим, что С — код над А, порождающий подмоноид Л1 — С* из А*, свободный над С. Покажем, что Мго ПМ 5^ 0 для любого го г UieNo^r Это ясно для го в Do = С. Допустим, что это верно для всех о е Di-i (i ^ 1) и возьмем го е О,. Тогда либо иго — с, либо его = и для некоторых се С, оеВм. В силу предположения индукции tn1v = m2 для некоторых mb m2 е М; отсюда следует, что либо тхого == т2го = тхс (в случае uro = cY либо micro = mio = т2 (р случав его = и). В обоих случаях получаем Мго ПМ =/= 0.
Теперь предположим, что С f| Di ^ 0 для некоторого I > 0. Тогда существуют се С, vie D^, щ е С, такие, что либо viC = Ci, лцбо CiC = иь Если vic = ci, то UiMRM ^ 0, откуда, так как Mui Л Al ^ 0, имеем щ е М (предложение 2.2(b)); это невозможно в силу определения С. Следовательно, слово У1 — = CiC является элементом из Л1ЛА-1 длины 2 над С. Если z > 1, то существуют и2 е Di-2, с2 е С, такие, что либо и2щ = сг, либо с2У1 = и2. Как и выше, случай у2У] = с2 исключается и получаем слово у2 = с2У1 = с2схс из А1П 2 Длины 3 над С. Повторяя этот процесс, мы получим на i-м шаге слово Vi е eM[\Da — C длины z-|- 1 над С. Так как z 1, это невозможно и поэтому CV\Di = 0 для любого z ^ 1.
(Ь) Обратно, предположим, что С [\Dt = 0 для всех i^ 1. Сначала мы покажем индукцией по п, что С” (\Di = 0 для любых п 0 и i^ 1, Допустим, что С”-1 ЛDi = 0 для данного n> 1 и всех z ^ 1. Если w е Сп f\Di для некоторого z^ 1, то tiy = Cic2 ... сп е Dt и по определению Di^ имеем с2 ... спе е С”-1 Л Di-ц, что противоречит индуктивному предположению. Таким образом, Cnf\Di = 0. Теперь мы докажем, что С” Л Л D;Cm = 0 для любых т, п ^ 0 и для всех z'^ 1, снова применяя индукцию по п. Допустим, чтр С”-1 Л DiCm = 0 для данного я > 0 и любых т ^ 0, z ^ 1. Пусть w е Сп Л DiCm для некоторых i^ 1, m>0 (т#=0в силу предыдущего). Используя очевидные обозначения, получим
W = ctlct2 ... Ctn = ViC^C^ . . . Cjm (vt GE D^.
В силу равноделимости моноида А* либо 01 = 01^1+1 и ci2... ••• Cin = Vi+lCj, ... cjm, либо Cfl = vfv/4.1 и vz+1c<2 ... С(п = =cflCf2... Cj . В первом случае равенство ot = ctlv{+\ влечет о1+1 е eDI+, и а2.. .cin = щ+.щ,. . .CjneCn~1 Л Di+lCm, что противоречит индуктивному предположению. Во втором случае мы также имеем yl+1eDl+1 и при п>11), применяя условие равноделимости к равенству y;+iCz2 ... czn = c/,C/2 ••• с1т, получим либо cjt = oi+iUi+2 и ci2 ... Cin = U{+aCi2 ... с1т (это исключается, так как противоречит равенству С"-1 Л Di+2Cm~x = 0), либо уг+1 = С/хиг+2 и vi+2Ci2 ... ctn = Cj2 ... cijn, где ut+2eDi+2. Повторяя это рассуждение т раз, мы получим Ui+mCi2 ... cin=cini, где Ui+m е Di+m. Отсюда следует включение с,2 ... cin еСп~1 Л Л О1А-т+х, которое противоречит первой части доказательства. Таким образом, Сп Л DtCm= 0 для любых т, п^О и любых
’) Если п = 1, то v^j = с, с, ...С] е Л; + 1, откуда Cg ...Cg еСт *Q Л О,:+2’ что невозможно. Отсюда и следует С fl DgCm = 0. — Прим, иерее,
z^l. Завершая доказательство, предположим, что с^с^.. -Cip= = CjtCf2 ... с^. Если, например, ci^c^u, то необходимо м—1, так как в противном случае мы имели бы ueD; н'исц... cip= = ci2 ... с^, откуда М П D^M ф- 0, что противоречит равенствам Сп П Т^С"^ 0 для всех т, п^О. Это обеспечивает единственность разложения любого weM в произведение элементов из С. □
Примеры, (а) Если С = {a, aab, aba}, то D0 = C, Di = = {а26, ba}, D2={ab}, Dz—{a, b}’, поскольку СГ|Оз¥«0, множество С не является кодом.
(Ь) Если С = (а, аЧ>, bab, b2}, то Do = C, Di = {ab}, D2 = == W, Da= {ab, b}=D4 = ...; C— код, поскольку СПА = = 0 для / ^ 1.
Существуют и другие алгоритмы (см., например, Ал. А. Марков [1962]1), Блюм [1965а], Спенер [1975]) для решения вопроса, будет ли кодом подмножество С из А*. Мы изложим алгоритм Спенера, имеющий по сравнению с предыдущим то преимущество, что он дает копредставленив подмоноида М из А* с конечным множеством С в роли базиса, если С не является кодом.
Определение 2.8. Пусть С — произвольное подмножество свободного моноида А*, а М — подмоноид, порожденный С. Пара (и, о}еА*ХА* называется С-парой, если существуют такие слова теМ, се С, что с = шли, причем итФ\ и mu ф 1. Мы обозначаем С-пару (и, и) символом и-*-х). Пара (и, и}еА*ХА* называется С-связанной (обозначение: и=>и}, если существует последовательность мо, «ь ..., ип слов из А*, такая, что uo = u, un = v и Ui^>-Ui+i для любого I — 0, 1, ..., п — 1. Определим граф Г(С) множества С, объявив его вершинами элементы множества (7(C) = {шE/l•: w ^ 1 и 1=>т}, а дугами — С-пары (и, и) , где и, и е U(C}.
Пример. Пусть С = (a, aab, aba}. Имеем С-пары (1, 1), (1, b}, (1, ab), (1, a2b}, (a, b}, (a, ab), (а, а2Ь}, (а2, b}, (a2, ab}, (а3, b}, (1, ba}, (ab, 1), (а, ba}, (ab, а). С-пары с компонентами из (7(C) подчеркнуты. Получаем следующий граф Г(С):
') Алгоритм Ал. А. Маркова воспроизведен и в его книге [1982е, §4], а Также в книге С. В. Яблонского [1979*, ч. III, § 2]. — Прим. ред.
На этом примере мы рассмотрим общий метод (который будет обоснован позже) получения копредставления подмоноида М из {a, bp, порожденного множеством С. Так как С()С2 = 0, множество С служит базисом для М. Поэтому для задания М можно использовать множество Z == ^х, У, ZL взаимно однозначно соответствующее С посредством отображения ср: Z->-C, ф(х)=а, ср (у) — a3b, ф(г) = aba *).
Заметим, что граф Г (С) содержит С-связанные циклы. Циклы, начинающиеся и кончающиеся в 1 и не содержащие других вхождений 1, — это (1, 1), который называется тривиальным циклом, и (1, ab, a, ab, а, ..., a, ab, 1), где а входит п раз, п ^ 0. Кратчайший нетривиальный цикл (1, ab, 1) содержит две нетривиальные С-пары: (1, ab) и ^ab, 1). Они связаны соотношениями 1-а2-а6 = а36 и ab-a-\ = aba, которые можно записать в виде 1 -ф(х2) • ab = ср (у) и ай-ф(х) • 1 = ф(г) соответственно. Мы будем говорить, что С-пара (1, ab) продуцирует пару (у, х2), а С-пара (ab, 1) продуцирует пару (z, х); продуцированные пары мы запишем в виде^,) и (^у Образуя крестообразное «произведение» P2)><j ) этих пар, получим два слова: ух и x2z. Заметим, что ср(ух) = а3Ьа и ф(х2г)=а3йа, т. е. равенство ух = x2z является соотношением в М (см. гл. 1, § 4). Более общим образом, С-связанный цикл (1, ab, a, ab, а, ..., a, ab, 1) содержит С-пары (1, ай), (ab, a), (a, ab), ... ..., (ab, 1), удовлетворяющие равенствам 1-п2-аЬ = а36, ab-\-a = aba, a-a-ab = а3Ь, ..., ab-a-1 = aba, которые продуцируют соответствующие пары
(П. (ц (?)о.
«произведение» которых
дает слова ул+*х и x2z(xz)n. Снова замечаем, что
ф(ул+*х) = ф [x2z(xz)n] = ^b^^a,
т. е. равенство уп+1х = x2z(xz)n есть соотношение в М. Мы увидим, что все другие соотношения, которым удовлетворяет М, являются следствиями уже найденных соотношений. Другими
’) Ниже <р отождествляется со своим продолжением — гомоморфизмом Z* в М. — Прим, перев.
словами, копредставлением моноида М служит <х, у, z; уп+1х = = x2z(xz)n для всех п 0>.
Как и в рассмотренном выше примере, для произвольного подмоноида М из X* с базисом С возьмем множество Z, для которого существует биекция на С, и продолжение этой биекции до сюръективного гомоморфизма ф: Z*^>-M (предложение 1.2). Напомним, что равенство
z,z2 ...гт = zX • • • <; zz, z'eZ
для i = 1, ..., т, j = 1, ..., п,
называется соотношением в М, если ф (z,z2 ... z^ = ф (z'z2... ... z'). Соотношение (2.8.1) называется неприводимым, если ни для какой пары I, j, 1 i < т, 1 ^ / < п, равенство zxz2 ... ... z^ = z'z' ... z'j не является соотношением в М. Поскольку М — моноид с сокращением, для любого данного соотношения и = v в М существует конечная последовательность соотношений u\ = v\, U2 = v2, •ит = 0т, которые либо неприводимы, либо имеют вид z = z (z е Z), причем и совпадает с и\и2... ит, а у— с -У1У2 ... Ут в Z*. Таким образом, чтобы получить ко- представление моноида Af, достаточно найти все его неприводимые соотношения.
Сначала мы проанализируем два разложения fif2 • • • fm = = g\gi • • • gn одного и того же слова ш е Д* в произведение других слов f; (l^I^m) И g; (1 ^ / ^ «). Допустим, что выполняются следующие неравенства между длинами левых делителей слова w:
HixX- fXXKgxgf- ёу-хХ
<HfJ2 ••• hXHgxg2 ••• gjY
Тогда слова ft и g, имеют вид ft = и'и, gj = ии" (см. диаграмму (2.8.3)):
/4-1
Iн—i»wa»*«
Мы назовем делитель и, общий для ft и gj, сечением в w и обозначим его посредством c[f,-, gj. Оба разложения слова w играют сходные роли в определении сечения в w, поэтому, вообще говоря, существуют также сечения вида с[§7, Д].
Лемма 2.9. Пусть z.z2 ... zm = z'z' ... z' — неприводимое соотношение для подмоноида М из А* и ф (zj ф (z,) ... ф (zm) = =Ф (z') ф (z') ... ф (z'^— два разложения соответствующего ело-
ва w из М. Сечение в w, непосредственно следующее за сечением с[ф(гг), ф(2у)], имеет вид с[ф(г'), ф (zfe)] и любые два последовательные сечения в w образуют С-пару, где С — базис для М.
Доказательство. Для любого zeZ обозначим ф(г) через г. Существуют такие и, и', и" е Л*, что zt = и'и, z'j = ии", zxz'2 ... . . . Z'HXU = 2V22... 2р и"2'+1 ... 2'a = 2i+x ... 2т. Применяя свойство равноделимости к последнему равенству, получаем
и" = 2W . . . 2k_xy, уу' = Zk, y'2k+x ... 2т = z'w . . . z' для некоторых^ 5? z + 1 и у, у' е Л*. Так как zxz2 ... zkx Ф ч^2х22.. .z-'j в силу неприводимости исходного соотношения, имеем г/ =^1 и потому
1 «^-1)<Ч^2^1(гх ... zk_x)<
<1^\Z^< Цг, . . . Zky
Данную ситуацию иллюстрирует диаграмма (2.9.1), где показаны лишь интересующие нас сегменты слова zjz2 ... zm.
(2.9.1)
Слова Zy и zk определяют сечение с [z^, zk^ = у, которое является первым сечением, следующим за c[z£,z'] = u. Пара (и, у) есть С-пара, так как uz£+x ... zk_xy = z'. □
Если С—базис подмоноида М из А*, то простым С-циклом графа Г (С) мы назовем последовательность его вершин 1, щ, и2, ..., ип, в которой пары (1, «1), («ь и^), ..., (ип-\, ип), ^ип, 1) являются С-парами, причем иг=^1 для 1 = 1, ..., п. Этот простой С-цикл мы обозначаем через (1, «1, и2, ..., ип, 1).
Лемма 2.10. Пусть zxz2 ... zm = z'z' ... zn — неприводимое соотношение для под моноида М из А* и ф (z,) ф (z2) ... ф (zm) = = ф (z') ф (z2) ... ф (г') — два разложения соответствующего слова w s М. Пусть хь х2, ..., хг — последовательные сечения в w, определяемые указанными разложениями. Тогда (1, хь х2, ..., xr, 1) есть простой С-цикл, где С — базис для М.
Доказательство. Поскольку данное соотношение неприводимо, в равенстве zxz2 . . . zm = zxz'2 . . . z' мы имеем zx =# z'. Допустим,
например, что / (z^ > / (г'). Тогда z, = zxz2 ... гЙ1_1х1 и хххх =zki для некоторых хх, х) s А+ и kx > 1. Аналог условия (2.8.2) выполняется со словами zx в роли f; и z'fei в роли gp первым сечением в w = zxz2 ... zm служит c[zp г^]=^р а (1, я,) есть С-пара. Применяя лемму 2.9, мы получаем последовательность сечений в w. c[z'ki, zk^ = x^, c^zk? z'AJ = x3где xt+x лежит справа от х( в w, i = 1, 2, .... Последнее сечение имеет вид хг~ с^'ьг_х> ^й ] либ° ^^г"0^^ ,* ^6 ] (в зависимости от случаев кг = т или кг = пу В первом случае, например, zxz2 ... ••• zm-iXr = zxz'2 ... z'kr_? Xrx'r = zm, x'r = z'kr_i+1 ... z'n. Сечение xr — последнее в w, и (xr, 1) есть С-пара. В доказательстве леммы 2.9 показано, что все х:, 1=1, ..., г, отличны от 1, т. е. (1, хь х2, ..., хп 1) есть простой С-цикл. □
Лемма 2.10 позволяет определить отображение 0 множества Я всех неприводимых соотношений для М в множество ^ всех простых С-циклов графа Г (С). Наша цель — доказать, что 0 отображает й на 43.
Если (и, и) есть С-пара для М, то существуют такие zeZ и w^Z*, что ucp(aa)u = ф(г). Мы говорим, что пара (z, ш)е е Z X Z* продуцирована С-парой (и, и). Если и0, «ь ..., ип— последовательность таких слов из А*, что (щ, ui+i) есть С-пара для z = 0, 1, .... п—1, и если пара (z,, w^e ZXZ* продуцирована парой (и/, Uz+i), z = 0, 1, ..., п—1, то соотношение zqWyZ2 ... = wQZ\W2 ... называется соотношением, продуцированным С-последовательностью Uo, «ь ..., ип. Заметим, что для получения обеих сторон этого соотношения достаточно образовать произведение пар в Z* X Z* согласно правилу
Г Z0 А Г Z1 ^ Г Zn-1 f Z0aylZ2 • • • \
Лемма 2.11. Пусть М — подмоноид из А* с базисом С и (1, хх, Х2, ..., хг, 1) — простой С-цикл графа Г(С). Тогда любое соотношение, продуцированное С-последовательностью 1, х\, Х2, • • •, хг, 1, является неприводимым соотношением для М, последовательные сечения которого суть хх, х2, ..., х,.
Доказательство. Используя обозначение ш = ф(ш) для любого w е Z*, получаем
l^oX^^o, xvwxx2 = zx, ...
..., Xr_1Wr_1Xr = §r_i, xrwrl = zr.
Отсюда
^0WxZ2 . . . Ж= (lty0Xt) Wx (X2W2X3) ... xrwrl =
== w0(xxwxX2) w2 (,X3W3x^ .. . xrwr\ = хййгххйг ....
Это показывает, что равенство zowiz2 ... = wQz\w2 ... есть соотношение для М. Из (2.11.1) мы также получаем при нечетном i неравенства l(woz\ ... wt-\) < l(zoW\ ... aJz)</(ty0Zi ... zz) < <1^zqWy ... z,-+i). Соотношение zQw\z2 ... = wQzvu)2 ... определяет последовательные сечения xf, x2, ..., Xr^M, где xt = = c[z,_1, гД, и это соотношение неприводимо; в противном случае по лемме 2.10 мы имели бы х, = 1 для некоторого I, 1 ^ z ^ г, что противоречит простоте С-цикла (1, хь х2, ... ..., хг, 1). □
Предыдущие результаты можно свести в одну теорему.
Теорема 2.12. Пусть М— подмоноид свободного моноида А и С — его базис. Множество всех неприводимых соотношений для М совпадает с множеством всех соотношений, продуцированных простыми С-циклами графа Г (С). Моноид М свободен над С (т. е. С — код) тогда и только тогда, когда граф Г (С) тривиален (т. е. множество U^C) его вершин состоит лишь из 1).
Доказательство. Это следует из лемм 2.10 и 2.11. Доказательство леммы 2.10 показывает, что любое неприводимое соотношение z,z2 ... zm ==z'1z,2 ... z'n находится среди соотношений, продуцированных соответствующим простым С-циклом (1, хь х2, ..., х„ 1). □
Когда подмножество С из А* конечно, список всех С-пар конечен и конечен граф Г(С). Проверка тривиальности этого графа составляет алгоритм, выясняющий, будет ли С кодом1).
В заключение параграфа укажем характеризацию кодов С г А* в терминах их характеристических степенных рядов Х(С) из Z[[A]]. Начнем с краткого изучения обратимости степенных рядов. Напомним, что 1 обозначает единицу в Z[[A]]. Чтобы исключить возможность смешивания с единицей 1 из Z, обозначим пустое слово из А* через е. Если ряд h е Z [ [Л] ] обратим, то h-g = 1 для некоторого ряда g, что, согласно (1.9.2), влечет h(e)g(e) = 1; если предположить, что /г(е)^О, с необходимостью получим /г(е)=1. Следовательно, степенной ряд f = 1—h не содержит свободного члена (т. е. f(e) = O). Обратно, если / не содержит свободного члена, то формальная бесконечная сумма ^n=Jn определяет степенной ряд, так как
для любого W S А*
/ОО Sп = 1 (в) .
\п=о /п = 0
Далее, простое вычисление показывает, что
\п=0 /\л=0 /
Таким образом, степенной ряд h при условии /г(е)^О обратим тогда и только тогда, когда h = \—f, где f — степенной ряд без свободного члена. Ряд ^ иГ\ обратный к h, обозначается через f*.
Предложение 2.13. Пусть С — подмножество из А* и %: А* -> Z [ [Л] ] — характеристическая функция *). Следующие условия равносильны:
С — код;
%(С‘)=Е7=о^№
[1-х(С)]Х(С*)=1.
Доказательство. Условие (Ь) выражает тот факт, что любой отличный от е элемент из С* (подмоноида в А*, порожденного С) имеет единственное разложение в произведение элементов из С. Поэтому (а) и (Ь) равносильны по определению кода. Равносильность (Ь) и (с) прямо следует из проведенного выше обсуждения обратимых степенных рядов. □
Равенство Х(С*)=[1—%(С)]-1 объясняет обозначение f* для ^n=ofn. Чтобы упростить наши обозначения, мы будем при переходе к степенным рядам опускать символ х и писать равенства (Ь) и (с) более просто как С* =.£с" и (1 -С)С» = п=0
= 1 соответственно; из контекста будет ясно, что подразумевается равенство между степенными рядами.
Элементарные алгебраические свойства кодов
Код С над алфавитом А называется максимальным, если для любого кода С' включение СеС' влечет С = С'. Коды С — А" (п^П служат примерами максимальных кодов, так как для
слова w еЛ+, не лежащего в Ап, множество AnU {да} не может быть кодом, ибо да" имеет два различных разложения над A4 U kwY Код Ап называется однородным кодом степени п.
Предложение 3.1. Если С — максимальный код над алфавитом А, то С* пересекает все двусторонние идеалы из А* (т. е. С* П A*wA* =# 0 для всех w е А*).
Доказательство. Это свойство очевидно в случае А = {а}, так как С = {ат} для некоторого m ^ 1. Допустим, что А содержит более одного элемента и существует такое слово we А*, что C*nA*wA* = 0. Мы можем предположить, что wV=uvu для любых и е А+, veA*. В самом деле, если существуют такие и, V, что да = иии, то, взяв букву а е А, отличную от первой буквы слова и и положив w' = wa1^, мы, очевидно, получим С* f\A*w'A* = 0 и w'=# иии для всех иеА*, veA\ Докажем теперь, что C' = C\j {да} есть код. Допустим, что z = c;]cz2 ... • • -cim= Cj^ ... Cjn, где clfe, c^eC'. Если все ciku cJ( лежат В С, ТО т — п И Сц = Cjx . . ., Cim^Clm- ЕСЛИ Же Cik = W для некоторого h, 1 ^ k ^ т, то существует такой индекс /, 1 ^
/ ^ п, что Cjt = w (в противном случае С*ПА*даА*^0). Взяв первые вхождения Cih и Сц слова да в указанные разложения слова z, получим
С\СЧ • • • C4-xWC4+x • • • С'А ' • • Cil-XWCim • • • С/„- где ctx, ..., ctk_x, Cjx, ..., Cjt_xeG. Если, например, I (cixci2... • • ■ c^-J > ^ (сЛс/2 • • • c/z-i)> т0> пользуясь равноделимостью, выводим
ахаг ... Clk_x = CixCl2 ... Сц_и,
uwcik+x ... clm = wcil+x ... cin,
где и N= 1. Слово да не может быть левым делителем слова и, так как в противном случае (3.1.1) противоречило бы равенству С* ПА*юА* = 0. Поэтому (3.1.2) дает w = uw' и wcik+x •■• Cim.^ ^'cii+x ••• % Для некоторого w'eA*. Из последних равенств получаем да = w'v для некоторого и е А*. Но равенства да = uw' = w'v, где и, w' #= 1, влекут за собой да = — хух для некоторых хеА+, уеА* (см. упр. 1). Это невозможно и, следовательно, I (с^с^ ... ci^^ = I (с}хс1г ... с;^^, откуда k = l, c,x = ci? - • •, cik_x = clk_x. Индукция по длине слова г дает т = п, Cik — Cjk, ..., Cim = c:t-i. Итак, множество С' = С U {да}—код; это противоречит максимальности С. Поэтому C*^A*wA* =^0 для всех we А*. □
Обращение предложения 3.1 ложно. Множество С = = ^alt-™'>+vbw. to е Д*} является префиксным кодом над алфавитом Л = {а, 6}, причем С* пересекает все левые идеалы из Л*. Однако С U {Я—также код. Верхушка дерева, представляющего С, имеет вид
Для префиксных кодов аналог предложения 3.1 звучит более удовлетворительно:
Предложение 3.2. Пусть С— префиксный код над алфавитом А. Следующие условия равносильны;
для любого префиксного кода С' над А включение С с С' влечет С = С';
любое слово we А* либо имеет левый делитель из С, либо, напротив, является левым делителем некоторого с s С;
wA*QC*=#0 для любого we А*;
А* = С*Р, где Р— множество всех собственных левых делителей слов из С.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если to не является левым делителем никакого с е С, то w имеет левый делитель из С, ибо в противном случае множество С U {цу} было бы префиксным кодом (см. определение 2.6).
влечет (с). Индукция по Kw) показывает, что любое слово w е А* можно записать в виде гу = С1С2 ... ctw', где w' не имеет левых делителей в С. Применяя (Ь) к to', найдем такое се С, что w'w" — с для некоторого w" е А*. Отсюда следует, что ww" е С*.
влечет (а). Если существует префиксный код С' над А, для которого С с С', то, взяв w е С'ХС, получим префиксный код СЩ®}. В силу (с) существует такое слово w' е А*, что ww' = С]С2 ... сп, где Ci е С. Отсюда следует, что w = щ е С, — противоречие. Наконец, (d) является переформулировкой условия (Ь). □
Замечание 3.2.1. Можно показать, что конечный код С, удовлетворяющий условию (с), необходимо является префиксным кодом (см. гл. 6, предложение 4.2). Для конечного С справедливо также обращение предложения 3.1 (см. гл. 6, предложение 4.1).
Замечание 3.2.2. Из предложения 2.13 вытекает, что условие (d) равносильно равенству 1 —С = Р(1—Л) для степенных рядов.
Определение 3.3. Префиксный код С, удовлетворяющий любому из условий (а), (Ь), (с) или (d) предложения 3.2, называется полным; в противном случае С называется неполным.
Следующий пример показывает, что полный префиксный код не обязан быть максимальным кодом.
Пример 3.3.1 (Шютценберже). Пусть А = (щ: / е N} и F = {дае A: w = at а,2 ... снт, где m>2 и 2(<i +/2 + ... ... + im-0 = im}- Множество C = F\FA+ является префиксным кодом. Для него также имеет место А+С Q С = 0, так как для w е А+ слово т^а^ ... atm с условием 2 (ti + <2 + ... + im-^ = = im не может лежать в С. Таким образом, С — бипрефиксный код. Ясно, что С удовлетворяет условию (с) предложения 3.2 (т. е. С — полный префиксный код). Однако A*a2n+i Г) С* = 0, т. е. С не является полным суффиксным кодом, а значит, не будет и максимальным. Кодирование алфавита А в X = {х, у) с помощью равенств ф(а!) = у и с^а^ = ху1-2х для i ^ 2 дает пример кода ф(С) с такими же свойствами над двухбуквенным алфавитом.
Полный префиксный код С над А представляется деревом, в котором каждая вершина, за исключением висячих, покрывает точно card Л вершин. Важно отметить, что в этом случае любое слово w е А* имеет не более одного левого делителя в С1).
Определение 3.4. Говорят, что код С над алфавитом А разлагается над кодом D, если С содержится в подмоноиде D* из Л*, порожденном О. Код С называется неразложимым, если он разложим только над А и самим собой, т. е. Се D* влечет D = С или D = А.
Примеры, (а) Код С = {a, aba, baba, b8a, b2} разлагается над D = \а, Ьа, Ь2}. Взяв алфавит У = {х, у, z), находящийся с D во взаимно однозначном соответствии ai—»х, bay—* у, b2i—>z, мы видим, что С находится во взаимно однозначном соответствии с кодом В = {х, ху, у2, гу, z) над У.
(Ь) Если С — Ап разлагается над D, возьмем слово »eD минимальной длины l(w)—m. Так как wn = U\U2 ... ит, где все UieAn^D*, получаем Ui = wk, где кт = п. Для любого 2еЛт слова w^-^z и гш2*-1 лежат в A'2ncD*. Тогда zeD* согласно предложению 2.2, а в силу выбора т имеем zeD. Следовательно, Ат Е D и, в силу максимальности кода Ат имеем Am = D. Таким образом, Ап разлагается над D тогда и только тогда, когда D = А™ для некоторого делителя m числа п; для любого простого р код Ар неразложим.
Пусть В и D — коды над алфавитами У и Л соответственно, и пусть существует биекция ср: Д->У. Однозначно определяется изоморфизм ф; D*-> У*, продолжающий ср. Обозначим посредством В ^ D код, который определяется равенством В 8 D = фф
= {ш е D*; ф(аО е В} и называется композитом кода. В над кодом D относительно ср. Операция 8, называемая композицией кодов, состоит в переписывании кода В над алфавитом У в виде кода над А с использованием кодирования ср алфавита У словами из D. Ясно, что код С разлагается над D в смысле определения 3.4 тогда и только тогда, когда С = В ® D для неко- ф
торого кода В над алфавитом, равномощным коду D. Для композиции кодов имеет место ассоциативность в следующем смысле:
(С, 0 С2) 8 С3 = С] 8 f С2 8 С3) , X ф / фф-Ф X ф /
и для набора кодов Ci, С2, ..., 0% мы обозначим посредством Cj8C28 ... 8 Сп код [((Cj 8 С2)8 С3)8 ...] 8 С„ над алфавитом кода С„. Если С = С^ Со® ... 8 Сп, то мы называем С композитом кодов С], С2, ..., Сп.
Предложение 3.5. Любой конечный максимальный ^соответственно полный префиксный') код является композитом конечного числа неразложимых конечных максимальных (соответственно полных префиксных) кодов.
Доказательство. Пусть С — конечный максимальный код над алфавитом A, a D — такой код над А, что С = D*, причем D=A=C, D#=A. Множество D'^^eD; D*wD* f) С 0} непусто (Cc£>*), конечно, так как /(w) ^ max{Z(c): с е С} для всех w е D', и является кодом, так как D' Е D. Далее, любое слово се С можно записать в виде с = did2 ... dn, где все di е D'; поэтому С* Е (D')*. Если существует такое и ^ В', что D' U {и} — код, то С U {и}—тоже код, что противоречит максимальности С. Следовательно, D' максимален и D' = D. Это показывает, что если С разлагается над D, то D необходимо является конечным максимальным кодом. Если С = В 8 D, то, очевидно,
В — конечный максимальный код над алфавитом Y, равномощным коду D. Мы уже доказали, что для любого deD существуют такие х, у е D*, что xdy е С. Отсюда и из неравенства D¥=C вытекает, что ^аео1^< 'Е^с1^’ а из D ф А вытекает, что ЦЬгв1^< Т-сес1^- Следовательно, индуктивное, по числу I^cec^M’ рассуждение дает желаемый результат. Доказательство для полных префиксных кодов аналогично, и мы его опустим. □
Замечание. Произведение двух кодов кодом, вообще говоря, не будет. Пример: множество C = Ci-C2, где Ci = {а, 6а}, С2 = {а, аб}, не является кодом. Однако произведение двух префиксных кодов — снова префиксный код (см. упр. 7).
4. Введение в проблему равенства слов. Рекурсия, алгоритмы, порождение языков
Напомним, что для свободного моноида А* и подмножества R из декартова произведения А* X А* существует наименьшая содержащая R конгруэнция р на А*, которая определяется условием: ири тогда и только тогда, когда существуют слова и0, щ, ..., ип е А*, такие, что и — ий, и^г^вр ut+1 = riw'isl, (wp w'^ е R (J R~‘ (J е для /—О, 1, ..., п— 1, и ип = и. Мы говорим, что фактормоноид М = А*/р задан копредставлением <Л; {а = о для всех (а, у)е/?}> или <Л; R") (см. гл. 1, § 4) и называем канонический гомоморфизм <рд: А*-^-А*/р задающим гомоморфизмом (presentation homomorphism). В нашем следующем определении слово «алгоритм» используется в интуитивном смысле, но в дальнейшем мы намерены определить его более формально.
Определение 4.0. Пусть М — моноид, заданный копредставлением <Л; R"), а <рд: А*->М— задающий гомоморфизм. Проблема равенства слов (word problem)1) для М заключается в следующем вопросе: существует ли алгоритм, проверяющий равенство q)R(w1) = <pR(ay2) для всех слов wi, щ2еЛ*?
Эта проблема была впервые поставлена Туэ [1914] и решена в общем случае отрицательно А. А. Марковым [1947а, Ь] и Постом [1947]. На основе этого позднее было показано, что проблема равенства слов для групп также имеет отрицательный
') Иногда говорят просто «проблема равенства». Употреблялись также термины «проблема тождества слов» и «проблема тождества». — Прим. ред.
ответ) (см., например, Ротман [1973]; обстоятельную библиографию о проблеме равенства слов для групп читатель может найти также в обзоре Буна [1959])). Решение проблемы равенства прямо связано с точным определением понятия алгоритма, которое в свою очередь исходит из различных математических формализаций:
понятия (частично) рекурсивной функции, принадлежащего Клини [ 1936, 1943];
понятия машины Тьюринга (Тьюринг [1937], Пост [1936, 1947]);
понятия нормального алгорифма, принадлежащего Маркову [1954]),
Общей особенностью теорий, связанных с понятиями (Ь) и (с), является то, что обе они имеют дело с распознаванием некоторых подмножеств свободных моноидов (т. е. языков), в то время как понятие рекурсивной функции нацелено на распознавание подмножеств, называемых рекурсивными, множества № неотрицательных целых чисел. Использование биекции №^-Л* множества целых чисел на свободный моноид над конечным алфавитом А обеспечивает естественный способ введения понятия рекурсивного языка. Замечателен факт сводимости друг к другу всех трех теорий: рекурсивные языки, языки, «вычислимые» машинами Тьюринга, и языки, «вычислимые» марковскими
нормальными алгорифмами, образуют один и тот же класс. В этом параграфе мы введем основные понятия упомянутых выше теорий и неформально (т. е. без полных доказательств) изложим результаты, необходимые для понимания неразрешимости проблемы равенства. Дальнейшие детали можно найти в различных учебниках логики1). Наш набросок (который более или менее следует книге А. И. Мальцева (1965]), конечно, не является кратчайшим путем к доказательству неразрешимости проблемы равенства, но зато он одновременно вводит ряд стандартных систем для порождения классов языков. Простейшие из этих систем (конечные автоматы, контекстно-свободные грамматики) будут детально изучены в следующих главах.
Частично рекурсивные функции
Чтобы определить понятие частично рекурсивной функции /: № X № X • • • X №-+№, мы введем три оператора на частичных функциях нескольких переменных из № со значениями в №.
Пусть g— частичная функция п переменных (п>0), а hi, h2, ..., hn — частичные функции одного и того же числа, скажем т, переменных. Определим оператор композиции О+1 как отображение, которое п + 1 функциям g, hi, h2, ..., hn ставит в соответствие функцию f~Cn+} (g, hi, ..., hn), определяемую равенством
f (Xi, X2, ■ • • , Xm) ^^ K^hl (Xi, X2, . . ., Xm) , ..., hn (xb x2, ..., xm)) .
Пусть g — частичная функция m переменных (m^O), a h— частичная функция m + 2 переменных. Определим оператор примитивной рекурсии R как отображение, которое паре g, h ставит в соответствие функцию f = R(g, h) от m + 1 переменных, определяемую индуктивно формулами
f(X] х2, ..., xm, 0) = g(xi, х2, ..., хт),
• > хт, у + 1) = h (хь х2, ..., хт, у, f (хь хт, у)).
') На русском языке литература, в которой излагаются основы обсуждаемых здесь теорий, достаточно богата и включает монографии и учебники разной направленности и разного уровня изложения. Кроме монографии А. И. Мальцева [1965] и основополагающей работы А. А. Маркова [1954], использованных автором, укажем, например, книги В. А. Успенского [I960*], Мендельсона [1963*], Роджерса [1967*1 Барвайса (ред.) [1977*], Ю. Л. Ершова и Е. А. Палютина [1979*], С. Я. Яблонского [1979*], Ю. И. Манина [1980*], Катленда [1980*], А. Н. Колмогорова и А. Г. Драгалина [1984*], А. А. Маркова и Н. М. Нагорного [1984*]. Этот список стоит дополнить примечательным в целом сборником под ред. А. П. Ершова и Кнута [1982*], среди статей которого—фундаментальный трактат В. А. Успенского и А. Л. Семенова «Теория алгоритмов: ее основные открытия и приложения», содержащий обзор основных концепций, связанных с общим понятием алгоритма, и интересный исторический очерк Клини «Об истоках теории рекурсивных функций», принадлежащий перу одного из создателей всей этой области — Прим,
Пусть g— частичная функция т переменных (т>0). Определим оператор минимизации М как отображение, которое функции g ставит в соответствие функцию f = M(g) от m переменных, определяемую равенством
f(xh Х2, Хт) = Ру(^(хЬ Х2, - Хт-ь у) = Хт), где правая часть обозначает наименьшее решение уравнения g(xi, хг, ..., xm~i, y) = xm относительно у (т. е. pH^Ui, х2, ... ..., xm-i, у) = хт) = а тогда и только тогда, когда ^(Хь х2, .., ..., хт_1, 6) определено для всех Ь, 0 ^ b ^ a, ^(xi, х2, ... ..., хт_1, 6) ¥= хт для b < а и g (хь х2, ..., xm_b а) = хт).
Определение 4.1. Частичная функция f: № X № X ...№-> -*№ называется частично рекурсивной функцией, если она может быть получена из базисных функций s: N3 —> N’, z: №-> ->№ и proj”: (№)"->№, определяемых равенствами s(x) = = х+1, z(x) = 0 и proj"(x1, х2, ..., хп) = хт, 1<т^п, конечным числом применений операторов композиции С*+' (t = 1, 2, ...), оператора примитивной рекурсии R и оператора минимизации М. (Если f получается из базисных функций конечным числом применений операторов С*+1 и R, то f называется примитивно рекурсивной.)
Пример 4.2. Функции s(xb х2) = х1 + х2, p(xb х2) = Х1Х2,
( 0, если х = 0,а(х) = < ,Л
( 1, если х > О,
примитивно рекурсивны. Функция d(xb х2) = х2— хь не определенная при х2 < хь частично рекурсивна, так как х2 — Xi = ==py(s(Xi, у) = х2).
Определение 4.3. Подмножество А из № называется рекурсивным, если его характеристическая функция частично рекурсивна.
Из приведенных выше примеров легко следует, что семейство рекурсивных множеств натуральных чисел замкнуто относительно дополнений, конечных объединений и конечных пересечений (например, если %! и %2 — характеристические функции множеств Л1 и Л2, то функция х(х) = а(Х1(х) + Х2(^)) будет характеристической для Л1МЛ2).
Определение 4.4. Подмножество А из № называется рекурсивно перечислимым, если А совпадает с образом некоторой частично рекурсивной функции.
Семейство рекурсивно перечислимых подмножеств из № замкнуто относительно конечных объединений и пересечений.
но не замкнуто относительно дополнений. (Если Л и Л'= №\Л одновременно рекурсивно перечислимы, то оба множества Л и А' рекурсивны, тогда как ниже мы увидим, что в № существует нерекурсивное рекурсивно перечислимое подмножество.)
Пусть 2 — некоторое семейство частично рекурсивных функций п переменных. Частичная функция F\x0, х\, ..., хп) от п+ 1 переменных называется универсальной для 2, если f(z, хх, ..., ь.)е2 при любом ie№ и для любой /е2 существует такое число / Е №, что f (xi, xi, ..., xn) = F^i, х\, х^,.., ..., XnY
Теорема 4.5. Семейство всех частично рекурсивных функций п переменных допускает универсальную функцию F(xq, xi, ... ..., xn), которая будет частично рекурсивной.
Для доказательства этой теоремы строится универсальная функция для семейства всех примитивно рекурсивных функций п+ 1 переменных, и любая частично рекурсивная функция п переменных выражается с помощью оператора минимизации через примитивно рекурсивную функцию п+ 1 переменных (см. А. И. Мальцев [1965, разд. 6.2, теоремы 1 и 2]). Подчеркнем, что универсальная функция F, существование которой утверждается теоремой 4.5, не может быть продолжена до всюду определенной частично рекурсивной функции). Это вытекает из следующего результата.
Предложение 4.6. Пусть Е(хо, хь ..., х„)— частично рекурсивная функция, универсальная для семейства всех частично рекурсивных функций п переменных. Определим функцию О формулой
( 1, если F (х, хх) = О,^( 0, если F (х, х, ..., х) > 0.
Тогда G частично рекурсивна и не существует никакой частично рекурсивной функции Н, определенной для всех х е №, которая совпадала бы с G на ее области определения.
Доказательство. Проверку частичной рекурсивности G оставим читателю в качестве упражнения. Допустим, что функция Н с указанными свойствами существует. Функция ТЦхр х2, • •• • • • ’ xn)=^ (Н, proj”) (хрх2, ..., х^=Н (х^частично рекурсивна. По определению F существует номер i Е №, для которого РЦ> хх, х2, ..., Хп)==7<(Х1, х2, ..., хп) = Д(Х1) при любых *ь х2, ..., х„ е №. В частности, F^i, I, ..., 1^=НЦУ Отсюда следует, что ОЦ) = 1, когда H^ = 0, и G(Z) = O, когда Н(Г) > 0$ это противоречит тому, что Н продолжает G. □
Следствие 4.7. Если Р^хй, Xi, ..., хп)—частично рекурсивная функция, универсальная для семейства всех частично рекурсивных функций п переменных, то F не может быть продолжена до всюду определенной частично рекурсивной функции.
Доказательство. Если F продолжается до. всюду определенной функции К, то функция
{
1, если К (х, х, ..., х) = О,
О, если К (х, хх) > О частично рекурсивна, определена для всех х s № и продолжает функцию G из предложения 4.6. Это невозможно. □
Следствие 4.8. Существует нерекурсивное рекурсивно перечислимое множество.
Доказательство. Пусть F^xo, Xi)— частично рекурсивная функция, универсальная для семейства всех частично рекурсивных функций одной переменной (теорема 4.5), и пусть
( 1, если F (х, х) = 0,6 (х) = 1 n п /\ О
(О, если F (х, X) > 0.
Множество S={xe№: G(x) = 0} рекурсивно перечислимо (см. следующий абзац). Допустим, что S рекурсивно. Тогда характеристическая функция % множества, дополнительного к S, определяемая равенством
{
0, если хе S,
1 если х S
частично рекурсивна, всюду определена и продолжает G. Это противоречит предложению 4.6.
Чтобы доказать рекурсивную перечислимость множества S, покажем, что вообще для любой частично рекурсивной функций G множество S={xe№: G(x) = 0} рекурсивно перечислимо. Случай 5 = 0 тривиален; будем считать S непустым. Рассмотрим вместе с функцией о из примера 4.2 функцию а = 1 — а и определим f, положив f(x) = xo(G(x)) + s0o(G(x)), где s0 — фиксированный элемент из S. Функция / частично рекурсивна и легко проверяется, что S = Im f, т. е. S рекурсивно перечислимо. □
Перейдем теперь к определению рекурсивных и рекурсивно перечислимых языков над конечным алфавитом А = (а^ а2, ... ..., а„\. Введем лексикографическую функцию X: Д*^-№, взяв Х(1) = 0, а для непустого слова w = atjaik_x • ■ ■ aia положив Х(ф) = unk + ik-\nk-{ + ... +ii« + io. Эта функция определяет биекцию Д* на №. Язык Ее А* называется рекур-
сивным (соответственно рекурсивно перечислимым), если подмножество X(L) из № рекурсивно (соответственно рекурсивно перечислимо). Отображение X продолжается на множество всех частичных функций_ F: А*ХА*Х ■ •• ХЛ*-^Л_* следующим образом: определим X(F) как числовую функцию X(F) (xi, Х2, ••• .х„) = KF(K~l (xi), Х-Цхг), .Х~’(х„)). Частичная словарная функция F называется тогда частично рекурсивной (соответственно примитивно рекурсивной), если X (F) частично рекурсивна (соответственно примитивно рекурсивна). Можно показать, что частично рекурсивные словарные функции могут быть получены из базисных словарных функций с помощью конечного числа применений операторов, которые определяются на словарных функциях аналогично операторам из определения 4.1. Они совпадают с частичными словарными функциями, вычислимыми машинами Тьюринга.
Машины Тьюринга
Определение 4.9. Машина Тьюринга ТГ есть четверка (Q, А, Ь, л), где
Q — конечное множество1), называемое множеством, состояний машины
А — конечное, не пересекающееся с Q множество, называемое алфавитом 9", а b — выделенный элемент из А, называемый пустым символом-,
л — функция из QXЛ в (Q U {х})Х(Л U {г, /}), где символы s, г, I не входят в Q U А и называются соответственно сгоп-символом и символами правого и левого переносов. Функция л называется программой машины 9" и задается равенствами л(^, a^ = (,q', а'), записываемыми в виде qa-^-q'a' для всех q е Q, а Е А.
Эта абстрактная машина предназначена для формализации понятия машины, которая обозревает слова из А*, начиная слева, и действует шаг за шагом согласно своей программе. На данном шаге конфигурация машины может быть описана словом w из (Л U Q U {«})*> содержащим единственное вхождение буквы из Q(J{s}, которое не является правым делителем для w, таким образом, слово
(4.9.1) w = aixai2 ... aife_xqtaifeaife+x ...a,fe+v
где qt е Q (J (s), ^>1, Z>0
‘) И это, и следующее множества, разумеется, непусты. Заметим, что автор часто опускает упоминание о непустоте тех или иных множеств, и до сих пор мы старались корректировать текст в каждом таком случае. Впредь в подобных ситуациях мы будем больше полагаться на здравый смысл и опыт читателя. — Прим, перев. и ред.
будет интерпретироваться как «£Г находится в состоянии qi, обозревая букву a/fe в слове а^а^ ... aik_xaik ... а] еА*». Слово w называется мгновенным описанием машины 9", если at =/= s, и заключительеым описанием 9", если qt = s. Для данного мгновенного описания (4.9.1) определим 9“ (w) следующим образом:
aixai2 • • • а!и_хЯпгара!кА.х • • • aik+l>
если qtaik->qmap, aivaj2 ... aife_xaifeqmaik+x ... aih+v
у (w) = {
если qtaik ->qmr,
aix • • 1 ^h-^m.^h-x^hP-ih+x • • • aik+l>
если qtalk->qmL
В случае (*) обособляется подслучай: 9" (а;ха;2 ... a]k_xqtalfe^= — а]ха;2 ... ajk_xajkqmb; мы говорим тогда, что 9" присоединяет пустой символ справа.
Аналогично, в случае (**) имеем: ^" (^о/^ ... а/ ) = — qmbajxa]2 ... ajl+x; мы говорим, что 9" присоединяет пустой символ слева.
Если дано заключительное описание w вида (4.9.1), то обозначим через т(гу) слово, полученное из w стиранием всех вхождений пустого символа Ь и вхождения стоп-символа s. Наконец, если слово тЕ(А\{Ь})* таково, что wo = qbm, wx = = 9"(wo), ..., wk = 9~(Wk-\) и wk — заключительное описание машины 9, то мы пишем 9"* (т) = т ^wfcy
Мы скажем, что 9* Vе начальным состоянием q) вычисляет слово 9* (пг), отправляясь от т. Это определение вычисления можно распространить на последовательности слов тх, тг, ... .., тп е(А\{6})*. Определим ^"’(Шр т2, ... т^ следующим образом: существуют слова two, wi, ..., wk s (A (J QU {$})*, такие, что Wo = qbmxbm2 ... bmn, wx = 9~(w0), ..., Wk=9"Vwk-\V Wk — заключительное описание машины 9" и 9"‘q^mv ту ... .... mr^T^wky
Определение 4.10. Пусть А! = А\{6}. Частичная словарная функция f: А, X • • • X А, -+ А, от п переменных называется вычислимой по Тьюрингу, если существует машина Тьюринга 9* — ^Q,A,b, л) йтакое состояние q s Q, что/(тр пг2, ..., тп^= — y-'q^nix, m2mn) для всех тх, т2, ..., тпг А*.
Теорема 4.11. Класс всех частичных словарных функций, вычислимых по Тьюрингу, совпадает с классом всех частично рекурсивных словарных функций.
Машина Тьюринга может реализовать данную частично рекурсивную функцию даже при наложении дополнительных ограничений на указанное выше заключительное описание Wk. если дана последовательность слов mv, m2, .. ., mn е Д*, то мы говорим, что машина Тьюринга 9" строго вычисляет слово m = 9-’*q(tnx, пг2, ..., пг^), если существует такая последовательность w0, w 1, ..., wk е (Д J Q U {s}) *, что
Wo = qbmxbm2 ... bmn, wx = 9"(ty0)—
где
wk = sbmbl, шеА*.,
и 9" никогда не присоединяет пустой символ слева. Следующее предложение воспроизводит в уточненной форме одну импликацию из теоремы 4.11.
Предложение 4.12. Пусть f— частично рекурсивная словарная функция п переменных над алфавитом Д1 = {ai, аг,..., а*}. Существует машина Тьюринга 9" = (Q, А, ао, л) с алфавитом Д = {ао}1)Д1 « таким состоянием qeQ, что 9" строго вычисляет слово m = 9~'q(mx, пг2, ..., mn) тогда и только тогда, когда f(mi, тгпгп) определено и m = ^(m\, тъ •••, mnV
Применяя предложение 4.12 к алфавиту Д1 = {и}, сводящемуся к одной букве, мы получаем следующий частный случай:
Следствие 4.13. Пусть дана частично рекурсивная функция f: № X № X • • • X №-+№. Тогда существует машина Тьюринга 9" = (Q, А, Ь, л) с алфавитом А = {а, 6} и таким состоянием q^Q, что 9", начиная вычисление при описании w0 = qbax'baX2 ... ... ЬаХп и работая без присоединения пустого символа слева, тогда и только тогда заканчивает вычисление при описании Wk = sbaxbb ... b, когда f(xi, х2, ..., x^ определено и f(xi, x2xn) = x.
Нормальные алгорифмы Маркова
Пусть даны алфавит А и два символа ->, •, не входящие в А. (Нормальным) алгорифмом в алфавите А называется конечный линейно упорядоченный список 91 формул подстановок следующих двух типов: (а) и-^и, (Ь) и-*-v(u, и г Д*).
Взяв произвольное слово w е А*, определим действие алгорифма 91 за один шаг.
Случай 1. Никакая левая часть формул подстановок не является делителем для w. В этом случае мы скажем, что слово w не поддается алгорифму 91.
Случай 2. Левая часть хотя бы одной формулы подстановки является делителем для w. Тогда мы возьмем первую из таких формул подстановок в списке и заменим первое вхождение в w ее левой части на правую часть, ставя точку • перед результатом w' в случае формулы типа (Ь). Применив подстановку типа (а), мы пишем w Н w' и говорим, что 91 просто переводит w в а/, а применив подстановку типа (Ь), пишем w Н -w' и говорим, что 91 заключительно переводит w в w'.
Будем писать 5l(w) = c<yz тогда и только тогда, когда либо слово w не поддается алгорифму 91 и ш' = w, либо существуют слова wi, w2, ..., wn, такие, что wt = w, wn — w', алгорифм 91 просто переводит Wi в tm+i для <=1,2, ..., п — 2 и u>n-iH -wn.
Алгорифм в алфавите Вг А называется алгорифмом над А.
Определение 4.14. Частичная словарная функция f; А*Х ХА*Х ХА*->Д* над алфавитом А называется нормально вычислимой, если существует алгорифм 91 над алфавитом A (J {6}, b ^ А, такой, что 9l(6t«i6ty2 • • ■ bwn^ = w тогда и только тогда, когда f(wt, w2, ..., wn) определено и f(wb w2®„) = = w.
Понятие нормально вычислимой словарной функции прямо связано с понятием разрешимой проблемы. Мы определим математическую проблему) как отображение р; H,sZ S( -> S из декартова произведения множеств Si (ie/), называемых множествами посылок проблемы р, в множество решений S. Говорят, что проблема р алгоритмически разрешима или просто разрешима, если: (а) существует транскрипция проблемы в терминах алфавита А, т. е. областям изменения переменных х, е Si и х е S взаимно однозначно отнесены подмножества свободного моноида А*; (Ь) функция р транскрибирована в частичную функцию f: Д*ХА*Х ••• ХА*-* А*; (с) транскрипция f функции р нормально вычислима. В практических ситуациях, чтобы показать разрешимость проблемы р, транскрипцию р-*[ не делают явно; обычно требуемый алгоритм дается непосредственно в терминах элементов множеств S; и S.
Нормально вычислимые словарные функции не образуют новый класс. Имеется
Теорема 4.15 (В. К. Детловс [1953])'. Класс всех нормально вычислимых частичных словарных функций совпадает с классом всех частично рекурсивных словарных функций.
В самом деле, если словарная функция f частично рекурсивна, то f вычислима по Тьюрингу в силу теоремы 4.11. Поэтому существует машина Тьюринга ^" = (Q, А, Ь, л) и такое состояние 7 е Q, что (Г* ^bwxbw2 ... bw^ = w тогда и только тогда, когда f(wi, w2, ..., wn)=w; Заменив в программе л машины 9" команды у-^—^кйк формулами qiaj-* -аь и добавив формулы 1-х? в начале иб-Ив конце), мы получим алгорифм $1 в алфавите A U Q (т. е. над А), такой, что
91 ^bwxbw2 ... bwn^ = g**q ^bwxbw2 ... bwn^ =
= f(wu W2, .... wn\
откуда следует нормальная вычислимость f. Доказательство обратного утверждения до некоторой степени подобно доказательству частичной рекурсивности вычислимых по Тьюрингу функций.
Определение рекурсивного языка и теорема 4.15 показывают, что язык Le А* рекурсивен тогда и только тогда, когда существует алгорифм 91 над А, применимый к любому слову из А*, причем 91 (ty) = 1, если и только если w е L. Аналогично, язык L Q А* тогда и только тогда рекурсивно перечислим, когда он порождается алгорифмом над А, реализующим частично рекурсивную словарную функцию. Различие между рекурсивностью и рекурсивной перечислимостью станет, быть может, яснее при рассмотрении грамматического порождения языков.
Формальные грамматики
Определение 4.16. Формальная грамматика Г есть тройка (V, А, л), где V — конечное множество букв, А — подмножество из V, а л—конечное подмножество декартова произведения (V\A) + X V*. Множество V называется словарем грамматики Г, множество А называется ее терминальным алфавитом. Элементы из л называются правилами) Г, и мы пишем и-^-и, если (и, и)ел.
Слово w' е V* непосредственно выводимо из слова w в грамматике Г = (Р, А, л) (обозначение: w-*w'^, если w = xuy, w' = хиу для некоторых х, у ® V* и и-»-и есть правило из л. Мы говорим, что w' выводимо из w в Г и пишем w=^w', если г
либо w = w', либо существует последовательность ty0, оц, ...
..., wne V, такая, что w = ®0, wn = w' и ш,+1 непосредственно выводимо из wt для каждого I, O^i^n—1. Для любого ое УХА подмножество Л(Г, а) из А* определяется равенством Л (Г, а) = f we A*: a=>w\ а называется языком, порожденным
Iг J
грамматикой Г, отправляясь от а. Язык L s А* называется языком типа 0, если существуют грамматика Г = (У, А, л) и такая буква а г УХА, что L = А(Г, о).
Определение 4.16 — это крайняя формализация одного аспекта традиционного грамматического анализа естественных языков — грамматического разбора правильно построенных предложений. Например, фраза «The little boy went to school» есть правильное английское предложение, построенное по образцу (подлежащее) (глагол) (дополнение). Грамматика Г, продуцирующая это предложение, содержит правила
(предложение)-»-(подлежащее) (глагол) (дополнение), (подлежащее)-»-(артикль) (прилагательное) (существительное),
(дополнение) -»- (предлог) (существительное), (артикль)-»-the, (прилагательное)-»- little, (существительное)-»-boy, (существительное)-»-school, (глагол)-»-went, (предлог)-»-to.
Здесь множество А содержит элементы the, boy, went, little, school, to. Элементы, записанные в скобках, лежат в У\А (называемом множеством вспомогательных символов).
Следующий результат указывает на высокую степень общности определения 4.16.
Теорема 4.17 (Дэйвис [1958], Хомский [1959]). Язык L^A* порождается некоторой формальной грамматикой Г —(У, А, л), если и только если он рекурсивно перечислим.
Отсюда явствует, таким образом, что если мы хотим изучать языки, интересные для практических целей (таких, как лингвистический анализ английской или французской грамматик или исследование языков программирования), то мы должны ввести дополнительные ограничения на правила из л. Следующие ограничения, как мы увидим, представляют некоторый интерес.
Определение 4.18. Формальная грамматика Г = (У, А, л) называется контекстно-зависимой *) (или типа 1), если любое пра-
вило в л имеет вид иаи ихи, где ае У\А, xgV+, и, и г е(1/\Л)*. Грамматика Г называется контекстно-свободной (или типа 2), если любое правило в л имеет вид а-^-х, где ае У\Л, х е V*. Наконец, Г называется праволинейной (или рациональной, или типа 3), если любое правило имеет вид а->-хр или а-^-у, где а, 0 @ У\Л и х, у s А*.
Если мы обозначим через 3i класс языков, порожденных грамматиками типа I, то Зъ S 32 G 3\ е Зо *). Мы увидим, что 3» есть в точности класс языков, распознаваемых конечными автоматами (см. гл. 6, предложение 2.4). В главе 9 мы покажем, что первые два включения Зг с Зч с 3\ строгие. Строгость включения 3\ с: Зо вытекает из существования нерекурсивного рекурсивно перечислимого множества (следствие 4.8) вместе со следующим утверждением.
Предложение 4.19. Язык, порожденный контекстно-зависимой грамматикой, рекурсивен.
Чтобы установить это, заметим, что если язык L контекстно зависим, то L порождается формальной грамматикой Г == = (У, А, л) с правилами вида и-^-и, где Ци)^ Ци^ (и обратно). Ввиду данного свойства выводов — возрастания длины — для любого w eV* имеется лишь конечное число выводов без повторения слов. Поэтому можно последовательно строить множества выводимых из о слов длины 1, 2, ..., п, ... . Отсюда вытекает разрешимость свойства <w е L*.
5. Проблема равенства слов для моноидов и близкие вопросы
Опираясь на строгое понятие нормального алгорифма, данное в разд. 4.3, мы переформулируем определение 4.0. Именно, скажем, что проблема равенства слов для моноида М, заданного копредставлением <А; /?>, разрешима, если существует такой алгорифм 21 над алфавитом Аи{^}, что для всех пар слов Wt, w2 е А* равенство 2l(tyj = w2) = 1 выполняется тогда и только тогда, когда фд(Щ1) = фд(аУ2) в М, где фд: А*^-М— задающий гомоморфизм). В противном случае проблема слов называется неразрешимой. Допустим, что копредставление <А; /?> дает разрешимую проблему слов, решаемую алгорифмом 21. Тогда для любого «ц е А* множество S(tyi) = {w е А*: %(w = ®i)= 1} является рекурсивным языком, так как 21 определяет (теорема 4.15) частично рекурсивную словарную функ-
•) Среднее включение условно: оно означает, что в 3 содержатся все языки типа 2, не содержащие пустого слова. — Прим, перев.
цию, исходя из которой можно построить (с помощью лексикографической функции X) частично рекурсивную характеристическую функцию множества 5(ац). Таким образом, чтобы указать пример неразрешимой проблемы равенства, достаточно найти копредставление <А; Ry и слово Wi s А*, для которых множество \weA*: фд(ау) = tpH^i)} нерекурсивно.
Пусть 9" = (Q, А, Ь, л) — машина Тьюринга и и — символ, не входящий в /HJQU{s}- Определим копредставление Л1(^) = = <Д(^"); R(9")y, называемое копредставлением, ассоциированным с машиной 9", следующим образом: А (9") = A U {и} U Q U U {s}, a R(9"') определяется условиями:
если qa^q'aj лежит в л, то (^az, q'a^ е R (9");
если qa^q't лежит в л, то (a^az, q'aa^e R^9") для любого аеЛ;
если qat-^-q'r лежит в л, то (^щ-, atq') е R(9") {
(bv, v)^ R(9~Y
Лемма 5.1. Пусть 9" = (Q, А, b, л) — машина Тьюринга и АЦ9")= <A(9"Y R(9~)) — копредставление, ассоциированное с 9". Для любых qeQ, w, w’ е А+ соотношение qwv = sw'v тогда и только тогда выполняется в М (9"), когда существуют мгновенные описания wo, wi, ..., wk машины 9", такие, что wo совпадает с qw, wi+i = 9"(wt) для всех i = 0, 1k—1 и 9~(wk)~ sw'bn для некоторого п е №, причем 9" никогда не присоединяет пустой символ слева.
Доказательство. Часть «тогда» этой леммы очевидна. В самом деле, так как 9" никогда не присоединяет пустой символ слева, из wz+I = 9" Y^d) вытекает, что wz+iu = ®zu выполняется в Л! (^"); отсюда следует qwu = sw'v. Для доказательства обратного допустим, что gwo s sw'v выполняется в M^9"Y Тогда существует последовательность слов wo, w\, ..., Wk^A(9~)*, в которой wz+i непосредственно выводимо из w, относительно R(9") при t = О, 1, ..., k— 1 (см. гл. 1, § 4), w0 = qwu, wh = = sw'v. Обозначая символом -> отношение прямой выводимости в М(9^, получаем
qwu = wo^-wi-^- ... ->wh-\^-wh = sw'v,
где можно предположить, что wt N= Wj при / #= /. Выделим два случая.
Случай 1. Соотношение (d) не используется в (5.1.1). Допустим, что существует непосредственный вывод в цепочке (5.1.1), замещающий правую компоненту некоторой пары из Rk9~^ соответствующей левой компонентой, и пусть w,->-Wi+i — последний из таких выводов. Тогда 1тЫг—1, поскольку s не содержится в левой компоненте никакой пары из R\9"Y Пола-*
гая Wi+i = xqayu и отмечая, что Wi+i-r-Wi замещает левую компоненту правой, приходим лишь к одному возможному выбору для вывода w/+i -> wi+2 (^а появляется только один раз в качестве левой компоненты). Это в точности обратный к выводу Wi-rwi+i. Поэтому Wi = W/+2, что противоречит нашему предположению о цепочке (5.1.1). Таким образом, каждый вывод в (5.1.1) замещает некоторую левую компоненту соответствующей правой компонентой. Следовательно, (5.1.1) фактически совпадает с вычислением машины 9", откуда и вытекает требуемое.
Случай 2. Соотношение (d) используется в (5.1.1). Тогда (5.1.1) можно заменить цепочкой
О)m (2)(3)
qwu = w0 -> ... -> qwb v->...-*swb и —> ... -* sw v, где часть (1) состоит из замещений у на Ьи, часть (2) не использует (d), а часть (3) состоит из замещений Ьи на и. В самом деле, можно легко проверить, что замещение у на Ьи и следующие за ним выводы типов (а), (Ь), (с) можно менять местами, сдвигая тем самым указанные замещения к началу цепочки; аналогично, можно менять местами выводы типов (а), (Ь), (с) и следующие за ними замещения by на и, сдвигая эти замещения к концу цепочки (5.1.1). Согласно случаю 1, часть (2) в (5.1.2) совпадает с вычислением машины 9". Поэтому 9", начиная вычисление со слова qw (или, равносильно, со слова qwbm), заканчивает его в конфигурации sw'bn для некого п s №. □
Теорема 5.2 (А. А. Марков [1947], Пост [1947]). Существует конечное копредставление <А; У?) моноида с неразрешимой проблемой равенства слов.
Доказательство. Мы видели, что существует частично рекурсивная функция G: №-*№, для которой множество S = = {хе№: G(x) = 0} рекурсивно перечислимо, но не рекурсивно (см. доказательство следствия 4.8). В силу следствия 4.13 существует машина Тьюринга 9" = (Q, А, Ь, л) с алфавитом А = {я, 6} и таким состоянием q е Q, что 9", начиная вычисление с описания WQ==qbax, заканчивает его при описании sba°Wbn, не присоединяя при этом пустой символ слева. Рассматривая копредставление М(9") = <А(9"); Д(9')>, ассоциированное с 9", мы получим, согласно лемме 5.1, что qbaxu s sbu, если и только если х е S. Используя лексикографическую функцию X, определим ф: №->-№, положив ф(х) = X^qbaxy) для всех хе№. Так как % — биекция, множество ф($) не рекурсивно, и то же самое справедливо для языка L = ^qbaxu: xeS}. Поскольку L = qb^*u Q {tv e A(9~)*: w s sbu^, а язык qb^*u. очевидно, рекурсивен, множество ^weA^9"\*; w ^ sbv} не
может быть рекурсивным, т. е. проблема слов для копредстав- ления <А(£Г); R(0r)> неразрешима. □
Замечание 5.3. Для данного копредставления могут сосуществовать рекурсивные и нерекурсивные классы слов рассмотренного типа. Заметим, однако, что проблема эквивалентности данному слову, скажем wo, в копредставлении моноида М = <А; R) может быть сведена к проблеме эквивалентности пустому слову 1 в другом копредставлении. Строится копред- ставление моноида М с алфавитом A U {а, Р) (а, Р^А) и множеством определяющих соотношений R = R U {(awop, 1)}. Теперь w s w0 выполняется в М тогда и только тогда, когда ааур г 1 выполняется в Я. Трудная часть доказательства состоит в установлении того, что выполнение ааф = 1 в Я влечет выполнение соотношения w в w0 в М (см. А. А. Марков [1954]).
Так как мы не определяем явно частично рекурсивную функцию F(xq, Хь ..., хп), универсальную для класса всех частично рекурсивных функций п переменных (см. теорему 4.5), доказанная выше теорема 5.2 не дает в явном виде копредставления с неразрешимой проблемой равенства. В 1947 г. А. А. Марков привел пример копредставления с 13 образующими и 33 определяющими соотношениями, имеющего неразрешимую проблему равенства. Доказательство состоит из последовательности переводов проблемы в различные комбинаторные системы, непосредственно связанные со свободными моноидами. Мы очертим здесь основные контуры доказательства, отсылая читателя за деталями к книге А. А. Маркова [1954] ').
Системы Поста
Чтобы определить систему Поста над алфавитом А, достаточно задать множество упорядоченных пар слов (щ, и,)еА*Х ХА*, iel. Непосредственный вывод определяется как Utw-»- ->wVi, где w — произвольное слово иЗ А*, а вывод есть либо равенство, либо последовательность непосредственных выводов. Например, две пары (я, Ьа) и (6, aba) определяют систему Поста над А = {а, Ь). В этой системе слово (а2Ь)2а можно вывести из я: а -^- bba^- baaba^ aabaaba. Если вместе с каждым выводом Uiw-^wu, допускается также вывод гаи^ида, то мы приходим к понятию обратимой системы Поста. Обозначим систему Поста над А через Р^А, R), где R— определяющее ее множество пар 2).
’) См. также книгу А. А. Маркова и Н. М. Нагорного [1984*].— Прим. ред.
Связь между обратимыми постовскими системами и копред- ставлениями моноидов может быть установлена следующим образом. Если дано копредставление _М = <А; R), определим обратимую систему Поста P(AU {а},/?) над алфавитом A U {а} (а^ А), взяв R состоящим из соотношений uw ■*-> wv для всех пар (u, и) a R и соотношений aw wa для всех a а А.
Предложение 5.1.1. Для любых wb w^^A* соотношение tyj == w2 выполняется в М = <А; R) тогда и только тогда, когда в обратимой системе Поста Р(А U {a}, R) имеется вывод w\a sa = w2<x.
В качестве следствия этого результата и замечания 5.3 можно вывести существование конечно заданной системы Поста над алфавитом A U {«}> для которой неразрешима проблема выводимости слов из а. Кодируя буквы из A U {а} в алфавите {а, Ь^ (посредством av-^a, а;^—>аЬ‘а для любого at а А, / = 1, 2, ..., п), получаем
Следствие 5.1.2. Существует обратимая система Поста над алфавитом {а, Ь) и с конечным числом соотношений, для которой проблема выводимости слов из а неразрешима.
Система Маркова
Рассмотрим систему 'g'o над алфавитом А == (a, b, с, d, е} и с единственным обратимым непосредственным выводом
xducvdyeuw <—^—* xducvdyewv
для любых и, и, w е {а, Ь)* и любых х, у a {a, b, с, d}*. Основанием для введения такой системы служат следующие соображения. Пусть Р — обратимая система Поста над алфавитом {а, 6} и с соотношениями kiW -<->- wh для / = 1, 2, ..., $ и w а а {а, Ь}*. Тогда Р можно представить словом г(Р) в алфавите {а, Ь, с, d}*:
г^Р^ = dk\chdk2cl2 ... dksdsd.
Допустим, что мы хотим сравнить kiw и wh. Делителям олова г(Р) приписываем имена, как указано ниже:
r(P) = d^c^d^c!} ■ • • dkj_ ,€1,- ^kjClidk^ ^1^! • • • k,cl,d I—:1 MU I1
xи v у
Уо
Тогда г {P)ekiw = xducv dyeuw xducv dyewv = r ^ewh- Более общо, мы имеем w\ @ w2 в Р, если и только если г(Р)вШ! г s r^P\ew2 в ^q. Таким образом, следствие 8.1.2 влечем за собой
Предложение 5.2.1. В системе Маркова ’g'o на-д А = {а, Ь, с, d, е} неразрешима проблема равенства слов вида uew и иеа, еде we{a,by, u = wxdw'lcw2dw'2c ... cwndw'ncwn+vd и wp w\e e {a, b, dy.
Слово вида uew, где и и w указаны выше, будем называть специальным словом.
Пример конечного копредставления с неразрешимой проблемой равенства
Алфавитом служит А = {a, b, с, d, е, f, g, h, a, b, а, б, тУ и задаются 33 соотношения. Перестановочность букв из {a, b, с, d} и букв из {f, а, Ь, а, 6} дает 20 соотношений. Вот остальные:
ей = de, eb = be, еа = ае, eb = be, ат = dm, bm = Ьт,haa = ah, hbb = bh, agd = ga, bgb = gb,df = dh, fd = gd, he = eg.
Обозначим соответствующее копредставление символом ^х.
Предложение 5.3. Пусть Z\ и г2 — специальные слова в алфавите {a, b, с, d,ey В моноиде, заданном копредставлением 'S'i, соотношение fzim = fz2m выполняется тогда и только тогда, когда Z] = г2 в системе Маркова ^0. Следовательно, проблема равенства для копредставления ^ неразрешима.
Следующее вычисление доказывает, что выполнение zi = z2 в 'g’o влечет выполнение ^zxm = tz2m в 'Fi. Доказательство обратной импликации значительно труднее.
fxducvdyeuwm = xdfucvdyeuwm = xdhucvdyeuwm
= xdhucvdyuewm = xdhuUcvdyewm
= xduhcvdyewm = xducgvdyewm
= xducvgvdyewm = xducvgdyewvm
= xducvgdyewvm = xducvfdyewvm = fxducvdyewvm.
В этом вычислении подчеркнуты и выделены верхними скобками пары слов, связанные выводом относительно определяющих соотношений из <F],
Постовские проблемы соответствия
Пусть дано конечное множество пар непустых слов (ui, ut), («2, ^2),- ■ ■, («о ut) в алфавите А. Если существует набор индексов /ь i2, ..., in от 1 до t, такой, что шии и, = и>и. ...
то мы-говорим, что данное множество пар содержит соответствие. Проблема соответствия состоит в следующем: найти алгорифм Я над алфавитом A U {х, у}, х, у ^А, применимый к любому слову да = uixyiyu2xy2y ... yutxvt для произвольного f е N и такой, что 91(да) = 1 тогда и только тогда, когда множество пар (uh Vi), («2, иг), • •■, (tit, щ) содержит соответствие. Если мы заменим «для произвольного / е N» словами «для фиксированного <еМ» в предыдущей фразе, то получим ограниченную проблему соответствия. Неразрешимость этой последней проблемы показывается следующим образом.
Присоединяя к копредставлению 'Fi соотношения afeam = bfeam = cfeam = dfeam = feam, получаем копред- ставление ^г. Для любого и s {a, b, с, d}* в выполняется fueam s feam, а для любого специального слова иена соотношение fuewm в feam выполняется в ^2 тогда и только тогда, когда uew в иеа в марковской системе Ч?». Согласно предложению 5.2.1, проблема равенства слову feam в ^ неразрешима.
Применяя тот же метод, что и в предложении 5.1.1, можно построить необратимую систему Поста Ф3 над алфавитом А 1) {а} из 14 букв и с 88 соотношениями, обладающую свойством: и — и в ^2, если и только если иа => иа в ^з. Следовательно, в ^з проблема выводимости слов из feama неразрешима.
Соотношения в ^3 имеют вид uiw^-wvt, и можно показать, что и => v в ^3 тогда и только тогда, когда существуют neN и h, i2, ..., in ^88, такие, что ии£1и12 ... и1п = у£1и12 ... .. ,vlnV. Поэтому неразрешима проблема распознавания слов и е (A U {а})*, таких, что
(5.4.1) feamaui ut ... ut =utyt ... u£ у
для некоторых neN, /i, t2, ■. ■, in (1 ^ ik ^ 88).
Для любого w = aiiai2 ... alke (AU {а})* определим слова tyP = aZ1Pa,2P ... at)£ и Рда= paZ)pai2 ... paifc. Пусть xt = y^ y£ = ^u£ для каждого i, 1 ^i ^88, x89 = pp, y89= ppfpepapmpa, Xgo u^P и y9o= pp. Тогда, если выполняется (5.4.1), то легко вывести равенство x89xZ1xz2 ... Х1пхад = у^у^у^ ... у£пу%. Обратное (что гораздо труднее) тоже верно. Если множество пар (хц У1), (х2, у2), • ••, (х9о, узо), где х9о=иРр для некоторого ye(AUH)*, содержит соответствие, то выполняется (5.4.1). Из (с) теперь следует, что ограниченная проблема соответствия над алфавитом A U {а, р} при < = 90 неразрешима. Кодируя A U {а, р} двухбуквенным алфавитом (см. следствие 5.1.2), мы получаем неразрешимость ограниченной проблемы соответствия (а значит, и общей проблемы соответствия) над любым алфавитом, содержащим более одной буквы.
Библиографические замечания и дальнейшие результаты
Г. С. Цейтин [1958] показал, что копредставление
Т = (а, Ь, с, d, е; ас = са, ad = da, be = cb, bd = db, eca = ce, edb = de, cca = ccae') имеет неразрешимую Проблему равенства (Скотт [1956] также привел пример с семью определяющими соотношениями). Чтобы доказать это, Цейтин определяет два кодирования произвольного алфавита А = {а0, «1ат) в алфавите Ло = {а, 6} посредством формул at = Ьф ^а и a^ab^^', где ф(0 е е№, причем ф(/) чЬ ф(/), если I ^ j. Положив w° — aw = wa для любого w е А*, отнесем любому копредставлению Р над Л копредставление Р° над Ло, определенное условием: р = q есть соотношение в Рй тогда и только тогда, когда р — и0, q = и° и и = и есть соотношение в Р. Теперь рассмотрим на алфавите Aj = {а, Ь, й, Б, в} копредставления Т„(п^0) с определяющими соотношениями
Efj = fjg, е^ = |е, йЬпаа = abnaae для любых £, т] е Ло.
(Заметим, что Го —это в точности копредставление ТА
Произвольному копредставлению вида si- = <Л; te»i = 1, и>2 = 1, ... .w6 = 1) сопоставим копредставление Я = (Л U (а); а = 1, шга = 1, ш2а — 1, ■ , ы>»а = 0 и переведем Я в Я0, как указано выше, полагая а0 = = ab"a и выбирая упомянутую ранее функцию ф так, чтобы Ф (V) ф п прн 1 = 0, ..., т. Отображение, которое слову шеЛ* ставит в соответствие w1 G Ло, обладает тем свойством, что равенство и = и в si равносильно равенству use в Я, а последнее в свою очередь равносильно равенству и0 = и0 в ЯР. Далее, взяв s = (alaahcta^. ■ ■ ак^а)0, можно показать, что для любых р, q е Ло равенство sp = Sq в Тп равносильно равенству р = q в Я0 (? получается из $ заменой а на а, b на Б). Поэтому, беря в качестве si любое копредставление с неразрешимой проблемой равенства (причем можно брать групповые копредставления!), мы видим, что Т„ имеет неразрешимую проблему равенства. Прямое доказательство этого результата для копредставления Т вместе с результатами С. И. Адяна [1966], связывающими моноидные копредставления si с групповыми копредставлениями, дает доказательство неразрешимости проблемы равенства для групп.
Ю. В. Матиясевич [1967] начинает с копредставления Т, записанного в виде
fi -=• ac,
f2 — ad.
fs = be,
ft = bd,
fi == ca,
f2 = da.
fs = cb,
h — db.
(Ж”)
fs = ce,
fe = de,
f? = cfi,
f? = cfb
fs = efi,
fs = ef4,
f? = f?e,
fi — f?e
(16 соотношений А1 = В^, заменяет a, b, с, d, е буквами fa, fg, fio, fu, fi2 и определяет ЧЦД) = рЦу'Фу’3—п, где 1 ^ и ^ 12. Переводя (Jf) в алфавит (Р, у) посредством S', получаем копредставление ЧГ(Д,) = 'У (В А, 1 ^ / ^ 16. Определяя pi, j (соответственно qi, у) как i-ю букву слова Чг(Ду) (соответственно ^(В/)), строим слова и и и длины соответственно 256 и 512:
U G Pl,lPl,2 ••• Pl, 1бРг, 1P2, 2 ■■• Р2, 16 ••• Pie,lPie,2 ••- Pie, 1в>
° “<1,1 ••• <i,ie ••• <32,1 •■• <32, ie
и непредставление над (Р, у, в}:
(S’) врр = Ре, вРу = уе, еуР = Ре, еуу = уе, и = о.
Имеем х = у в (^f), если и только если Т(х)уе4 = Т(у)уе4 в (S’). Наконец, используя отображение ф: (Р, у, е)->{а, а}*, определенное равенствами <р(Р) = оа, ф(у) = о, ф(е) = аа, получаем из (S’) копредставление
(Л) ааоао = саа, ааоо = саа, ф (и) = ф (о),
причем х = у в <XV если и только если ф^Муе4] = ф[Чг(у)уе4] в (Jf). Так как Т имеет неразрешимую проблему равенства, то же выполняется и для (^).
Неразрешимость проблемы равенства для групп была доказна П. С. Новиковым [1955] и несколько позже Буном (см. Бун [1959]). Важные изменения, упрощающие доказательство, были внесены Бриттоном [1963]. Доказательство другого типа дал Хигмаи [1961]‘).
Относительно недавно были найдены алгебраические характеризации групп с разрешимой проблемой равенства. Обзоры имеются у Буна [1973] и Саб- бага [1974]). Приведем такие характеризации.
Конечно порожденная группа G имеет разрешимую проблему равенства тогда и только тогда, когда существует инъективный гомоморфизм ф/ G-*S, где S — простая подгруппа конечно определенной группы (см. А, В. Кузнецов [1958], Бун и Хигман [1974]).
Конечно порожденная группа 6 имеет разрешимую проблему равенства, если G можно вложить в алгебраически замкнутую группу S (S алгебраически замкнута, если любое уравнение с константами из S, которое раз- feшимo в некотором расширении группы S, имеет решение в S). См. Нейман 1973], Мак-Кензи и Томпсои [1973].
Аналогичные характеризации справедливы для полугрупп (в (а) нужно заменить простоту на отсутствие нетривиальных конгруэнций).
Разрешимость проблемы равенства для моноидов с одним определяющим соотношением остается открытым вопросом (см. С. И. Адян [1966], Ясу- хара [1970], Лаллеман [1974b])). Как показано Магнусом [1932], группы с одним определяющим соотношением имеют разрешимую проблему равенства.
Другой подход к копредставлениям (называемым также системами Туэ) моноидов и полугрупп состоит в наложении тех или иных ограничений на выводы, касающихся длины слов. Например, копредставление Т называется копредставлением Чёрча — Россера, если равенство х = у в Т влечет существование такого z, что х = z, у = z и z может быть выведено из х и у заменами, укорачивающими длины слов. За дальнейшими результатами мы отсылаем читателя к работам Коше и Нива [1971°], Коше [1976°], Бука [1982°], Бука, Яицена и Рэтхолла [1982°].
См. также источники, указанные в примечании 1 на с. 150. Из достижений самого последнего времени в этой области отметим результат О. Г. Харлампович [1981*], которая построила конечно определенную группу с неразрешимой проблемой равенства слов, принадлежащую многообразию трехступенно разрешимых групп. — Прим. ред.
Упражнения
В свободном моноиде А* три слова и, v, w, где и =И= 1, тогда и только тогда удовлетворяют равенству uw = wo, когда существуют х, у е А* и й > 0, такие, что и = ху, и = ух, w = (ху^х. (Использовать индукцию по /(w) и равиоделимость; см. также гл. 11, § 5.)
(а) Если все Mj(iG/)—слабо унитарные подмононды моноида F, то таков же подмоноид П;е/М;. Аналогично, пересечение сохраняет левую, правую и двустороннюю унитарность.
(Ь) Пусть ф: F-*F'— гомоморфизм моноидов. Если подмоиоид М' слабо унитарен в F', то ф-1(Л1') слабо унитарен в F. То же самое справедливо для любого другого условия унитарности. Если ф сюръективен и М = ф-1ф(Л1), то слабая (соответственно левая, правая) унитарность М в F влечет слабую (соответственно левую, правую) унитарность ф(М) в F'.
Подмоноид группы, удовлетворяющий одному из условий унитарности, является подгруппой.
Пусть <р: А*S’9"г (.S')—представление свободного моноида А* частичными преобразованиями множества S. Стабилизатор элемента s0 е S, определяемый равенством Stab (so) = {шеА*: $оф(го) = s0}, есть подмоноид, порождаемый префиксным кодом. Если ф: А*ЯЦЗ)— представление бинарными отношениями на S, причем ф(А*)— моноид «однозначных» отношений иа S (см. гл. 1, упр. 12), то подмоноид Stab (so) = {w s А* : (so, s0) e ф(ш)} порождается кодом.
Пусть С — подмножество из А*. Определим отношение R иа А*, положив
R = {(и, о) е А* X А*: и ^ А*С, о ^ СА*, ио 4* 1 и иго е С для некоторого
Z G С*},
Множество С тогда и только тогда является кодом, когда (1, X^^R*, где R*—'Транзитивное замыкание отношения R. В случае конечного С это дает алгоритм (аналогичный алгоритму Сардинаса и Паттерсона) для решения вопроса, будет ли С кодом (Боэ [1976]).
(а) Пусть С — такой код в А*, что uC*v f] С* ^ь 0 влечет и, о е С*. Для любой конгруэнции р на С* через р обозначим наименьшую конгруэнцию на А*, содержащую р. Тогда р совпадает с сужением на С* конгруэнции р и существует вложение (т. е. инъективный Гомоморфизм) моноида С*/р в А*/?.
(Ь) Код С = (ab‘a; tsN) обладает свойством (а). Вывести отсюда, что любой ие более чем счетный моноид можно вложить в моноид с двумя образующими (Эванс [1952]) ’).
Множество всех префиксных кодов из А* образует свободный моноид относительного обычного умножения множеств. Указание; определить длину кода С как min{/(w): шеС} (Перрен [1970]).
Выяснить, будут ли кодами следующие подмножества из [а, 6}*. Среди кодов указать префиксные, суффиксные н бипрефиксные. Если множество не является кодом, то найти определяющие соотношения для порожденного им моноида:
{a2, ab, a2b, ab2, 62};
‘) Приведенное утверждение часто называют теоремой Эванса (см., например, Клиффорд, Престон [1967, § 9.1], где приведено одно из доказательств этой теоремы. Впрочем, оно фактически устанавливалось и ранее другими авторами, например М. Холлом [1949]; Иваник в работе [1978*] ссылается на статью В. Серпинского 1935 г., где аналогичное утверждение доказано в терминах полугрупп преобразований. Имеются доказательства и позднейшего времени, принадлежащие разным авторам и основанные на разных подходах (см., в частности, упр. 8 в гл. 4). — Прим. ред.
{a3, a2bi, a2b2, ab, ba2, baba, bab1, b2a, b2Y,
{a2, a2bY,
{a, aba, abab, ba"bY,
[a2, ab, a2b, b2aY,
{b, ab, ba2, aba2, a4};
{ab, ba}{a2, b2}*.
Пусть D, XeA*— префиксные коды, причем D— полный. Допустим, что множества С, С2еА* удовлетворяют условиям
X = CV, ХО^Сг и С, X X = С2 X XD.
При этих условиях Ct есть префиксный код, если и только если С2— префиксный код, и они одновременно полны либо неполны (Сезари [1972b]).
(а) Уравнение ay = уР с тремя неизвестными а, р, у над А* имеет решение а = ху, р = ух, у = (ху^х, где х, у — произвольные слова из Л*, а b > 0 (см упр. 1).
Уравнение «р = pa с двумя неизвестными a, р над А+имеет решение a = хт, р = хп, где слово х произвольно, а т, п ^ 0.
Любое уравнение с двумя неизвестными a, р над Л* имеет решение a = хт, Р = х" для подходящих т, п ^ 0, где х — произвольное слово.
Подмножество С = {и, о} из А* тогда и только тогда есть код, когда и и и не являются степенями одного и того же слова (Блюм [1965b], Лантен, Шютценберже [1969]; общую теорию уравнений см. в работах Лантена [1972] и Ю. И. Хмелевского [1971] ■)).
Говорят, что код С = Л* имеет ограниченную задержку слева направо, если существует такое й ^ 0, что uj'wu е С*, о/ е С* и w е С* влечет wu е С*. Наименьшее целое к с таким свойством называется задержкой слева направо кода С (интуитивно смысл состоит в декодировании сообщений при чтении их слева направо; если в сообщении w'wu обнаруживается достаточное число следующих подряд элементов из С, то w' и wu могут быть декодированы независимо, когда С имеет ограниченную задержку). Префиксные коды — это в точности те коды, задержка которых слева направо есть 0. Исследовать задержки слева направо и справа налево для кодов из упр, 8. Можно показать, что конечный код С имеет ограниченную задержку слева направо, если С-последовательности (1, Ui, и2, ..., щ), где ш =А 1 (т. е. последовательности С-пар), имеют ограниченное число членов, т. е. существует такое I, что г ^ / для всех возможных С-последовательностей (1, щ, и2, ... .ur) (см. Спенер [1975]; другие алгоритмы — у Дж. Райли [1967]).
Пусть машина Тьюринга 1Г с алфавитом А = {а, Ь} задана программой
qob->qxr, qx<i >q2b; q2b->qp", q^a -> q3r; q3b->q4r; qAa^-sb.
Тогда для m ^ 1, n ^ 1 имеем ST Цй катЬап^ = am+n~2. Мы скажем, что Т реализует функцию (т, пУ—>m-V-n— 2 для т ^ 1, п 2s 1. Построить машины Тьюринга, реализующие функции (/и, п)'—^-т+идля всех т, п 2s 0;(т, пу—> I—> т — п для всех т 2s п 2s 0; (m, п) I—> т для всех т, п 2S 0.
В алфавите А = {а, Ь, с, х, *} определим нормальный алгорифм Я со следующим упорядоченным множеством формул подстановок: ха ->- ах, х*х^а* х»-**Ь, Ь-+х, а-* с, с-*х, *-* 1 Тогда для всех натуральных чисел т, п имеем Цу.”»!4') = xd, где d— наибольший общий делитель тип (А.А. Марков [1954]).
Пусть Ц и L2 — языки из А*, порожденные грамматиками Г1 и Г2 соответственно. Построить грамматики, порождающие языки Lx U L2 и Lx ■ L2. Для языка L = А*, порождаемого грамматикой Г, построить грамматики, по-
’) Наиболее крупное достижение последующих лет в данной области — работа Г. С. Маканина [1977*], в которой доказано существование алгоритма, распознающего разрешимость произвольных уравнений в свободной полугруппе. О работах в этой области см. обзор С. И. Адяна и Г. С. Маканина [1984*]. — Прим. ред.
рождающие L*, L (L получается из L заменой каждого слова w = а1а2...ап его зеркальным отражением © = ап..а2ах). Рассмотреть сохранение типа относительно объединения, умножения, операции * и зеркального отражения.
Любой контекстно-свободный язык L г А* может быть порожден грамматикой с правилами вида а -> Ру и 6 -> а, где а, р, у, 6 е V \ Д, а е А. (О грамматике с такими правилами говорят, что она имеет нормальную форму Хомского; см. Хомский [1959].)
(а) Копредставление (a, b; Ьа = а2Ь, Ь2 = а3) задует моноид с 13 элементами. Если рассматривать это копредставление как групповое (подразумевая наличие обратных а-1 и 6-1 для а и 6), то оно определяет группу 9=4.
(Ь) Полугруппа, заданная копредставлением (а, б; а = bab, b = aba), есть в действительности группа (а именно, группа кватернионов). То же самое справедливо для полугруппы (a, b, с; а = bab, b = cbc, с = аса) (единичным элементом здесь является (Ьас)2) (Нейман [1967]).
если у = hu', если и' = ко, в остальных случаях.если у = hu', если и' = ко, в остальных случаях.б (u, ho'), (и, у) (и', o') = < (ku, у'),I 0б (u, ho'), (и, у) (и', o') = < (ku, у'),I 0Пусть множество X находится во взаимно однозначном соответствии XH^Jt с множеством X. Полициклический моноид задается копредставлением Рх ™ <Х X X; хх = 1 для любого х е X, ху — 0 для любых х, у е X, х =А у). Он изоморфеи моноиду (X* X X*) U {0}, где (и, о) • 0 = 0 • (и, v) = 0 • 0 = 0 и
если у = hu', если и' = ко, в остальных случаях.
если у = hu', если и' = ко, в остальных случаях.
б (u, ho'), (и, у) (и', o') = < (ku, у'),
I 0
б (u, ho'), (и, у) (и', o') = < (ku, у'),
I 0
Моноид Рх является 0-бипростым инверсным моноидом с тривиальными подгруппами, а его идемпотенты образуют полурешетку, изоморфную частично упорядоченному множеству главных левых идеалов моноида X* (Нива и Перро [1970]).
Четырехспиральная полугруппа Sp< имеет копредставление (a, b, с, d; а2 = а, Ь2 = Ь, с2 = с, d2 = d, а = ba, b = ab, b = be, c = cb, c — de, d = = cd, d = da). (Это копредставление получается из прямоугольной 2X2- связки J” при отбрасывании одного соотношения а = ad.) Проблема равенства может быть решена приведением любого слова к слову, в котором последовательные пары букв исчерпываются сочетаниями ас, ad, bd, са, db. Идемпотенты образуют следующую картину:
(5?-связанные и S’-связанные элементы соединены горизонтальными и вертикальными линиями соответственно; пунктирные линии представляют убывающие цепи идемпотентов.) Sp< служит примером бипростой, но не вполне простой полугруппы, порожденной идемпотентами (Байлин, Микин и Пастен [1978]).
Исследовать проблему равенства для полугрупп (a, b; aba = b’n, bab = а'*') при различных тип (Бак [1968]).
Моноид М называется резидуально конечным (или финитно аппроксимируемым), если для любых х, у еМ, х ф у, существует такой гомоморфизм <р из М на конечный моноид, что ф(х) ф ф(й).
М резидуально конечен тогда и только тогда, когда он является подпрямым произведением конечных моноидов (см. гл. 4, упр. 4).
Если М резидуально конечен, то любое его конечное копредставление имеет разрешимую проблему равенства (Эванс [1969]').
Любой свободный моноид резидуально конечен; бициклический моноид не является резидуально конечным.
’) Это хорошо известный общеалгебраический факт, восходящий к работе Мак-Кинси 1943 г.; см. статью А. И. Мальцева «О гомоморфизмах на конечные группы» в книге А. И. Мальцева [1976*, т. 1]. — Прим. ред.
6
АВТОМАТЫ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ
И СИНТАКСИЧЕСКИЕ МОНОИДЫ
Цель настоящей главы состоит в изучении языков, распознаваемых автоматами с конечным числом состояний. Языки этого типа были введены Клини [1956] и названы им регулярными языками. В § 1 мы даем определение автомата и приводим общие алгебраические свойства автоматов. Главным результатом здесь является тот факт, что синтаксический моноид распознаваемого языка L конечен и совпадает с моноидом переходов минимального автомата, распознающего L. Параграф 2 содержит характеризацию распознаваемых языков в терминах формальных грамматик (см. гл. 5, определение 4.16). В § 3 мы доказываем теорему Клини: класс всех распознаваемых языков из свободного моноида А* совпадает с классом всех рациональных языков, под которым понимается наименьший класс языков из А*, содержащий все конечные подмножества из ,4* и замкнутый относительно операций объединения, умножения и итерации (т. е. образования подмоноида, порожденного данным языком). Применяя к теории кодов вероятностный подход, мы используем в § 4 теорему Клини для получения некоторых характеризаций рациональных префиксных кодов. В § 5 рассматривается связь между языками и их синтаксическими моноидами. Центральной здесь является принадлежащая Эйленбергу [1976] теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между псевдомногообразиями конечных моноидов и некоторыми семействами рациональных языков, которые здесь называются потоками языков. Это соответствие подробно исследуется в гл. 7 для некоторых конкретных псевдомногообразий моноидов (комбинаторных моноидов, моноидов с абелевыми подгруппами, моноидов с разрешимыми подгруппами).
Автоматы и распознаваемые языки. Определения и элементарные свойства
Определение 1.1. Пусть М — моноид с единицей 1. Назовем Al-автоматом1) 91 = (S, f) множество S вместе с отображением
’) В том же смысле употребляют и некоторые другие термины, например правый операнд, правый полигон. — Прим. ред.
ф SXM-^S, удовлетворяющим условиям
f(s, l) = s для любого seS;
f(f(s, m^, m'} = f(s, mm') для любых seS, m, пГ e M.
Множество S называется множеством состояний, a /— функцией перехода автомата 91. Мы обозначаем f(s, m) через sm, если не возникает никакой двусмысленности. Тогда (а) и (Ь) записываются проще: si = s, ^sm^m' = s(mm') для всех seS, m, nV г M.
Гомоморфизм M-автоматов ф: 91 = (S, f)->^ = ^S', g)— это такое отображение ф из S в S', что <p(f (s, m)) = £(ф(8), m) для всех s е S, me М (в упрощенных обозначениях ^sm) = <p(s)m). Обычным образом определяются понятия изоморфизма, эндоморфизма и автоморфизма.
Конгруэнция на М-автомате 91 = (S, f)—это отношение эквивалентности ~ на множестве S, устойчивое относительно Д т. е. Si ~ s2 влечет f(sh m) ~ f(sa, m) для всех meM. Определение понятия факторавтомата 91/~ и формулирование теорем об изоморфизмах для Al-автоматов оставляются читателю.
Подавтомат М-автомата 91 = (S, /) определяется как пара (S', f), где S' — такое подмножество из S, что f(s, m)eS' для любых s е S', meM. Если ({s}, /) есть подавтомат автомата (S, /), то мы называем s неподвижным состоянием или неподвижной точкой автомата (S, f).
Изучение М-автоматов эквивалентно изучению представлений моноида М преобразованиями на множествах1). В самом деле, если 91 — (S, f) есть М-автомат, то отображение та: M^-^'r(S) из М в моноид всех преобразований на S, определяемое формулой sT8I(m) = f (s, m) для всех seS, meM, есть представление. ОбраТйо, если дано представление т, то формула f(s, т) = 8т(т) задает отображение f, удовлетворяющее условиям (а), (6) определения 1.1. Воспользуемся представлением т5Ь чтобы определить моноид переходов Т^ М-автомата 91: Т (91) = Л1/Кег т,л (заметим, что Т^ изоморфен также моноиду та(Л1)). Если ф: 91^-93—гомоморфизм At-автоматов, то (т, /и') е Кет та влечет 8Т$ (m) = st5[ (m'), или, равносильно , f (s, m) — f (s, m') для любого seS. Это дает £(ф(в), /и) = g (ф (s), т') для любого seS, ив случае сюръективного ф отсюда следует (m, m') е Кег т$. Тогда существует сюръективный моноидный гомоморфизм ф: 7(91)^-Т(93), отображающий каждый класс отношения Кегтя на соответствующий класс Кег тй. Аналогично, если 93 — подавтомат автомата 91, то Кег т% с Кег ту и Г (8) есть фактормоноид моноида Т (91).
!) Эта точка зрения служит основой для обстоятельных рассмотрений в № II монографии Клиффорда и Престона [1967].—Прим, реф
В дальнейшем наш интерес будет сосредоточен на рассмотрении А*-автоматов, где А*— свободный моноид над алфавитом А. Ясно, что функция переходов { ^‘-автомата Sl=(5,f) определяется полностью, как только она определена на всех парах из SXA. Это приводит к следующим практическим способам задания автомата 51.
Граф состояний автомата 51
Множеством вершин служит множество S. Две вершины я, s2sS соединяются стрелкой, помеченной буквой аеА, тогда и только тогда, когда f(st, a) — s2. Например, диаграмма
изображает граф А ‘-автомата 5l = (S, /) над алфавитом А = = {а, h}, где S = {0, 1, 2, 3, 4} и f (0, а) ~ 3, f (О, 6) = 4 и т. д.
Функцию переходов f можно также задать таблицей.
Таблица автомата 51
^‘-автомат 51 из предыдущего примера определяется таблицей
0 12 3 4
а 3 0 12 1
b 4 2 4 4 4
Таблица непосредственно дает образующие т(а) и т(Ь) моноида переходов Т(51). Здесь
_ , ./ 0 1 2 3 4 \.../0 1 2 3 4\
Т( 3 0 1 2 1 ) ’ Т^и 2 4 4 4
Определение 1.2. М-автомат 51 = (S, f) называется моноген- ным, если существует такое состояние soeS, что f(s0, M)=S (s0 называется порождающим состоянием автомата 51). Автомат 51 называется транзитивным (иди сильно связным), если для любых s, s' е S найдется такой m е М, что f (s, m) = s'.
Далее дается удобное представлением моногенного А*-авто- Мата 51.
с._ Дерево автомата 91
Сначала множество А* частично упорядочивается отношением и ^ у, означающим, что у есть левый делитель слова и (см. гл. 5, § 2). Пусть so — порождающее состояние автомата 91. В дереве, представляющем А*, заменим пустое слово состоянием so, а каждое слово w еЛ+— состоянием f(s0, w). На самом деле достаточно выстраивать дерево лишь до тех пор, пока состояния не будут повторяться. Например, при А = {а, 6}, S = = {О, 1, 2} дерево (1.2.1) ниже представляет моногенный Л*-автомат с графом состояний (1.2.2).
Моногенные Л*-автоматьг непосредственно связаны с правыми конгруэнциями на Л*. Если Л*-автомат 91 = (S, )) порожден состоянием So@S’), определим у (91) следующим образом:
у(91) = {(и, и)еЛ*ХЛ»: f(s0, u) = f(s0, v)}.
Очевидно, у(91)—правая конгруэнция на А*. Обратно, если р —- правая конгруэнция на А*, то, обозначив p-класс слова w через 61, определим автомат а(р), положив
а(р) = (Л*/р, f), где f^w, a) — wa
для любых w, а е А*.
Предложение 1.3. Отображения у и а, определенные формулами (1.2.3) и (1.2.4), обладают следующими свойствами;
у(а(р))=р для любой правой конгруэнции р на Л*, а любой А*-автомат 91 изоморфен автомату а (у (91));
для любых двух моногенных А*-автоматов 91 = (S, /) и ^ = kT, g) с начальными состояниями sosS и toeT соответственно включение у(91)Gy(93) выполняется тогда и только тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм ср: 91 при котором ф (So) = to.
’) Фиксированное порождающее состояние часто называют начальным; ?тим термином мн и предпочитаем пользоваться ниже.—Прим, перев. и рей,
Доказательство, (а) Для данной правой конгруэнции р на А* автомат а(р) порождается p-классом Е единицы 1. Если и, и г А*, то (и, у)Еу(а(р)), если и только если Ей = Еи1) или, равносильно, если (и, у) гр. Далее, для данного Л*-авто- мата 51 = (S, f) с начальным состоянием $ог5 определим Т: 51^- а (у (51)) следующим образом. Если s s S, то существует такое слово we А*, что f(s0, w) = s-, положим тогда ^(s)^^, где w обозначает класс эквивалентности у (51), содержащий w. Очевидно, ¥ — корректно определенный сюръективный гомоморфизм. С другой стороны, ¥(si) — W(s2) тогда и только тогда, когда w^ = Wi для слов Wi и w2, удовлетворяющих равенствам f(so, W\)= si и Ц$о, wi) = Si, или, равносильно, тогда и только тогда, когда si = s2. Таким образом, Y— изоморфизм.
Пусть (р: 51^-8 — сюръективный гомоморфизм, такой, что tp(so) = /o- Если (и, у) г у (51), то /(s0, H) = f(s0, у), откуда ф(П5о, и))=ф(И5о> у)), т. е. g Цо, u) — gUo, у). Это показывает, что у (51) s у (53)’ Обратно, если у (51) Sy (53), определим (р: 51->59 следующим образом. Для seS существует такое слово w еА*, что f(s0, w) = s; положим тогда <p(s) = g(to, да). Посылка показывает, что ср корректно определено. Ясно, что это сюръективный гомоморфизм, причем tp(so)=/o- □
Наш интерес к моногенным Л*-автоматам оправдывается следующим определением.
Определение 1.4. Язык Ее А* называется распознаваемым, если существуют Л*-автомат 51 = (S, f) с конечным множеством $, состояние so е S и подмножество Т из S, такие, что
Е = {w е A*: f(so, ®)еГ).
Мы говорим также, что конечный А*-автомат 51 распознает L или что L распознается автоматом 51.
Если автомат 51 распознает L, то его подавтомат $Э == (Si, f), где Si = f(so, Л*), моногенный и, как показывает равенство £={дагЛ*: f(s0, да)гТ(]$1}, также распознает L. Таким образом, язык L распознаваем тогда и только тогда, когда существует конечный Л*-автомат 51 = (S, f), порожденный состоянием so г S, такой, что Е = {да г Л*: f(s0, w^eT^ для некоторого подмножества Г из S. В этом случае wet, (да, w'^e еу(51) влечет f(s0, ay) = f(s0, w'^eT, откуда w' eL. Это показывает, что L есть объединение некоторых классов правой конгруэнции у (61). Обратно, пусть р— правая конгруэнция конечного индекса на Л* (это означает, что в А* имеется лишь конечное число p-классов). Предположим, что язык Ее А* есть объединение некоторых p-классов. Тогда легко видеть, что
’) Напомним (см. начало параграфа), что Ей — сокращенное обозначение для ЦЕ, u) = 1 • и = й. В моноиде А* равенство Ей = ц осмысленно, но, во- рбде говоря, неверно. — Прим, перед,
L распознается конечным Д*-автоматом а(р), так как L = = (ty еД*: lw еЕ), где Е есть множество состояний автомата а(р), образованное p-классами, объединением которых является L. Это доказывает равносильность условий (а) и (Ь) в следующем предложении.
Предложение 1.5. Пусть дан язык L^A*, Следующие условия равносильны:
L распознаваем;
L есть объединение некоторых классов правой конгруэнции конечного индекса на А*;
L есть объединение некоторых классов конгруэнции конечного индекса на А*;
существует гомоморфизм ф: А*->М в конечный моноид М, для которого L = ф",ф(/.).
Доказательство. Равносильность условий (а)' и (Ь) была уже установлена. Условия (с) и (d) суть различные формулировки одного и того же свойства, причем (с), очевидно, влечет (Ь). Чтобы закончить доказательство, мы покажем, что (а) влечет (d). Допустим, что L распознается Д*-автоматом 91 = (S, /) с начальным состоянием s^eS. Пусть ф: А*-^?^)— канонический гомоморфизм А* на моноид переходов (конечный в силу конечности S). Если для ней", ueL мы имеем ф(и) = ф(и), то f(s, u)=f(s, у) для любого seS; в частности, f(s0, и) = = Ц$о, и) и поэтому и е L. Это показывает, что ф-1ф(£)е£. Так как L всегда содержится в ф-’ф(Т), получаем Е = = ф-'ф(Л). □
Для произвольного подмножества L из Д* существует наибольшая правая конгруэнция Р^, относительно которой L является объединением некоторых классов. Она определяется равенством (см. гл. 1, п. 3.3b)
pw = {(и, у) е Д* X А*: для любого ш е Д*,
uw е L, если и только если ою г L}.
Ввиду предложения 1.3 естественно ожидать, что Д^автомат a (р(гу^ будет Д*-автоматом, распознающим L, с наименьшим возможным числом состояний.
Предложение 1.6. Пусть L — произвольный язык из А*, Р^'— главная правая эквивалентность, соответствующая L, и а(^Р^ есть А*-автомат, определенный по Р^ согласно (1.2.4). Для любого моногенного А*-автомата 91 = (S, f) с начальным состоянием s^eS и любого подмножества Т из S, таких, что Е = (теД*: f(s0, w^eT^, существует единственный
сюръективный гомоморфизм <р: $->-а (Р£>), для которого ф(со) есть класс эквивалентности Р^, содержащий 1.
Доказательство. Так как L — объединение классов отношения у(9(), мы имеем y(9l) s Р([> = у (а (Р^>)). В силу предложения 1.3(b), существует сюръективный гомоморфизм qx ?1-> ->-а(Р(.г)). Налагая условие <p(s0)= 1, для seS мы необходимо получаем ф(«) = й>, где w удовлетворяет равенству f(s0, w) = s. Это доказывает единственность <р. □
Почти очевидно, что моноид переходов автомата а (Р^) изоморфен моноиду A/Pl, где Pl — синтаксическая конгруэнция языка L, определенная в гл. 1, п. 3.3b:
Pl = {(wi, ю2)г А* Х^*: для любых и, и^А*,
uwiu г L, если и только если uw^o е L}.
Определение 1.7. Если L— распознаваемый язык из А*, то Д*-автомат 91(Т) = а(Р^ ) называется минимальным автоматом языка L. Моноид М (Л) = A*/PL называется синтаксическим моноидом1) языка L.
Предложение 1.8. Для любого языка LeA* моноид переходов А*-автомата а (Р^) изоморфен синтаксическому моноиду М(Л) языка L. Язык L распознаваем тогда и только тогда, когда M^L) конечен.
Доказательство. Первое утверждение оставляется читателю в качестве упражнения. Второе следует из предложения 1.5 и того факта, что синтаксическая конгруэнция PL есть наибольшая конгруэнция, для которой L является объединением классов. □
Существуют различные алгоритмы нахождения минимального Д*-автомата 9((L) для данного распознаваемого языка L S Л*. В основе первого из них лежит конструкция наибольшей правой конгруэнции, содержащейся в данном отношении эквивалентности на А*.
Предложение 1.9. (а) Пусть 6 — отношение эквивалентности на моноиде М, порожденном множеством А. Определим индуктивно отношения pi на М, положив р| = 9, и если z> 1, то pz = {(/ni, ш/еМХМ: (тщ, т2а)ер1_! для любого ае ^Д11{1}} Тогда p(9)=n<GNP; есть наибольшая правая конгруэнция на М, содержащаяся в 9.
(Ь) Главная правая конгруэнция Pv£ на А* является наибольшей правой конгруэнцией, содержащейся в эквивалентности 6l, имеющей два класса; L и его дополнение в А*.
Доказательство, (а) Равенство pi = 0 влечет A<GNPz ^6- Если (mi, m^^pi для всех i^N, то для любого аеА будет (mia, m^epi-i, откуда (тд гща)<= n<eNPz. и, следовательно, D/eNPz есть правая конгруэнция. Наконец, для произвольной правой конгруэнции р в 0, используя индукцию по I, получим р в р, для всех t е N.
(Ь) Поскольку L является объединением классов Р([\ имеем P^cQl. Легко видеть, что для любой правой конгруэнции р s 0l из (и, и) е р следует (и, и) е Р^, откуда р s = Р^.
Замечание 1.9.1. Язык L в А* распознаваем тогда и только тогда, когда Р^ имеет конечный индекс. Это равносильно тому, что убывающая цепь отношений 0L = pt в р2 В ... ... В р/ В ... стабилизируется. Первый индекс I, для которого р/ = pw, дает р; = р (0£) = Р^\
Пример 1.9.2. Взяв А = {а, 6}, рассмотрим язык L = ^ambn; т, п> 0} и множество Д*\£ = {а} * U {6}* U А*ЬаА*. Это — два класса отношения 0l = рь Классы р2 суть L, {ар, {&}*U и4*ЬаД*. Классы р3 суть L, {а}+, {1}, {&}+ UA*baA*, а р4 — р3. Таким образом,, Р1р = р3, и минимальный автомат, распознающий L, имеет четыре состояния, которые мы обозначим через 0, 1, 2, 3, соответствующие классам {1}, {ар, {&}+ U A*baA*, L отношения Р^', тогда
L — {w е А*: Ош = 3}.
0
Синтаксический моноид языка L порождается преобразованиями
Т ^ k 1 1 2 2 J И Т ^ к 2 3 2 3 ) '
Если распознаваемый язык L^A* задан в терминах моно- генного Л*-автомата, распознающего L, то процесс минимизации использует следующий аналог предложения 1.9 для автоматов.
Предложение 1,10. (а) Пусть 51 = (S, f) есть М-автомат над моноидом М, порожденным множеством А, и 6 — отношение эквивалентности на множестве S. Определим индуктивно отношения рг на S, положив pi = 6, и если i > 1, то р< = {(sb s2)e eSXS: ($i«, s2a)ep,-i для любого аеЛи{1}}- Тогда Р(0)=П,е р; есть наибольшая конгруэнция на 51, содержащаяся в 6.
(Ь) Если L— (же/!*: f(s0, ю)^Т} для А*-автомата 51 = = (S, /) с начальным состоянием s0 е S и для некоторого TsS, то минимальный автомат, распознающий L, есть факторавю- мат автомата 51 по наибольшей конгруэнции на 51, содержащейся в эквивалентности От на S, имеющей два класса: Т и его дополнение в S.
Мы опускаем доказательство, аналогичное доказательству предложения 1.9.
Пример 1.10.1. Пусть 51 есть Л*-автомат, где А = {а, б), заданный графом
У) Ь ? 3 ь
а ^,= {weЛ*: Owe Г}, где Т = {2, 4, 6}. Последовательно получаем
Р1 = (0, 1, 3, 5|2, 4, 6), р2 = (0|1, 3, 5|2, 4, 6) = Рз.
Минимальный автомат, распознающий L, имеет следующий граф:
ф с ь а >^-
Итак, L = ЬА*, а его синтаксический моноид порождается преобразованиями
Он получается из двухэлементной полугруппы левых нулей присоединением единицы.
Примеры 1.10.2. Пусть С — префиксный код над алфавитом А. При построении Р^ мы различаем слова из Л*, являющиеся левыми делителями слов из С, и слова из А*, не являющиеся таковыми. Слово иеА* не является левым делителем никакого слова из С, если и только если {we Л*: uw е С} = 0; поэтому такие слова образуют отдельный класс отношения Р^, который
мы обозначим через s. Если слова их, и2— левые делители некоторых слов из С, то (up и2) е Рр, если и только если (®еЛ*: uxw е С} = {ш е Л*: и2шеС). В отношении дерева, представляющего С (гл. 5, определение 2.6), это означает, что (ир и^ е Р^ тогда и только тогда, когда вершины дерева, помеченные их и и2, определяют одинаковые поддеревья. Поэтому для получения классов Р^\ отличных от s, достаточно отметить на дереве кода С вершины с различными поддеревьями, дав им различные имена. В следующих примерах мы используем числа 0, 1, 2, ... для указания различных классов отношения Р^:
С Да2 аЬа, аЬг, Ьа,Ь2}С={а2, Ьаг, 62}
Соответствующие Л*-автоматы а ^Р^ представляются теми? же деревьями, что и выше, если принять соглашение, что все опущенные вершины помечены буквой s. Синтаксические моноиды М(С') порождаются соответственно преобразованиями.
_/0123s\ г _/О М 3 $\\ 2 2 3 ssJ*
/ 0 1 2 3 s \ г/0 1 23 s\й \ 1 3 1 s s ) ’ \ 2 s 3 s s у
Примеры 1.10.3. При построении Р$, где С — префиксный код над А, обозначим, как и выше, через s класс отношения Р^Х, состоящий из всех слов иеА*, таких, что иЛ*ПС* = 0 (когда С — полный код, такого класса нет). Если иА* П С* ф 0, то существуют единственные се С* и ze А*, такие, что и = cz и z — собственный левый делитель некоторого слова из С (возможно, z=l). Свойство префиксности С влечет (u, z)eP$, и для любых двух собственных левых делителей zx, z2 слов из С мы имеем (zp z2)e ЯД если и только если (zp z^eP^. Наконец, (с, l)^/3^ для любого се С. Отсюда следует, что классы отношения Р^Л, отличные от s, получаются приписыванием одной и той же метки корню и висячим вершинам дерева кода С, и приписыванием промежуточным вершинам различных меток, если они определяют различные поддеревья. Для
кодов из примеров 1.10.2 мы получим следующие представления автоматов а ^Р^;
0о
°/ у О/(/1 /
о/ \о0/
Соответствующие синтаксические моноиды порождаются преобразованиями
-/ 012 Xт( 01 2 \
а — ( 100 )*6L 22 0 J •
=/ 012 s\т1/ 01 2 s\
= \2s 0 sJ '
Эти примеры иллюстрируют следующие важные факты:
если С — полный префиксный код над алфавитом А, то минимальный А*-автомат, распознающий С*, транзитивен;
если С — неполный префиксный код над А, то минимальный А*-автомат, распознающий С*, 0-транзитивен в смысле следующего определения.
Определение 1.11. Л4-автомат §l = (S, f) называется Q-транзи- зитивным, если
81 имеет неподвижное состояние s;
для любых si, s2 eS, Si т^ s, существует такой элемент m е Л1, что f (sb m) = s2.
Формализуя замечания, сделанные при рассмотрении примеров 1.10.3, получаем
Предложение 1.12. Пусть L*aA*. Следующие условия равносильны:
L = С* для некоторого префиксного кода С;
существуют транзитивный или О-транзитивный А*-авто- мат (S, /) и soeS, такие, что L= {®е.4*: f(s0, ®) = s0};
существуют А*-автомат (S, f) u s0 е S, такие, что L = = {w е A*: f(s0, ty) = s0}.
Недетерминированные автоматы.Языки праволинейных грамматик
Автомат из определения 1.1 детерминирован в том смысле, что для любого состояния $ И любого m е М состояние I(s, /и)
однозначно определено. Иногда удобно допустить большую свободу в определении М-автомата.
Определение 2.1. Пусть М — моноид с единицей 1. Недетерминированный М-автомат— это пара 91 = (S, /), состоящая из непустого множества S и отображения / из SXM в множество ^(S) всех подмножеств из S, удовлетворяющего условиям Ц$, 1)={х} и f(/(s, m), m') — f(s, mm') для всех seS, m, m'^M; при этом подразумевается, что /(Г, m) = Uter f^» для любого подмножества Т из S. Если отображение / таково, что для любых seS, m е М множество f(s, m) либо пусто, либо одноэлементно, то 91 называется частичным М-автоматом.
С точки зрения распознавания языков недетерминированные Л*-автоматы обладают точно такими же возможностями, как и Л*-автоматы:
Предложение 2.2. Язык L^A* распознаваем тогда и только тогда, когда существуют недетерминированный А*-автомат 91 — (S, /) с конечным множеством состояний 8, подмножества I и Т из 8 (называемые соответственно множествами начальных и заключительных состояний), такие, что
L= (w е A*; f(I, w)(\T#= 0}.
Доказательство. Предположим, что L распознается недетерминированным конечным Л*-автоматом 91 = (S, /). Положив 5=^(8), определим f: SX^*-*"^ равенством f(Sb w) = -U.-^fls, w) для любого подмножества St из S и w е А*. Тогда J(Si, 1) = Si для любого Si cS. Далее, Hf^>v, w), w') = = HUssSlf(s, w), w') = U^s'fts', w'), где 5'=UseSJ(s, ш), и / (Sj, W) = U,.SlfU, ww'). Равенство
U f(s, ww') = U /(s', w'), где S'==■ (J /(s, w), s e Sis' eS*seSx
следует из второго условия в определении 2.1. Это показывает, что Ц81, ww') — f(T(Sb w), w') и, следовательно, 91 —(S, /) есть Л*-автомат. Пусть Т — подмножество в 8, образованное всеми подмножествами из S, пересекающимися с Т. Ясно, что
L=(weA*: Ц1, w)^T}.
Конечность множества S влечет распознаваемость L. Обратное утверждение вытекает из того, что Л*-автомат есть частный случай недетерминированного Л*-автомата.
Замечание 2.2.1. Существует простой способ преобразования частичного Л*-автомата 91 — (S, /) в Л*-автомат. Строится пополнение 91е автомата 91 путем добавления к S нового состояния
z ф S, которое по определению объявляется неподвижным для $с: ^^(sj^, ^, где для любых seS, ®еА* полагаем f(z, w) = z и
Г (s, w) =Г (s, w) =f (s, w), если f(s, ty)eS;
Г (s, w) =
Г (s, w) =
z в противном случае.
Доказательство следующего предложения демонстрирует большую гибкость, достигаемую благодаря применению недетерминированных автоматов. Напомним (см. гл. 5, определение 4.18), что грамматика Г = (У, А, л) называется праволинейной или рациональной, если все правила из л имеют вид а->оф или ^-*-w', тле a, Р, ^eVXA, w, ®'еА*. Напомним также, что в определении грамматики V — конечное множество, A eV.
Предложение 2.3. Пусть А — конечное множество. Язык LeA* распознаваем тогда и только тогда, когда L порождается некоторой праволинейной грамматикой Г = (Р, А, л).
Доказательство, (а) Пусть 91 = (S, f)—конечный А*-авто- мат, распознающий язык L — {w еA*: f(s0, w^eTy Построим грамматику Г = (S U А, А, л), где л состоит из правил
s->af(s, а) для любых ssS, а г А;
, . к , т
' t 1 для любого t е Т.
Обозначив через =Ф- ряд последовательных применений правил вывода ->, мы получим для s,teS, we А*, что s => wt, если и только если /(s, w^ = t. В самом деле, воспользуемся индукцией по l^wy, если ш = й1й2 . ■• ап, где аь аг, ..., апеА, то it = ^s, aYa2 .. a„)=/(/(s, aYa2 ... an-\Y any Мы имеем ^(s, aYa2... ап-^-^-аД по определению правил в л, а $ => aYa2... .... an-^Vs,a\a2 ... a„-i)—согласно предположению индукции. Отсюда вытекает, что s =>- wt. Столь же просто доказывается и обратное утверждение. Следовательно, So => wt при некотором tel если и только если w е L. Благодаря наличию правил t-* 1 для любого teT, мы получаем, что s0 => w, если и только если weL устанавливая тем самым, что язык L порожден праволинейной грамматикой Г, отправляясь от so.
(b) Пусть Г = (У, А, л)—праволинейная грамматика, и L — ^gA* a => ю} для некоторого oeV\A. Различие между правилами из л и правилами (2.3.1) состоит в том, что л может содержать правила вида a-»-w$, где w = 1 или l(w)Z> 1, и правила вида a-*w, где w ф 1. Мы модифицируем множество л правил грамматики Г без изменения L, удаляя нежелательные правила.
(Ы) Удаление правил вида а->р. Для любого а е У\Д образуем множество
Уо = (р е V \ Л: а->а1->а2-> ... ->ап-> р,
где аь ..., а„е V \ Л} и множество правил
ла = {а -*■ wy- w #= 1 и существует такое р е Уа, что р-> шу содержится в л}.
Для каждого а е У\Л заменим все правила вида а-*р из л на л«. Это дает новое множество правил л7. Доказательство того, что язык, порожденный Г7 = (У, Л, л7), отправляясь от о, есть в точности L, оставляется читателю в качестве упражнения.
(Ь2) Удаление правил вида a-^-w, где да ^= 1. Это легко делается добавлением новых символов к У\Л и новых правил, не затрагивающих L. Заменим правило a-^w (да#=1) в л правилами а-^даа® и aw->-l, где aw— новый символ, причем аш ^= аВ' при да =^ w'.
(ЬЗ) Удаление правил а-* дар, где /(да)>1. Если w = = aYai ... ап, то мы вводим новые символы а1^, а^, . ...а!"-*) и заменяем правило а-^-дар правилами а->0^, ad)->а2а<^), ...
(Ь4) Предполагая, что л не содержит правил типа удаляемых в (Ы), (Ь2) и (ЬЗ), построим конечный недетерминированный Л*-автомат 91 = (S, f), положив S = У\Л и f(a, a) = = (Р е V\4: a-^-ap содержится в л} для любых аер\.Л, аеА. Простая проверка показывает, что L={weA*: f({o), да)П Т ф 0}, где T={aeS: а->1 принадлежит л}. Согласно предложению 2.2, язык L распознаваем. □
Грамматика r = (S(M, А, л), построенная в части (а) предыдущего доказательства, имеет одно замечательное свойство. Для любых seS и we А*, таких, что s => w, вывод да из s— единственный. Произвольная грамматика с таким свойством называется однозначной1) грамматикой (неоднозначность языков, порожденных контекстно-свободными грамматиками, будет изучаться в гл. 9). Это свойство переводится на язык степенных рядов следующим образом. Положив S = (s0, si, ..., s«-i} и написав правила порождения (2.3.1) в виде st->-asj и 1->-е (е обозначает пустое слово), ассоциируем с грамматикой Г систему уравнений (2.3.2) (см. ниже) с неизвестными s0, si, ..,
’) В оригинале —«unambiguous». О переводе этого термина см. примечание редактора на с. 135 русского перевода книги Гросса и Лантена [1967]. Этот же термин используется далее для степенных рядов, языков н т. п. —• Прим, не рев.
.... sn_! над полукольцом ^[[Д]] (R— произвольное полукольцо). Для любых I, j, O^j, j^n — 1, обозначим через Ац характеристический степенной ряд подмножества (йеА: Si->-as/} из А, а через e(si) обозначим степенной ряд 1, если 8(->1 имеется среди правил (2.3.1), и 0, если s,-> 1 не входит в число этих правил. Система п уравнений, определяемая Г, есть
п-1
si = 2^ AqSj + е (sj, i-0, 1, ..., п —-1.
Эта система имеет единственное решение (s0, Si, ..., Sn-i), так как коэффициенты i-й компоненты Si^w) даются индуктивно формулами
( 1, если e(s,)=l; st (w) = s( (ш'), если
s< ^( 0, если e(s,) = 0; w = aw' и assupp(Xt/).
Непосредственная проверка показывает, что носителем ряда si служит язык Li = {ш еЛ*: f^s,, w)e Т}, распознаваемый автоматом 91 = (S, f). Степенной ряд из Я[[Д]] называется однозначным степенным рядом, если он является компонентой решения системы алгебраических уравнений над /?[[Д]], и каждый его коэффициент есть 0 или 1. В гл. 9 мы определим линейные системы над /?[[Д]] как системы типа (2.3.2), допускающие коэффициенты при неизвестных s, справа вида rjWj, где rj е R, Wj е А*. Компонента решения линейной системы уравнений над /?[И11 будет называться рациональным степенным рядом. В этих терминах мы только что доказали
Предложение 2.4. Любой распознаваемый язык над конечным алфавитом может быть порожден однозначной грамматикой, а его характеристический степенной ряд является однозначным рациональным степенным рядом.
Чтобы оправдать использование слова «рациональный», стоит отметить, что специальная линейная система (2.3.2) может быть решена непосредственно, и компоненты решения могут быть «рационально» выражены через коэффициенты Ац с использованием операций +, • и * в R [ [Д] ].
Пример 2.4.1. Минимальный {а, 6}*-автомат из примера 1.10.1 имеет граф
и Т = {s2}. Соответствующая система уравнений над (например) №[ [а, 6]] есть
з0 = ast + bs2,
s1 = (a + 6)s1, .
s2 = (а + 6) s2 + 1.
Второе уравнение дает si = 0. Третье уравнение равносильно уравнению (1—(а + b))s2= 1, решением которого служит (а+ 6)*. Тогда из первого уравнения получаем s0 = b(a + Ь)*.
Рациональные подмножествамоноида. Теорема Клини
Пусть М — моноид, a L — произвольное подмножество из М. В следующем определении, ясности ради, мы ненадолго отступим от действующего соглашения и обозначим через Lw подмоноид из М, порожденный L. Отображение Lt—>LW множества всех подмножеств из М на множество всех подмоноидов из М называется итерацией'). Мы используем символ <*>, чтобы отличать подмоноид Lw от свободного моноида L* на множестве L; если L(*> свободен и допускает L в качестве базиса, то LW и L* изоморфны.
Определение 3.1. Класс ^ подмножеств моноида М называется рационально замкнутым классом, если (a) Lx, L2e^ влечет L^^e^7 и LvUe^; (b) Le^ влечет LWe*8. Наименьший рационально замкнутый класс, содержащий данный класс ^, называется рациональным замыканием класса ^ и обозначается через RafF. Рациональное замыкание класса всех конечных подмножеств из М обозначается посредством RatM, а его элементы называются рациональными подмножествами в М).
Множество ^(М) всех подмножеств из М является рационально замкнутым классом. Для любого класса ^ имеем ^ s с5?>(Л1); это вместе с тем фактом, что рациональная замкнутость сохраняется при пересечении классов, влечет существование Rat^7 для любого класса ^ подмножеств из М.
Теорема 3.2 (Клини [1956]). В свободном моноиде А* на конечном множестве А язык L распознаваем тогда и только тогда, когда L является рациональным подмножеством в А*.
Доказательство. Если посредством Rec Л* обозначить класс всех распознаваемых языков из А*, то теорема утверждает, что RecЛ* = Rat Л*. Мы установим это равенство, доказывая включения в обоих направлениях.
Покажем сначала, что класс Rec Л* рационально замкнут и содержит все подмножества из А. Тогда из определения Rat Л* будет следовать RatЛ*sRecЛ*. Доказательство разобьем на части.
(al) Пусть А' — подмножество из А. Частичный Л*-автомат с графом состояний
0-Л-1
таков, что Оау = 1, если и только если we А'. Согласно предложению 2.2, А' е Rec Л*.
(а2) Rec Л* замкнут относительно объединений. Допустим, что язык Lx = ^w е A*: f{(s°if w^eT^ распознается автоматом §[i=(Sz, f^, где TtsSi (i = 1, 2). Образуем декартово произведение Л‘-автоматов 2li X ?U =(Si X 5г, fi X [г), где
(/1 XhH^i, s2), w) = (htsx, w), f2(s2, w))
для любых SieSi, s2eS2, we А*. Мы имеем w e Lx U L2 тогда и только тогда, когда fx (s^, w') e Tx или f2 (s^, ay) e T2. Поэтому
LxUL2 = ^we A*: (fx X t2) ((s?, s°2), w) e (Tx X S2) U (S, X T^.
Таким образом, язык Lx J L2 распознается Л*-автоматом 5ti X ^2, конечным в силу конечности Si и S2.
Примечание. Заметим, что L1 П L2 ={weA> ^Xf^,^, w')eTxXT2y Это показывает, что Rec Л* замкнут также относительно пересечений.
(аЗ) Rec Л* замкнут относительно произведений. Обозначения Lu SI, и т. д. — те же самые, что и в (а2). Образуем Л*-авто- мат 83 = (Si Х^Зг), /), положив
,^М8оа\№'аУЬесли fx(sx, а)^Тх,
.“)((^(s^ a), f2(S;, a)U{s^}), если fx(sx,a)eTx
для любых s1 е Sp S2sS2, аеА.
Если we А*, то первая компонента пары f((si, 0), w) есть fi (si, w) и можно проверить, что вторая компонента есть следующее подмножество ПДзх) из S2:
^2 (si) = {/2 (4 m2): ®^=®iW2 и fx(sx, wx)eTxy
Отсюда следует, что f ((s?, 0), да) — (fi (si, ™\ ^(s®)) и L, • L2 = (w е Л*: f((s^ 0), w)eS1X^~2}> гДе ^2 есть совокупность всех подмножеств из S2, пересекающихся с Т2. Таким образом, ® распознает Ц-Ь2 и одновременно с 9h и 912 является конечным Л*-автоматом.
(а4) Rec Л* замкнут относительно итерации. Пусть §1 = (S, f) есть Л*-автомат и L=^weA*: f(so, w)eT} для некоторых so е S и Т г S. Преобразуем 91 в недетерминированный Л*-авто- мат $ = (S, f), где для всех аг A, s е 3 положим
, Hf(s, а)}, если f(s, а)^Т,' S’ ° ( {f (s, а), So}, если f (s, а) г Т.
Мы утверждаем, что Е^ — Е, где Е = ^w е A*; J({s0}, да)ПТ=/= Ф 0}. Ясно, что ЕгЕ. Допустим, что U^L для любого /, 1 ^ i •< п, и пусть w г Еп. Тогда w = w'w", где w' г L и w" г г Еп~х. Мы имеем f(so, w')e Т по определению L и 7({so}, w")D П Т =/= 0 по предположению индукции. Но из f(s0, хю'^гТ следует по определению 7 что 7({so}, w') содержит s0. Поэтому 7( {s0}, да) содержит множество H{so}, w"), пересекающееся с Т, откуда we Ли тем самым Ln ?= Л. Следовательно,Л+=ипе=м^е S L. Обратно, пусть w = a^a-z ... акгЕ и пусть aia2 • •• ... ац — кратчайший левый делитель слова w, для которого f(s0, ava2 ... а,,) е Т. Тогда
f ({s0), w) = f ({f (s0, a^ ... a<t), s0}, aw ... a6).
Обозначив через ац+i . . . си, кратчайший левый делитель слова а1ч\ - • • ак1 для которого f (s0, ахаг ... ац ... а^гТ либо f (s0, a^+i • • • ai^ г T, получим
f({s0}, w) =
= f ({/ (s0, ax ... atl ... atl\ f (s0, a<l+] ... au\ s0}, a/z+i • • ■ ak\ где aia2 ... ацац^х ... а^г LU I?. Продолжая этот процесс, через п шагов получим
f({s0}, w)=={f(s0, w), f(s0, a(1+i ... a^, f(s0, ail+v ... ak\ ..., s0}, где weLJL2U ... U^" Следовательно, L+— E. Замечая, что пустое слово распознается недетерминированным ^‘-автоматом
s0»—►•s1, а е А,
с Т == {so}, и учитывая (а2), мы видим, что язык LW = L+ U {1} распознаваем.
Если L={wsX*: f(s0, w)eT} для некоторого конечного А*-автомата §1 = (S, f), некоторых sosS и TsS, то Е = = и«ет{даеЛ*: f(s0, w) = /}. Поэтому для доказательства того.
что L— рациональный язык, достаточно показать, что для любой пары s, teS язык L(s, /)={теЛ*: f(s, ш) = /} рационален. Мы сделаем это с помощью индукции по мощности некоторых подмножеств из S. Читатель может найти более интуитивные аргументы, если наглядно представит себе L^s, /) как описание множества всех возможных путей в 21, ведущих из s в /. Для произвольного подмножества Si из S обозначим посредством L (s, Sb /) множество всех путей в 21, ведущих из s в /, с промежуточными точками в Si. Формально L(s, Si, t^ = = {теЛ*: f(s, w)=t и f^s, w^eS\ для всех левых делителей t«i слова w^. Из этого определения следует, что L(,s, Si, О = 0, если s или / не лежит в Si. Поэтому языки L(s, Si, /) представляют интерес лишь для подмножеств Sj, содержащих как s, так и /, и наша цель — доказать рациональность языка L^s, f) = — L(s, S, /). Строгий путь в 21, ведущий из s в /, определяется как путь, промежуточные точки которого отличны от s и /. Формально для любого подмножества S2 из S, такого, что s, i ^ 8г, множество строгих путей описывается формулой
L^s, S2, /) = {Щ6Л': f (s, w) = t и f(s, t«i)eS2
для всех собственных левых делителей wt слова ш).
Например, E(s, 0, t) либо сводится к пустому слову, либо является подмножеством Л(х, /)={аеЛ: f(s, а) = /) из Л. Мы воспользуемся индукцией по мощности подмножеств Si, содержащих {s, /}, и подмножеств S2, для которых s, 1ф8г. Если Si одноэлементно, то s и / совпадают и L^s, (s), 5) = (Л(х, s))*. Если S2 = {г}, где г Ф s, г ^ t, то E(s, {г}, /) = Л (s, г) (Л (г, г))*- •Л(г, /). Допустим, что языки L(s, Si, /) и L(s, S2, t) рациональны, каковы бы ни были подмножества Si и S2 мощности < k. Тогда для подмножеств Si и S2 мощности к последовательно получим
L(s, S„ 0 =
= № 8, \ {s}, s)/ • / (J Л (s, г) L (г, S, \ {s}, М VsS,\(s]
L(s, S2, /)= H Л (s, r)L(r, S2, r')A(rz, t),
r, r'e Si
откуда вытекает рациональность L(s, Sj, /) и E(s, S2, /). В частности, язык L(s, S, /)= L(s, /) рационален, и то же самое справедливо для L. Формулы (3.2.1) и (3.2.2) иллюстрируются диаграммами
(3.2,1/(3.2.2)'
где пунктирные стрелки изображают пути, проходящие через точки в Si \ (s) для (3.2.1)' и точки в S2 для (3.2.2)'. □
Замечания, (а) В ходе доказательства теоремы Клини мы отметили, что класс распознаваемых языков замкнут относительно пересечений. Это же можно доказать, заметив, что указанный класс замкнут относительно дополнений. В самом деле, если U обозначает дополнение языка L в А*, то синтаксические конгруэнции PL и PL- совпадают и в силу предложения 1.8 L и U одновременно распознаваемы либо нет. Следовательно, класс Rec Л* замкнут относительно всех трех булевых операций.
Пусть L — подмножество моноида М. Левым (соответственно правым^ частным множества L называется подмножество из М вида Lm~x (соответственно m~xL') для некоторого m е М, где по определению
Lm~x = (х s М: xme L), mrxL = (х е Л4: mx е L).
Легко устанавливаются следующие соотношения:
LQnxm2yx = ^Lm^ пгхх, (jnxm2yx L — т2х (тУЦ
для любых тх, п^еМ'.
Учитывая их, для доказательства того, что класс Rec Л* замкнут относительно левых и правых частных, достаточно показать, что Le Rec А* влечет La-X, a~xL е Rec Л* для любого а^А. Пусть 21 = (S, f)—конечный Л*-автомат и А={ш@Л*: f(s0, ю)еТ} для некоторых soeS, TsS. Мы имеем a-xL = = {щеЛ*: f(f(s0, а), ю)еТ), La~x = {w^A*: f(so, ю)еТ'), где Т'= (seS: f(s, a)sT}, откуда вытекает распознаваемость языков a~xL и La~x.
Пусть ср: А*-* В*— гомоморфизм и LeKecB*. Тогда существует гомоморфизм У из В* в конечный моноид М, для которого V-1^(L) = L. Отображение 0 = Чгоф является гомоморфизмом 6: А*->М, причем ©-'©(ф-ЦЛ))^ ф-‘(А). Предложение 1.5 дает ф-1 (L) е Rec Л*. В дальнейшем полные прообразы подмножеств моноида относительно гомоморфизмов мы будем кратко называть гомоморфными прообразами.
Резюмируем эти замечания в следующем утверждении.
Следствие 3.3. Класс всех распознаваемых подмножеств свободного моноида замкнут относительно булевых операций и образования левых и правых частных. Распознаваемость сохраняется также при переходе к гомоморфным прообразам.
В случае конечного алфавита в следствии 3.3 можно заменить распознаваемость на рациональность. Без ограничений на
7 Зак. 474
мощность А имеем:
LeRecA*, если и только если LsRat^, где 'ё’ — множество всех подмножеств из А\
LeRaLT, если и только если Lee Rat В* для некоторого конечного подмножества В из А.
Важным аспектом теоремы Клини служит возможность строить любой распознаваемый язык L, используя элементарные операции конечное число раз, что объясняет требование конечности А в этой теореме. Начиная с этого места и до конца книги всегда, если не оговорено противное, будем считать все алфавиты конечными. В частности, утверждение «язык L рационален в Л*» необходимо предполагает конечность А.
Закончим этот параграф некоторыми замечаниями о синтаксических моноидах распознаваемых языков. В доказательстве теоремы 3.2 при построении Л*-автомата, распознающего L\ U La, мы образовали декартово произведение 9ti X §£2 двух Л •-автоматов 9t, и 912, распознающих L] и L2. Если Я] и 912 суть минимальные автоматы Sl(Z-i) и % (La) соответственно, то существует гомоморфизм ф: ЩЬ^Х^ЦЬа^^-^Щ U ^2) на минимальный автомат языка L1UL2 (см. предложение 1.6). Отсюда следует, что синтаксический моноид М (L\ (J La^ является гомоморфным образом произведения М(Li)X М(L2). То же самое справедливо для М(К]ПТ2). Нетрудно также показать, что M(La-1) и M^cr^L) являются гомоморфными образами моноида M^L). Классы моноидов, замкнутые относительно декартовых произведений и деления, еще раз появятся в § 5.
4. Рациональные коды. Рекуррентные события
Основные результаты о кодах из § 3 гл. 5 могут быть улучшены, если наложить дополнительное ограничение, считая рассматриваемые коды рациональными. Всюду в этом параграфе основной алфавит А предполагается конечным.
Предложение 4.1. Пусть С — рациональный код над алфавитом А, причем С* пересекает все двусторонние идеалы моноида А* (т. е. С* f\ A*wA* #= 0 для всех щеЛ”). Тогда С — максимальный код.
Доказательство. По теореме Клини язык С* распознаваем, а по предложению 1.5 существует такой гомоморфизм ф: А*->М на конечный моноид М, что С* = ф-1ф(С*). Обозначив через D минимальный идеал в М, из предположений относительно С* выводим существование элемента и е С*П Ф-1 (D). Так как ф(ц)е=О, a D — конечная вполне простая полугруппа (либо
одноэлементная полугруппа, что лишь упрощает доказательство), существует такое целое к, что и* е С* и ф^) — е = е2Е ед. Для любого be А* элемент ф(ы^ы4) = еф(Ь)е лежит в максимальной подгруппе с единицей е. Поэтому существует такое / > 0, что ф (^икЬик^ 1) = ^(ик) = е. Равенство С* = ф-'ф (С*) влечет yikbuky е С*. Следовательно, если Ь^.С, то множество CU {£} не может быть кодом, так как слово \икЬику имеет различные разложения над CU {6}. □
Доказательство следующего результата снова подчеркивает роль минимального идеала из М.
Предложение 4.2. Пусть С — рациональный код над алфавитом А, причем С* пересекает все правые идеалы из Л* (т. е. C*f\wA*#=0 для всех we А*). Тогда С — (полный) префиксный код.
Доказательство. Мы рассуждаем, как и выше, используя гомоморфизм ф: Л*->М на конечный моноид М, для которого С* = ф-1ф(С*). Непосредственная проверка показывает, что условия
(°U,) M'w П М' П wM' N= 0 влечет w е М' (гл. 5, предложение 2.2),
(^i) M'w П № Ф 0 влечет weM' (гл. б, предложение 2.5), характеризующие соответственно свободные подмоноиды М' и свободные подмоноиды, порожденные префиксными кодами, сохраняются как для образов, так и для полных прообразов относительно таких гомоморфизмов ф, что ф-,ф (АГ) = М' (гл. 5, упр. 2). Следовательно, достаточно доказать, что если подмоноид М' конечного моноида М удовлетворяет условию (ф/) и пересекается со всеми правыми идеалами из М, то он удовлетворяет и условию УИ\У Пусть D — минимальный идеал в М и D' = = М'ПО. Тогда D — конечная вполне простая (либо одноэлементная) полугруппа, изоморфная рисовской матричной полугруппе Ж(О\ I, А; РУ Так как М' пересекается со всеми правыми идеалами в D, из упр. 10 гл. 3 следует, что D' изоморфна полугруппе Ж(О'\ I, М\ Р'У где G'— подгруппа из G, Д's А, а Р' есть А' X /-матрица с элементами из О'. Допустим, что т'хеМ', где т'еМ' и хеМ. Взяв произвольный элемент d е D', найдем такой tn" ЕМ, что xdm" е М'ПО = D'. Так как xd и xdm" должны лежать в одном и том же ^-классе из D, мы получим xd = [g; i, X] и xdm" = [g'; i, X'] для некоторых g е О, g' е О', i е 1, X е A, X' Е А' (мы отождествляем элементы из D и D' с соответствующими элементами рисовской матричной полугруппы). Поэтому можно выбрать т" = \h\ i, X'], где he О. Элементы т'х и d лежат в М', откуда m'xd = [X; j, X"], где к е О', j е 1, к" s Д'. Элемент т'х dm" = [к; j, X"j • [/г; i, X'] =
= \hpvih\ j, V] лежит в М', так как m', xdm"eM’. Поэтому kpX4h s G'. Учитывая, что к е G', рхч е G', получаем 1г е G' и, следовательно, т" = [/г; I, V] е М' П D. Окончательно имеем ^xdm"m'^х = х ^dm"m'x^ = ^xdni") (т'х),
где все элементы, заключенные в скобки, принадлежат М'. Условие ^1\ влечет х г М', показывая, что М' удовлетворяет
Имеется важная связь между префиксными кодами и некоторыми разделами теории вероятностей, касающимися рекуррентных событий (см. Феллер [1957], т. I). Эта связь дает еще одну интерпретацию понятия рациональности.
Определение 4.3. Распределением вероятностей (или распределением Бернулли) на множестве А называется функция л: Д->[0, 1], такая, что л (а) > 0 для любого аеА и^аеЛл(а)= = 1.
Функция л может быть продолжена до гомоморфизма, также обозначаемого буквой л, из А* в моноид [0, if относительно обычного умножения действительных чисел1). Прямое индуктивное рассуждение показывает, что для любого п ^ 0 функция л определяет распределение вероятностей на Ап.
Для любого подмножества L из Д* пара (А, л) называется событием над A, a L называется носителем события (L, л). Определим числа ип = л (L Л А") для каждого п ^0 и функцию UiAs^ комплексной или вещественной переменной s, задаваемую равенством U LU^ = ^n=ttunsn. Число ип называется вероятностью того, что событие (L, л)' наступает в п-м испытании, а функция Ul называется производящей функцией вероятностей для (L, л). В том случае, когда степенной ряд Ul^ сходится при s = 1, мы обозначим UlUI через л (L): л = л(ш) всякий раз, когда эта сумма определена. Аналогично, если и'ь^ = У^=х^ип8п-Х сходится при s = 1, обозначим 771(1) через X(L): A (А) = £ ^ L / (rv) л (ш) всякий раз, когда эта сумма, где ЦфУ—длина w, определена. Она называется средней длиной события (А, л).
В дальнейшем мы рассматриваем лишь случай L = С*, где С — код над А. Кроме ип = л (С* П Д"), 77c*(s) = E7=o ип8п, привлекаем к рассмотрению также числа ип = л(СпД,г) и функцию UG^='^”=i)onsn.
') И далее, как конечно-аддитивная, продолжается на U-полурешетку конечных подмножеств из А*.— Прим, перев.
Предложение 4.4. Пусть С—код над алфавитом А и л — распределение вероятностей на А. Производящие функции вероятностей Uc* для (С*, л) и Uc для (С, я) удовлетворяют равенству Uс* (s) = 1 /(1 — Uс (з)) для всех s из области сходимости ряда Uc*(s).
Доказательство. Если хс = х'с', где х, х' е С*, а с, с' е С, то х = хА и с = с' в силу однозначности разложения в С*. Отсюда следует, что для всех целых чисел I, j, таких, что i-\- j — п (п>0), множества (С* П Л') • (С П А1) попарно дизъюнктны. Поэтому из равенства
С*ПА"= и (С’ПЛ^СП^)
1+]=п
для п > 0 вытекает: «rt—я (С* П Ли)=Ег4^-я л ^'0 Л') л (С Л Л/)^ = Т^и1-пи1уу Поскольку «о=1» Уо = О, для всех з из области сходимости ряда Uc* (s) получаем
Uс* (s)= Е unsn = 1 + Е ( Е s" ■= 1 + ^с* (s)i7c(s). п=0 п=1 \i+j=n /
Отметим также родство формулы (1 — UG (s)) Uc* (s) = 1 и формулы (1 — С)С* = 1 для степенных рядов из § 2 гл. б. □
Предложение 4.5. Пусть С — префиксный код над алфавитом Айя — распределение вероятностей на А. Тогда л(С) = = Ешес м^х i-
Доказательство. Положим Сп = {с е С: 1(c) ^.п}. Тогда Сп — конечный префиксный код и л (С) = Пт„_>оо л (С„), так как Сп Е С„+1 влечет л(Сп) ^ л(С„+1). Поэтому достаточно показать, что п(Сп)^ 1 для всех п^ 1; тот факт, что л(Сп) — неубывающая последовательность, сходящаяся к л(С), даст нам л(С) ^ 1. Для се С„, в силу префиксности, множества сЛп-,<с) попарно дизъюнктны, откуда
л(Сп) = Е л(с) = Е л(сЛп-/(с)) = с г Сп с г Сп
= и сЛп",<с)А<л(л") = 1. □
\сеСп /
Определение 4.6. Пусть С — префиксный код над алфавитом А и л — распределение вероятностей на А. Событие (С*, л) называется рекуррентным событием. Оно называется возвратным, если л(С)= 1, и невозвратным, если л(С)< 1 *),
’) В оригинале «persistent» и «transient» соответственно; мы употребили стандартные русские термины из теории цепей Маркова, которая используется в § 4 гл. 8. — Прим, перев.
Пример 4.7. Взяв алфавит А = {а, 6} с распределением вероятностей л(а) = р, л(й) = 7, где р + q = 1, рассмотрим событие (L, л), где L= {we Л*: daw = dbw}. Язык L, называемый языком. Дика, порождается бесконечным бипрефиксным кодом D. Мы оставляем читателю в качестве упражнения тот факт, что синтаксический моноид языка L = D* порождается подстановками а, Б множества Z, определяемыми формулами па = п + 1, пБ = п — 1 для всех п е Z. Отсюда следует, что этот синтаксический моноид изоморфен моноиду (Z, +, 0). Ниже приведен йабросок части дерева, представляющего D •).
Число слов в D* длины 2п равно (2”). Поэтому
и2п = л (D* П Л2") = ( 2" ) pnqn, и2п+х = 0.
Следовательно, производящая функция вероятностей для (£>*, л)1 есть
Ud* (s) = У ( 2n ) pnqns2n ==.- ■.
х п /V1 — 4pqs2
п=0
Применяя предложение 4.4, получим производящую функцию для ф, л): ипф=; — Д—Apqs2, откуда я(Р)=^“1-ол (^П Л")= =^о(1)=1 — V1 — ^РЯ- в случае р = q = 1/2 имеем л(£>) = = 1, т. е. рекуррентное событие (D*, л) возвратно. В случае p=^q получаем л(£>)< 1, т. е. ф*, л) невозвратно. Этот пример, данный Феллером, подчеркивает ценность следующего результата.
Предложение 4.8. Пусть (С*, л)'—рекуррентное событие, где С — рациональный префиксный код над алфавитом А, л — рас-
’) Фактически это граф состояний бесконечного автомата, распознающего D* (см. примеры 1.10,3). *- Прим, перев.
пределение вероятностей на А. Тогда
(С, л) возвратно, если и только если С — полный префиксный код;
средняя длина X(С) = 2^^^/(ty) л (гу) события (С, п) конечна, если С полон *).
Доказательство. В случае неполного кода С существует такое слово 1уеЛ*\С, что CU{®} — префиксный код. Поэтому л(С)< л(С) + л(ш) = л(Си {w})^ 1, т. е. событие (С*, л) невозвратно. Это показывает, что возвратность события (С*, л) влечет полноту кода С. Обратно, если С — полный префиксный код, Р — множество всех собственных (т. е. не лежащих в С) левых делителей слов из С, то А* = С*Р (гл. 5, предложение 3.2(d)), причем любое слово we А* записывается в виде w'z (w'eC*,ze Р) единственным образом. В самом деле, если wxz1 = wjz2, где w'v Ф^еД, гх, z2e Р и, например, / (w() ^ ^ I (w^, то (У] = w2c для некоторого с е С*. Отсюда выводим czi — z2 и, так как С П СА+=0, получаем с = 1, ty' = w2, zx = z2.
Переходя от равенства А* = С*Р к производящим функциям вероятностей, получаем
Ua* (s) = Uс» (s) Up (s), или у— = -j—■ ^ (g) • UP (s).
Отсюда следует, что иР^=Д\— Uc(s))/(l—s). Поэтому п(С) — 6/с(1) = 1, если (/Р(1) = л(Р) конечно. Заметим, что в случае конечного л(Р)
л (р) = Пт= и'с (1) ” X (С).
8
Таким образом, доказав, что рациональность С влечет конечность л(Р), мы получим л(С) = 1, завершив доказательство (а), а также установим конечность Х(С), т. е. докажем (Ь).
Лемма 4.9. Пусть С — рациональный полный префиксный код над алфавитом А, Р— множество всех собственных левых делителей слов из С. Для любого распределения вероятностей я на А величина л(Р) конечна и, следовательно, л(Р) = Х(С).
Доказательство. Существует частичный А*-автомат 91= (S,f), где S = {so, Si, ..., sj, f(st, а) не определено для всех as А и C = ^weA*\ ^s»,w^ = St\ (см. примеры 1.10.2). Далее, существует слово уеА*, такое, что f^st, у) — 0 для i = 0, 1, ... ..., /—1. Чтобы построить такое у, возьмем у0@А*, для которого f(s0, уо) = 0; если У/ таково, что /(д0, у^ — 0, f(sx, У/) =
= 0, ..., Ц$1, у:) = 0, найдем f(sz+1, У/); в том случае, когда f(sz+i, у^ = 0, положим Уг+1 — ущ а в случае f(sz+), у^ = s, положим у,+1 = ViU, где f^Sj, и) = 0. Теперь для любого ш е А* имеем f(s0, wy^ = 0. Поэтому A*v г СА+. Если р е Р, то равенство р = щищ, где щ, us^A*, невозможно, ибо в противном случае было бы р е СА+, что противоречит условию СПСЛ-* = = 0. Поэтому Р^Л*\Л*уЛ* и л(Р) ^ л(Л*\Л*уА*). Пусть I = А*\А*уА* и ^ = /(у). Положив Jt = J П(Л*)*Л; для всех i, 0 ^ i <Z k, получим /== U^o А и Ji s Л Vo. Отсюда следует, что л (1)^1 ’ л (7Z) <2^ л Иг)л UoWn (/о). Но J0=J А (Л6/5 ^ (Л* \ {у})*. Поэтому л(70) ^ л((Л*\{у})*). Производящей функцией вероятностей для события (£) = Л*\(у}, л) служит l/D(s) = (l — n(y))s*. Из предложения 4.4 вытекает
UD.^ = ц 1 и л((Лй\{у})’) = ^*(1) = -^--
•1 — (1 — л (о)) Sл (о)
Следовательно, л(Р) ^ л(7) ^ йл(7о) ^ ^/я(у) , что и доказывает конечность л^Р). □
Замечание 4.10. Если дано распределение вероятностей л на множестве А, то отображение ф: Л —^-7? [ [s] ], определенное равенством ф(а) = л(а)5, продолжается единственным образом до гомоморфизма, также обозначаемого буквой ф, кольца степенных рядов 7? [ [Л] ] в 7? [ [s] ]. Если L — рациональное подмножество из Л*, то, как мы видели (предложение 2.4), его характеристический степенной ряд % (А) является однозначным рациональным степенным рядом из /?[[Л]]. Отсюда следует, что ф(х(^))= ^c(s) есть рациональный степенной ряд в 7?[[s]]. Таким образом, производящая функция вероятностей события с рациональным носителем есть рациональная функция.
5. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков
В этом параграфе мы рассмотрим следующую проблему: возможна ли классификация рациональных языков L из А* в соответствии с алгебраическими свойствами их (конечных) синтаксических моноидов Мрр Основные трудности, возникающие в ходе решения этой проблемы, следующие:
не всякий моноид является синтаксическим моноидом какого-либо языка;
различные языки могут иметь изоморфные синтаксические моноиды.
Основная идея, привлекаемая к решению этой проблемы, состоит в изучении поведения пар (Р, 7И), где Р— подмножество
моноида М, относительно гомоморфизмов. Первым шагом является
Лемма 5.1. (а) Пусть 6: Д*->М— сюръективный гомоморфизм и £ = 9-1(7э) для некоторого-подмножества Р из М. Существует единственный сюръективный гомоморфизм о: М-*М (£), такой, что о°6 = Фь, где фь: А*->М(L) — синтаксический гомоморфизм.
Обратно, если для некоторого L^A* существует сюръективный гомоморфизм a; M-+M(L), то существуют такие 9: А*-*М и Р s М, что ф£ = о о 9 и 9-1 (Р) = L.
Доказательство. Эта лемма утверждает, что следующие диаграммы могут быть дополнены до коммутативных:
Для любого me М найдется такое w е А*, что 9 (to) =т. Положим о(т) —ф£(ю). Желая показать, что о корректно определено, допустим, что 9(ю)= 9(10'). Если uwy е L, то 9(июо) = = 9(uw'y)eP и uw'ye 9-1 (Р) = L. Аналогично, uw'yeL влечет uwy е L, откуда следует ф1(ю) = ф£(ю/). Доказательство того, что а — единственный сюръективный гомоморфизм, для которого ф£ = о ° 9, мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Для любой буквы а е А выберем такой элемент та еМ, что о(та) = ф£(а). Это возможно, поскольку а сюръективен. Положив 9(а) = та, продолжим это отображение до гомоморфизма А* в М, также обозначив его символом 9. Равенство о°9 = ф£ следует из определения 9. Из ф£’ф£(£) = £ выводим д-^фДР) = £ и, взяв P = q-^l(£), получаем 9-1(Р) = £. □
Определение 5.2. Подмножество L моноида М называется дизъюнктивным, если синтаксическая конгруэнция, определяемая L на М, совпадает с отношением равенства на М.
Предложение 5.3. Моноид М тогда и только тогда является синтаксическим моноидом некоторого языка, когда М содержит дизъюнктивное подмножество.
Доказательство. Пусть L^A* и фь: А*-*МЩ—синтаксический гомоморфизм. Тогда множество Р = ф£(£) дизъюнктивно в М(£). В самом деле, предположим, что хтщ е Р, если и только если хт2уеР (х, у, тх, т2е МЩУ Пусть слова Фь w2eA* таковы, что ф(гу1) = т1 и ^w2\= т2. Мы имеем
цепочку равносильных утверждений:
ишгу е L -ФФ- ф£ (w) т^ (и) е Р <=> фЛ (и) m2^L (и) е Р <=> uw^y е L. Первая и последняя равносильности обусловлены равенством Ф£*Ф£(£) = Е. Отсюда получаем фД®1) = фь^) или mx = m2. Обратно, если М содержит дизъюнктивное подмножество Р, рассмотрим свободный моноид А*, для которого существует сюръективный гомоморфизм 6: А*^-М (см. гл. 1, § 4). Для Е = 6-1(Р) по лемме 5.1(a) найдется такой гомоморфизм о: M^-M^L), что ф£ — а о 6. Предположим, что а(т!) = о(т2) или, равносильно, Ф1(®1) = ф1(®2) для некоторых ®i, w2eA*, таких, что 0(®i) = = ni\, 6(ty2) = /«2. Если хт^у е Р, то, взяв такие слова и, у еА*, что 0(и) = х, 9(и) = у, получим uwxy е L. Отсюда следует, что uw2y eL и xm2y eO(L) = Р. Аналогично, xm2y е Р влечет хтху е Р. Так как Р дизъюнктивно в М, получаем тх = т2, т. е. о инъективен и потому является изоморфизмом. □
Пример 5.3.1. Пусть R\ — моноид, полученный присоединением единицы 1 к «-элементной полугруппе Rn правых нулей. Для произвольного подмножества L из r\ контекстами относительно L любого элемента zeL\{l} служат все пары (и, и) е (r\ X Е) (J (fin X {1})- Аналогично, контекстами относительно L любого х е Rn\L служат все пары (и, и) е r\ X X (Е \ {!})• Поэтому из существования дизъюнктивного подмножества в Rn следует « ^ 2. Обратно, при п ^ 2 любое множество вида {х}, где xeRn, дизъюнктивно в Rn. Таким образом, при п>2 моноид Rn не может быть синтаксическим моноидом никакого языка. Далее, для любого алфавита А, при условии cardA^2, и любого собственного непустого подмножества А' из А синтаксическим моноидом языка А*А' служит R2; тем самым показано, что различные языки могут иметь один и тот же синтаксический моноид.
Лемма 5.4. Если L — дизъюнктивное подмножество моноида М, то любое подмножество в М можно получить из L, применяя лишь булевы операции и образование левых и правых частных посредством Элементов из М.
Доказательство. Для произвольного подмножества L из М тогда и только тогда будем иметь (щ, т')^Рь, когда т' е е u~ALy~x для всех пар и, уеМ, таких, что иту е L, и т' е е и-1 (M\L) у-1 для всех пар и, уеМ, таких, что иту ^ L. В случае дизъюнктивного L класс конгруэнции Pl, содержащий т, одноэлементен. Поэтому
\т\ = ( П u^Ly^Xdtf П и~х(М \L)u~x\.I Ы, е)I I (и, V)I
X umt> a h,/ X итт ^1,/
Лемма вытекает из этого замечания. □
В следующей серии лемм подготавливается ответ на вопрос: когда для данных языков КгА*л\ LeB* моноиды М(/Q и M(L) изоморфны?
Лемма 5.5. Пусть М — моноид и Ее А*. Следующие условия равносильны:
существуют гомоморфизм 6: А*^-М и подмножество Р из М, такие, что Q~(P) = L;
M(L) делит М (т. е. M(L) является гомоморфным образом некоторого подмоноида из М).
Доказательство. Это утверждение есть не что иное, как лемма 5.1, переписанная без условия сюръективности соответствующих гомоморфизмов.
Следствие 5.6. Пусть К S A*, L s В* и X: А*->В* — такой гомоморфизм, что X-1 (Ь) = Д. Тогда М(К) делит M(L).
Доказательство. Рассмотрим фы B*^-M(L) и Р = ф£(В). Имеем 6 = фь °X: A*-*M(L) и 9(Р) = (фАХ)~'(Р) = X"^l‘ о о ф£(В) = X-1 (L) = К. Из леммы 5.5 следует, что М(К) делит M(L). □
Следующий результат представляет собой утверждение, обратное к следствию 5.6.
Лемма 5.7. Пусть К G Л* и L ® В*. Если М(К) делит М(£), то существуют гомоморфизм X: А*-* В* и язык L' S В*, такие, что X-1 (£') = К и L' может быть получен из L применением только булевых операций и операций образования левых и правых частных посредством элементов из В* (если L рационален в В*, то требуется лишь конечное число этих операций).
Доказательство. По лемме 5.5 существуют гомоморфизм 9: A*-*M(L) и подмножество Р из M(L), такие, что 9~Х(Р)=К. Рассматриваемая ситуация показана на следующей диаграмме:
е\р) = к» А*—^—►В*
=8 (Р) = К.Так как фь(Е) дизъюнктивное M(L) (см. доказательство предложения 5.3), множество Р может быть получено из цс(Е) при помощи лишь булевых операций и образования левых и правых частных посредством элементов из М(Е) (лемма 5.4). Поскольку булевы операции и образование левых и правых частных сохраняются при переходе к гомоморфным прообразам1), L' можно получить из L указанным способом. Если L — рациональный язык в В*, то MIL) конечен и L' можно получить из L, применяя лишь конечное число булевых операций и операций образования левых и правых частных. □
Всякий раз, когда существуют гомоморфизмы X: А*-* В* и р: В*^-А*, такие, что Х~^Ц = К и p~1(K) = L, мы будем говорить, что языки К г А* и L Е В* взаимозаменяемы (exchangeable by homomorphisms). Из следствия 5.6 и леммы 5.7 непосредственно выводим
Следствие 5.8. Пусть Кг А* и Ее В* — рациональные языки, М(К) и М(Е)— их синтаксические моноиды. Если К и L взаимозаменяемы, то М(К) и М(Е) изоморфны. Обратно, если М(К) и M(L) изоморфны, то существуют рациональные языки К' г А*, L's В*, такие, что
К' и L (соответственно L' и К) взаимозаменяемы-,
К' может быть получен из К (соответственно Е' может быть получен из L) применением лишь конечного числа булевых операций и операций образования левых и правых частных посредством элементов из Д* (соответственно В*).
Это следствие естественно приводит к следующему понятию.
Определение 5.9. Поток (stream) языков д’— это класс пар (Д, ^(Д*)), где А — конечное множество, а ^(Д*)—семейство подмножеств свободного моноида А* на А, удовлетворяющее условиям:
^(Д*) замкнуто относительно булевых операций (т. е. Lx, E2eg>(A*) влечет LiU£2, Е\ П L2 е ^(А*); Ее д’(А*) влечет А*\Ее9’(А*')У,
S’(А*} замкнуто относительно образования левых и правых частных посредством элементов из А* (т. е. Ее9’(А*У w е А* влечет w~xL, Ew~x е ГР (А *));
для любого гомоморфизма 6: А*^-В* условие L ед^В*) влечет 6-1 (L) е ^(Д*).
Краткости ради мы будем писать Leg (хотя это и некорректно) всякий раз, когда существует такое множество А, что
’) Пусть ф: М-*М — гомоморфизм, neN и А— подмножество из N. Для любого m е М, такого, что ф(т) = п. имеем ф-*(п-1Л) — т-1ф-1(Д) и ф-^Лм-1) = ф-'^т-1.
Ье9ЦА*/ Согласно данному определению рациональные языки, имеющие изоморфные синтаксические моноиды, принадлежат одному и тому же потоку языков. Вообще говоря, языки из одного потока не обязаны иметь -изоморфные синтаксические моноиды, как показывает пример потока Sr всех рациональных языков: Sr = {(Д, Ка1Д*)} (следствие 3.3).
Выясняя, как сформулированные выше условия (а), (Ь), (с) переводятся на язык синтаксических моноидов (см. заключительные замечания в § 3), мы приходим к понятию псевдомногообразия моноидов.
Определение 5.10. Класс Ж моноидов называется псевдо многообразием (или потоком')') моноидов, если
Ж замкнут относительно образования фактормоноидов и подмоноидов (т. е. М е Ж влечет М/р е Ж и М' г Ж для любых конгруэнций р на М и любых подмоноидов М' из М);
Ж замкнут относительно образования конечных декартовых произведений (т. е. Л!ь М2еЖ влечет Mt ХМ2 е Ж).
Класс Ж моноидов называется многообразием, если Ж удовлетворяет условию (а) выше, а также условию
(Ь') Ж замкнут относительно образования произвольных декартовых произведений (т. е. если Mt е Ж для всех I е I, где / — произвольное множество, то П;е/Л1; е Ж^.
Все конечные моноиды из произвольного многообразия моноидов образуют псевдомногообразие). Класс всех групп не является многообразием моноидов (так как в бесконечных группах имеются подмоноиды, не являющиеся группами; например, № в Z), но класс всех конечных групп образует псевдомногообразие моноидов. Другие примеры будут приведены позже.
Для произвольного класса Ж моноидов обозначим через S (Ж) класс, состоящий из всех пар (А, Ж(А*)), характеризуемых условием: L ^Ж(А*), если и только если М^ЦеЖ. С другой стороны, для любого класса $ пар (Д, 2ДД*)) обозначим посредством Ж (S') наименьшее псевдомногообразие моноидов, содержащее все моноиды M^L), где ^^^(Д*). В обоих случаях А — произвольное конечное множество. Обозначив через
(Ж) псевдомногообразие, порожденное классом Ж, перепишем определения для 3 и Ж в виде формул
ЗкЖ^ = {(А, Ж(А*)): А—конечное множество}, где Ж(А*)= {LsA*: МЩеЖ};
Ж(2’)= <{M(L): Le2’(A*), (А, 3 (А*)) е ^}>.
Теорема 5.11 (Эйленберг [1976]). Формулы (5.10.1) и (5.10.2) определяют взаимно обратные биекции 3 и Ж между псевдомногообразиями конечных моноидов и потоками рациональных языков: 3 кЖкЗХ = 3 и Ж^З ^Ж^ = Ж для любого потока 3 рациональных языков и любого псевдомногообразия Ж конечных моноидов.
Формула (5.10.2) определяет псевдомногообразие Ж (S') в терминах порождающих его моноидов. Прежде чем доказывать теорему 5.11, установим одно характеристическое свойство всех моноидов МеЖ^) для произвольного потока 3 рациональных языков. Можно заметить, что если МкЦеЖкЗД где ЬеЗкВД, и К s А* — такой язык, что ЛЦК) делит M(L), то ДеЗкА*) в силу леммы 5.7 и определения потока языков. Поэтому представляется естественным ввести в рассмотрение следующий класс S)^) моноидов:
Фk3^ = {М: М конечен, и если L^A* и
М(Ц делит М, то Ае^А*)}.
Очевидно, класс ФкЗ) замкнут относительно образования фактормоноидов и подмоноидов. Более того, верна
Лемма 5.12. Для произвольного потока 3 рациональных языков класс ФкЗ), определенный формулой (5.11.1), является псевдомногообразием моноидов, которое совпадает с псевдомногообразием Ж\ЗД определенным формулой (5.10.2).
Доказательство, (а) Пусть Mb М2еФкЗ), и предположим, что M(L) делит М^ХМ2 для некоторого L^A*. По лемме 5.5 существуют 6: A*->Mi X М2 и Р г М\ X М2, такие, что 0-1(Р) = = L. Поскольку
Р- и [({mJ X М2) n (М, X {т2})], (mb /Я,) е Р
L можно выразить через 0-1({mJ X М2) и б-ЦАБ X {т2}), используя конечное число булевых операций. Но, например, Ц = = 6-'({mJ X М2) = (Л1 ° О)-1 ({mJ), где Л| — проекция Mi X М2 на Mi. Снова по лемме 5.5 M(Z,J делит Mi, и, поскольку Mt е ^ФкЗД получаем L\ еЗкЛД. Аналогично, Ь2=к)-ДМ\Хкт2^ лежит в 3{А*) и потому ЬгЗкАД. Следовательно, класс
S)(^) замкнут относительно конечных декартовых произведений и является псевдомногообразием.
Мы уже отмечали, что моноиды, порождающие Ж(д), лежат в S)^). Отсюда следует, что ^(5^)5 S)(57). Обратное включение вытекает из следующего шага, достаточно важного, чтобы выделить его.
Для любого моноида М существуют свободный моноид А* и сюръективный гомоморфизм ср: А*-^М. Положив Lm = =ф-*(т) для каждого шеМ, убедимся, что Кегф = Птем^ь • В самом деле, если ф(®,) = ф(®2), то для любого /и е М
uwxy е Lm -<=> ф (иау^) = т <=>- ф (иау2и) = tn -Ф=> uw2y е Lm.
Обратно, если (twb w2) G И m s м-^„п т0> в частности, (wb w2) е е^Ф(о>1)- Условие ItyJ е Лф^,) влечет lto2l G ^фМ, т. е. ф(ш2) = ф(®1). Следовательно, М изоморфен подпрямому произведению моноидов M(L^ — А*1Рьт (см. гл. 4, упр. 4). В случае МеЗ(3) из того, что M(Lm) делит М, вытекает Ue^lA*), откуда М ЕЖ(д). □
Доказательство теоремы 5.11. Из теоремы Клини и замечаний в конце § 3 следует, что для данного псевдомногообразия Ж конечных моноидов класс 3 (Ж) является потоком рациональных языков. Обратно, для произвольного класса <8 конечных моноидов — в частности, для синтаксических моноидов языков, принадлежащих рациональному потоку ^— существует наименьшее псевдомногообразие, содержащее ^, а именно — пересечение всех псевдомногообразий, содержащих *9. Поэтому 3 и Ж устанавливают соответствие между классами, указанными в теореме. Мы теперь должны показать, что 3 и Ж взаимно обратны.
g = 3{Ж{3}}. Если Ае^(Л*), то ясно, что М(£)е ЕЖ(д) (5.10.2). Отсюда следует, что L е3(Л(ду) (Л*). Обратно, если язык L^A* таков, что М(Ц)ЕЖ(д) = 3(g), то, поскольку M(L) делит сам себя, (5.11 Л) влечет LEg(A*).
Ж = Ж(3(Ж)). Включение Ж(3(Ж)) s Ж очевидно, так как псевдомногообразие Ж(3(Ж)) порождается синтаксическими моноидами М(Ь)еЖ. Обратно, покажем, что Ж г ^Ж(3(Ж)). Пусть Me Ж, а язык LeA* таков, что M(L) делит М. Тогда М(Ь)еЖ, откуда ЬеЖ(А*). В силу (5.10.1) имеем L е 3(Ж) (Л*), получая М е 3(3(Ж)) = Ж(3 (Ж)). □
Пункт (с) доказательства леммы 5.12 вместе с теоремой 5.11 дают
Следствие 5.13. Пусть Ж— псевдомногообразие конечных моноидов. Любой моноид Me Ж является подпрямым произведением синтаксических моноидов языков из потока 3? (Ж).
Мы закончим эту главу кратким обсуждением псевдомногообразий. Пусть X— свободный моноид на счетном алфавите X, a R—отношение на X*. Мы говорим, что моноид М удовлетворяет R, если для любого гомоморфизма ср: Х*-*М имеем ф(и) = = ср(у) для любой пары (и, u^eR. Интуитивно это означает, что при замене букв из X в любой паре (и, u^eR произвольными элементами из М всегда получается верное равенство между элементами из М. Обычно пары из R записываются в виде и — и, а про моноид М, удовлетворяющий R, говорят также, что он удовлетворяет тождествам и —у (для всех (и, у)е/?). Например, моноиды, удовлетворяющие тождеству ху = ух, называются коммутативными, а моноиды, удовлетворяющие тождеству xyzyx = yxzxy, называются 2-ступенно нильпотентными'). Почти непосредственно из определения 5.10 вытекает, что класс Ж^^ всех моноидов, удовлетворяющих множеству R тождеств, является многообразием моноидов. Обратное также верно: для любого многообразия Ж моноидов существует такое множество R тождеств, что Ж = Ж^ (упр. 11, 12). Это знаменитый результат, принадлежащий Биркгофу [1935] и справедливый для любой алгебраической структуры.
Чтобы охарактеризовать псевдомногообразия конечных моноидов, предположим, что нам задано линейно упорядоченное множество тождеств /?={(«/, у^еХ*ХХ*: iel}. Порядок, заданный на индексирующем множестве I, обозначается через <7. Моноид М финально (ultimately) удовлетворяет множеству R, если для любого гомоморфизма ср: Х*-^М существует такой индекс k el, что ф («>■) = ф(щ) для всех i ^ к. Записывая пары из R в виде Ui = и, для всех i е I, мы также говорим, что М удовлетворяет тождествам Ui=s=Oi для достаточно больших I. Как и выше, можно проверить — и это оставляется читателю в качестве упражнения, — что класс Жи^д всех моноидов, финально удовлетворяющих тождествам Ui = vi, / е /, является псевдомногообразием моноидов. Обратным утверждением для псевдомногообразий конечных моноидов служит следующий результат, принадлежащий Эйленбергу и Шютценберже [1976].
Предложение 5.14. Для любого псевдомногообразия Ж конечных моноидов существует множество R тождеств ui=vt, i е N, такое, что Ж = Жи^р
Хп-^-*МХп-^-*МДоказательство. Так как все моноиды из Ж конечны, их можно занумеровать: М^ М2Мп, ... . Для каждого «eN образуем моноид Рп = Мх X М2 X.... ХМп и обозначим через Rn множество всех выполняющихся в Рп тождеств над алфавитом Хп, состоящим из первых п букв алфавита X. По определению, рассматривая Rn как отношение на Х*п, имеем Rn = Пф Кег ср, где пересечение берется по конечному множеству всех гомоморфизмов ф: X*t->Pn. Отсюда следует, что X*n(Rn есть подпрямое произведение конечного числа конечных моноидов Х’/Кег ф (моноид Х’/Кегф конечен, будучи изоморфным подмоноиду в Рпу Поэтому моноид X*nlRn также конечен, и, в силу упр. 11 из гл. 1, существует конечное подмножество R'n из Rn, такое, что (Хп; Rn) и (Хп; R'^ суть эквивалентные копредставления моноида X*njRn. Положим /?=U”=,i^n и убедимся, что Ж = = Жи(Д}. Если М еЖ, то существует такое к, что М делит Рп для всех п ^ к; следовательно, М удовлетворяет тождествам из R'n для всех п ^ к, т. е. МеЖи^Р). Обратно, если конечный моноид М удовлетворяет R'n для всех п ^ к, то, взяв п ^ ^max(^, cardM) и произвольный сюръективный гомоморфизм 0: Х‘п^М, получим 0(и) = 0(и) для любой пары (и, и) еR'n, Поэтому ^^Кегб, и диаграмма
Хп-^-*М
Хп-^-*М
(5.14.1)
может быть дополнена до коммутативной с помощью сюръективного гомоморфизма ф: X*nlR'n->M. Так как X*n,R'n дел.ит конечное произведение моноидов, делящих моноид Рп^Ж, мы имеем М еЖ, что и завершает доказательство равенства Ж = ЖифД.
О
Примеры 5.15. (а) Псевдомногообразие всех конечных групп можно определить тождествами xnt = 1 (здесь и в дальнейшем параметр п всегда пробегает N). Если группа G имеет порядок к, то для любого х е G выполняется х6 = 1 и, следовательно, хп1 = 1 для всех п ^ к. Обратно, любой моноид, удовлетворяющий тождеству х"1 = 1 для некоторого п, есть группа.
Псевдомногообразие всех конечных моноидов с тривиальными подгруппами (т. е. комбинаторных конечных моноидов) определяется тождествами хП11 = х’1.
Все конечные клиффордовы моноиды образуют псевдомногообразие, определяемое тождествами x1+,il = х. Доказательство аналогично доказательству примера (а).
Псевдомногообразие конечных моноидов, финально удовлетворяющих тождествам (ху)" х = (ху)", состоит из всех конечных моноидов, на которых гриновское отношение 5? совпадает с равенством. В самом деле, для любых х, уеМ имеем (ху)п(ху)п = (ху)п для некоторого м и, следовательно, ^хуУх91^ху^п, откуда — если б? совпадает с равенством — (ху)пх = (ху)п. Обратно, если (ху)пх = (ху)п, то х%у влечет х = у и, у = хи и, значит, х — xvu — x(vu)n = х(ви)'1е = xv — у.
Следующее предложение обобщает пример 5.15(b). Оно принадлежит Шютценберже [1965с].
Предложение 5.16. Пусть S— псевдомногообразие групп, а Жк^)— класс всех конечных моноидов, подгруппы которых принадлежат S. Тогда Ж^)— псевдомногообразие моноидов; оно называется псевдомногообразием, индуцированным S.
Доказательство. Если М еЖ(5) и М'— подмоноид из М, то любая подгруппа из М' есть подгруппа из М, откуда М' е Ж(5). Аналогично, если М = Mi X АЬ, где Мь МггЖ(Э), то любая подгруппа Н из М имеет в качестве единичного элемента пару (вь ег), где ех = ех е Мх и е^ = е2 е М2. Поэтому Н — подгруппа в НхХН1, где Hi — максимальная подгруппа из Mt, единицей в которой служит ei (i — 1, 2). Отсюда следует, что Н eS и М еД$). Наконец, предположим, что М еЖ($) и М'=ф(М) для некоторого гомоморфизма ср. Пусть Н' — подгруппа из М', е' — единица в Н' и К = ф~1(Н/). Так как моноид М конечен, К — конечная подполугруппа в М. Мы утверждаем, что для произвольного идемпотента е из минимального идеала полугруппы К выполняется ф(еАе) = Н'. В самом деле, ср (еKe) s Н'; далее, для любого zeH' существует такой х е К, что ф (х) = z; отсюда следует,-что ф(ехе) = ф(е)2ф(е) = e'ze' = z, т. е. z е ср(еКе), и тем самым получаем tp(eKe) = Н'. Заметим теперь, что множество eKe = еК(\Ке является J^-классом идемпотента е в К и, следовательно, подгруппой из КеМ. Поскольку Н'— факторгруппа этой подгруппы, мы выводим Н't=S и М'ееЖ^). □
Налагая условие принадлежности максимальных подгрупп некоторому псевдомногообразию групп, мы получаем дальнейшие примеры псевдомногообразий моноидов: конечные моноиды с абелевыми подгруппами, с нильпотентными подгруппами, с разрешимыми подгруппами и т. д.
Замечание 5.17. Все результаты этого параграфа относятся к категории моноидов. С соответствующими изменениями они оказываются справедливыми и в категории полугрупп. Синтаксический моноид М^Ц языка LsA заменяется синтаксической полугруппой S (Z.) языка L s Л+. Она определяется как фактор- полугруппа полугруппы Л+ по конгруэнции
cL — {(tyb w2')eA+XA+: uwvu g L, если и только
если uw2u е L для всех и, и г Л*}.
Аналог теоремы 5.11 утверждает существование биекции между псевдомногообразиями конечных полугрупп и потоками рациональных языков из свободных полугрупп. Примером потока языков, для которых различие между синтаксическими моноидами и синтаксическими полугруппами представляет определенный интерес, служит класс локально тестируемых языков (гл. 7, определение 1.9).
Библиографические замечания
Первое систематическое изложение теории автоматов принадлежит Рабину и Скотту [1959]. Публикация сборника «Automata Studies» (под ред. Шеннона и Маккарти [1956]) была, быть может, первым сигналом появления теории автоматов и ее ответвлений в известном нам сегодня виде. Впоследствии во многих книгах излагались различные аспекты этой теории; см., например, В. М. Глушков [1961], Гилл [1962], С. Гинзбург [1962], Харрисон И, Бут [1967], Нельсон [1968], Арбиб [1969], Саломаа [1969], Старке , Эйленберг [1974] *).
Главные эквивалентности были введены Дюбреем [1941] для изучения гомоморфизмов полугрупп на группы (тот факт, что PL — наибольшая конгруэнция, для которой L является объединением классов, принадлежит Тесье [1951]). Важность этих эквивалентностей в теории автоматов была понята Майхиллом [1957] и Нероудом [1958]. Доказательство теоремы Клини стало более или менее стандартным после статьи Мак-Нотона и Ямады [1960]. Систематическое изучение кодов было начато Шютценберже [1956], и большинство результатов в § 4 принадлежит ему (см. Нива [1966]). В изложении теоремы Эйленберга мы следуем Сакаровичу [1976]. Многообразиям полугрупп посвящено большое число статен; обзорная статья Эванса [1971] содержит дальнейшие ссылки по этой теме2). Весьма полное изложение теории многообразий и квазимногообразий алгебраических систем можно найти в книге А. И. Мальцева [1970]. О многообразиях см. также в книге Кона [1965].
Упражнения
Пусть L — язык, распознаваемый Л*-автоматом с п состояниями.
L Ф 0 тогда и только тогда, когда существует такое слово w е L, что Z (zy) < п.
Если w е L и Z(ty) ^ п, то существуют Ui, и2еА*, v е А+, такие, что w = utvu2 и uio'uz е L для любого Z е №.
(Рабин, Скотт [1959].)
Язык L е А* распознаваем тогда и только тогда, когда на А* существует левая конгруэнция X, такая, что L есть объединение некоторых Х-клас- сов. Если L распознаваем, то зеркальный язык L= (anan-i... ага\ е А*: ахйг... а^ап е £} тоже распознаваем.
Следующие языки нераспознаваемы:
L = {an2: п>»У
L = {ар: р — простое число};
L = (а"б": п > О}:
£ = {а"2-|6: п > о}.
Любой язык L s А* распознается некоторым Л*-автоматом (не обязательно конечным).
Для следующих языков L над А найти минимальный автомат Я(£) и синтаксический моноид М^Ц (в зависимости от случая можно вычислить непосредственно классы отношения Р^ либо найти какой-нибудь — быть может, недетерминированный — А*-автомат, распознающий L, и минимизировать его):
(а) (Ь) (с) (d) (е) (f) (g) (h)(а) (Ь) (с) (d) (е) (f) (g) (h)L= {a};
(а) (Ь) (с) (d) (е) (f) (g) (h)
(а) (Ь) (с) (d) (е) (f) (g) (h)
L=W,
L = {щ}, где щ e A*;
L = A*aA*;
tnA*-
L = аЛ*’и A*a;
L = A*aA* U bA*;
L = A {a}*;
L = (a{6}*aU {6})*a{6}*.
Для каждого из предыдущих языков L написать систему линейных уравнений, допускающую L в качестве носителя одной из компонент решения.
Префиксный код С= Un>oaRbAn над алфавитом А= {а, Ь} не является рациональным кодом. Для произвольного распределения вероятностей л на Л выяснить, будет ли событие (С*, л) возвратным или невозвратным. Вычислить производящие функции Ue« (s), и с (s) и среднюю длину события (С, л).
Регулярным выражением над алфавитом А называется слово над алфавитом Ли {+, *, 0, (,)}, полученное из AU0 конечным числом (возможно, равным нулю) применений следующего правила: если а и Р — регулярные выражения над Л, то (a + Р), (аР) и а* — регулярные выражения над А. В частности, а, 0, (а + 6) * для а, 6 е Л суть регулярные выражения. Пусть jос.| обозначает язык, определяемый регулярным выражением а, т.е. ]0| = 0, |а| = {а}, |(« + Р)| = (|а| II ipf), I («Р) | = (|а| • |В|) |а*| = |а|*. Найти примеры, показывающие, что отображение ai—>|a| не инъективно. Итерационная высота1) А(а) регулярного выражения а определяется следующим образом: /г(а) = /г(0) = 0, й(а + Р) =/г(«Р) =тах[/г(а), /г(Р)},
ft (а*) = ft (а) + 1. Для распознаваемого языка L е А* определим его итерационную высоту ft(L) формулой ft(L) = min[ft(a): |a| = Ц. Язык, заданный выражением (а*6)*, имеет итерационную высоту 1. Языки Lt, Li, L3, L,„ ... над алфавитом А = {а, 6}, определяемые регулярными выражениями af = = (aft)*, a2 = (a2aift2ai)*, а3 = (а4а264а2)*. а4 = (а8аз68а3)*, ..., имеют итерационные высоты 1, 2, 3, 4(Эгган [1963], Саломаа [1969].)
Пусть Я(Е) = (S, /)—минимальный Д*-автомат, распознающий L, а M(,L)—синтаксический моноид языка L, Пара 7(7) = (5, АГ(£)) является /-моноидом в смысле гл. 4. Говорят, что /-моноид Т = (Q, АГ) распознает L, если существует гомоморфизм ф: Д*-*А1, такой, что Д*-авгомат 0= (Q, /), где {(.q, оу) = 9ф(ш), распознает L. Конечный /-моноид Т = (Q, АГ) распознает L тогда и только тогда, когда L распознаваем и I(Z.) делит L (Страу- бинг [1979]).
Исследовать {а}*-автоматы. Для языка L={a}* следующие условия равносильны:
L распознаваем;
существуют ft, Z е N, такие, что a" е L, если и только если ап+6 е L для любого п ^ I;
(c)L = {а6: кеЩ, где U.— конечное объединение арифметических прогрессий.
Множество U показателей распознаваемого языка Ls{a}* называется финально периодическим множеством натуральных чисел.
Подмножество L произвольного моноида М называется распознаваемым, если существует гомоморфизм ф: М -*■ М', где М' — конечный моноид, причем L = ф”1ф(£). Обозначим посредством Rec М класс всех распознаваемых подмножеств из М. Если АГ конечно порожден, то Rec АГ s Rat АГ. Однако существуют конечно порожденные моноиды Af, для которых Rec Af + Ф Rat Af (если взять в качестве АГ бесконечную группу, а в качестве L — конечное подмножество из АГ, то L ф Rec АГ).
Говорят, что класс Ж моноидов допускает свободный моноид F(Д) на множестве А, если существует пара (а, ГИ)), где а: Д-*/7(Д) —отображение, а 7(Д) еЖ, обладающая тем свойством, что для любого отображения ф: А -> АГ из А в моноид М е Ж существует моноидный гомоморфизм Ф: F(Д)—АГ, такой, что Ф ° а = ф. Если класс Ж непуст, замкнут относительно образования подмоноидов и произвольных декартовых произведений, то Ж допускает свободный моноид Г(Д) для любого множества А. (Чтобы доказать это, рассмотрим множество Г всех конгруэнций у на А*, для которых Д*/уЕ^. Образуем декартово произведение R”]^^^ /"V» определим естественным образом гомоморфизм а: А* -> Р и положим 7(Д) = а(Д*). Чтобы установить существование Ф: F(Д) -*■ АГ для данного ф: А-*М, рассмотрим в АГ подмоноид АГ', порожденный ф(Д). Диаграмма
где ф — сюръективный гомоморфизм, индуцированный ф, q — естественный гомоморфизм, ал — соответствующая проекция, может быть дополнена до коммутативной диаграммы с помощью Ф.)
Пусть Ж — произвольное многообразие моноидов (см определение 5.10), а ^ — многообразие, определяемое тождествами, которые выполняются на всех моноидах из Ж. Тогда Ж ^Ж. Обратно, если АГ е Ж, то существуют множество А и сюръективные гомоморфизмы ф: А*-*М, XF: Д*-»-/7^) (где 7(Д) — моноид, свободный в Ж; см. упр. 11), такие, что Ker XF е Кег ф. От
сюда вытекает существование гомоморфизма ^(Л) иа М, откуда М е Ж. Поэтому Ж = Ж, что доказывает теорему Биркгофа для моноидов.
Пусть Ж — псевдомногообразие конечных моноидов. Определим локализацию псевдомногообразия Ж как класс
е g S}.е g S}.1ДЖ^ = {S: S — конечная полугруппа, и eSe е Ж для любого идемпотента
е g S}.
е g S}.
Тогда А К#)—псевдомногообразие конечных полугрупп (Эйлснберг [1976]).
Конгруэнция р на полугруппе S называется вполне инвариантной, если (х, у) е р влечет (ф(х), ф(у)) ер для любого эндоморфизма ф полугруппы S. Для произвольного отношения R на S через R” обозначим наименьшую вполне инвариантную конгруэнцию, содержащую R. Полугруппа S тогда и только тогда принадлежит многообразию, определяемому отношением R на Х+, когда R’eRiS'), где R(S) —множество всех пар (и, у) еРХ^+, для которых и — и есть тождество, выполняющееся на S. Если ^i, S’2— многообразия, определяемые отношениями Ri, R2 на Х+, то 9\ s З^, если и только если Д" — ^?- Следовательно, имеется антиизоморфизм между решеткой вполне инвариантных конгруэнций на Х+ и решеткой многообразий полугрупп (Хауи [1976, гл. 4])).
Псевдомногообразие конечных моноидов, определяемое тождествами (хуУ‘х= (ху')" —у(ху')п, состоит- из всех конечных моноидов, на которых совпадает с равенством (см. гл. 7, лемма 1.7). Найти аналогичные характеризации псевдомногообразий моноидов или полугрупп, определяемых тождествами
ухп==хп;
хп^уп;
хп'у = хп\
хух = х;
х2 = х, xyz = xz;
х^ухп^ =2= хп';
xn'yznt =ь=хп'уп';
UmyT' - U^yY" хпЧ
(xyf' (yx)rt! (xyf’ ^ (xy)"1.
(Шютценберже [1976].)
7
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ЯЗЫКИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
ГРУППАМИ *)
Сравнение теоремы Клини с понятием потока языков приводит к следующему наблюдению: распознаваемые языки характеризуются с помощью двух операций (умножения и итерации), которые не представлены в определении потока языков. Однако в практических манипуляциях с языками возникает ряд проблем разрешения, связанных с этими операциями. Например, существует ли алгоритм, позволяющий для данного распознаваемого языка LsX* решить, можно ли получить L из конечных множеств без использования итерации (или, равносильно, имеет ли L нулевую итерационную высоту)? Положительный ответ на этот вопрос обеспечивается следующим утверждением: L тогда и только тогда принадлежит наименьшему классу языков, содержащему все конечные подмножества из Л* и замкнутому относительно булевых операций и образования произведений, когда синтаксический моноид M(L) языка L конечен и содержит лишь тривиальные подгруппы (Шютценберже [1965с]). Этот важный результат естественно приводит к следующим задачам.
Определить, какие подгруппы могут появиться в M^LW^, если М^Ц содержит лишь тривиальные подгруппы.
Охарактеризовать рациональные языки L, для которых все подгруппы из M(L) принадлежат данному псевдомногообразию конечных групп.
В первом параграфе этой главы мы излагаем упомянутый выше результат Шютценберже и его уточнение, касающееся кусочно тестируемых языков (Саймон [1975]). Мы также указываем, не приводя полного доказательства, характеризацию локально тестируемых языков L = Л+ (Закстайн [1972], Бжо- зовски и Саймон [1973], Мак-Нотон [1974]). В § 2 мы рассматриваем языки L, для которых все подгруппы в М(А) абелевы (Шютценберже [1974]). Такие языки характеризуются с помощью некоторых специальных префиксных кодов, несущих
«бремя» итераций. Это свидетельствует о том, что решение задач типа (Ь) зависит от возможности решения задачи (а). С другой стороны, в § 3 мы вводим еще одну операцию на языках, называемую й-сечением по модулю п, которая заменяет итерацию в характеризации языков L, для которых все подгруппы в М (L) разрешимы; характеризация получена Страубингом [1979].
Результаты этой главы имеют двоякий интерес. Они позволяют алгебраисту строить примеры моноидов из данного псевдомногообразия, рассматривая синтаксические моноиды языков из соответствующего потока. С другой стороны, они обеспечивают лингвиста алгоритмами для выявления языков, представляемых регулярными выражениями данного типа.
Апериодические языки
В гл. 6 мы определили понятие псевдомногообразия ^£(^) конечных моноидов, индуцированного псевдомногообразием групп ^. Теперь наше внимание будет _сфокусировано на соответствующих потоках языков ^(^) = ^(^С^)), где S’ определяется формулой (5.10.1) из гл. 6.
Определение 1.1. Поток S(^) всех рациональных языков L, таких, что все подгруппы синтаксического моноида M(L) лежат в псевдомногообразии групп 3, называется потоком, определяемым группами из 3. Произвольный поток типа S(^) для некоторого 3 называется потоком языков, определяемым группами. Поток ^({1}) называется потоком апериодических языков.
Мы будем говорить, что поток S’ языков замкнут относительно произведений (соответственно относительно итерации), если Li, Li^S’^A*) влечет LiL2 е 9?(А*') (соответственно Lg ^^(А*) влечет Lw eS(A*)) для любого алфавита А.
Предложение 1.2. Любой поток рациональных языков, определяемый группами, замкнут относительно произведений.
Доказательство этого предложения можно упростить, введя понятие булева произведения Mi°M2 двух моноидов Л4Ь М2.
в
Для произвольного подмножества Р декартова произведения Mi X М2 и элементов mi е Mi, m2 е М2 положим
mvP = ^mYrnv m^ е Mj X М2: (m], m2) G ^}>
Pm2 = {(m[, m2m2) e Mx X M2: (m\, m^ e P}.
Определим MV»M2 как множество Mi X^(Mi XM2)X M2 вме- в
сте co следующей операцией:
(mp p, m^m'p P', m^ = (rnvmv mYP'\jPtn2, m2m^.
Простое упражнение показывает, что (1.2.1) определяет ассоциативную операцию с тройкой (И, 0, 1г) в качестве единичного элемента (h, 12— единичные элементы из Мь М2 соответственно).
Лемма 1.3. Любая подгруппа булева произведения МХ°М2 в двух моноидов Мь М2 изоморфна некоторой подгруппе декартова произведения Mi X М2.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм 6: Мх» М2-^- МхХ В
ХМ2, определяемый формулой 0(ть Р, m2) = (mi, /и2). Любую подгруппу G из Mi°M2 с единицей (еь Е, е2) гомоморфизм 6 В
отображает на подгруппу из MiXM2, единицей которой является (еь е2), где ех, ег — идемпотенты из Мь М2 соответственно. Далее, любой элемент из G, отображаемый 6 на (еь е2), имеет вид (еь Р, вг) и удовлетворяет условиям
(еь Р, e2)(eb Е, e2) = (eb Е, е2)(ех, Р, е2) = (е1, Р, е2),
(eb Р, е2)(ех, Р', е2) = (еи Р', е2)(е„ Р, е2) =
= (в!, Е, е2) для некоторого Р' S МхХ М2.
Эти условия равносильны следующим:
evEUPe2 = evPUEe2 = P,
ехР'№2 = ехР^Р'е2 = Е.
Из того, что (еь Е, е2) есть идемпотент, выводим exE\jEe2 = Е. Вместе с (1.3.1)' и (1.3.2)' это дает Р = Е. Поэтому ядро сужения 0 на G сводится к {(еь Е, е2)}, т. е. 0 определяет вложение группы G в некоторую подгруппу из МхХМ2. □
Доказательство предложения 1.2. Пусть 9s— поток рациональных языков, определяемый группами, и Lx, Е2е9ЦА*). Обозначим через ф1 и ф2 синтаксические гомоморфизмы срщ А*-> ->M(LX), ф2: А* —>М(Е2)и рассмотрим моноид М =
= M^L^ ° М(А2). Определим ф: А*->М следующим образом. в
Для любого w е Л* положим
<p(ty) = (<pi(ty), {(ф1 («), q>2(f)): UU = ЙУ}, ф2(0У)).
Проверка равенства <p(nytw') = <p(tw)<p(w') сводится к сравнению множеств
L = {(<Р! (и), ф2 (и)): ии = ww'Y
R = (Ф1 (да) • {(ф1 (м), ф2 (и)): ио = да'}) U
U ({(Ф1 («), ф2(у)): «9 = да} • Ф2(да')).
Из равноделимости моноида А* (гл. 5, следствие 1.6) следует L — R. Если для zeA* выполняется ф(г)е ф(Е1Е2), то найдется такое слово и» е LXL2, что
{(фг(и), q>2(v)): ии = z) = {(фДи), Ф2(и)): uu = w).
В частности, существуют слова lv е Lx, l2 е L2, их, v2 е А*, удовлетворяющие равенствам w— hl2, ф1(М1) = ф1(/1), Фг(Уг) — ф2(/г) И ЩО2 = z.
Так как ф^ф, (Lz) = Lz для i=l, 2, мы имеем U\eL\ и U2 е L2. Следовательно, zeLvL2, откуда ф-'ф^Лг) = LXL2. В силу леммы 5.5 из гл. 6 моноид M(LiL2) делит М. Отсюда следует, что подгруппы из M(LiL2) суть гомоморфные образы подгрупп из М (см. упр. 1 в гл. 4 или доказательство предложения 5.16 в гл. 6). Поэтому, согласно лемме 1.3, эти подгруппы принадлежат псевдомногообразию групп, определяющему У. Следовательно, LXL2 е УДА*). □
Следствие 1.4. Поток апериодических языков замкнут относительно произведений.
Теорема 1.5 (Шютценберже [1965]). Пусть L г А*— рациональный язык. Следующие условия равносильны:
L принадлежит наименьшему классу подмножеств из А*, содержащему все конечные множества и замкнутому относительно объединений, дополнений и произведений;
все подгруппы синтаксического моноида M(L) тривиальны (г. е. L— апериодический язык).
Доказательство. То, что (а) влечет (Ь), вытекает из определения 5.9 потока языков, теоремы 5.11 из гл. 6 и сформулированного выше следствия 1.4'). Для доказательства того, что (Ь) влечет (а), обозначим через класс всех подмножеств из А*, описанный в (а), и покажем с помощью индукции по п справедливость для всех п следующего свойства Р(п): для любого гомоморфизма ф: А*->-М на комбинаторный моноид М порядка ^ п и для любого шеМ выполняется ф-1 (т) е ^.
Р(Д) истинно, так как для ф: А*->-{1} имеем <р— (1) = = А*, а А*— дополнение пустого множества.
Для элемента теМ положим W(m) — {х е М: пг^ ^МхА1}. Нетрудно проверить, что W^ш) является наибольшим идеалом в М, не содержащим ш (гл. 2, упр. 15). Допустим, что card F(m) ^ 2. Тогда рисовская факторполугруппа M/W^m) имеет порядок строго меньший, нежели М. Для любого ф: А*-*М
имеем ф-^т) = (% °<p)-1 (т), где % — каноническое отображение М на M/W(m). Применение к х°Ф индуктивного предположения показывает, что ф-1 (т) может быть получено из конечных подмножеств А с помощью булевых операций и умножения, т. е. ср-1(т)е^.
Покажем теперь, что Р(п) истинно для ф-1(0) в том случае, когда М содержит нуль 0. Если Ао = {a G А: ф(а) = 0}, то ясно, что A*AqA* s ф-1 (0). Пусть we А*— такое слово, что ф (w) = 0, причем w^A*AqA*, и пусть и — кратчайший делитель слова w, такой, что ф(н) = 0. Тогда обязательно /(м)^2, ибо при /(п) = 1 имеем иеА0 и w е А*А0А*, что противоречит исходному допущению. Поэтому u = atua2, где аи а^еА и по определению и будет ф(и)=р, где р^О. Покажем, что card ^(р) ^= 2. Если 1^(р) = {0}, то для любого zeM, г ф 0, будем иметь р е MzM, откуда следует, что р лежит в 0-мини- мальном идеале / из М. Так как ф(й1и)^0 и ф(иа2)^0 по определению и, мы имеем ф(а1У)2’ф(и), ф(оа2)^ф(у), откуда ф(а1иа2)^ф(о). Поскольку ф(а]оа2)= ф(п) = 0, получаем невозможное равенство ф(и) = р = 0. Следовательно, IF(p) строго содержит 0 и card W(p)^ 2. Мы показали, что
ф-1 (0) s А*А0А*и А’(у ад-1 (р)«2) Л\
где Up обозначает объединение конечного числа множеств вида а1ф-1(р)а2, для которых card IF(p) :> 2. Простая проверка показывает, что включение в (1.5.1) можно заменить равенством !). С учетом установленного в (В) применительно к ф—1 (р) это доказывает, что ф-1 (0) е ^.
(D) Заметим теперь, что для произвольного моноида М все подгруппы в М тривиальны тогда и только тогда, когда {т} = = (тМ ft Mm)\W(т) для любого теМ (гл. 2, упр. 15). Следовательно, в этом случае
ф-1 (т) = (ф-1 (тЛ4)П ф-1 (Мт))Хф-1 (№(m)J.
Покажем, что для любого теМ, т=А 1,
ф"1 (тМ) = ф"1 (тМ П W (т)) U (U Ф-1 (р) Ар^ А\
где Up обозначает объединение конечного числа множеств вида ф-‘(р)Ар, где W(m)e W(p) и Ар= (а еА: рц>(а)е тМ). Пусть weqr^mM). Если q>(w)eW(m), то даеф-'^МП IW(m)). Если ф(®)^ W(m), то meMq>(w)M. Следовательно, для У-классов и ^-классов элементов ф(®) и т мы имеем im^L,^ R^w^Rm. В силу конечности М предложение 3.7(d) из гл. 2 дает ф(ю)Йт. Пусть и — кратчайший левый делитель слова w, удовлетворяющий условию ср(и)%т. Если слово
и пусто, то ф(и)=1, а так как М конечен, 1Йщ влечет т=1. Поскольку мы предположили, что т#=1, получаем /(м)^ 1 и и = va для некоторого аеА. Рассматривая р = ф(и), мы видим, что pq> (а) = ср(и) е тМ и поэтому аеАр. Далее, для любого zeW^m) имеем m^MzM. Если р е MzM, то рф(а) = = <р(и)еМгМ и поэтому те MzM (так как ф(м)Йт), что невозможно. Следовательно, р^МгМ и zeW^p), откуда W^m^s SlW^pV Равенство W^m^=W^p^ не может выполняться, так как из него следовало бы т^р, а с учетом Rm ^ RP также т&р, что противоречит определению и. Это завершает доказательство того, что ф-^тМ) содержится в правой части (1.5.3). Обратное включение очевидно.
Переходя, наконец, к доказательству истинности Р^ в общем случае, возьмем произвольный комбинаторный моноид М порядка ^ п. Если для теМ выполняется card 117 (/и) ^ 2, то ф-1(т)е^ в силу (В). В случае cardIT(m)=l обозначим через х0 единственный элемент из W^m). Убедимся, что для любого уеМ справедливы равенства ухо = хоу = х0. Если, например, yiXo^^o для некоторого ухеМ, то ухх0 ^ W^m^ или т е Мухх^М s AfxoM, что противоречит условию т ^ МхаМ. Таким образом, Xq является нулем в М, хо= 0. В случае т^ 1 формула (1.5.3) принимает видф-1 (тМ) = ф""1 (0) U (UpT-1 (р) Ар) Л. В силу (С), а также пункта (В), применяемого к Ф~'(р), получаем ф-1 (тМ) е s^. То же самое справедливо для ф-ДМт) согласно формуле, двойственной к (1.5.3). Поэтому ф-1(т)е^ в силу (1.5.2). В случае т = 1 заметим, что 1Г(1) = Л1\{1}. Если М имеет порядок ^ 3, то card 1Г(1) ^ 2, и (В) показывает, что ф-Д!)^^. Если М = {0 1}, то ф-1(1) является дополнением к Ф-1(0)’ и в силу (С) мы также имеем ф-1(1)е^. Наконец, если W^m) пусто, формулы (1.5.2) и (1.5.3) непосредственно показывают, что ф-1(т)е^, и это завершает доказательство. □
Изложенное выше доказательство следует оригинальному доказательству Шютценберже. Оно отличается довольно сложным построением, поскольку вообще нелегко устанавливать свойства конечных моноидов, пользуясь индукцией по их порядку. В § 3 мы выведем теорему 1.5 из более общего результата о языках L, для которых подгруппы из М^Ц разрешимы. Поэтому читатель должен рассматривать приведенное выше доказательство как иллюстрацию техники, используемой в обращении с распознаваемыми языками и конечными моноидами. Сравнение этих двух доказательств иллюстрирует также мощь основной теоремы декомпозиции1).
Первый подкласс апериодических языков, который мы будем изучать, — это булево замыкание множества языков вида L — = А*ахА*а2 ... A*akA*, где аь а2, ..., щеЛ. Чтобы выяснить1), будет ли w принадлежать L, достаточно проверить, можно ли извлечь из w последовательность а^ а2, ..., ак. С целью дать еще одну характеризацию этих языков введем отношение <( на Л*, положив
и <( и, если и только если и есть последовательность,
извлекаемая из и,
т. е. существуют разложения и = щи2 ... «ъ и = Vi«iti2«2 •.. ... ubUkyw> где «ь м2, •••, Uk и vi, и2, ..., у к, иь-н— слова из Л*. Отношение X определяет на Л* частичный порядок. Для любого м^О определим отношение о(и) формулой
а(л) = {(«, ц)еЛ*Х^*: Для любого слова w е Л’, такого,
что l^^n, имеем ®<.и, если и только если w^vY
Рутинная проверка показывает, что о(ц)— конгруэнция на А* и что fit м2 влечет o(rt2) s a(ni).
Предложение 1.6. Для LeA* следующие условия равносильны;
L есть объединение классов конгруэнции а^ для некоторого п^О;
L принадлежит булеву замыканию множества языков вида S<axa2 ... ak) = А*ахА*а2 ... A*akA*, где ax, а2,..., акгА.
Такие L называются кусочно тестируемыми языками.
Доказательство. (Ь) влечет (а). Заметим, что любой язык, получаемый из других с помощью булевых операций, может быть выражен лишь в терминах объединений и дополнений. Кроме того, принимая во внимание тот факт, что классы конгруэнции o(rti) являются объединениями классов конгруэнции о(ц2) всякий раз, когда ni ^ п2, достаточно показать, что А*ахА*а2 ... A*afcA* есть объединение классов о^. Если ие г5(ащ2 ... аь^ и («, и)ео(&), то аха2 ... аь<и влечет 0102 ... a&^v, откуда ueS(oia2 ... а^. Это показывает, что S(oia2 ••• «^) есть объединение классов конгруэнции о(&).
влечет (Ь). Предположим, что L является классом конгруэнции о(п') для некоторого п ^ 0. Определим
L' = {дае Л*: I(да)^п и w-^u для любого m LYL" = {дае Л*: /(да)^п и ю^и для любого и е L).
Если и eL, то и е S(w) для всех w е L' и и^ S(w) для всех w Е L". Следовательно, L s Пш eV S (да) \ (J weL„S (ф). Обратно, допустим, что и е ПШе£'S (да) \ ишЕд"5 (да). Взяв ueL, убедимся, что (и, у)ео(п). В самом деле, если да <( и, где l^w^^n, то wsL': отсюда следует, что ueS^w-), или, равносильно, да <( у; если да <( у, то не может быть да < и; иначе было бы иеЗ(да), где да е L", что противоречит условию у ф UweL"S(i«)' Это показывает, что и г L, т. е. L =
Вычисляя синтаксические моноиды M(A*ab4*), M(A*atA*a2A*), ..., можно заметить, что во всех этих моноидах отношение ^ совпадает с равенством.
Лемма 1.7. Класс всех конечных моноидов, в которых гриновская эквивалентность / тривиальна, образует псевдомногообразие конечных моноидов, финально определяемое тождествами
Vxyyx = ^xyy = y\xyV.
Доказательство. Если М — конечный /'-тривиальный моноид, то для любых a, b е М существуют такие п, k^ 1, что ^ab^^a = (ab)n, а это можно записать в виде (ab)n(ab) (ab)6-1 = (ab)n. Отсюда вытекает (ab)naf (^ab^n и, следовательно, (_ab^rla = = (ab)n. Аналогично, из
(ab)*-1 (ab) (ab)n =(ab')n
следует Ь^аЬ^^^аЬ^^ что дает b(ab)n = (ab)n. Поэтому, если п достаточно велико, (ху^х— (ху')'1 = у^ху)п для любых х, уе е М. Обратно, пусть указанные тождества выполняются при п ^ п0. Из а^Ь вытекает, что a=rbs, b = uav для некоторых г, s, и, иеМ. Следовательно, a = (ru)a(vs)—{ru)na(vs)n для всех п ^ 0. Так как и(гм)п — (гм)" и (ys)"y — (ys)n при п ^ п0, получаем а = иаи = Ь, что означает /'-тривиальность моноида М. □
Следующая теорема показывает, что кусочно тестируемые языки образуют поток языков, синтаксические моноиды которых /"-тривиальны.
Теорема 1.8 (Саймон [1975]). Язык L кусочно тестируем тогда и только тогда, когда его синтаксический моноид M(L) f-тривиален.
Доказательство, (а) Допустим, что язык LeA* кусочно тестируем. Пусть <р: А*->-МЩ—синтаксический гомоморфизм, х, y^M{L), uecp-’(х), уеср-Цу). Заметим, что для любого п^О слова (uv^u, (uv)n, v(uv)n конгруэнтны по модулю о(п), поскольку любое слово да длины, не превосходящей п, которое извлекаемо из какого-либо слова (ии^и, (uv)*, v^uvY\
извлекаемо также из двух других. Так как L — объединение классов конгруэнции о (и) для некоторого п, синтаксическая конгруэнция, определяемая L, содержит о (/г). Это означает, что ф((цу)п«) — <p(uv)n = ф(у(ыу)'’) или (ху)лх = (ху)п = у(ху)п. По лемме 1.7 моноид М(Т) /"-тривиален.
Предположим, что ф: А*-^-М— гомоморфизм А* на конечный /"-тривиальный моноид порядка k. Мы покажем, что о (2k) = Ker ср. Отсюда будет следовать, что если L — объединение классов конгруэнции Кегф, то L — объединение классов конгруэнции a(2k), т. е. является кусочно тестируемым языком.
Шаг 1. Докажем, что для любых иеА*, а = А, таких, что (и, ua)ea(k), имеет место ф(и) —ф(«а). Это очевидно в случае k=\, ибо тогда М = {1}. Поэтому можно предположить, что k > 1 и и #=1. Для произвольного слова we А* обозначим посредством Aw множество букв, входящих в w, т. е. Aw = — (ае А: а <( w}. Пусть tii— кратчайший левый делитель слова и, для которого Аи = Аи,. Запишем и = ихих и обозначим через b последнюю букву в их. Ясно, что это вхождение b в И1 — единственное. Допустим, что У1 = 1, « — Н[. Тогда Ьа < и. Но Ьа^иа влечет ba-^и, так как (и, ua)eo(k) и k > 1. Это противоречие означает, что и = ихих, где У1 #= 1. Мы утверждаем, что (уц uxa)eo(k— 1). В самом деле, если w<^uxa, где l(w)^k— 1, то bw<(.ua, откуда bw-^a и поэтому w <( пр, обратно, из w «< уь где !(w) ^ k — 1, следует, очевидно, w «< иха, чем завершается доказательство того, что (уь иха)ео(к—1). Повторяя это рассуждение, мы приходим к следующей последовательности соотношений:
И = «1У1, У1=Ы2У2, ..., У»-2 =И*-1Уб-1, Ук-1 = Uk, где (уь uta)e o(k — 1), (у2, u2a)s a(k — 2),..., (uk-i,Uk-ia)e ео(1). Заметим, что AUfes AUfe_1 в ... ^AUj и что (Uk-i, ик-ха)ео(\) означает ае AHh. Рассмотрим последовательность ®о=1, W\ = U\, .. ., Wi=UxU2 ... Ui, ..., Wk = UXU2 ... Uk— и. Так как М имеет порядок k, существуют /, /, такие, что О ^ i < / ^ k и ф(ау() = ф(ш/). Для любого ceAUi+l существуют такие г, s е А*, что ицл = res. Отсюда вытекает, ЧТО ф (№,■)== ф(йУ(«;+1 . .. U1) = ^(wircs ... Uj). ПОЭТОМУ ф(йУ;) ?W(w)?^(wtrc), откуда (в силу /"-тривиальности М) следует ф(йУ/)= ф(йУ;г) — ф(йУ<гу) . Таким образом, для любого с е АЦ;+1 имеем ф(а)/)= ф(гу,с). Из включений ^«к Е ^“к-1 — • • ■ — ^«ц.х вытекает, что 4>(wi) = ф(и) = ^(Wid) = ф(иа).
Шаг 2. Покажем, что для любых и, v^A*, а^А условие (ии, иаи)е o(2k) влечет ф(«у) = ф(гшу). Пусть р (соответственно р') обозначает наибольшее целое число, такое, что (и, иа)ео(р) (соответственно (и, ау)ео(р')). По определе-
нию р (соответственно р') существует слово s е Л* длины р (соответственно слово s' еЛ* длины р'), такое, что s X ы> но sa < и (соответственно s' X и, но as'< v). Мы имеем sets' X <^иаи, но sets' < uv. Отсюда вытекает, что lisas') > 26 и поэтому р + р' 26. Следовательно, р^ к или р' ^ k. В силу шага 1 неравенство p^k дает ф(ц) = ф(ця), а в силу двойственного утверждения р' ^ k дает ф(и)=ф(яц). В обоих случаях ф(ии)= ф(иаи).
Шаг 3. Определим на А* отношение
р = {(су 1, W2) е А* X A*: wi = uav, w2 = uv
для некоторых и, чеЛ*, аеА).
Положим т(т)=р(]а(т), а транзитивное замыкание этого отношения обозначим через т(т). Докажем утверждение: (шь ау2) е а(т) тогда и. только тогда, когда ащ = ау2 либо существует zeA*, для которого (г, йУ1)ет(т) и (z, ау2)ет(т). Поскольку f(m)s о(т), утверждение «тогда» очевидно. Предположим, что (ащ, ау2)Ео(т), и пусть и— длиннейший общий левый делитель слов wx и w^. Мы проведем индукцию по % = = l(wi) + /(ау2)— 2/(и). Если % = 0, то Wi = w2. Если % > 0, то либо (1) Wi = uavx, w2 = ubu2, где a, b sA, vi, и2 г А* и а =£ Ь, либо (2) wx = uavx, w2 = u, либо (3) wx = u, W2 = ubv2. Рассмотрим эти три случая.
Случай 1. Покажем, что (ау2, ибащ)ео(т) или (wi, uabv2)e ео^тУ Пусть р, q, р', q' будут наибольшими целыми числами, обладающими свойствами (и, иб)ео(р), (и, ua^eo^qy (аих, bavx)e а(р'), (bv2, abv2)e a(q'y Мы утверждаем, что если р 4- р' ^ т, то (ubavx, uavx)^ с(тУ В самом деле, допустим, что w X ubavi, где Ц™)^т. Тогда w = w'w", где w'^,ub и w" X aui. Если Цад'^^р, то w' X и и поэтому w X uavx. Если же l(w')> р и w' = w'"b, где w'"-^и, то bw" <^bavx, причем l{bw")^p' (так как /(йу')> Р и l(w'w"') ^ т ^ р + р', обязательно Цц)"^ < р'У Отсюда следует, что bw” <^av\ и поэтому w = w'"bw" X uavi. Это показывает, что (ubavi, uav^^a^m) и (ау2, иЬаи^^е о(тУ В случае qA-q'^m аналогичное доказательство устанавливает тот факт, что (ayb uabv2)^ о^тУ Остается доказать невозможность одновременного выполнения неравенств р + р' < т и q + q' < т. Допустим противное и предположим, например, что q' ^ р'. По определению чисел р, q, р', q' существуют слова s е Ар, t е Д'7, s' е Ар', t' е А4' со следующими свойствами:
s-^uи sb < и;t<_uи ta X Щ
s' Xayiиbs' X ауьt'<.bv2иat' X bv2'
Учитывая, что V <( Ьи2, обозначим через /j длиннейший правый делитель слова t', такой, что /[ <( f2. (Заметим, что либо t'= = bt'v либо t' = t\.^ Тогда sbt'x<^ubv2 и I (sbQ ^ р + 1 + ч' ^ <р+1+/^т. Отсюда следует, что sbt'x-<Kuauv и свойство слова s дает bf.-<auv Поскольку t'= bt'x или t' = t'x, получаем t' <( Уь Из этого выводим tat' <( иаи^, где l(tat') — q + 1 + q' ^ ^ т. Но tat' < ubu2 в силу свойств слов t и t'. Это противоречит условию (uaui, ubo2)e о(т).
Случаи 2 и 3. В случае 2 мы имеем Ц^иЦео^т), а в случае 3 имеем (w2, ub)^o(m).
Во всех случаях можно найти такое слово у е А*, что для 1=1 или i = 2 будем иметь (wi, у) е о(т) и /(оц) + Цу) — — 2Ци) < l(wt)A- l\w2) — 2Ци). Если в случае 1, например, (®ь uabv2) g и(т), то возьмем у = uabv2. Из предположения индукции следует существование такого zeA*, что (z, uabu2)e e=t(m), (z, ш,)ет(т). Но (uabu2, ubv2)e р П о(т) = т(т), откуда (z, zy2)et(m). Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Шаг 4. Допустим, что (ац, w2)e сЦ2к) и Wi = w2. В силу шага 3 существует такое zeA*, что (z, twi)e т(2&), (z, w2)e ет(26). Поскольку т(2й) есть транзитивное замыкание отношения рПо(2й), мы имеем ф(г) = ф(йУ!) = ф(®2) согласно шагу 2. Этим заканчивается доказательство включения o(2^)s s Кег ф. □
Еще один интересный класс апериодических языков составляют локально тестируемые языки, введенные Мак-Нотоном и Пейпертом [1971].
Определение 1.9. (а) Для любого положительного целого & и любого слова ау@Л+, такого, что /(аа)^^, обозначим через ЬЦт) (соответственно Rfe(w)) левый (соответственно правый) делитель слова w длины k и определим ЬЦо) формулой
1Цгв) = {w' е А+: w — uw'v для некоторых и, и а А+ и I (w') -= /г}-
Язык LcA+ называется строго к-тестируемим, если существуют конечные подмножества X, У, Z из А*, такие, что
^шеАЦ w®L и Цхи)^ к\ =
= ^w@A+: Lfe(w)@X, Rk(w)^Y, ЦЦ^с^.
Язык из булева замыкания множества строго ^-тестируемых языков называется к-тестируемым.
Язык L s А+ называется локально тестируемым, если он ^-тестируем для некоторого положительного целого к.
8 Зак. 474
Например, все слова над алфавитом А = {а, 6}, начинающиеся словом аа, заканчивающиеся словом ab и не имеющие внутренних вхождений слова bb, образуют строго 2-тестируемый язык (здесь X = {аа}, У = {аЬ}, Z = {аа, ab, Ьа}).
Следующая теорема дает метод для решения вопроса, является ли язык L s Д+ локально тестируемым.
Теорема 1.10. Язык L^~A+ локально тестируем тогда и только тогда, когда его синтаксическая полугруппа S (L) конечна, и для любого идемпотента ее5(Ц моноид eS(L)e является полурешеткой.
Легкое упражнение показывает, что класс всех конечных полугрупп S, обладающих тем свойством, что eSe есть полурешетка для любого идемпотента geS, образует псевдомногообразие полугрупп. Из замечания 5.17 в гл. 6 следует, что локально тестируемые языки составляют поток полугрупповых языков. Имеются два различных доказательства теоремы 1.10, оба длинные и трудные. Доказательство Бжозовского и Саймона [1973] использует технику автоматных декомпозиций, тогда как доказательство Мак-Нотона [1974] чисто комбинаторное. Мы наметим доказательство теоремы 1.10, следуя Закстайну [1972, 1973], опустив при этом лишь доказательство наиболее трудной леммы.
Лемма 1.10.1. Отношение т^ на А+, определяемое условием: (да, да') е Тб, если и только если w — w' либо
Hw)>Hw)>k, l^w'^^kk, l^w'^^kииRk^ = Rk^Y- 7fe(®) = 4(®')>Rk^ = Rk^Y- 7fe(®) = 4(®')>
Hw)>
Hw)>
k, l^w'^^k
k, l^w'^^k
и
и
Rk^ = Rk^Y
- 7fe(®) = 4(®')>
Rk^ = Rk^Y
- 7fe(®) = 4(®')>
является конгруэнцией, а язык L ^ А+ тогда и только тогда k-тестируем, когда L есть объединение классов конгруэнции т».
Доказательство. Тот факт, что та— конгруэнция, почти очевиден. Классы слов длины к одноэлементны, а классы слов w длины ■> к характеризуются множествами R^w), Lk(w), Ikk.wY Поэтому любой класс отношения т* строго ^-тестируем, а произвольное объединение классов ^-тестируемо. Заметим, что к ^ I влечет tz S та. Поэтому ^-тестируемый язык L будет /-тестируем для любого I к. □
Полугруппу S будем называть к-тестируемой, если в S любые два произведения х^г ... х™, У\Уг ... Уп, где пг, п ^ к, совпадают всякий раз, когда слова w = х^х2 ... хт, w'— ущ2. .уп в свободной полугруппе S+ удовлетворяют условию (да, да')етА.
Лемма 1.10.2. Факторполугруппа АА /тц к-тестируема.
Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.
Лемма 1.10.3. Класс h-тестируемых полугрупп образует псевдомногообразие полугрупп').
Доказательство. Произвольная подполугруппа ^-тестируемой полугруппы, очевидно, ^-тестируема. То же самое справедливо для конечных декартовых произведений ^-тестируемых полугрупп. Пусть ф: S->-S— сюръективный гомоморфизм, а хь х2,... ..., хт, ух, У2, ...,_yn^S— такие элементы, что (xix2 хт, У1У2 ■•■ y^GTh в S+, причем т, n^k. Выбирая для каждого seS один элемент seS, такой, что ф(з) —s, мы получим (xix2 ... хт, У\У2 ... y^ett в S+. Если 3 ^-тестируема, то это дает Х]Х2 ... хт = yty2 ... уп, откуда Х]Х2 ... хт = = ф(Х1)ф(Х2) . .. ф(хт) = ф(У1)ф(у2) . .. ф(Ул) = У1У2 ... Уп, что доказывает ^-тестируемость 5. □
Лемма 1.10.4. Язык LsA+ локально тестируем тогда и только тогда, когда его синтаксическая полугруппа S(L) конечна и к-тестируема для некоторого положительного целого к).
Доказательство. Если язык L локально тестируем, то по лемме 1.10.1 он является объединением классов некоторой конгруэнции тд, а полугруппа Л+/та ^-тестируема по лемме 1.10.2. Так как 3(Т) — гомоморфный образ полугруппы A+/-tk, ^-тестируемость S(L) следует из леммы 1.10.3. Обратно, предположим, что S(L) ^-тестируема, и пусть a: A+^-S(L) — синтаксический гомоморфизм. Для любых двух слов wt — a^a^ ... aim, w2 = —аца/2 • • • сцп из А+, таких, что (wt, w2)s тк, слова
о (а^ о (aQ ...а ^^ и о (а^ а^ ...о (а^
в S(L) + конгруэнтны по модулю та. Отсюда следует, что <т(аг1а<2 ... oim) = о (о/о/2 - ..а!п\ Поэтому ТА = Кег<т, т. е. L есть объединение классов конгруэнции тк. По лемме 1.10.1 язык L ^-тестируем, а следовательно, локально тестируем. □
*) В действительности этот класс является даже многообразием: он замкнут не только относительно конечных (что отмечено в доказательстве леммы) , но и относительно любых декартовых произведений. — Прим. ред.
Лемма 1.10.5. Если полугруппа S k-тестируема для некоторого положительного целого к, то для любого идемпотента eeS моноид eSe является полу решет кой.
Доказательство. Для произвольных х, у ^S рассмотрим слова ekxekyek, e^ye^xek из S1". Мы имеем "(е^хе^уе4, ekyekxek) е ец, откуда следует ехеуе — еуехе в S. Аналогично, tekxefexek, е^хе^етд влечет ехехе = ехе, чем завершается доказательство того, что eSe—полурешетка. □
Лемма 1.10.6. Если S — такая конечная полугруппа, что eSe является полурешеткой для любого идемпотента е из S, то S k-тестируема для некоторого положительного целого к.
Это и есть тот трудный кусок в доказательстве теоремы 1.10, который мы опускаем. Отметим, что прямое алгебраическое доказательство следующей леммы (принадлежащей Закстайиу [1973]) сделало бы возможным быстрое доказательство теоремы 1.10.
Лемма 1.10.7. Пусть S — конечная полугруппа. Следующие условия равносильны;
для любого идемпотента е е S моноид eSe есть полурешетка;
S делит декартово произведение S, X S2X • • • X Sm, где каждая полугруппа Si (l^i^m) есть либо идеальное расширение прямоугольной или 0-прямоугольной связки посредством нильпотентной полугруппы (S нильпотентна, если 3"={0} для некоторого п > 0), либо одна из полугрупп, заданных ко- представлениями
(х, у; х2 = х, уп+1 = уп, ху1х = х для всех i < п, хуп — 0),
(х, у; х2 = х, yn*v=yn, ху1х = х для всех i < п, у^х^О).
Единственное известное доказательство згой леммы основано на самой теореме 1.10. Нетрудно показать, что полугруппы St из условия (Ь) леммы 1.10.7 удовлетворяют условию (а). Имело бы смысл систематическое исследование класса всех конечных полугрупп, удовлетворяющих условию (а), с целью найти элементарное доказательство свойства (Ь). См., например, А. Н. Трахтман [1983°].
2. Языки, определяемые абелевыми группами
В этом параграфе мы изучим поток У^) всех рациональных языков L, для которых все подгруппы синтаксических моноидов М^Е) принадлежат фиксированному псевдомпогообра- зию % конечных абелевых групп. В качестве предварительного
шага мы рассмотрим те языки L, для которых МЩе^. Имея это в виду, напомним, что любая конечная абелева группа изоморфна декартову произведению циклических групп. Следовательно, псевдомногообразие 'F характеризуется множеством натуральных чисел:
jV(g') = {л е N: /г — порядок некоторой циклической
группы из ^J.
Далее, если мы хотим использовать булевы операции для описания языков из ^’(®’), достаточно найти языки типа ф~’(с), где ф — гомоморфизм А* на циклическую группу С е^, а с е С. В самом деле, если язык L^A* таков, что Л4(£)е^, то группа M(L) изоморфна С^СгХ ■•• X Сп, где С, — циклическая группа из ^ (1<г<л). Взяв проекции рс. МкЦ-^Ci и синтаксический гомоморфизм о: A*-^M^L), мы получим гомоморфизмы о, —р,оо из А* на Сц для любого gGM(L) будет o~l{g) = A^iO^pJg)). Так как L = \j g^a^a^kg), мы получим L в виде булевой комбинации языков ог1^), где с, = = Pi(g) есть элемент циклической группы. Сказанное можно уточнить еще больше:
Лемма 2.1. Пусть ср — гомоморфизм А* на циклическую группу С порядка п. Любой язык Ь = ц>~хкх^ есть булева комбинация языков
1Да, k)= {w ^ A*: da(w) s к (mod «)},
где а еЛ и 0 ^ к < п.
Доказательство. Допустим, что С порождается элементом с. Пусть А' = (аь а2, ат) —подмножество в А, состоящее из всех букв а, для которых ф(а)#=1. Предположим, что ф(а() = — ckl (l^i^m, 0 < kt < ri) и что х = сг для некоторого г, О ^ г -< и. Тогда /т
L = ф-1 (х) = 5 w е А*: У k£d0. (®) = г (mod л) ?. сt=l ‘)
Отсюда следует, что L = (J ( A?Li L («ь «z)), гДе пь п2, .... пт есть пг-ка целых чисел по модулю п, удовлетворяющих условию У £=1 k£n£ = r(mod п), а объединение берется по конечному множеству всех таких т-ок. □
Следствие 2.2. Пусть ^ — псевдомногообразие конечных абелевых групп, a N(&)—множество целых чисел, служащих порядками циклических групп из W. Синтаксический моноид языка LeA* тогда и только тогда лежит в ЧАД когда L принадлежит булеву замыканию множества языков вида L(a, k)={w^A*: dakw)s ^(mod л)}, где ае А, 0 s^; к < п и neNk,^.
Несмотря на некоторый самостоятельный интерес, следствие 2.2 не оказывает эффективной помощи в характеризации потоков языков, определяемых абелевыми группами. В силу предложения 1.2 поток S(^) замкнут относительно умножения-, поэтому разумно ожидать, что умножение появится в качестве основной операции в любой характеризации З’^').
Определение 2.3. Класс S подмножеств из Л* называется замкнутым относительно полиномиальных операций, если
Ве$ для любого подмножества В из А;
L\, L2 е $ влечет L\ U L2, LvL2 = $.
Для произвольного класса $ подмножеств из А* обозначим посредством PolS наименьший класс подмножеств, содержащий S и замкнутый относительно полиномиальных операций, и назовем PolS полиномиальным замыканием класса $.
Следующая лемма показывает, что языки Ее А*, для которых Л4(А)е®’, лежат в полиномиальном замыкании особого класса языков, порождаемых некоторыми префиксными кодами.
Лемма 2.4. Пусть ^ и N(^—такие же, как в следствии 2.2. Если синтаксический моноид языка Ес А* лежит в <6, го L е Pol S’, где $ состоит из всех конечных пересечений [T^W, а ^i — префиксный код вида Bt\j В^В^В'^1 1 для некоторого nt е N i^ и некоторого В{сД, В\ = А\В{, /=1, 2m.
Доказательство, (а) Можно предположить, что L = ср-1 (gY где ф: A*-*- G — гомоморфизм Л* на G е ^, и g — элемент из G. Покажем сначала, что As Pol {К}, где К=ф-1(е), а е— единица в G. Любое слово w е А* можно записать в виде
w = kxaxk2a2. • • ^n^n^n+i> где ку, к2, ..., кп^.х sК., а^, а2,..., апs А,
и kt — длиннейший левый делитель из К слова wi, такого, что w = кхахк2а2 ... ki-\at_xWi (т. е. кх—длиннейший левый делитель из К слова w = w\, к2 — длиннейший левый делитель из К такого слова w2, что w = kxaxw2, и т. д.). Заметим, что ф(®) = = ф(О1а2 • •■ апУ Кроме того, в силу определения слов kt, в G все элементы ф(ш), ф(а2а3 ••• (UY ф(а3 ... а^ф(«л) различны. Отсюда следует, что n<o(G) и L — J Ка^Да^ ... ... Ка1пК, где объединение берется по множеству всех слов aitai2 • - • ain длины п < о (G) и таких, что ф (azia;2 . .. ai^ = g. Это показывает, что L s Pol {К}.
Если ф: А*G — сюръективный гомоморфизм, то ф(Л)—множество образующих группы G, а для любого аеА элемент ф(ц) порождает циклическую подгруппу С из G, при-
чем С может оказаться одноэлементной группой. Пусть
А,= {аеА: ф(а) = ср Ct^e},
a Ci — подгруппа из G, порожденная элементом с, (Z = 1, 2, ... ./и). Определим гомоморфизмы 0: А’-^П^С, и ф: Щ^С^С, положив
0(ш) = (х1, х2, ..., хт), где Xi есть С(,
возведенный в степень У, ^а(ш)> а е At
Отображения 0 и ф сюръективны и ф = ф ° 0. Отсюда следует, что К = ф-1 (е) = 0~* (Кег ф) и в силу части (а) доказательства К е Ро1{0~* (е')}, где е' обозначает единицу группы П,_, С/. Но 0-1 (е0 = П;_[ 9Г* (е)> где 9i = pi°9, a pt—проекция П7=1 Ci на Ср Следовательно, К s Pol {ПTLXH и мы имеем 0^ (Л,) = {с,}, 0^5,) = {е}, где Bi — А\А/. Заметим, что 0f‘ (е) = |&уе А*: ХаеЛ da(w)^0(modnz)j, где Hi — порядок группы Ср Множеством образующих подмоноида 0Г1 (е) из А* служит бипрефиксный код Pt = Bt U A, (B*AZ)";-1. Поэтому Д'е е Pol S’, roeS = {D7=i^}- □
В следующих двух леммах и следствии мы изучим последовательно языки, синтаксические моноиды которых являются простыми слева полугруппами с присоединенной единицей и циклическими моноидами. Мотивы такого выбора объясняются леммой 2.7.
Лемма 2.5. Пусть LsA*— язык, синтаксический моноид МДД которого есть S1, где S — конечная простая слева полугруппа. Тогда L е Poll?, где класс 9 состоит из всех языков вида В* для В г А и всех языков из А*, синтаксические моноиды которых лежат в псевдомногообразии групп, порожденном максимальной подгруппой из S.
Доказательство. Пусть a: A^-^-S1— сюръективный гомоморфизм. Лемму достаточно доказать для языков L, являющихся прообразами одноэлементных множеств, т. е. В —о-1(х), xeS1. Полугруппа S, будучи простой слева и, значит, S’-классом, является дизъюнктным объединением групп, изоморфных некоторой группе G. Запишем S=UxeA^x с умножением gxhy.=(_gh')x для любых g, he G (gx обозначает элемент из Gx, соответствующий элементу geGY Положив В=^ЬеА- q^ = \y мы будем, очевидно, иметь o(w)=l, если и только
если w е В*, что избавляет нас от забот в случае L — о"*(1). В случае же L = сН (хх) для некоторого хх е Gx определим гомоморфизм у: A*-^Gx следующим образом:
Y(B) = {eJ, где ^ — единица в Gx,
а для любого а е В' = А\.В
tW^gx, гДе g ^ 6— такой элемент, что о(а)= g^.
Поскольку о сюръективен, то же самое справедливо для у. Определим тх: S'-^Gx, положив
Тх(1) = ех, Tjgu) = gx для любых geG, ц е Л;
тогда у = тх ° о. Пусть подмножество F г Gx определяется формулой
F = lgxe Gx" aW = gk, где а— первая буква некоторого слова
weL, такая, что а («)#=!}.
Мы утверждаем, что
(2.5Л) L = В* Q U р (о-* ^ П Л) у- (£-- (О)).
Если w е L, то w = woawx, где w0 е.В*, а еВ' и о(а) = gx. Далее, из o(w) = о(а)о(о>1) следует ^x = ^a.o(®i), откуда хк = = §хтх° (wi) = gx^^y а это означает, что m, е V”1 (g'x’^х)- Обратно, для Wo, a, wlt обладающих указанными выше свойствами, мы имеем о (гУуШУ,) = о (ш0) а (а) a (wj = gxgk'xK = хх- Поскольку синтаксические моноиды языков V^gx1^) являются факторгруппами групп Gx, выражение (2.5.1) для L показывает, что L е Pol ^, и это завершает доказательство. □
Обратимся теперь к случаю, когда моноид М^Ц — циклический.-
Лемма 2.6. Пусть язык L^A* имеет циклический синтаксический моноид М (L) = <с; ст = ст+г\ Допустим, что синтаксический гомоморфизм о: A*-+M(L) удовлетворяет условию: о(а) = 1 для любого а е В Е А и о(а) = с для любого ае В' = = А\В. Тогда L s Pol Sb, еде Sb состоит из языков Р* для
р = в и р = вивдв*в'у-\
Доказательство. Если к < пг, то о-х(,ск^ = ^В*В'ув*, откуда о-1 (с'') еРо1{В*}. Если к^пг, то о-1(сй) = (В*В/)^*((В*В/)гВ*)*. Множитель (В*В'У в этом выражении для o-'(cft) лежит в Pol {В*}, а оставшийся множитель является итерацией языка В U ВДВ*В'У~Х. Мы снова получаем o-I(c*)ePol Sb. Поскольку L — объединение множеств вида (тЦсьу лемма доказана. О
Следствие 2.6.1. Пусть синтаксический моноид M(L) языка LeA* циклический. Тогда L лежит в булевом замыкании семейства языков из PoXS'b, Be А, где 3? в— такие же, как в лемме 2.6.
Доказательство. Пусть А = {«i, «2, .. •, «и} и о: А* -»- М (L) = = <с; ст = ст+'} — синтаксический гомоморфизм. Определим для каждого г, 1 ^ i ^ п, гомоморфизм ar. A*-^-M(L) формулой
( с, если / = I,
!( 1, если ]#=t.
Допустим, что а (а^ = ск 1, где 0 ^ kt < m + г, 1^г^». Тогда для любого к, 0 ^ k < т + г,
о"1 (/) = и [оГ1 (с91) л о^1 (с92) Q . . . Л On 1 (с9")], где объединение берется по всем последовательностям неотрицательных целых чисел qi, qi,..., qn, таким, что q\k\ + q^kt + ... ... A" qnkn = к. Согласно лемме 2.6, каждый язык сДх (У1) лежит в некотором РоХ^в, Be А; поэтому L принадлежит булеву замыканию языков из РоХ^в, В е А. О
Следующая лемма уточняет предложение 2.5 из гл. 4. Она показывает, что если М не является ни циклическим моноидом, ни простой слева полугруппой с присоединенной единицей, то всегда для произвольного порождающего М множества А можно найти собственные подмоноиды Р и Q, где Р = МВ'У {е}, a Q порождается множеством В = А\В' (из предложения 2.5 в гл. 4 существование таких собственных подмоноидов вытекает лишь тогда, когда А — минимальное множество образующих; см. доказательство теоремы 3.1).
Лемма 2.7. Пусть LeA*— рациональный язык, а: А*-^- ->M(L)—синтаксический гомоморфизм. Тогда имеет место один из следующих случаев1.
Случай 1. М^Ц— циклический моноид;
Случай 2. M(L)= Si, где S — простая слева полугруппа;
Случай 3. Существует собственное разбиение множества А на два подмножества В и В', таких, что а(В*В')* и о (В*) — собственные подмоноиды в Al(Z-).
Доказательство. Всюду в этом доказательстве мы пишем М вместо М(Ц. Пусть В = {о е А: 1 е о(А*аД*)}. Для любого а^В имеем сДа^Х в М. Из конечности М следует o(cz)^l (см. гл. 2, упр. 9) и, следовательно, элемент о(а) обратим. Обратно, если а(я) обратим, то а е В, т. е. о(ВД— группа обратимых элементов из М. Если В = А, то M — G = G1, где G — группа, и мы приходим к случаю 2. Если В Д= А и В #= 0, то В и В' = А\В определяют собственное разбиение множества А.
Для любого b е В элеменг о(Ь) необратим в М, и потому о (В*) — собственный подмоноид из М Что касается подмоноида 0(5*5')*, то он непременно отличен от М в случае о(5*)#= {1}, так как 1—это единственный обратимый элемент, содержащийся в о (5*5')*. Теперь мы будем рассматривать случай о(5*) = {1} вместе со случаем 5 = 0, так как в обоих случаях М есть дизъюнктное объединение некоторой полугруппы В и {1}. Пусть се А— такая буква, что Мо^— собственный левый идеал из М, максимальный среди всех собственных идеалов вида Ma^d), de А. Мы всегда можем предполагать, что такой максимальный идеал существует, за исключением ситуации оИ*)={1}, которая приводит к случаю 1. Через Lc обозначим S’-класс элемента о(с) в М и положим С—{а е А; o(a)S’o(c)}.
Предположим, что о(С+)#=5. Тогда, разумеется, С =^ А и, взяв D = С U В, будем иметь о(Д*)#=Л4. Отсюда следует, что Дд^Л и множество D' = A\D непусто. Допустим, что o(D*D') + = S. Тогда о (с) е о (D*D')+, т. е. о(с) = o(w)o(d') для некоторых we A*, d'eD'; отсюда следует, что Lc^Ld- и в силу максимальности Ма(с) либо d'eC, либо o(d')=l. Таким образом, d'eC\jB=D; противоречие. Следовательно, olEHD'^ #= S и o(,D*D'y ^ М, т. е. приходим к случаю 3.
Предположим, что o(C"H) = S. Рассмотрим два подслучая, отвечающие условиям card Lc = 1 и card Lc > 1 соответственно.
Подслучай 1. Lc = {s}. Тогда a(C+)—S есть циклическая полугруппа с образующим s, а о(С*) = М— циклический моноид.
Подслучай 2. Lc содержит более одного элемента. Если а (С) также содержит более одного элемента, то S порождается элементами о (с), с е С, которые S’-эквивалентны. Согласно предложению 3.13 из гл. 2, полугруппа S проста слева, и мы получаем случай 2. Если же о (С) содержит единственный элемент, скажем о (с), то наше допущение относительно Lc дает а (с) S’ о (ck), где о (ск') #= о (с). Отсюда следует, что а^ = о(1с1') для некоторого l>k. Таким образом, S— циклическая группа и Л1 —S1, т. е. имеют место оба случая: 1 и 2. Это завершает доказательство леммы. □
Теперь мы рассмотрим подробнее ситуацию в случае 3 из леммы 2.7. Предположим, таким образом, что для данного гомоморфизма о: A*-*-M(L) существует собственное разбиение A — B\jB', такое, что о(В*В'у и о(5*)—собственные подмоноиды в МЩ. Для любого хеМЩ существует такое we А*, что o^w) = x. Но любое слово we А* имеет единственное разложение w = цу, где и е^В^В'У, у е В*. Применив о, получим о(ю) = o(zr) о(п), где o(rz) еч 0(5*5')*, а^ес(В*у Следовательно, любой хеМ^Ц допускает разложение x=r-s, где
г G 0(5*5')*, seo(5*). Рассматривая всевозможные разложения х = fiSi, где и е о(5*5')*, s, е о(5*), i = 1, 2т, убедимся, что
о”1 (х) = U (о”1 (г,) П (5*5')*) (a-1 (sz) П 5’).
i=i
Включение слева направо вытекает из того факта, что любое слово w е А* имеет единственное разложение w — ии, где и е(5*5')*, о е В*. С другой стороны, для произвольного we г о-Цп)а-х^8:) мы имеем о (ю) = riSt = х и потому KEfr-fr).
Из (2.7.1) следует, что L принадлежит полиномиальному замыканию множества языков вида (H^QS*, где cardo(5*)< <cardo(71*), и cH(r)Q(5*5')*, где card а(5*5')* < card о(Л*). Так как мы хотим провести индуктивное рассуждение по card а (Л*), особое внимание необходимо уделить языкам вида а-1 (г) П (5*5')*.
Рассмотрим алфавит X, находящийся во взаимно однозначном соответствии р: Х->о(В*5') с конечным множеством о (5*5'). Биекция р продолжается до сюръективного гомоморфизма Р: X*-^o(B*B,)*. Определим отображение ос: ^^-^(Л*) из X в моноид ^(Л*) всех подмножеств моноида Л*, положив (2.7.2) сс(х) = о-1(Р(х))П 5*5' для любого хеХ.
Отображение а продолжается до гомоморфизма 6с: X*-* и можно проверить, что а (г) Е а-1 (Р(г)) 0(5*5')* для любого зеХ* Таким образом, 6с сопоставляет слову г из X* язык 6с (г) из А*. Чтобы сделать эти вещи более прозрачными, рассмотрим естественное отображение о-1: Л4 (£)->-£Р (Л*) и подытожим ситуацию в следующей диаграмме
X*
Г ест (В* В’)* с ММ
Для любого гео(5*5')* имеем
о-1 (г) 0(5*5')*= 6с (p-i (г))’.
Проверка этого равенства использует только определения различных отображений и оставляется читателю в качестве упражнения. Это показывает, что о-1 (г) 0 (5*5') * есть образ относительно 6с языка Р-1 (г) из X*, синтаксический моноид которого является гомоморфным образом моноида а (5*5')* и поэтому имеет порядок меньший, чем М(5).
Проведенный анализ случая 3 из леммы 2.7 демонстрирует важность отображения а: ^-^^(А*) и оправдывает наше следующее определение.
Определение 2.8. Пусть £Г — класс языков из А*. Отображение а: Х-^^(А*) называется ^-замещением (substitution), если
существует собственное разбиение алфавита А на два подмножества В, В', и аффе В*В' для любого хе Х\
Xi =/= х2 влечет а(Х1)П а(х2) = 0;
a(x)etF для любого хе А.
Отображение а, удовлетворяющее лишь условиям (а) и (Ь), называются просто замещением.
Пусть а обозначает продолжение а до моноидного гомоморфизма а: X*->-^(А*). Отображение а, определяемое формулой (2.7.2), является ^-замещением при условии, что а-'(Р(х))П П В*В' принадлежит классу ^ для любого х е X.
Лемма 2.9. Пусть а: Х-^^(А*) — замещение, а а: Х*->- -^^(А*)—продолжающий его моноидный гомоморфизм. Тогда для Lt, Е^гХ* имеем-.
6(L1 U С2) = 6(2.^ U 6(Г2) и oAL\L^ = йЩ) a(L^-,
a (Lx П L2) = 6 (L^ П a (Л2);
для любого префиксного кода Р е X* язык а(Р) есть префиксный код в А*.
Доказательство. Свойство (а) очевидно. Свойства (Ь) и (с) вытекают из того, что а(х) содержится в префиксном коде В*В', и из того, что а(х)()а(у) = 0 Для х, ijeX. х^у. □
Если даны два замещения а: Х-^З^У*), р: У->^(А*), то отображение у: X -^^(А*), определяемое равенством у(х) — = Р(а(х)) для любого хеХ, называется композицией аир. Чтобы охарактеризовать языки из S'VS), где ^ — псевдомногообразие абелевых групп, необходимо изучить детальнее трансформацию префиксных кодов типа В или В U ВДВ*В'^п-х, где SeA и В' = А\В, при повторных композициях замещений. Одно из свойств кодов вида В или В*В', которое сохраняется при замещениях и называется свойством конечности задержки синхронизации (Голомб, Гордон [1965]), мы сейчас определим.
Определение 2.10. (а) Пусть Се А* — некоторый код. Слова и, и е С* образуют синхронизирующую пару (и, и) для С, если, каковы бы ни были х,уеА‘, условие хииуеС* влечет хи г С* и уу е С*.
Код С имеет конечную задержку синхронизации, если для некоторого целого d ^ 0 любая пара (u, u)eCdXCd является синхронизирующей парой для С. Наименьшее целое d с таким свойством называется задержкой синхронизации или s-задержкой кода С.
Например, любое подмножество В из А есть бипрефиксный код, имеющий s-задержку 0. Для ВсА. В#=0, префиксный код В*В' имеет s-задержку 1. В действительности, уже любая пара ^wb', 1), где шеВ*, Ь'^В', является синхронизирующей парой для В*В'.
Предложение 2.11. Если Р s X*— префиксный код с конечной задержкой синхронизации, и а; Х-^-^ДА*)— замещение, то а(Р)—также префиксный код с конечной задержкой синхронизации.
Доказательство. Пусть d будет s-задержкой кода Р, и ci (Р) = С. Докажем, что любая пара (c,c2 ... cd+1, с[с2 ... cd+1)s eCd+v XCd+v является синхронизирующей парой для С. Допустим, что z = ис{с2... cd+lc'c'2 ... c'd+1u е С* для некоторых и, и е А*. Заметим, что z е а(ш) для некоторого w е X* означает, что z = b\b2 ... bi, где btea^xi) ^ В*В' и xisX, 1 ^ t ^ /. Следовательно, для любого разложения слова г, скажем z = У1У2 ... у к, где ух, у2, ..., ук ^^*В'У, существуют гщ, т2, .... Шк^Х*, такие, что щеДмА для каждого i, 1 ^ i ^ к. Теперь, поскольку С^(В*В/)+, можно записать cx = d\d2 для некоторых <V1e(8*8,)+, d2^(B*B'y. Но, как отмечено выше, любая такая пара (уф, d^ является синхронизирующей для В*В'. Поэтому ud\ е(8*8')* и d2c2 ... Cd+iu е ^(В*В')*, откуда также выводим уе(8*8/)*. Следовательно, существуют т, п е X*, р, р' е Р*, такие, что исх е а (т), с2 ... ... cd+1 е й(р), схс2 ... cd+1 Еа(р'), и ей (п). Так как ср с^еа (Р) для любого I, l^z^d+1, получаем pEPd, р'е Pd"H и трр'п е Р*. Поскольку Р имеет s-задержку d, пара (р, р')— синхронизирующая для Р. Поэтому тр, р'п ^Р* и исхс2 ... ... cd+1 е а(тр) = а(Р'), с[с' ... cd+1v е а (р'п) = а(Р‘). □
Следующая теорема является некоторым адаптированным вариантом характеризации, полученной Шютценберже [1974].
Теорема 2.12. Пусть *6 — некоторое псевдомногообразие конечных абелевых групп, a N^)— множество целых чисел, являющихся порядками циклических групп из ^. Рациональный язык L г А* принадлежит потоку У^), определяемому группами из ^ (т. е. все подгруппы синтаксического моноида M{L) лежат в ^^ тогда и только тогда, когда L принадлежит наименьшему классу ST (А) со следующими свойствами:
SP(A) содержит все подмножества из А;
S"(А) замкнут относительно булевых операций и умножения;
S"(А) замкнут относительно итерации, применяемой к множествам вида Рп, где n^N^^, а язык Ре!Х1А^ является префиксным кодом с конечной задержкой синхронизации.
Доказательство, Достаточно показать, что in?^^ и что для любого конечного алфавита А семейство дДЧР'ЦА) удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с) данной теоремы.
!?(?)=.'?'. Допустим, что L^A* и что все подгруппы из М^Ц лежат в ^. В силу леммы 2.7 для M(L) существуют три возможности. Если моноид Л1(В) циклический, то следствие 2.6.1 показывает, что Ве9ДА). Если M(L) = S1, где S— простая слева полугруппа, то, используя леммы 2.4 и 2.5, мы снова получаем 1е9(АУ Рассматривая третий случай из леммы 2.7, применим индукцию по порядку АЦЦ. Предположение индукции состоит в том, что если для L' г У* существует гомоморфизм ср: У*-у Ala моноид М, подгруппы которого лежат в ’g2, и card М < card M(L), то L'е 9"^УУ Без ограничения общности можно предположить, что L = cH(x) для некоторого х^АЦЕ), где о: А*-*М^Ц — синтаксический гомоморфизм. Тогда формула (2.7.1) показывает, что L принадлежит полиномиальному замыканию языков вида
L=<r'W и Ц^о-ДгШВ’В'у.
Так как card о (В*) < card M(L), согласно индуктивному предположению Ls е 9~(В) г 9" (Л). Что касается L’r, то формула (2.7.3) дает Д = а(Г1Д)), где а: Х->9(А*) есть замещение, определяемое равенством (2.7.2). Проверим, что а является 9"(А) -замещением. Для любого zeX мы имеем .
а (г) = (р (г)) П В*В' = J о"1 (1/г) Ь\, где yt ее о (В*), b't ее В' и
Р (г) = ухо (b{) = у2а (Ь'^ = ...=yko (6'ft)
суть все возможные разложения Р(г) в произведения элементов 7;<=а(В*) и о (6'.) г а (ВЛ). Снова опираясь на неравенство card о(В*) < card M(L), получаем о-1 ^у^ е ^(А), откуда a(z) е 9"(А), т. е. а действительно является 9" (А) -замещением. Поскольку card о(В*В')* < cardM(Z-), предположение индукции применимо к р"*(г) и дает р-1 (г)Ie 9~ (X). Из леммы 2.9 и предложения 2.11 вытекает, что язык Lr = а (р1 (г)) лежит в 9" (А), откуда окончательно получаем Ее 9"(А).
^(^(А) удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с) теоремы 2.12. В силу предложения 5.16 из гл. 6 все конечные моноиды, подгруппы которых лежат в ^, образуют псевдомногообразие. В силу теоремы 5.11 из гл. 6 д7^) есть поток рациональных языков, и поэтому класс д7(’§’') (А) замкнут относительно булевых операций. Замкнутость ^(^(А) относительно произведений следует из предложения 1.2. Осталось показать, что если язык Р е д7^) (А ) есть префиксный код с конечной
задержкой синхронизации, то (A^e^^fA). Это вытекает из одного свойства рациональных префиксных кодов с конечной задержкой синхронизации (следствие 2.14), достаточно замечательного, чтобы быть доказанным независимо. □
Предложение 2.13. Пусть С ^ А*— рациональный код с конечной задержкой синхронизации, и у; C*-^G — гомоморфизм в конечную группу G. Обозначим через R такой префиксный код, что R* = у-1 (1), и для каждого geG положим Cg = C (] у-1 (g). Любая максимальная подгруппа синтаксического моноида языка R* принадлежит псевдомногообразию групп, порожденному группой G и максимальными подгруппами синтаксических моноидов кодов Cg (g е G).
Доказательство. Обозначим через Rd1 главную правую конгруэнцию на А*, определяемую кодом D (гл. 6, пример 1.10.2). Определим А*-автомат 81 следующим образом. Множество S состояний автомата 81 есть A'/AgEO-Pc1- Моноид А* действует на S, как обычно, умножением на классы справа. Начальным состоянием Si служит класс единицы 1, а заключительные состояния суть tg = Cg (множества Cg не пересекаются, и легко проверить, что каждое Cg есть класс правой конгруэнции л,.от Аналогично, для каждого g е G определим А*-авто- мат 81g с множеством состояний А*]^, классом единицы 1 в качестве начального состояния и единственным заключительным состоянием Cg. Отображение ср: 81-> JIg е g ?lg, сопоставляющее классу w по модулю П.ев^с1 кортеж, g-я компонента 8g
которого есть класс w по модулю Р^, является инъективным гомоморфизмом А*-автоматов. Поэтому моноид переходов автомата 81 делит произведение синтаксических моноидов кодов Cg (g^G). Для доказательства нашего предложения достаточно показать, что подгруппы из M^R*') лежат в псевдомногообразии, порожденном максимальными подгруппами из моноида переходов автомата 81 и самой группой G. Построим теперь А*-автомат SB, распознающий R*. Если Т = {/g: g г G) обозначает множество заключительных состояний автомата 81, то возьмем S = = GX(S\T) в качестве множества состояний автомата S3. Действие А на 3 задается формулой
((g, sa), если sa ^ Т,
^' S'U ( Uh, «О, если sae? и sa = th (h e G).
Продолжив его до действия А*, получим: (1, s^w =(1, st), если и только если w Е С* и y(zy)= 1. Таким образом, 8 с состоянием (1, si), одновременно начальным и заключительным, распо-
знает R*. Обозначим через М моноид переходов автомата ®, а через ф: А*->-М— канонический сюръективный гомоморфизм. Пусть Н — максимальная подгруппа из М. Как группа подстановок, Н может быть реализована действием подполугруппы Ф~*(Д) из Д* на множестве Sh = 5ф-1(Д).
Случай 1. Предположим, что для любой пары ^g, s) е Sh и любого левого делителя hx =А= 1 слова h е ф"1 (Н) будет shx ^ Т. Тогда (g, s)h = (g sh) для любых (g, s)eSH и Не<гЧН)- Действие полугруппы <р~ЦН) на SH подобно ее действию на некотором подмножестве из S\T в терминах автомата 81. Отсюда следует, что Н изоморфна некоторой подгруппе моноида переходов автомата 81.
Случай 2. Пусть существуют (g, s) a Sh и h — hxh2 е ф-1 (Д), где hi^l, такие, что shx = <g'eT. Выберем ^аф-1(Д) так, чтобы элемент ф (ДА) был единицей в Д. Тогда .
(g, «)Л1 = (£. s)hxh2khx, откуда ^gg', sl) = (gg', sx)h2khx.
Это показывает, что h2khx<=C*, а поскольку hx ^ 1, имеем h2khx е С+. Допустим, что С имеет s-задержку d. Взяв и = h2k и и — hx (h2khx) d~l,. мы видим, что vu^CdC*, миаф-ДД), а также что ф(ин) и ф(ии) — идемпотенты. Далее, ф (uv)Нф (uv) = = Д, так как ф(ии)= q>(hxh2k)d — идемпотент из Д. Поэтому ф(«)Дф(и)=Д/ есть группа, лежащая в 2)-классе группы Д, и, следовательно, она изоморфна Д и ее единицей служит ф(ии). Заметим, что, как группа подстановок, Н' реализуется действием полугруппы ф-1(Д') на Зщ = 5ф Ч (Д'); в частности, для любой пары (g, s)e5h' имеем (g, s)vu — (g, s). Мы утверждаем, что Sh' состоит из пар вида (g, si). Если (g, s)eSh-, to существуют w, w'^A*, такие, что sxw = s и sw'= tg> для некоторого tg'^T. Отсюда следует, что
(g, sx)w(vu)2w' = (g, s)vuw' = (g, s)w' = ^gg', Si).
Следовательно, афлДДеС4, причем yue.CdC*\ так как С имеет s-задержку d, получаем wvu а С*, откуда (g, sx)teuu = — (g", si)> что влечет s = S], Это означает, что ф-1(Д')еС*. Далее, если слова wx, 1У2еф-1(Д') удовлетворяют равенству ф(&У1) = ф(®2), ТО (g, S1)UV1 =(g, sx)w2 для всех (g, sJeSfl/. Это дает g'x’(iwx) = g^(,w2), что в свою очередь влечет y(wi) = = 7(^2). Поэтому диаграмма (2.13.1) ниже может быть дополнена до коммутативной сюръективным гомоморфизмом ф из у(ф‘(Д')) в Д'. Следовательно, подгруппа Д' из М, изоморф-
ная Н, делит G.
<р"Чн') ——>н'
(2-13.1) у
7[ф"’(н')]гб
Поскольку синтаксический моноид M^R*) является гомоморфным образом моноида М, рассмотренные выше два случая показывают, что максимальные подгруппы из M^R*) являются делителями либо подгрупп из моноида переходов автомата 91, либо группы G. Это завершает доказательство предложения 2.13. □
Следствие 2.14. Пусть С — рациональный префиксный код с конечной задержкой синхронизации. Любая максимальная подгруппа синтаксического моноида языка (Сп)* лежит в псевдомногообразии конечных групп, порожденном группой Zn и максимальными подгруппами синтаксического моноида кода С.
Доказательство. Применим предложение 2.13, взяв у: C*-VZn, определенное равенствами у(с)=1 для любого с из С. Результат вытекает из того факта, что у-1 (0) = (С”) *. □
Теорема 2.12 показывает, что для порождения циклических подгрупп в синтаксических моноидах достаточно применять итерацию к некоторым специальным префиксным кодам. Следует отметить, что проблема нахождения всех рациональных префиксных кодов Р с конечной задержкой синхронизации, синтаксические моноиды которых содержат лишь циклические подгруппы, является открытой. Иная техника порождения подгрупп в синтаксических моноидах будет представлена в следующем параграфе.
Языки, определяемыеразрешимыми группами
Напомним, что группа G называется разрешимой, если G имеет субнормальный ряд с абелевыми факторгруппами. Следовательно, конечная группа G разрешима тогда и только тогда, когда она имеет композиционный ряд с циклическими факторгруппами простого порядка. Хорошо известно, что все разрешимые группы образуют псевдомногообразие групп, которое мы обозначим через Ф. Для произвольного множества Р простых чисел положим Фр = (Ge5): G — конечная группа, и p\o(G') влечет р е Р-^. Простая проверка показывает, что Фр является псевдомногообразием разрешимых групп; такие группы пазы-
ваются Р-разрешимыми. Мы охарактеризуем поток ^(3>р) рациональных языков, не прибегая явно к итерации, заменяя последнюю так называемым А-сечением по модулю п.
Определение 3.1. Для любого языка LeA* и слова we А* обозначим посредством X^w, L) число левых делителей слова w, принадлежащих А+|"]Д Для произвольных целых п ^ 2 и k, О ^ А <п, определим k-сечение по модулю п языка L как множество
<L, k, пУ = {w е А*: Х(ш, L) = 6(mod /г)}.
Если, например, L=A*, то Х(ш, L) есть длина слова w и <A*, k, пУ = (Ап)*Ак. Если L = A*a для некоторого аеА, то X^w, L) = da(w) и <А*а, k, пУ есть язык [Да, k), появляющийся при характеризации языков циклических групп порядка п (лемма 2.1).
Напомним (см. гл. 6, упр. 8), что /-моноид Т = (Q, /И) распознает язык L г А*, если L = {w е А*; ^Оф (иО ^ Qi} для некоторого гомоморфизма ф: А*-*М и некоторых qQ е Q и Qi £ Q. Обозначим через Ql множество состояний минимального А*-автома- та, распознающего L.
Предложение 3.2. Для любого рационального языка L^A* k-сечение по модулю п языка L, L' = </., k, пУ, есть рациональный язык, распознаваемый t-моноидом (Zn, Zn)e(QL, M(L)).
Доказательство. Предположим, что L=(weA*: qao(w)e е Qi}, гДе °: A*->M(Z.) — синтаксический гомоморфизм, qoe QL и Qi S Ql- Вспоминая, что (Z„, Z„)a(QL, M(L)) = (Zn X Ql, Z„wr M(L)), определим ф: A*-^-Zn wrM(L) следующим образом. Для любого аеА положим ф(а) = (/а, о(а)), где отображение fa". Ql-*Z„ дается формулой
f 0, если qa ф Qb
если qaeQx.
Таким образом, действие ф(а) на Z„XQl определяется равенством
( U, qa), если qa Qb
если qaSQ„
Для доказательства того, что L'—(weA*: (0, qo)q>(w)e е {А} X Ql}, достаточно заметить, что (0, ^о)ф(®) = (А 7оф(^)), где j — число левых делителей оеА+ слова w, таких, что <7оф(и)еОь Кроме того, (0, ^0)ф(1)е {/?} X Ql тогда и только тогда, когда k = 0, а равенство k = 0 равносильно условию 1 е L'. Таким образом, (Z„XQl, ZnwrM(L)) распознает L'. Ъ случае конечного M(L) язык L' рационален, так как, в силу упр. 8 из гл. 6, (Ql-, МД')) делит (Zn, ZhV^Ql, M{L)). □
Замечание 3.2.1. Пусть ааЕЛ и L" = <Lao, к, п) есть fe-ce- чение по модулю п языка Lao. Тогда L" тоже распознается /-моноидом (Z„, Z„)s(QL, M(L)). Доказательство этого такое же, как и выше, за исключением определения fa. Именно, нужно взять
( 1, если q ^ Q\ и а = ай,fa^в противном случае.
Следующие две леммы прямо ведут к характеризации потока 9Д£)р}.
Лемма 3.3. Если язык LeA* распознаваем конечным t-моноидом (Z„, Zn)a(Q, М), то L содержится в замыкании множества языков, распознаваемых (Q, М}, относительно булевых операций и операции Lv—><La, k, /г>, а е А, к < п.
Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что L= ^кеА*: (по, qo)<p(w) — (nt, qt)} для некоторых (,п0, <7о), ^nt, qt}eZ„XQ и для некоторого гомоморфизма ср: A*->Znwr М. (В случае когда заключительных состояний (nt, qt) более одного, L будет конечным объединением множеств указанного выше вида.) Для любого ®е,4* мы имеем ф(щ) = = 0W, 9(ty)), где fw — отображение Q в Z„, а 9 обозначает композицию ф и проекции Z„wrM на М. Далее, (по, ^о)ф(®) = = («о^(<7о), <7оО(ш)), и weL тогда и только тогда, когда weL'QL", где L'=(@eA*: q0Q(w) — qt}, L" = (w е А*-. nofw(qo) = nt}. Ясно, что (Q, M) распознает L'. Чтобы исследовать строение L", упростим обозначения и, указывая действие А* на Q, индуцированное 9, будем писать qw вместо q9(w}. Если w = а\аг ... аг, то
n»fw Ы = По + fa, (qo) + fa2 (q»Cl\} + • • • + far (^ОЙЩг • • ■ Яг-1);
при этом w е L", если и только если
fax (<7о) + M^i) + •. ■ A-far(qoaxao ... ar-i} = nt — По.
Определим гомоморфизм у: (QXA}*->Zn, положив у(^, а} = — fa(q), и отображение б: 4*->(QX4)*, положив
6(1)= 1, б (a,a2... ar) = (q0, ai)(^i, а2} ...
... (700^2 ... аг_х, аг}. В силу (3.3.1)
L" = (w е А*-, у (б (ф)) = nt — п0} = б-1 (у-1 (nt — п0)).
Согласно лемме 2.1 множество у~'(«/ — По} лежит в булевом замыкании множеств <В*Ь, к, п>, b е В = QX А. Как известно, 6 Л сохраняет булевы операции. Следовательно, L" лежит в булевом замыкании языков б-1(<В*б, к, п}}, b е В. При этом
w гЬ-1«В*Ь,к,п», если и только если db(6(w)) = ^(mod п). Для определения числа вхождений пары b = (7', а') в произведение (<?о, ax)(q9ax, а2) (qoaxa2 ... а,_х, а,) введем структуру Д*-автомата на множестве QX(^U{1})> положив
(q, 1)а — (q, a), (q, ax)a2 = (qax, а^
для любых q е Q, а, ах, а3^А.
Отсюда следует, что (q, 1)ахаз ... ах = (qaxaa ... аХ-Х, а^. Поэтому число вхождений пары (qf, а') в (q0, ai) (</0^1, «2) ■ •■ ... («/оа^а dr-х, dr) совпадает с числом левых делителей и слова ахаг ... аг, таких, что (qo, 1)о = (/, а'). Таким образом, б’ДСВ’б, k, n)^ = <Lx, к, п), где Lx= (we A*: (q0, 1)® = = (/, а')}. Но (qo, 1)® = (q!, а') тогда и только тогда, когда w = ua' и qov = q'. Это показывает, что Lx = L'a', где L' распознаваем /-моноидом (Q, М), что завершает доказательство леммы. □
Теперь мы исследуем языки, распознаваемые /-моноидами вида F3e(Q, М), где F3 = ({0, 1}, {!}“) = ({О, 1}, /?3) (см. гл. 4, § 5).
Лемма 3.4. Если язык L^A* распознаваем конечным t-моноидом F3e(Q, М), то L принадлежит наименьшему классу подмножеств из Д*, содержащему все конечные множества и языки, распознаваемые (Q, АТ), и замкнутому относительно объединений, дополнений и произведений.
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 3.3, мы предполагаем, что
L=(weA*-. (по, <?0)ф(1у) = (п(, qt^
для некоторых (по, qo), (ru, qt)e {0, 1} X Q и некоторого гомоморфизма ф: А* -> R3 wr М. Для любого w еД* имеем ф(®) = = (fw, О^))» гДе fw- Q-^Ro, а 0: Д*->Л4 есть композиция ф и проекции на М. Мы снова пишем qw вместо 70(;у). Далее, L=(weA*: (nofw(qo), qQw) = (nt, qt)) — L'(\ L", где L' = = {феД*: qow=qt) и L" = (w G A*: n^w (qo) = ntY Так как L' принадлежит классу 9° подмножеств, описанному в лемме, остается доказать, что то же самое справедливо и для L". Если w = аха2 .. • ат, то
n3fw(qo) = notax (qo) fa2 (q»ax) ... far (qoax02... ar_x),
и w g L", если и только если noYx (4')fa2(qoa\) ... far(qoaxa2 ... .. .ar-x)=nt. Снова определим гомоморфизм у: (QXA)* -^«- R3, положив у(<7, а) = 1а(ч)> н отображение б: Д*->(9ХД)* формулами (3.3.2). Тогда L" = б-1 (Lx), где Lx = {2 е (Q X Д)*: no^(z) = ntY В зависимости от значений п0, nte {0, 1}, язык
Lx может быть получен объединением какого-либо числа множеств из следующих трех: В*В0С*, В*В\С*, С*, где
B = QXA, Bq-^eB: YW=(o J)}, В.^беВ: YW = (? [)}- С = {беВ: у0)=(“ [ )}• Замечая, что С* является дополнением в В* множества B*BqC* U В*В\О, для доказательства соотношения L" е ЯР достаточно показать, например, что б-1 (B*BiC*) е ЯР. В случае По = 0, п< = 1 язык Lx в точности совпадает с B*BVC*\ поэтому продолжаем выкладки, считая, что и0 = О, щ = 1. Используя А*-автомат на множестве QXHU {1}), определенный формулами (3.3.3),рассмотрим для любых bv b'v е Вр Ьое Во языки L (6,) = {ш е Д': (q0, 1) w = б,}, L^bv б') = {шеА‘: bvw = b'^ и L (б,, б0) = {®еА*: bxw = b^. Поскольку L" = б-1 (B'BjC*), wet" тогда и только тогда, когда w = uu, где u^L^b^ для некоторого ЬхеВх, a u'^L^bx, b'^ljLfb^ б0) для любых 6'е еВр ^еВ,, и для любого левого делителя и' слова и. Определив К (61) равенством
K(xbv^ и b'^L(bx, b^, ЬхеВх Ь» е В,
получим, что w е L" тогда и только тогда, когда w = ио, где ueL{bx), и е L'(bx) = A*\K{bx)A*. Отсюда следует, что В" = = иЬ1 <=в, ^ (М ^' (^i)- Как и в последней части доказательства леммы 3.3, можно проверить, что каждый из языков L{bx), L(bXi b'^, L(bx, &„) имеет вид Ка или KaU {1} для некоторого аеЛ и некоторого К, распознаваемого (Q, М). Поэтому L" е ЯР, и это завершает доказательство. □
Теорема 3.5. Пусть Р — произвольное множество простых чисел, Фр— псевдомногообразие P-разрешимых групп, Ф{ФР)— поток рациональных языков, синтаксические моноиды которых лежат в Фр. Для любого конечного алфавита А семейство S {Фр) (А*) совпадает с наименьшим семейством ф подмножеств из А*, содержащим 0 и замкнутым относительно объединений и дополнений, а также k-сечений по модулю р, р ^ Р, для языков вида La, где L ^ф, а е А (т. е. L^3T, р^ Р, а^А влечет {La, к, р} е Ф).
Доказательство, (а) Ф = Ф{Фр) (А*). Моноид М{0) является тривиальной группой, которая, очевидно, В-разрешима. Если M(Lx), M{L2) суть P-разрешимые группы, то и Af(LiUL2) есть P-разрешимая группа, так как делит M{Lx)XM{L2). Кроме
того, М (A \L) = М (L). Наконец, если M^L) есть Р-разреши- мая группа, то в силу замечания 3.2.1 и моноид M«La, к, р)) будет такой группой1).
(b) S’(S)p) (А*) е 2". Допустим, что M(L) есть Р-разреши- мая группа. В силу теоремы 5.2 из гл. 4 либо M(L) = {1}, либо (Ql,M(L)) делит (ZPn, ZPji)a .. . s(Zp2, Zp2)a(ZPi, ZP1), где ZP[j Zp2, ..., Zpn — простые факторы композиционного ряда группы M(L), причем рх, рг, ,.., рпеР. В случае М(Р)= {1} получим L = 0 или L = A*, откуда LeZ. В противном случае, начиная индукцию по п, положим (Q, М) = (Zp^, ZPn_^e... ... г(ZP1, ZP1) (или (Q, Al) = ({1}, {1}), если n = 1). Так как (Ql, M(L)) делит (ZP/j, ZPjJa(Q, Al), в силу леммы 3.3 (и упр. 8 из гл. 1) L лежит в замыкании множества языков, распознаваемых (Q, А1), относительно булевых операций и операции L--> \—><Да, к, рп>. Теперь применение предположения индукции к языкам, распознаваемым (Q, А1), доказывает теорему. □
Теорема 3.6. Пусть Р— произвольное множество простых чисел, 2>р— псевдомногообразие P-разрешимых групп, 2(2)р)— поток всех рациональных языков L, для которых все подгруппы синтаксических моноидов лежат в 2)?. Для любого конечного алфавита А семейство 2(2р) (А*) совпадает с наименьшим семейством 2 подмножеств из А*, содержащим все конечные подмножества из А* и замкнутым относительно объединений, дополнений, произведений и k-сечений по модулю р для любых реР.
Доказательство, (а) 2 s 2(2>Р) (А*). Для любого конечного подмножества L из А* моноид А1(Р) содержит лишь тривиальные подгруппы. Для L\, Ц^А* подгруппы из M(Lj U L2) и M^LXL^ делят подгруппы из А1 (ТДХ А1(Т2) (см. лемму 1.3 и доказательство предложения 1.2), а следовательно, они Р-разре- шимы, если таковы подгруппы из M(LQ и А1(А2). Наконец, если M(L) содержит лишь P-разрешимые подгруппы, то, поскольку язык L'={L, к, р) распознается /-моноидом (Zp, 7р)г(Ql, M(L)) в силу предложения 3.2, M(L') делит моноид ZpwrM(L), подгруппы которого P-разрешимы, если реР.
(b) 2(2Р) (А*)е 2. Допустим, что Al(L)е 2(2р). Согласно теореме 5.2 из гл. 4, (Ql, M(L)) делит ТпгТп_хг ... гТ,, где Ti = (Zp, Zp) для некоторого р~Р либо Т; = р3. Прибегая к индукции по л, положим (Q, А1) =Тп-\ г ... г Т\ (или (Q, М) = = ({!}, {1}), если п = 1). Мы имеем (Ql, M(L)) | Тп e(Q, AI). Если Tn = (ZP, Zp) (соответственно Тп — Р3), то лемма 3.3 (со-
ответственно лемма 3.4) и предположение индукции дают L^SF. D
Замечания 3.7. (а) Если в качестве Р взять множество всех простых чисел, то теорема 3.5 даст онисание всех рациональных языков, синтаксические моноиды которых являются разрешимыми группами. Легко доказать, что тогда fe-сечения по модулю р, реР, можно заменить fe-сечениями по модулю п для произвольных п. То же самое справедливо для теоремы 3.6.
Для Р = {р} теорема 3.5 описывает все рациональные языки с р-группами в качестве синтаксических моноидов, а тео рема 3.6 описывает все рациональные языки L, для которых подгруппы в М(Ц исчерпываются р-группами (относительно р-групп см. также Эйленберг [1976, гл. 8, § 10]).
Если Р = 0, то в теореме 3.6 не будут фигурировать сечения и она превратится в теорему 1.5.
Библиографические замечания и дальнейшие результаты
Впервые общее исследование апериодических языков появилось в книге Мак-Нотона и Пейперта [1971]. Кроме локально тестируемых и кусочно тестируемых языков изучались и характеризовались в терминах синтаксических моноидов и другие подклассы апериодических языков. Наиболее важным для классификации служит понятие мультипликативной глубины (dot-depth) (Коэн, Бжозовски [1971], Саймон [1972], Бжозовски, Саймон [1973], Бжозов- ски [1977]). Для фиксированного алфавита Л определим ^0 как класс всех языков La = {а}, где а е А, а для п ^ 1 определим ^л как булево замыкание всех языков, являющихся конечными произведениями языков из s4-n-\ (например, .>72 — это класс, состоящий из всех конечных и коконечных языков). Так возникает иерархия »0 £s6 Е...ЕХ, = ... . Утончая эту иерархию, можно в каждом ^;1 выделить подклассы 3tn, т, где ^т, п есть булево замыкание всех языков, представимых произведениями LiL2 ... Li, i ^ т, где Lb L2, .. , Lte^n-\. Большинство известных результатов касается языков .эР„ т для п гД 2. Пока не получено никаких определенных результатов о потоках языков L, таких, что M(L ) является Ж- или S'-тривиальным (см. Эйленберг [1976, гл. 10, следствие 3.3], Милито [1977]).
Одним из наиболее интересных для исследования псевдомногообразий конечных моноидов является, вероятно, класс конечных моноидов с мультипликативно замкнутыми регулярными ^-классами. Характеризация соответствующих потоков языков была получена Шютценберже [1976]. Было бы интересно получить описания в духе теоремы 3.6, которые бы легко специализировались для наиболее важных подпсевдомногообразий.
Все результаты, содержащиеся в § 3, принадлежат Страубингу [1979].
Особая роль конечных префиксных кодов в описании потоков языков недавно проявилась вновь, особенно в связи с результатами, которые получил в своей диссертации Пэн [1981°]. Мы кратко, без доказательств, изложим некоторые его результаты1).
Рассмотрим Л*-автомат Я с множеством состояний S и В*-автомат 8 с множеством состояний Т. Будем говорить, что И моделирует 8, если суще-
ствуют подмножество Si из S и множество слов С е Л+, находящееся во взаимно однозначном соответствии с В, такие, что (1) SiCeSi для всех сеС; (2) С*-автомат с множеством состояний Si изоморфен S3. Очень легко показать, что если 51 моделирует S3, то моноид переходов автомата 8 делит моноид переходов автомата Й. Следующий результат менее очевиден.
Теорема Д.1. Любой автомат моделируется автоматом конечного полного префиксного кода.
Если, например, дан 2*-автомат Я с множеством состояний {0, 1, ... ..., п — 1), рассмотрим новый алфавит Л = {«} J [ао: о е 2} и положим Р = {ап} U \.(Рааап”1; о е 2 и 0^( ^п—1}. Тогда можно показать, что Р — префиксный код й что его пополнение Pi (т. е. наименьший полный префиксный код, содержащий Р) таково, что 51 (Р,) моделирует И. Более совершенная конструкция позволяет в некоторых случаях выполнить моделирование, используя конечные префиксные коды, синтаксические моноиды которых лежат в том же псевдомиогообразии, что и моноид переходов исходного автомата И. Например, справедлива
Теорема Д.2. Пусть 9 — псевдомногообразие групп, а Л(9)—псевдомногообразие моноидов, индуцированное 9. Если моноид переходов автомата И лежит в Ж^^, то 61 моделируется автоматом И(Р#), где Р — конечный префиксный код, для которого синтаксический моноид М(Р*) лежит в Ж(9у
В терминах упр. 8 это дает
Следствие Д. 3. Если моноид переходов автомата И комбинаторный, то Я моделируется автоматом Я(Р*), где Р — чистый конечный префиксный код.
Совместная работа Марголиса и Пэна показывает, что при моделировании автоматами конечных префиксных кодов может быть сохранена групповая сложность (см. библиографические замечания в гл. 4). В частности, имеет место
Теорема Д.4. Для любой конечной полугруппы S существует конечный префиксный код С, эффективно вычислимый по S, такой, что (1) S делит синтаксическую полугруппу S(C+) полугруппы С+; (2) S и S(C+) имеют одну и ту же групповую сложность.
Этот результат позволяет сводить проблему разрешения групповой сложности для произвольных полугрупп к случаю полугрупп вида S(C+), где С — конечный префиксный код.
Говорят, что поток языков 9 описывается своими конечными префиксными кодами, если 9 совпадает с наименьшим таким потоком 9', что для любого конечного алфавита Л семейство 9'(Л*) содержит все конечные префиксные коды Р, для которых Р* е 9(Л*).
Используя результаты, продолжающие те, что упомянуты выше, можно показать, что следующие потоки языков описываются своими конечными префиксными кодами:
поток, соответствующий псевдомногообразию Ж^^, где ^ — некоторое псевдомногообразие групп;
поток всех рациональных языков (частный случай (а));
поток всех апериодических языков (тоже частный случай (а));
поток локально тестируемых языков (т. е. этот поток описывается очень чистыми кодами, см. упр. 9);
поток, соответствующий псевдо?>шогообразню всех полугрупп групповой сложности ^п.
Характеризация потока языков, описываемых классом всех конечных полных бипрефиксных кодов, является открытой проблемой.
Упражнения
Пусть Le/V— конечный язык. Все слова юе4+ длины ^ п = = max{z(v) :о е Ц + 1 лежат в одном и том же классе главной конгруэнции Pl. Этот класс отвечает нулю 0 синтаксической полугруппы S(L) = = A[Pl, и (S(L))" = {0}. Обратно, если синтаксическая полугруппа S рационального языка L = Л1 удовлетворяет условию S" = {0} для некоторого п ^ 1, то L либо конечен, либо коконечен (т. е. конечно дополнение Л+\£), в зависимости от того, содержит L или нет полный прообраз нуля 0. Таким образом, L тогда и только тогда конечен или коконечен, когда любой идемпотент из S(L) есть нуль
Язык L е Л+ называется дефинитным, если 7. = Л*ВиС, где В и С конечны. Язык L дефинитен тогда и только тогда, когда L лежит в булевом замыкании языков A*w, где шеА+. Синтаксическая полугруппа S(Л*ау) обладает тем свойством, что любой ее идемпотент есть правый нуль. Обратно, если синтаксическая полугруппа S рационального языка L г Л+ удовлетворяет условию Se = {е} для любого идемпотента е eS, то S’* для некоторого п ^ 1 есть множество идемпотентов из S. Далее, L = А*В U С, где В — множество всех слов из L длины п, являющихся прообразами идемпотентов, а С — множество всех слов из L длины <п. Таким образом, язык L е Л+ дефинитен тогда и только тогда, когда любой идемпотент из S(L) есть правый нуль. Дуализация дает синтаксические полугруппы зеркальных дефинитных языков L = В A* U С.
Язык L е Л+ называется обобщенно дефинитным, если L = Uz=i^z, где каждый В; либо конечен, либо имеет вид BiA*Ci, где Bi и Ci конечны. Следующие условия равносильны:
L — обобщенно дефинитный язык;
L лежит в булевом замыкании языков Л*ш, wА*, где w е Л+;
синтаксическая полугруппа S(B) удовлетворяет условию eS(L)e={e} для любого идемпотента eeS(L)..
(По поводу предыдущих упражнений см. Закстайн [1972], Бжозовски и Саймон [1973].)
Синтаксический моноид рационального языка L s А* тогда и только тогда является полурешеткой (т. е. удовлетворяет тождествам х2 = х, ху = = z/x), когда L принадлежит булеву замыканию множеств В*, В ^ А (заметим, что любая полурешетка есть подпрямое произведение циклических двухэлементных моноидов <х; х2 = х».
Рациональный язык L е В* называется элементарным групповым языком, если существует гомоморфизм ф: В* G в конечную группу G и L = = ф-‘ф(£) для некоторого g е G. Синтаксический моноид рационального языка L е А* тогда и только тогда является полурешеткой групп1), когда L принадлежит булеву замыканию элементарных групповых языков из В*, где В е А (Милито [1977]).
Любая конечная полурешетка групп обладает дизъюнктивным подмножеством (Лаллеман, Милито [1975], Юргенсен [1978]).
Синтаксическая полугруппа S(L) рационального языка L = А+ тогда и только тогда является прямоугольной связкой (т. е. удовлетворяет тождествам х2 = х, хух = х), когда L принадлежит булеву замыканию множеств ^(а, 6) = {ш е Л+: w начинается буквой аеА и заканчивается буквой b е AY Полугруппа 5(Ц тогда и только тогда является подпрямым произведением прямоугольных связок, когда L принадлежит булеву замыканию языков We^a, Ь), В е А, а, 6 е В (Милито [1977]).
Слово р е А* называется примитивным, если р — wk влечет к = 1 или к = 0. В гл. И, предложение 5.6, мы увидим, что любое слово w s А* есть
натуральная степень единственного_ирими1ив1юго слова, которое называется корнем из и и обозначается V w. Код Се Д‘ называется чистым, если w е С* влечет У е С*. Конечный код С тогда и только тогда является чистым, когда С* — апериодический язык. Бесконечный префиксный код С = {а2}*Ь над {а, 6} чисц но М (С*) содержит циклическую подгруппу порядка 2 (Рестиво [1973], Хасигучи, Хонда [1976]).
Код С г А* называется очень чистым, если условия ни е С* и ии еС * влекут за собой и е С* и и е С*. Если С очень чист, то С чист, но обратное неверно (контрпримером служит С = (об, 6а}).
(*) С тогда и только тогда очень чист, когда uv е С*, ии s С* влечет за собой {ио}*ийО 0.
Пусть код С конечен. Следующие условия равносильны:
С очень чист;
С имеет конечную задержку синхронизации;
С* локально тестируем.
Для доказательства того, что (с) влечет (а), можно использовать характеризацию (*) очень чистых кодов. Интуитивная идея доказательства того, что (Ь) влечет (с), состоит в следующем, если хииу е С*, то условия конечности С и конечности s-задержки С совместно позволяют решить, будут ли хи и иу лежать в С* при условии, что Ци), Ци) ^ к для подходящего к. Доказательство того, что (а) влечет (Ь), значительно труднее (Рестиво [1974]; показано, что s-задержка d кода С не превосходит (card С] • (/(С))2, где /(С) = maxШс): cedi.
8
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕФИКСНЫЕ КОДЫ
Как мы уже отмечали, имеется несколько доводов, оправдывающих специальное изучение рациональных языков, порожденных префиксными кодами:
L = С* для некоторого префиксного кода С тогда и только тогда, когда L распознается конечным автоматом с единственным заключительным состоянием, совпадающим с начальным состоянием (т. е. L — стабилизатор некоторого состояния в конечном автомате);
носитель рекуррентного события в точности имеет вид С* для некоторого префиксного кода С;
особые свойства автомата §1(С*) обусловливают специальные алгебраические методы исследования связанных с итерацией проблем из предыдущей главы.
На интуитивном уровне можно сказать, что «эргодическая» природа языков С* проявляется в строении минимального идеала из М(С*). Как показывается в § 3, существует тесная связь между разложениями кода С и конгруэнциями на минимальном автомате 91 (С*), а сами эти конгруэнции непосредственно связаны с импримитивностями группы (рассматриваемой как группа подстановок) из минимального идеала моноида А1(С*). Анализ этих связей приводит в § 4 к решению следующей задачи: любая ли конечная группа может быть максимальной подгруппой в минимальном идеале из М(_С*^ для некоторого конечного С? Ответ отрицателен (Перро [1972]). В § 5 мы показываем, что в случае конечных полных кодов С существует биективное соответствие между автоматными конгруэнциями и разложениями С, относительно которого неразложимым кодам отвечают автоматы без конгруэнций.
Последний параграф данной главы посвящен конечным би- префиксным кодам: мы даем алгоритм для построения полных бипрефиксных кодов С, исходя из равномерных кодов (Сезари [1972а,Ь]) и устанавливаем очно характеристическое свойство синтаксических моноидов ЛИС*) для таких С (Перрен [1975]).
Конечные префиксные коды: группы обратимых элементов синтаксических моноидов
Если Се А* — конечный префиксный код, то все подгруппы синтаксического моноида М(С') тривиальны в силу теоремы 1.5 из гл. 7. Однако моноид М^С*') имеет, вообще говоря, нетривиальные подгруппы. Так как минимальный автомат, распознающий С*, легко получается из С (гл. 6, пример 1.10.3), конечные префиксные коды являются естественными кандидатами при изучении задач типа (а) из введения к гл. 7. Далее, как показывает теорема 2.12 из гл. 7, продвижение в проблеме характеризации потоков языков вида ^’('F), где ^ — псевдомногообразие групп, зависит от знания групп, встречающихся в моноидах вида М^С*1). Важно сразу отметить, что конечность кода С — это ключевое ограничение.
Замечание 1.1. Любая группа является синтаксическим моноидом языка С*, где С — некоторый префиксный код.
Доказательство. Пусть G — группа, А — множество ее образующих. Каноническое вложение А в G продолжается до сюръективного гомоморфизма ф: A*->G. Язык £ = ф~'(1) является подмоноидом в А*, и для любого w е А* условие Lw f| L ^ 0 влечет weL. Согласно предложению 2.5 из гл. 5, имеем L = С* для некоторого префиксного кода С. Поскольку {1} есть дизъюнктивное подмножество в G, синтаксический моноид языка L изоморфен G (см. доказательство предложения 5.3 из гл. 6) □.
Обозначения. Всюду в этой главе мы обозначаем через 91(С*) минимальный автомат, распознающий С*, а через М (С*)— синтаксический моноид языка С*. Множество состояний автомата 91(С*) будет обозначаться посредством S = (s0, $i,..., «„_[} либо, в случае неполного кода С, посредством S = (s0, Si, ... ..., Sn-t, s}, где s — неподвижная точка. Состояние $о предполагается начальным для автомата 91 (С*), и С* служит его стабилизатором. В конкретных примерах состояние s, будет обозначаться через I.
Предложение 1.2.. Пусть С — конечный префиксный код. Группа обратимых элементов моноида М^С*^ всегда циклическая.
Доказательство. Допустим, что группа U обратимых элементов из М(С*) неодноэлементна. Тогда некоторая буква а е А действует как нетривиальная подстановка а на множестве S состояний автомата 91 (С*). Будучи подстановкой на S, а есть произведение дизъюнктных циклов, скажем а = 7172 ... Чт,
причем можно считать, что «о содержится в цикле уь Если у, (i#=l) есть цикл (s/^ s;2, ..., Siky то дерево, представляющее С, содержит бесконечные повторения
а аа а
zi ‘2lk ‘1*2
что противоречит конечности С. Следовательно, а = (so, sb ... .Sn-i) при подходящей нумерации состояний. Пусть буква ЬеА тоже действует на S как нетривиальная подстановка Б. Тогда, как и выше, Б есть цикл длины п из состояний So, si, ... ..., sn_x. Допустим, что sn-\b = Si, где I ¥= 0. Тогда равенство Sian-i-xb = sn-\b = Si приводит к бесконечным повторениям в дереве кода С, что опять противоречит конечности С. Следовательно, sn-\b = s0. Рассуждая по индукции, предположим, что sn_ib = Sn-t+i для Z= 1, 2, ..., к. Тогда равенство sn-k-\b = Si невозможно при i > п — к или i = 0, так как Б — подстановка, а при i <. п — к оно невозможно, так как соотношение Sian-k-l-xb = Si снова дает бесконечные повторения. Таким образом, sn-k-\b = sn-k для всех к, 0 < к < п, откуда Б = = (s0, Su ..., Sn-J. Поскольку любое слово w, действующее на S как нетривиальная подстановка, есть произведение букв с тем же самым свойством, U будет циклической группой порядка п, порожденной циклом (s0, si, ..., s„_i) □.
Следствие 1.3 (Шютценберже [1956]). Если конечный префиксный код С с А* таков, что М(С*) есть группа G, то G— циклическая группа порядка п, а С = Ап.
Группы Сушкевича рациональных префиксных кодов
Напомним, что язык L^A* тогда и только тогда порождается некоторым префиксным кодом С, когда существуют транзитивный или О-транзитивный Д*-автомат §1 и состояние s0 (не являющееся неподвижным), такие, что L = {we A*: sow = so). Другими словами, язык L = С* является стабилизатором некоторого состояния в [0] -транзитивном Д*-автомате. Мы будем систематически использовать термин «[0]-транзитивный», называя так Д*-автомат 81 = (5Д), который либо транзитивен (т. е. для любых t,t'eS существует такое weA*, что /(/, ®) = /'), либо 0-транзитивен (т. е. 81 имеет неподвижную точку s, и для любой пары (t, t'), исключая пары вида (s, f), где t'5^ s, существует такое w е А*, что {{t, w^=t'Y
Возьмем Д*-автомат 81 = (5, f) и состояние seS. Определим отношение ps на 5, положив
(h> t^e ps, если и только если {we Д’: tlw=s^={we A*: t2w—s}.
Можно проверить, что ps— конгруэнция на 81 и что класс элемента s есть (s). На самом деле ps — наибольшая конгруэнция на 51, для которой класс элемента s состоит только из s. Мы назовем ps конгруэнцией, максимальной в точке s.
Предложение 2.1. Пусть дан [0] -транзитивный А*-автомат 81 = (S, /). Автомат 81 тогда и только тогда будет минимальным А*-автоматом, распознающим С* для некоторого префиксного кода С, когда существует состояние s0 е 5, отличное от неподвижного и такое, что конгруэнция, максимальная в точке s0, совпадает с равенством.
Доказательство. Если 81 — минимальный Л*-автомат, распознающий С*, то С* = {щ е Л *: sow = s0} для некоторого s0 е 5. Рассматривая факторавтомат 8l/pSo, получаем {феД*: C/(sq)®= = C/(so)} = С* (включение С* в левую часть очевидно; с другой стороны, (зощ> so)EpSo влечет sow = so и потому феС*). Так как С* распознается автоматом 3l/ps0, из минимальности 81 следует, что pStl есть равенство. Обратно, предположим, что конгруэнция на 81, максимальная в точке s0, совпадает с равенством. Язык L = {щеД*: sow = s0} порождается некоторым префиксным кодом С, т. е. L = С*. Если р — произвольная конгруэнция на 81, такая, что C*=(weA*: Cl(so)w = Cl(s0)}, то мы утверждаем, что p-класс элемента so есть {s0}. В самом деле, допустим, что (/, So) Ер. Так как 81 [0]-транзитивен, a s0 не является неподвижной точкой, существует такое те А*, что som =/. Это влечет СДро^т = C/(Z) = CZ(s0), откуда т е С*. Следовательно, som = so и поэтому s0 = Е Таким образом C/(so)= {so}. По определению pSo мы имеем p = pS;, откуда получаем, что р совпадает с равенством. Это показывает, что 81 есть минимальный Д*-автомат, распознающий С*. □
Чтобы лучше проникнуть в суть [0] -транзитивных автоматов, рассмотрим подробнее моногенный случай. Пусть 81 = (S, f) есть моногенный Д*-автомат и Sq = {ZeS: M* = S} — множество состояний, порождающих .81. Как обычно, обозначим через Т^ моноид переходов автомата 81, а через т: Д*^-Т(81) канонический гомоморфизм (см. гл. 6, § 1). Для любого teS определим в Т^) стабилизатор Stab(t) элемента t, положив Stab (/) = {m Е Т(81): tm = Д (простоты ради мы обозначаем действие элемента теТ (81) на t е S посредством tm вместо /т(ш)). Stab(Z) есть подмоноид в Т(81) и содержит минимальный идеал It. Будучи регулярным ^-классом в Stab(Z), It содержится в регулярном ^-классе из Г (81), который мы обозначим через Dt и назовем S-классом состояния t в 7'(81).
Лемма 2.2. Пусть 81 = (5, /) — моногенный А*-автомат. Любые два состояния из S, порождающие 81, имеют один и тот же S-класс в 7'(81).
Доказательство. С учетом введенных выше обозначений мы должны показать, что Dtx — DtT для любых h, h е So- Так как t\, t^eSo, существуют ть т2^Т(21), такие, что t\m\ — f2, t2m2 =/1 . Для любого х е hx мы имеем t\X = t\ и поэтому Z2m2xmi = <2- Следовательно, maxm\ е Stab(/2). Если D' обозначает 0-класс элемента m2xmx в Т^), то, используя упорядочение 0(=^")-классов, получаем Dt2^.D' ^Dtx. Аналогично получим Dt^D" ^Dt„ взяв 0-класс D" элемента m^ym^ и s eh,. Это показывает, что Dtx = Dt2. □
Определение 2.3. Если дан моногенный А*-автомат 91, то 0-класс из Т^) состояний, порождающих 91, называется ©-классом автомата 91 и обозначается через 0(91).
Для моногенного А*-автомата 91 с множеством So порождающих состояний определим минимальный ранг г (91) автомата 91 формулой
r(9l) = min {rank х: хеШ) и So f] Imx =£ 0).
Предложение 2.4. Пусть 91 — моногенный А*-автомат, имеющий минимальный ранг г (91) и множество So порождающих состояний. Тогда ©-класс автомата 91 в Т^) задается формулой
О (91) = {х Е 7’(9l): rankx = r(9l) и So f] Imx =/= 0).
Доказательство. Мы неоднократно будем пользоваться свойствами гриновских отношений в полугруппе преобразований (см. гл. 2, §4). Предположим, что хе 0(91). Тогда х©у для некоторого уеТ^, лежащего в минимальном идеале из Stab(so), soeSo. Отсюда следует, что у = ихи для некоторых и, иеТ^ и, таким образом, squxv = so. Положив t = soux, получим to — s0, откуда ZeSoHImx. Чтобы доказать равенство rank х = г (91), достаточно показать, что D^ содержит по крайней мере один элемент ранга г(91), потому что 0(91)—регулярный 0-класс, и все его элементы должны иметь один и тот же ранг. Поэтому рассмотрим произвольный хеТ^, для которого rankx = г (Й) и So П Im* =# 0- Взяв t е So f| Im х, найдем такое So е S, что Sox = t. Тогда So е So и, поскольку ty — s0 для некоторого уеТ^, получаем ху е Stab(s0). Для произвольного z из минимального идеала /,, в Stab (so) будем иметь xyzels„ т. е. хТ (91) f| I s. N= О• Отсюда следует, что существует идемпотент е е хТ(У) Q Is„ (можно выбрать е из ^-класса элемента xyz в Stab(s0)), такой, что rankе = rankх = г(91)' Но е = ху для некоторого оеТ^ и, значит, Кегх^Кеге. Вместе с равенством rank х — rank е это дает равенство Кегх = == Кег е, показывающее, что х и е ^-эквивалентны в 0r(S). Следовательно, х = ех и х^е в Т(91), откуда х е 0(91). □
Если 91— транзитивный Д*-автомат с множеством состояний S, то So = S и г(9) есть минимальный ранг моноида преобразований Т(91) (см. гл. 2, § 4). В этом случае Z)(90 совпадает с минимальным идеалом моноида Т(%). Если 31 О-транзитивен, то S0 = S\{s}, где s— неподвижная точка. Следующий результат показывает, что в этом случае 0(91) является Ф-классом единственного 0-минимального идеала в Т(9И).
Предложение 2.5. Пусть 91— моногенный А*-автомат и D^ — его 3)-класс в моноиде переходов Т^у Следующие условия равносильны:
91 О-транзитивен;
Т(91) имеет нуль 0, и O(9l)(J {0} есть 0-минимальный идеал в Т^у
Далее, если 91 О-транзитивен, то 0(9l)U {0} является единственным О-минимальным идеалом в Т (91), минимальный ранг автомата 91 есть г (91) = min {rank х: х г 1(91) и rankx#= 1}, а 0(91)— {хе Т^у. гапкх = г (91)}.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Для любого хе Т(51) неподвижная точка s лежит в Imx. Возьмем элемент хоеТ(%) минимального ранга и предположим, что Im х0 содержит состояние t=#s. Так как 91 О-транзитивен, существует такой уе Т^у что ty — s. В силу минимальности ранга хо имеем Кег л'о — = Кег хоу (вообще говоря, Ker х s Ker ху). Однако sx0 = s, tiX0 = t для некоторого СОСТОЯНИЯ t\, НО sxoy = S, t\Xoy — S, что противоречит равенству Кегхо= Кегхог/. Следовательно, 1шх0= = {s} и элемент х0, который мы будем обозначать теперь через 0, является нулем в 7’(91). Далее, S0 = S\{s}, и определение г(91) дает г (91) = min {rank х: хеТ(%) и rank х =/=!}. Отсюда следует, что £>(91)(J {0} есть идеал в 7(91). Для любого хе 7(91), х#=0, существует iElmx, t#=s. Положив Ух = t, найдем такой элемент ие Г(91), что tv — t\. Тогда хи е Stab (Л). ^5-класс, содержащий минимальный идеал из Stab(ti), есть в точности 0(91). Таким образом, D (91) ^ Dxv ^ Dx относительно обычного упорядочения ^-классов. Поэтому 0(9l)U {0} £ 7(9I)x7(9l), т. е. О (91) U {0} содержится в любом идеале из Т(91), отличном от {0}, и это показывает, что 0(91)0 {0} есть единственный 0-мини- мальный идеал.
(Ь) влечет (а). Допустим, что 0(91)0 {0} есть О-минималь- ный идеал в Т(91). Рассмотрим произвольный 5?-класс R из 0(91) и определим Д*-автомат 93 с множеством состояний R 0 {0} и действием rw = rx(w) для любого we А*. Свойства отношения S3 показывают, что 93 О-транзитивен, имея 0 в качестве неподвижной точки. Определим отображение ср: 93 ->91 следующим образом: зафиксируем состояние soeS\{s}, которое не отобра-
жается на s хотя бы одним элементом из R1), и положим ф(г)==5ог для любого reRU{0}. Легко проверить, что ср является А *-автоматным гомоморфизмом. Мы утверждаем, что ср сюръективен. В самом деле, в силу выбора so существует такой neR, что sori = t, где t^s; взяв ХЕЖ) так, чтобы было tx = Sq, получим So^x = So, т. е. ■ г2 = г\х Е R. Каково бы ни было /eS\{s}, найдется такой г/еТ(81), что soy = 1. Отсюда следует, что s0r2y = t и r2y ^.R. Наконец, soO = s, что завершает доказательство сюръективности ср. Так как сюръективный гомоморфизм сохраняет свойство О-транзитивности, 81 О-транзитивен. □
В последней части доказательства предложения 2.5 мы по ходу дела показали, что для любого t е 3 существует z е R, такой, что t elmz.
Следствие 2.6. Пусть 81 есть [0] -транзитивный А*-автомат, S — его множество состояний, as — неподвижная точка.
Для любого Й-класса R, лежащего в 0(81), мы имеем
S\ {s} = игеЛ Imz> где Imz = Imz \ {s}.
Если 0(81) имеет единственный 3-класс, то Т^) — группа либо группа с нулем.
Доказательство, (а) доказано выше. Чтобы доказать '(b), допустим, что 0(81) имеет единственный S’-класс; тогда любой ^-класс R в 0(81) является ^-классом и, в силу (a), S\(s) = = Imz для всех zeR. Следовательно, любой z е R индуцирует подстановку на S\(s}, и Т^ есть группа или группа с нулем. □
Предложение 2.7. Пусть 81 есть ^-тРанзитивный А*-авто- мат, a D^—его Ф-класс в моноиде переходов 7(81).
Для любого идемпотента е из 0(81) максимальная подгруппа Ge действует транзитивно и точно на множестве Im е = = Ime\{s} (s — неподвижная точка в 81).
Для любых двух идемпотентов е, { из D^ группы подстановок Ge на Im е и G; на Im / подобны.
Доказательство, (а) Для любых g е Ge и ielme действие g на t обозначается через tg (имеется в виду действие Т(81) на S). Ясно, что (Im e)g = Img = Im e, так как g и e S'-эквивалентны. Пусть tx, I2Elme, причем t\ = s^, I2 — s2e. Поскольку 81 [0]-транзитивен, существует хе Т(81), такой, что txx = s2. Тогда Gexe = ts\e^exe = t\xe = s2e = t2 и exeeG6, что доказы-
*) Если такого состояния нет, то, как можно проверить, D($l) U (0) сводится к (0) и, следовательно, не является О-минимальным идеалом. — Прим, перев.
9 Зак. 474
вает транзитивность действия Ge на line. Пусть gi, g2^Ge— различные преобразования в Т(51). Тогда для некоторого (eS\{s} будет tg\=/=tg2. Поскольку Im е трансверсально к Ker g\ = Ker g2 = Ker e, существует в точности один элемент Zoelme, такой, что togi — tgi и t0g2 = tg2. Равенство t0 = s невозможно, ибо оно влекло бы tg\ = tg^. Поэтому fpElme, togi ^ toga, что доказывает точность действия Ge на Im е.
(Ь) Если е и f— идемпотенты из £>(51), возьмем ueRef\Lf и уе/^ПДо удовлетворяющие равенствам uv = е и ou = W Правый сдвиг рм и левый сдвиг определяют биекции Le на Lt и Re на Rf соответственно. Отображение ср: Ge-^Gf, заданное равенством ф(§') = ugu, есть изоморфизм. Определим %: 1ше->
Im/, положив х(0—to. Для Beirne мы имеем t = te и Zu е Im u = Im f. Если to = s, to tuu_=te==s, откуда t — s. Следовательно, % отображает Ime в Im f. Отображение f>—>t'v из Im / в Im e является обратным к %, откуда следует, что % — биекция. Для любых lElme и g е Ge получаем х(^) — tgu = = tuvgu = (/и)ф(^) = х(0ф(§') • Это показывает, что пара (X, ф) определяет подобие групп подстановок Ge и Gf, действующих на Ime и Im f соответственно. □
Определение 2.8. Для [0]-транзитивного Д*-автомата 51 транзитивная группа подстановок Ge, действующая на множестве Im в = Im e\{s}, где е— идемпотент из 0-класса автомата 51, a s — неподвижная точка в 31, называется группой Сушкевича автомата 51 и обозначается посредством G(5l). Группа Сушкевича G{C) префиксного кода С^А* определяется как G(8l), где 51 — минимальный Д*-автомат, распознающий С*.
Мы исследуем природу группы G(C) более детально в следующих параграфах.
Автоматные конгруэнции и разложения префиксных кодов
Рассмотрим Д*-автомат 51 с множеством состояний S и конгруэнцию р на 51. Кроме факторавтомата 51/р мы будем рассматривать Mp(t)-автомат, действующий на p-классе р(/) состояния teS, где моноид MP(Q определяется формулой
Afp(/) = {w е A*: twpf}.
Для weMp(f) hCg p(t) действие w на t' задается действием в 81. Этот Мр(^)-автомат обозначается посредством 8lp(f) и на-
‘) О существовании таких элементов см. рассуждение перед предложением 2.10 в гл. 2. —■ Прим, персе.
зывается автоматом, индуцированным автоматом 51 на p(t). Очевидно, конгруэнция р' с р определяет, после сужения на р(0> конгруэнцию на индуцированном автомате. Докажем, что обратное также справедливо.
Предложение 3.1. Пусть р — конгруэнция на А*-автомате 51 и Э1Р(/)— автомат, индуцированный автоматом 51 на р-классе состояния t из 51. Для любой конгруэнции о на 3(р(/) существует конгруэнция р' = р на 31, сужение которой на p-класс элемента t совпадает с а.
Доказательство. Для любого ZiEp(Z) обозначим через б^ конгруэнцию на 51, определяемую условием: (s, s'^edt,, если и только если (феД*: (sm, Zi)eo} — ДеД*: (s'w, ^)ео). Конгруэнция б/, — это наибольшая конгруэнция на 81, для ко- торойео(/1) является объединением классов. Образуем б = = П<, е р (р ^, и Pz = Р П б. Простая проверка показывает, что (К, Нес влечет (К, С') е б<, для любого h е р^. Следовательно, с содержится в сужении конгруэнции р' на р(/). Обратно, если состояния t', /"ер(0 р'-эквивалентны, то, в частности, V', Иебг. Но (?1, Пес. Из определения аг вытекает тогда, что (f'l, К)е а. □
Рассмотрим минимальный Д*-автомат 81 (С*), распознающий С* для некоторого префиксного кода С г А*. Для любой конгруэнции 6 на 81 (С*) мы имеем C*cAl0(so), где So— начальное и заключительное состояние автомата 81(С*). Но для и, уеД* из ии е Afg(so) и uEAle(so) следует уеЛ10(8О). Это означает, что Me(so) = C0 для некоторого префиксного кода С6. Так как C'sCo, код С разлагается над С0 (гл. 5, определение 3.4): С = С9 ® Со, где Се — код над алфавитом, равномощным коду С0. Заметим, что Со является стабилизатором в А* класса 0(so). Таким образом, минимальный Д*-автомат 51 (С0) является факторавтоматом Д*-автомата 81 (С*)/0.
Предложение 3.2. Для любой конгруэнции 0 на минимальном А*-автомате 81 (С*) существует разложение префиксного кода С, С = С6 ® С9, такое, что
Се — префиксный код из А* и минимальный А*-автомат 51 (Со) есть факторавтомат автомата 81(С*)/0;
Се — префиксный код над алфавитом У, равномощным коду С0; минимальный ¥*-автомат, распознающий (С9)*, изоморфен С*6-автомату, индуцированному автоматом 81 (С*) на классе O(so), где s0 — начальное и заключительное состояние в 81 (С*);
если 0 не совпадает с равенством и С^=А, то С‘еС0, а если 0 не является универсальной конгруэнцией, то С9 — полный префиксный код,
Доказательство. Существование разложения и утверждение (а) были доказаны выше. Равенство С = Се ® Се означает, что С = ср-1 (С9), где ф: Сд -> У* — изоморфизм, продолжающий биекцию Се на Y, а С6 — код над Y (очевидно, префиксный). Определим У*-автомат Э, взяв 0(so) в качестве множества состояний, а действие слова хе У* на (eO(so) задав равенством tx = —/ф-1(х), где справа указано действие в автомате 91 (С*). Это определение корректно, т. е. ZxE0(so), поскольку ф-1(х) е С*е= = {щ е A*: sQw Е 6 («о)}. Ясно, что при отождествлении У с Со автомат 93 изоморфен Сд-автомату 9lg(s0), индуцированному автоматом 91 = 91 (С*) на O(so). При этом (С9)* = {х е У*: sox = = s0}, т. е. 93 распознает (С0)*. Допустим, что 93 не является минимальным У*-автоматом, распознающим (С9)*. Тогда на 93 существует нетривиальная конгруэнция о, такая, что (С9)* = = (х г У*: (sox, s0) go}. Будучи эквивалентностью на 0(so), а является конгруэнцией и на 9le(so). В силу предложения 3.1 существует нетривиальная конгруэнция 6'^6 на 91(С*), сужение которой на 0(so) совпадает с о. Так как С = ф~1(Се), нетрудно видеть, что С*={щеД*: (sow, so)e0/}. Это противоречит минимальности автомата 91 (С*) и, следовательно, доказывает минимальность 93. Если 6 не совпадает с равенством, то в 91(С*) имеются такие состояния Л, 4, что /Д^ и /1 =/=/2. Согласно предложению 2.1, конгруэнция, максимальная в точке s0, совпадает с равенством. Это означает, что tiio = s0 и t^w у= so для некоторого w G Д*. Но тогда /]6/2 влечет 506/2щ, где t2w #= so, т. е. 0(so)=/= {so}. Если 0(so) содержит неподвижную точку s из 91 (С*), то 0— универсальная конгруэнция, а Се = Д. Если 0(so) не содержит s, то, взяв Ze0(so), /#=s0, и такое слово шеД*, что som = t, мы получим щ е Cg, w ^ С* и поэтому С* с Сд. Наконец, если конгруэнция 6 не универсальна, для любых /ь /2 е @6(s0) существует такое шеД*, что t\w = t2. Так как /t0/20so, получаем som0so, откуда w е Сд. Это доказывает транзитивность автомата 9te(s0), а значит, и автомата 93, и, следовательно, С9 — полный префиксный код. □
Следствие 3.3. Если префиксный код С s А* неразложим, то 91 (С*) не имеет собственных конгруэнций.
Для неполного префиксного кода С автомат 91 (С*) имеет неподвижную точку s, и можно проверить, что конгруэнция ps, максимальная в точке s, является в действительности единственной максимальной конгруэнцией на 91(С*). Руководствуясь этим, мы обозначаем ps через р, а соответствующее разложение С = = Св ® Си называем максимальным разложением кода С. Наша цель — доказать, что группы Сушкевича С (С) и С (Св) суть подобные группы подстановок. Следовательно, при изучении групп С (С) мы можем ограничиться случаем, когда С—полный код.
Пусть G— группа подстановок, действующая транзитивно и точно на множестве S. Эквивалентность р на S, устойчивая относительно действия G, называется импримитивностью группы G. Сама G называется импримитивной группой, если на 5 существует нетривиальная импримитивность. Для данной импримитивности р группы G множество Np = (g 6 G; sgps для всех seS} является нормальной подгруппой в G, и группа G/Np действует транзитивно и точно на множестве S/p. Эта группа подстановок называется факторгруппой импримитивности группы G. Факторгруппа импримитивности группы G является группой переходов G-автомата с множеством состояний S/p. Аналогично группа подстановок, индуцированная на классе импримитивности p(s), определяется как группа переходов Hs-автомата, где Hs~ {g^G-. sgps}, с множеством состояний p(s). Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство того, что все группы, индуцированные на различных классах импримитивности, являются подобными группами подстановок. Это позволяет нам назвать любую из них группой, индуцированной на классе импримитивности (не указывая класса).
Предложение 3.4. Пусть 91 есть [^-транзитивный А*-автомат up — нетривиальная конгруэнция на %. Сужение р на множество Im е = Im e\(s}, где е— идемпотент из 3)-класса автомата 91, определяет импримитивность группы Сушкевича G(9l).
Группа Сушкевича G(9l/p) подобна факторгруппе импримитивности группы G(9l).
Для любого состояния t, t=#s, группа Сушкевича О (МО) автомата 91р(7), индуцированного автоматом 91 на классе p(t), подобна группе, индуцированной группой G(%) на классе импримитивности.
Доказательство, (а) Конгруэнция р определяет канонический гомоморфизм ср: Т(91)-> 7'(91/р). Обозначая через 1 и J единственные [0]-минимальные идеалы моноидов 7(91) и T^t/p) соответственно, получаем /сф-Д), Следовательно, ф(/)с/ и Ф(7) = {0} либо ф(7)=/. Допустим, что ф(7)—{0}. Тогда для любого хе 7 образ преобразования ф(х) на S/p состоит только из p-класса p(s) неподвижной точки автомата 91. Поэтому Imxsp(s) для любого х е 7. Это невозможно, если р не совпадает с универсальным отношением на S. Следовательно, ф(/)= J и ф(7)(91)) = D(9l/p). В частности, если Ge—максимальная подгруппа из 0(91), то ф^?) = 6ф(е), а 1тф(е) совпадаете фактормножеством (Ime)/p. Это показывает, что группа G(9l/p) подобна факторгруппе группы G(9l), отвечающей импримитивности, полученной сужением р на Im в.
Автомат 91р(/) транзитивен (доказывается точно так же, как и утверждение (с) из предложения 3.2), Напомним, что 91р(/) есть Л/р(/)-автомат, где Л1Р (/) = (щ е A*: /дар/}, и что множеством его состояний служит р(/). Если т обозначает, как обычно, гомоморфизм т: А*->-7'(91), определим т(да) для любого ФеД4р(/) как сужение т (да) на р(/). Тогда T(^p(t)) = t(Afp(/)). Заметим, что т(Л1р(/)) содержит стабилизатор состояния / в Т^. Согласно лемме 2.2 и определению 2.3 класса D^, минимальный идеал из Stab(/) содержится в D^. Поэтому т(Мр (/))() O(9l) = D является минимальным идеалом в т(Л1р(/)). Отсюда следует, что O(9lp(/)) = D, где 5 — множество сужений на р(/) всех преобразований из D. Сужение е на р(/) идемпотента eeD дает идемпотент в 5. Обозначим через Ge соответствующую максимальную подгруппу из Т(^) и рассмотрим Н = = [gsGe: tgpty Тогда Н— подгруппа в Ge, причем она является в D максимальной подгруппой с единицей е. Ее образ fl в D, действующий на ImeQp(/), есть группа Сушкевича О(91р(/)) и в то же время это группа, индуцированная группой Ge на классе Imef]p(0 импримитивности, являющейся сужением р на Im е. □
Следствие 3.5. Пусть 81 есть [^[-транзитивный А*-автомат. Если р — нетривиальная конгруэнция на 91, такая, что для некоторого идемпотента eeD^ множество Im е целиком содержится в p-классе, то группа Сушкевича 0(91) подобна группе Сушкевича G(^\p[t)) транзитивного автомата 91р(/), индуцированного автоматом 91 на классе р(/) некоторого состояния / из 91, отличного от неподвижной точки.
Доказательство. Если Ime содержится в некотором р-классе, то факторгруппа импримитивности группы G (91) является тривиальной группой, действующей на одноэлементном множестве. Поэтому группа 0(91) подобна группе, _индуцированной ею на единственном классе импримитивности Ime. В силу предложения 3.4 это влечет подобие групп 0(91) и 0(91р(/)). □
Предложение 3.6. Пусть 91 есть О-транзитивный А*-автомат с неподвижной точкой s, а р— конгруэнция, максимальная в точке s. Для любого идемпотента ее 0(91) множество Ime = = Ime\(s} содержится в некотором р-классе.
Вместе со следствием 3.5 и предложением 3.2 это дает объявленный ранее результат:
Следствие 3.7. Пусть С — неполный префиксный код и С = = С^®С^ — его максимальное разложение. Группа G(C) подобна группе G^C^Y полного кода С11, а группа G(Cy,[ тривиальна.
Для доказательства предложения 3.6 нам нужна
Лемма 3.8. Пусть 91 есть [0] -транзитивный А*-автомат, D^l)— его Ф-класс в 7(91). Для произвольного ^-класса Р ^ОЙ) определим А*-автомат 53, взяв /?U {0} в качестве множества состояний и задав действие моноида А* формулой rw = = n(w) (г s R (J {0}, we А*, т: Д*-*-7(91)). Тогда существует сюръективный гомоморфизм ф: 93^-91.
Доказательство. См. доказательство «(b) влечет (а)» в предложении 2.5. Можно взять So е Im е для некоторого идемпотента eeR и определить ф, положив ф(г) = $ог для любого reR, Ф (0) — s. □
Доказательство предложения 3.6. Пусть 91 есть 0-транзитив- ный Л*-автомат, S3 определен так же, как в лемме 3.8, а ф: S3 -*-91— как в ее доказательстве: ф(г) = $ог для некоторого so s Ime, е = е2 е R. Обозначим через ц0 конгруэнцию на S3, максимальную в точке 0, и убедимся, что КегфЕ ц0- Предположим, что ф(г1) = ф(г2), т. е. 80Г1 = з0Г2. Справедлива следующая логическая цепочка:
г,щ = 0 <=^ ф (rxw) = s <=^ ф (г2щ) = s <=> r2w = 0.
Таким образом, (и, г2)ец0 и Кегф^ц0- Отсюда следует, что (И, г2)е цо, если и только если (ф(Г1), ф(г2))е ц. Простая проверка, которую мы опускаем, показывает, что максимальная подгруппа Ge содержится в ц0-классе. Для доказательства того, что Im с содержится в некотором ц-классе, возьмем t\, t2e Im е. Существуют гх, г2еТ^, такие, что sori = tx, sor2 = t2. Это влечет soerxe = t\, s0er2e—t2, где erxe, er2eeGe. Так как (вне, ег2е)ец0, имеем (ф(ег]в), ф(ег2е))ец или (/ь Цец. □
Группы Сушкевича полныхпрефиксных кодов
Определение 4.1. Префиксный код С^А* называется синхронизированным кодом, если существует такое слово w е А*, что А*югС*. В этом случае слово w называется синхронизирующим словом или синхронизатором кода С.
Например, код С = {а}*Ь над алфавитом А — {а, 6} является синхронизированным кодом. Чтобы соотнести синхронизированные префиксные коды и коды с синхронизирующими парами (гл. 7, определение 2.10), заметим, что при условии Л*® £ G С* код С полон (для любого хе А* имеем xw е С*) и любая пара вида (w, w') является синхронизирующей парой для С. Обратно, пусть полный префиксный код С имеет синхронизирующую пару (w, w')-, в силу полноты С для любого хе А*
существует у еА*, такое, что xww'y е С*; это влечет xw е С* и показывает, что A*w s С*. Таким образом, синхронизированные префиксные коды — это в точности коды с синхронизирующими парами. Опыт показывает, что «почти все» рациональные полные префиксные коды синхронизированы. Следующее предложение обеспечивает алгоритм для определения того, будет ли данный рациональный код синхронизированным.
Предложение 4.2. Пусть С Ф А — рациональный префиксный код из А*. Следующие условия равносильны:
С — синхронизированный код;
синтаксический моноид М^С*) не имеет нуля, и группа Сушкевича О^С) тривиальна.
В этом случае минимальный идеал в М(С*) является полугруппой правых нулей.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если С синхронизирован, то для любого zeA* имеем zw е С*, где w— синхронизатор кода С. Следовательно, минимальный автомат 91 (С*) не имеет неподвижной точки. Поэтому С полон, а Л1(С*) не имеет нуля. Если So обозначает начальное и заключительное состояние автомата 91(С*), то sqX* = S и Sw = $оД*а> = s0. Это показывает, что преобразование т(гу), представляющее слово w в ЛЦС*) = = Т(Я(С*)), имеет ранг 1. Отсюда следует, что группа G(C), действуя на одноэлементном множестве, тривиальна. Кроме того, все элементы из минимального идеала моноида Л1(С*) имеют одно и то же ядро — универсальное отношение на S, т. е. этот минимальный идеал содержит лишь один 52-класс, являющийся полугруппой правых нулей.
влечет (а). Если Л1(С*) не имеет нуля, то С — полный префиксный код. Так как группа 0(C) тривиальна, минимальный ранг автомата 91 (С*) равен 1. По определению ^-класса автомата 91 (С*) минимальный идеал из М(С*) содержит такой элемент пг, что s0m = So. Поскольку rank m= 1, любое слово we А*, для которого T^w^=m, служит синхронизатором кода С, так как боД*® = Sw = so влечет A*w s С*. □
Для изучения более общего случая полных префиксных кодов С, таких, что М(,С*^ имеет минимальный идеал с единственным 52-классом, нам нужна дальнейшая информация о 2)-класее Д(91) транзитивного Л*-автомата 91.
Лемма 4.3. Пусть Ж(О; I, Л; Р) — вполне простая полугруппа, изоморфная ©-классу D^ транзитивного А*-автомата 91. Если card/>l (т. е. Z)(9l) содержит более одного 91-класса^, то card Л > 1 и столбцы матрицы Р попарно различны.
Доказательство. Пусть i, / е I и i=/= j. Допустим, что рм = Рм для любого Хе Л. Тогда для любого [х; I, X] из 52-класса Ri
мы имеем
[х; г, Z][g; г, Ло] = [х; I, Л] [g; j, Хо].
Поэтому [g; i, Хо] и [g; j, Хо] действуют одинаково на множестве Ri состояний Л’-автомата 8, определенного в лемме 3.8. В силу той же леммы существует гомоморфизм <р из S3 на 91. Поэтому [g; I, ^о] и [g; j, Хо] действуют одинаково и на множестве состояний автомата 91. Это влечет [g; i, Хо] = [g; Ь ^-о], откуда I = /, что противоречит нашему предположению. Следовательно, /-й и j-й столбцы матрицы Р различны. Тот факт, что card Л > 1, вытекает из следствия 2.6. □
Лемма 4.3 также показывает, что если G тривиальна, то card/=l и D^—полугруппа правых нулей (см. предложение 4.2).
Предложение 4.4. Пусть 91 — транзитивный А*-автомат. Следующие условия равносильны:
Ф-класс D(9t) автомата 91 имеет единственный А-класс,
существует конгруэнция у на 91, такая, что Т^/у) есть группа подстановок, подобная группе Сушкевича 0(91).
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если О(9() содержит единственный 5?-класс, то ядра Кегх всех элементов xsO(9l) совпадают с одной и той же эквивалентностью у на множестве состояний S автомата 91. Пусть (Л, У^у и те 7(91). Тогда mx е D (91), и Кег тх = у дает txmx — t2mx, откуда ^tim, t2m?) е е Кег х = у. Следовательно, у — конгруэнция на 91. Положим ® = 91/у и покажем, что Т^ есть группа. Для любых те 7 (91), ti, t2eS условие t^m^t2m влечет t\mx = t2mx, где xeD^, и поэтому Gyta Следовательно, 7(91) действует на S/y так, что txm = t2m влечет ?i = l2 (It обозначает у-класс состояния 7). Отсюда вытекает, что 7(@)— группа подстановок на S/y. Покажем теперь, что для идемпотента ее 0(91) группа подстановок Ge, действующая на Ime, подобна группе 7(@), действующей на S/y. Так как Ime трансверсально к Кеге = у, отображение /ь->1 является биекцией Ime на S/y. Обозначим через Ч1" канонический гомоморфизм Ч1": 7(91)->7(@). Для любых geG,, /elme имеем /g = ?4r(g); кроме того, 4r(g)==4r(e) влечет tg = te для любого t е Im е; из условия tg^te для любого felme последовательно получаем tge = te1, tg~te и g = е; таким образом, сужение Чг на Ge есть биекция на 7(®). Следовательно, Ge и 7 (®) суть подобные группы подстановок.
(Ь) влечет (а). Пусть Ч1": 7(91)->7(91/у)— канонический гомоморфизм, а ее 0(91)—идемпотент. Для произвольного ze е 7(91/у) возьмем такой те 7(91), что 4r(m) = z. Тогда 4r(eme) = z, где етее Ge. Отсюда вытекает, что xF(Ge) = = 7(91/у), а из предположений относительно 7 (91/у) следует,
что Ч определяет изоморфизм 0е на Т(%/^. Заметим также, что Ч определяет гомоморфизм вполне простой полугруппы 0(91) на группу Т^%/^. Рассмотрим для полугруппы D^ ри- совское представление ^(0; /, Л; Р) с нормализованной матрицей Р; в силу упр. 11 из гл. 3 ядро сужения Ч на О должно содержать все элементы из Р. Тот факт, что Ч взаимно однозначен на G, показывает, что рм есть единица группы G для любых 1г1, X е Л. По лемме 4.3 card/ = 1, т. е. £(91) имеет единственный 58-класс. □
Следствие 4.5. Пусть С — полный префиксный код. Если минимальный идеал синтаксического моноида М(С*) является 91-классом, то С имеет разложение С — Ct ® Су, где Ct — синхронизированный код, а Су — такой код, что М (С*) есть группа, подобная группе Сушкевича G(C).
Доказательство. В силу предложения 4.4 на 91 (С*) существует такая конгруэнция у, что Т(91(0*)/у) есть группа, подобная группе 0(0). В силу предложения 3.2 имеем С = Cv ® Су. В силу предложения 3.4 группа G(CY) подобна группе G(9l(С*)/у), а значит, и 0(0), а группа О^С^ тривиальна (импримитивность группы 0(0), определяемая конгруэнцией у, совпадает с равенством). В силу предложения 4.2 код Cv синхронизирован. □
Следствие 4.6. Пусть С — конечный полный префиксный код. Следующие условия равносильны:
минимальный идеал синтаксического моноида М^С*) имеет единственный ^-класс;
С = £ ® Ап, где D — синхронизированный код, ап - порядок циклической группы G{C).
Доказательство. ^ влечет (Ь). Применив следствие 4.5, получим С = Ct ® Су, где оба кода Ct, и Су конечны. В силу следствия 1.3 имеем Су = Ап, и группа 0(CY), а значит, и 0(0)— циклическая порядка п.
влечет (а). Это вытекает из одного замечательного свойства конечных полных префиксных кодов, которое будет установлено позже (теорема 5.6): для любого разложения С = Ь®Е существует конгруэнция у на 91(0*), такая, что 7'(9((С*)/у) = = М(£*). Для Е — Ап моноид М(£*) является циклической группой порядка п, и (а) следует из предложения 4.4. □
В следующей лемме мы начинаем изучение общего случая, когда £(91) содержит более одного 58-класса.
Лемма 4.7. Пусть 91 — транзитивный А*-автомат, такой, что минимальный идеал D(9l) из Г(91) содержит более одного 91-класса. Если для некоторых х, уед^) выполняется уело-
вие Im х П Im у ^ 0, то существуют представление Z)(8l) в виде рисовской матричной полугруппы Jt(G\ I, Л; Р) над группой GcD^, причем xeLx„ у е Lx„ и состояние t автомата 31, такие, что 1рхл = 1рхл для любого lei.
Доказательство. Пусть е—идемпотент из D^, a G — максимальная подгруппа с единицей е. Через Pi обозначим 52-класс идемпотента е, а через L\ — его S’-класс. Выберем координатную систему qx = eix и г, =ец, взяв в качестве ехх и еи идемпотенты из Pi и L\ соответственно. Задав Р равенствами pxi = = qxn = exiei\, согласно гл. 3, § 2, получим Z)(8l)^Jt(G\ I, Л; Р). Предположим, что t' slmzplmy. Тогда t' е Im еХх, П Im е^,. Поскольку eSlexx,, множество Imelkl трансверсально к Кеге. Следовательно, существует единственное Beirne, для которого teXx, = f. Отсюда вытекает, что teXxxeXx, = t'eXx, = t', т. е. teXxx = = texxa. При умножении справа на ец это дает tpxa — tpx^ для любого I е I. □
Напомним, что группа подстановок G на множестве S просто транзитивна, если для любых sb s2e S существует единственный элемент g е G, такой, что sxg = s2. Это равносильно условию sgV=s для любых seS,geG,g=#e.
Теорема 4.8. Пусть 81 — транзитивный А*-автомат, такой, что £>(81) содержит более одного Si-класса, а группа Сушкевича G(8l) просто транзитивна на Ime (е = е2 е 0(81)). Тогда на 81 существует конгруэнция р, отличная от универсальной и такая, что группа G(8l/p) тривиальна.
Доказательство. Взяв идемпотент ееГДДр выберем координатную систему так, как указано в доказательстве леммы 4.7. Если Im х Л Im у ^ 0 для некоторых х, yeD(9l), то по лемме 4.7 существует состояние t из 81 (фактически <Elme), такое, что tpxxi = tpxy для любого lei. По лемме 4.3 это влечет X] = Х2, т. е. х$у и, следовательно, Imx = Imy. Тот факт, что 1тхЛ Л 1т у ^ 0 влечет Im х = 1т у для х, у е D(9l), вместе со следствием 2.6(a) означает, что множества Imx, хе D(81), составляют разбиение множества S состояний автомата 81. Обозначим через р отвечающую этому разбиению эквивалентность. Простая проверка показывает, что р устойчива относительно действия А* на S. Следовательно, р — конгруэнция на 31. По лемме 4.3 card 1 > 1 влечет card А > 1, т. е. р имеет по меньшей мере два класса. В силу предложения 3.4(a) группа G(3l/p) подобна факторгруппе импримитивности группы G(8l), а эта факторгруппа тривиальна. □
Следствие 4.9. Пусть 81 — транзитивный А*-автомат, у которого группа Сушкевича 0(91) просто транзитивна на Ime
^e = e2eG^Y Тогда существует конгруэнция 0 на 91, такая, что
группа 0(91/0) тривиальна;
2)-класс D^^t)) автомата ^(t), индуцированного автоматом 91 на 6-классе состояния t из 91, содержит единственный Й-класс.
Доказательство. Пусть 0 — наименьшая конгруэнция р на 91, для которой группа G(9l/p) тривиальна. Так как 0(91/0) тривиальна, соответствующая импримитивность группы 0(91) имеет только один класс, и для любого состояния / из 91 группа G(9I0(^)) подобна группе 0(91) в силу предложения 3.4. Следовательно, О(91а(0) просто транзитивна. Допустим, что Е>(910(/)) имеет более одного 5?-класса. Тогда по теореме 4.8 на 91а(0 существует конгруэнция р, отличная от универсальной и такая, что группа 0(91е(0/р) тривиальна. В силу предложения 3.1 существует конгруэнция р на 91, р Е 0, сужение которой на 0-класс состояния t совпадает с р. Если мы докажем тривиальность группы G(9l/p), это приведет к равенству р = 0, откуда р — универсальная конгруэнция; полученное противоречие покажет, что наше допущение о классе D(9te(^)) ложно. Чтобы доказать тривиальность G(9l/p), заметим, что, согласно предложению 3.4, группа G(9l/p) (соответственно G(9l6(0 /р)) подобна факторгруппе импримитивности группы G(9Г) (соответственно G(9I0(^))), где импримитивность определяется сужением конгруэнции р (соответственно р) на Im е. Здесь е — единица группы G(9l) (соответственно G(9l0(/))), являющаяся элементом из 0(91) (соответственно из О(91а(0))- Поскольку G(9l/0) тривиальна, любое множество вида Im е (ее 0(91)) содержится в некотором 0-классе, и можно выбрать ее 0(91) так, чтобы Im е лежало в 0-классе состояния t. Отсюда следует, что сужения отношений р и р на Im е совпадают. Поэтому импримитивности групп G(9l) и G(9le(0) на Im е также совпадают. Это влечет подобие групп G(9l/p) и G(9l0G)/P) и, следовательно, тривиальность группы G(9l/p). □
Следствие 4.10. Пусть С — полный префиксный код. Если группа Сушкевича G(C) является просто транзитивной группой подстановок, то С допускает разложение С — D® Е ® D', где D и D' — синхронизированные префиксные коды, а Е — такой префиксный код, что синтаксический моноид М (Е*) есть группа, подобная группе G(C).
Доказательство. Применение следствия 4.9 к 91 (С*) дает разложение С=С9®С0 (см. предложение 4.2). где G(Cq) тривиальна, G(C6) подобна группе G(C), а 2)-класс автомата 91((С6)*) сводится к единственному ^-классу. В силу предложения 4.2 код С0 синхронизирован. Согласно предложению 4.4,
на 91((С9)*) существует такая конгруэнция у, что моноид переходов факторавтомата подобен группе G(C9). Применяя предложение 3.2, получим С° = (C9)v ® (Ce)Y, где (Ce)v— синхронизированный код, a G((С9)Y)подобна группе G(C°). Взяв D = = (C9)v, Е — (C6)Y, D'— Св, приходим к требуемому результату. □
Если потребовать конечность префиксного кода О, то следствие 1.3 дает
Следствие 4.11. Пусть С — конечный полный префиксный код. Если группа Сушкевича О (С) просто транзитивна, то G(C)— циклическая группа порядка п, а С = D ® Yn ® D', где D, D' — синхронизированные префиксные коды, а У — алфавит, равномощный коду D'.
Назовем ЗУ-группой группу G, удовлетворяющую условию любое точное транзитивное представление G
просто транзитивно.
Из следствия 3.7 и следствия 4.11 вытекает, что нециклические конечные ST-группы не могут быть группами Сушкевича конечных префиксных кодов. Примеры нециклических конечных ЗУ-групп даны в упр. 9.
Следующее предложение дает еще одно необходимое условие для того, чтобы группа G могла быть группой Сушкевича конечного кода. Оно обращает утверждение предложения 3.4 для транзитивных Л’-автоматов. Его можно распространить на О-транзитивные Л*-автоматы, если использовать конгруэнцию, максимальную в неподвижной точке.
Предложение 4.12. Пусть 91 — транзитивный А*-автомат, а G (9t)— его группа Сушкевича, действующая на Ime для некоторого идемпотента eeD^\ Для любой импримитивности р группы G(9() существует конгруэнция р на 91, такая, что сужение р на Ima совпадает с р.
Доказательство. Будем использовать Л’-автомат 93, множеством состояний которого служит некоторый 52-класс R (например, 52-класс идемпотента а). Лемма 3.8 показывает, что существует сюръективный гомоморфизм ф: 93->-91, заданный равенством Ф (/-) = Sgr, где sgElme. Далее, конгруэнция Кегф на R определяет при сужении на Ge правую конгруэнцию на группе Ge. Класс этой правой конгруэнции, содержащий е, является подгруппой Не из Ge, и группа G (91) подобна группе Ge, действующей правыми сдвигами на смежных классах Не-g по подгруппе Не (проверка этого составляет предмет упр. 10). Импримитивности группы Ge взаимно однозначно соответствуют подгруппам
из Ge, содержащим Не: если отождествить Ime с множеством смежных классов по Не, то для данной импримитивности р множество 7<е(р) = (хе Ge-. Н ехрН Д является подгруппой в Ge, содержащей Не, причем Heg\pHeg2, если и только если g,g~'<= е КДр\ Таким образом, для доказательства предложения достаточно показать, что на 8 существует такая конгруэнция р, что Ker ф Е р и что класс идемпотента е по модулю сужения р на Ge есть в точности КДрУ Тогда требуемой конгруэнцией будет отношение р на 91, определяемое условием
/ipta если и только если существуют rx, r2s=R, такие, что
ф(п) = ti, ф(г2) = t2 и г,рг2.
Чтобы построить р, определим сначала отношение р на 8, положив
г^гг, если и только если гь г2 лежат в одной и той же
максимальной подгруппе Gf и rx = gif, r2 = g2f, где
^, g2eGe и gxg;xeRe^\
Читатель может убедиться, что р — конгруэнция на 8 и что p-класс идемпотента е совпадает с Л^р). Положим теперь р = = р\/Кегф и обозначим р-класс элемента е через Ке- Очевидно, Ке (р) S Ке- Обратно, если g ее Ке, то существуют Г\, г2, ..., rne.R, такие, что g = rx, гп = е и (г,-, n+j) ер U Кег ф для t=l, 2, ..., п — 1. Для 1 ^ i ^ л имеем rt = gtet, где giS Gе, а ег — идемпотент из Э^-класса элемента и. Отсюда следует,что (гщ, rz+1e)Gp(J Кегф и поэтому ^gp ^i+1)epU Кегф, т- е. gtg^xe=Kelp)UHe = Ke^ для i = 1, 2, ..., п — 1. Произведение Ц"* gtg^x лежит в Ке^ и, очевидно, равно g; это завершает доказательство равенства Ке^ = Ке- □
Следствие 4.13. Пусть С — полный префиксный код, ар — импримитивность его группы Сушкевича G(C). Тогда существует разложение 0 = 0^ ® С о, такое, что G^C^ подобна группе подстановок, индуцированной G(C) на p-классе, a G(Cp) подобна факторгруппе импримитивности группы G(C).
Доказательство. Продолжим р до конгруэнции р на 91 (С*) согласно предложению 4.12 и применим предложение 3.2. □
Из следствия 4.13 вытекает, что если С неразложим, то G(C) имеет лишь тривиальные импримитивности, т. е. G(C)—примитивная группа.
Следствие 4.14. Пусть С — конечный полный префиксный код. Центр группы Сушкевича G(C) является циклической подгруппой.
Доказательство. Группа подстановок G(C) действует транзитивно и точно на Ime (е = е2 s G(C)). Пусть Ht— стабилизатор состояния Islme в G(C), а К = Ht-Z — Z-Ht, где Z— центр группы 0(C). Для любого ^ s line существует ge G(C), такой, что t'g = t. Отсюда, взяв А s Ht П Z, получим
t'k = t'gg^k = t'gkg-x = tkg-x = tg~x = f.
Поэтому к = e, т. e. Ht Л 2 = {e}; следовательно, любой элемент As К может быть единственным образом записан в виде к = Кг, где he.Ht, zeZ. Определим импримитивность р группы G(C), положив
^р^2, если и только если txz = t2 для некоторого zeZ.
Ясно, что p-класс состояния t есть tZ, причем tzx #= tz2, лишь только элементы zi, z2 s Z различны. Индуцированная группа определяется действием на tZ подгруппы Д''= (§е6(С): ^р/} из G(C). Но tgpt влечет tgz~t для некоторого z s Z. Отсюда вытекает gz^Ht и g s К. Следовательно, К = К'. Далее, группа преобразований, определяемая действием К на tZ, изоморфна Z. Поэтому группа, индуцированная на классе импримитивности р, подобна группе Z, действующей на самой себе правыми сдвигами, и, значит, это просто транзитивная группа подстановок. В силу следствия 4.13 Z подобна группе О^С^, где С*5—конечный полный префиксный код. В силу следствия 4.11 группа G(C^) циклическая, а значит, такова же и Z. □
Разложения конечных полных префиксных кодов
Пусть С — конечный полный префиксный код из Л*. Если существует такой префиксный код D, что С* е D* (т. е. С разлагается над D), то D полон (для любого шей* существует геА*, такое, что wze С* г d*^, Никакое слово из С не может быть собственным левым делителем слова w s Z)\C. Поэтому в силу полноты С для любого w <= D\C найдется такое zeA", что wz s С, и, следовательно, конечность С влечет конечность D. Одним из наиболее важных результатов данного параграфа является тот факт, что D* есть объединение некоторых классов главной правой эквивалентности Р'с*- Отсюда следует включение Pc* ^РвУ позволяющее определить конгруэнцию на 31 (С*) (напомним, что множеством состояний автомата 51 (С*) служит А/р^У Это — основная идея в доказательстве существования биекции между конгруэнциями на 51 (С*) и разложениями кода С.
Предложение 5.1. Пусть С — полный префиксный код из А*. Следующие условия равносильны;
C==DXD2 для некоторых непустых подмножеств Dx, D2 из А*, таких, что DX^D2 = 0 и Dx U D2— полный префиксный код;
существует такое dx еЛ+, что dxC £ С;
существует такое dx е Л+, что dxxC = C;
существует такое dxeA*, что di^.C* и diCEU”=iC! для некоторого /г1.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Для произвольного dx е Dx имеем d]C = dxD*D2 £ D\D2 = С.
и (с) равносильны. Как показывает простая проверка, для любого полного префиксного кода С и слова dx^A* множество d7vC=VWG A*"- diW^C] (если оно непусто) является полным префиксным кодом. Если d\C г С, то С sd\lC, и максимальность кода С влечет С = д?хС. Обратно, di"*C = C влечет diC £ С.
и (d) равносильны. Взяв п = 1, мы видим, что (Ь) влечет (d). Обратно, допустим, что dxC £ U7=iC‘ Для некоторого п ^ 1. Без ограничения общности можно предполагать, что dx есть собственный левый делитель некоторого слова из С. Длины слов из dxC над алфавитом С ограничены числом п. Выберем сеС так, чтобы слово dxc имело максимальную длину над С. Допустим, что d\c г Ск при некотором k, 1 ^ к ^ п. Если к = 1, то d\C £ С. Если к > 1, то dxc = dxd2cx, где dxd2 е Ск-Х и С] е С. Покажем, что d^*C£C. Это даст нам (с), а значит, и (Ь). Пусть wediXC, т. е. d2w е С. Тогда непременно w^l, ибо в противном случае d2 е С и с = d2cx, что противоречит определению префиксного кода. Далее, d2w е С влечет dxd2w е dxC £ s ULi С1. Так как dxd2eCk-\ имеем dxd2weCk для некоторого к' ^ к, и определение к дает к' = к, откуда w еС. Следовательно, d2xCsC, а потому справедливы (с) и (Ь).
влечет (а). Допустим, что dxCsC. Образуем множества
Dx = (dj, й2= {в е С: w ^ dxA*).
Тогда Dx П D2 = 0, a Dx (J D2 есть префиксный код, так как по построению никакое слово из Dx U D2 не может быть левым делителем другого. Чтобы доказать полноту кода Dx (J D2, возьмем слово w е А* и докажем индукцией по /(да) существование такого z г А*, что wz ® (Di U 02) *. Это очевидно, если да = 1. Если же да^!, запишем w = dxw', где к максимально. В случае /г > О предположение индукции дает ш'г' е (Dx (J D2y для некоторого г'еЛ*. Отсюда следует, что и dxw'z' е (Dx (J D2y. В случае к = 0 существует такое /еЛ*, что wt г С*. Следовательно, tot = схс2 ... сп для некоторых сх, с2, ..., с„ е?С, причем сх е D2. Равноделимость в Л* влечет за собой сх = wz или
w = cxz для некоторого 2 е Л*. В первом случае wz е (Di U D<^ *; во втором случае /(г)</(да), и индуктивное предположение дает zz' е (Dx U D2)*, откуда wz' = cxzz' е (Di U D^*. Аналогичное доказательство, которое мы опускаем, показывает, что DXD2 есть полный префиксный код в А*. Условие dxC £ С влечет dxC £ С для всех /г^О. Следовательно, DXD2 s DXC £ С, и максимальность DXDZ влечет DXD2 = C. □
Определение 5.2. Полный префиксный код С, удовлетворяющий любому из условий предложения 5.1, называется цепью. Для произвольного префиксного кода С слово dx ^ С*, такое, что dxC s С*, называется раздувающим словом (swelling word) для С.
Следовательно, в силу (d) цепь имеет раздувающее слово, но в этом случае, интуитивно говоря, «раздувание» dxC ограничено по длине над С.
Лемма 5.3. Пусть С и D — полные префиксные коды из А*, такие, что С* £ D*. Предположим, что (а) длина слов из С над алфавитом D ограничена; (b) D* не является объединением классов главной правой эквивалентности Р^\. Тогда существуют dx е A*, d е D*, такие, что dx является раздувающим словом для D и (d, d^ е Р$.
Доказательство. Обозначим через п максимальную длину слов из С над D. Допустим, что слова w е D*, w' ф. D* удовлетворяют условию (да, да') е Р$. Вычленяя из да, w' длиннейшие левые делители, принадлежащие С*, можем записать
w = cz, w' = c'z', где с, d g С*, a z, z' фСА*.
Далее, z е D*, z' ^ D*, и, как легко увидеть, используя определение ?$ вместе с условием (да, да') е Р$, имеем (z, z') е Р^. Кроме того, из полноты С и условия z, z'^CA* выводим, что z и z' суть собственные левые делители слов из С. Если z'D^D*, то положим d = z, dx =z*, и лемма доказана. Если z'D$ D*, то существует da е D, такое, что z'd2 ^ D*. Мы утверждаем, что
zd2, z'd2 ^ С А*;
zda ЕЙ* и z'da ф D*;
(zdv z'd^ е Р$.
Утверждение (2) очевидно, а (3) следует из того, что Р^— правая конгруэнция. Чтобы доказать (1), допустим, что zd2e еСА*. Так как z^CA*, получаем zd'2eC для некоторого левого делителя d2 слова d2. Следовательно, zd'2 е D*, и тот факт, что z g D*, дает d'2 е D*, т. е. d'2 = d2. Но zd2 е С влечет zd2 е е С*, и в силу (3) z'd2 е С* Е D*, что приводит к противоречию.
Это показывает, что zd2^CA*. Если z'd^ е СА*, то z'd^eC для некоторого левого делителя d^ слова d^. Из условия (z, г^еР^, следует, что zd^C*, откуда zd^eCA*, что снова дает противоречие. Таким образом, z'd-i^ACA*, и доказательство (1) завершено. Заметим, что lD(zd^ = /d(z) + 1. Если z'd^D = D*, возьмем d = zdi и di = z'd-i. В противном случае, повторяя те же рассуждения, что и выше, получим слова zd^d», z’d^da, также удовлетворяющие условиям (1), (2), (3). Этот процесс останавливается, поскольку при Ь^ = п—1 мы получим lDVzdi) = п; определение числа п и условие zda ф С А* дают тогда z'd^D г D*. О
Теорема 5.4. Пусть С и D — полные префиксные коды из А*, такие, что С* с D* и длина слов из С над алфавитом D ограничена. Следующие условия равносильны:
D* является объединением классов главной правой эквивалентности Р$;
D не является цепью над А.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Допустим, что D — цепь над А и слово d(eA+ таково, что dYD^D (предложение 5.1(b)). Ясно, что di не лежит в D*. Пусть се С— слово максимальной длины над D. Так как с не является пустым словом, можно записать с = d'd", где d' е D* и d" е D. Поскольку код С полон, для любого deD существует такое ze.A*, что d'dzeC*. Следовательно, некоторый левый делитель I слова d'dz лежит в С. Ясно, что I не может быть левым делителем слова d', ибо тогда I было бы левым делителем слова с = d'd". Если / = d'd» для некоторого левого делителя do слова d, то doе С*, откуда do = d и l = d'd. Наконец, если 1 = d'dzo для некоторого левого делителя Zo слова z, то максимальность длины слова c=d'd" над D влечет z» = 1, и снова l — d'd. Таким образом, для любого deD имеем d'd е С, т. е. d'D G С. Отсюда вытекает, что Ds(d')_|C и, так как D — полный код, D =(d')~lC. Заметим, что мы также имеем D = d?xD. Следовательно, (d')-IC = D = = d\XD = df1 (d')"1 С = (d'd,)-1 С, и это показывает, что
(d', d'd^ е pw
Поскольку d'^ 1 (в противном случае C* = D*) и никакой левый делитель слов d' и d'dY не лежит в С, получаем логическую цепочку
d'w е С* -4=> (d'wv е С, где w = wxw2, и w2 е С*) <=>
<=>■ (d'djw, е С, где w = w,W9, и w2sC*)4^-d,dJw@ С*.
Следовательно, (Д', (fd^eP$, где d' e.D*, d'd\^.D* (так как d\^.D*V Но это противоречит условию (а). Поэтому D не является цепью над А.
(Ь) влечет (а). Допустим, что D* не является объединением классов эквивалентности P^L Тогда по лемме 5.3 для D существуют раздувающее слово di (т. е. d\D г D*^ и слово de D*, такие, что ^d, d,) е Pty. Как и в начале доказательства леммы 5.3, можно предположить, что d и di — собственные левые делители слов из С. Простое рассуждение, которое мы опускаем, показывает, что(</, d^ePty. Мы также получаем dD^C (как в первой части доказательства). Если п— максимальная длина слов из С над D, то dDsCs Uz-i^- Отсюда следует, что diDsCs U?=i ^Z Тогда D— цепь в силу предложения 5.1(d). Это противоречит условию и показывает, что D* является объединением Ру-классов. □
Следствие 5.5. Если С — конечный полный префиксный код из Д*, то для любого полного префиксного кода D, такого, что С*еВ*гА*, моноид D* является объединением классов главной правой эквивалентности Pty. В частности, P£l s P^L
Доказательство. Конечность С влечет конечность D. Так как конечный код не может быть цепью, наш результат следует из теоремы 5.4. Поскольку Pty — наибольшая правая конгруэнция, для которой D* есть объединение классов, мы получаем Pty s Pty. О
Пусть С — конечный полный префиксный код из А*. Минимальный Д*-автомат 21 (С*), распознающий С*, имеет множество состояний 3 = Д/Рс»- Удобства ради обозначим _Рс*-класс слова w е А* через w. Мы имеем С* = ^w е А*: 1г® = 1}. Пусть Г (С) обозначает частично упорядоченное множество конгруэнций на 21 (С*), а А (С) обозначает частично упорядоченное по включению множество моноидов D*, порожденных полными префиксными кодами D, такими, что C*sD*gA*. Для любых р е Г(С), D*e А(С) определим
Мр) = (ггЕЛ‘! (1о>, 1) е р),
р(D') = {(фр S2)gSXS: (®р w2) е Р^}
Теорема 5.6. Для произвольного конечного полного префиксного кода С из А* отображения Кир, заданные формулами (5.5.1) и (5.5.2), определяют сохраняющие порядок взаимно обратные биекции между множеством Г (С) конгруэнций на 21 (С*) и множеством &(С) = ^D*; С* ^D* г А*\.
Доказательство. Следствие 5.5 показывает, что |л(О*) является вполне определенной конгруэнцией на 91 (С*). Очевидно, отображения X и ц сохраняют порядок. Для любого D*eA(C) класс состояния Т по модулю ц(£>*) есть
(фе5:(ф, 1) е P^l} = {ф е S: weD*}.
Следовательно,
X (ц (D*)) = {ф е Л’: (Тф, Tie ц (О’)} == {weA*: (ф, I) е р (О’)} = О’.
Включение р£р(Х(р)) следует из определения X и ц. Допустим, что (o>i, Ф2)е |л(Х(р)), т. е. (фр ®2)бР^., где О* = Х(р). Вычленяя в словах Ф! и ф2 длиннейшие левые делители, принадлежащие О*, можно записать ф^_= diz^ и ф2 = d2z2, где zb z2^DA*. Для / = 1, 2 имеем йц = 1ф,= IdiZiplz, = гг. Кроме того, (фр ф2) е Р$ влечет (zp z2) е Р$. Используя тот факт, что длины слов из С над О ограничены, можно показать — как в начале доказательства теоремы 5.4, — что существует такое d е О*, чт»dD s С и О = d^C. Для / = 1, 2 получаем w2pz; = = Izfpldzi = dzj. Чтобы закончить доказательство соотношения Ф1рф2, мы просто покажем, что dz\ = dz2, т. е. (dzi, dz2) е РсТ Прежде всего, (c?Zp dz^ е Р^; в самом деле, так как zb z2 ^ DA* и (Zp z^ е Р^„ мы имеем z^eD, если и только если z2® е eD. Следовательно,
dz^w е C^-ZtW е d~vC = D <=^z2w ^d~lC = D ^^ dz2w e C.
Отсюда выводим:
dzxw e С* <=> (dziw'e С, w'w" = w, ф"еС’)<=>
<=> (dz2w' e C, w'w" = ф, w" e C’) <=> dz^w e C’, t. e. (dZp dz^ e P^\. □
Следствие 5.7. Для любой конгруэнции р на минимальном А*-автомате 91 (С*) для конечного полного префиксного кода С существует разложение С = Ср ® Ср, где 91 (С*) — 91 (С’)/р.
Теорема 5.6 вместе с предложениями 3.4 и 4.12 показывает, что для конечного полного префиксного кода С проблемы нахождения разложений С, конгруэнций на 91 (С*) и «поднимаемых» импримитивностей группы подстановок С (С) равносильны.
Конечные полные бипрефиксные коды
Во всех теоремах о конкретных разложениях, установленных в § 4 (следствия 4.6 и 4.11), коды, встречающиеся как сомножители, были либо синхронизированными, либо равномерными
(т. е. кодами вида Ап для некоторого п > 1). Никакой бипрефиксный код С г А*, С=#А, не является синхронизированным кодом, и до недавних пор полагали, что все конечные несинхро- низированные неразложимые префиксные коды являются бипре- фиксными кодами. Перрен в своей диссертации [1975] привел бесконечное семейство небипрефиксных кодов, которые конечны, неразложимы и несинхронизированы. В этом параграфе мы изложим основные результаты о конечных полных бипрефикс- ных кодах. Они составляют первые шаги на пути к познанию более широкого класса несинхронизированных кодов.
Одна из трудностей при изучении бипрефиксных кодов — это построение примеров. Как мы указывали, несинхронизирован- ные коды редки, и еще более редки бипрефиксные коды. Следующие результаты, принадлежащие Сезари [1972], обеспечивают алгоритм для получения всех конечных полных бипрефиксных кодов из равномерных кодов. Единственным его недостатком служит то обстоятельство, что один и тот же код может быть получен несколько раз.
Определение 6.1. Пусть С— полный бипрефиксный код из А*. Слово т е А* назовем хорошим словом для С, если: (а) т является собственным левым делителем некоторого слова из С, (Ь) т является собственным правым делителем некоторого слова из С и (с) (Ст-^т П т(т~1С) = 0.
Для данного слова т, хорошего для С, код С(т), производный от кода С относительно т, определяется в терминах степенных рядов формулой
(А^ C(m) = C + (l — Cm-^m^l — m-1^.
Индуктивно, если ть— хорошее слово для C(mi, mi, .... mk~\}, определим С (mi, mi, ..., т^, положив
(А6) C(mb m2, ..., тА) = С(ть m2, ..., ИнГЫ-
Следующая теорема показывает, что произвольный конечный полный бипрефиксный код получается из некоторого равномерного кода последовательным вычислением производных кодов.
Теорема 6.2. (а) Для любого полного бипрефиксного кода С из А* производный код С(т), определяемый формулой (Ai) выше, является полным бипрефиксным кодом.
(Ь) Для данного конечного полного бипрефиксного кода С существуют число п^ 1 и последовательность m^ mi, .... т^ хороших слов, такие, что С = An(mi, mi, ..., m^.
Пример 6.2.1. Возьмем А= {х, у), А3 = (х3, х2у, хух, ух2, у2х, уху, ху2, у3}. Проверим, что слово т — ху является хорошим для А3:
А3т-Х = т*'А3 = {х, у};
(А3т~*) т = {х2у, уху}, т (т^’А3) = {хух, ху2};
следовательно, (Д3т-,)т Q т(т-|Д3) = 0. Формула (Ai) дает
А3(ху) = (х3, х2ух, х2у2, ху, ух2, ухух, уху2, у2х, у3}.
Теоретико-множественным выражением для (Ai) будет
(A') C(m) = (C U {m} U (Ст^') пг (т~хС)) \ ((Cm-1) т (J т(т_|С)).
Для удобства читателя мы воспроизводим здесь упр. 9 из гл. 5.
Упражнение 6.2.2. Пусть D— полный префиксный код из Д*, а X — префиксный код из А*. Предположим, что подмножества Ci, С2 из А* удовлетворяют условиям X £ Ch XD £ С2 и Ci\X= = C2\XD. Тогда С] есть префиксный код, если и только если С2— префиксный код, причем С] полон, если и только если С2 полон (Сезари [1972b, лемма 3]).
Применяя упражнение 6.2.2 к Ci = (C\m(m-1C))(J {m}, X={m}, D = tn~xC, C2 = C, получаем, что Ci— полный префиксный код. Далее, C(m) = (C1\(Cm-1)m)U(Cm-l)m(m~lC). Еще одно применение того же упражнения при Х=ДСт~х^т, D = т-хС показывает, что С2 = С(т)—полный префиксный код. Аналогично двойственное доказательство показывает, что С(т) — полный суффиксный код и, следовательно, утверждение (а) теоремы 6.2 справедливо. Утверждение (Ь) доказывается с помощью следующих двух лемм.
Лемма 6.3. Если С — полный бипрефиксный код из Д* и С#=Ап для всех п^1, то существует такое се С, что се е Д+СД+.
Доказательство. Допустим, что С П Д+СД+ = 0, и пусть с = = aiO2 ... йп (ate А)—слово минимальной длины из С. В случае п = 1, с = 01 рассмотрим для любого а е А слово ось Оно не может быть собственным левым делителем никакого слова из С, так как С П А+СА+ = 0. Поэтому ooi = с'и, где с' е С, и е А*. Если с' = а, то а е С, и если с' = ооь то снова а еС благодаря свойству суффиксности С. Следовательно, А г С. Допустим теперь, что п > 1. Мы утверждаем, что А" г С, и докажем это, показав, что для всех I, 1 ^ i ^ п, А‘~ха1а2 ... an-i+\ £ sC влечет А‘аха2 ... an-i^C. Предполагая, что А‘-'а\а2 ... ... an-i+iSC, рассмотрим слово 2 = wa\a2 ... an-ian-i+t для произвольного we А1. Слово 2 не является собственным левым делителем никакого слова из С, ибо в противном случае 2t = = aw'a\a2 ... an~i+\t^C (где w = aw', a e Д, t e Д+), что противоречит предположению С П Д НСД+ = 0. Так как С полон, существует такое de С, что 2 = du для некоторого и е Д*. Поскольку п— это минимальная длина слов из С, мы имеем либо d = г = aw'a\a2 ... an-t+i, либо d = wa\a2 ... an-i. В первом
случае de С и w'axa2 ... an-t+x г С, что невозможно в силу суффиксности С. Поэтому waifl2 ••• Qn-i е С, откуда А‘аха2 ■ ■■ ... an-i^C и, следовательно, А'^С. Учитывая полноту кода Ал, получаем АЛ=С. Таким образом, С=^Ап влечет С ПА+СА+#= #=0. D
Лемма 6.4. Пусть С — конечный полный бипрефиксный код из А*, причем С^АЛ для всех п^ 1. Тогда существуют слово me С, полный префиксный код Р и полный суффиксный код S, такие, что:
SmP s С;
D = (CJ Sm U mP)\ ({т} U SmP) есть такой бипрефиксный код, что card D < card С;
Sm П тР = 0;
m— хорошее слово для D, и производный код Щт) есть в точности С.
Доказательство, (а) По лемме 6.3 и в силу конечности С существует слово m е С максимальной длины, такое, что итиеС для некоторых и, veA+. Допустим, что SmP фС для любой пары кодов S, Р, где S — полный суффиксный, а Р — полный префиксный. Множество Р(и) = (ит)~хС— полный префиксный код, и для любого уеР(ы) множество 5(у) = = С(ту)-‘ — полный суффиксный код. Если S(y) = S(y) для всех уеР(и), то для всех xeS(u) и всех уеР(и) имеем xeS^y), т. е. хту е С; это показывает, что S(v)mP(u)^ С, и противоречит допущению SmP $ С для всех S и Р. Поэтому существуют по меньшей мере два элемента уь у2е Р(щ), такие, что S(yi)=/=S(y2). Мы даже можем выбрать и, а затем vx, v2e еР(и) так, что S(yi)#=S(y2) и сумма Цих)Ц-Ци2) минимальна. Поскольку 5(У1) и S(y2) различны, в одном из этих множеств найдется слово и', являющееся собственным правым делителем некоторого слова из другого множества (слово и' е 5(У1)\5(у2) либо есть правый делитель некоторого слова из S(y2), либо — в силу полноты S(y2)—имеет правый делитель из S(y2)). Допустим, что u'eSUA и и"и' е5(у2) для некоторого и"еА+. Тогда Р^и"и') — ^и"и'т)-хС— полный префиксный код. Исследуем отношение слова У] к коду Р(и"и').
(al) Если схе Р^и"и'), то и"и'тихе С. Но и' е5^;) влечет u'mvx е С, и, поскольку С — суффиксный код, это противоречит соотношению u"u’mvx е С.
(а2) Если существует у.зеР(Л'), являющееся собственным левым делителем слова уь то X)jo'a = vx для некоторого и'бА+. Множество S(u3) = С(гпуз)-1 непусто (оно содержит и"и') и, значит, является суффиксным кодом. Мы имеем S(y2)=/= #=S(y3), поскольку ueS(y2), но иф8^) (соотношения ит^еС, umvxeC, где и$— собственный левый делитель для
Уь противоречат префиксности С). Далее, /(уз) </(yj) влечет /(уз)+ /(уз) </(У1) + ЦУ2), что противоречит выбору и, yt и у2.
(аЗ) Если У1 — собственный левый делитель некоторого слова из Р(и"и''), то У1У' е ?(«"«'), откуда u"u'mviv' е С, где и", v' е Д+; но также u'mvi е С. Это противоречит выбору т в качестве слова максимальной длины относительно свойства итие С. Так как yt не может иметь левых делителей в Р^и"и'^ и не может быть левым делителем слов из Р^'и'), мы вступаем в противоречие с полнотой Р^'и'). Отсюда вытекает существование кодов S, Р, таких, что SmP s С.
(b) и (с). Код С2 = (C\{m})U тР является полным префиксным кодом в силу упр. 6.2.2 (можно взять С] = С, Х = = ^т^, поскольку С2\тР = С\{/и}), a D = (С2\5/пР)иSm. Поэтому для доказательства того, что D — полный префиксный код, достаточно показать, что Sm — префиксный код, и снова применить упр. 6.2.2. Допустим, что smm' е Sm для некоторых seS, т' еЛ*. Так как smP = С, имеем Р г^зт^^С, откуда P = (sm')~lC. Из включения smm'PsC выводим т'Ре G(sm?)-1C = Р. Но включение т'Р s Р влечет бесконечность Р, что противоречит конечности С. Таким образом, Sm — префиксный код, a D — полный префиксный код. Благодаря симметрии в определении D, двойственные рассуждения показывают, что D — полный суффиксный код. Для доказательства (с) допустим, что тр е Sm для некоторого реР; тогда трР г С, что вместе с те С противоречит префиксности С; поэтому тР f\Sm = 0. Отсюда получаем
card D = card С + card S + card P — card S • card P — 1 = = card C — (card S — I) (card P — 1).
Так как C=#An, алфавит А содержит более одной буквы. Это влечет cards > 1, cardP > 1, откуда card/) < card С.
Равенства Dm-1 = S, m~lD = P и (с) показывают, что m— хорошее слово для D. Из определения Щт?) следует D (тп) = С. D
Применяя лемму 6.4 нужное число раз, получаем, что для произвольного конечного полного бипрефиксного кода С либо С = А", либо C—An(mi, т2, ..., тА) для некоторых /г ^ 1, ^ ^ 1; тем самым утверждение (Ь) теоремы 6.2 доказано.
Напомним, что для данного кода С из А* и распределения вероятностей л на алфавите А средняя длина Х(С) определяется формулой Х(С) = ^W^cl(w)n(w). В предложении 4.8 из гл. 6 показано, что Х(С) конечна для рационального полного префиксного кода С, причем Х(С) = л(Рс), где Рс — множество всех собственных левых делителей слов из С (гл. 6, лемма 4.9). Так как для полного префиксного кода С мы имеем А* = С*Рс,
множество Рс является носителем степенного ряда (также обозначаемого Рс), задаваемого равенством
1—С=Рс(1—Л).
Обращаясь к формуле (AJ, определяющей в терминах степенных рядов код С(т) для бипрефиксного кода С, получаем 1 — С(т) = (1 — С) — (1 — Ст-^тЦ — т-1С). Применение (6.4.1) дает
Рс^(! - Л) = рс О - л) - (! - Ст-^ шР{т-1с} (1 - Л),
Рс w = Рс-(1- Ст~1)тР(т-1с).
Мы имеем л(Ст-1) = 1 (см. гл. 6, предложение 4.8(a)). Применяя л к обеим частям равенства (6.4.2), получаем л(РС(т)) = = л(Рс), откуда Х(С(/п)) = Х(С). Так как средняя длина равномерного кода Л" есть п, из теоремы 6.2 вытекает
Следствие 6.5. Средняя длина конечного полного бипрефиксного кода С из А* есть целое число п, не зависящее от распределения вероятностей на А и равное степени равномерного кода, ■ из которого С получается вычислением производных.
Как мы увидим, средняя длина конечного полного'бипрефиксного кода С совпадает со степенью его группы Сушкевича G(C), как группы подстановок.
Лемма 6.6 (Перрен [1975]). Пусть 91— транзитивный А*-ав- томат, a s— одно из его состояний. Следующие условия равносильны:•
s лежит во всех минимальных образах элементов моноида переходов Т$у,
для любого хеТ^ класс состояния s по модулю Кег х есть {s};
для любого w еЛ* существует такое 6 eN, что swk = s.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Предположим, что s'x = sx.
В силу следствия 2.6(a) в минимальном идеале J из Т(91) существует такой 2, что s' е Imz. Следовательно, xzg/ив действительности xz$z, откуда Imxz = Imz. Так как xz определяет подстановку на 1тлг, равенство s'xz = sxz влечет s' = s.
влечет (с). Для любого хе Т^ существует ^geN, такое, что хе — идемпотент. Тогда sxk = sxkxk, и применение (Ь) к хк дает s = sxk.
влечет (а;. Для любого х е J имеем Im z = Im zk, откуда s Elmz. □
Следствие 6.7 (Шютценберже [1961a]). Пусть С — рациональный полный префиксный код из А*, 91 (С*)— минимальный
А*-автомат, a s0— состояние, неподвижное относительно С*, Следующие условия равносильны-.
С — бипрефиксный код;
s0 лежит во всех минимальных образах элементов синтаксического моноида М(С*);
для любого w s А* существует такое k s N, что wk s С*.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Допустим, что Sox = sx для некоторого состояния s и хеМ(С*у Существуют и, и е М(С*у такие, что s = sou и soxu = so (в силу транзитивности 91(С*)). Отсюда следует souxv = sxu = soxv = s0, показывая, что ихи s s С*. Но также хи s С*, и, поскольку С — суффиксный код, получаем не С* и So = sou = s. Поэтому выполняется условие (Ь) леммы 6.6. Следовательно, s0 лежит во всех минимальных образах.
влечет (а). Если So лежит во всех минимальных образах, то по лемме 6.6 класс Кегх, содержащий s0, есть {so}. Если слова и, veA* удовлетворяют условиям uv s С*, иеС*, то souu — So = sou. Это влечет sou = s0 (так как (sqm, s0) s s Kerr (и)), откуда иеС*. Равносильность (Ь) и (с) непосредственно следует из леммы 6.6. □
В случае /(®) = 1 значение к в условии (с) можно уточнить.
Следствие 6.8. Если С — конечный полный бипрефиксный код из А* средней длины п, то апе С для любого аеА.
Доказательство. Это ясно, если С = А". В противном случае в силу теоремы 6.2 достаточно показать, что ап е С влечет arteC(m) для произвольного хорошего слова пг. Используя формулу (А[), допустим, что ап s ^Cnv^m. Тогда пг = а1, где О < i ^ п, и ап е (Cm~l)m П m(m-IC), что противоречит условию (с) определения 6.1. Аналогично, невозможно апетДт-хСу Поэтому ап s С (пг). □
В случае конечного С мы покажем, что независимо от w s А* существует такое целое к, что щ* дает элемент из минимального идеала в Л4(С*).
Лемма 6.9. Пусть С — конечный полный бипрефиксный код из А*, 91(С*)— минимальный А*-автомат и т: А*-*- Т^С*)) — канонический гомоморфизм. Если слово we А* не является собственным делителем никакого слова из С, то t(w) лежит в минимальном идеале моноида переходов Т^ДС*^.
Доказательство. Допустим, что т(®)^7, где / — минимальный идеал из Т(81(С*)). Тогда образ Im® (=Imr(®)) не минимален и найдутся состояния sb s2slm®, Si =# s2, и слово msA*, такие, что siU = s2m. Далее, существует такое оеА*,
что Siuv = so, где So— неподвижное относительно С* состояние автомата 91 (С*). Обозначим ии через z. Так как sb s2 лежат в Im w, существуют /ь /2, такие, что hw = St (z — 1, 2) и sq^ = tb sqC2 = h для некоторых собственных левых делителей сь с2 слов из С. Следовательно, sociwz = sq = s0c2wz, откуда C\wz, c2wze e С*. Предположение относительно w показывает, что существует разложение w ~ w'w", для которого c^w' еС и w"z е С*. Поскольку код С — суффиксный, a c2w'w"zeC*, получаем c2w' е С*. Следовательно, s2 = s0c2w — s0c2w'w" = sow" = = SqCiW'w" = SOC1W = S1, ЧТО противоречит условию Si =5^ s2. Это доказывает, что т(щ)е/. □
Следствие 6.10. Если С — конечный полный бипрефиксный код, то существует такое k > 0, что для любого хе/И(С*), х#= 1, элемент хк лежит в минимальном идеале из М(С*).
Доказательство. Возьмем & = max {/(с): с е С}. Для любого w^A+ слово wk имеет длину ^ к. В случае 1(ф) > 1 слово wk не может быть собственным делителем никакого слова из С, согласно определению к; тогда по лемме 6.9 элемент т^6) лежит в минимальном идеале J из М(С*У В случае Z(w)= 1 имеем w = а еА. В силу следствия 6.8 ап е С, где п — средняя длина кода С. Поэтому фп)е/ и также т(а6)еУ, поскольку к п. □
Следствие 6.11. Пусть С — конечный полный бипрефиксный код из А* средней длины п. Тогда для любого аеА
т(а") лежит в минимальном идеале из 7'(91(С*));
Im ап = {so«f: 0 ^ i ^ п—1}, где s0 — состояние, неподвижное относительно С*;
степень группы Сушкевича G(C) равна п.
Доказательство, (а) доказано выше. Для любого состояния s автомата 91(С*) существует левый делитель /^=1 некоторого слова из С, такой, что sq/ = s, и для некоторой степени буквы а, скажем zz\ будет lak^C (так как С—полный префиксный код). Поскольку ап лежит в С, получаем 0 ^ к < п и san = = solan = 8йап~к. Это доказывает включение слева направо в равенстве (Ь); обратное включение очевидно. Если so«i = soa/, где 0 ^ t ^ j ^ п— 1, то зоа^11-1 = soan = s0, т. е. а;+п~! е С*. Так как апеС, получаем ai~‘^C*, откуда i = j. Таким образом, Im ап содержит п элементов, т. е. степень группы подстановок (7(C) есть п. □
Чтобы установить одно характеристическое свойство (включающее утверждение, обратное к следствию 6.10) моноидов М(С*), где С— конечный полный бипрефиксный код, введем
Определение 6.12. Конечный моноид М называется ниль-про- стым, если существует такое целое к > 0, что для любого х е М,
жтМ, элемент z лежит в минимальном идеале из М. Наименьшее целое й с таким свойством называется глубиной моноида М.
Таким образом, если С — конечный полный бипрефиксный код, то М(С*) ниль-прост. Другой вариант определения ниль- простого моноида доставляет
Предложение 6.13. Пусть М — конечный моноид. Следующие условия равносильны:
М ниль-прост;
группа обратимых элементов из М тривиальна, а все идемпотенты из М, кроме 1, лежат в минимальном идеале *).
Доказательство. То, что (а) влечет (Ь), вытекает непосредственно из определения 6.12. Обратно, если М удовлетворяет (Ь), пусть 5 = Л1\{1} и xeS6. Тогда x = sIs2 ... sk, где s, е S (1 ^ i ^ k). Если й превосходит порядок М, то найдутся i, /, 1 ^ i < / ^ h, такие, что si$2... sz = (sis2 ... Si)Si+i ... s/. Далее, для некоторого I элемент е = (sz+I ... s^1 является идемпотентом из минимального идеала / моноида М. Равенство з^г... st = (sis2... sz) • (Si+i... Sj)1 = (sis2... si)e показывает, что S]S2 • • • si el, откуда x = Sis2 ... 5ке1. □
Замечание. Допустим, что М есть ниль-простой конечный моноид с минимальным идеалом I и глубиной й. Пусть элементы Xi, Х2 е М\/ связаны отношением 91, т. е. xt = х2и, хг = XiU. Если ии ^=1, то ^ииУе1; отсюда вытекает, что х2 = х2ии = = хДииУе I, что противоречит условию х2 ^ I. Поэтому uv= 1, откуда и = и = 1 и Xi = х2. Симметричное доказательство показывает, что отношение 2? и, следовательно; отношение Ф совпадают на М\/ с равенством.
Доказательства двух следующих теорем основаны на одном классическом результате о цепях Маркова, который мы здесь независимо разъясним. Напомним (гЛ. 6, предложение 4.8 и лемма 4.9), что для данного рационального префиксного кода С над алфавитом А и данного распределения вероятностей л на А
рекуррентное событие (С*, л) возвратно (т. е. л(С)= 1), если и только если код С полон;
средняя длина 3,(С) = ^^^cl(w)n (а>) конечна, когда С полон, причем Х(С) = л(Р), где Р — множество всех собствен- ■ ных левых делителей слов из С. Эти свойства будут использованы при доказательстве теорем 6.14 и 6.15.
Теорема 6.14 (Шютценберже [1965а]). Пусть С — рациональный полный префиксный код над алфавитом А, а л — произвольное распределение вероятностей на А. Следующие условия равносильны;
С — бипрефиксный код;
Л(С) = d°G(C), где d°G(C) обозначает степень группы Сушкевича кода С.
(Следствие 6.11 утверждает, что (а) влечет (Ь), когда С конечен.)
Теорема 6.15 (Перрен [1975]). Пусть С — конечный полный префиксный код. С будет бипрефиксным, если и только если моноид М(С*) ниль-прост.
Цепь Маркова — это множество S = {si, зг, ..., sm}, называемое множеством состояний цепи, вместе с распределениями вероятностей pt, р^, ..., рт на S. Таким образом, pi есть функция из S в [0, 1], и если мы обозначим pi(sf) через рц, то получим ^^„xPii"^- Теория марковских цепей изучает пошаговый переход заданной системы из одного состояния в другое, а рц представляет собой вероятность перехода системы из состояния Si в состояние з/ за один шаг. Формулы
PVi) = Pi! и Р^ = ^Р#
индуктивно (по п) определяют вероятность перехода системы из состояния Si в состояние з/ за п шагов. Если мы обозначим через /^ вероятность того, что система, отправляясь из Si, впервые достигнет состояния Sj на п-м шаге, то
Р^ = ^ ^ji-fe\ где Р^ = 1 •
Последняя формула фактически позволяет эффективно вычислять значения f^ исходя из вероятностей перехода. Можно показать, что для любого i, 1 ^ i ^ т, мы имеем S„=1 f’^^ 1 (см. гл. 6, предложение 4.6). Распространяя терминологию, использованную для рекуррентных событий, мы назовем состояние st возвратным, если S„=i1(ц — 1’ и невозвратным, если ^l”=1f$<L Кроме того, число Л, = £п=1 nf(^ называется средним временем возвращения для si.
Цепь Маркова называется транзитивной (или неприводимой), если для любых двух состояний Si, s/ существует такое г $3 0, что pV^ > 0. Если транзитивная цепь Маркова имеет хотя бы одно возвратное состояние с конечным временем воз-
вращения, то все состояния обладают теми же свойствами (этот факт и другие результаты о марковских цепях см. в книге Феллера [1957, гл. 15]).
Пример 6.16. Пусть §1 — конечный Д*-автомат и л — распределение вероятностей на А. Множество S состояний автомата §1 можно превратить в цепь Маркова, положив
рп= X л (а) Для любых sp s, г S.
аеД s^a—Sj f
В случае транзитивного Д*-автомата §1 стабилизатор С* данного состояния st порождается рациональным полным префиксным кодом. Поэтому рекуррентное событие (С*, л) возвратно и л (С) = £та=1 А")== 1- Следовательно, состояние Si, рассматриваемое как состояние соответствующей цепи Маркова, также возвратно. Кроме того, средняя длина X (С) = G с l(w) л (цу) конечна и совпадает со средним временем возвращения Xi для $ь
Теорема о стационарном распределении для транзитивных марковских цепей утверждает, что если любое состояние возвратно с конечным средним временем возвращения, то существует единственное распределение {щ} на S, такое, что
т
щ = У, и^ры для любого I, 1 ^ i ^ т.
6-1
Это распределение, задаваемое равенствами щ = 1/Xi (1 ^i ^ т), называется стационарным распределением данной цепи. Применение этой теоремы к примеру 6.16 дает
Следствие 6.17. Пусть §1 — конечный транзитивный А*-авто- мат, а л распределение вероятностей на А. Существует единственное распределение вероятностей о на множестве S состояний автомата 51, такое, что
0^ = у У о(зА)л(а).
s^eS аеЛ, s^a—s^
Распределение а, называемое стационарным распределением на 51, дается равенствами u(Si) = \/Xt, где Xi— средняя длина полного префиксного кода Ci, такого, что С] = {те А*: 8^ = 8^.
Для произвольного конечного Д*-автомата 51 обозначим через 3 множество всех минимальных образов из 51, т. е. образов элементов минимального ранга из моноида переходов 7(51). Если Imwe3 и аеА, определим (Im цу) а как Im(nya). Это действие алфавита А на 3 определяет Д*-автомат 83, называемый автоматом минимальных образов автомата 51.
Лемма 6.18. Пусть 91 — конечный транзитивный А-автомат, л — распределение вероятностей на А, п—число состояний в каждом минимальном образе из %. Стационарные распределения о на % и т на автомате 8 минимальных образов *) из 91 связаны равенствами
a(s)=l У т (/) для любого состояния s из 91. sei
Доказательство. Если S обозначает множество состояний автомата 91, 3 — множество минимальных образов из 91, т — стационарное распределение на 8, то мы покажем, что функция о, определенная формулой (6.18.1), совпадает со стационарным распределением на 91. Имеем
seSssSxssZ / legXsel J
legleg
Это показывает, что о — распределение вероятностей на S. Далее, для каждого st г S вычисляем
У a(sft)«(a) = 7 УГУ т(/Лл(а) = ska=sl8ка-8{\5ке1/
=4 У f У ^л^)-? У T(Z) = a(sJ.s{el \Ia=J/ SjEl
В силу следствия 6.17 функция а, определенная формулой (6.18.1), есть стационарное распределение на 91. □
Доказательство теоремы 6.14. Если С — рациональный полный бипрефиксный код, то, согласно следствию 6.7, состояние so из 91 (С*), неподвижное относительно С*, лежит во всех минимальных образах из 91(С*). По лемме 6.18 имеем a(s0) = (1/n) X X £SoS/т(/) = 1/zi, где п = d°G ^С). С другой стороны, в силу следствия 6.17, o(so) = 1/Х(С). Это дает X(C) = d°G(C). Обратно, Х(С) = п влечет ^SoS/T(^) = L показывая, что sq лежит во всех минимальных образах. Из следствия 6.7 вытекает, что С — бипрефиксный код. Этим завершается доказательство теоремы 6.14. □
Для данного конечного множества А обозначим через Z [А] кольцо многочленов над А с коэффициентами из Z и назовем
факторкольцо ZкольцаZ [А]по идеалу,порож
денному многочленом 1 — Tja = Aa’ вероятностным полиномиальным кольцом над А. Если А = {аь а2amY то отображение Ф из А в Z[щ, а2, •.., am-i], определяемое равенствами ф(а,) = = at для всех I, 1 < i < т, и ф(ат) = 1 — X;=i ai единственным образом продолжается до кольцевого гомоморфизма (также обозначаемого ф) из Z[A] на Z[ab а2, o«-iL Ядром ф служит идеал (1—X2-ia<)> и> следовательно, вероятностное полиномиальное кольцо над А изоморфно кольцу многочленов от меньшего на единицу числа переменных. Поле частных кольца Z[A]/(1 — ХаеЛа) называется вероятностным полем множества А и обозначается посредством Р(А). Рассмотрение этого поля представляет интерес в следующем аспекте. Пусть L— рациональный язык из А*; тогда его характеристический степенной ряд от коммутирующих переменных ах, аг, ..., ат может быть записан в виде рациональной дроби, скажем
f (gb а2, ..,, am) _
£ (Дь a2, .... am) ’
если для данного распределения вероятностей л на А вероятность л (А) конечна, мы будем иметь
, г хf (л (ар, л (а2)л (ат))
’g (л (ар, л (а2)л (ат)) ’
и в этом последнем выражении f и g можно заменить произвольными двумя многочленами fi и gx, такими, что fx = f, gx = g по модулю (l-'Х*=1а0’ Иными словами, любой рациональный язык L, такой, что л(Т) конечна для некоторого распределения вероятностей л на А, может быть представлен в вероятностном поле Р(А) дробью
Cl If (ао ага^)]
*' ' C/[g(ab а2, .... ат)] ’
где символ Cl указывает класс по модулю(1 — X2=itiz)-
Теорема о стационарном распределении для транзитивного А*-автомата 9, записанная в терминах вероятностного поля Р(А), утверждает существование и единственность отображения р множества состояний S автомата 91 в Р(А), такого, что EsesSP^)”1 И T-tas. а г А Р (О X («) = Р (s) ЛЛЯ ЛЮбоГО S В 5. Фактически мы имеем p(s;)= 1/С/(%,), где kt = ^LrosC l(w^w (Ci — код, порождающий стабилизатор состояния st). Назовем р формальным стационарным распределением на 91. Эта терми» нология используется в следующей лемме.
Лемма 6.19. Пусть Э—транзитивный А-автомат с множеством состояний S. Если существует такое к > 0, что для любого слова w длины ^ к множество Sw одноэлементно, то значения формального стационарного распределения на S3 лежат в вероятностном полиномиальном кольце" Z[Л]/(1-Еагд4
Доказательство. Множество Fs = {w е Ate: Say = {s}} конечно и потому имеет представление %(FS) в вероятностном полиномиальном кольце. Мы просто проверим, что отображение 8ь->%(Е$) удовлетворяет обоим условиям, определяющим формальное стационарное распределение р. Имеем:
Е х(^) = хИй) = 1,
se$
Е X(^f)x(a)= Е Х(^а) = х(Д^) = Х(Д)х(^) = Х(^)- □• ta=sta=s
аеАагА
Доказательство теоремы 6.15. Учитывая следствие 6.10, остается показать, что конечный полный префиксный код С, для которого моноид М^С*) ниль-прост, является бипрефиксным. Д*-автомат S3 минимальных образов из 51 (С*) транзитивен и удовлетворяет требованиям леммы 6.19 при к, равном глубине моноида М^С*). Отсюда следует, что формальное стационарное распределение pi на Э принимает значения в Z[A]/(1 — Еаед а\ По лемме 6.18 формальное стационарное распределение р на 21 (С*) удовлетворяет равенству
P(so) = ^ X P1 (/^“ CZ (X (С)) 1
S» el
Следовательно, в кольце ZMi/(i-EaгДа), изоморфном кольцу многочленов, мы имеем С/ (А (С)) • ESoS/Pi (z) = "- Отсюда следует, что E^oe/Pi (7) = ^, где deZ, d^=0. Поэтому для произвольного распределения вероятностей л на А соответствующее стационарное распределение т на 9 удовлетворяет равенству ESoS/T(/) = d. Но поскольку Е$о Е / т U) ^ 1 > получаем ESo е /т W = Ь откуда в свою очередь следует, что s0 лежит во всех минимальных образах. В силу следствия 6.7 код С бипрефиксный. □
Изложенные здесь доказательства теорем 6.14 и 6.15 принадлежат Перрену [1975]'). Его работа содержит также дальнейшие результаты о природе групп Сушкевича конечных би- префиксных кодов.
Библиографические замечания
Большинство результатов, содержащихся в данной главе, может быть найдено в докторских диссертациях Перро [1972] и Перрена [1975]. Некоторые из них были опубликованы с важными усилениями; например, Перро [1975] детально исследовал ©-класс D (Я) автомата Я (определение 2.3). Результат о центре группы 0(C) (следствие 4.14) см. в работе Перро [1974]. Что касается групп 0(C) в случае конечных бипрефиксных кодов С, то мы отсылаем читателя к статье Перрена [1977а]. Результаты из § 5 принадлежат Перрену [1970] (см. также Перрен, Перро [1969]). Дальнейшие результаты — о сопряженных кодах и о кодах, допускающих изоморфные минимальные автоматы, — можно найти у Перрена [1972] и Лассеза [1973].
Вопросы соответствия между конгруэнциями и разложениями кодов непосредственно связаны с изучением конгруэнций на Л*-автоматах Я, обладающих тем свойством, что все индуцированные автоматы (в смысле § 3) являются группами подстановок. Этот последний вопрос связан в свою очередь с исследованием группы автоморфизмов автомата Я; см. Дойсен [1966], Унг [1962], Барнз [1970], Перрен, Перро [1971] и Перро [1975]. Относительно автоматов, свободных от конгруэнций, см. Тьеррен [1970].
Вероятностные методы для исследования алгебраических свойств кодов ввел Шютцеиберже [1961а]. В сочетании с техникой степенных рядов они предоставляют элегантные и эффективные инструменты; см, например, Перрен [1977b],
В последние годы появились методы исследования кодов (не обязательно префиксных), существенным образом основанные иа понятии моноидов «однозначных» отношений (Сезари [1972, 1974]). Снова одна из задач (как объяснено в тексте) состоит в том, чтобы найти разложения кодов из некоторых семейств и неразложимые коды. Наиболее важные пока результаты, не включенные в книгу, — это существование непрефиксиых, несуффиксиых неразложимых конечных кодов (Сезари [1972]) и существование префиксных иесуффиксных десинхронизированных конечных кодов (Перрен [1975]).
Ниль-простой моноид глубины 1 — это вполне простая полугруппа с присоединенной единицей. Соответствующий конечный полный бипрефиксный код (см. теорему 6.15) называется элементарным бипрефиксным кодом. Конструкция всех элементарных бипрефиксных кодов иа языке специальных направленных графов, называемых командными турнирами, была дана Лаллемаиом и С. Рисом [1981°]. Ее теоретико-графовое обобщение для всех конечных полных бипрефиксных кодов было получено Лаллемаиом и Перреном [1981°]. Изложенный в тексте алгоритм Сезари был усовершенствован до алгоритма, дающего каждый бипрефиксный код единственный раз (Сезари [1980°]).
Упражнения
Пусть А = (а, 6}, S = {0, 1п— 1} н d — делитель числа п. Для любого ieS обозначим через rd^ остаток от деления / на d. Определим на S структуру Д*-автомата ®(d, п), положив ia = i + I (mod n), lb = = n — d-f-rd(l) + 1 (mod л) для любого teS. Тогда стабилизатор, состояния 0 порождается конечным полным префиксным кодом С, и М (С*) является малым моноидом, удовлетворяющим условию © = Я. Обратно, если для конечного префиксного кода С = А* моноид М^С*^ является малым и удовлетворяет условию © = 98, то Я (С*) изоморфен автомату % id, п) для некоторого п и некоторого его делителя d. Найти неразложимые коды этого типа (Лаллеман [1976]).
Пусть А= {а, 6}, S = (0, 1, ..., п — 1}. Предположим, что ia — = i'+l(modn). Как следует определить действие b на S, чтобы заведомо стабилизатор С* состояния 0 порождался конечным префиксным кодом С,
для которого М(С*)—клиффордов малый моноид? Показать, в частности, что класс отношения Кето, содержащий 0 и множество п—Imb(modn) должны составлять разложение группы Zn. Используя упр. 8 из гл. 3, вывести, что коды С с указанными свойствами находятся во взаимно однозначном соответствии с цепями делителей числа п (Лаллеман [1978]).
Вывести предложение 1.2 из его следствия 1.3.
Пусть Я — моногенный А*-автомат, So — множество порождающих его состояний, Л (Я)—его ®-класс. Для любого идемпотента ее®(Я) максимальная подгруппа Ge действует транзитивно на множестве S(e) = So П Im в. Все группы подстановок (S(e), Ge'), соответствующие идемпотентам ее®(Я), подобны. Это позволяет определить понятие группы Сушкевича для моноген- ного автомата (Перро [1975]).
б. Пусть С = {a3, a2ba, a2b2, ab, ba2, baba, bab2, b2a, b3}. Описать строение моноида М(С*) (он является вполне простой полугруппой с присоединенной единицей). Будет ли С разложим? (Шютценберже.)
(а) Пусть С G А* — конечный префиксный код, такой, что М (С*) — инверсная полугруппа. Тогда либо С = А", либо С = У” 0 В, где В — неполный префиксный код, и группа Сушкевича 0(C) является циклической порядка п (во втором случае использовать лемму 3.8 и максимальное разложение кода С).
Пусть Л = {ai, а2а„}; положим Л; = А\{а,} и С = Л1Л2... А„. Тогда М (С*) — инверсная полугруппа, содержащая лишь циклические подгруппы.
Пусть А = {а, Ь, с) и С = {а3, ab, агЬс, bca, bcbc, cb, са2, cabc}. Тогда М(С*)—инверсная полугруппа, содержащая в качестве подгруппы группу ^s. (По поводу (а) и (Ь) см. Кинан и Лаллеман [1974]; утверждение (с) принадлежит Ройтенауэру [1977], который обнаружил, что коды подобного типа играют важную роль в изучении рациональных степенных рядов.)
Пусть Я —■ транзитивный А*-автомат. Существует минимальная конгруэнция у на Я, такая, что Я/у— групповой автомат. Группа Т (Я/у) есть факторгруппа группы О (Я), и она изоморфна О (Я) тогда и только тогда, когда В (Я) имеет единственный 3?-класс. (Если Я — минимальный автомат, распознающий С* для конечного префиксного кода С, то Т(Я/у) — циклическая группа, порядок которой равен наибольшему общему делителю длин слов из С.) (Перро [1971].)
Говорят, что конгруэнция р на А*-автомате Я индуцирует группы, если для любого i из множества состояний S индуцированный автомат Яр (Q является групповым автоматом (т. е. Afp(Q действует на р(/) подстановками). Пусть К — подгруппа группы автоморфизмов Aut Я автомата Я. Определим отношение р(К) на S, положив (s, s2)ep(K), если $1 = 0(82) для некоторого а е К. Тогда р (К) — конгруэнция на Я. На моногенном автомате Я любая такая конгруэнция индуцирует группы (Дойсен [1967], Перро [1975]).
Конечная группа G тогда и только тогда будет ST-группой, когда в О любая подгруппа Н простого порядка нормальна. Любая подгруппа ST-rpyn- пы есть ST-rpynna. Декартово произведение Gi X Ga является ЗТ-группой тогда и только тогда, когда Gt и G2 суть ЗГ-группы и для любого простого р, делящего порядки обеих групп Gi и Gs, все элементы порядка р из Gt и Ог лежат в центрах групп Gt и G2. Груйпа, заданная копредставлением
<а, b; а2п = 1, b2 = an, b~lab = а-1>
и введенная Коксетером, является ST-rpynnoft порядка Ап и имеет циклический центр порядка 2. Оиа ие может быть группой Сушкевйча никакого конечного префиксного кода (Перро [1974]).
Пусть С $ А*— рациональный код (не обязательно префиксный). Если С максимален (т. е. С* () А * wA * Ф 0 для любого гое А*), то синтаксический моноид М(С*) имеет минимальный идеал D, не сводящийся к нулю. Если <р; А* -► М(С*) — синтаксический гомоморфизм, то в D существует ма-
кснмальная подгруппа G, для которой <р(С*) Г1G ^ 0. Тогда множество /У = <р(С*)Г1О является подгруппой в G, и G имеет точное представление подстановками на множестве правых смежных классов по Н. Группа подстановок (GIH, G) называется группой Сушкевича кода С. В случае когда С —префиксный код, (GjH, G) подобна группе подстановок G(C) из определения 2.8 (Боэ [1976]).
Существует лишь конечное число конечных полных бипрефиксных кодов данной степени (или средней длины) иад данным алфавитом Л. Если card Л = 2, то существует три таких кода степени 3.
Пусть С = Л* — полный бипрефиксный рациональный код. Слово т е А* называется допустимым словом для С, если оно удовлетворяет условиям (а) и (Ь) определения 6.1. Введем подмножества Ro, Lo, Ri, L^ из Л*, положив
(Cm-1)m fl т(,т-1С) = Lom = mRrj,Li^Cm-l\Lo, Rt = m""xC\R,.
Определим в терминах степенных рядов множество С(т) формулой
С (т) = С — m(m-IC) — LYm + m + LxmR0Rv
Тогда C(m)—полный бипрефиксный рациональный код, имеющий ту же среднюю длину, что и С. При Л = (а, 6} этот метод дает три рациональных полных бипрефиксных кода средней длины 2, для каждого из которых синтаксическим моноидом служит Z2 (Перрен [1975]).
9
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ
Мы видели, что рациональные языки оказываются носителями рациональных степенных рядов с коэффициентами из №. Аналогично, контекстно-свободные языки являются носителями алгебраических степенных рядов (см. ниже определение 4.5); поэтому мы называем их алгебраическими языками. Поскольку имеется несколько превосходных изложений теории контекстно- свободных языков (С. Гинзбург [1966], Бут [1967], Гросс, Лан- тен [1967], Арбиб [1969], Хопкрофт, Ульман [1969]$)), мы не пытались дать ее общий обзор в этой главе. Мы рассматриваем лишь основные свойства замкнутости контекстно-свободных языков, используя классические методы теории грамматик (§ 1—3), и показываем связи с теорией степенных рядов от некоммутирующих переменных (§4). В §5 мы даем набросок некоторых элементарных результатов из более поздней теории абстрактных семейств языков (AFL — abstract families of languages). Всюду в этой главе нашей главной задачей является дальнейший анализ рациональных языков в рамках более общих иерархий.
Контекстно-свободные грамматики,примеры, редукции
Напомним, что грамматика Г = (У, А, л) называется контекстно-свободной (гл. 5, определение 4.18), если любое правило в л имеет вид а->х, где as VXA, xs V*. Множество А называется терминальным (или основным') алфавитом, а У\А— вспомогательным алфавитом грамматики Г. Элементы из У\А систематически обозначаются греческими буквами. Для произвольного os УХА положим А(Г, a)=[®eA*: о=>®}; символ => читается «порождает» и означает, что существуют z0, zb ..., 2m г У*, такие, что о = zq, w = zm и Zt = ras, Zi+] = = rxs для некоторого правила a->x из л. Язык L называется контекстно-свободным или алгебраическим, если существует контекстно-свободная грамматика Г = (У, А, л) и символ os
’) См. также А. В. Гладкий и И. А. Мельчук [1969*], А. В. Гладкий [1973*], В М. Глушков, Г. Е. Цейтлин, Е. Л. Ющеико [1978*]. — Прим. ред.
г У\Д, такие, что L = Л(Г,о). Иногда удобно порождение слова пае Л (Г, о) представить наглядно следующим образом. Каждое правило a^-uiU2 ... Тп (где и, е К) можно представить элементарным деревом
Дерево вывода о => w строится из следующих друг за другом элементарных деревьев, представляющих правила, встречающиеся в выводе о =ф- w.
Примеры 1.1. (а) А = {a, b, с); V = {о} U А; л = {а-^аоа, o-^bob, с-*су Получаем L(F, о)={дасда: to е {а, 6}*, а да— зеркальный образ слова да}. Дерево вывода a^abcba имеет вид
b
с
Д = {a, ЬУ V = {о, а}иД; л={о^-аа, а^-аЬУ Возможны лишь выводы вида о->aoc^-aab -*■ ... -*aabn. Следовательно, L (Г, о) = 0.
Д = {а, а}; V = {о, т} U А; л = {о^-то, о^-т, т-^ааа, т—>1}. Язык £(Г, а) представляет правильные расстановки скобок, если а означает (, а а означает). См. гл. 1, пример 4.5.
Обычно несколько правил o^-t«i, o^-W2, ..., o^-wn из л записывают в виде а->- да1 + Wg + . • • + wn- В дальнейших примерах мы будем следовать этому соглашению.
А = (щ, а2, ..., ап, Si, а^, ..., апу V = (о, Ti, т2, ... ..., тл} U А, а л задается формулами о->-т/а + т«, ц->- aiaai + 1 для любого i, 1 ^ i s^ п. (Пример (с) выше получается при п= 1.) Язык £(Г, о) называется ограниченным языком Дика над 2п буквами. Он совпадает с содержащим 1 классом конгруэнции на Д*, порожденной всеми парами (ащ,, 1), 1 ^ i ^ п. Содержащий 1 класс конгруэнции на Д*, порожденной парами (аД,, 1) и i^aitti, 1), называется языком Дика над 2/г буквами. Порождающая язык Дика грамматика состоит из алфавитов А Уи, ар 1 < I ^ пУ УХД = {or, ти У, Pi, pi- \ ^i^n} и
правил
а->т;ст + Tjff + т, + т<,а->т;ст + Tjff + т, + т<,т^а.РАН- 1,т^а.РАН- 1,т^-х^ра + 1т^-х^ра + 1Pi-^'VjPi + т/>Ру ->ТуРу + Ту для 1 X i X п,Pi-^'VjPi + т/>Ру ->ТуРу + Ту для 1 X i X п,Pi -*ТуРу + ту, Ру->Т/Ру +ty, для 1 X ZX га,Pi -*ТуРу + ту, Ру->Т/Ру +ty, для 1 X ZX га,
а->т;ст + Tjff + т, + т<,
а->т;ст + Tjff + т, + т<,
т^а.РАН- 1,
т^а.РАН- 1,
т^-х^ра + 1
т^-х^ра + 1
Pi-^'VjPi + т/>
Ру ->ТуРу + Ту для 1 X i X п,
Pi-^'VjPi + т/>
Ру ->ТуРу + Ту для 1 X i X п,
Pi -*ТуРу + ту, Ру->Т/Ру +ty, для 1 X ZX га,
Pi -*ТуРу + ту, Ру->Т/Ру +ty, для 1 X ZX га,
для 1Xiдля 1Xitv,tv,Хга;Хга;1<7<1<7<га, i^'bга, i^'b
для 1Xi
для 1Xi
tv,
tv,
Хга;
Хга;
1<7<
1<7<
га, i^'b
га, i^'b
А = {«о, «ь •.., «п}; У={ст}иД; л состоит из правил ст-> а0 + пщ + а2ст2 + ... -У апап. Язык £(Г, ст) называется языком Лукасевича над га+ 1 буквами. Если определить гомоморфизм <р: А*-*^, +), положив <p(a,) = i—1, то читатель может проверить справедливость равенства Л(Г, я)={ж G^*: <р(ку) = — 1 и ф(и)^0 для любого и=/=1, такого, что w = uv при некотором у}. Этот язык используется для устранения неоднозначности при выполнении последовательности i-арных операций at (см. упр. 1).
А = {a, by V = {ст, a} U A; a->aab, a-+aab-\-\. Языком, порождаемым ст, служит L = {апЬп: га>0}. Пусть 91 = = (S, /)—конечный Д*-автомат. Так как S конечно, найдутся целые числа m и п, т=£п, такие, что f(s, am) = f(s, а").'Это влечет ^s, ambn^ = Цз, апЬпУ и если бы L распознавался автоматом 91, то вместе с апЬп он содержал бы и атЬп. Следовательно, L не является рациональным языком. Этим устанавливается строгость включения $% cz З^ в иерархии Хомского.
В следующих двух утверждениях мы рассматриваем связи между контекстно-свободными языками в А* и в А+.
Лемма 1.2. Существует алгоритм, позволяющий для произвольной контекстно-свободной грамматики Г = (У, А, л) и произвольного ст е У\Д узнать, будет ли 1 е Л(Г, ст).
Доказательство. Для данной Г = (У, А, л) определим множества У1 = {аЕ УХД: a-»- 1 принадлежит л},
Уу+1 = Уу U {ae V \ A: a->w принадлежит л, seV’y
Поскольку Vi г УХД для каждого I, имеется лишь конечное число множеств V,. Если п — первое среди таких I, что V/ = = У(+1, то легко увидеть, что Vn= {а е У\Д: a => 1}. Таким образом, 1 е Т(Г, ст), если и только если ст е Vn. □
Предложение 1.3. Для любого алгебраического языка ЬгА* существует контекстно-свободная грамматика Г = (У, А, л) без правил вида а->1, такая, что L^V, ст) = ТХ{1} для некоторого ст е УХД.
Доказательство. Допустим, что L порождается грамматикой
Го = (У, А, ло), отправляясь от стеУХД, т. е. 1 = {даеД*:
a=^ty}. Мы построим грамматику Г = (У, А, л), используя УЯо 1
множество Vn — |ae У \ Л: a=> 1 J из предыдущей леммы. Именно, правило a->u мы включим в л тогда и только тогда, когда «5^1, существует такое we V*, что a -*iy, и и получается из w вычеркиванием некоторого числа (быть может, равного нулю) вхождений элементов р е Vn. Следовательно, если а ю и ® содержит т вхождений букв из Vn, то мы получим 2т правил a—* и в случае w ^ V*n и 2m — 1 правил в случае weV^. Покажем, что Е(Г, ст) = Е\{1}.
Если а—>и, то по определению л мы имеем a.^*w, где w = uxui ... ur, u = vi}vi2 ... utk, причем подпоследовательность ib /г, . ••> ik последовательности 1, 2, ..., г та- ЛоЛо Ло
кова, что и, =>- 1 для любого i ix, U, ..., й. Из a —► w => и Ло
выводим a=>u. Следовательно, А (Г, ст)£ L и, так как 1^ ^£(Г, ст), получаем L(F, ct)£L\{1).
Чтобы доказать включение Е\{1} £ Е(Г, ст), покажем, что a=>w, где w=#l, влечет a=^w, применяя индукцию по
ЛоЛол
длине вывода a=^-w. Если a —► w, то a -♦ w по определению л. Пусть теперь вывод а => w имеет длину m > 1. Тогда Ло
a -* ихи2 ... uk=^w для некоторых уь у2, ..., UkeV, при-
Ло
чем w можно записать в виде w = uxui ... и^, где ut=^Ui для Л
i = 1, 2, ..., к. В случае и, =/= 1 мы имеем ut=^-ut по предположению индукции. В случае же и/ = 1 получаем У/ е Vn. Отсюда л...
следует, что а -> У;,У/2 ... и{[, где ib i2, ,.., и — последовательность индексов I, для которых Ut^X в выражении ui«2 ... ик.
Таким образом, а —> vlxvl2 ...=^uZ]z^2 ...= w. □
Замечание 1.4. Если контекстно-свободная грамматика Го = = (У, А, ло) содержит правило вида а -^> р, где a, peVM, то можно удалить это правило, заменив его правилами a-^w для всех у е ЕХД, гу^У\Д, таких, что Р => у—* да. Оставив все прочие правила без изменений, мы получим грамматику Г1 = (V, А, Л1), для которой Е(ГЬ ст) = £(Г0, ст) при любом ст е У\Д. Индукция по числу правил вида a р в Го показывает, что Е(Г0, ст) = 1(Г, ст), где Г — некоторая грамматика без правил а р.
Еще одна полезная редукция для контекстно-свободных грамматик использует понятие связности. Грамматика Г = = (У, А, л) называется а-связной для некоторого о е У\Д, если
для любого аеУХД найдутся и, veA*, такие, что л о^иаи;
для любого аеУ\Д, а =£ а, найдется w е Д*, такое, Л что a=>w.
Предложение 1.5. Для любого алгебраического языка L^ Д* существует а-связная контекстно-свободная грамматика Г =» = (У, Д, л), такая, что Ь = ЦТ, а).
Доказательство. Предположим, что L порождается грамма» такой Го = (V, А, ло), отправляясь от а е У\Д.
Образуем следующие подмножества из УХД: Нi = {a} и для I ^ 1
Ui+'=Ht J {ое^хД: p-^uao для некоторых
и, ие У, ^е Hty
Обозначив через m первое среди чисел /, таких, что Н^ = Hj, {Ло 1
аеУ\Д: а=>цац/. Взяв
У^ДО^т, n^fa-^w: ®еУ?}, положим Г1 = (УЬ A, nJ. Простое упражнение показывает, что Е(Г0, о) = Е(Гь а).
Для устранения тех вспомогательных символов из Г1, которые не порождают терминальные слова, образуем Кх = = {а е У( \ A: a -^* w для некоторого w е Д*} и для i ^ 1
Д{+1 = Ki и {а еУ1\Д: а Лw для некоторого ©е(ДиК^)’}. Обозначив через m первое среди чисел /, таких, что К/+1 = К/, {Л1
аЕУ]\Д: а=>цу для некоторого weA*y Взяв У = Д U Km (J {а} и л = {а —» w: a, w е У*}, положим Г = = (У, А, л). Как и выше, можно проверить равенство Е(Г], о) = = £(Г, о). □
Предыдущее доказательство оправдывает следующий графический способ построения Г исходя из Го. Определим граф грамматики Го как ориентированный граф, вершинами которого служат вспомогательные символы и такие слова we А*, что a -* w, а (непомеченные) дуги суть (a, Р) или (а, w) во всех случаях, когда а—> «Ра для некоторых и, и е V* или соответ- ственно a -> w* Грамматика Г получается из Го удалением тех
символов из И\А, которые не лежат ни на каком пути, ведущем от о к словам из А*, а также удалением правил, содержащих эти символы.
Пример. Пусть Го задается правилами a-*aaba + aba, а->aab + Ь^ + а, ^-*а^с. Графы грамматик Го и Г представлены рисунками (1.5.1) и (1.5.2) соответственно. Г задается правилами a-*-aaba + aba, а-*■ aab + а.
(1.5.2)(1.5.2)
(1.5.2)
(1.5.2)
Пусть дана контекстно-свободная грамматика Г = (У, А, л). Символ аеУ\Д называется циклическим.') символом, -если Л
а=> нац для некоторых и, v е V*, где uv^ 1.
Предложение 1.6. Если алгебраический язык L^A* бесконечен, то L порождается некоторой связной контекстно-свободной грамматикой с циклическим символом. Обратно, если для некоторой а-связной контекстно-свободной грамматики Г с циклическим символом и без правил вида а -»• 1 язык L = L (Г, ст) непуст, то он бесконечен.
Доказательство, (а) Пусть L — алгебраический язык, а Г = = (У, А, л) — такая ст-связная грамматика, что L = L(T, ст). Согласно замечанию 1.4, можно предполагать, что Г ле содержит правил вида а —► Р, где а, р е У\А. Допустим, что Г не содержит циклических символов. Докажем конечность L индукцией по мощности множества УХА. Если У\А = (ст), то все Л
правила имеют вид оw, где we А*, и потому L конечен. Если У\А имеет мощность > 1, образуем множество
V' =\aeV \ А: а=>иау для некоторых и, и е V*, uu^lj.
л
Так как Г о-связна и не содержит правил вида о а, мно- жество У' непусто, причем ст ^ V'. Далее, для любого а е У и Л
любого правила а w слово w не содержит вхождений а. По- этому тройка Г'= (У\{ст), А, л'), где л' состоит из всех пра-
') В оригинале embedding. Мы используем термин, принятый, например, в книге А. В. Гладкого [1973*],— Прим, перев.
вил л, за исключением правил вида о —> w, есть контекстно-свободная грамматика. Для каждого а е V" построим а-связную грамматику Га = (Уа, А, ла), такую, что Е(Га, а)=£(Г', а). Предположение индукции показывает, что языки 1.(Га, а) конечны. Поэтому L тоже конечен.
Л
(Ь) Если Г имеет циклический символ а, т. е. а=>иоацо, где Л
MoVo^l, то сг е> ищи, для некоторых ub и, е V*. Отсюда еле- Л
дует, что a =>UiUo«voVi => ... =>uiUoauoVi. В случае а-связной Г и непустого языка Е(Г, о) любой вспомогательный символ порождает некоторое слово из А*. Следовательно, существуют выводы, преобразующие ub u0, a, Оо, vi в слова х, и, w, и, у г А* соответственно. Это показывает, что хипшипу е L для любого n е N. Если Г не содержит правил вида р->-1, то uqVq ^ 1 влечет uu#= 1, а последнее гарантирует, что никакие два слова вида xunwuny не совпадают и, таким образом, L бесконечен. □
Следующий результат, иногда называемый «леммой-насосом» (pumping lemma), является фактически вариантом предложения 1.6 и принадлежит Бар-Хиллелу, Перлзу и Шамиру [1961].
Предложение 1.7. Пусть L s А* — алгебраический язык. Существует натуральное число n^L), такое, что любое слово zeL, длина которого превосходит п(Ц, может быть записано в виде z = хишиу, где ио #= 1 и xunwvny е L для всех п ^ 1.
Доказательство. В силу предложения 1.3 существует грамматика Г = (У, А, л) без правил вида а->1 и такая, что Е(Г, а) = Е\{1} для некоторого а е УХА. Если в Г вывод (6):... -^Wi-* ... ->- wt+k->- ... ^-со таков, что wt =
= Miaivb wi+k = иХ2кУх, где а, => zk, то вывод at=>z6 (все шаги в котором точно такие же, как в (6)) назовем подцепью вывода (6). Положим № card (У\А) и будем рассматривать в данном доказательстве лишь выводы a =>«(«е V*) минимальной длины. Множество всех таких выводов, имеющих подцепи длины г, конечно, и, значит, они порождают конечное множество слов сое V*. Пусть п^Ц—максимальная длина этих слов. Если слово z^L удовлетворяет неравенству /(z) > пЩ, то длинней- лл
шая подцепь вывода сге-2, скажем а, =^со,, имеет длину, превышающую г. Так как вспомогательных символов имеется
Лл
только г, вывод at => со1 содержит подцепь a=>uoayo для некото- рых uQ, uq е У* и а е У\А. Равенство u0Uq = 1 невозможно,
Лл
так как в противном случае, удаляя вывод a=>a из о=>2, мы пришли бы к противоречию с минимальностью длины вывода
Л
а=^г. Последний вывод, таким образом, содержит циклический символ. Рассуждение, аналогичное части (Ь) доказательства предложения 1.6, дает г = xuwvy, где иу #= 1 (поскольку нет правил вида р-> 1) и xunwuny е L для всех n ^ 1. □
Приложение 1.8. Язык L= {а"2: п^. 1} не является алгебраическим. В самом деле, в противном случае при n2>n(Z.) мы получили бы z = an" = xuwuy = (xwy')(,uy') = afcal, где xwy = ak, ну = а1, откуда хитшуту = akaml el, t. e. A + ml было бы полным квадратом для любого т 1. Однако для достаточно больших чисел разность между их квадратами будет больше I. Поэтому L не алгебраический язык.
Приложение 1.9. Допустим, что язык L = ^anbnan; п ^ 1} — алгебраический. Тогда для достаточно большого т имеем ambniam = xuwyy, где ио =# 1 и xunwvny е L для всех и ^ 1. Допустим, что х = ambz для некоторого г. Тогда xu2mwu2my е L влечет xu2mwu2my = ambmam. Но l^xu^wy^y^ ^ Цх) + 2m ^Зт+1, что противоречит равенству ЦатЬтат) =3т. Таким образом, х = ар, где р ^ т. Допустим, что и содержит Ь, т. е. и = agbt для некоторого q ^ 0. Тогда
xu2wo2y = aPa^bta^btwy^y е L,
откуда выводим: <7 = 0, р = т, 1 — некоторая степень буквы Ь, т. е. и = Ь1. Тогда xulmwylmy = am№lmwylmy, что противоречит условию xu2mwu2my е L. Следовательно, х = ар, и = а4 и симметрично y — ar, u = as. Все вхождения буквы b в слово xunwuny лежат в w, и при достаточно большом п число этих вхождений будет меньше, чем число вхождений буквы а либо в хип, либо в упу. Это противоречие показывает, что L не алгебраический язык. Для построения контекстно-зависимой грамматики, порождающей L, введем правило с-*аата, повторным применением которого получаем а=> а"ст(та)п. Правило ах->та дает о => апатпап. Наконец, еще два правила о-*- aba и Ьт-*ЬЬ дают а => an+1bn+1an+i. Мы опускаем детали, показывающие, что а не порождает относительно правил
о-* аата + aba, ат-* та, Ьт-*ЬЬ
никаких слов, отличных от слов из L. Этот пример доказывает строгость включения ^cS’i в иерархии Хомского.
Свойства замкнутости алгебраических языков. Рациональные трансдукции
Предложение 2.1. Класс всех алгебраических языков LsA* замкнут относительно следующих операций; объединения, умножения, образования подмоноидов ^итерации). Он не замкнут относительно операций пересечения и дополнения.
Доказательство. Пусть Е1 — Е(ГХ, а^, где Fi = (Vi, А, лг), 1=1, 2. Заменяя при необходимости вспомогательные алфавиты, мы можем предполагать, что (У1\А)П(^2\А) = 0. Взяв символ а ^ Vi U Уг, рассмотрим грамматики
Гу = (Vi U V2U {ст}, A, nt U л2и {ст-*(Ji, о-^а2}),
Гр = (У,и У2и{ст}, А, л^ЛаО {ст—*ст!ст2}).
Ясно, что ЕхиЕ2 = Е(Ги, а) и Lx-L2 = L (Гр, а). Пусть L = = Е(Г, ст) для некоторой контекстно-свободной грамматики Г = (У, А, л). Возьмем т^ V и построим r*=(VU {т}, А, nJ U {т->стт+ 1}). Простая проверка показывает, что Е*=Е(Г*, т). Язык L = (anbnak\ п, к ^ 1} алгебраический, так как он порождается, отправляясь от ст, правилами ст-* ар, a-^aab-Vab, р->ар + а. Алгебраическим является и язык Е=(акЬпап; п, А^ 1}, будучи зеркальным образом L. Однако в силу приложения 1.9 язык Е?\Е = (anbnan; п ^ 1} не будет алгебраическим. Наконец, замкнутость класса алгебраических языков относительно дополнений повлекла бы за собой его замкнутость относительно пересечений (ибо Ех П L2 = Ех UL2, где черта обозначает переход к дополнению). □
Предложение 2.2. Если К — рациональный, a L — алгебраический языки в А*, то язык ДНЕ алгебраический.
Это предложение является непосредственным следствием более общего результата о степенных рядах (теорема 4.11). Здесь мы дадим лишь набросок прямого доказательства. Предположим, что К распознается А*-автоматом 21 = (S, f). Без ограничения общности (ввиду замкнутости класса алгебраических языков относительно объединений) можно считать, что К = = {w е A*: f(s0, w) = sxy Если Е = Е(Г, а), где Г = (V, А, л), построим Г' = (V', А, л'), взяв V' = A j (S X V X S), а л' — состоящим из правил двух типов:
(s, a, f)-*(s, vx, t) (tx, o2, is) ■ ■■ (tm-\, Ут, /) для каждого правила a-*yty2 ... От из л (у, е V) и любых s, t, tx, ... ..., tm—i €= S;
(s, а, 0->а, если f(s, a^ = t.
Тогда КГ\Е = Е(Г', o'), где c' = (s0, a, s^.
В оставшейся части параграфа мы рассмотрим свойства замкнутости класса алгебраических языков относительно гомоморфных образов и прообразов, а также относительно более общих отображений, называемых рациональными трансдукциями.
Предложение 2.3. Пусть ср: А*-* В*— гомоморфизм. Если Е— алгебраический язык в А*, то q>(L)— алгебраический в В*.
Обратно, если ф(А)еВ0 {1} и L'— алгебраический язык в В*, то ф-1(1/)— алгебраический в А*.
Доказательство. Пусть L — L(V, а), где Г=(У, А, л). Продолжим <р до гомоморфизма ф: V*->-((V\ А) U В)*, положив
{
ф(и), если и е А, и, если и е V \ А.
Это позволяет поставить в соответствие любому правилу a->w из л правило ф(а)-*ф(ф). Обозначим через ф(л) множество всех этих правил и рассмотрим грамматику ф (Г) =(ф(У), В, ф (л)). Элементарное доказательство показывает, что ф(В)=£(ф(Г), ф(о)). Обратно, предположим, что ф отображает А в BU {1} и Ь' = Цу', а'), где Г' = (У', В, л'). Определим А0={йеА: ф(а)еВ}, Ai = (йеА: ф(а)= 1} и обозначим через ф0 сужение ф на До- Продолжим фо до отображения ф0:(У'\В)и Ao—» V', положив фо (o') = и' для любого и'ее У'\В. Это позволяет поставить в соответствие любому правилу а—»и'о'2 ... v'm из л' конечное множество правил а-э-у^г ••• Vm, где v<ge ф,?1 (и;) для t=l, 2, ..., т. Обозначим посредством ФгГЧл') множество всех этих правил. Наконец, на множестве V = (V'\B)U U A U {<ю}, где со — новый вспомогательный символ, определим совокупность правил л следующим образом:
л = {а -> соу^Уг ... соутсо: (а -> yty2 ... ym) е фп~1 (л )} U
Щсо-хко: се A,} U {<о-> 1}.
Рассматривая грамматику Г = (У, А, л) и язык L — L^V, а'), мы утверждаем,что L = ф-^В'). Это равносильно утверждению: лл'
c'=>wsA*, если и только если а'=>ф(щ). Вычеркнем в вы- л
воде nf ^^ w все вхождения символа со и заменим каждую л'
букву аеАна ф(а). В итоге получим вывод о7 =>ф(ю). Обрат- л'
но, допустим, что a'=^bxb2 ... 6А = ф(да). Тогда да @ А^1 (61) Адрф1 (6г) • •. А|фф' (6б) А* Л
и o' => юЬхюЬ2 ... юЬ^. Используя правила со-> аю и Ф->1 (аеА]), можно заменить каждый символ со в юЬхюЬ2 ... юЬ^го некоторым словом из Др Отсюда следует, что a'=>w, и этим завершается доказательство равенства £ = ф~1(В'). □
Определение 2.4. Трансдукция т: А*->^(В*)— это отображение А* в множество ^(В*) всех подмножеств моноида В*. Продолжение т до отображения ^(А*) в ^(В*) задается формулой Ч^-и^ьтН для произвольного LsA*. Трансдукция
Л*-> ^(В*) называется рациональной трансдукцией, сели множество
{(и, у)е .4' X В‘: а е т (и)}
является рациональным подмножеством моноида А* X В*.
Мы отсылаем читателя к определению 3.1 из гл. 6, где вводится класс RatM рациональных подмножеств произвольного моноида М.
Лемма 2.5. Пусть ср: М->М'— гомоморфизм. Если Re е Rat М, то ф(R)eRatЛ^/. Обратно, если ср сюръективен и R'eRatM', то существует ReRatM, для которого ф(В) = В/.
Доказательство. Любой гомоморфизм ф сохраняет операции объединения, умножения и итерации. Поэтому если R лежит в рациональном замыкании класса конечных подмножеств из М, то это же справедливо для t(R). Пусть
di! = {R' sM'; R/ = tp(R) для некоторого ReRatM}.
Очевидно, класс 91' рационально замкнут. Когда ф сюрьективен, для любого конечного подмножества U из № найдется конечное подмножество L из М, такое, что tp(iL) = L'. Поэтому й' содержит все конечные подмножества из М'. Отсюда следует, что Rat M's 91'. □
Следующий результат, принадлежащий Нива [1968], характеризует класс ^а!(Д*ХВ*).
Предложение 2.6. Пусть а: С*->Д* и 0: С*-* В*— гомоморфизмы, Re Rat С*. Тогда {(а(to), p(ay)): weK^ G Rat(Л*ХВ*). Обратно, для произвольного подмножества R е RatM* X В*) существуют множество С, гомоморфизмы а: С*->Д* и 0: С*-* В*, такие, что а(С) = Д U{1}, P(C) = BU{1}, и множество Re е Rat С*, такое, что R= {(а (ay), 0(w)): we RY
Доказательство. Отображение у: С*->Д*ХВ*, определенное равенством у (ау) = (а(ау), 0(ау)), есть гомоморфизм. По лемме 2.5 имеем у (К) е Rat (A* X В*) для любого К е Rat С*. Обратно, для данных А* и В* пусть С будет дизьюнктным объединением А и В, т. е. С = Ах U Вх, где Ах П Вх = 0, Ах равномощно А, Вх равномощно В. Определим а^ С->АХ, 0^ С->-6], положив а1(а) = а, at(6)=l, 0i(a)=l, ^x(b)=b для любых аеАх, ЬеВх. Благодаря существующим биекциям, можно продолжить «1 и Pi до гомоморфизмов а; С*-> А* и 0: С*—>В*. Тогда отображение у: С*-> А* X В*, определяемое формулой у(ш) = (a(w), Р(®)), есть сюръективный гомоморфизм. По лемме 2.5 для произвольного R е Rat(X*X В*) существует К е Rat С*, такое, что
Следствие 2.7. Для произвольных гомоморфизмов а: С*->А*, (3: С*->• В* и произвольного К е Rat С* отображение т: А*-> ->9ЧВ*У определенное формулой т(и) = Р(а-1(и)П /<), является рациональной трансдукцией. Обратно, если т — рациональная трансдукция, то существуют множества С и Ke Rat С* и гомоморфизмы а, р, такие, что а(С) = A U {1}, Р(С) = В U {1} и (2.7.1) т(Г) = р(а’1(Г)ПК) для любого Ее А*.
Доказательство. Имеем {(и, и^еА*ХВ*; иет(и)} — = {(a(w), Р(йу)): w е КУ В силу прямого утверждения предложения 2.6, если К е Rat С*, то т — рациональная трансдукция. То же самое равенство переводит обратное утверждение предложения 2.6 в обратное утверждение данного следствия. Для любого Ее А* включение ует(Л) выполняется тогда и только тогда, когда и = р(ау) для некоторого we К, такого, что a^w^e еЕ. Следовательно, т^ = Р(а~!(Л)П К). □
Применяя предложения 2.2 и 2.3 и формулу (2.7.1), получаем
Следствие 2.8. Если т: А*-*^^*) есть рациональная трансдукция, то для любого алгебраического языка Ее А* язык т(Т) — алгебраический в В*.
Заметим, что формула (2.7.1) также показывает, что т(Г)е е Rat В*, если L е Rat А*.
Гомоморфизм а: Д*->^(В*), такой, что о'(1)= {1} и а(а)е eRatB* для любого аеА, называется рациональной подстановкой. Равенство
{(и, и) е А* X В*: v е щ(ы)} = ( l^ fa} X а (а)у
показывает, что рациональная подстановка является рациональной трансдукцией. Гомоморфизм ср: А*-*В* можно рассматривать как рациональную подстановку а, для которой множества ст(а) одноэлементны. Обратное к гомоморфизму отображение ф-’: B*->^(4*), определяемое формулой ср-1 (и) = {и е А*: ф(и) = и}, является рациональной трансдукцией, так как подмножество {(и, о)е А*Х В*: о — ф(и)} рационально в А*ХВ*, а канонический изоморфизм А*ХВ*-*В*ХА* сохраняет рациональность.
Следствие 2.9. Если ф: А*-* В* есть гомоморфизм, то для любого алгебраического языка Ее В* язык ф-1(£-) алгебраический в А*.
Проблемы разрешимости.Неоднозначность
Многие алгоритмы для разрешимых проблем контекстно- свободных грамматик вполне аналогичны алгоритму, который строится в следующем доказательстве.
Предложение 3.1. Существует алгоритм, позволяющий для произвольной контекстно-свободной грамматики Г = (17, А, л), произвольных о^ Е\Д и w е А* решить, будет ли справедливо Л
G => W.
Доказательство. Если w = l, см. лемму 1.2. Пусть w Ф 1. Доказательство предложения 1.3 содержит алгоритм построения грамматики без правил а->1, которая порождает тот же язык, что и Г. Предположим поэтому, что Г не содержит правил вида а->1. Построим индуктивно подмножества Д; из V*:
Д, = ( у е V*: l(v)^l(w) и а у$ ,
Ri+y = Ri U { у е V*: Ци)^Цф)ии'-^о для некоторого у' е Ri}.
Мы имеем RvSRa^ ... Е Ri Е Д,+1 = ..., причем слова в множествах Ri ограничены по длине числом /(w). Следовательно, Ri = Rw для некоторого i, и если / — первое целое число
Л
с таким свойством, то Rj — Rj+k для любого ^ ^ 0. Если а => w И G^W, ТО СТ-Э-У]-Э-У2-Э- ... -^Un-^W И /(У1)^/(Уа)^ ... ... ^/ (yn) ^ l(w). Отсюда следует, что weRp Обратно, w е Rj влечет о => w. □
Предложение 3.2. Существуют алгоритмы, позволяющие для произвольной контекстно-свободной грамматики Г = (Е, А, л) определить, будет ли язык £(Г, ст) пуст, конечен или бесконечен.
Доказательство. Чтобы определить, будет ли £(Г, ст) пуст, положим До = А и
Д<+1 = Д< U {аеУ\Д: а -> w для некоторого шеД*}.
Если / — первый такой индекс, что Д/= Д/+ь то £(Г,ст)=0, если и только если а^А,. Чтобы определить, будет ли £(Г, ст) бесконечен, построим (используя алгоритмы из предложений 1.3 и 1.5) ст-связную грамматику без правил вида а->1, скажем Г' = (У', А, л'), такую, что £(Г', ст) = £(Г, ст)\{1}. Существует алгоритм, позволяющий для произвольных аеУ'М и w g(V')* л'
определить, существуют ли г, se(V')*, такие, что a=>rws. Чтобы доказать это, построим — как в доказательстве предложения 3.1 — множества Rt = {уе(Е7)*: /(у)^/(ш) и a-^rus для некоторых г, sg(V')*}, Ri+i = Ri U {у e (V7)*: /(у)^/(ш)’ л'
и v'-^ros для некоторых г, sg(Vz)*, o'^R^; тогда a=>rws, если и только если weRj. Применяя этот алгоритм к словам w = аи0 и w — уоа для любых а е Е'\Д и у0 е V', мы сможем выяснить, существует ли циклический символ и, следовательно будет ли £(Г, ст) бесконечен (предложение 1.6). □
Проблемы, не связанные непосредственно с рекурсивной природой алгебраических языков, вообще говоря, неразрешимы. Примером служит
Предложение 3.3. Не существует алгоритмов, позволяющих решать, будет ли пересечение (соответственно дополнение') двух алгебраических языков (соответственно алгебраического языка) пустым, или бесконечным, или рациональным, или алгебраическим языком.
Доказательство. Мы докажем лишь утверждения, касающиеся пересечения двух алгебраических языков.
Пусть L\ — язык над алфавитом (a, b, V}, порождаемый правилами о-> аса + bob + а\а + bNb (см. пример 1.1(a)). Тогда
Li = {toV®: to е (а, 6}4}.
Взяв слова ut и Ui (1 ^ i ^ п) из (а, Ь}*, построим язык L2, порождаемый правилами т-> 2<-i utTUi + V. Тогда
Ь2 = ^ичи12 ... Щ^и^и^ ... и,;. X^i^n для/ = 1, 2, ...,&}. Отсюда следует, что 2 е L] П Ь2, если и только если z = avVty, где хв = щхщг ... uik~vi^i2 ••• ^^ для некоторой последовательности U, ik- Если бы нашелся алгоритм, позволяющий определить, существует ли 2 Е Li П L2, то этот алгоритм решал бы проблему соответствия для пар (иг, Ui), 1 ^ i ^ п. Так как последняя проблема неразрешима (гл. 5, разд. 5.4), не существует и алгоритма, позволяющего определить, будет ли Е1ПЕ2 = 0. Заметим, что если для данного множества пар (щ, Ui), 1 ^ i ^ п, существует решение w проблемы соответствия, то степени слова w доставляют бесконечно много решений. Поэтому не существует алгоритма, позволяющего определить, будет ли язык Li П Ь2 бесконечным. Язык L\ не может содержать никакой бесконечный рациональный язык К (если zyVzy е е К и 1(хо) превосходит число состояний автомата, распознающего К, то w — uw'u, где sw' — s для некоторого состояния s; это дает uuVw е К, но uu^w ^ Li). Следовательно, язык Li П Ь2 рационален, если и только если L\ П L2 = 0. Поэтому не существует алгоритма, позволяющего определить, будет ли язык L\ П L2 рациональным. Доказательство того, что не существует алгоритма, решающего, будет ли алгебраическим языком пересечение двух алгебраических языков, использует аналогичную технику, но более сложные языки. Именно, рассматриваются языки
Li = {zyiVw2V®2V®i: wi, №е(а, 6}+},
L? =ДЬа> .. .ba^VtiiUi .. .щNut.Vi .. .
,. .Ui^a'b.. .akb: V ^ii ^n^,
и так же, как выше, используя предложение 1.7, показывается, что Ц f] £з не может содержать бесконечный алгебраический язык. Детали мы оставляем читателю в качестве упражнения. □
Определение 3.4. Пусть Г = (У, А; л)—контекстно-свободная грамматика. Слово ше£(Г, а) называется неоднозначным в £(Г, о), если существуют по крайней мере два различных вывода а=>да. Число различных выводов a^w называется степенью неоднозначности (или кратностью) слова w в £(Г, о). Алгебраический язык L называется однозначным, если существуют Г = (У, А, л) и се У\А, такие, что L = £(Г, о) и никакое слово w е L не является неоднозначным в £(Г, о); в противном случае L называется существенно неоднозначным.
Например, слово ababa неоднозначно в £(Г0, а), где Го задается правилами о-*а + oba. Язык L = ^amban; m^n^O) совпадает с £(Г, о), где Г задается правилами с->Ь + аа + ааа, и слово amban имеет кратность Q). Однако грамматика с правилами b + ат + ааа, т-^b-V-crt порождает L однозначно, отправляясь от о. Примером существенно неоднозначного языка служит L — {ambmcn, ambncn: m, п ^ 0} (Парик [1961]) . Следующий результат отнюдь не удивителен.
Предложение 3.5. Не существует алгоритма, позволяющего решать, допускает ли произвольная контекстно-свободная грамматика неоднозначное слово.
Доказательство. Взяв две последовательности щ, vi (1 ^ i ^ п) слов из А.*, построим грамматики Д — (Уь В, л^ И Г2 = (У2, в, л2), где В = А 0 {xt, х2, .... хп, V}, У] = В (J {щ}, У2 = В U {<т2} и
п
Ль щ х £ (х^ощ, + XiVu/)^ л, (о^),
1=\
п
л2: »2 х (х^щ + xtWt) = л2 (а2).
1
Простая проверка показывает, что все слова из £(Гь щ) имеют вид х, xtk.. .хц^щи^.. .ut и обладают кратностью 1. То же самое, с заменой и на и, справедливо и для £(Г2, о2). Рассмотрим грамматику Г —(У, В, л) на У —BUfai, а2, о}, где л: <т->-о,-|-о2, oi->ni(oi)-|-V, о2~>л2(о2) + V. Слово ше л,
е£(Г, о) неоднозначно, если и только если a-^-ox=>w и а->
-»o2=^-w. Это происходит тогда и только тогда, когда суще-
ствуют й, ("г, ..., ik, такие, что
w = х‘кхЧ-х • • • ^«Ч^Ч •••U=k = хЧхЧ-\ • • • ХЧ^УЧУЧ • ' • У1к-
Это проблема соответствия для пар (щ, щ), а она неразрешима. □
Рациональные и алгебраические языки над кольцами и полукольцами
В этом параграфе мы изучаем связь между алгебраическими языками и степенными рядами от некоммутирующих переменных. Пусть R— полукольцо (гл. 5, определение 1.9). На полукольце 7? [ [Л] ] всех степенных рядов над R с переменными из А следующим образом введем топологию.
Для любого ряда /е /?[[А]] определим его порядок, обозначаемый о(/), посредством формулы
Jmin{/(w): wesupp/}, если /^0,°^ )(+ оо,если / = 0.
Тогда о(/+ g)> min(o(/), 0(5)), o(f-g) ^ о(/) + o(g), а если R не имеет делителей нуля, то off-g) — оф + o(g). Выбрав вещественное число с, 0<с<1, положим 11/11 = с°<^. С учетом этого обозначения свойства функции порядка примут вид:
11/11^0, и ||/|| = 0 равносильно равенству / = 0;
||/ + 5||<тах(||/Ц, НИ)
и, следовательно,
(2')||/ + ^|| <11/11 + Н11;
ll^•gll<ll/ll•ИII;
и Ц|=1.
Кольцо с вещественнозначной функцией П II, удовлетворяющей условиям (1), (2'), (3) и (4), называется нормированным кольцом, а функция || || называется нормой. Поскольку читатель может быть лучше знаком с кольцами, нежели с полукольцами, в дальнейшем мы предполагаем, что R — кольцо. Однако результаты леммы 4.1 и предложения 4.3 остаются верными и в случае полукольца R (см. замечания и примеры 4.4).
Лемма 4.1. Пусть R— кольцо. Кольцо /?[[А]] с расстоянием d, определенным формулой d(^, 5) =11/—gll, является полным ультраметрическим пространством.
Доказательство. Аксиомы ультраметрического пространства d(f, h = 0, d(f, g> = d(g, f), d(f, g) ^ max (d(f, /1), d (h, g))
непосредственно вытекают из (1) — (4). Чтобы доказать полноту 7? [[А]], рассмотрим последовательность Коши (fn) степенных рядов (т. е. Нтр _> оо П fp — fj| = 0). Для любых ^еД[[А]] и Q -> оо
6gN обозначим через лД^) отрезок ряда g, являющийся многочленом степени ^ Л, т. е. лй (g) = Хи®)< ft g (^ w- Тот факт, что limp -> оо || fp — f9|| = 0, означает, что для любого ieN существует число п(&), для которого неравенства р ^ п^ и q ^ "^ п^ влекут лД/Д = лД/Д. Определим ряд f, положив ^w^ — = fp\w') = fq^w') для всех we А*, Цхя^^к и ^gN. Если 1^ ^ max {«(0), м(1), ..., и(^)}, то о(/— Ь^> к и Ilf — /Д| < ск. Отсюда вытекает limn-> ^п = f, и, следовательно, пространство /?[[Л]] полно. □
Кольцо 2 = (Д [ [Л] ] )<л) («п» в скобках обозначает декартову степень) можно превратить в полное метрическое пространство, определив расстояние 6 на 2 таким образом, чтобы все п проекций на сомножители были равномерно непрерывны (см. Келли [1955, гл. 4 и гл. 6]). Например, можно положить 6((Д), (^/)) = = max (d(fi, gi): 1 ^ i ^ п} для любых двух n-ок (ft), (gi)eS. Мы сосредоточим внимание на функциях ф: 2 -> 2 особого типа — сжимающих идеал /(л) кольца 2, состоящий из всех п-ок степенных рядов без свободных членов. Напомним следующую теорему о неподвижной точке.
Теорема 4.2 (теорема Банаха о неподвижной точке). Пусть (2, 6) — полное метрическое пространство, а 2' — замкнутое подмножество из 2. Если функция ф: 2->2 сжимает 2' (т. е. Ф(2')е 2' и существует с, 0 < с < 1, такое, что 8(ф(х), ф(г/))^ ^ с6(х, у) для любых х, у е 2'), то уравнение х = ф(х) имеет единственное решение в 2'.
Доказательство. Так как 2' замкнуто, оно полно и можно считать, что 2 = 2'. Единственность решения следует из неравенства 6(ф(х), ф(у))< 6(х, у). Чтобы доказать существование, возьмем х° е 2 и рассмотрим последовательность Фл(х°), где, как обычно, ф1 (х°)=ф(х0)' и ф6(х°) = ф(фй~1 (х°)). Применяя индукцию по п, можно показать, что
8 (А ф" (х°)) < (1 + с + ... + с^ 8 ^, ф (х0)) < »^М).
Для p^q имеем
8(фР(х°), ф’^0)) ^ cq6 (ф9~Дх°), х°) ^ 1 —-- 8 (х°, ф(х0)).
Следовательно, Итр5! ^oofifT^x0), ф'Чх")^!), и в силу полноты 2 последовательность фл(х°) сходится к решению уравнения х = ф (х). □
Для данного множества X = {хь х2, ..., хл) многочлен
р(сц, а2, ..., ат, хь х2, ..., Хп)е^[ДиХ]
от некоммутирующих переменных из A U X определяет функцию из S в /?[[Д]], обозначаемую посредством p^xv, xi, ..., х„). Степенной ряд 0^v, f?, ..., fn) получается подстановкой f, вместо Xi (1 ^ i ^ л) в выражение для р. Функция р называется полиномиальной функцией от п переменных Х], х2, ..., хп над ^[ИЛ-
Предложение 4.3. Пусть ^[[Д]] — кольцо степенных рядов с коэффициентами в кольце R, tp,(xi, х2, ..., х„), 1 ^ i ^ п, — полиномиальные функции над /?[[Д]] от переменных хь х2, ... ..., хп. Допустим, что каждая <pz, рассматриваемая как многочлен из R [Д U X], не содержит свободного члена и не содержит одночленов степени 1 из W Тогда система уравнений
х/= фДхь х2, ...» х„), 1 ^ i ^ п,
имеет единственное решение.
Доказательство. Подмножество /<=^[[Д]], состоящее из всех степенных рядов без свободных членов, является замкнутым идеалом в ^[[Д]], так как
/= {р<=Я[[Д]]: d^p, 0)^с}.
Поэтому идеал S'=/<п> замкнут в S = (R [ [Д] ] )^. Покажем, что функция Ф=(фь ф2, ..., Ф«) сжимает S'. Для любых двух «-ок f = ^А, g = (g6 из S'
б (Л g) = шах ||fz — gjl и д(ф(Л, ф(g)) = max IIФ, (f) — Ф; (g) IL 1 < l < п1 < I < п
Так как ф/ не содержат одночленов степени 1 из /?[Х], мы имеем
НфЛ/) — фЛg)IKc max Ilf/ —g/||.
1</<п
Следовательно, б(ф^), ф(g)) ^ c6(f, g'). Кроме того, ф(5') Е S', поскольку ф/ не содержат свободных членов. Таким образом, ф сжимает S'. По теореме 4.2 система уравнений х( = ф,(Х], х2, ... ..., хп) имеет единственное решение. □
Замечания и примеры 4.4. (а) Определяя расстояние d на R [ [-4]], мы положили dQ, g)=llf— gll, явно воспользовавшись тем фактом, что R— кольцо. В том случае, когда R— полукольцо, мы не можем использовать такое определение d. Взамен этого достаточно положить d^f, g) = сху> 6\ 0<с<1, где x(f, g) = min{1 (w): f(w)=#g(w)}
и по определению r(f, f)==+°o.
(Ь) Решение системы х/ = ф/(хь хг, .... хп^ может быть получено с помощью итерационного процесса, использованного в доказательстве теоремы 4.2. В качестве начальной м-ки можно брать любую n-ку степенных рядов, так как после первого шага мы получим n-ку из Лп). Обычно берут х, = х° = ... = х® = 0. Грамматика а ->• ас + аса + b порождает язык L = VaPbaq; P^q^^Y Соответствующая система (4.3.1) содержит одно уравнение (здесь R = Z):
(4.4.1)(4.4.1)х = Ь + ах + аха.х = Ь + ах + аха.
(4.4.1)
(4.4.1)
х = Ь + ах + аха.
х = Ь + ах + аха.
Положив ф(х) = b + ах + аха, получим
Ф (0) = Ь, ф2 (0) = ф (b) = b + ab + aba,
Ф3 (0) = b + a (b + ab + abo^ + а (Ь + ab + aba^a == b + ab + aba + с?Ь + ^ba + с^Ьа2.
Решением уравнения (4.4.1) служит
apbaq.apbaq.Нт ф" (0) = У
apbaq.
apbaq.
Г1"*°°P>q>0
Заметим, что коэффициент (£) при aPbaq совпадает с кратностью (т. е. степенью неоднозначности) слова арЬач.
Грамматика о->тг, т -> аа + bb + аха + bxb приводит к системе
(4.4.2)(4.4.2)X] = Х2,
(4.4.2)
(4.4.2)
х2 = а2 + Ь2 -)- ах^а + Ьх2Ь.
Мы имеем ф1(0, 0) = 0, фг(0, 0) = а2 + № и далее Ф, (0, а2 + Ь2^ = (а2 + й2)2 = а4 + а2Ь2 + Ь2а2 + Ь*, ф2 (0, а2 -ф b2^ = а2 + b2 + а4 + ab2a + ba2b + М.
Решение системы (4.4.2) дается формулами
х, = Птф"(0, 0)= ^ wxwxw2w2, П->ОО[У!=/=1
ХУг ^ I
х2= Иш ф2(0, 0)= ^ ww,П->ооtiV^ 1
в которых неоднозначность не отражена (см. упр. 2).
Определение 4.5. Пусть R — полукольцо. Система уравнений над /?[[Л]]
х^ф^Х!, х2 ..., xn) (l<t<n)
называется алгебраической системой уравнений, если полиномиальные функции ф/ удовлетворяют условиям предложения 4.3,
Алгебраическая система уравнений, в которой ф; (хр х2, ... • ■ • • хп) = ^~1 г11™!1х5 + Х;> Где w( е Д+, r{ е R, %; е R [Д], называется линейной системой. Степенной ряд / ^ /? [ [Д ] ] называется алгебраическим (соответственно рациональным'), если f = r + g, где г г R, a g— компонента решения некоторой алгебраической (соответственно рациональной) системы уравнений. Язык Ls Д* называется R-алгебраическим (соответственно R-рациональным), если L является носителем алгебраического (соответственно рационального) степенного ряда.
Можно заметить, что свойство линейности систем, определяющих рациональные степенные ряды, позволяет записывать такие системы
х i = Е гWs + Xz (1 < t < n)
в матричной форме X = MX Д- С, где
Xin
Нетрудно убедиться, что единственным решением системы X = = МХД-С является матрица-столбец М*С, где М =^,”=оМп (проверка того, что матрица М* вполне определена, использует тот факт, что щ/еД+).
Предложение 4.6. Пусть дан язык LeA*. Следующие условия равносильны1.
L — алгебраический (соответственно рациональный);
L — W-алгебраический (соответственно ^-рациональный) ;
L — ^-алгебраический (соответственно SU-рациональ* ный), где ^2— булево двухэлементное полукольцо.
Доказательство. Если язык L — алгебраический, то, согласно предложению 1.3, существует грамматика Г = (V, А, л) без правил вида а->1 и такая, что 1(Г, ct) = L\{1} для некоторого oeVXA. Учитывая замечание 1.4, можно предполагать, что л
Л
не содержит правил вида а -> 0 (а, 0 е V \ Д). Определим биекцию 6: (У\Д)->Х = (хь х2, ..., хп) так, чтобы было 0(a) = xlt и продолжим 9 до биекции У->АлиД, положив 0(а) = а для любого а е А. Обозначим через 6 изоморфизм 0: V* -> (X [) А) *. Каждому а е У\Д поставим в соответствие полиномиальную
функцию <ра над №[[А]], определяемую формулой
Фа(хь хп)= £ 6(ш),
и рассмотрим систему уравнений
0(а) = фа(Х1, х2) ..., Хп), аеЕХА.
Функции фа, аеЕ\А, рассматриваемые как полиномиальные функции над Z [ [А]], удовлетворяют условиям предложения 4.3. Следовательно, система (4.6.1) имеет единственное решение f в (Z [[A]])(n): f — 11тр_>оофр(0, 0, ..., 0), где ф обозначает я-ку функций (фа), qeV\A. Как показывает индукция по р, все компоненты я-ки фр(0, 0, ..., 0) лежат в №[А]. Поэтому f = = (fi, /2, ...., М, где ft е №[ [А] ] для любого i, 1 ^ i ^ п. Тот факт, что £(Г, a) = suppfi, непосредственно вытекает из равенства
Л
зиррфр(0, 0, ..., 0) = (ае А*: <т=>ау есть вывод длины ру
Так как £ = suppf] или L = supp(l +fi), язык L—№-алге- браический (определение 4.5); это показывает, что (а) влечет (Ь). Полукольцевой гомоморфизм ф: №->^2, определяемый равенством ф(1) = 1, продолжается до гомоморфизма, также обозначаемого через ф, из №[ [А] ] на ^2 [[А]] и до гомоморфизма ф из полукольца полиномиальных функций над №[[А]] в полукольцо полиномиальных функций над ^2[[А]]. Система уравнений
х, = ф<(хь х2, .... хп), 1 I п,
над №[[А]] дает систему
Xi = ф(ф( (Х1, х2, ..., х„)), 1 я,
над ^2[ [А] ]. Если ряд f, e№[[A]] является компонентой решения системы (4.6.2), то ф(^) является соответствующей компонентой решения для (4.6.3). Если (4.6.2) удовлетворяет условиям предложения 4.3, то это же справедливо для (4.6.3). Обратно, произвольную систему уравнений над ^2[[А]], удовлетворяющую условиям предложения 4.3, можно рассматривать как систему вида (4.6.2) над №[[А]], и, следовательно, она имеет единственное решение как в (№[ [А] ] )<">, так и в (^2[ [А] ] )<п>. Этим установлена равносильность (Ь) и (с). Наконец, (с) влечет (а), поскольку любая система уравнений х, = фг(%ь х2, ..., х„) над ^2 [[А]] приводит к контекстно-свободной грамматике Г = (Х U А, А, л) с правилами л, имеющими вид х,-* фг(хь х2, ..., хп) для любого i = l, 2, ..., я. Равносильность свойств рациональности доказывается аналогично. □
Результатом итерации или просто итерацией (соответственно ограниченной итерацией') степенного ряда /е=/?[[А]] над полу-
кольцом R называется степенной ряд f ==2»-'/' (соответственно f+— ^п-хРУ Определяют ли эти выражения степенные ряды, зависит от природы полукольца R и от выбора f в /?[[А]]. Без каких-либо предположений относительно R очевидно, что если o(f)^ 1, то как f, так и f+ определены. В дальнейшем мы явно предполагаем, что ограниченная итерация применяется только к таким степенным рядам f, для которых o(f)^ 1.
Предложение 4.7. Пусть R— полукольцо. Множество /?^g[A] всех алгебраических степенных рядов f, таких, что o(f)^ 1, является подполукольцом1) в R[[Л]], замкнутым относительно ограниченной итерации.
Позже мы покажем, что если R коммутативно, то /?aig[A] само является подполукольцом в /?[[А]], замкнутым относительно итерации.
Доказательство. Пусть Xi = ф<(хь х^xm), 1 ^ i ^ т, и У; = ^АУ^ У”-> • ■ ■, Уп), 1^1 ^ п, — две алгебраические системы уравнений, имеющие такие решения, что х\ принимает значение f, а у\—значение g. Тогда системы
(4.7.1)(4.7.2)(4.7.1)(4.7.2)'г = ф1(х1, х2Хт)"+^1(1/1, Ун •-., УД.* х< = Фг(хь х2хт),^У, = ^1, УУпУ'г = ххух,
(4.7.1)
(4.7.2)
(4.7.1)
(4.7.2)
* я< = Ф< (хь х2хт),^У1 = ^АУ\, Ун Уп)
имеют решения, в которых 2 принимает соответственно значения f + g и f-g. Отсюда следует, что Raig [Л] — подполукольцо в ^[[А]]. Далее, система
(4.7.3)(4.7.3)z = xxz-V4>t (хь х2хт),
(4.7.3)
(4.7.3)
Xt = 4>t (хх, х2, ..., хт), 1 < i < m,
имеет решение, в котором хх принимает значение f, а г — значение f+=2”=if”, что показывает замкнутость R^g [А] относительно ограниченной итерации. О
Предложение 4.8. Пусть R— коммутативное полукольцо. Множество /?rat[A] всех рациональных степенных рядов является наименьшим подполукольцом в R [[А]], содержащим 1 и
одночлены а (а<=А) и замкнутым относительно итерации и умножения на скаляры.
Доказательство. Обозначим посредством 7?Xt [Д] множество рациональных степенных рядов f е7?[[Д]], для которых оф^ 5s 1. Чтобы доказать замкнутость B^t [Д] относительно сложения, можно построить линейную систему уравнений, подобную системе (4.7.1). Это показывает, что 7?™t [Д] аддитивно замкнуто. Для доказательства того, что / е 7?rtt [Д] влечет rf е R rat [Д], где г е R, заметим, что если f служит компонентой решения системы X = MX + В, то rf— соответствующая компонента решения для Y = MY-У гВ (коммутативность R нужна здесь, чтобы записать М*гВ = гМ*В^. Отсюда вытекает, что R^i [Д] замкнуто относительно умножения на скаляры. Теперь мы докажем замкнутость B^tM] относительно произведений. Использовать систему типа (4.7.2) мы не можем, поскольку ее первое уравнение не линейно. Заметим, что в случае В = Вх + В2+ ... ... + В к решение системы X = MX + В является суммой решений систем X; = MXi -У Вi, 1 i k. Кроме того, если f = = А + А + ... + f» и AgeTtitM], l<i<&, то fgе 7?rtt[Л] в силу аддитивной замкнутости. Поэтому можно сразу считать, что f является значением Лл в решении системы Xi = = Т^Т-х^х; -У Xik = Ч>Лхх, XI, .. .,хт)), где каждый %i — либо одночлен, либо нуль. Пусть значением ух в решении линейной системы yi = ^ify\, у», .... УпУ X^j^n, служит g. Вводя новые неизвестные Zi = xiyx и функции m
ф'< (*р •••'Zm, у,) = £ г^ + titix•
рассмотрим линейную систему
'z( = <pi(zi, Z2,...,гт,У1)(l<i<m),
(4.8.1)(4.8.1)* Х1 = ^Дхх, х2хт)(1</<т),
(4.8.1)
(4.8.1)
-У/ = Ф/(Уь УчУп)(!</<«)•
Очевидно, значением zx в решении этой системы будет f-g, что доказывает мультипликативную замкнутость /?rtt [Д]. Далее, если z удовлетворяет уравнению z = xxz + хь где xt = Д то z = f+. Чтобы получить из системы (4.7.3) линейную систему, нам придется «размножить» z. Пусть к — максимальное число слагаемых в %,, 1 ^ i ^ т, так что %i = Е^-'Хь Введем неизвестные Zp . .., Zk, UxUm И фуНКЦИИ фр . .., ф^, ГД С
к
ф'< (Up . • •, Um, ZXZ6) = E7-! ywVh + ^ %iZl
(интуитивный смысл: zi = z = xxz + х^ щ —xiz, а ф', получается из ф, умножением справа на z). Тогда система
[г/ = ф'1(«Р«т.г^ + ф^хт) (!</<£)
( и. = ф( (Ы1ит, zxz6)(1 < t < т)
и^фИ^!, ..хт) ■(1</<т)
линейна, и в ее решении Zi = г2 = ... = гк = ^. Это дает замкнутость 7?rat [Л] относительно ограниченной итерации, а следовательно, замкнутость 7?ratM] относительно итерации. Замкнутость V?rat [Л] относительно произведений вытекает из свойств замкнутости Rtat [Л] и равенства (г + f) (s + g) = rs + sf + + rg + fg Для произвольных r, s e R, f, g e ^t [Л]. Наконец, пусть A — подполукольцо из R [ [Л] ], содержащее 1 и все а из Л и замкнутое относительно итерации и умножения на скаляры. Рассмотрим систему уравнений
х, = £ ftXj + gi, 1 </<n, o^, o(g<)>l и fi, gtG^ i-V
Заметим, что линейные системы имеют вид (4.8.2) и обладают решениями. Поэтому для доказательства включения У?га1[Л]е А достаточно, применяя индукцию по п, показать, что если система (4.8.2) имеет решение, то компоненты этого решения лежат в А. При п = 1 система сводится к уравнению xt = fiXi -f- + ^1. Его решение fi • g\ лежит в А. Если п > 1, первое уравнение из (4.8.2) имеет вид х; = S/-i fix/ + gi- Поэтому компонента Xi решения удовлетворяет равенству Xi = (fl) S/=2 fix/ + (fl) gv Если в последних n—1 уравнениях системы (4.8.2) заменить Xi правой частью предыдущего равенства, то мы получим систему того же типа, но из п— 1 уравнений. Согласно предположению индукции, компоненты х2, ..., хп ее решения лежат в А, и, значит, то же справедливо для Хь □
Перейдем к рассмотрению связи между степенными рядами из У? [ [Л] ] и представлениями свободного моноида /г X «-матрицами с элементами из R. Обозначим посредством S’ (и, R) моноид всех «Х^-матриц над коммутативным полукольцом R относительно обычного матричного умножения. Пусть 9: Л*^- ->S(n, 7?)— гомоморфизм. Рассмотрим составленные из степенных рядов матрицы 7Ие = 51® е а* 0 (®) w и Вд = 51а е д 0(a) а, называемые соответственно матрицей представления и базисной матрицей для 0.
Элементом с индексами I, j матрицы М6 служит тц = = 51™^ а* [9 (&')]// ®> гДе [9(^)1// — элемент с индексами I, j матрицы 0(щ). Поскольку 0 — гомоморфизм, имеем 7Ие=1 +
+ Be + Se + ... = Bq. Но матрица Be + Be + .. . = Bq является решением линейной системы X = В6Х + Bq. Следовательно, для любых I, j получаем тц г Rrat [Л]. Заметим, что прямым способом получения (/, /)-го элемента из Мо является вычисление произведения IMqT, где / есть вектор-строка с 1 на i-м месте и нулями на прочих местах, а Т — вектор-столбец с 1 на j-м месте и нулями на прочих местах. Эти наблюдения естественно приводят к следующему понятию распознаваемых степенных рядов.
Определение 4.9. Пусть R — коммутативное полукольцо. Степенной ряд ^^^[[Д]] называется распознаваемым, если существуют представление 0: А*^>-$^п, R) моноида А* п X п-ма- трицами над R, вектор-строка / и вектор-столбец Т с элементами из R, такие, что ^ = IMqT. Матрица М0 определяется выражением е я* 0 (®) ш и называется матрицей представления 0.
Пример. Рассмотрим А*-автомат 91 = (S, ф). Допустим, что S = {sb S2, ..., sn} и определим 0: А*->2?^п, $^, положив
fl, если sLa==s„[0(a)]1'
' (Ов противном случае.
Если L = ^gA*: 51ф(®)еТ1} для некоторого подмножества Ту из S (т. е. L распознаваем в смысле гл. 6), то В будет носителем степенного ряда IMqT, где 7 = [ 1, 0, 0, ..., 0], а Т— вектор-столбец, l-й элемент которого есть
fl, если s{ е Ту,
(0, если si ^ Ту.
Обратно, если степенной ряд f е ^ЦАЦ распознаваем в смысле определения 4.9, то supp f является распознаваемым подмножеством в А*.
Сближение линий распознаваемых языков и распознаваемых степенных рядов в нашем исследовании полностью завершается следующим результатом.
Теорема-4.10 (обобщенная теорема Клини). Пусть R— коммутативное полукольцо. Степенной ряд fe /?[[Д]] распознаваем тогда и только тогда, когда он рационален.
Доказательство. Предположим, что f распознаваем, т. е. f = = IMqT. В случае когда строка / и столбец Т суть базисные векторы (т. е. имеют в точности по одному ненулевому элементу, который равен 1), замечания, предшествующие определению 4.9, показывают, что fe/?rat[AJ. В противном случае I и Т можно выразить в виде линейных комбинаций базисных векторов (строк и столбцов соответственно), откуда f, будучи линейной комбинацией рациональных степенных рядов, принад-
лежит У?га([Л]. Чтобы доказать обратное, покажем, что все распознаваемые степенные ряды образуют подполукольцо в R [[Л]], содержащее 1 и все элементы из Л, причем это подполукольцо замкнуто относительно итерации и умножения на скаляры. Очевидно, 1 — распознаваемый ряд. Ряд а из Л распознается недетерминированным автоматом 1 • —* -2. Ему отвечает представление 0: Л*^-2’(2, R), определяемое формулами
6(а)=(о о)'0^ = (о о) для а'^а’
(о 1) и " ^ (! > °) Л4е (^®) ,
откуда следует распознаваемость а. Если / = 1М9Т, то для любого reR имеем rf =(г1)МвТ, что доказывает замкнутость относительно умножения на скаляры. Если fx = 1ХМ91ТХ и f2 = 12Ме8Т2, то, используя очевидные обозначения, определим 0(ш) = (б‘ ^^ ^ ^^ для любого we Л*.
Ясно, что
и
Ух, /2) Мв® = IXM9JX + I2M91T2 = f, + f2,
откуда следует распознаваемость суммы fx -f- f2. Учитывая замкнутость относительно сложения и умножения на скаляры, для доказательства распознаваемости произведения fx-f2 можно предположить, что fx и f2 лежат в /?+ [ [Л] ], что 1Х (соответственно /г) имеет единицу на i-м (соответственно 6-м) месте, а прочие элементы — нули и, наконец, что Тх (соответственно 72) имеет 1 на /-м (соответственно /-м) месте и нули на остальных местах. Используя введенные выше представления 0j и 02 матрицами размеров mX m и п X л, построим представление 0, определив 0(a) для любого а®А формулой
/91 (q) : Х«)\6(d) - IfI
\ о I ОМ/
где у (а)— матрица, 6-й столбец которой совпадает с /-м столбцом матрицы 01(a), а остальные столбцы нулевые; таким об
/ [«W/0 [02(«)]2// [«W/0 [02(«)]2/разом,
/ [«W/
0 [02(«)]2/
/ [«W/
0 [02(«)]2/
Взяв
, , . /О Y (а)\VО
получим 0(а)= 0(a) + у'(а). Как обычно, продолжим 0 на весь моноид А*; индукция по Цт'} показывает, что 0 (ш)=0 (ю)+ + ^LtD-uacQWV (a)0(v). Используя равенство 0(ы)у/(а) = = у'(на), выводим
0 (w) = 0 (ш) + Е V W 9 (у)- uu=w и е д+
Элемент с индексами I, m-V-l в матрице 0(ф) имеет вид
Е [y(«)W92«z = Е [61 («)]0 [02 (^)Ъ/. wu=wuu=w
ие.аЛи^А^
Отсюда следует, что 1^ = IM^T при I и Т, определяемых очевидным образом. Наконец, если f = IMQT для некоторого представления 0 моноида А* в 2?(п, R), то определим 0*, положив °* ^ = (/9 Ц /0 S т) для любого а G А•
Продолжим 0* до представления А* в S’(n+ 1, R); вычисления и индукция по /(ф), которые мы опускаем, показывают, что элемент с индексами «+!,«+! матрицы 0*(ш) имеет вид
2/0(aJ7/0(a2)T.../0(ar)T =
ti,u2...«r-te>
= Е f(Ul)f(U2)-.-f(Ur) = F(w). и, u2...ur = w
Отсюда следует, что О о
Г = (0, ОО, 1)М9*
О
1
Тем самым показано, что подполукольцо распознаваемых степенных рядов замкнуто также относительно итерации. □
Мы закончим параграф одним результатом Шютценберже [1962], обобщающим аналогичный результат Юнгена для степенных рядов от одной переменной. Для произвольных рядов A go/?[[А]] над коммутативным полукольцом R их адамароо- ское произведение fQg определяется формулой (f О g) (w) = = f(ty)-5(10). Ниже мы докажем, что адамаровское произведение рационального и алгебраического степенных рядов есть
алгебраический ряд. Если R не имеет делителей нуля, то supp(/ 0 g) — supp f П supp g. Поэтому, применяя предложение 4.6, мы получим предложение 2.2 в качестве непосредственного следствия следующей теоремы.
Теорема 4.11. Пусть У? [[Л]] — полукольцо всех степенных рядов от некоммутирующих переменных над коммутативным полукольцом R. Если ряды f, g е R [ [Л] ] рациональны, то f 0 g рационален. Если / — рациональный, a g— алгебраический, то ряд f 0 g — алгебраический.
Доказательство, (а) Допустим, что f = I уМ^Тх, g = I2MQ.1T2 для некоторых представлений Oj: ^^^(/гь^), 0г-’ А*^-^ (пг, R). Учитывая замкнутость множества У?га1[Л] относительно линейных комбинаций, можно считать, что /1, /2 и Тх, Т2 суть базисные векторы-строки и векторы-столбцы. Построим представление 0 = th ® 02: А*^- $^п\пг, R'), называемое тензорным произведением 01 и 02. Для любого шеЛ* матрица 0(щ) состоит из «г X ^2 блоков, являющихся п\ X «[-матрицами. Блок с индексами /, / есть 91(ф) [02(ф)]//. Таким образом, (/, £) -м элемен-
Г I 1
jе^ш)^^)]^
том (,, /)-го блока матрицы 0(ш) служит [91(®)],й[92(®)]/(. Если i, j, к, / — индексы ненулевых элементов в Ix, Ь, Тх, Т2 соответственно, то [01 (ф)] ik [02 (®)] у = U О g) (ф). Это показывает, что /0 g — IM^T для подходящих 1 и Т.
(Ь) Пусть fe^ratH], grE/?aig[^]. Чтобы установить принадлежность f О g к /?aig [А], достаточно показать, что f 0g е е^8[Л] в случае f е 7?rtt [Л] и ge^gfAJ. Далее, если / = = 1М6Т для некоторого представления 0: А*->2’(щ, R), то, определив 0 равенством
/ 9(ш) 0 9(ш) Тх
0 (да) = I /9 (ш) 0 /9 (ш) Г ) для оу е А+,V о о о /
легко увидеть, что 9 — представление (т + 2) Х(т + 2)-матрицами над R, причем элемент с индексами т+1, т + 2в 9 (щ) есть f(w') = IQ(w)T. Следовательно, без ограничения общности можно изначально считать, что I и Т — базисные вектор-строка
и вектор-столбец, т. е. умножение матрицы Me на / и 7 сводится к выбору одного элемента из Ме. Определим гомоморфизм полуколец ц: ^ [ [Л] ^-^^(т, /?[[А]]), положив для любого he е^ИАП
l^(h)]i/= X [6(w)hy w.
w e A*
Очевидно, m X m-матрица ц(й) получается из MQ заменой каждого элемента в Me его адамаровским произведением с рядом h. Мы утверждаем, что при условии g е 7^ц [Л] получим [p(^)]ije е 7?Mg М] Для любых I, j. Поскольку [|i(g) ] ij = g О f для некоторой пары I, j, доказательство нашего утверждения установит, что ряд gOf—алгебраический. Итак, предположим, что g является компонентой решения алгебраической системы уравнений
Хд — фб(Х1, х2х„), 1 ^ k ^ п.
Напомним, что решением для хА служит sk = Um Mg1, где х^* = х^а) = ... = х^ = 0, а х(/+1) = фА (х^, xg\ .... х1-^. Заменим каждое неизвестное хк в системе (4.11.1) т X т-матрицей za, элементы которой суть т1 новых неизвестных, а константы, связанные с х\, х2, .... хп, заменим их образами относительно ц. Мы получим систему
г6 = ф6(гь z2, .... z„), 1<&<п,
где каждое матричное уравнение может быть разложено на т2 скалярных уравнений. Так как для любого аеА и любых i, / матричный элемент [ц(а)]г/ является многочленом из /?[Д] без свободного члена, система (4.11.2) — алгебраическая и, значит, имеет единственное решение. Чтобы получить его, заметим, что полукольцо ^(m, V? [ [М] ]) можно сделать метрическим пространством (например, определив расстояние между двумя mX m-матрицами М и М' выражением supi.jd(Mtj, Мц))- Тогда для решения системы (4.11.2) образуем последовательности матриц: z(0) = z^’= ... =3^ = 0 и z(g+1> = фк(z^, z^, .., ..., zW). Индукция по р показывает, что ц(х^) = z^. Это влечет
lim z^ = Кт ц ^х^ = ц / lim х<М = р (s^). р->оор->СО'\р->ОО /
Отметим, что среднее равенство обусловлено непрерывностью ц как отображения из 7?[[Л]] в 9?(т, Я[[Л]]). Если, например, g есть Si, то [ц(£)]ц =[ц(б1)]// будет компонентой решения системы (4.11.2) и, следовательно, [p.(g)]ij g/?aigH]. □
Следствие 4.12. Пусть R — коммутативное полукольцо. Тогда множество 7?aig[H] всех алгебраических степенных рядов есть
под полу кольцо в R [[А]], замкнутое относительно итерации и умножения на скаляры.
Доказательство. Для любых f е Д^ [А] и г s R имеем rf = = r (^as a a) Of, т. е. rf е ^g [А] по теореме 4.11. Ясно, что множество /?aig [Л] замкнуто относительно сложения, умножения на скаляры и итерации (см. предложение 4.7). Чтобы доказать его замкнутость относительно произведений, заметим просто, что для f, gs7?Jg[A] и г, sgR будет (г + f) (s + g) = rs + + sf + rg + fg. Следовательно, (г + f) (s + g) e 7?aig [Л] в силу предложения 4.7 и замкнутости /?Jg [Л] относительно умножения на скаляры. □
Абстрактные семейства языков
Идея аксиоматического изучения семейств языков возникла благодаря тому наблюдению, что классы языков, представляющих практический интерес, можно сравнивать и классифицировать в соответствии с их свойствами замкнутости относительно некоторого числа обычных операций над языками (С. Гинзбург, Грейбах [1969]).
Этот подход тесно связан с параллельным аксиоматическим изучением семейств акцепторов. Например, как мы видели, исследование семейств рациональных языков прямо связано с исследованием соответствующих конечных автоматов. Аналогично, в теории алгебраических языков весьма важным инструментом служат соответствующие акцепторы, называемые автоматами с магазинной памятью или просто магазинными автоматами. Вообще говоря, эти акцепторы, за исключением конечных автоматов, не рассматривались в литературе с точки зрения моноидов преобразований или обобщенных моноидов преобразований. По этой причине мы считаем, что автоматы с магазинной памятью, хотя и существенны для глубокого изучения алгебраических языков, выходят за рамки данной книги. К тому же в этом параграфе мы рассматриваем лишь элементарные аспекты теории семейств языков, не требующие привлечения акцепторов. Более глубокое обсуждение этого предмета читатель может найти в книге С. Гинзбурга [1975] или в работе С. Гинзбурга, Грейбах и Хопкрофта [1969].
Определение 5.1. Семейством языков называется пара (A, $f, где А — множество (возможно, бесконечное), называемое алфавитом семейства, a S'— совокупность подмножеств из А*, причем выполняются условия:
для любого L^S существует конечное подмножество Al из А, такое, что L s Al;
3 содержит непустой язык L,
Как правило, мы обозначаем семейство языков символом S', опуская упоминание об алфавите А.
Определение 5.2. Семейство языков, замкнутое относительно рациональных трансдукций, называется рациональным конусом. Семейство S’ языков называется абстрактным семейством языков или AFL, если
S' — рациональный конус;
S' замкнуто относительно конечных- объединений, конечных произведений и итерации.
Используя предложение 2.6, получим равносильное определение рационального конуса:
Предложение 5.3. Семейство языков S' является рациональным конусом тогда и только тогда, когда $ замкнуто относительно пересечений с рациональными языками, гомоморфных образов и гомоморфных прообразов.
Доказательство. Если S’ замкнуто относительно рациональных трансдукций, то, в частности, S’ замкнуто относительно гомоморфных образов и прообразов. Для произвольного рационального языка К г А* отображение т: A*->S(A*), определенное формулой
если weR.
( 0, если w К,
является рациональной трансдукцией и тЩ = L(\K", это показывает, что S’ замкнуто относительно пересечений с рациональными языками. Чтобы установить обратное утверждение, достаточно заметить, что если т: A*->S(B*)— рациональная трансдукция, то в силу следствия 2.7 существуют С, язык К е Rat С* и гомоморфизмы а: С*->-А*, 0: С*->-В*, такие, что для любого L G А*
т(Л) = 0(а-1(Л)ЛК).
Поэтому семейство S’, замкнутое относительно гомоморфных образов, гомоморфных прообразов и пересечений с рациональными языками, замкнуто также и относительно рациональных трансдукций. □
В книге С. Гинзбурга [1975] рациональный конус называется полным трио, а то, что мы называем здесь AFL, называется полным AFL. Чтобы получить понятия трио и AFL в терминологии Гинзбурга, нужно модифицировать предложение 5.3, потребовав замкнутости относительно гомоморфизмов <р лишь таких, для которых <p(ty)=^l при любом w^l1). (Введение AFL, помимо полных AFL, дает возможность рассматривать семейства
Кроме тогу, в п. (Ь) определения 5.2 нужно заменить итерацию ограниченной итерацией. — Прим, перев.
языков, являющихся в действительности подмножествами свободных полугрупп, такими, как контекстно-зависимые языки.)
Ясно, что семейства й и ^ рациональных и алгебраических языков суть AFL. Контекстно-свободная грамматика Г = = (К, А, л) называется линейной, если л содержит лишь правила вида а^-u или а-^и^и, где и, и е А* и а, р е V\A. Язык L называется линейным, если L = Ь^Г, о) для некоторой линейной контекстно-свободной грамматики Г. Семейство ^нп всех линейных языков служит примером рационального конуса, не являющегося AFL, потому что ^пп не замкнуто относительно произведений (см. упр. 4).
Предложение 5.4. Любой рациональный конус ^ (и, следовательно, любое AFL) содержит семейство 91 всех рациональных языков и замкнуто относительно объединений с рациональными языками и относительно умножения на рациональные языки.
Доказательство, (а) Пусть L е ^, L ф 0, и w е L. Для любого рационального языка Rs В* образуем множество С = = Ви{с}, где с ^ Al U В, и определим два гомоморфизма а: С ->A*l и р: С ->В*, положив и(с)=®, и(й) = 1 для любого ЬеВ и Р(с)=1, р(Ь)=й для любого ЬеВ. Тогда при любом reR имеем г = Р(гс). и и(гс) = w е L, откуда Rs Е Р(а-1(Л)П Rc). Обратное включение проверяется столь же легко и дает R = Р(a-1 (Т)Л Rc). Таким образом, R = x(L), где т — рациональная трансдукция, определяемая формулой х(и) = = Р(и-1 (и)П Rc). Это влечет Re^.
Для доказательства того, что L^Re^, каковы бы ни были Le^ и R е Rat В*, поступим, как и выше. Образуем множество С = Ад U BU {с}, где В— алфавит, равномощный В и не пересекающийся с AL, c^AAlUB. Определим a: С*->(Al U #)*, Р: C*->(AlUВ)*, положив
а (а) = а для a е AL, а (5) = 1 для ЬеВ,
a(c) = ty (для фиксированного w е L);
Р (а) = а для а е AL, р (5) = Ь для ЬеВ, р (с) — 1. Тогда получим L U R = Р (a-1 (L) Л (Rc U Al)), где язык RcUAl рационален в С*.
Чтобы доказать L-Re^ и R-Le^ для произвольных. L е ^ и R е Rat В*, положим D = AL U В и С = D U В, где Б — алфавит, равномощный D и не пересекающийся с ним. Определим а, Р: С*^-В*, положив a(d) = d, cc(S)= 1, $(d) = $(d) = d для любого d е D. Тогда LR = р (а-1 (L) Л D*R), RL = р (а-1 (L) Л QBZ)*), где языки D*R и RD* рациональны в С*. □
Из определений 5.1 и 5.2 следует, что для любого семейства S’ языков существуют наименьший рациональный конус и иаи-
меньшее AFL, содержащие ЗЕ. Они являются пересечениями соответственно всех конусов и всех AFL, содержащих $. Мы покажем, что наименьший рациональный конус ^(З7), содержащий 2?, есть замыкание $ относительно рациональных трансдукций (Нива [1968], С. Гинзбург, Грейбах [1969]). Наименьшее AFL, ^"(S7), содержащее $, есть рациональное замыкание семейства 9"(S’), т. е. замыкание относительно объединений, произведений и Итераций (Боассон, Нива [1973]).
Лемма 5.5. Пусть <р: A*->D* и лр: B*^D*— такие гомоморфизмы, что (р(А)с D 0 {1}, ф (5)g D U {1}. Тогда
{(u, о)е А* X В*: <р(и) = ф(о)} е Rat (А* X В*').
Доказательство. Взяв с ^ A U В, образуем множество С = = Со и Сх и с2, где
Со —{(а, й)е АХ В; Ф(а) = ф(&)},
Сх = \Уа, су а^А, ф(а)=1},
С2 = {(с, ЬУ Ь^В, ф(6)=1},
и определим гомоморфизмы и: С*^-А* и Р: С*->В* формулами
а (а, Ь^ = а, а (а, с^ = а, а (с, &) = 1;
Р (а, Ь) = Ь, р (а, с)=1, р(с, b^ = b.
Для любой пары р е С мы имеем ф(и(р)) = ф(Р(р)) (например, если (а, Ь)е Со, то ф(а(а, Ь)) — Ф(а) = ф(6) = ф(р(а, 6))). Отсюда следует, что ф (а(ю)) = ф (р (to)) для любого weC*. Поэтому, положив R = {(и, и)еА*ХВ*: Ф(и) = ф(о)}, получим {(а (to), Р(ю)): w е С*} g R. Обратно, если (и, v)^R, т. е. Ф(и) = ф(и), где и = ащг ... ат, и = ЬхЬг ... Ьп, то рассмотрим подпоследовательности az,, az2atk и Ьц, Ьц, ..., bik из и и о, включающие все буквы этих слов, отображаемые посредством Ф и ф на элементы из D (а не на 1). Мы имеем ф (azr) = ф (b/J для r= 1, ..., к. Следовательно, взяв из С* слово w=(av с)...^^, с)(с, bxy..^c, bix-X^ati, Ь,^...
“■^Ч' ^^(Д-Ч"1^' СУ“(ат> с)(с> Ь]к+1У . .^С, Ьп\ мы получим и = a (to) и v = P(to). Это показывает, что {(a (to), P(to)): weC*^=R. Левая часть этого равенства, а значит, и R в силу предложения 2.6 лежит в Rat(A*X В*). □
Предложение 5.6. Композиция двух рациональных трансдукций является рациональной трансдукцией.
Доказательство. Пусть тц Ai->^(A2) и т2: А2->^,(Аз) — рациональные трансдукции. Композиция T2°ti есть отображение
Л1 в ^ (Лз), определяемое равенством т2 oti(u) = t2(ti(m)). В силу следствия 2.7 существуют множества Сь С2, К\Е RatCi, К2^ RatC2 и гомоморфизмы а, р, у, 6:
такие, что а(С,) = Ах U {1}, Р(СО = Л2U {1}, V(С2) = Л2U {!}, 6 (С2) = Л3 U {1} И Т1(и) = Р(и-1(и)П7С1), T2(y) = 6(y-1(v)fW) для любых us Ль у s Лг. Гомоморфизмы р и у удовлетворяют условиям леммы 5.5. Поэтому множество R = {(u, v) е Ci X Се: Р(и) = у(у)} рационально в С1ХСг- В силу предложения 2.6 существуют С, К a Rat С , %: С ->Ci и у: С -»С2, такие, что R={(A,(av), ц(®)): w е КУ Для № Ль у е А3 тогда и только тогда у Q тг ° Т] (х), когда существует такое z е А2, что гет](х) и yet2(z), т. е. ге= Р^-’МПЛД, у а 6(у-1 (г)fl Д2), или, равносильно, г = Р(С1), где с\^К\, a(ci) = x, и у = 6(с2), где c2eKi, y(cA = z. Следовательно, z/et2 = ti(x), если и только если
(х, у)е{(а(С1), б(с2)): cxeKi, с2е К2, (<4, с2) е R},
или, равносильно,
(х, у) а {(а о К (щ), бор(щ)); w а К П ^"* (Ki) П И-1 №)}•
Так как ДТ| Х-Д/СОПр-ДАг)® Rat С*, следствие 2.7 показывает, что T2°Ti — рациональная трансдукция. □
Следствие 5.7. Наименьший рациональный конус, содержащий семейство $ языков, есть ^~(2’) = (t(L): L^^ и т — рациональная трансдукция}.
Чтобы охарактеризовать ^'(2’) (наименьшее AFL, содержащее S’), нам потребуется принадлежащая Майхиллу [1957] лемма о локализации рациональных языков. Мы будем говорить, что язык L £ А* есть локальный язык, если L = (Л1Л*П f|Л*Л2)\A*DA* для некоторых множеств AiEA, А2еА, D S А2 (ср. гл. 7, определение 1.9).
Лемма 5.8. Для любого рационального языка Кг А существуют алфавит С, локальный язык L г С* и гомоморфизм tp: С* —» -> А*, такие, что ф(С) = A U {1} и ф(А) = К.
Доказательство. Пусть К распознается А*-автоматом 51 = = (S, f), т. е. К = (me A*: f(s0, w)eT) для некоторых soeS и Т г5. Положим
C = {(s, a, s')eSXAXS: f (s, а) = s'}U{(s, 1, s): ssS}.
Определим ф: С*-* А* равенствами ф(5, a, s') = a и ф($, 1, s)« = 1. По определению ф(С) = A U {1}. Взяв С] = {(s, a, s') е С: s = so}, С2 = {(s, a, s') еС: s' еТ) и D = {(s, a, s') (s", а', s'") е gC2: s'#=s"), образуем локальный язык L = (С]С* Л С*С2)\ \C*DC*. Простая проверка показывает, что ф(А) = А. □
Из леммы 5.8 и следствия 2.7 вытекает: для любой рациональной трансдукции т: А*^-3(В*) существуют алфавит С, локальный язык Кг С* и гомоморфизмы аир, такие, что а(С) = Ли{1}, P(Q=SU{1} и т(«) — Р(а-1 (w) Л К) для любого и е Л*.
Теорема 5.9 (Нива, Боассон [1971]). Наименьшее AFL 3(3), содержащее семейство языков 3, совпадает с рациональным замыканием наименьшего рационального конуса 3(3), содержащего 3; 3(3) = Rat(3(3)).
Доказательство. Так как 3(3) г 3(3) и 3(3^ замкнуто относительно объединений, произведений и итераций, имеем Rat(3(3))г 3(3). Поэтому достаточно показать, что НаЦ^Г^)) есть AFL, или, равносильно, что Raitts’)) замкнуто относительно рациональных трансдукций. Это непосредственно вытекает из следующей леммы, если ее применить к семейству 3 (3).
Лемма 5.10. Для произвольного семейства языков 3 выполняется соотношение 3(Rat 3) г Rat(3(3)).
Доказательство, (а) Для любых языков Lt, Ь2гА* и произвольной трансдукции т имеем т(Ц U L2) = t(Ai)Ut(L2). Следовательно, если Lt, L2e3, то t(Li UL2)e RaU3(3))').
Допустим, что Lx, Ь2гА+ и т: Л*^-^(в*) — рациональная трансдукция. Тогда существуют алфавит С, локальный язык К = (С]С* Л C*C2)\C*DC*, гомоморфизмы аир, такие, что t(L,L2)= р(а-1(ТД2)ЛЮ (здесь a(C) = AU(l}, P(C)=BU U {1}). Для любого w е t(LiL2) найдутся г е К, LeLi, l2e L2,
такие, что да = Р(2) и a(z)=hl2. Так как и h, и /2 отличны от 1, можно записать 2 = 2122, где a(2i)=/i, а (22) = /2 и гь z2#=l. Если с — последняя буква в Zi, a d— первая в 22, то 2] = 2,с и z2 = dz", причем cd^D, поскольку z^C*DC*. Отсюда следует, что 2] принадлежит локальному языку Кс = (CiC* Л С*с)\ XC*DC*, 22принадлежит локальному языкуКс—((С \с-|О)С*Л Л ССг) \ С* DC*, и р (2i) e= р (а"^) ПКС), Р (22) е= р (а"1 (/2) Л Л Кс\ Если через тс и тс мы обозначим трансдукции, определяемые гомоморфизмами а, р и множествами Кс и Д' соответственно, то только что доказанное означает справедливость включения t(L1Z,2) £ Uc ес тс (-^1) тс (^2)- Простая проверка показывает, что обратное включение также верно. Это доказывает, что T(Z-iL2)e Rat(^"(S’)), если Lx, Le$ и l^Lb 1^L2. Если же Д или L2 содержат 1, то запишем Л, = Л^ U {1} или £2 = ^2и{0 и применим (а). Таким образом, во всех случаях LX) L2eS влечет t(LxL2) е Rat(^~ (S’)).
Допустим, что LsA+ и т — рациональная трансдукция. Как и в (Ь), имеем т(/Л)= р^-1 (Л+)Л К), где К — (CiC* Л Л C*C2)\C*DC*. Если w е т(Е+)\т(Е), то ty = P(2) для некоторого г е К и а (2) = /1/2 ... U, где 1х, /2, ..., LgL, п 25s 2. Как ив (Ь), можно записать z = zxz2 ... zn, где а(г,) = h для каждого I, 1 ^ i ^ п. Взяв последнюю букву с, и первую букву di в каждом zb получим z{ = z'lci = d^". Отсюда следует, что 21 и zn принадлежат локальным языкам КС1 и К'с соответственно, определенным так же, как в (Ь). Далее, при i = 2, ... ..., п— 1 слово zi принадлежит локальному языку K"(ci-\> ct)= = ((С \ с^^ С* Л C*Ci)\C*DC*. Следовательно,
Р (г,) = Р (“~‘ (У П К,^. Р М е р («-' (у П К^
и для 1 < i < п
p(2z)e р (а-1 (/г) ЛК"(Ci_x, Cj)). '
Определим трансдукции формулами тс (/)=Р (а""1 (/) Л Кс), т' (/) = = Р(а-] (/) Л К') и т" d (/) = р (а1 (/) Л К" (с, d)) для любых с, de С; при этом LeZ влечет тс(Е), т'ДЬ), т" d(L)e У (S'). Рассмотрим теперь дизъюнктные алфавиты Х = (хс: сеС), X' = — {х': се Су Y—{ycd: с, de С], построим S = KUK'UP и определим подстановку a: iT-^-S^B*), положив а (хс) = тс (L), ° (х) = Тс W И СТ (Ус, d) = Х" d W- ТоГДа
w = р (2) = р (21) р (22). . . р (2„) е
65" (X" (»-.. J ° XК-, ч-У ^А
или и, ...я, „ х' Y Это показывает, что т (L+) \ т (L) G о ((/), где U — локальный язык:
U = ^* П 2*Л \ STS*,
а У = S2 \ ^хсус d, ус dya, с„ ус dxd-. с, с', d е С}. Мы оставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что т(А+)\ \т(А) = о((7). Поскольку (/—рациональный язык, а каждая буква из S отображается на элемент из S'(L), получаем о((/)е s Rat (S'(S’)), если L е $. Таким образом, L е $ влечет T(L*) = T(l)Ur(L)Uff(i>)eRat(^'(2’)). Из (а), (Ь) и (с) следует, что Т(Rat S’) s Rat (S' (S’)).
Определение 5.11. Рациональный конус ^ называется главным конусом, если ^ = S({L}) для некоторого языка L. APES’ называется главным AFL, если S’ = S({L}) для некоторого языка L.
Если ^ = S"({L})— главный конус, то для Li, L2e‘g’ существуют рациональные трансдукции Т] и т2, такие, что Li = = Ti(L), L2 = t2(L). В силу следствия 2.7 существуют два алфавита Ci и С2, которые мы можем считать дизъюнктными, языки Ki е Rat С; и гомоморфизмы ос,, р,, такие, что т;(£)=рг (ccf1 (L) f) П/Сг) для i = 1, 2. Определим ос: CiUC2->AL и 0: CjU^-* -*Alvul„ положив ос(с) = а,(с), р(с) = Р/(с) для любого сеС, (1=1, 2); очевидно, Li U L2 = P(a-1(L)n(Ki U К2)). Это показывает, что главный конус всегда замкнут относительно объединений.
Следующий результат демонстрирует важность главных AFL.
Предложение 5.12. Пусть $ — конечное семейство языков. Тогда наименьшее AFLS(S'), содержащее 3?, является главным.
Доказательство. Применяя индукцию но числу языков в S’, достаточно доказать наш результат для S' = {Li, L^. Взяв с ф. А = Alv U Al„ образуем язык Lt (J ct2 и покажем, что S({Li U cL2})= S(S’). В силу предложения 5.4 имеем S"({Li (J cL2))s S'({Li, L2}). Обратно, докажем, что L] и Ь2 служат образами языка Li U cL2 относительно рациональных трансдукций. Определим ос, р: A U {с} ->(A (J {с}) *, положив ос(а) = Р(а) = а для любого а е А, а(с)=с, р(с)=1. Тогда Lx — p(a-*(Li U cL2)f)A*) и L2 = P(a-1 (Li U cL2)p cA*). Отсюда, завершая доказательство, получаем Lt, L2 e S"( {L] (J cL^. □
Было показано, что существуют неглавные AFL (см. Интема [1967], Грейбах [1969, 1970]). Прямо из определений вытекает, что семейство 5? всех рациональных языков является главным
конусом и главным AFL, порожденным произвольным элементом КеЯ. Мы закончим данный параграф доказательством того, что семейство s4- всех алгебраических языков является главным конусом и главным AFL, порожденным языком Дика.
Лемма 5.13. Любой алгебраический язык L^A+ может быть порожден грамматикой r = (V, А, л), у которой л содержит лишь правила вида а->Ру или а.-* а, где а, Р, уе VaA и аеА.
Доказательство. Мы только наметим доказательство, оставляя детали читателю в качестве упражнения. В силу предложения 1.3 и замечания 1.4 можно считать, что Д = Z, (Го, о), где Fo = (Vo, А, Ло) — грамматика без правил вида а->р и а->1 (а, ре Vo\A). Разобьем доказательство на два этапа.
Допустим, что Ло содержит правило a-^*VjV2... ил, где п ^ 2, Ui, иг, • •., On е Vo и слово O1O2 ... On содержит по крайней мере одно вхождение буквы из А. Для каждого uieA введем новый символ у, 0 Vo и определим правило у/ —* ог (отметим, что в действительности под у; подразумевается у^а.о^..^). Далее, определим правилоа—► о,о2.. .оп, где о;= = ор если uzeVoXA, и У< = Ур если щеА. Построим Г] = = (Vi, А, Л1), взяв в качестве Vi множество Vo вместе со всеми л, новыми символами у,, а в качестве Л1 — все правила у< —> vt Л1 , ,,
и a—>О]О2...о„, определенные выше, вместе с правилами из Ло вида a -> а (неА) и а-> Р1Р2 ... Pn (Р> е VoXA). Можно проверить, что А = А(Г], о) и все правила в Г] имеют вид а-*а (а^А) и a->PiP2 ... Р„ (р, е Vi\A), где п ^ 2.
Исходя из Г1, следующим образом построим грамматику Г, удовлетворяющую требованиям леммы: для каждого правила a—^piP2...pn, где рг е ViXA и п > 2, введем новые Лл
символы б], 626п-2 и новые правила a—►рД.б]—► р262,...
..., 6,—^Pz+A+i 6„_2—> Р„_1Р„ (опять, каждый новый символ 6/ следует рассматривать как 6z, а, р1р2...рга). Грамматика Г определяется как тройка (V, А, л); где V = Vi U (все ,л/л,
новые символы}, а л состоит из правил a—► PiP2 (.если a—►
Л1\
—* Р1Р2/ вместе с определенными выше новыми правилами. Снова проверяется, что L = L (Г, о). □
Грамматика Г из леммы 5.13 будет называться квадратичной грамматикой для L. Теперь мы отсылаем читателя к примеру 1.1(d), где язык Дика над 2п буквами охарактеризован как содержащий 1 класс конгруэнции, порожденной парами
(atdi, 1), (azaz, 1), 1 ^ z ^ л. Мы обозначим этот язык посредством D*n (он порождается бипрефиксным кодом Dny Аналогично, ограниченный язык Дика обозначается посредством D'*
Теорема 5.14 (Хомский, Шютценберже [1963]). Пусть L^A*— алгебраический язык. Существуют язык Дика D*n ^соответственно ограниченный язык Дика D'*') над алфавитом X, рациональный язык КеХ* и гомоморфизм ф: Х*-*А*, такие, что L = cp(D*n Q К^ (соответственно L = ф (D'* Q К^.
Доказательство. Очевидно, можно считать, что L s А+. Согласно лемме 5.13, существует квадратичная грамматика Г = = (Р, А, л), порождающая L. Пусть V\A = (ai, а2, ..., az} и А = {ai, а2, ..., cimY Для каждого правила а1—► а^ введем новые символы х^, х^, у^к, y’A, z^, z^, а для каждого правила щ—^а] введем th tV Пусть X — множество всех этих новых символов; построим грамматику r' = ((P\A)UX, X, л'), Где л' определяется следующим образом:
az -^-> х^у^аду^г^а^х^ для каждого правила az -^* а;а.к,ai—^ttfi для каждого правила ар—^йд.
ВИД!ВИД!Можно мыслить себе Г' получаемой из Г заключением всех символов из правых частей правил л и самих правых частей в различные скобки. Положим Li=L(T, аД, U^L^', az) и определим ф: X*-> А* формулами ф(х)= 1 для любого хе Х\ {/{: az —*HF/} и cp^ — aj. Тогда Ц = ср(д^ для всякого 1= 1, ... .,., /. Мы покажем, что L\ = D* (\Kt, где D* — язык Дика (или ограниченный язык Дика) над X, а Кг е Rat X*. Чтобы определить Кг, проанализируем локальное строение Ц. Непосредственное изучение л' показывает, что любое слово wt s L't на- чинается символом Хг или п, а заканчивается символом Цк или ii. Далее, возможные подслова длины 2 в Wt имеют
ВИД!
ВИД!
ДкДк ДкДк.tut) Xi yi , уi Z( , Zi Х{ ,
JM, nlkYlrn ilrJk vlmrjk*У1 4, У1 Xj , t^yi , Xj yi ,
2z Д, Zi Xh , tfcZi , Xk Zt
для всех i, j, h, l, появляющихся в правилах л'.
Обозначим через U7 дополнение в X2 к множеству всех слов вида (ZY а через X, (соответственно Х,) множество всех символов х^, t\ (соответственно х^, ^z). Рассмотрим локальный
язык Ki = {XiX* Л X*Xt)\X»WX*. Мы утверждаем, что и в самом деле Ц = D* Л Кг Сначала заметим, что w е Ц тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
/(да) = 2 и w = t\Vr,
l{w) > 2 и w = x^y^w' y^zLW' гРх{к, где w' е L'p w" e Uk, I {w') < I (да), / (да") < I {w).
Это вытекает из того факта, что в выводе а,=*-да либо первое правило есть а^-Е> 1*1ь и тогда w удовлетворяет (а), либо первое правило есть u( 2L> xilky,ka.iy{kz{ka.kziikxilk, и тогда w удовлетворяет (Ь). Индукция по /(да) показывает, что L^ s D* Л Kr Заметим, что эта индукция использует одно очевидное свойство языка D*; если да е D*, х г X, то xwx е D*. Чтобы доказать включение D* Л К, s L], мы неоднократно будем использовать следующее свойство (Pi) языка D* (см. упр. 8):
Свойство (Pi). Пусть D* — язык Дика {или ограниченный язык Дика) над алфавитом X. Если xw г D*, х г X, то существуют w' е X*, да" е D*, такие, что xw = xw'xw".
Предположим, что w е D* Л Kt. По определению Xi слово да начинается с /{ или х,к. В случае когда да начинается с //, бу дем иметь w = tWtW'. где w" е D* и Aw't'iED*. Если w"=#l, то первая буква в да" есть ylrs или zsr‘ для некоторых г, s, причем w" е D^XX^WX*. Мы докажем, что это невозможно (см. ниже свойство 5.14.1). Следовательно, да" = 1 и w = tWii. Если w' =# 1, то первая буква в да' есть И по определению W, и w — t^tW'tV, то же, что и выше, рассуждение дает да"/;=1, т. е. противоречие. Поэтому да = /$ и w е Еь В случае когда слово даеР*ПК; начинается с х{к, имеем w = =x\kw'xlkw", где w" е D*\X*WX<*. Опять да"должно начинаться с y's или г®1; как и выше, это влечет да" = 1. Далее, w = = x,ikw,xp = x,iky!kw"z,kxik. Используем следующее свойство {Pi) языка D*;
Свойство (Р2). Если xsX, weX*, то xwx^D* влечет w е D*.
Отсюда выводим у!кхи"г{к е D* \X*WX*. Комбинируя {Pi) с определением W, получим да = x^yPw^z^w^xP, где w^ ^D,[\{X!X*\X*WXy wkeD1V\{XkX*\X*WX*). Если, применяя индукцию по длине слов, мы предположим, что все слова ws, такие, что 2 ^ l{w;) < l{w) и Wj е D* V\{XiX*\X*WX*), ле-
жат в L), то из wj е Ц, ши г Ц по условию (Ь) следует ш^Ц. Это показывает, что фактически D* П (ХД*\X*WX*) s = Ц. Из включений Ц ^D* П Kt = D‘ П (XtX‘ \ X*WK*) г L't окончательно выводим Ц = D* n Ki- Для .завершения доказательства остается установить
Свойство 5.14.1. Если wsD*\X*WX*, w#=l, то ни одна из букв у К, хР, х^, Ц не может быть первой буквой слова w.
Допустим, что D*\X*WX* содержит слово, первой буквой которого служит одна из вышеупомянутых. Пусть to е О*\’ \X*IFX*— слово минимальной длины с таким свойством. Если первая буква в w есть zK, то w = zKw'zKw", где w', ш" е ЕD*\X*WX*, согласно (Р^ и (А). Так как первой буквой в w' должна быть хК и /(to') < /(to), мы приходим к противоречию. То же рассуждение проходит в случае to = xKw'x^w". Если w = уРш'уКго", то to' = z/W"z/A/. Поскольку У^у^ е IF, слово / непусто и его первая буква есть хР. Опять неравенство /(/)</(to) ведет к противоречию. Если же w — tWtW', то слово to' непусто, его первой буквой служит ylrs или zsr‘, что вместе с /(to')< /(to) дает противоречие. Этим завершается доказательство свойства 5.14.1 и теоремы 5.14.
Следствие 5.15. Семейство si- всех алгебраических языков является главным конусом и главным AFL, порожденным языком Дика D) (равно как и ограниченным языком Дика D'*)‘
Доказательство. Нам нужно следующее свойство языков Дика (см. упр. 8):
Свойство (Рз). Пусть D*n — язык Дика (соответственно ограниченный язык Дика) над Хп= {хь х2, ..., хп, Xi, х2, ..., Хп}, где п ^ 1, и D*2 — язык Дика (соответственно ограниченный язык Дика) над А2 = (а, Ь, а, Б}. Определим Д : Х^-> А^ положив Ч?(^х1') = а1Ь, Д (xj = ba1. Тогда Dn — Д-1 (D^.
Если ЕгА*—алгебраический язык, то по теореме 5.14 будет £=ф (D*n ПК) для некоторого п 1 и/tERatX*. Отсюда следует, что L = ф (Д-1 (£>г) П К) = т (/)*>), где т — рациональная трансдукция. Поэтому ^ S ({^г}) — ^" ({^г}) Е ^ (последнее включение вытекает из предложений 2.1 и 2.2 и следствия 2.8). Таким образом,
Библиографические замечания
Контекстно-свободные грамматики были введены Хомским [1959] в качестве математической модели для грамматик естественных языков. Многие проблемы разрешимости, касающиеся алгебраических языков, исследовали Бар- Хиллел, Перлз и Шамир [1961]. Идея использования степенных рядов для изучения языков принадлежит Шютценберже [1959b]; см. также Хомский, Шютценберже [1963], где изучаются дальнейшие свойства контекстно-свободных языков (например, языки Дика). Рациональные трансдукции были введены Элготом и Мезеи [1965]. Систематическое исследование контекстно-свободных языков, основанное па трансдукциях и их алгебраических свойствах, было начато Нива [1968]. Изложение в § 2 и 5 непосредственно инспирировано работами Нива [1968] н Боассона [1971]; например, доказательство теоремы 5.14 принадлежит Нива.
Традиционный формализм акцепторов (автоматов с магазинной памятью), используемый при изучении алгебраических языков, недавно был усовершенствован Голдстайном [1977] благодаря введению автоматов с хранением данных (automata with data storage). Эта статья содержит, в частности, элегантные и короткие доказательства теоремы 5.14 и следствия 5.15.
Упражнения
Пусть А = {/, X, +} н V = Ди {о}. Грамматика Г = (V, А, л) с правилами л: о->оХо, о->-о + о, о->/(т, о-^/ иеоднозначиа. Сравнить Г с грамматикой Г'= (V', А', л'), где А’ = {/, X, +, 6}, V'= Д'U {о} и л': а-э-Хо2, а->+а2, g^-Io, о-*1Ь (см. пример 1.1(e)) (Гросс, Лантен [1967]).
Найти слова в L(T, о), неоднозначные относительно грамматики Г: о -* тт, т -*аа + ЬЬ + ото + Ьтб из примера 4.4.2.
Пусть Д = {а, 6, с) и L = {®cw: w е {а, 6}*} (см. пример 1.1 (а)). Показать, что подмножество L’ из L тогда и только тогда является рациональным языком, когда оно конечно.
Напомним, что грамматика называется линейной, если все ее правила имеют вид a->-upu или а-* ш, где а, Ре УХА, а и, v, w е А*. Язык называется линейным, если он может быть порожден линейной грамматикой. Линейные языки образуют рациональный конус, но не AFL (язык исйсиси, где и, v е {а, Ь} *, не является линейным).
Язык L называется металинейным, если L = Б(Г, а) для некоторой грамматики Г= (V, А, л), где л содержит линейные правила, правила a->iy, w е V*, но не содержит правил a->-tyiaa)2, где Wi, ш2е V* (и, сле- л
довательно, для любого ш s V*, такого, что а =#- w, степень слова w над УХА ограничена). Язык L металииеен, если и только если L является конечным объединением произведений линейных языков (Хомский, Шютценберже [1963]).
Язык LeA* называется ограниченным, если L S {Ш1}*{ГУ2}*... {tyn}* для некоторых а>1, ш2wneA*. Семейство ^ всех ограниченных алгебраических языков содержит все конечные языки и замкнуто относительно объединения, умножения и образования языков вида (и, и) * L = U^ > 0 unLvn для произвольных и, у е А* (на самом деле 93 есть в точности наименьшее семейство языков с такими свойствами, ио доказать это значительно труднее) (С. Гинзбург, Спеньер [1964]).
Пусть и — конечное подмножество из А+. Рассмотрим грамматику Г = (A U {<?}, А, л), где л состоит из правил а -* 1 и о -* оа^оаг... оа„о для любого и = 0102... ап е U. Язык Г (Г, а) совпадает с классом единицы 1 относительно копредставления моноида М = <А; и = 1 для любого и е U) (С. Гинзбург [1966, упр. 1.1.6]).
Доказать свойства (Pi), (Р2), (Рз) языков Дика D*n и ограниченных языков Дика Dn, сформулированные в доказательствах теоремы 5.14 и следствия 5.15 (Нива [1968]).
Пусть R— коммутативное полукольцо н ряд ]еР[[Л]] не имеет свободного члена (т. е. [(1) =0). Ряд [ распознаваем тогда и только тогда, когда существуют п > 1 и представление 9: А*-*$\п, R), такие, что f(w) = = [0(ш)]1,„ для любого шеЛ+ (индексы 1, п указывают положение элемента в матрице 9(®)) (Шютценберже [1962]).
Пусть R— коммутативное кольцо с единицей и 0: Л*->2’(га, Р) — представление п X «-матрицами над R. Определим Р-Л*-автомат как Л*-ав- томат 51, множеством состояний которого служит свободный Р-модульР("> = = R X R X ■ • ■ X R, а па = 00(a) для любых v = (п, г2, ..., r„) е R^ и а е А. Язык L г А* тогда и только тогда Р-рациоиалеи, когда он распознается некоторым Р-А*-автоматом с начальным состоянием v0 е RW и множеством заключительных состояний Т = {оеР(">: /(о) =Л 0} для некоторой линейной формы Z на R^ (т. е. I е HomR(P<n>, р)).
(а) Пусть 51 •= (S, [) — конечный Л*-автомат с начальным состоянием So и множеством заключительных состояний Т ^ S. Возьмем отображение 0: S X Л-*-2’(га, Z) и некоторое множество (ZJ линейных форм на Z<n>, индексированных элементами из Т. Построим Л*-автомат 89 = = (S X Z<">, ф), где ф ((s, о), а) = (f(s, а), о0(а)) для любых seS, и е Z(л), а е Л. Взяв (s0, vo) в качестве начального состояния и
Д = Т X {и е Z (л>: Z/ (и) ф 0 для любого t s 7}
в качестве множества заключительных состояний автомата 89, показать, что язык, распознаваемый 89, является Z-рациональным (можно построить представление 0': Л*-*2’(/гага, Z), где m •= cardS, полагая элемент с индексами ((Z, /), G', /')) в в'(а) равным [0(Sf, а)]у, ],. если f(sb а) = 86,, и равным нулю в противном случае).
(Ь) Пусть S = {so, si, s2, $з, si}, А = {a, b), a f задано таблицей
Положим6 (soПоложим6 (soISoSiS2S3S4CtSiSiS3S3S4b IS4S2S4S4S4ISoSiS2S3S4CtSiSiS3S3S4b IS4S2S4S4S4a) = 0(si, a) = (0 ’ )>a) = 0(si, a) = (0 ’ )>6 (s2, a) = 0 (s3, a) = ( Q6 (s2, a) = 0 (s3, a) = ( Q
Положим
6 (so
Положим
6 (so
ISoSiS2S3S4
CtSiSiS3S3S4
b IS4S2S4S4S4
ISoSiS2S3S4
CtSiSiS3S3S4
b IS4S2S4S4S4
a) = 0(si, a) = (0 ’ )>
a) = 0(si, a) = (0 ’ )>
6 (s2, a) = 0 (s3, a) = ( Q
6 (s2, a) = 0 (s3, a) = ( Q
а в остальных случаях 0(s;, a), 0(s/, 6)—нулевые матрицы. Пусть »о =(1,0), Т ==S, ls (гр г2) = г2 и ZS; произвольны при i Ф 3. Тогда язык, распознаваемый автоматом 89, есть L = А*\^акЬак\ к > 0}. Язык L ие является рациональным, а его дополнение в Л* не является Z -рациональным (Шютценберже [1961b]).
W
ПРОБЛЕМЫ БЕРНСАЙДА И БЛИЗКИЕ ВОПРОСЫ
Обеца я проблема Бернсайда состоит в следующем: всякая ли конечно порожденная периодическая группа конечна (Бернсайд [1902])? Ответ отрицателен, как показано Е. С. Голодом [1964] в статье, основанной на теореме Голода — Шафаревича [1964]; см., например, Херстейн [1968, гл. 8]). Однако Шур [1911] показал, что конечно порожденная периодическая группа матриц над полем комплексных чисел конечна, а Капланский [1965] дал доказательство этого результата для матриц над произвольным полем).
Ограниченная проблема Бернсайда касается конечно порожденных групп ограниченного периода, т. е. удовлетворяющих тождеству х"=1 для некоторого фиксированного целого naY П. С. Новиков и С. И. Адян [1968] доказали существование для любого нечетного п ^ 4381 бесконечной группы с т (т~>\} образующими, удовлетворяющей тождеству хп = 1. Эта оценка была улучшена до п ^ 665 С. И. Адяном [1975°]). (Доказатель-
ство, предложенное Бриттоном [1973], содержало, как выяснилось, ошибку; см. С. И. Адян [1975°] *)). Пусть B(k, 0, п) обозначает группу с к образующими, свободную в многообразии групп, определяемом тождеством хп=\. Ограниченная проблема Бернсайда состоит не только в' нахождении тех бернсайдо- вых групп В(k, 0, л), которые конечны, но и — более общо — в описании особенностей их строения ).
Данная глава содержит ряд результатов, касающихся проблем Бернсайда для полугрупп и моноидов. Мы излагаем доказательство теоремы Мак-Нотона — Закстайна [1975]: конечно порожденная периодическая полугруппа матриц над полем конечна). Устанавливая это, мы следуем Жакобу [1976], который доказал более сильный результат: проблема конечности линейной полугруппы разрешима (см. также Закстайн [1977]). Ограниченная проблема Бернсайда для полугрупп или моноидов состоит в изучении полугрупп В (к, ш, п) с к образующими, свободных в многообразии, заданном тождеством хт — хп, 0^т<.п, Полугруппа B(k, 1,2)—свободная связка с к образующими — конечна (Грин, Д. Рис [1952]; они изучали общий случай полугрупп В (к, 1, п)), а В ^к, т, п) при к ^ 2, m ^ 2 бесконечна (Морс, Хедлунд [1944]; Бжозовски, Чулик, Габриэлян [1971]).
Факторизационная леммадля свободных полугрупп
Определение 1.1. Рангом на полугруппе S называется отображение г: £->№, такое, что
r(SiS2)^ inf(r(Si), г(5г)) ДЛЯ любых Sb S2 G S.
Мы всюду будем предполагать, что все ранги ограничены, т. е. для любого ранга г на 5 существует такое л е №, что r(s)^n для всех seS. Типичные примеры рангов на полу- имеют один и тот же порядок п, где п— любое достаточно большое (n> 1075) простое число; этот пример решает целый ряд теоретико-групповых проблем и, в частности, дает, очевидно, еще одно решение ограниченной проблемы Бернсайда. — Прим. ред.
*) Имеется и признание самого Бриттона (со ссылкой на книгу С. И.Адя- иа [1975°]) в сборнике под ред. С. И. Адяна, Буна и Хигмана [1980*], см. стр. 71—72 — Прим. ред.
группах возникают благодаря представлениям. Пусть ср: S-> ->«<„(/()— гомоморфизм S в полугруппу Жп^К^ всех «Х»- матриц над полем К; определяя r(s) = dim Imcp(s), получаем ранг на S, ограниченный числом п. То же самое справедливо для tp: 8-*9"п, где g~n— полугруппа всех преобразований на n-элементном множестве, a r(s) = card Im ср (s).
Определение 1.2. Пусть S — полугруппа. Факторизованным сегментом элемента s г 5 называется последовательность ($1, $2Sa) элементов из S, такая, что s = us^sa ... 5ау для некоторых и, и е S1. Каждый элемент Sz (1 ^ i ^ &) называется фактором сегмента (sb S2, ..., s^. Говорят, что ранг г на S постоянен на факторизованном сегменте (sb s2Sa) элемента s, если
r(sz) = r(siS2 ... sa) для любого I, 1 ^ I ^ k.
Индукция по j показывает, что r(sis2 ... s/) ^ inf (г (si), r(s2)r(s/)).Следовательно, г постоянен на (sb S2, ..., Sa)
тогда и только тогда, когда для любых i, j, 1 ^ i < j ^ к,
r(SiSW ... Sj-iSj) = r(SiS2 ... Sa),
так как, по индукции, r(sz ... sz-iS/) ^ inf (г (sz ... s/_i), r(s/)) = = r(S]S2 . .. SA)^r(Sz . .. S/-1S/).
Следующая комбинаторная лемма, принадлежащая Жакобу ‘[1978], имеет много приложений и является ключевой для доказательства разрешимости линейной проблемы Бернсайда.
Лемма 1.3. По данной функции v: N^-N можно эффективно вычислить функцию R»: N—*N, обладающую следующим свойством:
для любого ранга г на свободной полугруппе Д+, ограниченного числом п, и для любого слова w = Д+, такого, что r(w) ^= О и /(w)^ Rv(n), существуют число seN и факторизованный сегмент слова w, имеющий v(s) факторов tyb щ2wV(s), каждый длины ^ s, на котором ранг г постоянен.
Доказательство. Мы построим последовательность {/а} целых чисел, такую, что любое слово w ранга r(w), k^r^w^^.n, и длины /а допускает факторизованный сегмент с v(s) факторами (для некоторого s), на котором ранг г постоянен. Можно взять /n = v(l), поскольку в слове ранга п каждая буква тоже имеет ранг п; поэтому любое слово ранга п и длины v(l) содержит v(l) последовательных букв, на которых ранг постоянен. Допустим, что Za+i уже построено, и положим /а =/a+iv(/a+i). Пусть w— такое слово, что k^r^w^^n и /(w)=/a. В случае когда w имеет делитель Длины /а+i и ранга ^ k + 1, этот делитель допускает факторизованный сегмент с v(/a+i) факторами длины <: Za+i, на котором ранг постоянен, и, значит, то же самое
справедливо для w. В противном случае составим факторизованный сегмент для w из v(Za+i) последовательных делителей слова ш, имеющих длину /*+ь Так как w имеет ранг ^ к и так как все делители длины /*+1 имеют ранг <&+1, ранг в точности равен к на v (/<■+!) последовательных делителях слова w. Чтобы удовлетворить требованиям леммы, достаточно взять /?v(n) = /i; следовательно, Rv определяется индуктивно формулами /?V ( 1) = V ( 1) , Rv(n + 1) = /?v(rt)v(rt) . □
Следующие непосредственные приложения факторизацион- ной леммы прёдставляют независимый интерес. Более сильным вариантом следствия 1.4 является теорема 1.7 (ниже).
Следствие 1.4. Пусть А— конечное множество и г — ранг на А+. Существует такое натуральное N, что любое слово weA+ длины ^ N, имеющее ненулевой ранг, можно записать в виде w = W1UW2UW3, где иеА+, wr, w2, waeA* и r(u)= r(uw2u).
Доказательство. Положив card A = q, определим v: N-^-N формулой v(s) = (l— 9s+’)/(l—д'). Заметим, что v(s)— это число слов длины ^ s в А*. Если г ограничен числом п, возьмем N = Rv(nY Согласно лемме 1.3, если Цю^^П, то существуют s е N и факторизованный сегмент («ь и2) ..., и^^), на котором г постоянен. Следовательно, w = wxuxu2 ... щщхва, где wx, wae е А* и 1 ^ /(щ)^ s для любого щ, 1 ^ i ^ v(s). По определению v(s) получим Ui = И/ = и для некоторых i, j, 1 ^ i < / ^ ^ v(s), и w = wxuw2uwa, где г(и) = r^uw2u'). □
Следствие 1.5. Пусть S = Endn(V, Д')—полугруппа всех эндоморфизмов векторного пространства V размерности п над телом К, и пусть А—конечное подмножество из S. Тогда существует такое натуральное N, что любое произведение аха2 ... а^ более чем N эндоморфизмов из А можно представить в виде аха2 ... ... ai(^ai+i ... a^aj+i ... йк, где g = ацл ...а; лежит в некоторой максимальной подгруппе из S.
Доказательство. Отображение включения Z: A->-S продолжается до гомоморфизма ср: A+-»-S, а равенство (для любого w е А+) r(w)~ dim Im cp(w) определяет ранг на А+, ограниченный числом п. Если Kw^^N, где N дается следствием 1.4, то можно записать w = w1«W2«®3 и r(u) = г(и®2«). Докажем, что эндоморфизм g = cp(w2«) лежит в максимальной подгруппе из5. Из г (и) = r(,uw2u) выводим Im<p(w2«)== Im ср (и) = 1тф(ида2п). В силу предложения 4.2 из гл. 2 имеем <^^w2u)3^^u)$^^uw2uY Отсюда следует cp(w2uu)2u')S'<p^m!D2u')2’<p(<w2u). Таким образом, g и g2 лежат в одном и том же S’-классе из S. Поскольку полугруппа S устойчива (см. гл. 2), из следствия 3.11 в гл. 2 выводим g3^g2. Поэтому g лежит в максимальной подгруппе из S, согласно следствию 2.6 из гл. 2. (Делая больший акцент на
линейной алгебре, можно также закончить доказательство следующим образом: Img = Img2 влечет инъективность g на Img; следовательно, Ker g П Im g = {0}, откуда V = Kerg@Img; предложение 4.2 из гл. 2 показывает, что g лежит в некоторой подгруппе из S.) □
Из следствия 1.5 непосредственно вытекает, что некоторая степень произвольного эндоморфизма векторного пространства V попадает в подгруппу из End„(V, Д'). Приступим теперь к доказательству усиленного варианта следствия 1.4. Следующую лемму иногда называют леммой Брауна (Браун' [1969]).
Лемма 1.6. Пусть А— конечное множество и v: N-> N— заданная функция. Существует натуральное число S(v) со следующим свойством;
для любого слова w е Д+ длины ^ S (v) существуют число seN и факторизованный сегмент {а, м^, a, w2, ..., a, wV(s), а) слова w, такой, что а^А и l(wia) ^ s для любого i, 1 ^i^v(s).
Доказательство. Положив card А = q, определим г на Д+ формулой r(w) = q— card {а е A: da(w)#=0} (напомним, что da(w) есть число вхождений буквы а в wy Несложная проверка показывает, что г является рангом на А+, ограниченным числом q— 1. Пусть v'(n) = v(2n)+ 1. По лемме 1.3 если слово щеА4 имеет длину ^RvAq — 1), то существуют / е^ и факторизованный сегмент (щ, и2, ..., щ-щ^ слова w, на котором г постоянен, причем liv^s^t для любого I, l^t^v'(/). Но то, что г на (щ, и2, ..., ovu^ постоянен, означает, что для записи слов щ, и2, ..., щ-щ используется одно и то же подмножество В из А. Следовательно, если а — первая буква слова щ, то а встречается в каждом из слов и2, ..., Vvuv Поэтому uvu2 ... ww= = awvaw2 ... awv щ, где /(ащ,)^2^ для l^i^.V(ty При s = 2t слово awyaw2 ... aw^aw^+x Дает факторизованный сегмент (a, wlt a, W2, ..., a, w^, а) слова w, и Цаю^ = = l(wia) s для 1 ^i^v(s). Это показывает, что мы можем взять S ^м) = Rv (q—1). □
Теорема 1.7. Пусть А — конечное множество и ал N -> N — заданная функция. Существует натуральное число Т(а) со следующим свойством;
для любого ранга г на Д+, ограниченного числом п, и любого слова w еА+ ненулевого ранга и длины ^ Т (а) существуют число seN и факторизованный сегмент (и, иь и, V2, •.., и, Ua(s), и) слова w, на котором г постоянен, и Цищ)^ s.
Доказательство. Рассмотрим функцию Хп; N -+- N, где XnW = = а (их) для любого xeN, и применим лемму 1.3 к функции v, заданной равенством v (п) = S (Хл), где 5(ХЛ)— число, определяемое леммой 1.6. Существует такое число /1 е N, что любое слово юеД+ длины ^Pv(«) имеет факторизованный сегмент
(а^, ш2, • • • > ачщ»), на котором ранг г постоянен, и /(w;)^^. Слово wxw2 ... wvkt* как слово над алфавитом В = A U A2 U ... ...IMS имеет длину v(^) —S(^fJ. По лемме 1.6 существуют число ^ е N и факторизованный сегмент (и, Ui, и, иг, ..., и, УуЛ^)’ м)> такой- что wsS и длины слов ищ над В не превосходят t2 для всех i, l^i^ Xtl (tz) = а (№). Ясно, что длина каждого слова ищ над А не превосходит t\t2. Взяв s =; t\t2, мы получим требуемый факторизованный сегмент (u, щ, и, v2, ... ..., и, Оа($), и) слова w. Таким образом, подходящим числом служит Т(а)= Rv(,nY □
Разрешимость линейной проблемы Бернсайда
Чтобы связать предыдущие результаты с линейной проблемой Бернсайда, рассмотрим произвольное линейное представление ф: A+->Endn(V, К') и положим r(w) = dim 1тф(ш). Допустим, что ранг г постоянен на факторизованном сегменте (и, Oi, и, v2, •.., и, vk, и). Тогда равенства г(иищ) = r(uiu) = = г(и) вместе с включениями 1тф(цит)е Im ф(ит)£ Im ф(ц) дают Im ф(щ>,и) = Im ф(щи)= Im ф(и). Последние равенства в свою очередь дают Im ф(ц) = Im ф(щи)= Im ф(щии/и). Индукция по числу факторов показывает, что композиция Im оф постоянна на подполугруппе из, А+, порожденной словами щи, и2и, ..., UkU. Это оправдывает следующие определения:
Определения 2.1. (а) Подполугруппа <mi, m2, ..., m^) из End„(V, К), порожденная эндоморфизмами ть m2, ..., Шк, называется Im-ядром, если для всех х е (ть гп2, ..., т*> подпространства Imx из V совпадают.
(Ь) Пусть ф: S->Endn(V, К) есть линейное представление полугруппы S. Подполугруппа <si, s2, ..., s^> из S называется Im-ядром относительно ф, если <ф(Х1), ф($г)ф(з*)>есть
Im-ядро в Endn(V, КУ
В этих терминах замечания из начала параграфа резюмирует
Лемма 2.2. Пусть ф: А4-^-Endn(V, К) — произвольное представление иг — соответствующий ранг на А+. Если г постоянен на факторизованном сегменте (н, ui, и, иг, ..., и, иь и) из А+, то <иги, v2u, ..., yku> есть Im-ядро относительно ф.
Характеризацию Im-ядер из End„(V, К) дает
Предложение 2.3. Пусть ту, т2, ..., mfeeEndn(E, /С). Следующие условия равносильны:
полугруппа S = <тх, т^т*> есть Ym-ядро;
существует идемпотент е г Endn( V, К), такой, что пие = = mi для любого i, 1 i k, а emi, ет^етк лежат в максимальной подгруппе Не из Endn(V, К).
В случае когда S является \т-ядром, подгруппа Ge из Не, порожденная эндоморфизмами ет^, ет^, ..., етк, называется характеристической группой полугруппы S. С точностью до изоморфизма Ge не зависит от выбора идемпотента е в условии (Ь).
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если S является Im-ядром, то S целиком содержится в некотором S’-классе из Endn(V, К) (гл. 2, предложение 4.2). Поэтому существует идемпотент ее @Endn(E, КУ такой, что e3?mt для 1 i к. Отсюда вытекает mt = mte. Далее, emjS’mtmfS’e. Обозначим 5?-класс и S’-класс элемента х из ЕпбДЕ, К) через Rx и Lx; получим Lem^ == Le И Rem^ ^Re. Следствие 3.11 из гл. 2 показывает, что emt36e. Поэтому emi, em^, ..., emu лежат в максимальной подгруппе Не.
влечет (а). Для любого I, 1 ^ i ^ к, мы имеем
Im mt = Im mte s Im e = Im emt s Im mt,
откуда Imm, = Ime. Если Im (mzimz2 ... mzs) = Im e, to Im (т;(т;2 ... mzsmzs+1) = Im(emzs+i) = Ime. Применив индукцию no s, для любого хе (mi, m2т*> получим 1т х = = 1т е.
.Чтобы закончить доказательство, возьмем идемпотент fe е Endn(E, К), такой, что mtf = mt для каждого 1, 1 ^ I ^ к, и предположим, что fmi, fmz, ..., fm^ порождают подгруппу Gf в Н?. Определим отображение 6: Gg-^Gf, положив 0(х) = ^х. Прямая проверка, с использованием равенств ef = e, fe = f (выполняющихся ввиду Ime = Imf), показывает, что 6 — изоморфизм. □
Теперь мы готовы переформулировать теорему 1.7 в терминах представлений.
Теорема 2.4. Пусть п— натуральное число, Л— конечное множество и a". N-^N — заданная функция. Существует (эффективно вычислимое) натуральное число Т(а) со следующим свойством:
для любого линейного представления ф: Л+—>End„-(l/, К), где п' ^.п, и любого слова w е Л+ длины ^ 7(a) и такого, что ф(да)#=0, существуют число seM и факторизованный сегмент (фь Wi, ..., Wats)) слова w, такие, что l(wt)^.s для любого I, 1 ^ 1^ a(s), и (wi, w2, ..., ща(5)> есть \т-ядро относительно ф.
Доказательство. Теорема 1.7 утверждает существование такого числа 7(a), что любое слово weA+ с указанными выше
свойствами допускает факторизованный сегмент (и, уь и, Уг, ...
и, Oa(s), и), на котором ранг постоянен и Циш)^8. По лемме 2.2 полугруппа (у^ , щииа^и> является Im-ядром относительно ф. Взяв w, = у,н для l^t^a(s), получим требуемый результат. □
Замечание 2.5. Пусть, в условиях теоремы 2.4, w — zwxw^ ... ... wa(s)Z' для некоторых z, г'^А, и пусть е — единица характеристической группы \т-ядра <<p(wi), ф(®г), • ••, ф(фа($))>- Тогда
ф(®) = ф(г)еф(1У1)еф(ю2) ... еф(1Уа($))еф(г').
Доказательство. В самом деле, по теореме 1.7 разложение w = zwiwi ... Wa^z' более точно записывается в виде w = = z"uw\Wi ... wa^z' и ранг постоянен на сегменте (u, Wi, ®2, • • •, Wa(s>). Следовательно, 1тф(и)=1те, откуда ф(«)ф(®|)= = ф(и)еф(Ф1). Это оправдывает вставку е между ф(г) и ф^). Остальные вставки е оправдываются предложением 2.3(b). □
Теорема 2.4 связывает комбинаторные результаты из § 1 и следующий ниже результат, который представляет собой — в несколько замаскированном виде — конструктивный вариант теоремы Шура — Капланского о том, что всякая конечно порожденная периодическая группа матриц над произвольным полем К конечна.
Напомним1), что для любого расширения Ki = ^(«i, a2, ... ..., а*) поля Р посредством конечного числа элементов (алгебраических или трансцендентных над Р) существует промежуточное поле Т, Р г Т г К\, такое, что Т — чисто трансцендентное расширение поля Р, а Ki — алгебраическое расширение поля Т. Это промежуточное поле не обязательно единственно; например, если элемент t трансцендентен над Q, то
QczQ(f)сQ(t, д/2") и также QcQ(/2)cQ(<, д/2 )•
В случае когда Р— простое поле, мы будем называть степень Ki над Т алгебраической степенью поля Кь
Теорема 2.6. Пусть S— полугруппа пХп-матриц над полем К, порожденная конечным множеством А. Для любого целого s > О существует целое число P(s), такое, что o(G)<P(s) для любой периодической группы G, являющейся характеристической группой \т-ядра из S, порожденного s элементами. Пусть Кд — расширение простого подполя Р поля К, порожденное элементами матриц из А. Если алгебраическая степень поля Ki эффективно вычислима, то число P(s) также эффективно вычислимо.
Доказательство этой теоремы будет дано в конце параграфа. А сейчас мы покажем, как предыдущие результаты приводят к разрешимости проблемы конечности для матричных полугрупп над полем.
Лемма 2.7. Пусть S — периодическая полугруппа п X п-матриц над полем К, порожденная конечным множеством А, состоящим из q матриц. По функции р : N -> N, указанной в теореме 2.6, определим функцию a: N->N, положив а(т) = = Р((1—д'"+1)/(1— q^ для любого meN. Пусть Т(а)—число, определяемое теоремой 2.4. Тогда
АТ№ е {0} U A U A2 U • • • U Д7’(а)”1 •
Доказательство. Пусть ф: А+-*ЖДК^—представление полугруппы А+ п X «-матрицами над К, продолжающее отображение включения I; А^-Жп^КУ Если слово юеА+ имеет длину Т^ и ф(ю)#=0, то по теореме 2.4 существуют число seN и факторизованный сегмент (wb w2, ..., wa(S)) слова w, где Ц®^^8 для любого I, l^i^a(s), такой, что <®b w2, ... ..., даа<5)> есть Im-ядро относительно ф. Число различных образующих этого Im-ядра не превосходит (1 —<7s+‘)/(l—q'), поскольку каждое Wi имеет длину ^ s. Так как полугруппа S — периодическая, по теореме 2.6 характеристическая группа Ое Im-ядра <ф(Ш1), ф(ю2)ф(юаг«))> имеет порядок
o(Ge)<p((l-^+’)/(l-\)) = a(s).
Таким образом, среди следующих a(s) матриц группы Ое
еф(ю1), еф(Ю1)еф(да2), ..., вф(Ю1)бф(щ2) ... бф(юа(з))
по крайней мере две совпадают. Предположим, что бф(Ш1)бф(®2)... ... еф(щ/)==еф(щ1)еф(щ2) • • • ^(tyz), где 1<«</<а(х). Тогда ф (w) = ф (z) ф (^0 ф (w2) ... ф(ща(«))ф(Х); по замечанию 2.5 этот элемент равен
ф (z) бф (W1) бф (юг) . . . бф (wa (S)) бф (z') =
= ф(г)бф(®1)б ... бф(щ()еф(ф/+1) •бф(ша(8))бф(г') =
= ф(г)ф(юО ... ф(ю/)ф(®/+1) ... ф(Фа(5))ф(г').
Итак, ф(щ)=ф(щ')> гДе /(®') < ^(а), и мы получаем
Ar(a)s{0} U AU A2 U . ..UA^"1. □
Следствие 2.8 (Мак-Нотон и Закстайн [1975]). Конечно порожденная периодическая полугруппа п X п-матриц над полем конечна.
Доказательство. Ее порядок по лемме 2.7 не превосходит числа 1+^ + ^+ ••• + ^r(a)-i = (1—9Ца))/(1—9), гДе 9 = = card А есть число образующих. □
Мы будем говорить, что поле К вычислимо, если для произвольных х, у, zeK проблемы х = у, х + у=г, x-y — z разрешимы *).
Следствие 2.9 (Жакоб [1976]). Пусть S— полугруппа пХн- матриц над полем К, порожденная конечным множеством А, и пусть К\ — расширение простого подполя поля К, порожденное элементами матриц из А. Если поле Ki вычислимо и его алгебраическая степень эффективно вычислима, то проблема конечности S разрешима2).
Доказательство. Рассмотрим возрастающую цепь Ci s s Сг £ ... £ Ci £ Cw г ..., где Ci = A U A2 J ... J А1. Если Ci = Cw для некоторого i, 1 ^ i < T(a), to S конечна. Если же CT(O)-i строго содержится в Ст(а), то S бесконечна в силу леммы 2.7. Вычислимость поля Ki необходима для решения вопроса о равенстве матриц. □
Остаток параграфа посвящен доказательству теоремы 2.6, которое представляет собой модификацию доказательства Кап- ланского для линейных групп. Общая схема его такова:
мы покажем, что для конечно порожденной полугруппы S «X «-матриц над К множество Л корней из 1, являющихся собственными значениями матриц из S, конечно, причем card Л ограничена некоторым эффективно вычислимым числом (лемма 2.10);
далее мы покажем, что для любых натуральных чисел п и s существует эффективно вычислимое число |3n(s), такое, что o(G) ^ P«(s) для произвольной порожденной s элементами периодической группы G, состоящей из пХ «-матриц над К, собственные значения которых принадлежат некоторому конечному множеству Л.
Напомним, что характеристическим многочленом р(х) данной пХ «-матрицы М над К называется определитель матрицы х! — М. Корни многочлена р(х) называются характеристическими числами или собственными значениями матрицы М. Хорошо известно (Кэртис, Райнер [1962, теорема (30.2)]), что
Это определение требует какого-либо конструктивного задания элементов поля. — Прим, перев.
если ^(х)еК|х] — произвольный многочлен, а аь аг, ..., ап— собственные значения матрицы М, то ^(ai), <7 (аг)9(а«) суть собственные значения матрицы д(М). В частности, если Мк = /, то a, = 1, т. е. собственными значениями такой матрицы М служат корни из 1.
Лемма 2.10. Пусть S— полугруппа пХ п-матриц над полем К, порожденная конечным множеством А. Пусть Ki — расширение простого подполя Р поля К, порожденное элементами матриц из А. Существует натуральное число N, такое, что порядок к любого корня из 1, который служит собственным значением какой-либо матрицы из S, не превосходит N. Если алгебраическая степень поля Ki эффективно вычислима, то N эффективно вычислимо.
Доказательство. Некоторые элементы матриц из S могут быть алгебраическими над Р (т. е. быть корнями многочленов с коэффициентами из Р^, другие — трансцендентными. Пусть Т — промежуточное поле, Р Е Т е Кь такое, что Т — чисто трансцендентное расширение поля Р, а степень Ki над Т равна пг. Тогда элементы из Кл можно точно представить m X т-ма- трицами над Т (используя регулярное представление Кд над Г). Замещая каждый элемент каждой матрицы из S представляющей его m X m-матрицей над Т, мы получим полугруппу 5 из пгпХ mn-матриц над Т, изоморфную S.
Если Р имеет характеристику 0 (т. е. P^Q), то для каждого собственного значения матрицы из S, являющегося корнем из 1, минимальным многочленом над Q служит некоторый круговой многочлен Фь (х) степени ^ пгп. Круговые многочлены ФДх), Фг(х), ..., ФДх), ... вычисляются индуктивно по формуле хч — 1 = Па । q Фа (х). Можно показать (см., например, Кэртис, Райнер [1962, теорема (21.13)]), что степень многочлена Ф^(х) равна <p(fe)— числу натуральных чисел, меньших к и взаимно простых с к (ср — функция Эйлера). Для данного пгп можно указать такое число X(mn), что ф(й)> пгп влечет к > > Х(тл). Следовательно, если к — порядок некоторого собственного значения а (т. е. к — наименьшее натуральное число, для которого afe=l), то fe^X(mn). В этом случае можно взять N = Х(тл), и если число пг = \К\; Т] эффективно вычислимо, то таково же и N.
Пусть Р имеет характеристику р Ф о (т. е. Р ^ Zp) и a— корень неприводимого многочлена степени к над Р. Тогда расширение Р(а) является полем из рк элементов и, следовательно, а^~х=\. Поскольку неприводимые многочлены над Р остаются неприводимыми над чисто трансцендентными расширениями поля Р, степень а над Т равна к. Поэтому если a— соб-
ственное значение матрицы из S, являющееся корнем из 1, то k ^тп. Тогда можно взять N = ртп—1, и снова, если т эффективно вычислимо, таково же и N. Этим завершается доказательство леммы 2.10. □
Доказательство конечности конечно" порожденной периодической группы G п X n-матриц над К мы проведем индукцией по п. В общем шаге индукции различаются случаи неприводимой и приводимой групп. Группа G называется неприводимой над К, если никакое собственное подпространство векторного пространства строк Кп не является инвариантным относительно правого действия О. В противном случае G приводима, и тогда за счет выбора нового базиса в Кп все матрицы из G можно привести к виду (^ с), где А является п' X п'-матрицей (п/— размерность собственного подпространства из Кп, инвариантного относительно G). В случае неприводимости справедлива
Лемма 2.11. Пусть G— неприводимая группа пХп-матриц над полем К, все собственные значения которых лежат в конечном множестве X. Тогда o(G) ^ А"’, где к — (card Л)".
Доказательство. Мы отсылаем читателя к книге Херстейна [1968, теорема 2.3.3], где показано, что если следы матриц из О принимают к различных значений, то о (G) ^ кп‘. Поэтому лемма вытекает из хорошо известного факта: след матрицы (т. е. сумма ее диагональных элементов) совпадает с суммой ее собственных значений. □
Лемма 2.12. Пусть G — периодическая группа, порожденная s элементами, a L — абелева нормальная подгруппа в G. Если факторгруппа Н = G/L конечна, то G конечна и о (G) ^(s + + o(,H^) р^0^, где р— верхняя граница для периодов элементов из L.
Доказательство. Пусть А — система образующих группы О, содержащая систему представителей смежных классов по L. Для произвольных at, а,<=А существуют 1ц eL и ak е А, такие, что aiaj = 1цйк. Множество всех элементов 1ц (а их, самое большее, (cardЛ)2) порождает подгруппу L' из L. Любое произведение элементов из А, как показывает индукция по числу сомножителей, лежит в L'A, т. е. G = L'A. Поскольку конечно порожденная периодическая абелева группа L' конечна, G тоже конечна. Кроме того,
о (G)< о (Д) • card A ^ptcard^)1. card A ^.p^+oWW (s + о (//)). □
Лемма 2.13. Пусть X— конечное множество корней из 1. Для любых натуральных чисел п, s существует такое число РДэ), что o(G)^pn(s) для любой периодической группы G п X п-
матриц над полем К, порожденной s элементами и такой, что собственные значения всех матриц из G лежат в Л.
Доказательство индукцией по п. Если п= 1, то G— группа корней из единицы, содержащаяся в Л. Поэтому можно взять p1(s) = cardA для любого seN. Предположим, что рт известны для всех m < п и pm(s) ^ pm+1 (s) для всех s е N, m + 1 <_п. Если G неприводима над К, то о (G) ^ (card А)'1 по лемме 2.11. Если G приводима над К, то заменой базиса в Кп можно привести все матрицы из G к виду(д ^. Множество всех матриц А (соответственно С), возникающих после замены базиса, образует периодическую группу Gi (соответственно G2), также порождаемую s элементами. Можно считать, что Gi неприводима над К. Тогда, как и выше, o(GJ ^(card Л)1'1-1’, а, согласно предположению индукции, o(G2)^ pn_i(s). Отображение <р: G^-H, определяемое формулой
(А В\ (А ОХЧо =с)'
является гомоморфизмом на конечную группу Н, и о (Я) ^2 ^ (card Л)(я~1) • Prt_i (s). Далее, Кег<р есть нормальная подгруппа L в G, состоящая из матриц вида (^ ^), где Л, /2— единичные матрицы соответствующих размеров. Простая проверка показывает, что L — абелева группа. По лемме 2.12 группа G конечна. Чтобы оценить ее порядок, мы выделим два случая в зависимости от характеристики поля К. Это даст нам два различных значения р^ и pw для Рп.
К имеет характеристику 0. Тогда по теореме Машке (Кэртис, Райнер [1962, теорема (10.8)]) группа G вполне приводима, т. е. все встречавшиеся выше матрицы В — нулевые1). Поэтому о(G) = о(//), и мы можем взять
p(n°)(s) = (cardA)(n-1MpW1(s).
К имеет характеристику р =# 0. Поскольку (к B\P__(h РВ\^(В ох 10 ij "Vo к к)’
элементы из L, отличные от единицы, имеют порядок р. Лемма 2.12 дает о (G) (s + о (//)) p^+°iw. Поэтому можно взять
P<f4s) = (s-HM)P(^
где
Yifli (s) = (card A)(re~1,s P<fl, (s). □
Доказательство теоремы 2.6. Пусть 5 — полугруппа п X п- матриц над К и А—(конечное) множество образующих для S. По лемме 2.10 множество Л корней из единицы, которые служат собственными значениями матриц из S, конечно. В самом деле, так как порядки этих корней ограничены числом N, получаем card Л ^ К(N + 1)/2. В силу леммы 2.13’) для характеристической группы G любого Im-ядра из S, порожденного s элементами, будет о (G) ^ Р^Цх) или соответственно o(G)^ ^ Р^* (s). Если в формулах для р*,0* (s) и 0^ (s) заменить card Л числом М(М-|-1)/2 и добавить единицу, то мы получим число P(s), указанное в теореме 2.6 (добавление единицы гарантирует, что о (G) < P(s)). □
3. Полугруппы B(fe, 1, п)
Напомним, что В (ft, 1, п)—полугруппа с & образующими, свободная в многообразии, определяемом тождеством х — хп. Мы докажем следующее утверждение.
Теорема 3.1 (Грин, Д. Рис [1952]). Пусть п— фиксированное натуральное число, п > 1. Следующие условия равносильны-.
(s) полугруппы B{k, 1, п') конечны для всех к ^ 1;
(g) группы B{k,Q,n— 1) конечны для всех к^ 1 ).
Так как хп-1 = 1 влечет хп = х, многообразие всех групп, удовлетворяющих тождеству хп-х = 1, содержится в многообразии всех полугрупп, удовлетворяющих тождеству хп = х. Поэтому (s) влечет (g), и наша задача—доказать обратную импликацию.
Определение 3.2. Содержание слова w из свободной полугруппы А+ — это множество ct(w) = {as А: а встречается в ну}. Начальной меткой слова w называется буква из А, которая имеет самое позднее первое вхождение, т. е. такая буква as А, что w = паи, слово us А* не содержит а, и /(и) максимальна. Мы называем и началом слова w. Концевой меткой слова w называется буква из А, которая имеет самое раннее последнее вхождение, т. е. такая буква bsA, что w — u'bv’, слово о' не содержит Ь, и Ци') максимальна. Слово и' называется концом
*) И сформулированного в начале ее доказательства требования моио- тонностн по п функции Рп($). — Прим, перев.
слова w. Определим слова p(w) и Х(ю), положив p(w') = ua, X(w) = bu'.
Взяв для примера алфавит А = {й, Ь, с) и слово ф = = abacbacab, получим р^= abac, k(w)= cab.
Всюду ниже Ak обозначает алфавит из к букв, а ф— канонический гомоморфизм <р: At~>B(k, 1, п). Следовательно, конгруэнция Кег ф на At есть наименьшая конгруэнция ~, такая, что w ~ wn для любого ее At-
Лемма 3.3. Для любого we At элементы ф(®) и ф(р(ю)) будут ^-эквивалентны, а ф(ф) и ^^^w^ будут S'-эквивалентны.
Доказательство. Если w = p(w), то доказывать нечего. Если w =7^p(w), то последняя буква слова w не является его начальной меткой и, значит, w = wxaw2a, где аУр w2 е А^ и ае Аа. Мы имеем
Ф (оу (wad)n-2wt) = ф (wxaw2a (w2a)n~2 w2) =
= Ф (фО ф ((й^)") = Ф (®i) Ф (aw2V
Предполагая, что ф(ю/) W(p(®9) Для всех слов ^ длины </(ш), мы получим ф(Ю1йю2)^ф(р(®1йи>2)). Но ptwvaw^ — = p(tw). Следовательно,
ф(р(ау)) = ф(&У1а&у2)х
для некоторого xeB^k, 1, п), а это влечет ф(р(и»)) = = ф(ю)ф((ю2й)'г-2и’2)х- Так как ф(®) = ф(р(да))ф(у) для некоторого и е А^, мы получаем ф(ю)5?ф(р(ю)). Аналогично, ф(гу)2’ф(А,(йу)).
Лемма 3.4. Пусть wx, w2®At, их, и2 — их соответствующие начала, уь и2 — концы. В полугруппе B(k, 1, п) справедливы утверждения;
ф(ф1)^ф(ьу2), если и только если wx и w2 имеют одну и ту же начальную метку и q(ux) — q(u2y,
ф(а>1)5’ф(&У2), если и только если Wi и w2 имеют одну и ту же концевую метку и ф(О1) = ф(у2);
ф(&У1)^ф(®2), если и только если &yt и w2 имеют одно и то же содержание.
Доказательство, (а) В силу леммы 3.3, ф(Ф1)^ф(1Уг) равносильно ф(р(Ю1))Йф(р('Ю2)). Допустим, что р(аУ1) = ихах, p(tW2) = = и2а2. Тогда ф(И1й1)= (p[u2a2z) для некоторого г е А^. Но замена произвольного отрезка х (соответственно х") слова w на х" (соответственно х) не меняет его начальной метки. Поэтому 4)^10^= ф(и2а2г) влечет ф(и1).= ф(н2) и ах = а2. Доказательство (Ь) двойственно,
(с) Содержание слова w не меняется при замене отрезков х на хп или хп на х. Поэтому ф(Ф1) = ф(ф2) влечет ct^w^ = = Ct^W^. ЕСЛИ ф(®1)/ф(®2), ТО ф(®1) = ф(Г1^2$1), ф(®2) = = ф(/-2Ш152) для некоторых п, sb г2, s2. Первое равенство дает ct(w2)s с;(®1), а второе — c/(®i)S ct(waY Обратно, допустим, что с<(аУ1) = с/(ф2). Пусть аь щ— начальная метка и начало слова wv,^, у2— концевая метка и конец слова ®2. Слово 2 = = U\aia2u2 таково, что p(z) = u1ab А (2) = а2у2. Из (а) и (Ь) выводим ф(®1)5?ф(2) и ф(2)2’ф(®2), откуда ф(йУ1)^"ф(йУ2). □
Следующие простые замечания помогут уяснить строение полугруппы В (ft, 1, и). Они непосредственно вытекают из леммы 3.4.
^-классы могут быть индексированы подмножествами из Ак (т. е. содержаниями слов). Каждый ^-класс в В (6, 1, и) является вполне простой подполугруппой.
^-классы в данном ^-классе Jx с индексом Хе Ah индексируются элементами ф(на), где а еХ и и е(А\ {«})+. Аналогично, S-классы индексируются элементами ф(йу), гДе йеА и у е(А\{а})+.
Максимальные подгруппы из В(&, 1, л) удовлетворяют тождеству х”"1 = 1. Те из них, что содержатся в ^"-классе с конечным числом Й- и S-классов, конечно порождены в силу следующего результата.
Лемма 3.5. Пусть S — конечно порожденная полугруппа, а D — регулярный 35-класс из S, содержащий конечное число Й-классов (или же S'-классов"). Тогда максимальные подгруппы из D конечно порождены.
Доказательство. Допустим, например, что D содержит конечное число S-классов. Выберем 5?-класс R из D и координатную систему R\H;, {(^v q'ky АеА^ для R (см. гл. 2, § 5). Согласно теореме 5.4 из гл. 2, представление MR полугруппы S A X A-матрицами над группой ГДЯ1) обладает тем свойством, что для любого уеГг(Я1) имеем М^(х) = у для некоторого xeS1. Если А — множество образующих для конечного множества элементов матриц MR(x), получаемое, когда х пробегает конечное множество образующих полугруппы S, то А конечно и порождает группу Vr(H\Y Так как Н^ГДН^, группа Щ также конечно порождена. □
Если выполняется предположение (g) теоремы 3.1, то F-класс из В (к, 1, п), содержащий конечное число 5?-классов, будет конечным. Но число Я-классов в данном ^-классе Jx равно card X • card J%\ {О) (а е А). Поскольку 7{а> есть конечная циклическая группа порядка п—1, индукция по card А по-
называет, что полугруппа В (k, 1, и) конечна. Доказательство теоремы 3.1 закончено1).
Следствие 3.6 (Мак-Лин [1954]). Свободная связка В^к, 1,2) с к образующими конечна, и ее порядок Nk дается формулой
Мк = ^(^ср где c^fc^, и ^ = 1. ■
Доказательство. Пусть с, обозначает мощность /-класса из B^k, 1, 2), индексированного подмножеством X из Ак мощности j. Тогда с} = рс^_х в силу утверждений (а) и (Ь) леммы 3.4. Поскольку число различных /-элементных подмножеств из Ак равно (у), мы непосредственно получаем формулу для Nk. Приведем первые значения с/ и Nk:
с2 = 4; с3=144; с4 = 331 776; с5 = 2 751 882 854 400;
У2 = 6; У3 ==159; У4 = 332 380; У5 = 2 751 884 514 765. □
Чтобы проиллюстрировать технику доказательства теоремы 3.1, мы покажем, что максимальная подгруппа из минимального идеала полугруппы В (2, 1,3) в действительности совпадает с группой В(3, 0, 2). На следующей диаграмме представлен остов полугруппы В (2, 1, 3) (мы предполагаем, что образующими служат а и 6):
Различные индексы для ^-классов (соответственно й’-классов) из /{а, ы суть ah, Ьа, а2Ь, Ь2а (соответственно ab, ba, ab2, Ьа2). Чтобы построить координатную систему для Даь, выберем по одному элементу, отмеченному на диаграмме, в каждой клетке
из Наь, а затем возьмем следующие значения для qv q'^. qab = q'ab = ab; qba = aba, q'ba = b;
qav — olP, q'ab = bab; qba, = aba2, qba? = ab.
Это дает представление MR полугруппы В (2, 1, 3) 4 X 4-матрицами над 0°, где G— группа, содержащая ab. При этом
(
О аЪагЬ О 0 \/00 abab 0\
ООО abab]I ab0 0 0 1
0 ab2ab 00 /I abab О О 0 ]
О abab 00 /Xaba^bab ООО/
Множество образующих для элементов матриц MR(a) и MR(b^ состоит из ab, aba2b, ab2ab. По лемме 3.5 эти три элемента порождают G. Они различны, так как при выполнении тождества х = х5 у эквивалентных слов степени одной и той же буквы должны иметь одинаковую четность (а здесь, например, db(ab) нечетно, db^aba2^ четно). Из тех же соображений понятно, что ни aba2b, ни ab2ab не может совпадать с единицей abab группы G, и, очевидно, ab ^ abab. Поэтому G изоморфна группе 5(3, 0, 2) порядка 8, а 5(2, 1, 3) содержит 132 элемента.
Этот пример наводит на мысль о том, что все максимальные подгруппы из 5(6, 1, л) являются группами вида В^к', 0, п— 1), но проверить это методом, продемонстрированным выше, весьма трудно уже для полугруппы 5(3, 1, 3). В связи с проблемой равенства слов для полугрупп В (k, 1, 3) мы отсылаем читателя к работе Герхарда [1978]. Конечность полугрупп В(к, 1, л) рассматривалась также Брауном [1964].
Полугруппы В (к, т, п) при к>1, т > 1
Мы докажем, что все бернсайдовы полугруппы, имеющие по крайней мере два образующих и удовлетворяющие тождеству хт = хп при л > т > 1, бесконечны. Так как х2 =■ х3 влечет хт =хп для любых т, л, п > т > 1, полугруппа В^к, 2, 3) является факторполугруппой полугруппы В (к, т, пУ Следовательно, достаточно доказать бесконечность 5(6, 2, 3). Требуемое же вытекает из следующего результата, принадлежащего Бжозовски, Чулику и Габриэляну [1971] *).
Теорема 4.1. Полугруппа В (2, 2, 3) бесконечна.
Основная идея доказательства состоит в установлении того, что отображение f из 5(2, 2, 3) в себя, определенное на обра-
зующнх а и b равенствами f(a)— a2b, f(b) = ab2, продолжается до инъективного гомоморфизма. Тогда f(a), f2(a), ..., fn(a), ... будут различными элементами в 5(2, 2, 3).
Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что А = {а, &}, и обозначаем через ~ наименьшую конгруэнцию на А4, такую, что ну2 ~ w3 для любого w е Д+. Конгруэнция ~ является транзитивным замыканием отношения <->, определяемого условием: и ■<-> и тогда и только тогда, когда справедливо одно из следующих утверждений:
и = и;
и = xy2z и и = xy3z для некоторых х, геА*, у^А+\ (с) и = xy3z и и = xy2z для некоторых х, геА*, у е А4.
Определив гомоморфизм f: Л+^-Л+ формулами f(a') = a2b и /(&) = ab2, мы докажем для любых и, иеЛ+, что и ~ и, если и только если f(u)~f(u). Выбор элементов множества С = = {a2b, ab2} в качестве образов букв а и b оказывается решающим: С— бипрефиксный код, имеющий s-задержку 1, и слова из С+ не имеют делителей вида ш3, где /(®) ^ 2.
Мы будем использовать приведенные формы слов из Л+. Для слова ну г А4 его приведенными формами называются слова гДоу) и г2(йу) из Л+ минимальной длины, выводимые из w относительно определяющих соотношений копредставлений полугрупп Bi = <а, Ь; а3 = а2, Ь3 = Ь2) и 52 = <а, b; (ab)3 = = (а&)2> соответственно. Следовательно,
(оу) = o/'Z/V3 ... bt2nat2n+1, где 0 ^^^2,
0^/2rt+i^2 и 1к=Х или <6 = 2, если 2^Д^2п;
r2(tiy) = tiy, если w ^ А*аЬА*, а в противном случае
r2(ty) = u0(^)/1Ui (аЬ)/2 ... (дЬУпип, где
и0, ип е Д*\ А*аЬА‘, ■
uze Л^\ А'аЬА* для 0 < I < п,
]ь—\ или Д=2 для l^^^n.
Определим также приведенную форму г, положив r\w') = ==г2(г1(йу)) для любого ауеЛ+.
Лемма 4.2. Для любых и, и е А4 соотношение и ■<-> и влечет И (и)*-* п(и).
Доказательство. Это тривиально в случае и = и. В силу симметрии достаточно предположить, что и = xy2z и и = xy3z. Чтобы вычислить Г1(и) и ri(u), воспользуемся тем фактом, что для любых пг, пеА4 будет г^ ^тп) = m'rx (п) = ri (т) п", где т' — некоторый левый делитель слова гДт), а п"—некоторый
правый делитель слова гДп). Поэтому rx(yz') = гДуУ" и и (y2z) =y'rx (yz) =у'гх (у) г". Далее, г, (y3z^ = y'xrx(y2z) = уУ^ (yz), и можно заметить, что У1 = У', за исключением, быть может, случаев, когда у есть ак или Ьк для некоторого Д^ 1. Продолжая выкладки в предположении, что-у Д= ак и у Д= Ьк для всех к, получаем
И (xy2z) = х'гх (y2z) = х'у'гх (у) z"\
rx (xy3z) = х'гх (у3г) = х'у'у'гх (у) z".
Слово у', будучи левым делителем слова и (у), появляется дважды подряд в гх(и) и трижды подряд в гДу), причем в одном и том же контексте. Поэтому гх (м) ч-> и (у). Если же у есть ак или Ьк для некоторого к^Л, то ri(u) = и (у), и это завершает доказательство. □
Простое рассмотрение слов из С* показывает, что ни одно из них не содержит (ба)2 (достаточно проверить это лишь для четырех слов длины 6). Это свойство не сохраняется отношением -*-»-, поскольку aababb ■<-> aabababb. Заметим, однако, что в слове aabababb делителю (ба)2 предшествует буква а, а следует за ним буква Ь.
Определение 4.3. Слово w е А* называется ab-словом, если из равенства w = и(Ьа)ки, где к ^2, следует, что. последняя буква слова и есть а, а первая буква слова о есть Ь.
Лемма 4.4. Для любых и, оеА^ из соотношения и -*-»- и, где и есть ab-слово, следует, что и есть ab-слово, г2(а)-<-> г2(у) и г (и)** г (о).
Доказательство, (а) Если u = xy2z, и = xy3z и y=/=(aby, у=£(ЬаУ, то любой делитель (Ьа)к, к^^, слова и должен делить либо ху, либо у2, либо yz. Во всех случаях (Ьа)к является делителем слова и и, значит, ему предшествует буква а, а следует за ним буква Ь, т. е. у есть аб-слово. Если у имеет вид (аЬ)1 или (.ЬаУ, то любой делитель (ЬаУ слова и, который не является делителем слова и, должен содержать в качестве делителя второе вхождение у в у. Вычеркивая этот отрезок у из (Ьа)к, получим делитель (ЬаУ', к' ^2, слова и. Поскольку в и перед (ЬаУ стоит а, а после него Ь, то же самое справедливо и для (ЬаУ в у, т. е. у является аб-словом. Доказательство в случае и = xy3z, и = xy2z аналогично.
Для доказательства соотношения /Ди)-<->/До) используем следующие свойства формы г^:
если т^А*а или п^(ЬаУЬА*, то гг(тп)= т'г2(п) для некоторого левого делителя т' слова гДт);
если пг^А*(аЬУа или п^ЬА*, то г2(тп.) = гДпУп" для некоторого правого делителя п" слова г2(п\.
Допустим, что u = xy2z и и = ху3г. Если у ^ {ЬаУЬА * Q ПД*(й6)2а, то, применяя последовательно (4.4.2) и (4.4.1), получаем
г2(</г) = г2(г/)г", г2 (y2z) = y'r2 (yz) = у'г2 (г/) z",
г 2 W^l = x'r2 ^z1) = x'y'r2 (</) z".
При условии y^(ab)k и у^=^ЬаУ мы имеем также r2(xz/3z) = = х'у'у'гДуУ" • Так как у? является левым делителем слова гг(у), отсюда следует r2(xy2z)-^- r^xy^zY В случае уе ^(Ьа)2ЬА* будет x = xia, у = (ЬаУЬущ, поскольку и является аб-словом. Поэтому и = xia(ba)2by\-a(bayby\az—xy(abyy\)2az и аналогично и = Xi ЦаЬУухУаг. Вычисление слов г2(н) и гг(и), аналогичное (4.4.3), можно выполнить, заменяя х, у, z словами Xi, (аЬУу!, az соответственно, откуда гг(и)-«-► г2(и). Случай у е А*(аЬУа рассматривается аналогично. Чтобы закончить доказательство, остается заметить, что при у = ^aby или у = ■ЦЬаУ непосредственно получаем Г2(и) = гг(и).
Так как гДда) является afc-словом для любого ab-слова да, соотношение r(u) *-»-г(и) вытекает из предыдущих частей доказательства и леммы 4.2. □
Теперь мы изучим разложения слова ^(да) в произведения вида xykz.
Лемма 4.5. Если yw^ = xykz, где х, у, zeA*, Цу)^3 и k ^>2, то существуют и, t, v^A*, такие, что w = utkv и ^utnx)^ = xynz для любого nissS.
Доказательство. Так как xykzeC*, предположения /(у)^>3 и к ^ 2 показывают, что слово из С на стыке двух последовательных вхождений слова у расположено так, как указано в (4.5.1) ниже. Соответствующие выражения для у даются в колонке (4.5.2).
У
У ।
i
I
aab
у - aabs
а I
ab
у = absa
аа ।
b
у =• bsaa
I
abb
у « abbs
0 I
ЬЬ
у = bbsa
аЪ |
b
у = bsab
(4.S.1)(4.6.2)
Случаи у = aabs и у = absa вполне типичны, и остальные мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Случай у—aabs. Слово f(w') допускает делитель вида a2bsa2bs. В силу свойства синхронизируемости бипрефиксного
кода С имеем seC1) и существуют и, t, иеА, такие, что Ди) = х, f(t) = у, Ци) = z и w = utku.
Случай у — absa. Слово До>) допускает делитель вида absaabsa. Следовательно, s = 1 либо первая буква в s есть а. В обоих случаях слово х должно йметь последней буквой а, и Цю) — xxyxzp где х\а = х, у\а = ay, Zi = az. Опять из свойств С следует существование таких и, t, иеА*, что Ди) = хь ДД = = yi, f(u)=Zi и utkv = w. Для любого п ^ 2 получаем f ^utnu^ = xxy"zx = xynz. □
Лемма 4.6. Для любых и, и е Д+ имеем и ~ и, если и только если Ди) ~ Ди).
Доказательство. Так как и -<-> и влечет f{u) -*-> f (и), ясно, что и ~ и влечет Ди) ~ Ди). Чтобы доказать обратное, предположим, что j(w)-<->s. Тогда тот факт, что $(w) является приведенным ab-словом, и лемма 4.4 дают Део) -<-► r(s). Мы докажем, что существует такое слово ю'еЛ+, что /(w') = г(s) и w -<-► w'. В случае Дш)=г(5) возьмем w' = w. Пусть f (w) = = xy2z и r(s)=xy3z для некоторого уеА+. Поскольку у3 является отрезком приведенного слова r(s), слово у не может быть равно a, b, аа, bb, ab, а поскольку Дш)еС*, у не может совпадать с Ьа. Следовательно, /(у)^3 и по лемме 4.5 существуют и', t, у'еА4, такие, что w = u't2u' и Ди'^и') = xy3z = r(s). Взяв w' = u't3v', мы получим Цю') = r(s) и ww'. В случае f(w) = xy3z и r^ = xy2z доказательство аналогично. Если теперь Ди) ~ Ди), то
f (и) == si ^ s2 <_ ... <-► Sn = f (у),
откудаоткудаf (и) = г (sO *-► г (s2) *->f (и) = г (sO *-► г (s2) *->*-* г (s„) = f (и).*-* г (s„) = f (и).
откуда
откуда
f (и) = г (sO *-► г (s2) *->
f (и) = г (sO *-► г (s2) *->
*-* г (s„) = f (и).
*-* г (s„) = f (и).
Применяя доказанное выше свойство п—1 раз, убеждаемся в существовании слов Wi = u, w2, ..., wn-i, wn, таких, что и = — w^ ^ w2 ^ ... ^wn и Дда() = г($;) для < = 1, 2, ..., п. В частности, Дшп)=Ди); поскольку С — код, это означает, что wn = v и, таким образом, и ~ и. D
В силу леммы 4.6 слова Да), f2(a), ..., Д(а), ... лежат в
разных классах конгруэнции ~. В самом деле, если Р(а) ~ ~ f!(a), где i>j, то f!~!(а) ~ а, что невозможно, так как р-Ца) содержит букву Ь. Это доказывает теорему 4.1, а также бесконечность всех бернсайдовых полугрупп B^fe, т, п) при к > 1, п > т > 1.
Бесконечные последовательности без повторений
Первое доказательство бесконечности В (k, т, и) для к ^ 3, т > 1 принадлежит Морсу и Хедлунду [1944]. Оно основано на построении бесконечной последовательности над трехбуквенным алфавитом, не имеющей одинаковых соседних блоков. Если такая последовательность существует, то ее левые отрезки не сводятся друг к другу применением тождества х™ = х"1+п при m ^ 2 и поэтому представляют бесконечно много различных элементов из В (к, т, п). Первая конструкция бесконечной последовательности без повторяющихся блоков над трехбуквенным алфавитом принадлежит, по-видимому, Туэ [1912]1). В этом параграфе мы следуем одной идее Лича [1957], которая была формализована и доведена до четкого результата Дежаном [1972].
Определение 5.1. Бесконечной последовательностью (или бесконечным словом') над алфавитом А мы называем здесь такую последовательность слов (®/)/eN, в которой для любого i е N слово W, является собственным левым делителем слова w;+i (т. е. Wi+i е WiA+y Бесконечная последовательность (®i)«eN содержит квадрат, если существует такое neN, что wn = uwwv для некоторых и, иеА и weA\ Бесконечная последовательность, не содержащая квадратов, называется последовательностью без повторений.
Над алфавитом А^ = {а, 5} единственные слова, не содержащие квадратов, суть a, b, ab, ba, aba, bab, а любое слово weA\ длины ^4 содержит квадрат. Перейдем к алфавитам, число букв в которых более двух.
Мы скажем, что гомоморфизм ф: Л* -*ЛЛ где Лз = (а, Ь, с}, порождает бесконечную последовательность без повторений, если ф удовлетворяет двум условиям:
ф(а) = аи для некоторого и е АУ;
если слово weX^ не содержит квадрата, то
Если ф удовлетворяет условию (5.1.1), то последовательность Wi — a, w2 = ф(«), ..., Wi+i — Ф'(а), ... определяет бесконечное слово, так как to,+i = ф'(а)= ф‘~1(ф(а)) = ф‘~1(аы) = = Ф'-Да^-Да), т. е. Wi+\ имеет в качестве левого делителя слово ю, = фм(а). Следовательно; гомоморфизм ф, удовлетворяющий условиям (5.1.1) и (5.1.2), дает бесконечную последовательность (ф^аД. eNo без повторений.
Определим изоморфизм 0: Л^-» Л J, положив 0(a) = Ь, 8(b)=c, 0(c)—а. Гомоморфизм ф: Аз -*Аз называется симметрическим, если он удовлетворяет условию
Ф(6)=0(ф(а)), ф(с)=0(Ф(6)).
Мы найдем все гомоморфизмы, удовлетворяющие условиям (5.1.1), (5.1.2), (5.1.3), а также условию
длина слова ф(а) минимальна.
Теорема 5.2. Пусть Л3—{а, Ь, с}. Существуют в точности два симметрических гомоморфизма ф : Лз" -* Л3+, порождающих бесконечные последовательности без повторений и таких, что длина ф(а) минимальна. Два возможных значения для ф(а) суть
abcbacbcabcba,
acbcabcbacbca.
Доказательство. Допустим, что ф удовлетворяет условиям (5.1.1), (5.1.2), (5.1.3) и первая буква слова и есть с, т. е. ф(а) = = аси. Тогда о#=1, ибо в противном случае ф(а) = ас, ф(с) = = cb и ф(ас) — accb, что противоречит (5.1.2). Пусть гомоморфизмы £, Д: Л^^Лз- определяются соответственно равенствами |(а) = a, ЦФ) = c,^ = b и
Д(а) = £(Ф(а)), ДД) = В(Ф(с)), Д (с) = g (Ф (6)).
Тогда Д(а) = ^(acv)= abc(v), т. е. Д удовлетворяет условию (5.1.1) с буквой b в качестве первой буквы слова и. Далее,
4(^ = 1 (Ф (с)) = ^ (Ф (а)) = 05 (Ф (а)) - 0 (Д (а)),
Д (с) = £ (ф (6)) = ^0 (Ф (а)) = 02| (Ф (а)) = 02 (V (а)),
т. е. Чг удовлетворяет (5.1.3). Ясно, что Д удовлетворяет также (5.1.2). Следовательно, достаточно найти все гомоморфизмы ф, удовлетворяющие условиям (5.1.2), (5.1.3), (5.1.4) и условию ф(а)= abv для некоторого оеЛД Мы покажем, что единственным возможным значением для ф(а) служит слово (а) из теоремы. Применив к нему £, получим (Ь).
q(ab) — abvbcQ(v) и ф(ас) = abvcaQ2(v). Поэтому, в силу (5.1.2), последней буквой слова и должна быть а, и и = = иха, где щ #= 1, ибо в противном случае ф(а&) содержало бы
квадрат. Равенство ф(ас) = (а£и1а) (ca02(ui)c) показывает, что последней буквой слова и4 должна быть b; ut = игЬ, где и2 ^ 1. Теперь ф(аЬ) = (аЬи2Ьа) • (ЬсО(и2)сЬ) показывает, что последняя буква слова и2 есть с, т. е. и2 = и3с и, значит, ф(а) = abv8cba. Если предположить, что и3= 1, то
<р(аса) = (abcba) (ссфас) ^abcbdl
содержит квадрат (подчеркнут), что противоречит (5.1.2). Поэтому и3^=1, и из ц>(Ьа) = (Ьс®(из)асЬ) (abv3cba) выводим, что первой буквой слова и3 служит с, и3 = си^ где и4#=1, откуда Ф (а) = аЬсщсЬа. На этом этапе читатель может проверить, что ни одно из слов ф(аЬ), ф(ас), ф(&а), ф(са) не позволяет узнать, какая из букв, а или Ь, будет первой в слове и4. Дальнейшие рассуждения разобьем на два случая.
Случай 1. и4 = аи3 и ф(а) = abcau5cba. Если и8 = 1, то, как и выше,
Ф^аса) = (abeapba) (cabpbac) (abcacba)
дает противоречие с (5.1.2); поэтому vs ¥= 1. Но тогда ф(са) = = (cabc62(us) bac) (abcauscba) показывает, что первой буквой слова и5 не могут быть ни а, ни b (в случае буквы b появился^ бы квадрат cabcab). Таким образом, и8 = cug, где иб¥=1, и из Ф(а) = abcacugcba мы непосредственно получаем ф(а) = = abcacbuicba, где Wy^l- Допустим, что последняя буква слова и7 есть Ь. Тогда ф(а)= abcacbv8bcba, где ив¥=1, откуда Ф (a) = abcacbvgabcba. Следовательно,
<p(,ab) = [abcacbv9 abcba][bcabacd(v9)bcacb].
Если ид = 1, то q>(ab) содержит квадрат слова cbab (подчеркнут). Поэтому и9#= 1, и последней буквой слова ид должна быть с (если бы это была Ь, мы имели бы квадрат слова babe). Отсюда следует ф(а) = abcacbumcabcba. Но тогда слово
Ф(ас) = • ■ • УюСдЬсЬараЬсЬаб1^! 0) • • •
содержит квадрат. Это противоречие показывает, что последней буквой слова и? должна быть а. Имеем ф(а) = abcacbv8acba, где и3 7^ 1, что дает
ф(ас)= ... y8acba-cabcba№^u8) ...,
и, значит, и8 = VgC и ф(а)= abcacbv9cacba = abcacbuiobcacba, где иют^!. Несложная проверка показывает, что слово ию не
сводится к одной букве (а исключается, поскольку повторялось бы слово abcacby
Случай 2. у4 = bv5 и ф(а) = abcbv^cba. Тогда us ^ 1 и первая буква слова ив есть а, т. е. ф(а) = abcbavgcba, где иб¥=1. Из равенства
ф(Ьа) = ... 0(Уе) acb■ abcbave ...
мы выводим, что первой буквой слова и6 служит с (Ь исключается, так как дает квадрат слова cbab), откуда ф(а) = = abcbacvicba, где у? =# 1. Допустим, что последней буквой слова ит будет а. Тогда ф(а) = abcbacugacba и ф(ас) = ... ... vsacba-cabacb^^vs) ..., что дает уз = Уде. Но поскольку тогда ф(а) = abcbacv^cacba, где иэ ¥= 1, мы получим квадрат в слове ф(аЬ) = ... v^cacba-bcacba^v^ ... (если последней буквой слова у9 будет а, то повторяется слово ас, а если Ь, то слово bcacbaY Это показывает, что последней буквой слова и/ в действительности является Ь, и ф(а) = abcbacv&bcba = = abcbacu^abcba. Если у9= 1, то ф(ас) содержит квадрат слова abcbac. Если Уд = июЬ, то ф(аЬ) содержит квадрат слова babe. Таким образом, у9 = Уюс, и, взяв ую = Ь, окончательно получим ф(а)= abcbacbcabcba.
Остается показать, что найденный в части (А) симметрический гомоморфизм удовлетворяет условию (5.1.2) (т. е. сохраняет свойство отсутствия квадратов).
Допустим, что слово ф(й1П2 ... tin) содержит квадрат некоторого слова w. Если /(ау)^ 25, то хотя бы одно из слов ф(й1), ф(аг), ..., ф(яп) служит делителем слова w. Пусть ф(д() — первый такой делитель:
t-^lL-t-^L^ ... । Ф^м) । ф(а<) ... ] Ф^ Ф^Р ( —ы to—
Отрезок ф(а<) является делителем слова ф(а/-1)ф(а/). Если предположить, что ф(аД имеет непустой общий отрезок с ф(а/). то <р (а/) = ф (а/); это легко проверить, заметив, что ф(а&) не имеет делителем ф(с) и содержит <р(а) (соответственно ф(Ь)) лишь в качестве левого (соответственно правого) делителя (в силу симметрии то же самое справедливо для <р(Ьс) и ф(са); переходя к зеркальным образам, получим то же для ф(&а), ф(с&), ф(ас)). Следовательно, /(а>)=13й, и равенства а. = аь ai+\ = а/+ь . ., az+e-i = a/+t-i показывают, что слово aia2...an содержит квадрат. В случае /(ау)<25 квадрат слова w содержится в отрезке, состоящем, самое большее, из четырех 13-буквенных блоков. Для доказательства того, что это невозможно, если слово аха2 ... ап само не содержит квадратов, достаточно
убедиться, что для любого слова w е At длины 4, не содержащего квадратов, слово ф(ш) также не содержит квадратов. В силу симметрии и инвариантности ф(а) относительно зеркального отражения можно ограничиться словами w = abac, abca, acab. Эту проверку можно провести непосредственно для каждого из трех слов. Но ее можно сократить, заметив, что в каждом случае делители длины 8 слова ф(ш) все различны (если они не являются одинаково расположенными отрезками различных вхождений слова ф(а)) и не содержат квадратов. Например, выпишем все делители длины 8 слова
<p(abac) = abcbacbcabcba • bcacbacabcacb • abcbacbcabcba • cabacbabcabac,
начинающиеся буквой а и не появляющиеся дважды в одном и том же положении в отрезках ф(а):
abcbacbc abcacbac abcacbab acabacba
acbcabcb acbacabc acbabcba abacbabc
abcbabca acabcacb abcbacab acbabcab.
Они различны и не содержат квадратов. Аналогично проверяются делители длины 8, начинающиеся буквами b и с. □
В заключение параграфа сформулируем без доказательства результат Дежана [1972].
Теорема 5.3. Существует бесконечная последовательность над алфавитом Аз = {а, Ь, с}, любой делитель которой, имеющий вид иии(и, у г A3), удовлетворяет неравенству /(и)(1/3)/(и).
Идея доказательства — та же самая, что и в теореме 5.2. Лишь условие (5.1.2) заменяется условием сохранения относительно гомоморфизма неравенств /(у)^(1/3)/(и) для любых делителей слова, имеющих вид иии.
Результат теоремы 5.3 оптимален: любое слово длины 2^39 имеет по меньшей мере один делитель вида иии, для которого Z(u)^(l/3)/(u).
Библиографические замечания
Разрешимость проблемы конечности для конечно порожденных линейных групп над вычислимым полем К была доказана В. М. Копытовым [1-968] ). Такая же проблема для полугрупп прямо связана с проблемами разрешимости, касающимися К-рациональных степенных рядов.
Мы видели (гл. 9, упр. 11), что носитель /(-рационального степенного ряда не обязательно является рациональным языком. Однако можно показать, что К-рациональиый степенной ряд с конечным числом различных коэффициентов имеет рациональный носитель. Это вызывает следующий вопрос: будет ли для К-рациопальпых степенных рядов разрешима проблема конечности множества коэффициентов? Чтобы дать надлежащий ответ, мы должны привести один важный результат Флиесса [1974]; см. также Флиесс [1971].
Для /(-рационального степенного ряда f существует представление 0: №-*$(п, К) минимальной степени п, такое, что 1 = Ш0Т (см. гл. 9, определение 4.9), или же минимальный (относительно п) Д-Л* автомат, распознающий / в смысле упр. 10 из гл. 9. Это минимальное представление (или К-Л*-автомат) определено однозначно с точностью до подобия матриц и эффективно вычислимо. Далее, ряд ( имеет конечное множество коэффициентов тогда и только тогда, когда множество 0(А*) конечно, а, как мы видели в §2, эта последняя проблема разрешима. Следует отметить, что вопрос о том, когда Z-рациональный степенной ряд с неотрицательными коэффициентами будет №-рациональпым, остается открытым. (В случае степенных рядов с одной переменной см. Сойтола [1976].)
Результаты Шютценберже [1961b] и Флиесса [1974] наводят на мысль, что в исследовании формальных степенных рядов линейные представления полугрупп должны играть роль, аналогичную роли конечных автоматов в исследовании рациональных языков. По поводу других результатов о линейных представлениях полугрупп мы отсылаем читателя к обзорной статье МакАлистера [1971], которая содержит обширную библиографию.
Упражнения
Пусть U, V, №— конечномерные векторные пространства над полем К, а х, у, 'г — линейные отображения, U -> К -> К -> W, причем у лежит в некоторой максимальной подгруппе полугруппы End/cV (х, у, г действуют справа на U и V).
Показать, что если хучг = 0 для любого п > 1, то хуг = 0. (Указание: используя тот факт, что у индуцирует автоморфизм на Im у, доказать включение Im ху s ^n>1 Im ху'1+1.)
Показать, что если хупг = 0 для любого п > я0, то хуг = 0, и, значит, если хуг ^ 0, то ху"г + 0 для бесконечно многих я е N.
Пусть R— полукольцо, вложимое в поле, а (— рациональный степенной ряд из R[[А]]. Существует такое бей, что любое слово шеА*А6Л Г| supp ( можно записать в виде ш = хуг, где у =# 1 и хупг е supp { для бесконечно многих я е N (использовать следствие 1.5, упр. 1 (Ь) и определение рационального степенного ряда). Ср. с упр. 1 из гл. 6 (Жакоб [1980]).
Пусть S = <mv, m2, -.-, ш*> есть Im-ядро из End„ (V, К). В пространстве V существует базис, в котором матрицы, представляющие отображения
т>, имеют видт>, имеют видгде матрицы А; обратимы и (имея одинаковые раз-
т>, имеют вид
т>, имеют вид
меры) порождают характеристическую группу полугруппы S).
Конечно порожденная полугруппа матриц над полем конечна тогда и только тогда, когда конечны все ее Im-ядра (или же все характеристические группы 1т-ядер).
Пусть S — конечно порожденная полугруппа матриц над полем. Тогда множество [Im х: х е S} конечно, если и только если S имеет конечное число максимальных подгрупп.
Как изменится следствие 2.9, если предположить, что все элементы матриц из А являются алгебраическими (соответственно трансцендентными) над простым подполем поля К?
Пусть S — конечно порожденная полугруппа матриц над полем К, а у—конгруэнция на S. Проблема конечности полугрупп S/y разрешима (при
условии разрешимости проблемы конгруэнтности матриц по модулю у и соответствующих проблем для поля К).
В полугруппе S = B(k, 1, п) отношение / является наименьшей конгруэнцией у, для которой S/y — полурешетка, и все /-классы суть вполне простые подполугруппы из S То же самое справедливо для любой клиффор- довой полугруппы S (т. е. любая клиффордова полугруппа есть полурешетка вполне простых полугрупп; Клиффорд [1941]). Любая связка (т. е. полугруппа, удовлетворяющая тождеству х2 = х) является полурешеткой прямоугольных связок (Мак-Лин [1954]).
Язык L s Л* называется апериодическим порядка к (А ^ 0), если wkPLwk+^ для любого »е4* (PL — синтаксическая конгруэнция, определяемая языком Ly Все апериодические языки порядка ^1 над конечным алфавитом рациональны. Произвольная бесконечная последовательность без повторяющихся блоков над алфавитом А служит примером апериодического языка порядка 2, не являющегося алгебраическим. В обозначениях § 4 для любого п 5; 0 класс слова ["(а) по модулю ~ является рациональным апериодическим языком порядка 2. Следовательно, существует бесконечно много рациональных апериодических языков порядка /г 5s 2 над алфавитом, имеющим не менее двух букв (Бжозовски, Чулик и Габриэлян [1971]).
Пусть А = {1, 2, 3, 4}. Определим в Л* бесконечную последовательность индуктивно следующим образом: щ» = 1234, и если wn = xyzt, где Z(x) = Цу) = Цг) = ЦЦ = 2", то ш„н = xyztxtzy. Это бесконечная последовательность без повторений, в которой последовательные цифры имеют противоположную четность (Дин [1965]).
Пусть А — {1, 2). Символической траекторией Морса называется бесконечная последовательность (w„) в А*, определяемая индуктивно формулами to» = 1, Vo = 2, o>n+i = wny„, vn+i = u„wn. Следовательно, Wi = 12, w2 = = 1221, w3 = 12212112, ... . Эта бесконечная последовательность не имеет делителей вида ииа, где буква а е А является первой в и. (Считая и контрпримером минимальной длины, показать, рассматривая первое вхождение слова 11 в и, что Ци) не может быть нечетной; в случае четной Ци) показать, рассматривая возможные, двухбуквенные делители слова и, что наша последовательность содержит делитель вида и'и'а', где Ци') = (1/2)1 (и)) (Морс и Хедлунд [1944]).
ГлаваГлава44 ПЕРЕГРУППИРОВКИ,
Глава
Глава
I I ФАКТОРИЗАЦИИ
И ГЛАВНАЯ ТЕОРЕМА МАК-МАГОНА
В этой последней главе мы намерены показать, что имеется целый ряд комбинаторных результатов и методов, которые объясняются фактически алгебраическими свойствами свободных полугрупп и моноидов. С этой целью мы излагаем набросок принадлежащей Фоата [1965] теории), которая не только дает доказательство Главной теоремы) Мак-Магона, но также в некоторой степени вскрывает ее таинственную природу. Выбор этой теории среди прочих объясняется тем фактом, что использованные здесь приемы представляются достаточно типичными, чтобы стимулировать другие обобщения чисто комбинаторных результатов в аналогичных направлениях.
В § 1 мы напоминаем Главную теорему Мак-Магона и показываем на нескольких примерах ее силу. Познакомившись лично с монографией Мак-Магона [1915], читатель, безусловно, лучше бы оценил этот «совершенный и быстрый способ решения различных вопросов, трудноразрешимых при иных подходах». В последующих параграфах мы изучаем моноид перегруппировок на множестве, введенный Картье и Фоата [1969], и показываем, что сущность Главной теоремы состоит в некоторых комбинаторных свойствах этого моноида. Наконец, в последних параграфах мы указываем еще одну интерпретацию Главной теоремы в терминах степенных рядов, связанных с некоторыми факторизациями свободного моноида.
Главная теорема. Приложения
Введем обозначения, которые будут использованы для формулировки Главной теоремы. Пусть В = (Ь1;) есть пХ «-матрица над полем действительных чисел, a % = col(xi, х2, ..., хя) и У = col(t/i, у2, ..., уп^ суть матрицы-столбцы, состоящие из коммутирующих переменных и связанные равенством У = ВХ.
Обозначив через
Д(Х) = diag(xb х2, ..., хл)
матрицу, на главной диагонали которой стоят Xi, Х2хп, а на остальных местах — нули, и через / — единичную пХма- трицу, рассмотрим новую матрицу
/1—ЬцХ1 —612X2 ••• —binxnI —621X1 1 — 622X2 ... —Ьгпхп
7-БА(Х) =••;
Ьп\Х1 ЬП2Х1 ... 1 Ьппхп
и степенной ряд f(xb Х2, ..., x„) = (det[/ — SA (Л)])-.
Теорема 1.1 (Мак-Магон [1915, с. 93—98]). Для любой последовательности аь аг, ..., ап неотрицательных целых чисел коэффициент при одночлене х]'х“ ... х“" в степенном ряде Цх\, хг, ..., х„) совпадает с коэффициентом при том же самом одночлене в многочлене у^у^2 • • • уапп •
Чтобы читатель освоился с этой теоремой, мы вкратце покажем, как она применяется в некоторых элементарных случаях.
Приложение 1.2. Беспорядки1) («ргоЫёше des rencontres», приписывается Монмору, около 1713 г.2)).
Пусть хь х2, ..., хп — последовательность из п различных объектов (например, карт). Скажем, что последовательность хц, xi2, ..., xtn содержит совпадение с первой, если ik = к для некоторого k, 1 ^ к ^ п. Пусть Рп обозначает число всех беспорядков, т. е. последовательностей хц, Xt2, ..., х<п, не имеющих совпадений с последовательностью хь х^ ..., хп. Если предположить, что все п\ последовательностей равновероятны, то вероятность встретить беспорядок равна л„ = Рп/п\. Простое рассуждение (Эйлер), которое мы опускаем, показывает, что Рп = = (п—1) (Р„_2 + Pn-i). Отсюда вытекает лп = ля-2/п + + (п—1)яп-\/п и поэтому л;, —л„_1 =—(1/л) (л„-1—л„_2). Вместе с равенством л2 — Л1 = 1/2 это дает лп — л„-1=(—1)п/п!,
откуда
Л„ = Л] + (л2 — Л]) + . . . + (л„ — л„_,) = £
Следовательно,"
Рп = «1 (1 ~-f[ + "2Г —"зГ +•••+(“ 1) тг)"
(Заметим, что Нт„^.ооЛ„ = 1/е.)
Еще один метод вычисления Рп основан на том наблюдении, что Рп есть в точности коэффициент при xjXj • • • хп в произведении
Р (хь х2, . . ., Х„) = (х2 + Х3 + . . . + х„) •
(-^1 + Хз + . . . + Хп) .. . (Xi + Х2 + . . . + Хп_х).
Чтобы вычислить этот коэффициент, введем элементарные симметрические функции отхь х2хп: sx=xx + х2+... + хп= = У, хх; s2 = ххх2 + ххХз + ... + Хп-хХп = У ххх2; ...; sn = = xtx2.. • • хп. Мы имеем
Р(*р х2, .... х^ = (s, - х,) (st - х2) .. . (S1-x„) =
= S? — зГ* У Xl + $"~2У Х1Х2 —...+( — 1)ПХ1Х2 . . . Хп = п-2л-3,, /1
= S1 S2 — S] S3 Т ■ ■ • Н~ ( — *) 8п*
Коэффициент при xix2 ... хп в многочлене
sT^Sk = (xt + Х2 + . . . + Хп)П~к У Х1Х2 ... Хк
равен м!/^! (сумма У, ххх2 ... х6 содержит п!/(й!(п — 6)1) членов, и каждый из них может быть (п — А)! способами дополнен до xix2 ... хп выбором недостающих букв по одной из п — к сомножителей (xi + х2 + ... хп)). Поэтому
— L к\к-2
Этот метод вычисления Рп наводит на мысль о применении теоремы 1.1 с матрицей
, 011...11.
/ 101...11 А
В=;
'111...10
тогда
1— х2 — Х3 ... — Хп.
I—Х11— Хз... — хп\
7-ВД(Х)=|••••I.
Х1 — х2 —Хз ...1'
Вычисление определителя det [/ — ВД(Х)] оставляется читателю в качестве упражнения. Он имеет вид
det [/ - ВД (X)] = 1 - s2 - 2s3 - ... - (n - l)s„.
Следовательно,
/ (хь х2, .. •, х„) = 1х7гт—,
' 1 21 — s2 — 2s3 — •.. — (я — 1) sn
и коэффициент при х“‘х22 ... х“" в разложении функции f(xb х2, •.., хп) в степенной ряд дает число перестановок последовательности х?>х“2 ... х> без совпадений (т. е. коэффициент при х“‘х22 ... х“" в
(х2 + Хз + ... + х„)а‘ (х, + х2 + •.. + х„)“2 ...
•. (xi + х2 + • • • + Xrt_i)“n),
решая тем самым задачу о беспорядках — более общую, нежели «задача о встречах».
Возвращаясь к определенным выше числам Рп, из теоремы 1.1 получим
—:X———-—= 1 -|- P\Sy *4“ P2S2 4“ . . . 4“ Рп^п 4~ • • •
1 — S2 — 2Sg — . . . — (fl — 1) Sn11 п п 1
В произведении
(1 — s2 — 2s3 — ... — (п — 1) s„) •
• (1 4~ Р^х 4- P2s2 4- ... + Pnsn 4- ...) = 1 коэффициент при xix2 ... xn = sn должен быть 0. Раскрывая скобки, выпишем слагаемые, содержащие xix2 ... хп:
Рп^пРn—2^п—2^2 2P„_3Srt_3S3. . .
... — kn — ^P\SxSn_x — kn — l)sn.
Но в Sn-kSk коэффициент при xix2 ... хп будет Q). Это дает равенство (Мак-Магон [1915, с. 103])
/ п X „ / п \/ п X
Рп — gз J ^п-3 3 ( 4 )•
/ и X
+(/2-2)p^^-l). □
Приложение 1.3. Суммы кубов биномиальных коэффициентов.
Если мы хотим найти число таких перестановок букв в последовательности х^х^х^, что никакая буква не попадает на место, которое было занято такой же буквой (задача о беспорядках с а неразличимыми объектами трех типов), то это число можно найти как коэффициент С (а) при х^х^х^ в многочлене
(Xi + х3)а Ui + х2)“ (х2 + х3)а-
По теореме 1.1 число С (а) является также коэффициентом при х^х2х2 в разложении функции
/ 1 0 1ч
f^1’ х2, х3) = det ^ _ вд (Л)] , где В = М 1 О
'О 1 1 /
Получаем
/(^1, х2, Хз) = -г гу- . , г=
(1 - X,) (1 - х2) (1 - х3) - х,х2х3
1Х,Х2Х3
(1 - *1) (1 - *г) (1 - *з)(1 - *1)2 (1 - *2)2 (1 - х3)2 +
2 2 2 Х^г^з
+ (1-х,)3(1-х2)3(1-х3)3 + • * '’
Выпишем из разложения каждой дроби лишь слагаемые, содержащие степени одночлена Х1Х2Хз:
1 + ЗДХз + (Х1Х2Х3)2 + (Х1Х2Х3)3 + . . . + Х1Х2Х3 (1 +
+ (j У X1X2*3 + ( 2 У (Х1Х2^з)2 + ( 3 )3 (^1ЗД)3 + • • • ) + + (xtx2x3)2^ 1 + ( 1 У X)X2X3 + ( 2У <ххх2х^ + + ( з ) kxxX2X^a + . . . j + . . ..
Отсюда следует, что а
cw-i+c^D'+t^a'+'-'+crr-n-zcn3- й = 0
Аналогично можно проверить, что коэффициент при х^х^х^ g многочлене (л^ — хау ^хх — х.2у ^х2 — хЛ" равен 0 в случае не-
четного а и равен 1 — ( “ У + ( " У ~ ■ ■ • + ( а У в слУчае чет" ного а. Но для многочлена (х2—хз)“(х3— Xi)a(xi — х2)а (который совпадает с предыдущим при четном а) матрицей В из Главной теоремы служит
/ 01-1\
- 101 I
\1-107
и det[7 — ВА(Х)] = 1 + xjx2 + х2х3 + x3xi = 1 -|- s2. В разложении 1/(1 -г s2) = 1 — s2 + s2 — ... + ( — l)ft s2 + ... единственным слагаемым, содержащим х^х“х^, будет ( — 1)3“/2(Х]Х2 + х2х3+ + x3xi)3a/2. В этом выражении коэффициентом придых™ дослужит ( — 1)3а/2(За/2)!/[(а/2)!]3. Положив а = 2^, окончательно получим i-C^y+CYr-.-C^ir+t^-f-')1»- Это тождество принадлежит Диксону [1890], а способ, которым Мак-Магон вывел его из своей Главной теоремы, типичен для многих других приложений, которые можно найти в его книге. □
Обращаясь к более общей задаче, вычислим коэффициент t^... «„ ПРИ х?42 • • • х™” в многочлене </“•</“* ... у“«, где yt = = ^l-ibiiXj, как в теореме 1.1. Чтобы избежать многоэтажных индексов, обозначим az через a (г). Имеем
У^ —2 bijvbijt ... bijaWXjvXjt ... XjaW
ivh/а(0
Это влечет
y^V--. у"^ У Ц/Л^’-'Ч///.^---V, /р1у “• iq4
где
9 = а(1) + а(2)+...+а(ц);
1'1 ^ is ^ ... ^ iq, и последовательность й, i2, ..., iq содержит а(1) символов 1, а (2) символов 2а(п) символов п;
суммирование У / // распространено на все воз
можные последовательности /ь /2, ..., jq, где Д= 1, 2, ..., п.
Наконец, получаем
где суммирование распространяется на все последовательности Ц, I2, •••> Ц и /ь /2jq, такие, что для q выполняется ра-
венстйо (a), h, i2, ..., iq удовлетворяют условию (b) и, кроме того, выполняется условие
(с') /ь /2, ■ • ■, jq есть произвольная последовательность, содержащая а(1) раз символ 1, а (2) раз символ 2, ..., а (/г) раз символ п.
Пара последовательностей (й, 12, ..., iq), (/ь /2, ..., jq), удовлетворяющая условиям (а), (Ь), (с'), называется перегруппировкой (rearrangement) на множестве (1, 2, ..., п) и обозначается посредством
й й 1г • • • iq\х /1 /2 • • • jq /
Для данной матрицы В существует естественное отображение р множества Qn всех перегруппировок в кольцо многочленов от переменных хь х2, ..., хп, определяемое формулой
о-4-2» ₽CG: i:::^)]-6'.',6-.'.- 6-.vw-^-
В следующем параграфе мы определим умножение на множестве Qn так, чтобы р естественно продолжалось до моноид- ного гомоморфизма. Следовательно, можно сформулировать
Предложение 1.4. Пусть R— коммутативное кольцо, а В = = 1Ьц) есть пХ п-матрица над R. Предположим, что yt = = ^i"-ibtlx. для 1=1,2, ..., п и дан степенной ряд t = *all) (2)а (я)tл л
ta (1), а (2),..., а (п)Х1^2• • • Хп , вив 1а(1),а(2)а(л) КОЭффи
циент при х^тх^№ ... x^w в У^У^ •.. y^w. Тогда t = = ^reQnP(r), где Qn обозначает моноид перегруппировок на множестве {1, 2, .... п}, а р определено формулой (1.4.2).
Доказательство вытекает непосредственно из формул (1.4.1) и (1.4.2). □
Потоки и перегруппировки. Свободные частично коммутативные моноиды
Всюду далее мы будем считать множество А конечным, хотя все понятия и результаты можно без труда распространить на произвольные множества. Конечность А предполагается только с целью упростить изложение.
Определение 2.1. Поток *) f на множестве А — это отображение f; А-*А*. Множество всех потоков на А, снабженное опе-
рацией •,определяемой формулой
(f-H (я) —/(°)Г(°) Для любого а г А, является моноидом, который обозначается посредством F(A'). Как обычно, символы /(да) и </о(да) обозначают длину и соответственно степень слова да относительно а. Поток f на А, такой, что
Af(ti))=E daf (х) для любого аг А, хе А
называется перегруппировкой на А. Множество всех перегруппировок на А обозначается через (?(Л). В случае, когда А содержит п элементов, мы обозначаем К (Л) и Р(Л) через Fn и Q„ соответственно.
Если f, f'—перегруппировки на А, то
I or («»=I и м г («))=I о (й))+1 о' («)) = £ dj (х)+ хеА
+ X dar to =LdJ to Г W] = E da Of' tof.
xeAieAxeA
Учитывая, что поток 1 (определяемый равенством 1(а)= 1 для любого а) есть перегруппировка, мы видим, что Q^) является подмоноидом в F^A). Удобный способ представления потока на А состоит в следующем: предполагая, что А линейно упорядочено, запишем в строку буквы из Л в возрастающем порядке, повторяя Z(f(a)) раз каждую букву а, а под каждым блоком повторяемых букв а запишем слово /(й). Таким образом, запись
/ 1 1 1 2 3 3 4
к 2 1 3 3 1 1 7
представляет поток f на А, определяемый условиями f(l) = = 213, fto = 3, f(3)= 11 и ((/)—пустое слово для / > 3. Умножение потоков выполняется так, как в следующих примерах:
/ 1112334 /112 24 44
121331 17\1 35 42 4/ =
_ Л111122233 4 44/344 /14 _/1344
— U131335411 2 4 / :I 12 Д 4U12 J '
Перегруппировка, как показывает само название, есть поток, у которого вторая строка является перестановкой первой строки (перестановкой, вообще говоря, повторяющихся объектов), как, например,
( 1 1 1 2 3 3 4
к 3 1 1 3 1 2 7 '
Замечания 2.2. (а) Потоки (&), определяемые формулами
(»)*-{(»)*-{Ь,если х = а,
(»)*-{
(»)*-{
пустому слову, если х =Д= а.
являются образующими для ДЛ). Далее,
(б)(б')~(б')(б)’ если И только если а ^^ ли®° а = й' и b = Ь'.
Мы покажем, что
р=^-агА' Ь^А' (0(у)=(^)(0 для всеха> а' г Л, а =# а'^ есть копредставление для Е(Л).
/(Л) и Q^)—моноиды с сокращением, т. е. f = g, если f/г = gh или /г/ — hg.
Определение умножения в Q(Л) показывает, что отображение р, определяемое формулой (1.4.2), действительно является гомоморфизмом.
Область потока / определяется как dom/={a еЛ: /(a) =/=1}; поток f мы называем потоком, без повторений, если для любого аеА длина слова f(a) не превосходит 1.
Предложение 2.3. Любой поток f, f #=1, на множестве Л можно однозначно записать в виде произведения f — f if2 • • • fm, где fi, f2, • • •, fm — потоки без повторений, такие, что dom fx а а dom f2 а ... а dom fm. Например,
/ 1 1 1 2 3 3 X/ 1 2 3 X / 1 3\ / 1 X
\ 2 1 3 3 1 1 /I 2 3 1 Д 1 1) \3 ) ‘
Доказательство. Пусть m = тахи ем/Ща)), и пусть Dx = = {аеЛ: Z(f(a))^l}, D2=VaeA-. l(f(a))^ 2}, ..., Dm = = {аеЛ: /(f(a)) = m). Определим для любого t, 1 ^ i ^ m, ПОТОК fi, положив
(i-я буква слова f (а), если аеди1 а thесли а ^ D{.
По определению каждый fi есть поток без повторений, и равенства fi(a)f2(a) ... fm(a) = f(a) для всех аеА дают f = = /1/2 • •• fm. Так как Dt• = domft, включения между последовательными областями вытекают из соотношений D\ а D2 а ... ... а Dm. Заметим, что если f = gxg2 ••• gi для потоков без повторений, таких, что dom gx а dom g2 а ... adomgz, то для любого аеА буква g^a) есть первая буква слова f(a), gzfa) — его вторая буква и т. д. Отсюда следует, что 1 = пг и g\ = fx, g2 = h, • • • , gm = fm. □
Если f — перегруппировка, то указанное выше разложение не является, вообще говоря, произведением перегруппировок. Тем не менее мы изучим разложения f вида fif2 ... fm, где каждый поток fi является перегруппировкой без повторений.
Пусть n(f)— подстановка на А, определяемая перегруппировкой f без повторений; например,
есть цикл (1,2, 3,4) на А. Если даны две перегруппировки без повторений fi и f2, то мы скажем, что fi поглощает f2, если для любого а е dom f2 существует целое число 6^0, такое, что л6(/г) (а)е dom fi. Например,
А = (4 *) поглощает ?2=(з f ®)
(так как повторное применение л(/2) к 1, 2 или 3 дает 1, принадлежащую dom fi), но fi не поглощает fs—^g 2)-
Предложение 2.4. Любую перегруппировку f, f #= 1, на множестве А можно однозначно записать в виде произведения f = = fif2 •fm, где fi, f2, ..., fm— перегруппировки без повторений, такие, что поглощает f2, f2 поглощает fg, ..., fm_x поглощает fm.
Доказательство. Мы установим существование требуемого разложения индукцией по п= ^аеА1^ка^ (числу столбцов в использованном выше представлении f). Если п= 1, то f неразложима, т. е. f = fi. Допустим, что « > 1 и что любая перегруппировка g, такая, что "^ а G ^ kg к°Д < п> имеет разложение, указанное в предложении. Определим ф: dom f dom f, положив ф(а) равным первой букве слова f(a) (для любой ае edomf). Заметим, что условия ае domf и 6 = ф(а) дают Ш W) = 2 х е A dbfM > 1 (потому что dbf(а) > 1); следовательно, b е dom f, т. е. ф действительно отображает domf в себя. Конечность области domf влечет ф^(dom f) — ф1^1 (dom f) для некоторого целого 6^0. Положим ф6^от^ = А1 и определим перегруппировку fi формулой
„ ( ф(а), если ае А.;^(а)=={ 1, если а £ Ах.
Поскольку ф индуцирует подстановку на Ai =ф6^от f), fi — перегруппировка без повторений. Далее, f = fig, так как fi отображает любую букву а е Ах на первую букву слова f(a) (g— перегруппировка, отображающая любую а е А\А[ на f(a), а любую аеАх — на слово, получаемое из f(a) удалением первой буквы). Согласно предположению индукции, g — f2fg ■ ■■ ... fm и для 2 ^ i < пт перегруппировка без повторений А поглощает fi+1. Если а е dom f2 П dom fb то л° (f2) (а) = а е dom fi. Далее, заметим, что для любого х е dom f2\dom fi будет
n(f2) W = ф(х) (в силу определения ф и того факта, что f2 без повторений). Поэтому в случае, когда a г dom f2\dom fb имеем n‘(f2) (а) = ф‘(а) Для всех целых i, таких, что ф'(а)^ domfb Если m (не превосходящее числа к, определенного выше) — наибольшее целое i, такое, что ф‘-1 (а)^ dom fb то л"1-1 (f2) (й) = = Фт-1(а). Следовательно, nm(f2) (а) = cpm(a) е dom fi, т. е. fa поглощает f2. Чтобы доказать единственность разложения, допустим, что f = gig2 ... gn, где gi-x поглощает gt для t = = 2, 3, .. , п. Для любого х е dom g,\ (dom gi [J dom g2 U ... U dom gi-i) мы имеем ф(х) = n(g,) (х). Но п6(^)(х)е е dom gt_v для некоторого целого к. Следовательно, если m— наименьшее целое число, такое, что лт(^) (х) s dom gi (J ... ... U dom §■,_], то фт~‘ (х) = л"1-1 (gt) (х) и этот элемент лежит в dom g,\ (dom gy (J ... U dom g^). Поэтому фт (x) = лт (gt) (x). Индукция no i показывает тогда, что для любого х е е U?=i dom gi= dom f существует такое г ^ 0, что фг(х)е Edomgb Если $ обозначает максимальное из этих значений г, когда х пробегает dom f, то ф5 (х)е dom ^, для всех XEdomf. В частности, если х е Л1 = dom fi, то х = tp(xi) = ... =ф5(х5)е Edomgi, т. е. dom f, е dom gx. С другой стороны, ф(х) = = л(^1)(х) для всякого xEdomgj. Поэтому. domgi = = фm(domgl)G фm(dom f) для любого т ^ 0. Отсюда следует, что domgi г Л1 = domfi и, значит, domfi = domgi. Равенство ф(х)= n(gi) (х) для любого х е dom gx = dom f, показывает, что fa=gi. В силу замечания 2.2(b), f2 ... fm = g2 ... gn. Индукция по EasдИf(a)) Дает т = п и f2 = g2fm — gm. □
Пример. Пусть
f — Г 1 12223344 5\
'-\ 3 5 4 2 4 1 2 2 1 ЗГ
Первая часть доказательства дает алгоритм разложения: ф отображает 1, 2, 3, 4, 5 на 3, 4, 1, 2, 3 соответственно. Получаем Ах = {1, 2, 3, 4} и
f— f 1 23 4 \ / 1 22345 \
'— 1з 41 2) к 5 24213 J
и т. д. Окончательный результат:
f/ 1 2 34 \ / 2 X / 12345\
'к3 4 12Д2Д54213/1'
Заметим, что перегруппировки без повторений не обязательно неразложимы; например,
/ 1 2 3 4 \/13Х/2 4Х
U 4 1 2 Л к 3 1 ) к 4 2 ) "
В действительности любая подстановка разлагается в произведение дизъюнктных циклов, и это разложение индуцирует раз-
ложение соответствующих перегруппировок в произведение циклических перегруппировок.
Определение 2.5. Перегруппировка f на множестве А называется циклической, если domf = (йь а»а*} = Л и
ЦаА = а1+г для i=l, 2, ..., 6 — 1,
Следствие 2.6. Пусть f = fifa ... fm — единственное разложение перегруппировки f ^ 1 в произведение перегруппировок без повторений, где /, поглощает ft+i для любого 1=1, 2, ... ..., m— 1. Тогда каждая fi может быть записана в виде произведения Ct.xCi.i ... Ci,ki дизъюнктных циклических перегруппировок, таких, что
cifjCi,k = Ci.feCi.j для любых j, к (1 ^ j, к^кг);
для каждой перегруппировки ci+i,m (1^т^6г+1) найдется индекс j, 1 ^ / ^ к[, при котором либо щ, / = c(+i, ,п, либо Ci, jCi+\, m ’^ Cz+l, mCi, j.
Доказательство, (а) следует из того факта, что две циклические перегруппировки коммутируют тогда и только тогда, когда они совпадают либо имеют дизъюнктные области. Так как fi поглощает fi+b область любой с/+1, m (1 ^ m ^ 6;+i) имеет хотя бы одну общую букву с областью некоторой щ, j. Следовательно, либо Ci+i, щ — а,;, либо ci, j и с/+1, m не коммутируют. □
Можно также заметить, что циклические перегруппировки неразложимы (в произведения перегруппировок). Поэтому моноид Q(A) порождается циклическими перегруппировками, подчиняющимися соотношениям с-с' = с'-с для любых с, с', таких, что dom с П dom с' = 0. Аналогия с моноидом А (А) полная (см. замечание 2.2(a)).
Определение 2.7. Пусть А — множество и С £ А X А. Обозначим посредством FfA; С) моноид, заданный копредставлением F(A;C) = <A; ab = Ьа для любой пары (а, 6)еС>. Он называется свободным частично коммутативным моноидом на множестве А.
Заметим, что бинарное отношение С на А можно без ограничения общности считать симметричным и иррефлексивным.
Предложение 2.8. Пусть F(A\ С) — свободный частично коммутативный моноид на множестве А. Любой элемент w е е F(A; С), w=#l, имеет единственное разложение w = w\Wi ... ... wm, такое, что
для любого 1, 1 ^ i ^ т, слово wi-Д 1 имеет степень 1 относительно каждой своей буквы, и любые две буквы из W; коммутируют-,
для любого i, 1 ^ t ^ m— 1, каждая буква из wi+x либо совпадает с некоторой буквой из wi, либо не коммутирует с некоторой буквой из Wj.
Доказательство. Чтобы доказать существование разложения, мы проведем индукцию по длине слова w (в Л*). Если /(®) = 1, то w = а для некоторой буквы аеА и мы возьмем W\=a. Предположим, что любое слово длины <_ l(w^ имеет разложение, удовлетворяющее условиям (а) и (Ь) предложения 2.8, и пусть w = w'a, где а — последняя буква в w. Согласно предположению индукции w'= W\W2 ... Wk, где слова w, (l^i^k) удовлетворяют условиям (а) и (Ь) предложения. Если а совпадает или не коммутирует с некоторой буквой из Wk, мы возьмем Wk+i = а и получим разложение w = W\W2 ... WkWk+i, удовлетворяющее условиям (а) и (Ь) предложения. В противном случае а коммутирует со всеми буквами из Wk, но не содержится в Wk. Тогда
w = W\W2 ... Wk-i^aWk) = ^wiW2 ... Wk-\a^Wk.
Если а встречается в Wk-\ или не коммутирует с некоторой буквой из Wk-i, то требуемое разложение слова w есть wxw2 ... ... Wk-\AaWkY Если а не встречается в Wk-\, но коммутирует со всеми буквами из Wk-i, запишем w = (wiw2 ... awk-i)wk и повторим процесс. Пусть i— наименьшее целое число, такое, что а коммутирует с любой буквой из wt, w^, w,+2, ..., Wk и не встречается ни в одном из этих слов. Тогда w=(wiw2 ... ... Wia)wt+\ ... Wk, и либо а встречается в ку/—i, либо не коммутирует с некоторой буквой из w;-\. Мы утверждаем, что w = = wvw2 ... Wi-\(wia)wt+i ...Wk есть требуемое разложение слова w. Любая буква из w,+i либо совпадает с некоторой буквой из wi (а значит, из пущ), либо не коммутирует с некоторой буквой из Wi (а значит, из Wiay Далее, либо а встречается в w,-i, либо не коммутирует с некоторой буквой из wt_\. Это доказывает наше утверждение. Запись любого элемента из F^A; С) вида WiW2 ... wm, где все Wi удовлетворяют условиям (а) и (Ь) предложения, называется канонической формой. Множество всех канонических форм вместе с 1 обозначим через Г. Определим действие q; Г X Л Г множества Л на Г формулой
q((wiw2 ... wmY a)=wiw2 ... (wia)wi+i ... wm, где i — наименьшее целое число, для которого а коммутирует с любой буквой из слов Wi, Wi+i, Wi+2, . ., wm и не встречается ни в одном из этих слов. Продолжим q обычным способом до отображения q\ ГХЛ*-*Г (см. гл. 6, § 1), определив тем самым структуру Л*-автомата на Г. Мы даже можем определить на Г структуру F^A; С)-автомата при условии, что действие А* на Г устойчиво относительно конгруэнции р на Л*, порожденной
отношением С, т. е. если wpw' влечет
уЦфхаи2 ... wmYw^=q^wxw2 ... wm),w')
для любой формы wxw2 ... wmeV. Для проверки того, что это и в самом деле выполняется, достаточно убедиться в справедливости равенств q^wxw2.. .wm\ ab^ = qt^xw^.. .Wm^ba^ для произвольной пары (а,6)еС. Эта проверка использует лишь формулу (2.8.1), и ее детали оставляются читателю.
Для доказательства единственности разложения мы покажем, пр'именяя индукцию по т, что если w = wxw2 ... wm, где да #= 1, да1да2 ... дат е Г, то <7(1, да) = да]да2 ... Wm. Случай т = 1 очевиден, поскольку все буквы из Wi различны и коммутируют. При т > 1 мы имеем ^(1, wxw2 ... wm-x)=wxW2 ... ... Wm-i, согласно предположению индукции. Следовательно,
^(1, да,да2 ... дат-1дат) = q(wxw2 ... wm_x, wm) =
= wxw2 ... wm_xwm\
последнее равенство получается применением должного числа раз формулы (2.8.1) к буквам из wm. □
Следствие 2.9. (а) Моноид Р(Л) всех потоков на множестве Л изоморфен свободному частично коммутативному моноиду ({(;): а, бел}; ( ?) ( ^ ) = ( ^ ) ( Ь ) для всех
а, а', Ь, Ь' е Л, где а=^ а'^.
Пусть Z— множество всех циклических перегруппировок на множестве А. Моноид Q(Л) всех перегруппировок на Л изоморфен свободному частично коммутативному моноиду (Z; ff' = = f7 для всех f, f' е Z, таких, что dom f П dom f' = 0>.
Доказательство. Мы установим только (Ь); доказательство утверждения (а) аналогично. Положив С — ^f, j'^e^ZXZ-. f ^= f' и dom f f| dom f' = 0}, зададим отображение ф: F(Z; С)->- ->-Q(Л), взяв ф(/) = / для любого feZ и продолжив ф до мо- ноидного гомоморфизма из F(Z; С) в 9(Л). Это можно сделать, определив ф(да)=^2 ... fm, где fxf2 ... fm — единственное разложение слова weF(Z; С), обеспечиваемое предложением 2.8. Замечая, что свойства (а) и (Ь) из предложения 2.8 для циклических перегруппировок, встречающихся в каждой fx, равносильны тому, что f; поглощает- fi+x для i=l, 2, ..., m—1, и применяя предложение 2.4, убеждаемся, что ф — изоморфизм. □
Свойства 2.10. Пусть ^(Л; С)— свободный частично коммутативный моноид на множестве А. Тогда
{^ F(A; С) — моноид с сокращением]
для любого we.F^A; C)(w^l) существует лишь конечное число последовательностей Ui, V2, ..., Ут (vt е РИ; с), Щ #= 1), таких, ЧТО W = V1V2 • • • Ут",
пусть W\Wi ... wm и и— канонические формы элементов из F^A; С) (т. е. удовлетворяют условиям (а) и (Ь) предложения 2.8); тогда wi®2 wm—uz для некоторого zeF^A; С), если и только если каждая буква из и встречается в w\.
Доказательство, (а) Для любой буквы пеА и любых канонических форм wxw2 ... wm, w'xw'2 .. • w'n равенство ^wxw2 ... ... wm)a = (®|W2 • • • су^)оесть в то же время равенство между каноническими формами wxw2 ... (су .а) ... wm и w\w2 ... (суд)... ... w'n, где I (соответственно j)—наименьшее целое число, такое, что а коммутирует с любой буквой из wi, су,-+1, ..., Wm (соответственно w'P w'j+x, ..., су') и не встречается ни в одном из этих слов. Предложение 2.8 дает m = п, I — j, wx = w'x, ..., 2.’Д = судwm = w'm. В силу утверждения (а) предложения 2.8, wxa = w'ta влечет wx = су'. и, следовательно, wxw2 ... wm = = судз ... су\. Индуктивное рассуждение по числу букв слова z е F(A; С) показывает, что wxw2 ... wmz = w'xw2 ... w'^z влечет wxw2 ... wm = w'xw2 ... w'n. Чтобы доказать для моноида Е(Л; С) сократимость слева, мы просто заметим, что справедлив двойственный аналог предложения 2.8 (получаемый заменой условия (Ь) условием (Ь'): для любого I, l^z^m— 1, каждая буква из Wi либо совпадает с некоторой буквой из сУ(+1, либо не коммутирует с некоторой буквой из су(+1). Используя алгоритм двойственного разложения, мы, как и выше, убеждаемся в левой сократимости F(A; С).
Тот факт, что любое слово weF^A; С), су^=1, имеет лишь конечное число разложений, обусловлен возможностью определения длины элемента из /7(Л;С), причем в качестве таковой можно взять длину /(су) слова су в А*. Длина вполне определена, поскольку ЦаЬ) = ЦЬа) для любой пары (а, 6)е С. Далее, имеется лишь конечное число элементов veFIA; С), таких, что Ци)^ /(су), и, значит, лишь конечное число разложений СУ = У1У2 . . . Ущ.
Для любого we.F^A; С) определим Х(су) как множество букв, встречающихся в первом множителе канонического разложения су. Для любой буквы а е А и произвольного разложения СУ11У2 ... wm элемент су t ЕУг • • • wma допускает разложение вида СУ11У2 ... (су,а) ... wm. Следовательно, Л(су)е K(wa) для любых weF^A; С), агА; индукция по числу букв в г показывает, что Z (су) s Z (шг) для всех су, z е F(A; С). Если WlW2 ... Wtn = UZ, ТО ^(и) С X (uz)~ X^WxW2 ... Wm) = Х(сУ[).
Обратно, если Х(и)еХ(1У1), то tyv = uw\ для некоторого ty, е е F (Л; С) и wtw2 ... wm = uz, где z = w\w2 ... wm. Этим завершается доказательство утверждения (с). □
Функция Мёбиуса и доказательство Главной теоремы
Определение 3.1. Моноид М называется моноидом с конечными разложениями, если для любого х е М существует лишь конечное число последовательностей уь у2, ..., у™, yi^ 1, таких, что х = у\у2 ... ут. Любая такая последовательность называется разложением элемента х.
Если М имеет конечные разложения, то 1 = ab влечет а = 1 и 6 = 1, ибо в противном случае было бы 1 =(«&)" для всех п е N, что противоречит конечности числа разложений. Мы примем соглашение, считая, что 1 имеет единственное разложение, отвечающее пустой последовательности, и для любого хеМ обозначим через 6(х) число разложений элемента х. Далее, число таких разложений с четным (соответственно нечетным) числом членов обозначим через бо(х) (соответственно бДх)). Функция Мёбиуса у. на М определяется равенством ц(х) = = б0(х)—бДх) для любого хеМ.
Для моноида М с конечными разложениями множество всех функций ф: М Z можно превратить в кольцо Z [ [М] ], положив для любого хеМ
(ф + ф) (х) = ф (х) + ф (х),(Ф.ф)(х)=£ф(у)Ф(г),
(у. г) = Д (х)
гдеА (х) = {(у, z) е М X М: yz = х}.
Заметим, что в случае М = А* это кольцо является просто кольцом Z[[A]] степенных рядов от некоммутирующих переменных А. Основным свойством функции Мёбиуса ц служит
Свойство 3.2. Пусть р — функция Мёбиуса на моноиде М с конечными разложениями. Определим у: М -> Z, положив -Дх) — 1 для любого хеМ. Функции и и у суть взаимно обратные элементы в кольце Z [ [М] ] всех функций из М в Z.
Доказательство. Единицей кольца Z[[А1]] является функция е, определяемая равенствами е(1) = 1 и е(х) = 0 для всех х из М, x^l. Легко проверить, что убо = боу = б и уб] = 6iy = = б — е. Проверим, например, что уб] = б— е. Имеем y6i(l) = = y(l)6i(l)= 1-0 = 0 = 6(1)— е(1), а для х=£ 1
у6Дх) = X Y (У) di (z) = 6, (х) +£ У (У) di (г).
(у,г)еД(х)(у, г)еД(х)
V * 1
Следовательно, ,y6i(x) = 61 (х) +б0(х) = б(х) = б(х)— е(х), откуда уб1=6— е. Доказательства равенств 6iy = 6— 8 и убо = = боу = б аналогичны. Отсюда вытекает
уЦ = у(б0 — 61) = уб0 — уб1 =8 И цу = (бо — б1)у = 8. □
Прямым следствием свойства 3.2 является равносильность следующих условий (3.2.1) и (3.2.2):
У, ф(з) = ф(х) для любого хеМ
(У. 2) е А (х)
(что равносильно равенству уф = ф);
2 Ц (//) Ф (2) = Ф W Для любого х е yVI
(У. 1)еА(х)
(что равносильно равенству цф = ф).
Они известны как формулы обращения Мёбиуса. В случае когда М есть моноид N (относительно умножения), формулы (3.2.1) и (3.2.2) записываются соответственно как
Уф^-Ф^),
dpi
У Ц № ф Wd) == ф (/г).
d\n
Предложение 3.3. Пусть F(A\ С)—свободный частично коммутативный моноид на множестве А. Функция Мёбиуса на F(A\ С) дается формулой ц(щ) = (—1),(а,>, если w имеет степень 1 относительно каждой своей буквы, и ц(щ) = 0 в противном случае ’).
Доказательство. Мы просто проверим, что цу = 8. То, что ц—функция Мёбиуса, будет следовать тогда из свойства 3.2 (учитывая единственность обратного элемента). Для любого weF(A; С) имеем (цу) (щ) = У („0)е Д(И))ц (и) у (v). В случае w = 1 в Д(1) будет лишь пара (1, 1), откуда (цу) (1)= 1. В случае щ =/= 1, записывая w = wvW2 ... wm (разложение, указанное в предложении 2.8), ненулевые слагаемые в сумме мы получим из разложений Wi^2 ... wm = uv, где и — канонический элемент из F(A; С) либо и = 1. По свойству 2.10(c) все кандидаты на роль и суть различные элементы, получаемые как произведения букв из шь Используя обозначение X, введенное при доказательстве свойства 2.10(c), мы получим py(ty) =
2х(ы)гх(а>,)^ — ^г(“>• Предполагая, что l(wi) = п, можно обра-
зовать (") различных элементов и из г букв слова w\. Поэтому
п
ру(^)= ^ ( — 1)г ( " ) = (1 — 1)" = 0.г-0
Следовательно, цу = е, откуда и вытекает наш результат. □
Приложение 3.4. Для моноида Q(A) перегруппировок на множестве А функция Мёбиуса не обращается в нуль только на перегруппировках без повторений. Такая перегруппировка f может быть записана в виде произведения дизъюнктных циклических перегруппировок, скажем f — CiC2 ... сг, и тогда p(f) = = (—1)г. Чтобы связать это значение ц(/) непосредственно с f, мы используем знак подстановки л(/). Знак цикла л (с,) есть sgn п (cz) = ( — 1)1 domc^+1,
где |domc| обозначает мощность области dome. Далее,EL, ldom ^ l+r
Sgnn(f) —(— 1)= ( — l)ldom f I ( — l)r =
= (- 1)1 domfl^^
н(Л =н(Л =( — l)idom fI sgn л (f), если f — перегруппировка без повторений,
н(Л =
н(Л =
Ов противном случае.
Возвращаясь к доказательству теоремы 1.1, напомним (предложение 1.4), что коэффициент одночлена х^'Д^*2’ ... х“("' в yaWya.(2> ,.. yaw совпадает с соответствующим коэффициентом степенного ряда t = Xf^Q„ Р (f)> гДе
4G', i2)l=6''''6v-6v.v'.
Вычислим многочлен d = det [/ — ВА(Х)] следующим образом. Напомним, что для п X «-матрицы U = («</)
dett7 = 2 Sgn aUi,a(l)U2,a(2) ... «п,а(п).
В случае U = /— Р, где Р = (р//), используя символ Кронекера {1, если i — j,
О, если i =/= j, получим
det (Z — Р) = Е sgn аП(д<,а(>) —/Д op)).
Эту сумму можно вычислить, рассматривая последовательно подстановки множества {1, 2, ..., /г}, которые являются перестановками подмножеств Л^е{1, 2, ..., /г}, действуя тождественно на дополнениях к К. Для произвольного подмножества К, содержащего г элементов (r= 1, 2, ..., л), это означает, что в произведении п
П(<ка (1) — Pt. о(и)
нужно выбрать г элементов pt.au) из сомножителей (6t, 0(t) — — Pi.aU)), где i^K, и п — г элементов 6i,au) из сомножителей (6i,aU) ~ Pi.auxY где i 9= К; мы получим результат в виде ( — 1)гП«^кРг.а(О- Таким образом,
det (7 — Р)=£ У ^ (— l)rsgna П Pi.auvr-0 IKRr ae^(K)i еК
Если Pii = btlXj, то Ute к pt, а и) ~ Р (f), где / — перегруппировка без повторений, для которой л(/)=ст. Далее, (—l)rsgna = = р(/). Поэтому, принимая во внимание тот факт, что р(/) = 0 для перегруппировок / с повторениями, мы окончательно получаем d = det [/ - SA (X)] = 2 f s Qn у (f) p (f), и
dt=( X p(f)P(f)V Z Р(/Л= X n(f)P(fn =
= z p&)( 5 p(m.
Но для любой g e Qn мы имеем Z(f. fie A(g»e(/') = у (g), где e — единица кольца Z [[QnJ] a у— постоянная функция co значением 1. Применяя формулы обращения Мёбиуса (3.2.1), (3.2.2), получаем
Z P(hN (f') = в (g)
U f')eA(g) или
у ^ (^_ Г 1» если g —единица в Q„, if,foeA(g) [о в противном случае.
Поэтому dt=\, и доказательство теоремы 1.1 закончено. □
Замечание 3.5. В теореме 1.1 предполагалось, что В — матрица над полем R. Однако теорема остается справедливой для произвольного кольца R, даже некоммутативного, — при условии, что элементы матрицы В удовлетворяют равенствам
bijbi'k = bi'kbij при i=#i' (см. определение (1.4.2) отображения Р). Для некоммутативных колец формула (3.4.1), дающая det U, используется в качестве определения.
Краткий обзор элементарной теории алгебр Ли
Многие основные свойства факторизаций свободных моноидов, изучаемые в § 5, тесно связаны со свободными алгебрами Ли. В этом параграфе мы излагаем, часто без полных доказательств, результаты из теории алгебр Ли, необходимые для § 5. За дальнейшими деталями и разъяснениями мы отсылаем читателя к книге Джекобсона [1962] или Бурбаки [1971/72]').
Определение 4.1. Пусть R— коммутативное кольцо с единицей. Алгеброй Ли L над R называется Тфмодуль (т. е. абелева группа с внешним умножением на элементы из R) с операцией [, ]: L X L -> L, которая билинейна (т. е. [ах -ф ^у, г] = = а[х, г] + Р[</, z] и [х, ау -ф Рг] = а [х, у] + Р [х, z] для любых а, р е R, х, у, 2 е L) и удовлетворяет тождествам
[х, х] = 0 для всех xeL,
[[х, у], г] + [[у, г], х] + [[г, х], у] = 0 для всех х, у, zeL.
Ассоциативная алгебра А над R определяется как Тфмодуль с операцией •, которая билинейна и удовлетворяет тождеству х- (у-г) = (х-у) -2 для всех х, у, 2. Любая ассоциативная алгебра А может быть наделена структурой алгебры Ли с помощью определения [х, у] = ху— ух. Как обычно, лиев гомоморфизм ф: ДЬг двух алгебр Ли над R определяется как Уфлинейное отображение, такое, что ф([х, у]1) = [ф(х), ф(у)]2 для любых х, у е L\ ([,]i и [,]г — операции в L\ и Ьг соответственно). Лиев гомоморфизм ф: L-t-А алгебры Ли L над R в ассоциативную алгебру А над R есть такое /Флинейное отображение, что ф([х, у])= Ф МоДу)—фЦЛчЛх) Для любых х, у е L. Всюду ниже мы предполагаем, что все ассоциативные алгебры имеют мультипликативную единицу 1, сохраняемую при гомоморфизмах.
Предложение 4.2. Для любой алгебры Ли L над R существуют единственная (с точностью до изоморфизма) ассоциативная алгебра A(L) над R и единственный лиев гомоморфизм X: L-A(L), такие, что для любой ассоциативной алгебры В и любого лиева гомоморфизма о: L-^B диаграмма (4.2.1) может быть единственным образом дополнена гомоморфизмом
алгебр ф, таким, что ф о X = а.
(4.2.1)
Набросок доказательства. Положим Л (А) = T(L)/J, где Т (L) = R ф L ф (Л ® Л) ф (L ® L ® L) ф ... — тензорная алгебра /^-модуля L, a J — идеал в T^L), порожденный всеми элементами вида [х, у]— x^iy-Vg^x, где х, у е L. Гомоморфизм X: Г -> Л (Л) получается как композиция канонического вложения L->T(L^ и факторгомоморфизма 7'(Л)-*Л(Л)= Т'(Л)//. Мы опустим детали, напомнив лишь, что умножение в ЦЬ) определяется формулой
(Хх ® х2 ® ... ® х^ • (yi ® у2 ® ... ® у„) =
= х, ® ... ® хт ® Ух ® ... ® уп
для Xi, у, е L, 1 ^ i ^ т, 1 ^ j ^ п, и по свойству билинейности продолжается на всю алгебру 7(Л). □
Построенный гомоморфизм X условимся называть каноническим. Ассоциативная алгебра Л (А) называется универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли L.
Теорема 4.3 (Пуанкаре — Биркгоф — Витт). Пусть L— алгебра Ли над кольцом R, а X: А-*Л(А)—канонический гомоморфизм в ее универсальную обертывающую алгебру A(L). Если L является свободным R-модулем с базисом (lr. 1е^, причем I линейно упорядочено некоторым отношением ^, то Л (А) является свободным R-модулем с базисом {X (//J X (/<2) ... ... X (/;„): 7 < /2 < ... < 1п, яе N). В частности, X есть вложение L в A(L) и Х(А) есть подмодуль в A(L), порожденный множеством (Х(/,): i е /}.
Доказательство см., например, у Серра [1965]. В случае когда R — поле, произвольная алгебра Ли L над R является свободным /?-модулем, и X вкладывает L в А (Д'). □
Лемма 4.4. Пусть L\, L2— алгебры Ли над кольцом R и L = LxX Е2 — их произведение как алгебр Ли. Тогда алгебра АД) изоморфна тензорному произведению алгебр АД\)® ®АД2\ * R
Доказательство. Напомним, что умножение • в Л (AJ ® A(L,)
R определяется посредством формулы (Х[ ® х2) • (Ух ® у2) = ххУх ®
7s 13 Зак. 474
®х2у2 Для любых х\, у\ ^A^LxV хг, у2еА(А2).
(4-4.1)(4-4.1)ц-^-^дар m2)*-^-l2
(4-4.1)
(4-4.1)
*1»t\ /фг1г
Диаграмма (4.4.1) (где i\ и /2 —вложения Lv и Lz в L = = Ai X L^ может быть дополнена двумя гомоморфизмами алгебр ф1, ф2 (предложение 4.2). Несложная проверка показывает, что Ф1 (хД-ф2(х2) = ф2(х2)-ф! (хД для любых XieA(Ai), х2еА(А2). В силу свойства универсальности тензорного произведения алгебр существует гомоморфизм ф: А (АД ® A (А2) ->
R
-+A(L). Отображение ст: L-> A (L^ ® A^L2) определяемое ра- R
венством ст(хь х2) = А; (хД® 1 Д- 1 ®Х2(х2), есть лиев гомоморфизм. Согласно предложению 4.2 существует единственный гомоморфизм т: А(А)-> А(АД® А(А2), такой, что т°Х = а.
Проверка, которую мы опускаем, показывает, что отображения Ф°т и т°ф тождественны на A (А) и А (АД ® А (А2) соответ-
ственно. Следовательно, А (А) и A(LV) ® А(Ц) изоморфны. □ R
Теорема 4.5 (Фридрихе [1953], Линдон [1955]). Пусть L— алгебра Ли над полем. F и X; L-*A(L)— канонический гомоморфизм. Тогда
существует единственный гомоморфизм алгебр А: А^Ц-*
A(L)® A(L), такой, что А(Х(х)) = Х(х)® 1 Д- 1 ®Х(х) для любого хеL\
если F имеет характеристику 0, то
{у ^ A (L): А (у) = у ® 1 Д- 1 ® у} = х (А).
Доказательство, (а) Пусть б: А-*АХА — диагональное отображение, т. е. б(х) = (х, х) для любого хгЬ. Если ст: LXL-* -*- А (А) ® А (А) определяется формулой ст(х, у) = Х(х)<8> 1 Д-’ Д- 1 ® Х(у) (см. доказательство леммы 4.4), то следующую диаграмму
L ^-*А(В
I
6 !д
LxL -2-*-АМ®А(В
можно единственным образом дополнить до коммутативной гомоморфизмом алгебр А: А (А)-> А (А)® А (А) (предложение 4.2).
Для любого х е Л мы имеем ст(х, х) = А(Х(х)) или, равносильно, А(Х(х)) = Цх)® 1 + 1 ®Х(х).
Из (а) вытекает Х(Л) s {у е A (L): А(г/) = у®1ф- ф- 1 ® у). Обратное включение мы докажем лишь в том частном случае, когда L — алгебра Ли, в которой [х, у] = 0 для любых х, yeL. (Заметим, что произвольный /^-модуль М можно превратить в алгебру Ли, положив [х, у\ = 0; соответствующая универсальная обертывающая алгебра Д(М) называется симметрической алгеброй модуля М.) Пусть (/;)(е/— базис в L над F. Тогда A(L) изоморфна кольцу многочленов над F, К[Хф (i е /), от коммутирующих переменных Xi, взаимно однозначно соответствующих базисным элементам Д Чтобы увидеть это, достаточно проверить, что Ф[Х(] обладает универсальным свойством алгебры A(L), сформулированным в предложении 4.2, а это почти очевидно. Кроме того, алгебра F [XJ ® F [XJ изо-
F
морфна кольцу многочленов F[X,®1, 1 ® XJ, i е/, и для любого многочлена р е ^[Х;] мы имеем ^(р) = р(Х.® 1 ф- 1 ® X,). Поэтому равенство А(р) = р ® 1 ф- 1 ® р равносильно равенству р (Xi ® 1 ф- 1 ® Xj) = р (Xi ® 1) ф- р (1 ® Xi). Поскольку Xi ® 1 и 1 <8>Xi можно заменить переменными Yt и Zi соответственно, мы имеем А(р) = р ® 1 + 1 ® р, если и только если p(YiA-Zi) = = p(Yi)+p(Zi). В частности, взяв однородную часть рп степени п, п ^ 0, многочлена р, мы получим 2nprt(Yi) = pn(2Yi) = 2pn(Y,). В случае ch F = 0 из 2" — 2 = 0 следует п = 1. Поэтому р = рх и по теореме 4.3 р s X(L). Общий случай см. у Серра [1965]. □
Множество, снабженное бинарной операцией, называется магмой'). Свободная магма на множестве X, обозначаемая через Х'\— это множество всех слов из [XU {(,)}]+, содержащих правильную расстановку скобок, вместе с операцией умножения, определяемой равенством wx-w2 = (zyt) (w2) (справа стоит обычное произведение в свободной полугруппе [XU U{(,)}]+)•
Для данного кольца R свободной R-алгеброй над множеством X, обозначаемой через 9" r [X], называется множество всех конечных сумм вида 2 w G х( >r W w> гдс r(w)eR. Свободная алгебра Ли Дд. [X] над X— это факторалгебра алгебры ^"r[X] по идеалу /, порожденному всеми элементами вида w-w и (и-у)-w ф-(у-ф)-и + (ty-w)-у, где и, у, ^^^“^[Х]. Замечательным свойством алгебры Lr [X] является то, что она — свободный /фмодуль. Базисами в AR[X] служат некоторые подмножества из Х< \ называемые специальными семействами Холла (Ф. Холл [1933]), которые мы сейчас определим.
Определение 4.6. Семейством Холла в X' > называется линейно упорядоченное подмножество Н из X' \ такое, что
(al) ХеН; (а2) для любых и, ееХ^ имеем и-у^Н тогда и только тогда, когда иеН, уеН, и<и и либо и еX, либо у = z-w, где z ^ и для некоторых z, w е Н.
Специальное семейство Холла — это семейство Холла, удовлетворяющее дополнительному условию
для любых и, v^H неравенство /(ы)</(у) влечет и < у.
В этом определении под /(и) понимается длина слова и, рассматриваемого как слово в Х+. Существование специального семейства Холла можно показать, строя последовательно множества /7], Н2, ..., Нп, ... элементов семейства Н длины 1, 2, ..., п, ... и доопределяя на.каждом шаге отношение линейного порядка, удовлетворяющее условиям определения 4.6. Например, если X = (х, у}, можно взять
Нх = (х, у}, где х < у; Нг = {(ху)} и х < у < ху;
Н3 = (х (ху), у (ху)} и ху < х (ху) < у (ху);
Я4 = {х(х(ху)), у(х(ху)), у(у(ху))} и
у (ху) < X (х (ху)) < у (х (ху)) < у (у (ху)).
Нп — множество всех произведений u(zw), где и, z, w, zw^ е (J"—i Hi, причем z ^ и < zw, z < w. Специальным семейством Холла является H=\jT=.Ht.
Теорема 4.7. Естественное вложение Х->АЛ[Х] продолжается единственным образом до мультипликативного гомоморфизма Ф: Х< > Lr [X], который отображает произвольное семейство Холла Н из Х< > на некоторый базис R-модуля Ar[X],
Таким образом, ЛК[Х]— свободный /^-модуль. Используя универсальные свойства алгебры Ли А/?[Х] и свободной ассоциативной /?-алгебры /? [X], а также предложение 4.2, нетрудно доказать, что универсальная обертывающая алгебра Л(АЯ[Х]) изоморфна /?[Х] (изоморфизмом служит отображение ф из диаграммы (4.7.1); у — единственный лиев гомоморфизм, продолжающий вложение X-*- R [X]).
RIX]
Так как алгебра Lr[X] свободна, X является вложением по теореме 4.3. Мы отождествляем Л«[Х] с ее образом в 7?[X]j
относительно ф°Х Для поля F характеристики 0 можем по теореме 4.5 записать
Lf[X] = (zeflX]: A(z) = z® 1 +1 ®z}.
Аналогично переходу от кольца многочленов /? [X] к кольцу степенных рядов /? [ [X] ] существует соответствующий переход от L#[X] к Л^[[Х]]. Мы можем фактически прямо определить ^к[[^]] как замыкание алгебры £/?[Х] в /? [ [X] ] относительно обычной топологии на /? [ [X] ] (см. гл. 9, § 4) Продолжив отображение A: R [X] R [X] ® R [X] до отображения, тоже обозначаемого буквой А, из R [ [X] ] в R [ [X] ] ® R [ [X] ], получим для поля F характеристики О
(4.7.2) М Wl== te^ Л[Х]]: A(z) = z® 1 +1 ®z}.
Данный параграф мы закончим, показав, что для любых степенных рядов х, уе^ЦХ]] без свободных членов существует ряд z е Lf [ [X] ], такой, что ехе« = ez.
Предложение 4.8. Пусть F — поле характеристики 0 и I — идеал в /7[[Х]], порожденный множеством X (г. е. состоящий из степенных рядов без свободных членов). Определим отображения ехр: / — 1 + / и log: 1 + / —► 1 формулами ехр х = = £”-ох7М u log (1 + х) — 2”-i (( ~ l)"+1x")/n соответственно. Тогда ехр и log суть взаимно-обратные биекции между I и 1 + /.
Чтобы доказать это, можно сначала заметить, что результат справедлив в случае X — ^а) и х = а (классический случай), а затем использовать замену av-^x.
Ограничиваясь элементами хе/, такими, что А(х) = х® 1 + + 1 ® х (см. теорему 4.5(b)), легко вывести:
Д (е*) = gA (х) — рх ® 1 + 1 ® х — ех® 1^1 ® X „
= (ех® 1)(1 ®ех) = ех ® ех.
Следовательно, экспоненциальное отображение является биекцией /П/-г[[Х]] на {х е 1 + I; А(х) = х®х}. Мы используем это замечание, чтобы доказать следующее утверждение.
Теорема 4.9 (Бэйкер — Кэмпбелл — Хаусдорф1)). Для любых х, уеХ существует единственный ряд ze LfY [X] ], такой, что ехеН = ег.
Доказательство. Имеем ехем е 1 + / и, значит, ехея = ez для некоторого однозначно определенного zeK^X]]. Но А(е2) = = А(ех• ен) = Х(ех)Х(еУ) = {ех ® ех) • (ен ® е«) = ег ® ег. Отсюда следует, что г е IП Lf [ [X] ]. □
Замечания 4.10. (а) Первые три однородные компоненты ряда z таковы: гДх, у^ = х Д- у; z2(x, у) = (1/2) [х, у]; z3(x, у) = (1/12) [х, [х, у] ] + (1/12) [у, Ду, х]].
(Ь) Имеем e-Ye« = e*+»+z, где z' е (LF[ [X] ] )2. Это останется справедливым, если заменить х и у произвольными степенными рядами без свободных членов. То же самое выполняется для логарифмической версии формулы:
log(l + х)(1+y)=log(l + x)+log(l+y)+*', где / e(b[[X]]^.
Факторизации свободных моноидов
Лемма 5.1. Пусть и, оеА+ Если uw=wv для некоторого w е А*, то существуют слова х, у е А* и целое число к ^ 0, такие, что и — ху, и = ух, w =^xyVx.
Доказательство индукцией по /(ш). Если w = 1, возьмем х = 1, у = и = и и к = 0. Предположим, что утверждение справедливо для любой тройки аеА+, b е А+, сеА*, такой, что ас = cb, где /(с)<п, и пусть uw = wv, где l(,w^ = n. Согласно следствию 1.6 из гл. 5, выделим два случая.
Ди^^П^. Тогда u = wz и zw = у для некоторого геА*. Взяв х = w, y = z, получим требуемое, так как ty = = (ху)°х.
/(«)</(ш). Тогда w = ut и tv = w для некоторого teA*. Поскольку и, оеА+, имеем l(t) < l(w) = п. По предположению индукции и = ху, v = ух и t = ДсуУх. Отсюда следует, что w = (ху) ft+1x. □
Следствие 5.2. Пусть и, veA*. Следующие условия равносильны:
существует w еА", такое, что uw = wv;
существуют х, у^А*, такие, что и = ху и v = ух.
Слова и, V, удовлетворяющие (а) или (Ь), называются сопряженными словами.
Доказательство. Очевидно, взяв w = х, получим, что (Ь) влечет (а). Для доказательства обратной импликации достаточно проверить тривиальные случаи и = 1 или v = 1, не вошедшие в лемму 5.1. □
Ясно, что сопряженность является эквивалентностью на Л* и сопряженные слова получаются друг из друга циклической перестановкой букв.
Следствие 5.3. Если слова и, v еА* удовлетворяют равенству uv = vu, то существуют слово we А* и целые числа к, / ^ 0, такие, что u = wk и v = wl.
Доказательство. Это очевидно, если /(u)=/(v). Допустим, например, что /(u)</(v). Применим индукцию по /(и). Случай и = 1 очевиден. Если иеА+, то лемма 5.1 дает и = ху = = ух, v — {xy}kx для некоторых х, у е А*, к ^ 0. В случае когда х= 1 или у= 1, слово и является степенью слова и. Если же х#= 1 и у =# 1, то предположение индукции можно применить к х или к у, поскольку /(х)</(и) и /(«/)</(«). Мы получим х = Wm, у = Wp, откуда и = Wm-1"n, У = y)0n-Wk+m, □
Определение 5.4. Слово те А* называется самосопряженным, если существуют и, veA+, такие, что т = uv = vu, или, равносильно, если т = wk для некоторых w =# 1, А> 1. Слово ре А* называется примитивным, если оно не самосопряжено, т. е. р = гу* влечет к 1.
Мы покажем, что для любого непустого слова w однозначно определяются примитивное слово р и число к^ 1, такие, что гу = рк. Единственность р и к обеспечивает следующая
Лемма 5.5. Пусть х, уеА+ и т = ЦхУ п = Цу). Если существуют целые числа р, q и слова и, и, и', o', we А*, такие, что хр = uwv, yq =u'wv', где Ди^^тА-п — НОД(т, п) и Z(u) = l(u') (mod НОД(т, п)), то х и у суть степени одного и того же слова zeA*.
Доказательство, (а) Допустим, что НОД(т, «)=1, причем m <С п. Имеем хр = uwv, у4 = u'wv':
Ф©-1
j>* li* । т 1। * i * iJ ।
।^21у1у1у1
(5.5.1)
Мы покажем, что первые п букв слова w одинаковы и равны, скажем, букве а е А. Отсюда непосредственно будет следовать, что х = ат, у = ап. Первая и (т + 1)-я буквы слова w одинаковы, поскольку 1^ = т (см. диаграмму (5.5.1)). Более общо, мы утверждаем, что если h, к таковы, что 1 ^ А < к п и h = rm (mod п), к = (г 4- 1) т (mod и), то A-я и A-я буквы слова гу одинаковы. В самом деле, 1 ^ h < п влечет 1 + m^h-Y- 4- т < п + т. Поэтому h-Vm^.n-\-m—1^/(гу), и A-я и (А 4- т)-я буквы слова гу одинаковы. Благодаря повторяющимся отрезкам у, (kA-туя буква слова гу та же самая, что и к-я, где A s А 4-m s (г + l)m(mod/г) и 1 ^ к п. Следовательно, A-я и к-я буквы слова гу одинаковы, что завершает доказательство нашего утверждения. Теперь, поскольку тип взаимно
просты, последовательные значения h, такие, что 1 ^ Л ^ п и h = rm (mod n), образуют полную систему вычетов по модулю п, т. е. целиком заполняют интервал [1, и]. Это показывает, что первые п букв слова w одинаковы.
(Ь) Предположим, что НОД(т, n) = d> 1. Тогда х, у, w можно рассматривать как слова в алфавите B=Ad, заменяя, если необходимо, слово w его длиннейшим левым делителем, длина которого кратна d. Жы имеем Ib(w) ^ mid. + n]d—1 и НОД(/в(х), /в(у))=1. Согласно п. (а), первые n/d букв из В слова w одинаковы, т. е. w = (.woY,dw', где 1Д (ш0) = d. Отсюда следует, что x = (wl)m,d и у = (w2yid, где слова wx и ш2 сопряжены слову ш0- Но соотношения /(u)= I(uz) (mod d), xp = uwu, yq = u'wu' дают Wx = W2, показывая, что x и у являются степенями одного и того же слова. □
Предложение 5.6. Для любого слова weA+ существуют единственное примитивное слово р и единственное целое число 6^1, такие, что w = р*.
Доказательство. Если w самосопряжено, то w = l,w'Y для некоторых w' N= 1, I > 1. Применяя индукцию по длине слова w, мы непосредственно получим w = pk для некоторого примитивного слова риА>1. Допустим, что w = pk = qk', где к, к' > 1, а р и q примитивны. Выбрав п ^ /(р)+ 1^— НОД(/(р), /(<?)), получим wn = рпк = qnk'. По лемме 5.5 существует такое г е А+, что p = zr, q — г8, а это влечет г = s = 1, откуда р — q. Наконец, w = рк = qk' = рк', что дает к = к'. □
Теорема 5.7 (Шютценберже [1965b]). Пусть {Вг. 1еГ^—семейство подмножеств из Л+, индексированное линейно упорядоченным множеством 1 и такое, что каждое В, является минимальным множеством образующих подмоноида В]. Любые два из следующих трех условий влекут за собой третье:
для любого w е А+ существует, самое большее, одно разложение w = ХхХ^ ... хп, где х, е Вц и Л ^ /2^ ... ^ г„;
(а') для любого weA* существует, самое меньшее, одно разложение w = xtX2 ... хп, где х( е Btj и 1Х ^ Ц^ • • ■ ^ in;
для любого класса сопряженности С из А*, С ^= {1}, существует единственный индекс iel, такой, что С П 6^#= 0 и С П В] есть класс сопряженности в В\.
Доказательство. Если В г Л* — код, то мы, как и в предложении 2.13 из гл. 5, обозначим посредством 1/(1 — В) степенной РЯД SZ-o^” с коэффициентами из Q (или из произвольного поля характеристики 0).
Если выполняются условия (а) и (а') теоремы 5.7, то для любого we Bi имеем w = XiX2 • • • хп, где хь х2, ..., хпе
е Bt, и это разложение единственно. Следовательно, каждое В; есть код в Л* и 1/(1 — Л) = Ц,е/ 1/(1 — В,), где расположение сомножителей отвечает отношению порядка на / (т. е. при ?>/ ряд 1/(1 — Bi) предшествует ряду 1/(1 — Bj)). Из формулы (4.10.1) (логарифмической версии формулы Бэйкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа) следует, что log [1/(1 — Л)]=£; G/ log [1/ /(1 — В;)] + z', где / e (Lq [ [Л] ] )2. Бэтой форме мы и будем использовать условия (а) и (а'). Пусть С— класс сопряженности в Л*. Его характеристическая функция хс" Л*->0 продолжается до линейного отображения, также обозначаемого через Хс' Q[ [Л]]—э-Q. Поскольку Хс(и) = %с(ц) для любых двух сопряженных слов и, иеЛ‘, мы имеем Хс (г') = 0 и, следовательно,
Хс [log -1^] = Г Хс [log -is/
Используя определение логарифмической функции, после вычислений получим равносильную формулу
(5.7.1)(5.7.1)card С уч card (С П В[
(5.7.1)
(5.7.1)
is/'
где / (соответственно /() — это общая длина над Л (соответственно на Bi) слов из С (соответственно из CQB[). Множество индексов Г в правой части определяется равенством Г = =^ieh С (\ B*t=#0y Если С — класс сопряженности примитивного слова, то С состоит из I различных примитивных слов, и (cardC)//== 1 = [card (С П В*г)]//; для каждого I, такого, что С П B*t#=0. Отсюда вытекает, что существует единственный индекс io, для которого СПВ*^0. Если С — класс сопряженности непримитивного слова weA+, то в силу предложения 5.6 w = pk, где р примитивно. Класс сопряженности слова р пересекает только В*и. Поэтому для некоторого слова q, сопряженного к р, имеем q е В\ и для соответствующего слова w' = qk, сопряженного к w, имеем щ'еС П ВТ Отсюда следует, что С П В^ — класс сопряженности в Б*., и (1/Zz) card (С П ^J = 1/& = (card С)/Z. Формула (5.7.1) снова показывает, что i0 — единственный индекс I из /, такой, что С П В*^0.
Допустим, что выполняется условие (Ь) теоремы 5.7. Прежде всего мы утверждаем, что каждый подмоноид В* обладает свойством
(5.7.2) для любых и, v ^ А*
ии е By vu s В* влечет ие В"^, се В[.
Это свойство, очевидно, выполняется, если и=Х или и=1. В противном случае условие ии, иие В, показывает, что класс сопряженности С слова ии таков, что С f] В*=#0. Отсюда следует тогда, что ии = ху и ии = ух для некоторых х, у е В\ (но и ии сопряжены в В*). Если 1(и) = 1(х), то слова и = х и и = у лежат в В*. Если же, например, 1(и) > 1(х), то и = хг = = sx и ги = у = vs для некоторых г, s е А+. По лемме 5.1 существуют слова а, 0, у, б е А*, такие, что s = ар — уб, г =
. ра = бу, х = (аР) *а, и = (бу) z6, и = (аР) *+1а, у = (бу) z+*6 для некоторых k, I ^ 0. Заметим, что s и г сопряжены и имеют длину < Цииу Применяя индукцию по Кии), получим, что ар, рае е В* влечет а е By, р е В*, и аналогично для у и б. Но х = = (ар)*а влечет i = j. Следовательно, и е В* и иеВ‘, что доказывает наше утверждение.
Заметим, далее, что из 5.7.2 вытекает, что В*, свободно порождается множеством Ви Чтобы доказать это, используем предложение 2.2 из гл. 5; допустим, что roB* f] B*w П В* ^ 0 тогда uw = wveB‘ для некоторых и, оеВ’. По лемме 5.1 (полагая, что и, и непусты) имеем и = ху, v — yx и w = Xxy)kx\ (5.7.2) влечет х е В*, у е В^, откуда w е В*.
Предположение о том, что С П В, есть класс сопряженности в В*, гарантирует справедливость (5.7.1). Отсюда вытекает, что Хс (log [1/(1 — Л)]) = Хс (log [1/(1 — В,)]) для любого класса сопряженности С из А*. Обозначив через a(f) канонический образ степенного ряда f в кольце степенных рядов от коммутирующих переменных, мы получим
a (хс [log т^л ] ) = £ « (хС [log у^] )
iel
для любого класса сопряженности С из Л*. Суммируя по всем этим классам, получим
«(log Т=Ы= Xa(10gТ^вг)’
lei
а это равносильно равенству «(1/(1 — ^)) = а(П;е/ 1/(1 ~ В^ или
(С) Условие (а) (соответственно (а')) из теоремы 5.7 равносильно тому факту, что у степенного ряда $= 1/(1—Л) — —П/ei 1/(1 — В{) все коэффициенты ^0 (соответственно ^0), а конъюнкция (а) и (а') равносильна равенству s = 0. Так как
(Ь) влечет a(s) = O (в силу п. (В) доказательства), вместе с (а) мы получаем s = О, откуда вытекает (а7). Аналогично (Ь) и (а7) дают (а). □
Определение 5.8. Семейство ^ = ^Вй iel} подмножеств из А+, индексированное линейно упорядоченным множеством / и такое, что любое слово w е А+ имеет в точности одно разложение w = Х\Х2 ... хп, где X] е В1; и h ^ <2 ^ • • • ^ ^л называется факторизацией свободного моноида А*. Факторизация {Bi- iel}, в которой каждое В, одноэлементно, называется базисной факторизацией моноида А*.
В силу условия (Ь) теоремы 5.7 слова из базисной факторизации моноида А* должны быть примитивными. Различные примеры факторизаций, как базисных, так и других, будут даны в § 6.
В оставшейся части этого параграфа мы предполагаем, что множество А линейно упорядочено, а ^ — базисная факторизация моноида А* (в некоторых случаях линейное упорядочение на $ может быть связано с линейным упорядочением на А (см. разд. 6.1), но это требуется отнюдь не всегда). Линейное упорядочение на А используется главным образом для определения функций перегруппировки (определение 5.9). Мы не вводим для него специального символа; из контекста будет ясно, какое отношение порядка подразумевается.
Определение 5.9. (а) Для произвольного слова w = аха2 ... ... апе А* пусть а^а^ ... а1п — его неубывающая перегруппировка (т. е. единственное слово a^a^ ... а1п, получаемое из w перестановкой его букв так, чтобы стало а1х ^а^^ ... ^atn относительно заданного на А отношения ^). Для любых букв а, b е А определим отображение га, ь: А* -> №, положив
Га, ь (су) = число индексов к, \^.к^.п, таких, что
= а и alk = b.
Отображения га, ь называются функциями перегруппировки на А*.
(Ь) Пусть ^ — базисная факторизация моноида А*. Запишем каждое примитивное слово pqe ^, q el, в виде произведения над A: pq = aq-aaqa ... aq.nq, где nq = Цр<^ — 1. Для произвольного слова w е А* пусть w = p\p2 ... ps— его единственное разложение, такое, что pqe ^ для 1 ^ q ^ s и р\ ^ р2 ^ ... ... ^ ps относительно линейного упорядочения ^. Для любых букв а, b е А определим отображение so, ь: А*->№, положив sa, ь (су) = число пар (q, i), \^.q^.s, таких, что
aqa = a и aq, i+i — b, где i + 1 берется по модулю l(pq).
Отображения s0, ь называются функциями следования на А*, определяемыми факторизацией ^.
Следующий результат, принадлежащий Фоата [1965], является еще одной обобщенной формой Главной теоремы.
Теорема 5.10. Пусть ^ — базисная факторизация моноида А*. Существует подстановка ср на А*, такая, что для любого слова w еА*
w и ^(w) имеют один и тот же образ в свободном коммутативном моноиде над А;
га, ь(ю)= s0, ь(ф(ш)) для любой функции перегруппировки га, ь на А* и любой функции следования s0, ь на Л*, определяемой 9L
Доказательство. Мы зададим ср на каждом классе С наименьшей коммутативной конгруэнции на А* и покажем, что <р определяет перестановку класса С. Фиксированный класс С содержит единственное неубывающее слово относительно данного упорядочения множества А, скажем “^'^ ••■ a/r = w0. Определим множество D(,w^ формулой
D (ш0) = {(й/р т()еДХМ: l^i^r, Is^m^a^.
Отображение q> будет композицией трех отображений у, л и р:
С21* Rc'^g’kPkw^'y, 1шл-^*С,
где Rc— подмножество моноида перегруппировок Q(Д), а (D (да0)) — группа подстановок на множестве D^Wa). Для любого w е С положим у (“О = ( X )• Поскольку любая перегруппировка записывается лишь единственным способом в виде (“^) с неубывающим словом ш0, отображение у является биекцией С на множество Rc всех перегруппировок (®0), где we С. Чтобы определить подходящим образом л, введем на Д* функции бй (6eN) типа функции степени. Для любого слова w = = аха2 ... ап и любого k, \ ^k ^l{w), определим б*(ау) как степень относительно буквы а^ левого делителя аха2 ... а^ слова w. Переписав ш0 в виде aitai2 ... atn (где n= ai + '+ аз 4- ■.. +«,), определим отображение л, взяв в качестве значения л(®) подстановку а на D(av0), такую, что а(аь 6й(ф)) = =(я<й, б^(шо)) для любого А, 1 ^ к ^ п. Простая проверка, которую мы опускаем, показывает, что л является вложением Rc в ^(£>(^0)). Приступая теперь к определению отображения р, запишем а в виде произведения дизъюнктных циклов а =
= О\О,2 ... ст,, где
^ q kk^q, 0> U-q. о) ^q. b ^q. 1) • • • ^q. lq — l> ^q- lq — l))
для любого q, 1 ^ q ^ s.
Мы покажем ниже, что для любого q слово а,, ол,. 1 ••• aq, i _\~ = lab (ст,) примитивно. Поскольку в $ существует единственное примитивное слово, сопряженное к lab (ст,), можем считать (быть может, после циклической перестановки элементов из D^w^, на которых действует aq), что lab (ст,) е^. Кроме того, ввиду дизъюнктности циклов Ст1, ..., Os, мы можем переставить их таким образом, что
q < q' влечет lab (ст,) > lab (ст,') (в упорядочении на ^) либо lab (ст,) = lab (ст,-), где nq, i < nq-_, для всех/, 0^/^/, — 1. Предполагая, что подстановка ст = стщг ... ст, обладает свойством (5.10.1), положим ф(гу) = р (ст) = П,=1 lab (oq). По определению ст для любого к найдется единственная пара ^q, i), такая, что
кач.ь nq.tWak, bk(w)),
Таким образом, для любых a, be А имеется столько же индексов к, при которых ак = а, а1к = Ь, сколько и пар (<?,/), таких, что aq,i=a, aq,i+x=b. Это показывает, что ro, b(w) = sa, ь(ф(гу)). Для завершения доказательства осталось установить, что
lab (ст,) —примитивное слово;
lab (ст,) = lab (ст,') влечет nq,, < nq-, i для всех I либо nq', i < Пд> i для всех /:
ф биективно на С.
Эти свойства мы получим как следствия следующей леммы.
Лемма 5.11. Пусть у и л— такие же, как в доказательстве теоремы 5.10. Для слова w =ахач ... а„еС пусть о = стщз ... ... оп —разложение подстановки ст = лоу(цу) в произведение дизъюнктных циклов, где
Oq = U^q. 0, n.q. о) ^q. b «,. 1) • • • («,. lq- b *4 z^,)) для 1 < q < S.
Если aq. i = a,-, v и nq,t < nq-. v, to aq, <+i ^ a,-. ;'+i, причем в случае, когда aq, i+i =aq', r+i, имеем nq, <+! < nq-. z'+i.
Доказательство. Это следует прямо из (5.10.2). Взяв, согласно (5.10.2), соответствующие к и к', получим ак=ак и Ьк^хД) < bk\w\ Это означает, что к < к', откуда а<А. ^а,А,_ £лу-
чай а1к, — а1к дает д& (ау0) < б»'(а>о). Мы пришли в точности к утверждению леммы 5.11. □
Следствие 5.12. Для того же, что и выше, разложения а = = стюг .. • crs и любого q, 1 ^ q ^ s, слово lab (ст,,) = aq, oaq> i ... ... ctg.i -Х примитивно.
Доказательство. Предположим, что aq, ой,, i... aq, t х = pk, где р примитивно и к ^ 1. Тогда для индексов I, V, лежащих между О и lq—1, условие i s /(mod /(р)) влечет aq> i = aq, v- Положим nq,m = mining,: 0 ^ i ^ lq— 1} и допустим, что 6>1. Начав С соотношений aqim==aqim+(k — \')Hpb Пд.т^ Пд. т-Цк — Vi I (р1) И применив/(р)— 1 раз лемму 5.1 1, получим nq, т+Ир)<Пд. т+кЦр> Поскольку к1^р^=1д и т = т + kl(p) (mod lq), на самом деле nq, m+kiw совпадает с nq, т, откуда nq, т+цР) < nq, т, что противоречит определению т. Поэтому 6=1, и слово lab (а,) примитивно. □
Следствие 5.13. Пусть а = ахог ... as. Если слова 1аЬ(ст?) = = aq, oaq, i ... aq,iq-x и lab (aq') = aq-,«aq', i ... aq-,tq,-X равны, причем Пд, о < Пд', о, ТО Пд, I < Пд', I б ЛЯ вСвХ 1, 1 ^ Z < lg = 1д'.
Доказательство получается применением несколько раз леммы 5.11. □
Следствие 5.13 устанавливает свойство (В) из доказательства теоремы 5.10, и теперь остается показать, что 0— биекция Im л на С. Это вытекает из следующего результата.
Следствие 5.14. Пусть а = аха2 ... а3— разложение подстановки ст е Im л в произведение циклов
ад = ^д. о, Пд.оНадл- nq, 0 ... (a,, lq_x, nq,lq_x^,
удовлетворяющих условию lab(crg)e^ для любого q, 1 ^ q ^ s, и условию (5.10.1). Тогда целые числа Пд,, (1 ^ q ^ s, 0 ^ i < < /д) однозначно определяются словом Пд=11аЬ(СТд).
Доказательство. Для любых q и I число nq,, есть число таких пар ^q', I'), что aq-, v = ag, i и nq', v ^ nq, i. Чтобы охарактеризовать nq,t только лишь в терминах слова ф (zw) = П^ lab (ст,), мы снова используем лемму 5.11. С этой целью мы свяжем с каждой парой (р, i) слово zq, i — aq, taq. ;+1 ... aq, t+l_x, где / = HOK{/?: l^p^s}. Допустим, что aq-, v = aq, / и nq'_ e < < n((. i. Для zq-_ v и Zg, i мы имеем следующиедве возможности:
•a) zq', г т^ 2q, i. Если / — наименьшее целое число, для которого aq', v+j N= dg, i+h то, применив j раз лемму 5.11, мы получим aq'_ i'+j < aq, i-vj. Это означает, что zq,, v предшествует Zg, /
в лексикографическом порядке на Л, индуцированном линейным упорядочением алфавита А.
(b) Zq',i' = zq,i. Тогда lab (oq') = lab (Oq), и неравенство nq-, v < nq, i влечет q' <q *).•
Отсюда следует, что nq, t есть в точности число пар ^q', i'), таких, что aq-,v = aq,i и либо слово zq-_ г лексикографически предшествует слову zq, t, либо zq-, р — zq, t и q' < q. Это число однозначно определяется разложением Hg=i lab (oq). □
Тот факт, что р (и, следовательно, ф) есть биекция, вытекает из следствия 5.14 и того, что ^ — базисная факторизация.
Пример. Предположим, что А = {а, Ь, с}, где а < b < с, а — стандартная факторизация, индуцированная лексикографическим порядком на А* (см. ниже разд. 6.1). Для слова w = ,, , ,, , Cbcaaccbbb\„
= bcaaccbbb имеем у(ил =, , , ,I. Соот-
х 7 \aabbbbcccj ветствующей подстановкой будет
ст = лу (ф) = ((6, 1)(а, 1))((с, 1)(а, 2) (6, 2)) •
•((с, 2)(6, 3))((с, 3)(6, 4)).
Для получения ст считываем прямо по у(ш) циклическое разложение: первая b в верхней строке дает первую а в нижней, затем первая верхняя а дает первую нижнюю Ь, замыкая цикл [(6, 1)(а, 1)] в ст; первая верхняя с дает вторую нижнюю а и т. д. Перепишем каждый цикл так, чтобы 1аЬ(ст?)е ®:
а = М 1)(6, 1)) ((а, 2)(6, 2) (с, 1))((6, ЗЖ 2)) ((6, 4) (с, 3)).
Условие (5.10.1) приводит после перестановки циклов к разложению
о = №, 3)(с, 2)) №, 4) (с, 3)) ((а, 2) (6, 2) (с, 1)) ((а, 1)(6, 1)).
Таким образом, q(bcaaccbbb) — (bc) (be) (abc) (ab). Тогда, например, га,ь^ = 2==8а,ь^^, гс.а^ = 1 =ас,а(ф(®)).
Мы закончим этот параграф, изложив интерпретацию теоремы 5.10 в терминах степенных рядов. Пусть R — коммутативное кольцо, X = {хь хг, ..., хп} — линейно упорядоченное множество и ^ — базисная факторизация моноида X*. Определим два гомоморфизма алгебр г, s: R [ [X] ]->■ R [ [X X ^] ] следующим образом. Для w еХ* положим
r(zy) = (xZ1, х/,)(х<2, х/2) (xZn, х/„), где w = xiYxi2... ... X; , a XLXt„ ... хь—неубывающая перегруппировка слова w, • М12М
s(^) = s(p])s(p2) . . . s^, где w = pxp2 ... pm, pi>p2> ^ ... ^ pm, — разложение слова w над ^, и если pq = xq,oxq, t... • • • xq. lq_x (1 < q < m), to s (pg) = (xq. q, xq, J (xq, „ xq, 2) ...
^Xq.lq-2 Xq. lq~^ (Xq- lq—1* Xq. o)'
Предположим, что В — (Ьц) есть «Хи-матрица над R, и определим гомоморфизм 0: (XX ХУ R, положив 0(х/, х,) = = Ьц. Тогда по теореме 5.10 степенные ряды
У, 0(г(ш))ш и У 0(s(ay))av weX*weX*
имеют один и тот же образ в свободной коммутативной алгебре на множестве X, т. е.
а( £ 0 (г (ш)) иЛ = а ( £ 0 (s (ш)) иЛ .
\шеХ*/ \шеХ‘/
Несложная проверка показывает, что степенной ряд, стоящий в этом равенстве слева, совпадает со степенным рядом t из предложения 1.4. Степенной ряд справа в действительности является рядом det [/ — SA(X)]-1. Чтобы увидеть это, в формуле (1 — X)-1 = Цре а (1 — рГ'' выражающей тот факт, что ® есть базисная факторизация, заменим каждую переменную х;Е=Х матрицей Вц у которой t-й столбец состоит из ЬцХц byXi, ... ..., bniXt, а остальные столбцы — нулевые, и возьмем определители обеих частей формулы. После некоторых вычислений, которые мы опускаем, получаются следующие равенства между степенными рядами от коммутирующих переменных:
det[/— ВА(Х)]-*= П [1-0(я(р))рГ‘ = П ₽(ФНp = 6SчиеХ*
Поэтому (5.15) есть в точности Главная теорема.
Примеры факторизаций
Стандартная факторизация
Эта факторизация была введена Линдоном [1954] и изучалась Ченем, Фоксом и Линдоном [1958]; она совпадает (с точностью до симметрии) с факторизацией, введенной А. И. Ширшовым [1958]1).
Пусть Л — линейно упорядоченное множество. Продолжим заданный порядок до лексикографического порядка на Л*: для и, и е А* положим и < и, если либо и — собственный левый делитель слова и, либо и = ras, v = га's' для некоторых г, s, $'еЛ*, а, а'е Л и а < а’.
Используя это определение, можно показать, что и < и, если и только если wu ■< wu для некоторого w е А*. Но условие «<у не обязательно влечет uw < uw (например, 1 < 12, но 13 > 123, если множество А = {1, 2„ 3} упорядочено обычным образом). Заметим, однако, что если и<оио^иА*, то us<us' для любых s, s' е А*.
Предложение 6.1. Пусть отношение < есть лексикографический порядок на А*, индуцированный некоторым линейным порядком на А. Следующие свойства слова w е А* равносильны:
слово w примитивно, и для любого слова w', сопряженного к w, имеем w ^ w';
для любого непустого собственного правого делителя и слова w имеем w<v.
Доказательство. Для доказательства того, что (а) влечет (Ь), допустим, что w = ии, где и, иеА+, причем и < w. Возможны два случая: w^uA* либо w е иА* Если w ф иА*, то в силу отмеченного выше свойства для любых s. s'e.4* будет us < ws'. В частности, vu < w, что противоречит (а) Если же we.uA*, то w = ии = ии', где Нщ^=Нщ'^ и «=#«', так как w примитивно. При этом и < и' влечет ии < ии' = w, что противоречит (а), а поскольку и ^ и'А*, и' <. и влечет и'и <z ии = = w, что снова противоречит (а). Поэтому для любого непустого собственного правого делителя и слова w мы имеем w < и. Покажем, что (Ь) влечет (а). Если w = ии — ии, где и, и е А+, то и < ии = w = ии •< и. Это противоречие показывает, что слово w примитивно. Если теперь w = ии и ии < w, то ии < w = ии < и < ии. Таким образом, для любого слова w', сопряженного к w, имеем w ^ w'. □
Слово w, обладающее свойством (а) или (Ь), называется стандартным словом. Например, при 1 < 2 < 3 слово 123 стандартно, а слово 1321 — нет.
Предложение 6.2. Любое слово we A*, w^l, имеет единственное разложение в произведение невозрастающей последовательности стандартных слов.
Доказательство. Ввиду предложения 6.1 выполняется условие (Ь) из теоремы 5.7. Следовательно, согласно теореме 5.7 достаточно установить существование разложения. Проведем индукцию по l(wy Пусть Wi — непустой правый делитель слова w, минимальный относительно лексикографического порядка. Мы имеем w = uw\, причем слово wx стандартно в силу условия (Ь) предложения 6.1. Если и = 1, то w = w\. Если и=#1, то, согласно предположению индукции, и = wnwn-i ... w2, где wn ^ ^ wn-\ ^ ... ^ ®2, а каждое слово w, стандартно. По определению Wi имеем to2®i > ^ь Допустим, что w2 < Юр Если
Wi ^ ш2А*, то выводим 102^1 < ^ь получая противоречие. Если же Ю1 = w2u для некоторого иеА+, то w\ < и влечет m2®i < < w2u = ®ь что снова противоречит условию w2wx > ®ь Эти противоречия показывают, что w2 ^ оц. □
Факторизации Холла
Пусть Н— семейство Холла в свободной магме А<\ а 6: Д(>-*-Д*— канонический гомоморфизм на свободный моноид Д*.
Лемма 6.3. Пусть Н— семейство Холла из Д(), а 6(77)— его образ в А*. Любое слово шеА+ можно записать в виде w = = h\h2 ... hm, где hi е 6 (77) и hi^ h2^ ... hm.
Доказательство индукцией по 7(ш). Если 7(ш)= 1, тоше е6(77) в силу условия (al) определения 4.6. Если /(ю)> 1, то пусть w = w'a и w' = h\h2 ... hm-\, где hi ^ h2 ^ ... ^ hm-i и hi е 6(77). В случае когда а ^ hm-i, достаточно взять hm = а. Если а > hm-\, то km-i = hm-ia ^ 6(H) по условию (а2) определения 4.6. Если hm-2 "^ km-i, то w = hih2 ... hm-2km-i есть требуемое разложение. Если же hm-2 < km-i, то кт-2 = — hm-ikm-i 6(H) по условию (а2) определения 4.6. Продолжая этот процесс и определяя на каждом шаге ki = htki+\, мы либо для некоторого индекса I, 2 ^ I < т, получим kt ^ hi-i, и тогда w = h\h2 ... ht-iki, либо к2 > hi, и тогда w = hik2 = kie еб(Н). □
Следствие 6.4. Пусть Н— семейство Холла из А^ и 6(H)— его образ в Д*. Если Н — специальное семейство Холла либо, более общо, Н удовлетворяет условию
(Ь') и, и,ии е Н влечет и < ио и и < ии, то элементы из 6(H) образуют базисную факторизацию моноида А*.
Доказательство. В силу теоремы 5.7 достаточно доказать, что 6(H) трансверсально отношению сопряженности на множестве примитивных слов из А*. Читатель может найти доказательство в книге М. Холла [1959, лемма 11.2.1, с. 191]. Указанное выше условие (Ь') появилось в работе Мейера-Вундерли [1952]. □
Необходимые и достаточные условия, характеризующие факторизации моноида А*, обобщающие холловские факторизации, были получены Вьенно [1974]. Предположим, что имеется отображение о: 77—► 7 подмножества Н из А^ на линейно упорядоченное множество I (т. е. Н линейно упорядочено по модулю эквивалентности Кега). Предположим также, что 77 удовлетворяет условиям
As Н-
иоеН, если и только если и^Н, -ее. И, а(и)<а(и) и либо иеД, либо u = zw, где о(г)^а(«), для некоторых z, w е Н.
Образуем ^(Я)= {б((т-1(/)): i ^ IY Семейство ^(Н) является факторизацией моноида Д тогда и только тогда, когда условия и<=Н, v^H, uv^H влекут за собой а(ы)^а(ми).
Следствие 6.5 (Формула Витта). Пусть Д— множество из q букв. Число элементов длины п в специальном семействе Холла из Д< \ или число стандартных слов длины п из Д*, равно Фе; (п) = (l/n)£d i n I1 W^"^ где р,— функция Мёбиуса на моноиде (N, •).
Доказательство. Число слов в А" есть qn, и любое слово w е А" может быть однозначно записано в виде w = pn/d, где р — примитивное слово из Ad и d делит п. Поэтому если бд^ — число примитивных слов из Д^ то qn = 2d | n^q №• Но классы сопряженности примитивных слов из Ad содержат по d элементов, и любой класс содержит в точности одно стандартное слово (или образ относительно 6 одного холловского элемента). Поэтому 0g (d) = d^q (d) и qn = 2d l n^q W- Согласно формулам обращения Мёбиуса (3.2.1)', (3.2.2)', это равносильно равенству «Ф, W = 2d | п И (^) Цп1й- □
Напомним, что нижний центральный ряд группы G определяется как последовательность Gi = G, G^ = [Gi, G],..., G*+1 = = [G*, G]Если G конечно порождена, то факторгруппы Q^(G) = Gk/Gk+\ являются конечно порожденными абелевыми группами. Если Fn — свободная группа с п образующими, то группы Qk^Fn^ суть свободные абелевы группы ранга ф*(п) (порождаемые по модулю G^vx холловскими коммутаторами1) или стандартными коммутаторами); см. М. Холл [1959], Чень, Фокс, Линдон [1958].
Факторизации Спитцера (Спитцер[1956], Шютценберже [1965])
Предложение 6.6. Пусть ф: Д*->(Р, +) — гомоморфизм, и для произвольного reR пусть В,= ^еА+: ф(и) = rl(v) и Ф(и) < rl(u) для любого собственного левого делителя и=/=\ слова и}. Тогда семейство & = {Br-. reP) i обычным упорядочением R является факторизацией моноида А*.
Доказательство. Предположим, что слово а е Д+ может быть записано в виде w = v^vs ... vn, где vte Br. (1 ^t^n) и
V\^r?^ . . .~^гп. Тогда г; = ф(ц;)//(щ) для любого i, а для любого собственного левого делителя и; ^ 1 слова щ имеем
/ ^ I (уд '
Следовательно, для любого i > 1
2511 > Ф^ > > 251=11 255
1М z(y2)4ui-x) ЧиА ‘
Отсюда вытекает, что для любого левого делителя ut слова vt
Ф (У1) > Ф (У1) + Ф (У2) + • • • + Ф (yi-l) + Ф (2) _ Ф (У1У2 • • • Vj-l"/) z(yi) z(yi) + z(y2) ++z(y/-i) + z(«i) z(yiy2'
Это показывает, что Vi является кратчайшим левым делителем и слова w, для которого отношение ф(и)//(и) максимально. Индукция по п завершает доказательство единственности такого разложения. Существование разложения устанавливается индукцией по длине слова w. Пусть щ — кратчайший непустой левый делитель и слова w, дающий максимум частного Ф (u) /I (и). Тогда w = uxw', и предположение индукции дает W = и2 •ип, где Ф(и2)//(и2)^ .> ф(ип)//(ип). Если
ф(О1)//(О1)< ф(и2)//(и2), ТО ф(Ц1)//(У1) < ф(и1и2)//(Ц1и2), что противоречит определению иь Поэтому мы имеем также Ф(и1)//(О1)>Ф(и2)//(и2). □
Заметим, что слово w = ai«2 ... am можно представить графически отрезками прямых линий, соединяющими точки плоскости с координатами (/, ф(«1а2 ... а,)) для 0 ^ t ^ m (пустое слово отображается посредством ф на 0). Выпуклая оболочка получаемого графика индуцирует разложение w = щи2... ... ип из предложения 6.6.
Конечные факторизации: бисекции
Факторизация ^ = {В,: I е /} моноида А* называется конечной, если конечно /. Если / содержит два элемента, то ^ называется бисекцией моноида Д* (см. Вьенно [1974], где изучаются факторизации с card/ = 3). Как отмечалось в доказательстве теоремы 5.7, пара (Р, Q) тогда и только тогда является бисекцией для А*, когда Р и Q — коды и выполняется равенство степенных рядов (1—А)-1 = (1 — Р)-1 (1 — Q)-1, или, равносильно, QP + А = Р + Q.
Предложение 6.7. Пара (Р, Q) есть бисекция для А*, если и только если
Р и Q суть соответственно префиксный и суффиксный коды в А*;
Л* s P*Q* и Р* Q Q* = {1}.
Доказательство. Если (Р, Q)—бисекция для А*, то (Ь) следует из определения факторизации. Если uw е Р* и ие Р*, то, записывая w = и'и', где и' е Р*, у' е Q*, получим uw = ии'и', и свойство единственности разложения влечет и' = 1, т. е. weP*. Это доказывает, что Р — префиксный код. Аналогично показывается, что Q—суффиксный! код. Обратно, из A* s P*Q* следует существование разложения w = ии, где иеР*, ueQ*. Если ии = и'и', где и'^Р*, и'е Q* и, например, /(и)^/(и/), то и' = иг и го'— о для некоторого геЛ*. В силу (а) имеем г е Р* П Q* и, значит, г = 1. Отсюда вытекает и = и', и = и', что доказывает единственность разложения. □
Предложение 6.8. Для произвольных подмножеств Р, Q из Л+ пара (Р, Q) тогда и только тогда является бисекцией для А*, когда (a) P()Q = 0; (b) A^PUQ; (с) QPsPUQ; (d) PUQsAUQP.
Доказательство. Прямое утверждение следует из равенства QP + А = Р + Q. Чтобы доказать обратное утверждение, мы покажем, что выполняются условия предложения 6.7. Начиная с (с) ц применяя индукцию по п, получаем QP" s P*U Q* для всех п. Следовательно, QP* £ Р* U Q*. Покажем индукцией по п, что Ап S P*Q*. Это ясно при п = 0. Если Ап г P*Q*, то Лп+1 s £ AP*Q* = (PU Q)P*Q* в силу (b). Ho QP* s P* U Q* влечет QP*Q* s P*Q* U Q* и, значит, Л"+1 £ P*Q*. Отсюда вытекает, что Л* = P*Q*. Теперь мы докажем, что Р* порождается префиксным кодом, показывая, что для любых и, оеА*
ии е Р влечет и е Р*.
(Это дает более общую импликацию: ии Е Р* влечет и е Р*, которая сильнее, нежели обычное условие порождаемости префиксным кодом.) Проведем индукцию по длине слова ии. Случай /(mv)=1 очевиден. Предположим, что (6.8.1) выполняется всякий раз, когда /(ми)^«, и пусть /(ми)=«+1 (^^1). В силу (d) имеем ии = q\p\, и если qx ^ Л, то снова q^ = q2p2. Если к— наименьшее целое число, такое, что q^sA, где qn = = qtpi для 1 ^ I ^ к, и qt е Q, pt е Р, то мы получим ии = — qkPk ••• ргР\. В случае когда /(м) = 0, импликация (6.8.1), очевидно, справедлива, а если Ди) > 0, то и = P"Pt-\ • • • Р\> гДе р\р" = Р; е Р. Так как Др^ < l(uv), предположение индукции дает р" ^ Р* и поэтому u — p"pt_x ... рх^Р*. Двойствен- нсг рассуждение показывает, что для любых и, оеЛ*
ии е Q влечет и е= Q*.
Как и выше, это доказывает, что Q* порождается суффиксным кодом. Покажем для произвольного w еА*, применяя индукцию по /(ш), что и ay^Q*nP. Поскольку Р, QsA+, имеем 1 ^ Р* П Q и 1^Q*HP- Если, например, w е Р* Л Q, то для некоторых рх, р^ .... рь^Р будет w = рхрг ... peeQ. Но из (а) следует 6 > 1, т. е. Z(pi)</(m), и (6.8.2) влечет pi е Q* Л Р, что противоречит индуктивному предположению. Это доказывает, что P*HQ = Q* П Р = 0, а еще одна простая индукция показывает, что Р* Л Qn = 0 для любого «^ 1, откуда P*nQ* = {l}. Наконец, осталось доказать, что Р (соответственно Q) есть префиксный (соответственно суффиксный) код, т. е. Pw ПР — 0 (соответственно wQ HQ = 0^ для любого ю е А+. На самом деле легче доказывать более сильное свойство: для любого zeA* будет z^ P+w ПР. Проведем индукцию по 1^. Указанное свойство, разумеется, выполняется, если /(z)^l. Допустим, что z = pip2 ... psw^P, где pi, р^, ... ..., ps^P и Z(z)> 1. Согласно (d), имеем z = qp для некоторых q е Q, р е Р, т. е. pipi ... psw = qp. В силу условия (6.8.2) и равенства Q* Л Р = 0 слово pi не может быть левым делителем слова q. Поэтому pi — qv и ирг ... psw = р. Согласно (а), имеем и^1, а (6.8.1) дает и ^ Р+, причем Z(u) </(pi). Отсюда следует, что р е P+w П Р, где / (р) < / (г), что противоречит индуктивному предположению. Поэтому P+w Л Р = 0, т. е. Р— префиксный код. Доказательство того, что Q— суффиксный код, аналогично. Все условия предложения 6.7 выполняются, и мы заключаем, что (Р, Q) является факторизацией моноида А*. □
Если (Р, Q)—бисекция для А*, то существует разбиение А+ на два класса С, D, таких, что РеС и Q Е D (например, С = = Р+ и D = А+\Р+). Обратно,
Следствие 6.9. Для любого разбиения А+ на два класса С и D, таких, что С ПА #= 0 и D ПА #= 0, существует единственная бисекция (Р, Q) моноида А*, такая, что Р = С и Qe D.
Доказательство. Определим последовательности {Д} и {Qe} формулами Pi = А Л С, Qi = А П D и Рцл = (QiPi Л C)U Рь Q.+i =(QiPi Л 5)U Qi. Тогда, положив Р= 11(ем^г, Q=U1G. Ql. получим бисекцию (Р, Q) моноида А* (проверка условий предложения 6.8 оставляется читателю в качестве упражнения), удовлетворяющую соотношениям Р Е С и Q Е D. Так как Pi и Qi непусты, то же самое справедливо для Р и Q. Если бисекция (Р', Q') такова, что Р'гС и Q'sD, то соотношения Ае cP'UQ' и Р' nQz = 0 дают АЛ^, = ЛЛС = Р1 и AnQ' = = А Л D = Qi. Применив индукцию по I, получим Pt Е Р', QiSQ' для любого ZeN. Отсюда следует, что Р Е Р', Q Е Q', и свойство однозначности разложений влечет Р ~Р’, Q = Q'. □
Следствие 6.9 можно использовать для того, чтобы строить примеры бисекций, чередуя образование множеств Pi, Qi с формированием разбиения Д+: Ру и Qi получаются произвольным разбиением множества А на две непустые части; элементы произведения QyPy случайным образом . распределяются по двум классам формируемого разбиения на Д+, что позволяет найти Рг и Q2. Этот процесс повторяется для Q2P2 и т. д.
Примеры 6.10. (а) Пусть А = {а, Ь, с}. Столбцы Pi, Qi следующей таблицы содержат Ру, Qi в первой строке; Р2, Q2 выписаны в первых двух строках и т. д. Последний столбец содержит произведения QiPi.
i
Pi
Qi
QiPt
1
а
b, c
ba, ca
2
ba, са
bba, bca, cba, cca
3
bba, bca, cba
cca
bbba, bbca, bcba, cbba, cbca, ccba ccaa, ccaba, ccaca, ccabba ccabca, ccacba
Р — {а, ba, са, bba, bca, cba, ...}, Q = ^b, с> ссс^ ...}.
(Ь) Если после первого шага в предыдущем примере мы решим относить все элементы из QiPi в тот класс разбиения на Д+, который содержит Р, то получим Р = {6, с}а и Q = {6, с}. Разложение слова w е Д+ получается указанием последнего вхождения буквы а в w. Более общим образом, для произвольного разбиения Ру, Qi множества А пара (Р, Q), где P = Q*Py, Q = Qh есть бисекция моноида А*.
Библиографические замечания
Гуд [1962а] дал доказательство Главной теоремы, основанное на свойствах аналитических функций нескольких переменных. Еще одно доказательство см. также у Картье [1972]. Разложения потоков применяются в теории графов и позволяют доказывать многие комбинаторные тождества единым способом. Имеются также важные приложения в теории вероятностей. За дальнейшими деталями мы отсылаем читателя к книге Картье и Фоата [1969].
Вопросы, касающиеся сопряженности и примитивных слов в свободных моноидах, рассматривались в статьях Линдона и Шютценберже [1962], а также С. Гинзбурга и Спеньера [1964]. Лемму 5.5 для моноида вещественно- зйачных функций (гл. 5, пример 1.8) доказали Файн и Уилф [1965].
Теорема 5.10 содержит технику перечисления, которая имеет также много комбинаторных и вероятностных приложений. Аналогичная техника используется в работах Фоата и Фукса [1970] и Фоата и Шютценберже [1971].
Как отмечалось в § 4, факторизации свободных моноидов прямо связаны с построением базисов для свободных алгебр Ли и с коммутаторным исчислением в свободных группах. Данная глава содержит лишь полугрупповые аспекты этих вопросов, и за дальнейшими результатами, касающимися алгебр Ли, мы отсылаем читателя к работам Вьенно [1973, 1974] •).
Упражнения
Определим ориентированный граф G как четверку (S, А, а, т), где S и А — конечные множества, называемые соответственно множеством вершин и множеством дуг графа G, а о; А->-5 и т Л->5— отображения; здесь о (а)—начальная, а т (а) — конечная вершины дуги а. Для любого sgS определим множество А= {йеЛ: a(a)=s} Потоком1) в графе G называется произвольный элемент fe J^[sc-s Аг
Показать, что понятие потока на множестве (определение 2 1) является частным случаем понятия потока в графе.
Для данного потока f в графе G и для любых s, ieS пусть n$t обозначает число всех дуг а из f, таких, что a(a)=s и т(а)=/, и пусть ®i ^ ~^lt esnst’ Поток f называется контуром в G, если 2js G s ns; = = h- (1) для любого t е S. Показать, что перегруппировки на множествах являются частными случаями контуров в графах. Распространить результаты из § 2 на потоки и контуры в графах (Картье, Фоата [1969]).
Вычисляя коэффициент при хь*сус*ага*ь в многочлене
(у — г) 6+с (г — х) с+а (х — у) “+6
и применяя Главную теорему, получить тождество Фьелдстада (Гуд [1962b]):
рк=-ррк=-рa + 6 X b + к )a + 6 X b + к )_ (a -j- b + с) I a! bid_ (a -j- b + с) I a! bid
р
к=-р
р
к=-р
a + 6 X b + к )
a + 6 X b + к )
_ (a -j- b + с) I a! bid
_ (a -j- b + с) I a! bid
р = min (а, Ь, с).
Свободный частично коммутативный моноид Р(Д- С) на множестве А тогда и только тогда изоморфен декартову произведению свободных моноидов, когда дополнение множества С в А X А является отношением эквивалентности на А. Это свойство выполняется для моноида потоков на множестве А, но не для моноида перегруппировок.
Описать разложения слов, указанные в предложении 2.8, для
свободного моноида;
декартова произведения свободных моноидов;
свободного коммутативного моноида;
моноида (a, b, с; ab = ba, cb = Ьс>.
Пусть 59 — базисная факторизация на А*, мы отождествляем объединение одноэлементных множеств В/ с индексирующим множеством семейства 59 и обозначаем его через В. Следующие свойства равносильны:
для любых и, v е В условие и < и влечет uv е В;
для любых и, и е= В условие uo s В влечет и < uv < и.
Базисная факторизация, обладающая свойствами (а), (Ь), называется специальной факторизацией. Стандартная факторизация специальна.
Пусть f, g: R -> R — две непрерывные периодические функции с периодами a, р соответственно. Если число а/В рационально, скажем a.l^=plq, где р, q е N и НОД (р, q) = 1, и если f(x) = gU^ на некотором интервале длины « + р —p/у, то f (х) = g^ для всех xeR Если a/В иррационально и f(x) = Sto на некотором интервале длины a + р, то /(х) = g(x) для всех xeR (Файн, Уилф [1965]).
ЛИТЕРАТУРА1)
Адян С. И.
Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для групп и полугрупп. — Тр. матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 85.
[1975°] Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Наука.
[1976] О преобразованиях слов в полугруппе, заданной системой определяющих соотношений. — Алгебра и логика, т. 15, № 6, с. 611 — 621.
[1984*] Исследдвання по проблеме Бернсайда и связанным с ней вопросам,—Труды Матем. ин та В. А. Стеклова, т. 168, с. 171 — 196. Адян С. И., Бун, Хнгман (ред.) (Adian S. I., Boon W. W. Higman G.)
[1980*] Word Problems II, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, New York, Oxford.
Адян Q И-, Маканин Г. С.
[1984*] Исследования по алгоритмическим вопросам алгебры. — Труды Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 168, с. 197—217.
Адян С. И., Оганесян Г. У.
[1978*] К проблемам равенства и делимости в полугруппах с одним определяющим соотношением. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 42, № 2, с. 219-225.
Айзенштат А. Я , Богута Б. К.
[1979*] О решетке многообразий полугрупп. — В кн.: Полугрупповые многообразия и полугруппы эндоморфизмов, Ленинград, с. 3—46. Аллен (Allen D., Jr.)
A generalization of the Rees theorem to a class of regular semigroups, Semigroup Forum, 2, 321—331.
Андерсон, Хантер, Кох (Anderson L, Hunter R., Koch R.)
Some results on stability in semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 117, 521—529.
Арбиб (ред.) (Arbib M. A.)
Algebraic Theory of Machines, Languages, and Semigroups, Academic Press, New York, London. [Русский перевод: Арбнб M. А. (ред.). Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп,— М.: Статистика, 1975.]
Theories of Abstract Automata, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.
Аршрн С. E.
] Доказательство существования n-значных бесконечных асимметричных последовательностей,—Матем. сб., т. 2(44), № 4, о. 769-779.
Байлин, Микин, Настен (Byleen К., ATeakiu J., Pastijn F.)
The fundamental four-spiral semigroups, J. Algebra 54, 6—26.
Бак (Buck R. C.)
On certain decidable semigroups, Amer. Math. Mon. 75, 852—856. Бандиопадхиай (Bandyopadhyay G.)
A simple proof of the decipherability criterion of Sardinas and Patterson, Inf. Control 6, 331—336.
Барвайс (ред.) (Barwise J.)
] Handbook of Mathematical Logic, North-Holland Publ. Co., Amsterdam. [Русский перевод: Барвайс Дж. (ред.). Справочная книга по математической логике, ч. I—IV. — М.: Наука, 1982, 1983.]
Барнз (Barnes В.)
On the group of automorphisms of strongly connected automata, Math. Syst. Theory 4, 289—294.
Бар-Хиллел (Ваг-Hillel Y.)
] Some recent results on theoretical linguistics, in Nagel E.. Sup- pes P., Tarski A., Logic, Methodology, and Philosophy of Science, Stanford University Press, pp. 551—557. [Русский перевод: Бар- Хиллел И. Некоторые новые результаты в теоретической лингвистике. — В кп.: Математическая логика и ее применения. — М.: Мир, 1965, с. 273—280.1
Бар-Хиллел, Перлз, Шамир (Ваг-Hillel Y., Perles М., Shamir Е.)
On formal properties of simple phrase structure grammars, Z. Phonetic Sprachen Kommunikalionsforsch. 14. 143—172; in. Y. Bar- Hillel, Language and Information, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Mass., 1964, Ch. 9.
Бауэр, Гооз (Bauer F. L., Goos G.)
[1973/74*] Informatik, Springer-Ferlag, Berlin. T. 1, 1973; T. 2, 1974. [Русский перевод: Бауэр Ф. Л., Гооз Г. Информатика. — М.: Мир, 1976.]
Берлекэпм (Berlecamp Е. R.)
Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill Book Co., New York. [Русский перевод: Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования — М.: Мир, 1971.]
Бернсайд (Burnside W.)
On ап unsettled question in the theory of discontinuous groups, Q. J. Math. 33, 230—238.
Берстель (Berstel J.)
[1976°] Congruences plus que parfaites et langages algebriques, Seminaire dTnformatique Theorique, 1976—77, Institut de Programmation, Universite de Paris VI, 120—147.
Берстель, Перрен, Шютценберже (Berstel 1, Perrin D., Schittzenberger M. P.) [1985°] Theory of Codes, Academic Press, New York, London (в печати).
Берстель, Ройтенауэр (Berstel J., Reutenauer C.)
[1984°] Les Series Rationnelles et leurs Langages, Etudes et recherches en informatique, Masson, Paris.
Бжозовски (Brzozowski J. A.)
A generalization of finiteness, Semigroup Forum 13, 239—251. Бжозовски, Саймон (Brzozowski J. A., Simon I.)
Characterization of locally testable events. Discrete Math. 4, 243— 271.
Бжозовски, Чулик, Габриэлян (Brzozowski J. A., Culik К., II, Gabrielian A.) [1971] Classification of noncounting events, J. Comput. Syst. Sci. 5, 41— 53.
Бин, Эренфойхт, Мак-Налтн (Bean R., Ehrenfeucht A., McNulty G. F.) [1979*] Avoidable patterns in strings of symbols, Pacific J. of Math., Vol. 85, No. 2, 261—294.
Биркгоф (Birkhoff G.)
On the structure of abstract algebras, Proc. Camb. Philos. Soc. 31, 433—454.
Lattice Theory, rev. ed., Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Vol. 25. [Русский перевод: Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.]
Биркгоф, Барти (Birkhoff G., Bartee Т. С.)
[1970*] Modern Applied Algebra, McGraw-Hill Book Co. [Русский перевод: Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. — М; Мир, 1976.]
Блюм (Blum Е. К.)
[1965а] Free subsemigroups of a free semigroup, Mich. Math. J. 12, 179— 182.
[1965b] A note on free subsemigroups with two generators, Bull. Amer. Math, Soc. 71, 678-679.
Боассон (Boasson L.)
Cones rationnels et families agreables de langages. Application au langage a compteur, Third cycle doctoral thesis, University of Paris.
Боассон, Нива (Boasson L., Nivat M.)
Sur diverses families de langages fermees par transduction ration- nelle, Acta inf. 2 180—188.
Боэ (Boe J. M.)
Representation des monoides. Applications a la theorie des codes. Third cycle doctoral thesis. University of Montpellier.
Браун (Brown T. C).
On the finiteness of semigroups in which xT = x, Proc. Camb Philos. Soc. 60, 1028—1029
[1967*] A semigroup union of disjoint locally finite subsemigroups which is not locally finite, Pacific J. of Math., Vol. 22, No. 1, pp. 11 —14.
[1968*] О локально конечных, полугруппах. — Укр. матем. ж., т. 20, № 6, с. 732-738.
On van der Waerden’s theorem on arithmetic progressions, Not. Amer. Math. Soc. 16, 245.
Бриттон (Britton J. L.)
The word problem, Ann. Math., 77, 16—32.
The existence of infinite Burnside groups, in Word Problems, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 71, 67—348.
Бук (Book R. V.)
] Confluent and other types of Thue systems, J. of Assoc, for Comp. Mach., 29, 171—182.
Бук, Янцен, Рэтхолл (Book R. V., Jantzen M., Wrathall C.)
] Monadic Thue systems, Theor. Comp. Sci. 19, 231—251.
Бун (Boon W. W.)
The word problem, Ann. Math. 70 (2), 207—265.
Between logic and group theory, in Proceedings of the 2nd International Conference on the Theory of Groups, Lecture Notes in Mathematics, 372, Springer-Verlag, Berlin, pp. 90—102.
Бун, Хигман (Boon W. W., Higman G.)
An algebraic characterisation of groups with soluble word problem, J. Aust. Math. Soc. 18(1), 41—53.
Бурбаки (Bourbaki N 1
Algebre I, Hermann, Paris, Chapitres 1—3. [Русский перевод 1-го
изд.: Бурбаки Н. Алгебра (алгебраические структуры, линейная н полилинейная алгебра). — М.: Физматгиз, 1962.]
[1971/72] Groupes et Algebres de Lie, Hermann, Paris, Chapitre 1, 1971; Chapitre 2, 1972. [Русский перевод: Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. Гл. 1—3 —М.: Мир, 1976.]
Бут (Booth Т. L.)
Sequential Machines and Automata Theory, John Wiley & Sons, New York.
Вагнер В. В.
Обобщенные группы. — Докл. АН СССР, т. 84, с. 1119— 1122.
Теория обобщенных груд и обобщенных групп. — Матем. сб., т. 32, с. 545-632.
Ван дер Варден (van der Waerden В. L.)
67*] Algebra, Springer-Verlag, Berlin, T. 1, 8 Auf., 1971; T. 2, 5 Auf., 1967. [Русский перевод: ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976]
Вьенно (Viennot G.)
Factorisations dichotomiques des monoides libres et alg6bres de Lie libres, Une generalisation des ensembles de Hall, Factorisations regulieres des monoides libres et algebres de Lie libres, C. R. Acad. Sc. Paris 276 A, 511—514, 599—602; 277 A, 493—496.
Algebres de Lie libres et monoides libres, Doctoral thesis, University of Paris.
] Algebi'es de Lie libres et Monoides libres, Lecture Notes in Mathematics 691, Springer-Verlag, Berlin.
Галлагер (Gallager R. G.)
Information Theory and Reliable Communication, John Wiley & Sons New York.
Гёль дер (H 6 Ider О.)
Zuriickfiihrung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen, Math. Ann. 34, 26—56.
Герхард (Gerhard J. A.)
The word problem for semigroups satisfying x’ = x, Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 84, 10—16.
Гилл (Gill A.)
Introduction to the Theory of Finite State Machines, McGraw-Hill Book Co., New York [Русский перевод: Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. — М.: Наука, 1966.]
Гинзбург A. (Ginzburg А.)
Algebraic Theory of Automata, Academic Press, New York.
Гинзбург C. (Ginsburg S.)
An Introduction to Mathematical Machine Theory, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.
The Mathematical Theory of Context-Free Language, McGraw-Hill Book Co., New York. [Русский перевод: Гинзбург С. Математическая теория контекстно-свободных языков. — М.: Мир, 1970.]
Algebraic and Automata Theoretic Properties of Formal Languages, North-Holland Publ. Co., Amsterdam.
Гинзбург С., Грейбах (Ginsburg S., Greibach S. A.)
Abstract families of languages, Mem. Amer. Math. Soc., 87, 1—32. [Русский перевод: Гинзбург С., Грейбах Ш. Абстрактные семейства языков. — В кн.: Языки и автоматы. — М.: Мир, 1975, с. 233—281.]
Гинзбург С., Грейбах, Хопкрофт (Ginsburg S., Greibach S. A., Hopcroft J.) [1969] Studies in abstract families of languages, Mem. Amer, Math, Soc. 87.
Гинзбург С., Спеньер (Ginsburg S., Spanier Е. Н.)
Bounded ALGOL-like languages, Trans. Amer. Math. Soc., 113, 333—368.
Гладкий A. B.
[1969*] Элементы математической лингвистики. — M.: Наука.
Гладкий А. В., Мельчук И. А.'
[1969*] Элементы математической лингвистики. — М.: Наука.
Глускин Л. М.
Вполне простые полугруппы. — Уч. зап. Харьковского пед. ин-та, т. 18, с. 41—55.
Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 23, с. 841—870.
Глушков В. М.
Абстрактная теория автоматов. — УМН, т. 16, № 5, с. 3—62. Глушков В. М., Летичевский А. А., Годлевский А. Б.
] Методы математической биологии. Книга 6: Методы синтеза дискретных моделей биологической математики. — Киев: Наукова думка.
Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л.
] Алгебра, языки, программирование, изд. 2-е. — Киев: Наукова думка.
Голдстайн (Goldstine J.)
Automata with data storage, Proc. Conf. Comput. Sci., Waterloo, June 1977.
Голод E. C.
О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, № 2, с. 273—276.
Голод Е. С., Шафаревич И. Р.
О башне полей классов. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, № 2, с. 261-272.
Голомб, Гордон (Golomb Е. N., Gordon В.)
Codes with bounded synchronisation delay, Inf. Control 8, 355—• 372.
Грейбах (Greibach S. A.)
An infinite hierarchy of context-free languages, J. Assoc. Coinput. Mach., 16, 91—106. [Русский перевод: Грейбах III. Одна бесконечная иерархия контекстно-свободных языков. — В кн.: Сложность вычислений и алгоритмов. — М.: Мир, 1974, с. 85—106.]
Chains of full AFL’s, Math. Syst. Theory 2, 231—242.
Грийе (Grillet P. A.)
Structure of regular semigroups I, II, III, IV, Semigroup Forum 8, 177—183, 254—259, 260—265, 368—373.
Грнн (Green J. A.)
On the structure of semigroups, Ann. Math. 54, 163—172..
Грин, Рис Д. (Green J. A., Rees D.)
On semigroups in which x' = x, Proc. Camb. Philos. Soc. 48, 35— 40.
Гросс, Лантен (Gross M., Lentin A.)
Notions sur les Grammaires Formelles, Gauthier-Villars, Paris. [Русский перевод: Гросс M., Лантен А. Теория формальных грамматик. — М.: Мир, 1971.]
Грэхем (Graham R.)
On finite Q-simp]e semigroups and graph theory, Math. Syst. Theory 2, 325—339.
Гуд (Good I. J.)
[1962a] A short proof of MacMahon’s «Master Theorem», Proc. Camb. Philos. Soc. 58, 160.
[1962b] Proofs of some «binomial» identities by means of MacMahon’s «Master Theorem», Proc. Camb. Philos. See. 58, 161—162,
Де Брейн (De Bruijn N. G.)
On the factorization of cyclic groups, Indag. .Hath. Kond. Ned. Acad. Wet. 15 (Proceedings 56, Series A), 370—377.
Дежан (Dejean F.)
Sur un theoreme de Thue, J. Comb. Theory A13, 90—99.
Детловс В. К.
Нормальные алгорифмы и рекурсивные функции. — Докл. АН СССР, т. 90, с. 723-725.
Джекобсон (Jacobson N.)
Lie Algebras, Interscience, New York. [Русский перевод: Джекобсон H., Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.]
Диксон (Dixon А. С.)
On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem, Messenger Math. 20, 79—80.
Дин (Dean R.)
A sequence without repeats on x, x-1, y, y1, Amer. Math. Mon. 72, 383-385.
Дойсен (Deussen P.)
On the algebraic theory of finite automata, Int. Comput. Sci. Bull.
4, 231—264.‘
Some results on the set of congruence relations on a finite strongly connected automaton, Computing 2, 353—367.
Дэйвис (Davis M.)
Computability and Unsolvability, McGraw-Hill Book Co., New York.
Дюбрей (Dubreil P.)
Contribution a la theorie des demi-groupes, Mem. Acad. Sci. Inst. Fr. 63, Gauthiers-Villars, 52 pp.
Дюбрей-Жакоген (Dubreil-Jacotin M. L.)
Sur [’immersion d’un semi-groupe dans un groupe, C. R. Acad. Sci. Paris 225, 787-788.
Ершов А. П., Кнут (ред.) (Knuth D. E.)
] Алгоритмы в современной математике и ее приложениях. — Материалы Международного симпозиума. Ургенч (УзССР), 16— 22 сент. 1979 г. В 2-х частях. — Новосибирск.
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.
] Математическая логика. — М.: Наука.
Жакоб (Jacob G.)
Semigroupes lineaires de rang borne: Decidabilite de la finitude. in Seminaire d’Algebre P. Dubreil, Paris 1975—76, Lecture Notes in Mathematics 586, Springer-Verlag, Berlin, pp. 116—459.
] Un algorithme calculant le cardinal, fini ou infini, des demi- groupes de matrices, Theor. Comput. Sci., Vol. 5, No. 2, 183— 204..
La finitude de representations lineaires de semi-groupes est d6cid- able, J. Algebra, 52, 437—459.
Un theoreme de factorization des produits d’endomorphismes de KN, J. Algebra, 63, 389—412.
Жордан (Jordan C.)
Commentaire sur Galois, Math. Ann. 1, 141 — 160.
Зайгер (Zeiger H. P.)
Yet another proof of the cascade decomposition theorem for finite automata, Math. Sy st. Theory 1, 225—228.
Закстайн (Zalcstein Y.)
{
1972 Locally testable languages, J. Comput. Syst. Sci. 6, 151—167.
1973 Locally testable semigroups, Semigroup Forum 5, 216—227.
1977] Solvability of the finiteness problem for linear semigroups, Not, Amer, Math. Soc, 24, A—224,
Зимин Л. И.
[19'82*] Блокирующие множества термов. — Матем. сб., т. 119, № 3, с. 363-375.
Иваник (Iwanik А.)
[1978*] An embedding theorem for semigroups, Algebra Universalis, 8, No. 1, 89—90.
Интема (Yntema N. K.)
Inclusion relations among families of context-free languages, Inf. Control 10, 572—597.
Калман, Фалб, Арбиб (Kalman R. E., Falb P. L, Arbib M. A.)
] Topics in Mathematical System Theory, McGraw-Hill Book Co., New York. [Русский перевод: Калман P., Фалб EL, Арбиб M. Очерки по математической теории систем. — М : Мир, 1971.]
Калужнин, Краснер (Kaloujnine L., Krasner М.)
Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes I, II, III, Acta Sci., Math. Szeged 13, 1950, 208— 230; 14, 1951, 39—66; 69—82.
Капланский (Kaplansky I.)
Fields and Rings, University of Chicago Press, Chicago.
Капп, Шнайдер (Kapp К. M., Schneider H.)
Completely 0-simple Semigroups, W. A. Benjamin, New York. Каргаполов M. И., Мерзляков Ю. И.
] Основы теории групп, изд. 3-е. — М.: Наука.
Картье (Cartier Р.)
La serie gёnёratrice exponentielle, applications probabilistes et al- gebriques, Publications of toe Mathematical Research Institute, University of Strasbourg.
Картье, Фоата (Cartier P., Foata D.)
Problemes combinatoires de commutation et r6arrangements, Lecture Notes in Mathematics 85, Springer-Verlag, Berlin.
Катленд (Cutland N.)
] Computability. An Introduction to Recursive Function Theory, Cambridge University nress, Cambridge. [Русский перевод: Катленд H. Вычислимост! Введение в теорию рекурсивных функций. - М.: Мир, 1983.]
Келлн (Kelley J L.)
General Topology, Van Nostrand, New York. [Русский перевод: Келли Дж. Л. Общая топология, изд. 3-е. — М.: Наука, 1982.] Ким, Рауш (Kim К Н., Roush F. W.)
On general linear semigroups, Semigroup Forum 14, 15—28.
Кинан, Лаллеман (Keenan M., Lallement G.)
On certain codes admitting inverse semigroups as syntactic monoids, Semigroup Forum 8, 312—331.
Клиии (Kleene S. C.)
General recursive functions of natural numbers, Math. Ann. 112, 727—742.
Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc. 53, 41-73.
Representation of events in nerve sets, in С. E. Channon and J. McCarthy (Eds), Automata Studies, Princeton University Press, Princeton, N. J., 3—40. [Русский перевод: Клини С. К. Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. — В кн.: Автоматы — М.: ИЛ, 1956, с. 15—67.]
Клиффорд (Clifford А. Н.)
Semigroups admitting relative inverses, Ann. Math. 42, 1037— 1049.
Semigroups containing minimal ideals, Amer. J. Math. 70, 521 — 526
Semigroups without nilpotent ideals, Amer. J. Math. 71, 834—844.
54°] Bands of semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 5, pp. 499—504.
The fundamental representation of a regular semigroup, Semigroup Forum 10, 84—92.
Клиффорд, Престон (Clifford A. H., Preston G. B.)
The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. 1, Amer. Math. Soc., Mathematical Surveus 7. [Русский перевод: Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, —М.: Мир, 1972.]
The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. 2, Amer. Math. Soc., Mathematical Surveys 7. [Русский перевод: Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 2. — М.: Мир, 1972.] Кнут (Knuth D. Е.)
] The Art of Computer Programming, Vol. 3. Sorting and Searching, Addison Wesley, Reading, Mass. [Русский перевод: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, т. 3, Сортировка и поиск. — М.: Мир, 1978.]
Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г.
] Математическая логика. Дополнительные главы. — М.: Изд-во МГУ.
Кон (Cohn Р. М.)
On subsemigroups of free semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 347-351.
Universal Algebras, Harper & Row Publ., New York. [Русский перевод: Кон П Универсальная алгебра. — М/ Мир, 1968.]
Копытов В. М.
Разрешимость проблемы вхождения в конечно-порожденные разрешимые группы матриц над полем алгебраических чисел. — Алгебра и логика, т. 7, № 6, с. 53—63.
Кох, Уоллес (Koch R. J., Wallace W. D.)
Stability in semigroups, Duke Math. J. 24, 193—195.
Коше (Cochet Y.)
] Church — Rosser congruences on free semigroups, Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai: Algebraic Theory of Semigroups, 20, 51—60. Коше, Нива (Cochet Y., Nivat M.)
] Une generalisation des ensembles de Dyck, Israel J. Math. 9, 389—395.
Коэн, Бжозовски (Cohen R. S., Brzozowski J. A.)
Dot-depth of star-free events, J. Comput. Syst. Sci. 5, 1—16. Краснер, Рануляк (Krasner M., Ranulae B.)
Sur une propriete des polynOmes de la division du cercle, C. R. Acad. Sci. Paris 240, 397—399.
Крон, Роудз (Krohn К., Rhodes J. L.)
Algebraic Theory of Machines, 1, Prime decomposition theorem for finite semigroups and machines, Trans. Amer. Math. Soc. 116, 450—464.
Крон, Роудз, Тилсон (Krohn К., Rhodes J. L., Tilson B.)
The prime decomposition theorem of the algebraic theory of machines, in M. A. Arbib (Ed.), Algebraic Theory of Machines, Languages, and Semigroups, Academic Press, New York, London, pp. 81—125. [Русский перевод: Крон K-, Роудз Дж., Тилсон В. Р. Основная теорема декомпозиции в алгебраической теории автоматов.— В кн.: Арбнб [1968], с. 90—131.]
Кузино, Перро, Риффле (Cousineau F. G., Perrot J. F., Rifflet J. M.)
APL programs for direct computation of a finite semigroup, in APL Congress 73, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, pp. 67— 74.
Кузнецов A. B.
Алгоритмы как операции в алгебраических системах. — УМН, т. 13, с. 240-241.
Курош Л Г.
[1967*] Теория групп, изд. 3-е. — М.: Наука.
Кэртис, Райнер (Curtis С. W., Reiner I.)
Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Interscience, New York. [Русский"перевод: Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.]
Лаллеман (Lallement G.)
Demi-groupes reguliers, Ann. Matem. Рига Appl. 77, 47—130.
Sur I’irreducibilite de certains monoi'des finis, C. R. Acad. Sci. Paris 268, 1312—1315.
On the prime decomposition theorem for finite monoids, Math. Syst. Theory 5, 8—12.
Structure theorems for regular semigroups, Semigroup Forum 4, 95—123.
[1974a] A note on congruences on Rees matrix semigroups, Semigroup Forum 8, 89—92.
[1974b] On monoids presented by a single relation, J. Algebra, 32, 370 — 388.
Regular semigroups with 0 — 3? as syntactic monoids of finite prefix codes, Theor. Comput. Sci. 3, 35—49.
Cyclotomic polynomials and unions of groups, Discrete Math. 24, 19—36.
] Augmentations and wreath products of monoids, Semigroup Forum 21, 89—90.
Лаллеман, Милито (Lallement G., Milko E.)
Recognizable languages and finite semilattices of groups, Semigroup Forum 11, 181 —185.
Лаллеман, Перрен (Lallement G., Perrin D.)
] A graph covering construction of all finite complete, biprefix codes, Discrete Math. 26, 261—271.
Лаллеман, Петрич (Lallement G., Petrich M.)
A generalization of the Rees theorem in semigroups, Acta Sci. Math. 30, 113—132.
Лаллеман, Рис C. (Lallement G., Reis CA
] Team tournaments and finite elementary biprefix codes, Information and Control, 48, 11—29.
Лантен (Lentin A.)
Equations dans les Monoides Libres, Gauthiers-Villars, Mouton, Paris.
Лантен, Шютценберже (Lentin A., Schiitzenberger M. P.)
A combinatorial problem in the theory of free monoids, in Bose and Dowing (Eds.), Combinatorial Mathematics and Applications, University of North Carolina Press, pp. 128—144.
Лассез (Lassez J. L.)
Prefix codes and isomorphic automata, Intern. J. Comput. Math. Sect. A, 3, 309—314.
Левенштейн В. H.
О некоторых свойствах кодирования и самонастраивающихся автоматах для кодирования сообщений. — В сб.: Проблемы кибернетики, т. 11. — М.: Физматгиз. с. 63—121.
Леви (Levi F. W.)
On semigroups, Bull. Calcutta Math. Soc. 36, 141—146.
Линдон (Lyndon R. C.)
On Burnside’s problem I, Trans. Amer. Math. Soc. 77, 202— 215.
A theorem of Friedrichs, Mich. Math. J. 3, 27—29.
Линдон, Шупп (Lyndon R. С., Schupp Р. Е.)
77*] Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. [Русский перевод: Лнндои P., Шупп П. Комбинаторная теория групп М.: Мир, 1980.]
Лнндон, Шютценберже (Lyndon R. С., Schiitzenberger М Р.)
The equation ам = bNcp in a free group, Mich. Math. J. 9, 289— 298.
Лнч (Leech J.)
A problem on strings of beads, Math. Gas. 41, 277—78, note 2726. Лотэр (Lothaire M.)
] Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 17, Addison-Wesley Publ. Co.
Ляпнн E. C.
Полугруппы. — M.: ФизмаТгнз.
Магнус (Magnus W.)
DasTdentitats-Problem fiir Gruppen mit einer definierenden Relation, Math. Ann. 106, 295—307.
Магнус, Каррас, Солитэр (Magnus W., Karras A., Solitar D.)
Combinatorial Group Theory, Interscience, New York. [Русский перевод: Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. — М.: Наука, 1974.]
Майер-Вундерлн (Meier-Wunderli Н.)
Note on a basis of Р. Hall for the higher commutators in free groups, Comment. Math. Helv. 26, 1—5.
Майхилл (Myhill I.)
Finite automata and the representation of events, Wright Air Development Command Technical Report 57—624, 112—137.
Мак-Алнстер (McAlister D. B.)
Representations of semigroups by lineare transformations, Semigroup Forum 2, 189—263, 283—320.
Groups, semilattices and inverse semigroups I, Trans. Amer. Math. Soc. 192, 1—18; II, 196, 1974, 351-370.
0-bisimple inverse semigroups, Proc. Lond. Math. Soc. 28, 193— 221.
Маканин Г. С.
] Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе. — Матем. сб„ т. 103, № 2, с. 147—236.
Мак-Кензи, Томпсон (McKenzie R., Thompson R. J.)
Unsolvable word problems, in Word Problems, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 71, 457—478.
Мак-Лин (McLean D.)
Idempotent semigroups, Amer. Math. Mon. 61, 110—113.
Мак-Магон (MacMahon P. A.)
Combinatory Analysis I, Cambridge University Press.
Мак-Найт, Стори (McKnight J. D., Storey A. J.)
Equidivisible semigroups, J. Algebra 12, 24—48.
Мак-Нотон (McNaughton R.)
Algebraic decision procedure for local testability, Math. Syst. Theory 8, 60—76.
Мак-Ногон, Закстайн (McNaughton R., Zalcstein Y.)
The Burnside problem for semigroups, J. Algebra 34, 292—299.
Мак-Нотон, Пейперт (McNaughton R., Paperl S.)
Counter-free Automata, M. I T. Press, Cambridge, Mass.
Мак-Нотон, Ямада (McNaughton R„ Yamada H.l
Regular expressions and state grapns for automata, I. R. E. Trans. Elec. Comp. E. C. 9, 541—544.
Мальцев А. И.
Симметрические группоиды. — Матем. сб„ т. 31, № 1, с. 136— 151.
Алюритыы и рекурсивные функции. — М.: Наука.
f
l970] Алгебраические системы. — М.: Наука.
1976*] Избранные труды. Т. 1. Классическая алгебра —М.: Наука. Мандел, Саймон (Mandel A., Simon I.)
On finite semigroups of matrices, Theor. Comput. Sci. 5, 101—112. Манин Ю. И.
[1980*] Вычислимое и невычислимое. - М : Советское радио.
Манн (Munn W. D.)
A certain sublattice of the lattice of congruences on a regular semigroup, Proc. Camb. Philos Soc. 60, 385—391.
Uniform semilattices and bisimple hiverse semigroups, Q. J. Math. Oxf 17, 151—159.
Fundamental inverse semigroups, Q J. Math. Oxf. 21, 157— 170.
Free inverse semigroups, Proc. Lond. Math. Soc. 29, 385— 404.
Марков A A.
Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. — Докл. АН СССР, т. 55, с 587—590; то же II, Докл. АН СССР, т. 58, с. 353-356.
[1951а] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем. — Докл. АН СССР, т. 77, с. 19—20.
[1951b] Невозможность алгорифмов распознания некоторых свойств ассоциативных систем. — Докл. АН СССР, т. 77, с. 953—956.
[1951с*] Теория алгорифмов. — Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 38, с. 176-189.
Теория алгорифмов. — Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 42.
Марков А. А., Нагорный Н. М.
[1984*] Теория алгорифмов. — М.: Наука.
Марков Ал. А.
Нерекуррентное кодирование. — В сб.: Проблемы кибернетики, т. 8, с. 169-188.
[1982*] Введение в теорию кодирования. — М.: Наука.
Матиясевич Ю В.
Простые примепы неразрешимых ассоциативных исчислений,— Докл АН СССР, т. 173, № 6, с. 1264—1266; Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 93, 50—88.
] Об исследованиях по некоторым алгорифмическим проблемам алгебры и теории чисел. — Труды Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 168, с 218-235.
Мейер, Томпсон (Meyer A. R, Thompson С.)
Remarks on algebraic, decomposition of automata, Math. Syst. Theory 3, 110—118.
Мендельсон (Mendelson E.)
[1963*] Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand Co., Princeton. [Русский перевод; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: Наука, 1971.]
Мерзляков Ю. И.
[1980*] Рациональные группы. — М.: Наука
Милито (Milito Е.)
Some classes of syntactic monoids of recognizable languages, Ph. D. thesis, Pennsylvania State University.
Миллер, Клиффорд (Miller D D., Clifford A. H.)
Regular 25-classes in semigroups Trans. Amer. Math. Soc. 82. 1 — 15.
Морс, Хедлунд (Morse M., Hedlund G. A.)
Unending chess, symbolic dynamics and a problem in semigroups, Duke Math. J. 11, 1—7.
Мучник Ан. А.
] О теореме Шютценберже, касающейся моноидов без нетривиальных подгрупп. — В кн.: Математическая логика, математическая лингвистика и теория алгоритмов. — Калинин, с. 65—68.
Намбурипад (Nambooripad К. S. S.)
Structure of regular semigroups, I, II, Semigroup Forum 9, 354— 371.
Нейман (Neumann В. H.)
Embedding theorems for semigroups, J Lond. Math. Soc. 35, 184— 192.
Some remarks on semigroup presentations, Can. J. Math. 19, 1018—1026.
[1973] The isomorphism problem for algebraically closed groups, in Word Problems, Studies in Logic and Foundations of Mathematics, Vol. 71, 457—478.
Нельсоц (Nelson R. J.)
Introduction to Automata, John Wiley & Sons, New York.
Нероуд (Nerode A.)
Linear automaton transformations, Proc. Amer. Math. Soc. 9, 541—544.
Ннва (Nivat M.)
Elements de la theorie generale des codes, in E. R. Caianiello (Ed.), Automata Theory, Academic Press, New York, pp. 278— 294.
Transductions des langages de Chomsky, Ann. Inst. Fourier 18, 339—456.
Ннва, Перро (Nivat M., Perrot J. F.)
Une gen6ralisation du monoide bicvclique, C. R. Acad. Sci. Paris 217 A, 824—827.
Нива, Щютценберже (Nivat M., Schiitzenberger M. P.)
Snr les produits semi-directs droits de monoides, C. R. Acad. Sci. Paris 263, 659—661.
Новиков Г]. C.
] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества. — Докл. АН СССР, т. 85, с. 709-719.
Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп. — Тр Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 44.
] Избранные труды. Теория множеств и функций. Математическая логика и алгебра. — М.: Наука.
Новиков П. С., Адян С. И.
О бесконечных периодических группах, 1, 11, III. — Изв. АН СССР, сер. матем., 32, № 1, 2, 3, с. 212—244, 251—524, 709—731. Оганесян Г. У.
[1982*] О полугруппах с одним соотношением и полугруппах без циклов. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 46, № 1, с. 88—94.
Ольщднский А. Ю.
[1982а*] О теореме Новикова — Адяна. — Матем. сб., т. 118, № 2, с. 203— 235.
[1982b*] Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка. — Алгебра и логика, т. 21, № 5, с. 553—618.
Паалман де Миранда (Paalman-de Miranda А. В.)
Topological semigroups, Math Cent. Tracts 11, Amsterdam.
Парик (Parikh R. J.)
Language generating devices, M. i.T. Pes. Lab. Electron. Q. Prog. Rep. 60, 199—212.
Пастен (Pastijn F.)
[1977*] Embedding semigroups in semibands, Semigroup Forum, 14, 247— 263.
Перрен (Perrin D )
Le langage engendre par un code prefixe et son monoIde syntaxi- que, Third cycle doctoral thesis, University of Paris.
Codes conjugufes, Inf. Control 20, 222—231.
Codes biprefixes et groupes de permutations, Doctoral thesis, University of Paris,
[1977a] La transitivite du groupe d’un code biprefixe fini, Math. Z. 153, 283—287.
[1977b] Codes asynchrones, Bull. Soc. Math. France 105, 385—404.
Перрен, Перро (Perrin D., Perrot J. F.)
Sur les codes prefixes complets finis, C. R. Acad. Sci. Paris 269, 1116—1118.
Congruences et automorphismes des automates finis, Acta Infor- matica 1, 159—172.
Перро (Perrot J. F.)
Groups and automata, in Z. Kohavi and A. Paz (Eds.), Theory of Machines and Computations, Academic Press, New York, pp. 287—293.
Contribution a I’etude des monoides syntactiques et de certains groupes associes aux automates finis, Doctoral thesis, University of Paris.
Groupes de permutations associfes aux codes prefixes finis, in A. Lentin (Ed.), Permutations, Gauthiers-Villars, Mouton, Paris, pp. 19—35.
Une theorie algebrique des automates finis monog6nes, Symp. Math. 15, 201—244.
Петрич (Petrich M.)
The translational hull of a completely 0-simple semigroup, Glasg. Math. J. 9, 1—11.
Introduction to Semigroups, Charles E. Merrill Publ. Co., Columbus, Ohio.
[1977] Lectures in Semigroups, Academic Press, Berlin.
[1984*] Inverse Semigroups. John Wiley & Sons, New York.
Петров A. H.
[1979*] Одна теорема вложения для счетных полугрупп.— В кн.: Тез. докл. 15-й Всесоюзн. алгебр, конф., ч. II — Новосибирск, с. 1161). Пиотровский Р. Г., Бектаев К. Б., Пиотровская А. А.
[1977*] Математическая лингвистика. — М.: Высшая школа.
Плоткин Б. И
[1966*] Группы автоморфизмов алгебраических систем.— М.: Наука. Поллачек (Pollatchek А.)
Relationships between combinatorics and 0-simple semi-groups, J. Pure Appl. Algebra 9, 301—334.
Понцзовский И. С.
] О матричных полугруппах. — В кн.: Тез. докл. 13-го Всесоюзн. алгебр, симпоз., ч. 2. — Гомель, с. 233.
Пост (Post Е. L.)
Finite combinatory processes Formulation 1, J. Symb. Logic 1, 103—105. [Русский перевод: Пост Э. Л. Финитные комбинаторные процессы, формулировка 1. — В кн.: Успенский В. А. Ма шииа Поста. — М.: Наука, 1979, с. 89—95.]
Recursive unsolvability of a problem of Thue, J. Symb. Logic 12, 1—11.
Престон (Preston G. B.)
Inverse semi-groups, J. Lond. Math. Soc. 29, 396—403.
Matrix representations of semigroups, Q. J. Math. Oxf. 9, 169— 176.
Congruences on completely 0-simple semigroups, Proc. Lond. Math. Soc. 11, 557—576.
Пэн (Pin J. E.)
] Varietes de langages et vari6tes de semigroupes, Doctoral thesis, University of Paris VI.
] Varietes de langages formels, Etudes et recherches en informati- que, Masson, Paris.
Рабин, Скотт (Rabin M. О., Scott D.)
Finite automata and their decision problems, I.B.M. J. Res. Dev. Ill, 114—125. [Русский перевод: Рабин NV О., Скотт Д. Конечные автоматы и задачи их разрешения. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 4. — М.: ИЛ, 1962, с. 58—91.]
Райзер (Ryser J.)
Combinatorial Mathematics, Carus Math. Monographs 14. [Русский перевод: Райзер Дж. Комбинаторная математика. — М.: Мир. 1966.]
Райли Дж. (Riley J. Л.)
The Sardinas — Patterson and Levenshtein theorems, Inf. Control 10, 120—136.
Райли H. (Reilly N.)
Bisimple inverse semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 132, 101— 114.
Free generators of free inverse semigroups, Bull. Aust. Math. Soc. 7, 407—424.
] Free inverse semigroups, in G. Pollak (Ed.), Algebraic Theory of Semigroups, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, pp. 479— 508.
Редей (Redfei L.)
Ein Beitrag zum Probleme der Factorisation von endlischen Abel- schen Gruppen, Acta Math. Sc. Hung. 1, 197—207.
] The Theory of Finitely Generated Commutative Semigroups, Pergamon Press, Oxford, London.
Редько В. H., Лисовик Л. П.
] Регулярные события в полугруппах.—В сб.: Проблемы кибернетики, т. 37, с. 155—184.
Ремесленников В. Н., Романьков В. А.
] Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп,— В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия (итоги науки и техники), т. 21.-М.: ВИНИТИ, с. 3-79.
Рестиво (Restivo А.)
Codes and aperiodic languages, Lecture Notes in Computer Science 2, Springer-Verlag, pp. 175—181.
On a question of McNaughton and Papert, Inf. Control 25, 93— 101.
Рис Д. (Rees D.)
On semi-groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 36, 387—400.
Note on semi-groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 37, 434—435. Роджерс (Rogers H., Jr)
] Theory of Recursive Functions and Effective Computability, McGraw-Hill Book Co., New York. [Русский перевод: Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — Мл Мир, 1972.]
Ройтенауэр (Reutenauer С.)
Proprietes arithmetiques et topologiques de sferies rationnelles en variables non commutatives, Third cycle doctoral thesis, University of Paris.
Ротман (Rotman J. J.)
The Theory of Groups, 2nd ed., Allyn and Bacon, Boston.
Саббаг (Sabbagh G.)
Caracterisation algebrique des groupes de type fini ayant un probbane de mots resoluble, Seminaire Bourbaki 1974/75, Lecture Notes in Mathematics 514, Springer-Verlag, pp. 61—80.
Саймон (Simon I.)
Hierarchies of events with dot-depth one, Ph. D. thesis, Depart- . ment of Applied Analysis and Computer Science, University of Waterloo, Canada.
Piecewise testable events, in Automata Theory and Formal Languages, 2nd G. I. Conference, Lecture Notes in Computer Science 33, Springer-Verlag, pp. 214—322.
Сакарович (Sakarovitch J.)
Monoides syntactiques et langages algebriques, Third cycle doctoral thesis, University of Paris.
Саломаа (Salomaa A.)
Theory of Automata, Pergamon Press, London.
Formal Languages, Academic Press, New York.
Сардинас, Паттерсон (Sardinas A. A., Patterson C. W.)
[1953] A necessary and sufficient condition for the unique decomposition of coded messages, I. R. E. Int. Conv. Rec. 8, 104—108. [Русский перевод: Сардинас А. А., Паттерсон Дж. У. Необходимое и достаточное условие однозначного разложения закодированных сообщений. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 3. — М.: ИЛ, 1961, с. 93-102.]
Саркисян О. А.
[1981*] О проблемах тождества и делимости в полугруппах и группах без циклов. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 45, № 6, с. 1424— 1441.
Сезари (Cesari Y.)
[1972а] Quelques algorithmes de la theorie des questionnaires et de la theorie des codes, Doctoral thesis, University of Paris.
[1972b] Sur un algorithme donnant les codes biprefixes finis, Math. Syst. Theory 6(3), 221—225..
Sur 1’application du theoreme de SuschKewitsch a I’etude des codes rationnels complets, in J. Loeckx (Ed.), Automata, Languages, and Programming, Springer-Verlag, Berlin, pp. 342—350.
] Proprietes combinatoires des codes biprefixes, in Theorie des Codes, Actes de la septieme Ecole de Printemps d’lnformatique Theorique, Jougne 1979, ed. D. Perrin, L. I. T. P., E. N. S. T. A., 29—46.
Cepp (Serre J. P.)
Lie Algebras and Lie Groups, W. A. Benjartrin, New York. [Русский перевод: Cepp Ж.-П. Алгебры Лн и группы Ли. — М.: Мир, 1969.]
Скотт (Scott D.)
A short recursively unsolvable problem, J. Symb. Logic 21, 111 — 112.
Сойтола (Soittola M.)
Positive rational sequences, Theor. Comput. Sci. 2, 317—322. Соссюр, де (de Saussure F.)
Cours de Linguistique Generale, 3d ed., Gauthier-Villars, Paris. [Русский перевод: де Соссюр Ф. Курс общей лингвистики. — М,, 1933.]
Спенер (Spehner J. С.)
Quelques constructions et algorithines relatifs aux sous-monoides d’un monoide libre, Semigroup Forum 9, 334—353.
Спитцер (Spitzer F.)
A combinatorial lemma and its applications to probability theory, Trans. Amer. Math. Soc. 82, 323—339.
Старке (Starke P. H.)
Abstrakte Automaten, V. E. B. Deutscher Verlag der Wissenschaf- ten, Berlin.
Страубииг (Straubing H.)
Families of recognizable sets corresponding to certain varieties of finite monoids, J. Pure Appl. Alg. 15, 305—318.
Супруненко Д. A.
[1972"] Группы матриц. — M.: Наука.
Супруненко Д. А., Платонов В. П.
] Об одной теореме Шура. — Докл. АН БССР, 7, с. 510—512. Сушкевич А. К.
Ober die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Um- kehrbarkeit, Math. Ann. 99, 30—50.
Теория обобщенных групп. — Харьков: ГНТИУ.
Сэндз (Sands A. D.)
On the factorization of finite abelian groups, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 8, 65—86.
The factorization of abelian groups, Q. J. Oxf. IQ, 81—91.
[1974] On the factorization of finite groups, J. bond. Math. Soc. 7 627— 631.
Тамура (Tamura T.)
Decompositions of a completely simple semigroup, Osaka Math. J. 12, 269—275.
Тесье (Teissier M.)
Sur les equivalences regulieres dans les demi-groupes, G. R. Acad. Sci. Paris 232, 1987—1989.
Трахтман A. H.
] The varieties of «-testable semigroups, Semigroup Forum 27 309— 318.
Туэ (Thue A.)
] Ober unendliche Zeichenreiken, Norske Vid. Selsk. Skr., I Mat. Nat. KL, Christiania, 7, 1—22.
Ober die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser Zeichenreichen, Skr., Vid. Kristiania, I Mat. Naturv. Klasse, No. 8, 67 pp.
Probleme fiber Veranderungen von Zeichenreichen nach gegebenen Regeln, Skr. Vid. Kristiania, I Mat. Naturv. Klasse, No. 10, 34 pp.
Тьеррен (Thierrin G.)
Contribution a la theorie des equivalences dans les demi-groupes, Bull. Soc. Math. France 83, 103—159.
Simple automata, Kybernetica (Prague) 5, 343—350.
Тьюринг (Turing A. M.)
On computable numbers with an application to the Entscheidungs problem, Proc. Lend. Math. Soc. 42, 230—265.
Унг (Weeg G. P.)
The structure of an automaton and its operation-preserving transformation group, J. Assoc. Comput. Math. 9, 345—349.
Уорн (Warne R. J.)
A class of bisimple inverse semigroups, Pac. J. Math. 18, 563— 577.
Успенский В. A.
[i960*] Лекции о вычислимых функциях. — М.: Физматгиз.
Уэллс (Wells С.)
Some applications of the wreath product construction, Amer. Math. Mon. 83, 317—338.
Файн, Уилф (Fine N. J., Wilf H. S.)
Uniqueness theorems for periodic functions, Proc. Amer. Math. Soc. 16, 109—114.
Феллер (Feller W.)
An Introduction to Probability Theory and its Applications, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York. [Русский перевод: Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, изд. 4-е. — М.: Мир, 1984.]
Флиесс (Fliess М.)
Deux applications de la representation matricielle d’une serie ra- tipnnelle non commutative, J. Algebra 19, 344—353.
Matrices de Hankel, J. Math. Pures Appl. 53, 197—222; erratum in 54, 1975.
Фоата (Foata D.)
Etude alg6brique de certains problSmes d’analyse combinatoire et du calcul des probabilites, Publ. Inst. Stat. Univ. Paris 14,81—214. Фоата, Фукс A. (Foata D., Fuchs A.)
Rearrangements de fonctions et dfenombrement, J. Comb. Theory 8, 361—375.
Фоата, Шютцеиберже (Foata D., Schiitzenberger M. P.)
On the principle of equivalence of Sparre Andersen, Math. Scand. 28, 308—316.
Фридрихе (Friedrichs К. O.)
Mathematical aspects of the quantum theory of fields V, Comm. Pure Appl. Math. 6, 1—72.
Фукс Л. (Fuchs L.)
Abelian Groups, Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris.
Хайош (Haj6s G.)
Sur le probleme da factorisation des groupes cycliques, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1, 189—195.
Калмош (Halmos P. R.)
Lectures on Ergodic Theory, Publication Qf the Math. Soc. of Japan, No. 3. [Русский перевод: Халмош П. Лекции по эргодической теории. — М.: ИЛ, 1959.]
Entropy in Ergodic Theory, University of Chicago Press, Chicago. Харлампович О. Г.
] Конечно определенная разрешимая группа с неразрешимой проблемой равенства. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 46, № 4, с. 852-873.
Харрисоц (Harrison М. А.) '
Introduction to Switching and Automata Theory, McGraw-Hill Book Co., New York.
Хасигути, Хонда (Hashiguchi К., Honda N.)
Homomorphisms that preserve star height, Inf. Control 30, 247— 260.
Хауи (Howie J. M.)
An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, London. Хаутон (Houghton С. H.)
Completely 0-simple semigroups and their associated graphs and groups, Semigroup Forum 14, 41—68.
Керстейн (Herstein I. N.)
Non Commutative Rings, Carus Math. Monographs 15. [Русский перевод: Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.]
Хигман (Higman G.)
Subgroups of finitely presented groups, Proc. R. Soc. A, 262, 455—475.
Хилле, Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)
Functional Analysis and Semigroups, Amer. Math. Soc. Coll. Publ. 31. [Русский перевод: Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.]
Хмелевский Ю. И.
Уравнения в свободной полугруппе. — Тр. Матем. ии-та В А. Стеклова, т. 107.
Холл М. (Hall М.)
The word problem for semigroups with two generators. J. Symb. Logic 14, 115—118.
Theory of Groups, MacMillan Publ. Co., New York. [Русский перевод: Холл M. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962.]
[1967а] Group theory and block designs, Proceedings of the International Conference on the Theory of Groups, Australian National University, Canberra, 1965, Gordon and Breach, New York, pp. 115—144.
*] Combinatorial Theory, Blaisdell Publ. Co., Waltham, Massachusetts. [Русский перевод: Холл M. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.]
Холл Т. (Hall Т. Е.)
On regular semigroups, J. Algebra 24, 1—24.
Холл Ф. (Hall F.)
A contribution to the theory of groups of prime power order, Proc. Lend. Math. Soc. 36, 29—95.
Хомский (Chomsky N.)
Syntactic Structures, Mouton, The Hague. [Русский перевод: Хомский H. Синтаксические структуры. — В кн.: Новое в лингвистике, вып. 2. — М.: Прогресс, 1962, с. 412—527.]
On certain formal properties of grammars, Inf. Control 2, 137— 167. [Русский перевод: Хомский H. О некоторых формальных свойствах грамматик. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 5.— М.: ИЛ, 1962, с. 279-311.]
Хомский, Шютценберже (Chomsky N., Schutzenberger М. Р.)
The algebraic theory of context-free languages, in P. Braffort and Hirshberg D. (Eds.), Computer Programming and Formal Systems, 118—161, North-Holland Publ. Co., Amsterdam. [Русский перевод: Хомский H., Шютценберже М. П. Алгебраическая теория кон- текстио-свободиых языков. — В кн.: Кибернетический сборник, новая серия, вып. 3. — М.: Мир, 1966, с. 195—242.]
Хопкрофт, Ульман (Hopcroft J. Е., Ullman J. D.)
Formal Languages and their Relation to Automata, Addison-Wes- ley Publ. Co., Reading, Mass.
Хоффман, Мостерт (Hoffman К. H., Mostert P.)
Elements of Compact Semigroups, Charles E. Merrill Publ. Co., Columbus, Ohio.
Цейтин Г. С.
Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой эквивалентности. — Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 52, с. 172—189. Чеиь, Фокс, Линдон (Chen К. Т., Fox R. Н., Lyndon R. С.)
Free differential calculus IV, The quotient groups of the lower central series, Ann. Math. 68, 81—95.
Шайблих (Scheiblich H. E.)
Free inverse semigroups, Semigroup Forum 4, 352—359.
Free inverse semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 38, 1—7. Шайн (Schein В. M.)
Homomorphisms and subdirect decompositions of semigroups, Pac. J. Math. 17, 529—547.
Relation algebras and function semigroups, Semigroup Forum 1, 1—62.
Free inverse semigroups are not finitely presentable, Stud. Sci. Math. Hung. 26, 179—195.
Шеврин Л. H.'.
О подполугруппах свободных полугрупп. — Докл. АН СССР, т. 133, № 3, с. 537-539.
[1965*] О локально конечных полугруппах. — Докл. АН СССР, т. 162, № 4, с. 770—773.
Шеврин Л. Н., Волков М. В.
[1985*] Тождества полугрупп. — Изв. вузов. Математика, № И.
Шеннон, Маккарти (ред.) (Shannon С. Е., McCarthy J.)
Automata Studies, Princeton University Press, Princeton, N. J. [Русский перевод: Шеннон К.. Маккарти Дж. (ред.) Автоматы,— М.: ИЛ, 1956.]
Шенфилд (Schoenfield J. R.)
] Mathematical Logic, Addison-Wesley Publ. Co. [Русский перевод: Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука, 1975.]
Ширшов А. И.
О свободных кольцах Ли. — Матем. сб., т. 45, № 2, с. 113—122.
[1984*] Кольца и алгебры: Избранные труды. — М.: Наука.
Шнеперман Л. Б.
[1975*] О локальной конечности матричных периодических полугрупп.— В кн.: Тез. докл. 4-й Республиканской коиф. математиков Белоруссии, ч. 2. — Минск, с. 71.
[1982*] The Schur theorem for periodic semigroups of linear relations, Semigroup Forum 25, 203—211.
Шрейер (Schreier O.)
Uber die Erweiterung von Gruppen I, Mon. Math. Phys. 34, 165— 180; II, Abh. Math. Sem. Hamb. 4, 321—346.
Uber den Jordan — Holderschen satz, Abh. Math. Sem. Hamb. 6, 300—302.
Штейнфельд (Steinfeld O.)
A generalization of completely 0-simple semigroups, Acta Sci. Math. Hung. 28, 135—145.
Шур (Schur I.)
Uber Gruppen periodischer Substitutionen, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 619—627.
Шютценберже (Schiitzenberger M. P.)
Une theorie algebrique du codage, C. R. Acad. Sci. Paris 242, 862—864; Seminaire Dubreil — Pisot 1955—1956, No. 15.
^-representation des demi-groupes, C. R. Acad. Sci. Paris 244, 1994—1996.
[1959a] Sur certains sous-demi-groupes qui interviennent dans un probleme de mathematiques appliquees, Publ. Sci. Univ. Alger, Serie A, 6, 85—90.
[1959b] Un probleme de ia theorie des automates, Seminaire Dubreil — Pisot, University of Paris, December 1959.
[1961a] On a special class of recurrent events, Ann. Math. Stat. 32, 1201— 1213.
[1961b] On the definition of a family of automata, Inf. Control 4, 245— 270.
On a theorem of Jungen, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 885—890.
On the synchronization properties of certain prefix codes, Inf. Control 7, 23—36.
[1965a] Sur certains sous-monoldes libres, Bull. Soc. Math. France 93, 209-223.
[1965b] On a factorisation of free monoids, Proc. Amer. Math. Soc. 16, 51—54.
[1965с] On finite monoids having only trivial subgroups, Inf Control 8, 190—194.
Sur les monoides finis dont les groupes sont commutatifs, Rev. Aut. Inf. Rech. Op., R. 1, 55—61.
Sur ie produit de concatenation non ambigu, Semigroup Forum 13(1), 47—75
Эберхарт, Селден (Eberhart C., Selden J.)
One parameter inverse semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 168, 53—66.
Эванс (Evans T.)
Embedding theorems for multiplicative systems and projective geometries, Proc. Amer. Math. Soc. 3, 614—620.
Some connections between residual finiteness, finite embeddability and the word problem, J. bond. Math. Soc. 1(2), 399—403.
5
1971] The lattice of semigroup varieties, Semigroup Forum 2, 1—43.
1978*] Word problems. Bull. Amer. Math. Soc. 84, No. 5, 789—802.
Эгган (Eggan L. C.)
Transition graphs and the star height of regular events, Mich. Math. J., 385—397.
Эйленберг (Eilenberg S.)
Automata, Languages, and Machines, Vol. A, Academic Press, New York and London.
Automata, Languages, and Machines, Vol. B, Academic Press, New York, San Francisco, London.
Эйленберг, Шютценберже (Eilenberg S., Schiitzenberger M. P.)
On pseudovarieties of monoids, Adv Math. 19(3), 413—448.
Элгот, Мезеи (Elgot С. C., Mezei J. E.)
On relations defined by generalized finite automata, I. В. M. J. Res. Dev. 9, 47—68, Эш (Ash R.)
Information Theory, Interscience, New York.
Юргенсен (Jurgensen H.)
Inf-HalbverbSnde als syntaktische Halbgruppen, Acta Math. Acad.
Sclent. Hung. 31, 37—41.
Яблонский С. B.
[1979*] Введение в дискретную математику. — М.: Наука.
Ясухара (Yasuhara А.)
The solvability of the word problem for certain semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 26, 171—176.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(А 4+
а+,а*
д1 '
AW
(АР)
4®В
(Д, М) г (В, №
Aut S
^2
^(Д)
В (А, т, п)
В<8>0
ф
С
«’(а, 6)
Сг.т
Се®Се
С (т) card А Cont^ (х)
ct (а>)
®Р
3), %, /, з, я
О» На, Ja, La, Ra
Dn- Dn DM d^G <C) dx (ю) Div^
dom f
End At
полугруппа, порожденная множеством Д (гл. 1, § 1) свободная полугруппа и свободный моноид на Д (гл. 1, разд. 2.4)
свободная магма на Д (гл. 11, § 4)
универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли L (гл. 11, предложение 4.2) копредставление полугруппы или моноида (гл. 1, § 4) прямая сумма абелевых групп
сплетение моноидов преобразований (гл. 4, определение 5.1)
группа автоморфизмов полугруппы или группы S минимальный автомат языка L (гл. 6, определение 1.7) автомат, индуцированный автоматом 51 на p-классе состояния t (гл. 8, § 3)
булево двухэлементное полукольцо (гл. 5, § 1)
полугруппа бинарных отношений на А (гл. 1, разд. 2.1) полугруппа с к образующими, свободная в многообразии, определяемом тождеством хт = хп (гл. 10) композиция кодов (гл. 5, § 3)
поле комплексных чисел
бициклический моноид (гл. 1, § 4)
циклическая полугруппа, порожденная элементом циклической глубины г и периода т (гл. 1, § 4)
разложение префиксного кода С, отвечающее автоматной конгруэнции 0 (гл. 8, предложение 3.2) код, производный от кода С (гл. 8, определение 6.1) мощность множества А
множество контекстов элемента х относительно L (гл. 1, разд. 3 3)
множество букв слова г» (гл. 10, определение 3.2) псевдомногообразие P-разрешимых групп (гл. 7, § 3) отношения Грииа (гл. 2, § 2)
классы элемента а по модулю отношений Грииа (гл. 2, § 2)
язык Дика и ограниченный язык Дика (гл. 9, § 5) ©-класс автомата Я (гл. 8, определение 2.3)
степень группы Сушкевича кода С (гл. 8, теорема 6.14) степень слова г» относительно буквы х (гл. 1, разд. 2.4) множество собственных делителей группы или моноида N (гл. 4, определения 1.8) область потока ( (гл. 11, § 2) моноид эндоморфизмов моноида N
Emi* V | End (К К') J ^(^)F (4), FnF (4; C)r f+Ilf III ® g G (91), G (C)GH.V, K)HolS3r (4), 9t (4)ImxInnSKer ф$ kn, R}SWL1*', L*Lm~', m_'LL (Г, a)L® MLrW ^r№1(L, k, ri)F^r RkW j^W JIWЖX^Жп№ Жи kR)Ж (G\ I, A; P) 3Xй (G; /, Л; P) J MR, MLEmi* V | End (К К') J ^(^)F (4), FnF (4; C)r f+Ilf III ® g G (91), G (C)GH.V, K)HolS3r (4), 9t (4)ImxInnSKer ф$ kn, R}SWL1*', L*Lm~', m_'LL (Г, a)L® MLrW ^r№1(L, k, ri)F^r RkW j^W JIWЖX^Жп№ Жи kR)Ж (G\ I, A; P) 3Xй (G; /, Л; P) J MR, ML
Emi* V | End (К К') J ^(^)
F (4), Fn
F (4; C)
r f+
Ilf II
I ® g G (91), G (C)
GH.V, K)
HolS
3r (4), 9t (4)
Imx
InnS
Ker ф
$ kn, R}
SW
L1*', L*
Lm~', m_'L
L (Г, a)
L® M
LrW ^r№1
(L, k, ri)
F^r RkW j
^W J
IW
Ж
X^
Жп№ Жи kR)
Ж (G\ I, A; P) 3
Xй (G; /, Л; P) J MR, ML
Emi* V | End (К К') J ^(^)
F (4), Fn
F (4; C)
r f+
Ilf II
I ® g G (91), G (C)
GH.V, K)
HolS
3r (4), 9t (4)
Imx
InnS
Ker ф
$ kn, R}
SW
L1*', L*
Lm~', m_'L
L (Г, a)
L® M
LrW ^r№1
(L, k, ri)
F^r RkW j
^W J
IW
Ж
X^
Жп№ Жи kR)
Ж (G\ I, A; P) 3
Xй (G; /, Л; P) J MR, ML
полугруппа эндоморфизмов конечномерного векторного пространства V над телом К
абстрактное семейство языков, порожденное семейством $ (гл. 9, § 5)
свободная Р-алгебра над X (гл. 11, § 4)
моноид потоков на множестве 4, на n-элементном множестве (гл. 11, определение 2.1)
свободный частично коммутативный моноид на множестве 4 (гл. И, определение 2.7)
итерация и ограниченная итерация степенного ряда f (гл. 9, § 4)
норма степенного ряда или n-ки степенных рядов (гл. 9, § 4)
адамаровское произведение степенных рядов (гл. 9, § 4) группы Сушкевича автомата Я и префиксного кода С (гл. 8, определение 2.8)
общая линейная группа векторного пространства V над телом К
голоморф вполне О-простой полугруппы S (гл. 3, следствие 2.12)
полугруппа частичных взаимно однозначных преобразований на множестве 4 (гл. 1, разд. 2.2) образ отображения х
группа внутренних автоморфизмов вполне 0-простой полугруппы (гл. 3, § 2)
ядериая эквивалентность отображения ф, либо ядерная подгруппа, если ф — гомоморфизм групп
моноид (полукольцо) п X «-матриц над полукольцом R (гл. 9, § 4)
класс языков, синтаксические моноиды которых лежат в псевдомногообразии Ж (гл. 6, § 5)
подмоноид, порожденный подмножеством L моноида (гл. 6, § 3)
левое и правое частные подмножества L (гл. 6, § 3) язык, порожденный грамматикой Г, отправляясь от a (гл. 5, определение 4.16)
тензорное произведение модулей или алгеб» (гл. II, § 4)
свободная алгебра Ли над X (гл. 11, § 4)
замыкание свободной алгебры Ли в кольце степенных рядов (гл. 11, § 4)
ft-сечение по модулю п языка L (гл. 7, определение 3.1) левый, правый делители и множество внутренних делителей длины k слова да (гл. 7, определение 1.9) длина слова да
замыкание семейства моноидов Ж относительно сплетений и делителей (гл. 4, определение 1.5) псевдомногообразие, порожденное синтаксическими моноидами языков из S’ (гл. 6, § 5) полугруппа «Хи-матриц над полем К (гл. 10, § 1) псевдомногообразие моноидов, финально определяемое тождествами из R (гл. 6, § 5)
рнсевские матричные полугруппы (гл. 3, определение 2.5) правое и левое представления Шютценберже (гл. 2, § 5)
М(Г)М^ маМр (ОЛ»! о М2вN, №N^ОНNXHN wr НМ(Г)М^ маМр (ОЛ»! о М2вN, №N^ОНNXHN wr НРУ г И) ) ^, (Л) J Pr- QlPL. Р^- Pl}Pol $QQ (Л), Q„(Q, A, b, я) RЯ M]РУ г И) ) ^, (Л) J Pr- QlPL. Р^- Pl}Pol $QQ (Л), Q„(Q, A, b, я) RЯ M]Яга1М]Яга1М]Я+ [ИЦ Я^[Л] ^tti^i Rat#RatMРесЛ* г (Я) rank x^RЯ+ [ИЦ Я^[Л] ^tti^i Rat#RatMРесЛ* г (Я) rank x^R
М(Г)
М^ ма
Мр (О
Л»! о М2
в
N, №
N^
ОН
NXH
N wr Н
М(Г)
М^ ма
Мр (О
Л»! о М2
в
N, №
N^
ОН
NXH
N wr Н
РУ г И) ) ^, (Л) J Pr- Ql
PL. Р^- Pl}
Pol $
Q
Q (Л), Q„
(Q, A, b, я) R
Я M]
РУ г И) ) ^, (Л) J Pr- Ql
PL. Р^- Pl}
Pol $
Q
Q (Л), Q„
(Q, A, b, я) R
Я M]
Яга1М]
Яга1М]
Я+ [ИЦ Я^[Л] ^tti^i Rat#
RatM
РесЛ* г (Я) rank x
^R
Я+ [ИЦ Я^[Л] ^tti^i Rat#
RatM
РесЛ* г (Я) rank x
^R
копредставление, ассоциированное с машиной Тьюринга ST (гл. 5, § 5)
синтаксический моноид языка L (гл. 6, определение 1.7) пополненный моноид (t-моноид) моноида (/-моноида) М (гл. 4, определение 2.2, теорема 5.2) стабилизатор p-класса состояния / (гл. 8, § 3)
булево произведение моноидов (гл. 7, предложение 1.2)
множества положительных и неотрицательных целых чисел
множество натуральных чисел, являющихся порядками циклических групп из псевдомногообразия В (гл. 7, § 2) расширение группы N посредством группы Н (гл. 4, теорема 1.3) полупрямое произведение групп или моноидов (гл. 4, § 1)
сплетение групп или моноидов (гл. 4, определения 1.5) порядок группы G
порядок степенного ряда f (гл. 9, § 4)
множество всех подмножеств множества S
полугруппа всех частичных преобразований множества А (гл. 1, разд. 2.2)
правое и левое представления полугруппы частичными преобразованиями (гл. 2, § 5)
главные конгруэнции, соответствующие множеству L (гл. 1, разд. 3.3)
полиномиальное замыкание класса S (гл. 7, определение 2.3)
поле рациональных чисел
моноид перегруппировок на множестве А, иа «-элементном множестве (гл. 11, определение 2.1)
машина Тьюринга (гл. 5, определение 4.9) поле действительных чисел
полукольцо многочленов от некоммутирующих переменных А над полукольцом R
полукольцо степенных рядов (гл. 5, предложение 1.10) множество алгебраических степенных рядов (гл. 9, § 4) множество рациональных степенных рядов (гл. 9, предложение 4.8)
множества степенных рядов без свободных членов (гл. 9, § 4)
рациональное замыкание класса В (гл. 6, определение 3.1)
рациональное замыкание класса всех конечных подмножеств моноида М (гл. 6, определение 3.1)
класс распознаваемых языков над А (гл. 6, теорема 3.2) минимальный ранг автомата Я (гл. 8, § 2) ранг отображения х (гл. 2, § 1)
поток всех рациональных языков (гл. 6, § 5)
поток рациональных языков, определяемый псевдомно- гообразисм групп % (гл. 7, § 2)
поток рациональных языков, определяемый псевдомногообразием P-разрешимых групп (гл. 7, § 3)
?г И), ^ (А)
S”, S1
симметрическая группа на множестве Л (гл. 1, разд. 2.2) полугруппа S с присоединенным нулем, с присоединен
(S, П
ной единицей
автомат с множеством состояний S и функцией перехо
sw
да f (гл. 6, определение 1.1)
синтаксическая полугруппа языка L (гл. 6, замечание 5.17)
sgn л
Stf(^), St, (Я)
Str (L)
Stab (() suppf S/p
знак подстановки л (гл. И, § 3)
правый и левый стабилизаторы Жкласса Н (гл. 2, § 3)
правый стабилизатор S-класса L (гл. 2, § 3) стабилизатор состояния t (гл. 8, § 2) носитель степенного ряда / (гл. 5, § 1) фактормножество (факторполугруппа) по эквивалентно
s//
srr (Л), ^z (Л)
сти (конгруэнции) р (гл. 1, § 3)
факторполугруппа Риса по идеалу / (гл. 1, разд. 3.2) полугруппа всех преобразований на множестве Л (гл. 1,
S^ (S)
разд. 2.2)
рациональный конус, порожденный семейством языков SB
r^)
Tr (S)
UL^
Л
(гл. 9, § 5)
моноид переходов автомата 91 (гл. 6, § 1)
моноид правых сдвигов на полугруппе S (гл. 1, упр. 1)
производящая функция вероятностей (гл. 6, § 4)
И =Ф- f
U => У Г l=yl
^V, Л, л) z z„
rr w, rz (Я)
A№
вывод в грамматике Г = (V, Л, л)
тождества, финально выполняющиеся на псевдомногообразии (гл. 6, § 5)
формальная грамматика (гл. 5, определение 4.16) кольцо целых чисел
аддитивная группа целых чисел по модулю п
группа Шютценберже 35-класса, содержащего Н (или моноид переходов 5^-класса /7) (гл. 2, § 3)
диагональная матрица с элементами хь . . . , х„ на главной диагонали (гл. 11, § 1)
A (A)
2r (D НОД HOK
средняя длина слов из L (гл. 6, § 4) моноид переходов S-класса L (гл. 2, § 3) наибольший общий делитель наименьшее общее кратное
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Абстрактное семейство языков (AFL) 323
главное 329
автомат 174
— групповой 291
— индуцированный на классе конгруэнции 259
— конечный 178
— минимальный 180
— минимальных образов 286
— моногенный 176
— недетерминированный 185
— транзитивный 176
— 0-транзнтнвный 184
— [0}-трапзитнвный 253
— частичный 185
Л*-автомат 176
М-автомат 174
Afp (/)-автомат 258
R-А*-автомат 335
автоморфизм 16
адамаровское произведение степенных ря
дов 319
алгебра ассоциативная 384
— Ли 384
свободная 387
— тензорная 385
— универсальная обертывающая 385
Я-алгебра свободная 387
алгорифм нормальный 157
алфавит 22, 126
— вспомогательный 293
— основной (терминальный) 159, 293
Базис моноида 132
беспорядки 366
бинарное отношение 18
бисекция 404
блок-схема 93
симметричная 94
Время возвращения среднее 285
выражение регулярное 212
высота итерационная 212
Глубина мультипликативная 247
— ниль-простого моноида 284
— циклическая 31
голоморф вполне 0-простой полугруппы 82
гомогруппа 70
гомоморфизм автоматов 175
— деления 104
— задающий 149
— лиев 384
— моноидов 16
— полугрупп 16
— порождающий бесконечную последовательность без повторений 358
— симметрический 359
— синтаксический 201
— систем инцидентности 94
грамматика квадратичная 330
контекстно-зависимая 160
— контекстно-свободная 161, 293
— линейная 324, 334
— однозначная 187
— праволинейиая 161, 186
— рациональная 161, 186
— а-связная 297
—■ формальная 159
грамматики типов I, 2, 3 (иерархия Хом
ского) 161
граф грамматики 297
— ориентированный 408
— полугруппы преобразований 21
— состояний автомата 176
Грина (или гриновские) отношения 42
группа автоморфизмов 82
системы инцидентности 95
— импримитнвная 261
— индуцированная на классе импримитивности 261
— матриц неприводимая, приводимая 317
— обратимых элементов моноида 18
стандартная 82, 95
— подстановок просто транзитивная 50, 267
транзитивная 50
— примитивная 270
разрешимая 241
Р-разрешимая 242
симметрическая 20
— структурная 78
Сушкевича автомата 258
префиксного кода 258
рационального кода 292
характеристическая 342
Шютценберже © -класса 52
ST-rpynna 269
Декомпозиция моноида 107
/-моноида 118
делимость /-моноидов 117
делитель (группы или моноида) собственный 104
слова левый, правый 24
дерево автомата 177
— вывода 294
префиксного кода 136
длина слова 23, 127
события средняя 196
egg-box-диаграмма 43
Единица полугруппы 15
Задержка снихронизации 236
— слева направо 171
s-задержка 236
замещение 236
3"-замещение 236
замыкание относительно полупрямых произведений н делителей 105
сплетений н делителей 104, 118
— полиномиальное 230
— рациональное 189
— транзитивное 25
Идеал главный 70
— (двусторонний) 17
— левый, правый 17
— минимальный 35
— 0-миннмальный 39
идемпотент 15
— примитивный 73
изоморфизм полугрупп 16
импримитивность 261
инцидентность 92
итерация 189
— степенного ряда 313
Класс подмножеств, замкнутый относительно полиномиальных операций 230
рационально замкнутый 189
— по модулю эквивалентности 24
р-класс 24
©-класс автомата 255
<2>-класс состояния 284
код 133
— бипрефиксный 135
элементарный 290
— максимальный 144
— неразложимый 147
код однородный степени п 145
очень чистый 250
префиксный 135
неполный, полный 147
синхронизированный 263
производный 277
разложимый над данным кодом 147
с конечной задержкой синхронизации
ограниченной задержкой слева направо 171
суффиксный 135
— чистый 250
кодирование 134
кольцо вероятностное полиномиальное 288
нормированное 308
композиция кодов 148
конгруэнция вполне инвариантная 214
главная двусторонняя 27
правая 27
индуцирующая группы 291
конечного индекса 178
левая, правая 25
— максимальная в точке 254
— на автомате 175
полугруппе 25
— Риса 26
— синтаксическая 26, 180
— ядерная 26
конец слова 349
конкатенация 23, 126
контексты 26
контур в графе 408
конус рациональный 323
главный 329
конфигурация тактическая 92
копредставление, ассоциироваииое с ма- шиной Тьюринга 162
— моноида 30
— полугруппы 28
— Чёрча — Россера 169
копредставления эквивалентные 30
корень из слова 250
кратность слова 307
Локализация псевдомногообразия моноидов 214
Магма 387
— свободная 387
матрица инцидентности 92
— мономиальная 81
по строкам, по столбцам 20
представления 316
базисная 316
машина Тьюринга 155
метка концевая, начальная 349
многообразие моноидов 205
многочлены круговые 346
множества начальных, заключительных состояний 185
множество контекстов элемента 26
образующих 17
порождающих символов 27
рекурсивное 152
рекурсивно перечислимое 152
состояний автомата 175
моделирование автоматов 247
моноид 16
бициклический 31
малый 89
(0, 1)-матриц 34
— неприводимый 106
ннль-простой 283
«однозначных» отношений 34
перегруппировок 372
переходов автомата 175
— — ^-класса 60
моноид переходов ^-класса 52
— подпрямо неразложимый 122
— полициклический 172
— полугруппы 16
— пополненный 108
— потоков на множестве 372
— преобразований 21, 116
равноделимый 129
резндуально конечный (или финитно аппроксимируемый) 172
свободный 23, 126
коммутативный 34
частично коммутативный 376
сильно неприводимый 106
— синтаксический 180
с конечными разложениями 380
левым сокращением 33
2-ступенно нильпотентный 208
— удовлетворяющий тождествам 208
финально 208
/-моноид 116
—• пополненный 118
— простой (или сильно неприводимый)
— распознающий язык 213, 242
/-моноиды подобные 117
мономорфизм 18
морфизм /-моноидов 116
Начало слова 349
норма 308
носитель события 196
степенного ряда 132
нуль 15
левый, правый 15
Область потока 373
образ преобразования 37
0-объединение полугрупп 39
остов полугруппы 45
отношение бинарное 18
транзитивности 62
эквивалентности 24
Пара С-связанная 138
синхронизирующая 236
С-пара 138
перегруппировка 371, 372
циклическая 376
период элемента 31
плоскость проективная конечная 94
подавтомат 175
подгруппа 17
подмножество моноида дизъюнктивное 201
распознаваемое 213
рациональное 189
подмоноид 17
слабо унитарный 134
унитарный 135
слева, справа 135
/-подмоноид 117
подполугруппа 17
— циклическая 17 подполукольцо 314 подслово 24
подстановка, определяемая перегруппировкой без повторений 374
рациональная 304
поле вероятностное 288
— вычислимое 345
полугруппа 15
бинарных отношений 19
бипростая 70, 75
0-бипростая 75
Бранота 83
Бэра — Леви 70
вполне простая 73
0-проетая 73
— всех преобразований на множестве 19
полугруппа всех частичных взаимно однозначных преобразований 20
— преобразований 20
— двойственная 20
инверсная 48
клиффордова 69
комбинаторная 114
коммутативная 15
конечно копредставленная (илн конечно определенная) 29
порожденная 29
левых нулей, правых нулей 33
моноида 16
— нильпотентная 228
периодическая 31, 56
преобразований 21, 123
простая (или идеально простая) 35
0-про< тая 40
регулярная 47
рисовская матричная 78
свободная 23, 127
синтаксическая 211
с конечным числом соотношений 29
левым сокращением 33
нулевым умножением 39
со слебым сокращением 97
^-тестируемая 226
устойчивая 55
слева, справа 54
циклическая 30
четырехспиральиая 172
/-полугруппа 123
7 X 7-полугруппа Брандта над группой 84
полугруппы преобразований подобные 49
полукольцо 131
— булево 131
— степенных рядов 131
полурешетка 71, 123, 249
групп 71
пополнение частичного автомата 185
порядок лексикографический 400
степенного ряда 308
последовательность без повторений 358
гомоморфизмов точная 57
навлекаемая из слова 221
поток апериодических языков 216
без повторений 373
в графе 408
— на множестве 371
— языков 204
замкнутый относительно итераций, относительно произведений 216
— описываемый своими конечными префиксными кодами 248
— определяемый группами (из данного псевдомногообразия) 216
правая группа 33, 83
правила грамматики 159
представление мономиальными по строкам матрицами над группой с нулем 64
точное 62
транзитивное 62
частичными преобразованиями 62
Шютценберже (или ^-представление) правое 65
^-представление левое 66
полное 66
представления эквивалентные 62
проблема Бернсайда общая, ограниченная 336
— равенства слов 149, 161
■неразрешимая, разрешимая 161
— соответствия 167
ограниченная 167
эквивалентности слову 164
программа машины Тьюринга 155
произведение автоматов декартово 190
групп полупрямое 103
произведение моноидов булево 216
подпрямое 122
— полупрямое 106
представлений тензорное 320
степенных рядов адамаровское 319
производящая функция вероятностей 196
прообраз гомоморфный 193
пространство ультраметрическое 308
псевдомногообразие моноидов 205
индуцированное псевдомногообразнем групп 210
Равноделимость 129
разбиение 24
совершенное 89
разложение абелевой группы 89
кода 147
префиксного кода максимальное 260
— элемента 380
ранг на полугруппе 337
постоянный на факторизованном сегменте 338
преобразования 37
эндоморфизма векторного пространства 57
распределение вероятностей 196
расширение групп 102
расщепленное (или расщепляемое) 103
центральное 103
полугрупп идеальное 42
решетка модулярная 43
ряд главный идеальный 41
композиционный группы 101
полугруппы 70
— степенной 131
алгебраический 312
без свободного члена 143
однозначный 188
распознаваемый 317
— рациональный 312
характеристический 132
субнормальный 101
Связка 70
групп прямоугольная 99
коммутативная 71
— прямоугольная 70, 73, 83, 249
0-прямоугольная 97
свободная 352
сдвиг внутренний правый 22
правый 33, 108
сегмент факторизованный 338
семейство Холла 388
специальное 388
языков 322
сечение слова 140
6-сечение по модулю п 242
символ циклический 298
синхронизатор 263
система инцидентности 92
невырожденная 96
координат для «0-класса 66
^-класса 63
Маркова 165
— Поста 164
— обратимая 164
троек Штейнера 93
уравнений алгебраическая 311
— — линейная 312
следствие множества соотношений 28
слова сопряженные 390
слово 22, 127
— бесконечное 358
— неоднозначное 307
— примитивное 249, 391
— пустое 24
” раздувающее 273
слово самосопряженное 391
— синхронизирующее 263
— специальное 166
— стандартное 401
— хорошее 277
сложность /-моноида групповая 122
событие 196
— рекуррентное возвратное, невозвратное 197
содержание слова 349
соответствия проблема 167
соотношение в полугруппе 27
— неприводимое 140
— продуцированное С-последовательностью 142
соотношения определяющие 28
состояние автомата начальное 177
неподвижное 175
— — порождающее 176
— марковской цепи возвратное, невозвратное 285
сплетение 104
— моноидов преобразований 117
— тройное 118
стабилизатор ^-класса левый 51
— — правый 50
- ^-класса правый 52
— состояния 253
стационарное распределение на автомате 286
формальное 288
— — цепи Маркова 286
степень неоднозначности слова 307
— поля алгебраическая 343
— слова относительно буквы 24
сэндвич-матрица 78
— нормализованная 79
функции перегруппировки 395
— следования 396
функция лексикографическая 154
— Мёбиуса 380
— перехода 175
— полиномиальная 310
— примитивно рекурсивная 152
— словарная вычислимая нормально 158
—по Тьюрингу 156
— универсальная для семейства частично рекурсивных функций 153
— частично рекурсивная 152
Цепь Маркова 285
— — транзитивная (или неприводимая) 285
С-цикл простой 141
Частное левое, правое 193
Эквивалентность 24
— главная левая, правая 27
элемент, обратимый справа 33
— регулярный 47
элементы инверсные 47
эндоморфизм 16
эпиморфизм 18
Ядро полугруппы 35
— представления 62
— Преобразования 37
Im-ядро 341
— относительно представления 341
язык 24, 127
— алгебраический (или контекстно-свобод* иый) 293
— Я-алгебраический 312
Таблица автомата 176
— умножения Полугруппы 28
траисверсал 24
— совершенный 90
трансдукция 302
— рациойальйая 303
трио 323
— полное 323
— апериодический 218
порядка & 364
— дефинитный 249
•зеркальный 249
— Дика 198
(ограниченный язык Дика^ над 2п буквами 294
ограниченный 32
— зеркальный 212
— коконечный 249
Уплотнение субнормального ряда 101 устойчивость в точке правая 53
— кусочно тестируемый 221
— линейный 324, 334
— локально тестируемый 225
Факторгруппа импримитивности 261
факторизации Спитцера 403
— Холла 402
факторизация 395
— базисная 395
— конечная 404
— специальная 408
— стандартная 400
фактормножество 24
факторполугруппа 25
— Риса 26
факторы главного идеального ряда 41
— полугруппы главные 41
— субнормального ряда 101
— факторизованного сегмента 338
формула Витта 408
формулы обращения Мёбиуса 381
— подстановки 157
— локальный 326
— Лукасевича 295
— металинейный 334
— обобщенно дефинитный 249
— ограниченный 334
— однозначный 307
— порожденный грамматикой 150
— правильный скобочный 32
— распознаваемый 178
— рациональный 189
— /^-рациональный 312
— рекурсивно перечислимый 155
— рекурсивный 154
— строго ^-тестируемый 225
— существенно неоднозначный 307
— ^-тестируемый 225
— типа 0 150
— элементарный групповой 249
языки взаимозаменяемые 204
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода . . . . 5
Предисловие к русскомуизданию10
Предисловие12
Глава 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ15
Полугруппыи моноиды15
Примеры: полугруппы преобразований, свободные полугруппы .18
Эквивалентности на множествах. Конгруэнции на полугруппах 24
Копредставления полугрупп и моноидов27
Библиографические замечания33
Упражнения33
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ ГРИНА35
Элементарная теория идеалов35
Определения и свойства отношений Грина42
Группа Шютцеиберже 55-класса49
Примеры вычислений отношений» Грина56
Представления полугруппы, связанные с отношениями Грина 62
Дальнейшие библиографические замечания69
Упражнения70
Глава 3. ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ. ТЕОРЕМА РИСА — СУШКЕВИЧА . . . 72
Вполне простые и вполне 0-простые полугруппы72
55-представление вполне 0-простой полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича75
Некоторые примеры83
Вычисление регулярных 55-классов в полугруппе преобразований на конечном множестве85
Малые моноиды и их связи с комбинаторикой89
Библиографические замечания97
Упражнения97
Глава 4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ МО
НОИДОВ 100
Предварительные сведения из теории групп101
Декомпозиции конечных моноидов107
Основная теорема декомпозиции111
Неприводимые моноиды115
Декомпозиции конечных моноидовпреобразований . , .116
Библиографические замечания122
Упражнения122
Глава 5. СВОБОДНЫЕ МОНОИДЫ, ЯЗЫКИ ИКОДЫ125
Общие сведения о свободных моноидах. Примеры . . . . 126
Подмоноиды свободных моноидов. Коды . . 132
Элементарные алгебраические свойства кодов144
Введение в проблему равенства слов. Рекурсия, алгоритмы, порождение языков149
Проблема равенства слов для моноидов и близкие вопросы 161
Библиографические замечания и дальнейшие результаты . . . 168
Упражнения170
Глава 6. АВТОМАТЫ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И СИНТАКСИЧЕСКИЕ МО
НОИДЫ 174
Автоматы и распознаваемые языки. Определения и элементарные свойства 174
Недетерминированные автоматы. Языки праволинейных грамматик 184
Рациональные подмножества моноида. Теорема Клини . . . 189
Рациональные коды. Рекуррентные события194
Псевдомногообразия моноидов и потоки языков200
Библиографические замечания211
Упражнения212
Глава 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ГРУППАМИ . . . . 215
Апериодические языки216
Языки, определяемые абелевыми группами228
Языки, определяемые разрешимыми группами241
Библиографические замечания и дальнейшие результаты . . . 247
Упражнения249
Глава 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕФИКСНЫЕ КОДЫ251
Конечные префиксные коды: группы обратимых элементов синтаксических моноидов252
Группы Сушкевича рациональных префиксныхкодов . . . 253
Автоматные конгруэнции и разложения префиксных кодов 258
Группы Сушкевича полных префиксных кодов263
Разложения конечных полных префиксных кодов271
Конечные полные бипрефиксные коды276
Библиографические замечания290
Упражнения290
Глава 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ293
Контекстно-свободные грамматики, примеры, редукции . . 293
Свойства замкнутости алгебраических языков. Рациональные трансдукции300
Проблемы разрешимости.Неоднозначность304
Рациональные и алгебраические языки над кольцами и полукольцами 308
Абстрактные семейства языков322
Библиографические замечания334
Упражнения334
Глава 10. ПРОБЛЕМЫ БЕРНСАЙДА И БЛИЗКИЕ ВОПРОСЫ336
Факторизационная лемма для свободных полугрупп .. 337
Разрешимость линейной проблемы Бернсайда341
Полугруппы В^к, 1, п)349
Полугруппы В (k, tn, п) при к > 1, т > 1353
Бесконечные последовательности без повторений . . . . 358
Библиографические замечания362
Упражнения363
Глава 11. ПЕРЕГРУППИРОВКИ, ФАКТОРИЗАЦИИ И ГЛАВНАЯ ТЕОРЕМА МАК-МАГОНА365
Главная теорема. Приложения 365'
Потоки и перегруппировки. Свободные частично коммута тивные моноиды 371
Функция Мёбиуса и доказательство Главной теоремы . . . ЗВО
Краткий обзор элементарной теорииалгебр Ли384
Факторизации свободных моноидов390
Примеры факторизаций 400
Библиографические замечания . . . .,407
Упражнения408
Литература . . . 409
Указатель обозначений 429
Указатель терминов 433
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-НО, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Жерар Лаллеман
ПОЛУГРУППЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Ст. иаучн. ред. И. А. Маховая
Мл. науч. ред. Л. А. Королева
Художник Г. М. Чеховский
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технические редакторы Л. П. Ермакова, И. И. Володина
Корректор В. И. Постнова
ИБ № 5023
Сдано в набор 10.01.85. Подписано к печати 04.11.85. Формат 60X90V16. Бумага типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 13.75. бум. л. Усл. печ. л. 2/,50. Усл кр.-отт. 27,50. Уч.-изд. л. 27,95. Изд. № 1/3792, Тираж 4 200 экз. Зак. № 474. Цена 2 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга* им. Евгении Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловски^ проспект, 29.
*) На русском языке см., например, Арбиб (ред.) [1968], Бауэр, Гооз [1973/74*], Биркгоф, Барти [1970*], В. М. Глушков, А. А. Летичевский, А. Б. Годлевский [1983*], В. М. Глушков, Г. Е. Цейтлин, Е. Л. Ющенко [1978*], Гросс, Лантен [1967], Калман, Фалб, Арбиб [1969*], Ал. А. Марков [1982*]; из зарубежный книг, ие переведенных на русский язык, в первую очередь стоит отметить двухтомную мднографию Мленберга [1974, 1976].
•) Таким образом, переходя от моноида к его полугруппе, мы просто «забываем» о «выделенное™» единицы. В оригинале используется термин underlying semigroup, но это словосочетание почти не встречается далее в книге, и мы решили обойтись без него. — Прим, перев. и ред.
8) Говорят, что полугруппа 3 действует на множестве А справа, если для любых х е A, seS однозначно определен элемент xs s А, причем x(sf) =
ском языке термин (см., например, Кон [1965]). Кроме то; мы будем гово
рить, что подмножество Т и отношение р трансеерсальны (и каждое из них
трансверсально другому). — Прим, перев.
*) Этот термин навеян образным представлением возникающего «прямоугольника» Ж-классов в виде коробки нз-под яиц. Как и в русском переводе
*) Последнее условие равносильно тому, что п нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Доказательство теоремы Брука — Райзера в такой форме см, в книгах М. Холла [1959, 1967b*], Райзера [1963]. — Прим. ред.
*) Направление в лингвистических исследованиях, основанное на теоретико-вероятностном и статистическом подходе, иногда называют «квантитативной лингвистикой», а наряду с термином «алгебраическая лингвистика» используют также термин «комбинаторная лингвистика» (см., например, Р. Г. Пиотровский, К- Б. Бектаев, А. А. Пиотровская [1977*], Бар-Хиллел [1965*]). А. В. Гладкий и И. А. Мельчук [1969*, с. 19] предлагают использовать термин «математическая лингвистика» по существу именно в смысле «алгебраической лингвистики»; впрочем, чаще всего он используется в широком и весьма расплывчатом смысле. Не вдаваясь здесь в обсуждение этой терминологии (равно как и характеризации областей математической лингвистики), мы адресуем читателя к предисловиям и вводным разделам упомянутых книг и статей, а также, например, книг Гросса, Лантена [1967], А. В. Гладкого [1973*], посвященных одной из наиболее важных областей алгебраической лингвистики. Заметим только, что если алгебраическую лингвистику действительно можно считать формализацией синтаксических отношений, то аналогичный тезис автора применительно к математической тео-
рии связи и семантическому аспекту, по нашему мнению, не вполне обоснован. Математическая теория связи базируется на вероятностном определении количества информации и изучает вопросы переработки, хранения и передачи информации (помехоустойчивое кодирование, оптимальное декодирование, взаимодействие, информации с шумом и т. п.). — Прим. ред.
«язык», рационально замкнутому классу соответствует «алгебра событий»,
а в случае когда алфавит конечен, рациональные подмножества называются
регулярными событиями. — Прим. ред.
*) Аналогичный факт справедлив, как известно, и для любых универсальных алгебр. См. А. И. Мальцев [1970, § 14]. — Прим. ред.
*) Поскольку сплетение конечных /-’-разрешимых i p\ iin — снова Р-разре- шимая группа (см. доказательство теоремы 1.6 в гл. 4) — Прим, перев.
3) Эту вторую проблему иногда называют и просто проблемой Бернсайда, употребляя в этом случае для первой из указанных проблем название обобщенная проблема Бернсайда. —• Прим. ред.
в упомянутой уже выше статье С. И. Адяиа [1984*], содержащей, кроме того,
обзор различных приложений этого метода или его модификаций, а также
краткий исторический очерк исследований, связанных с проблемой Бернсайда. Доказательство теоремы Новикова — Адяиа, значительно более короткое, не
жели оригинальное, но, впрочем, с существенно худшей оценкой (д > Ю10),
дано в работе А. Ю. Ольшанского [1982а*]. В его же работе [1982b*] по-
СТрОен пример бесконечной группы, в которой все нетривиальные подгруппы
*) Всякая полугруппа B(k, 1, п), будучи клиффордовой, является полурешеткой вполне простых полугрупп (см. ниже упр. 8), и, следовательно, в силу упр. 12 в гл. 3, B(fe, 1, п) будет связкой связок групп. С учетом этого, как отмечено в работе Л. Н. Шеврина [1965*], доказанная теорема Грина и Д. Риса может быть получена также и как непосредственное следствие теоремы из цитируемой работы о том, что связка локально конечных полугрупп локально конечна. См. также работу Брауна [1968*]. — Прим. ред.
перев.
*) В случае когда Л счетно и С = АХ А, моноид F(A; С) изоморфен, очевидно, мультипликативному моноиду N и рассматриваемая функция Мёбиуса превращается в классическое теоретико-числовое понятие. Об общем определении функции Мёбиуса для частично упорядоченных множеств см., например, М. Холл [1967b*, гл. 2], где имеется и некоторая историческая справка. — Прим. ред.
*) Обычно употребляется термин «группоид». — Прим. рвд.
7е I?*
Ж.ЛАЛЛЕМАН
ПОЛУГРУППЫ
И КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Перевод с английского
И. О. Корякова под редакцией Л. Н. Шеврина
Москва «Мир» 1985
Pure & Applied Mathematics A Wlley-lntersclence Series of Texts, Monographs & Tracts
SEMIGROUPS AND COMBINATORIAL APPLICATIONS
Gerard Lallement
Pennsylvania State University
A Wlley-lntersclence Publication
1979 WHey & S°ns’ NeW Vork'Chichester. Brisbane. Toronto
ББК 22.144 +22.174
Л 20
УДК 517.1 +517.8
Лаллеман Ж.
Л 20 Полугруппы и комбинаторные приложения: Пер. с англ. — М.: Мир, 1985. — 440 с., ил.
Книга известного американского математика, посвященная основам алгебраической теории полугрупп и приложениям к задачам дискретной математики — теории автоматов, формальных языков н кодов. Она является первой в мировой литературе монографией такого характера и содержит многие существенные результаты из дайной области. Независимость и доступность изложения, многочисленные примеры и упражнения позволяют книге служить основой для спецкурсов и спецсеминаров, пособием для студентов.
Книга будет полезна широкому кругу читателей: специалистам по алгебре, дискретной математике, математической лингвистике, теоретической кибернетике, информатике.
„ 1702070000—460 „ .„,ББК 22.16
Л 041(01)"—-8531~85' 41 *517.1 + 517.8
Редакция литературы по математическим наукам
© 1979 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc.
© перевод на русский язык, «Мир», 1985