ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию советского читателя книга выдающегося польского специалиста по математической логике А. Мостовского посвящена подробному изложению знаменитых результатов П. Коэна о независимости континуум-гипотезы и аксиомы выбора от других принципов аксиоматической теории множеств.

Этой теме посвящены также недавно переведенные на русский язык оригинальная монография Коэна [12] и небольшая книга Йеха [36*]. Обе названные работы отличает богатство представленного материала и вместе с тем беглость доказательств. Специфика же аксиоматической теории множеств состоит в том, что многие ее важные результаты требуют при точном изложении весьма длинных построений и не менее громоздких доказательств. Правда, для читателя, имеющего некоторый навык, эта громоздкость не составляет существенных затруднений: довольно быстро вырабатывается интуиция, позволяющая специалисту «видеть» возможность формализации тех или иных содержательных рассуждений, абсолютность применяемых конструкций, определимость встречаемых отношений и т. п. В монографиях Коэна и Йеха широко эксплуатируется такого рода интуиция.

Автор настоящей монографии поставил перед собой задачу подробно изложить все применяемые конструкции и представить детальные доказательства всех сколько-нибудь существенных фактов. Это определило своеобразный характер книги. Для специалиста она может служить ценным справочником по основным доказательствам аксиоматической теории множеств, а начинающий читатель может рассматривать ее как учебное пособие, позволяющее неторопливо и детально войти в курс предмета.

Для чтения книги вполне достаточна подготовка в объеме первых четырех глав учебника Э. Мендельсона «Введение в математическую логику», «Наука», 1971, причем особенно существенно владение материалом четвертой главы. При изучении вопросов, относящихся

к арифметике кардинальных чисел, можно использовать для справок книгу К. Куратовского и А. Мостовского «Теория множеств», «Мир», 1970 (знание всего материала этой книги не является необходимым). Ввиду обилия технических конструкций начинающему читателю, вероятно, будет удобнее изучать предмет поэтапно. При самом первом чтении достаточно остановиться на формулировках основных теорем каждой главы и основных определений и лишь при последующих чтениях следует постепенно вникать в детали доказательств. Для специалиста могут представлять интерес именно некоторые детали доказательств (использование мощной метаматематической базы — аксиоматической теории множеств Морса, понятия равномерной определимости в качестве суррогата обычного понятия абсолютности и др.).

В целом книга представляет собой ценное пособие, вводящее в современные исследования по аксиоматической теории множеств. Она, несомненно, заинтересует студентов, аспирантов, научных работников различных математических специальностей и лиц, интересующихся основаниями теории множеств.

А. Д. Тайманов, А. Г. Драгалин

ПРЕДИСЛОВИЕ

К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ

Настоящая книга была написана почти сразу после того, как Пол Коэн опубликовал свои открытия, которые произвели перелом в изучении оснований теории множеств. Возможно, книга была написана слишком рано: после 1968 г. в литературе появились новые методы, имеющие заметные преимущества по сравнению с оригинальными доказательствами Коэна. Интересующийся читатель может найти эти новые методы в следующих публикациях.

J. В. Rosser, Simplified independence proofs, Academic Press, 1969.

D. Scott, R. Solovay, Boolean-valued models for set theory, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 13, part 2. American Mathematical Society (в печати).

P. Hajek, P. Vopenka, The theory of semisets. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1972.

J. R. Shoenfield, Unramified forcing, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 13, part 1. American Mathematical Society, 1971, 357-382.

В своем изложении я следовал почти буквально оригинальному доказательству Коэна. Некоторое различие состоит, пожалуй, лишь в том, что я использовал замечания Ч. Рыль-Нардзевского и Г. Та- кеути, которые независимо друг от друга открыли, что отношение вынуждения имеет ясный топологический смысл, если трактовать коэновские «условия» как окрестности в подходящим образом выбранном пространстве X. Тогда «р вынуждает F» будет означать, что имеется «много» точек X (в смысле категории Бэра), таких, что F верно в модели М ^, полученной из М добавлением точки пространства X. Мне кажется, что использование топологического языка позволяет очень ясно объяснить значение понятий, введенных Коэном.

После того как появилось первое (английское) издание этой книги, многие мои коллеги жаловались, что ее стиль громоздок, а обозначения чрезмерно тяжелы. Хочу сказать, что я с самого начала сознавал эти недостатки книги. Мой план состоял в том, чтобы дать насколь-

ко возможно более полные доказательства, а, как мне кажется, такие доказательства невозможно дать без достаточно сложной техники. Я хотел избежать стиля, принятого во многих публикациях по основаниям математики, где доказательства лишь намечаются, и автор фактически просто уверяет читателя, что все пробелы могут быть восполнены ценой тяжелых выкладок. Я полагал и сейчас полагаю, что следует избегать такого стиля особенно в книгах по основаниям.

Получившийся текст действительно нелегко читать, и он требует от читателя терпения. Я надеюсь, однако, что после прочтения книги читатель приобретет ясное понимание того, что такое «вынуждение» и-«генерические множества», и будет знать, где в методе вынуждения используется математика, а где метаматематика. .

Я весьма признателен издательству «Мир» за решение опубликовать книгу на русском языке. Хочу также поблагодарить профессора А. Д. Тайманова, А. Г. Драгалина за идею перевести книгу и М. И. Кратко, Н. В. Белякина и М. К. Валиева — за перевод.

А. Мостовский

ПРЕДИСЛОВИЕ

В первом (польском) издании книги по теории множеств, написанной проф. К. Куратовским и мною в 1952 г., была глава, в которой излагался ряд проблем, связанных с независимостью и непротиворечивостью некоторых теоретико-множественных утверждений. Во втором издании нашей книги мы вынуждены были опустить эту главу. Английский перевод, появившийся в 1967 г. в серии «Studies in Logic and the Foundations of Mathematics» *), никакой метаматематической теории множеств не содержит.

Представленный здесь труд первоначально планировался как второй том упомянутой выше книги. Однако в процессе работы я убедился, что брать за основу изложения аксиомы типа Цермело — Френкеля, которые использовались в предыдущей книге," не совсем удобно. Особенно трудно излагать метаматематические результаты, не используя понятия класса, которого нам не требовалось в работе, посвященной «классическим» разделам теории множеств. Поэтому я воспользовался более сложной системой, в которой допускаются классы, и решил излагать результаты по теории множеств Цермело — Френкеля на основе теории классов Морса. Можно спросить, не лучше ли излагать метаматематические результаты по теории Гёделя — Бер- пайса на основе той же теории или, возможно, даже на основе финитной математики? Я считаю, что каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. Преимущество выбора в качестве основы изложения системы Морса заключается в том, что непротиворечивость теории множеств Цермело — Френкеля и существование фундированных моделей в этом случае доказуемо и нет необходимости принимать это в качестве гипотезы.

Книга не содержит почти ничего сверх теории конструктивных множеств Гёделя и коэновского построения моделей с помощью

^ Русский перевод: К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир», М., 197 0.— Прим. ред.

генерических множеств. Я попытался изложить здесь две теории полностью, без всяких пробелов, которые надо было бы заполнять читателям. Из-за этого в некоторых местах встречаются длинные, хотя и нетрудные вычисления. Я думаю, что этого нельзя устранить без радикального изменения всего подхода. Возможно, что от вычислений можно полностью избавиться, пользуясь последними идеями Скотта и Вопенки, заменяющими коэновский «форсинг» булевозначными моделями, или следуя Саксу, использующему понятия теории меры. Я не пытался этого делать.

Книгу условно можно разделить на четыре части. В главах I — III вводится определение относительно конструктивных множеств. Они образуют подкласс универсального класса, и мною доказано, что они образуют модель теории множеств Цермело — Френкеля. В главах IV — VII рассматриваются конструктивные множества, содержащиеся в данной транзитивной модели и полученные из некоторого элемента этой модели итерированием процесса построения столько раз, сколько ординалов содержится в модели. Исследуя эти множества, приходим к результату Гёделя о непротиворечивости обобщенной континуум-гипотезы. В главах VIII — XII излагается коэновский метод генерических множеств. Модели, которые мы получаем в этой части книги, также содержат относительно конструктивные множества и процесс их построения итерируется столько раз, сколько и раньше, но элементы, с которых мы начинаем, теперь не являются элементами данной модели. Теория Коэна представлена в таком виде, который позволяет использовать топологию. Этот метод восходит к Рыль-Нардзевскому и Такеути. Наконец, в главах XIII — XV метод Коэна применяется для доказательства некоторых результатов о независимости.

Анджей Мостовский

Глава I

АКСИОМЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

В настоящей главе излагается система аксиом Цермело — Френкеля для теории множеств и описываются метаматематические основы всех наших дальнейших рассмотрений. Здесь же даются определения семантических понятий, которые необходимы для последующих конструкций.

Теория множеств Цермело — Френкеля ZF

Назовем ZF (теорией множеств Цермело — Френкеля) теорию первого порядка с равенством, алфавит, формулы и аксиомы которой определяются следующим образом.

Алфавит содержит бесконечную последовательность переменных ж0, ж17 . . ., бинарные предикаты С, = и обычные символы логических операций и кванторов.

Формулы определяются индуктивно: жг € Xj ъ Xt = х,- — формулы (i, / = 0, 1, . . .); если Н, Н' — формулы, то П Н, Н ^H, и (ж7-) Н — также формулы О' = О, 1,2, . . .).

Будем обычным образом различать свободные и связанные вхождения переменных в формулы. Если Н — формула, то через Fr (Я) обозначаем множество таких i, что xt входит свободно в Н.

Иногда буквы х0, xt, . . . заменяем другими символами. Связки V,->, = и квантор существования (.Ех^ вводятся обычным образом. Запись вида Н (Xj, . . ., х^ обозначает формулу, в которую переменные Xj, . . ., xh входят свободно.

Следующие формулы являются аксиомами теории ZF.

Аксиома экстенсиональности

)(z) [(z £ ж) = (z £ у)] ->- (ж = у).

Аксиома пары

(П)(Sz) (/) {О € z) = Ю = ж) V 0 = У)1}-

Аксиома множества-суммы, или объединения

(Ш)(Sy) (z) {(z € у) = (Si) [(Z €0 A *)]}•

Аксиома бесконечности

(Sж) (Sy) ((у € ж) Д (z) ((z € ж)(Si) {О € ж) А

А О Ф ^ A 0) l(s 6 z) ^ (s £ <)]})).

А ксиома множества-степени

(^у) (z) {(z € у) (0 [(^ 6 2)-^ (< е а:)]}.

Аксиома подстановки х)

(VIH) W) (SI у) Я ->- (а) № (у) [(у £ by^ (Ех) «х £ а) Д Я)].

Аксиома существования пустого множества

(VII)(Ех) (у) П (у £ хУ

В (VIH) предполагается, что формула Я не содержит свободного вхождения переменной Ъ. Аксиома (IV) утверждает, что существует непустое множество х, каждый элемент которого является собственным подмножеством некоторого другого элемента множества х. Аксиома (VIh) утверждает, что если Я определяет функцию (т. е. если для каждого х существует точно одно такое у, что Я), то образ любого множества а относительно этой функции является множеством.

Мы предполагаем, что читатель знаком с выводом основных теоретико-множественных теорем в ZF в том объеме, в котором эти теоремы изложены в [12] а) 3).

Метатеория классов

Обсуждение системы аксиом ZF мы будем проводить в теории классов, восходящей к Морсу [20]. Для краткости назовем ее теорией М. В настоящем параграфе мы опишем эту теорию, сформулируем ее аксиомы и дадим несколько определений, которые понадобятся нам позже. Наше изложение основано на [9], стр. 250—281, и эта книга может быть рекомендована для детального изучения предмета.

С методической точки зрения заметим, что ZF является предметной теорией, т. е. теорией, подлежащей изучению, М—метатеорией, а описание М дается в мета-метатеории.

Подобно ZF, теория М является теорией первого порядка с равенством. Ее алфавит и формулы определяются следующим образом.

Алфавит содержит бесконечное число переменных xQ, xlt . . ., Xj, . . ., символы =, £ и символ {. . .: . . .}. Последний символ

Выражение (Я! у) Н означает «существует в точности один такой у, что Я». Формально это можно записать в виде (Ею) (у) [Я = (у = ш)], где w — переменная, не встречающаяся в Я.

Система теории множеств, изложенная в [12], несколько отличается от системы ZF, приведенной выше, но небольшие модификации доказательств теорем, имеющихся в [12], дают доказательства, опирающиеся лишь на аксиомы (I) - (VII).

В оригинале аксиома (VII) пропущена, по-видимому, в результате просмотра автора. Можно заметить, что (VII) не выводится из (I) — (VI), однако она указана среди аксиом теории множеств в [12].— Прим. ред.

читается так: «класс..., таких, что...». Обычные логические связки И и Д и квантор всеобщности также принадлежат алфавиту теории М.-

Термы, и формулы теории М определяются индуктивно. Каждая переменная является термом. Если t и s — термы, то выражения t = s и £ Е s — формулы. Если F л G — формулы, то п F, F /\ G и (#;) F — также формулы (i = О, Г, . . .). Если F — формула, то (хр. F} — терм (г = 0, 1, . . .).

Каждое вхождение переменной в терм или формулу является либо свободным, либо связанным. Мы предполагаем, что эти понятия знакомы читателю. Оператор (хр. . . .} в этом отношении подобен квантору, т. е. каждое вхождение переменной xt в терм (хр. F} является связанным вхождением.

Логические связки, отличные от П и Д, вводятся обычным образом как сокращения. Квантор существования также определяется с помощью квантора всеобщности и знака отрицания.

Прежде чем формулировать аксиомы теории М, введем некоторые определения. Строго говоря, это не определения, а схемы определений. Из каждой схемы, следуя приводимым ниже правилам, мы получаем бесконечное число определений, заменяя штрихованные и нештрихованные буквы х, у, . . ., х*, у', . . ., встречающиеся в схемах, на переменные. Буквы без штрихов можно заменять произвольными переменными; А-я штрихованная буква, считая слева в порядке появления штрихованных букв в схеме, должна быть заменена первой переменной xt с индексом, превышающим индексы переменных, которыми заменены нештрихованные буквы и предшествующие ей к — 1 штрихованных букв. Например, в схеме определения

LU = Df {z': (Еу') [(у' Е ^) Л (z' Е у')]}

можно заменить букву х переменной х5, но в этом случае мы должны заменить z' и у' на xj+1 и ^+2 соответственно.

Если в схеме нет нештрихованных букв, то штрихованные буквы последовательно заменяются на xQ, xltТаким образом, схема V = Df Vх " х’ = я'} в действительности означает V = (х0: х0 = ж0}.

Приведем теперь список схем определений. х — множество = ш(^у') ($ € W

х U у = Df{z': (z' Е я) V (z' Е У)} (объединение х и у),

х П У = Df{z': (z' Е ^) Л (z' Е У)} (.пересечение х и у),

—х = Dt{z': "И (z' Е я)} (дополнение я),

х — у = ^tx П —у (разность х и у),

О = Df{^': я' ¥=х'} (пустой класс),

V = Df{^'‘- я' = х') (универсальный класс, универсум) Пя = Df{z': (у') V(yf Е я) -> (z' Е у'))} (пересечение всех множеств из х),

U ж = Df{z': (Еу') [(у' Е И Л (z' ^ у')]} (объединение всех множеств из ж),

х г у = Dr(z') l(z' ЕН-*- (z' Е у)] (включение),

Р (я) = Df{z': z' £ ж) (класс всех подмножеств из ж),

{ж} = Df{z': (ж € V) Л (z' = ж)} (синглетон—множество, содержащее единственный элемент: мно- -жество ж),

{^, У) = Df{^} и {*/} (пара х и у),'

(х, у) = DfK^}, {ж, у}} (упорядоченная пара х и у), (xlt . . ., хп) = Dftoi, (^2, • • •» ^п)) (упорядоченная п-ка),

хп = Df{z': (Еу',) . . . (Еу^ [(у; Е ж) Д . . . Д (у^ Е х) Д Д (z' = (у\, . . ., Уп))1} (п-я степень х),

х X у = nr^': (Ей') (Ev') [(ж' = (и', и'» Д (и' Е И Л Л (и' € Z/)l} (декартово произведение х и у), Rei (х) = Df(z') l(z' Е х) -*- (Ей') (Ev') (z' = (и', и'))]

(х есть отношение),

х оу = ы(х': (Еу') (Ez') (Et') l(x' = (у', z')) Д

Л ((у', t') 6НД( (<', z') € у)]} (суперпозиция х и у), Fnc (/) = DfRel (/) Д (х') (у') (z') {[((х', у’) ^ /) Д

Д ((х*, г') €/)] -*(у’ = z')} (/ есть функция), ' Dorn (/) = Dtf^ (Еу') ((х*, у') € /)} (область определения f), Rg(/) = Dt{y': (Ex') ((x', у*) g /)} (область значений f), Im (/, x) = Dt{y': (Et') ((t' ^x)A((t', у') E /)]}

(образ x при отображении f),

Вместо х С On мы будем писать «х есть порядковое число» или «х — ординал». Если х и у — ординалы, то вместо х g у мы будем также писать х < у.

minx = Dflfl (^та П ж) П III (On f) ж)] (наи.меныиий ординал, в х, или 0, если такого ординала не существует).

Отметим, что если класс On П х не пуст, то р (On Q х) — наименьший элемент этого класса. Выражение U (On П х) служит для того, чтобы правая часть была пустой, когда On Q х = О ).

sup х = Dfmin {F: On П х s f) (наименьший ординал, больший каждого ординала из х, или О, если такого ординала не существует).

Отметим, что если On П х имеет наибольший элемент и, то sup х = и + 1; если Оп[)х не имеет наибольшего элемента, то sup х = U (On Л х)х).

г-1 = Df{^': (Ей') (Еи') [(х' = (и', и')) Д ((и', и') € г)} (обратное отношение),

х ~ у = Bt(Ef) [Fnc (/') Д Fnc (У'-1) Д (Dorn (/') = x) Д

Д (Rg (/') = у)] (x и у имеют одинаковую мощность), х — кардинальное число =

=Df(x е On) Д “I (Еу) Цу' < х) Д (х ~ у')1,

| х | = Dtcard (х) = Dfp {у': (у — кардинальное число) Д

Д (у' ~ х)) (кардинальное число множества х),

г W0 х = Df(r Conn х) /\ (у') ([(у' S х) Д

А (у' Ф 0)] -> (Ее') {(z' 6 у') А И (Es') [(s' € у') A

A (s' ^ z') Д ((s', z') 6 r)]}) A

Д (u') [(u' € x) -»- ((и*, и') £ г)] (г вполне упорядочивает x),

x — целое положительное число = otord (х) Д (Е-1 WO х),No = Dt® — Dff^^ ж'— целое положительное число).

В аксиомах теории М встречаются не все из приведенных определений, но мы будем постоянно их употреблять в доказательствах и в других определениях. По мере развития нашей теории будут вводиться новые понятия. При определении их мы несколько изме-

ним наши правила: будем опускать символ Df (означающий «является сокращенным выражением для»). Мы в дальнейшем избегаем схем определений, а даем сами определения, содержащие переменные и не содержащие никаких вспомогательных букв. Вместо символа xt мы употребляем различные другие буквы, причем, как правило, прописные буквы для обозначения классов и строчные — для обозначения множеств. Вместо {я: (ж £ А) Д . . .} будем также писать {х€Л:...}.

На практике обычно используются не только термы {ж^ F^, но и более сложные термы {£: F^, где t — терм. Такие выражения можно ввести в нашу систему следующим образом.

Пусть t — терм и F — формула. Заменим некоторые или все свободные переменные, входящие в t или в F (или в t и F), штрихованными буквами z', . . ., z^ таким образом, что переменная, которая входит одновременно и в t, и в F, заменяется одной и той же буквой в t и F. Заменим оставшиеся свободные переменные нештрихованными буквами, придерживаясь приведенного выше правила. Пусть в результате такой замены получены выражения t' и F'. Тогда

(Д' F} = ш^Д (^z;, . . ., z^) [(ж' = t') Д ^']},

где х' — новая штрихованная буква.

Таким образом, например, можно ввести определение

{(u', v'Y {и' € о) Д (у' € Ь)} =

=ш{Д: (£и') ^Еи'^ [(ж' = (и', и' ) Д (и' € а) Д У € Ь)]}, позволяющее представить определение декартова произведения в виде а X b = ш(<Д, v'Y. (и' 6 а) Д (у' € 6)}.

Аналогично можно упростить определения г-1 и Е, приведенные выше.

Дадим теперь список аксиом теории М.

Аксиома экстенсиональности

Г.(Zq) ^ {(^0 = ^1) = (^z) [(^2 € Хо) = (^2 € 21)1}-

Схема аксиом существования класса

Пр. (яг) {xt € V^j* Р} = Ц^г — множество) Д F (яг)]}.

, В Пр формула F не содержит -переменной хг и формула F (xj) получена из F подстановкой переменной хг вместо всех свободных вхождений переменной Xj. На переменные, встречающиеся в F, не накладывается никаких ограничений. В частности, их значениями могут быть не только множества, но и классы, не являющиеся множествами.

Аксиома множества-степени

III'. (zq) (Сг0 — множество) -> ^Exy) ^xv — множество) Д

А (^2) 1(^2 S ж0) = (ж2 ^ ^1)1})-

Аксиома суммы

IV'. ‘ (х0) (х^ {[(хо — множество) Д (xj — множество)] ->

-> (х0 U ^i — множество)}.

Аксиома подстановки

V'.(х0) {Fnc (х0) ->- (х^ [(xj — множество) ->- (Im (х0, х^ —

— множество)]}.

Аксиома обобщенной суммы -

VI'. (х0) [(х0 — множество) —>■ (U^o — множество)].

Аксиома регулярности

VII'. (х0) {(х0 =Д 0) ->- ^Ех^ [(Х! е х0) Д (X! П х0 = 0)1}.

Аксиома бесконечности

VIII'. (^Хо) {[(х0 — множество) Д (0 £ х0)1 Д

Л («О Ifo € яо) fo U {^1} € яо)1}.

На этом заканчивается список аксиом теории М. Заметим, что число их бесконечно. Кажется правдоподобным, что их нельзя заменить никаким конечным числом аксиом х). Отметим также, что из 1Г следует, что (х — множество) = (х С V).

Мы подчеркиваем, что в систему М не включена аксиома выбора. Поэтому необходимо быть особенно осторожным, имея дело с утверждениями, которые обычно требуют аксиомы выбора. Например, мы не можем утверждать, что каждому множеству соответствует кардинальное число. Позже, когда будут введены некоторые понятия общей топологии, мы будем вынуждены проводить доказательства так, чтобы не использовать аксиомы выбора.

Начиная с этого места, все наши доказательства будут основаны исключительно на аксиомах системы М. Иногда нам потребуется выводимость некоторых формул в системе ZF. В этих местах мы четко оговариваем, что проводим доказательство в системе ZF.

Аксиоматическая система М, описанная в этом параграфе, сильнее системы ZF. В III.3.6 мы увидим, что непротиворечивость ZF доказуема в М. Согласно второй теореме Гёделя о неполноте, если ZF непротиворечива, то ее непротиворечивость не может быть доказана в ZF. Следовательно, предполагая что ZF непротиворечива, мы видим, что есть теоремы, доказуемые в М, но не доказуемые в ZF.

С другой стороны, М не намного сильнее ZF. Можно показать, что М интерпретируется в системе ZF', полученной из ZF добавлением одной дополнительной аксиомы:

существует по крайней мере одно сильно недостижимое кардинальное число.'

Это известный факт; см., например, Montague R., Fraenkel’s addition to the axioms of Zermelo, pp. 91—114, Essays on the Found, of Math., Jerusalem, 1961.— Прим. реЭ.

Можно следующим образом интерпретировать М в ZF'. Пусть а — сильно недостижимое кардинальное число и Ra — семейство всех множеств ранга меньше а (см. стр. 20 или [13] стр. 297). Будем интерпретировать классы как подмножества из Ra и символ Е — как обычное отношение принадлежности. Символ {ж: Е^ интерпрв' тируется как множество, состоящее из всех элементов Ra, которые удовлетворяют в Ra формуле F. При такой интерпретации все аксиомы М становятся теоремами ZF'.

Определения по трансфинитной индукции. Ранги

Определения по индукции будут постоянно встречаться во всех наших построениях. В связи с этим возникают различные вопросы. В настоящем параграфе мы обсудим простую проблему существования функций, удовлетворяющих данным «индуктивным» равенствам. В последующих параграфах мы столкнемся с проблемой определимости таких функций.

Пусть А — класс и R — отношение частичного упорядочения над А. Следовательно, R содержится в Л X А и, более того, удовлетворяет свойствам рефлексивности, антисимметрии и транзитивности в А.

Обозначим через О (а) или, более точно, через OR (а), класс {ж: ((ж, а) Е R) Л (^ ^ а)}- Будем говорить, что R является фундированным, если каждый непустой подкласс X класса А содержит элемент а, для которого X П О (а) = 0. Назовем каждый такой элемент а минимальным элементом X.

Если R — фундированное частичное упорядочение класса А и О (а) Е V для каждого а Е А, то для любого h Е VVxA существует точно одна функция / Е VA, удовлетворяющая для каждого а из А равенству

/ (а) = Н/I О (а), а).

Доказательство. Если кроме f равенству (1) удовлетворяет еще / и /' ^^, то класс X = {а: (а Е А) Д (/ (а) f (а))} не пуст. Следовательно, для минимального элемента а из X получим /| О (а) = /' | О (а) и по (1) / (а) = f (а), что невозможно, потому что а — элемент класса X.

Для доказательства существования / мы прежде всего покажем, что для каждого b Е А существует точно одна функция /ь с областью определения О (b) U {^}, удовлетворяющая (1) для каждого а из этой области. •

Единственность /ь доказывается так, как выше. Пусть X — подкласс класса А, состоящий из всех 6, таких, Что не существует /ь с указанными выше свойствами, и пусть X Д 0. Если Ьо — минимальный элемент X, то полагаем

g = {(ж, /ж (ж)): х Е О (Ьо)}

и убеждаемся, что g U {(Ьо, К (g, Ьо))} является функцией с областью определения О (Ьо) U {&0} и что эта функция удовлетворяет (1) для всех а из О (60) U {Ьо}. Таким образом, предположение X =^0 ведет к противоречию.

Теперь достаточно взять в качестве / класс

Ж ыь)>. ье а},

и теорема 3.1 доказана.

Функцию /, построенную в 3.1, называют функцией, определенной трансфинитной индукцией, и формулу (1) иногда называют индуктивным определением функции f. Более сложные формы трансфинитной индукции обычно сводятся к 3.1. Рассмотрим следующий пример.

Пусть А и R такие, как в 3.1. Пусть р — множество и h^, h2 — отображения pxVxVxAeV. Тогда существуют единственные функции ev е2 с областью определения р X А, удовлетворяющие равенствам (i = 1, 2)

е; (х, а) = ht (х, ех | (р X О (а)), е2 | (р X О (а)), а) х)

для каждых х из р и а из А.

Доказательство. Положим А' = р X А и определим частичное упорядочение И' в А':

(х, a) R' (х1, а') = [(ж = х') Д (а = а')] V Ua^«') Л (а ¥= «')!•

Легко доказать, что R' является фундированным. Если х — упорядоченная пара, обозначим через zt (ж) первый ее элемент и через х2 W — второй элемент. Если же х не является упорядоченной парой, то полагаем Zi (ж) = z2 (ж) = 0. Формально мы можем выразить это следующим образом:

Zi (я) = U ^и. (Еи) (х = (и, у))},z2 (я) = U (у: (Ей) (х = (и, у))}.

Для произвольной функции / обозначим через н^ ° f функцию с областью определения Dorn (/), значением которой для любого аргумента s является Zj (/ (s)):

хг ° / = {(s, z, (ы)): (s, u) € /}•

Теперь пусть для г = 1, 2, t £ V и w £ А' •

И (/, ТУ) = (/lj (Z1 (ту), Zi O /, z2 ° t, z2 (ту)),

^2 (Xi (ту), Xi О t, Z2 О t, Z2 (ту))).

По 3.1 получаем единственную функцию f 6,VA , удовлетворяющую равенству

/ ((ж, а» = h (/ | OR. ((х, а», (х, а»

для произвольных (х, а} из р X А. Легко убедиться, что функции ^ = х< о / удовлетворяют требуемым равенствам и, обратно, что если е', е' удовлетворяют этим равенствам, то функция

f «х, а» = (ej ((х, а», е; ((ж, а») удовлетворяет равенству (2). Таким образом, показано существование и единственность функций ег.

Приведем простой, но важный пример определения по индукции. Для функции х с Dom (ж) = у Е On полагаем / (я) = U Rg (ж), если у — предельное порядковое число, и / (ж) = Р (U Rg (ж)) в противном случае. Если х не является функцией или если Dom (ж) не является ординалом, полагаем / (ж) = 0. Воспользовавшись теоремой 3.1, заключаем, что

Существует единственная функция R: On ->- V, такая, что для каждого 5 из On имеет место равенство R^ = / (R | |).

Выписывая точно значения / для случаев | = 0, i = т] + 1 и 5 — предельный ординал, заключаем, что 7? удовлетворяет равенствам

Ro = о, 7?n+1 = Р (7?n), Rx = и {Л5! I < X}

(в последнем равенстве К — предельный ординал).

Будем считать известными свойства множеств R^. В частности, нам потребуется следующая лемма, доказанная, например, в [13].

Для произвольных £, ц из On, если | ^ ц, то R-.c R^; если х V, то х £ R^ х s R^.

Легко также доказать, что

Если | < г) Е On, то R^ Е R^.

7 = U № I б On}.

Доказательство. Предположим, что разность 7 — U {RC- £ б On} не пуста и пусть а — ее минимальный элемент г). Следовательно, каждое х, принадлежащее а, является элементом некоторого R^, скажем х Е R^. где | (ж) — наименьший ординал, обладающий этим свойством. Если % = sup (| (г) 5 х Е а}, то % Е On, ас RK, т. е. а Е Rk+ъ что противоречит нашему предположению.

Пусть х 6 V. Наименьшее £, такое, что х г R^, называется рангом х и обозначается через rg (ж). Легко доказываются следующие формулы:

rg (ж) = sup {rg (у): у 6 ж}.

Если £ € On, то rg (£) = g.

Модели, выполнимость

Отметим прежде всего, что наша цель — изучение свойств теории ZF и, в частности, моделей ее аксиом. Так как мы хотим это изучение проводить в системе М, будем связывать с каждой формулой Н теории ZF множество (Я). Эти множества являются объектами, изучаемыми в М.

С каждой переменной ж; связываем ординал /; с каждым из символов ~|, Д, (,),€,=, из которых строятся формулы ZF, связываем ординалы: со с-|, (о + 1 с Д, и т. д. Обозначим через (Я) последовательность ординалов, соответствующих знакам, которые появляются в Н: к-й. член (Я) является ординалом, соответствующим /с-му символу Я, считая слева.

В дальнейшем мы будем отождествлять формулы с соответствующими им последовательностями ).

Мы опускаем простое доказательство того факта, что существует множество всех формул (точнее, последовательностей (Я))-и что оно счетно. Мы также опускаем строгое теоретико-множественное определение функции Fr (Я), которая связывает с каждой формулой множество таких /, что ж,- является свободной переменной в данной формуле.

Определим теперь основные понятия семантики теории ZF.

Пусть А — класс (или множество), Я — формула ZF, / — отображение Fr (Я) в А. Под \-АН [/] мы понимаем, что Я выполняется в А для набора значений /. Чтобы определить это выражение для каждой конкретной формулы Я, достаточно принять следующие правила:

если Я есть Xt 6 Ж;, то \-АН 1/1 = ft 6 if,

если Я есть X; = Xj, то \-АН [/] = ft = /у;

если Я есть -] Я4, то \-АН [/] = -\VaHi [/];

рсли Я есть Hi Д Н2, то \-АН [/1 = \-AH^Jf | Fr Д^РД

' A VAH2 [/ | Fr (Я2)];

если Н есть (ж^ Щ, то

\-АН [/] = \-АН4 [/], если i $ Fr (Я,),

НАЯ [/1 = (а) {а е А -* НАЯ, [/ U {<i, «>}!}, если, i £ Fr (Я,).

Будем повсюду пользоваться сокращениями ^а)А для фразы «для каждого а из Л» и f'(t,a) (или иногда ра, если значение I ясно из контекста) для / (J {(i, а)}. Пользуясь этими сокращениями, последнюю часть определения можно записать в виде

VAH l/l ^ ^А\-АЩ VPU, «Ж

Если Fr (Я) = {i,k}, / (i) = а, / (/) = Ъ, . . ., / (/с) = с,

то вместо НАЯ [/] будем иногда писать НАЯ [а, Ь, . . ., с].

Мы теперь хотим получить доказательство того, что для каждого класса А существует отношение StA между формулами и конечными последовательностями элементов из А, такое, что (на интуитивном уровне)

(я, / ) е stA = ^Ан 1/1

для каждой формулы Я и каждого / в 4Fr<H\ Мы употребили слова «на интуитивном уровне» потому, что еще не имеем общего определения правой части этой эквивалентности, а только схему, которая дает такое определение для каждой формулы Я отдельно. Мы хотим также показать, что существует тернарное отношение St, т. е. класс троек (Я, А, /), такое, что если А —множество, Я — формула и / — последовательность в ЛРг<н>, то (на интуитивном уровне)

(я, a, nest^ \-Ан\п

Мы получим доказательство этих теорем, следующим образом преобразуя индуктивные правила, приведенные выше, в точные определения.

Прежде всего определим операции Neg, Con, Qu*, которые классам

VEA^H\ НАЯ[/]}, VEA^H'\ \-АН'\т

ставят в соответствие (на интуитивном уровне) классы

{/ € АТ1ПЩ: \-А^Н [/]}, {/ е Л™”0: НАЯ Д Я' [/]},

Мы также явно определим классы Ец и 1^ тех последовательностей/ из А^’ 1}, которые удовлетворяют атомарным формулам ж, £ Xj и Xt = х3 (оба эти класса зависят от Л).

Заметим, что Я выполнимо в А при отображении / тогда и только тогда, когда существует такая функция s, что ее область определения содержит все подформулы формулы Я и что

если Р — атомарная формула xt € Xj или xt = xj, то

8 (Р) = Ец ИЛИ 8 (Р) = Iij,.

если Р = ^Р', то s (Р) = Neg (s (Р')),

если Р = Р* /\ Р", то s (Р) = Con (s (Р')> s (Р")),

если Р = (ж;) Р', то s (Р) = Qu (/, з(Р')),

/ Е $ (Я).

Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в случаях (i) — (iv) имеет место эквивалентность

g6s(P)s HAP[gl

для каждой подформулы Р формулы Я и каждого g из ЛГг(Р).

Трудность заключается в следующем. В нашем языке нет средств, позволяющих говорить о функциях, значениями которых являются классы. Чтобы обойти эту трудность, заменим з на класс К, такой, что Dom (Я) является множеством всех подформул формулы Я. Тогда класс s (Р) заменяется на {ж: (Р, ж) Е Я} х)

Переходим к формальным доказательствам.

Существует единственный класс St троек (ж, у, z), где х имеет вид (Н), у есть множество, z Е уБ1(-н\ который удовлетворяет условиям:

((ж; Е Xj), у, z) Е St = z (i) E z (/),

((ж; = x3^ y, z) E St = z (i) = z (/),

((ПЯ), у, sRSta пШЯ), у, z) E St),

(,(Я1ЛЯ2), у, Z)ESt = (((ЯД у, z (Fr^HESt) Л

Л («ЯД у, z | Fr (Я2))Е^),

(((жг)Я), у, z)ES^(a)y ((Я), у, zU {(i, а») Е St

при условии, что i Е Fr (Я); в противном случае

<((ж()Я>, у, z) ESt = ((H), у, 2) Е St.

Для каждого класса А существует единственный класс StA

пар вида ((H), z), где z Е Л^®, такой, что

(1') ((Xi Е х3), 2) Е StA = 2 (i) Е z (у),

(2') ((жг = х}), 2) Е StA = z (i) = 2 (j),

(3')(ОН), 2) EStA = Ч((Н), 2) EStA),

(4') ((Н^ Нг), 2) Е StA = (((Hv), 2 \ ¥T(H,))EStA) Л

Л (((Я2),г |Гг(Я2))Е^А),

(5')<мн>, z)estA^(x)A({{H), 2 и {0 к») estA)

при условии, что i £ Fr (Я); в противном случае■

(6')(((а:,) Я), z) € StA = ((Я), z) € StA.

Если А — класс, то НАЯ [/] означает то же самое, что ((Я), /) 6 StA. Приведем схему доказательства 4.1. Доказательство 4.2 совершенно аналогично.

Доказательство 4.1. Пусть I, j 6 со; X, Xj, Х2 — классы; р, plt р2 — множества. Введем следующие сокращения:

Еи = {<У. z): (у — множество) Д (z £ у^- 0 Д (z (г) € z (/))};

Ти = {(у, z): (у — множество) Д (z £ у<4- >Д Д (z (г) = z 0)};

Neg (X, р) = {(у, z): (у — множество) Д (z £ур) Д ((у, z> $ X)};

Con (Хь Х2, рь р2) = {(у, z): (у — множество) Д (z € ypiUp2) Д

Л (z I Pi € Xi) Д (z | p2 e x2)};

Qu (i, X, p) = {(y, z): (у — множество) Д (z g yp-w) A

A (i € p) A Wti (z и {(t, u)} € X}.

Если X является классом упорядоченных троек (а, Ь, с), где а, Ь, с являются множествами, т. е. X £ Vs, то через Х<о) и Dom (X) мы обозначим классы

Х<о) = {(6, с): (a, b, с) € X} ^проекция X), Dom (X) = {а: (Яй) (Яс) (а, b, с) £ X)} (^область определения X).

В оставшейся части доказательства буквами А, В, С, D, Е, F мы будем обозначать приведенные ниже формулы (i) — (vi), в которых В, Q, 8 — произвольные формулы ZF:

(i) W И) 1(0 = (Xi € ху)1КМ» = ЕгД],

(И) (0 (/) К(0 = (Xi - хД) -^ (Х«ф) = ДД],

(ш) «0 = (ПЯ))(X(<Q>) = Neg(X(<B>), Fr(fl))),

«0 = (ЯДЯ»-* (X(<Q>) = Con(X(<fi>), Х(<5>)Гг(Я), Fr(0)),

W [«0 = (№) Я» A (^ Fr (Я))(X(<Q>) = Х(<д>))],

0[((0 = ((хг)Я))Л(^Гг(Я))-^(Х(<ф) = 9и(Д К(<ю\ Fr(Я)))]. Если Я — произвольная формула ZF, то через Фн (X) обозначим следующее выражение:

(К £ Vs) Д (Dom (X) = {«?): Q — подформула Я}) Д Л №, У, z) ((<<?>, У, 2^ € К) -^ (z € yFrto>)) Л Д (0Я, 0[((у)€Оот(Х))-*(ЛДЯДСДЯ ДЯДЯ)].

Индукцией по числу логических символов в Н мы докажем, что для каждой формулы Н из ZF существует единственный класс К, удовлетворяющий Фн (А)). Если Н есть формула xt ^Xj или жг = Xj, то единственный класс К есть Д') X Etj или Д) X 1ц. Если Н имеет вид пД, то единственным классом К является A, U (Д) X X Neg ДлН1>\ Ег (Д))), где А, есть единственный класс, такой, что Фн, ДО. Если Н имеет вид Д /\ Нг и Д, К2 являются единственными классами, удовлетворяющими Фн, (А,) и Фн2 Дг), т<>

Д U А2 U (Д) X Con (KVH1>\ K.4H^\ Ег ДО, Ег ДЖ

будет единственным классом, удовлетворяющим Фн Д). Если Н имеет вид Д) Д, то требуемым классом является либо Ai U Д) X X К^Н^, если xt ^ Ег ДО, либо

Д и (Д) X Qu (i, Ai<H1>), Ег ДЖ

где А, — единственный класс, удовлетворяющий Фн, (А,).

Наконец, мы полагаем

St = ид), у, z): ДК) [Фн (А) Д «Д'), у, z) € А)]}.

Убедимся, что St обладает требуемыми свойствами.

Очевидно, что элементами St являются тройки (Д'), у, z), где Н — формула и z £ у^н). Если# — формула xt £ х,и (Д'), у ,z > £ 6 А, где А — класс, удовлетворяющий Фн (А), то z (i) £ z (/) согласно А и определению Ец. Обратно, если z € у^*3> и z (i) € z (/), то (у, z) ^ Etj; так как класс {^ € ^)) X Ец удовлетворяет Фн (А), то (Д),у,х) ^St.

Если Н является формулой xt = Xj, то доказательство аналогично.

Пусть теперь Н является формулой и А,, а А и А, — единственными классами, удовлетворяющими Фн (А) и Фн, (А,). Тогда

А = A, U (Д) X Neg Д^», Ег ДЖ

откуда заключаем, что (Д'), у, z) ^ К эквивалентно (у, z) £ € Neg (А<<Я1>>, Ег ДД, т. е. (у, z) $ А^®1*3. Следовательно, если (Д), у, z)^K, то существует класс А,, такой, что ФН1 ДО и (Дг), у, z} ^ А,. Так как А, единственный, мы заключаем, что St не содержит в качестве элемента (Д1), у, z). Обратно, если (Д1), y,z)^St, то (Дг), у, z) ^ Kt, и по определению Neg получаем (Д), y,z)EK, т. е. (Д), у, z)^St.

В случаях, когда Н имеет вид Н^ /\ Н2 или Д') Д, доказательства аналогичны и могут быть предоставлены читателю.

Имея класс StA, можно определить основное семантическое понятие выполнимости более точно, чем это было сделано в начале этого параграфа: \-АН [/] = «Я), f?£StA. Если Л — множество, это эквивалентно тому, что ((Я), A, f) £ St. ■

Вспомогательные семантические понятия. Теорема

Лёвенгейма — Сколема

Используя отношение выполнимости, можно ввести ряд вспомогательных семантических понятий, играющих важную роль в дальнейших доказательствах.

Истинность в классе. Некоторая формула ZF, скажем Я, называется истинной в классе (или на множестве) А, если \-АН [/] для произвольной / из ЛРг(н>.

Во всех последующих определениях мы будем иметь дело исключительно с формулами ZF, так что слово «формула» будет означать то же самое, что «формула ZF».

Модели. Множество (или класс) А называется моделью для системы формул, если все эти формулы являются истинными в Л. В частности, А является моделью для ZF, если все аксиомы системы ZF истинны в А.

Элементарная эквивалентность. Пусть А и В — два класса (в частном случае один из них или оба могут быть множествами). Скажем, что они являются элементарно эквивалентными, если \-АН = НвЯ для каждой формулы Я без свободных переменных. В этом случае пишем А = В.

Легко видеть, что два элементарно эквивалентных класса являются моделями одного и того же множества формул. Так что, если один из них является моделью ZF, это же можно сказать и о втором.

Элементарные подсистемы и расширения. Пусть А и В — два класса (как и выше, один из них или оба могут быть множествами). Мы говорим, что А является элементарным подклассом (или подмножеством) В, а В является элементарным расширением А, если A s В и выполняются следующие условия: для каждой формулы Я и каждой последовательности / € 24FrW условия НдЯ[/] и \-вН [/] эквивалентны. Это обстоятельство мы записываем в виде А < В.

Очевидно, что из А -< В следует А = В. Но можно показать на примерах, что из условий A s В и А = В не следует А < В.

Определимость. Класс В называется п-арным отношением, если он является подклассом класса Vй. Мы говорим, что n-арное отношение В определимо в классе А, если В <= А" и существует формула Н, имеющая точно п свободных переменных ж4, . . ., хк, такая, что (аь . . ., ап> £ В = V-AH [а^ . . ., а„] для произвольных а^ . . ., ап из А.

В этом случае говорят, что формула Я определяет Я в Л.

При п = 1 получаем понятие определимости подмножеств класса Л. Так как функции являются бинарными отношениями, мы также получаем понятие определимости функций.

Параметрическая определимость. Отношение RcA" называется параметрически определимым в А, если существуют такие р О, формула Н со свободными переменными #!,..., жп, зп-н, . . ., жп+р и последовательность с р членами Л, .'. ., /р из А, что

(аь . , ., ал> Е Я = НАН [оь . . ., ап, Л, . . ., /р]

для произвольных at, . . ., ап в А.

Элементы А» ...» /Р называются параметрами, к мы, читая приведенную выше формулу, говорим, что Н вместе с последовательностью параметров /t, . . ., /р определяет R в А. Понятие параметрической определимости применимо также к подмножествам А и отображениям А в себя.

Очевидно, что определимость влечет параметрическую определимость, но не наоборот.

Теперь мы сформулируем и докажем теорему, которую будем называть «теоремой Лёвенгейма — Сколема», хотя она на самом деле является частным случаем так называемой теоремы Лёвенгейма — Сколема, известной из теории моделей (см., например, [23]).

Если А — вполне упорядоченный класс, b s А и b является множеством, то существует такое множество а, что Ь s а -< А и card (а) ^ max (^0, card (Ь) .

Доказательство. Не теряя общности, предположим, что b Ф 0. Построим требуемое а, постепенно расширяя множество Ъ. Прежде всего определим функции, которые будут использоваться для расширения Ь.

Пусть Н = (ж,) К — такая формула, что / Е Fr (К). Обозначим через FH единственную функцию, областью определения которой является ЛРг(Н) и которая удовлетворяет следующему условию: если существует элемент а, являющийся наименьшим элементом класса А, таким, что Ha”1^[/U {{/, а)}], то (f, а) £ FH; если таких элементов а нет, то </, 0 > Е FH.

Функция FH зависит, очевидно, от Л и от имеющегося в нем вполне- упорядочения. Если Н не имеет вида (xj)K, то пусть FH (/) = 0 для каждого / Е AFr(H).

Пусть X является классом

{(Я, /, а): (Я — формула) Д ((/, а) Е FH^.

Этот класс также зависит от Л и имеющегося в нем вполне-упо- рядочения.

Лемма. Пусть В — подкласс класса А, обладающий таким свойством, что если Я — формула, / Е ВТт№ и (J, а) £ FH, то а £В. При этих предположениях В -< А.

Доказательство. Пусть К — некоторая формула. Покажем, что для каждого / в В^®

V-AK I/] ^Y-BK [Д

Эта эквивалентность очевидна, если К является атомарной формулой. Непосредственно из определения отношения выполнимости следует, что если эта эквивалентность верна для формул К и К', то она же верна для формул ^К, К /\ К' и (®Д К, где / 5 Fr W- Таким образом, осталось показать, что если Н является формулой

к, i е Fr (к) и / е в™, то

\-АН [/] = \-вН [/].

Импликация слева направо легко следует из определения отношения выполнимости: левая часть означает, что для каждого а из А для последовательности / U {(А а)} выполняется К в Л. Если а С В, то мы можем воспользоваться индуктивным предположением и установить, что для этой последовательности выполняется К в В, и, таким образом, получить правую часть эквивалентности.

Предположим теперь, что левая часть эквивалентности ложна. Так как Н принадлежит области определения X, то FH(f)^B. Следовательно, В содержит элемент а = FH (f), такой, что НА—\ К [/U U {(А ®)}Ь По индуктивному предположению мы можем заменить А на В, что показывает, что при / не выполняется формула Н в В. Лемма доказана.

Для доказательства теоремы полагаем.

« = U Ъп, где b0 = b и bn+i = bn(J U Im (Х(Н, b^Y ' п<юН

Очевидно, что Ь s а и а удовлетворяет условиям леммы: а замкнуто относительно операций получения значений функций FH для значений аргументов из d^W. Согласно лемме, имеем а -< А.

Если b конечно, то такими же являются все Ьп, так что а не более чем счетно. Если b бесконечно, то все Ьп имеют ту же мощность, что и Ь, и, следовательно, ту же, что их объединение. Заметим, что эта оценка мощности использует счетность множества всех формул, но не требует аксиомы выбора, так как все рассматриваемые множества содержатся во вполне упорядоченном классе А. Теорема 5.1 доказана.

Лемма о сжатии

Множество или класс назовем транзитивным, если для него выполняется условие (,х £ у £ А) (.х £ А) для всех х и у.

Два класса А и В называются изоморфными, если существует взаимно однозначная функция F с областью определения А и множеством значений В, такая, что для любых х, у ив А

(хеу)^ if (х) е f (у)].

Лемма о сжатии. Каждый класс А, в котором истинна аксиома (I), изоморфен некоторому транзитивному классу.

Доказательство. Согласно аксиоме регулярности, существует по крайней мере один минимальный элемент т в А. Следовательно, никакое ж из Л не принадлежит т, а так как мы предположили, что в А истинна аксиома (I), значит, в А существует не более одного минимального элемента.

Пусть

Af0 = {m}, М^ = \а^А; (х)А (х Е а-^- зс Е U М^.

Легко убедиться (по индукции), что каждое М^ является множеством и что М^ с М^ для t < т]. Покажем, что объединение J М^ = $=Оп

= А. Предположим, что это не так, и пусть а — минимальный элемент А — U М^. Тогда х а влечет ж Е U М^ для каждого ж из Л и, следовательно, существует £ (ж), такое, что ж £ М^ для каждого ж из Л f]a. Если ц = sup {£ (ж): ж Е А П а}, то из определения Af,) мы получаем, что а Е Мч, что и дает противоречие.

Определим теперь ф (ж) трансфинитной индукцией по наименьшему £, такому, что ж ЕМ^. Для ^=0, т. е. х = т, полагаем ф (ж) = 0. Если ф (у) определено для у Е U Мч и ж Е М^ то п<£

Ф (ж) = {ф (у): у Е А П ж}.

Докажем по индукции, что

(*)ф (ж) = ф (у) ж = у.

Пусть £, ц — минимальные ординалы, такие, что ж € Мь, у € М^, и предположим, что импликация (*) истинна для шах (|, ц) < £. Возьмем такие ж, у, что шах (£, ц) = £ и ф (ж) = ф (у). Если ж ^ у, т. е. ж — у =# 0, то существует z Е х — у и, так как аксиома (I) предполагалась истинной в А, можно считать, что z Е А. Следовательно, существует £' < £, такое, что z Е М^-. Из z Е х мы получаем Ф (z) Е ф (ж) = ф (у). Но ф (у) — это множество всех ф (2), таких, что t Е А и t Е у. Значит, ф (z) = ф (2) для некоторого t из А П У- Так как t Е МТ для т < £, то, согласно индуктивному предположению, z = i, откуда z Е У, что противоречит нашему допущению, что z $ у.

Класс В = {ф (ж)! ж Е Л} является транзитивным' если и Е и Е Е Ф (ж), то и имеет вид и = ф (у), где у Е х П Л и, значит, и имеет вид ф (z), где z Е У П А. Следовательно, и Е В.

Наконец, ж Е У = ф (ж) Е ф (у) Для произвольных ж, у из А. Если ж Е у, то ф (ж) Е ф (у) по определению. Если ф(ж) Еф кч\ то Ф (ж) = ф (z) для некоторого z из у и, значит, ж = z Е у. Теорема 6.1 Доказана.

Отметим еще два простых факта.

Если выполняются условия теоремы 6.1, то существует точно одна функция ф, изоморфно отображающая А на транзитивный класс..

Доказательство. Функция ф отображает т на 0, т. к. О является единственным минимальным элементом в каждом транзитивном классе. Индукцией по £ легко убедиться, что если х £ Mt, то ф (ж) должно равняться {ф (у): у^х П И}.

Эта единственная ф называется уплотняющей функцией класса А 1).

В условиях теоремы 6.1, если а € А и а — транзитивный класс, то функция, уплотняющая А, удовлетворяет равенству Ф (х) = х для всех ж Е a U (Р (о) П А).

Доказательство. Если ф (ж) = ж для всех ж ^ « П U Мч ri<£ и ж a Q М^, то ф (у) = у для всех у из ж и, следовательно, ф (ж) = = ж. Если ж ^ а и ж С Л, то ф (у) = у для всех у из ж и, следовательно, ф (ж) = ж.

*) В оригинале «contracting function». В английских текстах употребляется еще английский термин «collapsing function».—Прим. ред.

Глава II

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Достаточные условия того, что класс является моделью ZF

Установим некоторые простые леммы, дающие достаточные условия того, что некоторый класс является моделью ZF. На протяжении всего этого параграфа класс А предполагается транзитивным,

Аксиома (I) всегда истинна в А ).

Аксиома (II) истинна в А тогда и только тогда, когда класс А замкнут относительно операции образования пар.

Аксиома (III) истинна в А тогда и только тогда, когда А замкнут относительно операции объединения, т. е. а £ А ->- U а £ А.

Аксиома (IV) истинна в А тогда и только тогда, когда А содержит некоторое непустое множество а, такое, что коль скоро b Е а, то найдется множество с, такое, что (Ь <^ с) и (с £ а).

Все эти леммы доказываются прямо «в лоб». Например, для доказательства 1.2 заметим, что аксиома (II) истинна в А тогда и только тогда, когда для любых х, у из А существует в А такое z, что истинна формула•

№ {(< 6 z) = [Ц = ж) v (t = у)1}.

Отсюда заключаем, что z = (ж, у}, и теорема доказана.

Аксиома (V) истинна в А тогда и только тогда, когда а^А-^Р^ ()ЛЕЛ.

Для доказательства теоремы достаточно заметить, что Р (а) П Л является таким единственным элементом, что при х = а выполняется формула

(z) [z Е У = W Ц 6 z -> t Е ж)].

Для того чтобы аксиомы (VIH) были истинны в А, необходимо и достаточно, чтобы для всех параметрически определимых отображений ф была истинна импликация

(а Е Л) -> (Im (ф, а) Е Л).

Доказательство. Если ф определяется через Н a j, то антецедент (VIH) выполняется при /. Следовательно, если (VIH)

истинна в Л, то консеквент (VIH) выполняется при /, и отсюда следует, что для каждого а из А существует Ъ из А, такое, что для каждого у из Л ■

(у fcb) = (Ex)o V-aHVx, y,fb . . ., AL

Таким образом, 6 = Im (ф, а) и Im (ф, а) С Л. Обратно, если Im (ф, а) С А, то, обозначив Im (ф, а) через Ь, получим формулу (1), и, следовательно, консеквент (VIH) выполняется.

Пересматривая 1.1—1.6, можно прийти к заключению, что простейший способ получения модели состоит в том, чтобы, начиная с произвольного множества, замыкать его относительно операций, перечисленных в 1.2—1.6. Но необходимо напомнить, что операции, встречающиеся в 1.5 и 1.6, сами зависят от множества А, которое мы хотим построить, и поэтому этим простым способом нельзя воспользоваться: операции в 1.5 и 1.6 не определены до тех пор, пока не определено множество А. Чтобы обойти эту трудность, мы начинаем с произвольного А и постепенно будем расширять его, используя подходящий трансфинитный процесс, до класса, который обладает всеми требуемыми свойствами. Чтобы было ясно, как определять эти расширения, прежде всего докажем некоторые теоремы о моделях, представляющих собой трансфинитные объединения.

Теорема о рефлексии

Пусть А = J А^, где Л5 — множества, А^ s А, для £ < ц geon

и Ах = U At, если к — предельный ординал. Верна следующая теорема.

Теорема о рефлексии). Для каждой формулы Н существует строго возрастающее непрерывное^ отображение F — FH: Оп-^Оп, такое, что, если х — критическое число для F, т. е. F (к) = х > О, и / £ ЛхГ(Н), то

НаЯ[/]^ НДхЯ[/].

Доказательство. Если Н не имеет кванторов, очевидно, в качестве F достаточно взять тождественное отображение. Если Н есть “1 Н' или Н' [\ Н”, то берем FH = FH- или FH = FH- о FH~. Легко проверить, что если (1) истинна для Н* и Н", то она истинна и для Н.

В случае формулы “1 Н* все ясно, а в случае формулы Н* [\ Н" нам достаточно заметить, что критическая точка х функции FH является критической для FH- и Ен-.

Пусть теперь Н является формулой (ж,) Н'. Если i $ Fr (Я'), то положим FH = FH._ Так как квантор фиктивен, то Н мы везде можем заменить на Н*. Предположим теперь, что г Е Fr (Я'). Для произвольной / из Л1^® обозначим через р (/) наименьший ординал т], такой, что в А^ существует элемент а, удовлетворяющий На “1 Я' [{{i, а)} U/1- Если такого т] нет, пусть р (/) = 0. Далее, положим

о (?) = sup {р (/): fCA^Y

Очевидно, что функция а является неубывающей:

а (?) ^ а (т]) для ? ^ тр

Если X > 0 — предельное число, то

а (X) < sup {о ®: ? < X}.

Чтобы убедиться в этом, положим / Е -4^(Н)е Тогда существует ? < X, такое, что / Е Лр^, и, следовательно,

Р (/) < О (?) < sup (а ®: ? < X}.

Взяв sup, когда / пробегает Лхг(Н), получим (4).

Так как а не обязательно является строго возрастающей, заменим ее другой функцией, определенной по индукции:

G (0) = а (0), G (? + 1) ="шах (G (?), а (? + 1)) + 1,

G (X) = sup {G (?): ? < X}.

G является строго возрастающей, непрерывной и удовлетворяет неравенству

G (?) > а (?),

как это можно извлечь из (4) с помощью индукции.

Пусть FH = FH. о G. Эта функция также является строго возрастающей и непрерывной. Ее критические числа являются также критическими для FH> и G. Пусть FH (х) = х > 0 и / Е АуПН). Если На Н [/], то для каждого а из Л

■ На Я' [<<i, а» U /1, и, следовательно, по индуктивному предположению

НахЯ' [<<i, а» U Л

для каждого а из Лх, откуда Нах ^ (/)• Если неверно На Н [/], то существует такой элемент а вЛ, что неверно На Н* [{(i, а)} (J /]. Следовательно, такой а можно найти уже в ЛРф. Так как / Е A^H\ существует такое ? < х, что / Е Л^Г(Л) и, значит, ' .

Р (/) < а (?) < G (?) ^ FH (?) < FH (х) = х.

Таким образом, существует а в Лх, такой, что неверно На Н* [{(i, a)} J /],

откуда по индуктивному предположению получаем неверно Ндн Н' [{(г, a)}xU /] и неверно Нди Я [/].

Теорема доказана.

Теорема о рефлексии может быть усилена следующим образом.

Пусть А — функция на On, такая, что А^ s Лп, если £ < г], и Ах = U {Л^: £ < X}, если X — предельный ординал. Существует возрастающая непрерывная функция ф, отображающая On в On, такая, что, если ф (£) — £ > 0, то А^ -< U Rg (Л).

Чтобы получить этот результат, нам надо прежде всего доказать усиленную версию теоремы о рефлексии:

Существует функция G со следующими свойствами:

область определения G состоит из всех пар вида Д, £), где Н — формула и X — ординал;

значениями G являются ординалы;

если Н — формула, то функция FH (£) = G (Н, £) является возрастающим и непрерывным отображением On в On;

если Н — формула и FH (В) = В > 0, то для каждого а в А^№

(*)*~А6^ ^ г Н ике(А)Я [а].

В доказательстве теоремы о рефлексии мы указывали, как получить функции F—^H,, FH'\H"i FfxpH' из функций Fh- и Fh-. Операция О, которая по Fh- и Fh- дает FH, может быть описана следующим образом: .

FH-, если Я = 1 Я';

О (FH-, Fh-) = Fh'°FH", если Н = Н' /\Н";

. ... Fh- ... i ..., если Я = (жг) Я'.

Пустые места . . . должны быть заполнены здесь описанием F^h-» данным на стр. 33.

Определим теперь G. Если Я — формула, то в G включаем пару (Я, (|, Л)) тогда и только тогда, когда существует класс К, содержащий пары (Я', (а, Р)), где Я' — подформула Я и а, £ — ординалы, обладающие следующими свойствами:

для каждой подформулы Я' формулы Я класс Я(Н > является функцией;

если Я'—атомарная формула, то Я(Н) = Id = {(у, у): у £Оп};

если Н' имеет вид “1 Я*, Я*ДЯ** или (х^Н*, то Я(Д,) равно О^н*\ К^); (5, П)€Я(Н).

В этом определении К^ означает то же самое, что в 1.4, т. е. К^ является множеством тех (а, £), для которых (Я, (а, £)) £ Я. Легко убедиться, что определенная выше функция G удовлетворяет условиям (i) — (iv).

Чтобы закончить доказательство теоремы 2.2, построим непрерывное возрастающее отображение On в On, такое, что каждое критическое число этого отображения является одновременно критическим числом каждой функции FH.

Определим требуемое отображение по индукции:

ф(0) = 0; ф(Х) = sup{<£(£): £ < X}, если X — предельный ординал;

ф (£ + 1) = sup{FH (i + 1): Я — формула} + 1.

Очевидно, что ф является возрастающим и непрерывным отображением и что ф (^) ^ FH (£) для каждого £ и каждой формулы Я. Следовательно, если ф (£) = £ > 0, то FH (£) = £, и, значит, (*) верно для произвольного а из ЛЙ(В), Отсюда следует, что А^ < U Rg (Л), и теорема 2.2 доказана.

Выберем, в частности, А^ = Rt, где Я^ — множества, определенные в 1.3.3. Очевидно, U Rg (А) = V (универсальный класс).

Условия теоремы рефлексии выполняются, и мы заключаем, что

Существует возрастающее непрерывное отображение ф: On-*-On, такое, что RK-< V для каждого его критического числа х.

Все аксиомы ZF, очевидно, истинны в V. Следовательно, справедливо утверждение

Существуют сколь угодно большие ординалы х, такие, что Rx является моделью ZF.

Множества Ях с такими свойствами называются натуралъными моделями ZF.

Заметим, что всегда существуют критические числа непрерывной возрастающей функции ф, которые конфинальны со. В частности, получим такое число, положив х = supn хп, где х0 — произвольное и xn+i = ф (хп). Отсюда заключаем (Монтегю, Boot [19]):

Существуют натуральные модели Rx для ZF, такие, что х конфинально со.

Предикативно замкнутые классы

Для множества а и формулы Я пусть

'Яд (а) — {/6 а^н); Н«Я[/]},

8н(а, ^ = \х^а" «0, x^^RDh^Y

Назовем DH (а) диаграммой Я в а. Это множество содержит все конечные последовательности элементов из а, при которых выполняется Я в а. Множество SH (a, f) называется сечением DH {а), опре-

деленным посредством /, где / — последовательность, областью определения которой является Fr (Я) — {0}. Сечение можно характеризовать следующим образом. Если 0 Е Fr (Я), то сечение 8Н (а, /) пусто. В противном случае выберем те последовательности g в DH (а), которые содержат / (т. е. выполняются равенства g, = Д для у ^ 0). Множество всех g0 является сечением SH (a, f).

Назовем класс А предикативно замкнутым, если условия а £ А, f Е а^1^-^ влекут SH (a, f) Е А для всех формул Я.

Пусть А = U А^, и пусть выполняются следующие усло- geon

вия:

А^ е Ля для £ < ц; Ах = (J А^ (X — предельный ординал);

А^ Е А, А^ — транзитивное, (^х, у ^ А) ^х П у Е Л).

Если класс А предикативно замкнут, то аксиомы^) и (VIH) для любой формулы Н истинны в А.

Доказательство для аксиомы (V). Пусть а £ А; покажем, что Р (а) П А £ А. Для каждого х Е Р (а) П А существует наименьшее ^(х), такое, что х £ Ау^. Если а = sup{£ (х): х Е Р (а) П А), т0 (а) П А Е Аа и, следовательно,

х Е Р (а) Л А = 1(х Е Аа) Мхе а)].

Если Н — формула

(t) l(t € х0) -> (t Е »i)l,

то, очевидно, \-АаН lx, al = х s а для произвольных х, а из Ла. Значит,

х Е Р (а) Л А = V-да Н [х, а] = х Е 8Н (Ла,{<1 а)}).

Так как все сечения принадлежат А, то Р (а) П А Е А.

Доказательство для аксиом (VIH). Пусть ф — функция, параметрически определимая в А:

у = ф (х) = НАН [я, у, fi, • • ., fkl,

и пусть а Е А. Покажем, что Im (ф, а) Е А.

Для каждого х из а элемент ф (х) принадлежит А, и, следовательно, существует такой наименьший £ (х), что ф (х) Е Л^ж). Пусть а — ординал, такой, что а ^ sup{£ (х): х Е «}> а € Аа и h, . . . . . fk Е Аа. Тогда имеем

у Е Im (ф, а) = (Ех)о \-АН [х, у, h, . . ., fhl Д (у € Аа).

Теперь воспользуемся теоремой о рефлексии и получим х > а, такое, что коль скоро х, у, fi, • . ., fk € Ак, то

На Н [х, у, ft, . . ., fkl = Нах Н [х, у, Д, . . ., fkl.

Так как а £ Ла s Лх, то из (1) выводим, что

у Е Im (ф, а) = (Ех)а НЛиЯ [х, у, Д, . . ., fh) Д (у Е Аа).

Представим теперь правую часть (2) в виде

(У € ^а) Л Нах Н' [у, a, h, . . ., Д].

Достаточно взять в качестве Н' формулу

<Ех^ [fr2 6 х^ Д Н (х2, х0, х3, . . ., xft+2)l.

Легко проверить, что для последовательности

{(О, у), (1, а), (3, Д), . . ., <Д + 2,Д»

выполняется Н* в Ах тогда и только тогда, когда существует такой элемент ж в а, что Нах# t®’ У’ f^ • • •• AJ- Таким образом, Im (ф, а) равно пересечению

Ла f] SH. (Ах, £),'где g ={(1, а), (3, Д), . . ., {к + 2, Д)}.

Так как это пересечение принадлежит А, теорема доказана.

Основные операции

В силу теоремы 3.1 важным является вопрос о нахождении критериев предикативной замкнутости классов. В этом параграфе мы покажем, что если класс (который, в частности, может быть множеством) замкнут относительно семи «основных операций» Л1 — А7, то он является предикативно замкнутым х).

Эти операции следующие:

Ai (а, Ь) = {{(0, х), (1, у»: (х Е у) Л (х 6 а) Д (у 6 а))”

Аг (.а» Ь) = {а, 6},

А3 (а, 6) = U а,

А4 (а, Ь) = {{(ж, у)}: (х Е а) Д (у 6 6)},

А5 (а, 6) = {ж J у: (х Е» Д (у € 6)},

Ав (а, Ь) = {х — у. (х 6 а) Д (у Е Ь)),

А7 (а, Ь) = {г» у: (х Е а) Д (г/ Е Ь)).■

Значения операций А2 и А3 ясны. At (а, Ь) в действительности зависит только от а и является множеством всех последовательностей / с областью определения {0, 1}, таких, что Д Е Л и /0, А Е а.

Этот критерий Предикативной замкнутости классов впервые был установлен Бернайсом [2] и Гёделем [6] в их доказательствах «class-theorem» и «general existence theorem М1». Его идею можно проследить в аксиоматической системе теории множеств фон Неймана [22]. Мы выбрали основные операции отличными от введенных Бернайсом и Гёделем, чтобы излагать доказательство теоремы 4.12 в соответствии с определением выполнимости, данным в 1.4.

Л 4 (а, Ь) — разновидность декартова произведения а и Ъ. Мы получаем Л 4 (а, Ь) из а X Ь, беря множество всех точек {z}, где z принимает все значения из а X Ь..

Операции Л6—Л7 называются соответственно внутренним объединением, внутренним вычитанием и внутренней суперпозицией а и Ъ.

В леммах 4.1 — 4ЛО ниже X является таким множеством или классом, замкнутым относительно операций Л1 — Л7, что 0 € X. Буквы I, j, т, п обозначают элементы со, буквы s, s', . . . — конечные последовательности элементов со.

a, b ^ Xа у Ь, а — Ъ, а о Ъ, a f) b € X.

Доказательство.

a U Ъ = иЛ6 ({а}, {Ь}) = Л3 (Л6 (Л2 (а, а), Л2 (Ь, Ь)), 0).

Для других операций доказательства аналогичны. Отметим, что a Q Ъ = а — (а — Ь).

со s X.

Доказательство. По предположению 0 € X. Если п 6 X, то {и} £ X, так как {и} = Л2 (и, п), и по 4.1 п U {и} € X.

cos s X.

Доказательство проводится индукцией по числу элементов s. Если $ = {0}, то cos ={0} s X. Если s = knY то ®s ’ = {{(и, иг)}: т £ со}, и так как {(и, иг)} = Л4 ({и}, {иг}) принадлежит X для каждого т из со (см. 4.2), то cos s X.

Если s = s' U s", где каждое из s' и s" имеет не более чем s элементов и s' П s" = 0, то каждый х из со® является объединением х' U х", где х’ £ со8', х" С со5". Следовательно,• по 4.1 и по индуктивному предположению получаем, что х С X.

Если а£Х, то а8 £ X*

Доказательство. Если 6 = 0, теорема очевидна. Если s = {и}, то

а5 ={{ (и, ж)}: х £ а} = Л4 ({и}, а) = Л4 (Л2 (и, п), а) £ X.

Если s имеет по крайней мере два элемента и s = s' J s", где s' =7& =/= 0 #= s', то каждое z в а® можно представить как x' Q x", где x' ^ a5', ж" ^ as", и каждое такое объединение находится в а®. Следовательно, а4 = Л6 (а8', а5") и теорема следует по индукции.

Если f £ «Г, b £ X, то {/ о х: х b} X.

Доказательство. Это множество равно Л7 ({/}, Ь) и / е X по 4.3.

Если п Es; a, b £ X; Ъ г а\ то

• {г Е as-W; (Ей} ({(п, и)} ,Ц х Е 6} Е X.

Доказательство. Обозначим это множество через Z, и пусть Т = {(тг, и}: и Еа}. Тогда каждое у из Ъ содержит точно одну пару, которая принадлежит Т, и, удаляя эту пару из у, мы получим элемент множества Z. Обратно, каждое х в Z можно получить с помощью элемента у из Ь, удаляя из у единственную пару, которая принадлежит Т. Это доказывает, что Z = {у — Г: у Е Ь} = = Л8 (Ь, {Т}). Так как T = Ua<ni, то теорема доказана.

Если п Е s; а, Ъ Е X, Ъ s а8, то

{{{п, х^ U у: (х Е а) /\ (у £ Ь)} Е X.

Доказательство. Это множество равно Л5 (а^, Ь).

Если п Е s, а Е X, а с X, у Е as, т-о

{{(тг, ж)} U у: х Е а} Е X.

Доказательство. Требуемое-множество равно Л5 (a<n>, {у}) и, следовательно, принадлежит X, так как у Е X (потому что у есть конечное множество пар (г, t), где i ^s s X и t ^а s X).

Если п Е s, а Е X, а г X, у Е a8, Ъ s qsUW и Ъ Е X, то . {г Е а: {(тг, ж)} (J у Е 6} Е X.

Доказательство. Пусть Z — требуемое множество.. Построим прежде всего множество Т всех последовательностей вида {(тг, ж)} U у, где х Е а и у — данная последовательность. Тогда Т Е X по 4.8, и Т П Ъ = I* также является элементом X. Если вычесть у из последовательности t Е Т', то получится одночленная последовательность {(тг, х)}, такая, что {(тг, х)} U у Е Ъ. Каждая такая одночленная последовательность может быть получена из последовательности t Е Т' вычитанием у. Следовательно, если положить

8 = {{(тг, ж)}: {(тг, х)} U У Е Ь}, то

S = АЛТ*Лу^ и 8 ЕХ.

Теперь Z представляет собой множество элементов, являющихся вторыми членами пар, синглетоны которых принадлежат 8, и, следовательно, ‘

х Е Z -^- х Е {п, х} Е <п, х) Е {(и, х)) Е 8, откуда вытекает, что Z s U U U <5. Если х Е U U U 8, то существуют такие р, q, г, что xEpEqEi"ES. Значит, г={(тг, z)}, где z такое, что {(тг, z)} J у Е Ъ и q равно (тг, z). Следовательно, р есть либо {тг, z}, либо {тг}, поэтому х есть либо z, либо п. Таким образом, U UUSe2|J {«} и Z есть либо U U U 8, либо

U U U S — {»}. В обоих случаях Z ЕХ.

Если а Е X, то {{<0, ж), (1, ж)}: х Е «} € X.

Доказательство. Множество {(0, 1), (1, 1)} ° {(1, ж)} равно {(0, ж), (1, ж)}. Таким образом, требуемое множество равно Л7 ({/}, а<О), где / = {(0, 1), (1,1)}.

Теперь мы в состоянии доказать такие две теоремы.

Если 0 Е X и X замкнуто относительно Л4 — Л7, то DH (а) € X для каждого а Е X и каждой Н.

Доказательство проведем индукцией по длине формулы. Пусть Н — формула ж, € ж,. Если i = ), то DH («) = 0, и доказательство не нужно. Если i = 0, / = 1, то DH (a) — At (а, а) и, значит, DH (а) Е X. Если I =/= /, но (t, /) =/= (0, 1), то положим / = = {(t, 0), У, 1)} и b = At (а, а) и убедимся, что

Он (а) = {/0 я: х Е Ь>.

Следовательно, DH (а) Е X по 4.3 и 4.5. В случае формулы ж0 = ^ DH (а) Е X по 4.10. Для Н: xt = ж, имеем

Он («) = <{<i. ж)}: х Е «} = А4 ({i}, а).

Наконец, для формулы ж, = Xj (i =/= /) рассуждения проводятся таким же образом, как для xt € хр

Так как D -|Н (а) = aF^H> — DH (а), отсюда следует, что если наша теорема верна для Я, то она верна и для ^Н.

Предположим теперь, что теорема верна для Н* и Н", и пусть Я = Я'Д Н”. Если Fr (Я') = Fr (Я"), то, очевидно, DH (а) = = DH- (а) П DH« (а) и, значит, DH (а) Е X. Если Fr (Я') =/= Fr (Я"), нужна небольшая подготовительная работа. Пусть s = Fr (Я) = = Fr (Я') U Fr (Я"), и пусть п Е s — Fr (Я'), b — DH- (а). Используя 4.7, получаем из Ъ множество всех последовательностей / с областью определения Fr (Я') U {»}, таких, что их ограничения на Fr (Я') принадлежат Ь. Повторяя этот процесс для всех чисел п Е s — — Fr (Я'), мы получим множество Ь^ € X, элементами которого являются все последовательности / € аРг<Н), такие, что / | Fr (Я') Е Ь. Выполним ту же самую процедуру для множества с = DH- (а) и получим множество с^ Е X всех последовательностей / € aFr<H>, для которых / | Fr (Я") € с. Ясно, что DH (а) = bv Q ci, и теорема для конъюнкции доказана.

Наконец, если Я есть (жп) Я', рассмотрим два случая: (i) п $ Fr (Я) и (И) п 6 Fr (Я). В случае (i) DH (а) = DH- (а), и теорема очевидна. В случае (ii) заметим, что D-^H, (а) Е X, и, следовательно, по 4.6 существует множество с в X, такое, что с с аГг(Н)-{п} и

хЕс = (SitXKn, u)} U х Е О-^н, (а)}.

Легко проверить, что а^гОТН"} — с = Оц (а). Теорема 4.11 доказана.

Если 0 £ X и X — транзитивный и замкнутый относительно Л1—Л7 класс, то X предикативно замкнут1).

Доказательство. Пусть Н — формула, такая, что О Е Fr (Я) (в противном случае доказывать нечего), а £ X и/ £а^<я)-{°}. Так как DH (а) £ X по 4.11, то имеем, по 4.9, что

VxEa: {<0, ж» U fEDHla)) EX,

т. е. что SH (a, f) £ X. Это и доказывает теорему. Заметим, что мы воспользовались транзитивностью X, так как 4.9 можно использовать только тогда, когда DH (а) г X.

Теорема 4.12 вместе с 3.1 позволяет нам формулировать достаточные условия того, что класс является моделью ZF.

Если класс Л представим в виде объединения

Л = U {Л£: | £ On), где

Л$ g Лп для £ < т] £ On,

Лх = U {Л^: £ < X}, если X предельный ординал,

А^ Е А для каждого £ ид On,

Л 5 транзитивен для каждого £ из On,

0 Е А, ■

и если■

А замкнут относительно операций Л1 — Л7, то Л является моделью ZF.

Доказательство. По 4.12 класс А предикативно замкнут. Все условия теоремы 3.1 собраны в настоящей теореме, за исключением требования замкнутости А относительно пересечений. Это условие, однако, следует из замкнутости Л относительно Л t — Л7 (см. 4.1). Следовательно, Л удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1 и, значит, аксиомы (V) и (VI) истинны в А. Истинность аксиом (I) — (III) следует из теорем 1.1—1.3, условия которых очевидным образом выполнены. Наконец, для того чтобы показать, что аксиома бесконечности истинна в А, определим по индукции возрастающую последовательность ординалов |п, такую, что |п+1 есть наименьший ординал, для которого А^п является элементом Л ^п+1.. Существование таких ординалов следует из условия (iii)..

Если X — sup{£n: п < со}, то Ах = U Mgra: п < со} и Лх таково, что каждый его элемент собственно содержится в другом эле-

*) Условие 0 Е X излишне, так как оно следует из транзитивности X.— Прим. реЭ.

менте. Действительно, если Ъ G Ах, то 6 является элементом одного из множеств А^п, и, значит, по (iv) b содержится в А^п. Включение должно быть собственным, потому что никакое множество не является своим собственным элементом. Более того, так как Л^„ 6 Ах, то мы видим, что Ах удовлетворяет условиям 1.4 и аксиома бесконечности является истинной в А.

Теорема 4.13 может показаться мало привлекательной из-за большого числа условий. Однако более пристальное рассмотрение показывает, что эти условия легко проверяемы в каждом конкретном случае. И, что еще более важно, можно легко строить классы, удовлетворяющие этим условиям. Благодаря этому теорема 4.13 очень часто используется при построении различных моделей ZF. Приведем одну из таких конструкций в следующей главе.

Глава III

КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА

В этой главе мы определим модели, являющиеся главным объектом нашего изучения. Идея, положенная в основу их построения, очень проста. Мы исходим из произвольного транзитивного множества а, элементы которого занумерованы в последовательность порядкового типа а, а 6 On (более точная формулировка условий, накладываемых на исходную последовательность, дана в начале § 3). Новую последовательность множеств строим с помощью подходящих операций. Этот процесс выполняется шаг за шагом по всему On: на шаге £ строим множество, обозначаемое С^ (а), исходя из множеств, построенных на предыдущих шагах. Назовем Ct (а) £-л множеством, конструктивным относительно а.

Операции, используемые при построении, выберем так, чтобы класс всех конструктивных множеств удовлетворял условиям теоремы II.4.13. Для каждого ординала £ укажем операцию, выполняемую на шаге £. Будут заданы функции от £, указывающие места, из которых выбираются значения аргументов операции, выполняемой на шаге £.

Принимая во внимание условие (ш) из II.4.13, мы построим определение так, чтобы существовал класс индексов Е, конфиналь- ный On, такой, чтобы операция, выполняемая на шаге £ из этого класса, заключалась в образовании множества всех предшествующих С^ (а), т] < £. Чтобы элементы исходной последовательности были конструктивными, определим еще такой класс ординалов £, чтобы операция, выполняемая на шаге £ из этого класса, давала первый из еще не использованных до сих пор элементов исходной последовательности или 0, если все элементы уже использованы.

Роль остальных операций двояка. Часть их обеспечивает предикативную замкнутость конструктивных множеств. Будет даже существовать последовательность ординалов £, конфинальная On, такая, что Ct (а) будет предикативно замкнутым. Для достижения одного этого достаточно выполнить в подходящем порядке основные операции (см. 1.4) над множествами С^ (а). Однако этот метод не даст желаемого результата, потому что мы не получим транзитивных множеств, и, следовательно, условие (iv) будет нарушено. Поэтому вместо основных операций мы используем некоторые тернарные операции, тесно связанные с ними. Они определяются как А г (х, у) Q z, где Аг — основные операции. Для того чтобы класс конструктивных

множеств был замкнут относительно основных операций, добавим две новые операции: (х — у) П z и (ж о у) ^ z.

Прочие операции являются в большой степени произвольными, и во многих случаях можно обойтись без них. Но они полезны для того, чтобы гарантировать в классе конструктивных множеств истинность некоторых формул, не являющихся аксиомами ZF. В настоящей книге мы воспользуемся этой свободой выбора дополнительных операций только для гарантии истинности аксиомы выбора в классе всех конструктивных множеств. Мы также определим другую операцию, которая гарантирует, что каждый ординал а будет появляться в последовательности С^ (а) в точно определенном месте, которое может быть вычислено, если известно а. Имеются и другие операции, которые могут быть использованы для различных целей, но мы их здесь не будем исследовать.

Конструктивная модель, которая детально будет описана ниже, была введена Гёделем [4] для частного случая, когда исходная последовательность пуста и нет дополнительных операций. Модификация ее, заключающаяся во введении исходной последовательности и добавлении новых операций, была предложена различными авторами, см., например, Хайнал [31] и Коэн [10].

Нумерация

В этом параграфе мы определим четыре отображения I, К, L, М из On в On. Значение Z£ указывает, какую операцию мы будем выполнять на шаге £, а Х£, L^, MS, указывают места, из которых мы берем значения аргументов для операции, выполняемой на шаге ^).

Пусть г — целое положительное число. Определим 6 (г, £) индукцией по £. В последующих формулах для простоты записи мы опускаем г и вместо 6 (г, £) будем писать 6£ или 6g.-

60 = 0, 6g+1 = 6g + 1 + г*6|, 6? = sup{6g: ^< X)

(X — предельный ординал). Таким образом, 6t = 1, 62 = г + 2, 6з = г + 3 + г(г-|- 2)3| И Т. Д., 6^ = СО, 6(04-! = СО3, 6(04-2 = со» ИТ. Д., 6(0-2 = <0®.

Если £ ^ со, то 6g является степенью со и 6g+1 = 6|.

Это доказывается по индукции с использованием того, что если а •< соР, р > 0, то а + гсо₽ = «А

6 является непрерывной возрастающей функцией.

Из определения следует, что множество Xg = {а: 6g < ст •< 6g+1} имеет порядковый тип г-6|. Следовательно, существует взаимно однозначное отображение множества Xg на множество четверок

Конкретная нумерация, изложенная в этом параграфе, восходит к Коэну [10].'

(j, а, р, у), где 1 ^ I ^ г, а, р, у < 6g. Обозначим четверку, соответствующую а, через (7а, Ka, La, Ма). Тогда

Если 6g < а < 6g+1, то 1 ^ 1а ^ г и Ka, La, Ma < 6g.

Какое из отображений г-6| на Xg мы зафиксируем, не играет большой роли. В частности, можно расположить четверки (i, р, v, р) в антилексикографическом порядке, где' 1 ^ i ^ г, р, v, р < 6g, и связать с каждой четверкой порядковый тип множества всех четверок, предшествующих ей.

Дополнительно определим 76g = X6g = 76g = 7176g = 0. Мы подчеркиваем, что 7, К, L, М в действительности являются функциями двух переменных и более точным обозначением для них должно быть 7 (г, g), К (г, g) и т. д.

Будем пользоваться функцией, которая нумерует класс всех ординалов g, удовлетворяющих условию 7g = к, где к — целое положительное число и 1 ^ к ^ г. Обозначим эту функцию через plk (а), или, более точно, через plk (г, а):

plk (0) = ming (7g = к),

plk (а) = ming [(Р)а (g > plk (Р)) Д (7g = *)].

Так как на самом деле нам понадобятся только функции р110, pllt, plia, введем более простые обозначения:

plio = pl', pill = pl*, Р112 = PL

Докажем, что функция plk растет не очень быстро.

plk (g) < 6 (g + 1) для каждого g>0.

Доказательство. Для g = 1 теорема очевидна. Пусть она верна для всех р < а. Так как 6p+i ^ 6а < 6a+t и интервал (6 (а), 6 (а + 1)) содержит по крайней мере один ординал g, такой, что 7g = к, то (Р)а (g > plk (Р)). Следовательно, по определению plk (а) < g и, значит, plk (а) < 6а+1._

Кроме plk, мы будем пользоваться функцией plk, определенной следующим образом: plk (Р) = min {a: рД (а) ^ Р}. Более точное обозначение этой функции должно иметь вид plh (г, Р), но мы часто опускаем символ г.

Если ga — возрастающая трансфинитная последовательность всех ординалов, удовлетворяющих равенству 7g = к, то рД (а) = ga, в то время как рД (Р) есть первый индекс а, удовлетворяющий неравенству ga р.

Очевидно,

Plfe (plh («)) = «•.

Так как рД (а) строго возрастает вместе с а, мы также имеем

Plk (Р) ^ Р-

Для к = 10, 11, 12 воспользуемся более короткими обозначениями рГ, pl*, pl вместо plfe, так что

рГ (Р) = ^10 (Р), рТ* (Р) = Й1 (Р), Р1 (Р) = ^12 (Р).

Если 1 ^ к ^ г, то plh (а) = plt (а) + к — 1.

Доказательство. Из определения антилексикографиче- ского порядка следует, что если 1 ^ i < г, то элемент {i + 1, а, Р, Y } является непосредственным последователем элемента (i, а, р, 7). Следовательно, если g0, £1» • • •, £р, • • ■ — возрастающая трансфинитная последовательность всех ордйналов, удовлетворяющих Ig = 1, то g0 + к — 1, gt + к — 1, . . ., gp + к — 1, . . . — возрастающая трансфинитная последовательность всех ординалов т], удовлетворяющих 7ц = к. Таким образом,

pU (а) = ga + к — 1 = рД (а) + к — 1.

Конструктивные множества

Пусть 8 — класс всех трансфинитных последовательностей. Таким образом, а С 8 в том и только том случае, когда существует ординал g £ On, называемый типом или длиной а, такой, что а является функцией и Dom (а) = g. Для последовательности а из 8 часто вместо Dom (а) будем писать lh (а). Чтобы сделать наши обозначения единообразными, введем две новые операции А8 и Л9, которые дополняют список из семи операций, определенных в II.4,

А8 (^, У') = х — У, А9 (ж, у) = х о у.

' Рассмотрим теперь функцию В двух переменных a, f, пробегающих класс 8, такую, что

(В.0)В (а, /) г Rg СО и и Rg (/)•

Предполагаем, что В удовлетворяет следующим условиям, в которых г — некоторое целое число (определяемое для S) и ст обозначает lh(/).

) Если I (г, ст) = 0, то'

5 (а, /) = Rg (/).

) Если 0 < 7 (г, ст) ^ 9, то

в (a, f) = Лцг, а) (/К(г, а), /цТ, а)) f) Jm^t, а).

) Если Цг, ст) = 10 и рР (г, ст)<1Ь(а), то

В^. Л = ®рр(г, а)

) Если I (г, ст) = 10 и рГ(г, ст)>1Ь(а), то

_В (а, /) = 0.

Здесь употребляется обозначение /^ = / (^), а^ = а ^.— Прим. ред.

По теореме об индуктивных определениях мы заключаем, что

Существует точно одна функция С: S X Он -> У, такая, что С (а, ^) = В {а, С | £), где С1t — есть ограничение функции С на ординалы < ^, т. е.

CR = {(т), С(а, т])>: т) < £}.

Более подходящим символом для функции С был бы Св, так как С определяется выбором В- Обычно мы будем опускать символ В ради простоты записи. Мы также часто используем символы С^ (а) или С^ для значений функции С. Последнее обозначение будет употребляться, когда а фиксировано. Мы будем также опускать символ г в выражениях Z (г, о), К {г, о) и т. д.

Минимальный класс, содержащий все множества Св (а), обозначается через Кв {а). Его элементы называются конструктивными (более точно, конструктивными относительно а посредством функции BY Все наши рассуждения будут связаны с этими множествами.

Непосредственно из определения С получаем:

Са(а) = {С$ (а): £<сг), если 1а = 0.

Са(а) = Alo (С^а), CLa (а)) П СМа (aY если l<Zcr<9.

Са(а) = а^,(а), если 1а =10 и рГ (а) < 1Ь {а).

Са(а) = 0, если la = W и рГ (a)>lh (а).

Са {а) с и Ср (<z) U {Ср (а): р < а), если 1а > 10. Р<а

Дадим некоторые комментарии к этим определениям. Трансфинитная последовательность С^ (а) конструктивных множеств определена таким образом, что для каждого из ее элементов С^ (а) имеет место один из следующих случаев: (i) С-„ (а) получается из предыдущих элементов при помощи операции Лг (ж, у) П z (случай 2.3); (ii) С^ (а) есть множество X всех множеств, построенных на предыдущих шагах (случай 2.2); (iii) Ct (а) является подмножеством X или U X (случаи 2.5 и 2.6); (iv) С^ (а) является одним из членов исходной последовательности (случай 2.4). Каждый из этих случаев определяется значением £; в случае 2.3 значения i, х, у, z также определяются значением |. Таким образом, если дано В, то каждая последовательность а определяет единственную последовательность конструктивных множеств. Члены последовательности а находятся среди конструктивных множеств и появляются там в том самом порядке, в котором они появляются в а. Множество aa занимает место С^ (а), где £ является a-м ординалом, таким, что I? = 10. Вся последовательность а может не быть конструктивным множеством относительно а.

Свойства конструктивных множеств

Начиная с этого места, мы предполагаем, что

ag ^ а | £ для каждого £ < lh (а).

Таким образом, элементами а^ являются некоторые а^ с ц < ^ и, в частности, а0 = 0. Последовательности а, удовлетворяющие соотношению (1), будем называть транзитивными.

Зафиксируем функцию В, удовлетворяющую условиям (В.0) — (В.4), и транзитивную последовательность а. Так как на протяжении всего этого параграфа В, г, а будут фиксированы, мы вместо Cg (а) будем писать С^ и опускать символ г при написании значений 6, I, К и т. д.

Мы хотим показать, что если % — предельное число, то Се <х> является предикативно замкнутым.

0 £ С6 (X) для % > 0.

Действительно, 0 = а0 £ Rg (С | 6 (X)) = Се (х>-

С^ £ Rg (С | £) для каждого £ € On.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по £. Так как Со = 0, теорема верна для £ = 0. Предположим, что она верна для т] < £, и рассмотрим различные случаи в зависимости от значений 7£. Если 7£ = 0, то С^ = Rg (С ] £) по 2.2. Если 17£9

и х С С^, то х g СМ£ по 2.3 и, следовательно, х С Rg (С | ME) по индуктивному предположению. Таким образом, х £ Rg (С | £). Если /£ = 10, то либо С^ = 0, либо Cg = a—v ^; следовательно, Cg с с д [ рГ (g), так как мы предположили, что а транзитивно. Для каждого х g Cg существует ц < pl' (£), такое, что х = а^. Если £ является ц-м ординалом, таким, что Z£ = 10, то £ < £, так как £ содержит рГ(£)-й такой ординал. Следовательно,

х = СЕ € Rg (С | £).

Наконец, если Z£ > 10 и х С Cg, то по 2.6 либо х = Ср для р < £, либо х С Ср для р < £. Таким образом, в обоих случаях по индуктивному предположению х — Со для о < £. Доказательство 3.2 завершено.

Отсюда следует, что

Cg (g, является транзитивным для каждого £.

Докажем теперь, что Се (х, является замкнутым относительно операций At — Л7. Это вытекает из более общей леммы.

Для каждого i., 1 ^ i ^ 7, существует такое целое положительное число р = pt, что если а — некоторый ординал и х, у С С6 (а), то At (х, у) € С6(а+рр.

Доказательство. Начнем со случая г = 2. Здесь мы имеем А^ (а, Ъ) = {а, 6} = {а, 6} П Сб«хр Если а = С^, Ъ = С^, то мы определим £ так, что /£ = 2, £ = Kt,, 14 = Lt,, 6 (а) = Mt,, и получим {а, Ь) = А^ (Ск^, CL^ П С м^ Так как £ с такими свойствами можно найти среди чисел < 6 (а + 2), то {а, 6} Е Сб<а+2>-

г = 1. Множество А^ (а, Ь) содержит пары {(0, ж), (1, г/ >}, где х, у Е а и х £ у. Пусть х, у — произвольные элементы множества а. Так как предполагалось, что а и b — элементы из С§(а), получаем а > 0 и х, у £ С6(а). Следовательно, 0 £ С6(а) и по нашему предыдущему результату 1 ЕСб«х+2>- Воспользовавшись 3.3, заключаем, что четыре элемента х, у, 0, 1 принадлежат С6(а+2). Отсюда следует, что одноэлементные множества {0} и {1} и пары {0, ж} и {1, у} являются элементами Сб(а+4) и, значит, упорядоченные пары (0, ж) и (1, у) являются элементами Сб«х+в>- Таким образом, мы доказали, что каждый элемент из At (а, Ь) принадлежит С6(а+6). Если а = С^ и b = С^, то At (a, b) = At (С^, С^ П Сб(а+6). Определим теперь £ так, что It, = 1, Kt, = t„ Lt, = ц, Mt, = 6 (a + 6), и получим Hi (a, 6) = Q. Так как £ можно найти среди чисел -<6 (a + 8), то для этого случая теорема доказана.

г = 3. Так как а £ С6(а) влечет U a S Се (а), можно найти £ < < 6 (а + 2), такое, что А3 (Сь Сч) = А3 (С^, Си) П См^ = = ис£ = и а И £<6 (а + .2),

г = 4. Если а = С^, Ъ = С^, где £, г] < 6 (а), то каждая пара {х, у), х Е а, У Е Ь, принадлежит С6(а+4), и, значит, {(ж, у)} £ ССб(а+б). Отсюда следует, что А 4 (а, Ъ) ■= С6 (а+6), и получаем А4 (а, Ь)ЕСб(а+8> точно так же, как это было сделано выше.

г = 5. Если а = С^, b = С^, где £, т] < 6 (а), то ж Е я влечет х Е Сб«х> и У Е b влечет у £ Сб(а) . Таким образом, ж (J у = U{z, у} является элементом Cg(a+4), согласно случаям, рассмотренным выше. Отсюда следует, что А6 (a, b) s Сб(а+4); рассуждая дальше точно так же, как и в предыдущих случаях, завершаем доказательство.

г = 6. Мы хотим показать, что А6 (a, b) с С6(а+1). Пусть ж £ а, у Е Ъ, т. е. х, у Е Сб<а). Пусть ж = С^, у = С^. Следовательно, ж — у = As (х, у) П ж = А3 (С^, С^ П С^, и мы получаем ж — у = = С^ для некоторого у, такого, что /у = 8, К'} = £, Zy = г], Му = ^. Значит, ж — у Е С6(а+1), так как у с такими свойствами существует среди чисел, меньших 6 (a + 1).

i = 7. Достаточно показать, что Ач (а, б) с С6(а+6). Элемент ж о у множества Л7 (а, б) состоит из пар (р, q), таких, что (г, q} g у и кр, т^ ^ х для некоторого множества г. Следовательно, если а = С^, b = С^, где ^, т] < 6(a), то р, q Е Сб(а) и (р, q) Е Сб<а+4> согласно

случаю i = 1. Значит, х о у = Л9 (ж, у) П Сб(а+4) является элементом С6(а+6).

Теорема 3.4 полностью доказана.

Отсюда непосредственно следует

Если X > 0 — предельный ординал, то Се^, является предикативно замкнутым. Точно так же класс К = К (а) множеств, конструктивных относительно а, является предикативно замкнутым.

Первая часть этого утверждения следует из 3.4. Для доказательства второй части достаточно заметить, что К = (J Сб^.

«ЕОп

Используя теорему 3.4, можно теперь установить основной результат настоящей главы.

Для каждой функции В, удовлетворяющей условиям (В.0) — (В.4), и каждой транзитивной последовательности а класс Кв (а) множеств, конструктивных относительно а в соответствии с В, является моделью ZF.

Для доказательства достаточно проверить условия теоремы П.4.13. Пусть Xg — возрастающая последовательность всех предельных ординалов и пусть Л^ = Св^,. Очевидно, что Л^ образует возрастающую последовательность и что Кв (а) является ее объединением. Условие (11) выполняется, потому что 6 (X) = sup{6 (£): £ < X) для каждого предельного ординала X. Условие (ill) выполняется, потому что каждое конструктивное множество, в частности каждое множество Сва$н является элементом класса Кв (а). Условие (iv) доказано в 3.3, (v) очевидно, и условие (vi) доказано в 3.4.

Теорема 3.6 дает нам примеры классов, являющихся моделями ZF. Так как выбор а и В является в большой степени произвольным, получаем неограниченное число таких моделей. Если мы хотим получить модели, являющиеся множествами, но не классами, как в 3.6, то мы должны применить теорему II.2.2 к классу Кв (а). Таким образом, мы получаем

Для каждой функции В, удовлетворяющей условиям (В.0) — (В.4), и каждой транзитивной последовательности а существует непрерывная возрастающая функция ф: On -* On, такая, что С6(i ) («) -< ^В (“) Зля каждого критического числа х функции ф. Следовательно, в частности, Св(^^ (а) является моделью ZF.

Мы можем доказать также существование транзитивных множеств, являющихся моделями ZF и имеющих заданную мощность.

Для каждого ординала а существует транзитивное множество t мощности У[а, элементарно эквивалентное классу Кв (а).

Доказательство. Пусть b — некоторое подмножество класса К® {а) = К мощности Ха- Так как К является вполне упорядоченным классом, можно воспользоваться теоремой Лёвен- гейма — Сколема (1.5.1) и получить множество d мощности Ха, такое, что b с d ^ К. Теперь можно воспользоваться леммой о сжатии 1.6.1 и получить транзитивное множество t, изоморфное d. Множества t и d элементарно эквивалентны (так как они изоморфны), и, следовательно, t элементарно эквивалентно К. Теорема 3.8 доказана.

Заметим, что изоморфизм, вообще говоря, нарушает отношение -<, так что из d -< К не следует, что t -< К..

Конструктивность ординалов

В этом параграфе мы выясним, какие ординалы являются конструктивными, и покажем, что все они принадлежат К {а). Получим также некоторую более точную информацию о месте, которое данный ординал занимает в трансфинитной последовательности конструктивных множеств.

Нам потребуется следущая лемма о рангах.

Если а — транзитивная последовательность, то rg (а^ ^ £ для каждого g < lh (а).

Доказательство по индукции: если неравенство верно для всех £ С т] С lh (а), то оно верно для т], ибо а^ s с (а6: £ < л} и, следовательно, rg (an) ^ sup{rg (а5): | < л} Л-

Теперь можно оценить ранг Ср.

Если В удовлетворяет условиям (В.О) — (В.4) и а — транзитивная последовательность, то rg (С® (а)) ^ р.

Доказательство по индукции. Предположим, что это неравенство верно для всех а < р. Рассмотрим несколько случаев.

0<7(г, р)<9. В этом случае С® (а) Е См^г, р) (а), и, значит, по индуктивному предположению ранг левой части <.М ^г, р)<р.

: (2) I (г, р) = 0. В этом случае С® (а) = {С® (а): £<р), и, следовательно, по 1.3.7 и индуктивному предположению ранг левой части< sup {£: £<р} = р.

7 (г, р) = Ю. В этом случае С®(а) = ajp или 0 и по 4.1 ранг левой части<^рГ(г, р)<р.■

7 (г, р) > 10 В этом случае С® (а) с (С® (а): £<р) U U С®ка^ в’?<₽

и, значит, ранг каждого элемента Ср (а) меньше р, следовательно, ранг С® (а) не превосходит р.

С® (а) не содержит, ординалов^р.

Это следствие показывает, что если Ср (а) = М является моделью ZF, то ординалы этой модели меньше р. Нас теперь интересует вопрос, все ли ординалы, предшествующие р, являются элементами М.

Если В удовлетворяет условиям (В.О)— (В.4) и а — транзитивная последовательность, то р £ С^ Р+<о) (я) для каждого р^Оп.

Доказательство. Для упрощения формул везде опускаем символы В, г, а. Применим индукцию по р. Для р = 0 теорема очевидна. Предположим, что она верна для всех о < р, и рассмотрим два случая.

р = а + 1 — о U {°}- По индуктивному предположению оЕСб(а+<й), следовательно, о = Са, где а< 6(о + со) = lim 6(о + п).

Отсюда следует, что {Са}ЕС6(а+и) и Са U \Са^ р Е С6(а+И). Так как о + со = р4-со, это доказывает теорему в случае (i).

р > 0 является предельным числом. Для о < р очевидно, что о + <о<р и, значит, оЕС6(р), что доказывает соотношение psC6(p). Теперь мы рассмотрим формулы

Trans (ж): (у) (г) [(у Е z) Д (г Е ж) -+ ky Е ж)],

Ord (ж): Trans (ж) Д (у) (г){[(у Е ж) Д (z Е ж)] ->■

-> Ку € z) v (у = z) v (z Е у)]}.

Легко проверить, что если А является транзитивным классом, то для каждого а из Л

На Trans [а] = а транзитивно,

На Ord [а] = (а является транзитивным и Е связно в а) = а Е On.

Так как Сб(р) транзитивно, то

{« Е С6(Р): Нс6(р) Ord [а]} = On П С6(р).

Если у = min {5: ^Оп — Сб(р)}, то правая часть этого равенства есть у. Так как Сб(р+6» предикативно замкнут, то уЕСб(Р+а»- Включение р с С6(р) доказывает, что у Др и, следовательно, рЕСб<Р+<о>.

Если р — критическое число для 6 (т. е. 6 (г, р) = р), В удовлетворяет условиям (В.О) — (В.4) и а — транзитивная последовательность, то Ср (а) содержит все ординалы, предшествующие р, и не содержит других ординалов.

Доказательство. Это следствие получается из 4.3, 4.4 и такого замечания: если о < р, то о + со ^ 6 (г, р) = р и, значит, 6 (о + со) ^ р.

В дальнейшем нам придется вычислять кардинальные числа | С® (а) | от С® (а) для произвольной транзитивной последовательности а и функции В, удовлетворяющей условиям (В.О) — (В.4).

Если b — транзитивная последовательность, то | 6g | ^ ^ | £ | для каждого £ из Dorn (6); | U.Rg (6) | ^ | Dom (6) |2 при тех же условиях.

Доказательство. Ь^ является подмножеством Rg (6 | £) = = {6Л: ц < £}. Следовательно, мощность 6g не больше |£ |. Так как множества 6g являются вполне упорядоченными, можно воспользоваться хорошо известными законами сложения кардинальных чисел и получить

|URg(6)|C 2 |6g|< 2 |g|<|Dom(6)p.gEDorn(b) £6Dom(b)

Если a — транзитивная последовательность, то таковой же является последовательность, состоящая из последовательных конструктивных множеств (см. 3.2). Значит, мы можем применить 4.6 к этой последовательности и получить

Если В удовлетворяет (В.О) — (В.4) и а — транзитивная последовательность, то | С® (а) | ^ | £ | для каждого ординала £.

Модели, содержащие вместе с каждым элементом

его отображения в ординалы

В гл. VII будет доказана простая теорема (VI 1.1.3), утверждающая, что аксиома выбора истинна в модели М при условии, что М содержит вместе с каждым х взаимно однозначное отображение отрезка ординалов на множество 2 х.

В настоящем параграфе мы покажем, как получить модели, обладающие этим свойством: добавим два новых условия (В.5) — (В.6) к списку (В.О) — (В.4), приведенному в § 2, и докажем, что если функция В удовлетворяет условиям (В.О) — (В.6), то каждое множество, конструктивное относительно произвольной транзитивной последовательности а в соответствии с В, является образом ординалов, полученным с помощью функции, которая также является конструктивной относительно а в соответствии с В.

Пусть г ^ 11. Введем условие

.5) Если I (г, о) = И, то

В (a, f) = {/р: (р < а) Л (7 (г, р) = И}.

Если В удовлетворяет (В.О) — (В.5) и I (г, о) = И, то С® (а) является ординалом. Более точно, Су (а) = р1* (г, о) для каждого о из On.

Заметим, что pl* (г, о) является индексом а в возрастающей последовательности всех ординалов, удовлетворяющих равенству I (г, £) = И (см. стр. 46).

Доказательство. Из (В.5) следует, что если а удовлетворяет равенству 7 (г, ст) = 11, то С® (а) является множеством всех С® (а), где р пробегает множество ординалов <ст, удовлетворяющих тому же равенству. Отсюда по индукции следует, что С® (а) = £, где £ является порядковым типом множества ординалов р < ст, удовлетворяющих этому равенству, что и дает требуемый результат.

Теорема 5.1 показывает, что при условиях (В.О) — (В.5) все ординалы появляются в таких местах последовательности Cf, что 7£ = 11. Мы показали в 4.5, что если В удовлетворяет только (В.О) — (В.4), то все ординалы являются конструктивными, но мы не получили никакой простой формулы, которая' указывала бы, на каком месте данный ординал появляется в последовательности конструктивных множеств.

Теперь мы предположим, что г2>12, и введем последнее условие.

.6) Если I (г, ст) = 12, то

В (а, /) = {(р, /р): pl (г, р) < К (г, ст)} П /м <г. О).

2. Если В удовлетворяет условиям (В.О) — (В.6), то «Р, С® (а)): р<^С®(а), где т = б(г, ^ + 7).

Доказательство. Для упрощения формул мы опускаем везде индекс В и символы а и г. Тогда доказываемая формула примет вид С|^С6(5+7).

Пусть ч<^. По 1.4 имеем pl (ц) <6 (ц +1) <6Q +1) и С^ EC6tW). Следовательно, и t] = Cpi*(T1), и <7^ являются элементами C6tW), откуда (ч, С^С^, и, значит, C|^sC6($+5). Мы можем определить .ст так, что 6 (£ + 6) < ст < 6 (£ + 7), 7ст = 12, ^ст = р1(^), La —О, Mct = ctQ4-5). Отсюда следует, что

СР = {(Р, Ср): pl(p)<plQ)}n^6(^+5)

что и доказывает теорему. 1

Теорема 5.2 показывает, что если В удовлетворяет условиям (В.О) — (В.6) и X является предельным числом, то Сб^ обладает свойствами, которые были указаны в начале этого параграфа. Более точно,

3. Если В удовлетворяет (В.О) — (В.6) и X является предельным числом, то для каждого транзитивного a^S и каждого х^С^Аа) существует ординал £ из Сад (и) и функция ф g Сад (и), такие, что Dorn (ф) = £ и Rg (ф) 2 ж.

Доказательство. Снова будем опускать везде символ а. Пусть х = Су. Так как £ < 6 (X) и X — предельное число, то заклю-

чаем, что существует ординал £ < X, такой, что С < 6 (£). Следовательно, 6 (| + 7) < 6 (X) и С | g £ Сб(Х). По 3.3 х с Rg (С | £) s с Rg (С- | £) и, значит, требуемой функцией является С | £.

Теорема остается верной, если заменим C®^ на весь класс Кв.

Примеры функций, удовлетворяющих условиям (В.О) — (В.6)

До сих пор мы предполагали, что функция В дана. Теперь мы приведем примеры таких функций.

Функция Втт. Для этой функции имеем г = 10. Мы определяем у™11 как наименьшую функцию, удовлетворяющую (В.1) — (В.4). Эти условия определяют однозначно В ^а, f) для каждых а, j С 8. Легко показать, что условие (В.О) при этом также выполняется.

Конструктивные множества, соответствующие этому выбору функции В, будут называться минимальными конструктивными множествами. Класс этих множеств обозначается через ^min (а). Можно показать, что в ^пип (0) аксиома выбора истинна, но это не верно, вообще говоря, когда а 0.

Функция В0. В этом случае г = 11 и S0 является наименьшей функцией, удовлетворяющей (В.1) — (В.5). Здесь также легко доказать, что В° удовлетворяет условию (В.О).

Функция В7'. В этом случае г = 12 и В7 является наименьшей функцией, удовлетворяющей (В.1) — (В.6). Эта функция удовлетворяет также (В.О). В классе Kz(a) множеств, конструктивных относительно а в соответствии с Bz, аксиома выбора всегда выполняется независимо от значения а.

Наши рассмотрения в следующих главах связаны с введенными выше тремя функциями и соответствующими классами конструктивных множеств. Отдельные результаты, однако, будут получены для произвольных функций В, удовлетворяющих некоторым или всем условиям (В.О) — (В.6).

Множества, конструктивные относительно некоторого класса

Конструктивные множества, как они определены выше, зависят от некоторого параметра а, значения которого пробегают 8. Позже мы используем тот факт, что класс всех значений а есть множество. В настоящее время это предположение несущественно, но требуется небольшое изменение, чтобы определить конструктивные множества, зависящие от класса.

Пусть Т — трансфинитная последовательность {(£, Т^У £ £ Оп^, такая, что Т^ s Т | £ для каждого ^. Пусть В — функция, удовлетворяющая следующим условиям (где / £ 8, а = lh (/) и I (г, а) ^= 10):

(В'.О) В (/) s Rg (/) и и Rg уу

(B'.l) Если I (г, а) = 0, то В (/) = Rg (/).

(В'.2) Если О «< Z (г, а) 9, то

В (/) = АцТ, а) Ук<т, а)> futT, а>) П /м<.т, □)•

Из теоремы 1.3.1 следует, что

Существует точно одна трансфинитная последовательность С^ = С® (Т), такая, что

С^ = В^С I g), если Z (г, g) ^ 10,

С^ = Трур, у, если Z (г, g) = 10.

Члены этой последовательности называются конструктивными относительно Т в соответствии с В. Все теоремы, установленные в этой главе, верны с необходимыми изменениями и при более общем понятии конструктивности.

Глава IV

ФУНКТОРЫ И ИХ ОПРЕДЕЛИМОСТЬ

Основное содержание этой главы заключается в следующем. Мы рассматриваем функции, связывающие с каждым множеством Л множество F (Л), содержащееся в Л. Более общо, мы рассматриваем функции, зависящие от многих аргументов, например F (Л, р^, . . . . . ., рп) с переменными р^ (которые мы называем параметрами), пробегающими значения из Л. Мы выясним, при каких условиях существует формула Н от п + 1 свободных переменных, такая, что для произвольного a £ Л и произвольных значений параметров условие а £ F (Л, р^ . . ., рп) эквивалентно Нд Н [а, р^ . . . . . ., РпЬ

Вопросы такого рода очень часто возникают при рассмотрении моделей. Например, очень естественно спросить, верно ли, что множество всех ординалов, которые принадлежат Л, определимо (или параметрически определимо) в Л; верно ли, что множество всех конструктивных множеств, которые принадлежат Л, определимо (или параметрически определимо) в Л и т. д. Мы сможем решить эти задачи, если сумеем для функций F (Л) = On П Л и F (Л, р) = = К® (р) П Л ответить на общие вопросы, сформулированные выше.

Если бы удалось при некоторых условиях, налагаемых на Л, найти формулу Н, обладающую указанными выше свойствами, то мы получили бы более сильные результаты, чем просто параметрическая определимость множества F (А, р4, . . ., рп)^в А. Можно утверждать, что определимость F (Л, plt . . ., рп) является в некотором смысле равномерной: определяющая формула является одной и той же для всех классов А, удовлетворяющих этим условиям, если только они таковы, что допускают существование формулы Н.

В большинстве случаев мы вынуждены налагать на А условия, обеспечивающие существование искомой формулы. Скажем несколько слов об этих условиях. Так как нас главным образом интересуют транзитивные модели*теории ZF, мы могли бы потребовать, чтобы все классы, для которых рассматривается задача, попросту были бы транзитивными моделями ZF. Однако такое условие может оказаться слишком сильным, потому что во многих специальных случаях нас интересуют транзитивные модели необязательно всей теории ZF, а только конечно аксиоматизируемых ее подсистем. С этой целью мы будем исследовать проблему существования фор-

мулы Я для данной функции F, ограничивая ее такими А, которые являются транзитивными моделями подходящей конечно аксиоматизируемой подсистемы ZF. Выбор этой подсистемы, конечно, зависит от функции F. Как правило, мы не интересуемся явным перечислением аксиом, которые предполагаются истинными в А, а ограничиваемся тем, что такие аксиомы существуют и что их Конечное число. Приведенные выше замечания служат для того, чтобы отчасти оправдать определения, приведенные ниже, в § 1 и 2, где мы вводим понятие «строго определимые функторы». В дальнейших параграфах мы устанавливаем общие свойства таких функторов и приводим некоторые примеры.

Строго определимые функторы

Следующие сокращенные выражения будут полезны в дальнейшем. Будем говорить, что почти каждое множество А обладает свойством Р, если существует такое конечное число аксиом Ki, . . ., Кг теории ZF, что всякое транзитивное множество А, в котором эти аксиомы истинны, обладает свойством Р. ■

Будем говорить, что F является функтором от п + 1 переменных, если F является функцией с областью определения Vn+1 (т. е. F: Fn+1 —► V, где V — универсальный класс), такой, что для почти всех А и произвольных pt, . . ., рп из А

F (A, pi, . . ., рп) с А.

Будем говорить, что F является строго определимым функтором (первого рода), если существует формула Я, такая, что Fr (Я) = = {0, 1, . . ., п), и для почти каждого А и произвольных р^ . . ., рп из А

х EF (A, Pi, . . ., рп) = V-AH [х, Pi, . . ., рп].

В этом случае формулу Я назовем определением F.

Легко доказываются следующие теоремы об операциях над строго определимыми функторами.

Если F и G — строго определимые функторы сп + 1 ит + 1 переменными, то такими же являются функторы

N (А, р^ ..., рп) = A —F (A, pv рп),

Р (А, р^ . .., рп, qi, ...,qm) — F (А, рь ..., pn)QG (A, qi, . .., qm), Q (Л, р^ ..., pn-i) = П F(A, pi, .,., pn-i, q).

Отождествление некоторых или всех переменных pi, . . ., рп и перестановка этих переменных в строго определимых функторах также дают строго определимые функторы. '

Для доказательства заметим, что если Я и К являются определениями F и G, то Л Я является определением N; Я (х0, Xi, . . ., хп) Д

Л К (а:о, ^n+ii • • ч ^n+m) является определением Р и (;гп) Н является определением Q. Отождествление и перестановка переменных в Н дают" формулу, которая определяет функторы, полученные из F отождествлением и перестановкой его переменных.

Для функторов, значения которых не только содержатся в Л, но принадлежат Л, полезно ввести другое понятие функтора.

Назовем отображение /: У”+1 -> У функтором второго рода, если для почти каждого множества Л и любых pt, . . ., рп £ Л

/ (Л, pi, . . ., рп) 6 Л.

Из этого определения следует, что каждый функтор второго рода является функтором первого рода 1). Однако для функторов второго рода проще указать формулу, непосредственно определяющую значение /(Л, pt, . . ., рп). Эти формулы дает следующая теорема.

Если f — функтор второго рода и Н — формула, которая определяет его, то формула'

К (х0, Xj, . . ., хп) = (и) [(и £ Яд) = Я (и, xj, . . ., хп)] обладает таким свойством, что для почти каждого <4 и для всех t, Pt, . . ., рп ел•

/ = / (Л, pi, . . ., р^ тогда и только тогда,

когда На К (Л Р^ • • •, Рп\

Доказывается эта теорема непосредственно.

Формула К, удовлетворяющая (1) для почти каждого Л и произвольных t, Pi, ..., рп ^ А, называется определением f второго рода. Определениями второго рода обладают только функторы второго рода. Функторы, которые обладают определениями второго рода, являются строго определимыми функторами второго рода.

Наконец, введем строго определимые отношения.

Отношение R s F"+1 назовем строго определимым, если функтор

/ 0, если -дН (Л, pi, . . ., рА,

является строго определимым. Назовем Хв характеристическим функтором отношения R.'

Легко доказать, что если Н является определением функтора Хв, то формула ^х^ Н, которую мы обозначаем через К, имеет следующее свойство: для почти всех Л и для произвольных р^ . . ., рп € А

R (A, pt, . . ., рп) =ЬАК [plf . . ., рп].

Каждая формула К с таким свойством будет называться определением отношения R.

Это следует из транзитивности Л.— Прим. ред.

Свойства строго определимых функторов и отношений

Первые четыре теоремы, изложенные ниже, непосредственно следуют из определений.■

Перестановка и отождествление переменных pt, . . ., рп в строго определимых функторах (или отношениях) дают строго определимые функторы (отношения).

Если f—строго определимый функтор второго рода от п +1 переменных и F — строго определимый функтор от т + 1 переменных, то функтор

G(A, pt, . . ., рп, qif . . ., qm-i) =

= F (A, qt, . . ., qm_t, / (Л, pt, - . ., pn))

является строго определимым1, если F — функтор второго рода, то таким же будет и G.

Булевы операции над строго определимыми отношениями дают строго определимые отношения. Если R (A, pt, . . ., рп) — строго определимое отношение, то таким же будет отношение (Рп)а R (A, pt, . . ., рп).

Если R (A, pt, . . ., рп) — строго определимое отношение и f (A, qt, . . ., qm) — строго определимый функтор второго рода, то отношение R (A, f (A, qt, . . ., qm), р^, . . ., рп) строго определимо.

Тернарные отношения, выраженные формулами

(р^А) ^(q^A) ^(p^q),

(р € А) Д (q 6 А) Д (р = q), являются строго определимыми.

Доказательство. Характеристические функторы Еп и Id этих отношений определяются формулами

(х0 = х0) = (xt 6 ж2), (х0 = х0) a (Xt = х2).

Если f,g — строго определимые функторы второго рода, то отношения f (A, pt, . . ., рп) £ g (Л, pt, . . ., рп) и f (А, рх, . . . . . ., рп) = g(A, pt, . . ., рп) являются строго определимыми.

Доказательство. Характеристические функторы этих отношений получаются из Еп и Id подстановкой / (A, pt, . . ., рп) и g(A,pt, . . ., рп) вместо двух последних переменных.

Если F — строго определимый функтор, то таким же является отношение pn+i £ F (A, pt, . . ., рп).

Доказательство. Характеристический функтор этого отношения имеет в качестве определения формулу

(Xg = Xо) ^ F (хп + 1, Х^, . . ., Хп),

где F — определение функтора F.■

Если F — строго определимый функтор первого podauf—строго определимый функтор второго рода, то отношение

/ (Л, р4, . . ., рп) Е F (Л, р4, . . ., р„) является строго определимым.

Доказательство. Характеристический функтор этого отношения получается подстановкой и последующим отождествлением переменных из характеристического функтора отношения, рассмотренного в 2.7.

Предыдущие теоремы показывают, как можно получить строго определимые отношения из функторов. Теперь мы покажем, как получить строго определимые функторы из отношений.

Если R (Л, pi, . . ., рп) — строго определимое отношение, то функтор

F (Л, pi, . . ., pn-i) = {р„: R (Л, pi, . . ., рп)} является строго определимым.

Доказательство. Определением функтора F является (и) Н (u, X], . . ., жп_1, 20), где Н — определение Хн- Это вытекает из эквивалентностей

рп Е F (Л, р,, . . ., рп_4) = R (Л, pi, . . ., рп) =

[Хн (Л, Р^ • ■ •, Рт^ = Л] = ^А la Е Хн И, Ри ■ ■ • , Рп)1 =

= («)а На Н [а, р,, . . ., р„] = |-А (u) Н [р,, . . ., р„].

Если R — строго определимое отношение и Gy, G2 — два строго определимых функтора, то функтор F, определенный так, что

F(A, pt, . ..,?„) =F(A, pt, . ..,?„) =Gi (Л, pi, . .., рп), если R (Л, pi, . . ., р„),

F(A, pt, . ..,?„) =

F(A, pt, . ..,?„) =

С2 (Л, pi, . .., рп), если И R(A, р^, .. ., рп),

является строго определимым; если Gi, G^ — функторы второго рода, то таким же является и F.

Для доказательства этого достаточно заметить, что

^ = (^i П Хн) U @2 П Ху1н)>

Если / — строго определимый функтор второго рода, то таким же является функтор F, определенный следующим образом1.

F (Л, а, р) = {/ (Л, х, р): х Е a}, p = (Pi, .. .,pnY

Доказательство. Условие у 5 F (Л, а, р) эквивалентно ■ W)A [(ж € а) А (у = / (Л, х, р))1.

Следовательно, по теоремам 2.3—2.9 функтор F является строго определимым.■

Чтобы показать, что функтор F является функтором второго рода, обозначим через / определение второго рода функтора /. Существует конечное число аксиом теории ZF, таких, что если Л является транзитивным множеством, в котором эти аксиомы истинны, х, t € Л, р Л71, то

/ (Л, х, р) е Л,t = / (Л, х, р) = НА/ 1<, ж, р].

Пусть Л — множество, в котором, кроме того, истинна еще аксиома (VI,). Если р € Л” и a £ Л, то для каждого х а существует точно одно t £Л, такое, что На / 1^ ж, рЬ Таким образом, множество всех таких элементов t принадлежит Л. Так как это множество равно {/(Л, ж, р): ж € а), то теорема доказана.

Примеры строго определимых функторов

Теоремы из § 2 и 3 позволяют нам установить строгую определимость некоторых простых функторов. Такие примеры будут приведены ниже.

Ради простоты обозначений примем следующие соглашения. Как правило, функторы будут обозначаться прописными курсивными или прямыми буквами латинского алфавита либо комбинациями таких строчных букв, начинающимися прописной буквой. В этом случае соответствующий символ, напечатанный жирным шрифтом, обозначает определение функтора. Так же обстоит дело в случае функторов второго рода, только здесь используются строчные буквы и комбинации из них, начинающиеся строчной буквой. Несколько функторов обозначаются специальными символами.

Если / и Н — определения функторов /(Л, ж1; . . ., жп) и Н (Л, жь . . ., жт), то сокращение

И (Жд, Ж^, . . ., Жд—1, / (Жд + i, • • ., ^h+n), ^q + I, • • м ^т) обозначает формулу

(Ех^) [/ (Жд+1, . . ., Жд+П) А Н (Жд, . . ., Жд-j, Х^ Жд+^, . . ., Жт)], где Н—наименьшее такое положительное число, что никакая переменная с индексом ^ К не встречается ни в/, ни в Н. Эта формула, очевидно, определяет функтор

Н (Л, Ж,, . . ., Хд-1, / (Л, у^, . .г/п), Жд + Ъ . . ., Жт).

Мы теперь дадим список основных функторов обоих родов и отношений, которые являются строго определимыми.

/ (Л, р, g) = (р, qY

Это функтор второго рода, так как транзитивное множество Л, для которого аксиома (II) истинна, замкнуто относительно операции взятия пары. Определением функтора / второго рода является

(^зЩ^з € xY = [(Жд = Zj) V (^з = z2)l}.

g (Л, p, g) = (p, qY

Строгая определимость этого функтора следует из 1 и 2.2, потому что g можно получить из / с помощью подстановки.

Мы пользуемся выражениями х0 — ^Хь ^2} и ^о = (^1, ^2 X Для определений функторов 1 и 2. Использование тех же самых символов, что и в метатеории, не должно вести к недоразумениям.

Ш (Л) = {а С Л: Rei (а)}.

Отношение, выраженное формулой

(и)а (Ev, w)A (и = (у, wY,

является строго определимым согласно 2.3 и 2.5. Следовательно, по 2.9 множество тех а из Л, которые находятся в этом отношении к Л, является строго определимым функтором.

Fn (Л) = {а Е Л: Fnc (а)}.

Доказательство подобно приведенному выше.

dl (Л, а) = Dorn (а), если Dorn (а) Е Л, и равно 0 в противном случае.

Это функтор второго рода. Чтобы показать его строгую определимость, поступаем следующим образом: отношение

■(Ew)A ((и, w) Е а)

строго определимо и, следовательно, таков же и функтор

(*){у Е Л: (Ew)a{{v, ш) Е а}}.

Значением этого функтора для каждого а из транзитивного множества Л является Л (] Dom (а) = Dom (а). Теперь мы воспользуемся тем фактом, что существование области определения отношения выводимо в ZF. Таким образом, существует формула Н (х0, xY, которая является определением функтора (*), обладающая тем свойством, что формула

(xY (ExY (xY I(a?0 E xY = H (;r0, a:,)]

выводима в ZF, и, следовательно, истинна во всех моделях ZF. Это означает, что для почти всех Л и произвольного а из Л множество Dom (а) является элементом Л. Таким образом, dl (Л, а) являет-

ся функтором второго рода, и он строго определим, потому что совпадает с (*).

dp (Л, а) = Rg (а), если Rg (а) ^А, и равно 0 в противном случав.

Доказательство строгой определимости dp подобно приведенному в и. 5.

restr (Л, а, Ь) = а | Ъ (=а й (6 X У)), если это множество принадлежит Л, и равно 0 в противном случае.

Доказательство проводится точно так же, как и в п. 5, при этом используется тот факт, что формула, устанавливающая существование функции, ограниченной на множество, выводима в ZF.

W (Л) = {(и, v,w) е А3: (и, v) £ ^}.

Строгая определимость следует из замечания, что

х С W (Л) = (Ем, у, ш)д [(ж = (м, у, 1у))Д((м, у) С zy)J, и отношение, определяемое правой частью этой формулы, строго определимо по 2.3, 2.5 и 3.2.

val (Л, a, f) = а (/), если а — функция и t С Dom (а), и равно О в противном случае.

Отношение х С val (Л, а, /) эквивалентйо строго определимому отношению

(а € Fn (Л)) Д (/ £ dl (Л, а)) Д (ЕЬ)А [((/, 6) € а) Д (х € 6)1.

Доказательство аналогично приведенному в и. 5.

un (Л, а) = U{<z (А‘. t 5 Dom (а)}, если а есть функция и объединение ее множества значений является элементом Л; в противном случае равно 0.

Доказательство строгой определимости подобно приведенному выше.

я (Л) = On П Л.

Формула определения Ord для этого функтора была дана в III.4.4. Заметим, что если Л транзитивно, то я (Л) является наименьшим ординалом, не принадлежащим Л, т. е. я (Л) = sup Л.

Seq (Л) = {а С A: Fnc (а) Д (Dom (а) С On}}.

Это функтор первого рода и а С Seq (Л) в том и только том случае, когда а является трансфинитной последовательностью, т. е. функцией, областью определения которой является ординал. Строгая определимость этого функтора следует из того, что отношение а С Seq (Л) является (для почти всех Л) эквивалентным (а С Fn (-4)) Д (dl Л, а) £ я (Л)), а это отношение строго определимо.

Str (Л) = (а С Seq (Л): а является транзитивной последовательностью}.

Строгая определимость этого функтора следует из эквивалентности

(а Е Str (Л)) = (а Е Seq (Л)) А (ж)Вот(а) (а (ж) s Rg (а | ж)).

Мы можем заменить здесь Dorn (а) на dl (Л, а), а ^ на val (Л, а, я) и Rg (а | я) на dp (Л, restr (Л, а, я)). Отсюда ясно, что отношение а Е Str (Л) является строго определимым.

sue (Л, а) = а J {а}; pred^, а) = U а.

Эти функторы дают значения последователя и предшественника элемента а из Л. Их строгая определимость очевидна.

Lim (Л) = {а Е л (Л): а = pred (Л, а)}.

Lim (Л) является множеством предельных ординалов, принадлежащих Л.

Р (Л, а) = Л П Р ^У'

Это множество тех подмножеств а, которые принадлежат Л. Если аксиома (IV) (множества-степени) истинна в Л, то Р (Л, а) Е А (см. II. 1.5), значит, Р (Л, а) является функтором второго рода. Его строгая определимость следует из эквивалентности

(х Е Р (Л, а)) = [(ж Е Л) Д (ж с а)].

min {g Е л (Л): £ £ а}.

Это функтор второго рода, поскольку в ZF выводима следующая теорема

(^i) (^о) {Ord (a:0) Д и (^о € хО А (ж2) [(ж2 Е х0) -> (ж2 Е ^l} (для каждого множества существует наименьший ординал, не принадлежащий этому множеству).

Строгая определимость этого функтора очевидна. Пример 17 позволяет нам установить следующий результат.

Если f — строго определимый функтор второго рода, значениями которого являются ординалы, то для почти всех Л и всех р Е Лп, b ЕЛ

sup {/ (Л, х, р): х Е 5} Е А;

более того, функтор, значением которого является этот супремум, является строго определимым.

Доказательство. Из 2.11 следует, что множество а = = U {/ (Л, х, рУ- х Е 5} принадлежит Л для почти всех Л и произвольных р Е Лп, Ъ Е А. Верхняя грань, указанная в теореме, является либо min {£ Е л (Л): ^ Е а}, либо его последователем, и утверждение теоремы следует из 17.'

Если R — старого определимое (п + ^Уместное отношение, то функтор

f<A,p) = min {I < л (Л): R (Л, |, р)} является строго определимым второго рода.

Доказательство. Значение минимума, очевидно, принадлежит Л. Таким образом, достаточно представить условие х € / (Л, р) с помощью логических связок и кванторов, ограниченных множеством Л, применяя строго определимые отношения. Это представление имеет вид

х € / (Л, р) = (у)А [(у € л (Л)) Д R (Л, у, р) -* (х £ уУ Д

А №hA [(У € л (Л)) А Е С4> У, РУ-

Определения по трансфинитной индукции

В этом параграфе мы рассмотрим строгую определимость функторов, удовлетворяющих некоторым индуктивным равенствам.

Пусть 8, R — строго определимые функторы от п + 1 аргументов и пусть / — строго определимый функтор второго рода от п + 3 аргументов. Строку из п параметров (pi, . . ., рп) будем сокращенно обозначать через р. Мы полагаем, что для почти всех Л и произвольной строки р выполняются следующие условия:

R (Л, р) является частичным вполне-упорядочением

на 8 (Л, р),

если b € 8 (Л, р), то множество ОА>Р (Ъ) =

= {с € S (Л, р): (<е, b^R (Л, Ру А (с ^ 6)} является элементом Л.

Назовем ОА,Р (Ь) сегментом 8 (Л, р), определенным Ъ. Если ф — функция с Dorn (ф) = S (Л, р), то ф | & обозначает ее ограничение на ОА.Р (Ь).

Для почти всех Л и произвольного р С Л” существует не более одной функции ф с областью определения S (Л, р), удовлетворяющей индуктивному равенству.

ф (а) = / (Л, ф | а, а, р).

Доказательство. Предположим, что в Л истинно конечное число аксиом ZF, которые показывают, что (1) истинно для произвольного р 6 Л”. Если ф], фг обе удовлетворяют (3) и ф1 ^= ф2, то множество {а: ф1 (а) #= фг (а)} не пусто. Для любого минимального элемента а0 этого множества Ф1 | До = фг I ао и, следовательно, по (3) ф1 (а о) = Фг («о), что противоречит нашему предположению.

Для произвольного Л и р € Л" обозначим через In (Л, р) единственную функцию ф^Л, которая удовлетворяет (3), при условии,

что такая функция существует. В противном случае принимаем In (Л, р) = 0.

Функтор In является строго определимым. Более того, для почти всех А и всех р £ Ап значение In (Л, р) является функцией, которая удовлетворяет (3) и условию <р | а Е А для каждого а из S(A,p).•

Доказательство. Пусть S, f— определения функторов S, f. Тогда для почти всех А и произвольных р Е Ап, а, Ь, с^А имеем

На 5 [а, р] = [а Е S (А, р)],

На f 1°, b, с, р] = [а = f (А, Ь, с, р)].

Вместо того чтобы в качестве В брать формулу, определяющую R, мы предпочтем выбрать несколько иную формулу, выражающую тот факт, что (х, у) Е R (Л, р), а не тот факт, что а £ R (Л, р) (как было бы, если в качестве В взяли бы просто определение R). Таким образом, пусть В будет формулой В' ((yQ, уА, х^, . . ., х^, где В* — определение R. Для почти всех А и произвольных р Е Лп, а, b Е А будем иметь

На В Va, Ь, р] = [(а, Ь) Е R (Л, р)1.

Наконец, пусть Н будет конъюнкцией следующих трех формул:

Яр Fn (ж) A S (у, р),

Я2: (s) l(s Е dl (ж, р)) = В (s, у, р)],'

Я3: (д) (?) (Я (*, у, р) Д (г)((г £ g) = LR (г, t, р) /\(г^ #)!}

'((t, f (restr (ж, g), t, p), ж))).

Свободные переменные H есть х, у, р, и интуитивный смысл формулы следующий: х — функция, у — элемент из 5 (Л, р), область определения х есть ОА, р (y)U {у}, и если t предшествует у в S (А, р) или равен у, то значением х в точке t будет / (Л, х |ОА, р (<), t, р).

Лемма 1. Для почти всех А, если р Е Ап, g, b £ А и На Н I?» Ь, р], то

1° g — функция, Dom (g) = ОА,Р (b) U {Ь},

2оЬЕ^(Л,р),

3° (с, Ь) Е R (Л, р) влечет g \ с ^ А и g (с) = / (Л, g | с, с, р).

Доказательство. Пусть в А будет истинно достаточное количество аксиом ZF, так что для любых р Е Ап, а, b из А эквивалентности (4) — (6) будут верны. Более того, пусть эквивалентности

.На Fn 1^1 = (ж ~ Функция),

На Vy = dl (ж)] = (у = Dorn (ж)),

На lz = restr (ж, у)1 = (z = х | у),

(Ю)На W [(ж, у, z)l = ((ж, у) £ z)

будут истинны для любых х, у, z Е А. Так как функторы Fn (Л), dl (Л, ж), restr (Л, х, у), W (Л, х) строго определимы, мы можем фиксировать конечный набор аксиом ZF, такой, что эти эквивалентности должны иметь место, если А транзитивно и выбранные аксиомы истинны в А.

Наконец, фиксируем столько аксиом ZF, чтобы (2) было истинно для любого р Е Л", 6 Е Л всякий раз, когда эти аксиомы истинны в Л.

Так как, по нашим предположениям, формула Н^ выполняется в А для g, b, р, мы заключаем из (7) и (4), что g — функция и Ъ Е S (Л, р).

Так как Нг также выполняется в А для g, Ь, р, заключаем из (8) и (4), что

(я Е Dorn (g)) ^ (te, b> Е R И, Р^ = Н ОА, р (6) и {6}).

Таким образом, 1° и 2° доказаны.

Наконец, пусть с будет таким элементом, что (с, b) Е R (Л, pY Из (2) следует, что ОА, р (с) Е А, и из (6), что

(г € ОА. р (с)) = На В [г, с, р] Д (г ^ с).

Используя предположение, что Н3 выполняется в А для g, Ь, р, получим

На W «с, f (restr (g, ОА, р (с)), с, pY g)Y

или, что то же самое,

(с, / (Л, g | ОА, р (с), с,р^Е g, т. е.

■ g (с) = / (-4. g I с, с, pY ’

Таким образом, лемма 1 доказана.

Лемма 2. Для почти всех А, если р Е Л”, b, g Е А и условия 1°—3° из леями 1 виполнени, то \-АН 1g, 6, р].

Доказательство получается, как и при доказательстве леммы 1, выводом условия На Н lg> b, р] из предположений 1°—3°.

Лемма 3. Для почти всех А и любого р Е A, b Е 8 (А, р) существует в А точно одна функция g, удовлетворяющая условиям 1°—3° из леями 1.

Доказательство. Мы предположим, что достаточное количество аксиом теории ZF истинно в А, чтобы леммы 1 и 2 и формулы (1) — (10) были истинны в А. Дополнительно предположим, что аксиомы пары, суммы и подстановки для формулы Н истинны в А. Пусть р — фиксированная последовательность параметров из Л". Мы используем индукцию по R (Л, pY

Мы доказываем точно, как в 4Л, что существует не более одной функции g, удовлетворяющей 1°—3°.

Предположим, что существуют элементы b из 8 (А, р), для которых нет соответствующей функции g £ А, и пусть Ьо — минимальный из них. Для Ъ РОА,р (Ьо) единственная функция g, удовлетворяющая 1°—3°, существует в А, и мы обозначим ее через gb- Из лемм 1 и 2 нам известно, что отображение

b-^ gb

параметрически определимо в А, потому что

,(я = gb) = гАН к, Ь, р].

Поэтому множества

Vgb- Ь^ОА. Р(ЬО)}, b = U{gb: ЬЕОа.р(Ьо)}

принадлежат А.

Мы утверждаем, что множество

g = А и {<Ь0, / (И, h, bQ, р))}

(которое, очевидно, принадлежит Л) является функцией и удовлетворяет условиям 1°—3° для b = Ьо. Условие 2° очевидно.

Из определения g мы заключаем, что g есть множество пар и что область определения g состоит из Ьо и элементов из U {Dom (gb): b € ОА,р (b0)}. Таким образом, область определения g есть ОА.р (Ьо) U {Ьо}.

Множество g — функция. Для проверки этого предположим, что <Ь, и)и (Ь, у) — элементы g. Если Ь = Ьо, то и = и = / (Л, h, Ьо, р), потому что g содержит только одну пару, первый элемент которой есть Ьо. Теперь пусть Ь отлично от Ьо и (Ь, u) £ gbl, (Ь, t>) 6 gbv Функции gb., ограниченные на ОА,Р (Ь), удовлетворяют условиям 1°— 3°, и поэтому они совпадают, следовательно, и = и.

Наконец, мы проверим условие 3°. Предположим, что (с, Ьо) € € R (Л, р). Если с = Ьо, то g | с = g | ОА,р (Ьо) = h, и, следовательно, g | с € Л; условие 3° выполняется, ибо g (Ьо) = / (Л, h, Ьо, р). Если с ^ Ьо, то g | с = gc | с, и, следовательно, условие 3° истинно в предположении, что оно истинно для gc. Теперь мы закончим доказательство 4.2. Для почти всех А и всех р из Лп сумма G = = U{gb: b^S (Л, р)} есть функция с областью определения 8 (А,р), которая удовлетворяет условиям G | Ь £ А и G (Ь) = / (Л, G | Ь, Ь, р). Следовательно, G = In (Л, р). Так как

(<Ь, «>€(?) = (Eg)A [(Fa Н [g, Ь, р]) Л ((Ь, и) € g)],

заключаем, что In (Л, р) строго определимо. Теорему 4.2 можно сравнить с теоремой 1.3.1. Мы доказали существование и единственность функции, которая удовлетворяет заданным индуктивным равенствам. Из 4.2 мы получаем достаточный критерий для определимости этой функции:

Если А — модель ZF, р С Лп, h = / (Л, х, р), 8 = 8 (Л, р),

R = R (А, р), где / — строго определимый функтор второго рода, S, R строго определимы и R удовлетворяет условию, что R (Л', р') есть частичное вполне-упорядочение на S (А', р') и ORtA-_ р; (а') £ А' для почти всех А' и всех а' £ А', р' Е А'п, тогда существует единственная функция ф, которая удовлетворяет для всех b из S условиям

Dorn (ф) = S, ф | OR (b) £ А,Ф (6) = А (Ф | Ой (6), 6).

Эта функция параметрически определима в А.

Доказательство, ф = In (Л, р), и так как In — строго определимый функтор, его значения для аргументов А, р параметрически определимы в А.

Мы сейчас сформулируем аналог теоремы 1.3.2. Мы делаем те же предположения, касающиеся A, R, S, что и в 4.3. Пусть Р А, и пусть Ht (х, и, v, w) = ft (Л, х, и, v, w, pY где для i = 1, 2 функторы ft строго определимы, х определено над Р, и, v, w — над А и где р — фиксированная последовательность параметров из А. При этих предположениях

Существует единственная пара функций et с областью определения Р X S, таких, что для любых х из Р и а из S равенства

et (х, а} = ht (х, ev | (Р X OR (а)), е2 | (Р X OR (а)), а)

верны; эти функции параметрически определимы в А.

Эта теорема выводится из 4.3 так же, как 1.3.2 из 1.3.1. Предоставим читателю проверку этого утверждения. Заметим, что мы могли бы доказать 4.3 и 4.4 при более слабых предположениях, касающихся RaS. Вместо предположения, что S = S (А, р), R = R (Л, р), где функторы R, S строго определимы и удовлетворяют (1) и (2) для почти всех значений аргумента А и всех р Е Л”, мы могли просто предположить, что S и R параметрически определимы в А (где А — данная модель ZF) и удовлетворяют условиям (1) и (2).

Доказательство так модифицированных теорем 4.2—4.3 может быть получено просто повторением доказательства 4.2 в предположении, что А — модель ZF. Нам позднее будут необходимы усиленные таким способом варианты теорем 4.3 и 4.4. Но так как эти доказательства суть повторения доказательств, приведенных выше, мы ограничиваемся этими короткими замечаниями и полного доказательства приводить не будем.

Зачем все это нужно

Наверное, читатель уже заметил аналогию между содержанием настоящей главы и § 2 иЗ гл. I. В первой главе мы определили некоторые свойства классов и повторили это здесь для элементов модели ZF или ее конечных подсистем. Например, в § 2 гл. I мы сформулировали свойство класса быть функцией, в настоящей главе мы прак-

тически повторили это определение и ввели для каждого множества А множество Fn (Л), состоящее из тех элементов А, которые являются функциями.

Связь между содержанием гл. I и тем, что изложено в настоящей, может быть описана так: в гл. I универсум состоит из всех множеств и всех классов, а в настоящей главе мы заменяем этот универсум моделью теории ZF или моделью ее конечных подсистем. Для обоих универсумов мы определяем одни и те же свойства элементов.

Естественно спросить, действительно ли необходимо дублирование определений, особенно если вспомнить, что Гёдель, неоспоримый знаток предмета, обладавший блестящим стилем изложения, полностью избежал таких трудных ситуаций в своей классической книге [6]. '

«Первородный грех», вынуждающий нас дублировать определения, был совершен нами в самом начале изложения, когда мы решили работать в очень сильной системе теории множеств, служащей метатеорией, и рассматривать ее отдельно от теории ZF — объекта нашего исследования. Свойства множеств, определенные в метатеории, не обязательно определимы в теории, если эти две системы отличаются друг от друга. Теоремы, касающиеся свойства, определимого в одной системе, не обязательно доказуемы в другой. По этой причине мы развили в настоящей главе вспомогательный аппарат, позволяющий доказать существование формул ZF, служащих определениями понятий, ранее определенных в метатеории. Более того, мы можем доказать, что понятия, определенные в моделях ZF или ее конечно аксиоматизируемых подсистемах с помощью этих формул, совпадают с понятиями, определенными в метатеории. Упомянутые формулы являются определениями строго определимых функторов; функторы же определены в метатеории и могут быть использованы для выражения в этой теории различных свойств моделей. Таким образом, связь между строго определимыми функторами и их определениями (являющимися формулами ZF) позволяет нам построить мостик между свойствами множеств, которые выразимы в метатеории, и свойствами, выразимыми в ZF.

Очевидно, есть много других путей, приводящих к той же цели. Например, можно устранить функторы и работать исключительно с формулами, которые здесь названы определениями функторов. Нам бы пришлось тогда заниматься различными проблемами, связанными с доказуемостью формул ZF. Автор испробовал этот путь и обнаружил, что при этом сильно усложняется изложение. Правда, здесь появляются некоторые преимущества благодаря возможности включения в нашу теорию любых, а не только транзитивных моделей ZF.

Надо заметить, что и в нашем изложении мы не полностью избежали понятия доказуемости формул; это видно из примеров 5—7 и 17, данных в § 3.

Тем не менее это еще не объясняет, почему Гёдель и другие авторы, следовавшие ему, смогли избежать этих рассмотрений. Причина в том, что Гёдель не прельстился возможностью применить теорию классов в метаматематике, а пользовался только минимальными финитными системами в качестве метатеории. Надо чем-то поступиться, если мы хотим избежать использования высших разделов теории множеств в метаматематике. Нельзя, например, доказать, что исследуемая теория непротиворечива, нельзя доказать, что для нее существуют модели, и т. д. Если исследуемой теорией является ZF, то метатеорией сравнимой с ней.силы можно доказать только, что каждая конечная подсистема ZF имеет модель.

Поэтому, если мы решили пользоваться финитной метатеорией, обычно заменяют модели интерпретациями. Интерпретация теории Т в теории Т* определяется как конечная последовательность формул Т*, в которой каждая формула соответствует точно одному из неопределяемых отношений теории Т и имеет столько свободных переменных, сколько аргументов ‘в соответствующем отношении. Мы предполагаем для простоты, что все исходные понятия Т суть отношения. Если атомарные формулы заменить соответствующими формулами из интерпретации, тогда аксиомы должны быть теоремами Т*.

Все это может быть объяснено очень легко и четко в финитной метаматематике в предположении, что все обсуждаемые теории конечно аксиоматизируемы. Для бесконечной системы аксиом даже определение интерпретации требует относительно сильной метатеории, грубо говоря, сравнимой с элементарной арифметикой. Из сказанного выше видно, что простота гёделевского изложения проистекает из того, что он рассматривал конечно аксиоматизируемую теорию множеств, так называемую систему Гёделя — Бернайса. В своей книге он работал не с моделями этой системы, а с ее интерпретациями в себя.

Причина, по которой мы совершили «первородный грех», мотивируется решением рассмотреть бесконечную систему аксиом ZF. Многие математики несомненно могут критиковать такой подход с самого начала. Многие специалисты по теории множеств считают, что система Гёделя — Бернайса является основной системой теории множеств, а системы типа ZF менее приспособлены, чтобы служить базисом для теории множеств.

Автор этой книги не разделяет такой точки зрения. Серьезным недостатком системы Гёделя —- Бернайса является отсутствие принципа, согласно которому всякая формула с одной свободной переменной, пробегающей множество а, определяет множество всех элементов а, в которых эта формула истинна. Это ведет к различным нежелательным явлениям, таким, как, например, следующие:

Существует формула А, для которой утверждения

А (0) и для любого натурального числа х, если А (я), то А (я+Р

доказуемы, а формула

. для любого натурального числа х справедливо А (ж) недоказуема.

Существует формула А, для которой утверждения А (0) и ~| А (1) доказуемы, а предложение'

существует действительное число z (0 ^ z ^ 1), такое, что А (х) для любого х в интервале (0, z) и (s)>z ^Ef^K, 1 А (£),

недоказуемо.

По этой причине мы думаем, что системы, подобные ZF или М, более удовлетворительны как базис теории множеств, несмотря на их существенно нефинитный характер. Бернайс, по-видимому, разделял эту точку зрения, так как он исключил использование связанных классовых переменных в своей книге [3].

Психологически ясно, что решение исследовать теорию ZF и отказ от совершенно финитной метатеории привели нас к выбору очень сильной метатеории. Все усложнения, описанные в начале этой главы, были естественным результатом такого решения. Определенным утешением служит тот факт, что мы можем доказать теоремы типа теоремы совместности и существования моделей ZF, которые не могут быть получены из финитной метатеории. Другой позитивный аспект нашего подхода заключается в возможности использования понятий и результатов теории моделей непосредственно, избегая перехода к интерпретации.

Глава V

КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВАКАК ЗНАЧЕНИЯ ФУНКТОРА

Цель настоящей главы — показать, что при подходящих условиях, налагаемых на функцию В, множество С® (а) является значением некоторого строго определимого функтора г).

Равномерно определимые функции

Пусть X — функция, скажем, от п переменных, т. е. подкласс класса У"+1, такой, что для произвольных х^, . . ., хп £ V существует точно одно у = X (xlf . . ., х^ £ V, для которого (^t, . . . , . ., хп, у) £ X. Мы будем говорить, что X равномерно определима, если существует строго определимый функтор / второго рода от п + 1 переменных, такой, что для почти всех А и для любых xt, . . . . . ., хп £ А •

/ (А, х^, . . ., х^ = X (xlt . . ., х^.

Эквивалентная формулировка такова: существует формула И с п + 1 свободными переменными, такая, что для почти всех А и произвольных х^, . . ., хп, у £ А

X (ж,, . . ., хп) С А,у = X (ж,, . . ., х^ = у-АН [у, х4, . . ., жп].

Аналогичное определение вводится и для отношений: отношение р S И” является равномерно определимым, если существует строго определимое (и + 1)-местное отношение R, такое, что для почти всех А и всех х4, . . ., хп С А'-

(ж,, . . ., х^ £р = R (А, хъ . . ., х^.

При п = 1 мы получаем равномерно определимые классы. Мы можем сформулировать определение следующим образом: класс С Е V является равномерно определимым, если существует строго определимый функтор F от одного переменного, такой, что для почти всех А

А ПС = F (А).

Используя теоремы о трансфинитной индукции, мы можем установить следующий результат.

*) л (4) было определено в IV. 3 п.11. — Прим. ред.

Пусть р — равномерно определимое фундированное частичное упорядочение равномерно определимого класса С, такое, что функция Q (а) = Ор (а) является равномерно определимой. Если У — равномерно определимая функция с областью определения V X С, то единственная функция X, с областью определения V, определяемая равенствами (ср. 1.3.1).

...j У(Х|Ор(а), а), если а^С,

/а ~t 0, если а$С, является равномерно определимой.

Доказательство. Пусть 8 (Л) = С f] Л, К (^) = р П Л2 и / (Л, х, а) = У (х, а) для х, а £ Л.

Функторы 8, Ruf строго определимы по условию теоремы и R (Л) является частичным вполне-упорядочением 8 (Л). Более того,

Оа (а) = {* 6 s (А): Цх, а) £ R (Л)) Л <х ^ а)}

является элементом А для почти всех А и для произвольного а из '8 (Л), потому что ОА (а) = Q (а), a Q равномерно определима по условию теоремы.

По теореме IV.4.2 существует равномерно определимый функтор In (Л), такой, что для почти всех А его значение <р = In (Л) является функцией с областью определения 8 (Л); эта функция удовлетворяет для каждого а из Л уравнению

Ф (а) = / (Л, <р | Окии (а), а).

Из определимости ф получаем <р | ОН(А) (а) £ А. Отсюда следует, что

Ф (а) = У (ф [ 0^ (а), а) = У (<р | Ор (а), а).

Сравнивая это равенство с (1), мы находим по трансфинитной индукции, что X (а) = [In (Л)] (а) для всех а из С П А. Функция X имеет, таким образом, те же самые значения, что In (Л), для аргументов а из Л П Си значение 0 для а £ А — С. Это доказывает, что функция X равномерно определима.

Теорема 1.1 соответствует индукции без параметров. Мы можем сформулировать аналогичную теорему для индукции с фиксированными параметрами. Эта форма индукции несколько менее обща, чем описанная в 1.3.2, но достаточна для большинства приложений.

Пусть р и С такие, как в 1.1, и пусть У — равномерно определимая функция с областью определения Vй X V X С. Существует единственная функция X с областью определения Vй X С, которая удовлетворяет для каждого а из С и произвольных qit ..., qk из V равенству;

X ^, . . ., qk, а) =

= У (qi, . . ., qk, X I (to) X . . . X {^h} X Op (a)), a).

Эта единственная функция равномерно определима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ради простоты ограничимся изучением случая одного параметра. Существование и единственность X легко следуют из 1.3.2, где мы полагаем

р = {^}, 1ц (q, и, v, а) = h2 (q, и, и, а) = У (q, и, а).

Функции е1: е2, существование и единственность которых устанавливает 1.3.2, в этом случае равны и удовлетворяют равенству (2).

Чтобы доказать, что X является равномерно определимой, поступим так же, как при доказательстве 1.1. Мы сохраним те же определения функторов R, 8 и положим / (Л, х, a, q) = У (q, х, а) для произвольных q, х, а из Л. По IV.4.1 имеется строго определимый функтор In, такой, что для почти всех Л и произвольного q из Л множество ф = In (Л, q) является функцией с областью определения «S' (Л) = С П Л, удовлетворяющей условиям

Orcao k°^ €

ф (а) = / (Л, ф | ОЯ(А> (а), a, q) = У (q, ф | Ор (а), а).

Сравнивая это равенство с (2), видим, что X (q, а) = ф (а) = = [In (Л, д)] (а) для а£СП Л. Доказательство завершается, как в 1.1.

В теоремах 1.1 и 1.2 ни р, ни С не зависят от параметров, но нам потребуется теорема о равномерной определимости функции, удовлетворяющей индуктивному равенству, у которой область определения является множеством, зависящим от параметров и упорядоченным отношением, зависящим от параметров. Это устанавливает следующая теорема.

Пусть аир — равномерно определимые функции от п переменных, такие, что для каждых р^, ..., рп из универсального класса a (pt, . . ., рп) является множеством и р (р1? . . ., рп) является фундированным частичным упорядочением в этом множестве. Пусть У — равномерно определимая функция от п + 2 переменных. При этих условиях существует единственная функция X с областью определения V"+1, которая удовлетворяет равенству

X (pt, . . ., рп, а) =

= Y Uh, • • •, Рп, X [{pi} Х{р2} X . . .

• • • Х{рп} X Ор (Р1-,,,, Рп)(а), о)

для произвольных р^, . . ., рп из V и а из a (pt, . . ., рп~). Эта единственная функция равномерно определима.

Доказательство. Единственность и существование X очевидны. Докажем равномерную определимость X, полагая для простоты, что имеется только один параметр р. Пусть 7?, S, f —

строго определимые функторы второго рода, такие, что имеют место равенства:

{р} х 0^=8 (Л, р), {((р, ж), (р, у)): (ж, у) Е Р (.Р^ = R (А р),

Y (р, х,у) =f (Л, х, у, р)

для почти всех Л и произвольных р, х, у из Л.

Так как о (р) и р (р) принадлежат Л для почти всех Л и произвольных р из Л, можно доказать, что для почти всех Л и произвольных р из Л, а из а (р) множество Ор (р) (а), принадлежит Л. Это следует из замечания, что существование сегмента Ор (р) (а) может быть выведено из конечного числа аксиом ZF.

Отсюда следует, что для почти всех Л и каждой пары (р, а) Е Е 8 (Л, р) сегмент OR(A, р) = {р} X Ор(р) (а) принадлежит Л. Таким образом, условие теоремы IV.4.2 удовлетворяется, и поэтому существует строго определимый функтор In, такой, что для почти всех Л и каждого р из Л множество 1п(Л,р) = X является функцией с областью определения {р} X о (р), удовлетворяющей индуктивному равенству

Х((р,а» = /(Л, X |{р} X Ор(р) (а), а, р)

для каждого а из о (р). Это доказывает, что функция X строго определима и удовлетворяет индуктивному равенству нашей теоремы. Нам потребуются следующие простые теоремы.

Пусть R — равномерно определимое (п + ^-местное отношение, такое, что для произвольных а^, . . ., ап Е V существует точно одно а0 = ф («1, . . ., ап), при котором выполняется R (а0, . . . . . ., ап). Если (р («1, . . ., an) Е Л для почти всех Л и произвольных ai, . . ., ап ЕЛ, то ф равномерно определима.

Доказательство. Если JR является определением R, то эта формула является определением функтора / (Л, а1т . . ., а^ = = ф (а1; . . ., а^.

Теорему 1.4 можно обобщить следующим образом:

Пусть R — равномерно определимое (п + ^-местное отношение, к^п; предположим, что для произвольных ак, . . ., ап Е V существует точно один набор длины к

(«О, . . -, «ь-1> = <фо («ь, . • ., «п), • . ., Фб-1 <аК, . . ., а^, такой, что R (ар, . . ., а^. Если для почти всех Л, всех j <2. к и произвольных а^, . . ., an Е Л

.<Pj <аК, . . ., а^ Е ^4,

то функции ф,- равномерно определимы.

Доказательство. Если Ж является определением отношения R, то формула

<Ех0, . . ., xb Xj^, . . ., xh_^ Rявляется определением функтора /(Л, а^, . . ., ап) = ф, (а^, . . -,ап)-

Примеры равномерно определимых функций

В этом параграфе мы приведем несколько примеров равномерно определимых функций.

Функция

8(6, Л) = {8(6, Л) = {£ + т], если £, л£Ои, О в противном случае

8(6, Л) = {

8(6, Л) = {

равномерно определима.

Чтобы доказать это, положим в 1.2

С = Он, р = {<£, ц) £ On2: £ < л} и

( 0, если (х $ Fnc) V (q $ On) \J (Dorn (x) $ {{g} X £: L^On)), | q, если Dorn (z) = 0,

У (g, я) = } ^ (9, 9 U {* (9, 9Ь если Dom M = {9} X (C+ 9, U RgM, если Dom (я) = {g} x X, где X—предельное ^число.

Условия 1.2 выполнены. Равномерная определимость С следует из IV.3, пример 11, р — из IV.2.5 и У — из IV.2.10, IV.3, примеры 4, 5, 10, 15. Так как

s(^, л) = У(^$ 1({^} ХЧ)), то s равномерно определима.

Функция р, определенная следующим образом: С ^л, еслиЪ, л€О», Р (^, Л) | q е противном случае, равномерно определима.

Это доказывается рассмотрением того же самого класса С и отношения р, что и выше, с заменой второго и третьего равенств в определении У на

У (д, х) = 0, если х = 0,

У (д, х) = х (q, Q + д, если Dom (х) = {д} X (£ + 1).

Функция, принимающая значение 6 (г, |), если г, £ £ Он, и равная 0 в противном случае, равномерно определима.

Доказательство получается точно так же, как раньше.

Мы вместе с тем доказали, что для почти всех А ординал л (Л) замкнут относительно операций 5 + т],6 (г, £).

Функции, совпадающие с I, К, L, М на ® X On и равные О на остальных значениях аргументов, равномерно определимы.

Этот пример сложнее предыдущих. .Здесь поступим следующим образом. Для £ Е On, г Е <о обозначим через 5 (£, г) множество четверок (г, а, 0, у), 1 г г, а, 0, у < б (г, £). Через R (£, г) обозначим антилексикографический порядок на 5 (£, г), через vr (г, а, р, у) — порядковый тип четверок, которые предшествуют (г, а, Р, у) при этом упорядочении. Вне м х On положим S (ж, у) = = R (х, у) = 0. Теперь отметим, что если г Е ®, ц Е On и i (г, ц) — единственный ординал, такой, что б (г, i (г, ц)) ^ ц < 6 (г, i (г, ц) + + 1), то Zt), Хц, Lt), Мт\ либо равны 0 (если б (г, i (г, ц)) = ц), либо могут быть охарактеризованы как единственные ординалы г, а, Р, у, для которых б (r, i (г, ц)) + vr (г, а, 0, у) = ц.

Функция I (г, ц) х) равномерно определима, потому что i (г, ц) однозначно определяется равномерно определимым отношением (см. теорему 1.4) и, кроме того, i (г, ц) ^ ц. Воспользовавшись теоремой 1.5 и приведенным выше замечанием, заключаем, что Zt), Xi], 2л], Л/ц равномерно определимы, если таков же и vr. Докажем равномерную определимость vr. Сразу же видим, что функции о: (г, У ->- S (г, |), р: (г, |) -> R (г, |) равномерно определимы. Поэтому можно воспользоваться теоремой 1.3 о трансфинитной индукции. В качестве У выберем функцию У (5, г, ж), равную 0, если х не является трансфинитной последовательностью, и принимающую значение min{r): T)(£Rg(;r)} в противном случае. Это нам дает равномерно определимую функцию X, такую, что для каждого а из 5 (г, £) значение X (£, г, а) равно порядковому типу ОЖТ,^^а\ Следовательно, X (£, г, {i, а, 0, у)) является требуемой функцией vr.

Функции, совпадающие с р1ь и plh на On и равные 0 вне On, являются равномерно определимыми.

Доказательство. Функция plh удовлетворяет индуктивному равенству

Ф (g) = F (г, к, Ф | £), где

. Flr,k,x^ = min^^r,^ = ^№^.

(см. III. 1). Отношение (Z (г, С) = &) А (£ zd U Rg (^)) равномерно определимо и, так как для почти всех А и произвольных г, к из со и х из А существует однозначно определенное минимальное ^, принадлежащее А, при котором выполняется это отношение, то по 1.4

^ Предполагается, что i (г, тр = 0, если (г, т]) ^ со X On.

заключаем, что функция F (г, к, х) является равномерно определимой. Это доказывает, что ср = plfe равномерно определима.

Для функции plfe доказательство несколько проще, потому что plfe (г, £) является наименьшим ординалом ц, для которого plfe (г, ц) ^> ^ £. Таким образом, ц является единственным элементом, при котором выполняется равномерно определимое отношение, и ц принадлежит А для почти всех А и произвольных г из го, £ из Л, потому что т] ^ ^.'

Наш последний пример относится не к равномерно определимым функциям, а к строго определимым функторам.

Функтор гк, определенный как

гк(Л, у = {гк(Л, у = {А^, если ^ л (Л),

гк(Л, у = {

гк(Л, у = {

О в противном случае,

является строго определимым.

Доказательство' (см. 1.3.3 для определения R^). Для множеств гк (Л, £) при каждом транзитивном множестве Л выполняются рекуррентные равенства

гк (Л, 0) = 0, гк (Л Л + 1) = Л П Р (гк (Л, ^)), гк (Л, X) = U {гк (Л, £): £ < X} для X Е Lim (Л).

Теперь в теореме IV. 4.2 примем 8 (Л) = л (Л), R (Л) = = {(и, р>^Л: и ^ и Е л (Л)} и / (Л, а) = 0, если а £ Seq (Л), / (Л, а) = нп (Л, а), если а Е Seq (Л) и dl (Л, а) Е Lim (Л). Наконец, мы примем / (А, а) = Р (Л, val (A, a, pred (A, dl (Л, а)))) = = А П Р (а (£ — 1)), где £ = dl (Л, а), если dl (Л, а) Е л (Л) — — Lim (Л). Условия теоремы IV.4.2 выполнены, и, следовательно, мы получаем строго определимый функтор, такой, что для почти каждого А и каждого £ Е л (Л)

ср (A, g) = ОФ Ц, Л), если £ — предельное число, Т1<$

ср (Л, ^ + 1) = Л П Р(Ф(ЛЛ)).

Индукцией по £ получаем, что ф (Л, £) = гк (Л, £), и утверждение теоремы следует из IV.4.2.

Как следствие отсюда получаем, что

Для почти всех А и всех £ Е л (Л) справедливо A Q Rt Е А.

Замечание. Функция R: £ —> R^ не является равномерно определимой, потому что не верно, что R^ Е Л для почти всех А и всех ^ € л (Л).

Равномерная определимость функции С® (а)

Пусть В — функция двух переменных, значениями которых являются трансфинитные последовательности. Мы предполагаем, что В удовлетворяет условиям (В.О) — (В.4) из III.2. Из III.2 мы знаем, что В определяет функцию С® (а) двух, переменных: а принимает в качестве значений трансфинитные последовательности (т. е. элементы класса 8, см. стр. 46) и £ — ординалы. Для фиксированного а функция ф (£) = С® (а) удовлетворяет индуктивному равенству

Ф (У = В (а, Ф IS)-

Тогда из теоремы 1.2 находим, что

Если функция В равномерно определима, то такой же является функция двух переменных £ и а, равная С® (а) при £, а Е Оп X 8 и 0 при других значениях аргументов.

Слёдующее утверждение является прямым следствием.

Если функция В равномерно определима, то для почти всех А, произвольного а из .Seq (Л) и произвольного £ из л (Л)

С^аНА.

Обозначим через Konstr8 следующий функтор:

Konst,«(4,«) = ( С"«><“>’ еСЛИ "^(Д).' t О в противном случае.

Если В — равномерно определимая функция, то функтор Konstr8 является строго определимым.

Доказательство. Пусть А — транзитивное множество, в котором истинны столько аксиом ZF, сколько необходимо для того, чтобы

'£ < л (Л)6 (гЛ) < л (Л)

(см. § 2, пример 3). Так как л (Л) — предельное число, то из непрерывности 6 следует, что 6 (г, л (Л)) = л (Л). Таким образом, для любой трансфинитной последовательности а множество С®(Д) (а) содержит элементы С® (а), где £ < л (Л). Отсюда следует, что отношение х Е Konstr8 (Л, а) эквивалентно отношению

№а К^ € л (Л)) А (х = Cf (а))].

По IV.2.3, IV.3.11, V.3.1 это отношение строго определимо, и, следовательно, теорема доказана.

Результаты 3.1—3.3 можно выразить так.

Для каждой равномерно определимой функции В, удовлетворяющей условиям (В.О) — (В.4). из III.2, существует конечное число

аксиом К^, . . ., КТ из ZF и формулы constr5 от трех свободных переменных и Konstr5 от двух свободных переменных, такие, что если Л является транзитивным классом и К^ . . ., КТ истинны в Л, то для каждой транзитивной последовательности а из А, каждого ординала £ из А и каждого х из А

сГ(«КД

х = Cf (а) = НА constr5 [х, £, а],

ж^ {С® (а): £ £ On П Л} = НА Konstrs [х, а].

Доказательство. Займемся только (1) и (2). Прежде всего предположим, что А — множество. Тогда (1) и (2) следуют из равномерной определимости функции Cf (а). Если А — собственный класс, то воспользуемся разложением (см. 1.1.3)

А = ЩЛ П RV- leOn} = UAt

и, применив теорему о рефлексии II.2.2, получим элементарное подмножество Лх множества А, такое, что Лх содержит в качестве элементов данную последовательность а, данный ординал £ и данный элемент х. Формулы (1) и (2) останутся верными, если заменить А на Лх. Так как Лх -< А, можно Лх заменить на Л, и теорема доказана.

В связи с этой теоремой дадим некоторые разъяснения. Если дана транзитивная модель теории ZF или подходящей конечно аксиоматизируемой ее подсистемы, то, согласно (2), можно определить внутри этой модели свойство ее элементов быть равными Cf (а), где £, а — данные элементы модели. Аналогично формула (3) устанавливает, что можно определить внутри модели класс всех элементов вида Cf (а), где £ есть ординал модели, при условии, что а является * фиксированной последовательностью, принадлежащей этой модели. Выражение «внутри модели» означает, что уже упомянутое свойство и класс были определены посредством выполнимости в модели явно заданной формулы. Все это означает, что можно обойтись без использования очень сильной метатеории М, когда мы рассматриваем свойства конструктивных множеств, принадлежащих Cf^ (а), при условии, что А —модель ZF и а принадлежит А.

Сейчас мы рассмотрим специальные функции 5т1П, 5° и Bz, определенные в III.6, и покажем, что они равномерно определимы. Нам необходима следующая лемма.

Функции At (а, Ъ) П с равномерно определимы (i = 1, 2, . . ., 9).

Доказательство. Очевидно, А; (а, Ь) £ А для почти всех А и любых а, Ъ из А. Так как функция, значение которой для х, у равно х П у, равномерно определима, то достаточно показать строгую определимость функторов, .значения которых для произвольных аргументов А, а, b суть А, (а, Ь). Поэтому нам нужно пред-

ставить условие х £ Л; (а, 6) с помощью операций исчисления высказываний и кванторов, ограниченных на Л, примененных к формулам, о которых известно, что они задают строго определимые функторы. Ниже мы перечислим необходимые формулы:

i = 1. х £ At (а, Ь) = (Ей, v)A [(ж = {(0,и), (1, к>}) Д (u £ v)],

i =2.х £Л 2 (а,6)= (х = а) V кж = 6),

i =3.х 6Л3 (а,6)= (Eu)A [(ж £ ы) Д (ы £ а)],

i =4.х £А4 (а,6)= (Ей, v)A [(ж = {(и, v>}) Д (и£а)Д(v£ 6)],

i =5.х £Л6 (а,6)= (Ей, v)A (<)А{(< € х) = [(< 6 и)V(<€ ”)]},

i =8.х £Л8 (а,6)= а — b = (х £ а) Д п (х £ 6),

i = 6. х £ Ав (а, 6) э (Ей, v)A{(t)A [(< € ж) =.

= (< 6 Л8 (и, к))] Д (и Е а) Д (v 6 6)}, i = 9. х £ Л9 (а, 6) = а о Ъ = (Ей, V, w)A [(ж = (и, к)) Д

Д ((и, w) ^а) /\ ((w, v) £ 6)],

I = 1. х £ Л7 (а, Ь) = (Ей, v)A{(t)A [(< 6 я) =

■е(<ЕЛ,(и,и))]Д(м(а)Л(у6 6)}.

Перейдем теперь к равномерной определимости функций Вт™, В0, Bz. Эти функции были определены в III.6 только для аргументов из 8 X 8, где 8 — класс всех трансфинитных последовательностей. Расширим эти функции до всего V X V, давая им значение 0 для аргументов, не принадлежащих 8 X 8. Расширенные функции будут обозначаться теми же символами.

Функция Втт равномерно определима.

Доказательство. Мы должны определить функтор второго рода, такой, что / (А, а, х) = Smin (а, х) для почти всех А и произвольных а, х из А.

Покажем, что функтор /, обладающий свойством

/ В^(а,х\ если 5min (а, ж) 6 Л, / (А, а, ж) = <

[ив противном случае,

строго определим. Вначале мы заметим, что для почти всех А имеет место первый случай, так как 5™1П (а, х) есть либо 0, либо один из членов а, либо получен из членов х одной из операций, рассмотренных в 3.2, либо, наконец, равняется Rg (ж) = dp (А, х). В целях упрощения формул будем опускать аргумент г = 10 в написании значений функций I (г, х\ К (г, х), и т. д. Для почти всех А

получим из ранее принятых определений:

/ (Л, а, х) = 0, если либо х $ Seq (Л), либо а 5 Seq (Л),

либо I (Dom (х)) = 10 и рГ (Dom (х)) ^- Dom (а);

в противном случае

val (Л, а, рГ (Dom (х))), если I (Dom (х)) — 10,

f(A, а, х^ = *f(A, а, х^ = *Rg (х)', если I (Dom (х)) = 0,

f(A, а, х^ = *

f(A, а, х^ = *

At (val (Л, х, К (Dom (х))), val (Л, х, L (Dom (х)))) Q П val (Л, х, М (Dom (х))), если 1 С / (Dom (х)) < 10.

Эти равенства показывают, что функтор / (Л, а, х) определен, как в теореме IV.2.10, где значение в каждом отдельном варианте зависит от того, имеет ли место строго определимое отношение между а и х; значение / в каждом отдельном варианте равно значению строго определимого функтора. Чтобы в этом убедиться, достаточно заменить повсюду в определении Dom (х), Rg (х) и т. д. на dl (Л, х), dp (Л, х) и т. д. и заметить, что I, К, L, М, рГ, А^ как известно, равномерно определимы. "

, Теорема 3.6, таким образом, доказана. Из 3.1, 3.3 и 3.6 мы заключаем, что:

ЗЛ. Функция Cfmln(a) равномерно определима; функтор KonstrBmm строго определим.

Аналогично поступаем, когда В = Bz или В = В°.

Функция Bz (а, х) равномерно определима.

Доказательство аналогично доказательству 3.6. Временно будем писать I (£) вместо I (12, §) и так же для К (£), L (£) и т. д.

Рассмотрим функтор / (Л, а, х) = Вг (а, х) и заметим, что он удовлетворяет всем равенствам из 3.6, а также двум дополнительным:

/ (Л, х, а) =/ (Л, х, а) ={val (Л, х, g): (£ < Dom (х)) Д (I (g) = 11)}, , если I (Dom (х)) = И, {<L val (Л, х, £)): pl (^ <К (Dom (х))} Q П val (Л, х, М (Dom (х))), если I (Dom (х)) = 12.

/ (Л, х, а) =

/ (Л, х, а) =

Очевидно, что правые части этих равенств являются значениями строго определимых функторов; это функторы второго рода, ибо если А удовлетворяет аксиоме подстановки (VIH) для подходящей формулы Н, то А содержит в качестве элементов множества {val (Л, х, g): £ £ X} и {(£, val (Л, х, £)): g£ X}, если только X ЕЛ. Поэтому функтор / строго определимый второго рода, и утверждение 3.8 доказано.

Аналогично показывается, что

Функция В0 равномерно определима.

Из 3.8 и 3.9 получаем, что

Функции С®2 (а) и С^ (а) равномерно определимы; функторы KonstrB° и KonstrsZ строго определимы.

Обобщение

В этом параграфе наметим кратко, как можно было бы обобщить результаты, полученные в § 3, и обосновать подобные результаты для случая, когда последовательность а из Св^д) (а) есть последовательность длины л (А) и а $ А. Эта ситуация соответствует ситуации, описанной в II 1.7, множество А играет ту же роль, которую в II 1.7 играл универсум. Пусть Т — функтор первого,рода, такой, что для почти всех А и всех р из Ап множество Т (А, р) есть транзитивная трансфинитная последовательность длины ^л (А). Пусть В — функция, удовлетворяющая условиям (В.0) — (В.4) из III.2. Мы определим

constrB, т (А, £, р) = С® (Г (А, рУ).

Если Т строго определим и существует строго определимый функтор / первого рода, который удовлетворяет равенству

В (Т (А, р), х) = / (А, х, р) -

для почти всех А, всех х из Seq (А) и всех р Е А", то функтор constrB, Т строго определим.

Доказательство получается применением теоремы IV.4.2.

Модифицируя доказательства теорем 3.4—3.7, мы обнаружим, что посылки теоремы 4.1 удовлетворяются для В = Bmin, В = В0 и В = Bz. Из теоремы 4.1 следует, что если ее посылки верны, то существует конечное число аксиом Кд, . . ., КТ теории ZF, таких, что если А — транзитивное множество, в котором эти аксиомы верны, то А вместе с каждым ординалом £ и каждым р Е А" содержит множества С® (Т (А, р)), где В есть одна из функций В™1", В0, Bz. Более того, существует формула Нв, такая, что для каждого £ Е Е On П А, р Е А", х Е А

z-Cf^A, р))^ ^АН®[х, ^, р].

По аналогии с функтором KonstrB можно ввести функтор Konstrf:■

Konstrf (р) = 'Konstrf (р) = 'С®^ (Т (А, р)), если Т (А, р)—последовательность длины С л (А), 0 в противном случае.

Konstrf (р) = '

Konstrf (р) = '

Мы докажем, так же как в 3.3, что этот функтор строго определим, если только Т тоже строго определим и В — равномерно определимая функция. Отсюда следует, что существует формула Konstr® от n + 1 свободных переменных (где п — число параметров в последовательности р), такая, что для почти всех А и произвольных р Е Ап и х Е А следующая эквивалентность верна:

х Е Konstr® (р) = НЛ Konstr® [х, р].

Некоторые свойства конструктивных множеств

Теоремы из § 2 и 3 позволяют установить некоторые свойства конструктивных множеств, которые нельзя вывести прямо из определений, данных в гл. III. Ограничимся рассмотрением случая, когда функция В, которая определяет тип конструктивности, равномерно определима.

Во всех теоремах этого параграфа мы предполагаем, что В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.4) из III.2.

Назовем множество В-конструктивным относительно транзитивной последовательности а, если оно принадлежит классу Кв (а). Мы докажем транзитивность и рефлексивность этого отношения.

Если а, Ь, с — транзитивные последовательности, то из а Е Е Кв (6) и b Е Кв (с) следует, что а Е Кв (с).

Доказательство. Пусть а = Св (Ь). Выберем в соответствии с III.3.7 транзитивное подмножество А из Кв (с), которое содержит 6 и а как элементы и является элементарной подмоделью Кв (с). Так как А — модель ZF, можно применить теорему 3.1 и получить Св (6) Е Konstr® (Л, с). Следовательно, а Е Konstr® (Л,с) с с Л с Кв (с). Теорема 5.1 утверждает, что относительная S-конструктивность является транзитивным отношением. Как следствие мы найдем, что -

Если b В-конструктивно относительно с, то Кв (6) s Кв (с), если, кроме того, с В-конструктивно относительно Ь, то Кв (6) = = Кв (с).

Особую важность для наших последующих рассмотрений имеет вопрос, является ли отношение S-конструктивности рефлексивным. Лишь в некоторых специальных случаях отношение а Е Кв (а) верно.

Если а Е Кв (0), то а Е Кв (а).

Это немедленно следует из 5.1 и замечания о том, что 0, очевидно, S-конструктивен относительно произвольного а.

Если транзитивная последовательность а получена добавлением конечного числа членов at, . . ., ay к последовательности Q, которая В-конструктивна относительно 0, то a Е Кв (а).

Доказательство. Все члены из а и, в частности, at, . . . . . ., ah S-конструктивны относительно а, все ординалы также S-koh- структивны относительно а и, наконец, таково же Q, исходя из наших предположений. Следовательно, сумма

а = Q U {(In а^, (|2, а^, . . ., (U, ау^

S-конструктивна относительно а.

Если В удовлетворяет дополнительным условиям (В.5) и (В.6) из III.5, то можно доказать, что отношение S-конструктивности рефлексивно.

Если В удовлетворяет (В.О)—(В.6), то а Е Кв (а) для всех транзитивных последовательностей а.

Доказательство. Для произвольной транзитивной последовательности а обозначим через а минимальный ординал, который больше, чем рГ (|), для каждого | из области определения а. Поэтому все члены а^ из а встречаются в трансфинитной последовательности конструктивных множеств с номерами рГ (|) < а. По III.5.2 последовательность Св (а), ограниченная номерами $ < а, принадлежит Кв ^а\ Обозначим эту последовательность через /. Таким образом, / = {(£, ^(а)>: |<а}.

Сейчас мы должны выбрать из / те пары, в которых первый член имеет вид рГ (|), и заменить этот член на |. Для этого заметим, что, как следует из равномерной определимости функции рГ (см. 2.5), функция g, определяемая равенством

£(9 = (9 рГ (9),

равномерно определима. Следовательно, множество s = {^(9: |<а} принадлежит любой транзитивной модели А теории ZF, если только а Е А *). В частности, s Е К8 (я).

Мы утверждаем, что a = sof. Для проверки этого заметим, что пара (и, р) принадлежит $ о/ тогда и только тогда, когда существует w, такое, что (и, m)Qs и (и>, р)Е/. Следовательно, (и, w} = = (9 pl' (9) Для £ < а и {w, и') = (|, Св (а)) для | < а. Следовательно, (и, и) = (|, Cpi'd) (а)) = (|, а^, и поэтому a — s°f. Это доказывает, что а Е Кв (а).

т) Несущественно, является Л множеством или собственным классом, потому что любой собственный класс содержит подмножество, элементарно эквивалентное ему самому и транзитивное, если класс был транзитивным.

Приведенное выше доказательство остается верным, если мы заменим К® (а) на С® (а) при условии, что С® (а) есть модель ZF и Dorn (а) 6 х. Таким путем мы получим: . -

. 5.6. Если В удовлетворяет условиям (В.О)—(В.6) и равномерно определима, х — ординал, такой, что С® (а) есть модель ZF, и а — транзитивная последовательность, такая, что Dorn (а) £ х, то а ЕС® (а). '

Теорема 5.6 может быть усилена, и мы будем использовать более сильные формы в гл. XII, § 6; при посылках из 5.6 существует ординал а, зависящий только от х и Dorn (а), такой, что а = С® (а). Доказательство этой усиленной теоремы может быть получено простым анализом доказательства 5.5.

Глава VI

МОДЕЛИ ВИДА C„w(a)

В этой главе мы выясним, при каких обстоятельствах множества вида След) (я) являются моделями для ZF, и докажем, что любая конечная совокупность аксиом ZF истинна в След) (я) Для почти всех А и для произвольной транзитивной последовательности а в А. Для того чтобы лолучить этот результат, необходимо еще раз вернуться к понятию строгой определимости функций, которой было введено в доказательстве теоремы о рефлексии. В заключительных параграфах настоящей главы этот факт используется для доказательства существования различных моделей ZF.

Снова теорема о рефлексии

Рассмотрим строго определимый функтор / второго рода со следующими свойствами: для почти всех А и для |, ц <_ л (А), р £ Ате

6 < Ц -> / (4, I, Р) S / (А, ц, р),

g £ Lim (А)-э-/ (A, g, р) = U /(А, тр р).

Пусть М (А, р) = (J / (А, |, р). Легко показать, что М есть $<л(А)

строго определимый функтор. Выберем некоторую конкретную формулу М, которая определяет функтор М, и обозначим ее свободные переменные через ж0, х^, Хг„ . . ., х,п. Тогда для почти всех А и для р £ А ^> • • •• U, х £ А, верна эквивалентность

\-АМ 1р^х] = х € М (A, pVY

Для каждой формулы Н существует строго определимый функтор h второго рода, такой, что для почти всех А

если р£Ап, то отображение ^-^-h{A, р, |) является возрастающим и непрерывным отображением л (А) в л (А);

х) Правую часть этой формулы следовало бы записать в виде х^М (А, />^,... ..., pin), потому что М — функция от п + 1 аргументов. Чтобы упростить обозначения, будем последовательности с областью определения {ii, . . ., гп} и набор аргументов функции М, т. ■ е. последовательности с областью определения {1, . . ., ге}, обозначать буквой р.

если X £ Lim (Л), К (Л, р, X) — X > 0, то для произвольного а£ЦА, X, р^гОТ

Нм (A. pi Н [а] = Н / (д. х. р) Н [а].

Доказательство практически не отличается от доказательства II.2.1; надо только быть уверенным на каждом шаге, что функции, с которыми мы имеем дело, являются значениями строго определимых функторов.

Если Н не имеет кванторов, то берем в качестве h функтор К (Л, р, £) = £. Если Н есть формула ~1 Hi и hi— функтор, соответствующий Н\, то в качестве К берем Ki.

Если Н имеет вид Hi Д Н2, то берем h = hi о h2, т. е.

А (Л, р, У -ЬДА, р, h2 (А, р, ^.

Следовательно, h является строго определимым функтором, удовлетворяющим условиям (3) и (4).

Осталось рассмотреть случай, когда Н имеет вид (ж0) Hi. Можно считать, что хй является свободной переменной формулы Hi, потому что в противном случае мы можем взять в качестве h тот же функтор, который был выбран для Н. Будем также пользоваться сокращением р^х для р U {(0, ж)} (см. стр. 22).

Определим функторы rho и sigma следующим образом:

°,°,rho (Л, а, р) = min {ц £ А:rho (Л, а, р) = min {ц £ А:если а^Л1^^

°,

°,

rho (Л, а, р) = min {ц £ А:

rho (Л, а, р) = min {ц £ А:

(■^оД (А. 1). р) Нм (А. р) Л Hi [а^0]} в противном случае;

(5) sigma (Л, £, р) = <(5) sigma (Л, £, р) = <О, если ^л(Л) или sup, выписанный ниже, не принадлежит А, sup {rho (Л, а, рУ а У (Л, £, p)Fr(H>}

(5) sigma (Л, £, р) = <

(5) sigma (Л, £, р) = <

в противном случае.

Прежде всего надо доказать, что rho и sigma являются строго определимыми функторами. Для этого мы поменяем связанные кванторами переменные вЩ так, чтобы ни одна из переменных под знаком квантора не встречалась в М, и затем заменим каждое (яг) . . . на (яД [М (xi, . . .) ->■ . . J. Если результирующая формула есть Q, то для почти всех А и произвольных х0ЕА, р £ Л^"101, а £ ^Fr(Zf)

Нм (А, ^Hi \а^х^ = \-aQ l«~G^o)L

Таким образом, функтор <2, определенный формулой П Q, обладает свойством, что для почти всех А и всех р £ Л{и”"’гл>, a^ATtm и Хо^А

xo£Q (Д а, р) = Н м (А. р> Hi{a zrol-

Теперь мы можем видоизменить определение функтора таким образом:

О, если а5ЛРг(Н) или р^ЛЕг(М) <0J, или

rho (Л, а, р^ = <rho (Л, а, р^ = <'*1 ^Ех^А (Ет\)п (А) [жд 6 / (Л, т), р) Л Q (Л, а, р)];

rho (Л, а, р^ = <

rho (Л, а, р^ = <

min {ц < л (Л): (£ж0)л («о 6 / И, Р, Р) П Q И, а, р)]}

в противном случае.

Отсюда следует, что rho является строго определимым функтором (см. IV.2.10 и IV.3.19). Строгая определимость sigma легко следует из строгой определимости rho по теоремам, доказанным в IV. 2 и IV.3. Отметим, что из IV.3.18 можно заключить, что для почти всех Л мы имеем вторую формулу схемы (5) при £ < л (Л) и р € ЛКгда.

Возьмем в IV.4.2 множество л (Л) в качестве 8 (Л) и отношение ^, ограниченное на л (Л), в качестве R (Л). Пусть функтор t (Л, х, р) определен следующим образом:

t (Л, 0, р) = sigma (Л, 0, р),

t (Л, ж, р) = <t (Л, ж, р) = <шах (ж (Dom (ж)— 1), sigma (Л, Dom (ж), (р)) +1, если х — функция и Dom (ж) ^ Lim (Л),

t (Л, ж, р) = <

t (Л, ж, р) = <

U Rg (ж), если х — функция и 0 £ Dom (ж) £ Lim (Л), 0в остальных случаях.

Так как t является строго определимым функтором, мы можем воспользоваться теоремой IV.4.2 и получить строго определимый функтор ge второго рода, такой, что для почти всех Л и произвольного £ из л (Л) и р С Л”

ge (Л, 0, р) = sigma (Л, 0, р),

ge (Л, | + 1, р) = max (ge (Л, g, р), sigma (Л, £ + 1, р), р) + 1,

ge (Л, L р) = U {ge (Л, т), р): ц < ^}=sup{ge^, ц, р): т)<£}, если £ 6 Lim (Л) — {0}. Теперь определим К формулой

К (Л, ^, р) = К* (Л, ge (Л, |, р), р),

где К* — функтор, связанный с Н^. Функтор К, очевидно, строго определим, и мы можем доказать точно так же, как в II.2.1, что он удовлетворяет соотношениям (3) и (4).

Применение теоремы о рефлексии дает следующий результат.

. Если / — строго определимый функтор второго рода, такой, что для почти всех Л, всех £, ц < л (Л) и всех р С Лп

/(Л, ^ р)<л (Л),

^ < т) -^ / (Л, |, р) < / (Л, ц, р),

0 6 т) € Lim (Л)/ (Л, т), р) = sup {/ (Л, ^, р): | < ц},

то для почти всех А и всех ^ <; л (Л), р £ Ап существует ординал х < л (Л), такой, что £ < х и f (Л, х, р) = х.

Доказательство. Воспользуемся теоремой IV.4,2, положив S (Л) = со и взяв в качестве R (Л) отношение ^, ограниченное на область целых положительных чисел. . Функтор, обозначенный в IV.4.2 через /, перейдет в функтор g, определенный следующим образом:

g (Л, х, 5, р) = *g (Л, х, 5, р) = *О, если х g Fn (Л) или если Dorn (ж) g со, 5, если я = 0,■

g (Л, х, 5, р) = *

g (Л, х, 5, р) = *

/(Л, х (Dorn (ж) — 1), р), еслихgFn (Л) и .Dom (ж) geo —{0}.

Результирующий строго определимый функтор А второго рода удовлетворяет для почти всех А и произвольных £ g л (Л), р g g Л”, s g w уравнениям

h (Л, 0, g, р) = g,

h (Л, s + 1, g, р) = / (Л, h (Л, s, g, р), р).

По IV.3.18 верхняя грань h (Л, s, £, р) для s «< со принадлежит А для почти всех А и произвольных £ g л (Л), р g Лп. Эта верхняя грань и является требуемым критическим числом.

Выполнимость аксиомы множества-степени и аксиомы

подстановки

В этом параграфе будем предполагать, что В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.0) — (В.4) из III.2 иг — целое число, определенное функцией В. Везде, где возможно, будем опускать индекс В и будем писать, скажем, С^ (а) там, где следовало бы по правилам писать С® (а). Мы хотим показать, что любой конечный набор аксиом ZF является истинным в СЯ(Л) («) Для почти всех А и произвольного а из Str (Л) ).

Для почти всех А и всех а из Str (Л) аксиома множества-степени истинна в Сп^ (а).

Доказательство. Определим функтор с помощью формулы

/ (Л, а, у) = min {ц < л (Л): у = С^ (а)}.

По IV.3.19 и V.3.1 этот функтор строго определим. По IV.3.18 отсюда следует, что для почти всех А и произвольных а из Str (Л), х g А супремум sup {/ (Л, а, у): у g ж} принадлежит А. Выберем

теперь в качестве х множество Р (С^ (а)) П А, которое принадлежит А для почти всех А, произвольных £ Е л (Л) и й Е Str (Л). Получаем, таким образом, ординал у < л (Л), такой, что если £, т] < < л (Л) и Ся (a) G С^ (а), то существует ординал т)' < у, для которого С^ (а) = С^ (а).

Отсюда следует, что множество Z = Р (С^ (й)) f| СЯ(А) (а) содержится в Св(?) (а).

Теперь можно завершить доказательство, используя технику, развитую в П.З. Обозначив через Hi формулу (х^ [(ж2 €^i)-> (^Е^о)!, мы можем представить Z в виде

{уЕСб(у)(«): Нс6 (т)Я1 [у, Cg (и)]}.

Таким образом, Z является сечением (см. П.З)

ЗнЛСбт^, «О, Сг^.

Выберем теперь предельный ординал X между 6 (у) и л (Л). Так как множество Сб(х) (и) является предикативно замкнутым и содержит в качестве элементов множества Сб(т) (и) и С^ (и), оно содержит также сечение Z. Таким образом, Z является элементом множества Ся(А) (я), и теорема 2.1 доказана.

Пусть Н— формула, такая, что 0, 1 Е Гг (Н); для почти всех А и произвольного а Е Str (Л) аксиома подстановки (VIH), соответствующая формуле Н, истинна в С^д^а').

Доказательство этой теоремы основано на той же идее, что и доказательство теоремы II.ЗЛ. Так как результат, установленный в 2.2, является одним из наиболее важных инструментов нашей будущей теории, то приведем все доказательство подробно. Прежде всего дадим канву доказательства, разбив его на три части. В первой части покажем, что для почти всех А, для всех а Е Str (Л) и для любого ординала а < л (Л) существует ординал у -< л (Л), такой, что если £ < а и существует элемент ц Е л (Л), который удовлетворяет условию

(*)Нся(А>(а)Я[С? (й), Сч (й)],

то существует также ц < у, удовлетворяющее тому же условию.

Во второй части мы предполагаем, что £, ц < у, и преобразуем (*) в

h Сх (а) Н [С6 (й) , Сп (й)] ,

где X — ординал в л (Л), зависящий от А, а, у и Н, но не зависящий от £, т]. Это преобразование позволяет нам представить множество, которое является образом Са (а) функции, определенной в Сп (Д) (й) посредством Н и, возможно, посредством некоторых параметров как сечение в подходящем Сх.(й) (см. П.З для определения сечения).

В последней части доказательства используем предикативное замыкание множества Се а+ш> (а), чтобы заключить, что указанный выше образ принадлежит СЯ(а> (а).

Ясно, что это доказательство является почти полным повторением доказательства, данного в II.3.1, но с универсумом У, замененным на Л. Главным достижением является, конечно, не просто существование ординалов у и X, а неравенства у < л (Л) и X < < л (Л), которые гарантируют, что мы остаемся в универсуме Л.

Приведем теперь доказательство в деталях. Прежде всего определим функтор /:

/(Л, a, L р) = min {ц < л (Л): Нсл(Д)(а)Я [«О, С^^, (1,С^а)» Up]}.

Здесь и далее р является последовательностью с областью определения Fr (Я) — (0, 1} — Z и со значениями в Л.

Для каждого транзитивного Л и произвольных £ £ л (Л), рЕ Л2, очевидно, имеем / (Л, а, ^,р)^А. Мы хотим показать, что функтор / является строго определимым. С этой целью достаточно представить условие ц = / (Л, а, £, р) в виде

ЬаК [{(s, ц), (t, £), (q, a)} U pl,

где К является формулой со свободными переменными xs, xt, xq, xit i^Z.

Из V.3.3 известно, что для почти всех А и произвольных х € А, а £ Str (Л)

х £ СЛ (А, (а) = НА Konstr [х, а].

Мы можем предположить, что свободными переменными формулы Konstr являются хс, xq и что ни одна из переменных, входящих в Н, не входит в Konstr. Ограничим теперь все кванторы формулы Н следующим образом: квантор (ж,) I. . .ж, . . .] заменим на (ж,) {Konstr (ж,, Xq) ->[... Xj . . .]}, где формула Konstr (ж,, хд) получена из Konstr подстановкой переменной xj вместо х0 всюду, где хт свободно входит в Konstr.

Формула Н', полученная из Н таким образом, имеет на одну свободную переменную больше, чем Н. По (2) легко заметить, что для почти всех А и произвольных а из Str (Л), р из [Ся <а> (a)IZ’ £, ц £ л (Л) истинна следующая эквивалентность:

VaH' [{(0, С^а)), (1, С^а», (q, a)} Up] =

^пи^Я№ С^аУ), (1, Cn(a))}Up].

Отметим теперь, что функция С^ (а) равномерно определима, и, следовательно, существует формула F с тремя свободными переменными, скажем xw, xs, xq, такая, что

Нд F [{(w7, х), (з, £), {q, а)}] = х = С^ (а) для почти всех А и произвольных ж £ Л, £ £ л (Л), а € Str (Л).

Можно предположить, что F и Н не имеют общих переменных. Выберем целые числа т, t, и так, что ни xt, ни хи, ни хт не встречаются ни в какой из формул F и Н'. Требуемая формула К тогда есть

Ord (х8) Д (Ех0) (Ex,) {F fo, xs, xq) Д F (xq, xt, xq) Д

. Д H’ (xQ, Xi) Д (xm) (хй) [(xu 6 xs) A

A F ^Хт1 Xu, Xq) > 1 H (^Oi ^m)! )-

Записывая эту формулу, мы использовали обычный способ указания подстановок, выполненных в формуле. Например, Н' (х0, хт) означает формулу, полученную из Н' подстановкой хт вместо х^ Свободными переменными формулы К являются xq, xs, xt и переменные Xj с j С Z.

Из (3) и (4) легко усмотреть, что для почти всех А и для а из Str (И), ^, т] g л (Л) и р Е [СЯ(А) (a)]z формула (1) эквивалентна равенству т] = / (А, |, р). Строгая определимость /, таким образом, установлена.

Теперь, используя теорему IV.3.18, найдем, что для почти всех А и произвольных р Е [СЯ(Д) (a)]z, а из Str (А), а из л (Л) супремум 0 = sup {/ (Л, |, а, р): £ < а} принадлежит А. Следовательно, у = б (0) принадлежит А для почти всех Л и у = у (Л, а, а, р) — строго определимый функтор второго рода (мы полагаем у = 0, если любое из условий а Е л (Л), а Е Str (Л), р Е [След, (a)lZ не выполняется).

Предположим теперь, что в А истинно столько аксиом ZF, сколько необходимо для того, чтобы значения функтора у принадлежали А. Обозначим конъюнкцию этих аксиом через Хо. Тогда из определения / очевидно, что если а Е Str (Л), а Е л (Л), р Е [След, («)lZr | С а и существует ординал, удовлетворяющий условиям т] < л (Л) и

Ься(А)(а>Я[{(0, С^а)), (1, Сл«ир],

то также существует ц' С у, удовлетворяющий тем же условиям. Таким образом, первая часть доказательства завершена.

Доказательство второй части основано на теореме о рефлексии 1.1. В условиях теоремы 1.1 выберем в качестве М функтор СЯ(Д) (а) и в качестве / (в обозначениях 1.1) — функтор, значением которого является Сй^ (а). Таким образом, условия 1.1 будут выполнены и мы получим функтор h, такой, что для почти всех Л и а из Str (Л) функция £->Л(Л, а, £) является возрастающим и непрерывным отображением л (Л) в л (Л); более того, если X = h (А, а, X) > О и |, т] < X, р Е ICea, (a)lZ, то (5) эквивалентно

Нс6 а) (а)Н [{(0, Сх (а)>, (1, Сл (a))} U Р1-

Обозначим через Xi конъюнкцию конечного числа аксиом ZF,

истинность которых на А влечет, что h имеет указанные выше два свойства.

Завершим теперь доказательство. Предположим, что А — транзитивное множество и что аксиомы Хо и Xt истинны в А. Пусть а £ Str (Л) и р € [СЯ(Л, (a)]z. Необходимо доказать, что формула

<х0) (Я! хО Н -> (с) (ЯЬ) (хО {(ж, 6 Ь) = (Ех^) 1(ж0 € с) Д Я]}

выполняется в СЯ(Л) (а) при фиксированном р. Мы, очевидно, можем предположить, что антецедент, таким образом, выполняется, и, следовательно, для каждого В в л (Л) существует точно одно т] < л (Л), такое, что (5) истинно. Пусть с = Са (а); тогда для каждого £ < a существует т] < у (Л, а, а, р), для которого (5) истинно.

Выберем теперь ординал X, удовлетворяющий условиям

a < X = h (Л, a, X), р £ (бед) (»)1Z, ? (Л, a, a, p) < X.

Существование X следует из 1.2: существуют сколь угодно большие критические числа для К.

Для каждого ^ < а единственное Сч (а), удовлетворяющее (5), может теперь быть охарактеризовано как единственное С^ (а), удовлетворяющее (6) и неравенству ц <; X. Отсюда следует, что множество

6 = {Cn(a): (Яж)((жес)ДНСя(А)(а)Я [«О, х), (1, С^ (a))} Up])} равно множеству

{у€Сб<х>(а): НСб(Х)(а)Я*[{<1, у), (n, с)} Up]},

где хп — переменная, не встречающаяся в Я, и где Я* — формула (Ех0) [(ж0 € хп) Д Я]. Последнее множество является сечением множества DH* (Сб(Х) (а)), определяемым последовательностью {(n, с)} U Р (см. П.З)1). Так как сечение вида SF (СМ) (a), s), где F — формула и s — последовательность, члены которой принадлежат Сба> (а), является элементом Сбсх+а» (а) (см. II.4.12), мы заключаем, что b— элемент Сб<х+о» (а) и, следовательно, СЯ(А) (а). Таким образом, аксиома (VIH) истинна в А. Теорема 2.2 доказана.

Вводя небольшие изменения в доказательства теорем 2.1 и 2.2, получаем аналогичные результаты для множеств СЯ(А) (Т (А, р)) (ср. V.4). Сформулируем эти результаты в виде теоремы 2.3.

Если Т — строго определимый функтор, такой, что для почти всех А и всех р в А" множество Т (А, р) является транзитивной последовательностью длины ^ л (Л), то аксиома множества- степени истинна в СЯ<А) (Т (Л, р)) для почти всех А и всех р € Л".

г) В § П.З мы предполагали, что формула, которая определяет сечение, имеет свободную переменную х0. Эта переменная здесь заменена на х^

Если Н—формула и {0, l}sFr(#), то аксиома подстановки, соответствующая И, истинна в С„(А) (Т (А, р)) для почти всех А и всех р £ Ап.

Существование моделей

Из теорем, доказанных в § 2, можно получить ряд следствий о существовании различных типов моделей.

Если В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О)— (В.4) из III.2 (стр. 46), и А—модель теории ZF, то моделью ZF является также С®(А) (а) для каждого а £ Str (А); аналогично C®tA) (Т (А, р)) является моделью ZF при условии, что Т — строго определимый функтор, значения которого являются транзитивными последовательностями длины ^ л (А).

Доказательство. Аксиомы (I) — (IV) истинны в C„(A) (а), согласно теоремам 11.1.1—1.4 и III.3.3—3.4. Аксиомы (V) и (VI) истинны в С®(А) (а) по 2.1 и 2.2. Аналогично вторая часть следует из 2.3.

Если К — конъюнкция конечного числа аксиом теории ZF и В—равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.4), то конъюнкция К истинна в C®tA> (а) для почти всех А и всех а в Str (А). Это же верно для C®tA) (Т (А, р)) при условии, что Т — строго определимый функтор и его значениями являются транзитивные последовательности длины ^ л (А).

Доказательство такое же, как для 3.1.

Основным в теореме 3.2 является то, что с каждым конечным множеством аксиом ZF мы можем связать другое, возможно большее, конечное множество аксиом ZF, такое, что для каждого транзитивного множества А и каждой последовательности а в Str (А) исходные аксиомы истинны в CntA> (а) (т. е. в Konstr (А, а)), если только последние истинны в А.

В III.3.8 мы доказали существование моделей ZF, которые имеют любую наперед заданную мощность ^ Хо, и в III.3.7 мы доказали, что для любого В, удовлетворяющего (В.О)—(В.4), существует произвольно большое х, такое, что С® (а) является моделью ZF.

Результаты, полученные в гл. III, не позволяли нам ответить на вопрос, существует ли для данной функции В модель вида С®(а), где а — некоторая транзитивная последовательность их — ординал указанной мощности. На этот вопрос можно будет ответить только теперь. Нам потребуется следующая лемма, представляющая и самостоятельный интерес.

Если В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О)—(В.4) (см. III.2), и а — транзитивная последа-

вателъностъ, такая, что а £ Кв (а), то - х £ Кв (а) -> Нкв(а) KonstrB [ж, al

для каждой формулы KonstrB, которая определяет функтор KonstrB.

Доказательство. Пусть х — элемент Кв (а). Тогда х = = Cl (а), где £ — ординал. В Ш.3.7 мы доказали, что существует транзитивное подмножество А множества Кв (а), такое, что а и £ принадлежат А, и А является элементарной подмоделью Кв (а). Так как функция KonstrB равномерно определима и £, а являются элементами А, мы заключаем, что х = С® (а) £ KonstrB (Л, а) и, следовательно, |— А KonstrB lx, al. Теперь мы используем тот факт, что А — элементарная подмодель Кв (а), и получим Нкв№ KonstrB [ж, al.

Лемма 3.3 устанавливает то, что Гёдель [6] назвал «абсолютностью Ld. Свойство х, заключающееся в том, что он есть элемент Кв (а), можно выразить формулой Ну KonstrB lx, al; лемма 3.3 показывает, что это свойство также можно выразить формулой Н KB(o)KonstrB lx, а]. Таким образом, оно остается справедливым при ограничении V до возможно меньшего универсума Кв(а). Теперь можно доказать следующую теорему.

Пусть В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О)—(В.4) из IIL2. Если а — транзитивная последовательность и а £ Кв (а), то для каждого алефа *) v ^ Dom (а) существует ординал и, такой, что | С® (а) | = v и С^(а) = Кв (а); таким образом, в частности, С® (а) является моделью ZF. Конструкция может быть устроена так, что а £ С^ (а). •

Доказательство. По III.4.6 кардинальным числом множества v J U Rg (a) U {«} является v. Так как это множество содержится в Кв (а), мы можем применить теорему Лёвенгейма — Сколема 1.5.1 и получить множество М мощности v, такое, что

v U U Rg (a) U W S М < Кв (а).

Из 3.3 и основных свойств элементарных подмоделей получим

Н м KonstrB [ж, al для всех х £ М.

Пусть h, — уплотняющая функция, которая Отображает М на транзитивное множество А (ср. 1.6.1). Из 1.6.3 мы знаем, что h отображает каждое £ в себя и каждое а^ в себя; следовательно, 7i((£, а^)) = = (Е, а^ для каждого § в Dom (а) и, значит, Н (а) = а. •

х) То есть ординала, не равномощного никакому меньшему.— Прим. ред.

Отображая (1) при помощи изоморфизма К, находим, что для всех х £ А

‘HAKonstrB [ж, я],

следовательно, х£ Konstr5 (Л, а) = С®(А)(я). Это доказывает, что И^СЯ(а)(я).■,

С другой стороны, каждое С^ (я) (£< л (Л)) является элементом А потому, что функция ^(а) равномерно определима. Это доказывает, что Св(Я(А))(я) = Ся(а)(я) s А. Следовательно, А = = Ся (А) (я)• Таким образом, требуемой моделью является Л, потому что ее кардинальное число равно | М | = v и а £ А.

Теорема 3.4, несмотря на то, что она представляет интерес, не подходит в качестве. основы доказательства независимости, потому что модель Св (а), построенная в 3.4, является элементарно эквивалентной Кв (а). Если, например, а £ Кв (0), то модель, построенная в 3.4, удовлетворяет условию Св {а) = Кв (0) (ср. V.5.2). Таким образом, чтобы получить из 3.4 модель, не являющуюся элементарно эквивалентной Кв (0), необходимо сперва решить проблему отыскания я, не принадлежащего Кв (0), или по крайней мере показать совместность существования такого а с аксиомами, на основе которых базируется все наше обсуждение. Позже мы изучим другой метод построения моделей вида Св (я), которые не являются элементарно эквивалентными Кв (0).'

Минимальные модели

Согласно 3.4, для любой транзитивной последовательности а существует минимальный ординал ц (я) = а > Dom (а), такой, что семейство С^ (я) является моделью теории ZF. Для краткости будем обозначать это семейство через М (я). Мы хотим установить следующий факт.. ’

' 4.1. Если а — транзитивная последовательность, то М (я) — минимальная ^транзитивная) модель ZF, которая содержит а в качестве элемента..■

Доказательство. Из определения следует, что М (я) является моделью ZF, а из V.5.6, что а ^ М (я). Пусть теперь X — некоторая (транзитивная) модель ZF, такая, что а £ X. Из 3.1 ясно, что Св^ (я) является моделью ZF, которая — снова по V.5.6 — содержит а в качестве элемента. Следовательно, ц (я) ^ л (X) и, таким образом,■

Af (я) = Су (о) (я) с Сп (X) (я) S X.

Это и доказывает теорему..'

Можно спросить, является ли использование функции 5Z существенным для построения минимальных моделей, содержащих данную последовательность а. Мы увидим в гл. XIV, что существуют последовательности а, такие, что ц (а) = ц (0), но С^о) (а) не содержат а. Таким образом, для произвольного а мы не получаем минимальной модели, содержащей а, если заменяем операцию В2 на В0. Однако в частном случае а = 0 мы можем заменить В2 произвольной равномерно определимой функцией, удовлетворяющей условиям (В.0)— (В.4).

4.2. Если В — равномерно определима и удовлетворяет условиям (В.0)—(В.4), то С^ (0) = М (0).

Доказательство. Так какМ (0) — модель, она содержит все ординалы, меньшие ц(0) (ср. III.4.4). Используя 3.1 при А=М, таким образом, находим, что С®(0) (0) является моделью теории ZF. В силу минимальности М (0) эта модель равна М (0).

Теорема 4.2 показывает, что М (0) является абсолютно минимальной моделью в том смысле, что она содержится в любой транзитивной модели ZF; в такой модели должен, очевидно, содержаться 0 и, следовательно, М (0) г).

Несколько интересных свойств минимальной модели М (0) установил Коэн [11], который показал, например, что обобщенная континуум-гипотеза истинна в М (0). Позже он доказал, что это не обязательно должно быть в случае моделей вида М (а), где а — подходящая транзитивная последовательность. Мы изучим это доказательство в гл. XIII.

Начиная с абсолютно минимальной модели М (0), мы можем определить возрастающую трансфинитную последовательность моделей теории ZF. Для этого выберем Мо = М (0) и Ма = С®^ (0), где ср (а) — такой наименьший ординал X, что Cf Z (0) есть модель ZF, отличная от всех предыдущих М^. Существование ординала X с такими свойствами следует из 3.4, так как эта теорема устанавливает существование моделей ZF, имеющих вид Cf Z (0) и содержащих объединение всех М^, где £ < а.

Мы также можем построить подобную последовательность, состоящую из моделей, которые содержат в качестве элемента данную последовательность а.

*) Минимальная модель М (0) была впервые построена Коэном [11], который установил ее свойства и применил их для доказательства, что большой класс моделей не может быть использован для доказательства независимости аксиомы выбора. В этой связи см. также Шефердсон [32]. Марек и Онышкевич показали в [17], что не существует наименьшей модели для аксиом, полученных из ZF добавлением, скажем, отрицания аксиомы выбора. Они также исследовали несколько других вариантов ZF, которые не имеют минимальных моделей.

Следует отметить, что эти последовательности упорядочены при помощи обычного отношения включения, а не отношения -< элементарного расширения.

Приведенные выше замечания можно сделать более ясными, если воспользоваться специальным языком, восходящим к Такеути [28], который для каждой транзитивной модели теории ZF определил ее высоту и ширину. Высота модели М это просто л (М), т. е. первый ординал, не принадлежащий М. Таким образом, модели Ма (0) имеют возрастающие высоты.

Ширина моделей определяется, к сожалению, не так просто, как высота. Чтобы ее определить, отметим, что каждая (транзитивная) модель М теории ZF может быть разложена на «слои» М П Яр где t пробегает значения по ординалам, меньшим чем высота М. Мы берем семейство М Q Rs в качестве меры ширины М на ^-уровне. Таким образом, натуральные модели Ra (см. II.2.4) имеют максимально возможную ширину на каждом уровне. Абсолютно минимальная модель имеет минимальную ширину на каждом уровне. Из всех моделей данной высоты % модель С®2 (0) имеет наименьшую возможную ширину каждого уровня.

Ширина модели на данном уровне может зависеть от ее высоты. Так, например, если Мй (0) — абсолютно минимальная модель и Afi (0) — непосредственно следующая за ней модель в построенной выше последовательности Ма (0), то ширина Mt (0) на уровне со + 1 больше, чем ширина ЛГ0 (0) на том же уровне. Аналогично ширина М2 (0) больше, чем ширина М^ (0), и т. д. Вопрос о том, когда именно это увеличение ширины на уровне со + 1 в нашей последовательности моделей остановится, является достаточно тонкой проблемой, которую мы здесь обсуждать не будем.

В гл. VIII—XII мы столкнемся с другим вопросом подобного характера: как увеличить ширину модели на данном уровне без увеличения ее высоты. Этот вопрос играет фундаментальную роль для некоторых проблем независимости.

Глава VII

СОВМЕСТНОСТЬ АКСИОМЫ ВЫБОРАИ КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗЫ

В настоящей главе мы докажем два знаменитых результата, восходящих к Гёделю [4]. Они указаны в названии главы. Доказательство будет проведено, как в книге Гёделя [6]: мы убедимся, что аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза истинны в подходящих моделях ZF вида Кв (а).■

Аксиома выбора

Запишем эту аксиому на языке теории ZF, для чего сперва введем несколько обозначений, которые дадут нам возможность сокращать слишком длинные формулы...

Пусть Dis (ж) и Sei (ж, и?) — формулы вида:'

Dis (ж): (^у) (у Е я) Д (z) [(z Е ж) (Яу) (у £ z)] Д

A (z) (0 {[(z Е ж) д К е ж) д (z Ф i)l -^ и \Е^ Ку Е z) Д (у Е 01}. Sei (ж, zy): (z) ((z Е ж) (Еу) (t) {[(< Е z) Д'К Е »)] = (# = у)}).

- Смысл этих формул ясен из следующей леммы. ■

Если А — транзитивный класс и a, b Е А, то

г-д Dis [а] = (а является непустым множеством, состоящим из непустых попарно не пересекающихся множеств'),

Нд8е1 [а, Ь] = ^для каждого с из а пересечение с П b содержит точно один элемент).

Назовем множество Ь, удовлетворяющее условию, записанному в правой части (ii), селектором множества а.

Аксиому выбора можно теперь записать в следующем виде:

АС: (ж) [Dis (ж) -> (Ew) Sei (ж, щ)1.

Из этой аксиомы и 1.1 следует, что

Если А — транзитивный класс, то (—дАС тогда и только тогда, когда для каждого а Е А, являющегося непустым множеством попарно не пересекающихся множеств, существует селектор Ь, такой, что b Е А.'

Теперь можно доказать результат, приведенный в § III.5.

Если модель Л теории ZF обладает тем свойством, что для каждого s в Л существует функция f Е А, отображающая множество ординалов на некоторое множество s' г з, то |—дАС.

Доказательство. Пусть а — непустое множество, принадлежащее множеству Л, состоящее из попарно не пересекающихся непустых множеств. Объединение s = U « принадлежит А (см. II. 1.3). Следовательно, в А имеется множество s' as и функция /, отображающая множество ординалов на s'. Множество

g = ((х, и) 6 а X s: (и 6 ж) Д (у)ж (/-1 (и) < /-1 (у))} принадлежит А, потому что в Л параметрически определимо бинарное отношение, такое, что элементы х и и из А находятся в этом отношении тогда и только тогда, когда (ы £ ж) Д ^и)х (Д1 (и) ^ /-1 (у)). Для каждого ж из а существует точно один элемент и £ ж, такой, что /-1 (и) является наименьшим ординалом множества {/-1 (у): у £ ж}. Следовательно, g является функцией и Im (g, а) является селектором а. Так как Im (g, а) £ А, теорема доказана.

Отметим одно следствие из этой теоремы.

Если А — модель ZF и F — взаимно однозначное отображение А в л (Л), параметрически определимое в А, то аксиома выбора истинна в А.

Доказательство. Пусть з — некоторый элемент А. Следующее множество "упорядоченных пар

/ = F-1 | Im (F, з) = {(и, у) е Im (F, s) X s: F (у) = и),

очевидно, является отображением множества ординалов Im (F, з) на множество з. Более того, / принадлежит Л, так как F параметрически определима в А. Следовательно, по 1.3 аксиома выбора истинна в Л

Теперь мы можем строить модели теории ZF, в которых истинна аксиома выбора.

Если В удовлетворяет условиям (В.0)—(В.6) из III.2—III.4 и а — произвольная транзитивная последовательность, mb аксиома выбора истинна в Кв (а). Она также истинна в Св (а) при условии, что Св (а) является моделью теории ZF и а — транзитивной последовательностью с областью определения ■< а.

Доказательство. В III.5.3 мы показали, . что Кв (а) и Св (а) обладают приведенным в 1.3 свойством.

Замечание. В теореме 1.5 нам ни в каком виде не нужна определимость функции В.

Чтобы проиллюстрировать конкретное применение теоремы 1.5, выберем S=SZ иа = 0и тогда по 1.5 получим пример модели, в которой истинна аксиома выбора. Следовательно,

Аксиома выбора совместна с ZF.

Эту теорему впервые доказал Гёдель в [5].

Если В удовлетворяет только условиям (В.0)—(В.6), тогда, как мы увидим в гл. XIV, аксиома выбора не обязательно истинна в каждой модели вида Св (а). Здесь мы обсудим условия, которые обеспечивают истинность аксиомы выбора в таких моделях.

Во всех последующих теоремах мы предполагаем, что В является равномерно определимой функцией, которая удовлетворяет условиям (В.0) — (В.4). Для каждого А мы определяем отображение Л в л (Л):

Ods (Л, а, х} = min {^ < л (Л): х = С® (а)}.

Таким образом, Ойв(Л, а, ж) есть наименьший ординал £< < л (Л), такой, что х является ^-м конструктивным множеством.

Очевидно, если А — модель ZF и а — некоторая конкретная последовательность, то функция f (х) = О4В(Л, а, х) отображает Сл<А>(°) в л (Л) и является взаимно однозначной. Следовательно, если мы покажем, что / параметрически определима в С®(А) (а), то по 1.4 получим, что аксиома выбора истинна в модели СВ(А) (а).

Функтор Ods строго определим.

Это является результатом строгой определимости функтора л и равномерной определимости С® (а) (см. IV.3.11 и V.3.7).

Из определения Od следует, что

Для почти всех Л, если а С Str (Л) и х, у — различные элементы С® (А) (а), то Ods (Л, а, х) Ф Ods (Л, а, у).

Из теорем 1.7 и 1.8 можно теперь получить критерий

Если А — модель теории ZF и а — транзитивная последовательность, принадлежащая как А, так и С^цА>(а), то аксиома выбора истинна в С® 1А) (а).

Доказательство. Положим А' = Сд са> (°)- Следовательно, А' является моделью ZF, а £ А' и, значит, по теореме 1.8 функция /, определяемая равенством

/ (ж) = OdB (Л', а, хУ •

является взаимно однозначным отображением Л' в л (Л) = л (Л'). По 1.7 это отображение параметрически определимо в Л'. Следовательно, из 1.4 получаем теорему 1.9.

Совершенно аналогично доказательство следующей теоремы.

Если а — транзитивная последовательность, такая, что а £ К® (а), то аксиома выбора истинна в К® (а).

В частности, аксиома выбора истинна в Кв (0) и в каждой модели вида Св.$\ Аксиома выбора также истинна в Кв (а) и в каждой модели вида Св (а), если последовательность а получена из последовательности Q, которая принадлежит Кв (0) или Св (0), путем добавления к ней конечного числа членов (см. V. 5.4).

Вспомогательные функторы

В оставшейся части этой главы рассматривается обобщенная континуум-гипотеза. Сформулируем ее и докажем, что она истинна в некоторых моделях Св (Д) (а) и Кв (а).

Прежде чем перейти к предмету нашего изучения, мы вынуждены ввести ряд вспомогательных функторов и отношений.

Определение 1. Для произвольного класса А и элементов а, 6 £ А скажем, что а А-вложимо в Ъ, если в А существует взаимно однозначная функция / с областью определения а и с областью значений, содержащейся в Ь. Будем записывать это в виде | а | ^ д | Ъ |.

Определение 2. М (A, a) = min {£ С On1. И (| £ | ^д | а ])}.

Существование М (А, а) следует из хорошо известных теорем теории множеств. Здесь мы не утверждаем, что М (А, а) £ А.

Для почти всех А отношение ^д является рефлексивным и транзитивным. Кроме того, если at £ A, at с а и | а | ^д | Ъ |, то | aY | ^д | b |.'

Доказательство. Почти все множества А замкнуты относительно суперпозиции функций и содержат с каждым а тождественное отображение а на себя.

Для почти всех А и а £ А, если ц < Н С М (А, я), то ц £ ехс(л, а).~

Доказательство непосредственно получается из 2.1.

Определение 3. Для произвольного отношения R, линейно упорядочивающего некоторое множество с а, обозначим через Num (R, а, ^) единственную функцию, такую, что Num (R, а, Е) является первым элементом х £ а, следующим за всеми элементами Num (7?, а, ц), ц < £, при условии, что такой элемент существует; в противном случае Num (7?, а, 5) = а (термины «первый», «следующий» и т. д. относятся к упорядочению 7?).

Num является равномерно определимой функцией.

Доказательство. Применим теорему о трансфинитной индукции V.I.2. Возьмем в качестве С класс всех ординалов On,

в качестве р — отношение ^ в On, в качестве Y — функцию трех переменных У (Л, a, Xs), значением которой является а, если либо R не является линейным упорядочением подмножества а, либо х не является функцией, либо не существует первого элемента Dom (R), который следует за всеми элементами Rg(x). В противном случае Y (R, а, х) является, первым таким элементом.

Равномерно определимая функция X, для которой выполняется равенство

X (R, а, ^ = Y (R, а, X | ({Л} х {а} X ^)), является тогда требуемой функцией Num.

Функтор М (Л, а) является строго определимым функтором второго рода.

Доказательство. Для R, а £ А и хЕ Dom (Я) принимаем

g (Л, R, а, х) = min {^ < л (Л): Num (R, а, £) = ж), h (Л, а) = sup ^g (Л, R, а, х): (х Е Dom (Л)) Д

A (R ЕЛ П Р(а X а))}.

Оба эти функтора являются строго определимыми функторами второго рода (см. IV.3, примеры 18,19). Мы утверждаем, что /1(Л,а) = = ^ (Л, а) для почти всех А и произвольных а £ А.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что если £ Е X (Л, а), то существует функция / в Л, вкладывающая £ в а. Отсюда следует, что для почти всех А существует отношение R ^ а X а, принадлежащее А и упорядочивающее свою область определения по типу £. Следовательно, для каждого ц < £ существуют элементы х из области определения R, для которых Num (R, а, ц) = х и, значит, sup {g (Л, R, а, х): х Е Dom (Л)} ^ £. Отсюда следует, что h (А, а) > £ и, значит, h (Л, а) > ^ (Л, а).

Если £ Е h (Л, а), то существует отношение упорядочения R с областью определения at s а, такое, что R Е А и для некоторых х Е Dom (Л) выполняется условие g (Л, R, а, х) ^> £. Отсюда следует, что существует отношение, которое вполне упорядочивает некоторое подмножество множества а по типу £; это отношение Rt получается из R ограничением его области определения на элементы, которые предшествуют х. Следовательно, Rt ЕЛ, если множество А замкнуто относительно операции ограничения отношения на множество. Теорема 2.4 доказана.

Теорема 2.4 и ее доказательство являются повторением простых фактов элементарной теории множеств. Нам потребуются также подобные переформулировки некоторых теорем, относящихся к элементарным свойствам кардинальных чисел.

Для почти всех А, если о ^ ^ Е л (Л), то | ^-2 | ^А | £ | (см. V.2.2)..

Доказательство. Каждый бесконечный ординал может быть представлен в виде юч-п + р, где р < юч. Следовательно, £•2 = &ч. 2п + р.

Теперь определим отношение И с областью определения £ -2, такое, что ординалы между юч-2п и юЧ-2п + р образуют начальный сегмент £ -2 относительно 7? и ординалы < юч -2п — его конечный сегмент. Тогда функция Num (7?, £, а) =ф(а), а<юч-2п, устанавливает взаимно однозначное отображение юч-2п на £-2. Так как 7?, очевидно, принадлежит А для почти всех А, мы находим, что ф £ Л и qj-1 £ А. Это доказывает, что | 5*2 | ^А | юЧ.2п |.

Используя лексикографическое упорядочение пар (X, ц), где X < шч, р < 2п, мы точно так же доказываем, что | ©ч -2п | ^

I соч •« | и, следовательно, ] ^-2 | ^л | юч«п | ^А | £ |.

Используя аналогичные методы, мы можем также доказать, что

Для почти всех А, если г < со ^ £ < л (Л), то 1^1 ^д Сд 1Г-Г |<Д IU

Доказательство этого факта является более сложным, и мы не будем здесь его приводить, потому что суть теоремы (так же как и двух предыдущих) достаточно очевидна: из элементарной теории множеств известно, что если £ — бесконечный ординал, то £ и имеют одинаковую мощность. Этот факт может быть выведен из конечного числа аксиом, и, следовательно, он истинен для почти всех А. Таким образом, почти каждое А содержит взаимно однозначную функцию, которая отображает £п-г на £. Таким же образом мы могли бы доказать теоремы 2.4 и 2.5, но так как непосредственные их доказательства оказались не слишком длинными, мы предпочли поместить их.

Чтобы закончить эти вспомогательные исследования, докажем еще один результат, который нам потребуется в § 5.

Если а — транзитивная последовательность, £ — бесконечный . ординал ^> Dom (а) = а и X — конечное множество, то для почти всех А, которые содержат в качестве элементов а, X, £,

| X и Dom (а) и Rg (а) и и а и а и ? I ^д I ? I-

Доказательство. Множество а содержит упорядоченные пары (£, а^. Множество U« содержит неупорядоченные пары {£, а^} и одноэлементные множества {С}. Таким образом, U я может быть представлено как объединение Pi J У2, где Vj — множество одноэлементных множеств и F2 — множество неупорядоченных пар.

Последовательность а является отображением Dom (а) на Rg (а); это отображение не обязательно является взаимно однозначным отображением, но мы можем достаточно просто преобразовать его во взаимно однозначное отображение некоторого подмножества Dom (а) на Rg (а), исключая из а те пары (£, а^, для которых существует ординал ц < £, удовлетворяющий равенству а^ = а^. Полу-

ченная функция

а' = {(я, я) £ я: q (Ет])и (<1], и) £ я)} принадлежит А для почти всех А. Таким образом, I Rg (a) I Са IDom (я) |<А | g |.

Рассматривая функции

{(я,

U)

): я £ Dom (я)},

{<Я,

{я,

p}): (и, v) E я}

{и,

(я,

v)): U, я) € я}

которые также принадлежат А для почти всех А, мы убеждаемся, что | a Ka I В I, I ^ I <а I В I, I ^2 Ka I В I- Очевидно, что | X U В I ^а I В I и, наконец, получаем, что для множества s = = X|JRg(a)UUaU«UBU Dom (я) выполняется формула I s I ^а I В *6 |. Учитывая 2.5, заключаем, что | s | ^А | | | для почти всех А. .

Формулировка обобщенной континуум-гипотезы

Как и в § 1, начнем наше обсуждение обобщенной континуум- гипотезы, предварительно сформулировав ее на языке теории ZF. Формулы, которые мы здесь должны получить, намного сложнее полученных в § 1. К счастью, нет нужды выписывать все эти формулы точно. Для многих из них достаточно знать, что они определяют некоторые строго определимые функторы в том смысле, как это было объяснено в гл. IV. Следовательно, можно выбрать произвольную формулу, определяющую эти функторы. Если строгая определимость некоторого функтора была доказана, то существование его определения уже обеспечено и мы просто заметим, что выбираем одно из этих определений. Здесь удобно обозначать строго определимые функторы теми же буквами, что и функторы, но напечатанными жирным шрифтом, как это было сделано в гл. IV.

В записях сокращений, приведенных ниже, будем предполагать, что z, / — целые числа и k = I + / + 1, р = z + 1, q = i + 2, г = z + 3.

Fn, (жг): Fn Ui) Д (жр) Uq) Ur) {l((^P, xq) £ xt) A

Д ^p, XT) E *i)l -> Uq = ^r) };

Xi e xp Uh) l(^h E Xi) -> Uh E Xj)l;

I xt | < \xj j: (Exk) [Fnt Uh) A (dl Uh) = хг) A

A (dp Uh) — ж,)];

Sc Ui, X])-. Ord Ui) Л Я (I Xj | < | xt I) Д (жр)[(жр 6 Xj)-*

(I Xp I < I Xi I)];

I to I ^ I Xi |: (Exp) (Exq) [(жд 6 жр) /\ Lim (жр) Д

.Л (I Xp К I xt I)];

G (xty. Ord (x^ A (xp) (xq) {Sc (ж^., жр) Д (жг)[ (xr 6 Xq) =

.= (-И — ж01 —*" (I xq I ^ I xp 1)}-

В оставшейся части настоящей главы мы будем, как в гл. I, ослаблять некоторые правила записи формул и заменять переменные xt произвольными буквами.

Обозначения в (i)—(vi) выбраны так, чтобы сделать эти формулы как можно более удобными для чтения. С методологической точки зрения, однако, наш выбор обозначений является нежелательным. Формула, подобная, скажем, | xt | ^ | xj |, является объектом, зависящим от двух чисел i, /, и естественно, что символом для такого объекта должна быть буква с двумя индексами, т. е. Рц. Такое обозначение, хотя оно и менее удобно при чтении, было бы намного удобнее при выписывании метаматематических утверждений, особенно тех, в которых мы сталкиваемся с отношением выполнимости. Например, нАРц [а, Ы является более удобным обозначением, чем

(*)На (I xt I < I xi I) la, Ы.

Чтобы улучшить положение, примем такое соглашение: выражение (*) перепишем в виде н А | а | ^ | b | и будем применять аналогичные очевидные соглашения и для других формул.

Приведенная ниже лемма объясняет смысл формул (i) — (vi).

Для почти всех Л и произвольных а, b £ А верны следу тощие эквивалентности

На ка^^ = ^аг 6);

На Eni [а] = (а — взаимно однозначная функция);

На(1« К |Ь 1)^(1 а 1<А |Ь I);

На Sc la, b] = (b < л (Л)) Д (b = X И- «)):

На 6? [а! = (а < л (Л)) Д (6) [(6 = X U, а)) (М П Р (а) |<а

^а I b |)1.

Доказательство этой леммы достаточно простое и нет необходимости приводить его полностью.

Под обобщенной континуум-гипотезой мы понимаем формулу

GCH: (ж) [Ord (ж) Д (| © | ^ | ж |) -> G (ж)].

Заметим, что так же просто сформулировать специальные случаи континуум-гипотезы. Они все имеют вид (ж) [О (ж)->- G (ж)], где О (ж) — формула, описывающая ординал. Например, если мы хотим сформулировать обычную континуум-гипотезу, выберем

в качестве О (ж) формулу

О0 (х): (£z) (z £ ж) Д Lim (ж) Д (у) (z) {[(z € у) Д (у € х)1 ->

-> И Lim(у)}, определяющую со в почти всех множествах А. Чтобы записать гипотезу, которая на обычном языке теории множеств записывается как 2Х1 = Хг, выбираем в качестве О формулу (Еу) (О0(у) Л Sc (у, х)], и т. д. Так как число формул счетно, можно, таким образом, выразить не более чем счетное число случаев континуум-гипотезы.

Достаточное условие истинности обобщенной

континуум-гипотезы

Примем следующее теоретико-модельное определение.

Для каждого класса А скажем, что континуум-гипотеза истинна в А для ординала |, если £ £ On П А и Н aG 111-

Таким образом, истинность обобщенной континуум-гипотезы эквивалентна утверждению, что континуум-гипотеза истинна в А для каждого бесконечного ординала £ в On П А..

■ Сформулируем достаточное условие того, чтобы континуум- гипотеза была истинной в А для ординала £.

Если А — модель теории ZF, со ^ £ < л (Л) и ф — взаимно однозначное отображение А в л (Л), параметрически определимое в А и обладающее свойстовм (х £ Р (£) П Л) -> | ф (х) | ^д | £ |, то континуум-гипотеза истинна в А для £.'

Доказательство. ОбозначимР (£) П А через z и ХМ» £) через ц. Мы должны показать, что z Л-вложимо в гр

По условию теоремы каждый элемент Im (ф, z) является ординалом, Л-вложимым в £ и, следовательно, < г) (см. 2.2). Таким образом, Im (ф, z) содержится в г) и, так как отображение ф является взаимно однозначным и параметрически определимым в Л, z является Л-вложимым в Т].

Конструкция моделей, в которых истинна континуум-гипотеза

В этом параграфе намечается в общих чертах метод построения моделей, в которых выполняются условия теоремы 4.1 для всех или для некоторых ординалов. В результате обсуждения сформулируем некоторые вспомогательные проблемы, от решения которых будете зависеть успех нашего построения. Эти проблемы будут решены в § 6 и 7; в § 8 мы сможем завершить построение.

В настоящем параграфе будем считать, что .Л —модель ZF, В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.0)—(В.4), и а — транзитивная последовательность, принадлежащая А и С^а) (я)- Обозначим С^д-, (а) через А'.

Нам известно из VI.3.1, что А* — модель ZF, и из 1.7—1.8, что

функция ф (я) = OdB (Л', а, х), отображающая А' в л (Л), является, взаимно однозначной и параметрически определимой в Л'. Единственный параметр, встречающийся в определении ф, есть а; мы вынуждены потребовать а £ Л', чтобы быть уверенными, что параметр принадлежит А'. Естественно возникает вопрос, удовлетворяет ли функция ф условиям 4.1, т. е. отображает ли она множество А' П Р ^ в У[ (Л', |)? Мы покажем, что это имеет место, когда го ^ | < л (Л) и | Dom (а) | Сд' I £ I-

Посмотрим теперь, как можно было бы доказать это утверждение. Выберем произвольное множество Ъ в А', которое является подмножеством множества |; таким образом, b = С® (а). Необходимо вычислить минимальное 0О, такое, что Ъ = С^а), и показать, что | 0О I ^д' ^л, | | | или (это то же самое), что Ро < X (Л', £)•

Для этого рассмотрим множество

s = £ и Rg (я) U {а, ^} U а U и а и Dom (а),

которое, очевидно, принадлежит А'. Из 2.7 мы знаем, что

I s I <Д' I I I-

Из V.3.4 легко вывести, что если Р — формула

Р\ (х) (Sy) [Ord (у) Л constr® <х, У, z)J, то

На' Р ы.

Чтобы показать это, отметим, что А' является моделью ZF и а £ € А'; значит, если х имеет вид С® (а) и | < л (Л), то по IV.3.11 и V.3.4 получаем На' Ord [|] и На' constr® [я, |, а]. Так как для каждого х £ А' существует | < л (Л) = л (Л'), такое, что х имеет вид С® (а), то мы получаем (1).

Главный шаг в нашем доказательстве заключается теперь в том, чтобы найти множество тп*, удовлетворяющее следующим условиям:

s G тп* 5. А',

тп* — транзитивное,■

.| тп* | ^ || |, ,

Hm* Р t®L

заданный конечный список аксиом Кл, . . ., Кг теории ZF истинен в тп*.-

Если множество тп* с этими свойствами может быть найдено для произвольных аксиом К^, . . ., КТ1 то нетрудно показать, что для ф выполняется условие 4.1 и, следовательно, что континуум-гипотеза истинна в А' для |. Чтобы заметить это, зафиксируем аксиомы К^, . . ., Кт, как в V.3.4, и выведем из (3), (5), (6), что для каждого элемента тп* существует ординал а £ тп*, такой, что х = С® (а).

Из 6 £ s по (2) следует, что Ъ можно представить в виде Сд (а), где а £ т*. Из транзитивности т* следует, что а s т*, значит, | а | s — a' I ^ I п0 (4). Из ср (Ь) = ро ^ а мы получаем ф (&)<К (А', £).

Каковы теперь шансы найти т* с требуемыми свойствами? Если мы сможем найти множество т £ А', удовлетворяющее условиям

I т | А. | £ |, s s т < А',

то проблема нахождения требуемого множества т* будет сведена к простому вопросу об уплотняющей функции, определенной в 1.6.

Предположим на время, что мы нашли т С А', удовлетворяющее (7). Сжимая т, как описано в 1.6.1, мы найдем множество т*, которое, очевидно, будет удовлетворять условию (3). Так как а не изменяется при сжатии любого множества, содержащего s (см. 1.6.3), мы прямо из (7) получим (5) и (6). Наконец, из (7) мы также сможем получить (2) и (4), поскольку можно показать, что уплотняющая функция для множества т, которое принадлежит модели теории ZF, сама принадлежит этой модели.

К сожалению, изложенный выше план не может быть осуществлен, потому что мы не можем доказать, что элемент модели Л' является ее элементарной подмоделью.

Однако значительная часть нашего плана может быть осуществлена. Мы видим, что т не обязательно должно быть элементарным подмножеством Л'. В действительности нам нужно множество m ( Л', для которого s с пг, | ш | ^А> | £ | и которое удовлетворяет условию, что для одной формулы Н (конъюнкция Р и аксиом К^, . . . . . . , К^ эквивалентность

Нт Н [z] = На' Я [z]

истинна для каждого z С wiFr<H>. Назовем множество т, обладающее этим свойством, Н-элементарным подмножеством А'. Таким образом, успех нашего построения зависит от существования Н-элемен- тарных подмножеств данной модели А', которые, кроме того, Л'-вло- жимы в данный ординал.

Существование //-элементарных подмножеств модели будет доказано в § 7 по существу повторением доказательства теоремы Лёвен- гейма — Сколема, которая обсуждалась в 1.3. Мы вынуждены особо позаботиться о том, чтобы все построения, ведущие к требуемому множеству, могли быть выполнены внутри данной модели теории ZF (в нашем случае в Л').

Следующий параграф посвящен довольно простой проблеме, связанной с существованием уплотняющей функции в модели ZF. В § 7 мы вернемся к теореме Лёвенгейма — Сколема.

Определимость уплотняющей функции

В гл. I, § 6 было доказано, что для каждого множества т, в котором аксиома (I) (экстенсиональности) истинна, существует точно одна функция / (уплотняющая функция множества т), такая, что

j (jn,^ = 0, если т^ — минимальный элемент т, / (ж) = Im (/, ж Л m) для всех элементов множества т. Теперь мы хотим доказать, что эта функция / принадлежит А для почти всех А и произвольного т Е А.■

Из теоремы IV.4.2 (о функторах, определимых по трансфинитной индукции) заключаем, что существует -строго определимый функтор F второго рода с тремя свободными переменными, который для почти всех А удовлетворяет следующим индуктивным уравнениям:

F (Л, ш, 0) = 0,

F (Л, т, В + 1) = F (Л, т, В) U {(я, Im (^ (Л, тп, В), т П х)): zEm Г Н^ц-v — R^t

F (Л, т, X) = U {^ (Л, т, В): В < X}, если X g Lim (Л).

Эти уравнения верны для произвольных т £ А и В> ^ Е л (Л). Из строгой определимости F следует, что

Для почти всех А и произвольных т £ А, В Е л (Л) F (A, т, В) ЕЛ.

Имеется еще ряд свойств F (Л, т, В), верных для почти всех А.

F (Л, т, с F (Л, т, т]), В ^ Л- Более того, F (Л, т, В) является функцией с областью определения т Л R^.

Доказательство очевидно.

Для почти каждого А и всех т £ А, В € л (Л), если х Е т Л Л R^, то значением F (Л, т, В) для аргумента х является Im (F (Л, т, В), т- П я)-

Доказательство. Пусть ранг х равен а. Тогда а + 1 является минимальным индексом, таким, что х Е Да+ы и, следовательно, F (Л, т, В) является расширением F (Л, т, а + 1). Из определения F (Л, т, а + 1) заключаем, что требуемое значение равно

Im (F (Л, т, а), т Л х) = Im (F (Л, т, В), т Л xY

Для почти всех А и всех т £ Л, В Ел (Л), если т £ А Л -^ и аксиома (I) истинна в т, то F (Л, т, В) является уплотняющей функцией для т.

Доказательство. Пусть ф = F (Л, т, В). Из 6.3 следует, что (для почти всех Л) ф (ж) = Im (ф, х Л ?л), когда х Е т. Из того что для уплотняющей функции множества т выполняется то же самое уравнение и эта функция единственна, получаем требуемый результат.

Из 6.4 и 6.1 мы заключаем, что

Если А — модель теории ZF, т £ А и аксиома (I) истинна в т, то уплотняющая функция для т принадлежит А.

В 1.6 мы видели, что если s с т и s — транзитивное множество, то уплотняющая функция для т отображает каждый элемент множества s на себя. В частности, отсюда мы заключаем, что

Если а — транзитивная последовательность, £ ^.Оп и b S ^ то множество

{а, 6} U ? U Rg (») U U а U а U Dom (а) транзитивно и, следовательно, для каждого т, такого, что т г з, уплотняющая функция для т отображает каждый элемент множества s на себя.

Уточненная теорема Лёвенгейма — Сколема

В этом параграфе мы полагаем, что R (А, р) является строго определимым функтором первого рода и что для почти всех А и произвольного р £ Ап множество R (Л, р) является отношением, упорядочивающим А .1,

Повторим еще раз определение, введенное в § 5. Множество т^А является Н-элементарным подмножеством А, если для всех z g mFr <н>

НтЯ[г]^ НаЯЫ. .

Дадим другое определение, которым мы также будем пользоваться. Пусть / (Л, р, х) — функтор второго рода с 1 + п + к переменными, А — множество, р £ Лп. Будем говорить, что множество т £ А замкнуто относительно f (Л, р,-), если / (Л, р, х) £ £ т для произвольного х £ тк.■

Для каждой формулы Н существует конечное число строго определимых функторов второго рода ft (А, р, х), i = 1, 2, . . ., h, таких, что для почти всех А и произвольных р £ Ап и т £ А истинно следующее-..

или R (Л, р) не является отношением вполне-упорядочения множества А;

или т не замкнуто относительно fj (Л, р, •),]' = 1, 2, . . ., h;

или т является Н-элементарным подмножеством А.

Доказательство. Если Я является атомарной формулой, то выберем функтор fi (А, р, х) = х. Если Я есть ~] Hi или (а;г) Я1г где г $ Fr (ЯД, выберем в качестве Д, . . ., fh функторы, которые были связаны с Н^ Если Я есть Я4 Д Я2, то выберем в качестве /ь . . ., fh все функторы, которые были связаны с Я1; и все функторы, которые были связаны с Я2. Осталось рассмотреть случай, когда Я есть формула (xf) Hi, a xt свободно в Hv В этом случае к функторам, связанным с Hi, мы присоединяем еще один функтор, пусть

это будет функтор g, который имеет n + 1 + у аргументов, где q — число свободных переменных Н. Если х £ А51^, то в качестве g (Л, р, х) берется первый элемент у множества А, такой, что hA ~1 Hi [{(г, у)} U ж], при условии, что R (Л, р) упорядочивает А и такой первый элемент у существует; в противном случае полагаем g (Л, р, х) = 0. Из определения очевидно, что g является строго определимым функтором второго рода. Для почти всех А и для всех р, таких, что R (Л, р) вполне упорядочивает А, мы получаем, что если т £ Л, т замкнуто относительно g (Л, р, •) и z £ £ 77lFr<H>, ТО

НлЯЫ = (у)т HA^[{(i, у^ и 2].

По индуктивному предположению правая часть эквивалентна |— т Н [z] при условии, что множество т также замкнуто относительно функторов, связанных с Hv

Теорема 7.1 доказана.

Пусть fj,j = i, 2, . . ., h, — строго определимые функторы второго рода с 1 + и + г аргументами. Для почти всех А и всех р £ Л", s С А, С л (Л) существует в А множество mas, замкнутое относительно функторов fj (Л, р, •), / = 1, 2, . . ., h; более того, если | s | ^А I В I w <й с.^ то существует множество т, замкнутое относительно fj (Л, р, •), такое, что | т | ^А | £ |.

Можно считать, что один из функторов, скажем /^ определен следующим образом: Д (Л, р, xlt . . ., х^ = х^

Используем (обычную) индукцию и определим последовательность ф^:]■

' ф0 = 8, #+1= (J {/ДЛ, р, хУ лЕФь}-

Последовательность фг принадлежит А для почти всех А и произвольных р £ Лп, s £ Л. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся теоремой IV.4.2 о трансфинитной индукции, выбирая в качестве 8 (Л) множество го и в качестве R (Л) отношение ^, ограниченное на го. Пусть F — функция

если у = 0 или у не является последова-

F(A, р, s, у)=-F(A, р, s, у)=-.тельностью с Dom (у) С го,

F(A, р, s, у)=-

F(A, р, s, у)=-

U uaa, р, х): х£у(k)3i если у — последова

тельность с Dom (у)=^4-1 g го.

Так как функтор F строго определим, заключаем, что существует строго определимый функтор ф, такой, что:

ф(Л, Р, 8, 0) = 8,

ф(Л, р, 8, Л-[-1)= (J Uj(A, р, х\. х£^<А, р, 8, куу

Таким образом, для того чтобы выполнялось (1), достаточно взять фй = ф (Л, р, s, к) для к £ ю. Множество m = U {фг-' i < ю} замкнуто относительно j, (Л, р, •) и принадлежит А.

Отметим, что в силу выбора /t мы имеем фь с фь+1, что влечет за собой s с т.

Докажем теперь утверждение, относящееся к отображению ? на т. Чтобы получить этот результат, предположим, что з у= О, | з | ^А

I 6 I, и рассмотрим функцию, которая вкладывает з в ?. Для ? < ? обозначим через ф0 (?) элемент множества з, отображенный на ?, при условии, что такой элемент существует. В противном случае полагаем ф0 (?) = з0, где з0 — фиксированный элемент з. Функция Фо принадлежит А для почти всех А.

Рассмотрим также отображение a:?—>-?r-/i (см. 2.6), относительно которого мы можем предположить, что оно принадлежит А. Обозначим образ ? при этом отображении через (?<*>, . . ., ?(г\ /^- Функции, которые связывают ?<*) и Д с ?, являются элементами А для почти всех А. Теперь определим по индукции последовательность отображений <рг с областью определения ?, таких, что Im (срг, ?)= фг-, где фг- определены в (1). Отображение ф0 было определено выше; для i 0 полагаем

Фш (?) = /1Е+1 (Л, р, Фг (?»>), ..., фг (?<г>)).

По индукции доказывается, что если ? пробегает значения над ?, элементы фг (?) пробегают значения над фг. Из теоремы IV. 4.2 о трансфинитной индукции следует, что для почти всех А последовательность функций фг принадлежит А.

Теперь для ?i ^ ? < ? (i + 1) полагаем

Ф т = Фг (£ - ^) '

и получаем отображение, которое принадлежит А, имеет областью определения ?ю и областью значений U Фг = т. Следовательно, в А существует отображение ф ординала на т, так как | ?со | ^А ^А | ? | для почти всех А и ? 6 Л.

Отображение ф не обязательно является взаимно однозначным, но его можно слегка изменить так, чтобы оно стало взаимно однозначным. Мы просто примем

Ф = Ж м> 6 ф-- (р); Ж и> 5 Ф)}«

Эта функция является взаимно однозначной и имеет ту же область значений, что ф. Так как ф и ф-1 принадлежат А для почти всех А, мы находим, что | т | ^А | £ |.

Воспользуемся теперь теоремами 7.1 и 7.2, чтобы получить множество ттг, описанное в § 5. Будем и дальше пользоваться символом Л' для обозначения С^(А) (а).

Предположим, что Ло— модель теории ZF, а0 — транзитивная последовательность, а0^С^А(1)(а0) = А'1, <й<|<л(Л0), «ЕЛ', |s|^aJI|- Тогда для каждой формулы Н существует множество т^А'о, такое, что

sEm, |wi|CaJI|,

т является Н-элементарным подмножеством Л'.

Доказательство. Выберем в 7.1

S (Л, а) = Konstrs (Л, а) = С„ (л) (а),

R (Л, а) = {(и, v)£S(A, а^: OdB(A, a, u)^0dB (Л, а, и)}.

Элемент а играет роль параметра. Можно предположить, в случае необходимости, что R (Л, а) = О при а 5 Str (Л). Свяжем с данной формулой Н функторы /г (Л, а, х), как это было сделано в 7.1. Теперь возьмем в качестве А, которое до сих пор было не определено, семейство Л' = Сп(а0) (а0), где Ло—данная модель ZF. Мы также зафиксируем значение параметра а, выбрав для этого данную транзитивную последовательность а0, такую, что а0 6 Л'. Так как л (Л') = л (Ло), то S (Л', д0) = Л'. Более того, R (Л', а0) является отношением вполне-упорядочения в Л' (см. 1.8).

Теперь мы воспользуемся теоремой 7.2 и получим множество т £ Л', для которого выполняются условия (1), замкнутое относительно /, (Ло, а0, •). Так как R (Л', а0) вполне упорядочивает Л', то из 7.1 следует, что т удовлетворяет условиям (2).

Совместность обобщенной континуум-гипотезы

Мы теперь в состоянии с помощью теорем, доказанных в § 6 и 7, выполнить план, изложенный в § 5.

Пусть А — модель теории ZF, R — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.4), и а — транзитивная последовательность в А, такая, что а £ А* = 0®^^. Если £ — бесконечный ординал <л (Л), такой, что | Dom (а) | ^А' I £ I, тпо континуум-гипотеза истинна в А* для £.

Доказательство. Бегло повторим этапы, описанные в § 5. Для х £ А* полагаем ф (а;) = OdB (Л', а, ^. Так как ф параметрически определимо в А* (см. 1.7) и отображает Л' в л (Л') взаимно однозначно (см. 1.8), из 4.1 видим, что достаточно доказать импликацию: если Ь 6 Р (?) П А', то | ф (6) | <А, | £ |.

Обозначим через s транзитивное множество

s = Rg(a) (J U a U « U I U {«, &} U Dom (а).

Из 2.7 мы получим | s | ^ Л'| £ |. Теперь обозначим через К^, . . . . . ., КТ конечный набор аксиом теории ZF, обладающих таким

свойством: если X — транзитивное множество, в котором эти аксиомы истинны, и х — транзитивная последовательность, х £ X и т] £ X П On, то (см. V.3.4)

С^х^Х,у = С® (ж) = h х constr5 Vy, Л. я] •

Мы можем предположить, что среди аксиом К} имеется аксиома (I) экстенсиональности. Так как А' — транзитивное множество, в котором все эти аксиомы истинны, и так как каждый элемент А' имеет вид С® (а), ц < л (Д'), то

На' -Р t®L

где Р — формула (х2) ^Ех^ (Ord (^) Д constr5 (ж2, хь х0)].

Обозначим через Н конъюнкцию Р и аксиом К^, . . ., ^.Используя теорему 7.3, получаем множество т £ А', такое, что

зет, | т | ^Az |^|,■

|—т Н [я] Г |—д/ Н [я].

Таким образом,

Нт Я [я],

потому что Я выполняется в А', если а £ А'.

Пусть теперь F — уплотняющая функция для т. Очевидно, что множество т* = Im (Р, тп) транзитивно. По 6.5 F является элементом А' и, следовательно, тп* € Д'. Так как F взаимно однозначно, то | тп* | ^д- | g |. Наконец, F (я) = я, так как я £ s, s — транзитивное множество и, значит, ио 6.6 F является тождеством на s. Так как F является изоморфизмом, получаем по (1), что Нт* Я [я], и, следовательно, аксиомы К^, . . ., КТ истинны в тп* и при я в тп* выполняется формула Р. Отсюда мы заключаем, что каждый элемент множества тп* имеет вид С® (я), где ц £ тп*.

Рассмотрим теперь элемент Ъ. Так как b S § и b £ s, уплотняющая функция F отображает b на себя. Следовательно, b g т* и, по приведенному выше замечанию, b может быть представлено в виде €® (а), т] £ тп*. Отсюда <р (Ь) ^ ц S тп* и, наконец, | <р (Ь) | ^д- | £ |. Теорема 8.1 доказана.

Если мы, в частности, возьмем я = 0, из 8.1 получим

Если А — множество, В равномерно определимо и удовлетворяет условиям (В.0) — (В.4) и А — модель теории ZF, то обобщенная континуум-гипотеза истинна в С®^ (0).

В следствиях 8.3 и 8.4 мы полагаем, что В — равномерно определима и удовлетворяет условиям (В.0) — (В.4).

Если множество А есть модель ZF, Q — транзитивная последовательность, принадлежащая С®^ (0) и а — транзитивная

последовательность, полученная из Q добавлением конечного числа элементов А, то континуум-гипотеза истинна в А' — Сд^ (а) для всех бесконечных ординалов £ < л (Л) при условии, что | Dom (0 | С <А' I £ I-

Если множество А есть модель ZF и В — функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.6) из III.2 и III.4, то для каждой транзитивной . последовательности а, принадлежагцей А, континуум- гипотеза истинна в А' = Сд^ (а) для любого бесконечного ординала Е < л (Л), такого, что | Dom (а) | ^д- | £ |.

Чтобы доказать 8.3 и 8.4, достаточно заметить, что по условиям этих теорем последовательность а является элементом А' и, следовательно, применима теорема 8.1. Следует отметить, что в 8.3 В может быть произвольной равномерно определимой функцией, удовлетворяющей условиям (В.О) — (В.4), тогда как в 8.4 необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла еще и условиям (В.5) и (В.6).

В последней нашей теореме построим собственный класс, в котором истинна обобщенная континуум-гипотеза.

Если В — равномерно определимая функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.6), и а — некоторая транзитивная последователъностъ, то континуум-гипотеза истинна в Кв (а) для любого бесконечного ординала £, такого, что Dom (а) Кв ^-вложимо в £."

Чтобы доказать это, заметим, что Кв (а) содержит элементарные подмножества вида CBW (а), содержащие а в качестве элемента (см. V.5.5 и Ш.3.7).

Приведенные выше теоремы дают нам различные примеры моделей, в которых континуум-гипотеза истинна для всех или для достаточно больших ординалов. Из факта существования таких моделей мы сразу же получаем известный результат Гёделя [4], [6]:

Конъюнкция аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипо- тезы совместна с ZF.

Аксиомы конструктивности. Заключительные замечания

Аксиома выбора, совместность которой мы доказали (см. 1.6), принимается большинством математиков как «истинная». Обобщенная континуум-гипотеза, как мы видели выше, также совместна, но многие математики относятся к ней с недоверием. Еще более сомнительными, но также совместными с. ZF являются гипотезы, известные под общим названием аксиом конструктивности.

Слабой аксиомой конструктивности является формула

С: (Еа) (х) (Еу) [Ord (у) Д Str (а) Д constrs (х, у, а)].

Она гласит, что существует транзитивная последовательность а, такая, что каждое множество конструктивно относительно а. Можно

сформулировать эту аксиому для любой равномерно определимой функции В, удовлетворяющей (В.О) — (В.4).

Сильная аксиома конструктивности, впервые введенная Гёделем [4], гласит, что каждое множество конструктивно относительно пустой последовательности 0:

С+: ^Еа^ (ж) (Еу') [Ord (z/) Л constr5 (ж, у, а) Д (z) и (z € а)].

Очевидно, что С следует из С+. Совместность С+ доказывается при помощи замечания, что эта формула истинна в С^^) (0), где А — любая модель теории ZF.

Аксиома конструктивности С+ имеет много поразительных следствий особенно в дескриптивной теории множеств (см., например, Гёдель [4], Аддисон [1], Новиков [35*]. Аксиомы конструктивности представляют собой, таким образом, удобный инструмент, с помощью которого можно устанавливать недоказуемость некоторых гипотез. Именно с этой целью аксиомы конструктивности и были введены Гёделем. Он не считал, что его аксиома выражает «истинное» утверждение, которое следует добавить к обычной аксиоматической теории множеств. Напротив, он настойчиво утверждал, что аксиома конструктивности, им сформулированная, «очевидно ложна», хотя и непротиворечива (см. Гёдель [5]).

Нелегко ответить на естественный вопрос, что означают слова «истинно» и «ложно» в приведенных выше замечаниях. Представители большого и важного направления в основаниях математики, так называемые формалисты, вообще отрицают возможность адекватного объяснения этих понятий. Они рассматривают математику как некоторую совокупность систем, аксиомы которых могут быть выбраны в значительной степени произвольно с единственным ограничением, чтобы из них не вытекало противоречие. С другой стороны, так называемые платонисты настаивают на том, что понятие истинности столь же осмысленно в теории множеств, как и в любой другой области знания. Сейчас не ясно, какая точка зрения получит окончательный приоритет. Нежелание большинства математиков включать такие гипотезы, как С или С+, в число аксиом теории множеств свидетельствует, по-видимому, о том, что простое отсутствие противоречия инстинктивно отвергается как достаточный критерий для приемлемости аксиомы. Однако, каковы положительные критерии — не ясно. В настоящий момент трудно сказать, будут ли аксиомы теории множеств в том виде, как они сформулированы сейчас, и в будущем служить базисом для теории множеств, или же они подвергнутся существенным модификациям, которые дадут возможность будущим математикам опровергать гипотезы, кажущиеся сегодня сомнительными. .

Глава VIII

СВОДИМОСТЬ МОДЕЛЕЙ

В этой главе мы обсудим в принципе метод Коэна [10], [121, который позволяет построить новую модель N системы ZF исходя из данной транзитивной модели М. Эта модель N есть просто уже знакомое Сп(М) (а), где а — транзитивная последовательность. Если а произвольна, то N, вообще говоря, не является моделью ZF. Мы видели в гл. VI, что если а 6 М и если выполнены некоторые предположения относительно В, то N есть модель ZF (см. VI.3.1). Теперь обсудим случай, когда а не обязательно является элементом М, и сформулируем условия для а, гарантирующие, что N есть модель ZF.

Результаты, полученные на этом пути, являются важными, поскольку они позволяют строить модели, содержащие существенно новые элементы, никак не связанные с элементами исходной модели. Эти построения образуют базис для различных доказательств независимости.

Лемма о рефлексии

На протяжении этой главы будем обозначать через М фиксированную транзитивную модель ZF. Мы зафиксируем также функцию В, удовлетворяющую условиям (В.О) — (В.4) из III.2, и вместо С® (а) будем писать С^ или, если необходимо, С^ {а}.

Пусть П С М и П* с П. Следуя Коэну, будем называть элементы множества П условиями, а элементы П* — специальными условиями. Заметим, что П*, вообще говоря, не является элементом М. Если £ — к онечная последовательность ординалов £ С On8, то через С5 = С5 (а) будем обозначать последовательность {(г, Ce(i)): i С s}.

Определение 1. V (=С^М) (а)) сводится к М, если существуют: конечная последовательность а элементов модели М и функция Ф, область определения которой состоит из всех таких формул Н, что О Fr (Я) и Dom (а) П Fr (Я) = 0, и для каждого Н ее значением является формула Фн (где Fr (Фн) = Рг(Я) U{0) U Dom (а)), такая, что для произвольной последовательности ^ 6 л ^М^^

n Н [CJ = ^Е^уу* Н м ^н [{(0, л)} [J £ [J al.

Идея этого определения, как ее выразил Коэн, состоит в том, что вопросы относительно N сводятся к вопросам относительно Мх в левой части данной эквивалентности мы имеем некоторые свойства N, а в правой части — свойства М и ее элементов. Однако мы не можем выразить правую часть эквивалентности в таком виде, чтобы элементы а, В и П* удовлетворяли в М некоторой формуле, поскольку П*, вообще говоря, не есть элемент М.

Сводимость N к М является относительной с параметрами а. Эти параметры могли бы привести к значительному усложнению обозначений, если бы мы всегда указывали их явно. Чтобы упростить наш символизм, раз и навсегда условимся, что все формулы Н, используемые ниже, таковы, что 0 Fr (Я) и Dom (a) f) Fr (Я) = 0. Записывая отношение выполнимости для формул Фн, мы будем неявно подразумевать, что последовательность а включается в последовательность объектов, удовлетворяющих Фн.

Докажем сначала две простые леммы и затем выведем одну общую теорему, подобную теореме о рефлексии.

Если G есть функция из л (Л/) в л (Л/), которая параметрически определима в М то

X < л (Л/) -> sup {G (а): а < X} < л (Л/).

Доказательство. В ZF можно доказать, что существует верхняя граница для каждого множества ординалов, и потому эта теорема верна в М. Так как множество {G (а): а < X} принадлежит М, получаем нашу теорему.

Если F есть возрастающее и непрерывное отображение л (Л/) в л (Л/), которое параметрически определимо в М, то для каждого а < л (Л/) существует ординал х, такой, что а < х < л (Л/) u F (х) = х. -

Доказательство. Наименьшее множество X ординалов, которое содержит а и обладает свойством | g X -> F (В) £ X, является элементом М, так как все аксиомы ZF верны в М. Супремум sup X есть искомое х ). '

(Лемма о рефлексии). Если N сводимо к М, то для каждой формулы Н существует возрастающая и непрерывная функция FH; л (Л/) -> л (Л/), которая параметрически определима в М и обладает тем свойством, что если 0 < х < л (Л/), FH (х) = х и £ £ £ х^Щ, то

Н N Н [Cg] = Н с* Н [Cg].

Доказательство очень похоже на то, которое было в II.2.1. Для бескванторных Н положим FH (£) = £ и определим F_H = FH, Fh^h^ = FHt о FHy Доказательство того, что (1) сохраняется при переходе от Н к И Н и от Н^, Н2 к ^ Д Н2, такое же, как в II.2.1, и, очевидно, что FH параметрически определимо в М^ если FHt и РНг были таковыми. Итак, единственный случай, который мы должны рассмотреть, это случай формулы вида ^х^ Н, которую мы обозначим Н. Мы предполагаем, что n g Fr (Я).

Для л из П и £ из а^®)-!"} обозначим через р (л, £) наименьший ординал р, такой, что

Нм ^Пн ^ U {(0, л), (п, р)}1,

или 0, если такого р не существует.

Положим, далее,

a (a) = sup{p (л, I): л П Д | g aFrt®>-<n>},

если это число меньше л (Af); в противном случае a (a) = 0. Теперь определим по индукции функцию G следующим образом:

G (0) = а (0), G (a + 1) = шах (С (a), а (а + 1)) + 1,

■G (X) = sup{G (а): а < X},

где шах и sup должны быть заменены на 0, если правая часть соответствующего равенства ^л (Af).

Наконец, пусть FH. = FH»G.

Сначала обсудим вопрос об определимости FH-. Функция р параметрически определима в М. Чтобы показать это, заметим, что р = = р (л, |) тогда и только тогда, когда л £ П и когда лир удовлетворяют формуле

((р = 0) Д (р')я<м> Нм И ФПн [^ U {(0, л), (п, р')}]) V

V (НмФПн I? и {(0, Л), (п, р)}] Д (р')р Нм Пфпн [6 и «0, Л), (л, р')}]).

Поэтому а, а следовательно, и G параметрически определимы в силу общей теоремы IV.4.2г) об индуктивных определениях. Ввиду параметрической определимости G мы можем теперь применить лемму 1.2 и получим, что sup{C(|): | < X) принадлежит М для каждого X из М; следовательно, G удовлетворяет (2).

Аналогично a (|) = sup {а (а): а < £}.-

Теперь предположим, что £ € xFr<HZ), где FH- (х) = х >■ 0 (ср. 1.3).

Докажем эквивалентность (1) для формулы Н'. Если левая часть этой эквивалентности истинна, то

Hw ^[{(n, Ср)} U С^ для каждого р < л (Af).

Значит, то же самое верно для всех р < х, и, таким образом, получаем правую часть эквивалентности, используя равенство FH к*} = и.,

Предположим теперь, что левая часть эквивалентности ложна. Следовательно, существует такое р < л (ЛГ), для которого НП Н [{(п, Ср)} J C$L Используя определение 1, заключаем, что существует некоторое специальное условие л из П*, для которого

Н м Ф~|н 1{ ^0» л), (п, р)} J £1.

Отсюда по определению р (л, £) получаем

НмФ1я[{(0,л),(п,р(л,9)}и^]

и р (л, ^) < о (х) < FH. к*-} = х. Из (3) получаем

Н ^ —1 Н [{(п, Ср(я, J,)} U Cg], и мы можем, используя индуктивное предположение, заключить, что неверно -с^Н [{(«> Ср(Л, £)>} U С£] и, стало быть,

неверно |— с^Н' [С£].

Теорема 1.3 тем самым доказана.

Если N сводимо к М, то аксиома (VIH) верна в N для каждой формулы, И.■

Доказательство. Предположим, что ф: N -► N есть некоторая функция, параметрически определимая в N, и т £ N. Очевидно, Im (ф, т) £ N. Покажем сначала, что Im (ф, т) S С^, где р — некоторый ординал <л (Л/).

Пусть формула Н и последовательность параметров Са определяют ф:

С^ -^кС^) н^яца, со, &, СО} и Са\

^(.Ел)п*ЬА1{(0,л), <1, е>, (2,ц)}иа1.

Мы можем предположить, что х0 не входит в И. Для данных л, £, а обозначим через ц (л, 5, о) наименьшее ц, такое, что

НиФнЩО, л), <1, о, <2, n>} и а],или 0, если такого ц не существует, и определиму (а, о) = sup {т| (л, £, а): л 6 П Д g < а}.

Так как функция ц определима в М, имеем у (а, о) < л кМ).

Если т равно Сц и х £ т, то х = С^, где ^ < р, откуда ф (С^) = = С^, где Ц < у (р, ст). Таким образом, Im (ф, т) s Cg, когда р = о (р) > 6 (у (р,, а)). Мы можем зафиксировать Р < л кМ}, удовлетворяющее этому неравенству, так что ц < Р и Oj < Р для всех компонент а.

Теперь, согласно 1.3, получим некоторый ординал х, такой, что 0 < х < л (Л/) и выполняется следующая эквивалентность для всех х, у тз‘ С^:

у-N Н [{{1, х), {2, у)} U С^ Нсх Н [{<1,х>, <2, у» U CJ.

Чтобы завершить доказательство, положим Н' = (Ех^ [(^ С £ хр) Д Я], где р есть некоторое число, не принадлежащее Fr \ЁГ), и обозначим через Н* формулу, полученную из Н' подстановкой х0 вместо х2 во всех свободных вхождениях х3 в Н'. Получим

У € Im (ф, тп) = Нсх Н* [{<0, у), {р, т)) U СаА, откуда следует

Im (ф, т) = 8Н* (Ск, {<р, тп)} U Са).

Так как См € Сб<х+а» и множество Сб(Х+а» предикативно замкнуто, мы получим Im (ф, тп) € Cj(X+m) = N.

Истинность аксиомы степени

В этом параграфе используем метод, разработанный Соловеем [26], для доказательства того, что аксиома степени (V) выполняется в N ». В доказательстве мы будем пользоваться упрощенными обозначениями для последовательностей и будем писать, например, л, т, о вместо {<0, л), <1, т), (2, о)}. Связь между членами последовательностей, входящих в формулу, и их номерами всегда будет ясна из контекста.

Если N сводима к М, то аксиома степени (V) верна в N.

Доказательство. Пусть х = С^ £ N. Нам нужно доказать, что Р (х) f] N £ N. Основная трудность 'заключается в том, чтобы показать, что все элементы Р (х) f] N могут быть представлены в виде Ср, где р •< у при некотором фиксированном у •< л (М). Обозначим через Но и Hi формулы xt £ хг и (х3) [(х3 £ xt) ->- (х3 £ х2)1 и рассмотрим множество

8 = {<s, л0> € М; (s S п х ?)Л (л0 € П) Д (Еа),„М) F (о, ^, л0,в)}, где F (о, |, л0, s) есть конъюнкция условий

Нм Фи, 1^о, ст, ^],

(т)$ (л)п {<л, т) £ s = Нм Фн0 Ь, т, о]}.

Лемма. 5 ^ М.

Доказательство. Из определения следует, что’

x^S = (x^M fl (Р(Пх^)хП))Д

A (-Fn0)n (^МЛРШХЕ) (ж= <8, Ло» А (Ро)л(М) F (о, ^, л0, s).

» Этот метод подробно описан у Истона [8].

Эта эквивалентность показывает, что 8 содержится в множестве z = М (] LP (П х 5) X П], которое принадлежит М, и что 8 есть параметрически определимое подмножество z. Следовательно, 8 принадлежит М.'

Для (s, л0) е S обозначим через a (s, л0) наименьший ординал а, удовлетворяющий (1) и (2), и положим у = sup{a (s, л0): (s, л0) Е 5}. Поскольку a (s, л0) является значением параметрически определимой функции, мы имеем у < л (М). Докажем теперь, что если у s х и у Е N, то у = Ср, где р < у..

Пусть у г х, у = С^, тогда

НдЯДИшад],

и поэтому существует л0 из П*, такое, что

Нм Фя1 tnoi Л» 51 •

Пусть•

s = {(л, т) 6 П X £: Нм Фно 1Л> т> П1}-

Формулы (3) и (4) доказывают, что F (ц, £, л0, s) и, следователь-, но, пара (s, л0> Е 8. Значит, о (s, л0) <у и (1), (2) верны для о = = a (s, л0).

Покажем, что у = Са(5>Яо), т. е.

(z Е У) Са(3, ^,

(z€Ca(s, ло))^(г€у).

Доказательство (1). Пусть z Е У! следовательно, z £ х, z = Ст, где т < | (ср. III.3.3). Из Ня Но [z, у] мы заключаем, что существует л из П*, такое, что Нм Фяо [л» т> Л1 и, следовательно, в силу.(4) (л, т) £ s. Теперь используем (2) и получим Нм Фяо 1Л» т> ° (s> ло)Е откуда ввиду того, что л Е П*» С^ ^ Са^>я<)у Итак, (i) доказано.

Доказательство (И). Пусть z £ Са у, «о)- Из (1) получаем Са (g, щ) s е С^, так как л0 Е П*. Таким образом, z может быть представлено в виде Ст, где т < £. Так как z есть элемент Са (g „д), то, согласно определению 1, существует л из П*, такое,что j-м^но 1л» Ti ° (st ло)Ь и из (2) получаем (л, т) g s, откуда в силу (4) Нм®яо к» г> л! и z = Сх Е С^.

Теперь используем тот факт, что С$ с+ц» предикативно замкнуто, и получаем, что

р^ n N ={уес6т: h,Ht [{(1,у), <2, ж>}]} =

= {У Е С6(7): Н с^Щ [{(1, у >, (2, х) }]} =

= Shi(C6(7), {(2,х)}) !) принадлежит С6 s Ся (М) = N.

Строго говоря, мы должны были бы сначала заменить переменную at на ж0 в формуле Яр поскольку мы используем для определения сечений только формулы со свободной переменной х0 (ср. стр. 33).

Глава IX

ГЕНЕРИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ВЫНУЖДЕНИЕ;ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

В этой главе мы опишем одно понятие, введенное П. Дж. Коэном [101, которое позволит нам строить модели, сводимые к заданной счетной модели М. Новая идея, введенная П. Дж. Коэном, состоит в том, что он рассматривает семейство множеств N (р), каждое из которых есть кандидат в модели. Это семейство индексируется параметром р, который пробегает некоторое топологическое пространство Ж используется и теорема Бэра для выделения некоторого р, такого, что N (р) действительно является моделью. Элементы множества N (р) получаются из р единообразным процессом, а именно:

N (р) = {5( (р): t € Г},

где St суть некоторые функции и Т — фиксированное множество. Элементы множества Т являются параметрами, определяющими элементы N (р).

Понятие вынуждения, введенное Коэном, есть некоторое отношение между открытыми подмножествами пространства ^ и элементами множества Т. Пусть Н есть формула, например, с двумя свободными переменными; тогда мы скажем, что открытое множество U вынуждает Н при значениях параметров t^ i2, если для почти всех р из U формула Н выполняется в N (р) для множеств Stl (р) и Sl2 (р). Выражение «почти все» понимается в категорном смысле: некоторое свойство выполняется почти всюду, если множество точек р из Ж, не обладающих этим свойством, есть счетное объединение нигде не плотных множеств, т. е. принадлежит семейству 1 = 1 (^Г) множеств первой категории.

Коэновские идеи поддаются различным обобщениям и модификациям, но мы не будем здесь этим заниматься. Подход к вынуждению в терминах категорий Бэра разработан Рыль-Нардзевским (ср. [21]) и Такеути [27].

В этой главе мы определим понятие вынуждения и генерического множества в довольно общей ситуации, которая затем будет все более и более конкретизироваться.

Сначала мы приведем для дальнейших ссылок основные факты из общей топологии. Читателей, желающих более подробно ознакомиться с этим материалом, мы отсылаем к [9].

Вспомогательные топологические понятия

Топологическим пространством называется множество 37 вместе с семейством G подмножеств ^, которое удовлетворяет условиям:

если G* г G, то (J G' £ G;

если X, У £ G, то X Q У £ G‘,

О, 37 € G.

Элементы пространства 37 называются точками, элементы семейства G — открытыми множествами. Если {р} € G, то р называется изолированной точкой 37. Пространство называется дискретным, если все его точки изолированы.

Семейство В множеств называется (открытым) базисом 37, если О ^ В с G и каждое непустое открытое множество является объединением множеств некоторого подсемейства В. Если базис зафиксирован, то его элементы называются окрестностями.

Дополнения открытых множеств называются замкнутыми.

Для X ^ 37 мы обозначим через X (замыкание X) пересечение всех замкнутых множеств, содержащих X, и через Int (X) (внутренность X) — объединение всех открытых множеств, содержащихся в X.

Множество X регулярно, если X = Int (X).

Пространство, которое имеет базис, состоящий только из регулярных множеств, называется полурегулярным", сам базис называется регулярным.

Множество X ^ 37 называется всюду плотным, если каждая окрестность содержит точки из X.

Множество X называется нигде не плотным, если каждая окрестность содержит некоторую окрестность, не пересекающуюся с X. Эти понятия не зависят от конкретного базиса, выбранного в 37.

Примеры нигде не плотных множеств: X — X, где X — открытое множество; X — Int (X), где X — замкнутое множество.

Множество X, которое можно представить как объединение счетного семейства нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории. Семейство таких множеств обозначается / (371) или просто через I, если пространство фиксировано.

Семейство / является идеалом. С помощью аксиомы выбора показывается, что этот идеал сг-аддитивен.

Дополнение к множеству первой категории называется остаточным множеством. ■

Будем говорить, что пространство 37 удовлетворяет теореме Бэра, если каждое остаточное множество всюду плотно.

Достаточное условие, чтобы пространство удовлетворяло теореме Бэра, состоит в следующем: существует базис В, такой, что каждая убывающая последовательность окрестностей, принадлежащих этому базису, имеет непустое пересечение.

Будем говорить, что множество X обладает свойством Бэра, если существует открытое множество Л, такое, что X — Л £ I кЖ).

Здесь — означает симметрическую разность. Отношение X — У £ £ I называется конгруэнтностью по модулю множеств первой категории.

Произведения пространств. Пуств Т — некоторое множество, Жг — семейство топологических пространств, где i £ У, и Bt есть базис Жг kt € У)-

Обозначим через Ж = Р ^t декартово произведение множеств ter

Жц т. е. множество функций /, где Dom (/) = Т, удовлетворяющих условию f kt) £ Ж1 для каждого t из Т.

Для произвольного идеала J в Р (Т), содержащего все конечные подмножества Т, определим J-топологию в произведении пространств. Назовем J-кубом всякую функцию Ь, такую, что Dom kb) € J и b kt) € £ Bt для t £ Dom (6). J-куб b определяет семейство Ub точек p в произведении пространств, удовлетворяющих условию р kt) € b kt) для всех t из Dom kb).

Определим открытые множества в J-топологии как произвольные суммы множеств Ub, где b пробегает по всем J-кубам. Таким образом, мы можем выбрать непустые множества Ub в качестве окрестностей Ж.

Если J есть семейство конечных подмножеств Т, то J-топология называется тихоновской топологией на Ж.

Пример. Пусть X — дискретное пространство и пусть Жt равно X для t £ Т. Каждая окрестность U в пространстве-произведении определяется посредством некоторой непустой функции ф g Xs, где S s Т и конечно; U состоит из функций / € Хт, таких, что / 2 ф.

Если, в частности, X = {0, 1}, то каждая окрестность в пространстве-произведении определяется парой непересекающихся конечных подмножеств So, St множества Т и состоит из функций /, таких, что f kt) = t для t £ 8г = 0, 1). Очевидно, мы можем отождествить это пространство с Р кТ):);- таким образом, окрестность, определенная парой (So, St), состоит из множеств S s Т, таких что SoeS и S п Si = 0.

Отображение некоторого пространства в другое пространство называется непрерывным, если прообразы открытых множеств являются открытыми. Два пространства называются гомеоморфными, если существует непрерывное отображение одного пространства на другое, такое, что обратное отображение также непрерывно.

Гомеоморфное отображение Ж на себя называется автогомеоморфизмом.

То есть считать элементами пространства-произведения подмножества Т.— Прим. ред.

Оценки

Пусть ^* —топологическое пространство. Пусть Т — некоторое множество и Т* — множество всех конечных последовательностей, значения которых принадлежат Т".

Т* = {/: (Dorn (/) с <о) Д (Dorn (/) конечно) Д (Rg (/) г Т)}.

Пусть ^ есть отображение пар (Я, <) в Р (^Р), где t £ Т* и Н — формула. Мы предполагаем, что S'H- t определено тогда и только тогда, когда Dom (i) = Fr (Я).

Отображение ^ будет называться оценкой (или, точнее, Т-оценкой), если выполняются следующие условия:

Если эквивалентность Н' = Н" логически верна и Dom (/) = = Fr (Я') U Fr (Я"), то

S'H', t ] Fr(H') = S'H", t ] Fr(H").

Если Я' получается из Я подстановкой х, вместо хД) (где ;€Рг(Я) и ЦЕг(Я)) и Dom (£) = Fr (Я) —{/}, то

S'H, /и {<;,$>} = SrH,,t\j <<i, s>} Для всех s из Т.

ЕслиН=Н^Нг и t^6™, т0

S'H, t = S'Н\, t1 Fr(Hi) П S7^, t ] Fr(H2)*

Если H=aH' и i g ^ттдо^ tq

S'h,i = 5P—S'H-, t-

Если Я=(ж,)Я', tETPr(H'\ j^Fr(H'), to

S7 h. t = S'H*, t;

если j£Fr(H'), to

SrH.t= П S'H', tu{<), s>}*s£T

В ситуации, описанной во введении к этой главе, мы определим .^н, t как ^р: Нш Я [S, (р)!}, где St (р) есть последовательность {У» Sty) (р)): ;£Fr^)}. Однако некоторые теоремы могут быть доказаны для абстрактных оценок, не имеющих никакой связи с St (р).

Оценка ^ будет называться адекватной, если существуют функции GH с областью определения Т* и Мн с областью определения to X Т*, такие, что для каждой формулы Я, для всех t 6 ТР1<-1Г) и для каждого п из (о

GHlt — открытое множество и NH,n,t — нигде не плотное множество.

S'H, t — GH, t с (J NH,n.t-

пЕы

Мы предполагаем, что подстановка является корректной, т. е. что никакое свободное вхождение xj в Н не переходит в связное вхождение xt в Н'.

Таким образом, адекватные оценки суть такие, что множества S'нл удовлетворяют условию Бэра, причем открытое множество GHit, конгруэнтное S' нл п0 модулю множеств первой категории, а также последовательность нигде не плотных множеств, сумма которых содержит SrH,t ~ GHlt, определяются явно заданными функциями.

Замечание. Если мы примем аксиому выбора, то можно доказать, что все борелевские множества имеют свойство Бэра и если З'н-t — борелевское множество, то существуют функции G, N, удовлетворяющие (6) и (7). Таким образом, из аксиомы выбора следует, что каждая оценка, такая, что З^нл есть борелевское множество, является адекватной.

Для адекватных оценок можно ввести понятие генерической точки. Мы предпошлем этому определению две простые теоремы.

. Если теорема Бэра верна в 37 и Т не более чем счетно, то

37-и и U NH,n,t^O.

Н и «о (g jFr(H)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Суммирование J производится по счет- н

ному множеству всех формул. Так как два других суммирования производятся также над счетными множествами, мы заключаем, что вся эта сумма в целом нигде не плотна и, следовательно, по теореме Бэра не совпадает с 37.

Если рЕ 37—U (J (J NH.n.t и pES^H.t, где Н-фор- Н П <Ш ; g jFr(H)

мула и t^T™, то существует окрестность U точки р, такая, что U—^H.t^I-

Доказательство. Так как p^\jNH,n,t, мы заключаем из (7), что p^S^H.t— GH.t и, следовательно, pEGH,t> Таким образом, можно взять в качестве U любую окрестность р, которая содержится в GH.t-

После этих лемм мы можем ввести следующее определение.

Определение. Точка р из 37 называется генерической относительно данной Т-оценки S' i если для каждой формулы Н и каждого t из 7™ условие р £ S'H.t влечет, что существует окрестность U точки р, такая, что U — Унл € 1-

Из 2.2 следует, что все точки из^—(J (J J NH,n.t Haff n<<0 (gyFr(H)

ляются генерическими, откуда вытекает следующая теорема.

Если теорема Бэра верна в 37 и Т не более чем счетно, то для каждой адекватной Т-оценки в 37 множество точек, генерических относительно этой оценки, является остаточным и потому не пусто.

Отношение вынуждения

Пусть Ж — топологическое пространство, в котором верна теорема Бэра. Пусть П есть некоторое множество и л -> Un — отображение П на базис пространства Ж. Мы предполагаем, что есть некоторая адекватная оценка и сохраняем обозначения GH,t и Nn.n.tt введенные в § 2.

Отношение вынуждения определяется так:

ForcH (л, t^ = Un — S^H.t^I.

Таким образом, для каждого Н отношение ForcH есть бинарное отношение между элементами П и т,Рг(Н):

ForcH с П X TFr(H).

ГогсН1дн2 (л, i) = ForcH1(n, i|Fr(Hj)) Д ForcHe (л, i|Fr(H2)).

Это непосредственно следует из аддитивности I и определения оценок.

Если п С Fr (Я), то

ForC(Xn)H (л, t^ = (s)r ForcH (л, t J {(n, s)});

если n^t(H}, mo

Forc(Xn)H (л, 2) = ForcH (л, f).

Доказательство. Мы рассмотрим только случай, когда п£Гг(Я). Имеем

Ur — S'wiH, t = U Фп—З'н, «и(<п,«>})

по определению ^. Следовательно, если левая часть принадлежит Z, то это верно также для каждой компоненты суммы в правой части и правая часть 3.2 верна. Если правая часть 3.2 верна, то иД — — ^H,iU(<n.s>} € I Для всех з из Т. Для упрощения обозначений будем писать эту формулу в виде U — G3 £ I.

Так как U — Gs открыто и содержится в U — G3, мы получаем U — G$^I. Так как открытое непустое множество не принадлежит I, мы получаем U G G3 и U £ Int ф3\ Взяв пересечение по s, получим U.S f|Int (Gs). Этим доказано, что

U- П ^е s n Int Ф^ - П ^s с U (Int (Gs) ~ ^,), 8888

где JTS есть сокращение для ^н, <U(<n> s>}.

Используем теперь соотношения

Int (Gs) ^.S (Int (Gs) - Gs) U Фе ^s) U Фе G^,

которые показывают, что [J (Int (Gs) — ^s) € Z1). Следовательно, U— 8

— fl &&£!, и, таким образом, левая часть 3.2 верна,

Еогс-]Н(л, t) = ^) YUpC Un-* -|ForcH(p, 0].

Доказательство. Так как U„ — ^ -|Н t = Un f) Ун. <> заключаем, что если левая часть 3.3 выполнена, то Up f] ^H.t^I Для каждого р, такого, что Ua в Up. Отсюда следует, что Up—^H.t не принадлежит I, так как в противном случае Up — {Up f| ^H.t) U U (Яр— ^н,/) было бы в I.

Если левая часть 3.3 ложна, то U„ Q GH11 $ I. Выбирая p так, что Up s U я f| GH, t, получаем Up—GH, t = 0 и потому Up—^н, t^I •

Если n£&t(H), то"

ЕогС(еж„)н (л, Z) =

= (р)п {(Яр S Un^№ ф^п \фо г Up) Д Гогсн (о, t U «л,s)})]}.

Это следует из 3.2 и 3.3.

Имеет место следующая эквивалентность:

ГогсН1ун2 (л, t) = (р)п ((Яр s U„) -> (Еа)п{(Яа s Up) Д

Д [ЕогсН1(а, t | Ег (Я^) V ForcHs (a, t | Ег (Я2))]}).

Это следует из 3.1 и 3.3.

Если Up s Uя и Еогсн (л, t), то Еогсн (р, t).

Чтобы убедиться в этом, заметим, что подмножество множества первой категорий само есть множество первой категории. Отметим еще некоторые свойства отношения вынуждения, хотя они не будут непосредственно использоваться в наших построениях.

Если Н логически верна, то Еогсн (л, t) для произвольных л из П и t из 7Тг(Н); в частности, если Н2 следует из Н^ чисто логическим образом, то для произвольных л из П и t 6 Z^^1) U ft(H2) формула ГогсН1 (л, t | Ег (Я^) влечет ЕогсНг (л, t | Ег (Я2)).

Доказательство. Если Я логически верна, то .Унл = ^5 если Нг -э- Я2 логически верна, то

^Нь t|Fr(HO S ^не, t\PT(Ha)-

Можно показать, что теоремы, обратные к 3.7, вообще говоря, не верны.

Множество формул Н, которые вынуждаются любым л для любого t из Т^СЯ), замкнуто относительно обычных правил вывода и, таким образом, представляет собой обобщение множества логически верных формул. Свойства этого множества еще мало изучены.

Для счетного I.—Прим. перев.

Специальная оценка

Предположим, что каждой точке р из Ж и каждому t из Т соответствует некоторое множество St (р). Положим

N (р) = VSt (pY t € П

и определим для t ТТг11Г>

Жнл = кр"- Нn(p> Н [St (р)]},

где St (р) обозначает последовательность {(re, 8ци> (р)): п £ Fr (Я)}.

^, определенное в (i), является оценкой.

Это проверяется непосредственно.

■ Предположим теперь, что эта оценка удовлетворяет предположениям (6), (7) из§ 2, т. е. что адекватно и что теорема Бэра верна в Ж.

Если д7 определена посредством (i), р генерично относительно д7 и П* есть множество таких л, что р £ Un, то

V-NW Н [S, (р)] = (Ял)п* Гогсн (л, ty

Доказательство. Левая часть эквивалентна р £ д^нл, откуда, так как р генерично, следует, что существует лизП*, такое, что Еогсн (л, ty

Если существует л из П*, такое, что Еогсн (л, ty но левая часть 4.2 неверна, то отсюда аналогичным образом следует, что Еогс-]н (р, /) для некоторого р из П*. Возьмем а из П*, так что Ua s Un f] Up. Тогда

Ua — ^H.tEI И Ua— ^-^^1*

Так как д^н, t П -^Пн t = 0> получаем Ua£,I. Противоречие.

Применение вынуждения к построению моделей

Сравним теперь результаты, полученные в предыдущих параграфах, с результатами гл. VIII. Ввиду близкой аналогии между условием VIII.1.1 и теоремой 4.2 попытаемся вывести дополнительные условия для оценки д7 и пространства Ж, чтобы сделать теорему 4.2 идентичной условию VIII.1.1. На этом пути мы получим некоторую модель теории ZF.

Сначала выберем счетную модель М для ZF и некоторое топологическое пространство Ж. Каждой точке р О Ж поставим в соответствие трансфинитную последовательность а (р):

(Л): р -> а (р) т)

J) Здесь имеется непоследовательность в обозначениях: следовало бы писать: (Л): 90 -> 8, где 8 — класс всех транзитивных последовательностей.— Прим. ред.

так, чтобы выполнялись следующие условия:

Условие I. Последовательность а (р) транзитивна типа а0 < < л кМ\

Условие II. Пространство Ж полурегулярно ) и удовлетворяет теореме Бэра.

Условие III. Существуют множество П в М и отображение л ->■ U„ из П на регулярный базис Ж, такие, что отношение

л. < р = Up г Un

параметрически определимо в М гУ

Поскольку мы намерены в качестве St (р) этой главы рассматривать С^ (а) из гл. VIII, выберем в качестве Т множество л (ЛГ) и положим

S5 (р) = СР (а (р)) для £<л(М),

где В есть функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.4) из III.2. (Мы будем опускать, где возможно, верхний индекс В.) Пусть

gap = (р Е ж: Са (а (р)) е Ср (а (р))},

Зав = {РЕЖ: Са (а (р)) = Ср (а (р))} для а, 0 < л (М).

Условие IV. Существуют функции Gm, G^, N^, N№, такие, что для произвольных а, 0£л(Л?), п^ы и z = l, 2 множество G^ открыто, N® а р нигде не плотно и

ёав^^е у N^a,p,

3aP^G$S U N^a,p.

Это условие будет использовано для установления адекватности оценки

^н, 5 = {рЕ-^: Нся(М)(а(р))Я[С^(а(р))]},

где ^л(7И)Гг(Н).

Условие V. Предикаты вынуждения

Un — ^аб Е Д Un — Заб Е I параметрически определимы в М.

Оценка (1) зависит только от функции В, отображения (Л) и от высоты л (М) модели М и должна, собственно говоря, обозначаться

через jF^A. В следующей теореме мы покажем, что эта оценка является адекватной и, следовательно, существуют точки, генерические в соответствии с этой оценкой. Множество этих генерических точек будет обозначаться Gen (^), хотя обозначение Gen^^ (^Г) было бы более аккуратным. Подобно оценке (1) множество Gen (^Г) зависит только от высоты М, функции В и отображения (Л) х).

В дальнейшем будем рассматривать только оценку (1); в соответствии с этим мы упростим нашу терминологию и будем называть элементы Gen (^Г) просто генерическими точками Ж.

Пусть В — функция, удовлетворяющая (В.О) — (В.4), и пусть выполняются условия I — V. Тогда оценка (1) является адекватной (т. е. удовлетворяет условиям (6) и (7), определенным в § 2).

Доказательство. Если И — атомарная формула х0 £ х^ и | = {(0, а), <1, Р)}, то .^н.£ —^аР, и мы можем положить GH, Е. = G^p, Nn,H, j = N^a, р. Аналогично поступаем, когда Н есть формула х0 = xv Если Й есть формула xt С х3, где i #= /, то

^Н, {<i,a>, <1, р>} = ^хо£х1, {<0,а>, <1, р>},

и, таким образом, этот случай сводится к предыдущему. Аналогично рассматривается случай, когда Н есть формула xt = xj, i ^ j. Наконец, если Н есть формула xt g xt, то ^"н,5 = 0, и мы можем положить GH,^ = NH,n,^ = 0. Подобным образом, если Н есть формула X; = xt, полагаем GH,^ = ^", Nn,H,^ = 0. Итак, мы доказали, что для атомарных формул Н существуют функции GH, NH, такие, что GH,^ есть открытое множество, NH,n,^ нигде не плотно и

^н, $ — GH, g£ U ^н.л.р

Предположим, что эти факты установлены для формул Н и Н'.

Положим С-]Я $ = Int(^—GH, $) и А-]Н 0 ^ = ^ — Gh,0 —

— Int^—GH,^,^^Htn+itl = NH,nti.‘ Тогда G-|Hg открыто,

А-]Н n ^ нигде не плотно и .

^^Н, 6 ~ G-\H, 5 = ^н. x — V^ — Int (^"—GH, $)) =

= ^н. j — Ж — GH, $ — Int (^—GH, $) — GH, 5 =

= к^н. i — Gh.^^-NПн> m s 7V-]Hj m U U Nh. n. $ = U N пн, n, v

Таким образом, теорема верна для формулы ~\Н. Рассмотрим теперь конъюнкцию Н Д Н', которую для краткости обозначим К. Пусть ц £ л (Af)FlW, £ = т]|Рг(Я), £' = г] [Fr (Я'). Тогда

З^к. 11 = $7н. 6 А З^н-, 5'-

Определим Gx.^Gn.g П GH-, уиХ^п.^^н.п.^ U Кн'.'п, v Легко проверить, что GK14 открыто, МК>ПЛ1 нигде не плотно и

S'К. Ч ~ GK. п G U ХК1П,ц-п

Наконец, пусть <2 есть формула (х^Н. Если /^Ег(Я), то

S^Q.^S^H.^

и достаточно положить Gq,^ = Gh, g, NQ, п. ^ = ^н. п.^. Если 7 £Fr (Я), то

S' Q* 5 = А З^Н, 5~а«а£л(М)

где, как обычно, ^а = {(/, а)} U I. Полагаем GQ,^ = = Int(f|(GH, g-a)); тогда GQ,^ есть открытое множество. Осталось а

определить множества Яд,л,5. Пусть ал есть фиксированный пересчет всех элементов л (М), и пусть п :$; (п', п") есть взаимно однозначное соответствие между положительными целыми числами и парами неотрицательных целых чисел. Положим для п > О

Яд,271,£ = Ян, п', Е~аП”'

Nq, 271-1.6 — GH, ^ап — GH, s~ao

и, кроме того,

Nq.o, g = П GH,^a—Int ( П ^Н.^а)-аа

Таким образом, Яд, о, g нигде не плотно, поскольку пересечение A GH, ^а замкнуто. Множества Яд, 2n—1. 5 нигде не плотны, так как а

если X — открытое множество, то разность X — X нигде неплотна.

Наконец, Nq, 2П, 5 нигде не плотно по предположению индукции.

Легко видеть, что

3^. ^ — GQ,i = П З^н, V» — Int(A GH, g~a) = аа

= А З^н, g-a — A GH> 5"а — Яд, о, 6 G и (^Н, ^а — Gh, ^а) U Яд, 0, 6 = ааа '

= U [(^н, Е-а — GH, g-а) — IGh, Е^а—GH, g-'a)] U Яд, 0, 5 =

= U [ U Ян, n, Е^а U U Яд, 271-1. е! U Яд, о, g = а пп>0

= U Яд, 271, g U U Яд, 271-1, $ U Яд, 0, g — U Яд, n, J- П>0П>071

Тем самым доказательство 5.1 завершено.

При тех же предположениях, что и в 5.1, если р — генерическая точка Ж в соответствии с оценкой ^, то С^м) (а (р)) сводима к М и потому является моделью ZF.

Доказательство. Нам нужно проверить условие VIII.1.1. Пусть П* —множество {л: р £ UnY Докажем, что для каждой формулы Н отношение ForcH определимо в М таким способом, что одна и та же последовательность о параметров используется в определении ForcH для каждого Н.

Возьмем в качестве о последовательность, состоящую из П, из всех параметров, использованных при определении (в М-) отношения -< (ср. условие III), и из всех параметров, использованных при определении (в М) отношений вынуждения из условия V.

Из условия V следует, что если Н — атомарная формула, то отношение ForcH параметрически определимо в М и все параметры, использованные при этом определении, являются членами а.

Если Н и Н' обладают этим свойством, то таковы же формулы ~\Н, Н Д Н' и (х^ Н в силу.теорем 3.1—3.3. Эти теоремы показывают, как определить отношение вынуждения для сложной формулы, исходя из соответствующих отношений для простых формул. Очевидно, что эти определения не требуют параметров, не входящих в о.

Параметрическая определимость отношений ForcH (при фиксированной последовательности а параметров) может быть выражена посредством утверждения, что для каждой формулы Н, удовлетворяющей условиям 0 $ Fr (Я) и Dorn (о) П Fr (Я) = 0, существует формула Фн, у которой Fr (Фн) = {0} U Dom (о) J Fr (Я), такая, что для произвольной последовательности £ из л (.M^W и произвольного л из П

(*) ForcH (л, ^) = НмФн [{<0, л)} (J В U aJ.

Если мы теперь заменим выражение ForcH (л, Z) в 4.2 правой частью (*) и изменим обозначения так, чтобы t перешло в ^, а 5# в С^, то из 4.2 получим, что N (р) сводимо к М.

Теорема 5.2 доказана.

В предыдущем доказательстве мы установили один важный факт, который впоследствии будет постоянно использоваться и который мы сформулируем отдельно для дальнейших ссылок.

Если предположения 5.1 выполнены и Я — произвольная формула, то отношение ForcH параметрически определимо в М.

В следующих главах мы осуществим некоторое построение, для которого выполняются условия I — V. Наряду с М в этой конструкции останутся свободными три существенных параметра: пространство Ж, отображение (Л): р ->■ а (р) и функция В, определяющая множества С® (а (р)). Таким образом, мы будем, иметь достаточную свободу в выборе параметров для получения моделей с заданными свойствами.

Глава X

ПОЛИНОМЫ

В предыдущей главе мы свели проблему построения моделей к выполнимости условий I — V. Первые три из этих условий легко проверяются в каждом частном случае, так как они сформулированы с помощью очень простых понятий. Этого нельзя сказать об условиях IV и V, которые имеют дело с множествами

^ = <Р‘- С^а^С^а^,

Ja₽ = {p: С„ (а (р)) = Ср (а (р))},

где множества С„ (а (р)) определяются сложной трансфинитной индукцией, вид которой зависит от функции В и, кроме того, от исходной последовательности а (р).

Мы сведем условия IV и V к более простым, представив множества (1) как значения некоторых функций от аргументов а, 0 и от g^, jf^, где £, ц предшествуют а, 0 в подходящем частичном вполне-упорядочении. Таким путем выполнимость IV, V будет сведена к выполнимости этих условий для минимальных элементов в указанном частичном упорядочении. Функции, используемые для такого представления множеств (1), будут называться полиномами.

На протяжении всей этой главы мы предполагаем, что М есть счетная модель теории ZF, П g М, Ж — некоторое пространство и что выполнены условия I—III.

Полиномы

Пусть Ф — семейство всех функций, значения которых суть подмножества Ж и области определения которых содержатся в л кМ^. Таким образом,

Ф = (J Р (Ж^.

хел(М)2

Элементы Ф будем обозначать буквами е, /, . . . .

Полиномы, которые мы сейчас определим,— это функции от нескольких переменных, из которых одни пробегают Ф, а другие — л (М); значениями полиномов являются подмножества Ж. Определение полиномов проводится по индукции.

Функция трех переменных, из которых е пробегает Ф, а 5, ц пробегают л (АГ) и значение которой есть е (£, ц), есть полином. Областью определения этой функции является множество троек (е, £, ц), таких, что е ( Фи (£, ц ) находится в области определения е.

Если о: л (Af)n -> П есть функция, параметрически определимая в М, то функция / (|) = Ua^ есть полином. Область определения этого полинома есть л (Af)n.

Если / — полином от га переменных, пробегающих Ф, и от т переменных, пробегающих л (Af), то каждая функция, получаемая из / путем отождествления любых двух переменных, пробегающих Ф, или любых двух переменных, пробегающих л (Af), или путем перестановки любых двух переменных, пробегающих Ф или пробегающих л (Af), также является полиномом. Точно так же функция, получаемая из / добавлением некоторой переменной, есть полином.

Заметим, что область определения полинома, полученного отождествлением переменных из полинома /, может сильно отличаться от области определения / и может даже оказаться пустым множеством. Если, например, / имеет две переменные, пробегающие Ф, и три переменные, пробегающие л (Af), и если g получается отождествлением двух первых переменных, то область определения g состоит из четверок (е, ^, ц, £), таких, что (е, е, £, ц, £) принадлежит области определения /. ■

Добавление переменной, пробегающей Ф, ведет от функции /, скажем, от га переменных, пробегающих Ф, и т переменных, пробегающих л (Af), к функции от га + 1 переменных, пробегающих Фиш переменных, пробегающих л (Af), такой, что g (е, к, |) = / (е, £). Аналогично обстоит дело при добавлении переменных, пробегающих л (Af).

Если / есть полином, то таково же и дополнение /. Здесь дополнением / называется функция g с той же областью определения, что и /, и такая, что для всякого q из области определения /: g (q) = = ^ - / (qV

Если для i = 1, 2 функции /г суть полиномы от гаг переменных, пробегающих Ф, и mt переменных, пробегающих л (Af), то функция от rat + га2 переменных, пробегающих Ф, и mi + м2 переменных, пробегающих л (Af), задаваемая формулой

g (et, е2, ^ |2) = ft (еъ gt) f| /2 (е2, |2), есть полином.

Область определения g состоит из последовательностей (elt е2, It, |2), таких, что (еь |г) принадлежит области определения ft, г = 1, 2.

Если А есть функция от А переменных, параметрически определимая в Af, аргументы которой пробегают л (Af), а значения — подмножества л (Af), и / есть полином от га переменных, пробегающих Ф, и к + 1 переменных, пробегающих л (Af), то функция g,

заданная формулой

gke^= П ЦеЛЛ^Ь

еед® есть полином.

Область определения g состоит из последовательностей (е, £), таких, что для каждого ординала £. из А (£) последовательность (е, £, £) принадлежит области определения /.

Ясно, что если ф и ф — полиномы, то найдется полином, который на пересечении областей определения ф и ф имеет значения ф (е, £) U U ф (е, £), и аналогично для других булевых операций. Мы будем использовать для этих полиномов обозначение ф U ф или, в общем случае, ф о ф, где о — любая булева операция. В частности, будем использовать обозначение ф * ф для полинома Ж — [(ф — ф) U U (ф — ф)] и U ф (е, £, £) — для полинома Ж — П —

— Ф (е, 5, 5)1.

Если мы в п. 6 выберем в качестве А функцию |-> {ф(У}, параметрически определимую в М, где ф — отображение л (.М)" в л (М), то получим, что если / есть полином, то полиномом является также функция g, определяемая как

g {е, |) = / ^ 5, Ф (У).

Область определения g состоит из последовательностей (е, £), таких, что (е, £, ф(£)) лежит в области определения /.

Следующая теорема связана с тем, что может быть названо непрерывностью полиномов.

Пусть е = (et, . . ., en), / = (Д, . . ., fn) — две последовательности функций из Ф, таких, что область определения каждой et и каждой ft есть одно и то же множество X г л (М)2. Тогда для каждого полинома ф и каждой последовательности £, таких, что (е, £) и У, £) одновременно принадлежат области определения ф, имеет место следующее включение:

Ф^Й-ФУ.ЭЕ U U [еДа, Р) —/Да, Р)Ь

З^п «X, $3>£Х

Доказательство проводится по индукции. Для полиномов 1 'и 2 теорема очевидна. Если ф получается из ф отождествлением переменных и если теорема верна для ф, то она верна и для ф, так как значения ф являются значениями ф для подходящих аргументов. Таким же путем убеждаемся, что теорема сохраняет силу, если ф получается из ф перестановкой аргументов или добавлением новой переменной. Если ф получается из ф1, ф2 посредством одной из операций 4, 5, 6, то теорема верна для ф, если она была верна для фъ ф2, как непосредственно видно из следующих включений:

(Ж — А) — (Ж — В) = А — В,

(А р ЛО - (У f) St) с (Л У) U (Л,У,),

(П At^ П в^г и At-Bt.

ttt

Предположим теперь, что е, (£, ц) — открытые множества, и попытаемся найти открытое множество G, такое, что ф (е, £) — G есть объединение ^0 нигде не плотных множеств.

Пусть е = (et, . . ., еп), где еу £ Ф и (е, £) принадлежит области определения полинома ф. Предположим, что значения ej (а, Р), если они определены, суть открытые множества. Тогда существуют открытое множество G = G (ф, е, |) и последовательность нигде не плотных множеств Nn = N (ф, п, е, £), такие, что

ф (е, 6) — G с (J Nn.

п

Замечание. Множества G и Nn будут определены явно в следующем ниже доказательстве, поэтому более корректная формулировка этого результата состоит в том, что существуют две функции G и N, такие, что выполняется (1), G (ф, е, £)— открытое множество и N (ф, п, е, £) нигде не плотно, если значения е, (а, Р) суть открытые множества.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ф есть полином 1, полагаем G = = е (|, т]) и Nn = 0. В случае 2 берем G = Uo^, Nn = 0. Если ф получается из ф или отождествлением переменных, или их перестановкой, или добавлением новой переменной, то G (ф, е, |) и ЛДф, п, е, S) получаются из G (ф, е, £) и ЛДф, п, е, £) посредством тех же операций. Если ф = Ф1 П Фг, то полагаем

G (ф, ev е2, ^, ^2) = G (фь ev £0 П G (ф2, е2, g2),

N (ф, п, et, е2, Si, S2) = N (фь п, et, Si) U N (ф2, п, е2, S2).

Если ф = ^ — ф, то полагаем

G (ф, е, "^ = Int (Ж — G (ф, е, S)),

N (ф, 0, е, S) = [^ — G (ф, е, S)1 — Int (^ — G (ф, е, S)), N (ф, п + 1, е, S) = N (ф, п, е, ^).

Проверка того, что формула (1) выполняется, практически та же, что и в теореме IX.5.1.■

Наконец, пусть ф определяется как П ф (^, L £)• В этом

:eA(g)

случае выберем некоторый пересчет А (^) (определяемый фиксированным пересчетом модели Af) и будем обозначать элементы А (^) через So, ^i, • • •• Пусть п*^^п', п"} есть взаимно однозначное отображение со — {0} на со2. Теперь положим

G (ф, е, S) = Int ( f| G (ф, е, S, S),:ga($)

N (ф, 2п, e,^) = N (ф, п', е, S, Sn»), если п > 0,

^■(ф, 2n—1, е, ?) = б(ф, е, S, Sn)—С(ф, е, L W, если п>0,

N^,0,e,^)= Л С(ф,е,|, ^)-С(ф,еД).

КД(5)

Точно так же, как в IX.5.1, проверяем, что при таком выборе G и N формула (1) верна.

Теорема 1.2 доказана.

Редукция условия IV

Пусть «^ есть некоторое ,иррефлексивное отношение, заданное на л (Л/)2. Если ef Ф и а, Р < л (Л/), то обозначим через е | (а, Р) функцию е, ограниченную аргументами <К (а, Р). Мы покажем, что условия IV и V можно свести к следующим условиям.

Условие VI. < есть параметрически определимое фундированное частичное упорядочение л (М)2.

Условие VII. Существуют число Р, разбиение

л(М)2 = У1 U... U YP

на множества, параметрически определимые в М, и ^Р полиномов Фу, фу, такие, что если (a, Р) £ У у, то ^, | (а, Р), J | (а, Р), а, р> находятся в области определения фу и фу и

SaP = Ф/ (^ I (а, Р), 3 I (а, Р), а, Р),

За» = ф; (g | (а, Р), 3 | (а, Р), а, Р).

Если выполнены условия VI — VII, то выполнено также условие IV.

Доказательство. Построим функции G(1), G^1*, Na\ У,2,т удовлетворяющие условию IV, посредством трансфинитной индукции, соответствующей фундированному частичному упорядочению <С-

Предположим, что G^ и N^^ ^ определены для п С со и для аргументов (£, ц) <С (a, РХ Обозначим эти частичные функции через G1*’ | (a, Р) и N^ | (а, Р). Они будут нигде не определенными, если (а, Р) есть минимальная точка.

Для данных a, Р найдем сначала число /, такое, что (a, Р) £ Уу, и, таким образом, имеем формулы (1) и (2). Из теоремы 1.1 (о непрерывности) и из индуктивного предположения получаем ёар-^фД^Ксх, P),G<2>|(cz, P),cz, Р)е U U U А^Ч", £, 4)- 4=1, 2 <|, т]><$;<ар> п

Если (а, Р) — минимальная точка, то правая часть пуста и фу не зависит от первых двух аргументов.

Теперь используем теорему 1.2 и определим открытое множество G = G (фу, G^ | (a, Р), G<2> | (a, P), a, P) и последовательность нигде не плотных множеств

Nn = Nn (фу, G^ | (a, P), G‘2> | (a, ₽), a, ₽), такие, что

фу (G(1> I (a, P), G(2) I (a, P), a, P) G = U Wn,

откуда получаем

gaP^Gs и U U (N^ (п, 6, П) и Nn).

i=l, 2 <g, ip««z, Р> п

Наконец, расположим нигде не плотные множества V(i) (п, |, ц) U Nn в простую (о-последовательность V^, используя фиксированный пересчет элементов М (и, следовательно, пар <£, т]) < (а, 0)). Мы видим, что достаточно положить G„p = G и jVn’a.e = N’n.

Заменяя | на J и ф7- на ф,-, мы аналогичным образом приходим к нужному выбору значений G^p и N^.a.p» . Теорема 2.1 доказана.

Редукция условия V

В этом параграфе мы покажем, что условие V выполняется, если выполнены условия VI, VII. Основная идея этой редукции заключается в том, чтобы выразить значения истинности отношений Un — — §«Р € Л Ur — Заб € I как параметрически определимые функции от значений истинности отношений Uu- — gj, л Z, Uu- — Jj,, € I для (В, Л ^ ^ (a, 0). Теорема об определимости в М функций, задаваемых трансфинитной индукцией, немедленно дает требуемый результат.

Обозначим через Ф* множество функций со значениями 0, 1, зависящих от трех аргументов, первый из которых пробегает П, а оставшиеся два — л (Л/). Вообще говоря, область определения функции из Ф* есть некоторое подмножество П X л (М)2. Заметим, что характеристические функции g*, 3* отношений Un — gap € I и Un — За6 € I являются элементами Ф*.

С каждым полиномом ф мы соотнесем некоторое отношение Вф. Прежде чем дать точное определение, заметим, что мы хотим определить это отношение так, чтобы условия Un — ф (g | (а, 0), 3 | (а, 0), а, 0) £ Z и Вф (л, g* | (а, 0), 3* | (а, 0), а, 0) были эквивалентны.

Если ф — полином, у которого первые п аргументов пробегают Ф, а последние та аргументов пробегают л (Л/), то соответствующее отношение Вф будет подмножеством П X Ф*п X л (Л/)т, т. е. будет отношением, у которого первый аргумент пробегает П, следующие п аргументов пробегают Ф* и последние та аргументов пробегают л (М). Определение проводится по индукции.

Если ф (е, |, т}) = е (|, Т]), то

Вф (л, е*, £, ч) == [ (л, |, n> € Dorn (е*)1 Д (е* (л, В, п) = 1).

Если ф (|) = Uа ($>, где о — определимое отображение л (М)п в П, то

Вф (л, |) = л > о (|)

Если ф получается из ф отождествлением или перестановкой переменных, или же добавлением фиктивной переменной, то 7?ф получается из 7?ф той же самой перестановкой или отождествлением переменных, или добавлением новой переменной.

Если ф (е, £) = Ж — ф (е, g), то

7?ф (л, е* Л) = (р) [р > л И R^ (р, е*, £)].

Если ф (е15 е2, ^, £2) = Ф1 (е15 ^) П ф2 (е2, ^2), то

ЛФ (л, е*, е*, ^, £2) = R^ (л, е*, ^) Д R^a (л, е*, £2).

Если ф (е, £) = П Ф (е, £, 9, то

£6Д(Е)

ДФ (л, е*, g) = (£)Д(6) R^ (л, е*, £, £)..

1. Для каждого полинома ф соответствующее отношение R^, ограниченное аргументами из М, параметрически определимо в М.

Доказательство проводится по индукции. Отношения, определенные в 1 и 2, становятся параметрически определимыми, если их аргументы ограничить моделью М. Параметрами являются П и -<, а также параметры, участвующие в определении о. Если теорема верна для отношений R^, R^t и R^, то она сохраняет силу для отношений, определенных в 3—6, так как мы дали явные формулы для 7?ф в терминах R^, R^, R^2, отношения -< и параметрически определимых множеств П и А.

Для каждого е из Ф, произвольного л из П и (£, ц) из области определения е пусть е* (л, £, ц) = 1 или 0 в зависимости от того, будет или нет ия — е (£, ц) множеством первой категории. Если е = (et, . . ., е^, то положим е* = (е*, . . ., е^). Очевидно, е £ Ф влечет е* £ Ф*.

2. Пусть ф — полином от п переменных, пробегающих Ф, и т переменных, пробегающих л (М). Пусть е = (е^ . . ., е„)ЕФ” есть последовательность функций с общей областью определения X, £ 6 л (М)т, и пусть ^е, £) лежит в области определения ф. Наконец, пусть существуют функции gj, h3, такие, что для любых (£, ц) из области определения е, множество gj (£, ц) является открытым, hj (п, £, ц) нигде не плотно и ej (£, ц) — gj (£, ц) с j И3 (га, ^, ц).

п

Тогда если выполнены условия II и III, то•

Rv (л, е*, g) = U„ - ф (с, g) 6 I.

Доказательство ведется по индукции. Если ф — полином, значение которого есть е (£, ц), то левая часть (1) эквивалентна е* (л, ^, ц) = 1, т. е. Un — е^, ц) £ I, откуда очевидным образом следует теорема. Если ф — полином со значением Uo^, то левая часть (1) есть л >- >- о (^), что по определению -< эквивалентно ПЛ — ф (£) = 0. Следовательно, левая часть (1) влечет правую часть. Если же левая

часть (1) ложна, то Un — Ua^ N= 0- Так как Uc^ = V регулярно, т. е. = Int (Ла(Е)) = Int (7), то, следовательно, U^ — Uc^ содержит непустое открытое множество и потому не является множеством первой категории. В самом деле, если U — V ^ 0, то U — Int (7) ^4= 5^= 0, откуда U — 7 #= 0, ибо в противном случае было бы У g 7 и U с Int (7). Следовательно, правая часть (1) ложна.

Пусть теперь (1) выполняется для полиномов ф4 и ф2. Если ip получается из ф отождествлением переменных, то, производя такое же отождествление в (1), получаем требуемый результат для полинома. Аналогично поступаем в случаях, когда ip получается из ф перестановкой переменных или добавлением фиктивной переменной. Если 1р есть полином ф1 П ф2, то левая часть (1) есть R^ /\ R^, а правая часть эквивалентна

[Ля — ф1 (еь ^i)] (J [Ля — ф2 (е2, Ы1 € I-

Следовательно, обе части эквивалентны, поскольку I. есть идеал. В случае когда

Ф (е, У = П Ф (е, 5, 9,MAU)

левая часть (1) эквивалентна

(9а(6) [Ля - Ф (е, g, О б Л.

Если бы мы имели о-аддитивность I, мы могли бы прямо вывести из (2) истинность правой части (1). Так как, однако, о-аддитивность I не может быть установлена без аксиомы выбора, нам придется действовать более сложным способом.

Сначала мы используем «теорему непрерывности» 1.1 и получим

Ф^^О^Ф^.^ЙЕ U U U МР, «, ₽)15п <а,₽>ех р

(g обозначает последовательность функций (gt, . . ., gn)).

Далее, мы используем теорему 1.2 и найдем открытое множество G? и последовательность Nn, Е нигде не плотных множеств, такие, что

ф(£, 5Л) — U Np, Е.

р

Множества G^ и Nn.с определены по £ и £. Теперь мы получим

ф(еЛД)^^^ U U U (АДР, сс, Р) U Wp, Е).

3<п<ар>е^ Р

Таким образом, (2) эквивалентно

(£)Д($)[Ля-6ЕбЛ и, значит, эквивалентно

ак<^ и^-с^п,

так как разность G^ — G^ нигде не плотна. Поскольку Un — G^ есть открытое множество, мы заключаем, что предыдущее условие эквивалентно Un — Gt = 0 и, следовательно, тому, что Ля S П GE.

С6А(6)

Таким образом, (2) дает

ия-^ М)£ Л G(- П ф (е, Е, ^Е у (GE ^ Ф (е, g, ^ S

S у (^-GO и у (еЕ-ф(е, g, 9).1)

Ввиду (3) правая часть есть множество первой категории, и мы видим, что левая часть (1) влечет правую часть. Если мы предположим теперь, что Un — Ф (е» У 6 Д то

U [U п —ф(е, Д £)ИД

и мы получим (2), поскольку I — идеал. Итак, (1) верно для полинома ф.

Наконец, пусть ф есть дополнение ф. Нам нужно доказать (1) для полинома ф, т. е.

(р) [р > л ^ И/?, (р, е*, ^)] ^ Ля - ф (е, g) € I, что эквивалентно

(Ер)>я [Лр - ф (е, g) € /] = ия П ф (о g) $ I.

Если правая часть этой эквивалентности ложна, то Up П ф (е, g) £ € I для всех р > л, и потому левая часть должна быть ложной в силу того, что Up $ I. Теперь допустим правую часть (4). Повторяя доказательство, приведшее нас к формуле (3), получаем открытое множество G, такое, что

Ф (е, g) — G £ I.

Стало быть, правая часть (4) эквивалентна Un П G ^ I, откуда G Ф 0. Возьмем такое р, что Up s G. Тогда Up — G = 0, откуда Up — ф (е, g) £ I. Таким образом, левая часть (4) верна и теорема доказана.

3. Если условия I—III, VI, VII выполнены, то выполнено и условие V, т. е. отношения U„ — gap С Д Un — Jap £ I параметрически определимы в М.

Доказательство. Обозначим, как на стр. 144, характеристические функции отношений U^ — gap £ I и U^ — Jap £ I посредством g* и 3*.

x) Во всех суммах и пересечениях переменная t, пробегает Д(§),

_ Для данной пары (а, Р) элементов л (М) обозначим через t (а, 0) число /, для которого (а, Р) £ Yj. Итак, t есть функция, параметрически определимая в М.

Определим две функции А и /2 с областью определения П X М X X М X л (М) X л (М). Пусть ft (л, х, у, а, Р) есть 1 или 0 в зависимости от того, истинно или ложно R™ ,(л, х, и, а, В); анало-

р)°7

гично полагаем: /2 (л, х, у, а, Р) есть 1 или 0 в зависимости от истинности или ложности 7?i|>l(a р) (л, х, у, а, Р). Функции /t и /2 параметрически определимы в силу теоремы 3.1. Теперь используем теорему IV.4.4 и найдем две функции et и е2, параметрически определимые в М с областью определения П X л (М) X л (М), такие, что

е; | (а, р) е М,

et (л, а, Р) = ft (л, е, | (а, Р), е2 | (а, Р), а, Р)

для i = 1, 2, произвольных а, Р из л (М) и произвольного л из П1). В этих формулах символ е | (а, Р) означает функцию е, рассматриваемую на элементах (р, ^, ц), таких, что (5, Ц) < (а, Р).

Докажем теперь по индукции, что et (л, а, Р) = g^p и е2 (л, а, Р) = =- Длар- Пусть эти равенства верны для U> л) С (а> Р^* Тогда имеем g* | (а, Р) = е, | (а, Р) и Д* | (а, Р) = е2 | (а, Р). Из определения et следует, что et (л, а, Р) = 1 тогда и только тогда, когда

Rw, в)<л’ ^Н«- Р), ^*К«. Р).«. Р);

в силу 3.2 заключаем, что это условие эквивалентно

и„ - ф1(а, Р) (8 I («, Р), а | (а, Р), а, р) е /

и, следовательно, эквивалентно также Un — gap £ I. Таким обра- зом^ это отношение параметрически определимо в М, и мы можем аналогично доказать, что то же самое верно для отношения Un — 5а&Е £ I. Теорема 3.3 доказана.

Ч Строго говоря, мы опираемся здесь на «усиленный» вариант 4.4 упомянутый на стр. 70.

Глава XI

ЯВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМОВДЛЯ ФУНКЦИЙ £mln, В0, Bz

В настоящей главе мы произведем дальнейшее упрощение условий VI и VII, введенных в предыдущей главе. В то время как в гл. X мы обсуждали эти условия для произвольной функции В, мы теперь ограничимся случаем, когда В есть или 5т1П, или В0, или В2. Мы покажем, что условия VI и VII могут быть выполнены, если отображение (Л): р ->а (р), которое определяет множества С® (а (р)) и тем самым множества g„p, За^ удовлетворяет некоторым условиям, подобным условию VII. Таким путем проблема построения моделей сводится к рассмотрению некоторых простых свойств отображения (Л).

Мы сохраняем обозначения, введенные в гл. X. Таким образом, Ж есть некоторое топологическое пространство, (Л) — отображение р -> а (р) из Ж в класс транзитивных последовательностей длины а0 < л (Л/), М — счетная модель ZF. Множества g„p, Jap определяются, как на стр. 139:

^ = {Р 6 ^: С® (а (р)) 6 Ср (a (р))},

J«p = {р € ^: Ca (а (р)) = Ср (а (р))} •

Частичное упорядочение <^0

Прежде чем формулировать точное определение <^0, мы разъясним те соображения, которые приводят нас к выбору именно такого упорядочения. Рассмотрим пары (a, Р) из л (Л?) X л (Л?), которые мы будем называть «точками». Мы хотим выразить множества (1) в виде полиномов, зависящих от a, Р и от последовательностей множеств g^ J^, где точки (£, ц) «предшествуют» точкам (a, Р).

Если I (г, а) = I {г, Р) = 10, где г — число, определяемое функцией В, то С® (а (р)) и Ср (а(р)) являются членами а (р). Следовательно, множества (1) определяются последовательностью а (р) и должны рассматриваться как данные, как только а (р) зафиксирована. Поэтому такие точки (a, Р) будут помещены прежде точек, для которых I (г, а) =^ 10 или I (г, Р) ^ 10. Если а = Р, то первое из множеств (1) равно 0, а второе Ж; поэтому точки (а, а) помещаются прежде всех других точек.

Теперь рассмотрим случай, когда а ^ Р и либо I (г, а) Ф 10, либо I (г, Р) Ф 10 (либо то и другое). Мы назовем такие точки «ординарными». Очевидно, что J^p = 3I», и мы увидим (см. 3.1, случай 1), что имеется тождество, позволяющее выразить g^p для а > р посредством множеств gfp и J^, где £ << р. По этой причине мы будем рассматривать каждую точку (£, а), где £ << а, как предшествующую любой ординарной точке (а, р), у которой а > р. Если I (г, Р) Ф 10, то Ср (а (р)) можно получить из множеств Cf (а (р)) посредством теоретико-множественных операций. Это позволяет нам представить множества (1) при а << Р как полиномы, аргументами которых являются а, Р и последовательности множеств g|^, jfn с такими индексами £, ц, что шах (£, ц) <_ р.

Наконец, если а < р и 7 (г, Р) = 10, то множества (1) выразимы в виде полиномов, аргументы которых суть а, р и последовательности множеств §f« и 3®ч, соответствующие точкам (£, ц), для которых или шах (£, т]) <_ р, или 7 (г, £) = 7 (г, ц) = 10. Поскольку Ср (а (р)) есть один из членов а (р) и, следовательно, все элементы Ср(а(р)) также являются членами а (р) с меньшими индексами, то они, стало быть, представимы в виде С® (а (р)), где 7 (г, ц) = 10 и т) < р. Таким образом (см. 3.1, случай 2),

р € ^сф — ^EvikHr, •п)=10)Л('П<Р) К^а (° (7)) = ^ч (° (7))) Л

Л (^ (а (р)) € С^ (а (р)))] = р е и А П ^р)- (Г (г, Ч)=10)Л(В<Р)

Аналогично получаем требуемое представление J„p, выражая тот факт, что элементы С® {а (р)) являются элементами Ср (а (р)), и обратно (см. 3.2, случай 2).

По этой причине мы потребуем, чтобы каждый раз, когда (5, т]) и (а, Р> — ординарные точки и max (£, т]) <_ max (а, Р), точка (g, ц) предшествовала точке (а, Р).

Дадим теперь точные определения. Пусть В есть одна из функций ^min, ^Oj ^z, и ПуСТЬ г соответственно равно 10, 11 или 12.

Определение 1.

Di = {(а, а): а << л (АТ)},

Пг = {(а, Р) £ л W- « ф Р Л 7 (г, а) = 7 (г, р) = 10},

D3 = л W2 - №t U D3\

Пары из D3 называются ординарными, а из D2 — специальными.

Определение 2. Для (?, ц), (а, р)Сл(ЛТ)2 мы будем писать

(5, «о <«, Р),

если имеет место один из следующих случаев:

)(Ln)^!, (а, Р) € ^2 U ^з,

) (Ln) €£>2, <«, Р)ег>3,

)(L п>, (а, Р) С D3 и g < п = а > р,

(iv)(L п), (а, Р) б^з и max (L п) < max (а, Р).

Отметим следующие свойства <0:

<^о есть частичное упорядочение л (Л1)2, т. е. это отношение иррефлексивно и транзитивно.

<^0 фундировано.

Доказательства этих свойств очевидны.

Если I (г, Р) ^ 10 и а < р, | < Р, то для любых о и т

(о, т> <о <а, Р) = (а, т) <0 (L Р).

Доказательство. Если (а, т) gD^ U D3, то обе части этой эквивалентности, очевидно, истинны. Теперь допустим, что (о, т) £ D3, и рассмотрим различные случаи. Если max (о, т) < р, то обе части эквивалентности истинны; если max (о, т) > р, то обе части ложны. Наконец, если max (а, т) = р, то обе части эквивалентности ложны, поскольку в силу (iii) и (iv) левая часть эквивалентности влечет, что а > Р, а правая часть влечет, что £ > р.

Вспомогательные полиномы

Определяем

gB | (а, Р) = {((L п), gB ): (L п) <0 (а, Р)} и аналогично JB | (а, Р).

Рассмотрим множества,

Si (^, П, L={р6 ^:С6(а (р))=(С. (а (р)), С^ {а (р))}},

St №, П, £)={р€ ^:С6(а (р))=(С,, (а (р)), С^ (а (р)))},

S3 (L Ч, 9=<Р€^:С^(а (р))=Сл (а (р)) U С^ {а (р))},

84 (^, П, £)={р€ ^:С6(а (р))=Сч (а (р)) - С^ (а (р))},

S6 (£, П, 5) = {р € С6 (а (р)) = Сч (а (р)) о С^ {а (р))}.

2.1. Существуют полиномы 1)^ . . ., йа от двух переменных, пробегающих Ф, и от трех переменных, пробегающих л (М), такие, что если (а, Р) ^.D3, а < Р, Ln, ? < Р, то

(1) <§В| («, Р), 3В\ (а, Р), L П,

принадлежит области определения ^ и

(2)^ (gB | (а, р), Зв | (а, р), £, ц, С) = 8, (^, т), С).

Доказательство. Мы рассмотрим подробно случай z = 1 и укажем построение для остальных случаев. .

Случай i = 1. Определяем■

^i(e, /, £, г), 9 =

= е(т), WK, ^)П П {[^-е(у, ^)] U/(Т, П) U /(7- 0}-

Если а, 6, Е, т), £ удовлетворяют предположениям теоремы, то (т), £) <^0 (а, Р), и потому (т), £) принадлежит области определения %в | (а, Р). Аналогично .(£,£) принадлежит этой области определения, и это же верно для (у. |) при любом у С £. Точно так же (у, т)) и (у, £) принадлежат области определения 3В I (<х, Р)- Отсюда следует, что пятерка (1) принадлежит области определения й^

Обозначим через X множество в левой части (2) для z = 1. Из определения ^ заключаем, что если р Е А, то р Е S®g и р Е 8®$ и, следовательно, Св (а (р)) Е Св (а (р)) и Св (а (р)) Е Св (а (р)). Поэтому

р € X -+ С< (а (р)) 2 V^ ^ (р)), С^ (а (р))}.

Далее, для каждого у<£ имеем или pE^vg, или pEJw или р Е 3®v Следовательно, если Св (а (р)) Е Св (а (р)), то или Св (а (р)) = = Св(а(р)), или Св (а (р)) = СВ (а (р)). Так как каждый элемент С® (а (р)) имеет вид С®(а(р)), где y<L получаем

Cf(a(p)) = {C®(a(p)), Cf(a(p))}.

Таким образом,-

pEX-^Cf(a(p)) = {C®(a(p)), С^(а(р)))-^рЕ81^ т), У-

Обратная импликация доказывается аналогично.

Случай z = 2. В этом случае мы возьмем в качестве йг полином

U U 1^1 (е, /, р, г), П) П ^1 (е, /, т, т), ^ П »i (е, /, g, р, т)].

р<61<5

Случай z = 3. В этом случае ^ есть

П [е (у, Ю*(е(у, T])Ue(y, ^))Ь

V<max($, I,, С)

Случай z = 4. В этом случае искомый полином есть

П [е(у, ^*ке^х л) —е(у, 0)1-

V<max(B, в, ?).

Случай г = 5. В этом случае $5 = ^ П O's, гДе

^е^и^г^, Р), дБ|.(«, р)л, л, 9 =

= [Cf (a (р)) S С® (а (р)) о С® (а (р))].

Аналогично для полинома О" с обратным знаком включения.

Полином О' есть

П {[^-е(тЛ)]и и №(е, /т, р, а) А

v<£и. X, р, а, т<тах(т1, ?)

ПО2(е, /, т, р, х)АО2(е, /, X, х, а)Ае(т, п)Пе(Х, 9]} и полином О" есть

А А А А А {[-^ — №(6, /, Ф, р, т)АО2(е, /, ф, т, о) А Ф<Л Ч><Е Р<Ф о<Ф т<а

А ^ (ф, ч)Ае(ф, 9)1 U U (»2(е, /, у, р, о) ре (у, 9)} v<£

Выражение g„p и J„p в виде полиномов от gB | (а, р) и Зв | (а, Р)

Рассмотрим сначала случай В = Smln, г = 10. Пусть Da = = At (J • • • U А12 есть следующее разбиение на множества, определимые в М:

(a, Р) £ Ai = а > Р,

(а, Р) 6 ^г = (а < Р) Л (7 (г, а) # 10) Д (7 (г, р) = 10),

(а, р) е A3+j = (а < р) Д (7 (г, Р) = /), / = 0, 1, . . ., 9.

В дальнейшем мы будем опускать индекс В™111 в выражениях gap, Jap, а также g | (а, р), 3 I (а, Р).■

Для i = l,2, ..., 12 существуют полиномы <р; со следующими свойствами*, если (а, Р) С А£, то четверка

(g |(а, р), J |(а, р),а, р)

принадлежит области определения <рг и

<рг (g | (а, р), 3 I (а, Р), а, Р) = gap.

Доказательство сводится к рассмотрению различных случаев. Обсудим подробно лишь некоторые из них.

В приложении к этой главе мы дадим полный список всех полиномов <рг.

Случай 1. (a, р) С Ар Так как все элементы Ср (а (р)) имеют вид С^а {р)) при ^ < р, мы получаем эквивалентность

Ca(a(p))eCp(a (р)) =

^ № {[Со (a (р)) = С^ (а (р))] Л [С5 (а (р)) € Ср (а (р))]}.

и потому

Р Е ^«Р = (В^Р (.Р Е^а^ П §tp) = Р Е U (J^H^p).

Таким образом, искомый полином задается равенством

Ф1(^ Л а, ₽)= U [/(I, а)п«(^ Р)1-

Е<Р

Чтобы проверить, что четверка (1) принадлежит области определения Ф1, достаточно заметить, что, согласно определению 2 (iii), (iv), стр. 151, пары (^, а) и (£, Р), где | < Р, находятся в отношении <Д0 к (а, Р). Поэтому пятерка

<8 | (а, р), 3 | (а, р), а, РЛ> принадлежит области определения полинома / (£, а) П е (£, Р), и потому (1) принадлежит области определения Ф1.

Случай 2. (а, Р)£_42. Построение сходно с тем, какое было в случае 1, но при этом необходимы некоторые изменения. Заметим прежде всего, что в случае 2 мы имеем I (г, Р) = 10, а < Р; поэтому Ср (а (р)) является членом а (р), и это же верно для всех элементов Ср (а (р)). Условие р Е ^ар эквивалентно утверждению

(B’DcgepjAUV, g)=io> {[Са (а (р)) = С^ (а (р))] Д [С$ (а (р)) £ Ср (а (р))]}.

Отсюда следует, что

8ар = и GM^p),(Е<$)Л№, Е)=10)

и искомый полином ф2 есть и \е(^ р)П/(|, а)]. (?<Р)Л(Кг, D=10)

Это в самом деле есть полином, потому что функция I определима в М. Чтобы убедиться, что четверка (1) принадлежит области определения ф2, заметим, что если | < р и I (г, £) = 10, то (£, а) <^0 <^о (а, Р), так как max (£, а) < Р = max (а, Р). С другой стороны,

Р> <о <а, Р>, так как <|, Р> Е ^2 и (а , Р> Е D3.

Случай 3. (а, Р> ^ Л3. В этом случае а < Р и / (г, Р) = 0. Поэтому Ср (а (р)) содержит в качестве элементов все множества С^ (а (р)), где | < р, и, таким образом, Са (а (р)) Е Ср ((а (р)) для всех р. Следовательно, gKp = SC, и мы можем взять в качестве ф3 всюду определенный полином с постоянным значением SC.

Случаи 4—12. В этих случаях.

^Р (« (.Р)) = АцТ) р) (СК(Т1 р) (а (р)), Сцт, Р) (а (р))) Q СМ(т, р) (а (р)), и поэтому условие р ^ 8ар эквивалентно конъюнкции условий .Ca(a(p))GCjf(r, р)(а(р)), т. е рЕ^а, мр, р),

с а {а (р)) Е ^Цг, Р) (Ск(г, Р) (а (р)), Сцг, р> (а (р))).

Имеем разные подслучаи, соответствующие значениям I (г, Р). Проиллюстрируем нашу процедуру на некоторых примерах.

Пусть I (г, 0) = 2, тогда Л1(Г, р, есть операция образования пар, так что (2) принимает вид р £ За. к <r. Р) U За. иг, Р). Искомый полином <р5 есть

Ж, М(г, Р))П[/(а, К (г, P))U/(«, Ж, Р))], или, точнее,

U U U (eMOI/MU/Ml).

Е=М(Г, р) t)=K(r, Р) t=L(r, р)

Заметим, что это есть полином, так как функции К, L, М определимы в М. Проверка того, что четверка (1) принадлежит области определения ф5, предоставляется читателю.

Пусть J(r, Р) = 7. Тогда значением Л1(г> р} (а, Ь) является {ж о у: (ж^а) Д (у€Ь)}. Поэтому (2) принимает вид

(Еа) (Ет) [(Са (а (р)) € СК(Г, р> (а (р))) Л (^ (а (р)) € СЦг, ю (а (р))) Д

К<Са<а^ = СДа^»Сг ^W-

Так как все элементы Ск<т, е> (а (р)) имеют вид Со (.а (р)) при а < К (г, Р), мы можем ограничить область значений переменной о множеством К (г, Р); аналогично мы можем считать, что т пробегает L (г, Р). Поэтому (2) эквивалентно тому, что

(Ео)к(г, Р) Ц^Цт, Р) IP € 8а, К(г, Р) fl 8т, L(r, Р) Л

Л<М8|(а, Р), Л (а, Р), а, а, т)],

где fl's есть полином, определенный в 2.1. Следовательно, искомый полином <р10 есть

Ж, М (г, Р))Л U U (Ж, К(г, Р))ЛЖ, L(r, Р))Л а<К(г, Р) t<L(r, Р)

Л^б(е, /, а, ст, т)].

Построение остальных полиномов аналогично двум разобранным выше примерам. Читатель без труда напишет их в случае необходимости. Для полноты изложения мы перечисляем все эти полиномы в приложении (стр. 162)..

Теперь докажем аналогичный результат для множеств За^-

Для i = l, 2, . . ., 12 существуют полиномы, фг со следующими свойствами1, если (а, р)^ Лг, то

(g | (а, Р), J | (а, Р), а, Р)

принадлежит области определения ф; и

(4)(4)Фг (8 | (а, Р), 3 | (а, Р), а, Р) = Лр.

(4)

(4)

Доказательство. Если i = 1, то полагаем

Ф1 (е, /, а, Р) = / (Р, а).

Так как (а, Р) Е Л1 влечет (Р, а) <^0 (“, Р), мы заключаем, что (3) принадлежит области определения фг и

Р Е Ф1 (^ I (а, Р), У | (а, Р), а, Р) = р £ У6а = р ^Уа6.

Если i = 2, полагаем

ф2(е, /, а, р) = П №р)*е(£,а)].

(1<₽)Д1(г, £)=ю

Заметим, что (а, Р) £ Л2 влечет (£, а) <^0 (®, Р), когда £ < р. Кроме того, (5, Р) <0 (®, Р), когда /(г, £) = 10, поскольку (£, Р) £ D2. Следовательно, (3) принадлежит области определения тр2, а проверка формулы (4) тривиальна.

Для i > 2 определяем ф, следующим образом:

Ф/(е, /, а, р)= П [е (|, а)*Фг(е, /, ^, р)].

5<₽

Проверим сначала, что четверка (3) принадлежит области определения фг. Итак, пусть (а, Р) Е Ар, следовательно, I (г, Р) ^ 10 и (5, Р) ^Аг для каждого £ < р. По теореме 3.1 четверка

<g I (5, Р), J I (5, Р), 5, Р>

принадлежит области определения фг для каждого £ < р. Мы можем заменить g | (£, Р) на g | (а, Р) и j | (5, Р) на У | (а, Р), поскольку эти функции совпадают в силу 1.3. Так как (£, а) <^0 (®, Р), мы видим, что (^, а) принадлежит области определения g | (а, Р), и поэтому пятерка

(g ] (а, р), У | (а, Р), V а, Р)

принадлежит области определения полинома е (£, а) ♦ фг (е, /, £, Р). Этим доказано, что (3) принадлежит области определения полинома ф,. Теперь проверим формулу (4). Из определения полинома фг следует, что произвольная точка р является элементом левой части (4) тогда и только тогда, когда

(5)р [р ^^а ^P^^t^\ (а, Р), у | (а, Р), g, P)L

. Мы снова можем заменить g | (а, Р) на g | (£, Р) и У | (а, Р) на У | (£, Р). Так как четверка (5) принадлежит области определения Фг, мы заключаем, что это условие эквивалентно

(5)р Ip Е §g, а = Р Е £?, pL' т. е.

^ [(С5 (а (р)) е са (а (р)))(С? (а (р)) е Ср (а (р)))1.

. Так как каждый элемент Са {a (j))) и каждый элемент Ср (а (р)) имеет вид С^ (а (р)), где £ < р, мы заключаем, что последнее условие эквивалентно тому, что Са (а (р)) = Ср (а (р)). Теорема 3.2 доказана.

Обобщение на случаи В = Bz и В = В0

В этом параграфе мы коротко укажем, какие изменения нужно сделать в теореме 3.1 для случаев, когда В = Bz и В = В0.

Займемся сначала случаем В = Bz. В соответствии с этим, положим г = 12; индекс Bz в выражениях g и J снова будем опускать. Сейчас мы определим следующее разбиение D3:

. D3 = Xf U U А^

где Az = Л,- для / ^ 12 и

(а, Р> € Xf+3 = (а < Р) А (/ (г, р) = г) для г = 10, 11.

Теорема 3.1 выполняется со следующими изменениями: предполагается, что г принимает значения 1,2,. . ., 14 и Л г заменяется на Az. Мы будем ссылаться на эту модифицированную теорему как на теорему 3.1Z.

Доказательство теоремы 3.1Z состоит в следующем: мы оставляем без изменения определения для ф< (i ^ 12) и добавляем два новых полинома ф1з" и ф14.'

Определение полинома ф13 таково:

Ф1з(е, /, а, Р)= П /(«, 9,

'$ег(9)

где Г (Р) = {£ < р: I (г, 9 = 11). Так как I определимо в М, мы видим, что ф13 есть полином. Легко проверяется, что

(*)(^ | (а, р), J | (а, р), а, р)

принадлежит области определения ф13. Из (1) получаем Р € Ф1 з (ё I («, Р), Ф I (а, Р), а, Р) =

= №9(5<P)A(J (Г, £)=И) (С« (° (/>)) = Cl (а (/>))) =

= Са(а(р)) € VCd«W (£<Р)Л(Дг,9 = И)} =

= (са (я (р)) е ср (а (р))) = р е §аР.

Чтобы определить полином ф14, положим

В (р) = {р < л (М): pl (г, р) < К {г, Р)}

Ф14 (^, Л «, Р) = е(а, М (г, Р)) f) (J О2 (е, /, а, pl* (г, р), р).

Р£В(В)

Фи есть полином, поскольку отображение Р -> В (Р) определимо в М. Если р Е В (Р), то pl* (г, р) < pl (г, р) < р (ср. III. 1.5) и, кроме того, р < р, так как pl есть возрастающая функция.

Следовательно, если (a, p)EHZ4, то пятерка

<g I (а, Р), J I (а, Р), а, pl* (г, р), р)

158 Гл. XL Явное построение полиномов для функций В™1п, В0, В2 принадлежит области определения ^^ Так как (а, М (г, 0)) <^0 (а, 0), мы заключаем, что (*) принадлежит области определения ф14.

Наконец, условие

р 6 ф14 (g | (а, 0), 3 | (а, 0), а, 0)

эквивалентно конъюнкции р ^g^, м(т, р) и

(Яр)Рцг, рхк(г, р) (Са (а (р)) = (Ср1*(Г, р) (а WA ка (р))))-

Таким образом, (2) эквивалентно

Са (а (р)) £ {Ср1*(г,р) (а <ж Ср (а (р))>: pl (г, р) < К (г, 0)} П

П Сц у, р) (а (р));

в силу того, что Cpi* (г, р) (а (р)) = р, это эквивалентно

Са к» (рУ € Ср (а (рУ),

а это есть то же самое, что р 6 gap.

Этим доказана теорема 3.1Z.

Для В = В° мы имеем аналогичную теорему, на которую будем ссылаться как на 3.1°. На этот раз мы положим г = И и Л; = Az для / = 1, 2, . .., 13. Эти множества образуют разбиение D3.Определяя полиномы ф, для / = 1,2, . . ., 13, как в теореме 3.1Z, мы получаем утверждение теоремы 3.1°.

Теорема 3.2 также,может быть доказана для функций В0 и Bz, причем доказательство практически то же самое. Мы будем ссылаться на эти модифицированные теоремы как на теоремы 3.2° и 3.2Z.

Окончательная редукция условий IV и V

В этом параграфе дадим окончательную редукцию условий IV и V. Мы сформулируем условия, касающиеся только последовательности а (р), которые гарантируют выполнение условий IV и V. Таким образом, при подходящей фиксации последовательности а (рУ мы можем быть уверены, что совокупность элементов последовательности Cf (а (р)), £ < л (711) (где В = Smln или В = Bz, или В = В0), есть модель теории ZF.

Сначала введем следующее обозначение. Пусть а (р) — транзитивная последовательность типа а0 < л (711). Для £, ц < а0 полагаем

e$n = {p: а^а^, г^ = {р: «g (р) = сп (р)}.

Эти множества для последовательности а(р) играют роль, аналогичную той, какую играли gf^ и jfn для всей последовательности конструктивных множеств Са(а(рУ для а < л (711).

В дальнейшем мы будем иметь дело исключительно с теми случаями, когда В = Smln или В = В0, или В = Bz, и будем пользоваться обозначениями 8™рп, ^«р, ёар, а также соответствующими обозначениями для Дар.

В случае В = втт полагаем г = 10, для В = В° и В = Bz полагаем г = И и г = 12. " .

Условие VIII. Существует целое положительное число Q и разбиение а0 X а0 = Xi U ... U Х9 на параметрически определимые в М множества, а также полиномы Pj, qj (j = 1, 2, . . ., Q), каждый из которых имеет две ординальные переменные и не имеет функциональных переменных, так что если (а, р)£Х,, то (а, р) принадлежит области определения полиномов pj и qj и имеет место

е«р = Pj (а, Р),^аР = 9j ^> Р)-

Если выполнены условия I — III (см. стр. 135) и VIII и если В есть одна из функций Втт, В° или Bz, то условия VI, VII, а следовательно, и условия IV, V выполнены.

Доказательство. Сначала дадим неформальные разъяснения. В теоремах 3.1, 3.2 мы выразили §ар, Дар посредством полиномов, но эти результаты были ограничены случаем, когда пара (а, Р) принадлежала одному из множеств At, сумма которых давала D3 (см. стр. 151, 153 и 155). Чтобы доказать 5.1, мы должны получить аналогичное представление также в случаях, когда (а, р) С D^ U D^. Это легко сделать, когда (а, р ) С D^, поскольку тогда а = р. Теперь нужно рассмотреть пары (а, р) из D3.

Мы поступим следующим образом. Нам известно, что каждый член а^ (р) последовательности а (р) входит в последовательность Сч (а (р)) при т] = рГ (г, £), где | < а0 (ср. стр. 47). Множество всех таких ординалов р обозначим через До. Остальные ординалы р, для которых I (г, ц) = 10, нас не интересуют, так как для них Сп (а (р)) = 0; обозначим множество этих «неинтересных» ординалов через Д^ Множество D2 можно разбить на 4 части: До X До, Ai X Ai, До X Д1, Д1 X До- Первый из этих «прямоугольников» находится во взаимно однозначном соответствии с а0 X а0, и потому разбиение, существование которого предполагается в условии VIII, может быть перенесено на До X До", этим способом мы получаем для (а, р) из До X До требуемые выражения для gap и Зац.

Для (а, р) из Д1 X Д1 представимость очевидна, так как тогда §«р = 0, Дар = ^’. Наконец, пары из До X Д1 можно отождествить с парами из До X {0}, так как Ср (а (р)) = 0 = Со (а (р)) для р g Д1. Аналогично пары из Д1 X До можно отождествить с парами из {0} X До- Этим путем мы получаем результат во всех случаях.

Приведем теперь детали доказательства.

Начнем с замечания, что функция g: р ->- pl' (г, Р) = pl10 (г, Р) отображает а0 в множество

А = (^ < л (М): I (г, ^) = 10}.

и является взаимно однозначной. Обозначим образ а0 через Ао и положим Ai = А —Ао. Так как а0<л(М), множество А1=Д0. Отношение <^0, введенное нами в определении 2, стр. 150, определимо в М, поскольку определима функция I. Поэтому условие VI выполнено.

Чтобы удовлетворить условию VII, мы должны определить разбиение

У0 и . . . Ур

множества л (М)2, а также полиномы ф7-, ф, (/ = 0, 1, . . ., Р), обладающие свойствами, сформулированными на стр. 143. Мы проведем это доказательство только для случая В = Втт и укажем, какие изменения необходимы, чтобы охватить случаи В = В0 и В = Bz.

В случае В = Втт у нас будет 14 + 3(? множеств У,. В качестве Уо мы возьмем «диагональ»

D^ = { (а, а): а < л (М)}.

Следующие 12 множеств Yi, . . ., Y)2 определяются как Л1, . . ., Л12. Далее, определяем множества Yi2+k для k = 1, . . ., Q;

(ос, р) € У12+6 = (ос, р) 6 D2 л (g-1 (a), g-1 (Р)> € Хк

и множества Y13+Q, Yi3+Q+h, Yl3+2Q+k, к = 1, . . ., Q\

(а, Р> € У1з+о = (ос € Aj) Д (Р 6 AJ,

(ос, Р> 6 Y13+Q+k = (а + АО Д (р 6 Ао) Д ((0, g'1 (Р)> € Хн),

(ос, Р> € У13+2О+Ь = (ос € Ао) Д (Р € АО Д ((g-1 (а), 0) 6 Х^.

Теперь надо определить полиномы ф^, ф^ Займемся сначала полиномами ф,. Для j = 0 полагаем ф0 = 0. Формула

(а, р) € Yj -^{р^^^р^ фу (g | (а, р), 3 | (а, р), а, р)]

выполняется, потому что (а, Р) 6 Уо влечет а = р, и, значит, gap = 0- Для / = 1, 2, . . ., 12 мы берем в качестве ф; полиномы, определенные в 3.1. Тогда формула (3) следует из теоремы 3.1. Для / = 12 + к мы выбираем фу так, чтобы

Фу (ж, У, a, Р) = рк (g-1 (a), g-1 (Р)).

Если (а, Р) £ Yj, то (g-1 (a), g-1 (Р)) ^ Хк, откуда правая часть (4) есть

е8~Ца.). g-1(P) = f^- ag-!(a) (^) € a?~i(₽) (^)}-

Так как ag-iW (я) = Са (а (ж)) и ag-i(g) (х) = Ср (а (л:)), заключаем, что правая часть последнего равенства есть gap. Так как полиномы ф^ не зависят от двух первых аргументов, получаем (3).

Осталось рассмотреть случаи j = 13 + Q + к, к = 0, 1, . . ., 2Q.

Для у = 13 + Q полагаем ф; = 0. Так как (а, Р) С Yj влечет Р g At, 'т. е. I (г, Р) = 10 и рТ (г, Р) ^ а0, имеем Ср (а (ж)) = 0, и потому §ар = 0. Таким образом, (3) выполняется в этом случае. Для j = 13 + 2Q + к (к > 0) также достаточно положить ф^ = 0.

Для у" = 13 + Q + к, где к = 1, 2, . . ., Q, определяем Ф7 (х, у, а, Р) = рк (0, g-1 (Р)).

Если (а, р) g Yj, то I (г, а) = 10 и рГ (г, а) ^ а0, откуда Са (а (ж)) = = 0 (ср. стр. 47). Так как а (ж) есть транзитивная последовательность, имеем также Со (а (я)) = 0, и потому

£«0 = {я: Со(а(х))€С0(а(х))} = ео,в-1(ю = Рк(О, g"1 (Р)).

Таким образом, условие (3) выполняется.

Теперь будем строить полиномы ф,. Для 7 = 0 положим ф^ = ^. Формула

(а, Р) € Yj^ \р € Заб = Р € %• (8 1 (а, Р), 3 1 (а, Р), а, Р)] выполняется, потому что (а, Р) € Уо влечет а = р и Заа = Ж.

Для 7 = 1,2,.. ., 12 полиномы ф, были построены в 3.2.

Для / = 12 + к, к = 1, 2, . . ., Q, полагаем

ф; (ж, у, а, Р) = qk (g-1 (а), g"1 (Р)).

Так как (а, Р) € У, влечет Заб = ig-Ча), g-i(p), мы получаем формулу (5).

Наконец, определяем

Ф^+оС^ У, а> Р) = -^,

• Ф13+е+й(^ У, a, P) = 9fe(0, g-1(P)), A = l, 2, ..., Q, ф^+гу+кС^, у, а, Р) = у#, (g-1 (а), 0), к = 1, 2, ..., Q.

Проверку (5) для этих полиномов предоставляем читателю.

Итак, теорема 5.1 доказана для случая В = Втт.

Доказательство для В = В° и В = Вг требует лишь незначительных изменений: мы заменим множество Лг на Л ° или Ак U = 1, 2, . . ., 13, к = 1, 2, . . ., 14) и используем теоремы 3.1°, 3.2° или 3.1z, 3.2Z вместо 3.1, 3.2. Детали этого доказательства предоставляем читателю.

Мы можем теперь подытожить результаты, содержащиеся в предыдущих теоремах, следующим образом.

Пусть М — счетная модель ZF, Ж — топологическое пространство и р -> а (р) — отображение Ж в семейство последовательностей фиксированной длины а0 < л (М). Пусть выполнены следующие условия.

а (р) транзитивно.

Ж есть полу регулярное пространство и теорема БэравернавЖ.

Существует множество П 6 М и отображение л. Un из П на регулярный базис Ж, такое, что отношение Un с Up параметрически определимо в М.•

Существует разбиение а0 X а0 = ^i U • • • U XQ на множества, параметрически определимые в М, и 2 Q полиномов р,, q,, таких, что каждый из них имеет в точности две ординальные переменные и не имеет функциональных переменных и обладает тем свойством, что если (а, Р) £ X,, то (а, Р) принадлежит области определения Pi и qj и

{z: а» (х) £ ар (ж)} = р, (а, Р),{z: аа (х) = ар (я)} = q5 (а, Р).

При этих условиях пространство Ж содержит остаточное множество Gen (Ж), такое, что для каждого р из Gen (Ж) каждое из множеств Сл(М) (а (р)), С®”м-) (a (р)), С^сМ) (а (р)) есть модель теории ZF.■

6. Дополнение: список полиномов ф^, j < 12

Полиномы ф1г ф2, ф3, фв, фю были даны в § 3.

Ф4 (е, /, а, Р) = е (а, М (г, Р)) П

HU U U U U [*(*, т)Пе(а, K(r, Р)) П а<К(т, Р) т<К(г, Р) р<а ц<а v<a

Пе(т, К (г, Р))П^г(е, /, р, 0, а) П ^i (е, /, v, 0, 0) П

П^. /, р, v, т)П^1(е, /, а, р, р)].

Заметим, что мы использовали тот факт, что Со (а (р)) = 0; таким образом,

pW№ Р), Л(«, Р). Р, 0, a) = Cp(a(p)) = (0, Са(а(р^

pE»i^\^, Р), Л(«, Р), v, 0, 0) = Cv(a(p)) = l.

Фв(е, Л а> Р) = е(а, М (г, Р))П и Й(а, а)Пе(а, К (г, Р))].

□<№, р)

Фт(е, /, а, Р) = е(а, М (г, Р)) П

пи U и [е(<7, К (г, Р))Пе(т, L(r, Р)) П а<К(.т, Р) t<L(t, Р) р<а

П»2(е, /, р, о, ^)П^1(е, /, а, р, р)].

ф8(е, /, а, Р) = е(а, М (г, Р)) П U U [е(ст, К (г, Р)) П a<K(r, Р) т<Цт, р)

Пе(т, L(r, Р))П^з(е,/,а,о, т)].

Фэ(е, /,а,Р) определяется, как ф8,но с заменой й3наФ4.

фп(е, /,a,Р) = е(а,М (г,Р)) П ^4 (е,/, а, К (г, Р),L(г,Р)).

Ф12(е, /,а,Р) = е(а,М (г,Р)) П ^6 (е,/, а, К (г, Р),L(г,Р)).

Глава XII

ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВНЕЗАВИСИМОСТИ

Результаты, полученные в гл. XI, в частности теорема XI.5.2, будут использованы в этой главе для построения моделей теории ZF и проведения простейших доказательств независимости. Мы начнем с некоторых примеров топологических пространств и отображений (А): р —>- а (р). Эти примеры позднее будут использованы в доказательствах независимости.

Примеры топологических пространств

Как и прежде, пусть М — счетная модель для ZF. Рассмотрим транзитивную последовательность <2 из М. Длину <2 обозначим через Zo. Пусть а <; л (М); рассмотрим последовательность г длины а, такую, что г ^ М и Rg (<2) для всех £ -< а.

Пространства ^, рассматриваемые здесь, будут декартовыми произведениями вида V Xi, где Xt s Р (г^, причем на Xt и X i<a

определена тихоновская топология. В некоторых случаях бывает выгодно использовать более сильную топологию в произведении пространств; мы упомянем эти топологии в теоремах 1.4, 1.5, хотя нам не придется проводить доказательств независимости с их помощью.

Вспомним (см. IX.1), что при тихоновской топологии окрестности в X определяются с помощью функций л, имеющих следующие свойства:

Dom (л) является конечным подмножеством множества а;

для любого i из Dom (л) значение л (i) есть упорядоченная пара (Xt, Yt), где Xt, Yt — конечные непересекающиеся подмножества множества гг.

Окрестность UR, определяемая функцией л, состоит из точек р £ X, координаты р{ которых удовлетворяют условиям

(Х, = Pi) д (Y t П Pt = 0), i € Dom (л).

В случае а = 1 окрестности в X определяются просто упорядоченными парами конечных подмножеств множества г0.

Для сокращения обозначений мы пишем IIt (г0) вместо множества пар (X, Y), где X, Y — непересекающиеся конечные подмножества из г0, и П“ (г) — вместо множества функций л со свойствами (1) и (2).

Упорядочение окрестностей Uл по включению соответствует следующим отношениям между элементами из IR (г0) (соответствен-

НО ИЗ П“ (г)):

kkX, У), (Х„ Y^ERi (Го) = (X э ХО Л (У 2 Ух),

(л, р) g /?“ (г) = [Dom (л) э Dom (р)] Д

Л (г)нот(л) I (л G), Р (0> € Ri О’,)!.

Обозначения П1 (г0), П“ (г), Rt (r0), R“ (г) будут использоваться в дальнейшем также в тех случаях, когда г0 и г не обязательно элементы из М.

(а). Пространства Р (г0) и Р (Р (г,)) являются полу регулярка

ними; то же самое верно для пространств-произведений P^i, где i <а

Ж^^Ркс^. (b). Бо всех этих пространствах истинна теорема Бэра в предположении, что Ж1 замкнуто в Р ^г^.

Доказательство, (а) Рассматриваемые пространства имеют базы, состоящие из открыто-замкнутых множеств; (Ь) следует из достаточного условия, сформулированного на стр. 129.

Множества П, (r0), Rt (г0), П“ (г), Ra (г) принадлежат М, если г0, г, а — элементы из М.

Доказательство. Множество Pto (г0) конечных подмножеств из г0 принадлежит М, и поэтому то же самое верно для множества 8 пар (X, Y), где X, У — конечные подмножества из г0. Так как t 6 П, (го) = кЕХ, У) [(/ = (X, У)) Д ^ 6 8) Л (X П У = 0)], то мы видим, что IIj (г0) может быть определено в виде {/ Е 5: |— МН [/]}, где Н — формула. Это доказывает, что П4 (г0) принадлежит М.

Для остальных множеств доказательство аналогично.

U„ = Up = (л, р) Е Ri (г0) Эля пространства Р (г0); ана- - логично UR г Up= (л, р) Е R2 (г) для произведения пространств х).

Мы теперь дадим некоторые примеры обобщенной топологии.

Пусть г о — бесконечное подмножество из Rg (0 и J — идеал подмножеств из г0, таких, что J Е М и все конечные подмножества из г о принадлежат J. Мы определяем П3,/ (г0) как множество упорядоченных пар л = <Х, У) непересекающихся элементов из J. Окрестности UR определяются, как и раньше. Отношение упорядочения в этом случае идентично с Rt (г0), так как 1.3 выполняется для элементов из П3,/(г0). Кроме того, имеем очевидные теоремы:

Пространство Ж = Р кг о) с топологией, определенной окрестностями Ur, где л Е П3, j (г0), удовлетворяет теореме Бэра. Окрестности Ur образуют регулярный базис пространства Ж.

Множество П31/ (г0) принадлежит М, если г0 и J принадлежат М..

*) В первой из этих эквивалентностей л, р Е Щ (г0), а во второй — л, р £ Е П“ (г). — Прим. ред.

Мы можем обобщить построение на случай пространства Ж = = Р^г, где Ж % = Р (гг) и последовательность г длины а состоит г<а ”

из подмножеств из Rg ^Q).

Пусть К — идеал подмножеств из а, который содержит все конечные множества, и пусть J — последовательность порядкового типа а, такая, что для любого i < а множество J, есть идеал подмножеств из rt и Ji содержит все конечные подмножества из rt. Мы предполагаем, что К и J принадлежат М. Обозначим через n4,j,x(r) множество функций л, удовлетворяющих условиям, аналогичным (1) и (2):

(1') Dom (л) g к;

(2') если i Е Dom (л), то л (i) есть упорядоченная пара непере- секающихся множеств (Хь УД таких, что Xt и Yt принадлежат Jt.

Теоремы 1.4 и 1.5 (с очевидными изменениями) остаются справедливыми, их доказательства просты.

Примеры, которые обсуждались выше, являются очень общими. В частном случае мы можем взять в качестве г0 декартово произведение двух множеств а X 6; множество Р (г0) тогда состоит из всех бинарных отношений с областью определения, содержащейся в а, и областью значения, содержащейся в Ъ. Кроме того, можно выбрать замкнутое подмножество из Р (г0) как пространство Ж и получить новые примеры. Например, если а = Ь, то можно взять в качестве Ж семейство рефлексивных отношений, транзитивных отношений и т. д. Более важным является случай пространства функций, который мы сейчас рассмотрим.

Пусть а, b — члены последовательности Q", предположим, что Q содержит в качестве членов все пары {х, у} и все упорядоченные пары (х, у), где х, у £ Л U Ъ. В качёстве Ж можно тогда взять пространство аь всех отображений Ь в а с обычной тихоновской топологией. Тогда П = П5 (а, 6) есть в этом случае множество всех функций л с конечной областью определения Dom (л) £ Ь, таких, что л (i) £ а для всех I из Dom (л). Множество Е7Я состоит из функций р Е о-ъ* которые являются расширениями л; формулы U^ <= Up и л £ р эквивалентны. Легко сформулировать и доказать аналоги теорем 1.4 и 1.5.

Мы можем ввести также пространство-произведение РЖ t, где i<a

Ж1 есть множество всех отображений множества bt в ag. Наконец, эти примеры можно модифицировать введением более сильной топологии, в которой окрестности определяются функциями, области определения которых принадлежат данному идеалу. Детали этих построений предоставляются читателю.

Примеры отображений р ->- а (р)

Как и раньше, мы рассматриваем транзитивную последовательность Q длины Хо, такую, что Q £ М, и последовательность г длины a < л (М) множеств rt г Rg (Q\ Пусть Ж = Р Ж ь где Ж1 £ Р (г^. i<a

Определим две категории последовательностей а (pY

Последовательности первой категории. Положим Х4 = Хо + а и выберем ординалы Х2, Х3, . . ., Хк, удовлетворяющие неравенствам Х^ <Д Х2 <С * • • Х^ л (2И).

Пусть Rt, R^ . . ., Rh_t— бинарные отношения, такие, что Rt ЕМ и(L ц) € Ri -> (^ < Хг) Л (Хг ^ Ц < Хг+1)

для г = 1, 2, . . ., к — 1.

Определим а (р) следующим образом:

а$ <Р) = Q^ если £ < ^о,Яло+i (?) = Рй если I < а,а^ (р) = {а5 (р): (£, ц) £ R^, если X,^ ц < Х;_ц,у = 1, 2, . . к - 1.

Длина а0 последовательности а (р) равна кК. Мы не исключаем случая, когда к = 1; в этом случае а (р) есть просто последовательность Q, к которой приписана последовательность р; из координат р, и длина а (р) равна Хо + а = Х^

Пример. Пусть Ж = [Р (со)]ю, и пусть а (р) — последовательность 0, 1, 2, . . ., ро, pi, р2, • • -, {ро, Pi} {рг> Рз}, • • -, {{Ро, Pi}, {Рг,Рз}- • •}• Здесь Хо = со, а = со, Xj = со-2, Х2 = ю-З, Х3 = со-З + 1.

Имеем два отношения R^ R2, определенные следующим образом: Rt есть множество пар (со Д- 2i, со-2 + i), (ю + 2i Д- 1, со-2 Д- i) (i = 0, 1, 2, . . .) и R2 есть множество пар (со-2 + у, со-3) (у = = 0, 1, 2, . . .).,

Последовательности второй категории. Начальными членами этих последовательностей являются члены Q, к ним приписаны члены вида (рг П и) U (п — PiY где т и. п — подмножества из Rg ((?), зависящие от I.

Точное определение таково: пусть /, X, Y — функции, являющиеся элементами из М и имеющие область определения а; пусть / (0 — ординал, меньший а, и X (i), Y (О — подмножества из Хо (для произвольного i < а). Выбирая Q, как и раньше, полагаем

«6 (т) = Q%, если ^ < Хо,

axo+i W = tp/(i) П {<2? (pY- ^ € X (i)}] U

U [{<2п (рУ- Г] € у (0} — P/(i)L если 5 < а.

Длина а (р) равна Хо Д- а.

Пример. Пусть ST = \Р (со)]“, Хо = со, Q — последовательность всех неотрицательных целых чисел. Пусть ХЕМ — последователь-

ность подмножеств из со и У (&) = со — X (к) для к = 0, 1, 2, . . .. Последовательность второй категории, определяемая с помощью X, У и последовательности / € М, имеет вид

О, 1,2,.. ., /що) * X (0), рди * X (1), . . ., pj^ * X (к), . . .,где х * у обозначает дополнение симметрической разности х и у.

Доказательство условия VIII для последовательностей первой

и второй категорий

Читатель, прошедший сквозь длинные вычисления гл. XI, конечно, не будет приветствовать этот параграф, в котором мы даем не менее громоздкую проверку условия VIII для двух типов последовательностей, описанных в § 2. Проверка сложна, однако следует заметить, что это связано только с большим количеством рассматриваемых частных случаев. Каждый частный случай очень прост.

Рассмотрим в качестве примера очень простую последовательность первой категории

а (ж): 0, 1, 2, . . ., xQ, xv (ж0, х^

длины со + 3, где х = (ж0, х^ — элемент пространства [Р (со)]2. Мы должны тогда рассмотреть множества

ей = {ж: «| (ж) € ая (ж)}>

Чч = {^ <4 (ж) = «п М)

и искать подходящее разбиение множества (со + 3) X (со + 3). Для любого члена X разбиения мы должны определить два полинома р и q, каждый из которых зависит от двух ординальных переменных, и таких, что, если (£, т]) принадлежит X, то

= Р (б, л), Чч = Ч (^ л)-

Если | < со и т] < со, то а^ (ж) = £ и ап (ж) = тр Значениями С|П и Цч являются тогда либо 0, либо Ж, и то, какой из этих случаев имеет место в действительности, зависит от справедливости одного из условий: | < т), | = т), | > тр Таким образом, в качестве первых трех множествнашегоразбиениямы берем множества

Хо= {(В,Л>:В< Л<®},

Xi= {(I,л>:В= л<®},

х2= {(В,л>:л< В<®}.

Полиномы р и q имеют постоянные значения р0 = Ж, q0 = 0, Pv = 0, 91 = Ж, Pz = 0, q2 = 0. Мы проверим, что такой выбор подходит для случая, когда (|, г]) £ Хо. В этом случае мы имеем Е € Л’ поэтому Я| (ж) € «п (ж) независимо от х и, таким образом, ж € е1п Для произвольного х. По той же Причине для любого х неверно, что а^ (х) = ач (х), и потому г^ = 0.

Остается рассмотреть еще некоторые пары. Наиболее интересными из них являются пары (и, со + Z), где n< ®ni = 0, 1. Множество таких пар обозначим через Х3. Точка х = (ху, х^ принадлежит en,m+i тогда и только тогда, когда п Е я,. Это в свою очередь эквивалентно утверждению, что х принадлежит окрестности Уп, состоящей из точек, i-e координаты которых содержат конечное множество {п}. Поэтому если л;,п — функция с областью определения, совпадающей с одноэлементным множеством {i} и с единственным значением, равным паре ({п}, 0), то условия хЕе^^-н nx^Uni n эквивалентны. Таким образом, мы видим, что в этом случае в качестве р достаточно взять полином р3 (£, ц) = Un^_to § *)• Это действительно полином, так как функция, которая каждой паре (а, р) ставит в соответствие функцию лар — {(а, ({0}, 0))}, определима в М.

В качестве полинома q для этого случая можно выбрать

9з& Л)= П Рз^т, Л)П П [^—Рз(т. л)Ь772 <£ ^^7П<(Й

Для пар (со + г, со+ 2), где г = 0, 1, мы, очевидно, в качестве р можем взять полином, тождественно равный Ж, и в качестве q— полином, тождественно равный 0. '

‘ Хотя осталось рассмотреть еще много типов пар, мы прекратим здесь обсуждение нашего примера. Рассмотренных случаев будет достаточно, чтобы понять рассуждения в общем случае, к которому сейчас перейдем.

Пусть а (х)) — последовательность первой категории, как это определено в § 2. Введем следующее разбиение множества а0 X а0:

(5, ц) е е0 = (g=л),

(Е, Л) € Е№ = (В < ц < Zo) A(Q% € <?„),

(В, л) € ^ои = (5 < л < М А «А = <2п),

<1, л) € ^о? = (£ < л < М А«А5 <МЛЖ Ф <А).

(В, Л) € EZ1 =(1< Хо< ц < м A (Q^ 5 Г^-Хо),

(В, л)€^01 = (^А^л^сШ&С^-хо)-

(В, л>€^ = (^-1<-^<МА(^-1<л<МА(^<л),

j, Л = 0, 1, 2, ...,k, j<h и (7, Л)#=(0, 0), U, А)^(0, 1), (£, ц) Е Eih = (ц, £) Е Ejh для произвольных /, А.

х) Если ц ^ со, то предполагаем, что ц — со = 0.

Для любого из этих множеств определим два полинома р и q с подходящими индексами. Дадим определения этих полиномов и проверим, что для произвольного х из Ж и произвольного (В, Т] ) в любом из множеств Е полиномы р и q с теми же индексами, что и Е, удовлетворяют эквивалентностям

)k Е Р (В, л)1 = ^ М'Е «п WI,

Ь Е q (В, л)1 = ^ W = ап МЬ"

(В,Л >Е Ео; р0 (£, ц) = 0, q0 (В, л) = Ж/

(В,л>Е ЕОа;рОа (В, ц) = Ж, qOa (В, ц) = О,

(В,л>Е Е№;роР (В, ц) = 0, дор (В, л) = ^,'

(В,л>Е ЕОч;Роу (В, Л) = °, ?ov (L л) = °-

Формулы (1) в этих случаях проверяются непосредственно.

(В, .л) Е Ezl; pzl (В, ц) = 0.

Проверка. Так как at (а) = ^j ^ гп-^ и ач (я) = ^ч-Ьо Е с r^-xg, то правая часть первой формулы из (1) ложна.

Полином qzV (5, ц) будет определен позднее.

(В, Л > Е ^01-

Полагаем а (В, л) = {Ел — Хо, U^O’ 0))}, если Л ^ ^о, и а (В, л) = 0, если л<Х0. Таким образом, если ц ^ Хо, то а (В, л) есть функция с одноэлементной областью определения {л — Хо} и ее значением является пара ({^j}, 0). Поэтому если ц ^ Хо, то UoA. п> состоит из точек х С Ж, таких, что {^j} с х^-Хд. Это включение эквивалентно тому, что Q^ £ ^ч-Хо’ т- е- as W Е an W *)•

Теперь определим полиномы qzl и д01. Прежде всего нам понадобится полином w (|, ц) с таким свойством: если В < Хо ^ л < ^ь то w (|, т]) равен Ж или 0 в соответствии с тем, является ли Q^ подмножеством из гл_х0 или нет. Таким полиномом является, например,

w (В, Л) = Ж -и[^0(5) U (^ - <7а(Е)],

£ЕФ(£, В)

где а — произвольное отображение л (М) в П, которое определимо в М (например, о (В) = {(О, ({В}, 0))}), Ф (В, л) = {? < ^ Q^ Е Е Q^ — гл_хо}, если ^о^тК^, и Ф (В, л) = 0 в других случаях.

Сразу же замечаем, что если В < Хо л < ^i и Q^ ^ Гл-Хо’ то Ф (В, л) = 0, и поэтому ip (В, т\) = Ж; в других случаях Ф (6, л) 5^ 0, и поэтому ip (В, л) = 0.

Если В < Хо ^ т) < Х1; полагаем

Г (В, Л) = G<B: УсЕ^П 7^},

А (В, л) = {^ < В: Qt Е r^Xg - &};

!) То есть в качестве р01 (g, ц) можно взять и0(^ ^j.— Прим. реЭ.

для других значений аргументов Г (£, т]) и А (£, т]) определяем равными 0. Требуемыми полиномами являются

?Z1 = ?01 = Q, Л)П П Poi(9 Л)П П[^—РоИС, л)Ь

№(£, п)S£A(L п)

Проверка. Пусть (|, ц) Е EzV U Е01. Тогда £ < Хо < Л < C^i. Если £ Е Г (£, т]) U А (£, т]), то (С, ц^Е^о!, и поэтому х Е Pot (С, л) = Qt Е «п (ж). Таким образом, условие х Е q^ (£, л) эквивалентно конъюнкции формулы х Е w (£, ц), формул Qr Е «п W для всех <2е из г^-хд, удовлетворяющих условию Qr Е <2^ и формул Qt Е Ч кж) Для всех Q^ из г^-^, удовлетворяющих условию Qr Е Q^,. Так как х Е и? (£, ц) влечет Q^ с г^-хд, то эта конъюнкция очевидным образом эквивалентна равенству Q^ — а^ (х).

(I, Л) E^ii- Полагаем

^ (Л) = {S: ^, Л)Е^01}, В (та, £) = Л (л) П {т<Х0: <2Т = <2;} и'

Ри& Л) = U [Poi(C, Л)П?01(С, 1)1,^Л(Л)

qu& л)^!^, л)П?м(л, 9. где

«, л)= П U (V^-Pot^, 91Upoi(T, л)}.

ЕЕЩ^) T£B(n, О•

Проверка. Условие х Е Рн (£, л) эквивалентно существованию такого Qr в r^-xg, что ^Е^п-Хд и Q^ = x^_>^. Это эквивалентно тому, что ж=-х0 Е a^-Xg, т. е. а^ (х) Е ач (ж).

Условие х Е q'u (£, л) эквивалентно следующему утверждению: для любого £< Хо, такого, что Q^ Е г^-xg П ^s-Хо’ существует т < Хо, такое, что Q^ = Qx и Qx Е ^л-Хо- Отсюда

(х Е qn (L Л)) = (^-Хо г «п-хд) = кЧ ^ ^ ао кх^

и, следовательно, условия ж Е 9н (I, л) и а& W ~ ал (ж) эквивалентны.

(L ц) Е Ejh, где Н, у = 0, 1, . . ., к, у ^ h, h 2.

Будем считать пару (г, з), гДе г ^ з, меньшей чем (у, /г), если или з < h, или з = К и г < ]. Предположим, что полиномы pTa и qTS уже построены для пар (г, з), меньших чем (у, ку

Положим

Впк^-^: <1, Л>е7М и рл(^, л)= U qj.h-tkL ^У

(В том случае, когда h = у, заменяем qj,h-i на qj-i,j.)

Проверка. Принадлежность ж Е Pjn (^> л) эквивалентна существованию такого 9 что (9 т]) Е Rn-t и at (^ = а6 кхУ т. е. тому, что

Ч кх) = кч кхУ к^, л> Е Rn-Л = Ч кхУ

Если у ^ 2, положим

qjn^ л) = Л U qn. h-i(С, т) л л и q^. /г-ЛС, т).

KRhW tEfl/g)TER^^CERftW

Проверка. Представим qjh (£, л) как А Л В. Тогда х ^ А в том и только в том случае, когда для любого £, такого, что а^ (х) £ g ач (х), существует такое т, что аТ (х) С а^ (х) и а^ (х) = ах (х). Это эквивалентно тому, что а^ (х) s я^ (х). Подобным же образом видим, что х ^В тогда и только тогда, когда имеет место обратное включение. Поэтому условия х € q^ (£, л) и а^ (х) = ал (х) эквивалентны.

В тех случаях, когда у = 0 или у = 1, определение q^ должно быть модифицировано, так как множества Ду (л) не определены. Полагаем

q».^ 4) = q\h^ n)ngih(^, л), где

q'ih& Л) = 0 U {[^-Poi(C, ^U?o.a-i(C, t)},

gk^, л) = (1 U g0.h-i(C,T).

ТЕНЛ(В) SgA(S)

Проверка. Условие x £ qVh (£> л) эквивалентно следующему утверждению: для любого $ < Хо, если Q^ С xg-x0> существует т, такое, что ат (х) = Q^ и (т, ц) £ Дд-i- Так как (т, р) С Rh-v эквивалентно ат (х) € а^ (х), то выводим, что условие х € q\h (£, л) эквивалентно тому, что х^-^ г ач (х), т. е. тому, что а^ (х) s а^ (х).

Подобным же образом убеждаемся, что

[ж € q\h {^ л)! = [«в (ж) S Я| (х)].

Наконец, если у = 0, полагаем С ^) = {£ < Хо: Q^ g ^} и

qQh^ л) = q'oh(l, л) П ffoh №, л),

где

qonl.^ л) =qonl.^ л) =П U^с® Т£НЛ(Г|)П U^с® Т£НЛ(Г|)?0. /г-1 (С>?0. /г-1 (С>т),т),

qonl.^ л) =

qonl.^ л) =

П U^с® Т£НЛ(Г|)

П U^с® Т£НЛ(Г|)

?0. /г-1 (С>

?0. /г-1 (С>

т),

т),

qoh^, л)= Л U qo,h-i(£, т).тенл(11) tec(g)

Легко можно проверить эквивалентности: [х С q'Oh (^, ц)] = = [aj (х) с ач (х) и [х £ q'oh (£, л)1 = [«в (^) = я? (ж)].

Полиномы pjh и qjh определены с помощью индукции. Остается определить полиномы р, q с верхними индексами.

(^, л) € E3h- В этом случае полагаем qiH (£, ц) = qjh (ц, £);

проверка второй из формул (1) очевидна. Для того чтобы определить полином plh, полагаем

Bmnjh (5, Л) = С: С, т)> е Emh /\ С, ^) е Еи]^Р3Ч^ Л)= и и " PmhC, Ч^пД^ 5).m’n ^Pmnjh^-^

Проверка, ж £ p,h (£, ц) эквивалентно существованию чисел т, п и ординала £, таких, что (£, тО£ЕтК, (£, ^) €. Enj и ж( £Pmh (£, Л) П 4nj (t Ю- Поэтому аЕ (ж) € а^ (ж) и аЕ (ж) = аЕ (ж) и, следовательно, аЕ (ж) 6 а^ (ж). Обратно, если аЕ (ж) 6 «п (я), то аЕ (ж) может быть представлено как аЕ (ж), где £ < т), и импликации, указанные выше, могут быть обращены. Таким образом, мы доказали, что

Последовательности первой категории удовлетворяют условию VIII.•

Перейдем к доказательству условия VIII для последовательностей второй категории. Определим разбиение а0 X «о на следующие множества:

F0 = E0, Foa = Еоа, Fop, = Eop, Ffft — Ео^, Fzi. = Eti,■

(5, Л)€^oi = £<До<11<Л + а,

(5. т1)€^н = ^о<^<П<^о + а,

'(£, t^F^t), ^Fjh.

Полиномы р0, q0, рОа, . . ., gov те же, что и выше.

Обозначим через X, Y, f функции, которые определяют последовательность второй категории а (х) (см. стр. 167). Полагаем

Fjh^=^: (5, Ъ€Р^

(подобным же образом определяем Flh (^)). Тогда легко проверить, что полином•

Р(^т,)= и 9оСЛ)и и ' до₽(?,юи

се^(п-Ао)п^о(5)ге^п-адпгорС^)

и и 90р (?, ю се^(п-мп^ор(9

обладает следующим свойством: когда 5 < ^о ^ Л < ^о + а> т°

х^р^ П)^а6(®)€{^: ?€Х(Л-Х0)}.

Заменяя всюду X на Y, мы получаем полином р (£, т)), удовлетворяющий для тех же £, ц эквивалентности

х^)^, 7))ва£(ж)€№Е: ?€У(Т]-Ш

Теперь достаточно взять.

Аи& ’l) = ?oi(l П) = 0, если т]>Х0;

в противном случае

Р01 (£, П) ~ 1^о($, Хо+Лч-Ьо))П Р (£, лиидр^, л) — CWwvdi-Xo))]’

goi%, л)= П аи(£, л)П fl^—Poi^ л))-goi%, л)= П аи(£, л)П fl^—Poi^ л))-«УУ«УУ£exo-FOa($)£exo-FOa($)

goi%, л)= П аи(£, л)П fl^—Poi^ л))-

goi%, л)= П аи(£, л)П fl^—Poi^ л))-

«УУ

«УУ

£exo-FOa($)

£exo-FOa($)

Проверка. Предположим, что (|, ц) EFqv Условие х EPoi (L Л) эквивалентно дизъюнкции двух условий:

(i) [х Е Ua^_ ^/(ч-Хо»! А (^ € Р &, 1])),

(п) (х^р (^ т])) Л [ж $ C/ad, ^/(п-хо))]-

Из определения о и из (2) выводим, что (i) эквивалентно «5 («) €^(Ч-Хо) П {<2с! ^ЕХ (л—Ш

По тем же причинам (п) эквивалентно формуле

«а W Е {(2с: С € У 01—М—а-лч-хо),

и, таким образом, первая из формул (1) истинна.

Условие х Е ?oi (£» л) означает, что если £ < л0 и Q^E Qv то ж Е Poi (С, т)), и если (2с £ Q^ то ж $ р01 (С, т])- Так как х Е Poi (С, л) = — (2с Е ^ч-Хо = «ч (ж)> то получаем вторую эквивалентность из (1).

Полиномы рп, qn, pzl, qzl и полиномы р, q с верхними индексами могут быть определены подобно тому, как это делалось при доказательстве утверждения 3.1. Детали этого построения оставляем читателю. После проверки истинности формул (1) для этих полиномов получаем

Последовательности второй категории удовлетворяют условию VIII. ,

В этом параграфе мы рассмотрели последовательности первой и второй категорий во всех деталях, так как эти последовательности в последующих главах будут использованы в доказательствах независимости. Ясно, что можно определить много других классов последовательностей, для которых выполнено условие VIII.

Например, можно обобщить понятие последовательности первой категории, допуская бесконечное число отношений Rt с естественным требованием, чтобы последовательность, составленная из них, принадлежала М. Далее, можно комбинировать операции, которые служат для определения последовательностей второй категории, с теми, которые были использованы в определении последовательностей первой категории, и можно итерировать эти операции произвольное число раз.

Примеры моделей

Теоремы, доказанные в § 1—3, вместе с теоремой XI.5.2 позволяют нам определить большое многообразие моделей для ZF. Любая из этих моделей определяется следующими параметрами: счетная модель М для ZF, пространство 37, удовлетворяющее условиям, изложенным в XI.5.2, множество П из М, отображение U: л-»- Ул множества П на регулярный базис для 37, ординал а0 < л (М), отображение р —»- а (р) пространства 37 в класс последовательностей первой или второй категории, имеющих длину а0- Модель, определяемую этими параметрами, будем обозначать через

N (М, 37, В, а (рУ П),

где В — одна из функций Smm, В0, Вг пр — генерическая точка из 37. Обычно мы будем вводить более простые обозначения для конкретных моделей, которыми будем заниматься.

Дадим некоторые примеры таких моделей.

Простые расширения. Выберем транзитивную последовательность Q длины Хо, такую, что Q Е М, r0 Rg (Q), 37 — Р (г0), П = nt (г0) (см. стр. 164). Пусть а (р) = Q Q {<Х0, рУУ Тогда длина а (р) равна а0 — ^-о + 1 и а (р) — последовательность первой категории. Из теорем XI.5.2, 1.1, 1.2 и 3.1 выводим

Если В — одна из функций Втт, В0, Bz, то для любой генерической точки р г0 множество

NBx (r0, р) = N (М, Р (г0), В, Q U «Х0,рУу П, (г0)) является моделью для ZF.

N? (г0, р) будем называть простым расширением *) (верхний индекс обычно будет заменяться одним из символов О, Z или min). Элементами этой модели являются множества Св (а (рУ, где 5 < <7 л (ЛТ). Таким образом, мы можем сказать, что элементами модели N^ (г0, р) являются множества, конструктивные относительно а(рУ где р — генерическая точка. По существу они получаются из членов последовательности Q и генерического подмножества р множества г0 трансфинитной итерацией операции А^ (ас, у). Так как р, в общем, не является элементом из М, простые расширения содержат элементы, которые не принадлежат исходной модели М. «Высота» простого расширения, измеряемая наименьшим ординалом, не входящим в него, равна л (М). Таким образом, NB (г0, р) «шире», чем М, но имеет ту же «высоту» (см. VI.4).

Другие типы простых расширений получаются заменой Q (J U {(^о, Р^ на другую последовательность первой или второй кате-

х) Терминология не очень подходящая, так как множество A'f (г0,р) не всегда содержит все М.

гории или заменой Hi (г0) на П3, j (г0), где J— идеал подмножеств из г0, такой, что J € М и все конечные подмножества из г0 принадлежат J. Например, J может быть семейством множеств ж, удовлетворяющих условиям:

х Е. г0, х ЕМ, Нм | х | < | (О |.

Конечно, если изменить топологию на ^Г, то семейство Gen (^") генерических подмножеств из г0 будет отличаться от семейства Gen (^Ж) из 4.1.

Кратные расширения. Для того чтобы получить эти расширения, мы, как и раньше, выберем транзитивную последовательность Q и последовательность г порядкового типа а < л (М), состоящую из подмножеств множества Rg ^QY Обе последовательности Q и г являются элементами из М. В качестве Ж выберем пространство Р Ж i, где Ж, = Р ^nY Топологию на Ж можно определить многими 7<а разными способами: Ж можно снабдить (обобщенной) тихоновской топологией, определяемой идеалом К подмножеств из а и последовательностью J идеалов J ь состоящих из подмножеств множества г, (t < а). В первом случае в качестве П мы выбираем множество П“ (г), а во втором — множество П“, j, к (П (см. § 1). Если р Е Gen (Ж) и а (р) — произвольная последовательность первой или второй категории, то мы можем утверждать, что верна следующая теорема:

Если Ж = Р Жt- Ж{ = Р (г,) и pE^en^Y то множества

Na (г, p) = N ^М, Ж, В, а (р), П^ (г)),

N®, ,. к (г, р) = N (М, Ж, В, а (р), П“ j, к (г))

являются моделями для ZF; здесь В — одно из В™\ В0, Bz.

Эти модели будут называться кратными расширениями. Структура их элементов такая же, как прежде, т. е. это те же множества С® (а (р)), где £<л(М). Существенное отличие между кратными и простыми расширениями состоит в том, что р является подмножеством не фиксированного г0, а последовательности подмножеств из rt. Таким образом, в кратном расширении содержится не одно единственное подмножество р из г0, взятое извне и добавленное к модели, а целая трансфинитная последовательность подмножеств Pt фиксированных множеств гг. «Высота» этих моделей по-прежнему равна л (.MY

Модели, получаемые из генерических функций. В этом примере мы берем в качестве Ж множество аь всех отображений b в а. Множества а, b — это элементы транзитивной последовательности Q, принадлежащей М и удовлетворяющей условию, что любая пара (ж, у)

и любая упорядоченная пара (ж, у), элементы х, у которой принадлежат a U Ъ, являются членами Q. В качестве П мы выбираем множество П5 (а, 6), а в качестве а (р) — любую последовательность первой или второй категории, например последовательность Q U U {(Хо, р)}, получаемую добавлением к Q последнего члена р. Из теоремы XI.5.2 и теорем, доказанных в § 1 и 3, выводим

Если р € Gen (а6), то множество

■N^ ь (р) =N (М, а\ В, а (р), П5 (а, 6))

является моделью для ZF, если только В — одна из функций Bmto, В®, Bz и а (р) — любая последовательность первой или второй категории.

Модели Nq, ь (р) можно называть простыми функциональными расширениями, так как их элементы построены исходя из единственной функции р € а,ь.

Подобным путем можно определить кратные функциональные расширения, выбирая в качестве ^ пространство Р^*ь где 97, = г<а

= сц1 или, более общо, где 9? t содержится и замкнуто в а^. Опять мы имеем различные возможности для выбора топологии на 9? и выбора последовательности а (р).

Как видим, количество различных примеров моделей, которые могут быть построены этим путем, неограничено.

Теорема о генерических точках ,

Свойства моделей, построенных в § 1—4, зависят главным образом от свойств генерических точек р, которые используются для их построения. Вообще говоря, нелегко ответить на вопрос, выполняется ли данная формула Н в одной из моделей, построенных выше. Мы можем доказать только следующий слабый результат.

Пусть 9" — пространство и А: р ->- а (р) — отображение, для которых все предположения теоремы .XI.5.2 выполнены, и пусть N (р) — одна из моделей С„(м) (а (р)), где, как обычно, В — одна из функций Втт, В®, Bz.

Если Н — формула, £ € л (M)Fr(H) и множество

^н.^ = ^Р- НN<P>Н[С^а(р))]}.

является множеством первой категории, то Gen (^*) П S'H, 5 = 0.

Доказательство. Если ^н, $ содержит генерическую точку, то оно содержит почти все точки окрестности р и, таким образом, не является множеством первой категории.

Теорема 5.1 указывает большой класс формул, для которых верно Н N (р) И Н [Cg (а (р))] для любой генерической точки р. Несмотря

на ее простоту, теорема имеет примечательные следствия, как будет видно из примеров, которые даются ниже. Мы сперва докажем следующую лемму.

Пусть Ж^, у < р,— хаусдорфовы пространства без изолированных точек ) и Ж = Р Ж^ — их произведение с J-топологией,

7<р-

где j — идеал подмножеств из р, содержащий все конечные подмножества из р.

Пусть а< Р < р и Жа = Жр. Тогда множество

А = Аар = <р^Ж-. ра = Р^

нигде не плотно в Ж. Если р < (щ, то множество

{р: (£а, Р)р [(а =Д 0) Д (Ж а = Ж^/\ (j)a = рр)]} является множеством первой категории.

Доказательство. Пусть U — окрестность точки р Е А, Ua и Up — проекции U в Жа, Жр. Так как Жа = Жр и в Жа нет изолированных точек, легко видеть, что существуют окрестности U's Ua, U"s Up, такие, что U' П U" = 0. Пусть Uo — множество точек q из U, таких, что qa € U' и qp Е U". Тогда Uo является окрестностью и поэтому открытым подмножеством множества U. Кроме того, Uо не пересекается с Аар. Это доказывает первую часть леммы. Вторая часть леммы следует из первой.

Следующее утверждение является непосредственным следствием леммы 5.2.

Если В = Bz, все члены последовательности г бесконечны и а (р) — последовательность первой категории, то в моделях NBa (г, р) и Nl j, к^Т, р), полученных методом кратных расширений (см- 4.2), существуют взаимно однозначные отображения ординала а в семейство подмножеств1 из Rg №)•

Доказательство. Из V.5.6 следует, что существует фиксированный ординал v, такой, что Св (а (р)) = а (р) для любой точки р. Покажем, что если р является генерической точкой, то р принадлежит моделям, о которых идет речь, и никакие две из ее координат не равны. Как только мы это покажем, будет ясно, что р — требуемое отображение.

Так как а (р) — последовательность первой категории, то р получается из а (р) построением суперпозиции / о а (р), где

./= {(5, Ьо + ^): £<«}-

Принимая во внимание V.2.1, получаем, что р принадлежит моделям, рассматриваемым в теореме, и это же имеет место для р.

Теперь докажем, что рр #= ра, если р ^ <5. Заметим, что рр = = а^+р (р), и поэтому нам нужно показать, что а^+р (р) =# а^+а (р), если р Ф ст и р, ст < а.-■

Пусть Н — формула

(Ех3) [((Жь Яд) € Хо) Д (<Ж2, Х3) € ж0)1

иф — последовательность

«О, v), (1, рР (Ло + р)), (2, pF (Хо + ст))}.

Из определения ^н, ф легко выводим, что (р 6 ^н, ф) = (Рр = Ра) для произвольных р из Ж. Теперь заметим, что ни одно из пространств Ж, = Р {Г}) не имеет изолированных точек, и поэтому условия леммы 5.2 выполнены. Отсюда следует, что З'н, ф — множество первой категории. Это доказывает, что никакая генерическая точка р не принадлежит ^н, ф- Отсюда Рр^ро№я любой генерической точки р, что и доказывает теорему.

Например, в качестве Q мы можем выбрать множество всех неотрицательных целых чисел и в качестве а — любой ординал из М. Тогда получаем, что существуют модели, которые содержат в качестве элементов последовательности длины а, элементами которых являются различные множества целых чисел. В следующей главе мы увидим, как из этого следствия можно получить доказательство независимости континуум-гипотезы.

Теперь рассмотрим случай, когда элементами Ж являются отображения. Сначала докажем следующую лемму:

Если Ж = а6, b — бесконечно, топология на Ж — тихоновская и х £ а, то множество Sx = {/ 6 Ж, х $ Rg (/)} является нигде не плотным.

Доказательство. Пусть /€ Sx и U — окрестность точки /, определяемая функцией / | X, где X — конечное подмножество из Ь. Возьмем любое у ^ b — X. Окрестность, состоящая из всех расширений функции / | X U {(у, ж)}, не пересекается с Sx.

Если b бесконечно, то модель Na,b(p)^ построенная в 4.3, содержит отображение b на а.■

Доказательство. Так какр — член а (р), тор € Na, ъ (р)- Покажем, что р — требуемое отображение. -

В соответствии с определением последовательности а (р), использованной в 4.3, место, на котором р встречается в а (р), не зависит от р. Множество а также является членом а (р) с фиксированным индексом. Поэтому существуют ординалы £ < л (М), ц < л (М), такие, что

а = Сп(а(р)) и р = С6(а(р)).

Пусть Н — формула

(Яг) [(z 6 жД Л (0 (<<, z) 4 Жо)1.

Тогда утверждение, что отображение / = Сф (а (р)) 6 ^а, ъ = N не является отображением на а, равнозначно следующему:

Н NH [f, а] или, более педантично,

Н^Я [{<0, Сф(а(р))>, <1, ^(«(р))»].

Возьмем <р = £. Тогда множество

^н.ро,^, ^.rp}^6^ Н*Я^’ а]}=^5ж является множеством первой категории, и поэтому никакая генерическая точка р не принадлежит

^н,«о,|>,<1,ф}’ т- е- Ь1Я[р,«1, что доказывает теорему.

Аналогичная теорема может быть очевидным образом доказана и в более общем случае, упомянутом в конце § 1, когда топология на ^ определяется идеалом J подмножеств из Ъ. Единственное предположение, которое мы должны добавить, состоит в том, что идеал является собственным, т. е. b £ J.

Независимость сильной аксиомы конструктивности

В этом параграфе мы предполагаем, что Ж — пространство без изолированных точек, что Ж, а (р), Un удовлетворяют предположениям теоремы XI.5.2 и, наконец, что существует фиксированный ординал у, такой, что р = С^ (а (р)) для любого р из Ж. Понятие генерической точки относится к этому пространству с базисом Un и к фиксированной счетной модели М. Через Nz (р) обозначаем модель, полученную из М и генерической точки р в соответствии с теоремой XI.5.2 и для В = Bz. Предположение относительно ординала у в этом случае выполнено; см. V.5.6 и доказательство теоремы 5.3.

Пусть g — равномерно определимая функция одной переменной, изменяюгцейся над On. Тогда если р £ Gen (Ж'), то р g (£) для любого £ из On Q М.

Доказательство. Пусть £ — ординал из М и Н — формула с Fr (Я) = {0, 1}, которая определяет g в смысле, объясненном в V.I. Если р — генерическая точка, то Nz (р) содержит £ как элемент и является моделью для ZF, и поэтому значение g (£) принадлежит Nz (р) и может быть охарактеризовано как единствен-

ный элемент у, для которого V-Nz^H [у, £1. Элемент £ мы можем представить в виде (см. III. 5) Ср1*(в (а (р)). Любой элемент у из Nz(p) может быть представлен как С^(а(р)). Таким образом, получаем следующую эквивалентность, истинную для произвольного ц из On П М и произвольной генерической точки р:

[^ (а (Р)) = g (6)1 = Ня2(р) Н lCz la Ip)), С^а) (а (р))].

Применим эту эквивалентность к случаю, когда ц = у. Обозначая через а последовательность {(0, у), (1, pl* (£))}, правую часть эквивалентности можем представить как р £ ^н.т в то время как левая часть переходит в р = g (6) в соответствии со значением у, указанным выше. Тогда получаем

.Ун . а П Gen W = <g (6)} П Gen 1&).

Поэтому множество ^н. а является множеством первой категории и, следовательно, не содержит генерической точки р. Это Доказывает, что никакая генерическая точка не равна g (£).

Примером g являтся функция g (6) = Cf (0), где В равномерно определима (см. V.3.1). Если г — бесконечное множество, то все предположения из 6.1 выполнены для модели N^ (р), которую мы в 4.1 назвали простым расширением. Таким образом, получили следствие

Если, В — равномерно определимая функция, которая удовлетворяет условиям (В.0) — (В.4), г бесконечно up — генерическая точка пространства Р (г), то простое расширение Nz (р) содержит .элементы, которые отличны от С® (0) для любого ординала £, содержащегося в модели.

Этот результат может быть использован для доказательства независимости сильной аксиомы конструктивности, которая обсуждалась в VII.9. Как мы там видели, истинность этой аксиомы в модели влечет, что любой элемент модели имеет вид С® (0), где £ — ординал, который сам принадлежит модели. Следовательно, эта аксиома неверна в Vf (р), и мы выводим, что

Сильная аксиома конструктивности С+ независима от ZF.

Слабая аксиома конструктивности также независима от ZF. Доказательство этого метаматематического результата не может быть получено с помощью моделей, обсуждаемых в этой книге.

Глава XIII

КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА

Целью этой главы является построение моделей, в которых неверна континуум-гипотеза. Мы установим различные утверждения, которые противоречат континуум-гипотезе и в то же время совместны с ZF и аксиомой выбора.

Модели, о которых будет идти речь, уже построены в гХ. XII. В XII.5.3 мы указывали, что для данной счетной модели М существуют модели N, которые содержат взаимно однозначное отображение любого данного ординала а < л (М) в семейство подмножеств из ®. Таким образом, N содержит по крайней мере а подмножеств из ®. Называя ординал р < л (М) кардиналом из М, если М не содержит отображения меньшего ординала на р, мы можем выбрать в качестве а, скажем, третий бесконечный кардинал из М и, таким образом, найдем, что N содержит по крайней мере столько подмножеств из ®, сколько имеется элементов в третьем бесконечном кардинале из М. Континуум-гипотеза утверждает, что ® имеет столько подмножеств, сколько имеется элементов во втором бесконечном кардинале. Отсюда мы видим, что континуум-гипотеза будет нарушаться в N, если мы сможем доказать, что третий бесконечный кардинал из М совпадает с третьим бесконечным кардиналом из N. Обобщения этого простого плана доказательства очевидны.

По причинам, объясненным выше, основную часть этой главы мы посвящаем изучению проблемы, как соотносятся кардиналы из М и кардиналы из N. Мы увидим, что достаточно большие кардиналы из М являются в то же время кардиналами модели N. Доказательства зависят от некоторых вспомогательных результатов, касающихся абстрактных топологических пространств. Эти результаты мы получим в § 1—3. В действительности нам понадобятся только очень специальные случаи теорем, данных в § 1—3, однако нам кажется, что полезней дать общие результаты.

Вспомогательные понятия, связанные с кардиналами

В этом параграфе наши рассмотрения основываются на аксиомах ZF и аксиоме выбора.

Ординал а называется кардиналом, если не существует функции / с Dom (/) £ а и Rg (/) = а. Мы предполагаем известными основные операции над кардиналами и их свойства. Обозначим ^й бесконечный кардинал через ®.

Индекс конфинальности cf (а) кардинала а обычно определяется как наименьший ординал р, такой, что а конфинально с юр. Здесь будет более удобно использовать несколько отличающееся понятие (см. Эрдёш — Радо [33]):-

Для любого ординала а обозначим через а' наименьший ординал у, такой, что существует функция / с Вот (/) = у, Rg (/) S а и {j Rg(/) = а. Для любого ординала а так определенный а' является кардиналом.

Таким образом, если а = Юр-ы, то а' = а; если а = юр конфинально с юх, но не конфинально с Юц, где ц -< X, то а' = Юх- В обычной терминологии мы имеем а' = юсг (а) для любого кардинала а = = юр с предельным индексом р.

Кардинал а называется регулярным, если а' = а, и сингулярным, если а' -< а.

- Мощность множества х обозначается через | х |. Сумма и произведение двух или более кардиналов обозначаются обычным способом. Кроме того, мы полагаем

а~ = 2 i^ 1,

где сумма взята по всем ординалам <р.

Последователь кардинала а обозначается через а+.

Мы предполагаем известными элементарные свойства кардиналов. Более специальные результаты приведены ниже.

Для произвольных бесконечных кардиналов а, Р существуют кардиналы v, такие, что max (а, Р) ^ v = v“.

Доказательство. Положим у = max (а, Р) и v = |у“ |. Тогда'

V® = 2 | v$ I = 2 I Т“51 = 2 I 7“ I = a 17“ I - |'7a I = V

Наименьший кардинал, удовлетворяющий 1.1, будем обозначать через v (a, Р). Так как | Р^ | ^ | v (а, Р)£ |, то, суммируя по кардиналам, мы получаем

pi <v (a, р).

Вообще говоря, указать точное значение v (a, Р) невозможно без дополнительных гипотез. Отметим, однако, следующий простой результат:

Если Р — бесконечный кардинал, то v (ю, Р) = р.

Справедливость 1.3 вытекает из того, что pi = 2 Р” = Р- п<ю

В следующей теореме оценим значение v (a, р), предположив справедливость обобщенной континуум-гипотезы.

Если верна обобщенная континуум-гипотеза и а, 0 — бесконечные кардиналы, то v (а, 0) принимает следующие значения:

а > 0;.

v (а, 0) =v (а, 0) =а, если а регулярен, а+, если а сингулярен.

v (а, 0) =

v (а, 0) =

а < 0, 0 — регулярный кардинал;

v (а, 0) = 0.

а < 0, 0 — сингулярный кардинал;

' 0, если а не имеет предшественника и а<^0'или а —а* и

v (а, 0) =„._

х0+, если а не имеет предшественника и а>0

или а = а* и at>0'.

Доказательство. Предположим сначала, что а^ 0. Если a = а*, то a = | 2®1 |, и поэтому а“ = | а®* | = | 2“* | = а. Если а не имеет предшественника, но является регулярным, то а“ = а (см. [13], стр. 288). Таким образом, в обоих случаях условия 1.1 выполнены для v = а и, очевидно, это значение для v наименьшее из возможных. Если a — сингулярный кардинал, то a“ > а (см. [13], стр. 284), но очевидно, что (а+)“ = а+, и поэтому v (а, 0) = а+.

Предположим теперь, что а < 0 и 0 — регулярный кардинал. Тогда 0“ = 0, и поэтому v (a, 0) = 0.

Наконец, пусть 0 — сингулярный кардинал и 0 > а. Используя результаты, полученные в [13], стр. 288, устанавливаем, что если a не имеет предшественника и а ^ 0', то 0“ = 0, и поэтому v (a, 0) = 0. Если a > 0', то 0“ = 0+, и поэтому v (a, 0) ^ 0+; так как (0+)“ = = 3 I 2р$ | = | 2Р | a = 0+, то получаем, что v (a, 0) = 0+.

s<«

Кроме того, если a = а*, то 0“ = | 0®1 | = 0 при at < 0' и 0“ = = 0+ при at ^ 0' (см. [13], стр. 288). Таким образом, все утверждения из 1.4 проверены.

Нам понадобится также следующее хорошо известное свойство регулярных кардиналов..

Если а = а' ^ со и F — функция с Dorn (Е) 6 а, такая, что | Е (£) | < а для любого £ £ Dom (Е), то

|URg(E)|<a.

Доказательство. Предположим, что существует взаимно однозначная функция /, которая отображает а в U Rg Ц7^. Для любого £ из Dom (Е) область значений функции /-1 | Е (£) является подмножеством из а. Покажем, что она не конфинальна с а. В противном случае а было бы объединением ординалов /-1 (г), где х 6 £ F (£); это, однако, невозможно, так как a — регулярный кардинал

и мощность F (£) меньше, чем а. Пусть а? = sup {/-1 (ж): х £ F (£)}. Тогда а^ < а и U<x^ = а, так как любое Р < а является значением функции /-1 для некоторого значения аргумента из URg (F). Таким образом, мы получаем противоречие с утверждением о регулярности а.

Коэффициент Суслина

Этот параграф также основан исключительно на аксиомах ZF и аксиоме выбора. Введем некоторые вспомогательные понятия.

Для любого отношения R с А X А определяем

R* = {{ж, у) Е А X A: -\(Ez) [(xRz) Д (y7?z)]}.

Таким образом, например, если А — семейство множеств и R — отношение х г у, ограниченное на Л, то R* есть отношение, которое содержит пару (ж, у) тогда и только тогда, когда х Г) у не содержит никакого элемента из Л, т. е. когда Р (х Г) у) Q А = 0.

Если R рефлексивно, то R* иррефлексивно; R* всегда симметрично.

Множество 5 £ Л Называется R-разделенным, если xR*y для любой пары различных элементов из В.

Обозначим через й (7?) наименьший ординал а, такой, что не существует 7?-разделенного множества В г А мощности | а |. Этот ординал называется коэффициентом Суслина отношения R. Очевидно, что й (7?) — кардинал.

Мы докажем, что коэффициент Суслина частичного упорядочения является регулярным кардиналом (см. Эрдёш — Тарский [34]). Чтобы получить этот результат, введем следующие определения.

Пусть г — отношение, которое частично упорядочивает множество S. Вместо кх, у) £ г мы пишем х ^ у. Таким образом, и и и являются r-разделенными, если не существует у, такого, что и ^ у и и "^ у. Если и и и r-разделены, то это же верно для и и w, если w ^ и. Через й (г, х) обозначим коэффициент Суслина отношения г, ограниченного на элементы, не большие чем х:

й (г, х) = й (г П {у: У ж}2)-

Ясно, что х^у влечет й (г, х) ^ й (г, у). Также ясно, что й (г, х) > 0 для любого х из S. Назовем х гомогенным элементом, если й (г, х) = й (г, у) для любого у ^ х.

Для любого х из S существует гомогенный элемент у, такой, что у х.

Доказательство. Достаточно выбрать у так, чтобы й (г, у) был наименьшим кардиналом среди кардиналов й (г, z),

Z X.

Следующая лемма является основной.

Если й (г) — кардинал, не являющийся последователем, то существует гомогенный элемент х, такой, что •& (г, х) = й (г).

Доказательство. Будем выводить противоречие из предположения, что й (г, х) -< $ (г) для любого гомогенного элемента х. Рассмотрим семейство подмножеств Т множества 8 со следующими двумя свойствами:

любое х из Т гомогенно,

любые два различных элемента из Т г-разделены.

Согласно аксиоме выбора, существует максимальное множество Т s 8 с этими двумя свойствами. Из (2) вытекает, что

I Т | < й (г), и из (1) вытекает, что

' й (г, х) < й (г) для любого X из Т.

Из хорошо известных правил кардинальной арифметики следует, что■

2 й (г, х)^^ (г).

«ЕТ

Покажем, что знак ^ может быть заменен на знак = . Так как й (г) не является последователем, то для этой цели достаточно показать, что если а — кардинал, меньший чем й (г), то а ^ 2 й (г, х).

ХЕТ

Поэтому предположим, что а < й (г). Отсюда следует, что существует множество U s 8 мощности а, состоящее из попарно г-раз- деленных элементов.

Легко видеть, что для любого и из U существует t £ Т, которое не r-разделено с и. В противном случае мы могли бы выбрать гомогенный элемент и^ ^ и, который был бы r-разделен с любым t из Т, что невозможно ввиду условия максимальности Т.

Для любого и 6 U выберем tu из Т, которое не r-разделено с и; используя снова аксиому выбора, поставим в соответствие каждому и £ U элемент / (и), такой, что / (и) ^ и и / (и) ^ tu. Очевидно, что для различных элементов Ui, и2 из U имеем: / («!) ^ / (и2), так как u^ и и2 r-разделены. Кроме того, / (и^ и / (и2) являются r-разделенными. Для данного t из Т мощность множества различных / (ы), удовлетворяющих неравенству / (u) ^ t, меньше чем й (г, f), так как эти / (и) образуют семейство r-разделенных элементов, не больших чем t. Поэтому мощность множества всех возможных / (и) не больше чем 2 й (г, ty из чего следует, что а ^ 2 й (г, 2).

t^Tt£T

Таким образом, показано, что

2й(гЛ) = й(г).

t£T

Для любого кардинала а < й (г) существует х из Т, такой, что й (г, х) ^ а. В противном случае левая часть равенства (3) была

бы не больше чем | Г |-а = max (| Т |, а) < б (г). Отсюда вытекает, что существует трансфинитная последовательность ^6 (5 < -< у < б (г)) элементов из Т, такая, что

б (г, xg) < б (г, ж6+1),

sup (б (г, х6): £ < у} = Ф (г).

Из (4) выводим, что для любого 5 < у существует множество Wg мощности б (г, ^g), состоящее из попарно r-разделенных элементов, не больших чем ^g+t. Так как х^ и хЛ r-разделены для любых ? ¥= л» то получаем, что W^ f) W^ = 0, если £ ^ i-]- Поэтому объединение U Wt имеет мощность.

2 # (г, ^g) > sup {б (г, х$): § < у} = »(г). £<v

Это противоречие, так как любые два элемента из U {И^: 5 < у} г-разделены.

Таким образом, лемма 2.2 доказана.

Если г — частичное упорядочение их — гомогенный элемент, то б (г, х) + Ко-'

Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют по крайней мере два r-разделенных элемента ж0, Уо, не больших чем х и таких, что б (г, х^ = б (г, у^ = Хо- Для элемента х0 подобным же образом находим по крайней мере два г-разделенных элемента Xi ^ х0, у4 ^ х0. Подобным же образом находим для х4 r-разделенные элементы х2 ^ х^, у2 ^ х^. Тогда элементы у^, у2, . . . попарно r-разделены и каждый из них не больше чем х, что несовместимо с предположением б (г, я) — ^0.

Если г — частичное упорядочение их — гомогенный элемент, то б (г, ж) не сингулярно.

Доказательство. Предположим, что б (г, х) = а > а'. Следовательно,"

а = U {сер i < а'}, где аг < а.

Так как а' < а, то существует множество U ^ S мощности а', состоящее из попарно r-разделенных элементов, не больших чем х. Элементы из U мы можем занумеровать ординалами i<a':

U = ^ut, i < а'}, где ut ^= Uj, если i =/= j.

Так как ж’— гомогенный элемент, то имеем б (г, пг) = а для любого i < а', и, следовательно, для любого i<a' существует множество Si мощности at, состоящее из попарно r-разделенных элементов, не больших чем ut. Объединение U St состоит из попарно г-разделен-

ных элементов, не больших чем х, и имеет мощность

2 аг >8пр{аг-: г<а'} = а.»<а'

Это противоречит определению а.

Следующую теорему получаем непосредственно из 2.2—2.4.

(Эрдёш — Тарский [34]). Если г — частичное упорядочение, то $ (г) ^ Хо и ^ (г) является регулярным кардиналом.

Коэффициент Суслина произведения пространств

Этот параграф, подобно двум предыдущим, основан на аксиомах ZF и аксиоме выбора.

Понятие коэффициента Суслина оказывается, в частности, полезным в том случае, когда А — семейство открытых непустых подмножеств топологического пространства Ж и R — отношение х г у, ограниченное на А. Кардинал $ (Д) в этом случае называется коэффициентом Суслина пространства Ж.

Весом топологического пространства Ж назовем наименьший кардинал у, такой, что Ж имеет открытый базис мощности у. Вес пространства Ж обозначим через у (^").

Докажем теорему, которая позволяет оценивать коэффициент Суслина декартова произведения семейства пространств. Первые результаты такого рода принадлежат Марчевскому [18]; здесь мы следуем доказательству, данному Мареком [16].

Если а, Р — кардиналы (а, р ^ ю), I — произвольное множество, Ж{ — топологические пространства (i ^ IV J — идеал подмножеств из I, содержащий все конечные подмножества I и такой, что X € J -> I X | < а, и, кроме того, у ^Ж^ Р для любого г £ I, то •

б^К^а, Р)+

в предположении, что в произведении пространств задана J-топология.

Доказательство. Вместо v (а, р) будем кратко писать v. Обозначим через Bt базис для Ж, мощности, не большей чем р. Мы знаем, что 0$Д;. Выведем противоречие из предположения, что существует множество мощности v+, состоящее из непересекающихся непустых открытых множеств. Можно предположить, что эти множества являются окрестностями в произведении пространств. Пусть В — множество J-кубов, которые определяют эти окрестности. Таким образом, | Д | = v+ и любое g из В является элементом Р Вг ' i£Dom(g) и Dorn (g) € J, откуда | Dorn (g) | < а. Если g^ g2( Д и gt g2, то существует элемент i € Dom (gj f] Dom (g2), такой, что gt (i) f] П g2 (0 = 0.

Для любой пары (g^ ^2) различных элементов из R выберем такое I из Dom (gj П Dom (g^, для которого g^ (i) и g2 (О не пересекаются .

Пусть С — множество выбранных элементов. Так как существует только v+ пар (gt, g2) различных элементов из 7? и любая пара определяет в точности один элемент из С, то, очевидно, что | С | ^ v+.

Рассмотрим идеал Jc, индуцированный идеалом J на подмножествах из С, jc = (х п с-. х е /},

и декартово произведение Р ^ с Jc-топологией. Если g^.R, пола*£С_

гаем g = g\C. Если gi=#g2, то ^^=^2, так как gi (i) ^ g2 (i) для того элемента г, который определяют g^ g2. /с-кубы, определяемые в Р .2Д с помощью g^ и g2, не пересекаются, и поэтому коэффи- i£C

циент Суслина этого декартова произведения с /с-топологией не меньше чем v+. Теперь покажем, что это невозможно.

Пусть R = ^g: gERV Выше мы доказали, что |7?| = v+.

Случай I. |C|<^v. Для данного Х^С мощности £<а множество Р Bt имеет мощность, не большую чем |0$|. Множество всех подмножеств из С, имеющих мощность |, само имеет мощность, не большую чем | v£ |. Следовательно, R имеет мощность, не большую чем

£<а5«х

Это противоречит равенству | R | = v+, доказанному выше.

Случай II. | С | = v+. Выберем вполне-упорядочение < множества С порядкового типа v+. Пусть £ < а и g 6 R. Элемент i из Dom ^g) называется его £-л элементом, если множество {/ EjDom (g): ] < г} имеет порядковый тип 5- Так как Dom (g) имеет мощность, меньшую чем а, то ясно, что для любого г из Dom (g) существует в точности одно £ < а, такое, что г есть £-й элемент из Dom (g). Если ^-й элемент из Dom (g) существует, то он определяется однозначно. Обозначим его через 7g (g) и положим

Очевидно, что Т^ 2 С. Так как любое i из С принадлежит области определения по крайней мере одной g, то получаем разложение

С = и Т^

s<a

Покажем, что любое Т^ имеет мощность, не большую чем v. Если то б удет сделано, то мы получим желаемое противоречие, так как

’ 3. Коэффициент Суслина • произвеЭения пространств 189 объединение а множеств мощности, не превышающей v, само имеет мощность, не большую чем v, и поэтому его мощность не может равняться v+.

Предположим, что ^ — первый ординал, для которого | Т^ | > v, и, следовательно, | Tg | имеет мощность v+. Для любого t из Т^ выберем функцию gt из В, такую, что t = ^ ^gty Когда t принимает значения из Т^ множества U ^ П Dom (g<) в качестве значений принимают некоторые подмножества мощности, меньшей чем а, объединения U Т^, мощность которого не больше чем v. Так как множество мощности, не превышающей v, имеет не больше чем v“ подмножеств мощности, меньшей чем а, то получаем, что существует подмножество Т' множества Т^, мощность которого равна v+ и такое, что для любого t из Т' пересечение U Т^ П Dom (g<) равно одному и тому же постоянному множеству Хо. Мощность а0 меньше чем а.

Мощность множества Р Bt не больше чем | ^№1 | ^ р“ ^v.

Поэтому существует подмножество Т" из Т', имеющее мощность v+ и такое, что если t 6 Т", то функция gt | Хо не зависит от t. Обозначим ее через ф.

Так как | 7’"‘| = v+ = | С [, то множество Т” конфинально с С.

Теперь выберем произвольное з$ из Т". Так как мощность множества Dom(gS1) меньше чем a<v<v+, то существует з2 из Т”, большее любого у из Dom (g5|).

Функции gS1 и gS2 различны, так как g-е элементы множеств Dom (gS|) и Dom (gS2) отличаются друг от друга. Поэтому существует элемент I из Dom (gsi) Q Dom (g82), для которого g81 (z) П gs2 (0 = 0. Очевидно, i^C. Предположим, что i — первый элемент, удовлетворяющий этим условиям. Так как z^Dom(g81), то s2">i. Из (1) вытекает, что существует наименьшее р<а, такое, что i^Tp. Так как s2>i и S2 = ^(gsg), то получаем, что порядковый тип множества {/£Dom(gS2): 7 < i} меньше чем £. Поэтому если z— ргй элемент из Dom(gS2), то pi <5 и, следовательно, р ^ pt С ^ и zg U Т^. Таким образом, z 6 U Тт П Dom (g,2) = Хо. Так как функции g811 Хо и g821 Хо идентичны, то получаем, что gsi (z) = gS2 (z) = <p (z). Отсюда заключаем, что gs (z) Г] gS2 (z) = <p (z) и, следовательно, <p(z) = O. Получили противоречие, так как ф (i) Е ^z, а мы предположили, что пустое множество не принадлежит базису Bi.

Теорема 3.1, таким образом, доказана.

Проиллюстрируем возможности приложений теоремы 3.1 на некоторых примерах, которые читатель может сравнить с примерами из XII.1.

Если а — произвольное множество и Р (а)— пространство его подмножеств (с тихоновской топологией'), то й (.Р (а)) ^ со+.

Доказательство. Р (а) гомеоморфно декартову произведению {0, 1}“ двухэлементных пространств. Поэтому а = о, 0 = со и v (а, 0) = а>“ = со.

Результат 3.2 можно переформулировать без использования топологического языка. Пусть а — множество и II4 (a), R, (а) — множество и отношение соответственно, определенные в XI 1.1. Так как R, (<z) изоморфно отношению включения, определенному на открытом базисе пространства Р (а), то получаем

Для любого а каждое Е^аУразделенное подмножество из П4 (а) не более чем счетно.

। Другой пример указывает следующая теорема:

Если а, а — произвольные множества и [Р (а)]“— декартово произведение а копий пространства Р {а), снабженное тихоновской топологией, то У1 ([Р (а)]“)^ со+.

Для доказательства этой теоремы просто заметим, что рассматриваемое пространство гомеоморфно пространству {0, 1}°хо.

Чтобы выразить 3.4 на языке теории множеств, используем обозначения П“ (а) и R^ (а), введенные в XI 1.1. Тогда получаем

Если а, а — произвольные множества, то любое Rf(a)-pa3- деленное подмножество из П“ ^а) не более чем счетно.

В качестве последнего примера рассмотрим пространство ху всех функций, отображающих у в х. Это пространство есть обычное декартово произведение Р Ж t у экземпляров дискретного про

странства Ж i = х. Вес Ж1 равен | х |, поэтому из 3.1 и 1.3 следует

ft (a:v)^ v (со), | х |)+ = [max (о, ] х ])]+.

Релятивизованные понятия кардиналов, конфинальности и коэффициента Суслина '

Вернемся снова к метаматематике. Таким образом, наши рассмотрения, как и в предыдущих главах, будут основываться на системе аксиом М. Мы хотим релятивизовать относительно произвольной (транзитивной) модели для ZF определения и результаты, о которых шла речь в § 1—3.

Пусть М — транзитивное семейство множеств. Релятивизованные кардиналы (или кардиналы из М) — это ординалы у < л (МУ такие, что не существует функции / в М, отображающей ординал,

меньший чем у, на у. Множество кардиналов из М обозначается через Card (М).

Если" а Е М, обозначим через Cf ^М, а) наименьший ординал у из М, такой, что в М имеется функция / с Dorn (/) = у, Rg (/) = а и U Rg (/) = а; если такого у не существует, то Cf (М, а) = 0. Если М — модель для ZF, то ординал Cf (ЛД а) является кардиналом из М. Назовем его релятивизованным индексом конфинальности а.

Если г Е М и г — бинарное отношение, то через ■О ^М, г) обозначим наименьший ординал а < л (М), такой, что в М не имеется функции /, удовлетворяющей условиям: Dorn (/) = а; / — взаимна однозначная функция; Rg (/) — r-разделенное множество. Полагаем ft (М, г) = 0, если г — не бинарное отношение или не существует а с указанными свойствами.

Если М — модель для ZF, то О (М, г) — кардинал из М. Назовем его релятивизованным коэффициентом Суслина для г.

Функторы Card, Cf, д строго определимы.

Доказательство. Для почти всех Ми всех /, 0, у из М имеем эквивалентности

Н м Fn [/] = (/—функция),hMdl[/] = 0^(Dom(/) = 0),Нм dp !/] = у = (Rg(/) = y)-

Отсюда следует, что для почти всех М формула а Е Card (М) эквивалентна условию НмЯ[а], где Н — формула

Ord (ж)] Д (у) {(yjE ж) -> -j (Ez) [Fn (z) Д (dl (z) = у) Д (dp (z) = ж)]}

Для того чтобы доказать теорему для функтора Cf, рассмотрим формулу

G: Fn (ж0) Д (dl (ж0) = хО Д (dp (ж0) = ж2) Д (U dp (ж0) = ж2)]},

где = и U — очевидные сокращения.

Для почти всех М и всех /, а, 0 из М

HMG [/, 0, а] = (/ — функция) Д (Dom (/) = 0) Д

■ Д (Rg (/) = а) Д (URg (О = а).

Пусть G' обозначает формулу

(ЕЖд) G (Жд, Ж1т Ж2) Д (Жд) (Жд) [(Жд Е ^l) ~^" ' 1^ (^0» ^3, ®г)Ь

Тогда очевидно, что для почти всех М и всех а, 0 из М верно

0 = Cf (Я, а) = [НмП^жД G' [а]]Д (0 = 0)1 \/ Нм^' 10, а].

В заключение докажем теорему для функтора д.

Очевидно, что й (М, г) £ М для любого М, содержащего 0 в качестве элемента. Таким образом,, достаточно предъявить формулу 9, такую, что для почти всех М и всех х, z из М верно

z Е О (М, х) ss hM9 [z, х].

Построим 0 следующим образом: сначала положим

Irei (ж): (u)x(Ev1, р2) (^ =<^1, ^г)),

Dis (х, у): (zt, z2)y {(zt = z2) VI (£z) [« zt, z) E x) Д (( z2, z) E' z)l}.

Для почти всех M и всех х, у из М очевидны следующие эквивалентности:

Н м ге1 [ж] = (х — бинарное отношение);

(п) если х — бинарное отношение, то

Нм Dis [х, у] = (у ^-разделено).

Теперь мы можем показать, что требуемая формула 0 имеет вид

(Еу) [Dis (х, у) Д | z | ^ | у |1 Д Ord (z) Д rel (ж).

Для почти всех М формулы (i), (ii) и указываемая ниже эквивалентность (iii) справедливы:

|-м (| х | ^ | у I) = | x | <M | у |

(cm. VII.3.1). Пусть M — транзитивное семейство, удовлетворяющее этим условиям, их — элемент из М. Если х — не бинарное отношение, то обе части эквивалентности (3) ложны. Пусть х — бинарное отношение и, кроме того, предположим, что М содержит ординал а, такой, что для любого р < а существует ^-разделенное семейство у Е М, для которого | Р | ^м | у |, но для а такого семейства не существует. Тогда О (М, х) = а и из определения 0, используя (i) — (iii), легко получаем, что условия hM0 [z, zl и z( а эквивалентны.

Остается показать, что почти все М содержат ординал а с указанными выше свойствами. Для этого заметим, чт для почти всех М, если х Е М и х — отношение, то множество

s = {у Е М: у есть ^-разделенное семейство}

принадлежит М, так как это параметрически определимое подмножество из М П Е (н), где и — множество, на котором определено отношение х (единственным параметром является ж). Согласно теоремам IV.3.18 и VII.2.4, объединение U (X (ЛГ, у): у Е £} = а принадлежит М и, очевидно, является ординалом. Если р < а, то существует у в s, такое, что РЕК кМ, у), т. е. | Р | ^м | у |. Такого семейства для а не существует, так как | а | ^ м | у | повлекло бы а<К(М, у), а затем а < а. Теорема 4.1 доказана.

Мы будем пользоваться сокращенными обозначениями для некоторых релятивизованных кардиналов. Если М — модель для ZF,

то для любого а -< л (М) существует наименьший ординал 0, такой, что Нм |®l ^ I Р !• Этот ординал обозначается через Card (М, а) и всегда является кардиналом из М. Если а — элемент из М и в М имеется взаимно ознозначная функция, отображающая а на ординал а, то Card (М, а) обозначается через Card (М, а).

Если а < л (МУ то в М имеется наименьший ординал 0 > а, такой, что Нм П (I Р I ^ I « I) (см. VII.2.4). Этот ординал есть просто St (Mi а). Мы также будем пользоваться обозначением

(М, а), если М содержит взаимно однозначное отображение а на ординал.

Используя алеф-функцию St (М, а), введем строго определимый функтор второго рода, удовлетворяющий индуктивным равенствам

<оо (М) = со, ®Е+1 (М) = St (М, ®Е ОТ,

сох (М) = sup (cog (М); $ < X}, где X £ Lim (МУ Существование такого функтора следует из IV.4.2.

Теперь опишем метод, который позволит нам доказать теоремы, относящиеся к релятивизованным понятиям, введенным в этом параграфе, исходя из теорем, касающихся «абсолютных» понятий и доказанных в § 1—3.

Предположим, что в ZF имеется доказательство формулы

МЩР(1, у,-. ..^Q(x, у, ...у

Очевидно, что если М — модель для ZF, в которой верна аксиома выбора, несли а, Ь, . . . —элементы из М, такие, что |—мР[а, Ь, . . .], то I— mQ I®, b, • • •!• Таким образом, если R и 8 — отношения между элементами М, определяемые формулами

R (а, Ь, . ..^ \-мР [а, Ь, . . .],

8 (а, Ъ, . . .) = Ьм<? 1а, Ъ, . . .1,

то R (а, Ь, . . .) влечет 8 (а, Ь, . . .у .

В качестве примера докажем следующую теорему.

Пусть М — модель для ZF, в которой выполняется аксиома выбора, и предположим, что•

$ 6 Card (МУ

.Cf (М, 0) = 0,'.

(О > 0) V (^ > ®).

Далее, пусть F — элемент из М, такой, что

F — функция с областью определения 0,

Card (М, F (^ < # для любого £ < 0.

При этих условиях О не М-вложимо в (JRg (Fy

Чтобы доказать эту теорему, заметим, что любое из предположений относительно й; Р и F эквивалентно утверждению, что некоторая формула выполняется в М. Условие (7) эквивалентно утверждению Нм#! №1, где Hi — формула (1). Равенство (8) эквивалентно утверждению: VmH2 №, ^1, где Я2 — формула из правой части эквивалентности (2). Предположение (9), очевидно, может быть написано как \-мН3 [р, ^1, где Н3 — формула

к^2) Д (I со К |х2 I).

(10) эквивалентно условию \-мНл IP, F], где Я4 — формула

Fn (ж,) Д (dl (ж,) = х0)..

Наконец, предположение (11) эквивалентно условию Н МН5 [р, F, А], где Н5 — формула

(ж) {(ж е Xq) -* (Яу) [((ж, у) 6 *0 Д (I у К | х2 |) Д

Л П(|х2 К |у 1)1}

(свободным переменным х0, х17 х2 из Н5 сопоставляются элементы Р, F, Ф соответственно). "■

Пусть Р — конъюнкция

Hi Сг2) Д Я2 (х2, х2) Д Н3^0, х2) Д Я4 (х0, л,) Д Н5 (х0, хк, х2).

Рассмотрим теорему 1.5, которая была доказана, исходя из аксиом ZF с помощью аксиомы выбора. Предположения этой теоремы, записанные на языке ZF, имеют вид АС Д Р. Заключением теоремы является формула

Q: "KI х2 |< | U (dp(^)) |).

Поэтому получаем, что Н mQ [F, ^], а это означает, что ^ не М- вложимо в (J Rg(F). Теорема 4.2, таким образом, доказана. .

Конечно, нужно быть очень-осторожным при применении метода доказательства, набросанного выше. Вообще говоря, имеется много формул Р, Q, удовлетворяющих эквивалентностям (5) и (6) для данных определимых отношений R, S, и из этих многих возможностей нужно выбрать те, для которых выполнено условие (4). Мы не проверяли, удовлетворяет ли наш выбор Р, Q этим требованиям, и не собираемся предпринимать эту очень громоздкую проверку, которая требует формализации всего доказательства теоремы 1.5. Таким образом, доказательства, полученные с помощью метода, использованного выше, оставляют нас несколько неудовлетворенными; однако метод по существу правилен и мы будем его постоянно применять.■

Из теоремы 2.5 и ее доказуемости в ZF (с добавлением аксиомы выбора) получаем тем же способом следующий результат.

Пусть М — модель для ZF, в которой верна аксиома выбора; тогда если г — частное упорядочение и г М, то

О (.М, г) £ Card (М), О (М, г) ^= ю и

О (М, г) = Cf (М, О (М, г)).

Оценка релятивизованного коэффициента Суслина

В этом параграфе мы приведем некоторые оценки ординала 8' (.М, г) для различных случаев, соответствующих примерам, обсуждавшимся в § 3. Вспомним, что в 4.1 была указана формула 0:

Ord (z) Д rel (ж) Д (Ey) [Dis (ж, у) A I z С I у |1,

которая определяла функтор 0 в том смысле, что для почти всех М и всех z, х из М имела место эквивалентность

[z £ О ^М, х)] = Нмб lz, х].

Пусть F, В — две формулы, такие, что Fr (F) = {1, 2, . . ., п), Fr (В) = {0, 2, . . ., п}. Обозначим через х последовательность переменных х2, . . ., хп и через а — последовательность а2, . . ., ап элементов модели М.

Если формула

F (^, хг^ (ж0) [0 (х0, х^ В (яд, я)1

доказуема в ZF, М — модель для ZF, г, а £ М и НМЕ [г, а], то

(М, г) г {а 6 М: НМВ [а, «]}.

Доказательство. Из предположений теоремы следует, что Нм0 [а, г] влечет НМВ [а, а].

Пример 1. Пусть а £ М и пусть Щ (а), R^ (а) определены, как в XII.1. В XII.1.2 мы заметили, что П1 (а) и Rt (а) — элементы М. Оценим Ф (М, Ri (а)).

В качестве В выберем формулу | ^0 I ^ I ® I и в качестве F — формулу со свободными переменными х0, х4, такую, что для почти всех А и всех г, х из А условие Н mF fr, я] эквивалентно конъюнкции следующих условий: (А 1) Ь а АС;

(Ап) г — бинарное отношение между парами (X, У), где X Q У =

= 0, X U У ^ 2 и X у У конечно;

(Аш) (X, У) г (X', У') = (X = X') л (У г У').-

Выписать такую формулу в явном виде довольно просто, хотя и утомительно.

Из условий на F выводим, что если аксиома выбора верна в М, то

НMF [7?! (а), а].

Из теоремы 3.3 выводим, что условие (2) выполнено (здесь используется тот факт, что теоремы из § 3 были доказаны с помощью только аксиом ZF и аксиомы выбора). Тогда из 5.1 вытекает

Если М — модель для ZF, a g М и в М верна аксиома выбора, то ■

А (М, R, (а)) < го, (М).

Пример 2. Пусть а, а g М И П® (а), R^ (а) определены, как в XII. 1. Из XI 1.1.2 мы знаем, что П® (а) и R^ (а) принадлежат М. Выберем ту же формулу В, что и в предыдущем примере, и в качестве F выберем формулу со свободными переменными х^, х2, х3, х^, обладающую следующими свойствами: для почти всех А и произвольных г, р, х, т из А условие \- AF [г, р, х, ml эквивалентно конъюнкции следующих условий:

(BJ На АС;

(Ви) р — множество функций л, таких, что Doni (л) с тп, Dom (л) конечно, Rg (л) с Щ (ж);

(Вш) г = р = р и■

лгр = {(Dom (л) = Dom (р)) Д ©пот(л) [(л (g), р (£)> € Ri (ж)]}.

Формулу F в данном случае также не будем выписывать.

Если М — модель, в которой верна аксиома выбора, то, очевидно,

\-MF [7?“ (а), П® (а), а, а].

Из 3.5 выводим, что формула (2) для указанного выбора F доказуема в ZF. Поэтому теорема 5.1 показывает, что

Если М — модель для ZF, в которой справедлива аксиома выбора, и а, а М, то

'А (М, R^ (а)) < го, ^МУ

Пример 3. Пусть М — модель для ZF, в которой выполнены аксиома выбора и обобщенная континууй-гипотеза. Предположим, что а, Ъ £ М и что релятивизовйнный кардинал 0 = Card (М, Ь) бесконечен и регулярен в М, т. е. Cf (М, 0) = 0. Обозначим через П5 (а, Ь) = П множество всех функций л с конечной областью определения, таких, что Dom (л) с 6 и Rg (л) г а. Отношение R определяется как лер. Очевидно, что П и 7? принадлежат М.

В качестве В выберем формулу | х0 | ^ | х2 | и в качестве F — формулу, которая описывает R в следующем смысле: для почти всех А и всех г, р, а, Ъ условие Н AF 1г, р, а, Ы эквивалентно конъюнкции следующих условий:

(С,) На АС = GCH; г

(Си) Cf (A, Card (А, Ь)) = Card (А, Ь);■

(Сш) Р — множество функций л с конечной областью определе-

• ния, таких, что Dorn (л) s b и Rg (л) s а;

(Clv) г с р х р и лгр = л 5 р.

Из предположений относительно М и b получаем, что |- MF(R, П, а, Ь). Далее, из 3.6 и 1.3 выводим, что формула (2) из 5.1 выводима в ZF. Поэтому получаем

При всех перечисленных выше условиях'

О (М, R) < X (М, Card (М, ЬУ). ,

Подобным же образом можно рассмотреть случай, когда Of (М, Р)< < Р; оставляем этот случай на усмотрение читателя.

Абсолютность кардиналов и индекса конфинальности

В этом параграфе мы опять рассмотрим такую же ситуацию, как в XI.5.2. Итак, мы имеем модель М для ZF и модель

' N = N (М, 27, В, а (рУ П),

где 27, В, а (р) и П удовлетворяют предположениям из XI.5.2.

Назовем релятивизованный кардинал а £ Card (М) абсолютным, если он принадлежит Card (TV); индекс конфинальности ординала а называется абсолютным, если Cf (М, а) = Cf (TV, а).

Сначала на примере покажем, что, вообще говоря, не любой релятивизованный кардинал является абсолютным.

Если N = Na, ь(р),- где а, Ъ 6 Card (М) и а> b ^ ю (см.

XII.4.3), то а $ Card (TV).

Доказательство. В XII.5.5 мы видели, что N содержит отображение Ь на а и, таким образом, а не абсолютно (для данного выбора TV)..

Причина, по которой не все кардиналы абсолютны, проста: N содержит новые элементы, которых не было в М, и поэтому может оказаться, что N содержит отображение меньшего ординала на кардинал из М.•

Теперь будем искать условия, которые гарантируют абсолютность некоторых кардиналов. Обозначим через О’ (М, П) ординал О (М, -<), где -< — частичное упорядочение множества П, определяемое следующим образом: л -< р = Uп = Uр 1).

Пусть М — модель для ZF, в которой выполнена аксиома выбора, и пусть

N = N (М, 27, В, а ^РоУ П), где В = В0 или В = Bz,

является одной из моделей, построенных в XI.5.2. Если у g Card (М) и $ (М, П) ^ у, то у 6 Card (TV).

*) л, р называются -<-разделенными, если Uл П ^р = 0. Прим, перев.

Доказательство. Идея доказательства состоит в следую • щем: предположим противное, т. е. что существуют р < у и функция f^ N, которая отображает р на у. Тогда / имеет вид. Сф (а (р0)), если опустить верхний индекс В.

Для почти всех р из достаточно малой окрестности. Ппй точки р8 множество Сф (а, (р)) также представляет собой некоторое отображение /р множества Р на у. Значения /р (В) для В < Р зависят от £ и р. Зафиксируем g и рассмотрим зависимость fp (g) от р. Для почти всех точек р из U^ существует окрестность Сл^ точки р, такая, что fq (£) постоянна для почти всех точек датой окрестности. Элементы л j будут поставлены во взаимно однозначное соответствие (с помощью функции, которая принадлежит М) с элементами -<-разделенного множества sel$, которое также принадлежит М.

Так как все ординалы, меньшие чем у, являются значениями fp ^ для подходящих р и 5, то получаем, что у М-вложимо во множество X = U (sei = X {^}: 5 < Р}- Однако это невозможно. Действительно, при у > А ^М, П) имеем max (Р, $ (М, П)) < у, принимая во внимание, что X в М имеет мощность, не большую чем max (Р, ’О" (М, П)), так как зеЦ в М имеет мощность, меньшую чем $ (М, П). Если у = = 'О1 (М, П), то р < А (М, П); используя регулярность $ (М, П) в М, получаем, что X в М имеет мощность меньшую, чем ’О" (М, П).

Теперь изложим детали доказательства. Сначала вспомним, что любой ординал £ < л (М) может быть представлен в виде Сщ^ (а (р)), где функция А (|) = р!и (£) определима в М (см. III.5.1 и V.2.5). Введем две формулы Н8в Hv Формула Но — это просто (xlf х^) £ х0. Формула Н говорит о том, что х8 является функцией с областью определения xv и областью значений хг\ она определяется следующим образом:.

Fn (a:0) Д (di (ж0) = х^ К (dp (х0) = a:2).

Имеем НNH [/, р, у], и поэтому существует функция л0 из П, такая, что р0 £ и'

ForcH (л0, Ф, А (Р), А (у)).'

Для любого 5 < Р мы имеем I— NH0 [/; g, / (£)], и поэтому существует функция лj из П, такая, что р0 £ UK , л0 < л$ и

Роген, (л 6, Ф, h ^Y h У^.

Зафиксируем ординал g < р и рассмотрим множество .

F^ = {<л,г]) £ П X у: (л >- л0) Д ForcHo (л, ф, h (g), h (ц))}, которое очевидным образом принадлежит М. Покажем, что F ^ — функция. Для этого предположим, что л >- л0 и

ForcHo (л, ф, Н ^Y h (ц)), ForcHo (л, ф, Н (g), Н (ц')).

Из (1) получаем, что для почти всех р из U^ множество Сф (а (р)) является функцией с областью определения Сн^ а (р)) = р и обла-

стью значений С^-^а ^р^ = ?• Из (3) получаем, что

<6, Я > 6 СФ (а (р)) и (L ц') 6 Сф (а (р))

для почти всех у из Un. Поэтому ц = ц'.

Из (2) следует, что (л$, / (|)) £ F ^. Таким образом, / (£) принадлежит области значений F ^.

Так как F^ £ М и в М выполняется аксиома выбора, то легко видеть, что М содержит множество, обладающее в точности одним элементом, общим с любым классом эквивалентности отношения

(<л\ л"):^(л') -^(л')}.

Более того, в М имеется функция sei с областью определения 0, такая, что если £ < 0, то selj имеет в точности один элемент, общий с каждым классом эквивалентности отношения (4).

Для любого а < у существует £ < 0, такой, что a 6 Rg (F (£)), так как а представимо в виде / (В). Поэтому любому а мы можем поставить в соответствие пару (л, £>, такую, что л^зеЦ и а = F (л) ). Это отображение взаимно однозначно, так как очевидно, что если (л, В) = (л', £'), то F^ (л) = F^ (л'). Кроме того, это отображение определимо в М. Таким образом, у ЛГ-вложимо в множество

"X = U {sel$ X {g}: g<0}.

Теперь покажем, что это невозможно. Сначала покажем, что sei6 состоит из -<-разделенных элементов. Действительно, предположим, что л' и л" — два элемента из sei $ и л > л', л > л". Отсюда вытекает, что F^ (л') ^ F^ (л") и л', л” >-л0. Используя определение F^, получаем

ForcHo (л, (р, h (£), h (F^ (л'))),

ForcHo (л, ф, h (6), h (F^ (л"))),

что противоречит доказанному выше утверждению^ что F^ — функция. Отсюда следует, что

Card (Af, sei £) < О (М, П)..

Рассмотрим два случая.

. Случай 1. у >■ О (М, П). Так как Card (М, sel5 X {£})< < Ф (Л/, П), то получаем

Card (Л/, X) ^ 0.» (Л/, П) = шах (0, О (Л/, П)) < у.

Случай 2. у = ■& (Л/, П). Так как Ф (Л/, П) > 0 и, следовательно, О (Л/, П) >■ Card (Л/, sei j X {£}), и так как Ф (Л/, П) регулярен в М (он равен Cf (М, ■& (Л/, П)), см. теорему 4.3), то можем применить теорему 4.2 и найти, что Ф (Л/, П) не Л/-вложимо в X.

Таким образом, получили противоречие в обоих случаях, и теорема доказана.

Можно легко показать, что включение Card (ТИ) s Card (TV), доказанное в теореме 6.2, не может быть усилено до равенства. Действительно, пусть Мо — минимальная модель (см. VI.4) и М — ее расширение описанного в теореме 6.1 типа. М содержит ординал, который является кардиналом для MOt но не для М. Пусть N — простое расширение Мо, удовлетворяющее равенству: Card (ТИ0) = = Card (TV); легко показать, что такое расширение существует и имеет вид Сд(Мо) (° (р)), гДе Р — генерическая точка подходящего пространства. Теперь, если построим модель Сд(М) ка (/?)), используя ту же генерическую точку р1), получим модель TV. Поэтому Card (TV) ^= Card (ТИ).

Теперь докажем, что в некоторых случаях равенство Card (ТИ) = = Card (TV) справедливо.

Если М и N — модели для ZF, л (ТИ) = л (TV) u TH s TV, то любой кардинал в N является кардиналом в М.

Доказательство. Если у £ Card (TV), то у < л (ТИ). Для любого Р < у в TV не существует функции / с областью определения Р и областью значений у. Поэтому такой функции нет и в ТИ, и, следовательно, у £ Card (ТИ).••

В предположениях из 6.2, если М ^ N, то условия у £ 6 Card (ТИ) и у £ Card (TV) эквивалентны, для любого у ^ Ф (ТИ, П).

Это непосредственно следует из 6.3 и 6.2.

Выведем аналогичный результат для индекса конфинальности.

Пусть' М — модель для ZF, в которой верна аксиома выбора, и пусть Ж", П, (А): р^- а (р), л: П ->■ U^ удовлетворяют всем предположениям теоремы XI.5.2. Если р £ Gen (^) и N = TV (р) —модель С^м> (а (р)) \где В — один из символов О, Z), то из Cf (ТИ, а) ^ О (ТИ, П) следует, что.

Cf (TV, а) > Cf (ТИ,' а).

Доказательство. Обозначим Cf (TV, а) через р. Тогда в TV (р) имеется функция / с областью определения Р, наименьшей верхней гранью области значений которой является а. Поэтому для любого ? < а существует наименьшее у (?) < Р, такое, что

/(у (?))>?.

Так как f £ N (р), то можно предположить, что / = Сф (а (р)), где <р — ординал, меньший чем л (ТИ). Таким же образом а и Р могут

г) Это возможно, так как высоты М. и N совпадают, см. сноску на стр. 136.

быть представлены как Ср (а (р)) с подходящими индексами р:

• а = Chto) (а (р)), р = СмР) (а (р)),

где смысл h тот же самый, что при доказательстве 6.2. Заметим, что эти равенства верны для любого р из ^.

Используя обозначения, введенные в 4.1, и эквивалентность, отмеченную при доказательстве 4.1 (в части, посвященной функтору Cf), получаем

Н ад G ICV (а (р)), Сн^ (а (р)), ^h<a) (а (р))].

Исходя из /, построим функцию g, принадлежащую М, имеющую область определения р и удовлетворяющую условию U Rg (g) = а.

Так как р — генерическая точка, то получаем, что существует ' окрестность Uno точки р, такая, что (7) справедливо для почти всех точек р' из U^. Таким образом, для всех р' из U^, исключая точки множества первой категории, множество Сф (а (р')) является функцией, отображающей рва, причем область ее значений имеет наименьшую верхнюю грань а.

Пусть Но — формула (xj, ж2> € х0.

Для р < р и л > л0 положим t (л, р) = о, где о < а, и ■

ГогсНо(л, {(0, (р), (1, А(р)),'(2, А(о))});‘

если такого о не существует, положим <(л, р) = 0. Далее, положим g (р) = sup {f (л, р): л > л0}.

Сначала покажем, что sup {g (р): р< Р} = а. Пусть £ < а. Тогда мы должны указать р, такое, что р < Р и g (р) > £. Покажем, что g (у (£)) > £, т. е. что существует £ > £ и л >- л0, для которых верно

(9)j РогсДо(л, {(0, у), (1, НуШ)>, <2, А, (£)>».

Положим £ = / (у (g)). Тогда £ > £ и

Н я<р> Но [Сф (а (р)), Сму.^» (а (р)), С^^ (а (р))].

Так как р — генерическая точка, то существует функция л >- л0, такая, что верно (9).

Сейчас покажем, что g (р) < а для любого р < р. Пусть р фикси- - ровано. Для любого а из области значений t выберем лр £ П, такую, что выполнено (8). Заметим, что окрестности С7„а и U^ не пересекаются, если о^ т. Это следует непосредственно из того, что любая точка р' из и„0 — X (где X — некоторое множество первой категории) такова, что существует в точности одно т), для которого

<Chw (а (р)), ^"hoD(а (Р))> ECV (а (р)).

Очевидно, можно предположить, что множество F пар (о, ла) лежит в М, так как в М выполняется аксиома выбора. F — взаимно однозначная функция. Так как Cf (М, а) ^ ^ (Af, П), то существуют

? < Cf (М, а) и взаимно однозначная функция s £ М^ которая отображает £ на множество, состоящее из всех ла (т. е. на Rg (.FV- Тогда получаем, что в М имеется взаимно однозначная функция, отображающая £ на область значений t. Поэтому область значений t не конфинальна с а и g (р) < а.

Функция g лежит в М, так как отношение вынуждения определимо в М. Поэтому находим, что sup {g (р): р < 0} = а, и получаем требуемое неравенство Cf Xi а) р.

Когда М г N, теорема 6.5 может быть усилена следующим образом. .

При условиях из 6.4, если М s N,.mo

Cf (М, а) = Cf X а).

Доказательство. Из определения Cf Xi а) следует, что М содержит элемент /, являющийся отображением Cf X, а) в а, область значений которого конфинальна с а. Так как f £ Nr то неравенство Cf (М, а) < Cf (N, а) невозможно, поэтому из 6.5 получаем требуемое равенство.

Легко построить примеры моделей М, которые не содержатся в N (р) и в которых имеются ординалы а, такие, что Cf (TV, а) строго больше чем Cf X, а).,

7. Функция ехр модели

Пусть М — модель ZF, в которой выполняется аксиома выбора. Для любого ординала £ из М существует тогда в точности один ординал ц из М, такой, что

Card (М, Р (ti)6 (X) П М) = ton XV .

Другими словами, <ол (М) — релятивизованный (в М) кардинал «релятивизованной степени множества to^XVi т- е> семейства тех подмножеств из (0Е XV которые являются элементами М. Обозначим ол через exp Xi t) и ехР будем называть экспоненциальной функцией модели М.-•

■ Если GCH выполняется в М, то ясно, что ехр Xi £) = i^+i XV Интересную и не решенную до конца проблему представляет вопрос, какие функции могут быть экспоненциальными функциями моделей ZF. В этом параграфе мы укажем некоторые оценки для экспоненциальных функций моделей Nz (а (р)), построенных методом теоремы XI.5.2.

Как и в XI.5.2, предположим, что ^ — полурегулярное пространство, в котором выполняется теорема Бэра. Обозначим через (Л) : р -► а (р) отображение ^ в класс транзитивных последовательностей фиксированной длины а0. Как обычно, М — фиксированная счетная модель для ZF, такая, что а0 — элемент из М, П — элемент из М и л -► Un — отображение П на регулярный базис для Ж. Предположим, что теорема XI.5.2. применима; таким образом, если р —

генерическая точка из Ж, то семейство

Nz {р) = С& (а ^

является моделью для ZF. Далее, сделаем три дополнительных предположения: 1) аксиома выбора выполняется в М, 2) существует бесконечно много непересекающихся окрестностей Un и 3) М содержится в Nz (р). Эти предположения выполняются, например, когда М — минимальная модель и П — одно из множеств, обсуждавшихся в XII.1; в частности, в качестве П мы можем взять множество П£(г), предполагая, что а ^ о.

Из теоремы 4.3 мы знаем, что $ (Л/, П) является кардиналом в М и отлично от го. В связи с принятыми предположениями он бесконечен и поэтому может быть представлен как <от (М), где т ^ 0. Если т не является предельным ординалом, то обозначим о^ (ДГ) через й' (М, П); в противном случае полагаем й' (М, П) = = О (М, П).

Наш первый результат, касающийся экспоненциальной функции, является простым следствием теоремы VII.8.1,

Если р 6 Gen (^") и а0 < а>^+1 (V2 (р)), то

exp (V2 (р), ^ = о)ЕИ (М).

Доказательство. Предположение теоремы говорит о том, что

| Dorn (а (р)) | ^ ^ | ф^ (Nz (р)) |,

и поэтому результат непосредственно следует из теоремы VII.8.1, в которой выбираем А = Vz(p), а = а (р), В = Bz.

Теорема 7.1 представляет собой другую формулировку результата гл. VII о том, что GCH имеет место во всех моделях вида Nz (р), по крайней мере для достаточно больших кардиналов.

Мы теперь получим некоторые оценки для кардиналов, меньших чем а0. Прежде всего введем некоторые сокращения.

Пусть л, р Е П. Тогда будем говорить, что лир совместимы, если U ^ П Up 0. Очевидно, это эквивалентно утверждению, что л и р не -<-разделены (см. § 2 и 3).

Множество Л с П будет называться полним, если для любого л из П существует р из А, которое совместимо с л.

Если И — формула и £ £ л (ЛГ)Рг(Н>, то будем говорить, что л разрешает Н на £ (или короче: разрешает Н, £), если или ForcH (л, 2), или Fore -|н(л, 5). Очевидно, что если л и р — совместимы и оба разрешают Н, £, то

ForcH (л, В) = ForcH (р, |).

Следующая лемма будет использована в доказательстве теоремы 7.3.

Для любой формулы Н и любого £ € л (ЛТ)1*^ существует полное и -^-разделенное множество Л s П, такое, что А £ М и любое л из А разрешает Н, £; причем релятивизованная в М мощность множества А меньше чем $ (М, П).

Доказательство. Пусть X — множество всех л из Пг которые разрешают Н, £. Так как X С М (поскольку отношение вынуждения параметрически определимо в М), то заключаем, чт» Р (X) Q М £ М. Аксиома выбора выполняется в М, поэтому в М существует максимальный элемент из Р (X) f) М, состоящий из попарно несовместимых элементов. Этот максимальный элемент А является полным и -<-разделенным. Так как он содержится в X, все его элементы разрешают Н, £. Наконец, релятивизованная мощность А меньше чем $ (М, П), так как А состоит из попарно несовместимых элементов. Лемма доказана.

Теперь мы можем доказать теорему, которая является частным случаем результата Соловея и Истона (см. Истон [8]). Эта теорема дает оценку экспоненциальной функции модели Nz (р), независимую от длины последовательности а (р), использованной при построении.

Если р £ Gen (^*) и £ < л (М), то

exp ^Nz (р), 5) ^ Card (М, Пх fl М),

где X = max (ю^ (Az (р)), О' (М, П)).

Доказательство. Для краткости ю^ (,NZ (р)) обозначим через у. Тогда левая часть неравенства, которое нужно доказать, представляет собой релятивизованную (относительно Nz (р)) мощность множества Р (у) f| Nz (р).

Будем действовать аналогично доказательству VIII.2.1, т. е. сопоставим каждому элементу из Р (у) f] Nz (р) некоторый объект из модели М и вычислим в М мощность множества, состоящего из этих объектов.

Как и в VIII.2.1, обозначим формулы х0 € xt и (ж2) [(я2 € хо) ~*

(хг € ^1)1 через Но и Hv.

Пусть К — множество всех троек (л0, A, s) со следующими свойствами: существуют функция F £ М с Dom (F) = у и ординал v < л (М), такие, что

ЛО £ П,

А = U Rg (Л £ П,

для любого Е < у множество F (£) является полным •<-разделенным и любой из его элементов разрешает Но, (р!ц(£), v),

ForcHi (л0, v, plu (у)),

. (5)s £ Л X у,

(л, U £ s = [(л £ F (^)) Д (^ < у) Д ForcHo (л, plu (^, v)L

Так как отношение Fore параметрически определимо, то легко видеть, что К £ М.

Для любого (л0, A, s') из К через v (л0, A, s) обозначим наименьший ординал, для которого существует функция F £ М с областью определения у, удовлетворяющая условиям (1) — (6). И наконец, положим

Го = (v (л0, A, s): (л0, A, s) С К\

Ясно, что если v •< л (М) и

Cv (а (р)) = у,

то существует V С Г, такое, что Cv (а (р)) = Cv (а,(р)).

Заметим, что из (7) следует существование такого л0, что р € U^ и ForcHt (л0, v, р!ц (у)). Для любого g < у существует полное множество F ^, такое, что любой из его элементов разрешает Но, (р1ц (6), v) и любые два из его элементов -<-разделены. Согласно аксиоме выбора, мы можем для любого £ выбрать множество F ^ таким образом, что функция F; £ -► F ^ принадлежит М.

Если положим

A = U {F6:g<y},

s = {(л, g): (л £ F^ Д (g € У) A ForcHo (л, р1ц (g), v)}, то, очевидно, формулы (1) — (6) выполняются.

Поэтому (л0, A, s) £ К. Положим V = v (rt0, A, s) и покажем, что х = Cv (® (р)\

Из определения V следует, что существует функция F' с областью определения у, такая, что (2), (3), (4), (6) остаются справедливыми^ если мы заменим в них F на F" и v на v'. На измененные таким образом условия будем ссылаться как на (2') — (6'). Для симметрии формулы (1) и (5) также будем обозначать через (1') и (5')..

Из (4') следует, что для любой генерической точки q из U^ множество Cv (« (9)) содержится в CpiH(V) (а (д)) = у. Так как р £ U^, то получаем

(7')Cv (а (р)) с у.

Теперь мы имеем два симметричных множества утверждений: одно из них состоит из утверждений (1) — (7), другое — из утверждений (Г) —(?').'

Для доказательства равенства ..

.Cv (а (р)) = Cv (а (р))

мы должны доказать две импликации:

" (8)| СС^ (а (р)) -> g е Cv (а (р)),

| € Cv, (а (р)) ->НСДа (р)).

Из-за симметричности предположений нам достаточно доказать только одну из них, например первую. Пусть |е Cv (а (р)). Тогда ЕЕ? согласно (7). Предположим, что £ ^ Cv- (а (р)). Тогда существует л из П, такое, что р Е U-^, л'>- л0, Forcn0 (л, plH (£), v) и

Еогс-^л, р1и (£), V).

Выберем такое р из F ^, которое совместимо с л. Тогда существует р' > р, такое, что р' > л и Fotch0 (р', pin (Ю> v)- Так как р разрешает Но, (р1ц (£), v), то р' можем заменить на р и получить (р, Е) Е Е s. Теперь используем определение V и, согласно (6'), получим ForcH0 (р, р1ц (Ю, v') и, следовательно, ForcHo (р', р1и (£), V). Но ясно, что это невозможно в связи с предположением (9) и так как р' > л.

Таким образом, мы доказали первую из импликаций (8). Так как вторая импликация доказывается аналогично, то равенство Cv (а (р)) = С^, (а (р)) можно считать доказанным. Отсюда следует, что мощность множества Р (у) Q № (р) (которое состоит из всех множеств Cv (а(р)), удовлетворяющих (7) в модели Nz (р)) не превышает Card (Nz (р), Г):

exp (Nz (р), Г) ^nz№ Card ^г ^, Г) ^Z(p) Card (Nz (р), К).

Заметим, что релятивизованные кардиналы суть ординалы и что отношение a <NzP влечет а С 0 и обратно. Таким образом, получаем exp (7VZ (р), у) < Card (Nz (р), KY Уменьшая Nz (р), мы не можем уменьшить мощность множества К, значит exp ^Nz (р), у) < < Card ^М, К).

Так как К состоит из троек (л0, A, s), то мы оценим мощности областей значений каждой из трех компонент. Первая компонента л» принимает значения из П, а релятивизованная мощность а этого множества равна Card (М, П). Вторая компонента А принимает в качестве значений те подмножества из П, которые представимы как объединения вида (2). Так как, согласно (3), F (£) есть -<-разделенное множество, то из определения ^' выводим, что

Card (М, F(^)X^' (М, П), '

и, следовательно, согласно (2),

Card <М, А) < ^' (М, П) -Card (М, у)]< max (^' (М, П), у) = X.

Таким образом, А принимает в качестве значений подмножества из П, которые принадлежат М и в М имеют мощность, не большую чем X. Теперь мы обращаемся к хорошо известной теореме, доказуемой в ZF с помощью аксиомы выбора (см. [13], стр. 292).

Если т — кардинал и X — бесконечное множество, то множество тех подмножеств X, мощность которых не больше чем т, имеет такую же мощность, как Хт.

Так как эта теорема доказуема из аксиом ZF и аксиомы выбора, она выполняется в М. Поэтому область значений А имеет релятиви- зованную мощность, такую же, как Пх f| М.

Для любых фиксированных л0 и А множество s принимает в качестве значений подмножества из Л X у и мощность области значений s не больше чем X -у = max (X, у) = X.

Таким образом, релятивизовэнная мощность множества К в М не больше чем Card (М, Р (К) f| М) -Card (М, П) «Card (М, Пх) = = Card (М, Пх), и мы получаем

Card (Л/, К) ^ м Card (М, Пх f| М).

От этой формулы мы хотим перейти к неравенству между кардиналами из Nz (рУ Так как Пх f| М не обязано быть элементом из Nz (р), то сначала мы перейдем от Пх f| М к ординалу Card (М, Пх f| М), который, очевидно, является элементом как Nz (р), так и М. Тогда из (10) получаем, что

Card (М, К) ^ м Card (М, | Пх f| М |),

и заменяем ^ м на ^ NZ(p) , что можно сделать, так как М г Nz (р). Отсюда,

I р (?) П Nz (р) | с Nz№ I Card (М, Пх П м) |..

Это неравенство может быть также написано в виде

Card (Nz (р), Р (у) П Nz (р)) < Card (Nz (р), Card (М, Пх f| М)).

Левая часть этого неравенства, согласно определению функции ехр, есть просто exp (Nz (р), £).

Чтобы преобразовать правую часть, положим

Card (М, Пх П М) = р.

Таким образом, р < л (М) и р — элемент из Card (М). Так как П имеет по крайней мере два элемента, то р > Card (М, X) ^ Ф' (М, П), откуда р ^ Ф (М, П).

Из 6.2 получаем, что р — кардинал из Nz (р), и поэтому

Card (Nz (р), р) = р.

Таким образом, получили требуемый результат: exp (Nz (р), £) ^ < р.

Пример. Пусть GCH выполняется в М, и пусть

О (М, П) = ю1+1 (М), у = (о6 (ЛГ), Card (М, П) = ир (М).

В этом случае X = comaX<g, о U^P). Так как формулы возведения в степень алефов (см. [13], стр. 288) выполняются в М, то получаем следующие значения для релятивизованного кардинала х =

= Card (Af, П* П MY

р ^ Lim (JMy max (g, т) < p: x = cop (Af);

p 5 Lim (Af), max (g, т) > p: x = ютах<Е, т)+1 ^МУ.

p € Lim (Af), ®maX(g.T) W < Cf (M, mp (Af)): x = юр (МУ

p € Lim (Af), Cf (M, юр (МУ < comax<s, x> (Af) < юр (МУ x = = ®p+i W; '

p € Lim <му max (g, т) > p: x = сотах(Ь T)+1 (Af).

Эти значения x дают верхние оценки функции exp (,NZ (рУ £) для модели Nz (р), полученной из М методом, описанным в XI.5.2.

Эти оценки приводят к лучшим результатам, чем те, которые дает 7.1, в частности для случаев, когда Dorn (а (р)) = а0 велико. Кроме того, оценки (i) — (v) применимы во всех случаях, в то время как оценки из 7.1 применимы только тогда, когда £ достаточно велико.

8. Независимость континуум-гипотезы

В этом параграфе рассмотрим модель, в которой не выполняется континуум-гипотеза. Кроме того, мы определим вид экспоненциальной функции этой модели. Все результаты этого параграфа принадлежат Коэну [101, [12].

Уточним предположения, сделанные в начале §7, следующим образом: М — минимальная модель, а0 — бесконечный кардинал из М, Ж — пространство [Р (ю)]®» с обычной тихоновской топологией и П — множество П®о ({ю}®») (см. XII.1). Отображение П на регулярный базис для Ж было описано в XII.1. Если р € Ж, то а (р) — последовательность, начальными членами которой являются все неотрицательные целые числа; за этими членами следуют координаты точки р:'

а (р): 0, 1,2,.. ., р0, р„ ръ ... ^< аоу

Так как все предположения теоремы XI.5.2 были проверены (см. XII.1.1, XII.1.2 и ХП.3.1), то получаем >.

Если р £ Gen (Ж), то Nz (р) является моделью для ZF и аксиома выбора выполняется в Nz (р).

Во всех последующих теоремах мы будем предполагать, что р — генерическая точка из Ж.

Релятивизованный коэффициент Суслина множества П был определен в XII.5.3, где мы доказали, что ft (Af, П) = <Oi (Af). Поэтому из теорем 6.2, 6.3 и определения ю^ (Af) получаем

Card (Af) = Card (Nz (p)) и юЕ (Af) = юЕ (Nz (p)), если £ < <-л (Af).

Если a0 > coj (Af), то континуум-гипотеза неверна в Nz (p).

Доказательство. В XII.5.3 мы" показали, что Nz (р) содержит взаимно однозначное отображение ординала а0 в Р (со) П Nz (р). Поэтому

ехр ЦУ2 (р), 0) = Card (^ ^, Р ^ П Nz ^ >

>.а0 > <Oi (М) = (»1 (Nz (р)).

Теперь займемся вычислением функции ехр модели Nz (р). Обозначим через р ординал, такой, что а0 = сор (ЛГ). Очевидно, что Card (М, П) = (ор (М), так как П состоит из конечных функций с областью определения, содержащейся в а0 = юр (М), значениями которых являются пары конечных множеств целых чисел.

Если £ ^ р, то

ехр (Nz (р), g) = ю6+1 (X).

Доказательство получается непосредственно из 7.1. Если £ < р, то имеем следующую оценку.

Если £ < р, то

(ор (М) ^ ехр (Nz (р), £) < (ор+1 (М).

Оценка сверху следует из равенства

ехр (Nz (р), р) = юр+1 (М),

доказанного в 8.4, и из того, что ехр — возрастающая”функция. Оцёнка снизу следует из неравенства (1), которое может быть переписано как

ехр (Nz (р), 0) ^ (Ор (М).

Какому из кардиналов сор (М), б>р-ц (М) равно) значение функции ехр, зависит от того, каков тип релятивизованной конфинальности кардинала сор (М), т. е. от числа Cf (М, а0).

Если Cf (М, а0) = со, то

ехр (Nz (р), 5) = юр+1 (М) для всех £ < р.

Доказательство. В силу 8.5 достаточно показать, что ехр (Nz (р^ 0) = (0р+1 (М).

Пусть это равенство не выполняется. Тогда релятивизованный относительно Nz (р) кардинал множества Р (со) П Nz (р) будет равен Юр (_NZ (р)) = юр (М) = а0 и поэтому будет конфинален с ю (в М, или, что в данном случае то же самое, в Nz (р), см. теорему 6.5). Однако это невозможно, так как теорема Кёнига (см. [13], стр. 210) выполняется в Nz (р), а эта теорема влечет, что Р (ю) не конфиналь- но с ю.

Теперь можем получить следствие

ZF остается непротиворечивой, если к ней добавить аксиому выбора и аксиомы

2х” = Хан-i, если и^ю; 2Хг = Х[г+1, если т>ю.

. Для доказательства достаточно взять а0 = юы (М) в предыдущих теоремах. Теорема 8.6 показывает, что в полученной модели функция ехр равна юш+1 (М) для всех аргументов, не больших чем (о.

Лузин [15] в 1935 г. предложил рассмотреть альтернативу к кон- ■ тинуум-гипотезе, выражаемую в виде равенства 2х» = 2х*. Следствие 8.7 показывает, что гипотеза Лузина совместна с ZF и АС.

Если Cf (М, а0) ^ со, то имеет место следующее утверждение.

Если а0 = юр (АГ) — регулярный в М кардинал (т. е, если Cf (М, а0) = а0), то

exp (Az (р), 5) = сор (АГ) для всех £ < р;

если а0 — сингулярный кардинал, то

exp (Az (р), g) = Юр (АГ)

для всех |, таких, что ю^ (АГ) < Cf (АГ, а0), и

exp (Az (р), g) = юр+1 (АГ)

для всех 5, таких, что Cf (АГ, а0) ^ ю^ (АГ) ^ а0.

Доказательство. Положим exp (Az (р), 5) = <о6 (АГ); конечно, е зависит от |. Пример, рассмотренный в конце § 7, показывает, что 6 ^ р, если юр (АГ) — регулярный кардинал из АГ. Таким образом, учитывая 8.5, получаем, что 8 = р. Если юр (АГ) — сингулярный кардинал из М и юЕ (АГ) < Cf (АГ, а0), то опять е = р в соответствии с формулой (iii) того же примера.

Если Cf (АГ, а0) ^ ю^ (АГ) ^ а0, то оценки из § 7 дают только неравенство 8 ^ р + 1, которое мы уже знаем из теоремы 8.5. Заметим, однако, что имеется теорема, доказуемая в ZF с помощью аксиомы выбора, которая утверждает, что не существует бесконечного кардинала т, для которого мощность множества Р (т) была бы конфинальна с т (см. [13], стр. 211). Это доказывает, что не существует релятивизованного кардинала ц ^ ю, для которого реляти- визованный индекс конфинальности множества Card (Nz (р), Р (ц) П f| Nz (р)) был бы равен т]. Если вместо ц подставим релятивизованный кардинал Cf (АГ, а0) = ю£ (АГ), то получим, что exp (Nz (р), £) не может быть равен юр (АГ); действительно, юр (АГ) имеет релятивизованный индекс конфинальности, равный юЕ (АГ), а, согласно отмеченной выше теореме, exp (Nz (р), £) такого индекса иметь не может. Поэтому из 8.5 следует, что exp (Nz (р), £) = юр-ц (АГ),

и то же самое равенство выполняется для всех ординалов, лежащих между £ и р.

Теорема 8.8 доказана. Ясно, что утверждение 8.6 содержится в 8.8.'

Таким образом, функция exp (Nz (р), £) имеет следующие значения: она равна (Oj+i (М) для всех с^’ри равна юр (М) для всех £ < р, если а0 — регулярный в М кардинал. Если а0 — сингулярный в М кардинал, то функция exp (Nz (р), £) равна юр (М) для всех 5, таких, что (Og (М) •< Cf (М, а0), и равна top+t (М) для всех |, таких, что Cf (М, а0) со^ (М) < а0. Для больших значений £ она равна <й6+1 (М).

Эти результаты показывают, каким образом в подходящей модели может быть опровергнута обобщенная континуум-гипотеза. Намного более сильные результаты получены Истоном [8], который доказал следующую очень общую теорему.

Пусть М — счетная модель для ZF, в которой выполняются АС и GCH, и пусть / — неубывающая функция, параметрически определимая в М, область определения которой есть множество регулярных в М кардиналов из М, т. е. кардиналов, удовлетворяющих равенству Cf (М, а) = а. Пусть Cf (М, / (а)) >• а для любого регулярного кардинала из М. При этих предположениях существует модель N, такая, что N э М, Card (А) = Card (М), Cf (М, а) — Cf (А, а) для всех а £ Card (М) и, кроме того,

Card (А, Р (а) П А) = / (а)

для любого регулярного кардинала из М.

Доказательство этой сложной теоремы мы не включаем в настоящую книгу.

Глава XIV

НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ ВЫБОРА

В этой главе мы обсудим независимость аксиомы выбора от аксиом ZF и некоторые связанные с этим проблемы. Мы будем работать исключительно с моделями вида N (р) = С^м) (а, (р)); всякий раз, когда мы используем символ, который в обычной записи должен быть снабжен индексом В, указывающим операцию, используемую для построения модели, неявно предполагается, что этот индекс есть В0. В соответствии с этим соглашением будем пользоваться символами 8 (а), К (а), L (а), М (а) вместо символов 6 (11, а), К (11, а) ит. д. Иногда будем опускать скобки и писать кратко Ка, La и т. д.

Основным «инструментом» при наших рассмотрениях будут гомеоморфизмы пространства ^', из которого берутся генерические точки. Мы покажем, что при некоторых предположениях отношение вынуждения ForcH (л, S) инвариантно относительно подходящих гомеоморфизмов пространства Ж. Это позволяет обнаружить некоторый вид симметрии в модели А (р), который несовместим с выполнимостью аксиомы выбора.

Действие гомеоморфизмов на множества Ct (а (р))

Пусть Ж — пространство, (А): р -> а (р) — отображение 'Ж в класс транзитивных последовательностей длины а0. Позднее М будет моделью для ZF и N (р) будет обозначать множество CntM) (а (р)).

Пусть / — отображение ^ на себя. Мы хотим представить любое С^ (а У (р)) как Сф(^ (а (р)). Таким образом, мы хотим действие / на элементы Ж заменить подходящим изменением индексов. Функция <р такого типа существует не всегда, но мы сформулируем два условия, достаточных для ее существования:

(С1) / имеет конечный порядок (т. е. существует п > О, такое, что fn (р) = р для всех р);

(С2) если р < а0 и 8 (а) < pl10 (Р) < 6 (а + 1), тпо существует £', такое, что 8 (а) < V < 8 (а + 1) и равенство ар (/ (р)) = = Су (а (р)) верно для всех р из Ж.

Любая функция f, удовлетворяющая (С1) и (С2), определяет отображение ср ординалов в ординалы, такое, что для произвольных

ординалов ^, а и любого р из Ж:

6 (а) < ^ < 6 (а + 1) -^ 6 (а) < ср (^ < 6 (а + 1),

^•бкх) ^UW-Сб«Х) (а (р))»

C^aUW =^•ф(^) №))•_

Доказательство. Положим ф (|) = 5, если 1^ = 0 или I (|) = И, или I (^) = 10 и pl10 (|) ^ «о- Если 1 ^ Z (|) ^ 9 и а таково, что 6 (а) < 5 < 6 (а + 1), то ф (?) определяем как наименьшее т), такое, что 6 (а) < т) < 6 (а + 1) и I (ц) = I (|), К (ц) = ф (Х|), Л (ц) = ф (L^), М (ц) = ф (М^. Наконец, если Z (5) = 10 и р = р110 (5) < «о, то ф (5) — наименьшее |', удовлетворяющее условию (С2).

Очевидная индукция показывает, что ф определена для всех £ и что (1) верно для произвольных а и £.

Теперь индукцией по а докажем, что (2) верно для любого ординала а и любой точки р из Ж. Если а = 0, то (2) верно для любой точки р, так как 6 (0) = 0 и Со (а) = 0 для всех а. Если (2) верно для любой точки р И всех ординалов, меньших чем а, причем а — положительный предельный ординал, то требуемый результат получается непосредственно из равенства Св<а) (а) = U С6<1)) (а), которое пса

верно для всех а. Остается вывести (2) для ординалов а + 1 в предположении, что оно верно для любых р и ординалов а.

Множество X = Хр = С6(а+1) (а (р)) состоит из всех Xt = = С5 (а (р)) с индексами £ < 6 (а + 1); аналогично Y = Yр = = Сб«х+1> (а (/ (р))) состоит из всех р„ = Ср (а (/ (р)), где т) < < 6 (а + 1). Если ^ < б (а), то х^ С Y согласно индуктивному предположению, и аналогично, если ц < б (а), то уп £ X. Если | = 6 (а), то х^ = у^ по индуктивному предположению; таким образом, остается рассмотреть случай, когда 5 и ц лежат в интервале (6 (а), 6 (а + 1)). Значения I (5) и I (ц) в этом случае отличны от 0.

Если 1 ^ I (£) ^ 9, то К (£), L (|), М ($) меньше, чем 6 (а), и по индуктивному предположению, хк^, Хц, хм^ £ С6(а) (а (/ (р)))- Поэтому существуют р, а, т < 6 (а), такие, что хк^ = ур, х^ = = Уа, Хм% = Ух- Выбирая т) в интервале (6 (а), 6 (а + 1)) таким образом, чтобы было I (ц) = I (£), К (ц). = р, L (ц) = о, М (ц) = т, получим х^ = уЧ1 и поэтому х^ Е Y. Аналогично, если 1 ^ I (ц) ^ < 9, то у^ € X._

Если I (£) =11, то С^ (а) = р1и (£) для любого а, и поэтому х^ = у^. Следовательно, если I (£) = 11, то х^ g Y и у^ g X. Если I (£) = Ю и р110 (£) ^- а0, доказательство аналогично, так как тогда С^ (а) = 0.

Наконец, рассмотрим случаи, когда I (ц) = 10 и Z (g) = 10. Как отмечалось выше, можно предположить, что Р = р!10 (ц) и у = = Р^ю (£) оба меньше а0-

Если I (ц) = 10, то уч = ар У (р)), и поэтому, согласно (С2), у^ = х^>, где £' лежит между 6 (а) и 6 (а + 1). Значит, у^ £ X. Это доказывает, что Yp £ Хр для всех р. Если / (£) = 10, то х^ = = av (р), тогда, согласно (Cl), х^ = av (/п (р)).

Положим Р1 = / (р), р2 = / (Pi), • - ^ Рп = f (Pn-i)- Отсюда рп = = р. Индукцией по I докажем, что для любого I = 0, 1, . . ., п — 1 существует цг, такое, что 6 (а) < цг < 6 (а + 1) и av (р) = = (\. (a (pn-i))- Если i = 0, берем цг = £. Пусть цг с требуемыми свойствами существует для i > 0. Тогда av (р) = С^ (a У (pn-t-i))) и, используя (02), получаем ординал ц^, удовлетворяющий условиям 6 (а) < ц- <6 (а + 1) и Сц. (а (/ (рп_г-1))) = CWi (a (pn-t-^. Таким образом, достаточно взять цг+1 = ц^. Если I = п — 1, то получаем «v (р) = СПп1 (a (/ (р))) = уПп1, т. е. хг 5 Yp. Это доказывает, что Хр £ Yp, и доказательство (2) закончено.

Докажем (3). Если £ = 0, то формула верна, так как I (0) = 0, следовательно, ф (0) = 0, и мы знаем, что Со (а) = 0 для любого а. Теперь предположим, что формула (3) верна для всех ординалов, меньших чем £, и рассмотрим различные случаи для £.

Если I (£) = 0, то £ имеет вид 6 (а) и ф (£) = £. Таким образом, в этом случае (3) следует из (2). Если 1 ^ I (£) ^ 9, то из определения <р получаем 7ф (g) = I ^, К^ (£) = ф (К^) и аналогичные равенства для L и М. Поэтому

£<р(У («(р)) = Ицу (Сф(кр (а (р)), С^ч («(р))) П О<р(му («(р)), откуда на основании индуктивного предположения получаем (3). Если I (£) = 11, то ф (£) = £, и обе части соотношения (3) равны р1и (g). Когда I (£) = 10 и р!10 (В) ^- а0, доказательство аналогично. Наконец,_если I (£) = 10 и pl10 (g) < а0, то С^ (/ (а (р)) = ар У (р)), где р = р110 (5). Так как ф (£) — ординал, удовлетворяющий (С2), то получаем желаемый результат.

Приведем некоторые следствия из 1.1.

Если, j удовлетворяет (Cl), (С2), то N (р) = N У (р)).

Доказательство. Утверждение следует из (2) и равенства 6 (л (М)) = л (АГ).

Если Н — формула, ^ £ л (АГ)®1^ и ф удовлетворяет (1) — (3), то-

р € ^н, <ро^ = / (р) Е ^н, 5-

Доказательство. Используем индукцию по построению Н. Если Н — формула xt £ Xj и членами ^ являются ^г, ^j, то левая часть (4) эквивалентна формуле

СФ($р (а (р))€Сф(^.)(а (р))

и, следовательно, согласно (3), формуле

^.(/(а(р)))€С^(а(/(р))),

т. е. правой части эквивалентности (4). Доказательство для формулы xt = Xj аналогично. Если соотношение (4) выполняется для формул Н а Н', то оно выполняется и для Н Д Н', 1Н. Остается показать, что если (4) выполняется для Н, то оно выполняется и для формулы (жп) Н, которую мы обозначим через Н'. Предположим, что п £ е Fr (я)...

Левая часть соотношения (4) в этом случае эквивалентна формуле

(^ntMllpE J^H, (фо^)и«п, в>}1-

Если ограничим область определения т] ординалами вида ф (£), где ^<л(Л/), то получим

(9л(м> [р € ^н, фо^ий», ?>})!•

Покажем, что из (6) вытекает (5). Пусть т]— ординал, меньший чем л(М). Тогда существует а, такое, что т] < 6 (а) < л (М), и, следовательно, С^ (а (р)) ЕСб(а) (а (р)). Используя (2), получаем С^ (а (р))£ €Сб(а) (а (/(р))), и поэтому ^^(р)) может быть представлено как ^(“(/(Р)), гДе £<6 (а). Используя (3), получаем С^ (а (р)) = = Сф(у (а (р)). Тогда из (6) вытекает, что

нN(p) н [Сф(^) (а (р)), .,., Сф(^) (а (р)), Сфф (а (р))]

(где ^, ^2» • ••, Is —члены |). Таким образом, Сф(Е)(а(р)) можем заменить на Сч (а (р)) и получить

р€^н, (фб^икл, В>}*

Так как т] было произвольным, то получаем (5), т. е. мы доказали, что (5) и (6) эквивалентны между собой. Остается применить к (6) индуктивное предположение. Тогда получаем, что (6) эквивалентно формуле

(Ожм) [/ (р) € ^н, $u«n, tab

т. е. формуле

/ (р) € ^н». ^.

Таким образом, 1.3 доказано.

Гомеоморфизмы и вынуждение

В этом параграфе мы предположим, что /—автогомеоморфизм пространства ^*, и определим, во что переходит отношение вынуждения ForcH (л, |), если Un преобразовать с помощью /. Более точно, мы хотим найти последовательность ординалов £*, такую, что если /-1 (Ял) = Ua, то

.ForcH (а, |*) = Еогсд (л, |).

Примем все предположения из XI.5.2; таким образом, М — счетная модель для ZF, SC — пространство, П — множество из М и л Un — отображение П на открытый базис пространства ^.

Пусть / — автогомеоморфизм пространства Ж, удовлетворяющий условиям (Cl), (С2) из § 1, и пусть ф = ф/ — отображение ординалов в ординалы, удовлетворяющее условиям (1) — (3) из 1.1. Предположим, что л, р, о — элементы П и

tkU^^Ua, ГЧи^гПр.

Тогда если Н — формула и £ £ л кМ^1^, то

ForcH (л, фо£) влечет ForcH (а, ?),

ForcH (о, ?) влечет ForcH (р, Ф°?).

Доказательство. Сначала предположим, что ForcH (л, фо?). Следовательно,

Un — S'H, фо$ € I k^A*

Так как / — гомеоморфизм, то он преобразует множества первой категории в такие же множества. Поэтому

fkUn) -fk^H,^ EI W.

Согласно 1.3, / к^н, феб) = S' н, j; так как Uc г t kU^, то получаем Ua — ^н. б € I k^ т. е. Гоген (о, ?).

Вторая импликация доказывается аналогично.

Доказательство утверждения 2.1 может быть объяснено также следующим образом.

Предположение ForcH (л, фоЕ) означает, что для почти всех р из Un имеет место отношение

Ьяцр) н [Сф(бо ка kpYb • • Cq^ (а (р))].

В силу 1.2 и (3) из 1.1 это означает то же самое, что н nu п»Н [^ ка (/ крЖ ..., C^kakf kp)W.

Если р принимает все значения из Un, то точки / крА заполняют по крайней мере все Ua. Поэтому для почти всех р из Uo верно, что

V* Ntp>H 1^ ка kp))t • • •, С^ ка (p))L

и мы получаем ForcH (а, ?).

Таким образом, мы видим, что импликации, доказанные в 2.1, имеют «тавтологичную» природу; в частности, они не позволяют нам выводить, что

Н тр)Н [С6 ка (j)W влечет н ЖР1Н\С^ ка kf крШ-

Даже для генерической точки р такая импликация может быть в общем случае неверной.

При предположениях из 2.1 условия

. р £ Gen (^") и f кр) Е Gen (^) эквивалентны.

Доказательство. Если р С Gen (^") и / (р) С ^н. $, то р € ^н, фе&, и поэтому существует окрестность UR точки р, такая, что ForcH (л, Ф°6). Используя 2.1, получаем окрестность Uo точки / (р), такую, что.

ForcH (a, g), т. е. Ua — ^н.^ Е I W-

Это доказывает, что / (р) — генерическая точка., Обратное доказывается аналогично.

Свойство инвариантности

Теорема 2.1 оказывается весьма сильной в случае, когда для некоторых членов £г из £ равенство

(1)^чх^) (" (р)) = <?Б4 («(р))

верно тождественно для всех р.

Теперь мы докажем теорему, которая в некоторых случаях позволяет нам устанавливать равенство (1).

Предположим, что G— семейство отображений ^ на Я7, любое из которых удовлетворяет условиям (G1) и (G2) из § 1. Обозначим через Г фильтр подмножеств множества G.

Пусть Г обладает следующим свойством: для любого £ < а0 существует G' из Г, такое, что а^ У (р)) = а^ (р) для всех р из Ж и ecexf из G'. Тогда для любого ординала £ существует G' из Г, такое, что

С^ (а У (р))) = С^ (а (р))

для любой j из G' и любой р из Ж,

Доказательство проводится индукцией по £. Если £ = О, то теорема очевидна. Предположим, что теорема верна для ординалов, меньших чем £. Если I ^ = 0, то существует а, такое, что 6 (а) = = §, и теорема следует из 1.1 (2). Если 1-^7 (£) ^ 9, то теорема верна для ординалов К ^, L У^, М У), и поэтому существует G' из Г, такое, что для любой р из ^ и любой / из G' справедливы равенство СК(^ (а У (р)) = Ск^ (а (р)) и аналогичные равенства для L и М. Так как

С^ка (?)) = ^ЛЕ) Vек® ka kP^Y Сц^ (а (р))) П См^ (а (р)),

то теорема верна для £. Если I У) = И или I У) = 10 и р110 (£) ^> ^> а0, то С^ (а (р)) не зависит от р. Наконец, если 7 (с) = 10 и р = = plio (6) < «о, то С^ (а (р)) = а6 {р), и теорема следует из предположения.

Независимость аксиомы выбора

В дальнейшем мы будем пользоваться моделями N (р) из теоремы XI.5.2. Пространство будет декартовым произведением Р ^п, окрестности Un будут определяться конечными функциями л, такими, что Dorn (л) с (о и л (п) определяет окрестность в STH. Множество П, таким образом, будет состоять из функций указанного вида. Выбор а (р) будет зависеть от конкретной обсуждаемой проблемы.

В § 4—6 мы выберем

ST = \Р (Ю)1™.

Любое л из П будет, таким образом, функцией с конечной областью определения — подмножеством из го, такой, что л (i) есть упорядоченная пара (Хг, Y^, где X;, Yt — непересекающиеся конечные множества из го.

Для любой счетной модели М для ZF очевидно, что П 6 М.

Точки р из ST — бесконечные последовательности (р0, р^ . . .), Pt S го. Назовем pt i-ой координатой точки р. Для удобства введем обозначение (n, к^ для числа 2n (2/с + 1) — 1. Положим

^п (р) = {Р(п, ОН Р (п. 1) i • • •},и (р) = {«о (р), •••,«„ (р), . . .}.

В качестве а (р) выберем следующую последовательность типа го «3 + + 1:

О, 1, 2, . . ., ро, plt . . ., u0 (р), Ui (р), . . ., и (р).

Очевидно, что последовательность а (р) является транзитивной. Она принадлежит первой категории (определение см. в XII.2). Если pt^pj для всех i ^ j (в частности, это верно, если р— генерическая точка), то и (р) является семейством попарно не пересекающихся множеств.

Если р 6 Gen (^), то N (р) — модель для ZF.

Эта теорема вытекает из теоремы XI.5.2, предположения которой проверены в XII.4.2.

При доказательстве того, что аксиома выбора не выполняется в N (р), будем пользоваться следующими гомеоморфизмами /Е пространства ЯГ: для любой перестановки е множества го положим /Е (р) = = q, где координатой qt точки q является qt = pe-i(i)- Таким образом, /Е (р) получается из р перестановкой ее координат. Обозначим через G множество всех /Е, таких, что е (i) = i для всех I, за исключением конечного числа, и, кроме того, е преобразует любое число вида (п, &) в число (п, т) с тем же п. Через Gn обозначим подмножество из G, состоящее из функций /Е, для которых е (i, j) = (i, j) для всех у < го, если i < п.

Легко доказать следующие факты. -

Множества Gn образуют базис фильтра подмножеств из G.

G — группа гомеоморфизмов пространства Ж и любое / из G имеет конечный порядок.

Следующее утверждение описывает действие /8 Е G на члены последовательности а (р).

Последовательность а (/8 (р)) имеет вид

О, 1, 2, . . ., Ps-l(O), Ps-l(i), • • • , РегЦтС^ ..nUt (р^ . • • > Un (р), ■ . ., U (р).

Любое fe^G удовлетворяет условиям (Cl), (С2),

Доказательство. (G1) следует из 4.3. Для того чтобы доказать (С2), предположим, что Р < а0 ( = со-3 + 1) и 6 (а) < < plio (Р) < 6 (а + 1).

Если Р < со или Р > со «2, то ар V (р)) = ае (р) = Ср11о(р) (а (р^), и, следовательно, (С2) выполняется, причем |' = pl10 (Р). Если со р < со-2, то 6 (со) <_ pl10 (Р) < б (со + 1), так как pl10 (Р) — это Р-й ординал ^, удовлетворяющий условию I (£) = 10, а интервал (6 (со), 6 (со + 1)) содержит последовательность типа со3 таких ординалов. Таким образом, если а ^ со, то (С2) выполняется тривиальным образом. Если а = со, то ар (/ (р)) = р8-1(р_ю) = С г. (а (р)), где £' = р!10 (со + е-1 (Р — со)), и поэтому 6 (со) < £' < 6 (со + 1).

Из 4.5 и 1.1 тогда выводим

Для любого fe из G существует функция ср8, удовлетворяющая условиям (1) — (3) аз 1.1.

Заметим еще, что если £ — фиксированный ординал, меньший чем со-3 + 1, то существует п, такое, что если /8 Е Gn, то а^ (/8 (р)) = = а^ (р). Действительно, если | < со, то а (р) не зависит от р; если £ = со + /, то достаточно взять любое п > j; наконец, если | 2> ^ со-2, то а^ (р) = а^ (/8 (р)). Тогда, используя 3.1, получаем

Для любого £ существует п, такое, что если /8 € Gn, то

С^ {a V, Ш = С^ {а (р)) для всех р из Ж.

Главным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Если р Е Gen (^), то никакое С^ (а (р)) не является селектором для и (р).

Доказательство. Предположим противное, т. е. что С^ (а (р)) для любого т имеет в точности один элемент, общий с ит (р}. Пусть п — число, удовлетворяющее теореме 4.7, и пусть Р^п. }> — единственный элемент из С^ (а (р)) П “п (.РУ В дальнейшем вместо ип (р) будем писать Са (а (р)), где а = р110 (со-2 + п), и вместо р(„, h — писать Ср (а (р)), где Р = р110 (со + (а, 7)). Таким

образом, для всех q из Ж и всех /е из G имеем

Са (a (q)) = Са (a (fe (9))) = ип (q),

Ср (a Ue (9))) = Че-Цп, j) = 9<п. ku

где к — число, определяемое равенством е (га, Л) = (га, У).

В соответствии с нашим предположением, генерическая точка р удовлетворяет условию

Ср (а (р)) € С^ (а (р)),

которое также можно переписать как

Н NIP) Н» [С6 (а ^V С^ (а (р))),

где Но обозначает формулу х8 £ xt.

Кроме того, справедливо условие

Н жр>HYC^a^, СоДаШ С^аШ,

где Н обозначает формулу

(ж0) К^о € ^i) Л (^о € ^г) -> (ж0 = 2:3)].

Теперь осталось показать, что из наших предположений следует существование генерической точки q, для которой выполнены условия (1), (2) и для которой существует h 7^ j, такое, что q№1 м С 6 С^ (a (q)). Это будет искомым противоречием, так как формула (2) (в которой р заменяется на д) показывает, что если и qw, jv и q^, h) принадлежат С^ {а (д)), то qw>}) = qtn, д,, а любые две координаты генерической точки отличны одна от другой.

Для того чтобы найти требуемые q и h, сначала заметим, что формулы (1) и (2) выполняются не только для точки р, но и для всех генерических точек достаточно малой окрестности Un точки р. Как мы знаем, л — это функция с конечной областью определения, такая, что если i 6 Dom (л), то л (i) = (Хц У,), где Х^ У, — непересе- кающиеся конечные подмножества из го. Кроме того, q £ Un тогда и только тогда, когда Xj ^^ и У; (| ^ =0 для всех г £ Dom (л). Можно сказать, что требование «q — элемент окрестности Un» накладывает на координаты qt конечное число условий, выражаемых указанными формулами.

Выберем такое К, что (га, /1) 5 Dom (л), и положим

■ Гл,если (и, у)Dom(л),

^ — I л (J {((га, /1), л ((га, У)))}, если (га, 7) £ Dom (л).

Таким образом, требование «9 6 Up» накладывает на координату q<n, h) такие же условия, какие требование «q £ Un» накладывает на q<n,jv

Очевидно, что Up<= U„.

Существенную роль в дальнейшем играет следующая лемма.

Пусть в — перестановка чисел (и, у) и (п, К); тогда для любых q из Ж справедливо, что

qt Up^fe^E Up-

Для доказательства этой леммы положим /е (q) = г и обозначим условие

№ S qt) Л (У, П ?г = 0)

через Сг (g). Условие С{ (г) определяется аналогично. Очевидно, что С; (г) = Ct (q), если г ^ (и, у), (и, К), так как в этом случае qt = гг. Левая часть соотношения (3) эквивалентна конъюнкции условий Ci (q), i 6 Dom (p), а правая часть — конъюнкции условий Ct (г), i £ Dom (p).

Если (n, jy Dom (л), то p = л и ни (и, у), ни (и, К) не принадлежат Dom (р). Поэтому (3) в этом случае выполняется.

Если (и, у) ^ Dom (л), то и (и, у), и (и, К) принадлежат Dom (р), и, таким образом, (3) будет доказано, если показать, что

С<п, У) (?) ДС(п, h) (?) = С(П1 Л) (г) ДС(Я, j) (г).

Так как qw, j, = rm, h) и q<K1 h> = rm, Й, то эта эквивалентность очевидна, т. е. доказательство эквивалентности (3) закончено.

Теперь выберем генерическую точку q из Up. Так как (1) выполняется для всех генерических точек из Up, то получаем Еогснд (р, 6, Р)- С помощью 2.1 получаем тогда Еогсн0 (р, ф ^У ф (Р)), где ф — сокращение для ф;е. Теперь, используя то, что q — генерическая точка из Up, получаем

Н N(g) Но [Сф(£) (а (д)), СФ(Р) (а (д))],т. е., используя определение ф, имеем

V-Nto HolC^a U ДчУУ Ср(а(Ш))], и, следовательно,

Ср(а(М<7Ж^(а(/в(д))),

т. е.9(п,л)€С$(а to))-

Таким образом, получили противоречие, и теорема 4.8 доказана.

Следствием теоремы является утверждение (см. Коэн [12])

Существование вполне-упорядочения множества Р (со) не доказуемо в ZF.

В заключение заметим, что в модели, используемой для доказательства теоремы 4.8, никакое С^ (а (р)) не является бесконечной последовательностью различных pt. Из этого легко вывести, что не будет противоречия, если к ZF добавить утверждение, что существует функция / действительной переменной, которая не является непрерывной в точке х = 0, но для которой Ит / (жп) = / (0) для любой последовательности хп, сходящейся к 0 (см. Егерман [7]).

Упорядочение множества Р (Р (с»))

Для доказательства независимости утверждения, что Р (Р (с»)) может быть упорядочено, достаточно небольших изменений в предыдущем доказательстве.

Если р € Ж = [Р (со)]“, обозначим через а (р) последовательность

О, 1, 2, . . ., р0, pt, . . ., и0 (р),. ut (р), . . . {и0 (р), ^ (р)},

{н2 (р), и3 (р)}, . . ., {{н0 (р), ut (р)}, {и2 (р), и3 (р)}, . . ., }.

Эту последовательность можно записать короче в виде

0,1,2, . . ., р0, pi, . . ., и0(.р\ и^, . . ., v^p), Vi(p), . . ., р(р), где'

Vj (р) = V^j (р), u2J+1 (р)}, v (р) = {р0 (р), V1 (р), • • }.

Последовательность а (р) является последовательностью первой категории (см. XII.2) длины со-4 + 1. Положим N (р) = = С^м') (а (р)), где М — счетная модель для ZF. Тогда из теоремы XII.4.2 следует

Если р 5 Gen (^), то N (р) — модель для ZF.

В оставшейся части этого параграфа покажем, что если р £ Gen (^"), то никакое С^ {а (рУ) не может быть селектором для и (р). Обозначим через G множество всех функций /е, где 6 — перестановка множества со, обладающая следующими свойствами.

Существует п, такое, что для всех к ^ п и всех у £ со е (2й, у) = ^к, П, е (2к + 1, у) = фк + 1, у).

е (2п, у) имеет вид (2n + 1, h), и обратно.

е имеет порядок 2.

Например, следующая перестановка е принадлежит G;

е: (3, 0)(2, 1); (3, 1)(2, 0);

(3, у) -и- (2, у), если у > 1, п п для других значений п.•

Обозначим через Gn множество тех /е из G, которые удовлетворяют равенству е (,к, ]) = (к, f) для всех /, если к < п.

Следующие свойства функций /е очевидны.

/г — гомеоморфизм пространства Ж, иметоирий порядок 2.

Имеют место следующие равенства'.

а^ (/е (р)) = а^ (р), если | < со или | ^- со *2;

а<о+(У, М (/е (р)) = Щй+е-Чэ, Л) ^PY'

Из 5.2 и 5.3 вытекает

Если /8 € G, то fe удовлетворяет условиям (С1) и (С2) из 1.1.

Из 5.4, используя 1.1, получаем

Для любой функции fa из G существует функция ф — ф/е, удовлетворяющая условиям (1) — (3) из t.l.

Наконец, согласно 3.1, получаем

Для любого £ существует п, такое, что если fe g Gn, то

С^ {а (Л W = С^ (а (р)).

Главным результатом этого параграфа является следующая теорема.

Если ро € Gen (^),' то никакое С^ (а (р0)), £ < л (М), не является селектором для и (р0).

Доказательство. Пусть £ — ординал, меньший чем л (М^. Выберем такое п, чтобы для любой функции / £ Gn и любой точки р из выполнялось равенство С^ (a (f (р))) = С^ (^а (р)). Далее, представим u2n (р) как Са (а (р)) и u2n+1 (р) как Ср (а (р)), где а = р110 (<о-2 + 2и), 0 = р110 (со-2 + 2п + !)•

Пусть / € Gn. Предположим, что существует перестановка е, такая, что

/ = /в и любое с (2п, /) имеет вид (2п + 1, h)

и любое 8 (2n + 1, А) имеет вид (2п, /)

(см. условие (2) на стр. 222). При этих предположениях для любой точки р из Ж верно, что

с a к» U (р))) = W2n+1 (р) и Ср (а (/ (р))) = и2в (р).

Предположим, что С^ (а (р0) содержит в точности один элемент из vn (ро), т. е.

и2п (ро) € С, (а (ро)), u2n+1 (ро) $ С, (а (р0)).

Так как р0 — генерическая точка, то существует окрестность Un точки р, такая, что

ГогсНо (л, а, ^) и Fore-, Но (л, 0, g).

Теперь будем искать окрестность Up ^ ия и гомеоморфизм /е из Gn, такие, что Up инвариантна относительно /8 и /8 удовлетворяет условию (4).

Так как Dorn (л) — конечное множество, то существует число з, такое, что числа (2п, i), (2п + 1, i) не принадлежат Dorn (л), если г ^> s. Чтобы упростить наши рассмотрения, предположим, что Dorn (л) содержит все пары (2п, j) и (2п + 1, /), если / < s. Если л не обладает таким свойством, то от Ея можно перейти к меньшей

окрестности Un- точки р0, где л' получается из л ее расширением до функции, область определения которой содержит требуемые числа.

Если у < з, положим л (2п, у) = (Xj, Y», л (2n + 1, у) = = (Xj, Y»; здесь Xj, Yj, Xj, Yj — конечные множества чисел и требование «р £ 1Гп» накладывает на р<2п, jy ограничения

Xj S Р(2п, г), Уу п Р(2п, У) = О

и на p(2n+i, ) ограничения

Xj S Р(2п+1. 5), Yj П P(2n+1, h = 0.

Выберем з чисел, не меньших чем з, например числа s, s + 1, . . . . . ., 2з — 1. Определим Up таким образом, чтобы требование «р € Up» приводило к тем же условиям для p<2n,e+jH что и требование «р £ Un» для p<2n+i.j>i и чтобы требование «р £ Up» приводило К Тем Же УСЛОВИЯМ ДЛЯ Р<2п + 1,«+У), что и «р 5 Un» для р(2п,У>- Таким образом, полагаем

р = л U {<(2п, з + у), <X'jt Yj»: j < s) U

u {((2n + 1, s + y), <X„ Yj»: i < s}.

Очевидно, что Up S Un.

Теперь определим гомеоморфизм /8. Пусть 6 — перестановка, тождественная всюду, за исключением чисел вида (2п, А) и (2n + 1, А). Если у ^ 2з, то 6 переставляет между собой (2п, А) и (2n + 1, К); если у <з, то 8 переставляет (2п, у) с (2n + 1, у + з) и (2п, 7 + s) с (2n + 1, у). Ясно, что ft^Gn и /8 удовлетворяет условию (4). ’ Теперь довольно просто будет показано, что для всех х £ Ж верна эквивалентность'

x^Up = W^Up.

Действительно, так же, как в § 4, можно заметить, что левая часть эквивалентности истинна, если для любого i € Dom (л) i-я координата точки х удовлетворяет некоторым условиям; правая часть эквивалентности требует, чтобы те же условия выполнялись для i-й координаты точки /8 (ж). Если i не представляет собой ни (2п, у), ни (2n + 1, у), то х и /8 (ж) имеют одинаковые i-е координаты. В противном случае (2п, у)-я координата точки /8 (ж) равна (2n + 1, К)-й координате точки х, где h = у, если 7i^>2s, и | h — у | = = з в противном случае. В первом случае ни (2п, у), ни (2n + 1, /) не лежат в Dom (л), и поэтому никаких ограничений на их координаты не накладывается. Если К << 2з, то в связи с выбором 6 левая часть эквивалентности требует, чтобы ж<2п, Л) удовлетворяло тем же условиям, что и x<2n+i, j), и обратно. Эквивалентность (7), таким образом, доказана.

Из (7) и (6) получаем

ЕогсНо(р, ф(а), ф (£)) и Forc-|H0(p, ф (Р), ф (£)),

где <р стоит вместо ф/е- Из этого заключаем, что для всех генерических точек из ие

Са (a Ue Ш € С^ (a Ue (»))), Ср (a Ue Ш 5 С. (a Ue Ш, т. е.■

u2n+i (?) € ^ (а (g)), u2n (g) $ C^ (a (g)),

что противоречит условию (6). Теорема 5.7. доказана.

Непосредственными следствиями из 5.7 являются следующие утверждения (см. Коэн [12]).

Если р0 £ Gen (^), то множество и (рй) не имеет селекторов в N (р0).

Существование вполне-упорядочения на Р (Р (со)) не доказуемо в ZF.

Существование максимальных идеалов в Р (со)

В этом параграфе мы приведем доказательство, принадлежащее Феферману [30], того, что существование максимальных неглавных идеалов в булевой алгебре Р (со) не доказуемо в ZF. Рассмотрим то же пространство [Р (со)]ю = Ж с тихоновской топологией. Пусть Fj — Последовательность, состоящая из всех конечных подмножеств множества со и из всех дополнений к таким множествам. В качестве а (р) возьмем последовательность второй категории (см. XII.2), начальные члены которой — последовательно выписанные числа 0, 1, 2, ... и (со + (п, /))-й член которой равен рп * Fj = со — - (Рп - РЛ

Рассмотрим гомеоморфизмы /т, п пространства Ж, зависящие от двух параметров т, п. Здесь т-я координата точки fm, n (д) будет равна qm * Fn, а другие ее координаты такие же, как у q. Легко показать, что

/т.п — инволюторный гомеоморфизм пространства Ж, удовлетворяющий условию (02).

Доказательство того, что fm, п имеет порядок 2, и проверка того, что /т, п — гомеоморфизм, очевидны. Условие (02) вытекает из формул.

«5 Um- п (д)) = ^ (?)> еСЛИ ^ < Ю,

.,/ хх ( ЯбЖМ) ^)’ если h т, .

аь>+(Л, з') Um, п (д)) — 1. v Т X,

\.gm* (Fj * Fn), если h = m.

Таким образом, a* Um, п (?)) = Cpiioa) (а (?)), если £<ю, и ato+(.hj')Um,-n.(g^ = Cpi1^to+s-!(a(qy), где s = (h, у),.если т^Н и s таково, что Fs = Fj* Fn, если т = Н. Так как со < р1)0 (со + $) < 6 (со +1), то условие (02) выполнено.'’

Оставшаяся часть доказательства следует той же схеме, что предыдущие доказательства независимости. Здесь мы приведем только беглый набросок этого доказательства. Из XII.4.2 получаем

Если р0 Е Gen (Ж) и N (р0) = Сщм) (а (.Ро)), то N (Ро) является моделью для ZF.

Используя 6.1, получаем

Для любых т, п существует функция фт, п, удовлетворяющая условиям (1) — (3) из 1.1.

Пусть Gh — множество функций /т, „, где т^-k. Множество всех Gh, к = 0, 1, 2, . . ., образует базис фильтра подмножеств из Go. Используя 3.1, получаем'

Для любого £ существует к, такое, что для всех р из Ж и всех / из Gh

С^ (а (р)) = С^ U (/ (р)).

Теперь мы можем доказать основную теорему этого параграфа.

Если р Е Gen (^), то никакой элемент из N (р) не является простым неглавным идеалом в булевой алгебре Р (со) П N (р)-

Доказательство. Предположим противное, т. е. что С^ (а (р)) — такой идеал. Тогда получаем, что

Н n<p>H lCg-(a (p))L

где Н — конъюнкция формул

И (со Е ^i),

(я) (у) [(ж е у) Л (у Е ^i)(sЕ ^1)1,

(у) 1(ж Е *i) Л (у Е ^i)UU у Е^i)J,

[(я Е ^i) (ж с со)],

[(я Е со) ({ж} Е ^1),.

(у) {[(ж U у = со) Л (жП у= 0)1[(жЕ^1)V(z/E^i)!)-

Строго говоря, эти формулы должны быть написаны без использования сокращений типа со, ^ и т. д., однако мы допускаем их для упрощения изложения.

Из вышесказанного следует, что существует л из П, такое, что р Е Un и ForcH (л, |). Поэтому для любой генерической точки q из Uл множество Ct (а (у)) является простым идеалом' булевой алгебры Р (со) (] N (у); в частности, для любого х Е N (q), если ж ^ со, то или х, или со — х принадлежит С^ (а (<?)).

Пусть к — число, удовлетворяющее теореме 6.4, т. е.

С$ (а (д)) = Сг ^а У Ш^ если / Е Gh, q^ST.

Зафиксируем произвольное число и > А, не принадлежащее Dom (л), и заметим, что в точности одно из множеств рп, а — рп принадлежит идеалу С^ (а (р)).

В оставшейся части доказательства мы должны рассмотреть два случая: 1) рп принадлежит идеалу; 2) го — рп принадлежит идеалу. Мы рассмотрим только первый, случай.

Сначала заметим, что рп = рп * Fj, где / таково, что Fj = <о. Поэтому рп = а^пф (р) и, следовательно, рп = Са {а (р)), где а = р110 («> + (п, ;)). Равенство

Чп = Са (а (д))

имеет место для всех q из Ж.

Из условия Рп 6 Cj (я (д)) выводим, что Са (а (р)) g С^ (а р)), и, следовательно, существует окрестность Up S Un точки р, такая, что

Чп Е С^ (а (q))

для любой генерической точки q из Up. Тогда, обозначая формулу ^! g Xi через Но, можем написать

РогсЯо (р, а, £).

Ограничивая Up, если понадобится, можем считать, что п £ 6 Dom (р).

Теперь покажем, что Up инвариантна относительно подходящего гомеоморфизма /„, т. Выберем т, такое, что Fm = Хп U Уп. где р (га) = <Хп, Yn ). Координаты точки /п, m (g) те же, что и у точки q, за исключением га-й координаты, которая равна qn для точки q и qn * (Хп U Yn) Для точки /п, m (q). Если i 6 Xn U Yn, то

i Е Чп = i Е Чп * (Хи U Yn), ' поэтому

Хп — Чп = Хп qn * kXn U Yn),

(Yn П Чп = 0 = (Yn П Vqn * (X„ U Уп)1=0}.

Это показывает, что q 6 Up = /п, m (q) Е Up. Используя теорему 2.1, выводим из (2), что

Еогсн0 (р, <рп, m (а), <рп, т ®),

т. е. для любой генерической точки q из Up

СЧп, т^ 1а ^)) ^ СФП, т® ^а to))'

Это означает, что Са (а уп, т (ч))) Е С6 (a (fn, т (ч)))- Так как п>к, то получаем, что С^ (a (fn, т (ч))) = Cg (a (q)); тогда из определения а следует, что Са (a (fn, т (ч))) равно га-й координате точки {п,т(ч)т т. е. qn * (Хп U Уп). Таким образом, получили, что

[gn П (Хп U Уп)] U [(to -Чп) П (® - (Хп и Уп))] Е С^ (a (q)),

и так как С^ (а (^))—идеал в Р (ю) Q N (q), то

® —(?nU^n 1)^)6 СНа(?))-'

С другой стороны, формула (1) показывает, что qn J Xn J Уп £ С С^ ка (<?)), так как С^ {a (q)) — идеал и конечные подмножества множества ю принадлежат ему. Поэтому имеем ю £ С^ (a ^q)). Противоречие.

Из 6.5 получаем следующий результат Фефермана [30].

Существование простого неглавного идеала в Р (ю) не доказуемо в ZF.

7. Конфинальность <0] с <о

Хорошо известно, что при допущении аксиомы выбора можно показать, что Wj не конфинально с ю. А. Леви [14] доказал, что существуют модели для ZF, в которых wj конфинально с ю. Ясно, что аксиома выбора в таких моделях неверна. В настоящем параграфе мы приводим конструкцию Леви.

Пусть М — минимальная модель г) и ^ = Р (юг (М)“, причем .1«й

на Ж и сомножителях иг (М)“ выбрана тихоновская топология. Элементами Ж являются последовательности р0, р^ . . ., где рЕ — отображение а» в ю, (М). Окрестности в Ж определены с помощью функций л с конечной областью определения, таких, что Dom (л) с S о) и л (i) — конечная функция с областью определения в ю и областью значений в юг (М). Точка р лежит в U^ если pt — расширение функции л (i) для любого I из Dom (л). Обозначим через П множество всех функций л.

Определение последовательности а (р) более сложно, чем в предыдущих случаях. Это происходит вследствие двух причин. Во-первых, мы хотим, чтобы координаты pt точки р были членами последовательности а (р), а так как а (р) — транзитивная последовательность, то в а (р) мы должны включить все ординалы £ < юю (М) вместе с парами {га, £}, (га, |) и множествами {га}. Другая причина состоит в том, что мы будем пользоваться гомеоморфизмами /, такими, что

/ (р) = кРо — Фо) U Фо. kPi — Ф1) U Ф1. • •

где фг и фг — конечные функции (конечные множества пар) с областью определения из ю и областью значений из ю, кМ). Так как нам потребуется выполнение условий из 1.1, то мы должны позаботиться не только о том, чтобы рг входили в а кр), но также о том, чтобы множества (р — фг) J фг для всех возможных фг и фг встречались в последовательности ^С^ на местах |, таких, что 6 (а) <

Можно обойтись более слабыми предположениями относительно М, однако эти обобщения не очень существенны.

< g < 6 (a + 1) для фиксированного a, независимо от p и конкретных функций ф,, ф^ использованных в (1).

Опише'м теперь последовательность а (р) второй категории (см. XII.2), которая удовлетворяет этим требованиям. Пусть ■& = = сош (МУ Обозначим через

^(gi (В), g2a»

взаимно однозначное отображение 6 на ft X ft; потребуем, чтобы это отображение было определимо в М.

Далее, выберем отображение h множества А на множество, состоящее из всех конечных последовательностей ординалов, меньших чем О. Пусть /ц (£) — область определения функции h (£) и Е; — члены последовательности К (£):

h ^ = {(*, ЪУ Uh^y

Функции h, hi и £г можно выбрать определимыми в М.

Теперь для ^ < ft и л < <й положим

«5(Р) = В,a#+dP) = ©’

«о- 2+5 (р) = {gt (В), g2 (В)}, а#-з+5 (р) = <gi (В), g2 (В)),

«о-4+НР) = {ао.з+5;^}: 1^^®У

^■(b^ny+iip) = (Рп — «»-4+5,(5> (р)) U а*-4+5е<5>(р)-

Таким образом, порядковый тип а (р) равен ft-w.

Последовательность а (р) — транзитивная последовательность второй категории.

Доказательство очевидно: в данном случае последовательность Q из определения XII.2 состоит из членов аа (р) с индексами, меньшими чём О -5.

Функция (1) действует на члены а(р) следующим образом: члены ар(рУ р^Ф-5, не изменяются, члены а».(5+«)+5(р) преобразуются в

{1(Рп-фп) U Фп] —«»• 4+^(5) (р)} U а».4+г2(5) (РУ т. е. в

[р» —(фп U«»-4+gl(5) (р))] и{1Фп—a#.4+gj(5) (р)] и«*-4+52(5) (р)}-

Очевидно, что это множество можно представить в виде

IPn — ао.4+5(р)] и«»4+^(р)

и, следовательно, в виде a^.(5+n)+p (р) для подходящих ц, ^, р<Ф.

Таким образом, доказано

Если / определена с помощью (1), то а^ (/ (р)) для любого В < ^ равно одному из членов ар (р), где р < ф.

Мы теперь хотим определить те места в последовательности С^ (а (р), которые занимают члены ар (р). Как мы знаем, ар (р) = = С^ (а (р)), где £ = pl10 (Р). Поэтому нам нужно определить значения pl10 (Р).'

Используем формулы

(Р < О) -> (6 (Р) < 0), 6 (й) = 0,

которые доказаны в приложении (стр. 243).

Так как Р ^ pl10 (Р) < 6 (Р + 1), то из указанных выше формул получаем, что если Р < й, то Р ^ pl10 (Р) < й. Следовательно, мы доказали

Все члены а^ (р), Р < й, встречаются в последовательности С^ (я (.р)) на местах с индексами, меньшими чем О; эти индексы образуют множество, конфиналъное с О.

Интервал (б^й), 6(0 + 1)) содержит ординалы £, такие, что I (£) = 10 и К (Q, L (£), М (£) — произвольные ординалы, меньшие чем О. Поэтому порядковый тип множества {£: (О < ^ < 6 (О + 1) Д Д I (£) = 10} равен О3. Следовательно,

Если О < Р < О • to, то значение pl10 (Р) лежит в интервале (О, 6 (О + 1)).

Эта теорема вместе с 7.2 показывает, что справедливо

Если / определена с помощью (1), то / удовлетворяет условию (С2) из 1.1.

Вернемся к построению моделей. Так как а (р) — последовательность второй категории, то, применяя теорему XII.4.2, получаем

Если р Е Gen (^), то N (р) = Сцм) (а (р)) — модель для ZF.

Покажем, что N (р) содержит отображение со на ®г (М).

Если р Е Gen (^), то Rg (рг) =- ®г (М).

Доказательство очень похоже на доказательство XII.5.5. Предположим, что существуют г и ^ < ®; (М), такие, что р; (ге) += ^, какое бы п ни взяли. Тогда формула

(ж, у) [((ж, у) Е х0)-+(у ^ ж,)]■

выполняется в N (р), если х0 = pt, xt = £. Существуют ординалы а, Р, такие, что Са (а (<?)) = ^ и Ср (а (.q\) = £ для любых q из ^*. Так как р — генерическая точка, то формула (2) выполняется в N (д), если х0 = qt, х^ = £, для почти всех q, которые лежат в окрестности Un точки р. Но очевидно, что этого быть не может, так как любая окрестность точки р содержит окрестность Up, состоящую из точек £ Е Rg (7;)-

Из теоремы 7.7 вытекает

Если р Е Gen (^), то to, (М) < (щ (TV (р)) для любого у < со.

Доказательство. По определению о)± ^N (р)) больше чем любой ординал а, для которого в N (р) существует отображение с областью определения со и областью значений а.

Если р 6 Gen (^), то <ою (М) ^ Wt (JV (р)).

Доказательство. Так как <ою-(М) = sup {о); (Му 7 < ®}, то неравенство <ою (М) > <0i (N (р)) приводит к противоречию с 7.8.

Следующие ниже леммы подготавливают доказательство того, что неравенство из 7.9 может быть усилено до равенства. Сначала определим подходящие гомеоморфизмы пространства Ж.

Пусть р = (р0, pi, . . .) € Ж. Начнем наше определение с описания преобразования г-й координаты точки р.

Пусть рг, аг — две конечные функции с одной и той же областью определения Dt £ <о, принимающие значения из <ог (ДГ). Пусть 4t — функция, совпадающая с рг для значений аргумента n^Dt и определенная для n^Dt следующим образом: qt (п) = pt (п), если pt (тг) =# р, (п) и р, (п) ^ аг (п); qt (тг) = Gt (п), если pt (тг) = = рг (тг); q{ (тг) = рг (тг), если р; (тг) = ot (п). Таким образом, qt (тг) получается из рг (тг) перестановкой (рг (тг), аг (тг)).

Любой гомеоморфизм / будет определен при помощи пары функций р, о £ П с общей областью определения D и такой, что при г £ D функции р (г) и а (г) имеют общую область определения О,. А именно / (р) (точнее, /ра (р)) полагаем равным такому q, что г-я координата qt получается из pt и функций р (г), а (г) указанным выше способом. Очевидно, что

fpa есть гомеоморфизм пространства Ж и f4 (р) = р Эля любой точки р.'

Гомеоморфизм fpa удовлетворяет условиям (С1) и (G2).

Доказательство. Условие (01) выполнено, так как fpa — инволюция. Для доказательства (02) достаточно использовать 7.5 и заметить, что /рст имеет вид (1): любая координата q{ точки fpa (р) получается из рг удалением некоторых пар и добавлением того же количества других пар.

Обозначим через G множество всех гомеоморфизмов /#ст и через Gn множество тех / из G, которые не изменяют первые тг координат любой точки р. Заметим, что

Р I п = а | n-*fpa £Gn.

Так как множества Gn образуют базис фильтра подмножеств из G, то заключаем, что

Для любого £ < л (М) существует число п, такое, что из f ^Gn следует С^ (а У (р))) = С^ (а (р)) для любых р из Ж.

Теперь докажем основную лемму.

Пусть Н — формула, |^л(Л7)Рг<н> и п таково, что ■ С^. (а У (р))) = С^ (а (р)) для любых р из Ж, любых / из Gn и любых i из Fr (Я). Тогда, если л £ П u ForcH (л, 1), то ForcH (л | п, |).

Доказательство. Предположим противное, т. е. что существует генерическая точка q из £7Я|п, такая, что

Н™, 1 н [С^ {а (д))].

Отсюда следует, что ЯЯ|П содержит окрестность Up, такую, что (3) выполняется для всех генерических точек из Up. С другой стороны, мы знаем, что Un । п содержит окрестность Un, такую, что отрицание утверждения (3) выполняется для любой генерической точки из Un.• '

Определим окрестности Up. г Up, Un- = Un и отображение / из Gn, такое, что / (Я^) = Un-.

Сначала расширим лир произвольным образом до функций л*, р* с одинаковой областью определения D', если i^D и л* (0 и р* (0 имеют разные области определения, то расширим их произвольным образом до функций л' (i) и р' (i) с общей областью определения Dt- Если л* (i) и р* (i) имеют одинаковую область определения, то примем л' (0 = л* (0 и р' (0 = р* (0. Наконец, положим / — /л'р'-

Так как любая из функций л' (0 является расширением л (0 при i £ Dom (л), то получаем: Un’ £ Un и аналогично Up- с Up. Обозначая через л£ (п) значение функции л' (0 в точке п (аналогично для других функций), имеем эквивалентности

Р € иЛ' = (0D (n)Dt (Pi (n) = nj (n)),q € up. = (0D (n)c. (qt (n) = p; (n)).

Эти эквивалентности, показывают, что р £ Un- = / (р) € Up-.

Наконец, заметим, что л' | п = р' | п, так как Up S Un\n, следовательно, л (0 = р (0, если* i < п. Из этого получаем, что л* (0 = р* (i) и, следовательно, л' (0 = р' (0. Это показывает, что / € Gn. Существование элементов л', р' и гомеоморфизма / с указанными выше свойствами доказано.

Теперь, используя теорему 2.1, из (3) выводим, что

Н N<q) Н [Cj (a (f (g)))]

для почти всех q из ил-. Так как / £ Gn, то получаем, что (3) выполняется для почти всех q из ил-, что является противоречием. Таким образом, теорема 7.13 доказана.

Если р g Gen (^), то (щ (N (р)) = юю (М).

Доказательство. Предположим, что (Oj (N (р)) > > (ою (М), т. е. что в N (р) существует отображение ю на ti>ffl (М). Как и всякий другой элемент из N (р), это отображение может быть

представлено в виде С^ (а (р)). Таким образом,. конъюнкция Н указанных ниже формул Hv Н2 выполняется в N (р) при подстановке вместо переменных значений С^ (а (р)) и множеств <о = = Ср1ц «») (« (р)) и №<„ (М) = # = СР111<#) (а (р)). Здесь Я, и Я2 таковы:

ЯД (и) {(и Е £1) -> (Elv) [(и Е Яг) Л (<“, у) € я3)]}, Н3‘. (и) {(у Е х^ (Яи) [(и Е £1) Л ((к, v) Е я3)]} (вместо х4 подставляется to, вместо х2 подставляется Ф и вместо х3 подставляется Ct (а (р))). Так как р — генерическая точка, то получаем, что существует точка л из П, такая, что для почти всех q из Un выполняется

VR№H\CvXuW^qYb Cpi11W (а (g)), C^^a^Y

Пусть Пп = {л Е П: Dorn (л) s nY

Для любых л Е Пп и к Е со пусть у (л, &) — наименьший ординал £ < toe, (MY такой, что ForcH (л, р1и (kY р!ц (£), £), или 0, если такого ординала не существует; здесь Яо — формула (xlt х2) Е х3. Функция у (л, к) параметрически определима в М, и, следовательно, множество ее значений имеет в М мощность, не превышающую мощности ее области определения. Областью определения у является множество Пп X со, мощность которого в’М равна to0 (Af)«coi (Л/) •. .. . . . • ton-i (Л/) • (о, так как мощность множества функций с конечной областью определения из to и областью значений из сог (М) равна в М кардиналу to, (MY Таким образом, Card (М, Пп) < <on (MY С другой стороны, если мы в (4) выберем q = р, то для любого т) < < toto (М) существует к из со, удовлетворяющее условию

^, Л) Е^$ (о (р)), т. е. hW(p) Яо [р1ц (к), р1и (ц), £].

Поэтому, используя лемму 7.13, можем найти элемент л из Пп, такой, что Рогся0 (л, р1и (к), р1и (ц), £). Таким образом, т] принадлежит области значений у, и мощность в М области значений функции у не меньше, чем too (MY

Это противоречие показывает, что сош (М) несчетно в N (р) и, следовательно, (щ (Я (р)) = со0 (MY

Укажем два следствия из теоремы 7.14.

Существуют модели N для ZF, в которых оц (Я) конфи- налъно с о. .

Доказательство. Учитывая V.3.10, имеем, что минимальная модель М определима в Я (р) и, следовательно, определимой в Я (р) является последовательность <ог (MY Поэтому эта последовательность принадлежит Я (р) и ее наименьшая верхняя грань равна (Ощ (М), т. е. <о1(Я(р)).

Утверждение «объединение счетной последовательности счетных множеств счетно» не доказуемо в ZF.

Следствие 7.16 может быть выведено также из теоремы 5.8.

Глава XV

ПРОБЛЕМЫ ОПРЕДЕЛИМОСТИ

В моделях N, получаемых простыми расширениями из модели М, аксиома выбора выполняется всегда. При некоторых дополнительных ограничениях на М, которые мы обсуждали в VII.8, в расширенной модели выполняется даже обобщенная континуум-гипотеза. Несмотря на это, оказывается, что никакое вполне-упорядочение на Р (со) П N не определимо в N. В этой главе мы рассмотрим указанное явление и некоторые аналогичные факты. -

Определимые отношения между ординалами

Как и в предыдущей главе, мы будем рассматривать модель N (р) = С^м) (a G9))» которая определяется пространством ^, отображением (Л): р -> а (р) пространства .У в класс транзитивных последовательностей фиксированной длины а0 < л (М), множеством П из М и отображением л -> Un множества П на регулярный открытый базис для Ж. Модель М в этом параграфе произвольна с единственным условием, что к ней применима теорема XI.5.2.

. Пусть А — множество и /а (а £ А) — семейство автогомеоморфизмов пространства Ж, такое, что любое из /а удовлетворяет условиям (Cl), (С2) из XIV.1.1, и пусть множество Vfa(,py. а С А) плотно в Ж для любого р из Gen (^). Кроме того, пусть р £ Gen(^) и R S п (М)п — п-местное отношение, определимое в N (р\ Тогда R параметрически определимо в М.

Доказательство. Определимость R означает, что существует формула Н с п свободными переменными, такая, что

| € R = Н n^H 1^1 Для всех ^ л (М)п.

Пусть pllt (£) — последовательность, состоящая из членов р1ц(^), i < п. Для того чтобы доказать теорему, достаточно показать (см. IX.5.3), что

£ € R = (£л)п ForcH (л, pln (£)).

Импликация слева направо очевидна. Теперь предположим, что существует л € И, такое, что Рогсд (л, р!ц (£)), однако £ R. Из (1) получаем |-ff№) “1 И [Срц^) (а (р))1, и так как р — генерическая

точка, то существует окрестность Up точки р, такая, что Forc-^ (р, р1ц (£)). Согласно предположениям теоремы, существует гомеоморфизм / = /о, отображающий р в точку из Un. Заменяя Up меньшей окрестностью, можем получить, что / (Up) с ип. Пусть Ua — окрестность точки / (Р), такая, что

иогнир> г-иП.

Имеем ForcH (а, р!ц (£)), отсюда, используя теорему XIV.2.1, получаем ForcH (р, <Р/°р1ц (£)), и поскольку точка р — генерическая, то

h N(p) Н [Сф/Ор111(^ (а (р))].

Символ <р/ обозначает здесь функцию, определяемую функцией / в соответствии с XV. 1.1. Поэтому Сф(ч) (а (р)) = Сч (а (/ (р)), и в частности, если ц = р!и (£), то

^№111(5» (а кР?) = CPhi(£) ка U (?))) = t

Формула (3) дает тогда |-№Д1ё1, т. е. £ £ R. Противоречие.

Неопределимость вполне-упорядочений множества Р (<»)

В этом параграфе мы построим модель, в которой никакое определимое отношение не задает вполне-упорядочения на Р (со), хотя аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза выполняются В N крУ

В качестве .%” возьмем пространство Р (со) с обычной тихоновской топологией. Пусть М — минимальная модель для ZF и Fn — перечисление в М конечных подмножеств множества со. Положим:

ак (р) = ^, если к < со,

«®+<п.ц (р) = (р — Л») U Fh если п, у < со.

где, как и в гл. XIV, (а, /) обозначает 2" (2/ + 1) — 1.

Для любой перестановки е множества со, которая оставляет без изменения все числа, за исключением конечного множества, определим /е (р) как образ Im (е, р) точки р при отображении е.

Обозначим через 5 множество всех перестановок е.

Функции /е удовлетворяют условиям (С1) и (С2).

Доказательство. Если е имеет порядок п, то такой же порядок имеет /Е. Отображение /е, очевидно, является автогомеоморфизмом. Так как ап Уе (р)) = ап (р), то остается показать, что, если Р = со + (а, у) и pl10 (Р) лежит в интервале (6 (а), 6 (а + 1)), то ар (/6 (р)) можно представить как С^- {а (р)), причем g' лежит в том же интервале. Легко показать, что со < pl10 (Р) < 6 (со + 1); поэтому нам нужно ар (ie (р)) представить в виде С^- (а (р)), где со < ^' < 6 (со + 1). Для этого заметим, что ар (/е (р)) =

= (Im (е, р') — Fn) U Fj, и так как симметрическая разность Im (е, р) — р конечна, то ар (/е (р)) можно представить в виде (р — F^ J Fm. Таким образом, ае (fe (р)) = am+(k, т) (р), что доказывает утверждение.

Если р £ Ж, р и to — р бесконечны, то множество уе (jiy е £ 5} плотно в Ж.

Доказательство. Если X, У — непересекающиеся конечные подмножества из и, то можно найти перестановку е из S, которая переставляет элементы из X с некоторыми элементами из р и элементы из У с некоторыми элементами из ю — р.

(Леви [14]). Если р $ Gen (ЖУ то аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза выполняются в N (р), но никакое вполне- упорядочение для Р (со П N (р) не определимо в N (р).

Доказательство. Сначала докажем вторую часть теоремы. Так как М — минимальная модель, то ее элементы имеют вид С^ (0), где £ < л (Л/) = л (V). Из V.3.10 следует тогда, что М — определимое подмножество в N (р). Так как р £ Р (ю) П N (р) — М, то разность Р (ю) П N (р) — М определима в N (р) и непуста. Теперь предположим, что Р (ю) П N (р) можно вполне упорядочить с помощью определимого в N (р) отношения R. Первый элемент разности Р (ю) П N (р) — М будет тогда определимым подмножеством множества ю и поэтому в соответствии с 1.1 будет принадлежать М. Противоречие.

В соответствии с VII.1.9 аксиома выбора выполняется в N (р), если а (р) £ N (р). Проверим это условие. Начальным сегментом последовательности а (р) является последовательность всех положительных целых чисел; очевидно, что этот сегмент принадлежит N (р). Оставшаяся часть а (р) представляет собой последовательность с членами (р — Fn) (J Ер Отображение (и, j) -> (Еп, F ^ принадлежит М; кроме того, р £ N (р), так как р = аи+(п0, „0) (р), где п0 таково, что F^ = 0. Поэтому отображение (и, /) -> (р — F^ |J Fj принадлежит М. Это доказывает, что аксиома выбора выполняется в N (рУ

Если £ — ординал из N (рУ ^ ^ ю, то N (р) содержит отображение на Dorn (а(р)), так как Dom (а(р)) = ю-2. Теорема VII.8.1 показывает тогда, что обобщенная континуум-гипотеза выполняется в N (р). Теорема 2.3 доказана. Ее следствием является

Аксиома экстенсиональности не выполняется в семействе определимых подмножеств из N (р).

Доказательство. Разность Р (ю) П N (р) — М определима в N (рУ но не имеет определимых элементов.

Подмножества множества Р (со) с определимым вполне-упорядочением

В этом параграфе мы построим (см. Леви [14]) модель, в которой выполняются аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза и в которой любое подмножество множества Р (со), вполне упорядочиваемое с помощью определимого отношения, не более чем счетно. Главная идея состоит в построении расширения N (р) минимальной модели, в котором (Oi (TV (р)) > (Oi (М) и к которому применима теорема 1.1.

Пусть М — минимальная модель. В качестве Ж возьмем подпространство пространства [toi (М)]ш, состоящее из взаимно однозначных отображений множества со в соi (М). Топология в [coi (ТИ)]“ тихоновская, а топология в Ж индуцируется топологией в [(Oi (М)]“.

Пространство Ж замкнуто в [coj (М)]ю, так как, если / не взаимно однозначное отображение, т. е. если / (иг) = / (п) для та фп, то окрестность, определяемая функцией / | ^т, п}, не пересекается с Ж. Отсюда следует, что в Ж выполняется теорема Бэра.

Пространство Ж имеет регулярный базис, состоящий из множеств Uя, где л — взаимно однозначное отображение конечного подмножества со в соi (ТИ). Обозначим через П множество всех таких конечных взаимно однозначных функций л.

Определим отображение (Л): р -> а (р).

Прежде всего рассмотрим транзитивную последовательность <2 типа coi (М), которая принадлежит М, содержит все ординалы, меньшие чем toi (ЛГ), и такую, что когда £, ц < cot (М), то {£, ц} и (5, ц) —члены последовательности <2- Такую последовательность легко построить по шагам: на шаге X + 1 < toi (М) к последовательности, построенной на шаге X, добавляем первый еще не использованный ординал р < ©i (Л/), множество {р} и все пары {р, £}, (6, р), (р, 6) (в указанном порядке), где £ — член ранее построенной последовательности. На предельных шагах мы берем объединение ранее построенных последовательностей. Это индуктивное определение может быть выражено в ZF, и поэтому последовательность <2, удовлетворяющая этому определению, является элементом М.

Пусть F — функция, определимая в М и такая, что Dom (F) = = (Di (М) и F перечисляет все конечные множества, элементами которых являются члены последовательности <2- Далее, пусть ^± (^', £") — взаимно однозначное определимое в М отображение to! (Л/) на tot (М) X toi (ЛГ). Для р ^ Ж определим а (р), полагая

а$(р) = <2б- если ^<®iW,

Таким образом, порядковый тип а (р) равен toi(M)-2 и а (р) является последовательностью второй категории.

Пусть р — генерическая точка. Построим модель N (р) = N (М, Ж, В», а (р), П)

(см. XII.4). Из замечаний, сделанных после XII.4.3, получаем

Если р Е Gen (^), то N (р) — модель для ZF.

Повторяя соответствующую часть доказательства теоремы 2.3, выводим

Аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза выполняются в N (р).

Теперь мы покажем, что в данном случае выполнены условия теоремы 1.1.

Для любой перестановки е множества ы определим автогомеоморфизм /8 пространства Ж с помощью равенства f (р) = р ° е-1. Пусть G — множество всех /8, где е — перестановка, которая переставляет только конечное множество чисел.

Все гомеоморфизмы f из G удовлетворяют условиям (С1) и (02) из XIV. 1.1.

Доказательство. (01) выполнено, так как е и /8 имеют одинаковый порядок. Для того чтобы доказать выполнимость (02), нам нужно представить ар (/е(р)) в виде С^- (а (р)), где £ =р!ю(Р) и £' лежат в одном и том же интервале (6 (а), 6 (а + 1)).

Если Р < ®i (М), то ар (р) не зависит от р. Поэтому в этом случае можно выбрать £' = |. Теперь предположим, что (щ (Л/) ^ ^ Р < ®i (Л/) -2. Обычным способом доказывается, что 6 (®i (Л/)) = = ®i (Л/) (см. приложение, стр. 243) и 6 ((щ (ЛТ) + 1) > (щ (М)-2. Поэтому для всех р, таких, что Wi (М) 5$ р < сщ (М)-2, ординалы pl10 (Р) и р лежат в одном и том же интервале ((щ (Л/), 6 (<Di (АГ) + 1). Следовательно, для того чтобы доказать (С2) для этих ординалов, достаточно показать, что ар (/8 (р)) встречается в последовательности а (р) с индексом, не меньшим чем (щ (.МУ Для этого заметим, что/е (р) получается из р изменением конечного множества значений, т. е. /е (р) = (р — A) U В, где А и В — конечные подмножества множества Rg (0. Отсюда следует, что если (щ (А/) ^ Р< ю^АГ) -2, то ’

ар {К (р)) = t/е (р) - F (Р')1 и F (Р") =

= Ь - (A U F (P'))l U 1(5 - F (Р')) U F (Р")], и поэтому ар Ув (р)) имеет вид а^ (р). Лемма 3.3 доказана.

Если р Е Gen (^), то множество У (р), /ЕС} плотно в Ж.

Доказательство. Пусть л — взаимно однозначная конечная функция, для которой Dorn (л) cz ю и Rg (л) cz <о± (АГ). Так как р — генерическая точка, то она отображает ы на оц (АГ)

(см. теорему XII.5.5). Поэтому существует конечное множество X cl to, которое р отображает на Rg (л). Так как рил взаимно однозначны, то множества X и Dom (л) имеют одинаковое количество элементов. Поэтому существует перестановка е, такая, что р (е-1 (/)) = л (у) для любого j £ Dom (л). При этом можно предположить, что е переставляет только коренное множество элементов, т. е. получили, что /Е (р) 6 С7Я, если /е g G.

Лемма 3.4, которую мы только что доказали, показывает, что теорема 1.1 применима и, следовательно, любое отношение, которое определимо в N (р), параметрически определимо в М. Теперь можно доказать наш главный результат (Леви [14]):

Если X cP к<Х) f\ N кр) и в N кр) существует отношение, определимое в N кр) и вполне упорядочивающее X, то Gard kN кр), X) ^ со.

Доказательство. Пусть т — порядковый тип множества X. Из предположений теоремы следует, что существует определимое в N (р) и сохраняющее порядок отображение ср ординала т на X. Отношение

{<£, п) £ т X со: и g ср (£)}

определимо в N кр)- Поэтому оно параметрически определимо в М, и так как оно содержится во множестве т X со, которое принадлежит М, то оно само тоже принадлежит М. Это показывает, что X £ М. Теперь, используя выполнимость в М континуум-гипотезы, получаем, что Card кМ, Р (со) П М) ^ coi кМ). Следовательно, Card кМ, X) ^ coi кМ). Таким образом, М содержит взаимно однозначное отображение множества X в coi кМ). Это отображение является также элементом модели N кр), так как М — минимальная модель. Отсюда получаем

Card kN кр), X) < Card kN кр), ®i кМ)).

Теперь заметим, что р С N кр) и р взаимно однозначно отображает со на tot кМ). Таким образом, релятивизованная в N (р) мощность множества coj кМ) равна со, и, следовательно, Card kN кр), X) ^ со.

Из теоремы 3.5 вытекает

Множество М П Р к®) имеет в N kj>) релятивизованную мощность со, а в М — релятивизованную мощность coi кМ).

Доказательство. В VII.3 мы показали, что существует вполне-упорядочение на М, определимое в М и, следовательно, в N (р), так как М = С™м) (0) — определимое множество в N кр)-

Теорема 3.6 показывает, что предложение «подмножества множества со, конструктивные относительно пустой последовательности, образуют счетное множество» неразрешимо в ZF даже при добавлении

аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы в качестве новых аксиом. Таким образом, мы получили относительно простой пример неразрешимого предложения, который очень убедительно показывает неполноту аксиоматической теории множеств х).

*) Неполнота ZF следует также из так называемой первой теоремы Гёделя о неполноте. Однако из этой теоремы не следует, что существуют два транзитивных семейства А, В множеств, таких, что А ФВ (см. 1.5), причем А, В — модели для ZF. Этот более сильный результат о неполноте следует непосредственно из сделанных выше замечаний. Это может быть выведено также из совместности и независимости АС от аксиом ZF и также из совместности и независимости GCH, доказанных в предыдущих главах. Кроме того, модели А и В можно считать счетными и имеющими одинаковую высоту.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Мы будем предполагать, что М = С®° (0) — модель для ZF, в частности М можёт быть минимальной моделью.

Теорема. Если / — возрастающая непрерывная равномерно определимая функция, отображающая On в От, то для любого а из л (М) ординал (оа (М) является критическим числом для f.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда а = Р +1. Пусть F — формула с двумя свободными переменными Яо, Ж1, которая определяет / (см. V.1 и IV.1). Тогда для почти всех множеств А и произвольных £, ц из л (Л) имеем

Ц^ХЕА,

h = / (£)1 = На F [ц, £1.

Соответствие переменных формулы F и ординалов ц, £ таково: т) соответствует ж0, £ соответствует xv Таким образом, правая часть эквивалентности (2) может быть переписана как На Л (0,-п), (1Л)}].

Выражение «для почти всех» означает, что среди аксиом ZF существует конечное множество аксиом К^, . . ., КТ, такое, что если А — транзитивное множество, в котором выполняются эти аксиомы, то формулы (1), (2) имеют место для произвольных Е, ц < л (Л).

Предположим, что § < соа (М), и положим s = со J £ J {£}. Очевидно, что з М-вложимо в (Ор (М):

I 8 || ©Р (М) |.

Пусть Н — конъюнкция следующих формул: аксиом Kt, Кй, . . . . . ., Кт, формулы Ord fo) и формулы

G: M/fOrd (Ж1) ->- №0) [Ord (я;0) Д F]}.

Последняя формула «говорит» о том, что для любого ординала зц существует в точности один ординал х0, такой, что F (х0, х^.

Мы можем предположить, что среди аксиом Kt имеется аксиома экстенсиональности. Так как в М выполняются все аксиомы ZF, то из (1) и (2) выводим, что для всех £ < л (М) имеют место

Н м О,

У-мК^К2 Д... ЛКТ,

Нм Ord [Я-

Теперь мы используем теорему VII.7.3, в которой полагаем Ло = М и заменяем £ на (Ор (М); согласно определению М, имеем также Ag = М (смысл обозначения А, уточнен в VII.7.3).

Из всего этого получаем, что в М имеется множество т, такое, что

з s т, | т | ^м | сор (М) |,

т есть /f-элементарное подмножество модели М.

Уплотняющая функция ср множества т принадлежит М (см. VII.6.5). Полагая т* = Im (ср, т), получаем, что в М существует множество т*, такое, что

| 771* I ^М I С0Р W |,

ф (ж) = х, если х g s,

ф изоморфно отображает т на ттг*,

(И)ттг* — транзитивное множество.

и (11) вытекают из свойств уплотняющей функции (см. 1.6). (8) вытекает из (6) и того, что ф € М и ф — взаимно однозначная функция. Наконец, (9) вытекает из теоремы, утверждающей, что уплотняющая функция множества т тождественна на любом транзитивном подмножестве из т (см. 1.6.3).

В (4) и (5) положим £ = £. Из (7) и (6) получаем |-mOrd [£], из (3) и (7) имеем \-mG. Поэтому существует элемент у £ т, такой, что Hm F 1у, £1 и Н т Ord [у]. Применяя изоморфизм ф и полагая г] = Ф (у), получаем:

Нт* F [ц, 51, Нт* Ord [-q],

так как ф отображает | в себя.

Отсюда следует, что ц — ординал.

Из (2) получаем, что ц = / (£). Так как ц £ ттг*, то т| g ттг* и, следовательно, | ц | ^м I ®р (М) |. Таким образом,

.I Д1Жм I ®р (М) |,

и, следовательно,

./ (I) < ®p+i (М) = ®а (М).

Таким образом, мы показали, что

И < ®а (М)] - [/ ^ < ®а (М)],

и, следовательно, соа (М) — критическое число функции /.

Если а — предельное число, то соа (М) = lim сор (М), и теорема

. Р<а

вытекает из предыдущего, так как предел последовательности критических чисел является критическим числом.

Применение. Если в теореме взять / (У = 6 (|) и о = со, то получим

[р < ‘®ю (М)][6 (р) < ®ш (М)1,

сою (М) = 6 (®ш (М)).

Эти две формулы были использованы в XIV.7 (стр. 230). Аналогичным образом можно вывести равенство 6 (ац (М)) = оц (М), которое было использовано на стр. 238.

/Настоящий список не может претендовать на полноту, поскольку в нем указаны лишь работы, на которые имеются ссылки в тексте.)

Аддисон (Addison J. W.)

Some consequences of the axion of constructibility, Fund. Math., 46 (1959), 337-357.

Бернайс (Bernays P.)

A system of axiomatic set theory I, J. Symb. Logic, 2 (1937), 65—67.

Бернайс, Френкель (Bernays P., Fraenkel A.)

Axiomatic set theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1958.

Гёдель (Godel K.)

Consistency proofs for the generalized continuum hypothesis, Proc. Nat; Acad." Set. USA, 25 (1939), 220—224.

Гёдель (Godel K.)

What is Cantor’s continuum problem? Amer. Math. Month., 54 (1947), 515—

.’

Гёдель (Godel K.)_

The consistency of the axion of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory, 4-е изд., Princeton, 1958.

Егерман (Jaegerman M.)'

The axiom of choice and two definitions of continuity, Bull. Acad. Polon. Set., ser. math., astr. et phys., 13 (1965), 699—704.

Истон (Easton W.B.)

Powers of regular cardinals, Princeton Doctoral Dissertation (mimeographed), 1964.

Келли (Kelley J. L.)

General topology, Van Nostrand Co., Princeton, 1955. (Русский перевод: Келли Дж. Л., Общая топология, Физматгиз, М., 1950.)

Коэн (Cohen Р. J.)

The independence of the continuum hypothesis I, II, Proc. Nat. Acad. USA, 50 (1963), 1143—1148; 51 (1964), 105—110.

Коэн (Cohen P. J.)

A minimal model for set theory, Bull. Amer. Math. Soc., 69 (1963), 537—540. [12] Коэн (Cohen P. J.)

Set theory and the continuum hypothesis, W. A. Benjamin, New York, 1966. (Русский перевод: Коэн П. Дж., Теория множеств и гипотеза континуума «Мир», М., 1967.)

Куратовский, Мостовский (Kuratowski К., Mostowski А.)

Set theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, North Holland Publishing Co., Pa fist wo we Wydawnictwo Naukowe, Amsterdam and Warsaw, 1967. (Русский перевод: Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, «Мир», М., 1970.)

Леви (Levy А.)

(Mimeographed Notes), 1963, 1—32.

Лузин (Lusin N.)

Sur les ensembles analytiques nuls, Fund. Math., 25 (1935), 109—131.

Марек (Marek W.)

On families of sets, Bull. Acad. Polon. Set., ser. math., astr. et phys., 12 (1964), 443-448.

Марек, Онышкевич (Marek W., Onyszkiewicz J.)-

Some results in the foundations of the set theory, Bull. Polon. Set., ser, math., astr. et phys., 15 (1967), 51—52. См. также исправление к этой работе, там же.’

Марчевский (Marczewski (Szpilrajn) Е.)

Remarque sur les produits cartesiens d’espaces topologiques, ДА H СССР, 31 (1941), 525—528.

Монтагю, Boot (Montague R. М., Vaught R. L.)

Natural models of set theory, Fund. Math., 47 (1959), 219—242.

Mope (Morse A.)

A theory of sets, Academic Press, New York, 1965.

Мостовский (Mostowski A.)

Recent results in set theory, Problems in the Philosophy of Mathematics. Studies "in Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1967, 82—96.

Нейман (von Neumann, J.)

Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Z., 27 (1928), 669—752.

Робинсон (Robinson A.)

Introduction to model theory and the metamathematics of algebra, Studies in Logic and Foundation of Mathematics, North-Holland Publish. Co., Amsterdam, 1963.

Робинсон (Robinson R. M.)

The theory of classes. A modification of von Neumann’s system, J. Symb. Log., 2 (1937), 29—36.

Скарпеллини (Scarpellini B.)

On a family of models of Zermelo-Fraenkel set theory, Z. Math. Log. Grund. Math., 12 (1966), 191—204.

Соловей (Solovay R.)

2Xo can be anything it ought to be. The Theory of Models, Studies in Logic and the Foundatioons of Mathematics, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1965, 435.

Такеути (Takeuti G.)

Topological spaces and forcing, в печати.

Такеути (Takeuti G.)

On the axiom of constructability,' в печати.

Тарский (Tarski A.)

The concept of truth in formalized languages. Logic, semantics, metamathematics, Clarendon Press, Oxford, 1956.

Феферман (Feferman S.)

Some applications of the notion of forcing and generic sets, Fund. Math., 56 (1965), 325—345.

Хайнал (Hajnal A.)

On a consistency problem connected with the generalized continuum hypothesis, Z. Math. Log. Grund. Math., 2 (1956), 131—136..

Шефердсон (Shepherdson J. C.).

Inner models of set theory, part III, J. Symb. Log., 18 (1955), 145—167.

Эрдёш, Радо (Erdos P., Rado R.)

A partition calculus in set theory, Bull. Amer. Math. Soc., 62 (1956), 427—

_,,

Эрдёш, Тарский (Erdos P., Tarski A.)-

On families of mutually exclusive sets, Ann. of Math., 44 (1943), 315—329. [35] Новиков П. C.

О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории множеств, Труды МИАН, 38 (1951), 279-316.

[36*] Йех (Jeh Т.)

Lectures in set theory with particular emphasis on the method of forcing, Lectures notes in Mathematic, 1971. (Русский перевод: Йех T., Теория множеств и метод форсинга, «Мир», М., 1973.)

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

-1 н

отрицание 11

нкн-

конъюнкция И

НН

квантор общности 11

H\JH'

(подразделительная) дизъюнкция 11

Н ->Н'

импликация 11

н = н*

эквивалентность 11

(Ех.)

квантор существования 11

Fr (Я)

множество таких i, что х, входит свободно в Я И

Н (xh . . ., xh)

формула, в которую переменные

Xj, . . ., хн входят свободно 11

(Ely) Н

«существует точно одно такое у, что Я» 12

х U У

объединение ж и у 13

х Л У

пересечение х и у 13

—х

дополнение множества х 13'

X — у

разность ж и у 13

0

пустой класс 13

V

универсальный класс 13

ГН

пересечение всех множеств из х 13

U х

объединение всех множеств из х 14

хгу

включение 14

Р(х)

класс всех подмножеств из х 14

{ж}

синглетон множества х 14

(х, у}

пара ж и у 14

<Х, у)

упорядоченная пара ж и у 14

(х^ . . ., хп)

упорядоченная и-ка 14

хп

п-я степень множества 14

X X У

декартово произведение ж и у 14

Rei (ж)

«х есть отношение» 14

X о у

суперпозиция ж и у 14

Fnc (/)

«/ есть функция 14»

Dom (/)

область определения функции / 14

Rg(n

область значений функции / 14

Im (/, x)

образ множества х при отображении / 14

x^

класс всех отображений у в х 14

/ | х ограничение функции / на множество х 14

Е отношение принадлежности 14

г Conn х «г связно в х» 14

ord (х) «х ест', ординал» 14

On класс всех ординалов 14

min х наименьший ординал в х 15

sup х наименьший ординал, больший каждого ординала из х 15

г-1 обратное отношение 15

х ~ у «х и у имеют одинаковую мощность»

15'

| х | = card х г WO х О (а) = OR (а)

Rx

rg (ж)

(Я)

мощность множества х 15, 182

«г вполне упорядочивает х» 15 класс ^-предшественников элемента а 18

семейство множеств, ранг которых меньше £ 20

ранг множества х 21

последовательность ординалов, со-

ЬаН [/1WРа или PU, а)Х^А-< ВDH (а)8н (а, /)Ai — Л7, А8, Л9 С^ (а) или С^ (а)6, I, К, L, М plft (а) иди plft (г, а)pl', pl*, pl_ ЯИР) pl', pl*, plSЬаН [/1WРа или PU, а)Х^А-< ВDH (а)8н (а, /)Ai — Л7, А8, Л9 С^ (а) или С^ (а)6, I, К, L, М plft (а) иди plft (г, а)pl', pl*, pl_ ЯИР) pl', pl*, plS

ЬаН [/1

W

Ра или PU, а)

Х^

А-< В

DH (а)

8н (а, /)

Ai — Л7, А8, Л9 С^ (а) или С^ (а)

6, I, К, L, М plft (а) иди plft (г, а)

pl', pl*, pl

_ ЯИР) pl', pl*, pl

S

ЬаН [/1

W

Ра или PU, а)

Х^

А-< В

DH (а)

8н (а, /)

Ai — Л7, А8, Л9 С^ (а) или С^ (а)

6, I, К, L, М plft (а) иди plft (г, а)

pl', pl*, pl

_ ЯИР) pl', pl*, pl

S

ответствующих знакам, которые появляются в Н 21

«формула Н выполняется в А для значений функции /» 21

«для каждого а из Л» 21

последовательность, получаемая из / добавлением а на i-м месте 22 проекция множества X 24

«Л — элементарный подкласс класса 5» 26

диаграмма формулы Я в а 35 сечение диаграммы DH (рВ определенное последовательностью / 35 основные операции 37, 46 |-е множество, конструктивное относительно а 43

отображения из On в On 44 нумерация ординалов £, таких, что 1^ = к 45

сокращенные обозначения для р!10, pin, р112 45

первое а, такое, что р1й (а) ^ р 45 сокращенные обозначения для р110, pin, р112 46

класс всех трансфинитных последовательностей 46

lh (а) ВКв (а)Trans (ж) Ord (ж) ^minВ»BzDis (ж)Sei (я, ip)I а I <л I & I Sc (хь x/)I или I (^T)t E T^ или ^H, t - GHl t^H. n, tForcH (л, t) = U„ — ^H, t E IWл -< pёаР ИЛИ ^^pGen (Ж) Фlh (а) ВКв (а)Trans (ж) Ord (ж) ^minВ»BzDis (ж)Sei (я, ip)I а I <л I & I Sc (хь x/)I или I (^T)t E T^ или ^H, t - GHl t^H. n, tForcH (л, t) = U„ — ^H, t E IWл -< pёаР ИЛИ ^^pGen (Ж) Фдлина последовательности a 46 функция, удовлетворяющая условиям (В.О) — (В.4) 46 класс, содержащий все множества С» (а) 47 формула: «х транзитивно» 52 формула: «х есть ординал» 52-

lh (а) В

Кв (а)

Trans (ж) Ord (ж) ^min

В»

Bz

Dis (ж)

Sei (я, ip)

I а I <л I & I Sc (хь x/)

I или I (^T)

t E T

^ или ^H, t - GHl t

^H. n, t

ForcH (л, t) = U„ — ^H, t E I

W

л -< p

ёаР ИЛИ ^^p

Gen (Ж) Ф

lh (а) В

Кв (а)

Trans (ж) Ord (ж) ^min

В»

Bz

Dis (ж)

Sei (я, ip)

I а I <л I & I Sc (хь x/)

I или I (^T)

t E T

^ или ^H, t - GHl t

^H. n, t

ForcH (л, t) = U„ — ^H, t E I

W

л -< p

ёаР ИЛИ ^^p

Gen (Ж) Ф

наименьшая функция, удовлетворяющая условиям (В.1) — (В.4) 55 наименьшая функция, удовлетворяющая условиям (В.1) — (В.5) 55 наименьшая функция, удовлетворяющая условиям (В.1) — (В.6) 55 формула: «х есть семейство непустых попарно не пересекающихся множеств» 102

формула: <w есть селектор множества х» 102

«а Л-вложимо в Ь» 105

формула: «Ж; есть последователь элемента жг» 109

семейство множеств первой категории пространства Ж 128 симметрическая разность 129 декартово произведение множеств Жг 129 оценка 130 открытое множество, конгруэнтное ^н, t по модулю I (Ж) 131 нигде не плотное множество, такое, что ^н, t ~ GH, t = U NH) п> t 130 n

отношение вынуждения 132 отображение множества П на открытый базис пространства Ж 132 отображение р ->а (р) пространства Ж в класс транзитивных последовательностей 134

отношение, которое переносит условие л на р, если Up G Un 135' множество таких точек р, что Са (а (р)) е С^ {а (р)) 135, 139 множество генерических точек 136 семейство функций, значения которых суть подмножества простран-

ф * ф<е I ^ Р) ф*g*У*R^СоО, Оз» Оз ^в I (а, Р), дв I (а, Р)ф * ф<е I ^ Р) ф*g*У*R^СоО, Оз» Оз ^в I (а, Р), дв I (а, Р)еЕпЧпП, (г0)П? (г)Rx М, Ra (г)Пз,/ (го)Щ.г.к (г)еЕпЧпП, (г0)П? (г)Rx М, Ra (г)Пз,/ (го)Щ.г.к (г)ства .У, а области определения содержатся в л (Л/)2 139 дополнение симметрической разности 141 иррефлексивное отношение, заданное на л (Л/)2 143

ф * ф

<

е I ^ Р) ф*

g*

У*

R^

Со

О, Оз» Оз ^в I (а, Р), дв I (а, Р)

ф * ф

<

е I ^ Р) ф*

g*

У*

R^

Со

О, Оз» Оз ^в I (а, Р), дв I (а, Р)

еЕп

Чп

П, (г0)

П? (г)

Rx М, Ra (г)

Пз,/ (го)

Щ.г.к (г)

еЕп

Чп

П, (г0)

П? (г)

Rx М, Ra (г)

Пз,/ (го)

Щ.г.к (г)

функция е, ограниченная аргументами <^ (а, Р) 143

множество функций со значениями 0,1, зависящих от трех аргументов, первый из которых пробегает П, а остальные два — л (М) 144 характеристическая функция отношения ип —^а?.Е1 144 характеристическая функция отношения U„ — Ja₽ € I 144 отношение, соотнесенное с полиномом ф 144 частичное упорядочение множества л ОТ 149, 151

множество пар (а, а), таких, что а •< л (Л/) 150

множества специальных и ординарных пар 150

функции gf^, 3®^ ограниченные аргументами, такими, что (|, ц) <^а <а(а, Р > 151 .

множество точек р, таких, что Ч ^ ^ «п (?) 158 множество точек р, таких, что Ч (р) = а^ (р) 158

множество пар (X, У), где X, У — непересекающиеся конечные подмножества из г0 163 множество конечных функций л, таких, что лг £ П, (гг) для любого i из Dom (л) 163 отношения включения между окрестностями, определяемыми элементами из Ilj (г0) или П“ (г) 164 множество упорядоченных пар не- пересекающихся элементов из J 164 множество функций л с областью определения в К, таких, что лг £ £ n3>J (гг) для любого г из Dom (л) 165

П5 (а, Ь)N (М, а;, в, а (р), п)wf (r0, р)Na(r,p), Na,j,K (г, р)П5 (а, Ь)N (М, а;, в, а (р), п)wf (r0, р)Na(r,p), Na,j,K (г, р)N®, ь W)Nz(p)а'аРа+v (а, Р)- R*О (7?)?№ге1 (х) exp (М, |)Cl, С2N®, ь W)Nz(p)а'аРа+v (а, Р)- R*О (7?)?№ге1 (х) exp (М, |)Cl, С2

П5 (а, Ь)

N (М, а;, в, а (р), п)

wf (r0, р)

Na(r,p), Na,j,K (г, р)

П5 (а, Ь)

N (М, а;, в, а (р), п)

wf (r0, р)

Na(r,p), Na,j,K (г, р)

N®, ь W)

Nz(p)

а'

аР

а+

v (а, Р)

- R*

О (7?)

?№

ге1 (х) exp (М, |)

Cl, С2

N®, ь W)

Nz(p)

а'

аР

а+

v (а, Р)

- R*

О (7?)

?№

ге1 (х) exp (М, |)

Cl, С2

множество всех конечных функций л со значениями в а и Dom (л)с £ Ъ 165

генерическое расширение модели М, определяемое пространством ^, функцией В, последовательностью а (р) и множеством условий П 174 простое расширение, определяемое генерическим подмножеством р множества г0 174

кратное расширение, определяемое генерической последовательностью р, члены которой суть подмножества членов последовательности г 175

простое функциональное расширение, определяемое генерическим отображением р из b в а 176 сокращенное обозначение для

NbZ (г, р) 179

^-й бесконечный кардинал 181 наименьший ординал, конфиналь- ный с а 182

сумма кардиналов | а$ | для £ < Р 182.

последователь кардинала а 182 наименьший кардинал, такой, что max (а, Р) ^ v ^ v“ 182

отношение, которое х связывает с у, если нет такого z, что выполняется xRz и у Rs 184

коэффициент Суслина отношения 7? 184, 187

вес топологического пространства 187

формула: «х есть отношение» 192 экспоненциальная функция модели М 202■

условия на функцию 212

Функторы первого и второго рода1)

%н характеристический функтор отношения 7? 59

R1 (Л) ={а £ Л: Rei (а)} 63

Fn (Л) = {а € Л: Fnc (а)} 63

dl (Л, а) = Dom (а) 63

dp (Л, а) = Rg (а) 64

restr (Л, а, Ь) = а | Ъ 64

W (Л) = {<ы, v, гу) £ Л3: (u, v) £ w} 64

val (Л, a, t) = а (/) 64

ип (Л, а) = U{« (i): t £ Dom (а)} 64

л (Л) = On П Л 64

Seq (Л) = {а £ Л: Fnc (а) Д (Dom (а) Е On)} 64

Str (Л) = {а £ Seq (Л): а — транзитивная последовательность} 64

sue (Л, а) = a U (а} 65

pred (Л, а) = (J а 65

Lim (Л) = {а £ л (Л): а = pred (Л, а)} 65

Р (Л, а) = Л П Р (а) 65

In (Л, р) функтор, значения которого удовлетворяют индуктивному условию ф (а) = / (Л, <р | а, а, р) 66 гк(Л, ^) функтор, значение которого есть Л (} R^ 80

Konstr-S (Л, Ь) constrs 1Т (Л, |, р)

Konstrs ^

Ods (Л, х, а)

ХМ

Card (Л/)

Cf (М, а)

О (М, а)

и$ (М)

функтор, значение которого есть С®(А) (а) 81 функтор, значение которого есть С^Т (А,р)) 85 функтор, значение которого есть С^^Т^А, р)) 85 функтор, значение которого есть такой индекс что х = С® (а) 104

функтор, значение которого есть наименьший ординал, не Л-вложимый в а 105

функтор, значение которого есть множество релятивизованных кардиналов из М 191

функтор, значение которого есть релятивизо- ванный индекс конфинальности для а 191 функтор, значение которого есть релятивизо- ванный коэффициент Суслина для г 191 функтор, значение которого есть £-й релятиви- зованный кардинал модели М 193

Аддисон (Addison J. W.) 120

Бернайс (Bernays Р.) 37, 73

Boot (Vaught R. L.) 35

Гёдель (Godel К.) 37, 44, 71, 98, 102, 120

Егерман (Jaegerman М.) 221

Истон (Easton W. В.) 125, 204, 211

Иех (Jeh Т.) 5

Коэн (Cohen J. Р.) 5, 44, 100, 121, 127, 208

Леви (Levy А.) 228, 236, 237, 239

Лузин Н. 210

Марек (Marek W.) 100, 187

Марчевский (Marczewski Е.) 187

Монтагю (Montague R.) 35

Морс (Morse А. Р.) 12

Нейман (von Neumann J.) 37

Новиков П. С. 120

Онышкевич (Onyszkiewicz J.) 100

Рыль-Нардзевский (Ryll-Nardzewski

Cz.) 127

Скарпеллини (Scarpellini В.) 32

Скотт (Scott D.) 32

Соловей (Solovay R.) 125, 204

Такеути (Takeuti G.) 127

Тарский (Tarski А.) 184, 187

Феферман (Feferman S.) 225, 228

Хайнал (Hajnal А.) 44

Шефердсон (Shepherdson J. С.) 100

Эрдёш (Erdos Р.) 184, 187

Абсолютный индекс конфинальности 197

— кардинал 197

Автогомеоморфизм 129

Алфавит теории М 12

ZF И

Аксиома бесконечности И, 17

— выбора (АС) 102

— конструктивности сильная 120

— — слабая 119

—■ множества-степени 12, 16

— множества-суммы (объединения) 11, 17

— обобщенной суммы 17

— пары И

— подстановки 12, 17

— регулярности 17

— экстенсиональности 11, 16

Аксиомы конструктивности 119

— теории М 16

- ZF И

Базис пространства ЭС 128

— регулярный 128

Вес топологического пространства 187

Внутреннее вычитание 38

— объединение 38

Внутренняя суперпозиция 38

Высота модели 101

Генерическая точка относительно данной 7-оценки 3- 131

Гомеоморфные пространства 129

Гомогенный элемент 184

Дискретное пространство 128

Длина трансфинитной последовательности 46

Замкнутые множества 128

Изолированная точка 128

Изоморфные классы 28

Индуктивное определение функции 19

Истинность формулы теории ZF 26

Кардинал 181

— регулярный 182

— сингулярный 182

Конструктивные множества 47

Коэффициент Суслина 184

— — релятивизированный 191

— — топологического пространства 187

Лемма о рефлексии 122

— — сжатии 28

Минимальный элемент 18

Множества замкнутые 128

— конструктивные 47

— ранг 21

— селектор 102

— А-вложимые 105

— В-конструктивные 86

Множество замкнутое относительно функтора 114

— нигде не плотное 128

— остаточное 128

— открытое 128

— первой категории 128

— плотйое 128

— полное 203

— транзитивное 28

— /?-разделенное 184

Модели высота 101

— ширина 101

Модель для системы формул 26

ZF 26

— минимальная 99

— натуральная для ZF 35

Непрерывное отображение 129

Обобщенная континуум-гипотеза(ССН) 109

Окрестность 128

Определение отношения 59

— функтора 58

— функтора второго рода 59

Определимость в классе 26

— параметрическая 26

Ординарные пары 150

Остаточное множество 128

Открытое множество 128

Отношение вынуждения 132

Оценка (2-оценка) 130

— адекватная 130

— специальная 134

Параметры 27 '

Плотное множество 128

Подмножество модели //-элементарное 112

Полиномы 139

Полное множество 203

Последовательность второй категории 166

— первой категории 166

Предикативно замкнутый класс 36

Пространства ЭС базис 128

— гомеоморфные 129

— топологического вес 187

Пространство дискретное 128

— полурегулярное 128

Равномерно определимая функция 75

— определимое отношение 74

— определимый класс 74

Разрешимость формулы Н при условии л 203.

Ранг множества 21

Регулярный базис 128

— кардинал 182

Релятивизированный индекс конфинальности 191

— кардинал 190

— коэффициент Суслина 191

Сводимые модели 121

Свойство Бэра множества 129

— выполнимое для почти каждого множества 58

Селектор множества 102

Сингулярный кардинал 182

Специальные пары 150

— условия 120

Строго определимое отношение 59

— определимый функтор второго рода 59.

— — — первого рода 59

Схема аксиом существования класса 16

Теорема Бэра 128

— Лёвенгейма — Сколема 27

— о рефлексии 32

— — — сильная 34

Теория М 12 — ZF И

Термы теории М 13.

Тип трансфинитной последовательности 46

Тихоновская топология пространства ЭС 129

Точки пространства ЭС 128

Транзитивная последовательность 48

Транзитивное множество 28

Транзитивный класс 28

Уплотняющая функция 30

Условия 121

— совместимые 203

— специальные 120

Формулы теории М 13

ZF И

Фундированное отношение 18

Функтор второго рода 59

— (первого рода) 58

— отношения характеристический 59

Функции, определимые трансфинит ной индукцией 19

Функция уплотняющая 30

Ширина модели 101

Элементарная эквивалентность 26

Элементарное расширение 26

Элементарный подкласс 26

Л-вложимые множества 105 /^-конструктивные множества 86 //-элементарное подмножество модели

112

У-куб 129

У-топология 129

?г-арное отношение 26

//-разделенное множество 184

r-разделенные элементы 184

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редакторов перевода г5

Предисловие к русскому изданию 7

Предисловие '; .9

Глава I. Аксиомы и вспомогательные понятия . . . 11

Теория множеств Цермело — Френкеля ZF 11

Метатеория классов 12

Определения по трансфинитной индукции. Ранги 18

Модели, выполнимость ".21

. 5. Вспомогательные семантические понятия. Теорема Лёвенгей- ма — Сколема 26

Лемма о сжатии 28

Глава II. Общие принципы построения моделей 31

Достаточные условия того, что класс является моделью ZF 31

Теорема о рефлексии 32

Предикативно замкнутыеклассы 35

Основные операции 37

Глава III. Конструктивные множества 43

Нумерация 44

Конструктивные множества 46

Свойства конструктивных множеств 48

Конструктивность ординалов 51

Модели, содержащие вместе с каждым элементом его отображе

ния в ординалы 53

Примеры функций, удовлетворяющих условиям (В.О) — (В.6)55

Множества, конструктивные относительно некоторого класса 55

Глава IV. Функторы и их определимость 57

Строго определимые функторы 58

Свойства строго определимых функторов и отношений . . . .60

Примеры строго определимых функторов 62

Определения по трансфинитной индукции 66

Зачем все это нужно 70

Глава V. Конструктивные множества как значения функтора . . . .74

Равномерно определимые функции 74

Примеры равномерно определимых функций 78

Равномерная определимость функции С® (а) 81

Обобщение 85

Некоторые свойства конструктивных множеств 86

Глава VI. Модели вида Сп^ (а) 89

Снова теорема о рефлексии 89

Выполнимость аксиомы множества-степени и аксиомы подстановки 92

Существование моделей 97

Минимальные модели 99

Глава VII. Совместность аксиомы выбора и континуум-гипотезы . . . .102

Аксиома выбора 102

Вспомогательные функторы 105

Формулировка обобщенной континуум-гипотезы 108

Достаточное условие истинности обобщенной континуум-гипотезы 110

Конструкция моделей, в которых истинна континуум-гипотеза 110

Определимость уплотняющей функции 112

Уточненная теорема Лёвенгейма — Сколема 114

Совместность обобщенной континуум-гипотезы 117

9. Аксиомы конструктивности. Заключительные замечания . . .119

Глава VIII. Сводимость' моделей 121

Лемма о рефлексии .• 121

Истинность аксиомы степени 125

Г лава IX. Генерические точки и вынуждение; общая теория 127

Вспомогательные топологические понятия 128

Оценки 130

Отношение вынуждения 132

Специальная оценка 134

Применение вынуждения к построению моделей 134

Глава X. Полиномы 139

Полиномы 139

Редукция условия IV 143

Редукция условия V 144

Глава XI. Явное построение полиномов для функций Smln, S°, BZ . . .149

Частичное упорядочение ^0 149

Вспомогательные полиномы 151

Выражение ^^ и 3^ в виде полиномов от %в | (а, Р) и С/в | (а, Р) 153

Обобщение на случаи В = В2 и В = В° 157

Окончательная редукция условий IV и V 158

Дополнение: список полиномов ф^, j <; 12 162

Глава XII» Примеры моделей и доказательств независимости 163

Примеры топологических пространств 163

Примеры отображений р -> а (р): 165

Доказательство условия VIII для последовательностей первой и второй категорий 167

Примеры моделей 174

Теорема о генерическихточках 176

Независимость сильнойаксиомы конструктивности 179

ГлаваXIII. Континуум-гипотеза 181

Вспомогательные понятия, связанные с кардиналами 184

Коэффициент Суслина 184

Коэффициент Суслина произведенияпространств 187

Релятивизованные понятия кардиналов, конфинальности и коэффициента Суслина 190

Оценка релятивизованного коэффициентаСуслина 195

Абсолютность кардиналов и индексаконфинальности . . . .197

Функция ехр модели 202

Независимость континуум-гипотезы 208

Глава XIV. Независимость аксиомы выбора . 212

Действие гомеоморфизмов на множества С^ (а (р)) 212

Гомеоморфизмы и вынуждение 215

Свойство инвариантности.. .217

Независимость аксиомы выбора 218

Упорядочение множества Р (Р (со)) 222

Существование максимальных идеалов в Р (со) 225

Конфинальность <0i с со 228

Глава XV. Проблемы определимости 234

Определимые отношения между ординалами 234

Неопределимость вполне-упорядочений множества Р (со) . . .235

Подмножества множества Р (со) с определимым вполне-упоря- дочением " 237

Приложение 241

Список литературы 243

Список основных обозначений 245

Именной указатель 251

Предметный указатель 252

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

А. Мостовский

КОНСТРУКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВАЙ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Редактор И. А. Маховая Художник Н. С. Хмелевская Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор Г. Б. Алюлина

Сдано в набор27/Ш 1973 г. Подписано к печати 6/УП1 1973 г. Бум. тип. N 260x901/16 = 8 бум., л. 16 печ. л., Уч.-изд. л. 15,07 Изд. № 1/5826

Цена 1 р 25 к,Зак 0962

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва, 1-й Рижский пер, 2

Ордена Трудового Красного знамени

Московская типография № 7 «Искра революции»Союзполиграфпрома при ГосударственномКомитете Совета Министров СССР по деламиздательств, полиграфии и книжной торговли.

Москва, К-1, Трехпрудный пер<, 9

*) Заметим, что ограничение любой функции на множество является множеством. Следовательно, значение ht в правой части равенства определено.

1) Определение параметрической определимости см. гл. I, § 5.— Прим. ред.

х) Ни полурегулярность ЭС, ни определимость отношения -< не являются здесь необходимыми. (Напомним, что ЭС полурегулярно, если имеет базис, состоящий из регулярных открытых множеств.— Ред.^ Первое предположение мы используем в Х.3.1, а второе — в 5.2 и гл. X.

*) Для формул теории ZF, определяющих функторы, используется жирный шрифт.

Оглавление

A. M 0 S T О W S К I UNIVERSITY OF WARSAW

CONSTRUCTIBLESETS WITHAPPLICATIONS

1969

North-Holland Publishing Company — Amsterdam PWN — Polish Scientific Publishers — Warszawa

А. мостовскии

КОНСТРУКТИВНЫЕ

МНОЖЕСТВА

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Перевод с английского М. И. КРАТКО, Н. В. БЕЛЯКИНА и М. К. ВАЛИЕВА

Под редакцией

А. Г. ДР АГ АЛИН А и

А. Д. ТАЙМАНОВА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» . МОСКВА • 1973

УДК 519.50

Монография выдающегося польского математика Анджея Мостовского фактически представляет собой вторую часть уже известной читателю книги К. Ку- ратовского и А. Мостовского «Теория множеств», переведенной па русский язык («Мир», 1970). Она посвящена описанию исследований по аксиоматике теории множеств и содержит современные достижения в этой области, включая методы Коэна. Высокие научные и методические достоинства книги, несомненно, привлекут к ней внимание широкого круга математиков — от студентов до специалистов.

Редакция литературы по математическим наукам

© Перевод на русский язык, «Мир», 1973

0223-015

М 041(01)—73