ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее замечательных достижений последних лет явилось исследование инвариантов узлов, начатое В. Джонсом в [2], [3]. У него есть все атрибуты «большой математики»: построены новые простые инварианты, при помощи которых решаются классические проблемы, но при этом используются широчайший круг идей и техника практически из всех разделов математики и физики. Вот перечень областей, существенно вовлеченных в эту теорию к настоящему времени: комбинаторика, представления групп, алгебраическая геометрия, дифференциальные уравнения, дифференциальная геометрия, топология, алгебры фон Неймана. Вдобавок теория продолжает стремительно развиваться, так что ее окончательные рамки все еще не очерчены.

В небольшом докладе я смогу лишь очень выборочно представить столь широкое поле исследований. Я остановлюсь только на некоторых его аспектах и вынужден буду опустить технические подробности. Кроме того, я для краткости рассмотрю лишь простейший вариант общей теории (ее полное изложение можно найти в статьях Джонса [3] и Виттена [9]).

В 1984 году неожиданно для специалистов по теории узлов В. Джонс построил полиномиальный инвариант VL(q), называемый теперь полиномом Джонса, внешне аналогичный классическому полиному Александера, но весьма отличающийся от него рядом существенных свойств. В частности, он позволял отличить некоторые узлы от их зеркальных образов. По этой и другим причинам VL(q) оказался весьма эффективным инструментом для теории узлов, благодаря чему удалось доказать старые гипотезы П. Г. Тайта, сформулированные еще в XIX в.

Полином Джонса можно плодотворно исследовать с разных точек зрени兄,и он по-разному обобщался с целью получения дальнейших инвариантов узлов. Многие подобного рода работы привлекали важные идеи из теоретической физики, в особенности 2-мерной физики. Но главный прорыв произошел в 1988 г., когда Виттен [10] дал простую интерпретацию полинома Джонса на языке 3-мерной физики. Идеи Виттена базировались на эвристическом использовании фейнмановских интегралов, но приводили к очень точным вычислениям и результатам, которые можно строго проверить другими методами. Окончательное математическое обрамление виттеновской теории пока еще не завершено, поэтому мое изложение будет до некоторой степени беглым и неполным.

D Список оригинальных названий статей помещен в конце сборника - Прим. ред.

Теория Виттена не только выявила «физический смысл» инвариантов Джонса, но и распространила их на узлы в произвольных компактных 3-многообразиях, и это наиболее существенное из тех обобщений, которые безуспешно пытались получить другими методами. Однако самое замечательное в виттеновском подходе состоит в том, что он позволяет определить «относительные инварианты» 3-многообразий с краем. Новая степень свободы, вносимая применением многообразий с краем, делает теорию гораздо более гибкой и решающим образом упрощает все вычисления по сравнению с «абсолютным случаем» замкнутых 3-многообразий. Эта ситуация напоминает (приблизительно) историю чисел Лефшеца из классической топологии: число неподвижных точек эндоморфизма многообразия (аналог инварианта Джонса для узла), интерпретированное как число Лефшеца индуцированного морфизма в гомологиях, вписывается в более широкую, а стало быть, и более приспособленную для вычислений теорию (аналог теории Виттена).

Прежде чем перейти к описанию виттеновской теории (п. 3), в следующем ниже п. 2 я соберу ключевые свойства полинома Джонса. В п. 4 я обрисую подход к математическому построению теории Виттена. В этом обзоре у меня нет возможности дать ее физическую интерпретацию (в духе фейнмановских интегралов), и по этому поводу я сошлюсь на статьи Виттена [9], [10]. Общее представление о «топологической квантовой теории поля» можно получить также по [1] и [8].

ПОЛИНОМ ДЖОНСА

Мы будем заниматься ориентированными узлами и зацеплениями. Последние представляют собой произвольные 1-мерные ориентированные подмногообразия в 3-мерном пространстве S3. Узлы - это зацепления, состоящие из одной связной компоненты. Полином Джонса %(д) ориентированного зацепления L представляет собой конечный ряд Лорана с целыми коэффициентами от переменной ^1/2. Первыми его основными свойствами являются соотношения

匕(夕)=1, если L-стандартная незаузленная окружность; (2.2) 匕*(夕)= 左(夕一1), если L * - зеркальный образ L.

Вообще VL(q) можно описать при помощи соотношений сплетения. Для этого спроектируем L на общую плоскость так, чтобы через каждую точку пересечения нитей проходили ровно две нити: одна «выше», другая «ниже». В малой окрестности одной произвольной точки скрещения нитей зацепление L допускает три модификации, соответствующие трем различным способам прохождения нитей через эту окрестность:

о

Соотношение сплетения - это линейное соотношение на VL(q):

(2.3) 9-1/+ (9)一 9/_ (g)=(L2 _97/2)% @)

Нетрудно показать, что %(q) определяется из (2.1) и (2.3) однозначно. Гораздо труднее проверить их совместимость и то, что VL(q) зависит лишь от L (по модулю изотопий), но не от выбора проекции.

Замечание. В действительности 左(д) не зависит от ориентации L. И хотя это перестает быть верным для обобщений VL(q), но и обобщенные полиномы Джонса инвариантны относительно одновременной смены ориентации всех компонент

Пример. Для правого трилистника V(q)= —夕‘ + 夕3 十 夕 в силу (2.2) это позволяет отличить его от зеркального к нему левого трилистника.

Хотя корректность (2.3) и можно проверить прямым комбинаторным рассуждением, оно мало проясняет суть дела. Предпочтительнее представленный в [3] подход, основанный на использовании кос.

Артинову группу кос из п нитей Вп можно определить как фундаментальную группу конфигурационного пространства & наборов из п попарно различных неупорядоченных точек на плоскости. Имеется элементарная геометрическая конструкция, сопоставляющая произвольной косе р ориентированное зацепление р в S3. Любое зацепление может быть получено таким способом, и отношение эквивалентности на косах И3 ВП 入 人

Bi 〜 瓦0 01 изотопно p2

хорошо изучено. Все это позволяет строить инварианты зацеплений, исходя из подходящих инвариантов для кос.

Чтобы получить тот инвариант косы, из которого происходит %(夕)， В. Джонс вводит некоторые представления р兀(д) группы Вп. Эти представления зависят от параметра q и разбиения X числа и. При g = 1 они превращаются в неприводимые представления р兀 симметрической группы S鹏 подаятые на Вп при помощи естественного эпиморфизма В「S* Представления р兀(д) возникают из представлений алгебры Гекке.

Полином Джонса определяется теперь как значение определенной линейной комбинации характеров р九(д) на косе р, причем для этого нужны лишь разбиения X числа п (не более чем) на две части.

Замечание. Имеются обобщения %(夕),использующие произвольные разбиения. Такие обобщенные полиномы удовлетворяют подходящим обобщениям соотношений (2.3).

При таком, основанном на использовании группы кос, подходе к определению полинома Джонса все еще остается загадкой, почему подходящие линейные комбинации характеров р兀(д) позволяют получать инварианты зацеплений. Причины, приводящие к этому, проясняются, как мы увидим, теорией Виттена.

ТЕОРИЯ ВИТТЕНА

Виттен рассматривает ориентированное зацепление L в произвольном компактном ориентируемом 3-многообразии У Помимо этого, У и L предполагаются оснащенными. Для Y это означает фиксацию тривиализации касательного расслоения, а для L- фиксацию тривиали- зации его нормального расслоения в У В обоих случаях имеет значение лишь гомотопический класс всей пары.

Инвариант Виттена пары (X L) представляет собой комплекснозначную функцию от целого положительного числа к. Мы обозначим ее через %, L(k). Особый интерес вызывают два крайних случая:

⑴ Y=S3

(ii)L=0・

В первом случае, когда Y= S3, имеется стандартный (с точностью до гомотопии) выбор оснащения на Y и на произвольном зацеплении L. Стандартное оснащение У после стабилизации (тривиальным прямым слагаемым) продолжается на внутренний 4-мерный шар, а стандартное оснащение L характеризуется тем, что каждая компонента Lj имеет нулевой индекс зацепления со своей «параллельной копией» Lj, построенной при помощи этого оснащения. После такого стандартного выбора оснащений инвариант Виттена будет зависеть лишь от самого ориентированного зацепления L. С полиномом Джонса он связан по формуле

/2冗 i、

联3/他)=% exp?^ ,

\ к + 2/

которая показывает, что в этом случае полином Джонса определяется инвариантом Виттена и по сути ему эквивалентен. Таким образом, инвариант Виттена действительно является обобщением инварианта Джонса на произвольные многообразия У

Случай (ii), когда зацепление вообще отсутствует, приводит к инварианту WY(k) самого 3-многообразия Y Инвариант Виттена естественно нормировать так, чтобы 開(厶)=1 при У= S1 х S2. При этом для Y= S3 формула менее тривиальна:

(3.2)(3.2)/ 2. л亚式/ 2. л亚式

(3.2)

(3.2)

/ 2. л

亚式

/ 2. л

亚式

Как уже указывалось в п. 1, инвариант Виттена можно распространить и на «относительный случай» трехмерных многообразий У с краем Е. Мы будем предполагать, что одномерное подмногообразие L выходит на границу трансверсально и в конечном числе точек:

Оснащения на Y и на L индуцируют стабильное оснащение на 2 и нормальное оснащение каждой из точек Pf на Е.

Предупреждение. Начиная с этого места, мы запрещаем гомотопии оснащений.

Относительная теория Виттена наделяет каждую такую оснащенную пару (Е, 0) при каждом целом положительном к конечномерным комплексным векторным пространством %(Е,约.При обращении ориентации на 2 (и переходе к соответствующему естественному оснащению) пространства Нк заменяются на двойственные, так что

&② *,/ =次②,0).

Помимо этого пространства Нк мультипликативны в том смысле, что для дизъюнктных объединений

4(Z U 辽叫 U %) = 4(%，叫)8)%(Е2，02).

И если теперь

3(Y L) = (E, ”

то относительный инвариант Виттена - это вектор

%(YL)£&(E,”

Из многочисленных естественных свойств этого инварианта и пространств Нк мы обсудим лишь ключевое - это соотношение между абсолютным и относительным инвариантами.

Если У замкнуто (и тем самым £ пусто), то хотелось бы, конечно, чтобы абсолютный и относительный инварианты формально соответствовали друг другу. Для этого необходимо, чтобы

%(0, 0)= С

Однако более существенный момент состоит в следующем. Мы можем разрезать замкнутое 3-многообразие У и зацепление L на две части по общей поверхности Е. Тогда получим, что

У= К U 厶 вдоль Е и。匕=Е, dY2 = Е*,

L= J U L2 вдоль 丝

а векторы %(К，LJ и %(厶，L?) лежат, согласно (3.3), в двойственных друг другу пространствах, так что определено их скалярное произведение. Ключевой факт состоит в том, что

^D^^Y^L,), Wk(Y2,L2)>-

□о разному разрезая X мы можем вычислять абсолютный инвариант Виттена через относительные инварианты. В частности, в случае У= G из (3.7) вытекает наличие соотношений сплетения, которым должен удовлетворять абсолютный инвариант. Чтобы установить это, надо

знать, что у S2 c четырьмя отмеченными точками 0 = ｛尸》Р2,尸з,尸/ (3.8) dim%S，尸 1，尸2,尸3,尸4)= 2・

Далее надо применить (3.7), взяв в качестве Yt маленькую шаровую окрестность точки скрещения нитей зацепления L (мы считаем его близким к «плоскому»). Не меняя L2, проведем Lt тремя разными способами, соответствующими трем различным способам соединения пар граничных точек 尸广 Это даст нам три вектора в двумерном пространстве из (3.8). Между ними должно быть линейное соотношение, коэффициенты которого не зависят от L. Скалярно умножая его по (3.7) на вектор из двойственного пространства, возникающий из пары (厶，Ь2), мы и приходим к соотношению сплетения. Именно таким образом, вычислив коэффициенты этого соотношения, Виттен сумел отождествить свой инвариант с инвариантом Джонса, как мы уже указали в (3.1).

Если взять У=Ех/, L=0x/, где / - единичный интервал, и воспользоваться (3.3) и (3.4), то мы увидим, что 我(工 L) можно воспринимать как автоморфизм пространства %(?，/• Он зависит от оснащения пары (X L), т. е. от гомотопии между оснащениями пары (Е, 0). В действительности все такие гомотопии являются умножениями на скаляры и определяются лишь начальным и конечным оснащениями. Вычисление этих скаляров составляет важную, но весьма деликатную часть теории.

Если же пренебречь скалярными множителями и заменить векторные пространства % 区乡)их проективизациями, то их функториальные свойства показывают, что на них имеется действие группы связных компонент группы Diff* (Е,约 сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов 2, оставляющих на месте 夕

В частности, если S = S2, то это действие по существу совпадает с тем представлением группы кос, которое было построено Джонсом с помощью алгебры Гекке для получения своего инварианта.

ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ

Виттен эвристически обосновывает свою теорию при помощи фейнмановских интегралов. Такой подход не является строгим, однако возникающая в результате теория векторных пространств Нк (Е, ^) имеет вполне строгое описание, к которому я и перехожу.

Для простоты рассмотрим вначале случай 0 = 0, т. е. просто поверхность 2 без отмеченных точек. Для построения Н&(2) мы прежде всего снабдим 2 комплексной структурой т. Полученную риманову поверхность мы обозначим через Е「Далее мы можем определить пространство модулей М (ST) голоморфных SL(2, С)-расслоений над 二・ Оно является проективным многообразием, содержит открытое по Зарисскому подмножество стабильных расслоений и много изучалось

алгебраическими геометрами [4]. На нем есть- обильное линейное расслоение L, которое порождает группу Пикара. Мы возьмем в качестве пространств Нк (Ет) пространства голоморфных глобальных сечений его тензорных степеней:

нк^)= н°(м^),й).

Эта конструкция достаточно стандартна для алгебраической геометрии. Однако весьма неочевидным фактом при таком подходе является то, что проективизации пространств Нк (LT) не зависят существенным образом от выбора комплексной структуры т.

Более точно: варьируя т в пространстве Тейхмюллера, мы получим над ним голоморфное векторное расслоение, на котором есть естественная связность со скалярной кривизной. Отсюда, в частности, следует, что группа связных компонент группы Diff + (工)будет действовать на проективизации пространства ковариантно-постоянных сечений этого расслоения.

Второй важной частью теории Виттена является построение для каждого Yс 0У=Е вектора 吗(У)е&(£). Конструкция, которая одновременно являлась бы и простой, и вполне строгой, до сих пор неизвестна. Строгая процедура использует последовательность элементарных хирургий (или же функцию Морса) и определяет 吗(У) отдельно для каждого элементарного шага. При этом необходимо проверять, что результат не зависит от выбора последовательности хирургий (соответственно функции Морса).

При использовании функции Морса задача сводится к изучению поведения пространств Hk (ZT) при вырождении т -> т0 до комплексной структуры особой римановой поверхности с обыкновенными двойными точками. Можно показать, что векторное расслоение со слоем Нк (ST) продолжается в т0 и что подпространство проективных инвариантов локальной монодромии связности отождествляется с Нк (Ео), где Ео - это десингуляризация Е^. При этом гомоморфизм Hk (Ео) -> Нк (ST) и будет соответствовать вектору (3.5), ассоциированному с 3-многообразием Ус 二 一 s0.

Учет оснащений У и Е, которым я здесь пренебрег, позволяет заменить проективные пространства векторными пространствами.

Вся теория естественно переносится на общий случай поверхности 2 с отмеченными точками 0 = {尸】，Р2,...,尸“}. При этом используется обобщение пространства М (ST) - пространство модулей расслоений с параболической структурой в отмеченных точках М (Ет,勿)(в смысле Шешадри [6]).

Большая часть из написанного на эту тему содержится в статьях по рациональной конформной теории поля, где пространства Нк(^, 0) называются пространствами конформных блоков. Строгое математическое изложение этого направления дано в [7].

Аксельродом, Виттеном и Хитчином разрабатывается отличающийся от нашего более дифференциально-геометрический подход, но их работы пока не появились.

Корректное построение инварианта Виттена для 3-многообразий было осуществлено Решетихиным и Тураевым с использованием техники хирургий (исчисления Керби) в [5].

В заключение я хотел бы напомнить, что смог изложить здесь лишь простейший вариант теории Виттена-Джонса. В общем случае исходят из произвольного неприводимого представления V компактной группы Ли G, тогда как мы ограничились случаем G = SU (2), 7= С2 (где, отметим, V = 7*, что не так в общей ситуации). Теория переносится на общий случай без принципиальных изменений. В частности, относительные пространства модулей здесь также будут существовать.

ЛИТЕРАТУРА

Atiah М. F. Topological quantum field theories. Publ. Math. I.H.E.S 68 (1989), 175-186.

Jones V. F. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. Bull. Amer, Math. Soc., 12 (1985), 103-111.

Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials.

Ann. Math., 126 (1987), 335—338.

Narasimhan M. S., Seshardi C. S. Stable and unitary vector bundles on a compact Riemann surface. Ann. Math, 82 (1965), 540-567.

Reshetikin N., Turaev V. Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. Inv. math., 1035 (1991), 547-597.

Seshardi C. S. Moduli of vector bundles with parabolic structures. Bull. Amer. Math. Soc„ 83 (1987).

Tuschiya A., Veno K., Yamada Y. Conform a] field theory on universal family of stable curves (to appear).

Witten E. Geometry an quantum field theory. Lecture at Continental meeting of A. M. S, August 1988.

Witten E. Quantum field theory and Jones polynomial. Comm. Math. Phys., 121 (1989), 351-399.

Witten E. Some geometrical applications of- quantum field theory. Proc. International congress on Math. Phys. Swancen, 1988, p. 77-116.

НОВЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ГРУПП КОС.ПРИМЕНЕНИЯ В ТОПОЛОГИИ И АЛГЕБРЕ

Пьер Картье

Моим советским друзьям, вновь обретенным благодаря «перестройке»

0. ВВЕДЕНИЕ

Узлы, открытые и замкнутые, ленты, косы, связки... сплетаются в бесконечную игру. Нет также недостатка в серьезных приложениях: электрические сети, механические модели жидкости дают новую жизнь старой теории вихрей Декарта... Уже в этом столетии Тэйт и Томпсон, идя по стопам Кэли, интересовались этими комбинаторными структурами. Однако нужно вернуться к началу этого века, к первым работам Дена по топологии, чтобы получить первые общие и строгие результаты.

В 1925 г. Эмиль Артин [А1] создал теорию кос. В соответствии с тенденциями современной ему немецкой алгебры он искал - и с блеском преуспел в этом - способ ввести адекватные групповые структуры в этот сюжет. Сегодня мы можем дать более простое определение групп Вп кос из п нитей: рассмотрим связное многообразие М размерности d; пространство конфигураций — это пространство конечных наборов п элементов из М обозначим его ①“(Л/). Его можно рассматривать как факторпространство M*/Sn, где М； есть множество последовательностей из п (занумерованных) попарно различных точек 匕，…，х“ на М и где симметрическая группа Sn действует перестановками на п точках. Обобщенная группа косэто фундаментальная группа Вп(М) пространства Фп (М). Когда d》3, эта группа есть полупрямое произведение Sn и 冗/МУ1; это следует из того, что М* отличается от Мп подмногообразием коразмерности 2 3 и, следовательно, имеет такую же фундаментальную группу, как Мп. Когда d= 1, рассмотрим только случай М = R; тогда Фл (М) будет открытым подмножеством в R", образованным точками “ …，匕，где % < ... < х„ и В„(М) = 0. Единственный интересный случай-это когда размерность 2 равна 2. Группа Артина - это 纥=Bn(R2).

Предыдущее определение было введено Нойвиртом и Фоксом в 1962 г.! В 1925 г. Артин описал основные свойства группы Вп с помощью аргументов комбинаторной природы, отчасти эвристических. Он возвращается в более строгой форме к этой теме в своих работах [А1] в 1947 г. Если взглянуть ретроспективно, эти доводы Артина при втором подходе являются манипуляциями с точными гомотопическими последовательностями расслоений. Уже сегодня эти топологические сюжеты делятся grosso modo на две категории:

-комбинаторные аргументы;

-сложные теоремы (лемма Дена, теорема Маркова, теоремы Серфа и Кирби), которые в общем-то позволяют доказать, что эквивалентность некоторого типа двух геометрических объектов сводится к конечной цепочке элементарных эквивалентностей.

Сложность этих последних теорем является одним из многочисленных предупреждений о том, что наше описание непрерывной математики, вероятно, недостаточно адекватно.

Изучение пространств конфигураций ~ это актуальный топологический сюжет, разрабатываемый, в частности, в Японии и во Вьетнаме (в окружении Уина Муи). Но группы кос Вп оставались в сфере изолированного интереса до 1970 г. Пробуждение имело множество причин:

Арнольд интересовался изучением особенностей и их версальных деформаций. Типичным примером является исследование многочлена степени п с простыми корнями, скажем, P(z) = zn + a^~Y + ... + an; предположение о простоте переписывается как условие, что дискриминант 尸，рассматриваемый как многочлен。(夕匕 …，ап) от его коэффициентов, отличен от нуля. Арнольд вычислил когомологии дополнения в Сл к гиперповерхности уравнения D = 0, пространства, фундаментальной группой которого является Вп. Чуть позже Брискорн обобщил эти исследования на некоторые случаи дополнений к конечному семейству гиперплоскостей (случай Арнольда соответствует семейству гиперплоскостей с уравнениями z^ =勾 в С", снабженном координатами z：…，z”). В этих случаях группы кос (и некоторые их обобщения) появляются как группы монодромищ Замолодчикову [F9] и Коно [F3] принадлежит идея изучать дифференциальные уравнения, допускающие особенности с полюсами на этих конфигурациях. Они дают достаточно простые примеры, на которых проверяются общие теории рациональных гомотопий и монодромии (см. мои предыдущие доклады [Е5] и [F1]). Кроме того, конформная теория поля недавно привела Цучия и Кани [Fl 1] к систематическому изучению функций многих комплексных переменных, имеющих данный тип ветвления.

К 1968 г. под названием алгебр Гекке были введены деформации 卷п(9)групповой алгебры CSn симметрической группы (и других групп). Эти алгебры играют важную роль в изучении линейных представлений конечных простых групп и редуктивных алгебраических групп над р-адическими полями (Ивахори, Мацумото, Титс). Неприводимые представления алгебр 赞“(g) были явно определены Хефсмитом в 1974 г. в [С17]; эти результаты вписываются в актуальное комбинаторное направление, в котором изучаются q-аналоги классических чисел (на- пример, полиномы Гаусса I, которые для q = 1 сводятся к биноми-

/ п\

альным коэффициентам [ J). Вплоть до нашумевшего открытия в

1984 г. полинома Джонса узла почти не уделялось внимания тому факту, что представления 第“(g) доставляют новые представления группы кос Вп. Этот полином был сразу же проинтерпретирован как след представлений В〃，построенных по алгебре 赞“(g) [СЗ, С5, С8].

В статистической механике исследование некоторых моделей, таких, как модель Поттса, привело к алгебрам, очень похожим на алгебры *n(g) и названным алгебрами Темперлея - Либа\ они могут служить отправной точкой в построении полинома Джонса. Но, что более важно, стал постепенно вскрываться смысл уравнения Янга- Бакстера, один из видов которого

5В) Al2A23 瓦 2 = A23Al2A23

очень близок одному из соотношений, которые служат определением группы Вп. Любое решение этого уравнения автоматически задает представление группы 纥，к тому же модели статистической механики продуцируют явные решения уравнения (ЯБ). В частности, Тураев [D13] показал, как этим методом можно построить все полиномиальные инварианты. В свою очередь Кауфман [G3] ясно продемонстрировал, что комбинаторика кос и узлов тесно связана с комбинаторикой моделей статистической механики. Используя этот метод, он, в частности, определил новый инвариант, который вновь был определен Тураевым, как частный случай решения уравнения Янга - Бакстера.

Дринфельд [D2] в 1986 г. ввел новый класс алгебр Хопфа под названием «квантовые группы». С каждой полупростой комплексной группой Ли G связывается квантовая группа G@, и каждое линейное представление G «деформируется» в представление G@, которое дает ipso facto решение уравнения Янга - Бакстера [Россо D7]. Важно отметить, что в действительности квантовая группа полностью определяется категорией своих представлений^ речь здесь идет об обобщении двойственности Таннаки - Крейна для компактных групп. Но мы обязаны Дрин- фельду, Решетихину и Тураеву (и независимо Фрейду, Йеггеру и их коллегам) тем глубоким замечанием, что комбинаторика кос w узлов переводится на язык теории категорий с помощью условий совместимости, введенных Маклейном [В1]. Это согласуется с идеей, которую отстаивал Гротендик, что категории являются геометрическими объектами, хорошо приспособленными для изучения гомотопий.

Все предыдущие темы оказываются близко связанными друг с другом, что мы и попытаемся продемонстрировать в нашем докладе. В настоящее время теория еще не очень устоялась, и подводить последнюю черту было бы преждевременно.

Чтобы закончить это введение, скажем несколько слов о двух других темах, каждая из которых заслуживает собственного доклада.

Квантовая теория поля в последнее время добилась значительного прогресса в изучении 2- и 3-мерных моделей пространства-времени - это конформная теория поля и теория струн. Может оказаться, что ключ

к феномену «высокотемпературной» сверхпроводимости будет найден на этом пути. Как отмечал Дж. Фрелих в [Н2] и [НЗ], классические аргументы, которые позволяют связать спин со статистикой (принцип Паули), перестают быть верными в размерности 2. Причина же заключается в том, что в 1 + 1-мерном пространстве множество пространственноподобных векторов несвязно, и поэтому можно внутренним обра

зом различить «правое» и «левое». Вместо того чтобы задействовать только два представления р степени 1 группы Sn, различая случаи бозонов (р($) = 1) и фермионов (р($) = [сигнатура S]), мы должны рассмотреть представление группы Вп, действующей в гильбертовом пространстве, соответствующем п частицам. К этому примыкает исследование, выполненное Цучия и Кани [F11], монодромии «функций и точек», которые играют роль моментов меры на функциональном пространстве.

В теории чисел открытая (и фундаментальная) проблема - доказать, что любая конечная группа G является группой Галуа конечного расширения L поля Q рациональных чисел. Это приводит к изучению структуры группы Галуа Gal (Q/Q). Фиксируем целое 孔》1; группа кос Вп реализуется как группа автоморфизмов свободной группы F„; геометрически это приводит к рассмотрению Fn как фундаментальной группы C\S, где S есть конечный набор и элементов в С. Если предположить, что S состоит из рациональных чисел, то группа Галуа максимального неразветвленного вне S расширения поля рациональных функций Q(z) будет проконечным пополнением Fn группы Fn. Можно вложить Вп в группу автоморфизмов 儿；пусть Вп обозначает ее замыкание в Aut(Fn). Группа Галуа Gal (Q/Q) также действует в 戶〃，и можно показать, что так определяется инъективный гомоморфизм 屮$ группы Gal (Q/Q) £ пополненную группу кос Д. Это эскиз программы Гротендика

[II] изучения группы Галуа. Мы отсылаем к библиографии, к работам Ихары, Оды, Делиня... на эту тему.

Благодарности адресуются организаторам и участникам Colloque d'Ascona (октябрь, 1989) на тему «Геометрия и квантовая теория поля». В особенности я благодарен Семенову-Тян-Шанскому, Решетихину и Вассерману за содержательные обсуждения, а также Майе, который помог мне в сборе материалов. Я благодарю также Джонса и Фрейда за бдительное внимание при прочтении этого введения и комментарии к нему; кроме того, я благодарен Галлуа за внимательное повторное чтение.

НАПОМИНАНИЕ ОБ УЗЛАХ И КОСАХ

Назовем узлом в евклидовом пространстве R3 любое замкнутое подмножество в R3, гомеоморфное окружности S1; зацепление - это объединение конечного числа попарно непересекающихся узлов. Удобно добавить к R3 точку на бесконечности и действовать в полученном пространстве S3, гомеоморфном 3-мерной сфере. Мы ориентируем пространство S3, а также рассматриваемые узлы и зацепления.

Говорят, что два зацепления L и Е (в частности, два узла) эквивалентны, если существует гомеоморфизм S3, переводящий L в L с сохранением ориентаций L, I/ и S3. Группа ориентированных гомеоморфизмов S3 снабжена топологией равномерной сходимости; она линейно связна. Следовательно, если два зацепления L и Е эквивалентны, то существует изотопия, преобразующая L в L, т. е. непрерывное отображениег) h:I х S3Tsз со следующими свойствами:

а)力(0, х) = х для х из S3;

для любого 方 из / отображение 九：工1〃(厶 х) есть гомеоморфизм S3；

Е есть образ L под действием отображения 力「

Говорят об объемлющей изотопии зацеплений, ибо все пространство S3 деформируется так, что L переводится в Е. Деформация L и Е посредством непрерывного семейства зацеплений даст более слабую эквивалентность.

Существуют дикие узлы, открытые Фоксом и Артином; чтобы их избежать, мы будем рассматривать только узлы, которые эквивалентны узлам из ломаных, образованных отрезками прямых. Зацепления будут удовлетворять тем же ограничениям. Можно доказать, что если два кусочно-линейных узла L и Е эквивалентны, то можно перейти от L к L' элементарными операциями описанного ниже типа и их обратными (в конечном количестве).

Для описания узлов используется плоская проекция. Заменяя зацепление L эквивалентным зацеплением, можно считать, что ортогональная

° Через / обозначается интервал [0, 1] в R.

Рис. 1. Преобразование заменяет отрезок Ьс на объединение Ьх и хс.Рис. 1. Преобразование заменяет отрезок Ьс на объединение Ьх и хс.

Рис. 1. Преобразование заменяет отрезок Ьс на объединение Ьх и хс.

Рис. 1. Преобразование заменяет отрезок Ьс на объединение Ьх и хс.

проекция L на плоскость 尸 является объединением дифференцируемых кривых, не имеющим других особенностей, кроме точек трансверсального пересечения. В каждом пересечении необходимо отметить, какая именно ветвь проходит над другой; с учетом ориентаций имеются следующие два различных положения:

Здесь отмечен индекс пересечения, равный +L или — 1.

С такой проекцией D связан планарный граф К который не учитывает ориентаций: дополнение к D в плоскости 尸 имеет конечное число компонент связности, которые можно раскрасить в два цвета, аир, таким образом, чтобы две области, обладающие общей дугой границы, имели различные цвета. Каждая из этих областей цвета а определяет вершину £ и точки пересечения определяют ребро в Т, соединяющее две соприкасающиеся a-области; каждое ребро снабжено знаком, который определяется по следующему правилу:

Вот пример графа, ассоциированного с проекцией узла:

Вообще говоря, один и тот же узел имеет много проекций, неэквивалентных относительно изотопий плоскости. Можно доказать, что можно перейти от проекции DY к проекции В2 изотопного узла конечной последовательностью преобразований Редемайстера, которые разбиваются на три класса:

Эквивалентно

Эквивалентно

Существенны только точки пересечения; ориентации можно расставлять как угодно.

Пусть L- ориентированный узел. Существует ориентированная поверхность вложенная в S3, границей которой является L (поверхность Зейферта). Если L - ориентированный узел, не пересекающийся с L, можно объемлющей изотопией добиться того, чтобы S и L пересекались трансверсально в конечном числе точек р1? ..., рг. Каждая такая точка р〔 определяет число £订 равное 土 1 в зависимости от ориентации. Число £1 + ... + £г называется числом зацепления L и Е и обозначается z(L, L).

Более точно, группы гомологий S3\L с целыми коэффициентами определяются формулами

〃o(S3\L) = Z, 区(S3\L) = Z, ^(S3\L) = 0 для >2.

Образующая у группы Ht (S3\L) может быть выбрана таким образом, что класс гомологий, который определяет Е в S3\L, будет равен ML,

Так как Ях (S3\L) изоморфна Z, существует многообразие М размерности 3, которое является накрытием S3\L с группой Галуа, равной Z. Модуль Александера узла L, который обозначается Л(£),-это группа гомологий У/】 (М); так как группа Z действует на М, а следовательно, и на его гомологиях, можно рассматривать 4(L) как модуль над кольцом Л — Z [и, и-1] полиномов Лорана от и, умножение на и в Л (L) соответствует действию образующей группы Z на М. Структура А-мо-

дуля Л (L) описывается точной последовательностью

0->Л2й = Л2й->Л(Л)->0,

гомоморфизм а записывается матрицей вида А (и) = У — «ГИ где V- квадратная матрица размера 2力 х 2力 с целыми коэффициентами, такая, что

(1.1)(1.1)У-Т =У-Т =

(1.1)

(1.1)

У-Т =

У-Т =

(/й - единичная матрица порядка А). Определить Д£ (и) матрицы Л (м) называется полиномом Александера узла L. С точностью до умножения на степени и он зависит только от узла L. Он имеет нормальную форму вида

(1.2)Д£ (и) = 〃о + а^и + ... + а2ти2т,

где % / 0; имеется соотношение симметрии 例=a2m-i-

При отождествлении R2 и С общее определение, данное во введении, переформулируется так: обозначим через С； множество векторов с п различными координатами; тогда Вп - это фундаментальная группа C*/S„, где группа S„ действует перестановками координат. Фундаментальная группа пространства С* называется группой крашеных кос и обозначается Рп. Она является нормальной подгруппой группы кос Вп, и группа BJPn канонически изоморфна Sn.

Представляя элементы Вп петлями в пространстве C*/S〃, получаем следующее геометрическое описание. Рассмотрим две параллельные плоскости По и lii в R3 и полосу А, которую они ограничивают. Фиксируем п различных точек 7^,...,尸? в И。и 孔 различных точек Pj, ...» 尸;в nlt Коса из п нитей - это объединение у п простых дуг 了匕..., у力 содержащихся в А, со следующими свойствами:

дуги у。…，у„ попарно не пересекаются;

каждая дуга пересекает каждую плоскость П, параллельную По л П1 и содержащуюся в А, в единственной точке;

каждая дуга имеет начало в одной из точек 严 и конец в точке 尸* ①， где л-это перестановка из Sn, ассоциированная с элементом группы Вп, определяющимся по у.

Чтобы определить эквивалентность, вводится группа Г гомеоморфизмов А, которые оставляют на месте каждую точку 尸?，…，尸?，尸; Р„ и преобразуют саму в себя каждую плоскость П, параллельную По и 口1； обозначим через Го компоненту связности тождественного гомеоморфизма в Г. Две косы, у и у', будут эквивалентны посредством Г, если и только если они определяют одну и ту же перестановку ле Sn. Говорят, что они изотопны, если они эквивалентны под действием группы Го; элементы Вп являются тогда классами изотопии кос из п нитей.

Выберем плоскость 尸,перпендикулярную По и П^ и пусть D-полоса 尸 П А в Р. Каждая коса у проектируется перпендикулярно на Р. Преобразуя, если нужно, у с помощью изотопии, можно ^читать, что проекция косы у состоит из п дифференцируемых дуг, которые трансверсально пересекаются в конечном числе точек и которые трансверсально пересекают каждую прямую, параллельную L(- = 口^ П 尸,в единственной точке. При этом принимается предыдущее соглашение для обозначения проходов и переходов в точках пересечения:

Ассоциированной перестановкой rt—► f будет

/12345、

Я = \2 5 4 1 3/

Мы предлагаем читателю подумать о том, как определить подходящую изотопию на плоских проекциях кос.

15 Структура группы кос

Группа Вп имеет п — 1 образующих ь；…，叫一匕 которые опре деляются с помощью плоских проекций:

Группа Вп имеет представление, которое дается следующими соотношениями:

(L3)66 + 16 = 6+156+1 Для 1 ^ / ^ w - 2,

(L4)бд = дбдля I f 一/|》2.

Аналогичным образом симметрическая группы Sn допускает представление, которое дается образующими g (транспозиция i и f + 1) для 1 W Y 胃一1 и соотношениями

山豆 + 1山=R + iS/i + iдля 1 Z ^ « - 2,

(1.6)(1.7)(1.6)(1.7)5円=Vi货=15円=Vi货=1для |i-J|》2, для 1 W i W 孔—Lдля |i-J|》2, для 1 W i W 孔—L

(1.6)

(1.7)

(1.6)

(1.7)

5円=Vi货=1

5円=Vi货=1

для |i-J|》2, для 1 W i W 孔—L

для |i-J|》2, для 1 W i W 孔—L

При проекции Bn на Sn образующая о( переходит в 5尸 Ядро Рп будет тогда инвариантной подгруппой В”，порожденной а?.

Определим группу %, имеющую бесконечную последовательность образующих Ор а2, ... с соотношениями (1.3) и (1.4). Группа Вп отождествляется с подгруппой й^, порожденной а1? ...» сГл-р Вложение Вп в 夕н+1, полученное таким образом, представляется геометрически следующей операцией: возьмем косу из п нитей и добавим к ней (w + 1)-ю нить справа, достаточно далеко, чтобы она не запуталась с остальными. Аналогичным образом имеется возрастающая цепочка S2 и S2 и …и S〃 и S“+i и …，образованная группами перестановок с объединением

Проекция С：+1 на С*, которая преобразует (z「…，分，z“ + J в (z。…，zj является расслоением, слой F которого получается выкидыванием п точек из С. Фундаментальная группа слоя 尸一зто свободная группа Fn от п образующих а» …，а〃，и фундаментальная группа базы действует на группе слоя. Отсюда выводится:

Группа кос Вп отождествляется с группой автоморфизмов ф группы 尸п, обладающих следующими свойствами:

произведение ах ...ап инвариантно относительно ф；

существует перестановка л gS„, такая, что ф(^) будет сопряжен в Fn элементу а兀⑴.

При этом отождествлении образующая ст； записывается как

+, если j = I,

о/%) = ｛例， если J = z + 1,

%,если /关》, 2 + 1.

В частности, группа крашеных кос Рп - это группа автоморфизмов 尸 которые оставляют инвариантными 夕口 ..., ап и класс сопряженности каждой %. Тогда можно отождествить Pn+i с полупрямым произведением Рп и 尸〃，где Fn снабжена описанным выше действием 尸“；при этом отождествлении имеем

巩=(6 +1 …5)т J(6 +1... о„).

Это же рассуждение с расслоением имеет и другие приложения. Обозначим через ““ алгебру когомологий С*; проекция С*+1 на С* отождествляет ““ с подалгеброй в ““ +1; если обозначить через % класс

когомологий дифференциальной формы dlog(2“+i — z) (для 1 < i W 几)， то будем иметь /〃+1 = “終㊉““а】㊉…㊉ 加〃4小 Следовательно, полином Пуанкаре пространства С* равен 口仁：(1+к» Результат, принадлежащий Фоксу и обобщенный Брискорном [Е7] и Делинем [Е8], утверждает, что универсальное накрытие С： стягиваемо; следовательно, когомологии группы Вп изоморфны 必.Наконец, в обозначениях п. 4.3 алгебра Ли /п+1, ассоциированная с группой Рп+1, является прямой суммой подалгебры Ли 夕"и идеала Sn, который является свободной алгеброй Ли от п образующих.

1.6. Связи между косами и узлами

Пусть D-прямая в R3. Зацепление L, которое не пересекается с D, будем называть замкнутой косой из п нитей с осью D, если любая полуплоскость, ограниченная D, пересекает L ровно в п точках. Выберем полуплоскость Ро, ограниченную D, и обозначим через Pt (для О W Е W 1) полуплоскость, полученную поворотом Pt на угол 2冗Е вокруг D (после выбора ориентации). Положим

(МО) Г^рГЧЛПЬ).

Тогда семейство (Гг)0 ^ ^)будет петлей в пространстве конфигураций ①〃(尸о) и, следовательно, определит элемент группы кос В“. Отсюда следует биекция между замкнутыми косами из и нитей (с точностью до изотопииJ “ классами сопряженности в Ви.

С точностью до изотопии любое зацепление является замкнутой косой для подходящим образом выбранной прямой. Отсюда выводится классификация узлов по Маркову. Обозначим через В объединение множеств В】,В2, ..., а через 〜 самое слабое отношение эквивалентности на В, для которого будем иметь

g 〜g 〜go“〜go”

для g, h из Bn. Тогда множество 垓 классов эквивалентности классифицирует узлы (не дикие, с точностью до объемлющей изотопии) 6 R3 или 6 S3.

2. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ УЗЛОВ

Опишем общую стратегию в форме, данной Тураевым [D13], Пусть V- конечномерное векторное пространство над С, и пусть R - обратимый оператор, действующий в У® 卩=р®2； обозначим через Р оператор симметрии в V® , преобразующий х® у в у® х, и положим R = RP. Далее выберем целое п > 1 и обозначим через Riti + i оператор в Р喲", определенный формулой

(2」)

A.i+i^t ®... ®х„)=匕区…而修一1(8>左(匕区看+i)g)%+2 S)…区看.

Вообще, для любого оператора Т в У®2 и целых чисел i, J, таких, что 1 W i W / W 忆 обозначим через Т^ оператор в Р®", который «действует как Т на тензорных множителях с индексами i и у».

Ищется представление TR группы В人 в пространстве Р®“, которое сопоставляет образующей сг; оператор Д ,+ 1，Учитывая представление Вп, данное формулами (1.3) и (1.4), необходимым и достаточным условием для этого является то, чтобы 穴 удовлетворял соотношению (2.2)页 12K23 友 12 = A23Al2 友 23

(равенство операторов в Р®з) дЛя оператора R это переписывается в виде уравнения Янга - Бакстера (квантовая версия)

^12^13^23 = &зКз&2 -

Например, если К = 1, операторы % будут все равны 1 и уравнение Янга-Бакстера выполнено. В этом случае действие элемента д из Вп задается формулой

П (д)(% ® ... ® /) =⑴ ® ... ® /-з,

где 冗一образ g под действием канонического гомоморфизма Вп в Sn.

Вот один класс решений уравнения Янга-Бакстера. Пусть К— пространство С* с каноническим базисом е「…，eN. Обозначим через q ненулевое комплексное число. Пусть Я-оператор в Р®2, определяемый формулами

К® О 6)= qe伪 ％,

у 尺& ® 弓)=ef® ejдля i <j,

K(£jS)4)=(9 - qT)/<8)弓 + 勺8)修 для z <у.

Тогда (2.3) выполняется. Для q = 1 оператор R сводится к тождественному. Оператор А имеет собственные значения q (кратности ^(^ + 1)/2) и -^-1 (кратности ^(^ — 1)/2), и, кроме того, (^ —夕)依 + + q-') = 0. Полученный результат можно переформулировать так:

а) Алгебра Гекке ^„ (^) - это алгебра с образующими 厶…，北-i и соотношениями

(2-6)ZZ+口 = Z+EZ+i,

北7}= T/Tj, если \ i-J\》2,

(2・8){T^q^-q-^^Q.

Она имеет базис вида ⑵)，где л пробегает S„, с 厶=1 и правилом умножения

北* =а，если冗0V冗(力+ 1),

z厶=4兀 + (g一干1)厶，если n(i)>na+ 1).

Существует линейное представление 九“ алгебры 第“(g) в пространстве Р®“, такое, что 九林(北)равно 衣工》+i для 1 < z ^ и — 1.

Существует гомоморфизм 8П группы Вп в мультипликативную группу *"(д)х, который преобразует af в Т^ В этих условиях

(2」1)£(д) = М%®)) Для д из ”.

Когда д=1, алгебра 第^(9)превращается в групповую алгебру CSn симметрической группы, причем % =冗.Предположим, что 寸声 1 для к = 1, ..., и. Тогда алгебра 鸠,(4)полупроста и ее неприводимые представления U^ параметризуются разбиениями 卩=(卩^,....卩几)числа п (с условием 卩】》…》卩》0 и м = щ + …+ цп). Представление Х„ алгебры ^n(q) в пространстве (С*)®" состоит в точности из представлений U», соответствующих разбиениям ц = (ц15 …，цп) с щ = ° для к> N; кратности 4 такие же, как в частном случае q = 1 (ср. Хефсмит [С 17]). 2.3. Предположим теперь, что дано векторное пространство 匕 оператор R в V® V, удовлетворяющий уравнению Янга-Бакстера, и оператор 卩 в 匕 удовлетворяющий следующим условиям:

операторы 7? и ц ® ц коммутируют;

для любого оператора и из End (Г) имеются соотношения

??((〃 ® [1) • А) = а7?(〃)，

Tr^u^^-R-1)=广1乃(明

где а - подходящая комплексная константа.

Обозначим через 狡 гомоморфизм Вп в Z, который отображает каждую образующую а, в 1, затем определим функцию фк》в группе Вп по правилу

Ф^=аЕд)тз®〃.£(д)),

где представление TR группы Вп в пространстве Р®" удовлетворяет равенствам TR(Ci) — Д( + 1 для 1 ^ Z ^ и — 1. Из сделанных предположений легко следует, что выполняются соотношения

Фл.ДЛдЛ"1) = Фл>и(д),

心：％3') = 6院0)

для всех д из Вп. Учитывая классификацию Маркова для узлов (см. п.

, можно определить инвариант Т&,卩(L) классов изотопии зацеплений так, что будем иметь

TRil(L) = ф/?,и(^),

если зацепление L получается замыканием косы из п нитей, соответствующей элементу д из Вп.

Чтобы продемонстрировать явный пример, вернемся к случаю, когда V= CN, а оператор R записывается формулой (2.5). Возьмем в качестве 卩 диагональную матрицу с элементами

(-1)"%"* —j 严打N-3,"(一1)"%1-N

и положим а = (— 1)N + 1^N. Инвариант Тураева степени N определяется тогда по формуле、

77(4)= (— 1尸第；方以扪(L)

для любого зацепления L с R и 卩,определенными таким образом; он является полиномом Лорана от q.

Когда N = 2, получаем снова полином Джонса

(2-19)Tl(q) = РК^2)

(в обозначениях Конна [С13]).

Последовательность полиномов Т^ (^) для N = 2, 3, ... выражается посредством одного полинома Лорана от ^ и qN. Точнее, предположим, что задано ориентированное зацепление L, выберем точку пересечения р (на проекции) и определим три зацепления, L + , L„ и Lo, где L+ равно L, а £_ и Lo получаются трансформациями в точке 尸，как показано на следующей схеме:

Соотношение 穴一穴т = 0 — 0 】(которое выражает тот факт, что R имеет собственные значения q и —^-1) отражается геометрически как соотношение

㈠比+ ©)_ 厂叮工(g) + (— l)N(g — g-1)比o(g) = о.

Комбинаторным способом доказывается, что плоская проекция любого зацепления может быть преобразована в проекцию объединения не- заузленных окружностей с помощью замены верхних проходов на нижние и обратно. Рассуждая по индукции по количеству точек пересечения в плоской проекции зацепления L, приходим к следующему результату:

Теорема. Можно сопоставить единственным способом всякому изотопическому классу ориентированных зацеплений L полином PL (х, у, z) от х, у, у-1, z, 2~i, однородный степени 0 и удовлетворяющий двум соотношениям:

хР“ + 歹厶一 + Ziv。= О,

при вышеприведенных соглашениях, w

尸° н 1,

где 0 обозначает окружность. Далее, инвариант Тураева выражается формулой

尤(q) =匕(0, —",(—iy(q — q-i))

Полином PL (х, у, z) есть не что иное, как полином HOMFLY, определенный шестью авторами [С12]. Он содержит в качестве частного случая полином Александера

M(q)=P(l, - 1,@-尸)

и полином Джонса

%®2) = A(g2,-g-2,g — q7)

Замечание. Сохраним те же определения для К и 卩.Определим линейную форму т„ на алгебре Гекке "并(д) по формуле

(2-26)%(a)=乃(巾力屮叫；

представление Хо алгебры Hn(q) в пространстве (С*)®" определяется формулой 九〃(北)=友打 + 1・ Тогда % является следом, т.е. q(ab) — %(ba)・ С другой стороны, погружая очевидным способом %(q) в %“ + i(g), имеем два соотношения:

Ki (叫)=aq(a),

q + i(a)=阮")

с константами

a = (-l严％n,B =(_i)"i?_J.

В работе [С 16] Вогель определил a priori все последовательности следов на алгебрах Гекке, удовлетворяющие соотношениям (2.27) и (2.28) для

произвольных значений а и р. Случай В = 1 был изучен Джонсом, который дал начало всей этой теории.

Инвариант другого типа построен Л. Кауфманом. Рассмотрим сначала плоскую проекцию D зацепления L. Пусть V- множество точек пересечения. Будем предполагать, в духе статистической механики, что каждая точка о из Кможет находиться в двух состояниях аир； состояние диаграммы D-это отображение со из У в {а, р}. Для состояния ① обозначим через м(со) число точек в состоянии а и через и (со) - в состоянии 0. С другой стороны, модифицируем диаграмму D одновременно во всех ее вершинах по правилу

U В СОСТОЯНИИ ОС:U В СОСТОЯНИИ ОС:превращается впревращается вV в состоянии р ;V в состоянии р ;превращаетсяпревращается

U В СОСТОЯНИИ ОС:

U В СОСТОЯНИИ ОС:

превращается в

превращается в

V в состоянии р ;

V в состоянии р ;

превращается

превращается

Диаграмма,Диаграмма,измененная таким образом, не содержит больше точек

Диаграмма,

Диаграмма,

пересечения и являетсяпересечения и являетсяобъединением некоторого числа /?(со) непересе-

пересечения и является

пересечения и является

кающихся окружностей. Вес, приписываемый состоянию со, равен冗(①)=A^B^d^K

Сопоставим диаграмме D полином К^(4, Bf d), равный сумме весов л (со) по всем 21 Р| возможным состояниям диаграммы D. Речь идет об аналоге функции разбиения из статистической механики.

С этого момента мы не учитываем более ориентацию зацепления L и его проекции В. Из существования полинома Кауфмана выводится существование нового полиномиального инварианта 2ь(х, у). Это полином с целыми коэффициентами от х, х"1, у и 歹имеющий следующие характеристические свойства:

если L- незацепленная окружность, то QL = 1;

пусть В - плоская проекция зацепления L и w(D) —сумма кратностей точек пересечения (согласно и. 1.2). Тогда @d(x, у)=工何°)2七(工，У)не зависит от ориентации L(u D);

имеется соотношение

2d+ + 6р_ = х2р0 + у 15рф，

D_D_D+D+где четыре диаграммы, D + , D_, Do и D^, различаются в каждой вершине по следующей схеме:

D_

D_

D+

D+

Можно восстановить полином Джонса 匕(夕？) как специализацию полинома Кауфмана & (х, у). Кроме того, Тураев дал интерпретацию 2l(x, У) с помощью своей схемы (匕 R,卩).

3. КАТЕГОРИИ И АЛГЕБРЫ ХОПФА

3*1. Рассмотрим множество Е и отображение ф из Е х Е в Е; мы хотим сформулировать ассоциативность ср в общем виде. Для этого определим рекуррентно последовательность конечных множеств %, £?，…口。 правилу

£】={°}, ^tt = (^-I X Е〃 - 1) и ②2 X £门- 2)U ... U ②"- 1 X Z) •

Индукцией по м》1 сопоставим каждому элементу о из 2* отображение о из 厅 в Е:

если и = 1, то а = 0 и 6(х) = х для всех хеД

если и > 1, то существует целое число р, 1W〃W 孔—1, и два элемента а'еЕр и о"е 2fl_炉 такие, что о = (а\ о"), и тогда

6(修，…，%)=屮(6‘(%1，…，xj d"(Xp+i,…，x")).

Можно представлять элементы Еп бинарными деревьями с и свободными вершинами; дадим два примера элементов S4 и их графических представлений:

0^ а = (0,(0,(0,0)))^С* ^ = (((0,0),0),0)

Если сократить ср (а, Ь) до (аЬ), то функции, связанные сайр, будут иметь вид

f 口(а, Ь, с, d) = {a{b(cd^,

1 В (а, Ь, с, d) = (((аб) с) d).

Множества Е】н Х? имеют по одному элементу, а Е3-два элемента, 九 и 卩，так что ассоциированные функции суть

汇(а, 6, с)工((〃6) с), 口 (а, b, с) = (а (6。).

Говорят, что закон 屮 ассоциативен, если ((«/?) с) = (а(Ьс)) для а, Ь, с из Е т. е.尤=". Если это так, то для всех целых п》1 все отображения из 月 в £, связанные с элементами Е“, совпадаю!. Можно, например, двумя способами проверить равенство & = 0:

(а (Ь (喲))=Q方)(力))=(((〃» с) d),

(a (b (cd))) = (a (依)d)) = ((a (be)) d) = (((ab) c) d).

Эти формулы соответствуют двум цепочкам элементарных преобразований на бинарных деревьях.

Мы применим предыдущее к случаю категории % и функтора Ф из % х % в %; тогда Ф индуцирует закон композиции на множестве 0b 侈) объектов % и на множестве 尸/(%) стрелок 侑.Если эти два закона ассоциативны, будем говорить, что Ф строго ассоциативен. В действительности это редкий случай, например, если % — зто категория векторных пространств над С иФ(и, Г) = ^ ® И известно, что пространства (U ®V)®W^ U ® (У® Ж) изоморфны, но не равны.

Предположим далее, что мы имеем изоморфизм а (а, Ь, с) из ①(а,①(仇 с)) на Ф (Ф (а, 6), с), функториальный по объектам а, 6 и с из %. Итерируя функтор Ф, сопоставим каждому элементу о из Е“ функтор о* из 伊 в %. Применение а показывает, что функторы о* и т*, связанные с двумя элементами из 2“，изоморфны. Например, две цепочки равенств (3.5) и (3.6) интерпретируются как два изоморфизма 8 и Г| функторов а* и 0*, а именно", заменяя Ф(а, 6) на аЬ, имеем

£(а, Ь, с, d) = а (а, Ь, & d) а (a, b, cd),

Г|(а, Ь, с, d)=①(а (а,仇 с丿，d) а (а, Ьс, П)Ф(а, а (b, с, d)).

Заметим, что стрелки 侑 компонуются справа налево. Говорят, что а - констрейнт ассоциативности для ①，если всегда & (a, b, с, d)= =г| (а,瓦 с, d). Если это так, то интерпретации всех цепочек, идущих из о*(&,…，«„) £ %(夕1，…，aJ приводят к одному и тому же изоморфизму функтора а* на функтор т* (для ст и т из Zn). Это теорема Маклейна [В1].

Аналогичным образом констрейнт коммутат ив ноет и для Ф-это изоморфизм р(а, Ь) между ①(а, 6) и ①(瓦 а), функториальный по объектам а н 6 нз % и такой, что

①(р (а, с), 6) а (а, с, Ь)Ф(а, р(Ь, с)) = а (а а, 6) р(аЬ, с)а(а, Ь, с).

Это соотношение выражает равенство двух цепочек преобразований

а (Ьс) = а (cb) = (ас) b = (са) b,

а (Ьс) = (аб) с = с (ab) = (cd) b.

Можно выразить условие на констрейнт ассоциативности с помощью диаграммы пятиугольника и условие на констрейнт коммутативности с помощью диаграммы шестиугольника.

Если заданы констрейнты ассоциативности и коммутативности и если р (a, Z?) обратно к р (6, а) для всех объектов а, Ь、то для всех ст из 2“ функтор 0*(%,…，％) зависит «симметрично» от объектов 甸，…，ап из %.

Двойственность Таннаки для алгебраических групп основывается на следующих двух теоремах Шевалле [В 15], где V- конечномерное векторное пространство (над С) и G - алгебраическая подгруппа GL (7).

D Эта интерпретация алгебраического закона как стрелки в категории играет важную роль в некоторых недавних исследованиях по компиляции и преобразованиям программ.

Теорема А. Всякое линейное представление (冗，W) группы G, соответствующее полиномиальному отображению G в GL(W), может быть реализовано, с точностью до эквивалентности, 6 некотором подфактор- пространстве пространства вида &1=17®^®^)^ где W - двойственное к V пространство.

Теорема В. Существует конечное множество целых чисел гр …，厶 и набор прямых Dj 6 V®r' (для 1 w i W 忆丿，такой, что G состоит из элементов GL(y), оставляющих на месте каждую прямую Dx, ...» Dk.

Предположим далее, что 侑一зто семейство представлений (л；,叱)注/ группы G, полиномиальных в смысле теоремы А. Предположим, кроме того, что 侑 замкнуто относительно прямой суммы, тензорного произведения, перехода к двойственному подпространству и факторпростран- ству. Если % содержит точное представление, то всякое полиномиальное представление G изоморфно одному из представлений (ль 唄).Это результат теоремы А.

Но по теореме В сама группа может быть восстановлена исходя из семейства ее представлений. По предположению семейство 侑 замкнуто относительно тензорного произведения; обозначим через i х / элемент 7, для которого 冗ixj = %X7ij и 叱.=唄乂 Wj. Допустим, что дано семейство автоморфизмов д,еОЬ(И<), удовлетворяющих двум условиям:

^ f = 9if 8〃兄 всех G-эквивариантных отображений f из W; в W；\

Ь) 9i^j = gi®gj-

При этих условиях существует единственный элемент g из G, такой, что 冗i(g) = 0i ^ля всех iwL

Если группа G редуктивна, то все ее линейные представления полупросты (=вполне приводимы). Приведенное выше восстановление группы G может быть модифицировано: будем исходить из класса S простых (=неприводимых) представлений, обозначаемых (冗入，厥)для к и Л. Обозначим через Ях х 卩丫 множество линейных отображений и из 股 g)峪 в 网，таких, что

勿(砍(g)S)冗為))=Mg)?

Для всех g из G. Тогда всякий набор автоморфизмов g入eGL(HI), удовлетворяющий соотношениям

(3」1)"(然 OgJ = gv-u

для X, [i, v из Л и и из Ях х y v，происходит из единственного элемента g из G по правилу ” =软(g).'

Классический случай компактной группы получается следующими модификациями: рассматриваются только непрерывные унитарные представления в конечномерных гильбертовых пространствах, т. е.冗【(д) является унитарным оператором на 叱.При восстановлении группы G требуется, чтобы 仇(или gj были унитарными операторами. Допускаются оба упомянутых случая, и группа G является группой Ли

тогда и только тогда, когда G имеет точное представление, или, что само собой получается, когда класс % порождается конечным числом представлений с помощью допустимых операций: прямой суммы, тензорного произведения, перехода к двойственному подпространству и факторпространству. Добавим еще два замечания:

непрерывные линейные представления компактной группы полупросты;

все замкнутые подгруппы унитарной группы U (п) являются пересечениями G Г) U(n) группы U(n) с единственной алгебраической подгруппой в GL (и, С).

Во многих ситуациях группа не дана с самого начала, но имеется то, что должно быть классом ее представлений. Так ставится вопрос в алгебраической геометрии, где Гротендик ввел «философию мотивов» в этот предмет, и в математической физике, где любят выражать правила суперселекции (некоторые обобщенные законы сохранения, например, электрического заряда) в виде существования калибровочной группы. Имеются два независимых направления исследований: одно, начатое Гротендиком, использует достижения Сааведра, Милна и Делиня; другое, в рамках гильбертовых пространств, обязано прежде всего Доплишеру, Робертсу и Вороновичу.

Проблема состоит, таким образом, в том, чтобы восстановить алгебраическую группу по категории «представлений». Если G - алгебраическая подгруппа GL (и. С), то ей сопоставляется алгебра А = A(G) «полиномиальных» функций на G вида Р(дц, ..., g„„)/(det gf для д —(仇力， где Р - полином от и2 переменных и s - целое > 0. Точки G соответствуют гомоморфизмам алгебр из Л в С, и умножение на G двойственно к гомоморфизму А из Л в Л ® Л, при котором Д (尸)=£吕 ® Е', где 尸(g，g〃)= £R(g')R'(g〃). Таким же образом единица G соответствует гомоморфизму 8: Л -> С и инверсия gig~i на G - гомоморфизму S:A^ А. Объекты

4 А:А А® А, 8: Л -> С, S:A А

удовлетворяют условиям, аксиоматически характеризующим алгебры Хопфа. Полиномиальные линейные представления G соответствуют комоду лям У над 力(структурное отображение У-> A®V), конечномерным над С. Алгебры, соответствующие алгебраическим группам, выделяются среди всех алгебр Хопфа (фундаментальным) условием, что алгебра А коммутативна, и (вторичным) условием, что алгебра А имеет конечное число образующих.

Переход от алгебраических групп к «квантовым» группам производится посредством отбрасывания предположения о коммутативности умножения.

Мы исходим из абелевой категории 俄，снабженной точным и строгим функтором в категорию конечномерных векторных пространств над С.

Конкретно, пусть имеется семейство (匕力门 таких векторных пространств и для каждой пары /', J подпространство *切 в векторном пространстве Нот (匕，匕)линейных отображений 匕 в ". Предположим, что семейство 匕 замкнуто относительно конечной прямой суммы и что ядро и коядро элемента из ^； также содержатся в семействе (匕)$ (вместе с подходящими условиями на композицию).

При этих предположениях категория 名 состоит из комодулей над коалгеброй 4, которая восстанавливается следующим образом: обозначим через V прямую сумму всех 匕，отождествим 口 End (匕)с подалгеброй Е в End(V) и прямую сумму J^,j с подалгеброй Н (без единицы) в End (7). Пусть множество элементов £, которые коммутируют со всеми элементами Н- это замкнутая подалгебра RjEnd (匕) в топологии произведения; искомая коалгебра - это топологическая двойственная к F.

Произведение т: А 0 А -^ А появляется, если снабдить категорию % функтором ①：％ <Э % -> % с констрейнтом ассоциативности; будем писать i х Jвместо ①«,/). Предположим, что Vixj = Р<® Р< и констрейнт ассоциативности из i х(J х к) в (i х у) х к соответствует каноническому изоморфизму ® (Т^ ® %) на (匕 ® V^ ® Vk. Благодаря этому умножение на А будет определено и ассоциативно. Аналогичным образом единица 力 соответствует объекту 1 в %, такому, что 1 х z и / х 1 изоморфны Z. Антипод S:A~>A соответствует функтору двойственности fi^ на 侑 с функториальным изоморфизмом Hom^(z х /, к) на Hom^(Cjv х к); потребуем дополнительно, чтобы 匕廿 было двойственным пространством к匕.

Коммутативность алгебры 力 соответствует в этом контексте конст- рейнту коммутативности р: z х у ->у х z на категории 侑，совместимому с констрейнтом коммутативности на категории векторных пространств в том смысле, что р индуцирует изоморфизм х®у\-^у®х пространства 匕=匕% на Vj+i = Vj0 Vi，

Дринфельд рассмотрел, под названием квазихопфовых алгебр, что происходит, когда на категории 侑 задан функтор ①：％ х % снабженный констрейнтами ассоциативности и коммутативности, которые не имеют ничего общего с констрейнтами ассоциативности и коммутативности для тензорного произведения. Для каждого целого 孔》1 обозначим через Л®и коалгебру, являющуюся тензорным произведением п сомножителей, равных 4, и через “" алгебру, двойственную к 4®". Произведение a® b^ab на А двойственно к копроизведению А:”】一> т “2, и А' двойственно к противоположному произведению a^)biba на А.

Предположим сначала, что констрейнт ассоциативности совместим с тензорным произведением. Тогда существует обратимый элемент R из “2，такой, что

& (а) = КА(а)КТ для всех

Для г из / комоду ль 匕 над А является также модулем над алгеброй “° двойственной к Л; таким же образом 匕xj =匕 х 匕 является комодулем над Л®2, стало быть, модулем над ^2, и R определяет оператор Rij на Vi^Vj. Констрейнт коммутативности на категории 侑 является тогда изоморфизмом PijRij из 匕(8)% на Vj®Vh где 尸m(七(8)巧)=/8)七. Соотношение (3.12) выражает отклонение от коммутативности алгебры 4, поскольку R = 1 соответствует случаю, когда 力 коммутативна. Диаграмма шестиугольника представляется тогда формулами

%2(R)=&2R23，

a23 (k) = &3R12,

что влечет соотношение Янга-Бакстера

&2R13&3 =r23r13r12 .

Заметим, что К】？，например, равно R, действующему на множителях 1 и 2 в Л®3 по формуле <К12, м(8)& 险&〉=〈R % ®)&〉*〈4 &〉• Кроме того, А12 двойственно к отображению аг® а2® а3-^ ад ® ^з из 4®з в Л®2

Возможное отклонение констрейнта ассоциативности на категории % от констрейнта ассоциативности для тензорного произведения выражается в существовании обратимого элемента ф из “3. Диаграмма шестиугольника и уравнение Янга-Бакстера принимают тогда модифицированный вид:

(3.13bis)А12(К) = Фз12&зФ1^2&зФ123 ,

(3.14bis)厶23(尺)=ф231-^1 зф213-^12ф 123 ?

(3.15bis)-^1?ф312-^1 зФ132-^2зф 123 = Фз21&зф2^1&зф213&2 •

Диаграмма пятиугольника представляется тождеством в “《：

Аз4(Ф) А12(Ф) = ф234A23 (ф) ф123 ■

Дадим простой пример в заключение. Рассмотрим пространство V= CN с естественным базисом %,…,eN; пусть q — комплексное число, не являющееся корнем из единицы. Алгебра Гекке *“匂)полупроста и действует на пространстве У®", как это было объяснено в п. 2.2. Рассмотрим категорию %, объекты которой суть пространства Р®“ и морфизмы суть только эндоморфизмы V®n, доставляемые элементами *“(办 Рассмотрим функтор Ф, который сопоставляет У®т и Р®“ их тензорное произведение у®(т + п\ Констрейнт ассоциативности тот же, что и для тензорного произведения; напротив, констрейнт коммутативности из V®m® У®л в V®n® P®m равен「叫“)灭(九“)，где ^1^ - обычный констрейнт коммутативности и

т и

" = 口 П&Е

1=1j=1

(в обозначениях п. 2.1).

Полученная алгебра Хопфа AN допускает образующие %) (для 1 W i W N, 1 Wj W N), удовлетворяющие соотношениям

^^R = RMT】)，

где Т-матрица из 亏，尸^二丁验八，^ = ZN ® Г Когда q=l, это выражает коммутативность 友户 Копроизведение в AN задается формулой

A(%j)= £ tik ® tkj.

Здесь идет речь о деформации алгебры полиномиальных функций на GL(N, С)1*, которую Фаддеев и Воронович рассматривали как квантовую группу, связанную с группой GL(N, С). Дуальная точка зрения (Дринфельд, Джимбо) заключается в рассмотрении деформации Uq(g/(M С)) обертывающей алгебры алгебры Ли gl(N, С).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МОНОДРОМИЯ

Рассмотрим открытое подпространство С* в Сп, образованное векторами с различными компонентами. Положим

①炉=dlog(4 - z0 = —~—

马—

для i 声 J, где Z],…，zn - координаты на Сп; это голоморфные дифференциальные формы на С*, удовлетворяющие квадратичным соотношениям

o)jj А СО/% + оз川 А ①依 + oki A co” = 0

(2, /, k различны). Кроме того,①仃=①川 Пусть ““一алгебра голоморфных дифференциальных форм, порожденная ①仃 над С. Алгебра ““ определяется соотношениями (4.2) как антикоммутативная алгебра. Далее, формы, принадлежащие ““，представляют все классы когомологий де Рама С*, откуда следует изоморфизм Я*(С*; С) ^ ^ (теорема Арнольда).

Пусть даны конечномерное векторное пространство W над С и его автоморфизмы 4户 Рассмотрим дифференциальную форму С = =Е» V/"订①廿 на С； со значениями в End (И7) и систему дифференциальных уравнений dF = QF; решения суть голоморфные функции 尸(z)=尸份口 …, z0 со значениями в End (Ж), определенные внутри С；. Пусть у - петля класса в С} с заданной параметризацией вида (y(/))0^z< Р Если

” Она получается при присоединении к AN обратного элемента к квантовому детерминанту detg Т- полиному, который при q = 1 сводится к детерминанту матрицы.

Fa(z)-решение dF = QF в окрестности у (0), то можно аналитически продолжить 尸q(z) вдоль у. Полученная функция Fb(z)-это решение уравнения dF = Q尸 в окрестности точки у(1) = у(0); оно выражается по формуле Леппо-Данилевского

尸ь⑵=凡⑵Т(у)

со следующим выражением для параллельного переноса:

Т(У)= Z J 4 «J …力 &)或1 …或女•

fc о д„

В этой интегральной формуле область интегрирования А& определяется неравенством О W 厶 W 看2 W …W 几 W 1 и операторная дифференциальная форма Л(/) получается подстановкой z = у«) в Q

Дифференциальная система dF = С尸 вполне интегрируема, если Т(у) зависит только от гомотопического класса петли у (с отмеченной точкой). Классический критерий таков:

iZQ + Q A Q = 0;

оба члена лежат в “鹿 ® End 叱 и ввиду теоремы Арнольда, приведенной в 4.1, эти уравнения эквивалентны следующим:

[4j, 4k + 4门=°, где i, /, к различны,

[力切力旧]=0, где i, j, k, / различны.

Если это так, выберем отмеченную точку а на С* и реализуем группу чистых кос 尸〃 как группу тч(С*; а). Формула параллельного переноса (4.4), примененная к петлям в точке а, дает линейное представление группы Рп в пространстве W.

Введем алгебру Ли ^п - факторалгебру свободной алгебры Ли с образующими Хи = X# (дп兄 i v j) по идеалу, порожденному элементами [Xjj, Xik + Kjk] и [Х", Xjj]

при тех же условиях, что в (4.6) и (4.7). Обозначим через 自仃 образ Х〃・ в 乡“ и введем «общую» дифференциальную форму

①=£ ^ij®^ij

в / 0 纥.

Предыдущий результат можно сформулировать, сказав, что всякое линейное представление р алгебры &* в пространстве W (переводящее j в 4力 следовательно,① в С) определяет линейное представление Т группы Рп в W. Обратно, всякое представление группы Рп унипотентными автоморфизмами W происходит из представления р алгебры

纥 нильпотентными эндоморфизмами Wr\ Разумно вследствие этого рассматривать алгебру Ли &“ как алгебру Ли группы Рп (или также группы Вп, в которой она имеет конечный индекс) и соотношения (4・9)К<> / + 0目=0,[孔，％] = О

как инфинитезимальный аналог соотношений (1.3) и (1.4), определяющих 纥.Эта интерпретация подкрепляется следующей теоремой (частный случай теорем о монодромии, которые я привел в [F1]).

Пусть (СРП)А -пополнение групповой алгебры СРИ 6 I-адической топологии, где / - идеал аугментации fпорожденный элементами д~1 для g 〃з Рп). Аналогичным образом пополним обертывающую алгебру U乡“ Зо (UgQA 6 J-адической топологии, где J - двусторонний идеал, порожденный 纥 £ U纥，Алгебры (СРЛ)Л и (U纥)А изоморфны, и группа 尸“ погружается 8 (e尸")

・ Вот способ построить решения уравнений (4.6) и (4.7). Классическое уравнение Янга-Бакстера пишется в виде

(4.10)

ЕГ12(«12),『13("13)] + [^12(W12), ^23 (^23)] + 上13 (力3),厂23 (〃23)] = 0.

Обозначения следующие: V- конечномерное векторное пространство, г (и)-оператор на Pg)匕 зависящий от комплексного параметра и голоморфным или мероморфным образом; положим "仃=u; — 〃/, и пусть 厂仃(")обозначает оператор, действующий на сомножителях с индексами » и J (для i <j) в тройном тензорном произведении У®3. Согласно Белавину и Дринфельду [F2], решение (4.10) можно получить следующим образом: выберем комплексную полупростую алгебру Ли 乡 с формой Киллинга В, базис (7И) пространства 乡,ортогональный относительно В, и линейное представление р алгебры 2 в К Положим далее

(4」1)Р)= 〃必 где £ = Ерд)О р(/у)・

Используя тот факт, что элемент 工卩几 ® /и из 乡 g)乡 инвариантен относительно присоединенного представления 乡,получаем соотношения (4」2)[九2,%3 + 于23]~ 口23,%2 + %3] = 0,

откуда (4.10) немедленно следует. С другой стороны, если обозначить нерез W пространство Р® операторы 后，действующие по нашим обычным соглашениям, удовлетворяют соотношениям

(4」3)口订‘ tik + 勺门=0,^tij,加]—0,

аналогичным (4.6) и (4.7). Если заставить симметрическую группу Sn действовать одновременно на С* (перестановками коорданат) и на W= V®n обычным образом, то дифференциальная форма Q =九£＜山川盯 инвариантна относительно Sn при любом комплексном значении 九；мы получаем тогда вполне интегрируемую систему на пространстве конфигураций ФП(С) = C*/Sn. Интегрируя, получаем представление монодромии 71 группы Вп = л^Ф,,^)) в пространстве Ж Из классических рассуждений Фукса об особенностях дифференциальных уравнений следует, что оператор 71(g) на 叱 соответствующий образующей а7 из 纥, сопряжен в GL(P®"j оператору 々ехр2冗执厶 где Р7-перестановка сомножителей с номерами J и j + 1" 1 в тензорном произведении.

. После неудачных попыток Коно Дринфельду удалось в работе [D9] идентифицировать представление А группы Вп. Напишем уравнение dF = С尸 в форме Замолодчикова:

(4.14)(4.14)更=.尸;0Zj k=lZj ~ Zk更=.尸;0Zj k=lZj ~ Zk

(4.14)

(4.14)

更=.尸;

0Zj k=lZj ~ Zk

更=.尸;

0Zj k=lZj ~ Zk

оно останется инвариантным, если подвергнуть каждую переменную одному и тому же аффинному преобразованию z^az^ + Ь. Следовательно, для 厚=3 получаем решение в виде

15) 尸Ui，%2, Z3) = G( —-)(^i — г3)Х(/12 + 才i3 + 才23)；

、Z1 — Z3，

на универсальной накрывающей С* логарифм имеет смысл, и полагаем у】一 2з)& = exp a log (zi — z3) (как это должно быть). Функция G определена на универсальной накрывающей С\{0, 1}, принимает значения в End (У®3) и удовлетворяет дифференциальному уравнению

(4.16)(4.16)

(4.16)

(4.16)

Согласно теории Фукса, существует решение Gr (х), которое ведет себя как xXzi2, когда х стремится к 0, и решение Gz(x), ведущее себя как (1 — х)九‘23, когда х стремится к 1. Эти два решения отличаются на некоторую константу, т. е. имеется автоморфизм фг (X) пространства 0®з, Такой, что GJx) = G2 (х)фг(Х) для любого х. Легко показать, что существует формальный степенной ряд ф (X) по переменной X с коэффициентами в (U 乡产，образ которого при р®з дает разложение в ряд функции фг (X).

Изучая асимптотическое поведение решений уравнения Замолодчи- кова для w = 4, когда некоторые из разностей Z)— zk стремятся к О, устанавливаем следующий аналог соотношения (3.16):

Аз4(ф) А12 (Ф) = Ф234'厶23 (Ф) Ф123 ,

интерпретируемого как равенство формальных степенных рядов по

X с коэффициентами из (U乡)丝 в этой формуле копроизведение Д: U乡-> ->(Ug)®2 классическое, так что Д(х) = х®1 + 1®х для х из 乡.Затем Дринфельд доказывает с помощью некоторой рекурсивной процедуры существование формального ряда 尸(九)с коэффициентами в (U乡)®2, такого, что 尸(0) = 1 и

ф 仇)=尸 23 仇)。23 尸)(九)012 尸)仇)Т%20)Т.

Модифицируем копроизведение на (U^) [[X]], полагая,

^(a) = F(^^F(^~1

для а из U乡.Согласно уравнениям (4.17) и (4.18), новое копроизведение А九 коассоциативно. С помощью подходящей теоремы единственности Дринфельд показал, что алгебра (U^) [[X,]], снабженная копроизведением А九，изоморфна квантификации Дринфелъда- Джимбо U乡.Обозначим через 尸21 (入)образ элемента 尸(入)=尸12(九)под действием симметрии на (U乡)®2. Далее, определим формальный ряд R (九)с коэффициентами в (U乡严 формулой

R 0)=尸 21 仇)• (exp Х^® 人)/2) •尸】2 (九)一

Он удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера

к12(入)к13(大)r23(九)=R23(九)及13(九)及12(九)

(равенство формальных рядов с коэффициентами в (U乡严).

В заключение представление 厶 группы Вп операторами на W= Р®" эквивалентноХ) представлению Вп, которое отображает образующую 5 6 оператор

р®п(1 ® ... ® 1 ® 尺仇)® 1®... ® 1).

i — 1и — z — 1

Например, если ^ = sl(N, С) с естественным представлением р в С*, имеем

t(x®y)^=^(y®x)~^(x®y).

Если положить q =产入川，т0 полученное представление - это представление, связанное с 北“(g), скрученное с помощью представления Вп степени 1 (см. п. 2.2).

D В смысле формальных рядов по 九；следовало бы установить сходимость!

КАТЕГОРИИ, СВЯЗАННЫЕ С КОСАМИ И СВЯЗКАМИ

Тураев и Решетихин ввели графическое исчисление, связанное с косами и их обобщениями-связками 1}. Это им позволило дать в работе [С 19] строгую конструкцию инварианта, который Виттен сопоставил многообразию размерности 3; я приведу блестящее описание этого инварианта, данное на этом же семинаре М. Атьей. Метод Тураева и Решетихина доставляет также графический подход к классическому тензорному анализу, очень близкий подходу Пенроуза [G8].

Отправной точкой является то обстоятельство, что цветные косы образуют категорию. Введем множество «цветов» %. Объекты категории Тг (х) суть последовательности (* …，芻)элементов 爲 морфизмы суть «цветные» косы, каждой нити которых сопоставлен элемент из %. Такая раскраска п нитей определяет, очевидно, раскраску верхних концов, что дает последовательность (хп ..., хп) - объект »(%), из которого выходит цветная коса; аналогично определяется через нижние концы объект, в который входит коса. В этих соглашениях композиция кос-это такая коса, что нить сохраняет один и тот же цвет по всей длине. Кроме того, определен строго ассоциативный функтор Ф на 7? (%)： на объектах имеем ①(х, У) = (хр ....招，%i, ..., *Д если х = “1，…,X") и х‘ = (х[,…，х)); чтобы определить его на морфизмах, поместим косу Е из 孔 нитей слева, а косу f из # нитей справа. Обозначения: х х х，для Ф(х, х') и z х f для Ф(/, У). Имеется констрейнт коммутативности, графическое описание которого предоставляется читателю.

Предположим далее, что каждому цвету х е X сопоставлено векторное пространство 吸 и что даны линейные операторы Rx,y ' К 医)％ -> %(8)匕・ Предположим, что для каждой тройки цветов х, у, z имеется соотношение Янга-Бакстера

&I2&3R23 —r23灭13r12

между операторами на К，® К® К，например, Л12 = &卩区)Id% и т. д. Можно, далее, обобщить конструкцию п. 2.1. Если г - цветная коса с началом х — (xp …，/) и концом у = Оч，…,у) то сопоставим ей линейное отображение H(t) из Н(х) = Кг ® - ® Кп в Н(у}=吟】区... ® Vy . Мы получаем, таким образом, функтор Я из категории Тг (%) в категорию векторных пространств над С. Он характеризуется следующими свойствами:

Н(х х у) = Н(х) х Н(у) для объектов и стрелок;

если 5Х)У-цветная коса из двух нитей, приведенная ниже, то H(S“) = ОхуК”，где стх>, - обычная симметрия из Vx0Vy в Vy®Vx;

если ех - коса из одной нити, приведенная ниже, то Я(ех)-тождественное отображение Vx.

D В оригинале «cablage»; соответствующий английский термин - «tangle» - Прим. ред.

XXехXехX

X

X

ех

X

ех

X

Обобщим понятие косы до понятия связки. Допустим для этого, что даны две параллельные плоскости П и ГТ, последовательность различ- НЬ1Х тоиек 尸 1，…,Рп на П и такая же последовательность 匕，„., Рп на ГТ. Связка М с концами 尸「…，尸“，Е,…，招-зто объединение конечного числа (кусочно дифференцируемых) путей или петель, удовлетворяющих следующим предположениям:

эти пути и петли попарно не пересекаются;

концы путей принадлежат множеству {尸「…，Pn, Рх,....尤,}, и каждая из этих точек участвует ровно один раз;

с)если С-один из путей или петель, то он трансверсалей всем плоскост ям, параллельным П и ГЕ, кроме, может быть, конечного числа;

М полностью находится в области Н, содержащейся между плоскостями П и ГГ.

Рис. 2. Плоская проекция связки.Заметим, что зацепление есть не что иное, как связка, множество концов которой пусто. Далее, будем предполагать, что каждый путь или петля ориентированы и снабжены некоторым цветом^ принадлежащим множеству %. Две такие конфигурации эквивалентны, если существует гомеоморфизм R3, сохраняющий ориентацию и переводящий одну из них в другую.Цветные связки являются стрелками категории Cab (%), объекты которой суть последовательности (х1( ev ..., х“，еп), образованные цветами X],…，爲 w числами е1( ..., еп, равными 1 или — 1. Соглашения о началах и концах-как на рисунке:Рис. 2. Плоская проекция связки.Заметим, что зацепление есть не что иное, как связка, множество концов которой пусто. Далее, будем предполагать, что каждый путь или петля ориентированы и снабжены некоторым цветом^ принадлежащим множеству %. Две такие конфигурации эквивалентны, если существует гомеоморфизм R3, сохраняющий ориентацию и переводящий одну из них в другую.Цветные связки являются стрелками категории Cab (%), объекты которой суть последовательности (х1( ev ..., х“，еп), образованные цветами X],…，爲 w числами е1( ..., еп, равными 1 или — 1. Соглашения о началах и концах-как на рисунке:

Рис. 2. Плоская проекция связки.

Заметим, что зацепление есть не что иное, как связка, множество концов которой пусто. Далее, будем предполагать, что каждый путь или петля ориентированы и снабжены некоторым цветом^ принадлежащим множеству %. Две такие конфигурации эквивалентны, если существует гомеоморфизм R3, сохраняющий ориентацию и переводящий одну из них в другую.

Цветные связки являются стрелками категории Cab (%), объекты которой суть последовательности (х1( ev ..., х“，еп), образованные цветами X],…，爲 w числами е1( ..., еп, равными 1 или — 1. Соглашения о началах и концах-как на рисунке:

Рис. 2. Плоская проекция связки.

Заметим, что зацепление есть не что иное, как связка, множество концов которой пусто. Далее, будем предполагать, что каждый путь или петля ориентированы и снабжены некоторым цветом^ принадлежащим множеству %. Две такие конфигурации эквивалентны, если существует гомеоморфизм R3, сохраняющий ориентацию и переводящий одну из них в другую.

Цветные связки являются стрелками категории Cab (%), объекты которой суть последовательности (х1( ev ..., х“，еп), образованные цветами X],…，爲 w числами е1( ..., еп, равными 1 или — 1. Соглашения о началах и концах-как на рисунке:

+ 1 ~1

/、/、、/

/、

/、

+1 -1

Наряду с конфигурациями, соответствующими косам, появляются две новые элементарные ситуации:

Опишем теперь весьма общий метод для построения инвариантов зацеплений. Вернемся к предположениям п. 3.5. Пусть (Л, А, е, S) - алгебра Хопфа; обозначим через ^п алгебру, двойственную к коалгебре А®п, и предположим, что дан элемент R из »2，удовлетворяющий соотношениям (3.12) и (3.15) Дринфельда. Будем рассматривать комоду ли над коалгеброй Л, конечномерные как векторные пространства над С; это “「модули. Если М и N—два таких комодуля, то R определяет оператор RMtN на векторном пространстве М ® N. Далее, антипод S на / позволяет сопоставить всякому комодулю М (левому над Л) комодуль Mv (левый над А), векторное пространство которого двойственно к М. Обозначим также через 1 Л-модуль, совпадающий с С как векторное пространство, с копроизведением 1 ® X из С в Л ® С. Тогда существуют два гомоморфизма комодулей

определенные формулами

N

eMW = 2% <8 丄 £м(х<8У)=〈匕歹〉

i = 1

1，％ образуют базис М над Сии1,..., ^-дуальный базис М^). Предположим, что каждому цвету хе% сопоставлен комодуль Мх.

Используя операторы Янга-Бакстера RMx,My, можно определить, как в п. 5.2, функтор Я из категории Тг (%) в категорию Л^комодулей. Можно, далее, распространить этот функтор до функтора Н из категории Cab (%) в категорию комодулей над А. Достаточно добавить следующие правила к правилам а), Ь) и с) из п. 2.5:

Объекту а” %,匕,еп) из Cab (%) сопоставляется комодуль М^ ® ... ® М^ (по соглашению М+ = М и М" = Мv); в частности, пустой объект из Cab (%) переводит Н в комодуль 1.

Функтор Я сопоставляет нижеследующей конфигурации ах морфизм еМх из 1 в Мх ® М^ и конфигурации /\ —морфизм еМх из М； ® Мх

Решающий момент состоит в том, что две изотопные связки доставляют один и тот же морфизм комодулей. В частности, цветное w ориентированное зацепление L доставляет эндоморфизм 1, т. е. комплексное число e(L). Это число не зависит от класса изотопии L. Сравним

этот результат с квантовыми теориями поля Виттена и Атьи. Останется явно выразить полученные таким образом инварианты!

ЛИТЕРАТУРА

Труды общего характера

Приведем прежде всего работы основателей.

Artin Е. Collected papers (под редакцией С. Ленга и Дж. Тэйта), Addison— Wesley, 1965. [См., в частности, главу, посвященную топологии (с. 416-498), которая содержит знаменитые статьи: Theorie der Zopfe (1925), Theory of braids (1947), Braids and permutations (1947).]

Burau W. Uber Zopfinvarianten, Hamburg Abh. 9 (1932), p. 117-124.

Markov A. A. Uber die freie Equivalenz der geschlossenen Zopfe, Матем. сб., Новая серия 1 (1936), вып. 1, с. 73-78.

Fox R. Н. Free differential calculus I: Derivations in the free group ring, Ann. of Math. 57 (1953), p. 547—560.

Fadell E. and Neuwirth L. Configuration spaces, Math. Scand. 10 (1962), p. 111 — 118.

Fox R.H., Neuwirth L. The braid groups, Math. Scand. 10 (1962), p. 119—126. Дадим теперь подборку работ, посвященных непосредственно узлам и косам.

Reidemeister К. Knotentheorie, Erg. Math. Vol. 1, Springer (1932).

Crowell R. H., Fox R. H. Introduction to knot theory, Ginn Co. (1963) (перепечатано в GTM, vol. 57, Springer (1977)). [Имеется перевод: Кроуэлл P., Фокс P. Введение в теорию узлов. —М.: Мир, 1967.]

Neuwirth L. Knot groups, Annals Math. Studies 56, Princeton Univ. Press (1974).

Magnus W., Karass A., Solitar D. Combinatorial group theory, Interscience/ Wiley (1966).

Birman J. Braids, links and mapping class groups, Annals Math. Studies 82, Princeton Univ. Press (1974).

Rolfsen J. Knots and links, Publish or Perish (1976).

Kauffman L. Formal knot theory, Math. Notes 30, Princeton Univ. Press (1983).

Burde G., Zieschang H. Knots, W. de Gruyter (1985).

Наконец, упомянем два доклада семинара Бурбаки, которые сохранили некоторую актуальность.

Gramain A. Rapport sur la theorie classique des noeuds (1-я часть), Sem. Bourbaki, exp. 48 5 (июнь 1976), Springer, Leet. Notes Math. 567 (1977), p. 222-237.

Douady A. Noeuds et structures de contact en dimension 3 (no D. Bennequin), Sem. Bourbaki, exp. 604 (февраль 1983), Asterisque 105-106, 1983, p. 129-148.

В завершение упомянем недавнее издание, в котором исследуется большая часть вопросов, связанных с группой кос:

Birman J., Libgober А. (редакторы). Braids, Proceedings of a Research Conference, Contemporary Math. vol. 78, American Math. Soc. (1988).

Категории и двойственность

Фундаментальные статьи об условиях согласования в категориях:

Maclane S. Natural associativity and commutativity, Rice Univ. Studies, 49 (1963), p. 28~46.

Eilenberg S., Kelly G. M. Closed categories, Proc. Conf. Categorical Algebra, Springer (1966).

Maclane S. Categories for the working mathematician, GTM vol. 5 Springer (1974).

Kelly G. М., Laplaza М. L. Coherence for compact closed categores, J. Pure Appl. Alg. 19 (1980), p. 193-213.

О «классической» двойственности Таннаки для компактных групп, основные статьи:

Tannaka Т. Uber den Dualitatssatz der nicktkommutativen topologischen Gruppen, Tohoku Math. J. 45 (1939), p. 1-12.“

Крейн M. Г. Принцип двойственности для бикомпактной квадратной блок- матрицы, Докл. АН СССР, 69 (1949), с. 725-728.

Takesaki М. A characterization of group algebras as a converse of Tannaka - Stinespring-Tatsuuma duality theorem, Amer.工 Math. 91 (1969), p. 529-564.

Doplicher S., Roberts J. Duals of compact Lie groups realized in the Cuntz algebras and their actions on C*-algebras, J. Fund. Anal. 74 (1987), p. 96-120.

Doplicher S., Roberts J. Endomorphisms of C*-algebras, cross products and duality for compact groups, Ann. of Math. 130 (1989), p. 78-119.

Doplicher S., Roberts J. A new duality theory for compact groups, Invent. Math. 98 (1989), p. 157-218.

Об обобщении на случай квантовых групп:

Chez Р., Lima R., Roberts J. ^-categories, Pacific J. Math. 120 (1985), p. 79-109.

Woronowicz S. L. Duality in the C*-algebra theory. Proc. Int. Cong. Math., Varsovie 1983, vol. 2, p. 1347-1350.

Woronowicz S. L. Compact matrix pseudo-groups. Comm. Math. Phys. Ill (1987), p. 613-665.

Woronowicz S. L. Tannaka-Krein duality for compact matrix pseudo-groups. Twisted SU(N), Invent. Math. 93 (198 8), p. 3 5-76.

Наконец, обобщение двойственности Таннаки -Крейна на алгебраические группы:

Chevalley С. Theorie des groups de Lie, tome II: groupes algebriques, Hermann (1951)..

Cartier P. Dualite de Tannaka et algebres de Lie, C. R. Acad. sci. Paris, 242 (1956), p. 322-325.

Saavedra S. Categories tannakiennes, Leet. Notes Math. vol. 265, Springer (1972).

Deligne P., Milne J. S. Tannakian categories in Hodge cycles, Motives and Shimura varieties, Leet. Notes Math. vol. 900, Springer (1982).

Deligne P. Categories tannakiennes, in Grothendieck^ Festschrift, Prog, in Math., Birkhauser (1990).

Полиномиальные инварианты узлов

Оригинальные работы о полиноме Джонса:

Jones V. Index for subfactors, Invent. Math. 72 (1983), p. 1-25.

Jones V. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), p. 103-112.”.

Jones V. Braid groups, Hecke algebras and type II ^ factors, in "Geometric methods in operator algebras”，Proc. U.S. Japan, Japan Seminar, 1986, p. 242.

Jones V. On a certain value of Kauffman polynominal, Comm. Math. Phys.

Jones V. Hecke algebra representations of braid groups, Ann. of Math., 126 (1987), p. 335-338.

Jones V. Notes on subfactors and statistical mechanics, in "Braid group, knot theory and statistical mechanics”(C. N. Yang и M. L. Ge, редакторы), World Scientific, 1989, p. 1-25.

Ocneanu A. Quantized groups, string algebras and galois theory for algebras, Penn. State Univ., 1985.

Ocneanu A. A polynomial invariant for knots: a combinatorial and an algebraic approach, в печати.

Wenzl H. Representations of Hecke algebras and subfactors, Диссертация, Univ, of Pennsylvania, 1985.

[Ю] Wenzl Н. Неске algebras of type Ля and subfactors, Invent. Math. 92 (1988) p. 349-383.

Wenzl H. Braid group representations and the quantum Yang-Baxter equation, в печати.

Обобщение до полинома от двух переменных содержится в статье-анонсе: [12] Freyd Р., Yetter D., Hoste J., Lickorish W., Millett K., Ocneanu A. A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), p. 239-246.

Следующие статьи дают общее изложение и обобщение предыдущих результатов:

Connes A. Indice des sous-facteurs, algebres de Неске et theorie des noeuds, Sem. Bourbaki, exp. 647 (июнь 1985), Asterisque 133-134 (1986), p. 289-308.

Goodman F., de la Harpe P., Jones V. Coxeter Dynkin diagrams and towers of algebras, M.S.R.l. Publ. vol. 14, Springer (1989).

de la Harpe P., Kervaire M., Weber C. On the Jones polynomial, Ens. Math. 32 (1986), p. 271-3 3 5.

Vogel P. Representations et traces des algebres de Неске, polyndme de Jones- Conway. Ens. Math. 34 (1988), p. 333-356.

Основные ссылки по представлениям алгебр Гекке:

Hoefsmit Р. N. Representations of Неске algebras of finite group with BN pairs of classical type, Диссертация, Univ, of British Columbia, 1974.

Наконец, трехмерньш подход содержится в следующих работах:

Atiyah М. Topologidal quantum field theories. Publ. I.H.E.S. 68 (1988), p. 175- 186.

Reshetikhin N., Turaev V. Invariants of 3-manifolds via link polynomial and quantum groups, Invent. Math. 103 (1991), N3, p. 547-597.

Witten E. Quantum field theory and Jones polynomial, Comm. Math. Phys. 121 (1989), p. 351-399.

Квантовые группы и инварианты узлов

Основные ссылки по квантовым группам:

Дринфельд В. Алгебры Хопфа и квантовые уравнения Янга-Бакстера, Докл. АН СССР 283 (198 5), N5, с. 1060.

Drinfeld V. Quantum groups, Proc. Int. Cong. Math., Berkeley 1986, vol. 1, P- 798-820. [Имеется расширенный перевод: В. Дринфельд. Квантовые группы, Зап. научн. сем. ЛОМИ 155 (1986), с. 18-49.] Добавим еще доклад семинара Бурбаки:

Verdier J.-L. Groupes quantiques [по В. Дринфельду], Sem. Bourbaki exp. 685 (1987), Asterisque 152 153 (1987), p. 305-319.

О представлениях квантовых групп:

Jimbo J. A ^-analogue of U(gl(N+l)), Hecke algebras and Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 11 (1986), p. 247-252.

Кириллов А., Решетихин H. Представления алгебры Uq (si(2)), ^-ортогональные полиномы и инварианты зацеплений, препринт ЛОМИ, Ленинград,

Lusztig G. Quantum deformations of certain simple modules over enveloping algebras, Adv. Math. 70 (1988), p. 237-249.

Rosso M. Finite dimensional representations of quantum analog of the enveloping algebra of a complex simple Lie algebra, Comm. Math. Phys. 117 (1988), p. 581-593. [Исправления в диссертации автора.]

В заключение приведем список работ ленинградской школы (приложения квантовых групп к инвариантам узлов):

Дринфельд В. О почти коммутативных алгебрах Хопфа, Алгебра и анализ 1 (1989), N2, 1989, с. 30-46.

Дринфельд В. Квазихопфовы алгебры, Алгебра и анализ 1 (1989), N6, с. 114-148.

Решетихин Н. Квантованные универсальные обертывающие алгебры, уравнение Янга-Бакстера и инварианты зацеплений, I, И, препринт ЛОМИ, Ленинград, 1988.

Решетихин Н. Квазитреугольные алгебры Хопфа и инварианты узлов, Алгебра и анализ 1 (1989), N2, с. 169-188.

Решетихин Н., Тахтаджян Л., Фаддеев Л. Квантовые группы Ли и алгебры Ли, Алгебра и анализ 1 (1989), N2, с. 178-205.

Turaev V. Yang-Baxter equation and invariants of links. Invent. Math. 92 (1988), p. 527-553.

Тураев В. Алгебра петель на поверхностях, алгебра узлов и квантование, препринт ЛОМИ, Ленинград, 1988.

Дополнительные ссылки;

Ringel С. М. Hall algebras and quantum groups, Bielefeld, RFA.

[16*]1* Turaev V.G. Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds, W. de Gruyter, 1994.

Топология пространств конфигураций

Отправная точка-это работы Арнольда и Брискорна:

Арнольд В. И. Кольцо когомологий группы крашеных кос, Мат. заметки 5 (1969), вып. 2, с. 227-231.

Арнольд В. И. Топологические инварианты алгебраических функций И, Функц. анал. 4 (1970), N2, с. 1-9.

Brieskorn Е. Die Fundamenalgruppe des Raumes der regularen Orbits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe, Invent. Math. 12 (1971), p. 57-61. [Имеется перевод: УМН, т. 30, вып. 6, 1975, с. 147-151.]

На эту тему есть уже два доклада семинара Бурбаки:

Brieskorn Е. Sur les groupes de tresses [по В. И. Арнольду], Sem. Bourbaki, exp.

ноябрь 1971, Springer, Leet. Notes Math. 317 (1973), p. 21-44. [Имеется перевод: Математика, 18: 3, 1974, с. 46-59.]

Cartier Р. Arrangements d'hyperplans: un chapitre de Geometric combinatoire, Sem. Bourbaki exp. 582, ноябрь 1980, Springer, Leet. Notes Math. 901 (1982), p. 1-22.

Что касается структуры группы кос, то она освещена в следующих работах:

Garside F. A. The braid groups and other groups. Quart. J. Math. Oxford 20 ，(1969), p. 235-254. [Имеется перевод: Математика, 14: 4, 1970, с. 116-132.]

Brieskorn Е” Saito К. Artin-Gruppen und Coxeter-gruppen, Invent. Math. 17 (1972), p. 245-271. [Имеется перевод: Математика, 18: 6, 1974.]

Deligne P. Les immeubles des groups de tresses generalises, Invent Math. 17 (1972), p. 273-302.

Falk M., Randell R. Pure braid groups and products of free groups, in "Braids", Contemporary Math., Amer. Math. Soc. (1988), vol. 78, p. 217-228.

Дифференциальные уравнения и монодромия

Общий обзор по монодромии можно найти в моем недавнем докладе:

Cartier Р. Jacobiennes generalisees, monodromie unipotente et integrales iterees,

Sem. Bourbaki exp. 687, ноябрь 1987, Asterisque 161-162 (1988), p. 31-52.

Вот несколько ссылок, дополняющих библиографию этого доклада:

Белавин А. А., Дринфельд В. О решениях классического уравнения Янга- Бакстера для простых алгебр Ли,①ункц. анал. 16 (1982), N3, с. 1-29.

Kohno Т. Homology of a local system on the complement of hyperplanes, Proc. Japan Acad. Sci. 62, серия A (1986), p. 144-147.

d Работы, добавленные редактором перевода, помечены «звездочкой».- Прим. ред.

Kohno Т. One-parameter family of linear representations of Artin's braid groups, Adv. Stud, in Pure Math. 12 (1987), p. 189-200.

Kohno T. Linear representations of braid groups and classical Yang-Baxter equations, in "Braids”，Contemporary Math., Amer. Math. Soc. (1988), vol. 78, p. 339-363.

Гивенталь А. Б., Шехтман В. В. Группы монодромии и алгебры Гекке.

Aomoto К. A construction of integrable differential system associated with braid groups, in "Braids”，Contemporary Math., Amer. Math. Soc. (1988), vol. 78, p. 1-11.

Гивенталь А. Б. Скрученные формулы Пикара-Лефшеца, Функц. анал. 22 (1988), вып. 1, с. 12-22.

Приведем, наконец, несколько фундаментальных работ, происходящих из конформной теории квантовых полей:

Belavin A. A., Polyakov A. N., Zamolodchikov А. В. Infinite dimensional symmetries in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984), p. 333-380.

Knizhnik V. G., Zamolodchikov A. B. Current algebras and Wess-Zumino models in two dimensions. Nucl. Phys. B247 (1984), p. 83-103.

Tsuchiya A., Kanie Y. Vertex operators in conformal field theory on P1 and monodromy representations of braid group, Adv. Studies in Pure Math. 12 (1988), p. 297-372..,

] Pham F. Formules de Picard - Lefscheti generalisees et ramification des integra- les, Bull. Soc. Math. France, 93 (1965), 333—367. [Имеется перевод: Математика, 13:4, 1969, с. 61-93.]

Статистическая механика и теория узлов

На эту тему только что появились два сборника статей:

Yang C.N., Ge М. L. (редакторы). Braid group, knot theory and statistical mechanics, Adv. Series Math. Phys. vol. 9, World Scientific (1989).

Ge M. L., Song N. С. (редакторы). Conformal field theory and braid group. (Nankai lectures in mathematical physics, 1988), World Scientific (1989).

Мы обязаны Кауфману тремя общими обзорами на тему интерпретации инвариантов узлов:

Kauffman L. Statistical mechanics and the Jones polynomial, in "Braids”, Contemporary Math., Amer. Math. Soc. (1988), vol. 78, p. 263-297.

Kauffman L. New invariants in the theory of knots, Asterisque 163-164 (1988), p. 137-219.

Kauffman L. Knots, abstract tensors and the Yang-Baxter equation, препринт IHES/M/89/24 (апрель 1989).

Две классические ссылки на работы физиков по моделям статистической механики:

Baxter R. J. Exactly solved models in statistical mechanics, Acad. Press (1982).

Wu F. Y. The Potts model, Rev. Mod. Phys. vol. 54, Nl, январь 1982.

О подходе через «вершинные модели» см.

Penrose R. Applications of negative dimensional tensors, in Comb. Math, and its Appl, Welsch (редактор), Acad. Press (1971).

Kauffman L. State models and Jones polynomial, Topology 26 (1987), p. 395-407. 口行 Jones V. On knot invariants related to statistical mechanics models, Pac. J. Math.

138 (1989).

Rosso M. Groupes quantiques et modeles avertex de V. Jones en theorie des nceuds, C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I, vol. 307 (1988), p. 207-210.

Применения кос в физике

Вот подборка работ, относящаяся в основном к цюрихской школе:

Dotsenko V., Fateev V. Conformal algebra and multipoint correlation functions in 2D statistical mechanics, Nucl. Phis. B240 (1984), p. 312.

Frohlich J. Statistics of fields, the Yang-Baxter equation and the theory of braids and links, Cargese lectures 1987, G. Hooft (редактор). Plenum Press (1988).

Frohlich 工 Statistics and monodromy in two- and three-dimensional quantum field theory, in ''Differential geometrical methods in mathematical physics”, K. Bleurs, M. Werner (редакторы), Dordrecht (1988).

Rehren K., Schroer B. Einstein causality and Artin braids, препринт, Freie Universitat Berlin, 1988.

Frohlich J., King C. Two -dimensional conformal field theory and three- dimensional topology, препринт ETH/TH/89-9, Zurich, 1989.

Felder G., Frohlich J., Keller G. Braid matrices and structure constants for minimal conformal models, Comm. Math. Phys. 124 (1989), p. 647-664.

Frohlich J., Gabbiani G., Marchetti P. A. Braid statistics in three-dimensional local quantum theory, in the Proceedings of the Banff Summer School in Theoretical physics (август 1989) on "Physics, Geometry and Topology”.

Арифметические приложения группы кос

Grothendieck A. Esquisse d'un programme, Notes mimeographiees, Univ. Montpellier, 1982.

Coleman R. Dilogarithms, regulators and p-adic L-functions, Invent. Math. 69 (1982), p. 171-208.

Ihara Y. Profinite braid groups, Galois representations and complex multiplication, Ann of Math. 123 (1986), p. 3-106.

Ihara Y. On Galois representations arising from towers of coverings of pi\{0, 1, oo}, Invent. Math. 86 (1986), p. 427-459.

Matzat В. H. Konstruktive Galois Theorie, Leet. Notes Math. 1284, Springer (1987).

Kohno T., Oda T. The Lower central series of the pure braid group of an algebraic curve, Adv. Studies in Pure Math. 12 (1988).

Deligne P. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points, in "Galois groups over Q”，M.S.R.L Publ. vol. 16, Springer, 1989.

РАБОТЫ КОЛЫВАГИНА И РУБИНА

Бернадетт Перрен-Риу

Пусть F - числовое поле. Теорема Дирихле определяет ранг группы единиц 泼尸 кольца целых поля 尸.Эффективное построение единиц - значительно более трудная задача. Это возможно сделать в двух частных случаях. Когда F - абелево расширение Q или чисто мнимого квадратичного поля К, строится некоторая подгруппа %尸 в группе единиц (называемая группой круговых единиц в первом случае и группой эллиптических единиц во втором), индекс которой конечен и (с точностью до несуществующих деталей) равен числу классов поля F, т. е. порядку группы классов идеалов С尸 поля 尸.Теперь можно поинтересоваться, какие имеются связи между модулями Галуа 君尸/%尸 и CF.

Пусть £ - эллиптическая кривая над Q, параметризованная модулярными функциями (гипотетически это всегда так). Согласно теореме Морделла - Вейля, группа £(F) рациональных над F точек Е имеет конечный ранг. Вычисление ранга, однако, значительно более трудно. Тем не менее Бёрч (следуя идее Хегнера) построил систематическим образом точки на Е, которые рациональны над абелевыми расширениями мнимых квадратичных полей (удовлетворяющих дополнительным условиям). Порождают ли они подгруппу конечного индекса, и если да, то как этот индекс связан с порядком группы Шафаревича-Тэйта, которая в данной ситуации является аналогом группы классов идеалов? Напомним, что до работ Колывагина и Рубина не было найдено ни одного примера эллиптической кривой с конечной группой Шафаревича- Тэйта.

Работы Колывагина и Рубина дают ответ в только что упомянутых задачах. Они позволяют элементарно перед оказать основную гипотезу Ивасавы над Q (доказанную Мазуром и Вайлсом [38]), а также доказать основную гипотезу Коутса-Вайлса над мнимыми квадратичными полями. В настоящий момент скажем только, что эти гипотезы связывают арифметику абелевых расширений Q с р-адическими L-функциями, строящимися с помощью интерполяции значений комплексных L-функ- ций.

Мы приведем сначала результат с простейшей возможной формулировкой в каждой из этих трех ситуаций. Затем, после кратких исторических замечаний, поговорим об основных гипотезах и их следствиях для эллиптических кривых над Q в направлении гипотезы Бёрча

и Свиннертона-Дайера. Мы постараемся затем изложить некоторые идеи, используемые в доказательствах.

Обозначения. Пусть Q - алгебраическое замыкание Q в С; все рассматриваемые числовые поля содержатся в Q. Если F - числовое поле, обозначим через С^ его группу классов идеалов и через 泼尸 группу единиц кольца целых поля 尸.Если G-конечная абелева группа, М - конечный Z [G]-модуль и %-характер группы G, то положим

”")= {meM ® zZ[%], gm = %(g)m при geG},

где Z [%]-кольцо, порожденное значениями %. Еслипростое число, то через М (р) обозначается р-прнмарна^ компонента М, через ц„-группа корней 孔-й степени из единицы.

ИЗЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Основные результаты

Рассмотрим сначала круговой случай. Пусть F - вещественное абелево расширение Q. Группа круговых единиц поля F определяется следующим образом: если L-некоторое подполе поля 尸，циклическое над Q с кондуктором 工 то пусть ^L - подгруппа в L*, порожденная Nq(因}儿(1 — С『)и сопряженными к нему элементами. Здесь ^ - корень из единицы степени / Группа круговых единиц поля F определяется как

%尸=% П(n *l),

где L пробегает циклические подрасширения 尸/Q.

Теорема 1.1. Пусть F-тотально вещественное абелево расширение Q. Пусть ^-характер группы GalF/Q. Тогда для любого простого числа р, не делящего 2 [尸：Q], имеем

#((随/铀)s产)=#GS)①).

Перейдем к эллиптическому случаю. Пусть К - мнимое квадратичное поле. Предположим для простоты, что кольцо целых чисел Фк поля К - кольцо главных идеалов. Тогда можно найти эллиптическую кривую £, определенную над К, с комплексным умножением на 9K. Пусть

俨 +。1 Хy +a3 У =炉十 做 炉 +。4 X +。6

-минимальное уравнение кривой 9K над A(£) и А(£)-его дискриминант. Рассмотрим координату х как рациональную функцию на £. Пусть 弘=(а)-идеал в К, взаимно простой с 6. Известно [45], что А(£)~а-1 является 12-й степенью в поле К. Рассмотрим рациональную функцию на £

®o(z,以)=A(£)(NaT)〃2aT 口 (x(z) —x®))-6

— {0}

(которая определена с точностью до умножения на корень из единицы из К). Пусть \|/ - характер Гекке поля К, связанный с кривой £, и 亥一его кондуктор. Если Ш1 - идеал К, то обозначим

/ (耽)={целые идеалы К, взаимно простые с 亥 耽},

J。(Ш1) = {卩:/ (耽)т Z, 110H) = 0 для почти всех 以，Е 卩②)(N 以—1) = 0}. Для це Jo (SDl) положим

Oo(zM)= riOo(z,^N%.

Если L-абелево расширение К с кондуктором Ш1, взаимно простым с 6烫，то обозначим через QL подгруппу, порожденную №陋 )/L(0o (а, ц)), где ц е Jo (Ш1) и а - точка 烫耽-круиени^. Наконец, если F - абелево расширение К, то группа эллиптических единиц %尸 определяется как группа единиц F, порожденная С「для всех циклических подрасширений L в F/K и группой корней из единицы в 尸.

Теорема 1.2. Пусть F- абелево расширение К. Пусть ^-характер группы Gal (尸/К). Тогда для любого простого числа р, не делящего [户：Q] и такого, что F не содержит

#((统/%f)S)⑴)=#GS)⑺).

Введем, наконец, модулярный случай: эллиптическая кривая, определенная над Q, называется кривой Вейля [35], если существует целое N и непостоянный морфизм ср из X。(N) в £, который отображает точку со на Xo(N) в нулевую точку на Е Пусть К - мнимое квадратичное поле, в котором распадаются простые сомножители числа N. Выберем такой идеал 贝 кольца целых 8 поля К, что 9/贝=Z/NZ. Тогда циклическая изогения степени N

С/О^С/^1

определяет точку на кривой Хо (N), рациональную над гильбертовым полем К(1) поля К. Пусть Tx-ee образ в Е(К(1)) при отображении ср. Обозначим через 工长 образ т^ при отображении следа, связанного с расширением К(1)/К. Подгруппа в Е(К), порожденная тк и подгруппой кручения, не зависит от неоднозначностей конструкции и называется группой точек Хегнера группы Е(К). С другой стороны, группа Шафаревича-Тэйта определяется как ядро отображения локализации:

0 - 1И(Е/К) - Я1 (Gal(K/K),£(X)) f]^1 (Gal(Kv/KJ,£(XJ).

V

Пусть SE - множество следующих простых чисел: если Е без комплексного умножения, то peSEo либо р = 2, либо группа Галуа рас-

ширения Q (Ep)/Q отлична от GL? (Z/pZ); если Е с комплексным умножением на порядок 以，то p^SeQ либо 夕=2, либо р делит дискриминант 91, либо р делит порядок группы кручения £(К), либо группа Галуа расширения Q(£p)/Q отлична от (以/夕以)*.

Теорема 1.3. Предположим, что т^ имеет бесконечный порядок в Е(К).

Тогда

Группа Е(К) имеет ранг 1, 〃 группа Шафаревича-Тэйта III (Е/К) конечна.

Если p/S, то порядок группы Ш(Е/К)(р) делит [E(K):ZTk]2 〃 [£(K):Ztk] аннулирует Ш(£/К)(р).

Замечания, а) Теорема 1.3 доказывает часть следующей гипотезы. Обозначим через тр число Тамагавы кривой Е/Q в р [55] и через о следующее положительное рациональное число: если «-(однозначно определенная) дифференциальная форма на Е, для которой 屮 * со является дифференциальной формой X ап q" dq[q, связанной с нормализованной параболической формой (〃i = 1), то ссо - дифференциал Нерона на Е.

Гипотеза 1.4. Предположим, что т^ имеет бесконечный порядок в Е(К). Тогда

группа Е(К) ранга 1;

группа Шафаревича-Тэйта III (Е/К) конечна и

# (Ш(£/К)) = ([Е(К): Z %]/с Д тр)? •

Эта гипотеза является модулярным аналогом теорем 1.1 и 1.2 для случая тривиального характера %. Можно сформулировать более общую гипотезу для характера группы Gal (К (孔)/К) порядка, взаимно простого с р.

Пусть L(£/Q,5)= ^n6f„n-s-комплексная L-функция для Е/Q, а ЦЕ/К, 5)- комплексная L-функция Е/К. Гросс и Цагир [26] установили формулу, связывающую производную L-функции для Е/К с высотой Нерона-Тэйта точки 工长.В частности, они показали, что если U (Е/К, 1) не равно нулю, то точка тк имеет бесконечный порядок.

Наконец, напомним формулировку гипотезы Берча и Свиннертона-Дайера для эллиптической кривой E/Q [55].

Гипотеза 1.5. Функция L(£/Q,s) имеет при s = 1 нуль кратности, равной рангу gE{Q) группы E(Q). Группа Шафаревича- Тэйта конечна 〃

(E/Q, 1)=(几 ％) # (III (Е/Q))凡(£) Qg,

где 7?^ (E) - дискриминант решетки К (Q) относительно билинейной формы Нерона-Тэйта и Q^ - вещественный положительный период £.

Интермедия

На основе численных расчетов Грас [19] предположил, что факторы Жордана - Гёльдера в модулях Галуа 泼 f/%f и Cf взаимно простого с 2 [尸；Q] порядка одни и те же и имеют одинаковую кратность, что эквивалентно теореме 1.1. Следуя идее Рибе [43], Мазур и Вайле [38] доказали эту теорему, используя геометрию модулярных кривых, чтобы построить неразветвленные расширения круговых расширений поля Г(цр), и применяя теорию Ивасавы (см. ниже). В [56] Тэн показал, что # ((泼f/%f)S)"‘) аннулирует CF (р^ прямым и элементарным способом. Рубин [50] приспособил его доказательство к эллиптическому случаю; оказалось возможным показать конечность группы Шафаревича -Тэйта для таких эллиптических кривых с комплексным умножением, определенных над полем комплексных умножений, что L(E/Q, 1) не равно нулю (§ 1.5).

С другой стороны, численные расчеты позволили Берчу и Стефенсу [4] предложить вариант гипотезы 1.4. Она была впоследствии выписана в окончательной $орме Гроссом и Цагиром [26] в свете их работы о производной L-функции кривой Е/К и гипотезе Берча-Свиннер- тона-Дайера. Колывагин сначала доказал часть теоремы 1.3 ([31], [32]) и нашел аннулятор группы Шафаревича-Тэйта. Он понял затем, что его метод и метод Тэна на самом деле аналогичны, и повторение этого метода позволило Колывагину доказать все три теоремы.

Идея состоит в следующем. В каждом из предыдущих случаев специальные подгруппы в 泼尸 или в Е(К) не возникают сами по себе. С каждым целым числом п связывается абелево расширение К (л) поля Q или К и специальный элемент т„ (круговая или эллиптическая единица, или точка Хегнера) «уровня 孔》, определенный над этим расширением. Эти элементы связаны друг с другом соотношениями. Это то, что Колывагин называет системой Эйлера. Использование этих систем Эйлера позволяет получить соотношения в группе классов или в группе Шафаревича -Тэйта. Фундаментальная идея Колывагина состоит в построении, исходя из одной системы Эйлера, других систем Эйлера, которые он называет производными. Они параметризованы последовательностями простых чисел 厶，…，厶 и доставляют другие соотношения в группе классов или в группе Шафаревича-Тэйта. Теорема (плотности) Чеботарева позволяет выбрать 厶 так, чтобы получить максимум возможных независимых соотношений. Таким образом, получается делимость индексов на порядок /-компоненты группы классов. Равенство получается затем с использованием формулы для числа классов поля F.

Колывагин, кроме того, объясняет как знание системы Эйлера круговых или эллиптических единиц полностью задает структуру группы классов идеалов как абелевой группы и, в частности, ее ранг.

Теоремы 1.1 и 1.2 допускают обобщение на случай характеров,

кондуктор которых - степень р, которое называется основной гипотезой в круговом и эллиптическом контексте. Использование производных систем Эйлера по Колывагину и техники теории Ивасавы позволило Рубину передоказать основную гипотезу в круговом случае [34] и доказать ее в эллиптическом случае [50]. Таким образом, получается элементарное доказательство этих гипотез, формулировки которых мы сейчас напомним.

Основные гипотезы(круговой и эллиптический случай)

Зафиксируем нечетное простое число р. Обозначим через Q^ однозначно определенное подполе в Q(|ip^), для которого Г = Ga^Q^/Q)= Zp, и Q» для каждого п-подрасширение в Q^/Q степени рп. Пусть F - вещественное абелево расширение Q взаимно простой с р степени; положим A = Gal(F/Q), Fj FQ^, G„ = Gal(F„/Q) и = =Gal (尸g/Q) = Г x А. Выберем алгебраическое замыкание Qp поля Qp, содержащее Q. Фиксируем характер группы А со значениями в Q； . Если М есть Zp [А]-модуль, то используем обозначение

乂口)= {т^М ®z₽^pM, дт = х(д)т для gtA}.

Пусть ^Fn - группа круговых единиц поля F“ и AFn - силовская подгруппа в CFn. Пусть ^Fn и ^-отделимое пополнение 泼尸“ h_%f“ в /?-адической топологии. Обозначим через AF^ (соответственно 浸尸苏， 咅f ) проективный предел AFn (соответственно 浮尸“，咅厶)относительно норменных отображений. Все эти Zp-модули естественным образом являются Zp [G^ ^-модулями. Кольцо ZpjGg』"' отождествляется с кольцом Zp [%] [Г] (которое изоморфно Zp [%] [Г]). Напомним, что для всех модулей кручения М конечного типа над В = Zp[%] [Г] (или, более общим образом, над полным регулярным локальным кольцом) существуют ненулевые элементы 九，..•，力 кольца и инъективный гомоморфизм В-модулей из © B/fi в М с конечным коядром (соответственно с коядром, аннулируемым идеалом высоты》2); идеал кольца В, порожденный fi--.fd^ зависит только от модуля М, это характеристический идеал М. Модули (Af )仪)и (源尸 /咅尸)&)являются Zp [%] [Г]-модулями кручения конечного типа ([29], [34], второй из них является также циклическим с точностью до конечной группы).

Теорема 1.6 (основная гипотеза над Q). Характеристические идеалы модулей (AF )&)и (舞 /咅尸 /х) равны.

Обычно эта теорема формулируется с привлечением р-адических L-функций. Если % -/?-адический примитивный и нетривиальный характер Дирихле, то будем обозначать так же соответствующий характер

группы Галуа. С характером % связывается комплексная L -функция &%,$) = 2%(п)『〔

Пусть со - характер Тейхмюллера (как характер группы Галуа он задается действием на цр). Пусть v - такой характер группы Gal (Q^/Q) со значениями в 1 +「Zp, что 3V задает действие группы Галуа на 卩卩8. Существует [28] единственная непрерывная при $£之卩 функция Lp(%,s), такая, что для всякого целого к》1

^P(XJ ~^) = (1 -хМр^1) L(xkA - к),

где Хк_ примитивный характер, связанный с %з—上 Это р-адичес- кая L-функция Куботы-Леопольдта (если % - нечетный характер, т.е. Х(— 1) = — 1, то она тождественно равна нулю). Можно далее связать с ней однозначно определенный элемент Gp(%) кольца Zp [%] [Г]: элемент этого кольца можно рассматривать как функцию на группе Homcont (Г,С^) (где Ср - пополнение Qp), Gp(%) характеризуется свойством: Gp (%)(vfe) = Lp(x, 1 — к), если k > 1 - целое число.

Пусть MFn - наибольшее абелево 「-расширение поля F„, не разветвленное вне р, Мf - объединение всех Mf, и Х^ -группа Галуа расширения MpJF^. Это снова Zp [Gal (Р^/ОД-модуль конечного типа. Теория полей классов позволяет построить точную последовательность

О т и%修％ т X% т 力尸「о,

где UF - проективный предел относительно норменных отображений групп полулокальных * в 夕 единиц полей F„, сравнимых с 1 по модулю делителей р. Следовательно, можно связать характеристические идеалы %-компонент модулей Х^%,力尸^, U尸⑺/咅f ，^f^/^f • С другой стороны, Ивасава показал, что характеристическим рядом для (UF /咅尸)")является Gp(%), если % - нетривиальный характер [34, теоремаЗ.ЗЗ^Теорема 1.6 тогда эквивалентна следующей теореме.

Теорема 1.7. Пусть % - нетривиальный характер группы Gal (尸/0). Тогда характеристический идеал модуля X $)порожден Gp(%).

Дадим последнюю формулировку. Предположим теперь, что F- абелево расширение Q, содержащее рр, взаимно простой с р степени (это, следовательно, мнимое квадратичное расширение некоторого вещественного расширения). Пусть ^1 - индуктивный предел AFn н 亚尸 = = Hom (弘干,Qp/Zp) - двойственный по Понтрягину модуль. Используя теорию Куммера, Ивасава показал [29], что существует инъективный гомоморфизм с конечным коядром из А/ в (近尸)'(точка указывает на модифицированное действие группы Gal (尸8/Q):y(zn)=

° Имеются в виду произведения групп единиц пополнений полей 尸”，которые отвечают делящим р нормированиям.- Прим, перев.

=丫一1巾)；более того, если % - четный нетривиальный характер, то X*)н Нот (双尸，％8)① являются изоморфными Zp [%] [Г]-модулями кручения.

Теорема 1.8. Если % - нечетный характер Gai (尸/0), отличный от ①一‘，то характеристический идеал 近(力 порожден функцией ph^Gp (%со) (vp).

Основная гипотеза (теперь теорема) в эллиптическом случае формулируется аналогично.

Пусть 尸一абелево расширение К взаимно простой с р степени, К*—либо Zp-, либо Zp-расширение поля К и F= K^F. Заменяя круговые единицы на эллиптические, Рубин анонсировал следующую теорему [50].

Теорема 1.9 (Рубин). Характеристические идеалы модулей (力尸^)*)w (彦f /咅尸)仪)равны 6 каждом из следующих случаев.

&，Когда 夕=举单* распадается в К и К-Ър-расширение поля К, неразветвленное вне 单，для любого характера % группы Gal (尸/К).

Когда р распадается в К, К ^-единственное %^・расширенне поля К у когда либо % не содержится 6 F, либо %%0 卢 со для всех gwGal(Qp/Qp).

Когда р не распадается в К.

Эта теорема переводится на язык р-адических L -функций, когда р распадается в К ([13], [60], [54]). Мы напомним здесь, как это делается, только в случае, когда Кю - единственное Zp-расширение К. Пусть Е- эллиптическая кривая, используемая для построения группы эллиптических единиц. Пусть L(\|/, s)-L -функция с характером Гекке *, связанным с кривой. L-функция кривой Е/К задается формулой

L(E/K,s) = L(*,s) L(w,s)・

Если Е определена над Q, то L-функция кривой E/Q задается формулой L(E/Q,s) = L(^f,s).

Выберем простой идеал 单 в К, лежащий над р. Пусть Ж- кольцо целых в пополнении максимального неразветвленного расширения поля К^. Напомним ([12], [14], [30], [61]), что существует такой единственный элемент G审(％) кольца Ж [Gal (F^/F)], что для всех характеров р конечного порядка группы Gal (尸处/尸)

G 鼠%)(p)/Q 虱 р) = (1 — "POP)勿)(1 — wOP*)pT/p)LWp,D/Cg(P)

(здесь Qg (p) и Q^ (p) - соответственно комплексный и ф-адический периоды, связанные с 屮 и р, которые можно явно описать).

Пусть MF -наибольшее абелево ^-расширение 尸“，не разветвленное вне ф, MF - объединение всех MF и XF -группа Галуа MF /Гда.

Согласно теореме Коутса-Вайлса [14] и Ягера [60], теорема 1.9 (ii) эквивалентна следующей.

Теорема 1.10. Пусть ^-характер группы Gal (F/К). Предположим, что 尸 не содержит цр или %%9 W со для всех giGGal(Qp/Qp). Тогда характеристический идеал модуля X，| s Ж[Г] порожден G型(％).

Эллиптические кривые над Q

Сейчас мы увидим, как предыдущие результаты (одновременно в эллиптическом и модулярном случаях) позволяют продвинуться в направлении гипотезы Берча-Свиннертона-Дайера. Нам потребуются следующие два результата о комплексных L-функциях, связанных с эллиптическими кривыми Вейля.

Теорема 1.11. (i) Предположим, что L(£/Q, 1) = 0. Тогда существует бесконечно много мнимых квадратичных характеров %, для которых %(/) = 1 для l\N 証 L(£/Q,Z,l)/0.

Предположим, что L(£/Q, 1) / 0. Существует бесконечно много таких мнимых квадратичных характеров %, что /(/)=1 при /|N w L(E/Q,%,s) имеет нуль первого порядка при 5=1.

Часть (i) доказана Вальдшпурже (см. [57]). Часть (ii) недавно доказана независимо Бампом, Фридбергом и Хоффштейном [8] и М. Рам Мурти и В. Кумар Мурти [39]. Если Е-эллиптическая кривая Вейля над Q, то отсюда получается следующая теорема.

Теорема 1.12. Если L(E/Q, 1) не равно нулю, то £(Q) w Ш (£/Q) - конечные группы. Если L(E/Q,s) имеет нуль первого порядка при s = 1, то E(Q) имеет ранг 1 w группа Ш (£/Q) конечна.

Доказательство. Пусть е-собственное значение инволюции Аткина— Ленера wN на модулярной форме / Оно равно - 1, если L(£/Q, 1) / 0 (соответственно + 1, если L(E/Q，s) имеет простой нуль при s = 1). Пусть К - мнимое квадратичное поле, связанное с характером % из утверждения (ii) (соответственно (i)) теоремы 1.11. Тогда L(E/K,s) имеет простой нуль при s=l. Согласно результату из [26], упомянутому в 1.1, точка Хегнера 工长 имеет бесконечный порядок, и если и - комплексное сопряжение, то отк = £Тк по модулю кручения. Она не принадлежит (соответственно принадлежит), следовательно, группе E(Q) по модулю кручения. Результат тогда получается из теоремы 1.3.

Предположим теперь, что £- эллиптическая кривая с комплексным умножением на кольцо целых 9 мнимого квадратичного поля к, определенная над к. Пусть и\е{2, 4, 6}-число корней из единицы в к. Результаты, относящиеся к эллиптическому случаю (с К = к), позволяют получить более точные утверждения относительно гипотезы Берча и Свиннертона-Дайера.

Теорема 1.13. Если L(E/k, 1)/0,加。группы E(k) и Ш (Е/к) конечны и гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера верна с точностью до множителя, который является единицей кольца 9[1/и\]・

Теорема 1.14. Если L(E/k. 1) = 0, то либо Е(к)-бесконечная группа, либо ^-примарная компонента группы Ш (Е/k) бесконечна для любого простого идеала ф поля к, не делящего wk.

В доказательстве обеих теорем используется техника спуска. Когда р распадается в к, используется [40] и теорема 1.10 (Колывагин- Рубин + Коутс-Вайлс). Когда р не распадается в к, Рубин пользуется дополнительно явным законом взаимности Вайлса [58].

Теорема 1.15. Если кривая Е определена над Q w L(E/Q,s) имеет простой нуль при s — \, то £ (Q) - группа ранга 1, группа Ш (£/Q) конечна; если р взаимно просто с wk и распадается в к, то гипотеза Берча 〃 Свиннертона-Дайера верна с точностью до множителя, который является р-адической единицей.

Доказательство. В доказательстве используется /?-адическая L-функция Lp(E/Q), построенная Мазуром и Свиннертоном-Дайером [37], совпадающая с некоторой специал из ацией /?-адической функции, связанной с характером Гекке 屮(§ 1.3). Пусть %-мнимый квадратичный характер, для которого %(/) = 1 для всех /, делящих N, и L(E/Q,%, 1) / 0. Из [26] и [42] выводится, что /?-адическая L-функция Lp (£/Q) кривой Е/Q имеет простой нуль в 1. Из теоремы 1.10 следует тогда, что так же обстоит дело для характеристического ряда двойственного по Понтрягину модуля к группе Зельмера ^(Q^) (имеется точная последовательность

0^E(QJ®гpQP/^P^S(QJ^Ш(E/QM^()^

см. [40] по поводу связи с модулем XF ). Из следствия 1.9 работы [42] (которое также зависит от теоремы Гросса-Цагира, от его /?-адического аналога и от [40]) тогда вытекает наша теорема.

Таким образом, эти теоремы связывают аналитические инварианты (порядок нуля комплексной L -функции) с арифметическими (рангом группы £(Q)). Первый результат в этом направлении принадлежит Коутсу и Вайлсу [13] в случае эллиптических кривых с комплексным умножением: если £(Q) - бесконечная группа, то L(£/Q, 1) равно нулю.

Теорема 1.16. Группа E(Qoo) является ^-модулем конечного типа (гипотеза Мазура).

В самом деле, Рорлих показал в [46], что /?-адическая L-функция Lp(E/Q) ненулевая. Отсюда с помощью теоремы 1.10 выводится, что двойственный по Понтрягину к Zp [Gal (Q /Q)]-модулю ^(Q^) является модулем кручения (см. доказательство теоремы 1.15), что позволяет дать требуемое заключение [40]. Из-за недостатка места мы решили не

приводить доказательства основных гипотез. Мы дадим, следуя Колы- вагину [33] (с модификациями, сделанными в [25] и в приложении к [34]), в § 3 идею доказательства теорем 1.1 и 1.3. В § 2 мы обсудим важное средство для доказательства Колывагина - системы Эйлера.

СИСТЕМЫ ЭЙЛЕРА

В дальнейшем р - фиксированное простое число и М, М\ …обозначают степени р. Если L/F - расширение Галуа, то обозначим

勿(L/尸,*) = 7/ (Gal (L/尸),*) и “ (尸,*) = // (Q/尸,*) •

Если % - элемент группы *(*/*, С^) и Af' | М, то обозначим через x(M') образ х в "'(*/*, См ) при отображении, индуцированном умножением на М/М'. Если хе"1 (尸，*) и и — точка поля 尸，то обозначим через х” образ X В "1

Следуя Колывагину, мы начнем построение с единиц семейства элементов группы F*/F*M, которые являются единицами вне конечного множества точек и чьи нормирования можно явно описать. Имеется аналогичная конструкция в модулярном случае (случай эллиптической кривой). Результат используется для доказательства теорем 1.1 и 1.3 (доказательство намечено в § 3) и теоремы 2.1. В оставшейся части параграфа объясняется способ, которым Колывагин получает их (семейства элементов f*/F*m). Чтобы не слишком утяжелять текст, мы рассмотрим только случай /?-адических представлений над Q (в эллиптическом случае, когда 夕-адическое представление является представлением группы Gal(Q/K), достаточно заменить простое число / нз Q на простой идеал ...).

р-адические представления

Мы дадим некоторые определения, относящиеся к р-адическим представлениям, в наиболее общем виде, хотя приложения, которые мы имеем в виду, будут возникать лишь в случаях модулей Тэйта Z Z (1) н 7；(£) групп Qp/Zp, «々8.

Пусть 7^ (X) - свободный Zp-модуль конечного типа размерности d, снабженный линейным и непрерывным действием группы Gal (Q/Q). Обозначим через X ассоциированную p-делимую группу (в смысле абелевых групп) (Хм — Тр(Х)/МТр(Х)). Рассмотрим /^-делимую группу X', определенную формулой

7；(X，) = Homz№(X),7；(%8))・

Предположим, что Тр(Х)~представление типа де Рама в р [15]. Пусть 9^ - произведение (предполагаемое конечным) простых чисел из Q, гае Тр(Х) имеет плохую редукцию; если / не делит р (соответственно / 二。)，^(Х) имеет хорошую редукцию в /, если действие группы инерции

в / тривиально (соответственно, если 7^ (X) - кристальное в р [15]). Если /-простое число, не делящее 贝 р, то пусть Рг - характеристический многочлен (арифметического) отображения Фробениуса F「，действующего на 工 Если L- расширение Q и и-точка L, то с Тр(Х) ассоциирована подгруппа H„r(LV,XM) в Я1 (L,XM), заданная как Hnr(Lv,XM)= =Я1 (ЦГ/Ь^ХМ), если V не делит 贝夕(где LJr - максимальное неразветв- ленное расширение Lv), а в общем случае определяемая с помощью методов Гринберга и Блоха- Като ([26], [23]).

Примеры. Если X = %、Я1 (ЬР,ХМ) = L^Щм по теореме Куммера и Н}(4, Хм)= U(LJ/U(L”)M «де ^(LJ-rpynna единиц в LJ; если X = Qp/Zp, 〃"L。，XM)= Hom4(Gal(L/LJ Z/MZ) и 〃}(厶，Х“)= =Homz'GaML丁/L) Z/MZ). Если X = Ep\ "}(乙，％) является обратным образом подгруппы М 亿丁/乙，£広7))乂 в Я1 (Ly, Ем) и имеется точная последовательность

О - E(LJ/ME(LJt H}(Lv, Ем—序(L7/L J E{L^M т 0 .

Естественное спаривание [*,*]м:Хм х X裔一卩^ индуцирует невырожденное локальное спаривание (*,*)v

"1 (厶，Хм) х Н1 (L” X")-序(4,卩£ = Z/MZ •

Если х (соответственно у) лежит в Я1 (L, Х^) (соответственно Н1 (L, X"), то

Е〈х,» = 0・

Подгруппы 〃}(Lu，Хм) И H}(L“, Х") являются ортогональными дополнениями друг друга ([6], [52]). Отсюда выводится изоморфизм 〃i(L，Х^/Н^ X") 4 Homz』"}(厶，XG卩м)・

Пусть и-точка L, лежащая над простым числом /, которое взаимно просто с ^1р, полностью распадается в ЦХ^/L и не разветвлено над Q, причем степень поля вычетов равна/ Выберем корень из единицы См,» порядка М. Отображение H}(LV, Хм) в Хм, заданное формулой х т x(Ft/), является изоморфизмом. Отсюда выводится изоморфизм 泼 между Я1 (Lv, X^/H^L^ X") н ХМ (зависящий от 飙)характеризуемый соотношением

[x(Fj),鋒 8)〃 =庚'？"・

Замечание. Пусть X = Ер^, тогда спаривание Вейля позволяет отождествить X и X，(обозначим его снова через [*, *]м). Спаривание〈、 〉》 индуцирует тогда локальное спаривание Тэйта

E(LV)/ME(LV) х Hl(Lv, Em)tZ/MZ.

Если X = Zp к X’ = %, то 鋒 8)=説3"), где ord^ - нормализованное нормирование Lv:ordv(Lv) = Z.

Если Г-конечное множество точек поля Lz , то обозначим через ST(X/L^M} = ST(Tp(X)/L)(M} 7р-подмодуль в Я1 (L, Хм), образованный такими элементами, что их образ в Я1 (Lr, Хм) принадлежит "}(Lu，^м) для всех точек и поля L, не делящих ни одной точки из 工 Положим S(7j,(X)/L严)=s(x/L严)=So(X/L严).Это «группа Зельмера». Когда X = Ерд, получается классическая группа Зельмера, связанная с эллиптической кривой Е. Легко проверяется, что S(Zp/L)(M) = Homz {AL, Z/MZ), где Ль-силовская /^-подгруппа группы CL классов идеалов поля L. Если Т состоит из конечных точек, то ST(Zp(l)/L)—金,т7君%, где группа『единиц поля L.

Ключевая теорема

Теперь пусть даны абелево расширение K/Q, конечное множество точек SQ и для каждого ненулевого целого m абелево расширение K(zn)/K, имеющее следующие свойства:

если п\т, то К ⑺ и К (т); К (孔)П К (ш) = К (НОД (小 m)); К (円 К (m) = К (НОК (& m));

для простого / степень расширения К(/)/К(1) взаимно проста с /;

К(/)/К не разветвлено вне So и точек, лежащих над /.

В действительности мы рассмотрим только два следующих частных случая:

если X — %8, возьмем К = Q и Q(m) = Q(|im);

если X — £р^, К - мнимое квадратичное поле, в котором распадается каждый простой делитель кондуктора кривой Е; расширение К (т)/К ассоциировано в смысле теории полей классов с порядком 爆 в @卜 кондуктора т (кольцевое поле классов).

Зафиксируем целое число 贝°, которое делится на 2贝 и на простые числа, разветвленные в K/Q. В дальнейшем предположим, что все рассматриваемые простые числа взаимно просты с 贝°. Обозначим через М/ такую наибольшую степень р, делящую [К(/):К(1)], что элементы группы Хм рациональны над К^, где и-некоторая точка поля К, лежащая над

Определим по индукции D множество 夕的，состоящее из строчек [т； 4,…，4] длины к + 1, где т-целое, а /, - различные простые числа: «⑼={[m], meN},乡的 есть множество таких [m；乙，/门，что [m; /「 ...,4一1] является элементом 勿* 一? lk - простое число, не делящее ^тр^ ... 4一1，не распадающееся в К, вполне распадающееся в K(mlr ... 4 — i)/K и такое, что, если М0(т, /п …，Zk _ t) - наименьшее общее

D Несколько отличный от этого метод позволяет освободиться от некоторых технических условий в определении этого множества (см. [49], [50], а также статью Колывагина, готовящуюся к печати).

кратное аннуляторов групп Хр8 (к (巾厶 …4 _ i)) и Хр^ (К(巾乙 … 人—2〃就) для 丿=1, ..., k — 2 и для всех точек и, лежащих над %, Мо(т, 4，, /—)/…Делит

В случае (2.2) (i) для каждого целого т выберем корни из единицы ^т порядка т так, чтобы ^“巾=^. Положим тт = 1 — ^т. В случае (2.2) (ii) напомним определение точек Хегнера произвольного уровня. Если т - целое положительное число, то обозначим через &т порядок кольца « кондуктора т.

Зафиксируем такой идеал 贝 в 仇 что 9/贝占 Z/NZ. Класс изоморфизма циклической изогении степени N

e/爆Tе/(贝n爆)t

задает элемент множества X。(N) (К (zn)). Его образ в Е(К (т)) или в Е(К㈣® 名厶 обозначают %.

Теорема 2.1 (Колывагин). Предположим, что (2.2) выполнено. Заданы целое т, целое k》1 и М - степень р. Тогда для / = 1,..., к существуют такие простые числа % w элементы “阳厶 口 в группах S乩,…4}(X/K(zn)严"，что %] = %, M\Mle [m; 4,…，外£夕⑻ w 0〃兄 всех J 范 1 〃 для точек % поля K(m), лежащих над 夕，имеем

終何叫…/】(М)) = Fr『(先ml，(M))(F% =

=Fh[(F4— 1)(%(鹏,)(”)/M)eXm，

e°e £/([加；4,…，幻)—[m； 4,…,ij_ и 厶+1,…」J.

Более того, если уже выбраны lt, ... , lk_ г и элементы i^m;/i z.j для /^к—1, М' - некоторая степень р, делящаяся на ”& 】，L-конечное расширение К (zn) (Хм-) и h - некоторый элемент группы Gal(L/K (m) (Хм J), то можно выбрать /к так, чтобы h 二 FrZk.

В § 2.3 и 2.4 указана идея доказательства Колывагина.

Вспомогательное построение:коограничение Колывагина

Общая ситуация состоит в следующем. Пусть G—группа, //-некоторая выделенная подгруппа G, такая, что G/H - циклическая группа порядка D. Выберем образующую 5 для G/H. Если С-дискретный G-модуль, то Hq(H, Q обозначает ядро гомоморфизма коограничения co%,g ： Я1 (Я, С) - /Г (G, 0.

Пусть с-такое целое число, что cD аннулирует С и cCG и (3 — 1)(еС") (например такое, что cCG = 0). Тогда гомоморфизм

со%. g：H 乳 Н,С)т 川(G, сб)

определяется следующим явным образом. Пусть S - поднятие 3 в G. Пусть ср - коцикл, представляющий %. Коограничение х представляется однозначно определенным коциклом(рх группы G со значениями в С, Для которого 屮」(力)=ХЕТ。】 З'((р)仇)，если heH, и 6(6)=屮(*). Если xeHq(H, С), то, следовательно, существует такой элемент е в С, что 屮 i(g) = (д — 1)е для всех geG. Рассмотрим многочлен 尸(X), удовлетворяющий соотношению

Х“т + X露—2 + …+ X 十 1 = (X — 1)尸(X) + D.

Тот факт, что cD аннулирует С, влечет за собой, что существует такой единственный коцикл 屮 группы G со значениями в сС, для которого "(右)=e尸(3)(屮)(右)，если h^H, и

屮(5) = се.

Из условия, наложенного на CG, следует, что класс 屮=cotcs%,g(x) в Н1 (F, сС) не зависит ни от выбора подъема 5 элемента 3, ни от представителя 屮 класса когомологий х, ни от выбора е.

Замечание. Когда CG-нулевой модуль, то 勿亿/尸,C")D = 0 для i= 1, 2 и отображение ограничения

Я1 (F^^H1 (L, cf^F>

является изоморфизмом.

С другой стороны, ясно, что 尸(3)х является элементом группы Я1 (L, 0Gai(L/F)Следовательно, cores я, gW есть тогда просто прообраз 尸(3)х в Я1 (F, С) при отображении ограничения.

Мы применим эту конструкцию к случаю, когда G = Gal(Q/F) с числовым полем F, Н = Gal(Q/L), где L/F- циклическое расширение степени, делящейся на М, и С = ХсМ (тогда сХсМ = Х^). Будем писать тогда сот£/尸.Имеем следующее предложение.

Предложение 2.2. Пусть F-числовое поле, L/F-циклическое расширение степени D. Пусть Ram (L/F)-множество точек ветвления расширения L/F. Предположим, что М - делитель D и что с = с (F) - такое целое число, что cX^{F^F} = 0. Если Т- конечное множество точек поля F и если х лежит в пересечении Hf(L,XcM) с St(X/L)(cM\ то сот&尸(х) принадлежит группе 5Ги R-dm(L/F)(X/F)(M).

D Автор здесь переходит к обозначениям Галуа: М n Ln F - башня расширений Галуа, G = Gal (М/尸)，Н = Gal(M/L), Н1 (F, П = Я1 (G, 0, НЧЦ Q = =Я1 (Я, С) и т.д.

Условие CG = 0 означает, что H°(L/F, Ся) = 0. По теореме периодичности когомологий циклической группы получим тогда, что H2(L/F, Ся) = 0. В случае конечного модуля Ся, который имеет в виду автор, #Н】(L/_F, С”)= =#坏亿/£ С")= 1 (см., например, «Алгебраическая теория чисел» (под ред. Дж. Касселе, А. Фрелих. М.: Мир, \969).~Прим, перев.

Системы Эйлера

Перенесемся опять в ситуацию (2.2). Для каждого / определим элемент jH принадлежащий групповой алгебре группы Галуа максимального неразветвленного в / расширения, содержащегося в U K(zn): если КWQG/^), QU^), положим

乃=Fh； 1 ([К ⑺：К ⑴]+ (— l)d т 尸j (FrQ)

(/'лежит над / в поле К; если / не распадается в К, то j； = ah если X = Ер、и % = 1 — Ft[\ если X = %8)・

Пусть T- конечное множество простых чисел. Неразветвленное вне Т семейство Эйлера представляет собой задание для каждого целого т, взаимно простого с £ некоторой степени р, возможно бесконечной, М(т) и такого элемента % = (%(”))м|м(т)группы

limprojM[M{m)ST(X/K (汕严)，

что для /, взаимно простого с Ти с 贝。夕，не ветвящегося в К (т)/К, и для М, делящего М (т) и М (т/), имеем

coresK (/m)/K (т)(工庙(”))=У1 % (") •

Система Эйлера порядка к представляет собой задание для каждой последовательности [厶，4] различных простых чисел некоторого семейства Эйлера (М (т;/「•••，не разветвленного вне %,

氏пи 兀=[m; /「…，/к], обозначим тл =叮用厶…川，М(я) = M(m; /15, 4). Целое число .m-это уровень ли%. Положим If = [1m;厶，/fe]-

Фиксируем, начиная с этого момента, для каждого простого числа / некоторую образующую 5, циклической группы Gal(K (/)/К(1)). Для каждого 孔，взаимно простого с /, она определяет, благодаря изоморфизму Gal (К (砌/К ⑺)— Gal (К (/)/К ⑴)，образующую (обозначаемую всегда через &J группы Gal (К (nl)/K (п)). Отображения сот' определяются с помощью этого выбора образующих. Группа точек, имеющих порядок степени р и содержащихся в X(K(zn)) для т, взаимно простого с р, конечна. Обозначим ее порядок через ср (т).

Пусть k》1 и тя-система Эйлера порядка k — L Заметим, что если 兀 имеет уровень т, когда лежащие над / точкн*К полностью распадаются в К{т) и Мср(т) делит Ми то тогда соге8к(/т)/к(т)(Т/.л(Мср(т))) = 0; следовательно, определен элемент coresK(/m)/K(m)(Т/.Л) в Я1 (К(т), Хм). Если /『lk все различны, не распадаются в К и полностью распадаются в К (т)/К, положим

Т师4(")= COTK(m/i)/K(m)(工[叫;乙，…4»(")

для М, делящих MxJcp(m) и M(m; /2, ... , lk)/cp(m). В противном случае 5 100

положим М(т; 117..., 1к) — 1 и х^.^^(/j = 0. Таким образом, получается система Эйлера порядка к, в которой 厶，...,1к не распадаются в К и полностью распадаются в К(ш)/К:

М(т; /п ... , /fc) ^ НОД(М]/%(т), М(1т; /2, ... , /J/Cp(m),

M(m; /2,..., 4)/Cp(zn)).

Если быть более аккуратным, можно, в действительности, взять

М(т; /п ... , 4) > НОД(М/р М(/т; /2, ... , 1к)/ср(т\

М(m; Z2,, lk)/cp(m)).

Теорема 2.3. Пусть хт-такое неразветвленное семейство Эйлера, что Af(zn)=p8 Тогда повторение предыдущей конструкции доставляет систему Эйлера порядка к, удовлетворяющую условию

М(т; % …,/fc) > НОД(Мч，М(/т; /2,...,幻/%(巾),М(т; /2,, 1^/Ср^.

Если, кроме того, для тт при всех /, взаимно простых с рт^0, выполнено равенство

(24)1%宀=f1储(%,")

для всех точек г поля К (ш), лежащих над / (f - это точка К, лежащая над /, и w - единственная точка К(/т), лежащая над и), и если л = [т;人,..., 4]е乡伊* то тогда М(л) > Мz и для каждой точки %, лежащей над %, образ 毛兀 в, (М) элемента 工兀(М) при локализации в vZj принадлежит группе

Homz'Gal (К © 叽 /К (叫｝ Хм (К (矶丿) и задается формулой

“,％M(3J = Fr厂 ％(兀w(M)(F*) = Fr/"F吟—1)(%(»“(M)/M), n'c £j(冗)=[m；厶，…，Zj-i，4 + 1，…，4]*

Заметим, что если L'/L-BirojiHe разветвленное в и расширение и vz лежит над и, то отображение ограничения индуцирует изоморфизм между Е^(А，Хм) и H„r(L^, Хм) и на этих модулях действует отображение Фробениуса, что придает смысл условию (2.4). Из условий, фигурирующих в определении множества 力体)，следует, что локальные отображения Колывагина сог； корректно определены для % делящих %, и что соотношения типа (2・4)弓 выполнены для системы Эйлера порядка к. Это позволяет сделать локальные вычисления элементов т兀 и доказать (2・5).

Теорема 2Л доказывается, исходя из теоремы 2.3, с использованием теоремы Чеботарева о плотности. В действительности в двух рассматриваемых частных случаях предъявляется неразветвленное (М (т)= =р^) семейство Эйлера, удовлетворяющее соотношениям (2.4)「Речь идет о семействах (тт)т с тт = 1 — ^т (система круговых единиц: она не

разветвлена вне /, если т - степень /, однако, когда берутся /-компоненты, это не так) и тт- точка Хегнера уровня m в модулярном случае (система точек Хегнера). Чтобы перейти от формулы (2.5) к формуле (2.3), в качестве корня М-й степени из единицы, входящего в определение отображения 冒“，выбирается ；м,и = 6$一"材，где ^б； - корень из единицы порядка 1—1, соответствующий 3【при локальном отображении Артина.

Заметим, наконец, что теорему 2.3 можно обобщить на /?-адические представления рассмотренного в 2Л типа. Остается только предъявить неразветвленное семейство Эйлера с условием М (т) = р^, что значительно труднее.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 1.1 И 1.3

Общие соображения

Начнем с изложения общей идеи, присутствующей в доказательствах теорем 1.1, 1.3 (и 1.2). Пусть 7^ (X)-такое же /?-адическое представление, как в разд. 2.1. Мы хотим изучить группу Зельмера S(X'/L)(m). Легко построить характеры этой группы: если и-точка поля L, лежащая над /eQ, неразветвленная в расширении L/Q со степенью поля вычетов / и вполне распадающаяся в L(XM)/L, и если е - элемент группы Х^, то обозначим через 己° е элемент группы Homz (S(X7L)'m),卩丛)，заданный формулой &,е(х) = [е, xv (Frf]M. Формула произведения (2.1) позволяет связать с каждым элементом группы 5Г (X/L){M) некоторое соотношение между характерами &」：выберем базис ®) модуля ^(Х), и пусть eJM)-проекция ,• в Х“； выберем корень из единицы 工 порядка М и положим (,m,J~ = , (ur-единица кольца Zp); если т-элемент группы 3丁(X/L严)，нол(жим 録⑴=e?= i纥/(T)*)； тогда

3D fl n &,J/命=1.

i = i us T

Мы используем элементы, полученные в теореме 2.1 при подходящем выборе к. Следуя обозначениям теоремы 2.1, имеем, таким образом, возрастающую последовательность множеств 厶=仏，...，/$} и элементов %%...,/」wSts(X/K(zh))(m)при s W к. При хорошем выборе элемента h из теоремы 2.1 можно взять Е^ (т[阳人 门)с минимальным р~ адическим нормированием. Заметим, что элементы тт и тл a priori делятся на р в группе St(X/L)(m). Так появляется индекс, найденный в теоремах § 1.

Круговой случай

Пусть %-четный характер с кондуктором f, для простоты предположим, что он со значениями в Z*, и обозначим через ех соответствующий проектор. С другой стороны, можно считать, что F-(вещест-

венное) поле, неподвижное при действии ядра %. В такой ситуации Колывагин доказывает следующее предложение.

Предложение 3.1. # /%)делит [^: Zpez(NQ(；/)/F(l -马))].

Здесь Nq(口)/尸(1 — q『)=tf /-норма над F некоторой точки описанной выше системы Эйлера. Легко видеть, что группа Zp£式Nq®)/f(1 — 口)) равна 碎'.Чтобы доказать теорему 1.1, т. е. равенство в предложении 3.1, используется формула для числа классов, которую мы напомним для случая р, не делящего 2 [尸：Q] [34].

Предложение 3.2. Имеем # Лг = 口囂 ^ ] ^^: %夕],где произведение берется по нетривиальным характерам группы Gal(F/Q).

В эллиптическом случае аналогичная формула доказана в [18].

Вернемся к доказательству предложения 3.1. Выбор корня из единицы С позволяет отождествить группы Homz (S (Zp/F)(M\ 卩丛)и 4尸=°尸 S) (если г-точка поля 尸，то класс идеалов"[и], связанный с и, соответствует характеру &,) Пусть 夕"式2 , рПг^ - инварианты группы /?, причем ^i(x) > ... > пг (%), и пусть q, ... , сг - такие элементы /，)，что ci имеет порядок рп'^ в /夕/Zp* 十+ Zpq_ i. Если x принадлежит группе 尸*/尸*м, т0 через 丿(х，М) обозначается аннулятор х и

(х,М) = {awZp, aJ(х,М) и MZp}.

Для достаточно большого М и для xeF* р-адическое нормирование С (х) модуля J7 (х) является таким наибольшим целым числом С, что хеF*p . Когда хе^^ индекс ZpX в 泼① равен 夕'(2 Определим аг(x)gZ/MZ соотношением (См, J“")= Q - Ff「i)“/”). Теперь предстоит применить несколько раз теорему 2.1, так чтобы обеспечить подходящий выбор элемента 九 который гарантирует желаемые свойства класса идеалов [^厶]и р-адического нормирования элемента Av^ (ехтЯк). Мы не будем здесь входить в детали и просто дадим логическую схему доказательства. Выберем 必，делящееся на # (4尸)，М = М3 и к = г. Выберем такое что e^v^ = % и опЦ% (气勺))=С(ехту) = Со (Х), и положим 冗i = U;/i] и а = С(4%]). Следовательно, Ct Со(%) и имеется соотношение

厂0"父/)气[%] = 0

в группе А^р/А(р}м = /%), откуда получается неравенство Со (%) — С\》 》孔i(%)・ Предположим, что /2, ... , 4_「выбранные, как в теореме 2.1, таковм, что 0[%]=弓 и qq》％•(%), где = [f; I,, /.]

и С, = С(е戸吃).Выберем ls так, чтобы 气[忆]=県 и ordp(at,( (^zт^ J)=

=& _ 1 . Положим5 s 1

& = C(e"

Тогда имеем в группе /职/ZpQ + ...Ърс8_х

откуда получаем С$_] — G 2 %(%)• Следовательно, Со (%) 2 孔1(%)十…十 + %(%) = # (”)•■

Колывагин охарактеризовал некоторое подмножество последовательностей К Z15Zr], отправляясь от которых можно определить ранг и инварианты абелевой группы Л^1. Это подмножество строится рекуррентно, одновременно с некоторой последовательностью целых чисел Со (%) > ... > СДх). Целое число Со (%) уже определено. Выберем достаточно большое М (например,》ЗС0 (%)). Предположим, что Q (%) и /, уже построены при / ^ s. Обозначим ^ — [f; /п /J. Для каждого простого числа /, не делящего 必^ …厶 и полностью распадающегося в F(|iM), положим

e(%4 = 0&(/但产凤用(М),m).

Доказывается, что существует полностью распадающееся в 尸(卩м) простое число /, для которого ordp (aVI ez тл (М))) = Cs(x) и 0&a№玩(М)))> е^ при 0 4j W s - 1.

Обозначим через Cs+1 (%) нижнюю грань чисел С(冗§,/) для /, удовлетворяющих этим условиям, и выберем в качестве ls+l любое из простых чисел, на котором эта нижняя грань достигается.

Тогда имеем следующие свойства:

&+】(%)范 С，⑵；

если Cs+i(%) v G(x), то &+J%) = Cs(x) - Cs+l^

если Cs+ 】(%) = Cs(%), to s есть ранг Z/pZ-модуля 力用/4” (s = г) н

几1(%) = c0(%) - c] (%),我 2(打=ci (x) -02(办

%(%)= G-i(x)-

Кроме того, если г1;-точка поля 尸，лежащая над 4, то гомоморфизм ZS 一 理，

(%,…，％)1Еа©[%]

имеет в качестве ядра 〃"iZ х ... х 〃％Z и сюръективен при s =几 Наконец, можно записать %% (М) = )'?℃ в группе F*/F*w и элементы Т1,, Уг линейно независимы в F*/F*p.

Доказательство теоремы 1.3

Пусть с = #(E(K)grs). Пусть /р-р-часть числа Тамагавы. Если Р— точка бесконечного порядка в Е(К), то пусть С(Р) - наибольшее целое,

на которое делится Р в группе E(K)/E(K)t°rs. Когда группа Е(К) имеет ранг 1, С (尸)является индексом Z尸 в £(K)/£(K)tors.

Лемма 3.3. Существует такое целое а, что для любого простого числа Р w целых тип группа Н1 (К (£^+~)/К, ЕрЯ) аннулируется а. Существует такое целое Ъ', что модуль Ь'А нулевой для любого подмодуля Галуа N в %”，для которого либо (о + 1)Л = 0, либо (о — 1) / = 0 (положим b = 2>).

Доказательство использует теорию комплексного умножения и следующий результат Серра [53]: если кривая £ без комплексного умножения, то группа Галуа расширения Q(Ep)/Q изоморфна G，2(Z»Z) при достаточно больших р.

Простые сомножители числа ab принадлежат S£ (т. 1.3). Напомним, ЧТО группа Зельмера S (尸严)=s(7^(e)/尸严)связана с груПпой Шафаревича-Тэйта точной последовательностью

0 - E(F)/ME(F) тS(尸)(м)- ш(E/尸储 т0.

Обозначим через S(K)(")土，1П(Е/К)(土)собственные подпространства с собственными значениями ± 1 для комплексного сопряжения о на группах S(K)M и Ш(£/К). Выберем такой базис е± модуля 2厶(£), что ое士 = ± е±, к обозначим через е(? их образы в Е吉.Если / не распадается в К и полностью распадается в К(ЕМ)/К, то обозначим через ^а/(Для aw{ + , —}) характер 畠_ гДе е = е(^е£м, который определен в § 3.1 (при этом /=2); h/tHomz (S(K)M(±), цм). Более общим образом, если ^-элемент группы Я1 (к, %)，положим для ае{ + , -}

峭(х) н [^(Fr?),e^]M.

Ограничение「卢 на S(K)(W(土)，следовательно, совпадает с ^+/. Через ^0 обозначим тривиальный характер. ~

Пусть 4，... , 4—1-не распадающиеся в К простые числа, которые полностью распадаются в К(ЕМ)/К. Через 九&,…，/”i) обозначим подгруппу в HomZp(S(K)(M)((—】y£), цм), порожденную характерами 己(一1户%_1，•一，己(一1)**，m0，к положим

Zm&,/”】)=Homz/SIK)”)”^),卩浦/九(4,…，&)•

Если - элемент группы Homz/SfK 严"一巾)，卩乂)，то обозначим через ord^zms…％ 丿 ^-адический показатель порядка 己 в группе ZM(/i，,

Приведем, наконец, некоторые свойства точек Хегнера и ассоциированной с ними системы Эйлера. Если л уровня 1, то точка 工兀 определена над К (1). Если о - комплексное сопряжение, а е - собственное значение

инволюции Аткина-Ленера, действующей на модулярную форму 工 ассоциированную с кривой то

o(coresK(1)/K(T„)) = (一 1)кЕсоге5к(1)/к(тя)

по модулю кручения, где л = [1; /15 ... , 4] (случай точек Хегнера хорошо известен [24], случай произвольного порядка к получается по индукции, исходя из определения элементов т 兀).Точка %,к = = 9 + (- 1)%(соте$к(1)/к(%)) определена над К и

о%,к = (— l)“£t 兀,к •

В частности, т1К = т[1] К является точкой группы Е(К).

Теорема 3.4. Предположим, что точка Хегнера т1К бесконечного порядка. Зафиксируем целое г. Пусть М = ^ - такая степень р, что

孔》OTdp(C(ti,Q) + /*。3「(。反)+ 20rdp(2с) + 1.

Тогда существуют простые числа /1? ... , /г, нераспадающиеся в К, полностью распадающиеся в К(ЕМ)/К, такие, что [1;乙,,〃]е毋⑺ и М3 tp\M^f и такие целые числа 敢，что

n0 = ordp(C(T1>K)), О W % W % - 0rdp(。庆)W %т — ％ ДЛ只 k》】

и выполнены неравенства

(3.2)

О W ordp(exp(ZM(/i, /2,..., /fc-1))) 一 ordp,ZM&/…他(―产⑷ W ordp(aZ>),

0rdp Zm(/i,…4т)(己(-1AM) W “t — 4 + 2ordp (abc).

Порядок элемента 工口％，…,ljlK^ равен M/pnj, и существует такой элемент %,…)(М) группы S& /}(K严)，что

叫 м，…,^М)=рп^ы^_^^

для которого「(—i尸叫收口；/】,…j(M)) является корнем из единицы порядка 夕匕 где

п — ordp(abc) W В W 孔一 ordp(c).

Из теоремы 3.4 легко выводятся анонсированные результаты.

Следствие 3.5. Если точка Хегнера 工卜长 имеет бесконечный порядок, то группа Ш (Е/К^~^ конечна и аннулируется целым числом 4(аЬ^ с2 c(工^ 长).

Доказательство. Используем теорему 3.4 при г = 1. Группа ZM = = S(K)(m)C £)аннулируется числом 2рп°~п^а1)^ с2, а следовательно, и числом 2(об)3d2 c(q а. Отсюда выводится, что число 4(而)з^2 cg q

аннулирует П1(Е/К)(—日.Поскольку Ш (Е/К^~е) конечного типа над Z, то она конечна.

Следствие 3.6. Если точка Хегнера 工】长 имеет бесконечный порядок, то группа Е(К) ранга 1, группа Ш(£/К) конечна w аннулируется числом 4(0田563 0(Т]Q

Доказательство. Воспользуемся теоремой 3.4 при г = 2 для того, чтобы справиться с Ш(£/К)(~е). Таким образом, число 2夕々一"2 mm3 d2 (а следовательно, и 1(аЬ^~ с2 С(т1Х)) аннулирует

ZM(ll) = RomZp(S(K)^^

и, следовательно, кег^%. Но 自％(耳)имеет порядок “， где 〃 -ordp(abc) у л - OTdp(e). Получается, что S(K严)⑹/〈кет自由，匕〉一 циклическая группа, которую аннулирует число (abc), а 2(abc)(ab/ с2 С(х1К) аннулирует S(K)(m)/«〉. Следовательно, S(K严)⑻ имеет ранг 1. Мы увидим (лемма 3.8), что существует такая точка теЕ(К), что ст = Ti, и поэтому Е(К) = ^(К)^ + Zt. Следовательно, группа S(K 严)/〈工〉十々К)^ равна Ш (Е/К )м. Таким образом, число 4(м6)5 户 eg J аннулирует группу Ш(£/К), которая тем самым, в частности, является конечной.

Следствие 3.7. Предположим, что р не делит 2abc. Если точка Хегнера 工1 к имеет бесконечный порядок, то порядок группы Ш(Е/К) делит

Доказательство. Нужно применить теорему при г, большем удвоенного ранга группы 1П(Е/К)(士)над Z/pZ.

Из теоремы 3.4 можно вывести некоторую оценку порядка группы 1П(£7К)(р) для простых чисел р, делящих 2abc.

Легко доказывается следующая лемма, которая в действительности совпадает со случаем г = 0 нашей теоремы.

Лемма 3.8. Если л > ordp(cC(T1 к)) + 1, то аннулятор элемента Tt KmodpnЕ(К) имеет р-адическое нормирование п — ordp(0(Ti к)), т. е. 我。=oi*dp(C(G к)). Существует такая точка х\еЕ(К\ что ст1К = =рп° т；.

Начнем доказательство теоремы 3.4, предполагая, что р нечетно. Оно осуществляется с помощью индукции по г. Предположим, что теорема верна для г—L Положим 冗「т = [1;厶，乙一门 и, когда /г будет выбрано,兀「= [1, 4, •…,(].Это делается так, чтобы правильно выбрать п из теоремы 2.1. Легко проверить, что тл (М) имеет порядок Mp—ordp© =2"0&©.，

Определим подгруппу S± в Sy~ /」(К)(м)(土)формулой

S(_ir4 = zp4 ДМ) и S(T£ = S(K严心叫

Положим %,г — %(4,4-1) и ^м.г = Z” (/1, . •. , 4-1)-

Выберем достаточно большое число АГ, так, чтобы М3 гр (соответственно M^imJ^,, 4) MQ делило М' при г = 1 (соответственно г > 1).

Пусть S±-образ группы S± в Н1 (К(Ем), Ем) при гомоморфизме ограничения. Поскольку М делит М\ то эта последняя группа изоморфна группе Homz₽ (Gal (К/К (£м,)), £м). Пусть F± - наименьшее расширение поля К(ЕМ,\ для которого группа S 土 содержится в HomZp (Gal (F±/K (Ем ^, Ем). Положим

尸=F+F_, 〃土 = Gal(F±/K(EM))，〃=Gal(F/K(J,)).

Следовательно, S'土 и Homz (H±,£M) и Homz (//,Ем). Определим гомоморфизм (р±:〃т HomzjS±, |1м) формулой 屮。(力)(%) = 口伍力°),е”]м・

Пусть \|/± - композиция гомоморфизма 屮土 с гомоморфизмом, индуцированным ограничением

HomZp(S±,Rm) - Homz₽(5±,|iM).

Следующая лемма использует лемму 3.3.

Лемма 3.9. ф ± (77) о /)HomZp (S ；, gM), и число ab аннулирует группу Нот%。(S±,|1m)/W±(〃).

Лемма 3.10. Существует такой элемент т( группы Н, что порядок элемента \|/(_ i/e(H) (соответственно элемента \|/(- ir-^^)) s группе *(—i)«(H)/%,r А *(_1)Г£(Н) (соответственно в группе ”(_1)一/切)равен экспоненте группы 屮(_ 單貝//)/!^1r П 屮(_ 單/切(соответственно группы V(-1厂 ％(切)•

Чтобы доказать существование элемента т(, используется тот факт, что объединение двух различных подгрупп группы Н есть собственное подмножество в Н.

Следствие 3.11. Выполнены неравенства

и - ovdp(abc) ^ ordp(порядок v(- i)r 4(^))范我一 ordp(c),0Tdp(exp z此 J - ordpH) ^ 0[4工,("(_ ^m)).

Теперь зафиксируем такой элемент г| и положим А = qcr. Выберем простое число 厶 как в теореме 2.1, так, чтобы отображение Фробениуса, соответствующее точке /г, было равно А в расширении F/Q. Поскольку

ПТ1° = (пн)2 = Fr? (о имеет порядок 2), то w(_ 岁/口)и Ь_1ГЕ； совпадают, и потому'

屮一 1 厂％Сп)(4т)=

Следовательно, порядок р^ этого последнего элемента удовлетворяет неравенствам

孔一OTdp(abe) W В W 孔一ordp(c).

Это доказывает свойства (3.2) и (3.5).

По определению порядок %,(”) равен М/рПг. Легко видеть, что элемент т%(ЛГ) делится на р%в группе "“К,%,):

^(M^^p^i^p-^.

Нетрудно проверить, что при проекции в группу Я1 (К,ЕМ) элемент %(”)попадает в S#】“位严).

Мы теперь покажем, что nr_t — пг^ — ordp(abc). Напомним, что，—『％(「)(》= [®： - 1)(Х/М),咱]『」м

дл幺 всех х из подгруппы, порожденной тя ДМ), и что, согласно следствию 3.11,—

孔-0Tdp (而с) ^ ordp (порядок 屮(_ i尸/т])) < л - ordp(c).

Отсюда выводим, что (Ft(— 1)(тк ^М)/М) имеет порядок р) где 孔—ordp(abc) W В W 孔一ordp(с).

Используя соотношения (2.3) из теоремы 2.1 и тот факт, что автоморфизм Fr； и комплексное сопряжение совпадают на К, находим, что если иг-лежащая над 〃 точка поля К, то

6典,(4(陷)=(一厂纲一下二一l)(Tj(”)/M).

Оба члена равенства являются кратными элемента《¥)『％. Отсюда выводим, что пг ^ пг_х + 孔一В (поскольку ^ делит М). Следовательно, 孔—一％》—ordp (abd}.

Предыдущее соотношение превращается теперь в

彦斗(abc《(M)) = (- 1)『£旧；-1) (аАрЛ(М)/М).

Если положить

^Vk(ctbcxn (M)) = Eke^_

то 0rdp (£J (% — i — %)十 2от(1р(。瓦).Соотношение (3.1) для т = =abc т% (М) превращается в

П 产=1,

k= 1

и получается, что от%工“(厶察必)W %一 一 ％ 十 2ordp(abc) (соотношение (3.3)). Этим заканчивается доказательство теоремы 3.4.

ЛИТЕРАТУРА

Birch В. Diophantine analysis and modular functions. Proceedings of Bombay Colloquium on Algebraic Geometry (1968), 35-42. [Имеется перевод: Берч Б. Дж. Диофантов анализ и модулярные функции - Математика, 15:3 (1971), 173-178.]

Birch В. Elliptic curves and modular functions. Symposia Mathematica (1970), 27-32.

Birch B. Heegner points of elliptic curves. Symposia Mathematica (1975), 441-445.

Birch B., Stephens N. Heegnefs construction of points on the curve y2 = =x2 — 17280. Seminaire de theorie des nombres. Paris 1981-1982, Progress in Math. 38, Birkhauser (1983), 1-19.

Birch B., Swinnerton-Dyer H. Notes on elliptic curves II. J. Reine u. Angew. Math. 218 (1965), 79-108.

Bloch S., Kato K. L-functions and Tamagawa numbers of motives. Grothendieck Festschrift, Progress in Math., Birkhauser, Boston.

Brumer A. Travaux recents d'lwasawa et Leopoldt. Seminaire Bourbaki n°325 (1966/1967). [Имеется перевод: Брюмер А. О новых работах Ивасавы и Леопольдта - Математика, 13:5 (1969), 95-102.]

Bump D., Friedberg S., Hoffstein J. A non vanishing theorem for derivatives of automorphic L-functions with applications to elliptic curves, Bull. AMS 21 (1989), 89—93.

Coates J. p-adic L-functions and Iwasawa's theory. In: Algebraic Number Fields, edite par. A. Frohlich. Academic Press (1977), 269-353.

Coates J. The work of Masur and Wiles on cyclotomic fields. Seminaire Bourbaki, n°574 (1980—1981).

Coates J. On p-adic L-functions. Seminaire Bourbaki n°701 (1988-1989). [Имеется перевод: Коутс Дж. р-адические L-функции.-В сб.: Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г.-М.: Мир, 1991.]

Coates J., Goldstein С. Some remarks on the main conjecture for elliptic curves with complex multiplication. Am. Journal of Math. 105 (1983), 337-366.

Coates J., Wiles A. On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer. Invent. Math. 39 (1977), 223-251.

Coates J., Wiles A. On p-adic L-functions and elliptic units. J. Austral. Math. Soc. (Series A) 26 (1978), 1-25.

Fontaine J.-M. Representations p-adiques. Pr. Int. Cong. Math. Warszawa (1983), 457-486.

Gillard R. Unites elliptiques et unites semi-locales et Z(-extensions. Ann. Inst. Fourier 29, 1 (1979), 49-79; 29,4 (1979), 1-15.

Gillard R. Unites elliptiques et unites cyclotomiques. Math. Ann. 243 (1979),

Gillard R., Robert G. Groupes d'unites elliptiques. Bull SMF 107 (1979), 305-317.

Gras G. Classes d'idGaux des corps abeliens et nombres de Bernoulli generalises. Ann. Inst. Fourier 27 (1977), 1-66.

Greenberg R. On p-adic L-functions and cyclotomic fields. Nagoya Math. J. 56 (1975), 61-77; 67 (1977), 139-158.

Greenberg R. Iwasawa's theory and p-adic L-functions for imaginary quadratic fields. In: Number theory related to Fermafs last theorem, edite par N. Koblitz. Progress in Math. 26, Birkhauser (1982), 275-285.

Greenberg R. On the Birch et Swinnerton-Dyer conjecture. Invent. Math. 72 (1983), 241-265.

Greenberg R. Iwasawa theory for p-adic representations. Adv. Stud. Pure Math. 17 (1989).

Gross В. Н. Heegner points on X。(N)・ In: Modular forma, edite par. R. A. Rankin, Ellis Horwood Limited (1984), 87-105.

Gross В. H. Kolyvagin's work on modular elliptic curves (prepublication).

Gross В. H., Zagier D. Heegler points and derivatives of L-series. Invent. Math. 84 (1986), 225-320.

Iwasawa K. On p-adic L-functions. Ann. of Math. 89 (1969), 198-205.

Iwasawa K. Lectures on p-adic L-functions. Ann. Math. Studies 74, Princeton University Press (1972).

Iwasawa K. On Z,-extensions of algebraic numbers fields. Ann. of Math. 98 (1973), 246-326.

Katz N. p-adic L-functions for С. M. fields. Invent. Math. 49 (1978), 199-297.

В. А. Колывагин. Конечность E(Q) и Zff(£7Q) для подкласса кривых Вейля- Изв. АН СССР. Сер. мат. 52 (3) (1988), 522-540.

В. А. Колывагин. О группе Морделла-Вейля и группе Шафаревича-Тейта эллиптических кривых Вейля- Изв. АН СССР. Сер. мат. 52 (6) (1988) 1154-1179.

Kolyvagin V. A. Euler systems, Grothendieck Festschrift. Progress in Math. Birkhauser, Boston.

Lang S. Cyclotomic fields I—II avec appendice de K. Rubin. GTM 121 (2-ieme edition) (1989), Springer, Berlin.

Mazur B. Courbes elliptiques et symbole modulaire. Seminaire Bourbaki 414 (1971/1972), in: L. N. in Math. 317, Springer, Berlin.

Mazur B. Modular curves and arithmetic. Proc. Int. Congress Math (1983), Warszawa, 185-211.

Mazur B., Swinnerton-Dyer P. Arithmetic of Weil curves. Invent. Math. 25 (1974), 1 61.

Mazur B., Wiles A. Class fields of abelian extensions of Q. Invent. Math. 76 (1984), 179-330.

Ram Murty M., Kumar Murty V. Mean values of derivatives of modular L-series. Prepub. (1989).

Perrin-Riou B. Arithmetique des courbes elliptiques et Theorie d'lwasawa. Memoire de la S.M.F. n°17. Suppl. au Bull, de la S.M.F. 112 (1984).

Perrin-Riou B. Fonctions L p-adiques, theorie d'lwasawa et points de Heegner. Bull. Soc. Math, de France, 115 (1987), 399—456.

Perrin-Riou B. Derivees de fonctions L p-adiques et points de Heegner. Invent. Math. 89 (1987), 456-510.

Ribet K. A modular construction of unramified p-extensions of Q(|i ). Invent. Math. 34 (1976), 151-162.

Robert G. Unites elliptiques. Bull. Soc. Math. France, mem. 36 (1973).

Robert G. Nombres de Hurwitz et unites elliptiques. Ann. Sc. ENS (4) 11 (1978), 297-389.

Rohrlich D. E. On L-functions of elliptic curves and cyclotomic towers. Invent. Math. 75 (1984), 383-408, 409-423.

Rubin K. Global units and ideal class groups. Invent. Math. 89 (1987), 511-526.

Rubin K. Tate -Shafarevich groups and />-functions of elliptic curves with complex multiplication. Invent. Math. 89 (1987), 527-560.

Rubin K. On the main conjecture of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields. Invent. Math. 93 (1988), 701-719.

Rubin K. The "main conjecture'5 of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields (1990).

Serre J.-P. Classes des corps cyclotomiques, d'apres Iwasawa. Seminaire Bourbaki 174 (1958/1959).

Serre J.-P. Cohomologie galoisienne. Lectures Notes in Math. 5 (1973), Springer, Berlin. [Имеется перевод: Cepp Ж. П. Когомологии Галуа.--М.: Мир, 1968.]

Serre J.-P. Proprietes galoisiennes des points d'ordre flni des courbes elliptiques, Invent. Math. 15 (1972), 259 331.

De Shalit Е. The Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication. Persp. in Math. 3, Orlando, Acadamic Press (1987).

Tate J. The arithmetic of elliptic curves. Invent. Math. 23 (1974), 179-206.

Thaine F. On the ideal class groups of real number fields. Ann. of Math. 128 (1987), 1-18.

Waldspurger J.-L. Sur les valeurs de certaines fonctions L automorphes en leur centre de symmetric. Comp. Math. 54 (1985), 173-242.

Wiles A. Higher explicit reciprocity laws. Ann. Math. 107 (1978), 235-254.

Wiles A. On p-adic representations for totally real fields. Ann. Math. 123 (1986), 407-456.

Yager R. On two variables p-adic L-functions. Ann. Math. 115 (1982), 411-449.

Yager R. 〃~adic measures on Galois groups. Invent. Math. (1984), 3 31-343.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Kolyvagin V. A. On the structure of Shafarevich-Tate group. Proc, of USA- USSR Sympozium on Algebraic Geometry. Chicago, 1989 (LN Math. 1479), Springer, 1991.

Kolyvagin V. A. On the Mordell-Weil group and the Shafarevich-Tate group of modular elliptic curves. Proc. ICM-90 Kyoto, vol. 1, Springer-Verlag, 1991, pp. 429-436.

Kolyvagin V. A. On the structure of Selmer group. Math. Ann. 291, 253-259 (1991).

ЭФФЕКТИВНАЯ КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА.НОВЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Бернар Тесье

ВВЕДЕНИЕ

Многие фундаментальные результаты коммутативной алгебры являются неэффективными теоремами существ ования: теорема Ласкера- Нетера, утверждающая существование разложения / = 0】 П...П 0 s в пересечение примарных идеалов для любого идеала / нётерова кольца Л, теорема Нетера о нормализации и т. д. Задача в том, чтобы по определенным данным эффективно находить место, начиная с которого стабилизируется возрастающая последовательность идеалов, или находить примарное разложение заданного идеала и, разумеется, в первую очередь определять, принадлежит ли элемент кольца заданному идеалу.

Естественно прежде всего поставить эти задачи для идеалов алгебры полиномов с коэффициентами в таком поле к, над которым можно делать эффективные вычисления, как в случае, если k — зто конечное расширение своего простого подполя.

К этим проблемам уже приступали в начале века, главным образом в связи с теорией исключения; что же касается дальнейшего цитирования, их рассматривал Маколей в связи со своей теорией «инверсных систем» (systemes inverses), которая впоследствии превратилась в теорию двойственности в алгебре и алгебраической геометрии (см. [35] и библиографию там). Задано конечное число полиномов и ищутся сведения о примарном разложении порожденного ими идеала, а также число примарных идеалов, степени их образующих, значения их коэффициентов и т. д.

Пусть к - поле н / =仇，…，工„)-идеал кольца полиномов к^х±, , хп2. Если задан полином д, о котором предполагается, что он содержится в /, то как явно записать соотношение g = 2乜19|工？ Сначала надо иметь границы степеней, ниже которых можно уверенно искать такие полиномы д「В случае когда g = 1，это задача о тождестве Безу. Теория исключения показывает (см. [2], с%]'。，[26], [38]), что можно найти %, такие, что deg%£ W degg + 2(21>)2“ ，где D-наибольшая из степеней полиномов (/^,... ,fm). В случае когда (Л，...,/,,)-полное пересечение, со времен Маколея известна граница degg + DT Один пример Майра- Мейера (см. [18], [39]) положил конец надеждам, что в общем случае можно найти просто экспоненциальную границу: они показали, как для каждого целого числа D》5 построить семейство 孔 + 1 = 10力 + 1 no- линомов /х, ..., +!, порождающих идеал I, который содержит z「так

что

= ^i/i + …+ 柒+1/+1;

однако при этом max7(degg7) > (D — 2)2 . Это показывает, что граница в задаче о принадлежности дважды экспоненциальна по числу переменных.

Аналогично проблема получения эффективной теоремы о нулях ставится так: для заданного полинома д£\/(Л，…•，/„) найти границу степени s в равенстве д$ = £之 i %工 и границы степеней, ниже которых можно с уверенностью искать полиномы д「Разумеется, в однородном случае достаточно ограничить целое число s.

Подобные задачи возникают в теории трансцендентных чисел. После работ Гельфонда здесь играли важную роль отдельные частные случаи, а десяток лет назад, особенно после работ Нестеренко (см. [40]), специалисты по трансцендентной арифметике поставили на повестку дня и самые общие случаи (см. [10]).

Так, из фундаментальной работы (см. [12], [13]) Браунвелла стало известно, что в противоположность задаче о принадлежности оценка в эффективной теореме о нулях просто экспоненциальна по числу переменных.

С другой стороны, исследования по формальному исчислению (calcul formel) и эффективной алгебраической геометрии в течение последнего десятилетия также породили задачи об эффективности вычислений в кольцах полиномов. Что касается формального исчисления, упомянем работы Лазара [32], [33] и совсем недавние работы Хейнца и его сотрудников (см. [16]), где впервые найдена просто экспоненциальная граница для случая тождества Безу, пригодная над любым полем ([17] и [19]). Здесь внимание сосредоточивалось на вычислении стандартных базисов идеалов (которые являются системами образующих очень специального вида - systemes de generateurs tres particuliers), что позволяет с помощью алгоритма деления эффективно судить о принадлежности некоторого элемента идеалу. Но кажется, что пока эти «слишком общие» методы не умеют отличать задачи, в которых возможна только дважды экспоненциальная оценка, как, например, задача о принадлежности, от задач, в которых оценка просто экспоненциальна. Я не говорю здесь о стандартных базисах и отсылаю читателя к [44] за новейшим обзором этого аспекта. Я отсылаю также к [17] и [25] по поводу связей с формальным исчислением и вынужден оставить без внимания другие красивые результаты, такие, как эффективная версия теоремы Серра- Квиллена - Суслина о проективных модулях над кольцом полиномов 口 9].

Вначале мы рассмотрим «геометрический» случай, когда не принимаются в расчет свойства полиномов, за исключением их степеней и числа переменных, тогда как при эффективных вычислениях необходимо рассматривать также величину их коэффициентов; этим мы

займемся далее: сначала аналитическими методами Бернстайна и Игера, затем алгебраическими методами, предложенными Филиппоном.

Я благодарен Даниэлю Бертрану, Андре Галиго и Йосу Хейнтцу за помощь, оказанную в подготовке этого текста.

§ 1. ГЕОМЕТРИЯ

Результат

Пусть к-поле. Положим R = к[_х0,, х„], и пусть /仇，...，，)-

идеал К, порожденный однородными полиномами; полагая 4 = degf, так упорядочим образующие, что 厶》厶》…》乙》4 >。，и обозначим через 卩 целое число min (m, п). Результат Коллара [29], усовершенствованный Браунвеллом [11], формулируется как следующая эффективная версия равенства ^/7 = % А .

Теорема 1. Предположим, что d；》3 для i > 1, и пусть идеалы ^1?..., ^г - минимальные элементы совокупности простых идеалов, ассоциированных с идеалом / = ^t П ... П Существуют целые *, такие, что

叩..若u /

и

2修范4…4.

В случае когда 仇,...,/т)-полное пересечение, все компоненты алгебраического многообразия, определенного /, имеют по теореме Маколея [37] одинаковую размерность п — т, нет вложенных компонент и из теоремы Безу легко следует равенство

X longZdeg纥= d「・4， i= 1

где long2 означает длину идеала, порожденного %, в локальном кольце 灭砂,т.е. длину Ял-модуля 灭少/纟‘灭组；это кратность, с которой компонента, соответствующая идеалу 0” входит в пересечение т гиперповерхностей/；- =0 в Р". Целое число deg^》1 - это степень проективного многообразия, соответствующего 歹.Нетрудно показать (см. [11]), что 0Ьм2 и 2， и, стало быть, имеются включения 夕"...«)匚 с .2^..^ с ^t n A ^r = Д где ef = long^, и нужный результат в этом случае получается без предположения о степенях. В общем случае трудность вызвана несобственными пересечениями гиперповерхностей, которые нарушают равноразмерность и, главное, вызывают появление вложенных примарных компонент. Но можно, как в [11], заменить с помощью общих линейных комбинаций, не слишком влияя на степени, заданную последовательность полиномов новой последовательностью

(力 1，... , %), возможно более близкой к полному пересечению. Идея доказательства в том, чтобы строить идеал, добавляя одну функцию за другой, и на каждом шаге исследовать возникающие новые вложенные компоненты. Близкая конструкция появляется в доказательстве общей теоремы Безу, данном В. Фогелем [49]. Идея Коллара - на каждом этапе ограничивать вред от вложенных компонент с помощью локальных когомологий; замечательно, что это позволяет получить наилучший результат. Как мы увидим, предположение о том, что %》3, происходит от того, что локальная когомология порождает трехчленные точные последовательности.

Подготовка идеала

Напомним, что высота ht« простого идеала 夕 кольца Л есть длина максимальной возрастающей последовательности вложенных простых идеалов Л, содержащихся в 夕.Высота идеала / есть наименьшая из высот простых идеалов, ассоциированных с 丄 Поскольку А = к [х0，…， х“], высота соответствует коразмерности подмногообразия аффинного пространства (или проективного, если / однороден), определенного с помощью I.

Согласно Браунвеллу [11], последовательность h』…，％ элементов идеала / кольца Л называется достаточно регулярной (assez reguliere), если для каждого z, 1 i < I, выполняются два условия:

Если 九+1 принадлежит одному из изолированных простых идеалов, ассоциированных с идеалом ^ = (h^, ... , h^, то этот простой идеал содержит / (и, стало быть, это изолированный простой идеал идеала /).

По меньшей мере один из изолированных простых идеалов, ассоциированных с %” не содержит hi+1.

Лемма 1 (см. [11], лемма 0; [16], предл. 3). Если А = к [л;0,..., х„]-кольцо полиномов с коэффициентами в бесконечном поле к 証 / =伉, ...,/т), то существует достаточно регулярная последовательность (力口 .…，瓦)элементов I, таких, что deg九=deg厶⑴，где все j(i) попарно различны, а идеал % и /, порожденный всеми hif имеет те же самые изолированные простые идеалы, что I. Более того, последовательность (力 力m1)регулярна

Положим 力1 =/i. Предполагая построенными /ц,...,九，рассмотрим наибольшее целое число 丿,удовлетворяющее следующему условию. Для любого изолированного простого идеала 例 идеала который не ассоциирован с /, по меньшей мере один из элементов %•, . • • ,，не принадлежит 咏.Выбирается достаточно общая линейная комбинация У координат х；, не принадлежащая никакому простому идеалу 勿. Правило Крамера показывает, что общая линейная комбинация

То есть по определению hi+ х не является делителем нуля в //^；; i + 1 W ht/, 勿о — (0). - Прим, перев.

九+ 1=В+ Е 4丫雌力—deg；^

k=j+ 1

не принадлежит ни одному из идеалов 悪 которые не ассоциированы с 丄 Оставшееся доказать нетрудно.

Используя высоту, можно доказать неравенство /W〃+L Как замечает Браунвелл, результат, установленный им для бесконечного к, показывает при переходе к к[0, что лемма действительна также над конечным полем и, стало быть, окончательный результат справедлив над любым полем.

Локальные когомологии

Обозначим через * степень 九.Тогда имеем d?》D^》d」Чтобы установить включение 乡^..・ 0) и /, достаточно доказать ^i1..-竺г и 也，…，九),но из-за различий в степенях это не означает, что все a priori сводится к случаю, когда / порожден достаточно регулярной последовательностью.

Мы можем предполагать, что высота идеала / больше 1; иначе образующие/ имеют общий множитель, и достаточно разделить на этот множитель, чтобы прийти к случаю, когда высота > 1; можно затем вновь на него умножить обе части импликации теоремы. Фиксируем достаточно регулярную последовательность &,...,瓦)в /, положим /0 = (0) и определим по индукции идеалы /“ К^ и £^ равенствами

(Ат，九)=Ц С\ Kt С\ Ei，

где Ei - вложенная часть примарного разложения левой части, К】 обозначает пересечение таких примарных идеалов этого разложения, у которых радикал изолирован и содержит h[ + l (и, стало быть, / целиком по определению элементов hj, и, наконец, Ц есть пересечение примарных идеалов, у которых радикал изолирован и не содержит Ai + 1. Поскольку по построению % не принадлежит никакому изолированному примарному идеалу идеала из теоремы о главном идеале следует, что идеал 乙 П К» несмешан и имеет высоту z (это означает, что все компоненты имеют одинаковую размерность, которая равна п — z), и, значит, то же самое верно для Ц и К； Отметим, что полиномы Л£ не имеют общего множителя и К^ = 4, поскольку высота / больше 1, и что, кроме того, £\ = Л, поскольку гиперповерхность не имеет вложенных компонент. Идея состоит в том, чтобы для i=l, А, = min(/,л) доказать включение

(*)(К〕2K厂3…к，])(厶 П KjuQi，%).

Это будет выведено главным образом из следующей леммы.

Напомним, что для идеалов / и J, таких, что J7 и J7, а / несмешан, разность ht J — ht / обозначается через codinij J.

Ключевая лемма (Коллар [29], пересмотрена Браунвеллом [11]). Пусть R - нётерово кольцо Коэна - Маколея, / - несмешанный идеал R и h- элемент из R, лежащий вне всех ассоциированных с I простых идеалов. Запишем (/, Л) = J С\ Ef где J - часть примарного разложения идеала (Д Л), для которой простые идеалы минимальны, и Е-та часть, для которой простые идеалы вложены. Рассмотрим локальные когомологии Н^(М) R-модулей М, где F - приведенный идеал, содержащий J 2

Предположим, что идеал N кольца R обращает в нуль пространства локальных когомологий модуля R/I 胃。отношению к F и ^/Ё порядка соответственно V codim『F и v codim1V/^. Это значит, что N .^(R/I) = 0 для z < codim/ F и N.//^(R//) = 0 для iv codim1V^Ё. Тогда N3 .Нр (R/J) = 0 для z < codim# w, если идеал (/,/?) нес мешан, то даже N2 .Ifp (R/J) = 0 для i V codim/.

Вначале заметим, что идеал (/, Л) несмешан и высота его равна ht/ + 1, поскольку по теореме Крулля о главном идеале Л.А/7-идеал высоты 1 и, следовательно, ht(/,/z) = ht J = ht/ + 1. Рассмотрим точные последовательности

х Л

О т R/I 一 R/I Т R/(I,/i) Т О

и

О т 〃亿 Л) т R/亿团 Т R/J т О,

…T班（AД）一厩便/亿团）一 心I （A//）…T班（AД）一厩便/亿团）一 心I （A//）(1) и Q)(1) и Q)которые порождают точные последовательности в когомологиях

…T班（AД）一厩便/亿团）一 心I （A//）

…T班（AД）一厩便/亿团）一 心I （A//）

(1) и Q)

(1) и Q)

掰（〃（/,用）一出（A/亿团）一班（r//）-编"〃亿团）• • • •

Поскольку N обращает в нуль ^(R/I), из точной последовательности (1) выводится, что N2 обращает в нуль 阁(А/(/,/?)) для f + 1 v codim； F, т. e. для i < codinijF.

Из определений легко следует, что если (Д Л) действительно имеет вложенные компоненты, т.е. £ # А, то Н^(А//) = 0 и из первой последовательности в когомологиях вытекает инъективность H^(R/(I,吟 т т "工(*//). Н。к тому же А/(/, Л)-модуль J/(7, Л) имеет носителем ^Ё, и, следовательно, J/(7, Л) = H^(J/(I, Л)); а это последнее пространство есть подмодуль H^(R/(I, Л)). Окончательно имеется инъекция (АД)-модулей J/(/, h) -> H^(R/D・ Поскольку codimi^/^ > 1, то, согласно предположению, N аннулирует H^,(R/I) и вместе с тем J/亿力)，так же как и все его

D Это значит, по-видимому, что Г = ^Г, т. е. приведена соответствующая аффинная схема - Прим, перев.

группы когомологий. Точная последовательность (2) показывает нам, что N3. H^IR/J) = 0 для i < codimjF: в самом деле, это следует из того, что N2 обращает в нуль группы 跳(А/(/,/?)) для i < codinij F, и из того, что N аннулирует все H*(JЦК)). Если (/,Л) несмешан, то 1/(/,Л) есть нуль, так же как и все его группы когомологий, и потому N2 . Я^(А//) = О для i V codinij F.

Следствие. Для каждого целого i W 卩=min(m,л) идеал Nj = К； ‘К①：..К[ обращает в нуль группы локальных когомологий Н* (A/厶),丿 < codinij. F.

Рассуждение проводится индукцией по z; при z = 1 идеал It =(儿) содержится в идеале полного пересечения высоты htF = 1 + codim/ 尸, содержащемся в F, и, согласно второму фундаментальному свойству локальных когомологий, все группы когомологий H^(R/Ir) обращаются в нуль при у < codim^ F. Далее используется ключевая лемма с подстановкой / =厶一1,力=九，/ = 4пК「 Поскольку умножение на К； аннулирует 乙/(人 П KJ и, следовательно, все его группы когомологий, то длинная точная последовательность в когомологиях, выведенная из точной последовательности

О —> 厶/厶 П К» —> R/Ц П Kj —> R/Ij т 0,

показывает, что умножение на & переводит М(А/厶)в подмодуль Hj(R/It), который содержится в образе 炉(尺/厶 A KJ.

Согласно предположению индукции, N—「ii£RIU = Q для j < codim； F и, значит, по ключевой лемме Nj「HKR3 A KJ = 0 для 丿 < codim; F.

Если соединить это равенство с только что доказанным включением, получается Nj i К「"%(A//J = 0 для у < codim；. F, а вместе с тем и нужный результат.

⑶⑶(К； 屋 …K_i)(厶 nKJu&T，/O,(К； 屋 …K_i)(厶 nKJu&T，/O,Дальнейшее вычисление проводится по индукции. Надо воспользоваться тем, что при Ej 声 R имеется включение (К£ A Ei)/(Ii_1^hi) <=

⑶

⑶

(К； 屋 …K_i)(厶 nKJu&T，/O,

(К； 屋 …K_i)(厶 nKJu&T，/O,

где 1 W i W 入=min (/, л), и из этого включения выводим, спускаясь на этот раз по индукции от 入=min (/, л) до е； новые включения

0 Nj _ 1 Kj) •а u (l_ 1,九，力 j +1,,力入),

откуда получаем

Окончание доказательства

Доказательство заканчивается главным образом с помощью теоремы Безу; индукция по ? от 1 до X = min (л, /) дает равенства

(5)degL+ £ (degKj)Dj+「..Di = % …D「

Покажем теперь, как завершается доказательство теоремы в случае / W п.

Записывается примарное разложение К： = П пе5.^ каждого из идеалов К［； пусть ^/^ = ^. Для каждого 0%) существует целое 4? W long 纟2 такое, что (乡£))加 и ^^. Используя включение (4), получаем (поскольку 厶 = К) такие целые числа §, что

i = 1 oeS；'/，

Первое из этих включений дает неравенство

⑹X X 專 deg 怨 W E (deg KJ ,+ 】

i — 1 oeS,i — 1\ Z •

и надо заметить к тому же, что поскольку Лп ... , hhtI есть полное пересечение, то К； = А, стало быть, degKj = 0 для i <Ы1. Из равенства (5) следует, что,

⑺X (degKJ Di+lDl Dt... D；,

и мы сейчас докажем неравенство

X X專deg冽？ wdi・・・4t. i 1 b $

Для этого достаточно ввиду (6) и (7) доказать неравенство

⑻2宀)小一

Ясно, что / W 卩 и числа Z\, будучи степенями попарно различных полиномов 厶⑴，удовлетворяют неравенству 点 … 厶》％ …D【,откуда следует

d、... dpDl...Did、... dpDl...Di》3 + 1》3 + 1・・323i》・・323i》3— + 123— + 12

d、... dpDl...Di

d、... dpDl...Di

》3 + 1

》3 + 1

・・323i》

・・323i》

3— + 1

2

3— + 1

2

так как по предположению %》3 для / > 1. Фактически, если желательно освободиться от этого предположения, можно воспользоваться нера-

венством (3/2)KDf + 1.. .Dt^ Ъ1~\ где к обозначает число тех РД1 W » W /), которые равны 2. В результате произведение 办…4，будет снабжено множителем (3/2)к.

Итак, в случае / W 九 мы доказали существование семейства однородных простых идеалов ^, содержащих изолированные простые идеалы идеала I, и семейства целых чисел 專，удовлетворяющих

n(兜)聘u (儿，…，九)u /

и

e到deg弊W人…厶,

в частности,

Случай, когда / = 〃 + 1, аналогичен и немного более сложен; используется следующее данное Колларом и Филиппоном обобщение одного результата Маколея (см. [37], с. 67) и Лазара (см. [32]):

Лемма. Обозначим через ^ идеал (х0,... ,xn)R. Если hn + iHe имеет общих нулей с идеалом 1п, то

J^d …"иЗ，ю Зля d^ deg/n 一 1.

Если (/?i, ... , hn) -регулярная последовательность, то для 4》 4=1(2 —1)

Здесь приходится иметь дело главным образом с размерностью нуль, и доказательство сводится к вычитанию (decompte) размерностей векторных пространств, как у Маколея.

Спускаясь по индукции, как при доказательстве (4), исходя из включения 垓и (/”,〃“+i), доказываем

и отсюда прежним способом выводим существование семейства однородных простых идеалов 勿?，отличных от Л, содержащих изолированные простые идеалы идеала I, и семейства целых чисел (%,期), удовлетворяющих

^%口(0协^ u电，…，九)u / и

% + Х君deg^Pwdi …,

в частности,

2w4■

Ранее сформулированная теорема отсюда следует немедленно.

Теоремы Безу и теорема Гильберта

Тождество Безу и теорема о нулях

Пусть /15^ек^х^., хп] и предположим, что они не имеют

общих нулей в кп. Вследствие теоремы Гильберта о нулях существуют полиномы д^ ... , дт, такие, что выполняется тождество Безу

^fi9i= 1 ；

1

в самом деле, если добавить переменную х0 и рассмотреть однородные полиномы Ji = x^ftixJxQ^.^xJxQ), то все их общие нули лежат на гиперплоскости в бесконечности х0 = 0 и, стало быть, существует целое с и однородные полиномы ^,, дт, такие, что х$ = £餐1工9»； отсюда

утверждение получается подстановкой х0 — 1. Обратно, Рабинович (ср. [43]) показал, что если известно тождество Безу, то можно вывести теорему Гильберта: если полином g обращается в нуль во всех общих корнях 力，…，工，то добавляют переменную хп+1 и рассматривают полиномы6, ...,(, 1 - Xn+ig； они вовсе не имеют общих нулей в /, стало быть, можно записать 1 = £之1 工％ + (1 —匕 + 19)厶 Заменяя хп + 1 на д-i и освобождаясь от знаменателей, получают 9$ = £弘1工&, т.е. теорему о нулях.

Техника, которую мы продемонстрируем, позволила Коллару получить наилучший результат в отношении тождества Безу и теоремы о нулях.

Для заданных поля к и целых положительных n.d^ ... ,dm обозначим через NB(к;п,d^^.^d^ наименьшее целое s, такое, что для любого выбора полиномов £,...,工 £ к [/,…,xm] степеней deg/ = & без общих нулей в J? существуют полиномы д「，自小£左[工1，... , х„], для которых 2孑工仇=1 и supi(deg，％) Ws, и обозначим через Nr (к; % %,…，乙)наименьшее целое s, такое, что для любого выбора однородных полиномов 办，…，7mGkOo, ，хп] степеней deg工=& имеется включение идеалов (J伉二力)y伉,…$).

Для заданных целых положительных nndt^ d2^ ...^ dm обозначим через 尸(％di，•…О число, определенное следующим образом:

厶…если /и и;

尸(〃,办，…，乙)=V办…4一й乙，если m > 〃 > 1;

4 + 乙—1，если m> n = 1.

Определение Р("&,…，dQ можно перенести на любые последовательности целых чисел, располагая 乙,...,dm в убывающем порядке и применяя предыдущее определение. Тогда имеет место

Теорема 2 (Коллар [29]). Если все d{ отличны от 2, то выполняются равенства

№в(к;小d、，dq = NH(k;n,d1,...,dm)=尸(〃,&,…&).

Неравенства W являются существенным следствием виденного нами в предыдущем разделе. Надо заметить, что в конце концов речь идет о том, чтобы определить, имеют ли решения системы линейных уравнений между коэффициентами, а потому легко можно увеличивать поле к и, в частности, предполагать его алгебраически замкнутым.

Коллар показал, что неравенства, выведенные из предыдущего раздела,- наилучшие. Для этого он использовал один пример Массе и Филиппона.

Пример [29]. Для заданных целых п, d、,.d^ рассмотрим следующие полиномы из к [х0, ... ,

M、XlXf 7 一 X久 …，%一2^1一 一 碍二г，%-i/"7 - х£

Обозначим z-й полином через /；; он имеет степень &. Общие нули 工一 точки прямой X。= ... = X" _ 1 = 0, и простой подсчет показывает, что к [х。，…，修]/伉хп — 1) ^ к [x0]/(x0)nrfi. Таким образом, х。находится в радикале идеала (Л，・•• ,£), но (х。)口&一 】咕伉，一.,£). Упорядочивая di таким образом, чтобы dn стало наименьшим, и добавляя к 工 подходящие кратные fn, можно получить границу теоремы для т > п, и, рассматривая этот пример с т переменными вместо л, можно получить границу для т< п. Переходя к неоднородным координатам можно получить границу NB(k;n,dY, ... , dm).

Следует заметить, что в евклидовом кольце очень легко доказать тождество Безу с хорошими границами для степеней и величины коэффициентов, и можно надеяться, что методы деления полезны в любой размерности. Как уже было сказано, пока не заметно, чем могут помочь общая теорема деления Хиронаки и алгоритм Бюшберже (ср. [44]), но в следующем параграфе мы увидим, чего можно достигнуть анализом подстановок в формулу деления.

Теорема Безу о пересечениях и теорема Гильберта

Теория пересечений Фогеля в [49] (см. также [48]) связывает с пересечением т ^ п гиперповерхностей 匕 в Р" приведенные подмногообразия С\,..・,Ct пересечения П 仁 i 匕 и целые числа Jb》1 таким образом, что dY ... dm=^b=iJb^е8G• С точки зрения Фултона и Макферсона в [20], существуют подмногообразия Zi, ... , Zu (называемые отмеченными (distinguees)), целые числа 加卜...,ти и в каж-

дом Zc цикл ас, такие, что цикл пересечения Vr ... Vm удовлетворяет равенству 匕...Vm = ^=1тсас ^- Эти результаты описывают пересечение П Jb i % алгебраическим циклом, который совпадает с некоторыми компонентами пересечения в их общей точке. Напротив, эффективная версия теоремы о нулях из п. 1 является подлинно геометрической, а не только численной или «цикленной», поскольку она описывает подсхему, а не цикл, и эта подсхема действительно содержит, и не только в окрестности общих точек, пересечение П『1%. Итак, ее можно рассматривать, немного преувеличивая, как «геометрическую теорему Безу».

§ 2. АНАЛИЗ

С этой точки зрения история восходит к задаче о короне, решенной Карлесоном \ и обобщениям Хермандера [27] и Келлегера-Тейлора [28]

Задают открытое подмножество Q в С и неотрицательную плюри- субгармоническую функцию s на Q к обозначают /s(Q) алгебру аналитических в Q функций 工 для которых существуют константы Сх и С2, такие, что

|/(z)| w & exp(C25(z))

для zwQ. Пусть заданы элементы Д, ...，/„, для которых существуют положительные числа сА и с2, такие, что для zwQ

1/1 (z)| + …+ |工0)|》Q6XP(- C2”z))・

Проблема в том, чтобы определить, порождают ли 八,...,fm алгебру 4(Q)・

Заметим, что условие необходимо, в чем можно убедиться, записывая

= 工工⑵仇0，

где д^А^.

Для этого класса алгебр можно поставить задачи § 1. Алгебра полиномов С[%1, ・.・, х„], согласно теореме Лиувилля, отвечает случаю Q = С", s(z) = log(l + II z II). В [7] можно найти следующую мотивировку.

Сигнал, представленный распределением а на R", измеряется т приборами, которые представлены т распределениями с компактным

“ Смотри [20], первые параграфы глав 6, 7, 8. [Имеется русский перевод [20]:① ултон У. Теория пересечений-М.: Мир, 1989.] По определению Т\... Vm является {п — т)-мерным циклом в П Т= i У^- Прим. перев.

носителем ц1? ... , цт на Rn, в то время как результат каждого измерения представлен сверткой 匕=山* о. Проблема состоит в явном реконструировании о исходя из %, т. е. в явном отыскании распределений с компактным носителем vf, таких, что о =工忆1 v^* 卩^*о; стало быть, предстоит разрешить уравнение

i=l

в алгебре относительно свертки, где единицей служит распределение Дирака 50, сосредоточенное в 0. Преобразование Фурье 夕 устанавливает изоморфизм между алгеброй (относительно свертки) распределений с компактным носителем на R" и алгеброй 4С), где s(z) = log(l + + II z II) + II Im z II. Стало быть, предстоит решить в этой алгебре целых функций задачу Безу

1= e夕(山)•i = l

Вообще, можно задаться вопросом, не является ли существование неотрицательных с1ис2, для которых при zwQ выполняется неравенство

lg(z)l WQ ||/ ||exp(Qs(z)),

f= (Л，/т),11/ II = (£Т1 工⑵ I?产Г необходимым и достаточным условием того, что функция geAs (Q) принадлежит идеалу алгебры As (Q), порожденному

Шкода [47] доказал в этом направлении весьма общую теорему, которая была в другом месте использована Браунвеллом в его доказательстве эффективного тождества Безу для полиномов. См. [12] и [14].

Недавний успех Беренстайна-Игера основывается на формуле представления, которая подставляется в формулу деления, для того чтобы можно было явно записать решения уравнения д =工仁 i 工仇• Беренстайн и Игер начинают с доказательства существования вычетного потока, связанного с семейством полиномов/^ ...，工，определяющим дискретное подмножество Сл. Они используют теорему М. Ф. Атьи [3] и И. Н. Бернштейна [9].

Теорема 3 (Беренстайн-Игер [5]). Пусть задано р голоморфных функций А> • • • ,fp на открытом подмножестве Q в Сл, определяющих там полное пересечение V, w пусть ср - дифференциальная форма с компактным носителем в С", класса С°° w типа (л,п — р), д-замкнутая в окрестности V. Функция

f — 1) 2 f If f |2户入

мероморфна на всей комплексной плоскости. Кроме того, она имеет в точке 入=0 простой полюс, а вычет ее в этой точке равен

«:八，，，八3；，屮〉=1吗彘 J ^7，

力JP £-*о (2л?)р rg Ji.. Jp

где Ге - вещественный ориентированный цикл

(z g Q/l/i (z) I =…=\fp (z) I = £).

Предположим, что заданы т полиномов (р。…，рт) из С[хп ... , х〃]; так как мы хотим выделить л первых, то обозначим их/х, ... ,fn,pn+i， рт (т. е. мы обозначим j\= р» для / W 胃).

Обозначим 尸=Di，…，£), j° =/"…/>」尸 N = (E?=i I力⑵I?)"? и /=/\；%, 3=/\；%,疗=/\；修(в возрастающем порядке). Предположим, что первые п полиномов удовлетворяют неравенству Лоясе- вича: существуют радиус г и константы с>0 и dwR, такие, что для ||z II > г

(匕 3)(Ej/(z)『丿》c||z|K

Кроме того, выберем для каждого полинома 力 п полиномов ^ t от 2п переменных zt，…，z〃，J,…，，“ степени W 办=degp7 по каждой группе переменных и таких, что

力⑵一力(，)=2 ghl(z^z^^.

1 = 1

Можно взять, например,

力(Ci,&一 i, z" z^ 一力(，i,Z[ + ],z") ■

… g%i(z<)”i(z<)… g%i(z<)”i(z<)…隙,"(厶，)%,/,，)…Ш-Ш p^)…隙,"(厶，)%,/,，)…Ш-Ш p^)При этих условиях для данного полинома 夕,содержащегося в идеале (j\, ,，),и голоморфных функций %,wm в окрестности Q многообразия 匕 таких, что q — w1p1 + ... + итрт в Q, рассмотрим полиномы от z, С, определенные равенством

… g%i(z<)”i(z<)

… g%i(z<)”i(z<)

…隙,"(厶，)%,/,，)

…Ш-Ш p^)

…隙,"(厶，)%,/,，)

…Ш-Ш p^)

九1 gО%1亿，)

吗(z<) = det 91尸亿,)%<4,)

Здесь а + 1 = & + 1,…，勺 + 1) и

Имеет место

Теорема 4 (Беренстайн - Игер [5]). Положим D = max]辽」w〃deg〃 и пусть d-показатель, входящий 6 неравенство (匕(d)). Если г - такое целое число, что dr > degq + (л — 1)(2D —1)+1, то имеется тождество (В —Y) g(z)= X <а—£ 勺©叱(z,?E)r(z). lalwr-" \ /a + 1© j=l/

Проверяется, что это дает тождество Безу q =，： Ar . Единственный член, который представляет трудность,- это слагаемое с а — 0, но можно развернуть детерминанты 吗 и воспользоваться тем фактом, что вычетный поток 3 ； аннулирует подмодуль (/^ ,fn)Qn,° модуля Q"'° дифференциальных л-форм типа (% 0).

Сходимость интегралов обеспечивается неравенством (匕(力)，а число & которое стоит в показателе, ограничено функцией данных. Это вытекает из следующего результата, который принадлежит Коллару и представляет улучшение одного результата Браунвелла.

Предложение (Коллар, см. [29]). Пусть plf ... , ртеС[х17 , х„]- полиномы, имеющие только конечное число общих нулей в Си; положим 4 = degpj и предположим, что 九》2. Тогда существует константа С > 0, такая, что для достаточно большого || z ||

max(||z|rdq^(z) |)》С || z |厂尸(^，…，厶).

Доказательство заключается в использовании того обстоятельства, что задача локальна в окрестности точек на бесконечности, и сводится к тому, что если 尸小...，尸执 wC [х】,.…，x„] c m W л-полиномы, общие нули которых содержатся в гиперплоскости х】=0, то вблизи начала координат для некоторой константы С( > 0 выполняется неравенство шах|д.(г)|》UlxJ11%

Коллар заметил, что достаточно проверить, имеет ли хотя бы одна из функций Pi。冗 нуль порядка <Y[^i вдоль каждой компоненты исключительного дивизора раздутия л: Z -> С"; л определяется идеалом, порожденным всеми р「

Чудесно, что тождество (В — Y), с виду такое сложное, позволяет найти границу для степеней и, в случае полиномов с коэффициентами в Z, ограничение на величину коэффициентов тождества Безу.

Пусть задан полином p(z) ^'Lp^^eZ.^x^, х^. Высотой1} р

* Это понятие высоты (hauteur), которое распространяется на идеалы (см. [40], [41]), не имеет отношения к использованному нами в § 1; слово величина (taille) было бы предпочтительнее, но такова, к сожалению, принятая терминология. (По поводу термина «величина» см. ниже прим, перев. к § 3.~Переев

называется число Н(р) = Маха | ра | и логарифмической высотой - !щсло 力(р) = log"(p)・ Надо заметить, что из границы для степеней в тождестве Безу при помощи линейной алгебры следует граница для высот, но эта граница очень плохая: она равна с (л) D"2 (Л + log m + л2 log D). Метод Беренстайна и Игера приводит к следующей теореме.

Теорема 5 (Беренстайн - Игер [5]). Пусть р1,,.,,рт~ полиномы из Z [%1，... , х也].Предположим, что все они - степени ^ D w логарифмической высоты hip. W h (1 W J W m) и не имеют общих нулей в Сп. Существуют целое 5 w полиномы gY (z), ... , д„,(2)ЕZ [х】,•一 ,х„], такие, что

5 = Е 力(z)9j(z)

1

w для всех /

degg7^10(n+l)5(2D+l)2n,

h(g)(z)) W к(〃)£)9" + 3(h + logm + DlogD), log 5 W K(n)D9rt + 3(h + logm + DlogD), где к (л) - эффективно вычисляемая константа.

Возьмем Q 二 Сп. Границы для степеней видны непосредственно из (В — У), но границы для высот гораздо деликатнее. Беренстайн и Игер используют эффективный вариант теории Нетера о нормализации, чтобы подобрать наилучшие 卩у и, все приняв во внимание, им достаточно найти границу для н.о.д. знаменателей рациональных чисел

/当一＞ ，SlW3(zi+l)2(2D+l)“，|a|Wr — 〃，

\ /а+ 1(() Л1+1(и/

^€/„+1-новая подходящим образом выбранная образующая контролируемой высоты в идеале (рх, ... ,рт) п.

§ 3. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Филиппов задался целью мажорировать степени и величину коэффициентов в теореме о нулях в рамках более общей задачи о полиномах с коэффициентами в кольце Л, снабженном функцией «величина»

"В [8] Беренстайн и Игер анонсируют границы

deg% W 10层》，

max (例 5,厶匂1 ⑵)，…，A (gm (z))) W K(n)D8n + 3(h + D log D),

полученные ими с помощью уточнения своего метода и представленных ниже результатов Филиппона.

(taille), но мы ограничимся здесь случаем Z. Как это сделал впервые Нестеренко [40], Филиппон также оценивает арифметическую величину идеала, порожденного однородными полиномами р^Т[х0,х」, с помощью коэффициентов ассоциированной формы Кэли-Чжоу1}. Ограниченным рангом (rang restreint) идеала J и Z [х0>..., х„] называется наименьшая из высот простых идеалов 乡，ассоциированных с / и таких, что х0ф^* и ^*n Z = (0). Напомним, что элемент д кольца Л называется целым над идеалом J, если он удовлетворяет алгебраическому соотношению д'+ 〃1不一1+・・. + % = 0 с В алгебраической геометрии целая зависимость передается неравенствами, в которых используются нормирования, а в локальной аналитической геометрии - неравенствами Лоясевича (см. [36]). Множество элементов А, целых над J, есть идеал, который обозначается 工 С помощью нормирований (значит, вполне алгебраическими методами) Филиппон доказал следующий результат:

Теорема 6 (Филиппон [41]). Пусть 厶，…,pmeZ[x0, ... , xn] - однородные полиномы степеней d1^dm^...^d2 и такие, что h(p^ W h. Положим 卩=min(m, л) w v = min(m, л + 1). Если полиномы p- порождают идеал I ограниченного ранга》〃 + 1, то существует элемент у £ Z, такой, что

U

где С (л) эффективно вычисляема.

Далее он выводит из [36], теорема 2.1, которая играет здесь роль теоремы Шкоды, что для всякого простого числа р существует целое %, взаимно простое с р и такое, что

"+2门，

где положено q = ух* …%. Отсюда довольно легко выводится

Теорема 7 (Филиппон [41]). Пусть р^... ,рт g Z [хьполиномы

右(P，W 九 Если Pi，рт не右(P，W 九 Если Pi，рт неимеют общих нулей в Сп,имеют общих нулей в Сп,степеней 小 & d^W …& d? w такие, что

右(P，W 九 Если Pi，рт не

右(P，W 九 Если Pi，рт не

имеют общих нулей в Сп,

имеют общих нулей в Сп,

掰。существуют целое 3, такое, что

logb W 仇 + 2)С⑶/?& …dv(； + 2 0)

"У Нестеренко [40] определение величин (несмешанного однородного) идеала / и Z [х0, ..., %], A =C[z] дается в начале § 2, с. 266. При этом функция «величина» для кольца А = С[г]-это, по-видимому, степень многочленов от одной переменной - Прим, перев.

и полиномы 91， ... , ^mGZ[Xi，...» х“], такие, что

deg(Pj%・)W 伊 + 2)必…&•

Заменим Pj однородными полиномами 户『Из предположения о нулях следует, что сокращенная высота ^ л + 1. Из предыдущей теоремы при подстановке 5 — уп+2, пользуясь тем, что числа ар в совокупности взаимно просты, выводим

Стало быть, можно написать

и вывести нужное заключение с помощью подстановки % = 1. Совсем недавно Филиппон доказал эквивалентные результаты другим, несходным способом; он заставил работать над кольцом Z то доказательство Коллара, пересмотренное Браунвеллом, которое было изложено в § 1. См. [42]. Локальные когомологии представлены там под видом комплексов Кошу ля, более удобных, когда надо следить за высотами элементов. Пока еще эти методы не дают границы для высоты полиномов д^ которую получили Беренстайн и Игер.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрим результат § 1 как геометрическую теорему о пересечении; можно надеяться, что наилучший язык для подобных проблем доставляет арифметическая геометрия Аракелова [1], что эти результаты- предпосылки геометрической теории пересечений на арифметических многообразиях. Это позволило бы, в частности, заменить теорией пересечений в духе Жилле-Суле (ср. [21], [22], [23]) громоздкие вычисления над формами Кэли-Чжоу, которые я утаил1*.

Общая тема трех параграфов - «вычеты и двойственность»; в § 1 эта тема проявляется в использовании свойств (достаточно) регулярных последовательностей в локальной когомологии, в § 2 она совсем явная, и в § 3 она представлена использованием одного результата из [36] - следствия локальной теоремы двойственности Гротендика. Можно надеяться также, что три изложенных выше подхода составляют предпосылки отражения этой темы в геометрии Аракелова.

° В действительности построение этой теории уже начато; см. препринты MHauteurs alternatives" П.①илиппона (Р. Philippon. Institut Henri Poincare, 1990) и К. Суле (С. Soule. Institut des hautes Etudes scientifiques, 1990).

ЛИТЕРАТУРА

Аракелов С. Ю. Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности. Изв. АН СССР 38 (1974), № 6, 1167-1180.

Arnaudies J.-M. Elimination et theorie de Galois. These, Universite Paul Sabatier de Toulouse, Janvier 1989.

Atiyah M. Resolution of singularities and division of distributions. Comm. Pure and Appl. Math. 23 (1970), 145-150.

Bayer D. A. The division algorithm and the Hilbert Scheme, These, Universite Harvard, 1982.

Berenstein C. A., Yger A. Effective Bezout identities in QIX,.../"]. Preprint University of Maryland, Sept. 1988.

Berenstein C. A., Struppa D. On explicit solutions to the Bezout equation. Syst. Control Letters 4 (1984), 33-39.

Berenstein C. A., Yger A. Le probleme de la deconvolution. J. Funct. Anal. 54 (1983), 113-160.

Berenstein C. A., Yger A. Une formule de Jacobi et ses consequences. Annales sci. E. N. S.

Бернштейн И. H. Аналитическое продолжение обобщенных функций по параметру. -Функц. анализ и прил., 6, вып. 4, 1972, 26-40.

Bertrand D. Lemmes de zeros et nombres transcendants. Sem. Bourbaki, ex. n° 652, Nov. 1985. Asterisque No 145-146, (1987), p. 21-44.

Brownawell W. D. A prime prower version of the Nullstellensatz. Preprint 1989.

Brownawell W. D. Bounds for the degree in the Nullstellensatz. Annals of Math. 126 (1987), 577-591.

Brownawell W. D. Bornes effectives pour Fexposant dans le theoreme des zeros. C.R.A.S., Paris, t. 305, ser. 1 (1987), 287—290.

Brownawell W. D. Local diophantine nullstellen inequalities. J.A.M.S. 1, No2 (1988), 311 322.

Brownawell W. D., Masser D. W. Multiplicity estimates for analytic functions, II, Duke Math. J. 47 (1980).

Caniglia L., Galligo A., Heintz J. Borne simple exponentielle pour les degres dans le theoreme des zeros sur un corps de caracteristiquc quelconque. C.R. A.S., Paris, 307 (1988), 255-258.

Caniglia L., Galligo A., Heintz J. Some new effectivity bounds in computational geometry. 6th International Conference on applied algebra (AAECC-6) Springer LNCS No. 357 (1989), 131 151.

Demazure M. Le theoreme de complexite de Mayr-Meyer. Geometric algebrique et applications. Travaux on cours No. 22, Hermann 1987.

Fitchas N., Galligo A. Nullstellensatz effectif et conjecture de Serre, In: Seminaire ^Structures algebriques ordonnees4' 1987-88, Universite Paris 7.

Fulton W. Intersection theory. Ergebnisse der Mathematik, Springer 1984.

Gillet H., Soule Ch. Arithmetic intersection theory. Preprint IHES 1988.

Gillet H., Soule Ch. Amplitude arithmetique. CRAS, Paris 307 (1988), 887-890.

Gillet H., Soule Ch Characteristic classes for algebraic vector bundles with hermitian metrics. A paraitre dans Annnals of Math.

Grothendieck A. Local cohomology (Notes by R. Hartshorne). Springer L.N.M. No 41, Springer 1967.

Heintz J., Cosle-Roy M.-F., Solcrno. P. On the complexity of semialgebraic sets. Proc. IFIP, World Computer congress, San Francisco, 1989.

Hermann G. Die Frage der endlichc vielcn Schritte in der Theorie der Polinomideale, Math. Ann. 95 (1926), 736 788.

Hormandcr L. Generators for some rings of analytic functions. Bull. A. M. S. 73 (1967), 943 -949.

Kelleher J. J., Taylor B. A. Finitely generated ideals in rings of analytic functions. Math. Ann 193 (1971), 225 237.

Kollar J. Sharp effective Nullstellensatz. J.A.M.S. 1 (1988), 963 975.

Kollar J. A Lojasiewicz-type inequality for Algebraic Varieties. Preprint, University of Utah, 1990.

Lasker E. Zur Theorie der Moduln und Ideale. Math. Ann. 60 (1905), 20-116, Errata p. 607-608.

Larazd D. Algorithmes fondamentaux en algebre commutative, Asterisque No 38—39.

Lazard D. Algebre lineaire sur &[/,…，芻]et elimination. Bull. S.M.F. 105 (1977), 165-190.

Lejeune-Jalabert M. Effectivite de calculs polynomiaux. Cours de DEA, Institut Fourier, 1984-85. A paraitre.

Lejeune-Jalabert M. Liaison et residus. Algebraic Geometry, Springer LNM No. 961, 1982, p. 233.

Lipman J., Teissier B. Pseudo-rational local rings and a theorem of Briancon- Skoda. Mich. Math. J. 28 (1981), 97-116.

Macaulay F. S. The algebraic theory of modular systems. Cambridge tracts in Math. No 19, Cambridge 1916, et Stechert-Hafner, New York, 1964.

Masser D. W., Wustholz G. Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions. Invent. Math. 72 (1983), 407-464.

Mayr E. W., Meyer A. R. The complexity of the word problems for commutative semi-groups and polynomial ideals. Adv. in Math. 46 (1982), 305-329.

Нестеренко Ю. В. Оценки порядка нулей функций некоторого класса и их применение в теории трансцендентных чисел. Изв. АН СССР 41 (1977), 239-270.

Philippon Р. Denominateurs dans le theoreme des zeros de Hilbert. Prepublications, Institut Henri Poincare, 1989.

Philippon P. Theoreme des zeros effectif d'aprOs J. Kollar. Problemes Diophan- tiens. Publ. Math. Univ. Paris 6, No 88, 1988-89.

Rabinovitsch J. L. Zum Hilbertschen Nullstellensatz, Math. Ann 102 (1929), p. 520.

Robbiano L. (Ed.) Computational aspects of commutative algebra. Academic Press 1989.

Samuel P. Methodes d'alg^bre abstraite en Geometric algebrique. Springer, Ergebnisse der Math. No 4, 1967.

Schiffman B. Degree bounds for the division problem in polynomial ideals. Mich. Math. Journ. 36 (1989), 163-171.

Skoda H. Application des techniques L2 a I'etude des ideaux d'une algebre de fonctions holomorphes avec poids. Ann. sci. E.N.S. 5 (1972), 545-579.

Van Gastel L. Excess intersections. These, Universite d'Utrecht, 1989.

Vogel W. Lectures on results on Bezoufs theorem. Tata Institute Lecture notes, Bombay 1984.

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ ЭРГОДИЧЕСКИХСРЕДНИХ ПО НЕКОТОРЫМ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ

(по Ж. Бургену)

Жан-Поль Тувено

0. ВВЕДЕНИЕ

Пусть (X, М, m, Т) - динамическая система, где биизмеримая биекция Т сохраняет меру вероятностного пространства (X, М, ш). Теорема Биркгоффа утверждает для /е1?(Х) сходимость п. в.汇 Е2="(Т乜)ПРИ N -> + оо.

1с—^=1/(Тк х) сходятся в L2 при N явно поставлена в [В] и [F2].1с—^=1/(Тк х) сходятся в L2 при N явно поставлена в [В] и [F2].Имеются многочисленные обобщения этого результата на действия более общих групп, чем Z, и для подпоследовательностей целых чисел положительной плотности с ограничениями на природу Т (при дискретном или лебеговском спектре, см. [В-К] и [B-L]). Однако для последовательностей с нулевой верхней плотностью не было примеров, когда выполнялась бы подобная теорема, поскольку комбинаторные методы, используемые для установления максимальной леммы, казались неприемлемыми в этой ситуации. Наиболее естественным примером в этом направлении была последовательность квадратов, поскольку из спектральной теории было известно, что для /gL2 средние

1с

—^=1/(Тк х) сходятся в L2 при N явно поставлена в [В] и [F2].

1с

—^=1/(Тк х) сходятся в L2 при N явно поставлена в [В] и [F2].

+ оо. С о ответствующ ая задача

Бурген в [В1] первоначально доказал максимальную лемму для предыдущего случая, введя совершенно новую технику преобразования Фурье на модели орбит. Затем в [ВЗ] на основе той же техники он получил достаточные условия на функции 工 для которых выполнена сходимость п.в. (функций из L?, и распространил свой результат на последовательности 〃“, d》2, и последовательность простых чисел.

Для последовательности nd он доказал в [В2] сходимость п.в. для 1 + функций f , р > —-—.

Он значительно развил свой метод, придав ему форму средства работы с различными последовательностями арифметического типа. Им доказана [Вб], в частности,

Теорема. Пусть (X, 忆 т, Т) - динамическая система и р(п)~ полином с

целыми коэффициентами. Пусть г >целыми коэффициентами. Пусть г >ufeL^X). Тогда ^Yk = J(T^x)

целыми коэффициентами. Пусть г >

целыми коэффициентами. Пусть г >

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ ЗРГОДИЧЕСКИХ СРЕДНИХ 99 сходится п.в. при N -> + со. То же выполняется, если р(〃) обозначает п-е простое число.

(Случай простых чисел для / eL\ г > 1, был решен ранее в [W]).

Мы изложим его работу, ограничиваясь случаем / gL2(X)尸(〃)=〃* d》2, и отметим, как нужно действовать в случае с простыми числами (теоремы 5 и 6).

В параграфе 6 мы приводим ряд результатов Бургена, вытекающих из той же теории.

МАКСИМАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО

Теорема 1. Пусть целое d》2. Для / g/2(Z) определим Mf : Mf 伪)=sup 6 E / 例 + kd).

Тогда существует такая константа С, что

\\Mf\\2^C\\f\\2

(С зависит лишь от d).

Теорема 2. Пусть (У, s^, т, Т)-динамическая система и d^Z Для f^L2W положим f*(x)=^ sup ^XkJ(T%) . Тогда II/* ||2 С||/1|2 . (С-константа из теоремы 1.)

Доказательство теоремы 2 при помощи теоремы 1. Пусть N—iiojio・ жительное целое число и

/* W = sup一/* W = sup一1 N1 N

/* W = sup

一

/* W = sup

一

1 N

1 N

Достаточно доказать ||/*||2 W С||/||2 (С не зависит от N). Пусть J » N.Для хеХ и q)xW/2(Z) определим(рх(л)二 f{Tnx), 〃е[0"],外伊)=0, если

^=J(^kd)^=J(^kd),имеем,имеем〃专[0"]・ Тогда, определяя Mr/仇)=sup

^=J(^kd)

^=J(^kd)

,имеем

,имеем

N N > О

I|MnP』2 W ||Mq)x||2 W С||(рх||2 (по теореме 1), что приводит к

J-NJ

X |/^(Рх)|2 WC2 £ |/(Т5)|2;

k=0fc-0

интегрируя, с учетом того, что Т сохраняет меру, получим (j一№旷£^w02〃1/1以

Так как J можно выбрать сколь угодно большим, получим требуемый результат.

Зтот переход от модели одной орбиты (Z, сдвиг S) к преобразованию

появился в [С]. Из максимального неравенства (теорема 2) следует, что для любой системы (X, W, tn, Т) множество функций f^L2 (X), для которых имеет место сходимость почти всюду сумм SNf(x)=斤2夕=J(T“x)， замкнуто в L2. Тогда как для обычных сумм Биркгоффа несложно указать плотное множество функций, для которых имеет место сходимость п.в., в случае сумм §/(х) нет естественных плотных множеств.

Однако для некоторых специфических преобразований имеются естественные плотные множества, например, если Т имеет лебеговский спектр (функции с ограниченной спектральной плотностью) или Т изоморфно вращению на иррациональный угол (непрерывные функции).

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ФУНКЦИИ,ДЛЯ КОТОРЫХ ВЫПОЛНЕНА сходимостьПОЧТИ ВСЮДУ

Теорема 3. Пусть fel2(Z^^ £ > 0, d》2. Положим Ze = [(1 + £)и],九eN ([]обозначает целую часть). Пусть Nj-последовательность целых чисел, такая, что > 2Nj, w пусть

М»(〃) = sup - X /(« + fcd) - — Z /(« + /")•NwZg ^ fc=lN〃=l

Тогда хy J也河ь W 4(川1/Н2，？況4⑺/J стремится к 0 со ско- ростью, которая не зависит от £ (w последовательности N》.

Теорема 4. Из теоремы 3 вытекает, что если (X, М 也 Т) - динамическая система и feL^(X), то

S/G) = — £ /(Т"*(х)) сходится п.в. при N т 十 8 . N т

Доказательство. Точно такое же доказательство, как доказательство теоремы 2, показывает, что для

MJ/(x) = sup I SNf(x) 一 SNJ(x) I

NjWN WNjr'

N e Z £

выполнено

~ E加2To.

Но если 5"не сходится п.в. вдоль Ze, найдутся число « > 0 и множество Е и X, т(Е) = а, такое, что hmNe2 SNf(x) — lim7VeZe SNf (л) > а для всех

х из Е, и можно выбрать последовательность N& удовлетворяющую условию Nj+1》2Nj, такую, что $叩卄代％+,丨 S/") — SNjf(x)\ > | для

всех х некоторой части Е, имеющей меру не меньше, чем Но это противоречит (1). Если/принадлежит L*, для любого N существует N' в_ Z& такое, что | SNf(x) — §м/“)1 W 2е||加喲 и, следовательно, НтЗм/— HmS J W 4&||/||巾 п.в., а ввиду того, что (1) выполняется для всех е, получим требуемый результат.

Как следствие теорем 2 и 4, имеет место

Теорема 5. Пусть (X, М, т, Т) - динамическая система, d^2 uf eL2(X). Тогда

= - z f(Tkdx)= - z f(Tkdx)1 N

= - z f(Tkdx)

= - z f(Tkdx)

сходится 儿s. при N -> + оо.

Если система вполне эргодическая (все степени Т эргодические), предел равен \f dm.

Рассматривая последний случай, заметим, что по теореме Бохнера сходимость в L2 сумм SNf (х) эквивалентна сходимости в L? на

Si = {zgC|z| = 1} полиномов — £ z", где 长$ есть мера на S],

определенная условиями \fTnfdm = ^einxdvf(x)^neZ, f/vz{0} = \fdm. Если T вполне эргодично,公歹 не имеет точечной массы в точках е2,л^, где р/q-рациональное число, отличное от 0, и — £ ??'7a七 сходится

к 0 при всех иррациональных 0 по теореме Вейля.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Так как / можно предполагать положительной функцией, имеем 2 〃2，+，/(〃)扌 MNf(n) 2? w N W 2。+1 ( M"(〃)= ^ £ /(〃 + ")),

и если Z = {2fckeN}, достаточно доказать теорему для

1 n1 nMf(n) = sup|MN/(«)|.

1 n

1 n

Если К^-мера на Z, определенная равенством KN — то Mn/=/*Kn・

В этом методе, как и при изучении проблемы Варинга Харди и Литтлвудом, используется преобразование Фурье. Пусть 『(口丿= 人1 n

-X^z/(〃)e—2Е叫 KnQ)=江 X £-2Ead. Тогда MNf(n)=

=]£2Е”оДа)КМа)Па. Ввиду соотношения Парсеваля теорема, которую о

мы доказываем, принимает следующий вид:

Если/(a) gL2 [0, 1], то

sup Je2/nna/(a)KN(a)tZa С||/||2.

Мы используем лемму, которая будет доказана позже.

Лемма 5. Пусть Хх,入？，…•，入к суть К точек на окружности S】=R/Z и 尺/ =，入|入&5\ и существует 1 W г W к, такое, что | X — Хг | < ~ г для

некоторого целого положительного числа J. Пусть s > 0-такое число,

положимположим“加。I % — %| > ^- V i 片八 Для JgL2 [0, 1]

положим

положим

/*(w) = sup J合‘""叮⑷厶.

j》S Rj

Тогда найдется абсолютная константа С2, такая, что

II尸心的 WG(LogK)3||『||2.

Теперь наша цель состоит в том, чтобы заменить KN (а) на подходящие приближения, для которых можно применить лемму 5.

Пусть 5 - положительное целое число и

4 = {®£。П [0, 1]|9 =円2$ Wg v2s+i(〃,g)= 1},

пусть С является С11®-функцией, определенной на R так, чтобы |(| W L

С=1на,и С = 0 вне.

L 10 10」' L 5 5」

Пусть 0 = -; положим S(9) =-£：_i е2Kde для вещественного В и qq *

положительного целого N положим

1

V^ = ^e-2i^/dy

О

и, наконец, определим для aeS1 = R/Z

⑷⑷Ws,N（a）= X s（e）^（a-e）^（io5（a-e））.Ws,N（a）= X s（e）^（a-e）^（io5（a-e））.0еЛ5Заметим, что функции, входящие0еЛ5Заметим, что функции, входящиеносители, так как если 0j и 02 в Rs,носители, так как если 0j и 02 в Rs,в сумму, имеют непересекающиеся1в сумму, имеют непересекающиеся1®1 W %, то 1% - % I®1 W %, то 1% - % I> —-.Из оценки 22s> —-.Из оценки 22sГ. Вейля ([V], р. 11) при а —-Г. Вейля ([V], р. 11) при а —-1<—,(«,^)=1 имеем1<—,(«,^)=1 имеем(5)(5)у ^2(яат' т = 1у ^2(яат' т = 1丄+Y_q 〃〃丄+Y_q 〃〃11

⑷

⑷

Ws,N（a）= X s（e）^（a-e）^（io5（a-e））.

Ws,N（a）= X s（e）^（a-e）^（io5（a-e））.

0еЛ5

Заметим, что функции, входящие

0еЛ5

Заметим, что функции, входящие

носители, так как если 0j и 02 в Rs,

носители, так как если 0j и 02 в Rs,

в сумму, имеют непересекающиеся

1

в сумму, имеют непересекающиеся

1

®1 W %, то 1% - % I

®1 W %, то 1% - % I

> —-.Из оценки 22s

> —-.Из оценки 22s

Г. Вейля ([V], р. 11) при а —-

Г. Вейля ([V], р. 11) при а —-

1

<—,(«,^)=1 имеем

1

<—,(«,^)=1 имеем

(5)

(5)

у ^2(яат' т = 1

у ^2(яат' т = 1

丄+Y

_q 〃〃

丄+Y

_q 〃〃

1

1

Докажем, что существует число 6】> 0, такое, что

⑹⑹爲⑷一 X %,N@)s》0爲⑷一 X %,N@)s》0

⑹

⑹

爲⑷一 X %,N@)

s》0

爲⑷一 X %,N@)

s》0

(константы или абсолютные, или зависят лишь(константы или абсолютные, или зависят лишьот d). Пустьот d). Пусть

(константы или абсолютные, или зависят лишь

(константы или абсолютные, или зависят лишь

от d). Пусть

от d). Пусть

6, =. Пус1ь для1002/「100 Jq < N&* Множество6, =. Пус1ь для1002/「100 Jq < N&* Множестворационального числа -, (р, 0 = 1,рационального числа -, (р, 0 = 1,

6, =. Пус1ь для

1002/「100 J

q < N&* Множество

6, =. Пус1ь для

1002/「100 J

q < N&* Множество

рационального числа -, (р, 0 = 1,

рационального числа -, (р, 0 = 1,

а|а|aaвсех больших дуг, которыевсех больших дуг, которые

а|

а|

a

a

всех больших дуг, которые

всех больших дуг, которые

1

< -М-б

называется большой дугой.

оценки (7), (8),оценки (7), (8),Обозначим через Л ^ 5 объединение

оценки (7), (8),

оценки (7), (8),

попарно не пересекаются; имеем следующие классические

(9)：

Если ae^.§, то | KN(a)| < ^； (легкое следствие (5) и принципа

aaqaaqV —q v а если а не принадлежит большой дуге, тоV —q v а если а не принадлежит большой дуге, тоq > №).q > №).⑻ Если ае" то а 弋+В,⑵夕)=1, 1В1<" и &(“)=⑻ Если ае" то а 弋+В,⑵夕)=1, 1В1<" и &(“)==s=s吸(В) + °吸(В) + °(используем обозначения (3)), что устанавли(используем обозначения (3)), что устанавливается посредством элементарных вычислений, используя лишь то, чтовается посредством элементарных вычислений, используя лишь то, чтоm = qs + r\ s < —, ' qI e2iit^qdsd _ e2i^qdyd | <m = qs + r\ s < —, ' qI e2iit^qdsd _ e2i^qdyd | <0Wrvq ,0Wrvq ,{amd}—{amd}—в（”尸 ＜曾匸^，в（”尸 ＜曾匸^，]^，ecM|s — y|Wl.]^，ecM|s — y|Wl.Дирихле, утверждающего, что существуют 〃 и % (а,夕)=1, такие, что

a

a

q

a

a

q

V —q v а если а не принадлежит большой дуге, то

V —q v а если а не принадлежит большой дуге, то

q > №).

q > №).

⑻ Если ае" то а 弋+В,⑵夕)=1, 1В1<" и &(“)=

⑻ Если ае" то а 弋+В,⑵夕)=1, 1В1<" и &(“)=

=s

=s

吸(В) + °

吸(В) + °

(используем обозначения (3)), что устанавли

(используем обозначения (3)), что устанавли

вается посредством элементарных вычислений, используя лишь то, что

вается посредством элементарных вычислений, используя лишь то, что

m = qs + r\ s < —, ' q

I e2iit^qdsd _ e2i^qdyd | <

m = qs + r\ s < —, ' q

I e2iit^qdsd _ e2i^qdyd | <

0Wrvq ,

0Wrvq ,

{amd}—

{amd}—

в（”尸 ＜曾匸^，

в（”尸 ＜曾匸^，

]^，ecM|s — y|Wl.

]^，ecM|s — y|Wl.

(9) Выполняются три очевидных неравенства

（М1）1%（В）1< 忐泞

(M2)|l-^(p)|<C6|p|Nd.

(М3) Если (р,夕)=1,(М3) Если (р,夕)=1,2$ Wg v2"i, sg)2$ Wg v2"i, sg)< 2 2-的< 2 2-的

(М3) Если (р,夕)=1,

(М3) Если (р,夕)=1,

2$ Wg v2"i, sg)

2$ Wg v2"i, sg)

< 2 2-的

< 2 2-的

((М3) - следствие (5)).

(10) Теперь можно доказать (6).(10) Теперь можно доказать (6).(A) (xg^n* Тогда(A) (xg^n* ТогдаПусть % такое, чтоПусть % такое, что2 sl2 sla〜解.a〜解.V]^，gv№ и 9=*4°，2%v№.V]^，gv№ и 9=*4°，2%v№.録⑷一 X %(a)s》0録⑷一 X %(a)s》0ww£ sup |FN(a-e/)| +£ sup |FN(a-e/)| +s W Sis W Si9七凡9七凡

(10) Теперь можно доказать (6).

(10) Теперь можно доказать (6).

(A) (xg^n* Тогда

(A) (xg^n* Тогда

Пусть % такое, что

Пусть % такое, что

2 sl

2 sl

a

〜解.

a

〜解.

V]^，gv№ и 9=*4°，2%v№.

V]^，gv№ и 9=*4°，2%v№.

録⑷一 X %(a)

s》0

録⑷一 X %(a)

s》0

w

w

£ sup |FN(a-e/)| +

£ sup |FN(a-e/)| +

s W Si

s W Si

9七凡

9七凡

(Используем (8) и(Используем (8) и(М3).) Поскольку для всех 9七凡(s W %, s W %)

(Используем (8) и

(Используем (8) и

I a — 0' I > ^^g, (M1) влечет за собой ограниченность суммы числом

「LogN

5 * -2鼠

Если oc4^n з, сохраняя определение », данное в (N), имеем

s》0ртак как для любого -е R，имеем£sw JWs,nI W Go -RS7厂s》0ртак как для любого -е R，имеем£sw JWs,nI W Go -RS7厂X “⑷ W £ l“l +X “⑷ W £ l“l +s W $i尸aqs W $i尸aq°9 .2“в'°9 .2“в'1> n^—b，из (Ml) следует еще1> n^—b，из (Ml) следует еще

s》0

р

так как для любого -е R，имеем

£sw JWs,nI W Go -RS7厂

s》0

р

так как для любого -е R，имеем

£sw JWs,nI W Go -RS7厂

X “⑷ W £ l“l +

X “⑷ W £ l“l +

s W $i

尸

a

q

s W $i

尸

a

q

°9 .

2“в'

°9 .

2“в'

1

> n^—b，из (Ml) следует еще

1

> n^—b，из (Ml) следует еще

Из (10) (А), (В) и ⑺ следует ⑹ с ^ = (б')2.

(Н) Положим Wn®) = £s》oWs nQ) и покажем, что достаточно доказать (I), заменив К^(а) ^ Vn (^)- Действительно,

1111sup ^ e2iKnaf (a) КN(a)da W sup J e^J(a)\|/N(a)(iasup ^ e2iKnaf (a) КN(a)da W sup J e^J(a)\|/N(a)(iaNeZNeZ00NwZNwZ0011+ J X J 發沏叮⑷ Rn (a) - Wn Q)) ^+ J X J 發沏叮⑷ Rn (a) - Wn Q)) ^NwZNwZ00и, рассматривая нормы ||и, рассматривая нормы ||supNwZsupNwZ11/2, получим1J e2inna^KN(u)du о11/2, получим1J e2inna^KN(u)du о/2(初)/2(初)2) 1/22) 1/2

1

1

1

1

sup ^ e2iKnaf (a) КN(a)da W sup J e^J(a)\|/N(a)(ia

sup ^ e2iKnaf (a) КN(a)da W sup J e^J(a)\|/N(a)(ia

NeZ

NeZ

0

0

NwZ

NwZ

0

0

1

1

+ J X J 發沏叮⑷ Rn (a) - Wn Q)) ^

+ J X J 發沏叮⑷ Rn (a) - Wn Q)) ^

NwZ

NwZ

0

0

и, рассматривая нормы ||

и, рассматривая нормы ||

sup

NwZ

sup

NwZ

11/2, получим

1

J e2inna^KN(u)du о

11/2, получим

1

J e2inna^KN(u)du о

/2(初)

/2(初)

2) 1/2

2) 1/2

WWsup|b-^sup|b-^

W

W

sup|b-^

sup|b-^

+ | Z i\f(^)\2\^N^-^N(^\2^^ '

Последнее выражение мажорируется:

\ 1/2

£ ||^(а)-^(а)||^ ll/lkW&ill/llz.

(Используем (6).)

(12) Рассмотрим функции ~心(“)=Е^к 5(®)% [館(а - 0)] х х ^(10s(a — 0)) (х - характеристическая функция отрезка [—1, 1]) и докажем оценку

(13)(13)

(13)

(13)

Ввиду (4) лишь одно 0 из Rs вносит вклад, поэтому

Ss(a)W £ sup|S(9)||l — %(B)|+ £ sup |S (9) II % (В) I

NeZ ^凡|p|Nd>l 0еЛ5

(P = a — 0) и неравенство устанавливается с использованием (М2) и (М3) для первой суммы и (М3), (Ml)-для второй.

(14)(14)sup f e2i1tnaf(d)x^N(a) г/a

(14)

(14)

NeZ I О丨 H/2@j)

w х sup卡”⑻w心(a)da

s》0 " NeZ оI ll/2((Z«)

такое же рассуждение, как в1такое же рассуждение, как в1(11)，(11)，с использованием (13) даетс использованием (13) даетSup \e2i1tnaf^xN^)^Sup \e2i1tnaf^xN^)^NwZNwZо1о1I 1/2((*1)I 1/2((*1)(15)(15)w sup f е2/п?7а7(а)фя Да)w sup f е2/п?7а7(а)фя Да)NwZNwZ00『①切『①切

такое же рассуждение, как в

1

такое же рассуждение, как в

1

(11)，

(11)，

с использованием (13) дает

с использованием (13) дает

Sup \e2i1tnaf^xN^)^

Sup \e2i1tnaf^xN^)^

NwZ

NwZ

о

1

о

1

I 1/2((*1)

I 1/2((*1)

(15)

(15)

w sup f е2/п?7а7(а)фя Да)

w sup f е2/п?7а7(а)фя Да)

NwZ

NwZ

0

0

『①切

『①切

+ С122-5 ||7(а) ||2.

Пусть Л(а)= Sa R『(a)S(9)C(l°s(a — 9)). Можно применить лемму 5.

s11_

Положив {九 1，入2, •…，入к} = Rs и замечая, что 戸=R Для N £ Z, обозначая

через Rs,и «-окрестность А$, получаем

(15)= sup '^2/nna/s(a) г/a

NeZ Rs 1 A 1I Wl2(dn)

'Nd 510s

W SUp J ^，^О^("川"

^C2(LogCard(As))3||7s||2

^C2532-5||7||2.

(Используем (М3).) (11), (14) и (16) вместе дают (I).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 5

Сейчас мы воспользуемся некоторыми результатами из теории мартингалов.

Определение. Пусть а = {а^, иgN,-некоторая последовательность и 5 > 0. Положим

Следующая лемма восходит к Лепенглю [Lep].

Лемма 6. Пусть (X, ^ь т)- вероятностное пространство, feL2(X) 〃“м Т "• Пусть 5 > 2. Тогда найдется абсолютная константа С, такая, что

\\\\{E^f}\U\L^ = \\{^ W 二 ||川2・

Мы не доказываем эту лемму, которую Бурген получил интерполяцией оценок Дуба математического ожидания числа скачков заданной амплитуды в мартингале.

Обобщение на непрерывный случай проводится непосредственно (с естественным изменением определения 1111t, на этот случай). Если /- действительная функция, положим/г(х) = ；/(三)(工(入)=/(〃))•

Классическая операция перехода от мартингалов к сверткам приводит к следующему утверждению.

Лемма 7. Пусть s>2 w/gL2(R). Тогда ||{/* 兀} | f > 0||『W1|/||2 (2。£ %-индикатор отрезка [0, 1]).

Доказательство этой леммы основано на следующем: пусть Pt обозначает полугруппу Пуассона на R; тогда лемма Рота о растяжении С

и предыдущая лемма приводят к \\{Ptf\ z > 0}||г2 W-||/||2- При % s — 2

К = % —尸i проверяется, что |入|||(К)'(入)| v С15 |(К)(Х)| < С2min(|Х|,|Х|-1), и этих двух свойств достаточно, чтобы установить \\{f^Kt\t>0}\\L2 ^С||/||2.

v2

Мы не приводим детали этого доказательства.

Дискретная версия этого результата для / gZ2(Z), 1С 9

11/2 WII/Ц будет также использована в дальнейшем.

N5 — 2

Пусть ср - дифференцируемая функция, на [0, оо[, стремящаяся к 0 на оо. Тогда

屮")=-J尢(巾0")d九о

Как следствие леммы 7, с учетом выпуклости для функции (р, удовлетворяющей приведенным выше условиям, имеет место

Лемма 8. ||{/*屮,"> 0}]11 W^( j 1x1 I叫沙公)ll/IM

Положим J |х| |(р'(х)|厶=Сф.

§ — 2 о

Если £- подпространство метрического пространства и X > 0, определим М%(Е) как мощность наименьшего множества шаров радиуса 入, которые покрывают £. Если diam (£) < X, положим М入(£) = 0.

предположениям, sup(XM^/s (х)) W 入>0 2предположениям, sup(XM^/s (х)) W 入>0 2Лемма 9. Пусть ср удовлетворяет вышеописанным Н- гильбертово пространство, / eL^(H), 5 > 2. Тогда w—^ll/b 2。£ №(х) = М»({/ *®(х)|Е >0})・

предположениям, sup(XM^/s (х)) W 入>0 2

предположениям, sup(XM^/s (х)) W 入>0 2

Доказателъство. Определяя рекуррентно 勺=min f > 芍-i так, чтобы V* 屮G) -/*<Pz._1WIIh > 儿имеем XAlx(x)1/s {£l|/* %“)-

—/ *(p; WIIh}1/s ^ II {/*<PtW}lk- Если en - ортогональный базис в я, TO / = Е“(/е)% и ||supk>0(XMys)||2 [ХиИ{(/кл)*Ф(}11ь2]1

W——1|/||2 по лемме 8.

s — 2

Сохраняя предыдущие предположения и обозначения, получим Следствие 10. Если /w L君(R) w К > 0, то

(М)J min(K,M式х)户办 W C；(LogK)2||/||2.

О2.

Доказательство. Пусть 工= (/|〃)и /* = supr>o|/n*(pj, ||/*||2 ^ W Сф ||/п||2 (максимальное неравенство Харди - Литтлвуда). Если F(x)= =应〃(/疗尸,то F(x) > diam{/*q)rWlz >。} и

00尸(х)

j min(K, М入(х)户办=j min (К, M式x)户办

оо

F(x)

瓜F(x)

(s>2)(s>2)WjyF^+ J Ki/2T/$M"s“)办

(s>2)

(s>2)

0F(x)入

W 尸(x) + 2-iK"2-i/sLog KsupXM^(x).

九>0

Вычисляя нормы И ||2, выбирая s, удовлетворяющее=, из

2 s LogК леммы 9 получим (М).

Лемма 11. Пусть Х^ Х2,...,XKeR (Х1 < Х2 < ... < кк). Пусть

/1J2,…Jk суть К функций из L2 (R). Пусть т > 0 такое, что |k+i — Xfc I > т, k = 1, 2,...,К — 1. Если ср - дифференцируемая функция, такая, что носитель включен в [— 1, 1], то

(I)(С(I)(Сsup Е еЗ/ях.х (/k *(pt) 11|^ < с (Log К)3 ^ £ II 九叫 зависит только от ср).

(I)

(С

(I)

(С

Доказательство. Так как 丨左一% | > |к — / |т, то f j e2in^~^udu есть

0 ( — ) и выполняется

\\k- l\)

⑵ Il X年2Ew[|「门W*LogK( e 1飲『)

HkWKIIL2 0,16\fc=i /

Имеется наилучшая константа 8 v + оо, такая, что выполняется (1) (С^л/^ подходит по максимальной лемме Харди-Литтлвуда). Пусть w > 0, положим oj(x) =/(х + w); тогда

sup^>1sup^>12 ё2e2(/丈*屮小[2 ё2e2(/丈*屮小[

sup

^>1

sup

^>1

2 ё2e2(/丈*屮小[

2 ё2e2(/丈*屮小[

(SJ(U)W sup X £2‘*Х4(九*0)"

(S2)+ I sup X ^2iKlkX((fk-GJk)^^t^-

В силу условий на ср и f > - можно предположить, что supp/^ и [ — т, t], 1 & к & К. Имеем по Парсевалю равномерную оценку

\\f к — 0JJI2 < \ ll/klli， к = 1, 2…К,財 V [°式,

4 = СЛ* 屮G)，описать любую4 = СЛ* 屮G)，описать любуютогда (S2) мажорируется величиной ^B(^\\fк\\1^-

4 = СЛ* 屮G)，описать любую

4 = СЛ* 屮G)，описать любую

множество что можно< К Vмножество что можно< К VДля оценки (SJ рассмотрим /2 * ^(Х),...^К^ %") I 才 > 0} и. заметим, точку этого множества суммой

множество что можно

< К V

множество что можно

< К V

Ха， "gRK，也1 = .veZ

где |6/ V 2$+i и каждое bs принадлежит множеству Bs (которое зависит от А； У > 5 так, что Card(Bs)< М2s (», и почти наверное есть лишь конечное множество ненулевых bsi s > 0). (Используем обозначения леммы 9 и следствия 10, где Н имеет размерность К и/ = (/i，/2y •/к)・) Тогда (уже нет необходимости ограничиваться случаем ? > -)

SUp £ £ ~2znXft(u ~ ^fk * фДх)

/>0 丸=1

W ХмаX е ё-2Еm" 一 х也(方=位1，方2，.宀源))， seZ be纥 k= 1

(3)(3)Max £ e-2in^-^ bk

(3)

(3)

<тт(Ук 2s + \ ( £ g瓦 2)\.

' be& k = l丿

Можно заменить (SJ(u) на

10^15(矶 2(也

L2(dx)L2(dx)w 10£тй1(2"1у^, C LogK2s+l Mls(x))

L2(dx)

L2(dx)

(меняем порядок интегрирования и используем (3), (2)). Ввиду следствия 10 последнее выражение мажорируется числом 10 С* Сф (Log К)3 х х (£f=ill九II分*, откуда 8W}8+ ЮС С^ (LogК)3, что влечет (1).

Теперь рассмотрим Ь2(И)-версию леммы 5.

Лемма 12. Пусть 入】V 兀2 V … < 入k^R 以 IM+i — 入J > 2一汽 Пусть RjЛемма 12. Пусть 入】V 兀2 V … < 入k^R 以 IM+i — 入J > 2一汽 Пусть Rj11есть ^j -окрестность множестваесть ^j -окрестность множества{必入2,…，入к} • Тогда для / gL2(R){必入2,…，入к} • Тогда для / gL2(R)

Лемма 12. Пусть 入】V 兀2 V … < 入k^R 以 IM+i — 入J > 2一汽 Пусть Rj

Лемма 12. Пусть 入】V 兀2 V … < 入k^R 以 IM+i — 入J > 2一汽 Пусть Rj

1

1

есть ^j -окрестность множества

есть ^j -окрестность множества

{必入2,…，入к} • Тогда для / gL2(R)

{必入2,…，入к} • Тогда для / gL2(R)

(1)sup Je2^x/Q)办 ^C(LogK)3H7l|2.

j》s勺I Il2

(С-абсолютная константа}

Чтобы доказать эту лемму, рассмотрим функцию ср, такую, что ф <= [— 1,1], ф = 1 на -|,I , неравенство (1) получается применением леммы 11 с /\ = (/• е 2’7aliх) * 屮2一 и с учетом того, что sup^eR % RjS) 一 X * 00a - %))] ограничен.

Конец доказательства леммы 5. Пусть В = С (Log К)3. Лемма 12 утверждает, что

00

J sup J £2Ех入/⑻ da

-8 j Rj

Rj и [0, 1] и /(a) рассматривается как функция на R с носителем в [0, 1[.

Покажем, что существует константа С, такая, что

I Е sup j£2『^叮⑻血)^ CB\\J\\2.

'neZ J 勺丿

Докажем, что имеется константа, не зависящая от N, такая, что

⑴I X sup Ji喲a)da I < CB\\f\\2.

\间vN j 勺/

Пусть CN-наилучшая константа для (1) (CN W 丿2N + 1).

Пусть число р < 1 и 0 < и < р, тогда

j е 2Е〃а/(&) da = \ е 2'叫十圻叮(a) da

勺Rj

+ J £2E〃a 口 一 £+2E 門/⑻ da,

2丄

(2 sup J £2i仙叮⑷ da )

'l 川 vN J Rj丿

(SJ(u)(S2)(SJ(u)(S2)w{ Е sup

(SJ(u)

(S2)

(SJ(u)

(S2)

\n\<N j

+1 £ sup

' I川 vN j

J…m+师⑷小RJ…m+师⑷小RJ e2inna^ — e2inwa^(a^a 勺J e2inna^ — e2inwa^(a^a 勺(S2) мажорируется величиной Cn& p II/II2- тогда как —^|| S1(w) ||L2(0)p) W v P

J…m+师⑷小

R

J…m+师⑷小

R

J e2inna^ — e2inwa^(a^a 勺

J e2inna^ — e2inwa^(a^a 勺

W — B||/||2, CN ^ —= + CNCtp, и мы достигаем требуемого результа- VpVP

та, выбрав р достаточно малым.

IM/I〔2= SUPII NjVNvNj+LN4IM/I〔2= SUPII NjVNvNj+LN4h-7(a)(KN(a)-^h-7(a)(KN(a)-^ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3

IM/I〔2= SUP

II NjVNvNj+L

N4

IM/I〔2= SUP

II NjVNvNj+L

N4

h-7(a)(KN(a)-^

h-7(a)(KN(a)-^

Оценка (6) теоремы 1Оценка (6) теоремы 11 позволяет заменить ^N(a)—k小(a)на Wn((x) — 屮陋似)，а оценка (16) при рассмотрении М；, определенного посредством 屮№ Для % >。"ет

Оценка (6) теоремы 1

Оценка (6) теоремы 1

supNjVNvNj+iNeZgsupNjVNvNj+iNeZg1f^2^a；(a)(\|/NsS(a) - Wn加3))血о，1f^2^a；(a)(\|/NsS(a) - Wn加3))血о，22

sup

NjVNvNj+iNeZg

sup

NjVNvNj+iNeZg

1

f^2^a；(a)(\|/NsS(a) - Wn加3))血

о，

1

f^2^a；(a)(\|/NsS(a) - Wn加3))血

о，

2

2

+ -2f。1|/1|2.

£

Переопределяя

1

м^(п) = supJ 6 2'ma『(a) (%(a) - ％№))&

NjVN vNj+i О

мы не меняем поведения 亍 £；=i II M/lb*

Пусть х-индикатор [0, 1]; (Ml), (М2) приводят к |%(式)一 i(Nda)\ < C(min(^|a|Nd, 扁可)и supaE^z」乙⑷-以館“)12 Vq Следовательно, если определить 网打⑶=8иря.<я^я.+ 11/*(%卡 一 ％n；)I, 1

где %n =江%[0,%]，получим

H°|£；=1(MJ)2|±W J"l{/*br|N > 1}||г4 И лемма 7 приводят к

а из (2), (3) вытекает теорема 3.

Этот метод достаточно гибкий, и при помощи подходящих моди фикаций доказывается

Теорема 6. Пусть (X, W, ш, 7) - динамическая система. Пусть feL2 (X)

и рп обозначает и-г простое число.и рп обозначает и-г простое число.Тогда ^e工1"Tp比力 сходится п.в.Тогда ^e工1"Tp比力 сходится п.в.

и рп обозначает и-г простое число.

и рп обозначает и-г простое число.

Тогда ^e工1"Tp比力 сходится п.в.

Тогда ^e工1"Tp比力 сходится п.в.

〃р〃 N -► + оо.Если все степени Т эргодичны, то предел равен \fdm.〃р〃 N -► + оо.Если все степени Т эргодичны, то предел равен \fdm.Доказательствочисла р, Л(л) = 0 в「 а1) Если аДоказательствочисла р, Л(л) = 0 в「 а1) Если аосновывается на двух оценках (Л (п) = Logр, если п является степенью противном случае) (см. [V], с. 26, 29).< Л, где (a, q) = 1, тоосновывается на двух оценках (Л (п) = Logр, если п является степенью противном случае) (см. [V], с. 26, 29).< Л, где (a, q) = 1, тоSnQ 丿=простогоSnQ 丿=простого

〃р〃 N -► + оо.

Если все степени Т эргодичны, то предел равен \fdm.

〃р〃 N -► + оо.

Если все степени Т эргодичны, то предел равен \fdm.

Доказательство

числа р, Л(л) = 0 в

「 а

1) Если а

Доказательство

числа р, Л(л) = 0 в

「 а

1) Если а

основывается на двух оценках (Л (п) = Logр, если п является степенью противном случае) (см. [V], с. 26, 29).

< Л, где (a, q) = 1, то

основывается на двух оценках (Л (п) = Logр, если п является степенью противном случае) (см. [V], с. 26, 29).

< Л, где (a, q) = 1, то

SnQ 丿=простого

SnQ 丿=простого

0(а)| V。0(а)| V。+ N&A + N'Sq'R 卜LogN)%+ N&A + N'Sq'R 卜LogN)%

0(а)| V。

0(а)| V。

+ N&A + N'Sq'R 卜LogN)%

+ N&A + N'Sq'R 卜LogN)%

2) Если а --2) Если а --S^a)S^a)(LogN)c

2) Если а --

2) Если а --

S^a)

S^a)

W ———, где (а,夕)=1 и 夕 w (Log NY, то

卩(夕) у e2iitk(a — a/q} * 0(Ne~c^^N), 屮(q) iwn

что выполняется для с > 0, где 卩(夕)обозначает функцию Мёбиуса,а ср(夕)一число целых чисел, меньших чем q и взаимно простых с q.Рассматриваем множество простых чисел Р, обозначаем PN — Р (] [1, N]

Имеет место оценка

人"e 5门一丄XА他）逼］人"e 5门一丄XА他）逼］СV LogN，СV LogN，которая влечет ⑶которая влечет ⑶人1СKN^)~^SN(-a) <щ^；人1СKN^)~^SN(-a) <щ^；

人"e 5门一丄XА他）逼］

人"e 5门一丄XА他）逼］

С

V LogN，

С

V LogN，

которая влечет ⑶

которая влечет ⑶

人1С

KN^)~^SN(-a) <щ^；

人1С

KN^)~^SN(-a) <щ^；

人1

можно заменить KN(a) на — SN( —а) и использовать (1) и (2) в точности,

как в (5), (8) в доказательстве теоремы 1.

ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В той же работе [Вб] Бургеном доказана

Теорема 6.1. Пусть (X, W, т, Г) - динамическая система и р(п)~ полином с действительными коэффициентами, такой, что член со старшей степенью имеет положительный коэффициент. Если f &U(X) г > 1, то

— У /(Т[р^"х) сходится п.в. при N + оо.

Имеется также версия его теоремы для случая действия Z1 ([В1], [Вб]).

Теорема 6.2. Пусть 7\, Т2,..., Тг~попарно коммутирующие преобразования, сохраняющие меру на (X, W,/и), и 厶(九)，р2(^),...,pi(n)~набор из / полиномов с целыми коэффициенами. Если / eLr(X), г > 1, то

X 驾…сходится п в при N Т + 8.

Ниже в случае положительной плотности, где легко получить максимальную лемму, его техника может быть использована для установления достаточных условий на функции.

Теорема 6.3. [В4], [В5], [Вб]. Пусть (X, W, т, Т)- динамическая система w 4е», т(Л) > 0. Пусть хеХ w Лх = {zzgN| ТпхеА}. Тогда для почти всех х Лх является универсальной последовательностью, т.е. если А& = Ах П [1, N], то для любой динамической системы (К 毋,禺 S) для любой gwL】 (У)

\ X g(S*P)сходится п.в. при N 十 оо. А I ПА?

«Элементарное» доказательство было дано затем Фюрстенбергом, Кацнельсоном и Орнстейном и приведено в приложении к [Вб].

Ответом на вопрос Фюрстенберга [F1] является доказанная Бур- геном [В7]

Теорема 6.4. Если 7\, Т2 - две степени одного преобразования Т пространства (X, М т) и f ^ f 2-функции из U(X), то

(1) 后2九(Т")九(г力(1) 后2九(Т")九(г力1 N сходится 〃・б・ при N -> + оо.

(1) 后2九(Т")九(г力

(1) 后2九(Т")九(г力

(В [Les] Лезинь доказал (1) в двух крайних случаях, когда Т есть К-система и когда Т имеет дискретный спектр.)

ЛИТЕРАТУРА

Bellow A. Two problems in Measure Theory. Oberwolfach 1981, Springer L.N.M., Vol. 945, 429-431.

[B-L] Bellow A., Losert V. The weighted pointwise ergodic theorem and the individual ergodic theorem along subsequences. T. A. M. S. v. 288, 1985, 307-345.

Bourgain J. On the maximal ergodic theorem for certain subsets of the integers. Israel Journal of Mathematics, v. 61, n° 1, (1988), 39-72.

Bourgain J. On the pointwise ergodic theorem on Lp for arithmetic sets. Israel Journal of Mathematics, v. 61, n°l, (1988), 73-84.

Bourgain J. An approach to pointwise ergodic theorems. Springer L. N. M., vol. 1317, 204-223.

Bourgain J. Return time sequences of dynamical systems. Preprint 1. H. E. S., 1988.

Bourgain J. Temps de retour pour les systemes dynamiques. C. R. A.S., t. 306, ser. I, 1988, 483-485.

Bourgain J. Pointwise ergodic theorems on arithmetic sets, with an appendix on return time sequences (jointly with H. Furstenberg, Y. Katznelson, D. Ornstein). Publications Mathematiques de H.H.E.S. n°69, 1989, 5-45.

Bourgain J. Double recurrence and almost sure convergence. Preprint, 1988.

Calderon R. P. Ergodic theory and translation invariant operators. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 59, 1968, 349-353.

[B-K] Brunel A., Keane M. Ergodic theorems for operator sequences. Z.F.W. 12, 1969, 231-240.

[Fl] Furstenberg H. Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. Princeton, U. P., 1981.

[F2] Furstenberg H. Proceedings of the Durham Conference. June 1982.

[Lep] Lepingle D. La variation d'ordre p des semi-martingales. Z.F.W. 36, 1976, 295-316.

[Les] Lesigne E. Sur la convergence ponctuelle des certaines moyennes ergodiques. C.R.A.S., Paris, t. 298, ser. I 0 984).

Vaughan R. C. The Hardi-Littlewood circle method. Cambridge University Press, 1981. [Имеется перевод: Вон P. Метод Харди-Литтлвуда.-M.: Мир, 1985.]

Wierdl М. Pointwise ergodic theorem along the prime numbers, Israel Journal of Mathematics, Vol. 64, n°3, 1988, 315-336.

ИЗУЧЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМКРУГОВЫМ МЕТОДОМ

(по Д. Р. Хит-Брауну, К. Хооли и Р. Вону)

Жан-Марк Дезуйе1*

Мы обязаны Харди, Литлвуду и Рамануджану мощным инструментом -круговым методом изучения диофантовых задач вида 尸(％1，….,^s) = ° (в случае, когда число переменных велико по сравнению со степенью многочлена Р). Именно этот метод (в своих новейших воплощениях) позволил Хит-Брауну показать, что всякая неособая рациональная кубическая форма от 10 переменных представляет 0, Хули - сократить число переменных до 9 (в случае, если отсутствует локальное препятствие), Вону-дать асимптотическую формулу для количества представлений целого числа в виде суммы 8 кубов, а также хорошую оценку снизу для числа представлений в виде суммы 7 кубов.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Эвристический подход: особый интеграл

Экспериментирование

Изучение числа представлений

Интегральная запись числа представлений

Эвристический порядок величины rs(N)

р-адический подход: особый ряд

Число решений сравнения т： + ... + 切：三 N(modq)

Интерпретация особого ряда

Классическое разбиение Фарея: большие дуги, особый ряд и особый интеграл

Вклад первой большой дуги (а, близкие к 0)

32 Вклад больших дуг: распределение степеней в арифметических прогрессиях

Классическое разбиение Фарея: малые дуги

Оценка Вейля： 13 кубов

Соотношение Парсеваля: 9 кубов

Число представлений в виде суммы восьми кубов: теорема 3

Число представлений в виде суммы семи кубов

° Автор благодарен семинару Бурбаки и семинару по теории чисел Бордо за разрешение на последующую публикацию английской версии этого текста.

Недиагональные кубические формы

Нетипичная ситуация: случай норменных форм

Продолжение больших дуг (по Вону)

Интермедия: разбиение Фарея-Клостермана

Кубические формы от 10 переменных (по Хит-Брауну)

Кубические формы от 9 переменных (по Хули)

ВВЕДЕНИЕ

Задачу, которую поставили, возможно, еще греки, - выяснить, является ли всякое положительное целое число суммой четырех квадратов,- рассматривали многие математики XVII и XVIII вв., пока ее, наконец, не решил Лагранж в 1770 г. Интерес к этому вопросу и трудность его проистекают из смешения законов сложения и умножения целых чисел.

Хотя гипотезы этого типа легко ставить, чаще всего они оказываются неприступными, становясь источником развития математики. Историческую важность имеют проблема Гольдбаха (1742)-sc兄кос четное целое число есть сумма двух простых чисел (число 1 тогда считалось простым) и проблема Варинга (\11Щ-всякое целое число есть сумма не более 4 квадратов, 9 кубов или 19 биквадратов,... (многоточие появилось в 1782 г.).

Эти вопросы рассматривает аддитивная теория чисел; наша цель- представить здесь круговой метод, введенный в 1917 г. Харди и Рамануджаном и усовершенствованный несколькими годами позже Харди и Литлвудом. Этот инструмент семидесятилетней давности совсем не устарел; как мы увидим здесь, его всегда применяют с пользой как для получения асимптотических оценок, так и для эффективных и мощных асимптотических формул. Именно изучение (ограниченное) диагональных форм (и главным образом диагональных кубических форм) лежит в основе данного изложения некоторых этапов доказательства следующих результатов.

Теорема 1 (D.R. Heath-Brown, 1982). Пусть 尸(х)=尸(占,…，/)- неособая кубическая форма с рациональными коэффициентами. Если s не меньше 10, то в Qs/{0} существует такой х, что F(x) = 0.

Теорема 2 (С. Hooley, 1987). Пусть F (х) - неособая кубическая форма от 9 переменных с рациональными коэффициентами. Уравнение F (х) = 0 имеет нетривиальное рациональное решение в Q тогда и только тогда, когда оно имеет нетривиальное решение в каждом р-адическом поле Qp.

Теорема 3 (R. Vaughan, 1985). Пусть r8 (N) - число представлений целого N в виде суммы восьми кубов положительных чисел. При N, стремящемся ^ бесконечности, имеем

Г(4/3)8

/*8(N) = ®(N) №3 (1 + °⑴)，

1 (3/3)

где

&(N)= ££ {дТ £ ехр (2лi(am3/^))}8 exp (—2лiaN/q).

q=l a — 1m=1

(% q) = 1

Предполагается, что в формулировке теоремы 1 условие гладкости можно снять11. В 1963 г. Давенпорт показал, что всякая кубическая форма от 16 и более переменных представляет 0; даже в случае неособых форм это был лучший результат, известный до работы Хит-Брауна. В случае форм от девяти переменных локальное условие отбросить нельзя, как показал Морделл в 1936 г. Теорема 3 бь!ла любимой гипотезой Давенпорта, который, как говорят, систематически предлагал ее своим ученикам.

Завершая это введение, отметим работу Colliot-Thelene, Sansuc, Swinnerton-Dyer, 1986 (изложение ее можно найти в докладе Colliot- Thelene, 1986). Подходя к задаче с точки зрения алгебраической геометрии, именно в ней получены для систем квадратичных форм лучшие результаты, известные на сегодняшний день. Что же касается кубических форм, эти методы позволяют получить следующий результат, который полезно сравнить с теоремой 2 (меньше переменных, но геометрические условия более тонкие).

Теорема 4 (J.-L. Colliot-Thelene, Р. Salberger, 1988). Пусть К - числовое поле, а X и Р% — кубическая гиперповерхность, определенная над К (九》3). Если X содержит множество из 3 сопряженных особых точек и имеет рациональные точки во всех пополнениях поля К, то X имеет рациональную точку в К.

ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД: ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛ

Экспериментирование

Посмотрим на таблицу, в которой для каждого целого N до 40 000 дается минимальное число членов, входящих в разложение N в сумму положительных кубов: числа 23 и 239 - единственные, для которых необходимо 9 кубов; еще для пятнадцати целых чисел, из которых самое большое-8402, необходимо 8 кубов, а для всех остальных - не более 7 кубов. Если бы эта таблица была продолжена до 1015, то, вероятно, создалось бы впечатление, что, начиная с некоторого места, достаточно всего четырех кубов!

d В докладе на коллоквиуме по круговому методу в Люмини, посвященном изложению результата Д. Р. Хит-Брауна, Ж.-Ж. Сансюк отметил, что, пользуясь методами работы Colliot-Thelene, Sansuc, Swinnerton-Dyer, 1986, можно вывести из теоремы 2 справедливость утверждения теоремы 1 в случае, когда многообразие 尸(х) = 0 имеет изолированные особые точки.- Прим, перев.

Изучение числа представлений

Этот факт не учитывался в работах, сделанных во второй половине XIX в.: от Лиувилля, который в 1859 г. показал, что всякое число есть сумма не более 53 биквадратов, до Гильберта, который в 1909 г. показал, что всякое целое число есть сумма конечного числа (зависящего от к) к-х степеней, и Кемпнера, который завершил работу Вифериха и в 1912 г. установил, что всякое число есть сумма не более 9 кубов.

Круговой метод, введенный Харди и Литлвудом в контексте проблемы Варинга, учитывает эту большую легкость представления больших целых чисел: чтобы узнать, представимо ли целое N в виде суммы s k-x степеней, они пытаются определить асимптотическое поведение числа представлений N в виде суммы s k-x степеней. С этой точки зрения их интересуют лишь достаточно большие целые числа, и именно отсюда проистекает успех их метода.

Интегральная запись числа представлений

Вначале зафиксируем некоторые обозначения.

к обозначает целое число, большее или равное 2. Можно ограничиться рассмотрением значения к = 3.

N обозначает целое число, которое будет подразумеваться стремящимся к бесконечности.

Для целого положительного s обозначим через q(N) число представлений N в виде суммы s k-x степеней.

е(-) обозначает комплексную экспоненту ехр(2л/-).

Читателю не составит труда доказать соотношение

(13а)q(N) = J ( £ £(ct#)) £( —ctN)dct,

опираясь либо на ортогональность характера е(Л •), либо на интегральную формулу Коши. Здесь мы дадим вероятностное представление, которое стоит упомянуть для привлечения интереса к некоторым конкретным вычислениям (Deshouillers, 1985).

Рассмотрим s независимых случайных величин X» …，X§ с общей функцией распределения 入£"崑％1 他§(〃)，『口е 5(a) обозначает меру Дирака, сосредоточенную в точке а] а нормализующий множитель 入 равен [N"* + I]'1. Каждая случайная величина X，имеет функцию распре- деления 屯…6(〃"). Функция распределения случайной величины X: = Х\ + ... + Xj есть 5-кратная свертка общей функции распределения величин X?; значит, она равна

V^r；(m)5(m)?

где г*(т)-число способов записи т в виде суммы s к-х степеней, не превосходящих N; коэффициент r*(m) получается классическим образом исходя из производящей функции (или ряда Фурье) величины X, которая является s-й степенью соответствующей функции для X：. Формула (1.3.а) вытекает отсюда, если учесть тривиальное равенство rs(N) и r*(N).

Эвристический порядок величины rs(N)

е(-РО^Р-е(-РО^Р-Представим непрерывную аппроксимацию рассматриваемой задачи: рассмотрим $ независимых случайных величин ZXy..^Z^ равномерно распределенных на отрезке [О, N"*], и обозначим через Z сумму Z々十…+ Z± Характеристическая функция (или преобразование Фурье) величины Z есть s-я степень соответствующей функции для величины Z：; обратным преобразованием Фурье получаем плотность ps(r) величины Zb тонкеЕ:8

е(-РО^Р-

е(-РО^Р-

(14а)р«)= J ( J е(|3炉

Член в правой части называется особым интегралом. В случае когда t равно N, заменой переменных получаем

(1.4.Ь)потому что(1.4.с)(1.4.Ь)потому что(1.4.с)Ps(N)=Ps(N)=-1 + 1/盼ь，一「(s/k)-1 + 1/盼ь，一「(s/k):t 、Г(1 + 1/k)；:t 、Г(1 + 1/k)；

(1.4.Ь)

потому что

(1.4.с)

(1.4.Ь)

потому что

(1.4.с)

Ps(N)=

Ps(N)=

-1 + 1/盼ь，一

「(s/k)

-1 + 1/盼ь，一

「(s/k)

:t 、Г(1 + 1/k)；

:t 、Г(1 + 1/k)；

Таким образом, среднее значение q(N) есть Ns/k -1 с точностью до эйлерова множителя. Отметим присутствие особого интеграла в асимптотической формуле для числа представлений в виде суммы 8 кубов (см. теорему 3).

р-АДИЧЕСКИЙ ПОДХОД: ОСОБЫЙ РЯД

Объяснив присутствие в теореме 3 особого интеграла, мы дадим теперь интерпретацию особого ряда G(N) (мы следуем терминологии, введенной Харди и Литлвудом).

Число решений сравнения /??； + …+ 欣三 /V(mod g)

Обозначим через M(q) число решений рассматриваемого сравнения. Равенство

(2.1.а)А!®)」£ ( £ £(卅/幻)c—N/g),

которое легко получается из соотношений ортогональности

1 4 …、儿 ©ели q\h, 9r=ito, если qXh

эквивалентно в Z/gZ интегральному выражению (1.3.а). Переупорядочивая члены в правой части формулы (2.1.а) по возрастанию величины (г,夕)，получим

”(夕)=-2 Е Е Е e(amk/d)\ e(—〃N/J),q d\q a = 1 '〃m=l丿

(a,G= 1

или же

(2-1-b)M(q} = qs-^G(d}.

dig

где

G(力=E J QT E e(am3/d)r e(-aN/d).a = ] I m= 1丿

(a,力=1

Вот где начинает расцветать теорема 3!

Интерпретация особого ряда

Мультипликативность функции G (которая непосредственно выте- кает из китайской теоремы об остатках или не столь явно - из соотношения (2. Lb)) позволяет записать особый ряд

®(N) = £ G(g)

как эйлерово произведение

G(N) = n £ G”).

р h = 0

Из соотношения 2.1.b имеем

(22а)G(N) = П lim p，c-s)м(р,.

р Z -* оо

Заметив, что p/(s-1)-это количество элементов гиперплоскости в (Z/p'Z)s, интерпретируем каждый множитель 夕(N) как плотность решений уравнения 君 + …+ 制=N в Zp・

Читатель может попытаться продвинуться дальше в этом направлении: мы рекомендуем прочитать работу Lachaud, 1982, где дано адельное представление кругового метода.

КЛАССИЧЕСКОЕ РАЗБИЕНИЕ ФАРЕЯ:

БОЛЬШИЕ ДУГИ, ОСОБЫЙ РЯД И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛ

Приступим теперь к вычислению %(N), исходя из интегрального представления (1.3.а). Ключевое выражение, фигурирующее под знаком интеграла,-это экспоненциальная сумма

(З.О.а)S(a): = £ e(a#), где Р: = [N1/fc + 1].

Ясно, что ее модуль максимален, когда а целое; мы начнем с изучения вклада, который вносят в q(N) числа, близкие к 0 в R/Z или же близкие к 0 в R, отождествляя R/Z с окрестностью 0.

Вклад первой большой дуги (а, близкие к 0)

Поскольку S (а) - непрерывная функция а и S (0)=尸(это равенство служит оправданием натяжки в определении Р), средства анализа позволяют нам оценить S(a) для а, близкого к 0.

В самом деле, предположим, что |a| ^ eN-1, где е - произвольная функция N, стремящаяся к 0 на бесконечности. По формуле Тейлора имеем

5(a)=尸 + о(尸)и£( —ctN) = 1 + о(1),

откуда

J S(ct)Se( — ctN)d(x = 2eNT 尸｛I + o(l)) = 2&Ns/k~l(l +。⑴).

Замечательно, что вклад в q(N) такой окрестности 0 по порядку величины совпадает с эвристическим значением.

Мы использовали формулу Тейлора, которая в некотором смысле является слабой формулой суммирования (не учим ли мы этому наших студентов-первокурсников?). Формула суммирования Пуассона (когда мы учим этому наших студентов?) является намного более эффективным инструментом. Положим

£("/) для OWxW 尸， '0 в противном случае

и обозначим через / ее преобразование Фурье (f(?) = f Z^/W^C^^^X имеем

neZveZ

и, значит,

(3.1.а)S(a) = ^ f е(ахк + vx)dx + 0(1).

О

Когда |а| достаточно мал (к|а|尸*~i W 1 /2), функция ^(axk + vx) осцил- лирует на интервале [О, Р] для v / 0, и интеграл J е (ах* + vx) dx мал, что о

можно увидеть, интегрируя по частям; нетрудно показать, что

(3.1.Ъ)<S(a) = J ^(axfc) dx + 0(1),

о

тогда с помощью рутинного вычисления можно проверить, что для s》k + 1 вклад интервала

(3.1.с)亚 o,i： = {a/|a|W(2kWT)T}

эквивалентен p$(N), среднему числу представлений! (См. (1.4.а) и (1.4.Ъ).)

Вклад больших дуг: распределение степенейв арифметических прогрессиях

В § 2.2 мы переписали особый ряд в терминах числа решений сравнений 工号 + ... + х；三 N(modq). Здесь мы хотим объяснить, откуда появляется среднее значение сумм Гаусса, которое мы обозначили через G(g), при изучении вклада в q(N) маленьких интервалов с центрами в рациональных числах со знаменателем q.

Начнем с оценки S(a/g)； имеем

S(a/q)= £ e(ank/q) = ££ e(ank/q)=

〃W尸一1m=l 〃w尸一1

м = m(mod 夕)

=£ e(amk/q)工 1 = ' E e(amk/q)^。(力

m= 1〃w尸一1夕 m=l

л = m(mod q)

Однако нет никаких оснований для того, чтобы сумма Гаусса Z： = i e(am*/q) была нулевой (так, для k = 3ua/q=l/4 она равна 2); это соответствует неравномерности распределения к・х степеней в арифметических прогрессиях. Отсюда следует, что S(a/q) по порядку величины часто сравнима с S(0). Поэтому изучим локальное поведение S в точках a/q, как и в 0: введем большие дуги

(3.2.а)亚a,q： = < а/ а - 9 W(2k尸”％)т»,

9

где О V а V % (а,夕)=1 и q W Q. Ha этом этапе можно сказать, что выбор 0 не имеет слишком большого значения; обычно берут какую-то степень 尸,например само Р. Заметим уже здесь, что выбор Q, большего, чем 尸, возможен, но требует большой осторожности: это приводит к изучению

распределения множества из 尸 целых чисел в классах модулю целого числа, большего 尸.

Формула суммирования Пуассона позволяет на 亚口足

вычетов поаппроксими-вычетов поаппроксими-ровать 5(a) выражением

вычетов по

аппроксими-

вычетов по

аппроксими-

Перегруппировав вклады различных больших дуг (их объединение обозначим через Ш1), получим

Предложение. Для s》4k (и для s》4 6 случае кубов} существует вещественное строго положительное А, такое, что при ^, стремящемся к бесконечности, имеем

n1 + 1/”…Г($/к)n1 + 1/”…Г($/к)(3.2.Ъ)J S(a)Se( — ctN)dci = (1 + “l))Ps(N)G(N)

n1 + 1/”…Г($/к)

n1 + 1/”…Г($/к)

с G(N)》А. Напомним, что p$(N)—

КЛАССИЧЕСКОЕ РАЗБИЕНИЕ ФАРЕЯ: МАЛЫЕ ДУГИ

Поскольку оно лежит в основе традиционного применения кругового метода, мы рассмотрим эту часть конспективно; здесь все существенным образом зависит от диагонального вида форм, фигурирующих в проблеме Варинга.

Объединение больших дуг не может покрыть все R/Z; проще всего увидеть это, измерив общую длину больших дуг. Рассмотрим случай кубов:

网=£ £ 杀；

q&Q a=l 93广

(4 力=1

длина больших дуг не только меньше 1, но даже стремится к 0, когда N стремится к бесконечности! Назовем малыми дугами дополнение к большим дугам и обозначим его через т.

Оценка Вейля: 13 кубов

Сумму S(a) для иррационального а под «двойственным» углом зрения в 1916 г. рассматривал Вейль: он показал, что при заданном а и Р, стремящемся к бесконечности, величина S(a)/尸 стремится к 0. С этой точки зрения, которую мы здесь не развиваем, это соответствует тому факту, что числа an3 «равномерно распределены» в R/Z. Метод Вейля для оценки |S(a)| приводит к оценке, справедливой в случае кубов

для любого Е > О:

(4.1.a)|S(a)| = 0е(Р3/4+£) равномерно по awm.

(Для к-х степеней показатель степени равен 1-21~к.)

Из оценки (4.1.а) легко выводится

(4.1.Ъ)J(S(ct))Se( —ctN)dct = 0e(P3s/4+£).

Сопоставляя этот результат с (3.2.Ь) (вкладом больших дуг), получаем асимптотику для числа представлений в виде суммы s кубов, начиная с

s — 3 > 3s/4,

т.е. начиная с s, строго большего 12. Таким же образом получаем асимптотику для числа представлений в виде суммы k2k~1 + 1 к-х степеней.

Соотношение Парсеваля: 9 кубов

Сила соотношения (4.1.а) основана не столько на показателе степени (очень хотелось бы заменить 3/4 на 1/2, вероятностную оценку для случайных блужданий с шагом ^(ап3)), сколько на его равномерности на т. Однако эта равномерность израсходована при использовании формулы (4.1.Ъ), где используется норма пространства Is. Соотношение Парсе- валя дает нам в соотношении (4.1.Ъ) показатель степени s/2 по крайней мере для s = 2, что тривиально, и для s = 4, что немного тоньше: тождество %з + 歹3 =(% 十 歹)(工2 _ Ху _^_ 歹2)позволяет оценить г2(п) через число делителей % откуда следует оценка (42a)々(九)=0£(吟.

Тогда для s》4 можно написать 1

J |S(a)Fda w max|5(a)|s*4 J |S(a)|4</a, maem0

откуда выводится асимптотика для числа представлений в виде суммы s кубов, начиная с

34

^~3>-(5-4) + -,

те начиная с 邑 строго большего 8, а поскольку 5 - целое, это означает лишь s》9.

В случае /с-х степеней Хуа обобщил соотношение Парсеваля и получил оценку

(4.2.Ь)，国喇2kdet =Q"2I + e),

о

откуда получается асимптотика для rs(N) при s》2〃 + L Мы лишь напомним здесь об улучшении Виноградова (улучшение леммы Вейля для к > 12), Хит-Брауна (улучшение неравенства Хуа для к》6), Виноградова, Давенпорта, Вона и других (разрешимость " +...+" = =N без асимптотического представления ^(^)).

Число представлений в виде суммы восьми кубов:теорема 3

Снова рассмотрим неравенство Хуа (4.2.Ъ) для кубов. Из него следует, что

f|S(ct)Fda = О/尸 5+) о

тогда как большие дуги вносят вклад порядка Р5. Как заметил Хооли, рассмотрение средних значений функций делителей позволяет заменить член 产 на степень log Р; результат Холла и Тененбаума приводит даже к

1

(4・3・а)J|S(a)|8da = Oe(P5(logP)£)

о

и, значит, к

(4.3.b)h(N) = 0JN5/3 (log NF).

Теорема 3 непосредственно вытекает из существования вещественного С > 0, такого, что

(4.3.с)J|S(a)|8dct =。(尸 § Qog 尸)-с).

Отметим, насколько мал просвет между оценками (4.3.а) и (4.3.с). Чтобы преодолеть его, Вон вводит несколько разбиений: на m в соответствии с диофантовыми свойствами а, и на целых числах от 0 до Р (по которым идет суммирование в 5(a))-в соответствии с их арифметическими свойствами. Таким образом, он приходит к новым диофантовым уравнениям и, если удается оценить число их решений, получает глобальный выигрыш логарифма; тогда оценок типа (4.3.Ь) достаточно, чтобы сохранить приобретенные завоевания: в (4.3.с) можно взять в качестве С любое вещественное число, меньшее 1.

Число представлений в видесуммы семи кубов

Этот итерационный метод лежит в основе оценки

(4.4.а)r?(N)》CN/3

для вещественного С > 0 и любого достаточно большого целого N (Vaughan, 1987). Недавно Р. Бейкер и Й. Брюдерн обобщили этот результат на случай диагональных кубических форм от 7 переменных.

В 1942 г. Линник доказал положительность “(N) для любого достаточно большого N с помощью других методов (тернарные квадратичные формы, распределение простых чисел в арифметических прогрессиях).

Асимптотическая формула для r?(N) получена (условно) в работе Hooley (1984) в предположении справедлив ости гипотезы Римана для некоторых глобальных L-функций Хассе-Вейля.

НЕДИАГОНАЛЬНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ ФОРМЫ

Нетипичная ситуация: случай норменных форм

Как мы только что увидели, лишь совсем недавно удалось приспособить круговой метод для доказательства того, что всякое достаточно большое целое число есть сумма семи кубов. Результат Давенпорта о кубических формах от 16 переменных, упомянутый во введении, и теоремы 1 и 2 наводят на мысль, что обращаться с общими формами следует более деликатно. Теорема 4 показывает, что можно извлечь из некоторых геометрических особенностей. Можно также учитывать и некоторые алгебраические особенности, о чем свидетельствует следующий результат, который относится к кубическим формам от 7 переменных (и более общо, к формам степени 厶 от 2k + 1 переменных).

Теорема 5 (В. J. Birch, Н. Davenport, D. J. Lewis, 1962). Пусть К】 (соответственно 7Г2) - кубическое поле, a N^^ у〔, zj (соответственно N2(%2, У2, z2))_норменная форма относительно заданного целого базиса. Если уравнение

ММ，乃，zj + N2(x2, y2, z2) + N = n

имеет неособое решение mod/? для любого простого числа р, которое делит d^K^^K^ (произведение дискриминантов полей Ki и К^ то оно имеет бесконечное множество решений в целых рациональных числах.

С помощью метода решета Иванец даже получил результаты о числе представлений кубическими формами от 6 переменных. Для простоты мы приводим лишь следствие из его результата.

Теорема 6 (Н. Iwaniec, 1977). Пусть K/Q - кубическое расширение Галуа; обозначим через NK норменную форму относительно заданного целого базиса. (Существуют целое число D и семейство Н классов по модулю D, такие, что простое число р полностью разлагается в К в том и только том случае, когда р сравнимо по модулю Р с некоторым элементом из

Всякое достаточно большое целое четное число, сравнимое по модулю D с суммой двух элементов из Н, представимо формой NK (хр у】，zj + +网(х2丿2, Z2).

Продолжение больших дуг (по Вону)

В четырех первых разделах мы рассматривали лишь диагональные формы. Все, что касается больших дуг, можно на самом деле перенести на случай недиагональных форм с помощью преобразования Фурье на Zs. Впервые диагональность принципиально используется лишь в неравенстве Вейля (формула (4.1.а)).

В конце 70-х годов Вон заметил, что выбор большой дуги 9Ji0 д, сделанный в (3.1.с), продиктован лишь заботой о том, чтобы пренебречь максимальным числом членов в формуле суммирования Пуассона (3.1.а) и получить соотношение (3.1.Ъ). Если выбрать большую дугу побольше, то функция ^(ad + vx) не обязательно будет осциллирующей, и придется сохранить тем больше членов, чем дальше продолжена большая дуга. Разумное увеличение еще позволяет контролировать сумму ^Ni<v<N J^(ctxfc + vx)dx, в которой к каждому члену применяется метод стационарной фазы (разложение в окрестности точки, в которой обращается в нуль величина kaxk~1 + v, что приводит к интегралу Френеля). Итог: в случае кубов в точности воспроизводим показатель степени 3/4 в оценке Вейля, тогда как для более высоких степеней получаем показатель степени, больший или равный 1, что малоинтересно. Все же отметим использование идеи Вона для биквадратов в другом контексте, где была найдена некоторая вычислительная тонкость (Deshouillers, 1985). Другое преимущество метода Вона-возможность записать 5(a) в виде тригонометрической суммы, тривиальная оценка которой приводит к оценке Вейля; но ничто не мешает сохранить и явную запись вышеупомянутой экспоненциальной суммы, имея в виду компенсацию в будущем. Читатель, которому я благодарен за продолжающееся участие в путешествии, вскоре должен убедиться, что, хотя «13 кубов» проистекают из одной лишь оценки Вейля, для доказательства теоремы 1 в случае неособой формы от 13 переменных приходится опираться на хорошее знание обобщенных сумм Гаусса (теорема Делиня!).

Прежде чем объяснить, откуда получается выигрыш 3 дополнительных переменных, я отмечу работу Cherly (1989), где метод Вона используется, чтобы получить неравенство типа Вейля для кубических тригонометрических сумм над F2[X], которое невозможно получить классическим методом, потому что в F2 имеем 3! = 0.

Интермедия: разбиение Фарея-Клостермана

Если пытаться сохранить в явном виде рассматриваемые тригонометрические суммы для всех aeR/Z, то следует получить разбиение R/Z на большие дуги. Немногим более шестидесяти лет тому назад с той же трудностью встретился Клостерман при изучении диагональных квадратичных форм от четырех переменных. Оказывается, что найденное им решение - один из ключей к теоремам 1 и 2. Оно заслуживает описания еще и потому, что сам Клостерман вновь использовал его для получения первой нетривиальной оценки коэффициентов Фурье голоморфных параболических модулярных форм; эту идею, отшлифованную Петерсоном, впоследствии развивали в своих работах Сель- берг, Кузнецов, Иванец и др. при изучении средних значений сумм Клостермана (с помощью неголоморфных модулярных форм), используя то, что в другом контексте переоткрыл Хули и назвал «двойным рафинированием Клостермана».

С рядом Фарея порядка Q, т. е. с множеством рациональных чисел a/q из R/Z, для которых (a, q) = 1 и 夕 W Q, Клостерман связывает разбиение

(53а)где(53а)гдеR/z= и и吗①

(53а)

где

(53а)

где

(5.3.Ь)(5.3.Ь)% =% =а + 〃 а + а"а + 〃 а + а"夕 W 2 а = 1(4 4)= 1

(5.3.Ь)

(5.3.Ь)

% =

% =

а + 〃 а + а"

а + 〃 а + а"

через a'/d и а"/д" обозначены соседи a/q по ряду Фарея порядка Q.

Вызов состоит в том, чтобы определить концы 亚;g, зная лишь а и 夕! Для этого используем основное свойство ряда Фарея:

(5.3.с)aqr 一 dq = \.

Отсюда следует, что

1 а 1 а 1]

J q 外9+ 0)% 外9+ “」’

где зависимость от 〃 и а" исчезла.

Остается выразить q' (а также q") через а и《Для начала заметим, что д' хорошо локализовано в интервале длины q； в самом деле, имеем (5.3.d)Q<q + q' ^Q + q

(оценка снизу следует из того, что a/q и а'/7 являются соседями по ряду a 储

Фарея порядка Q, а значит,не принадлежит этому ряду).

9 + 0

Теперь Клостерман замечает, что соотношение (5.3.с) позволяет локализовать вычет д' по модулю 夕；обозначая через а обратную величину к вычету а по модулю % получим

(5.3.е)7 三 M(modg).

Два соотношения (5.3.d) и (5.3.е) вполне определяют q', а значит, и левый конец дуги 5Шд @ в терминах лишь а и g. С правым концом действуем так же.

Отметим, что рассматриваемое разбиение R/Z (по формуле (5.3.а)) имеет одну неприятную особенность: дуги 9Л〔 соответствующие одному q, имеют разные длины.

Чтобы все-таки иметь возможность наложить их друг на друга, Клостерман раскладывает их характеристические функции в ряд Фурье, вводя член ^q(a), где х^^ - аддитивный характер по модулю q. Самый простой случай приводит к суммам Клостермана

(5・3・f)K(m,%g):= £

a mod夕 ' 夕 /

для которых он получает нетривиальную оценку сверху.

Кубические формы от 10 переменных (по Хит-Брауну)

Теперь все актеры на сцене! Пусть F - кубическая форма, а Р-положительное вещественное число. Интеграл

(54а)%(/>) = ]( £ е (а 尸(х)))

дает число решений уравнения F(х) = 0 при условии ЦхП^ ^ Р. Если показать, что rF(P) > 1 для некоторого 尸(например, получив для rF (Р) асимптотическую формулу или оценку снизу), то отсюда делаем вывод, что уравнение 尸(х) = 0 имеет нетривиальное решение.

Затем используется разбиение Фарея - Клостермана (5.3.а) порядка 尸3/2 (напомним о замечании после определения (3.2.а)): на каждой большой дуге сумма 工口犷 хреЗ"*)) преобразуется по формуле суммирования Пуассона. Затем "вклады больших дуг с одинаковым знаменателем перегруппировываются по методу Клостермана. Завершение операции: оценка сумм

(5.4.Ъ)S為;b):=ZX "s尸(c) + 〃s-b・c).

s= 1 c mod g

Хотя путь ясно прочерчен на карте (с нами Делинь!), ситуация на местности куда более запутанная и каменистая. Вот два основных препятствия, которые должен был обойти Хит-Браун.

С помощью Катца он оценивает сверху |Su(p; b)| величиной порядка ° 仍д + 1)/2)— зто максимальная компенсация, на которую можно надеять-

СЯ. Трудность проистекает из члена в сумме (5.4.Ь) - усложняется природа многообразия, по которому осуществляется суммирование (призма с гиперболической базой), а значит, и верхняя оценка для Su, даже при наилучшем предположении о неособости 尸.

Изучение сумм S“(p';b) для / > 1 в принципе проще; к сожалению, максимальная компенсация, на которую можно было бы рассчитывать для сумм Su(pl; b), не всегда достигается. Хит-Браун показывает, что этот случай встречается не слишком часто (см. также S. Cohen, 1979); это доказывает, что в среднем можно оценить сверху |SU(^; b)| величиной порядка。(g(” + 十е).

На самом деле рассматривается не интеграл (5.4.а), а его взвешенная модификация

j( £ w(x)e(aF(x))^a,

где гладкий вес w гораздо лучше сочетается с преобразованием Фурье, чем характеристическая функция ящика ||х|| Р.

55 Кубические формы от 9 переменных (по Хули)

Этот параграф соотносится с предыдущим подобно тому, как § 4.3 (сумма 8 кубов) соотносится с § 4.2 (сумма s кубов для s > 8).

Первое усилие состоит в следующем: развить метод Хит-Брауна для оценки сумм Su(k; b), чтобы в случае, когда к является квадратом числа, не содержащего квадратичных множителей, оценивать эти суммы столь же эффективно, как и в случае, когда само к не содержит квадратичных множителей; тогда в большинстве случаев, когда показатели степени больше 2, оценку удается получить элементарным методом. Таким образом, выигрывается множитель порядка степени Р.

Можно сэкономить и несколько степеней логарифма Р: одни- выбрав вес w с компактным носителем, другие - сглаживанием концов дуг 亚：，史 определенных в (5.3.Ъ).

Решающий укол наносится при соучастии Катца. Тонкая оценка моментов порядка 4 от тригонометрических сумм позволяет получить для семейства простых чисел положительной плотности оценки вида

££ e(a・x/F) W(l-6)p(3"T)/2

amodp xmodp

/(х) = 0(р)

с константой, которая чудесным образом оказывается меньше 1! Усредняя по q, знаменателям точек Фарея (см. вводный абзац параграфа 5.3), удается сэкономить степень логарифма P-шаг маленький, но решающий.

В заключение отметим незавершенную работу Хули, касающуюся

случая форм от девяти переменных, нульмерные особенности которых суть линейно независимые двойные точки.

ЛИТЕРАТУРА

Baker R. С. Diagonal cubic equations П. Acta Arithmetica 53 (1989), 217-250.

Birch В. J” Davenport H., Lewis D. J. The addition of norm forms, Mathematika 9 (1962), 75-82.人

Cherly J. Sommes d'exponentielles cubiques dans fanneau des polynomes en une variable sur le corps a deux elements, et application au probleme de Waring. These de Doctoral d'Etat, Univ. Bordeaux 1, 1989.

Cohen S. D. The distribution of Galois groups and Hilbert's irreducibility theorem, Proc. London Math. Soc. (3), 43 (1981), 227—250.

Colliot-Thelene J.-L., Arithmetique des varietes rationnelles et problemes bira- tionnels, Proc. Int. Congress Math., (1987), 641-653.

Colliot-Thelene J.-L., Sansuc J.-J., Swinnerton-Dyer Sir P. Intersections of two quadrics and Chatelet surfaces, 1, J. reine ang. Math. 37 3 (1987), 37-107; 11, Ibid, 374 (1987), 72-168.

Colliot-Thelene J.-L., Salberger P. Arithmetic on some singular cubic hypersurfaces, Proc. London Math. Soc. (3), 58 (1989), 519-549.

Davenport H. Analytic methods for Diophantine equations and Diophantine inequalities, Univ. Michigan, 1962.

Davenport H. Cubic forms in sixteen variables, Proc, Roy. Soc. London ser. A, 272 (1963), 285—303.

Deligne P. La conjecture de Weil, I, Pub. Math. 43 (IHES, Paris, 1974), 273-307.

Deshouillers J.-M, Probleme de Waring pour les bicarres, Sem. Th, Nb. Bordeaux (1984-1985), expose 14.

Hall R. R., Tenenbaum G. Divisors, Cambridge University Press.

Hardy G. H., Littlewood J. E. Several papers on Partitio Numerorum, in G. H. Hardy's collected papers, Oxford, 1966.

Hardy G. H., Ramanujan S. Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc. London Math. Soc. (2), 17 (1918), 75-115.

Heath-Brown D. R. Cubic forms in ten variables, Proc. London Math. Soc. (3), 47 (1983), 225-257.

Hooley C. On a new technique and its applications to the theory of numbers, Proc. London Math. Soc. (3), 38 (1979), 115-151.

Hooley C. On Waring's problem, Acta Math. 157 (1986), 49-97.

Hooley C. On nonary cubic forms, J. reine ang. Math. 386 (1988), 32-98.

Iwaniec H. On sums of two norms from cubic fields. In: Journees de theorie additive des nombres (Universite de Bordeaux 1, 1977).

Katz N. M. Perversity and exponential sums, в печати.

Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + + cz2 + dt2. Acta Math. 49 (1926), 407-464.

Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 + + by2 + cz1 + 力2. Proc. London Math. Soc. (2), 25 (1926), 143-173.

Lachaud G. Une presentation adeligne de la serie singuliere et du probleme de Waring, Ens. Math. 28 (1982), 139-169.

Линник Ю.В. О разложении больших чисел на семь кубов-Доклады АН СССР 3 5 (1942), 162, и Мат. сборник 12 (1943), 218-224.

Mordell LJ. A remark on indeterminate forms in several variables, J. London Math. Soc. 12 (1937), 127-129.

Rademacher H. Topics in Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1973.

Vaughan R. C. Some remarks on Weyl sums, Coll. Math. Soc. Janos Bolyai 34 (Halasz ed.) Amsterdam, 1984, 1585-1602.

Vaughan R. C. The Hardy-Littlewood method, Cambridge, 1981. [Имеется перевод: Вон P. Метод Харди - Литтлвуда. - М.: Мир. 1985.]

[2刃 y^g?絮 AC On Waring's problem for cubes, J. Reine Ang. Math. 365 (1986),

[3°]隐J麗鳴｝£• On Warings problem for cubes, 11, J. London Math. Soc. 39 (1УоУ), 205—218.

Weyl H. Ober die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann. 77 (1916), 313—352.'

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМ N ТЕЛС КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ

(по работам И. М. Сигала и А. Соффера)

Кристиан Жерар

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая задача N тел заключается в исследовании свойств системы N нерелятивистских взаимодействующих частиц. Такая система N частиц описывается гамильтонианом Шрёдингера следующего вида:

N Ах

(1)(1)"= e -尸+ e匕汽-修).

(1)

(1)

皿 2n у

Здесь m； - масса i-й частицы, xf-ee положение, т. е. точка в Rv (v = 3 в случае физического пространства), a V^ (х； — х7) - потенциал взаимодействия между z-й и j-й частицами. Таким образом, Н действует на гильбертовом пространстве L2 (R^). Другой важный пример - это атомный гамильтониан, где предполагается, что некоторые частицы имеют бесконечную массу и, следовательно, неподвижны (как, например, ядра атомов или молекул):

(2)(2)i = 1i = 1竺+ у 9公 + у 修弓

(2)

(2)

i = 1

i = 1

Хк-положение k-诙 частицы квантовой механики исслеХк-положение k-诙 частицы квантовой механики иссле2吗 i,k lXi — ^к\\Xi~ Xj\

Хк-положение k-诙 частицы квантовой механики иссле

Хк-положение k-诙 частицы квантовой механики иссле

Здесь е$ обозначает заряд z-й частицы, а с бесконечной массой. С возникновением

дование гамильтонианов такого типа привело к постановке многих физических проблем. Первая из них состоит в том, что при N > 2 (или при N > 1 в случае атомного гамильтониана, т. е. начиная с атома гелия!) мы более не имеем явных формул для решения уравнения Шрёдингера даже в случае потенциала взаимодействия кулоновского типа. Это привело к возникновению большого количества приближенных методов вычисления фундаментального уровня 1п^е/^2(кзЛ) (Н^, \|/> (например, приближения Хартри-Фока и Т омаса - Ферми - см., например, Ландау-Лифшиц [ЛЛ]). Среди других можно назвать проблему определения Н как самосопряженного неограниченного оператора на _L?(RNv)с областью определения D(H), Отметим, как это ни странно, что эта проблема была строго решена лишь в пятидесятые годы Като [Ka 1] для атома гелия и Комбом [Сот] в семидесятые годы для общего случая. С точки зрения сугубо теоретической важно^ понять (хотя бы лишь для того, чтобы оправдать апостериори введение этих гамильтонианов), как строго установить некоторые фундаментальные свойства этих квантовых систем, образованных большим количеством частиц.

Наиболее фундаментальное свойство - это, разумеется, стабильность материи (которая математически означает ограниченность Н снизу величиной - Со (N + X), где N - число частиц, а К - число ядер). Это свойство было строго доказано в шестидесятые годы (Дайсон-Ленард [DL], Либ-Тирринг [LT]). Нужно отметить, что имеется множество вполне разумных с физической точки зрения свойств кулоновских систем, до сих пор не доказанных математически.

Другой круг проблем связан с эволюцией квантовой системы N частиц при больших временах. Эта эволюция описывается нестационарным уравнением Шрёдингера

idtut = Н%,

⑷ Mlt = o = u •

Символически эту эволюцию обозначают как e~itHu. Если Н допускает самосопряженную реализацию, то это уравнение имеет решение при всех временах. Например, это верно в случае, когда

匕戸g)+ H(RV)

при г > v/2 (см. Рид-Саймон [RS]). Здесь индекс £ указывает, что составляющую в L°° нужно выбрать со сколь угодно малой нормой. При этом Н является самосопряженным на соболевском пространстве “2(rnv) в частности, для кулоновских взаимодействий эволюция определена при всех временах: для квантовой задачи нет траекторий с соударениями. Это важное отличие от классической задачи N тел можно рассматривать как торжество принципа неопределенности.

Если w принадлежит пространству ^рр(Н) точечного спектра оператора Н, то эволюция е^иН и устроена тривиально: составляющая 〃 вдоль каждого собственного вектора(р;- оператора Н просто умножается на е~"%, где Xj - собственное число, соответствующее(р? Центральная проблема теории рассеяния состоит в описании эволюции состояний и, принадлежащих пространству */^) = *рр(Я)丄 непрерывного спектра оператора Н. Физическая интуиция подсказывает, что система N частиц должна распадаться на устойчивые группы частиц, и каждая из этих групп ведет себя как свободная частица. Никакой другой тип поведения до сих пор в природе не наблюдался. Это свойство на языке математических терминов называется асимптотической полнотой. Это свойство не является столь очевидным, как это может казаться. Например, оно связано с отсутствием сингулярного непрерывного спектра, т. е. состояний, вероятность присутствия которых в компакте стремится к нулю только в среднем. В других терминах частицы, описываемые таким квантовым состоянием, могут приближаться одна к другой при скодь угодно больших временах. В работах Пирсона (см. [Ре]) для задачи двух тел построены примеры таких потенциалов класса Cq (7?v\ {0}), что спектр соответствующего оператора Н является чисто сингулярно непрерывным в ]0, + оо[.

ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Первый шаг при изучении гамильтониана Н состоит в отделении движения центра масс системы частиц. Дело в том, что Н инвариантен относительно сдвигов множества частиц системы. Пространство конфигураций (классического) движения частиц в системе центра масс является подпространством

Х = {xcRNv巨加小 нО}.

Первая трудность состоит в том, что на X нет естественных координат. Чтобы преодолеть эту трудность, введем на R^” следующую квадратичную форму:

Тогда )это инвариантно определенный оператор Бельтра-

ми-Лапласа на R*”，ассоциированный с д, который в дальнейшем обозначается просто —А|х и является полностью внутренним. Пространство X является ортогональным дополнением относительно q к пространству X 丄 конфигураций движения центра масс:

XL = {xwRNvg = /W,/}・

Если обозначить Цх) = Х/＜；匕/(看一巧)，то 卩является функцией на X, и, представляя £2(RNv)в виде ЬцХ) ® L2(XL), мы получаем, что

Н=1|х8-А|з+(—А1х+Р(х))®11х，・

Первое слагаемое отвечает кинетической энергии центра масс. Впредь именно второй член — А | 丫 + V(x) мы будем обозначать через Я.

Главная трудность при изучении гамильтониана N тел связана с тем, что V не стремится к 0 на бесконечности в X, за исключением случая N = 2. Действительно, V не стремится к 0 вдоль подпространств {м = к,. Чтобы дать точное описание геометрии этих пространств и возможных вариантов разделения системы частиц на группы, используют следующие обозначения: через “ обозначают множество разбиений множества {1, ... , N}, которое и совпадает с множеством возможных вариантов разделения системы частиц на группы. На множестве “ имеется естественное упорядочение: говорят, что а и Ь, если а - более мелкое разбиение, чем Ь. Самое мелкое разбиение - это, разумеется, ({1}, ..., {N}), обозначаемое через amin, которое соответствует полному распадению системы. Наиболее крупное разбиение {1,..., N}, соответствующее случаю стабильной нераспадающейся системы, обозначается через атах. Обозначим через (у) разбиение, обра-

зованное парой {»,/} и {к} при к ^ /,/. Для ае“，а = {Л15 ...» Ак), обозначим

Ха = {хеХ\ х-=勺，если (у) и а}.

Легко проверить, что Хь и Х&, если а и Ь. Именно такое свойство упорядочения пространств Ха является наиболее существенным (см. замечание 2.1). Если обозначить Ха = Ха, то, очевидно,

def

X。= {хеXI 用(х) = £ mjXj = О1»}.

Взаимодействие между группами определяется формулой

厶(х)= £ %(х).

(V)н а

Затем полагают Н。= Н — 1а. Поскольку члены взаимодействия в На зависят только от переменных на Х\ то На можно представить в виде (9) 儿= 1|х・8—А|爲+(-А1г+ 广(廿))㊁ 11х「

Здесь Р“=Р—/@ является функцией на Ха. Первое слагаемое представляет кинетическую энергию центра масс групп, составляющих а, а второе представляет внутреннюю энергию этих групп. Через На обозначают гамильтониан

-A|Г+г便)，

действующий на Л2(ХЙ). Наконец, через Та обозначается гамильтониан

Замечание 2.1. Можно определить класс гамильтонианов с N «обобщенными» телами (см. Агмон [Ag]) без учета структуры частиц, вводя априори семейства векторных подпространств Ха при ае» в конечномерном векторном пространстве X с отношением порядка Хь и Ха на М при а и Ь. В этот класс гамильтонианов входят, например, атомные гамильтонианы, а также системы N тел, в которых имеются взаимодействия между группами частиц: например, можно рассмотреть взаимодействие, которое включается лишь при сближении друг с другом трех частиц. Все описанные ниже результаты распространяются непосредственно на гамильтонианы Агмона.

Гамильтониан На описывает новую систему из N тел, образованную совокупностью групп, входящих в 〃，и содержащую лишь внутренние взаимодействия. Гамильтонианы На при а # а^ах называются подсистемами из Н. Собственные значения гамильтонианов Яй при。* «тах

° Для каждого i = 1, .„, к-Прим, перев.

называются пороговыми значениями^ оператора Н. Множество всех пороговых значений обозначается через £. При условиях (Н) множество Z является замкнутым и счетным ([М, PSS, FH]). Пороговые значения соответствуют уровням энергии, при которых в системе возникают новые возможности для разделения. Напомним, например, знаменитую теорему HVZ (Хунцикера, Ван Винтера, Жислина):

Теорема 2.2. Существенный спектр оператора Н совпадает с [inf Е, +оо[.

Таким образом, infS-это минимальный уровень энергии, при котором возможно разделение системы. Аналогично 0-это минимальный уровень энергии, при котором система может «распасться» на N независимых частей. С другой стороны, более общим образом пороговые значения - это уровни энергии, при которых поведение системы является наиболее патологическим. Например, при условиях (Н) пороговые значения являются единственно возможными точками накопления для собственных чисел (возможно, погруженных3*) оператора Н. Они являются также точками, в которых меняется кратность непрерывного спектра. Наконец, это те уровни, на которых оценки разделения (см. разд. 6) не являются справедливыми. Это связано с тем, что система с пороговым уровнем энергии может находиться в состоянии, образованном устойчивыми пакетами с нулевыми относительными импульсами. В случае короткодействующих потенциалов (см. ниже) эти состояния могут быть устранены при помощи соображений плотности, вытекающих из следующей очевидной леммы.

Лемма 2.3. Если 況£卷/出)，то Е^Н)и -> 0, когда интервал А стремится к точке {九°}.

По-видимому, в случае дальнодействующих потенциалов для распада таких состояний необходимо было бы привлечь другой механизм. Одним из подобных механизмов могла бы служить диффузия по аналогии с задачей двух тел.

Регулярное асимптотическое поведение e"ltH при / т 土 оо описывается тремя группами данных:

разбиение на пакеты, т.е, элемент 〃£“；

функция uaeL2(Xa), описывающая относительные движения центров масс пакетов;

собственная функция “" оператора На в L2(X"), описывающая стабильное состояние каждого пакета частиц.

Задание разбиения а £ W и собственной функции \|/“ (с точностью до

" В оригинале - tbles seuils^^- Прим, перев.

множителя) определяет канал реакции. Его обозначают греческой буквой а = (а, ш), где т - номер собственного значения % оператора На (с учетом кратностей). Через “° обозначается собственная функция оператора 〃匕 отвечающая каналу а.

Относительное движение центров масс пакетов сильно зависит от убывания потенциалов /仃 на бесконечности. Если потенциалы Р“(х) убывают на бесконечности как (х)~р с р > 1 (короткодействующие потенциалы), то относительное движение пакетов можно аппроксимировать их свободным движением, задаваемым лапласианом Та. Если же потенциалы 卩仃 убывают как〈％〉~1 или еще более медленно, то нужно скорректировать свободное движение, чтобы учесть более медленное убывание взаимодействия на бесконечности. Мы вернемся к проблемам, возникающим в связи с дальнодействующими потенциалами, в разд. 7. Однако до тех пор всюду ниже мы будем рассматривать только короткодействующие потенциалы.

Прежде всего сформулируем условия на потенциалы: выше мы видели, что можно рассматривать 匕/(七一勺)как функцию Va на Ха при а = (у). Будем предполагать, что Va обладает следующими свойствами:

(H.i)兀(К)( —А。+ I)-1 - компактный оператор на 1?(Х。). (Н.п)<х)и ^(%°)(—Л° + 1) ~1 - ограниченный оператор. (H.iii)〈x〉i+N ▽兀(犬)(一偿 + 1) ~1 - ограниченный оператор. (H.iv)(f・ \7)2Va(xa)( — ^ + I) -1 - ограниченный оператор.

Говорят, что потенциалы короткодействующие, если ц > 1. Отметим, что условие (Н. iv) не является строго обязательным для получения результатов, которые мы сейчас опишем: асимптотическая полнота при отсутствии этого условия (см. недавнюю работу Графа [G]) и отсутствие непрерывного сингулярного спектра при более слабых условиях (см. [BGM]).

Для короткодействующих потенциалов волновые операторы определяются следующим образом.

Определение 2.4. Для произвольного канала а волновые операторы Q* определяются формулой

支％ = нт е"не-"k + ")匹®)У 我兄%el2&3

/ т ± СО

Следующий результат хорошо известен.

Теорема 2.5. (i) Если ц > 1, то при условиях (Н) волновые операторы С 土 существуют.

ii) Если а Р，то Im Q„ 丄 ImCj.

Пункт (i) этой теоремы означает, что для любого заданного асимптотического поведения €一"(厶 + 电)ua ® 屮。существует такое состояние и, что е~itHu имеет подобную асимптотику. Пункт (ii) означает попросту,

что состояние и не может иметь двух различных типов асимптотики при / т 士 со или, другими словами, что принятая нами асимптотическая классификация является достаточно точной.

Асимптотическая полнота означает, что асимптотическая классификация описывает все возможные типы поведения:

Определение 2.6. Система N тел с гамильтонианом Н асимптотически полна, если:

㊉ Imf^ =匕(Я).

Как было сказано во введении, асимптотическая полнота означает, в частности (но на самом деле она означает гораздо больше), отсутствие сингулярного непрерывного спектра. Это свойство в действительности вытекает из оценки Мурра (см. [М, PSS, FH] и разд. 6), справедливой при выполнении условий (Н).

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ

Чтобы доказать асимптотическую полноту, Сигал и Соффер (см, [SS1]) ввели описание промежуточного асимптотического поведения - асимптотического разделения1} (асимптотической кластеризации). Сформулируем сначала эквивалентную характеризацию асимптотиче* ской полноты:

Предположение 3.1. Система N тел с гамильтонианом Н асимптотически полна тогда и только тогда, когда для всех не*©(切 〃 3/兄 всех е > 0 существует конечное множество Eg каналов и для всех 0£工「такие векторы 〃а,££^2(Ха), что

lim S"%- z 「工+ ")/毋項寸W£.

Чтобы определить свойство асимптотического разделения, общую динамику сравнивают с более детальной эволюцией, чем асимптотики, использованные выше для определения асимптотической полноты.

Определение 3.2. Система N тел с гамильтонианом Н асимптотически разделяется при энергии Е, если для некоторого интервала △, содержащего Е、при V^wImENA) Г)實,伊)существуют такие векторы

^,EeL2(X), что

lim喷eII = 0・

Это свойство означает, что система разделяется на несколько паке-

D В оригинале ~"1а desintegration asymptotique".-师艮从・ перев.

тов, эволюция каждого из которых описывается более просто гамильтонианом На. Однако на сей раз ничего не говорится о стабильности этих пакетов. Идея состоит в том, что если эти пакеты нестабильны, тотов, эволюция каждого из которых описывается более просто гамильтонианом На. Однако на сей раз ничего не говорится о стабильности этих пакетов. Идея состоит в том, что если эти пакеты нестабильны, тоОНИ В СВОЮОНИ В СВОЮочередь разделяются наочередь разделяются наостанутся только стабильные пакеты, дение в следующей теореме:останутся только стабильные пакеты, дение в следующей теореме:подпакеты до техподпакеты до техЭтаЭтапор, пока непор, пока негипотеза находит подтверж-гипотеза находит подтверж-Теорема 3.3. ЕслиТеорема 3.3. Еслисистема N тел ссистема N тел с-гамильтонианом Н разделяется асимптотически при всех непороговых энергиях и то же верно для всех ее подсистем Н°, то система асимптотически полна.-гамильтонианом Н разделяется асимптотически при всех непороговых энергиях и то же верно для всех ее подсистем Н°, то система асимптотически полна.

тов, эволюция каждого из которых описывается более просто гамильтонианом На. Однако на сей раз ничего не говорится о стабильности этих пакетов. Идея состоит в том, что если эти пакеты нестабильны, то

тов, эволюция каждого из которых описывается более просто гамильтонианом На. Однако на сей раз ничего не говорится о стабильности этих пакетов. Идея состоит в том, что если эти пакеты нестабильны, то

ОНИ В СВОЮ

ОНИ В СВОЮ

очередь разделяются на

очередь разделяются на

останутся только стабильные пакеты, дение в следующей теореме:

останутся только стабильные пакеты, дение в следующей теореме:

подпакеты до тех

подпакеты до тех

Эта

Эта

пор, пока не

пор, пока не

гипотеза находит подтверж-

гипотеза находит подтверж-

Теорема 3.3. Если

Теорема 3.3. Если

система N тел с

система N тел с

-гамильтонианом Н разделяется асимптотически при всех непороговых энергиях и то же верно для всех ее подсистем Н°, то система асимптотически полна.

-гамильтонианом Н разделяется асимптотически при всех непороговых энергиях и то же верно для всех ее подсистем Н°, то система асимптотически полна.

Доказательство. Пусть ^&^С(Н). Исходя из леммы 2.3 и из замкнутости и счетности множества Е, можно так выбрать компакт А, не содержащий пороговых значении, чтобы

⑴) 11"一 £Д(h)"11 W£.

Обозначая 屮=Е& (Н) W，можно выбрать конечное число таких интервалов Д;, что Я разделяется асимптотически на каждом интервале А「 Можно считать, что ср = Eg, где ср(g Im £^. (Я) П ^С(Н). Поскольку Я асимптотически разделяется, то при некоторых 屮詳

Q2)Q2)

Q2)

Q2)

(13)(13)Полагая <ра = £(р晶，мы получаем

(13)

(13)

lim l|efH<p —Eef%<p"|=o. 'т 土 8а

ММ；аннм через Ра проектор на точечный спектр оператора Яа ® 11 х .

&=£ 爲 О1|х「

по каналам £ а

Здесь 尸а обозначает спектральный проектор оператора На, соответствующий собственному значению 8а. Обозначая 況^ =〈屮匕 屮^〉х& и 嗎=(1 一 PJd，получаем

(15)(15)СущественныйСущественныйфункциямфункцияммомент состоит в том,момент состоит в том,оператора На. Этооператора На. Этопозволяетпозволяетчто "а ортогонален собственнымчто "а ортогонален собственнымтического разделения к каждому членутического разделения к каждому членуприменить свойство асимптоприменить свойство асимпто

(15)

(15)

Существенный

Существенный

функциям

функциям

момент состоит в том,

момент состоит в том,

оператора На. Это

оператора На. Это

позволяет

позволяет

что "а ортогонален собственным

что "а ортогонален собственным

тического разделения к каждому члену

тического разделения к каждому члену

применить свойство асимпто

применить свойство асимпто

Перегруппировывая слагаемые, мы приходим к (10) после конечного числа шагов. Например, собирая слагаемые, содержащие лишь ^一“丁。，мы получаем член е а^, который соответствует полному разделению системы.

МНОЖЕСТВО РАСПРОСТРАНЕНИЯ1»

Чтобы доказать свойство асимптотического разделения, Сигал и Соффер используют наиболее прямой подход, основанный на построении волновых операторов типа операторов Q„ из определения 2.4, но с измененной динамикой в правой части (см. (19)). Существование этих волновых операторов (называемых волновыми операторами Дейфта- Саймона) доказывается гораздо сложнее, чем для стандартных волновых операторов: например, в случае задачи двух тел оно эквивалентно асимптотической полноте. Основное средство доказательства существования этих волновых операторов - геометрическое построение «мажоранты» множества в фазовом пространстве Т*(Х)-так называемого «множества распространения». Это множество зависит от параметра Е- рассматриваемого уровня энергии - и обозначается через PSE.

Прежде всего дадим определение множества PSE. Для локализации в фазовом пространстве будем использовать псевдодифференциальные операторы с символами

jg 目=/(х,自,у), где у = х-^,戈=х/〈х〉. Будем предполагать, что j имеет компактный носитель но & и у удовлетворяет оценкам вида

m>(x，3 WQ〈x〉-W ^N\

Квантование символов j(x, &) не так существенно; например, можно использовать вейлевское квантование. Через 丿(х, D。будем обозначать квантованный символ J(x, &), а через supp J - носитель символа у, который можно считать коническим по х.

Определение 4.1. Пусть £-заданный уровень энергии. Скажем, что открытое коническое по х множество 尹 в Т*(Х) не лежит в PSE, если существует такой псевдодифференциальный оператор J, удовлетворяющий оценкам (16), что 亥 и supp J, и такой интервал А, содержащий £, что

+ ОО

J ||<x>-^2J(x, Dx)e~itHu\\2dt^C\\u\\2

для всех uelmE^H) А ^с(Я).

11 В оригинале - uFensemble de propagation,\- Прим, перев.

Условие (17) означает, что полная вероятность, сосредоточенная в 尹(проинтегрированная с весом (х)-1), конечна. Множитель〈Qm в (17) является существенным: например, из оценок Мурра (см. Мурр [М], Перри - Сигал - Саймон [PSS], Фрезе-Хербст [FH]) вытекает, что для любого непорогового уровня Е существует такой интервал Аэ 瓦 что

Ys>0 J ||〈х〉-1/2一h让乙||2力w0心||2

для всех uеImЕд(Я) П %乂成 Грубо говоря, (18) означает, что e~itHu удаляется от начала координат в X (т.е. от конфигурации, когда все частицы близки друг к другу) с постоянной скоростью, если спектр пакета и не содержит пороговых значений. Можно вместо PSE ввести более тонкое подразделение на 尸S^, соответствующее интегрированию в (17) от 0 до ±оо.

Опишем геометрическую «мажоранту» для множества PSE, построенную Сигалом и Соффером. Напомним, во-первых (как давно известно), что для заданного уровня энергии Е существенны только пороговые значения, соответствующие открытым каналам: канал а называется открытым, если Е > 8а, где 8а - это пороговое значение, соответствующее каналу а. Дело в том, что система с уровнем энергии Е не может попасть при рассеянии в некоторый закрытый канал 0, соответствующий какому-то разбиению на пакеты Ь; это вытекает из закона сохранения энергии

Е = £0 + Dj.

Оказывается, на самом деле можно пренебречь членом взаимодействия 厶(х), если пакеты из b достаточно хорошо разделены.

Итак, ключевая теорема Сигала и Соффера состоит в следующем:

Теорема 4.2. Множество PSE содержится в объединении

U {(X, 9|хеХ&,兀|国 = по открытым а

Здесь X отождествляется с X* посредством квадратичной формы д, а через 自口 обозначается ортогональная проекция g на X 胃 в метрике квадратичной формы 公 двойственной к д. Смысл этой «мажоранты» состоит в следующем: вектор относительных импульсов 圆 пакетов из а связан только энергетическим условием ^ = Е — £а> и при больших t вектор относительного расположения пакетов становится параллельным вектору как в случае движения свободной частицы. Импульсы и расположение частиц внутри пакетов здесь никак не описываются, поскольку они подчиняются чисто квантовой динамике e~itHa. Теорема 4.2 справедлива также и для дальнодействующих потенциалов. В разд. 6 мы укажем основные идеи доказательства теоремы 4.2.

ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЕЙФТА-САЙМОНАИ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОЛНОТА

В этом разделе мы собираемся доказать следующую теорему: Теорема 5.1. Система И асимптотически разделяется при всех энергиях, кроме пороговых.

Из этого результата и теоремы 3.3 можно вывести асимптотическую полноту, применяя теорему 5.1 также к подсистемам На.

Чтобы определить волновые операторы Дейфта-Саймона, Сигал и Соффер ввели приближенное разбиение единицы, которое позволяет «отделить друг от друга» различные каналы реакции.

Предложение 5.2. Для любого непорогового значения энергии Е существует такое семейство /%е(х,匕)(где acW) псевдодифференциалъных операторов порядка 0, что

&%е = 1 + 0(@〉т)；

ja £ (х,己)является функцией от (х,}, у);

носитель jatE лежит в 夕@, где

几={(X, ^Ь^ а, 1〉> 6 @〉};

^}^ja,E^> 目=〈Х〉-”а(Х，9 + 0(^Х)~2],

Здесь к“(х, ^) - псевдодифференциальный оператор порядка 0 с носителем, лежащим вне PSE, и по определению

V/a,£ (%，J丿=^(х, y}ja,E (匕己曲，"Y)I 了 =.企•丁

Из условия (iii) вытекает, что носитель /%е лежит в области, где пакеты разбиения а удаляются друг от друга.

мулой(19)мулой(19)Наконец, волновые операторы Дейфта-Саймона определяются фор-

мулой(19)

мулой(19)

死,е" Нт ”“ J。』(尤 DJ「"“* 'Г Т ± CO

Легко доказать следующий результат:

Предложение 5.3. Если операторы Дейфта- Саймона (19) существуют при всех u е Im Ед (Н) П */动 8〃兄 некоторого интервала А^Е, то система Н асимптотически разделяется при энергии Е. Остается только доказать существование волновых операторов Дейфта - Саймона.

Предложение 5.4. Для любого непорогового значения Е операторы Дейфта-Саймона существуют на интервале АэД не содержащем пороговых значений Н.

Доказательство. При помощи стандартных соображений всюду плотности и используя тот факт (см. [PSS]), что собственные значения

оператора Н могут скапливаться лишь к порогам, мы можем считать, что Е не является собственным значением для Я. Тогда можно выбрать интервал АэД не содержащий порогов и собственных значений оператора Н. Теперь воспользуемся методом Кука (см. [RS]). Положим

Wa,E(t) = eitHaJaE(x,么)

Дифференцируя WatE (г), получаем

WatE(t)^ J。』+ 寸宀乩小-Ja,EH)e~isHds.

о

С другой стороны,

Н*а,Е — J&,eH = £На, JafE] 一 丿“,£厶■

Принимая во внимание свойства носителя Ja>£, мы получаем, что (,"&(〃+ О-1 имеет вид 8〈x〉f, где В - ограниченный оператор. Множитель (Я + z)'1 вводится как обычно для срезания по энергии, и для простоты мы предположим, что оператор }0,еЦ О ограничен. Теперь рассмотрим член [儿，/а)£]. Для упрощения рассуждений мы будем предполагать, что потенциалы являются регулярными и что применимо исчисление псевдодифференциальных операторов. Положим /&е(х, &)= к&(х,匕°, ?)■ Главная часть символа оператора [儿，Ja>E2 равна та =:

(22)(22)2}(厶& + %储2}(厶& + %储+ х-+ х-

(22)

(22)

2}(厶& + %储

2}(厶& + %储

+ х-

+ х-

Поскольку функция dxaVa(xa)- х^ ограничена (а не О(〈х〉), как можно было думать априори), то мы видим, что та имеет вид

та(X,т)=〈X〉-立，

где jfl - псевдодифференциальный оператор порядка 0, носитель которого лежит вне PSE ввиду п. (ii) предложения 5.2. Возьмем теперь uelmE^(H) и г elm Ел, (И) с некоторым интервалом А' п А. Используя ограниченность оператора 丿。,乩〈х» и неравенство Коши-Шварца, получаем

J〈(儿 J/е - К.еН) е " istiu, е - isli^v) ds W

一 t1 1/2

w Jimi,a〈x〉f2eTsH〃 112 ds X

(24)

一 t] 1/2

X JlW2,a〈X〉72e-j|| 2ds +

—t1"2 L-|l/2

+ C J II〈X〉一吃7% И 2dsJ И "〉-辺7"也 112ds.

Здесь £ = min(l,卩/2), a qita-псевдодифференциальные операторы с носителями, лежащими вне PSE. Ввиду (17) и (18) все эти интегралы сходятся. Применяя критерий Коши, получаем немедленно существование пределов (19).

ОЦЕНКА РАСПРОСТРАНЕНИЯ u

В этом разделе излагаются некоторые технические средства, необходимые для (длинного и сложного) доказательства теоремы 42 Наша цель заключается в построении достаточно обширного запаса псевдо- дифференциальных операторов а(х, Рх), удовлетворяющих (17). Для этого применим одну абстрактную теорему Като ([Ка2]), позволяющую свести эту задачу к построению операторов, коммутаторы которых с Н являются локально положительными. Говорят, что оператор 丿 локально Н-регулярен при энергии Е, если справедлива следующая оценка:

+ 00

J ||J(x, D^e~itHE^H}u^dt^C^2

—co、

для некоторой окрестности А точки Е при всех 〃£%///).

Теорема 6.1. Пусть С - произвольный неограниченный самосопряженный оператор, для которого

Е^ (//) С^д (//) - ограниченный оператор;

существуют локально Н-регулярные при энергии Е операторы Bf 〃司,1 W i W к,以 оператор В, для которых

马闺[4 0М(切2區闺("#一E司瓦)j闺，

Тогда оператор В также Н-регулярен при энергии Е.

Эта теорема позволяет свести исследование //-регулярности оператора к построению локально положительных коммутаторов.

Понятие множества разделения имеет много точек соприкосновения с понятием волнового фронта, применяемого при изучении линейных уравнений в частных производных. Эта связь прослеживается также и в применяемых методах: построение псевдодифференциальных операторов, имеющих положительные коммутаторы с заданным оператором 77,—зто наиболее удобный способ доказательства теорем о распространении особенностей (см. Хёрмандер [Но]). Важное отличие от теорем о распространении особенностей состоит в том, что в теореме 4.2 фигурируют пороговые значения, являющиеся квантовыми характеристиками: такой переход отнюдь не сводится просто к замене скобок Пуассона на коммутаторы.

11 В оригинале - Mles estimations de propagation^ - Прим, перев.

Мы сейчас изложим некоторые идеи доказательства теоремы 4.2, следуя работе Дерезинского [De], который упростил первоначальное доказательство Сигала-Соффера, используя более систематически технику псевдодифференциальных операторов. В качестве операторов С в теореме 6.1 будем использовать операторы следующего вида:

C = g(Dx)f(y)Q(x),

где у = £ 七，£ = х/〈х〉，g - коническая срезающая функция порядка 0. Ключевая идея доказательства состоит в использовании коммутаторов Н с функциями от у. Множители ^(Рх) и 0(х) нужны только для локализации в подходящих областях. Эту идею можно также применять и в классической ситуации: например, таким образом можно вполне элементарно доказать, что в задаче двух тел вдоль траектории, уходящей в бесконечность, радиус-вектор становится параллельным скорости, к чему и сводится теорема 4.2 в этом случае.

Важное наблюдение состоит в том, что коммутаторы Н с функциями от у имеют достаточно простой вид (см. [De], лемма 6.1).

Лемма 6.2. Пусть FeC^ (R), причем Fr = /2, где /eS(R). Тогда

("一九)-1"",尸⑺]("一九)T =

=Л](Я-к)-у(у)<х>-^

— 2〈X〉72(a—2(y)y2(〃—旷 1@〉Г2 + 0(〈х〉— 2),

где через А обозначен генератор растяжений (х\DX + Dx-x)/2.

Как видно, здесь содержится коммутатор Н с А, который участвует также существенным образом в приводимой ниже оценке Мурра. Обозначим через & подмножество в £, образованное собственными значениями операторов 炉 при b и а,Ь 扌 а. Для достаточно малых £ положим (29)W(Qh2( inf (Е-В)),

е：(Д и = 2肾 + inf [仇(Е) IЕ —夕 I W ?} •

Теорема 6.3. Для всех S > 0 и 8 > 0 существует такой интервал АэЕ, что

⑶)％(//) [Я,国 Е^Н)》(0(Г) - 6)马倒，

區(儿)[儿,Ще^ > 优(Е 4) - 6)马电).

Отметим, что (32) является уточнением (31). Например, в области

def

У： = {хбХ|〈f〉> %〈Х〉，VZ> и а}

имеем

H = % + 0(〈x〉f),

где 0(〈х〉-卩)обозначает остаточный член, который остается ограниченным при умножении на (〃 + 0-1〈х». Поэтому в области У^ оценку (31) можно заменить более сильной оценкой (32), которая использует наличие члена Та относительной кинетической энергии пакетов в На. Нужно отметить, что при достаточно малых £ множества 匕，с а / атах образуют разбиение единицы вне некоторой окрестности начала координат в X.

Используя теорему 6.3 и лемму 6.2, можно получить достаточно тонкую оценку для коммутаторов. Положим

Zq = Xq\ U Х&.

Очевидно, Za есть область в X, в которой частицы сгруппированы соответственно разбиению а, но не более мелким разбиениям. Теперь определим функцию 0е (£, х, ? следующим образом: при x^Zb

8 (Ex, &)=成(月^).

Тогда справедливо следующее

Предложение 6.4. Пусть acW, v > О, 6 > 0, £ > 0,尸 £。8(灭)таковы, что F =/2, zde feS (R). Пусть д - срезающая функция из С£(Х?), a Q (х) - однородная функция порядка 0 с носителем в 吟.Обозначим через “ оператор g (Ра) ~ 1/2б (х)1/2 /(у). Положим

О = inf {0е (瓦 х, &) I х е supp 2,為 £ supp g, dist (尤七，supp/) W v}.

Тогда существуют такой интервал А^Е 〃 такая константа с】，что

(3 6)；纥倒(Я -九)HF (у),(〃 —九)т ] Q (х) g2 (%)纥闽(Я-Х) +

+ сопряженный》(8 — 2sup{/2 | fcsupp/} — 6)Ед(//)*Р**?^(//)—一e1马(动@〉7-喈А(切.

Это предложение позволяет без большого труда доказать теорему 4.2, выбирая подходящим образом функцию /

ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫИ ДИСПЕРСИВНЫЕ СИСТЕМЫ

Результат Сигала и Соффера оставляет, однако, множество вопросов открытыми. Прежде всего отметим, что Граф [G] дал новое очень элегантное доказательство асимптотической полноты в случае короткодействующих потенциалов; в нем используется единственная наблюдаемая распространения (операторы С из (25)), зависящая от времени. Наиболее важный открытый вопрос-это проблема дальнодействующих

ю*

потенциалов. Эта проблема чрезвычайно важна с точки зрения физики, поскольку кулоновский потенциал как раз и является дальнодействующим. Единственные достаточно полные результаты в этой области получены В. Энссом (см. [Е1] и [Е2], где имеется новое доказательство) для N = 3 и для_ потенциалов, убывающих на бесконечности как〈x〉f, где 卩 > 丿3 — L Энсс определил модифицированные волновые операторы, учитывающие влияние потенциалов на бесконечности (легко показать, что волновые операторы из теоремы 2.5 существуют только при 卩 W 1). Эти модифицированные волновые операторы, или, иначе, волновые операторы Долларда (см. [Do), существуют при ц > 1/2 и определяются следующим образом. Для простоты предположим, что потенциалы взаимодействия являются ограниченными функциями. Положим

Ha{i) = Ha^Ia(Dat)

и обозначим через Ua D(t) решение уравнения

dUaD(t)

i —^ = %a)q,D⑺，％d(0) = L

Волновые операторы Долларда определяются формулой

С^,а%= Hm eitH Ua(t)ua®^a,

土 СО

Нужно отметить, что для дальнодействующих потенциалов даже существование волновых операторов Долларда не очевидно. Траектория 厶 d ") иа ® Wa соответствует движению стабильных пакетов в соответствии с динамикой е-т； При этом движение центров масс этих пакетов описывается возмущенной динамикой с гамильтонианом 北 + /& (Da z), зависящим от времени. Энсс доказал (без использования неявных условий на убывание связанных состояний подсистем) существование волновых операторов Долларда при 卩 > 1/2 и полноту при 卩 >，3 — 1.

Другой результат о дальнодействующих потенциалах был получен Сигалом и Соффером (см. [SS2]). Речь идет о свойстве асимптотического разделения. Сигал и Соффер показали, что для потенциалов кулоновского типа (т. е. удовлетворяющих (Я) с 卩=1) справедливо свойство асимптотического разделения, если заменить приближенную динамику дТНа модифицированной динамикой Ua(t), определяемой уравнениями

dU。(0

i = На (Г) Ua (0， 4(0)= 1.

at

Здесь Ha(t) определяется так:

на {t)^ Ha^%a{xlat)Ia (х* Da 0,

где %a (х) - коническая срезающая функция с носителем в области типа У% В отличие от 厶川⑺，。。⑺ не коммутирует с e~itH\ Это означает, что

в динамике Ua (z) и внутренняя эволюция пакетов возмущена действием 1а на бесконечности. Наконец, Сигал и Соффер анонсировали асимптотическую полноту при N = 4 для кулоновского потенциала.

Другой класс открытых проблем связан с дисперсивными системами N тел. Дисперсивная система N тел получается общей процедурой путем замены в гамильтониане N тел Агмона (см. замечание 2.1) кинетической

энергии £3-—— оператором со(Dx) с некоторым вещественным сим- волом со(&). Гамильтонианы такого типа встречаются в очень многих задачах. Например, чтобы учесть релятивистские эффекты, можно заменить в (1) оператор

N А

£ -六 на оператор

со(么)=£ (-М +咸产

Дисперсивные системы встречаются также в физике твердого тела, например в задаче рассеяния спиновых волн с гамильтонианом Гейзенберга и в некоторых моделях многоэлектронных систем в кристаллах.

Важное отличие этих задач от стандартных задач с гамильтонианами N тел заключается в отсутствии естественной квадратичной формы, при помощи которой определялись дополнительные к Ха пространства X". Но пространства Ха необходимы для определения подсистем и волновых операторов. Оказывается, можно разумно определить целый класс дисперсивных систем (который содержит, в частности, гамильтониан системы трех частиц одинаковых масс), для которых возможно естественное определение подсистем (см. [Ge]). Соответственно для этих систем удается доказать оценку Мурра, аналогичную (31), и затем вывести из нее отсутствие сингулярного непрерывного спектра, существование корректно определенных волновых операторов и их полноту в некоторой области спектра, называемой областью двух тел.

ЛИТЕРАТУРА

[Ag] Agmon S. Lectures on exponential decay of solutions of second order elliptic equations. Math. Notes Princeton Univ. Press, 1982.

[BGM] Boutet de Monvel-Berthier A., Georgescu V., Mantoiu M. Morre's theory in a Besov space setting. C. R. A. S. 310 (1990).

[Com] Combes J. M. Relatively compact interactions in many particles systems. Comm. Math. Phys. 12 (1969).

[Do] Dollard J. D. Quantum mechanical scattering for short-range and Culomb interactions. Rocky Mountain J. Math. 1 (1971).

[De] Derezinski J. A new proof of propagation theorem for N-body Quantum systems. Com. Math. Phys. 122 (1989).

[DL] Dyson F., Lenard A. Stability of matter I, II. J. Math. Phys. 8 (1967), 9 (1969). [El] Enss V. Quantum scattering theory for two and three-body systems with potentials of short and long range. In: Schrodinger Operators, S. Graffi ed. Springer LN Math. 1159 (1985).

[E2] Enss V. Long range scattering for two and three body quantum systems. Actes du Congres de Saint Jean de Monts (1989).

[FH] Froese R., Herbst I. A new proof of the Mourre estimate. Duke Math. J. 49 (1989). [Ge] Gerard C. The Mourre estimate for regular dispersive N-body systems. Preprint de FEcole Polytechnique (1990).

Graf G. M. Asymptotic completeness for N-body short-range quantum systems: a new proof. Preprint ETH (1989).

[Ho] Hormander L. On the existence and regularity of solutions of linear pseudodifleren- tial equations. L'Enscign. Math. 17 (1971).

[Kal] Kato T. On the existence of solutions of the Helium wave equation. Trans. Amer. Math. Soc. 70 (1951),

[Ka2] Kato T. Smooth operators and commutators. Studia Math. 31 (1968).

[ЛЛ] Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Квантовая механика-M.: Наука, 1972.

Lieb E. H. The stability of matter: from atoms to stars. Bull, de ГА. M. S. 22 (1) (1990).

[LT] Lieb E., Thirring W. Bound for the kinetic energy of fermions which proves the stability of matter. Phys. Rev. Lett., 35 (1975).

Mourre E. Absence of singular continuous spectrum for certain selfadjoint operators. Com. Math. Phys., 78 (1981).

[Pe] Pearson D. B. Singular continuous measures in scattering theory. Comm, in Math. Phys., 60 (1978).

[PSS] Perry P., Sigal I. M., Simon B. Spectral analysis of N-body Schrodinger operators. Ann. Math. 114 (1981).

[RS] Reed M., Simon B. Methods of Modern Mathematical Physics II, III, Academic Press (1975), (1979). [Имеется перевод: Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. В 4-х т., Т. 2, 3-М.: Мир, 1978.]

I] Sigal 1. М., Sofler A. N-particle scattering problem: asymptotic completeness for short range systems. Ann. Math. 126 (1987).

2] Sigal I. M., Soffer A. Long range many-body scattering asymptotic clustering for Coulomb type systems. Invent Math. 99 (1990).

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Этьен Гис

Комбинаторная теория групп изучает конечно порожденные, т. е. имеющие конечное множество образующих, бесконечные группы. До совсем недавнего времени методы этой теории происходили по существу из топологии: группа задается образующими и соотношениями, и мы изучаем топологические свойства полиэдра, фундаментальная группа которого совпадает с данной (см., например, [36]). Было, правда, несколько исключений, из которых наиболее примечательное - работа М. Дена о фундаментальных группах поверхностей, для изучения которых он использовал весьма геометрические методы (а именно, он пользовался существованием метрик отрицательной кривизны на компактных поверхностях рода, большего или равного 2, см. [13]). В наши дни именно геометрические методы оказались, благодаря усилиям многих математиков, наиболее плодотворными. В этом докладе мы опишем подход М. Громова ([21, 24, 25]), в котором задание группы образующими и соотношениями отходит на второй план.

В статье [25] заложены основы теории гиперболических групп. Этот класс групп, определение которого будет дано в дальнейшем, является широким обобщением класса фундаментальных групп компактных многообразий отрицательной кривизны. Ввиду недостатка места невозможно изложить все содержание этих работ. Доказательств в докладе будет мало. Многие важные темы, такие, как изопериметрические неравенства или конструкция геодезических потоков, в докладе не затронуты. Дальнейшую информацию и подробности читатель может найти в различных препринтах ([3, И, 12, 18, 38]), а также, разумеется, в исходных статьях. Мы ограничимся общим описанием теории, стараясь при этом поместить ее в надлежащий контекст. В частности, мы привлечем внимание к некоторым открытым вопросам, представляющимся важными для дальнейшего развития теории.

Я познакомился с этой теорией в большой степени благодаря семинару в Берне. Хочу поблагодарить всех его участников, и в особенности Норберта А'Кампо, Андре Хефлигера и Пьера де ла Арпа. Я также благодарен Жану Баржу и Кристофу Бавару за полезные советы.

ВЕРБАЛЬНАЯ МЕТРИКА И СООТВЕТСТВУЮЩАЯЕЙ ГЕОМЕТРИЯ

Пусть Г-конечно порожденная группа и S и Г-конечное множество ее образующих. Если у - элемент Г, то его длина относительно S （обозначение: ||у II5）-это наименьшая длина представляющего у слова из элементов S и их обратных. Определим расстояние 丛仇亠）между элементами 1716r и 七^厂 как llyf1 у2 ||s. Группа Г, снабженная расстоянием d$, превращается в однородное метрическое пространство, так как левые сдвиги на элементы Г являются, очевидно, изометриями.

Главное неудобство этой «вербальной метрики», конечно, в том, что она зависит от выбора S. Чтобы снять эту зависимость, введем следующее определение, восходящее к Г. А. Маргулису [29].

Определение. Пусть （X〔，&） и （X?, dj - метрические пространства. Квазиизометрией между этими пространствами называется такая пара отображений/: Xj т X?必 g ：Х?т X] вместе с константами С ^ 0 и X ＞ 0, что для любых точек х】,х； из X】и х2, х； из Х2 имеем

d2（/（%）,/С＜）） W 入 4Н HI + e;

心9a2），9 （上））W九厶（Х2，xZ） +0；

di（f{g^1））^1） c； ^i （gffix^x^ w с.

Если между （丫「心）и （Х2，＜4） существует квазиизометрия, то говорят, что они квазиизометричны.

Например, если S и S'-конечные множества образующих Г, то （Г, ds） и （Г, а$） квазиизометричны. В качестве 九 можно взять максимум длин образующих одной системы относительно другой, а в качестве С взять 0.

Допущение ненулевых значений С имеет то преимущество, что квазиизометрию при этом не обязательно определять с помощью непрерывных отображений. Напротив, мы имеем дело с «билипшице- выми на больших расстояниях гомеоморфизмами». Вот несколько примеров.

Два ограниченных метрических пространства всегда квазиизометричны. Стало быть, описываемая нами теория конечными группами пренебрегает.

Множества Z и R, снабженные обычными метриками, также квазиизометричны: в качестве отображения /: Z т R можно взять естественное вложение, а в качестве g: R т Z - функцию «целая часть».

Более общим образом каждой группе Г с конечной системой образующих S можно сопоставить граф Кэли 乡（「, S）. Это—граф, вершинами которого являются элементы Г и в котором ух и у2 соединены ребром, если《（/「у?） = 1- Этот граф можно снабдить естественной Г-инвари- антной метрикой, относительно которой каждое ребро изометрично отрезку единичной длины в R, а расстояние между двумя точками равно

длине кратчайшего пути, соединяющего эти точки. Как и в случае с Z и R, пространства (Г, d$) и 乡(Г, S) будут квазиизометричны. Преимущество пространства 乡(Г, S) в том, что оно линейно связно и даже геодезично. Напомним, что метрическое пространство (X,力 называется геодезическим, если любые две его точки х и у можно соединить сегментом, т. е. существует изометрическое вложение ст: [О, L] — X, для которого ст (0) = х и и (£) = у. Образ ст часто обозначают [х, у], невзирая на то, что, вообще говоря, он не определяется однозначно своими концами.

Большое семейство примеров квазиизометрий получается из следующего элементарного предложения, которое в неявном виде было известно уже давно.

Предложение. Пусть Г - группа изометрий, свободно и собственно действующая на геодезическом и полном метрическом пространстве (X,力 (последнее свойство означает, что замкнутые шары компактны). Пусть факторпространство Х/Г компактно. Тогда группа Г конечно порождена и (X,历 квазиизометрично группе Г, снабженной метрикой ds> ассоциированной с произвольной конечной системой образующих S.

Примеры, i) Фундаментальная группа компактного многообразия V квазиизометрична универсальному накрытию 7с метрикой, являющейся подъемом произвольной римановой метрики на К Например, для всякого целого п все фундаментальные группы п-мерных компактных многообразий кривизны — 1 квазиизометричны друг другу.

Конечно порожденная группа Г квазиизометрична любой своей подгруппе Г\ конечного индекса. Чтобы убедиться в этом, можно выбрать любую конечную систему образующих S 三「и рассмотреть действие Г\ на ^(Г, S). В частности, две соизмеримые группы (т.е. содержащие изоморфные друг другу подгруппы конечного индекса) будут квазиизометричны.

Если Г -дискретная подгруппа группы Ли G с компактным однородным пространством G/Г, то Г квазиизометрична группе G, снабженной любой правоинвариантной римановой метрикой. Нетрудно привести примеры дискретных кокомпактных подгрупп, не являющихся соизмеримыми. Стало быть, для конечно порожденных групп квазиизо- метричность - более слабое условие, чем соизмеримость.

Итак, с каждой конечно порожденной группой мы связали метрическое пространство, определенное с точностью до квазиизометрии. Группа будет исследоваться через геометрию этого метрического пространства.

1.2. Условимся говорить, что свойство конечно порожденных групп является геометрическим, если оно сохраняется при квазиизометрии. В заключение этого параграфа мы приведем примеры двух типов. Сначала мы покажем, что многие известные алгебраические свойства являются на самом деле геометрическими. Затем мы покажем, как

понятие геометрического свойства приведет к новому методу изучения и классификации групп, основанному на вопросе: «Каковы группы с данными геометрическими свойствами?»

Предложение. Конечная представимость является геометрическим свойством.

Это вытекает из следующего факта, с которым мы будем иметь дело ниже. Пусть S - конечное множество образующих группы Г и п - натуральное число. Рассмотрим двумерный полиэдр Рп, вершинами которого являются элементы Г, ребрами - пары (у。, у】), для которых ds (у0, Yi)《п, и гранями-такие тройки (у0, yn 72), что 4(%;力)《п для ij = О, 1, 2. Группа Г является конечно представимой тогда и только тогда, когда Рп односвязен при достаточно больших п. Нетрудно проверить, что эта характеризация геометрическая.

Теорема. Виртуальная нильпотентность является геометрическим свойством.

Напомним, что по определению группа обладает некоторым свойством виртуально, если этим свойством обладает некоторая ее подгруппа конечного индекса. Эта теорема - немедленное следствие результата М. Громова [23, 41], согласно которому группа Г виртуально нильпо- тентна тогда и только тогда, когда функция е(л) = card {у е Г, ||у ||s & п} имеет полиномиальный рост.

Пусть Г - конечно порожденная нильпотентная группа. Как известно, «с точностью до конечного индекса» можно считать, что Г не имеет кручения [34]. В этом случае существует канонически ассоциированная с Г нильпотентная односвязная группа, содержащая Г в качестве дискретной кокомпактной подгруппы. Эта нильпотентная группа Ли Г ® R, вообще говоря, неградуированная, но можно рассмотреть ассоциированную градуированную группу (Г ® R)grad, являющуюся нильпотентной группой Ли той же размерности. П. Панею получил следующий результат [33]:

Теорема. Пусть I\ u Гконечно порожденные нильпотентные группы Ли без кручения. Если Г\ и Г2 квазиизометричны, то ассоциированные градуированные группы Ли (Г\ ® R)grad и (Г2 ® R)grad изоморфны.

Доказательство, воспроизвести которое здесь нет возможности, основано на следующих соображениях. Зафиксируем конечное множество образующих S] и Г\ и рассмотрим последовательность метрических

пространств (Г., - 4 ). Можно проверить, что эта последовательность п 1

пространств сходится в топологии Хаусдорфа - Громова с отмеченной точкой [22] к группе (I\ ® R)grad, снабженной явной «метрикой Карно - Каратеодори» [32]. Если предположить, что Г\ и Г2 квазиизометричны,

то влияние константы С из определения квазиизометричности пропадает при переходе к пределу и группы (Г\ ® R)grad и (Г2 ® R)grad становятся гомеоморфными, причем гомеоморфизм из одной в другую и обратный к нему являются липшицевыми. П. Панею обобщает на эту ситуацию теорему Радемахера и показывает, что такой гомеоморфизм может существовать, только если (I\ ® R)grad и (Г2 ® R)grad изоморфны.

В качестве частного случая приведем одно следствие, в доказательстве которого используются теорема Громова о росте и первая часть доказательства предыдущей теоремы.

Следствие. Виртуальная коммутативность является геометрическим свойством.

Проблема. Дать «элементарное» доказательство этого следствия.

Можно ли пойти дальше, чем теорема П. Панею?

Проблема. Пусть Г\ и Г2 - конечно порожденные нильпотентные группы без кручения, и пусть они квазиизометричны. Можно /〃 утверждать, что группы Ли (Г\ ® R) и (Г2 ® R), содержащие их в качестве коком- пактных подгрупп, будут изоморфны?

Свойство, обобщающее нильпотентность,- это, конечно, разрешимость.

Проблема. Является ли геометрическим свойством виртуальная разрешимость; виртуальная полицикличность?

Понятие аменабельности, обобщающее разрешимость, исследовать гораздо проще.

Предложение. Аменабельность является геометрическим свойством.

Это следует из критерия аменабельности, принадлежащего Фёлнеру [19]. Пусть Г - конечно порожденная группа, S - конечное множество образующих Г и А - произвольное конечное подмножество Г. Границей Л (обозначается fr(A)) называется множество элементов уеЛ, для которых существует такое scS U что ys^N. Группа Г является аменабельной тогда и только тогда, когда существует такая последовательность ее конечных подмножеств Ап, что card fr(^n)/card(Лп) стремится к нулю.

Рассмотрим теперь свойства, «противоположные» аменабельности.

Предложение. Свойство быть виртуально свободной группой является геометрическим.

Ниже мы дадим эскиз доказательства, использующего «гиперболическую технику».

Проблема. Дать «элементарное» доказательство этого результата.

Теорема. Если группа без кручения Г квазиизометрична свободному произведению двух нетривиальных групп без кручения, то и сама Г является нетривиальным свободным произведением.

Для доказательства достаточно воспользоваться теоремой Дж. Столлингса, описывающей группы с бесконечным числом концов, и заметить, что понятие концов группы является геометрическим.

Проблема. Является ли геометрическим каждановское «свойство Т» (см. [27, 28])?

L3. Как мы только что видели, многие алгебраические свойства являются геометрическими. Это наводит на мысль обратить ход наших рассуждений и попробовать расклассифицировать группы по их геометрическим свойствам.

Зафиксируем метрическое пространство (X,办 Каковы будут конечно порожденные группы, квазиизоморфные (X,力？ Прежде всего надо рассмотреть примеры римановых симметрических пространств. Нам интересен только некомпактный случай. Начнем с ранга 1. Первый результат является переформулировкой примера, рассмотренного выше. Заметим, что он обобщает теорему Бибербаха о структуре кристаллографических групп.

Теорема. Если конечно порожденная группа квазиизометрична евклидову пространству, то она содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Теорема. Пусть группа Г квазиизометрична пространству Лобачевского Н" (п》3). Тогда Г является конечным расширением дискретной коком- пактной группы изометрий Н".

Ниже мы дадим эскиз доказательства этой теоремы. В случае л = 3 оно принадлежит М. Громову и Д. Сулливану [21, 39] (см. также препринты Дж. У. Каннона и Д. Купера [7, 8]). Случай 九》4 разобран М. Громовым и П. Тукиа [21, 42]. Случай п — 2 разобран только частично: согласно П. Тукиа [43], утверждение теоремы верно, если Г не имеет кручения.

Проблема. Верна ли вышеприведенная теорема при 九=2?

Как показал П. Панею [33], доказательство этой теоремы обобщается на другие некомпактные римановы симметрические пространства ранга 1.

Теорема. Пусть Г-конечно порожденная группа, квазиизометричная комплексному или кватернионному гиперболическому пространству или гиперболической плоскости над числами Кэли. Тогда Г является конечным расширением дискретной кокомпактной группы изометрий этого симметрического пространства.

Проблема. Каковы группы, квазиизометричные римановым симметриче- ск^м пространствам ранга, большего 1, например SL(3, R)/SO(3, R)?

Вопросы такого типа интересны не только в связи с симметрическими пространствами. Напомним, что восемь односвязных трехмерных римановых многообразий играют фундаментальную роль в описании компактных трехмерных многообразий. Эти восемь многообразий та

ковы:

Евклидово, гиперболическое и сферическое пространства: R3, Н', S3.

Произведения Н х R и S2 х R.

Три односвязные группы Ли, снабженные инвариантными римановыми метриками. Первая из них-группа Гейзенберга (мы будем обозначать ее Nil), состоящая из матриц вида

Вторая, обозначаемая Sol,-Вторая, обозначаемая Sol,-это разрешимая группа, состоящая из мат

Вторая, обозначаемая Sol,-

Вторая, обозначаемая Sol,-

риц

exp (z)0х

Оехр(—z)歹

О01

Третья группа-это универсальное накрытие SL (2, R).

Эти многообразия почти характеризуются тем свойством, что их группы изометрии транзитивно действуют на точках (см. [34]). У. Тёрстону принадлежит гипотеза, что всякое компактное трехмерное многообразие можно разрезать на «кусочки», униформизируемые одной из этих геометрий. По этой причине заслуживает внимания следующая проблема.

Проблема. Что представляют собой группы, квазиизометричные одной из этих геометрий?

Мы уже ответили на этот вопрос для случаев R3, Н3 и Nil. Для случая S2 х R проблема проста. Д喚 случая S3 она тривиальна и неинтересна. Для случаев Н2 х R, Sol и SL (2, R) проблема остается открытой.

число /(«). Тогда можно определить на Т метрику, превращающую его в геодезическое метрическое пространство, для которого каждое ребро а изометрично интервалу [0, /(a)] и R； то, что получилось, будем называть метрическим деревом.

В метрическом дереве Т две произвольные точки можно соединить единственным сегментом. Рассмотрим четыре точки 乙后式 а также попарно соединяющие их сегменты. Получится картинка наподобие следующей:

Заметим, что с точностью до перенумерации вершин

d(%i，%2)+ "(Лз，%) = d(%i，xQ +。(工2，Хз).

Говорят, что метрическое пространство является гиперболическим, если оно удовлетворяет этому соотношению с точностью до аддитивной константы. Точнее говоря:

Определение. Метрическое пространство (X, d) называется гиперболическим, если существует такая константа 6》0, что

d(x"x2) +d(х3, x4) Wmax{2(七，必)+ d(x2,七)，

以匕，X3) +da2, X4)} + 26

для всякой четверки точек х「х2, х3, х4еХ. Если надо явно указать значение S, говорят, что X является S-гиперболическим.

Разумеется, метрическое дерево является О-гиперболическим метрическим пространством. Почти верно и обратное утверждение: нетрудно убедиться, что конечное О-гиперболическое метрическое пространство изометрично подмножеству метрического дерева. Для бесконечных метрических пространств надо пользоваться более общим понятием вещественного дерева (см. [37]).

М. Громов дал много эквивалентных определений гиперболичности. Мы ограничимся двумя из них, отличающимися большой наглядностью.

Рассмотрим для начала три точки метрического дерева: х, у и 2.

Нетрудно видеть, что расстояние от х до с-«центра» треугольника

{х, у, z} -равно ； (d(x, у) + d(x, 2) - d(y, 2)). Последнее выражение имеет смысл, если х, у и z-три точки произвольного метрического пространства. Обозначается это выражение (y/z)x; мы будем называть его громов- ским произведением у и z относительно х. Следующее определение - не что иное, как переформулировка; оно демонстрирует «квазиультрамет- рический» аспект гиперболических метрических пространств.

Определение. Метрическое пространство (X,力 называется гиперболическим, если существует такая константа 6》0, что для любых точек х】, х2, х3 и и* из X имеем

(^il %3)w》mind% I 工2)的，(％2 I %)*) - 6・

Вот еще одно определение (разумеется, эквивалентное предыдущим):

Определение. Геодезическое метрическое пространство (X,力 называется гиперболическим, если существует такая константа 6》0, что для всякой тройки (х,歹，2)точек X и для любого выбора сегментов [х,歹],[у, 2] и [2, х] выполнено следующее свойство: каждая точка из [х, у] удалена на расстояние, меньшее S, от одной из точек объединения [у, 2] U [2, х]. В случае когда выполнено это свойство, говорят, что треугольники пространства X являются S-тонкими.

Это наиболее наглядное определение позволяет получить большое семейство примеров.

Предложение. Пусть У-полное односвязное риманово многообразие, секционная кривизна которого не превосходит —k2 Vo. Тогда V- гиперболическое метрическое пространство.

Доказательство получается с помощью теоремы сравнения Алек- сандрова-Топоногова, согласно которой треугольники Рне менее тонки, чем треугольники гиперболического пространства постоянной кривизны — к?. Надо еще проверить, что треугольники этого последнего пространства равномерно тонки, но это элементарно.

Конечно, гиперболические метрические пространства ~ это не только многообразия отрицательной кривизны. Рассмотрим, например, несвяз-

ное объединение двух односвязных пространств 匕 и % кривизны — 1 и отождествим точку х^е% с точкой ^后匕.Полученное пространство X можно снабдить геодезической метрикой, относительно которой вложения 匕 и 匕 в X будут изометричными. Нетрудно проанализировать треугольники пространства X и убедиться, что оно будет гиперболично.

Более общим образом, можно ввести понятие полиэдра отрицательной кривизны, которое дает много примеров. Мы объясним это понятие только для размерности 2. Пусть Р-локально конечный двумерный полиэдр. Снабдим каждую его грань метрикой, делающей ее изометрич- ной треугольнику в гиперболической плоскости Н2. Предположим, что эти метрики согласованы на ребрах. Тогда полиэдр 尸 можно снабдить структурой геодезического метрического пространства, определив расстояние между двумя точками как нижнюю грань соединяющих их путей. Сейчас мы сформулируем простое условие, гарантирующее гиперболичность этого пространства.

Пусть р - вершина Р. Линком р называется граф, ребра которого соответствуют граням 尸，имеющим р вершиной. Снабдим линк метрикой, относительно которой длина ребра есть угол в вершине р соответствующего этому ребру треугольника. Будем говорить, что 尸 имеет кривизну меньше — 1, если для всякой вершины р из 尸 всякая простая замкнутая кривая в линке р имеет длину, большую или равную 2л.

Теорема. Пусть Р~ локально плоский односвязный двумерный полиэдр, снабженный вышеописанной метрикой и имеющий кривизну менее — 1. Тогда Р- гиперболическое метрическое пространство.

2.2. Гиперболические метрические пространства обладают почти всеми свойствами гиперболических пространств Нп. Важный пример этого дают свойства квазигеодезических.

Определение. Пусть （X, d） - метрическое пространство,九 > 0, С ^ 0- константы. Тогда （九，С）-квазигеодезической называется отображение / （не обязательно непрерывное） из интервала I на вещественной оси в X, такое, что

-|r2 —ZJ - С d（/（厶）J«2）） W 九上2—厶I + С

для всех 厶，才2“

Например, образ сегмента X относительно （九，С）-квазиизометрии является （九，С）-квазигеодезической. （X, С）-квазигеодезические ведут себя так же, как в обычной гиперболической геометрии.

Теорема. Для любых 6》0, Z > 0, С》0 существует константа К со следующим свойством. Если/:/ — Х является （九,С）-квазигеодезической в ^-гиперболическом метрическом пространстве и если [а; Ь]-интервал.

содержащийся в I, то хаусдорфово расстояние между / ([а; %]) и любым сегментом [f (а); / (%)] будет меньше К.

Доказательство по духу близко к классическому (см. например, [40]). Заметим, что эта теорема очевидна для деревьев: квазиизометрия дерева не может делать слишком больших «петель» и поэтому не может слишком отклоняться от данного сегмента.

Вот важное следствие этой теории.

Следствие. Пусть (X】,di) и (Х2, d^ - два квазиизометричных метрических пространства. Если (Х^, dj гиперболично, то таково же и (X?, d》

В самом деле, рассмотрим отображения /: X】т X? и g: X? 一 X】из определения квазиизометрии. Предположим, что X】S-гиперболично. Пусть [х, у], [у, z] и [2; х] - три сегмента Х2, соединяющие х, у и z. Образы д([х, у]), g([y, z]) и д([2, у]) являются (Z, С)-геодезическими, удаленными не более чем на К от сегментов [g(x), g&)], [g&), g(z)] и [g(2), д(х)]・ Из S-гиперболичности X】можно заключить, что всякая точка g [х, у] удалена от g [у, 2] U g [z, х] на расстояние, не превосходящее 4S + 2К. Подействовав на все это отображением 工 получаем, что треугольник xyz является (九(46 + 2К) + С)-тонким.

Это следствие ясно показывает разницу между гиперболичностью и отрицательностью кривизны. Например, произведение плоскости Лобачевского Н2 и сферы S2, снабженное римановой метрикой-произведением, является гиперболическим, так как оно квазиизометрично Н2, но оно не может быть снабжено римановой метрикой отрицательной кривизны. Понятие гиперболичности не позволяет уследить за локальными свойствами метрики. Именно поэтому М. Громов в [21] пользуется термином "coarse hyperbolicity^^ (грубая гиперболичность).

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Читатель, наверное, уже угадал следующее определение.

Определение. Конечно порожденная группа Г называется гиперболической, если для некоторой конечной системы образующих S и Г метрическое пространство (Г, d^ гиперболично.

В свете сказанного выше ясно, что это свойство не зависит от выбора S; гиперболичность является геометрическим свойством.

Примеры-, i) Свободная группа гиперболична, так как ее граф Кэли относительно системы свободных образующих является деревом.

Фундаментальная группа компактного многообразия отрицательной кривизны V является гиперболической, так как она квазиизометрич- на универсальному накрытию И

Фундаментальная группа конечного полиэдра отрицательной кривизны является гиперболической.

Свободное произведение двух гиперболических групп является гиперболическим (это - простое упражнение).

Понятие гиперболической группы обобщает важное понятие группы с малыми сокращениями С (1/6). Напомним вкратце соответствующие определения.

Пусть (S, А)-система образующих и соотношений группы Г. Другими словами, элементы & —зто слова над S U S-1 и группа Г изоморфна факторгруппе свободной группы над S по нормальной подгруппе, порожденной &. Предположим, что S и & конечны. Можно считать, что множество R устойчиво относительно перехода к обратным и циклических перестановок. Слово m над S U S-1 называется куском (piece), если m является общим префиксом для двух различных слов из &, т. е. если R содержит два элемента rt = тт1 и г2 = тт2. Наконец, длина слова w, т.е. число букв, из которых оно состоит, обозначается | w|.

Определение. Пусть X - положительное вещественное число, меньшее 1. По определению пара (S, &) удовлетворяет условию С (X), если для каждого куска т, являющегося префиксом соотношения г, имеем | | v V相"

Группа с малыми сокращениями С'(Х)-зто группа, которую можно задать образующими и соотношениями, удовлетворяющими этому условию.

О таких группах очень многое известно, особенно если X = 1/6 (см. [16, 18, 29]). Тем не менее это понятие обладает некоторыми неудобствами. Например, условие С'(Х) трудно проверять, так как С (%) может выполняться для одной системы образующих и соотношений и не выполняться для другой. С другой стороны, группы без кручения с малыми сокращениями С，(1/6) имеют когомологическую размерность не выше 2. Стало быть, эти группы не могут быть фундаментальными группами компактных римановых многообразий отрицательной кривизны, имеющих размерность》3. Теория гиперболических групп частично снимает эти неудобства. Отметим, однако, что группы С'(1/5) не менее интересны, но не охватываются гиперболической теорией. Мы вернемся к этому вопросу ниже.

Теорема. Группа с малыми сокращениями С (1/6) является гиперболической.

Подробности доказательства этой теоремы можно найти в [15] или [18]. Скажем только, какова идея. Система образующих и соотношений (S, R) группы Г порождает конечный 2-комплекс 尸，фундаментальной группой которого является Г. После этого условие С'(1/6) показывает, что универсальное накрытие Р комплекса 尸 является гиперболическим.

В заключение этой серии примеров гиперболических групп отметим, что М. Громов анонсировал результат, показывающий, что гиперболические группы составляют «большинство». Пусть N(р, q,

личество способов задания группы с помощью р образующих и q соотношений длин П\,...,Пд. Пусть Nh(Р, % nl...nq)-количество тех из них, что задают гиперболическую группу. Утверждение о «большинстве» означает, что при заданных р и 夕 отношение NJ N стремится к 1, когда 孔1,孔2,，孔q стремятся к бесконечности.

Первым этапом в изучении гиперболических групп является следующая конструкция, принадлежащая И. Рипсу (/. Rips). Зафиксируем группу Г и ее конечное множество образующих S. Полиэдром Рипса РП(Г) называется полиэдр, вершинами которого являются элементы Г, причем k + 1 элементов у°, Yi，..・,了女 образуют к-симплекс, если они различны и попарные расстояния между ними меньше или равны п (например, 1-остов полиэдра Рх (Г) есть граф Кэли пары Г, S). Этот полиэдр локально конечен и конечномерен: размерность симплексов не превосходит числа элементов в шаре радиуса п в группе Г. Действие Г на себе левыми сдвигами продолжается до действия Г на Рп (Г). Это действие является собственным и свободным на вершинах. Стабилизаторы точек конечны, поэтому действие свободно, если Г не имеет кручения. Заметим, наконец, что факторпространство Р„ (Г) по этому действию Г является компактным.

Следующая теорема принадлежит И. Рипсу.

Теорема. Если Г гиперболично, то для достаточно больших п полиэдр РЛ(Г) стягиваем.

Перед тем как дать набросок доказательства этой теоремы, приведем некоторые ее следствия.

Если Г не имеет кручения, то Рп (Г) / Г - пространство Эйленберга - Маклейна К (Г, 1), являющееся конечным полиэдром (после барицентрического подразделения). Существование такого пространства - это очень интересное условие конечности (см., например, [4]). В частности, Г конечно представима и имеет конечную когомологическую размерность.

Если позволить группе Г иметь кручение, то получатся такие результаты «по модулю кручения»:

Следствие. Пусть Г - гиперболическая группа. Тогда

Г конечно представима;

число классов сопряженности элементов конечного порядка конечно;

рациональные когомологии Г конечномерны.

Приведем набросок доказательства теоремы. Пусть 2(= Рп(Г)-конечный подполиэдр. Построим деформационную ретракцию Q в точку. Для этого среди вершин 0 выберем вершину х, наиболее удаленную от единичного элемента ее『； иными словами, для любой вершины y^Q имеем

&(е/) W ds(e,x).

н*

Предположим, что (Г, &) 5-гиперболично, и выберем целое число 孔 > 46 + 2. Можно считать, что ds(e, х) ^ «/2, так как в противном случае Q было бы симплексом РП(Г) и построение требуемой ретракции было бы очевидно. Пусть х'-точка Г, расположенная на сегменте [е, х] на расстоянии «/2 от х (мы предположили для простоты, что п четно). Тогда

&(е,х) = &(е,х) - «/2.

Само определение гиперболичности, если применить его к четырем точкам е, х, х' и у, показывает следующее. Если вершина yeQ расположена на расстоянии, не превосходящем м, от х, то эта же вершина расположена от х' на расстоянии, также не превосходящем п.

Теперь понятно, что делать дальше. Будем двигать вершину xgQ в сторону точки х', оставляя на месте остальные вершины Q. Тем самым получится гомотопия между вложением Q^ Рп (Г) и отображением j'Q tJ\(F). Можно повторить эту операцию для полиэдра J(Q). После конечного числа таких операций будет построена гомотопия между вложением Q^ Рп (Г) и отображением f \Q ->РП(Г), образ которого содержится в шаре с центром е и радиусом «/2. А отображение / гомотопно отображению в точку.

В завершение этого параграфа отметим несколько вопросов, вызванных к жизни этой теоремой.

Проблема. Всякая ли гиперболическая группа содержит подгруппу конечного индекса без кручения? Являются ли гиперболические группы резиду- ально конечными (напомним, что группа Г называется резидуалъно конечной, если для любого неединичного у е Г существует подгруппа конечного индекса, не содержащая у)?

Проблема. Является ли рациональная когомологическая размерность группы (или же виртуальная когомологическая размерность) геометрически инвариантной? Для гиперболического случая см. [2].

Хотя полиэдр РП(Г) и стягиваем для достаточно больших п, на нем нет естественной метрики. Было бы хорошо заменить Рп (Г) на выпуклое пространство. Напомним, что геодезическое пространство называется выпуклым, если для всякой пары сегментов о: [а, 6] -► X и <У: [а‘，Ь] т X функция «расстояние» ", s)e[a, b] х [" bf2^d(a (z), b(s)) является выпуклой. Разумеется, это влечет за собой единственность сегмента, соединяющего две точки, и, в частности, стягиваемость X. Классический пример доставляют полные односвязные многообразия неположительной кривизны.

Проблема. Пусть Г - гиперболическая группа. Существует ли такое конечномерное выпуклое метрическое пространство(X, d), что Г собственно действует на X как группа изометрий с компактным фактором?

ГРАНИЦА

Пусть V- полное односвязное риманово многообразие, секционная кривизна которого не превосходит числа — k2 Vo. Как известно, Vможно компактифицировать, добавив к нему границу 22 Точки ^Исоответст- вуют бесконечно удаленным точкам геодезических лучей [0, + со[ -► У; два таких луча определяют одну и ту же точку границы, если расстояние между ними ограничено. Граница, получаемая таким образом, естественным образом снабжается топологией; она гомеоморфна сфере. Почти вся теория многообразий отрицательной кривизны основана на изучении геометрии этой сферы, на которой действует группа изометрий V.

Эту конструкцию и ее основные свойства можно обобщить на случай гиперболических пространств и гиперболических групп.

Пусть (X, d) - 5-гиперболическое метрическое пространство, являющееся полным и геодезическим, снабженное отмеченной точкой w. Будем говорить, что последовательность точек х“еХ стремится к бесконечно удаленной точке, если их громовские произведения (xn|xp)w стремятся к бесконечности при 孔 и р, стремящихся к бесконечности. Множество бесконечно удаленных точек, получаемых таким образом, называется границей X. Легко убедиться, что это определение не зависит от выбора отмеченной точки w.

Для многообразий отрицательной кривизны это определение не отличается от того, что мы привели выше. В самом деле, рассмотрим геодезический луч, исходящий из w, т. е. отображение g: [0, со] т X, такое, что d(w, g(f)) = t. Последовательность хп = g(n), очевидно, удовлетворяет тому условию, что (尤》|尤卩)的 стремится к бесконечности. Напротив, если последовательность точек хп стремится к бесконечно удаленной точке, то нетрудно показать, что все эти точки находятся на ограниченных расстояниях от некоторого геодезического луча.

Иными словами, можно определить границу X как множество лучей, если отождествить лучи, находящиеся на ограниченном расстоянии.

Вернемся к нашему первому определению и покажем, как можно определить топологию на дХ. Если а и b-две точки дХ, положим

(а® = inf lim (xn\yp)weR U {co},

где нижняя грань берется по всем последовательностям (х“) и (у) стремящимся к а и b соответственно.

Предложение. Множества 夕丈={(а, Ь)е(дХ)2, (а | b)w ^ к} порождают равномерную структуру на дХ. Относительно соответствующей топологии дХ компактно.

Примеры, i) Граница полного односвязного риманова многообразия с секционной кривизной, не превосходящей — к2 < 0, совпадает с обычной границей; стало быть, это сфера.

Граница локально конечного метрического дерева совпадает с множеством его концов в смысле Фрейденталя. В самом деле, в данном случае два луча с общим началом находятся на ограниченном расстоянии, только если они совпадают. В общем случае множество концов X, обозначаемое bt(X), и граница дХ связаны следующим образом. Если (х“) стремится к точке 2Х, то эта последовательность не содержится ни в каком компактном подмножестве и определяет конец. Таким образом, получаем сюръективное отображение дХ -► bf (X). Слои этой сюръекции являются компонентами связности дХ (этот факт мне сообщил Ф. Полей (F. Paulin)).

Пусть X - пространство, получаемое склеиванием в точке двух дисков Пуанкаре. Граница Х-зто несвязное объединение двух окружностей.

Простота предыдущих примеров не должна вводить в заблуждение. Пусть пространство X получено склеиванием в точке w двух компактных поверхностей кривизны — 1, обозначаемых и S2, и пусть X - универсальное накрытие X, снабженное естественной геодезической метрикой. Ясно, что 戈 гиперболично и что его границу можно отождествить с множеством геодезических лучей X, исходящих из точки 用, лежащей над w, или же с множеством локально изометрических отображений g: [0, со] т X, исходящих из w. Образ некоторых из этих отображений целиком содержится в Е 】；они образуют окружность в дХ. Образ других отображений целиком содержится в Е2. И есть еще отображения, которые могут совершить конечное число «колебаний» между Ех и Е2, прежде чем остаться в Е 】или £ 2. Наконец, есть и такие геодезические лучи, которые бесконечное число раз колеблются между Е】и Е2. Приводимый рисунок призван дать представление о структуре дХ.

Итак, новым по сравнению с многообразиями отрицательной кривизны является то обстоятельство, что граница X может унаследовать более сложную топологию.

Одно из главных свойств дХ - это то, что она зависит только от класса квазиизометрии X. Это важная идея из первой части доказательства теоремы Мостова о жесткости [31].

Предложение. Квазиизометрия между двумя полными геодезическими гиперболическими метрическими пространствами продолжается до гомеоморфизма их границ.

Доказательство вытекает из того факта, что образ геодезического луча относительно квазиизометрии расположен на ограниченном расстоянии от некоторого геодезического луча. В частности, если Г-гиперболическая группа, можно определить ее границу 2「 как границу метрического пространства (Г, ds) (или, точнее говоря, границу графа Кзли, так как мы предполагаем, что наши метрические пространства являются геодезическими). Эта граница не зависит от выбора системы образующих S.

Таким образом, с каждой гиперболической группой Г мы связали компактное пространство 2「. Действие Г на себе сдвигами порождает на бесконечности действие Г на 3F (гомеоморфизмами). Именно это действие позволяет лучше понять структуру Г.

Перед тем как показать на примере, как это делается, сформулируем элементарное предложение.

Предложение. Пусть Г - гиперболическая группа.

Если ЭГ пуста, то Г конечна.

3「состоит из двух точек тогда м только тогда, когда Г содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса,

В остальных случаях 2「бесконечна.

Сначала покажем, что ЗГ содержит не менее двух точек, если Г бесконечна. Это вытекает из следующего факта. Пусть (уп) - бесконечная последовательность различных элементов Г. Предположим для простоты, что &(е, у„) четно, и пусть а„-середина сегмента [е, у„]. Ясно, что после перехода к подпоследовательности а^1 и а"1 уп порождают две различные точки 5Г.

Если 3「содержит в точности два элемента, то у Г два конца, и хорошо известно, что в этом случае Г содержит циклическую подгруппу конечного индекса.

Если 2「конечно, то 2「совпадает с множеством концов Г, но известно, что группа может иметь 0, 1, 2 или бесконечно много концов.

Рассмотрим в качестве приложения идею доказательства теоремы, анонсированной в первом параграфе.

Теорема. Группа Г, квазиизометричная свободной группе, является виртуально свободной.

Для простоты предположим, что Г не имеет кручения. Тогда Г-гиперболическая группа и ее граница гомеоморфна границе свободной

группы, т. е. канторову множеству. Отсюда следует, что у Г бесконечно много концов. Теоремы Столлингса (о концах) и Грушко показывают, что Г изоморфна свободному произведению Г\*...*Г\ групп, имеющих не более двух концов. Выбирая подходящим образом конечную систему образующих Г, получаем, что граф Кэли каждой из Г; геодезически вкладывается в граф Кэли Г. Значит, каждая из Гг гиперболична и ее граница содержится в границе Г. Так как Г\ имеют не более двух концов и так как ЗГ\ вполне несвязны, то каждая из 2Г\ содержит не более двух точек. Это показывает, что каждая Г£ изоморфна Z, так как она не имеет кручения. Значит, Г -свободная группа. Если не предполагать, что Г не имеет кручения, то доказательство несколько сложнее, но основано на тех же идеях.

Проблема. Описать топологию 5Г как глобально, так и локально (например, будет ли 2F локально связна, если она связна)? См. [2].

4.2. Коль скоро в игру вступило определение границы, нетрудно и распространить классические результаты о структуре изометрий многообразия отрицательной кривизны. Мы ограничимся тем, что сформулируем результат для гиперболических групп.

Теорема. Пусть у - элемент гиперболической группы Г. Тогда возможны два случая:

у имеет конечный порядок.

Действие у на дГ имеет 6 точности две неподвижные точки х+ и х_, одна из которых притягивающая, а другая - отталкивающая. Точнее, для всякой окрестности ^эх+ (соответственно х_) и любого компактного подмножества КиЗ「\{х_} (соответственно 3「\{х + }) существует такое целое «0, что у" (К) и U для 孔》孔° (соответственно « W «о)-

Более того, если а-точка 2Г м Га с Г - стабилизатор а, то Га либо конечна, либо содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса.

Из метода Клейна построения свободных подгрупп («лемма о пинг- понге», см. [26]) вытекает следующий результат, описывающий структуру подгрупп гиперболической группы.

Следствие. Пусть Гх-подгруппа гиперболической группы. Тогда возможны три случая:

Г\ конечна:

Г\ содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса;

Г】 содержит свободную подгруппу с двумя образующими.

До сих пор мы обращали внимание только на топологию границы дХ. На самом деле эта граница снабжена более богатой структурой, а именно квазиконформной структурой. Зафиксируем положительное

число е > 0. Если а и 6-две точки границы полного геодезического 5-гиперболического метрического пространства X, то положим

PgQb) = exp(-£(a®J

К несчастью, ре не определяет метрики на дХ: эта функция удовлетворяет только «квазиультраметрическому неравенству»

р& ® с) W (1 + f) max (ре(а, Ь), p/仇 с)),

где е' = ехр (е5) — 1.

Тем не менее ре «почти» определяет метрику. Положим4(а,6) = inf£p& (巧，匕+i),

где нижняя грань берется по всем конечным цепочкам, соединяющим а и Ь. Можно проверить, что для достаточно малых е функции ре и《 отличаются мало:

(1 - 2£，) pg (a, b) W 4 & 3 W р^ 3 Ь).

Стало быть, для достаточно малых е《一 метрика на дХ, определяющая топологию на дХ.

Условимся называть гомеоморфизм метрических пространств /: (£1，4) 1(X2，4) ^-квазиконформным, если для всех хеХх имеем

Sup {厶(У (х)) J (у))| 办(х,歹)=Кlim sup： W К.

P Inf {d2 (У (x)), / (у)) I dr (x, у) = г}

Как мы знаем, изометрия 5-гиперболического пространства X индуцирует гомеоморфизм дХ. Оказывается, что этот гомеоморфизм является К(£, 5)-квазиконформным относительно метрики《,где К(е, 8) - константа, стремящаяся к 1 при стремлении £ к нулю. Стало быть, можно сказать, что действие изометрии на бесконечности является в каком-то смысле «квазиконформным». Точно так же можно проверить, что гомеоморфизм дХ, индуцированный изометрией X, является К-квази- конформным гомеоморфизмом для некоторой константы К. Именно это мы и будем подразумевать, говоря, что граница гиперболической группы снабжена естественной квазиконформной структурой.

Локальные свойства этой квазиконформной структуры для произвольной гиперболической группы пока остаются загадочными и несомненно заслуживают углубленного изучения. В [33] читатель найдет описание этих свойств для случая симметрических римановых пространств.

Мы уже сформулировали результат, согласно которому группа, квазиизометричная пространству Лобачевского Нп («> 3), является конечным расширением кокомпактной группы изометрий Н". Метод его доказательства следующий. Такая группа, разумеется, гиперболична, и ее граница квазиконформно эквивалентна границе Н", т. е. Sn-1. Действие Г на 3「индуцирует действие Г на Sn-1, являющееся равномер-

но квазиконформным. Если 孔=3, то доказывается, что это действие на самом деле конформно относительно некоторой измеримой конформной структуры. Тогда теорема Альфорса - Берса позволяет заключить, что это действие сопряжено конформному действию Г на S2, т. е. действию клейновой группы. В случае « > 4 доказательство Громова- Тукиа более сложно.

АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

В этом параграфе мы опишем некоторые результаты, восходящие к Дж. Каннону [5] и развитые М. Громовым [21, 25], а также Дж. Кан- ноном, Д. Хольтом, М. Патерсоном и У. Тэрстоном [9]. Речь идет о применении в контексте конечно порожденных групп идей и методов символической динамики (М. Морс, Р. Боуэн, М. Маннинг).

В качестве мотивировки для дальнейшего вспомним сначала, как решается проблема слов в свободной группе Г с базой а17...,ап. Всякий элемент Г единственным образом записывается как приведенное слово, т.е. слово, не содержащее подслов вида 叫仪厂】или д^1 а{. Важно отметить, что для того, чтобы решить, является ли слово приведенным, не обязательно знать его целиком; достаточно проверить, все ли его подслова длины 2 приведены.

Ден показал, что аналогично обстоит дело с фундаментальной группой компактной римановой поверхности рода g W 2, заданной следующим образом:

Г = (〃i，九,…,％,%; %b]W*b]…％bga 厂 Ь/ = 1).

Обозначим через R единственное соотношение в этом задании, и пусть & = К,&2,…，&2g — 2g циклических перестановок слова R Предположим, что слово m над алфавитом из а±^ имеет вид т^тгт?, где w- префикс одного из А^1, т. е. Rpl = w vv\ В группе Г элемент, соответствующий т, равен элементу, соответствующему т^т2. Если длина w строго больше, чем половина длины &, то слово m1wf~1m2 строго короче, чем т. Теперь по индукции можно доказать, что каждый элемент из Г можно представить в виде слова m над {〃士丨}，приведенного в смысле Дена, т. е. удовлетворяющего таким условиям:

m приведено (т.е. не содержит 仅仪厂丄 или af1 aj;

если w - префикс R^ и | w | > ^ | А |, то w является подсловом в т.

Важный результат М. Дена состоит в следующем: нетривиальное, приведенное по Дену слово представляет нетривиальный элемент Г.

Здесь снова можно заметить, что для выяснения, является ли слово приведенным по Дену, достаточно проверить это для всех его подслов длины 2g. Иными словами, памяти размером 2g хватает.

Мы будем обобщать эту идею в два этапа. Сначала мы введем понятие, в терминологии Громова, марковской группы (см. [19]). Затем

мы скажем несколько слов о более удобном понятии автоматной группы.

Пусть ^-конечный ориентированный граф, в котором выделена вершина *, а все ребра пронумерованы элементами конечного множества S (два разных ребра могут иметь один номер). Рассмотрим конечный путь с началом в вершине *, т. е. такую конечную последовательность вершин х°, %,…，芻，что 修 и xi+1 соединены ориентированным ребром (i = 0,...,«). Тогда можно считать с каждого ребра элемент S и образовать слово m длины п над S. Множество 必 получаемых таким образом слов будем называть языком 乡.Это - подмножество в множестве S* всех конечных последовательностей элементов S. Подмножество S* называется марковским языком, если оно является языком некоторого графа вышеописанного типа.

Предположим теперь, что мы рассматриваем конечную группу Г и что S-конечное подмножество Г. Элемент из S*, т. е. слово над S, определяет (перемножением) элемент Г. Имеем, таким образом, естественное отображение 冗：S* -► Г. Это отображение сюръективно, если S порождает Г как моноид.

Определение. Группа Г называется марковской, если существуют конечное подмножество 5(= Г и конечный ориентированный граф 乡 с отмеченной вершиной и пронумерованными множеством S ребрами, такой, что для его языка 必 и S* ограничение 冗 на 必 является биекцией. Иными словами, всякий элемент Г единственным образом записывается как слово над S, принадлежащее образу графа 乡.

Если, кроме того, в качестве S можно выбрать произвольное конечное подмножество группы Г, порождающее ее как моноид, и если отображение 冗：必 т F сохраняет естественные длины (т. е. | w | = =II^(и7) Ils), то будем говорить, что Г является сильно марковской группой.

Для примера читателю стоит построить граф 守，занумерованный множеством S = {〃，Ь, Ь-1} и такой, что его язык состоит из приведенных слов над S*. Следовательно, свободная группа является марковской.

С точностью до терминологии следующий результат принадлежит Дж. Каннону [5].

Теорема, Всякая гиперболическая группа является сильно марковской.

Прежде чем объяснить, как можно доказать эту теорему, сформулируем важное следствие.

Следствие, Пусть Г - гиперболическая группа и S-ее произвольное конечное множество образующих. Пусть。^⑺一“虱。#。элементов Г, имеющих длину m относительно S. Тогда формальный ряд /⑺=工冲口削(孔)尸 является рациональной дробью относительно г.

Следствие вытекает из теоремы и аналогичного результата про число 〃(孔)путей длины п в конечном графе, которое легко подсчитывается через степени его матрицы инцидентности.

Теперь приступим к изложению наброска доказательства теоремы Дж. Каннона. Пусть Г-группа, порожденная как моноид своим конечным подмножеством S, и пусть т-элемент S*, т. е. слово над S. Будем говорить, что m минимально, если т-слово минимальной длины, представляющее л(т)еГ, т.е. если |т| = ||тс(т) ||s. Минимальные слова образуют подмножество /Г и S*. Покажем, что ^ - марковский язык.

Пусть m - элемент 汝.С ним можно связать множество С (т) таких слов w е S*, что mwe 垓.Будем говорить, что тит' имеют один и тот же тин, если С(т) = С^т'). ^-множество типов - является ориентированным графом, пронумерованным с помощью S: типы 厶 и /2 соединяются стрелкой с номером s, если 厶-тип слова % …％, а % 一 тип слова % …％ s, также принадлежащего 汝.Выделенная вершина *е^ соответствует пустому слову. Очевидно, что пути в 乡,выходящие из *, взаимно однозначно соответствуют словам из 汝.Следовательно, если 乡 конечно, то S* является марковским языком.

Предположим теперь, что Г гиперболична, и покажем, что число типов конечно. Пусть А - целое число, обладающее следующим свойством: если У] и у2-два элемента Г, расположенные на расстоянии 1，то хаусдорфово расстояние между любыми двумя сегментами [е, у J и [е, 力]не превосходит R. Существование такого R немедленно вытекает из гиперболичности Г. Если у е Г, назовем (2А + \)~уровнем у модмно- жество N(y) шара В и「с центром е и радиусом 2& + 1, состоящее из таких элементов &, что ds (у&, ё) < d (у, е). Так как число подмножеств 3 конечно, то конечность числа типов и тем самым тот факт, что язык

является марковским, вытекает из следующего утверждения:

Если (2& + \)-уровни л (т) и 冗(т‘) совпадают, то совпадают м их типы.

Остается показать индукцией по | w |, что если mw принадлежит 垓，то это же верно и для ”и\ Если w пусто, то это очевидно. По индукции предположим, что m w, m'w nmws лежат в 汝 для некоторого s е S, и надо показать, что mrwsE^. Пусть ар-элемент 汝,для которого n(mrws)= =я(а₽) и |а| = \т'\ — 1. Легко проверить, что из определения R следует неравенство & (冗(а),冗(”))W 2& + 1. Отсюда следует, что 冗(т')Тк(а) лежит в (2& + 1)-уровне 冗(”)и, стало быть, в (2& + 1)-уровне 冗(m). Иными словами:

ds(K(”Tct),e) < 4(兀(m),e) = |m|.

Заметим теперь, что л (mws)=冗(mw，-】 ар). Отсюда следует, что \mws\ < |m| + I р|,

|也| + I w| + 1 v + |BI,

|В1 ^ |w| + 2.

Наконец, \mrws\ W|a| + 1 + | Р| — 2 + 1 = |a| + IBI = ^s(K (^^)-> ^)- Итак, мы показали, что mrws минимально.

Стало быть, Л - марковский язык. Это еще не доказывает теорему, так как отображение 冗：^ ^ Г, будучи сюръективным, отнюдь не инъективно. Вообще говоря, элемент Г может иметь несколько представлений в виде слова минимальной длины. Чтобы выбрать в 汝 единственное слово, представляющее элемент уеГ, выберем в л-1 (у) элемент, первый относительно лексикографического порядка. Этот способ определяет подмножество 必 и 汝,для которого отображение 兀：必一►「， разумеется, биективно. Из того факта, что 况 является марковским языком, нетрудно вывести, что таково же и 必* Теорема доказана.

Понятие марковской группы обладает серьезным недостатком: пронумерованный граф 乡 не определяет группы. Действительно, из определения мы знаем, что всякий элемент группы записывается как слово из языка 乡，но у нас нет никакой информации о том, как перемножаются два элемента группы. Вот пример. Группы Г\ = (а, Ь, c\ab — Ьа, ас = са, be = cb) и Г2 = (а, b, с\ас = са, be = cb, ab = Ьас) неизоморфны (rt - это Z3, а Г2-группа Гейзенберга); тем не менее всякий элемент Г\ или Г2 единственным образом представляется в виде ambn ср (m,n,pEZ). Тем самым легко найти марковский язык, общий для и Г2.

Понятие автоматной группы, введенное в [9], лишено указанного недостатка. Для начала обобщим понятие марковского языка до регулярного языка. Это - одно из классических понятий информатики.

Определение. Конечным автоматом М называется следующий набор данных:

Конечное множество Е, элементы которого называются состояниями, в котором выбран один из элементов, обозначаемый * и называемый начальным состоянием. Множество Е разбито в объединение двух непересекающихся множеств О и ^ (от ом/-да и поп-нет).

Конечное множество /，называемое алфавитом.

Преобразование перехода (а,£)е/ х EicteeE.

Предположим, что нам дан элемент /*, т. е. конечная последовательность (а1,...,ап) элементов из А. Тогда можно определить последовательность состояний так:

Множество 幺(М) таких слов из /*, что заключительное состояние £п лежит в О, называется языком автомата М. Подмножество 必 и 4* называется регулярным языком^ если оно является языком некоторого конечного автомата. Преимущество регулярных языков над марковскими состоит в том, что в этой новой ситуации префикс элемента языка не

обязательно сам принадлежит этому языку.

Перед тем как определить, что такое автоматная группа, необходимо дать еще одно техническое определение. Пусть Л t и Л 2 - конечные множества. Язык 幺 над (/「Л2)-это подмножество /扌 х /孔 Трудность здесь в том, что /： х /扌 состоит из пар слов, возможно разной длины, и язык над (4^ х Л2) не является языком над /1 х Л2. Поэтому введем два новых символа Frx и Fr2 и положим В = (A r и {FrJ) х (/? U U {Fr2})\{(Fr1Fr2)}. Дополняя более короткую компоненту элемента /： х 力扌 с помощью Frt или Fr2, получаем пару слов одинаковой длины, т. е. элемент В*. Таким образом, язык 幺 над (/】,/?) пополняется до языка 纟 над В. Будем говорить, что ^-регулярный язык над (/「Л2), если язык S регулярен, т.е. если существует автомат с алфавитом В, языком которого является S. Будем также говорить, что этот автомат - над ⑷，Л 2) и что - язык этого автомата.

Определение. Группа Г называется автоматной, если существует конечное подмножество S = {“，…，％} и Г, порождающее Г как моноид, и конечные автоматы 叱 Мо, М「…,此，такие, что:

5 - алфавит W и отображение 冗：^ (W) -► Г сюръективно;

для О W i W 〃 Mj является автоматом над (S, S) и его язык состоит из таких пар (m, т') слов из S*, что тит，лежат в 必(W) и 冗(т)= =к(т')・» (для i = 0 положим % = е - единичный элемент Г).

Иными словами, каждый элемент Г записывается как слово над S из некоторого регулярного языка, но a priori не предполагается единственность такой записи (на самом деле можно было бы эту единственность и предположить). Тем не менее автомат Мо позволяет решить, определяют ли два слова языка один и тот же элемент Г. Наконец, автоматы М「…，М“ определяют умножение справа на s「…，$〃 и тем самым описывают алгебраическую структуру группы.

Хорошо известно, что представление группы с помощью образующих и соотношений весьма неудобно. В [9] проводится та идея, что задание группы с помощью автомата замечательно удобно и дает возможность очень быстро проводить вычисления в группе. Часть работы [9] состоит в изложении методов явного конструирования автоматов «разумного размера» (см. также [14]).

Теорема, Гиперболическая группа является автоматной.

Доказывается это по существу так же, как и то, что гиперболическая группа является сильно марковской (набросок доказательства этого факта мы привели выше).

Класс автоматных групп значительно шире класса гиперболических групп. Например, он включает конечно порожденные виртуально абелевы группы и замкнут относительно конечных произведений. Тем не менее он не включает неабелевы нильпотентные группы. К сожалению,

алгебраическая и геометрическая структуры автоматных групп понятны гораздо меньше, чем структура гиперболических групп (см., однако, [15] и [17]). В завершение сформулируем две проблемы, иллюстрирующие наше плохое знание геометрии этих групп.

Проблема. Можно ли для автоматных групп развить теорию границы, подобно тому как это было сделано для гиперболических групп?

Проблема. Будет ли автоматной фундаментальная группа многообразия неположительной кривизны?

6. К ПОЛУГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ГРУППАМ

Хорошо было бы пойти дальше... Многие интересные группы не являются гиперболическими, хотя геометрический метод должен был бы позволить понять их лучше. Вот несколько примеров:

Фундаментальные группы компактных многообразий неположительной кривизны.

Группы с малыми сокращениями С'(1/5).

Решетки в полупростых группах Ли, в частности SL(n, Z).

Надо было бы еще найти метрическое условие на граф Кэли, инвариантное относительно квазиизометрий и позволяющее охватить эти примеры. Трудность ясна: в отличие от отрицательности кривизны неположительность кривизны является неустойчивым свойством и плохо ведет себя при квазиизометриях.

В завершение доклада мы хотели бы описать два понятия, которые обобщают гиперболичность и могли бы послужить основой для определения «полугиперболических групп», которое было бы желательно.

Первое из этих понятий введено Дж. Канноном [6].

Определение. Пусть 5 - конечное множество образующих группы Г. Будем говорить, что Г почти выпукла относительно S, если существует константа С > 0 со следующим свойством. Если yt и у2-два элемента Г, лежащие на сфере с центром е (единичный элемент) и радиусом п и такие, что & (у「У?) W к, то в графе Кэли существует соединяющий у】и у? путь длины, не превосходящей С, лежащий в шаре с центром е и радиусом п.

Дж. Каннон показал, что виртуально абелевы группы яляются почти выпуклыми относительно произвольного конечного множества образующих. С другой стороны, очень легко убедиться, что гиперболические группы являются почти выпуклыми (относительно любого S). В [9] авторы анонсируют, что то же верно и для автоматных групп.

Проблема. Зависит ли почти выпуклость группы от выбора конечной системы образующих? Является ли почти выпуклость геометрическим свойством?

Проблема. Будет ли почти выпуклой фундаментальная группа компактного многообразия неположительной кривизны?

Вот другое понятие, введенное У. Тэрстоном ([1, 9]). Будем называть путем в группе Г с выбранной конечной системой образующих S отображение с: {0, 1,...,«} -► Г, для которого ds(c(i), c(i + 1)) = 1 (i = 0,...,孔一 —1). Началом с называют е(0), концом-с(«). Удобно продолжить с до отображения с: N -► Г, полагая c(z) = с(«) для i > п.

Определение. Группа Г с выбранной конечной системой образующих называется причесываемой (peignable), если для каждого уеГ можно выбрать путь 已丫 с началом е и концом % обладающий следующим свойством. Существует такая константа С, что из равенства 右仇*)= =1 следует, что sup.eNt/s(cYi(z), &*)) W С.

Разумеется, гиперболические группы являются причесываемыми, так как в качестве су достаточно выбрать путь минимальной длины, соединяющий е с у. Автоматные группы причесываемы, но неизвестно, верно ли обратное. Для причесываемых групп можно частично обобщить вышеописанную теорему И. Рипса [1]. Однако же, согласно Тэрстону, группа SL(3, Z) причесываемой не является.

Таким образом, неясно, каким должно было бы быть определение полугиперболических групп.

Отметим в заключение, что столь же интересно было бы понять геометрию некоторых групп, не являющихся полугиперболическими. Например, почти ничего не известно про геометрию полициклических групп, кроме того, что некоторые из них не являются почти выпуклыми [ЮЗ-

ЛИТЕРАТУРА

Alonso J. М. Combings of groups, prepublication M.S.R.L 04623-89.

Bestvina M., Mess G. The boundary of negatively curved groups, prepublication, 1990.

Bowditch В. H. Notes on Gromov's hyperbolicity for path-metric spaces, prepublication Univercite de Warwick, aout 1989.

Brown K. S. Cohomology of groups, Springer, 1982. [Имеется перевод: Браун К. Когомологии групп-М.: Наука, 1987.]

Cannon J. W. The combinatorial structure of co-compact discrete hyperbolic groups, Geom. Dedicata 16 (1984), 123-148.

Cannon J. W. Almost convex groups, Geom. Dedicata 22 (1987), 197-210.

Cannon J. W. Negatively curved spaces and groups, the problem of constant negative curvature, trois textes distribues au "Topical meeting on hyperbolic geometry and ergodic theory, Trieste, avril 1989.

Cannon J. W., Cooper D., A characterization of co-compact Kleinian groups and Kleinian groups of finite volume, prepublication.

Cannon J. W., Epstein D. B. A., Holt D. F., Grayson M. A., Thurston W. P. Word processing and group theory, prepublication Universite de Warwick, 1988.

Cannon J. W., Floyd W. J., Grayson M. A., Thurston W. P. Solv-groups are not almost convex. Geom. Dedicata 31 (1989), 291—300.

Coornaert М., Delzant Т., Papadopoulos A. Notes sur les groupes hyperboliques de Gromov, publication IRMA Strasbourg, 1989.

Davis M. W., Januszkiewicz T. Hyperbolization of polyhedza, preprint.

Dehn M., Papers on group theory and topology, translated and introduced by J. Stillwell, Springer, 1987.

Epstein D. B. A. Computers, groups and geometry, Asterisque 163-164 (1988), 9-29.

Gersten S. M. Problems on automatic groups, prepublication M.S.R.L 07023-89.

Gersten S. M., Short H. Automatic groups and small cancellation theory, готовится к печати в Inv. math.

Gersten S. M., Short H. Rational subgroups of biautomatic groups, готовится к печати в Ann. math.

Ghys E., de la Harpe P. (eds.) Sur les groupes hyperboliques, d'aprGs Mikhael Gromov, avec la collaboration de W. Ballman, A. Haefliger, E. Salem, R. Strebel et M. Troyanov, Progress in Mathematics, Volume 83, Birkhauser, 1990. [Имеется перевод: Гиперболические группы по М. Громову/Под ред. Э. Гиса и П. де ля Арпа-М.: Мир, 1992.]

Gilman R. Н. Groups with a rational cross section, in Combinatorial group theory and topology, Ann. of Math. Studies 111, Princeton University Press 1980, 183-213.

Greenleaf P. Invariant means on topological groups and their applications, Van Norstand, 1969.

Gromov M. Hyperbolic manifolds, groups and actions, in Riemann surfaces and related topics, Ann. of Math. Studies 97, Princeton University Press 1980, 183-213.

Gromov M. Structures metriques pour les varietes riemanniennes, redige par J. Lafontaine et P. Pansu, Cedic F. Nathan, 1981.

Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps, Publ. Math. I.H.E.S. 53 (1981), 53-73.

Gromov M., Infinite groups as geometric objects, proceed. I.C.M. Warszawa 1(1984), 385—392. 8 (Springer 1987), 75—263.

Gromov M. Hyperbolic groups' in “Essays in group theory”，ed. S. M. Gersten, M.S.R.L Pub. 8 (Springer 1987), 75-263.

de la Harpe P. Free groups in linear groups, L'Enseignement mathematique 23 (1983), 129-144.

De la Harpe P., Valette A. La propriete T de Kazdan pour les groupes localement compacts, a paraitre dans Asterisque.

Каждан Д. А. О связи между двойственным пространством группы и структурой ее замкнутых подгрупп. Функциональный анализ и его приложения, 1:1(1967), 71-74.

Lyndon R. С., Schupp Р. Е. Combinatorial group theory, Springer, 1977.

Margulis G. A. Groupes discrets d'isometries des varietes a courbure negative, proceed. I.C.M. Vancouver, 1974, Vol. 2, 21-34.

Mostow D. Rigidity of locally symmetric spaces, Princeton University Press, 1972.

Pansu P. Croissance des boules et des geodesiques fermees dans les nilvarietes, Ergod. Th. Dynam. Sys. 3 (1983), 415-445.

Pansu P. Metriques de Carnot-Caratheodory et quasi-isometries des espaces symetriques de rang 1, Ann. of Math. 129 (1989), 1-60.

Ragunatan M. S. Discrete subgruops of Lie groups, Springer, 1972.

Scott P. The geometries of 3-manifolds, Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 401-487.

Scott P., Wall T. Topological methods in group theory, in "Homological group theory”，Lecture Notes 36, London Math. Soc. 1979, 137-203.

Shalen P. B. Dendrology of groups: an introduction, in "Essays in group theory", ed. S. M. Gersten; M.S.R.L Pub. 8 (Springer 1987), 265-319.

Short H., (ed.). Notes on negatively curved groups, avec la collaboration de

Alonso J. М., Brady Т., Cooper D., Delzant T., Ferlini V., Lusztig M., Miha- lik M., Shapiro M., prepublication M.S.R.L 08023-89.

Sullivan D. On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions, in Riemann surfaces and related topics, Ann. of Math. Studies 97, Princeton University Press 1980, 465-496.

Thurston W. P. The geometry and topology of 3-manifolds, Lecture Notes, Princeton, 1978.

Tits J. Groupes a croissance polynomiale, Seminaire N. Bourbaki, fevrier 1981, expose 572, Lecture Notes in Math. 901 (1981), Springer-Verlag, 176-188.

Tukia P. On quasi-conformal groups, J. d'Anai. Math. 46 (1986), 318—346.

Tukia P. Homeomorphic conjugates of Fuchsian groups, J. reine angew. Math. 391 (1988), 1-54.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ФЕРМИ

(по Гизекеру, Трубовицу и Кнорреру)

Крис Петерс

0. ВВЕДЕНИЕ

Мы рассмотрим работу [GKT2] Гизекера, Трубовица и Кноррера по алгебраическим кривым Ферми. Сводку технических результатов можно найти в [GKT1J. Здесь мы остановимся на физических основах теории, возникшей из теории твердого тела (см. § 1), и не спеша разберем основной результат и технику.

В дискретном приближении можно было бы использовать технику алгебраической геометрии, хотя уже аппроксимации свободного электрона имеют дело с неалгебраическими, аналитическими многообразиями большой размерности, где и геометрия, и анализ очень трудны. В работах [Bl], [В2], [К] и [PS] можно найти много результатов о дискретном случае. Некоторые результаты о непрерывном случае есть в [ВКТ], [G] и [К] (см. § 8).

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ

В физике твердого тела следующая модель называется моделью свободного электрона. Детали можно найти в [АМ]. Фиксируем решетку ионов (мы считаем, что ионы неподвижны) Г и R" (d W 3) и газ электронов, которые движутся независимо в поле потенциала 夕(х), периодической функции с периодами Г (этот потенциал описывает главное взаимодействие ионов и электронов). Каждый отдельный электрон описывается волновой функцией, являющейся суперпозицией решений 屮：R" -► С уравнения Шрёдингера

( — А + q(x))^ =入屮，XeR,

с граничным условием

屮(х + у) = е«，У〉ч>(х) УуеГ,

где keRd фиксировано.

Предположим, что qeL2 (Rd/F); тогда (1.1) и (1.2) определяют самосопряженную граничную задачу с дискретным спектром

E*(k) W 々(к) W

где каждая Ej(k) (энергия кристалла импульса к) зависит непрерывно от 12*

к и называется /・й групповой функцией. Она периодична в двойственной решетке

F# = {bE(Rd)*|〈Ar〉u2KZ}.

Для того чтобы объяснить, что физически означает поверхность Ферми, возьмем фундаментальную область 尸 решетки Г, заменим твердое тело областью L・ F и R% LeZ+, содержащей Ldn = N электронов (плотность электронов п будем считать фиксированной), и устремим L к бесконечности. Другими словами, рассмотрим решения предыдущей задачи на периодических функциях из L2(L F). Тогда импульсы кристалла будут принадлежать решетке (1/£)-Г#. Принцип запрета Паули утверждает, что каждый электрон может занимать в точности один энергетический уровень (два, если мы учитываем спин), так что нижний энергетический уровень для системы, содержащей N электронов в области твердого тела,- это сумма первых N собственных значений этих импульсов. Наибольшая энергия отдельного электрона этого основного состояния области имеет конечный предел при L, стремящемся к бесконечности, и называется энергией Ферми. Поверхность в к-пространстве с этой энергией и есть поверхность Ферми. Она отделяет занятые состояния от незанятых при абсолютном нуле. Форма поверхности Ферми может быть установлена экспериментально. Ее свойства дают возможность предсказывать качественное поведение вещества, т. е. установить, будет ли вещество проводником, полупроводником или изолятором. Обобщая сказанное выше, можно определить поверхность Ферми энергии А, как гиперповерхность в k-пространстве импульсов R" с энергией 入.Ввиду периодичности поверхности Ферми с периодами Г # можно заменить ее на образ в Rd/T#. Для простоты предположим, что Г = Zd. Тогда Rd/r# - прямое произведение d окружностей S；, которые мы можем рассматривать как единичные окружности в комплексной плоскости. Это приводит к следующему описанию многообразия Ферми:

КЗ,&)е(§1)"円屮力 0, решение (1.1),

и 屮(Xi，...,Xj + 1,…修)=畠屮(%) Для 力=L 2,…，力.

Это многообразие Ферми можно рассматривать как слой над А, гиперповерхности в (§i)d х R при проекции на последний сомножитель.

Делая один шаг дальше, мы можем рассматривать решения (匕,X), лежащие в (C*)d х С и задающие комплексно-аналитическое многообразие В, расслоенное на (d — 1)-мерные многообразия, на которых гиперповерхности Ферми являются вещественными (d — 1)-мерными циклами.

Для d = 1 многообразие 5-это гиперэллиптическая кривая, которая имеет в общем положении бесконечно много точек ветвления. Эта ситуация изучалась Маккином и Трубовицем в [МТ]. Для высших d существуют некоторые частные результаты (см. § 8). Это оправдывает

некоторые результаты в дискретном случае, к которому мы сейчас приступим.

ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ

Для того чтобы сосредоточиться на геометрических аспектах задачи, Гизекер, Кноррер и Трубовиц обращаются к дискретному приближению, которое мы сейчас опишем. В Zd возьмем решетку

Г =㊉ Zqej,

где Cj-J-血 стандартный базисный вектор. Для простоты мы предположим, что все Uj различные и простые. Введем фундаментальную область для Г

F: = {(х“…,x/eZ」1 W 勺 W %, J = 1,…，d}.

Векторное пространство комплекснозначных Г-периодических функций на Zd с обычным скалярным произведением

〈(Р,屮〉=1/(〃1 •…•％) 2 w(x)5(x)

обозначим через L2(Zd/F).

Потенциалы q(x) принадлежат этому множеству, в частности, им разрешается принимать комплексные значения. Определим операторы сдвига 3戸 действующие на функции Т: Z“tC:

Sj屮(х「勺,…，/)=+а1，勺+ 1,…，/)，

и дискретный лапласиан

А= £四+ S尸.

Соответствующая дискретная задача формулируется как решение

J ( — А + а — Х)屮=0 (ХеС), Q'f S:+=当屮化产0)，)=1,d.

Введем

W = №i,..-,^A)e(C*)d x С|ЗТ^0,Т-решение (2.1)}

В [GKT] это многообразие названо многообразием Блоха. Проекция 冗：В т С на второй сомножитель расслаивает В на многообразия размерности d—1, (комплексные) многообразия Ферми. Слой л-1 (X) обозначим 尸九.Аналогом поверхности Ферми, рассматриваемой в физике, является пересечение 尸九 с (М】)"х {X} для действительных значений X. Так как S：T = ^Т, то функция 屮 определяется ее Л-значениями на фундаментальной области F, где

4 =〃[♦...• а^.

Формула (2.1) переходит при этом в задачу о собственных значениях А х Л-матрицы 0, задающей действие — А + д(х) на Л-мерном пространстве {屮(尤),xeF}. Так как матрица 勿 состоит из элементов, являющихся линейными комбинациями переменных ^15^f^...，^，^1, мы получаем, что В (q) является алгебраической гиперповерхностью степени А в (С*)" х С, задаваемой характеристическим уравнением Р^^,...^, %) = 0 матрицы 决

B(q) = {^...^d^e^Y хС\Р^...^^

ПЛОТНОСТЬ состояний

В физике твердого тела важную роль играет следующее качественное экспериментальное наблюдение: (интегральная) плотность состояний. Если Нп - оператор — А + % действующий на пространстве комплекснозначных функций на Zn с решеткой периодов «Г, то мы можем определить интегральную плотность функции состояний как

Р(М = Нт рп(Х),и ОО

где pn(X) = \/(ndА) х число собственных значений %, меньших или равных X. Простые вычисления показывают, что (не)интегральная плотность функции состояний dp[d\ равна

14

区市7 ЕJ 3@ — Ej(k))dk,

3儿丿 2 j=i Rd/2nZd

где 5 - дельта-функция и £}(k) аналогична /・血 групповой функции. Так как область, по которой мы интегрируем, обычно является «вещественной» поверхностью Ферми 耿=尸入 П (S】)"х {А,}, мы получаем

(3 1) 亦二 Л f dS —1

* 点一(2兀)3厶孙乜1%巧1一(2К)乙g"

где

5 人

-Р^Д...Д^Д...Д^

吗吗=(-1 产

吗

吗

1q龍尸

является ограничением на 尸九 относительной d — 1-формы ①，определенной на многообразии Блоха условием

冗* 3%)a①=Д Д 餐-

Si4d

Итак, плотность состояний является интегралом от голоморфной (d — 1)-формы по действительным (d — 1)-циклам на 尸九.Заметим, что это определение подходит только для вещественнозначных q и действительной 入.Если X - регулярное значение проекции 冗,то слоение 冗 вблизи 入 диффеоморфно произведению окрестности А, на цикл (р%, a dp/d九 определяет росток аналитической функции около X.

Предыдущие наблюдения были отправной точкой для [GKT] и привели к удивительным результатам, которые мы теперь и сформулируем.

ГЛАВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В РАЗМЕРНОСТИ d=2

Теорема. Существует открытое по Зарисскому множество L^ и u_L2(Z2/F), такое, что из B(q) = B(q'),夕£工「q'еL?、следует, что существуют (х0, ^0)е72/Г, такие, что “(х,у)=乌(土 х + х°, 土 у + у。).

Другими словами, для потенциалов в общем положении многообразие Блоха определяет потенциал с точностью до очевидной симметрии.

Чтобы сформулировать следующий результат, мы обобщим предыдущие условия, но сначала - введем следующие обозначения:

а： = 〃i л 6： = а2-различные нечетные простые числа.

Определение. (1) Потенциал qwL? (Z2/F) называется общим относительно блоховской проекции 冗：B(q) -► С, если 冗 имеет в точности

V = 2a2b2 + 6ab(a + b) + 12ab — 12 (a? + 从)一2(a + b) — 12

критических значений.

Действительнозначный потенциал называется общим относительно соответствующей функции плотности, если аналитическое продолжение ростка функции плотности состояний (3.1) около действительного значения X, где функция плотности аналитическая (т. е. в окрестности некритического действительного значения блоховской проекции л), имеет ровно V точек ветвления.

Следующий результат утверждает, что общие потенциалы имеют хорошие свойства и их достаточно много.

Предложение. (1) Общие потенциалы относительно блоховской проекции составляют открытое по Зарисскому множество L2 и L2(Z2/F).

Действительнозначный потенциал, являющийся общим для блоховской проекции, является общим относительно функции плотности состояний и наоборот.

Кроме этого, для потенциалов 6 L2 мы имеем:

Многообразие Блоха гладко.

Кривые Ферми над 4аЬ критическими значениями 冗 имеют в точности одну обыкновенную двойную точку и две обыкновенные двойные точки над разветвленными критическими значениями.

Окончательно имеем:

Теорема. Пусть ^, ^' е L2 (Z 2) - действительнозначные потенциалы, м пусть ростки функции плотности состояний для q и qf вблизи действительной точки совпадают. Если qWeL?, то либо 5(g) = B(q‘), либо 5(“)= jB(^), где j-инволюция j^^,^) = (&；',&>,入)•

Комбинируя предыдущие результаты, мы видим, что функция плотности состояний для общего действительнозначного потенциала существенно определяет потенциал.

Замечание. Очень хотелось бы научиться получать из свойств ростка / (%) функции плотности состояний гладкость слоя над X. В действительности, это можно вывести из свойств решетки Г\, порожденной аналитическим продолжением / в кольце ростков голоморфных функций в X. Если некоторое продолжение / дает росток, кратный X, то слой над этой точкой, конечно, особый. Мы можем предположить, что в нашем случае это не так. Из предложения 4.3 следует, что кривая Ферми над А, гладкая, когда Г% имеет ранг 2аЬ. Кроме того, в этом случае имеется только V точек ветвления у /, так как можно показать, что в этом случае их не может быть больше. Сделаем несколько предварительных замечаний о доказательствах. Доказательство теоремы 4.1 вполне понятно и использует геометрию подходящей компактификации многообразия Блоха. Мы дадим его набросок в п. 6 после обсуждения внутренней компактификации и используем несколько тонких моментов, которые играют роль и в доказательстве теоремы 4.4. Мы не будем говорить много о доказательстве теоремы 4.3, но дадим набросок длинных и путаных аргументов, использованных в доказательстве теоремы 4.4.

5. КОМПАКТИФИКАЦИЯ МНОГООБРАЗИЯ БЛОХА

Руководствуясь идеями Мамфорда (см. [М]), Бэттиг в [В1] сконструировал следующую внутреннюю компактификацию многообразия Блоха. Рассмотрим алгебраический тор Т = (С*)3 и (С2) х С. Пусть Тх-торическая компактификация 式 соответствующая вееру £ в R^， содержащему конусы (с вершиной в начале координат) над гранями призмы, изображенной на рис. 1.

Соответствующая колыбель (рис. 2) - это особое полное алгебраическое многообразие с одномерным множеством особенностей. Множество особенностей стратифицировано на 9 Горбит, 4 размерности 1 и 5 размерности 0. Четыре одномерные орбиты соответствуют конусам коразмерности 1 над горизонтальными ребрами призмы. Эти четыре кривые имеют пересечения типа /化,где для двух из них к = 2а — 1, а для двух других k = 2b — 1. Нульмерные орбиты в замыкании одномерных орбит соответствуют граням коразмерности 0. Заметим, что (С)2 х С вложено в 丁工 как открытое множество, определяющее торическое

вложение 几，где ст - конус R》。(0,0,1). Следовательно, можно рассматривать замыкание B(q) в колыбели. Это замыкание всегда имеет особенности в четырех точках 尸中 в которых пересекает особенности колыбели (см. рис. 2). Раздувая эти особые точки, мы получаем многообразие В

Перед тем как сформулировать следующее утверждение, напомним обозначения

卩а = группа a-корней из единицы,

|ij = множество примитивных а-корней.

(5.1) Предложение, (i) Четыре исключительные поверхности на раздутии колыбели пересекают 5(q)' по четырем кривым Н^. Эти кривые гиперэл-

липтические м попарно изоморфны. Оба класса кривых являются многообразиями Блоха одномерных потенциалов, полученных усреднением по каждой из двух координат.

Существует ровно четыре кривые 乌 в бесконечности B(q)'\B(q). З^ш кривые являются особыми рациональными кривыми с (а — 1)(力一 1) обычными двойными точками, естественно занумерованными элемента- ми Pj х Нь- Кривая Qj пересекает Т-орбиту, соответствующую конусу коразмерности 7 над ребром, соединяющим 尸° и 尸](см. рис. 1) в точке &六 которая является гладкой точкой 5(g)'.

Проекция Блоха 冗：В (夕)—► С продолжается до рационального отображения к: В (^у —► Р1, которое определено всюду, за исключением точек Rj, j — 1, 2, 3, 4. После раздутия 5(g)' в этих точках мы получаем компактификацию многообразия Блоха B(q). Отображение 冗,продолжается до морфизма

冗：B(q) т Р1.

Четыре исключителъные кривые являются сечениями этого расслоения.

Замечание. В [GKT] эта компактификация описана другим, но эквивалентным способом.

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 4.1

Напомним определение коэффициента Фурье потенциала q е L2(Z2/r). Для каждого р = (р「р2)ецй х ц& положим

乳 Р) = 7 £ 9(т，编 р7р；・

Многообразие Блоха B(q) = {^Лг^Р^^^ = 0} определяет:

Многочлен 尸(1, 1,入)，корни которого совпадают с периодическим спектром уравнения Шрёдингера.

Значение в точке q функции

/р(а) = 6(р)@(0), ре觴 х 財.

Последнее утверждение выводится из вида уравнения многообразия Блоха вблизи точек 0/ (см. предложение 5.1). Оказывается, существуют локальные координаты (х,^, z) около 0戸 независящие от потенциала q, такие, что многообразие Блоха вблизи Qj задается уравнением

/pi =俨 + z2 + члень1 вЬ1СШего порядка.

Многочлен 尸(1, 1, X) принадлежит аффинному aZj-мерному пространству

剪={многочлены степени ab со старшим коэффициентом — 1}.

Определим семейство алгебраических морфизмов

6：L 2 T 尸，

сопоставляющих q детерминант оператора — еА + q —入,действующего на периодических функциях L2. Конечно,年］=尸(1, 1, X) и (р0 =

二 卩 ((q(m,孔)—X), следовательно, слой(р0 содержит ровно те потен- (m,n)eF„

циалы, которые инвариантны относительно очевидного действия симметрической группы sab на L2\

о (q) (m, п) = q(o (m,«)), nesab.

Подгруппа b и 露力 порожденная (孔,加)1(孔 + l,m), (n,m)^(n,m + 1), (孔，m)i( —孔，一m), обладает тем свойством, что каждый элемент ст из b сохраняет многообразие Блоха: В (ст (^)) = 5(g). Мы должны доказать, что для общего q из условия B{q') = B{q) следует, что q' = o(q), neb. Для этого мы фиксируем рец^ х ц^ и / =/р- Эта функция принимает одинаковые значения в точках слоя(р「Чтобы решить, действительно ли ст принадлежит к Ь, мы используем следующую лемму.

Лемма. Если / (ст (^)) = /(g) для всех д, то owb.

Доказательство этой леммы относительно просто, если использовать нужный выбор потенциалов.

Теперь мы заметим, что

典匂)3) = ^ab^i(Q/^) (^М

Итак, если {^^...^^-слой(рЕ, то точки 分/£,…，夕自£ составляют слой(ре и наоборот. Достаточно показать, что функция / разделяет точки слоя(ре (е / 0), не относящиеся к элементу из Ь. Очевидно, что для достаточно малого |е| отображение <ре является конечным накрытием степени N = | баЬ | = (аб)!. Заметим, что(ре может быть представлена как фе -р, где р: L2TL2/Ь — отображение факторизации. Следовательно, / представляется как рр. Имеются открытые по Зарискому множества UeC и 叭£歹 так что Ре叭 тогда и только тогда, когда существует egU с 尸=(р£(д) для некоторого qeL2. При этом выполняются следующие свойства.

слой ср"1 (Р) состоит из N точек,

функция / переставляет точки слоя ф^1 (Р).

Поскольку, в силу леммы 6.1, функция / разделяет слои @°, отсюда следует, что U и «】непусты.

НАБРОСОК ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ 4.4

Шаг 1: представление монодромии

На многообразии Блоха определена инволюция z,ig,厶小) = &”，&” 入)•

Профакторизуем 5(g) по этой инволюции и получим многообразие У(д) со слоями 丫(乌)入.Если q общее, то можно показать, что

У®)入 гладкое для всех keP1\D (D - конечное множество точек, называемое особенностями ван Хова).

Слой над конечной особенностью ван Хова содержит одну двойную точку, которая или гладкая в У(^), или особая двойная. Последний тип сингулярности называется спектральной особенностью ван Хова, потому что он лежит над точкой периодического-антипериодического спектра.

厶 имеет четыре компоненты, неизоморфные компонентам F: две гиперэллиптические кривые, соответствующие одномерным усреднениям потенциала, и две рациональные кривые. Каждая из четырех точек, в которых пересекаются эти рациональные и гиперэллиптические кривые, является обычной двойной точкой 几 и гладкой на У(^). Они определяют четыре исчезающих гомологичных цикла, определяющих класс у8cHi (К,之)для 入，близкого к со. Эта факты наводят на мысль изучить представление монодромии

(7」)г： %(pi\D,A)TAut&(K,Z),

используя аргументы лефшецевского типа. Здесь мы сталкиваемся с непредвиденными трудностями. Однако для общих потенциалов q вида q、(%1) + 乌2 (不2)монодромия может быть вычислена явно. Поэтому можно использовать связанность множества хороших потенциалов. Окончательный результат следующий:

(7.2) Предложение, (i) Представление монодромии абсолютно неприводимо.

Для отрицательных X, близких к со, наименьшая г-инвариантная подрешетка s "i(K，Q), порожденная | (у^ — г (а) ух), ае% (P'D, %), совпадает с Ht (i^, Z).

Шаг 2: Покрытие

Так как ① z-инвариантна, она опускается до относительной голоморфной один-формы семейства У(д) -► С, обозначаемой тем же символом. Пусть а - z-цикл на К，не являющийся границей. Представим а циклом на 工，где s принадлежит достаточно малой окрестности U точки 九 и где расслоение снабжено дифференцируемой тривиализа- цией. Этот цикл также обозначим а. Рассмотрим в U росток /а = ja(os аналитической функции. Пусть S обозначает кольцо ростков аналитических функций в X. Аналитическое продолжение /а по путям в P1\D определяет вложение

/:%(H，Z)tG

Специальная петля /ю определяется следующим образом. Во-первых,

начиная из 入，идем слева от отрицательной действительной оси, затем по большой окружности по часовой стрелке, которая охватывает все особенности ван Хова, и возвращаемся назад к 入 по действительной оси. Если де", то мы определим д^ как росток, полученный из д аналитическим продолжением вдоль петли /х. Пусть q - общий потенциал и 入 не является особенностью ван Хова. Тогда

S

耿+鹏)

является удвоенной плотностью состояний. Пусть Нх-решетка в 6, порожденная всеми аналитическими продолжениями функции плотности состояний (1/2)/. Выберем де%, такую, что

д инвариантна относительно комплексного сопряжения,

9g отличается от д.

Пусть h: = д — Можно показать, что

2 冗 ab,

力，

lim h(t)

где предел берется вдоль отрицательной действительной оси.

В силу монодромии мы получили покрытие Из предложения 7.2 видно, что можно получить покрытие решетки Ht (5x，Z).

Шаг 3: Теорема Торелли

Рассмотрим теперь д', другой действительный потенциал той же самой функции плотности состояний. Мы можем определить около А, r-эквивариантный изоморфизм

а: % (У&К Z) - /Л (У(д%, Z),

положив

Jg(g)= J g(g') 耍%(У(公,2). Yа (у)

Если собрать все периоды базиса регулярных 1 -форм относительно базиса гомологий в (2д х ^)-матрицу, то получим матрицу периодов Q$ для К. Напомним следующую теорему:

Теорема Торелли. Две римановы поверхности изоморфны, если их матрицы периодов эквиваленты.

Следовательно, мы должны найти периоды всех 1-форм.

Чтобы сделать это, мы воспользуемся представлением монодромии (7.1) вместе со следующим глубоким результатом: теоремой Делиня о неподвижной части. А чтобы воспользоваться следствиями этой теоремы, мы должны напомнить понятие структуры Ходжа веса w на

конечно-порожденном Z-модуле Н. Структура Ходжа веса 叩 определяется разложением векторного С-пространства Н®гС в прямую сумму подпространств цк^~к ходжевого типа (k, w — к) со свойством* Hk,w~k = pw-k,k (сопряжение относительно естественной комплексной структуры в H®ZC). Z-модуль Н” (F(qk，Z) задает структуру Ходжа веса 1: Н^и F(qh состоит из д строк Q$, каждая из которых рассматривается как элемент Я1 (F(^)s, С) = Нотс(Ях (F(^), Z), С), записанный в базисе, двойственном к данному базису гомологий.

Обычная линейно-алгебраическая конструкция, примененная к структуре Ходжа, дает новую структуру Ходжа: если Я и Ях-структуры Ходжа веса 明 то Z-модуль Нот% (〃,//') имеет структуру Ходжа веса 0: С-линейная функция 屮：Н -> Н' имеет тип (一 i, z), если 屮(讲宀 ~к) и (Н)к - i,w ~к + i

Следствие теоремы Делиня о постоянной части [D, сл. 4, 1, 2] формулируется так:

Теорема. Структура Ходжа веса 0 на

Hom(//i(y(6,Z), ЯЧУ^ь^) индуцирована подрешеткой гомоморфизмов, которые инвариантны относительно представления монодромии (7.1).

Так как монодромия действует неприводимо на гомологиях с комплексными коэффициентами, из леммы Шура вытекает, что эти эквивариантные морфизмы образуют решетку ранга 1, и из теоремы Делиня следует, что все они имеют тип (0,0), т. е. сохраняют тип структуры Ходжа. Но гомоморфизм а (см. (7.3)) тоже сохраняет тип структуры Ходжа, т.е. римановы поверхности У(д)% и Y(q\ имеют одинаковые матрицы периодов, и из теоремы Торелли следует, что они изоморфны. Более подробное изучение этой точки зрения позволяет получить глобальный изоморфизм между многообразиями B(q) и 5(д'), уважающий блоховские проекции.

НЕКОТОРЫЕ НЕДАВНИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Каппелер в [К] обобщил теорему 4.1 на любую размерность. Его доказательство напоминает доказательство из [GKT2], которое приведено в § 6, но используемая компактификация отсутствует, так как рассматриваются другие функции, разделяющие слои ©^ (обозначения см. § 6).

Функция плотности состояний может быть использована для выделения спектральных особенностей ван Хова (см. начало § 7) из других особенностей. Так, для действительного потенциала, который является общим в смысле определения 4.2, функция плотности состояний определяет периодический-антипериодический спектр.

В непрерывном случае, если решетка Г является общей в смысле существования не более двух ее точек на любой сфере с центром в нуле, периодический-антипериодический спектр заведомо определяет многообразие Блоха (теорема 6.2 в [ERT]). В непрерывном случае хотелось бы показать, что периодический-антипериодический спектр может быть получен из функции плотности состояний.

Заметим, что в дискретном случае многообразие Блоха В есть множество точек в (C*)d х С, где d + 1 коммутирующих операторов

: = А + 9 —九， ")：=S/ — &j，J = 1,…,4 имеют общее ядро в пространстве

片={屮：zdtC}.

Другими словами, В является носителем подпучка 幺 тривиального расслоения В х Н, заданного так:

^： = Ж1，-.Лa)ЛЛ)e(c*/xcx ?"丛屮=0=”尸，/=1,…，今

Бэттиг в [Bl] показывает, как для d = 2 можно продолжить 幺 до пучка на компактификации В (см. § 5). Более того, он переписывает спектральную задачу в некоторых координатах и таким образом сразу же получает, что кривые М^ (см. выше) являются носителями пучка, определяющего одномерную задачу для потенциала, полученного усреднением q по одной из двух координат.

Для d = 3 Бэттиг описывает в [В2] торическую компактификацию комплексной поверхности Ферми 尸入.Там же он получает 4 кривые на бесконечности, не зависящие от % и 12 гиперэллиптических кривых, не зависящих от X, но зависящих от q. Эти 12 кривых входят в 3 четверки изоморфных кривых, и каждая из этих кривых изоморфна многообразию Блоха для потенциала, полученного из q усреднением по двум из трех координат. Заметим, что в непрерывном случае d = 3 существует компактификация с подобными свойствами. Детали можно посмотреть в [ВКТ] (см. также [КТ] для непрерывного двумерного случая).

Более или менее стандартные аргументы показывают, что данные (В,幺 |5)(必一пучок, рассматриваемый в § 8.3 и являющийся линейным расслоением на В) позволяют восстановить потенциал q. Смотрите [Ми, § 2] и [VKN] в соответствующей ситуации.

Если бы удалось охарактеризовать 必 | В внутренним образом, исходя из геометрии В, это дало бы возможность восстановить потенциал по В. В связи с этим полезно заметить, что компактификация многообразия Блоха для d = 2 имеет нулевое первое число Бетти и линейное расслоение на нем полностью характеризуется его классом Чженя в Я2 (5). Задача, однако, состоит в том, чтобы найти хорошее описание этой когомологической группы.

Жерар в [G] изучает особенности резольвенты г (X) оператора — Л + ^ в Rd и показывает, что можно локально-аналитически продолжить г (X) вдоль спектрального параметра 九 и полученные особенности резольвенты будут совпадать с особенностями ван Хова. Там же он переопределяет особенности ван Хова как критические значения бло- ховской проекции 冗，ограниченной по страту томовской стратификации для 冗.Там же рассматривается и глобальная проблема. Подобное утверждение, скорее всего, имеет .место, но нужно, вероятно, добавить некоторые дополнительные особенности. Было бы интересно посмотреть, можно ли использовать компактификацию из [ВКТ] для того, чтобы увидеть, есть ли эти особенности по крайней мере у общих потенциалов.

ЛИТЕРАТУРА

[AM] Ashcroft N., Мermin N. Solid State Physics. Holt, Rinehard and Winston, 1976. [Имеется перевод: Ашкрофт H., Мермин Н. Физика твердого тела-М.: Мир, 1980.]

Battig D. A toroidal compactification of the two dimensional Bloch variety. Thesis, ETH Ztirich, 1988.

Battig D. A toroidal compactification of the complex Fermi surface, preprint 1989.

[BKT] Battig D., Knorrer H., Trubowitz E. A directional compactification of the complex Fermi surface, preprint 1989.

Deligne P. Theorie de Hodge II, Publ. IHES 40 (1972), 5-57. [Имеется перевод: Делинь П. Теория Ходжа II- Математика, 17:5 (1973), 3-57.] [ERT] Eskin G., Ralston J., Trubowitz E. On isospectral periodic potentials in Rn.

Comm. Pure Appl. Math., 37 (1984), 647-676.

Gerard G. Resonance theory for periodic Schrodinger operators, preprint 1989.

[GH] Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, 1978. [Имеется перевод: Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии-М.: Мир, 1982.]

T1] Gieseker D., Knorrer Н., Trubowitz Е. An overview of the geometry of algebraic Fermi curves, Preprint UCLA, 1989.

T2] Gieseker D., Knorrer H., Trubowitz E. The geometry of algebraic Fermi curves, manuscript, 1989.

Kappeler T. On isospectral potentials on a discrete lattice II. To appear in Adv. in Appl. Math.

[KT] Knorrer H., Trubowitz E. A directional compactification of the complex Bloch variety. Comm Math. Helv., 1990.

Moerbeke P. van. About isospectral deformations of discrete laplacians. In: Global Analysis, Proc. Calgary 1978, Springer Lecture Notes in Math. 755 (1978), 313-370.

[Mu] Mumford D. An algebro-geometric construction of commuting operators and of solutions of the Toda lattice equation, Korteweg de Vries equation and related non-linear equations. Proc. Int. Symp. Alg. Geometry, Kyoto, 1977, 110-153.

[MT] McKean H., Trubowitz E. Hills operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points. Comm. Pure Appl. Math. 29 (1976), 143-226.

[PS] Peters C., Stienstra J. A pencil of КЗ-surfaces related to Apery's recurrence for C(3) and Fermi surfaces for potential zero. In: Arithmetic of Complex

Manifolds, Proc. Erlangen 1988, Springer Lecture Notes in Mathematics 1399 (1989), p. 110-127.

[VKN] Veselov A., Krichever I., Novikov S. Two-dimensional periodic Schodinger operators and Prym's L-functions. In: Geometry of Today, Rome 1984, Birkh. Verlag, 1985, 283-301.

ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ ПЕРВОДЕ

Веселов А. П., Новиков С. П. Конечнозонные двумерные операторы Шредингера: потенциальные операторы, ДАН СССР, 1984, т. 279, 4, с. 784-788.

Веселов А. П., Новиков С. П. Конечнозонные двумерные операторы Шредингера: явные формулы и эволюционные уравнения, ДАН СССР, 1984, т. 279, 1,

с. 20-24.

Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Уравнения Шредингера в периодическом поле и римановы поверхности, ДАН СССР, 1976, 229, 1, с. 15-18.

Новиков С.П. Двумерные операторы Шредингера в периодических полях, Совр. проблемы матем., т. 23, Москва, 1983, с. 3-32.

АСИМПТОТИКА РЕЗОНАНСОВ ДЛЯ ПРЕПЯТСТВИЙ

Иоганнес Шостранд

0. ВВЕДЕНИЕ

Этот доклад главным образом посвящен работам Лебо о дифракции особенностей Жевре (подтверждающим старые идеи Келлера и Людвига) и применению этих результатов к распределению полюсов рассеяния (резонансов) в комплексной плоскости, которое получено в работах Бардо, Лебо и Рауша. Даются некоторые указания о доказательствах, которые одновременно технически тонки и трудны. Для того чтобы объяснить эти доказательства, сначала следовало бы сделать доклад на тему теории преобразований ФБЯ (Фурье - Броса - Ягольницера). Мне показалось более правильным не посвящать весь доклад доказательствам, а изложить результаты в их естественном контексте.

В первой части мы напомним некоторые основные понятия теории рассеяния Лакса - Филлипса, которые применяются для возмущений с компактным носителем в нечетномерном случае. Мы расскажем также о некоторых новых результатах: о формуле следа Бардо, Гийо и Ралстона, улучшенной Мелроузом, и о следующей из нее глобальной ограниченности числа резонансов.

Во второй части мы представим основные теоремы о распространении особенностей около препятствия в случаях Сх, Жевре Зив аналитическом случае. Дается также расплывчатое объяснение доказательства (Лебо) факта, что особенности mod Жевре 3 не преломляются строго выпуклым препятствием.

В третьей части рассматриваются результаты о распределении резонансов в случае С00 -препятствий. Сначала дается утверждение об отсутствии резонансов в логарифмической окрестности действительной оси в случае неловушечных препятствий, далее - утверждения Икавы и Жерара о поведении резонансов для некоторых ловушечных областей.

В части 4 описываются результаты Бардо, Лебо й Рауша о распределении резонансов неловушечных аналитических препятствий и, в частности, строго выпуклых препятствий. В этом случае резонансы расположены на комплексной плоскости далеко, и изучение становится более тонким.

В конце я хотел бы еще коротко описать аналогичные работы для уравнений Шрёдингера (где теория Лакса ~ Филлипса в общем не применяется) и погрузиться в работы Бабича и его коллег. Но времени, к сожалению, не хватило.

ТЕОРИЯ ЛАКСА-ФИЛЛИПСА

Здесь даются некоторые основные положения теории рассеяния Лакса - Филлипса [LP1], а также некоторые новые результаты.

Пусть Q - открытая область вида R"\", где & - компакт с границей класса С®, а п - нечетное число. Нас интересует поведение при | f| т оо решения задачи

(1-1)Щи = 0 в R х Q, f|Rxan = 0,

где V принадлежит соответствующему пространству распределений, продолжающихся на Rt х R", а □ = 5^ — Дх обозначает даламбертиан. Особую важность имело бы сравнение асимптотического поведения этих решений с поведением решений невозмущенного волнового уравнения в R х Rn. Полагая w0 =沙，況】=&也 w — (%, “J, получим

dtu = Au, "I2q = 0,

где / = (° 1) . Положим *(Q) = %(C) x I?(Q), где HD(Q)-замыка- \A 0/

ние Cq (Q) по норме Дирихле:

IIW 唸=J 纟 \Sxu(x)\2dx.

1

Итак, * (Q) - гильбертово пространство и можно рассматривать 一 / как неограниченный самосопряженный оператор в 賓(Q) с областью определения {(況°,況Je*(Q); %e%(Q), Aw0eL2(D)}. Если U(f) = ехр/Л - =exp(fz - Л)-соответствующая унитарная группа и если м(0)е^ (О), то а «) = U (г) (и (0)) есть решение (1.2) в смысле распределений. Заметим, что если элементы * (С) доопределить нулем в 少,то будет иметь место естественное вложение * (Q) и 恭(R").

Лакс и Филлипс вводят вариант (явный) преобразования Радона 勿o：*(R")t£2(R х S“t), обладающего следующими свойствами:

% унитарный,

если 凭° м (s,①)равна нулю при | ^ | < Г, то м равна нулю (1.3) при 151 < Г,

с)笈о Uo (0 = £ •亥о, где (т J) (s,①)=/ (s - Е,у), d) существуют явные формулы для 例° и 例^丨.

Здесь Uo(£) = exp f N° определяется как U с С, равной R".例° называется трансляционным представлением для свободной группы эволюций. Для р > 0 положим

D； = {〃 е % (Rn); Uo = «)〃 = 0, если Е》0 и | | W р + 4， D" = {we^(Rn); Uo = (/)w = 0, если F W 0 м |%| W р + | /|}?

и можно показать, что

例о。^ = {/eL2(R * S“t); /(邑①)=0 если 土$ W p}.

В частности, D； и D~ ортогональны.

Если р > 0 настолько велико, что 少 и 5(0, р) = {xeR"; | х | v р}, то D^ также могут быть рассмотрены как подпространства *(Q), и для ие^р мы имеем: U (t) и = Uo (г) и, если 土 £》0. Используя то, что А не имеет собственных значений, можно показать, что

U U (/) D^ плотно в *(Q).

Благодаря этому свойству можно определить уходящее ( + ) и приходящее (—)трансляционные представления следующим образом:

Если ueD^, то положим 例土 U (t) и =乳 U0(t)u = % 乳以.

Отсюда следует, что

①ь О①ь О•6)•6)优土： к (Q) L2 (R х S“t)унитарны, 优土 以=优0 % если 〃gD^ , 院± U0=q例+.

①ь О

①ь О

•6)

•6)

Имеет место следующая связь с волновым оператором 明= =s - Нт—±8 U(-f) U0(t) (изометрия из 老(R“)в 老(Q)):'

(1-7)R+ Ж+ =R_W_ = К。.

В частности, образ W± есть * (Q) (=> асимптотическая полнота), и можно определить оператор рассеяния S = W^ W_ : * (R“)т * (R〃)，который унитарен и коммутирует с U0(t). Из (1.7) следует

§ = &”&+&二 lx。

С помощью & можно отождествить S с унитарным оператором £:&-"-►&+" в L2(R х〜S“t), который коммутирует с трансляциями. Зто оператор свертки 5м = к*м. Неявно используя то, что носители распространяются со скоростью W 1, видим, что S отображает D~ в (D^)丄,откуда следует, что носитель распределения к содержится в ] —оо, 2р]. Матрица рассеяния 夕(X) = ^eiak(t)dt допускает голоморфное продолжение в нижнюю полуплоскость.

Другим полезным объектом является полугруппа Лакса - Филлипса. Фиксируем р > 0 вместе с 少 и 5(0, р). Введем ортогональные проекторы Р+, Р_: Ж (Q) т 恭(С) на D：丄 и D^ соответственно. Для г》 0 положим (L9) Z@) = P+UQ)Pi

Можно проверить, что Z (/) - сжимающая полугруппа, сильно непрерывная на К上 ％ (Q) n (D)㊉ D匕)丄.(Если носитель м содержится в 5(0, р), то в 5(0, р) Z(t)u= U (/)м.) Пусть 5-генератор полугруппы {Z(?)}.

В уходящем трансляционном представлении К переходит в

A+K = (L2([p,+оо[ х S“t)㊉ 3(!?(：| — со, —р] х S"T))丄=

= L2(]-oo,p] xS“t)П S(I?(] —co,-p] xS“t))丄，

и действие R+Z(t)R_ на этом пространстве есть 匸一^ р〕£. Используя связь между S и Z(f), а также результат о компактности Z(z)(l + 5)~' при / > 2р, Лакс и Филлипс в [LP1] доказывают следующую теорему.

Теорема 1.1. а)夕(z) продолжается 6 С как мероморфная функция со значениями в ^ (L2 (S0"1),厂讨"〜】))м с полюсами в {z еС; Imz > 0}.

b) Спектр В является дискретным м содержится в {zeC; Rez v °}, с)入 является полюсом 夕 тогда и только тогда, когда i入 е о (В).

Полюсы 夕 называются полюсами рассеяния или резонансами. Другую полезную характеризацию резонансов дает следующая теорема. Теорема 1.2 ([LP1]). Для 工деСМ(С) функция 九 1((九一Z)T/|g)密(穴 определенная при Re А, > 0, допускает мероморфное продолжение 6 С, полюсы которого содержатся 6 о (5). Если р,ест(5), то можно найти функцию feC^(pL), такую, что (0 — A)~lf\f) имеет полюс 6 точке 卩.

После появления достаточно точных результатов о распространении особенностей стало интересно найти формулы следа, связывающие группу U (Z)с матрицей рассеяния и резонансами. В этом докладе будет рассмотрена только формула, применяющаяся к резонансам. Бардо, Гийо, Ралстон [BGR] показали, что если /е № +1 (R) имеет компактный носитель, лежащий в ]2р, + со[, то оператор f/(t)Z(t)dt ядерный,

tr J/(f) и (f)dt = tr\f (t)Z{t)dt = £『&),

где сумма в правой части сходится абсолютно, и Х;- пробегает множество

-су (5) (повторяясь столько раз, какова алгебраическая кратность каждо- i“

го собственного значения). Оператор |/(/) U (г) dt не ядерный, но его ядро зануляется при достаточно больших |х|, удовлетворяющих условию \х - у\ w 1, И можно определить его след. Рассматривая J/(/)Z(t)dt в пространстве, модифицированном надлежащим образом, Мелроуз [Ml] установил справедливость равенства (1.10) в случае, когда supp / ии]0, +оо[. В этой же работе им получено неравенство типа Вейля:

# {%；|%| W &} W С(1 + &)“，&》0.

Благодаря этим улучшениям (1.10) принимает вид

(1-12)(1-12)trU(f) = trZ(t) = £е'&,/ > 0,

(1-12)

(1-12)

eVois (х0)}-Если носитель /е CJ (R) содержится в некоторой маленькой окрестности у0 и х равняется 1 около 几,то для всех 汉 £0'(У) функция (=преобразование ФБЯ от и)eVois (х0)}-Если носитель /е CJ (R) содержится в некоторой маленькой окрестности у0 и х равняется 1 около 几,то для всех 汉 £0'(У) функция (=преобразование ФБЯ от и)(2-2)(2-2)4"（羽九）=，ё认屮8力%3）"3）力4"（羽九）=，ё认屮8力%3）"3）力

eVois (х0)}-

Если носитель /е CJ (R) содержится в некоторой маленькой окрестности у0 и х равняется 1 около 几,то для всех 汉 £0'(У) функция (=преобразование ФБЯ от и)

eVois (х0)}-

Если носитель /е CJ (R) содержится в некоторой маленькой окрестности у0 и х равняется 1 около 几,то для всех 汉 £0'(У) функция (=преобразование ФБЯ от и)

(2-2)

(2-2)

4"（羽九）=，ё认屮8力%3）"3）力

4"（羽九）=，ё认屮8力%3）"3）力

в смысле распределений, где ряд сходится также в смысле распределе- нлй. О других результатах, касающихся членов в левой части формулы (1.11), см. Зворски [Z], Интисар [In].

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

Для единообразного описания результатов удобно использовать формализм преобразований Фурье - Броса - Ягольницера. (Более подробно см. [S1].) Пусть У<= Rn-открытое множество, (у0,п0)е Г* Y\0 = =У х (R"\{0})・

Пусть (р (х, .у) - голоморфная функция, определенная в окрестности (Хо/о)еС“ х С" и обладающая свойствами

д2у

Q」)就 Go/。)= —По，Im — (% Jo) > 0, det (х。/。)/ 0. °Уоуох оу

Для XEVoisx。Функция R" n Vois(у0)эj^i-^-Im<р(jc,у) имеет невырожденный минимум в точке у(х). Если положить т] (х)=—竺(х,у(х)), то ду ' отображение х i (у (х), г) (х)) является аналитическим диффеоморфиз- мом окрестности (комплексной) х0 на действительную окрестность (Го, По) Функция Ф(х) = — Im(р(х,у (х)) корректно определена и строго плюрисубгармонична в окрестности х0. Симплектический диффеомор-

Физм 老т： 8 —(x,y))i(x, 丁 (х,у)) некоторой комплексной окрест-

оудху

ности 仇,％) на комплексную окрестность (х0,^0) отображает действи- / 2 тельные точки на некоторую окрестность (х0Д0) в Аф = {( х,：%е ' 2 дх/

корректно определена для xeVois(x0),X > 1 и удовлетворяет

\Тхи(х^\^С^еКФ(х)

(где Со, No зависят от и).

Определение 2.1. Говорят, что (у。，％)@ 叩尸^ 3), <Уо^о)Ф^Ра (и), (Уо，По)@ %%№), зи существует такая комплексная окрестность Р точки х°, что

VN}0, 3е > 0, такое, что |g以(х,为)1 W0入一以^叫 хg忆 九》1，

ЗС > 0, такое, что | Т%〃(х,九)| W Се"❿⑴т『 хе У, X 1,

ЗС >0, такое, что | Тхu(х, X) | W Сех(ф(х)-х1/3/с, хе У, X > 1, соответственно.

(Об эквивалентности этих и более классических определений Хёрман- дера и Сато см. [S1] (а также [Во] в аналитическом случае, [Las S] в случае С°°, [Le2] в случае Жевре 5). Множества WFC^ (и) и WFG^(u) с и 匠尸/г/) замкнуты, конечны в Т*У\0, и их проекции в У есть сингулярные носители и по модулю С00 (У), G3 (У), “(У) соответственно. (Сингулярным носителем по модулю JT называется наименьшее замкнутое множество в К вне которого м принадлежит классу X, X = Сх, G3, W.) Здесь

G3(y)= {ueC^(Y); VKuu X ЗС > 0, такое, чтоVae№, уек:\д^ 〃о)] W q!尸c冋+ %

где а = (%,…,а“)，а! = %!…а/, 2^ =苏：…改，|а| = % +…+ %, • (У) = G】есть пространство аналитических функций на У

Пусть Q - область, определенная в ч. 1. Вместо £ будем писать х0- Если xoe^Q, то можно ввести новые координаты 乃，…，％ с центром в х°, такие, что Q будет задаваться неравенством %>0 и □=% + + А(у, Dy) с точностью до положительного пренебрежимого множителя, где у。= Хо, У =(Го,力,…/) У'=仇，…，Л-i)- (Если 2Q аналитична, то новые координаты можно выбрать аналитическими.) R - дифференциальный оператор второго порядка с главным символом г (у, т]'), удовлетворяющим условию г (у, г]') = 0, г]' / 0 => 己口 尸⑪,лЭ 中 0. Пусть р-главный символ оператора □ (= ^ i + - - - + Й ~ Со в исходных координатах и =展+ «,「')в новых координатах, определенных на T*Q\0). В T*3Q\0 введем три области: ^-область эллиптичности: г(0, У, г)Э > 0, ^ - область гиперболичности: г (0, у', r)‘) v 0, ^ - область «скольжения»: г (0, у\ г)‘) = 0. Пусть Sb = /?~1 (0) I r х q U * U 乡 с естественной топологией, с условием, что (yv, r)v)^夕一‘ (。)IR х с сходится к (у\

и 乡，VT8, если (у^п、0, ®；, М)т(/, пЭ-

Пусть W- открытое множество в R х Rn и ue^^W A (R_x Q)) - продолжаемое распределение, такое, что Пме С^ (Ж П (R х С)). Можно определить PF尸整(〃)и ((Т* (R х 3C)\0) U (T*(h х Q)\0)) | ж следующим образом:

WF^(u)\w = WFC^ (м).

Точка (у%, %)eT*(R х 3Q) 11rHe принадлежит WF^ (м), если существует е > 0, такое, что (у}, 口力 не принадлежит WFcao (м(-, у0) равномерно в смысле определения 2.1 (можно выбрать V и С = CN, независимые от у) когда 0 уп W £•

Также определяются WF\(u) и WF^ (и), когда 3Q аналитична и □以 аналитична на PF х (R х Q). Известно, что во всех трех случаях WFb (м)- замкнутое, коническое множество, проекция которого на пространство

х-в есть_сигнулярный носитель и по модулю С^ (W n (R х Q)), M(W П A (R х С)), G^ (% П (R х С)) соответственно. Если к тому же предположить, что u\^xd^^weC^e^ соответственно, то из микролокальной регулярности для эллиптических краевых задач следует, что WFb(u) cz ^^b\w. Задача распространения особенностей заключается в более подробном изучении WFb (и). Для этого вводятся понятия С^-луча и аналитического луча (см. [MS, П] и [S2] соответственно).

t(0)Ir*c，то |^") существует и равна 傕(?"))，t(0)Ir*c，то |^") существует и равна 傕(?"))，Определение 2.2. Аналитическим лучом называется непрерывная кривая у: / £匕(где /-интервал), такая, что

t(0)Ir*c，то |^") существует и равна 傕(?"))，

t(0)Ir*c，то |^") существует и равна 傕(?"))，

если у(/)е

др

ох

если у(/)е^, то Зе > 0, такое, что у(5)е/?-1 (0) | R х п для 0 < V |s —力 V £；

если у (Е) е 乡 и если, используя координаты у, напишем у (s)= =(У (s), П ⑶)для Y (s) ерТ (0) I r * q, у (s) = (/(s),] (s)) для у ⑶ е е ^ U ^, то (/(s), т]'(5)) дифференцируемая при s = £ и производ- / бгЭг \

ная равна —, 一齐 (/"), 0; 1(》

\СТ]/дуу

Определение С^-луча отличается от определения 2.2 заменой в п. 2 * на * U 乡 +, где 守十 и 乡一 область дифракции, определенная неравен- дг ,

ством -— &', 0, г|') V 0. Каждый С00-луч является аналитическим.

На рисунке изображены проекции нескольких лучей в Q

Всякий С00- или аналитический луч можно продолжить до луча с интервалом определения R. Что касается С130-лучей, их продолжение не единственно только в патологических случаях, которых не бывает при аналитической границе

Пусть м е ^z ((R х Q) n W) - продолжаемое распределение, удовлетворяющее

(2.4)丁□以 G С^ ((R х Q) Г) %)," I(R х зс)п ж е。8，

а в случае, когда аналитична,

(2*4)加 口以((R х Q) п PF), м I(R х го) n w^^■

Теорема 2.3 (Мелроуз, Шостранд [MS]). Если м удовлетворяет (2.4)с* м р0 е WF^ (м), то существует максимальный С^-луч 6 ^b\w (加・仇 продолжаемый как С^-луч 6 Sb |^, содержащийся 6 WF^ (м).

Иврий [Iv] получил почти тот же результат. Его анализ около 乡十 основан на энергетических неравенствах, избегая таким образом (в противоположность [MS]) достаточно грубого построения параметрик- са в этой области (полученного ранее Тейлором и Мелроузом). См. также [Но].

Далее в этой части предполагается, что 3Q аналитична. Мы имеем следующую теорему.

Теорема 2.4 (Шостранд [S2]). Если м удовлетворяет (2.4% м р0 е е WF^ (и), то 6 Sb\w существует максимальный аналитический луч у, содержащийся 6 WF^(u).

Как заметили Фридландер и Мелроуз [FM], в случае явно рассматриваемого модельного оператора может иметь место распространение аналитических особенностей (и даже класса Жевре с показателем < 3) вдоль аналитических, но не Сх-лучей. Достаточно обширную таблицу этих явлений дифракции можно найти у Шостранда [S2-S4], Катаоки [К], Лебо [Le3], Лобена [La 1, 2].

Лебо показал, что особенности mod G^ распространяются так же, как и особенности mod С00, т. е. дифракции нет.

Теорема 2.5 (Лебо [Le 1, 2]). Если и удовлетворяет (2.4)^ м р0 е WF^ (м), то максимальный С^-луч у 6 £匕|加,проходящий через р0, содержится g%尸似(以)•

Так как ОС аналитическая, то существует единственный максимальный 一ЛуЧ, проходящий через р0.

Б. и Р. Ласкары [Las] недавно улучшили этот результат, рассматривая также случай, когда граница принадлежит лишь классу Жевре. Их метод, частично повторяющий метод Иврия, упомянутый выше, в основном базируется на неравенствах. Доказательство Лебо использует тонкую смесь прямых построений и неравенств. Здесь мы можем дать лишь общую идею доказательства.

Эскиз доказательства теоремы 2.5. Вне G+ изучение распространения Жевре делается в основном так же, как и в доказательстве теоремы 2.4. Для произвольной точки в G+ в некоторой ее окрестности выберем новые координаты х = (а:0 ,..., хп) = (xz, хп), такие, что □ = А (х, Dx) + + . Первый этап - это построение некоторого осциллирующего решения однородного уравнения. Основная идея заключается в следующем:

необходимо сделать формальное преобразование Фурье по хп, рассмотреть К(х', — D^,DX>) + ^, для которого можно легко найти осциллирующие решения, а затем надлежащим выбором контура интегрирования придать смысл обратному преобразованию Фурье этих решений (см. также [S4], [La2]). На этом этапе естественным образом появляются функции Эйри. Лебо строит микролокальный оператор g。I: {распределения на X" = 0} -> {продолжаемые распределения}, обладающий тем свойством, что □ (с/° In) аналитична до границы для любого щ и такой, что WF^(^° 1й) <= WFa(u) U {у(0； Е》0 и у - аналитический луч с Y(0)g WFa (w)}. (На самом деле все эти построения были сделаны после преобразования ФБЯ.) Таким образом, уже здесь мы имеем явление дифракции:

Далее нужно изучать операторы следа:

к ⑼ u ⑺=(0 九) I , к ⑴ u (/)=包 0九)I “ 0,

и чтобы разрешить задачу Дирихле с неоднородностью на границе, необходимо обратить К⑼.Доказывается, что (в соответствующем представлении ФБЯ) К(°)является псевдодифференциальным оператором с символом класса ^^: р = Xfc^oA(х，己，入)(汀)一卜(где 入》1-большой параметр ФБЯ, а Т- формальный параметр, который «идейно» равняется X), где рк - голоморфные функции в С入「丨犬一| <歹，|丁一 -^ol < ^, l^n-i I < Im^T < у 厂 2/3 + 5|RK“：J и

sup K^-i - iy^'2/3)kpk\ < ABkk\.

Здесь 8 > 0 и преобразование ФБЯ выбрано таким образом, чтобы G+ соответствовала &〃_】=0. (х%,兄,0) так же, как и г > 0, фиксирована.

Для оператора К⑼ можно выбрать сколь угодно большое у > 0 и можно показать, что р0 имеет простой нуль в

где со-первый нуль функции Эйри (на оси ] —оо, 0[, считая с нуля) и р, по существу,- кривизна геодезической границы. Более того, р0 эллиптична вне этой точки в полосе Im^n_1 < Х-2/3(1т(е2П//3) + е0) для соответствующего е0 > 0.

Для этих символов Лебо дает рецепт квантования, чтобы определить «односторонние» операторы, которые действуют в пространствах функций умеренного роста (по отношению к весу ФБЯ, который соответствует распределениям), которые убывают экспоненциально при Rex^-i < 之・ Здесь мы работаем в комплексной области с ReXn.jG]«,/)[, предполагая, что а < а < Ь. Далее, используя теорию второй микролокализации (см. [SI], [Le 3], работы Кашивары - Каваи и Лорана, которые здесь цитированы), видим, что имеем символическое исчисление, которое работает с погрешностью 少(е-'/°). Это не очевидно, так как символы могут быть сингулярными на расстоянии 〜入〜^孤 от действительной оси, что позволяет думать, что ошибка скорее всего должна быть 少(е - и°с), т. е. результаты были бы справедливы лишь по модулю G^. Эти операторы обычно распространяют аналитические особенности в направлении возрастания Re хп _ i, значит, вовсе не являются классическими аналитическими псевдодифференциальными операторами. Используя то, что можно деформировать контуры интегрирования до ImJnT 〜入NR видим, что если и экспоненциально убывает также при Rex^—i > 5(с а < а < В < Ь), то образ w при действии одностороннего оператора есть ^(е -v/3，const) на каждом компакте в Re хп _ t > b.

Оператор К(°)является эллиптическим около действительной оси и, следовательно, может быть обратим по модулю 少(е-"‘) как оператор на экспоненциально малых слева функциях. Используя также то, что К<0)-оператор главного типа, немного позже мы уточним свойства распространения К⑨и К⑴К(°Г‘ (простой корень 七 入一^孤^?“〃3cop Вместо того чтобы просто показывать, что эти операторы порождают функции 少(е -А’з const) справа (по отношению к Re х〃) области, где данная не является экспоненциально малой, Лебо уточняет порядок убывания и даже получает асимптотическое поведение. Это уточнение, которое не является необходимым для доказательства теоремы 2.5, становится фундаментальным в доказательстве теоремы 4.2.

Функция V = У。I。К(°)является уходящим решением неоднородной задачи Дирихле: □ и аналитична, 恭 I r х ас = 〃 и справедливо %/|匕=0 =衣⑴ К ⑼'и. Итак, K")K(S 1 - «уходящий оператор Неймана». Общеизвестно, что если мы знаем этот оператор, то можно получить теоремы распространения в двойственных переменных. Таким образом, получаем теорему 2.5 вблизи G+.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЮСОВ ДЛЯ ^-ПРЕПЯТСТВИЙ

Как уже замечено в книге [LP1], распределение полюсов рассеяния вблизи действительной оси зависит от геометрии препятствия 少.

Определение 3.1. (9 называется ловушечной ("trapping”)，если существует максимальный С°°-луч в 区，проекция которого & содержится в выпуклой оболочке 少.

Если 少 неловушечная и 少 и 5(0, К), то существует TR> 0, такое, что

для каждого максимального С^-луча у:R->Zb А ｛比|=；｝ множество тех £, для которых Пху(/)б5(0,7?), либо пусто, либо является интервалом длины W TR. Имеет место импликация:少 выпукла => 少 звездна => 少 ловушечна. В случае выпуклого препятствия Лакс и Филлипс [LP2] показали, что существует а > 0, такое, что область ｛九 е С; Im 九 W 〃 log | 入 |｝ содержит лишь конечное число полюсов рассеяния. Согласно их теореме 2.2с), предстоит показать, что ЗТ> 0, такое, что образ Z") будет содержаться в области определения оператора В. Для неловушечных препятствий из теоремы 2.3 и из (4.4) следующего параграфа следует, что имеет место это же свойство (и что оператор Z") компактен для достаточно больших Т > 0), и, стало быть, ниже логарифмической кривой находится лишь конечное число полюсов рассеяния.

Самый простой пример ловушечной области-это, без сомнения, тот случай, когда 少 есть объединение двух строго выпуклых препятствий 少】 и 少2・ Пусть Xj£3@j,j = 1, 2,-две точки, которые реализуют расстояние между препятствиями. Положим d = \xt — х2 \ = dist^i，^2). С точностью до нескольких привычных отождествлений единственный максимальный С^-луч, который навсегда остается в выпуклой оболочке ^,-это тот, который делает бесконечное движение вперед-назад между точками X] и х2. Следя за оптическим лучом, выходящим из близкой к к】 точки 2少 1，по направлению, близкому к нормали, до его возвращения к 2少 1 после отражения от д&2, получим отображение Пуанкаре:

T*(?S) П Vois((/,0))T T*(MJ П Vois((jq,0))・

Как заметили Бардо, Гийо и Ралстон [BGR], фиксированная точка (х「 0) гиперболического типа и, более точно, собственные значения дифференциала отображения Пуанкаре имеют вид:

111

% 一1Vn_2V]

Из эвристических соображений Бардо, Гийо и Ралстон ввели псевдополюсы:

где jgZ, a = (a1,...,a^1)6Nn-1> 出=log,.•

Для каждого а мы получим последовательность точек с одинаковыми мнимыми частями. Кратностью псевдополюса %,& назовем число m(a) различных peNn-1 с 入％ = X7；a.

Первая последовательность Х710 самая близкая к действительной оси и m(0) = 1.

В [II] Икава доказал, что для некоторого с > 0 полюсы с достаточно

большими I 入 I, лежащие в полосе Im入 W 1- с, содержатся

в объединении кругов D(kjt0, °丨入/，。丨 一"？) при достаточно больших С > 0 и что каждый круг содержит некоторый полюс, если |/| достаточно большое. Далее в [12] он уточнил этот результат, показав, что для больших |7| в каждом круге есть в точности один полюс, который допускает асимптотическое разложение. Продолжая [II], но независимо от [12], Жерар получил полное обоснование для всех последовательностей 入j“ Его результат совпадает с результатом Икавы [12] для первой последовательности.

Теорема 3.1 ([Ge]). Зафиксируем С > 0, С ImXO a, aeN"-1. Тогда полюсы в полосе 0 V Im入 V С с большим |入| могут быть описаны следующим образом: для каждого 入/ & £ полосе существуют т (а) полюсов (учитывая их кратность) z'a, z?a,..., z*% с асимптотическим разложением:

Здесь N(р, а)-целое число, которое равняется 7 для первой последовательности.

Доказательство Икавы основано на изучении асимптотики решений смешанной задачи при ? -> оо. Доказательство Жерара использует более прямую точку зрения, которая выражена в теореме 1.2 и связана с другими теориями, см., например, Агийар - Комбес [АС], Балслев- Комбес [ВаС], Вайнберг [VI, 2], Хелфер - Мартинес [НеМа].

В случае двух выпуклых препятствий, надлежащим образом сплюснутых вблизи %i и х2, Икава [13] с помощью формулы следа Бардо, Гийо, Ролстона, Мелроуза показал, что существует последовательность полюсов Ху, Im入j->0. Он также приступил к изучению случая, когда 少 есть конечное объединение строго выпуклых, непересекающихся препятствий 0「狐・ При условии, что (выпуклая оболочка 8j U 少J П 8[卢 0 для всех /, к, / с / 卢，к, CS-nyqu формируют динамическую гиперболическую систему, и в этом случае Икава нашел (накладывая иногда другие условия) полосу, параллельную действительной оси, содержащую лишь конечное число полюсов, а также более широкую полосу, которая содержит бесконечное число полюсов. См. [14, 5] и, конечно же, будущие работы.

Перед тем как закончить эту часть, коснемся работ Беала [Be], касающихся полюсов, порожденных связным препятствием, имеющим полость, связанную с внешней средой тонким туннелем. Когда туннель суживается (в зависимости от параметра), полюсы сходятся к собственным значениям задачи Дирихле с предельной полостью (отделенной от внешности). Эти результаты недавно были изучены Ислопом и Мартинесом [НМа].

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЮСОВ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХЛОВУШЕЧНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ

В этой части излагаются результаты Бардо, Лебо, Рауша [BLeRa]. Отныне будем предполагать, что 0c аналитична.

Теорема 4.1 ([BLeRa]). Если 4 = R"\C неловушечна, то существует такая постоянная С > 0, что лишь конечное число полюсов принадлежит {XgC; Im入 W ^；|入卜小}.

Этот результат - достаточно прямое следствие теоремы 2.5. Он также был доказан Поповым [Ро]. При некоторых дополнительных условиях можно показать, что для достаточно большого С > 0 существует бесконечное число полюсов с ImX ^ С|Х|1/3. Предположим, что 8 строго выпукла и что в дО существует замкнутая геодезическая у дайны Т> 0, удовлетворяющая условиям:

Существует окрестность V числа Т, такая, что если у-замкнутая геодезическая длины teV, то у = у.

у не вырождена в том смысле, что все собственные значения линеаризованного отображения Пуанкаре, ассоциированного с у (действующего в пространстве размерности 2 (и — 2)), отличны от 1.

Заметим, что геодезические границы 3 少 соответствуют аналитическим лучам, которые скользят вдоль границы. В [BLeRa] показано, что условия (4.1) и (4.2), как правило, выполнены.

Как всегда, в задачах дифракции функция Эйри А1(х), определенная как обратное преобразование Фурье функции е^ / , играет важную роль. Нули функции Ai(x) находятся в ] —оо, 0[. Через —со обозначим тот из них, который находится ближе к нулю. Пусть p(s) > 0 - кривизна у в точ ке y(s). Положим

0了 = со cos (J (2“з т)-‘ J р (б)?" ds.

Тогда справедлива

Теорема 4.2 ([BLeRa]). Если выполнены условия (4.1), (4.2), то для всякого е > 0 в {ХеС; Im入 W (Су + £)|入|“з} существует бесконечное число полюсов.

Главное в доказательстве этого результата - изучение распределения Z")=工6&1 / > 0. Имеет место

Теорема 4.3 ([BLeRa]). Предположим, что 0 строго выпукла. Тогда (i)trZ⑺ принадлежит G^ (]0, + оо[).

Если L-множество длин замкнутых геодезических в ОС, то Z(f) аналитична в ]0, +oo[\L.

В условиях теоремы 4.2 для всякого е > 0 справедливо неравенство 1/3/

lim sup sup 3； trZ")/((3/)!)^ (ЦТ)'1.

，f 8 I /- T[ < e

Пункты (i) и (ii) - непосредственные следствия теорем 2.4, 2.5. Для доказательства теоремы 4.2 более необходим пункт (iii).

Теперь довольно кратко опишем доказательства. Теорема 4.1 - достаточно прямое следствие теоремы 2.5. Заметим сначала, что если R > р (где 少 и 5(0, р)) и носитель 〃е老(С) лежит в 5(0, К), то при 厶 > 0 настолько большом, что каждый С00-луч, выходящий из точки, лежащей в Q п В(0, К), со скоростью 1 в пространстве х~ов, покинет С П 5(0, &) в течение времени / 2 “，функция и (八 х) принадлежит классу Жевре 3 на [%1，+ со [ х (Q Г) 5(0,丸)).Методами функционального анализа приходим к неравенству

\д\и\ + \д\^ и\ W 4С'(3/)! ||〃(0) II”)

ДОЯ £е口1，切 (G > 厶)，хеС П 8(0, &), / = 0, 1,..., где постоянные А, С не зависят от и.

Далее используем формулу из [LP1], пригодную при 才》4р,

Z")=尸+ (U(2p) — 4(2р))25P U(f — 4P)&p(U(2p) - 〃(2р丿丿尸一,

где 2J(x) = %(¥)/“), xeC^fR), % = 1 на]-со, 1], / = 0 на ]2, +оо]. Отсюда выводим

* Z")=尸 + (U (2р) — Uo (2р)) 25P d^U(t-4р) 23P (U (2р) — Uo (2р)) Р_ .

Применяя (4.3) с R = Юр и достаточно большим £=厶，получим I® Z(%) II W АС，(31)! с новыми 4 С. Если цеа(5), то \ile^toe^{BlZ(tQ)) и, следовательно,

|卩1S叫50{3“

Выбирая надлежащим образом /, в зависимости от 卩(для больших | 卩|)

получим Rep Iц|1/3, что дает теорему 4.1.

const

Доказательство Попова другое, но в его основе лежит теорема 2.5, доказанная Лебо.

Далее посмотрим, как вывести теорему 4.2 из теоремы 4.3. Пусть С > 0, и предположим, что а (В) п {卩 е Re 卩 2 -С|ц|1/3} конечно. Используя (1.2), получим

(4-6)trZ(z)= £e~^^f^ f>o,

Re同 v 一e旧|"3

где /-целочисленная функция. Из (1.1) следует, что

a!(trZ(/)-/W) W ConsteRa) —3—2…(з/+ з* + 2)!,

и, сравнивая с (iii) теоремы 4.3 для / из окрестности 式 получим, что

Осталось обсудить доказательство теоремы 4.3, которое значительно труднее. Если E(j = \E(t, х, у)管(у)勿 обозначает решение смешанной задачи: □〃 = 0 в R х С, u|RxQ = 0,江(0) = 0, Q〃(0) = г, то видим, что "⑺=(占 д EJ" ^ согласно d」2)‘ имеем

tr Z (0 = 2tr 斗石=2dtj E(t, x, x) dx

(в смысле распределений).

Отсюда можно получить соотношение

trZ(r) = 一2@ J W(t, х, x)dx

с

5亿х,у) = J J h^(t-s,z- x)k+(s,z,y)dzds,

где k + 亿 м y) = 2，K +亿 х, у), К +亿 х, у)е夕(R х ЗС х ЗС) —адро оператора К + , которое дает решение и = К + v задачи □〃 = ° в R х С, "Ir * ас = & " = ° “па £ « °，沙£ °肾(R х ЗС). Ао-фундаментальное решение П2 в R х Rn с носителем в £》0. Заметим, что к* (乙 х, у) является ядром оператора Неймана, который присутствовал в доказательстве теоремы 2.5.

Итак, предстоит рассмотреть ядра 力才亿 х, у) и к* 亿 х, у) на R х ЗС х dC. Первое ядро можно представить в виде интеграла, который, в свою очередь, потратив немного усилий, можно переписать в виде осциллирующего интеграла на границе. Основная трудность заключается в изучении к + . Можно сначала локализовать фронты волн Жевре 3 (и аналитические волновые фронты), используя теорему 2.5 (и 2.4). Для более детального изучения к + около аналитического волнового фронта используются приходящие осциллирующие решения, построенные Лебо в [Lei]. Далее можно интегрировать по частям и получить асимптотическое поведение интеграла ФБЯ от /с+ . Таким образом, покажем, что в области г > 0, \ х — у \ < t имеем WFa(5) и A, Bel^, где

А = A + U А_ ,

А± = {(Г,т; х£;у,—п); ±т = |己|, (х,? = exp tHp(y,V[)},

р = I I (рассмотренный как символ на Т*ЗС\0).屮 определяется как интеграл от е ±т/6(| т | р2/2)1/3со по потоку Нр с начальным условием 屮=0 на диагонали.

Необходимо также объяснить, что такое класс /： . Пусть Л- действительное коническое аналитическое лагранжево многообразие и \|/~ однородная функция порядка ； на А с Re“》0. Говорят, что распределение / принадлежит /Л в точке (j'o, г)0), если в окрестности точки %'

勿(x仄)= …一户沁小(K大)+ g),

где 岂 определен в начале части 2, g дается формулами #丁(0)= =1("'叡"))}'，"о) ~ Ф(*о'歹о 工 ” W —(Vo о ^т 1) (х, ^- (х)^ + подходящая мнимая постоянная, b имеет асимптотическое разложение:

丨6“,入)一 Z 瓦(х)『*ат/3| w/加(k!)『-/2 + (N+W3,

bk голоморфны, г удовлетворяет 卜",九)| W /® ⑴「с。》'с Со > Reij/(x0).

Наконец, используя свойства (4.1), (4.2), исследуем интеграл (4.8) и получим пункт (iii) теоремы (4.3).

ЛИТЕРАТУРА

[AC] Aguilar J., Combes J. М. A class of analytic perturbations for one-body Schrodinger Hamiltonians. Comm. Math. Phys. 22 (1971), 269-279.

[BaC] Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many-body Schrodinger operators with dilation analytic interactions. Comm. Math. Phvs 22 (1971) 280-294.

[BGR] Bardos C., Guillot J. C., Ralston J. La relation de Poisson pour Fequation des ondes dans un ouvert non borne. Application a la theorie de la diffusion. Comm. P.D.E., 7 (1982), 905-958.

[Be] Beale J. T. Scattering frequencies of resonators. С. P. A. M. 26 (1973) 549-563.

[B。] Bony J.-M. Equivalence des diverses notions de spectre singulier analytique. Sem. Goulaouic-Schwartz, (1976-77), Exp. № 3.

[BLeRa] Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Scattering frequences and Gevrey 3 singularities. Inv. Math. 90 (1) (1987), 77—114.

[FM] Friedlander F.G, Melrose R. B. The wave front set of the solution of a simple initial boundary value problem with glancing rays II. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 81 (1977), 97-120.

[Ge]. Gerard C. Asymptotique des poles de la matrice de scattering pour deux obstacles strictement convexes. Bull, de la S. M. F. 116 (1) (1988), Memoire № 31.

[HeMa] Helffer B., Martinez A. Comparaison entre les diverses notions de resonances. Helv. Phys. Acta. 60 (1987), 992-1003.

[HMa] Hislop P, Martinez A. Scattering resonances of a Helmholz resonator. Prepublication d'orsay 89-40 (1989).

[H6] Hormander L. The analysis of linear partial differential operators 1 4. Grundlehren, vol 256, 257, 274, 275 (1983-85). [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. В 4 т.-М.: Мир, 1986, 1987, 1988.]

Ikawa М. On the poles of the scattering matrix for two strictly convex obstacles, J. Math. Kyoto Univ., 23 (1) (1983), 127 194; 23 (4) (1983),

795-802, On the distribution of the poles of the scattering matrix for two strictly convex obstacles. Hokkaido Math. J., 12 (1983), 343-359.

Ikawa M. On the poles of the scattering matrix for two convex obstacles. Journees E. D. P., St Jean de Monts (1985), Expose № 5, Distribue par OFFILIB.

Ikawa M. Trapping obstacles with a sequence of poles of the scattering matrix converging to the real axis. Osaka J. Math. 22 (4) (1985), 657-689.

Ikawa M. Decay of solutions of the wave equations in the exterior of several convex bodies. Ann. Inst. Fourier 38 (2) (1988), 113-146.

Ikawa M. On the existence of the poles of the scattering matrix for several convex bodies. Proc. Japan Acad., 44 A(4) (1988), 91-93.

[Iv]Иври访 В. Волновые фронты для решений краевых задач для класса

симметрических гиперболических систем, Сиб. мат. ж. 21 (4) (1980), 62-71 и Сиб. мат. ж. 21 (1980), 527-534.

[In] Intissar A. A polynomial bound on the number of the scattering poles for a potential in even dimensions. Comm. P. D. E. 11 (1986), 367-396.

[K] Kataoka K. Microlocal theory of boundary value problems I, II, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 27 (1980), 355-399; 28 (1981), 31—56.

[Las] Lascar B., Lascar R. Propagation des singulatites Gevrey pour la diffraction. Prepublication (1989).

[LasS] Lascar B., Sjostrand. Equation de Schrodinger et propagation des sin- gularites..., Asterisque № 95 (1982), 167-207.

[Lal] Laubin P. Etude 2-microlocale de la diffraction. Dissertation. Universite de Liege, Fac. des Sciences (1987), p. 165—202 dans: Advances in microlocal analysis. Ed. H. G. Garnir, Nato ASI Series C, vol. 168, Reidel (1986).

[La2] Laubin P. Asymptotic solutions of hyperbolic boundary value problems with diffraction, p. 165-202 dans Advances in microlocal analysis, Ed. H. G. Garnir, Nato ASI Series C, vol. 168, Reidel (1986).

[LP1] Lax P., Phillips R., Scattering theory. Pure and Appl. Math., Academic Press (1967). [Имеется перевод: Лакс ГТ., Филлипс Р. Теория рассеяния,-М.: Мир, 1971.]

[LP2] Lax Р., Philips R. A logarithmic bound on the location of the poles of the scattering matrix. Arch. Rat. Meeh, and Anal., 40 (1971), 268-280.

[Lei] Lebeau G. Regularite Gevrey 3 pour la diffraction. Comm. P. D. E., 9 (15) (1984), 1437-1494.

[Le2] Lebeau G. Propagation des singularites pour le probleme de Dirichlet, p. 203-224 dans: Advances in microlocal analysis, Ed. H. G. Garnir, Nato ASI Series C, vol. 168, Reidel (1986).

[Le3] Lebeau G. Deuxieme microlocalisation sur des sous-varietes isotropes. Ann Inst. Fourier, 35 (2) (1985), 145-216.

[Ml] Melrose R. Polynomial bound on the number of scattering poles. J. Funct. Anal. 53 (1983), 287-303, amelioration dans: Journees E. D. P., St Jean de Monts (1984), expose № 3 (Ecole Polytechnique).

[MS] Melrose R., Sjostrand J. Singularities of boundary value problems. I, II. С. P.A.M. 31 (1978), 595-617, С. P. A. M. 35 (1982), 129-168.

[MoRSt] Morawetz C., Ralston J., Strauss W. Decay of solutions of the wave equation outside nontrapping obstacles, С. P. A. M., 30 (1977), 447-508.

[Po] Popov G. Some estimates of Green's functions in the shadow. Osaka J. Math. 24 (1) (1987), 1-12.

[RaS] Rauch J., Sjostrand J. Propagation of analytic singularities along diffracted rays. Indiana Univ. Math. J. 30 (3) (1981), 389-401.

Sjostrand J. Singularites analytiques microlocales. Asterisque 95 (1982).

Sjostrand J. Propagation of analitic singularities for second order Dirichlet

problems. Comm. P. D. E. 5 ⑴，(1980), 41-94.

Sjostrand J. Propagation of analytic singularities for second order Dirichlet

[S4][VI][V2] [Z][S4][VI][V2] [Z]problems. II, III. Comm. P. D. E., 5 (2), (1980), 187-207, 6 (5), (1981), 499-567.

[S4]

[VI]

[V2] [Z]

[S4]

[VI]

[V2] [Z]

Sjostrand J. Analytic singularities of solutions of boundary value problems, p. 235-269 dans Singularities in boundary value problems, Ed. H.G. Gar- nir, Nato ASI Series C, Vol. 65, Reidel (1981).

Вайнберг Б. P. Об аналитических свойствах резольвенты для некоторого класса операторов-пучков. Мат. Сб. 77 (119) (1968), № 2.

Вайнберг Б. Р. О внешних эллиптических задачах ..., Мат. сб. 92 (134) (1973), №2.

Zworski М. Sharp polynomial bounds on the number of scattering poles. Duke Math. J. 59 (2), (1981), 311-325.

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ,ГОЛОМОРФНАЯ ВЫПУКЛОСТЬИ КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ

(по Я. Элиашбергу, Д. Макдафф и др.)

Даниель Беннекен

МНОГООБРАЗИЯ ШТЕЙНА И КОНТАКТНЫЕ СТРУКТУРЫ

Дифференцируемое поле 尸 касательных гиперплоскостей на гладком многообразии М называется контактной структурой, если в окрестности каждой точки хеМ оно определено таким уравнением Пфаффа а = 0, что внешняя производная 血 1-формы а является обратимой формой на гиперплоскости Fx (см. [А. 1,2], [Е.1], [A. D], [L., М]); пара (М, F) называется контактным многообразием. Компоненты связности контактного многообразия нечетномерны; каждая контактная структура естественно снабжена структурой конформно симплекти- ческого расслоения.

Все рассматриваемые ниже структуры будут класса С" и трансверсально ориентируемыми: они задаются глобально определенной С ^-гладкой контактной формой. Пусть а - контактная форма, задающая контактную структуру F на М20"1; форма объема a A (t/a)n-1 ориентирует М. Когда М так и ориентировано, a F ориентирована (трансверсально) с помощью а, то говорят, что а согласована с ориентацией. Если п четно, то обе ориентации F дают одну и ту же ориентацию М; если п нечетно, то разные.

Многообразие контактных элементов данного многообразия, пространство 1-струй функций на многообразии, пространство предкван- тования D обладают каноническими контактными структурами. Комплексный анализ также является источником проблем контактной геометрии.

Рассмотрим комплексно-аналитическое многообразие 网 и пусть G —его (точнее, его овеществления) подмногообразие с краем, имеющее коразмерность нуль. Обозначим через С внутренность G и через М его край; пусть J - почти комплексная структура на 唄 к пусть F обозначает подрасслоение в Т(М) (коразмерности один) Т(М) П J{T(M)). Многообразие М ориентируется как край С (выходящая нормаль вместе с ориентирующим базисом в ТХМ образуют ориентирующий репер в Тх W), ориентация 尸 задается 丿；пусть а обозначает С*-гладкую 1-форму без особенностей на М, которая обращается в нуль на F и опре-

"Здесь - пространство главного U (1)-расслоения, с которым ассоциировано расслоение предквантования.- Прим, перев.

деляет правильную коориентацию F. Уравнение

L®, w) = da (% 丿故)+ ida (% 库)

определяет эрмитову форму на (F,丿),которая называется формой Леви многообразия М. Ее конформный класс определен инвариантно.

Подходящая форма а может быть взята в виде

a = 1 tfp = ^ (dp - d〃p) = d」p,

если найдется такая функция р, которая обращается в нуль на М, отрицательна на С и имеет на М ненулевую нормальную производную.

Область С называется строго псевдовыпуклой (сокращенно с. п. в.), если формы Леви М положительно определены. Говорят также, что М и G с. п. в.

Область Q в С2 с координатами z】=jq + iyx и z? = х? + ‘见 с.ilb., если следующее выражение строго положительно на М:

“р）e+部（好+（竊+“р）e+部（好+（竊+巒рду2巒рду2

“р）e+部（好+（竊+

“р）e+部（好+（竊+

巒р

ду2

巒р

ду2

Это понятие выпуклости появилось в начале века в работах Хартогса и Леви об областях голоморфности в С2 ([В., F., G.,], [HO], [G., R.]).

Структурой Коши-Римана (CR-структурой) на многообразии М называется почти комплексная структура 丿 на дифференцируемом поле F касательных к М гиперплоскостей. Если тройка (М,尸，丿)образует CR-структуру, то расслоение F ® С раскладывается в прямую сумму 尸，㊉尸"векторов типа (1, 0) и векторов типа (0, 1) (собственных подпространств оператора J); говорят, что 丿 интегрируема, если коммутатор любых двух сечений 尸‘ снова является сечением 尸Гипер- поверхность в комплексно-аналитическом многообразии является многообразием с интегрируемой CR-структурой. Понятия формы Леви и псевдовыпуклости переносятся на случай многообразий с интегрируемой CR-структурой: в самом деле, если а задает F и если и и w-два сечения 尸,то и + iJveF', w + iJwEF' и

da(v,Jw) — da(w, Jv) = a([vr, Jr]) — a([u,丿仞)=

=—Im(a [f + iJv, w + Uw]),

что равно нулю, если J интегрируема, и тогда ограничение da на 尸 вместе с 丿 определяют эрмитову форму на F.

Однако мы говорим, что CR-структура, даже неинтегрируемая, является с. п. в., если существует форма а, задающая 尸,такая, что da (г, Jr) > 0 для любого ненулевого вектора г, лежащего в гиперплоскости F.

Поле комплексных гиперплоскостей на с. п. в. CR-многообразии является контактным. Поле 尸 на границе М строго псевдовыпуклой области С в аналитическом многообразии W является контактной структурой, согласованной с ориентацией, если М ориентировано как край С в PF н если F ориентирована с помощью J.

Согласно К. Ока [О.VI, IX], с. п. в. звездные области С в С" являются областями голоморфности (существуют голоморфные на С функции, которые не продолжаются за пределы С). А. Картан и П. Тул- лен охарактеризовали области голоморфности свойством голоморфной выпуклости.

Пусть Е- подмножество W; оболочкой голоморфности Е по отношению к W, обозначаемой Ew, называется множество таких точек в 网 что модуль любой голоморфной на W функции мажорируется его верхней гранью на Е. Само многообразие W называется голоморфно выпуклым, если для любого компактного Е его оболочка Ew также компактна.

Если W голоморфно выпукло и на нем существует достаточно много глобально определенных голоморфных функций, так что любая пара точек ими разделяется и в окрестности любой точки можно построить из этих функций локальные координаты, то W называется многообразием Штейна.

Г. Грауэрт ([Н. G.]) показал, что всякая относительно компактная с. п. в. область С в комплексно-аналитическом многообразии W голоморфно выпукла, а также что само многообразие W является штей- новым тогда и только тогда, когда оно голоморфно выпукло и не содержит никаких компактных аналитических подмножеств, кроме изолированных точек.

Назовем открытой (соответственно замкнутой) областью Грауэрта открытый (соответственно замкнутый) с. п. в. относительный компакт в аналитическом многообразии (соответственно в его замыкании).

Итак, область Грауэрта, не содержащая никаких аналитических подмножеств ненулевой размерности, является многообразием Штейна. В действительности из работ Г. Грауэрта, Г. Росси, Р. Нарасимхана вытекает, что любая область Грауэрта получается раздутием конечного числа точек (возможно, особых) в пространстве Штейна (см. [G., R], [С.]).

Согласно Реммерту и Штейну, всякое многообразие Штейна размерности п вкладывается в С%; Бишоп показал, что достаточно взять

N = 2* + 1, затем Громов и Элиашберг нашли наилучшую возможную оценку: N = [3w/2] + 2 ([М. G., Е.]).

Вещественнозначная функция на W называется (строго) плюрисуб- гармонической (сокр. (с.) п. с. г.), если ее ограничение на росток любой голоморфной кривой является (строго) субгармонической функцией (см. [НО]). Другими словами, 2-форма типа (1, 1) со = dd'p = 2id'd"p является симплектической формой, согласованной с J, строго положительной по отношению к 丿(формула со (г, Jw) + /со (и,故)определяет положительно определенную эрмитову структуру). Если р с. п. с. г., то W келерово.

Регулярные поверхности уровня с. п. с. г. функции являются с. п. в. Многообразие W штейново тогда и только тогда, когда существует такая с. п. с. г. функция (р, что все ее множества небольших значений 屮 W С компактны (Г. Грауэрт [НО]).

Согласно Лефшецу, Серру, Андреотти, Френкелю, Милнору ... на и-мерном аналитическом многообразии Штейна W существует с. п. с. г. функция, являющаяся собственной функцией Морса, у которой все критические точки имеют индекс W^・ В частности, W имеет гомотопический тип С取"Комплекса размерности ^п.

Более того, если С является областью Грауэрта в 唄 то существует функция 屮 со всеми этими свойствами, для которой край М = 3Q является регулярной поверхностью уровня.

Яков Элиашберг дал топологическую характеризацию многообразий Штейна:

Теорема 1 (Элиашберг) ([Е. 2, 3]). Пусть W-C^-гладкое многообразие размерности 2*, снабженное почти комплексной структурой J', и пусть <р - собственная ограниченная снизу функция Морса на W, у которой все критические точки имеют индекс W*・ Если * > 2, то J' гомотопна интегрируемой комплексной структуре J на W, в которой 屮 строго плюрисубгармоническая, а комплексное многообразие (叱 丿)штейново.

Пусть С 一 открытый относительный компакт в 双 у которого граница М - регулярная поверхность уровня ф. Тогда С является строго псевдо- выпуклой областью и многообразием Штейна по отношению к J.

Элиашберг использовал этот результат (и несколько других) для ответа на вопрос М. Воджицки:

Следствие. Всякое многообразие Штейна (комплексной) размерности * > 2 допускает фильтрацию X = Х“ n Х“_ i п …п X。такими подмногообразиями Штейна размерности п, что каждое Xk, к = 0, .... п, имеет гомотопический тип CW-комплекса размерности к 〃兀】(Х^十i, Xfc) = О для /с = 0, ..., л — 1 и i《к.

Следует также упомянуть связанную с этой темой работу Вейнстейна [W].

1*5. Размерность 2 проявляет значительно меньшую податливость, но зато в ней скрыты многие богатства; именно ей посвящена значительная часть обзора. В качестве примера здесь я приведу часть результатов из § 4, 5, 6.

Теорема 2 (Элиашберг, Бедфорд и Клингенберг) (см. [Е.4], [В., К.]). Пусть Q - область Грауэрта размерности 2 〃 М — ее край; всякая двумерная сфера £, вложенная в М, ограничивает вложенный в С трехмерный шар В.

Шар В в действительности С2-близок шару В' (с краем 38, = 2? и М, сфера £，при этом С^близка сфере 2丿，чья внутренность расслоена на голоморфные диски, вложенные в С.

Если С штейново, то 8' U Е' является оболочкой голоморфности £' по отношению к Q и М.

Следствие. Многообразие D2 х S2 не допускает никакой комплексно-аналитической структуры, в которой оно было бы строго псевдовыпуклым. Замечание. Бедфорд и Клингенберг написали доказательство в рамках штейновости. Элиашберг дал все элементы доказательства в более общем случае положительных почти комплексных областей (по отношению к симплектической структуре на G = Q и М) из [M.G.] (см. [D.B.2], с. 115, также §3.4, § 4.5.6). Только что сформулированное утверждение находится между этими двумя случаями благодаря следующей лемме.

Лемма.石 размерности 2 любая замкнутая область Грауэрта G положительна (т. е. на G существует симплектическая форма ①，строго положительная по отношению к комплексной структуре: со (г, Jr) > О, если V / 0).

Действительно, в G существует компактное аналитическое подмногообразие X комплексной размерности <1, собственный морфизм 兀 пространства G на пространство Штейна К, являющийся изоморфизмом вне X и отображающий X в изолированные точки, а также с.п.с.г. функция 屮 на К (см., например, [С.]). Пусть р-Сю-гладкая функция на G, с. п. с. г. в окрестности U множества особенностей многообразия X; пусть о)х обозначает замкнутую 2-форму на G, являющуюся на X \ (X A U) формой объема (т. е. площади) (она существует, так как ни одна из компонент связности X не гомологична нулю в G; упражнение); для подходящих констант а и 6 замкнутая форма

со = dd3 (я*((р)) + add% + bs*

строго положительна по отношению к J.

(Автор предполагает, что на самом деле G может обладать и келе- ровой структурой.)

Доказательство теоремы 2 заключается в анализе голоморфных

дисков, опирающихся на (имеющих край на) 2 (нелинейная проблема Римана - Гильберта), проделанном Бишопом, Кёнигом, Вебстером, Хантом, Мозером, Бедфордом, Гаво, Громовым... (см. § 4, 5, 6). Анализ однопараметрических семейств сфер в М и их оболочек позволил также установить следующий результат.

Теорема 3 (Элиашберг) ([Е.4]). Всякое многообразие Штейна С с краем М = S^ диффеоморфно шару 54. Более того, на С существует с. п. с. г. функция, постоянная на М и имеющая только одну критическую точку. Поле плоскостей F на М изоморфно стандартной, согласованной с ориентацией контактной структуре на S3 (как на стандартной сфере в С2).

Если прибавить к этим теоремам теоремы Д. Макдафф о симплекти- ческих четырехмерных многообразиях ([М. D. 1, 2, 3], § 2), то получится

Следствие (Элиашберг, Макдафф). Всякая относительно компактная с. и. в. область е краем, диффеоморфным 53, диффеоморфна связной сумме {внутренности) шара В4 с конечным числом проективных плоскостей (с обращенной ориентацией) Р2 (С) (т. е. шару в С2 с несколькими раздутыми точками), и контактная структура на крае стандартна.

Неясно, как это перенести на края, отличные от S^, но результаты о симплектических заполнениях (§ 2) заставляют думать, что топология М сильно ограничивает разнообразие Q и F.

Трехмерные замкнутые ориентированные многообразия допускают прекрасную теорию делимости в смысле связных сумм: Дж. Милнор ([М.1]) показал, что всякое (замкнутое ориентированное) М3 раскладывается единственным образом (с точностью до S^ и — S^) на неразложимые слагаемые:

М3 = Mj М2 #м/

Теорема 4 (Элиашберг) ([Е.4]). Пусть М3 является краем относительно компактного многообразия Штейна С: С разложимо, если и только если существуют относительно компактные штейновы многообразия С〔 u Q2 не диффеоморфные 54, такие, что С является их связной суммой по краю.

Более того, если С является связной суммой по краю С】и Q2 в топологическом смысле, то она автоматически является связной суммой двух многообразий Штейна С；, С% (диффеоморфных С— Q2) вдоль стандартного Леви-плоского шара В3, т. е. шара, расслоенного на голоморфные диски с краями, образующими систему стандартных параллелей на сфере S2 - крае В3 (жесткая связная сумма).

Эта теорема, быть может, близка теореме Дональдсона [D.1] о неразложимости проективных поверхностей.

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ЗАПОЛНЕНИЯ

Пусть со - симплектическая форма на вещественном многообразии W размерности 2/г; ориентированная гиперповерхность М в W называется гиперповерхностью контактного типа (Вейнстейн, [W]), если на М существует такая контактная форма а, что а A (da)"T определяет ориентацию на М (форма а называется положительной) и что ограничения со на da и Т(М) совпадают (в таких случаях говорят, что а согласована с М и ①).Таким образом, в окрестности гиперповерхности контактного типа форма со точна.

Пусть М - гиперповерхность контактного типа в (W, со) и а согласована с М и со: пусть ^-векторное поле Риба формы а (т.е. z(^)a = 1, i (己)da = 0) и v - ориентированное поле нормалей к М в W{M есть край той стороны, в которую смотрит — V). Мы говорим, что М выпукло относительно со (или симплектически выпукло), если со (v, &) > 0 (ниже W всегда будет ориентировано с помощью со").

Заметим, что класс изоморфизма согласованной с ориентацией контактной структуры F на замкнутом многообразии М, ассоциированной с положительной формой, определен однозначно (так как форма /а + + (1 — f)a', 0《г W 1, положительна, если положительны а и а) Предположим, что М - ориентированный край относительно компактной области С в《если гиперплоскость М имеет контактный тип и симплектически выпукла, то мы говорим, что контактная структура 尸 на М, согласованная с М и со, является краем симплектического многообразия (С, со) или что (С, со) - симплектическое заполнение (М, F).

Каждое симплектическое многообразие (W, со) допускает положительную, почти комплексную структуру 丿(т. е. со (г, Jr) > 0 при ненулевом г), определенную однозначно с точностью до гомотопии. Для такой структуры 丿 граница (М, F) многообразия (С, со) является строго псевдовыпуклым CR-многообразием.

С другой стороны, если М-край области Грауэрта С в многообразии Штейна 唄 его CR-структура есть структура симплектического края (С, з = dd」р), где р-строго плюрисубгармоническая на W функция, для которой М является регулярной поверхностью уровня.

Замечание. Немного другое понятие было введено Элиашбергом ([Е.5]): предположим, что в симплектическом многообразии (叱 ①)гиперповерхность М является краем области С. Ориентируем М как край С. Тогда скажем, что симплектическая структура ① на С приручает согласованную с ориентацией контактную структуру 尸 на М, если со индуцирует на 尸 конформно каноническую симплектическую форму с правильной ориентацией. (Если ^ - вектор нормали 尸 в М и v - поле нормалей, выходящее из М, то условие со (v, ^) > 0 вытекает из выбора ориентаций.) При * > 2 из того, что со приручает 尸，следует, что существует положительная форма а, определяющая F. Действительно, пусть a - контактная форма, обращающаяся в нуль на F и удовлет-

воряющая условию ①丨尸=da\F. Тогда на М существует такая 1-форма Р， что б/а = со + а А р. Пусть ^ - поле Риба формы а; заменяя В на 0 —В(т)а, можно считать, что 0(己)=0. Тогда равенство da А 0 = =а А 那 дает d0 = a A i(Qd^, следовательно, б/аЛР = 0и(оЛр = 0, откуда В = 0, если 尸 2 4. При * = 2 может так случиться, что ① приручает 尸 без согласованности с 尸,и неясно, будет ли приручаемая структура 尸 изоморфна структуре 尸‘，согласованной с М и с со.

Отметим, что все согласованные с ориентацией контактные структуры приручаются их симплектизациями ([А.1]). (Симплектизацией 尸 в М называется симплектический конус Е? в Т* М\М, образованный линейными 1-формами на касательных пространствах в точках М, которые определяют гиперплоскости 尸 с их трансверсальной (ко)ориен- тацией.)

Симплектическое многообразие (叱 со) называется симплектически асферичным, если в H2(W; Z) не существует сферического класса, строго положительного на со, и стандартным s бесконечности (или асимптотически плоским), если дополнение к компакту в W симплектоморфно дополнению к компакту в линейном симплектическом пространстве. Громов ([М. G.]) показал, что единственным симплектически асферичным и асимптотически плоским четырехмерным многообразием является R4 со стандартной симплектической формой: отсюда вытекает, что всякое симплектически асферичное симплектическое заполнение стандартной контактной сферы S? симплектоморфно стандартно вложенному в R4 шару.

Назовем симплектическое многообразие (网 ①)минимальным, если оно не содержит исключительной (т. е. имеющей индекс самопересечения —1 в гомологиях) симплектически вложенной двумерной сферы.

Теорема 5 (Макдафф) ([М. D.3]) Линзовые пространства Lp, р 1 ® S3 = L「SO3 = J, P1(R) =L4 (это расслоение единичных касательных векторов к Р2 (R))), снабженные стандартными контактными структурами, согласованными с ориентацией (факторы контактной сферы S^), допускают минимальные заполнения. При 尸卢 4 минимальное заполнение единственно с точностью до диффеоморфизма, а для 尸=4 с точностью до диффеоморфизма их ровно два.

На самом деле Д. Макдафф доказала, что все эти заполнения получаются взятием дополнения к голоморфной сфере С (с индексом самопересечения р) в комплексной проективной поверхности: для Lp (р > 1) подходящей поверхностью является Р (^ (р) © 1) (топологически это есть S? х §2 или СР2 # СР2), дляр = 1 или尸=4 в качестве С можно взять прямую или конику в Р2 (С).

Эта теорема следует из аналогичного результата, полученного для замкнутых симплектических многообразий.

Теорема 6 ([М. D.3]). Пусть С-двумерная сфера, симплектически вложенная в замкнутое минимальное симплектическое многообразие (叱 ①)； если ее гомологический индекс самопересечения р=СС неотрицателен, то (W, со) изоморфно или Р2 (С) (с симплектической формой, кратной стандартной) или симплектическому расслоению над компактной римановой поверхностью X со слоем S2. Сфера С является либо прямой или коникой в случае Р2 (С), либо слоем или образом сечения в случае симплектического расслоения. Тип (W, С) определен однозначно с точностью до изотопии, за исключением случаев р = 0 w р = 4.

Эта теорема также позволяет доказать своего рода симплектическую единственность минимального заполнения & линзы Lp: форма ① на & определяется своим классом когомологий в Н2 (С^, R) и согласованной формой da на Lp.

Все другие симплектические заполнения Lp получаются из минимального с помощью процедуры симплектического раздутия', шар, изоморфный шару радиуса 入 в стандартном симплектическом пространстве R4, заменяется исключительной кривой в Р2 (С) (с симплектической формой 入2(%) ([М. D.2]).

Замечание. Мишель Оден ([МА]) показала, что не существует симплектической связной суммы для замкнутых многообразий. (Подчеркнем, что на Р2 (С) не существует такой почти комплексной структуры, которая задавала бы противоположную ориентацию, следовательно, раздутия не являются симплектически связными суммами.)

Заметим, что еще неизвестно, существует ли на Р2 (С) симплек- тическая структура, не изоморфная кратной стандартной. Чтобы доказать, что это невозможно, достаточно было бы показать, что для любой симплектической структуры на Р2 (С) существует симплектически вложенная сфера. Обобщение по Дональдсону теорем Кодаиры об обращении в нуль на почти комплексные структуры дало бы нужный результат.

Следующий результат касается симплектических многообразий размерности >4.

Теорема 7 (Громов, Макдафф, Флоер, Элиашберг). Все симплектически асферичные заполнения стандартной контактной структуры на сфере S"-i диффеоморфны шару Вп. Всякое симплектически асферичное стандартное на бесконечности многообразие диффеоморфно R2n.

Как и теоремы 4 и 5, эта теорема доказывается с помощью техники псевдоголоморфных кривых М. Громова.

Из теоремы 7 и конструкции теоремы 1 Я. Элиашберг {[Е.5]) построил новые примеры экзотических контактных структур на сферах размерности ?5.

Теорема 8 (Элиашберг). Для любого п > 2 на S2n~1 существует не

изоморфная стандартной контактная структура, ограничивающая симплектическое многообразие. Если п нечетно, то такие структуры существуют в классе структур, гомотопных (как распределения) стандартной.

Предложение, использованное Элиашбергом в конструкции теоремы 8, представляет и самостоятельный интерес для комплексного анализа, поскольку является обобщением хорошо известной теоремы (Харви, Уэллс, Ниренберг, [N.,W.]): в комплексно-аналитическом многообразии W каждое вполне вещественное подмногообразие V (т.е. Т(0) А 丿(Т(Р)) = 0) допускает систему с.п. в. штейновых окрестностей. Элиашберг распространил это утверждение на случай иммерсированных подмногообразий.

Пусть V- такое вполне вещественное иммерсированное подмногообразие с трансверсальными самопересечениями, что J оставляет инвариантным объединение касательных пространств s двойных точках К Тогда V допускает фундаментальную систему строго псевдовыпуклых штейновых окрестностей.

Заполнения экзотических структур теоремы 8 получены с помощью взятия связных сумм по краю заполнений Милнора окрестностей сферы Sn в ее кокасательном расслоении.

Новые примеры экзотических контактных структур на R2n-\ п>2, содержатся в работе Мари-Поль Мюллер ([М. Р. М]).

До сих пор не удалось охарактеризовать симплектически заполняемые контактные структуры. Точно так же непонятно, когда симплек- тический край может быть продеформирован в голоморфный CR-край.

Согласно Милнору, всякое замкнутое контактное многообразие размерности 2孔—1 является краем компактного многообразия вещественной размерности 2и, допускающего почти комплексную структуру ([М.2]). Неизвестно, может ли быть снабжен контактной структурой замкнутый край почти комплексного многообразия.

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

В КОМПЛЕКСНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ, ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИИ ЛЕЖАНДРОВЫ УЗЛЫ

Одна из основных гипотез, не доказанных в топологии комплексных алгебраических многообразий, такова:

Гипотеза 1. Рассмотрим гладкую проективную комплексную поверхность X, и пусть Л - гладкая связная алгебраическая кривая, обильная в X; пусть 5 - вложенная в X вещественная связная ориентированная поверхность, гомологичная А. Тогда род S не меньше рода А.

Теперь эта гипотеза относится к фольклору топологов и геометров.

Для случая, когда X-проективная плоскость, она восходит к Рене Тому:

Может ли вложенная s Р2 (С) замкнутая ориентированная связная поверхность степени d иметь род меньше, чем ； (d 一 l)(d— 2)?

Аналогичный вопрос формулируется для рациональных кривых:

Может ли число двойных точек у погруженной в Р2 (С) сферы S? степени d быть меньше, чем ； (d — l)(d— 2)?

Этот вопрос происходит из гипотезы Дж. Милнора ([М.З]) об алгебраических зацеплениях: вот ее «локальная» версия:

Гипотеза 2. Пусть 8 - число простых двойных точек в окрестности изолированной особой точки 0 алгебраической плоской кривой, не имеющей кратных компонент (28 = ц + г — 1, где г есть число ветвей, проходящих через 0 以 卩一ее кратность); пусть Г - зацепление в S3, получаемое пересечением сингулярной кривой границы маленького шарика 54 с центром в 0; тогда не существует объединения погруженных в 5’ дисков с краем Г, имеющих меньше чем 8 двойных точек.

В частности, гордиево число узла, связанного с неприводимой изолированной особенностью, в точности равно 5.

Представляется вероятным, что нижняя оценка 3 станет нижней оценкой рода связной поверхности S с границей Г, вложенной в 54.

Пусть % (S) - эйлерова характеристика s; верно ли, что 先(S) W 1 —卩?

Основные результаты здесь были получены Рохлиным ([V. R.]) и Дональдсоном ([D.2]).

Рохлин нашел нижнюю границу рода S в поверхности X, которая есть почти половина рода А.

Исходя из теоремы о неразложимости ([D.1]), Дональдсон доказал невозможность непосредственной хирургии Л, а именно: не существует вложенного в X \ 4 диска с краем в Л, имеющего нулевое самопересечение относительно сдвига границы вдоль нормали к 4

По проблемам Тома и Милнора см. статью М. Буало и К. Вебера [В., W.], а также работы Л. Рудольфа, О. Виро, Т. Фидлера. (В [L. R.] Рудольф показал, что гипотезы неверны при замене гладких поверхностей топологически гладкими.)

Я. Элиашберг и В. Харламов [Е.,Н.] первыми обнаружили связь вопросов п. 3.1 с наборами комплексных точек на вещественных поверхностях в комплексной поверхности и голоморфными оболочками.

Рассмотрим замкнутую ориентированную поверхность S, погруженную в почти комплексное многообразие (W, J) вещественной размерности 4; когда S находится в общем положении по отношению к 丿,

существует лишь конечное число таких точек в S, что T(S)=丿(T(S)); они называются комплексными точками S в Ж и разбиваются на четыре группы: положительные эллиптические (их число обозначим через е+ ), отрицательные эллиптические (соответственно е_ ), по ложитель ные гиперболические (〃+ ), отрицательные гиперболические (力_ ). Положительность или отрицательность означает согласованность ориентации S с 丿 или — J соответственно; эллиптичность или гиперболичность означает, что образ S при отображении Гаусса в расслоение на грассманианы касательных двумерных ориентированных плоскостей пересекает многообразие J-комплексных прямых соответственно в положительную или отрицательную сторону (см. [Е.1, 4], [D. В.1, 2], например) (см. также 4).

Пусть % обозначает эйлерову характеристику 5, v- число Эйлера его нормального расслоения и с - число Черна S по отношению к J; числа "+=е+—力+ Hd_=e_—力一 вычисляются по формулам Лея [Н. L.]:

厶=；(% + V + с),

"=；(% + V — с)・

Гипотеза 1 из 3.1 эквивалентна утверждению

厶W0

для вложенной гомологично Л поверхности S. Так как % (Л) + А-А = =С (Л), поскольку Л не имеет отрицательных комплексных точек, а V (S) = S • S — ААиС (Л) = С (S) (так как эти числа являются гомологическими инвариантами), то условие d_ (S) < 0 эквивалентно 先(S) W %(4)・

В 1965 г. Е. Бишоп [Е. В1.] открыл новое явление: если J на W интегрируема и Р - эллиптическая точка на вложенной в W гладаой поверхности S, то существует окрестность U точки 尸 в 网 такая, что оболочка голоморфности 5 П С/ по отношению к U содержит однопараметрическое семейство голоморфных дисков. Границы этих дисков Бишопа являются простыми кривыми в S, не пересекающими друг друга. Они окружают точку 尸 и образуют слоение в S n U\｛尸｝.

Объединение дисков Бишопа в U является С00-гладким многообразием с трехмерным краем и совпадает с голоморфной оболочкой S Г\ U в U (см. 4).

Чтобы изучить конфигурацию комплексных точек поверхности S (С^-вложенной) в комплексно-аналитическом многообразии W, естественно попытаться продолжить семейство дисков, рождающихся около эллиптических точек, как можно дальше. К несчастью, окрестность гиперболических точек устроена довольно дико (примеры Бедфорда и Мозера - Вебстера, см. [Е. BE], [М., W.] и 4.3), и даже в отсутствие гиперболических точек (и когда W- комплексная плоскость) кажется, что диски глобально неконтролируемы (пример Элиашберга и Харламова см. [Е.З]). Между тем можно описать диски Бишопа в ситуации, когда

S-граница с. п. в. области. Именно это позволило Бедфорду, Клинген бергу и Элиашбергу доказать теорему 2.

Первый успех в решении глобальной проблемы был достигнут Бедфордом и Гаво [В., G.]: рассматривалась сфера S2, вложенная в замкнутую с.п. в. гиперповерхность в С2, у которой всего две комплексные точки общего положения (так что е十=1 и е^ = 1) и которая является графиком вещественнозначной функции на сфере в R3. При этих условиях Бедфорд и Гаво показали, что диски Бишопа гладко распространяются от одной эллиптической точки к другой; при этом они заполняют трехмерный шар, являющийся оболочкой голоморфности S в С2.

Следующий результат был доказан Громовым, который установил в [М. G.], что аналогичное утверждение выполняется для любой вложенной в край области Грауэрта в многообразии Штейна сферы S?, но снова имеющей лишь две комплексные точки общего положения.

Ранее Бедфорд [Е. BE.] получил описание оболочек некоторых возмущений поверхностей, допускающих гиперболические точки. Опираясь на этот анализ и/или следуя подходу Громова, Бедфорд - Клингенберг [В., К.] и Элиашберг [Е.4] смогли, наконец, охватить общую ситуацию гладкой замкнутой поверхности, вложенной в с.п.в. край многообразия Штейна. Теорема 2 дает пример их результатов, более детально они будут рассмотрены в § 4, 5; представим только несколько «численных» следствий, поддерживающих гипотезы п. 3.1.

Теорема 9 (Элиашберг, Бедфорд - Клингенберг). Пусть S2 - связное замкнутое подмногообразие края области Грауэрта; если Z 2 не сфера, то числа d+ и d_ поверхности не положительны.

Так как самопересечение Z? равно нулю при предположениях теоремы, то это означает: если Е? не сфера, то %(£) W — |c(S)|.

Утверждения, которые распространяют теорему 9 на случай компактных поверхностей с краем, близки гипотезам 1 и 2.

Обратимся к с.п.в. гиперповерхности М3, краю относительно компактной области С, и обозначим через 尸 поле касательных к М комплексных прямых (как в § 1). Рассмотрим в М замкнутую простую (вещественную) кривую Г, трансверсальную F, и ориентируем ее (ориентированная касательная к Г вместе с положительным репером в F образует положительный репер в М). Пусть £ - ориентированная, вложенная в М поверхность, ограниченная Г (с согласованием ориентаций) и без замкнутых компонент связности (т. е. связных относительно Г); около ее границы у £ нет комплексных точек.

Теорема 10 (Элиашберг). d_ ②)W 0.

Аналог этой теоремы, позволяющий £ проникать внутрь области С, доказывает гипотезу 2.

В случае когда М = S3 и Q - стандартный шар в С2, результат доказан в [D. Bl] (см. [A. D.]) с помощью комбинирования методов контактной геометрии и топологии; если Г не заузлена в 53, теорему можно также вывести из существования полинома Джонса, как это было показано Мортоном, Фрэнксом и Уильямсом (см. [Н. М.], [F., W.], а также [J.], с. 325). 一

Обозначим 7 (соответственно и ) касательную к Г (соответственно нормаль к Г в Z): пусть с - число Черна (Т(6)|£, J) по отношению к тривиализации (/, п) вдоль Г, a v-число Эйлера нормального расслоения к £ в С по отношению к сечению 丿 г вдоль Г. Формулы Лея (см. с. 223) сохраняют свою форму и теорема 10 принимает вид % W с.

Утверждения о кривых, трансверсальных F, переформулируются для лежандровых кривых (горизонтальных по отношению к 尸)：

Пусть у - ориентированное лежандрово зацепление в М и Z - ориентированная, вложенная в М поверхность с краем у (связная относительно у); число т(у, £) равно по определению алгебраическому числу пересечений £ с кривой у', полученной небольшим смещением у по нормали к F. Пусть ц(у, Е) равно числу оборотов касательной к у в репере, тривиализующем ограничение 尸 на £. Эти два числа зависят лишь от у и от класса £ в % (М У； Z); для случая % (М; Z) — 0 они были введены в [D. B.l], [A. D.], [Т. Е.] и тогда зависят только от у М.

(Внимание: обозначения, принятые здесь, отличаются знаками зацеплений от обозначений [D. B.l], [A. D.], [Т. Е.], так что числа, обозначенные в [D. В.1] и [A. D.] через / и т, соответствуют здесь —с и —т соответственно.)

Поверхность £ всегда можно так пошевелить (при фиксированном у), что комплексные точки на крае станут попеременно положительными и отрицательными эллиптическими; на у будет | т | точек каждого типа. Формулы Лея перепишутся в виде

乙=；(% +工+卩)，

d_ = ；(% + 工 一 H).

Теперь теорема 10 примет такой вид:

Теорема 11 (Элиашберг). % ^ т — |ц|.

Анализ поведения дисков Бишопа (см. 4) позволил Элиашбергу получить еще несколько замечательных результатов о стандартных контактных структурах, например:

Теорема 12 (Элиашберг). Все незаузленные лежандровы кривые в стандартной (согласованной с ориентацией) контактной структуре на S3, удовлетворяющие условиям т = + 1 以卩=0, изотопны друг другу s классе лежандровых кривых.

15-100

Большинство предыдущих результатов, в частности теоремы 2, 3 и их следствия, теоремы 4, 9, 10, 11 и 12, распространяются следующим образом на многообразия с неинтегрируемой почти комплексной структурой: комплексно-аналитическое многообразие W заменяется на симп- лектическое четырехмерное многообразие Wc почти комплексной структурой J, положительной по отношению к со (см. [М. G.], [D. В.2]) (т.е. Vxe W, YveT* (PF), V 卢。今①⑷，Jr) > 0), С остается относительно компактной областью с гладкой границей М, и эта граница М должна быть с. п. в. в смысле CR-структуры (§1). Заметим, что для любой контактной структуры F на замкнутом многообразии М, симплектически ограничивающей (§ 2) симплектическое многообразие (С, со), существует почти комплексная структура J, удовлетворяющая этим условиям.

Наличие ① позволяет контролировать площади (псевдо)голоморф- ных дисков (см. [М. G.]). Компактность семейств таких дисков вытекает из изучения площадей и из топологических соображений (§ 6).

При изучении семейства (псевдо)голоморфных дисков, опирающихся на поверхность £ (т.е. имеющих край на £) в М, неинтегрируемость J приводит к двум новым трудностям: требуется описание особых точек внутри дисков и описание поведения дисков около комплексных точек ве

Первая трудность была, к счастью, преодолена в работе Д. Макдафф [М. D.3]. Для решения второй можно заменить J около комплексных точек поверхности £ на интегрируемую С°-6лизкую к 丿 структуру (это не изменит положительности J).

Все это позволило Элиашбергу [Е.5, 6] сформулировать результаты в чисто симплектических терминах. Дадим несколько примеров:

Теорема 13 (Элиашберг). Пусть Q - симплектическое заполнение трехмерного контактного многообразия (М,尸).Тогда

всякая вложенная в М сфера S2 ограничивает вложенный в С шар

если М диффеоморфно S3, то многообразие С диффеоморфно связной сумме В4 # СР2 # …# СР2 и контактная структура 尸 стандартна;

пусть S - связная замкнутая поверхность, вложенная в М; если %(£) > — |с ②)|, то Z - сфера (отметим, что число с(£) имеет симплектическое происхождение);

пусть Z - ориентированная поверхность с краем Г, трансверсальным F, без компонент связности, изоморфных S2; тогда

为②)We②)；

пусть Z - ориентированная поверхность с краем, горизонтальным в F, не имеющая компонент связности, изоморфных S2, тогда

% (?) W т — I 卩 I •

Вот уже несколько раз мы упоминали работу Дузы Макдафф [М. D.3] об особенностях интегральных кривых почти комплексной структуры 丿(т.е. псевдоголоморфных кривых). Там содержатся важные технические факты, уточняющие [М. G.] (по ходу дела они исправляют утверждения [D. В.2]; например 2.3.2). Основаны эти результаты на [М. D.1, 2]. Процитируем оттуда пару предложений.

Предложение 1 (Макдафф). Всякое J-голоморфное отображение римановой поверхности в почти комплексное многообразие (叱 丿)можно С'-приблизить J'-голоморфной иммерсированной кривой, где почти комплексная структура J' СQ-близка к 丿.

Предложение 2 (Макдафф). Пусть С w С -два ростка в 0 J-голоморфных кривых в почти комплексном четырехмерном многообразии, у которых О - изолированная точка пересечения. Тогда локальный индекс пересечения не меньше 1 и равен 1 тогда и только тогда, когда С и С трансверсальны.

Чтобы различить две контактные структуры в размерности 3, гомотопные в классе распределений плоскостей, следует взглянуть на слоения, высекаемые контактными плоскостями на каких-нибудь вложенных двумерных поверхностях. (Эта идея восходит к Софусу Ли [L].) Рассмотрим, например, на сфере S' заданной в R4 уравнением х； +資+ 石+ 歹^ = 1 следующие две контактные структуры:

Fq (согласованная с ориентацией стандартная) с уравнением

Xi 力 1 — % 公1 + х2 dy2 — у2 dx2 = О

и 尸 1 (одна из структур Гонзало - Варела) с уравнением

cos g+ 2兀(灯 +y分){^vdyl 一九厶1) +

+ sin(： + 2冗(X； +小)①力2 一 了2dx2)= 0.

Они гомотопны в классе распределений касательных к S3 двумерных плоскостей, но они не изоморфны, так как в случае Ft на некотором вложенном в S^ диске можно обнаружить предельный цикл (см. рис. 1), чего не может быть для 尸°. Это запрещает теорема 11 (% = 1, т = 0, 卩=± 1) (это рассуждение взято из [D. В.1], см. [A. D.]).

Определение. Контактная структура в размерности 3 называется сверх- скрученной, если существует вложенный диск с единственной критической точкой и предельным циклом. См., например, следующие картинки:

Элиашберг доказал, что никакая контактная структура, ограничивающая симплектическую структуру, не может быть сверхскрученной. В частности, границы Грауэрта аналитической поверхности не являются сверхскрученными.

Подчеркнем, что на рисунке представлен единственный известный пример экзотической структуры в размерности 3, поэтому естественно встает, например, вопрос (Элиашберг): верно ли, что всякая контактная структура на S3, не являющаяся сверхскрученной, изоморфна стандартной?

Оказывается, что сверхскрученные структуры проще стандартных.

Теорема 14 (Элиашберг [Е.7]). На компактном трехмерном многообразии любые две сверхскрученные структуры, гомотопные в классе полей плоскостей, изоморфны.

В действительности Элиашберг установил, что включение пространства сверхскрученных контактных структур в пространство полей плоскостей является слабой гомотопической эквивалентностью.

КОМПЛЕКСНЫЕ ТОЧКИ И ГОЛОМОРФНЫЕ ДИСКИ

Пусть J-почти комплексная структура класса С 8 на четырехмерном многообразии W\ обозначим через G расслоение над 网 слой которого над точкой хе W совпадает с грассманианом Qx ориентированных двумерных подпространств касательного пространства TX(W). Тотальное пространство расслоения G содержит подрасслоения G+ и G_ . Слой расслоения G十(G_ ) над точкой xeWявляется комплексной проективной прямой Q+(Q_) J- (— /)-комплексных прямых в касательном пространстве Тх W. Пусть Е — ориентированное подмногообразие W размерности 2; оно поднимается (точке х е £ ставится в соответствие касательная к 2 плоскость Тх (Z) g Q) до подмногообразия 2 многообразия G. Комплексные точки £ соответствуют точкам пересечения £ с G+ и G_ .

Если выбрать на W риманову структуру, согласованную с J, то в каждой точке xeW многообразие Qx отождествится с S+ х S_ , где S+ -сфера радиуса 1 в пространстве самодуальных бивекторов, a S_ - соответственно в пространстве антисамодуальных. При этом Q+ и Q_

отождествятся с пространствами {северный полюс S + } х S_ и {южный полюс S+} х S_ соответственно. Именно проекция д+ на S+ параллельно S_ определяет тип комплексной точки: точка положительна или отрицательна в зависимости от того, попадает ли проекция в северный или южный полюс соответственно; точка является эллиптической или гиперболической в зависимости от того, сохраняет пи д+ ориентацию или нет. （Корректирующее замечание: в [D. В.2] на с. 118 вверху нужно перенести S+ 0 со строки 5 на 11.）

Если £ в % лежит в подмногообразии М размерности 3 и на М индуцирована метрика, то д+ есть обычное отображение Гаусса; эллиптические точки отвечают положительной кривизне, гиперболические 一 отрицательной.

Пусть PR 6 W- комплексная положительная точка £, над которой 2 трансверсальна G十;выберем такие локальные координаты хх, х2, уг^ у2 с центром в 尸，что в точке Р имеет место 丿（3修）=己力，丿（⑶也）=J?■ Функции Z] = X] + zjt,纟2 = к? + z?2 являются комплексно-аналитичес- кими координатами для такой комплексной структуры Jo, что 丿。（尸）= ="尸）•

Аргументы Бишопа （см. также [М., W.]） показывают, что можно так слегка пошевелить （бианалитически для структуры Jo） координаты（Zi， z?）, что уравнение £ в окрестности точки Р примет вид

Z2 = Zlz1 + y（z^ + /） + S（Z1E）,

где S（Z],夕1） = O（|zi |3） и у - вещественное положительное число, отлич- ное от

2

Ось Z] является комплексной касательной к £ в начале координат.

Число у оказывается комплексным инвариантом 2 （это означает, что оно не меняется при преобразованиях, уважающих J в точке 尸）.При этом, когда у лежит между 0 и ；, точка Р является эллиптической, а если у превышает ；, то Р - гиперболическая.

С точностью до третьего порядка по z】поверхность £ лежит в гиперплоскости R3, заданной уравнением у2 = 0. Она имеет следующий вид:

в эллиптическом случае

а в гиперболическом случае

Предположим теперь, что структура 丿 интегрируема в окрестности точки 尸 в 1У и что S - аналитическая вещественная поверхность. Выберем голоморфные координаты z】и z2.

Для анализа комплексной точки Мозер и Вебстер изучают локальную комплексификацию

Пусть U— открытое подмножество 网 инвариантное относительно антиголоморфной инволюции z = (z_ z2) ^ z = (z{,幺？) в окрестности точки 0 и такое, что функция K(z, z) = z】i\ + у (z； + 元)+ S(z】，幺】)一 z? является аналитической вещественной С-значной функцией на И Уравнение 2 П U есть просто K(z,力=0.

В произведении U х U рассматривается комплексно-аналитическая поверхность Z, определяемая уравнениями

К (z,故)=0 и R (w, z) = 0;

здесь z =(Zi, z?) и 故=(и1】，故2)суть координаты на U х U и пара (z:, и^) образует систему локальных координат на Z.

Обозначим через 兀‘ (соответственно д^) ограничение на Z проекции U х U на пространство z-ов (соответственно 故)；обе проекции являются двулистными развлетвленными накрытиями, причем проекция 兀‘ разветвлена вдоль кривой С', касающейся прямой Zi + 2уи4 = 0, а несоответственно вдоль С", касающейся прямой 故】+ 2yzi = 0. Обозначим через # и т" инволюции Z, переставляющие слои этих накрытий; имеем дЧ' = д\ 兀"т" =冗".Инволюция т' оставляет на месте С', а соответственно С".

Введем также антиголоморфную инволюцию на U х U к Z:

p(z,故)=(W,2).

Имеем

т"р = pY.

Определим отображение Z в себя:屮=Y 工"=工‘屮一】#; ф является комплексно-аналитическим диффеоморфизмом Z с неподвижной точкой в нуле.

Именно динамика 屮 около нуля определяет поведение голоморфных кривых, опирающихся на £ (Мозер - Вебстер).

Действительно, пусть /- аналитическая вещественная R-значная функция на £; она аналитически продолжается на окрестность Е в Z. Ее

вещественность на £ означает, что/(р) = /на Z. Если/т" = /(или/т' =/ что эквивалентно), то функция g на U со значениями в С, определенная равенством дтС =/, будет голоморфным продолжением / (расширение Римана). Обратно, вещественная на 2 функция /； являющаяся ограничением голоморфной на U функции д, распространяется на Z до функции, удовлетворяю щей/т" = /т' =/ Отсюда /屮=/(т. е./является голоморфным первым интегралом 屮).

Пусть 入 и X '1 - решения уравнения у-1 =(Х + ^-1) (т. е. уХ2 — X + + Y = 0), тогда собственные значения Dtp в нуле равны ц = X2 и ц = X ~2.

При 0 < у < ^ 入 вещественно, положительно и отлично от 1; если же у > 1, то 入-не равное 1 комплексное число, по модулю равное 1.

Таким образом, эллиптическая точка дает гиперболическое отображение ф, и метод мажорирующих рядов позволил Мозеру и Вебстеру привести ф, J и т" к нормальной форме: существуют координаты (Z], Z2), в которых £ имеет вид

У 2 = °，

%2 = Z]N1 +(Y + Е^ 2)(^1 + 号),

£ равно 0, 1 или — 1, a s - целое ненулевое число при е = ± 1.

Числа (у, е, s) являются голоморфными инвариантами ростка £; существует Леви-плоское многообразие Н3, которое содержит £ и такое, что внутренность 2 в Н совпадает с локальной оболочкой голоморфности £.

Отображение ф имеет первый голоморфный интеграл, и края дисков Бишопа являются следами на 2 и Z уровней этого интеграла: это есть траектория потока 屮 при чисто мнимых значениях параметра.

Отметим, что задача о классификации пар сопряженных инволюций (таких, как т‘ и т") возникла в исследованиях Биркгофа по ограниченной задаче трех тел.

Для комплексной гиперболической точки неподвижная точка эллиптична, и мы сталкиваемся с проблемой малых знаменателей. Конечно, нормальная форма имеется, но ряд, сопряжение с которым к ней приводит, вообще говоря, расходится. Мозер и Вебстер привели пример поверхности £, которую нельзя вложить в Леви-плоскую (аналити-

ческую вещественную) гиперповерхность

Но это не испугало наших авторов Бедфорда, Клингенберга и Элиашберга: чтобы изучать прохождение дисков Бишопа через гиперболические точки, достаточно ограничиться специальными случаями уплощенной 2 и полностью интегрируемыми <р. Мы увидим, что это можно сделать для поверхности £', С2-близкой к данной поверхности Z.

Воспользуемся обозначениями п. 4.2; прообраз £ в Z при отображении 兀‘ состоит из двух полностью вещественных поверхностей Lx и L2, трансверсальных друг другу и трансверсальных С，и С〃： Г^это плоскость %=乞1，a L2 = тЧЬ^ касается в нуле плоскости 也= =彳1 —zjy.

Идея Барнса, Бедфорда и Клингенберга состоит в том, что нужно поднять голоморфные в U поверхности с краем на £ до голоморфных в Z около гиперболической точки поверхностей, опирающихся на L. и L2.

В качестве отражения в Lt выбирается р〔 = р, а в качестве отражения в L2 выбирается р2 = т，рт，= <рр.

Группа, порожденная р】и р2, является группой, свободно порожденной ф и р с соотношениями р(рр-1 =(р-1 и р2 = 1. При 屮“ =1 это группа диэдра (胃 eN).

Если существует такое hgN, что(pn = 1, то мы говорим, что точка 尸 в £ рациональна (для данной J). В этом случае собственное значение 卩 имеет вид exp I 2я/— 1.

На квадрике J с уравнением z2 = z: ^ + y(ziZi) рациональные точки имеются тогда, когда корни 入 уравнения 丫入2—入 + 丫 = 0 имеют вид ехP(2冗？8).

Прямые пересечения 2了 с плоскостью z? = 0 суть yt /xt = ± tg (8‘), где 入'=exp (/0#)-корень уравнения 入〃 + у(Х/4 + 1) = 0, так что 入'？= 一入 и A/一2 =—入-1. Если Re(X) < 0, то эти прямые расположены, как на следующем рисунке, где все углы рациональны (в радианах, деленных на

Обозначим через А： (соответственно Д +) сектор, содержащий полуось % = 0,力 > 0 (соответственно % < 0), через А 士 (соответственно А二) сектор, содержащий полуось ух = 0, jq > 0 (соответственно х】< 0); пусть Д+ = Д^ и Д+ и Д_ = At и А二.Назовем секторы AJ и Д； острыми, а секторы А士 и А二 соответственно тупыми.

Изучая множество ветвления 兀',можно увидеть, что части комплексных прямых Z2 = const, ограниченные £丫 и встречающиеся в острых секторах, поднимаются до голоморфных полос в Z, идущих из Lt в L2 - (Таким же образом в случае эллиптических точек диски Бишопа поднимаются до голоморфных колец с одним краем на L】и другим на L2 ■)

Пусть D — диск единичного радиуса в С, Д- окрестность точки 1 е D в D н/: А т У- голоморфное отображение, переводящее точку 1 в 尸必 пересечение S】П А в £. Предположим, что образ/(Д) является графиком функции над осью гг в одном из острых секторов. Поднимем / с помощью 冗'и продолжим его посредством отражения Шварца на L】и L2. Если точка Р рациональна, то это приведет к продолжению / с разветвленного в 1 /-листного накрытия С до голоморфного отображения, являющегося k-листным разветвленным накрытием оси zt.

Над А+ разложение образа имеет вид

Z2 = g(Zl)= 〃Z； + O(|Zi|2),

так как его край находится в £, где z2 = о(|zx |2). Всмотревшись более внимательно, можно увидеть, что а = 0 (сравнение вдоль границы выражений xf (1 + 2у) + 询(1 — 2у) и (а + ?Р) (х| — у ； + 2ixr 乃)).

Итак, граница/(А) асимптотически состоит из двух берегов L+ u L_ . Это и есть самое существенное в изучении прохождения дисков через гиперболические точки.

ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Часть оболочки голоморфности вещественной поверхности, вложенной в край строго псевдовыпуклой области размерности 2, описанная Элиашбергом, Бедфордом и Клингенбергом, представляет собой многообразие с углами Н3 особого рода. Начнем с абстрактного представления.

Окрестности любых точек Н будут иметь модель, локально С°°-изо- морфную окрестностям точек замкнутого подмножества Е и R3, определенного следующим образом:

z》0, z ^у2 - х2,

или замкнутого подмножества Е+ и Е из R3:

z》0, у 2 0, z ^у2 - X2.

Точки //, которые моделируются внутренними точками £, являются регулярными', те точки Н, которые моделируются точками £+ с z = 0 или 2 = у2 _ х2, лежат на крае Н; те же точки, которым отвечает z = О, у2 = х2, относятся к ребрам Н, причем если окрестность точки ребра выглядит как окрестность нуля в £+ , то эта точка называется вершиной типа I; если же ее окрестность устроена как окрестность нуля в 瓦 то она называется вершиной типа II. Вне вершин типа II край является поверхностью с углами.

Если Я не имеет ребер, то это просто С00-гладкое многообразие с краем. Если же нет точек типа II, то это - обычное многообразие с углами.

Локальные модели Н ровно те же, что и возникающие в теории Морса с краем.

У многообразий с углами, которые будут интересовать нас в дальнейшем, край будет объединением двух поверхностей (с углами) А и В, разделенных их ребрами, и все будет естественно ориентировано.

Теперь можно сформулировать главную теорему [Е.5, 6] и [В., К.]:

Теорема 15 (Элиашберг, Бедфорд - Клингенберг). Пусть Е - вещественная ориентированная замкнутая С -гладкая поверхность, вложенная в край М относительно компактной с. п.仇 области С в комплексноаналитическом многообразии W\ тогда существует поверхность £' s М, С2-близкая к X, и вложенное в Q U М многообразие с углами Н, чей край представляет собой объединение вдоль ребер двух таких поверхностей Z и £'以 В, что внутренность В лежит в С. Точки Н являются комплексными гиперболическими точками £', &се ребра Н находятся на £'; более того, компонента В, примыкающая к вершине типа II, неодносвязна.

А содержит все комплексные эллиптические точки Z\ а В представляет собой объединение голоморфных дисков.

Внутренность Н расслоена на голоморфные диски, чьи границы являются простыми С ^-кривыми, вложенными s Л без гиперболических точек Z? (где границы дисков образуют углы).

Более того, существует единственное максимальное Н с такими свойствами.

Замечание 1. Элиашберг показал, что теорема верна и в случае неин-

тегрируемой J, нужно лишь, чтобы J была положительна по отношению к симплектической структуре. Строго говоря, Бедфорд и Клингенберг требуют штейновости 网 но соображения типа индекса (эллиптических операторов) позволяют убрать это предположение (см. § 6).

Замечание 2. Элиашберг также сформулировал однопараметрическую версию теоремы 15. Локальные модели в этом случае представляют собой однопараметрические семейства функций на трехмерных многообразиях с краем, и следует описать прохождение через комплексные параболические точки:

Замечание 3. Из теоремы 15 следует существование Сw-гладкого многообразия с краем К, содержащего Н, и такой функции Морса 屮：К -> R, что ее поверхности уровня являются голоморфными слоями Я.

Замечание 4. Для гиперболической точки 尸е£' имеются только 4 возможности:

Точка находится вне Н:

0

Это вершина Н типа I; одна из компонент В приходит только в один сектор:

鲁豊會

3) Это регулярная точка в Л; точку, как показано на картинке:3) Это регулярная точка в Л; точку, как показано на картинке:голоморфные диски проходят черезголоморфные диски проходят черезо ©о ©

3) Это регулярная точка в Л; точку, как показано на картинке:

3) Это регулярная точка в Л; точку, как показано на картинке:

голоморфные диски проходят через

голоморфные диски проходят через

о ©

о ©

4) Это вершина Н типа II; диски превращаются в «круассан»:4) Это вершина Н типа II; диски превращаются в «круассан»:

4) Это вершина Н типа II; диски превращаются в «круассан»:

4) Это вершина Н типа II; диски превращаются в «круассан»:

Замечание 5. Так как S лежит на границе с.п. в. области, то можно решить априори, в каком секторе диски касаются гиперболической точки: это острый сектор (вычислить L(p), с. 213, для р = х2 — (xf (1 + + 2у)+у；(1 — 2у))).

Покажем, следуя Элиашбергу, как из теоремы 15 следуют теоремы 2 и 9. Для этого достаточно увидеть, что в предположениях теоремы 15 для связной поверхности £ имеет место неравенство % < ~\с\, за исключением того случая, когда 2， полностью заполняется Н (т. е. В пусто).

Но если В непусто, то можно «окружить» Н Сю-гладким многообразием Н' с краем, которое вложено в С и М. Обозначим через X край Н'; каждая гиперболическая положительная (соответственно отрицательная) вершина (типа I или II) в 2? приводит к эллиптической отрицательной (соответственно положительной) точке X; пусть к + (соответственно к _ ) - число этих точек.

Если обозначить через Ьо число компонент связности X, то будем иметь к+ + к- 2 仇.Пусть е± и 力土 обозначают числа комплексных точек на X. Так как X имеет край в 场 то v(X) = с(Х) =0, и, значит,

；х(Х) = е'+ — h'+ = е'_ — к,

но 26q》％(Х), откуда 6。2 е+ + к_ — 〃，，а это влечет за собой неравенства к+ е+ —方'+ и % — 〃+ W е+ —勿+ — к+ ^0. Таким же образом, 源 2 е_ + 3 — h'- , откуда к_^е_ ~ "_ ие_ - h_ ^е_ - W_ - k_ W 0, что и требовалось доказать.

Замечание. Отсюда следует, что на вложенной в М сфере нет вершин типа II.

Теоремы 10 и 11 получаются аналогичной комбинаторикой.

ПРОБЛЕМА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА И ПСЕВДОВЫПУКЛОСТЬ

6・1. Пусть М - трехмерное подмногообразие С00-гладкого почти комплексного многообразия (叱丿)；рассмотрим многообразие Фреше ① С00-гладко вложенных (не параметризованных) в W дисков, трансверсальных М вдоль их границ. Свойства обычного преобразования Гильберта Т(по существу то, что || Т(и)\\с^ C||u ||Cm+1, если и есть Ст+^гладкая вещественнозначная функция на окружности) показывают, что подмножество * и 必，состоящее из J-голоморфных дисков, является правильным подмногообразием Фреше 勿(в смысле Гамильтона [R. Н.]). Рассмотрим также многообразие Фреше 夕 ориентированных поверхностей (возможно, с краем) £ фиксированного топологического типа, вложенных в М и глобально вещественных в смысле J; это также правильное многообразие ①реше. В произведении 老 х 夕 определяется множество 禺 таких пар ⑦，£), что граница D лежит в Е. Если спроектировать 例 на 缪，то можно увидеть, что 例 является правильным расслоением над Ж, поэтому 例 оказывается правильным подмногообразием в % х。Пусть А: % т 歹 обозначает вторую проекцию.

Предложение. Отображение А фредгольмово, и его индекс в точке (Do, Zq 丿 £咏 равен 1 + 2v, где v равно числу пересечений Do с С1-близким диском Di, чья граница также лежит в Хо и не пересекает границу Do.

Замечание. Замена диска на риманову поверхность X с краем приводит к тому же самому результату, только с заменой 1 + 2v на %(Х) + 2v; в параметрическом случае вместо v появится относительное число Черна (индекс Маслова).

Из этого предложения и из теоремы Сарда в банаховом случае (отображения класса С* k с оо) выводится, в частности, что для данной Сл-ограниченной открытой области 勿 в * в С“-о6щей точке 歹 множество A~i(E) п 勿 является С^-гладким многообразием размерности 1 + 2v.

В случае дисков Бишопа, а также во .всех случаях, рассмотренных Элиашбергом, Бедфордом и Клингенбергом, v = 0: диски включаются в однопараметрические семейства непересекающихся дисков.

Обратимся теперь к предположениям теоремы 15.

Первое использование псевдовыпуклости М состоит в применении леммы Е. Хопфа (о производной строго субгармонической функции на границе) для доказательства того, что край голоморфного диска в С является иммерсированной кривой во вполне вещественной части £ * поверхности Z.

Второй раз это требование появляется в изучении касательной к краю Г голоморфного диска D в С: она должна оставаться в распределении конусов над £*; эти конусы являются дополнениями к следам комплексных плоскостей с. п. в. гиперповерхностей, близких к М и содержащих 2.

Если D - вложенный в С диск с краем, лежащим в £*, и при этом v(D) = 0, то он включается в однопараметрическое семейство дисков DM у которых особенности не могут накапливаться на границе. Края остаются вложенными из-за конусов. Наличие особенностей внутри дисков противоречит условию v = 0. (Здесь в случае неинтегрируемой структуры нужно применить [М. D.3].)

Допустим, что Г ограничивает компактную поверхность в 2, и введем риманову метрику на W.

Благодаря компактности семейства дисков достаточно ввести симп- лектическую структуру, приручающую J, как в [М. G.] (см. [D. В.2]).

Таким образом, площади дисков Dt ограничены с точностью до константы площадью L, а ограничение сверху площади приводит к мажорированию всех производных, если только не появляются пузыри. Если штейновость С не предполагается, то a priori в общем положении диск Dr может выродиться в объединение диска и сферы (или многих сфер).

Если Dt стремится к Dj и S, то Dt S ^ 1 w S- S ^ 1 (если при малом

возмущении 丿 сфера не взорвется), откуда Dl D1 ^ -1, что не выполняется для общей 2 (индекс Dt был бы — 1).

(Отметим, что возникающие здесь комплексные структуры не обязательно интегрируемые.)

Будем отталкиваться от семейства дисков Бишопа около некоторой эллиптической точки PeS: предыдущие аргументы «доказывают», что семейство ведет себя хорошо до окрестности другой комплексной точки Q. Эта точка не может быть эллиптической, так как тогда диски совпали бы с дисками Бишопа точки Q (снова строгая псевдовыпуклость и аргумент о пересечении). Предположим тогда, что Q гиперболическая. Если Е С2-возмутить так, что все гиперболические точки станут рациональными, то диски сойдутся к диску, проходящему через Q. Затем применяются замечание 5 к теореме 15 и рассуждение п. 4.3. Теоремы об аппроксимации для функций комплексного переменного (см. [Е. BE.]) показывают, что общая £ допускает только четыре возможности:

диск приходит через один из секторов Д+ , при этом диск из другого семейства не приходит в противоположный острый сектор: имеется вершина типа I;

диск приходит через внутренность двух острых секторов, и в пределе имеется «круассан», вершина типа II；

диск приходит в А： (соответственно А^ ), другой диск - в А[ (соответственно △ :^), вместе диски приближаются немного большим диском (Мергелян), и после перестройки £ семейство продолжается дальше;

приходящий диск покрывает оба сектора А 十,он приближается немного большим (Мергелян), и чтобы продолжить семейство, нужно перестроить—

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ И СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ

Большое число недавних работ показывает плодотворность сближения симплектической (и контактной) геометрии и теории функций многих комплексных переменных (или CR- и почти комплексной геометрии).

Понятия области голоморфности, строгой псевдовыпуклости, много-

образия Штейна пришли из попыток распространить решение проблемы Кузенам случай многих переменных, но когда Ока представил в [О.], статья 1, принципы разрешения проблемы, он также упомянул об обобщении теоремы Рунге. Блестящее продолжение этой теоремы на случай С2 принадлежит Жюльен Дюваль, она также использовала симплектические понятия.

Теорема 16 (Дюваль [J. D.1]). Всякое компактное подмногообразие С2, которое лагранжево относительно стандартной симплектической структуры С2, рационально выпукло.

Следствие. Рациональные функции на С2 плотны в пространстве непрерывных функций на компактном лагранжевом подмногообразии.

Обратно, если замкнутое подмногообразие V размерности п глобально вещественно и рационально выпукло, то Ж. Дюваль [J. D.2] доказала, что существует такая симплектическая структура, согласованная с комплексной (и стандартная в бесконечности), что для нее / будет лагранжевым.

Лагранжевы и лежандровы многообразия беспрепятственно вторгаются в комплексный анализ. Например, множества вершин края М с. п. в. области С в многообразии Штейна PF-это такие подмножества Е ^ М, для которых существует голоморфная на С функция, Сю-гладкая на М с абсолютным значением, равным 1 в точках Е и меньшим 1 на дополнении С и М\Е. Они также являются подмножествами М, на которых любая С -гладкая функция продолжается до голоморфной функции на С, С°°-гладкой на М. Подмногообразия М, которые являются пространствами вершин, оказываются горизонтальными в CR-структуре М (см. [С, С], например).

Полтерович [L. Р.] доказал, используя голоморфные диски Громова, что класс Маслова лагранжева тора, вложенного в С2, не может быть равным 0. Этот результат был обобщен с использованием вариационного исчисления на любые размерности (в С") Клодом Витербо ([С. V.]).

Пусть С и С' —две относительно компактные с. п. в. области с Сж-гладкими краями М и М' в многообразиях Штейна W и W'\ согласно К. Фефферману (см. [С. F.], [В., F., G.]), всякий биголоморфизм /: Ст С' аналитически продолжается до диффеоморфизма М на М' (и если М и М' - аналитические вещественные многообразия, / аналитически продолжается на окрестность М в W). Один из главных вопросов, поставленных Элиашбергом, состоит в симплектическом аналоге этой теоремы. Если С и Q - симплектические заполнения двух контактных многообразий М и М' и существует симплектоморфизм С на С', то какова эквивалентность между СиМиС'иМ'?

[А.1][А-2][МА][В., F., G.][Е. BE][В., G.][В., К.][D. В.1][D. В.2][А.1][А-2][МА][В., F., G.][Е. BE][В., G.][В., К.][D. В.1][D. В.2][Е. BI][В., W.][С][С., С.][D.1][D.2][A. D.][Е. BI][В., W.][С][С., С.][D.1][D.2][A. D.][J. D.1][J. D.2][ЕЛ][Е.2][J. D.1][J. D.2][ЕЛ][Е.2]

[А.1]

[А-2]

[МА]

[В., F., G.]

[Е. BE]

[В., G.]

[В., К.]

[D. В.1]

[D. В.2]

[А.1]

[А-2]

[МА]

[В., F., G.]

[Е. BE]

[В., G.]

[В., К.]

[D. В.1]

[D. В.2]

[Е. BI]

[В., W.]

[С]

[С., С.]

[D.1]

[D.2]

[A. D.]

[Е. BI]

[В., W.]

[С]

[С., С.]

[D.1]

[D.2]

[A. D.]

[J. D.1]

[J. D.2]

[ЕЛ]

[Е.2]

[J. D.1]

[J. D.2]

[ЕЛ]

[Е.2]

В заключение я бы хотел особо поблагодарить Жюльен Дюваль и Якова Элиашберга за приятные обсуждения и их замечания.

ЛИТЕРАТУРА

Арнольд В. И. Математические методы классической механики.-М.: Наука, 1979.

Arnold V. I. Contact geometry and wave propagation. L'enseignement mathematique. Geneve, 1989.

Audin M. Sommes connexes de varietes simplectiques ou presque complexes. Preprint IRMA Strasbourg, 1990.

Beals M., Fefferman C., and Grossman R. Strictly pseudo-convex domains in Cn. B.A.M.S., vol. 8 (1983), 125-322.

Bedford E. Levi flat hypersurfaces on C2 with prescribed boundary: stability. Annali Scuola Norm. Sup. Pisa IX (1982) 529-570.

Bedford E., Gaveau B. Envelopes of holomorphy of certain 2-spheres in C2. Amer. J. of Math., 105 (1983), 975—1009.

Bedford E. and Klingenberg W. On the envelope of holomorphy of a 2-spheres in C2. Preprint Indiana, 1989.

Bennequin D. Entrelacements et equations de Pfaff. 3eme rekcontre de Geometric du Schnepfenried, Asterisque 107-108 (1983), 87-161.

Bennequin D. Problemes elliptiques, surfaces de Riemann et structures symplectiques (d'aprOs M. Gromov), Seminaire Bourbaki, exp. N 657, Asterisque 145-146 (1987), Ш-135. [Имеется перевод: Беннекен Д. Эллиптические задачи, римановы поверхности и симплектические структуры (по М. Громову). Математический анализ и геометрия.- М.: Мир, 1990.]

Bishop Е. Differentiable manifolds in complex Euclidean space, Duke Math. J. 32 (1965), 1-22.

Boileau M. et Weber C. Le probleme de J. Milnor sur le nombre gordien des noeuds algebriques. Seminaire des plans sur Bex, 1982.

Cartan H. Problemes d'approximation dans la theorie des fonctions analytiques. Atti della 2a Riunione del Groupement des Mathematiciens d'expression latine. Florence, 1961.

Chaumat J. et Chollet A. M. Ensembles pics pour A "(D). Ann Inst. Fourier, Grenoble XXIX (1979), 171-200.

Donaldson S. Polynomial invariants for smooth 4-manifolds. To appear in Topology.

Donaldson S. Complex curves and surgery. Volume dedie a R. Thom, Publ. IHES 1988, 91-97.

Douady A. Noeuds et structure de contact en dimension 3 (d^pres Bennequin). Seminaire Bourbaki, ex. N 604, Asterisque 105-106 (198 3), 129-148. [Имеется перевод: Дуади А. Узлы и контактные структуры в размерности 3 (по Д. Беннекену). Математически访 анализ и геометрия.-М.: Мир, 1990.]

Duval J. Convexite rationelle des surfaces lagrangiennes de C2. Preprint 1990 & Convexite rationelle de tores lagrangiennes de C2, Note aux C.R.A. S. 307, serie 1, 1988, 943-948.

Duval J. Une contrainte geometrique pour certaines sous-varietes ra- tionellement convexes. Preprint Strasbourg, 1990.

Eliashberg Y. Three lectures on Symplectic Topology in Gala Ganone. Basic notions, problems and some methods (September 1988).

Eliashberg Y. Existence and non-existence of a Stein complex structure on differentiable manifolds. Preprint MSRI, Berkeley, 1989.

Eliashberg Y. Topological characterization of Stein manifolds of dimensions >2. Intern. J. of Math. 1 (1990).

Eliashberg Y. Filling by holomorphic discs and its applications. Preprint Stanford, 1990.

Eliashberg Y. On symrlectic manifolds which are bounded by standard contact spheres and exotic contact structures on dimension > 3. Preprint Berkeley, 1988.

Eliashberg Y. Killing of elliptic complex points and the Legendrian isotopy. In preparation.

Eliashberg Y. Classification of overtwisted contact structures on 3-mani- folds. Invent. Math. 98 (1989), 623-637.

[E. H.]. Eliashberg Y. and Harlamov V. Some remarks on the number of complex points of a real surface in the complex one. Preprint, 1982.

[T. E.] Erlandsson T. Geometry of contact transformations in dimension 3. Doctoral dissertation, Uppsala, 1981.

[C. F.] Feflerman C. The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains. Invent. Math. 26 (1974), 1—65.

[F., W.] Franks J. and Williams R. F. Braids & the Jones polynomials. T. A. M. S. 303, N 1, 1987, 97-108.

[H. G.] Grauert H. On Levi's problem and the embedding of real-analytic manifolds. Ann. Math. 68 (1958), 460-472. [Имеется перевод: Грауэрт Г. О проблеме Леви и вложении вещественно-аналитических много- образийМатематика, 4: 3 (1958), 29-40.]

[М. G.] Gromov М. Pseudo-holomorphic curves on almost complex manifolds. Invent. Math. 82 (198 5), 307—347.

[G., E.] Gromov M. and Eliashberg Y. Non-degenerate mappings of Stein manifolds. Funkt. Anal, i Prilog. 5 (1971), 82-83.

[G., R」 Gunning R. C. and Rossi H. Analytic functions of several complex variables. Prentice Hall, 1962. [Имеется перевод: Ганнинг P., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных-М.: Мир, 1969].

[R. Н.]. Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser. B.A. M. S. (New series), vol. 7, N 1 (1982), 65-222.

[HO] Hormander L. An introduction to complex analysis in several variables. North Holland, 1973. Имеется перевод: Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных.- М.: Мир,

[L. Н.] Hunt L. R. The local envelope of holomorphy of an 小manifold in C". Bol. Un. Mat. Itai. 4 (1971), 12-35.

[J]Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups & link

polynomial. Annals of Math. 126 (1987), 335 -388.

[K., W.] Kenig С. E., Webster S. M. The local hull of holomorphy of a surface in the space of two complex variables. Invent. Math. 1982, 1-19.

[H. L.] Lai H. F. Characteristic classes of real manifolds immersed in complex manifolds. T.A.M.S. 172 (1972), 1-33.

[L., M,] Libermann P., Marie С. M. Geometric symplectique. Bases de la Meca- nique, vol. 3. Publication mathematiques de Paris 7, 1986.

[L.]Lie S., Geometric der Beriihrungstransformationen, erster Band. Teubner,

Leipzig, 1896.

[M. D.l] McDuff D. Blow-ups and symplectic embeddings in dimension 4. Preprint, Stony Brook, 1989, a paraitre dans Topology.

[M. D.2] McDuff D. The structure of rational and ruled symplectic manifolds. Preprint Stony Brook, 1989.

[M. D.3] McDuff D. The local behaviour of holomorphic curves in almost-complex 4-manifolds". Preprint Stony Brook, 1989.

[M.l] Milnor J. A unique decomposition theorem for 3-manifolds. Am. J. of

[М.2][М.З][Н. М.][М„ W.][М. Р.М.][№, W.J[О.][L. Р.][V. R.][L. R.][С. V.][W.][М.2][М.З][Н. М.][М„ W.][М. Р.М.][№, W.J[О.][L. Р.][V. R.][L. R.][С. V.][W.]

[М.2]

[М.З]

[Н. М.]

[М„ W.]

[М. Р.М.]

[№, W.J

[О.]

[L. Р.]

[V. R.]

[L. R.]

[С. V.]

[W.]

[М.2]

[М.З]

[Н. М.]

[М„ W.]

[М. Р.М.]

[№, W.J

[О.]

[L. Р.]

[V. R.]

[L. R.]

[С. V.]

[W.]

Math. (1961), 1-7.

Milnor J. On the cobordism ring Q* and a complex analogue I. Am. J. of Math. 82 (I960), 505-521.

Milnor J. Singular points of complex hypersurfaces, Ann. Study № 61, Princeton, 1968. [Имеется перевод: Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. - М.: Мир, 1971.]

Morton Н. Closed braids representations for a link & its 2 variable polynomials. Preprint Liverpool, 1985.

Moser J. and Webster S. Normal forms for real surfaces in C2 near complex tangents and hyperbolic surface transformations. Acta Math. 150 (1983), 255-296.

Muller M.-P. Une structure symplectique complete sur R6 avec une sphere lagrangienne piongee. These, IRMA, Strasbourg, 1989.

Nirenberg R., Wells R. O. Approximation theorems on differentiable submanifolds of a complex manifold, T.A.M.S., 142 (1969), 15-35.

Oka K. Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. Iwanami Sholen, Tokyo, Japan (1961), 1983.

Полтерович Л. В. Класс Маслова лагранжевых поверхностей и псев- доголоморфные кривые Громова. Препринт, 1989.

Рохлин В. А. Двумерные подмногообразия четырехмерных многообразий. Функциональный анализ и его прилож. 6 (1972), 136-138.

Rudolph L. Some topologically locally flat surfaces in the complex projective plane. Comment. Math. Helv. 59 (1984), 592- 599.

Viterbo C. A. A new obstruction to embedding Lagrangian tori. Invent. Math. 100 (1989), 301-320.

Weinstein A. Contact surgery and symplectic handlebodies. Preprint University of California, Berkeley, 1989.

КОГОМОЛОГИИ ДЕ РАМА И ЭТАЛЬНЫЕр-АДИЧЕСКИЕ КОГОМОЛОГИИ

(по работам Фальтингса, Фонтена и др.)

Люк Иллюзи

Если X - гладкая собственная схема над С, то теория интегрирования позволяет построить изоморфизм периодов

H/(X/C/H*(X(C),Q)(8)C

где Н/(Х/С) = Н*(Х, Q у/с) - когомологии де Рама Х/С, а Х(С) обозначает комплексное аналитическое пространство, ассоциированное с X. Теория р-адических периодов, которой посвящен данный доклад, позволяет для конечного расширения поля Qp (более общо, для произвольного поля характеристики нуль, полного относительно дискретного нормирования с совершенным полем вычетов характеристики р > 0) и для гладкой собственной схемы X над К построить аналогичные изоморфизмы, связывающие группы HqR(X/K) = Н*(Х, Qx/K) когомологий де Рама Х/К (вместе с различными естественными структурами, которыми их можно снабдить) с группами этальных 〃-адических когомологий H*(Xr, Qp) (где К - алгебраическое замыкание К) вместе с действием группы Галуа G = Gal(K/K).

Этот сюжет имеет довольно длинную историю. Исходным пунктом является статья Тейта [70]. Тейт рассматривает случай многообразия, имеющего хорошую редукцию (т. е. совпадающего с общим слоем некоторой абелевой схемы 尤 над кольцом V целых элементов к). Действие G на К продолжается по непрерывности на пополнение К л. Тейт вычислил когомологии Галуа группы G с коэффициентами в К Л (а также в скручиваниях К л (?) на степень циклотомического характера); кроме того, изучая p-делимую группу Г, ассоциированную с %, он построил G-эквивариантный канонический изоморфизм

(н】(х,“х®кЛ®н°(х,с§к®кЛ(-1))

Zh-^x^qp)®Qpk\

где G действует диагонально на правой части. Он предположил, более того, существование аналогичного разложения в произвольной степени для произвольной гладкой собственной схемы X над К (см. 2.1.3, где даны точная формулировка и история этой гипотезы, называемой

гипотезой Ходжа- Тейта, которая окончательно доказана в полной общности Фальтингсом [19]). В том случае, который он рассматривал, Тейт показал, что сама /^-делимая группа Г однозначно определяется с точностью дс изогении представлением группы G на Я1 (Х^, Qp). В той же ситуации оказывается, что группа Н。(X, С%*) наделяется более богатой структурой, которой не видно с первого взгляда. Кроме фильтрации с помощью (77°(X,Qy/K)) (фильтрации Ходжа) на "/(Х/К) имеется естественная К0-структура (где К。обозначает поле частных кольца векторов Витта W(k) поля вычетов к), т. е. структура вида M®w(k)K0, где А1 - модуль Дьедонне специального слоя Г: это вытекает из данной Гротендиком «кристаллической» интерпретации А1 (как кристаллической группы когомологий Я1 схемы % ® к); эта К°-структура M®W{k) Ко снабжена действием автоморфизма <р, полулинейного относительно действия элемента Фробениуса на Ко и происходящего из оператора F на М. Кроме того, Гротендик показывает ([36], [37]), что Г однозначно с точностью до изогении определяется по H})R (Х/К), рассматриваемой вместе со своей фильтрацией Ходжа и предыдущей К0-структурой вместе с оператором ф. В свете результата Тейта, отмеченного выше, это приводит к вопросу (loc. cit.) (проблема «таинственного функтора») об описании алгебраической процедуры, позволяющей непосредственно перейти от Н^尺(Х/К) к Я1 (Х^, Qp) без посредства p-делимой группы Г и обобщить этот переход в высшие размерности. Эта проблема (вместе с обобщением) недавно полностью решена. Первый решающий шаг сделал Фонтен, построив некоторую К0-алгебру Bcris, снабженную некоторыми дополнительными структурами (действие G, полулинейный оператор ф, фильтрация при расширении скаляров до К), позволяющую определить функтор Dcris (по имени Дьедонне) из категории р-адитических представлений G в категорию «фильтрованных (p-модулей над К» (К-векторных пространств, снабженных некоторой К о-структурой, вместе с действием некоторого полулинейного эндоморфизма ф (см. 1.3.5)): Фонтен показал, что этот функтор решает проблему Гротендика для Н\ и предложил точную гипотезу для высших размерностей (гипотеза Ccris) для гладких собственных схем X над К, имеющих хорошую редукцию (см. 2.2.2). В общих чертах эта гипотеза означает, что представление Галуа на Нт{Х^, Qp) и когомологии де Рама H^R(X/K\ снабженные всеми указанными структурами (в частности, К0-структурой, происходящей из кристаллических когомологий в силу результатов Бертло - Огаса [6]), определяют друг друга однозначно. Доказанная вначале Фонтеном - Мессингом для dim X < р и К — Ко, эта гипотеза доказана в полной общности Фальтингсом [20]. Для гладких и собственных схем X над К, однако не обязательно имеющих хорошую редукцию, Фонтен сформулировал вариант гипотезы Ccris, а именно гипотезу CDR, позволяющий восстановить H?r(X/K) по Нт(Хк, Qp) (но не наоборот) и вывести гипотезу

Ходжа-Тейта: гипотеза CDR также была доказана Фальтингсом [20]. В случае когда Х/К имеет полустабильную редукцию (см. 4.1.1), обсуждения с Яннсеном (см. также [45]) привели Фонтена к формулировке гипотезы о существовании некоторого оператора монодромии N на H£r(X/K), аналогичного «вычету связности Гаусса - Манина» для комплексных многообразий, а также к формулировке гипотезы более тонкой, чем CDR, а именно гипотезы Cst, утверждающей в этом случае, что так же, как и для хорошей редукции, H,r(X/K) и Нт(Хк, Qp) определяют друг друга однозначно. Оператор N был построен Хиодо-Като [40], а гипотеза Cst была доказана Като при 2dimXvp—1 [48]; этому сюжету был посвящен семинар Фонтена в Бюре [Bures].

Теория, представленная здесь, уже нашла многочисленные приложения. Мы вкратце отметим некоторые из них в 2.2, 2.3 и 2.4.

Данный доклад значительно пересекается с [29]. Читатель найдет в [29] более богатое изложение теории р-адических представлений и мотивировок теории Хиодо-Като, а также обзор некоторых глобальных арифметических приложений, принадлежащих Фонтену - Мазуру, о которых не говорится в настоящей работе.

Жан-Пьер Винтенберже мне много помогал при подготовке этого доклада, за что я ему чрезвычайно благодарен. Я благодарю также Спенсера Блоха, Герда Фальтингса, Жана-Марка Фонтена и Жана-Пьера Серра за полезные замечания и предложения.

СОДЕРЖАНИЕ

О. Обозначения

Кольца Фонтена и различные типы р-адических представлений

/-адические представления

Кольца Фонтена

Различные типы р-адических представлений

Гипотезы Ccrist CDR, СНТ

Гипотезы CDR и Снт

Гипотеза Ccris

Абсолютные циклы Ходжа

Числа Тамагавы мотивов

Метод Фальтингса ([19], [20])

План

Почти этальные накрытия и расширения, поглощающие ветвление

Когомологии Галуа и дифференциалы: локальные вычисления

Глобализация: когерентные исчезающие циклы

Дискретные исчезающие циклы и когерентные исчезающие циклы

Варианты и дополнения

Гипотеза Ccris

Гипотеза Qr

Гипотеза Cst

Оператор монодромии Хиодо-Като

Гипотеза С st

Метод Фонтена - Мессинга - Като

О. ОБОЗНАЧЕНИЯ

V: кольцо дискретного нормирования

К: поле частных 匕 по предположению имеющее характеристику нуль к: поле вычетов 匕 предполагаемое имеющим характеристиу р > О S: Spec V, s = Spec к, r\ = Spec К__

К： алгебраическое замыкание K;_r\ = Spec K^G — Gal (K/К)

V: нормальное замыкание К в К, S = Spec V_ тп: максимальный идеал V; к — /тп; s = Spec 笈 0A: lim V/pnV

Кл： РЛ [1仞：р-адическое пополнение К m : максимальный идеал V

Ж: Ж (к); К。= ЖГ1/р1； о: автоморфизм Фробениуса К。 忆：W/pnW А/рп: А/рпА

КОЛЬЦА ФОНТЕНА И РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫР-АДИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Дается только краткое резюме теории. За деталями читатель может обратиться к [29] и [Bures].

/-адические представления

Пусть /-простое число 片р. Под l-адическим представлением G понимается р,-векторное пространство Н, снабженное непрерывным действием группы G. Говорят, что представление Н неразветвлено, если группа инерции I действует тривиально. Это имеет место, к примеру, если Н = Нп(Х^, Q,), где X - гладкая собственная схема над И Если поле вычетов к конечно, или, более общо, если никакое конечное расширение к не содержит все корни из единицы степени, равной степени /, то выполняется теорема о локальной монодромии Гротендика [68, дополнение]: если р: G GL (ZZ) - некоторое /-адическое представление, то р квазиунипотентно, т. е. для некоторой открытой подгруппы 1Г группы / элемент р($) унипотентен для всех selr. Отсюда следует, что ограничение р на пропускается через максимальный /-адический умеренный фактор 乙：/т Z/l)(k) и что существует однозначно определенный нильпотентный гомоморфизм («логарифм монодромии»)

N: 〃⑴ тН,

такой, что р (s)x = exp (N厶(s))x дл幺 всех selt. Гомоморфизм N является G-эквивариантным: в частности, если k = Fqn F gG-некоторое поднятие геометрического элемента Фробениуса из группы Gal (砍)，то

NF = qFN.(1.1.1)

Без указанного предположения о поле к /-адические представления, которые встречаются на практике, все равно являются квазиунипо-

тентными: таковы также и Н“(Х元，QJ, и Н；(Х^, Q() для Х^ конечного типа над т| ((SGA 71) и (SGA 4；, теорема конечности)).

Также определяется и понятие р-адического представления группы G. Они образуют категорию, гораздо более обширную и таинственную, чем категория /-адических представлений. Если X - собственная и гладкая над S, то представления на Н"(Х元，Qp) могут быть сильно разветвлены. С другой стороны, р-адические представления не являются, как правило, квазиунипотентными: в [54] Мазур, Тойт и Тейтельбаум построили модулярные формы относительно Г0(р) веса к》3, для которых ассоциированное /?-адическое представление G ^ GL2 (Qp) является неприводимым, в то время как /-адическое представление допускает нетривиальный N. Теория Фонтена, которую мы сейчас собираемся изложить, позволяет и здесь разобраться с важными классами р-адических представлений, а также сформулировать по крайней мере гипотетический аналог теоремы о локальной /-адической монодромии (4.2.4).

Кольца Фонтена

Фонтен строит кольца (буква 5 в честь t^Barsotti,, или ^йbivecteurs^^...) Bcris(V) и Bst(V) и BDR(V\ BHT(V\

которые являются К0-алгебрами, снабженными дополнительными структурами. Если нет риска запутаться, символ Рв обозначениях будем опускать.

1*2*1. Bdr и Внт

Начнем с самого большого из колец, BDR, которое и легче всего описать. Пусть / обозначает проективный предел N копий V/pV, взятый по отображениям Фробениуса xixP. Тогда получается совершенная /с-алгебра. Пусть

9:沙(/)- Йл(1.2.1.1)

-гомоморфизм, который сопоставляет произвольному вектору Витта (%,,…)предел при m т со элементов b^m + pb\m + ... + ртЬтт, где

апЕ А записаны в виде последовательностей (апт, m 2 0) с апт = а^т+1 и bnm е V обозначает поднятие апт. Гомоморфизм 9 сюръективен, а его ядро является главным идеалом. Это же верно и для соответствующего гомоморфизма К-алгебр:

%: W(A)®w(k)K^K^.(1.2.1.2)

Положим

8部(Р) = lim”(4)g)用的К)/(Кег %)", BDR = Frac 5^(F).

К-алгебра BDR является полем, полным относительно дискретного нормирования с кольцом целых элементов B^R(V) и полем вычетов Кл. Группа Галуа G действует непрерывно на BDR. Пусть (zneppn(K), п》0) - некоторая образующая Zp(l) с образом z в А. Ряд

log (И) = Z (Т)”т([目— 1)”/%

где [ ] обозначает представитель Тейхмюллера, сходится в B^R(V) к некоторому элементу 厶 который является униформизующей. Отсюда получается G-эквивариантное вложение:

Zp⑴ T8募，ziz.

Пусть Fil обозначает Z-адическую фильтрацию на BDR, т. е. Filf BDR = =L5^r (zeZ). Имеем G-эквивариантный изоморфизм

gr 8dr =㊉ К а (0,

где gr обозначает ассоциированную градуировку. Иногда эта последняя алгебра будет обозначаться через Внт.

Кольцо Bcris

Пусть I обозначает идеал - ядро гомоморфизма 9 (1.2.1.1). Обозначим

^-пополненную оболочку разделенных степеней идеала / в Ж (Л) (см. [4] или [5]). Получится некоторая Р7(/с)-алгебра. В предыдущих обозначениях имеем ft 5+ и проверяется, что tP —、wpB*. Положим

^(У) = 8 + (Р)[1/加 и Bcris(V) = B+(VK\/q.

Это некоторые К0-алгебры, на которых G действует непрерывно. Автоморфизм Фробениуса ф на Ж (Л) продолжается до некоторого a-линейного автоморфизма ф на Bcris, такого, что 屮才=pt. Наконец, естественное отображение W (Л) -^ В^R продолжается до некоторого G-эквивариантного вложения:

B“is ®к0^~^ Bdr .

Оно индуцирует изоморфизм на ассоциированных градуированных алгебрах относительно фильтрации Fil на BDR и индуцированной фильтрации, также обозначаемой через Fil.

Кольцо Bcris - или также кольца В^ /рп~ допускают кристаллическую интерпретацию, которая «объясняет» их роль в теоремах сравнения: имеются изоморфизмы

B^/pnZ H?ris (Spec (VIpP)/Spec %),

совместимые с естественным действием группы G и 屮[25, § 3].

По определению кольца Bcris ясно, что оно зависит только от 叱 более точно, что Bcris(W) -^ Bcris(V). Можно также показать, что точно так же и BDR(W) ^ BDR(V). В частности, 5薪(Р) содержит К. Можно показать, что К плотно в 5^r(P) (в канонической топологии, менее тонкой, чем та, что определена нормированием) [Р. Colmez, Le corps des periodes p-adiques, GRAS 310 (1990), 321-324].

Кольцо Bst

Пусть я-некоторая униформизующая И Пусть х — (хп, и ^ 0)-последовательность элементов 匕 такая, что хп = х{+1 и х0 = л; пусть х-ее образ в А. Имеем [х] ® я ~1 е 1 +Кег9к (1.2.1.2), что позволяет определить

м = log([х](S 冗

Обозначим через В^ (соответственно Bst ) подкольцо BDR, порожденное B^s (соответственно Bcris) и w. Оно зависит от 兀,но не от выбора х. Фонтен показал [27], что w трансцендентен над Bcris, причем 5* (соответственно 5st) является алгеброй полиномов от одной переменной над 5*is (соответственно Bcris) (см. [29] и [27], где дается лучшее определение Bst как решения некоторой универсальной проблемы). Bst стабильно относительно G в BDR. Можно продолжить ф на Bst, полагая ф (〃) = ри. Наконец, определяется оператор монодромии

М Bst т Bst

как единственное 5cris-дифференцирование, такое, что Nu = 1. Имеем по построению

N(p = pqN

(что приближается к (1.1.1)). Естественное отображение

% (Sk/ т BDR

инъективно. Обозначим опять через Fil индуцированную фильтрацию. Имеем we Fil1.

Свойства колец В

Имеем

"°(G, ВНТ) = Я0(G, BdQ = К, Я0(G,斗诃)="°(G, Bst) = K0.

Это сводится к результатам Тейта [70, § 3] о вычислении H°(G, К Л (『)), см. 3.2.1.

Имеем

Bsis = Ker N: B§t т В讯,

Qp = {xeBcris\^)x = x, x® 1 eFil0}.

Различные типы р-адических представлений

Основная конструкция такова. Обозначим через RepQ^ (G) категорию р-адических представлений G (ее объекты суть Q^-векторные пространства конечной размерности, снабженные непрерывным линейным действием группы G, а морфизмы суть G-эквивариантные линейные отображения). Пусть i означает какой-либо из символов cris, sr, DK, НТ. Для Ее Repq (G) Фонтен определяет

2闺=仍怎q/尸 (13.1)

(«£)» в честь Дьедонне). Это векторное пространство над Кл = 8f (К = Ко, если i = cris или st, Ki = К иначе) размерности ^ dim Е: согласно результатам Тейта, упоминавшимся выше, естественное отображение

Bj ® KjDi(E) т Bj ®QpE(1.3.2)

инъективно; впрочем, биективность а^ равносильна тому, что

dim&D個=dimQ(£).

Говорят, что данное представление является соответственно кристаллическим, полу стабильным, типа де Рама, типа Ходжа- Тэйта, если соответствующее отображение а、биективно. Ясно, что

кристаллическое => полустабильное => типа де Рама => типа Ходжа-Тейта.

Первый класс представлений, которые надо изучить,- это представления типа Ходжа-Тейта, следуя работам Тейта [70], см. также доклады Серра [63], [66]. Представление является представлением типа Ходжа-Тейта тогда и только тогда, когда представление Кл ®Q Е (G действует диагонально) является суммой (с необходимостью прямой) представлений типа К Л (z) feZ. Для Е размерности 1, заданного некоторым характером р: GtQ^, из результатов Тейта вытекает (loc. cit.), что Е типа Ходжа-Тейта тогда и только тогда, когда ограничение р на некоторую открытую подгруппу группы инерции I совпадает с некоторой степенью циклотомического характера 无：G ^ Z* (заданного действием G на Zp(l)). Для произвольного представления р: G т GL (£) типа Ходжа-Тейта компактная подгруппа р(1), образ группы инерции, открыта в своем замыкании по Зарискому р (/产(см. также [62], [66]). Кристаллический тип соответствует более сильным свойствам: для Е размерности 1 Е является кристаллическим тогда и только тогда, когда ограничение р на всю группу инерции / совпадает с некоторой степенью циклотомического характера %: G ^ Z* . Для Е произвольной размерности группа р (Z)alg связна согласно результатам Фонтена [22] (это, впрочем, верно и для полустабильных 瓦 см. [28]).

Пусть X - собственная плоская схема над S — Spec V с гладким общим слоем Х^. Наиболее существенные результаты теории (предположенные Фонтеном и доказанные в общем случае Фальтингсом, см. § 2, где содержится точная формулировка) таковы:

H*(Xr, Qp) как представление G является представлением де Рама, a Ddr (7/*(^, Qp) является когомологией де Рама X» на т).

Если X гладка над S, то представление Н* (У^, Qp) является кристаллическим и Dcris (Н*^^, Qp)) совпадает с кристаллическими когомологиями Xs над W (к), умноженными тензорно на К。.

Имеется также гипотеза в полустабильном случае, см. § 4.

Для i = cris, st или DR группы DRE) наследуют дополнительные структуры, заслуживающие отдельного изучения. Замеченные вначале для когомологий де Рама и кристаллических, эти структуры являются также и исходным моментом определения колец В.

Для Е е RepQp (G) Ddr (£) (соответственно Ряг(£)) является фильтрованным К-векторным пространством (соответственно градуированным К-векторным пространством (причем gr Ddr(E) с= Dht(E^. Эта структура слишком слаба для того, чтобы можно было надеяться, исходя из нее, восстановить Е посредством изоморфизма (1.3.2). Надо действовать по-разному для кристаллических или полустабильных представлений.

Фонтен определил (ф, М)-филътрованный модуль над К как К0-век- торное пространство М, снабженное ст-линейным инъективным отображением ф： М т М, К0-линейным отображением N: М т М таким, что N(p = pcpN, и убывающей фильтрацией Fil■ Мк на Мк：= К Ек°М К-векторных подпространств, такой, что U Fil1 Мк = Мк и П FiUM^ = 0. Такие (ф, ^)-мoдyли образуют, по естественной причине, аддитивную категорию MF^ (屮，N). Если N = 0, то говорят просто: (р-филътрованные модули и соответствующую полную подкатегорию обозначают через MFK.

Для Е е RepQp (G) Dst (£) (соответственно Dcris (£)) является естественным образом объектом категории MFK (ф, ^) (соответственно MFK)： 屮 и N происходят из 屮 н N на Bst и фильтрация - из фильтрации Fil на Bdr посредством включения К®к0 Dst (£) <= Ddr (Е) (соответственно К 区 к。口行也(Е) и Ddr (盼)• Следующее предложение легко выводится из свойств колец В (1.2.4):

Предложение 1.3.6. Обозначим через Repsf (G) (соответственно через Rep“is(£)) полную подкатегорию RepQ’(G), образованную полустабиль- ными (соответственно кристаллическими) представлениями. Тогда функтор % (соответственно Dcris) индуцирует вполне строгий функтор

%： Reps((6} -► MFK(ср, N) (соответственно Dcris: Rep“,s(G) т MFQ.

L3.7. Будем говорить, что некоторый (ф, ^)-фильтpoвaнный модуль М над К и некоторое полустабильное представление Е ассоциированны^ если М 4 Dst (£). Это сводится к тому, что имеется изоморфизм

a： Bst®KoM^ Bst®QpE.

совместимый с различными дополнительными структурами на правой и левой частях (на левой части 屮 действует как ф ® ф, N-как N ® 1 + 1 ® N, geG-как ^ ® 1, a Fib дается, после расширения скаляров до К, фильтрацией, полученной в результате тензорного умножения; справа ф действует как ф ® 1, N — как N ® 1, gcG-как д ® д, a Fir происходит из фильтрации на К ®KqBsz). Благодаря а М и Е определяют друг друга однозначно:

M^Dst(E) (=№®Qpr)G),

Е {xeBst®KoM\Nx = 0, фх = х, 1 ® xg Fil0}.

Точно так же говорят, что фильтрованный(p-модуль М над К и кристаллическое представление Е ассоциированы, если М ~ Dcris (£), что также сводится к существованию изоморфизма

Q •瓦ris ® Ко М —> ^cris ® Qp Е,

совместимого с различными дополнительными структурами, благодаря которым М и £ определяют друг друга однозначно:

М 4 Dcris(E) (= (В* ®QpE)G),

Е {x^Bcris®K0^\ <рх = х, 1 ® xeFil0}.

Мы отсылаем к [28] и [29] за гипотетическим описанием существенного образа Dst (соответственно D^) (1.3.6) («слабо допустимые фильтрованные (ф, ^)-мoдyли»).

ГИПОТЕЗЫ С,%, Ср% Снт

Эти «гипотезы» отныне уже являются теоремами Фальтингса [19], [20].

Гипотезы Cdr, СНт

Пусть X-гладкая собственная схема над К. Когомологии де Рама X, H%R(Х/К): = Я* (К, С^/к), являются пределом спектральной последовательности Ходжа,

Е» = НЦХ^х/к)=^НМХ/К),

которая по теореме Ходжа вырождена в члене £\ (см. в [17] эле-

ментарное алгебраическое доказательство). Она снабжена также сходящейся фильтрацией, называемой фильтрацией Ходжа Fil，Н夯r(X/K), с которой ассоциированы пространства ^H^R[X/K) = Hm^l(K, С). Градуировка связана с р-адическими этальными когомологиями Х^ (=ХК)Н*(Х^, Qp), снабженными естественным действием группы Галуа G, согласно результату Фальтингса, предположенному Фонтеном [23]:

Теорема 2.1.2 [20] (гипотеза CDR). Представление Н*(Х^, Qp)-muna де Рама, причем существует функториальный изоморфизм (К-фильтрован~ ных модулей) /7方衣(Х/К)二 £)口& (Н* (Х^ , Qp)) (1.3.2). Другими словами, существует функториалъный изоморфизм

^DR- Bdr ®k^DR (Х/К) т Bdr ®q^H* (^ , Qp), совместимый с действием G и с фильтрациями справа и слева.

Изоморфизм dDR определен Фальтингсом, он совместим также с двойственностью Пуанкаре и с взятием классов Черна. Взятие ассоциированных градуированных пространств дает

Следствие 2.1.3 (гипотеза СНТ или Ходжа-Тейта). Положим

〃脑(Х/К) = gr〃XR(X/K) (=㊉Hl(X,Qi))•

Представление Н* (Х^, Qp) имеет тип Ходжа- Тейта, и существует функториалъный изоморфизм К-градуированных модулей

Hhg(X/K^DHT(H*(X^Qp)).

Другими словами, существует функториалъный изоморфизм

^нт- Внт ®KH^dg(X/K) Внт ®qp^*(Х^, Qp), (2.1.3.1)

совместимый с действием G и с градуировками справа и слева.

Задание этого изоморфизма эквивалентно заданию для всех т некоторого G-эквивариантного изоморфизма

аяг: ^H^i(X,ni)®KK\-i)ZHm(X^,Qp)®Kf' (2.1.3.2)

(«разложение Ходжа-Тейта»).

Существование такого разложения предположил Тейт в своем семинаре в Коллеж де Франс [64], и, как отмечено во введении, он же

и доказал его для абелевых многообразий, имеющих хорошую редукцию [70]. Вскоре после этого это доказательство было распространено Рейно на случай многообразий с плохой редукцией с помощью теоремы о полустабильной редукции [SGA 7 IX] (см. [9], где излагаются идеи доказательства Рейно).

В течение десяти лет в этом вопросе не было почти никакого прогресса. Затем в [24] Фонтен дал новое доказательство результатов Тейта и Рейно, и примерно тогда же Блох и Като [7] доказали существование разложения Ходжа-Тейта в произвольной степени ш, но лишь в том случае, когда X имеет хорошую обыкновенную редукцию, что означает, что X является общим слоем некоторой гладкой собственной схемы % над S, у которой специальный слой удовлетворяет условию Н* (У dC§) = 0 для всех i: их метод, состоящий в анализе «спектральной последовательности исчезающих циклов»

现=沙(小,r+亿/,))="*(Xw2/炉)， (2.1.3.3)

доставляет в этом случае некоторую G-эквивариантную убывающую фильтрацию на Нт(Х^, Qp) с градуированными пространствами gr„iT方热—可-5(一认 где 7rM一口 является уже неразветвленным расширением. Затем общая гипотеза Ходжа —Тейта была доказана Фальтинг- сом [19], в то время как Фонтен и Мессинг независимо и почти одновременно получили доказательство в случае хорошей редукции (с некоторыми необходимыми ограничениями) как следствие из гипотезы С ст см. ниже. Метод Фальтингса (см. разд. 3) инспирирован вычислениями Тейта [70]. Этот метод позволил ему также доказать недавно и гипотезу G)r [20].

Гипотеза Ccris

Пусть X-собственная гладкая схема над К, имеющая хорошую редукцию^ т. е. X является общим слоем некоторой гладкой собственной схемы х над S. Когомологии де Рама X над К обладают тогда естественной К0-структурой: по теореме Бертло - Огаса [6] существует канонический изоморфизм

H*{Y/W)®wKZHiR(X/K), (2.2.1.1)

где У= /5 - общий слой % и H*(Y/W) обозначает кристаллические когомологии У относительно W ([4]； вводные сведения о кристаллических когомологиях содержатся в [41] и [42]). Более того, абсолютный эндоморфизм Фробениуса У индуцирует некоторый а-линейный биективный эндоморфизм ср на //*is(X):= H^(X!W) ®wKQr Векторное пространство 〃Зк(Х/К), снабженное, с одной стороны, фильтрацией Ходжа Fil (2.1.1), а с другой стороный, Ко-структурой Н*$(Х) и ф, является

поэтому фильтрованным(р-модулем (1.3.5). Следующий результат показывает, что эта последняя структура зависит фактически только от X (но не от модели 无),что независимо было доказано Жилле и Мессингом [34]):

Теорема 2.2.2 [20] (гипотеза Ccris). В предположениях 2.2.1 представление 〃*(X",Qp) является кристаллическим w канонически ассоциировано с фильтрованным ^-модулем H^R (Х/К\ определенным выше: существует функториалъный изоморфизм

Q"is： ^cris ®K0^cris(^) ^cris ®Qp^*(^ - Qp), совместимый с действием G и с фильтрациями справа и слева (действие G, <р 〃 фильтрации после расширения скаляров до К).

Как и вышеупомянутый изоморфизм 虱口衣,изоморфизм acris, построенный Фальтингсом, совместим с двойственностью Пуанкаре и с взятием классов Черна и классов циклов.

Гипотеза С“％, сформулированная как и CDR, Фонтеном в [23], была сначала доказана Фонтеном и Мессингом [31] в случае, когда dimX < р и К = К。. Доказательство Фальтингса является также и здесь некоторой адаптацией метода, развитого им для СНТ [19], см. разд. 3. Метод Фонтена - Мессинга совершенно иной; мы о нем скажем несколько слов в разд. 4.

Теорема 2.2.2 имеет многочисленные приложения, описанные детально в [31]. Среди наиболее впечатляющих из них отметим:

доказательство гипотезы об умеренной инерции Серра [65, 1.13, с. 278], дающей действие группы умеренного ветвления Г!」卢尸Z/1)(Q на полупростой оболочке представления Н]рН, где //-решетка в Н*(Х^, Qp), инвариантная относительно G;

некоторое обобщение теоремы о несуществовании нетривиальных абелевых схем над Spec Z [1], [26]: если X - гладкая собственная схема над Q, имеющая всюду хорошую редукцию, то Н，(X, Q') = 0 для i 片 / w i + J W 3 (в частности, если dim X W 3, все когомологии X являются алгебраическими) (J.-M. Fontaine, Lettre a W. Messing du, 15.1.86, появится в трудах индо-французской конференции по геометрии, Бомбей, 1989; В. А. Абрашкин, Модификация функтора Фонтейна - Лафайя, Изв. Акад, наук, серия мат. 53 (1989), 451-497); доказательство сочетает некоторую более тонкую версию 2.2.2 (относительно действия G на Н/рпН, //, как в п. а)) с нижними оценками дискриминантов Одлыцко - Пуату-Серра.

Абсолютные циклы Ходжа

Допустим, что К является пополнением некоторого поля алгебраических чисел 牙 в некоторой точке п. Пусть ^ - алгебраическое за-

мыкание J^, и выберем некоторое вложение 力—> К (которое отождествляет G = Gal(K/K) с некоторой подгруппой разложения в Gal (Х/Х)) и вложение f: # -> С. Если % - гладкая собственная схема над jf, обозначим через X и X/ схемы над К и С соответственно, полученные расширением скаляров посредством естественного вложения и 九 Когомологии де Рама ЯБкбс/Jf) и «когомологии Бетти» Н臥XJ := Нт (Xt (С), Q) тогда оказываются связанными двумя типами изоморфизма периодов.

Классические периоды. Классическая теория периодов дает изоморфизм

ав, г： 〃£r(%/К) ®х,/^ т ^в (XJ ®qС.

(Мы будем писать ав вместо ав z, когда это не может вызвать недоразумения.)■

р-адические периоды. Имеем H£r(X/K)二 H\r(%/*) ®*К. С другой стороны, по теореме о собственной замене базы (SGA 4 XII) и теореме сравнения между этальными и классическими когомологиями (*GA _4 XI) имеются канонические изоморфизмы (индуцированные 双> К и f)

Hm(XR,Qp/Hm(Xt，Qp)二 н 臥Xj^Qp.

Благодаря этим изоморфизмам изоморфизм 久。尺 из 2.1.2 переписывается так:

Qdr： 〃Br(%/4) ® 宽 В dr f HR (X J ®qBdr .

Более общо, пусть % =(厶，…，%N) - некоторое конечное семейство гладких собственных схем над Х' и Т= TDR ^^) (соответственно Тв (Хг)) - некоторая «тензорная конструкция», заданная как

H^rWJ抬® …® 〃队 0U” ®H^r(xJ^®.-.®H^r (%n“) V

(соответственно для групп HB{ — t)). Тогда имеется классический изоморфизм периодов

^(X/^)®xC^7i(XJ®C

и р-адический изоморфизм периодов

Tdr(jJ糞)®х Bdr т Тв(X») ® BDR .

В предыдущих обозначениях пусть xeTDR (х/^) ~ некоторый цикл Ходжа относительно г： это означает по определению (ср. [15] [56]), что 田计。小и что ав(х) е TB(xt). Если 尤 суть алгебраические многообразия или проективные пространства, то в силу теоремы Делиня [15] известно, что для любого другого выбора f опять будем иметь «в, г (х)е 7^(хг). При тех же предположениях имеем

ав(х) = авк (х). (2.321)

Этот результат был доказан независимо Блазиусом (его доказательство в упрощенном виде объяснено Огасом) и Винтенберже [72].

Пусть % обозначает подгруппу Gal(K/K°), образованную элементами, имеющими в качестве образа в Gal (к/к) некоторую целую степень элемента Фробениуса конечного поля к. Из теоремы Бертло - Огаса (2.2.1.1) выводится, что, если все 霜 имеют хорошую редукцию, % действует естественным образом на TDR(X/K) ® К [6]. Из (2.3.2.1) (и из сравнимости (ср. 4.3.5) между acris и aDK) следует, что % оставляет неподвижными образы циклов Ходжа. Как приложение Огас [58] получил некоторый р-адический аналог формулы Чоулы - Сельберга [35], описывающий действие % на Я^к (^к/Ю для эллиптической кривой % с комплексным умножением, определенной над X и имеющей хорошую редукцию в X), в терминах значений р-адических Г-функций. Доказательство Огаса (редукцией к аналогичной формуле для кривых Ферма) инспирировано доказательством Гросса [35] для классической формулы Чоулы - Сельберга: оно использует вычисления Колемана [R. F. Coleman, On the Frobenius matrices of Fermat curves, preprint (1990)].

Отметим также в качестве приложения (2.3.2.1) описание Винтенберже [71] функтора модулей Дьедонне для мотивов СМ-типа над Q, обобщающего неопубликованную теорему ' Коттвитца (см. также [A. Reimann, Т. Zink, Der Dieudonnemodul einer polarisierten abelschen Mannigfaltigkeit von CM-typ, Ann. of. Math. 128 (1988), 461—482]).

Числа Тамагавы мотивов

Из-за недостатка места мы ограничимся лишь некоторыми ссылками: эта тема заслуживает отдельного доклада на семинаре Бурбаки! Классическая теория чисел Тамагавы связывает алгебраические группы и значения L-функций: см. в [1] подробное изложение. В [8] Блох и Като развили с помощью техники Фонтена и Мессинга [31] аналогичную теорию, хотя в значительной степени гипотетическую, для мотивов над Q (скажем, в смысле Гротендика, см. [67], где содержится современное введение и список литературы); типичный подход состоит в рассмотрении различных реализаций-де Рама, Бетти, Аадической, кристаллической и др-объекта «Нт(Х, Z(r))» для собственной и гладкой схемы X над Q. Для такого мотива они определили группы /(Qp), играющие роль групп точек в случае алгебраических групп, и предложили «гипотезу Тамагавы», которая уточняет гипотезы Делиня [14] и Бейлинсона [3] о L(M, 0) (см. также [61]). Они (частично) проверили эту гипотезу в частных случаях (дзета-функция Римана, эллиптические кривые с комплексным умножением); ключевым ингредиентом при этом является новая интерпретация гомоморфизма Коутса - Вайлса с помощью кольца Bcris. Дальнейшее развитие этой темы, связанное с рассмотрением 17-100

«смешанных мотивов», было дано недавно в работах Фонтена и Пер- рен-Риу [33].

МЕТОД ФАЛЬТИНГСА ([19], [20])

План

Мы ограничимся эскизом основных этапов доказательства гипотезы Ходжа-Тейта для %л, где X - гладкая собственная схема над S, причем

целостная. Мы лишь скажем несколько слов в п. 3.6 о случае плохой редукции, а также о вариантах Ccris, CDR.

Метод состоит в построении: i) некоторой теории когомологий (斤,8 А)

с коэффициентами в 0 A -модулях с полулинейным непрерывным действием группы Галуа G; ii) естественных преобразований, совместимых с действием группы G:

HYX^Zp)® 片 &8*(斤,8a)巴㊉8*T(X,6)О 貝 pipA)(T),

где р - некоторый элемент 匕 см. 3.3.2. Если U = Spec R - открытая аффинная подсхема X, такая, что % целостная, то через 衣 обозначим нормализацию К в универсальном накрытии %; группа Галуа Г = =Gal (&/К) действует на 冗 и a fortiori на ее геометрической подгруппе А = Gal (灭/4).

Рассмотрим «непрерывную» когомологию Галуа

Я* (A, R) а : = lim Я* (А,灭勿”&),

образованную V -модулями с полулинейным действием G. Используя технику, восходящую к Тейту [70], Фальтингс показал (см. 3.3), что для достаточно маленького U можно «с точностью до m-кручения» заменить при вычислении этой группы когомологий А на некоторое расширение R ®v V, полученное присоединением всех корней из единицы степеней рп в А, а Д на соответствующую геометрическую группу Галуа, которая совпадает с Zp(l)d: существует G-эквивариантный изоморфизм

Н1^Я^®(2р^^х/к®уКЛ(-1).(3.1.1)

Основываясь на одном варианте (см. 3.4.4.2) теоремы Артина о хороших окрестностях (SGA 4 XI), Фальтингс показывает, что существует^оста- точно много таких U, для которых когомологии Галуа Я* (A, R/pn R) отождествляются с этальными когомологиями Н* (U^, R/pnR).

Стандартная процедура глобализации доставляет теперь определение Я*(Х 8 а ) и определение преобразования (1). Точная последовательность глобальных дифференциалов (см. 3.4.3) позволяет определить (2), и из (3.1.1) выводится, что (2) ® Qp является изоморфизмом. Остается лишь показать, что (1) ® Qp-изоморфизмы, и это делается с использованием глобального соображения (см. 3.5.2), использующего согласованность (2)т ' (1) с двойственностью Пуанкаре.

Почти этальные накрытия и расширения,поглощающие ветвление

Исходным пунктом является следующий результат Тейта [70, 3.2]. Пусть Кд = К (у)宜―максимальное циклотомическое р-подрасшире- ние, 几一нормализация V в К^, тда - максимальный идеал в 几.Тейт показал, что 嚷 поглощает практически полностью ветвление V над V. Более точно, пусть L-конечное расширение Галуа К^, содержащееся в К с группой Галуа Н, В - нормализация Ую в L. Тейт установил, что:

，С%/Рх = 0;

тПд • Я* (Я, 5 а ) = 0 для всех i > 0, где

入):=lim (Я,В/рпВ)：

Напомним вкратце его рассуждение. Можно предполагать, что V= Ж (/с). Тогда явно известно (и элементарно вычисляется) ветвление (т.е. группы ветвления и дифферента) расширения Кп = К(црп) над К (см., к примеру, [CL, IV § 4]). Расширение L поля К^ является объединением расширений Галуа L„ над Кп с группой Н для достаточно большого и. Изучение групп ветвления Ln над К с помощью теоремы Эрбрана показывает, что при 〃 т оо значение дифференты ^Ln/Kn расширения Ln/Kn мажорируется ср~п, где с-константа. Отсюда вытекает а). Поскольку 勿“ (TrLn/Kn(Bn)) = [У^ь^!^ гДе 5„ - нормализация К* в L“ и е - индекс ветвления расширения LJKn (постоянный при и » 0), отсюда выводится, что Тг^у (5) n т^ . Для ает^ пусть ЬеВ таков, что Тг(Ь) — а. Если М - некоторый 5-модуль, на котором Н действует полулинейно, то получаются отображения %： М т М”, mh^TrH (bm), где Тгн —工№. Отображение / функториально по М и индуцирует на Мн умножение на а. Отсюда следует, что а аннулирует Hl(H, М) для i > 0, откуда следует Ь).

Фальтингс обобщил это на гладкие алгебры (или формально гладкие) над «достаточно маленьким» 匕 но достаточно произвольной размерности. Для этого эффекта он ввел следующее понятие, играющее существенную роль во всей теории.

Напомним, что алгебра 5 конечного типа над / является хорошей

(т. е. неразветвленной) над А, если QjM = 0, что можно выразить иначе, сказав, что диагональное вложение Spec В -> Spec В ® л В открыто или также что В является прямым слагаемым В®АВ как 5(х)л5-модуль относительно структурного морфизма т: В®АВ^В^ т(х®у) = ху, т.е. что существует идемпотент евмсВ® ^В, задающий (5®л5)-линейное сечение, см., к примеру, [59, III § 4].

Перейдем теперь в категорию 吃 состоящую из 几-алгебр без /j-кручения (можно заменить 匕 на 匕 рассматриваемое как кольцо с нормальной базой, в которой р = их", w - единица для бесконечного числа значений и). Фальтингс говорит, что гомоморфизм А — В в % является почти этальным накрытием ("almost etale covering"), если:

В [1/р] -неразветвленное этальное расширение Z[l^] (т.е. хороший и проективный А [1/р]-модуль конечного типа);

Тг (В)(^ /, где Тг: В [1 仞 一 / [ 1/р] - гомоморфизм следа;

m^ ■ евм a Im В ^)АВ (В ®А 5) [1/р], где еВ1ЛЕ(В ® АВ)[\/р]~ идемпотент диагонали, определенной в i).

Например, расширение В над 几 из 3.2.1 является почти этальным накрытием.

Легко проверяется, что если 5-почти этальное накрытие Л, то т^ аннулирует Tor^B, М) и Ext %仍，М) для всех Л-модулей М и всех q > 0. С другой стороны, с точки зрения инфинитезимальных накрытий почти этальные накрытия ведут себя, с точностью до мелочей, как этальные морфизмы.

L Если 5-почти этальное накрытие Z и 8 = / + тда В, то произвольный морфизм Л-алгебр В т С[1, где С-некоторая Л-алгебра и I - нильпотентный идеал, поднимается однозначно до 5 ^ С (другими словами, В является вполне этальной Л-алгеброй (EGA ОIV, 19.10.2)).

2. Если / и Z нильпотентен, то для произвольного почти этального накрытия 50 над Ло, такого, что 5。= /° + 50, существует почти этальное накрытие В над А, такое, что 50 = (5 ®ЛА^/(р-кручение).

С другой стороны, справедливы свойства, аналогичные 3.2.1 а) и Ь). Будем говорить, что морфизм 几-модулей является т^-изоморфизмом (или изоморфизмом по модулю m-кручения), если его ядро и коядро аннулируются т^ (напомним, что т^ = т^). Пусть В - почти этальное накрытие А. Тогда:

Отображение С^^^ВтС； является гп^-изоморфизмом.

. Если некоторая конечная группа Н действует на В таким образом, что В [1 勿]является расширением Галуа А [1/р], то для произвольного 5-модуля М, на котором Н действует полулинейно, имеем m^-Hl(H, М) = 0 для всех / > 0.

Доказательство 3.2.2.4 аналогично доказательству 3.2.1 Ь). Доказательства 3.2.2.1 и 3.2.2.3 опираются на свойство аннулирования умножением на тда когомологий Хохшильда Н *(fi/Л, L) в размерностях >0

(L-некоторый (5 ® л 5)-модуль), которое, в свою очередь, вытекает из iii).

Основным результатом теории является следующая теорема:

Теорема 3.2.3. Пусть U = Spec(R) этален над Spec ^[Тр1, ..., Т尸] относительно морфизма ^^u^R*. Пусть

凡=(R ® у К) [М，必工 《。с = 1® 凡，Ug = Spec Rg, где Vn - кольцо целых Kn = К(ц). Тогда если U' т U конечно с нормальной U', то U% эталъно над U^ и нормализация U^ х ^U' является почти этальным накрытием -

Следствие 3.2.4. Допустим, что U^ целостная. Пусть й^-универсальное накрытие U^ D, и пусть U - нормализация U^ 6 0fl. Тогда U t(U 8K является проективным пределом почти этальных накрытий:

丄⑵1:

U——UsUf\

SJSg JS—h

(N. В. Квадраты в диаграмме коммутативны; в силу 3.2.1, (1), а значит (2) и (3) являются проективными пределами почти этальных накрытий.)

Доказательство 3.2.3 тяжелое. Схема U заменяется ее гензелизацией U(x)= Spec К(х)в некоторой точке х специального слоя, и доказательство производится индукцией по dim U(x) ( = d + 1 — dim {x}). В случае dim Ug = 1 кольцо A(x) является гензелевым кольцом дискретного нормирования, поле частных которого является конечным сепарабельным расширением к⑵，…，Td). Если d = 0, то результат выводится из соответствующего результата Тейта (3.2.1). В общем случае метод Тейта, использующий группы ветвления и теорему Эрбрана, неприменим. Однако в любом случае, если U，= Spec (R') и А„ - нормализация К ® R, Фальтингс показывает, что нормирование дифференты 此 над 凡 стремится к нулю при и -> оо. Случай dim U @)= 2 сводится к предыдущему локализацией в минимальные точки специального слоя U[x). При dim UM ^ 3 используется предположение индукции применительно к некоторому гиперплоскому сечению dim и@)и применяется 3.2.2.1. Данное доказательство инспирировано теоремой о чистоте Зариского - Нагаты (SGA 1 Х3.1), данной Гротендиком в (SGA ЗХ § 3).

D Здесь берется проективный предел прообъектов, определенных в (SGA 1

V).

Когомологии Галуа и дифференциалы:локальные вычисления

Перейдем к ситуации, описанной в 3.2.4. Положим R = ^(V), Rp= R(8)&又 Пусть Г и Д - фундаментальные группы соответственно % и % (ассоциированные с %), так что G =「/А

Фальтингс показал, что можно «почти» вычислить 〃*(А, R/pn) как представления группы G. Действительно, пусть Т = Zp(l)d-rpynna Галуа (UQ* над U^Zy,…，Zd)£(%n)“，действующая по правилу 呼 ”1 iZjW \ Я-группа Галуа U над (U^) 5. Рассмотрим спектральную последовательность Хохшильда 一 Серра:

E%s = 7r (工7Г(Н R/pn》а Н宀(к,衣/炉)

(она является G-эквивариантной). Поскольку U т (U^)* является проективным пределом почти этальных накрытий (3.2.4), то из 3.2.2.4 выводится, что m ■ Я®(Я, R/pn) = 0 при 5 > 0. Поскольку, с другой стороны,

8。(Н反)=8(Ug)s=k/0]，…，哈〕

то отсюда получается G-эквивариантный канонический изоморфизм

Я1 (А, А/рп) ^H[T,Ry[u^ "，…，吗"]/pH)(mod m-кручения). (3.3.1.1)

Из следующего разложения, инвариантного относительно Т и эквивариантного относительно G,

(К〃Р")[и 夕，…，吗-]=(К〃р“)㊉(㊉ Кр/р“)〃3 ・••，〃*,

где вторая сумма распространена на все а ~(а1,....勾)〃[1/р]* такие, что «^0и0<^<1, получается (например, с помощью резольвенты Козюля) G-эквивариантный изоморфизм:

Н*(А,R/pn) ^ А((贝p/р")(— 1尸)㊉勿(mod т-крунения) , (331.2)

где г аннулируется умножением на р‘‘О. Переходя к проективному пределу по и, окончательно получаем G-эквивариантный изоморфизм

К；-модулей

Я*(Д, Ал)二 Л(А^ (- 1尸)㊉ г (mod тл-кручения),(3.3.1.3)

где г аннулируется умножением на 夕力①一 1} (Фальтингс даже показывает, как можно избавиться от mod тпЛ-кручения).

332. Рассмотрим точную последовательность

определенную морфизмами U -^ U^^ U из 3.2.4. Поскольку U -+ (U^" является проективным пределом почти этальных накрытий, то из 3.2.2.3 (и 3.3.2.3) выводится, что / инъективно и что mod m-кручения точная последовательность (3.321) расщепляется (как последовательность 8 и-модулей). На самом деле mod m-кручения она отождествляется с последовательностью, полученной расширением скаляров из аналогичной точной последовательности для морфизмов (。^)^ — °£~* U・Ho той же причине естественный гомоморфизм С}» ® ^二尸 индуцирует стрелку

^u/s®^v^/p1/^0)^^1/T!， dlog/gpf— образ d\oguf~n, и/% (3.3.2.2)

которая является тп-изоморфизмом. С другой стороны, в силу результатов Фонтена [24], отображение dlog:卩pg т Q^индуцирует изоморфизм

(%口仞川7%)(1)^州岱， (332.3)

где ре Й-некоторый элемент с нормированием (1/р — 1)) 4- и(必忆次⑻)(t? нормализовано условием v(p) = 1) (это также следует из результата Тейта (3.2.1): тот факт, что S ^ S^ является проективным пределом почти этальных накрытий, позволяет установить аналог (3.3.2.3) с S и S,

замененными соответственно на W{k) и W(k)(рр00), а в последнем случае это устанавливается элементарно). Взятие обратного образа (3.3.2.1) относительно (3.3.2.2) с учетом (3.3.2.3) показывает, что применение функтора модуля Тейта Hom(Qp/Zp, -) дает точную последовательность АА-модулей

О —> А Л т Е т С^/у ® р А А (— 1)-+0. (3.3.2.4)

Группа Галуа Г = Gal(U/U) естественно действует на этой последовательности. Отсюда получается гомоморфизм А у-модулей, эквивариантный относительно G = Г/Л:

С加，®Р РА (— 1) - 〃1(А&а)• (3.325)

Вычисление (3.3.1.3) показывает, что он является изоморфизмом по модулю р-кручения. Этим же свойством обладает и стрелка, полученная из (3.3.2.5) взятием Л*:

С^/у ® р' ЙЛ (-0 т ЯЦА,АЛ) • (3.3.2.6)

То же утверждение справедливо и для стрелки прообъектов, происходящих из (3.3.2.6), с Р] (соответственно АЛ^замененным на V/p- (соответственно R/p ) (где Г/р- (соответственно R/p ) обозначает проективную систему V/pn Й (соответственно R/pn 灭)).

Глобализация: когерентные исчезающие циклы

Зафиксируем схему X, гладкую над S, относительной размерности d. Допустим для простоты, что X- - целостная с общей точкой &, и пусть ^ - общая точка локализации в &. Если U открыта (по Зарискому) в X, то через U- обозначим универсальное накрытие %, соответствующее 七, и через U-e£ нормализацию в 。斤 Положим Г(U) = /(U”E), A(U)=兀1(。亚)，так что G = F(U)/A(历.Говорят, что U мала, если U аффинна, U = Spec А с А, этальным над V[T-},..., Т±」(относительно гомоморфизма Т^ А*).

Пусть X обозначает следующую категорию. Объект F = ((Fu), (『Ui，%)) категории X определяется заданием для каждого открытого по Зарискому U в X некоторого этального пучка Fv над 仆 и для каждого включения U] и U2 некоторого гомоморфизма『ju :尸и l(U2k 一 尸 и， такого, что rv2v3°ru1v2 = rulv3 и 『uu =，& ^Гре^уется, чтобы для каждого усеченного гиперпокрытия (открытого по Зарискому) и】 二 U。т U последовательность 尸° т/о*尸и。二 Ji*尸и】 была точна, где % обозначает морфизм (стрелку) из (U^ в。个 Морфизм/: Lt М в^Х-это система стрелок/v: Lv т Mv, совместимых с『^卜⑪？* Категория X является топосом. Если 器一базис открытых множеств, то для U из 器 можно получить эквивалентный топос, обозначаемый также через X (определяя Fv как индуктивный предел Кег (尸и。二/1* 尸uj по гиперпокрытиям U. т U с Uh являющимися суммами открытых е^.

Каждый этальный пучок Е на X индуцирует некоторый пучок, обозначаемый через J*£ (или Е\Х) на У, определенный правилом U ^ Е\ U^. С другой стороны, G действует переносом структуры на X, и если через XG обозначить топос (топологию Зариского) G-пучков на X, то получится G-эквивариантный функтор

^. X ^XG,(3.4.2.1)

ассоциирующий с F пучок Ui「(％,&)• Поскольку по определению Г (X, F) = Г(Хп，尸х), то отсюда имеем G-эквивариантный изоморфизм F(X，wF) =「(N,尸).(3.4.2.2)

Наконец, если £-этальный пучок на X, то

w(万国=e,(3.423)

где /: Х^ т X - естественная стрелка, а 8-проекция этального топоса на топос Зариского.

Ассоциируем с малым открытым U в X (3.4.1) локально постоянный пучок на Uf1co значением А, определенный естественным действием A(U) на А, где А - нормализация К = 8(U) в универсальном накрытии

Ur； тогда проверяется, что так получается пучок колец 夕发 для X. Если М-локально свободный пучок на X, то через М ® % будет обозначаться пучок и 1 M(U)®&(u)8(U) на X.

Точная последовательность прообъектов, связанная с (3.3.2.4),

О т R/p f Е. т С%/у ®pR/p(— 1) т О

функториальна по малым открытым U. Она определяет точную последовательность про-(Р ^-модулей

О т 8发勿"—> 君.—> Ci7s ®p Фx/p (^' 1) т 0 •(3.4.3.1)

Поскольку

w g% ® p“ 度 »•)= civs ®pv/p-,

то точный треугольник, полученный из (3.4.3.1) применением 犬屮，дает морфизм

С弘® p力?(- 1)[- 1]-rw(唯力)(3.4.3.2)

в производной категории D(^)x ®r V) категории 0x®v F-модулей на X (снабженных полулинейным действием G). Если использовать произведение

kW(0竟勿’)®L^V(^Np) t kw(0又勿)

и отображение антисимметризации

Qjs Т (C%s)叫"i 人…A Xj i2£(5)%⑴ ® ® /⑴，

из (3.4.3.2) получается морфизм

㊉ ％/s ® р'勿(一》)[—〃 — &W(勿)(3.4.3.3)

(в категории 0(8* ®v К))- Морфизм

C"s ® pi% (— i) т К^(&я/р } ,(3.434)

индуцированный (3.4.3.3) на 川，является(!-кратным морфизмом, полученным применением А' к (3434) при i = 1. Переходя к проективному пределу, т. е. применяя R lim к (3.4.3.3), мы получаем морфизмы

㊉ Q*s ®)炉 К (— i) [一 i] - &屮(吸)(3.435)

в производной категории ^X®F Йл-модулей на X, снабженных полулинейным действием G, с

kw(8；): = R lim R^(0^fp ).

Одним из основных результатов Фальтингса является следующий.

Теорема 3.4.4. Морфизм (3.4.3.5) ® Qp является изоморфизмом.

Доказательство основывается на локальных вычислениях из 3.3 и одном варианте теоремы Артина о хороших окрестностях. Если U - открытая подсхема в X и 纟一локально постоянный пучок кручения на Uf1co значением L, то_спектральная последовательность композиции функторов ^(^(U), Hs(U^Vj} => Н*(и^,^) дает гомоморфизм

/T(A(U),L)-牙(U帀纟)(3.4.4.1)

из когомологий Галуа в этальные когомологии. Условимся говорить, что U является обще К (я, 1 )-когомологичной (или, проще, допуская вольность речи, что U типа К (я, 1)), если для всех выше определенных 纟 (3.4.4.1) является изоморфизмом. Фальтингс устанавливает следующий вариант теоремы Артина (SGA4 XI):

Лемма 3.4.4.2 [19.2.1]. Подсхемы U типа К (兀，7) образуют базу открытых подсхем в X.

Для доказательства 3.4.4 можно поэтому заменить X на некоторую малую открытую U типа К (兀,1). Заключение выводится теперь из вычислений 3.3.2 (некоторая фиксированная степень р аннулирует конус (3.4.3.3)).

Применяя КГ(Х, —) и принимая во внимание (3.4.2.2), мы получаем теперь из (3.4.3.6) морфизм

㊉КГ(X,煦俗心p▽人(一,)[订一五Г(文,吸)(3.4.3.6)

в производной категории Р(ЙЛ) категории 7 л-модулей (с полулинейным действием G), где КГ区唯):=Rlim АГ(Х&^/р-).

Следствие 3.4.5. Морфизм (3.4.3.6) ® Qp является изоморфизмом.

Дискретные исчезающие циклыи когерентные исчезающие циклы

Предположения и обозначения 3.4.1 остаются в силе.

Следующий этап состоит в сравнении 尺屮(％///) с обычным комплексом исчезающих циклов1}尺屮(Z/p)=产 电*产 Z/p； где 五 Х「Х$и j: 乂口 т Xg-включение Очевидная стрелка ⑺р%Х f % — т ®"Р дается применением R\|/ к стрелке

AV(Z/p)® W~*^V(^/A)(3.5.1.1)

в производной категории D(X, F) про-Й-модулей (в топологии Зариско- го) на X (с полулинейным действием G), где 火屮亿勿)= RjRjJWp ) (см. (3.4.2.2)) (ограничение R^^L/p') на Х$ совпадает с 灭£* 欠屮②勿),где £ обозначает композицию (X)氏 一 (Xs)el -> (Xs)zor). Применение функтора

D Или «близких.», как сейчас чаще говорят - Прим, перев.

7?Г (X, — ) дает морфизм

АГ(X^Z/p) ®V^/p^Rr(X,^^р)(3.5.1.2)

в категории D(V^ \ производной категории npo-F-модулей с полулинейным действием G, причем G действует диагонально на первом члене, а затем применением R lim-морфизма

R「(XaZp)g)K—北(吸))(3.5.1.3)

в категории D(V^) (обозначение из (3.4.3.6)). Хотя о (3.5.1.1) ничего не известно, Фальтингс сумел установить следующую теорему сравнения:

Теорема 3.5.2. Если X собственна над S, то стрелка (3.5.1.3) ® Qp является изоморфизмом.

Доказательство «формально». Положим

т^(х)：= я*(ул,г„)®йл[1/р], #3(х)：= н*(玄，吸)[i/д,

爲 4,：=㊉** T (х, 6)® k( -/)口/川.

Это теория когомологий, ограничения которых на собственные и гладкие X над S принимают значения в конечномерных КЛ -векторных пространствах с полулинейным действием G. В силу (3.4.5) имеем функториальный изоморфизм

限,т»3(Х),(3.5.2.1)

полученный из (3.4.3.6) ® Qp делением на 〃 на Z-той компоненте и применением Н* к так полученному изоморфизму; надо показать, что отображение

Н^Х^Н^Х),(3.5.2.2)

определенное (3.5.1.3), является изоморфизмом. Это сводится к тому, что отображение, полученное композицией отображения (3.522) и обратного к отображению (352.1),

в：篤(Х)тНЗд(Х)(3.5.2.3)

является изоморфизмом. Для этого достаточно проверить, что В совместимо с U-произведениями (что легко) и что морфизмы «следов» H^f (Х)(г7) -> КЛ,7/鴿g(X)(d) т 衣 а определяют двойственность Пуанкаре между обоими членами. Сама совместимость 0 с морфизмами следов выводится из совместимости )3 с гладкими классами циклов, проверенной Фальтингсом с помощью некоторого обобщения теории пар (X, Р), D - некоторый дивизор с нормальными пересечениями в X.

Следствие 3.5.3. Если X - собственная и гладкая над S, то Х^ удовлетворяет СНТ (2.1.3).

Замечание 3.54 Фальтингс показывает в действительности, что при тех же предположениях

отображение (3.5.1.2), индуцированное на Я*, является т-изо- морфизмом;

изоморфизм В (352.3) совместим с изоморфизмами Кюннета, с взятием (возможно, сингулярных) классов циклов и с взятием классов Черна векторных расслоений.

Варианты и дополнения

Гипотеза Ccris

Фальтингс прежде всего определяет для каждого малого открытого (7 = Spec(&) в X (как в 3.4.1) некоторое кольцо Bcris, обозначаемое В(&). Исходя из R, нормализации R в универсальном накрытии U^, положим, по аналогии с 1.2.2,

8+ (R) = D^Wflim 衣勿反))人，

где берется проективный предел семейства копий R/pR, индексированных N, по отображениям F: х^хр, /-идеал, определенный точной последовательностью

о т I т w(lim R/pR)^R^ Т о,

где 斤-р-адическое пополнение Д

причем sM = lim snm, rnm-поднятие snm в R, и, наконец, !>『( — )八 определяется как ^-пополненная оболочка разделенных степеней / (можно показать, что 尸 сюръективно, откуда следует сюръективность 0). Группа Галуа F(U) = Gal(R/R) действует непрерывно на 5+(&). Автоморфизм Фробениуса на lim R/pR продолжается до некоторого автоморфизма

F

Ф кольца В+ (А). Конструкция функториальна по R в частности, 8+ (К)[1/р] является алгеброй над 8广広=В+ (F)[l/p] и поэтому содержит естественным образом Zp(l). Положим

5(K) = 8+(R)|>t,「】],

где Е—образ некоторой образующей Zp(l). Действия Г(U) и <р продолжаются на В (А). С другой стороны, B(R)®KqK имеет естественную фильтрацию F', происходящую из J-адической фильтрации на В^ (А) ®^(к)К, определенную ядром J композиции гомоморфизмов

В+(&)®/&)V^RK®w(k)Ут 衣人；

ассоциированное градуированное кольцо фильтрации F отождествляется с

Обозначим через ^+ (Л Л), 6(灭八)кольца, полученные той же конструкцией исходя из /?-адического пополнения R.〜

Перефразируя 343, мы определим пучки 5+ /(/【"】+ ртВ + ) на X, сопоставляя с U = Spec К локально постоянный пучок на U”，определенный с помощью 8+(R а)/(/〔“' -}- ртВ+ {R^}) с действием A(U). Имеется естественный морфизм в D(B + (7)/р ):

RV{X^Z/p)®L В+ iy)/lw RViX.ZIp)® В+/1{п}) . (3.6.1.1)

Из 3.5.4а следует, что для собственной X (3.6.1.1) является шв-изомор- физмом, где тв - прообраз максимального идеала тЛ при 5+ (У) ~> УЛ. Отсюда получается конструкция гомоморфизма

H^X^Z^® B(V)-^ НЦХ^В^),(361.2)

где второй член означает

lim lim Н* (N,Z/^ ® В +/I И)) [1/р, 1//], совместимого со всеми структурами.

Пусть Y— Ys = X ®ук-специальный слой X. Фальтингс построил некоторое естественное преобразование (совместимое со всеми структурами)

H^(Y/W)®wB(V)^H*(X,B^),(3.6.13)

где Я* (Y/W) = lim H*is(Y/Wn(/с))-кристаллические когомологии.

Предположим сначала, что V— W(k). Для R, как выше, кольцо #+ (К) является алгеброй над 占十(Р), но не над А Однако В、(R人)/1 = =衣八 содержит К, и поскольку R гладка над 匕 можно выбрать некоторое поднятие или даже некоторую совместимую систему поднятий г: Rt В* (АЛ)Д[т] этого включения, которые суть гомоморфизмы Калгебр. Если Е-локально свободный кристалл на X (заданный локально свободной моделью с некоторой интегрируемой топологически р-нильпотентной связностью V), то можно определить «значение» Е на 3+(犬人)"〔叫 rа построить е①+(大 А)川叫=石便)(8)凡Г仍+(ел)//m) c точностью до транзитивной системы изоморфизмов, заданной V; результат не зависит от выбора г. Для переменного U из Е(В+ (R^ )/7lm] образуется пучок Е® В^/1^ на X. Более того, если х-глобальное горизонтальное сечение £, т. е. такое, что Vx = 0, то образ х ® 1 элемента х в Е(В+ (АЛ)/7[т]) не зависит от выбора г и, с другой стороны, инвариантен относительно Г (U) (и тем более относительно А (С):

X определяет поэтому некоторое глобальное сечение 戈 пучка £® В + /1[т]. Таким образом, получается система функториальных G-эквивариантных гомоморфизмов

7/黑(Х/%Е) т Н°(Х,Е®В + /1^\ Xi戈. (3.6.1.4) Напомним теперь, что кристалл 8х/у допускает резольвенту, полученную «линеаризацией» комплекса де Рама, L(QX/K )^prupr^ Qx/F, где РА суть две проекции и-й инфинитезимальной PD-окрестности X в X х X ([4], [5]): компоненты L(QX/F) суть локально свободные (про-) кристаллы на X, ацикличные относительно 〃*, где w-проекция кристаллическо- го топоса на топос Зариского. Пусть U т X —некоторое гиперпокрытие X, образованное малыми открытыми множествами. Простой комплекс, ассоциированный с бикомплексом Гзг£з ((7 , L(Qx^), позволяет вычис- ли吧《「(〃％). Согласно (361.4), rgris(U^L(^lX/v)) отображается в Г(и^х/у)®В + /1^), а этот последний комплекс отобраясаетс幺 в Ar(U.,L(ilx/y)®B + /I^), который отождествляется с КГ(и , В + /1[т}), а поэтому окончательно и с АГ (Х,В + /1[т^). Композиция морфизмов

^r(W)-《Г (X В + //阿) (3.6.1.5)

определяет теперь (3.6.1.3).

В общем случае Фальтингс определил (3.6.1.3) с помощью варианта предыдущей конструкции, используя теорию сходящихся кристаллов Бертло-Огаса [57].

Существенный результат состоит в том, что если X собственна, то (3.6.1.3) является изоморфизмом. В отличие от свойства 3.4.5, проверка которого локальна, доказательство, данное здесь, глобально, аналогично доказательству (3.5.2). Надо показать, что естественное преобразование

Н* (W) ® 3(Р) - Я* (Xm Zj ®B(V)t (3.6.1.6)

полученное композицией (3.6.1.3) с обращением (361.2), является изоморфизмом. Для этого достаточно проверить, что Фальтингс и делает, что это преобразование совместимо с двойственностью Пуанкаре и с взятием классов циклов и классов Черна, что сводится к явному вычислению коциклов для первого класса Черна. Можно проверить также, что при расширении скаляров до К и переходе к градуированным кольцам относительно естественных фильтраций двух членов (3.6.1.6) индуцирует изоморфизм Ходжа-Тэйта аяг (2.1.3.2), обратный к 0 (352.3) (с точностью до знака в каждой степени)； эта проверка, однако, в [20] не проведена.

Фальтингс также устанавливает в [20] важные уточнения теоремы сравнения (3.6.1.6): версию с коэффициентами (обобщение теории Фонтена-Л афайа [30]), относительные версии, варианты в «открытом» случае (дополнения к дивизорам с нормальными пересечениями)... Имеются приложения к теоремам о вырождении спектральных поел ед о-

вательностей Ходжа к комплексу де Рама, обобщающие [17] и [44], и к классификации конечных и плоских коммутативных групп порядка степени р на Ул - для гладких X над V= %(k) и р > 2-в терминах «фильтрованных кристаллов Дьёдонне».

Гипотеза CDR

Если исходить из гладкой и собственной схемы Х« на К, то по теореме Нагаты [55] можно найти такую собственную и плоскую схему X над S, что X(3 К = Хк. Работая с «жесткой» топологией на X вместо топологии Зариского (или этальной топологии), Фальтингс построил в [20, VIII] некоторый пучок колец BDR на подходящем топосе Xrig и естественные преобразования из Н^я(Хк/К) ® BDR(V) и из H*(XK,Zp)®BDR(V) в H*(Xrig,BDR); некоторое глобальное рассуждение, аналогичное предыдущему, показывает, что они являются изоморфизмами. Определение пучков BDR весьма деликатно и использует теорию модулярных полей Л9,^ стабильных кривых рода д с Г отмеченными точками, обобщающую теорию Делиня - Мамфорда [18]. Обращение к этой теории появляется в построении «малых» открытых множеств Spec К схемы X (в жесткой топологии), снабженных элементами /еК A (R(g)pK)*, такими, что t/logw； порождают С标 ®RK и что А можно «проконтролировать» с помощью R [〃厂七 ®F 0 конструкция проводится индукцией по размерности и использует элементарные слоения Артина (SGA 4 XI). Некоторые рассуждения в [19] и в [20] надо слегка поправить (в особенности [19, III, 1.1, 1.2, 1.3] и [20, VIH, Ь]). Кроме того, определение естественных преобразований, приведенное выше, и определение их аналогов в случае «Ходжа - Тейта» явно не даны. Имея в виду важность этих результатов, было бы весьма желательным, чтобы появилось также и подробное доказательство.

Добавим, что в случае модулярных кривых Фальтингс установил некоторый вариант разложения Ходжа-Тейта с коэффициентами в некоторой локальной системе [G. Fallings, Hodge-Tate structures and modular forms, Math. Ann. 278 (1987), 133-149]. Некоторое обобщение было предложено Хиодо [38].

4. ГИПОТЕЗА Cst

Оператор монодромии Хиодо - Като

Пусть X-некоторая полустабильная S-схема. Под этим понимается, что локально в этальной топологии X изоморфна S 口「 /т]Д^-.- tr —兀)，где я-некоторая униформизующая Р; это равносильно тому, что X регулярна, X” гладкая и что специальный слой Y = =Х§-дивизор с нормальными пересечениями, редуцирующий X.

Когда У сингулярна и даже если Х/S- собственная, обычные кристал-

лические когомологии Y/W патологичны. Хиодо и Като определили в последнее время модифицированные кристаллические когомологии, обладающие хорошими свойствами. Их конструкция инспирирована конструкцией Стинбринка [69] предельных структур Ходжа (см. [29], где содержится краткий обзор этой теории). Они" определили некоторую проективную систему %-модулей, которые мы обозначаем через 77： (〃％) (хотя они зависят на самом деле от X) и которые снабжены а-линейным эндоморфизмом Фробениуса 屮 и линейным оператором монодромии N, которые связаны соотношением

N(p = p@N (4.1.1.1)

(сравните с (1.1.1)); для гладкой X/S H^^Y/W^ совпадают с обычными кристаллическими когомологиями 77*(1/%), ф = (р и N = 0. Положим H*(Y/W):— lim 〃：(iy%). При этом если Х/S-собственная, то H^t(YIW}- конечного типа над 叱 屮这)Qp биективен, N ® К° нильпотентен, и Хиодо и Като строят для любой образующей я в У некоторый К-линейный изоморфизм

РЗ 7^(〃％)®WK ^ЯвК(Хк/К). (4-1.1.2)

Зависимость рп от 兀 выражается формулой рл = pnMexp(log(w)N), где we И* и log-обычный логарифм. Когда X/S-гладкая, то (4.1.1.2) совпадает с изоморфизмом Бертло - Огаса (2.2.1.1) (и не зависит от я). Заметим также, что в общем случае эндоморфизм N на H^r (Хк/К) происходит из эндоморфизма N на H^t(Y/W) посредством рл и не зависит от выбора я.

Философия, стоящая за конструкцией Хиодо-Като, такова, что с точки зрения дифференциального исчисления морфизмы «полуста- бильной редукции» ведут себя примерно как гладкие морфизмы, если заменить обычный комплекс де Рама на подходящий комплекс де Рама с логарифмическими полюсами. Смешанная теория Ходжа, принадлежащая Делиню ([12], [13]), популяризирует использование таких комплексов, но лишь недавно - в основном после статьи Хиодо [39]— стало ясно, что их можно успешно использовать и в случае смешанных характеристик. Тот факт, что нужно работать с дивизорами с нормальными пересечениями не обязательно относительно одной базы, забота о том, чтобы конструкция была стабильна относительно замены базы (с этой точки зрения определение «полустабильности» из 4.1.1 не обладает этим свойством!),- все это приводит к необходимости разобраться с различными дополнительными структурами, позволяющими определить хороший логарифмический комплекс. Основы этой теории изложены Като [47]; она обобщает конструкции, предложенные Делинем [16] и Фальтингсом [21]. Отметим, впрочем, что приложения (см. [49], [50])

уже значительно превосходят еданственное определение 爲(новые точки зрения на вырождения p-делимых групп и абелевых многообразий и на компактификации Шая - Фальтингса [10]).

Основное определение таково. Пусть X - схема, снабженная этальной топологией (более общо, можно исходить из некоторого локально окольцованного топоса или пространства...). Като определяет предлога- рифмическую структуру на X как пару (М, а), образованную пучком моноидов (коммутативных и с единицей) А1 на X и некоторым мультипликативным морфизмом (переводящим 1 в 1) а: М -+ &х. Пусть М' - подпучок 〃т(8х) в М; говорят, что (М, а) является логарифмической структурой, или iog-структурой, если а индуцирует некоторый изоморфизм АГ на 0х- Схема, снабженная логарифмической структурой, называется логарифмической схемой (или log-схемой). Морфизмы определяются очевидным образом. Имеется естественное понятие логарифмической структуры, ассоциированной с предлогарифмической структурой, и понятие прямого образа относительно /: X т Y Исходная (или тривиальная) логарифмическая структура (соответственно финальная логарифмическая структура) на Х-зта (箧—8Q (соответственно

Id

(久 т 8х))・ Наиболее часто используемые примеры таковы:

Допустим, что X - нётерово регулярное кольцо (соответственно гладкое над У), и пусть D ^ Х~некоторый дивизор с нормальными пересечениями (соответственно относительно У): берется

где j: U = X — D т У-включение.

Задание моноида Р и гомоморфизма 〃：尸 тГ(Х, 3丫) определяет некоторую log-структуру на X, ассоциированную с пред-log-cTpyKTypoii 尸х f ^х，определенной и (где Рх - постоянный пучок со значением Р на X). Пример а)-локально этого типа: Nr -+ Г(X, Ох),也)1口严，где ... ^—локальное уравнение D.

В рамках этого определения можно определить понятия замкнутого вложения, этального морфизма, гладкого морфизма и т. д., а также распространить обычные свойства (такие, как инфинитезимальные характеризации); полученная так теория содержит теорию тороидальных вложений [52].

Если f (X,L) т (X М) - морфизм log-схем, то определяется (Рх-модуль логарифмических дифференциалов С品(log L/M) (обозначаемый также сокращенно(о|/г) и & 久一①财匕 t/log: М ^ G)l/r, связанные соотношением a (u) dlog и = da (и), со свойствами и универсальной характеризацией, которая сразу угадывается. Отсюда определяется комплекс де Рама со , где 唄》= Асо；» с внешним дифференциалом, определенным обычным образом; например, если М - тривиальная структура, подлежащий ей морфизм N-+У гладкий, a L-log-структура, ассоцииро-

ванная с некоторым дивизором с нормальными пересечениями относительно D иХ, как в а), то а)х/г - обычный комплекс логарифмических дифференциалов Qx/r (logP). Построение такого комплекса де Рама совместимо с заменами базы. В характеристике р имеется теория изоморфизмов Картье, обобщающих изоморфизмы из [39], [44], [21].

Наконец, можно определить понятия кристаллического топоса и сайта log-схемы и обобщить фундаментальные результаты [4] на сравнение между кристаллическими когомологиями и когомологиями де Рама.

Возвратимся к ситуации 4.1.1. Снабдим X (соответственно S = Spec V) log-структурой М (соответственно N), ассоциированной с дивизором У (соответственно s = Speck) (морфизм (X, М) т (S, N) является тогда «гладким») и У (соответственно s) log-структурой обратного образа М] (соответственно N) Обозначим, с другой стороны, через Ln log-структуру на Spec %, ассоциированную с N Wn, 110. Тогда имеются «гладкий» морфизм (XMJt(s,NJ и «замкнутое вложение» (s,NjT(Spec 忆，L〃)(тождественное при и — 1). Положим

Я：(ТО：- 〃*((KM])/(Spec Wn,LS 0Y/Wi)

(кристаллические когомологии со значениями в структурном пучке). Имеем также

Hi(y/k)^^(Y^Y/s)

(в обозначениях 4.1.2). В общем случае имеем

Я：(ТО^Я*(ХСП),

где Сп - некоторый комплекс де Рама 忆-модулей на 工 корректно определенный в производной категории (прямой образ структурного пучка относительно проекции кристаллического топоса (Y/Mt)/(Wn, L„) на топос У). Допустим, что Х/S получено заменой базы из некоторого замкнутого вложения S J Spec W[f] вида

2 т Spec 巾口 1，…，％] т Spec ЖЩ, Ei 厶，…,

и пусть ^/Wполучается из 2 заменой базы £10,勿“=勿这)Z/p" (так что

Y^X^ 2 Q 勿 Q 约

s j S J Spec W^Q Q Spec W Q Spec Wn

Снабдим 2 (соответственно Spec %[〃)log-структурой M ассоциированной с дивизором (厶 …厶)(=勿)(соответственно 〃))，и 勿“ (соответственно 忆)log-структурой обратного образа (значит, это Ln на 忆).

Имеем Q =(о 工儿忆幻 В общем случае оператор монодромии N определяется как граничный оператор относительно некоторого выделенного треугольника Сп [ — 1] Dn -> С„ -+ . В предыдущей ситуации этот треугольник задается точной последовательностью

■, t/logZA ■•

О СО 1 Т(О -> (ОтО,

餘/(匕,L”)旳」W"咎“/(%,LJ

где в центре рассматривается тривиальная log-структура на Wn. В общем случае определение такого треугольника получается при помощи более или менее стандартной техники спуска. Хиодо и Като описали все это канонически с помощью техники комплексов де Рама - Витта (обобщая [43]); см. [29], где можно найти вводные сведения об этом.

Конструкция изоморфизма рп (4.1.1.2) достаточно строго следует конструкции Бертло - Огаса [6]; ключевым пунктом при этом является (при подходящих предположениях о log-гладкости и над достаточно общими базами) предположение о том, что эндоморфизм Фробениуса на кристаллических когомологиях является изогенией.

Гипотеза Cst

Зафиксируем некоторую униформизующую л в И и обозначим через Bst соответствующее кольцо Фонтена (1.2.3). Пусть X - некоторая собственная полустабильная S-схема (4.1.1), и пусть Хк-ее общий слой. Конечномерное К0-векторное пространство

H^XKY^H^(Y/W)®wK0

(в обозначениях 4.1.1) снабжено п-линейным биективным оператором Ф и Х0-линейным нильпотентным эндоморфизмом N, которые связаны друг с другом соотношением N(p = р屮N. Изоморфизм (4.1.1.2) позволяет задать, исходя из H^(XQ, некоторую Х0-структуру на ЯрК(Хк/К). Вместе с фильтрацией Ходжа Fil' она определяет на H^XQ некоторую структуру фильтрованного (ф, ^)-мoдyля.

Аналогичная структура на реализации де Рама некоторого 1-мотива над К с полустабильной редукцией была независимо определена Рейно с помощью жесткой аналитической техники [60]. В любом случае для 1-мотивов, ассоциированных с некоторой кривой над К с полустабильной редукцией, сравнение с конструкцией Хиодо-Като еще только предстоит сделать.

Фонтен предлагает следующую гипотезу:

Гипотеза 4.2.2 (гипотеза Csr). В предположениях 4.2.1 представление //★(XfpQp) полустабильно (1.3.2) w канонически ассоциировано (1.3.7) с некоторым фильтрованным (ф, ^-модулем H^R (Ук/К), определенным выше: существует функториалъный изоморфизм

18*

%: Bst ®Ко Я：(УJ - Bst®Qp 〃*(XmQp),

совместимый с естественными структурами на обоих частях (действие G,屮，N и фильтрации после расширения скаляров до К /

Из справедливости этой гипотезы следовало бы, что структура фильтрованного (ф, ^)-мoдyля 77рК (Хк/К) зависит только от полуста- бильной модели X (в отличие от случая хорошей редукции [34] неизвестно, как это проверить непосредственно).

Метод Фальтингса пока не позволяет доказать 4.2.2. Однако, приспособив к логарифмической ситуации метод Фонтена - Мессинга [31], Като удалось установить следующий результат:

Теорема 4.2.3 [48]. Гипотеза Cst справедлива, если dim Хк < (р — 1)/2.

Более того, Н： удовлетворяет двойственности Пуанкаре, и изоморфизм построенный Като, с ней согласован.

Обозначим теперь через X собственную гладкую схему над К. Если быть оптимистом, то можно надеяться на существование некоторого конечного расширения К' поля К, такого, что Ху допускает некоторую собственную полустабильную модель над кольцом целых К'. Это так, если dim X 1, по теореме о полустабильной редукции Артина - Делиня-Мамфорда ([18], [2]), и аналог в случае равных нулевых характеристик и произвольной размерности установлен Мамфордом [52]. Если иметь в виду 4.2.2, это приводит к следующей гипотезе:

Гипотеза 4.2.5 (гипотеза о р-адической монодромии). Для гладкой 〃 собственной X над К представление //* (^^, Qp) потенциально полуста- бильно, т. е. существует конечное расширение 工 и К поля К, такое, что соответствующее представление группы Галуа Gal (К/L) полустабильно.

Метод Фонтена - Мессинга - Като

Мы сохраним обозначения и предположения из 4.2.1 и 41.3. Кроме того, положим Vn = V/pn 匕 又=Spec Vn, = X x $S“，_* = X x $S, Vn = V/pn V, Sn = Spec 匕，爲=牙 x s* (и будем писать 文 Y вместо X】, 爲).Доказательство 4.2.3 проводится в три этапа.

Кристаллическая интерпретация (5^ ®

Пусть N - log-структура на S, проективный предел канонических log-структур (т.е. ассоциированных с замкнутой точкой) на Spec Р', где V пробегает кольца целых конечных расширений К, содержащихся в К. Пусть N~log-структура, являющаяся обратным образом N на 5„,__и Мп - log-структура на Уи, полученная из М на X при замене базы ($〃, Nn)->(S, N). (Отметим, что, хотя Хп и особая с точки зрения log-схем, (Х„, №“) г ($“, N“) является гладким морфизмом!) Като строит канони-

ческий (G-эквивариантный) изоморфизм

(典 球产(XQ)n ^o^Q®Km Ят((£„, M^/W^ ,(4.3.2.1)

где индекс N = 0 означает, что берется ядро N (который действует как N ® 1 + 1 ® N), и Нт ((Уп, M^IWn - кристаллические когомологии (со значениями в структурном пучке) схемы (Уп, Мп) относительно Wn с тривиальной log-структурой. Ингредиенты доказательства таковы: а) крист аллическая интерпретация В，аналогичная интерпретации B^is, см. 1.2.2; Ь) изоморфизм Хиодо-Като (4.1.1.2) (или скорее техника, изложенная в 4.1.3, позволяющая его построить).

Исчезающие циклы и пучки 肃纟什丿

В методе Фонтена - Мессинга [31] сердцевина доказательства состоит в построении определенных пучков S/) на «синтомикэтальном» сайте схемы X, служащих мостом между обычными пучками Тейта (Z/pnZ)(r) на Х^ и ядрами 屮一卩"на кристаллических когомологиях. Като перенес это в логарифмическую ситуацию. Для о г < р он построил проективную систему комплексов этальных G-пучков §产⑺ на X, сосредоточенных в X из которых происходит выделенный треугольник

萧g ⑺ Т &叫 J^~^r^畋"/% т ,(4.3.3.1)

где w-морфизм кристаллического топоса (爲，M^/Wn в этальный топос X, а 丿？/屮 обозначает r-ю разделенную степень идеала j%牝=ке[(8元/% Т 8到). В частности, имеются длинные точные G-эквивариантные последовательности

…一可(元 S^(r))^ яm((£П,吃)，川)"幺"яm((£„,吃),3 T

(433.2) Обозначим丁 「

включения. Ключевым моментом в сравнении с этальными когомологиями Х^ является следующая

Теорема 4.3.3.3 [48]. Для 0 ^ г < р — 1 существует проективная система изоморфизмов

肃g ⑺二 Е W %兀产麻JZ勿“Z(a)(4.33.3)

6 производной категории этальных G-пучков на X, где т обозначает каноническое усечение.

Вариант «без логарифмических особенностей» был установлен Курихарой [53] с помощью более ранних результатов Блоха-Като [7] и Като [46] об исчислении исчезающих р-адических циклов. В случае полустабильной редукции Като использовал результаты Хиодо [39].

По теореме о собственной замене базы из 4.3.3.3 выводится изоморфизм

т (X 肃g ⑺)『((Xn，Z/d (г)))(43.3.4)

для OW^W^vp — 1. Этот изоморфизм G-эквивариантен и совместим с произведением (имеется естественное произведение §У ⑺耸丄(sfg(s)-+ т sfg& + s) для 0 ^г s < р).

Определение 忆 и окончание доказательства.

Пусть OWmWrvp—1. Из (4.3.3.2) и из (4.3.3.4) получается морфизм

可(Xz Z/隔)т 可((％, M^IW^=p^

откуда применением Q ® lim получаем G-эквивариантный морфизм

Н-^Х^^^г) - Q g)呼 Ят((Хп,吃)/%)屮才.

Благодаря (4.3.2.1) эта стрелка переписывается в виде

可(藉，QJ6 T (典露。盯因卜=0,中=" .

После тензорного умножения на Qp(- г) (см. 1.2.2, 1.2.3) получается морфизм

"”Xr,Qp)т ⑶ 球产氯X))n = 0,屮=1 ,

который при фиксированном т не зависит от выбора г. После расширения скаляров окончательно получаем

匕 闻 ®QpHm((X^Qp)-①上球/貝X)),(4.3.4.1)

совместимый с 屮，N и с действием G. Проверяется, что psr совместим с двойственностью Пуанкаре (для этого нужно предполагать, что 2d < р — 1, где d = dim XQ, откуда обычными рассуждениями выводится биективность psr Обобщение на логарифмический случай результатов Като - Мессинга [51] позволяет показать, что морфизм, полученный расширением скаляров до Bdr, совместим с фильтрациями, что заканчивает доказательство (৻ является обратным к |3sf)-

Проблема 4.3.5. Окончательно мы располагаем несколькими изоморфизмами р-адических периодов, полученными различными методами:

разложение Ходжа-Тейта (2.1.3.2) для m = 1 и абелева многообразия X над К, построенное Тейтом [70] и Рейно (см. [9]);

аналогичные разложения, данные Фонтеном [24] и Колеманом [R.F. Coleman, Hodge-Tate periods and p-adic abelian integrals. Inv. Math. 78 (1984) 351-379];

разложение Ходжа-Тейта (2.1.3.2), данное Блохом и Като [7] для X, имеющих хорошую обыкновенную редукцию, и его обобщение в работе Хидо [39] на случай полустабильной обыкновенной редукции;

разложение Ходжа-Тейта (2.1.3.2), данное Фальтингсом [19] (гомоморфизм, обратный к 0 (3.5.2.3) в случае хорошей редукции);

изоморфизм ct“is (222), построенный Фонтеном и Мессингом [31], для dim X < р и К = К。；

изоморфизм ot“is (2.2.2), построенный Фальтингсом [20] (см. 3.6.1);

изоморфизм Udr (2.1.2) (см. 3.6.2);

изоморфизм ам (4.2.2), построенный Като [48] для Х^, имеющих полустабильную редукцию с 2 dim Хк < р — 1.

Было бы интересно сравнить эти изоморфизмы. Насколько известно докладчику, единственные согласованности между ними, фигурирующие в литературе,- это согласованность между двумя разложениями (2) у Колемана (loc. cit.) и согласованность между (1) и (2) в [24].

(Добавлено в июле 1990 г.) Фальтингс информировал меня, что он готов проверить согласованности между (1), (4), (6) и (7) (согласованность (1) и (4) независимо устанавливает Винтенберже).

ЛИТЕРАТУРА

Абрашкин В. А. Модули Галуа групп схем периода р над кольцом

секторов Витта.- Изв. АН СССР 31 (1988), 1-46.

Artin М., Winters G. Degenerate fibers and reduction of curves. Topology,

10(1971), 373-383.

Бейлинсон А. Высшие регуляторы и значения L-функций. Итоги науки

и техники. Совр. пробл. матем. Новейшие достижения, т. 24. —М.: ВИНИТИ, 1984, с. 181-238.

Berthelot Р. Cohomologie cristalline des schemas de carasteristique p > 0. Lecture Notes in Math. 407, Springer-Verlag, 1974.

Berthelot P., Ogus A. Notes on cristalline cohomology. Math. Notes, Princeton University Press, 1978.

Berthelot P., Ogus A. F-isocristals and de Rham cohomology. I. Inv. Math.

72(1983), 159—199.

Bloch S., Kato K. p-adic etale cohomology. Pub. Math. IHES 63(1986), 107-152.

Bloch S., Kato K. L-functions and Tamagawa numbers of motives. Grothendieck Festschrift, Progress in Math., Birkhauser, 1990.

Bogomolov F. Sur Palgebricite des representattions /-adiques. C. R. A. S. Paris 290 (1980), 701-703.

Chai C. L., Fallings G. Semi-abelian degeneration and compactification, preprint, 1989.

Clozel L. N ombres de Tamagawa des groupes semi-simples, d'apres Kott- witz, Sem. Bourbaki, Nov. 1988, exp. № 702, Asterisque 177-178 (1989), 61-82. [Имеется перевод: Клозель Л. Числа Тамагавы полупростых групп. Труды семинара Бурбаки 1989 - М.: Мир, 1991, с. 56-78.]

口2] Deligne Р. Theorie de Hodge II, Publ. Math. IHES 40(1972), 5—57. [Имеется перевод: Делинь П. Теория Ходжа II, Математика 17:5 1973, с. 3-57.]

Deligne Р. Theorie de Hodge III, Publ. Math. IHES 44(1974), 5—77.

Deligne P. Valeurs de fonctions L et periodes d'integrales, Proc. Symp. Pure Math. 33 (1979) AMS, 313-346. [Имеется перевод в сб.: Автоморфные формы, представления и L-функции.—М.: Мир, 1984, с. 188-248.)

Deligne Р. Hodge cycles on abelian varieties. In: Hodge Cycles, Motives and Shimura Varieties, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982. [Имеется перевод в сб.: Ходжевы циклы и мотивы,-М.: Мир, 1985.]

Deligne Р. Lettre a L. Illusie, 1.6.1988.

Deligne Р., Illusie L. Revetements modulo p2 et decomposition du complexe de de Rham, Inv. Math. 72(1987), 247-270.

Deligne P., Mumford D. The irreducibility of the space of curves of given genus, Publ. Math. IHES 36(1969), 75-109.

Fallings G. Crystalline cohomology and n-adic Galois representations, preprint, 1988.

Fallings G. p-adic Hodge theory, J. of Amer. Math. Soc., 1 (1988), 25 5—299. 1988,

Fallings G. F-isocrystals on open varieties, results and conjectures. In: Grothendieck Festchrift, Progress in Math. Birkhauser, 1990.

Fontaine J.-M. Modules galoisiens, modules filtres et anneaux de Barsotti- Tate. In: Journee de geometric algebrique de Rennes (III), Asterisque 65 (1979), 3-80.

Fontaine J.-M. Sur certains types de representations p-adiques du groupe de Galois d'un corps local; Construction d'un anneau de Barsotti-Tate, Ann. of Math. 115 (1982), 529-577.

Fontaine J.-M. Formes differentielles et modules de Tate des varietes abeliennes sur les corps locaux. Inv. Math. 65 (1982), 379-409.

Fontaine J.-M. Cohomologie de de Rham, cohomologie cristalline et representations p-adiques. In: Algebraic Geometry Tokyo-Kyoto, Lecture Notes in Math. 1016, Springer-Verlag (1983), 86-108.

Fontaine J.-M. Il n'y a pas de variete abelienne sur Z. Inv. Math. 81 (1985) 515-538.

Fontaine J.-M. Le corps des periodes p-adiques. A paraTtre dans [Bures].

Fontaine J.-M. Representations p-adiques semi-stables, preprint a paraTtre

dans [Bures].

Fontaine J.-M., Illusie L. p-adic periods, a survey. Indo-French conf, on geometry, Bombay, 1989.

Fontaine J.-M., Laffaille G. Construction de representations p-adiques Ann. Sc. ENS 15 (1982), 547-608.

Fontaine J.-M., Messing W. p-adic periods and p-adic etale cohomology. Contemporary Mathematics 67 (1987), 179-207.

Fontaine J.-M^ Mazur B. Representations Z-adiques potentiellement semistable. A paraitre dans [Bures].

Fontaine J.-M., Perrin-Riou B. Cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions L (autour de Bloch - Kato), en preparation.

Gillet H” Messing W. Cycle classes and Riemann-Roch theorem for crystalline cohomology. Duke Math. J. 55 (1987), 501-538.

Gross B. On the periods of Abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg. Inv. Math. 45 (1978), 193-211.

Grothendieck A. Groupes de Barsotti-Tate et cristaux. Actes Congres Int. Math. Nice 1970, I, Gauthier-Villars, Paris, 1971.

Grothendieck A. Groupes de Barsotti-Tate et cristaux de Dieudonne. Presses de FUniversite de Monreal, 1974.

Hyodo O. On variation of Hodge-Tate structures, preprint, 1987.

Hyodo O. A note on p-adic etale cohomology in the semi-stable reduction

case. Inv. Math. 91 (1988), 543 — 557.

Hyodo О., Kato К. Semi-stable reduction and crystalline cohomology with logarithmic poles, preprint a paraitre dans [Bures].

Illusie L. Report on crystalline cohomology. Proc. Symp. Pure Math. XXIX (1975), 459-478.

Illusie L. Cohomologie cristalline, d'apres P. Berthelot. Sem. Bourbaki, exp. n° 456, Lecture Notes in Math. 514, Springer-Verlag, 1976.

Illusie L. Complexe de de Rham-Witt et cohomologie cristalline, Ann. Sc. ENS 12 (1979), 501-661.

Illusie L. Reduction semi-stable et decomposition de complexes de de Rham a coefficients. Duke Math. J. 60 (1990), 139-185.

Jannsen U. On the /-adic cohomology of varieties over number fields and its Galois cohomology, preprint, 1988.

Kato K. On p-adic vanishing cysles (application of ideas of Fontaine- Messing). Advanced Studies in Pure Math. 10 (1987), 207-251.

Kato K. Logarithmic structures of Fontaine-Illusie. Algebraic analysis, Geometry and Number Theory, The Johns Hopkins Univ. Press (1989), 191-224.,、 个

Kato K. Semi-stable reduction and p-adic etale cohomology a paraitre dans [Bures].

Kato K. Logarithmic degeneration and Dieudonne theory, preprint, 1989.

Kato K. Toric singularities, preprint, 1990.

Kato K., Messing W. Syntomic cohomology and p-adic etale cohomology, preprint, 1989.

Kempf G., Knudsen F., Mumford D. and Saint-Donat B. Toroidal embeddings 1. Lecture Notes in Math. 339, Springer-Verlag, 1973.

Kurihara M. A note on p-adic etale cohomology. Proc. Japan Academy 63 (1987), 275-278.

Mazur B., Tate J. and Teitelbaum J. On p-adic analogues of the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer. Inv. Math. 84 (1986), 1-48.

Nagata M. Imbedding of an abstract variety in a complete variety. J. Math. Kyoto 2 (1962), 1-10.

Ogus A. Hodge cycles and crystalline cohomology. In: Hodge Cycles, Motives and Shimura Varieties, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Ver- lag, 1982. [Имеется перевод в сб. Ходжевы циклы и мотивы-М.: Мир, 1985, с. 231.]

Ogus A. F-isocrystals and de de Rham cohomology II-convergent isocrystals. Duke Math. J. 51 (1984), 765—850.

Ogus A. A p-adic analogue of the Chowla-Selberg formula, preprint, 1990.

Raynaud M. Anneaux locaux henseliens. Lecture Notes in Math. 169, Springer-Verlag, 1970.入

Raynaud M. Realisation de de Rham des 1-motifs, a paraitre dans [Bures].

Rapoport M., Schappacher N., Schneider P. (eds) Beilinson's conjectures on

special values of L functions. Perspectives in Math. 4, Academic Press, New York, 1988.

Sen S. Lie algebras of Galois groups arising from Hodge-Tate modules. Ann of Math. 97 (1973), 160-170.

Serre J.-P. Sur les groupes de Galois attaches aux groupes p-divisibles. Proc, of a Conf, on local fields, Driebergen 1966, Springer-Verlag (1967), 118-131.

Serre J.-P. Resume des cours 1965-66, dans Annuaire du College de France, Paris, 1967, 49—58.

Serre J.-P. Proprietes galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques. Inv. Math. 15 (1972), 259-331.

Serre J.-P. Groupes algebriques associes aux modules de Hodge-Tate, Journees de geometric algebrique de Rennes 1978, III, Asterisque 65 (1979), 155-188.人

Serre J.-P. Motifs. Journees arithmetiques de Lummy 1989, a paraitre dans

[68]

[69]

[70]

[71]

Asterisque.

Serre J.-P., Tate J. Good reduction of abelian varieties. Ann of Math. 88 (1968), 492-517.

Steenbrink J. Limits of Hodge structures. Inv. Math. 31 (1976), 229-257. Tate J. p-divisible groups. In: Proc, of a conf, on local fields, Driebergen (1967), 158-183.

Winterberger J.-P. Torseur entre cohomologie etale /?-adique et cohomolo-

[72]

[CL]

[SGA 1]

gie cristalline; le cas abelien. Duke Math. J.

Wintenberger J.-P. Theoreme de comparaison /?-adique pour les schemas abeliens, en preparation.

Serre J.-P. Corps locaux, Hermann, Paris, 1962.

Revetements etales et groupe fondamental, Seminaire de Geometric Algeb- rique du Bois-Marie 1960-61, dirige par A. Grothendieck, Lecture Notes in

[SGA 2]

Math. 224, Springer-Verlag, 1971.

Cohomologie locale des faisceaux coherents et theoremes de Lefschetz locaux et globaux. Seminaire de Geometric Algebrique du Bois-Marie 1961-62, dirige par A. Grothendieck, North Holland Pub. Comp., Amsterdam, 1968.

[SGA 4]

Theorie des topos et cohomologie etale des schemas. Seminaire de Geometric Algebrique du Bois-Marie 1963-64, dirige par M. Artin, A. Grothendieck et J.-L. Verdier, Lecture Notes in Math. 269, 270, 305,

SGA 7]

Springer-Verlag, 1972-73.

Groupes de monodromie en geometric algebrique. Seminaire de Geometric Algebrique du Bois-Marie 1967-69, I, dirige par A. Grothendieck, Lecture Notes in Math. 288, Springer-Verlag, 1972.

[SGA 4 打

Cohomologie etale, par P. Deligne, Lecture Notes in Math. 569, Springer- Verlag, 1977.

[Bures]

Periodes /?-adiques. Seminaire dirige par J.-M. Fontaine a FIHES, janvier- mai 1988, actes en preparation.

Жозеф Остерле

Пусть Е——евклидово пространство размерности п. Упаковкой шаров в Е называется семейство шаров одинакового радиуса, внутренности которых не пересекаются. Каждая решетка Lb Е порождает упаковку, состоящую из шаров с центрами в точках L, а в качестве их общего радиуса выбирается максимально возможный, для которого это семейство еще является упаковкой.

Пусть (SJ-упаковка шаров. Если существует предел

lim [vol((USJ П 3(0,R))/vol(3(0,R))],

R oo

то он называется плотностью упаковки. Например, плотность упаковки, ассоциированной с решеткой Lb Е, есть

d(L) = vol (В (0, r))/v = bnrn/v ,

где г ——общий радиус шаров, и ——объем EmodL, а 6“ = ли/2/Г

объем единичного шара в Е. Обычно говорят, что d(L) - плотность решетки L.

Две фундаментальные проблемы в теории упаковок шаров:

Какова максимально возможная плотность 8„ упаковки шаров s Е?

Какова максимально возможная плотность dn решетки s Е?

(В обоих случаях можно показать, что максимальная плотность эффективно достижима; кроме того, она зависит только от и, так как евклидовы пространства одной размерности изометричны. Наконец, ясно, что 力 W В* W 1.)

Вслед за некоторыми замечаниями по поводу этих проблем мы опишем конструкцию Элкиса и Шиоды, которая позволяет, используя арифметику эллиптических кривых над функциональным полем, заново построить (по крайней мере в размерностях, не превосходящих 1000) большую часть ранее известных решеток высокой плотности, а в некоторых размерностях (например, 33, 54, 64, 80...) построить новые решетки, превосходящие плотностью известные ранее.

Объем настоящей статьи не позволяет затронуть прочие весьма

интересные темы: упаковки выпуклых тел, сферические покрытия, максимальное число одинаковых взаимно касающихся шаров (контактное число), приложения к геометрии чисел, глубокие связи между теорией упаковок шаров и теорией кодирования, богатую геометрию известных решеток максимальной плотности и т. д. Интересующемуся читателю можно порекомендовать книги Роджера ([Ro]) и Конвея и Слоэна ([С, S]), в которых содержится замечательная библиография по этим вопросам.

УПАКОВКИ ШАРОВ

Размерность 2

Максимальная плотность упаковки шаров в размерности 2,邑，равна 冗/2 ^/з = 0,9068... Это плотность упаковки, ассоциированной с гексаго-

Этот результат, анонсированный Туэ ([Th]) в 1882 г., был полностью доказан лишь в 1940 г. Фейешем ([Fe]). Красивое доказательство принадлежит Роджерсу ([Ro], гл. 7), который для любого п》1 доказал неравенство

⑵ 6〃 W 3 ,

где оп—объем части внутренности симплекса с м + 1 вершинами, покрываемой касающимися друг друга шарами одинакового радиуса с центрами в вершинах, отнесенный к объему всей внутренности симплекса. (Для и = 2 п2 = л/2 ^/з и неравенство (2) превращается в равенство, так как плоскость можно замостить равносторонними треугольниками.)

Размерность 3

Ни для одного л》3 максимальная плотность и-мерной упаковки шаров не известна. Например, для л = 3 неравенство Роджерса 53 п3 — J^ (3Arccos ；—兀)=0,7796... не является равенством (R3 невозможно замостить правильными тетраэдрами, поскольку угол между

гранями тетраэдра, равный Arccos ；, не делит 2л). Верхняя оценка Роджерса была слегка улучшена Линдсеем: 83 < 0,7784...

Рассмотрим в R3 решетку

L= {(n1,n2in3)EZ\nl + 胃2 + *3t2Z},(называемую «гранецентрированной кубической», так как она получает-ся сдвигами в трех направлениях набора вершин и центров граней куба):

2.2.

2.

2.

Ассоциированная упаковка шаров Решетка L изометрична решетке, действительно, (1, 1, 0), (— 1, 0, (2L с матрицей Грама 1—12'о- 1Ассоциированная упаковка шаров Решетка L изометрична решетке, действительно, (1, 1, 0), (— 1, 0, (2L с матрицей Грама 1—12'о- 1имеет плотность 冗/3/^ = 0,7404. •• порожденной системой корней Л3: 1) и (1, — 1, 0) образуют базис° \—1 I . В связи с этим решетка 2 'имеет плотность 冗/3/^ = 0,7404. •• порожденной системой корней Л3: 1) и (1, — 1, 0) образуют базис° \—1 I . В связи с этим решетка 2 '

Ассоциированная упаковка шаров Решетка L изометрична решетке, действительно, (1, 1, 0), (— 1, 0, (2

L с матрицей Грама 1—12

'о- 1

Ассоциированная упаковка шаров Решетка L изометрична решетке, действительно, (1, 1, 0), (— 1, 0, (2

L с матрицей Грама 1—12

'о- 1

имеет плотность 冗/3/^ = 0,7404. •• порожденной системой корней Л3: 1) и (1, — 1, 0) образуют базис

° \

—1 I . В связи с этим решетка 2 '

имеет плотность 冗/3/^ = 0,7404. •• порожденной системой корней Л3: 1) и (1, — 1, 0) образуют базис

° \

—1 I . В связи с этим решетка 2 '

L изал,L изал,соответствующая упаковка шаров обозначаются Л3. Гаусс дока- что Л3 ——самая плотная трехмерная решетка, т. е. что d3 =兀/3A/^.

L и

зал,

L и

зал,

Упаковку 厶 использует торговец, укладывая апельсины: она получается укладыванием друг на друга горизонтальных рядов шаров, центры которых образуют квадратную решетку, причем каждый ряд укладывается во впадины, образованные предыдущим рядом.

Подобным же образом, укладывая друг на друга ряды шаров, центры которых образуют гексагональную решетку, можно в зависимости от того, каким из двух возможных способов укладывать очередной ряд на предыдущий, получить две различные упаковки. Одна из них опять же есть Л3 (взгляните на рис. 2, выбрав в качестве вертикального направления большую диагональ куба), а другая не является решетчатой. Все эти упаковки имеют плотность 冗/3 .

Более плотные упаковки в размерности 3 неизвестны, и, как заметил Роджерс, «многие математики верят, а все физики знают, что плотность выше 冗/3 Ji недостижима».

Высшие размерности

Для некоторых размерностей (скажем, п = 10, 11, 13) самые плотные из известных упаковок не являются решетчатыми. Можно предположить, что для этих размерностей dn <

При больших п величина ь〃, появляющаяся в верхней оценке Роджерса, эквивалентна пе^1 2-и/2. Наилучшая из асимптотических верхних оценок В” получена Кабатянским и Левенштейном ([К, L]): для достаточно больших л 6“ W 2 "599”.

По максимальной упаковке шаров в евклидовом пространстве Е можно построить покрытие Е шарами удвоенного радиуса. Это элементарное замечание дает нижнюю оценку 8П ^ 2-п (ее можно улучшить: согласно Роджерсу ([Ro], теор. 2.4), 6〃 ограничена снизу величиной (2( + D丿 которая при л-> оо эквивалентна пе~3/22~п). Как ни странно, никто еще не построил «явно» для бесконечного набора размерностей п семейства упаковок Ln плотности 》2一"； лучшее, что сделано в этом направлении,-^ явная конструкция бесконечного семейства решетчатых упаковок Ln плотности ^ 2-1,39п, принадлежащая Розенблюму и Цфасману ([R, Т]).

Случайные упаковки

Прежде чем перейти к содержанию этого параграфа, полезно дать ссылку на весьма красивую главу 22 учебника геометрии Кокстера ([Со]), где приводятся некоторые «экспериментальные» факты о случайных трехмерных упаковках. В частности, Кокстер упоминает следующее наблюдение Г. Д. Скотта: если в большую бутылку насыпать «навалом» много одинаковых маленьких шариков, то плотность получившейся упаковки составит примерно 0,60: если же бутылку по мере наполнения встряхивать, то получится более плотная упаковка с плотностью в районе 0,6366 (т. е. 2/冗).При этом результаты эксперимента обладают весьма высокой повторяемостью. По сей день не построено никакой математической модели, которая позволила бы объяснить эти цифры.

РЕШЕТЧАТЫЕ УПАКОВКИ

Плотность и константа Эрмита

⑶⑶Пусть Е—евклидово пространство размерности п и L-решетка в Е Положим

⑶

⑶

m(L) = inf 〈，,/〉•2eL , ! # О

Векторы /tL, такие, что m(L) =〈/,/〉，называются минимальными век-

торами L. Число

disc(L) = det «<•,/；»,

где (4)-базис L, не зависит от выбора базиса и называется дискриминантом L. Положим

y(L) = m(L)/disc(L)"“.

Объем ^mod L равен v = Jdisc(L). Упаковка шаров, ассоциированная с L, образована шарами радиуса г = Jm(L)/2, и ее плотность, согласно формуле (1), есть

d(L) = 2-“ "у亿严2,

где bn = Е21t (孔;2 ) — объем единичного шара в Е.

Число у“ = suPlY(L) называется п-мерной константой Эрмита. Оно связано с максимальной плотностью dn решетки в Е соотношением

4 = 2-W.

Поскольку для кубической решетки L m(L) = disc (L) = y(L) = 1, то у”》1. С другой стороны, из неравенства d“ W 1 следует, что у“ = □(«).

Удобно называть евклидовой решеткой свободный Z-модуль L конечного ранга, снабженный «положительно определенной» симметричной билинейной формой 5: L® L-> R, обладающей, что то же самое, эквивалентными свойствами:

Билинейная форма на L®z К продолжающая В, положительно определена.

Матрица В в некотором базисе L положительно определена.

Для любого с》0 число элементов IwL, таких, что 8(/,/)Wc конечно.

Существует такое с > 0, что для каждого leL, /卢 О, 5(Z, /) > с. В этих предположениях Е = Л®гИ-евклидово пространство и L-решетка в Е; это позволяет определить числа m(L), disc (L), y(L), d(L). Любая решетка в евклидовом пространстве может рассматриваться как евклидова решетка. Евклидова решетка называется унимодулярной, если ее дискриминант равен 1, целочисленной, если 8(L х L) и Z, четной, если она целочисленная и В(/, /) четно для любого IwL. Евклидова решетка именуется подобной (L, 5), если она изоморфна (L,九8) при некотором Х>0.

Существование решетки максимальной плотности

Решетки в евклидовом пространстве R" параметризуются смежными классами GLn(R)/GLn(Z): классу gGL“(Z) соответствует решетка g(Z"). Снабдим множество решеток в R" фактортопологией; функция Liy(L)

непрерывна в этой топологии. Решетки максимальной плотности соответствуют точкам максимума функции у. Для любого X > 0 у (XL)— =y(L). При изучении точек максимума у можно, следовательно, ограничиться множеством унимодулярных решеток, которые отождествляются с точками пространства SLn(R)/SLn(Z).

Предложение 1. Отображение у: SLn(R)/SLn(Z) -> ] 0 + , со [ собственно.

Это следствие теории приведения Минского: любой класс <7GSLn(R)/SLn(Z) обладает представителем g6SL“(R) формы каи, где %tSOH(Rj, а = diagf^,гп)-диагональная унимодулярная матрица с

2

положительными собственными числами, такими, что — ti+l для

1 ^ / < и, а и - унипотентная верхнетреугольная матрица с коэффициентами, лежащими на отрезке [0, 1]. По определению у (д)=峭加户？о〈9羽 дх〉， откуда y(q) W〈g^i，g^i〉= £；• Отсюда легко видеть, что для любого £ > 0 прообраз луча [е, + оо [ относительно у-компактное подпространство пространства SLn(R)/SLn(Z), из чего и следует предложение.

Предложение 1 иногда называется критерием Малера. Другое доказательство см. в [В], гл. 8, с. 187, а обобщения-в [G], п° 2.2.

Следствие. 5 R" существует решетка L максимальной плотности (ш. е. такая, что у (L) =

Действительно, у: SLn(R)/SL„(Z) -> ]0, + со [ — непрерывное, собственное и ограниченное сверху отображение, следовательно, его максимум достигается.

Экстремальные решетки

Определение 1. Пусть L-свободный Z-модуль конечного ранга. Его подмножество S называется совершенным^ если выполнены условия:

существует единственная симметричная билинейная форма В: L® L-> R, такая, что 6(/, /) = 1 для всех /tS;

форма 8 положительно определена и S-множество всех векторов минимальной длины решетки L в соответствующей норме.

Замечание. Пусть п - ранг решетки L. Размерность векторного пространства V симметричных билинейных вещественных форм на L равна п(п + 1)/2. Пусть S-совершенное подмножество L. Из условия единственности в i) следует, что двойственное векторное пространство У* порождено линейными формами вида 〃т〃(з, з), seS. В частности, S содержит п(п+ 1)/2 пар противоположных векторов и Card (S) 2 > и(и + 1). С другой стороны, матричные коэффициенты в базисе решетки L формы В, удовлетворяющей определению, получаются решением системы линейных уравнений с целыми коэффициентами и, следовательно, рациональны.

Решетка L в л-мерном евклидовом пространстве Е называется

совершенной^ если совершенно множество ее минимальных векторов. (В этом случае форма В из определения имеет вид (/, Г)^{1, /'〉/也(心.) Решетка L называется эвтактической, если единичный оператор в Е разлагается в линейную комбинацию SseS ^sps ортогональных проекторов на оси Rs с положительными вещественными коэффициентами.

Решетка в Е называется экстремальной, если она соответствует локальному максимуму функции у. Рассматривая функцию у в окрестности решетки L с точностью до 2-го порядка, можно следующим образом охарактеризовать экстремальные решетки:

Предложение 2 (Вороной [Vo]). Решетка s Е экстремальна тогда 〃 только тогда, когда она совершенна и эвтактична.

Учитывая вышеприведенное замечание, получаем:

Следствие 1. Экстремальная решетка в Е содержит по меньшей мере + 1) минимальных векторов.

Следствие 2, Пусть L- экстремальная решетка в Е. Матрица Грама базиса Е пропорциональна матрице с рациональными коэффициентами. 8 частности, у (L)" рационально.

Следствие 3. Константа Эрмита у„ есть корень п-й степени из рационального числа.

Совершенные подмножества Z" с точностью до GLn (7)-эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с классами подобия совершенных решеток ранга п. Вороной доказал, что этих классов конечное число, и разработал алгоритм, теоретически позволяющий выписать полный список. Из предложения 2 следует, что алгоритм Вороного дает конечный набор локальных максимумов функции у и позволяет вычислить константу Эрмита.

В размерности 3 единственной совершенной решеткой (с точностью до подобия) является решетка Л3 (Гаусс, 1831). Совершенные решетки в размерностях 4 и 5 перечислены Коркиным и Золотаревым ([К, Z], 1877), в размерности 6- Барнсом (1957). В размерности 7 Стаси построил 33 существенно различные совершенные решетки. Компьютерное вычисление с использованием алгоритма Вороного, которое в настоящий момент проводится Д.-О. Жаке, вероятно, покажет, что этот список полон D. Читатель, интересующийся обобщениями этих результатов на G-инвариантные решетки в евклидовом пространстве, снабженном конечной группой автоморфизмов G и приложениями к геометрии чисел, может обратиться к [В, М].

1 Это вычисление было завершено в июле 1990 г. и потребовало 100 часов машинного времени на машие VAX. В результате подтверждено, что список Стаси полон ~ Прим, автора к русск. изд.

Некоторые значения константы Эрмита

Для л W 8 величина у〃 известна и известно, что с точностью до подобия имеется единственная евклидова решетка L ранга и, такая, что y(L) = Ум (Для л W 6 это следствие результатов п. 2.3; для п = 7 и п = 8 это доказано Блихфельдтом.) Известные значения вместе с соответствующими решетками приводятся в нижеследующей таблице (символы Di，Ej означают решетки весов, порожденные системами корней 4“ DH Ef соответственно).

п L m(L) disc (L) yn

1234567812345678123456781234567822222 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2223 4 4 4 3 23 4 4 4 3 2221 21 247547511 11 ч© 114 5 6 811 11 ч© 114 5 6 89942579942573 45 13 45 1ооООООООо оо ооо8 4 8 2 9 2 66 0 6 5 2 5 30 4 16 7 9 59 7 6 4 3 2 28 4 8 2 9 2 66 0 6 5 2 5 30 4 16 7 9 59 7 6 4 3 2 2

12345678

12345678

12345678

12345678

2

2

2

2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

3 4 4 4 3 2

3 4 4 4 3 2

2

2

1 2

1 2

47

5

47

5

11 11 ч© 11

4 5 6 8

11 11 ч© 11

4 5 6 8

994257

994257

3 4

5 1

3 4

5 1

о

о

ООО

ООО

о о

о о

о

о

8 4 8 2 9 2 6

6 0 6 5 2 5 3

0 4 16 7 9 5

9 7 6 4 3 2 2

8 4 8 2 9 2 6

6 0 6 5 2 5 3

0 4 16 7 9 5

9 7 6 4 3 2 2

Ни для одного 九》9 значение у〃 не известно. Список наиболее плотных известных (до работ Элкиса и Шиоды) решеток во всех размерностях и ^ 24 и в некоторых размерностях и, заключенных между 24 и 220, можно найти в [С, S], с. 15—17.

Для небольших п важную роль играют так называемые слоистые решетки. Их рекуррентное определение таково: решетка L ранга п называется слоистой, если:

она содержит слоистую решетку £ ранга и — 1, такую, что m(E) = m(L).

среди решеток со свойством i) она имеет максимальную плотность. Для л W 25 все слоистые решетки известны ([С, S], гл. 6). В размерностях, отличных от 孔=11, 12, 13, они плотнее всех других известных решеток.

Ниже приводится несколько значений п, для которых мы располагаем примерами очень плотных решеток. В близких размерностях влияние этих решеток также сказывается; можно, например, рассматри

вать их гиперплоские сечения.

п

L

автор

m(L)

disc (L)

Y(L)

12

К12

Кокстер и Тодд

4

36

4A"

24

А24

Лич

4

1

4

32

6з2

Квеббеманн

6

216

3./2

Решетки больших размерностей

Пусть л》2. Множество X унимодулярных решеток в R отождествляется (см. п. 2.2) с SLn(R)/5Ln(Z). На X существует единственная SLn (К)-инвариантная вероятностная мера 卩.По теореме Зигеля ([Si]) для любой непрерывной функции / на R" с компактным носителем

⑹ J/(x)dxi...dx“ = C(zi)J( £ /(/))ф(Л), Rn X leLPrim

где Lprim обозначает множество примитивных (т.е. не являющихся целочисленным кратным никакого другого вектора) векторов решетки £, а - дзета-функция Римана.

Пусть г > 0-действительное число, такое, что vol(5(0, г)) < 2^(и). Существует непрерывная функция с компактным носителем /: R"i[0, 1], равная 1 на В(0, г), интеграл от которой не превосходит 2^ (и). Применяя к этой функции формулу (6), можно видеть, что в R" существует унимодулярная решетка L, такая, что ^^^рНт/(/) < 2. Для такой решетки m(L) > г, disc (L) = 1, откуда d(L) > 2-n vol(5(0, г)). Нами тем самым доказано неравенство

⑺ 4》2-к⑺

(граница Минковского). Явная конструкция столь плотных решеток в сколь угодно большой размерности неизвестна. Различные авторы (Лицын, Цфасман, Квеббеманн, Розенблюм и т. д.) предъявляли последовательности решеток размерности, стремящейся к бесконечности, плотность которых удовлетворяет неравенству вида d》с" для некоторой константы с Лучшая на настоящий момент из оценок имеет вид d》2f 39〃 ум. [R, Т]).

РЕШЕТКИ ЭЛ КИСА И ШИОДЫ

На конференции в Люмини весной 1989 г. Цфасман привлек внимание к упаковкам шаров, отвечающим евклидовым решеткам, возникающим в теории чисел и алгебраической геометрии. Это навело Элкиса на мысль исследовать следующую ситуацию: эллиптическая кривая Е над глобальным полем К и решетка E(K)/E(K)t0TS, снабженная билинейной формой высоты Нерона-Тейта. С точки зрения проблемы упаковки шаров эти решетки малоинтересны, когда К-поле алгебраических чисел. (Неизвестно даже, может ли их ранг быть при К = Q сколь угодно большим.) Напротив, если в качестве К выбрать поле алгебраических функций от одной переменной с конечным полем констант, то, хитроумно выбирая Е, оказалось возможным построить упаковки шаров, более плотные, чем ранее известные.

Одновременно и независимо Шиода в серии статей ([Sh. 1-6]) развил теорию связей между геометрией эллиптических поверхностей (над 19*

полем, не обязательно конечным) и арифметикой соответствующих групп Морделла - Вейля. Теория эллиптических поверхностей по существу эквивалентна теории эллиптических кривых над полем функций от одной переменной, хотя переход с одного языка на другой - дело достаточно деликатное (см. [Та], § 4). По ходу работы Шиода получил результаты об упаковках шаров, похожие на полученные Элкисом ([Sh. 6]).

Эллиптические кривые над полем функций

Пусть /с-конечное поле порядка q — //, К —none функций от одной переменной над к: иначе говоря, К есть поле рациональных функций гладкой проективной абсолютно неприводимой кривой X, определенной над k. Отображение deg: К -> N ставит рациональной функции на X в соответствие ее степень.

Рассмотрим эллиптическую кривую, определенную над К. Группа Е(К) конечно порождена. Существует единственная положительно определенная квадратичная форма 〃： Е(К) -> R со следующим свойством: если у2 -^- atxy -^- а3 у — х3 -^- а2х2 -{- а^х -{- <э6-модель Вейерштрасса Е, то отображение 尸1〃 (尸)一1/2 deg (x (P)) из 月(К) — {0} в R ограничено. (С точностью до умножения на log q h как раз и есть высота Нерона-Тейта на Е.) Подгруппа кручения E(K)tors и Е(К) состоит из точек 尸, чья высота h (Р) = 0; она имеет конечный порядок. Положим L = =E(K)/E(K)tors. Билинейное отображение (尸,Q)h^h(P + Q)—厶(尸)— —h (2), ассоциированное с Н, определяет симметричную положительно определенную вещественную билинейную форму на L. Будучи снабжена этой формой, решетка L становится евклидовой решеткой, которая называется решеткой Морделла - Вейля кривой Е. Ассоциированную с ней упаковку шаров характеризуют:

ранг п свободного Z-модуля L;

число m(L) = inf 〈/, /〉= 2 inf h(P\

дискриминант L.

Дискриминант L фигурирует в гипотезе Берча - Суиннертона-Дайера, формулировка которой для случая поля функций принадлежит Тейту ([Та]). Напомним ее вкратце. Если и - точка поля К (т. е. замкнутая точка X), а д，一порядок ее поля вычетов /с(и), то количество /с(и)-точек вейрштрассовой минимальной модели кривой Еву равно 1 + д” 一 а單, причем \av\ 2^/^. Положим Lv(s) = (1 — avq~s + q^ ~2s)~1, если E имеет хорошую редукцию q v и Lv(s) — (1 — avq^s) в противном случае. Ряд Дирихле 口廿厶廿卜),именуемый L-функцией Хассе - Вейля Е над К, имеет вид LE/K (q~s\ где L Е/к - рациональная функция. Гипотеза Берча - Суиннертона-Дайера утверждает, что:

порядок нуля в точке ^~1 рациональной функции LE/K равен рангу « группы Е(К)/Е (K)tors;

группа Тейта — Шафаревича III (£/К), классифицирующая главные однородные пространства над Е, тривиальные над всеми пополнениями Kv поля К, конечна;

рациональная функция 厶后佟(丁)/(1 一 夕丁)" принимает в точке д~， значение

Card (Ш(Е/К)) disc (L)

㈠夕 Card(E(K)tors)2

где g-род кривой X и для каждой точки и поля К cv — количество связных компонент геометрического слоя модели Нерона Е, которые определены над /с (и).

К счастью, имеется довольно много положительных результатов в этом направлении.

Порядок nf нуля функции LE/K в точке ^~1 всегда не меньше п (см. [Та], доказательство теоремы 5.2).

Равенство п' = п эквивалентно конечности III (£/К) и влечет за собой справедливость (8). «Взаимно простая с р» часть этого утверждения доказана Тейтом ([Та], теорема 5.2) по модулю другой гипотезы (там же, с. 13, гипотеза (d)), позднее доказанной Гордоном ([Go]). «p-часть» доказана Милном ([Mil. 2]). Милн предполагал р，2, поскольку он использовал теорему двойственности в двумерном случае для поверхностей (Ann. Sci ENS 9(1976)), где он ссылается на статью Блоха (IHES, vol. 47). Если заменить последнюю ссылку статьей Иллюзи (Ann. Sci. ENS 12 (1979)), то можно освободиться от предположения р，2.

Гипотеза Берча - Суиннертона-Дайера доказана для постоянных эллиптических кривых Е (т. е. получающихся расширением скаляров из эллиптической кривой над к), причем анонсировано аналогичное доказательство для абелевых многообразий ([Mil. 1] теор. 3). В более общей ситуации

Гипотеза Берча - Суиннертона-Дайера доказана для постоянных эллиптических кривых Е, т. е. для случая, когда J(E) принадлежит k. Действительно, в этом случае существует конечное расширение Галуа К поля К, на котором кривая Е становится постоянной эллиптической. Группа Ш(Е/К') конечна в силу с). Ядро канонического гомоморфизма П1(Е/К) т П1(£/К') аннулируется посредством [К; К], и каждая подгруппа Ш (Е/К) конечного показателя является конечной. Отсюда Ш (Е/К) конечна, а Е удовлетворяет гипотезе Берча - Суиннертона- Дайера в силу Ь).

Эти результаты позволяют в случаях, рассматриваемых Элкисом и Шиодой, получить из формулы (8) оценку снизу для дискриминанта L.

Случай постоянной эллиптической кривой

Конкретизируем результаты предыдущего пункта в простейшем частном случае постоянной эллиптической кривой, т. е. кривой, получающейся расширением скаляров до К из эллиптической кривой 瓦 определенной над к.

Группа Е(К) совпадает с группой Morfc (У, Е) морфизмов X q Е (определенных над к). Действительно, выбор точки в Е(К) эквивалентен заданию рационального отображения X в £", а любое такое отображение однозначно продолжается до морфизма X в Е.

Квадратичная форма /к £"(K)iR отождествляется с отображением и I—> deg и, Morfc(//, Е) R.

Подгруппа кручения £"(K)tors совпадает с Е(к) и есть подгруппа постоянных морфизмов в Morfc (Я, £).

Z-модуль L = E(K)/E(K)tors канонически изоморфен группе Homk (J (У), Е) морфизмов абелевых многообразий J(X) (якобиана X) в Е, определенных над к. Действительно, гомоморфизм Mork(Jf, Е) т Hom。(X), Е) (〃 i 〃* по функториальности Альбанезе) сюръективен и его ядро состоит из постоянных морфизмов X в Е

Ранг и решетки L. Абелево многообразие J(X) /с-изогенно произведению х ... х Ат простых абелевых многообразий над к. Если - число сомножителей, /с-изогенных Е, а /-ранг Z-модуля Endfc(Е), то п = st: действительно, группа НотМ%», Е) имеет ранг Z, если Zj изогенно Е и тривиально в противном случае.

Опишем другой способ вычисления 几 Для этого рассмотрим функцию Z(X, Т) на кривой X, определенную как

Z(X, Т) = 口(1 一

(где V пробегает множество замкнутых точек X). Это рациональная функция от Т вида

(Ю)(Ю)Z(x, Т)=Z(x, Т)=ГШ1(1-%т)(1 一 T)(1-9Т)‘ГШ1(1-%т)(1 一 T)(1-9Т)‘

(Ю)

(Ю)

Z(x, Т)=

Z(x, Т)=

ГШ1(1-%т)

(1 一 T)(1-9Т)‘

ГШ1(1-%т)

(1 一 T)(1-9Т)‘

где д — род кривой X, а а】，...，a2ff - комплексные числа, по абсолютной величине равные 夕"？. Положим также

(И)(И)Z(瓦 T)=Z(瓦 T)=(1 —В1Т)(1 —”т)(1-Т)(1-^Т)(1 —В1Т)(1 —”т)(1-Т)(1-^Т)Предложение 3. Ранг Z-модуля L = (K)/E(K)tors равен количеству с условиями 1 W i W 2д, 1 W j W 2 〃 таких, что az = 0尸Предложение 3. Ранг Z-модуля L = (K)/E(K)tors равен количеству с условиями 1 W i W 2д, 1 W j W 2 〃 таких, что az = 0尸пар @ j)пар @ j)

(И)

(И)

Z(瓦 T)=

Z(瓦 T)=

(1 —В1Т)(1 —”т)(1-Т)(1-^Т)

(1 —В1Т)(1 —”т)(1-Т)(1-^Т)

Предложение 3. Ранг Z-модуля L = (K)/E(K)tors равен количеству с условиями 1 W i W 2д, 1 W j W 2 〃 таких, что az = 0尸

Предложение 3. Ранг Z-модуля L = (K)/E(K)tors равен количеству с условиями 1 W i W 2д, 1 W j W 2 〃 таких, что az = 0尸

пар @ j)

пар @ j)

Пусть /-простое число, отличное от р. Точки /00-кручения J(X) и Е определяют /-адические представления в Q广векторннх пространст-

вах 匕(J(X)) и 匕(Е) размерности соответственно 2g и 2. По теореме Тейта пространства LgzQi = Homfc(J(y), ^)®zQz и HomGai(秋)(匕(J (X)), 匕(Е)) изоморфны. Их размерность есть число пар (i, j), таких, что af = 0j, поскольку автоморфизм Фробениуса xix' поля 店，порождающий группу Gal(^/k) топологически, действует на пространствах Уг (J (У)) и 匕(Е) полупростым образом, а характеристические полиномы суть соответственно 口拒 i (Т— а.) и fP= i (Т— %).

Число m(L). По определению

m(L) = inf 〈/,/〉= 2 inf deg〃，

/eL.i^Ou

где вторая нижняя грань берется по всем непостоянным определенным над к морфизмам и: X -^ Е. С другой стороны, ясно, что для любого конечного расширенияв k'/k

inf deg u》Card(X&))/Card(EW)).

Это позволяет ограничить снизу m(L).

Функция Хассе - Вейля Е над К. Будем пользоваться далее обозначениями из формул (9) — (11). Пусть и-замкнутая точка К. Обозначим к®) ее поле вычетов и положим qv = Card (к (и)), degb = [к®): к]. Порядок ё伙ё))равен 1 一 舊 + 乳，где av = 0惮" + B界"，причем 瓦 Р2 =外 Функция Хассе — Вейля кривой Е над К, равная по определению IL(1 —生夕广 + 成-為)-* может быть представлена в виде LE/K(^-SX где

ЬЕ/к(Т) = Ц((}-ф1Т^)(\-^2 T)deg，))T (14)

=z(x,瓦 т) z(x,丛 т) = z(x, 0 Z 卜,||).

Гипотеза Берча - Суиннертона-Дайера, которая в рассматриваемом случае, как уже отмечалось, доказана Милном, утверждает, что порядок нуля в дТ функции LE/K равен количеству пар (z, j), таких, что % =匕 т. е. по предложению 3-рангу п группы E(K)/E(K\OTS.

Дискриминант L. По теореме Милна функция LE/K(T)/(1 — qT)n в точ- ке дТ принимает значение

qirCard(ni(E/K))disc(L)

Card 停(КЗ了*

Так как порядок группы £(K)tors, совпадающей с Е(к), равен (1 一 瓦)(1 一 02)，то из формул (10) и (14) следует, что

Саг(1(Ш(Е/К))disc(L) = ^ П (1-^ ).

Пример

Пусть ^-некоторая степеньр. Рассмотрим над полем k = F 2 кривую

Ферма X, задаваемую уравнением

+ 尸+1 +z#i =0.

Лемма, а) Род кривой X равен g = q(q — 1)/2.

Порядок X(k) равен q3 4- 1.

Z(X, Т) = (1 + 夕丁产/((1 - T)(l - q2 T)).

Пусть я - эндоморфизм Фробениуса якобиана X (над к). Тогда 九+9=0.

следует из того, что X — гладкая плоская проективная кривая степени q + 1.

Если х пробегает k = Fq2, то x° + i один раз принимает значение 0 и по ^ + 1 раз - каждое значение из F* Аналогично для у и z. Теперь простой подсчет дает Ь).

Рациональная функция Z(X, Т) имеет вид 口担 i(l-必Т)/(1一 —T)(l — q2 Т)), при этом

Card(X(k))=l + q2 —а._

В соответствии с Ь) сумма всех af равна q2 — q3 — — 2gg. Поскольку af по модулю равны то а； = — ^ при всех i.

Пусть /-простое число, л действует на 匕(J(X)) как полупростой эндоморфизм с характеристическим полиномом 口對乂丁一 aj = =(T+ q)2g. Следовательно,冗 + g аннулирует 匕(J(X)), и тем самым все точки J(X), порядок которых есть степень /, лежат в ядре 兀 + q. Значит, 九+9=0.

Выберем определенную над к эллиптическую кривую Е, такую, что Е(к) содержит 夕？ + 2夕 + 1 элементов (такая кривая существует: например, для р 卢 2,3 подходит любая суперсингулярная кривая над Fp). Для такой кривой Z(瓦 Т) = (1 + ^Т)2/((1 — Т)(1 — q2 Т)). Пусть К-поле рациональных функций кривой X. Применим результаты предыдущего пункта к решетке Мор делла - Вейля L= E(K)/E(K\ors.

Предложение 4, а) Ранг п решетки L равен 4g = 2q(q — 1).

m(L)》2(q- 1).

Card Ш (E/K)disc(L) = 92g =产勺-"

d)y(L)》2(g—l)/&.

Утверждение а) следует из предложения 3 (все а» и р; равны — g). b) следует из формул (12), (13) и того, что

Card(y(k))/Card(E(k)) = (^ + 1)/(^ + I)2 > ^ - 2.

есть частный случай формулы (15); с) влечет за собой неравенство

disc(L) К 92g. Наконец, d) выводится из всего предыдущего, поскольку 7(L) = m(L)/disc (L)1/n.

Для того чтобы улучшить оценку сверху на дискриминант L, необходимо располагать информацией о группе Ш(Е/К). Кое-что в этом направлении сделано Гроссом ([Gr], предл. 14.10): он показал, что Ш(Е/К) тривиальна, если д=р или q = р2, и нетривиальна, если q делится на р^. Например, Card(Ш (Е/К)｝》рР3(р~^3/^ для q = ?з

Гросс [Gr] строит описанную решетку и характеризует ее чисто алгебраически. Кроме того, он сообщает некоторые сведения о ее геометрии: так, при q — р2 для любых (/, Г) из L 〈/,/'〉epZ и (L, 1/р〈，〉) — унимодулярная четная целочисленная решетка.

Построенная в этом пункте решетка L для 夕=2 изоморфна。心 для q = 3-решетке К12 Кокстера - Тод да, а для 夕=4 подобна решетке Лича.

Замечание. То, что построенные решетки Морделла - Вейля могут иметь большой ранг, есть следствие того, что для кривой Ферма X с уравнением (16) выполняются эквивалентные соотношения с) и d) из леммы. Другие кривые, для которых выполнены эти соотношения (среди них, в частности, те, которые накрываются кривой X), также приводят к хорошим упаковкам шаров.

Заметим, что уравнение (16) записывается в виде хх + ^ + zz = 0 (при х = х') и может быть с помощью подходящей линейной замены координат преобразовано к виду ху + ух — zz = 0. Следовательно, х + A?q = z，+ 1 является аффинной моделью X. Для любого целого 工 делящего g + 1, х + х° = z‘ является аффинной моделью некоторой кривой, накрываемой X; если, кроме того, q является степенью 2, 〃2 + 〃 = I/ является аффинной моделью некоторой кривой, накрываемой X, как легко видеть, положив 〃 = х + х?・工4 + … + x"'? и и = z.

Пример. Если в качестве X взять кривую с уравнением у2 -^- у = xq + 1 над полем F 2,夕=2「，а в качестве 瓦 как и прежде,- эллиптическую кривую с уравнением у2 + у — х3, то соответствующая решетка Морделла- Вейля - целочисленная, четная ранга 2g. Элкис явно описал подрешетку конечного индекса в L, подобную решетке Барнса-Уолла BW2q. Для 夕=16 L-решетка ранга 32 той же плотности, что и решетка Квеббема- нна Оз?； по всей видимости, она изоморфна g32, но это еще не доказано. Исследование «глубоких дыр» в некоторой подрешетке L позволило Элкису сконструировать евклидову решетку ранга 33, более плотную, чем все известные ранее. Для п — 32, 64, ..., 512 решетка L или ее подрешетки улучшают рекорды плотности в размерностях 64, 128..., 1024.

Заключение

В этой статье мы рассматривали только случай постоянной эллиптической кривой. Элкис и Шиода, однако, для получения хороших упако-

298298Ж. ОСТЕРЛЕ

298

298

вок шаров использовали и другие эллиптические кривые. Особенно интересным оказался случай кривых с j-инвариантом, лежащим в к (т. е. кривых, получающихся из постоянных скручиванием), точнее говоря, тех из них, которые использовались в [Т, S] для конструкции групп Морделла - Вейля большого ранга. Иногда полезно изучать подрешетки решеток Морделла ~ Вейля, например подрешетку, состоящую из точек Е (К), все редукции которых принадлежат связной компоненте модели Нерона.

Интересно было бы выяснить, что получится, если вместо кривой Е рассмотреть абелево многообразие А (в частности, якобиан определенной над Fg2 кривой, для которой выполнены условия с), d) леммы 3.3).

В настоящий момент непохоже, чтобы конструкции Элкиса и Шиоды позволили построить последовательность решеток ранга и, стремящегося к бесконечности, плотность d которых ограничена снизу величиной с" для некоторой константы с Они позволяют лишь предъявить последовательности, дая которых logd ведет себя как —孔logn/12j)

Ниже приводится список некоторых размерностей, для которых методами Элкиса и Шиоды были построены решетки более плотные, чем известные ранее. Для всех этих разностей мы приводим величину log2 8, где 6 = d (L)/b„ - центральная плотность L; для сравнения в скобках мы напоминаем прежний рекорд, см. таблицы из [С, S], с. 16-17.

п5464log28》15,8824,71(22)ссылка[Е][Е]п5464log28》15,8824,71(22)ссылка[Е][Е]п256508п25650812897-4й国14 п^ ^к о ю 52 8040.1‘(36)rsh51212897-4й国14 п^ ^к о ю 52 8040.1‘(36)rsh512

п

54

64

log28》

15,88

24,71

(22)

ссылка

[Е]

[Е]

п

54

64

log28》

15,88

24,71

(22)

ссылка

[Е]

[Е]

п256508

п256508

12897-4й国

1

4 п^ ^к о ю 52 8040.1‘(36)rsh512

12897-4й国

1

4 п^ ^к о ю 52 8040.1‘(36)rsh512

log2 5》

294,80

(270,89)

745,62

(742,66)

797,12 (698)

770, 37 (767,46)

2018, 24

ссылка

[Е]

[Sh. 6]

ЕЕ]

[Sh. 6]

[Ер

ЛИТЕРАТУРА

[В, М] Berge А. М., Martinet J. Resea их extremes pour un groupe d'automorphis- mes, a paraitre dans les actes des Journees Arithmetiques de Luminy, 1989, editions Asterisque.

[B] Bourbaki N. Elements de mathematiques. Integration. Hermann, Paris, 1963.

DOUj ^Ogn

'Элкис сообщил мне, что он умеет заменять условие d ~условием —log d = “ 仇 log л0,5 +е) для всех е > 0.

2> Оценка снизу log2 6, имеющаяся в [Е], равна 2012,24. Ее можно заменить оценкой 2018,24, если учесть, что в рассмотренном примере группа Ш (£/К) имеет порядок не меньше 212.

[С, S][Со][Е][Fe][G] [Go] Rk] [К, L][К, Z][Mil. 1] [Mil. 2] [Ro] [R, T] [Sh. 1] [Sh. 2] [Sh. 3] [Sh. 4] [Sh. 5] [Sh. 6] [Si][Ta] [T, S] [Th] [Vo][С, S][Со][Е][Fe][G] [Go] Rk] [К, L][К, Z][Mil. 1] [Mil. 2] [Ro] [R, T] [Sh. 1] [Sh. 2] [Sh. 3] [Sh. 4] [Sh. 5] [Sh. 6] [Si][Ta] [T, S] [Th] [Vo][Имеется перевод: Бурбаки H. Интегрирование.- М. ： Наука, 1967, 1970.]

[С, S]

[Со]

[Е]

[Fe]

[G] [Go] Rk] [К, L]

[К, Z]

[Mil. 1] [Mil. 2] [Ro] [R, T] [Sh. 1] [Sh. 2] [Sh. 3] [Sh. 4] [Sh. 5] [Sh. 6] [Si]

[Ta] [T, S] [Th] [Vo]

[С, S]

[Со]

[Е]

[Fe]

[G] [Go] Rk] [К, L]

[К, Z]

[Mil. 1] [Mil. 2] [Ro] [R, T] [Sh. 1] [Sh. 2] [Sh. 3] [Sh. 4] [Sh. 5] [Sh. 6] [Si]

[Ta] [T, S] [Th] [Vo]

Conway J. Н., Sloane N.J. A. Sphere packing, lattices and groups. Grund, der mathematischen Wissenschaften 290, Springer-Verlag, 1988. [Имеется перевод: Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковка шаров, решетки и группы-М.: Мир, 1990.]

Coxeter Н. S. М. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, 1961. [Имеется перевод: Кокстер X. С. M. Введение в геометрию.-М.: Наука, 1966.]

Elkies N. Lettres electroniques a N.J. Sloane, du 15 aout et du 15 septembre, 1989.人

Fejes J. Uber einen geometrischen Satz. Math. Z. 46 (1940), 79-83.

Godement R. Domaines fondamentaux des groupes arithmetiques, Seminaire Bourbaki, mai 1963, exp. n°257, Benjamin, vol. 1962-63, New York, 1966. Gordon W. J. Linking the conjectures of Artin-Tate and Birch - Swinnerton- Dyer. Compositio Math. 38 (1979), 163-199.

Gross В. H. Group representations and lattices, preprint.

Кабатянский Г. А., Левенштейн В. И. О границах для упаковок на сфере и в пространстве - Проб л. передачи информ., 1978, т. 14, вып. 1, с. 3-25. Korkine A., Zolotareff G. Sur les formes quadratiques positives. Math. Ann. 11 (1877), 242-292.

Milne J. S. The Tate—Safarevic group of a constant Abelian variety. Invent. Math. 6 (1968), 91 — 105.

Milne J. S. On a conjecture of Artin and Tate. Annals of Math. 102 (1975), 517-533.

Rogers C. A. Packing and covering. Cambridge tracts in mathematics and mathematical physics, vol. 54, Cambridge University Press, 1964.

Rosenbloom M.J., Tsfasman M. A. Multiplicative lattices in global fields. Invent. Math., 1990.

Shioda T. The Galois representation of type Eg arising from certain Mordell-Weil groups. Proc. Jap. Acad. 65, Ser. A (1989), 195-197.

Shioda T. Mordell-Weil lattices and Galois representation, I, П, III. Proc. Jap. Acad. 65, Ser. A (1989), 268—271, 296—299, 300-303.

Shioda T. Construction of elliptic curves over Q(f) with high rank: a preview, Proc. Jap. Acad. 66, Ser. A (1989), 57-90.

Shioda T. Construction of elliptic curves with high rank via the invariants of the Weyl groups, preprint.

Shioda T. Mordell-Weil lattices of type £8 and deformation of singularities, preprint.

Shioda T. Mordell-Weil lattices and sphere packings, preprint.

Siegel C. L. A mean value theorem in the geometry of numbers. Ann of Math. 46 (1945), 340-347.

Tate J. On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog. Seminaire Bourbaki 1965/66, expose n° 306.

Тэйт Д., Шафаревич И. P. О ранге эллиптических кривых. ДАН СССР, 175:4 (1967), 770—773.

Thue А. От nogle geometrisk-taltheoretiske Theoremer. Forhandlige ved de Skandinaviske Naturforskeres, 14 M^de, Kj^benhavn, 1882, 352—353.

Voronoi G. Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites. J. reine angew. Math. 13 3 (1908), 97-178.

ТЕОРЕМЫ О НИЛЬПОТЕНТНОСТИИ ПЕРИОДИЧНОСТИ В СТАБИЛЬНОЙТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ

Даглас Равенел 1}

ВВЕДЕНИЕ И ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМ

В этой статье мы изложим недавние результаты в стабильной теории гомотопий, полученные Девинацем, Хопкинсом и Дж. Смитом ([DHS 88], [Нор 87] и [HS]) и высказанные в качестве гипотез автором в [Rav 84]. Более подробное изложение имеется в [Rav].

Вышеупомянутые теоремы относятся к одной из основных проблем алгебраической топологии. Дано непрерывное отображение одного топологического пространства в другое. Как алгебраическими методами распознать, гомотопно ли оно постоянному отображению, т. е. отображению, переводящему всю область определения в какую-то одну точку из области значений. Это - простейший частный случай задачи гомотопической классификации, которая состоит в описании множества гомотопических классов отображений пространства X в пространство У и в классификации пространств (удовлетворяющих тем или иным условиям) с точностью до гомотопической эквивалентности.

Основная стратегия алгебраической топологии состоит в исследовании этой задачи построением функторов из гомотопической категории (объекты которой суть подходящие топологические пространства, а морфизмы - гомотопические классы непрерывных отображений) в различные алгебраические категории вроде категории градуированных мо- дулей или колец. Наиболее известными примерами здесь служат гомотопические группы и классические гомологии и когомологии; в последнем случае мы имеем дело с контравариантным, а не ковариантным функтором. Непрерывное отображение существенно (т.е. не гомотопно постоянному отображению), если вышеупомянутый функтор переводит ег。в нетривиальный гомоморфизм, но обратное редко имеет место. Вообще говоря, имеется некоторый конфликт между вычислимостью функтора и объемом даваемой им информации. Когда легко вычислимый функтор дает полную информацию о гомотопическом классе

° Эта работа является изложением моего доклада на семинаре Бурбаки летом 1990 г. Мне очень приятно, что эта статья переведена на русский язык. ■Я надеюсь, что тот круг проблем современной гомотопической топологии, который здесь обсуждается, привлечет внимание молодых талантливых русских математиков. Подробное изложение упомянутых в работе результатов и конструкций (некоторые из них не были полностью опубликованы в 1990 г.) можно найти в моей книге: Ravenel D. Niipotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory, Annals of Mathematics Studies No. 128, Princeton, mi.-Прим. автора к русскому изданию.

какого-нибудь отображения, это рассматривается как замечательное событие.

Прежде чем формулировать теорему о нильпотентности, мы сделаем нужную нам модификацию задачи гомотопической классификации. Во- первых, мы рассматриваем только конечные клеточные пространства (CW-комплексы). Соответствующее определение можно найти в любом учебнике алгебраической топологии. Этот класс пространств включает практически все пространства, возникающие в геометрии; например, компактные многообразия, алгебраические многообразия и симплици- альные разбиения. Кроме того, они особенно удобны для теории гомотопий.

Во-вторых, мы рассматриваем такие пространства и отображения между ними с точностью до надстройки. Надстройка ЕХ над пространством X получается из цилиндра X х [0,1] сжатием каждого из его оснований (т.е. подпространств X х {0} и X х {1}) в точку. Например, надстройка над и-мерной сферой Sn (пространством единичных векторов в R“ + i) есть S" + L

Надстройка Ef над отображением f; X ^ Y определяется аналогично, и операцию надстройки можно итерировать.

Отображение / стабильно гомотопически тривиально (или стабильно несущественно), если некоторая надстройка S*/гомотопна постоянному отображению. В противном случае / называется стабильно существенным. Для конечных клеточных пространств имеется верхняя оценка (зависящая от связности и размерности фигурирующих пространств) числа надстраивании, проясняющих ситуацию17.

Можно определить стабильную гомотопию (гомотопность) и очевидным образом поставить задачу гомотопической классификации. Опыт показал, что в теории гомотопий переход к стабильной ситуации в ряде случаев значительно упрощает дело. (Имеется, впрочем, несколько исключений: например, отображения окружности S1 проще классифицировать с точностью до обычной, а не стабильной гомотопности.)

Отображение вида X ^-^ X, d》0, называется автоотображением пространства X или автоотображением на X. Можно рассматривать итерации автоотображений

и задаться вопросом о стабильной гомотопической тривиальности какой-нибудь из этих композиций. При утвердительном ответе на этот вопрос / называется стабильно нильпотентным отображением, в противном случае / называется периодическим отображением.

Для конечного клеточного пространства X прилагательное «стабильный» здесь излишне. Если какая-то из вышеприведенных компози-

D Имеется в виду существование такого к, что если £攵 существенно, то / стабильно существенно,- Прим, перев.

ций стабильно несущественна, то найдется и просто несущественная композиция (полученная движением вправо).

Теперь мы сформулируем простейший вариант теоремы о нильпотентности (Девинац - Хопкинс - Смит, [DHS 88]).

Теорема 1.1 (теорема о нильпотентности для автоотображений). Имеется функтор MU*, такой, что автоотображение /конечного клеточного пространства X стабильно нильпотентно тогда 〃 только тогда, когда некоторая итерация гомоморфизма MU*(f) тривиальна.

Это-первая из трех эквивалентных формулировок теоремы о нильпотентности. Две другие - это 3.7 и 5.2.

Функтор MU*, известный как теория комплексных бордизмов, принимает значения в категории градуированных модулей над некоторым градуированным кольцом L, изоморфным кольцу MU* (pt.). Эти модули снабжены действием некоторой группы Г, действующей также на L. Кольцо L и группа Г тесно связаны с теорией формальных групп. Функтор MU* (У) первоначально определялся в терминах отображений некоторых многообразий в пространство X, но это определение почти не проясняет его (функтора) алгебраической структуры. Однако наше обсуждение сосредоточено вокруг алгебры более, чем вокруг геометрии. Мы обсудим это подробнее в разд. 2, большинство основополагающих фактов можно найти в [Rav 86, гл. 4]. Практически MU* (X) вычисляется без особых трудностей.

Мы можем сказать также кое-что о периодических автоотображениях.

Перед тем как это сделать, мы должны рассмотреть локализацию относительно простого числа р. В алгебре это делается тензорным умножением исходного объекта на Z(p), где Z(p)— 3TO ^-локализованное кольцо целых чисел, т. е. подкольцо кольца Q рациональных чисел, состоящее из несократимых дробей, знаменатель которых взаимно прост с р. Для конечной абелевой группы Л группа Л ® Z(p) есть в точности ^-компонента группы А. Далее, Z(p) есть плоский Z-модуль: это означает, что тензорное умножение на Z® сохраняет точность точных последовательностей.

Аналогичная процедура имеется и в теории гомотопий. Это подробно изложено в [ВК 72]; несколько менее формальное изложение можно найти в [Ada 75]. Для любого клеточного пространства X имеется единственноепространство У(р), такое, что Е+(У(р))合 E*(X)g Z(p)для большинства алгебраических функторов Е索.Пространство ^储)называется р-локализацией пространства X. Если X-конечное клеточное пространство, то мы говорим, что Х(р)-зто р-локальное конечное клеточное пространство.

D С точностью до гомотопической эквивалентности.- Прим, перев.

Предложение 1.2, Пусть X- такое односвязное клеточное пространство, что 后* (X) (приведенные гомологии пространства X) есть периодическая группа.

Если порядки всех элементов из 〃*(Х) взаимно просты с р, то У(р) стягиваемо.

Если Н*(Х) состоит лишь из р-примарного кручения, то У(р) гомотопически эквивалентно X. (5 этом случае мы говорим, что X является р-периодическим пространством^)

В общем случае X гомотопически эквивалентен букету всех его р~ локализаций.

Наиболее интересные периодические автоотображения возникают в случае, когда X является конечным р-периодическим клеточным пространством. В этом случае удобно заменить MU* функтором К(〃)*-К-теорией Моравы. Эти функторы были введены Моравой в начале 70-х годов в работе, которая до сих пор не опубликована. Алгебраические топологи обычно не любят давать точное определение этих теорий в публичных выступлениях, поскольку это требует недопустимо длинных технических рассуждений. Аксиоматический подход здесь был бы желателен, но его пока нет.

Несмотря на трудное определение, К (и)# (X) вычислить, как правило, легче, чем MU*(H), и это обстоятельство проясняет некоторые свойства пространства X (связанные с периодическими авто отображениями). Основные свойства К-теорий Моравы содержатся в следующем предложении; большинство из них доказано в [JW 75], свойство (v) доказано в [Rav 84].

Предложение 1.3. Для любого простого р имеется последовательность функторов К (л)*, и ^ 0, со следующими свойствами. (Мы следуем сложившейся традиции, исключающей р из обозначений^)

K(0)*jx)= 〃*(Х, Q) и К (0)# (У) = К (0)# (pt.) для любого р-пе- риодического пространства X.

К(1)*(Х) есть одно 〃з р—1 изоморфных слагаемых приведенной mod р комплексной К-теории.

^(O)*(pt.) = Q и при п> 0 K(/i)*(pt.) = Z/p[%,唁】],dim vn = =2p" — 2. Это кольцо есть градуированное поле в том смысле, что любой градуированный модуль над ним свободен. К (л)* (X) является модулем над K®)*(pt.)・

Имеется изоморфизм Кюннета

К®)*(Хх Y)^K(n\(X) ®К⑺*(У).

K(%(pt)

(V)Пусть X - некоторое р-локальное конечное клеточное пространство, Если К®)*(Х) = К (и)* (pt.), то К(п — 1)*(Х) = К (п — 1)# (pt.).

Если р-локальное конечное клеточное пространство X нестягива- емо, то К(〃)*(Х)卢 К (л)* (pt) для достаточно больших и.

Определение 1.4. Мы говорим, что /?-локальное конечное клеточное пространство имеет тип п, если л есть наименьшее из таких чисел, что K(n)^X)^K(n)^t).

Ввиду изоморфизма Кюннета вычислять К(л)*(Х) легче, чем AfU*(X). Но имеется много интересных пространств, для которых это не сделано, см. [RW 80] и [HKR]. Из теоремы о нильпотентности (1,1) следует, что К-теории Моравы и обычные гомологии с коэффициентами в поле являются по существу единственными теориями гомологий, удовлетворяющими формуле Кюннета.

К-теории Моравы особенно удобны для распознавания периодических отображений. Это - содержание второго основного результата этой статьи, теоремы о периодичности Хопкинса - Смита [HS]. Доказательство намечено в [Нор 87].

Теорема 1.5 (теорема о периодичности). Пусть X, Y-два fнестягива- емыхJ р-локальных конечных клеточных пространства типа п (см. (1.4)). Тогда

Имеется автоотображение /: ^ X -^ X, для которого К(л)*(/) является изоморфизмом 〃 К (m)# (f) нильпотентно при т > п. (Мы называем такое отображение v^-отображением.) Если п = 0, то d = 0, а если п > Q, то d делится на 2р" — 2.

Пусть 〃： X— Y-непрерывное отображение, 〃 пусть д: Е'Ут У такое же, как в (i). Тогда имеются натуральные числа i,j с di = ej, такие, что следующая диаграмма гомотопически коммутативна'.

h

X —> Y

Полезно отметить два частных случая утверждения (ii). Первый - это Х=Уи А = 1х. В этом случае (ii) утверждает, что / асимптотически единственно в следующем смысле. Пусть g - другое такое периодическое автоотображение. Тогда ^ = gj для некоторых натуральных z, j.

Второй частный случай - это когда У есть надстройка над X и ^-надстройка над / Тогда (ii) гласит, что / является асимптотически центральным, т.е. что любое А коммутирует с некоторой итерацией отображения / Ниже в 4.3 мы увидим, что некоторая фиксированная итерация отображения / коммутирует со всеми h.

Замечания 1.61*. 1. Можно доказать, что если конечное клеточное пространство X допускает гп-отображение, то X имеет тип > и, см. [Rav], следствие 3.3.11. Следовательно,宜g)*(X)工 0 при z < и, и потому для любого ^„-отображения / имеем 宜(/)*(/) = 0 при i < п. Здесь 玄(z)*(X) обозначает ier (К(/)*(Х) т K(i)*(ptj).

D Добавлено переводчиком в результате консультаций с автором,- Прим, перев.

Если / является ип-отображением, то (К (也)* (/))* = 0 для всех т, таких, что 也卢 ％ и некоторого к, не зависящего от т. Действительно, взяв при необходимости некоторую итерацию отображения 工 можно считать, что ^+(/) = 0. Так как для больших m (и данного X) в силу конечности пространства X имеем К (т)+ (У) ^ Н+ (У) 0 К (m)# (pt), то К(т)*(Х) = 0 для таких т. Итак, К 向*(Х)片 H*(X)g) K(m*(pt.) лишь для конечного числа значений т, и из нильпотентности элемента К (т)*/ следует теперь существование оценки на к.

Ввиду пп. 1 и 2 существование и „-отображения / равносильно существованию^такого отображения д: ZrX ^ X, что K(m)*(g) есть изоморфизм и К (也)* (д) = 0 при m / п. (На самом деле д есть некоторая итерация отображения /)

2. MU-ТЕОРИЯ И ФОРМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

В этом разделе мы обсудим функтор MU*, использованный в теореме о нильпотентности. Группа MU^(Х) определяется в терминах отображений многообразий в X, как мы сейчас объясним. К сожалению, геометрия в этом определении не имеет отношения к тем приложениям, которые мы имеем в виду. Мы будем иметь дело в основном с некоторыми алгебраическими свойствами функтора MU*, тесно связанными с теорией формальных групп.

Определение 2.1. Пусть Мр М2-два гладких замкнутых т-мерных многообразия, и пусть/:血「X, i — 1,2,- непрерывные отображения. Эти отображения называются бордантными, если имеется отображение /•巾"+1 т X, где W есть гладкое многообразие, край которого есть несвязное объединение Мt и М2, причем /|М[=/. При этом / есть бордизм между 八 и /2.

Бордантность есть отношение эквивалентности, и множество классов бордантности есть группа, где сложение индуцировано несвязным объединением. Эта группа называется группой т-мерных бордизмов пространства X.

Стабильно комплексное многообразие - это многообразие с комплексной структурой в стабильном нормальном расслоении, т. е. в нормальном расслоении, возникающем при вложении в евклидово пространство достаточно большой размерности. Любое комплексное аналитическое многообразие (например, неособое комплексное алгебраическое многообразие) является стабильно комплексным многообразием, но понятие стабильно комплексного многообразия гораздо слабее, чем понятие комплексного аналитического многообразия.

Определение 2.2. MU 1n (X), группа т-мерньгх комплексных бордизмов, есть группа бордизмов, полученная при условии, что все рассматриваемые многообразия являются стабильно комплексными.

Возможность изучения таких групп продемонстрирована в замеча-

20-100

тельной работе Тома [Tho 54]. Общие сведения о бордизмах см. в книге Стонга [Sto 68].

Группы Л/0*(Х) удовлетворяют всем, кроме одной, аксиомам Стинрода - Эйленберга, характеризующим классические грмологии. Эти группы не удовлетворяют аксиоме размерности, описывающей гомологии точки. Если Х-зто точка, то любое отображение многообразия в X тривиально и Mt7#(pt.) есть градуированная группа классов бордантности стабильно комплексных многообразий; эту группу мы обозначаем просто MU*. Это есть градуированное кольцо относительно декартова произведения, и его структура была описана независимо Милнором [МП 60] и Новиковым [Nov 60] и [Nov 62].

Теорема 2.3. Кольцо MU* комплексных бордизмов изоморфно кольцу ZK，…，хп], dim xf = 2z.

Можно описать л\ в терминах комплексных многообразий, но это более трудно, чем ценно. Комплексные проективные пространства СР1 могут служить полиномиальными образующими кольца Qig)AfU*.

Заметим, что в MU^(X) можно следующим образом ввести структуру Л/и*-модуля. Пусть xeMU^ (X) задан отображением /: М -^ X, и пусть XeMU* задан многообразием N. Тогда 入х задается композицией『

М х N т М 工 X .

Определение 2.4. Формальной группой над коммутативным кольцом R с еданицей называется формальный степенной ряд 尸(х, у) над &, удовлетворяющий следующим условиям:

(i)尸(х, 0)=尸(0, х) = х (существование единицы),

(ii)尸(х, у) = F (у, х) (коммутативность),

(iii)尸(F (%, у), z) = F &,尸(j, z)) (ассоциативность).

Существование обратного элемента получается автоматически; существует такой единственный ряд i (х), что 尸(х, i (х)) = 0).

Пример 2.5. (i) F (х, у) = х + у. Эта формальная группа называется аддитивной формальной группой.

(ii)尸(х,у, = х + у + *у = (1 + х)(1 + у) — 1. Эта формальная группа называется мультипликативной формальной группой.

Теория формальных групп с точки зрения формальных степенных рядов рассмотрена в [Haz 78].

Небольшой отчет, рассматривающий формальные группы под углом зрения этой статьи, имеется в [Rav 86, прилож. 2].

Следующий результат получил Лазар [Laz 55а].

Теорема 2.6 (теорема Лазара), (i) Имеется универсальная формальная группа над некоторым кольцом L , т. е. формальная группа

G(x, у) = £&•/'》， aijeL

со следующим свойством. Для любой формальной группы F над любым кольцом R имеется единственный кольцевой гомоморфизм 0: Lt R, для которого F (х, y)=工J9(a"卜中.

L есть полиномиальная алгебра Z [x15 х2, ...]. Если мы градуируем L так, что deg 〃切・=2 — 2z — 2j, mo deg х-= — 2厶

Градуировка выше выбрана так, что если х и у имеют степень 2, то G(x, у) есть однородный элемент степени 2. Заметим, что L и MU* изоморфны, за исключением обращения градуировки. Это-важная связь между ними.

С ковариантным функтором MU* ассоциирован контравариантный функтор 血U*. Он связан с MU* примерно так же, как классические когомологии с классическими гомологиями. Соглашения алгебраической топологии требуют, чтобы AfU*(pt.) (обозначаемое нами в дальнейшем MU*) было тем же, что MU*(pt.), но с обращенной градуировкой. Итак, MU* и L изоморфны.

Этот изоморфизм естествен в следующем смысле. MU*(X), как и 〃*(Х), обладает умножением, превращающим MU*(X) в градуированную алгебру над MU*. Рассмотрим частный случай, когда X есть бесконечномерное комплексное проективное пространство СР00. Имеем

MU* (С尸8)合 MU* [х], dim х = 2, и

ми*(с_₽8 х срз) = ми*[х® 1, 1 ®х].

Пространство СР"0 является топологической абелевой группой, так что /

имеется отображение СР00 ® СР00 -> СРХ с соответствующими свойствами (СР00 классифицирует также одномерные комплексные векторные расслоения, и отображение / отвечает тензорному умножению). Ввиду контравариантности функтора MU* имеется отображение MU*(CP^ х х СР")么 Ми*(СР^), которое определяется его поведением на образующей хеМи2(СР^). Легко видеть, что степенной ряд /*(х) = =F (х® 1, 1 ® х) является формальной группой над MU*. По теореме Лазара (2.6) ей отвечает кольцевой гомоморфизм 0: Lt MU*. Следующий факт доказан Квиленом в 1969 г. [Qui 69].

Теорема 2.7 (теорема Квиллена). Вышеописанный гомоморфизм 0; Lt MU* является изоморфизмом. Другими словами, ассоциированная с комплексными кобордизмами формальная группа является универсальной.

С учетом этого изоморфизма (и игнорируя обращение градуировки) мы можем считать MU^(X) L-модулсм.

Теперь опишем одну группу Г, интересным образом действующую на

Определение 2.8. Пусть Г 一 группа степенных рядов вида

У = X + Ь/2 + %" + ...

с целыми коэффициентами, dtZ, где групповая структура задается суперпозицией. На кольце Лазара L группа Г действует следующим образом. Пусть G (х, у) - вышеописанная универсальная формальная группа, и пусть уеГ. Тогда y~iG(y(x), у (у)) есть (другая) формальная группа над L, и тем самым она задает гомоморфизм L-> L. Так как у - функционально обратимый ряд, этот гомоморфизм является автоморфизмом. Этим и задается Г-действие на L.

По причинам, которые здесь трудно изложить, Г также естественно действует на AfU*(X), и это действие согласовано с выше описанным действием на AfU*(pt) Таким образом,

у@х) = у(Му(х)

для любых xeMU^(x\ XgL, yw「 и это Г-действие коммутирует с гомоморфизмами, индуцированными непрерывными отображениями.

Алгебраическим топологам мы можем дать некоторое объяснение этого Г-действия. Оно аналогично действию алгебры Стинрода на классических когомологиях. Точнее, оно аналогично действию группы мультипликативных когомологических операций, таких, как (в случае р = 2) тотальный стинродов квадрат，『学。，,'.Любая такая операция определяется своим значением на образующей группы Hl (RP^; Z/2). Таким образом, группа мультипликативных операций в Z/2-когомоло- гиях вкладывается в группу「z/2 степенных рядов над Z/2, аналогичную группе Г рядов над Z.

Определение 2.9. Пусть СГ обозначает категорию конечно представимых L-модулей, снабженных Г-действием, согласованным с вышеописанным Г-действием на L. Пусть FH обозначает категорию конечных клеточных пространств и гомотопических классов отображений между ними.

Мы можем рассматривать MU* как функтор из FH в СГ. Последняя категория гораздо более обозрима. Мы увидим, что она имеет некоторые структурные особенности, хорошо отражающие свойства категории FH. Теоремы о нильпотентности и периодичности являются хорошими примерами этого.

Для изучения категории СГ нам нужны некоторые факты о формальных группах. Пусть F (х, ^)-некоторая формальная группа.

Определение 2.10. Для любого целого и определим формальную л-ю степень [п] (х) следующим образом:

(х) = X,

[л] (х)=尸(х [几一1] (х)) при и > 1 и

[—用(х) = MW (х)).

При этом выполняются следующие тождества:

[п] (х) = пх mod (%2),

О + п] (х) = F([m](x), И(х)) и

О 用(х) = О] (И (х)).

Для аддитивной формальной группы (2.5) мы имеем [и] (х) = пх, а для мультипликативной [и] (х) = (1 + х)" — 1.

Нас особенно будет интересовать формальная p-я степень. Над полем характеристики р она всегда начинается с члена axq, где q = ph для некоторого целого h. Это ведет к следующему определению.

Определение 2,11. Пусть Г (х, у) - формальная группа над некоторым кольцом, где простое число р не является обратимым элементом. Если редукция mod р ряда И (х) имеет вид

Ср] (х) = "Ph + высшие члены ,

то мы говорим, что 尸 имеет высоту А относительно р. Если [/?] (х)= =0 modр, то высота бесконечна по определению.

Для аддитивной формальной группы имеем [/?] (х) = 0, и потому 〃 =со. Мультипликативная формальная группа имеет высоту 1, так как [p](犬)=Aа

Следующая теорема классификации доказана Лазаром [Laz 556].

Теорема 2.12 (теорема Лазара о классификации). Две формальные группы над алгебраическим замыканием поля F изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют равные высоты1.

Пусть v„ е L-коэффициент при х^" ряда [р] (х) для универсальной формальной группы над L; простое р в этих обозначениях опускается. Этот элемент ь〃 тесно связан с элементом ь〃 из К-теории Моравы (1.3). Можно показать, что ии является неразложимым элементом в L, т. е. может служить полиномиальной образующей в размерности 2р" — 2. Пусть 1рп и L-простой идеал (р, и15

Следующий результат получен Моравой [Мог 85] и Ландвебером [Lan 73а].

Теорема 2.13 (Морава-Ландвебер). Любой простой Г-инвариантный идеал в L имеет вид 1Р^ 0 ^ и ^ со (здесь Ip,。 есть нулевой идеал 〃 力，…，％,-*))*

Кроме того, 6 L//p,“ при п > 0 подгруппа Г-неподвижных элементов есть Z勿[ип]. 3 самом L подгруппа V-неподвижных элементов есть Z.

Это показывает, что Г-действие на L очень жестко. L содержит

D Напомним, что формальные группы Fi(x, у) и F2(x, ^) над некоторым кольцом R изоморфны, если /(尸乂羽 у))二尸2(/(%)，/S)) для некоторого /(%) = =а。％ + а^ + ..., %£&, где а0 обратим в А - Прим, перев.

невообразимо много простых идеалов, но нам будет вполне достаточно рассматривать лишь указанные в теореме Моравы - Ландвебера. Это накладывает некоторые ограничения на модули из СГ.

Напомним, что любой конечно представимый модуль М над нётеро- вым кольцом R обладает конечной фильтрацией

F rM uF2 M и …&М = М,

где каждый фактормодуль %М/Р”》М изоморфен с R/厶，где /^некоторый простой идеал в А. У нас L не нётерово, но когерентно, и потому любой конечно представимый модуль допускает аналогичную фильтрацию. Для модулей из СГ фильтрацию можно выбрать так, что все подмодули, в частности простые идеалы, будут Г-инвариантными. Следующий результат получил Ландвебер [Lan 73].

Теорема 2.14 (теорема Ландвебера о фильтрации). Любой модуль М из СГ допускает конечную фильтрацию подмодулями из СГ, в которой каждый фактормодуль FjM/Fi_\M изоморфен некоторой надстройке над L/Ip n с некоторым простым р 〃 конечным п.

Следующий факт легко вытекает из теоремы Ландвебера о фильтрации.

Следствие 2.15. Пусть М-некоторый р-локальный модуль из СГ. Тогда

Если b；i М = 0, м. е. каждый элемент из М аннулируется некоторой степенью элемента ь〃，то v„_ i М = 0.

Если Л/ 卢 0, то и"1 М / 0 для достаточно большого и.

Если v~- i М = 0, то имеется натуральное к, для которого умножение на v„ в М коммутирует с Г-действием.

Первые два утверждения рекомендуется сравнить с последними двумя из 1.3. На самом деле для р-локального конечного клеточного пространства X группа v~Y MU^(X) тривиальна тогда и только тогда, когда К(п)^(Х) тривиальна11. В теореме о периодичности можно заменить v~r MUр^(Х) группой К例)*(Х). Третье утверждение из 2.15-это алгебраический аналог теоремы о периодичности.

Теперь мы должны рассмотреть некоторые подкатегории в СГ и FH.

Определение 2.16. Полная подкатегория С категории СГ называется солидной, если она удовлетворяет двум следующим аксиомам.

Если в короткой точной последовательности

0 Т АГ Т М Т AT Т 0

в СГ два модуля из трех принадлежат С, то и третий принадлежит С. (ii) Если M$N принадлежит С, то М и N принадлежат С.

1} Тривиальность означает, что Л+(Х) = Л*(pt), Л = v~1MU^ или 彳= =К*8㈠.— Прим, перев.

Мы хотим ввести соответствующее понятие для категории FH. Для этого нам нужны аналоги точных последовательностей и прямых сумм. Определим кослой Cf отображения /: X т У как факторпространство пространства X х [0, 1] U К полученное сжатием в точку подпространства X х {0} и отождествлением точки (х, 1) с точкой f(x)^Y, где X пробегает все точки пространства X. Легко показать, что кослой очевидного включения Ут С『гомотопически эквивалентен надстройке ЕХ. Последовательность вида

Х〃т &тЕХт …

называется корасслоенной последовательностью (или последователь- ностью Пуппе) отображения f. Композиция X 4 Y-> Cz является теоретико-гомотопическим аналогом короткой точной последовательности. Аналогом прямой суммы является букет X V 工 представляющий собой факторпространство несвязного объединения X и 工 где некоторая точка из X отождествлена с некоторой точкой из К

Определение 2.17. Полная подкатегория F категории FH называется солидной, если она удовлетворяет двум следующим аксиомам.

Если в корасслоенной последовательности X 丄 Ут С, два пространства из трех принадлежат категории F, то и третье принадлежит ей.

Если X V У принадлежит F, то X и У принадлежат F.

Хопкинс и Смит [Нор 87] называли солидные подкатегории подкатегориями общего положения.

Используя теорему Ландвебера о фильтрации, можно классифицировать солидные подкатегории в СГ(Р).

Теорема 2.18. Пусть С - солидная подкатегория категории СГ(р) (категории всех р-локальных модулей из СГ). Тогда С есть либо СГ(р), либо тривиальная категория (ш. е. категория с единственным объектом - тривиальным модулем), либо категория, состоящая из всех р-локальных модулей М с v~J t M = 0. Эта последняя категория обозначается СР1П.

Имеется аналогичный результат о солидных категориях в FH(P), являющийся очень полезным следствием теоремы о нильпотентности.

Теорема 2.19 (теорема о солидных подкатегориях). Пусть F и FH{p)-некоторая солидная подкатегория категории р-локальных конечных клеточных пространств. Тогда F есть либо FH(p), либо тривиальная категория (т. е. категория с единственным объектом - точкой), либо категория всех р-локальных конечных клеточных пространств X с тривиальным v^l! MV^ (У). Эта последняя категория обозначается Fp,n.

Итак, имеются две последовательности солидных подкатегорий:

FH（p）= Fp,o n Fp」n Fp,2 => …{pt・}

и

СГ® = Cp,0 о Ji о Ср/ => …{0} •

Функтор MU^ переводит одну в другую. До 1983 г. не было известно даже, что Fp^ нетривиальна для всех и, за исключением нескольких малых значений. Митчел [Mit 85] первым обнаружил, что все включения FPi„ и FPi„ _ t являются собственными. Сейчас это просто следствие теоремы о периодичности.

В разд. 3 мы выведем теорему о солидных подаатегориях из другой формы теоремы о нильпотентности. Это легко, так как при этом используются лишь элементарные факты теории гомотопий.

В разд. 4 мы наметим доказательство теоремы о периодичности. Нетрудно показать, что семейство пространств, допускающих периодические автоотображения для данных р s п, образуют солидную подкатегорию. Основываясь на теореме о солидных подкатегориях, для доказательства теоремы о периодичности достаточно найти нетривиальное пространство типа п с периодическим автоотображением. Для этого требуется использовать трудную гомотопическую технику. Она включает в себя два главных ингредиента. Один из них - спектральная последовательность Адамса - вычислительный инструмент, появление которого не кажется здесь неожиданным. Другой-это новое приложение теории модулярных представлений симметрической группы, данное в еще неопубликованной работе Дж. Смита.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О СОЛИДНЫХПОДКАТЕГОРИЯХ

В этом разделе мы выведем теорему о солидных подкатегориях из теоремы о нильпотентности. При этом используются некоторые стандартные конструкции теории гомотопий, которые мы должны ввести в процессе доказательства. Приводимое доказательство дано Хопкинсом в [Нор 87].

Сначала мы должны ввести категорию спектров. Так как эта категория была введена примерно в 1960-х годах [Lim 60], она давно уже «живет самостоятельной жизнью», что мы увидим и в этой статье. Большинство теорем этой статьи, сформулированных для пространств, на самом деле представляют собой замаскированные теоремы о спектрах. Однако мы не можем долго держать такую маскировку.

Определение 3.1. Спектр Е-это семейство пространств {£„: и 0} и отображений s“： S£n -^ Ёп + 1. Надстроечный спектр над пространством X определяется как Еп = ^пХ, где каждое отображение s〃 является тождественным отображением. Надстройка кратности i над Е есть

спектр ^ Е с (£^)0 = En + i, где i-целое число. Итак, любой спектр можно надстроить и денадстроить любое число раз.

Гомотопические группы спектра Е даются формулой 兀鼠七)= =lim 7un + fc(E„); аналогично определяются другие инварианты вроде гомологий и когомологий.

Спектр X называется связным^ если его гомотопические группы ограничены снизу, т.е. п_к(Х) == 0 при 左》0. Связный спектр имеет конечный тип, если группы 冗卜(乂) конечно порождены для всех к.

Пример 3.2 (спектр сфер). Спектр §忆 определяется так: (Sft)„ ^= Sn + k. (Эти неудачные обозначения являются стандартными. Будем надеяться, что из контекста будет ясно, что имеется в виду - спектр или пространство.)

Пример 3.3 (спектр Эйленберга - Маклейна по модулю р). Это спектр Н/(р), где Н/(р)п есть пространство Эйленберга - Маклейна K(Z/p,n).

Одной из первоначальных мотивировок для введения понятия спектра был следующий пример.

Пример 3.4 (спектр комплексных кобордизмов). Определим спектр MU, где MU2n есть пространство Тома универсального Сп-расслоения над классифицирующим пространством BUп унитарной группы Un. Положим MU2n+i = S ми2п. Тогда кольцо 冗*(MU) изоморфно кольцу комплексных бордизмов MU^, описанному выше. Можно доказать (см. 4.1 ниже), что "и является кольцевым спектром.

Гомотопические группы спектров гораздо более контролируемы, чем гомотопические группы пространств. Например,冗上(2'£)=冗卜一》(石)дая любых /сиг.

Теперь мы должны ввести приведенные произведения. Для пространств это определяется следующим образом.

Определение 3.5. Пусть (X, х0) и (X у0)-пространства с отмеченными точками. Приведенное произведение 文 А У есть факторпространство произведения X х К полученное сжатием подпространства X х {у。} U U {х0} х Y в точку. Через Х®〉обозначается /с-кратное приведенное произведение X А ... Л X. Любое отображение f: Хт У индуцирует отображение/(fc): X⑻ т У的 очевидным образом. Отображение / приве- денно нильпотентно, если /"> несущественно для некоторого к.

Заметим, что /с-кратная надстройка Е“Х есть Sk A X. Для клеточных пространств X, У имеется гомотопическая эквивалентность

Z(Xx У)*(ЕХ) V(EY) VE(X 八 Y).

Если какой-нибудь из двух спектров £ 户 является надстроечным спектром, то Е А 尸 определяется очевидным образом. В частности, приведенное произведение S° А 石(см. 3.2) не меняет Е. Однако общее

определение приведенного произведения спектров очень сложно-мы отсылаем интересующегося читателя в книге Адамса [Ada 74]1}.

Определение 3.6. Дан спектр Е. Определим Е-гомологии пространства или спектра X как Е* (X) = л+(£ A X).

Определим Е-когомологии для X, Е* (X), как градуированную группу гомотопических классов отображений X в Е, т.е. £*(Х) = [X, 2г£].

В случае Е = MU эти определения эквивалентны данным ранее, в 2.2.

Теорему о нильпотентности можно сформулировать в терминах приведенных произведений.

Теорема 3.7 (теорема о нильпотентности в форме приведенных произведений). Пусть F-конечный спектр, 〃 пусть /: F ^ Х~отображение спектров. Если MU А/ несущественно, то / приведенно нильпотентно. (Здесь MU А /: MU А 尸 т MU А Х~ очевидное отображение)

Можно показать, что эта теорема эквивалентна теореме 1.1. Для нас более удобна следующая переформулировка.

Следствие 3.8. Пусть Ж, X, Y-р-локальные конечные спектры, 〃 пусть f: X т Y-некоторое отображение. Если К (и丿* (W А /) — 0 при всех 门 2 О, то % А/(")несущественно при к»0. (3 частности, можно положить W = S°, так что W N f = f.)

Именно из этого результата мы и выведем теорему о солидных подкатегориях.

Теперь нам нужна двойственность Спеньера-Уайтхеда, рассмотренная более детально в [Ada 74] 2\

Теорема 3.9 (двойственность Спеньера - Уайтхеда). Для любого конечного спектра X имеется единственный конечный спектр DX fдвойственный к X по Спеньеру- УайтхедуJ со следующими свойствами.

Для любого спектра У градуированная группа [X, У]* изоморфна 兀*(DX A Y). Отображения Sn -> DX А У w LnX -> У, отвечающие друг другу при этом изоморфизме, называются сопряженным и. В частности, если X = У, то тождественное отображение пространства X сопряжено с некоторым отображением е: S° DX A X.

При Y= X этот изоморфизм согласуется с К-теориями Моравы, именно Hom(K(/i)*(X), К(п)^(Х)) и К(п)^(Х A DX) изоморфны. В частности, К (м)*(е)卢 0, если К{п\(Х)卢 0.

DDX u X.

Для любого спектра Е* имеется естественный изоморфизм между 耳(X) 〃 £ —"dx) (см 3.6).

См. также Свитцер Р. М. Алгебраическая топология -гомотопии и гомо- логии.-М.: Наука, 1985-Прим., перев.

21 См. предыдущее примечание.- Прим, перев.

(V)Двойственность Спеньера-Уайтхеда коммутирует с приведенными произведениями, т. е. D(X А У) = DX Л DY для любых конечных спектров X, У.

Двойственность Спеньера-Уайтхеда базируется на следующей геометрической идее. Конечный спектр X является надстроечным спектром над некоторым конечным клеточным пространством, которое мы обозначим также X. Последнее всегда можно вложить в некоторое евклидово пространство R* и тем самым в S*. Тогда DX есть подходящая надстройка над надстроечным спектром дополнения SN\X. На самом деле 3.9 (iv) есть обобщение классической двойственности Александера, которая гласит, что Нк(Х) изоморфна HN~k~1 (SN\X). Простейший пример: X = S^ линейно вложено в S*. Тогда SN\X гомотопически эквивалентно sN~k~1. Двойственность Александера гласит, что дополнение имеет те же гомологии, что s""i, даже если вложение S& -> SN не линейно, например, если k = 1, N = 3 и S】заузлена в S^.

Прежде чем начать доказательство теоремы о солидных подкатегориях, мы докажем одну элементарную лемму о дв ойственности Спеньера-Уайтхеда. Пусть X-конечный спектр, и пусть/: Ж-> 5°-та- кое отображение, что S -> DX Л X есть корасслоенная последовательность. В категории спектров такое / всегда существует. В этом случае W- конечный спектр и J = DX Л X.

Лемма 3.10. 5 вышеприведенных обозначениях имеется корасслоенная последовательность

для любого ^ > 1.

Доказательство. Стандартная лемма теории гомотопий гласит, что любая диаграмма X L Y± Z задает гомотопически коммутативную

диаграмму

т pt.

ТТТ

у 3 z - q

х 也 z - %

где все строки и столбцы являются корасслоенными последовательностями. Положив X = %*), У =巾(k~D n Z = S° и g = /(k — 1), получим диаграмму

W出Т)A Cf-pt tE%("D А &

w仇 7”ТИ Т

Wm 咚 S°T c/k>

и правый столбец есть желаемая корасслоенная последовательность. ■ Теперь мы готовы доказывать теорему о солидных подкатегориях.

Пусть F ■= FH(p)-некоторая солидная подкатегория. Выберем п как наименьшее из таких целых, что F содержит /?-локальный конечный спектр X с К (九)*(Х) / 0. Мы хотим показать, что F = F“. Ясно, что F(= Fn, так что достаточно доказать включение F“ и F.

Пусть У- некоторый /?-локальный конечный клеточный спектр в Fn. Так как F солидна, то X А 尸 принадлежит Fn для любого конечного F, поэтому X A DX A Y (или С『A Y в обозначениях из 3.10) принадлежит Fn. Из 3.10 следует теперь, что Cf(k)A Y лежит в F для всех к > 0.

Из 3.9 (ii) следует, что К «)*(/) = 0, если К ⑴* (X) / 0, т. е. при i 2 п. Так как К (i)* (Y) = 0 при i < и, мы получаем, что К «)* (Y А Г ) = 0 при всех /. Поэтому, в силу 3.8, У А /(А) несущественно для некоторого к > 0.

Кослой несущественного отображения гомотопически эквивалентен букету области значений и надстройки над областью определения, поэтому Y A Cf(k)с± У A S YA W^}. Так как F солидна и содержит У A Cf(L), то она содержит У. Итак, Fn и F, что и утверждалось.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ПЕРИОДИЧНОСТИ

В этом разделе мы наметим доказательство теоремы о периодичности. Оно разбивается на две части. В первой, относительно легкой, мы доказываем солидность категории спектров, допускающих автоотображения из теоремы о периодичности, см. 4.6. По теореме о солидных подкатегориях такая категория есть или Fn, что утверждает теорема о периодичности, или тривиальная подкатегория. Построение нетривиального примера и есть второй, трудный, шаг. Это сделано в одной неопубликованной работе Дж. Смита.

Сначала 一 одно определение.

Определение 4.1. Кольцевой спектр А-это спектр, снабженный отображениями Г］： S°->Eh m: Е /\ Е т Е. При этом Г)называется единицей, а т - умножением и выполняются следующие условия. Композиции

E = S° /\E、L士Е /\Е*Е,

Е = Е ^S0^ЛE ^EZE

суть тождественные отображения (это аналог условия существования единицы в кольце), а диаграмма , m Л £

Е КЕ К Е*Е А Е

£ A m j,m]

EKE > E

гомотопически коммутативна. Это-условие ассоциативности умножения т. Умножение т не обязано быть гомотопически коммутативным, хотя часто таковым и является.

Спектр М называется модулем (модульным спектром) над кольцевым спектром Е, если задано отображение Е А М ； М, для которого следующая диаграмма гомотопически коммутативна:

Е /\ Е /\ М> Е N М

七人内N

Е NM —^ М.

Сначала отметим, что автоотображение /: Е^х — Х сопряжено с /: S~ -> DX Л X. Положим для краткости R = DX Л X. Ясно, что 7?-кольцевой спектр с единицей е: S° -> DX Л X, сопряженной тождественному отображению X т X, см. 3.9. Так как DDX = X и двойственность Спеньера - Уайтхеда коммутирует с приведенными произведениями, то е двойственно к X 八 DX ^ N°. Умножение в R дается композицией

DX КХ KDX К К1** A“《dxKS° КХ = DX КХ.

Мы используем обозначение/* для индуцированных / элементов из n^R)nK(n)^R).

Лемма 4.2. Если вышеупомянутое / является v^отображением, то найдется такое /, что К (л)*(/') есть умножение на некоторую степень элемента %

Доказательство. Кольцо К(〃)*(&) является конечномерной К(п)+-ал- геброй, поэтому неградуированное факторкольцо К («)* (А)/(ип — 1) является конечным кольцом с конечной группой еданиц (т. е. обратимых элементов). Отсюда следует, что группа единиц кольца *(〃)*(&) является расширением группы единиц кольца К(п)* посредством этой конечной группы. Поэтому некоторая степень единицы /* принадлежит К(〃)*, и лемма доказана.■

Лемма 4.3. Если вышеупомянутое / является v^отображением, то существует такое i > 0, что «*(/') принадлежит центру кольца 冗*(《).

Доказательство. Пусть Л - некоммутативное р-периодическое кольцо, например 冗 *(《)• Для данного аеА определим отображение ad (а):А

формулой ad(a)(b) = ab — ba. Ясно, что а принадлежит центру тогда и только тогда, когда ad (а) = 0.

Имеется формула, связывающая ad(t?) с/・й итерацией ad; (а) отображения а, именно

ad(储)(%)= X ( j )ad7'(fl)(x)fl/_<

Предположим теперь, что ad (а) нильпотентно, и рассмотрим 2 = pj N велико. Тогда справа члены с большим / равны нулю потому, что ad (а) нильпотентно, а члены с малыми J равны нулю потому, что соответствующие биномиальные коэффициенты делятся на высокую степень числа р. Следовательно, ad(a') = 0, и потому а1 находится в центре кольца А.

Применяя это к нашей ситуации, определим

как композицию

S" A R^^R A R]—iR A R彗 R,

где Тпереставляет сомножители. Тогда для хеп*(&) имеем % (ad (/ ))(%)= = ad(/)(x). В силу L2 (заменив / при необходимости подходящей итерацией) мы можем считать, что к (л)* (/) есть умножение на степень элемента 乙，так что К(п)+(/) принадлежит центру кольца K(n)*(R) и K(zi)#(ad(/)) = 0. Из теоремы о нильпотентности следует теперь, что ad(/) нильпотентно, и потому сказанное выше влечет за собой желаемый результат.■

Лемма 4.4 (единственность и„-отображений). Если X допускает два V^отображения f, g, то f，= gj для некоторых целых i,工

Доказательство. Заменив при необходимости / и g их некоторыми степенями, мы можем считать, что /ид коммутируют и что К(т)*(/)= = К(м)*(д) для всех т. Следовательно, K(m)*(f — д) = 0, и потому

/ — g есть нильпотентное отображение. Для К » 0 мы имеем

0 = (/-д)Р『/* —产

Отсюда следует, что

для любого N > 0. Поэтому для достаточно большого N соответствующие отображения гомотопны )

Лемма 4.5. Если X и Y допускают v^omoбpaжeнuя fug соответственно, то для любого h: X -> У найдутся такие целые 2 и /, что следующая диаграмма коммутативна

е?х2е?у

Заметим, что лемма 4.4 является частным случаем этой леммы, когда А есть тождественное отображение.

Доказательство. Пусть W = DX А У, и пусть 力 сопряжено с некоторым элементом 份етт*(%). Спектр W допускает два ^„-отображения, именно DX А ^ и D/Л У, поэтому по лемме 4.4 имеем

DX А д' и Dfl Л У для некоторых z, j.

Далее, hj‘ сопряжено с (D/'A У)历 и g'h сопряжено с (DX Л д')匠 Поэтому hf и gj/i.

Теорема 4.6. Категория С и FH(p), объектами которой являются все р-локалъные конечные клеточные пространства, допускающие vn-omo6pa- жения, солидна.

Доказательство. Пусть X V Y принадлежит С, и пусть Е«ху у)厶 XV у- некоторое ^-отображение. По лемме 4.3 мы можем считать, что / коммутирует с идемпотентным отображением XV Y-^ X ^ X V У. По- этому композиция Е^х ->2&(х V У)тХ V ¥-> X является ия-отобра-

жением, т.е. X лежит в С.

Пусть теперь X и У допускают ^-отображения / и р соответственно. Если задано 力：X -> У, то по лемме 4.5 мы можем считать, что hf ^ gh, и потому имеется отображение Е"。卜」°h，ДОЯ которого диаграмма

X X У т &

/Т дТ "

коммутативна. Из леммы о пяти гомоморфизмах следует теперь, что К (л?)索(/) есть изоморфизм.

1)Напомним, что группа [X, X，имеет конечную экспоненту.-Прим, перев.

Мы хотели бы показать также, что К(м)*(/) = 0 при 也卢几 Это не следует из того, что К(т)*(/) == 0 = K(m)*(g). Однако легкий диаграммный поиск показывает, что К(т)^(12) = 0, так что /2 есть желаемое ^„-отображение спектра Сл . ■

После того как доказана теорема 4.6, нам для доказательства теоремы о периодичности остается построить лишь пример нетривиального ^-отображения. Это требует интенсивного использования спектральной последовательности Адамса и алгебры Стинрода. Мы здесь не будем подробно объяснять эти вещи: они весьма техничны, см. [Rav]. Однако мы наметим новую конструкцию, данную Дж. Смитом и использующую модулярные представления симметрических групп (в характеристике р). Эта конструкция является наиболее интересной частью доказательства.

Пусть У-конечный спектр, и пусть Х(")-его /с-кратная приведенная степень. Симметрическая группа 工无 действует на Х(簡 перестановкой сомножителей. Так как мы работаем в категории спектров, то отображения можно складывать, и поэтому имеется действие группового кольца 2[工丸]на X*). Для р-локального X имеется действие р-локаль- ного группового кольца S = Z(p) [Sfc] . Пусть е-некоторый идемпотентный элемент (е2 = е) этого группового кольца. Тогда 1 — е тоже является идемпотентным элементом. Для любого S-модуля М (такого, как 兀*(Х(*))) мы получаем расщепление М 工 еМ ㊉(1 — е)М.

В теории гомотопий имеется стандартная конструкция, которая дает аналогичное расщепление спектра X® и вообще спектра с S-действием, так что мы можем написать

Одно из этих слагаемых иногда может оказаться тривиальным.

Итак, любой идемпотент е g Z(p)[工此]задает расщепление спектра Х(") для любого X. Мы используем это для построения конечного спектра У типа и, допускающего ^-отображение.

Пусть теперь V- конечномерное векторное пространство над полем характеристики р. (Например, Я* (X； Z/p).) Тогда W= W®k является S-модулем, и мы имеем расщепление 巾 е₽И㊉(1 一 е) %, причем размерность пространства eW определяется размерностью пространства V.

Теорема 4,7 (Дж. Смит). Для любого натурального г имеется идемпотент егеЪ{^ [Sft] (где к зависит от г), для которого размерность пространства eW ненулевая тогда 〃 только тогда, когда размерность пространства V не меньше, чем г.

Для пространства V = Н*(Х; Z〃) имеется техническая проблема, когда р нечетно и Н*(Х) нетривиальна и в нечетных размерностях. Нельзя ожидать, что 2к-действие на H^(X(k); Z/p) будет просто перестановкой координат, потому что при перестановке нечетномерных эле-

ментов возникает знак минус. Смит доказал обобщение теоремы 4.7, которое преодолевает эту трудность.

Для любого спектра У группа 7/*(Y;Z〃) является модулем над алгеброй Стинрода Л над полем Z/p; лучшей ссылкой здесь является классическая книга [SE62]. Используя спектральную последовательность Адамса, можно показать, что конечный спектр У имеет тип п и допускает ип-отображение, если его Z/p-когомологии образуют свободный модуль над некоторой подалгеброй алгебры А.

Для построения такого У рассмотрим конечный спектр X, удовлетворяющий более слабым условиям. Здесь годится подходящий остов классифицирующего пространства 8Z/p группы Z/p. Применим подходящий идемпотент Смита к приведенной степени спектра X. Когомологии полученного спектра Y удовлетворяют требуемым условиям.

Этим закончено доказательство теоремы о периодичности.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О НИЛЬПОТЕНТНОСТИ

В этом разделе мы наметим доказательство теоремы о нильпотентности. Она была дана в двух формулировках: в терминах автоотображений (1.1) и в терминах приведенных произведений (3.7). Для наших целей удобно дать третью формулировку, но прежде мы нуждаемся в некоторых определениях.

Определение 5.1. Дан спектр Е. Гомоморфизмом Гуревича называется гомоморфизм h:冗*(Х)->Е*(Х), индуцированный отображением

где Г]： S。тЕ есть единица спектра Е (см. 4,1).

Теорема 5.2 (теорема о нильпотентности в терминах кольцевых спектров). Пусть R-связный кольцевой спектр конечного типа (см. 3.1 〃 4.1 丿， и пусть h: я+(Л) Л- MU^(R)-гомоморфизм Гуревича. Тогда ае71#(Л) нильпотентен, если h (а) = 0.

Для того чтобы вывести отсюда теорему 1.1, возьмем конечный спектр X и положим R — X N DX. Вспомним, что авто от о бражение /: Е*X f X сопряжено отображению /: Sd ^ R. Ясно, что h{]) нильпо- тентен тогда и только тогда, когда MU*(f) нильпотентен 1}.

Для доказательства теоремы 5.2 мы должны использовать некоторые спектры X (и). Они описываются в терминах векторных расслоений и спектров Тома. Пусть St7-бесконечная специальная унитарная группа,

d Итак, если MU*(/) нильпотентна, то 〃(/) нильпотентен, и потому 〃(尸)= =0 для некоторого 几 Следовательно,尸=0 в силу 5.2, и потому / нильпо- тентно.— /7рши. перев.

21-100

т. е. объединение групп SUп. Теорема Ботта о периодичности дает гомотопическую эквивалентность CSU * BU, где В С/-классифицирующее пространство бесконечной унитарной группы. Компонируя эту эквивалентность с «запетливанием» включения SUn SU, мы получим отображение QSU(n) -> BU. Тем самым возникает стационарное векторное расслоение над CSU(m). Соответствующий спектр Тома обозначается Х(м). Стандартные вычисления показывают, что

H*(X®);Z) = Z[b

где \bi\ = 2i. При 孔一> со мы получаем обычное описание группы H*(MU).

Спектр Х(п) является кольцевым, так что имеется гомоморфизм Гуревича 冗*(&)吧)Х®)*(&). В частности, Х(1) = S°, и потому А(1) есть тождественное отображение. Отображение X (м - 1) -> MU является гомотопической эквивалентностью до размерности 2м — 1. Отсюда следует, что если 厶(а) = 0, то 〃(也)(а) = 0 для больших п. Поэтому теорема о нильпотентности вытекает из следующего факта.

Теорема 5.3. В вышеприведенных обозначениях, если А(п + 1) (а) = 0, то А (п) (а) - нильпотентный элемент.

Предположение о том, что А(п + 1)(а) = 0, может быть заменено предположением о нильпотентности этого элемента. Поэтому мы всегда можем заменить а некоторой его степенью.

Элемент а£тг*(&) задается некоторым отображением Sd Л R. Взяв приведенное произведение обоих спектров с & и используя умножение в &, мы получим автоотображение

^dR = Sd

которое мы обозначим тоже а.

Определение 5.4, Пусть а 一' & обозначает гомотопический прямой предел последовательности

Этот прямой предел называется телескопом^ ассоциированным с а.

Лемма 5.5. Если спектр а-1 А А Х(м) стягиваем, то элемент 厶5)*(а) нильпотентен.

Доказательство. Отображение а: S& т & индуцирует автоотображение ^d R—^ R. По определению спектр а-】К А Х(м) есть гомотопический прямой предел последовательности

& А Х(м)тЕ—" a X(n)^^~2dR А Х^)-…

323323ТЕОРЕМ* О НИЛЬПОТЕНТНОСТИ и пЕРисщииности

323

323

Отсюда следует, что любой элемент из Х®)*(&), в том числе и А(«)(а), аннулируется после некоторого числа шагов. Поэтому h(n)a нильпо- тентен.■

При изучении этого круга вопросов полезно следующее понятие.

Определение 5.6. Два спектра £, F называются эквивалентными по Баусфилду, если Е К X стягиваем тогда и только тогда, когда F К X стягиваем. Соответствующий класс эквивалентности обозначается〈£〉 и называется классом Баусфилда спектра Е. Мы говорим, что〈Е〉》〈尸〉, если из стягиваемости спектра £ A X следует стягиваемость спектра FAX.

Относительно этого частичного порядка〈5°〉есть наибольший класс, a〈pt.〉—наименьший.

Следующая лемма доказывается непосредственно.

Лемма 5.7. Пусть S Xнекоторая корасслоенная последова-

тельносъ, и пусть / -1 X - ассоциированный с / телескоп. Тогда

〈X〉=〈YV/TX〉.

Теперь нам надо подробнее изучить спектры Х(п). Рассмотрим диаграмму

QSU(n)-^QSU(n + l)-^QS2n+1

II Т Т(5.8)

CSU®)—>修> JkS2n

где каждая строка является расслоением. Верхняя строка получается запетливанием расслоения

SU®)tSU5+ 1) 4s2n+1,

где ^-отображает матрицу meSU(n + 1) в mw, где и е Сп +1 - фиксированный единичный вектор.

JkS2n-3TO k-e пространство конструкции Джеймса [Jam 53] для сферы S2n. Это то же самое, что (2疝)-мерный остов пространства CS2“+i Это есть клеточное пространство с единственной клеткой в каждой размерности, кратной 2儿 Его можно описать также как некоторое факторпространство декартова произведения (S 2nУ. Пространство Вк является пространством QSJ7(м)-расслоения над JkS2n, индуцированного включением Jk S2“ CZ С/*】. Напомним, что H*(CSUm)) = Z[仇，…，〃―J. Далее, Н^В^ с= H^SU(n + 1)) есть свободный модуль над H^(QSU(п)) с образующими Ь；, О W / W к

Композиция

B「QSU(n+(5.9)

задает стабильное расслоение над Вк; его спектр Тома мы обозначим Fk. Нас особенно интересует спектр 尸户-i, который мы обозначим

21*

Gj. Эти спектры лежат между Х(м) и Х(м+1), именно G()= X(m), G8=X(也十 1).

Очевидно, что из двух следующих лемм вытекают теорема 5.3 и теорема о нильпотентности. Их доказательству и посвящена оставшаяся часть статьи.

Лемма 5.10. Пусть а*1 R-это телескоп, ассоциированный с некоторым элементом ае兀*(&) (см (5.4)). Если А(« + 1)+ (а) = 0, то спектр Gj /\ а~1 R стягиваем при больших j.

Следующая лемма труднее и является центральной в доказательстве теоремы о нильпотентности.

Лемма 5.11. Для любого у > 0 имеем〈Gj〉=〈X(m)〉. 3 частности, 〈Gj〉=〈Gj—，.

Сейчас мы наметим доказательство леммы 5.10. Оно требует использования спектральной последовательности Адамса в обобщенных теориях когомологий. Описывать ее здесь было бы слишком долго: мы отсылаем интересующегося читателя к [Rav 86]. К счастью, здесь нам нужны лишь некоторые ее формальные свойства; нам не нужны никакие точные расчеты. Мы должны рассмотреть спектральную последовательность Адамса для 冗*(Gj А &), базирующуюся на X (凰+ 1)-теории. Она обладает следующими свойствами:

Е^ можно отождествить с некоторой группой Ext, связанной с X® + 1)-теорией.

Е^ отлична от нуля, только если s и £ неотрицательны.

Элемент а отвечает некоторому элементу %£七旷+* с некоторым 5 > 0.

ЕЗ* тривиальна для всех (邑£), лежащих выше некоторой прямой (называемой прямой исчезновения) с угловым коэффициентом

1

1)，

т. е. Е^ = 0 при s(l + pj+l(n + 1)) > f + 0 для некоторой константы с

Итак, угловой коэффициент прямой исчезновения может быть сделан сколь угодно малым при неограниченном увеличении числа 丿,и 丿 может быть выбрано так, что некоторая степень х окажется выше прямой исчезновения. Отсюда следует, что G, А а есть нильпотентное отображение, и лемма 5.10 доказана.

Теперь мы переходим к более трудной части - доказательству леммы 5.11. Мы должны показать, что〈G)= (X⑺〉.Вспомним, что Gj = FpJ_1 и что H*(FJ есть свободный модуль над Н*(Х(п)) с образующими Ь„, 0 W f W к. Имеются включения

Х(м) = J% J f\ J …

с корасслоенными последовательностями

F—t&t AXS).

Отсюда мгновенно следует, что〈尸忆〉W〈Х(м)〉для всех к》0.

Можно показать также, что (после /^-локализации) имеется корас- слоенная последовательность

В частности,

Gj =尸р」_ 1 一 尸2р」_ 1 外…J 尸(р_i)p」i J Fp，+1 -1 ~ Gj +1 ,

где кослой каждого отображения есть некоторая надстройка над G」.Это показывает, что

〈Gj〉》〈Gj + >(5.12)

Можно также непосредственно показать, что имеется корасслоенная последовательность Gj GJ+1 ->^2п^F(p_l)pJ_1 , которая индуцирует в гомологиях короткую точную последовательность. Итак, мы можем рассмотреть композицию

А/ Gj^^^2np，F{p_l)pJ_^^jGj+li

в которой первое отображение эпиморфно, а второе мономорфно в гомологиях. Пусть Yn j обозначает кослой отображения /；尸

Для понимания этих спектров полезно рассмотреть простейший случай, когда м = 1 и/ = 0. Тогда Go = S°, Gr имеет р клеток н Y i,o есть двуклеточное пространство S】U с?р , так что имеется корасслоенная последовательность

S2p—i ― у I# .(5.13)

(При нечетном р эти пространства фактически являются букетами сфер, но для нас сейчас лучше проигнорировать этот факт.)

В общем случае фигурировавшие выше клетки заменяются спектрами Gj, и имеется диаграмма

4

где i является включением и строка является корасслоенной последовательностью. Композиция fnJi тривиальна и потому поднимается в £1 匕广 Этим задана корасслоенная последовательность, обобщающая (5-13)；

bnj

2 Gj 一 Gj Т Е т YnJ.(5.14)

Так как YnJ есть кослой некоторого автоотображения спектра Gj+l, имеем

〈Gj・+i〉》〈l\>(5.15)

Используя (5.7), мы получим, что если телескоп b„j G, стягиваем^ то〈УnJ〉=〈Gj〉，И потому

〈б*〉= <G;> в силу (5.15) и (5.12).

Итак, теорема о нильпотентности вытекает из следующей леммы.

… bnJ

Лемма 5.16. Пусть S2npJ+1"2—► Gj-некоторое отображение из

(5.14). Тогда его телескоп стягиваем для любых п, J.

Это утверждение равносильно тому, что для любого конечного остова спектра Gj имеется такая итерация отображения bnJ, которая на этом остове тривиальна.

Доказательство. Снова посмотрим на диаграмму (5.8) при k = pj — 1. Известно, что отображение JpJ_1S2n ~^QS2n+1 является (после /)-лока- лизации) слоем некоторого отображения Н: Об?"*1 巴 CS2"p'+i . По

этому диаграмма (5.8) может быть расширена до диаграммы

CS2W+1н CS2”p『+l

ClSU(n)^QSU(n + 1)tCS2"+i

II ТТ(5.17)

CSU⑺ тВр— ——>Jpi-^2n

С2s2 叩= С2s2W+1

где все строки и столбцы являются расслоениями. В частности, рассмотрим отображение Q2S2npJ + 1 -> Вр1^1. При этом двойное пространство петель Q2S2npJ + 1 на самом деле действует на Bpi^t , т. е. имеется действие

С2s2W+1 хВр—тВр—.(5.18)

Напомним, что Gj на самом деле есть спектр Тома некоторого стабильного векторного расслоения над BpJ_l. Это означает, что (5.18) задает отображение спектров

Е8c2§ер」+1 a Gj巴Gj.(5.19)

Здесь мы опускаем некоторые технические детали, которые можно найти в [DHS 88].

Как показал Снэйт [Sna 74], пространство 0252^ +1 стабильно расщепляется, т. е. надстроечный спектр Z8c2 гомотопически эквива-

лентен бесконечному букету конечных спектров. После /^-локализации это расщепление имеет вид

£8Q2s个рп u (S° V s2”p't)A V E"也"。巾,(5.20)

m》0

где Dm - конечный спектр (не зависящий от « и J) с единственной нульмерной клеткой и без клеток отрицательной размерности. Кроме того, имеются отображения

S° = Dq —> Z)i т I)? т .…

степени 1 на нульмерной клетке, и предел limDm есть спектр Эйлен-

берга-Маклейна Н/(р), см. (3.3).

Наше отображение bn j является композицией:

а отображение b„j является композицией

E田^匕/一ёm也/⑦用a GjtE8c2s乎p-i a Gj*Gj,

Итак, мы получаем диаграмму

Gj —> Z) ^ A Gj —> I) 2 A Gj ~.

II 11

G戸E -也G力-2也"Gj т…

Из ее коммутативности следует, что отображение G-^b~} Gj пропускается через Gj Л Я/(р).

Теперь рассмотрим диаграмму

Gj -^ Л Я/(р) тЬ寻仿

九/ d,4II

E —也MGj т E — Gj A H(p) — b~j Gj

Средня^ вертикальная стрелка есть нуль, потому что bn j индуцирует тривиальное отображение в гомологиях. Переходя к пределу, получим композицию bnj Gj ^ pt. -> b„j Gj, которая является тождественным отображением телескопа б]} G). Итак, данный телескоп стягиваем, что и утверждалось.

ЛИТЕРАТУРА

[Ada74] Adams J. F. Stable Homotopy and Generalised Homology. University of Chicago Press, Chicago, 1974.

[Ada75] Adams J. F. Localisation and Completion. Lecture Notes in Mathematics, University of Chicago, Department of Mathematics, 1975.

[BK72] Bousfield A. K., Kan D. M. Homotopy Limits, Completions and Locali- zaction. Vol. 304 of Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 1972.

[DNSSbJ Devinatz E., Hopkins M. J., Smith J. H. Nilpotence and stable homotopy theory. Ann. Math. 128 (1988), 207-242.

[Haz78] Hazewinkel M. Formal Groups and Applications. Academic Press, New York, 1978.

[HKR] Hopkins M.J., Kuhn N.J” Ravenel D.C. Generalized group characters and complex oriented cohomology theories. To appear.

[Hop87] Hopkins M.J. Global methods in homotopy theory. In: Jones J. D. S and Rees E., editors. Proceedings of the 1985 LMS Symposium in Homotopy Theory, 1987, p. 73-96.

[HS] Hopkins M. J., Smith J. H. Nilpotence and stable homotopy theory II. To appear.

[Jam53] James I. M. Reduced product spaces. Ann. Math. 62 (1953), 170-197.

[JW75] Johnson D. C., Wilson W. S. BP-operations and Morava's extraordinary К-theories. Mathematische Zeitschrift, 144 (1975), 55-75.

[Lan73a] Landweber P. S. Annihilator ideal and primitive elements in complex cobor- dism. Illinois Journal of Mathematics, 17 (1973), 273-284.

[Lan73b] Landweber P. S. Associated prime ideals and Hopf algebras. Journal of Pure and Applied Algebra, 3 (1973), 175-179.

[Laz55a] Lazard M. Lois de groupes et analyseurs. Ann. Ecole Norm. Sup., 72 (1955), 299-400.

[Laz55b] Lazard M. Lois de groupes de Lie formels a une parametre. Bull. Soc. Math. France, 83 (1955), 251-274.

[Lim60] Lima E. L. Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math., 4 (I960), 193-251.

[Mil60] Milnor J. W. On the cobordism ring Q* and a complex analogue, Part I. American Journal of Mathematics, 82 (I960), 505-521.

[Mit85] Mitchell S. A. Finite complexes with A («)-free cohomology. Topology, 24 (1985), 227-248.

[Mor85] Morava J. Noetherian localizations of cathegories of cobordism comodules. Ann. Math., 121 (1985), 1-39.

[Nov60] Новиков С. П. О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома. Докл. АН СССР, т. 32, вып. 5 (I960), 1031-1034.

[Nov62] Новиков С. П. Гомотопические свойства комплексов Тома. Мат. сб. 57 (1962), 407-442.

[Qui69] Quillen D. G. On the formal group laws of oriented and unoriented cobordism theory. Bull of AMS, 75 (1969), 1293-1298.

[Rav] Ravenel D.C. Nilpotence and periodicity in stable homotopy theory, Annals of Math. Studies, 128, Princeton, 1992.

[Rav84] Ravenel D. C. Localization with respect to certain periodic homology theories. Amer. J. of Math., 106 (1984), 351-414.

[Rav86] Ravenel D.C. Complex Cobordism and Stable Homotopy Groups of Spheres. Academic Press, New York, 1986.

[RW80] Ravenel D. C., Wilson W. S. The Morava К-theories of Eilenberg-MacLane spaces and the Connor-Floyd conjecture. Amer. J. of Math., 102 (1980), 691-748.

[SE62]Steenrod N. E., Epstein D. B. A. Cohomology Operations. Vol. 50 of Ann. of

Math. Studies, Princeton University Press, Princeton, 1962. [Имеется

ТЕОРЕММ О НИЛЬПОТЕНТНОСТИ И ПЕРИОПИЧНОСТИ329 перевод: Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции-М.: Наука, 1983]

[Sna74] Snaith V. Р. Stable decomposition of QN”X.工 of the London Math. Soc., 7 (1974), 577-583.

[Sto68] Stong R. E. Notes on Cobordism Theory. Princeton University Press, Princeton, 1968.

[Tho54] Thom R. Quelques proprietes globales des varietes differentiables. Commen- tarii Mathematici Helvetici, 28 (1954), 17-86.

О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ НА АБЕЛЕВОМ МНОГООБРАЗИИ

(по работам Г. Фальтингса и П. Войты)

Л. Шпиро

В недавней рукописи Г. Фальтингс доказал утверждение, гораздо более общее, чем доказанная им же несколько лет назад «гипотеза Морделла» (теорема 1, см. ниже). Мы разберем эту работу, действуя по следующему плану.

Рациональные точки на алгебраических многообразиях

Индекс сечения обратимого пучка в точке

Теорема о произведении

Производная сечения

Обильные пучки

Один конечный морфизм

Обратимый пучок L( —,5加)

Степень Аракелова, отвечающая L( —£,=,…，％)

Слишком хорошая аппроксимация

Пересмотренная лемма Зигеля

Сечения обратимого пучка L(о — £), Si,...,Sm) с индексом меньшего порядка, чем о, в некоторой точке

Степень Аракелова и индекс

Другие результаты

В первом параграфе мы формулируем основную теорему и приводим аргументы, делающие естественными ее предположения. Во втором параграфе вводится техническое понятие индекса, по существу введенное Войтой, на котором держится вся эта работа. В третьем параграфе средства алгебраической геометрии (а именно, теорема Накаи-Мой- шезона-Клеймана) используются для нахождения численных инвариантов, контролирующих ситуацию. В четвертом параграфе немного арифметики, принадлежащей Минковскому, позволяет завершить доказательство.、

Рукописи Г. Фальтингса никогда не казались мне легкими для чтения. Без помощи М. Флексор и Е. Ульмо я, несомненно, не смог бы разобраться в этом тексте. Я горячо их благодарю.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХМНОГООБРАЗИЯХ

Пусть С - алгебраическая кривая, определенная над числовым полем К. Природа мощности множества С (К) ее рациональных точек над К зависит лишь от одного топологического инварианта кривой-ее рода. А именно:

род 0: множество С (К) пусто или бесконечно;

род 1: множество С (К) является Z-модулем конечного типа (теорема Морделла, обобщенная А. Вейлем на случай абелевых многообразий);

род не меньше 2: множество С (К) конечно (гипотеза Морделла, доказанная Фальтингсом [F1]; см. также доклады 616 и 619 на семинаре Бурбаки).

Естественно задаться вопросом о конечности множества Х(К) рациональных точек на многообразии X произвольной размерности над числовым полем К. Благодаря утверждениям i) и ii) ясно, что ответ на вопрос о конечности отрицателен, если X содержит проективную прямую или абелево многообразие. Легко видеть, что никакое абелево многообразие не содержит проективной прямой. Г. Фальтингс, разобравшись с алгебро-геометрической частью нового доказательства утверждения iii), объявленного П. Войтой, получил следующий результат.

Теорема 1. Пусть А - абелево многообразие над числовым полем К. Пусть X - замкнутое алгебраическое подмногообразие в А, не содержащее над алгебраическим замыканием К поля К никакого сдвига абелева подмногообразия положительной размерности в А. Тогда множество рациональных точек многообразия X над К конечно.

Пример 1. Связная гладкая проективная кривая над К рода g 2 2, вложенная (с помощью отображения Абеля) в свой якобиан, являющийся ^-мерным абелевым многообразием.

Пример 2. Пусть Л-простое абелево многообразие, т. е. не содержащее никаких собственных абелевых подмногообразий; тогда любое собственное подмногообразие в А удовлетворяет условиям теоремы 1.

Пример 3 (Фальтингс). Если С - гиперэллиптическая кривая рода g 2 4, то образ X ее квадрата С х С в якобиане J кривой С удовлетворяет условиям теоремы 1.

Прежде чем излагать техническую часть доказательства, напомним метод, практически всегда используемый в теоремах конечности.

Подходящему проективному вложению X т Р? сопоставляется высота. Это функция на множестве Х(К), такая, что множество точек из X (К) с ограниченной высотой и определенных над полем ограниченной степени конечно (теорема Норткота). Из алгебраической геометрии

известно о взаимно однозначном соответствии между проективными вложениями и обратимыми «очень обильными» пучками. Когда этот обратимый пучок снабжен целочисленной моделью над кольцом 8长 поля К и метриками для всех вложений поля К в поле комплексных чисел С, мы знаем от Аракелова [А] следующую конструкцию высоты.

Пусть X 丄 Spec 0к - целочисленная модель проективного многообразия ХтР?, и пусть Lk-обратимый пучок на X, снабженный эрмитовыми метриками || || ст для каждого вложения а: К т С. Пусть РеХк(К)~рациональная точка, и пусть sP: Spec(9К^ X-сечение морфизма /, отвечающее Р. Если г - ненулевой элемент обратного образа s$L, то мы полагаем степень Аракелова обратимого пучка L в точке Р равной

log(#s?L/^-r)-^log 心(尸)％

(это число не зависит от выбора Z).

Наша работа в гл. 3 будет состоять в доказательстве того, что подходящая степень обратимых пучков, принадлежащих некоторому классу, доставляет замкнутое вложение в проективное пространство. Снабдив их метриками с плоскими кривизнами над Л, мы сможем в гл. 4 вычислить «слишком маленькие» высоты Аракелова.

ИНДЕКС СЕЧЕНИЯ ОБРАТИМОГО ПУЧКА В ТОЧКЕ

В этой главе мы научимся «дифференцировать» сечения обратимых пучков, обращающиеся в нуль на подмногообразии, получая другое сечение того же пучка, ограниченного на это подмногообразие. Идея проста: пусть X - алгебраическое многообразие, У- алгебраическое подмногообразие в X и L- обратимый пучок на X, пусть 5-сечение пучка L и D - дифференциальный оператор первого порядка на X (т.е. ^(f 9)= 9^f +fDg для /, g£“x)・ Отождествляя на открытом подмножестве сечение s с функцией на X, мы видим, что ограничение D^y имеет смысл, если s обращается в нуль на У. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что если и, /-функции на открытом подмножестве в X и/(у = 0, то (D(*)，y= 〃(方八丫小 значит, Ds является сечением обратимого пучка L〔 у (заданного теми же коциклами, что и U)・ Также, если s обращается в нуль на У до порядка т и D = Dy... Dm - дифференциальный оператор, являющийся произведением операторов первого порядка, то выражение (Ds).Y имеет смысл и является сечением обратимого пучка L|y. В работе [V] П. Войта по существу ввел для произведения проективных пространств следующее понятие.

Определение 2.0. Пусть Р = Рп)х ... х Рп-~произведение проективных пространств над полем К нулевой характеристики, L= (9(^,... ,dm)~ стандартный обратимый пучок на Р, сечения которого суть многочлены

мультистепени (d「…，dm). Пусть s-глобальное сечение обратимого пучка L. Тогда для любой точки хеР индекс i(x,s) сечения s в х-это наибольшее рациональное число о, удовлетворяющее следующим условиям.

Если D = Dt... D т-дифференциальный оператор на Р, такой, что каждый Dy - дифференциальный оператор на Рп- порядка /[ с

di ”24：

то сечение D(s) обращается в нуль в точке х.

Из «формулы Тейлора» вытекает, что индекс ненулевого сечения конечен и не равен нулю. Он измеряет взвешенным образом порядок нуля сечения s в точке х.

Теорема о произведении

Обозначим через Z。замкнутую подсхему в Р, выделяемую условием, что на ней индекс сечения s не меньше о. Следующая теорема, открытая Г. Фальтингсом, дает ощущение взрыва, вызванного введенным нами понятием.

Теорема 2.1. Для любого £ > 0 найдется положительное число г, удовлетворяющее следующим условиям. Если 4/4” 2 y。胃兄 всех i u Z-неприводимая компонента подсхемы Z^, а также и подсхемы 2«+&, то

Z = Zi х ... х Zm - произведение подмногообразий Z； и Р%;

степень каждого из Zj ограничена функцией от е.

Пусть Z и Р“，х ... х Р""1 =尸,и пусть ^-проекция многообразия Z на множитель Рп . Обозначим через 8f размерность многообразия Z^. Если Z- неприводимое приведенное замкнутое подмногообразие в 尸 и ^5. = dimZ, то ясно, что Z = ZY х ... х Zm. Применим это простейшее замечание в нашей ситуации, положим Lf = рг* ^'(1) ( = 0(аг,... ,ат) с а, = &jj) и попытаемся увидеть, каковы индексы пересечения

(zy•…y

где Lf-q-кратное пересечение L； с самим собой. Замкнутая подсхема Z。 задана уравнениями мультистепени (応，…，dm)、и если Z-компонента

в Z。кратности р, то легко видеть, что (Z*丄；一…• L^r) W 0thmz.

•(1Д-..「L旣)，где L = L争' & L^% & …® L^df. Единственный ненулевой член в правой части этого неравенства получается выделением члена

(L学%广-e一(L资办产一%…亿^)乙产—j.Lj.…(静.

Отсюда получается, что

(Z・L%...“WO(lnd「)・

'Pi /

Если показать (см. ниже), что

р — кратность компоненты Z в Z。》。(口力‘一科

то отсюда следовало бы, что

(Z・L卜…・L»WO(f[d尸卜

С другой стороны, ясно, что индекс пересечения (Н-L^' ...■ L^) равен нулю, если 厂 Следовательно, все числа Tjm_7 = 6m + 6m-i + ... -.-+ 6m_j — (em + em_1 + ... + em_j) положительны и

(Z・LN…・L2 WO(L),

где П = £ T| j 2 0. Так как по условию доказываемой теоремы djd_ \ & \/г, где г достаточно велико, то единственная возможность для индекса пересечения (Z'Li,-...-L^) не быть равным нулю (а этот индекс либо положительное целое число, либо 0)-это когда Г)= 0, т.е. все 6f = ^. Поскольку £ / = dim Z, мы получаем требуемый результат. Осталось доказать неравенство (*) в предположении, что Z также является неприводимой компонентой схемы Zo+£. Пусть Х^ = 0, / = 1,..., «, — 8,-локальные уравнения для Z,- с ₽"■ в достаточно общей точке. Уравнение вида д = RijX沙•/ (где уравнение / не обращается в нуль в этой точке) с Е；万(£.%/)<£ таково, что существует оператор D = Dt.. .Dm, где Df - дифференциальные операторы на Рп и 工"gQ ^ 工 такой, что D(g) не принадлежит идеалу (Xj j=0). Мы видим, что уравнение для ZCT должно иметь вид 口[)Х；"с E^QXj) 2 & Сте- пень а уравнения Xjj увеличивает на а кратность р компоненты Z в Z。, и ясно, что если Z является компонентой в ZCT и ZCT+e, то кратность р не меньше числа целых av, удовлетворяющих условию 工二】^(工；匚:а^) < е. Это доказывает неравенство (*). Чуть более аккуратные вычисления доказывают утверждение ii).

Производная сечения

Отобразим многообразие Х〔 в проективное пространство PdimX- = Pt с помощью выбранного конечного морфизма, и пусть Gf-уравнение (вычислимой степени), аннулирующее пучок Г2|/Р и задающее замкнутую подсхему Zf в Xj； тогда Хг — Z^ -^ Р41тх-конечный этальный морфизм. Рассмотрим замкнутое подмногообразие Уи X】х х Х^т т 尸1 х ... х Pm = Р, такое, что ни при каком i образ рг^(У) не лежит в Z「Зафиксируем целые числа d「…，d^ и определим индекс i(Y,f)

сечения/обратимого пучка О (& ,…，盡)на Y, отправляясь от дифференциальных операторов D = Dr.. .Dm на Р и умножая Dj на Gfeg。’, чтобы результат имел смысл на Х「Тем самым D (/) оказывается сечением обратимого пучка

0(4,0)区 g)O(degGrdegDi).

Индекс сечения / на У будет равен индексу / на образе У в 尸,умноженному на степень морфизма из У на его образ в Р.

ОБИЛЬНЫЕ ПУЧКИ

В этой главе мы укажем некоторое множество обратимых пучков, с помощью которых в четвертой главе мы будем вычислять высоты. Для доказательств будет существенным выбор хорошей высоты. Это напоминает то обстоятельство, что введение модулярной высоты в [F1] было одним из важнейших использованных новых средств.

Один конечный морфизм

Следующая лемма, весьма полезная в дальнейшем, несомненно, появилась под влиянием лемм 10 и 11 работы [Н].

Лемма 3.1. Пусть А - абелево многообразие над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Пусть X - неприводимое подмногообразие 6 А, не содержащее никаких сдвигов абелевых подмногообразий в А. Тогда для достаточно большого т морфизм а^: Хт ^ Ат~1, заданный формулой

^т (*1 ‘ •…，*m) = (2*i ■- *2 ‘2*2 — *3 ' *—'

конечен.

Проекция X 出 +1 — X 中 на первые m сомножителей индуцирует замкнутое вложение слоев морфизма a„,_i в слои ат. Пусть J-нижний предел максимумов размерностей слоев ат при т, стремящемся к бесконечности. Можно показать, что d = 0. Зафиксируем симметрический обильный обратимый пучок на 4, чтобы вычислять степени. Число и степени неприводимых компонент слоев ат размерности d при т^ т0 также убывают и, следовательно, становятся постоянными. Заметим, что если Z- неприводимая компонента слоя ат, то же можно сказать и о 2"Z, и, следовательно, степень многообразия 2"Z ограничена константой, не зависящей от п. Пусть G - алгебраическая подгруппа в Л, состоящая из всех элементов де А, таких, что g^Z = Z. Имеем степень (Z2nZ)• степень (2nZ) = deg([2M]*L)|Z = deg(L®4 )\Z = 4nddeg(Z) ([2“]*L=七㊅"，потому что L симметрический). Степень морфизма Z т 2"Z вычисляется в общей точке многообразия Z и, значит, равна

числу элементов ядра Кег([2п]: GtG). Таким образом, мы видим, что отношение 4nd deg (Z) / # (Ker ([2n]: GtG)) ограничено, и, значит, порядок конечной группы Ker([2"]: G т G) равен 4"~ Отсюда вытекают два следующих утверждения:

размерность G равна d;

G-абелево многообразие.

Если zeZ, то z + G = Z, поскольку и z + G, и Z - неприводимые многообразия размерности d и z + GuZ по определению алгебраической группы G. Тем самым Z является сдвигом абелева подмногообразия, и, значит, d = 0. Что и требовалось доказать.

Следствие 3,1. Если т- достаточно большое целое число и многообразие X удовлетворяет условиям леммы 3.1, то обратимый пучок

m- 1

® (2时* _ 2*"1为 + 1)*L

обилен на Хт, если обратимый пучок L обилен на А.

Рассмотрим морфизмы (2m~ixi — 2т~1~1х{+1): Лм ^ Л, переводящие (x1,...,Х用)в ^~1%i — 2m~i~1xi + 1. Проверяется, что

区(2时* -啕区[2旅7一1：)^片l.

Обратимый пучок L(一戸切)

Сейчас мы определим самый важный в этой работе обратимый пучок и докажем, используя гл. 1 и 2, при некоторых предположениях его обильность.

Определение. Пусть L-обратимый пучок на Л, и пусть е, s「5m- положительные рациональные числа. Определим Q-обратимый пучок L{ _工5工，…，％) на Ат формулой

L(-£，Х,...,%) =- si+1xi + l)*L.

Как и выше, выражение (5fxf — \ + 1xi+1)*L обозначает следующий объект. Пусть а - ненулевое целое число, такое, что числа ast целы для всех z. Тогда отображение

(/…％)т 叫 ％ - asi + ixi + l

из Ат в А корректно определено и обратный образ обратимого пучка L относительно этого морфизма равен а?-й тензорной степени Q-обратимого пучка(5fxz — si+lxi+1)* L,

В этом докладе мы все время считаем L обильным и симметрическим пучком на А. Обозначим через 尸》尸=(无 + 勺)* Lg) prf L ® pr * L® - 1 расслоение Пуанкаре, занумерованное индексами 力，/ Мы также используем обозначения Lz = pr*L, L(~^s) = L(—e,sl,... ,sm). Легко видеть, что L(—£,s) является линейной комбинацией Q-пучков Pi 7 и Lj с рациональными коэффициентами. Действительно,

L(一 £,5)= ®L®S-(i~&)®®P^+^1 .

Теорема 3.2. Выберем целое т, удовлетворяющее заключению следствия 3.1. Тогда существует положительное вещественное число е0, удовлетворяющее следующим условиям. Найдется положительное вещественное число г, такое, что L( —£,$ ,,^m) обилен на Хт, если £ < е0 и ^/\+1》г.

Заметим, что L(0,2m-1,2т-2,,2°)-это обратимый пучок, рассмотренный в следствии 3.1; тем самым нам уже известна его обильность на Хт.

Лемма 3.2.1. Пусть У = УА х ... х Ym - многообразие-произведение s 4" Тогда индекс пересечения (L( — ^s)dimY У), рассматриваемый как функция от переменных s^, пропорционален произведению Hs^dim,,

Следствие 3.2.1. Найдется £0 > 0, такое, что если е < е0 u Y-многообразие-произведение в Ат, то индекс пересечения (L( — &,s)dimY г У) строго положителен.

Это утверждение вытекает из следствия 3.1 для малых е и 号=2酬~'. Благодаря лемме 3.2.1 результат остается верен для тех же е и произвольных положительных ,sm.

Докажем теперь по индукции, что для всех целых положительных N и для многообразия-произведения У=У1х...хУтвЛтс deg 匕 W N найдется положительное г0 (зависящее от е и N), такое, что Q-пучок L( — ^s) обилен, если sjs“、》г0. Индукция проводится по размерности многообразия У (все время остающегося произведением). По теореме Клеймана (см. [К]) £( —qs) лежит в замыкании конуса обильных пучков, если он, будучи ограничен на любую неприводимую кривую С в У, имеет положительную или нулевую степень. Если это условие выполнено, то, слегка уменьшив е, мы получаем обильный пучок. Чтобы убедиться в положительности степени g-пучка L( —£,s) на кривой С, мы будем рассуждать следующим образом: А) прежде всего найдем сечение пучка L( —£,5)^" над У; В) докажем, что если индекс общей точки кривой С достаточно велик, то по теореме 2.1 С лежит в меньшем произведении; С) наконец, если индекс в общей точке кривой С мал и 0 < е' ^ 8о, где £о выбран подходящим образом, то пучок L( —£‘,s) имеет сечение над С.

Если d достаточно велико, то эйлерова характеристика %(У,，(一£,§)&") положительна (следствие 3.2.1). Тем самым, для того чтобы убедиться в том, что "° (У, L ( —£,s) &") W 0, достаточно доказать, что для d»0 группа 〃'(Y,L( —qs严")=0 при 力》2. Итак, если Н~~гиперплоское сечение в У, еще остающееся произведением, и d достаточно велико, то

Н^УМ-^®ЧН)^ = ^ при 力》1.

Из соответствующей длинной точной когомологической последователь-

ности мы получаем, что естественные отображения Hi(y,L(-£,S)®d)THi(y,L( — £,S)^(H))

являются изоморфизмами при i》2. Неприятно то, что выбор d зависит от Н. Небольшие дополнительные усилия в том же духе позволяют также заключить, что естественные отображения

〃i(KL(-£,5严)Т/Г( л S产(N〃))

являются изоморфизмами при i》2 и N » 0. Таким образом, все эти группы нулевые.

Выберем кривую С в У, не лежащую в области ветвления ZY х х Zm подходящим образом (как и выше) выбранных конечных морфизмов ijTPdim 匕(Если С лежит в Zi х ... х Zm, то применяется индукционное предположение.) Определим, как в разд. 2.2, индекс z(C) сечения, найденного в пункте А), в общей точке кривой С. Выберем достаточно маленькое положительное о и предположим, что /(С)》о. В произведении Р% х ... х Рп- = Р, «. = dim Yh размерности неприводимых компонент подсхем ZCTi/dimP лежат строго между 0 и dim 尸(i = 1,2,dim 尸).(Подсхема ZCTi/dimP содержит общую точку образа кривой в С и не может совпадать со всем 尸，поскольку мы работаем с ненулевым сечением.) По теореме о произведении одна из компонент одной из Zoi/dimP является произведением, если sjsi+1 ^ г и г достаточно велико. При этом мы можем считать, что эта компонента содержит С, т. е. С лежит в произведении, меньшем чем У, и мы можем применить индукционное предположение.

i(D) V а. Пусть D - образ С в Р. Теория, развитая в разделе 2.2, позволяет доказать существование константы X, такой, что пучок L(к deg (С т D)d — £,s)|c имеет ненулевое сечение (производную сечения пучка L( —£,s) над У). Выбрав о достаточно малым для того, чтобы число Xdeg(CD)o + e было меньше е0, получаем, что при достаточно больших s искомая степень не равна нулю.

Итак, теорема об обильности доказана. Остается увидеть пользу, которую можно извлечь из явной формы пучка L( —qs) для вычисления соответствующей степени Аракелова точек из Хт.

Степень Аракелова, отвечающая L( —

Если позаботиться о том, чтобы выбранный нами обратимый пучок L был симметрическим очень обильным с кубической структурой, то мы обеспечим следующие свойства степени Аракелова ограничения 乙七， где Е-сечение модели Нерона абелева многообразия Л над 8长,отвечающее К-рациональной точке Р на А.

Существует константа С, такая, что

-i-degL|£-<p.p> <С,

где (Р ■ Ру - скалярный квадрат билинейного (относительно сложения на А) спаривания Нерона-Тэйта, отвечающего L. Аналогично

^deg尸]2阳像鬲-2〈匕•尸2〉I V константа,

где ^! 2-пучок Пуанкаре (см., например, [М. В.]).

Поскольку L(-е,5)= ®fLf (1 - 8)(g)(8)i尸自「产+，，есш(х1,,xm)eXm , III xj| 2 — 1/Si I < а для некоторого очень маленького а и (хух»+1)》 2 (i — £)II Xj II II xi+1 II, то мы получаем неравенство

К*Q^^冃'( — £'%，％)窖x x 皐 W

w£s『(l—£)(ll ^ II 2 + С) - 5(.5i + i (2 <x(.-Xi+1)-C)d, и, следовательно, существует константа С, такая, что

deg" —sQ 器 &-d&2m + C'0ds>

СЛИШКОМ ХОРОШАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

В этом разделе, наконец, в нашу ситуацию вмешивается арифметика. Мы начнем с леммы о точках решетки, не принадлежащих некоторой подрешетке и имеющих «контролируемую» длину. Эта лемма будет использована для нахождения сечений обильных расслоений из третьей главы, имеющих маленький индекс в точке.

Пересмотренная лемма Зигеля

Пусть V- вещественное векторное пространство конечной размерности Рм М - решетка в V. Предположим, что пространство Vснабжено нормой, обозначаемой через || ||. Пусть В-единичный шар в V. Обозначим через 儿 наименьшее положительное X, такое, что в решетке М найдется i линейно независимых векторов длины, не превосходящей X. Минковский [Mi] доказал, что

vol( V/M) 2 %! W 九1 …底 vol (В) W 2" vol( V/M).

Сейчас нас будет интересовать оценка «промежуточных минимумов X；» для ядра линейного отображения. Цитированный результат Минковского влечет за собой естественным образом следующее утверждение.

Лемма 4.1. Пусть 0 -> 17 ^ У -^ W-точная последовательность вещественных векторных пространств, имеющих размерности и, v, w соответственно. Пусть М —решетка в Vu N —решетка в W. Предположим, что образ а(М) содержится в N. Предположим вдобавок, что на

пространствах V и W заданы нормы, w пусть С - вещественное число, не меньшее 2 и удовлетворяющее следующим условиям:

норма отображения а не превосходит С;

решетка М порождена векторами длины, не превосходящей С;

все ненулевые элементы решеток М и N имеют длину, не меньшую С'1.

Тогда, снабдив подпространство U нормой, индуцированной с V, имеем 九 i+JU A MU) W(C3*b!)i/{i).

Сечения обратимого пучка L(o — £,“，... ,％)с индексом меньшего порядка, чем о, в некоторой точке

Пусть К-числовое поле, ^Р^-его кольцо целых, К - алгебраическое замыкание поля К. Пусть А - проективная схема над 8K, общим слоем которой является абелево многообразие Ак. Пусть Хк - неприводимое замкнутое подмногообразие в Ак, не содержащее сдвигов никакого абелева подмногообразия в 幺无.Пусть X Л-модель многообразия X над кольцом Ок. Выберем натуральное число т, удовлетворяющее заключению леммы 3.1, очень обильный пучок L на N, являющийся симметрическим на Лк, а также нормальную модель В над Ок многообразия Ак, доминирующую Ат и такую, что все пучки Пуанкаре PiJK продолжаются до обратимых пучков на В. Обозначим через У замыкание многообразия Хт в В. Следующая техническая теорема позволит находить «голоморфные» на У сечения пучков, рассмотренных в п. 3.2, с индексом, не превосходящим су. Хотелось бы вдобавок знать «величину» такого сечения. Для этого мы снабжаем пространство голоморфных сечений С ® 〃°(Хк,"о — £,“，…，％)) sup-нормой, получаемой из метрик с формами кривизны, инвариантными относительно сдвига; эти метрики естественным образом определяются на пучках Lj и 尸(см., например, доклад Море-Байи).

Теорема 4.2. В вышеприведенных обозначениях пусть (х】,.…,xm) 一 гладкая точка многообразия X%, и пусть имеет место неравенство 0 < а < е < е0 для вещественных чисел о, £, %, а также пусть все отношения 5f/5i+1 достаточно велики для того, чтобы выполнялось заключение теоремы 3.2. Тогда для достаточно большого d найдется сечение из H°(KL(o — 5ttl 产")с индексом 6 точке (占，…，％), строго меньшим о, и такое, что его норма в архимедовых точках ограничена сверху числом exp(C£itZvj) (где С-константа, зависящая лишь от о и е).

Чтобы доказать эту теорему, мы сначала создадим ситуацию, которая позволит нам применить лемму 4.1. Соответствующая точная последовательность получается из «комплекса Кошуля»:

0^r(X^,L(-8,51,...,5m)^)^r(^,®iL®4^)n^ т「(Х£®)'”2%”57/2 _

Чтобы «увидеть» первое отображение, заметим, что использование сечений (очень обильного) пучка L дает нам отсутствие общих нулей у соответствующих вложений пучка L( —е,“，…，％尸"в 区丄”出二 Оставив наше отображение из L( —£,力，…，％产"в &丄夕4公，заметим, что три первых члена «комплекса Кощуля»

0一“一£,6)^一8丸区区l”厶二(A20先)区(8)l曾阳区l(一£,5f-"

задают объявленную точную последовательность.

Разумеется, возникает желание рассмотреть группы сечений «тех же самых» пучков на У, образующие точную последовательность решеток (чтобы иметь возможность применить лемму Зигеля). Это почти проходит. Действительно, доказывается существование константы С, зависящей лишь от е и такой, что: 2

последовательность 。-> Г (Y,L( —£,s)W") т Г (У,区 L 曾'*) f т Г (У,(8)厶£12阳)является комплексом, когомологии которого суть периодические группы, аннулируемые умножением на exp(^CtZvf).

Далее, доказывается существование константы С, зависящей лишь от е и а и такой, что 2

норма вложения Г (RL( —£,s产")-> Г (工0丄”也)"не превосходит exp(C^tZv^).

(Каждая из этих двух решеток снабжена sup-нормой.)

Общие факты о метриках на обратимых пучках и sup-нормах на их сечениях позволяют вывести следующее утверждение.

Существует положительная константа С, зависящая лишь от а и £, такая, что нормы ненулевых элементов решеток Г (У, giLg''') и Г(У,区丄尹2財)ограничены снизу числом exp(C^tZv?).

Мультиградуированное кольцо ©пГ(У,®^--) является кольцом конечного типа над мультиградуированным кольцом многочленов ©пГ((Ри)т, ® ^^(^^), что дает нам следующее утверждение.

Существует положительная константа С, такая, что группа 「(У,区丄”阳)порождена элементами с нормой, не превосходящей exp(c£d#)・

Отметим, что размерность пространства Г(X餐，L( —qs产"есть 。(口 .(沐F)dimXK. Для доказательства теоремы 4.2 хотелось бы оценить порядок величины коразмерности в Г(Х戈，L( —e,s)) пространства сечений пучка L(o — £, s) с индексом не меньшим, чем о, в точке (хх，…，％)• Используя обильность пучка L( —qs) при е < е0 и достаточно больших sjsi+i, мы видим, что эта коразмерность ограничена снизу положительным кратным произведения Р[.(г/у?)а1тХй. (Подсчитайте число условий, наложенных неравенством «индекс》。》). Применяя лемму 4.1, получаем верное асимптотически утверждение о том, что в пространстве

r(Y,L(~^s)®d) найдется подпространство размерности на единицу больше, чем обсуждавшееся выше подпространство, порожденное элементами с нормой, не превосходящей exp(Cg 沐 ^). Отсюда вытекает теорема 4.2.

Степень Аракелова и индекс

В этом параграфе мы, наконец, докажем теорему 1. Возьмем целое число т, удовлетворяющее заключению теоремы 1, и для всех f = 1,…，zn выберем проекцию

Хк 3 pdimX = р.

Для каждого i существует гиперповерхность Zj, заданная уравнением G^ в 尸^, таким, что Gf аннулирует пучок C^/片. Также если D-дифференциальный оператор на 尸“ то GjD является дифференциальным оператором на X. Проводя индукции по размерности X, можно считать, что существует бесконечное число точек в Хк(К), не лежащих в 冗「i(ZJ ни для какого /. По теореме Морделла-Вейля Ак(К) ®2R-вещественное векторное пространство конечной размерности. Если мы выберем обильный пучок на А, то на этом векторном пространстве возникает спаривание Нерона-Тэйта, которое невырожденно и обозначается через 〈*〉. Известно, что разность между высотой точки из А (К), определенной по симметрическому очень обильному пучку и скалярным квадратом Нерона-Тэйта, отвечающим тому же пучку, ограничена сверху константой, независящей от выбора точки (см., например, [Ма]). Если в пересечении многообразий XK\nr1(Zi) лежит бесконечное число рациональных точек, то, выбрав вещественные числа she, как в теореме 3.2, можно найти в этом пересечении т рациональных точек х1?... ,хт с высотами hr,... ,hm соответственно, таких, что:

высота 力 1 очень велика;

ii)饱/%+1 > $2；

(х;-^ + 1)>(1-е/2)||хг|| ||xi + 1||.

Выбрав рациональные числа $【,очень близкие к вещественным числам hi1/2, мы видам, что степень Аракелова пучка L(o — g,%,…,％)包" над сечением схемы У, отвечающей точке (х15... ,хт), ограничена сверху выражением

d(o — е/2)т + константа •(£岗)

(то же вычисление, что и в п. 3.3). С другой стороны, по определению степени Аракелова сечение метризованного пучка L(a — е,5х,... найденное с помощью теоремы 4.2, дает нам оценку вида (констан- та)'(Х^5?)Для степени, но при условии, что это сечение не обращается в 0 в точке х =(X],...，工忆)，Взяв теперь, например, в качестве отправного значения о = е/4, получаем, что вышеуказанное сечение, построенное

с помощью теоремы 4.2, обращается в 0 в точке х. Те же рассуждения, примененные к «производным» того же сечения, позволяют установить, что его индекс в точке х очень мал. Аккуратно избавляясь от знаменателей, мы видим, что если D = D】…Dm，где Df- дифференциальные операторы на пространстве 尸「такие, что 工5《z(x,/) (где/-сече- ние пучка L(o — £,s)®“，найденное с помощью теоремы 4.2), то сечение

UN"f启屮)

является «целым» в точке (х{,..., хт) благодаря формуле Тэйлора (здесь

2 = 口 ,х屮j на Л)-

Таким образом, мы получаем сечение обратимого пучкаL(b -牌“区 ®・L?egD,degG,.

Ниже мы дадим верхнюю оценку для норм этого сечения во всех архимедовых точках поля К. Но уже сейчас отметим, что уже найденное нами сечение при подходящем выборе оператора D не обращается в 0 в точке (х15...,хт) и что степень Аракелова этого пучка, ограниченного на сечение схемы У, отвечающее точке (xt,...,xm), ограничено сверху величиной d(C1c — e/2)m + C2-(^dst) (здесь Ct и С2 - некоторые константы). Если теперь доказать, что норма нашего сечения пучка в архимедовых точках не превосходит。3(£沐分，где С3 (как и С2) зависит лишь от о и е, и позаботившись о том, что при нашем выборе ь и £ было выполнено неравенство С\ ь W е/4, мы получили бы противоречие, доказывающее теорему 1.

Итак, нам осталось оценить «производные» сечения пучка L(o — e,s). 1 да1

Формула Коши позволяет оценить сверху — -~~ (/) величиной — sup | f | a! дХra

на диске радиуса г. Взяв шар радиуса, не меньшего, чем |Gf (xf)| =几, с центром в точке Х^, мы видим, что для D2 ...Dm(f) справедлива оценка вида || /1| С^ ++ ^Р[.гг-<1е8Р', где С-некоторая константа. Заметим, что справедливо неравенство degDf ^ 4adsi . Таким образом, мы получаем оценку C3(^dst) для …2

ДРУГИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

С. Ленг задал вполне естественный вопрос, является ли предположение о замкнутости X в абелевом многообразии А необходимым (если предположить, что X не пересекается со сдвигом абелева подмногообразия). Насколько я знаю, ответ на этот вопрос неизвестен. Между тем Г. Фальтингсу, используя изложенный здесь метод, удалось доказать следующую гипотезу С. Ленга. Если Л-абелево многообразие,

Я-обильный дивизор на Л, то А-Н содержит лишь конечное число целых точек.

Результаты, изложенные здесь, не являются эффективными, т. е. не Дают оценки для высоты рассматриваемых точек. Полезно посмотреть ТРУДЫ семинара по эффективности, готовящиеся к выходу в журнале Asterisque.

■Я получил рукопись Бомбьери, воспроизводящую, по крайней мере в размерности 1, аргументы П. Войты на языке и с помощью техники, более близких к оригинальным работам Зигеля.

ЛИТЕРАТУРА

Аракелов С. Ю. Теория пересечений на арифметических поверхностях. Изв. АН СССР. Серия матем., 1974, т. 38, № 6, с. 1179-1192.

[Fl] Fallings G. Endlichkeitssatze ffir abelsche Variataten.-Invent. Math. 73 (1983) 349-366.

[F2] Fakings G. Diophantine approximation on Abelian varieties.-Ann. Math. (1992).

Hindry M. Autour d'une conjecture de Lang.- Invent. Math. 94 (1988), 575—603.

BUeiman S. L. Toward a numerical theory of ampleness.-Ann. Math. 84 (1966),

[Ma]Манин Ю. И. Теорема M орделла—Вейл я. Дополнение переводчика к

книге: Д. Мамфорд. Абелевы многообразия - М.: Мир, 1971.

[Mi] Minkovski Н. Geometric der Zahlen. New York, Chelsea, 1953.

[M-B] Moret-Bailly L. Metriques permises. Dans 4tSeminaire sur Ies pinceaux arithmetiques: la conjecture de Mordeir5, Asterisque 127 (1985).

Vojta P. SiegeFs theorem in the compact case. Ann. Math. (1991).

списокОРИГИНАЛЬНЫХ НАЗВАНИЙ СТАТЕЙ,ПОМЕЩЕННЫХ В НАСТОЯЩИЙ СБОРНИК

Atty an Michael. The Jones-Witten invariants of knots-Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 715, Asterisque 189-190, 1990, p. 7-16.

Cartier Pierre. Developpements recents sur les groupes de tresses. Applications a la topologie et a Falgebre. Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 716, Asterisque 189-190, 1990, p. 17-68.

Perrin-Riou Bernadette. Travaux de Kolyvagin et Rubin - Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 717, Asterisque 189-190, 1990, p. 69-106.

Teissier Bernard. Resultats recents d'alggbre commutative effective. Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 718, Asterisque 189-190, 1990, p. 107-132.

Thouvenot Jean-Paul. La convergence presque sure des moyennes ergodiques suivant certaines sous-suites d'entiers [d^pres Jean Bourgain].- Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 719, Asterisque 189-190, 1990, p. 133-154.

Deshouillers Jean-Marc, fetude des formes cubiques rationnelles via la methode du cercle [tfapres D. R. Heath-Brown, C. Hooley et R. C. Vaughan].-Seminaire Bourbaki, 1989—90, N 720, Asterisque 189-190, 1990, p. 155-178.

Gerard Christian. Completude asymptotique des systemes a N corps a courte portee [d'apr@s I.M. Sigal et A. Soffer]-Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 721, Asterisque 189-190, 1990, p. 179-202.

Ghys Etienne. Les groupes hyperboliques.- Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 722, Asterisque 189 -190, 1990, p. 203-23 8.

Peters Chris. Algebraic Fermi curves [after Gieseker, Trubowitz et Knorrer].-Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 723, Asterisque 189-190, 1990, p. 239-258.

Sjostrand Johannes. Asymptotique des resonances pour des obstacles. Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 724, Asterisque 189-190, 1990, p. 259-284.

Bennequin Daniel. Topologie symplectique, convexite holomorphe et structures de contact [d'apres Y. Eliashberg, D. Me Duff et al.].- Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 725, Asterisque 189-190, 1990, p. 285-324.

Illusie Luc. Cohomologie de de Rham et cohomologie etale p-adique [d'apres

346СПИСОК ОРИГИНАЛЬНЫХ НАЗВАНИЙ СТАТЕЙ

G. Fallings, J.-M. Fontaine et al.].-Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 726, Asterisque 189-190, 1990, p. 325-374.

Oesterle Joseph. Empilement de spheres - Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 727, Asterisque 189-190, 1990, p. 375-398.

Ravenel Douglas C. The nilpotence and periodicity theorems in stable homotopy theory - Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 728, Asterisque 189-190, 1990, p. 399—428.

Szpiro Lucien. Sur les solutions d'un systeme d'equations polynomiales sur une variete abelienne [d'aprOs G. Fallings et P. Vojta].-Seminaire Bourbaki, 1989-90, N 729, Asterisque 189-190, 1990, p. 429-446.

СОДЕРЖАНИЕ

Семинар Н. Бурбаки в издательстве «Мир» 5

Атья М. Инварианты Джонса-Виттена для узлов. Перевод с английского А. Л. Городенцева 6

Картье П. Новые достижения в теории групп кос. Применения в топологии и алгебре. Перевод с французского А. И. Бондала w Л. Е. Посицельского 14

Перрен-Риу Б. Работы Колывагина и Рубина. Перевод с французского А. И. Овсеевича 50

Тесье Б. Эффективная коммутативная алгебра. Новейшие результаты. Перевод с французского М. М. Граева 78

Тувено Ж.-П. Сходимость почти всюду эргодических средних по некоторым целочисленным последовательностям (по Ж. Бургену). Перевод с французского В. В. Рыжикова 98

Дезуйе Ж.-М. Изучение рациональных кубических форм круговым методом (по Д. Р. Хит-Брауну, К. Хооли и Р. Вону). Перевод с французского Б. Э. Кунявского 115

Жерар К. Асимптотическая полнота систем N тел с короткодействующими потенциалами (по работам И. М. Сигала и А. Соффера). Перевод с французского А. И. Ко меча 133

Гис Э. Гиперболические группы. Перевод с французского С. М. Львовского. 151

Петерс К. Алгебраические кривые Ферми (по Гизекеру, Трубовицу и Кнор- реру). Перевод с английского А. Г. Кулакова179

Шостранд И. Асимптотика резонансов для препятствий. Перевод с английского А. Ширикяна 194

Беннекен Д. Симплектическая топология, голоморфная выпуклость и контактные структуры (по Я. Элиашбергу, Д. Макдаффу и др.). Перевод с французского П. Пушкаря и Н. Некрасова212

Иллюзи Л. Когомологии де Рама и этальные р-адические когомологии (по работам Фальтингса, Фонтена и др.). Перевод с французского А. А. Панчишкина 243

Остерле Ж. Упаковки шаров. Перевод е французского М. Розенблюма 283

Равенел Д. Теоремы о нильпотентности и периодичности в стабильной теории гомотопий. Перевод с английского Ю.Б. Рудяка300

Шпиро Л. О решениях системы полиномиальных уравнений на абелевом многообразии (по работам Г. Фальтингса и П. Войты). Перевод с французского Ю.卜.Зархина330

Список оригинальных названий статей, помещенных в настоящий сбор

345345ник

345

345

Научное издание

ТРУДЫ СЕМИНАРА Н. БУРБАКИ ЗА 1990 г.

Сборник статей

Заведующий редакцией академик В. И. АрнольдЗам. зав. редакцией А. С. Попов

Ведущие редакторы А. А. Бряндинская, Г. М. Цукерман

Редактор Т. А. Денисова

Художественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Т. А. Максимова

Корректор В. И. Киселева

ИБ № 8039

Лицензия Л. Р. № 010174 от 22.01.92 г.

Сдано в набор 08.02.95 г. Подписано к печати 25.01.96 г. Формат 60 х 90716 ■Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура тайме. Объем 11,00 бум. л.

Усл. печ. л. 22,00. Уч.-изд. л. 23,76. Усл. кр.-отт. 22,74. Изд. № 1/9351.Тираж 1000 экз. Зак. 100. С-108.

Издательство «Мир» Комитета Российской Федерации по печати.129820, ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., 2.

Можайский полиграфкомбинат Комитета Российской Федерации по печати.143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.

Содержаниесборника статей «Труды семинараН- Бурбаки» за 1988 г.

Аттуш Э. Усреднение.

Энньяр Г. Циклотомия и значения Г-функции (по работам Дж. Андерсона).

Серр Ж.-П. Группы Галуа на Q.

Йоккоз Ж.-К. Ненакопление предельных циклов.

Катц Н. Работы Ломона.

Мальгранж Б. Геометрическое преобразование Фурье.

Марен А. Новый инвариант для трехмерных гомологических сфер (по Кассону).

Остерле Ж. Новые подходы к «теореме Ферма».

Сигал Г. Эллиптическая когомология (по Ландвеберу - Стонгу, Ошанину, Виттену и прочим).

Арну П. Типичность эргодичности для биллиардов в многоугольниках (по Керхофу, Мазуру, Смилли).

Азенкотт П. Процедура «отпуска».

Брезис X. Критические точки вариационных задач без условия компактности.

Жерар П. Глобальные решения задачи Коши для уравнения Больцмана (по работам Р. Ж. Ди Перны и П.Л. Лионса).

Содержаниесборника статей «Труды семинараН. Бурбаки» за 1989 「・

Титс Ж. Группы, ассоциированные с алгебрами Каца-Муди.

Коутс Дж. />-адические L-функции.'

Клозель Л. Числа Тамагавы полупростых групп (по работам Кот- твица).

Колен де Вердьер И. Распределение точек на сфере (по Люботски, Филлипсу и Сарнаку).

Гавецки К. Конформная теория поля.

Берар П. Римановы изоспектральные неизометрические многообразия.

Гиз Э. Ивариант Годбийона - Вея.

Хефлигер А. Римановы расслоения.

Кассель К. Некоммутативный вычет (по М. Воджицки).

Ломон Ж. Характер-пучки по Люстигу.

Деорнуа П. Проективная детерминированность (по результатам Мартина, Стила и Вудина).

Энньяр Г. Формы Маасса и представления Галуа (по работам Клозеля, Рамакришнана и Тейлора).

Коллар Я. Минимальные модели трехмерных алгебраических многообразий. Программа Мори.

Суле К. Геометрия Аракелова на арифметических поверхностях.

Витербо К. Симплектические емкости и приложения (по Экланду - Хоферу и Громову).

В издательстве «Мир»готовятся к выпуску в свет

Труды семинара Н. Бурбаки за 1991 г.: Пер. с англ, и франц,-20 л.

Бауэс Г. Алгебраическая гомотопия: Пер. с англ.-28 л.

Хесс П. Периодическо-параболические задачи и положительность: Пер. с англ.-8 л.

Каку М. Введение в теорию суперструн: Пер. с англ.-38 л.

Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов: Теория паросочетаний в математике, физике, химии: Пер. с англ.-37 л.

Алипрантис К., Браун Д., Беркеншо О. Существование и оптимальность конкурентного равновесия: Пер. с англ.- 20 л.

Логический подход к искусственному интеллекту: От модельной логики к логике баз данных: Пер. с франц./А. Тейз, П. Грибомон, Г. Улэн и др.-28 л.

Логический подход к искусственному интеллекту: От распознавания речи к логике экспертных систем: Пер. с франц./Тейз А., Брюф- ферте А., Дюпон П. и др.—22 л.

Уотермен М. Математические методы анализа последовательностей ДНК: Пер. с англ.-27 л.

Абаффи Дж., Спедикато Э. Математические методы для решения линейных и нелинейных уравнений: Проекционные ABS-алгоритмы: Пер. с англ.—14 л.

Касивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях: Пер. с англ.- 36 л.

Барндорф-Нильсен О,, Кокс Д. Асимптотические методы в математической статистике: Пер. с англ.-14 л.

Фляйшнер Г. Эйлеровы графы и смежные вопросы: Пер. с англ.- 25 л.

Саломаа А. Криптография с открытым ключом: Пер. с англ.-23 л.

Рамм А. Теория оценивания случайных полей: Пер. с англ.-20 л.

Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ.-45 л.

Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ.-45 л.

Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ-40 л.

Международный конгресс математиков в Киото, 1990. Избранные доклады: Сб. статей: Пер. с англ - 20 л.

Имеются в продаже

一 Англо-русский словарь математических терминов.

一 Файте Ф. и др. Компьютерный вирус.

一 Меткалф Ф., Рид Дж. Описание языка программирования Фортран 90.

-Атья М. Геометрия и физика узлов.

Заказы на приобретение этих книг можно сделать в ближайшем магазине научно-технической литературы или направить непосредственно в издательство «Мир», редакция математики. Телефоны: 286-42-88, 286-25-33.

3) В непрерывный спектр,- Прим, перев.

МАТЕМАТИКА

НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ

РЕДАКТОРЫ СЕРИИ： Ю.И.МАНИН, С.П.НОВИКОВ

ТРХЦЫ СЕМИНАРАН. БУРБАКИза1990 匚

СБОРНИК СТАТЕЙ

Перевод с английскогои французскогопод редакцией

В.А. ВАСИЛЬЕВА

МОСКВА «МИР» 1996

ББК 22.16 + 22.151

Т77

УДК 517 + 514

Труды семинара Н. Бурбаки за 1990 г.: Сб. статей: Пер. Т77 с англ, и франц./Сост. В. А. Васильев,-М.: Мир, 1996- 348 с., ил._

ISBN 5-03-002680-0 (русск.)

Продолжение публикации трудов известного семинара Н. Бурбаки, начатой издательством «Мир» в 1990 г. В очередной выпуск включены доклады, посвященные новейшим достижениям в различных областях математики: инварианты узлов (Атья), группы кос (Картье), гиперболические группы (Гис), сходимость эргодических средних (Тувено), алгебраические кривые Ферми (Петерс). Среди авторов известные специалисты из Франции, Великобритании, Нидерландов.

Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов.

ББК 22.16 + 22.151

Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-тальных исследований согласно проекту 95-01-21064

Издание выпущено в свет при содействии Комитета РФ по печати

ISBN 5-03-002680-0 (русск.)ISBN 5-03-002680-0 (русск.)Редакция литературы по математическим наукам

ISBN 5-03-002680-0 (русск.)

ISBN 5-03-002680-0 (русск.)

© Societe Mathematique de France, 1990 Tous droits reserves

© состав, В. А. Васильев, 1996

© перевод на русский язык, «Мир», 1996

СЕМИНАР Н. БУРБАКИ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»

Настоящим сборником продолжается издание на русском языке трудов семинара Бурбаки (сборники «Труды семинара Н. Бурбаки за 1988 г.» и «Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г.» были выпущены в 1990 г. и 1991 г. соответственно). На этом семинаре уже более 40 лет заслушиваются и обсуждаются все важнейшие достижения и математические идеи последнего времени.

В настоящий сборник включены доклады, сделанные на семинаре в ноябре 1989 г. и в марте - июне 1990 г. Они посвящены новейшим достижениям в различных областях математики: алгебраическая топология -доклад Атьи об инвариантах узлов и доклад Картье о группах кос; комбинаторная теория групп - доклад о гиперболических группах Гиса; эргодическая теория - доклад Тувено о почти сходимости эргодических средних; статистическая физика - доклад Петерса об алгебраических кривых Ферми и т.д.

Пользуясь случаем, хочу выразить благодарность проф. Ж.-М. Кантору (Французское математическое общество) за помощь при подготовке настоящего издания, а также ряду авторов, любезно прочитавших рукописи переводов своих статей и приславших свои замечания.

В. А. Васильев

М. Атья