ПРЕДИСЛОВИЕ

Контактные задачи теории пластин и оболочек возникают при рассмотрении вз а имодействия пластин и оболочек с жесткими и упругими телами (штампами), ребрами жесткости, при взаимном контакте пластин и оболочек. С позиции контактных могут рассматриваться слоистые пластины и оболочки, если вводить реакции взаимодействия между слоями и определять их из условий стыковки слоев.'

Контактные задачи теории пластин и оболочек имеют свою специфику, отличающую их от контактных задач теории упругости. При рассмотрении последних, как правило, трудности1 встречаются на втором этапе ——при выводе и решении уравнений. Что касается самой теории, которая используется при формулировке задачи» она обычно ясна. .

В контактных задачах теории пластин и оболочек уже нетривиальным является вопрос выбора теории, влияющей на конечный результат. Если, например, определяется нормальная реакция между пластиной и жестким телом без острых кромок с позиции теории Кирхгофа, то в составе реакции могут появляться сосредоточенные силы, расположенные по границе зоны контакта. Та же задача, но решаемая на основе теории, учитывающей поперечные сдвиги и не учитывающей поперечное обжатие, не приводит к появлению сосредоточенных сил на границе зоны контакта. Однако нормальная реакция не обращается в.нуль на границе зоны контакта, а может достигать там наибольшего значения. Учет поперечного обжатия пластины позволяет получить решение, обращающееся в нуль на границе зоны контакта. Если область контакта допустимо заменить линией, то теория Кирхгофа может привести к неограниченным реакциям на концах линии.

С указанными некорректностями зачастую приходится мн・ риться по двум основным причинам. Во-первых, всегда предпочтительно выбирать простейший вариант теории, так как это позволяет упростить решение. Во-вторых, напряженно-деформированное состояние пластины или оболочки во многих случаях определяется верно, несмотря на то что реакция определена и не совсем точно. В ряд^ случаев, естественно, требуется исходить из более точных теорий. '

Контактные задачи теории пластин и оболочек в последние го- 3136 * . 3

ды привлекают внимание многих исследователей.' В предлагаемой книге сделана попытка обобщить и систематизировать часть имеющихся в литературе результатов, полученных как авторами, так и другими исследователями.

В книге сделан акцент на анализ различных приближенных моделей, положенных в основу.при решении задач; основное внимание уделено определению реакций взаимодействия, а не напряженно-деформированного состояния пластины или оболочки, так как процесс определения реакций, составляющий суть контактной задачи, является наиболее трудным.

В книге не затронут целый ряд весьма важных задач, которые можно отнести к контактным задачам теории пластин и оболочек. Это прежде всего осесимметричный контакт цилиндрических, сферических и других типов оболочек вращения, задачи контакта для колец и цилиндрических оболочек по всей их длине. Сюда же отно* сится осесимметричный контакт -круглых пластин, если его рассматривать с позиций уточненных теорий. Практически не освещен вопрос о расчете бболочек, подкрепленных продольными ребрами и шпангоутами, а также двухмерными накладками. По указанным задачам имеется обширная литература. К каждой главе написано введение, в котором ^кратко обсуждаются вопросы, изложенные в о аве, а также дан обзор имеющихся, исследований. В обзоре к некоторым главам затронуты не только работы по задачам главы, но и родственные. Это, в частности, относится к гл. 5 и 8*

Глава Г

ПЛАСТИНЫ С РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ.ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА

1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В гл. 1 изложены приближенные способы решения так называемой задачи включения для пластин, подкрепленных ребрами ^есткости. Последние могут быть нагружены на торцах продольными растягивающими или сжимающими силами. Задача состоит в изучении характера распределения напряжений по длине каждого ребра, а также напряжений, которые передаются через ребра пластине. Пластина включается в совместную работу с ребрами. Отсюда идет исторически сложившееся название — «задача включения» или «проблема включения».

Проблема расчета тонкостенных конструкций типа стержней, подкрепленных ребрами жесткости, является достаточно старой. Уже давво Онло замечено» что для стержней гипотеза плоских сечений Бернулли или гипотеза плоского распределения напряжений Навье не всегда справедлива. На этот факт указывал в 1905——1906 гг. С.-П..Тимошенко [14] при исследовании устойчивости двутавровой балки. При действии осевых сил, приложенных к ребрам жесткости, проис* ходит значительная деплаиация сечеинй й*е^жня в окрестности его торцев. Простейшая модель, учитывающая депланацню, по-видимому, стала широко применяться в 30-е годы в связи с бурным развйтием авиации в период внедрения жесткой обшивки крыла и фюзеляжа самолета; в этой модели принимается, что продольные напряжения растяжения-сжатия воспринимают только ребра. Обшивка такие напряжения ие воспринимает, а работает только на сдвиг. Уравие* ■ иие равновесия элемента обшивки между ребрами указывает, иа постоянство касательных напряжений по ширине панели, что н вводится в расчет. Что касается поперечных нормальных деформаций в обшивке, оии считаются равными нулю. Работу обшивки иа растяжение вдоль оси ребер в рамках модели можно учитывать, «присоединив» часть площади ее сечения к площади сечеиия прилегающего ребра. Эти гипотезы использованы при рассмотрении задач данной главы.

С проблемой включения в известной степени связана общая проблема расчета тонкостенных конструкций в условиях стесненного кручения и изгиба. Основополагающие работы в этой области принадлежат С. П. Тимошенко [14]» В. Н. Беляеву [1, 2], В. 3. Власову [3]. Так, В. Н. Беляевым (1934 г.) при решении задачи стесненного кручения балки прямоугольного сечения с жесткими продольными ребрами по углам был предложен метод трех осевых сил [2]. Предполагалось, что в балке имеется небольшое количество поперечных дяафрагм, по которым она разрезалась на отсеки. В пределах каждого отсека касательные напряжения предполагались постоянными. Были предложены также модификации этого метода [6]. •

Проблеме включения посвящен отчет В. Дункаиа [23] (1938 г.), в котором обсуждается задача включения для пластийы с тремя и пятью параллельными ребрами, а также для пластины с тремя ребрами, усиленной на торце абсолютно жестким поперечным элементом. Отмечается, что добавление по-перечиого элемента практически не изменяет характер усилий в продольных ребрах. Плоские панели с ребрами рассмотрены в работе П. Куна [27] (1937 г.). Эти результаты объединены в его кциге [28], где, в частности, рассмотрены пластины с одним, двумя и тремя ребрами, дан приближенный прием нсследоваиия пластин со многими ребрами, указан приближенный способ учета деформации поперечного обжатия пластины.

Значительное внимание решению задач включения иа основе йзложенноЙ выше модели уделено в работах Ю. Г. Одииокова. Так в 1946 г. вышла работа 画

в которой дан анализ состояния проблемы включения; в ней отмечается, что теория тонкостенных стержней, развитая С. П. Тимошенко [14], В. 3. Власовым [3] и А. А. Уманским [15], не позволяет достаточно аккуратно решить задачу включения, так как в этих теориях не учитывается деформация сдвига в обшивке. В работе [8] даиа формулировка задачи включения для тонкостенного стержня, который может быть подкреплен продольными ребрами и иметь поперечные диафрагмы. В качестве основных неизвестных приняты относительные продольные смещения точек сечеиия стержня в месте крепления ребер (искажения). Через искажения определяются все искомые величины ——иапряженяя и деформации. Разрешающая система уравнений для искажений является системой линейных дифференциальных уравнений второго порядка типа

а "к +d/а "к +d/(2 = 1, 2,…，н),(2 = 1, 2,…，н),(Ы)(Ы)

а "к +d/

а "к +d/

(2 = 1, 2,…，н),

(2 = 1, 2,…，н),

(Ы)

(Ы)

где п ——число ребер; z ——продольная координата; а^ = а^, di — постоянные коэффициенты; fi — искажения. В. работе показано, что х ар а ктернстнческое урав* нение, соответствующее уравнению (1.1), имеет шестикратный нулевой корень. Вторая часть исследования [8] посвящена решению задач частного вида для коробчатых балок прямоугольного и кругового сечения. В статье [7] тем же методом излагается расчет кручения двухлоижероиного крыла. В работе [9] выведем иа разрешающая система уравнении для расчета слабо конических тоикостеяных конструкций, т. е: таких конических конструкций, для которых можно пренебречь квадратом угла между продольны-ми элементами и продольной осью. Эта система имеет переменные коэффициенты. В статье [10] разработан способ преобразования системы дифференциальных уравнений типа (Д^ aki — aik — константы; 屮i — известная функция)

dmxi

^^ 乙论冲+%(£)」"=1, 2,…,几)(1*2)

dmy_ dimdmy_ dimк системе независимых уравнений вида

dmy_ dim

dmy_ dim

： = xg +屮⑴,，丄％@&^«eJl№№o 4-

где x=xi, «2>...»«п ——корни характеристического уравнения для системы (1,2). Рассмотрены случаи различных и кратных корней х. Работа [11] является развитием [8]. В ней отдельно выделяется элементарное балочное решение для тонкостенного стержня. В работе [13] рассмотрен тонкостенный стержень типа круговой оболочки с продольными ребрами. Развитием статьи [8] с точки зрения упрощения решения в рамках тех же гипотез ивляется и работа [12]. Упрощение достигается заменой нормальных координат системой аппроксимирующих их функций. *

Из наиболее ранних следует упомянуть также исследование В. Гуда [24] (1946 г：), в которой рассмотрена полубесконечная полоса х^О, —GWgWR усиленная по всей длине боковых кромок у— ±h лонжеронами, а между лонжеронами конечным числом равноотстоящих друг от друга бесконечно длинных стрингеров. На торце полосы к лонжеронам приложены две одинаковые растягивающие силы, которые уравновешиваются усилиями, приложенными к лонжеронам и стрингерам на бесконечно удаленном конце. Решение получено для произвольного числа стрингеров.

Большое число примеров определения так называемых вторичных напряжений, вызраниых стеснением при кручении, содержится в книгах А. Ф. Феофанова (17, 18, 19]. Там же имеются примеры непосредственно поставленных и решенных задач включения. При выводе разрешающих уравнений широко используется энергетический метод. Аналогичные решения можно найти в книге С. Н. Кана и Я. Г. Паиовко [4] (1949 г.)., где, в частности, рассмотрены пластины с четырьмя и шестью ребрами. Задачи включения обсуждаются также в книге Г. Хертелля

. Задачи включения для Цилиндрической оболочки в рамках описанной модели решены также в работах [30, 20, 21], для плоских панелей в [28, 34].

Следует отметить, что приближенный метод расчета подкрепленных панелей, основанный иа описанных выше допущениях, популярен среди инженеров до сего времени в силу простоты анализа и корректности результатов. Получаемые при этом данные правильно отражают картину напряженио-деформироваииого состояния панелей, за исключением торцевых и угловых зои панелей, в которых тре- ■буются более точные модели. Более точные решения не должны быть конкурентами приближенным, они могут только дополнить их.

Остановимся на кратном содержании главы.

В разд. 1.2 описаны исходные допущения модели и дай а постановка задачи. В разд. 1,3 дан вывод основных уравнений, исходя из принципа возможных перемещений Лагранжа, а также сформулированы граничные условия задачи. Указан способ преобразования исходной системы уравнений к разрешающей системе, -основанный на введении функций напряжении с помощью соотношения (1.21). Такой анализ несколько отличается, судя по литературе, от наиболее расПрост- раиениых подходов и, в частности, от подхода, изложенного в статье [8]. В разд. 1.4 решается задача для пластины с двумя ребрами и различными граничными условиями. Даны численные расчеты, В разд. 1.5 содержится решение системы разрешающих уравнений для случая, когда число ребер произвольное. Использован известный способ решения системы обыкновенных дифференци альиых уравнений, приспособленный к специфике данной системы. В разд. 1.6 рассмотрены частные случаи .пластин с пятью и шестью ребрами. Приведены подробные чис* леиные расчеты и дан анализ влияния параметров пластины и ребер иа характер яапряжеиий. В разд. 1.7 рассмотрена задача оптимального подкрепления пластиды произвольным числом ребер переменного сечеиия. Закон изменения сечеиия ребер по их длине определяется из условия, что напряжения в ребрах ие меняют* ©я по длине каждого ребра. В разд. 1.8 и 1.9 описан метод конечных разностей для приближенного расчета напряжений в пластине с ребрами, сечение которых лроизвольно изменяется по длине. Точность метода иллюстрируется на примере, В последнем разделе излагается способ приближенного учета поперечной сжимаемости пластины между ребрами, который улучшает картину напряжений в окрестности угловых точек пластины.

Результаты, представленные в первой главе, могут служить полезным пособием для специалистов, связанных с расчетами тонкостенных конструкций, а мио- гочислеииые результаты расчетов могут быть непосредственно использованы при проектировании.'

12 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ИСХОДНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ

Рассмотрим панель, представленную на рис. 1.1. Она состоит из двух стенок или пластин, имеющих достаточно малую постоянную толщину. Пластины соединены между собой при помощи продольных ребер жесткости /, 2, 3 (или стрингеров). Можно рассматривать панель так же как одну пластину, подкрепленную тремя ребрами.

Ниже везде предполагается, что ребра присоединены к пластине по всей длПне (они приварены либо припаяны) и работают только на растяж- ние или сжатие.»Пластина не прогибается и деформируется только в своей плоскости, сопротивляясь растяжению, сж&тию и сдвигу. Будем предполагать, что стержни и пластин'а выполнены из упругого материала.

Рис. 1.1. Панель из двух пластин, подкрепленных тремя ребрами. Левые концы ребер нагружены продольными силами

Рис. 1.2. Схема деформации элемента пластины (и и v — перемещения точки А пластины вдоль оси х и г/ соответственно)

Нагрузим ребра продольными концевыми силами, как показано -на рис. 1.1, и будем для простоты считать, что их площадь поперечного сечения не меняется по длине. Напряжения в ребрах будут, уменьшаться по 'мере удаления от нагруженных концов, так как нагрузку, кроме ребер, будет воспринимать пластина. Происходит частичная передача усилий от ребер к пластине. Такое явление называют иногда включением стенок в работу. Задача заключается в исследовании распределения напряжении в пластине и ребрах.

Рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента ABCD пластины (рис. 1.2) со сторонами AD = BC=dx, AB = CD=dy. В общем случае после деформации он займет положение AiB\C\D\. Перемещение точки Л в направлении оси х#(параллельной ребрам)' обоз-начим через и, в направлении оси у — через 5 Перемещение точки D в направлении 尤 и у будет соответственно

v-Y—dx.

Относительная продольная деформация элемента (удлинение

отрезка AD)

Поворот отрезка AD

ди

dx - дх

(1-3)

00

и + -— dx — о

Yi ==—.

dx дх

Аналогично, относительная поперечная деформация (удлиие-

нне отрезка АВ) записывается в виде dv

£产而.

0.4)

Рис. 1.3. Положительное направление нормальных напряжений и*, ov н касательных напряжений Тху—тУа=т» приложенных к элементу пластины

Рис. 1.4. Деформация элемента пластины только от продольных напряжений а* (V1 ——коэффициент Пуассона, характеризующий отношение деформаций 争у/§* взятое со знаком минус).

Угол поворота отрезка АВ составляет

Полная деформация сдвига элемента ABCD (или относительный угол перекашивания его)

' Y = Yi + Y2=^■+(1.5) . - ox

Напряжения, действующие на грани элемента ABCD, показаны на рис 1.3, где 6工,о^ — нормальные напряжения, ^=^=^— касательные напряжения.

Связь между напряжениями и деформациями установим, считая, что пластина упруга и обладает ортотропными свойствами. Пусть £i,氏一соответственно модуль упругости пластины в продольном (по оси х) и поперечном (по оси у) направлениях; vi — коэффициент Пуассона, равный взятому с обратным знаком отношению относительной поперечной деформации 也 к относительной продольной ех при действии только напряжения 6工；va= —&闻— коэффициент. Пуассона при действии только напряжения а?. Тогда (рис. 1.4) при растяжении элемента пластины напряжениями % имеем

队=-^-? 福=-Vi --.

При растяжении напряжениями е丿найдем

，Су ” 《у

c2二2 一 _

В общем случае, когда。工吸0, ^=#0, относительные деформации равны

Разрешая эти соотношения отаосительно напряжений ах и ау и

присоединяя зависимость между касательными напряжениями t и деформациями относительного сдвига у, получим известные соотношения закона Гука '

%=丁在1— 值+w e)a = 丁竺一(e + % j), t =0Y， (1. 6)

где G — модуль упругости второго рода или модуль сдвига материала пластины.

Приближенные решения, оцисанные в настоящей главе, основаны на упрощенных соотношениях, полученных из соотношений (1.3) — (1.6) путем введения следующих ниже гипотез.

Пластина не деформируется в поперечном направлении (в направлении оси у), нормальном к оси' ребер (см. рис. 1.1), инвг- ми словами ,

У ду •

Эта гипотеза дополняется предположением, что ребра не искривляются, вследствие чего имеет место тождество и=0.

Деформация сдвига пластины у не меняется по шиирне на участке между двумя соседними ребрами и зависит только от продольной координаты х, т. е. у=у(х)

Продольная жесткость пластины равна нулю:

£1 = 0.

Ребра присоединены к пластине по своим центральным линиям.

На основе гипотез Г и 2 соотношение (1.5) будет иметь вид

Y(x) = Y2(x)=告'ду

откуда следует линейный закон изменения продольных перемещений по ширине пластины между соседними ребрами.

Из гипотезы 1 твытекает также, что коэффициент Пуассона vi =——Ey/s3c = 0 и правая часть второй формулы (1.6) обратится в нуль. Тогда получим, что поперечное нормальное напряжение равно нулю 0^=0, вследствие чего нарушится условие равновесия пластины. По этой причине гипотеза 1 часто отождествляется с гипотезой предположением о бесконечном значении модуля упругости 七2 (七2=8), и в этом случае напряжение о^ становится во второй формуле (1.6) неопределенным. В случае надобности & может быть найдено из уравнения равновесия пластины. .

Из гйпотезы 3 следует тождество 0*=0.

Характер перемещений в сечении панели %=的，соответствующий введенным гипотезам, показан на рис. 1.5, где иь 〃2 — соответственно продольные перемещения первого и второго ребра; у — деформация сдвига. .

Достаточно строго обосновать введенные гипотезы и описать область и^с применимости можно только на основе более точных решений, построению которых посвящены следующие главы. Поэто- 10 , -

Рис. 1.5. Деформация сдвига ? сечеиия х=х0 пане-ли с ребрами / и 2 и ее связь с продольными сме-щениями 〃i и «2 ребер. Размеры сечеиия ребер неучитываются

му пока ограничимся общими замечаниями. Для напряжений в пластине расчет на основе введенных гипбтез дает лишь q)yбое приближение, особенно в зоне приложения сил. С другой стороны, характер распределения нормальных напряжений в ребрах будет найден с приемлемой для практики точностью. Подходящие результаты можно получить и для касательных напряжений в зоне пластины, прилегающей к. ребрам, за исключением угловых точек. Результаты расчета будут тем точнее, чем чаще расположены ребра и чем выше их жесткость по отношению к жесткости пластины.

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Используем введенные в разд. 1.2 гипотезы для вывода основных соотлошений, необходимых для исследования напряжений и перемещений в подкрепленной пластине, показанной на рис. 1.6.

Пластина имеет и участков и л+ 1 ребро. Участок пластины с номером / расположен между j-м и (/ + 1)-м ребром. Обозначим через % и 力j соответственно ширину и толщину /-го'участка пластины; через Е力 尸：一соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения ./-го ребра; через Gj — модуль сдвига /-го участка пластины. Будем, если специально не оговорено, считать что £, и Fj——переменные по длине ребра величины; Ь^ 九力 Gj——постоянные. К левым концам ребер приложены произвольные про-

Рис. 1.6. Панель, подкрепленная n+1 ребром. Левые торцы ребер нагружены продольными силами, правый торец панели защемлен .Рис. 1.6. Панель, подкрепленная n+1 ребром. Левые торцы ребер нагружены продольными силами, правый торец панели защемлен .Рис. 1.7. Панель, пбдкреплениая 1 ребром. Левые и правые торцы ребер нагружены продольными силамиРис. 1.7. Панель, пбдкреплениая 1 ребром. Левые и правые торцы ребер нагружены продольными силами

Рис. 1.6. Панель, подкрепленная n+1 ребром. Левые торцы ребер нагружены продольными силами, правый торец панели защемлен .

Рис. 1.6. Панель, подкрепленная n+1 ребром. Левые торцы ребер нагружены продольными силами, правый торец панели защемлен .

Рис. 1.7. Панель, пбдкреплениая 1 ребром. Левые и правые торцы ребер нагружены продольными силами

Рис. 1.7. Панель, пбдкреплениая 1 ребром. Левые и правые торцы ребер нагружены продольными силами

Рис. 1.8. Схема усилий, приложенных к ,；-му участку панели и прилегающих к нему ребер ，Рис. 1.8. Схема усилий, приложенных к ,；-му участку панели и прилегающих к нему ребер ，дольные силы Pi, Р2,・・• …,Pn+ь Правый торец панели на рис. 1.6 показан защемленным. На рис. 1.7 показана аналогичная панель, у которой правые торцы ребер нагружены силами. Формулировку граничных условий задачи для этих случаев да- ди*м ниже вариационным путем.

Рис. 1.8. Схема усилий, приложенных к ,；-му участку панели и прилегающих к нему ребер ，

Рис. 1.8. Схема усилий, приложенных к ,；-му участку панели и прилегающих к нему ребер ，

Рис. 1.9. Деформация сдвига /-го участка панели 丫寸 и ее связь с продольными пере- • мещениями прилегающих ребер 以力 u^iРис. 1.9. Деформация сдвига /-го участка панели 丫寸 и ее связь с продольными пере- • мещениями прилегающих ребер 以力 u^iУсилия, действующие в 'отсеке j-го участка, расположенном между сече* ниям х и x+dx, показаны на рис. 1.8, где N$ — про* дольные усилия в /-м* ребре (положительные, если

Рис. 1.9. Деформация сдвига /-го участка панели 丫寸 и ее связь с продольными пере- • мещениями прилегающих ребер 以力 u^i

Рис. 1.9. Деформация сдвига /-го участка панели 丫寸 и ее связь с продольными пере- • мещениями прилегающих ребер 以力 u^i

ребро растянуто), Sj — погонные касательмые усилия в пластине* Пусть Mj (х), щ+\ (х) — продольные перемещения поперечных сечений /-го и / + 1-го ребра с координатой х, равные (в силу жесткого присоединения ребер) перемещениям прилегающих к ребрам кромок пластины.

Согласно первой и второй гипотезам разд. 1.2 деформация сдвига у^ /-го участка пластины не меняется по ширине участка и име* ет вид•

Интегрируя эту формулу по ширине /-го участка пластины, получим「

Y(力=胃二之 ”」(1.7)

где bj ——ширина /-го участка пластины. Геометр-ическая иллюстрация этой формулы дана на рис.Л.9.*

Соотношения закона Гука с учетом формулы (1.7) будут иметь вид-\

Sj=G? м—(/=1,2,/г),(1. 8

'、№尸E% 尸£严欝，(1-9)

где Ej = duj/dx — продольная деформация /-го ребра.

Для получения уравнений равновесия и услрвий на концах ребер используем принцип возможных перемещений Лагранжа, согласно которому сумма работ всех внешних и внутренних сил пане- 12'•

ли на возможных перемещениях в положении равновесия равна нулю. Работа внутренних сил равна (^-вУ), где 6U — вариация потенциальной энч)гии панели. Работу внешних сил обозначим qe* рез 6А・ Согласно принципу возможных перемещений

MI=3U-34=0・(L10)

Вычислим 64 и 6。・ Для панели, показанной на рис. 1.6.

л+1•

за =—£ p^UjiO),

где биДО) ——вариации перемещений левых концов ребер, положи* тельное направление которых совпадает с направлением оси х.

Работа внутренних сил состоит только из-работы усилий S，и* Nj・ Действительно, нормальные поперечные напряжения в пластине работы не производят, так как панель в силу первой гипотезы разд. 1.2 нё деформируется в поперечном направлении. Работа нормальных продольных напряжений ох в пластине также равна нулю, так как 。工=0 согласно третьей гипотезе разд. 1.2. Значит.

"л ^7+1»+1]

6。=/ Е ( ^y^y+^N^eAdx,

、6 力31 J

где бу； —вариация деформации сдвига (1.7); 6gj — вариация про дольной деформации 介fb ребра..

Поперечная сила в пластине Sj и угол сдвига 丫)в силу формул

и (1.8) не зависят от у, поэтому,

『S/ 力 dg=S/ y『％=S, (3勺 *1 — b勺).

Далее…

\ N* qdx=、N卢("^0 dx= \ N『言(3勺)dx= 0.о0

Подставим теперь вычисленные значения интегралов в форму* лу для 6U, потом значения 6U и 64 в уравнение (1.10). Объединяя в полученном уравнении члены при 6〃力 найдем .

I 吃+l dN'«+1

л+1

+ e[修一m(0)]6 勺(0) = 0,(1.П)

Где "j(O) и Nj(/) — продольные усилия /-го ребра соответственно на левом (%=6) и правом (х=/) конце, щ(0), щ(1) —соответственно продольные перемещения левого и правого концов /-го ребра. В подынтегральной сумме (1.11) S° = 0 и Sn+i = 0, так как нулевого и п+ 1-го участков пластины нет (см. рис. 1.6).

Так как вариации 6〃> в подынтегральном выражении (1.11) произвольные, то получим

笋+$=0, ' dx

.• 当+ S/ — Sr = 0 (/=2, 3,...,初 (1. 12) 色&— S“=0.

dx %

Рассмотрим внеинтегральные слагаемые в уравнении (1.11). На левом торце панели к ребрам приложены силы Р/ (см. ри5? 1.6), поэтому вариации 6〃；(0) произвольны. Значит необходимо, чтобы ， 修-⑨(0)二。(/=1, 2,…,/? + 1). (1. 13)

На правом торце панели, показанной на рис. 1.6, продольные перемещения ребер

辽八/) = 0 (/ = 1, 2,…，/г+1). (1.14)

Значит 6〃j(/)=0 и вариационное уравнение (1.11) выполняется. Вместо условий на конце х=1 (1.14) можно задать более общие, а именно: “

・〃“/) = % (/=1,2…，/г + 1), (1.15) где 今一заданные продольные перемещения правых концов ребер. При этом опять имеем 6〃j(/)=0 и вариационное уравнение (1.11) будет выполнено. Для панели, показанной на рис. 1.7, концевые условия на правом торце аналогичны концевым условиям (1.13)

冃一例(2)=0 (/=1, 2,…，z?+l), (1. 16) где Р/ — внешние продольные силы, приложенные к правым торцам ребер. '

Таким образом, получены уравнения равновесия ребер (1.12), естественные концевые условия (1.13) для левого торца панели и одна из групп концевых условий (1.14), (1.15) или (1.16) для правого. Граничные условия на торцах для участков пластины не выполняются. Например, Sj#=O на левом торце пластины, что является следствием принятых гипотез.

Уравнения равновесия (1.12) содержат 2九+1 неизвестное, число же уравнений равно п+1. Недостающие уравнения получим, исключив продольные перемещения ребер и； из формул (1.8) с помощью (1.9). Для этого нужно продифференцировать по х формулы (1.8) и подставить du^fdx из формул (1.9). В итоге получим

= _ I - 尸产)(/ = 1, 2,z?)・ (1・ 17)

Система соотношений (1.17) представляет собой условия неразрывности деформаций подкрепленной- панели, так как устанавливает связь между продольными усилиями М в ребрах и кас* тельными усилиями Sj в элементах пластины из условия, что продольные перемещения ребер и прилегающих к ним кромок пластины одинаковы. (Из этого условия выведено соотношение 1.8) .

Система уравнений равновесия (1.12), соотношений (I.I7) и граничных условий достаточна для определения напряжений и пе* ремещений панели.

'Число полученных концевых условий равно 2(л+1), однако для определения напряжений достаточно выполнить 2n+1 условие.. Докажем это, например, для случая, когда заданы концевые условия (1.13) и (1.16). Допустим, что нам удалось найти решение системы уравнений (Г.12), (1.17) для продольных усилий "卜 N% … ・・.,力п в ребрах, удовлетворяющее 2л условиям на концах (1.13) и (1.16). Нужно найти продольное усилие Nn+i в ребре, удовлетворяющее последним двум концевым условиям (1.13) и (1.16) (при /=П+ 1).

Складывая все уравнения равновесия (I.I2), придем к уравне* нию”

его решение имеет вид、

.N〃+i(x) + E "/(%) = %(1.18)

где с ——произвольная постоянная, "；(%) при /= 1, 2,..., л — известные функции (по условию).,

■ Полагая в формуле (1.18) %=0 и учитывая, что Nj (0) =Pj для /=1, 2,п, получим

-/=1

Чтобы выполнить концевое условие:

нужно положить постоянную с равной

Подставляя это значение постоянной в формулу (1.18), запишем искомое продольное усилие ^+i (х) в ребре в виде

一 ""+1 (*) = %*+ e[т一忆⑴].(1. 19)

7=1

二 Вычисленное таким путем усилие автоматически удовлетворяет последнему нерассмотренному концевому условию (условию fl.16) при /=л+1). Действительно, вследствие выполнения уравнения равновесия внешних сил (см. рис. 1.7)

л+1 л +1

e"2冃，、

формулу -(1.19) можно переписать в виде

Полагая здесь %=/ и учитывая, что по условию P/=Nj(l) для /='1, 2,л, имеем

N Q\(l) = Р*т、 что н требовалось доказать.

Докажем • теперь, что 2я+1 концевых условий ^достаточно для определения продольных усилий Nj (/ = 1, 2,...»п+1) в ребрах и в случае, если на правом торце-заданы продольные перемещения R1.15) {при А/ = 0 получим условия (1.14)]. Полагая в формулах [(1.8) x=i и лодставляя вместо 〃,(/) соответствующее значение на конце х—1 (1.15), получим значение для S/ при х=1

S/Q)=吋厶川—A『) = S7・

Устремляя теперь в ур авнениях (1.12) % к / н подставляя Sj(/)=S/, установим концевое условие для продольных сил "； в ребрах при х = /, эквивалентное концевым условиям (L15) ”' ■^~=—S；, ^^=S；_i —S；(j=l; 2, 3,..., /г),

dxdx

叶 1 =S； при x=L(1. 20)

dx

Пусть, как и выше, определены усилия N^ №、…N^, удовлетворяющие первым м условиям 《1.13) и первым м условиям (1.20). Если в качестве Nn+\ взять решение (1.19), то будет удовлетворено последнее концевое условие (1.13) для любого Рп+ь Последнее концевое условие (1.20) удовлетворяется при этом автоматически. Действительно, дифференцируя формулу (1.19), имеем

dN叶 К*) 一 —勺 dNj(x)dxjM d*

Полагая x=l и используя первые л условий на концах (1.20) (которые должны быть выполнены), найдем

壮^^丄|= —(—Si+Si — Sz+S； —…+S；t—S；)=S；・

Это соответствует последнему концевому условию (1.20)./ ；

16

Из сказанного следует, что, во-первых, общий порядок системы уравнений (1.12), (1.17) должен быть равен 2n+1, т. е. числу концевых условий для усилий. Во-вторых^ если определены усилия "1, N2、…,Ng удовлетворяющие концевым условиям, то продольное усилие Мп+1 в ребре вычисляется по формуле (1.19). При этом все концевые условия будут выполнены.'"

При фактическом решении системы уравнений (1.12), (Г.17) ее следует упростить одним из следующих ниже способов.

Исключить усилия S), продифференцировав систему (1.12) и подставив dSj/dx из соотношений (1.17).

Когда жесткость ребер не меняется по длине, то удобно также исключить продольное усилие 2力 продифференцировав соотношение (1.17) и подставив dNj/dx из уравнений (1.12).. При этом Получим систему для усилий Sj.

Выразить, усилия N§ и S)через функции напряжения ①j так, чтобы системе уравнений равновесия (1.12) удовлетворить при любых Фу. Подставляя после этого усилия ^ и Sj в условия совместности деформаций (1.17), получим систему уравнений для определения функций Фу. Остановимся на этом способе подробнее.

ПоложимS/ = (/ = 1, 2,..., /г),(1.21)

dx

где ①j ——произвольные функции напряжений..'

Подставляя касательные усилия Sj из формул (1.21) в уравнения равновесия (1.12), общее решение последних относительно продольных усилий ^j получим в виде

М=—6+М,—

Nj=—马+ %-』М (丿=2, 3,…，/г),(1.22)

М+—M+i,

где N?——произвольные постоянные..

Итак, решение системы (1.12) представлено в в'иде суммы двух решений:

1. Решения, выраженного через функции напряжений ф； формулами (1.21) и (1.22) (при ^°==0).

'2. Решения Л^=Л^。，М/=0.

Каждое из этих решений в отдельности в силу линейности системы уравнений (1.12), (1.17) должно удовлетворять условиям совместности деформаций (1.17). Подставляя первое решение в соотношения (1.17), придем ,к системе уравнений для определения функций Ф；

d2力/ =6力 / ф,—①"Jф『т —ф/、

d壮 % \ E"+1ь以+1^Л /

Подставляя решение 华="丹 Sj=O в соотношения (1.17), найдем_.

N储目+1尸J+1N储目+1尸J+1呐呐=0 (/ = 1, 2,..., /г).=0 (/ = 1, 2,..., /г).(1-24)(1-24)

N储

目+1尸J+1

N储

目+1尸J+1

呐

呐

=0 (/ = 1, 2,..., /г).

=0 (/ = 1, 2,..., /г).

(1-24)

(1-24)

Так как y}°=const, то система уравнений (1.24) может быть разрешена относительно N)0 только в случае, если

目+1尸j+i乞円目+1尸j+i乞円=const.=const.

目+1尸j+i乞円

目+1尸j+i乞円

=const.

=const.

Ограничимся случаем, когда жесткость ребер не меняется по длине (£^ = const). В этом случае решение системы (1.24) имеет вид .

(1.25)(1.25)N： = eEjFj (j=l, 2,...,«+l),

(1.25)

(1.25)

где £ — произвольная постоянная.

Решение (1.25) дает усилия в ребрах при растяжении панели как стержня, при этом 名 является продольной деформавдей панели..

Сформулируем концевые условия для функций.напряжений ①加 Проанализируем сначала статические условия (1.13) для левого конца панелц. Чтобы найти концевые условия для Ф；, нужна подставить продольные усилия N§ из формул (1.22), записанных с учетом (1.25) в условия (1.13). После этого из первого полученного соотношения найти Фь из второго — Фг и так далее, включая п1. В результате будем иметь

<S)j=z^EsFs — 2^j при x=0, j=l, 2,…，/г.(1.26)

5—1$=-1

Допустим, что в процессе решения задачи эти концевые условия выполнены. Последнее концевое условие (1.13), которое будет иметь вид■

P“+i = % + e£“+L“+i при Х=0, выполнено при этом, вообще говоря, не будет, так как функции Фп при %=0 определены вполне. Чтобы удовлетворить этому соотношению, нужно подставить ①冗 из (1.26) и найти постоянную 8, которая будет равна.

л 4-1以+ 1

。Н»/*同(1-27)

5=15=1

Статическим концевым условиям (1.16) на правом торце панели соответствуют условия для ①力 полученные из (1.26) и (1.27), заменой Ps на PJ (см. рис. 1.6), Постоянная е при этом не изменится, так как в силу равновёсия панели в целом

e2=e4 5=15=1e2=e4 5=15=1л + 1л 4-1.

e2=e4 5=15=1

e2=e4 5=15=1

Если на правом конце ребер продольные перемещения равны нулю, то согласно сказанному выше (формулы (1.20) при /=0), должно быть при %=/

dN i

-—~=0 (/ = 1, 2,…，也+1).

(1-28)(1-28)Подставляя сюда Nj из (1.22), найдем

(1-28)

(1-28)

=0 при(/ = 1, 2,..., /г). dx

Если функции напряжений ①：определены, то усилия N± вычисляются по формулам (1.22), которые с учетом формул (1.25) будут иметь вид■.

n1=一少1+Е上1尸1，

n,=一a+②一1 + e上产/(/=2, з,…,/Х),(1.29)

N/i+1 = % + e£/i+1F/i+1‘

где постоянная е определена формулой (1.27).

' Касательные усилия S> определяются по формулам (1.21). Продольные перемещения ребер щ можно найти, интегрируя формулы (1.9), либо из формул (1.8). В первом случае продольные переме-

щения в ребрах равны

Uj=jdx^Ujil) (/=1, 2,…,/г十 1).(1. 30)

Если продольные перемещения правых концов ребер 〃；(/) неизвестны, то удобнее пользоваться формулами (1.8), которые опре

配卄i(%)=配1 (%) +配卄i(%)=配1 (%) +(/ = 1, 2,...,/г + 1).(/ = 1, 2,...,/г + 1).деляют продольные перемещения с точностью до перемещения па? нели как жесткого целого. Действительно, из формул (1.8) найдем

配卄i(%)=配1 (%) +

配卄i(%)=配1 (%) +

(/ = 1, 2,...,/г + 1).

(/ = 1, 2,...,/г + 1).

(1-31)

Осталось не определено смещение первого ребра. Для его нахождения следует воспользоваться формулой (1.30). При этом 〃i(/) можно взять равным нулю, так как это в данном случае продольное перемещение панели как твердого тела.

ПЛАСТИНА, ПОДКРЕПЛЕННАЯ ДВУМЯ РЕБРАМИПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

Исследуем характер распределения нормальных усилий в ребрах и касательных усилий в пластине на примере подкрепленной панели, показанной на рис. 1.10, используя соотношения предыдущего раздела, полученные на основе гипотез раздела 1.2.

Рис. 1.10. Панель, подкрепленная двумя ребрами постряниого сечения, затем* леиная на правом торце (Л н 户2 一 площади сечения ребер).

Рис. 1.11. Положительное направление усилий, приложенных к участку панели 匕 ребрамн (JVi, ^2 — растягивающие усилия в ребрах, Si — поперечная сила)

Рис. 1.12. Схема деформации поперечного сечеиия панели, у-деформация сдви-. га пластины (〃i н «2 -*- продольные смещения ребер):

/, 2—ребра

Пластина имеет всего один участок («=1) и уравнения равновесия ребер (1.12) будут.

些+&=0,丝一Si = 0；(1.32)

dxdx-

где M, ^2, Si ——соответственно продольные усилия в первом и втором ребре и касательное усилие в пластине. Положительное направление этих усилий показано на рис. 1.11.

Усилия "1, ^2> Si связаны с продольными перемещениями «ь 以2 ребер J н 2 (см. рис. 1.10) формулами (1.12) и (1.13), которые запишем в виде

$=芈网一生), N、 = E、F忆=修尸2学’(L33) b .dxdx

где G,瓦 b ——соответственно модуль сдвига, толщина и ширина пластины; Е力 尸> ——модуль упругости и площадь поперечного сечения j-го ребра (/=.1, 2). Продольные перемещения ребер 〃卜以2 показаны на рис. 1.12.

Условие яеразрыв'ности деформаций пластины и ребер (1.17) будет・

dx Ь 、£2尸 2 / 尸"I /

Oso получается путем исключения продольных перемещений ребер 〃i и 以2 из первой и второй формул (1.33).

Условия на концах (1.13) и (1.14) таковы (см. рис. 1,10)

M = R, Nz=0 при * = 0(] 35)

〃i =我2=0 при *=厶

• Условия при х=/, если их выразить в продольных усилиях N» и 儿2, будут иметь вид (1.20) или в рассматриваемом случае

3=些=0 прн х=/.(1.36)

Как было сказано в разд. 1.3, условия (1.36) получим, если подставить Si из формулы (1.33) в уравнения (1.32), затем вместо 〃】 и ①2 ввести их концевые значения (нули) и перейти в уравнениях (1.32) к пределу х = /.

Системы уравнений (1.32)——(1.36) достаточно для решения задачи. '

Исключим из первого уравнения (1.32) усилие Si с помощь。 соотношения (1.34) (первый способ решения, описанный в разд. 1.3). В результате получим '

/М、Gh ( N2 N* )=0/М、Gh ( N2 N* )=0(1.37)(1.37)

/М、Gh ( N2 N* )=0

/М、Gh ( N2 N* )=0

(1.37)

(1.37)

В качестве второго уравнения можно взять второе уравнение (1.32), исключив из него Si с помощью соотношения (1.34). Однако удобнее исключить из уравнения (Г.37) продольное усилие с помощью формулы •

которая представляет собой частный случай* выражения (1.19) для рассматриваемрй панели (см. рис. 1.10), отсеченного плоскостью^ параллельной оси у. *

Исключая № с помощью формулы (1.38), вместо (1.37) получим дифференциальное уравнение относительно продольного усилия в первом ребре ,

图L TN尸一、 (1.39>

me "=*(肃+*)•..0。40)

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1.39) равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного. Оно_имеет вид

N] = P/i + ciChAx + c2shXx, (1.41)

причемпричемЕ1/+ 耳#2Е1/+ 耳#2(1.42)(1.42)

причем

причем

Е1/+ 耳#2

Е1/+ 耳#2

(1.42)

(1.42)

где РцЛ1 — частное решение неоднородного уравнения;仃，& — произвольные по€тоянные общего решения однородного уравнения> определяемые из концевых условий (1.35) и .(1.36) для N\. Удовлетворив этим условиям, найдем постоянные интегрирования ,

С] = Р](1 —初，с?=— R (1 —々J th X/.

Подставляя значения Ci, С2 в (:1.41), получим выражение для продольного усилия в нервом ребре

m=?е + 然?。斗 (1-43)

Продольное усилие № во втором ребре найдем из соотношения (1.38),. заменив М с помошью формулы (1.43), тогда

ЗдесьЗдесьchk(Z —х)chk(Z —х)々尸1 +£2s2々尸1 +£2s2(1*44)(L45)(1*44)(L45)

Здесь

Здесь

chk(Z —х)

chk(Z —х)

々尸1 +£2s2

々尸1 +£2s2

(1*44)

(L45)

(1*44)

(L45)

Продольные усилия N2 во втором ребре, вычисленные по формуле (1.44), удовлетворяют концевым условиям (1.35) и (1.36), так как выражение (1.38), из которого получена зависимость (1.44), гарантирует выполнение указанных условий. Это объясняется тем, что формула (1.19) (частным случаем которой является формула (1.38)) найдена с учетом концевых условий для продольного усилия Nn+k

Касательные усилия S】определим, подставив продольное усилие М из формулы (1.43) в первое уравнение (1.32). В результате имеем '

Si = R^3Si = R^3FshM/ —*)ch入ZFshM/ —*)ch入Z(1.46)(1.46)

Si = R^3

Si = R^3

FshM/ —*)ch入Z

FshM/ —*)ch入Z

(1.46)

(1.46)

GhGhy/尸竭户I у瓦万二或"y/尸竭户I у瓦万二或"

Gh

Gh

y/尸竭户I у瓦万二或"

y/尸竭户I у瓦万二或"

где

Продольные перемещения поперечных сечений ребер найдем, подставляя продольные усилия N、и N2 из (1.43) и (1.44) в формулы (1,33) и интегрируя последние с учетом условий на. концах 仅i = 〃2=0 при %=/)

й _' Р\1Г ]” I 々& sh“Z —*)]

1 — — EF1 + 磁ь2 [J

〃 =[1：_ _一 一L 亜(£^1| ・(1. 47)

• EiFx + £2^2 L 2 v chM 」''

Множители, стоящие перед квадратными скобками в формулах (1.47), представляют собой перемещение левого торда панели, деформирующейся как стержень, что имеет место, когда модуль сдвига G=8.

Если панель бесконечно длинная (/=оо), то полученные формулы упрощаются и искомые усилия имеют вид.

+察 e-吋，

自(l — eW),(1.48)

&=Р/зе*

Продольные перемещения при этом, как видно из (1.47), обращаются в бесконечность.

Из выражений (1.43), (1.44) и (1.46) для панели конечной длины, а также из представлений (1.48) для бесконечно длинной панели следует, что степень неравномерности распределения усилий по длине панели определяется параметром X, рассчитанным по формуле (1.40). Чем больше этот параметр, тем быстрее убывают продольные усилия N、в первом ребре и касательные усилия S】и

разных параметрах V:

Z—длина панели; kj=^EjFjl(E1F1+EaFt), / = 1, 2

Рис. 1.14. Изменение продольных усилий М во втором ребре (рис. 1.10) по его длине прн разных параметрах XZ.

тем быстрее возрастает продольное усилие № во втором ребре. Параметр А можно^назвать поэтому показателем изменяемости напряженного состояния. Из формулы (1.40) следует, что А возрастает с увеличением жесткости пластины на сдвиг и уменьшается с увеличением жесткости ребер. Полученные формулы показывают также, что по мере удаления от торца х=0 (см. рис. 1.10) происходит выравнивание продольных перемещений в ребрах. Если мо* дули упругости ребер одинаковы, то происходит также выравни* ванне напряжений. Если модули разные, то напряжения в ребрах по мере увеличения координаты х стремятся к своим предельным значениям, не равным между собой. Выравнивание напряжений н перемещений происходит тем быстрее, чем больше параметр X.

Изменение усилий N} и JV2 по длине ребер, вычисленное согласно зависимостям (1.43) и (1.44), показано на рис. 1.13 и 1.14 для панели с одинаковыми ребрами (女 1 = ^2= 1/2); см. формулы (1.42) и (1.45). Допустим, что графики на рис. 1.13 построены для панелей, имеющих одну' и ту же длину, но разные показатели изменяемости А. В этом случае видно, что увеличение параметра А способствует более резкому убыванию продольных усилий 2】в первом ребре по длине： Можно считать также, что графики на рис. 1.13 построены для панелей, имеющих разную длину и одинаковый показатель изменяемости X. Такая интерпретация позволяет сделать вывод, что начиная с 入/>2 характер изменения усилий по длине панели практически не зависит от ее длины. Оказан-ное об убывании продольного усилия Ni в первом ребре относится к возраста, нию продольного усилия № во втором ребре (см. рис. 1.14). На рис. 1.15 показано отношение усилий ^2 к М・ Видно, что по мере удаления от торца %=0 это отношение увеличивается ——происходит выравнивание усилий. На рис. 1.16 показано изменение каса-

Рис. 1,15. Изменение отношения продольных усилий №JN\ по длине панели (параметры 瓦，局，X, I см. на рис. 1.13)

Рис. 1.16. Измеиеиие удельных касательных усилий Si в панели по ее длине в зависимости от параметров N (параметры X, Z, Ai, Аг см. иа рис. 1.13, А3=ЛЛг)

Рис. 1.17. Измеиеиие продольных перемещений первого ребра 融(рис. 1.10) по •его длине, отнесенных к перемещению левого торца панели «(0)=—Pi〃(Ei尸i+ 卄瓦户2)при ее растяжении как стержня (параметры 尢 Z, М,局 см. иа рис. 1.13)

4 Ах

тельных усилий Si в пластине по длине панели, посчитанное согласно выражению (1.46). На рис. 1.17 и 1.18 дано отношение продольных перемещений в ребрах / и 2 (см. рис. 1.10, 1.12) к продольному перемещению и(0) левого торца панели, если бы она деформировалась как стержень (при G=oo). Продольные перемещения ребер в общем случае посчитаны по формулам (1.47), а

Для сравнения на рис. 1.17 и 1.18 пунктиром показаны продоль- ньте перемещения ребер, характеризующие абсолютно жесткую на сдвиг панель (.G = oo), В этом случае “

«1 «2 т *

«(0) «(0) Z

Если считать, что сплошные линии на рис. 1.17 и 1.18 даны для панелей, у которых Х=1, а /=1, 2, 3, 5, то пунктирные соответствуют панелям той же длины при %—оо. На рис. 1.19 представлено отношение продольного перемещения поперечных сечений второго ребра к продольным перемещениям первого.

Теперь рассмотрим панель, представленную на рис. 1.10, но при иных условиях на концах, интересных с практической точки зрения. Пусть, например, М=Р при х=0, М = Р‘ при %=/.

Концевые условия для второго ребра возьмем в виде

7Vl=0 при х=0, »2=Р； при х=1.

Из уравнения р,авновесия панели в целом найдем

「2= Р\ — В・

Так как пластина согласно принятым в разд. 1.2 гипотезам не воспринимает продольных нормальных напряжений, то вообще говоря, рассматриваемая панель не уравновешена по моментам. Поэтому будем считать ее половиной панели с тремя ребрами,' среднее ребро которой состоит из двух ребер 2 (см. рис 1.10), спаянных между собой по всей длине.

Подчиняя полученное выше решение (1.41) записанным выше концевым условиям для продольного усилия A^i в первом ребре, найдем 、 ’ ~

C] = P]局，S=^C] = P]局，S=^P] — Pi (^1 + 財 ch 入Z)P] — Pi (^1 + 財 ch 入Z)sh XZsh XZ

C] = P]局，S=^

C] = P]局，S=^

P] — Pi (^1 + 財 ch 入Z)

P] — Pi (^1 + 財 ch 入Z)

sh XZ

sh XZ

после чего решение (1.44) будет иметь вид

М = Р禽[1+翁曹尹卄(R-P闻*• (1.49)

Продольное усилие N2 во втором ребре найдем из уравнения равновесия части панели, расположенной слева от сечения ее плоскостью x=const:”

M=R-M・

Касательное усилия Si в пластине определяются из любого уравнения равновесия (1.32).

Представляет интерес изучить частный случай формулы (1.49), когда на правом торце рассматриваемой панели продольная деформация обеих ребер одинакова. Тогда,

后2尸 2£，1 Е2A *

откуда следует, что

/Pl —Р^!，Р2 = Ргк2

я в формуле (1.49) пропадает последний член. Решение для этого случая и двух других, рассматриваемых совершенно аналогично, представлено в табл. 1.1. Коэффициенты 万卜 ^2, ^з, А, фигурирующие в формулах таблицы, вычисляются по формулам (1.42), (1.40), (1.45) и (1.46), где / ——длина панели.

МЕТОД РАСЧЕТА ПЛАСТИН С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМРЕБЕР ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Примеры пластин, подкрепленных произвольным -количеством ребер, показаны на рис. 1.6 и 1.7. Левые концы ребер нагружены заданными продольными силами Pi, Р2,…,Pm+i, правые — либо нагружены заданными продольными силами 户八 Р?',…,Р\ж (см. рис. 1.7), либо защемлены (см."рис. 1.6). В реальной конструкции встречаются и иные условия на концах ребер. Например, могут быть заданы продольные перемещения, усилия на одной части концов и продольные перемещения на другой. Здесь мы рассмотрим решение в случае концевых условий одного типа на каждом торце подкрепленной панели. Для определенности будем считать, что на всех левых концах ребер заданы силы, на всех правых либо силы, либо продольные перемещения.

Исходная система уравнений, необходимых для определения продольных усилий и перемещений в ребрах и касательного усилия в пластине, дана в разд. 1.3, где содержится ее подробный, вывод. В частности показано, что продольные усилия в ребрах и продольные перемещения в них могут быть выражены через функции напряжений Ф1, Ф2,..., Фп, получаемых путем решений системы п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1.23). Принципиальных трудностей в решении системы (1.23) нет. Однако в общем случае, когда жесткость всех ребер разная и участки пластины между ребрами различны, решение оказывается все же громоздким.'

Ниже рассмотрим случай, когда все участки пластины одинаковы и, следовательно,

=1,2,*(150)

Oft0

Таблица /」

Формулы для продольных усилий %| и ^2 в ребрах / н 2, а также для удельных касательных усилий Si в. пластине, соответствующие трем вариантам нагружения концов ребер (Е,力却力з, % — параметры (1.42), (1.45), (1.46), (1.40))

片产产片产产

片产产

片产产

Усилия в ребрах

L也1sh入ZJ

Pl也卜一

sh Xx 自 sh X (Z ——x) ~|

sh入Z +力2sh入Zj

sh 入(Z — %)

Pi sh XZ

Nz

г sh入а-*)]

Lsh XZ J

P 肉[r_

sh 入(/ — x) 々2 sh Xx ~| sh U + fex &h XZ J

sh 入(Z —%)

~ 1 shXZ

Усилие в плас- Si тнне “

戶1色

ch 入 а—%)sh X/

ch 入％ + ch X (Z — x)

shkZ

ch 入 а—%)

~shki

все внутренние ребра панели одинаковы и поэтому

Ejf^^EF при 尼=2, 3,..., n.(1. 51)

Жесткость ExFi первого ребра и жесткость En^iFn^i (п+1)-го ребра произвольная. Введем обозначения

力=等，九+1=e"+" 1(1.52)

儲*(1.53)

осг

и напомним, что E§F$ — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения /-го ребра; G, А, b — соответственно модуль сдвига материала пластины, толщина и ширина участка пластины между ребрами.

Ниже опишем общий метод определения продольных усилий и продольных перемещений в ребрах, когда соблюдаются предположения (1.50)—(1:53). В последующих двух разделах будут изучены частные случаи.~

Систему исходных уравнений возьмем в форме (1.23), которая

.при выпол«ении предположений (1.50)——(1.53) примет вид

丄02_=_®+丄)①.-

修d炉2丁1丁力丿1，

- ф*-1 + 2Ф* - ф*+1 (*=2,3,..., л-1),(1.54)

Статические условия на левых концах ребер, соответствующие заданным силам (см. рис. 1.6, 1.7), для функций Ф/ указаны выражением* (1.26) . .

力尸 е'£ 品尸l£q (/=1,2,..., л), • . (1. 55)

д+1

гдегде/=1

где

где

д+i

Хе，，

/■1

Статические концевые условия на правых концах ребер также будут иметь вид (1.55), если заменить 匕 иа Р/ (см. рис. 1.7).

В силу предположений (1.50) — (1.52) получнм

^E^^EF^j-X) (/=1, 2,..., л)

л+1.'

^E^^EFkf^n-^f^.

Следовательно, статические условия (1.55) на левых концах ребер можно переписать следующим образом .

Фу=Фу =Фу=Фу =п+1(fl+ J-1)^PIп+1(fl+ J-1)^PI/1 +И— 1 + /д + 1/1 +И— 1 + /д + 1Pt при *=0(/=1, 2,…，初Pt при *=0(/=1, 2,…，初(1.56)(1.56)

Фу=Фу =

Фу=Фу =

п+1

(fl+ J-1)^PI

п+1

(fl+ J-1)^PI

/1 +И— 1 + /д + 1

/1 +И— 1 + /д + 1

Pt при *=0(/=1, 2,…，初

Pt при *=0(/=1, 2,…，初

(1.56)

(1.56)

Статические условия на правых концах ребер будут

Ф尸①:=Ф尸①:=л 4-1(力十 j-l)X Р；л 4-1(力十 j-l)X Р；/1 + л—1 + /л+1*1/1 + л—1 + /л+1*1Р； при %=“/=1, 2,..., п).Р； при %=“/=1, 2,..., п).

Ф尸①:=

Ф尸①:=

л 4-1

(力十 j-l)X Р；

л 4-1

(力十 j-l)X Р；

/1 + л—1 + /л+1*1

/1 + л—1 + /л+1*1

Р； при %=“/=1, 2,..., п).

Р； при %=“/=1, 2,..., п).

(1.57)

■ Условия защемления правого торца панели (см. рис. 1.6) запишем в форме (1.28).

—0 при x=l(j— 1, 2,л).(1. 58) dx-

Если заданы отличные от нуля продольные перемещения правых концов ребер, то согласно разд. 1.3 концевые условия при х—1 будут■

譬=(譬)=筝(А川-修)(丿=1，2,一.,〃),(1.59)

где & — продольное перемещение правого конца j-ro ребра.

Системы дифференциальный уравнений (1.54), а также концевых условий (1.56) и (L57), (1.58) или (1.59) достаточно для отыс- каиия функций Ф* Если функции Ф^ найдены, то продольные усилия N, в ребрах могут быть найдены по формулам (1.29), которые с учетом предположений (1.50) — (1.53) можно записать в виде

m=一①hm=一①hЛ+1/1 *匕Л+1/1 *匕/1 +и一1 + /л+1/1 +и一1 + /л+1Nj= — ®/+®y-i4Nj= — ®/+®y-i4Л+1工門/-1Л+1工門/-1/1 + 内一1 + /л + 1Л+1/1 + 内一1 + /л + 1Л+1叫(1.60)叫(1.60)

m=一①h

m=一①h

Л+1

/1 *匕

Л+1

/1 *匕

/1 +и一1 + /л+1

/1 +и一1 + /л+1

Nj= — ®/+®y-i4

Nj= — ®/+®y-i4

Л+1

工門

/-1

Л+1

工門

/-1

/1 + 内一1 + /л + 1

Л+1

/1 + 内一1 + /л + 1

Л+1

叫(1.60)

叫(1.60)

Если в формулах (1.60) положить функции ф^=0 при /= =1, 2,・・・, л, то получкм продольные усилия М, №,・・・,Nnt при которых напряжения во всех ребрах будут одинаковыми.

Касательные усилия Sj в /-м участке панели, расположенном между /-м и (/+ 1)-м ребром (см. рис. 1.6), вычисляются по формулам (1,21)

Sj=—— (/= 1, 2,..., л).

Продольное перемещение щ произвольного поперечного сечения /-го ребра находится согласно (1.30) или (1.31). В частности, если на правых концах ребер заданы продольные перемещения, то бу* дем использовать выражения (1.30)

u-j=—~^-\^Njdx-\-Uj{l) (/ = 1, (1.61)

где 〃簿)一продольное перемещение правого конца /-го ребра.

Sj (j = l, 2,..., w),Sj (j = l, 2,..., w),Если на правых концах ребер заданы статические условия (1.57), то продольное перемещение 〃j удобно вычислять через ка* сательные усилия S$ в пластинах по формулам (1.31)

Sj (j = l, 2,..., w),

Sj (j = l, 2,..., w),

(1.62)

где Mi — продольное перемещение поперечного сечения первого ребра, которое определяется по формуле (1.61) (при /= 1) с точностью до перемещения щ (/) всей панели как твердого тела.

Переходим к нахождению функций напряжений ①；из системы (1.54). •・

Решение системы дифференциальные уравнений (1.54) берем в виде■

ФА=ЛАе^ (在=1, 2.…，/г),(1.63)

где ЛА и Л ——постоянные числа, подлежащие определению.

Если подставить функции Ф兀 согласно представлениям (1.63) в систему дифференциальных уравнений (1.54), то придем к следующей системе разностных уравнений для вычисления коэффициентов

+ 号 4-4=0，'

\/1世2/

一4一1+(2一^)4一4+1=0 但=2, 3,…，九一1),(1.64)

\/л+1М 丿

Решение этой системы алгебраических уравнений ищем в виде Ak=crk (々=1, 2,…,初(1.65)

Здесь с ——произвольная постоянная; число г выберем так, чтобы удовлетворить всем внутренним,, уравнениям системы (1.64) (при 30'

力=2, 3,..., n——1). Вводя 4女 из (1.65) во внутренние уравнения системы (1.64), получим для г квадратное алгебраическое уравнение

'产一2〃+1=0,'(1.66)，

где*2/ = 2—(1.67)

曲

Корни уравнения (1.66) будут

(=方+ 匕匸T,"一一/疋万...(1.68)

Дальнейший ход решения формально будет различным в зависимости от того, будет ли |/| <1 или |f| > 1. В первом случае корни гь「2 будут комплексными, во втором —•действительными. Мы рассмотрим случай комплексных корней и сделаем замену переменной■

f=cos29.(1.69)

Как будет показано ниже, замена (1.69) может быть сделана только в случае, если 力>1/2, %甘>1/2, где 万 и fn+i относительная жесткость первого и (п+ 1)-го ребра (см. формулы (1.52)). Именно такой случай и имеет место в большинстве практических задач —жесткость крайних ребер обычно больше жесткости внутренних.

Подставляя выражение для f из (1.69) в формулы (1.68), получим

尸1=呼叫 r2=e_2zfl.

Так как каждый из этих корней удовлетворяет уравнению (1.66), то и для Ak по формуле (1.65) найдем два решения, суммируя которые, придем к общему решению для 4女 в виде

Ак=с[ ©2働 + С2 е-2询,

при этом с/ и 匕2‘—произвольные комплексные постоянные. Отделяя в них действительную часть от мнимой, предыдущую формулу для Ak перепнтем в виде -

(1-70)(1-70)ЛА = % sin 2^9 + с2 cos 2^9,

(1-70)

(1-70)

где Ci и g — произвольные постоянные.

Число 0 пока не определено. Чтобы его найти, нужно рассмотреть оставшиеся первое и последнее уравнения системы (1-64), которые после подстановки Ак из (1.70) будут иметь вид

С1 [(1+-л ~^)sin20-sin40]+C2[(1+4t~^)c(>s20~ •

■ —cos 49]=0,

Cj [0+ / ] -与)sin 2д6 —sin (2д —2)9^4~с2><

X [(1 + Т"^ сое 2дв — соз'(2д — 2)ej=0.

Если ввести обозначения-

jа = 1 —一—, q】=1— ,(1.71).

выразить А,2/ц2 через / по формуле (1.67) и. f ——согласно выражению (1.69), то предыдущую систему алгебраических уравнений для вычисления 仃 и з можно записать в виде

—c】asin 28+&(1 — a cos 28)=0,—

^![sin (2汽+2)8 -5 sin 2Л8] + з卜()5(2九+2)8一(1. 72)

—«! cos2/i9] = 0.

Чтобы эта система имела решение, определитель ее должен быть равен нулю. Вычислив определитель и приравняв его нулю, получим характеристическое уравнение для определения собственных чисел 0

a sin 2汽8 —sin (2д-|-2)6 + а1 [sin 2д0 —а sin (2/t—2)6]=0. (1. 73)

Левая часть уравнения (1.73) является* периодической функцией с периодом л, поэтому достаточно рассмотреть корни, находящиеся в интервале 0&8《冗.Далее, если 0 — корень уравнения (1.73), то 01=л—в также будет корнем. Значит, интервал, в котором следует искать корни, сужается еще в два раза и будет равен О^0^л/2. Заметим также,, что корни из интервала л/2<0<л ие дадут новых решений и их можно не учитывать, что будет показа-. но несколько дальше. Для удовлетворения же концевым условиям задачи необходимо найти те пределы изменения, коэффициентов fi и fn+i, при которых уравнение (1.73) имеет ровно п корней иа интервале 0<'9<：л/2. Если число корней меньше 汽,то мы не сможем удовлетворить всем концевым условиям^~

Найдем условия, при которых уравнение '(1.73) имеет п корней. Разделив уравнение (1.73) на sin 0 cos 0 sin 2h0, после простых преобразораний с учетом формул (1.71) приведем его к виду

(1 —2 力)(1—2Z+JtgB — ctgB=2(力+厶+1 — 1)用2 欣 (1.74)

，Уравнение (1.74) на интервале О<0<л/2 будет иметь п кор- .ней, если

(1-2/1)(1-2/л+1)>0, Л+Л^-^0.

Это иллюстрируется, когда м=2 иа рис. 1.20, где крквая А является графиком функции, стоящей в левой части уравнения (1.74), _ кривые В — график функции, стоящей в правой части уравнения ' (1.74). Абсциссы точек пересечения кривых Л и В на рис. 1.20 являются корнями уравнения (1.74). Решая налисанные выше неравенства, получим диапазон изменения f и fn+ь в котором рассматриваемый метод приведет к правильному решению. Имеем

力>十，九+】>十・.

Корни уравнения (1.74) для любых значений коэффициентов жесткости крайних ребер 六 и /n+ь удовлетворяющих последним 32

рис. 1.20. Корни уравнении (1.74)也 и 02 при 孔=2 (Л — левая часть уравнения (1.74), В — правая)

неравенствам, легко могут быть найдены либо графически, либо с помощью вычислительной машины. Поэтому будем считать их известными.

Коэффициенты 白 н 方 в выраже- НИИ (1.70) для каждого корня 0j (/ = =1, 2,...»п) уравнения (1.74) можно найти из любого уравнения системы (1.72).

Например, второе уравнение дает

= cos (2п -ь 2) 0； — aj cos 2л0/ sin (2л + 2) Оу — aj sin 2п0/' Q к

где Cj — произвольная постоянная. Таким образомо 2

Сц— — с； [cos (2п+2) бу—«! cos 2n6y],

C2/=c_/[sin(2/i+2)% —Q[Sin 2溜П (/=1, 2,..., n).

Подставляя найденные коэффициенты Ci=Ci『, G=3j в формулы (1.70), получим для каждого 0^

4=4/=с ]勾，(L 75)

где a》=sin2(〃+l —力)％ —a〕sin2(a —左)％ (4, /=1, 2,...,n)

(L76)]

Остается определить коэффициент А в формуле (1.63). Для этого по формуле (1.69) найдем, £=力，подставляя туда вместо 0 корни 6j уравнения (1.74), затем по формуле (1.67) вычислим два значения параметря а：入=аjи а=一一与，пРи этом

号=2卩 sin %.(L 77)

Внося теперь в формулы (1.63) ЛЛ=Л^ из (1.75), а также Х=1 =% и А= —%, найдем два решения для функции 山丸 при каждом

а〃е入产иа左/e人产.

Каждое из этих решений может быть взято со своей произвольной постоянной, поэтому общее решение для каждого е=6§ будет иметь вид

^kj~akj (ci/® 产十©2jе "*)(4, /=1, 2,.・.,冷).

Общее решение для функции Ф^ получится суммированием решений Фй5

%=£q#cM产+勾 е-产).(1.78)

23136I ВИВЛИО^Жа

КОЛОХЗАПГ'ЖГГ^&ЯГ А

Число постоянных в формуле (1.78) соответствует числу концевых условий. Существенными корнями будут при этом только корни из отрезка 0<0<л/2. Действительно, если 0j — корень из интервала (0, л/2), то, как уже упоминалось выше, 0/ = л—0j будет также корнем уравнения (1.74). Если подставить корни 0j и 0/ в формулы (1.76) и (1.77), то получим одинаковые значения коэффициентов akj и 厶力 а следовательно, и одинаковые решения (1.78). Такая же ситуация имеет место и с корнями из любого отрезка ее л^/2<0< (й+1)л/2 при любом целом &>0.

В некоторых случаях вид функций Ф^, определенных формулами (1.78), удобно изменить. Рассмотрим три случая:

На обоих концах подкрепленной панели заданы продольные усилия.

Функции Ф^ примем в виде

7研儡…号…79)

На левых концах ребер (при х=0) заданы продольные усилия, а на правых (при х=/) —продольные перемещения. Вместо формул (1.78) выберем следующее выражение:

% =，@/ w2'…'"a・8°)

В случае бесконечно длинной панели в представлениях (1.78) следует положить 6^=0, так как функции <Ь兀 ограничены при х->оо. В результате имеем

①*=&a*j旬『*产(«'…'Z'I=^).(1.81)

Произвольные постоянные 仃力 &，в формулах (1.79)—(1.81) найдем из условий на концах. Подставляя значения функций ①兀 сгри х=0 из (1.79), (1.80) или (1.81) в статические коицевые условия (1.56) на левых концах ребер, получим следующую систему из 九 линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов &j (/=1, 2,п)

2耿危了 =就(〃=1，2,...,初(1.82)

Здесь известные числа Ф；0 определены формулами (1.56); @册一 коэффициенты (1.76).

В случае 1, подставляя ФА при х—1 из формул (1.79) в статн- веские условия (1.57), получим систему для вычисления с“

f а灰и=①;(在=L 2….,力.(1. 83)

7 = 1

Выше числа ❿諸 определены формулами (1.57).

34

В случае 2 условия на правых концах ребер имеют вид (1.59). Внося туда d❿〃dx из формул (1.80), имеем следующую систему алгебраических ура&нений:

л

£ 耿*L (嚟『(6=1，2,…，叫(1.84)

где правые части определены формулами (1.59).

В случае 3 бесконечно длинной пластины на бесконечно удаленном конце функции Ф^ обращаются в нуль. При этом по формулам (1.60) вычислим усилия, пропорциональные жесткости ребер. Значит, деформации во всех ребрах будут одинаковыми и вся панель будет деформироваться как стержень.

Системы (1.82), (1.83) и (1.84) отличаются только правыми частями, которые следует считать произвольными. Вследствие этого достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений вида

(々=1, 2,..., л).(1. 85)

Здесь Ьк — произвольные числа.

Для решения системы (1.85) умножим обе части на。注$ (左= = 1,2,..., п), просуммируем обе части по fe от 1 до п и переставим порядок суммирования в левой части. В результате будем иметь

лл

〉Qj$Cj= £ 仇。左$ (s=L 2,…,初(1. 86)

л

где&З=e訣4> (/,s= 1,2,…，叫(1.87)

Л=1

а коэффициенты。/^, % определены формулами (1.76).

иными(1.88)иными(1.88)Можно показать, что коэффициенты。打 ортогональны, словами

иными

(1.88)

иными

(1.88)

Q$s при j = s0 при/户.

Для этого укажем два способа. 1. Подставить значения коэффициентов Q冗力 aks из формул (1.76) под знак суммы (1.87), просуммировать ее и путем преобразований полученной суммы с учетом характеристического уравнения (1.73) нлн (1.74) доказать ортогональность. Второй способ доказательства дан в конце раздела?-

С учетом формул (1.88) по формулам (1.86) непосредственно находим коэффициенты с§

~〃做$ (s=l, 2,…，矶(1.89)

A = 1

• ' Решение системы (1.82) получим по формуле (1.89), вводя в нее 叁=&5, b兀=6兀°; решение системы (1.83) — принимая 叁=内$, 九=6'； системы (1.84)—полагая 禽=%, bk— (d<Dkfdx)k

Коэффициенты Q$$, определяемые формулами (1.87), можно записать в явном виде, вычислив в общем виде сумму в правой части. Не останавливаясь на процессе суммирования, запишем окончательный результат

&s= Е 嗚三。+а 二九 3 &)++^^х

X [2aj - (1 + a?) cos 29J + -i- (1 - a?) (1 - cos 4n9s).(1.90)

В заключение укажем порядок расчета по формулам этого раздела.

Задаются параметры панели и определяются коэффициенты 瓦 ％+ь 岡 a, Qi согласно формулам (1.52), (1.53), (1.71).

、2. Вычисляются корни характеристического уравнения (1.74)

0ь 02,6Я из интервала 0<в<л/2.

Находятся концевые значения функций В； по выражениям (1.56), (1.57) в случае статических концевых условий и значение производных (d①Jdx)i по формулам (1.59), если заданы продольные перемещения на правых концах ребер. По формулам (1.89) и (1.90) устанавливаются коэффициенты Си,爆・

По формулам (1.79), (1.80) или (1.81) находятся функ- (ЦИИ Фм.

Продольные усилия в ребрах находятся по формуле (1.60), касательные усилия Sj на участках пластин между j-м и (/ + 1)-м .ребром (j=l, 2,..., п) —по формулам (1.85). Продольные перемещения ребер вычисляются из выражений (1.61) или (1.62).

Доказательство ортогональности (1.88). Рассмотрим вновь систему уравнений (1.64). Обозначим для краткости

•%=一入 2便(1)

и перепишем ее в виде

4+1 = (2+х)4 — 4—1, (々 = 2, 3,..., л—1),(2)

••/2 = (1 + 戸+X)4,(3)

…4т = (1 + Т—+х)4・(4)

\/л+1/

Эта система имеет нетривиальное решение только в случае, еслй параметр %・Х； (/= 1, 2,...»п), где %j一собственные числа, которые яйляются действительными и простыми нулями характеристического полинома, являющегося определителем системы ⑵，(3), (4). Искомые неизвестные Л* (々=1, 2,...»п) будут зависеть от каждого собственного числа 左 и называются собственными функциями. Обозначим собственную функцию Л*, соответствующую собственному числу %j через 4T.、

Докажем» что собственные функции ортогональны в том смысле, что

2 ^kj^ki = 0 при 片亦(5)

С этой целью запишем сначала уравнения (2) для собственных чисел %< и 左 при

4片+1/=(2+Xi)4就-^A-1,Z.

"九+1, j = (2 十 Xj)"*/ 一"*一1*Л

Умножим первое равенство на 力木力 второе на Л*< и вычтем нз первого второе. Получим

4+1,?4/ — 4+】，М 就=(X/ — х『)4以野 + Л»4-1/ — 4j4-i小

Это равенство в силу уравнений (2) справедливо при 也=2, 3,…，办一1, поэтому обе части его можно просуммировать от 々=2 до п—1, что даст

(Xi — X力 2 4f4j = AniAn^j — AnjAn^t —幺2以и + 42Mн, 盍♦2

Подобным образом из уравнений (3) и (4) найдем

/2?4 j - 52Mli =(X/ - X 力 4/4 衣

An^^iAnj — An^ijAni =(左一X 力 4f4 廿

Сложив эти два равенства с предыдущим, получим условие ортогональности (5). Теперь только нужно учесть, что коэффициенты Л*^ для каждого собственного значения 0), а значит, н %? согласно (1.77) и (1) определены формулами (1.75). Подставляя нх в равенство (5), получим условие ортогональности (1.88).

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНЫС НЕСКОЛЬКИМИ РЕБРАМИ

В предыдущем разделе описан метод расчета пластины, подкрепленной произвольным числом ребер постоянного поперечного сечения при произвольных условиях на концах ребер. Теперь рассмотрим некоторые частные случаи.

J"?

N\

3

No

2

也

->

力也

/1=/1=修修修修L 1 А X -L 1 А X -На рис. 1.21 показана пластина, подкрепленная пятью ребрами. Левые концы внутренних ребер не загружены, правые загружены силами так, что деформации во всех ребрах одинаковы. Наружные ребра одинаковы, внутренние также одинаковы. Продольное усилие М приложено к правому концу каждого внутреннего ребра, продольное усилие, приложенное к правому концу каждого нар加， ного ребра, равно f\Nct где 厶一коэффициент жесткости наружного ребра, определенный формулой (1.52) и равный

/1=

/1=

修修

修修

L 1 А X -

L 1 А X -

Рис. 1.21. Пластина, подкрепленная пятью ребрами. Правые торцы ребер загружены продольными силами так, что деформации на всех правых,торцах ребер одинаковы (&=E#j£f； Е,戶 1 — модуль упругости и площадь сечеиия каждого наружного ребра, £, F — каждого внутреннего) --

£\,吊一соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения каждого наружного ребра; Е, F— аналогичные величины для внутренних ребер. Продольные усилия Рь приложенные к левым концам наружных ребер, определяются из условия равновесия всей пластины. Они равны (см. рис. 1.21)

R=No(力+"^~)・

Аналогичная пластина, но с четным числом ребер, представлена на рис. 1.22.

Схемы пластин на рис. 1.21 и 1.22 могут быть в первом приближении использованы при расчете панелей с вырезами. Пример такой панели дан на рис. 1.23, где продольные кромки выреза подкреплены достаточно жесткими ребрами, между которыми имеется набор ребер меньшей жесткости.

В силу симметрии достаточно рассмотреть любую половину панелей. При этом в выражениях предыдущего раздела число п будет равно 2. Коэффициент fn+u определенный формулой (1.52), для панели, изображенной на рис. 1.21, будет равен 0,5, так как в симметричной половине площадь сечения третьего ребра равна половине площади сечения второго. Для панели с четным количеством ребер fn+i = 1.

Случаи, представленные на рис. 1.21 и 1.22, естественно обобщаются на произвольное число ребер. Поэтому ниже дадим формулы для расчета панелей типа, показанных на рис. 1.21 и 1.22, но для произвольного нечетного числа ребер 2«+1 и четного 2д+2.

Так как усилия на левых концах ребер Р?=Рз=…=Pn+i=0, а из условия равновесия панели продольное усилие-в первом ребре

R=M(力+ 九-l+九+“， (1-91) то статические условия (1.56) на левых концах ребер будут иметь вид

6；=-No(/a+i +九一/)(/=1，2,…，初 (1.92)

Рис. 1.22, Пластина с шестью ребрами (ft=EiFi/EF; Pt=NQ(fi^-2)t NQ — заданная сила)

Рис. 1.23. Панель с ребрами, имеющая прямоугольный вырез

1~1~Рис. 1.24. Панель с нечетным числом ребер, защемленная на правом торце Рис. 1.25. Панель с четным числом ребер, защемленная на правом торцеРис. 1.24. Панель с нечетным числом ребер, защемленная на правом торце Рис. 1.25. Панель с четным числом ребер, защемленная на правом торцеТак как далее, на правых концах ребер заданы усилия

1~

1~

Рис. 1.24. Панель с нечетным числом ребер, защемленная на правом торце Рис. 1.25. Панель с четным числом ребер, защемленная на правом торце

Рис. 1.24. Панель с нечетным числом ребер, защемленная на правом торце Рис. 1.25. Панель с четным числом ребер, защемленная на правом торце

Р1=«ЛМ，а=А=..* =

=Р屈=%0，尸п+1 —yn+l7Vо，

то статические условия (1.57) на правых концах ребер будут

Ф/ = 0 (/= 1, 2,..., д). (1. 93)

Другим частным случаем является случай панелей симметричного строения типа, описанных выше, но защемленных на правом торце. Такие панели с пятью и шестью ребрами изображены на рис. 1.24 и 1.25. Внешние усилия на левых концах наружных ребер здесь можно задать произвольно. Формально силы Pi определяются формулой (1.91), где М ——произволыный параметр нагружения. При этом, как и выше, Nji будет продольным усилием в наружных ребрах при деформации панели как стержня, М,加+iM)— аналогичные усилия во внутренних ребрах панели. С продольными усилиями Nji, No, fn+i^o удобно сравнивать фактические усилия в ребрах, чтобы получить решение, наглядно показывающее отклонение решения от полученного по формулам сопротивления мате* риалов (стержневая модель). Очевидно, по мере удаления от левого торца панелей будет происходить выравнивание напряжений в соответствии с принципом Сен-Венана. Напряжения в ребрах все более и более будут приближаться к напряжениям, имеющим место при растяжении панели как стержня.

=0 (/ = 1, 2,..., п).=0 (/ = 1, 2,..., п).Условия на левых концах ребер для защемленных панелей, показанных на рис. 1.24 и 1.25, по-прежиему будут иметь вид (1.92). На правых защемленных концах ребер концевые условия определяются формулами (1.59) и станут в рассматриваемом случае однородными

=0 (/ = 1, 2,..., п).

=0 (/ = 1, 2,..., п).

(1.94)

Система (1.83) в силу (1.93) и система (1.84) в соответствии с (1.94) для обоих этих случаев имеют тривиальное решение

G/=0 (/=1, 2,...,企).

Значит, формулы (1.79)——(1.81) для функций ф^ можно записать в виде

$ = 2^。*к2/ 屈言优=1,2,…，叫$ = 2^。*к2/ 屈言优=1,2,…，叫(1.95)(1.95)

$ = 2^。*к2/ 屈言优=1,2,…，叫

$ = 2^。*к2/ 屈言优=1,2,…，叫

(1.95)

(1.95)

ФА =》」爆№」ФА =》」爆№」chk7 (Z —x)chk7 (Z —x)chX/chX/(左=1, 2,..., /z),(左=1, 2,..., /z),%=£鉄贬je-入产(力=1, 2,..., n),%=£鉄贬je-入产(力=1, 2,..., n),(1.96)(1.97)(1.96)(1.97)

ФА =》」爆№」

ФА =》」爆№」

chk7 (Z —x)

chk7 (Z —x)

chX/

chX/

(左=1, 2,..., /z),

(左=1, 2,..., /z),

%=£鉄贬je-入产(力=1, 2,..., n),

%=£鉄贬je-入产(力=1, 2,..., n),

(1.96)

(1.97)

(1.96)

(1.97)

где 九j ——коэффициенты, определяемые по (1.77),。历 ——согласно (176).

Выражения (1.95) должны быть использованы для панелей с заданными силами на правых концах ребер (см. рис. 1.21 и 1.22), формулы (1.96)——для защемленных на правом торце панелей (см. рис. 1.24 и 1.25). Зависимости (1.97) справедливы для бесконечно длинных панелей и получаются из выражений (1.95) и (1.96) предельным переходом при /->сю.

Коэффициенты с^ в соотношениях (1.95)——(1.97) определяются по формулам (1.89), если вместо bk подставить Ф^° из (1.92):

(Л+1 + ^-^a/ (/=1,2,...,п),

где £2力一коэффициенты (1.90),。”一коэффициенты (1.76).

Сумма (1.97) легко сворачивается, если в правую часть соотношения (1.97) ввести коэффициенты а^ из формул (1.76) и воспользоваться тождествами,

У Sin 2^ = ・Sin(〃+l"s”,

sin х

А=1 л-1

У Л sin 2g 卫必三-?с* 二^.

4 sin2*2 sin x

Л=1

В результате получим.

п cos (2п— 1)

——(/=1，2,2 sin Jj

Выражения (1.60) для усилий в ребрах также будут иметь более простой вид, если подставить туда Р】из формулы (1.91) и 自=03=..=2+1=6

Ni=—i +(] 98)

N/=—D+①/т + М(/ = 2, 3,…，冷)，'

N д+1 = Фд + Л+1^0-

Продольные перемещения ребер, защемленных на правых концах, найдем по формулам (1.61), полагая щ(1) =0,

му= -~^-\Nidx (/ = 1, 2,...,/г + 1).(1.99)

X

Продольные перемещения ребер, на правых концах которых заданы усилия (см. рис. 1.21 и 1.22), найдем по формулам (1.62), при этом 〃i определим согласно выражению (1.99) при /=1.

Введем обозначения

JV?=/iN。，N：+i = /“+iN。，N：=No(/=2, 3,...,«) (1. 100)

Как отмечалось выше, продольные усилия N? (/= 1, 2,...» п) возникают в ребрах панели при ее растяжении как стержня и с ними удобно сравнивать действительные усилия в ребрах. Поэтому в численных примерах введем безразмерный параметр

-。,=俞.(L101)

В общем случае, когда модуль упругости наружных ребер отличается от модуля внутренних ребер, параметр oj характеризует отношение фактической деформации 8； в ребре к деформации е панели при ее растяжении как стержня. Например,

7 _ "1 — № —Ei尸1訂—Si

/1N0 (EFVEF)EFs t

Если модули упругости всех ребер одинаковы, то отношение деформаций совпадет с отношением напряжений.

Аналогичным путем введем безразмерный параметр и； для продольных перемещений ребер

召=^(/=1, 2,…,〃 + 1),(1. 102)

где 〃° — перемещение левого торца панели при ее растяжении как стержня.

Очевиднод°=/е=/ ^*.

Тогда для защемленной панели из выражения (1.99) получим

* А -* М"х (/= L 2,…,«+1).(1.103)

Приведем некоторые результаты расчета.

На рис. 1.26 показан характер изменения параметра (1.101) напряжений в ребрах защемленной панели (см. рис. 1.24) по длине в зависимости от параметра ц/, где 卩 ——коэффициент (1.53).

Рис. 1.26. Безразмерные усилия в ребрах защемленной на правом торце панели, имеющей 2几+1 = 5 ребер

Продольные усилия N§ определялись по формулам (1.98), №窮一по (1.100), функции 6 в (1.98) — согласно (1.96) и (1.97). Параметр fi = = &FJEF взят равным 1, fn+i = =En+Fn+JEF принят равннм 0,5, 几=2. Кривые с номерами /=1, 2, 3 построены [соответственно для первого (наружного), второго и третьего (центрального) ребра (см. рис. 1.24).

Кривые, оканчивающиеся при цх= =1, соответствуют панели с параметром 卩/=1, и так далее. Огибающие серии кривых 卩/==月(论=1, 2, 3) coot* ветствуют бесконечно длинной панели (ц/= оо). Из графика видно, что ха

рактер изменения напряжений существенно зависит от параметра 卩,определенного формулой (1.53). Если считать, что дли'на панели / для всех кривых одинакова, а меняется только ц, то можно сде

лать вывод, что с ростом 卩 продольные нормальные напряжения уменьшаются быстрее. Наоборот, если 卩 не меняется, а изменяется длина панели, то видно, что начиная с 卩/=4 панель при расчете практически можно считать бесконечно длинной. Если соединить концы кривых ц/=0, 1, 2, 3 плавной кривой, то можно установить области изменения напряжений в каждом сечении панели в зависимости от ее длины. Такие области показаны на рис. 1.27, где пунктирные линии проведены через концы кривых 卩/=1, 2, 3 (см. рис. 1.26), сплошяые — кривые из рис. 1.26, соответствующие ц/= =оо. Проведя на графиках ркс. 1.27 вертикальную прямую 卩％= =卩尤0, можно получить диапазон изменения продольных нормальных напряжений в сечении панели цхо при изменении параметра |1/ от |лхьдо бесконечности. Например, в сечении цх0= 1 эти напряжения в крайнем ребре могут меняться от 1,42 до 1,78.

Если на графиках рис. L27 параметр цх на оси абсцисс переписать на 卩厶 то пунктирные кривые дадут продольные нормальные напряжения на защемленных концах ребер и, таким образом, по ним можно судить о степени выравнивания напряжений в ребрах панели. Из графиков видно, что для панели с параметром 卩/>4

напряжения на правом торце практически одинаковы и равны напряжениям, которые будут при растяжении панели как стержня. Такую панель при расчете можно считать бесконечно длинной и для функций ①比 использовать выражения (1.97) вместо (1.96),

Для защемленной панели с пятью ребрами (см. рис, 1.24), у которой наружные ребра более жесткие 色=3), характер изменения напряжений в ребрах более плавный и показан на рис. 1.28 сплош-

Рис. 1.27. Области изменения безразмерных усилий в ребрах при изменении длины панели

ными линиями. На рис. 1.29 представлен характер изменения продольных нормальных напряжений в панели с пятью ребрами (см. рис. 1.21). Графики, оканчивающиеся при цх= 1,2,3, соответствуют панелям, у которых соответственно 卩/=1, 2, 3, /=1, 2, 3 — номера ребер. Для сравнения показаны кривые, соответствующие бесконечно длинной панели. Продольные нормальные напряжения вычислялись по формулам (1.101), (1.100), (1.98), (1.95). Характер распределения этих напряжений аналогичен характеру изменения напряжений в защемленной панели. Разница только в том, что с умень

шением параметра ц/ кривые убывают быстрее, стремясь к единице при цх=ц/.

Касательные усилия S； в участках пластины, представленной на рис. 1.21, приведены на графиках рис. 1.30. Формулы для касательных усилий имеют вид

Рис. 1.28. Безразмерные усилия в ребрах защемленных панелей с пятью (fn+i= ==1/2, сплошные линии) и шестью (fn+i= 1, пунктир) ребрами (см. рис. 1.24 и

1.25)

Рис. 1.29. Напряжения в ребрах панели, показанной иа рис. 1.21

Рис. 1.30. Изменение касательных усилий по длине участков пластины, показанной на рис.

1.21 (О一n/=6, X-n/=4, △-g/-2)

Кривые /= 1 соответствуют касательным усилиям первого участка пластины, расположенного между первым и вторым ребрами, кривые /=2 — касательным усилиям для участка между вторым и третьим ребрами. Треугольником помечены графики для панели с параметром 卩/ = 2, крестиком — для р7 = 4, кружочком — для р7 = 6.

Продольные нормальные напряжения в ребрах панелей с шестью ребрами несущественно отличаются от соответствующие .напряжений в панелях с пятью ребрами. Для защемленной панели (см. рис. 1.25) эти напря-

0123 产 Iжения показаны на рис. 1.28 пункти-

'ром.

Как уже отмечалось, продольные нормальные напряжения в ребрах в панели с пятью ребрами практически выравниваются при Н%=4. С увеличением числа ребер, а, следовательно (при том же параметре 卩,определенной формулой (1.53)), с увеличением ширины панели процесс выравнивания продольных нормальных напряжений в ребрах замедляется. Увеличивается и темп убывания нап-

Рнс. 1.31. Распределение усилий N§ по длине ребер (fi = fn+i — \t 几=6,卩/=6・Сплошные кривые — для панели, у которой правые концы ребер нагружены си-лами, пунктир — для защемленной панели

Рис. 1.32. Напряжения на защемленных концах ребер (сплошные кривые соот-ветствуют 3 = 1, пунктирные — /1 = 3)

Рис, 1.33. Изменение касательных усилий по длине участков пластины при оди* наковых деформациях на правых концах ребер

Рис, 1.34. Продольные перемещения ребер защемленной на правом торце панели

ряжений в наружных ребрах, а соответствующие напряжения во, внутренних ребрах могут превышать единицу, т. е. среднее значение напряжений, возникающих при растяжении подкрепленной, пластины как стержня. Сказанное подтверждает расчет пластины' с 14-ю ребрами, результаты которого даны на рис. 1.31. Сплошные' линии соответствуют панели типа приведенной на рис. 1.22, пунктирные —защемленной на правом торце панели типа изображен-, ной на рис. 1.25. Из графиков видно, что для панели, у которой параметр ц/=6, напряжения на правых защемленных концах ребер еще существенно неодинаковы. Интересно в связи с этим проеле-: дить, как меняются продольные нормальные напряжения на правых защемленных концах ребер в зависимости от параметра ц/, т, е. от длины панели / при ц = const или от параметра 卩(1.53) у панелей одинаковой дли-ны. Такое изменение иллюстрирует рис. 1.32 для защемленной панели с тринадцатью ребрами типа показанной на рис. 1.24. Сплошные кривые соответствуют случаю Д= 1, т. е. пластине, у которой все ребра имеют одинаковую жесткость. Пунктирные линии соответствуют пластине, у которой 后=3, т. е. когда наружные ребра имеют жесткость в три раза большую, чем внутренние. Стрелки на кривых и цифры над ними указывают значение величин при ц/=0.

Рис. 1.33 иллюстрирует изменение касательных напряжений по длине участков пластины, имеющей 13 одинаковых ребер, нагруженных на правых концах одинаковыми продольными напряжениями, т. е. пластины типа изображенной на рис. 1.21. Касательные усилия определялись по формулам (1.104). Номера, которыми помечены кривые, соответствуют номеру участка пластины. Напом*

ним, что j-м участок (/= 1, 2,..., л) расположен между /-м и (/ + 1)-м ребром. Цифра 32,6 характеризует значение величины SJ/M при цх=0.

На рис. 1.34 представлено изменение продольных перемещений в ребрах защемленной панели, имеющей 13 ребер, т. е. панели типа изображенной на рис. 1.24. Продольные перемещения отнесены к продольному перемещению левого торца панели, деформирующейся как стержень, изменение продольных перемещений по длине панели—стержня для сравнения показано пунктиром. Вычисления были выполнены по формулам (1.103), в которые вносились значения продольных усилий в ребрах ”j по выражениям (1.98), а 6 — согласно (1.96).

ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ ПЛАСТИНЫ

Для более рационального использования материала ребер, подкрепляющих пластину, поперечное сечение последних целесообразно делать переменным по длине. Можно подобрать такой закон изменения площади поперечного сечения ребер по длине, чтобы напряжения в каждом поперечном сечении были постоянны. Рассмотрим наиболее простой случай, когда все без исключения ребра имеют постоянные по длине напряжения и, следовательно, переменную площадь поперечного сечения. •

С этой целью вновь обратимся к панели, показанной на рис. 1.6 (см. также рис. 1.7), и будем считать, что площадь поперечного сечения 尸/ каждого /-го ребра переменна по длине, а напряжения

g『NJFj (/=1, 2,…，厶+1) (1.105)

являются заданными постоянными величинами.

Уравнения равновесия ребер получеяч в п. 1.3 и имеют вид (Ы2)

^ + S1=0, dNn+i

卜S/ — S』t = 0 (/ = 2, 3,...,初

Здесь Nj — продольное усилие в /-м ребре; Sj — касательное усилие на j・M участке пластины (см. рис. 1.8).

Усилия Nj и S> связаны с продольными перемещениями ребер 〃,законом Гука (1.8) и (1.9), из которого путем исключения перемещений 〃j устанавливаются условия совместности деформаций (1-17)

(丿=1，2，...，办(1.1。7)

где G力 hj, bj ——соответственно модуль сдвига, толщина и ширина /-го участка пластины, ограниченного /-м и (/+ 1)-м ребром (см. рис. 1.6).

46

Условия на левых концах ребер имеют вид (1.13) 修一n,(0)=0 (/=1, 2….，九+ 1),(L 10^1

на правых концах (при х=1) статические условия аналогичны

P*j—N№=0 (/ = 1, 2”…初(1.109)

В случае защемленной на правом торце панели (см. рис. 1.7) концевые условия при х=1 таковы

йу(/)=0 (/= 1, 2,…，九+】).(1.110)

Вместо условий (1.110), как было доказано в разд. 1.3, можно брать следующие:

dNj[dx=Q при х=1 (7—1, 2,…，儿+1).(1. Ill)

Условия совместности деформаций (1.107) в силу соглашения (1.105) будут следующими:

粤=*(諾一*)="e。血0=1，2,..•，叫

ОтсюдаSj=ajX~rCp(1.112)

причем 出一известные коэффициенты; & — произвольные постоянные.

Подставляя функции Sj из формул (1.112) в уравнения равновесия (1.106) и интегрируя последние, найдем

Nj = (a/_i-叫•^■ + ©_1-仃)*+办(/=1, 2,...,«4-1), (1. 113)

где 展1=0然+1=0.

Произвольные постоянные 弓 н dj в решении (1.113) найдем из условий иа концах (1.108)——(1.110). Внося, например, решение (1.113) в концевые условия (1.108) и (1.109), получим

/p ： — p 7

с/—1 — с；=(旬一aj—1) — 4 匕 ，d/=Pj,

после чего решение (1.113) для искомых площадей сечений fj в силу формулы

можно записать в видеможно записать в видеN 尸FfjN 尸Ffj+ p；引。=1，2,...,/1+1).+ p；引。=1，2,...,/1+1).(1.И4)(1.И4)(1. 115)(1. 115)

можно записать в виде

можно записать в виде

N 尸Ffj

N 尸Ffj

+ p；引。=1，2,...,/1+1).

+ p；引。=1，2,...,/1+1).

(1.И4)

(1.И4)

(1. 115)

(1. 115)

Выражение для площади поперечного сечения (1.115) соответ* ствует панели, у которой на обоих концах ребер заданы силы (см.

рис. 1.6). Точно также, подставляя усилия N§ из формул (1.113) в концевые условия (1.108) и (1.111), найдем

е/T 一e/ = 3/ 一 a/_1)2, d:=Pj (/=1, 2,n).

Тогда для защемленной с правой стороны панели (см. рис. 1.7) площадь поперечного сечения /-го ребра равна

尸尸^回一味1)*《一刃 + 同(/=1, 2,…,— I). (1. 116)

Из формул (1.115) и (1.116) следует, что для панели, у которой на обоих концах ребер заданы силы, площадь поперечного сечения каждого ребра определяется тремя параметрами: продольными напряжениями в ребрах а^ и продольными усилиями Pj и ，Р/. Выбор параметров Р§ и Р/ равносилен выбору площадей по・ иеречных сечений левых и правых концов ребер, которые равны

尸』包，尸;=且(/ = 1, 2,…,a+ 1).

Причем из 2孔 + 2 параметров этих уравнений произвольно можно задать 2п+1, так как из условия равновесия внешних (:ил следует равенство

〃+1я+1

Е^=Е%

Для защемленной с правой стороны панели (см. рис. 1.7) произвольно можно выбрать параметры с^ и 尸力 Вместо сил Р$ можно задать площади сечения левых концов ребер 尸/*・

Площади поперечных сечений ребер, вычисленные по формулам (1.115) и (1.116), всегда должны быть положительными величинами. Если при некотором значении координаты х отрезка [0, Z] Fj -станет отрицательным, то это будет означать, что при выбранных параметрах задача не имеет решения и ребро равного сопротивления изготовить нельзя. Для защемленной с правой стороны панели, у которой площадь сечения ребер вычисляется по формулам (1.116), условие существования положительного решения 户才＞0 будет выполнено, если

尸『二〉号土二".(]j7)

t2

Выше мы рассмотрели случай, когда все ребра, подкрепляющие пластину, имеют переменное поперечное сечение. Разберем вариант, когда площадь поперечного сечения несущих ребер переменна по длине, а остальные — постоянны. К несущим ребрам можно, нап- ,ример, отнести наиболее жесткие наружные ребра в пластине, воспринимающие внешние силы. Подбор закона изменения площади поперечного сечения несущих ребер из условия постоянства про-дольных нормальных напряжений в них в рассматриваемом случае сводится к решению системы линейных дифференциальных урав- ”48

нений второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура уравнений аналогична рассмотренной в разд. 1.5. Для иллюстрации остановимся на случае пластины с двумя ребрами, показанной на рис. 1.10. Будем считать, что площадь поперечного сечения второго ребра 尸2 = const, а площадь поперечного сечения первого ребра 戶1 переменна и должна быть найдена из условия, что продольные нормальные напряжения oi в первом ребре постоянны вдоль оси ребра. Правые концы ребер зешемлены, левый конец первого ребра нагружен продольной силой Pi, второго — свободен.

Уравнения равновесия ребер (1.106) в данном случае будут («=О

也+，= 0,色也一Si"(1.118)

dxdx

Условия (1.107) переходят в одно

旦亠U丄一(1.119) dx 瓦(e2尸2当尸1 /

По условию задачи

-^- = 3!= const.(1. 120)

Дифференцируя первое уравнение (1.18) по л: и вводя в него dSJdx из формулы (1.119), а также

N 2~Р 1 — N1，

с учетом (1.120) имеем

礬一航一吁一尸局，(1.121)

где Fi ——искомая площадь поперечного сечения первого ребра; 尸2 — постоянная площадь поперечного сечения второго ребра; Fi° — заданная площадь поперечного сечения первого ребра на конце %=0,

尸w尸wG向办£2ь2G向办£2ь2(1. 122)(1. 122)

尸w

尸w

G向

办£2ь2

G向

办£2ь2

(1. 122)

(1. 122)

Решение уравнения (1.121) возьмем в виде

尸1=尸?一&-^+6sh%x+c2ch 入 J.(1.123)

Здесь .Ci н C2 — произвольные постоянные, определяемые из концевых условий N、= P\ при 尤=0, 〃i = 0 при % = /; 〃i ——продольное перемещение первого ребра. Если учесть, что условие 〃i = 0 можно заменить уравнением dN/d尤=0 (см. разд. 1.3), а также учесть формулу (1.120) и первую формулу (1.122), то концевые условия можно записать в форме

尸1=尸？ при % = 0,尸1=尸？ при % = 0,dF\ —dF\ —dxdx0 при х=1.0 при х=1.

尸1=尸？ при % = 0,

尸1=尸？ при % = 0,

dF\ —

dF\ —

dx

dx

0 при х=1.

0 при х=1.

Внося в эти концевые условия функцию Fj из формулы (1.123), получим

q=一尸2警-%，3=/年./5[ СП 人*Cj

Решение (1.123) теперь окончательно можно записать следующим образом:

尸尸尸…喑"墻产尸尸尸…喑"墻产(1. 124)(1. 124)

尸尸尸…喑"墻产

尸尸尸…喑"墻产

(1. 124)

(1. 124)

Из выражения (1.124) следует, что Ft — монотонно убывающая функция, которая может стать отрицательной на некотором участке ребра л:>л：о. Такой участок не существует, если

(1. 125)(1. 125)

(1. 125)

(1. 125)

Неравенство (1.125) аналогично неравенству (1.117), установленному при рассмотрении пластины, у которой все ребра равнонапряженные. Оно является неизбежным следствием возможности изготовления ребра равного сопротивления или условием существования физически реального решения уравнения (1.121). Увеличивая площадь концевого поперечного сечения ГД конечно; всегда можно добиться, чтобы условие (1.125) выполнялось.

Найдем касательные усилия в защемленной панели и сравним их с усилиями в такой же панели, но имеющей постоянную площадь сечения ребер. Пусть S^ ——касательные усилия в пластине, подкрепленной ребром / переменного поперечного сечения (см. рис. 1.10); Sf ——усилия в пластине с ребрами постоянной площади поперечного сечения. Из первого уравнения (1.118) с учетом формул (1.120) и (1.124) имеем

s°=R-f^ks°=R-f^ksh 入 1 (Z — %)~ch 3—sh 入 1 (Z — %)~ch 3—(1. 126)(1. 126)

s°=R-f^k

s°=R-f^k

sh 入 1 (Z — %)

~ch 3—

sh 入 1 (Z — %)

~ch 3—

(1. 126)

(1. 126)

где 尸1° ——площадь поперечного корневого сечения ребра /,

Касательные усилия Sf получены в .разд. 1.4 и имеют вид

ЗдесьЗдесьS =р е/2 入I — shZ.(/ —х)S =р е/2 入I — shZ.(/ —х)(1. 127)(1. 127)У % 、/尸1约尸2 / У优尸1У % 、/尸1约尸2 / У优尸1

Здесь

Здесь

S =р е/2 入I — shZ.(/ —х)

S =р е/2 入I — shZ.(/ —х)

(1. 127)

(1. 127)

У % 、/尸1约尸2 / У优尸1

У % 、/尸1约尸2 / У优尸1

Если предположить, что площадь FJ равна площади Fi ребра постоянного поперечного сечения, то, сравнивая (I.I26) и (1.127), получим

]I 邑尸2 ch 人/ sh 入 1 (/-X)十 E瓦 ch X1r sh 入(/ — %)

(1. 128)(1. 128)Так как 九＞九匕 то правая часть выражения (1.128) всегда больше единицы.

(1. 128)

(1. 128)

」=]/ 1+2S 尸 V £，i」=]/ 1+2S 尸 V £，iТаким образом, улучшение эффективности первого ребра за счет уменьшения его площади поперечного сечения при oi = const, ведет к увеличению касательных усилий в пластине. В предельном случае бесконечно длинной пластины из выражения (1.128) в корневом сечении при %=0 найдем

」=]/ 1+2S 尸 V £，i

」=]/ 1+2S 尸 V £，i

В качестве численного примера рассмотрим случай панели с двумя ребрами, показанный на рис. 1.10 и рассмотренный выше. Будем считать, что площадь F^ концевого поперечного сечения ребра / равна площади 尸2 ребра 2. Модули упругости материала пластины и ребер примем одинаковыми. Кроме этого, будем считать, что площадь поперечного сечения пластины равна удвоенной

Рис. 1.35. Изменение площади сечения первого ребра 吊 по его длине при условии, что напряжения в нем не меняются по длине. Площадь сечения второго

ребра 尸2 постоянная

Рис. 1.36. Изменение касательных усилий Sb в панели, имеющей одно ребро равного сопротивления, а второе — с постоянной площадью сечения (пунктиром показаны результаты для такой же панели с ребрами постоянного сечения, причем

Л=Л°)

площади второго ребра 包厶=2&. При этих условиях параметр (1.122) будет 入1=1也/1十忆 Коэффициент Пуассона v возьмем равным 0,3. Формула (1.124) для площади первого ребра будет

Характер изменения относительной площади FJF— по длине ребра для трех параметров 〃bi = l, 2, 4 показан на рис. 1.35. На рис. 1.36 сплошными линиями изображен характер изменения касательных усилий (1.126) в той же самой панели. Пунктиром для сравнения дано изменение параметра SFl/P\ касательных усилий (1.127) в той же панели для случая, когда ребра / и 2 (см. рис. 1.10) имеют постоянное поперечное сечение. Цифры над стрелками указывают значение ординат на торце 尤=0. Из рис. 1.36 следует, что касательные усилия в панели при наличии ребра переменного сечения выше, чем в случае обоих ребер постоянного поперечного сечения.

ПАНЕЛЬ С ДВУМЯ РЕБРАМИ, ПОПЕРЕЧНОЕ

СЕЧЕНИЕ КОТОРЫХ ПРОИЗВОЛЬНО.

ИЗМЕНЯЕТСЯ ПО ДЛИНЕ

Для расчета панелей с ребрами произвольного переменного поперечного сечения могут быть применены приближенные методы, разработанные для решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Ниже изложен один из способов расчета панели с двумя ребрами, поперечное сечение которых плавно изменяется по длине [28].

Рассмотрим панель длиной 厶 показанную на рис. 1.37. Будем предполагать, что площади поперечного сечения ребер Fi и 尸2 изменяются по длине произвольно, но плавно.

Делим панель на ряд участков, выбирая их таким образом, чтобы величины 尸 1 и 尸2 можно было считать почти постоянными на каждом участке. Для практических целей в пределах одного участка для этих величин допустима разница в 1,5 раза. Участки и поперечные сечения между ними нумеруются так, как показано на рис. 1.37. Следует отметить, что участки могут иметь различную длину и необязательно должны быть малыми. Длину，-го участка будем обозначать через Ц.

Продольные силы в ребрах для каждого сечения панели представим в виде двух составляющих. Первая состоит из двух про* дольных усилий NJ и %2°, определяемых по формулам сопротивления материалов

где自--——,后=-——.

/尸1+e2尸2'/尸1+G尸2

Вторая образуется из пары самоуравновешенных сил РХ^ (рис. 1.38), где Р — внешняя продольная сила, приложенная к первому ребру; Xi — параметр, подлежащий определению.

Суммарные продольные усилия в ребрах будут

N】 = P (財+Х)川2=夕(局一X)(1. 129)

Значения дополнительных сил РХ$ определяются из условия неразрывности деформаций сдвига в прилегающих сечениях соседних участков панели. При этом предполагается, что величины Е£ и E2F2 постоянны на каждом участке, например равны значениям этих величин в середине участка. Такое предположение оправдано тем, что выражения для деформации участка получаются интегрированием, результаты которого не меняются при замене переменных величин некоторыми средними. Положительное направление деформаций сдвига показано пунктирными линиями на рис. 1.38.

Обозначим через 哂 численное значение деформации сдвига на одном из концов 1-го участка, вызванное парой единичных сил РХ=1, действующих на этом же конце участка, а через 电 деформацию конца х-го участка от пары единичных сил, приложенных на другом конце участка. Тогда деформация сдвига участка /+1 в сечении i будет равна _

疗=一%+12^+电+1 px

Деформация сдвига сечения i участка i будет равна

у7 = ^РХ,~^ РХ^.

Вследствие неразрывности деформаций полученные выражения равны, что приводит к системе уравнений для определения неизвестных Xi

也X——(电 + 屮£+1)% +中+Xj+i=O(»= 1, 2,…，/г—■ 1). (L 130)

Выражения для деформаций <р； и ^г ('=0, 1,...,〃) от единичных с近л получим, применяя формулу для усилий сдвига в панеТтях конечной длины, нагруженных парой сил, которая дана в последнем столбце табл. 1.1. В частности, полагая в указанной формуле

Рис. 1.37. Схема панели с ребрами переменного сечения, разделенной иа л участков для численного расчета

Рис. 1.38 Пары усилий в ребрах t-ro и /+ 1-го участка панели, изображенной нарис. 1.37

戶 1=1, x=0, /=% и деля затем правую часть на Gh (G и h — соответственно модуль сдвига и толщина пластины), получим

(1.131)

G力th入厶G力th入厶где 九——параметр, определенный формулой (1.40), 人=1/零(矗+矗)•

G力th入厶

G力th入厶

В формуле (1.131) следует брать некоторое осредненное значение параметра % из участка z.

Аналогично, полагая в выражении для касательных усилий S Рч = 1, х=1г, 1 = Ц, найдем

GA shX/z

Система уравнений (1.130) состоит из п—1 уравнений и содержит и+1 неизвестное. Для получения недостающих двух уравнений необходимо привлечь условия на концах. На левом торце панели, представленной на рис. 1.37, концевые условия имеют вид м=А

Подставляя сюда ^l или ^2 из (1.129), получим (при /=0)

-¥0= 1—財=局.(1. 132)

Условия на правом конце защемленной панели, как показано в разд. 1.3 (см. также разд. 1.4), имеют вид

必=0,侬=0.dx dx

Из этих условий достаточно удовлетворить одному, второе удовлетворится автоматически, так как Ni+M=P.

Дифференцируя первую формулу (1.129), получим

dX I -dkA с-

1L = 0 ПОН % =厶dx dx

Полагая приближенно^~^-~(Xn — Xn_^

условие на правом конце запишем в виде

Xn-Xi—l建、(1.133)

где вместо производной справа берется среднее значение производной из последнего n-го участка.

Если панель достаточно длинная, то правый торец будет деформироваться как стержень и тогда вместо условия (1.133) возьмем

(1.134)(1.134)爲=0.

(1.134)

(1.134)

Матрица системы (1.130) является ленточной, и поэтому система решается просто. Действительно, каждое уравнение (1.130) можно рассматривать как рекуррентное соотношение для определения последующего значения X через два предыдущих. Так как значение Хо определено и вычисляется по формуле (1.132), то для возможности рекуррентного процесса необходимо еще найти Хр Для нахождения 力 поступим следующим образом. Запишем соотношения (1.130) в виде

х?+1=屮£х£ —中?Х-1 (/ = 1, 2,…，%—1),(1. 135)

二 <Pz +<Pz+i 工 如 где•

При i—n——1 формула (1.135) примет вид

X/jug—i Хп_\ — фл_1 X修_2・

Найдем сначала X】для защемленной справа панели. Подставляя значение Хп в концевое условие (1.133), имеем

(фд-1 ——Фд-1 X吁2=•

Исключим теперь из этого соотношения Хп^, внося его значение по формуле (1.135). В левой части полученного уравнения будут теперь фигурировать Xi и Хп-з- Из полученного соотношения теперь исключим лп-2 опять с помощью формулы (1.135), затем Хп—з и так далее вплоть до Х2. В результате найдем

wM -D0A^=- 乙~^~.(1.136)

ах

Здесь коэффициенты vi и 网 вычисляются по рекуррентным формулам

»=%"% 一因，固-1 =%+1+?(L 137)

начиная c i—n—2 до Z= 1, причем

匕一1 =必一1一 L %-2 =欣一1■

Зная коэффициенты vi и 卩％ по формуле (1.136) найдем X】,подставив Xq=左2, согласно формуле (1.132) имеем

х尸±e。局一乙礬).

Значение коэффициента 内2 берется при а=0, значение dkjdx — при %=/•

Все последующие значения искомых величин, а именно X?, X?,... …,Х〃，определяются по формулам (1.135), после чего искомые усилия вычисляются по формулам (1.129).

Рис. 1.39. Распределение продольных усилий ^l по длине ребра переменного сечения для случая панелн, изображенной на рисунке 1.37 (площадь 尸2 = const, напряжения Ot=const; сплошная линия —— точное решение (1.138), пунктирная — приближенное решение по изложенной методике)

Совершенно аналогично можно определить значение X】，когда условие на правом конце пластины имеет вид (1.134). В этом случае вместо формулы (1.136) будем иметь

ViM -固%=0,

где V1 и цо определяются по тем же рекуррентным соотношениям (1.137), начиная с i=n——2. Разница только в том, что

Описанный способ решения является некоторой разновидностью метода конечных разностей, если последний применить непосредственно к исходному дифференциальному уравнению задачи, например, к уравнению (1.39).

В качестве примера по изложенной методике была рассчитана панель, показанная на рис. 1.37, при следующих значениях исходных параметров:九=0,05 см,尸2=1 см2, Ь = 5 см, / = 30 см, £ц = £2 = =£, v=0,3, G/E=l/2 (1 +v) =0,385.

Площадь поперечного сечения 尸2 принята постоянной, площадь поперечного сечения 尸i переменна и выбрана так, что продольные нормальные напряжения первого ребра не менялись по длине. Эта задача решена точно в разд. 1.7, где для продольных усилий получено выражение

причемпричемМ=РМ=Р(1. 138)(1. 138)

причем

причем

М=Р

М=Р

(1. 138)

(1. 138)

尸 1° — заданное поперечное сечение первого ребра в точке приложения сосредоточенной силы Р. При расчете было принято Е】°=1 см2.

Панель разбивалась на пять равных участков. Результаты расчета представлены на рис. 1.39. Сплошная линия соответствует точному значению продольного усилия N】,посчитанному по формуле (1.138), пунктирная ——приближенному, полученному по изложенной выше методике.

СПОСОБ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ПАНЕЛИС ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ РЕБЕРПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотрим в качестве примера панель, схема которой изображена на рис. 1.7, в предположении, что жесткость на растяжение- сжатие EjFj каждого /-го ребра изменяется по длине панели произвольным образом. Как отмечалось в разд. 1.3, расчет такой панели сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Точно решить такую систему в общем виде нельзя. Поэтому ниже дадим численный метод решения, основанный на замене системы дифференциальных уравнений системой уравнений в конечных разностях. Решение этой последней системы можно без труда получить, ориентируясь на численный расчет с использованием вычислительной машины. Основная функция машины заключается при этом в перемножении известных матриц, что можно сделать с помошью стандартной программы.

Основные обозначения и исходные уравнения возьмем из разд. 1.3.

Если исключить из уравнений, равновесия ребер (1.12) касательные усилия Sj с помощью соотношений неразрывности (1.17), то систему исходных дифференциальных уравнений для продольных усилий Nj в ребрах можно записать в виде

力（£"i 尸j+i力（£"i 尸j+i6—i 力/—i 力一16—i 力/—i 力一1XXd*2 I % I £2尸2&尸1丿一，

力（£"i 尸j+i

力（£"i 尸j+i

6—i 力/—i 力一1

6—i 力/—i 力一1

X

X

或Nj

(1. 139)(1. 139)d*2

(1. 139)

(1. 139)

也丄(/=2,3,...,叫

d*2 bn (j+iJ+i EnFn /

Напомним, что в этих уравнениях G),九力 Ь§ ——соответственно модуль сдвига, толщина и ширина /-го участка панели, расположен- го между /-м и (/+1)-м ребром. Эти величины считаются постоянными; Е$, Fj — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения j-ro ребра, которые будем считать произвольными функциями координаты х.

Концевые условия для усилий N§ имеют вид (1.13) и (1.16).

Для удобства выделим отдельно элементарное решение, которое согласно формулам (1.25) и (1.27) имеет вид

(1. 140)

где Р — суммарная продольная нагрузка на торцах,

Считая, что элементарное решение (1.140) выделено, под продольными усилиями N§ в системе (1.139) будем понимать дополнительные продольные усилия, сумма которых является самоуравно- вешенной в каждом поперечном сечении панели.

В качестве примера рассмотрим случай, когда силы Р/, P2I … ..., Pn+i на правом торце панели (см. рис. 1.7) соответствуют усилиям, полученным из элементарного решения (1.140). Иными словами, P/=Nj°・ Тогда концевые условия для дополнительных продольных усилий Nj будут иметь вид

N2 = Pj-N\, ^(Z)=0(/= 1, 2,...,я+1). (1.141)

Как было показано в разд. 1.3, система уравнений равновесия (1.12), а следовательно, и система (1.139), является линейно зависимой. Если, например, определить продольные усилия Nx №，… …,Nn из первых п уравнений равновесия (1.12), то продольное усилие Nn+i будет линейно выражаться через п остальных продольных усилий по формуле

(1.142)(1.142)(М9)(М9)пNc—fNj、

(1.142)

(1.142)

(М9)

(М9)

(1.139)(1.142).системы(1.139)(1.142).системывытекающей из формулы (1.19) (заметим, что в формуле Nj — полные усилия).

(1.139)(1.142).

системы

(1.139)(1.142).

системы

В силу сказанного, последнее уравнение из системы можно отбросить и определить Nnu согласно выражению Подставляя 川^屮】из (1.142) в предпоследнее уравнение ， (1.139), приведем ее (без последнего уравнения) к виду

d2Njd2Njd*2d*2Ь а"т% у-i — a*N, + a,j+iN；+i = ОЬ а"т% у-i — a*N, + a,j+iN；+i = О(/=1, 2,…，比一1),(/=1, 2,…，比一1),(1.143)(1.143)гдегде■^^■= %-WI — (ХддЛ^修-％疥+1 £^ Nj=M■^^■= %-WI — (ХддЛ^修-％疥+1 £^ Nj=M%JT%JTGj-i 力一1Gj-i 力一10уTе)t立- '丐，川0уTе)t立- '丐，川85М85М力声J+i尸J+i力声J+i尸J+i(1.144)(1.144)

d2Nj

d2Nj

d*2

d*2

Ь а"т% у-i — a*N, + a,j+iN；+i = О

Ь а"т% у-i — a*N, + a,j+iN；+i = О

(/=1, 2,…，比一1),

(/=1, 2,…，比一1),

(1.143)

(1.143)

где

где

■^^■= %-WI — (ХддЛ^修-％疥+1 £^ Nj=M

■^^■= %-WI — (ХддЛ^修-％疥+1 £^ Nj=M

%JT

%JT

Gj-i 力一1

Gj-i 力一1

0уTе)t立- '丐，川

0уTе)t立- '丐，川

8

5М

8

5М

力声J+i尸J+i

力声J+i尸J+i

(1.144)

(1.144)

GiAiм77GiAiм77

GiAiм77

GiAiм77

GjhjGj—i 力 т

а刃—Т р рН т ^г(/= Ь 2,..., я).

ноль, сле-ноль, сле-В формулах (1.144) слагаемые, содержащие индекс

ноль, сле-

ноль, сле-

дует отбросить, т. е. принять

□10=°, а”

Коэффициенты (1.144) являются известными функциями координаты X.

Систему (1.143) запишем в матричном виде

(1. 145)(1. 145)礬+АХ =。，

(1. 145)

(1. 145)

где X ——вектор, А ——матрица, I ——единичная n-мерная матрица

Х=Х=,А =,А =О, о,...,о о, о,..., оО, о,...,о о, о,..., о—%[，％2，о,°21» — °22，咏0, %2，一%3，—%[，％2，о,°21» — °22，咏0, %2，一%3，0,…，0, %,修_[,0,…，0, %,修_[,%,%+1，1 =%,%+1，1 =1, О, О,1, О, О, О О %,о-—а““，％“，a“,“+i.О,...,О1, О,...,ОО, 1, о,...,о • О О %,о-—а““，％“，a“,“+i.О,...,О1, О,...,ОО, 1, о,...,о •

Х=

Х=

,А =

,А =

О, о,...,о о, о,..., о

О, о,...,о о, о,..., о

—%[，％2，о,°21» — °22，咏

0, %2，一%3，

—%[，％2，о,°21» — °22，咏

0, %2，一%3，

0,…，0, %,修_[,

0,…，0, %,修_[,

%,%+1，1 =

%,%+1，1 =

1, О, О,

1, О, О,

О О %,о-

—а““，％“，a“,“+i.

О,...,О

1, О,...,О

О, 1, о,...,о •

О О %,о-

—а““，％“，a“,“+i.

О,...,О

1, О,...,О

О, 1, о,...,о •

1,..., 1(о, о,..., 1

Согласно граничным условиям (1.141) вектор X нужно подчинить концевым условиям

X (0) = Р, Х(/)=0.(1. 146)

p1一m ЗдесьР= P2—N2 .

Pn-Nn

Разобьем длину панели / на т+1 равных частей. Длина каждого отрезка й будет

3=-т +1

Производную в каждой ;-й точке с координатой 勺=/6

заменим по формуле

где X. 1 —значение функции X в точке х = (/——»В, Х『」- значение функции X в точке х =(丿+ 十丿 6. Вторая производная будет равна

=专(勺+1-2Х/ + Х川)(/=1, 2,...,加),

при этом Xj — значение функции X в точке xj.

Подставляя отсюда вторую производную в каждой внутренней точке /= 1, 2,..., т в уравнение (1.145), получим следующую систему конечно-разностных матричных уравнений

靑(*"i — 2*/+XjT)+ 4(Х/) */=0(j = 1, 2,…,тп), где А (打)——матрица А в точке 芍.Эту систему удобно переписать в виде

X*=B(%j)*/ — l*z (/=1, 2,・・,，〃)・(1.147)

Здесь B(xj) — матрица

В(Лу) = 21-82А(хД.

Едичиная матрица в левой части уравнения (1.147) опущена. В правой части она оставлена, чтобы коэффициенты при неизвестных имели идентичную матричную структуру.

Систему (1.147) можно рассматривать как рекуррентную формулу для нахождения последующего значения искомого вектора X через два предыдущих. Процесс начинается с индекса /=1. При этом & считается известным согласно концевым условиям (1.146)

*0 = Р・

Значит, чтобы рекуррентный процесс был возможен, нужно найти еще X]. Для определения Xi поступим следующим образом. Запишем уравнение (1.147) для точки j = m, Так как согласно концевому условию (1.146)

^m+l — O,то^ получим0=B(xm) Xm — l Х^-р(1.148)

Исключим отсюда Хт, выразив & через &_〔 и 4-2 с помощью формулы (1.147). В результате получим соотношение, связывающее *m-i и Хш-2. Из этого соотношения, в свою очередь, исклю-

60

чим Мп-】，выразив его через Хт_2 и Х*з с помощью ^формулы (1.147). Продолжая процесс, в конце получим соотношение между Xi и % вида

一因 ％ = 0,(1. 149)

где V1 н No ——коэффициенты, определяемые по рекуррентным формулам. Чтобы найти эти формулы, допустим, что нам известно соотношение типа (1.149), связывающее 為* и X；

—用勺=0.

Подставляя сюда Х^\ из (1.147), имеем

vj+JB(勺)勺一勺一]]-因勺=0.

Переписав это соотношение в виде (1.149), получим искомые рекуррентные формулы

v/=V"】B(x/)_ 吋(1.i50)

門T = v,+i(7 = /n—1,—2,…，1).

Процесс вычисления коэффициентов vj и цо» входящих в выражение (1.149), начинается по рекуррентным формулам (1.150) с i=m—1. При этом согласно соотношению (1.148)

vm~B(xm), p«m_i = l.(1. 151)

Зная коэффициенты vj и 卩。,из уравнения (1,149) выразим X】 через &

х 1 = *Т& х()=v『& Р・

Теперь задачу можно считать решенной, так как X?, Х3, Хт последовательно вычисляются по рекуррентной формуле (1.147).

Описанный метод решения системы (1.147) называется методом матричной прогонки. Процесс определения искомых векторов Х§ сводится к вычислению коэффициентов vi и рю по рекуррентным формулам (1.150), (1.151) и вычислению X)по рекуррентным формулам (1.147). В том и другом случае вычисление сводится к перемножению матриц, что осуществляется на машине по стандартным программам.

ПРИБЛИЖЕННЫЙ УЧЕТ ПОПЕРЕЧНОЙСЖИМАЕМОСТИ ПАНЕЛИ

Предыдущие расчеты строились на предположении, что панель не деформируется в поперечном направлении, а касательные напряжения в пластине не меняются по ширине. Эти допущения, естественно, вносят известные погрешности. Наиболее существенную погрешность содержит предположение о постоянстве касательных напряжений, так как вблизи свободной кромки пластины оказываются нарушенными граничные условия. В действительности касательные напряжения должны быть равны нулю, а согласно расчетам они имеют максимальное значение. Чтобы устранить это про-

&' Рнс, 140. Панель, подкрепленная двумя боковыми ребрами

L•-—г -и торцевым ребром

р */ тиворечие, ниже приводим приближенный спо-

—^^-Г=^ /』соб расчета, учитывающий поперечную деформа- £цию панели [28].

Рассмотрим симметричную панель с тремя ребрами, половина которой показана на рис, 1.40. Ось симметрии проходит по второму ребру. Предположим, что панели ；имеег набор! .попер；е1чных ребер 1жесткасти, ( расположенных достаточно часто, так что их можно «размазать» и ввести приведенную толщину пластины 为卜 Свободный торец панели также имеет поперечное ребро жесткости, которое «размазывать» ие будем. Обозначим через 户о и £q соответственно площадь поперечного сечения и модуль упругости торцевого ребра жесткости.

Касательные усилия в пластине представим в виде двух составляющих

S=SX + S2,(1. 152)

где Si ——касательные усилия, вызванные продольным перемещением ребер; S2 — касательные усилия, обусловленные поперечной деформацией панели. В*предыдущих расчетах учитывалось только усилие S】，причем

S] = "^~®2 —我 i),(L 153)

где G, Л, b — соответственно модуль сдвига, толщина и ширина пластины; % н “2 — продольные перемещения первого и второго ребра.

Формула (1.153) есть следствие допущения о постоянстве деформации сдвига (а. следовательно, и касательных усилий) по ширине пластины.

Дифференцируя формулу (1.153) по х, выражая затем продольные деформации ребер dujdx и du2/dx через продольные усилия в ребрах М, М и исключая, наконец, М, № с помощью уравнений равновесия ребер

讐+S=0,礬-S=0,(1. 154)

получим■)*■ = MS,(1. 155)

где雜=丝

Найдем теперь касательное усилие S2. С этой целью запишем условие равновесия элемента, пластины в поперечном направлении (вдоль оси у). Имеем

где Су ——нормальные напряжения в пластине в направлении у. Будем считать справедливой гипотезу постоянства деформаций сдвига по ширине пластины. Тогда интегрирование полученного уравнения по у дает выражение

1 dSAi dx1 dSAi dx

1 dS

Ai dx

1 dS

Ai dx

Для определения произвольной функции с(а) используем сделанное выше предположение о том, что рассматриваемая панель является симметричной половиной панели с тремя ребрами. Кроме того, считаем, что продольные ребра не воспринимают изгиб- ных напряжений. Отсюда следует, что ау = 0 при у=0, а значит, и с(а) =0 и

1 dSAi dx1 dSAi dx(1. 156)(1. 156)

1 dS

Ai dx

1 dS

Ai dx

(1. 156)

(1. 156)

где Е ——модуль упругости приведенной пластины толщиной 九i при растяжении ее в поперечном направлении.

Интегрируя последнее равенство (1.156) с учетом условия и=0 при у=么 получим

VV=上金1_㈢2£& dx ^62 丿=上金1_㈢2£& dx ^62 丿отсюдаотсюдаS2—ОйS2—ОйдидхдидхСШ2 / у2 y2s 2ЕА1Ч ~b^)dx2СШ2 / у2 y2s 2ЕА1Ч ~b^)dx2

V

V

=上金1_㈢

2£& dx ^62 丿

=上金1_㈢

2£& dx ^62 丿

отсюда

отсюда

S2—Ой

S2—Ой

ди

дх

ди

дх

СШ2 / у2 y2s 2ЕА1Ч ~b^)dx2

СШ2 / у2 y2s 2ЕА1Ч ~b^)dx2

Суммарное касательное усилие S по условию, а составляющая S] в силу формулы (1.155), должны быть постоянными по ширине панели. Значит, и S?=S——Si также должно быть постоянным. Поэтому в качестве S2 возьмем среднее арифметическое значение полученного выше переменного усилия S2.

S?=S?=G械2 d2sG械2 d2s

S?=

S?=

G械2 d2s

G械2 d2s

Дифференцируя эту формулу и складывая с (1.155), с учетом (1.152) придем к следующему уравнению для определения касательных усилий S:

гдегде3七瓦3七瓦(1. 157)(1. 157)

где

где

3七瓦

3七瓦

(1. 157)

(1. 157)

Если пластина абсолютно жесткая в поперечном направлении (Е=8), то 入 1=0 и уравнение (1.157) будет эквивалентно (1.39). Уравнение (1.39) совпадет с (1.157) после дифференцирования и замены dNJdx= ―S.

Ограничимся для простоты случаем бесконечно длинной панели. Тогда решение уравнения (1.157) запишем в виде

(1. 158)

F =F =(1. 159)(1. 159)где 6, с?——произвольные постоянные, которые найдем ниже;门 и 厂2 — корни характеристического уравнения, определяемые по формуле

F =

F =

(1. 159)

(1. 159)

Подставляя S из формулы (1.158) в уравнение (1.154), найдем

七，1七，1当尸1十七2尸2当尸1十七2尸2(1. 160)(1. 160)Последнее слагаемое в выражении (1.160) соответствует усилию в первом ребре, когда панель деформируется как стержень.Постоянные с、и з найдем из концевых условий. Первое условие будетПоследнее слагаемое в выражении (1.160) соответствует усилию в первом ребре, когда панель деформируется как стержень.Постоянные с、и з найдем из концевых условий. Первое условие будетM = R М = 0 при х=0・M = R М = 0 при х=0・(1.161)(1.161)В качестве второго условия возьмем условие равенства относительных удлинений торцевого элемента жесткости и прилегающейВ качестве второго условия возьмем условие равенства относительных удлинений торцевого элемента жесткости и прилегающейк нему пластины. Относительное удлинение торцевого найдем по формулек нему пластины. Относительное удлинение торцевого найдем по формулеэлементаэлемента0% %月.Относительное удлинение еу пластины определено (1.156)0% %月.Относительное удлинение еу пластины определено (1.156)формулойформулой1 dS £Л1 dx '1 dS £Л1 dx 'Сравнивая эти деформации, имеем=—5 при %=0・ dx备尸0Подставляя М из (1.160) в условие (1.161) и S из последнее уравнение, найдемСравнивая эти деформации, имеем=—5 при %=0・ dx备尸0Подставляя М из (1.160) в условие (1.161) и S из последнее уравнение, найдем(1.158) в(1.158) вгдегдеq =q =e2 ==e2 ==尸论2厂1厂2 （步+г2）.尸论2厂1厂2 （步+г2）.г2：（步+Г2）-r1 （步十г1） p龙2门厂2 （步+厂1）r2 3 +厂2）一门（步十门）七加 为=上2尸2^7, 2一片尸1十七/2г2：（步+Г2）-r1 （步十г1） p龙2门厂2 （步+厂1）r2 3 +厂2）一门（步十门）七加 为=上2尸2^7, 2一片尸1十七/2

七，1

七，1

当尸1十七2尸2

当尸1十七2尸2

(1. 160)

(1. 160)

Последнее слагаемое в выражении (1.160) соответствует усилию в первом ребре, когда панель деформируется как стержень.

Постоянные с、и з найдем из концевых условий. Первое условие будет

Последнее слагаемое в выражении (1.160) соответствует усилию в первом ребре, когда панель деформируется как стержень.

Постоянные с、и з найдем из концевых условий. Первое условие будет

M = R М = 0 при х=0・

M = R М = 0 при х=0・

(1.161)

(1.161)

В качестве второго условия возьмем условие равенства относительных удлинений торцевого элемента жесткости и прилегающей

В качестве второго условия возьмем условие равенства относительных удлинений торцевого элемента жесткости и прилегающей

к нему пластины. Относительное удлинение торцевого найдем по формуле

к нему пластины. Относительное удлинение торцевого найдем по формуле

элемента

элемента

0% %月.

Относительное удлинение еу пластины определено (1.156)

0% %月.

Относительное удлинение еу пластины определено (1.156)

формулой

формулой

1 dS £Л1 dx '

1 dS £Л1 dx '

Сравнивая эти деформации, имеем

=—5 при %=0・ dx备尸0

Подставляя М из (1.160) в условие (1.161) и S из последнее уравнение, найдем

Сравнивая эти деформации, имеем

=—5 при %=0・ dx备尸0

Подставляя М из (1.160) в условие (1.161) и S из последнее уравнение, найдем

(1.158) в

(1.158) в

где

где

q =

q =

e2 ==

e2 ==

尸论2厂1厂2 （步+г2）.

尸论2厂1厂2 （步+г2）.

г2：（步+Г2）-r1 （步十г1） p龙2门厂2 （步+厂1）

r2 3 +厂2）一门（步十门）

七加 为=上2尸2

^7, 2一片尸1十七/2

г2：（步+Г2）-r1 （步十г1） p龙2门厂2 （步+厂1）

r2 3 +厂2）一门（步十门）

七加 为=上2尸2

^7, 2一片尸1十七/2

Если торцевой элемент жесткости отсутствует, то 尸о=О, значит, 卩=8, 6=—办 и по формуле (1.158) получим. S = 0 при %=0, т. е. на торце панели напряжения сдвига будут равны нулю.

Эффект поперечной деформации сказывается только у свободного торца пластины, где касательные усилия S, посчитанные с 64

учетом поперечной деформации, сильно отличаются от касательных усилий S, найденных для абсолютно жесткой в поперечном： направлении панели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Беляев В. Н； Испытание и расчет крыльев с различной облицовкой.— Техника воздушного- флота, 1935, № 5, с. 43—56, № 10, с. 1—И, № 12г с. 10—18.

Беляев В. Н. Расчет свободнонесущего крыла. — Труды ЦАГИ № 165г ОНТИ, 1934, с. 7—72.

Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М., Госстройиздат, 1940^ 276 с..'

Каи С. Н., Паиовко Я. Г. Элементы строительной механики тонкостенных конструкций. М・，Оборонгиз, 1949. 127 с..

Качанов Ю. П. Напряженное состояние плоской переборки, подкрепленной боковой стойкой. — Судостроение и морские сооружения. Республ. меж^ ведомст. науч.-технич. сб., 1965, вып. 1Г с. 3—12..

. Киселев В. Ф. Элементарная теория кручения коробчатой балки.——Техника воздушного флота, 1938, № 3, с. 42—64.

Одинокое К). Г., Кучинский А. Ф. Стесненное кручение двухлонжеронио- го крнла* — Труды Казанского авиационного института, 1946, № 17, с. 37—44：

Одииоков Ю. Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов. — Труды Казанского авиационного института, 1946b № 18, с. 39—106.-

Одинокое Ю. Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения. — Труды Казанского авиационного института, 1948k. № 20, с. 3—15.

Одиноков Ю. Г. К вопросу интегрирования систем обыкновенных линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.——Труды Ка-* занского авиационного института, 1949, № 23, с. 18—30.

Одиноков Ю. Г. К расчету тонкостенных балок. — Труды Казанского авиационного института, 1951, № 25, с. 153—170.

Одииоков Ю. Г., Юрьев В. К. Приближенное решение уравнений коробления тонкостенных конструкций. — Труды Казанского авиационного института, 1958, № 33—34, с. 99—137.

Одииоков Ю. Г. Расчет однородной цилиндрической тонкостенной конструкции кругового сечеиия. — Труды Казанского авиационного института, 1958夕 № 33, с. 55—59.

Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавров。% балки под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости.— Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, т. 4, вып. 3—4, § 1— 10, 151——219, (см. С. П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М・，Наука, 1971. 807 с.).•

Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиакокструкций. М*. Обороигиз, 1939. 112 с.

Уманский А. А. О нормальных напряжениях при кручения крыла самолета. — ТВФ, 1940, № 12, с. 48—65.

Феофанов А, Ф. Расчеты тонкостенных конструкций. М., Обороигиз^ 1953.224 с.'■

Феофанов А. Ф. Строительная механика тонкостенных конструкций. М.” Оборонгиз, 1958. 330 с.

Феофанов А. Ф. Строительная механика авиационных конструкций. М* Машиностроение, 1964. 284 с.

Шатаев В. Г. Приближенный расчет цилиндрических тонкостенных балок с некоторыми продольными ребрами переменного сечения. — Труды Казанского авиапиониого- института, 1966, вып. 91, с. 45—56.

Шатаев В. Г. Приближенный расчет цилиндрических тонкостенных балок в области приложения значительных осевых сосредоточенных сил.. — Труды;. Казанского авиационного института, 1966, вып. 91, с. 57—62.

■ 22. Accardo Alberto Francesco. Indagine teoricosperimentale sulla diffusione delle tensioni nei gusci e nei pannelli caricafi assialmente. — Acrotecn. Missili e •spaz., 1974, N 3, p. 157—168.

Duncan W. T. Diffusion of load in certain sheet—stringer combination. London, H. M. State off. 1938. — Aeronautical research Committee. Reports and Mtemoraunda, N 1825, p. 1—15.

Goody W. T. Stress diffusion problems. — Aircraft Engineering, 1946, 18, N 213, p. 38S-389.

Hertel H. Leichbau. Bauelemente. Bemessungen und Konstruktion von Elugzeigen und anderen Leichbauwerken. Springer—Verlag, Berlin, Gottingen Heidelberg 1960. — Перевод на русский язык: Хертель Г. Тонкостенные конструкции. М., Машиностроение, 1961, с. 104—155.

Hamann J. Energie de diformation et «Shear Lag》.——Metaux en feuilles», 1968, N 22, p. 29—35..

Kuhn P. Stressanalysis of beams with shear deformation of the flanges. Washington, 1937.—•National Advisory Commottee for Aeronautics, Report N 608, p. 1—19.

Kuhn P. Stresses in aircraft and shell structures. B. S. (Ae. E.) Me Graw—Hill Book Company, inc. New York, Toronto, London, 1956. Перевод на русский язык: Куи П. Расчет на прочность оболочек в самалетостроении, М” Оборонгиз, 1961, с. 104—155.

Malcolm David J., Redwood Richard G. Shear lag in stiffened box girders.—J. Structur. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 1970, 96, N 7, p. 1403—1419.

Mansfield E. On axial lood diffusion into a thin—walled reinforced cylind- lical shell. — Aeronautical research council. С. P. 1963, N 644.

Mansfield E. Load transfer via a wrinkled membrane. — Proc. Roy. Soq. London, 1970, A316, N 1525, p. 269—289.

Mansour A. Effective flange breadth of stiffened plates under axial tensile load or Uniform bending" moment. — J. Ship. Res., 1970, 14, N 1, p. 8—14.

• 33. Michael D. The structural action of multistringer shear panels. -- International Journal Mechanical Science, 1965, 7, N 8, p. 577—587.

34. Sandro Dei Poli. Le strutture conelementi sottill soggette a caiichi concen- 1гя11. — Construsione metallico, 1963, 15, N 5, p. 229—249.

Глава 2

ПЕРЕДАЧА УСИЛИЙ ОТ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИК ОБШИВКЕ С НЕДЕФОРМИРУЕМЫМКОНТУРОМ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В дайной главе рассмотрена по существу та же задача, что и в гл. 1. Это задача включения, состоящая в исследовании взаимодействия между ребрами и пластинами без учета изгиба пластин. Но здесь принята более точная модель, согласно которой учитываются продольные (параллельные оси ребер) напряжения в пластине. Вследствие этого касательные напряжения по ширине пластины между соседними ребрами уже не будут постоянными. На характер и^ распределения не накладывается никаких ограничений. Считается, однако» что поперечные деформации пластниы, нормальные к оси ребер, отсутствуют. Это опраииче- нне и делает модель приближенной, а результаты отличающимися от полученных из уравнений плоской задачи теории упругости. Упрощая решение задачи (поря* док разрешающего уравнения пластины понижается с четвертого до второго), эта модель ъсе же позволяет более аккуратно по травиеиию с решениями гл. i определить ,закон распределения напряжений в пластине, особенно в окрестности угловых Точек. В самой близкой окрестности угловых точек и эта модель не дает правильных результатов — касательные напряжения получаются завышений- ми из-за неучета поперечного обжатия пластины. Эта модель используется как для плоских, так и для цилиндрических панелей. …'

Гипотеза С. П. Тимошенко о недеформируемости контура поперечного сечения тонкостенного стержня, следствием которой является гипотеза отсутствия поперечных деформаций, как известно, положена в основу теории тоикос^еййЙХ стержней. Основополагающие результаты здесь принадлежат С. П. Тймошбнка [10] (1905 г.). Наибольший вклад в завершение этой теории внес В. 3. Власова [4]. Проблеме стесненного кручения и изгиба тонкостенных стержней применй-' тельио к крылу и фюзеляжу самолета посвящены работы Эбиера [14], В. Н. Вег ляева [2], [3], Г. С. Елеиевского [6], Г. С. Еленевского и В. М. Даревского [7J^ А. А. Уманского [12, 13]. На*учет деплаиации поперечного сечения тонкостеииого» стержня при потере устойчивости указал еще С. П. Тимошенко [10] в 1905 г; Обстоятельный анализ этих №• других раииих работ, а также изложение проблем расчета тонкостенных конструкций в целом содержатся в работе Ю. Г. Одино»- кова [8]. В ией, в частности, указывается на принципиальный недостаток гипотезы отсутствия деформаций сдвига обшивки, который может привести к существенным погрешностям в целом ряде задач, к числу которых относятся и задачи включения. .

В практике инженерных расчетов гипотеза об отсутствии поперечных деформаций панели без ограничений на деформации сдвига начала применяться в пятидесятых годах. Значительное число решений получено В. Гудом [15] (выпуски 208, 210, 212) в 1946 г., который изучал полубесконечные полосы с ребрами ли- продольных кромках. Ребра нагружены продольными силами, направленными либо в одну, либо в разные стороны (пара сил). В Гуд [15] (выпуск № 211) рассмотрел полубесконечную цилиндрическую оболочку с недеформируемым контуром, подкрепленную по всей длине продольными ребрами. Концевые продольные силы, приложенные к ребрам, эквивалентны паре сил. Распределение продольных усилий по длине ребер приведено в разд. 5 для сравнения с более аккуратным решением, полученным иа основе теории тонких оболочек. В цитированных статьях В. Гуда широко используется аппарат интегралов Фурье. Полубесконеч- ная пластина (полуплоскость) с полубескоиечным стрингером, расположенным

нормально к кромке пластины (границе полуплоскости), рассмотрена Е. Манс- -филдом [20] (1953 г.); стрингер нагружен на конце продольной силой, а кромка пластины может быть подкреплена по всей длине элементом жесткости, работающим иа сдвиг, либо иа изгиб. В первом случае решение для касательного усилия, передающегося от стрингера к пластине, получено в явном виде, во втором —в виде определенного интеграла от известного выражения. Рассмотрен случай, когда стрингер отсутствует, а элемент жесткости на кромке пластины •нагружен силой, нормальной к кромке. И. Джуэль [18] ставит и решает задачу, связанную с проблемой расчета механизма катапультирования, рассматривая по- лубесконечную пластину, имеющую ребро (стрингер) бесконечной длины, присоединенное в направлении» перпендикулярном к кромке пластины. Ребро нагружено иа некотором участке длины постоянной продольной касательной нагрузкой. Решение задачи разыскивается в виде интеграла Фурье с неизвестной плотностью. Это решение автоматически удовлетворяет уравнению равновесия. Плотность находится из условия сопряжения пластины и ребра. Такой способ позволил получить в замкнутом виде решение для касательных усилий, передающихся от ребра пластине. Задачам включения в обсуждаемой постановке посвящена также статья Ю. Н. Раскина [9]. В книге Г. Хертеля [17] даны готовые решения для пластцн конечных размеров и • полубесконечных полос с двумя поясами яа продольных кромках, нагруженными продольными сидами. Рассмотрены случаи, когда пояса имеют постоянную площадь, поперечного сечения или переменную площадь, выбранную из условия, чтобы нагружения в поясах не менялись но их длине. Приведены графики для коэффициента использования ширины Х= =bmfb=cfm后max, где 力拼,b, om, Umax—соответственно приведенная ширина, апирииа, среднее нормальное продольное напряжение и максимальное продольное яапряжение пластины. Решения построены при условиях, когда продольная жесткость пластины либо равномерно распределена по ширине пластины, лябо частично или полностью сконцеитрщ)ована в продольных подкрепляющих элементах. Показано, как коэффициент концентрации продольной жесткости влияет иа величину коэффициента X.

• Следует напомнить, что модель тонкостенного стержня возникла из физических предпосылок, так как реальные стержни, как правило, усилены достаточно жесткими в своей плоскости шпангоутами,.

Остановимся кратко на содержании главы. В разд. 2.2 на основе принципа виртуальных перемещений Лагранжа выведены основные соотношения подкрепленной ребрами криволинейной панели. В разд. 22.3 выделено элементарное решение сопротивления материалов. Преобразование исходных уравнений для плоской панели к системе разрешающих уравнений содержится в разд. 2.4. Далее в разд. 2.5 изучено напряженно-деформированное состояние симметрично подкрепленной панели. Рассмотрена панель как конечной, так и бесконечной длины. Решение представлено в виде быстросходящихся рядов, даны результаты численных расчетов и программы расчета. В разд. 2.6 изучается эффект подкрепления панели иа торце дополнительным ребром, работающим только на изгиб. В разд. 2.7, как и в разд. 2.5, рассмотрена симметрично подкрепленная панель, но при кососимметричном загружении ребер парой сил. Решение отличается от полученного в разд. 2.5, так как требуется учитывать изгиб панели в ее плоскости. Решение доведено до числа. В разд. 2.8 рассмотрены панели с двумя ребрами разной жесткости для случая, когда поперечное перемещение панели равно нулю или отлично от нуля. В разд. 2.9 на примере бесконечной пластины с яолубесконечным ребром дается оценка погрешности решения путем введения гипотезы отсутствия поперечной деформации пластины. Эта оценка выполнена , путем сравнения решения иа основе упомянутой гипотезы с точным решением, полученным иа основе уравнений плоской теории упругости. Результаты этого раздела опубликованы Э. И. Грнголюком и В. М. Толкцчевым [5]. В этой работе даиа также общая постановка задач включения иа основе гипотезы отсутствия поперечной деформации, рассмотрены задачи для пластины и ребра конечных размеров, для полубесконечной пластины с полубескоиечным ребром, а также задача для защемленной по боковым сторонам полубесконечной полосы, иагру* жеииой иа торце постоянной расп-ределейной нормальной нагрузкой.

Отметим, что в математическом плайе задачи данной главы сводятся к ре« теиию уравнения Лапласа со смешанными граничными условиями. При решении

большей части задач использован способ представления решений в виде тригонометрических рядов по поперечной координате, нормальной к оси ребер, который сводит задачу к отысканию корней трансцендентных уравнений, получаемых из условий стыковки ребер пластины. При таком способе решения условия стыковки выполняются точно для каждого члена ряда, а условиям на торцах пластины удовлетворяет только весь ряд. Решение получается достаточно хорошим (ряды быстро сходятся), особенно для удлиненных в продольном направлении пластин. Для относительно коротких пластин более предпочтительным является решение в тригонометрических рядах по продольной координате.

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПАНЕЛЬ С ПРОДОЛЬНЫМИРЕБРАМИ. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим цилиндрическую панель, изображенную на рис. 2.1. Панель подкреплена продольными ребрами. Участки обшивки между ребрами будем считать анизотропными. Анизотропия является следствием «размазывания» поперечных элементов жесткости (шпангоутов) и продольных (стрингеров). Эти элементы жесткости не показаны на рис. 2.1. Изображенные на рис. 2.1 продольные ребра будем считать расположенными дискретно. Шпангоуты будем считать абсолютно жесткими в плоскости поперечного сечения панели, поэтому приведенный модуль упругости в поперечном направлении Es равен оо. Следствием этого допущения и является не- деформируемость контура поперечного сечения панели. Будем также предполагать, что шпангоуты не препятствуют перемещению точек панели в осевом направлении. Полагаем, что стрингеры воспринимают только осевые усилия и не препятствуют деформации сдвига в поверхности панели. Найдем приведенную толщину панели hx и приведенный модуль упругости ЕХ) соответствующие растяжению-сжатию в осевом направлении.

Пусть 尸J — площадь поперечного сечения стрингера; ts — расстояние между осями соседних стрингеров (рис. 2.2). Дополнительная приведенная толщина обшивки за счет стрингеров будет 6x=Fx*[ts. Суммарная приведенная толщина

где й — толщина обшивки без ребер.

Если растянуть элемент па'нели, показанный на рис. 2.2, в осе

вом направлении (вдоль оси х) и приравнять деформацию действи

тельной панели к деформации приведенной, то найдем приведенный модуль упругости

J=E+匕-Е)普，

где Е—модуль упругости обшивки без стрингеров;瓦* — модуль упругости материала стрингера.

Рис. 2.1. Тоикостеииая панель, подкрепленная продольными ребрами. Показ ано положительное направление отсчета координат, нормальных усилий Т и касательных S

Рис. 2.2. Элемент панели, подкрепленный стрингерами вдоль осн л и шпангоутами вдоль контура S

В предположении, что панель не деформируется в направлении контура поперечного сечения, соотношения закона Гука -можно записать в виде

Т—Exhx sx, S=Gh у, (2. 1)

где % — деформация панели в осевом направлении, у — угол сдвига панели в её поверхности; G — модуль сдвига обшивки; Т — удельные продольные нормальные усилия; S — удельные усилия сдвига в обшивке. .

Если и — продольное перемещение произвольной точки обшивки, то относительная деформация обшивки в продольном направлении -

(2.2)(2.2)du g =- dx

(2.2)

(2.2)

Для нахождения угла сдвига у рассмотрим поперечное сечение панели, показанное на рис. 2.3.

Положение точки М на контуре определяется, с одной стороны, прямоугольными координатами х,协 z, с другой — продольной координатой % и дугой s. Положительное направление дуги * пока」 зАно на рис. 2.1 и 2.3, положительное направление.х — на рис. 2.1. Перемещение точки О начала координат yz, жестко связанных с контуром в направлении осей у н z, обоз-начим через он% перемещение точки М в направлении дуги s обозначим через %. Угол поворота поперечного сечения обозначим через 0. Так как контур не деформируется в своей плоскости, то 50 одинаковы для всех

точек контура и зависят только от координаты х.

Имеем% =刃 ski а 十找jcos ct + rg(2.3)

где г ——расстояние от точки О (или от оси х) до касательной к контуру в точке Л1; а — угол между нормалью к контуру в точке ЛГ и осью у (см. рис. 2,3).--

Угол сдвига т найдем по формуле .

空 匹=也 + 曳 sina +也 cosa + r 里. (2.4) ds dx Cs дхдхдх

Вносим (2.2) в первую формулу (2.1), а (2.4) 一 во вторую.

Попучнм Т=Е也誥,S=G〃偿+$ina+挤osa +噥).

(2.5)

Теперь можно перейти к вариационной формулировке уравнений равновесия и граничных условий. Введение гипотезы недефор- мируемоСти контура поперечного сечения в направлении контура

Рис. 23. Контур речения : цод- крепленной продольными ребрами (жирные точки) панели (оси г и у жестко скреплены с сечением панели; w и V — смещения контура, р — угол поворота контура)Рис. 23. Контур речения : цод- крепленной продольными ребрами (жирные точки) панели (оси г и у жестко скреплены с сечением панели; w и V — смещения контура, р — угол поворота контура)

Рис. 23. Контур речения : цод- крепленной продольными ребрами (жирные точки) панели (оси г и у жестко скреплены с сечением панели; w и V — смещения контура, р — угол поворота контура)

Рис. 23. Контур речения : цод- крепленной продольными ребрами (жирные точки) панели (оси г и у жестко скреплены с сечением панели; w и V — смещения контура, р — угол поворота контура)

Рнс. 2.4. Положительное направление усилий, приложенных к j-му участку об-шивки и прилегающим ребрам

(es = 0), естественно, накладывает отпечаток на исходные соотношения, в частности, на уравнения равновесия и граничные условия. Некоторые из уравнений и граничных условий придется отбросить или заменить упрощенными. Для того чтобы не ошибиться в выборе нужных уравнений и особенно граничных условий, удобно использовать вариационный принцип Лагранжа, из которого необходимые соотношения вытекают естественным путем.

Согласно принципу Лагранжа в положении. равновесия вариация потенциала системы 6П, равная потенциальной энергии 6U и взятой со знаком минус работе внешних сил бЛ, на возможных перемещениях равна нулю

m = bU，BA=0.(2.6)

Рассмотрим цил ин дрическую панель, изображенную на рнс»2.3. В общем случае будем предполагать, что число продольных ребер произвольно и равно п+1. Поперечное сечение панели показано на рис. 2.3; там же дана нумерация ребер и участков обшивки между ребрами; /-й участок обшивки с прилегающими ребрами изображен на рис. 2.4, где показано также положительное направление внешних сил Pj и Р/, приложенных к левому (при х=0) и правому (при %=〃) концам ребер; внешних нормальных усилий Т и 7* приложенных к левому и правому торцам панели; удельных продольных нормальных Т и удельных касательных усилий S. Здесь же указано направление граничных значений S扌 и S, ——удельных касательных усилий S иа линии соединения обшивки с ребрами /-М и j・

Учитывая, что контур поперечного сечения является жестким, можно написать•

，и+1，

BU=$J (T6g*+S3Y)dxds+2 fN亦力 dx,(2.7)

0 sj=lб

где интеграл по s берется по всему контуру, N§ — продольное усилие в 戸м ребре; 8Х и т — относительная продольная деформация и угол сдвига в обшивке; £j — относительная продольная деформация элемента /-го ребра; £j=d〃j/d%, щ ——продольное перемещение элемента /-го ребра.

Выражая -в (2.7) деформации через перемещения с учетом фор- мул (2.2), (2.4) и формулы ^j=dUjfdx и избавляясь от вариации производных интегрированием по частям соответствующих выражений, получим вариацию потенциальной энергии

6U=—,,[(巽+ *)"辽+^"(sin at刃 + cos出砌 + г&в]х Os

причем

+ ^^ \ (S工i —S/ —匕辽"汕，I,

Lo 4о J

S2i = S^ =0.

(2. 8)

Вариация работы внешних сил

д4-1

6А = J [Л8« (/)—亢儿(0)] ds + £ [P^Uj (/)-尸掰/ (0)].(2.9)

Обозначим через Qy, Qz, Ms — соответственно проекцию главного вектора усилий S на оси у, z н момент карательных усилий S относительно оси х.

Q^ = J S sin ads, Qz = ^ S cos ads, Ms = ^ Srds.(2. 10)

Подставляя выражения (2.8), (2.9) в вариационное уравнение (2.6) и учитывая обозначения (2.10), приведем его к виду

m = bU-^A^-^(^-+^~yubxds-

0 S

5。+礬6砌+譬咿A

Q

n+1 z dN

+ s『—S工中必+\ {[〃/) — %] 6〃 (/)-'

7?1-оs

-[T(o)_ Л 8«(0)} ds+£ {w, (Z) - p}] 4-W-

-[Nj (0) - Ру] 8иу (0)+[Q^B^+Q^w+Afs8P] j=0.(2. 11)

0

(2. 12)(2. 12)156)156)

(2. 12)

(2. 12)

156)

156)

Рис. 2.5. Положительное направление усилий, при-ложенных к /-му ребру

Прирав'нивая нулю множители при произвольных вариациях перемещений 况，и, w и угла поворота р, получим следующие исходные соотношения задачи.

Уравнение равновесия элемента обшивки 竺+竺=0.

дх ds

Уравнение равновесия элемента ребра (рис. 2.5)

半+S7 — S工 1 = 0, S『SZi = 0 (/=1, 2,...,九 + 1). (2. 13) dx

Статические граничные условия обшивки и ребра

, ~Т = 7, N 产 Pj(j=]…、几+D при х = 0, (2. 7 = 7* N> =戶｝ (/ = 1,…，八 +1) при x = Z, , (2.

Qy=Qz=Ms — 0. ' (2.

Последние условия для Qy, Q” Ms должны выполняться при любом значении х. Действительно, подынтегральное выражение второго интеграла в (2.11) показывает, что эти величины не должны меняться вдоль оси х. С другой стороны, они должны равняться нулю на торцах панели согласно выражению в последней квадратной скобке (2.11). ~ ，

Уравнения (2.12) и первые условия (2.14), (2.15) имеют место в каждом отсеке обшивки между ребрамй. Уравнения равновесия рёбер можно также рассматривать как граничные условия на продольных кромках обшивки в месте контакта с ребрами.

Полученные условия (2.14)——(2.16) делятся на две группы. К первой относятся условия (2.14) и (2.15) для продольных усилий и они должны выполняться в каждой точке сечения. Ко второй группе относятся интегральные условия (2.16) для касательных усилий S. Они показывают, что нельзя найти решение задачи, которое дает касательные усилия S, равные нулю в каждой точке торцевых сечений. Это обстоятельство не умаляет практической ценности получаемых решений, так как реальные панели обычно имеют жесткую отбортовку, которая сохраняет контур поперечного сечения, не деформируется в поперечном направлении и воспринимает касательные усилия со стороны обшивки, которые в этом случае не обязательно равны нулю.

Если на торцах панели, кроме продольных усилий, приложены поперечные, то условия (2.16) изменяются: проекции Qy, Qz и момент Ms усилий S должны быть постоянными и равными соответствующим заданным проекциям и моменту внешних усилий. Пос- -ледние могут быть приложены как к обшивке, так и к концам ребер, что не влияет на решение.

В качестве геометрических условий на каком-либо торце пане* ли могут быть заданы перемещения и, vt w и угол поворота р. Причем перемещение и задается в каждой 工очгке сечения. Вариационный принцип каждой статической величине ставит в соответствие геометрическую: 一

7〜我；N?〜uф Qg〜仇Qz〜矶 M,〜§.

Если к системе полученных соотношений (2.12) — (2.16) добавить соотношения закона Гука (2.5) и условия равенства продольных перемещений ребер и прилегающих участков обшивки, то получится полная-система уравнений, необходимых для решения задачи. . .

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Согласно принципу Сен-Венана напряженное состояние в упругом теле наиболее существенно зависит от характера внешних силовых факторов, приложенных к границе тела только в некоторой окрестности границы. Вдали от места приложения внешних сил напряженное состояние определяется только суммарным вектором и моментом внешних сил и практически не зависит от характера . приложенных к телу усилий. Следовательно, напряженное состояние в цилиндрической панели/изображенной на рис. 2.3, по мере удаления от торцевых сечений, нагруженных внешними продольными усилиями, будет выравниваться и, если панель достаточно длин- н、ая, постепенно перестанет меняться в продольном направлении. Такое напряженное состояние целесообразно выделить отдельно. Назовем его элементарным напряженным состоянием.

Удельные продольные нормальные усилия 7 и удельные касательные усилия S в обшивке выражаются через перемещения по формулам ■г， '.

.'7=马区^, S=GM^ + s' + ®・z，+ §・r),(2. 17)

получаемым из фцрмул (2.5). Точками обозначены пролзвод'ные по х, штрихами — по s.

Найдем решение, при котором усилия Г и S не меняются по Длине панели вдоль координаты х •

7 = 〃s), S=S(s).

Для того чтобы такое решение удовлетворяло уравнению равновесия (2.12)一

нужно положить S=const. Тогда из первой формулы (2.17) следует, что'

曹=g(5),北= %?(S)+%(S),

где(p(s) и(pi(s)——некоторые пока произвольные функции, которые найдем, подставляя значение и в выражение (2.17) для S= =const. При этом найдем.*

X屮'⑻ + 向(s) + р・(х) 9’ (s) + ®[(х) z，(s) + У(х) 7•⑻千 с.

Здесь с — постоянная.

Так как функции *(s), i(s), r(s) являются известными и, во обще говоря, произвольными, то полученное равенство возможно, если положить

%(s) = c, и (х)= —qx,(2 18)

加(х) = — &х, г (х) = — QX,

причем Ci, % 04 — некоторые постоянные. При этом

' У(S)= С“ ⑻ + &2‘ ⑻ + CJ(S),

откуда?⑻=0^十分2+ q+qj rds.

Постоянная с характеризует постоянное по сечению касательное усилие, которое должно быть равно нулю, так как панель не закручивается внешними усилиями. При этом будут выполнены условия (1.16) Q&=Qz=Ms = 0.

Значит, продольное перемещение .

и=х^с}у^с2г^с3-]~с4 J Ms)

Согласно формулам (2.18), произвольная постоянная с《характеризует закручивание цилиндрической панели или поворот сечений вокруг продольной оси х. Закручивание вызывает депланацию сдв-йга. Если контур поперечного сечения замкнут, то постоянную G следует положить равной нулю, для того чтобы продольные перемещения и были непрерывными функциями при обходе контура поперечного сечения. Если контур незамкнутый, то, вообще говоря, с4=й0. В этом случае может возникнуть сколь угодно большая деп* ланация. Мы будем предполагать, что депланация ограничивается (стесняется) извне, например ограничивается продольное перемещение торцевого контура (поперечного сечения. Поэтому возьмем С4=0. Элементарное решение для перемещений и при этом будет иметь вид.

北="(0也 + 022 +03)，(2. 19)

а усилия в обшивке

T=Exhx(сху^с2г^с^ -,(2.20)

Продольные усилия в j-м стержне равны

Nj=EjFj ^1У/ + c2Zj + с^(2.21)

где Е力 Fj ——соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения /-го ребра.、

Постоянные с】，с? и 禽 имеют простой физический смысл:仃 и с? являются кривизнами оси панели после ее искривления соответственно в плоскости ху и xz. Это-следует из формул (2.18). Постоянная Сз・ представляет собой продольную деформацию оси панели. Для определения ci, С2, сз нужна использовать три интегральных граничных условия, приравнивая сумму внутренних усилий в произвольным поперечном сечении панели сумме усилий, заданных на торце, а также сумму моментов внутренних усилий относительно поперечных осей у и г ——аналогичной сумме моментов внешних усилий. Такие условия являются естественными и получаются из вариационного уравнения (2.11) после подстановки туда значения 〃 из формулы (2,19) и приравнивания нулю множителей при произвольных вариациях постоянных ci, Сз・ Упомянутые условия имеют вид

j Tyds }-^ N必=也2； j Tzds +^NjZj^My* sAs；=i(2.22)

jTds + E* 尸亢 s > = 1

где 必%, ^y, 7 — суммы моментов и сумма внешних сил, заданных на торце х = 0. Условия (2.22) после подстановки туда усилий 7 и М из формул (2.20) и (2.21) можно записать в виде

с& + c2Sy + Сз 尸=穴 q/必 + c2I g + c3Sy =历加q

G 厶 + Q/gz + QS% = Mz・

Здесь F=EX J dF-Y^EjF)\ SZ = EX j ydF-^^EjFjyp

S^E^zdF + ^EjFjZf, /；=£」幽尸+ 工与尸必；

T^E^z^F+^EjF^, 7”=Ej"d尸+ £弓乃勿弓.(2.24)

Выберем новую систему координат 协厶 так, чтобы

Sgi = Szi = /yi2i ~0,(2.25}

и примем ее за координатную систему рассматриваемой панели. Уравнения (2.23) при этом упростятся и мы найдем

Формулы для перемещений 〃，и,⑫ и усилий Г, ^ при этом окончательно мож>но записать в виде

〃=x(-^-g+・-^-z4--|-); v= — у^-х2; ®=--^-х号

7=Е也(岩"+謂z + 专)；/=专尸,(*刃十器芬

Полученное решение является решением теории сопротивления материалов для неоднородной балки, состоящей из обшивки и про* дольных ребер. Система координат y{Z\ является главной и выражается через координаты у, z по формулам、

(2. 26)(2. 26)у 1 = (д — у/ cos 0 — (2 — zc) sin 0;21H ® 一 九)sin 0 +(2 - %) cos 仇

(2. 26)

(2. 26)

Значение yCt z, и 0, характеризующие начало отсчета и угол поворота новой системы координат 协勺 относительно старой у, z, найдем, подставляя у и z из (2.26) в соо'цюшения《2.24) и решая полученные уравнения относительно ус, zc и 0 с учетом равенств (2.25). В итоге имеем

勿=整，？С=У尸F勿=整，？С=У尸Ftg』2tg』2PlyZ — SgSz戸商一公）+得一学PlyZ — SgSz戸商一公）+得一学

勿=整，？С=У

尸F

勿=整，？С=У

尸F

tg』2

tg』2

PlyZ — SgSz

戸商一公）+得一学

PlyZ — SgSz

戸商一公）+得一学

Полученное элементарное решение в некоторых случаях удобно выделить из общего. Например, при рассмотрении бесконечно длинных панелей после такого выделения можно разыскать напряженное состояние, исчезающее на бесконечности, в виде функций типа <р (s) е-Хх.

24 ПЛОСКАЯ ПАНЕЛЬ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

Для удобства дальнейших расчетов запишем исходные уравнения разд. 2.2 применительно к плоской панели, показанной на рис. 2.6. Пусть ширина панели будет 2Ь; длина — /; площади сечения ребер /, 2 соответственно — Q и 尸2, модули упругости ребер — Еь £2； толщина и ^модуль упругости пластины между ребрами—%, • J； модуль сдвига — G; толщина пластины без учета «размазанных» ребер —— 力.Правый торец панели защемлен, левый свободеи. Левые концы ребер нагружены продольными силами Pi и Р?・ Начало отсчета координаты s совпадает *с серединой панели, начало отсчета х совпадает с левым торцем.

T = E®% S"“^T = E®% S"“^IМ=马尸2M ，[5=—ь,d* $nbIМ=马尸2M ，[5=—ь,d* $nbгдегде(2. 28)(2. 28)(2.29)(2.29)

T = E®% S"“^

T = E®% S"“^

IМ=马尸2M ，

[5=—ь,d* $nb

IМ=马尸2M ，

[5=—ь,d* $nb

где

где

(2. 28)

(2. 28)

(2.29)

(2.29)

Рис. 2.6. Плоская панель, подкрепленная двумяребрами

Продольные растягивающие усилия в пластине Т, усилия в ребрах "i, №2, касательное усилие S в пластине выражается по формулам

где u — продольное перемещение панели; v — поперечное. Перемещение v является функцией только продольной координаты х. Положительное (направление усилий ^показано на рис. 2.7.

Уравнение равновесия (2.12) элемента пластины после подстановки туда усилий 7 н S из (2.27) запишем в перемещениях

Дифференциальное уравнение (2.28) должно удовлетворять на левом торце статическому условию 7 = 0, на правом — условию защемления 以=0.

Уравнения равновесия (2.13) ребер будут

国工+ S(x, 一〃)=0, 纯一S(x, 3 = 0.(2.30)

、dx

Концевые условия для усилий N、, № имеют вид '

N、= Рк *2=自 при х=0.(2. 31)

Уравнения (2.30) можно проинтегрировать и с учетом концевых условий (2.31)'записать в форме

х*

Nl — P{ — ^S(xi — 〃)dx, jV2=P24-Js(x, b)dx. (2. 32)

о0

Эти уравнения можно использовать как формулы для определения усилий "1 и “2 в ребрах, если известны удельные касатель-' ные усилия S в пластине.

Кроме написанных соотношений быть выполнено условие

JSds=O,

Рис. 2,7. Положительное направление усилий панели

которое служит для определения поперечных перемещений и. Подг ставляя сюда S из формулы (2.27), найдем

dvdxdvdx"—(«2 —^1)»"—(«2 —^1)»(2. 33J(2. 33J

dv

dx

dv

dx

"—(«2 —^1)»

"—(«2 —^1)»

(2. 33J

(2. 33J

где Mi,以2 — продольные перемещения первого и второго ребер.

Введем безразмерные координаты & 刀 и безразмерную длину панели 厶：

•(2.34)аЬЬab，•(2.34)аЬЬab，Соотношения закона Гука (2.27) будут при этом иметь видСоотношения закона Гука (2.27) будут при этом иметь вид(2. 35)(2. 35)

•(2.34)

аЬЬab，

•(2.34)

аЬЬab，

Соотношения закона Гука (2.27) будут при этом иметь вид

Соотношения закона Гука (2.27) будут при этом иметь вид

(2. 35)

(2. 35)

Везде ниже перемещения Si и и2 будем отождествлять с перемещениями кромок пластины т)=——1 и 刀= +1, т. е. полагать Wi = u(^,——1),以2=以(匕，1). Такое отождествление есть следствие условия совместности деформаций ребер и прилегающих к ним кромок пластины.

Уравнение равновесия пластины (2.28) в координатах (2.34) имеет вид уравнения Лапласа

Уравнения равновесия ребер (2.30) после подстановки

М, № и S из формул (2.35) будут-иметь вид

усилий

《2% du1 а”н1

h 么2 1 内 1 аР "'

(2. 37)

内 Q 0《и, при TJ I причем旧=曾^ (/=1, 2);

(2. 38)

@2口02ц

=u.

九2 1内2

(2. 36)

dv/d^ определяется по формуле (2.33).

Соотношения (2.32) в координатах g, Т)имеют вид

M = R-叫 S(&M = R-叫 S(&с

M = R-叫 S(&

M = R-叫 S(&

一1)對，№2 = 2 +。匕 fs(C,T)對.(2.39)

О

Граничные условия на поперечных кромках будут Т=0 при g = 0, 〃=0 при £ =厶.

Решение системы приведенных выше уравнений рассмотрим ниже на конкретных примерах.

РАСТЯЖЕНИЕ СИММЕТРИЧНОПОДКРЕПЛЕННОЙ ПАНЕЛИ

Исследуем напряженное состояние симметрично подкрепленной панели, изображенной на рис. 2.8, используя дифференциальное уравнение в частны^ производных (2.36).

Частное решение дифференциального уравнения равновесия (2.36), следуя методу Фурье, возьмем в виде произведения двух .функций

〃=屮«)屮(11).. .'(2.40)

"Тогда для искомых функций ф и 屮 получим из уравнения (2.36) два обыкновенных дифференциальных уравнения

=0, * + # 屮=0,(2.41)

где 0 — пока произвольное постоянное число.

В силу симметрии продольные перемещения и должны быть четной функцией координаты т)=$/Ь, поэтому примем

屮=CiCh耽+ c2shK,(p=cos6т).

Здесь 0 н з — произвольные постоянные.

Подставляя <р и 屮 в формулу (2.40) и выполняя условие защемления правого торца панели 以=0 при 二=乙,получим 内= ——Gi cth 8厶.Значит,

〃=csh8(/i—0cos8n,(2.42)

при этом с ——новая произвольная постоянная, /1 ——безразмерная длина панели, определяемая формулой (2.34).

Подберем теперь число 0 так, чтобы удовлетворить дифферен- диальным уравнениям равновесия ребер (2.37). Так как в рассматриваемом случае перемещения ребер 以i и u2 одинаковы, параметры >1ь Ц2 одинаковы, то вместо двух дифференциальных уравнений 《2.37) будем иметь одно:

гдегдеВ/ ди —°"0 内В/ ди —°"0 内=n1 =p2 = Bxhxb=n1 =p2 = Bxhxbпри т>= + 1,EFпри т>= + 1,EF(2. 43)(2. 43)(2.44)(2.44)£, F — соответственно модуль упругости и площадь сечения каждого ребра.Подставляя перемещение и из формулы (2.42) (2.43), получим уравнениеtg 8 + 卩8=。.£, F — соответственно модуль упругости и площадь сечения каждого ребра.Подставляя перемещение и из формулы (2.42) (2.43), получим уравнениеtg 8 + 卩8=。.поперечногопоперечногов уравнениев уравнение(2. 45)(2. 45)

где

где

В/ ди —°

"0 内

В/ ди —°

"0 内

=n1 =p2 = Bxhxb

=n1 =p2 = Bxhxb

при т>= + 1,

EF

при т>= + 1,

EF

(2. 43)

(2. 43)

(2.44)

(2.44)

£, F — соответственно модуль упругости и площадь сечения каждого ребра.

Подставляя перемещение и из формулы (2.42) (2.43), получим уравнение

tg 8 + 卩8=。.

£, F — соответственно модуль упругости и площадь сечения каждого ребра.

Подставляя перемещение и из формулы (2.42) (2.43), получим уравнение

tg 8 + 卩8=。.

поперечного

поперечного

в уравнение

в уравнение

(2. 45)

(2. 45)

•Характеристическое уравнение (2.45) имеет нулевой . корень в = 0 и бесконечно много ненулевых корней 0=0； (/= 1, 2,...). Корни 仇，показанные на рис. 2.9, лежат на пересечении кривых tg 0 и

Рис. 2.8. Симметрично подкрепленная и нагруженная панель

Рис. 2.9, Графическая иллюстрация корней Oj характеристического уравненияtg 8 + 卩8 = 0

Введем обозначение

a/=冗/—-,力=a/ +玩(2.46)

Подставляя отсюда 0, в уравнение (2.45), получим следующее уравнение для нахождения 0广

tgp」=,[门丿(2・47)

mg十储)

откуда следует, что при больших индексах /

>一-—.(2. 48)

Уравнение (2.47) удобнее в практических расчетах, чем (2.45), так как 0V自之冗/2.

Решение, соответствующее нулевому корню, в силу (2.41) и (2.40) представляет собой линейную функцию по координатам 二 и г], которую возьмем в виде (со ——произвольная постоянная)

%=。0 (С — Л)»-

для того чтобы удовлетворить уравнению (2.43) и условию защемления правого торца. Полученное решение является элементарным решением сопротивления материалов.

Складывая решение 〃о и решения (2.42) для всех корней 0； (/ = 1, 2,...), общее решение для и представим следующим образом:

*我= с0(С —人)+e办5116/(厶一匸)(：05%斗(2.49)

Согласно сказанному в разд. 2.3, для определения постоянной

Со нужно использовать последнее условие (2.22), т. е. условие ра-

венства нулю суммы всех внешних и внутренних усилий в любом сечении ^. Это условие имеет вид.

2P=b J7 (С, ^rfn + ^ro^^W，-(*)

где Т(& Т))，М(9 и Л^2(?) —соответствующие усилия при ^=0.

Подставляя перемещение и из выражения (2.49) в (2.35) и затем усилия в условие (* ), найдем

.(2. 50)

(1 +Ю^Л

Постоянные Cj в формуле (2.49) определяются из условия Т(0, Л)=0, которое также можно записать в виде

-^-=0 при [=0.

После подстановки сюда и из (2.49) будем иметь

EgO/Ch%厶 cos%r)= Q.(2.51)

Путем непосредственного вычисления можно убедиться, что функции cos 0ут] не ортогональны на отрезке [0, 1], однако ортогональны функции sin®沖 Свойство ортогональности используем для вычис^ ления коэффициентов q из (2.51). С этой целью разложим функцию п в ряд.

.,、cos О / sinsin 0л)

n^^l+^y —2_崇=_2(1+户)S4——.

与 8八1 +*cos29/)V 力(1十步+雜号)cos О/

一L(2.52)

При этом последнее выражение получено из предыдущего с помощью. уравнения (2.45).

Дифференцируя ряд (2.52) и подставляя в правую часть (2.51) вместо множителя единицы, получим, сравнивая коэффициенты слева и справа.，

8/(1 + р. + 衿鸣)cos 9/ ch ^jl\

Продольные перемещения 〃 согласно (2.49) окончательно можно записать в виде

—2(14- ) V Sh9j«-C)cos5 ]

(1 + *) E*hx'' ' j^4 0/ (1 十世十 *2号)cos Oy ch %厶 J

(2. 54)

Удельные нормальные усилия Т и удельные касательные усилия S в пластине найдем по формулам (2.35), подставляя туда значение и из выражения (2.54),

7=小+2(心e71^献』]，

■8片 1(2.55)

s — 2Р 3 sh %(A7) Sin。川.

ab (1 + р. p.2 02) COS Oy ch 0;；!〔

Внутренние усилия в ребрах вычислим по любой из формул (2.32), подставив туда S из (2.55),

N、= N, = P Г1-2.У —巴呼 i?ai)].(2. 56)

L 身 (i+"+曲学)ch恥 J''

Полученное решение имеет следующие особенности. В явном вн- де выделено элементарное решение теории сопротивления материалов. Каждый член полученных рядов точно удовлетворяет условию защемления правого торца панели, условию совместности деформаций ребра и прилегающей кромки пластины, а также уравнению равновесия каждого ребра. Условие отсутствия нормальных усилий на свободном левом тсфце панели удов л етвор яется не каждым членом ряда, а всем рядом в целом. Такое удовлетворение некоторому условию можно назвать приближенным, так как при замене ряда конечной суммой, что, естественно, придется делать в практических расчетах, это условие будет выполнено прибли^ женно.*■

Описанный способ решения является удобным по двум причинам. Во-первых, возможен непосредственный' предельный переход к панели бесконечной длины. Во-вторых, каждый член полученных рядов носит экспоненциальный характер изменения по длине панели, что соответствует характеру искомых решений. Однако описанный метод решения имеет недостатки. Обсуждаемое решение неудобно использовать для панелей, у которых не равны нулю поперечные перемещения. Как будет показано ниже, в этом случае собственные функции оказываются не ортогональными, поэтому нельзя найти коэффициенты рядов в явном виде. Кроме этого, решение малоудовлетворительно в случае достаточно коротких, но широких пластин. В этом случае более выгодно строить разложение искомых функций в тригонометрические ряды по поперечной координате..

Рассмотрим частные случаи.•

Панель бесконечной длины. В этом случае в формулах (2.55) и (2.56) достаточно сделать эямену

ch 9/人ch 9/人ch。/(厶一С) shO/d — — d-9《

ch 9/人

ch 9/人

xh 6/厶

pp|Х|ХРис. 2.10. Неподкрепленная пластина, нагружен-ная силами Р в угловых точках

p

p

|Х

|Х

00Неподкрепленная пластина, нагру-

0

0

г g 夕 женная силами в угловых точках (рис.

V」、 匕 2.10). Здесь коэффициент д, определяе

мый формулой (2.44), равен нулю. Кор-

ch л jl\ch л jl\(——l)/chг/ (厶——[)cos几j円(——l)/chг/ (厶——[)cos几j円ch njl^ch njl^(-1)/sh it j (八-匚)sin л;九(-1)/sh it j (八-匚)sin л;九(2.57)(2.57)(—iy sh лу (；! ― С) cos Л jf\ ” nJ ch nj^.(—iy sh лу (；! ― С) cos Л jf\ ” nJ ch nj^.ни уравнения (2.45) 0^ = л/, поэтому формулы (2.54) и (2.55) будут иметь вид

ch л jl\

ch л jl\

(——l)/chг/ (厶——[)cos几j円

(——l)/chг/ (厶——[)cos几j円

ch njl^

ch njl^

(-1)/sh it j (八-匚)sin л;九

(-1)/sh it j (八-匚)sin л;九

(2.57)

(2.57)

(—iy sh лу (；! ― С) cos Л jf\ ” nJ ch nj^.

(—iy sh лу (；! ― С) cos Л jf\ ” nJ ch nj^.

В заключение исследуем сходимость полученных рядов (2.54)— (2.56). Для этого используем формулу (2.46) для 0)и приближенную формулу (2.48), справедливую при />п, где

2"一1)2"一1)10,04 晔10,04 晔(2.58)(2.58)

2"一1)

2"一1)

1

0,04 晔

1

0,04 晔

(2.58)

(2.58)

Написанное неравенство является условием замены в уравнении (2.47) величины tg 0)величиной самого угла В*

Когда п соответствует условию (2.58), формулы (2.54) — (2.56) можно записать в виде

Т sin а川Т sin а川叫叫ту ws^s=邑+常£丄ту/=л+1ту ws^s=邑+常£丄ту/=л+1е^а/ I cos а*е^а/ I cos а*1)sin ау 1)1)sin ау 1)步曾步曾7)cos а*7)cos а*(2. 59)(2. 59)а/а/(l—ef),(l—ef),

Т sin а川

Т sin а川

叫

叫

ту ws^s=邑+常£丄ту

/=л+1

ту ws^s=邑+常£丄ту

/=л+1

е^а/ I cos а*

е^а/ I cos а*

1)sin ау 1)

1)sin ау 1)

步曾

步曾

7)cos а*

7)cos а*

(2. 59)

(2. 59)

а/

а/

(l—ef),

(l—ef),

где величины un, Tn, S^, N\n вычисляются по формулам (2.54)— (2.56) при удержании 九 членов ряда, а коэффициенты а> определены представлениями (2.46).

Ряды, стоящие в правой части формул (2.59), сходятся, очевидно, во всех внутренних точках пластины ^=#0, n=# ±1. В угловой точке 己=0, п = 1 при больших / коэффициенты рядов (2.59) для 〃> Т, S имеют вид

(2； —1)3， (2/ —1)2 2/ —1

Отсюда следует, что функции и и Г ограничены в угловой точке, а касательное усилие S неограниченно возрастает.

Найдем асимптотическое представление для вычисления удельных касательных усилий S в окрестности угловой точки 二=0, т)= L

Если (принять 1во внимание, что неограниченно возрастающая часть решения не зависит от добавления или вычитания произвольной ограниченной функции, то асимптотическую формулу для удельных касательных усилий S можно найти, просуммировав ряд

S = ~^* X 0)二 е-я/ sin а*(2. 61)

в окрестности угловой точки п = 1，己=。・ Формула (2.61) вытекает из (2.59).

Введем координаты

%=1-11,L八计？ z=^(-c + »ili), (2.62)

.при этом q ―- это расстояние от угловой точки до рассматриваемой точки * Т]1・

Формула (2.61) с учетом (2.62) будет иметь вид

5=一也4已‘"3:(2.63)

Учитывая выражение (2.46) для aj, зависимости (2.62) для z и используя представления для суммы убывающей геометрической прогрессии, получим для окрестности угловой точки.

£ef cosa^G*.

Интегрируя это выражение по ^ и отбрасывая постоянное слагаемое, не влияющее на неограниченную часть интеграла, с учетом (2.63) найдем

Ор

г(2.64)

Формула (2.64) справедлива при 卩耍0. Если же ц==0, т. е. панель не подкреплена ребрами (рис. 2.10), то характер особенностей решения будет иной. Рассмотрим этот случай отдельно, исходя из формул (2.57).

Выберем число п так, чтобы при j?孔 в формулах (2.57) гиперболические функции можно было заменить экспонентами и перепишем эти формулы в виде

7=Т"+早 ±efКсэвк/%, S=S“一^ у efc sin 冗/Пн

/=л+1/=л+1(2. 65)(2. 65)/^л+1

/=л+1

/=л+1

(2. 65)

(2. 65)

где 7乳,5П, 〃乳—величины T, S,以, вычисленные - по формулам (2.57) при удержании п членов в каждом ряду, r>i= 1—t].

Точно так же, как была получена асимптотическая формула (2.64), найдем асимптотические представления для Т, S и 〃，исходя из (2.65). Для окрестности точки 二=口1 = 0 лепко получить следующие асимптотические оценки -

Л^2Л^2^^ e-兀* cos л/П1 ~ —, ^^ e-亢火 sin л丿 口「

Л^2

Л^2

С учетом этих зависимостей и формул (2.65) после отбрасывания ограниченных функций - получим следующие асимптотические формулы для рассматриваемого случая

T七空工,- -^-； U^-^-lRQ. (2. 66) jib q2 nab q2 , л£ЛйЛ

■ Вырежем в окрестности угла пластины элемент, как, например, показано пунктиром на рис. 2.10. Если вычислить горизонтальную составляющую главного вектора усилий Г и 5, действующих на помеченные пунктиром грани, то увидим, что эта. составляющая в точности равна приложенной силе Р. Указанное обстоятельство свидетельствует о том, что характер особенностей (2.66) есть следствие условия равновесия элемента пластины, прилегающего к нагруженному силой углу. Этот характер не может измениться, если расчет вести согл асно точным уравнениям плоской теории упругости.

Отметим, что решение задачи при иных граничных условиях на правом -торце строится точно так же. Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением защемленных справа панелей, тем более, что в зоне концентрации напряжений граничные условия не оказывают практического влияния на величину напряжений. В случае же достаточно длинных панелей влияние граничных условий на правом торце несущественно во всей области, за исключением окрестности самого правого торца.

По формулам (2.55), (2.56) был выполнен расчет. Иллюстрация сходимости рядов (2.55) дана на рис. 2.11 и 2.12. На рис. 2.11 по оси 86

Рис. 2.12. Иллюстрация сходиmqcth ряда (2.55) для касательных усилий S (% —— число удерживаемых слагаемых ряда)Рис. 2.12. Иллюстрация сходиmqcth ряда (2.55) для касательных усилий S (% —— число удерживаемых слагаемых ряда)Рис. 2.11. Иллюстрация сходимости ряда (2.55) для нормальных усилий 7 в панели, отнесенных с усилиям при простом растяжении 7°=Р/(1 + р,)Ь (п — числа удерживаемых слагаемых в ряду (2.55))Рис. 2.11. Иллюстрация сходимости ряда (2.55) для нормальных усилий 7 в панели, отнесенных с усилиям при простом растяжении 7°=Р/(1 + р,)Ь (п — числа удерживаемых слагаемых в ряду (2.55))

Рис. 2.12. Иллюстрация сходиmqcth ряда (2.55) для касательных усилий S (% —— число удерживаемых слагаемых ряда)

Рис. 2.12. Иллюстрация сходиmqcth ряда (2.55) для касательных усилий S (% —— число удерживаемых слагаемых ряда)

Рис. 2.11. Иллюстрация сходимости ряда (2.55) для нормальных усилий 7 в панели, отнесенных с усилиям при простом растяжении 7°=Р/(1 + р,)Ь (п — числа удерживаемых слагаемых в ряду (2.55))

Рис. 2.11. Иллюстрация сходимости ряда (2.55) для нормальных усилий 7 в панели, отнесенных с усилиям при простом растяжении 7°=Р/(1 + р,)Ь (п — числа удерживаемых слагаемых в ряду (2.55))

ординат отложено' отношение удельных шродольных усилий в пластине Т к удельным продольным усилиям

(1 + *) 5

в пластине, если бы она вместе с ребрами растягивалась как стержень без депланации поперечного сечения. По оси ординат отложено число удерживаемых слагаемых в рядах (2.55). Расчет был выполнен при Т)=s/b = 1 (см. рис. 2.8), т. е. на .линии контакта пластины с ребром, где сходимость рядов наихудшая. Была взята плас- ти'на с параметрами 厶=〃ab=l и 卩=1 и 5, которые определены формулами (2.44) и (2.34). Из рис. 2.11 видно, что достаточно точный результат можно получить, если удержать в первом ряду (2.55) 8——10 слагаемых. Сходимость ряда для касательных усилий S хуже. Это показано выше аналитическим путем и подтверждается кривыми на рис. 2.12, где даны результаты сходимости ряда (2.55) для усилий S в панели с параметрами /)= 1, ц== 1 на линии контакта пластины и ребра n=L В угловой точке 工=0 ряд расходится, а для получения достоверных результатов в зоне 二》0,05 достаточно двадцати слагаемых. Это число и было выбрано в расчете для всех трех рядов (2.55) и (2.56).

На рис. 2.13 показан характер изменения отношения продольных усилий в пластине Т/Т° по длине пластины. 7。一 решение (2.67)/полученное по формуле сопромата при растяжении панели как стержня. Во всех сечениях “Vt усилия Т обращаются в нуль на торце панели 二=0. При п=1 на линии соединения пластины и

Рис. 2.14. Характер выравнивания продольных усилий 7 по длине панели (7° —— усилия (2.67), координаты ^, Т)и параметры 卩，厶，а обозначены иа рис. 2.12)Рис. 2.14. Характер выравнивания продольных усилий 7 по длине панели (7° —— усилия (2.67), координаты ^, Т)и параметры 卩，厶，а обозначены иа рис. 2.12)Рис. 4.13. Изменение продольных усилий 7 по длине панели (7° — усилия (2.67) при простом растяжении панели)Рис. 4.13. Изменение продольных усилий 7 по длине панели (7° — усилия (2.67) при простом растяжении панели)ребра Т=#0 в точке ^=0. Это особая точка, в которой нарушается граничное условие Т=0. Из рис. 2.13 видно, что в пластине с параметрами /1 = 1,卩=1 нормальные усилия Т существенно меняются по ширине панели даже на защемленном торце 工=厶=1. Выравнивание усилий Т происходит у более длинных панелей, что иллюстрирует рис. 2.14. При 卩=1 усилия на торце выравниваются у панели с параметром длины >1 = 〃оЬ = 2. Параметр \^=EF/E^hxb ха

Рис. 2.14. Характер выравнивания продольных усилий 7 по длине панели (7° —— усилия (2.67), координаты ^, Т)и параметры 卩，厶，а обозначены иа рис. 2.12)

Рис. 2.14. Характер выравнивания продольных усилий 7 по длине панели (7° —— усилия (2.67), координаты ^, Т)и параметры 卩，厶，а обозначены иа рис. 2.12)

Рис. 4.13. Изменение продольных усилий 7 по длине панели (7° — усилия (2.67) при простом растяжении панели)

Рис. 4.13. Изменение продольных усилий 7 по длине панели (7° — усилия (2.67) при простом растяжении панели)

рактеризует отношение жесткостей ребер и пластины на растяжение. Он существенно влияет на отношение удельных продольных усилий T]D. Это иллюстрирует рис. 2.15. Если' жесткость ребра уменьшается (уменьшается ц), усилия Т в пластине вблизи торца

С=0 существенно возрастают на линии соединения пластины и ребра при “=il. Наоборот, если жесткость ребер велика по сравнению с жесткостью пластины (например, ц—10) усилия Т на линии соединения пластины и ребра при ”=1 будут практически такими же, как и при растяжении пластины как стержня. Это, однако, не означает, что пластина растягивается как стержень и усилия Т не будут меняться по ширине пластины. Изменение их по ширине пластины вблизи торца будет по-прежнему значительным. Просто в указанном случае большую часть внешней нагрузки вос-

Рис. 2.15. Влияние параметра ii==EF/Exhxb на величину отношения продольных усилий 7 в пластине к усилиям 7° в той же пластине при простом растяжении

принимают ребра, а пластина практически не работает. Таким образом, параметр относительной жесткости ц существенно влияет на перераспределение работы, которую выполняют ребра и пластина. С другой стороны, изменение 林 не влияет существенно на величину зоны по длине пластины, в которой происходит выравнивание усилий по ширине пластины. На рис. 2.16 показан характер изменения касательных усилий S по длине пластины. На линии соединения ребра и пластины ” = 1 S->оа при ^->0. Поэтому результаты, приведенные на рис. 2.16 для т)= 1, как отмечалось выше, можно считать достоверными при g》0,Q5. При “VI и g = 0 в реальной пластине .касательные усилия отсутствуют, но на рис. 2.16 они отличны от нуля. Это является следствием принятой в данной главе гипотезы об отсутствии в пластине поперечных деформаций. В данном случае выполняется лишь интегральное условие — интеграл от касательных усилий, взятый по ширине панели, будет равен нулю” Изменение нормальных усилий в ребре по его длине шоказано на рис. 2.17 для четырех значений параметра относительной жесткости ребра ii^=EFlExhxbt равных 0,1, 0»5, 1 и 5. Сплошные линии,, доведенные до координаты g=l и 工=2 соответствуют пластинам с параметрами длины G=1 и А = 2. Пунктирные прямые для 'каждо* го к дают значение

относительного усилия в ребре, которое будет, если пластина вместе с ребрами растягивается как стержень без депланации сечения пластины. Это решение сопромата. Как и следовало ожидать, усилия е ребрах существенно зависят от параметра жесткости к и мало изменяются при фиксированной координате《от параметра дли-

Рис. 2.16. Характер изменения касательных усилий по длине пластины

Рнс. 2.17. Изменение нормальных усилий N в ребре по его длине (параметр 卩 и координата J обозначены на рнс. 2.12)

.В конце этого раздела дана программа расчета усилий по формулам (2.55) и (2.56) на языке АЛГОЛ-60. Вводятся отдельными перфокартами сначала величина параметра 林(244), затем 乙— параметр (2.34), затем" е — точность, с которой требуется вычисление корней уравнения (2.47) и, наконец, п ——число удерживаемых слагаемых в »рядах (2.55) й (2.56). Печатаются ^начала введенные параметры (в порядке следования) ц, А, е, п. Затем печатаются корни характеристического уравнения (2.47). Следующая печать выдает один за другим три массива. Первый массив Т/Т0, где 7° — усилие (2.67), второй выдает Sl/Р—касательные усилия, третий выдает A7P ——усилия в ребрах. Массивы для Т/Т° и Sl/Р печатаются в следующем порядке. Сначала для ©=0 и п = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1, затем для g = /，10 и тех же % затем для《=2〃10 и т. д. до g = G. Массив NjP — одномерный для 11 точек ^л== Wi/10 (k = =0, 1,..., 10).

Программа расчета усилий 7 и S в пластине и усилий N в ребрах по формулам (2.55) и (2.56)

BEGIN INTEGER J, К, S, М; REAL С, Cl, Bl, Al, A2, A3; REAL MU, L, ETA, ZETA, THETA, SIGMA, SIGMA1, ALPHA, A, BETA1, BETA2, EPS, CH, ПИ;

P0042 (MU, L, EPS,M);

P1041 (MU, L, EPS, M);

ПИ : =3.1415926;-

BEGIN ARRAY BETA [1 : M], N {0 : 10], T, Q [0 : 10, 0 : 5];

FOR J： =1 STEP 1 UNTIL M DO

BEGIN BETA1 : =0; ALPHA: =nHx(J—1/2); BETA2: =1; BEGIN BETA2 : =BETA1; A : =1/(MUX (ALPHA + BETA1));

B:*

BETA1 : =ARCTG (A);

END;

IF ABS (BETA 1—BETA2) <EPS THEN GO TO Ml ELSE GO TO B; _

Ml：

BETA[J]:=BETA1;

END;

P1041 (BETA);

FOR К ： =0 STEP 1 UNTIL 10 DO

BEGIN ZETA: =K/10;

FOR S : =0 STEP 1 UNTIL 5 DO

BEGIN ETA: =S/5; SIGMA : =SIGMA1 : =0;

FOR J: =1 STEP 1 UNTIL M DO '

BEGIN THETA : =ПИХ (J—1/2) +BETA [J];

IF THETAxLxZETA>40 THEN Bl : =0 ELSE

Bl : =EXP (—THETAXLXZETA);.

IF 2XTHETAXLX(1—ZETA)>40 THEN Al : =A3 : =1 ELSE -

BEGIN Al : =1 + EXP (—2XTHETAXLX (I—ZETA));

АЗ: =1—EXP (—2XTHETAXLX(1—ZETA));

END;

IF 2XTHETAXE>4O THEN A2 : = 1 ELSE

A2: =1+EXP (—2XTHETAXL);

C : =B1XA1/A2; Cl ： =B1XA3/A2;

SIGMA: = SIGMA + CXOOS (THETAXETA)/(1 + MU+

MUf2xTHETAf2)/COS (THETA);

SIGMA1 : =SIGMA1+C1XSIN (THETAXETA)/(1+MU +

MUf2XTHETAf2)/COS (THETA);.

END;

T(K, S]: =1+2X(1+MU)XSIGMA;

Q [K, S]: =2XLXSIGMA1;

END;

END;

FOR К : =0 STEP 1 UNTIL 10 DO

BEGIN ZETA: =K/10； SIGMA : =0;

FOR J： =.1 STEP 1 UNTIL M DO

BEGIN THETA: =ПИХ (J—1/2) + BETA (J];

IF THETAXLXZETA>40 IHEN Bl : =0 ELSE

Bl : =EXP (—THETAXLXZETA)；

IF2XTHETAXLX(1—ZETA)>40 THEN Al : =1 ELSE

Al : =1 + EXP (—2XTHETAXLX(1—ZETA));

IF 2XTHETAXL>4O THEN A2 : = 1 ELSE

A2: =14-EXP (—2XTHETAXL);

C * =B1 XA1/A2;

SIGMA:=SIGMA+(1—C)/(l+MU+MUf2xTHETAf2);

END；

N [K] ： = 1—2XMUXSIGMA;

END;

РЮ41 (T, Q, N);

END;

END

ПАНЕЛЬ, ПОДКРЕПЛЕННАЯ НА ТОРЦЕ

Как было показано в предыдущем разделе, удельные касательные усилия S неограниченно возрастают в окрестности углов плас

тины, примыкающих к нагруженным силами концам ребер.

Решение, ограниченное в углах, можно получить, если учесть работу торцевого ребра жесткости (рис. 2.18), которое, как правило, в реальных панелях имеется. Будем считать, что торцевое ребро воспринимает только изгибные напряжения. Соединение его с кон

цами продольных ребер для простоты считаем шарнирным.

Решение сформулированной задачи с несущественными добавлениями можно получить, используя результаты предыдущего раздела.

Рис. 2.18. Панель, подкрепленная продольными ребрами и торцевым ребром с площадью поперечного сечения 尸。

Рис. 2.19. Схема усилий, приложенных к торцевому ребру. "(0)——нормальные усилия, действующие со. стороны продольных ■ ребер, 7(0, т]) — удельные нормальные усилия, действующие со стороны торца пластины, Р — внешние силыРис. 2.19. Схема усилий, приложенных к торцевому ребру. "(0)——нормальные усилия, действующие со. стороны продольных ■ ребер, 7(0, т]) — удельные нормальные усилия, действующие со стороны торца пластины, Р — внешние силытем)тем)

Рис. 2.19. Схема усилий, приложенных к торцевому ребру. "(0)——нормальные усилия, действующие со. стороны продольных ■ ребер, 7(0, т]) — удельные нормальные усилия, действующие со стороны торца пластины, Р — внешние силы

Рис. 2.19. Схема усилий, приложенных к торцевому ребру. "(0)——нормальные усилия, действующие со. стороны продольных ■ ребер, 7(0, т]) — удельные нормальные усилия, действующие со стороны торца пластины, Р — внешние силы

тем)

тем)

Рис. 2.20. Положительное направление усилий, действующих на бесконечно малый элемент торцевого ребра

Рйс. 2.21. Схема усилий, действующих на часть торцевого ребра, расположенную между началом координат и координатой Т) (М и R ——изгибающий момент и поперечная сила в сечений ребра, 7(0, т])——усилия со стороны пластины)

Исходим из решения (2.49) для продольного перемещения произвольной точки панели. Коэффициент Q по-прежнему определяется по формуле (2.50), 0^ — корни уравнения (2.45). Для вычисления коэффициентов с； используем уравнения равновесия торцевого ребра, а также условие совместности деформаций упомянутого ребра и прилегающего к нему торца пластины.

Выделенное отдельно торцевое ребро и действующие на него усилия показаны на рис. 2.19. Здесь 2V(0) —нормальные усилия, действующие со стороны продольных ребер, Т(0, 口)——со стороны тбриа пластины.一

Проектируя усилия, действующие на вьщеленный элемент, на горизонтальную ось 尤(см. рис. 2.19), найдем1

1

N(0) = P-~b^T^ П)4П・(2. 68)

Равенство нулю моментов, действующих на бесконечно малый элемент ребра (рис. 2.20), дает второе уравнение

где М и R ——соответственно изгибающий момент и поперечная сила, действующая на элемент ребра.

Предполагая, что ребро изгибается, как балка, после исключения момента уравнение (2.69) запишем в виде

生S，吻(?Т)=(2. 70)

63 дз

где и ——прогиб центральной оси балки, равный продольному перемещению торца панели в силу совместности деформаций; Eq и Zg ——

92

соответственно модуль упругости и момент инерции сечения торцевого ребра в плоскости панели.

Поперечная сила R определяется по формуле (рис. 2.21)

R= — b i T(0, л)^Л-

В силу (2.49)

Т(0,'/ ab 武 c=oТ(0,'/ ab 武 c=o§^ (& — £ СА ch % A cos 8川)

Т(0,

'/ ab 武 c=o

Т(0,

'/ ab 武 c=o

где l\ = lfab.

(2.71)(2.71)Подставляя отсюда Т(0, п) в выражения для поперечной силы R, а затем R и перемещение 〃 согласно (2.49) в дифференциальное уравнение (2.70), приведем последнее к виду

(2.71)

(2.71)

E勺(硏 sh %/i + ch %4) sin 8川=q11,

где

Если использовать разложение (2.52) для функции ”, то из уравнения (2.71) получим следующее выражение для коэффициентов Cj： 、

—с° 2(1 + *) cos 8丁

‘丿 9； (1 + p. cos2 0；)(Лву sh 0；；! + ch в； Zi)

Сравнивая это выражение с (2.53), видим, что оно отличается только слагаемым в знаменателе, имеющим множитель k. Поэтому вместо формул (2.54) и (2.56) будем иметь

“(! + MFxhx“(! + MFxhxcos 0；sh 0/(Zi — C)cos 8,т

“(! + MFxhx

“(! + MFxhx

(1 +*cos2 8j)@Wsh8/A +ch6〃i)

7=』［中。+哈中冷^d，

⑵72)⑵72)cos 8/ sh 8/ (厶 一 C) sin 屮

⑵72)

⑵72)

(1 + * cos2 0；) (Л0у sh bjli + ch 8〃i)

Нормальные усилия "八 н "2 в продольных ребрах найдем по формуле

сm=N2=n(o)+%Js(c, i)k

которая получается из условия равновесия части ребра, расположенной в промежутке между началом координат и координатой 尊

(2. 73)(2. 73)С учетом формулу (2.68) и (2.72) отсюда имеем

(2. 73)

(2. 73)

■1 +|Л「 广丄(1 十艮 8s2%)仅号 sh°〃i+ch°〃i)

Этой формуле можно придать вид, аналогичный (2.56), если учесть равенство

1(№®Н；'⑵ 74)

которое следует из (2.52), если положить т)= 1 и sin 0j=——цв^созв^ : в силу характеристического уравнения (2.45). Действительно, заменяя величину Р/(1 + ^) рядом с помощью (2.74), вместо (2.73) получим”

色色!-(2. 75)!-(2. 75)cos2 бу [ch 0yZ] — ch Oy (Zj — " + 硝 sh 6戸】(1 4- pt cos2 6/)(左6； sh 6/厶十 ch 6//j

色

色

!-(2. 75)

!-(2. 75)

Ряды, стоящие в лравых частях выражений (2.72), (2.73) и (2.75) сходятся во всех точках пластины, включая угловые. В угловых точках 己=0, п = ±1 коэффициенты рядов для искомых функций м, Т, S, №, №(при больших индексах j имеют вид

1(2j—i)61(2j—i)6(2j—I*(2j—I*(2/一1)4(2/一1)4коэффициенты ряда (2.73)N】=&2коэффициенты ряда (2.73)N】=&21(2，一 1)51(2，一 1)5(2. 76)(2. 77)(2. 76)(2. 77)

1(2j—i)6

1(2j—i)6

(2j—I*

(2j—I*

(2/一1)4

(2/一1)4

коэффициенты ряда (2.73)

N】=&2

коэффициенты ряда (2.73)

N】=&2

1

(2，一 1)5

1

(2，一 1)5

(2. 76)

(2. 77)

(2. 76)

(2. 77)

Ряд (2.75)Ряд (2.75)сходится несколько медленнеесходится несколько медленнее

Ряд (2.75)

Ряд (2.75)

сходится несколько медленнее

сходится несколько медленнее

М=ММ=М1(2/ —1)21(2/ —1)2(2. 78)(2. 78)

М=М

М=М

1

(2/ —1)2

1

(2/ —1)2

(2. 78)

(2. 78)

Сравнивая коэффициенты (2.76) и (2.60), можно сделать вывод о том, что учет торцевого ребра существенно улучшает сходимость полученных решений. Удельные касательные усилия стано

вятся при этом ограниченными везде, включая угловые точки.

Сравнение коэффициентов (2.77) и (2.78) показывает, что для практического расчета нормальных усилий в продольных ребрах следует отдать предпочтение выражению (2.73).

пункта, гопункта, гоПолученное решение, как и решение предыдущего

пункта, го

пункта, го

дится для пластины бесконечной длины, если сделать предельный

переход 厶一＞8.

Полагая в формулах (2.72) параметр 模 равным нулю, получим решение для панели без продольных ребер.

Рис. 2.22. Пластина, подкрепленная ребром наторце

изображенной на рис. 2.22. При этом 9；=л； в силу характеристического уравнения (2.45), поэтому выражения (2.72) преобразуются к следующему виду: ,

(—1)^ sh 0； (Zj—0 cos 0川 /(叫 sh 0；Zi4- ch 8丿厶)(—1)^ sh 0； (Zj—0 cos 0川 /(叫 sh 0；Zi4- ch 8丿厶)(一 1)/ch 0； (Zi —О cos g(一 1)/ch 0； (Zi —О cos g明sh %八+ch 8/厶明sh %八+ch 8/厶

(—1)^ sh 0； (Zj—0 cos 0川 /(叫 sh 0；Zi4- ch 8丿厶)

(—1)^ sh 0； (Zj—0 cos 0川 /(叫 sh 0；Zi4- ch 8丿厶)

(一 1)/ch 0； (Zi —О cos g

(一 1)/ch 0； (Zi —О cos g

明sh %八+ch 8/厶

明sh %八+ch 8/厶

s=£戸1s=£戸1(„ l)/sh 8/(A —"sin GjF叫 sh 8〃i + ch Oy Zi

s=£戸1

s=£戸1

6y =

При 々=0 отсюда получим формулы (2.57).

ИЗГИБ СИММЕТРИЧНО ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПАНЕЛИ

Представляют интерес случаи нагружения панелей, изображенные на рис. 2.23 и 2.24. В 'первом панель имеет возможность изгибаться под действием пары сил Р (см. рис. 2.23), так что поперечные перемещения и точек панели не равны нулю. Во втором (см. рис. 2.24)——в силу симметрии задача для панели с тремя ребрами приводится к предыдущей. Отличие в том, что поперечные перемещения и будут равны нулю.

Указанные варианты расчета целесообразно рассмотреть отдельно, так как способы решения их будут отличаться.

Поперечные перемещения и равны нулю. Задачу решаем методом, рассмотренным в разд. 2.5. Частное решение уравнения равновесия (2.36) возьмем в виде 餐

sh0(Z1 —С) sin 8%(2. 79)

где с ——производная постоянная; 0 ——пока произвольный параметр; 匚 к т ——координаты (2.34); G ——безразмерная длина панели (2.34).

Решение (2.79) удовлетворяет условию защемления правого торца панели и условию нечетности по координате п・

Собственные числа 0 най-.

Рис. 2.23. Подкрепленная двумя ребрами панель, нагруженная парой силРис. 2.23. Подкрепленная двумя ребрами панель, нагруженная парой силРис, 2.24. Симметричная и симметрично нагруженная панель с тремя ребрамиРис, 2.24. Симметричная и симметрично нагруженная панель с тремя ребрамидем, подчиняй решение (2.79) уравнению равновесия второго ребра, которое будет иметь вид (2.43) с пар аметром 卩，соответствующим (2.44). Уравнение равновесия первого ребра удовлетворяется автоматически в силу нечетности решения. Подстановка перемещения и из выражения (2.79) в урав-

Рис. 2.23. Подкрепленная двумя ребрами панель, нагруженная парой сил

Рис. 2.23. Подкрепленная двумя ребрами панель, нагруженная парой сил

Рис, 2.24. Симметричная и симметрично нагруженная панель с тремя ребрами

Рис, 2.24. Симметричная и симметрично нагруженная панель с тремя ребрами

Рнс. 2.25. Распределение корнейхарактеристического уравне-ния (2.80)

нение (2.43) приводит к следующему характеристическому уравнению для определения собственных чисел 8：

ctg6，M=0. (2.80)

Уравнение (2.80) имеет бесконечное множество ненулевых корней i0=i0j (/= 1, 2,.,.), характер распределения -которых показан на рис. 2.25.

Вводя, как и в разд. 2.5 обозначения,

% =勿+力，丐=冗(/一 1)，

вместо уравнения (2.80) получим уравнение для определения угла 日(0«k/2)

tg因=而不万'

которое по виду совпадает с (2.47).

При больших числах / и 卩=И=0

〜・

■ Суммируя решения (2.79), соответствующие всем корням 8? уравнения (2.80), получим общее решение для перемещения и

〃 =£ 0sh力厶一С) sin 8川・(2.81)

Постоянные tj найдем из условия

6 J7(e,n)dn+N(e)亠「= 0, а —。，' (2.82)

где ^(e) =^2(e) =—%i(£); %i и N2 — нормальные усилия в первом и втором ребрах.'

Выражение (2.82) есть условие равновесия бесконечно узкой полоски панели, прилегающей к свободному торцу 匚=0. Так как нижний предел в интеграле выражения (2.82) произвольный из отрезка [——1,1L то соотношение (2.82) (эквивалентно условию Т(0, п)=°，т. е. требованию отсутствия продольных нормальных усилий. Условие Т(0, п)=0 непосредственно использовать неудобно, так как система для коэффициентов" tj получится однородная, и последние будут найдены с точностью до произвольного множителя. Для определения множителя дополнительно придется привлекать соотношение типа (2.82).

Выразив усилия Г(е, п), %(£)через перемещения (2.81), при е=0 равенство (2.82) с учетом характеристического уравнения (2.80) запишем в виде-

V cych 6/ cos67T]= —(2. 83)

где 。— параметр (2.29);七笈,Ах — соответственно приведенный модуль упругости и приведенная толщина пластины, определенные формулами разд. 22

С учетом уравнения (2.80) можно доказать ортогональность функций cos 8/q на отрезке (0, 1]. Используя это свойство, найдем

]—2、у sin 6」cos0* — 2 q8s5 方 0；(l +|Л sin2 0y) 与 0;(l +^ +^2) sin 6；・-

Подставляя.это выражение в правую часть равенства (2.83) н приравнивая члены ряда слева и справа, имеем

2Ра1

Cj= •

&五* 8/(1 + * + *2号)sin 8/ch 6#]

Зная коэффициенты 匕力,перемещения и определим по формуле (2.81), удельные нормальные продольные усилия Т и удельные ка* сательные усилия S — по формулам (2.27), усилия в ребрах — по» формулам ⑵32), полагая 2=.―Р\ = Р,

门sh6；(Zi —Osin 6/г].

Имеему —；, ♦

互也：▲8j (1十步十曲号)sin 6jCh恥

T=T=(2.84》(2.84》ch 6j(A —“ sin 6川

T=

T=

(2.84》

(2.84》

(1 +*+|x26》sin 6jch6jA，

S—竺 g shGjai — GcosGjT

ab Z (1 十 1A 十步2号)sin 8/ch 6/厶，

尸P [1 _2?a+»+曲赤吗公

Из формул (2.84) легко получить решение для бесконечно длинной панели и для панели без ребер. В первом случае следует по-, дожить

сh ву (Z] — С)— sh 6/ (I】一О— т产ch G/i , chG/厶・

Во втором ——нужно принять ц=0. Корни уравнения (2.80) при ц = 0 будут иметь вид 0j= -^-(2/—Г), а последняя формула (2.84}

теряет смысл.

Поперечные перемещения и не равны нулю. Рассмотренный выше способ решения в данном случае нерационален, так как система получаемых при этом собственных функций и их производных не ортогональна. Действительно, зададим леремещение и в виде *2.40), где 屮(匚)и i|)(t)) — решения уравнений (2.41).

Граничные условия для функций 屮 будут иметь вид

Н02Ф-1 + ~-(屮-1 —屮1) + 心1=。，

出28纯iH^-(屮1 - 屮一1) 一 屮i = 0，(2. 85)

где ць 卩2 ——параметры (2.38); 屮一卜 屮—八 屮 1,屮丿 ——соответственно значение функции 屮 к ее производной при 刀=——1 i｛刀=1.

Условия (2.85) получаются после -подстановки перемещения из формулы (2.40) в уравнения равновесия ребер (2.37).

Легко проверить, что любые две функции 屮i и 屮2, удовлетворяющие уравнению (2.41) при 0=01 и 0=<02 и граничным условиям (2.85), не ортогональны. Не ортогональны и производные. Производные станут ортогональными, если в (2.85) выбросить слагаемые в скобках, что равносильно отсутствию поперечных перемещений и. ‘ В [силу сказанного систему .собственных функций выберем, удовлетворяя с помощью каждой собственной функции условиям на торцах пластины

Т = 0 при С —0,辽=0 при 匕=厶. *(2.86)

Условию равновесия ребер и условию совместности деформаций ребер и пластины подчиним общее решение. Каждая из собственных функций этим условиям удовлетворять не будет. Общее решение задачи 'будет ©ыражено в”ряд1ax(по продольной(коорди-' нате 第

Частное решение уравнения равновесия пластины (2.36), нечетное по координате Т), возьмем в виде

〃=sh 入п (б cos ХС + & sin 入Q,

где 01, ◎,入——произвольные постоянные.

Граничные условия (2.86) с учетом первой формулы (2.35) дают

&=0,入=%=訂2/-1).&=0,入=%=訂2/-1).(2. 87)(2. 87)

&=0,入=%=訂2/-1).

&=0,入=%=訂2/-1).

(2. 87)

(2. 87)

♦.Суммируя частные решения для всех собственных чисел 儿力 найдем общее решение

а=£ С/ sh 入川 cos Х・ 7=1а=£ С/ sh 入川 cos Х・ 7=1(2. 88)(2. 88)

а=£ С/ sh 入川 cos Х・ 7=1

а=£ С/ sh 入川 cos Х・ 7=1

(2. 88)

(2. 88)

Здесь Q — 'проиэволь|ные постоянные, которые найдем из условия равновесия ребер и условия совместности деформаций ребер с пластиной. В силу нечетности перемещения (2.88) достаточно выпал-

нить упомянутые условия для одного из ребер, например второго (см. рис. 2.23).

Продольное усилие во втором ребре №, удовлетворяющее условию равновесия, имеет вид (2.39) или в рассматриваемом случае

(2. 89)(2. 89)Nz = R*Gha j (^—ujd^ при n = L

(2. 89)

(2. 89)

Усилие %2, удовлетворяющее условию 'совместности деформаций» имеет вид (2.35)，

^=^-元 при П=1•

Приравняв правые части этих выражений, с учетом (2.88) получим

X? ~ [(出片一1) sh ky -f- k； ch k；] sin lj^ =—.

A j

(2.90》(2.90》Так как функции sin %匚 ортогональны на интервале (0, /ц), то можно найти•

(2.90》

(2.90》

一"衣 " '

Подставляя этот ряд вместо единицы в правую часть предыдущего выражения и сравнивая коэффициенты рядов, имеем

11⑵91)⑵91)2Pb

1

1

⑵91)

⑵91)

Ghl (*¥—1) sh Ху + Xych Ху ，

причем / — длина панели.С учетом этого выражения мещения и запишем согласно2Р6 VIпричем / — длина панели.С учетом этого выражения мещения и запишем согласно2Р6 VIокончательное выражение для пере (2.88) в видеокончательное выражение для пере (2.88) в виде(|A入｝ -■ 1) sh 入j + 入jch 入/(|A入｝ -■ 1) sh 入j + 入jch 入/⑵92)⑵92)

причем / — длина панели.

С учетом этого выражения мещения и запишем согласно

2Р6 VI

причем / — длина панели.

С учетом этого выражения мещения и запишем согласно

2Р6 VI

окончательное выражение для пере (2.88) в виде

окончательное выражение для пере (2.88) в виде

(|A入｝ -■ 1) sh 入j + 入jch 入/

(|A入｝ -■ 1) sh 入j + 入jch 入/

⑵92)

⑵92)

(2.93)(2.93)

(2.93)

(2.93)

Удельные усилия.Т и S найдем по формулам (2.35)

入j sh入网sin入K

(рЛ；— 1) sh 入/ + Aj ch 入,*

(入 j ch X/гI- ch 入网)cos 入K

(%-1) qh入『+入jch入了 ,

Нормальные усилия N2——Мв ребрах найдем по формуле (2-89)

““lab(AjCh"-sh§)sin 入丼 1

"2 = 一m三рJ 一7石 /而戸i)不方工灰h可②94)

Если проследить за выкладками при вычислении коэффициентов (2.91), то увидим, что влияние поперечного перемещения панели учитывается слагаемым (——1) в выражении 血产一】.Отбросив единичку, получим решение без учета поперечного перемещения и, рассмотренное выше другим способом. Таким образом, влияние поперечного перемещения на. величину коэффициентов。力 а 'следовательно, она усилия и перемещения, будет значительным при малых числах 厶力 а они будут малы при рассмотрении длинных панелей, что следует из формул (2.87).

Ряды в формулах (2.92)——(2.94) хорошо сходятся для панелей шалой длины, так как числа 后，определенные формулами (2.87), будут быстро возрастать с ростом индекса 八 а коэффициенты (2.91) будут быстро убывать. В случае длинных панелей ряды {2.92) — (2.94) сходятся медленно, поэтому целесообразно использовать решение для бесконечно длинной ланели, которое получим ниже из решения (2.92) — (2.94) предельным переходом при 厶什8. В рассматриваемом случае этот переход не так прост, как в разд. 2.5 и первом пункте настоящего раздела. Ряды заменяются интегралами Фурье, которые нужно вычислить с помощью теории вычетов. Рассмотрим подробно ход решения для удельных нормальных яродольных усилий Т в пластине.

' При 厶f до дискретный спектр- распределения собственных чи-， сел % согласно формуле (2.87) станет непрерывным. Поэтому введем переменную %=2% Из (2*87) найдем d九=(л/厶.Ряд (2.93) для усилий Т заменится интегралом Фурье

、7—2P г A sh 入可 sin 山dA険 qe\

一万)而二1) sh入+入chd( *)

Для удобства вычисления интеграла формулу (2.95) целесообразно записать в виде •

7=乐j〃入)即办(2.96)

-8где/(人)=г——吆』.(2.97)

''(以2— l)shX+XchX''

Для вычисления интеграла (2.96) в плоскости комплексного переменного z~^k+iQ (рис. 2.28) построим замкнутый 'контур 丄,состоящий из отрезков действительной оси АВ и CD и двух полуок-

где f(z) — аналитическая функция, получаемая из (2.97) заменой А на z. Функция f(z) имеет простые полюсы только на мнимой оси #0, которые определяются из решения характеристического уравнения

tg』訴上.⑵98)

Это уравнение можно получить, если приравнять нулю знаменатель в формуле (2.97) и заменить Z на 用.Согласно теореме о вычетах значение интеграла / равно сумме вычетов подынтегральной функции внутри контура L, умноженной на 2 ni

J=2nZ2res /(2)ek

С другой стороны (см. рис. 2.26)、

•』『尸尸尸[・

При Rf8 и гтО сумма интегралов по отрезкам АВ и CD равна искомому интегралу (2.96), а интеграл .по дуге R будет стремиться к нулю согласно лемме Жордана. Сравнивая при 8, /-И1 правые части предыдущих выражений для /, получим

j f(y)^d\—2ni 2 res/(z) e/2C— lim J /(г)е^%2・(2.99)

где сумма вычетов берется по всем полюсам z=狗打 являющимися корнями уравнения (2.98) в области 0>О.

Найдем вычеты в точках z=，％ (j = L 2,...). С учетом формулы

z sh ze’ztz sh ze’ztres f(z) е/гС=ИтFl"res f(z) е/гС=ИтFl"—1) sh N + z ch z]—1) sh N + z ch z](2.97) имеем'

z sh ze’zt

z sh ze’zt

res f(z) е/гС=Ит

Fl"

res f(z) е/гС=Ит

Fl"

—1) sh N + z ch z]

—1) sh N + z ch z]

sin 8川e. 8#sin U*e &#

(1 4-2|x) sin Oy 4-|лО； cos 0；(1 + 3(л +步2号)sin Oy

где последнее выражение лол учено из лредыдущего с учетом ха рактеристического уравнения (2.98).

Вычислим теперь интеграл, по дуге малого радиуса г (см. рис. 2.26), стоящий в правой части выражения (2.99). При малых z, согласно (2.97), имеем

Подставляя полученные выше выражения в правую часть формулы (2.99), удельные продольные нормальные усилия Т в пластине, согласно формуле (2.96), представим в виде

Т=тТ=т' 12 + T' 12 + T卜2 t片1卜2 t片1sin O/qe 呼sin O/qe 呼(1+¥十曲8》sin 8j(1+¥十曲8》sin 8j(2. 100)(2. 100)

Т=т

Т=т

' 1

2 + T

' 1

2 + T

卜2 t

片1

卜2 t

片1

sin O/qe 呼

sin O/qe 呼

(1+¥十曲8》sin 8j

(1+¥十曲8》sin 8j

(2. 100)

(2. 100)

Путем аналогичных вычислений из (2.93) можно найти выражение для удельных касательных усилий S в бесконечно длинной пластине

у . (2. 101)

aЬ 乙 0)(1+3出+出2号)sin0/ 、■ /

Нормальные усилия в ребрах можно получить аналогично из формулы (2.94), но проще их найти по (2.32), подставляя туда S из (2：101) и полагая Р? = —Р「Р (см. рис. 2.23). Имеем

•8т -

m一忆=P卜2学7^<>(2.1。2)

Перемещения в бесконечно длинной ланели обращаются в бесконечность, если их определить, исходя из формулы (2.92). Для того чтобы все-таки найти характер распределения перемещений по сечению и длине панели, ограничим их величину на торце 匚=0, задав u2=ui —0 при 匚=0, где 以 1,以2 ——перемещения ребер.

Перемещение, удовлетворяющее этому условию, найдем из формулы (2.35) для удельного нормального усилия Г.

После простых вычислений будем иметь

РаРаExh*Exh*(Т sin 0；— sin(Т sin 0；— sin(1 十 3|Л 4* К?号)由 п Оу(1 十 3|Л 4* К?号)由 п Оу/）「吁/）「吁(2. 103)(2. 103)

Ра

Ра

Exh*

Exh*

(Т sin 0；— sin

(Т sin 0；— sin

(1 十 3|Л 4* К?号)由 п Оу

(1 十 3|Л 4* К?号)由 п Оу

/）「吁

/）「吁

(2. 103)

(2. 103)

Решение (2.100) — (2.103) в несколько другой форме записи содержится в работе [5], где рассмотрен класс задач для панелей бесконечной длины непосредственно с помощью аппарата интеграла Фурье.

На рис. 2.27—2.31 приведены некоторые результаты расчета усилий в ребрах и пластине, выполненные по формулам (2.93) и (2.94). В частности, на рис. 2.27 показан характер изменения про-

Рис. 2.27. Характер изменения продольных уси- 片也 лий ^2 в ребре 2 (см. рис. 2.23) (g= =EF/Exhxb — отношение жесткости ребра к жесткости пластины, ^=x/ab, а — параметр gg (2.29)； пунктиром показано балочное решение)

дольных усилий ^2 в ребре 2 (см. рис.'

2.23), отнесенных к приложенной силе”

Р. Кривые построены при различных'

значениях параметра ^~EF/Exhxbt определенного формулой (2.44) и ха-?

N\=-N\=p―^j-N\=-N\=p―^j-(2.104)(2.104)рактеризующего отношение жесткости ребра к жесткости пластины. Графики, ° оканчивающиеся при 匚=1, подсчитаны для панели, относительная длина которой 厶=//。6 = 1, где b ——полуширина панели, a^EJixfGh——параметр (2.29); кривые, продолженные до J=2 на рис. 2.27, соответствует относительной длине 乙=2; ^—xlab — координата (2.34). Пунктиром для соответствующих значений параметра ц показаны результаты для панели, если бы она рассчитывалась как составная балка, изгибаемая парой сил на торце. Это решение по теории сопротивления материалов, которое определяется формулой

N\=-N\=p―^j-

N\=-N\=p―^j-

(2.104)

(2.104)

Из анализа рис. 2.27 можно установить, что характер изменения усилий практически не зависит от относительной длины панели /ь если она не меньше единицы, а существенно зависит от параметра относительной жесткости ребер 汕.Кроме этого видно, что выравнивание усилий происходит на участке длиной 匚=1, примыкающем к нагруженному силами торцу панели. При 匚＞1 усилия фактически совпадаюгс посчитанньпми по формуле (2Л04). Следует отметить, что так же мало изменяются при изменении длины / и усилия Т к S в пластине. По этой причине на рис. ,2.28—2.31 приведены результаты для панелей с параметром 厶=L

На рис. 2.28 и 2.29 показан характер изменения продольных растягивающих усилий Т в верхней половине панели. В нижней половине панели усилия будут такие же по величине, но сжимающие. Усилия Т посчитаны по формуле (2.93) и отнесены к усилиям Т°, посчитанным по формуле сопротивления материалов для кромки пластины, примыкающей к ребру, т. е. при т)= 1. Эта формула имеет вид

(2. 105)(2. 105)70—L_

(2. 105)

(2. 105)

Рис. 2.28. Изменение продольным растягивающих усилий 7 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.号.7° = Р/匕(卩+1/3)—решение сопромата для• кромки пластины, примыкающей к ребру (при П = 1)Рис. 2.28. Изменение продольным растягивающих усилий 7 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.号.7° = Р/匕(卩+1/3)—решение сопромата для• кромки пластины, примыкающей к ребру (при П = 1)Рис. 2.29. Изменение усилий Г/Т0 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.23, при различных значениях координаты T)= s/bРис. 2.29. Изменение усилий Г/Т0 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.23, при различных значениях координаты T)= s/b

Рис. 2.28. Изменение продольным растягивающих усилий 7 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.号.7° = Р/匕(卩+1/3)—решение сопромата для

• кромки пластины, примыкающей к ребру (при П = 1)

Рис. 2.28. Изменение продольным растягивающих усилий 7 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.号.7° = Р/匕(卩+1/3)—решение сопромата для

• кромки пластины, примыкающей к ребру (при П = 1)

Рис. 2.29. Изменение усилий Г/Т0 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.23, при различных значениях координаты T)= s/b

Рис. 2.29. Изменение усилий Г/Т0 в верхней половине панели, изображенной на рис. 2.23, при различных значениях координаты T)= s/b

Рис. 2.30. Изменение касательных усилий по длине панели

Рис. 2.31. Изменение касательных усилий на торце панели ；=0 по ее ширине

Для произвольной координаты п решение по теории сопротивления материалов записывается в виде

.Q(n)=―———.

Это решение, отнесенное к (2.105) показано на рис. 2.28 и 2.29 пунктиром. На рис. 2.28 показано изм-енение Т/Т° при вариации параметра у в двух сечениях пластины — при т] = 1 и 0,8. Видно, что независимо от 卩 выравнивание усилий происходит при 4=1. На рис. 2.29 показан характер изменения при разных . координатах 』=s/b (см. рис. 2.23). Следует подчеркнуть, что в данной панели, да и во всех подобных панелях имеется одна особая точка — это угловая* точка панели g = 0, “ = 1, примыкающая к ребру. В этой точгке нарушается условие совместности деформаций ребра и пластины. Действительно, при решении задачи на всей кромке g=0 было поставлено граничное условие (2.86), согласно которому продольные усилия T=Q. Но согласно закону Гука ('2.27) 7 = = Exhxdu/dx. Значит, должна быть равна нулю продольная деформация ди/дх. С другой стороны, продольные усйлия в ребре ^2 на. конце ребра равны приложенной силе 尸.Значит, согласно закону Гука (2.27) N2 = E^F^dujdx| s=& для усилия N? продольная деформация ребра при g = 0 будет ди/дх= P/E2F2 =#0. Таким образом, продольные деформации ребра и пластины в угловой точке не равны. По указанной причине кривые для Т/Т° на рисунках 2.28 и 2.29 при п = 1 не обращаются в нуль при g = 6, хотя по формуле (2.93) они должны быть нулевыми. Мы аппроксимировали их при g = 0 и т)= 1 по формуле

т0 卩

которая получится, если деформацик) ди = Р /一必，

полученную из закона Гука (2.27) для ребра, подставить в форму- мулу (2.27)

для продольных усилий. Этим самым мы допустили, что граничное условие Т=0 в указанной точке не выполняется.

На рис. 2.30 показан характер изменения касательных усилий по длине панели, а на рис. 2.31 ——по ширине. В точке G = 0 刀=1, как отмечалось выше, касательные усилия обращаются в бесконечность, имея там особенность типа логарифма. Это было выяснено в разд. 2.5. В окрестности указанной точки касательные усилия можно вычислить по асимптотической формуле (2.64).

ПАНЕЛИ С РЕБРАМИ РАЗНОЙ ЖЕСТКОСТИИ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СИЛАМИ НА КОНЦАХ РЕБЕР

Рассмотрим панели с ребрамц разной жесткости, представленные на рис. 2.32 и 2.33.

Панель, изображенная на pg 2.33, имеет симметричную структуру. Ее расчет сводится, как в предыдущем разделе, к расчету панели с двумя ребрами, показанной на рис. 2.32, если предположить, что поперечные перемещения v равны нулю. Поэтому ниже дан расчет панели с двумя ребрами при и = 0 и лри и喚0. Необходимые для расчета уравнения и основные обозначения даны в разд. 2.4.

Поперечные перемещения панели и равны нулю. Частное решение уравнения равновесия пластины (2.36), соединяющей ребра, берем в виде.、

儿=屮(叫 sh8(4—С),(2.106)

где 0 ——произвольный параметр, а функция 屮(刀)является решением обыкновенного дифференциального уравнения

爵 + *0.(2. 107)

Решение (2.106) удовлетворяет условию защемления правого торца панели.

Граничные условия для функции *ф получим, внося решение (2.106) в уравнения равновесия ребер (2.37) и отбрасывая там слагаемые, содержащие перемещение и. Имеем

»i俨屮= 0 при 刀=—1,""(2.108)

№2俨屮一型- 0 При n = 1.

Параметры щ,卩2 определены формулами (2.38).

Решение уравнения (2.107) имеет вид

屮=Ci8s6n + & sin 8n.(2. 109)

Рис. 2.32. Панель, подкрепленная двумя ребрами разной жесткости

Рис. 2.33. Симметричная панель, подкрепленная тремя ребрами. Жесткость среднего ребра отличается от жесткости крайних'

Рис. 2.34. Распределение ненулевых корней, характеристического уравнения (2.111)

Внося это решение в граничные условия (2.108), получим систему двух линейных алгебраических уравнений для оп- деления коэффициентов С], С?，

(2. 110)(2. 110)(М16 cos 6 +sin H)q + (cos6 —卩揑 sin 6)& = 0, (M28cos6 +sin 6)^i~(cos0 — |л26 sin 6)&=0.

(2. 110)

(2. 110)

с*1&・с*1&・(2.111)(2.111)Приравнивая нулю определитель системы (2.110), запишем следующее характеристическое уравнение для определения собственных чисел

с*1&・

с*1&・

(2.111)

(2.111)

Трансцендентное уравнение (2.111) имеет нулевой корень 0 = 0 и бесконечное число ненулевых корней 8=8力 характер распределения которых показан на рис. 2.34. Решение, соответствующее ненулевому корню '0 = 0j (/= 1, 2,...), найдем по формуле (2.109), определяя постоянные ci и с? из любого уравнения (2.110) с точностью до постоянной. Например, первое уравнение дает

.% = ajCos%n — Pj sin %п*(2.112)

где aj=8S% —因б, sin %, ^ = sin Sy + ^Sycos6；.

В частном случае, когда ребра одинаковы 读1 =读2 =卩,” уравнение (2.111) распадается на два независимых

a=cos0 —|х9 sin 0=0, р= sin 9-|-|i0cos 9=0,(2： 113)

эти уравнения совпадают с уравнениями (2.45) и (2.80), полученными при рассмотрении растяжения и изгиба панели.

Решение для перемещения и, соответствующее нулевому корню уравнения (2.111), является элементарным решением сопротивления материалов и имеет вид

〃0 = e() « 一厶)>

гдегде(p1 +p2)aE#x (2+向十開)(p1 +p2)aE#x (2+向十開)(2.114)(2.114)

где

где

(p1 +p2)a

E#x (2+向十開)

(p1 +p2)a

E#x (2+向十開)

(2.114)

(2.114)

Это решение получается так же, как в разд. 2.5. Складывая решение 〃о с решениями (2.106) для каждого 0=0；, общее решение для перемещения и найдем в виде

儿=% « — 4) + £ S sh 9；(厶一С)屮/ (л)> (2.115)

где 白一произвольные постоянные;屮“刀)——функции (2.112).

Решение (2.115) удовлетворяет условию защемления правого торца панели, условиям равновесия ребер и условиям сопряжения ребер с пластиной. Остается удовлетворить условию

Т=^-也=0 при С=0.

Если подставить сюда функцию и из формулы (2.115), то придем к соотношению

2 Q%ch%•厶屮“п)=&・

При 尸i=——Р^ согласно (2.114), со = О и записанное условие.становится однородным. Значит, для вполне однозначного определения Cj нужно привлекать дополнительное соотношение. Поэтому поступим как в разд. 2.7, и вместо требования Т=0 при g = 0 выполним эквивалентное ему, но всегда неоднородное условие равновесия прилегающей к торцу (g=0) полоски панели. В рассматриваемом случае оно имеет вид

Подставляя сюда

T=еаr да (5) n = e2尸2 d我(3 DаЬ 。匚 ’2 ab d(

после несложных выкладок с учетом решения (2.115) и уравнений (2.107),⑵ 108厂

ooz

£ 言 ch 帆冲;・(ii) = -®o+&ii),(2.116)

где со ——параметр (2.114), a do имеет вид*

d ="(1 +内)*2 一(1 +f2)p1]

°Е*五大(2+向+也))

Покажем, что производные “/ от функций 耽 в левой части равенства (2.116) ортогональны на отрезке [—1,1].

Пусть 0^ и 0j ——два собственных числа системы (2.107), (2.108), 收 н 而一，соответствующие им собственные функции. С учетом уравнения (2.107) и граничных условий (2.108) имеем ,

111

J=j 屮;(n)屮;(叫"11=屮;% -4 中*;dn =-1 -1

，u в? / •• ， I в? . ,P , в?,

=屮必-1-存)屮/Mw=W%一京电电 +系丄

ОтсюдаОтсюда

Отсюда

Отсюда

Последнее равенство получено после подстановки р/ и 屮/ из (2.108).

Разлагая правую часть уравнения (2.116) в ряд по ортогональным функциям 2/Сп) и приравнивая коэффициенты рядов слева и справа, найдем -.

c _ d(修 + p2)⑵ cos % + (修二p2)n sin %(2 U7)

Exhx 「sin 28〃**

也 十 办一(a/一n)д8； ] 6/ ch 6/i

Таким образом, задача решена.

Когда ребра одинаковы (gi = Ц2 = Ц)» как было отмечено выше, корни уравнения (2.111) распадаются на две группы, соотв&етствую- щие уравнениям (2.113) а=0 и 0 = 0. Пусть у панели с одинаковыми ребрами 尸1 =尸2 =尸.Согласно (2.117) 'кс^эффнциенты 白，соответствующие корням уравнения а=0, будут равны нулю, так как при этом а；=0. Коэффициенты, соответствующие корням уравнения Р = 0 будут отличны от нуля и имеют вид

、2Pdcos 6 у

& ^xhx / sin 28/\

⑵(1+ -2力.)"产11恥

.ajExhx 6； (1 +p- +p-26y) cos 6； ch в/i '

где последнее равенство получено с учетом характеристического уравнения р = 0. При этом легко убедиться, что решение (2.115》 совпадет с (2.54).

Если 尸2= ——尸i = P, то будут равны нулю коэффициенты (2.117), соответствующие корням уравнения 0 = 0 и отличны от нуля ——соответствующие корням уравнения а —0. Функции % согласно (2.112) будут иметь вид

,'电=—§jSin8/rb

а отличные от нуля коэффициенты (2.117)

_ 2Раsin 6；—

& Ех^х / sin 2% \

—2Pa1

Exhx^j 6; (1 + p- + p-26y) sin 6； ch 6；Zi *

Решение (2.115) при этом совпадет с (2.84).

В общем случае решение для перемещений и определяется по формуле (2.115) с коэффициентами (2.117) и (2.114).

Удельные нормальные продольные усилия Т и удельные касательные усилия S в пластине найдем по формулам (2.35), подставляя туда перемещение и из формулы (2.115) и и = 0

cfijChGj (/!-f；)^(ii)cfijChGj (/!-f；)^(ii)

cfijChGj (/!-f；)^(ii)

cfijChGj (/!-f；)^(ii)

3g仏一0心⑺,3g仏一0心⑺,где ^j (г,)——производные от функций 屮亍，определенных ниями (2.112),■Ф； Сп) = —6/ (О/ Sin 9；T］ -f- Ру cos 9у-п).где ^j (г,)——производные от функций 屮亍，определенных ниями (2.112),■Ф； Сп) = —6/ (О/ Sin 9；T］ -f- Ру cos 9у-п).(2. 118)выраже-(2. 118)выраже-Нормальные усилия М к N& в ребрах определяются согласно 《2.39) после подстановки удельного усилия S из формулы (2.118)Нормальные усилия М к N& в ребрах определяются согласно 《2.39) после подстановки удельного усилия S из формулы (2.118)

3g仏一0心⑺,

3g仏一0心⑺,

где ^j (г,)——производные от функций 屮亍，определенных ниями (2.112),

■Ф； Сп) = —6/ (О/ Sin 9；T］ -f- Ру cos 9у-п).

где ^j (г,)——производные от функций 屮亍，определенных ниями (2.112),

■Ф； Сп) = —6/ (О/ Sin 9；T］ -f- Ру cos 9у-п).

(2. 118)

выраже-

(2. 118)

выраже-

Нормальные усилия М к N& в ребрах определяются согласно 《2.39) после подстановки удельного усилия S из формулы (2.118)

Нормальные усилия М к N& в ребрах определяются согласно 《2.39) после подстановки удельного усилия S из формулы (2.118)

N*=Р\ — QhaN*=Р\ — Qha[ch 协 一（±力（4一0]屮；（一1）,[ch 协 一（±力（4一0]屮；（一1）,

N*=Р\ — Qha

N*=Р\ — Qha

[ch 协 一（±力（4一0]屮；（一1）,

[ch 协 一（±力（4一0]屮；（一1）,

^2=尸2+Gha^2=尸2+Gha?^ 号［ch 9/1 — ch %•(乙一3］屮 j (I).

^2=尸2+Gha

^2=尸2+Gha

Переход к бесконечно длинной панели осуществляется с помощью следующей замены:

ch 8,(厶一()_sh 8,(厶一C) — e一乎

、ch e；Zjch 6yZi

Поперечные перемещения панели v не равны нулю. Схема панели изображена на рис. 2.32. Метод расчета, обсужденный только что в предыдущем пункте, неудобен, так как система собственных «функций и их производных будет леортогональной. Поэтому решение будем искать в виде ряда по системе собственных функций, каждая из которых будет удовлетворять однородным граничным условиям на торцах пластины

Т=0 при g = 0, 〃 = 0 при g = /i・

Такое решение имеет вид

辽=£ (C/Sh\fq+djChA/n)cosA{,(2. 119)

где с力 dj — произвольные постояннее, X； — собственные числа, 2=*(2/-1)(/=1,2,(2. 120)

Постоянные 白 и d§ найдем, подставляя перемещение и из формулы (2.119), а также нормальные усилия Ni, №, определяемые по

формулам (2.35), в уравнения равновесия! ребер, записанные в форме (2.39). Уравнения (2.39) при этом преобразуются к виду

оо

У (%，』+&力)sin 入衣,(2.121)

где厶=；[(%片一 1) sh勺一为ch2], g^ = sh入/+ %入‘ch入」伊=1,2).(2.122》

Здесь коэффициенты 卩卜卩2 определены формулами (2.38).

Учитывая ортогональность функций sin %匕 на интервале (О, /J, из уравнений (2.121) получим систему двух алгебраических уравнений для определения коэффициентов с$ и d§ при .каждом /=1, 2,....

2Pl

Ghal^kj *

/2内+g2力=/2内+g2力=2P2Ghal^kj2P2Ghal^kj

/2内+g2力=

/2内+g2力=

2P2Ghal^kj

2P2Ghal^kj

Решение этой системы имеет вид

e =2p1g2 一 p2gl

' Ghal^kj Уi^2 + /2^1

d =2p1/2 +p2力

' G力砌入 j /1^2 + /2^1

Подставляя /приведенные、^выше коэффициенты в формулу (2.119), запишем окончательно продольное перемещение и панели в виде

2ZZ—Ghalx2ZZ—Ghalx^| (P2gl — Plg2)Sh 5 十(戶2力 + Л/2)Ch 5^| (P2gl — Plg2)Sh 5 十(戶2力 + Л/2)Ch 5入』（力g2 + /2gl）入』（力g2 + /2gl）cos£& (2.123)cos£& (2.123)

2ZZ—Ghalx

2ZZ—Ghalx

^| (P2gl — Plg2)Sh 5 十(戶2力 + Л/2)Ch 5

^| (P2gl — Plg2)Sh 5 十(戶2力 + Л/2)Ch 5

入』（力g2 + /2gl）

入』（力g2 + /2gl）

cos£& (2.123)

cos£& (2.123)

где gi,敢，力 1,力——коэффициенты, вычисляемые согласно (2.122).

Поперечное перемещение панели и определяется по формуле (2.33), полученной из условия равенства нулю суммарной поперечной силы в любом поперечном сечении панели. Подставляя туда 〃2 = 〃(& l),〃i=〃(G,—1), с учетом формулы (2.123) имеем

(尸281 -p182)5h入/*(力g2 + /2^1)(尸281 -p182)5h入/*(力g2 + /2^1)[(—W + sinXL[(—W + sinXL(2. 124)(2. 124)

(尸281 -p182)5h入/

*(力g2 + /2^1)

(尸281 -p182)5h入/

*(力g2 + /2^1)

[(—W + sinXL

[(—W + sinXL

(2. 124)

(2. 124)

Произвольная постоянная при интегрировании равенства (2.33) выбрана так, что и = 0 при 匕=厶.

Удельные усилия Т н S в пластине найдем по формулам (2.35), продольные усилия М к № в ребрах ——по формулам (2.39). Тогда

г “2 = R +г “2 = R +(尸2gl — P132)sh5 +(尸2力十尸 1/2)ch 5/1^2 + /2^1,(尸2gl — P132)sh5 +(尸2力十尸 1/2)ch 5/1^2 + /2^1,sin 入/&sin 入/&(p2^i—P1g2)Rj ch 人川一sh 5)+(P2力+p1/2)§ sh 5入 j(flg2 + f2gl)(p2^i—P1g2)Rj ch 人川一sh 5)+(P2力+p1/2)§ sh 5入 j(flg2 + f2gl)"2 =Р2一"2 =Р2一(尸2gl—尸1乌2)(入j ch Xy—sh Ху)—(户2f i+尸"2) %/ sh А/¥(flg2 + /2^1)(尸2gl—尸1乌2)(入j ch Xy—sh Ху)—(户2f i+尸"2) %/ sh А/¥(flg2 + /2^1)cos XyC(2.125)cos XyC(2.125)sin 入/Jsin 入/J

г “2 = R +

г “2 = R +

(尸2gl — P132)sh5 +(尸2力十尸 1/2)ch 5

/1^2 + /2^1,

(尸2gl — P132)sh5 +(尸2力十尸 1/2)ch 5

/1^2 + /2^1,

sin 入/&

sin 入/&

(p2^i—P1g2)Rj ch 人川一sh 5)+(P2力+p1/2)§ sh 5入 j(flg2 + f2gl)

(p2^i—P1g2)Rj ch 人川一sh 5)+(P2力+p1/2)§ sh 5入 j(flg2 + f2gl)

"2 =Р2一

"2 =Р2一

(尸2gl—尸1乌2)(入j ch Xy—sh Ху)—(户2f i+尸"2) %/ sh А/¥(flg2 + /2^1)

(尸2gl—尸1乌2)(入j ch Xy—sh Ху)—(户2f i+尸"2) %/ sh А/¥(flg2 + /2^1)

cos XyC

(2.125)

cos XyC

(2.125)

sin 入/J

sin 入/J

sin X；Csin X；C（尸殴一Pg）® ch入了—• sh入力+ （p2fl十尸1f2）入j sh入j

sin X；C

sin X；C

廿(flg2 + /2^1)

В частном случае, когда ребра одинаковы (卩1 =卩2 =卩)и 尸2= =——Р\ = Р^ решение (2.123), (2.jl25) 'совпадает 'с результатами 《2.92),⑵93), (2.94).

Исследуем сходимость полученных рядов (2.123)——(2.125). Рассмотрим сначала, как ведут себя члены рядов для 'пластин ограниченной длины при больших индексах /, т. е. при больших коэффициентах^^,, определенных формулами (2.120). Порядок роста величин Д и gk согласно формулам (2.122) следующий:

力〜gw〜人.

Значит, порядок каждого члена рядов (2.123)——(2.125) будет

"—~iy+sin入阳，

T 〜丄 ef "fD sin X，S 〜丄 e-"*T 叫 cosxr,

NVN2 〜~2~ sin X*

В угловой точке 匕=0, n = 1*

и ( ―^- , V 〜-~, 7" ~ 0,F F(2. 126) •

S - —, N、N? *- 0.

Отсюда следует, что все ряды сходятся за исключением ряда для удельных касательных усилий S в угловой точке, где имеется логарифмическая особенность. , Асимлтотическая формула для удельного касательного усилия S, справедливая для окрестности

угловой точки, имеет вид (2.64), где вместо Р н 读 следует брать 戶 1,卩 1 ДЛЯ окрестности ТОЧКИ G = 0, П= —1 Н、尸2, р-2 для М = 0, т)=1.

Сравним оценки (2.126) с оценками (2,60), которые установлены при рассмотрении растяжения симметричной панели и соответствуют членам тригонометрических рядов (2.59) по поперечной координате п・ В (2.126) оценка Т~0 является следствием выполнения условия 7=0 с помощью каждого члена ряда. В (2.59) это условие выполняется не каждым членом ряда, а всем рядом. Сходимость рядов для удельных касательных усилий S одинаковая, ряды для продольных перемещений и в разд. 2.5 сходятся1 быстрее.

Рассмотрим теперь вопрос, как ведут себя члены рядов при использовании 'решений (2.123) — (2.126) для весьма длинных пластин. Характер сходимости рядов, естественно, будет иметь вид (2.126), так .как он_не зависит от длины. Однако этот характер начнет проявлять себя при очень больших индексах /, а первые члейы рядов,, числа которых может быть весьма большим, могут вообще не убывать. Поэтому рассмотрим члены рядов, у которых %《1, что согласно (2.120) соответствует условию л (2/——1)《2厶.

При малых 九力 согласно формулам (2.122), имеем оценки g在~入户力~片.

Поэтому оценки членов рядов (2.123) — (2,125) будут

(2—1)2理(2—1)2理丁〜1《丁〜1《

(2—1)2理

(2—1)2理

丁〜1《

丁〜1《

S 〜1, N、〜N?〜"1 C・

Отсюда следует, что коэффициенты рядов для усилий Т； S, Nu 乂2 вообще не убывают для начальных членов ряда при условии л(2/—1)《厶・ Возникает необходимость преобразовать ряды с целью улучшить их сходимость. Это можно сделать путем предельного перехода от рядов к интегралам Фурье при 厶一＞8 и вычисления интегралов. Иными словами, нужно получить решение для панели бесконечной длины. Указанное преобразование делается точно так же, как в разд. 2.7, поэтому запишем лишь окончательный результат

" (阿+ 4-卜腿+ ^ +卜2 + ~j"卜向+1)

+ = ^^ "(а、''［伊2/? + "i/з) cosO/q —(戶2g；—自或)sin 8川］，

尸(2. 127)

s==f 万;'［(戶2g? —户原)(% COS 8川-sin %) +

0办彳『0(8力

+ (巳#+2 務% single-*f

где

/2=008 0；—:+ 叫 sin 勿，gl=sin % +限％cos 少

（左=1,2;丿= 12・・）；（2.128）

0j — корни характеристического уравнения /M+/^g；=。，

которое с учетом （2.128） можно записать в виде

［（Pi + 22）°T-}］cos28 — ［pi22/—1 + -^~ （Pi + 囱）］ зМ20=±,

Z） （%）=28了［1 "（^-（21 + 22）一户讲2%］ cos 2% -一 ］1 +/（21 + 吃）+ ［32讲2 + 2（21 +吃）］6/| sin 2%.

Нормальные усилия N、％ №в ребрах определяются по формулам （2.39） подстановкой 5 из'формулы （2.127）

N\ = Р\ — 2 §Уп/А ［（尸2g?—尸爲）（。/cos % — sin 8/） —

，-（Л/?+Л/2）力 Sin 朗（1 -e—牙）,

n2=p2+2 £ ^y ［（3g?- Rgg）⑨ cos 力- sin 办）+

+ （P2f°+Pif2）力 sin 削（1 —e~呼）.

Характер распределения перемещений найдем, интегрируя выражение

ab 兆

с учетом （2.127）, и ограничивая величину перемещений на торце 己=0. Точнее говоря, будем выполнять условия .

uI=u2 = 0 при•匕=0, где 〃］ = 〃（& ■—1）,以2 = 〃（g, 1）. Продольные перемещения в результате могут быть представлены в виде

［p2（因 + 1）一р1（止2 + 1）］可 十Р2（因 +;）+ ^1 （m-2 + ~）

卜 1 +.}'"+ D +卜2+-^•卜同 + 1）-

+£ q（；）［（^2/1+ Л/°） （cos 9； — cos 8川ef）—

еЛТ 厶（0（0力

一（尸2g?— A^2）（n Sin % —sin 8川 ef）・

.2.9. ОЦЕНКА ВВЕДЕННОЙ ГИПОТЕЗЫ

Предшествующие обсуждения настоящей главы основаны на гипотезе с несжимаемости материала пластины в поперечном направлении. Погрешность в решении, связанная с этой гипотезой, не может быть'исследована в общем виде. В каждой конкретной задаче она будет разной. Оценим погрешность на примере бесконечной пластины, к -которой ,приварен по /всей длине полубесконечный стрингер, нагруженный на конце продольной юилой Р (рис. 2.35). Эта задача в точной постановке на основе уравнений плоской теории упругости решена В. Т. Койтером [19]. Выпишем из разд. 2.2 основные уравнения:

соотношения закона Гука'*

T=Eh— ,S=Qh — \(2. 129)

дх3s

уравнение равновесия пластины *(2.12)

• - 貝+祭=0；(2.130)

уравнение равновесия элемента ребра

—+ S+-S-=0;(2. 131)

dx

условия на концах рёбра

N|>o=R №|一=0;-(2. 132)

соотношения закона Гука для ребра

N=-ECFC— .(2. 133)

dx

При записи этого соотношения учтено, что продольная деформация пластины на линии присоединения ребра d〃/d尤|б=о равна деформации ребра.

Напомним, что в приведенных соотношениях Е, G 一 соответственно модуль упругости и модуль сдвига пластины;也——толщина пластины; Ес, Fc — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения ребра; Т, S — удельное нормальное продольное

Рис. 2.35. Бесконечная -пластина с приваренным по всей длине полубесконечный ребром, нагруженным на торце продольной силой Р (а) и положительное направление касательных усилий д, приложенных к пластине со стороны ребра (6)

и удельное касательное усилие в пластине; N——продольное усилие в ребре; S+ и S~ ——удельные касательные усилия на верхнем нижнем берегу -пластины, примыкающем к ребру. '

Разрежем пластину по линий присоединения ребра, а нагрузку д, которая передается от ребра к пластине, разделим на две одинаковые части, одну из которых приложим к верхнему ( + ) берегу разреза, а другую — к иижнему (—).

За положительное направление нагрузки q, приложенной к пластине, примем направление, противоположное оси х (см. рис. 2.35, б), следовательно, к ребру она приложена в направлении "ОСИ X.'

Будем иметь

■S+=/>, S-=-^-.(2. 134)

При этом уравнение (2.131) после интегрирования дает продольное нормальное усилие в ребре

(2. 135)

Второе условие на конце (2.132) выполняется автоматически, а первое приведет к условию

f qdx=P・ о

В силу симметрии задачи

(2. 136)(2. 136)• Т+ = 7-= 7b=》

(2. 136)

(2. 136)

Если подставить усилия (2.129) в уравнение (2.130), получим дифференциальное уравнение равновесия относительно продольного перемещения и

02〃02〃2(屮)票+ 一 которое в безразмерных координатах

02〃

02〃

——-,--,п=—

Л/2(1 +v)1 Л

будетбудет(2. 137)(2. 137)62a ! 02□

будет

будет

(2. 137)

(2. 137)

1= u.

*2 , ^2

Таким образом, продольное перемещение и есть гармоническая функция координат g, п・ Если обозначить через и сопряженную с и гармоническую функцию, то функция

(Р(2)=〃 + %, 2 =白 + 5

тди/ 1=—, 31="^.тди/ 1=—, 31="^.(2. 138)(2. 138)будет аналитической.

тди

/ 1=—, 31="^.

тди

/ 1=—, 31="^.

(2. 138)

(2. 138)

Обозначим

Тогда соотношения (2.129) будут иметь вид

• 片纟 kTi，s=―-—/2(l + v) 12(l + v) 1

(2. 139)(2. 139)Функция комплексного переменного 屮⑶= 7\TSi

(2. 139)

(2. 139)

будет голоморфной. Действительно, в силу условий Коши——Римана

ди

dv

да _

dv.

西

ди

ди

屮"况‘

г况? U丿，

а производная 屮'(？) от аналитической функции есть .функция аналитическая. В силу ограниченности усилий в пластине можно считать, что функция p(zj будет голоморфной.'

Однако сопряженная функция 屮(z) =Тi + »Si уже не будет голоморфной, так как согласно условиям Коши—Римана должно быть

или с учетом (2.138)

что противоречит уравнению равновесия (2.137).

Функция ip должна удовлетворять двум условиям, вытекающим из (2.134) и (2.136),

st —S[ = g, 7t = 7T = TJx，

где Л ——пока неизвестная функция координаты g. Эти условия с - учетом (2.139) можно записать в виде

Г+Г=2ЛМ- (2. 140)

Функцию 屮(2)будем искать в виде интеграла типа Коши с неизвестной на действительной оси плотностью(о(^)

2л/ ) £т О.

По формулам Сохоцкого граничные значения интеграла типа Коши должны удовлетворять равенствам

屮+代）+忆（? =屮+代）+忆（? =Г 3(£)d£ОГ 3(£)d£О

屮+代）+忆（? =

屮+代）+忆（? =

Г 3(£)d£

О

Г 3(£)d£

О

屮十（匕）一屮一（?=s«），

Сравнивая эти выражения с условиями (2.140), найдем

7\ к=о7\ к=о一1，q”t0一1，q”t0(2. 141)(2. 141)

7\ к=о

7\ к=о

一1，q”t

0

一1，q”t

0

(2. 141)

(2. 141)

Соотношение (2.133) запишем в виде

71 k=o.71 k=o.

71 k=o.

71 k=o.

Подставляя сюда Т} %=о из (2.141) н N из уравнения (2.135), получим интегральное уравнение для определения реакции q /записано в размерных координатах)-

■у\т?Т + ХФЙЛ=0,(2/42)

•04

、4£Л2

где /% =7==-.

ECFC /2(1 +v)-

Уравнение В. Т. Койтера (19] имеет тот же вид, только вместо параметра 九i у него параметр .

入 __4£А2

L 瓦ГГ(3二 v)(T3vT

При изменении коэффициента Пуассона v от нуля до 0,5 отношение 入丿入2 изменяется в пределах 1,06&М/Х2《],б8.

Введя новую переменную gi=KiXi в уравнение (2.142) и g=%尤 в уравнение В. Т. Койтера, приведем их к одинаксГвому виду. Оба решения будут совпадать в точках g = &. Таким образом, если известно решение В. Т. Койтера в точке /, то такое же решение ура& нение (2.142) будет иметь в точке

入1入12唄(3—v) /iVv2唄(3—v) /iVv

入1

入1

2唄

(3—v) /iVv

2唄

(3—v) /iVv

Иными словами, решение В. Т. Койтера нужно растянуть вдоль оси х в масштабе 入2血卜

— Сравнение результатов ,при 屮= 0,3 для! безразмерного усилия R=N(尤)/М(0) в стрингере приведено на рис. 2.36, где по оси абсцисс отложена безразмерная координата ^=^^, ； введенная В. Т. Койтером. Результаты сравнения показывают, что на активном участке ^падения усилия в ребре погрешность решения весьма мала.

Выполненные расчеты в предыдущих ^разделах этой главы показывают, что не так обстоит дело, .когда рассматриваются пластины конечных размеров< ребрами, достигающими торцев пластины. В этом случае касательные усилия взаимодействия, вычисленные по изложенной приближенной теории, не учитывающей эффект поперетаого обжатия, будут бесконечно большими на конце плас- 118

Рис. 2.36. Изменение продольных усилий У в полу бесконечном ребре, присоединенном к бесконечной пластине:

Кривая /—решение В. Койтера [19], кривая 2 — решение данного раздела ("=• 』М(х)/М(0), ^(0)^P — усилие на торце ребра (#=0)

тины и ребра. Если же их определять на основе точных уравнений теории упругости, они должны обратиться в нуль. Этого требует граничное. Условие отсутствия касательных напряжений на свободном торце пластины. Отмеченное обстоятельство, однако, не умаляет достоинство изложенной тео

рии, так как уже на небольшом расстоянии от торца решения по приближенной и точной теориям будут близки. Приближенную теорию вполне допустимо использовать в тех случаях, когда краевые эффекты вблизи торца пластины в зоне присоединения ребра не. являоотся .решающими. Если ребро не достигает края пластины, то изложенные выше результаты позволяют сделать заключение о высокой точности приближенной теории.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Батовкин В. И. К расчету усилий взаимодействия между переборкой и • боковой стойкой.——Труды Николаевского кораблестроительного института, 1975, вып. 98, с. 126—131.

Беляев В. Н. Испытание н расчет крыльев с различной обшивкой.— Техника воздушного флота, 1935, № 5, С. 43—56, № 10, с. 1—11, № 12, с. 10—18.•

Беляев В. Н. Расчет свободнонесущего крыла. — Труды ЦАГИ, М., ОНТИ, 1934, № 165, с. 7—72.

Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. М., Госстройиздат, 1940.— 276 с.

Григолюк Э. Им Толкачев В. М. Приближенное исследование передачи нагрузки от упругого стрингера к тонкой упругой пластине.——Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 3, с. 119 —123.'

Елеиецкий Г. С. Работа трапецеидального крыла на кручение. — Труды ЦАГИ, 1935, № 208, с. 1—130.

Еленецкий Г. С., Даревский В. М. Кручение двухлонжеронного пирамидального крыла. — Труды ЦАГИ, 1937, № 292, с. 3—43.

Одинокое Ю. Г. Расчет тонкостенных конструкций типа крыла, фюзеляжа и оперения самолетов.——Сборник научных трудов Казанского авиац. института им. П. И. Баранова, 1946, № 8, с. 39—106.

Раскин Ю. Н. Решение плоской задачи теории упругости для случая пе-т редачи продольного усилия через ребро на пластину.——Труды Ленинградского кораблестронт. института, 1962, вып. 35, с. 39—50.

Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской .формы нзгиба двутавровой балкн под влиянием сил, действующих в плоскости ее наибольшей жесткости.— Изв. С.-Петербургского политехнического института, 1905, т. 4, вып. 3一4» § 1—10, с. 151——219 (см. С. П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М., Наука, 1971).

И. Тюряхин А. С. О расчете тонкостенных металлических стержней при

воздействии местных продольных ндгрузок.——Ученые записки Мордовского университета, 1968, № 65, с. 6—49.

Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкцнй. M.——JL, Оборонгиз, 1939. 112 с.

Уманский А. А. О нормальных напряжениях прн кручении крыла самолета. —Техника воздушного флота, 1940, № 12, с. 48—65.

Ebner Н. Die Beanspruchung diinnwendiger Kastentrager aur Drillung bei behinderten Querschnittswolbung. — Zeitshrift fiir Flugtechnik und Motorluftfahrt, 1933, N 23, S. 645—655.

Goody W. T. Stress diffusion problems.—Aircraft Engineering, 1946, 18, N 208, p. 195—198, N 210, p. 271—276; N 212, p. 343—346; N 211, p. 313—316.

Hayashi Takaya. A phenomenon of Load—diffusion in a stiffened plate. «Shearlead» ——Нихон коку утю гаккайси, Journal of the Japan Society for Aeronautical und Space Sciences, 1974, 22, N 243, p. 194—499.

17. Hertel H. Lekhtbau. Bauelemente, Bemessungen und Konstrution von Flugzeigen und anderen Leichbauwerken. Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1960, S. 526. Перевод на русский язык: Хертель Г. Тонкостенные конструкции. М., Машиностроение, 1965, 527 с. ■

Juille I. М. Diffusion of load from a bar into plate-simple solution applied to catapult retardation structures in aircraft carriers.— Quarterly Transactions of the Royal Institution of Naval Architects, 1961, 103, N 4, p. 479—490.

Koiter W, T. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet.—The .Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1955, 8, N 2, p. 164—178.

Manfield E. H, The diffusion of load into a semi-infinite shett. P. 1 and 2. — Aeronautical Research. Council Reports and Memoranda, 1953. N 2670, p. 1—61.

Глава 3

РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН С РЕБРАМИНА ОСНОВЕ ТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В третьей главе содержится решение некоторых плоских контактных зада* взаимодействия ребер с пластинами. В отличие от первых двух глав решение строится на основе уравнений теории плоского обобщенного налряженного состояния пластины без введения упрощающих гипотез. Ребра считаются присое* диненнымн к пластинам по линии, ширина участка контакта ие учитывается. В связи с математическими трудностями, возникающими при построении функций Грина для пластин конечных размеров (в случае плоской задачи) в литературе, за небольшим исключением, рассмотрены плоскость, полуплоскость и полоса с ребрами конечной и бесконечной длины. В силу высокой концентрации напряжений вблизи концов ребер такие решения приближенно могут описывать напряженное состояние и характер реакций взаимодействия в окрестности концов ребер и для пластин конечных размеров, если, ргйумеется, ребро не доходит до границы пластины. В данной главе делается акцент на решение контактной задачи, состоящей в определении касательных реакций взаимодействия между пластинами и ребрами. Напряжения в пластинах не исследуются, но необходимые для этого формулы естественно получаются при формулировке задачи.

Из-за ограниченного объема книги в главу не включен целый ряд задач, которые соответствуют или близки разбиваемой теме. Так, не рассмотрены динамические контактные задачи, контактные задачи взаимодействия с ребрами пластин, ослабленных трещинами и вырезами, ие приведены решения для анизотропных пластин, клиновидных пластин и т. д. Часть таких работ мы не сочли целесообразным включать и в список литературы к главе (пластины с трещинами и вы* резами, динамические задачи).

В разд. 3.3 даны основные уравнения плоской теории упругости и некоторые решения, используемые при формулировке задач включения. В разд. 3.4, 3.5 и 3.6 соответственно изложено содержание результатов В. Будянского и Т. By {56], В. Койтера [62] и Е. Мелаиа [6哥.В разд. 3.7 дается решение задачи включения для ребра конечной длины, присоединенного к бёсконечной пластине и границе полубесконечиой пластины. Это более детальное изложение статьи [43]. В разд. 3.8 кратко изложен способ решения основного сингулярного интегрального уравнения для задач включения с помощью разложения решения в ряд по полиномам Чебышева. Этот способ широко используется в литературе при решении задач включения и берет свое начало в рассматриваемых задачах, насколько нам известно, с работы С. Бенскотера [52]. В разд. 3.9 изложено содержание работы [13], посвященной решению задачи для бесконечной и полубесконечиой пластины с ребром конечной длины и переменной по длине площади поперечного сечеиия. Содержание этих и других работ по задачам включения обсуждается ниже в разд. 3.2. ■

32 ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ

По задачам включения, рассматриваемым е позиций уравнений плоской теории упругости без упрощающих предположений, имеется обширная литература.

Первая работа, в которой рассмотрена бесконечная пластина с присоединенным по всей длине бесконечно длинным ребром, нагруженным в начале .координат продольной силой, принадлежит Е. Мелану (66] и относится к 1932 г. Решение для касательных усилий q в* пластине на линии присоединения ребра, а также для нормальных усилий N в ребре получено в замкнутой форме

(ciXj coeXi—siXj sinx^,

—(ciXi sin —'

гдеci = — \ ^~- d£, si 吃=\ dt,

4e九

%】=[г】％, *] = — 一■ ~——,

(1 +v)(3 —v)E，c

“ —продольная координата; Е, h — соответственно модуль упругости и толщина ;пластины; £с, Fc — соответственно модуль упругости и площадь сечения ребра; Р ——продольная сила, приложенная к ребру. Из приведенного решения следует, что касательные усилия неограниченно возрастают при приближении к точке приложения силы, как 1п х. Эта задача, получившая в литературе название задачи Мелана, в случае, когда ребро приклепано к пластине в дискретных точках с постоянным шагом, рассмотрена в работе Б. Будянского и Т. ВУ [56] (1961 г.). Заклепки рассматривались как бесконечно жесткие шайбы. Выражения для усилий в заклепках получены в явном виде, но при этом требуется вычислить сложный интеграл, содержащий бесконечный ряд в знаменателе. Однако для усилий fn в заклепках с большим номером л (считая от точки приложения сосредоточенной силы) дана асимптотическая формула fn^Anr2, где Д — параметр жесткости ребра. Если параметр А ；мал^ то шредлагаютоя приближенные формулы

/о~1 - 25, f^A(B 一 1п2),九仁 一 A In (1 — ±),

здесь В — известный коэффициент.

Е. Билл [57] (1948 г.) рассмотрел полубесконечную пластину (Im г>0, z = x+iy), к участку границы которой %>0 по всей длине присоединено полубесконечное ребрр, нагруженное на конце 尤=0 силой Р вдоль оси х. Решение бигармонического уравнения для функции Эри берется в форме Ф=у<р, где <р ——гармоническая функция. Затем совершается конформное отображение полуплоскости на внутренность единичного круга |白| &L Решение для гармонической функции epi (^) =<р(2)берется в виде ряда

%=整 + у М" sin 研，C=Qe坤,л=1

где Л ——толщина пластины; Ьп ——искомые коэффициенты. Подстановка этого выражения в граничное условие при q=1 приводит к - функциональному соотношению, которое выполняется применением метода Бубнова. Таким образом, для коэффициентов получается бесконечная система алгебраических уравнений. При практическом решении в системе оставлялось до шести коэффициентов, общий анализ ее не дается. Приведены графики и формулы для нормальных и касательных усилий на границе шгастины. Отмечается, что касательные усилия неограниченно возрастают на конце стрингера, имея особенность типа 1/У^.

Решение этой же задачи и идентичной задачи для бесконечной пластины получено В. Койтером [62] (1955 г.). Используя в качестве функции Грина решение От сосредоточенной силы, автор получил сингулярное интегр альное уравнение

о х° о

где 亏=况]尤；q* = Pq沁у q—• касательное усилие - взаимодействия между ребром и пластиной. В случае бесконечной я полубесконеч- ной пластины соответственно

入1 =入1 =(3 — у) (] +у)Е/£ .(3 — у) (] +у)Е/£ .入1 =入1 =E()FсEhE()FсEh

入1 =

入1 =

(3 — у) (] +у)Е/£ .

(3 — у) (] +у)Е/£ .

入1 =

入1 =

E()FсEh

E()FсEh

Интегральное уравнение (3.1) с помощью преобразования Мел- линг! сведено В. Т. Койтером к разностному уравнению с переменными коэффициентами. Взяв логарифмическую лроизводную от обеих частей этого уравнения, автор пришел к разностному уравнению с постоянными коэффициентами,!, которое решено с помощью преобразования Лапласа. Решение для продольных усилий N в ребре, отнесенных к приложенной силе, получено в виде ряда

—1п х^ ——1п х^ —(3.2)(3.2)

—1п х^ —

—1п х^ —

(3.2)

(3.2)

где гр ——логарифмическая производная ст гамма-фунхции Эйлера. Ряд (3.2) хорошо сходится при EV2. Для больших х получена асимптотическая формула

"(х) = 2"(х) = 24一

"(х) = 2

"(х) = 2

-一2 (1п2 — 0,5772157 — 1пх) +…

Содержание упомянутых результатов Б. Будянского и Т. By [56], В. Койтера [62], а такжё Е. Мелана [66] изложено в разд. 3.3, 3.6 и 3.5 настоящей главы.

Бесконечная пластина с полубесконечным ребром рассмотрена также в работе Е. Брауна [55] (1957 г.), где использованы комплексные представления Г. В. Колосова для напряжений. Плоскость «разрезаемся» по линии присоединения ребра и( отображается ,на единичный крут. Искомые аналитические функции в круге представлены рядами Тейлора, для коэффициентов которых так же, как и в работе Е. Билла [57], получена бесконечная система алгебраических уравнений. Эта же задача реш-ена А. И. Каландия [18}, который для решения исходного сингулярного интегродифференци- ального уравнения применил метод Винера——Хопфа и получил решение в квадратурах. Содержание этой работы А, И. Каландия изложено в его книге [19]. Л. С. Рыбаков и Г. П. Черепанов [35] изучили дискретный вариант задачи Е. Билла [57], когда полубес- конечное ребро присоединено к бесконечной пластине с помощью бесконечного числа заклепок. Задача приводится к бесконечной системе алгебраических уравнений с коэффициентами, зависящими от разности индексов. Точное решение системы получено путем сведения ее к задаче Римана—Гильберта.'

Задача включения для ребра конечной длины, присоединен-- ного к бесконечной пластине, впервые рещена С. Бенскотером [52} (1949 г.). Интегродифференциальное уравнение

叭（х）4叭（х）4(3.3)(3.3)

叭（х）4

叭（х）4

(3.3)

(3.3)

решалось путем разложения нормальных усилий ^(x) в ребре в ряд по полиномам Чебышева второго рода Un~\ (х) = sin nO/sin 0 (6 = arccos х//) с весовой функцией 丫1 ——(х//)2.лПосле-поД|СтанО|Вки ряда ：в уравнение (3.3) получалось функциональное уравнение, которое удовлетворялось в четырех точках 0=л/8, л/4, Зл/8, л/2 и, таким образом, получилось четыре уравнения для определения четырех [первых коэффициентов разложения) Остальные принимались равными нулю. Дан численный расчет двух случаев, когда силы Р на концах ребра направлены в одну сторону и в противоположные стороны. Следует отметить, что уравнение (3.3) имеет тот же вид, что и уравнение Прандтля для распределения аэродинамических сил крыла самолета. Эта аналогия отмечена Е. Рейсснером [72] (194.0 г.). Приближенные способы решения уравнения (3.3), описанные В. В. Голубевым [11] в 1.931 г., также основаны на разложении искомой функции в ряд и последующем решении функционального уравнения. Точное решение уравнения Прандтля для крыла эллиптической формы в плане получено И. Н. Векуа [9].

В статье Е. Рейсснера [72] рассмотрено взаимодействие ребра конечной длины и полубесконечной пластины, прикрепленной перпендикулярно к границе. Записано сингулярное интегродифферен- циальное уравнение для ребра переменной жесткости, решение которого, однако, не получено. Развитие указанной работы Е. Рейсснера дано И. Гудиером и Ц. Су [61] в предположении, что контакт 124 ' ・

осуществляется по контуру соединения-пластины и ребра конечной ширины. Эта же задача решалась Р. Муки и Е. Стернбергом [69] на основе двух гипотез: при контакте по линии, совпадающей с осью ребра, и при контакте по всей ширине ребра в предположении, что касательная реакция не изменяется по ширине ребра. В этой работе дан анализ особенностей решения для случая, когда ребро достигает границы пластин. Обсуждаемой задаче посвящена также публикация Е, Февра, Д, Мудже и И. Дикки [63].

Решению задачи включения для полубесконечной и бесконечной пластины с ребром конечной длины посвящены также работы В. М, Александрова и М. Д. Солодовника [4], Н. X. Арутюняна [6], X. Буфлера [58], Э, И, Григолюка и В. М. Толкачева [13], Ю, И, Ларькина [24], [25], {26], Г. А. Мораря [29], Г. А. Мораря и Г,' Я. Попова [30], В. М. Толкачева [43], X. Фана и Р. Муки [60]. В статье (43] ребро конечной длины и постоянного сеченйя прикреплено по всей длине к бесконечной пластине или к границе полубесконечной пластины. В отличие от работы (52] решение интег- родифференциального уравнения получено путем обращения сингулярного интеграла и после некоторых преобразований с использованием тригонометрических рядов сведено к регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. .Ряды быстро сходятся.

Решение работы [43] изложено в разд. 3.7. Эта же задача рассмотрена в статье [6]. Так же, как и в статье [43], сначала делается обращение сингулярного интеграла б исходном уравнении, что позволяет выявить особенности реакции в явном виде. После этого (в отличие от работы [43])' усилия в ребре представляются в виде.степенного ряда, коэффициенты которого определяются из регулярной бесконечной системы алгебраичеоких уравнений.

При рассмотрении задачи включения для бесконечной и полубесконечной пластины с ребром конечной длины эффективным является способ представления решения в виде рядов по полиномам Чебышева. Видимо, первой здесь является работа С. Бенскотера [52]. Позднее для данного класса- задач аппарат полиномов Чебышева непользован в работах [26, 25, 24, 29, 30]. В статье {30] предполагается, что ребро прикреплено к границе полуплоскости и загружено произвольной продольной нагрузкой. В книге [31] ребро считается прикрепленным параллельно границе полуплоскости на некотором расстоянии от нее, в работах [24, 25, 26] рассмотрен случай, когда ребро расположено перпендикулярно границе полуплоскости, причем в статье [26] предполагается, что граница, подкреплена бесконечно длинным поясом-балкой, через которую ребро нагружается сосредоточенной силой. В статьях [29] и [30] допускается, что ребро может иметь переменное поперечное сечение.

В статье [4] при рассмотрении полуплоскости с ребром конечной длины также используется метод решения основного интегродиф- ференциального уравнения с помощью ортогональных многочленов. Однако это не чебышевские многочлены, а специальные многочле- ны^ (ортогональные до； отношению к интегродифференциальному дператору. Случай, когда ребро имеет переменное сечение и при-

креплено к бесконечной пластине либо ;к границе полуплоскости наряду со статьёй [30] рассмотрен и б статье [13]. Решение строится путем обращения сингулярного интеграла в исходном уравнении, которое преобразует его к уравнению Фредгольма второго рода. Рассмотрена прямая и обратная задача. Прямая состоит в определении напряжений в ребре заданного сечения, обратная ——в определении закона изменения площади сечения ребра с заданным за- ,коном распределения напряжений в нем. Прямая задача решается численно методом коллокаций, обратная решена точно. Содержание статьи [13] изложено в разд. 3.8. Случай, когда ребро конечной длины присоединено к бесконечной пластине с помощью заклепок, рассмотрен в работе [58], Когда все заклепки одинаковые и расположены с постоянным шагом, получено точное решение систешя разностных алгебраических уравнений для усилий в ребре ме*ду ■ заклепками. Это решение выражено через полиномы Чебышева второго рода. Исследован также случай, когда ребро прикреплено по всей длине.

М. Александров и А, С. Соловьев [3] задачу включения для бесконечной полосы решают применителыно к проблеме тензомет- рирова11ия. Между поверхностью полосы и накладки (тензодатчика) имеется упругий слой клея малой толщины. Предварительно с позиции плоской теории упругости рассматривается вспомогательная задача о растяжении двухслойной пластины (тензодатчик и клеевая прослойка) произвольной самоуравновешенной касательной нагрузкой, приложенной к одной из ее граней. Затем из условий полного сцепления клея с полосой строится сингулярное интегральное уравнение для определения касательных усилий взаимодействия на границе полоса—клей. Это уравнение регуляризуется и решается методом поеледовательных .приближений.

X. Арутюнян и С. М. Мхитарян [51] с использованием разложения по полиномам Чебышева и последующим применением метода Бубнова решили задачу включения для полуплоскости, к границе которой присоединено одно и два ребра. В случае двух ребер разобран отдельно случай симметричного и антисимметричного нагружения ребер. Периодическая контактная задача для полуплоскости с ребрами на границе сформулирюва-на в работе [7]. Исходное интегральное уравнение |регуляризо!вано, и затем решение представлено в виде ряда Фурье. В итоге задача сведена к регулярной бесконечной системе алгебраических уравнений. В работе [8] рассмотрена задача о контакте двух полуплоскостей, соединенных полубесконечным ребром. Задача решена <с учетом реакций нормального взаимодействия между ребром и пластинами и в итоге сводится к. системе двух сингулярных интегральных уравнений, которые решаются с помощью преобразования Меллина. Учет нормальных усилий взаимодействия приводит к таким же особенностям осцилляционного характера для реакций как и при вдавливании штампа с трением.

Л. Агаян [1] разобрал бесконечную пластину с произвольным числом одинаковых накладок, расположенных параллелыно меж- 126

ду собой в виде лестницы в один или два ряда, а в статье [2] изучил периодическую задачу для пластины с ребрами в виде лестницы с бесконечным числом ступеней.

Задачами включения занимался также К. Г. Гуляя [14, 15, 16], который изучал поведение ребер, присоединенных к граням клиновидных пластин. При рассмотрении задач для пластин с ребрами конечной длины решение исходного уравнения строится с использованием разложения по полиномам Чебышева, если ребра бесконечной длины, то «применяется аппарат преобразования Меллина.

Обобщение задачи Е. Мелана [67] на случай, когда бесконечный стрингер находится между двумя полосами, защемленными по сторонам, не связанными со стрингером, дано В. С. Саркисяном и Р. Г. Аванесяном [38]. Решение построено в замкнутом виде с учетом нормальных усилий взаимодействия между стрингером и полосами. Использовано преобразование Фурье. Эта же задача при тех же допущениях, но в случае одной полосы рассмотрена теми же авторами в работе [37]. Случай, когда ребро подчиняется степенному закону зависимости между деформацией и напряжением, рассмотрен В. С. Саркисяном, В. Г. Мхитаряном и Л. О. Овсепяном [39, 40]. Некоторые задачи включения для анизотропных пластин с )ебрами исследованы В. С. Саркисяном и -Л. О. Овсепяном [41], 42]. Все эти результаты изложены в книге • В. С. Саркисяна [36]. 3 частности, в ней рассмотрена анизотропная полуплоскость с упругой накладкой на границе (без учета нормальных усилий взаимодействия). Решение строится с использованием разложений по полиномам Якоби. Решается аналогичная задача для случая двух накладок на границе и периодическая задача. Проанализирован случай двух анизотропных полуплоскостей, соединенных по границе через упругую накладку конечной длины (с учетом касательных и нормальных контактных напряжений).

Выше были обсуждены исследования, относящиеся к задачам включения для плоскости, полуплоскости, полосы и клина, т. е. для областей бесконечной протяженности： Что касается результатов, посвященных задачам включения для пластин конечных размеров, то аналитических решений здесь немного. Это объясняется трудностями ма тематического характера. Численные ,же решения, полученные методами конечных разностей и конечного элемента, посвящены анализу напряженно-деформированного; состояния. Они, как правило, не ставятся как задачи включения и здесь обсуждаться не будут. '

Из наиболее ранних работ по задачам включения для пластин конечных размеров можно назвать работы А, А. Уманского и Б. С. Бляхера (45] (1937 г.), а также И. И. Мееровича [28J (1940「.). В первой рассмотрена пластина, подкрепленная ребрами на продольных кромках, во второй — изгиб кессона. Для решения использованы разложения в тригонометрические ряды по координате, совпадающей с осью ребер.

Пластины конечных размеров с ребрами рассмотрены и в [21, 34].

Ю. П, Кочанов [21] проанализировал задачу для пластины с двумя продольными ребрами, расположенными на некотором расстоянии от кромок и нагруженными на участке длины равномерно распределенными касательными усилиями в случае подкрепленных поперечных кромок. Решение ищется в виде суммы двух тригонометрических рядов, одного по продольной и второго по поперечной координате. В итоге получается .бесконечная система уравнений для коэффициентов рядов, которая решается методом последовательных приближений. Несколько упрощенный подход к решению аналогичной задачи дан Ю. Н. Раскиным [?4]. На первом этапе решения подкрепления на -кромках считаются абсолютно жесткими. Разыскиваются напряжения в ребрах. Затем накладывается добавка напряжения в силу конечной жесткости ребер при условии, что эта добавка не меняет характер распределения напряжений в ребре. Такой подход позволил обойти бесконечную систему, заменив ее системами конечного числа алгебраичес1ких уравнений. Как видно из приведенного выше обзора, задачам включения для пластин посвящено большое число публикаций. В данной главе из-за ограниченности объема обсуждены только основные задачи и способы решения. Специалисты/ более глубоко заинтересованные данной проблемой, могут воспользоваться перечнем литературы, приведенным в конце главы.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассмотрим плоское напряженное состояние пластины, расположенной в плоскости х, у. Уравнения равновесия элемента срединной плоскости пластины имеют вид

(3.4)(3.4)da* I =q О。》I 加外=0

(3.4)

(3.4)

дх ду 、Gg 0х '

где Ох/оУ1 七笈？——нормальные и касательные напряжения (рис. 3.1).

Запишем соотношения между деформациями растяжения еж, еу и деформацией сдвига у, с одной стороны, и перемещениями и, и вдоль осей х, у, с другой,

I

> Y= —+ —•、дх ” ду ду дх

Исключив отсюда перемещения, получим условие совместности деформаций Сен-Венана

，@2 套% 丄必02 y _

dy2dx^y '

(3. 5)(3. 5)которое можно записать в виде

(3. 5)

(3. 5)

V? (% + %) = °，

Рис. 3.1. Положительное направление напряжений в плоскости пластины

если выразить де4юрмации через на* пряжения из соотношений закона Гука

/%=-^-(% —也),％ =

=专(〜一v%), y=条 (3.6)

и воспользоваться уравнениями равновесия (3.4).

.В уравнениях (3.6) :v ——коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига; Е — модуль Юнга.:

ПолагаяПолагая02。次。次。

Полагая

Полагая

%—斤，ХхУ~ — дхду

мы удовлетворим уравнениям равновесия (3.4), а из условия совместности деформаций (3.5) получим бигармоническое уравнение для определения функции напряжений U '

vW=O,F=科+%

Общее решение этого уравнения представляется через две произвольные аналитические функции 屮(z) и % (г) комплексного nepew менного z=^x+iy

,■2。=£<р (z) + Z<p (z)—X (z)+X (z).

Это представление Гурса [17].;

Представление для перемещений и усилий, называемое представлением Колосова, имеет вид [23]

一(儿 +，切)=寺三屮(2)-2齊0-屮(2),(3.7)

V1十V

%+% = 2 丫 (：)一%5)],(3.8)

〜一% + 2，%, = 2伝У⑶+屮，⑶],(3.9)

где 屮(z)=%‘(％), а чертой сверху обозначены комплесно сопряженные функции.

Приведенные соотношения используем для формулировки задач.

Рассмотрим :бесконеч)ную пластину, занимающую всю пло5 кость ху. Пусть в произвольной точке *о действительной оси к пластине приложена сосредоточенная сила Р*=1 в нанравлении оси X

В этом случае функции q)(z) и 屮(z), фигурирующие в формулах R3.7) —(3.9), будут [31]

屮(Z)= -(Z — ％),

оЛЛ

屮(z)=廿上佟二上In (z 一 /) +上2一).

! Если на некотором отрезке [а, 6] действительной осй х действуют погонные касательные усилия qr направленные в сторону отрицательной оси х, то в этом случае -предыдущие формулы можно использовать как функции Грина и получить

屮(Z)=^^，q (%) In (z—/j ~々，

少3)=一* V(/)[|^?n(zf。)+悬m°.(3. 1,0)

Подставляя функции (3.10) в формулы (3.7) — (3.9), найдем

太®+ 加)=_事 Jg (%) [-2^1n|z-X0| + 呈]"%,

，。(3.11)

b

n 尸符RN当‘(3•⑵

a

%—%+2fr弘二—丄灯- \ q(x0)j[• z「"° -|1 dx0.

8Xy ,4лй 尸 I °个任一询尸 I (l + v)(z—%o)_|°

Деформация ex в точке z=x действительной оси согласно (3.11) будет.

(3.13)(3.13)(3 —v)(l+v) j q (*o) d*o4aEh J *o—x

(3.13)

(3.13)

Если единичная сосредоточенная сила Рх=\ приложена к границе рижней долуплоекости ImzVO в точке х0, то функции <p(z) и 屮(z) имеют вид [3.1, с. 356].

?(«)=^-m(2 一 々)，

土屮(z)=击+.

Когда вдоль границы нижней полуплоскости приложены касательные усилия g в направлении отрицательной оси х, то аналогия^ но предыдущему найдем '

ъ

ln(z-x0)+，

+ 1п(2—х0) — =——1 dx^

Деформация ex на линии действия усилий q будетДеформация ex на линии действия усилий q будетgx (%)=gx (%)=2 f g(*o)d*o лЕЛ J “ 一Xq2 f g(*o)d*o лЕЛ J “ 一Xq(3. 14)(3. 14)

Деформация ex на линии действия усилий q будет

Деформация ex на линии действия усилий q будет

gx (%)=

gx (%)=

2 f g(*o)d*o лЕЛ J “ 一Xq

2 f g(*o)d*o лЕЛ J “ 一Xq

(3. 14)

(3. 14)

Формулы (3.13) и (3.14) будут использованы ниже при опред» лении реакции взаимодействия между ребром и пластиной.

ПЛАСТИНА С РЕБРОМ БЕСКОНЕЧНОЙ ] ДЛИНЫ. РЕШЕНИЕ МЕЛАНА

Ниже приведено решение, данное Е. Меланом [66] для случая, когда бесконечно длинное ребро присоединено к границе полубес- конечной пластины и к бесконечной пластине.

Полубесконечная пластина. Рассмотрим полубесконечную пластину, занимающую верхнюю Гтолуплоскость у>0 (рис. 3.2)« Вдоль границы у=0 к пластине по всей длине прикреплено бесконечно длинное ребро, имеющее площадь поперечного сечения 尸с и модуль упругости £с. В начале координат к ребру приложена, продольная сила Р. Считается, что ребро воспринимает только усилия растяжения ——сжатия, поэтому между ребром и пластиной возни-

j Имея в виду, что продольная относительная деформация в ребра и пластины на линии Соединения одинакова, функцию напряжений U Е. Мелан разыскивает в виде интеграла Фурье

U=y^ 券^ ет sin axrfa, оU=y^ 券^ ет sin axrfa, о(3. 15)(3. 15)

U=y^ 券^ ет sin axrfa, о

U=y^ 券^ ет sin axrfa, о

(3. 15)

(3. 15)

где Q(a) —произвольная функция, которая будет определена из условия, что деформация ребра и пластины в месте соединения одинакова. _

Так как напряжения в пластине сгж,仃协 %ху определяется черезв функцию напряжений U по формулам “

冉0 _02。dC ' T灯一一編7冉0 _02。dC ' T灯一一編7(З.Д6)(З.Д6)

冉0 _02。

dC ' T灯一一編7

冉0 _02。

dC ' T灯一一編7

(З.Д6)

(З.Д6)

то видно, что решение (3.15) удовлетворяет условию

(Ту=0 при у=0.

Кроме того, решение (3.15) дает нулевые напряжения при р= =+оо. Наконец, решение (3.15) удовлетворяет условию симметрии касательных напряжений %削(*)』т*д(——х), что согласуется с условиями задачи. Действительно, если ребро нагружено продольной силой в точке х=0, то касательные напряжения взаимодействия будут четной функцией.

Обозначим через Nc растягивающее усилие в ребре. Деформация растяжения 呪 в ребре

Nc

Деформация % в пластине на ее границе-у=О будет

так как на границе(rv=0.*

Сравнивая деформации,,получим условие стыковки ребра и пластины-

(3. 17)(3. 17)Nc=” 学-

(3. 17)

(3. 17)

Отметим, что Е. Мелан строит сначала решение для общего случая, когда к ребру приложена произвольно распределенная продольная нагрузка р(#), удовлетворяющая лишь условию четности р(х) —р(—jc). Только в конце он переходит к соср ед оточенной силе Р, так как иначе не удается получить решение в явном виде. Следуя Е, Мелану, будем считать, что к ребру приложена указанная нагрузка р(х). _ _ ―

Уравнение равновесия элемента ребра будет

簪+"=。，

которое с учетом (3.17) можно переписать в виде

E#© do%E#© do%+ %c + /7 = 0.+ %c + /7 = 0.(3.18)(3.18)

E#© do%

E#© do%

+ %c + /7 = 0.

+ %c + /7 = 0.

(3.18)

(3.18)

Из решения (3.15) и формул (3.16) следует, что при д=0

ОО'в

т= — Jq(o) cos(ш/a, *"=—訝=一2、Q(a)aX

Xcos axda,

«осле чего уравнение (3.18) преобразуется в интегральное уравнение для функции Q(a)

(3.19)(3.19)2 \ (a+g)Q(a)coeaxda=^^о

(3.19)

(3.19)

(3.20)

Будем предполагать, что модуль упругости и площадь поперечного сечения ребра постоянные, так что величины (3.20) являются также постоянными. •

Умножим обе части уравнения (3.19) на cos Хх и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. Используя при этом формулу двойного косинус-преобразования Фурье

屮(入)=g \ cos Udx、屮(a) cos axda

ооо

о

о

я вновь обозначив 入 через а, получим

2(a + g)Q(a) = ~^-\「『cosaxdx.о

Если функция р(х) является постоянной и отлична от нуля только на участке а>х> —а, то

q((x)=£—殷竺

‘I >*(a+g) a'

В пределе, когда л->0, а р->оо, так что 2ap=Р, приходим к слу- *чаю, когда к ребру приложена сосредоточенная сила (см. рис. 3・2)・ В этом случае *一 亠.一 * _J

Q(a)=Q(a)=РР2nF(a +g)2nF(a +g)

Q(a)=

Q(a)=

Р

Р

2nF(a +g)

2nF(a +g)

а функция напряжений (3.1) будет

"=区r-w sina* "%、

2冗尸 J a + g)

а для напряжений согласно (3.16) получим формулы-

。尸备R(-2 +叱)_甯"。，

_P fcos ax」

-t^= -—- \ (1 -a^)t^—— da.

На границе y = 0

P 「sin a*」P r CQsaxda

%=.

nF J a gJ g

о- о

Эти-формулы можно переписать в виде.

ax=— [si ('%) cos (尹)一ci (gx) sin (gx)],

t=——[d (gx) cos (gx)T-si (gx) sin (gx)],(3.21)

где si, ci — интегральные синус и косинус

si(0)=_\>^-d/, Ci (初=-j 嘗〃.(3.22)

Формулы (3.21) позволяют вычислить напряжения на кромке 〃 =0 пластины, воспользовавшись таблицами функций si, ci.

Так как si (%) при х = 0 принимает значение (—л/2) йли (л/2), когда *т0 со стороны %VO или х>0 соответственно, а lim ci(/) sin (gx) =0 при x->0, то

ax=——— — при %=十0, ал = — — при х=—0,

как и должно быть. Что касается напряжений %ху, то из-за слагаемого si (”)cos (”)они бесконечно возрастают при %=0. В не- подкрепленной пластине, к границе которой приложена сосредоточенная сила Р вдоль оси х, касательные напряжения неограниченно возрастают как 1/х. В подкрепленной пластине напряжения т хотя и возрастают, но как In х, так как логарифмическую особен-

Рис. 3.3. Бесконечная пластина с бесконечно длинным ребром, присоединенным по оси х (сила Р приложена к ребру)

ность в точке х = 0 имеет ci (%). Значения величин oxF/P и т尸/Р, подсчитанные по формулам (3.21), приведены в табл. 3.1, взятой из статьи Е. Мел ан а [66].

Бесконечная пластина. Рас

смотрим ту же задачу, но когда ребро прикреплено к бесконечной пластине вдоль оси х (рис. 3.3).

Таблица 3.7

Касательные напряжении т и нормальные напряжения пх в полубескоиечной пластине на линии соедииеиия с ребром ^=0 (см. рис. 3.1)(夕 и F ——параметры (3.20), q=Ehl2EgFe,尸=凡尸с/Е)

Ях

尸

if

纭

尸

—石

尸

0

+ оо

0,5000

2,0

0,0230

0,1270

0,2

0,2061

' 0,3617

2,5

0,0167

0,1074

0,5

0,1070

0,2740

3,0

0,0111

0,0929

1,0

0,0547

0,1981

6,0

.0,0039

0,0507

1,5

0,0338

0,1550

12,0

0,0008

0,0269

Чтобы решить задачу, пластина по оси х разрезается на две одинаковые половины, каждая из которых подкреплена половиной ребра, т. е. ребром с площадью ^2, и такое ребро нагружается силой Р/2. Теперь задача может быть решена т^к же, как и предыдущая, однако прежнее условие Оу = 0 при 〃 = 0 должно быть заменена условием о=0 лри ^ = 0, где и — перемещение пластины вдоль оси у. Имея в виду рассмотрение верхней полуплоскости 歹＞0, вместо ядра интеграла (3.15), являющегося решением бигар- монического уравнения, будем искать ядро в виде

Х=^ф+〃1, ф=е"вуsin ах.(3.23)

Первое слагаемое соответствует (3.15), а функция иДх, д) является гармонической.

Функция 2 является гармонической, поэтому определим ее как мнимую часть аналитической функции /=Ф(х, 〃) + 绅(尤，〃)• При этом перемещение любой точки пластины в направлении у можно представить в виде—

力=丄(一处+厘中一皿)，

2G \ %* 丁/и + 尸ду Г

где G — модуль сдвига; m= 1/v ——число Пуассона — величина, обратная коэффициенту Пуассона (величину т оставляем, чтобы сох-

ранить обозначения Е. Мелана). Формула для и получена интегрированием закона Гука，

с учетом представления (3.23). Подставляя в формулу для и ——=—а sin ах, 、дх ду

получим о=~^-0у e-叩 sin ах+^^е-叩 sin ах —“ Из условия и=0 при 〃=0 наедем

—sin ах при w=0. dg /га +1

Гармоническая функция, удовлетворяющая этому условию и обращающаяся в нуль при у=оо, будет иметь вид,

после чего бигармоническую функцию %, определенную формулой (3.23), можно представить в виде

у=( wsin ах.

\加 + 1 a /

Теперь общее решение задачи, как и в первом случае, можно искать в виде

(3.24)(3.24)—l_m Т) ®-哨 ski axda. a m + 1/

(3.24)

(3.24)

Приравнивая при у=0 дефррмацию пластины

и деформацию ребра zc=Nc/EcFc, получим условие стыковки

忆=爷(%一&).(3.25)

Уравнение равновесия ребра будет'

礬+2啦+ 〃(х)=0 аХ

-^тк+貶叶旣"3)

136

Из решения (3.24) при у = 0 найдем

2加彳 \ q (a) cos axda, о2加彳 \ q (a) cos axda, о

2加彳 \ q (a) cos axda, о

2加彳 \ q (a) cos axda, о

Зт + 1/га十1Зт + 1/га十1g aQ (a) cos a%da, -^ | о

Зт + 1

/га十1

Зт + 1

/га十1

竺二^ \ aQ (a) cos axda, 加+ 1 J

после чего из уравнения (3.26) получим интегральное уравнение для функции Q(a)

КЗ/га — 1, 2九 2/га \ ,、」 尸(力

ооa о (a) cos axd a =

о

о

где F=ECFC/E — параметр (3.20).

Как и в п. 1, найдем для случая сосредоточенной силы Р

Q(a) =Q(a) =тт冗尸 3加一1、冗尸 3加一1、14加214加2(3m—1)(加 + 1) "7(3m—1)(加 + 1) "7

Q(a) =

Q(a) =

т

т

冗尸 3加一1、

冗尸 3加一1、

1

4加2

1

4加2

(3m—1)(加 + 1) "7

(3m—1)(加 + 1) "7

Полагая для краткости

4加2

(3/га— 1) (/га + 1) F

функцию напряжений Эри (3.24) представим в виде

7 r 戶 m rU \3 加一1 )о7 r 戶 m rU \3 加一1 )оsin ax /1 /га 1\ .

7 r 戶 m r

U \

3 加一1 )

о

7 r 戶 m r

U \

3 加一1 )

о

e_w匂da,

a (a +0 \ a /га + 1丿

откуда найдем формулы для напряжений в пластине

°Л—"nF 3m — 1 J°Л—"nF 3m — 1 J『3-党I)『3-党I)sin Q*dasin Q*daa +a +'冗尸 3/ra — 1 J'冗尸 3/ra — 1 J［加——1、sin axda 一列+寸)不丁［加——1、sin axda 一列+寸)不丁(3. 27)(3. 27)е—ауе—ау2m \ cos axda /га + 1 丿 q +f2m \ cos axda /га + 1 丿 q +f_p m% 一而 3m -1_p m% 一而 3m -1

°Л—"nF 3m — 1 J

°Л—"nF 3m — 1 J

『3-党I)

『3-党I)

sin Q*da

sin Q*da

a +

a +

'冗尸 3/ra — 1 J

'冗尸 3/ra — 1 J

［加——1、sin axda 一列+寸)不丁

［加——1、sin axda 一列+寸)不丁

(3. 27)

(3. 27)

е—ау

е—ау

2m \ cos axda /га + 1 丿 q +f

2m \ cos axda /га + 1 丿 q +f

_p m

% 一而 3m -1

_p m

% 一而 3m -1

Полагая в этих формулах у=0 и используя представление (3.22) для интегрального синуса и косинуса, получим окончательные формулы для напряжений

=—加(3加+ 1)——(si/х cos tx~cltx sin fx), (3m—l)(m 4-1)' v

Эти выражения отличаются от (3.21) по существу только мае* штабом.

Для напряжений 5/ при g=Q имеем

т (т — 1)т (т — 1)л/7 (3/ra— 1) (m + 1)л/7 (3/ra— 1) (m + 1)(si tx cos tx~zitx sin/x). (3.29)(si tx cos tx~zitx sin/x). (3.29)

т (т — 1)

т (т — 1)

л/7 (3/ra— 1) (m + 1)

л/7 (3/ra— 1) (m + 1)

(si tx cos tx~zitx sin/x). (3.29)

(si tx cos tx~zitx sin/x). (3.29)

Формулу для усилий в ребре . найдем, подставляя ах и а^ из： (3.28) и (3.29) в условие стыковки (3.25) •

•^= — (si fx cos tx — citx sin fx).

Эта формула с заменой f на g сохраняет силу и для полубесконеч- ной пластины. '

ПЛАСТИНА С РЕБРОМ ПОЛУБЕСКОНЕЧАОЙ ДЛИНЫ

Рассмотрим бесконечную и полубесконечную пластину с ребром жесткости полубесконечной длины. Ребро к бесконечной пластине присоединено вдоль оси % на полубесконечной участке 0《尤《8 (рис. 3.4). В случае полубесконечной пластины ребро присоединено к участку границы (рис. 3.5).

К концу ребра приложена продольная сила Р, касательные усилия взаимодействия обозначим через q (см. рис. 3.4, 3.5).

-да丿-да丿Рис. 3.5. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе р=0 полубеско- иечиым ребром. (Сила Р приложена в конце ребра, q —^ касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)Рис. 3.5. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе р=0 полубеско- иечиым ребром. (Сила Р приложена в конце ребра, q —^ касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)Рис. 3.4. Бесконечная пластина, подкрепленная вдоль оси а полубесконечным ребром. (Сила Р приложена к концу ребра, q — касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)Рис. 3.4. Бесконечная пластина, подкрепленная вдоль оси а полубесконечным ребром. (Сила Р приложена к концу ребра, q — касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)

-да丿

-да丿

Рис. 3.5. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе р=0 полубеско- иечиым ребром. (Сила Р приложена в конце ребра, q —^ касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)

Рис. 3.5. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе р=0 полубеско- иечиым ребром. (Сила Р приложена в конце ребра, q —^ касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)

Рис. 3.4. Бесконечная пластина, подкрепленная вдоль оси а полубесконечным ребром. (Сила Р приложена к концу ребра, q — касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)

Рис. 3.4. Бесконечная пластина, подкрепленная вдоль оси а полубесконечным ребром. (Сила Р приложена к концу ребра, q — касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной)

Продольная деформадая еж на оси % бесконечной и полубесконечной пластины определены в разд. 3.3 формулами (3.13) и (3.14). В нашем случае

Р _(3 一 ”)(1 +”)； g(E)W

о

для бесконечной пластины и

''.Е =2，д(Е)曲

(3. 30)(3. 30)(3.31)(3.31)для полубесконечной пластины.

(3. 30)

(3. 30)

(3.31)

(3.31)

%%11统尸С统尸С(3. 32)(3. 32)Продольная деформация ребра

%

%

1

1

统尸С

统尸С

(3. 32)

(3. 32)

Исходное интегральное уравнение получим, приравнивая деформации (3.30) и (3.32), (3.31) и (3.32). Введем безразмерные величины 制，$, 91 для случая бесконечной пластины

0£几

E=g(3-v)(l+v)警汨(3. 33)

о

8 PEh(3~v)(l 十”)ECPC ”，

и для случая полубесконечной пластины

警修；e=醤五；g=調gr(3.34)

В безразмерных величинах (3.33) и (3.34) исходное уравнение в случае полубесконечной и бесконечной пластины будет одним и тем же'

—^ [ ^l^^+^i (幻弱一1 =0.(3.35)

'оо

Уравнение равновесия всего ребра будет

a1&)弱=1.(3.36)

Ниже приводим решение уравнения (3.35), данное В. Койтером [62]. Большую часть промежуточных выкладок и доказательств опустим, так как они достаточно сложны в м а тем атическом отношении. С ними можно познакомиться в цитированной работе В. Т. Койтера.

■ Уравнение (3・35) преобразуется с помощью преобразования Меллина. Умножая его на xf-】и интегрируя от Xi==0 до Xi=oo, затем меняя порядок интегрирования в первом интеграле, а второй вычисляя по частям, получим

в ~- ^ 回一江(Ej 喝 \ \ _； —~" ^ К% (“ d*i=0.(3.37)

ооо

Здесь введена новая переменная 刀=尤1/自1, а также использовано условие.*

x；[j，i(E)dE—1 —*0 и xfx；[j，i(E)dE—1 —*0 и xf口01(&)1%-*0口01(&)1%-*0

x；[j，i(E)dE—1 —*0 и xf

x；[j，i(E)dE—1 —*0 и xf

口01(&)1%-*0

口01(&)1%-*0

при 尤if 8 И 6<5<1, b>0

С помощью преобразования Меллина

(3.38)(3.38)7 (s) = j “Г"% В) dxb

(3.38)

(3.38)

"(6)= :T一修J I — Xi

уравнение (3.37) можно записать в виде

(3. 39)(3. 39)T(s+1)=^-s〃(s)T(s).

(3. 39)

(3. 39)

Интеграл H(s) можно вычислить. С этой целью представим его в виде

о I 0.1+8Второй интеграл преобразуется с помощью замены переменной &1ж：1/т].*о I 0.1+8Второй интеграл преобразуется с помощью замены переменной &1ж：1/т].*1—11—1"⑻刊恥芸1"⑻刊恥芸1"七S旳"七S旳= ltm -18M= ltm -18M2 j2 j

о I 0.1+8

Второй интеграл преобразуется с помощью замены переменной &1ж：1/т].*

о I 0.1+8

Второй интеграл преобразуется с помощью замены переменной &1ж：1/т].*

1—1

1—1

"⑻刊恥芸1

"⑻刊恥芸1

"七S旳

"七S旳

= ltm -18M

= ltm -18M

2 j

2 j

(3.40)(3.40)Используя формулу Лёжавдра [12], найдем

(3.40)

(3.40)

J *1 — 1as

Y=0,5772157.Y=0,5772157.где F(s) — гамма-функция Эйлера, у ——константа Эйлера — Ма- шерони.

Y=0,5772157.

Y=0,5772157.

! С помощью (3.40) найдем一♦W

〃(S)=_^^__£^lZL£L = “ctg“S,

dsds

после чего уравнение (3.39) приводится к виду

7(s+l)= — 2sctgjxsT(s).(3.41)

Далее В. Т. Койтер вводит новую функцию y(s) с помощью соотношения ,

7 ⑻=2sr(s)-^^(3.42)

sin Jts/2

и преобразует уравнение (3.41) к виду

9(s+l)=. 一少 KSд ⑻.(3.43)

cos 冗s —.

Это уравнение однородное, оно-должно удовлетворять граничному условию,

9 ⑴=4~»

которое вытекает из условия (3.36) и формул (3.38) и (3.42).,

Уравнение (3.43) является уравнением в конечных разностях с переменным коэффициентом. Оно преобразуется к уравнению с постоянным коэффициентом, если в качестве искомой -функции ввести логарифмическую производную

■x(s)=—^-^^-.(3.44)

y(s) ds. ' J

Это уравнение будет иметь вид'

x(s + 】i(sF；(黑 k〃s).(3.45)

Уравнение. (3.45) решается с помощью преобразования Лапласа ,X(w)= j x(s)lswdst

■С—；8

С + 18

尸(砌=J f(s)l^ds.(3. 46)

CT8

Применяя к обеим частям (3.45) преобразование Лапласа, получим

Х®)='二尸(®)・(3.47)

, Интеграл (3.46) от правой части уравнения (3.45) вычисляется^趾(；m,)

尸侬)=-2л/ -4~,(3.48)

после чего X(w) определяется по формуле (3.47). Зная Х(з), можно вычислить x(s), применяя обратное преобразование

* (s)= 2; \ X (吻 b趾辺W.о

После вычисления интеграла с учетом (3.47) и (3.48) получается

*($) =*($) =л2 sin itsл2 sin its冗(3 —2s)sin 2冗£冗(3 —2s)sin 2冗£а решение уравнения (3.41), удовлетворяющее условию Т(1) = 1 ；(см. (3.36) и (3.38)), с учетом (3.44) и (3.42), будетТ s) = —^exp sin —2а решение уравнения (3.41), удовлетворяющее условию Т(1) = 1 ；(см. (3.36) и (3.38)), с учетом (3.44) и (3.42), будетТ s) = —^exp sin —2л (3 — 2z)sin 2冗zл (3 — 2z)sin 2冗zdz・dz・

*($) =

*($) =

л

2 sin its

л

2 sin its

冗(3 —2s)sin 2冗£

冗(3 —2s)sin 2冗£

а решение уравнения (3.41), удовлетворяющее условию Т(1) = 1 ；(см. (3.36) и (3.38)), с учетом (3.44) и (3.42), будет

Т s) = —^exp sin —

2

а решение уравнения (3.41), удовлетворяющее условию Т(1) = 1 ；(см. (3.36) и (3.38)), с учетом (3.44) и (3.42), будет

Т s) = —^exp sin —

2

л (3 — 2z)sin 2冗z

л (3 — 2z)sin 2冗z

dz・

dz・

■ Зная 7(s), безразмерные касательные усилия 仇 можно, согласно (3.38}, получить с помощью обратного 'преобразования Мел・ 糜на

.公(*1)=± 、 Tlslx^ds.

C—fg

Опуская выкладки, связанные с вычислением интегралов и содержащиеся в работе В. Т. Койтера [62], запишем окончательное решение для усилий в ребре М

号=1-m? +許u孕伍+ m2+屮甫一

Tn同一丟 /号[-^+£_屮'(1") +{善+m2+

+屮(^-) - ln*i『+…=1—]/粤{1一修(0,25425 — 0/0611nx1) +

+M [0,0086265 一 0,018888 In £ + 0,0033774 (In *們 +...},(3. 49)

где y(z) —логарифмическая производная от гамма-функции Эйлера. Напомним, что в формуле (3.49) координата 修 безразмерная, определенная формулами (3.33) и (3.34). Усилия Nc в q связаны формулой—

Nc=^P — ^q{x) dx.

Формула (3.49) дает достаточно точное решение. при небольших значениях Xi<2.

1-1-

1-

1-

Рис. 3.6. Распределение нормальных усилий "с в полубесконечиом ребре, прикрепленном к ' бесконечной пластине или к границе полубес- конечной пластины, (х4 — безразмерная координата (3,33) илн (3.34); кривые а,瓦 с построены по формуле (3.49) при удержании разного числа слагаемых; пунктирные линии е и d построены по аси мптоти ческой формуле

(3.50); кривая f дает истинное решение)

Если удержать в (3.49) только слагаемое

то получим кривую а на рис. 3.6. Если добавить круглую скобку с множителем хь получим кривур 方，если учесть

всю фигурную скобку扌 то получим кри

вую с. При %1>2, как. видно, кривые расходятся. Для больших *， в работе В. Т, Койтера [62] получена асимптотическая формула

М(*“ ——- —詣(In 2 - 0,5772157 - In 吃).(3. 50)

На рис. 3.6 показаны кривые d и е, соответствующие одному и двум слагаемым в формуле (3.50). Путем разумного соединения решения (3.49) для x】V2 и решения (3.50) для больших 尤i в работе В. Т. Койтера [62] получена кривая f, которую можно считать истинным решением.

В заключение в работе В. Г. Койтера[62] дается оценка числен* ного решения, полученного в работе Е. Билла [57], где задача сведена к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, а численное решение получено путем урезания системы до шести уравнений с шестью неизвестными. Это решение практически сов- падает с изображенной на рис. 3.6 кривой f. Дано сравнение пер* вых двух слагаемых

в формуле (3.49) с соответствующими слагаемыми в решения Е. Билла [57], которые имеют вид

Это сравнение показывает, что должно быть

— 1=0,253314.

В работе Е. Билла {57] при удержании шести коэффициентов Дп получено

6

増-=0,247108,

Нто дает погрешность порядка 2,5%.

Таким образом, приведенное аналитическое решение В. Т. Кой- Тера может служить критерием точности численного решения Е. Билла., В то же время результат Е. Билла получается с помощью более дростых математических выкладок.

у3.6. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С РЕБРОМ,

厂ПРИСОЕДИНЕННЫМ С ПОМОЩЬЮ ЗАКЛЕПОК

В предыдущих разделах ребро было приварено к пластине йо всей длине. В работе Б. Будянского и By [56] решена задача включения для бесконечной лластины с ребром бесконечной длины, приклепанным к пластине в дискретных точках с постоянным шагом Гпо всей длине (рис. 3.7). Приведем решение [56].

При решении задачи вводятся следующие предположения.

Трение между ребром и пластиной в промежутках между заклепками не учитывается.

Пренебрегается ослаблением поперечного сечения ребра /Вследствие заклепочных отверстий.

3. Заклепки считаются абсолютно жесткими круговыми включе- риями, идеально сцепленными с пластиной.

Напряженно-деформированное состояние в пластине от силы, приложенной к одному жесткому включению, строится так, как будто других включений и отверстий от-заклепок в пластине нет. Таким образом, возмущение напряженного состояния из-за других включений не учитывается. Напряженно-деформированное состояние от всех включений получается суммированием решений от'отдельных включений.

■ Обозначим через d диаметр включения (заклепки), через / — расстояние между центрами соседних заклепок (см. рис. 3.7). Будем считать, что ребро нагружено продольной силой Р = 1, эта сила

/*

/7-2 П-1 П /7“〃+2 〃*3 〃*«

Рнс. 3.7. Бесконечная пластина с бесконечным ребром, приклепанным к пластине в дискретных точках (центральная заклепка нагружена продольной силой Р=1)

Рнс 3.8. Нумерация заклепок и интервалов между ними

卅4•'-

приложена к заклепке с нулевым номером н направлена в отрицательную сторону оси х. Нумерация заклепок показана на рис. 3.7. Интервалы между заклепками нумеруем, как показано на рис. 3.8. Начало координат системы х, у совместим с центром нулевой зак- кепки (см. рис. 3.7).

Теперь рассмотрим бесконечную пластину, имеющую только одно Жесткое включение диаметром d. Центр включения совпадает с началом координат и нагружен силой Pi = l, направленной в сторону отрицательной оси х. Найдем перемещение м(х) в направлении оси х какой-либо точки на этой оси. Задача имеет следующее решение [31, с. 318]

= @w)(l+v) [in红上—川.(3.51) 4正施 L d 2(3 —v) I 4*2 力 I 丿

Формула (3.51) применима при x^d/2, т. е. вне включения. Перемещение самого включения принято равным нулю. Поэтому будем считать что и м(0) =0. Если сила приложена к м-й заклепке, то ее перемещение также будем принимать равным нулю.

Обозначим через %^ увеличение длины т-то интервала оси х пластины от единичной силы, приложенной к м・"заклепке в направлении отрицательной оси х. Это удлинение будет определяться разностью перемещений пластины в месте (|/и+*1)-й и m-й заклепки ：

итп = и[(/П — П-\- 1)/] —u[(/n —л)/], ■

где / — расстояние между центрами соседних заклепок.

Для соседних с заклепкой п участков 九 и п——1 имеем (см. рис. 3.8)

%ш = 〃(/)，^д—1л=—奴一")•

С учетом (3.51) имеем

_ (3 —v)(l +V)§4л£й '_ (3 —v)(l +V)§4л£й '/=吟一田（「亲/=吟一田（「亲т — п + 1 I 1 1+Vт — п + 1 I 1 1+Vm 1X詛m 1X詛3 一 v3 一 v(3.52)(3.53)5 —m)2」(3.52)(3.53)5 —m)2」тфпу л — 1тфпу л — 1

_ (3 —v)(l +V)§

4л£й '

_ (3 —v)(l +V)§

4л£й '

/=吟一田（「亲

/=吟一田（「亲

т — п + 1 I 1 1+V

т — п + 1 I 1 1+V

m 1

X詛

m 1

X詛

3 一 v

3 一 v

(3.52)

(3.53)

5 —m)2」

(3.52)

(3.53)

5 —m)2」

тфпу л — 1

тфпу л — 1

Второе слагаемое в этой формуле без ущерба для точности можно отбросить, так как при t/d не менее 3 погрешность не превысит одного процента.

Итак, возылем

„(3-v)(l+v)

限=-^—

In

m一m+ 1

m 一 л

(3.54)

Обозначим через fn действительную сдвигающую силу взаимо* действия между пластиной и ребром через /z-ю заклепку. За положительное направление силы %, приложенной к пластине, будем считать противоположное оси х. Таким образом, сллу fn, приложенную к м-й заклепке ребра, будем считать направленной вдоль оси х.耳

Приравнивая удлинение m-го участка оси х пластины и ребра* получим

£= 一 点^ £ fn при /и<0,-(3. 55)

Д = — ооЛ в ~ оо

£厶3九=天左(1 - e / j咿/п)0, Д—»" 1 оо\Д« — оо /

где Е, К — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения ребра.,

Вычитая из уравнения (3.55), записанного для т-го участка, уравнение (т—1)-го участка и учитывая, что из уравнения равновесия всего ребра найдем

перепишем уравнения (3.55) в виде

fm=一且* E 依na-^T")九(加力0)，

/。=1一竿 e®ol J")九

или с учетом (3.52), (3.54) имеем

+ < £ Pm躱九=，0/п (血=—8,…，—-1, 0, 1,..., ОО), (3. 56)

где院”=山［1-品三标｝\m-п\^0, 1,

Ьа = 1п2 —В, ^П — П\^\,

%理=2民加= 7Z,A—(3 — v) (1 + v) £广с—'4л Elh *

dom 一 символ Кронеккера, 0师=0 при m=/=0, 6Оо= 1-

Теперь рассмотрим решение бесконечной системы уравнений (3.56). Так как ядра pmn уравнений (3.56) являются функцией от

разностного аргумента (m——п), для решения можно использовать “ производящую функцию

尸(8)= 2(3.58)

Умножая обе части каждого m-го уравнения (3.56) на tM и суммируя уравнения с учетом (3.58), получим.、

尸⑻=А 2 2° £ 办小=1，(3.59)

/Д:=а— 00П =— ОО

где ^тп = ^(т—п).

Полагая m = n + kt найдем.

£ e ^(m-n)fn^ e 九 е e哪(健一力=

От« —ООП = —00П — — 8 /Я ■一 8

=2 fi 2 рз)е；“=『б)(?е), fl — — ook =—oo

гдеG(6)= £ p®e叫-(3.60)

、p(团=26 при 右=0,

% = h)2—石 при I 用=1,(3. 61)

% = ln(l-专)прн 岡#0,1.

Теперь из уравнения (3.59) найдем

尸(8)=L.(3. 62)

k 714- ЛО (0)i '

(3. 63)(3.64)(3. 63)(3.64)С учетом (3.61) функцию (3.60) запишем в виде (?(8)=26+2(1п2-6) cos 9-]-2//(О),.

(3. 63)

(3.64)

(3. 63)

(3.64)

ОО、

гдегдеН (8) = ^^ In (1 —吃卜os nB.п=2

где

где

Зная функцию 尸(6) (3.62), искомые усилия fm согласно (3.58) определим как коэффициенты Фурье. Имея в виду, что согласно (9,63)尸(0)=尸(-0), получим

/п=/г =Т \ 尸(0) COS л瞅仇(3.65)

О

Этот интеграл берется численно. Задачу можно считать решенной.

dQ(& £) = _ 2E V'' 8s “"~~厶仇2T2 •dQ(& £) = _ 2E V'' 8s “"~~厶仇2T2 •

dQ(& £) = _ 2E V'' 8s “"

~~厶仇2T2 •

dQ(& £) = _ 2E V'' 8s “"

~~厶仇2T2 •

Этот ряд может быть просуммированj

dQ —1 J 2§ cos 0 J л cos § (л — 0)

尚一 ё十 1 — R2十 sin久e .

Интегрируя это выражение с учетом условий Q(0, 1)=Н(8), Q(0, 0) =0, получим

Н (0)= —In— cos© —1п^- + (л —8) \ sin $ (л —6) Intg——-rf£ -

Эта формула удобнее ряда (3.64) из-за простотц вычисления, так как при любом 0 функция Н (0) может быть найдена численным интегрированием с помощью конечного числа операций. Изменение функции Н (0) показано на рис. 39

При определении сил fn по формуле (3.65) интеграл целесообразно разбить на два

тогдатогдалл1 COS 沱6旗,.1 +冗总0 J1 COS 沱6旗,.1 +冗总0 Jcos лб1 4- лЛ6cos лб1 4- лЛ6/п = Л + ^н-/п = Л + ^н-(3. 66)(3. 66)

тогда

тогда

л

л

1 COS 沱6旗,

.1 +冗总0 J

1 COS 沱6旗,

.1 +冗总0 J

cos лб

1 4- лЛ6

cos лб

1 4- лЛ6

/п = Л + ^н-

/п = Л + ^н-

(3. 66)

(3. 66)

Интеграл Jn выражается через интегральные синус и косинус

4= /)2 也(1 + 厶№),

COS

（=才口 （叁+次）一Q（£）］+

sin*

Six=)咄•或，Cix=_j*■或.

Интеграл Rn находится с помощью, какой-либо квадратурной формулы численно. Эта процедура целесообраэна ввиду того, что функция 尸(6) (3.62) может быть весьма круто изменяющейся в окрестности точки 0=0.

Остановимся на численных результатах'.

Сначала отметим, что параметр В, определяемый формулой (3.53) и входящий в формулу (3.63), а следовательно, в (3.62) и (3.65), слабо меняется с изменением коэффициента Пуассона v и зависит практически только от отношения l/d. Из графика на рн& 3.10 видно, что с изменением 〃d от трех до тридцати параметр 3 изменяется от 1 до 4.。

Численные значения усилий fn, действующих на заклепки, показаны в табл, 3.2. Они получены путем вычисления интеграла (3.65) по формуле Симпсона с разбиением интервала 0, л на 12 участков, причем использована формула (3.66). Расчеты выполнены для четырех значений параметра 8 (3.53), равных 1, 2, 3, 4, и для нескольких значений параметра 4 (3.57) в пределах 0,2—4. В табл. 3.2 даны значения первых пяти значений усилий fn. Для определения последующих значений может быть использовано асимптотическое представление

/п^Л/п2,

Рис. 3.10. Изменение параметра В (3.53) в зависимости от отношения расстояния между заклепками / к их диаметру d при трех значениях коэффициента Пуассона v

Таблица 3.2

Усилия в заклепках fn TOL вычисленные для четырех значений параметра В ==1, 2* 3, 4, определенного формулой (3.53) и для разных значений параметра А(3.57)

Л

5

0

1

2

3

4

5

0；2

1

7223

376,0

348,9

.178,9

116,9

83,26

2

5876

964,2

387,6

203,8

126,7

88,09

3

5095

1220

466,4

233,1

139,1

94,05

4

4568

1349

537,7

264,9

153,7

101,1

1

5179

526,4

485,5

277,0

191,2

139,4

2

3861

1046

528,2

316,3

209,6

149,3 丿

0,4

3

3243

1183

598,3

353,5

230,0

160,5

4

2862

1225

647,6

386,2

250,0

172,2

1

3597

562,0

519,3

331,6

246,1

189,3

2

2580

927,1

547,5

367,2

265,1

201,0

1

3

2153

987,7

590,5

395,8

283,5

212,8

4

1898

990,0

614,7

417,1

299,4

223,8

1

2791

537,7

498,5

345,8

261,2

213,5

2

1983

811,4

516,6

375,0

277,5

224,4

1,5

3

1658

843,7

344,8

395,7

292,2

234,6

4

1465

,835,7

558,0

410,0

304,1

243,7

2296

504,0

468,7

330,7

264,9

212,8

1629

721,2

480,9

354,5

278,7

222,5

2,0

1366

740,2

500,7

370,3

290,&

231,3

1211

728,9

508,3

,380,4

299,8

238,8

1

1958

471,3

439/

318,6

257,2

212,3-

2

13鸵

650,6

447,9

338,5

278*8

220,9

2,5

3

1171

662,5

462,6

351,0

228,5

4

1041

650,1

467,1

358,5

234,8

1

1713

441,6

412,9

305,6

250,1

209,0

2

1220

591,1

418,9

322,5

260,3

216,7

3

3

1030

601,7

430,2

322,7

268,6

223,3

4

918

589,2

432,9

338,5

274,6

228,8

1525

415,4

389」

292,8

242,3

204,5

1090

547,8

393,4

307,4

251,2

211,4

3,5

922,7

552,7

402,4

315,9

258,4

217,3

824,2

540,6

403,9

320,5

263,5’

222,0

1

1377

392,1

368,0

280,6

234,3

199,4

2

987,3

509,0

371,1

293,5

242,3

205,6

4,0

3

837,8

512,1

378,5

300,7

248,5

210,9

4

749,9

500,5

379,2

304,5

252,9

215,1

Рис. 3.11. Изменение усилий % в нулевой заклепке (см. рис. 3.7) в зависимости от параметра А (3.57) и В (3.53)Рис. 3.11. Изменение усилий % в нулевой заклепке (см. рис. 3.7) в зависимости от параметра А (3.57) и В (3.53)Для очень малых коэффициентов Л (3.57) справедливы асимптотические формулы

Рис. 3.11. Изменение усилий % в нулевой заклепке (см. рис. 3.7) в зависимости от параметра А (3.57) и В (3.53)

Рис. 3.11. Изменение усилий % в нулевой заклепке (см. рис. 3.7) в зависимости от параметра А (3.57) и В (3.53)

/0»1-2Л5,

力弋 46-1口2),

/я~ — /1п(1 ^-)(也=2, 3,…).

Вывод этих формул не приводим и отсылаем читателя к работе [56].

На рис. 3.11 показан характер изменения усилий % в нулевой

заклепке, к которой приложена единичная сосредоточенная сила, в зависимости от параметра Л, определенного формулой (3.57). Та же зависимость для усилий 九 в первой заклепке показана на рис. 3.12. Как видим, усилия исчезают, если площадь сечения ребра

уменьшается до нуля. Вся нагрузка воспринимается нулевой заклепкой. Интересно отметить, что для есех практических значений

параметров 5 максимальное значение усилия fi в первой заклепке не превышает 14% от величины приложенной силы.

Случай разорванного ребра. Полученное выше решение может бы1Ь использовано для

Рис. 3.12. Изменение усилий Л в первой заклепке в зависимости от параметров А и В, определенных формулами (3.57) и (3.53)

Рис. 3.13. Пластина с разорванными между соседними заклепками ребром (однаполовина ребра нагружена продольной единичной силой)

-Рис. 3.44. Пластина с ребром (удалена часть ребра вместе с заклепкой. Одна половина ребра нагружена единичной продольной силой)

рассмотрения случая, когда часть ребра выброшена. Это, например, случай, показанный на рис. 3.13, где выброшена часть ребра между соседними заклепками, или случай,' изображенный на рис. 3.14, где выброшена часть ребра вместе с заклепкой.

Если бесконечное ребро нагружено единичной сосредоточенной силой, как показано на рис. 3.7, то для нормальных усилий Nm на /и^м интервале справедливы условия симметрии Nm= —N-тт, а ДЛЯ усилий В заклепках условия fm = f_m・ Используя эти условия и условие равновесия ребра'

нормальные усилия ^-можно записать в виде -

Nm=-^-^ + f^-^fn для /и>0,"二二(3.67)

Nт= ^- (l + /o)T'fn ДЛЯ /и<0.

Для решения поставленной задачи поступим следующим обра- зом. Нагрузим бесконечное ребро внешними единичными силами Km= 1, как показано на рис. 3.15. Помещая начало отсчета в центре /и-й, а затем (/и + 1)-й заклепки, по формулам (3.67) можем

Рис. 3.15. Схема нагружения ребра через заклепки единичными силами

найти нормальное усилие Lnm на n-м интервале ребра от усилий Кт= 1, показанных на рис. 3.15. Будем иметь

Aim = f п—т — ^тл*(3. 68)

Если силы Кт произвольны по величине и равны между собой, .то результирующее нормальное усилие от них на /n-м участке будет「

а суммарное усилие от единичной силы, приложенной к нулевой заклепке (см. рис. 3.7), и от сил Кт будет

N/K1nLmm(3.69)

Теперь мысленно отсоединим -ребро от пластины и рассмотрим его равновесие под действием реакций в заклепках от сил Р = 1, Кт и самих сил. Уберем силы Кт, так как в реальном ребре их нет. От этого изменится только нормальное усилие в ребре на /n-м участке на величину 外，напряжения на остальных участках ребра не изменятся и, следовательно, не изменится расстояние между заклепками (кроме т-го участка). Следовательно, не изменится условие совместности деформаций между-ребром и пластиной. Потребуем, чтобы суммарные нормальны© усилия на /n-м участке были равны нулю*

.Nm + KmF + K—(3.70)

Тогда ребро на /n-м участке можно разрезать, при этом ни равновесие отрезанных частей ребра, ни напряженно-деформированное состояние конструкции ребро — пластина не изменятся, и мы получим случай, изображенный на рис. 3.16, когда ребро разорвано на /и-м участке.

В более общем случае, когда ребро разорвано на участках р, % г,..., мы должны ввести на этих участках нагрузки Кр, Kq, Кг,... и выполнить условия, аналогичные (3.70),

или с учетом (3.68)

"§+ 工 Kt f §—t=D (s=〃，g,尸…J (3. 71)

эти уравнения служат для определения сил К±. Если они определены, то усилия в заклепках /п можно получить путем суперпози-

Рис. 3.16. Случай, когда ребро разорвано между m-й и (т+1)-й заклепкой

ции решений для бесконечного ребра от внешних нагрузок, включая и усилия Kt

= + t 2 К,(九(3.72)

Для случая, изображенного на рис. 3.13, где удален участок с номером минус единица, по формуле (3.70) при т= —1 с учетом (3.67) и (3.68) найдем

一441一九)+k一//一1)+今1=0，

.Кт=(1 一九)/2 九，

/=九+-^卢(九一為-i).

2/о

Для случая, изображенного на рис. 3.14, где удален участок т= —1 и т= —2, согласно (3.71) при s= —1, s=—2 получим

^(1 —九)十К-1 /о + К-2 /1=0，

-4"(1 -九)+ 力 + Кт /1+^-2 Л = 0

и формула (3.72) дает、；

Zz = //l + ^-l (/л — /л+1)+^-2 (/л+1 — /л+2)-

К=8#0乂=6%2

口 &386*

И 0 R Лп П И El pi

Рис. 3.17. Усилия в нулевой заклепке для случаев, изображенных на ряс. 3.7 (верхние рисунки), 3.13 (средние рисунки), 3.14 (нижние рисунки) (fe®=8,40 для левого столбца рисунков,尼=67,2 — для правого)

Численные результаты для усилий в нулевой заклепке в рассмотренных двух примерах показаны на рис. 3.17; принято, что 〃％=4,75 и рассмотрено два значения параметра жесткости

一七九2 d ‘

равных 8,4 и 6,72.

Изображенные на рис. 3.13 и 3.14 случаи можно в какой-то мере считать аналогом решения задачи для полубесконечного ребра, присоединенного к оболочке. Этот аналог будет тем ближе, чем большее число интервалов будет выброшено. Что касается исходной задачи для бесконечного ребра, то это ——полный аналог задачи Малана, рассмотренной в разд. 3.3.

ПЕРЕДАЧА УСИЛИЙ ОТ РЕБРА КОНЕЧНОЙДЛИНЫ к БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕИ ГРАНИЦЕ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ

Постановка задачи. Вывод исходного уравнения. Рассмотрим равновесие упругого ребра конечной длины /, прикрепленного по всей своей длине к бесконечной пластине (рис. 3.18) или к границе полубесконечной пластины (рис. 3.19). На конце ребро нагружено продольной сосредоточенной силой Р. Яеобходимо найти характер распределения реакции взаимодействия q между ребром и пластиной. Предполагается, что ребро присоединено по линии.

Условие равновесия части ребра; заключенной между координатами % и / оси х, имеет вид

J qdx—久尸с=0,

где а ——продольное нормальное напряжение в ребре; Fc ——площадь поперечного сечения ребра.

Рис. 3.18. Бесконечная пластина, подкрепленная ребром конечной длины, q — касательные усилия взаимодействия* между ребром и пластиной. (ас ——напряжения в ребре,户с — площадь сечения ребра. Р ——сила, приложенная к торцу ребра)Рис. 3.18. Бесконечная пластина, подкрепленная ребром конечной длины, q — касательные усилия взаимодействия* между ребром и пластиной. (ас ——напряжения в ребре,户с — площадь сечения ребра. Р ——сила, приложенная к торцу ребра)Рис. 3.19. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе ребром конечной длиныРис. 3.19. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе ребром конечной длины

Рис. 3.18. Бесконечная пластина, подкрепленная ребром конечной длины, q — касательные усилия взаимодействия* между ребром и пластиной. (ас ——напряжения в ребре,户с — площадь сечения ребра. Р ——сила, приложенная к торцу ребра)

Рис. 3.18. Бесконечная пластина, подкрепленная ребром конечной длины, q — касательные усилия взаимодействия* между ребром и пластиной. (ас ——напряжения в ребре,户с — площадь сечения ребра. Р ——сила, приложенная к торцу ребра)

Рис. 3.19. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе ребром конечной длины

Рис. 3.19. Полубесконечная пластина, подкрепленная на границе ребром конечной длины

Напряжение <гс выразим через деформацию ребра ес с помощью соотношения закона Гука, а последнюю приравняем деформации 毋工 пластины в каждой внутренней точке 0<х</ линии соединения. Используя для деформации пластины формулы (3.13) и (3.14), получим исходное сингулярное интегральное уравнение задачи

(0<т0<1).(3. 73)

О, J

Решение уравнения, (3.73) должно быть подчинено условию равновесия усилий, приложенных к ребру,

1

\qdt=$ ■(3. 74)

О

В уравнении (3.73) введены обозначения: X — параметр жесткости ребра, который в случае бесконечной пластины имеет вид

入=——1®(3. 75)

л (3 — v) (1 + v) БСРс

а в случае полубесконечной пластины

、2 EAZ

-.Л线尸С

Ес ——модуль упругости ребра; т — безразмерная координата

т=%/厶

Отметим, что уравнение (3.73) формально совпадает с уравнением Прандтля для тонкого крыла конечного размера. Это совпадение было отмечено С. Бенскотером [52].

Регуляризация уравнения (3.73). Регуляризацию уравнения (3.73) целесообразно сделать по двум причинам. Во-первых, в явном виде будет получен характер решения на концах зоны контакта и автоматически будет доказана единственность такого решения. Во-вторых, полученное регулярное решение будет являться уравнением Фредгольма второго рода, которое хорошо изучено с точки зрения численной реализации.

Регуляризация уравнения (3.73) производится обращением сингулярного интеграла в левой части. При этом правая часть уравнения считается условно известной. Этот метод регуляризации предложен Т. Карлеманом [59] и носит его имя. Известно, что он является методом равносильной регуляризации [10] в том смысле, что в процессе его проведения не исчезают решения и не появляются новые.

Известно [10], что уравнение типа (3.73) с известной правой частью имеет четыре класса решений: решение» обращающееся в нуль на обоих концах отрезка интегрирования, оно существует не всегда, а только при определенном ограничении, накладываемом

на правую часть; два решения, ограниченных на одном из концов отрезка интегрирования h определяемых вполне; наконец, существует неограниченное решение на обоих концах, которое имеет один произвол. Из всех четырех решений только последнее позволяет выполнить условие (3.73) благодаря имеющемуся произволу, -поэтому является единственно возможным.

В результате применения такого решения к уравнению (3.73) приведем его к виду

'Я\\ q (^) ^ +.(3.-77)

4Л (То) . J Т — Т() J. Л (То)

Оt■

где X — каноническая функция, X (т)=]/т(1 —т);

с — произвольная постоянная.

с=Р/л/.с=Р/л/.Если проинтегрировать обе части уравнения (3.77) от нуля до единицы и учесть, что

с=Р/л/.

с=Р/л/.

о

то из условия (3.74) найдем

(3. 78)

Из уравнения (3.77) видно, что реакция ребра q неограниченно возрастает вблизи концов, имея особенность вида 1/Х(х). Если ребро абсолютно жесткое, то согласно (3.75) н (3.76) параметр 兀=6 и-решение получается в явном виде

д(т)=,

八丿л/Х(т)

а продольные усилия в ребре, определяемые по формуле

N 。=1 j gdi,

будут иметь вид-[ Л

1 —-|-arcsin 好).

Решение уравнения (3.77).

Изменив порядок интегрирования в повторном интеграле, получим интегральное уравнение [43]

4(%)= “/у；、R(Ts т)〃〃+，【(3.79)

(т0) Jл (т0)

о

гдеR (% т) = ｛叱н ,

которое после замены переменной

(3. 80}(3. 80}t=sin—,

(3. 80}

(3. 80}

2

и вычисления интеграла запишем в виде

R&, т) = /?(%, °)=_|_siii^R&, т) = /?(%, °)=_|_siii^

R&, т) = /?(%, °)=_|_siii^

R&, т) = /?(%, °)=_|_siii^

Подставляя это ядро в интегральное уравнение (3.79), приведем его к виду

。以嘲二丄 + bctg%,(3.81)

•sin %

о 一 о。sinq^d^.о 一 о。sinq^d^.где оператор D имеет вид '

о 一 о。

sin

q^d^.

о 一 о。

sin

q^d^.

D [q (%)]三 q (%) - у pin a In

О

а Л и 5 — постоянные,

Д = -^- ^ (a) sin2 Sb + f,

о

•IC

•B=f \ q (а) a sin bdb.(3. 82)

0,

Постоянную а хотя она и определена формулой (3.78), будем считать пока произвольной, а условие (3.74) не выполненным.

Постоянная Л (3.82) поэтому может также считаться произвольной. Для ее определения будем использовать условие (3.74). Вторым условием для определения постоянных Л и В будет второе условие (3.82).

Введем новую неизвестную функцию q\ соотношением

^(=) = ^1 (а) + Д-^^- + ^^а.■ (3. 83)

sin a

Подставляя отсюда q в уравнение (3.81) и учитывая, что

\ COS о 1п о\ COS о 1п оdo = 2 sin cqlntg受,do = 2 sin cqlntg受,

\ COS о 1п о

\ COS о 1п о

do = 2 sin cqlntg受,

do = 2 sin cqlntg受,

G 一 GO sin

2

O + Go sin

J cos2oIn о

a — °o sin

2

G +$0 sin —-

2

do=2 sin %+ sin 2a0lntg-^-,

придем к уравнению

。3(%)] = / (%)，(3. 84)

где,

/9)=今(8 +入)Sin。+条 sin 2о lntg^ + ^sinolntg^-..(3. 85)

Рассмотрим функциюРассмотрим функцию% (о) do.% (о) do.(3. 86)(3. 86)

Рассмотрим функцию

Рассмотрим функцию

% (о) do.

% (о) do.

(3. 86)

(3. 86)

Очевидно, что эта функция исчезает WgoWjt. Производная от нее имеет видОчевидно, что эта функция исчезает WgoWjt. Производная от нее имеет видна концах интервала 0《на концах интервала 0《

Очевидно, что эта функция исчезает WgoWjt. Производная от нее имеет вид

Очевидно, что эта функция исчезает WgoWjt. Производная от нее имеет вид

на концах интервала 0《

на концах интервала 0《

訂 ”(%)-〃%)а-亲\— о sin訂 ”(%)-〃%)а-亲\— о sinsiM 叱1 ® dosiM 叱1 ® do0 + 力.0 -00-- sin —-~220 + 力.0 -00-- sin —-~22

訂 ”(%)-〃%)а-亲\— о sin

訂 ”(%)-〃%)а-亲\— о sin

siM 叱1 ® do

siM 叱1 ® do

0 + 力.0 -00-- sin —-~

22

0 + 力.0 -00-- sin —-~

22

Отсюда видно, что производная является непрерывной и ограниченной иа концах отрезка (0, л) функцией. Функция (3.86) является нечетной по Go. Из всего сказанного следует, что коэффициенты разложения

0i(o)-/(o)=E%sin3 (3.87)

удовлетворяют неравенствам•

同(〃=1，2,…)，(3.88)

Л2

где М ——некоторая константа.

Если подставить функцию ,i (疗)из формулы (3.87) в уравнение (3.84), умножить его на sin kaQ и проинтегрировать, получим две независимых бесконечных системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов сп

разложения (3.87) выражаются поразложения (3.87) выражаются по内一入工％吊=& (л,月=1, 3, 5,...),(厶月=2, 4, 6,…)，.(3. 89)

разложения (3.87) выражаются по

разложения (3.87) выражаются по

при Л= 1, 3, 5,・..,при Л= 1, 3, 5,・..,厶=厶=через которые коэффициенты формулам

при Л= 1, 3, 5,・..,

при Л= 1, 3, 5,・..,

厶=

厶=

.亡(3.90)

при*Л=2, 4, 6,....

В системах （3.89）

（3.91）（3.91）%厶=〃便一時一1尸［信+吟一1「,

（3.91）

（3.91）

仁雯Y仁雯Y%=一山一生445 入540%=一山一生445 入540（3. 92）（3. 92）11118 +人8 +人2（1十可+…+口2（1十可+…+口

仁雯Y

仁雯Y

%=一山一生

445 入540

%=一山一生

445 入540

（3. 92）

（3. 92）

1

1

1

1

8 +人

8 +人

2（1十可+…+口

2（1十可+…+口

（奴一9）（依一1）（奴一9）（依一1）m2（牌一4） I

（奴一9）（依一1）

（奴一9）（依一1）

3必伐+ 1） — 2 （々一1）

b2=- 12b2=- 122（月2一4）（比2、1）月2（比+3）2 （1 4—т— + • •. +力=席/仅2—4）2（月2一4）（比2、1）月2（比+3）2 （1 4—т— + • •. +力=席/仅2—4）3也+23也+22论2 仅2— i）（论 +2）伯=4, 8…・）、2论2 仅2— i）（论 +2）伯=4, 8…・）、

b2=- 12

b2=- 12

2（月2一4）（比2、1）月2（比+3）

2 （1 4—т— + • •. +

力=

席/仅2—4）

2（月2一4）（比2、1）月2（比+3）

2 （1 4—т— + • •. +

力=

席/仅2—4）

3也+2

3也+2

2论2 仅2— i）（论 +2）

伯=4, 8…・）、

2论2 仅2— i）（论 +2）

伯=4, 8…・）、

При получении системы （3.89） был вычислен ряд интегралов

\ sin 力% In о\ sin 力% In оd%^^ —£ sin 万0,d%^^ —£ sin 万0,

\ sin 力% In о

\ sin 力% In о

d%^^ —£ sin 万0,

d%^^ —£ sin 万0,

°— 00 sin

2

冗

\ sin о sin 后о sin norfo— о

О

4配

при 后+ 也 нечетном

["_〃）2_1][（々+〃）2 — 1].

при 后十/г четном

Jk= \ sin о sin 2a sin ^a In tg —do=—— 二—

无）-.2（依一1）（依_9）

0

一型出土1）二。（J1）прн『5, 7,...,

（后+3）后（后2—1）（后2—4）В

厶=—^-, 厶=—-—> 4=0 При k четном,

J； = \ sin2 о sin ^a In tg -^- do=

80 + K…+占

总（依一4）

6々+4

总（依—1）（氏+2）

方=一告，6 = 0

при 后=4, 6,...,

при k нечетном.

Учитывая представление (3.87), формулы (3.85), (3.83) и (3.90), решение задачи можно записать в виде

0(1 [嘿

^-i^ sin a-by sin 2а Intg^--^- £ c„ sin па] 4-

+ 8，tgo+告 sin a In tg-^- — ^-

c„ sin /го] .■ (3. 93)

Внося полученное решение в условие (3.74), найдем постоянную Л*■

Л 16Р 殳• Q I 2 入、

4=, 3=8 +入 2c

л/S .1 31

Если ввести решение【3.93) во второе условие (3.82), найдем

В=АВи

где8尸嗚 (3. 94)

十 4328 2 (献-1)2

иQ=，gsin2bhitg^-&=+£ *—■|-и0,6035993：(3. 95)

0л=1-, ■

Теперь окончательно решение можно записать в видед(о)= ^^ [(51 + соб о) (ctga-l今 sin о In tg

sin о —^- сл8л Sin /wj.

Если подставить полученное решение в формулу

(3.96)

^c=/ j (jdx

и вычислить интегралы, получим следующее выражение для про-дольного усилия JVC в ребре丄

-^^-= 1 ——™ —-^-[修(8 +入)sin 仃+ —- (8— 8) sin 2o +

sin a

—〃 sin о cos

(3.97)

21(з)=^ Intg ~y021(з)=^ Intg ~y05i для п четных,1 для п нечетных.5i для п четных,1 для п нечетных.(3. 98)(3.99)(3. 98)(3.99)(72 4- k - 1)(〃 + 月+1)(72 4- k - 1)(〃 + 月+1)(3.100)(3.100)

21(з)=^ Intg ~y

0

21(з)=^ Intg ~y

0

5i для п четных,

1 для п нечетных.

5i для п четных,

1 для п нечетных.

(3. 98)

(3.99)

(3. 98)

(3.99)

(72 4- k - 1)(〃 + 月+1)

(72 4- k - 1)(〃 + 月+1)

(3.100)

(3.100)

Здесь' и

Полученные решения (3.96) и (3.97) содержат главную замкнутую часть и слагаемые в виде ряда. Согласно оценке (3.88) и формулам (3.90) коэффициенты ряда в формуле (3.96) убывают при больших п быстрее, чем 1/М, а в формуле (3.97) быстрее, чем 1/п3. Из формулы (3.96) видно, что реакция q(a) имеет на концах интервала OWoVk особенность типа котангенса или в старой переменной т (3.80) на концах т = 0 и т= 1 особенность типа 1/Кт и

Вблизи концов интервала решение будет иметь достаточную точность, если в формулах (3.96) и (3.97J отбросить весь ряд.

Анализ бесконечной системы уравнений (3.89). Покажем, что системы уравнений (3.89) являются вполне регулярными прл любых конечных значениях параметра X (3.75), (3.76) и, следова

тельно, имеют единственное решение, которое; например, может быть получено методом последовательных приближений. При этом можно отправляться от любых начальных значений Са=Са° [20].

Выделяя fe-й член ряда в системах (3.89), приведем их к нормальному виду

% =氏2^ %也以 +。比（比〃产 1, 3,一.），（幺 ^ -2, 4,...）,

гдегде4论2—14论2—1厶

где

где

甘女=入；色;=力友;

"4 论 2— 1 + м '“4 论2 — 1 + М 少

Е' сумма без fe-ro слагаемого.

Согласно формуле (3.91) все коэффициенты а^п положительны При 々展/г, a aftfe<0.

Для установления регулярности системы. (3.98) найдем суммы

Е技(72—论一1)(〃 一论+ 1) 一

Пусть 々=L 3, 5,..., тогда суммирование в (3.100) будет по нечетным п. Полагая n=2nj—1, найдем [12]

Если n=2, 4, 6,..,, то суммирование в (3.100) будет по четным п. Полагая п=2几匕 найдем

/0=一灰3)，£ 1a*al=N^T_4 啰二1)(左=2, 4,…).

л =2,4,».«m=2,4,...

С учетом полученных сумм имеем

Р* £' l%J=l—q£), p# £' l%J=l-Q?) /2 = 1,3,…/1=2,4,…

他=1, 3,…)，(力=2, 4,…)，

.研_0依一D出宀)

(3,101)(3,101)*4展(4走2-1+入论)'

(3,101)

(3,101)

("2-1)(4论2+人一4)融 4(依一1)(4版-1+工论)*

При любом фиксированнам k всегда 0q£)/。入VO, д^ 1дк<,0. Иными словами, функции q£)и q?) монотонно убывают с ростом %. В пределе Х=со

Q偏=弓费（』1，3,5一，）一%=就三斤（2=2,4,6,...）.

Отсюда ВИДНО, ЧТО 1 > Q“n >S>0, 1> Q 爲[口 >£>0 ДЛЯ Любых конечных k. При 々-*8q£21rli 0, Q(2111To・

Из полученных оценок следует, что при любых конечных номерах системы (3.98) будут вполне регулярными и имеют единственное решение (20]. Найдем оценки для искомых неизвестных f^ систем (338). Для этой цели подберем такие числа М°)и М⑵，не зависящие от k, чтобы удовлетворить неравенствам [20].

/闻《M%f)仅=1,3,5….)，%1《川铀夕(后=2,4,6,…).Здесь 耿,q£), с?) определены выше формулами (3.99) и (3.101).С учетом этих формул предыдущие неравенства перепишем в виде

1^|<Л4О)^±1_(£=1,3,5,...),

(3 102) 队I《加⑵門堂A 传=2, 4, 6,...),,

при этом коэффициенты b^ определены формулами (3.92)・ Из полученных неравенств следует, что в качестве чисел Af(Q и М⑵ мож

но взять

(力=1, 3, 5,...),(力=1, 3, 5,...),(力=2, 4, 6)…).(力=2, 4, 6)…).他⑴=max（"2闷）, [4论2 +人丿

(力=1, 3, 5,...),

(力=1, 3, 5,...),

(力=2, 4, 6)…).

(力=2, 4, 6)…).

也⑶=max『睇T）网 （4 但2一1）+入

Подставляя сюда b丸 из формул (3.92), получим

2И（1）= Q2 士艺 3入（4 +入）.也⑴=6,4 + 1，756人一入（36+人）2И（1）= Q2 士艺 3入（4 +入）.也⑴=6,4 + 1，756人一入（36+人）при 入 <52,&при 入 <52,&при 入 >52,8・при 入 >52,8・/ (3.103)/ (3.103)

2И（1）= Q2 士艺 3入（4 +入）.

也⑴=6,4 + 1，756人

一入（36+人）

2И（1）= Q2 士艺 3入（4 +入）.

也⑴=6,4 + 1，756人

一入（36+人）

при 入 <52,&

при 入 <52,&

при 入 >52,8・

при 入 >52,8・

/ (3.103)

/ (3.103)

Первая из этих формул получится, если в первой формуле (3.102) положить 论=1, вторая ——еслн 无=3.

В силу регулярности решение систем (3.98) ограничено по мо-В силу регулярности решение систем (3.98) ограничено по мо-(3.104)

В силу регулярности решение систем (3.98) ограничено по мо-

В силу регулярности решение систем (3.98) ограничено по мо-

дулю числами М")и М® (з」оз)н (3.104) [20]

(3. 105)(3. 105)一kJ <2И<!) при ^=1, 3, 5,...,

(3. 105)

(3. 105)

同《 714⑵ при 左=2, 4, 6,....

При больших 九

闷《1,756,入 при k— 1, 3, 5,...,-\с^ < 1Д при 々=2, 4, 6

Из этих оценок следует, что в пределе при % = 8 системы (3.98) имеют тривиальное решение.

При практическом решении задачи бесконечные системы будут заменяться конечными. Пусть 九【и л2 ——количество уравнений, которое мы оставляем в нечетной и четной системах (3.98). Эти системы заменяются следующими

〉^kn^n Н- ^А (々=1, 3,5,也I),……(3. 106)

Пусть для краткостиR =卩尼2 aAn 'л—«14-2R2 =世论е аАд万0万9+2Пусть для краткостиR =卩尼2 aAn 'л—«14-2R2 =世论е аАд万0万9+2Е а阮C/j + 〃爲(々：：==2, 4,・*♦・，^2)・

Пусть для краткости

R =卩尼2 aAn 'л—«14-2

R2 =世论е аАд

万0万9+2

Пусть для краткости

R =卩尼2 aAn 'л—«14-2

R2 =世论е аАд

万0万9+2

k — -1, 3,«• * у 也] %=也1 + 2,也i+4,...,

k ——4,..., Лз

%=也?+2, а+4, .…

Если в первой системе (3.106) вместо правых частей а丸 взять правые части

of=aft — Af^^i,

то мы получим решение нечетной бесконечной системы (3.98) с недостатком, которое обозначим с『[20]. Решение с избытком получим, если вместо 队 взять

' at=ak-\-MwRx.

Аналогичные результаты получим для второй (четной) системы (3.98), если вместо 5й⑴Ri возьмем M^R^- Решение систем уравнений (3.106) при этом будет удовлетворять неравенствам

一 或С*《".

Численный расчет. При расчете каждая из бесконечных систем (3.89) обрывалась на Ю-и уравнениях и, таким образом, определялись 20 первых коэффициентов 6友・ Результаты решения систем даны в табл. 3.3 для различных параметров 厶.Видно, что все

-Таблица 3.3

Значения коэффициентов ck • Ю3 системы (3.89), полученных при удержании10-и нечетных и 10-и четных коэффициентов

л

0,1

1

5

10

40

60.

100

]

26,0370

2179,3

—289,35

—116,01

—90,761

—12,970

—7,3652

2

—82,2100

—73,39

—49,91

—35,819

—13,499

—9,5714

—6,0615

3

1715,6

—162,08

-34,94

—20,759

—7,516

—5,4018

—3,4789

4

-5,37

—3,933

—0,6700

—0,7241

—1,3832

—1,1848

—0,8859

5

—148,48

—11,99

—1,586

—0,9911

—0,8457

—0,7366

-0,5689

6

—1,300

—1,178

—0,7153

—0,3549

—0,2099

—0,2543

—0,2426

7

—35,13

-2,638

—0,1012

—0,0179

—0,1357

—0,1623

—0,1622

8

—0,4725

—0,4447

—0,3326

—0,2343

—0,0041

一仇 0481

—0,0746

9

—12,37

—0,8837

—0,0215

—0,0738

—0,0034

—0,0304

-0,0503

10

—0,2182

—0,2019

—0,1641

—0,1302

—0,0298

—0,0261

—0,0206

11

—0,3733

—0,0276

—0,0536

—0,0199

-0,0032

—0,0133

12

—0,1108

—0,105Г

—0,0889

—0,0746

—0,0286

—0,0135

—0,0023

13

—2,75

—0,1830

—0,0210

—0,0351

—0,00199

—0,0105

—0,0007

14

—0,0635

—0,0608

—0,0523.

-0,0451

—0,0221

—0,0136.

-0,0036

15

—1,54

—0,0996

—0,0149

—0,0232

—0,0158

—0,0104

—0,0033

16

—0,0392

—0,0376

—0,0327

—0,0287

—0,0161

-0,0112

—0,0049

17

—0,9300

—0,0585

口,0107

—0,0157

—0,0117

—0,0085

—0,0040

18

—0,0255

—0,0245

—0,0215

—0,0190

-0,0115

-0,0086

—0,0046

19

—0,5900

—0,0364

—0,0076

—0,0107

—0,0080

—0,0060

-0,0033

20

—0,0174

—0,0167

—0,0146

—0,0128

—0,0078

—0,0059

亠0,0035

Таблица 3.4

Распределение продольных усилий в стрингере N/P、рассчитанных по формуле (3.97) при удержании 20-и коэффициентов с*

о/тс

1

5

10

40

60

100

0,02

0,9654

0,9297

0,9013

0,8049 '

0,7623

0,6952

0,04

0,9310

0,8615

0,8078

0,6398

0,5733

0,4789

0,06

0,8971

0,7962

0,7208

0,5045

0,4281

0.3296

0,08

0,8638

0,7344

0,6415

0,3975

0,3209

0,2306

0,1

0,8311

0,6766

0,5夕01

0,3144

0,2427

0,1642

0,2

0,6799

0,4467

0,3185

0,1128

0,0766

0,0458

0,3

0,5516

0,3006

0,1888

0,0536

0,0355

0,0209

0,4

.0,4447

0,2103

0/219

0,0316

0,0209

0,0126

0,5

0,3553

0,1536

0,0853

0,0215

0,0143

0,0087

0,6

0,2784

0,1159

0,0637

0,0162

0,0075 -

0,0066

0,7

0,2086

0,0879

0,0491

0,0129

0,0858

0,0051

0,8

0,1411

0,0626

0,0究7

0,0105

0,0692

0,0037

0,9

0,0722

0,0349

0,0217

0,0071

0,0452

0,0014

0,95

0,0365

0,0181

0,0116

0,0036

0,0148

-0,0021

Таблица 3.5

1

Погрешность Ю^ДУС^ ~ (Vci9-NC7)Ю^ в вычислении продольных усилий (3.97) при удержании в ряду 19-и и 7-и коэффициентов сп

e/тс

A N「• 104 при следующих значениях 入

1

5

10

20

40

60

100

0,1

-0,6

9

-1,8

17

-300,5

—872

—2899

0,2

—6,6

—24,5

—153,4

—695,3

—1840

—5029

0,3

0,5

-0,7

57,9

37.2

392,6

1134

3613

0,4

2,1

-126

40,3

207,9

-382,4

2391

6287

0,5

20

3

5,2

—9,1

—205,5

-850

-2113

0,6

—11,8

—41

—197,6

'-860

—2126

Т670

0,7

-10,6

-10,0

—13,0

—33,6

-53,0

—44,6

83

0,8

1,5

33,0

126,2

—357

1310

3523

0,9

0.7

7

12

49,2

-56,5

442

11142

Рис. 3.20. Распределение продольных усилий в ребре №с по его длине при разных значениях параметра 九

Рис. 3.21. Распределение продольных усилий в ребре ^c по его длине для разных значений параметра X (кривая 论——результат В. Койтера [62] для полубеско- нечного ребра)

коэффициенты удовлетворяют неравенствам (3.1105). По формуле (3.97) посчитаны также нормальные усилия в ребре, отнесенные к приложенной силе Р. Результаты представлены в табл. 3.4 н на рис. 3.20 и 3.21.

Кривая k на рис. 3.21 показывает распределение продольных усилий в полубесконечном ребре (стрингере), приваренном к бесконечной пластине. Это распределение получено В. Койтером [62]. Из рис. 3.21 видно, что при 1>3 стрингер практически работает как полубесконечный. Для 3V入V100 кривые не нанесены, они! расположены между кривнМн %=3 и 100.

В табл. 3.5 дано сравнение решений при удержании в формуле (3.97) семи и девятнадцати членов ряда, причем коэффициенты。友 в обоих случаях брались из табл. 3.3. При Х<100 результаты отличаются мало. При 1= 100 расхождение существенное, если сравнивать результаты на всей длине стрингера. Следует, однако, учитывать, что при %=100 даже координате а=0,1л соответствует координата

产=啜『=3,83.

На практике наиболее интересна зона %i V3 (см. рис. 3.21), где имеет место значительное затухание продольных усилий в ребре.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЁНИЯ (3.73)С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА

Если ввести замену переменной

то уравнение (3.73) и условие (3.74) можно записать в виде

(3. 107)(3. 107)

(3. 107)

(3. 107)

(3. 108)(3. 108)\qdt=^~ .

(3. 108)

(3. 108)

一1

Приближенное решение уравнения (3.107) можно искать в виде разложения по полиномам Чебышева первого рода T$(f)、

夕=而占 £5).： (3.109)

Напомним, что полиномом Чебышева первого рода от переменной

Z=cos<p(3. 110)

является функция 7$(f) = coss%(3. Ill)

а полиномом Чебышева второго рода от той же переменной /= = cos <р будет функция

Us (/) = SE " +D? .(3. 112)

sin f v

Имеют место условия ортогональности [12]

0

при m^s.

〜(£"$«) df = /1 —/2

л

прн

;n=sR 0,

(3. 113)

л

при

血=儿=0,

0

при т ф s

J Um^Usit)VT^dt= \ л(3.114)

при тп — S,

”(/n, s=0, 1,...)

а также соотношения

(0 прн 加=05

JH-我(/一幻[jtUmT(幻 при т声0，

Подставим сначала разложение (3.109) в условие (3.108) и воспользуемся свойством ортогональности (3.II3). Найдем коэффициент Xq

ML

Теперь подставим разложение (3.109) в уравнение (3.107). Интегралы слева вычислим с помощью формул (3.115), а при вычислении интегралов справа воспользуемся заменой (3.110) и формулами (3.II1) и (3.112). В результате уравнение (3.107) преобразуется к виду . •

£ & 〃т 偽)+ 限 £ § US^VT^ = - ^- arccos /(>. $■1$=1

Это функциональное уравнение либо можно выполнить в точках (метод каллокации), либо применить метод Бубнова. Выберем последний. Цл兄'этого умножим обе части уравнения на “т (幻 Ml — d(j=L 2,・..,九)и проинтегрируем, воспользовав* шиеь условиями ортогональности (3.114). В итоге получим систему алгебраических уравнений для коэффициентов X,

Х/+十0=1,2,…，“.(3.116)

1 где% =十 \ U/т (/) 〃т (/) (I —产)

с помощью замены перемен-с помощью замены перемен-6；= j Uу_! (?) К1 — Z2arccos tdt.

с помощью замены перемен-

с помощью замены перемен-

Эти. интегралы легко вычисляются ной (3:110) и представления (3.112)

叫=-[(/+S)2-1][(/-5)2 -1] Q/$=0■ 14 丄 (户一1)2%=0叫=-[(/+S)2-1][(/-5)2 -1] Q/$=0■ 14 丄 (户一1)2%=0при 丿一s четном, при / —s нечетном; при /=2, 4t 6,..., при /=3, 5* 7，・.・・

叫=-[(/+S)2-1][(/-5)2 -1] Q/$=0

■ 14 丄 (户一1)2

%=0

叫=-[(/+S)2-1][(/-5)2 -1] Q/$=0

■ 14 丄 (户一1)2

%=0

Свойства этих коэффициентов показывают, что система (3.116J распадается на две независимых ——одну для четных индексов ко» эффициентов X% вторую ——для нечетных.

ПЛАСТИНА С РЕБРОМ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ.ОПТИМАЛЬНОЕ ПОДКРЕПЛЕНИЕ

Рассмотрим, следуя работе [13], две задачи: прямую и обратную. Прямая задача состоит в исследовании характера распределения продольных нормальных напряжений по длине ребра заданного переменного поперечного сечения, обратная ——в определении закона изменения поперечного сечения ребра по его длине при заданном законе изменения напряжений в нем.

Решение обратной задачи необходимо для подбора оптимальной формы элемента жесткости. В частности, может быть найдена форма поперечного сечения ребра равного сопротивления, имеющего постоянное продольное нормальное напряжение в любом сечении.

Задачу о распределении продольных усилий по длине ребра (стрингера) переменного сечения, присоединенного к пластине, по- видимому, впервые в точной постановке рассмотрел Э. Рейсснер [72] на примере полубесконечиой пластины, к которой нормально к границе присоединен стрингер, -нагруженный на(конце сил|ой< В этой работе было получено разрешающее сингулярйое интегро-' дифференциальное уравнение для продольных усилий в стрингере. Отмечена аналогия этого уравнения с уравнением Прандтля, получаемым при рассмотрении обтекания тонкого крыла потоком воздуха. Эта же аналогия отмечалась позднее С. Бенскоттером [52], который, как уже отмечалось, рассмотрел ребро конечной длины. Уравнение； полученное Э. Рейсснером, оказалось достаточно сложным и в работе не решено.

Ниже рассмотрен случай более простой ——бесконечная пластина с ребром конечной длины. Этот случай для ребра постоянного сечения разобран в предыдущем разделе.

Основные соотношения. Уравнение равновесия ребра имеет вид

"+д(х)=0,(3. 117)

dx

где, как и ранее, через q(x) обозначено касательное усилие взаимодействия между ребром и пластиной; Nc — acFc ——продольные растягивающие усилия в ребре; ас ——продольные нормальные напряжения в ребре; Fc = Fc(x)——переменная площадь поперечного сечения.

.Положительное направление усилий q показано на рис. 3.18.

Будем считать, что пластина может быть нагрета до постоянной температуры 7. Тогда продольная деформация на оси % пластины будет (формула (3.13)).

е (%) = аТ — .0 二？)(丄十 V)Г 0(尤)勺,(3.118)

4лЯА J х —

о

а деформация ребра‘

5尧 + %乙，(3.119)

где Тс — температура ребра, которую будем считать переменной по длине ребра; а, % — соответственно коэффициенты линейного температурного расширения пластины и ребра.

Приравнивая деформации (3.118) и (3.119) с учетом (3.117), получим следующее разрешающее уравнение задачи

i曾=學縉尸：+з・.(3•吵

0 .

Здесь е=尸")；,=十；Х=布品所券；(3.121)

屮（《）=屮（《）=4fе〃(%九一订)(3 - V)(1 + V)

屮（《）=

屮（《）=

Fc(t)——площадь поперечного сечения ребра; f* ——некоторая про извольно фиксированная координата; N；=dNjdt,

Параметр Fj, имеющий размерность площади, введен для нррмировки коэффициента X.

Будем предполагать, что на концах ребра приложены силы Pi и Рг, как показано иа рис. 3.22, поэтому продольные усилия.должны удовлетворять условиям на концах 、

№式0)=儿 М(1)=А・(3.122)

Определение площади сечения ребра по заданному закону изменения напряжений в нем. Если закон изменения напряжений 0c = NJFc в ребре задан, то правая часть уравнения (3.120) становится известной функцией и для получения решения достаточно обратить интеграл в левой части.,

В результате получим

Nc (т) = f 岂 G)Q (〃包+£ ,(3. 123)

—.Jt2X(T)J f —p(p)' 丿

о .

гдеX (т)==]/т(1 —т)■(3.124)

и Л* — произвольная постоянная;

a (/)=学%(f)尸:+ 汕(3.125)

4

На функцию R(f) накладывается единственное ограничение — она должна удовлетворять условию Гельдера |Q〃)一£2(т) | ^ 《A|f—т『,а>0, поэтому стрингеры, напряжения и температура

Рис. 3.22. Бесконечная пластина,

подкрепленная ребром переменного сечения (продольные силы PJh 3 приложены к концам ребра)

в которых изменяются скачкообразно, исключаются из обсуждения. Практически достаточно рассмотреть случай, когда функция £2(0 задана полиномом. Представим функции 仇(£)豆屮(分 в виде

■ ас^^=Р^С^, ^^ = Рт^^,(3. 126).

А=0А=0,

где Р и Рг — некоторые параметры, имеющие размерность силы; Ск и ah — некоторые заданные безразмерные коэффициенты. В рассматриваемом случае сингулярный интеграл в правой части формулы (3.123) вычисляется в явном виде. Способ его вычисления приведен в конце настоящего раздела. В результате с учетом формул (3.125) и (3.126) выражение (3,123) можем записать в виде

где 生0=-(%%+仇a + ...十0点)；.

協注=%T-S(A + 4%-l + ・・・+〃afCa) При 0<*<«-|-1； (3.128)

ac,n+i-cn< 优="^"； %=2*7(П,?：)[(加=1,2,..., 〃)：

Коэффициенты @通 во второй сумме (З.Г27) вычисляются также по формулам (3.128), если п заменить на т, а 喙 из первого разложения (3.126) заменить на ад, фигурирующие во втором разложении (3.126).

Для того чтобы найти усилие Nc в ребре, достаточно проинтегрировать формулу (3.127). Получим

⑺+2 У叫人⑴ + 斗伉⑺+А(3. 129)

Здесь Аъ В — произвольные постоянные, причем А\ получена из 力* путем добавления нулевых членов разложения (3.127) /Л(т)— неопределенные интегралы вида,

Вычислим эти интегралы. С этой целью введем новую переменную с помощью формулы

T = sin2—.

2

В результате получим [12]

cos — ■cos — ■sin2*-1sin2*-1sin汴 -^-do = 2 \ 5由2用%7% =

cos — ■

cos — ■

sin2*-1

sin2*-1

竺二120m凸土»si2*«/2) X

2s (也一1)(女一2)...(左一s)

卜*。(f 2,..)

/0(0)=a■

Перейдем к Jk(x)— —X (т) ^к (т) + -^^^' ^ a resin ]/ т (^=1,2,./.),

(3. 130)

гдемТ片丄 六叶V 01侬宀…(2Ts±!) /Т一他=2,3,…), 队丿々 1乙• 2»(々一1)(々一2)...(左一5)I

'.(3. 131)

wi(t) = 1; X(т) — функция (3.124).

Подставим полученное значение интеграла /А в формулу

и приведем ее к виду ..

М")=—х⑴ ^рМ")=—х⑴ ^рv生卅⑺+§ £以叫⑺+ та"隹 」•v生卅⑺+§ £以叫⑺+ та"隹 」•

М")=—х⑴ ^р

М")=—х⑴ ^р

v生卅⑺+§ £以叫⑺+ та"隹 」•

v生卅⑺+§ £以叫⑺+ та"隹 」•

+ 2Л a resin У t~\-В.(3. 132)

Здесь Л — новая произвольная постоянная, полученная путем объединения постоянной А\ в (3.129) .и ®сех множителей при

JQ (t)=2arcsin]/<T,

входящих в формулы (3.130). Постоянные Л и В в формулё (3.132) определяются из граничных условий (3.122) на концах ребра. Ввиду того, что функции (oft(г), определяемые формулами (3.131), ограничены, то по формуле (3.132) найдем

М(0) = 8, ^(1)-Лл + В, поэтому концевые условия (3.122) дают

• B=Pi, 4 = (2 —А)/%

после чего формулу (3.132) для продольных усилий в ребре окончательно запишем в виде

Nc“) = P、(1 ———arcsin У%^ + -^-аresin ]/t —

[Л 十 Izn +1-

(3. 133)(3. 133)Yp V 3月⑺十-V.

(3. 133)

(3. 133)

Зная усилия в ребре и напряжения, задаваемые с помощью первого разложения (3.126), можно найти площадь иоперечного сечения ребра .

尸。⑺03.134)

Отметим, что когда ребро не нагружено на концах силами (尸1 = % = 0), то оно будет иметь скругленные концы, если продольные нормальные напряжения в нем не обращаются в нуль на концах. Это следует из формул (3.133) и (3.134).

Рассмотрим частные случаи.

продольные нормальные напряжения и температура не меняются пр длине ребра. Этот случай будет иметь место, если в разложениях (3.126) положимТогда GcFJ=Pco, <р=Рт(хо・

По формулам (3.128) найдем % = % 矶=ао. Из формул (3.133) и (3.134)•

Fc (с) =(1 —— arcsin 叭)+— arcsin 歹彳一

—У^тт^ 然+日；(3.135)

Пусть, например,'пластина и ребро не нагреты (ф=О) и Рз=0. Учитывая, что Р1/ас—^с(О) и полагая FC*==FC(O), выражение для площади поперечного сечения ребра равного сопротивления запишем в виде- #

尸/Т)=尸。(О) (1 —彳 arcsin j/三一祟 1G (1 — т)}(3. 136)

В этой формуле площадь поперечного сечения ребра на конце т=0, нагруженном силой Pi, определяется вполне самой силой Р】и задаваемым напряжением Ос；户c(0)=PJOc・ Формула (3.136) показывает, что поставленная задача не всегда имеет решение, поскольку в некоторой области отрезка 0《т《1 площадь Fc(t) может стать отрицательной, если параметр Л превысит некоторое значение %*. Аналогичная картина наблюдается и в общем случае. С физической точки зрения это означает, что при %>%* заданный закон изменения напряжений по длине ребра не может быть реализован, как бы мы не подбирали закон изменения площади поперечного сечения ребра. Условие Л(т) >0. есть физическое условие разрешимости задачи. В рассматриваемом случае (3.136) ребра равного сопротивления условие Гс(т) >0 дает Х*=8/л2, или с учетом формулы (3.121) задача разрешима при условии

2л Ehl V ](3二v)(l+v> ecFc(0)•

* В общем случае параметр 入* зависит ；от характера распределения напряжений и температуры по длине ребра.

Предположим теперь, что ребро только нагрето, но не нагружено (Р] = Р2 = 0).

Из формулы (3.135) находим

尸 с (т) = —МТ(]—Т)(+•

\4с /

Как видим, ребро должно иметь эллиптическое сечение. Если подставить значение X и ф и^ формул (3.121)； то предыдущую формулу для площади 'jnoneperaoro сечения ребра можно переписать в виде

4后九/ h + Ес^сТс-аТ)Л

(3 —v)(l +v)®c【％ J '

Задача имеет решение, если квадратная скобка отрицательна. Это будет иметь место, если

^<аГ-а^Гс при %〉О,

一晋《%二 一 ат при % < 0;

параметр X, определенный формулой (3.121), равен нулю (бесконечно жесткое ребро). При отсутствии нагрева в этом случае будем иметь жесткое защемление пластины по отрезку (0,1). Решение для продольных усилий в ребре дается первыми двумя слагаемыми формулы (3.133). Оно не зависит от задаваемого характера напряжений. В случае нагретого ребра к указанному решению добавится последняя сумма в (3.133), и это будет означать, что пластина имеет заданную деформацию отрезка (0, 1) действительной оси, равную

Касательные усилия взаимодействия между ребром и пластиной'

0(Т)=—г В

во всех случаях определяются по выражению (3.127). Зная касательные усилия, можно определить напряжения, в пластине по формулам (3.12), которые в данном случае можно записать в виде

%Re \ 夕(X。)~<0，

% — % + 22r#g =

4九五 尸 叫(z —*o)2 i (1 +v)(z — *o)|°'丁"

0

Приближенное определение напряжений в ребре переменного сечення. Полученные выше результаты позволяют приближенно решать и прямую задачу — нахождение напряжений в ребре заданного поперечного сечения. Для этого достаточно коэффициенты

% полинома (3.126), аппроксимирующего напряжения в ребре, принять в качестве искомых, а площадь сечения ребраТс(т) —заданной функцией. Тогда формулу (3.133)/ можно рассматривать как функциональное уравнение для определения неизвестных коэффициентов с& Подставим в левую часть этого уравнения Nc (т)= ，二仇⑺冗依)，выразим Пс(т) полиномом (3.126) и перегруппируем слагаемые с учетом формул (3.128) для коэффициентов а&・ В результате уравнение (3.133) можно записать в более удобном для расчета виде 二

£展[笋^厶«)]=

=——Jт (1 — т) ^^^。《^衣 “)+ 修(1 ——- nrcsin М^)+

+也•arcsinM?,(3. 137),

力⑺=%-逑 1 (T) + "-232(Т)+ …+ V* (t) - «О*+r(T).

Яешив! 'приближенно уравнение- (3.137) относительно коэффициентов 以,напряжения в ребре определим по формуле (3.126). Такое решение проще всего получить, выполняя уравнение (3.137) в отдельных точках. Если рассматривается ребро, у которого на конце т=0, площадь поперечного сечения Fc(0) не равна нулю, то коэффициент Со определяется из уравнения (3.137) отдельно. Действительно, полагая в (3.137) т=0, найдем .

0 & (0)•

В этом случае уравнение (3.137) нужно выполнить в л точках р,耍0. В противном случае уравнение (3.137) нужно выполнить в (п+1)-й точке. При 尸1=尸2=0, Fc(^)=^1^^(^ — ^) и m^Q (равномерно нагретое ребро эллиптического сечения) находим точное решение уравнения (3.137):.

'尸一4=0 (无=12・・.).堂+7).

При этом для продольных усилий в ребре М(т) получим формулу

В заключение приведем некоторые результаты численных расчетов. В этих расчетах напряжения аппроксимировались полиномом десятой степени (п=10). Уравнение (3.137) удовлетворялось

в точках, полученных делением отрезка 0&р&1 на десять частей с равномерной разбивкой по координате .

о=2а resin >/;г.(3. 138)

Во-первых, было рассмотрено ребро постоянного поперечного сечения, нагруженное только иа левом конце 俨2=0).

Результаты совпали с полученными ранее в разд. 3.7 другим способом. Эти результаты для усилия в ребре показаны на рис. 3.20, где а — координата (3.138), Л — параметр (3.121). В табл. 3.6 приведены усилия NJP、(А=0) в ребре конусообразного сечения, площадь поперечного сечения которого задавалась при т>0,03 формулой

尸上硬二包+0 0]

с 0(07 4-3,33t '

и 冗=1 при р&0,03.

Таблица 36

Продольные усилия ^-103/^i (Р2=0> см. рис. 3.22) в конусообразном ребре с поперечным сечением 尸с= Vt(l—ii)/(0,07+3,33т) + 0,01 при т>0,03 и 尸с = 1

при TW&Q3 (Л — параметры (3.121), x=x//=sin2— )

入

0」

0t2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

805

619

452

316

213

140

89,2

52,4

24,3

2

753

529

346

216

132

79,8

47,9

27,1

12,3

3

714

468

282

163

93,2

54,2

31,7

17,7

Й,00

5

655

384

205.

107

57,1

32,1

18,3

х0,3

4,57

10

557

268

119

55,2

27,5

15,4

8,54

4,91

2,12

20

441

166

61,3

'27,1

12,8

7,53・

3,91

2,46

0,962

40

319

91,4

29,3

13,4

5,71

3,95

1,67

1,36

0,41

100

177

37,6

9,9

6,00

1,48

2,03

0,21

0,79

-0,016

В табл. 3.7 приведены аналогичные результаты для конического ребра

-尸С= 1 —Т，'

а в табл. 3.8 —для ступенчатого ребра К=1 при 0^а/л^0,4, 尸с = 0,5 при 0,5&а&1・ Переход от сечеиия Гс=0,5 к единице осуществлялся плавным образом. Все эти результаты относятся к не- иагретому ребру. Характер изменения продольных усилий по длине ребра иосит плавный характер и аналогичен показанному иа рис. 3.20' для ребра постоянного поперечного сечения. Максимальная разница АМпах между продольным усилием М в ребре посто-

Таблица 3.7

Продольные усилия Nc-W/Pi (Р2 = 0, см. рис. 3.22) в коническом ребре с попе-

речным сечением Fc= 1—т，(Л — параметр (3.121), T=x/7=sin2—)

0/兀

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

818

651

505

379

274

186

116

60,3

21,0

2

766

566 ■

405

281*

187

117

67,1

31,7

9,56

3

726

504

340

223

141

83,8

45,7

20,5

5,77

5

664

419

257

156 .

91,7

51,8

26,8

11,5

3,02

10

561

297

158

85,9

46,7

25,4

12,4

5,28

1,28

20

440'

186

85工

43,8

22,3

12,4

5,64

2,54

0,55

40

.314

104

42,2

22； 0

10,0

6,37

2,35

1,31

0,19

100

172

43,6

14,8

9,94

2,72

3,33

0,43

0,75

0,036

янного сечения и переменного при том же значении параметра % для единичной силы на левом конце ребра показана на рис. 3.23. Кривая / соответствует конусообразному ребру (см. табл. 3.6), кривая 2 — для конического ребра (см. табл. 3.7), кривая 3, для ступенчатого ребра (см. табл. 3.8). Максимальные отклонения имеют место в средней зоне ребра.

Таблица 3.8

Продольные усилия ^- 103/Pi (Р£=@, см. рис. 3.22) в ребре со ступенчатым поперечным селением вида Fc= 1 при 9^а/л^0,4 и £=0*5 при 0,5^а/л<1

(X— параметр (3.121), x=x//=sin2 —)

入

9/九

0,1

0,2

0,3

■ 0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

822

662

518

379

287

220

164

112

58,4

2 *

771

579

421

275

195

146

109

76,7

41,3

3

732

520

357

214

146

108

80,5

58,0

32,2

5

671

435

276

146

93,9

68,9

51； 9

38,8

22,6

10

568

314

176

77,2

47,2

35,1

26,6

21,4

13,4

20

447

200

99,2

37,6

22,3

17,-5

12,9

11,5

7,48

40

320

113

г0,7

18,1

10,1

9,15

5,73

6,46

3,69

100

175

47,9

18,2

7,83

'2,73

4,65

1,10

3,61

0,58

Рис. 3.23. Максимальная разница М^Шах между продольным усилием в ребрах постоянного н переменного сечеиия при том же значении параметра 儿(3.121) для единичной силы Pt= 1 на левом конце ребра:

f-^конусообразное ребро (табл. 3.6). 2—коническое ребро (табл. 3.7), 5—ступенчатое ребро(табл 3.8)

Вычисление интеграла (3.123). Вычислим интеграл jj VtW^^dL(3 崎

/0

для случая, когда функция ф(/) — полином,

(3.140).(3.140).<?(/)=工 с/,

(3.140).

(3.140).

*=0

с заданными постоянными коэффициентами с^.

Для этой цели применим формулу (7.105). Граничное значение канонической функции

X (z)=yz[z~a)

в данном случае будет

Х+(£)=2 /ф~7).

f …二75Y(f)或「J f fоf …二75Y(f)或「J f fоG(幻+08 (约G(幻+08 (约Это следует из формулы (7.101). Поэтому формулу (7.105) применительно к интегралу (3.139) можно записать в виде

f …二75Y(f)或「

J f fо

f …二75Y(f)或「

J f fо

G(幻+08 (约

G(幻+08 (约

(3.141)

где Gh(z), Gg(z) — главные части разложения функции Х(?)屮(z) в окрестности полюсов z亍％ и полюса в бесконечно далекой точке, CA(z) =+ …+ -人宁•「+——,(3. 142)

。8(2) = 4 +4仔+…+Д1127n.

Если функция q)(0 ——полином (3.140), то функция X(z)<p(z) будет голоморфной на всей плоскости [с вырезанным отрезком [0, 1]) за исключением точки z=oo, поэтому в формуле (3.141) Gh=0. При 8

X (z) = y Z(Z— ]) = N —仇_"^

a 1 人(2加-1)口

% =彳，％ = 2 石匸5+1)!

Значит, главная часть разложения функции q)(z)X(z) при z->oo согласно формуле (3.142) будет

08(2)=£& 庐 4

а< о= (仇。。十 62cl + .. • + bnc^y。谴=7т - S(A + 瓦％т + …+ Ьп^с^ (0<&<n +1)ac,n+l~cn

по формуле (3.141) получим

VKb=oiv 产

\k=o dt=—л >

0 t — f()fe=0

Эта формула применялась для вычисления интеграла (3.123) от функции (3.125) с учетом (3.126).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Агаян К. Л. Некоторые контактные задачи для бесконечной пластины, усиленной упругими накладками. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1972, № 5, с. 315.

■ 2. Агаян К- Л. Периодическая контактная задача для бесконечной пластины с упругими накладками. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1975, т. 28, № 3, с. 3—12. .

Александров В. М., Соловьев А. С. Некоторые смешанные плоские задачи теории упругости и их приложение к расчету погрешностей тензонзмере- ний. — Механика твердого тела, 1970, № 1, с. 122 —129.

Александров В. М., Солодовник М. Д. Эффективный метод решения задачи о взаимодействия накладки (стрингера) с упругой полуплоскостью и некоторые новые качественные результаты. — В ки.: Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, т. I, Мецниереба, Тбилиси, 1975, с. 10—17.

Андрианов И. В., Маневич Л. И. Передача усилий через упругий элемент на подкрепленную стрнигерамн ортотропную полосу. — Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1973, Л., Судостроение, 1975, с. 244—247. .

Арутюнян Н. X. Контактная задача для полуплоскости с упругим креплением. —Прикладная математика и механика,- 1968, т. 32, № 4, с. 632——646.

Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. Периодическая контактная задача для полуплоскости с упругими накладками. — Прикладная математика и механика, 1969, Т„ 33, № 5, с. 813—843.

Арутюнян Н. X., Мхитарян С. М. К контактной задаче о двух полубес- конечных пластинах, соедниеиных полубескоиечиой упругой накладкой. — В кн.:

Механика деформируемых тел н конструкций, посвященном 60-летию академика Ю. Н. Работиова. М., Машиностроение, 1975, с. 44—51.

Векуа И. Н. О интегро-дифференциальиом уравнении Прандтля. — Прикладная математика и механика, 1945,、т. 9, с. 143—150.

Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Изд. 2-е, перераб. н дополн. М., Физматгиз, 1963. 639 с.

Голубев В. В. Теория крыла аэроплана конечного размаха. — Труды НАГИ, 1931, № 108, с. 1—350.

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Изд. 4-е, М., Фнзматгиз, 1962. 1100 с.'

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Передача усилий от стрингера переменного сечения к пластине.——Проблемы прочности, 1971, № 9, с. 71—74.

Гуляй К- Г. О двух плоских контактных задачах для клина с накладками. —Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1972, № 5, с. 46«-56.

Гулян К- Г. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к двум клиновидным упругим пластинам. — Доклады АН Арм. ССР, 1974, т. 59, № 4, с. 226—233.

Гулян К. Г. К решению двух контактных задач о передаче нагрузки от полубесконечиого стрингера двум клиновидным упругим пластинам. — Из8. АН Арм. ССР. Механика, 1976, т. 29, № 6, с. 3—18.

Гурса Э. Курс математического анализа. М.—Л., ОНТИ, 1936, т. 2, 563 с:

Калайдмя А. И. О напряженном состоянии в пластинах, усиленных ребрами жесткости. — Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, № 3, с 538-543.“

Калаидмя А. И. Математические методы двухмерной упругости. М., Наука, 1973. 303 с.

Канторович Л. В., Крылов В. И, Приближенные методы высшего анализа. Изд. 5-Е, М.—Л.» Физматгиз, 1962. 708 с.

Кочанов Ю- П. Напряженное состояние плоской переборки, подкрепленной двумя, стойками. — Изв. вузов. М., Машиностроение, 1963, № 8, с. 70—84.

Ковнермстов Г. Б. Короткая балка на границе упругой полуплоскости.— Сопротивление материалов и теория сооружений. Респ, межвед. иаучно-техиич. сб, 1976, № 28, с. 42—51.

Колоссе Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, тип. К- Маттнсеиа, 1909. 187“

Ларьким Ю. И. О передаче нагрузки от ребра конечной длины упругой пластине.——Строительная механика и расчет^ сооружений, 1968, № 5, с. 18—21.

Ларькни Ю. И. К определению контактных усилии взаимодействия между продольно нагруженным стержнем (ребром) и упругой пластиной. — Ученые записки Мордовского университета, 1969； вып. 73, ч. 2, Саранск, с. 6—26.

Ларькин Ю. И. О взаимодействии между коротким ребром и стеикой металлической балки при действии сосредоточенной силы на пояс.——В кн.: Строительные конструкция и строительная механика, ч. I. Саранск, 1977, с. 3—31.

Мартынович Т. Л., Юрмиец В. Е. Упругая изотропная полубесконечная пластина с несимметрично подкрепленным краем.—Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1976, № 3, с. 91—96.

Меерович И. И. tfaпряжения в тонкостенных конструкциях вблизи креплений. —Труды ЦАГИ, 1940, № 476, с. 1—32.

Морарь Г. А. Контакт стрингера конечной длины с упругой пластиной.— В кн.： Прочность, деформатнвиость и устойчивость строительных конструкций. Кишинев, Штиинца, 1977, с. 29—35.

Морарь Г. А., Попов Г. Я・ К контактной задаче для полуплоскости с упругим конечным креплением. — Прикладная математик^ и .механика, 1970, т. 34, № 3, с. 412—421.

Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Изд. 5-е, исправленное и дополненное. М., Наука, 1966, 707 с.

Мхитарян С. М., Гуляй К. Г. К решению двух контактных задач для клина с упругими креплениями. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1978, т. 31, № 4, с. 3—20.

Овсепяи Л. О. Периодическая контактная задача для анизотропной полуплоскости с двумя упругими накладками. — Ученые записки Ереванского государственного университета. Естественные науки, 1972, № 3, с. 15—24.

Раскии Ю. И. Метод расчета судовых перекрытий на нагрузки, действующие в их плоскости и передаваемые на обшивку через стойку переменной жесткости. — Труды Ленинградского кораблестроительного института. 1962, вып. 40, с. 71 —81.

Рыбаков Л. С., Черепанов Г. П. Дискретное взаимодействие пластины с полубесконечиым стрингером. — Прикладная математика и механика, 1977, т. 41, №2, с. 322—328.

Свркисяи В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Изд-во Ереванского государственного университета, Ереван, 1976. 534 с

Саркисян В. С-, Авансяи Р* Г. Об одной контактной задаче для упругой полосы усиленной бесконечным стрингером.——Доклады АН Арм. ССР, 1977, т. 64, № 1, с. 23—29.

Свркисяи В. С., Аваиесяи Р. Г. О передаче нагрузки от бесконечного стрингера к двум защемленным упругим полосам. — Доклады АН Арм. ССР, 19 77, т. 64, № 36, с. 188—(92.

Саркисян В. С, Мхитарян В. Г., Овсепяи Л. О. Передача нагрузки от степенно упрочняющейся иакладки к деформируемому основанию.——Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1975, 28, № 5, с. 14—30.

Саркисян В. С., Мхитарян В. Г., Овсепяи Л. О. Периодическая задача для полуплоскости со степенно упрочняющимися накладками. — Ученые записки Ереванского государственного университета, 1975, № 2, с. 32—41.

Саркисян В. С., Овсепяи Л. О. Контактная задача для анизотропной полуплоскости с упругими креплениями. — Доклады АН Арм. ССР, 1971, т. 52, № 5, с. 73—280.

Саркисян В. С., Овсепян Л. О. О двух контактных задачах для анизотропной полуплоскости с упругими накладками.——Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1973, т. 26, № 1, с. 3—14.

Толкачев В. М. Передача нагрузки от стрингера конечной длины к бесконечной и полубесконечной пластине. — Доклады АН СССР, 1964, т. 154, № 4. с. 806—808.

Тюряхии А. С. О расчете тонкостенных металлических стержней при воздействии местных продольных нагрузок, — Ученые записки Мордовского университета, 1968, вып. 65, с. 6-—49.

Уманский А, А., Бляхер Б. С. О совместной работе стрингеров и обшивки. —Технические заметки ЦАГИ,门937, № 125, с. 1—22. *

Флейшман Н. П. Некоторые обобщенные задачи для пластин н тонких плит. — В кн.: Концентрация напряжений. Кнев, Наукова думка, 1968, вып. 2, с. 209—217. ' *

Achenbach J. D. Longitudinal force an embedded filament —Appl. Scient. Res., 1Й58, 19, N 6, p. 412—425.

Acic Merko. Utiaj oslonackin pojacanja na stanje napona u zidnim nosa- cima. — Izgradnja, 1976, 30» N 7, p. 51—58.

. Alblas J, B., Kuypers W. J. J. On the diffusion of load from a stiffener into an infinite wedgeshaped plate.—Applied scientific Research, 1965—1966, A 15, N 6, p. 429—439.

Argon A. S. Stresses in and around slender elastic rods and plate lets of different moduls in an infinite elastic medium under uniform strain at infinity.— Fibre Sci. and Technol., 1976, 9, N 4, p. 265—275.

Arutunyan N. K・,Mkhitaryan S. M. Some contact problems for a semi-plane with elastic stiffeners. — Trends in elasticity and thermoelasticity. Witold No- wacki Anniversary Volume. Groningen, Wolters—Noordhoff publishing, 1971, p. 3—20.

Benscoter S. U. Analysis of a single stiffener on an infinite sheet.—Journal of Applied Mechanics, 1949, vol. 16, N 3, p. 242—246.

Benthem J. P. On the diffusion of a load from a semi-infinite stringer bonded to a sheet. — Contrib. Theory Aircraft Struct. Delft, 1972, p. 117—134.

Bloom J. M. The effect of a riveted stringer on the stress in a sheet with a circular cutout. — Transactions ASME, 1966, E33, N 1, p. 198—199.

Brown E. H. The diffusion of load from a stiffener into an infinite elastic sheet. — Proceedings of the Royal Society. Series A, 1957, vol. 239, N 1218, p. 296—310.•

Budiansky B・，Wu Tai Те. Transfer of load to a sheet from a rivetattached stiffener. — Journal of Mathematics and Physics, 1961, vol. 40, N 2, p. 142—162.

Buell E. L. On the distribution of plane stress in a semi-infinite plate with partially stiffened edge. 一 Journal of Mathematics and Physics, 1948, vol. 26, N % y. 223—233.

Bufler H. Zur Theorie diskontinuierlicher und kontinuierlichter Verbindun- gen. — Ingenieur—Archiv, 1968, 37, N 3, S. 176—188.

Garleman T. Sur la resolution de certaines equations integrates. Aktiv for Jiiathematik, astronomi och fysik, 1922, 16, N 26, p. 1 —19.

Fan H. J., Muki R. Load transfer from a web to two parallel sheets.— AppL ScL Res., 1971, 25, N 1—2, p. 1—25.

Goodier J. H., Hsu C. S. Transmission of tension from a bar to a plate.— Journal of Applied Mechanics, 1954, vol. 21, N 2, p. 147—150.

Koiter W. T. On the diffusion of load from a stiffener into a sheet. — The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1955, vol. 8, part 2, p. 164-178.

Le Fevre E* L, Mudge D. R. I., Dickie I. E. An analysis of the distribution of tension in a bor attached to a plate.—Journal of Atrain Analysis, 1966, vol. 1, N 5, p. 389—393.

Lubkin J. L.f Lewin L. C. Adhesive shear flow for an axially—loaded, finite stringer bonded to an infinite sheet. — Quarterly J. Meeh, and AppL Math., 1970, 23, N 4, p. 521—533.

Lukasiewicz S., Borajkiewicz W. Optimum desing of a bar transmitting a load into a sheet. — Archiwum budowy maszun., 1971, N 18, N 1, p. 21—31.

Melan ЕГ Ein Beitrag zur Theorie geschweisster Verbindungen. — Ingenie- ur—Archiv, 1932, Bd. 3, Heft 2, S. 123—129.一

Muki И., Sternberg E. Transfer of load from an edge stiffener to a sheet a reconsideration of Melan's problem.—Journal Applied Mechanics, 1967, 34, p. 67*9—686. (Русский перевод: Црнклад1ная механика.——Труды Американского общества инженеров—механиков, Серия Е, 1968, 35： № 4. с. 124—135k

Muki R・，Strenberg E. On the diffusion of load from a transverse tension bar into a semi-infinite elastic sheet. — Transactions of the ASME.1968, E35, N 4, p. 737—746.、

Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von Tragflugeln.— Luftfahrtfdrschung, 193& Bd. 15, N 4, S. 153—169.•

Pfau P. Kraftiibertragung zurischen zwei Scheibem von jeweils konstanter Dicke, die durch punktgormige Haftstellen verbinden sind (Kraftiibertragung zwi- schen zwei punktgeschweissten Blechen.)——Wissenschaft Zeischrift Technology Hochschule Karl-Marx-Stadt, 1965, 7, N 2, S. 1—15.

Pfan P. Kraftiibertragung zwischen zwei punktgeschweissten Blechen (Zahlenbeispiele). — Wissenschuft Zeischrift Technology Hochschule Karl-Marx- Stadt, 1966, 8, N 3, S. 161—164.

Reissner E. Note on the problem of the distribution of stress in a thin stiffened elastic sheet. — Proceeding of the National Academie of Sciences, 1940, vol. 26, N 4. p. 300—305.

William W. L, Chu and Conway H. D. Bond stresses in compositeswith overlapping fibers. — Int. J. Meeh. Sci., 1970, 12, p. 761—774.

Глава 4

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА УПРУГИХПЛАСТИН

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В гл. 4 выводятся основные уравнения теории изгиба пластин, Это классические уравнения теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа, теории, учитывающей деформации поперечного сдвига и обжатия. С целью использования теории пластин в контактных задачах уравнения выведены для случая, когда к поверхности пластин приложены ие только нормальные поверхностные усилия, но и касательные. Обсуждаются способы учета эффекта поперечного обжатия с целью построения корректных решений контактных задач.

В разд. 4.2 записаны основные уравнения теории упругости — уравнения равновесия, соотношения Коши и Гука.

В разд. 4.3 дай вариант классических уравнений теории Кирхгофа.

В разд. 4.4 в рамках теории Кирхгофа применительно к напряжениям выводится закон изменеиня смещений по толщине пластины путем интегрирования соотношений закона Гука. Такнм путем может быть учтен эффект поперечного сдвига и обжатия, который весьма важен прн решении контактных задач. Подобный способ учета поперечного обжатия известен в литературе. Он использован В. М. Блохом н С. Я. Цукровым [10], Э. И. Григолюком н В. М. Толкачевым [15], С. Н. Карасевым н Ю. П. Артюхиным [16]. В ряде публикаций эффект поперечного обжатия интерпретируется как сминание некоторого поверхностного слоя (пусть даже фиктивного). Это смииаиие может быть следствием шероховатости поверхности, реального обжатия материала пластины под штампам, если пластину рассматривать с позиции теории упругости .и т. д. Введение упругого слоя при рассмотрении контактных задач теории упругости предложено еще И. Я. Штаер- маном [20]. Такая модель обсуждалась И. А. Биргером при рассмотрении контакта стержней [6], пластин н оболочек [7], М. В. Блохом [8, 9, 10, 11] — для пластин и при осесимметричном контакте оболочек, Г. Я. Поповым [18] — при анализе интегральных уравнений контактных задач для тонкостенных тел.

В разд. 4.5 даиа модификация уточненной теории типа С. П. Тимошенко—— Е. Рейсснера с целью приспособления ее для корректной постановки н решения контактных задач. Смысл модификации состоит в учете (в рамках этой теории) эффекта поперечного обжатия и более аккуратного учета эффекта поперечного сдвига, иа который накладывает отпечаток поперечное обжатие. Это делается интегрированием соотиошеиий закона Гука по толщине пластины, в результате чего находится закон нзменення смещений по толщине пластины. Установлены также естественные граничные условия для контактных напряжений на границе зоны контакта. Полученные уравнения могут быть использованы и при расчете слоистых пластин с учетом эффекта сдвига н поперечного обжатия материала слоев. Следует отметить, что основные (интегральные по толщине) уравнения теории ие зависят от того, учитывается или ие учитывается эффект поперечного обжатия. Поэтому соотношения обобщенного закона Гука, приведенные в разд. 4.5, в точности совпадут с приведенными в монографии С. П. Тимошенко [30], если считать, что к пластине приложены только нормальные поверхностные усилия. Что касается обобщенных уравнений равновесия, то они, как известно, вообще ие зависят от каких-либо гипотез, теории пластин. Результаты четвертого раздела взяты из статьи Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [14], этапы развития теории типа С. П. Тнмошенко обсуждены в начале разд. 4.5.

В разд. 4.6 дай вывод разрешающих уравнений теории типа С. П. Тимошенко для случая, когда к поверхности пластины приложены ие только нормальные, но и касательные усилия. Этот вывод заимствован из книги С. П. Тимошенко [30].

В разд. 4.7'дай типовой пример решения контактной задачи в трехслойной пластине для определения касательных усилий взаимодействия между слоями. Задача является характерной. Если ее решить в рамках теории С. Жермен—— Лагранжа—Кирхгофа, то касательные усилия взаимодействия между слоями во всей области контакта будут равны нулю за исключением концов зоны контакта, где появляются касательные сосредоточенные силы. Эта же картина будет иметь место, если вместо теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа использовать теорию, учитывающую эффект поперечного сдвига, без учета эффекта поперечного обжатия, так как в данной задаче усредненный по толщине сдвиг равен нулю. Если взять модифицироваииу1д теорию изгиба пластин, данную П. Нагди [24], в которой учитывается поперечный сдвиг и обжатие, то получается такое же некорректное решение, как н по теории С. Жермеи—Лагранжа—Кирхгофа. Этот, казалось бы, парадокс можно объяснить тем, что в варианте теории П. Нагди [24] вводится априори закон изменения перемещений по толщине пластины, что ие позволяет повысить порядок разрешающих уравнений для контактных усилий. Более гибкой для данной контактной задачи оказывается теория С. А. Амбарцумяна [4]. По этой теории для касательных контактных напряжений получается дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого дает закон распределения касательных напряжений по длине зоны контакта. Однако теория С. А. Амбарцумяна ие позволяет уловить эффект спада касательных напряжений в непосредственной близости от концов зоны контакта. Вариант модифицированной теории, изложенный в разд. 4.5, "позволяет получить корректное решение данной задачи. Разрешающее дифференциальное уравнение для касательных напряжений в зоне контакта имеет четвертый порядок и позволяет иайтн закон распределения напряжений в зоне контакта, причем на конце зоны контакта касательные напряжения обращаются в нуль. Следует отметить, что если в рамках варианта, изложенного в разд. 4.5, ие учитывать изменение прогиба по толщине пластины нри выводе закона изменения тангенциальных смещений по толщине, то решение задачи разд. 4.7 все же можно получить. Получится вполне определенный закон кз： менеиня контактных касательных напряжений по длине зоны контакта. Однако порядок дифференциального- уравнения для контактных напряжений будет второй и напряжение ие будет обращаться в нуль на концах зоны контакта, а будут иметь там максимальное значение. Таким образом, неучет поперечного обжатия приведет к эффекту, получаемому согласно теории С. А. Амбарцумяна [4].

В заключение отметим, что результаты разд. 4.7 сравнивались с аналогичными результатами, полученными прн решении подобной задачи А. Мирко [21] методом сеток иа основе уравнений плоской теории упругости. Совпалёйие весьма хорошее. Содержание разд. 4.7 опубликовано в работе Э. И. Грнголюка и В. М. Толкачева [14].

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИИЗОТРОПНОГО ТЕЛА

Исходные уравнения запишем, имея в виду использование их при выводе уравнений прикладных теорий пластины. Оси ху расположим в срединной плоскости пластины, ось г направим по нормали, как показано на рис. 4.1.

=0,=0,Выпишем уравнения равновесия произвольного малого элемента

=0,

=0,

(4J)

Рис. 4.2. Положительное направление напряжений н перемещений бесконечно малого элемента телаРис. 4.2. Положительное направление напряжений н перемещений бесконечно малого элемента телаРис. 4.1. Элемент пластины с положительным направлением осей координатРис. 4.1. Элемент пластины с положительным направлением осей координат

Рис. 4.2. Положительное направление напряжений н перемещений бесконечно малого элемента тела

Рис. 4.2. Положительное направление напряжений н перемещений бесконечно малого элемента тела

Рис. 4.1. Элемент пластины с положительным направлением осей координат

Рис. 4.1. Элемент пластины с положительным направлением осей координат

Положительное направление нормальных вх, о?, аг> касательных тху, Тяг, Туг напряжений и ориентация осей координат показана на рис. 4.2.

Кинематические соотношения Коши между ртносительными деформациями £к, еу, &, ?ху, ?xz, Туг и перемещениями произвольной точки пластины «О, Uo, ^0 н就вют вид

不，z—77，

v — 0"0丄烈 v 一也丄也2力

У也一万丁十"'- 0Z 十

a dz ду

Положительное направление перемещений и0, и。，切。дано на рис. 4.2.

Соотношения закона Гука будут

%=毎(%—V% _ vW，% =石(% — V%-7%),%=毎(%—V% _ vW，% =石(% — V%-7%),

%=毎(%—V% _ vW，% =石(% — V%-7%),

%=毎(%—V% _ vW，% =石(% — V%-7%),

где £, v — соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига, равный 歹

0 =0 =Е2 (1 +”)Е2 (1 +”)

0 =

0 =

Е2 (1 +”)

Е2 (1 +”)

Рис. 4.3. Положительное направление приведенных усилий н моментов в пластине

Удельные нормальные Тх, Ту, сдвигающие Тху = Тух, поперечные Qx, Qy усилия и удельные изгибающие MXt Му и крутящие МХу=МуХ моменты имеют вид (п ——толщина пластины)

Л/2Л/2

7X=fo/z, tу=^ Gydz, 丁冲=丁

-Л/2-Л/2

夕2Л/2

Qx= J Tjc/Z，Qy— f

-Л/2-ft/2

2Л/2

^xzdzt Л4у=j 0*2^2, MXy=MyX = C xXyZdz,

—Л/2， — Л/2 .—Л/2

Положительное направление усилий и моментов показано на рис. 4.3..

4・3・ ТЕОРИЯ КИРХГОФА

В рамках теории Кирхгофа вводятся гипотезы

也=0，Ym*0，Yyz=O・(4.4)

Математически это означает, что к системе уравнений теории упругости добавляется три новых уравнения (4.4). Система становится переопределенной, и поэтому нужно отбросить также три уравнения. Отбрасываются соотношения закона Гука для деформаций (4.4). Кроме этого, в теории Кирхгофа считается, что соотношения закона Гука (4.3) для ех и гу не содержат слагаемого voz. Это допущение нельзя считать принципиальным, так как оно не вносит новых уравнений в исходную систему теории упругости. Итак,

。尸昌像十嚼)，~=昌當+嚼)•(4 5)

Интегрируя соотношения Коши (4.2) с учетом гипотез (4.4), получим

加Q = ®(% д), ^0=〃一 z у-, р0 = 11 —z^-・(4. 6)

Таким образом, прогибы не меняются по толщине пластины и равны прогибам срединной плоскости. Во вторЪм и третьем соотношении (4.6) u, V ——перемещения срединной плоскости пластины. Из этих соотношений видно, что точки, лежащие на нормали к не- деформированной поверхности, остаются на нормали к деформированной (гипотеза прямой нормали)..

Рнс. 4.4. Положительное направление нормальных д^ н касательных д$, ^^ усилий, приложенных к поверхностям пластины z— =±九/2

Проинтегрируем соотношения (4.5) и соотношение

по толщине пластины с щенного закона Гукапо толщине пластины с щенного закона Гукаучетом (4.6). Получим соотношенияучетом (4.6). Получим соотношенияобоб-обоб-容=8後容=8後嘲，…嘲，…dv дуdv ду7 一 8(1 — V)I да J7 一 8(1 — V)I да J他一啮他一啮），网=-0），网=-0< даdv \dx丿，/02切< даdv \dx丿，/02切(4.8)(4.8)也尸“（l—v）也尸“（l—v）.B=.B=EhEh,0 =,0 =025 \、V ,0*2丿七九3025 \、V ,0*2丿七九3(4.9)(4.9)12(1 —v2)12(1 —v2)飞=0(嘗+幾)(4・7)

по толщине пластины с щенного закона Гука

по толщине пластины с щенного закона Гука

учетом (4.6). Получим соотношения

учетом (4.6). Получим соотношения

обоб-

обоб-

容=8後

容=8後

嘲，…

嘲，…

dv ду

dv ду

7 一 8(1 — V)I да J

7 一 8(1 — V)I да J

他一啮

他一啮

），网=-0

），网=-0

< да

dv \

dx丿，

/02切

< да

dv \

dx丿，

/02切

(4.8)

(4.8)

也尸“（l—v）

也尸“（l—v）

.B=

.B=

Eh

Eh

,0 =

,0 =

025 \、

V ,

0*2丿

七九3

025 \、

V ,

0*2丿

七九3

(4.9)

(4.9)

12(1 —v2)

12(1 —v2)

6%6%Формулы (4.5) и (4.7) теперь можно записать в виде

6%

6%

Т* 丄 6М*

где .где .(4- Ю)

где .

где .

(4.Н)

Будем считать* что На поверхностях пластины z= 土〃/2 приложены касательные и нормальные поверхностные усилия ?丰,夕^ , g#・ Граничные условия для напряжений на этих поверхностях будут

%=0公，T*z=0#, ^yZ=Qy при z- +h!2.(4.12)

Знак плюс относится к поверхности z= +力/2, минус ——к z= —Л/2. Положительное направление усилий показано на рис. 4.4.

'В дальнейшем будем пользоваться обозначениями,

分=才一石，加/=^•(疗 + 行)，J=x,y,z (4.13)

и безразмерной координатой (4.11).

Если проинтегркровать уравнения равновесия (4.1) по всей толщине пластины с учетом (4.12), а затем умножить первые два

уравнения на z и также проинтегрировать по всей толщине, полу* чим обобщенные уравнения равновесия в усилиях и моментах

дхдудудх"

(4.14)

дх

ду дх*

(4.15)

旦+®+%=о.

Вид этих уравнений, очевидно, не зависит от каких-либо гипотез.

Те же уравнения равновесия (4.1) с учетом (4,14) и (4.15) дадут закон изменения напряжений тхг, тУ2 и az по толщине пластины

= ■+登(一1+*2)+柒 a-/)，

%=理券(一1+3門+堂(1-/2),(4.16)

Дифференцируя первое уравнение (4.15) по х, второе по у и складывая, с учетом третьего уравнения и соотношений (4.9), получим разрешающее уравнение для прогиба

УЧЕТ СДВИГА И ОБЖАТИЯ

Пренебрежение в рамка» теории Кирхгофа деформациями ло-' перечного обжатия и сдвига, т. е. введение гипотез (4.4), наложило отпечаток на вид обобщенных соотношений закона Гука (4.8), (4.9)* привело М линейному закону распределения напряжений (4.10). Распределение касательных напряжений 工值,туг и нормальных поперечных напряжений аг при этом получило вид (4.16). Можно вообще не вводить каких бы то ни было исходных кинематических гипотез, а задать априори линейный закон (4；10) изменения напряжений。力 ву, тху по толщине пластины, как это делается в теории Э. Рейсснера. Тогда нарушатся соотношения обобщенного закона Гука (4.8), (4.9). Они будут иметь другой вид. Что касается

закона изменения напряжений тхг> т” и ог> то он по-прежнему будет иметь вид (4.16). В этом случае мы бы имели право ввести напряжения (4.10), (4.16) в соотношения закона Гука для этих напряжений и проинтегрировать их. Тем самым можно получить закон изменения перемещений по толщине пластины и, значит» учесть поперечное обжатие и сдвиг. В рамках теории Кирхгофа такая операция, вообще говоря, является незаконной, так как получится несоответствие с соотношениями обобщенного закона Гука (4.8), (4.9)・ Однако иногда можно пойти на такое несоответствие и выполнить указанную операцию, считая ее как бы следующим приближением. Это иногда целесообразно делать при решении контактных задач» так как можно устранить некоторые формальные противоречия. Итак, проинтегрируем по толщине пластины соотношения закона Гука

dz £ J * 孤 dz 丁 G

(4J7)(4J7)

(4J7)

(4J7)

+抬磐+鲁"弋）卜鳶叵+»+%检+佝斗（4.+抬磐+鲁"弋）卜鳶叵+»+%检+佝斗（4.

+抬磐+鲁"弋）卜鳶叵+»+%检+佝斗

（4.

+抬磐+鲁"弋）卜鳶叵+»+%检+佝斗

（4.

Из первого соотношения найдем 5о, затем из второго и третьего

«О, Do：

%=w+费惜/+普%《2_+4"(警

+崇儀3 +硯子+十白也+他）叩（4•19）

Vo получается из (4.19) заменой 以 на и н индексов х на у.

В формулах (4.18), (4.19) u, w, и ——перемещения срединной плоскости пластины, t — 2z/'h. Первая квадратная скобка в (4.18) характеризует вклад в прогиб напряжений аг, вторая — вклад от Ох + сту. Вклад от (Ух+^у обычно бывает мал в сравнении с вкладом от(уг. В (4.19) первая квадратная скобка характеризует вклад в перемещение и0 касательных усилий тх2, остальное слагаемые — от перемещения w0.

Рассмотрим в качестве примера случай, когда пластина изгибается только под действием нормальных усилий либо qty либо gf (см. рис. 4.4). Полагая в формуле (4.18) 0^=0?=

~тх=^ту=Тх = Ту = О и выразив моменты Мх и Му через прогиб из соотношений (4.9), получим для перемещений поверхностей пластины /= ± 1 представление

叫,(土告)一®=±^ 卷君 + 肃у V2^.(4. 20)

Знаки плюс и минус относятся соответственно к верхней и нижней поверхности пластины. Второе слагаемое в правой части формулы (4.20) при рассмотрении контактных задач обычно можно не учитывать, так как оно мало. Нагрузки ^ и 夕工 при рассмотрении контактных задач выполняют роль нормальных реакций взаимодействия.

МОДИФИКАЦИЯ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИДЛЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

Необходимость учета деформаций поперечного сдв-ига при изгибе балок была указана С. П. Тимошенко во второй части его «Курса теории упругости», изданного в 1916 г. [19]. Им была* введена поправка к кривизне оси стержня, обусловленная перерезывающей силой. Аналогичное уточнение предлагалось и в теории пластин [30]. Эту те你ню в настоящее время принято называть теорией типа Тимошенко.

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений oXt。廿，хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений тхг и туг и кубический закон для напряжений az, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26]*получил разрешающие уравнения: уравнение для прогиба и для функции 也 которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает, способ, преобразования системы уравнений. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э. Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано.J

Перечисленные работы характерны тем, что рассматривается случай, когда пластина нагружена только нормальными усилиями, прогиб считается постоянным по толщине, закон изменения тангенциальных перемещений по толщине из теории не следует.

Модификация варианта теории Э. Рейсснера [25] для случая произвольных нагрузок, учитывающая поперечное обжатие, разви- 191

та П. Нагди [24], который постулирует линейный закон изменения перемещений и, и и напряжений。工，р?, %ху по толщине пластины, а прогиб же задает квадратной параболой. Уравнения получены для оболочек с помощью вариационного соотношения Э.Рейсснера [28] и для случая пластины по существу совпали с рейсснеровскими. Поперечное обжатие учитывается отдельной формулой. В 1975 г. Э. Рейсснер [29] дает модификацию теории. Задав на первом этапе линейный закон изменения напряжений oXt 5b тХу по толщине пластины и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для поперечных касательных напряжений при условии, что прогиб 初 не меняется по толщине пластины. При этом получается кубический закон изменения перемещений % и по толщине .пластины. Подставляя эти перемещения в соотношения закона Гука для напряжений(ух, о?, ТхУ, он получает следующее приближение для этих напряжений: квадратичный закон изменения по толщине. При этом соотношения обобщенного закона Гука для моментов, полученные.интегрированием закона Гука для напряжений, имеют такой же вид, как и в работе [25].

Известно, что теория типа С. П. Тимошенко, как и теория Кирхгофа в контактных задачах приводит к формальным противоречиям при определении реакций, хотя в ряде случаев и верно отражает напряженное состояние [15]. Эти противоречия связаны с искажением действительного характера изменения реакций вблизи краевых участков зон контакта. То же относится и к варианту П. Нагди [24]. Для устранения указанных противоречий желательна модификация теории. Применительно к расчету клеевых соединений такая модификация дана Ю. П. Артюхиным [5] в 1975 г. в предположении, что клеевой слой не сопротивляется изгибу и растяжению. .

Ниже дан вариант теории, не приводящий к противоречиям при решении контактных задач. _

Как и в разд. 4.3, рассмотрим общий случай, когда на поверхностях пластины приложены поверхностные усилия '*, ^,夕^ (см. рис. 4.4). Граничные условия на.этих поверхностях будут иметь вид (4.12). Будем точно выполнять уравнения равновесия трехмерного тела (4.1), а закон распределения перемещений по толщине пластины определим путем интегрирования соотношений закона Гука (4.17). В теории Э. Рейсснера эти соотношения выполняются в интегральном по толщине пластины смысле. Как и в теории Э. Рейсснера, будем исходить из линейного закона изменения напряжений (4.10). Закон изменения напряжений тХ2, туг, ог полученный интегрированием уравнений равновесия (4.1), с учетом (4.10) будет иметь вид (4.16). Закон изменения перемещений по толщине пластины, полученный интегрированием соотношений (4.17), будет иметь вид (4.18), (4.19), где и, и, w — перемещения срединной плоскости. В рамках данного раздела и в дальнейшем при использовании уточненной теории через 以,и, w будем обозначать обобщенные перемещения, смысл которых будет ясен ниже.

Перемещения же срединной плоскости будем обозначать через и, V, W.■

Соотношения обобщенного закона Гука и граничные условия получим из вариационного уравнения Кастилиано. Если считать выполненными соотношения закона Гука (4.17), вариационное уравнение Кастилиано для пластины как трехмерного тела будет иметь вид

Y［专(％.— V% _ V%)—翁］6% + ［-у & ~ V% — V%)—嘗 р% 十

+-(部一察)］玩№}右+ \［(% 一涼)6Х + ®。一加)犷十

+ (g -.疯)8Z］ dQ=0,(4. 21y

где т~ объем; Q — поверхность пластины; и0*, и。*, w0* — заданные на поверхности перемещения; Х У, Z — компоненты поверхностных усилий,

,X=»+“n + f

■ у —_. (4；. 22)

ZupJ+r/i+o#;■ г

т, п ——направляющие косинусы внешнёй нормали к поверхности* с осями х, g, z.

Отметим, что из' вариационного принципа Кастилиано не вытекает закон Гука (4.17), если задан какой-то определенный закон изменения напряжений по толщине. Для этого нужно дать полный произвол, в изменении напряжений, чего .нет в рассматриваемой теории. Однако с другой стороны, выполнение уравнений (4.17) нёх противоречит уравнению Кастилиано. Оно лишь будет иметь упрощенный вид (4.21).'亠■ ■ ■ ■・

Из. (4,21), согласно формулам (4.10), приравнивая нулю мно жители при произвольных вариациях.усилий； и моментов, получим!, следующие интегральные по толщине пластины соотношения зако〃, на Гука:-

3导證+ V鄒士 g若偿+紛］, 3昌偌+噴卄七回+^瞥+噺］,

T^=Oh{^(4・2以

也=嘴+嘲+離謳T嚎+曹)卜 〃产"像+噥Н缶［%+专管+事卜(£24)

73136■■'■B9B;

(4.25)(4.26)(4.25)(4.26)Л2 Г 4 дт2 ^F 蒞 ~дхЛ2 Г 4 дт2 ^F 蒞 ~дхЗЛ d ldqx - ^\]- 20 дх I дх ду /JЗЛ d ldqx - ^\]- 20 дх I дх ду /J卜誥*(〃+"卜誥*(〃+"(4.27)(4.27)

(4.25)

(4.26)

(4.25)

(4.26)

Л2 Г 4 дт2 ^F 蒞 ~дх

Л2 Г 4 дт2 ^F 蒞 ~дх

ЗЛ d ldqx - ^\]- 20 дх I дх ду /J

ЗЛ d ldqx - ^\]- 20 дх I дх ду /J

卜誥*(〃+"

卜誥*(〃+"

(4.27)

(4.27)

Здесь введены обозначения

и=~ ^ ^о^» ^ - ~ ^ %或，

匕=u^dt, ?y=— \ v^dt,

где и и V — средние по толщине пластины перемещения;屮笈 н 屮廿一 средние по толщине пластины углы поворота сечения.

Подставляя перемещения 般 из формулы (4.19) в (4.25), получим связь между средними по толщине перемещениями и и перемещениями срединной плоскости пластины .

Аналогичное соотношение для и получится заменой 初 на 行 н х на у. Подставим теперь 助 непосредственно из закона Гука (4.17) в первую формулу (4.26). Будем иметь

гдеад=-|- ^ 7W0(l —t2)dt(4. 28)

-—средний по толщине прогиб.

Если подставить в предыдущую формулу для 屮工 и аналогичную формулу для(pv напряжения rXz и тУ2 из формул (4.16), получим

dw I 6 (с 1\

" 5GM6/(4.29)•

По формуле (4.28) с учетом (4.18) определим связь между средним по толщине прогибом з и прогибом срединной плоскости w

加=爲十■阳z+旦(业生+也^{мх+МА

16-70£ L ^ \ дх ду )110£Л к 5 W

(4.30)

Чтобы получить связь между перемещениями 〃о, а0, w0 произвольной точки по толщине пластины со средними перемещениями “，и, w, нужно исключить й, w из соотношений (4.19) и (4.18) с по-

мощью формул (4.27) и (4.30).Выпишем формулы для перемещений поверхностей пластины. Они используются для условий стыковки п-ри решении контактных задач

/(+1)=〃+2(红+绢干上也一&丄弧+ 2G \ 6 - Л /2 дx 4Е 力 dx -

+且弘亠丄色(如「^\1 +

一 70 dx 亠 105 дх \ дх '.ду /J'

(4. 31)(4. 31)+^[专撷％+G+^右此+m力

(4. 31)

(4. 31)

八-，-2E 1 140E 1 140E V дх 1 dy 丿一

一 24Е〈 d% dy 丿-2E一 24Е〈 d% dy 丿-2E登(m.+ 餌)];登(m.+ 餌)];

一 24Е〈 d% dy 丿-2E

一 24Е〈 d% dy 丿-2E

登(m.+ 餌)];

登(m.+ 餌)];

верхний знак относится к поверхности пластины f= +1, нижний ―• к поверхности /= —1. Слагаемые с одним знаком характеризуют симметричную часть перемещений, слагаемые с двойным знаком— кососимметричную.\

Остановимся на естественных граничных условиях, которые вытекают из условия равенства нулю поверхностного интеграла в ва* риационном уравнении (4.21).

Разбив поверхностный интеграл на интеграл по поверхностям пластины /= ± 1 и интеграл по боковой (контурной) поверхностиsr убеждаемся, что на поверхностях пластины f= ± 1 могут быть заданы либо напряжения az, тхг, туг, либо перемещения «о, и。, Wo< Рассмотрим боковую поверхность, где направляющие косинусы будут (а — угол между нормалью к контурной поверхности и осью х)

/ = cosa,加=since,帮=0.

Имеем согласно (4.22)

X〃d+ Yvq=X (ил0cosa —〃$о sin а)+У (〃而 sin « + ^0cosa) — =%〃加+%曲3()，(4.32)

Z = xxz cos a + % s in .a=тЛ2,

где an, Psn, Tnz — нормальные и касательные напряжения на поверхности; и„0, uso — перемещения вдоль нормали и в направлении касательной к контуру. Контурный ннтеграл (4.21) будет иметь вид

J "s J [(йл0 — 〃〃о)‘％ + (〃；о 一 〃3。)‘％ + (®о — *Фо) ^tnzdt=O9(4. 33)

где о% f, т2П — напряжения на контуре.

Имеем

%= + +讐/，a“ =手+誓»，(4・М)

гдеТп=Тхсо^а-\-Ту sin2a4~rxtf sin 2a,

Ts”=}(Tg-T*) Sin 2a + 7\gCUs2a.

Аналогично выражаются моменты Mn и Msnt Согласно формулам (4.32) и (4.16)宀

+粤(1 - 3庐)+索(1 一/)，(4. 35)

где gn, mn, Qn определяются по формулам

^=^xcosa+^ si，n a» mn=mxcosa~\-my sin a, ~Qn=Qxcos a+Qy sin a.

Из равенства (4.33), формул (4.34) и (4.35) следует, что на контуре пластины можно задать произвольно усилия и моменты

詳，丁四 Qm 此，Msni' (4. 36)

а также поверхностные нагрузки,

夕“，m“(4.37)

или их комбинации..

Кинематические граничные условия, соответствующие произвольным вариациям усилий и моментов (486), будут

%=*,人=比;，^=^*> %=若，％=К(4.38)

где 〃п，〃打 5 — средние по толщине перемещения в смысле (4.25) й (4.28); фп, <ps ——углы'поворота, определяемые по формулам

(pn=(pxcosa4-?y sin a, cps=cpycosa —cp^ sin a, 我〃=我 cosa + 守 sin % as=г/ cos a — w sin a.

При решении контактных задач поверхностные нагрузки (4.13) подлежат определению и могут произвольно варьироваться даже на контуре, если они там неизвестны. Кинематические граничные условия, соответствующие произвольным вариациям нагрузок qn и mn, входящим в формулу (4.35) для тпг, согласно последнему слагаемому в равенстве (4.33) будут

(4. 39)(4. 40)(4. 39)(4. 40)е==е*, Y=y六

(4. 39)

(4. 40)

(4. 39)

(4. 40)

гдегде£ = ~^\ 叫*〃，丫=\ 叫)(一1+3”)d左

где

где

а 名* и y* — соответствующие величины от заданного на границе перемещения w0*.

Если подставить в выражения (4.40) значение прогиба из формулы (4.18), то получим

ё=醤+亳（辱+ *）-含（7也）ё=醤+亳（辱+ *）-含（7也）整+謠（噤+禦卜翡（检+他）・整+謠（噤+禦卜翡（检+他）・(4.41)(4.41)

ё=醤+亳（辱+ *）-含（7也）

ё=醤+亳（辱+ *）-含（7也）

整+謠（噤+禦卜翡（检+他）・

整+謠（噤+禦卜翡（检+他）・

(4.41)

(4.41)

Итак, кинематические граничные условия при разыскании контактных усилий сводятся к тому, что правые части выражений (4.41) на контуре должны быть равны интегралам (4.40) отгаданного на контуре прогиба. Если, например, пластина защемлена по всей толщине, то е=0, у = 0, е имеет смысл величины поперечного обжатия. Каждое из условий (4.36), (4.37) может быть заменено соответствующим условием (4.38), (4.39). Например, условие для qn можно заменить условием для е, однако условие для qn нельзя заменить на условие для у. Таким образом, можно ставить смешанные граничные условия..

Отметим,'что условия (4.39) можно задавать независимо, если неизвестны на контуре нагрузки на обеих поверхностях пластины, а значит и их комбинации (4.37). Кинематические граничные условия, соответствующие каждой из неизвестных нагрузок 夕^ и ^7 на контурных линиях поверхностей f = ± 1, будут

士£一— (4.42)

где £ и у — выражения (4.41); верхний знак относится к поверхности t= + 1, нижний — к f = —1.

Условия (4.42) получатся, если в формуле (4.35) заменить тп и gn согласно формулам

и. приравнять затем нулю множители при произвольных вариациях 石夕扌 и &^7 в последнем слагаемом равенства (4.33).

Приведем сравнение изложенного варианта уточненной теории с вариантом Э. Рейсснера и вариантом П. Нагди [24], где также учитывается деформация поперечного обжатия.,

Соотношения обобщенного закона Гука (4.23), (4.24) и (4.29) будут те же, что и в варианте Э. Рейсснера, если учесть поверхно-- стные усилия qx и 若 и, следовательно, мембранные усилия 丁工， Ту, Т*п，Обычно приводятся уравнения варианта теории Э. Рейсснера, в которых не учитываются мембранные усилия-(см., например, С. И. Тимошенко [30]), и, следовательно, отсутствуют соотношения (4.23), а. в соотношениях типа (4.24) и (4.29) отсутствуют слагаемые с тх и ту. Смысл усредненных перемещений з и углов поворота д)н,(ру остается тем же.*

В варианте теории П. Нагди [24] учитываются поверхностные усилия qx и ^. Соотношения закона Гука (4.23), (4.24) и (4.29) формально совпадают с соотношениями работы [24]. Однако в работе [24] эти соотношения содержат перемещения срединной плоскости. Кроме этого, соотношения (4.29) получаются в работе [24] путем отбрасывания эффекта поперечного обжатия при их выводе. В настоящем разделе никаких упрощений .не делалось. Закон изменения перемещений по толщине пластины в работе [24] постулируется (линейный для 辽о н и。и квадратичный для w0). Он существенно отличается от закона (4.18) и (4.19). Аналога граничных условий типа (4.37) и (442) для поверхностных усилий в работе [24] нет.

По существу предложенный выше вариант и нужен для того, чтобы можно' было выполнить эти важные условия при решении контактных задач. Как легко можно убедиться, при формулировке даже простейших контактных задач ни классическая теория Э. Рейсснера, ни вариант П. Нагди не позволяют этого сделать. .При решении же обычных задач для тонких пластин с заданными поверхностными усилиями все модификации теории пластин в большинстве случаев приводят к близким результатам, включая и теорию Кирхгофа. Иными словами, тот или иной вариант теории желательно выбирать в зависимости от класса рассматриваемых задач..

В заключение оценим, какой эффект поперечного обжатия дает изложенный вариант теории в том же примере, который был рассмотрен в конце разд. 4.4, когда к пластине приложены только поверхностные усилия 建 или ?7. ' Есди под обжатием понимать ,разницу между прогибом поверхности пластины и срединной плоскости, то формально получим то же самое, так как формула (4.18) для обеих теорий одна и та же. Но при решении задач по теории настоящего раздела придется иметь дело с осредненным прогибом (4.28), поэтому нужно знать разницу между прогибом поверхности пластины и осредненным прогибом. Она определяется по формуле (4.31):

叫).(± 1)一加=±(m，+m”

Как видим, первое слагаемое в правой части почти не отличается от соответствующего слагаемого в формуле (4.20).

РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ УТОЧНЕННОЙТЕОРИИ

Уравнения предыдущего раздела разделяются на две независи-. мые группы, если считать* внешние нагрузки заданными. Это уравнения изгиба и плоское напряженное состояние,. Дадим вывод разрешающих уравнений изгиба, следуя С. П. Тимошенко [301.

Исключим из уравнений (4.24) для моментрв углы поворота 屮方 н 屮廿 с помощью соотношений (4.29). С учетом последнего уравнения (4.15) получим

Mx=-DMx=-D(4.15)(4.15)4•& dQx@%2£ О*4•& dQx@%2£ О*Подстановка этих выражений в уравнения равновесия приводит к двум уравнениям

Mx=-D

Mx=-D

(4.15)

(4.15)

4•& dQx

@%2£ О*

4•& dQx

@%2£ О*

Q/一胆次0如迎+忆一

oxоV1 -oxоV1 -"v"v内内.dwu、卜刷+F •.dwu、卜刷+F •10(1 —v) ду 1110(1 —v) ду 11(4.44)(4.44)x 10 хдх 10(1—v) дх

oxо

V

1 -

oxо

V

1 -

"v

"v

内

内

.dwu、

卜刷+F •

.dwu、

卜刷+F •

10(1 —v) ду 11

10(1 —v) ду 11

(4.44)

(4.44)

Эти уравнения вместе с последним уравнением (4.15) составляют систему трех уравнений для определения прогиба з и поперечных сил Qx, Qy- Зная эти величины, можно найти изгибающие моменты по формулам (4.43). ,

Дифференцируя первое уравнение (4.44) по х, второе по у и складывая, с учетом уравнения (4.15) получим разрешающее уравнение для прогиба

гдегдеD^w=qz ~\~т^~^ —^D^w=qz ~\~т^~^ —^ттОт” I °тудх дуОт” I °тудх ду(4.45)(4.45)

где

где

D^w=qz ~\~т^~^ —^

D^w=qz ~\~т^~^ —^

т

т

От” I °тудх ду

От” I °тудх ду

(4.45)

(4.45)

Остановимся на порядке решения системы (4.44), (4,45). Пусть ⑫'，QJ, QJ ——частное решение неоднородных уравнений. Причем QJ и Qy определяются как частное решение уравнений (4.44), в правую часть которых следует вместо з подставить найденное из

уравнения (4.45) частное решение wf. Обозначим далее через ⑫", QJ', 0/' решение однородной системы

10дх

QA^MQ*-。力"

▽4加"=0

Найдя ⑫"из последнего уравнения и подставив в два первых» мы тем самым получим уже неоднородные уравнения для QJ и QJ'. Частное решение этих уравнений можно взять в виде

Q^=-D — \?2加"，Q" = —D 丄 vW\дхду

Остается найти решение однородных уравнений

Q；—^ V2Q： = 0, Q；__^v2Q； = 0.(4.46)

При этом следует позаботиться, чтобы- было выполнено однородное уравнение равновесия

①+缰=0,дх ду

которое будет тождественно удовлетворено, если положить

.Q：=dQ； = —4，(4.47；

дудх

где 屮一произвольная функция.

Подставив Q：/' и Q^" из (4.47) в уравнения (4.46), получим

Отсюда следует, что выражение в скобках является константой, которую можно взять равной нулю, так как частное решение для 1|), соответствующее этой константе^ также будет константой^ которая, согласно (4.47), не повлияет на величину поперечных сил*

Таким образом, функция 屮 должна быть определена из урав-' нения

V绅一^屮=0..(4.48)

Общий вид решения для перерезывающих сил теперь можно за* писать в виде

Q宀Qj字+要，

дх ду

Q产Q ~甯Q产Q ~甯。屮дх。屮дх

Q产Q ~甯

Q产Q ~甯

。屮

дх

。屮

дх

Наличие уравнений (4.45) и (4.48) позволяет удовлетворить трем граничным условиям, вид которых описан в предыдущем разделе.

ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ УТОЧНЕННОЙТЕОРИИ

В качестве примера применения изложенного в разд. 4.5 варианта теории рассмотрим простейшую задачу (рис. 4.5) определения реакций взаимодействия в- трехслойной полосе толщиной 应+ 2瓦 и шириной L, Среднюю пластину будем рассчитывать, используя изложенный вариант теории и вариант П. Нагди [24]. Наружные пластины (Считаем мембранами^ не 1сопротивляю1цимися изгибу, и, таким образом не будем учитывать нормальные реакции взаимодействия 9广=9『=°・ Касательные реакции взаимодействия обозначим через д. В силу симметрии задачи q^= —q,夕二=夕 (рис. 4.6 и 4.4) .

Рассмотрим сначала напряженно-деформированное состояние средней* пластинц. Имеем

0*=0^一0工=-20，mх=~ (^+^7) = 0, %=0, поэтому уравнения равновесия (4.14), (4.15) будут

' 色=2g, ^=QX,上"=0.

dxdxdx

Интегрируя их с учетом граничных условий 詳=0 при х=0, ТХ=Р прн%=£, MX=QX—O при х=0, 厶 полупим

Qx = Mx=01 7* = 2 J：gdx.*(4.49)

-о.

Принтом должно* быть выполнено условие

\qdx=g.•(4.50)

о-

Рис. 4.5. Трехслойная полоса, нагруженная на кромках

Рис. 4.6. Положительное направление касательных усилий взаимодействия междуслоями

Соотношения закона Гука (4.23), (4.24) и (4.29) применительно к рассматриваемой задаче будут.

Т — £五 duvA2 dq

“ 1 — v2 dx6(1 — v) dx '

dxcGA

Остальные не понадобятся. Отсюда с учетом (4.49) найдем

沪看回+弋产崇,也"О'沪看回+弋产崇,也"О'(4.51)(4.51)

沪看回+弋产崇,也"

О'

沪看回+弋产崇,也"

О'

(4.51)

(4.51)

Эти же соотношения будут иметь место и при использовании варианта П. Нагди [24]. Согласно варианту П. Нагди перемещения на поверхностях пластины n=i土左/2 определяются по формуле

2 *

Так как в рассматриваемом случае угол поворота сечения 屮％ = 0, то деформация du^dx на поверхностях пластины будет иметь вид (4.51). Согласно же варианту предыдущего раздела она определяется по формуле (4.31), которая с учетом (4.49) дает

d〃dxd〃dx2 + v6石2 + v6石力dq I无2史£dx 60E d%3力dq I无2史£dx 60E d%3(4- 52)(4- 52)

d〃

dx

d〃

dx

2 + v

6石

2 + v

6石

力dq I无2史£

dx 60E d%3

力dq I无2史£

dx 60E d%3

(4- 52)

(4- 52)

где du/dx имеет вид (4.51).

Деформация верхней и нижней пластины

dxdxd^l — 1 — v2d^l — 1 — v2/无i/无i(4. 53)(4. 53)

dx

dx

d^l — 1 — v2

d^l — 1 — v2

/无i

/无i

(4. 53)

(4. 53)

где Ei,仙一соответственно модуль упругости .и толщина наружных пластин. (

Сравнивая деформации (4.51) и (4.53), получим уравнение для реакции ', соответствующее варианту теории П. Нагди:

' 弋 qdx-]—也=R. (4. 54)

Л12(1 —v) (1 +入)dx •

о

где入=言・，R =(4.55)

Если же приравнять деформации (4.52) и (4.53), то придем к уравнению, соответствующему варианту теории разд. 4.5;

、 qdx(2一%无2~-也^也=R,(4. 56)

)12(1 —v2) (1 +X) dx ' 120(1 —v2)(l ™X) dx^ 、

0

где Аир — параметры (4.55).

Решение уравнений (4.54) и (4.56) нужно подчинить условию (4.50). Кроме этого, на концах % = 0,厶 желательно выполнить естественное условие 7 = 0, которое находится в соответствии с естественными граничными условиями (4.37).

* Уравнение (4.54)- при условии (4,50) имеет лишь решение типа дельта-функций на концах %=0, L. Действительно, уравнение (4.54), как и (4.56), справедливо только для внутренних точек зоны контакта 0<х<£, так как на концах условие равенства деформаций теряет смысл. Поэтому, если допустить существование решения типа

g=巧6(%) +方3(上一%),

то постоянная s непосредственно определяется из уравнения (4.54); С\ = Р} и его можно считать выполненным для всех внутренних точек. Вторая постоянная определится нЬ условия (4.50). Таким образом,

3(上j符.， (4.57)

Это элементарное решение, в котором пластины растягиваются как стержни, усилия в них пропорциональны жесткостям:

尸入1 +入尸入1 +入%=—-—■2(1+人)%=—-—■2(1+人)

尸入

1 +入

尸入

1 +入

%=—-—■2(1+人)

%=—-—■2(1+人)

Первая из1 этих формул получена путем подстановки решения (4.57) в формулу (4.49), вторая—- из аналогичной формулы для крайних пластин

J о

Легко видеть» что решение (4.57) уравнения (4.54); -является физически единственно возможным. Есть еще быстро осциллирующее решение, которое не имеет физического смысла и вызвано особенностями теории. '

Таким образом, вариант теории Э. Рейсснера, в том числе и вариант П. Нагди, учитывающий поперечное обжатие, не позволяет найти характер распределения касательных напряжений.

Уравнение (4.56) имеем более высокий порядок по сравнению с уравнением (4.54). Наличие третьего слагаемого в левой части позволяет удовлетворить условию равенства нулю реакции q при х=0, £. Это слагаемое, согласно (4.52) и формулы (4.19), связано с учетом изменения прогиба по толщине пластины, т. е. с учетом поперечного обжатия. Второе слагаемое в левой части уравнения (4.56) (если отвлечься от влияния коэффициента Пуассона v) характеризует вклад в перемещение ио от касательных напряжений Pm, но учтенный аккуратно, согласно формуле (4.19), а не в обобщенном смысле от перерезывающей силы Qx. Если даже отбросить третье слагаемое в (4.56) и оставить только второе, то получим

вполне определенное решение без сосредоточенных сил. Оно только будет возрастать на концах зоны контакта и условие д = 0 при х=0, L выполнено не будет.

Уравнение (4.56) имеет следующее решение, удовлетворяющее условию (4.50) и условиям д = 0 при х = 0,丄：

g=Ash aEsE B(Z —E) + Bsha(Z —Е) sin 限,

гдегде4 — Р ]Л(оВ §h а! + 入ct sin 関

где

где

一-^(1 + 入)嶼 sh2 W -(x2 SE2 削)

D P 了认 入3 §h а! + a sin 館

2Л ■ (1+入)(俨 sh2aZ —a2sin2 簿

=Y> 入=晟’ 3=120(172)(1+入),

a+曲=务3 (cos-!-+j sin —-j ,

平=arctg H-@2 , a= 5(2 .一勺2).

Результаты численного расчета безразмерной реакции

尹一2〃

приведены на рис. 4.7, где для каждой кривой /——5 приведены параметры Z и X.. Видно, что максимум реакции смещается влево с увеличением относительной жесткости X средней пластины.

Данная задача решена по существу в работе [21], но для двутавровой балки, которую также можно изобразить рисунком 4.5, если считать, что А — это высота стенки, а Л1 — толщина полки. Нагрузки в работе [21] такие же, как на риз 4.5. В математическом плане это задачи идентичные, но в работе [21] стенка рассматривается с позиций плоской теории упругости, а полки, как и в на- .шем случае, являются стержнями. Би-

гармоническое уравнение решается методом сеток. Имеется график распределения касательных усилий между полкой и стенкой для параметров, близких к параметрам для кривой 4 на рис. 4.7 (В пересчете на наши параметры в работе [21] Х=1/8, 2=15/8). Можно отметить весьма близкое совпадение сравниваемых кривых, что свидетельствует о хорошей точности изложенной выше модификации теории.

Рис. 4.7. Распределение касательных усилий взаимодействия между слоями по ширине полосы (g*==2gL/P, /=L/Л, %=£7i/2友財)

Остановимся кратко на использовании теории пластин и оболочек, предложенной С. А. Амбарцумяном [2, 3, 4], в контактных задачах. В варианте теории [2, 3] не учитывается эффект поперечного обжатия. При определении нормальных реакций, например, при: цилиндрическом изгибе пластийы штампом без острых углов она не приводит к лоявленшо сосредоточенных сил, однако на грани< це зоны контакта реакция в нуль не обращается. Иными Ьловамн»- эта теория в данном случае имеет те же преимущества и недостатки, что и теория Е. Рейссвера.

При рассмотрении задачи, изображенной на рис. 4.5, теория^ С. А.'Амбарцумяна приводит к уравнению второго порядка для касательной реакции. 9To позволяет получить вполне определенное' решение для касательной реакции q. Иными словами, теория С. А. Амбарцумяна оказывается в данном типе задач более гибкой^ по сравнению с теорией Кирхгофа или Рейсснера. Однако обратит® в нуль касательные реакции на границе 尤=0 и x=L она не позволяет. Чтобы это сделать, нужно иметь не второй, а четвертый порядок уравнения. В более поздней работе С. А. Амбарцумяна [4] учитывается эффект 'поперечного обжатия, однако она также приводит к уравнению второго порядка для реакции q в задаче рис. 4.5. Действительно, первая формула (4.18) [4, с. 886] для тангенциальных перемещений “а содержит в правой части касательные усилия на поверхности пластины X* и X’ (но не содержит производных-от этих усилий). Это и приводит к уравнению второго порядка для реакции. (Уравнение (4.56) содержит четвертый порядок, так как в формулу (4.52) для деформации кроме первой входит еще третья производная от реакции д).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Аниола Л. Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейсснера. — В кн.二 Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек н пластин. Ереван, 1962, Ереван, Изд-во АН Арм. ССР, 1964, с. 171—177.,

Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., Фнзматгиз, 196L 384 с.

Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М., Наука, 1967. 266 с.

Амбарцумян С. А. Еще одна уточненная теория анизотропных оболочек.— Механика полимеров, 1970, № 5, с. 884—896. 一.

Артюхин Ю. П, Модифицированная теория Голанда ——Рейсснера- склеенных пластин. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 11. Казань, Изд-во Казанского университета, 1975, с. 136—148.

Бнргер И. А. Упругий контакт стержней. — В кн.: Расчеты иа прочность. М., Машиностроение, 1969, № 4, с. 127—136.

Бнргер И. А. Контактные задачи теории стержней, пластинок и оболочек- Теория оболочек н пластин.——Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек н пластин, 1973, Л., Судостроение, 1975, с. 23—25.

Блох М.* В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел.— Прикладная механика, 1977, т. 19, № 5, с. 34—42.

Блох М. В. Одномерный односторонний контакт стержней, пластин н оболочек. Теория оболочек и пластин. — Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, 1973. Л., Судостроение, 1975, с. 25—28.

Блох М. В., Цукров С. Я. Об осесимметричном контакте тонких цилиндрических оболочек.——Прикладная механика, 1973, т. 9, вып. 11, с. 23—28.

Блох М. В., Цукаров С. Я. О влиянии изменения толщины стенки на осесимметричный контакт тонких цилиндрических оболочек.——Прикладная механика, 1974, т. 10, вып. 4, с. 31—37.力

Власов Б. Ф. Об уравнениях изгиба пластинок. — Изв. АН СССР. Отделение технических наук, 1957, № 12, с. 57—60.

Гольдеивейзер А. Л. О теории изгиба пластинок Рейсснера. — Изв. АН СССР, Отделение технических наук, 1958, № 4, с. 102—109.

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Модификация уточиеииой теории плас- ■тии для контактных задач. — Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1977> т. 30, № 3, с 33—45.

Грнголюк Э. И., Толкачев В. М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами.——Прикладная математика и механика. 1975, т. 39, вып. 5, с. 876—883.

Карасев С. Н・,Артюхин Ю. П. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений.——В ки.: Исследования по теорий дластии и оболочек. Вып. XII, Изд-во Казанского университета, 1976, с. 68—76.

Пелех Б. Л. Некоторые особенности постановки и решения контактных задач о взаимодействии упругих цилиндрических оболочек с твердыми жесткими телами. — В кн.: Избранные проблемы прикладной мехаинкн. М., Наука, 1974, с. 559—566.',

Попов Г. Я. О контактных задачах для оболочек н пластин.——Труды X Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. 'Кутансн, 1975, т. 1. Тбилиси, Мецииереба, 1975, с. 244—250.

Тимошенко С. П. Курс теории упругости, ч. II. Стержни и пластинки. Петроград, Изд-во Института инженеров путей сообщения, 1916. Изд. 2-е, Киев, Наукова думка, 1972. 507 с.

Штаерман И. Я. Контактные задачи теории упругости. М.—Л., Гостех- Издат, 1949. 270 с.

Acic Mirko. Uticaj oslonackin pojacanja na stanje napona u zidnim nosa- cima. — Izgradnja, 1976, 30, N 7, 51—58.

Goland M., Reissner E. The stresses in cemented joints. — Journal of Applied Mechanics, 1944, 11, N 1, p. 1—27.'

Green A. E. On Reissner theory of bending of elastic plates.—Quarterly d Applied Mathematics, 1949, 7, N 2, p. 223—228.

Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells, — Quarterly of Applied . Mathematics, 1957, 14, N 4, p. 369—380.

Reissner E. On the theory of bending of elastic plates.—Journal of Mathematics and Physics J 944, 23, N 4, p. 184 —191.■

Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. — Journal of Applied Mechanics, 1945, 12, .N 2,p. 69—77.

Reissner E. On bending of elastic plates. — Quarterly of Applied Mathematics, 1947, 5, N 1, p. 55—68.■

Reissner E. On the variational theorem in Elasticity.—Journal of Mathematics and Physics, 1950, 29, N 2, p. 90—95.

Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation.——The International Journal of Solids and Structures, ■ 1975, 11. N 5； p. 569—573.

Timoshenko S., Woinowsky—Krieger S. Theory of plates and shells. 2-nd ed. New York, McGraw-Hill, 1959. (Перевод иа русский язык: Ти*мошенко С. П, Войновский-Кригер С. Пластинки ж оболочки. М., Физматпиз, 1963, 635 с.)

Глава 5

ПРОСТЕЙШИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИПРИ ИЗГИБЕ ПЛАСТИН

5；1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В гл. 5 рассмотрены наиболее простые контактные задачи теории изгиба пластин, на примере которых обсуждаются особенности постановки задач и характера решения при использовании той или иной прикладной теории. ”

Первые четыре раздела посвящены решению задачи цилиндрического изгиба пластин жесткими штампами. На этой модельной задаче подробно анализируется зависимость решения от выбора теории изгиба пластины.

В разд. 5.2 решение строится иа основе классической теории пластин С. Жермен—Лагранжа—Клрхгофа. Выясняется вопрос об условии существования без? отрывного контакта, определяются сосредоточенные силы иа концах зоны кон-? такта, дается зависимость величины зоны контакта от силы, прижимающей штамп. Во втором разделе решение задачи строится на основе теории пластин типа С. П. Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига без учета поперечного обжатия. В этом решении устраняется скачок в перерезывающей силе иа границе зоны контакта под штампом с гладким основанием. Теория, однако, не позволяет обратить в нуль нормальную реакцию на границе зоны контакта, как это должно быть по теории Герца. Интересным здесь является приведенное сравнение изгибных напряжений в пластине с напряжениями, полученг ными по теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Заметное отличие наблюдается лишь в достаточно толстых пластинах и при больших зонах контакта. В разд. 5.4 решение задачи получено иа основе теории С. Жермен—Лагранжа— Кирхгофа, ио с учетом эффекта поперечного обжатия материала пластины, что позволяет устранить все формальные противоречия в решении задачи и полу- чнть результаты, весьма'близкие к тем, которые даег точное решение задачи в рамках теории упругости. Такое решение содержится в работе [24], содержание которой воспроизведено в разд. 5.5. Эта же задача на основе уравнений теории упругости решена в статье [81]. На этих результатах более подробно остановим： ся ниже при обзоре исследований,, а сейчас только укажем, что приведенное в разд. 5.5 сравнение изгибных напряжений в пластине с напряжениями, полученными иа основе теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа, показывает их весьма малое отличие. Это может служить оправданием для использования теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа в контактных задачах несмотря на формальные противоречия. В разд. 5.6 рассмотрена осесимметричная контактная задача изгиба круговой пластины штампом с различной формой основания (сферической, параболической, произвольной). Решение построено на основе теории С. Жермен—Лагранжа——Кирхгофа. В разд. 5.7 дан расчет жесткостной характеристики пакета сферических пружин. В разд. 5.8 рассмотрена задача изгиба трехслойной пластины при упругом опирании слоев. Наружные пластина являются пластинами С. Жермеи——Лагранжа——Кирхгофа, средний слой моделируется вииклеровским основанием. На примере этой задачи показано, что способ крепления кромок пластин существенно влияет иа перераспределение - напряжений в них. Эта задача имеет практическое значение для стеклянных триплексов.

Следует отметить, что в гл. 5 включена лишь малая часть контактных задач для пластни. Совсем ие изучены контактные задачи для оболочек. В связи с тем, что по данному классу задач имеется обширная литература и они представляют научный и практический интерес, мы считаем целесообразным дать обзор основных исследований.

Цилиндрический изгиб пластин и стержней. Впервые задача о стесиеииом изгибе тонкого первоначально прямого стержня вокруг круговой опоры или о распрямлении изогнутого стержня иа плоской плите приложенными к концам стержня силами рассмотрена С. П. Тимошенко [86]. Решение построено иа основе классической теории изгиба балок -Бернулли—Эйлера. Полученная зависимость между приложенной силой н углом обхвата стержнем круговой опоры показыва- ，Т, что для прижатия стержня к опоре вплоть до того места, где приложена си- лга, требуется увеличить эту силу до бескоиечиостн. Это же наблюдается н при ^прижатии изогнутого стержня к плоской плите концевыми силами. Был также •обнаружен скачок в поперечной силе на конце зоны контакта или сосредоточеи- ：ная сила в составе реакции. Впервые после С. П. Тимошенко задачу стесиеииого изгиба стержня вокруг круговой опоры рассмотрел М. М. Филонеико-Бородич Ц70] (1949 г.) иа основе теории изгиба балок, учитывающей деформации поперечного сдвига без учета поперечного обжатия. В решении был устранен скачок в поперечной силе и, стало быть, исчезла сосредоточенная сила в реакции. Для прижатия стержни к опоре вплоть до точки приложения силы потребовалась уже конечиаи величина этой силы. Осталось, одиако, формальное противоречие — нормальная реакция на конце зоны контакта ие обращалась в нуль,, а достигала там наибольшего значения. Задача цилиндрического изгиба пластин и изгиба ба- .』0K жесткими штампами в постановке М. М. Филоиеико-Бородича позднее рас- <сматривалась в работах [7, 46, 58, 64]. Изгиб пластин иа упругом основании с помощью штампов изучен В. М. Александровым [1], Б. Л. Пелехом н Р. Д. Сыса- ■ком [51]. Эффект поперечного обжатия в рамках прикладных теорий пластин прн- «ят во внимание в работах Ю. П. Артюхина и С. Н. Карасева [35], М. В. Блоха J12], М. В. Блоха, Н. Г. Ващенко, А. А. Гинца [13], Э. И. Григолюка и В. М. Тол- асачева [24]. Поперечное обжатне в указанных работах учитывалось, путем интегрирования по толщине пластины соотношения закона Гука дли поперечной деформации. С. О. Саркнсии [64] решал контактную задачу о цилиндрическом из- зШбе пластины с использованием теории С. А. Амбарцумяна [3] и теории П. Нагди 184], в которых учитывается как поперечный сдвиг, так и обжатне.

Задача цилиндрического изгиба пластин штампами иа основе уравнений плоской теории упругости изучалась Э. И. Григолюком н В. М. Толкачевым [24], С. Н. Карасевым и Ю. Н. Артюхиным [34], С. О. Саркисяном [64], Киром и Силь- бой [81]. В работе [81] рассмотрена задача цилиндрического изгиба бесконечной пластины периодической системой жестких штампов с круговой формой основания. Решение строится в тригонометрических ридах и сведено к парным уравнениям, которые решаются численно. Определена нормальная реакция взаимодействия между штампом и пластиной (треиие в Зоне контакта не учитывается). Показано, что по мере уменьшения параметра dfl (d — толщина пластины; I—расстояние между соседними штампами) и увеличения @〃 (2а ——длина зоны контакта) реакция все больше концентрируется у границ зоны контакта. Численные резуль- яаты получены для параметров d/Z^20. Эта же задача описана в статье [24] и воспроизведена в разд. 4.4 даиио^ главы. Решение строилось с помощью функции Грииа и сведено к интегральному уравнению с периодическим логарифмическим ядром. Последнее путем обращения интеграла с логарифмическим ядром сведено к уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось численно. В отличие от работы [81] в статье [24] посчитаны изгибиые напряжения в пластине под штампом и показано, что они очень мало отличаются от напряжений, вычисленных прн решении задачи иа основе теории пластин С. Жермеи—Лагранжа— Кирхгофа как без учета, так н с учетом поперечного обжатии. С этой точки зре- _яия использование теории пластин С. Жермеи—Лагранжа—Кирхгофа и теории типа С. П. Тимошенко в контактных задачах вполне допустимо. К такому же выводу пришли н авторы работы [34], которые рассмотрели ту же задачу. В этой рабюте исходное интегральное уравнение решалось неиоцредственно численным способом. В отлнчне от работ [81] н [24] в статье (34] рассмотрен также штамп с плоским основанием, им&ющим угловые точки.

Осесимметричный контакт пластин. Первая работа, в которой рассмотрена осесимметричная коитактиаи задача для круговой пластины, принадлежит» по-ви- димому, К. Гнркмаиу [78] (1931 г.). В ней с позиции теории пластин С. Жермен— Лагранжа—Кирхгофа предполагалось, что первоначально неизогнутая пластина покоится на абсолютно жестком плоском основании н прижимается к основанию 208

равномерно распределенной нагрузкой (вес пластины, либо давление). Под действием прикладываемых к наружному контуру пластины равномерно распределенных по окружности изгибающих моментов некоторая кольцевая зона пластины, примыкающая к контуру, может оторваться от основания. В работе найдена зависимость между величиной зоны отрыва и моментом, а также напряжения в пластине. В этой же работе обсуждается аналогичная задача для балки, а также для круглой пластины, покоящейся первоначально на податливом основании Вниклера. Задача Гиркмана в 1938 г. рассматривалась Р. Хофманом [79] также на основе теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Кроме этого, в статье [79] рассмотрена пластина, которая первоначально опирается иа круговую. жесткую стенку достаточно мелкой цилиндрической полости с плоским дном. Под действием давления или собственного веса пластина прогибается и некоторой центральной зоной может войтн в контакт с дном полости. Здесь в отличне от задачи Гнркмана на контуре пластины действуют только поперечные силы и отсутствует изгибающие момент.

Контактная задача изгиба круговой пластины жестким штампом с параболическим основанием на основе теории, пластин с учетом поперечного сдвига без учета поперечного обжатия исследована Л. А. Розенбергом [63] (1955 г.).

Ряд исследований по контактным задачам для. круглых пластин выполнен Ф. Эссенбургом [75, 76, 77] на основе теории пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига без поперечного обжатия. В статье [76] рассмотрена жестко защемленная по контуру пластина, изгибаемая жестким штампом с параболической формой основания.^ Приведены графики изменения величины зоны контакта в зависимости от нагруаки на штамп, от величины смещения штампа, графики распределения напряжений. Графики распределения контактного давления ие приведены. Все это сравнивается с результатами, вытекающими нз теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. В статье [75] рассмотрена упомянутая задача Р. Хофмана [79] (опирание на дннще полости). Решение строится по теории типа С. П. Тимошенко с небольшим видоизменением — учитываются нормальные поперечные напряжения при записи соотношений обобщенного закона Гука для изгибающих моментов. Прогиб не изменяется по толщине пластины и, таким образом, обжатием пренебрегается. Показано, что учет поперечного сдвига приводит к значительному изменению нормальных изгибных и касательных напряжений в лластине по' сравнению с полученными по теории С. Жермен——Лагранжа——Кирхгофа. Что касается учета нормальных напряжений в формулах для моментов, то этот учет практически не изменяет нн картину распределения напряжений, ни характер реакции. В работе [77] исследован контакт двух пластин, которые до деформации могут либо прилегать одна к другой, либо находиться на некотором расстоянии. Рассмотрено три случая: 1) обе первоначально прилегающие пластины шарннрно оперты и нагружены краевыми изгибающими моментами; 2) одна первоначально прилегающая пластина защемлена, вторая оперта н нагружена краевыми моментами; 3) одна из первоначально разъединенных пластин защемлена, вторая шарнирно оперта н загружена концевыми моментами. Обсуждается некорректность задачи в рамках теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. Указывается, в частности, что теория С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа не позволяет получить решение для первоначально разъединенных пластин в общем виде. Для этого, например (прн шарнирном опирании обоих пластин), нужно специально подбирать краевые моменты. Совместный изгиб двух пластин с позиций теории С. П. Тимошенко проанализирован также Ю. П. Артюхиным и С. Н. Карасевым [8]. В отличие от работы [77] верхняя пластина нагружена либо равно* мерным давлением, либо сосредоточенной силой. Расчеты показали, что контактное давление может резко возрастать вблизи границы эоны контакта н меняет там знак, создавая эффект пары £ил. Этот интересный эффект можно объяснить, решая задачу на основе теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. В этом случае, вообще говоря, нельзя удовлетворить граничным условиям по моментам — они будут иметь скачок на границе зоны контакта. Для его устранения и шла выше речь о подборе краевых моментов в работе [77], что равносильно введению в состав нормальной реакции между пластинами радиального погонного изгибающего, момента, распределенного по границе зоны контакта. Этот момент поможет «склеить» пластины и аналогичен реактивному моменту в шарнирах подвески аве- рей н т. д.

Пластины на упругом основании, сжимаемые штампами, рассмотрены в работах В. М. Александрова [1], Б. Лаинга [83], Б. Л. Пелеха и Р. Д. Сысака [50], И. Снеддона и др. [85].

Осесимметричный контакт цилиидрических оболочек. Сюда относятся задачи взаимодействия оболочек с жесткими и упругими бандажами при соединении оболочек внахлестку. Эти задачи имеют практическое значение и являются простой моделью при обсуждении схем постановки контактных задач. Наиболее ранними работами, в которых рассмотрена посадка жесткой втулки на цилиндрическую оболочку Кирхгофа, являются результаты В. М. Александрова [1] (1965 г.), а также Ф. М. Детинко и В. М. Фастовского [26] (1967 г.). В работе [27] дается обобщение на случай посадки с натягом двух оболочек Кирхгофа——Лява разной длины. Анализируются случаи, когда контакт осуществляется только по кромкам короткой оболочки, когда может появиться еще линия контакта в средней qacni, когда появляется площадка контакта, по концам которой действуют погонные нормальные усилия. Аналогичная задача ранее рассмотрена В. М. Блохом и С. Я. Цукровым [14, 15]. В статье [15] отмечается, что учет изменения толщины стенок оболочки (эффект поперечного лбжатия) может способствовать лучшей приспособляемости оболочек друг к другу. В работе [72] также использована тео* рия оболочек Кирхгофа——Лява при рассмотрении контакта тонкой оболочки бесконечной длины, посаженной на сплошной жесткий цилиндр, который может быть либо в виде пробки конечной длины, либо в виде двух длинных пробок, между которыми имеется торцевой зазор. В. М. Александров и Л. С. Шацких [2] проанализировали взаимодействие упругого сплошного бесконечно длинного цилиндра с надетой на него с натягом и без трения оболочкой Кирхгофа——Лява конечной длины. Решается совместная система двух уравнений ——уравнения равновесия оболочки и интегрального уравнения для реакции.

Реакция представлена интерполяционным полиномом Лагранжа по чебышевским узлам. 、 、

Как и в случае пластин, контактным задачам теории оболочек Кирхгофа— Лява присущи те же формальные противоречия. Если оболочка контактирует с жестким бандажем с гладким основанием (без углов), то на концах зоны контакта нужно вводить сосредоточенные погонные нормальные усилия. При наличии бандажа с угловыми кромками кроме сосредоточенных сил для безотрывного контакта нужно вводить погонные сосредоточенные моменты. Сосредоточенные усилия будут иметь место и при контакте двух оболочек. Теория типа С. П. Тимошенко устраняет часть противоречий (исчезают сосредоточенные силы). Эта теория используется Б. Л. Пелехом и Р. Д. Сысаком [52] в задаче о горячей посадке бандажа на оболочку. Аналогичная задача разобрана также Ф. М. Детинко, В. М. Фастовским [28], Б. Л. Пелехом, И. Л. Мамчурой [49]. В частности, в статье [28] обсуждается работа [49]. Взаимодействие системы жестких бандажей с .гладким скругленным основанием и цилиндрической оболочкой рассмотрено Б. Л. Пелехом, М. А. Сухорольским [58], М. А. Сухорольским и Д: Д. Матиеши- ным [68]. Вопросы построения функций влияния для подобных задач рассмотрены Б. Л. Пелехом и М. А: Сухорольским [57]. Для работ названных авторов характерно использование уравнений типа Вольтерра, которые решаются с помощью преобразования Лапласа.

С. Кулькарни и Д. Фредерик [82] исследовали взаимный контакт двух оболочек, вставленных одна в другую с зазором. Внутренняя оболочка нагружена давлением изнутри, вследствие чего входит в контакт с наружной. На торцах оболочки либо защемлены, либо свободно оперты. Решение строится с учетом деформаций поперечного сдвига. Определяется контактное давление, область контакта и напряжения в оболочках. М. В. Блох и С. Я- Цукров [16] при рассмотрении соосного контакта оболочек предложили учитывать поперечное обжатие путем интегрирования соотношения закона Гука для поперечной деформации. Это обжатие интерпретируется как податливость некоего фиктивного слоя на поверхности оболочки.

В работах Т. Н. Карпенко [36, 37] взаимодействие тонкой оболочки и жесткого бандажа изучается на основе теории оболочек, построенной путем разложения решения в степенные ряды по нормальной к поверхности оболочки координате. Учитывается трение в зоне контакта. В работе Л. Хилла и др. [80] эта задача решена с помощью уравнений теории упругости также с учетом трения в зоне

контакта. Взаимодействие оболочки и баидажа применительно к работе буровых установок изучалось В. Л. Венцем и др. [21].

4. Осесимметричный контакт сферических оболочек. Контакт оболочки с жест

ким шаром, радиус которого немного отличается от радиуса оболочки, рассмотрен в работе П. А. Лукаша, Н. М. Леонтьева [45] (1959) на основе теории Кирхгофа—Лява. Эта же задача решена В. А. Бондаренко [17], В. М. Толкачевым [69] опять-таки с помощью теории Кирхгофа—Лява. В статье [17] использован метод расчленения оболочки по границе зоны контакта с последующей стыковкой решений. В работе [69] задача сведена к решению интегрального уравнения для нормальной реакции. В этой же статье рассмотрен еще контакт двух оболочек. Контактная реакция в этом случае представляет собой погонные усилия, приложенные по кругу, внутри которого оболочки не касаются друг друга. Эта задача изучалась также в статье Ц. Десильва и П. Тзая [74]. Авторы строят решение для нормальной реакции^ которое априори обращается в нуль на границе зоны контакта. Физически это разумно, но математически некорректно [69], так как в рамках теории Кирхгофа—Лява не удается получить- решение для нормальной реакции, обращающееся в нуль иа граиип?е зоны контакта.

Контакт оболочки и жесткой плиты иа основе нелинейной теории оболочек типа Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига, рассмотрен в работе Д. Упдике, А. Калнннса [89]. Результаты сравниваются с решением по линейной и нелинейной теории/ио без учета сдвига. Контакт оболочки и сферического штампа с позиции теории типа Тимошенко рассмотрен также Ю. П. Артюхиным и С. Н. Карасевым [7, 9]. Причем в работе [9] штам-п в виде жесткой накладки приварен к оболочке и нагружен силой и моментом. В. М. Григоровичем (25] решалась задача кручения сферической оболочки двумя жесткими штампами, расположенными у противоположных полюсов. Показано, что касательные реактивные усилия в зоне контакта возрастают от центра к периферии и в предельном случае, когда относительная толщина оболочки равна нулю, целиком сосредоточены на границе зоны контакта. Решение получено на основе уравнений ие- классической теории оболочек, полученных автором методом разложения искомых функций по степеням нормальной к поверхности координаты. В. В. Питько [60] исследовал взаимное сжатие двух оболочек, оболочки и сферической луики, оболочки и плиты. Несмотря иа то, что используется теория оболочек с учетом поперечного сдвига, но без обжатия, автор, как и в работе [74], получает нормальную реакцию, обращающуюся в нуль на границе зоны контакта. Л. Г, Ильина (30] получила приближенное решение задачи для оболочки, заполненной жидкостью и покоящейся в сферическом жестком углублении, радиус которого немного больше наружного радиуса оболочки. Решение построено на основе технической теории оболочек В. 3. Власова. В работах Ю. В. Соболева и Е. И. Красновского [66, G7] также изучен контакт оболочки и жесткого штампа на основе теории пологих оболочек. В. Н. Гнатыкив и Б. Л. Пелех [23] аналогичную задачу решали на основе теории, учитывающей деформации поперечного сдвига. Взаимодействие жесткой накладки круговой и прямоугольной формы со сферической оболочкой рассмотрено В. А. Антуфьевым и Ф. Н. Шклярчуком [4]. Реакция накладки, аппроксимируется поверхностной нагрузкой в виде конечного разложения по некоторым координатным функциям. Коэффициенты разложения определяются по методу Бубнова из условий сопряжения.

А. Бабешко и В. Е. Векслер [11], Ж- Дасгупта и И. Келли [73] обсуждали динамическую контактную задачу.

Цилиндрический изгиб оболочек. При цилиндрическом изгибе напряжения и смещения ие меняются по длине оболочки, и оиа работает как кольцо.

Г. К. Клей и [39] исследовал напряжения в трубах, уложенных в грунт, считая трубу абсолютно жесткой, а грунт ——виик^еровым основанием. Автор нашел закон распределения контактного давления в виде косинуса. Случай, когда ци* лиидрическое основание абсолютно жесткое, рассмотрен в работах Л. В. Божковой [18], Л. В. Божковой и В. Я. Рябова [20], Р. Вииета и Р. Даре [90]» С. Н. Карасева [32], С. Н. Карасева и Ю. П. Артюхина [35], Т. И. Карпенко [38], Б. Л. Пе- -леха и М. А. Сухорольского [55]. В работе [18] учтено поперечное обжатие материала оболочки использованием формул, описывающих деформацию полупространства. В работах [32, 35] также учтен эффект поперечного обжатия, ио интегрированием соотношения закона Гука для поперечной деформации по толщине

оболочки. В статье [20] задача решается с позиций теории Кирхгофа——Лява. Отмечается наличие сосредоточенных сил в составе нормальной реакции. В работе [55] используется теория, учитывающая эффект поперечного сдвига без обжатия, а в статье — [38] неклассическая теория, уравнения которой получены в статье [36]. В статье [38] построены графики распределения нормального давления при отсутствии сил тангенциального сцепления, а также для нормальной и касательной составляющей реакции при наличии сил сцепления. В работе [90] оболочка Кирхгофа—Лява контактирует с цилиндрической полостью равного с оболочкой ■радиуса либо по граничным кромкам полости, либо по граничным кромкам и центральной части.В работе [88] содержится дискуссия по работе [90].

Случай, когда оболочка Кирхгофа——Лява контактирует без треиия с упругой цилиндрической полостью (отверстие в упругом пространстве), обсуждался Л. В. Божковой н Т. П. Паненковой [19]. Эта же задача для толстой трубы на основе уравнений плоской теории упругости рассмотрена в книге В. В. Панасюка и М. И. Теплого [47]. В статье [56] рассмотрен контакт двух оболочек-разного диаметра, вставленных одна в другую, на основе теории, учитывающей поперечный сдвиг..

В работах А. А. Кращука [42, 43], а также Р. М. Зарипова и В. А. Иванова [29] рассмотрена оболочка на упругом основании Винклера. В статье [42] определены прогибы, а в статье [43] указаны значения коэффициента постели, при которых может произойти отрыв оболочки от основания и, таким образом, требуется учет односторонних связей.

В заключение коротко остановимся иа математической стороне теории кон- .тактных задач. Все конкретные рассмотренные задачи относятся к классу одномерных. Их можно свести либо к решению . обыкновенных дифференциальных уравнений (кроме случая упругого иевйнклеровского основания), либо к интегральным уравнениям. Если в основу полагается теория Кирхгофа—Лява и обо- ” лочка (или пластина) контактирует, с жестким телом, то получается интегральное уравнение первого рода, решение которого будет некорректным. Учет эффекта поперечного обжатия приводит к интегральному уравнению второго рода, и задача становится корректной. Учет поперечного сдвига также может привести к интегральному уравнению второго рода. Так как одну и ту же задачу можно сформулировать в виде дифференциальных и интегральных уравнений, естественно ожидать наличия связи между этими уравнениями. Выяснению этой связи, в частности, посвящены работы Ю. П. Артюхина [6] и Г. Я. Попова [61]. В статье [61] дано решение интегральных уравнений для контактных задач.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ШТАМПАМИПЛАСТИНЫЛИРХГОФА

Рассмотрим цилиндрический изгиб'/пла|Стины жестким штам-. пом, радиус основания которого равен R (рис. 5.1). Будем решать задачу на основе уравнений теории пластин, построенной на гипотезах Кирхгофа. Если допустить, что существует зона плотного прилегания (——Ь, Ь) пластины и штампа, то в этой зоне изгибающий момент пластины равен一

М = ± при ]х|< 6,(5. 1)

где D ——цилиндрическая жесткость пластины.

Нормальная реакция q (поперечное давление) в зоне контакта определится из уравнения равновегия и с учетом (5.1) будет

(5.2)

где 乂= 1/R ——кривизна основания штампа.

212

Рис. 5.1. Цилиндрический изгиб пластины жестким штампом (R ——радиус основания штампа, b — полудлииа зоны контакта)

Рис. 5.2. Схема приложения сосредоточенных погонных усилий — реакций PJ2 на концах зоны контакта

Пусть x=F const. Тогда д = 0 и мы приходим к заключению, что со стороны штампа на пластину могут передаваться только сосредоточенные погонные усилия, приложенные на концах зоны контакта 尤=士Ь, как показано на рис. 5.2. Величина этих сил Pi = = Р/2 находится из условия равновесия штампа. Наличие в составе реакции сосредоточенных сил приводит к скачку в поперечной силе при переходе точек х= ±Ь пластины. Рассмотрим второй интересный случай, когда кривизна основания штампа задана выражением х=с|х|, где с — постоянная. В этом случае по формуле (5.2) находим'

д=—210c“*),

где 6(%)——дельта-функция. •

В составе реакций при 尤=0 появляется отрицательная сосредоточенная сила. На концах зоны контакта х= ±6 будут приложены положительные сосредоточенные силы, нцдрявленные к пластине сверху вниз. В противном случае не удастся выполнить 'условие равновесия штампа. Рассматриваемый случай может быть реализован лишь при наличии двухсторонних связей. Если связь односторонняя, должны выполняться условия

9》О，В〉0・(5.*3>

Здесь Pi ——сосредоточенные силы на концах зоны контакта (для простоты рассматриваем симметричный по х штамп). Кроме условий (5.3), должно выполняться условие равновесия штампа ■

- ^qdx^2P^P.(5.4>

где Р — внешняя сила, приложенная кзтампу.

Условий (5.2), (5.3) и (5.4) достаточно для существования решения. Так, при

const, g=0, R = P/2

и условия (5.3), (5.4) выполняются. В этом случае изгибающий момент в зоне контакта можно записать в виде

где / — полудлина пластины.

р*р*Условие (5.1) при этом устанавливает связь между безразмерным усилием Р*, приложенным к штампу, и безразмерной величиной зоны контакта В：

р*

р*

(5.5)

причемпричемр*р*PIR й Ь力°=7PIR й Ь力°=7(5.6)(5.6)

причем

причем

р*

р*

PIR й Ь力°=7

PIR й Ь力°=7

(5.6)

(5.6)

Рассмотрим теперь случай, когда 乂=а——с|%|, где а и с — положительные постоянные. По формуле (5.2)

^=2£)с8 (х),

что говорит о наличии сосредоточенной силы в центре зоны контакта. Но в отличие от уже рассмотренного случая эта сила будет положительной. В остальной зоне контакта реакция равна нулю и первое условие (5.3) будет выполнено. Приложив на концах зоны контакта сосредоточенные силы В, из условия (5.4) найдем

P\ = * — Dc.(5.7)

Изгибающий момент в зоне контакта определим из условий статики.

^^(l-b^Dcf.b-^.

Подставляя это выражение и выражение 1/А=к=а——с|%| для кривизны в (5.1), получим связь между силой Р и величиной зоны контакта b

^- (l-b)=D{a-cb).

Внося отсюда значение Р в формулу (5.7), получим

2 =2 =£>(а—с/)I 二b ~£>(а—с/)I 二b ~

2 =

2 =

£>(а—с/)

I 二b ~

£>(а—с/)

I 二b ~

отсюда следует, что второе условие (5.3) будет выполнено лишь в случае, когда а——с/》0・ В частном случае, когда а——с/ = 0, силы на концах зоны контакта исчезают.

Рассмотрим условия разрешимости задачи в общем случае, когда кривизна основания штампа х=х(х)——произвольная, но четная функция. В силу (5.2) первое условие разрешимости (5.3) будет 乂"(х)《0. ■(5. 8)

Отсюда в силу четности кривизны

片他)=一"(一力)《0, а из условия (5.4)

01 =普 +0"他).(5. 9>

Вычисляя изгибающий момент в произвольной точке х зоны контакта с учетом (5.2) и (5.9) и подставив его в уравнение (5.1)г, найдем соотношение между усилием Р и величиной зоны контакта

尸=0X(6)

Подставляя отсюда силу Р в соотношение (5.9), имеем

£ 一力

Второе условие (5.4) будет при этом выполнено, если 尤(％) + "(%)(/ —%)》О,

Так как 尤'(力)《0, то отсюда, в частности, следует, что кривизна основания штампа должна быть положительной в точке Ь. При этом легко видеть, что кривизна должна быть положительной в каждой точке зоны контакта. Это следует из условия (5.8) й четности функции х(х).

Основной особенностью полученного выше решения задачи является концентрация реакции на концах зоны контакта, где, вообще говоря, в составе реакции появляются сосредоточенные силы, а распределенная реакция, определяемая в общем случае соотношением (5.2), не обязательно обращается в нуль на концах зоны контакта. Все это является следствием использования теории пластин, построенной на гипотезах Кирхгофа, и иногда трактуется как серьезный 《порок》теории в данном классе задач. С другой стороны, теория Кирхгофа является простейшей и ее применение весьма заманчиво. Достоинство и недостатки этой теории могут быть оцене-- ны лишь в сравнении с уточненными теориями или с решениями идентичных контактных задач на основе уравнений теории упругости. Это будет сделано в следующих разделах на примере рассмотренной выше простейшей задачи. Сейчас же только отметим, что считать《пороком》теории Кирхгофа тот лишь факт, что она приводит к «странным» поведениям в реакциях, еще недостаточноДействительно, в ряде случаев реакцию следует рассматривать как промежуточный математический объект, используемый при определении напряжений и перемещений.

В качестве примера' построим зависимость между смещением штампа и силой Р для случая штампа с постоянным радиусом основания. Эту зависимость можно назвать жесткостной характеристикой пластинчатой пружины (рис. 5.3), на которую давит жест-

Рис. 5.3. Деформация предварительно изогнутой пластины жестким штампомРис. 5.3. Деформация предварительно изогнутой пластины жестким штампом

Рис. 5.3. Деформация предварительно изогнутой пластины жестким штампом

Рис. 5.3. Деформация предварительно изогнутой пластины жестким штампом

Рис. 5.4. Жесткостная характеристика пластинчатой пружины (рис. 5,3) (P* — PIR/2D — параметр нагрузки (5.6), 5 = &iН=2Rw俨— безразмерный прогиб центра пружины — смещение штампа)

кое тело с плоским основанием.-Эта задача идентична задаче для плоской пластины, сжимаемой штампом радиуса R (рис. 5.1), если радиус достаточно большой.

Определив прогиб в пластине, изображенной на рис. 5.2 с учетом соотношения (5.5), получим искомую зависимость

где Р* — параметр нагрузки (5.6), а з* ——лрогиб, отнесенный к высоте пружины Я (см. рис. 5.3),“

w 2R

Эта зависимость показана на рис. 5.4. Линейный участок ОА соответствует случаю Р*&1, когда контакт пластины и штампа осуществляется в точке. Участок АВ существенно нелинейный за счет расширения площадки контакта.

УЧЕТ ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА

Рассмотрим задачу предыдущего раздела, исходя из уточненной теории пластин на основе уравнений разд. 4.5, но без учета поперечного обжатия. Иными словами будем предполагать, что прогиб не меняется по толщине пластины.-

Уравнение цилиндрического изгиба пластины согласно (4.45) будет.

。苏v(*)=g(x)-^ 三？,(*),-(5. 10)

где штрих означает дифференцирование по продольной координате %; q(x)——нормальная реакция штампа, изображенного на рис.

216

5.1. Для штампа постоянной кривизны прогиб в зоне контакта равен..

- 砌=a一訪，(5・h)

где 1//?=х — кривизна основания штампа; Д — смещение штампа,, которое пока можно считать произвольным. .

Условие (5.11) является для несжимаемой в поперечном направлении пластины условием плотного прилегания штампа в зоне контакта. Если прогиб из соотношения (5.11) подставить в левую часть уравнения (5.10), то получим дифференциальное уравнение для определения реакции q:

" ft2 2 -v 寸 一

Четное по координате х решение этого уравнения, удовлетвори- . ющее условию равновесия штампа

J qdx=P、

-ъ

имеет вид.

(5・％(5・％岳 & ЗЕ,

(5・％

(5・％

где Р ——усилие, приложенное к штампу извне (см. рис. 5.1); / — полуширина полосы;

1。f，E=片2—vI Z -1。f，E=片2—vI Z -

1。f，E=片2—vI Z -

1。f，E=片2—vI Z -

Так как в рассматриваемом случае решение не меняется по координате у, то из разд. 4.5 найдем

他=0他=0V九2V九2dx 10(1 —V).dx 10(1 —V).外 М#у = °'外 М#у = °'dx 5£Лdxdx ,dx 5£Лdxdx ,(5. 13)(5. 13)

他=0

他=0

V九2

V九2

dx 10(1 —V).

dx 10(1 —V).

外 М#у = °'

外 М#у = °'

dx 5£Л

dxdx ,

dx 5£Л

dxdx ,

(5. 13)

(5. 13)

На границе зоны контакта |=p должны быть выполнены условия стыковки: . ._.

砌偉+°) =砌(р —0)，?х(?+0)=?х(^ —0)，M*(P+0)=7W*®-0), Q*(f+0)=Q*©-0),м〃(Р+о)=м“(Р-о)，

а на краю пластины g= 1 условия

閲=И4 *=/И* = 0.

Из последнего уравнения (5.13) с учетом (5.12) находим поперечную силу в зоне контакта Е&В：

(5.14)(5.14)・ С — Р sh со$Ql — V sh<op

(5.14)

(5.14)

Вне зоны контакта поперечная сила постоянна и равна Qx= —Р/2, поэтому условие стыковки по поперечной силе выполняется.Из третьего соотношения (5.13) найдем угол поворота сечения в зоне контакта, подставляя прогиб из формулы (5.11) и поперечную силу из (5.14),Вне зоны контакта поперечная сила постоянна и равна Qx= —Р/2, поэтому условие стыковки по поперечной силе выполняется.Из третьего соотношения (5.13) найдем угол поворота сечения в зоне контакта, подставляя прогиб из формулы (5.11) и поперечную силу из (5.14),―—1 + v sh 吒

Вне зоны контакта поперечная сила постоянна и равна Qx= —Р/2, поэтому условие стыковки по поперечной силе выполняется.

Из третьего соотношения (5.13) найдем угол поворота сечения в зоне контакта, подставляя прогиб из формулы (5.11) и поперечную силу из (5.14),

Вне зоны контакта поперечная сила постоянна и равна Qx= —Р/2, поэтому условие стыковки по поперечной силе выполняется.

Из третьего соотношения (5.13) найдем угол поворота сечения в зоне контакта, подставляя прогиб из формулы (5.11) и поперечную силу из (5.14),

飞 5~, ~Eh sh s?'

加 竺 chsg”R 2<o sh 呻加 竺 chsg”R 2<o sh 呻(5. 15)(5. 15)Первая формула (5.13) дает выражение для момента в зоне контакта

加 竺 chsg

”R 2<o sh 呻

加 竺 chsg

”R 2<o sh 呻

(5. 15)

(5. 15)

При этом уравнение равновесия (5.13)'для момента будет выполнено..'

Вне зоны контакта реакция ^=0, поэтому решение уравнения (5.10) можно (при g^p) взять в форме

® = c°+q(E—Р)+?(Е-Р)2+攀(Е — р)з.

2О

Здесь с。, ci, с?, сз — постоянные.

Из формулы (5.13) находим'

Qx=-。此=—^& + сз(Е-Р儿

%-^-卜1+°2 (Е - Р) + 母(Е - Р)[ Н- -1“；£)Qx‘

一竺一云一竺一云Cthsp,e3=奈Cthsp,e3=奈а из условий стыковки имеем постоянные интегрирования

一竺一云

一竺一云

Cthsp,e3=奈

Cthsp,e3=奈

.俾2

с()= А—

/2 J Р/З—浜十^wF

(5. 16)(5. 16)Условие Мс = 0 при ±=1 дает соотношение между величиной зоны контакта 0 и усилием Р, приложенным к штампу:

(5. 16)

(5. 16)

1 - b + - cth 呻

где Р* — безразмерный параметр нагрузки, введенный в предыдущем разделе (формула (5.6)).

Из условия 侬=0 при 自=1 определим последнюю постоянную Д — перемещение штампа:

ААZ22^Z22^1—(1—РЕ1—(1—РЕ(1 — В)31 - 3 +-cth 33 со(1 — В)31 - 3 +-cth 33 со

А

А

Z22^

Z22^

1—(1—РЕ

1—(1—РЕ

(1 — В)3

1 - 3 +-cth 33 со

(1 — В)3

1 - 3 +-cth 33 со

При выводе этого равенства использовалось соотношение (5.16).

Если пластина весьма тонкая; так что параметр 3foо, то соотношение (5.16) переходит в соответствующее соотношение (5.5)> полученное на основе теории Кирхгофа, а соответствующее перемещение штампа будет равно

Найденное решение в отличие от. решения, полученного по теории Кирхгофа, не имеет в составе реакции сосредоточенных сил из-за отсутствия скачка в поперечной силе на концах зоны контакта.

На рис. 5.5 приведен характер изменения безразмерной реакции■

«*=貧(5. 17)

по ширине зоны контакта. Из этого рисунка следует, что реакция монотонно возрастает от центра зоны контакта к краю и все больше концентрируется вблизи края по мере увеличения зоны. Данное решение, хотя и устраняет сосредоточенные силы в реакции, однако не поггволяет получить нулевое значение реакции на концах зоны контакта. Наоборот, реакция на конце зоны получается макси- мальной^ Это противоречие устраняется, если учесть поперечное обжатие пластины в зоне контакта, что будет сделано в следующем разделе. *

На рис. 5.6 показано изменение параметра внешней нагрузки P*=PIR/2D в зависимости от величины зоны контакта 0. Пунктиром представлено решение, основанное на теории Кирхгофа. Отличие в решениях наблюдается лишь в области малых и достаточно больших зон контакта. В теории, учитывающей деформации поперечного сдвига, отличная от нуля зона контакта появляется сразу, в то время как при использовании классической теории пластины отличная от нуля зона контакта появляется лишь тогда, тогда параметр нагрузки Р*>1. Если Р*^1, то контакт осуществляется в точке. Если пластина достаточно тонкая, например 〃无>10, то соответствующие решения для Р* будут расположены между сплошной и пунктирной кривой на рис. 5.6, т. е. будут ближе к классическому решению. -

Рассмотрим изгибные напряжения ах в зоне контакта и сравним их с напряжениями ах°, полученными по теории Кирхгофа при той же самой 1нагрузке, приложенкой к шта*мпу. Именно сравнение продольных нормальных напряжений позволит ответить на «опрос

Рис. 5.5. Изменение безразмерной реакции q* = 2ql§IP по ширине зоны контакта (^=x/Z, p = &/Z (см. рис. 5Л))Рис. 5.5. Изменение безразмерной реакции q* = 2ql§IP по ширине зоны контакта (^=x/Z, p = &/Z (см. рис. 5Л))Рис. 5.6. Зависимость между величиной зоны контакта ₽=6Д и безразмерной, силой P* = PIR]2D> приложенной к штампу (сплошной линией представлено решение с учетом поперечного сдвига, штриховой — по теории Кирхгофа)Рис. 5.6. Зависимость между величиной зоны контакта ₽=6Д и безразмерной, силой P* = PIR]2D> приложенной к штампу (сплошной линией представлено решение с учетом поперечного сдвига, штриховой — по теории Кирхгофа)

Рис. 5.5. Изменение безразмерной реакции q* = 2ql§IP по ширине зоны контакта (^=x/Z, p = &/Z (см. рис. 5Л))

Рис. 5.5. Изменение безразмерной реакции q* = 2ql§IP по ширине зоны контакта (^=x/Z, p = &/Z (см. рис. 5Л))

Рис. 5.6. Зависимость между величиной зоны контакта ₽=6Д и безразмерной, силой P* = PIR]2D> приложенной к штампу (сплошной линией представлено решение с учетом поперечного сдвига, штриховой — по теории Кирхгофа)

Рис. 5.6. Зависимость между величиной зоны контакта ₽=6Д и безразмерной, силой P* = PIR]2D> приложенной к штампу (сплошной линией представлено решение с учетом поперечного сдвига, штриховой — по теории Кирхгофа)

о целесообразности использования уточненной теорий^ так как именно продольные нормальные напряжения в большинстве случаев определяют работоспособность конструкции.

Так как продольные нормальные напряжения вычисляются по формулам“

12 必 z о 12

t。。『¥=祭・口咽

При вычислении изгибающего момента МД соответствующего решению по теории Кирхгофа, йужно отдельно рассмотреть случай Р*《1, когда контакт пластины и штампа реализуется в точке, и случай Р*>1, когда величина зоны контакта отлична от нуля. В первом случае.

小 ^(1Т),

поэтому согласно формулам (5.15), (5.18) и (U.16) при Р*^1

- Р+ 丄 ^33丁：3、)о《£《р. (5.19)

1 — g \3sh 3卩/

Из этой формулы следует, что в центре зоны контакта (при 自=0)

•。『1一卩+宀齿亭＜1-卜

При ± = В ст*= 1.

Таким образом, на конце зоны контакта 自=0 продольные напряжения в точности совладают с соответствующими напряжениями, подсчитанными по теории Кирхгофа, а в центре зоны контакта при 自=0 справедлива оценка

Так как величина зоны контакта 0 при Р*《1 мала, то и отличие в относительных продольных напряжениях。工 получается весьма малым.

Если『＞1, то

если

(1 — $), если表二

Так как по теории Кирхгофа Р*= 1/(1—-р) (см. формулу (5.5)), то первый из рассмотренных случаев соответствует области АВ на рис. 5.5, в которой контакт имеет место как в решении по теории Кирхгофа, так и по теории, учитывающей сдвиг. Второй случай записан для области ВС на рис. 5.6, в которой по теории Кирхгофа контакта не будет, а по теории, учитывающей поперечный сдвиг, — будет.■ ■'

В случае, когда 0》自》一1/尸*, остается справедливым соотношение (5,19). Если 0《自&1 —1/Р*, то

°* = 1 二.(5. 20)

ch 呼 + (1 — В) s sh 哪

Если Р*=1, то при 自=0 формулы (5.19) и (5.20) дают один и тот же результат. Зто'сразу станет видно, если их преобразовать с помощью соотношения (5.16).

На рис. 5.7 показано изменение параметра продольных напряжений ст* по ширине зоны контакта для разных величин зоны контакта. Расчет проводился следующим образом. Для'каждого заданного значения величины зоны контакта 0 определялся параметр нагрузки Р* по формуле (5.16). Если Р*^ 1, то параметр напряжений ст* рассчитывался по формуле (5.19). На рис. 5.7 это случай для р=0,01. Если Р*＞1, то в зоне 0&&&1—1/Р* параметр ст* рассчитывался по формуле (5.20), при ₽^g^l—1/Р* — по формуле (5.19). Переходу из одной области к другой соответствует излом кривых на рис. 5.7, это точка Е = 1 — 1/Р*=р— — cthsp, в которой параметр ст* имеет наименьшее значение.

Рис. 5.7. Изменение параметра напряжений о*==ох/ох0 (5.18) по ширине зоны контакта (ах° — решение разд. 5.2 по теории Кирхгофа,仃需一решение разд. 5.3)Рис 5.8. Изменение параметра напряжений о*=Он/Он° в центре зоны контакта (ветвь ВС), минимального значения от1п в зоне контакта (ветвь АВ при P*V1, ветвь BD при Р*> 1), значения ^/Р，при котором о*—<y^in (ветвь 4瓦 при Р*< 1, ветвь BiDi при Р*>1) (Р* — параметр нагрузки (5.6))Рис. 5.7. Изменение параметра напряжений о*==ох/ох0 (5.18) по ширине зоны контакта (ах° — решение разд. 5.2 по теории Кирхгофа,仃需一решение разд. 5.3)Рис 5.8. Изменение параметра напряжений о*=Он/Он° в центре зоны контакта (ветвь ВС), минимального значения от1п в зоне контакта (ветвь АВ при P*V1, ветвь BD при Р*> 1), значения ^/Р，при котором о*—<y^in (ветвь 4瓦 при Р*< 1, ветвь BiDi при Р*>1) (Р* — параметр нагрузки (5.6))

Рис. 5.7. Изменение параметра напряжений о*==ох/ох0 (5.18) по ширине зоны контакта (ах° — решение разд. 5.2 по теории Кирхгофа,仃需一решение разд. 5.3)

Рис 5.8. Изменение параметра напряжений о*=Он/Он° в центре зоны контакта (ветвь ВС), минимального значения от1п в зоне контакта (ветвь АВ при P*V1, ветвь BD при Р*> 1), значения ^/Р，при котором о*—<y^in (ветвь 4瓦 при Р*< 1, ветвь BiDi при Р*>1) (Р* — параметр нагрузки (5.6))

Рис. 5.7. Изменение параметра напряжений о*==ох/ох0 (5.18) по ширине зоны контакта (ах° — решение разд. 5.2 по теории Кирхгофа,仃需一решение разд. 5.3)

Рис 5.8. Изменение параметра напряжений о*=Он/Он° в центре зоны контакта (ветвь ВС), минимального значения от1п в зоне контакта (ветвь АВ при P*V1, ветвь BD при Р*> 1), значения ^/Р，при котором о*—<y^in (ветвь 4瓦 при Р*< 1, ветвь BiDi при Р*>1) (Р* — параметр нагрузки (5.6))

На рис. 5.8 показано^ как изменяется минимальное значение параметра 喙口 в зависимости от величины зоны контакта. Это ветвь ABD; участок АВ соответствует случаю Р*< 1, когда в решении, построенном по теории Кирхгофа, контакт пластины и штампа осуществляется в точке. Это минимальное значение будет иметь место в центре зоны контакта 自=0・ На том же рис. 5.8 показана кривая для значения координаты g/p, в которой имеет место соответствующее минимальное значение ^^值. Для участка АВ соответствующий участок кривой &0 совпадает с участком AiBi оси абсцисс. Участку BD кривой(з^Гп для случая Р*> 1 соответствует участок BQ на кривой 自/良 На рис. 5.8 дано также значение пара- .метра о* в центре зоны контакта для зон контакта, в которых Р*> 1. Это участок ВС. Из рис. 5.8 видно, что даже для достаточно ^толстой пластины (ljh= 10) расхождение в продольных напряжениях, найденных по теории Кирхгофа и теории, учитывающей деформации поперечного сдвига, незначительное. Оно возрастает с увеличением зоны контакта.

В заключение отметим, что рассмотренная задача на основе теории, учитывающей поперечные сдвиги, впервые была решена М. М. Филоненко-Бородичем в 1949 г. [70], поставившим цель опре* делить величину сил, которые нужно приложить к концам стержня, чтобы изогнуть его около жесткой цилиндрической поверхно

сти постоянного радиуса. Эти силы равны половине силы Р, приложенной к .штампу, и могут быть вычислены по формулам (5.16) и (5.6), если положить величину зоны контакта B=L

УЧЕТ ПОПЕРЕЧНОГО ОБЖАТИЯ

Учет поперечного обжатия в задаче, поставленной в разд. 5.2, можно сделать как в рамках уточненной теории разд. 4.5, так и в рамках теории Кирхгофа, как это указано в разд. 4.4. Ввиду того, что задача носит иллюстративный характер, рассмотрим второй путь. Иными словами, учтем' только поперечное обжатие и не будем учитывать поперечный сдвиг.

Прогиб поверхности пластины под штампом согласно формуле (4.20) можно записать в виде

/ Л \ I 13 h J . vft2 d^w

Последнее слагаемое правой части можно отбросить, так как оно не нарушает качественной картины решения и, как показали расчеты с учетом этого слагаемого, практически не изменяет решение кппичественно.

Если, как и выше, кривизна основания штампа равна х= =1/^? = const, то условие плотного прйлегания штампа и пластины в зоне контакта будет

+曳丄=а —芝(5.21)

Условие (5.21) можно рассматривать как формулу для определения прогиба wt если известна реакция. Уравнение же для реакции получим, если прогиб из (5.21) подставим в уравнение равновесия пластины в зоне контакта、

"4s— q

В результате получим уравнение

./ 4

В отличие от решения для реакции д, полученного при учете только поперечного сдвига и определяемого из уравнения второго порядка, решение последнего уравнения можно подчинить не только условиям равновесия штампа, но и условию обращения реакции в нуль на концах зоны контакта. В рассматриваемом случае

симметричного штампа это решение имеет вид (В三匕// — безразмерная величина зоны контакта)

0 =也 ——Л0——，(5. 22)

I sh(ор —• sin 呼

причем /(E)=sh«)(P+E) sin 切偉一E)+sho)偉一E) sin(o(P + E)・

Из формулы (5.22) следует, что вид решения не зависит от условий закрепления пластины, эти условия будут влиять лишь на зависимость между силой Р и величиной зоны контакта 0.

Отметим, что в выражении для прогиба в зоне контакта, который определяется через реакцию (5.22) из соотношения (5.21), имеется два произвола: перемещение штампа Д и величина зоны контакта 0. Общее решение для прогиба вне зоны контакта будет содержать четыре произвола. Эти ыгесть произволов позволяют удовлетворить четырем условиям стыковки (для прогиба, угла поворота, момента и поперечной силы) и двум граничным условиям на краю пластины х=1. При этом получим соотношение между силой Р, прижимающей шта*мп, и величиной зоны контакта 自 а также между перемещением А и(р. Опуская выкладки, аналогичные проделанным в предыдущем разделе, для свободно опертой пластины получим -

(D 屮 .3 ， "中，

а* 一=2AR ，卜二］J 」 ch23p+cos23p ./2 ' ш (1—^) sh2wp.— sin 2^ '

. ч I 3 ch2<op 4- c6s2wp I 3 sh 2(00 +sin 2呻 也一 十3( 1 一 B) 4112师二sin 2呻 十32(1—9)2 sh2呻-sin 2邮，

где Р* — параметр нагрузки (5.6). Изменение этого параметра в зависимости от величины зоны контакта 0 показано в табл. 5.1 в графах 0. Для сравнения там же приведено решение по теории Кирхгофа без учета обжатия (графа А) и решение на основе уравнений плоской теории упругости (графы у), которое дано в следующем разделе. Эти результаты можно также сравнить с показанными на рис. 5.5 для случая, когда не учитывается обжатие и учитывается поперечный -сдвиг..(Видно^ ;что расхождение между теорией Кирхгофа и теорией упругости имеет место лишь для,очень малых и больших зон контакта. Учет поперечного обжатия или поперечного сдвига улучшает результат особенно в указанных зонах. В диапазоне средних зон контакта решение по всем теориям достаточно близкое. .

На рис. 5.9 пунктирными линиями показано изменение безразмерного параметра реакции (5.17) по длине зоны контакта. Сплошными линиями представлено изменение того же параметра, вычис- 224

Рис. 5.9. Изменение безразмерного параметра реакции д* = 2〃В/Р (5.17) по ширине зоны контакта [пунктир — решение разд. 5.4, сплошные линии — решение разд. 5.5 (кривые 1—，)； кривая 5 — решение разд. 5.3 с учетом поперечного сдвига, но без учета обжатия; кривым /—5 соответствуют следующие значения параметров 2〃九 и р: 1—2//Л=20 и р— = 0」； 2—20 и 0,3; 3—100 и 0,1;、4—100 и 0,3; 5—20 и 0,3]

ленного на основе уравнений плоской задачи теории упругости в следующем разделе Цифрами

1—4 помечены кривые, соответ

ствующие следующим значениям параметров 2〃九 и р : /——2〃九=20, 0=0」；2 -2/他=20,D= 0,3; 3- 2"九工100， p-0,1; 4 -2"万=1.00, В 干 0,3.

Из рис. 5.9 видно, что с уменьшением относительной толщины

пластины имеет место концентрация реакции у конца зоны контакта. Приближенное решение с учетом поперечного обжатия достаточно хорошо совпадает с полученным по теории упругости. На рис. 5.9 для сравнения дано также решение по теории пластин^ учитывающей поперечный сдвиг и не учитывающей поперечное обжатие. Это решение (5.12) —сплошная, монотонно возрастающая кривая, она соответствует параметрам 2//А = 20, р=0,3.

.Таблица 5.J Изменение параметра нагрузки P*—PlRi2Dt прижимающей штамп (рис. 5.1), в зависимости от величины зоны контакта 0=Ь〃 и от отношения 2//Л (столбец «У» •- решение разд. 5.5 на основе уравнений теории упругости, столбец «0> — решение разд. f5.4 с учетом поперечного обжатия, столбец «^» — решение раз№

5.2 по теории Кирхгофа без учета поперечного обжатия)

'2//Л •

20

100

в

■ 0

妍

0

.k

0,03

0,819

0,72(Г '

1,017

1,018

1,031

0,06

、0,970

0,981

1,049

1,050

1,064

0,1

1,032 '

1,045

1,095

1,096

hill

0,3

1,303

1,313

1,402

1,404

1,429，

0,6

■ 2,140

2,166

2,417

2,425

2,500

0,8

3,740

3,821

4,701

4,709

5,000

РЕШЕНИЕ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИУПРУГОСТИ

Задачу изгиба штампами свободно опертой упругой пластины (рис. 5.1) можно отождествить с периодической задачей изгиба пластины, изображенной на рис. 5.10.,83136225

Рис. 5.10. Изгнб пластины перио-дической системой штампов

Для оценки погрешности - решении, полученных в разд.； 5.2 — 5.4, расмотрим эту за- • дачу, исходя из уравнений ； плоской задачи теории упругости [24].

Сначала запишем решение для самоуравновешен-' ной системы нормальных со-;

в точках х=0, ±2/, ±4/,... 4в точках х=0, ±2/, ±4/,... 4средоточенных сил В, приложенных - _一，一

в точках х=0, ±2/, ±4/,... 4

в точках х=0, ±2/, ±4/,... 4

Используя общее решение {71] и граничные условия для напря*е・；

ний••■

Pl22Pl22(—1)л cosncp I при z=hy(—1)л cosncp I при z=hyполучимполучим%z=0 при z=0, Л; <р=лх/2/,°*=5" £ 隘(/) + ( —1)%"(/)] COS mcp%z=0 при z=0, Л; <р=лх/2/,°*=5" £ 隘(/) + ( —1)%"(/)] COS mcpЗдесьЗдесь-22-22[%(/)+(-1)叫3m (切 COS 加中•[%(/)+(-1)叫3m (切 COS 加中•,тяг 「 ^jm/=a-，中加=誑一，,тяг 「 ^jm/=a-，中加=誑一，(5. 23) 1(5. 23) 1%=-^@ + £ cos%' при z = 0,.

Pl

22

Pl

22

(—1)л cosncp I при z=hy

(—1)л cosncp I при z=hy

получим

получим

%z=0 при z=0, Л; <р=лх/2/,

°*=5" £ 隘(/) + ( —1)%"(/)] COS mcp

%z=0 при z=0, Л; <р=лх/2/,

°*=5" £ 隘(/) + ( —1)%"(/)] COS mcp

Здесь

Здесь

-22

-22

[%(/)+(-1)叫3m (切 COS 加中•

[%(/)+(-1)叫3m (切 COS 加中•

,тяг 「 ^jm

/=a-，中加=誑一，

,тяг 「 ^jm

/=a-，中加=誑一，

(5. 23) 1

(5. 23) 1

屮加(/)=а加ch /十6加sh / 41c加/ ch/+右諸sh/,円“=1，«зт—0. Cim=(shYchY + Y)a^,

c3m = (Y ch у+sh у) a^\' rfim = — sh2 ya^\ rf3m —Yshyam1, * '

, *m=-cim- b3m=-c3m, am=sh2y-Y2, Y=—•"

Перемещение w поверхности z=0 пластины в направлении оси z найдем путем_ интегрлрования соотношения закона Гука для .плоской деформации

v&),= j—. vj=-~-.

* 02 Cj.1 —V/1—V

С учетом (5.23) после выделения расходящейся части ряда получим (〃i — произвольная постоянная интегрирования)，С учетом (5.23) после выделения расходящейся части ряда получим (〃i — произвольная постоянная интегрирования)，8 /\ 01 In 2 sin8 /\ 01 In 2 sin平一%2平一%2

С учетом (5.23) после выделения расходящейся части ряда получим (〃i — произвольная постоянная интегрирования)，

С учетом (5.23) после выделения расходящейся части ряда получим (〃i — произвольная постоянная интегрирования)，

8 /

\ 01 In 2 sin

8 /

\ 01 In 2 sin

平一%2

平一%2

(5. 24)

Выражение (5.24) используется в качестве функции Грнна для перемещения зоны контакта пластины от реакции. С другой сторо- ны, если кривизна основания штампа x=i//?— const, то перемещение зоны контакта пластины в случае плотного прилегания будет (А — неизвестное перемещение штампа)

® 三 А 一2/2炉/(№/?)."

Приравнивание названных перемещений приводит к интегральному уравнению для определения нормальной реакции q штампа:

%=、《《& —%)dS+5 + B (-0<?<9),.

(5. 25)

0三患幻，"（▼-%）=> % cos 加（屮一为）.

Здеск 26 ——величина зоны контакта; 6—произвольная постоянная, характеризующая перемещение штампа..

Уравнение (5.25) преобразуем к уравнению Фредгольма второго рода путем обращения интеграла в левой-части [24] (см. также гл. 7).

Обозначая для краткости правую часть уравнения (5.25) qepeas Иф), получим1

0 (ф )=1 С X 3)尸仲)戏 I / COS L/2 屮0

—2n2X(陶]sin 1/2(?— 物)干 R —X(%)'.

(5『2б)

X (cp)==l/2(coscp —cos 9).

Здесь A — постоянная, определяемая из условия

A In sin —= — L 口泣 cos — d^.(5- 27)

Так как функция f (屮)зависит от произвольной постоянной 口* то постоянную А согласно (5.27) можно считать произвольной, а само условие (5.27) не учитывать, так как при любом 4 оно выи полняётся подбором б._•

2 (cos 屮0 - cos ¥)2 (cos 屮0 - cos ¥)/'他）的/'他）的А'А'X (?) sin 1/2 (屮一<р0) лX (?) sin 1/2 (屮一<р0) лcos 1 /2 屮。 х®)cos 1 /2 屮。 х®)

2 (cos 屮0 - cos ¥)

2 (cos 屮0 - cos ¥)

/'他）的

/'他）的

А'

А'

X (?) sin 1/2 (屮一<р0) л

X (?) sin 1/2 (屮一<р0) л

cos 1 /2 屮。 х®)

cos 1 /2 屮。 х®)

v Постоянную А подберем так, чтобы реакция 如 была ограниченной на концах зоны контакта. Для этого'найдем условие обращения в нуль при ф= ±6 правой части уравнения (5.26). Используя тождества

уравнение (5.26) перепишем в виде

2几2X (脸2几2X (脸4 sin 1/2仲+加）尸（屮）即4 sin 1/2仲+加）尸（屮）即

2几2X (脸

2几2X (脸

4 sin 1/2仲+加）尸（屮）即

4 sin 1/2仲+加）尸（屮）即

X®

Сумма двух шоследних слагаемых обратится в нуль, если выполнить следующие два условия:

\ 尸仔)cos 1/2 ”屮 =0尸(*闾n 1/2也川

т—

.Второе условие можно считать выполненным — это формула для определения Л, первое выполняется автоматически в' силу четности функции f(q)). Четность следует из элементарного анализ за уравнения (5.25)..

Итак,力佛)=工l^f U® 殴・(5.28)

幻2л2 J Х(屮)sin 1/2(屮一加)''

Из уравнения (5.25) можно установить, что функция ^i четная, поэтому в дальнейшем вместо ядра К(<р—<pi) можно взять его четную часть K(q), q)i). Внося после этого в уравнение (5.28) функцию f(<p) [напомним, что /(ф) — правая часть уравнения (5.25)], вычисляя соответствующие интегралы и вводя новую неизвестную функцию у (ср) соотношением

0i®=X@)cos^-y (叫

получим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода для £/(ф):■

У (Фо) COS 早--Ц f /? (%, Фо) X (%) COS 伯)d% = V 6 仇),(5. 29)

где%\=

、1° 2nJ rf? X (?) sin 1/2 (<?-%)

(5. 30)(5.31)(5. 30)(5.31)X (<?) sin 1/2 (<?—恥))X (<?) sin 1/2 (<?—恥))=-E hb俨 h @o) cos G%, 总П1

(5. 30)

(5.31)

(5. 30)

(5.31)

X (<?) sin 1/2 (<?—恥))

X (<?) sin 1/2 (<?—恥))

吗(飼=w0八06仅一力+十)中0优=1, 2,…)， л=0'

РЛ = Рп(сазй)——полиномы Лежандра; bh — коэффициенты^ определяемые в (6.24).

Численное решение уравнения (529) дано ниже. Зная его, можно определить нормальные напряжения ах в пластине, которые представляют наибольший интерес при оценке погрешностей, вносимых в решение задачи гипотезами Кирхгофа. Используя решение (5.23)- для напряжений аж от сосредоточенных сил, напряжения от реакции q с учетом втород формулы (5.25) получим в виде ，819.■、，

% =姦£乙(/)\小 cos加(С?-%)"%,

z т(5.32)

乙(/)=也(/)+ (-1严犧(/)■

Условие равновесия штампа дает уравнение, связывающее ве-.

личину зоны контакта 0 и силу Р, приложенную к штампу: .、

(5.33)

Если для рассмотренной выше пластины (см. рис. 5.10), нагруженной системой штампов, (считать справедливыми гипотезы Кирхгофа, то ее можно отождествить с пластиной, занимающей область —IWxWl и свободно опертой по кромкам х= ±7. При действии на нее цилиндрического штампа с кривизной основания x=l/R = const изгибные напряжения на поверхности пластины, на-

холящейся в контакте со штампом, т. е. напряжения в зоне контакта, будут постоянными и равными

5 =5 =(5. 34)(5. 34)

5 =

5 =

(5. 34)

(5. 34)

:Зависимость между величиной зоны контакта 0 = 6〃 (см. рис. 5.10) и безразмерным параметром* нагрузки Р* (формула 5.6) дана пунктирной кридрй на рис. 5.6, которая построена по формуле (5.5). Таким образом, формула (5.34) справедлива для участка АВ на рис. 5.6. Если допустить, что сплошная кривая на рис. 5.6 построена по результатам данного раздела на основе уравнений теории упругости, то участок ВС в этом решении также принадлежит'зоне контакта. В решении же по теории Кирхгофа этот участок находится вне зоны контакта и напряжения на поверхности пластины, соседней с зоной контакта, будут уже определяться по формуле (рис. 5.2): -

讐=-響（一），

Если ввести сюда параметр нагрузки Р*, определенный формул лой (5.G), то получим'

2R2RР^~^Р^~^(5. 35)(5. 35)

2R

2R

Р^~^

Р^~^

(5. 35)

(5. 35)

В рамках данного раздела величину зоны контакта в решении по теории Кирхгофа будем обозначать через рь а по теории упругости через 也 Таким образом, формула (5.34) справедлива для координат WWBl формула же (5.35) при &>向.При 营=亩 обе формулы совпадают, так как в рамках теории Кирхгофа на основании (5.5) P*(f)=L

Для малых зон контакта, когда P*V1 (см. рис. 5.6) в решении по теории Кирхгофа контакт происходит в точке, тогда выражение (5.35) следует использовать для всех* точек пластины.,

о*5о*5Для того чтобы оценить точность решеяия задачи в рамках теории Кирхгофа, будем в зоне контакта |^р сравнивать продольные нормальные напряжения ах, найденные из уравнений теории упругости по формуле (5.'32)п с налряжениями aj (5.34) при *V <₽1 и (5.35) при А®. Иными словами, вычислим параметр

о*

5

о*

5

(5. 36)

отклонение которого от единицы и будет характеризовать, погрешность теории Кирхгофа. Значение 0i вычисляем из (5.5) для каждого Р*, полученного при заданном 0 по теории упругости. 、

Остановимся кратко на алгоритме численного решения.

(5.37)(5.37)Уравнение (5.29) решалось сведением его к системе алгебраических уравнений.с помощью квадратурной формулы・

(5.37)

(5.37)

л J Л (а) л /j - а^

—е-尼=1 cos-^-

а広=—2 arcsin sin — cosл

*， 〈2 2n .

Эта формула цолучена из квадратурной формулы Мел ера [44] •

I / (х) dx лI / (х) dx л2/回2/回2^ — 1 .Л2л ,2^ — 1 .Л2л ,(5.38)(5.38)

I / (х) dx л

I / (х) dx л

2/回

2/回

2^ — 1 .Л

2л ,

2^ — 1 .Л

2л ,

(5.38)

(5.38)

путем замены переменной

.а / .6

х— — sm — sin — ♦

2 /. 2

Формула (5.38) является формулой повышенной точности —— ?она точна для полинома степени 2n—1 включительно. Формула (5.37) исрользована также для вычисления интегралов (5^2), (5.33) и (5.31). Последний интеграл предварительно регуляризу

ется с помощью тождества

е

(-0<?о<0)..(-0<?о<0)..(5.39)(5.39)\—产==0sin匕严

(-0<?о<0)..

(-0<?о<0)..

(5.39)

(5.39)

которое мы здесь примем без доказательства. Оно будет обсуждено в гл.-8. С помощью тождества (5.39) интеграл (5.31) можно заменить регулярным

b (?о)^~ (b (?о)^~ ((¥一加)d¥X 伸)sin --(¥一加)d¥X 伸)sin --

b (?о)^~ (

b (?о)^~ (

(¥一加)d¥

X 伸)sin --

(¥一加)d¥

X 伸)sin --

Точность решения задачи зависит от удерживаемого числа членов ряда (5.30), определяющего ядро уравнения (5.29), и от числа л в .квадратурной сумме типа (6.37). Вариацией этих величин установлено, что погрешность в реакции не превысит двух процентов, если число членов ряда (5；30) взять равным* величине параметра 2//Л. Погрешность в напряжениях при этом будет еще меньше. Что касается числа и в сумме (5.37), достаточно взять и = 20. При п=20 и 40 результаты совпадают даже в случае тонкой ллас- тины (2///г=1О0). При 2//А<100 реакция будет более плавной функцией,» точность возрастает.

Остаиовимс^на результатах численного расчета.

Изменение безразмерной реакции (5.17) по длине зоны контакта показано иа рис. 5.9 сплошными линиями.

Таблица 5.2

Значение относительных продольных нормальных напряжений J* при 2//й=2О

в

р*

,2//Л=20

0,03

0,8195

е/в

0

0,476

0,736

0,916

1

1,015

1,0214

1,0187

.1,0177

1,0129

0,06

0,9701

Е/3

0

0,476

0,736

0,916

1

% ,

0,9895

1,0041

1,0031

1,0009

0,9997

0,2

1,1531

8/Р

0

0,474

0,734

0,915

1

%

0,9991

0,9924

0,9946

1,0038

-1,0012

0,6

2,1399

//В

0

0,462

0,723

0,91

1

外

0,9995

0,9999

0,9995

—

1,0030

0,8

3,7409

Е/В

0

0,451

0,711

0/905

1

0,9996

0,9998

0,9985

0,9590

1,0034'

Изменение безразмерного параметра внешней нагрузки Р*, оп- ределеииого формулой (5.6), в зависимости от величины зоны контакта р == Ь/1 даиы в табл. 5.1. Эти результаты уже обсуждались в конце разд. 5,4 настоящей главы. Результаты* расчета безразмерного параметра напряжений (5.36) даиы в табл. 5.2, 5.3, 5.4. Там же даио значение параметра Р* (формула 5.6). Мы умышленно приводим подробные таблицы, так как эти результаты считаем принципиальными. Как видно, для всех диапазонов зои контакта» даже для сравнительно толстой пластины 2〃力=20, параметр продольных нормальных напряжений практически совпадает с единицей. Это говорит о высокой точности, которая получается при вычислении этих напряжений по теории Кирхгофа. Одиако эта тео-

/一Таблица 5.3

Значения относительных продольных нормальных напряжений о* при 2//Л=40

в

.2//Л = 40 '

0,03

0,9848

"0

0

0,476

0,736

0,916

1

о*

0,9939

1,0021

1,0022

1,0014'

1,0007.

0,06

1,0272

0

0,476

0,736

0,916

.1

0,9694

0,9941

1,0006

1,0012

1,0008

0,1

1,0711

0

-0,476

0,735

0,916

.1

1,0006

0,9971

0,9895

1,0012

1,0008

0,2

1,1995

Е/Р

0

0,474

0,734

0,915

1

°*

0,9996

1,0005

0,9968

■ 1,0008

1,001

0,3

• 1,363

"В

0

0,473

• 0,733

0,914

1 .

*

1,0003

1,0002

0,9990

1,0009

1,0013

0,6

2,306

那

0

0,462

0,723

0,91

1

0,9999

0,9999

1,0000

0,9949

.1,0024

рия совершенно искажает характер изменения реакции в зоне контакта — появляются сосредоточенные силы. Она дает погрешность и в соотношении между величиной зоны контакта и-внешней нагрузкой (см： табл. 5.1), особенно при очень малых зонах контакта и, наоборот, при больших. Однако эти отклонения нельзя считать недостатками теории, так как и характер реакции, и величина зоны контакта — это промежуточные звенья, необходимые для определения продольных нормальных напряжений в пластине. В тех же задачах^ когда исследование реакции1 является основной -задачей, конечно, теорию Кирхгофа использовать нельзя.

Таблица 54

Значения относительных продольных нормальных напряжений с* при 2//й=100

Р*

2〃府=100

0,03

1,0169

一 0

0,476

0,736 .

0,916

1

吗

0,9997

0,9977

-0,9993

1,0006

1,0007

0,06.

1,0488

Е/В

0

0,476

0,736

0,916

1

1,0004

0,9998

0,9979

0,9999

1,0004

0,1

1,0947

&/В

0

0,476

0,735

0,916

1

%

1,0002

1,0001

0,9998

0,9991

■ 1,0006}

0,2

■ 1,2293

訴

0

0,474

0,734 …

0,915

1

0,9999

'1,0001

1,0001

0,9980

1,0007

0,3

1,4016

UP

0

0,473

0,733

0,914

1

%

1,0001

0,9999

0,9998

0,9997

1,0007

0,6

2,4173

产/p

0

0,462

0,723

0,91

1

宀

0,9999

0,9999

0,9999

0；9996

1,0001

0,8

4,7013

Е/Р

0

0,451

0,711

、0,905

1

1,0001

1,0001

0,9您

0,9998

0,9995.

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ КОНТАКТ КРУГЛОЙПЛАСТИНЫ И ЖЕСТКОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим задачу о вдавливании силой Р абсолютно жесткого тела вращения в упругую тонкую круговую защемленную пластину (рис. 5.14). Задачу будем решать на основе теории пластин Кирхгофа, Как было показано в предыдущем разделе, такое реше- 234 .

Рис. 5.11. Вдавливание жесткого тела вращения в защемленную круглую пластину

ние будет близким к истине с точки зрения изгибных напряжений. Так как напряжения определяются через изгибающие моменты, то в конечном счете' необходимо найти эти мо

менты...

Если предположить, что радиус

основания штампа весьма большой, то допустимо решать задачу в рамках линейной теории пластин. Вели далее предположить, что в некоторой области r^r0 имеется зона плотного прилегания пластины к основанию штампа, то удельные изгибающие^моменты в этой зоне будут.

；V 〃2 Г dr )

.\ r dr ｛公2 丿'「

где Mrt M© ——соответственно радиальный н окружной изгибающие моменты; D = EA3/12(1—v2) — цилиндрическая жесткость.

В зоне контакта по условию -

Q2& _1

"2R *

Значит,

г

dwг dr'

77——"，(МО)

0

поэтому

'(专+ 十(午)，(5.41)

0 '

Если радиус основания штампа R постоянный (сферическое основание), tо、‘

При выводе этих формул было сделано допущение, что в зоне контакта радиус основания Штампа равен радиусу срединной плоскости пластины. В точной постановке вместо 灾 нужно было бы взять R——力/2 (h — толщина пластины). Такое уточнение делать не будем.

Для использования формул (5.41) нужно знать область нх применения, т. е. величину зоны контакта го (ем. рнс. 5.11), а для оп-

Рис. 5.12. Схема иагружеиия пластины кольцевыми усилиями

ределения удельных изгибающих моментов вне зоны контакта нужно знать характер нормальной реакции между основанием штампа и пластины. Кроме этого, необходимо

знать условия, при которых зона контакта существует. Для выяснения всех этих обстоятельств требуется решать контактную за

дачу.

Решение можно строить двумя способами.

Первый способ состоит в том, чтобы рассмотреть уравнение изгиба пластины сначала в зоне контакта, затем вне ее и состыковать полученные решения. Этот путь удобен для определения ре- аюции. Действительно, обозначим через g нормальную реакцию, действующую на пластину сверху вниз, положительный прогиб ш также будем отсчитывать вниз (рис. 5.12).

Дифференциальное уравнение осесимметричного изгиба пластины имеет вид [86]

(5.42)(5.42)

(5.42)

(5.42)

подставив сюда dw/dr из (5.40), найдем реакцию..

Рассмотрим, например, случай, когда кривизна основания штам па задана рядом"

где х° и dn ——постоянные.

Получим выражение для поперечной поверхностной нагрузки

°《d"〃2(〃+2)r"-2

Если бы кривизна основания штампа была постоянной х=х°, то реакция была бы равна нулю. Единственный способ для уравновешивания штампа в этом случае — это приложить кольцевые погонные усилия по границе зоны контакта 尸=飞・ Действительно, на этой линии мы не можем требовать выполнения условия по кривизнам пластины и штампа

"2 _ "五

и, следовательно, выполнения уравнения- (5.42) с учетом (5.40).

Второй способ состоит в использовании функции влияния. Проведем решение задачи этим способом.

Рис. 5,13, Схема, поясняющая способ построения решения (5.45)

Запишем решение для прогиба в защемленной пластине на расстоянии г от центра при действии погонной на

грузки Р/2冗匕(см. рис. 5.12), действую

щей по кольцу радиуса Ь. Суммарный вектор этой нагрузки равен Р. Это решение возьмем в готовом виде из работы [86}

码Г）=為［g-产）号竺+e+鬥m；］r>'' 码，）=£［（炉+戶）也++^^］ 一,

“ 一радиус пластины..

Кривизна х= —<Pw[dr2 будет

(5. 44)(5. 44).х(г)=_总(l_^+21nf+l-另 r>b,x (r)= —^^(2 In —[• 1 — -^-^=const r<d.

(5. 44)

(5. 44)

;Для -произвольной осесимметричной поверхнсытной нагрузку q, действующей по площадке радиуса т,*

，①一击1(2吁+ 1-孙^-金麻00]

义(2痔/+1 一 ^卜加瓦(5. 45)

Формула (5.45) получается просто. В (5.44) заменяем нагрузку Р через 2^qdb (рис. 5.13) и суммируем решения в точке г от таких нагрузок, действующих на участке 6<г, используя первую формулу (5.44), и на участке Ь>г — вторую. После этого интеграл от г до го дополняем на участке (0, г). '

Формула (5.45) годится для вычисления кривизны в любой точке пластины как при г<Го, так и при г>г0. При 厂>飞 верхний предел первого интеграла будет также го. При r<r0, предполагая, что пластина плотно прилегает к штампу, можно считать х = 1/7? известной величиной равной кривизне основания штампа. В этом случае соотношение (5.45) будет интегральным уравнением для определения реакций д. Это уравнение принадлежитвк классу уравнений Вольтерра первого рода. Оно справедливо только в обл аг сти r<r0, так как при г==г0 уже нельзя требовать равенства криг визнн основания штампа и срединной плоскости пластины. .

， Для полного решения задачи^к уравнению (5.45) нужно добавить условие равновесия штампа

(5. 46)(5. 46)МТ

(5. 46)

(5. 46)

о

Зто условие служит уравнением связи между силой Р и величиной ^оны контакта г0.「

Если уравнение (5.45) решено, то его же можно использовать /для определения кривизны 乂 =1/R в пластине вне зоны контакта кГ>го, после чего моменты в пластине можно найти по формулам «5.41), взяв при вычислении интеграла от 6 = 0 до го заданную кри- адзну, а от го до г вычисленную из соотношения (5.45).

Рассмотрим частные случаи.--

штамп со сферическим основанием х=«° = const.

Уравнение (£45) будет

(5.47)(5.47)\(21n 十+ 1一用0川〃=一a一仍m。(0 < Г< го),

(5.47)

(5.47)

(548)

Покажем, что уравнение (5.47) в классе обычных интегрируемых функций имеет только нулевое решение g三0.

Продифференцируем уравнение (5.47) один раз. Будем иметь

S+昂物〃=0. о .

, Повторное дифференцирование дает (при г>0)

j aqdb=qr\

Обозначив b3q=^> и дифференцируя последнее уравнение, получим . .

屮(，)==一仲「)=，餐+屮，dr dr

таким образом, d“/dF = O, t|)= c=const, 9=〃戶，но это при с#=0 — неинтегрируемое решение, в то время как оно должно быть интегрируемое в смысле (5.46). Значит, с=0 и 0三0・

Если же подставить тривиальное решение д = 0 в уравнение (5.47) (не дифференцируя его), то оно выполнено не будет — правая часть отлична qt нуля, а левая равна нулю. Отсюда следует, что для.выполнения уравнения (5.47) необходимо расширить класс искомых функций. Так как, согласно доказанному, д=6 при г<го 238

и, очевидно, gmO нрн『>%, можно только ввести погонные усилил на границе зоны контакта г=г^ т. е. положить

,0=%)3(6-%),(5.49)

где б ——дельта-функция; до ——неизвестная пока поперечная поверхностная нагрузка.‘

Из условия (5.46) найдем %:

%=念.(5・50『

尸衣=尸衣=4DX。4DX。2吟+】2吟+】a2 *a2 *Теперь потребуем, чтобы правая часть уравнения (5.47) равнялась нулю (решение типа дельта-функции не повлияет иа левую часть, так как r<r0). С учетом (5.49) н (5.50) получим уравнение связи между силой Р, действующей на штамп, и величиной зоны контакта г0:

尸

衣=

尸

衣=

4DX。

4DX。

2吟+】

2吟+】

a2 *

a2 *

(5： 51)

Покажем, что правая часть при любом х°>0 н го>О положительная и, таким образом, уравнение (5.51) разрешимо относи-* тельно го.

Так как г0<п, то 0<е= 1—г02М2< 1, отсюда

-й_ = |/ 1 — Е, 21口9~+ 1—==1п(1 — E)-f~S =

штамп с параболическим основанием； В этом случае

X —х° — 2 —,

где м° н d —заданные постоянные*

Уравнение (5.45) будет

f(2 in 彳 +1 一 ^卜加〃 =一 A 一 40峨 + 4£W 条(5.52>

0

где Л — постоянная (5.48).

Решение уравнения (5:52) будет состоять из друх слагаемых. ТТервое слагаемое — решение вида (5.49), соответствующее первым 7вум слагаемым правой части. Оно имеет место, если выполняется условие

:Л + 4£)х°=0.(5.53)

Второе слагаемое запишем 归 форме q=4Ddq?、

где у?——константа, которая определяется из уравнения (5.52), ^2— 二 4

一 За2 %；

' -Окончательное решение будет иметь вид，

(5.54)

Интересно отметить, что если взять dvO, т； е. считать, что кривизна основания штампа увеличивается от центра к периферии, то ®торое слагаемое в формуле (5.54) будет отрицательным и мы получим обратную реакцию, которая физически возможна при нали- ОТИ двухсторонних связей (пластина должна быть приклеена к штампу). При односторонней связи задача в этом случае не будет иметь решения в данной) постановке. Нужно будет допустить не зону контакта, а только кольцевую лннню, '

(5. 55)(5. 55)Для определения зоны контакта 小 и кольцевой нагрузки до имеется уравнение (5.46) и условие (5.53). Первое из них согласно (5.54) дает -

(5. 55)

(5. 55)

%一77 3a2

Из условия (5.53) с учетом (5.54) и (5.55) найдем связь между силой Р и величиной зоны контакта г。：

р»р»~ 2ЕВ + 1 — 02■~ 2ЕВ + 1 — 02■(5. 56)(5. 56)

р»

р»

~ 2ЕВ + 1 — 02■

~ 2ЕВ + 1 — 02■

(5. 56)

(5. 56)

(5. 57)(5. 57)6=姦，

(5. 57)

(5. 57)

При любом заданном р< 1 по формуле (5.56) можно найти нагрузку Р. При этом интересно, что можно так подобрать параметр кривизны d, чтобы сосредоточенная кольцевая реакция обращалась в нуль. Это следует из формулы (5.55);

.л.л66штамп с произвольным законом изменения кривизны основания. Зададим форму основания штампа в виде

.л

.л

6

6

(5. 58)

Уравнение (§.45) будет1

Гсо

、(2Е个 + J专)0匕"匕=-4 -40尤。+40^^%~^:.

Решение имеет вид、

白笫(Г5)+。t券产事•:

Как видим,, решение, соответствующее первому "члену ряда, имеет в центре особенность типа 1/г, решение, соответствующее второму члену ряда — постоянное. -

业3 условия (5.46) найдем до

=丄［£-0宁殳"包+ 2)..生］.

尸о 2л /j n + 1 ап

Соотношение между силой Р и радиусом зоны контакта го найдем из условия (5.53)

2 In В + 1 —部•

Естественно, что коэч|>фи'циенты d^ н 伙° в (5.58) могут -быть заданы только такими, чтобы было Р*>0, ^о>0, иначе задача при односторонних связях в данной постановке не будет иметь решения.

РАСЧЕТ ПАКЕТА СФЕРИЧЕСКИХ ПРУЖИН

Результаты предыдущего раздела можно использовать для расчета пружины, показанной на рис. 5.14. Пружина представляет собой выгнутые предварительно по сферической поверхности радиуса R и затем сваренные по контуру пластины. В центральной части каждая пара таких пластин соприкасается по. некоторой площадке радиус^ го, зависящего от величины приложенной силы Р. Если считать, что первоначальный радиус изгиба пластин R велик, то для их расчета можно применить линейную теорию пластин. Каждая из пластин, если они все одинаковы, находится в условиях жесткого защемления, и для ее расчета можно использовать результаты предыдущего раздела. Действительно, задача изгиба плоской пластины штамлом, изображенная на рис. 5.11, аналогична задаче изгиба предварительно искривленной пластины штамлом (рис. 5.15), если прогибы последней отсчитывать от первоначальной искривленной поверхности, показанной сплошной линией.

В деформированном состоянии радиус срединной поверхности каждой пластины будет равен нулю в зон.е контакта, следовательно, изгибная деформация будет х°=1//?. Иными словами, мы имеем случай а) предыдущего раздела — случай штампа со сферическим основанием. Реакция будет определяться по формулам (5.49), (5.50)

а связь между силой Р и величиной зоны контакта Го ——по формуле (5.51)

4Q/R4Q/R2[1п—+ 12[1п—+ 1(5. 59)(5. 59)

4Q/R

4Q/R

2[1п—+ 1

2[1п—+ 1

(5. 59)

(5. 59)

Рис. 5.14. Пакет сферических пружин (1, 2, .„, п—номера пружин)Рис. 5.14. Пакет сферических пружин (1, 2, .„, п—номера пружин)

Рис. 5.14. Пакет сферических пружин (1, 2, .„, п—номера пружин)

Рис. 5.14. Пакет сферических пружин (1, 2, .„, п—номера пружин)

Задав величину зоны контакта /о, по формуле (5.59) можно рассчитать силу Р. После этого прогиб пластины в зоне контакта определится по второй формуле (5.43), в которой вместо 6 нужно подставить заданную величину*зоны контакта 々.Напомним, что этот прогиб отсчитывается от первоначальной изогнутой поверхности. Если его отсчитывать от плоской поверхности штампа, первоначально касающегося пластины, то он в зоне контакта будет постоянным. Поэтому в формуле (543) достаточно положить г=0 и мы получим .

860)

Если пружина состоит из п пластин, то суммарный прогиб пружины будет nw.

、рФормулы (5.59) и (5.60) позволяют

рассчитать жесткостную характеристику пружины ——зависимость продольной силы пакета Р от его прогиба w:

• P=P(w).

Рис. 5.15. Деформация предварительно искривленной круглой пластины с помо-щью жесткого штампа

Рис. 5.16.. Зависимость между безразмерным прогибом s*=Rsd. центра предварительно изогнутой пластины (рис. 5.15) ,и безразмерной • силой Р* =

= PRj8wD, действующей на штам>п

Эта зависимость, очевидно, будет нелинейной. Расчет следовало бы вести так. Задать силу Р и из уравнения (5.59) .найти г& затем по формуле (5.60) посчитать, прогиб и умножить на число пластин л. Но в этом случае придется решать трансцендентное уравнение (5.59). Можно его не решать, а, задав го, найти Р и затем прогиб w в центре пластины. Затем построить зависимость P=P(w). -

На рис. 5.16 изображена зависимость между безразмерным прогибом одной пластины■

и безразмерной силой (5.57)&

p*= PR・

Эти величины согласно формулам (5.59) и (5.60) можно записать в виде'

®*=р*[*пВ+Т(1— 叫 Р*=-(21пВ+Г-供尸，卩=资，

Очевидно, Z0*->O, P*f 0 при ^f 0. Жесткость пружины из п пластин будет в п раз меньше изображенной на рис. 5.16. Отметим, что зависимость Р* = Р*.(^*) на рис. 5.16 нелинейная с самого начала в отличие от цилиндрического изгиба пластин (см. рис. 5.4), где имеется лмнейный участок. Это вызвано тем, что в круглой пластине зона контакта • поя(вляется сразу, а не только при Р*>1.

ОБ ИЗГИБЕ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

Рассмотрим цилиндрический изгиб упругой тонкой трехслойной пластины, изображенной на рис. 5.17. Будем для простоты считать, что слои 7 и 2* называемые несущими или внешними, одинаковы, имеют толщину Л и цилиндрическую жесткость D. Слои связаны с опорной поверхностью упругими пружинами,, жесткость которых ^1 и 々2, пластина нагружена равномерным -поперечным давлением р.

Этот пример характеретЛем, что показывает, насколько существенно влияет на напряжения в слоях способ крепления пластин и жесткостные характеристики среднего слоя, если учесть поперечное обжатие в слое, который для выяснения сути будем считать винклеровским основанием. Внешние слои будем считать пластинами Кирхгофа. •

Рнс. 5.17. Трехслойная полоса на упру，：、 гом контуре в условиях цилиндрическо*： го и*згнба давлением р (也，^2 — коэффи-；. ■ цненты жесткости контура) 亠

Условие совместности дефор- $ маций пакета будет「

■(叫一耽)，.(5.61) *

где g — поверхностные усилия взаимного ^поперечного обжатия пластин / и 2 (реакция); 叫 и g — соответственно прогибы слоев . / и 2; £с» 九с ——модуль упругости и толщина среднего слоя.'

Вычитая одно из другого дифференциальные уравнения равно-, весия слоев

D^n^=р — g, Dw^=q,,(5. 62)

получим уравнение для реакции、

^^^q=p.(5.63)

Четное решение этого уравнения имеет вид

g = -^- + Qch<oEcos<o? + c2sh<oEsin 碇.(5.64)

Здесь" =Ikl^£_(5.65)

н 自三％//； Ci, с? — произвольные постоянные. '

Подставим q из уравнения (5.63) в уравнения (5.62) и перепишем их в виде '•

Отсюда четное решение для прогиба будет

1 2 4!2£с1丁 1 2 "

Q吗=^差-翁m4+当苧，(5.66)

/4! ZZJC2

где ЛI и 5i — произвольные постоянные, которые должны быть одни и те же в обоих, решениях, нна《е нарушится условие (5.61). Постоянные 口，办，工1 и 5i определим из граничных условий

■也1=报2=0，Ql=-自叫，Q2=*-局m2 При %=/,(5. 67)

Mj, Qj — удельные изгибающие моменты и удельные поперечные силы ..、

/И>=—Dwj, Q/=—DWj ./И>=—Dwj, Q/=—DWj .(5, 68)(5, 68)

/И>=—Dwj, Q/=—DWj .

/И>=—Dwj, Q/=—DWj .

(5, 68)

(5, 68)

Условия Afi—Af2 —0 согласно (5.66) дают

礬0'(*)+ 31=°， *一礬Q(x) + 81=O при x=Z, 4ZE с4 2厶 -

отсюда Mx) =~^Ц-=。，§1=・

Условие 9/,=0 согласно (5.64) дает

- C2=C1tho)tgco.

.Формулу (5.64) теперь можно записать в виде

9 = "f + c/(E),(5.69>

где с — постоянная интегрирования,

〃E)=cho)(l — Е)cosо)(1 +Е)+chо)(1 +5)coso)(l—$). (5. 70}

- Оставшиеся постоянные 4 и с определим из второй пары граничных условий (5.67)

e=些 A.

、Dhc

J1Ас,

(5.71>(5.71>д 左1左 2EJ

(5.71>

(5.71>

—2/371Г\

才 /⑴-(丁+7")尸"⑴

D\ Я1 «2./

где 产⑴ 一прЬизводная по 自 от функции (5.70) при g= 1. Значение постоянной Ai не выписываем, так как нас будут интересовать, только удельные изгибающие моменты, определяющие нормальные напряжения в пластинах. ・

Удельные моменты получим по формулам (5.68), (5.66) и (5.69) 他=牛"一？ —2ДГ(Е)], 加2=个口一g+24尸制.(5. 72>

Из формул (5.72) следует, что разница, в напряжениях слоев зависит от параметра А. Если Л = 0, то обеспечивается условие равенства напряжений в обеих пластинах. Этот оптимальный вариант согласно (5.71) имеет место при условии

左1 佗2 6cz *

Второй наиболее часто встречающийся на практике вариант (свободное опирание) соответствует случаю fei=*0, когда нет первой пружины. В； этом случае Л = —1/『"彳1)・

Для этого случая сравним напряжения в центре каждой( пластины с напряжениями в одной пластине толщиной Л от той же нагрузки, когда момент в центре равен М=р/2/2,

。尸鬻=子+ "'(%％謂=}-"(。)■

Рис. 5.18. Изменение, напряжений Gi и а2 в центре первой^ и второй пластины в зависимости от параметра w (5.65) для случая ^1 = 0Рис. 5.18. Изменение, напряжений Gi и а2 в центре первой^ и второй пластины в зависимости от параметра w (5.65) для случая ^1 = 0

Рис. 5.18. Изменение, напряжений Gi и а2 в центре первой^ и второй пластины в зависимости от параметра w (5.65) для случая ^1 = 0

Рис. 5.18. Изменение, напряжений Gi и а2 в центре первой^ и второй пластины в зависимости от параметра w (5.65) для случая ^1 = 0

Рнс. 5.19. Возможные варианты заделки контура трехслойной пластины

Изменение этих безразмерных напряжений в зависимости от параметра ①(5.65) показано на рис< 5.18. Из рисунка видно, что условия оптимального нагружения, когда ai = Q2=0,5, обеспечиваются, если(о^3, т. е. для достаточно жесткого склеивающего слоя. : ..

Отметим, что рассмотренная задача практически интересна при выборе способа заделки слоистых изделий из стекла, которые, как правил。，имеют мягкий склеивающий, слой и опираются на упругий контур из резиноподобных материалов. Возможные варианты такой заделки показаны на рис. 5.19. Случай а и б в постановке данного раздела идентичны: в первом из них 左2 = 0, во втором —— 財=0. Случай в соответствует схеме рис. 5.17.

Пусть 6力办力 £j (У=Г, 2)——толщина, ширина и модуль упругости обрамляющих стекло материалов, зачерненных на рис. 5.19. Тогда

и согласно определению (5,67)

也也(/=1, 2).(/=1, 2).

也

也

(/=1, 2).

(/=1, 2).

Введем относительную жесткость обрамления

入=財=上1%62

財 Ё2闻瓦

относительную жесткость первого обрамления в сравнении со склеивающим слоем

а также относительную жесткость первого обрамления по сравне-* нию с жесткостью стекла.

М/з i2EWU3

,-Y ==.

' D £胪瓦

Тогда параметр (5.71) можно записать в виде.

* Д一 ^1 -入一世

-2y/⑴ 一(1 + 心尸(1Р

Оптимальный вариант будет при Л+ц= 1./'

Наиболее распространенный вариант, изображенный на рис. 5.19, б, будет при 入=卩=丫 = 0. (Е = 0).

В заключение отметим, что учет деформаций поперечного сдвига среднего слоя может изменитьжартину напряжений, изображенных на рис. 5.18, количественно. Качественный же результат останется прежним. Он подчеркивает значение условий закрепления конструкций данного типа и указывает на важность учета поперечу ного обжатия в задачах этого рода. Теория, не учитывающая поперечное обжатие, не чувствительна к способу заделки отдельных слоев. Как видно из рис. 5.18, она может давать хорошие резуль- • таты лишь при <о>3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

L Александров В. М・ Некоторые контактные' задачи для балок, пластин и оболочек. — Инженерный журнал, 1965, т. 5, № 4, с. 782—785..

Александров В. М., Шацких Л； С. Новый метод расчета изгиба цилиндрической оболочки на упругом цилиндре.——Йзв. АН СССР. Механика твердого- тела, 1974, № 5, с. 163—166..“

Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., Наука, 1974.-446 с. -、

Антуфьев Б. А., Шклярчук Ф. Н. К контактной задаче для сферической абблочки с жестким. включением произвольной формы.——Труды Московского авиационного института, 1976, № 362, с. 59—62.

Артюхин Ю. П. Напряжения в клеевых соединениях ——В кн.： Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Изд-во Казанского университета 1973, с. 3—27.

Артюхии Ю. П. О решении одномерных и осесимметричных контактных задач теории трансверсально изотропных пластин н оболочек.——Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции. Смешанные задачи механики деформируемого тела, Ростов-на-Д(жу, 1977, ч. 2, с. 63—64.

Артюхин Ю. П., Карасев С. Н. Действие жесткого штампа на пологую- сферическую оболочку и пластинку. — В кн.: Исследования по .теории пластин и оболочек. Вып. 9. Изд-во Казанского университета, 1972, с. 211—219.

Артюхин Ю. П.г Карасев С. Н. Некоторые контактные задачи ” теории тонких пластин.——ВХн.: Исследования по теории пластин н оболочек. Вып. 1(к Изд-во Казанского университета, 1973, с. 159—166.

Артюхин Ю. П., Карасев С. Н. Определение напряжений в пологой сферической оболочке при действии жесткого тела. — В кн.: Исследования по тео-

рии пластин н оболочек. Внп. 11. Изд-во Казанского университета, 1975, с. 159— 166. * ' '

Артюхии Ю, П., Карасев С. Н. Применение уточненной теории оболочек при решении контактных задач. — В ки.： Теории оболочек с учетом поперечного сдвига. Изд-во Казанского университета, 1977, с. 132—153.

Бабешко В. А., Векслер В. Е. Смешанная стационарная задача о мери- диальиой аксиально-симметричной деформации замкнутой сферической оболочки. —В кн.: Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Доиу, .1975, с. 180—г201. .

Блох М. В. К выбору модели, в задачах о контакте тонкостенных тел.— Прикладная механика, 1977, 13, № 5, с. 34^-42.

Блох М. В., Ващенко Н. Г., Гинц А. А. О вдавливании штампа в прямоугольную пластинку. — Прикладная механика, 1978, т. 14, № 7, с. 70—75.

Блох М. В., Цукров С. Я. Осесимметричный контакт тонких цилиндрических оболочек. — В кн.: Расчет простраиствеиных систем в строительной механике. Саратов, Саратовский университет, 1972, с 79—82. ~

Блох М. В” Цукров С. Я- Об осесимметричном контакте тонких цилиндрических оболочек. — Прикладиаи механика, 1973, т. 9, № 11, с. 23—28.

Блох М. В., Цукров С. Я. О влиянии изменения толщины стенки иа •осесимметричный контакт тоИких цилиндрических оболочек.——Прикладная механика, 1974, т. 10, № 4, с. 31—37.

Бондаренко В. А. Контакт тонкостенной сферической оболочкй с жестким шаром. — Прикладная механика, 1971, т. 7, № 12. с. 51—57.

Божкова Л. В. Распределение давлений в области контакта цилиндрической трубы с жестким цилиндрическим основанием.——Сборник трудов МИСИ. М., 1969, № 63, с. 90—95. .

Божкова Л. В., Паиеикова Т. П. О контактном взаимодействии цилиндрической оболочки и -упругого основания.——Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М,, Наука, 1970, с. 88—92.

Божкова Л. В., Рябов В. Г. О контактном взаимодействии цилиндрического резервуара с жестким основанием. — Сборник трудов МИСИ. М., 1974, №118, с. 69—73. . “

Вейц В. Л., Равич-Щербо Р. Ю.( Шраго Л. Г. Давлений на поверхности цилиндрической оболочки； нагруженной рсесимметричио через жесткие элементы. —В кн.: Вопросы механики деформируемых сред. Иркутск, .1973, с.4—15.

Галии Л. А. О давлении твердого тела на пластинку. — Прикладиаи математика и механика, 1948, т. 12, № 3, с. 345—348.

Гнатыкив В. Н., Пелех Б. Л. О постановке и решениях контактной задачи дли траисверсальио-нзотропиой пологой сферической оболочка.——В сб.： Композиционные материалы и новые конструкции. Киев, Наукова думка, 1977, с. 96—100.

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами. — Прикладная математика и механика, 1975,' т. 39, № 5； с. 876—883.

Григорович В. М. Контакт сферической оболочки с жестким штампом при наличии сцеплении. — Прикладиаи механик% 1973, т. 9, № 5, с. 24—30.

Детинко Ф. М., Фастовский В. М. Посадка короткой втулки на цилиндрическую оболочку. — ” Вестннк машиностроении, 1967, № 7, с. 42—45,

Детинко Ф. М., Фастовский В. М. Контактиаи задача" о посадке двух цилиндрических оболочек различной длины. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, № 3, с. 118—121.

Детиико Ф. М., Фастовский В. М. О посадке бандажа на цилиндрическую оболочку. — Прикладная механика, 1975, т. 11, № 2, с. 124—126.

Зарипов Р. М., Иванов В. А. Контактные усилии между цилиндрической оболочкой с заполнителем и упругим основанием. — Труды семинара по теории оболочек. Казанский физико-технический институт АН СССР, 1975, № 6, с. 306—— 313,

Ильина Л. Г. Расчет сферической оболочки, лежащей на жестком основании. —Сборник трудов МИСИ М,, 1974, № 118, с. 73—79.

Иосилевич Г. Б. Упругий контакт пластин. — Труды Уфимского авиационного института, 1971, № 31, с. 84—88.

Карасев С. В. Цилиндрическая оболочка, лежащая на жестком ложе^ менте. Сборник аспирантских работ Казанского университета. Точные науки. Математика. Механика. Казань, 1976, с. 119 —124.

Карасев С. Н. Контактная 'задача для тонкого кольца. Сборник аспирантских работ Казанского университета. Точные науки. Математика, Механика* Казань, 1976, с. 91—97.“

Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Контактное взаимодействие пластин с жесткими тёлами. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 1 L Изд-во Казанского университета, 1975, с 148—159.

Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 12. Изд-во Казанского университета, 1976, с. 68—76-

Карпенко Т. Н. Задача о контактном взаимодействии цилиндрической оболочки с жестким штампом.「. Химическое машиностроение. Республиканский межведомственный научно-технический сборник, 1975, № 22, с. 6—14.

Карпенко Т. Н. Контактная задача для цилиндрической оболочки конечной длины. — Прикладная механика, 1976, т. 12, № 6, с. 70—75.

Карпенко Т. Н. Контактное взаимодействие цилиндрической обвлочки с абсолютно жестким ложементом. — Химическое машиностроение. Республиканский межведомственный научно-технический сборник, 1977, № 25, с. 9—12.

Клейн Г. К・ Расчет труб, уложенных в земле. М., Госстройиздат, 1957> 195 с.'

КовнеристовА Г. Б. Взаимодействие штампа и балочной плиты.——Республиканский межведомственный научно-технический сборник «Сопротивление материалов и теория соорузсенн虫》，」975, вып. 25, с. 165—171.

Ковнеристов Г. Б. Осесимметричная контактная задача для цилиндрической сУболочкн.——Республиканский межведомственный научно-технический сбор- * ник «Сопротивление материалов и теория сооружений», "975, вып. 27, с. 119— 124.,

Кращук А. А. К расчету пологой цилиндрической оболочки, лежащей на упругом основании. — Труды Сиб. НИИ метрологи场 1971, № 13, с. 36—44.

Кращук А. А* Зависимость между жесткостями системы «оболочка — упругое основание». — Труды Сиб. НИИ метрологии, 1971, № 13, с. 53—57.

Крылов В. И. Приближенное вычисление ийтегралов. Изд. 2, М” Наука, 1967.500 с.

Лукаш П. А., Леонтьев Н. М. Расчет сферической оболочки, опирающейся на жесткое основание.——Инженерный сборник, 1959, т. 2 5, с. 15 4——163.

Мухадзе М. Г. Об одном решении задачи изгиба тонкого стержня по лекалу. — Сообщение АН Груз. ССР, 1977, т. 85, № 3, с. 645—648.

Панасюк В. В., Теплий М. И. Деяк1 контактн! задач! Teopii пружност!. Ки1в, Наукова Думка, 1975. 195 с.

Пелех Б. Л. Некоторый особенности постановки и решения контактах задач о взаимодействии упругих цилиндрических оболочек с твердыми жесткими телами. — В кн.: Избранные проблемы прикладной Механики. М., 1974, с. 559—536.

Пелех Б. Л., Мамчур И. Л. Об одной контактной задаче для трансверсально изотропной цилиндрической оболочки конечной длины.——Прикладная механика, 1973, т. 9, № 6, с. 41—46.

Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. О давлении твердого тела на трансверсально изотропную пластинку, связанную с упругим основанием. — Изв. АН Арм. ССР. Механяка, 1970, т. 23, № 3, с. 36—42.

Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. О контактных задачах для балок и пластинок с низкой сдвиговой жесткостью. — Механика полимеров, 1970, № 4, с. 715—— 720.

Пелех Б. Л“ Сысак Р. Д. К .вопросу о горячей посадке бандажа на цилиндрическую оболочку. — ФХММ, 1971, № 4, с. 94—96.、•

Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. Про одну контактную задачу пружноТ плас- тинки. — Допов1д1 АН УРСР, 1972, А. №3, с. 253—257.

Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. Об одном классе контактных задач для тонких анизотропных пластинок из армированных пластиков. — Механика полимеров, 1972, № 2, с. 346—350.,

Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Взаимодействие системы жестких гладких штампов с упругими цилиндрическими оболочками из армированных пластиков. —Прикладная механика, 1974, т. 10, № 4, с. 26—30. -

Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. К решению задач об упругом контакте цилиндрических оболочек. — Прикладная механика, 1974, т. 10, № 8, c.J5—30. ，

Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Некоторые осесимметричные контактные задачи дли упругих ортотропных цилиндрических оболочек из армированных пластиков. — Механика полимеров, 1976, № 4, с. 667—670. .

Пелех Б. Лм Сухорольский М. А, Некоторые осесимметричные контактные задачи для упругих ортотропных цилиндрических оболочек из армированных пластиков. — Механика полимеров, 1976, № 5, с. 860——863.

■ 59. Пельц С. *П. Одна задача об изгибе пластин.— Изв. Северо-Кавказского центра высшей школы. Сер. естественннх^аук, 1975, № 4, с. 12—15.一

Питько В.，В. Решение некоторых задач для сферической оболочки.——В кн.: Строительная механика и расчет сооружений, 1973, № 6, с. 21——26.

Попов Г. Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов. — Прикладная математика и механика, 1976, 40, № 4, с. 662— 673.

О методе ортогональных многочленов в контактных задачах теории упругости.—Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, № 3, с. 518—531.

Розенберг Л. А. О давлении твердого тела на пластинку.—— Инженерный 'сборник, 1955, 21, с. 151—155.

Саркисян С. О. О цилиндрическом изгибе пластинки жесткими штампа

ми. — Доклады АН Арм. ССР, 1977, вып. LXIV, № 4, с. 216—223.

Смирнов Е. & Контактная задача для кольца, лежащего в ^жесткой обойме. — Труды МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1977, 241, с. 81—88.>

. Соболев Ю. В., -Красиовский Е. И. Локальное нагружение металличес

кой сферической оболочки жестким штампом. Изв. вузов. Строительство н архитектура. 1976」№ 2, с. 46—52. .

Соболев Ю. В., Красновский Е. И. Местное нагружение сферической оболочки радиальным вдавливанием*жесткого штампа. — Строительная мехаинка и расчет сооружений, 1976, № 5, с. 11—14. ,

Сухорольский М. А., Матиешин Д. Д. Эффективные решения одного класса контактных задач для анизотропных цилиндрических оболочек. — В кн.; Композиционные материалы н новые конструкции. Киев, Наукова Думка, 1977, с. П5—lt9.

Толкачев В. М. Контактиаи задача для сферической оболочки.——В ки.: Теория пластин и оболочек. М., Наука, 1971, с. 271—277.

Филоненко-Бородич М. М. Изгиб тонкого стержня по заданной кривой.— Труды Московского электромеханического института, инженеров железнодорожного транспорта. М., Трансжелдориздат, 1949, вып. 58, с. 3—10.

Фнлоненко^Бороднч М. М. Теория упругости. Изд. 4-е. М., Физматгиз, 1959. 364 с.

Bogy D. В. The shrink-fit of a cylindrical shell into a discontinuous rigid niangrel. — Transactions ASME, 1974, E41, N 4, p. 959—962.

Dasgupta G., Kelly J. M. Analysis of localized dinamic Contact on structures using matched asymptotic expansions?—Journal Structures Mechanics, 197g 6(1). p. 29—44.

DeSilva C. N.t Tsai P. J. On the contact problem of thin elastic shells.— Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1969, 49, N 5, S. 267—273.

Essenburg F. On a class of nonlinear axisymmetric plate problems. Transactions of the ASME. Series E. — Journal of Applied Mechanics, 1960, 27, N 4, p. 677—680. . ，

Essenburg F. On surface constraints in plate problems. Transactions of the ASME, Series E- — Journal of Applied Mechanics, 1962, 29, N 2, p. 340—344. (Русский перевод： Эссеибург Ф. О принудит елыю изогнутых пластинах.——Прикладная механ-нка. Серия Е, 1962, 29, № 2, ИЛ, с. 136—140).

Essenburg F.t Gulati S. T. On the contact of two axisymmetric plates. 一 Paper of ASME, 19в5, N APMW-26. (Русский перевод: Эссенбург Ф” Гула-

ти С. Т. О контакте двух осесимметричных пластилок.——Прикладная мехамика. Серия Е, 1966, № 2* ИЛ, с. 91—97)...

Girkmann К. Formanderung eines kfeisformigen, auf ebener Unterlage aiif- ruhenden Behalterbodens durch Flussigkeitsdruck. — Der Stahlbau, 1931, 4» S. 205—209.

Hofmann R. Uber ein nichtlineares Pr.oblem der Plattenstatik. — Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik,. 1938, 18, S. 226—232.-

Hill L. R” Cakmak A. S.,_Mark R. Shrink fit of a thick-walled cylinder with contact shear. — Transactions of the ASM.E, Series E, Journal of Applied Mechanics, 1968, 35,N 4, p. 729—736. (Русский перевод: Хилл Л. Р., Кзкмак А. С.一 Марк Р. Горячая посадка иа толстостенный цилиндр ■ при наличии контактных усилий сдвига. Прикладная механика, 1968, 35, № 4; ИЛ, с. 117—124).

Кеег L. М” Silva М. A. G. Bending of a cantilever braught gradually into contact with a cylindrical supporting surface, — International Journal Mechanical. Sciences. .Pergamon Press, 19 70, 12, p. 751—760.

Kulkarni S. V., Frederick D. The contact problem of two coaxial cylindrical shells. — International Journal Mechanical Sciences, 1973, 15, N 5, p. 367—379,

Laing Barden. Contact pressures under circular slabs. — Structures Engineering, 1965, 43, N 5, p. 153—154.

Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells. — Quarterly of Applied Mathematic, 1957； 14, N 4, p. 369—380.'

Sneddon 1. N., Gladwell G. M. L., Coen S. Bonded contact of an infinite plate and an elastic foundation.——'Letters in applied and engineering sciences” 1975, 3, p. 1—13.•'

. Timoshenko S. -P., Lessels J.* M. Applied elasticity/ Westighouse. technical nigth school press. East Pittsburgh, * Pa., 1925. 544 p. (Перевод иа русский язык: С. П. Тимошенко и Д*. Л веселье. Прикладная теория упругости. Пособия для ВТУзов и специалистов. Л., Гостехиздат, 1930. 392 с.; М.—Л., Гос- техиздат, 1931. 392 с.)..'-

Timoshenko S. Р., Woinowsky-Kriger S. Theory of plates and shells'. 2 edition. New-York — Toronto — London, McGraw-Hill book Co., Inc., 1959. (Перевод на русский 兄зык: Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 19健，635 с.).

Tooth A. S., Duthie С. Discussion on the paper «Stresses and deformations in a cylindrical shell lying an a continuous rigid support» by R. Vinet and R. Dore. Atrtor's reply. — Transactions of the ASME, Series E. Journal of Applied Mechanics, 1975, 42, N 4, p. 908.'；

Updike D. P., Kalnins ~A. Contact pressure between an elastic spherical sheels and a rigid plate. — Transactions of the ASME, Series E. Journal of Applied Mechanics, 1972, 39, N 4, p. 1110—1114.„ '..

Vinet R・,Dore R. Stresses and deformations in a cylindrical shell lying on a continuous rigid Support. — Transactions of the ASM.E. Series E. Journal of Applied Mechanics, 1974, 41, N 4, p. 969——973.

Глава 6

МАТРИЦА ГРИНА ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙОБОЛОЧКИ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В шестой главе дается решение уравнений равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях при воздействии сосредоточенных сил. Эти решения используются как функции Грина прн рассмотрении произвольных внешних нагрузок. Они будут ядрами интегральных уравнений при формулировке контактных задач в гл. 8 н 9. Материал главы размещен следующим образом. В разд. 6.2 приведены основные соотношения теории тонких цилиндрических оболочек: уравнения равновесия» соотношения между обобщенными усилиими и моментами с одной стороны и деформациями срединной поверхности ——с другой, соотношения между деформациями и смещениями, записана система уравнений равновесии в перемещениях, которая является разрешающей системой. В том же разделе дано общее интегральное представление решения уравнений равновесия с помощью матрицы Грина. Матрица Грина, в свою очередь, определяется ,с помощью разрешающей (скалярной) функции Грина, через которую в конечном счете выражаются деформации, смещения, удельные усилия и моменты в срединной поверхности оболочки. Во втором разделе дано фундаментальное решение основного разрешающего уравнения для функции Грина. Это решение представлено в виде тригонометрического ряда по окружной координате^ коэффициенты ряда записаны в удобном для расчета тригонометрическом виде (исключена неудобная в вычислительном отношении процедура деления больших чисел). Подобное решение лолучается путем использования интеграла Фурье для решения обыкновенных дифференциальных уравнений по продольной координате, получающихся после разделения переменных. Это решение впервые получено С. Юанем [87] (1946 г.) для теории пологих оболочек и В. М. Даревским [21] (1950 г.) для непологих. Компоненты матрицы Грина для мембранных усилий и изгибающих моментов в оболочке могут неограниченно возрастать в окрестности точки приложения сосредоточенного фактора. Возникает потребность выделения таких неограниченных решений, которые в контактных задачах определяют структуру интегральных уравнений. Неограниченная часть решения, названная главным значением, впервые для цилиндрической оболочки получена в работе В. М. Даревского [21]* (1950 г.). В этой статье показано, что главное значение получается, если в разрешающем уравнении для функции Грина оставить только старшие производные. Выделению главного значения для компонентов матрицы Грина посвящен разд. 6.4. В разд. 6.5 дается исследование сходимости рядов, полученных после выделения главной, расходящейся части. Этот вопрос исследован, нами путем сведения задачи к анализу некоторого интегрального уравнения. Оказалось, что при использовании теории пологих оболочек после выделения главного значения ряды начинают сходиться как 1/〃*+&, если до выделения они сходилйсь как l/nh (п ——номер члена ряда). В разд. 6.6 дано построение функции Грина для свободно опертой на торце полубесконечной оболочки и для свободно опертой оболочки конечной длины. Для построения эффективно используется метод отображения, с помощью которого, например, функция Грина для полубесконечной оболочки получается путем суммирования или вычитания двух функций Грина для бесконечной оболочки. Для оболочки конечной длины берется суперпозиция бесконечного числа фундаментальйых решений, каждое из которых, в свою очередь, выражается тригонометрическим рядом. Получается двойной ряд. Однако в отличне от 252

обычного двойного тригонометрического ряда получаемый, ряд очень быстро сходится (ряд по экспонентам). Описанный прием использован С. Юанем [87].

В отечествеииой и зарубежной литературе вопросу расчета оболочек при локальных (действующих по малым площадкам, отрезкам линий) и сосредоточенных нагрузках посвящено значительное число исследований. Обзор исследований дай в статьях В. М. Даревского [25], Ю. П. Жигалко [26], а работы казанских ученых отдельно освещены в обзоре К- 3. Галимоба и Р. Г. Суркииа [11J. Поэтому остановимся лишь иа основных этапах исследований в этой области.

По-'видимому, первая работа, в которой была рассмотрена цилиндрическая оболочка с локальной нагрузкой, относится к 1933 г. и принадлежит Гансу Рейсснеру [83]. Решение строилось для свободно опертой оболочки в двойных тригонометрических рядах. В 1946 г. появилась известная работа С. Юаня [87], в которой иа основе уравнений теории пологих оболочек были получены прогибы бесконечной длинной круговой цилиндрической оболочки, загруженной самруравио- вешеииой системой двух радиальных сосредоточенных сил и сосредоточенных моментов. Здесь же были найдены прогибы оболочки конечной длниы путем приложения к бесконечней длинной оболочке периодической системы самоуравиовешеи- иых радиальных сил с шагом, равным длине оболочки, и суммированием решений от указанных сил. В указанной работе С. Юань применил разложение решения в ряд Фурье по окружной н интеграл Фурье по продольной координате, в результате чего впервые получил решение в одинарных рядах. К упомянутой задаче Юань возвращался в совместных с Л. Тингом статьях [88, 86], в первой из иих были использованы уравнения В. Флюгге и было показагю, что прогибы, найденные из теории пологих оболочек и уравнений В. Флюгге, хорошо согласуются для ие слишком длинных оболочек (///?^10). Для бесконечно длинных оболочек расхождение'до 25%. Во второй работе [86] рассмотрена свободно опертая-и защемленная оболочка, исходя из уточненного варианта уравнений пологих оболочек [68]. Показано, что решение для прогиба не слишком длинных оболочек существенно зависит от граничных условий. Разобранную С. Юанем задачу решал также Л. Морлей [81] исходя из им же полученного.уравнения.

Важные исследования цилиндрических оболочек с локальными и сосредоточенными нагрузками выполнены в работах В. М. Даревского [21, 23, 24, 25] с помощью упомянутого метода, использоваииого впервые С. Юанем [87]. Им изучено воздействие на оболочку произвольно направленных внешних усилий и моментов, равномерно распределенных по малым прямоугольным площадкам, малым отрезкам образующих и дуг окружности, а также сосредоточенных сил и моментов. Исходя из уравнений в форме А. Лява [74] автор получил общие соотношения, необходимые для вычислений перемещений, усилий и моментов в оболочке. * В. М. Даревским выделена главная, неограиичеиио возрастающая в окрестности точек нагружения часть решения, которая выражаете或 конечной комбииациед элементарных функций. Такое выделение* позволяет существенно улучшить - сходимость рядов и получить асимптотические формулы для усилий и моментов в окрестности точек приложения сосредоточенных сил. Иитегрираваиием асимптотических формул можно получить соответствующие выражения при локальном нагружении и выявить особенности решения у концов линий и а гружения или в угловых точках площадок нагружения. Такие исследования выполнены в работе Э. И. Григолюка и В. М. Толкачева [13], где получены асимптотические формулы для мембранных усилий в оболочке, загруженной псу отрезку образующей произвольными продольными и окружными тангенциальными погонными усилиями. Асимптотические формулы получены для случая ограниченных иа концах отрезка нагрузок и неограиичеиио возрастающих, имея корневую особенность. Такими неограиичеииыми усилиями являются реакции в контактных задачах. Асимптотические формулы для усилий и моментов при загружении оболочки по прямоугольным площадкам получены В. М. Даревским [24]. В исследовании В. М. Даревского [25] даны рекомендации по выбору велц^ины *накладок нагружения.

.Наиболее полные численные результаты по напряжениям и перемещениям в свободно опертой круговой цилиндрической оболочке были найдены в 1954— 1955 гг. П. Бижляром [64, 65, 66] с использованием -двойных тригонометрических рядов, в которых удерживалось большое число членов. Им проанализировано влияние различных видов нагрузок, приложенных по прямоугольным плдщадкам и отрезкам линий к круговой цилиндрической оболочке.

Большие численные расчеты для изотропной цилиндрической оболочки при различных сосредоточенных нагрузках, главным образом, с помощью двойных рядов выполнены в последнее время в работах японских ученых К. Мндзогути, X. Сиота, К. Сиракава [79].

Оригинальный подход к расчету свободно опертых 'круговых цилиндрических оболочек при сосредоточенных нагрузках, приложенных по отрезкам образую*、 щих, предложен в работе Н. Хоф$а, У. Кемпнера, Ф. Пола [71] (1954 г.). Оболочка интерпретируется ка>к бесконечнолистная поверхность (рулон), которая после разворачивания превращается в бесконечную полосу, загруженную с шагом 2л по окружной координате. Решение ищется в тригонометрических рядах по продольной координате (ширине полосы), а по окружной берется суперпозиция непериодических решений от каждой нагрузки. Каждое таксе решение строится методом разрезания полосы по ширине в месте нагружения. Таким образом, можно получить периодическое решение.-

Двойное преобразование Фурье для построения локальных иепернодических- решений прй рассмотрении как цилиндрических, так и сферических оболочек эффективно использовано В. П. Шевченко [60, 61], Шевляковым Ю. А. и Ю. П. Шевченко [56, 57, 58, 59]. Решение удается получить в ряде случаев в явном виде с помощью модифицированных функций Бесселя и функций Кельвина.

Среди работ, посвященных расчету изотропных сферических оболочек п^и сосредоточенных нагрузках, следует упомянуть работы В. Койтера [72] (1963 г.)> С. Лукашевича [75] (1967 г.), Ю, А. Шевлякова и В. П. Шевченко [56, 57J. В. Койтер [72] получил решение задачи о равновесии оболочки, нагруженной в диаметрально противоположных полюсах радиальными силами, с помощью функций Лежандра в явном виде, исходя из уравнений непологих оболочек. В зоне полюсов получены чрезвычайно простые асимптотические формулы С. Лукашевич [75] дал решение для пологой сферической оболочки при действии нормальной сосредоточенной силы и нормального сосреточенного момента также в замкнутом виде. Решение найдено с использованием двойного преобразования Фурье в полярных координатах и выражено через функции Томпсона. Аналогичный прием использовали Ю. А. Шевляков и В. П, Шевченко [57, 56]. В первой ра_боте ими решена та же задача, что и в цитированной статье С. Лукашевича^ однако решение получено на три года раньше, во второй статье ими рассмотрена ие только нормальная, но и тангенциальные сосрейоточеийые силы.*

В. Новожилов н К. Ф. Черных [37], Г. Н. Чернышев [48] (1963 г.) выделили характер особенностей решения при действии сосредоточенных нагрузок на произвольную изотропную тонкую оболочку и получили асимптотические формулы для неограниченно возрастающих в. окрестности точек нагружения величин. Таким образом, были обобщены результаты В. М. Даревского на произвольную оболочку. В последующих работах Г. Н. Чернышева [49, 50, 51, 52, 53, 54] развивается асимптотический метод построения решений для пологих оболочек произвольного очертания. При этом существенно используется метод плоских волн, позволяющий двухмерную задачу свести к одномерной и последующему выполнению квадратур. Решение получается в виде рядов по полиномам от полярного радиуса. Появляющиеся в решении особенности, не соответствующие физической сущности решения, устраняются при сложении безмоментного решения и. быстро' меняющегося моментного..—

В работе К. Форсберга и В. Флюгге [70] (1966 г.) дано решение для оболоч- * ки типа эллиптического параболоида прн нормальной сосредоточенной силе. Сингулярное решение строится в виде ряда по 'косинусам полярного угла. Решения для каждого коэффициента ряда разложено тю степеням параметра, характеризующего форму параболоида. Коэффициенты степенного ряда определены через р модифицированные функции Бесселя из рекуррентных, дифференциальных уравнений.•

Лукашевич [76] получи^ решение для пологой оболочки положительной кривизны при нагружении радиальной и тангенциальной сосредоточенной силой и сосредоточенным моментом. Задача исследуется с помощью интегралов Фурье в полярных координатах. Решение дано в рядах, члены которых представлены интегралами от выражений, содержащих, функции Томпсона. Для оболочек, близких по форме к сферическим, даны приближенные замкнутые формулы, из которых в пределе получаются точные для сферы.,

Отметим еще интересную статью И, Сандерса [85] (1970 г.)> которая посвящена построению фундаментального рещеиия уравнений пологой оболочки, поверхность которой описывается квадратичной функцией. Рассмотрены случаи нормальных и тангенциальных сосредоточенных сил и маментов, а также случаи, когда вместо сосредоточенных сил имеются дислокации. Это, вероятно, первая- работа, в которой решение при наличии сосредоточенных сил и дислокаций рассматривается с единых позиций. Непологая изотропная оболочка, нагруженная радиальной сосредоточенной силой, разобрана Н. Г. Гурьяновым [19].

Из исследаваний, посвященных краевым сосредоточенным нагрузкам, отметим результаты И. Л Шарииова [55] (1955 г.), С. Лукашевича' [77] (1969 г.), Д. Эльмса [69] (1969 г.). В работе [77] путем разложения решения в интеграл Фурье по координате, совпадающей с краем, рассмотрены пологие оболочки при- тангенциальных (нормальных к краю) и радиальных сосредоточенных силах, а также изгибающих сосредоточенных моментах. Подробно рассмотрен случай радиальной нагрузки. Показано, что прогиб под силой на краю, йдпример для полубесконечной цилиндрической оболочки, Относится к прогибу бесконечной длинной оболочки как 5,03 : 0,709. Изгибающий момент, нормальный к краю, имеет особенность типа 1/г, а изгибающий момент,. направленный вдоль крах,—— особенность типа In г (г ——расстояние до точки нагружения). В работе Д. Эльмса даны многочисленные графики для напряжений и смещений в оболочках вращении, нагруженных на торце осевыми сосредоточенными силами. Вопросу получения асимптотических формул для цилиндрической оболочки, нагруженной на части торца осевыми и окружными силами, посвящена работа И. Л. Шарииова [85]. Найдены также асимптотические формулы нри сосредоточенных воздействиях. Показано, что характер особенности решения ие меняется по сравнению со случаем,, когда подобные силы приложены вдали от края. Лишь касательноег усилие при осевой силе и продольное усилие при действии окружной силы становятся ограниченными. Следует отметить, что масштаб особенностей при действии краевых нагрузок возрастает. -

Вопросу расчета ортотропных оболочек при локальных нагруках Посвящены' работы Ю. П. Артюхина, Ю. П. Жигалко» А. С. Христенко. В частности, в работе А. С. Христенко [44] обобщены результаты В. М. Даревского на ортотропную ци- * линдрическую оболочку, получены асимптотические формулы. Аналогичные вц- ражения установлены Ю. П. Артюхнннм. В работе А. С. Христенко [45] даиы асим'Птотические формулы при действии иа ортотропную оболочку равномерной нагрузки по дуге окружности или отрезку образуют噂，в работе [46]——при действии нормальной сосредоточенной силы и момента на краю цилиндрической оболочки. Этот же вопрос обсуждался “ А. С. Христенко л Т. А. Юрченко [47]. Ю. П. Артюхин- [^ в комплексном виде нашел уравнения для многослойной ортотропной оболочки. Для пологих оболочек сист^^ сведена к одному уравнению. Здесь же. изучена сферическая многослойная оболочка под действием радиаль- «ой сосредоточенной силы, однослойная ортотропная цилиндрическая оболочка под действием радиальной сосредоточенной силы. Решение для цилиндрической оболочки получено в тригонометрических рядах по окружной координате, для сферической ——в вчде ряда по полярному углу. В явном* виде с помощью функций Хаикеля для сферической ортотропной оболочки осесимметричное решение получено Ю. П. Артюхиным [4, 6], причем в статье [6] рассмотрена также коническая оболочка, нагружеииая в полюсе. В статьях Ю. П. Артюхина, Ю. П. Жигалке и I\ М. Сальникова [8], а также В. В. Васильева [9] круговая цилиндрическая оболочка из ортотропного стеклопластика при действии радиальной сосредоточенной 2лы рассчитывается с учетом поперечного сдвига. В первой из цмх оболочкя многослойная, во второй однослойная. Ю. П. Артюхии и А, В. Саченков [7] установили аналогию, согласно которой решение некоторых задач для ортотропных пластин и оболочек может быть получено из соответствующих решений для изотропных.、，、“.

В заключение укажем иа исследования экспериментального характера. Это работы Н. Г. Гурьянова и Ю. Г. Коноплева [20], Ю. Г. Коноплева [32], К). Г. Коноплева и А. В. Сачеикова [31], М. В. Никулина [35], Г. Демира и Д. Дрюкера [67], М.^Беиисека [63], К. Маигельсдорфа [78J, А. Морриса [82].

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

При решении сформулированных ниже контактных задач будем пользоваться вариантом технической .теории оболочек, а также теорией пологих оболочек [36]. Выпишем здесь без вывода основные соотношения теории.

Уравнения равновесия ”

+KR=o,需+譬+Q2+BR=。，

祭+*一厶+或 R=o,(6.1)

.也1• + 也L_QiR=0「包组+ 也3__Q2R"

Здесь 7\, T% Tia, Tzi-Qi； Qs — удельные усилия, отнесенные к линиям кривизн в срединной поверхности оболочки; М】，心，М12, М21—удельные моменты; g】*” q2*> <7з*—распределенные поверхностные усилия; R—^радиус срединной поверхности; £ ф — продольная и окружная координаты, отнесенные к радиусу R. Положительное направление введенных величин и нормали п показано на рис. 6.1 и 6.2.,.

Вместо удельных касательных усилий Т12, T^i н удельных крутящих моментов вводятся их комбинации, обеспечивающие выполнение шестого уравнения равновесия малого элемента оболочки:

S=Ti2-牛=T21, "=仰产.(6.2)

Соотношения обобщенного закона Гука принимаем в виде「1 = 8(% + 犍2)J「2 = В (?2 + 宀)，附1 = D (f + V#2)，

也=0(5<2 + 吗)會 S=1^88, " = (1-V)r)T.(63)

Рис. 6.1. Положительное направление усилив, действующих на элемент срединной поверхности цилиндрической оболочки радиуса 丸(匕 н 屮——соответственно продольная и окружная координаты, отнесенные к радиусу R; п — нормаль к срединной поверхности)

Рис. 6.2. Положительное направление моментов и перемещений элемента средии- ■ ной поверхности оболочки

Здесь B=Eh!(\—v2); Р=£й3/12(1—v?); E, v,九一соответственно -* модуль упругости, коэффициент Пуассона и толщина оболочки; 鹤 eg,❾——относительные деформации срединной поверхности оболочки; Хь «г,亏一параметры изменения кривизны н кручения срединной поверхности оболочки.

Соотношения между деформациями и перемещениями средни* ной поверхности (геометрические соотношения) берем в форме

1 0U£]=1 0U£]=1 济m市况21 济m市况2R况R况(6.4)(6.4)

1 0U

£]=

1 0U

£]=

1 济m

市况2

1 济m

市况2

R况

R况

(6.4)

(6.4)

用詬而「

Положительное- направление перемещений показано на рис. 6.2 При использовании теории пологих оболочек в выражениях для *2 и т отбрасывается слагаемое с окружным перемещением срединной поверхности s

Если исключить из первых трех уравнений равновесия (6.1) по* перечные силы Qi и Q& определив их из двух последних уравнений; и воспользоваться соотношениями (6.2), то систему уравнений равновесия можно записать следующим образом:

禦+限+求=0， . „

丄(刈2丄一北+0沢=0.

В дальнейшем везде будем исходить из системы уравнений рав* новесия в перемещениях, которая получится из предыдущей, если удельные усилия и удельные моменты выразить через . перемещения, согласно (6.3) и (6.4). Эта система может быть записана в матричной форме

L" + fq*=0, 8 (6.5)

Здесь U=(% V, w)——вектор перемещений; g*=(gi*, q^t —0з*) —вектор заданных поверхностных усилий; L — матрица дифференциальных операторов L= {£^} с компонентами

刃2 I 2兆2 丁 L ‘ •丿况2 丁 /2r

2S72S793136

2S7

2S7

厶k号一叶(2 - v)急+佘］,(6.6)

丄33 = 1 + а?。'，

Эта матрица симметричная. Матрица для теории пологих оболочек получится, если отбросить подчеркнутые слагаемые. При этом, как отмечалось выше, в соотношениях (6.4) для хг и т следует отбросить слагаемое с v.

Частное решение уравнения (6.5) может быть записано в виде

и=y■f5G^^S1^ ?-?1^*^ь ^^i^b(6・7)

где матрица G есть частное решение уравнения

LG&<p) = 1ME№(<p);(6.8)

L — матрица (6.6); I ——единичная диагональная матрица; 6(g), 育(ср) —дельта-функции. Интеграл берется по всей поверхности обо- •лочки...

В справедливости представления (6.7) можно убедиться, подействовав на его обе части оператором L.

Обозначим через h матрицу алгебраических дополнений для матрицы L. В силу симметрии матрицы L матрица h также будет симметричной и, таким образом, будет совпадать с транспонированной к ней матрицей. Обозначим еще через Di определитель матрицы L и будем искать решение уравнения (6.8) в виде

G=k ① 1，(6.9)

где Ф1 — некоторая неизвестная скалярная функция.

Теперь в силу известного из теории матриц равенства 口=0 решение матричного уравнения (6.8) сведется к решению скалярного уравнения

4%&У)=МЕ)6(У)・

Для удобства нормировки вместо этого уравнения будем решать уравнение

小①倡 5 = МЕ№(У)・(6.10)

Здесьг)*=. 20昨①「2(r)

а2(1—v)2

С учетом этих обозначений и формулы (6.9) решение (6.7) можем окончательно записать в виде

u=一厶胃^\\1①曲一无，中一%)4*隔，%)典密>1， (6.11)

1фи этом матрица 1 получается делением h на 必=部112区2.

Итак, частное решение уравнения (6.5) йри произвольных внешних нагрузках сводится к определению фундаментальной скалярной функции Ф из уравнения (6.10).'

Для получения общего решения уравнения (6.5) к (6.11) нужног естественно, присоединить решение однородного уравнения LU=0_ При однородных граничных условиях в виде (6.11) можно записать- в принципе и решение граничной задачи, найдя решение уравнения (6.11) при соответствующих граничных условиях. Однако здесь этого делать не будем, так как большей частью будут решаться задачи для бесконечно длинной оболочки. При необходимости на этом вопросе мы остановимся в соответствующем месте. Если граничные условия неоднородные, то решение граничной задачи в виде (6.11) записать нельзя — появятся внеинтегральные слагаемые.

Оператор D* в уравнении (6.Ш), соответствующий матрице (6.6), имеет вид

。*=炉+2一二?2 М +2(4_v2)-^— _|_8 —— -НV 丁02兆4 I '丿况4势2 1 ,死2/4

十2也+4亠+生(6.12>

Для теории пологих оболочек он примет вид

0*=炉+三(6.13)

Компоненты матрицы 1, входящей в представление (6.11)гимеют вид.Компоненты матрицы 1, входящей в представление (6.11)гимеют вид.①^虞+ 2(+)奈①^虞+ 2(+)奈况2/况2/4 - 3v 4- V24 - 3v 4- V22丸2/32丸2/3喂+宁為内 卄Qi）篇-.1—V 05卜2 斎’喂+宁為内 卄Qi）篇-.1—V 05卜2 斎’

Компоненты матрицы 1, входящей в представление (6.11)гимеют вид.

Компоненты матрицы 1, входящей в представление (6.11)гимеют вид.

①^虞+ 2(+)奈

①^虞+ 2(+)奈

况2/

况2/

4 - 3v 4- V2

4 - 3v 4- V2

2丸2/3

2丸2/3

喂+宁為内 卄Qi）篇-

.1—V 05

卜2 斎’

喂+宁為内 卄Qi）篇-

.1—V 05

卜2 斎’

. /33=嗫如，4尸*

При использовании теории пологих оболочек подчеркнутые в (6.14) слагаемые отбрасываются. Это закономерно для напряжен^

но-деформированного состояния с большим порядком изменяемости, когда основной вклад вносят операторы наивысшего порядка. Согласно (6.14) к ним добавляются только операторы более низкого порядка, но зато с большим множителем l/炉.

Чтобы записать представление Tifna (6.11) для деформаций, нужно к решению (6.11) применить операторы (6.4), а для удельных усилий и удельных моментов—формулы (6.3). Соответствующие представления компактно можно записать в матричной форме

弋二 2(1 +v)R弋二 2(1 +v)R,\ g①4**1 幽1,,\ g①4**1 幽1,2(1 +v)2(1 +v)■ Bh т= 2R ( 1 —v , „ 2Л М =■ Bh т= 2R ( 1 —v , „ 2Л М =、'①4*%"协,、'①4*%"协,\\ T①g*dEi"%,\\ T①g*dEi"%,12(1 —V)12(1 —V)\ \ M①q*dW%.\ \ M①q*dW%.(6. 15)(6. 15)

弋二 2(1 +v)R

弋二 2(1 +v)R

,\ g①4**1 幽1,

,\ g①4**1 幽1,

2(1 +v)

2(1 +v)

■ Bh т= 2R ( 1 —v , „ 2Л М =

■ Bh т= 2R ( 1 —v , „ 2Л М =

、'①4*%"协,

、'①4*%"协,

\\ T①g*dEi"%,

\\ T①g*dEi"%,

12(1 —V)

12(1 —V)

\ \ M①q*dW%.

\ \ M①q*dW%.

(6. 15)

(6. 15)

Здесь-введены векторы деформаций, усилий и моментов

(6. 16)(6. 16)£ = ®, S2,砌，Х = (%, 乂2, t),I

(6. 16)

(6. 16)

Т =(厶,72, $, Af =(附i,附2, *)，丿

4*= (gi,夕2,——<7з)——вектор заданных поверхностных усилий.

Дифференциальные операторы ——матрицы. % х, Т, М, воздействующие под интегралами (6.15) на основную разрешающую функцию Ф=Ф(^—Еь <р^ф1), имеют вид ”

8 =

，е1Р е12» е13

е21» е22， е23

’Х11, Х⑵%

*21，*22，*23

.^b 5，У .

(6. 17)

5

Лb т⑵

Лз

附11，附12,

Мз

т=

721，722,

723,

,M== g, m22,

■^23'

■ S” S2,

$3

%, ”2,

〃3

Поясним физический смысл компонентов матрицы 1Ф (6.14), входящей в представление (6.11), и компонентов матриц еф и т. д. в представлении (6.15). Компонента 厶力 воздействующая на функцию Ф,——это с точностью до множителя, стоящего перед интегралом (6.11), перемещение точки (g, <р) поверхности оболочки в направлении 厶й координаты от единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке (8, срц) в направлении /-й координаты. Направления 厶 j=l, 2, 3 соответствуют координатам g, <р и нормали л соответственно. Симметричность матрицы 1 соответствует согласию с принципом взаимности перемещений. Аналогичный физический смысл имеют матрицы деформаций, удельных усилий и удельных моментов (6.17). Первый индекс обозначает наименование де- 260

формации или удельных усилий, второй ——направление действия силы. Индекс у со, т, S, Н обозначает направление действия силы.

Компоненты матриц ()6.17) вычисляются по следующим выражениям, вытекающим из соотношений (6.4) и (6.3):

d旬I叫/中出

0=邑=^+肃，Х“=一码，

女尸卞 +后，丽， (6.18)

丁尸=£厂 + V£2;> 丁2；—e2； + V£l；j

M\j — xl; 4~ ^^jj M2/ = *2/ + vXij (/= 1, 2, 3)

Выпишем некоторые частные случаи представлений (6.15), которые понадобятся в дальнейшем при решении контактных задач.

По отрезку дуги окружности поперечного круга 自=& на участке —6^(р^0 приложены нормальные погонные усилия д, направленные к оси оболочки.

Распределенная нормальная нагрузка , <^3*, соответствующая усилиям д, будет

広(Е，⑵=一专夕(中)3(Е-3 (—©К中《©),' (6.19)

где 6 (g) — дельта-функция.'

扌 Изменение параметра кривизны в окружном направлении；?

' в

K2倡 什一"上/)\ *23①(一品,(?一%)0(%)*)г(6.20)

Дифференциальный оператор хгз вычисляется по формуле (6.18)

%=-礬+攀・(6.21)

Подставляя сюда операторы /^з и /зз, из соотношений (6.14) получим

Если воспользоваться выражением (6.21) и при подстановке туда операторов /зз и 自 из (6.14) отбросить в них подчеркнутые слагаемые, т. е. взять операторы /зз и /23 согласно теории пологих оболочек, то придем к соотношению (6.22) без подчеркнутых слагаемых. Это соотношение, однако, не будет соотношением теории пологих оболочек, так как учитывается второе слагаемое в формуле

(6.21), которое в теории пологих оболочек отбрасывается. Подчеркнутые слагаемые в (6.22) содержат, как и первое слагаемое, шестые производные, однако первое слагаемое имеет большой множитель 1/q2. Twkhm образом, ттезависимо от характера изменяемости функций, отбрасывание подчернутых слагаемых приведет к погрешности порядка а2 по сравнению с единицей, что не превышает погрешио'сть при получении исходных соотношений теории оболочек.

' Bi силу изложенного формулу (6.22) при практических расчетах будем брать в упрощенном виде

Это соотношение пригодно для теории непологих оболочек. При использовании теории пологих оболочек в формуле (6.23) нужно отбросить подчеркнутые слагаемые.

Погонные нормальные усилия q приложены на отрезке (—ewWW6) образующей(р=фо и направлены в сторону внутренней нормали к поверхности оболочки. .

Изменение параметра кривизны в продольном направлении равно

"1(0中)=-露沪)門3①心一无，中一如4(幻喝］•(6. 24)

Оператор xis согласно (6.18) и (6」4) будет

—1 — V d2V4

Этот оператор имеет один и тот же вид (6.25) как в теории пологих, так и в теории непологих оболочек..

Погонные касательные усилия q приложены по отрезку (&W& Wb) образующей(р=фо и направлены противоположно направлению координаты 自.В этом случае поверхностная нагрузка «1* представляется в вид^

6倡中)=一专0位)3(中一%).「(6. 26)

Относительная продольная деформация срединной поверхности равна'

口 倡平)=乙嗎辽卜и①(Е-Ei, ?-?o)^(Si)^i-(6.27)

Оператор ец согласно (6.18) и (6.14) будет

еиеи

еи

еи

弘12 /「市0ё2@呼1 况/2弘12 /「市0ё2@呼1 况/2

弘12 /「市

0ё2@呼1 况/2

弘12 /「市

0ё2@呼1 况/2

(6.28)

При использовании теории пологих оболочек подчеркнутые слагаемые отбрасываются. В противоположность сказанному об операторе (6.22) в (6.28) подчеркнутые слагаемые, вообще говоря, могут играть определенную роль.

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

Будем искать периодическое по окружной координате фундаментальное решение уравнения (6.10), которое можно назвать разрешающей функцией Грина для бесконечно-длинной цилиндрической оболочки.

Разлагая дельта-функцию в"тригонометрический ряд, в виде ряда запишем и решение уравнения (6.10)「

(6. 29)(6. 29)①&中)=丄；％(&) + > 0>〃(E)cos 仰-

(6. 29)

(6. 29)

Подставляя это решение в уравнение (6.10) и разделяя переменные, получим обыкновенные дифференциальные уравнения для функций ①п(Е). Вид левой части таких уравнений будет зависеть от оператора D*. Для непологих оболочек он определен формулой (6.12), для пологих— (6.13).

Полученные уравнения решим с помощью преобразования Фурье. Не останавливаясь на промежуточных выкладках, связанных с вычислением интегралов Фурье с помощью теории вычетов, а также с алгебраическими преобразованиями, запишем окончательный результат.

5(gR(2费芋步券i si^咽+制，(

%用=sEW同+ Y力(« = 2,3,...)

Здесь введены следующие обозначения: '

Рб и 夕3 ——соответственно действительная и мнимая часть существенно .различных корней характеристического уравнения. * Будем выбирать Pj>0, 9j>0. Если использовать теорию непологих оболочек с оператором (6.12), то характеристическое уравнение будет иметь вид

+丄=0, „>о.

' IД2Л4几2п2 1几4Л2 1 л4 '广

(6. 32)

Для оператора (6.13) теории пологих оболочек уравнение будет

(炉+1尸+%?炉=°.(&33)

Его решение имеет вид

- Корни алгебраического уравнения (6.32) могут быть найдены только численно.'

Коэффициенты 勺 и 打 в (6.30) — это модуль и аргумент комплексного числа•

Р热 3 i — id» =j •

Иными словами»•.

'弓=q分ma号+号，

'」0 при 力 >0g

Y；=arctg -I- в(6.35)

力 I n при %<0,

а значение arctg берется в правой половине круга от ——л/2 до л/2. Коэффициенты 的 и % имеют вид

aj = pi [Л2 + 4 (威;—夕露)+ 44涼I, %=分+ 4 仿储一"歸).± 44战，(6. 36)

a=届一届—0；+虑

Верхний знак в формулах (6.34) и (6.36) будем брать при /=1» нижний — при /=2.

Как известно, теория пологих оболочек не содержит балочного решения в первом (и= 1) члене разложения в ряд Фурье. Поэтому, строго говоря, при использовании теории пологих оболочек слагаемое Ф1 (g) первого^ члена ряда (6.29) следует вычислять по второй формуле (6.30). Если используется теория непологих оболочек, то Ф1 следует вычислять по первой формуле (6.30), которая является точной для Фо, а для Фь хотя и приближенная, но вполне пригодная для практических целей. Ее приближенность связана с отбрасыванием величин порядка h[R по сравнению с единицей. Она введена В. М. Даревским [22]. Эту формулу можно использовать и для теории пологих оболочек, если существует необходимость учитывать балочное решение.

Функции ①п(Е) являются фундаментальными решениями обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому являются непрерывными при £=0 вместе со своими производными до 6-го поряд- 264

ка включительно. Седьмая производная в точке 自=0 терпит скачок, равный единице.

Производные от функций Фп имеют вид

W •t^Leq/'用 sin(凸引耳+"一6門)伊=1,2,...，7)

Причем, нечетные производные содержат еще множитель sign g в правой части.

В формуле (6.37)

.Q/е叼=夕,+%.'(6. 38)

Аналогичное выражение имеет место для первой формулы (6.30)

，也=1小Е卩 —

d$ 一 32x4 (Т d^

一(一1У(偿产+'ie一砒I sin 卜曲一(一1+/)子]}.(6. 39)

Формулы (6.38) и (6.39) следует использовать при записи компонентов матриц Грина (6.18) для деформаций, удельных усилий и удельных моментов, а также для перемещений (6.14), которые после воздействия на функцию Ф в силу разложения (6.29) дадут тригонометрические ряды. Так, компоненты с четными по ф производными будут представлены рядами вида ，.

~ Wio + ^J eUrtcosncp j .(6・ 40)

Для компонентов с нечетными производными будут иметь место ряды вида■

^22①=~^"^^ 吻几 sin 次.(6. 41)

В заключение отметим, что фундаментальное решение для упругой тонкой круговой цилиндрической оболочки, полученное с помощью ряда Фурье по окружной координате и использования интеграла Фурье, впервые получено С. Юанем {87] в 1946 г. при действии радиальной сосредоточенной, силы и использовании теории пологих оболочек. Это решение обобщено В. М. Даревским [22] на случай нагрузок общего вида, равномерно распределенных по малым прямоугольным площадкам. Причем В. М. Даревский использовал теорию непологих оболочек в варианте А. Лява [74]. Формальное отличие приведенного здесь решения от указанных и, в частности, от данного в работе Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [14] состоит в использовании тригонометрической формы записи

комплексных коэффициентов,, получающихся в процессе вычисления интегралов Фурье. В результате устраняется процедура деле* ния больших чисел, неудобная в вычислительном отношении, а формулы (6.30) и последующие получаются простыми.

ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ГРИНА

Под главным значением матрицы Грина понимается матрица, содержащая в себе особенности построенного в разд. 6.3 решения, т. е. решения, неограниченно возрастающего в окрестности точки приложения сосредоточенной силы. Такая матрица впервые получена В. М. Даревским [21] в 1950 г. Она определяется по. формулам разд. 2 из Тлявного значения разрешающей функции Грина, которую обозначим через Ф°. Последняя определяется решением уравнения

▽8 ①。(Е, ф) 一緋(ф).▽8 ①。(Е, ф) 一緋(ф).(6.42)(6.42)

▽8 ①。(Е, ф) 一緋(ф).

▽8 ①。(Е, ф) 一緋(ф).

(6.42)

(6.42)

Уравнение (6.42) получается из уравнения (6.10), если в операторе D* оставить только старшие производные. Решение уравнения (6.42) называется пластинчатым, так как содержит те же особенности, что и решение в пластине, нагруженной сосредоточенными силами как в ее плоскости, так и в нормальном к плоскости пластины направлении.

Периодическое по окружной координате 屮 решение уравнения (6.42) строится точно так же, как и решение уравнения (6,10), и имеет вид

①°(Е,中)=丄①°(Е,中)=丄十叫Е什e喷肌。+J十叫Е什e喷肌。+J

①°(Е,中)=丄

①°(Е,中)=丄

十叫Е什e喷肌。+

J

十叫Е什e喷肌。+

J

[(哪 |产+6(哪乎 + 15 ⑷ E| + l)]cos 吗(6.43)

Уол Q*

л = 1

go=丄 4лgo=丄 4л%+2^а+硼 ем л-1%+2^а+硼 ем л-1(6.44)(6.44)

go=丄 4л

go=丄 4л

%+2^а+硼 ем л-1

%+2^а+硼 ем л-1

(6.44)

(6.44)

Выражение (6.44) с точностью до множителя совпадает с периодическим решением для прогиба пластины от сосредоточенной силы.

Главное значение перемещений, деформаций, удельных усилий и удельных моментов получается, если на функцию (6.43) подействовать операторами (6.14) и (6.18), причём в последних нужно оставить только старшие — шестые и седьмые производные, так как только эти производные дают неограниченные суммы рядов в точке g—0,(р = 0.

Выпишем некоторые необходимые в дальнейшем компоненты матрицы Грина для деформаций

…蚩…蚩上|宀 + £ efH(i—v + ¥^/i 用卜 os 九屮 signE,〃 =1-

…蚩

…蚩

电2津П专£L"同（电2津П专£L"同（口一士九口一士九2222同)sin九%同)sin九%(6.45)(6.45)

电2津П专£L"同（

电2津П专£L"同（

口一士九

口一士九

2

2

2

2

同)sin九%

同)sin九%

(6.45)

(6.45)

18 g218 g2—剧—剧ё一"同

18 g2

18 g2

—剧

—剧

（1 -九同）cos叫 ）

n

华=^£- Л 0+ "咼)C°S "* "

Ряды (6.45) могут быть просуммированы с помощью следующих формул:

^+£е-”дх}^7 gl >。,

也问е~л*^ cos次=也问е~л*^ cos次=闺 1 — ch J cos у2 (ch E — cos y)2闺 1 — ch J cos у2 (ch E — cos y)2M>°，M>°，

也问е~л*^ cos次=

也问е~л*^ cos次=

闺 1 — ch J cos у2 (ch E — cos y)2

闺 1 — ch J cos у2 (ch E — cos y)2

M>°，

M>°，

ё一川日 sin ncp=-—

2 ch $ 一 cos у

"咼「呐sin叫=上-"咼「呐sin叫=上-(6.46)(6.46)sh 用 sin у(ch J — COS ,)2

"咼「呐sin叫=上-

"咼「呐sin叫=上-

(6.46)

(6.46)

■ cos 九中=——^" In [2ё一同(ch E - cos ?)]=

—~ln [2 (ch E — cos cp)].

Эти суммы находятся просто с помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Так, например, сумма первого и третьего рядов вычисляется отделением действительной и мнимой части от суммы ряда

g—л(£—Zf) =_!1纟g—л(£—Zf) =_!1纟

g—л(£—Zf) =_!1纟

g—л(£—Zf) =_!1纟

Вторая и четвертая суммы получаются из предыдущей формулы дифференцированием и умножением на |g|, последняя — интегрированием.

На образующей ф = 0 формулы (6.46) будут

—+ V L同cth ,

2 1 々22

Vn|?|e-^=^-—L ,(6.47)

2 ch E 1

^J — e-*同=~^!— In(2 sh•

На дуге окружности 占=0

f siti 叫=十 ctg Y"，(6- ©

COS rtfЛCOS rtfЛIn(2 sin/In(2 sin/

COS rtf

Л

COS rtf

Л

In(2 sin/

In(2 sin/

(6. 49)(6. 50)(6.51)(6. 52)(6. 49)(6. 50)(6.51)(6. 52)

(6. 49)

(6. 50)

(6.51)

(6. 52)

(6. 49)

(6. 50)

(6.51)

(6. 52)

Формулы (6.47) и (6：48) показывают, что с рядами -подобного рода следует обращаться весьма осторожно. Так, хотя любой конечный отрезок второй суммы (6.47) равен нулю при g—0, вся сумма обращается в бесконечность. То же самое относится к первому ряду (6.48) при ф = 0. Такого рода ряды нельзя обрывать при решении задач, иначе можно получить качественно неверный результат. Именно этот факт заставляет выделять особенности решения путем суммирования расхвдяшихся рядов и, таким образом, улучшать сходимость оставшихся частей рядов. .

Используя формулы (6.47) и (6.48), выражения (6.45) можно представить в виде:

на образующей(р=0

飞駆=-^r[fcthT+In(2sh 明卜

на дуге окружности g=0

吻*ctg衣

々3①o= —In 2 sin —I .

8冗《22 I

Мы не будем выписывать остальные неограниченные компонент ты матриц Грина, отметим лишь следующий известный факт. Пр» использовании теории непологих оболочек все без исключения деформации, удельные усилия и удельные моменты в срединной поверхности оболочки являются неограниченными в точке приложен ния сосредоточенной силы (см. работу В, М. 'Даревского [21]). Од“ нако, как отмечено в другой работе В. М. Даревского [24], удельные' усилия и удельные моменты в окрестности точек нагружения делятся на главные, играющие основную роль в балансе напряжений, и второстепенные, вызывающие напряжения примерно в Rjfi раз меньше по сравнению с напряжениями от главных факторов. При использовании теории пологих оболочек становятся ограниченными в окрестности точек нагружения именно второстепенные удельные усилия и удельные моменты (см. статью [15]), главные' же остаются в неизменном виде. К второстепенным факторам относятся: 1) тангенциальные удельные усилия и удельный крутя-' щий момент при действии радиальной сосредоточенной силы^ 2) удельный изгибающий и удельный крутящий моменты при де^ ствии касательной к поверхности оболочки сосредоточенной силы; 3) тангенциальные усилия при действии изгибающего сосредоточенного момента. Главными факторами являются: 1) удельные изгибающие моменты при действии радиальной силы, которые будут иметь логарифмическую особенность; 2) тангенциальные удельные усилия при действии касательной к поверхности оболочки сосредоточенной силы, удельные изгибающие и удельный крутяший момент при действии изгибающего сосредоточенного -момента. Все эти факторы имеют особенность типа 1/г, где г ——расстояние от рассматриваемой точки до точки приложения сосредоточенного фактора. ■- …

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ .

Ряды типа (6.40) и (6.41) для компонентов матрицы Грина могут расходиться в точке Е=0, <р = 0 приложения 一 сосредоточенной сцлы. Эти ряды в окрестности указанной точки ведут себя так же, как ряды главного значения матрицы Грина, рассмотренные в разд. 6.4 и просуммированные. Интересно исследовать сходимость рядов, которые получатся после выделения главной части решения. С этой целью основную разрешающую функцию Грина ф, являющуюся решением уравнения (6.10), представим в виде

①(Е, ср)=О>噁,т) + Ф! ($, ?), . (6. 53)

где Ф° — главное значение, имеющее вид (6.43); Ф1 — оставшаяся после выделения Ф° функция, которая может быть представлена в виде ■

Подставляя сюда функцию Ф из формулы (6.29) и Ф° из (6.43), получим

(6.54)(6.54)① 1(Е,У)=Т 善①i (Е) + ?①:(Е) cos 呻

(6.54)

(6.54)

-W Ф^)=Фп^^Ф^ (6.55)

Коэффициенты Фо1 (?) и 6冗|(自)определяются, таким образом, “путем простого вычитания коэффициентов ряда (6.43) из коэффициентов ряда (6.29). В форме, аналогичной (6.54), могут быть записаны все компоненты матрицы Грина для перемещений, относи- дельных деформаций, изменений кривизн, удельных усилий и удельных моментов путем вычитания компонентов главного значения из компонентов полной матрицы. v

Указанный, способ построения компонентов оставшейся части :матрицы Грина удобен при практических численных расчетах, од- яако ой не позволяет увидеть характер сходимости рядов. Поэтому при исследовании сходимости будем считать функции ❿储住)в разложении (6.54) неизвестными.

Подставим функцию Ф из выражения (6.53) в уравнение (6.10) 覧 примем во внимание, что функция Ф° является решением уравнения (6.42). Тогда для определения функции Ф1 получим уравнение

(6. 56)(6. 56)少① 1(E, cp) = (—0* + v8)①о 倡叫

(6. 56)

(6. 56)

где правая часть считается известной функцией, так как функция Ф° построена в разд. 6.4 и имеет вид (6.43). Оператор D*—V8 в общем случае теории непологих оболочек будет иметь 6-й порядок, для теории пологих оболочек ——четвертый. Проведем все рассуждения для теории пологих оболочек. В этом случае оператор D* ямеет вид (6.13)

о*=^8 + 4*4 曳 4*4=上曰・

Подставляя функцию Ф1 из формулы (6:54) и Ф° из (6.43) в уравнение (6：56), после разделения переменных получим следующие дифференциальные уравнения для функций Фп4(^) (л>0):

丄配(х) = _入 f 律,(6. 57)

где*=忠』如=.12(1 -v2)碎(6.58)

а через 丄 обозначим дифференциальйый оператор

丄=(言一)4喏-(6.59)

Через ①п"%) и Фп° (л) вновь обозначены функции ①n!(&L Sn唯).-

Введем обозначения

У = "◎〃(*)，少=歩①“(*),(6 60)

/="喻*), К(*)=上第..

Функция у, построенная в разд. 6.3, определяется формулой (6.30) без множителя 1/и7 и является решением уравнения

〃=“*),(6.61J

где 6(%) —дельта-функция; А — оператор (6.59).

Уравнение (6.61) сразу получается из (6.10) после подстановки (6.29) и разделения переменных с учетом обозначений (6.58), (6.59), (6.60).

Функция 夕 получена в разд. 6.4 и согласно формуле (6.43) может быть записана в виде

У° (*)=专 е-м (図з+6 冲十 15 |х| +15).(6.62]

Функция К(х) (6.60) согласно выражению (6.62) будет

к (х)=专 e-阳(]х|з _ 6 |х|2+3 ]图+3).(6.63)

Теперь уравнение (6.57) можно записать в виде £yl(*)=—入 К(*).，

Частное решение этого уравнения представим в виде

里(Х)=т]也(х —Xi)K(Xi)d*i ,

или, заменив переменную интегрирования 用i на х——％i и вновь обозначив ее через хь

^(Х)^—kJ K^x — x^y^dx^,(6. 64)

где у — решение уравнения (6.61).

Согласно определению (6.55) и обозначениям (6.60)

y=yl+y°i

поэтому уравнение (6.64) является интегральным уравнением

Фредгольма второго рода для функции у1：

歹(*)=—入 J К (к —占)少(*i) djq —入/ (*),(6. 65)

где/(*)=j К (х —Xj) y°(*i)d*i・(6. 66)

,Уравнение (6.65) позволяет установить верхнюю оценку для модуля функции у'(%) в зависимости от параметра 儿 которая, согласно определению (6.58) для 儿 и дает характер убывания членов ряда (6.54) с ростом индекса п.

Из ур авнения (6.65) найдем .

加（砌《人加（砌《人[L[L|K(*-*1)| 勿(*i)|d*i + |/(*)||K(*-*1)| 勿(*i)|d*i + |/(*)|(6.67)(6.67)

加（砌《人

加（砌《人

[L

[L

|K(*-*1)| 勿(*i)|d*i + |/(*)|

|K(*-*1)| 勿(*i)|d*i + |/(*)|

(6.67)

(6.67)

Из формулы (6.66) с учетом (6.62) и (6.63) заключаем, что функция f(x) ограничена.

Пусть-

тах|/(х)|< Д при —оо<х<оо.(6. 68)

Обозначим далее через У максимальное значение функции ]g：(%) I на интервале ее изменения (—оо<х<оо)：

max If/1 (л)| = К.。(6.69)

Тогда неравенство (6.67) можно усилить и записать

|f/i(x)|<k Г J ^(х-х^^+д].(6. 70)

Из формулы (6.63) вытекает следующая оценка

k(砌《，胃3因3+6固2 + 3因+3), УО

с помощью которой найдем

\ |K(x-Xi)|dxi=, \K{x)\dx <^-

и яеравенство (6.70) перепишем в виде

согласносогласно"(х)1《入(…)•

согласно

согласно

Так как этр неравенство справедливо для всех %, то (6.69) найдем следующую оценку для У:

-^-npngvi, г>-^— при А>1.(6.71)

1 一一1 ——

22

Первое из этих неравенств, очевидно, справедливо и для функции I袁(％) |・ Поэтому искомая оценка может быть записана в виде

I里(Х)|《• ' j прн 告 < 1.I里(Х)|《• ' j прн 告 < 1.(6. 72)(6. 72)

I里(Х)|《• ' j прн 告 < 1.

I里(Х)|《• ' j прн 告 < 1.

(6. 72)

(6. 72)

Второе неравенство (6.71) не представляет практического интереса, так как не дает верхней оценки для модуля функции у1 (х). Но оно и не нужно, так как нас интересует сходимость рядов при больших и, которым соответствуют малые X.

Неравенство-Х/2< 1 с учетом определения (6.58) для 厶 будет иметь вид .

〃〉/計6(1—“).(6. 73)

Постоянную Л в неравенстве (6.72), определяемую неравенством (6.68), легко найти из формулы (6.66) с учетом (6.62) и (6.63):

.192

Это значение постоянной 力，формула (6.58) для 儿 формулы (6.60) позволяют записать следующую оценку для членов ряда (6.54) при индексах п, удовлетворяющих неравенству (6.73):

叫⑴《盡靑(67) ］一

Эта оценка вытекает из неравенства (6.72),

Таким образом, при индексах л, удовлетворяющих условию (6.73), члены ряда (6.54) убывают не медленнее, чем 1/ип,вто время как члены ряда для функции Грина ф без выделения главного значения убывают как 1/л7. Соответственно улучшается сходимость рядов для усилий, моментов, деформаций и перемещений в срединной поверхности оболочки. Если до выделения главного значения какой-либо ряд сходился как 1/九匕 то после выделения главного значения он станет сходиться не медленнее, чем l/孔女"4. Например, при действии радиальной сосредоточенной силы ряд для прогиба будет сходиться как 1/и7, для изгибающих моментов — как 1/и5. При действии касательной сосредоточенной силы ряд для прогиба будет сходиться, как 1/п8, для удельных тангенциальных усилий —— как 1//г< для тангенциальных перемещений ——как 1/и5, для удельных изгибающих моментов — как 1/и4.

Если использовать теорию непологих оболочек, то порядок оператора D*—V8 в уравнении (6.56) будет не на четыре, а только на два ниже, чем порядок оператора D*. Поэтому сходимость рядов после выделения главного значения будет слабее. Если сходимость до выделения главного значения была 1/* то после выделения, начиная с некоторого л, видимо, будет l/睢冷 Однако нами этот вопрос специально не рассматривался.

Отметим； что в принципе можно стремиться улучшить и сходимость рядов, полученных уже после выделения главного значения.

Этот процесс усиления обсуждался в рабо'ге В. Г. Немирова [34]. Он основан на предположении, что известны суммы рядов типа

£eT#8s Лф/Лл.

Однако получить такие суммы в замкнутом виде при п>1 достаточно сложно.

ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ СВОБОДНО ОПЕРТОЙПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ОБОЛОЧКИ И ОБОЛОЧКИКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

В разд. 6.3 построена разрешающая функция Грина для бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки, с помощью которой по формулам (6.15) можно построить частное решение при произвольных поверхностных нагрузках. Добавляя решение однородных уравнений^ можно лолучить решений гр/аничной задачи. С практической точки зрения, однако, желательно построить функцию Грина так, чтобы решение, записанное в виде (6.15), удовлет^ воряло граничным условиям при произвольной внешней нагрузке автоматически. В общем случае при произвольных граничных условиях такую функцию построить не проще, чем решить граничную задачу обычным путем. Однако для наиболее распространенного в практике случая свободного опирания торцев оболочки такую функцию легко построить. Обычно ее строят в двойных тригонометрических рядах. Однако такие ряды сходятся достаточно медленно, и в практических расчетах приходится удерживать большое число слагаемых..

В настоящем разделе методом отражения такая функция будет сконструирована в одинарных тригонометрических рядах. Суть метода отражения описывается ниже.

Предположим, что свободно опертая круговая цилиндрическая оболочка является замкнутой и.занимает область (0, /) в направлении продольной координаты 日 Пусть далее ①(Е—Ео)——функция Грина для бесконечно длинной цилиндрической оболочки. Точка |о — это точка приложения сосредоточенного фактора, 自一точка, где ищется решение. Функция Ф зависит также и от аргумента 屮一<ро, однако для простоты мы его пока записывать не будем. Обозначим через 屮任 |о) основную разрешающую функцию Грина для свободно опертой оболочки, через которую по формулам (6.15) можно получить решение граничной задачи.

Граничные условия для свободно опертой цилиндрической оболочки имеют вид (см. рис. 6.1 и 6.2)

и=1a, = 7]=加]=0 ПрИ е = 0,厶(6.75)

Согласно формулам (6.11), (6.14), (6.15). (6.16), (6.1Z) и (6.18) условия (6.75) будут выполнены, если будут выполнены следующие условия для компонентов матрицы Грина:'

/?井=/з/1*=Г1井=44】井=。при Е=。丿(/=1,2,3).(6.76)

Условия (6.76) при /=1, 2, 3 эквивалентны условиям (6.75) при действии нагрузок q^,勿*, 4з* соответственно.

Из формул (6.14) и (6.18) видно, что операторы, входящие в условия (6.76) при j= 1, имеют нечетные по координате | производные, а при /=2, 3 — четные. Отсюда следует вывод: если построить функцию Грина ^=i|)；i так, чтобы она удовлетворяла уравнению (6.10) и была в то же время четной по Е, то будут выполнены автоматически граничные условия (6.75) при Е=0 для нагрузок %*, действующих в направлении продольной оси оболочки. Если же функция 屮i(E, Ео) будет нечетной по координате Е, то автоматически выполняются граничные условия (6.75) для нагрузок 效*, 4з*・

Четная функция 少i по координате & может быть взята в виде (для нагрузок qy^)

屮i(E，Eo) =①(Е — Ео) +①(Е+3，(6. 77)

нечетная — в виде (для нагрузок д?*, ,з*)

办(Е, 3 = 6(Е-3-6(Е+3.(6.78)

Здесь Ф(^) —построенная в разд. 6.3 функция Грина для бесконечно длинной оболочки.

Докажем справедливость представлений (6.77) и (6.78).

Функция ф代——go) согласно определению удовлетворяет уравнению (6.10). Что касается функции ①(Е+Ео), которая определяется по тем же формулам, что 6(Е—go), если аргумент Е—§0 заменить на Е + Ео, то она будет удовлетворять однородному уравнению

£>*0=0,

соответствующему уравнению (6.10) для области изменения аргументов 0V&V4 0WEWL Действительно, согласно уравнению (6.10) Р*Ф(^—go) =0 ；везде, кроме точки Е—^0 = 0. Так как функция Ф(^ + ^о) —это та же самая функция, но при другом аргументе, то 力*①(Е；|о)=О везде, кроме точки Е+& = 0. Но так как &>0, a g^0, то §+^о =#0. Из формул (6.'29), (6.30) и (6.37) видно, что функция ①(％) (%=陰一& или x=g + §o) является четной по х вместе со своими четными производными. Отсюда следует, что функция (6.77)——четная по Е, а (6.78) — нечетная по & и обе эти функции удовлетворяют уравнению (6.10). Нечетные производные от функции (6.77) будут функциями нечетными, а поэтому будут равны нулю при £=0. То же можно сказать о четных производных функции (6.78) — они будут нечетными функциями по | и поэтому будут равны нулю при Е=0・

Функции (6.77) и (6.78) в силу изложенного будут основными разрешающими функциями Грина для свободно опертой на торце &=0 полубесконечной оболочки.

Имея функцию 少i (6.77) и (6.78), можно построить функцию Грина р(Е, Ео) для свободно опертой оболочки конечной длины /. Такая функция дается формулой

屮(Е，Ео) = £ 屮1(Е,Ео + 2〃)，(6. 79)

где функция 中 1 берется в виде (5.3) для нагрузок ‘产 и в виде (6.78) для нагрузок ,2*, ,з*・

Формула (6.79) получена путем добавления к функции 巾i(E, go) бесконечного числа частных решений однородного уравнения 0*中1 传，е0+2班)=0. То, что функция 屮1& ^+泓，) для к耍Q есть решение однородного ура&нения, очевидно, так как при любом значении Ео из области OVEoV/ и при 0WEW/ имеет место неравенство 自土传o±2W)，O. Значит, 0*①(自+м土2班)=0, 。*①(hEo干 ^2kl) s0 и согласно формулам (6.77) и (6.78)。他怎 go±2私三0・ Ограничение 0<^></ означает, что точка 历 находится строго внутри области, занятой оболочкой. Иными словами, внешняя поверхностная нагрузка не приложена к граничным контурам оболочки.•

Так как функция 电i(E, go) удовлетворяет условиям свободного опирания на торце Е=0 для любого §о^0, то и функция 也 определенная формулой (6.79), будет удовлетворять условиям свободного опирания при Е=0. Функция (6.79) удовлетворяет также граничным условиям на торце 己=厶 Действительно, положим ^=/. Тогда

屮(/,汕=£ Ф[-£о-(2Л-1)7] ±2 ①瓦+ (26+1)4. 卜0—ООЙ = — ОО

Полагая в первом ряду 2左一1=2/п+1 и обозначив вновь т через 財 получим'

屮仏3=e {①[一財-(2々+1)4±①后+y+1)/]}.

Если взять знак (—), то функция 屮 будет равна нулю. Это же будет со всеми четными производными. Если взять ( + ), то все нечетные производные будут равны нулю.

Отметим, что функция (6.79) является периодической по координатам и §о с периодом 2/.

Физически метод отражения, с помощью которого построена функция Грина (6.79), объясняется следующим образом. Влияние (волна) Ф(§—ёо), пришедшее в точку Е=0 от источника, сосредоточенного в точке 瓦，гасится волной, пришедшей от симметричного источника, приложенного в точке (—»&), т. е. «отраженной» волной 6(Е+Ео). Затем влияние, пришедшее в точку Е=! уже от двух вышеназванных источников, гасится «отраженной» волной от вновь приложенных источников в точках 2Z——go и 2/+矗 и так далее. Направление источников либо совпадает, когда функция ^ имеет вид (6.77), либо чередуется, когда 屮i имеет вид (6.78).

На первый взгляд построенное решение (6.79) не отличается от реньения в двойных тригонометрических рядах, так как функция Ф дается в виде ряда и еще берется ряд (6.79) по таким функциям. Но это не так. Ряд (6.79) —это экспоненциальный ряд, так как функция Ф представлена рядом (6.29), члены которого в направлении В изменяются по экспоненциальному закону (6.30). Отсюда вытекает, что в ряду (6.79) достаточно ограничиться двумя-тремя слагаемыми в силу быстрого убывания функции pi с ростом |Е―&)+2班 I или |Е + Ео + 2^/|.

Ряд (6.79) может быть также просуммирован по k. Если под* ставить функции ®(g—?о) и ①传+Eo) из формулы (6.29) в (6.77) и (6.78), выражение (6.79) можем записать в виде, аналогичном. (6.29):

屮位,瓦中)=十 ^■%(E,Eo) + £%(E,Eo)cos次， (6. 80>

где ^, W = 2 ®(ETl2砌土 Ф“(Е + ^+2砌］, (6.81> причем Фп — функции (6.30). Знак ( + ) в (6.81) берется для нагрузки 毋*, a (-) для 效*, 43*.

Отметим, что при суммировании ряда (6.79) для п=0 и п— 1 -балочное решение в формуле (6.30) следует отбросить. Физически это означает, что усилия q^, приложенные к оболочке, должны быть самоуравновешенными, т. е. давать равный нулю главный вектор и главный момент. При действии же усилий ,з* балочное решение не входит в состав перемещений и деформаций. При действии усилий 42* балочное решение приводит к лостоянным по длине оболочки перемещениям при §>ъо, что не соответствует физическому смыслу. .

Введем обозначение

^ = n{—qj+ipj}. - (6.82)

Тогда согласно формуле (6.30) можем написать

где Im означает мнимую часть..

Чтобы найти суммы (6.81), нужно сначала просуммировать ряды типа

ТогдаТогда2%（Е，%）=表骐屮m[eL （旺 明.2%（Е，%）=表骐屮m[eL （旺 明.Q ——^^ rRIE-Eo-2*",Qi=£ В(ЧЕ + Eo+2*E|.

Тогда

Тогда

2

%（Е，%）=表骐屮m[eL （旺 明.

2

%（Е，%）=表骐屮m[eL （旺 明.

Для области 0WEW( OVgoVl имеем

Q=eMiEoi+2chM£e2M*;

суммируя последний ряд как геометрическую прогрессию, после элементарных преобразований имеем

q — — ch*(/—|E —Eol)shm

Совершенно аналогично найдем

2 = chw【Z—(E+Eo)]Lsh/ *

Значит,

% & So)=— V —{m f е“/ -史吆二賦.土 ch м (/ — £ 二/4%71shp7

Аналогичное выражение будут иметь функции 屮。н 屮匸

电у屮尸总Im卜一先h附а二七5I)产产(/二七虬]的=w一1). 32*7 Lsh 因！J

В заключение отметим, что описанный метод отражения изложен С. Юанем (87] в 1946 г. для частного случая, когда круговая цилиндрическая оболочка нагружена радиальной сосредоточенной силой. Суммирование рядов в цитированной работе не проводилось.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

L Агафонов А. В. Действие внезапно приложенной сосредоточенной силы на цилиндрическую оболочку. — Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 1, с. 148—150.

Артюхин Ю. П. Расчет однослойных и многослойных ортотропных оболочек на локальные нагрузки. — В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек, вып. 4. Казань, нзд-во Казанского университета, 1966, с. 91—110.

Артюхин Ю. П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластинку. —В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань, нзд- во Казанского университета, 1966, с. 110—114.

Артюхин Ю. П. Расчет ортотропных оболочек вращения на локальные на-- грузки. — В кн.: Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек н пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 83—88.

Артюхин Ю. П. Определение напряжений в ортотропной цилиндрической оболочке при действии сосредоточенной силы. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып.氏 Казань, изд-во Казанского университета, 1967, с. 148—152.

Артюхин Ю. П. Изгиб ортотропных оболочек вращения силой, приложенной в полюсе. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанского университета, 1967, с. 152—160.

Артюхин Ю. И, Саченков А. В. К расчету ортотропных пластин и оболочек. —В кн.: Исследования по теория пластин н оболочек, вып. 5. Казань, изд-во Казанского университета, 1967, с. 300—310.

Артюхин Ю. П., Жигалко Ю. Пм Сальников Г. М. Действие локальной нагрузки на слоистую ортотропную цилиндрическую оболочку из стеклопласги- 278

ка. — В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболоцек и пластинок, Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 69—73.

Васильев В. В. О воздействии локальной нагрузки на цилиндрическую оболочку из ортотропного стеклопластика. — Механика полимеров, 1970, № 1, с. 95—101.

Величко П. М., Шевляков JO- А., Шевченко В. П. Напряженно-деформн- рованное состояние пластин н оболочек прн сосредоточенных нагрузках. — В кн.г Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 142—145.

Галимов К. 3., Суркин Р. Г. О работах казанских ученых по теории пластин н оболочек. — В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек, вып. 5. Казань, изд-во Казанского университета,11967, с. 3—55.

Гольденвейзер А. Л. К вопросу о расчете оболочек на сосредоточенные- силы.——Прикладная математика и механика, 1954, т. 18, вып. 2, с. 181——186.

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. К расчету цилиндрических оболочек загруженных по линиям. — Доклады АН СССР, 1965, т. 163, № 1, с. 43—45.

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. О расчете цилиндрических 'оболочек, загруженных по линиям. —— Прикладная математика и механика, 1967, т. 31, вып. 6, с. 1141 —1146.'

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Равновесие цилиндрических оболочек,, нагруженных по линиям. — В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек,, вып. 6—7. Казань, изд-во Казанского университета, 1970, с. 304—312.

Григолюк Э. И., Толкачев В. М. К построению матрицы Грина для оболочки вращения.——Прикладная' механика. Отделение математики, механики и кибернетики АН( УССР, 1971, т. 7, № 7, с. 3—9.

Гурьянов Н. Г. Цилиндрическая оболочка, нагруженная по площадке” ограниченной линиями кривизны. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 5. Казань, изд-во Казанского университета, 1967, с： 127—136.

Гурьянов Н. Т. Сферическая оболочка, находящаяся под действием нагрузки, равномерно распределенной по площадке.——В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанского университета, 1967A 136—147.

Гурьянов Н. Г. Коническая оболочка под действием сосредоточенной силы. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек； вып. 6—7. Казань» изд-во Казанского университета, 1970, с. 321—334.

Гурьянов Н. Г., Коноплев Ю. Г. Экспериментальное исследование прочности цилиндрических оболочек при локальных силовых воздействиях. — В кн; Труды VI Всесоюзн. конференц, по теории оболочек н пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 327—332.

Даревский В. М. К вопросу о действии на цилиндрическую оболочку сосредоточенной нагрузки.——Доклады АН СССР, 1950, т. 75, № 1, с. 7——10.

Даревский В. М. К теории цилиндрических оболочек. — Прикладная математика и механика, 1951, т. J5, вып. 5, с. 531—562.

Даревский В. М. Решение некоторых вопросов теории цилиндрической оболочки.——Прикладная математика и механика, 1952, т. 16, вып. 2, с. 159—— 194.

Даревский В. М. Определение перемещений и напряжений в цилиндрической оболочке прн локальных нагрузках. — В кн.: Прочность н динамика авиационных двигателей, вып. 1. М., Машиностроение, 1964, с. 23—83.

Даревский В. М. Контактные задачи теории оболочек (действие локальных нагрузок на оболочки). — В кн.: Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек н пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 927—934.

Жигалко Ю. П. Расчет тонких упругих цилиндрических оболочек на локальные нагрузки (обзор литературы, метод и результаты). — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань, изд-во Казанского университета, 1966, с. 3—41.

Жигалко Ю. П. Действие сосредоточенных сил на ортотропные и биметаллические цилиндрические оболочки. 一 В кн.： Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 386—— 392.

Жигалко Ю. IL, Саитбекова Л. А. Применение ЭЦВМ к исследованию напряженно-деформированного состояния упругих цилиндрических оболочек, подверженных действию сосредоточенных нагрузок. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанского университета, 1967, с 93—112.-

Киль Н. А. О расчете оболочек на сосредоточенные воздействия.——Строительная механика н расчет сооружений, '1963, № 4, с. 6—8.

Киль Н. А. О действии местных нагрузок на тонкостенную оболочку. — Известия вузов. Строительство н архитектура, 1968, № 9, с. 12—18.

Коноплев Ю. Г., Саченков А. В. Исследование напряженного состояния круговой цилиндрической оболочки с жесткой площадкой загруження.——В кп.: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань, нзд-во Казанского университета, 1966, с. 65—83.

Коноплев Ю. Г. Экспериментальное исследование задачи о действии сосредоточенной силы на цилиндрическую оболочку.——В кн.: Исследования по теории пластин н оболочек, вып. 4, Казань, нзд-во Казанского университета, 1966, с. 83—90.

Коноплев Ю. Г., Сачеиков А. В. Исследование прочности н устойчивости ' пологих сферических оболочек под действием локальных нагрузок. — В кн,: Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 5. Казань, нзд-во Казанскою университета, 1967, с. 161—188.

Немиров В. Г. О фундаментальных решениях в теории круговой цилиндрической оболочки. —— Прикладная математика и механика, 1969, т. 33, вып. 6, с. 1105—1111.

Никулин М. В. Экспериментальное исследование прочности цилиндрических оболочек при действии локальных нагрузок. — В кн.: Прочность н динамика авиационных двигателей, вып. 3, М., Машиностроение, 1966, с. 3一32.

Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. JL, Судпромгнз, 1951. 344 с.

Новожилов В： В., Черных К. Ф. К расчету оболочек на сосредоточенные воздействия.——В кн.: Исследования по теории упругости и пластичиостн, № 2. Л., нзд-во Ленинградского университета, 1963, с. 48—58.

Радионова В. А. Расчет цилиндрической оболочки, защемленной по торцам, на сосредоточенные' радиальные нагрузки. — Вестннк Ленинградского университета, 1968, № 13, с. 121—125.

Радионова В. А. Влияние условий закрепления торцов на напряженное состояние круговой цилиндрической оболочки прн действии радиальных сосредоточенных снл. — Вестник Ленинградского университета, 1969, № 1, с. 119—124.

Сухинин С. Н. Действие локальных нагрузок на ортотропную цилиндрическую оболочку. — В кн.: Расчет пространственных конструкций, вып. 12. М., изд-во Литературы по строительству, 1969, с. 80—95.■.

Терегулов И. Г., Могнлевкин Л. И. К вопросу исследования напряженно-деформированного состояния ортотропной цилиндрической оболочки под действием локальных нагрузок. — В кн：: Исследование по теории пластин н оболочек, вып. 6—7. Казань, нзд-во Казанского университета, 1970, с. 775—784.

Толкачев В. М. Некоторые контактные задачи теории оболочек. Диссертация на соискание ученой степени д-ра физ.-мат. наук. М., МГУ, 1973. 402 с.

Христенко А. С. О действии сосредоточенных нагрузок на ортотропную цилиндрическую оболочку. -V Изв. АН СССР, отделение технических наук. Механика н машиностроение, 1962, № 3, с. 128—133.

Христенко А. С. Напряженное состояние ортотропной цилиндрической оболочки вблизи точки нриложения сосредоточенной нагрузки.——Труды Университета дружбы народов нм. Патрнса Лумумбы, 1965, вып. 10, с. li—22.

Христенко А. С. Действие на оболочку нагрузки, распределенной вдоль отрезка линии кривизны. —— Строительная механика и расчет сооружений, 1966, № 6, с. 9—13.

Христенко А. С. О действии на ортотропную круговую цилиндрическую оболочку сосредоточенных снл. н моментов, приложенных к свободному краю.— Инженерный журнал. Механика твердого тела, 1968, № 4, с. 198—201..

Христенко Аг С., Юрченко Т. А. Некоторые задачи о действии сосредо- • точенных нагрузок на ортотропные оболочки. — В кн.: Труды VII Всесоюзной 280‘

48. Чернышев Г. Н. О действии сосредоточенных сил и моментов иа упру48. Чернышев Г. Н. О действии сосредоточенных сил и моментов иа упругую тонкую оболочку произвольного очертания.— Прикладная математика и мегую тонкую оболочку произвольного очертания.— Прикладная математика и меконференции по теории оболочек и пластинок, Днепропетровск, 1969. М.» Наука, 1970, с. 687—690.

48. Чернышев Г. Н. О действии сосредоточенных сил и моментов иа упру

48. Чернышев Г. Н. О действии сосредоточенных сил и моментов иа упру

гую тонкую оболочку произвольного очертания.— Прикладная математика и ме

гую тонкую оболочку произвольного очертания.— Прикладная математика и ме

иа действие сосредоточен*иа действие сосредоточен*ханика, 1963, т. 27, вып. 1, с. 126—134.

иа действие сосредоточен*

иа действие сосредоточен*

Чернышев Г. Н. Расчет сферических оболочек

ных сил. — Изв. АН СССР. Механика, 1965, № 1, с. 99—108.

Чернышев Г. Н. Асимптотнческне методы в теории Оболочек (сосредоточенные нагрузки). — В кн.: Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. М., Наука, 1966, с. 799—810.

Чернышев Г. Н. Прогиб под сосредоточен ной силой в оболочках положительной кривизны.——Прикладная математика н механика, 1967, т. 31, вып. 5Г с, 883—886.

Чернышев Г. Н. Представление решений типа Грина уравнений оболочек методом малого параметра. — Прикладная математика и механика, 1968, т. 32, вып. 6, с. 1083—1089.

Чернышев Г. Н. Характер решений уравнений оболочек нулевой кривизны при сосредоточенных воздействиях. — В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Днепропетровск, 1969. М.» Наука, 1970〉 с. 597—600.

Чернышев Г. Н. О контактных задачах в теории оболочек. — В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 898—903.

Шариков И. Л. К вопросу о расчете замкнутой цилиндрической консольной оболочки иа краевые сосредоточенные нагрузки.——Инженерный журнал, 1965, т. 5, вып. 6, с. 1074—1080.

Шевляков Ю. А., Шевченко В. IL Розв'язок задач згину пологих сферичных оболонок. — Прикладиа механ1ка, 19 64； т. 10, вып. 4, с. 382—391.

Шевляков Ю. А., Шевченко В. П. Пологая сферическая оболочка под действием сосредоточенных сил и моментов.——Прикладная механика, 1965, т. 1, вып. 2, с. 74—77.

Шевляков Ю. А., Шевченко В. П. К вопросу о действии сосредоточенных воздействий на пологие оболочки.——В кн.: Концентрация напряжений, вып. 1. Киев, Наукова думка, 1965, с. 326—337...

Шевляков Ю. А., Шевченко В“ П. Местные напряжения в цилиндрической оболочке в окрестности сосредоточенных воздействий.——В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости, вып. 6. Харьков, нзд-во Харьковского университета, 1967, с. 91—99.-

Шевченко В. П. Про д1ю зосереджениих дотнчних зусиль на пологу ци- л1идричну о болонку. — Допов1ди АН УРСР, 1965, № 7, с. 864—867.

Шевченко В. П. К температурной задаче пологих оболочёк. — В кн.: Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Днепропетровск, 1969. М., Наука, 1970, с. 610—613..

Шестопал А. Ф. Равновесие замкнутых цилиндрических оболочек под действием сосредоточенных сил.——Украинский математический журнал, 1963, т. 15, № 1, с. 106—114..

Benicek М. Experimental study of thin cylindrical shells under local axial loadings. — Experimental mechanics, 1967, vol. 7, N 12, p. 506—512.

Bijlaard P. P. Stresses from radial loads in cylindrical pressure vessels.— The Welding Journal, 1954, vol. 33, N 12, p. 615—623.■

Bijlaard P. P. Stresses from local loadings in cylindrical pressure vessels.— Transactions of the ASME, 1955, vol. 77, N 6, p. 805—816. Перевод на русский язык: П. П. Бейлард. Напряжения от локальных нагрузок в цилиндрических сосудах давления. — В сб.: Вопросы прочности цилиндрических оболочек. М,, Оборонгнз, 1960, с. 43—65.

Bijlaard Р. Р. Stresses from radial loads and external moments in cylindrical pressure vessels. — The Welding Journal, 1955, vol. 34, -N 12, p. 608—617. Перевод на русский язык: П. П. Бейлард. Напряжения от радиальных нагрузок и внешних моментов в цилиндрических сосудах давления. — В сб.: Вопросы прочности цилиндрических оболочек.

Demir H. H., Drucker D. C. An experimental study of cylindrical shells under ring loading. 一 Progress in Applied Mechanics. The Prager anniversary volume. New York, The Macmillan Company, London, Collier-Macmillan Limited, 1963, p. 205—220.

Donne! L. H. A discussion of thin shell theory. — Proceedings of the Fifth International Congress for Applied Mechanics. Cambridge, Massachussetts, September 12—16, 1938. John Wiley and Sons, inc., New York, London: Chapman 怎nd Hall, Ltd. 1939, p. 66—70.

Elms D. G. Shells of revolution with concentrated edge forces. — Journal of the Engineering Mechanics Division, 1969, vol. 95, N EM3, p. 711—730.

Forsberg K・，FKigge W. Point load on a shallow elliptic paraboloid.— Journal of Applied Mechanics, 1966, vol. E33, N 3, p. 575一585.'

Hoff N.J., Kempner J・，Pohle F. V. Line load applied along generators of * thin-walled circular cylindrical shells of finite length. — Quarterly of Applied Mathematics, 1954, vol. 11, N 4, p. 411—452. (Перевод на русский язык: Н. Хофф, Ж. Кемпнер, Ф. Пал. Линейная нагрузка, .приложенная вдоль образующих тон- ксютенных круговых цилиндрических оболочек конечной длины. — В кн.: Вопросы прочности цилиндрических оболочек. М., Оборонгиз, 口960, с. 11—28).

Koiter W. Т. A spherical shell under poijit loads at its poles. Progress in Applied Mechanics. — The Prager anniversary volume. New-York, The Macmillan Company, London^ Collier-Macmillan Limited, 1963, p. 155—169.,

Kozarow M. The effect of concentrated loads on orthotropic cylindrical shells.——Theory of plates .and shells. Vydavatelstvo Slovenskej akademie vied Bratislava, 1966, p. 345—363.

Love A. E. H. A treatise on the mathematical theory of elasticity. 4-th edition. Cambridge, University Press, 1927.

Lukasiewicz S. Concentrated loads on shallow spherical shells. — The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1967, vol. 20, N 3, p. 293—305.

Lukasiewicz S. The solution for concentrated loads on shells by means of Thompson functions. — Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik, 1968, Bd. 48, H. 4, S. 247—254.

Lukasiewicz S. On shell loaded on its free edge. — Archiwum budowy maszn, 1969, T. 16, Z. 3, S. 315—331.

Mangefsdorf C. The applicability of the Donnell equations to the stress analysis of the Yankee drier shells, — Tappi, 1966, vol. 49, N 3, p. 111—114.

Mizoguchi K., Shiota H., Shirakawa K. Deformation and stress in a cylindrical shell under concentrated loading. 1-st report. Radial Loading. — Transactions of the JSME, 1967, vol. 33, N 254, p. 1558—1568, 2-nd report. Circumferential loading. — Transactions of the J SME, 1971, vol. 37, N 293, p. 9—16. 3-rd report. Axial loading. — Transactions of the JSME, 1971, vol. 37, N 293, p. 17—26.— Bulletin of the JSME, 1968, vol. 11, N 45, p. 393—403;1971, vol. 14, N 75,

p. 909—917, p. 918—928.

Mizoguchi K” Shirakawa K- Deformation and strength of a cylindrical shell subjected to a concentrated twisting couple. — Transactions of the'JSME, 1971, vol. 37, *N 300, p. 1467—1474 (discussion — p. 1474). (Перевод на английский язык:— Bulletin of the JSME, 1972, vol. 15, N 82, p. 424—432).

Morley L. S. D. The thin-walled circular cylinder subjected to concentrated radial loads. — The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1960, vol. 13, N 1, p. 24—37.

Morris A. Y. Experimental investigations into the effects of indenting a cylindrical shell by a load applied through a rigid boss. — The Journal of Mechanical Engineering Science, 1971, vol. 13, N 1, p. 36—46.

Reissner H. Formanderungencund Spannungen einer diinnwandigen an den randern frei aufliegenden, beliebig belasteten Zylinderschalle. —— Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik, 1933, Bd. 13, H. 2, S. 133—138.

Sanders T. L. An improved first-approximation theory for thin shells. Washington, NACA, 1959, Technical Report 24.

Sanders T. L. Singular solutions to the shallow shell equations. — Journal of Applied Mechanics, 1970, vol. E37, N 2, p. 361—366.

Ting L., Yuan S. W. On radial deflection of a cylinder of finite lenth with various end condition.——Journal of the Aeronautical Sciences, 1958, vol. 25, N 4, p. 230—234：

Yuan S. W. Thin cylindrical shells subjected to concentrated loads.— Quarterly of Applied Mathematics, 1946, vol. 4, N 1, p. 13—26.

Yuan S. W., Ting L. On radial deflection of a cylinder subjected to equal and opposite concentrated radial loads. — Journal of Applied Mechanics, 1957» vol. 24, N 2, p. 278—282.

Глава 7

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ

7.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

В этой главе рассмотрены интегральные уравнения, используемые в восьмой и девятой главах при решении контактных задач. Здесь не ставилась цель широкого обсуждения теории таких интегральных уравнений. Теория известна и помещена в главу как аппарат для решения контактных задач. Однако мы сочли целесообразным изложить ее не просто как справочный материал, а с выводом решений интегральных уравнений. Это сделано, с одной стороны, чтобы ввести в курс дела читателя-механика, незнакомого ранее с решением подобных уравнений, хотя бы с одним способом решения таких уравнений. ' С другой стороны» некоторые решения, приведенные в главе, просто трудно найтн в литературе в готовом виде» хотя их и можно получить на основе общих известных методов.

х — у \ х ■ g

Сюда относятся, например,' уравнения с ядрами с th—-—, In 2 sh—-—.

2 I 2

В главе дан способ решения, основанный на использовании готового решения уравнения с ядром Коши, который, иа наш взгляд, является весьма простым. Краткое содержание первых пяти разделов главы опубликовано в работе Э. И. Григолюка, В. М. Толкачева [14].

В разд. 7.2 описаны виды интегральных уравнений и типы механических контактных задач, из которых они получаются.

В разд. 7.3 приведены без вывода известные решения сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши (7.7) (формулы обращения сингулярного интеграла с ядром К(нпи). Это ограниченное и неограниченное на концах отрезка интегрирования решение. Данное уравнение играет основную роль, так как из его решения путем несложных операций можно получить решения остальных уравнений. Это уравнение играет одйу из основных ролей и в общей теории сингулярных интегральных уравнений. Разввтию теории сингулярных интегральных уравнений посвящена работа Торстена Карлемана [43] (1922). В ией, в частности, решено уравнение (7.7). Развитый в работе [43] способ решения состоит во введении вспомогательной аналитической функции комплексного переменного в виде интеграла типа Коши, плотностью которого является искомая из интегрального уравнения функция. Это позволило свести задачу к краевой задаче Римана, из решения которой вытекает решение исходного интегрального уравнения. Далее в разд. 7.3 выводится формула (7.13) дифференцирования сингулярных интегралов специального вида. С помощью этой формулы легко получается решение уравнения (7.17) с разностным логарифмическим ядром. Отме- тимгчто решение интегрального уравнения

1

Jln|x—川 <p(y)dg = f (х)(7. 1)

о.'

получено T. Карлеманом [45] (1922 г.). Уравнение (7.1) лишь пределами интегрирования отличается от уравнения (7.17), что абсолютно не влияет на способ решения и его вид, поэтому по виду решение Т. Карлемана совпадает с (7.23). Метод решения, данный Т. Карлеманом, тот же, что и в работе [43]. В качестве

вспомогательной аналитической функции выбирается функция комплексного переменного вида

尸(z) = Jln(z —y)<?(g)dg,

о

где ^(у)——искомая функция уравнения (7.1). Используя предельные значения функции Г(2) на берегах разреза отрезка 0之尤V1 действительной оси, Т. Кар- леман сводит искомую задачу к краевой задаче Римана, которая весьма просто решается в замкнутом виде. Таким же способом в названной работе [45] решается уравнение типа уравнения Абеля

1

Е^ =『（“） °<а<「■仏2）

о

с постоянными границами иитегрировання. Уравнение типа (7.2), но с границами интегрирования и функциями (p(g), f(х), зависящими от времени как от параметра, получается при изучении контактных задач в условиях ползучести [5, 7]. Н. X. Арутюнян [5] решает упомянутое уравнение, используя метод М. Г. Крейна [18]. Алпарат, который применен в названных работах Т. Карлемана, является одним из основных в теории сингулярных интегральных уравнений [9, 30, 31].

В разд. 7.4 дано решение сингулярных интегральных уравнений с ядрами а —

типа ctg—-— и cth ―-—. Путем замены переменных уравнения сводятся к уравнению с ядром Коши, записывается решение последнего и делается переход к старым переменным. Решение названных уравнений можно получить с помощью теории сингулярных интегральных уравнений с автоморфными ядрами [9]. Решение уравнения (7.40) с ядром типа ctg приведено Л. Й. Чнбриковой [42], оно получено методом сведения исходнрй задачи к краевой задаче Рнмана, решение которой строится в классе автоморфных функций. Методами теории потенциала решение уравнения (7.40) найдено И. Я. Штаерманом [41]. Что касается решения (7.34) уравнения (7.26) с ядром тниа cth, то это решение в литературе нам не встречалось..

В разд. 7.5 дано решение уравнений (7.47) и (7.48) с логарифмическими ядрами вида'

♦ с а — а0 с а — а0、

• In 2 sin —-— , In 2 sh —-— .

22-

Примененный здесь способ решения названных уравнений тот же, который использован прн решении уравнения (7.17) с разностным логарифмическим ядром вида 1п |х——у]. Способ состоит в том, что путем интегрирования по частям интеграла с искомой функцией исходные уравнения приводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядрами типа ctg' и cth. Затем из разд. 7.4 берется готовое решение последних, ограниченное на концах. Решение исходных уравнений получается дифференцированием полученных решений, при этом используются формулы дифференцирования си-нгулярных интегралов, выведенные в разд. 7.4. Данный способ решения описан в работах [13, 40]. Уравнение (7.47) с ядром

методом теории потенциала решено И. Я. Штаерманом [41]. Это, по-видимому, ineppoe решение. Решение уравнений (7.47) и. (7.48) содержится в статьях М. Г. Крейна [18, 19]. Уравнение вида (7.48) рассмотрено также В. М. Александровым и Е. ,В. Коваленко [1], а уравнение вида (7.47) в работе [2]. Путем замены переменных уравнения сведены к уравнению с разностным логарифмическим ядром. Это удается. сделать, если правая часть уравнения является либо нечетной функцией [1, 2], либо четной [2]. Ограниченное на концах решение уравнения (7.47) содержится в работе [15]..

-В разд. 7.6 рассмотрены полные интегральные уравнения первого рода, ядра которых кроме характеристической части содержат регулярную часть. Такие уравнения, вообще говоря, не поддаются решению в явном виде (за малыми частными ислючениямн). В разд. 7.6 дано преобразование таких уравнений к уравнениям Фредгольма второго рода или регуляризация. Метод регуляризации предложен Т. Карлеманом [43] и носит его ими. Суть метода состоит в решении характеристического уравнения, прн этом слагаемое с регулярным ядром переносится в правую часть н рассматривается как условно известная функция. Метод Т. Карлемана является методом равносильной регуляризации [9] в том смысле, что регуляризованное уравнение имеет те же решения, что исходное. Не исчезают решения исходного уравнения и не появляются новые. В этом преимущество метода Т. Карлемана перед другими. Регуляризованные уравнения предлагается решать численно, путем сведения их к конечной системе алгебраических уравнений. Такой прием использован в работе Э. И. Грнголюка н В. М. Толкачева [11]. Для вычисления интегралов эффективно может быть использована квадратурная формула Me лер а [20]; являющаяся квадратурной формулой наивысшей точности. Эта формула удобна прн-решении задач рассматриваемого класса, так как служит для вычисления внтегралов с вессХвой функцией 1/У1一*2 либо У1 — *2, которая характеризует особенность контактных реакций. В разд. 7.6 приведен несколько измененный внд формулы Мелера, показано также, как ее можно использовать для сингулярных интегралов. Естественно, что использование квадратурных формул, с помощью которых интегральное уравнение сводится к системе кюиечиого числа алгебраических уравнений, не всегда наиболее рационально. Иногда выгодно получать решение естественным путем в рядах (как предельный случай решения уравнения с вырожденным ядром). Этот путь принят в работе [40]. Метод Карлемана использован также в работах [6, 8» 12, 39]. После регуляризации сингулярного уравнения решение регулярного интегрального уравнения строится либQ с помощью степенных разложений [6, 12], либо тригонометрических [8, 39]. Метод М. Г. Крейна [18, 19] использовал С. М. Мхитарян [32, 33] прн решении интегральных уравнений с ядрами, содержащими слагаемые вида

In I2 sin % 三],In shIn I2 sin % 三],In sht - ht - h22

In I2 sin % 三],In sh

In I2 sin % 三],In sh

t - h

t - h

2

2

и дополнительные слагаемые вида sign (£——т).

.В. М. Александров н В. А. Кучеров [3] исследовали интегральное уравнение с ядром, содержащим слагаемое'

н вырожденную часть ядра в виде двух слагаемых. Такое уравнение решается точно.

В разд. 7.7 дано описание способа решения полных интегральных уравнений с помошью полиномов Чебышева. Этот способ может быть применен непосредственно к решению исходных интегральных уравнений, что обычно и предпочй- тают делать. В виде полиномов Чебышева можно искать, решения уже регуляризованных уравненнй.-Оба пути приводят к идентичным результатам. В разд. 7.7 описан прямой способ решения без предварительной регуляризации. Сначала в разделе дано определение полиномов Чебышева первого н второго рода, затем записаны условия ортогональности и известные спектральные соотношения. Затем с помощью аппарата полиномов Чебышева и метода Бубнова записана про цедура сведения полных интегральных уравнений с характеристическими ядрами вида

Mg - - -а°, cth %*, In 2 sin - -aQ|, In Ь sh ~~^ к системе алгебраических уравнений.

286

Полиномы Чебышева являются естественным аппаратом для решения интегральных уравнений контактных задач, так как вес 1/М1 ——х2 и ]Л 1 — %2, с которым полиномы Чебышева ортогональны на отрезке (—1,1), характеризует особенность решения для контактных реакций. Спектральные соотношения для интегральных операторов с ядрами вида 1/(х——y)t In |尤一у\ имеют весьма простой н красивый вид.“

Спектральное соотношение

\ In 1х — у\—,旳 ：_ = —2п1и2

•о

для полинома Чебышева первого рода То(х) = 1 было выведено еще в работе Т. Карлемана [45] при решении уравнения (7.1). Развитию аппарата ортогональных многочленов для решения интегральных уравнений большое внимание уделено в работах Г. Я. Попова [35, 36, 37]. Так, в работе [36] показано, что если линейный интегральный оператор £ переводит функцию xmQ(x) в функцию вида Q(*)Pm(*), где Рт (х)——полином степени т от х, то можно построить полином 9m (%) такой, что оператор L будет переводить его с весом q(%) в самого себя. Указан вид оператора 丄 для многочленов Якоби и, как частный, случай, для многочленов Лежандра и Чебышева. В частности, получены известные спектральные соотношения

11112To ⑶(т = 0)

(山 1 Tm⑺町_]。(八

冗)n \x^y\I ——Tm (x)(w^0) •'

Эти спектральные соотношения содержатся в работе П. И. Клубина [17], в статье Г. Я. Попова [35】.В исследовании [37] показывается, что применение ортогональных многочленов для решения интегральных уравнений контактных задач тесно связано с наличием специального класса так называемых полиноминальных ядер (к которым должны относиться ядра интегральных уравнений). Автор дает способ построения таких ядзр] на основе которого получаются как известные ранее, так и более общие ядра. В качестве примера приведено спектральное соотношение для логарифмического ядра

72a+1(4), х + у t Л- In -；ay =—

pl —^2[x — y\1 + 2n

о

и билинейное разложение '

g4

ln…(х) 72“+】(g)

д=0

(O^x, ggl, Tn(x) —многочлены Чебышева),

Многочлены Чебышева применялись для решения интегральных уравнений контактных задач в целом ряде работ. Первая известная иам работа, в которой уравнение решалось с помощью полиномов Чебышева, — это работа С. Бенскоте- ра [44] (1949 г.), которая более подробно обсуждалась в начале гл. 3. Позднее для аналогичной задачи этот аппарат применялся в публикациях Ю. И. Ларьки на [21], [22], В. М. Александрова и В. А. Кучерова [4], В. Н. Максименко и Л. А. Фильштинского [25, 26], Г. А. Мораря и Г. Я. Попова [27, 28]. В частности, в работе [27] получено соотношение

£—』Tm+i(g)dRx(i))cos —£—』Tm+i(g)dRx(i))cos —Um")Um")* а£cos — cos2—•22* а£cos — cos2—•22

£—』Tm+i(g)dR

x(i))cos —

£—』Tm+i(g)dR

x(i))cos —

Um")

Um")

* а£

cos — cos2—

•22

* а£

cos — cos2—

•22

а в статье [28] — соотношение,

СЕ—тп X (-л) ,,а小

\ ctg—^-ит (д)對=4л sin —Тт+1{х)+с^,

—аCOS

-cm} = 4л sin -у- sin 普"产+1, q = tg*,$ / а/ а—

* н tgq/ tg—, g = tg 亍 J tg —, X(』)= y2(cos』一 cosa).

Эти соотношения обобщают аналогичные соотношения (7.75) ((10^ с. 847) для ядра Коши. Аппарат полиномов Чебышева используется и в книгах В. В. Паиа<- сюка и М. И. Теплога [34], В. М, Сеймова [38].

Несколько оГлнчннм от метода полиномов Чебышева, но все же близким к нему, является метод X. Мультоппа [46], применяемый для решения сингулярных интегральных уравнений рассматриваемого вида. Этот метод достаточно подробно изложен и обоснован в книге А. И. Каландия- [16], а при решении контактной задачи теории оболочек использован в работах В. Н. Максименко и Л. А. Фальш- тииского [23, 24, 25]. Суть метода в том, что искомое решение уравнений с ядром Коши ищется в виде 屮(％) = *Ро(Х)/М1——х2, а регулярная функцвя фо(х) представляется в виде интерполяционного многочлен^ Лагранжа по чебышевским узлам с неизвестными узловыми значениями функции фо(х^), для. которых методом коллокаций либо другим методом может быть получена алгебраическая система. В конце гл. 7 дано приложение, в котором выводятся граничные значения канонических функций и формулы для вычисления интегралов, содержащиеся в монографии Н. И. Мусхелишвилн [29].

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯКОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

При рассмотрении многих контактных задач теории тонких оболочек зону контакта допустимо считать отрезком линии. Это имеет место в оболочках с тонкими ребрами, при рассмотрении цилиндрических оболочек, покоящихся на ложементах, в цилиндрических оболочках, сваренных по отрезкам образующих.

При некоторых, оговоренных ниже условиях, определение реакций взаимодействия в подобных конструкциях можно свести к решению интегральных уравнений вида

(7.3)(7.4)(7.5)(7.6)(7.3)(7.4)(7.5)(7.6)、3dhy ^ д(а)а(х = \ К(^-^q (^ddr + /1 (а0).

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

J 子ctg^^0(a)da=' ka 一 %)0(%)"出 + 力(州， —p—₽

\ In 2sha~a°- g(a)da=J AT(a0-aj?(ajd^ + Л(a0),

-₽T

C In 2 sin ^^~ g(a)da=\ К ^ — ^q^da^f^ (a0), —p_p

которые справедливы на открытом интервале (—р<ао<：Р) действительной оси ао. Здесь под знаком левых и правых интегралов д(а) —искомая реакция; К(а。—сц) —регулярные известные ядра; Д (ао) — известные функции.

Эти уравнения получены в следующей главе при рассмотрении контактных задач. Здесь- мы лишь кратко укажем, какие задачи приводятся к решению выписанных уравнений, а затем остановимся на способе преобразования и решения этих уравнений.

Уравнения типа (7.3)——(7.6) получаются, если решение для перемещений и деформаций оболочки от неизвестных реакций на линиях контакта оболочки записать с помощью функций Грина； выделив предварительно особые, обращающиеся в бесконечность при а=ао части функций Грина, как это сделано в разд. 7.4 предыдущей главы. К уравнению типа (7.3), например, приводится задача определения касательной реакции в цилиндрической оболочке, подкрепленной вдоль отрезка образующей абсолютно жестким на растяжение и абсолютно податливым на изгиб ребром или системой таких ребер, расположенных с постоянным шагом по окружности и одинаковых между собой. Уравнение типа (7.4) определяет окружные касательные реакции в описанных выше ребрах, но присоединенных по отрезкам окружности поперетаого сечения оболочки (если не учитывать нормальные реакции). Уравнение типа (7.5) служит для определения нормальных реакци访 в цилиндрической оболочке, сдавливаемой вдоль отрезков образующих одинаковыми； жесткими штампами,, контактируемая кромка; который искривлена, не имеет острых углов, не приварена к оболочке и трение в зоне контакта отсутствует. Все штампы нагружены одинаковыми силами и расположены с постоянным шагом в окружном направлении. В этом случае искомой является не только реакция q штампа, но и величина зоны контакта 0. Уравнение (7.6) будет Иметь место, если определяется нормальная реакция жестких штампов, таких же, как при рассмотрении уравнения (7.5), но присоединенных по отрезкам дуги окружности поперечного сечения с постоянным шагом. *

Во всех описанных выше случаях при рассмотрении контактных задач способом преобразования исходных уравнений будет являться способ приведения их к уравнениям Фредгольма второго рода путем обращения интегралов в левой части уравнений (7.3) — (7.6). Это метод Т. Карлемана [43]. В* результате указанного преобразования, во-первых, в явном виде выделяются особенности в решении, во-вторых, получаются уравнения Фредгольма второго рода, методы решения которых разработаны весьма подробно.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯС ЯДРОМ КОШИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ

При рассмотрении интегральных уравнений (7.3)—(7・6) зво- дится замена переменной, которая сводит их к уравнениям с ядром 10 3136 289

Коши, поэтому здесь мы приведем некоторые, в основном известные, результаты для уравнения с ядром Коши

f(7.7)

Здесь q — искомая функция, f — заданная функция; (а, Ь) — некоторая гладкая дуга комплексной плоскости z=x+iy. Функции q и f предполагаются либо ограниченными, либо имеющими интегрируемые особенности на концах отрезка (а, Ь), Уравнение (7.7) имеет следующие решения [9].

Решение, ограниченное^а концах а, b отрезка интегрирования, ь _

а

гдеX (f) = Х+ (/) = /(Г- а)(匚»、 (7.9)

есть граничное значение канонической функции

X (z) = )/ (z — a) (z — b)(7.10)

при приближении к точке f отрезка (а, Ь) слева, если двигаться от а к 6. Под X(f) понимается вполне определенная ветвь этой функции, имеющая в окрестности бесконечно далекой точки комплексной плоскости z=x+iy разложение (свойства функции (7.10) рассмотрены в приложении 7.1)

X(2) = 2-…

Решение (7.8) существует, если правая часть f(f) уравнения (7.7) удовлетворяет условию

\ fgt =0.(7.П)

)X (£)

Решение, неограниченное на концах,

«)=—.(7.12)

冗2X(® )看一4 1 X (Zo)I 丿

Здесь c — произвольная постоянная; X(f) — каноническая функция (7.9)..

Кроме решений (7.8) и (7.12) уравнение (7.7) имеет еще два: решение, ограниченное на конце а и неограниченное на конце 6 и, наоборот, — ограниченное на 6 и неограниченное на а. Однако эти решения использованы не будут, поэтому здесь не приводятся.

290

Докажем следующую формулу дифференцирования сингулярных интегралов:

-1ъ

*「X(幻: J0竺一=亠、 • X⑴u⑴或,(7.13) 也 ')х«)«То)x(/o)) t-t0 '' 丿

которая справедлива для произвольной гладкой функции /(/), удовлетворяющей условию

“ lim /(/)X(f)=0 при f—>« или Jb.(7.14)

Кроме этого, производная 尸(f) такова, что интеграл в правой части (7.13) должен существовать в смысле главного значения по Коши. Под Х(/) в формуле (7.13) понимается каноническая функция (7.9)・

Найдем сначала производную от функции

где X(z) — функция (7.10); z ——точка комплексной плоскости, разрезанной по отрезку (а, 6) и не лежащая на берегах разреза.

Дифференцируя формулу (7.15), получим

*й>-1+学君

Легко проверить тождество

2z—+ ^~т +J2/+轡

с учетом которого

d@(z)= 1( 3+J2f)“f)必 I1_ г X«)f (£)df

dz —2X(z)JX(£)(f —z)丁*(刁)(f —z)2

Последний интеграл берем один раз по частям. В силу условия (7.14) вненнтегральный член исчезает. Тогда имеем

j Х〃"“2J (—2)2—j Х〃"“2J (—2)2—ЬЬ

j Х〃"“2

J (—2)2—

j Х〃"“2

J (—2)2—

Г 尸⑴X (f)或I 1 Г (2f - a - E)尸(介設 j 二z rV j a—z)x«)八丿・

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получим

(7.16)(7.16)Sz)= 1 С /'«)Х")也dz X (z) Jt — z•

(7.16)

(7.16)

Выпишем предельное значение функции Ф(г) и ее производной dO(z)/dz, определяемых формулами (7.15) и (7.16). Формулы Со- хоцкого дают '

L dzX("J £一方

Но известно [9], что предельное значение производной интеграла типа Коши равно производной от предельного значения. Поэтому, дифференцируя первую полученную выше формулу и сравнивая со второй, получим формулу (7.13).

Используя формулу (7.13), можно решить, например, уравнение..

，也|/一绢g成=/(幻.(7.17)

Поступим следующим образом. Введем новую функцию Q урав нением

(7. 18)

и выполним интегрирование по частям в левой части уравнения (7.17)

1111-1. -1Положим-1. -1Положим

11

11

-1. -1

Положим

-1. -1

Положим

4=Q(1) — Q( — 1) = J*/,т(7.19)

5 = Q⑴+Q(_1).'

Очевидно, что 8 — произвольная постоянная интегрирования уравнения (7.18); Л имеет смысл (7.19). Имеем

Q(I) =亨,Q( — I)=宁.

Теперь предыдущий интеграл можно записать так:

и уравнвение (7.17) будет иметь вид

(7.17), то сог- ограниченной. (7.8), что при-(7.17), то сог- ограниченной. (7.8), что при-J /Г： =" 111P1 —宏+ 8 In ]/:；；； 一 /(%)•(7・ 20)

(7.17), то сог- ограниченной. (7.8), что при-

(7.17), то сог- ограниченной. (7.8), что при-

Если искать интегрируемое решение уравнения ласно определению (7.18) функция Q должна быть Ограниченное решение уравнения (7.7) имеет вид менительно к уравнению (7.20) дает

Q(幻=—Л2 !МЕ(~) dt-亿 21)

Условие существования решения (7.11) в данном случае будет

df=0.df=0.JH 二 £2—IJH 二 £2—I1 Л lup 1 — £2 + 5 In *|//^' ]' ] / — f (£)

df=0.

df=0.

JH 二 £2

—I

JH 二 £2

—I

Если учесть, что InV(1 —/)/(1 +/f —нечетная функция, то интеграл от второго слагаемого будет равен нулю. Кроме этого, полагая /==sin <р, найдем [10]

\\ in (cos ?)— л In 2.

-—1_*/2

Поэтому предыдущее условие вполне определит постоянную 4 в виде•

A=l_f /a)%л ln2 J p匸彳A=l_f /a)%л ln2 J p匸彳(7・ 22)(7・ 22)Чтобы получить решение уравнения (7.17), нужно продифференцировать решение (7.21) с помощью формулы (7.13). Окончательно получим "Чтобы получить решение уравнения (7.17), нужно продифференцировать решение (7.21) с помощью формулы (7.13). Окончательно получим "小)=小)=冗匕1一^冗匕1一^『1 j /TFr«)df 冗2匕—© ][d —%『1 j /TFr«)df 冗2匕—© ][d —%(7.23)(7.23)

A=l_f /a)%

л ln2 J p匸彳

A=l_f /a)%

л ln2 J p匸彳

(7・ 22)

(7・ 22)

Чтобы получить решение уравнения (7.17), нужно продифференцировать решение (7.21) с помощью формулы (7.13). Окончательно получим "

Чтобы получить решение уравнения (7.17), нужно продифференцировать решение (7.21) с помощью формулы (7.13). Окончательно получим "

小)=

小)=

冗匕1一^

冗匕1一^

『1 j /TFr«)df 冗2匕—© ][d —%

『1 j /TFr«)df 冗2匕—© ][d —%

(7.23)

(7.23)

При получении этой формулы были использованы следующие значения интегралов:

1dt _q гtdt .

*1 一 # (£ — /q)}] Ml — f2 (f — 4)

Эти интегралы вычисляются по формуле (7.105). Второй может быть также вычислен непосредственно, если учесть значение пер-

вого.

Проделанные выкладки показывают, что уравнение (7.17) имеет единственное, неограниченное на концах решение, определяемое вполне по формулам (7.23) и (7.22).

В качестве примера найдем решение уравнения

1

(7・24)(7・24)f In \t — /q| qdt = 1п^ г 1 —冰

(7・24)

(7・24)

По формуле (7.22) находим Л = 1,

Г /1 —£2广 «) dt _ — Г以£

)[ t —方\ ] У 1 — /2 (f 一 ％)

и формула (7.23) дает g三0. Если же теперь g三0, подставить в левую часть исходного уравнения, придем к противоречию, так как 1п|/ 1 —/о не равен тождественно нулю.

В действительности, никакого противоречия нет. Дело в том, что формула (7.23) определяет решение уравнения (7.17) в классе обычных интегрируемых функций. Уравнение же (7.24) не имеет решения в классе таких функций. Оно имеет решение

0(£)=3(f一1)+3(叶1), (7.25)

где 6 — дельта-функция.

В справедливости этого можно убедиться, подставив решение (7,25) в левую часть уравнения (7.24) и вычислив интегралы по формуле

1

J中(加(仟1)於=中(土1).

Если подобрать правую часть /(^) уравнения (7.17) специальным образом, можно получить и ограниченное решение уравнения (7.17). Это очевидно, так как интеграл в левой части уравнения (7.17) существует для ограниченных функций д.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯС ЯДРОМ ТИПА cth и ctg

Рассмотрим аналог уравнения (7.3), если правую часть считать известной и обозначить через f (cto).

j у cth ^q{^da=f^ (-К«0<?)-(7.26)

Добавляя к(7.27)(7.28)(7.29)Добавляя к(7.27)(7.28)(7.29)Его решение можно получить следующим образом, обеим частям уравнения константу

Добавляя к

(7.27)

(7.28)

(7.29)

Добавляя к

(7.27)

(7.28)

(7.29)

^歹=击\勿叫

и делая замену переменной

Е=е\ /0=еа°,方=1/а=*

приведем его к виду

.i最="幻+犷，

где через д(/) и 〃/) вновь обозначены функции q(In0 и /(Inf).

Решение, неограниченное на концах отрезка [—0, В] определяется формулой (7.12), если функцию /(f) заменить 例)+9*纪

) 力一fox(4)

a

где c — произвольная постоянная, a X(f) —каноническая фуик- ция (7.9).

Вычислив с помощью формулы (7.105)

= —位僞-ch。)

и учитывая, что с ——произвольная постоянная, предыдущую формулу запишем в виде

0 偽)=一_!_ 严)"+产-+亠.(7.зо)

Найдем постоянную g\ определенную формулой (7J7). Для этого проинтегрируем обе части выражения (7.30) по Оо, учтем, что dcto=dfo〃o и вычислим с помощью формул (7.105), (7.106) встречающиеся интегралы:

} «о) "о — О 力'} «о) "о — О 力'

} «о) "о — О 力'

} «о) "о — О 力'

В результате имеемВ результате имеем

В результате имеем

В результате имеем

』сJ ； ^(0/(0； “夕=2/ --\— - v z- dt^cn .

Полагая теперь произвольную постоянную равной

■e=%+丄:金亚

где с。— новая произвольная постоянная, получим •7*= — 2/лс0.

предста-.(7.31)предста-.(7.31)(7. 32)(7. 32)С учетом этой и предыдущей формул решение (7.30) вим в виде

предста-

.(7.31)

предста-

.(7.31)

(7. 32)

(7. 32)

q (约=——J— f X (/) / (/) (—Ц 或+'0仕 + 幻

… nU(^o) J 7 V W-^o t /X(幻

a

Остается перейти к переменной а по формулам (7.28).

Введем каноническую функцию~

X® = 2个号sh号.:

Так как лод X(t) в формуле (7.31) понимаемся функция (7.9), являющаяся предельным значением X+(f) функции (7.10), то легко установить, что

Xe)=i@X(a)(7.33)

(см. приложение 7.1).

С учетом этой формулы и обозначений (7.28) выражение (7.31) окончательно можно записать в виде

ВCh粤

-«(%)=J— f X@”(a)也，2_(7 34)

V °丿2n2X(a())Ja-a0 л X(a0)

—в sn —-—

、、 P 2

где c — произвольная постоянная.

Займемся построением решения уравнения (7.26), ограниченного на концах.

Ограниченное решение уравнения (7.29) имеет внд (7.8)

〃«)=_电.(7.35)

Постоянная 7* не вошла, так как

ььdi>«)” 血di>«)” 血=0,=0,(7.36)(7.36)

ь

ь

di

>«)” 血

di

>«)” 血

=0,

=0,

(7.36)

(7.36)

что можно установить по формуле (7.105)

Условие разрешимости (7.11) будет

(/ a)或卜0*:或=0аa(/ a)或卜0*:或=0аa(7. 37)(7. 37)

(/ a)或卜0*:或=0

аa

(/ a)或卜0*:或=0

аa

(7. 37)

(7. 37)

Найдем постоянную д*, определенную формулой (7.27). Интегрируя (7.35) по ао (йао = ^оДо) после перехода к старой переменной а, получнм

9 / /3)sh9 / /3)shаа

9 / /3)sh

9 / /3)sh

а

а

Х(а)

Подставляя это значение в (7.37), условие разрешимости представим в виде

9 /(a)chg\ 2—rfa=0.9 /(a)chg\ 2—rfa=0.х(а)х(а)(7. 38)(7. 38)

9 /(a)chg

\ 2—rfa=0.

9 /(a)chg

\ 2—rfa=0.

х(а)

х(а)

(7. 38)

(7. 38)

Само же решение (7.35) вСамо же решение (7.35) встарых переменных будетстарых переменных будет

Само же решение (7.35) в

Само же решение (7.35) в

старых переменных будет

старых переменных будет

0(%)=0(%)=Х(а°)产Х(а°)产Л2Л2/(dh宁+1隔…./(dh宁+1隔….

0(%)=

0(%)=

Х(а°)产

Х(а°)产

Л2

Л2

/(dh宁+1隔….

/(dh宁+1隔….

Болеё удобной будет, однако, следующая запись решения:

7(«о) =7(«о) =¥(а()) г - /(a)da¥(а()) г - /(a)da2Л2 )a — etcт X(a)sh―-—2Л2 )a — etcт X(a)sh―-—(7.39)(7.39)

7(«о) =

7(«о) =

¥(а()) г - /(a)da

¥(а()) г - /(a)da

2Л2 )a — etc

т X(a)sh―-—

2Л2 )a — etc

т X(a)sh―-—

(7.39)

(7.39)

Решение уравнения

^^4 (a) da = /(%),^^4 (a) da = /(%),(7. 40)(7. 40)

^^4 (a) da = /(%),

^^4 (a) da = /(%),

(7. 40)

(7. 40)

являющегося аналогом уравнения (7.4) с известной правой частью, строится совершенно аналогично. Для этого нужно лишь добавить к обеим частям постоянную

и перейти к переменным

/=е/а, /о=е'а。，а=е~^,力=е久

после чего уравнение приобретает вид (7.29). Окончательно решение можно записать, если в выражениях (7.32), (7.33), (7.34), (7.38), (7.39) заменить а на Za. Приведем окончательный резуль-

тат.

Решение, неограниченное на концах отрезка (―自 В)

дао

рcos —■

q (а0) =1— \ С (а) 〃а) det 十,——2_(7#41)

' 0 2Л2Х (а0) J . а —а0 Xg) '

П S]n 2

где Х((х) — каноническая функция

х (а) = 2 / sin ^- sin 害• = ]/2(cosa —cos 仪(7.42)

c — произвольная постоянная.

Связь между предельным значением X(f)=X+(f) канонической функции (7.9) и функции (7.42) имеет вид (см. формулу (7.104))

X(f)=-e'rY(a).X(f)=-e'rY(a).(7.43)(7.43)

X(f)=-e'rY(a).

X(f)=-e'rY(a).

(7.43)

(7.43)

Ограниченное иа концах реиАние

а(°о)=а(°о)=Х(% г 2л2)а — а0Т X (а) sin ：=т~^—Х(% г 2л2)а — а0Т X (а) sin ：=т~^—!/ (a)Na!/ (a)Na(7.44)(7.44)

а(°о)=

а(°о)=

Х(% г 2л2)а — а0

Т X (а) sin ：=т~^—

Х(% г 2л2)а — а0

Т X (а) sin ：=т~^—

!/ (a)Na

!/ (a)Na

(7.44)

(7.44)

Это решение существует при условии f /(a)cos-~- (7 45)

Отметим, что приведенные решения можно получить с помощью теории сингулярных интегральных уравнений с автоморфными ядрами [9].

Методами теории потенциала решение уравнения (7.40) получено И： Я. Штаерманом [41].

В заключение приведем формулы дифференцирования сингулярных интегралов (7.39) и (7.44), которые получатся из формулы (7.13), если сделать замену переменной /=еа или £=2：

1£ /，3)Х (a) da

X (ао))•. а — а。

Т sin ―—.

р(7-46)

] с /，(а)Х (a)da

Т Sh-^—

В первой из этих формул фигурирует каноническая функция (7.42), во второй — (7.32)/® — производная по а. Эти формулы из литературы нам неизвестны.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИЯДРАМИ

Используя результаты предыдущего раздела, легко найти решение уравнений

(7.47)(7.48)(7.47)(7.48)\ ln|2sin a~^qk"a=/(00),

(7.47)

(7.48)

(7.47)

(7.48)

—₽

₽

j In 2 sh a~a°- g〃a=/ (&) (-K°o<P)- -₽

Сначала запишем окончательный результат соответственно для уравнений (7.47) и (7.48):

Вcos-—

(7.49)(7.50)(7.49)(7.50)0 (a ) =]\ X ⑷尸(a) da

(7.49)

(7.50)

(7.49)

(7.50)

°，—2儼х(%) J [a-a0 丁 Jt X(a)

T sE —2—

ph巫

g(a°) =aa)/'(a)"a+J■二.

'I и 2л2Х (a0) )a — ®' л X (a)

В формуле (7.49) Xfia) — каноническая функция (7・42), в (7.50) — (7.32). Постоянная 4 в формулах (7.49) и (7.50) соответственно определяется из выражений

41^十纟瑞сое/,41^十纟瑞сое/,"Insh/T 牆ch…"Insh/T 牆ch…(7.51)(7.52)(7.51)(7.52)

41^十纟瑞сое/,

41^十纟瑞сое/,

"Insh/T 牆ch…

"Insh/T 牆ch…

(7.51)

(7.52)

(7.51)

(7.52)

Решения (7.49) и (7.50) являются единственными.

Остановимся на решении уравнения (7.47).

Введем новую неизвестную функцию Q уравнением

(7.53)

и произведя после этого в левой части уравнения (7.47) интегрирование по частям, преобразуем его к виду

\ 4•施^^•Qda=41nX(%)+31n%(a0) —/(%,(7.54)

где X (а) ；—функция (7.42); В — произвольная постоянная интегрирования уравнения (7.53);

(а)=1/^sin ^а /sin ^а-, A = \qda. (7. 55)

Согласно (7.53) необходимо найти ограниченное решение уравнения (7.54), так как по физическим соображениям функция q должна быть интегрируемой.

Уравнение (7.54) лишь правой частью отличается от уравнения J7.46), ограниченное решение которого дается формулой (7.44). Подставляя туда вместо / (а) правую часть уравнения (7.54) и выполняя дифференцирование обеих частей полученного выражения с учетом первой формулы (7.46), найдем

] j X (a) [f (ф — 乂 Н X (а) — В М % (а)] d&2л2Х (а0) )а — a(t

-Вsin ―-—

Условие разрешимости (7.45) при 3ToM будет

《三 da = 0・(7.57)

) Х(а)2‘‘

Для вычисления интегралов в выражении (7.56) можно воспользоваться формулой (7.105) после замены переменной по фор* мулам

/=е% /о==е/а0

и учесть, что_…―

sme 2

2

Таким способом имеем

С Х(а)МХ(а”а=_2е%

J . а —а02

Т sin 2

г X (а) hi，X] (а) da — ° ),а —-

‘ Т sin—

после чего решение (7.56) окончательно получим в виде (7.49).

Если вместо функции g под знак интеграла (7.55) подставить праъую часть ферулы (7.49) и выполнись интегрирование, то придем к тождеству Л ^Л. Иными словами, формула (7.55), опреде-

ляющая постоянную Л, выполняется при любом Л в правой части выражения (7.49). Это вытекает из равенства

\ ^―—- 0 (-Као<?о)，(7. 58)

-₽ * (а) sin —-—

которое получается как следствие равенства (7.36)* после замены переменной. Фактически постоянная Л должна быть определена из условия разрешимости (7.57). Это условие после вычисления интеграла

С 皿*3)cos ±d(x=ji hisin 丄(7. 59)

J X (a)22I '

запишем окончательно в виде (7.51).

Решение (7.49) уравнения (7.47) является единственным в классе интегрируемых функций q. Действительно, оно получено из' рг- раниченного на обеих концах отрезка (—0, 0) решения уравнения (7.54), которое является единственным.

Итак, уравнение (7.47) имеет в классе интегрируемых функций единственное, неограниченное на концах решение, определяемое формулами (7.49) и (7.51). Это же относится к решению (7.50) и (7.52) уравнения (7.48). Оно решается аналогично с помощью замены переменной f = exp а・

Уравнение (7.47) методами теории потенциала решено И. Я. Штаерманом [4J]. Это решение совпадает с (7.49).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ；

iК УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА

Интегральные уравнения (7.3) — (7.6) можно преобразовать к • уравнениям Фредгольма второго рода, используя результаты разд. 4 и 5.

Рассмотрим сначала уравнение (7.3).

В контактных задачах решение уравнения (7.3) должно содержать произвол, необходимый для удовлетворения дополнительного условия равновесия реакции д. Поэтому при преобразовании уравнения (7.3) нужно использовать неограниченное на концах а= ±0 решение (7.34) уравнения (7.26), в которое вместо /(а) нужно подставить правую часть уравнения (7.3). После этого уравнение (7.3) преобразуется к виду'

，(％)= £= \ —\ к (a-""(%)"% +/1(a) da +

T sh ―-— J .-」

+(7.60)

丁几 X (a0)I /

где c ——произвольная постоянная.'

Можно показать» что в повторном интеграле справедлива замена порядка интегрирования. Нужно лишь, чтобы ядро Л(а—ей) было непрерывным по а и кусочно-непрерывным по аь

Производя в выражении (7.60) замену порядка интегрирования и полагая

(7.61)(7.61)0(G =六兩［句

(7.61)

(7.61)

получим следующие уравнения для новых неизвестных функций 必1 и物：.

f 欠(5, а0) ch Ch患勿(出)++，f 欠(5, а0) ch Ch患勿(出)++，Х(а»Х(а»ai2--勿(%)"%=ai2--勿(%)"%=

f 欠(5, а0) ch Ch患勿(出)++，

f 欠(5, а0) ch Ch患勿(出)++，

Х(а»

Х(а»

ai

2

--勿(%)"%=

ai

2

--勿(%)"%=

ch 导 при /=1尸 &) при j^2.ch 导 при /=1尸 &) при j^2.(7.62)(7.62)Ядро R(ajcto) и функция 尸(的)имеют видЯдро R(ajcto) и функция 尸(的)имеют вид

ch 导 при /=1

尸 &) при j^2.

ch 导 при /=1

尸 &) при j^2.

(7.62)

(7.62)

Ядро R(ajcto) и функция 尸(的)имеют вид

Ядро R(ajcto) и функция 尸(的)имеют вид

火("，з^аа,у sh-^火("，з^аа,у sh-^尸(％)=蚩j尸(％)=蚩jX 3)力(а) dtxX 3)力(а) dtx(7.63)(7.63).а — ар.а — ар

火("，з^аа,у sh-^

火("，з^аа,у sh-^

尸(％)=蚩j

尸(％)=蚩j

X 3)力(а) dtx

X 3)力(а) dtx

(7.63)

(7.63)

.а — ар

.а — ар

Y=2arcsinY=2arcsinФункция Х(а), определяемая по формуле (7.32), обращается в нуль на концах отрезка а= ±р. Ядро К(си, ао) будет ограниченным, поэтому ядро уравнений (7.6舒 имеет на концах а= ±р особенность типа корня. Его, однако, можно сделать ограниченным путем замены переменной а на у по формуле

Y=2arcsin

Y=2arcsin

(7.64)

Поэтому уравнения (7,62) можно считать уравнениями Фредгольма с ограниченным ядром. •

Как отмечалось в разд. 7.2, указанный метод преобразования уравнений называется методом Карлемана [43},

Точно также преобразуется и уравнение (7.4). Нужно лишь в .выражениях (7.61), (7.62) и (7.63) гиперболические функции заменить соответствующими тригонометрическими.

Рассмотрим теперь уравнение (7.5). Оно преобразуется с помощью решения (7.50) уравнения (7.48), куда вместо /(а) следует подставить правую часть уравнения (7.5). После ■ этого в повтор-

ном интеграле нужно заменить порядок интегрирования и искать решение уравнения в виде, аналогичном (7.61):

，ch —

q(а)=； [Ay! (а)+у2(<*)].(7. 65)

(а)

где новые функции у\ и У2 определяются из уравнений, аналогичных (7.62):,

f«o)ch^

ch^iO®)-v\ —彳両力m)d% =

ch — при /=1

=2 产 J(7.66)

尸(％) при /=2. '

"К (a —S)X (а)^а1"К (a —S)X (а)^а1欠(%欠(%Ядро R и функция 尸 имеют вид

"К (a —S)X (а)^а1

"К (a —S)X (а)^а1

欠(%

欠(%

а —а°sh

(7.67)(7.67)尸吁県言绮汶-в sh—-—.尸吁県言绮汶-в sh—-—.2

(7.67)

(7.67)

尸吁県言绮汶

-в sh—-—.

尸吁県言绮汶

-в sh—-—.

Уравнения (7.66) отличаются по виду от уравнения (7,62) только знаком перед интегралом. '

Постоянная Л в решении (7.65) не является произвольной, а определяется из условия (7.52), в котором нужно заменить /(а) на правую часть уравнения (7.5);

Л1-чЛ1-ч-%)g(Qi)dai + /i(a) da-%)g(Qi)dai + /i(a) da(7.68)(7.68)

Л1-ч

Л1-ч

-%)g(Qi)dai + /i(a) da

-%)g(Qi)dai + /i(a) da

(7.68)

(7.68)

Уравнение (7.6) преобразуется так же, нужно лишь в выражениях (7.65) —(7.68) гиперболические функции заменить соответствующими тригонометрическими. '

Наиболее рациональным методом решения уравнений (7.62) и (7.66) является численный метод, основанный на использовании квадратурной формулы Мел ера [20]:

、祭弯=王f/)，&=cos 竺戸 . (7.69)

—1 Л=1

где точки ха ——это корни полинома Чебышева первого рода Тп(х).

Формула (7.69) является точной для полинома степени 2л——1 включительно, т. е. является формулой повышенной точности. Для встречающихся выше интегралов она может быть преобразована к виду .

『/(«)ch— я «『/(«)ch— я «(7. 70)(7. 70)

『/(«)ch— я «

『/(«)ch— я «

(7. 70)

(7. 70)

тде точки ад определяются по формуле

с^= —2arcsh(x内 sh~^~),(7・71)

z 力在——точки (7.69)・.

Формула (7.69) переходит в (7.70), если сделать замену переменной —sh =/sh与.-

2 / Я-

Формула (7.70) может быть непосредственно применена для интегралов в левой части уравнений (7.62) и (7.66); что касается интегралов (7.63) и (7.67), то, если не удается вычислить их точно, можно использовать формулу (7.70) после предварительной их регуляризации. Например/ второй интеграл (7;63)' .после регуляризации будет•

尸(%)=圭 j * (a)%(食；x2(脸力(%,"a(7. 72)

■■—6 X (a) sh ~

будет иметьбудет иметьЭто вытекает из тождества типа (7.58). ' Считая, что функция Х«а)厶(а) в окрестности точки ао может быть разложена в ряд Тейлора, найдем, что при а = а0 подынтегральная функция в (7.72)

будет иметь

будет иметь

значение

[X2 (a)力(a川З/.[X2 (a)力(a川З/.2 а

[X2 (a)力(a川З/.

[X2 (a)力(a川З/.

X (а0) da

При решении преобразованных уравнений (7.4) и (7.6) квадратурная формула (7.70) и формула (7.71) остаются в силе, если гиперболические функции заменить тригонометрическими.

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙС ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА

Уравнения (7.3) — (7.6) можно решать и прямыми методами, не прибегая к их регуляризации. Одним из них является метод Муль- топпа [46], в котором решение представляется в виде многочлена Лагранжа, а базовыми точками, в которых разыскивается решение, являются чебышевские узлы. Для построения системы алгебраических уравнений применяется метод коллокаций. Вторым эффективным способом решения является способ, при котором искомые функции представляются в виде разложений по полиномам Чебы-

шева. Коэффициенты разложений определяются из системы алгебраических уравнений, получаемой либо методом Бубнова, либо методом коллокаций.

Мы изложим здесь второй способ. Предварительно напомним основные свойства полиномов Чебышева.

По определению полиномом Чебышева первого рода Тп(х) от переменной x = cos 6 является функция Тп(х) =cos «О.

Многочлены Тп(х) ортогональны на отрезке действительной оси (—1, +1) с весом■

р(х) = 1//1-х2

/О при тфп

、dx= ^прн m = %R0.(7.73)

—1

л при /П=〃=。

Многочленом Чебышева второго рода от переменной x=cos 0 является функция

Многочлены Un(x) ортогональны с весом р=]/1 — х2

J Un{x) Um (x)V\ — x2dx^J Un{x) Um (x)V\ — x2dx^О при тфп冗(加,办=0, 1...)—прй" т = пО при тфп冗(加,办=0, 1...)—прй" т = п(7.74)(7.74)

J Un{x) Um (x)V\ — x2dx^

J Un{x) Um (x)V\ — x2dx^

О при тфп

冗(加,办=0, 1...)

—прй" т = п

О при тфп

冗(加,办=0, 1...)

—прй" т = п

(7.74)

(7.74)

Многочлен Un{x) имеет при (—1<х<1) п корне* агй —cosx х上-但=1, 2,...,%).

71 + 1

Многочлен Тп (х) также имеет л корней

xft = cosxft = cos"警D(Л 2,...,%)."警D(Л 2,...,%).

xft = cos

xft = cos

"警D(Л 2,...,%).

"警D(Л 2,...,%).

Кроме соотношений ортогональности имеют место следующие важные соотношения [10]:

ГТт (%) &Х—J。ПрИ /П = 0

\[ /匸-*2(*— у) . { nUm^x (^) при 加户0,

、У^^т(х)dx=—n7\(y)・(7.75)

—1

При т—0 справедливость этого равенства очевидна, так как функция 1/丿1 _炉一 является решением однородного сингулярного уравнения (см. разд. 7.2). При /п*0 интегралы (7.75) представлены в математических справочниках.

Ниже также понадобятся следующие представления:

f In\x — y\-r==^-dx~Ts{y)(s=l, 2,…)，(7.76)

JJ/ 1 — *2s

一1

\ Ы\х-у\^^=-П\п2.(7.77)

Спектральные представления (7.76) содержатся в работе П. И. Клуб ин а [17], соотношение (7.77) получено Т. Карлеманом [45].

Докажем соотношения (7.76), (7.77). Полагая в левой части (776) x=cos <р, Л(х) =cos s(p, получим

In阮一川d（sin 阡）=In阮一川d（sin 阡）=оо

In阮一川d（sin 阡）=

In阮一川d（sin 阡）=

о

о

=—In |x — y| sin s«p j ———J 空空 dx.

Sin冲 sin §Sin冲 sin §поэтому согласно (7.75)поэтому согласно (7.75)Внеинтегральное слагаемое равно нулю, а для полиномов Чебышева второго рода

Sin冲 sin §

Sin冲 sin §

поэтому согласно (7.75)

поэтому согласно (7.75)

МРЗ*) нхМРЗ*) нх= %(*),

МРЗ*) нх

МРЗ*) нх

Чтобы найти интеграл (7.77)” обратимся к решению (7.23), (7.22) уравнения (7.17). Сравнивая левую часть этого уравнения с интегралом (7.77), видим, что

0= \/У 1 —%2.

Сравнивая это же выражение с правой частью решения (7.23), видим, что оно может быть справедливым, если положить /(f) =с= =const, А=л. Подставляя теперь 4=冗 и f=c в (7.22), найдем

с= —л In 2.

Этим доказана формула (7.77).‘

Решение уравнений (7.3), (7.4). Сначала эти уравнения нужно преобразовать к сингулярным уравнениям с ядром Кртн

306

\ K*(x, x0)^x + /i(x0).\ K*(x, x0)^x + /i(x0).(7.78)(7.78)

\ K*(x, x0)^x + /i(x0).

\ K*(x, x0)^x + /i(x0).

(7.78)

(7.78)

где К* — регулярное ядро, вид которого зависит от способа преобразования уравнений (7.3) и (7.4) к (7.78). Используются два таких способа. Первый состоит в следующем. Для уравнения (7.3) вводится замена переменной

/=th —•, Q=th 与，х=—,(7. 79)

2 а

после чего получим

■ 1 —■ f 22 .f — $о■ 1 —■ f 22 .f — $о

■ 1 —■ f 22 .f — $о

■ 1 —■ f 22 .f — $о

Ядро К* для уравнения (7.3) при этом будет иметь вид

К* (х, х0) = -~^уу [2К (х, х0) — ах],(7.80)

Где К(х, х0) —ядро исходного уравнения (7.3), в котором переменные а, ао нужно выразить через х, X。 по формулам (7.79)・ Чтобы лреобразовать уравнение (7.4) к уравнению (7.78), делается замена переменной, аналогичная (7.79)

/=tg^, a=tg善，х=/(7.81)

и используется соотношение

dada2d/1工/22d/1工/2，十 ctg，十 ctg

da

da

2d/

1工/2

2d/

1工/2

，十 ctg

，十 ctg

тогда ядро К* в (7.78) для уравнения (7.4) будет иметь вид

^(х, ХО)=—^—-^(х, x0)+ax]',(7.82)

1 + @2*2

где К — ядро исходного уравнения (7.4).

Второй способ преобразования уравнений (7.3) и (7.4) к (7.78) состоит в том, что ядра типа cth и ctg в левой части заменяются ядрами Коши и затем заменой переменной•

а = рх(7.83)

отрезок (—р&сх&0) переводится в отрезок (—1W%W1)・ В итоге получается уравнение

\ ^£=卩 \ к* ㈠一 ％)打尤+力(％)•(7.84)

—i •—i

Здесь, в отличие от уравнения (7.78), ядро ^* разностное в силу линейной замены переменной (7.83). Применительно к уравнениям (7.3) и (7.4) оно соответственно будет (х=ао——а) /

К*(х—+ -告，. _ (7.85)

^(x) — ядра уравнений (7.3) и (7.4).

Приближенное решение уравнения (7.84) или (7.78) будем ис- • кать в виде конечного разложения по полиномам Чебышева первого рода

^V^^CsTAXY亿86)

Подставляя это в (7：84) и учитывая соотношения (7.75), получим

+ ^j ^z^x +/1(х0).. (7.87)

(7. 88),учесть за-(7. 89)(7. 88),учесть за-(7. 89)Характерным в этом уравнении является то, что коэффициент со не содержится в левой части, поэтому остальные коэффициенты- q (s=l, 2,...) будут линейно зависеть от Со* Для определения 8 нужно привлечь физическое условие равновесия реакции, которое, например, применительно к уравнению (7.3) будет

(7. 88)

,учесть за-

(7. 89)

(7. 88)

,учесть за-

(7. 89)

Если подставить сюда реакцию q из формулы (7.86) мену (7.83), то .согласно (7-.73) найдем

после чего уравнение (7.87) можно рассматривать как функциональное уравнение для определения коэффициентов Ci, % ・••，сп. Если бы мы получили функциональное уравнение типа (7.87) для уравнения (7.78), то условие (7.88) нужно было бы переписать с учетом замены переменной (7.79) в виде

Г qdx Р、

и подстановка сюда разложений (7.86) не позволило бы определить в явном виде постоянную Со- В этом смысле замена переменной (7.83) является более предпочтительной. С точки же зрения принципиальной ничего не меняется. Просто в этом случае получается дополнительное уравнение, которое нужно присоединить к (7.87) и рассматривать полученные уравнения как полную систему для определения коэффициентов с3 (s=0, 1,..., п). Ниже будем считать Со известным, определенным формулой (7.89).

Уравнение (7.87) можно решать методом коллокаций, удовлетворив ему в п точках, в качестве которых удобно выбирать корни полинома Чебышева Тп(х).

Мы применим, метод Бубнова. Для этого умножим обе части уравнения на Uk (х0) V1 — Хо (々=0, 2,..., п—1) и проинтегрируем» воспользовавшись свойством ортогональности ^7.74). В итоге по-； лучим следующую систему алгебраических уравнений для коэффициентов 匾：

4-0工爆S4=% + 匆0以伊=1,(7.90)

1 1

где^^-^^ dx,

1

〃*=%，^=^ Uk^ (x) /Г=72Л (x) dx (7.91)

{k~ 1, 2,..., n; s=0, 1,…,孔).

Интегралы (7.91) можно вычислять по квадратурной формуле Мелера ([20] с. 132)

了 1 一 "2 九[^^2修了 1 一 "2 九[^^2修(7. 92)(7. 92)

了 1 一 "2 九[^^2修

了 1 一 "2 九[^^2修

(7. 92)

(7. 92)

которая является точной для полинома степени 2孔1——1 включительно.■

В результате получим

UI (" (1 一忌)力(修)UI (" (1 一忌)力(修)К*(*т 勺)Uк„у (X；) Ts (xm)(l — X?),К*(*т 勺)Uк„у (X；) Ts (xm)(l — X?),(7. 93)(7. 93)

UI (" (1 一忌)力(修)

UI (" (1 一忌)力(修)

К*(*т 勺)Uк„у (X；) Ts (xm)(l — X?),

К*(*т 勺)Uк„у (X；) Ts (xm)(l — X?),

(7. 93)

(7. 93)

(左-1, ^9...)л)! (s-0, 1,...，孔).

Решение уравнений (7.5) и (7.6). Эти уравнения запишем в

видевиде11J In|л —х0| qdx= ^ K*(x — xjqdx+11J In|л —х0| qdx= ^ K*(x — xjqdx+力（*）力（*）(7・ 94)(7・ 94)

виде

виде

11

J In|л —х0| qdx= ^ K*(x — xjqdx+

11

J In|л —х0| qdx= ^ K*(x — xjqdx+

力（*）

力（*）

(7・ 94)

(7・ 94)

где х — переменная (7.83); К* ——регулярное ядро, которое для уравнений (7.5) и (7.6) соответственно будет [ж = ао—а=р(хо—х)]

《（X _/）=к阮）一In |鼻工卜也В'《（X _/）=к阮）一In |鼻工卜也В'个（一/）=^心学一瑯个（一/）=^心学一瑯(7.95)(7.95)

《（X _/）=к阮）一In |鼻工卜也В'

《（X _/）=к阮）一In |鼻工卜也В'

个（一/）=^心学一瑯

个（一/）=^心学一瑯

(7.95)

(7.95)

Решение уравнения (7.94)- разыскиваем в виде разложения (7.86), после чего уравнение (7.94) преобразуется к виду

—и—иQ1I12 +Q1I12 +К*(х —Хо)хК*(х —Хо)х

—и

—и

Q1I12 +

Q1I12 +

К*(х —Хо)х

К*(х —Хо)х

При получении этого уравнения использованы соотношения (7.76) и (7.77). Умножим обе его части на 厶(尤о)/У1—х02 (/= =0, 1,…，п) и проинтегрируем с учетом свойств ортогональности (7.73). В итоге получим систему алгебраических уравнений для коэффициентов Са(S = O, 1, ...» П)：